El camino a la realidad 8483066815

Citation preview

El camino a la realidad Una guía completa de las leyes del universo

ROGER PENROSE

Traducción de

Javier García Sanz

uJl:fitll

Título original: The Road to Reality Publicado originariamente por Jonathan Cape, Londres, 2004 Primera edición: octubre de 2006

© 2004, Roger Penrose © 2006, de la presente edición en castellano para todo el mundo: Random House Mondadori, S. A. Travessera de Gracia, 47-49. 08021 Barcelona © 2006, Javier García Sanz, por la traducción

Quedan prohibidos, dentro de los límites establecidos en la ley y bajo los apercibimientos legalmente previstos, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, ya sea electrónico o me­ cánico, el tratamiento informático, el alquiler o cualquier otra forma de cesión de la obra sin la autorización previa y por escrito de los titulares del copyright. Printed in Spain - Impreso en España ISBN-13: 978-84-83 06-6681-2 ISBN-10: 84-8306-681-5 Depósito legal: B. 35.801-2006

Compuesto en Fotocomposición 2000, S. A. Impreso y encuadernado en Liberdúplex S. L. U. Sant Lloren� d'Hortons (Barcelona)

c 8 4 6 812

Dedico este libro a la memoria de DENNIS S CIAMA, que me mostró la emoción de lafisica

Í ndice PREFACIO

. .. . . . . AGRADECIMIENTOS . NOTACIÓN . . . . . . PRÓLOGO . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

21 31 35 39

1 . Las raíces de la ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 1 . La búsqueda de las fuerzas que configuran el mundo 1 .2. La verdad matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .3 . ¿Es «real» e l mundo matemático d e Platón? . . . . . . 1 .4. Tres mundos y tres profundos misterios . . . . . . . . . 1 .5. L o bueno, l o verdadero y lo bello . . . . . . . . . . . . . . 2. Un teorema antig uo y una pregunta moderna . . . . . . . . . . . . 2. 1 . El teorema d e Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Los postulados d e Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 3 . La demostración del teorema d e Pitágoras p o r áreas semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Geometría hiperbólica: imagen conforme . . . . . . . . 2.5. Otras representaciones de la geometría hiperbólica . 2.6. Aspectos históricos de la geometría hiperbólica . . . 2. 7. ¿Relación con el espacio físico? . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Tipos de números en el mundo fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 1 . ¿Una catástrofe pitagórica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. El sistema de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Los números reales en el mundo físico . . . . . . . . . . 3 .4. ¿Necesitan los números naturales al mundo físico? . 3.5. Números discretos en el mundo físico . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

47 47 50 53 61 66 71 71 75

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

78 81 86 92 97 1 05 105 109 116 1 20 1 23

9

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Í NDICE

4. Los mágicos números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 1 . El mágico número «i» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Resolviendo ecuaciones con números complej os . . . 4.3. Convergencia de series de potencias . . . . . . . . . . . . . 4.4. El plano complejo de Caspar Wessel . . . . . . . . . . . . . 4.5. Cómo se construye el conjunto de Mandelbrot . . . . 5 . Geometría de logaritmos, potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 . La geometría del álgebra complej a . . . . . . . . . . . . . . 5.2. La idea del logaritmo complej o . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 3 . Multivaluación, logaritmos naturales . . . . . . . . . . . . 5 .4. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Algunas relaciones con la fisica de partículas moderna 6 . Cálculo infinitesimal con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 1 . ¿Qué hace respetable a una función? . . . . . . . . . . . . 6.2. Pendientes de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Derivadas d e orden superior; funciones C ""-suaves . . 6.4. ¿La noción «euleriana» de función? . . . . . . . . . . . . . 6.5. Las reglas de diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . Cálculo infinitesimal con números complejos . . . . . . . . . . . . . . 7 . 1 . Suavidad complej a; funciones holomorfas . . . . . . . . . 7.2. Integración de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 .3. Series de potencias a partir de la suavidad compleja . 7.4. Prolongación analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Supeificies de Riemann y aplicaciones complejas . . . . . . . . . . . 8 . 1 . La idea d e una superficie de Riemann . . . . . . . . . . . 8.2. Aplicaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. La esfera d e Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. El género de una superficie de Riemann compacta . . 8.5. El teorema de la aplicación de Riemann . . . . . . . . . 9. Descomposición de Fourier e h ipeifunciones . . . . . . . . . . . . . . 9. 1 . Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Funciones sobre un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Separación de frecuencias sobre la esfera de Riemann 9.4. La transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Separación de frecuencias a partir de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131 131 1 35 1 38 1 43 1 47 151 151 156 159 1 64 1 68 173 1 73 176 1 78 1 84 186 1 89 1 97 1 97 1 99 203 206 213 213 218 222 226 230 235 235 240 245 249

.

