Elementos de álgebra
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- Luiz Henrique Jacy Monteiro
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ELEMENTOS O
texto:
DE
ÁLGEBRA
“Elementos de Álgebra” é um livro claro e sistemático, contendo todo o programa de Álgebra que deve ser ensinado no Bacharelado ou na Licenciatura em Matemática, salvo a Álgebra Linear. Pacientemente, o autor desenvolve os fatos básicos sôbre conjuntos, a teoria dos
do
em
números
naturais
seguida,
um
ponto de vista geral
e
estudo
dos
números
das
noções
inteiros,
das estruturas
dentro
algébricas.
de
anel
e
Faz,
corpo
e as particulariza para estudar os anéis dos inteiros, o corpo dos números reais e o corpo dos complexos. Desenvolve, a seguir, o estudo dos polinômios de uma ou de diversas variáveis e trata a divisibilidade dentro do âmbito geral da teoria dos anéis fatoriais. O livro conclui com um capítulo sôbre grupos, onde são demonstrados os resultados básicos mais importantes dessa teoria, como os teoremas de Sylow e o teorema de estrutura dos grupos abelianos finitos. O texto é fartamente ilustrado com exemplos e os exercícios, variados
e interessantes,
ultrapassam
O
estudante
professor,
aficionado, livro.
O
autor:
o
muito
lucrarão
a 1.000. de
Matemática,
com
o
e
mesmo
aparecimento
o
dêste
O Professor Luiz Henrique Jacy Monteiro é licenciado pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, tendo ali também obtido seu doutoramento, em 1950, sob orientação do Professor Oscar Zariski, da Universidade de Harvard. O Professor
Jacy Monteiro, desde sua licenciatura, exerce suas atividades didáticas na Universidade de São Paulo. É especialista em Álgebra, assunto sôbre o qual escreveu vários livros que o tornaram bastante conhecido em todo o Brasil.
Composto S.P., sob
na Gráfica A. OSHIRO — PUBLICAÇÕES, orientação e revisão do autor.
rua
Impresso
por
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Rio —
GB
SEDEGRA
Sociedade
Editôra
e Gráfica
Oratório,
Rua
2.695 /S.
Matipó,
PAULO,
101/1115
—
ELEMENTOS
DE
ÁLGEBRA
CONSELHO impa
FE)
NACIONAL
DE PESQUISAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
E APLICADA COLEÇÃO O
DE
MATEMÁTICA
DE
ÁLGEBRA,
DE
TOPOLOGIA
POR
LUIZ
HENRIQUE
MONTEIRO ELEMENTOS
LAGES O
ELEMENTOS
ELEMENTOS
JACY O
/
PURA
LIMA,
OUTROS
EM
GERAL,
IMPRESSÃO
TÍTULOS
EM
PREPARAÇÃO
POR
ELON
Obra publicada com
a colaboração
UNIVERSIDADE
Reitor:
Prof.
Vice-Reitor Editôra
da
Comissão Presidente Letras). e Letras), Reale
Dr. em
Luís
Antônio
Exercício:
Universidade
da
Prof. de
DE SÃO
Gama
Dr.
São
da
e
Alfredo
PAULO
Silva Buzaid
Paulo
Editorial: —.
Prof.
Membros: Prof.
(Faculdade
Dr. de
Dr.
Mário
Prof.
Dr.
Carlos Direito)
da
Guimarães A.
Brito
Ferri
da
Silva
Lacaz
e Prof.
Dr.
(Faculdade
Cunha
(Faculdade Pérsio
de
(Faculdade de
de Souza
Filosofia, de
Medicina), Santos
Ciências
Filosofia, Prof.
(Escola
Dr.
e
Ciências Miguel
Politécnica).
ELEMENTOS ÁLG
DE
- B RA
ÃO
LIVRO
L. H. Jacy Monteiro
TÉCNICO
S.A.
RIO DE JANEIRO / GUANABARA 1969
COPYRIGHT
(€)
1969,
by LUIZ
DIREITOS
RESERVADOS,
IMPRESSO
NO
ÃO
Rio
por
BRASIL / PRINTED
CAPA / ALDEMAR
Av.
HENRIQUE
1969,
LIVRO
Branco,
A.
IN
AO
JACY
MONTEIRO
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RIO
DE
JANEIRO
BRAZIL
PEREIRA
TÉCNICO
81/12.º andar
S.A. «e
ZC-21
«+
C.P. 3655
/ RIO
- GB
APRESENTAÇÃO
Nos dias atuais, ninguém desconhece a importância das ciências sem as quais não se pode obter uma tecnologia independente nem os problemas fundamentais com vistas ao bem-estar humano. Muito se ignora que o cultivo dessas ciências e o estímulo às vocações se faz através da difusão adequada das idéias avançadas. A
criação
de
uma
literatura
tarefa de primeira importância.
científica
brasileira
é,
básicas, resolver menos jovens
portanto,
uma
O Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ao iniciar a presente coleção, procura cumprir com entusiasmo a parte que lhe compete nessa tarefa. Estas publicações do Ensino Superior aos esforços do meu de Curvalho Dias, e ao TECNICO
S.A.”,
são possíveis graças ao apoio recebido da Divisão do M.E.C., do Conselho Nacional de Pesquisas, antecessor na direção do LM.P.A., Dr. Lindolpho espírito empreendedor dos diretores de “ÃO LIVRO
a quem são devidos agradecimentos especiais. ELON
LAGES
Diretor
do
LIMA IM.P.A.
PREFÁCIO
O livro que ora apresentamos tem por objetivo a uniformização do ensino da Álgebra nas Faculdades de Filosofia através de uma unificação da linguagem e de uma sistematização dos conceitos que usualmente são desenvolvidos no estudo da Álgebra Moderna. Foi planejado para atender às exigências de um curso de dois anos de duração; caberá ao professor a tarefa de escolher as partes mais importantes de cada capítulo de acórdo com o tempo que terá para ministrar a parte de Álgebra. No de
vista
Capítulo
I
expomos
a teoria
dos
conjuntos
sob
um
ponto
intuitivo.
No Capítulo II construímos o conjunto dos números naturais de maneira axiomática. E recomendável, num primeiro curso de Álgebra, que se admitam conhecidos o conjunto dos números naturais e as propriedades
mais
importantes
dêstes
números,
como,
por
exemplo,
o
princípio de indução finita; neste caso convém citar explicitamente tôdas as propriedades enunciadas no parágrafo 2.4 e desenvolver o princípio de definição por recorrência e as diversas formas de demonstração por indução finita. No Capítulo III construímos o conjunto dos números a partir do conjunto dos números naturais, e desenvolvemos elementar da Teoria dos Números. No
Capítulo
IV
antroduzimos
as
inteiros, a parte
estruturas
de
anel
e
corpo;
do
dos
números
reais,
destacamos a construção do corpo de frações de um anel de integridade (S 2) e em particular do corpo dos números racionais. Terminamos êste capítulo com o estudo dos anéis e corpos ordenados. O
Capítulo
V
expõe
a
construção
por intermédio das sucessões fundamentais de construção do corpo dos números complexos.
corpo
números
racionais,
e a
XIV Estudamos
terminada, número
No parágrafo
no
as
finito
de
Capítulo 5
Capítulo
funções
o
VI
os
polinomiais
anéis
de
polinômios
com
uma
e os anéis de polinômios
inde-
com
um
iniciamos
no
indeterminadas.
VII
estudo
estudamos da
teoria
os dos
anéis
fatoriais
números
e
algébricos,
expondo
as
propriedades mais importantes dos corpos quadráticos e dos anéis quadráticos; no Apêndice dêste Capítulo apresentamos uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra. No Capítulo VIII elementar dos grupos.
desenvolvemos
de
modo
sistemático
a
teoria
Os agradecimentos que se seguem não são de praxe, são o profundo e sincero reconhecimento pela colaboração obtida: à Professóra Elza Furtado Gomide, por ter lido os originais e ter apresentado diversas sugestões que foram por nós utilizadas; ao Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas, órgão que tornou possível a publicação dêste livro; a Ao Livro Técnico S.A. pelo trabalho de impressão e divulgação. fo meu amigo Antonio Oshiro, prematuramente falecido, a cuja aedicação devo a composição tipográfica desta obra, o meu preito de saudade e a minha sentida homenagem. Agôsto de 1969
L.H.J.M.
INDICE
Capítulo
TEÓRIA
ELEMENTAR
DOS
CONJUNTOS
1
Conjuntos
Capítulo
Capítulo
1
Relações
13
Aplicações
29
NÚMEROS
NATURAIS
Monóides
e Grupos
49
Números
Naturais
72
NÚMEROS
INTEIROS
O Anel Z dos Números Noções
Capítulo
48
Sôbre
ANÉIS
a Teoria
102
Inteiros dos
102
Inteiros
121
E CORPOS
166
Anéis
Capítulo
166
Corpo
de Frações
Anéis
e Corpos
de
Anel
dos
Anel Anéis
de
198
E CORPO
DOS
233 234
Reais
256
Complexos
268
DE POLINÔMIOS
279
de Polinômios
Funções
REAIS
Completos
Numerais
Corpo dos Números
ANÉIS
Integridade
214
CORPO DOS NÚMEROS NÚMEROS COMPLEXOS Corpo
de
Ordenados
Corpos Ordenados
Capítulo
um
com
uma
Indeterminada
Polinomiais Polinômios
280 295
com
Diversas
Indeterminadas
314
XVI
Capítulo 7
ANÉIS FATORIAIS
341
Introdução
341
1
Propriedades
2
Anéis
3
Anel
4
Ideais
5
Anéis
APÊNDICE
DO
Capítulo 8
Gerais
dos
Anéis
Fatoriais
Euclidianos de
342 359
Polinômios
Sôbre
um
Anel
Fatorial
380 391
Quadráticos
CAPÍTULO
412
VII
435
GRUPOS
444
Introdução
444
1
Propriedades Gerais dos Grupos
2
Grupos
3
Teoremas
Cíclicos
e Grupos
de Sylow
4
Seguências
5
Produtos
6
Grupos
de
ÍNDICE ALFABÉTICO
Permutações
445 477 498
Composição
de Grupos Abelianos
de
Finitos
510
521 529
539
CAPÍTULO TEORIA
ELEMENTAR
DOS
1 CONJUNTOS
Estudaremos, neste capítulo, diversas noções da teoria dos conjuntos sob um ponto de vista intuitivo; exporemos, simplesmente, o que se pode chamar de «teoria ingênua dos conjuntos». Na parte relativa aos exemplos e exercícios adotaremos um ponto de vista informal pois utilizaremos diversos conceitos e conjuntos que serão definidos precisamente em outros capitulos dêste livro. As noções de conjunto finito ou infinito, assim como a noção de número de elementos de um conjunto finito, não serão definidas rigorosamente; no entanto, êstes conceitos serão utilizados frequentemente no desenvolvimento déste capítulo. No 41 daremos os principais conceitos primitivos e alguns dos axiomas desta teoria; introduziremos também a noção de subconjunto e as operações de intersecção, reunião e complementação. Após introduzir as noções de par ordenado e de produto cartesiano (82) veremos as propriedades mais importantes das relações de equivalência e de ordem. Finalmente, no 83, consideraremos o conceito fundamental de aplicação.
$1 -. CONJUNTOS 1.1 - RELAÇÃO
DE
PERTINÊNCIA
As seguintes noções serão admitidas mitivos e, portanto, não serão definidas: relação de igualdade elemento (ou objeto) conjunto relação de pertinência.
como
conceitos
pri-
Procuremos, no entanto, explicar em têrmos intuitivos o significado destas noções. Se dois simbolos a e b representam
o mesmo
elemento,
escrevemos
a=b
e dizemos «a é igual a b»; o símbolo = é denominado de igualdade. A negação de a=b será indicada por (leia-se:
a
é
diferente
de
b); com
isto
queremos
dizer
sinal ab que
os
simbolos a e b não representam o mesmo elemento. Admitiremos que a relação de igualdade seja reflexiva, simétrica e
transitiva, isto é, quaisquer que sejam os simbolos
1 2)
a=a (propriedade reflexiva); se a=b, então b=a (propriedade
3)
sea=b
ese
b=c,
então
a=c
a, be c, temos
simétrica);
(propriedade transitiva).
Intuitivamente imagina-se um conjunto como sendo formado ou constituído por diversos elementos ou seja como uma coleção de elementos; aqui não estamos pretendendo definir o conceito de conjunto pois substituímos, simplesmente, a palavra «conjunto» pelo sinônimo «coleção» Em geral, quando se considera um objeto matemático como sendo um conjunto, êle é representado por uma letra latina maiúscula e seus elementos por letras latinas minusculas; evidentemente, esta regra não deve ser aceita num sentido rigido. Para indicar que um elemento junto X usaremos a notação
x
faz
parte
de
um
con-
rEX,
que deverá ser lida «x é elemento do conjunto X» ou «x pertence a X». A negação de xeX será representada por xg&X
(leia-se: x não é elemento do conjunto X ou x não pertencea X). Admitiremos que dois conjuntos 4 e B são iguais se, e somente se, todo elemento de 4 pertence a B e todo elemento de B pertence a 4. Podemos dizer, abreviadamente, que 4=B se, e somente se, as relações são
equivalentes.
zeA
e
xzEeB
Éstes enunciados nos mostram que um conjunto fica determinado pelos seus elementos e ao mesmo tempo nos dão uma regra sôbre o uso do simbolo Ee. É evidente que a relação de igualdade entre conjuntos é reflexiva, simétrica e transitiva.
1.2 - SUBCONJUNTOS DEFINIÇÃO 1 - Sejam 4 e B dois conjuntos; diz-se que é subconjunto de B se, e sômente se, todo elemento de também é elemento de B.
A A
Usaremos a notação ACB para indicar que 4 é subconjunto de B; neste caso também diremos que 4 é uma parte de B, ou, que 4 está contido em B, ou ainda, que B contém A. Se ACB também escre-
veremos
BOA
nominado
A
(leia-se:
B
sinal de inclusão.
é um
subconjunto
contém
Se
próprio
4).
ACB
de
B,
O
e se
ou,
símbolo
AzB,
que
4
c
diremos
é
uma
é deque
parte
própria de B, ou ainda, que A está contido própriamente em B. Notemos que 4 é uma parte própria de B se, e sômente se, todo elemento de A é elemento de B e existe um elemento
de
B
que
não pertence
a
4.
Uma vez introduzido o sinal de inclusão c, a noção igualdade entre conjuntos pode ser posta sob a forma A=B se, e somente se, 4CB e BCA.
de
É fácil verificar que a relação de inclusão é reflexiva e transitiva, isto é, quaisquer que sejam os conjuntos 4, Be (, tem-se
1) 2)
ACA
(propriedade
seACBese
A negação
de
BCC,
ACB
reflexiva); então, ACC
será indicada
(propriedade transitiva).
por
AFB
(leia-se:
A
não está contido em B, ou, 4 não é subconjunto de B, ou ainda, A não é parte de B). Notemos que AGFB significa que existe um elemento a tal que ac4 e ag&B. Portanto, as relações ACB e B&%A significam que 4 é parte própria de B. ExempLo 1 - Indiquemos por N o conjunto de todos os números naturais 0,1,2,-.+,n,--: e por Z o conjunto de todos os números inteiros ..,-3,-2,-1,0,1,2,3,-0.. Temos NCZ, o que traduz a afirmação: todo número natural é um número inteiro. Observemos que N+Z, pois, por exemplo, -leZ e -l1&N; portanto, N é uma parte própria de Z. ExempLo 2 - Indiquemos por Q o conjunto de todos os números racionais, isto é, o conjunto de todos os números da forma b' com a e b inteiros e b+0. Temos ZCQ, pois, todo ,
número
.
.
inteiro
a
pode
ser
representado
sob
a
forma
q
+.
Além :€Q
disso, e
Z
é
5€Z.
Em
parte
própria
outras
de
palavras
Q,
pois,
podemos
por dizer
exemplo, que
todo
número inteiro é um número racional e que existem números racionais que não são números inteiros; isto traduz, simplesmente, a afirmação: Z é parte própria de Q. No exemplo anterior tínhamos observado que NCZ e como ZCQ teremos, conforme a propriedade transitiva da inclusão, NCQ e isto significa que todo número natural também é um número racional. ExempLo 3 - Indiquemos por R o conjunto de todos os números reais; já é do conhecimento do leitor que QCR, isto é, todo número racional é um número real. Além disso, Q+R, ou seja, Q é uma parte própria de R; para chegar a êste resultado demonstra-se, por exemplo, que o número real 1/2 não é racional (ver capítulo III, exercício 117). De acôrdo com o que vimos acima temos as seguintes inclusões próprias NCZcQCR. Um conjunto é frequentemente formado por todos os elementos que propriedade P; assim, a notação
tx | x
satisfaz
definido como sendo satisfazem uma dada
P)
indica o conjunto de todos os elementos x que satisfazem a propriedade P. No caso particular em que todos os elementos x pertençam a um dado conjunto E, indicaremos o subconjunto de E formado por todos os elementos que satisfazem a pro-
priedade
P
Em
caso
cada
por
ÍxeE
a barra
| x satisfaz
vertical
| deve
PJ.
ser
lida
«tal
que».
ExempLo 4 - O conjunto de todos os números naturais que satisfazem a propriedade «n é divisível por 2», ou seja, O conjunto dé todos os números naturais pares é indicado por
ou
tneN
|n é divisível por qneN |In é par).
ExempLo O - Consideremos o conjunto e a propriedade um subconjunto
«xreR A de
R dos números reais
e x não é racional». Obtém-se R que pode ser indicado por
A=txeR
diz-se, neste caso, que
2)
A
| x
assim
é irracional);
é o conjunto dos números irracionais.
1.3 - COMPLEMENTAR Seja A uma parte de um conjunto E e seja 4' o subconjunto, de E, formado por todos os elementos x taisque xg&A:
A'=ÍxeE
| xg& A).
O conjunto 4º é denominado complementar de complemento de A em E e será indicado por
A
em
E
ou
CGA.
Quando o conjunto E está fixado diremos, simplesmente, que C.A é o complementar de A ou o complemento de A e, neste caso, simplifica-se a notação escrevendo-se CA. ExempLo 6 - Indicando-se por 4 o conjunto de todos números naturais pares (exemplo 4), seu complementar em é o conjunto dos números naturais ímpares
os N
[y4 =(txeN | x é ímpar).
ExempLo 7 - Com as notações do exemplo 5, o conjunto dos números irracionais é o complementar em R do conjunto Q dos números racionais. um
TEOREMA 1 - Se 4 conjunto É, temos a) se ACB, então,
b) CCA)=4A.
e
B
são
duas
partes
quaisquer
de
CBclA;
DEMONSTRAÇÃO
a) Seja x um elemento qualquer de E e suponhamos que xelB; conforme a definição de complementar, temos r&B. Ora, por hipótese, ACB e como x&B também temos x&A, logo, reb e rxg&4A,
de onde vem
xelA4
e portanto CBCCA.
b) Para simplificar as notações coloquemos (CA=A'. Seja x um elemento qualquer de E e suponhamos que xelA4'; temos LEE e t&A (1). Ora, 4º é o complementar de A, portanto, de (1) resulta que xek e xEÁ, logo,
CA'cA
(2).
Por outro lado, seja x um elemento qualquer de
que
xEe4;
e como
como
xÉeE,
4'
teremos
é o complementar
xelA';
portanto,
ACCA'
de
E
4,
e suponhamos
temos
xg&A' (3).
6
As inclusões
(2) e (3) nos mostram
CCA)- A.
Já sabemos próprio conjunto
que
(4'=4,
ou seja
E
que uma das partes de um conjunto E é o E, portanto, também está definido o comple-
mentar de E em E, que será indicado fabeto norueguês). Temos assim
por
À
(letra O do al-
D=L,E =(xeE | x&E)
(4).
Notemos que a definição acima nos mostra que o conjunto À não possui nenhum elemento e por causa disso êle é denominado conjunto vazio. Podemos ver que a definição (4) não depende do conjunto E e que
Dx
para todo conjunto X. Esta última propriedade caracteriza o conjunto vazio, pois, se um conjunto 4 é tal que ACX pa-
ra todo conjunto
X, tem-se, em particular, AC(Q
e como DCA,
teremos A=(QÚ. Em resumo, existe um único conjunto vazio e êle está contido em qualquer outro conjunto. O conjunto vazio também pode ser definido. por qualquer
propriedade
contraditória;
por exemplo,
D=(xeE | xzx).
ma
Observemos 1, temos
E;
o subconjunto
Seja
E
ainda
um
que
conjunto
em virtude CD = E. não
vazio
(xeE | x=a)
da
parte
a) do teore-
e seja a um
elemento
de
é indicado por fa) e é denominado conjunto unitário determinado pelo elemento a ou simplesmente conjunto unitário. Note-
mos
que
fx;cE
para todo elemento
1.4 - CONJUNTO Para
todo
DAS
conjunto
x
PARTES
E
de
DE
admitiremos
E.
UM que
CONJUNTO exista
conjunto, denotado por (E), cujos elementos de E. Em outros têrmos, dizer que Xe (E)
um
outro
são as partes é equivalente.
a dizer XCE. Diremos que DE) é o conjunto das partes de E. Por exemplo, se E=QÔ, então, P(E) é um conjunto uni-
tário
cujo único
Notemos
conjunto
que
também
outro conjunto
no
$1.1
elemento
não
é o conjunto
vazio,
DD) = (0).
Ec (E)
pode
ser
para
isto
todo conjunto
considerado
como
E,
é,
logo, todo
elemento
de um
e isto nos mostra que a regra de notação dada
podia
ser
mesmo
tomada
num
sentido
rígido.
1.5 - INTERSECÇÃO Neste
derados
número
sejam
E REUNIÃO
suporemos
partes
que
todos
de um mesmo
os
conjuntos
conjunto
U,
consi-
denominado
conjunto-universo. DEFINIÇÃO 2 - Chama-se intersecção e B ao conjunto de todos os elementos xeA e xEB. Indicaremos
a intersecção
de
4
de dois conjuntos 4 x, de U, tais que
e B por
AMB, símbolo êste que deve ser lido «A viadamente, «4 inter B»; portanto,
ANB=ixeU ExempLo
A=txeN B=ixeN
Observando-se
de
3 se,
| xeA4
8 - Tomemos
e
que
e sômente
um
U=N
B»,
ou,
abre-
e xeB). e sejam
| x é múltiplo de 23 | x é múltiplo de 35. número
natural
se, x é múltiplo
ANB=ixeN É imediato
intersecção
de
x
| x é múltiplo
que ANBCA
e
é múltiplo
6, temos
de 2 e
de 6.
ANBCB,
quaisquer que sejam as partes 4 e B de U. Reciprocamente, se X éumapartede U ese XCA e XCB,então, XCAMNB.
Por
causa disso se diz que
está
simultâneamente
Se mentos
AMB
U
que
ANB=Q, isto é, se os conjuntos 4 e B não têm comuns, diremos que 4 e B são disjuntos.
ele-
contida
em
é a maior
4
e
em
parte de
B.
ExempLo 9 - Paratôda parte 4 de U, 4 e CA são disjuntos. ExempLo
e é imediato
10 -
Tomemos
U=N
e sejam
A=txeN | x é primo) B=(xeN | x é quadrado perfeito); que
4
e
B
são
disjuntos.
DEFINIÇÃO 3 - Chama-se reunião de dois conjuntos 4 e B ao conjunto de todos os elementos x, de U, tais que xeA ou TEB.
Indicaremos
a reunião
de
4
e
lido
«A
reunião
AUB
símbolo êste que deve ser mente, «A uB»; portanto,
B
AUB=fxeU|xeA4 Convém
que
observar
comum,
AUB
ou xeB). na propriedade
acontecer
a
que
um
A eagB.
elemento
x de
que
que contém
Se
abreviada-
ACAUB e BCAUB que sejam as partes 4 e B de U. Reciprocamené uma parte de U e se ACX e BCX, então Por causa disso se diz que AUB é a menor parte
quaisquer te, Se X AUBCX.
U
pode
simultâneamente
É imediato
de
ou,
não tem o sentido de exclusão usado na linpois
pertença
B»,
que a palavra ou empregada
define AUB
guagem
por
simultâneamente
A,,4,,::*,A,
o conjunto
de
todos
4
e
B.
(n>2) são partes de U, indicaremos por AUA,U..UA, os elementos x, de U, que pertencem a
pelo menos um dos conjuntos 4, (lsisn) e diremos que êste conjunto é a reunião das partes 4,,4,,:::,A,. No caso parti-
cular em que cada 4; é um indicaremos sua reunião
conjunto
unitário fa;;, com
a;eU,
(PUTA PU Uta,
por
(01, 09,ºº",0n)
e diremos que esta parte é formada pelos elementos a,,a,,::,4,Notemos que êstes elementos não são necessáriamente distintos dois a dois. Se os elementos a,,a,,::-,a, são distintos dois a dois, diremos que a parte A=f(a,,a,,:::,a,+ tem n elementos ou que n é o número de elementos de 4 e usaremos a
notação com
n=|Al.
b;eU Sejam
é
Observemos, portanto, que se B=(b,,b,,:*,bm),
para 4
denominado
A-B
(leia-se:
logo,
se
BCA,
i=1,2,--.,m, e B
A
então,
IBln, Mostrar
que
pF
de
E,
Fem
tais que
conforme
o mesmo
existam
(13) seja verdadeira;
em virtude do teorema 9, que
f
teorema,
bijeção (13).
e as fórmulas (12) nos mostram que que
as
E tais que
foh=Ip,
f é uma bijeção de
suponhamos
é uma
g:F>Eeh:F—
g=h=f!
