Elemente der Geometrie der Lage: Für den Schulunterricht bearbeitet [Reprint 2021 ed.] 9783112437100, 9783112437094

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Elemente der

Geometrie der Lag für den Schulunterricht bearbeitet von

Dr. Rudolf Böger Professor am Realgymnasium des Johanneums in Hamburg

Mit 33 F i g u r e n

Leipzig G. J. G ö s c h e n s c h e 1900

Verlagshandlung

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten.

Vorwort. In dem mathematischen Unterricht der obern Klassen tritt die Geometrie hinter der Arithmetik zurück. Trotzdem dies Überwiegen des Rechnens ziemlich allgemein als Ubelstand empfunden wird, ist es bisher doch nicht gelungen, den geometrischen Lehrstoff der Schule in befriedigender Weise zu ergänzen, wohl deshalb nicht, weil fast alle Versuche sich auf die Hinzufügung einzelner Kapitel aus der Planimetrie beschränken. Im folgenden ist nun der Versuch gemacht, die Elemente der Geometrie der Lage f ü r den Schulunterricht zu verwerten. Die Grundlage der Geometrie der Lage ist so einfach, die Beziehung aller ihrer Folgerungen zu wenigen grundlegenden Sätzen so klar und durchsichtig, ihr Aufbau so ungekünstelt, ihr Beweisverfahren so lückenlos und einheitlich, ihre Methode so fruchtbar, dafs sie als mathematisches Bildungsmittel für die Schule der Planimetrie weit überlegen ist. Da alle Sätze gleich in der allgemeinsten Form gewonnen werden, so ist in der Geometrie der Lage das Lösen von Aufgaben eine wesentlich andere Thätigkeit als in der Planimetrie; es kommt darauf hinaus, die allgemeinen Gesetze auf besondere Fälle anzuwenden, eine Arbeit, die zwar nicht immer mühelos ist, die aber nie die Anwendung eines schwer zu findenden Kunstgriffes verlangt und daher von jedem Schüler, der sich die allgemeinen Methoden zu eigen gemacht hat, geleistet werden kann. Dies Fortschreiten vom Allgemeinen zum Besondern giebt der Geometrie der Lage ihren pädagogischen Wert und sichert ihr einen Platz im Schulunterricht. Seit einer Reihe von Jahren habe ich in der Prima an geeigneten Stellen von den Betrachtungsweisen der Geometrie der Lage Gebrauch gemacht, anfangs zögernd, dann, durch

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Vorwort.

den Erfolg sicher gemacht, in immer w e i t e m Umfange. Danach hat sich f ü r mich die folgende Behandluüg der Kegelschnitte ergeben. — Zuerst werden die den Schülern neuen Kegelschnitte als geometrische Orter aufgefafst und nur die Hauptsätze mit den den Schülern vertrauten planimetrischen Hülfsmitteln bewiesen, d. h. im wesentlichen wird nur die Aufgabe gelöst und verwertet: Von einem Punkt an die Parabel (Ellipse, Hyperbel) die Tangenten zu ziehen. Dann werden die Schnittlinien eines Kegels und einer Ebene nach den Methoden der Darstellenden Geometrie gezeichnet und die dabei sich von selbst ergebenden Gleichungen aufgestellt. Wenn so den Schülern die Kegelschnitte in ihren Haupteigenschaften vertraut geworden sind, kommt der Inhalt des folgenden Leitfadens. Da nur die Kenntnis der einfachsten stereometrischen Sätze vorausgesetzt wird, so würden sich, wie ich glaube, auch in einem Gymnasium „einige Grundlehren von den Kegelschnitten", wie es in den preufsischen Lehrplänen heifst, rein-geometrisch behandeln lassen. In der Obersekunda könnte „einiges Uber die harmonischen Punkte und Strahlen" (§ 1) vorausgenommen und in der Prima, wenn nötig, die Durchnahme des Leitfadens auf die §§ 2 und 3 und die ihnen entsprechenden Aufgaben aus § 5 beschränkt werden. — In einem Realgymnasium (auf das allein sich meine Erfahrungen erstrecken) und in einer Oberrealschule wird ein Teil der f ü r „die wichtigsten Sätze über Kegelschnitte in elementarer synthetischer Darstellung" aufgewandten Zeit wiedergewonnen bei der analytisch-geometrischen Behandlung, da diese dem Schüler nur noch eine neue Form, aber keinen neuen Inhalt mehr bietet. Die Brauchbarkeit dieses Leitfadens, der als zweite Ausgabe meiner 1897 erschienenen Programmabhandlung Die Geometrie der Lage in der Schule anzusehen ist, habe ich dadurch zu erhöhen geglaubt, dafs ich am Eingang jeder Nummer auf die entsprechende Stelle meines Lehrbuches Ebene Geometrie der Lage verwiesen habe. H a m b u r g , im März 1900.