251

ÍNDICE

9.6. 9.7. 10.

11.

12.

1 3.

¿Qué tipo de función es apropiada? Hiperfunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0. 1 . Dimensiones complejas y dimensiones reales . . . . . 10.2. Suavidad, derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Campos vectoriales y 1 -formas . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Componentes, productos escalares . . . . . . . . . . . . 1 0.5. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . Números hipercomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . 1 . El álgebra de los cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . 2. ¿Hay u n papel físico para los cuaterniones? . . . . . . 1 1 .3. Geometría de cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 .4. ¿Cómo componer rotaciones? . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 .5. Álgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 .6 . Álgebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variedades de n dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. 1 . ¿Por qué estudiar variedades de dimensiones más altas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 . 2 . Variedades y cartas d e coordenadas . . . . . . . . . . . . 12.3. Escalares, vectores y covectores . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.4. Productos de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Integrales de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. D erivada exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7. El elemento de volumen; convenio de suma . . . . . 1 2.8. Tensores; notación de índices abstractos y notación diagramática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.9. Variedades complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupos de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3. 1 . Grupos de transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Subgrupos y grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . 13.4. Determinantes y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Teoría de la representación y álgebras de Lie . . . . . 13.7. Espacios de representación tensoriales; reducibilidad 1 3 . 8. Grupos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

254 258 269 269 27 1 277 284 286 293 293 296 299 304 306 310 317 317 322 324 329 332 335 341 344 348 355 355 359 364 372 374 378 383 389

ÍNDICE

14.

15.

1 6.

1 7.

13.9. Grupos unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 10. Grupos simplécticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo infinitesimal en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4. 1 . ¿Diferenciación e n una variedad? . . . . . . . . . . . . . 1 4.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.3. D erivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.4. Curvatura y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. Geodésicas, paralelogramos y curvatura . . . . . . . . . 14.6. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.7. Lo que una métrica puede hacer por usted . . . . . . 14.8. Variedades simplécticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fíbrados y conexiones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 . 1 . Algunas motivaciones físicas para los fibrados . . . . 1 5 .2. La idea matemática de un fibrado . . . . . . . . . . . . . 1 5 .3. Secciones transversales de fibrados . . . . . . . . . . . . 1 5 .4. El fibrado de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 . 5. Fibrados vectoriales complejos, fibrados ( co)tangentes 1 5.6. Espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5.7. No trivialidad en una conexión fibrada . . . . . . . . . 1 5 . 8 . Curvatura fibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La escalera del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6. 1 . Campos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6.2. ¿Una geometría finita o una geometría infinita para la fisica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6.3. Diferentes tamaños de infinito . . . . . . . . . . . . . . . 1 6.4. El corte diagonal de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6.5. Enigmas en los fundamentos de las matemáticas . . 1 6.6. Las máquinas de Turing y el teorema de Godel . . . 1 6.7. Tamaños de infinitos en física . . . . . . . . . . . . . . . . Espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 . 1 . El espaciotiempo de la fisica aristotélica . . . . . . . . 1 7.2. El espaciotiempo para la relatividad galileana 17 .3. La dinámica newtoniana en términos del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 El principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5. El «espaciotiempo newtoniano» de Cartan 12

396 402 41 1 411 414 418 422 425 432 441 446 45 1 451 454 459 462 46 7 47 1 476 48 1 49 1 49 1 494 500 504 509 513 518 52 5 525 528 531 53 5 539

ÍNDICE

17.6. 17.7. 1 7 .8. 17. 9.

18.

1 9.

20.

21.

