Eserciziario analisi 2 [1]

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t.

Goog e P a - ~' oz

fllCO/H!rlina

pagincdclquadcrnodicscrcizidiAnalisidimiopadrc matricolaalPolitcrnicodiMilanoncll943

ISBN 978-88·74M8482·7

P•imaedi:ion.r.Gcnna io2012 Rislompa: Scm:mb~ 20 12. Scncmbrc 2013

Respon$obòlr1HV/ • b.

y' ~ (1-y)(2-y)• { y(O) = 3,

:r • l o;.y=~; zc-J~y · -~·

precisandoilpi ùampi ointerva llosucuièdetinitalasoluzionedelproblema.

So luzioni (Spunti): (0,0),

(l-11)( 2 -y)z

Risolvcrei lproblemadiCauchy:

3/i , ,) ' (-3-3/i - ,-,o) ' ( 1,6') ' (-J,-2') . ( --3+,-

a. Si tratla di un'equa.ione a •'llriabili Jeparabili, oss ia un'equazione differenzial e delprim'ordinescritt.ane!lafonna:

y'(z) =a(x)b( y ). Nel nostro caso è

a(x ) - x;b(y) • (l-y)(2 - y) .

e:iz-2ez- l =0 (con'~i.=; + iogl•-•I

precisandoilp iùampioin tervallosucui èdefinitalasoluzion c.

ly(2): I

1.2.*

a.

cont~~~aE~u:~~~~0~v:r~~b~l~sc0:~b~l~-~{;, :~~~~~!· ::n~~n11~o;1(~)~)

6!1:

C 1 inunintornodiy=O(adcs.,in(-1 ,oo) ),lasoluzionedelproblemacsistced èunica,inunimomodix = J(chepotrebbeessere pi ùristrenodi (O,+oo)). (b) Equazione a variabili separabili y' - a(z)b(y). La funzione a(:r) - Ioga: è continua in un intorno dix= I, la funzione b(11) = .;/Y=I è continua ma non è C 1 in un intorno di y ., I, la soluz ione del problema esiste (ma non si può garantirel'unicità),inunintornodix= i(contenutoin (O,+oo)edeventualmente più picco lo). (e) Equazione a variabili separabili y'=a(z)b(y). La funzione a (x)= arctan~ non è continua in :r :s:O, non si può garantire l'esistenza di soluzione. (Si osservi che anche se definissimo in qualche modo a(x) in x =O, la funzione resterebbe discontinua). (d) Equazione lineare y' + a(x)y = /(:r; ). Le funzioni a(x) =-~e / (:r)-e-~ sono continue in R, la soluzione del problema esiste cd è unica, definitaintuuo R (e) Equazione lineare y' +a(x)y= f (x). Le funzioni a (x)=-~ e / (z) = log lx - 51 sono continue in ( 1,5) (questo ~ il più ampio intervallo contenente x= 2 dove entrambe le funzioni sono continue). la soluzione del problemaesisteedè:unica,definitaintutto (l,5).

S'

{ y(O)=l epm:isareilpiùampiointervalloincuilasoluzioneèdefinita.

a Detenninare tulle le soluzioni dell'equazione. b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizionciniziale 11(0) = 2. c. Precisare qual~ ilpiilampiointervallosucuilasoluzionedelproblemadi Cauchy~ definit.a.

I.I O.* Risoh·ere il proble mn di Cauc hy·

1.6.*

{

RisolvcreilproblemadiCauchy: V + 2.ty=xsin(x 2 ) { 11(0) - ~ -

1.7.*

pm:isando l'intervallopiùampios u cui la so luzioneèdcfinila I.li.*

a

Detenninare nme le soluzioni dell'equazione differenziale:

b.

Risolvere quind iil prob!emadiCauchy:

y'=xe- z(y-1)2.

Siconsideril'equazionedifferenziale:

!/:o

2y ;y2.

Dctcnninaretutte lesolu:iionidell'equazione b. Ri solvere il problema di Cauchy per l'equazione precedeme con la condizioncinizialey(- 1) =2. c. Preinzcos::i:.

a

Determinare l'integrale generale dell'equazione . b. Risolvere il problema di Cauchy per requazione pm:edente con la condizioneinizialey(i)= e . 1.28.Si consideril'equazionedi lTerenziale:

y'(t) + 21y(t)=t3.

b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con ta condizioncinizialcy(O) = ~· 1.24.

y' =

Y ~Yi_

Detem1inaretuttelesoluzionidell'equazione. Ri solvere il problema di Cauchy per l'equazione pm:edente con la condizione inizialey( l ).: 2,eprecisa.reilpìùampiointeivalloinçuilasoluzione è definita.

a. Determinarel'i111egralegeneraledell'equazio11Cdi1Terenziale: y'=:te -r. h. Risolvere il problema di Cau~hy per l'equazione precedente eon la condizioncinizialey(O) =- l ,e precisareil piùampiointeivalloin cui!asoluzionc è definita.

t.29.

a. Determinare tuue le sol uzioni dell'equazione differenziale: y' = (y- l )(y- 3). b. Scrivere la so luzione y{t) del problema di Cauchy per l'equazione pm:edentecon lacondizioneiniziale y{O) = 2.