Rudolf Böger.

§ 1. Harmonische Elemente. 1. Stereometrische Hilfssätze (E 14; vergl. des Yer- I

fassers Ebene Geometrie der Lage Nr. 14). 1. Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, schneiden sich in einem Punkte. 2. Zwei Geraden, die sich in einem Punkte schneiden, liegen in einer Ebene. 3. Zwei Ebenen schneiden sich in einer Gerade. 4. Schneiden sich zwei Geraden, die in zwei verschiedenen Ebenen liegen, so liegt ihr Schnittpunkt in der Schnittlinie beider Ebenen. 5. Vier Punkte lassen sich immer als die Ecken eines (räumlichen oder ebenen) Vierecks ansehen. Lehrsatz: Wenn zwei Gegenseiten eines Vierecks sich schneiden, so schneiden sich auch die andern Gegenseiten des Vierecks. Beweis: Wenn die Gegenseiten A A und B r des Vierecks A A B r sich in P schneiden, so liegen die vier Ecken in der Ebene PA B; alle Verbindungslinien der Ecken liegen daher in einer Ebene, folglich schneiden sie sich'1!*. 6. Wenn von drei Geraden je zwei sich schneiden, aber nicht alle durch einen Punkt gehen, so in einer Ebene liegen, so liegen die drei Geraden in gehen die drei Geraden einer Ebene. durch einen Punkt. Beweis: Nach der Voraussetzung schneiden sich b und c in A, c und a in B, a und b in C. Fällt A nicht mit B (und folglich auch nicht mit C) zusammen, so liegen die drei Geraden in der Ebene A B C. Fällt dagegen A mit B (und folglich auch mit C) zusammen, so gehen die drei Geraden durch einen Punkt. B ö g e r , Elemente der Geometrie der Lage. 1

2 2

§ 1. Harmonische Elemente. Nr. 2.

2. Perspektiv liegende Dreiecke (E 15). Zwei Dreiecke (oder auch zwei Vierecke) heifsen zugeordnet, wenn den Ecken des einen die Ecken des andern zugewiesen sind; die einander zugewiesenen Ecken heifsen homolog. Nennt man ferner zwei Seiten homolog, wenn die Endpunkte der einen den Endpunkten der andern homolog sind, so sind durch die Zuweisung der Ecken auch die Seiten einander zugewiesen. — Ebenso kann man zwei Dreiecke (oder auch zwei Vierecke) einander zuordnen, indem man den Seiten des einen die Seiten des andern zuweist. — 1. Lehrsatz: Wenn die drei Punkte, in denen sieh die homologen Seiten zweier zugeordneten Dreiecke schneiden, in einer Gerade liegen, so gehen die drei Geraden, welche die homologen Ecken verbinden, durch einen Punkt. Beweis: Schneiden sich die homologen Seiten der beiden zugeordneten Dreiecke AB C und A1B1C1 in den drei Punkten PQR der Gerade t (Fig. 1), so legen wir durch die Gerade t eine (in der Figur nicht gezeichnete) beliebige Ebene a t und ziehen in dieser durch die drei Punkte PQR drei beliebige Geraden aßy, die sich in den Punkten ABT schneiden. Wir betrachten zunächst die beiden Dreiecke ABC und ABT. Da BC und B T sich in P schneiden, Fig. 1. so müssen sich auch die Verbindungslinien B B und CT schneiden'1»); ebenso müssen sich die Verbindungslinien C V und A A und die Verbindungslinien A A und B B schneiden. Die drei Verbindungslinien A A, B B, CT gehen daher"«' durch einen Punkt. — Durch Betrachtung der Dreiecke A1By C1 und ABT ergiebt sich in derselben Weise, dafs die Verbindungslinien Ax A, B1 B, C1 V durch einen Punkt 1. — Besondere Lösungen: Unter den verschiedenen Lagen, die man den auf a = A A1 liegenden Hlilfspunkten S und S x geben kann, sind zwei von besonderer Wichtigkeit: 1. S und S1 fallen mit den Punkten zusammen, in denen

s Fig. 13.

den Schnittpunkten der beiden andern Paare von homologen

a von den Verbindungslinien der beiden andern Paare von

§ 2. Projektive Verwandtschaft. Nr. 13.