Reciprocamente,
e somente
fofi=Iç
aplicação
gof=Ip g=h=f1.
caso, tem-se
se,
as igualdades acima caracterizam precisamente, temos o seguinte
se, e somente se, existem aplicações
Neste
fty=
E em F, tomamos
gof=Ipefoh=Ip.
aplicações
g
e
h,
de
gof=I,
resulta,
é injetorae de
foh=I,
resulta,
que
f é sobrejetora, portanto,
f
é bijetora. Falta demonstrar que as relações (13) implicam g=h=f!. Seja y um elemento qualquer de F e ponhamos
f'ap=x,
logo,
f(x)=y;
Fap=
temos
=p) =(gefia) = g(fa) = guy;
portanto, f!=g. Por outro lado, sabemos que golp=g e Içoh=h,
logo, em
virtude
de (13) e do teorema
6, teremos
g=gelr=gefeh)=(gefoh=Igoh=h
e portanto
g=h=f”.
Aplicando-se
o
teorema
acima
às
É
fórmulas
(12)
temos
o seguinte
COROLÁRIO
- Se
f
é uma
bijeção
de
E em
F,
então
sua inversa f! é uma bijeção de F em E e, além disso, (f')!=f. Vejamos composta
de
agora duas
TEOREMA
11
como
- Se
as
fPE>F são
bijetoras,
então
é que
aplicações
sua
se determina
a inversa
da
bijetoras:
aplicações e
composta
g:iF>G gojf
(gof)! =ftog”
é bijetora
e
(14).
40
DEemonstTRAÇÃO - À primeira parte déste teorema consequência imediata dos teoremas 7 e 8. De acôrdo teorema 6, temos
é uma com o
(gef)(F' og!) =[(gof)of Jog! =
= [go(fof Jog! =(golpJogl=gog!= Ig portanto,
em
(Fog No(gof) = [(F'ogoglof= =[f'o(glog)of=(f'olp)of=f of=Ip;
virtude
do teorema
10, concluímos
que
vale
(14).]
A primeira parte do teorema acima pode ser enunciada sob a forma abreviada: a composta de duas aplicações bijetoras também é bijetora. Em particular, a composta de duas permutações de um conjunto E é uma permutação de É.
Seja
E
um conjunto
e indiquemos
por
S(E)
o conjunto
de tôdas as permutações de E. Resumiremos as propriedades mais importantes da composição de permutações nos seguintes enunciados:
GO: quaisquer que sejam fe g em S(E), tem-se foges(E); Gl: quaisquer que sejam f, g e h em S(E), tem-se
fogoh=fogoh);
G2: folz=f=I,of, para todo elemento f de S(E); G3: fof!=Is=f'of, para todo fesS(E).
Conforme
veremos
é o grupo
das
uma
estrutura
no
de grupo
Capítulo
sôbre
permutações
do
II estas
SCE);
propriedades
definem
diremos, então, que
conjunto
S(E)
E.
EXERCÍCIOS 59. Consideremos
as aplicações f,ge foy=x+1 gx
h, de
R
em
R, definidas
por
=X?
hay =xl+x+l. Determinar
as
hog,
(fog)oh,
hoh,
seguintes
compostas:
hosfog),
(gof)oh,
fof,
60. Determinar quais das seguintes sobrejetoras, injetoras ou bijetoras: a)
faov=2x+l;
b) o)
fx=senx; fxm=rxitrx+l;
d)
femy=r3-rx;
e)
fxy=ax+b
(a
e
b
números
fog,
hol(gof),
gof,
aplicações
reais
foh,
(fohjog
dados;
f,
hof,
g0g,
99h,
e go(foh). de
a 4 0).
R
em
R,
são
41 61. Mostrar tos
fi,
jo,
Í3,
que
fa,
f;
o conjunto e
fg.
S(E), onde
Determinar
E =(1,2,3)
tôdas
as
tem
6
compostas
1,)= 1,2,3,4,5,6. Construir a táboa de composição 40 (ver o exemplo 24, Capítulo IJ).
elemen-
fi;ofj,
62. Determinar o número de injeções de um conjunto finito conjunto
finito
si
em
de bijeções
o número
65. Mostrar
tôda
mesmo si
é
uma
que
de um
que
tôda
é uma
de permutações
aplicação
permutação
Mostrar mesmo
num
conjunto
finito
E num
F
64. Determinar
66. E
finito
E
F.
63. Determinar o número conjunto
para
análoga a dg exemplo
de
DE
de
de um conjunto finito um
conjunto
finito
E
E. em
E.
aplicação
permutação
3.3 - FAMÍLIAS
injetora
sobrejetora de
de
um
conjunto
finito
E.
ELEMENTOS
Seja x uma aplicação de um conjunto I num conjunto E; em lugar de indicar a imagem de um elemento i de I por c(i) também se usa a notação indexada x,, isto é, põe-se x,= =x(i). Neste caso a aplicação x é indicada por (X,Jie; (leia-se:
xZ;, i percorrendo
1) e é chamada
família
de
elementos
de
E
tendo I para conjunto de indices ou familia de elementos de E indexada pelo conjunto I. Cada elemento x, passa a ser denominado têrmo ou componente de indice à da família (LjierQuando o conjunto de índices I está fixado usa-se a notação mais simples (x,) para indicar a família de elementos (Xjje:Note-se, portanto, que a noção de familia de elementos de E tendo I para conjunto de indices coincide com a noção de aplicação de I em E, o que varia simplesmente é a notação. O conjunto de tôdas as familias de elementos de E tendo 1
para da
conjunto
de índices
é, então, indicado
por E!.
Chama-se conjunto dos têrmos da família (x;);e; à imagem aplicação x que, neste caso, será indicada por tx,, iel) ou
Lite Em
e (X;)jes i em
virtude
do
São iguais
teorema
5 temos que
se, e somente
se,
I=J
duas famílias
e x;=y;,
para
(X;);e;
todo
I.
No caso particular em que 1=t1,2,--.,n), tôda família de elementos de E indexada pelo conjunto 1 é denominada n-upla de elementos de E e também será indicada por (L;)jcien (leia-se: xZ;, 1 menor do que i menor do que n) ou (%,,%,,::,Xn) (leia-
se: n-upla
X,,X,,::*.X,);
a
notação
E! é
substituída
por
E”
42
Portanto, E” indica o conjunto de tôdas as n-uplas mentos de E. Observemos que o conjunto dos têrmos n-upla não tem, necessariamente, n elementos. to
N
de elede uma
Quando o conjunto de índices I é uma parte do conjundos números naturais, diz-se que a família (x;);e; é uma
sucessão ou segiiência.
Se I=N
esta sucessão também
é indica-
por (X,);o OU (Xg,X,,X5,º**,Xn,**o). Diz-se que uma sucessão (X,) é finita ou infinita conforme o conjunto de índices I é, respectivamente, finito ou infinito. Notemos que o conjunto dos têrmos de uma sucessão infinita pode ser finito. Chama-se intersecção de uma família não vazia (Xi, de partes de um conjunto E, ao conjunto de todos os elementos x, de E, que possuem a propriedade: xeX,, para todo iel. A intersecção desta família será indicada por
(x,
simbolo êste que deve correndo 1. A notação
(15)
ser lido: intersecção dos X; acima é substituida por
para
i per-
(x, 1
quando o conjunto I está fixado. Se À é uma parte não vazia de XE), pode-se aplicar a definição anterior à família (4),ea definida pela aplicação canônica de A em (E); neste caso, a intersecção de todos os elementos da parte q será indicada por
Chama-se
reunião
de
Aeq
uma
família
(X,)ey;, de
partes
de
um conjunto E, ao conjunto de todos os elementos x, de E, que possuem a propriedade: existe um índice iel tal que re X,. À reunião desta família será indicada por
Ux,
(16)
tel
simbolo êste que deve ser lido: reunião dos X, rendo I. A notação acima é substituída por
para
i percor-
Ux, 2
quando
o conjunto
I está
fixado.
JA
Anâálogamente,
define-se
AEed
onde dy) é uma parte do conjunto (E). No caso particular em que 1I=t1,2,3,:.:,nt, as notações (15) e (16) serão, respectivamente, substituídas por
43 n
(x, n
(x, i=1
DEFINIÇÃO
ou
XKNXN NX,
ou
XUXU-UX,.
16 - Seja
E um
conjunto não vazio e seja jd
uma parte não vazia de (E); diz-se que À é uma partição do conjunto E se. e somente se. as seguintes condições estiverem verificadas:
a) As para todo 4 em d; b) quaisquer que sejam 4 e Bem ANB=-Q;
fá, se
A+zB,
então
o AER Ua-e.
A condição condição b) nos duas
a) poderia ser dada sob a mostra que as partes em
a duas.
Tôda relação de equivalência conforme veremos no seguinte
TEOREMA
12 - Se R é uma
bre um conjunto não vazio é uma partição de E. DEemonsTRAÇÃO
82.3; assim um um
a) Em
a),
-
de
E.
E,
relação
virtude da propriedade
para todo TEEIR.
c) De
TCE
resulta
notações
é indicado
definição
b) Vimos na demonstração de equivalência são disjuntas.
de
para
reflexiva,
TEE/R
TCE
partição
equivalência
sô-
queciente
E/R
introduzidas
por
Z,
simplesmente,
16,
do teorema
que U)
uma
o conjunto
as
de E/R
Precisamos,
b) e c) da
determina
então
Usaremos
elemento
elemento
condições
z+W
forma Dgjd e a jd são disjuntas
x é
verificar
o conjunto temos 4 que
e como
no
onde
xEzZ, duas
todo
as
EIR. logo, classes
elemento
x, de E, pertence à classe de equivalência X também é verdadeira a inclusão em sentido contrário e portanto É = U) T. TEE/R
DEFINIÇÃO
17 - Seja À
uma
partição
de
um
conjunto
não vazio E. À relação S sôbre E, definida por xSy se, e somente se, existe 4€ej tal que xe4 e yEeÃA, é denominada re-
lação associada
à partição jd.
44
TEOREMA 13 - A relação S associada a uma partição de um conjunto não vazio E, é uma relação de equivalência. E2
DEmonsrtTRAÇÃO - Precisamos e E3 da definição 6.
verificar
as
condições
El,
El: Se x é um elemento qualquer de E existe, conforme a condição a) da definição portanto, temos rScx. E2:
Sejam
nhamos
que
15,
x e y dois
xSy,
parte
elementos
logo, existe
portanto, também E3: Sejam
uma
tal que
quaisquer
4eyl
vale ySx.
4eYW
de
tal que
x, y e z três elementos
xe4
quaisquer
rEA;
E e supo-
e yet;
de E e supo-
nhamos que xSy e ySz; de xSy resulta que exisfe uma parte Aey tal que xe4 e yeA e de ySz resulta que existe Ber
tal que yEeB mento y em
ou seja, xSz.
e zeB. comum,
TEOREMA sôbre
um
As partes 4 e B têm, portanto, o elelogo, 4=B, de onde vem, xEe4 e ze4ÀÁ,
E
14 - a) Se R é
conjunto
não
vazio
uma E,
relação
então
a
de
equivalência
relação
de
equiva-
lência associada à partição E/R é a própria R. b) Se q é uma partição
f,
de
E
e se S é a relação
então a partição
E/S
de
equivalência
é a própria
associada
7.
a
DEMONSTRAÇÃO EIR.
então
a) Seja S a relação de equivalência associada Se x e y são dois elementos quaisquer de E
x e y
e portanto
quaisquer
pertencem
RCS.
Por
de E e se
à classe de equivalênca
outro
xSy,
lado,
se
então
à partição e se xRy,
Z, logo, xSy
x e y são dois elementos
existe
uma
única
classe
de
equivalência dE E/R tal que xeã e yeãi; daqui resulta xRa e yRa, portanto, xRy e concluímos assim que SCR. As inclusões estabelecidas acima nos mostram que S=R.
b) Seja 4 um elemento qualquer existe
um
elemento
x de
E
tal
de fd; temos
que
xEe4A.
definição de S resulta imediatamente
De
A+,
acôrdo
que A=T=(yEeE
logo, com
| ySx)
a
e fica assim demonstrado que MC E/S. Por outro lado, seja X um elemento qualquer de E/S; conforme a condição c) da de-
finição
15, existe
conclui-se que
sões acima
nos
4€ej
T=A;
tal que
portanto,
mostram
xe4A
ZE
que E/S =].
e pela
ouseja
definição
EÍISCÃH.
de
S
As inclu-
ê
45
EXERCÍCIOS 67. Determinar
tôdas
as partições
do conjunto
E=(1,2,3,4).
68. Determinar a intersecção de todos os quadrados inscritos num circulo de raio dado. 69. Seja (Apier uma família de partes de um conjunto E e seja A sua reunião. Mostrar que uma parte X, de E, contém 4, se, e somente
se, XDA,
menor to
E
para todo iel. Portanto, a reunião
parte
de E que
70. Seja
e seja
contida
em
A
(Apier
A
sua
se,
contém
uma
todos
família
intersecção.
e sômente
não
vazia
Mostrar
se,
4
os A;.
XCA,
de partes
que
para
da família
uma todo
(Adie;
de um conjun-
parte X,
iel.
é à
de
E, está
Portanto,
a inter-
secção 4 da família (4;)jie: é a maior parte de E que está contida em todos os A;. 71. Seja (Ajie; uma família de partes de um conjunto E e seja
Uppe
p
uma
familia
de
partes
de
I tal
[di 72. Seja (Ajlie; E e seja (Ip)Jpep uma
que
I= Ldlo.
Mostrar
que
o (ig Ad)
uma família nê não vazia de partes de um conjunto família não vazia de partes de I tais que Ip+QO
para todo peP e I=| Ji.
Mostrar que
peP
Mai=MUMa). pEeP ielp
tel
73. Se to
E,
(Adie;
é uma
família
não
vazia
de partes
de um
conjun-
então
Ca(DA,) = LHtr4) Ce(tJA,)
= ( Mtg4o
EXERCÍCIOS 74. Se as aplicações jetora, então f é injetora.
R
SÓBRE
O 83
f:E->F
e
g:F-E
são
tais
que
gof é in-
75. Se as aplicações f:E->F brejetora, então g é sobrejetora.
e
g:F-E
são
tais
que
fog
76.
que F
em
Seja
f uma
a relação E
se,
relação
recíproca
e sômente
77. Consideremos e as
se,
de um
(ver
que
conjunto
o
E num
exercício
43)
conjunto
é
uma
so-
F; mostrar
aplicação
de
f é bijetora.
as aplicações
f:E->F,
compostas
a) Mostrar
j!
é
hogof,
se
duas
g:F->G
gofoh
destas
e
e
h:G->-E
fohog.
compostas
terceira é injetora, então f, g e h são bijeções.
b) Mostrar que se duas destas compostas ceira é sobrejetora, então f, g e h são bijeções.
são são
sobrejetoras injetoras
e
e
a
a ter-
46 78.
Seja
Mostrar
que
g:F—>E
f
f
tal
uma
é
que
aplicação
injetora
de
se,
e
Nota: cada
um g
que
conjuntos
existem
da
seja
x
nos
a
um
E
tais
num
conjunto
uma
F.
aplicação
teoria
dos
do
que
de modo a
mostra-se
que
VII).
f:N—N
não
definida
g:N —N
a aplicação
g do
que
exige, foram
por
tais
esta real-
especi-
fm=n+l.
que
exercício
o
em
79
fog=Iy. não
é, em
único.)
aplicação
aplicações
exercício
e
Ey
fixa-se
demonstração
conjuntos
por
fxwo=y;
gy
Esta
aplicações
indica-se
que
elemento
aplicação
mostra
infinitas g
E
existe
sobrejetora,
de
fog = Ir.
infinitas
Consideremos
existem
a aplicação
E,
a condição
determinada 81.
que
f
capítulo (ver o 84.2 do Capítulo
exemplo
geral,
que
Consideremos
Mostrar
se,
de um conjunto E num conjunto F. e sômente se, existe uma aplicação
elementos
resultados
neste
80.
os
satisfaz
outros
ficados
(Este
todos
dêstes
aplicação mente,
Supondo-se
de
conjunto
gof=Ip.
79. Seja f uma aplicação Mostrar que f é sobrejetora se, g:F—>E tal que fog=Ipr. conjunto
um
somente
79
f
definida
g:N—»N não
é,
no
tais
em
exemplo
que
geral,
44.
gof=Iy.
Mostrar
(Portanto,
determinada
de
modo
único.) 82.
Seja
f
uma
aplicação
de
um
conjunto
E
num
conjunto
F
e
seja X uma parte de E; chama-se imagem de X por f à imagem da restrição fx de f à parte X. Indica-se a imagem de X por f pela notação f(X) (apesar de que esta notação é incorreta, pois só podemos escrever f(X) quando XEE); portanto, f(X)=Im(fx) e em particular f(E) = Im(f). Verificar as seguintes
propriedades, onde X
a) b) o) dO eo)
se XCY, então HX)Cjf(Y); X+Q se, e somente se, HX) + QD; FHXUY) = HOUICT); HXNDEeICONKTY); HX-PMDBO-fCY).
83.
Com
a)
f é injetora
as
notações
do
exercício
e Y são partes quaisquer
anterior,
verificar
as
de E:
proprie-
dades: que
sejam
b)
parte
X
as
partes
f é
de
se, e sômente X
e
sobrejetora
Y
de
se,
E;
se, e somente
KHXNY) = fXNFIY),
se,
fCpX)=Crf(X)
quaisquer
para
tôda
E;
84. Seja f uma aplicação de um conjunto E uma parte qualquer de F; chama-se imagem
seja
X
f ao
conjunto
de
todos
os
elementos
x
de
E tais
que
num conjunto F e recíproca de X por fxweX.
Indica-se
a imagem recíproca de X por f pela notação f/(X). a) Mastrar que f(f(X)CX para tôda parte X de F. b) Mostrar que fHHADDA para tôda parte 4 de E. Verificar de
F:
as
seguintes
propriedades,
onde
X
e
Y
são
partes
quaisquer
47
c)
ad) eo) £g eg)
se XY,
então
fi()crI(Y);
fixuy=sroyurioy); ftixnyD=riconthky); 1HCrx)=Cefi(m): SFH) =xNIm(g.
85. Com as notações do exercício anterior, mostrar que se E é não vazio, então f é sobrejetora se, e somente se, f 30) 40 para tôda parte X de E.
86. Estender de
subconjuntos
de
subconjuntos
as
de
87. Estender 88.
Seja
as
de R
partes
c) e d) do
exercício
82
para
uma
família
partes
d) e e) do
exercício
84
para
uma
família
E. F.
uma
relação
de
equivalência
sôbre
um
vazio E, seja q a aplicação canônica de E em E/R e conjunto. a) Mostrar que existe uma aplicação g, de E em se,
e somente
sejam
x
e y
se, em
a E,
b)
Supondo
c)
Nas
seguinte se,
que
condição
x=y(mod.R),
exista
g:E
-+-F
F
F, tal
estiver
verificada:
então,
f(x) = fy).
tal que
conjunto
seja
goq=f,
um que
não outro
goq=f
quaisquer
mostrar
que
que
g
é
única. se,
e
tea
sômente
condições se,
d) Mostrar fo=fy. 89.
Seja
f
da
parte
anterior,
f é sobrejetora.
que uma
g é
injetora
aplicação
de
mostrar
que
g
se, e sômente
se, xRy
um
E
conjunto
num
é
sobrejetora
é equivalenconjunto
F
e
consideremos a relação R,, sôbre E, definida por: 9R,y se, e sômente se, fxoy=fy. Mostrar que R, é uma relação de equivalência sôbre E (que é denominada relação de equivalência associada à aplicação ff). Supondo-se que f seja sobrejetora demonstrar que existe uma única bi-
jeção
E em
g:EIR, -F
EIR,.
tal
que
goq=f,
onde
q é a aplicação
canônica
de
CAPÍTULO NÚMEROS
II
NATURAIS
No 841 déêste capitulo estudaremos diversos conceitos fundamentais da Álgebra Moderna entre os quais podemos destacar os seguintes: a noção de operação e as estruturas de se-
mi-grupo e monóide (81.1), a noção de elemento simetrizável e de elemento regular (81.2), a estrutura de grupo (81.3). Na
seção 1.4 consideraremos um conjunto sôbre o qual está definida uma estrutura de semi-grupo comutativo e outra de ordem total, sendo que estas estruturas são compatíveis no sentido do axioma OA; obteremos assim as noções de semi-grupo ordenado, monóide ordenado e grupo ordenado, que terão aplicações imediatas no estudo dos números naturais. No 82 estudaremos os números naturais; admitiremos a existência de um conjunto N que satisfaz o axioma N1, supondo-se que sóbre N esteja definida uma estrutura de semi-grupo comutativo totalmente ordenado de modo que os axiomas NZ2, N3, e Ná sejam ver-
dadeiros.
É
recomendável, num primeiro curso de Álgebra, que
se admita conhecido o conjunto N dos números naturais e as propriedades mais importantes dêstes números como, por exemplo, o teorema 17 (princípio de indução finita); neste caso, convém citar explicitamente tódas as propriedades enunciadas no 82.4 e desenvolver completamente o princípio de definição por
recorrência (teorema 18) e as diversas formas de demonstração por indução finita (82.7). O 82.5 sôbre potências de elementos
de um monóide tem importância para o desenvolvimento de outros capítulos dêste livro e êle será completado no capítulo seguinte com a introdução de potências com expoentes negativos. No $2.6 estudaremos a noção de composto de uma família de elementos e explicaremos os teoremas gerais de associatividade e de comutatividade (ver os exercícios 79 e 80).
49
em
Na parte relativa aos exemplos e exercicios continuaremos,
geral, a adotar
um
ponto
de vista informal, pois utilizare-
mos diversos conjuntos e conceitos outros capítulos dêste livro.
81 - MONÓIDES
que
serão
definidos
em
E GRUPOS
1.1 - MONÓIDES DEFINIÇÃO a tôda
junto
1 - Chama-se
aplicação
Portantó,
E
de
para
EXE
em
operação
sóbre um
determinar
uma
operação
basta definir uma aplicação
«a e
b
faz-se
corresponder
ab. Notemos desde já aplicações, enquanto que deve-se, portanto, fazer ma, ou, multiplicação e
Seja um
par
elemento Capítulo
f
uma
ordenado
sôbre
sua
sôbre
elementos
c de E tal que
1) elemento
um
con-
soma
a+b
produto cartedizemos que j sóbre E. A deusual de adição o conjunto Z números intei-
e seu
produto
que a multiplicação ou a adição são as a soma ou o produto são os resultados; distinção entre os têrmos adição e soproduto.
operação de
E
f: EXE — E. Notemos que
a operação f está realmente definida sôbre o siano EXE mas, para simplificar a linguagem, está definida sôbre E ou que f é uma operação finição acima é uma generalização do conceito ou multiplicação definidas, por exemplo, sôbre dos números inteiros: a cada par ordenado de
ros
conjunto
E.
êste
um de
E;
conjunto E existe,
e seja
então,
(a,b)
um
único
c=f((a,b));
diz-se
(ta,b), c)ef (parte a) da definição que é indicado
por
11,
que c é o valor da operação f no par ordenado (a,b) ou que c é o resultado da operação jf aplicada aos elementos a e b (nesta ordem). A ainda, por afb com a relação f,
notação c=f((a,b)) é substituída por c=f(a,b), ou c=afb; neste último caso não há perigo de confundir notação ultilizada para significar que a e b estão na pois aqui f é uma aplicação de EXE em E.
OBSERVAÇÕES
1.2) Uma operação f sôbre um conjunto E também é denominada lei de composição interna sôbre E, pois se pode definir uma outra espécie composição externa: sejam
mos
o produto
cartesiano
de «operação» denominada lei de E e K dois conjuntos e considere-
KXE;,
chama-se
lei de
composição
50
externa sôbre E, tendo K para conjunto de operadores ou escalares, a tôda aplicação f: KXE — E. Neste caso, os elementos de K são denominados escalares ou operadores e K é chamado domínio dos escalares ou operadores da lei de composição externa f. Observemos que a lei de composição externa
f está, realmente,
definida
mas,
o
para
realçar
esta definida
sôbre
sôbre
conjunto
E.
o
produto
fundamental
cartesiano
E,
dizemos
KXE
que
jf
2.2) Pode-se generalizar a definição 1 introduzindo-se o conceito de operação no sentido amplo: é tôda aplicação f de EXF em G, onde E, F e G são conjuntos dados. Diz-se, neste caso, que f está definida sôbre EXF e assume valores em G. Uma lei de composição externa é um caso particular de operação no sentido amplo. Por exemplo, a «operação» de divisão (a,b) — alb sôbre o conjunto Q dos números racionais não é uma lei de composição interna, pois o quociente a/b só está definido quando b%0; deve-se, portanto, considerar a divisão como uma operação no sentido amplo, ou seja, como a aplicação (a,br>alb de QXQ* em Q, onde Q* indica o conjunto de todos os números racionais não nulos. As seguintes notações serão frequentemente utilizadas para indicar uma operação f sôbre um conjunto E. 1) Notação aditiva: f=+. Neste caso, a operação + é denominada adição e o correspondente do par (a,b), por meio de +, é chamado soma de a e b e é indicado pela notação a+b
(leia-se: a mais
b); os
nados,
vez,
por
sua
elementos
têrmos
ou
2) Notação multiplicativa: denominada multiplicação e o meio de -, é chamado produto a-b (leia-se: a ponto b ou a os elementos a e b, por sua
fatôres do produto
ab.
a e b passam
parcelas
da
soma
a ser
denomi-
a+b.
f=-. Neste caso, a operação correspondente do par (a,b), de a por b e é indicado vêzes b) ou, simplesmente, vez, são denominados têrmos
- é por por ab; ou
3) Notação de composição: f=o. Neste caso, a operação o é denominada composição e o correspondente do par (a,b), por
meio de o, é cnamado
composto
de a e b e é indicado por
acb
(leia-se: a composto b ou a círculo b); os elementos a e b, por sua vez, são denominados têrmos do composto aob. À notação de composição será reservada para indicar a «composi-
51
ção
de
aplicações» como foi definida
alguns
casos
esta notação
no 83.2 do Capítulo
é substituída
pela notação
I. Em
multipli-
cativa. No caso geral usaremos a notação + (leia-se: estrêla ou asterístico) para indicar uma operação sóbre um conjunto E; se a e b são dois elementos de E, então, axb (leia-se: a es-
trêla
b) é denominado
composto
de
a
ção com o objetivo de que o leitor cação que uma dada operação tenha
e b. Usa-se
esta
nota-
não assuma sem justifias propriedades usuais da
adição ou da multiplicação sôbre o conjunto R dos números reais. DEFINIÇÃO 2 - Diz-se que uma operação +, sôbre um conjunto E, é associativa se, e sômente se, a seguinte condição estiver verificada: quaisquer que sejam x,y e z em E, tem-se
(MAU AZ =
HAY HZ)
(1).