La velocidad finita y fij a de la luz 546 Conos de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 El abandono del tiempo absoluto . . . . . . . . . . . . . 552 El espaciotiempo de la relatividad general de Einstein 557 Geometría minkows kiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 1 8 . 1 . Los 4-espacios euclídeo y minkowskiano . . . . . . . 563 1 8.2. Los grupos de simetría del espacio de Minkowski . 5 67 1 8.3. Ortogonalidad lorentziana; la «paradoja del reloj» . 570 1 8.4. Geometría hiperbólica en el espacio de Minkowski 576 1 8. 5 . L a esfera celeste como una esfera d e Riemann . . . 582 1 8.6. Energía y momento (angular) newtonianos . . . . . . 5 87 1 8.7. Energía y momento (angular) relativistas . . . . . . . . 590 Los campos clásicos de Maxwell y Einstein . . . . . . . . . . . . . . 599 19 . 1 . Evolución fuera de la dinámica newtoniana . . . . . 599 19 .2. La teoría electromagnética de Maxwell . . . . . . . . . 602 1 9.3. Leyes de conservación y de flujo en la teoría de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 19 .4. El campo de Maxwell como curvatura gauge . . . . 6 1 0 1 9.5. El tensor energía-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 7 19.6. La ecuación de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . 622 1 9 . 7 . Cuestiones adicionales: l a constante cosmológica, el tensor de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 1 9.8. La energía del campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . 629 Lagrangianos y h amiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 20. 1 . El mágico formalismo lagrangiano . . . . . . . . . . . . 639 20.2. La más simétrica imagen hamiltoniana . . . . . . . . . 644 20.3. Pequeñas oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 20.4. La dinámica hamiltoniana como geometría simpléctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 20 .5. Tratamiento lagrangiano de los campos . . . . . . . . 658 20.6. Cómo impulsan los lagrangianos la teoría moderna 661 La partícula cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 21 . 1 . Variables no conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 21 .2. Hamiltonianos cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1 2 1 .3 . La ecuación de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 674 21 .4. La base experimental de la teoría cuántic a 676 13

ÍNDICE

2 1 .5. 2 1 .6. 2 1 .7 . 2 1 .8. 2 1 . 9. 2 1 . 10. 21.11.

Comprendiendo la dualidad onda-partícula ¿Qué es la «realidad» cuántica? . . . . . . . . . . . . . . . L a naturaleza «holística» de una función de onda . . Los misteriosos «saltos cuánticos» . . . . . . . . . . . . . Distribución de probabilidad en una función de onda Estados de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descripción en el espacio de momentos . . . . . . . . Á 22. lgebra, geometría y espín cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 1 . Los procedimientos cuánticos U y R . . . . . . . . . . 22.2. La linealidad de U y sus problemas para R . . . . . . 22.3. Estructura unitaria, espacio de Hilbert, notación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4. Evolución unitaria: Schrodinger y Heisenberg . . . 22.5. «Observables» cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6. Medidas SÍ/NO, proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7. Medidas nulas, helicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8. Espín y espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 9. La esfera de Riemann de los sistemas de dos estados 22. 1 O. Espín más alto: la imagen de Majorana . . . . . . . . . 22. 1 1 . Armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 1 2 . Momento angular cuántico relativista . . . . . . . . . . 22. 1 3 . E l objeto cuántico aislado general . . . . . . . . . . . . 23. El entrelazado mundo cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 1 . Mecánica cuántica de sistemas de muchas partículas 23.2. La enormidad del espacio de estados de muchas partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3. Entrelazamiento cuántico; desigualdades de Bell . . 23.4. Experimentos EPR tipo Bohm . . . . . . . . . . . . . . 23.5. El ejemplo EPR de Hardy: casi libre de probabilidad 23.6. Dos misterios del entrelazamiento cuántico . . . . . 23.7. Bosones y fermiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.8. Los estados cuánticos de los bosones y los fermiones 23.9. Teleportación cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 1 0 . C uanlazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. El electrón y las antipartículas de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 1 . Tensión entre l a teoría cuántica y l a relatividad 14

682 685 691 696 698 701 703 711 711 715 718 722 726 730 733 739 745 752 755 761 765 777 777 780 783 787 792 795 798 801 804 810 819 819

ÍNDICE 24.2. 24.3. 24.4. 24.5. 24.6.