Cap.1.EquaziOnidifferenziali

Par. 1.1. Equa:i:ioni i;lelprimoordine

r;. Risponderealledomande: Qualèilpiùampiointervallosucuilafunzionetrovalaalpumopruedentcè soluzionedelproblernadiCauchy? La soluzione è lirnitatasulsuointervallodideli nizione?

Dire per quali valori di zo, Yo si può affermare che il .segueme problema di Cauchyhacer1amen1e utia e uiwwlaso/uzione:

1.30.Siconsideril'equazionedifferenziale:

Y=

1:l.

Determinaretune lesoluzionidell'equazio11e. Ri so lvere il problema di Cauc hy per l'equazione precedente con la condizioneiniziale y( l ) =Oe precis.areilpiùarnpioimerva lloincuila w luzionc è definita l ..l l. Risol>'ere ilproblemadiCauch y:

.v2J/ - 2:z:+ I ( y(O)- - I b.Precisarequalèilpiùampiointervaltosucuilasoluzione1rovataèdefinita cdèdiclasseC 1 (giustificando larisposta).

1.J2.*

a. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:

l .JS.

i.36.

1.37.

yJ/= e VZ { y(zo)= 1.1:1

l .38.

0 ... ) b. Trovarela percentualedi CO:i dopo lO minuti. c. Dopo quanto tempo la percentuale di C02 sarà dello 0.2%? 1.46. Dinamica delle popolu.io ni, modello di Verhul st (equazione logis1 in).SiaN (t) ilnumerodiindividui,altempot, diunacertapopolazione isolata. Facciamolestesseipotesigeneralidell'Esercizio 1.43, ma orasuppon iamo che il coefficiente di propori:ionalità >. - µ non sia costa nte, ma dipenda dall'occupazionedell'ambiente, inmodoc heladi namica èoradescrittadalla legge

La costante k > O è detta capacìtii dell'ambieme, e possiamo pensarla come il massimo numero di individui che posSO!lo "vivere bene" nell'ambiente, prima di entrare incompetizioneeponareaun'inversioneditendcnzanellacrescìtadella popolazione; il coefficieme e: è l'analogo di.\. - µ nell'esempio precedente, e supporre mo ora t >0. Stud iare la dinamica della popolazione in funzione del numeroinizialeNo diindividui 1.47.* Decadimen10 radi oauh·o. Il lempo di dime:wmento 7" di un materiale radioanivoèil tempo richiesto affinchémetàdiunadata quantitàdiquelmnteriale decada.DenaQ (t) laquantitàd i materialeancornnondecaduto,valelalegge:

N' =(.1.-µ )N.

Q' = -aQ

Detto No > O il numero di individui al tempo L = O, descrivere l'andamento dcllapopolazionenciduecasi>. > µ,>. < µ.

perunacertacostantccr >0. o. Ricavare la relazione tra il tempodidimezzamentorc il ta$SO istantaneo di decadimento a. b. Il rad io 226 ha tempo di decadimento di 1620 anni. Dopo quanti anni un a data quantità di questomateriale è ridonaatrequartide!laquantitàinizia!c? Dopo quantiannièridonaaunquarto?

1.44.• Una popo lazione di ba1teri cresce con velocità propori:ionn lc al numero di batteri presemi (legge di Malthus, v. es. precedente). Se in un'ora il numerod i individu i raddoppia,diquantocrescein2oreemezza? 1.45.* li çontenuto di COii di una sala di !20m3 è dello 0.3"/o. Un siste ma di condizioname nto viene atti vato ed immette aria fresca. contenente lo 0.1% di COii attasso di 20m 3 / min.

Alea:unku, mulu di un grllve c:un oltrilo del mezzo

1.48.* Caduta del gravi con a ttrito dell'aria propor-Lionale all a •·eloeità. Un corpo di massa m cade vertiçal mente (a partire-da lla quie!e) S\tto l'azione della

Par.1.1 . Equazioni del primo ordine

Cap. 1. Equazionldifferenziali

foru di pvili. L'aria o ffre una rcsistniza alla caduta, 5C"COndo una fora proporrlonalealtavelocitA. lndicandocon11(t) lospazio~altempolin

verticale,venoilbauo.siavri:

mi/'=mg-hy' do\·e h >O~ uncodftt iented i attrito. Sieakoli la furuione ~locità 11{1) • Jl'(t ), elasistudipertempitunghiepertempibn:vi. 1.411.* Cad111a di un a &t llC'irl:quazione CO;

2

y(O)=- ~ • l ;e • -1 y{:i:) •

2

~:i:' "

,c2d!,1 -

J~

~ +e

Soluzione defin i1 a in (

2

:,=cz1 con eER

2e:i:1

y{:i:)= j'"":Ui "

- J2,./2).

b. !mponiamolaeondizioneinizialc

2 = 1 ~c;e • ~: r(z) · 2 ~,

34

Par.1.1. Equaziooidelprimoordine

Cap. 1. Equaiionidifferenziali

c. L.a

soluiione del problema di Cauchyt definita per :t e ( - ../2,o). Questo t il più

1.9. a. Soluzioni costanti:v =O. lnteg.nilcgenerale:

1

ampioinlervallocon!enen!e - I incuiicoefficientide ltequazionedipanenzacla .sol...:iooc sono definiti.