Portanto, se a operação x é associativa, não há necessidade de usar os parêntesis indicados em (1) e escreveremos, simplesmente, x+xyxz em lugar de (x+1)4z ou x+(y+2). No entanto, os parêntesis serão usados para frizar que um dado composto parcial deve ser calculado em primeiro lugar; por exemplo, (axb)x(cxd) significa que devem ser determinados axb e
cxd
e a seguir o composto
dêstes compostos.
DEFINIÇÃO 3 - Seja * uma operação definida sôbre um conjunto
E
e sejam
x e y dois elementos
são permutáveis
de
ou que x e y comutam
THY=YAT
E.
Diz-se
que x e y
se, e sômente
se,
(2).
DEFINIÇÃO 4 - Diz-se quê uma operação x, sôbre um conjunto E, é comutativa se, e sômente se, dois elementos quaisquer de E são permutáveis, isto é, se TAY=VYAT, quaisquer
que
sejam
x
e
y
em
E.
Os números reais O e 1 têm propriedades análogas para a adição e a multiplicação: a+0=a e a-l=a, para todo número real a. Esta noção será generalizada pela seguinte junto
DEFINIÇÃO 5 - Seja * uma operação definida sôbre um conE; diz-se que um elemento e, de E, é elemento neutro
para
todo
para a operação * se, e sômente x
em
E.
se,
XHe=T=e4%
(3),
52
junto
TEOREMA 1 - Se uma operação +, definida sôbre um conE, tem elemento neutro, então êste elemento é único.
Com ração
pois
efeito, se
*, temos
e
e
ewe=e
e também
e' são elementos neutros para a opepois
é elemento
e
é
elemento
neutro
neutro; portanto,
e
e'=e.
exe=e”,
É
Portanto, quando existe um elemento neutro e para a operação *, podemos usar o artigo definido e dizer que «e é o elemento neutro para a operação +», ou, que «e é o elemento neutro da operação +». Se a operação + está fixada sôbre
o conjunto
E
simplesmente,
que
tanto,
e se existe o elemento neutro que
o
conjunto
E
à operação
+).
tem
elemento
e é o elemento neutro do conjunto a referência
q
a
e para * diremos, neutro
E (suprimindo-se,
e
ou
por-
A denominação do elemento neutro, assim como sua notação, variam conforme o símbolo usado para indicar a operação. Assim na notação aditiva, o elemento neutro (caso exista) é indicado por O e é denominado zero; temos x+0=xr=0+z,
para todo
x
em
tro (caso exista) unidade; temos para todo x em Seja
E. Na notação multiplicativa, o elemento neué indicado por 1 e vl=r=l.z, E.
E=(qa,,4,,º::,4,)
um
é
denominado
conjunto finito com
elemento
n
elemen-
tos e seja * uma operação definida sôbre E. É evidente que esta operação fica completamente determinada quando conhecemos os nº compostos a;xa; (i,j)=1,2,--.,n); é usual dispor êstes compostos
nominada
conforme
a tabela
táboa da operação a
+.
abaixo,
que
passa
a,
a,
e...
a;
...
A,
a
a, 44,
A, +,
...
axa;
ee
a, 4a,
a,
A*a,
4,
...
A*aj
+º
A, *
a;
a;*a,
aA;*a,
...
a, +;
...
A,*a,
An | AnHA,
Aka,
cce
A Hd;
cc»
Aka,
a
ser
de-
53
À linha e a coluna que começam
logo após
o símbolo
+
são chamadas fundamentais; o número de ordem de uma linha ou coluna é estabelecido sem considerar a linha ou a coluna fundamental; assim, o composto de a, e a; se encontra na linha i-ésima com a coluna j-ésima.
com
Reciprocamente,
n
elementos
a
E=(a,,a,,::-,a,)
um
a seguinte
a,
A,
...
aj;
...
O
Go
ce
MG
ce
Gym
O, | do
Go
tt
do;
***
Gon
O, |
O
o
ce
Qi;
te
Cn
An |
Un
Gna
An;
*ºº
Ann
|
onde a;,;E É, para
seja
e consideremos
ct
conjunto
táboa
finito
l
2,j= 1,2,::.,n. Pondo-se a;xa,; = a;; obtém-se uma
operação * sôbre o conjunto E. Certas propriedades desta operação podem ser deduzidas por um simples exame da táboa acima: 1) a operação + é comutativa
simétrica
em
se, e somente
relação à diagonal principal
se, esta táboa é
(a,,,0,9,º**,Gnn);
2) a, é o elemento neutro para a operação + se, e sômente se, a linha i-ésima é igual à linha fundamental e a coluna i-ésima é igual
à coluna
fundamental;
3) o elemento a, comuta com todos os elementos de E se, e somente se, a linha i-ésima é igual à coluna i-ésima. sôbre
No entanto, a validade
simples
inspeção
convém observar que nada se pode concluir ou não da propriedade associativa por uma
desta
táboa.
Para
mostrar
que a operação
+
é associativa temos que calcular todos os produtos (a;xa;,)xa, e a;w(a;*a,) e verificar se êles são iguais; é necessário, portanto, calcular 2nº compostos de três têrmos cada um. DEFINIÇÃO
6 - Diz-se
que uma
operação
+, sôbre um con-
junto E, define uma estrutura de semi-grupo sôbre E ou que E é um semi-grupo em relação à operação x se, e sômente se, o seguinte axioma estiver verificado
54
G1 (propriedade associativa): quaisquer que sejam E, tem-se (CHDHZ = LAY HZ).
em
Para
indicar um
semi-grupo devemos
usar
x, ye
uma
z
notação
que destaque o conjunto E e a operação + considerada sôbre E, por exemplo, (E,x) e, neste caso, fica subentendido que o exioma Gl está satisfeito; portanto, devemos dizer «considere-
mos o semi-grupo (E,x)» ou «seja (E,*) um semi-grupo». Em geral, indica-se o semi-grupo com a mesma letra que indica o conjunto dado e diremos «seja E um semi-grupo em à operação +» ou «o conjunto E é um semi-grupo
relação para a
operação x». Quando a operação + está fixada sôbre o conjunto E
e
quando
simplesmente,
esta
operação
verifica
o
axioma
«o conjunto E é um semi-grupo»
Gl,
diremos,
(suprimindo-se,
portanto, a referência à operação « e o fato que Gl é verdadeiro). Se a operação fixada sôbre E fôr a multiplicação ou a adição diremos, respectivamente, que E é um semi-grupo mul-
tiplicativo ou aditivo. Se E é um semi-grupo em relação à operação * e se esta operação é comutativa, dizemos que E é um semi-grupo comutativo. As denominações semi-grupo multiplicativo necessitam O
que
dissemos
acima
de
monóide
e grupo
truturas
junto é um
DEFINIÇÃO monóide
G1 E, G2 mento
uma em
axiomas
relação
uma
operação
operação
verificados
x
associativa):
tem-se
(THAZ = XH(YAZ);
(existência
x
em
do elemento
E.
aplicado para
de monóide
(propriedade
e tal que
para todo
à
será
aditivo
não as
es-
que serão definidas mais adiante.
estrutura
estão
comutativo
também
7 - Diz-se que
E, define
seguintes
z em
comutativo e semi-grupo ser explicadas.
se, e
quaisquer
neutro):
+, sôbre um con-
sôbre E
ou que
somente
que sejam
existe
em
E
E
se,
os
x,y um
e
ele-
Xke=7=e*
Portanto, um monóide é um semi-grupo que possui elemento neutro. Se E é um monóide em relação à operação + e se esta operação é comutativa, dizemos que E é um monóide comutativo. As denominações «monóide multiplicativo», «monóide aditivo», «monóide multiplicativo comutativo» e «monóide aditivo comutativo» não necessitam ser explicadas.
55
Exempro
plicação
1 - Às
operações
sôbre o conjunto
usuais
de
adição
e
de
multi-
N dos números naturais são associa-
tivas, comutativas e têm elementos neutros que são, respectivamente, O e 1. Portanto, o conjunto N dos números naturais é um monóide comutativo tanto em relação à aaição como em relação à multiplicação. ExempLo 2 - O mesmo vale para o conjunto Z dos números inteiros ou o conjunto Q dos números racionais ou ainda o conjunto R dos números reais.
ExempLo
3 - Consideremos
sôbre
o conjunto
2Z
de to-
dos os inteiros pares a operação usual de multiplicação; notemos que, de fato, obtém-se uma operação pois o produto de dois números inteiros pares é par. Esta operação é associativa e comutativa mas não tem elemento neutro; portanto, só podemos afirmar que 2Z é um semi-grupo comutativo em relação à multiplicação. ExempLo 4 - Consideremos o conjunto N* de todos os números naturais não nulos e coloquemos, por definição, axb=a? para todo par ordenado (a,b) de elementos de N*. Fica-assim definida uma operação sôbre o conjunto N*, chamada potenciação e é fácil ver que ela não é associativa, não é comiutativa e não tem elemento neutro. ExempLo
5 - Seja
E
um
conjunto
e consideremos o con-
junto P(E) de tôdas as partes de E; a aplicação (X,Y) > XNY, de PE)XPE) em (E), é uma operação sôbre (E), deno-
minada intersecção. Conforme o teorema 2 do Capítulo I, esta operação é associativa, comutativa e tem elemento neutro, que
é a parte E, pois
mutativo
em
XNE=X;
relação
portanto, DE)
à operação
de
é um monóide co-
intersecção.
ExempLo 6 - O mesmo vale para a operação de reunião (X,N)» XUY definida sôbre P(E); neste caso, o elemento neutro é a parte vazia, pois XUD=X. Portanto, a operação de reunião define uma estrutura de monóide comutativo sôbre o
conjunto N,
(E).
ExempLo 7 onde mdc(a,b)
é uma ximo
operação
A aplicação (a,b-»mdc(a,b), de NXN em indica o máximo divisor comum de ã e b,
sôbre
divisor comum.
N
Esta
que
é denominada
operação
operação
é associativa,
pois
de má-
pode-se
56
demonstrar quaisquer
que
comutativa
para
que mdc(mdc(a,b), c) = mdc(a, mdc(b,o)), sejam
e como
os números
todo número natural
tro
desta
operação.
naturais
a, resulta que
Portanto,
a operação
comum define uma estrutura de monóide conjunto N dos números naturais.
ExempLo vo
em
relação
a, b
mdc(a,0)=a
8 - Análogamente,
N
é um
0
e c; também
é
é o elemento neu-
de
máximo
divisor
comutativo
monóide
à operação de minimo múltiplo (a,b)-> mme(a,b).
sôbre
o
comutati-
comum
ExempLo 9 - À aplicação (a,b)-» mdc(a,b), de ZXZ em Z, onde mdc(a,b) indica o máximo divisor comum positivo de aeb, é associativa e comutativa mas não tem elemento neutro;
portanto, tativo
só podemos
em
relação
afirmar
à operação
que
de
Z
é um semi-grupo comu-
máximo
divisor
comum.
ExempLo 10 - Seja E um conjunto e indiquemos por M=EF o conjunto de tôdas as aplicações de E em E; a composição de aplicações fp fog é uma operação sôbre M, que é associativa (teorema 6, Capítulo I) e tem elemento neutro (exemplo 41, Capítulo 1) que é a aplicação idêntica Ig; do conjunto E. Portanto, M é um monóide em relação à operação de composição. A táboa da operação de composição sôbre M no caso em que E=t(0,1) está dada no exemplo 41 do Capítulo I e já vimos que não é verdadeira a propriedade comutativa. Com base neste exemplo pode-se demonstrar que se E tem mais de um elemento,
então a operação ab, guinte
ExempLo
de composição
11
sôbre
- Consideremos
e definamos
uma
um
operação
M
não
conjunto
é
comutativa.
E=(ta,b),
x, sôbre E, por
meio
com
da se-
táboa “lab ala
ob
bib Verifica-se,
facilmente,
mutativa
e que
a
monóide
comutativo
que
esta
a operação
é seu elemento em
relação
é associativa,
neutro. Portanto,
a esta
operação.
E
é
co-
é um
57
DEFINIÇÃO 8 - Seja * uma operação sôbre um conjunto E e seja A um subconjunto de E. Diz-se que 4 é fechado em relação à operação + se, e sômente se, x+yEA quaisquer que sejam x ey em A. Se A é fechado em relação à operação +, então, a restrição de + à parte AXA4A de EXE é uma operação sôbre A, que é denominada operação induzida sôbre A pela operação
*. Em
geral, quando
chada em relação por * mesmo.
a parte
A
à operação
está fixada e quando
+, indica-se
4
é fe-
a- operação induzida
ExempLo 12 - O conjunto 4 de todos os múltiplos de um inteiro dado m é fechado em relação à adição e à multiplicação definidas sôbre o conjunto Z dos números inteiros. ExempLo 13 - O subconjunto de Z, formado por todos os inteiros impares é fechado em relação à multiplicação mas não é fechado em relação à adição. ExempLo 14 - Consideremos a plo 10 e seja E, uma parte de E; o mado por tódas as aplicações f:E-» x em E,, é fechado em relação à
ExempLo
operação definida no exemsubconjunto 4, de M, forE tais que jf(x)=x, para todo composição de aplicações.
15 - Seja * uma operação definida sôbre um con-
junto E; as partes E e Q são fechadas em relação à operação *. Se esta operação tem elemento neutro e, então a parte (e) também é fechada para a operação +.
EXERCÍCIOS 1. Mostrar que
a operação
usual
junto Z dos números inteiros, não tro e não é comutativa. 2. Mostrar
que
a
operação
de subtração,
é associativa, usual
de
divisão,
definida
não
tem
definida
sôbre
o con-
elemento neusôbre
o con-
junto Q* de todos os números racionais não nulos, não é associativa, não é comutativa e não tem elemento neutro. 3. Sejam a e b dois X+*y=ax+by, quaisquer que
inteiros dados e sejam x ey em
coloquemos por definição Z. Determinar condições
sôbre a e b para que esta operação satisfaça uma das seguintes condições: a) associativa; b) comutativa; c) associativa e comutativa; d) tenha elemento neutro; e) defina uma estrutura de monóide comutativo sôbre Z.
58 4. Verificar quais guintes
a)
operações
dos axiomas
definidas
xxy=2EVy+ALY;
b o) D)
Gl e G2 estão satisfeitos para as se-
sôbre
o conjunto
R
dos
números
reais:
anterior
são
comutativas?
xey=x+y-l; veyamar(x,Yy); xvey=min(ãr,y); 3
e)
Ly
O
=Vx3+93;
xuey=Vxl+y?;
g)
xwy=Izilyi.
5. Quais
das
6. Verificar
junto R, axioma
+
operações quais
de todos Gl
ou
G2
das
do
exercício
seguintes
os números
operações,
reais positivos
definidas
e não
sôbre
nulos,
o
con-
satisfazem
o
ou são comutativas:
b) TeU= po)
oO)
xey=2+2/x+y+2Vy+2Vxy;
d) rey=i El e) junto
xxy=Vx2+12.
7. Consideremos as operações «, É, P e 1, definidas sôbre o conjunZ dos números inteiros, por aab=a+b-ab,
ayb=2a+b,
ajb=a+b+ab,
alb=a+b?,
quaisquer que sejam a e b em Z. a) Verificar quais destas operações são associativas ou comutativas. b) Verificar quais destas operações têm elementos neutros. c) Mostrar que as operações a e f definem uma estrutura de monóide comutativo sóbre Z. 8. Consideremos
a operação
x,
definida
sôbre
zio E, por xxy=x, quaisquer que sejam x ey esta operação é associativa. b) Mostrar que esta se,
tem
e sômente
elemento
se,
E é um
neutro
conjunto
unitário.
se, e sômente
se, E
um
c) Mostrar
é um
conjunto
não
va-
em E. a) Mostrar que operação é comutativa que
conjunto
esta operação
unitário.
9. Estabelecer resultados análogos aos do exercício anterior para a operação x definida por xxy=Yy, quaisquer que sejam x e y em E. 10.
Seja
E=4a,b)
um
conjunto
com
dois
elementos
distintos
a
e
b. a) Determinar tôdas as operações sôbre E e construir as respectivas táboas. b) Determinar tôdas as operações associativas sôbre E. c) Determinar tôdas as operações comutativas sôbre E. d) Determinar tôdas as
operações
associativas
e
comutativas
sóbre
E.
e)
Determinar
tôdas
as estruturas de monóide sôbre E. f) Tôda estrutura de monóide sôbre E é comutativa? g) Tôda operação sôbre E que admite elemento neutro define um estrutura de semi-grupo sôbre o conjunto E?
59 11. Seja a) Determinar
E=te,a,b) um conjunto com três elementos distintos. as táboas de tôdas as operações sôbre E que admitem e
como
neutro,
elemento
dispondo
êstes elementos
na ordem
e, a, b. b)
De-
terminar tôdas as operações comutativas sôbre E que admitem e como elemento neutro. c) Quais destas operações definem uma estrutura de monóide sôbre E? 12. um
Determinar
conjunto
finito
o número e não
de operações
que
se podem
definir sôbre
vazio.
13. Determinar o número de operações comutativas definir sôbre um conjunto finito e não vazio.
que se podem
14. Supondo-se que a operação x, sôbre um conjunto E, seja associativa e comutativa, mostrar que (justificar tôdas as passagens e não omitir parêntesis): a) axbxo) = bx(a%0); b) axbro=bem+c; c) (asbxaccxd) = de(Cx(Dxa); onde a, b, c e d são elementos quaisquer de E. e seja
15.
Seja
4
o
=X+*(yx*2),
relação
x
16. Seja vazio
E;
se,
axx=xxa, elementos
operação
centrais
operação
associativa
+ uma
um
todo
x
de
E,
4
se,
(A XD quaisquer
que
sejam
a,
bc
1.2 - ELEMENTOS junto
tro
y e Z em
em
E.
um
E. Mostrar
induzida a, em
que
sôbre
definida
de
E,
Mostrar
é fechado
conjunto
x, de E, tais
associativa
elemento
é
que
não que
é fechado
A
é associativa. um se,
o conjunto
relação
E
4
sôbre
central
vazio
(L+Wx2=
à operação
em
conjunto e
4,
somente de
x
todos
e que
a
é comutativa.
operação elemento
e comutativa
sôbre
elementos
a operação
operação
sôbre
tenha
os
sejam
que
para
17. Seja esta
que
* uma
definida
todos
x e que
diz-se
induzida
operação de
quaisquer
à operação
não os
uma
conjunto
sôbre um conjunto neutro
e.
e sômente
E
Demonstrar
e suponhamos que
a operação
que x
é
se,
(Cd) =(dHCDHA), e
d
em
E.
SIMETRIZÁVEIS
DEFINIÇÃO 9 - Consideremos uma operação x sôbre um conE e suponhamos que esta operação tenha elemento neu-
e. Diz-se
que um
elemento
a
de
E
é simetrizável para a
operação x se, e sômente se, existe um elemento
axa =e=axa
a” de
E tal que
(4).
Se a operação + está fixada e se um elemento a, de E, é simetrizável para a operação * diremos, simplesmente, que a é simetrizável. Por exemplo. o elemento neutro e é simetrizável. Indicaremos por UE) o conjunto de todos os elementos simetrizáveis' para a operação x, notação esta que é
substituída por U(E) quando a operação + está fixada sôbre E.
60
TEOREMA 2 - Se a é um elemento simetrizável de um monóide (E,+), então existe um único elemento x em E tal que
aut=e=7xa
Com
(5).
efeito, de acôrdo com (5) e (4), temos A =04C=A HART)=(d AMET =EHT=T;
portanto, a =x. tão
E
Se a é um elemento simetrizável do monóide (E,+), eno único elemento a” de E tal que (4) seja verdadeira é
denominado
simétrico de
a
para a operação
w ou simétrico de
a em relação à operação x. Quando a operação + está fixada costuma-se suprimir a referência à operação e se diz que a é o simétrico de a. Se a operação + não é associativa, então
o teorema
2 não é, em
geral, verdadeiro
(ver o exercício
18).
Se E é um monóide multiplicativo, então um elemento simetrizável a, de E, é denominado elemento inversível e seu
simétrico
a” é chamado
inverso de a ou inverso multiplicativo
de a e é indicado por a! (leia-se: a a potência menos 1) e esta notação será justificada mais adiante quando introduzirmos
o conceito é, então,
Se E é um
de potência
escrita
sob
monóide
to simetrizável
com
a forma
expoente
negativo;
a fórmula
aq!=1=ala
(4)
(6).
aditivo, então o simétrico
a” de um elemen-
a é denominado oposto de a ou inverso aditivo
de a e é indicado por -a (leia-se: menos a ou oposto de a) e temos
a+(-0)=0=(-a)+a
TEOREMA
de um
monóide
3 - Sejam
a
(E,%). Temos:
e
(7).
b dois elementos simetrizáveis
1) se a é o simétrico de a, então a” é simetrizável e seu simétrico é o próprio a; 2) axb é simetrizável e seu simétrico é b'xa”, onde a e b' são, respectivamente, os simétricos de a e b. DEMONSTRAÇÃO 1) Por hipótese temos
axa '=e=a'wa,
logo, de acôrdo
com
a definição 9 aplicada ao elemento a”, resulta que a” é simetrizável e que o simétrico de a é o próprio a: (a) =a (8). 2) Por hipótese, temos axa '=e=a'xa e bwb'=e=b'xb, logo, de acôrdo com a propriedade associativa da operação x. temos
(asb)e(b wa) =((axbeb)xa =(axbeb))ea' =(arexa =axa'=e
61
e
(b xa) x(asb=((bea)xa)sb=(be(a +a)sb=bxg)ab=b'wb=e;
portanto, No
axb
é simetrizável
e seu
simétrico
é
(awb) =b'wa'
caso
da
mostra quese
a
são inversíveis
notação multiplicativa, e
b
são inversíveis,
e
b'xa”,
isto
é,
(9.5
o teorema anterior nos
então
a!
e
ab também
(ay! =a
(10),
(ab)! =b!al Na
notação
aditiva,
temos
e quaisquer
que
Se o monóide pode
ser
convém geral,
sejam
(-0)=q
(12),
«(4 +b) = (-b)+(-a)
(13),
elementos
E é multiplicativo
escrita
observar quando
os
sob
(11).
simetrizáveis
e comutativo,
a
e
b
de
E.
a fórmula (11)
a forma
que
(ab) =alb”
esta propriedade
a multiplicação
não
é verdadeira,
não é comutativa
24). Anãlogamente, se o monóide E é aditivo fórmula (13) pode ser escrita sob a forma
(14); em
(ver o exemplo
e comutativo,
«(a +b) = (-0)+(-b)
a
(15).
COROLÁRIO - Se E é um monóide em relação a uma operação * e se U(E) é o conjunto dos elementos simetrizáveis de E, temos
a) ecU(E); b) U(E) é fechado em relação à operação x; c) o simétrico de todo elemento de U(E) pertence a U(E). Portanto, a operação induzida por * sôbre U(E) define uma
estrutura
propriedade em
relação
de
monóide
c), ou seja, todo à
operação
sôbre
U(E)
elemento
induzida.
e
vale,
de U(E)
Conforme
estas condições caracterizam a estrutura de bém a parte final de 83.2 do Capítulo J).
além
disso,
a
é simetrizável
veremos
grupo
no
(ver
81.3
tam-
ExemrLo 16 - Todo elemento do conjunto Z dos números inteiros é simetrizável para a adição e vale a fórmula (15) quaisquer que sejam «a e b em Z. Os únicos elementos de Z que são simetrizáveis para a multiplicação são
temos U(Z)=Z
e U(Z)=(-1,1).