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Strahlen bb1 und cc1 verbinden (Fig. 12). 2. s fällt mit der Verbindungslinie A S 1 = a, und s t mit der Verbindungslinie A S = a zusammen (Fig. 14).

homologen Punkten B B1 und CCi geschnitten wird (Fig. 13). 2. S fällt mit dem Schnittpunkt a s1 = Ai und 1 c, . s o ist z. ab = at 6,, z ac = alc1 . . . Die in 5 und

A(A)X 3. Durch jeden Punkt, durch den eine Tangente geht, geht auch noch eine zweite Tangente.

i

30. Kurvendreieek und Kurvendreiseit (E 57; 58).

Aus Nr. 28j ergiebt sich, dafs die Tangente von A durch den Punkt M (Fig. 24) geht. Wir haben also in Nr. 26 gezeigt: Die Seite «Sj A des Kurvendreiecks S S1 A schneidet die Tangente ' von p durch A und A, harmonisch getrennt ist, so geht auch u± durch P. Aus der Konstruktion von Pol und Polare ergiebt sich unmittelbar: 1. Der Punkt P ist der Pol der Gerade p, wenn p die Polare von P ist. 2. Die Gerade p ist die Polare des Punktes P, wenn P der Pol von p ist.

42 z

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§ 4. Pol und Polare. Nr. 39.

Zusatz. Ist SSl AAt ein beliebiges Kurvenviereck (f]ig. 30), so ist z. B. der Diagonalpunkt P der Pol der Verbindungslinie der beiden andern Diagonalpunkte A und A1(37s). Lehrsatz: Jedes Diagonaldreieck eines Kurvenvierecks (eines Kurvenvierseits (32) ) ist ein Poldreieck, d. h. ein Dreieck, in dem jede Ecke der Pol ihrer Gegenseite ist (oder (38 ^ in dem jede Seite die Polare ihrer Gegenecke ist).

39. Projektive Verwandtschaft von Pol und Polare (E 90). Ist A (Fig. 30) ein beliebiger Punkt der Gerade p und P der vermittelst der Tangenten s und s 1 gezeichnete i38) Pol von p, so schneiden die Geraden, welche A mit den Berührungspunkten SX. Um in diesem besondern Falle einen neuen Kurvenpunkt A zu zeichnen, haben wir (25) durch T ^ eine beliebige Gerade, d. h. irgend eine Parallele zur Tangente S Tcrj — s (Fig. 32), zu ziehen und die Punkte D und Z>,, in denen sie von den Seiten A und A S des Kurvendreiecks A S St geschnitten wird, aus wenn die uneigentliche Gerade die Kurve schneidet, so sind die Schnittpunkte die Pole ihrer Tangenten 1 3 7 diese gehen daher durch den Mittelpunkt< 39 '). Eine Kurve ist demnach eine Hyperbel oder Ellipse, j e nachdem durch den Mittelpunkt zwei Tangenten gehen oder nicht. Es läfst sich nun zeigen, dafs die durch S S1 A und T^ gegebene Kurve eine Ellipse

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§ 4. Pol und Polare. Nr. 46.

oder Hyperbel ist, je nachdem A innerhalb oder aufserhalb der Parallelen s und s1 liegt. ' 1. A liegt innerhalb der parallelen Tangenten s und s,. Die Figur 32 zeigt, dafs in diesem Fall die Strecken «S K und S, Ä'j und folglich auch S A und St At gleiche Richtung haben. Die Tangenten A A1 — a schneiden also den Durchmesser S in Punkten, die aufserhalb der Strecke «S Sj liegen. Es geht daher keine Tangente durch den Mittelpunkt 0, die Kurve ist also eine Ellipse. Weil in diesem Fall ', der Pol einer Tangente aber ihr Berührungspunkt ist(38i), so ist der uneigentliche Parabelpunkt 0 zugleich der Mittelpunkt*41': Die Durchmesser einer Parabel sind Parallelen. — Ist uns eine Parabel durch den uneigentlichen Punkt 0 (und seine Tangente o), einen beliebigen Punkt S und seine Tangente und einen zweiten beliebigen Punkt A (Fig. 33) gegeben, so finden wir einen neuen Parabelpunkt A, indem wir*26) durch den Schnittpunkt T ^ der Tangenten in S und (9J 0 einen beliebigen Strahl legen, d. h. zu o).