¿Por qué las antipartículas implican campos cuánticos? Positividad de la energía en mecánica cuántica . . . Dificultades con la fórmula de la energía relativista La no invariancia de a; at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La raíz cuadrada de Clifford-Dirac de un operador de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7. La ecuación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.8. La ruta de Dirac al positrón . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. El mo delo están dar de la física de partículas . . . . . . . . . . . . . . 25. 1 . Los orígenes de la moderna física de partículas . . . 25.2. La imagen zig-zag del electrón . . . . . . . . . . . . . . . 25.3. Interacciones electrodébiles, asimetría de reflexión 25.4. Conjugación de carga, paridad e inversión temporal 25.5. El grupo de simetría electrodébil . . . . . . . . . . . . . 25.6. Partículas fuertemente interactuantes . . . . . . . . . . 25.7. «Quarks coloreados» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.8. ¿Más allá del modelo estándar? . . . . . . . . . . . . . . . 26. Teoría cuántica de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 1 . El estatus fundamental de la QFT en l a teoría moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2. Operadores de creación y aniquilación . . . . . . . . . 26.3. Álgebras de dimensión infinita . . . . . . . . . . . . . . . 26.4. Antipartículas en QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5 . Vacíos alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.6. Interacciones: lagrangianos e integrales de camino . 26. 7. Integrales de camino divergentes: la respuesta de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.8. Construyendo diagramas de Feynman; la matriz S . . 26.9. Renormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 1 0. Diagramas de Feynman a partir de lagrangianos . . 26. 1 1 . Los diagramas de Feynman y la elección del vacío . 27. El big bang y s u lega do termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . 1 . Simetría temporal en la evolución dinámica . . . . . 27.2. Ingredientes submicroscópicos . . . . . . . . . . . . . . . 27.3. Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4. El carácter robusto del concepto de entropía . . . . . 15

821 823 826 828 831 833 836 843 843 845 850 857 860 866 870 874 881 881 883 887 890 892 894 900 903 907 913 915 923 923 925 928 931

ÍNDICE

27.5. 27.6. 27.7. 27.8. 27. 9.

Derivación de la segunda ley . . . ¿o no? ¿Es el universo en su conjunto un «sistema aislado»? El papel del big bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horizontes de sucesos y singularidades espaciotemporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 1 0 . Entropía de agujero negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . 1 1 . Cosmología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 12. Diagramas conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 1 3 . Nuestro extraordinariamente especial big bang . . . 28. Teorías especu lativas del universo primitivo . . . . . . . . . . . . . . . 28. 1 . Ruptura espontánea de simetría e n el universo primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2. Defectos topológicos cósmicos . . . . . . . . . . . . . . . 28.3. Problemas para la ruptura de simetría en el universo primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4. Cosmología inflacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.5. ¿Son válidas las motivaciones para la inflación? . . . 28.6. El principio antrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.7. La naturaleza especial del big bang: ¿una clave antrópica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.8. La hipótesis de curvatura de Weyl . . . . . . . . . . . . . 28. 9. La propuesta de «ausencia de frontera» de Hartle-Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 1 0 . Parámetros cosmológicos: ¿estatus observacional? . 29. La paradoja de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 1 . Las ontologías convencionales de la mecánica cuántica 29.2. Ontologías no convencionales para la mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3. La matriz densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.4. Matrices densidad para espín 1 /2: la esfera de Bloch 29.5. La matriz densidad en situaciones EPR . . . . . . . . 29.6. Filosofia FAPP de la decoherencia por el entorno 29. 7 . E l gato de Schrodinger con l a ontología «de Copenhague» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.8. ¿Pueden las ontologías (b) y (c) resolver el «gato»? 16

936 940 944 951 957 960 963 971 975 987 987 992 997 1 002 1010 1016 1 022 1 026 1 030 1 034 1 049 1 049 1 054 1061 1 064 1 069 1 07 5 1 078 1081