-1
e 1. Portanto,
62
ExempLo
exemplo
17 - Considerando-se o monóide P(E)- definido no
5, temos
U,(P(E))=(E).
nido no exemplo
6, temos
Para o monóide
(E)
U(P(E))=t(D+>.
defi-
ExempLo 18 - Consideremos o monóide M definido exemplo 10. Conforme a definição 9, um elemento f de
no M,
ou seja, uma aplicação f:E-—- E, é simetrizável para a operação de composição o se, e somente se, existe uma aplicação
f:E-—E
tal que
fof'=Ig=f'of;
portanto, de acôrdo com o teorema 10 do Capítulo I, f é simetrizável se, e sômente se, f é uma permutação do conjunto E. Neste caso, o simétrico f' de f para a operação de com-
posição
o é
a
aplicação
recíproca
de
f: f'=f'.
Fica
assim
demonstrado que o conjunto dos elementos simetrizáveis do mo-
nóide (EE,o) coincide com o conjunto S(E) das permutações de E. TEOREMA
um
monóide
b
de
a
e
1) se
b
2) se
a
b;
b
são
4 - Sejam
(E,+w); temos:
a e b dois elementos
é simetrizável, e
b
são
permutáveis.
então
a
comuita
simetrizáveis,
então
permutáveis com
de
o simétrico
seus
simétricos
DEMONSTRAÇÃO
1) Temos a4b =(ex0)4b =((b'wb)xa)+b =(bw(bwa))xb' =(bw(axb)xb' = =bw(aw(bxb)=bw(axe)=bxa; portanto, a e b'” são permutáveis. 2) De acôrdo com permutáveis, logo,
são
a primeira parte temos aplicando-se novamente
que êste
a
e b mesmo
resultado para b e a, concluímos que a” e b' são permutáveis. Pode-se verificar a parte 2) do seguinte modo: a'xb =(bea) =(a4b)/ =b'xa'; portanto, a” e b” são permutáveis. de
TEOREMA 5 - Se a e b são dois elementos um monóide (E,x) e se b é simetrizável, então
único elemento yeb=a). onde
Por
x
(resp., y),
de
E,
DemonstrRAÇÃO - Considerando-se b' é o simétrico de b, temos xe
tal
o
que
e
quaisquer existe um
bxx=a
elemento
bex=be(b+ea)=(beb)xa=exa=a. outro lado, se x,eE é tal que bxx,=a, temos
(resp.,
x=b'xa,
,
63
cxi=exx=babar,=b'e(bex)=bxd=%; portanto x é único. Verificação completamente o caso de yxb=a; notemos, simplesmente, que
análoga para y-axb.
Se E é um monóide comutativo e se a e b são dois elementos quaisquer de E, com b simetrizável, então, existe um único elemento x, de E, tal que bxx=a=xxb e temos
c=b'sa=axb, onde b” é o simétrico de b. Este elemento x=b+a=axb recebe denominação especial conforme o símbolo usado para indicar a operação (comutativa) definida Assim, no caso da notação multiplicativa, o único
sôbre E. elemento
indicado
por defi-
x
tal que
por
nição
Em
brx=a
é denominado
a/b
particular,
(leia-se:
a sôbre
quaisquer
que
que
a
por
temos,
b
e é
temos
sejam
p=1
a
e
b
a divisão
é,
em
(a,br>alb,
notemos
b); portanto,
4 “abi.
b-p=b,
cação
quociente de
de EXU(E)
e
em
p=,
E,
com
em
E,
geral,
b inversível.
é denominada
uma
operação
amplo (ver a 2.2 observação do 81.1), pois, em geral,
no
A
apli-
divisão; sentido
U(E)zE.
No caso da notação aditiva, o único elemento x tal que b+x=a é denominado diferença entre a e b e é indicado por a-b (leia-se: « menos b); portanto, temos por definição a-b=a+(-b). Em particular
b+(a-b=a,
quaisquer
que
sejam
aplicação (a,b->»a-b,
ção notemos que sentido amplo.
a
a
b-b=0
e
b
em
de EXU(E) subtração
e
E,
em
é, em
0O-b=-b,
com
b
simetrizável.
E, é denominada geral,
uma
A
subtra-
operação
no
DEFINIÇÃO 10 - Diz-se que um elemento a de um semigrupo (E,x) é regular à esquerda (resp., à direita) para a operacão x se, e sômente se, está verificada a seguinte condição: quaisquer que sejam x eyem E, seaxx=axy (resp., x*xa=yxa), então x=y (resp. x=vy). Um elemento regular à esquerda e a direitaé chamado, simplesmente, elemento regular.
Conforme
veremos na parte de exercícios dêste parágrafo
um elemento pode ser regular à esquerda e não regular à direita ou regular à direita e não regular à esquerda (ver os exercícios 44 e 45).
64
TEOREMA
6 - Todo elemento simetrizável de um monóide
(E,*) é regular para a operação +.
Com efeito, seja a um elemento simetrizável e sejam x e y dois elementos quaisquer de E tais que axx=asy; temos
T=0HX=( ADELA RARO =A WARYy=(a 4M)4y=ery=Y
portanto,
a é regular
à esquerda.
Analogamente demonstra-se
que a é regular à direita. Um celável
elemento e
a
regular também
condição
dada
lei restrita do cancelamento ExempLo
dos
números
na
definição
à esquerda
19 - Consideremos
inteiros,
é chamado
o número
elemento
2,
10
can-
denominada
(resp., à direita).
o monóide
O
é
É
não
multiplicativo
é regular,
pois,
Z
por
exemplo, 1.0=2-0 e 142. Por outro lado, todo número inteiro não nulo é regular para a multiplicação. Este exemplo nos mostra que, em geral, existem elementos regulares que não
são simetrizáveis.
EXERCÍCIOS 18. Consideremos a operação + definida seguinte táboa (já obtida no exercício 11):
a)
e não
conclusão
não
Mostrar
que
é associativa. b) Mostrar que do
teorema
esta
o
operação
elemento
2 não
é, em
é comutativa,
a
tem
geral,
dois
sôbre
tem
E=te,a,b)
elemento
simétricos
verdadeira
para
pela
neutro
(portanto, uma
a
operação
associativa).
19. Consideremos a operação + definida seguinte táboa (já obtida no exercício 11):
sôbre
a a e a) Mostrar que esta operação éé comutativa, tem
e não
é associativa. b) Verificar que
único
simétrico.
todo
elemento
de
E
E=te,a,b)
elemento
é simetrizável
pela
neutro
e admite um
a)
c) Mostrar
que
a parte
2) do
uma
operação
teorema
3 não
é
verdadeira
para
esta operação. 20. Diz-se
Seja
que
*
um
elemento
(resp.,
à
(resp.,
xxe'=x)
*
tem
direita)
para
para
elemento
então,
e=e'.
* admite neutro
Nas
único
à direita.
esta
e)
sôbre
de
E
operação
x
em
e
neutro
Examinar
as
conjunto
se,
e
que
elemento
neutro
à
esquerda acima
e um
para
vazio
E.
à esquerda
se,
exx=x
a
operação
se
anterior, mostrar
noções
não
neutro
somente
a) Mostrar e
da parte
um
é elemento
+
E.
à esquerda
condições
elemento
c)
definida
(resp...
todo
neutro
b)
um
e
à direita
que
e”,
a operação
único
elemento
a operação
usual
de
subtração definida sôbre o conjunto Z dos números inteiros. d) Fazer o mesmo para a operação de potenciação (a,b) > a? definida sóbre o conjunto
N'*
ção
definida
.1,
direita
dos
e que 21.
números
no
não
admite
Determinar
para
as
operações
para
a operação
cício
6.
naturais
exercício
7
elemento
e
|)
nulos.
um
neutro
os elementos
a
não
admite
e)
no
que:a
elemento
opera-
neutro
à
à esquerda.
simetrizáveis
definidas
Mostrar
único
e os elementos
exercício
regulares
7.
22. Determinar os elementos simetrizáveise os elementos regulares 23.
Fazer
definida
na
o mesmo
parte
para
e) do
exercício
a operação
4.
definida
24. Mostrar que o conjunto dos elementos (E,+x) é fechado em relação à operação x.
na
parte
e)
do
exer-
regulares de um monóide
1.3 - GRUPOS
DEFINIÇÃO
conjunto
G,
somente
se, Os
G1 e
z em
11 - Diz-se
define
uma
seguintes
(propriedade G,
que
uma
operação
estão
verificados
estrutura
axiomas
associativa):
de
grupo
quaisquer
+ sôbre
sôbre
que
um
G
se,
e
sejam
x,
y
tem-se
(THYHZ = LAY AZ); G2 (existência do elemento e tal que para todo x em G;
G3: para x
+,
em
G
tal que
todo
elemento
neutro):
existe
em
G
um
Xke=T=e*%,
elemento
x
de
G
existe
um
elemento
XHX =e=% x.
Portanto, um grupo: é um monóide G que possui a propriedade: todo elemento de G é simetrizável. Se usarmos a notação multiplicativa ou aditiva para a operação de um grupo diremos, respectivamente, que o grupo é multiplicativo ou aditivo.
66
Se G4:
y em
a operação
* de
(propriedade
um
G, tem-se
diremos Em
que
é um só
grupo
usaremos
operação de um grupo ExempLo
G
satisfaz
quaisquer
o axioma: que
sejam
x
e
indicar
a
XHY=UAZ;
G
geral,
grupo
comutativa):
G
20 - A
comutativo a notação
ou
abeliano.
aditiva
para
quando esta operação fôr comutativa.
operação
usual
de
adição
estrutura de grupo comutativo sôbre o conjunto
inteiros. O mesmo Q ou R.
Z
define
uma
dos números
vale para a operação usual de adição sôbre
ExempLo 21 - A operação usual de multiplicação não define uma estrutura de grupo sóbre o conjunto Z dos números inteiros, pois somente 1 e -1 são inversíveis. Exempro 22 - A operação usual de multiplicação define uma estrutura de grupo comutativo sôbre o conjunto Q* dos números racionais não nulos. Obtém-se, analogamente, o gru-
po comutativo
(R*,.).
ExempLo 23 - Consideremos o conjunto U(E) dos elementos simetrizáveis de um monóide (E,x); conforme a parte b) do corolário do teorema 3, a operação * induz uma operação sôbre U(E), que é associativa, tem elemento neutro e satisfaz o axioma G3 (parte c) do mesmo corolário). Portanto, U(E) é
um grupo em relação à operação operação de E; o grupo (U(E),*)
induzida sôbre U(E) pela é denominado grupo dos
elementos
(E ,x).
simetrizáveis
do
monóide
ExempLo 24 - Consideremos o monóide (M,o) definido no exemplo 10, onde M=EF é o conjunto de tôdas as aplicações de um conjunto não vazio E em si mesmo; conforme
vimos no exemplo 18, o trizáveis de M coincide
conjunto U(M) dos elementos simecom o conjunto S(E) de tôdas as
permutações de E. O exemplo anterior nos mostra que (S(E),o) é um grupo, que é denominado grupo das permutações do conjunto E ou grupo simétrico do conjunto E. No caso particular em que E=t1,2,..,n) indica-se S(E) indicado por
pela
notação f=
S,
1
2
a;
A,
e um n ...
Cm
elemento ,
f
de
S,
é
67
onde é um
a;=J(i) para 1=1,2,:..,n. conjunto finito e tem n! No caso particular em
CNo rWN
(123. n=(4 3)=le» “a = (4 A táboa
3) 9)
do grupo
ainda
Ja
fs
E
hlh felfo
fo fa
fa ho
fa fo
fo fo
fe fa
fs
fi
Jo
fe
Ja
Ê
falta fofo felfe
fe fa fa
fo fa bo
ho h fh
que
f,
e
a
f,,
S,
são
de
é a seguinte
fa
Jaofs=);
S,
(128 1)efe-lo 1 3):
(S,,0)
S, não
que
(125 do=lg 4 o)
fo
o grupo
as permutações
elementos
fi
J
Observemos
os
123 b=Aa o
da operação
que
n=3,
123 bolo 3 9)
o|
Notemos
que
Pode-se demonstrar elementos.
fa to fe fh ht
é comutativo, e
foofa=fo.
fórmula
(14)
não
pois, por exemplo, é verdadeira
para
pois
(ao fg)! =) =, sofa)! = De
acôrdo
com
o teorema
> =J,6, todo elemento
de um
grupo
(G,*) é regular para a operação x, portanto, valem em G as leis do cancelamento à esquerda e à direita: quaisquer que sejama, Seja
que G,
vxeyem
G, se axx=axy
G
grupo
um
U(G)=G é agora uma
Analogamente, aplicação minada
resulta
multiplicativo sôbre
se
um
G
(a,b-r>a-b
é é
uma
G, grupo
então
e abeliano;
que a aplicação
operação
subtração.
ou Xxa=yxa,
x=Yy.
notando-se
(a,bb-» 7, de GXG
que
é denominada
aditivo
operação
sôbre
e
comutativo, G,
que
em
divisão. a
é deno-
68
EXERCÍCIOS 25. Mostrar 4, define
uma
26.
Seja
definida sôbre à operação
que
G
um
G,
por
28.
+,
grupo
multiplicativo
axb=ba.
então, as
táboas
Verificar
é o único
que
se
um
30.
estrutura
das
operações o
elemento
x
'de
que
se
G
de
R.
é um
Se
então
G
G
é um
e) do
exercício
a operação
x,
grupo em relação
tal que
é um
grupo
grupo
de
tem
no
sôbre
G
máximo é
quatro
comutativa.
grupos.
unidade
G
é abeliano.
G
grupo
dêstes
que
de
um
grupo
multiplicativo
xx=z. multiplicativo
elementos,
multiplicativo
1,4 - SEMI-GRUPOS vos
parte
G
conjunto
tôda
elemento
29. Mostrar
G,
na sôbre
e consideremos
Mostrar que
G é finito e com um número par mento a, de G, tal que a=qt.
em
definida
comutativo
x.
elementos,
G
de
grupo
27. Demonstrar Construir
a operação
estrutura
e
se
e
então
se
o
conjunto
existe
xx=1,
para
um
ele-
todo
x
ORDENADOS
Neste parágrafo só consideraremos semi-grupos: comutatie usaremos sempre a notação aditiva.
Em alguns casos estão definidas duas estruturas sôbre um mesmo conjunto e se impõe, então, alguma lei que relacione estas estruturas. Por exemplo, sóbre o conjunto Z dos números inteiros está definida uma relação de ordem < e uma estrutura de grupo dada pela operação usual de adição; estas estruturas são compatíveis no seguinte sentido: se x1),
demonstrou-se
composto
mostrou
um
os números
é composto;
Fermat
em
números
cada fator
que
eletrônicas.
de
inteiro,
primeiros
examinado
quinas
conjetura
demonstrou,
641;
clui-se dêste
que Euler
conhece-se
o
menor
não
se
dos
cinco
de
Fermat
um
número
conseguiu primeiros;
que
são
CAPÍTULO ANÉIS
tais: a
IV
E CORPOS
Neste Capítulo estudaremos duas estruturas fundamenanel e corpo. No 31.1 introduziremos, de um modo geral,
definição
terminado
to unidade.
de
anel
tipo
Não
mas,
desta
realmente,
estrutura:
teremos
só
anel
consideraremos
comutativo
com
um
de-
elemen-
ocasião de construir um anel não co-
mutativo como, por exemplo, o anel das matrizes quadradas de ordem n>1 sôbre um corpo. A noção de corpo só será definida para o que se pode chamar de «corpo comutativo»; não veremos nenhum exemplo de corpo não comutativo como o «corpo dos quatérnios» que foi construído por Hamilton
(1805-1865)
nos fins
do
século
passado.
Introduziremos tam-
bém o anel Z,, dos inteiros módulo m completando assim o estudo das congruências iniciado no 842.6 do Capítulo III. No 42 estudaremos o corpo de frações de um anel] de integridade e, em
particular,
construiremos
o corpo
Q
dos
números
racio-
nais. Terminaremos êste parágrafo com as importantes noções de característica de um anel e de corpos primos. Finalmente, no 43 estudaremos os anéis e corpos ordenados tendo em vista a construção do corpo R dos números reais que será feita no capítulo seguinte.
81 - ANÉIS 1.1
- DEFINIÇÃO
DEFINIÇÃO
1 - Seja
DE
ANEL
E EXEMPLOS
A um conjunto e suponhamos
tejam definidas, sôbre A, duasoperações
que es-
AXA—> Ae AXA DA
denominadas, respectivamente, adição e multiplicação. Diz-se que estas operações definem uma estrutura de anel sôbre o
167
conjunto A ou que o conjunto A é um anel em relação q estas operações se, e somente se, são válidos os seguintes axiomas A: a operação de adição define comutativo sôbre o conjunto A;
Ml: de
a
operação
semi-grupo
de
sôbre
D: quaisquer
muitiplicação
o conjunto
que
uma
sejam
estrutura
define
de
uma
grupo
estrutura
A;
a, be
c em 4, tem-se
(proprie-
dades distributivas da multiplicação em relação à adição) ab+roy=(ab+(ao
e
(bro=(bu-+(ca)
Para indicar um anel devemos usar taque o conjunto 4 e as operações + e A, por exemplo, (A ,+,º) e, neste caso, fica subentendido que os são verdadeiros, portanto, devemos dizer
(A,+,:)»
ou
«seja (A,+,-)
um
anel».
(1).
uma notação que des- consideradas sôbre axiomas A, Mle D «consideremos o anel
Como
as
operações
con-
sideradas sôbre o conjunto 4 serão, em geral, indicadas por + e - não há necessidade de indicá-las explicitamente e então diremos, simplesmente, «seja 4 um anel» ou «consideremos um anel 4»; neste caso, fica subentendido que estão fixadas duas operações + e - sôbre o conjunto À e que estas operações satisfazem os axiomas A, Ml e D. Para todo anel A indicaremos por 4* o conjunto dos elementos não nulos de 4, isto
é, A*= A(O).
As fórmulas
(1) serão
escritas
sob a forma
mais
a(b+c)=ab+rac e (b+roa=ba+ca, onde se faz a convenção usual de que os produtos efetuados em primeiro lugar e a seguir as somas. DEFINIÇÃO 2 - Diz-se que e somente se, estiver verificado M2:
quaisquer
(propriedade
que
comutativa
sejam
devem
ser
um anel 4 é comutativo o seguinte axioma
se,
a
e
b
em
4,
da multiplicação).
dade
DEFINIÇÃO 3 - Diz-se que um anel se, e somente se, estiver verificado
para
M3: existe um todo a em A
tiplicação).
simples
tem-se
ab=ba
4 tem elemento unio seguinte axioma
elemento 1 em 4 tal (existência do elemento
Finalmente, se um anel 4 satisfaz os diremos que A é um anel comutativo com
que a-l-=a-l-a, unidade da mulaxiomas M2 e M3 elemento unidade.
168
Se (4,+,:)
é um
anel, então
tivo
que
é denominado
finem
Repetiremos aqui, a noção de anel
grupo
(4,+)
é um
grupo
aditivo do anel A.
comuta-
Anãlogamen-
te, (4,.) é um semi-grupo (axioma M1) que é denominado semi-grupo multiplicativo do anel A. Se (4,+,-) é um anel com elemento unidade obtém-se, então, o monóide multiplicativo (A,-) do anel A.
dado
um
rações que
de
conjunto 4 e sôbre êste conjunto estão definidas opeadição
satisfazem
tos quaisquer Al: A2: AS: A4:
de modo sucinto, os axiomas que decomutativo com elemento unidade. É
e de multiplicação ab» a+b e (a,br>ab os seguintes axiomas (onde a, b e c são elemen-
de
4)
(a+b)+c= a+(b+c) a+b=b+a a+0=a a+(-0)=0 D:
M1: M2: M3:
(abjc = a(bc) ab=ba a-l=a
a(b+o)=ab+ac.
ExempLo 1 - Conforme vimos no 81.2 do Capítuto III, o conjunto Z dos números inteiros é um anel* comutativo com elemento unidade que passa a ser denominado anel dos números inteiros. É evidente que neste caso estamos considerando, sôbre o conjunto Z, as operações de adição e de mul-
tiplicação que
foram
definidas
no 81.1
do Capítulo
III.
ExempLo 2 - O conjunto 2Z dos números inteiros pares é fechado em relação às operações do anel (Z,+,-.) e é fácil verificar que as operações induzidas sôbre 2Z definem uma estrutura de anel comutativo; notemos que êste anel não tem elemento unidade. anel ções
ExempLo 3 - O conjunto Q dos números racionais é um comutativo com elemento unidade em relação às operausuais de adição e de multiplicação (ver o 82.2 dêste
Capítulo).
ExempLo 4 - O conjunto R dos números reais é um anel comutativo com elemento unidade em relação às operações
usuais
de adição
e de multiplicação
(ver o Capítulo
V).
ExempLo 5 - Seja A um conjunto unitário e indiquemos por O (zero) seu único elemento; é evidente que só existe uma única operação f sôbre A, definida por 0f0=0. Tomando-se
169
f=+=-, obtém-se uma estrutura de anel comutativo com mento unidade A=t(0:. Diz-se, neste caso, que A=t0!, estas operações, é um anel nulo.
Exempro
6 - Seja
(4,+)
elecom
um grupo comutativo e coloque-
mos, por definição, x-y=0 quaisquer que sejam x ey em A. É imediato que esta operação de multiplicação satisfaz os axio-
mas MI, M2 e D, portanto, (4,+,:) é um anel comutativo, que é chamado anel trivial. Notemos que vale o axioma M$ se, e sômente se, o conjunto 4 é unitário e, neste caso, 4 é um anel nulo. ExempLo 7 - Seja Z[/2] (esta notação será justificada no $1.6) o conjunto de todos os números reais da forma a+by2,
com
a e b inteiros. É imediato que
lação às operações de adição e de bre R e que êste conjunto é um mento unidade.
Z[V2]
é fechado em re-
multiplicação definidas sôanel comutativo com ele-
-ExempLo '8 - Consideremos o conjunto 4 de tôdas as funções reais e contínuas definidas sôbre o conjunto R dos números reais. Se f e g são dois elementos quaisquer de A definiremos f+g e f-g por
Ff+roo=fao+rgmo)
e
«(feno =fmwg(m),
para todo x em R. As funções jf+g e jg pertencem a A, pois, a soma e o produto de duas funções contínuas são funções contínuas e ficam assim definidas operações de adição e de multiplicação sôbre o conjunto 4. É fácil verificar que estão satisfeitos os axiomas Al-A4, M1I-M3 e D; portanto, estas operações definem uma estrutura de anel comutativo com elemento unidade sôbre o conjunto A. Notemos que o elemento zero de 4 é a função constante igual a zero e o elemento unidade de 4 é a função constante igual a 1. ExempLo
quatro
9 - Consideremos
elementos
multiplicação
pelas
e
definamos
seguintes
+10
a
be
010
a
b
ala
O
o conjunto
as
operações
A =t0,0,b,c:
de
adição
táboas O
a
b
c
0
c
010
0
0
cb»
ai0O
a
be
b|lb
cO0Oa
DIO
0
0
clc
baõo0
c|0
a
be
0
com
e de
170
Deixaremos
a cargo
do leitor a verificação
de que
estas
ope-
rações definem uma estrutura de anel sôbre o conjunto A; notemos que unidade.
êste
anel
não
é
comutativo
e
nem
tem
elemento
Exempro 10 - Seja X um conjunto não vazio e seja 4 um indiquemos por E= A* o conjunto de tôdas as aplicações
anel;
de X em A. Se f e g são definiremos f+g e fg por
fp)
dois
=foo+guo)
elementos
e
quaisquer
de
E,
fg) = frog),
para todo x em X. É imediato que f+rg e fg são elementos de E e ficam assim definidas operações de adição e de multiplicação sôbre o conjunto E. Verifica-se, facilmente, que E é um anel em relação a estas operações, que passa a ser denominado anel das aplicações (ou funções) do conjunto X no anei A. Pode-se demonstrar quê E é comutativo (resp., tem elemento unidade) se, e sômente se, 4 é comutativo (resp., tem elemento unidade).
EXERCÍCIOS |. Consideremos meros
inteiros,
quaisquer trar
que
que
sejam
(Z,8,0)
2.
Seja de
(ver
exercício
comutativo
um
as
dos
quer
de
ey anel
do
e
conjuntos
e
sôbre
o
conjunto
Z
dos
nú-
XOY=LXHYy—XY,
(ver o exercício com
consideremos intersecção
7 do
Capítulo
elemento sôbre
M
e
ID. Mostrar
o
de
que
IN). Mos-
unidade. conjunto
diferença
ZP(E)
das
simétrica
(P(E),A,M)
é
um
A
anel
unidade.
B
dois
anéis
4
e
se
B;
colocaremos,
e
consideremos
(a,b)
por
e
(c,d)
o
são
produto
dois
cartesiano
elementos
quais-
definição,
(a,b)+(c,)=(a+c,b+d) ta,b-(c,d) =(ac,bd).
Mostrar que
que
passa 4.
estas
a
ser
Com
as a)
e
B
mente
são se, 4
operações notações o
anel
comutativos; e
B
têm
5. Consideremos
3 3 a+by2+cy4,
definem
denominado
propriedades:
ma
Z
Capítulo
e
A
e o,
comutativo de
elemento 4
e e
em
conjunto
12
com
AXB
operações
operações
3. Sejam AXB
x
é um
E
partes o
E
as
definidas por xeyv=rx+y-l
onde
anel
do
exercício
AXB b)
o
é
AXB
e
de A
anéis
anterior, tem
se,
anel
verificar e
somente
elemento
sóbre
AXB,
e B. as
seguintes
se,
unidade
os se.
anéis e
so-
unidades.
o conjunto
b
estrutura dos
comutativo
anel
elementos
a,
uma
produto
4,
c
são
de
todos
os
números
números
reais
da
inteiros.