11 --~

NOliamo che è accettabile arn:he la risposta (meno resuiniva): definita per

:t E

v(z)=~,

(-J2, ./2). Questo è il più ampki intervallo come-nenie - I in cui la soluzione è

definita; in :t =O formalmente rcquazione perde significato ma nel senso dei limiti è comunque verificata·

v.. ( 2 ~~)' = ~;

(-(-',)'''.(',)"').

so!uiioncdcfinitain Equazioneline=.

2 v+ i · 2 c~:1) + (2~:t2r ,.~;

o(:t)= i:l: ;A(:t) = 1

(in un

ed en1nm1bi i membri tendono a zero per :t - O. In questo senso diciamo che requazione

inmmo di

:t = O, in

f

:t,':_ 1dz •

cui dobbiamo

~logl:t' -

li =

assegnare LII condizione inWalc,

f

clotl.,ll:Z>3;i:d:t}

=n{c+ J~ 3:td:t } •

-n {,-M • v. (d) Line-are (a(:r} • - ez, /{:r) =!) ,ma non a variabili separabili.

Sono due diverse soluzioni C 1 delproblcmadiC1uchy,cllesiaggiwigonoallasoluzione

(e) Non lineare,nemmenoavariabiti separabili.

(a) Equazione a l'ariabili separabili v'=a(:i:}li(i). LI furu:ione a(:r)= discontinuain:i:=O,percio)nonsipuo)gararuirecsistcnzadiwluzioni

costantcugualcal. Osserviamoche(srudiamoades. lasoluzio111:colsegoo +)

w:'

è

(b) Equazioncavariabiliscparabiti v' • a(:r)l>(i). Lafunzionc o(:r) • ~ tcontinua

in un intorno di :r = 2 (prec isamente, in (0,oo) ), la funzione I>(,) = iloglvl è coniinua (prolungabile con continuità) ma non è C' in un intorno di~ • O, la soluzione dcl problema esiste (ma non si può garan1ire l'unicità), in un intorno di z: • 2, che ~bbe essere più ristrcttodi(O,co). (e) Equazione lineare J/+n{:r)v • /(:r_). Le funzioni a(:r) =-'=" e /( :r,) = ~ sono cont inue in (l,+oo) (questoè il più am piointervallocontenente:r = 2 in cui $000 continue),quindi!asoluzioocdclproblcmacsistcedèunka,d:i(me. Solu.;eioni costami: 11= l (che è già una soluzione dcl problcmadiCa..::hy).A ltrcsoluzioni:

~~~:r=:r~. pen:iò v'(3) =0.

Questo vuol dire che sono soluzioni del problema di Cauchy non solo

114 - { Il +[~t2

se:r!:;3 se:r!S;3

o quelle che si OltengononM:cordando in tutti i modi possibi li una delle 3 soluzioni per :r:0:::3con un'altradel!e 3soluzioniper:r !:;3.

Par. 1.1. Equazionl delplimoofdine

Cap.1 . Equazionidifferenziali

Quindi l'integrale generale~:

a.Equazionc lincarcdclprim'ordiM

a(t) = 2t; A(t) =

f

21d1 =11;

y{z) =

~{c- e-•(x2 +2x+ 2}} = ~ -e-•(1 +; + ~) v{l)=c-; =O=>c=;.

Quindi la soluriOM dcl

problema~

y(:i)=~-t-•(1+;+~}

in(O,+oo)

y(x)=-Lo&(c+cott) y(x) • -log(cosx ), Quindi

y( t) =e-•' { e+

~e''t 2 - ~e''}= u-i' + ~t 2 - ~-

y(O)=c-~=~=>c • I y{z) •e-. +(1-e)e-.

y(z) = log(~x2 +e).

i.olurionesurunoR

soluzionein(t,+oo).

a. Equazione linea!lldc!prim'ordine. 11(x) - ;; A(x) =

y= l ,y=

j a(x)dz = 21ogjxl;

3,v{z) =

~=== concER.

1 + 3c'"

y(z) =~·

vloo cci....• _ ]

2 =1>oo l + ce2*..·•1)

v{I)=~ eimponendolacondizioncinizialcs itrova

eimponendolacondizioneiniziale siuova

e==~::Siosservachepert -.oo cffenivamcnccv{t)--+ 11..,= ,/"! (cioè quella che abbiamo indicato altini.zio col simbolo di 'lo> per comodità di calcok> è cffcttiv;unente la velociti limiie)

Sios~rvichelave!QCililtendc monotonamenteazeropert -+oo.

Cap. l . Eq uazioni differenziali

Par. 1.1. EquazKlnidelplimoordine

Orasfruniamolaprima informazione: 80=10+~ --;

Sia ora