ÍNDICE 29.9. ¿Qué ontologías no convencionales pueden ayudar? 30. El papel de la grave dad en la reducción del esta do cuántico . . . . 30. 1 . ¿Va a quedarse aquí la teoría cuántica actual? . . . . . 30.2. Claves de una asimetría temporal cosmológica 30.3. Asimetría temporal en la reducción del estado cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temperatura del agujero negro de Hawking 30.4. 30.5. Temperatura del aguj ero negro a partir de periodicidad compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.6. Vectores de Killing, flujo de energía ... ¡y viaje en el tiempo! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.7. Flujo de energía saliente de órbitas de energía negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.8. Explosiones de Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.9. Una perspectiva más radical . . . . . . . . . . , . . . . . . 30. 1 0. El bulto de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 1 1 . Conflicto fundamental con los principios de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 12. ¿Estados de Schrodinger-Newton preferidos? . . . . 30. 1 3 . L a propuesta FELIX y otras relacionadas . . . . . . . . 30. 1 4. Origen de las fluctuaciones en el universo primitivo 3 1 . Supersimetría, supradimensionalida d y cuerdas . . . . . . . . . . . . 3 1 . 1 . Parámetros inexplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 .2. Supersimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 .3. El álgebra y la geometría de la supersimetría . . . . . 3 1 .4. Espaciotiempo de dimensiones más altas . . . . . . . . 31 . 5 . L a teoría de cuerdas hadrónica original . . . . . . . . . 31 .6. Hacia una teoría de cuer das del universo . . . . . . . 3 1 . 7. Motivación de cuer das para dimensiones espaciotemporales extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 .8. ¿La teoría de cuerdas como gravedad cuántica? . . . 3 1 . 9. Dinámica de cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 . 10. ¿Por qué no vemos las dimensiones espaciales extra? 3 1 . 1 1 . ¿Deberíamos aceptar el argumento de la estabilida d c uant1ca;>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 . 1 2 . Inestabilidad clásica de las dimensiones extra . . . . . .

.

,

•

17

1 085 1 093 1 093 1 095 1 098 1 1 03 1 1 08 1115 1 1 19 1 1 22 1 1 27 1 132 1 1 36 1 14 1 1 1 44 1 15 1 1 1 63 1 1 63 1 1 68 1 1 73 1 177 1 1 82 1 187 1 191 1 1 93 1 1 97 1 201 1 207 121 1

ÍNDICE 3 1 . 13. 3 1 . 14. 31. 15. 3 1 . 1 6. 3 1 . 17 . 31.18.

¿Es finita la QFT de cuerdas? Los mágicos espacios de Calabi-Yau; la teoría M . . Cuerdas y entropía de agujero negro . . . . . . . . . . El «principío holográfico» . . . . . . . . . . . . . . . . . . La perspectiva de la D-brana . . . . . . . . . . . . . . . . ¿El estatus físico de la teoría de cuerdas? . . . . . . . . 3 2 . El sendero más estrech o de Einstein; variables de lazo . . . . . . . 32. 1 . Gravedad cuántica canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. El ingrediente quiral de las variables de Ashtekar . . 32.3. La forma de las variables de Ashtekar . . . . . . . . . . 32.4. Variables de lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5. Las matemáticas de nudos y enlaces . . . . . . . . . . . 32.6. Redes de espín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.7. ¿El estatus de la gravedad cuántica de lazo? . . . . . 33. Perspectivas más radicales: la teoría de twistores . . . . . . . . . . . . 33. 1 . Teorías donde la geometría tiene elementos discretos 33.2. Los twistores co mo rayos de luz . . . . . . . . . . . . . 33.3. El grupo conforme; el espacio de Minkowski compactificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.4. Los twistores co mo espinares de dimensión superior 33.5. Geometría twistorial básica y coordenadas . . . . . . 33.6. Geometría de twistores como partículas sin masa con espín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 7. Teoría cuántica twistorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.8. Descripción twistorial de campos sin masa . . . . . . 33.9. Cohomología de haces twistorial . . . . . . . . . . . . 33. 10. Los twistores y l a separación e n frecuencia positiva/negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . 1 1 . El gravitón no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 12. Twistores y relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . 33. 1 3 . Hacia una teoría twistorial de la física de partículas 33. 1 4. ¿El futuro de la teoría de twistores? . . . . . . . . . . . 34. ¿Dónde está el camino a la realidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 1 . Las grandes teorías d e la física del siglo x x . . . ¿y más allá? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2. Física fundamental matemáticamente dirigida . . . . .

.

.

.

18

1215 1218 1 225 1 23 1 1 234 1 23 8 1 25 1 1251 1253 1 257 1 260 1 264 1 267 1275 1 283 1 283 1288 1 296 1 30 1 1 304 1 309 1314 1318 1321 1 327 1 330 1336 1 339 1 340 1 35 1 1 35 1 1 35 6

ÍNDICE 34.3. 34.4.