Mostrar
for-
que
171
A
é um
anel
induzidas números
comutativo com elemento
pelas
operações
9 satisfazem 7. Se
trar
adição
detalhadamente os
axiomas
0,,4,,::*,4,,b
que
A,
são
n
n
que Ml
8. Se de
de
em relação
multiplicação
às operações do
anel
R
dos
um
i=1
t=1
é
Diga
(ddiiem anel
4,
mostrar
as
e
f
SãO
operações
definidas
no
exem-
e D.
elementos
(Dao=Pab tos
unidade e
reais.
6. Verificar plo
de
quaisquer n
n
t=1
i=1
de
um
anel
4,
mos-
WZa)= 2a, duas
famílias
quaisquer
de elemen-
que
(Si=1 XEj=1 bj) = i=l 5 (5 a;b;) = j=1 » (5 a;b;)9=i 1=1 1.2
- PROPRIEDADES
ELEMENTARES
DE
UM
ANEL
Nesta secção daremos diversas propriedades que são consequências imediatas da definição de anel. Podemos, evidentemente, aplicar os resultados estabelecidos no 81 do Capítulo Ii para os elementos do grupo aditivo (4,+) de um anel 4 e temos as seguintes propriedades: 1) o elemento zero para a operação de adição é único (diz-se também que O é o elemen-
to zero do anel 4); nico;
3) quaisquer
2) o oposto
que
-(-)=a
4) quaisquer
que
aeb
existe
x=y
sejam
sejam
e
em
4
um
y em
da adição);
único
elemento
4,
elemento
4,
de
4
é ú-
tem-se
«a+b=(-)+(-D)
a, xe
(lei do cancelamento
de cada
a e b em
(2);
se
a+x=a+y,
xeA
tal que
5) quaisquer
que
então,
sejam
b+x=a.
O único elemento x de 4 tal que b+x=a é denominado diferença entre a e b e é indicado por a-b, logo, a-b=a+(-bD) (3); notemos que valem as igualdades b+(a-b=a, O-a=-a e a-a=0 (4), quaisquer que sejam a e bem definida sôbre 4, é denominada ção
Como todo resulta que
número valem
(a,b)r>a-b,
elemento a de 4 é simeirizável para a está definido o múltiplo de a segundo
inteiro quaiquer
as
4. A operação subtração.
seguintes
1: (ver o 81.5 do
fórmulas n(-0)=n0) =(-na,
Capítulo
adium
II) e que
(5),
172
muna) = (mma = n(ma),
quaisquer que sejam inteiros m e n.
Observemos estrutura aditiva fato
que
4
e
os
(7), (8), números
que as propriedades acima só se referem à do anel 4 e são simples consequências do
é um
grupo
comutativo.
TEOREMA 1 (Propriedades distributivas da multiplicação relação à subtração) - Quaisquer que sejam os elementos
em a,
(4,+)
(6),
(m+ma=ma+na n(a+b) = na+nb os elementos a e b de
be
c de
um
anel
e o axioma
-
e
Temos,
(b-ca=(ba)-(ca) conforme
a
(9).
definição
de
dife-
D:
ab=alc+(b-c)]=ac+a(b-c),
portanto,
dade
tem-se
ab-c)=(ab)-(ac)
Demonstração
rença
4,
a(b-c)=(ab)-(ac).
A
demonstração
distributiva
é completamente
análoga
As
(9) serão
de
fórmulas
ab-c)=ab-ac
escritas
e
da
outra
a esta.
modo
mais
(b-coa=ba-ca
proprie-
simples
onde se faz a convenção usual de que os produtos devem efetuados em primeiro lugar e a seguir as diferenças. de
COROLÁRIO - Quaisquer um anel 4 tem-se
(-ab=-ab)=a(-b)
Demonstração fórmula (4), temos e
o que
termina
com
temos
a
- De
e
acôrdo
os
elementos
a
ser e b
(11)
(-ax-b=ab
com
(10),
(12).
o teorema
anterior
e a
a-0=a(0-0)=(a-0)-(a.0)=0 O.a=(0-0)a =(0-a)-(0.a)=0, a verificação de (11). Por outro lado, de acôr-
parte
anterior,
a
fórmula
(4)
e
o
teorema
acima,
cab =(0-a)b=(0-b)-(ab) = 0-(ab) = -(ab)
e
a(-b=a(0-b)=(a-0)-(ab) = O-(ab) = -(ab);
finalmente,
gras
sejam
a-0=0=0-a
e
do
que
É
(-aX-b)
As
propriedades
dos
sinais.
TEOREMA
—
(12)
-[a(-b)]
são
— -[-(ab)]
= ab
conhecidas
.
É
sob o nome
2 - Num anel 4, vale a seguinte (no)b = n(ab) = a(nb)
de re-
propriedade (13),
173
quaisquer
que
sejam
a e b em A e para todo número
Demonstração dadeira
para
n=0
- Observemos em
virtude
da
que
a fórmula
definição
inteiro n.
(13) é ver-
de múltiplo
de um
elemento segundo o número natural zero e da fórmula (11). Suponhamos que n>0 e que a fórmula (13) seja verdadeira
para
n-1;
temos
(na =[(n-1)a+alb = [(n- Dalb+ (ab) = (n-— 1Xab)+(ab) = n(ab) anb)=al(n-1)b+b]=al(n-Db]+cabb=(n-1Xab+(tab=n(ab),
portanto,
conforme
o
primeiro
princípio
de
indução
À
finita,
a
fórmula (13) é verdadeira para todo número natural n. Finalmente, se n0; de acórdo com a definição de múltiplo de um elemento segundo um número inteiro negativo, anterior, temos
de
acôrdo
com
a
regra
dos
sinais
e o caso
(nob = [(-pjalb =[-(pa)Jb = -[(pa)b] =-[p(ab)] = (-pyxab) = n(ab) amb) = al(-p)b] = al-çpb)] = -[açpb)] = -[ptab)] = 1) é re-
e sômente
se, a e m são primos
2 - Todo elemento regular do anel Z, (m>1) se
existem
vem,
não
restos
a multiplicação
COROLÁRIO Com
acima
classe
COROLÁRIO gular entre
tem
lI0, temos mim” e m'Im, logo, m'=+m, de onde vem,
m'=m,
pois m
e m' são positivos.
Precisamos
a) e b) podem
mostrar,
por
efetivamente
meio
de
aparecer.
exemplos,
que
os
casos
ExempLo 32 - Tomando-se A=Z, o homomorfismo f definido acima é a aplicação idêntica de Z e, portanto, seu
núcleo se reduz a (0). ExempLo
A=Z,m;
=n-l=7
neste
33
- Seja
caso,
m>1
um
inteiro
o homomorfismo
qualquer
f é definido
e é imediato que seu núcleo é Zm.
Baseados
no
que
vimos
acima
daremos
e tomemos
por f(n)=
a seguinte
DEFINIÇÃO 15 - Chama-se característica de um anel comutativo 4, com elemento unidade e+0, ao único número natural m tal que Zm seja o núcleo do homomorfismo
f:Z — A
definido por
f(m=ne.
209
se,
O
Portanto, o anel A tem característica zero se, e sômente é o único
número
inteiro
n tal que
ne=0;
por outro
lado, o anel A tem característica m>0 se, e somente se, m é o menor número natural não nulo tal que me=0. Os exemplos acima nos mostram que o anel Z dos números inteiros
tem
característica
zero
e o
anel Z,
(m>1)
dos
inteiros mó-
dulo m tem característica m, de onde concluímos, em particular que para todo número natural ml existe um anel que tem característica m. Destacaremos o caso a) no seguinie TEOREMA
to unidade sub-anel
27
e+0
unitário
- Se
4
é
um
ese
A
tem
de
4
é isomorfo
anel
comutativo
com
elemen-
característica zero, então, o menor ao
anel
Z
dos
números
in-
teiros.
Vejamos de que forma é o menor sub-anel unitário Ze de um anel comutativo 4 de característica m>0 e para isso consideremos a aplicação 9g:Z,, — Ze definida por g(n)=ne, onde ni indica a classe de restos módulo m determinada pelo inteiro n. É
fácil verificar que g está bem
definida,
ou seja, que
a defini-
ção de g(n) não depende do representante n da classe de restos n. Afirmamos que g é um isomorfismo de Z,, em Ze. Com efeito, é imediato que g é sobrejetora e se q e b são dois elementos quaisquer de Z,,, temos
g(ã ob) = g(a+b) = (a+bje = ae+be = g(m+g(D)
e
g(ã ob) = g(ab) = (abje = (aexbe) = g(Dg(b)
logo,
g(a=0,
g
é
um
temos
g é injetora acima.
epimorfismo;
ae=0,
e isto
mla
dêste
modo,
completa
Demonstramos,
finalmente,
logo,
e então
se
deZ,,
q==0,
é
tal
que
portanto,
a verificação da afirmação
feita
o seguinte
TEOREMA 28 - Seja 4 um anel comutativo com elemento unidade e+0 e suponhamos que a característica de 4 seja m>0. Nestas condições, temos: anel
a) Z,,
o menor sub-anel unitário dos inteiros módulo m;
b)
Ze=(0,e,2e,...,(m-1)e); inteiro
Ze,
de
qualquer
4,
é isomorfo
e se
ne=0,
ao
tão
c) sen é um número n é um múltiplo de m.
en-
um
À característica de um anel de integridade não pode ser número natural arbitrário conforme nos mostra o seguinte
210
TEOREMA 29 - A característica de um anel de integri4 ou é igual a zero ou é igual a um número natural
dade primo.
DemonstTRAÇÃO - Suponhamos que a característica de A p>0 e consideremos um divisor inteiro a>l de p, logo,
seja
p=ab, onde I0,
- a)
então
imediata do teorema Se
4
mx=0
é um
anel comutativo
de carac-
para todo x em 4. b)
um anel de integridade de característica quaisquer que sejam neZ* e ac4A*. DemonstTRAÇÃO - a) b) Temos na=ntea)=(neja,
anterior e dos
zero,
então
Se 4 é na+0
Temos mx=mtex)=(mox=0-r=0. com ne+0 e a+0, portanto, naz0,
pois 4 é um anel de integridade.
]
EXERCÍCIOS 91. Mostrar que o anel A=Z,XZ tem característica zero e que 2.(1,0)=(0,0), portanto, a hipótese feita na parte b) do teorema 28 é essencial. que
92. Seja A um anel comutativo com elemento unidade; mostrar a característica de todo sub-anel unitário de 4 é igual à caracterís-
tica
do
têm
anel
4.
Daqui
característica
nula.
93. Mostrar que tem característica zero A é infinito. 94.
Mostrar
que
resulta,
em
particular,
que
os
corpos
Q,
R
ou
€
um anel comutativo 4, com elemento unidade, se, e sômente se, o menor sub-anel unitário de um
anel
comutativo
tem característica m>0 se, e sómente A tem exatamente m elementos.
95. Determinar as b) ZXZ,,, O Zi, XZoa-
se,
características
o
dos
4,
com
menor
elemento sub-anel
seguintes
unidade,
unitário
anéis:
a)
de
ZXZ;
211
2.4 - CORPOS corpo
DEFINIÇÃO
16
é denominado
PRIMOS - Todo
corpo
corpo primo.
que
admite
um
único
sub-
Portanto, se P é um corpo primo, então P é o único subcorpo de P. Conforme os exercícios 34 e 35 o corpo Q dos números racionais e o corpo Zp dos inteiros módulo p são
corpos primos; êstes resultados podem tamente ou então são consegiiências desenvolveremos
ser demonstrados diredas considerações que
abaixo.
Seja K um corpo e indiquemos seu corpo primo por P (81.6); se M é um subcorpo de P, M também é um subcorpo de K, logo, PCM, pois, P é o menor subcorpo de K e portanto M=P e fica assim demonstrado que P é um corpo primo. Conforme o teorema 29, a característica de um corpo primo P ou é igual a zero ou é igual a um número natural primo p. Neste último caso, o corolário do teorema 29 nos mostra que P é isomorfo ao corpo Zp dos inteiros módulo p; por tanto, conclui-se em particular que Zp é um corpo primo. Suponhamos, então, que a característica de P seja igual a zero. Conforme vimos na secção anterior a aplicação f:Z— P, de-
finida por
jf(n)=ne,
onde
e indica o elemento unidade de P, é
um monomorfismo e, além disso, Im(f)=ZecP. Como o único subcorpo de P é o próprio P resulta que P é o corpo de frações de Ze em P; portanto, em virtude do teorema 25, o monomorfismo f pode ser prolongado, de um único modo, a um isomorfismo f de Q em P, de onde vem, Q=P. Portanto, todo corpo primo de característica zero é isomorfo ao corpo Q dos números racionais. Demonstrámos acima o seguinte TEOREMA corpo primo
31
- Para
todo
primo
P,
zero,
então
P
característica p>0,
então
p é um
a) Q
se P tem característica dos números racionais;
b)
se P tem e P
é isomorfo
ao
corpo
corpo
Zp, dos
inteiros
temos: é isomorfo
módulo
ao
número p.
Do teorema acima resulta, imediatamente, que o corpo primo P de um corpo K ou é isomorfo ao corpo Q dos números racionais ou é isomorfo ao corpo Zp dos inteiros módulo p, ,
212
sendo que
segundo
no
primeiro
é o número
TEOREMA é
o
32
- O
automorfismo
primo
caso
a característica
natural
primo
único
de
p.
automorfismo
K
O e 1; de M,
e no
de um corpo primo
idêntico.
Demonstração - Seja f um automorfismo P e consideremos o conjunto
É imediato
é nula
que
de
um
M=txeP| fw=x>. tem pelo menos dois elementos,
M
além disso, temos
se
x
e
y
são
dois
corpo
a saber,
elementos
quaisquer
feac+y) = fa)+Ig)=2+y, f(x) =-J(x) =-x
e
focy) = foofy)=xy,
portanto, xeM e
x+y, -x e xy são elementos de M. se x+0, temos fxb=(fw)l=x!,
Finalmente, se logo, x'emM.
Portanto,
em
subcorpo
virtude
do teorema
e como P é um corpo primo, temos ção idêntica de P.
10,
M
M=P
é um
de
P
e então f é a aplicaÉ
EXERCÍCIOS 96.
Se
a
e
b
são
dois
elementos
gridade A, de característica p>0, aplicar
a
fórmula
do
binômio
quaisquer
de
um
anel
mostrar que (a+b)P =a?+b?.
de
Newton
e
notar
que
de
inte-
Sugestão:
pl (1),
para
i=1,2,--.,p-l. 97.
Seja
P
um
aP=a, para todo a é um automorfismo teorema 32. 98. número
Seja
K
natural
morfismo
de
corpo em de
um
primo
corpo
primo
p.
finito;
100. trar que
e b são dois característica
número Se
que
p>0;
mostrar
que
mostra: que a aplicação am a? o exercício anterior) é aplicar o
logo,
Mostrar
a
a
característica
aplicação
elementos quaisquer p>0, mostrar que
(asbP” =a?" 4d?” todo
característica
de
K
é um
é
um
auto-
ara?
K.
99. Se a gridade A, de
para
de
P. Sugestão: P (utilizando
A
natural é um
a aplicação
um
anel
de
inte-
(a-b)P” = a?” pr”,
n.
anel
a >
e
de
a?”
de
integridade
(nEeN)
é
um
de
característica
monomorfismo
p>0, de
4
mosem
A.
213
EXERCÍCIOS 101. Seja junto
Z(p»
frações
alb
sub-anel
(a e b 4
e
A”
isomorfismo
f
de
um Seja
de
K;
M(S),
M
A (0),
seguintes
a)
Dar
mostrar
unitário
de
de
M
em
de
todos
A.
d)
em
um
de
verificadas:
1)
isto
de
corpo
os
A
multiplicativo 105.
seja
M
de
todo
é, M
de
Z):
que
ser
pro-
frações
de
A
de
se,
de
um
anel
de
em
m>1.
M
um
igual comu-
se, as
é
regular
relação
à mul-
no
Z
anel
b)
Se
dos
megz,
é um
unidade, então
é
uma
é
somente
| mdcela,m)=1) 4
S
K
e
elemento
tem elemento
regulares
e seja em
K. M,
é fechado
M=(aczZ
A
K
multiplicativos
é um anel de integridade,
em
Seja
um
Se
elementos
Se
de
pode
AÍ[S]
em
vazio
sistemas
o conjunto
c)
f
corpo
de
4
não
multiplicativo
2) MMCM,
Z.
as
é um
e suponhamos
do
frações
de frações
exemplos
que
multiplicativo
tôdas
Z(p)
frações
que
números inteiros e no anel Z,, dos inteiros módulo m>0,
o subcon-
por
que
de
Mostrar
isomorfismo
corpo
sistema
a multiplicação;
tiplicação.
um
o corpo
A”.
subconjunto
estão
Demonstrar
de integridade
em
a
o
um
é um
condições
anéis A
sub-anel que
que
p/b.
formado
A”,
é o corpo
Diz-se
que
dois
e consideremos
racionais,
e determinar
de
de
um
mostrar
onde
104.
tativo
A
Q
modo,
de frações
103. parte
único
tais
O 82
primo
números
inteiros)
102. Sejam
no corpo
natural
dos
corpo
um
para
número Q
do
longado,
a
um
corpo
unitário
exista
A
p
do
SÓBRE
sistema
o conjunto
sistema
multiplicativo
M=A*
é um
então
sistema
A. K
o
corpo
de
frações
de
um
anel
de
integridade
4
e
multiplicativo em A; mostrar que o conjunto Aym=talmek | a€4, meM) é um sub-anel de K que contém M (A, é denominado anel de frações de 4 em K relativo ao sistema multiplicativo M). 106.
sistema
Demonstrar
dos
números
tal
que
inteiros
A=Z,. Seja
A
quemos por S tanto, conforme Definiremos
se
então
Sugestão:
b, tais que
107.
que
racionais,
um
anel
relação
é
um
sub-anel
um
sistema
considerar
exista albeM,
o conjunto o exercício
uma
A existe
o
com
=(at+bs,st) e dependem dos cia
(a,s)
elemento
ções se,
e
(b,f).
definidas «És;
neste
subconjunto
em
corpo
M
M
de
Q
em
todos
Z os
com
elemento
unidade
e
indi-
de todos os elementos regulares de A; por104, c), S é um sistema multiplicativo em A. R
sôbre
E=AXS
do
seguinte
modo:
se
(a,s)
de E, então (a,s)R(a',s) se, R é uma relação de equiva-
Se (a,s) e (b,t) são dois elementos quaisquer do Aç=EIR colocaremos, por definição, (a,9)+(b,D)=
(a,s)-(b,t)= (ab,st); mostrar representantes (a,s) e (b,t)
unidade
do
mdc(a,b)=1.
comutativo
e (a',s) são dois elementos quaisquer e sômente se, as'=sa'. a) Mostrar que
lência sôbre E. b) conjunto quociente
unitário
multiplicativo
c)
Verificar
que
(=(1,D=(s,s),
b).
caso,
d)
Mostrar
O inverso
que das
As
é
com
s
em
que
(a,s)
de (a,s)
é
um S)
estas definições não classes de equivalênanel em
comutativo relação
é inversível (s,a).
se,
às
e
com opera-
somente
214
e)
Se
de
As
A'=((a,DeAç e que
identificar
que todo
a
4
| aeA),
aplicacão
com
A”
por
elemento
(a
dE As
4
por um
de um
elemento
acima
é
«e
denominado
verificar que
a-ta,s,, meio
anel
de
do
ao
de
S.
frações
do
todo elemento de S é inversível em Aç. h) com elemento unidade e suponhamos que de
A
em
B,
tal que
em
B;
demonstrar
um
monomorfismo
um
sistema
108.
onde
S
Seja
é o
um
elemento
Aç
um
anel
que contém ao
jf(s,,
em
isomorfismo, f)
Verificar
(determinado O
anel
anel
prolongado,
ser
um
A.
Aç g)
em
Aç)
construído
Mostrar
que
Seja B um anel comutativo exista um monomorfismo f,
elemento
com
s
em
S,
de
um
seja
inversível
único
modo,
a
B.
comutativo
A não
(Ay,
com
elemento
unidade
um
anel
nulo
de
então
rando-se o anel Seja
a
A
um
exercício
anterior,
é um
M).
comutativo A;
n=0.
a)
elemento ainda
Demonstrar
mostrar
anel
com
suponhamos
característica
A=Z,XZ
no
é denominado anel de frações de
multiplicativo
inteiro, implica
integridade, 110.
-
pode
considerado
A
sistema
109. Seja n
de
conjunto
As
com
f
é
anterior.
e seja
M
multiplicativo em A; mostrar que o conjunto Am=talmeAç|IacA, meM:,
de
relativo
A
todo
que
A”,
quociente
elemento de
em
isomorfismo
é igual
total
A' é um sub-anel unitário
A
de
que
comutativo
A
é
que
que
se
igual
a
A
unidade
sub-anel
em
Aç
e sejá
a
relação
A
é um
zero.
b)
a
na=o0,
anel
de
Conside-
a hipótese feita em a) é essencial. com
elemento
unidade
e
seja
a
um elemento não nulo de A; suponhamos ainda que exista um número inteiro n&0 tal que na=0 e seja m o menor número natural não nulo
tal que
ma =0.
mostrar
que
m
a) Demonstrar que
é a característica
de
a hipótese
4.
b)
se 4 é um anel
Considerando-se
feita em
o
de
anel
E CORPOS
então
A =Z,XZ,
a) é essencial.
111. Sejam 4 e B dois anéis comutativos com mostrar que a característica do anel produto AXB múltiplo comum das características de 4 e de B.
83 - ANÉIS
integridade,
produto
elementos unidades; é igual ao mínimo
ORDENADOS
O desenvolvimento dêste parágrafo é básico para o capítulo seguinte onde introduziremos o corpo dos números reais. Para facilitar a exposicão só consideraremos ordens totais e os anéis considerados serão, em geral, anéis de integridade. O 83.1 completa o estudo iniciado no Capitulo II sôbre grupos ordenados; nos parágrafos 3.2 e 3.3 veremos, respectivamente, a estrutura de anel ordenado e de corpo ordenado.
3.1 - GRUPOS
ORDENADOS
Repetiremos aqui, de modo sucinto, os axiomas que definem a estrutura de grupo aditivo totalmente ordenado (ver o 81.4
215
do Capítulo II). Considera-se um conjunto não vazio G e supõe-se que sôbre êste conjunto estejam definidas uma operação. de adição (a,b+r>a+b e uma relação < que satisfazem os seguintes axiomas
Al:
(a+b)+c=a+(b+c)
Ol: a
a1.
De
anel
de
integridade 4 sa-
satisfaz
fatorial
a
condição
satisfaz
(Milen
ideais
principais
axioma:
uma
o
das
axioma
cadeia
cadeias AF7.
crescente
Usando-se neste
uma
caso,
notação
temos
conveniente
M;,+10;
by >ô(b,)>--->A(b)> (bua)>--,
ô é a função
para
comprimento;
portanto,
existe
um
todo
índice
tal que ô(b;) = d(b,)' para todo i>n. Ora, de Ab, c Ab; vem e como &b,) = O(b;) concluímos que b;=b,, logo, Ab;= Ab,
todo i>n; portanto, a cadeia (M;) é estacionária. TEOREMA o axioma
de
do anel A; podemos, evidentemente, tal que M,*Mp, e daqui resulta
AbcAb,c-..cAbCAbinC-
resulta onde
que
um
o seguinte
P(A)
principais M,=Ab; que exista peN supor
que
cadeias crescentes para
AFY7
37 - Todo também
anel de satisfaz
integridade
a condição
A
AFI.
que
n
bilb,, para
]
satisfaz
406
DemonsrtTRAÇÃO - Consideremos o conjunto S de todos os elementos b, de A, tais que bEU(A)UTO: e b não é produto de
elementos
que S+Q;
irredutíveis
em
4
e
portanto, o conjunto
suponhamos,
por
absurdo,
S=(A-be P(A) |aesS) também
não é vazio. Ora, por hipótese, P(A) satisfaz a condição das cadeias crescentes, logo, em virtude do teorema 34, P(A) também satisfaz a condição maximal; portanto, existe bes tal que Ab, seja um elemento maximal de S. O elemento b, é, necessariamente, redutível, logo, existem b, e b, em 4 tais que
bo=b;b, e bg U(A)UO) (i=1,2); daqui resulta que Abc Ab; e Ab,* Ab; (i=1,2) e como Ab, é elemento maximal de S, temos Ab;igS, de onde vem, bi&S (i=1,2). Portanto, b, e b, são produtos de elementos irredutíveis em 4, logo, b,=b,b, também é um produto de elementos irredutíveis em 4, contra a defi-
nição do elemento bo. temos
Em virtude do o seguinte
TEOREMA e sômente
teorema acima, do lema 16 e do teorema 6,
38 - Um
se, 4
AF3”: o ideal
É
anel
satisfaz
de
para todo elemento
principal
Ap
integridade
a condição
4
é fatorial
se,
AFY7 e a seguinte condição
pe4A,
se p é irredutível, então
é primo.
Procuraremos, a seguir, exprimir os axiomas AF4, e AF6 por meio de condições sôbre ideais principais.