89

89. In einem Dreieck S \. Welches ist der Ort für den Schnittpunkt A von S(D) und S ^ D J ? — 9; 15.

so

90. Auf der Grundlinie A B des Trapezes ABDDX liegen die beiden festen Punkte S und S,. Welches ist der

§ 5. Aufgaben und Lehrsätze.

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Nr. 91 — 95.

Ort f ü r den Schnittpunkt A von S(D) und Sx (7^), wenn DD1 sich parallel AB bewegt? — 9; 15. 91. In dem Trapez ABI)I)X sind die Ecken A und B s i und der Winkel A fest. Welches ist der Ort für den Schnittpunkt A der Diagonalen A(L) und B [Dl), wenn die Grundlinie DD1 sich, ohne ihre Länge zu ändern, parallel AB bewegt? — 9; 15. 92. In einer Parabel ist die Sehne B C senkrecht zur 92 Achse gezogen. Welches ist der Ort für den Höhendurchschnitt der Dreiecke, welche B C zur Grundlinie und ihre Spitze in der Parabel haben? — 16 g ; 2 6 t ; 15. 93. Werden die Tangenten a und b in den Endpunkten 93 A und B eines Kreisdurchmessers durch eine bewegliche dritte Tangente in D und JJy geschnitten, so schneidet das von D auf A(D1) gefällte Lot den Durchmesser AB in einem Punkte S, für den ist. — Wir errichten in A auf A(DX) das Lot, das die uneigentliche Gerade in A schneidet: D A A A ( A ) Ä("U A (A) X A. Da D und A gleichzeitig in den Schnittpunkt von a und der uneigentlichen Gerade fallen, so gehen die Verbindungslinien D A, d. h. die von D auf A (i^J gefällten Lote, durch einen Punkt' 16 ). 94. P sei ein beweglicher Kurvenpunkt, dessen Tangente 94 die Tangente des Scheitels A in D schneidet. Welches ist der Ort für den Punkt A, in dem die Gerade, welche D mit dem Mittelpunkt 0 der Kurve verbindet, von A(P) geschnitten wird? — 81. 95. Um den Mittelpunkt 0 einer Ellipse dreht sich ein 95 rechter Winkel, dessen Schenkel die Tangente des Hauptscheitels A in P und P t schneiden. Von P ist die zweite Tangente P Q an die Ellipse und von P1 die zweite Tangente P1 Q1 an den zugehörigen Hauptkreis (der die Hauptachse der Ellipse zum Durchmesser hat) gezeichnet. a) Welches ist der Ort f ü r den Punkt, in dem die Berührungssehne A (Q) von dem aus dem zweiten Scheitel A1 auf die Berührungssehne A (Qx) getällten Lote Ax ( / / J geschnitten wird? — A (Q) Ä ( 8 1 ) P A 0 (?) Ä (16s) 0{PX) a A « ? , ) X A

(HJ.

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§ 5. Aufgaben und Lehrsätze. Nr. 96—101.

Fällt in A ( J j , so iällt P in den uneigentlichen Punkt U der Tangente von A, P , daher in A; A(Qt) fällt a l s o ( 3 7 z y mit der Tangente von A zusammen und A1(Iix) mit Al (^1); der Ort ist daher eine Gerade. — Fällt A(Q) mit der Tangente von A zusammen, so fällt P in /l' 38 " 1 , P j in U und in A{A1)-, A1(H1) fällt daher mit der Tangente von Al zusammen. D a demnach die in A und A1 auf A A t errichteten Lote zwei homologe Strahlen sind, so steht der Ort senkrecht auf A A ^ . — b) Welches ist der Ort f ü r den Punkt, in dem das in A auf der Berührungssehne A (Q) errichtete Lot von dem aus dem zweiten Scheitel Ax auf die Berührungssehne A (Ql) gefällten Lote (//, j geschnitten wird? «6 96. Wenn die Schenkel des Winkels A durch die Strahlen des festen Punktes 0 in D und geschnitten werden und D A A ein Parallelogramm ist, so liegt A auf einer Hyperbel, deren Asymptoten die durch 0 zu den Schenkeln des Winkels gezogenen Parallelen sind. — 9; 24. 97 97. Im rechtwinkligen Dreieck A B C liegt der Scheitel B des rechten Winkels fest, während sich die Ecke A auf s bewegt und die Hypotenuse A C auf s senkrecht steht. E s ist zu zeigen, dafs der Ort f ü r C eine Parabel ist. — 9; 16 g ; 241 geschnitten, so schneiden sich A (D^) und At (D) in den Punkten einer Ellipse, deren Achsen 2 a und b sind. — 2 9 j ; vergl. 88.