LEMA
19 - As
seguintes
condições,
anel
mdc;
de integridade A, são equivalentes AF4:
premo
A
AF4':
em
é um
dois
P(A).
ideais
com
principais
quaisquer
DemoNsTRAÇÃO - AF4=> AF4'. principais de aebe para
outro
lado,
Aac Ad
sôbre
Sejam
de
4a
AF5
um mesmo anel
4
admitem
e Ab
su-
dois ideais
4; por hipótese, existe de4 que é um mdc de êste elemento d temos 4acAd e Abc Ad. Por
se
Ad'
e Abc Ad,
é
um
elemento
temos d'la
qualquer
e d'lb, logo
de
P(A)
e
se
d'ld, de onde vem,
Adc Ad'; portanto, Ad é o mínimo, em P(A), dos majorantes de (4a, Ab;, ou seja, Ad=supítAa, Ab) (ver a definição 1, Capítulo V). AF4'— AF”. Sejam a e b dois elementos quaisquer de A; por hipótese, existe Ad=suptÃa,Ab: e, neste caso, temos
407
Aac Ad e AbCAd, logo dla e dlb. Por é um divisor comum de a e b, temos
logo, Ad=supt4a, AbLC Ad”, de onde um
mdc
de
LEMA
vem,
outro lado, se dEA 4ac Ad' e AbC Ad,
d'ld; portanto,
d
a e b.
É
20 - As 4,
é
seguintes
de
integridade
são
A
AF5: 4 é um anel AF5': a intersecção é um ideal principal.
condições,
sôbre
um
mesmo anel
equivalentes: com mmc; de dois ideais principais quaisquer
Demonstração - AF5 => AF5”.
Sejam
4a
e Ab
de
dois ideais
principais quaisquer de A; por hipótese, existe me4 que é um mmc de a e b e para êste elemento m temos AmcAa e Amc 4b, logo, AmcAam Ab. Por outro lado, se me AamMAb, temos m'eAa e m'E4b, logo, alm” e blm”, de onde vem, mim” e então me Am; portanto, AaNAb= Am. AF5=> AF5. Sejam a e b dois elementos quaisquer de A e consideremos os ideais principais 4a e Ab; por hipótese, Aa Ab é principal, logo, existe m em 4 tal que 4a Ab= Am. Neste caso, temos AmcÃa e Amc Ab, logo, alm e blm; por
outro lado, se mEA e
Am'cAb,
logo,
é tal que
AmcAaNAb=Am,
Portanto, m é um mmc
de a e b.
De acôrdo com os lemas e 37, temos o seguinte
TEOREMA e sômente
AF'6 um
se,
39 - Um 4
alm' e blm”, teremos
anel
18,
de
19
de e 20
onde
Am'c Aa
vem,
mim”.
e os teoremas
integridade
A
satisfaz os axiomas AF7 e AF4
E
8, 11
é fatorial
se,
ou AF7 e AF5.
LEMA 21 - Um anel de integridade 4 satisfaz a condição se, e sômente se, é válida a seguinte condição AF6': a soma de ideal principal.
dois
ideais
principais
quaisquer
de
4
é
Demonstração - AF6 => AF6'. Sejam Aa e Ab dois ideais principais de A; por hipótese, existe um elemento d em 4 que é um divisor comum de a e b, de onde vem, Aac Ad e Abc Ad, logo, Aa+Abc Ad. Além disso, para êste elemento d existem r e s em 4 tais que d=ra+sb, logo, de Aa+Ab e então Adc Aa+ Ab. A
AF6' => AF6. e consideremos
Sejam a e b dois elementos quaisquer de os ideais principais 4a e Ab; por hipótese,
408
existe d em
4
tal que
4a+Ab= Ad,
de onde vem, dla e dlb. que existem r e s em 4 O
teorema
TEOREMA condições AF7
16
pode
logo, AacAd
e Abc Ad,
Finalmente, de Aa+Ab=Ad tais que d=ra+sb. então
ser
enunciado
sob
40 - Se um anel de integridade e AF6, então 4 é fatorial.
resulta E
a forma
A
satisfaz
as
EXERCÍCIOS 124. inteiros ros
Mostrar
é um
125.
Mostrar
um
ideal
é
teorema
que
ideal
todo
maximal. que
todo
primo
ideal
primo
Sugestão: ideal
próprio.
próprio
do
exercício
maximal Sugestão:
do
anel
114
anel
Z
dos
e lema Z dos
exercício
114
números
16.
números e
intei-
corolário
do
36.
126.
Quais
A=QX,,X,], a)
são
dos
seguintes
primos
ou
ideais
M,
do
anel
de
polinômios
maximais?
M=AX,;
b)
M=AX,+4X,;
o) M=A(X;-4); dD) M=A(Xf-9); o) M=A(XJAD+A(X, +27). 4.4 - ANÉIS
PRINCIPAIS
DEFINIÇÃC 27 - Diz-se que um anel de integridade 4 um anel principal se, e somente se, todo ideal de 4 é principal.
TEOREMA
41 - Todo
anel principal
é
é fatorial.
DemonsTRAÇÃO - É imediato que o anel principal A satisfaz a condição AF6' e mostraremos abaixo que AF7 também é verdadeira em 4, logo, em virtude do teorema 40, A é fa-
torial. Seja (M;)ien sideremos
uma
o conjunto
que
existe
temos
MC M,,
temos
MacMi,
um
logo,
b em índice
M=M,;
Mi=M,,
4 n
é fácil
tal que tal
que
finalmente,
ou
seja,
de ideais de 4 e con-
verificar
que
M=4Ab. beM, para
e,
M
é um
Como
beM
neste
caso,
todo índice
a cadeia
i>n,
(M;)
é esta-
COROLÁRIO - Se à e b são elementos quaisquer anel principal A, então Aa+4Ab=Ad e AaNNAb= Am, é um mdc de à e bem é um mmc de q e b.
de um onde d
cionária.
logo,
crescente
M = U Mi;
ideal de 4, logo, existe resulta
cadeia
E
409
A,
TEOREMA 42 - Um ideal próprio M, de é primo se, e sômente se, M é um ideal
um anel.principal maximal de A.
DEeMmoNsTRAÇÃO - Por hipótese, existe p em 4 tal que M= Ap
e temos, mo,
maximal maximal A,
necessáriamente,
então,
virtude
dos
lemas
16
em
virtude
do
corolário
Se M
é um
ideal pri-
e 17, Ap
é um
elemento
do conjunto P(A)*=A)*; portanto, M é um ideal de 4. Reciprocamente, se M é um ideal maximal de
então,
ideal primo. primo
pg&U(A)UO).
em
Portanto, próprio
num anel principal e ideal maximal.
TEOREMA
43 - Todo
anel
DemonstTRAÇÃO - Seja
4
do não
teorema há
M
é um
Ê
distinção entre ideal
euclidiano
um
36,
é principal.
anel ô-euclidiano e seja
Mz10)
um ideal de 4; o conjunto tdgyeN |aeM e a+0) é não vazio, logo, êste conjunto tem mínimo dd), com deM e temos AdcM.
Se
x é um
elemento
elementos q er em A tais que notando-se
que
ou seja, MCAd.
r=x-gqdemM
COROLÁRIO - Os são
qualquer
x=qd+r, resulta
anéis
de
onde
que
Z e KI[X],
M,
então
existem
d(r) AFI.
TEOREMA
44 - Um
o axioma
da
no entanto,
escolha
anel de integridade
demonstração
A
e sômente se, existe uma aplicação 0: 4*-» N condições AEl, AE2 e a seguinte condição:
para
que
estabele-
é principal que
satisfaz
se, as
(*) quaisquer que sejam a e b em A*, se afb e se bia, então existe r em A* tal que d(r)0 e onde temos, necessariamente, bz0 e c>l. De acôrdo com a definição de inteiro quadrático, temos Tec) = 2 c
q
e
N(x)=-
2.
2
E Tiez.
Mostraremos, inicialmente, que mdcta,c)=1. Com caso contrário existe um número primo p tal que
efeito, no pla e plc,
logo, p*I(a?-mb?), de onde vem, p?|(mb?) e como m é livre de quadrados resulta que plb e então mdc(a,b,c)+1, contra a hipótese. De
Se mi que
m=1
2alceZ
(mod.
a e b são
(mod.
4).
e mdc(a,c)=1
4)
pares, logo,
xe Z[w],
Finalmente, suponhamos
v=a+bo),
onde
temos com
que
a2=mb? (mod. 4). resulta, fâcilmente, da
com (29), temos 4,,+Zlw]; feita acima, todo elemento ma
concluímes
c=2,
logo,
congruência
acima
contra a hipótese; portanto,
que m=1
(mod. 4), logo, de acôrdo
portanto, em virtude da discussão x de 4,, tal que x&Zlw)] é da for-
a e b são
inteiros
ímpares
e, neste caso,
r=D.v[l(1+0)], 2 2 (a-b)/2€EZ,
TEOREMA
logo,
xezizl +w)]
e então
Am = 251+0)].
51 - U(A,)=ixe A, IN(x) = +1>.
420
Demonstração
- Se
logo, x é inversível.
N(x)=+1,
temos
x7x=+1
ou
x(+7)=l1,
Reciprocamente, se xe U(A,,), então existe
y em A, tal que xy=1, de onde vem, N(xo)N(y)=1 e como N(x) e N(y) são números inteiros concluímos que N(x)=+1. | Utilizando-se o teorema acima determinam-se, facilmente,
os
Am
elementos e
inversíveis
temos
onde 0=U+iV) e 1
.
= —
para
todo
de
um
anel
quadrático
imaginário
U(A-D=t1,1,-i,i), UA
9)
m1
em
U(Am=ttn'eAmiseZ).
Consideremos agora a aplicação O: A,—N definida por dx) =IN(x)]. De acôrdo com o teorema 48, temos dx)>1 e
xy) = AX), quaisquer que sejam x e y em A,,; além disso, se vEU(AmUO), então dgp>1 (teorema 51), logo, a aplicação Ô satisfaz as condições AEl e AE2 (ver o 82.1) e, neste caso, o teorema 13 nos mostra que é válido o seguinte ção
TEOREMA
52
-
Todo
anel
quadrático
Observemos
que
nem
todo
anel
ExempLo
- No
anel
4,
temos
todo
elemento
xe4
tal que
condição
AF2
não
AFI.
e é fácil
28
verificar
que
satisfaz
quadrático
3.3=(2+iy52-i1/5)
a
condi-
é fatorial:
N(x)=9
é
irredutível; em particular 3, 2+iy/5 e 2-iy/5 são irredutíveis e é imediato que 3 não é associado a 2+iy/5 e nem a 2-iY/5, pois, U(A )=t-1,1).
em
A... Podemos, A)
Portanto, então,
a
propor
para que valores de m
o seguinte
é
verdadeira
problema:
o anel quadrático
A,,
é fatorial?
Esta questão ainda não está resolvida em Matemática; conhecem-se, simplesmente, condições necessárias sôbre m para que A, seja fatorial (algumas informações estão dadas nos exercícios 186-9). Para resolver o problema A) pode-se tentar a introdução de um algoritmo da divisão sôbre 4, e a apli-
421
cação
x->INçol,
que já satisfaz as condições AEl
e AE2, apa-
rece naturalmente como uma possível escolha; se esta aplicação satisfazer a condição AE3 diremos que 4, é N-euclidiano.
Coloca-se,
então, o seguinte
B) para N-euclidiano?
que
valores
problema:
de
m
o
anel
quadrático
Am
é
Esta questão está completamente resolvida e demonstra-se que os únicos valores de m que satisfazem B) são os seguintes: *11,-7,-3,-2,-1,2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,97 e 73. Existem
satisfazem Pode-se,
outros
B);
os
então,
valores
dois
propor
de
primeiros
o seguinte
C) se Am é fatorial e se existe um algoritmo da divisão seja ô-euclidiano? Esta
questão
só
m
está
que
são
Demonstraremos necessitamos
para
seguintes:
14
e
e
não
19.
Am não é N-euclidiano, então ô sôbre Am de mcdo que Am
resolvida
abaixo
os
A)
problema:
imaginários (ver o teorema 54). N-euclidiano
satisfazem
que
o
para
anéis
anel
quadrático
m=-11,-7,-5,-3,-2,-1,2,3,5
do seguinte
quadráticos
e 13
Am
e para
é isso
LEMA 25 - O anel quadrático Am é N-euclidiano se, e sómente se, a seguinte condição estiver verificada: para todo « em Km, existe qe Am tal que IN(a-qg)lINcx)
satisfaça a condição AE3 e seja « um elemento qualquer de Km; podemos, evidentemente, supor que «g&A,.,, logo, êste elemento é da forma «=2/y, com 8 ey em Am,7+0€e vtÊ. Em
virtude de AE3 resulta que existe qe Am tal que IN(B-qyI0 para todo
CDg(o)=-g(xw)>0
É
para
raiz
portanto,
em
com a,:*»,X,)EB”,
n
| | 4 (X-x;)
o do
obter
É
distintos
(I f; ,
Consideremos z=a-+bi,
que
o
com
a
as aplicações
nar
os
núcleos
pos
quocientes
e as
e
isomorfismo
aditivo b
reais,
dêstes
45.
Demonstrar
46.
uma
Sejam
seja normal
N
em
a) NL
e L
um
é um
47. Se
grupo
(Ney
normais,
de
um
que grupo
49. Demonstrar não
em
é uma
normais
48. Mostrar
um
ponhamos
G em
H. complexos
e
&m=a
e
LIg=b.
de (C,+)
e determi-
Determinar
os
gru-
N
de
um
de
um
G
tem
é normal
grupo
G
grupo
e
um
em
G
único
G.
e
se sub-
Sugestão:
suponhamos
que
N
propriedades:
de G e NL=LN; G,
então
família
(n,
de G.
a reunião que
finito
então
as seguintes
iel
G,
subgrupo
grupo
m,
subgrupos
subgrupo
G, então
são subgrupos
se
ordem
G; verificar
b) se L é normal
de
números
e ClKer(d9).
que
dada
dos
endomorfismos.
44. Demonstrar que se N é um (G:N)=2, então N é normal em G. grupo N, de exercício 40.
€
& e 4 são endomorfismos
imagens
C/lKer(&R)
é um
grupo
é um
NL
não
e
também
vazia de
é normal
em
subgrupos
G.
normais de
[Un,] tel
de uma subgrupo
cadeia normal
crescente de
de
subgrupos
G.
Aut(Z) = (-1,1).
50. Demonstrar que se G não é abeliano, é abeliano. Sugestão: teorema 20.
então
Aut(G)
também
469
1.5 - TEOREMAS
DO
Demonstraremos, TEOREMA
ISOMORFISMO
inicialmente,
21 - Consideremos
o seguinte o seguinte
diagrama
a-— P1
o)
GUM, ed... +GálM, onde
cada
normal
G, é um
de
G,,
grupo
multiplicativo,
q; é o homomorfismo
M,
é um
canônico
de
subgrupo
G; em GilM;
e f é um homomorfismo de G, em G, tal que f(MD)CM,. tas, condições, a) existe
temos uma única
aplicação
j*:G,/M, —G.lM,
Nes-
tal
que
f*opi= Pref;
b) f* é um homomorfismo; c) se f é um epimorfismo, então
morfismo;
4
d) N=f (M,) Ker(fO)=NIM,.
é um
subgrupo
f*
também
normal
de
é um
G,,
epi-
MON
e
DEMONSTRAÇÃO
a) É imediato que se xM,=yM,, com x e y em G,, então f(x)M,=f(y)M,, pois, (MDCM,; portanto, xM,> feoM, é uma aplicação f* de GilM, em GálM, e é evidente que f*opi=W,ºf. Se g:GIM, -GalM, é tal que goqy,=qy,ºf e se xM,
é
um
logo, g = j*.
elemento
de
GilM,,
então
gaeMp = (Pu) =(geQÃO) = (Pao fx) = e yM,
são
dois
temos
f(xMy,
)= = fooMa = P(fa
b) se xM,
temos
qualquer
elementos quaisquer
de
GlMi,
f(xMyMp = fº(xyMD = fecyM.=
= [feofalM» = feoM» fapM.=f'(xMpDf*(yMp, logo, f* é um homomorfismo. c) Para todo x,M,eGa/M, existe, por hipótese, x)€eG, que f(xy=t>. logo, f
e então
jf'
d) As
na
secção
é um
primeiras
anterior;
Cr M)y)
= fexvMo
epimorfismo.
afirmações
vejamos
a
tal
= XaMs
desta última.
parte
já
Seja
xM,
foram (xeGy)
vistas um
470
elemento do conjunto quociente N/M,, logo, xeN, de onde vem, f(x)eM,; portanto, q(f(x))=f*(xM,) é o elemento unidade M, de GslM,, ou seja, «Me Ker(f*) e então Por outro lado, se xM;eKer(f*), temos
NIM; CKer(f*).
Mo = "(Mp = f*(pua)) = (F*opia) = = (Po o) = Pa(fiao)) = fooM», logo,
fxyeM,
monstrado O
ou
xeN;
portanto,
«MeNIM,
que Ker(f9)c NIM.
homomorfismo
f*,
definido
é denominado
na
- Seja N
subgrupo normal de um grupo G, seja canônico de G em G'=GIN, seja K' um
e ponhamos
Nestas
a) K K'=KIN;
homomorfismo
induzido
K = PK).
condições,
é um
É
teorema do isomorfismo)
um mo
de G
de-
do teore-
erima,
22 (primeiro
assim
demonstração
ma
TEOREMA
e fica
por f.
y o homomorfissubgrupo normal
temos:
subgrupo
normal
de
b) existe um único isomorfismo
G,
NCK,
q(K)=K'
q*: G/IK —G'IK'
e
tal que
p*og=qoy, onde q eq” são, respectivamente, os homomortfismos canônicos de G em G/IK e de G' em GIK. Os
podem
diversos
ser
homomorfismos
visualizados 4
G
pelo
considerados
seguinte
neste
teorema
diagrama
G'=GIN
q
q
,
Gk-—L
,
K = 0(K”) * º , Poq=-qoQç.
Ss GIK
DEMONSTRAÇÃO
a) Estas propriedades já foram consideradas na secção anterior. b) Temos q(K)CK' e K é um subgrupo normal de G, logo, em virtude do teorema anterior, o homomorfismo- induzido q*
é tal que
y*og=qoy:
de acôrdo
com a parte c) do mesmo
teo-
rema, q* é um epimorfismo e, em virtude de d), temos Ker(g *) = K/K = (13, logo, q* é um isomorfismo. A unicidade de
q* já foi vista na parte Observemos,
a) do teorema
21.
em particular, que GIK =GIK' =(GINKKIN);
E
471
além
disso,
o isomorfismo
para todo xKeGIK. canônicos,
GIK
o que
nos
qy*
é definido
por
p*(rK) = quoK, q* e q*! são denominados permite
dizer
que
os
e GIK' são canônicamente isomorfos. TEOREMA
23 (segundo
um subgrupo normal de qualquer de G; temos:
teorema
um
grupo
isomorfismos
grupos
do isomorfismo) G
e seja
a) SMN é um subgrupo normal subgrupo de G que contém N;
de
S
S
um
quocientes
- Seja N subgrupo
e SN=NS
é um
b) os grupos quocientes SI(SMNN) e (SN)|N são isomorfos. Demonstração - Consideremos
o
homomorfismo
canônico
y de G em G=GIN e seja ps a restrição de 'y ao subgrupo S; é imediato que ys é um epimorfismo de S em q(S) e que Ker(go = SMN, de onde resulta, em particular, que SMN é um subgrupo normal de S. De acôrdo com o corolário do teorema do homomorfismo, existe um único isomorfismo q'ç: SKSMN = q(S) tal que qgçog=Ys, onde q é o homomorfismo canônico de S em SI(SMN) (ver o diagrama abaixo). Por outro lado, temos
q(SN)=q(S) e Pg(S)=SN; desta última igualdade concluímos que SN é um subgrupo normal de G, que NCSN e, finalmente, temos SN=(SN)!=N1S!=NS. Indiquemos por q, a restrição de q a L=SN; é imediato que q, é um epimorfismo de L em q(S) e que Ker(g,p)=N, logo, de acôrdo com o corolário
do
teorema
abaixo).
Com
estas
do homomorfismo,
morfismo q,: (SN)IN — q(S) tal que momorfismo canônico de SN em
SKSNN) em (SNYN.
notações.
q
és
SKSMN) Observemos para todo nônicos.
x em
7=(g/)!op;
P XS) a=b; )asc=bec=>5a=b; 5) (ab)xb=a. Finalmente, mostrar que a operação é
associativa.
não
58.
Seja
vazio
G
* uma
operação
e suponhamos
associativa
que
exista
definida
uma
sôbre
aplicação
um
f:G
conjunto
-G tal
que
Ha) x(ab) = b = (ba) xj(a), quaisquer
(G,*) neutro
para 59.
mos
que
é um
que
sejam
grupo.
à
a operação
Seja sejam
I. existe
*
uma
b
em
G
G.
Nestas
mostrar
que
condições,
demonstrar
axwfla)=bxj(b)
é o
que
elemento
x.
operação
válidos e em
e
Sugestão:
definida
os
seguintes
tal
que
sóbre
um
conjunto
G
e suponha-
axiomas:
axb=e
se,
e sómente
se,
a =b;
476 II. (04x 0)x(bx0)=b.
Nestas condições, demonstrar que a operação define
uma
estrutura
de grupo
60. Com as notações x satisfaça o axioma
ração
II. Mostrar então
do
é
ab=ax(exb),
se
G
um
é não
grupo
onde
verificar que
exercício
IV.
por
G
vazio
abeliano
e=açxa,
é um
que
e se
a operação
em
relação
à
+
a ope-
satisfazo axioma
operação
-. definida
(a, é um elemento dado de G).
Seja
*
b e
grupo
onde
58,
suponhamos
que
II, por
Sugestão:
a operação
que
c em
abeliano
em
relação
à operação
. definida
1=axa.
uma
e suponhamos a,
suponhamos
57.
(ax c)x(axb) = bwc.
ab=ax(1xb),
sejam
exercício
[ax(axb)lxlax(axb)]=axa=bxb.
que
62. G
G. Sugestão:
anterior,
61. Com as notações do exercício * satisfaça o axioma II e o seguinte Mostrar
-, definida pór a-b = ax(exb),
o conjunto
ax(axb)=axb. que
G
sôbre
operação
definida
o seguinte
axioma
G,
sôbre esteja
um
conjunto
verificado:
não
vazio
quaisquer
que
tem-se
b=ax(ax )x(bxc)). Mostrar
por
que
G é um
ab=ax(1lxb),
exercício
grupo
onde
anterior;
comutativo
1=axa.
pondo-se
em
relação
Sugestão:
a'=axa
à operação
verificar
mostrar
que
o
- definida
axioma
a=ax(awc),
III
do
a=axa
e b=ax[l(a+xb)xb]; a seguir mostra-se que a operação + satisfaz o axioma I do
exercício 63.
mero
Se
59. A
inteiro,
é uma
parte
colocaremos
exemplo,
tem-se
a) AMD=
AD=A4
(AM,
b) Am Am = Ata Sugestão
para
a parte
64.
Seja
G
vazia
de
um
grupo
G
e se
e ACD=AT.
Verificar
as
propriedades:.
onde
b):
existem
um
grupo
que
G”
inteiros
e suponhamos
r e s tais que
que
(ab)”= a
e Gm,
São
subgrupos
de
b) Se G é finito, tem-se (G”) =(G:Gm). Sugestão: considerar morfismo. 65.
Sejam
4
a aplicação
e B
é um
nú-
d=mdce(m,n).
dois
x
x”
subgrupos
e utilizar de
um
rm+sn=d.
b , onde
nn
inteiro fixo e a e b são elementos quaisquer de G. a) Mostrar
n
AP =(0"EGl|acA) Am=teAla”=1).
e
Por
não
n é um
G.
o
grupo
teorema G;
do
homo-
demonstrar
que
para tôda classe lateral à direita (ANB)x existem elementos y e z em G tais que (ANB)x = (AyN(Bz2). Concluir daí que se 4 e B têm índices finitos
em
G,
então
66.
Se
4
e B
AMB são
também subgrupos
tem
índice
finitos
de
finito
em
um
grupo
o(AB) = o(A)o(B)jo(AMB)
G. G,
então temos
411 67. índices
Com
as
notações
finitos
em
G,
do
então
exercício
vaiem
as
65,
(G:ANB)0
de
(Z,+)
em
[a];
além
disso,
temos
Ker(f)=Zm,
(teorema 7), portanto, em virtude do corolário do
onde
teore-
ma do homomorfismo, temos Z/Zm=[a]. Observando-se que o grupo quociente Z/Zm é infinito se, e somente se, m=0
concluímos,
imediatamente,
que
a tem
ordem
mente se, f é injetora e é evidente, neste que termina a verificação da parte a).
b) As
primeiras
afirmações
infinita se, e só-
caso,
que
Z=[a],
o
desta parte já foram demons-
tradas acima; finalmente, é imedjato que m é o menor inteiro estritamente positivo tal que a”=1, pois, conforme a demonstração do teorema 7, m é o menor inteiro estritamente
positivo tal que tra
No caso que Z=G
ZiZm=G ordem
fismo, a tem
m;
me Ker(j).
]
particular em que G=[a] o teorema 25 nos mosse, e somente se, o grupo cíclico G é infinito e
se, e sômente se, o grupo ficam
todos
assim
determinados,
os grupos
cíclicos.
cíclico
a menos
G
é finito
de
um
e de
isomor-
COROLÁRIO 1 -Se a é um elemento de um grupo G e se ordem finita m, então a”=1 se, e sômente se, min. Basta
notar
que
neKer(f) = Zm.
a
condição
a”=1
é
equivalente
a
]
COROLÁRIO 2-Se G é um grupo finito de ordem n, então todo elemento a de G tem ordem finita e o(a)In; em particular, temos x” =1 para todo elemento x de G. Com efeito, é evidente que a tem ordem finita e o teorema de Lagrange nos mostra que o(a)=o([a]) é um divisor de n; finalmente, a última afirmação é uma consequência imedia-
ta do corolário anterior. COROLÁRIO
3-Se
então
]
G=[a]
é um
grupo
finito de ordem n,
G=tl,a,a”,.cc,arh.
COROLÁRIO 4 - Todo grupo finito,G cuja ordem é um número primo p é um grupo cíclico; além disso, todo elemento a de G tal que «1 é um gerador de G.
Com
efeito,
se
acG
logo, o(a)=p e então [a]=G.
e
se
azl,
temos
o(a)>1
e omlp,
]
480
n
LEMA 7 - Seja G=[a]) um grupo cíclico de ordem finita e seja a”, com 00 tal que ateH concluímos que aH tem ordem finita, logo, GIH é um grupo finito. Pondo-se (G:H)=d resulta que d é o menor inteiro estritamente positivo tal que (aH)º=a!H=H, logo, d é o menor inteiro estritamente positivo tal que a“cH e é fácil verificar que H=[aº). b) Conforme a parte anterior, temos H=[a?), com d>0 e é imediato que a? tem ordem infinita, logo, c) Em virtude do lema 7 o elemento
nimde(n,nim=ni(nim=m, dem m. o(H,))=m,
Seja logo,
logo,
H é infinito. a?!” tem ordem
o subgrupo
H, um subgrupo de min e podemos supor
H=[a”"!”)] tem
or-
G e suponhamos que que m>1; conforme a
parte a), temos H,=[a?), onde d=(G:H,), logo, din. Finalmente, de acôrdo com o lema 7, temos m=o(a?)=nimdc(n,d)=nid,
de onde vem, d=nim
e então
COROLÁRIO - Um
sômente então,
H,=H.
grupo abeliano Gx(l)
se, G é finito de ordem
DEmoNsTRAÇÃO - Se a ordem de acôórdo com o teorema
é simples
prima.
]
se, e
de G é um número primo, de Lagrange, os únicos sub-
grupos de G são G e (1), logo, G é simples.
Reciprocamente,
se G é abeliano e simples, então para todo aceG, a+1, tem-se G =[a] e o teorema acima nos mostra que o conjunto G é fi-
nito e o(G) é um número primo. ExempLo
35 - Já foram
É
definidos
dois
grupos de ordem 4:
o grupo aditivo Z/Z.4 dos inteiros módulo 4 e o grupo produto (Z/Z.2)X(ZIZ.2) (ver o exemplo 9) do grupo aditivo dos
inteiros módulo 2 por si mesmo. Notemos que êstes grupos não são isomortfos, pois, o primeiro tem um elemento de ordem 4 e o segundo não satisfaz esta condição. Vamos demonstrar neste exemplo, que êstes são, a menos de um isomorfismo, os únicos grupos de ordem 4. Consideremos, então, um grupo (G,-), de ordem 4, e indiquemos por e seu elemento unidade; conforme o corolário 2 do teorema 25, para todo elemento x de G, xe, temos o(x)l4, logo, x tem ordem 4 ou 2. Distinguiremos,
então,
os
mento
ordem
4; 2.º) para
de
seguintes
casos:
todo
1.º)
x+e,
existe
tem-se
em
G
um
o(x)=2.
ele-
482
1.º) Neste caso G=[a] é um grupo cíclico de ordem 4 e temos G=Z/Z-4 (teorema 25) e pode-se construir, tfácilmente. a tábua dêste grupo. 2.º) Sejam qu e b dois elementos de G tais que a ze, bye e azb; temos lado. notemos
a=a! e b=b!, logo. abze, pois, a+b. Por outro que aba (pois. bze) e ab+b (pois, ae). logo,
ab é o quarto elemento do grupo G. Finalmente, de (ba)? =e resulta ba=(ba)!=c'lb!=ab. Com êstes dados podemos construir a tábua do grupo (G.,.) e teremos e
a
bab
e
a
bãab
a
e
ab
b
b
ab
e
a
ab
b
e
b ab |
ae
É fácil verificar que êste grupo é isomorfo ao grupo produto do grupo aditivo dos inteiros módulo 2 por si mesmo. O grupo construído acima é denominado grupo de Klein e será indicado
por
V,.
ExempLo 36 - Já foram definidos dois grupos de ordem 6: o grupo aditivo dos inteiros módulo 6 e o grupo simétrico
S: do intervalo [1,3] (ver o exemplo 8 ou o exemplo 34 do Ca-
pítulo ID. Notemos que êstes grupos não são isomorfos. pois. o primeiro é abeliano e o segundo não o é. Vamos demonstrar neste
exemplo
que
êstes
grupos
são,
a menos
de
um
isomor-
fismo, os unicos grupos de ordem 6. Consideremos, então, um grupo (G.-) de ordem 6 e indiquemos por e seu elemento unidade; elemento
conforme o «x de G, com
corolário 2 do teorema 25. para todo x +e, temos o(x)]6. logo. x tem ordem 6,
3 ou 2. Distinguiremos, então, os em G um elemento a de ordem
seguintes casos: 1.º) existe 6; 2.º) para todo veG-tes
temos o(x)4, logo, o(b) =6 o que está em contradição com a hipótese feita neste segundo caso. Portanto, b?=e. Finalmente, determinaremos o produto ba. Notemos que baze. bata e baza”, pois, be[a]);
se ba=ab,
teriamos
(ab)? =a?b?=a?
e daqui
viria, como
na dis-
cussão anterior, que o(ab)=6, contra a hipótese. Portanto, ba =a*b. Com êstes dados podemos construir a tábua do grupo (G,:) e teremos e a aq bãab qb
e
e
a
aq
ab
ab
ab
a
a
a
e
ab
ab
b
a?
e
a
ab
b
ab
bi
b
ab
ab
e
a”
a
ab|
ab
b
ab
a
e
a
ab
b
a?
a
e
ob | ab É fácil verificar fo ao grupo simétrico Capitulo IJ).
que o grupo construído acima é isomorSs (comparar com a tábua do exemplo 24,
EXERCÍCIOS 76. plexas,
Determinar
de 77.
então. todo
ordem
Demonstrar
para
todo
subgrupo 78.
79.
os
um
que
se
H
é
um
tem-se
grupo que
p é
subgrupos
do
grupo
Seja se
G as
um
cíclico
um
subgrupo
fH)cH.
de
de
número
a tem
ordem
e
um
das
raizes
sejam
geradores
natural
a
grupo
(Por causa
é completumente
o número
grupo
seguintes
U,,
com-
unidade.
primo
isto é demonstrar que Hp”) =p” Hp-)1).
Verificar a)
de
p”!, onde
p”-Hp-1),
todos da
fe End(G),
Demonstrar
de ordem
G.
12.
e b dois
então
G, que
invariante).
de
um
e
grupo
m>1.,
elementos
propriedades: finita,
cíclico
disso, diz-se
o(a) = o(a!) = o(bab !):
é
cíclico
igual
quaisquer
à de
484 b) sea
e b têm
ordens
finitas, então
c) sea
e b têm
ordens
finitas
e
se
elemento
x
o(ab) = o(ba); a e b
são
permutáveis,
então
tal
que
então
o(ab) < mme(o(a), o(b)); d) se xec(G).
existe
um
único
80. Demonstrar são
(l;) e G,
então
que
G
é
se os únicos
um
grupo
de
G
subgrupos
cíclico
de
de
ordem
ox)=2,
um
grupo
G 4 fl)
(Ver
o exer-
prima.
cício 29). 81. Seja p um número demonstrar que aPl=1
p/a;
rolário
2 do
corpo
teorema
Z/Zp. 82.
(Ver
Seja
25
aplicado
também
nz1
natural primo e seja a um inteiro tal que (mod. 2) (teorema de Fermat). Sugestão: co-
um
ao
grupo
o 82.3 do número
dos
Capítulo
natural
elementos
inversíveis
do
VD.
e
seja
a
um
inteiro
tal
que
mdc(a,my= 1; demonstrar que a? =1 (mod. n) (teorema de Euler). Sugestão: corolário 2 do teorema 25 aplicado ao grupo dos elementos inver-
siveis
do anel
Z/Zn.
83. Para cada número de
(Q,+)
gerado
te crescente
G=[a]
Se
0 é um
b)
Se
n>1
indiquemos por H, o subgrupo
que
(H,)
é uma
cadeia
grupo
cíclico
de ordem
cce End(G) se,
e
aplicação
isomorfismo
portanto,
e
Seja
E
qa =a”,
0-»5S,
se,
G,
então
no
n>1.
Verificar
existe
0€,,
de
Sn
epimorfismo,
em
virtude
resulta,
das
em
o
fór-
parti-
par.
da fórmula
no
de
2).
grupo
logo, seu
(10)
é a
multiplicativo
núcleo
A,
evidentemente, o conjunto de tôdas as permutações um subgrupo normal de Sn; além disso, conforme o do teorema do homomorfismo, temos
que
é,
pares, é corolário
SnlAn=t1,1),
de onde sultados pares
vem, (Sa:4n)=2 no seguinte
TEOREMA
do
normal,
intervalo
de
O
29 - O
índice
grupo
de
e o(An)=n!/2.
conjunto
inteiro
2 e de
[1,n].
A,
ordem
permutações
onde
n!/2,
(4,,º)
ternado do intervalo inteiro [1,n]. TEOREMA ciclos
de
de
Reuniremos tôdas
n>1,
do
as
êstes
permutações
é um
grupo
re-
subgrupo
simétrico
é denominado
grupo
Sn. al-
30 - O grupo alternado A, (n>3) é gerado pelos
comprimento
3.
DEemonsTRAÇÃO - Já sabemos que todo 3-ciclo pertence a An. Por outro lado, seja o um elemento qualquer de A, logo, o é produto de um número par de transposições e basta, então, demonstrar que o produto de duas transposições distintas t e Tº é um produto de ciclos de comprimento 3. Temos dois casos para examinar: a) os conjuntos suportes das transposi-
ções rt e Tº têm um elemento comum e b) tr er' são disjuntas. a) Se r=(ab) e t=(ac), temos tr'=(a bla c)=(a cb). b) Se r=(ab) e t'=(c d), temos
tr'=(a bc d)=(a bla cXa cXc d)=(a c ba d c).
Podemos
ternado
simplificar
4, (n>3):
COROLÁRIO
o sistema
de
geradores
- 4n=[(123),(124),...,(12n)].
]
do grupo al-
493
Basta demonstrar que todo ciclo (abc) pode ser representado como um produto de ciclos acima de ou de inversos dêstes ciclos. Se dois dos elementos a, b ou c são iguais a 1 e 2 nada temos para demonstrar; suponhamos, então, que a=l, b>2 e c>2. De acôrdo com a fórmula (6), temos ASJdIDIOILZO!=(0bD=(12D), logo. Abo=I29)!12b120) (11). Finalmente,
logo, e êstes ciclos
tipo (12k)
que
a>2.
b>2
e
c>2;
temos
existe
com
11 - Se G é um
(12).
(abo)=Ibolllac(lbo) em virtude de (11), produtos
são,
ou (12k)!,
LEMA se
suponhamos
Ibclabcllbo!=(aclD=(lac)
ciclo
um
(abc)
de
ciclos
do
k>2.
]
subgrupo
em
G.
normal
então
de
A,
(n>3)
e
G= As.
Demonstração - Se a4l e bz1, então a fórmula (12) nos mostra que (la c)eG, logo, (12a)=(12cXlacXl2c)!l também é elemento de G; tomando-se A=(12Xak), teremos =(21k)EG, de onde vem, (12k)EG, portanto, em
corolário do teorema LEMA se
30. temos G = Ar.
12 - Se G é um
existe
uma
subgrupo
transposição
(ab)
em
DemonsrtRAÇÃO - Supondo-se
le 2. temos
portanto. e daqui
G=Sh.
para
resulta,
de
conforme
31 - O
11
comprimento
o(o)=m>l;
que
de
então
]
S,
(n>2)
a e b sejam
o
corolário
2
grupo
alternado
4,,
basta
distintos de
3.
Como
Gxafte)
fator
teorema
com
28,
n>2
e
que nz4,
primo
que
existe.
existe
positivo
em G. um ciclo
c€EG,
c%ze.
de m.
logo.
o elemento
o =0""P tem ordem p. logo. existe em G um elemento o ordem prima p. Em virtude do teorema 28 e do corolário lema
8. a permutação
O =TyT2:*-Ts,
Onde
o
pode
Ti,Ta,::*,Ts
Ê
supor n>4, pois, (4A;)=3, logo, subgrupo normal de 4,; con-
demonstrar
se p é um
do
e
G=Sa.
todo kell,n]. k+1 e kzb, temos (kb bl kb)! =(1k)eG
Demonstração - Podemos As é simples. Seja G+zte) um o lema
normal G,
(q 19%abXalZ1=-(1b)eG:
TEOREMA é simples.
forme
AM120)A!= virtude do
ser são
representada
ciclos
disjuntos
de do
sob
a forma
dois
a
dois
e
494
de mesmo elemento
AtÃtEG
comprimento qualquer
e AtAITIEG.
p. Observemos
de
A,
então,
Distinguiremos três casos, a) p=2; b) p=3 e c) p>3.
ainda que
para
todo
conforme
os
a) Temos, necessáriamente, s>1; tra=(cd) e A=(abc), teremos (lema 10) AoN!=(bela d)rs---ts,
logo,
se À é um
tTEG,
temos
valores
pondo-se
de
7:
r;=(ab),
Aox to = (bela d)rs---tstse--tala bc d) = =(bca da bXc d) =(a cb d)
é um
elemento o, de G.
ktc
e k&d
Pondo-se
AoA?!
logo,
é um
elêmento
que
de
G.
b) Se
s=1
pondo-se
10)
é um
elemento
= (c kb
onde
ksa,
temos
kzb,
d),
Modo! =(ckXb dXa cXb d) =(a kc)
s>1;
(lema
logo,
A=(ack),
(o que é possível, pois, n>4)
Isto
nada
completa a demonstração no caso a).
temos
para
ti=(abc),
demonstrar.
to=(def),
Suponhamos
A=(bcd),
teremos
AoX!=(acdXbfg)rs-e-ts,
Aolio!=(acdXbfgXacbldgf)=(adbcf) de
c) Pondo-se
G.
Reduzimos
assim
o caso
b) ao
caso
c).
tr;=(a; a2:--ap) e A=(az a; as), temos AoX!=(a; az aq as as**-Ap)ta:**Ts,
logo,
Aolo!
é um elemento de G.
=(a» as as)
COROLÁRIO - Os únicos n>2
e nz4,
são:
Sn,
An
subgrupos
Seja G+(e;
normais
um
evidentemente,
subgrupo
GN An, que do teorema
efeito,
que
ou GN An=An.
suponhamos,
por
Afirmamos
absurdo,
um elemento de G; como o? 02EG, teremos 0º=e, portanto, cões
surdo;
disjuntas
duas
Se s=1,
temos,
se
s>l,
a
a duas
(caso
que
de
Sn,
com
Sa
de
lado
(n>2
e
é um subgrupo anterior, temos
GN Antes.
GN An=fe)
e
seja
Com
0%e
é par, temos 0?E A, e como o é um produto de transposia) do
O =TToeTs. conforme o lema
demonstração
deixar
normal
n+4) e considerémos o subgrupo normal de Ar, logo, em virtude
GNAn=tes
de
e tel.
DEemonsTRAÇÃO - Podemos,
o caso n=2.
E
do
teorema
12, G=S,,
caso
a)
nos
anterior):
o que mostra
é abque
495
existe em G um ciclo de comprimento 3, logo, G=A, o que, novamente, é um absurdo. Isto termina a verificação da afirmação acima. Portanto, GM A,= An; daqui resulta que A,cGCS,
e como (S,:A,)=2 teremos G= A, ou G=Sa.
E
Daremos ainda alguns resultados parciais sôbre a estrutura do grupo simétrico Ss. Sabemos que o grupo alternado As é um subgrupo normal, de ordem 12, do grupo S4 (teorema 29). As
permutações
Ah=(12(34),
são
elementos
de
é um subgrupo normal
de
141324)
44, e temos
e
47 =e
Ag=(14/(23)
para
i=1,2,3,
Va=(e,A1,Ã>,As) de As. Vamos mostrar que
Sá, logo,
Vs também
é normal
logo,
V, é um subgrupo em
As.
Com
efeito,
se o é um elemento qualquer de S, temos 04,0! te e (oo
)=2,
logo, em virtude do teorema 28 e do lema 8, 0Ã;jo! é um produto de transposições disjuntas duas a duas, de onde vem, 0h,01E Vs; portanto, oVio lc Vs, ou seja, V; é normal em Ss.
Notemos que Vs. = (123 4)] é um subgrupo normal, de ordem 2, de
Va; portanto, o grupo
de
subgrupos
sendo
que
cada
S, admite
a seguinte
cadeia
tJCVocV;cÃOS,
um
déles
ainda que os grupos
têm,
simétrico
respectivamente,
é
quocientes ordens
normal
Valte),
iguais
no
a 2,
grupos cíclicos; esta propriedade exprime simétrico S4 é solúvel (ver 0 $4.3).
seguinte.
VaVo, 2,
3
AdVa
e
2,
o fato que
Notemos
e SilAs
logo,
são
o grupo
ExempLo 45 - Com as notações acima, notemos que V, é normal em V, e V, é normal em 4A,, no entanto, V, não é normal em 4,, pois, (12312963 9)13201=(1423) não pertence a Vs.
EXERCÍCIOS 85. Verificar que a relação «G é P-isomorfo ção 11) é reflexiva, simétrica e transitiva. 86. Demonstrar 87. a S,»
num
1 a)
Decompor produto
o corolário cada de
uma
ciclos
(123456789 (241365987):
das
do
lema
a. n=9;
dois
H»
(ver
a defini-
8.
seguintes
disjuntos
de
permutações, a dois:
pertencentes
496
123456 78910
b)
(3421361097 12345678 (45612387)
c)
Determinar 88.
ordens
e as
Representar
as
cada
5)» n=10; o n=8.
assinaturas um
dos
destas
permutações.
seguintes
elementos
de
S,
sob
a
forma
(5): a) (12367(458); n=10; b) (246(135(789), n=9; co) (135(253(147(672), n=T7. Determinar os subgrupos gerados por estas permutações. 82. Demonstrar, diretamente, que se TES, (n>1) e se (abes,, tr'abr! =(t(a) T(b)). A partir desta propriedade dar uma outra de-
então
monstração
do
lema
8.
90. Determinar S,;
Separar
morfos
êstes
ou
todos
grupos
os subgrupos em
duas
de ordem
classes
2 do grupo simétrico
conforme
êles
91. Determinar o subgrupo G de S, gerado (12), (34) e (13/24) e determinar as G-órbitas.
EXERCÍCIOS ordem
92. Seja
P-iso-
H
um
subgrupo
G=[a]
cíclico
de
um
de
grupo
ordem
t;
pelas
permutações
t de um
grupo
cíclico G de
ordem
s e seja
SÓBRE ordem
n=ts; mostrar que H =G" =Gw
93. Seja grupo
sejam
não.
O 82
(ver o exercício 63).
cíclico
de
demonstrar
que
existe
um
G'=[b]
um
homomorfismo
0:G— G' tal que aa) = b* (com I], então 7,s
grupo
não
cíclico
de
ordem
2º (s>2),
2º!,
Sugestão:
cíclico de ordem
Aut(V)=S,.
não
102. Demonstrar que se G é um grupo não abeliano, então G/C(G) é cíclico. Sugestão: mostrar que para todo xEG o subgrupo gerado
não
é a reunião
por C(QWUlx) é abeliano. 103. Demonstrar no caso
de
contrário,
que
uma
existe
se G é um
cadeia
uma
grupo
crescente
cadeia
não abeliano, então
de
grupos
cíclicos.
C(G)CH,C--.-H,C--.
de
G/C(G)
Sugestão:
subgrupos
de G tal que H,/C(G) seja cíclico, logo, H, é abeliano (exercício 102); notando-se que G é a reunião da família (H,) concluir que G é abeliano. 104. Diz-se 0 é produto
de
a) Mostrar
que ciclos
que
uma
permutação
disjuntos
dois
se a ordem
a
0€&S, dois
de 0 é um
é regular e de
se, e sômente
mesmo
número
se,
comprimento.
primo,
então,
0
é
circular
é
regular.
b) Demonstrar uma
grupo
permutação
que
tôda
potência
de
uma
permutação
regular.
105. Demonstrar que o grupo alternado A, não contém um subde ordem 6 (portanto, a recíproca do teorema de Lagrange não é
498 em
geral,
verdadeira).
106.
veis
com
As
únicas
107. subgrupo
S,,
de
108.
as
de
ordem
Demonstrar
que
n>l.
109. Demonstrar 110. Mostrar
ordem
60,
do
que
se n>4
que
(G,.)
e
ya é um
que
exercício são
permutá-
desta a S1p
elas
44.
última, Que
são
formam
um
S,=[(12),02---n), se
n>3
é
impar
subgrupo
e
que
cíclico,
S,,.
SYLOW
OPERA
SÓBRE
UM
grupo
e
consideremos
elemento
de
S(G)
(S(G),o) do conjunto G; para todo a em querda
que
pertencentes
demonstrar
é par.
DE
QUE
um
e
potências
4, =[(123),(12..-n)]
simétrico
83 - TEOREMAS
Seja
a S,,
as
[(12345),(67 8),(10 11 12)] é um
grupo
3.1 - GRUPO
são
28
50.
Sa=[12),(23),-s(n-Inl]
se supõe
teorema
permutações
(12345X678910);
4,=[123),(23---n)] de
tôdas
36,
pertencentes
circular (12...n)
Determinar
com
exemplo
permutações,
a permutação
permutáveis
onde
Sugestão:
G
CONJUNTO o
grupo
simétrico
a translação
e já sabemos
que
à es-
a aplica-
ção y:G— S(G), definida por ya)=7Ya, é um monomorfismo de G em S(G) (teorema de Cayley). Éste resultado permite
considerar o grupo G como um grupo de permutações do próprio conjunto G. Procuraremos generalizar êste conceito impondo que a aplicação y seja um homomorfismo de G em S(E), onde E é um conjunto não vazio (não necessáriamente igual a G); obteremos, dêste modo, a noção geral de grupo que opera sôbre um conjunto e que será destacada pela seguinte DEFINIÇÃO 12 - Seja G um grupo multiplicativo, seja E um conjunto não vazio e suponhamos que esteja dado um homomorfismo y de G em (E); diz-se, neste caso, que o grupo G opera sôbre o conjunto E por intermédio do homomorfismo
Y e que
Gy é uma
monomorfismo,
to E e que
representação
diremos
py é uma
que
G
de G em
opera
representação
S(E). Quando q é um
fielmente sôbre o conjun-
fiel de G em
SCE).
OBSERVAÇÕES:
sôbre
1.2) Um mesmo grupo G pode operar de um conjunto E, pois, a definição acima
momorfismo
y de G em
2.2) Se G opera
S(E).
sôbre
E por
intermédio
diversos depende
modos do ho-
de um
homo-
499
morfismo q e se H é um subgrupo de G, então H também opera, de modo natural, sôbre E bastando para isso considerar a restrição de q ao subconjunto H.
3.2) Se G opera
sôbre
E por intermédio de um homomor-
fismo q, então, em virtude do teorema do homomorfismo, grupo quociente G/Ker(y) opera fielmente sôbre o conjunto por intermédio do monomorfismo induzido q*
4.2) Todo
grupo
simétrico
S(E) opera
sôbre
o E
o próprio con-
junto E por intermédio, por exemplo, do homomorfismo idêntico de S(E); portanto, conforme a segunda observação, todo
subgrupo
noção to do
G de S(E) também
opera
do 82.2 para definir G-órbita intervalo inteiro [1,n),
5.2) Quando
remos,
o homomorfismo
simplesmente,
ExempLo
que
o grupo
46 - Conforme
fielmente sôbre o próprio lações à esquerda.
vimos
sôbre
E. Já utilizamos esta
e o-órbita
q: G G
+ S(G)
opera
acima,
de um
elemen-
está fixado di-
sôbre
E.
o grupo (G,-) opera
conjunto G por intermédio das trans-
ExempLo 47 - Seja G um grupo e consideremos a aplicação q: G — S(G) definida por qta)=Ga, onde oq é o automorfismo interno, de G, determinado por a (teorema 19); de acôrdo com a demonstração do teorema 20. q é um homomorfismo, logo. o grupo G opera sôbre o conjunto G por intermédio dos automorfismos internos de G. Notemos que esta representação não
é, em geral, fiel, ter C(G) a ils.
pois,
Kcr(g)=C(G)
(teorema
20)
e
podemos
ExempLo 48 - Seja G um grupo e indiquemos por Q o conjunto de todos os subgrupos de G; para todo automorfismo interno ca, de G, consideremos a extensão 0a de Oq ao con-
junto G, isto é, ca(H)=aHa"! para todo H em que O é uma permutação do conjunto G e
8. É imediato que Oap=0a00%
quaisquer que sejam a e b em G; portanto, o grupo G opera sôbre o conjunto & de todos os seus subgrupos por intermédio do
homomorfismo
ar» Ga.