§ 5. Aufgaben und Lehrsätze.

Nr. 102—108.

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102. Die Gerade, welche den Scheitel einer Ellipse 102 mit dem beliebigen Ellipsenpunkte P verbindet, möge die Tangente des zweiten Scheitels A in D schneiden. a) Welches ist der Ort für den Punkt A, in dem die Gerade, die den Mittelpunkt 0 der Ellipse mit D verbindet, von A(P) geschnitten wird? — 26,. b) Welches ist der Ort für den Höhendurchschnitt des Dreiecks A O A? — 16g. 103. In ein gleichschenkliges Dreieck eine Ellipse zu 103 zeichnen, die die Grundlinie im Halbierungspunkte und den einen Schenkel in einem gegebenen Punkte berührt. — 31. 104. Welches ist der Ort für die Schnittpunkte der 104 Tangentenpaare, welche in den Endpunkten paralleler Sehnen an eine Kurve gelegt sind? — 9; 372. 105. Den Ort zu suchen für den Höhendurchschnitt der 100 Dreiecke, welche eine Achse zur Grundlinie haben, während ihre Spitzen auf der Kurve liegen. — 26j; 168. 106. Die Seite B C des Dreiecks ABC liegt fest, ios während sich die Ecke A auf der Gerade s bewegt. Welches ist der Ort für den Schnittpunkt der Höhen? — 16g. (Ist s parallel B C, so ist die Kurve eine Parabel. — 24f35i).) 107. S O A M sei ein Parallelogramm und O die Mitte 107 von S S,; schneidet eine Parallele zur Diagonale O M die Seiten A M und O A in I> und Z>,, so schneiden sich S(D) und S1(D1) in den Punkten A einer Ellipse, die die Seiten S M und A M in 5 und A berührt. — 124. (Zieht man durch A zu O A die Parallele Q A und setzt OQ = cc; S'/ gleich e und parallel s, so hat man, weil und S'(D) einander parallel, d. h. durch die uneigentliche Gerade perspektiv aufeinander bezogen sind,

s'(D)7;s(A)x^s1(A)^s1'(D).

117. Von jedem Punkte A eines Kreises ist das Lot 117 auf s gefällt; man soll den Ort f ü r die Halbierungspunkte M dieser Lote suchen. — Schneidet ein festes Lot den Kreis in den Punkten C und D und die Gerade s in H, so bestimmt man die Mitten S und S, von C H und D H .

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§ f>- Aufgaben und Lehrsätze. Nr. 118—120.

Sowohl CO4) und S ( M ) als auch IJ(A) und S1(M) sind dann durch die Gerade s perspektiv aufeinander bezogen. Iis 118. Der Strahl, welcher einen beliebigen festen Punkt P mit einem beweglichen Kurvenpunkt A verbindet, ist in D nach dem Verhältnis p: q geteilt. Welche Kurve beschreibt D, wenn A die Kurve durchläuft? — Schneidet die Gerade, welche P mit dem beliebigen festen Kurvenpunkt B verbindet, die Kurve zum zweiten Male in B,, so bestimmt man die P u n k t e «S und S,, welche P B und P B, nach dem Verhältnis p : q teilen (vergl. 116). Besonderer Fall: Von P sind nach einer Parabel beliebige Sekanten gezogen. Welches ist der Ort f ü r die Mitten der S e k a n t e n ? 119 119. Bewegt sich die Kreissehne A B parallel dem festen Durchmesser C D , so beschreibt der Punkt M, der A B nach dem Verhältnis j>: q teilt, eine Ellipse, deren eine Achse der auf CD senkrechte Kreisdurchmesser ist. — Von dem Kreisviereck AB CD ist ein Diagonalpunkt unendlich fern; projiziert man die beiden andern P und Q aus M auf CD, so erhält man die beiden festen Punkte S und , die C D nach dem Verhältnis p : q und q : p teilen. 120 120. Besondere Fälle der Fundamentalkonstruktion' 2 6 ': a) Es seien S und -S, die Scheitel und A ein beliebiger Punkt einer Kurve. Trifft dann ein beliebiges Lot der Achse die Seiten A