Observemos
que
ao
mesmo
tempo
fica demonstrado que oc +» Ga é um homomorfismo de AG) em S(G) portanto, o grupo 4(G) dos automorfismos internos de G também opera sôbre o conjunto GB. to E
ExempLo 49 - Seja G um grupo e consideremos o conjunde tôdas as partes do conjunto G que têm exatamente
500
m elementos (m>0); para todo a em G indiquemos por 7, a extensão da translação à esquerda y, ao conjunto E, isto é,
P(X0)=aX
permutação
para todo X em E. É fácil verificar de
E
e
é imediato
que 7, é uma
que 7,,=)7,ºyp quaisquer
que
sejam a e b em G; portanto, o grupo G opera sôbre E por intermédio do homomorfismo a» 7. Utilizaremos êste exemplo nas demonstrações dos teoremas de Sylow. ExempLo
sideremos
o
50 - Seja
conjunto
H
um
quociente
subgrupo
de um grupo G e con-
E=G/Rw
(exemplo
18);
para
todo a em G indiquemos por 7, a extensão da translação à esquerda y, ao conjunto E, isto é, Y(xH)=(axG. Verifica-se, facilmente, que 7, é uma permutação de E e que 7, =7,º7p
logo, o grupo
G opera
monomorftismo a-»7,. tração do teorema 37.
fielmente
sôbre
Utilizaremos
E
êste
por
intermédio
exemplo
na
do
demons-
Seja G um grupo que opera sôbre um conjunto E por intermédio de um homomorfismo q; para todo par ordenado (a,x)EeGXE colocaremos ax=(Pax).
Fica assim definida uma E; mostraremos que esta a) quaisquer
mento
que
b) para todo x em unidade de G. Com
efeito,
aplicação (a,x)-»a-x, de GXE aplicação satisfaz as condições:
sejam
a e bem
(ab).x=a-(b-x); E, tem-se
Ge
e-x =x,
x
em
E,
em
tem-se
onde e indica o ele-
temos
(ab). x = (g(ab))(x) = (q(a)o q(b))x) = = (qo) g(bxa) = (pla))b-x)=a-(b.x)
e-x=(p(e)x)=lg(x)=a. Reciprocamente, seja G um grupo e seja E um conjunto não vazio; suponhamos que esteja dada uma aplicação (a, x) a-x, de GXE em E, que satisfaça as condições a) e b) acima. Para todo a em G consideremos a aplicação qy,: E —- E definida por Qa(X)=a-x; vamos mostrar que y, é uma permutação do conjunto E. Com efeito, temos logo,
pla m=aalxy=(aah.x=e-x=z,
y, é sobrejetora;
por
outro
lado,
de
a-x=a-y
resulta
x=ex=(qlax=al(a-x)=al.(a-y=(ala-y=e-y=y, logo,
y, é injetora.
501
Fica assim definida uma aplicação q: G — S(E) e temos (P PO = PP) =Pylbex)=a-(b.x)=(ab).x =p), logo, Pap =P,ºPp» OU seja, P Em resumo, nas condições conjunto E por intermédio (Px) =a-x para todo par troduzir a noção de grupo
por intermédio
de uma
é um homomorfismo de G em S(E). acima, o grupo G opera sôbre o do homomorfismo q e, além disso, (a-x)eGXE. Portanto, pode-se inG que opera sôbre o conjunto E
aplicação
(a,w)-»a-x,
que satisfaz os axiomas a) e b). No esta definição que tem a vantagem
de GXE
em
E,
que se segue adotaremos de simplificar as notações.
OBseRvAçÃo - Quando E=G é essencial distinguir a lei de composição externa (a,x)r>a-x da multiplicação definida sôbre o conjunto G; no caso particular em que o grupo G opera sôbre o conjunto G por intermédio das translações à esquerda (ver o exemplo 46), temos a-x =ax quaisquer que sejam a e
x em
G.
Seja G um grupo que opera sôbre um conjunto É e consideremos a relação G, definida sôbre E, do seguinte modo: quaisquer que sejam x e y em E, tem-se xGy se, e somente se, existe a em G tal que y=a-x. Levando-se em conta que
G é um
grupo
e que
valem-os
axiomas
a) e b),
é fácil
veri-
ficar que a relação G é de equivalência. A classe de equivalência, módulo G, determinada por um elemento x de E será indicada por G-x, logo,
G-x=(a-reE
| aeG):
diremos também que G.x é a G-órbita do elemento x. O conjunto quociente E/G que é, então, o conjunto de tôdas as G-órbitas, é uma partição de E; daqui resulta, em particular, que
todo As
elemento
G-órbitas
de E pertence
também
são
a uma
e sômente
chamadas
uma G-órbita.
classes de intransitividade
e se existir uma única G-órbita diremos que o grupo G opera transitivamente sôbre o conjunto E. Por exemplo, o grupo simétrico
Sn
opera
ExempLo
simétrico
transitivamente
591 - Já
S, opera
sabemos
sôbre
ExempLo
todo
no 82.2. Se, as o-órbitas.
52 - Conforme internos
o intervalo
[1,n]; obtêm-se,
bitas que foram difinidas com o em Sa, obteremos automorfismos
que
sôbre
de
grupo
G
particular,
47, o grupo G,
do grupo
neste caso, as G-ór-
em
o exemplo um
subgrupo
[1,n).
opera
G=([o],
4(G)
sôbre
o
dos con-
502
junto
G; a 4G)-órbita de um elemento x de G é o conjunto MG) x=tarxaleG | aeG),
ou seja, é o conjunto de todos os conjugados Notemos que se xeC(G), então MG).x = (x).
do elemento
x.
ExempLo 53 - Conforme o exemplo 48, o grupo MG) também opera sôbre o conjunto & de todos os subgrupos de G; a 4G)-órbita de um subgrupo H de G é, então, o conjunto de
todos
os
subgrupos
Notemos que normal
de
de
G
que
são
MG).H=(aHalel
G.
4(G).H =tH;
conjugados
de
| aceG).
se, e somente
H:
se, H é um sub-grupo
DEFINIÇÃO 13 - Seja G um grupo que opera sôbre conjunto E e seja x um elemento de E; o subconjunto
Gr=taeG
é denominado
estabilizador
LEMA i3-a) Gy é um b) Gax=aGyal.
do
um
|a-x=7)
elemento
subgrupo
x.
de G.
DEMONSTRAÇÃO a) É imediato que Gy não é vazio, pois, e:-x = x; por outro lado, se a e b são dois elementos quaisquer de Gx, temos
(ab).x=atbex)=a-x=r 41 lax)=(a"'a)x=ex=x, 1
e
1 ax=a
logo, ab e a! são elementos
de Gr.
b) Temos
beGarzDb-(a-m=-arxo (alba). x=r
logo, Gax=aGya.
o
albaeGy; O
beaGyra!,
ã
A parte b) do lema acima nos mostra que o conjunto dos estabilizadores dos elementos de uma mesma G-órbita G-x coincide com o conjunto de todos os subgrupos de G que são conjugados de Gr.
Exempro
54 - O grupo
4G)
opera sôbre
o conjunto
todos os subgrupos de G (exemplo 48); se HeG,
lizador de H é o conjunto N(H)=(acG | a!Ha=H), de onde vem, HCN(H) e, além disso, H é um
mal de N(H). É fácil verificar que se K é um
mal
de
G
tal que
H seja
normal
em
K,
então
G de
então, o estabi-
subgrupo
subgrupo K
é
um
nor-
nor-
sub-
503
grupo
de N(H); portanto,
N(H)
é o maior
subgrupo
de
satisfaz esta condição. N(H) é denominado normalizador em
G.
um
conjunto
TEOREMA
de ou
32 - Seja G um finito
e não
vazio
grupo E;
linito
para
(G.x) = AG) (Gr).
que
todo
G que
de H
opera
x
em
sôbre
E, tem-se:
DemonsrTRrAçÃO - Sejam a-x e b-x dois elementos quaisquer G-órbita G-.x; temos a-x=b-x se, e sômente se, blaeGr, seja, aGx = bGx, logo, XG-x)=(G:Gx) e em virtude do teo-
rema
de Lagrange
Suponhamos
êste número
ainda
que
G
é igual
a (G)l(Go).
e E sejam
finitos
á
e considere-
mos uma G-órbita G-x; se axe b-x são dois elementos quaisquer desta G-órbita colocaremos, por definição, (a-x)S(b-x) se e somente
equivalência
se, Gax=Gox.
sôbre
G-x;
É imediato
indicaremos
que
por
S é uma
relação
r o número
de
de
ele-
mentos do conjunto quociente (G-x)lS e por U,,Us,,---,U, as classes de equivalência módulo S. Observemos que dois elementos de uma mesma classe de equivalência U, têm o mesmo estabilizador e que 7 é o numero de estabilizadores de G-órbita G-x, ou seja, 7 é o número de subgrupos de G que são conjugados do subgrupo Gx (parte b) do lema 13). Ora, temos
Ga-x = Gba > aGya! = bGyb! > (bla)Gx = = Grxlbla) > blae NG) > aN(Go) = bN(Go), logo, r=(G:N(Gx)). cia
Mostraremos, a seguir, que tôdas as classes de equivalênU,,Us,---.,U, têm o mesmo número s de elementos e que
s=(N(Go):Gx),
de onde
suponhamos que xeU, ax de U;,, temos
e
seja
que
o(G-x)=rs.
s=o(U:);
para
Com
todo
efeito,
elemento
azx=Gr€>aG;a!=GrosaGr=Gra > aÂeN(Go), U/=N(Gy)-x. Se a e b são dois elementos quaisquer
logo, N(Gx)
temos
Finalmente,
aG =bGx
se, e somente se. a.x=b-x, s=(U)=(N(Gy): Go).
se c.xeU,
acima,
mas
resultará
N(Gex)=cN(Gycl
(i>1) temos,
em
virtude
d(U,) = (N(Gex): Ge);
e Gex=cGxc!,
logo.
(N(Gex): Gex) = (N(G x): Ga),
de onde concluímos que s=o(U:) = o(Uj). Demonstramos
assim
o seguinte
de
logo,
da
(exercício
fórmula 38)
504
TEOREMA um
mos
conjunto
33 - Seja G um
grupo
finito e não vazio
E;
finito
que
para todo
opera
x em
sôbre
E considere-
a G-órbita G-x, o estabilizador Gx e o normalizador
Nestas
condições,
a) r=(G:N(Gsx)) mentos
de
G-x,
é o número
ou
são conjugados
N(G»).
temos: seja,
de
estabilizadores
é o número
do subgrupo
b) cada subgrupo Gax elementos de G-x;
de
Gy;
dos
subgrupos
é o estabilizador
de
de
ele-
G
que
s=(N(Gx):Gs)
c) (Gr) =rs=(G)/d(Go). EXERCÍCIOS 111. Seja que
a relação
que
y=a-x, 112.
G G
é
um
grupo
definida uma
relação
Demonstrar
que
por de
que
opera
xGy
se
equivalência H
113. Seja
e K
E=K[X,,X,,-:-,Xp]
grupo
simétrico
são
todo
O.f
—
o anel
Rego"
"o
E;
existe
a
verificar em
G
tal
E.
subgrupos
de
de N(H).
um
de polinômios
corpo K
par (0,)esS, XE,
TX
conjunto se,
sóbre
subgrupo
e com coeficientes num
S,. Para
um
e sômente
se H é normal em K, então K é um nadas X,,X,,º::,X,
sôbre
se,
grupo
G
e
nas. indetermi-
e consideremos
ponhamos
o
on)»
a) Mostrar que S, opera sôbre E. b) Descrever as S,-órbitas. c) Supondo-se zero,
determinar
os
que
n=4
e que
estabilizadores
a característica dos
seguintes
de
K
seja
igual
a
polinômios:
D X,-X,; 2) 2X,-X,; 3) XX, +X,X,; 9) X,+X,+X,+X4;
5) Xi+X2+X5+X5: 6) X,X,X,X,;
DX
d)
+X,-X- Xp.
Qual
é
o conjunto
bilizador? (Sugestão: Ryo Hook. e) Se n=7, KXK é igual
a 168.
dos
considerar
mostrar
KAKA
elementos
de
os polinômios
E
que
têm
S,
como
esta-
simétricos elementares em
que
a ordem
do estabilizador
AAA
+ AX,
4X, XX
de
XXX, + XXX,
505
3.2 - TEOREMAS
DE
SYLOW
Seja n>1 um numero natural e seja p um número natural primo; existe, então, um unico número inteiro m>0 tal que p”In e p”tl!|n e, neste caso, diremos que p” divide exatamente n. É evidente que p” divide exatamente n se, e sômente se, n=p”a, com pja. Na demonstração do primeiro teo-
rema
cientes
de Sylow
LEMA visível o
precisamos
binomiais
(onde
14 - Se um
por
p”
binomial
DEemonsTRAÇÃO
não
é
N=( nt)
- Temos
p
Falta,
então,
por
p'i(p”"a-i)
(com
p'i(p”a-i),
temos
s>1) s ba, é uma aplicação de G4 em 4 e como esta aplicação é, evidentemente, injetora, concluímos que
portanto,
em
virtude
(Ga)1
e
pelo menos um
TEOREMA 35 (segundo teorema de Sylow) - Se G é um grupo finito de ordem n>1 e se p é um fator primo de n, então todos entre mos
os p-subgrupos si.
de
Sylow
do
grupo
G
são
conjugados
DemonstTRAÇÃO - Ponhamos n=p”a, onde pfa e considereo conjunto E de tôdas as partes de G que têm exatamen-
te p” elementos;
conforme
vimos
na demonstração do teorema
anterior, existe uma G-órbita G-A tal que p(o(G-A) e o(Ga)=p”. Seja H um p-subgrupo de Sylow do grupo G; o grupo G ope-
ra sôbre
a G-órbita
G-A,
logo, o subgrupo
H
também
sôbre esta G-órbita (exemplo 49 e 2.2 observação); G-A é a reunião de um número finito de H-órbitas
duas
a duas
e como
com
o teorema
ta H.B, com B=bA
pj/o(G-A)
resulta que
e b em G, tal que
32, temos
opera
portanto, disjuntas
existe uma H-órbi-
pfo(H-B).
De
acôrdo
o(H-.B)-o(Hp) =(H)=p”, onde Hg é o estabilizador de Bem H; daqui resulta o(H-B)=1 e o(Hp)=p”, logo, He=H. Por outro lado, temos HsCGs e (Ge) = (Goa) = o(bGabDD) =(GAa)=p”,
logo, H=Gs.
Fica
assim
demonstrado
que
todo
p-subgrupo de
507
Sylow do grupo G é o estabilizador de um elemento de E, de onde vem, conforme a parte b) do lema 13, que os p-subgrupos de Sylow do grupo G são conjugados entre si. ã TEOREMA 36 (terceiro teorema de Sylow) - Seja G um grupo finito de ordem n>l1, seja p um fator primo den e ponhamos n=p”a, onde pfa; nestas condições, o número r de
p-subgrupos
de Sylow
do grupo
r=1
(mod.
G satisfaz as condições
p)
e
rla.
DEemoNsTRAÇÃO - Seja E o conjunto de tódas as partes de G que têm exatamente p” elementos; conforme vimos na demonstração do teorema 34 existe uma G-órbita G-A tal que
pilG-A) grupo
e o(Ga)=p”.
G; de
acôrdo
B em G.A
Seja
com
tal que H=Gs
H
um
p-subgrupo
de
Sylow
a demonstração do teorema
e, além disso, H.B=(Bb.
do
35, existe
Ora, o sub-
grupo H é o estabilizador de s=(N(H):H) elementos Bi,,B>,---,Bs de G-A (teorema 33) e para cada B, temos H.B,=(B;). Notemos ainda que se CceG.4 e se CzB, para :=1,2,-:-.,s, então Hc não é um p-subgrupo de Sylow e como
concluímos
que
(H-C)o(Ho) =o(H) =p” plo(H-C). Portanto, G.4 é a reunião
de
um
número finito de H-órbitas disjuntas duas a duas sendo que existem s H-órbitas formadas por um único elemento e tôdas as outras têm ordens divisíveis por p, logo,
o(G-A)=s (mod. p) e como pio(G-A) resulta que pts. Conforme o teorema 33 temos o(G-A)=rs, onde r=(G:N(H)) é o número de p-subgrupos de
Sylow
do
grupo
G,
(mod. p). Finalmente, de
logo,
rs=s (mod.
p), de onde vem,'r =1
(G-A)o(Ga)=o(G)
ou, rs=qa e então rla.
resulta
rsp”"=p"a,
ã
Os teoremas de Sylow simplificam a determinação das estruturas de grupo que podem ser definidas soóbre um conjunto finito. Por exemplo, se G é um grupo não abeliano de ordem 6, então existe em G um subgrupo H de ordem 3, logo. H é cíclico: H = [a]. Tomando-se beG, b&H e notando-se que (G:H)=2,
temos
G=HUHb=tfe.a.a?.b.ab.a*b):
daqui
se obtém
novamen-
te a tábua de G conforme foi construida no exemplo 36. Notemos ainda que. em virtude do teorema 36. o númer» rr de
subgrupos de ordem 3 satisfaz as condições logo,
r=1;
portanto,
H
é
um
subgrupo
rl2 e r=1 (mod. 3),
normal
de
G.
Aliás,
508
êste resultado
também
(ver o exercício ExempLo com
pode ser obtido diretamente de (G:H)=2
44).
57 - Seja G um
o teorema
35,
G
contém
grupo um
de ordem
subgrupo
H
42; de
de
acôrdo
ordem
7 eo
número r dêstes subgrupos é um divisor de 6 e r=1 (mod. 7), vgo, r=1 e então H é um subgrupo normal de G. O grupo quociente
G/H
tem
ordem
6, logo,
sendo
que
existe
neste
grupo um sub-
grupo normal HilH de ordem 3 e é imediato que H, é normal em G. Obtivemos assim uma cadeia pos
fetjcHcH,cG,
guinte
e os grupos
quocientes
pois, suas ordens são 7,3
todo grupo
de ordem
cada
um
dêles
Hite), H;/H
o(H;)=21 e de subgru-
é normal
e G/lH
são
no se-
cíclicos,
e 2; esta propriedade nos mostram
42 é solúvel
(ver o 84.3).
que
ExempLo 58 - Utilizando-se o primeiro teorema de Sylow, a demonstração do teorema 31 se reduz somente ao caso c).
Com efeito, de nz5
e (An)=n!/2
concluímos que
5lo(A,), logo,
existe em 4, um subgrupo H de ordem 5, ou seja, existe um elemento cc A, tal que o(0)=5 e êste elemento é um produto de ciclos disjuntos dois a dois e de comprimento 5.
TEOREMA 37 - Se G é um p-grupo de ordem p” (m>1), então todo subgrupo de G, de ordem p””!, é normal em G. Demonsrração - Observemos que. em virtude do primeiro teorema de Sylow, existe um subgrupo H de G tal que o(H)=p”"!, Conforme o exemplo 50 o grupo G opera sôbre o
conjunto quociente E =G/Rw
por meio do monomorfismo
a
7,,
logo, H também opera sôbre o conjunto E. Daqui resulta que E é a reunião de um número finito de H-órbitas W,,W.,ccc,W,
disjuntas O
duas
elemento
e duas e como o(E)=p, temos p=(Wy)+o(W9)+---+o(W;)
H pertence
a uma
HeW, e é imediato que virtude de (14), que 7>1. qualquer
a de
G
tal que
destas
H-órbitas,
(14). por
exemplo,
Wi=tH;, de onde concluímos, em Consideremos agora uin elemento
a&H;
de
aH+H
e aHEE
resulta que
existe uma H-órbita W, (i>1) tal que aHeW:;. É fácil verificar que o estabilizador K do elemento aH é HN(aHa"!); conforme o
teorema
32,
temos
logo. em virtude
(Wok) = (H) = pr, de (14), concluimos que o(W)=1.
Daqui
re-
509
sulta o(K) = o(H), logo, aHa!=H
e fica assim
demonstrado que
H é um subgrupo normal de G. É ExempLo 59 - Seja G um p-subgrupo de ordem p” (m>1); procedendo-se teorema
grupos
onde
por indução
anterior,
finita sôbre
conclui-se
de G
que
m,
existe
com
uma
o
auxilio
cadeia
de
Ho=ticHicH,C...cH,,cHa=G, cada H;-tem ordem p' e H; é um subgrupo
Him (it; demonstrar grupo G.
é um
então
te; é um
G (exemplo
então
se H
G,
Demonstrar
o” (n>1),
n>l
que
em
um
demonstrar
concluir
aK de
daí que
94. grupo
aditivo
ordem
p?
dos
inteiros
54 - SEQUÊNCIAS
DE COMPOSIÇÃO
4.1 - SEQUÊNCIAS
NORMAIS
é
abeliano módulo
e n).
Seja G um grupo e consideremos o conjunto &, ordenado por inclusão, de todos os subgrupos de G. No 84.2 do Capítulo Vil introduzimos os conceitos de cadeia crescente ou decrescente, a condição maxima! ou minimal, etc., num conjunto parcialmente
ordenado;
cadeias de elementos de pre a inclusão.
(com
aplicaremos
(
estas
noções
para
certas
onde a ordem considerada será sem-
DEFINIÇÃO 14 - Diz-se que uma cadeia decrescente (Giocies s>1), de subgrupos de G, é uma segiiência normal se, e
somente
se,
a) Go=G b) para
as
seguintes
condições
estiverem
verificadas:
e Gs=tI); todo
iel0,s-1],
Gi,
é um subgrupo normal de Gi.
511
Representaremos
a segiiência
normal
(Gi)oi«s por
Go=GDG/D-DGs1DGs=tl)
ou, simplesmente, por (G;). O número primento da segiência normal (Gibi
mada
segiiência
dos
fatôres
Gis Gis para i=0,1,-::,s-l é estritamente decrescente.
uma
Seja
da
(15)
s é denominado come (GilGisoiss-1 é cha-
sequência
normal
(G;).
diremos que a sequência normal (G;)
Go=GG1D-.->G>G=11)
outra seqiência normal do grupo G; se (15) é uma
sequência
(resp.,
Se
subsequência
própria)
de
(15)
diremos
(16)
sub-
que
a
sequência normal (G;) é mais fina (resp., estritamente mais fina) do que a seqiiência normal (G;) ou que (G;) é um refinamento (resp., refinamento próprio) de (Gj): A definição
14 pode
ser estendida
para
uma
cadeia
de-
crescente (Gi;jier de subgrupos de G, onde I é um conjunto finito totalmente ordenado e o(l)>2; notemos que, neste caso,
impõe-se
que
Ga=G
DEFINIÇÃO
e Gb=ftl1), onde
b) existe tal
para
e b=mazxl.
15 - Diz-se que a sequência normal (15) é equi-
valente à seqiência normal as seguintes condições: a) s=t;
a=minl
uma
(16)
permutação
que
21=0,1,--.,s-l.
se,
e sômente
o do
se, são
intervalo
válidas
inteiro [0,s-1]
GilGin = GanlGaa
Verifica-se, facilmente, que a reiação introduzida pela definição acima é de equivalência. Deixaremos a cargo do leitor a extensão da definição l5 para duas sequências normais
(Giier e (G;)jes, onde
1 e J
são
conjuntos
finitos
totalmente
tôda
sequência
ordenados. OBSERVAÇÕES:
1.2) Se o grupo
M
é comutativo,
então
decrescente (Gi)oci1) nem sempre é um subgrupo normal de Gia; portanto, nem tôda subsegiência (G;).
512
ExempLo
60 - Para
todo
grupo
G,
a segiiência
GDftl)
é
normal; se G é simples, então, esta é a única sequência normal estritamente decrescente de G.
ExempLo ordem
61 - Consideremos
6; conforme
o teorema
são: G, [a2), [a] e (lj. Portanto, sequências
normais
mento 2: pois, grupo
que
os
estas
grupo
cíclico
únicos
subgrupos
existem
estritamente
[aJ>0]>0)
Notemos
um
27,
em
sômente
decrescentes
e [J>[a1>().
sequências
[a)la?])=[0']t1y
G
e
normais
G=[a]
e
de
são
de
de
G
duas
compri-
equivalentes,
[02]/1)=[a)/la3].
ExempLo 62 - Conforme vimos na parte final do 82.2, simétrico S, admite a seguinte sequência normal
o
SDPA,DV,ODV,D(e (17), onde A, é o grupo alternado, V,=te,(1 2X3 4),(1 3)(2 4),(1 42 3)) e V,=fte,(1 2X3 4). Notemos é normal
em
de (17), não
4,
que
(exemplo
V, é normal
45), logo,
em
V, mas
não
a subseqiuência
SD AO VoDte,
é normal.
ExempLo 63 - De acôrdo com o teorema 31 e seu corolário, as únicas sequências normais estritamente decrescentes do grupo simétrico Sa, com n>9, são
SnDl(e) SnDAnDte)
e
O e
sua
principal teorema desta demonstração é baseada
secção é devido a O. Schreier no lema de Zassenhaus (91.5):
TEOREMA 38 (Schreier) - Duas mesmo grupo G, têm refinamentos
DemonsTRAÇÃO - Sejam
(15)
de
(i,j),
mais
G
e para
cada
nhamos
sequências normais, de um equivalentes.
e (16) com
duas
sequências
O