El papel de las modas en la teoría física ¿Puede refutarse experimentalmente una teoría , erronea '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 5 . ¿Dónde podemos esperar nuestra próxima revolución en física? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.6. ¿Qué es la realidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.7. Los papeles de la mentalidad en la teoría física . . 34. 8 . Nuestro largo camino matemático a l a realidad . 34.9. Belleza y milagros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 1 O. Preguntas profundas respondidas, preguntas más profundas planteadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1361

. . 1365 . . . . .

. . . . .

1371 1375 1378 1383 1389

. . 1395

EPÍLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 403 BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 405 ÍNDICE ALFABÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 457

Prefacio Este libro tiene como objetivo transmitir al lector una idea de lo que es ciertamente uno de los viajes de descubrimiento más importantes y apasionantes en los que se ha embarcado la humanidad. Se trata de la búsqueda de los principios subyacentes que rigen el comportamiento de nuestro universo. Es un viaje que ha durado más de dos mil qui­ nientos años, de modo que no debería sorprendernos que al final se hayan hecho progresos sustanciales. Pero este viaje se ha mostrado muy dificil, y en la mayoría de los casos, el conocimiento real ha llegado lentamente. Esta dificultad intrínseca nos ha llevado en muchas direc­ ciones falsas, y de ello deberíamos aprender a ser cautos. Pero el si­ glo xx nos ha revelado nuevas y extraordinarias ideas, algunas tan im­ presionantes que muchos cientí fic os actuales han expresado la opinión de que podríamos estar cerca de una comprensión básica de todos los principios subyacentes en la física. En mis descripciones de las teorías fundamentales vigentes cuando escribo esto, recién concluido el si­ glo xx, trataré de adoptar un punto de vista más modesto. Quizá no todas mis opiniones sean bien recibidas por los «optimistas», pero espe­ ro cambios futuros de dirección aún mayores que los que se han dado en el último siglo. El lector encontrará que en este libro no he rehuido presentar fór­ mulas matemáticas, pese a las reiteradas advertencias acerca de la drás­ tica reducción de lectores que esto implicaría. He pensado seriamente sobre esto y he llegado a la conclusión de que lo que tengo que decir no puede transmitirse razonablemente sin cierta cantidad de notación matemática y la exploración de genuinos conceptos matemáticos. El conocimiento que tenemos de los principios que realmente subyacen 21

PREFACIO

en el co mporta miento de nuestro mundo físico depende, de hecho, de una apreciación de sus mate máticas. Quizá para algunas personas esto pueda ser un motivo de desesperación, pues se habrán for mado la idea de que no tienen ninguna capacidad para las mate máticas, por muy ele mentales que sean. Sin duda se preguntarán có mo van a poder co m­ prender la investigación que se está haciendo en la mis ma frontera de la teoría física si ni siquiera do minan la for ma de tratar las fracciones. Veo la dificultad, por supuesto. Pese a todo, soy opti mista en cuestiones de trans misión del cono­ ci miento. Tal vez sea un opti mista incurable. Me pregunto si esos lec­ tores potenciales que no pueden manipular fracciones -o que dicen que no pueden manipular fracciones- no se están engañando a sí mis­ mos, al menos un poco, y una buena proporción de ellos tienen real­ mente una capacidad en esta dirección de la que no son conscientes. Sin duda hay algunos que, cuando se enfrentan a una línea de sí mbolos mate máticos, independiente mente de la sencillez con que estén pre­ sentados, solo pueden ver el rostro severo de un padre o un profesor que trataba de inculcarles a la fuerza una aparente co mpetencia sin contenido y si milar a la de un papagayo -una obligación, y solo una obligación- sin que pudiera traslucir ningún indicio de la magia o be­ lleza del te ma. Tal vez para algunos sea de masiado tarde; pero, co mo digo, soy un opti mista, y creo que todavía quedan muchos, incluso en­ tre aquellos que nunca pudieron do minar la manipulación de fraccio­ nes, que tienen la capacidad de vislu mbrar algo de un mundo maravi­ lloso que pienso que debe ser, en un grado significativo, genuina mente accesible para ellos. Una de las mej ores a migas de juventud de mi madre era una de esas personas que no podían co mprender las fracciones. Ella mis ma me lo contó en cierta ocasión, una vez que se había retirado de una carre­ ra exitosa como bailarina.Yo aún era joven, y todavía no me había lan­ zado plena mente a mi actividad co mo mate mático, pero se me reco­ nocía co mo alguien que disfrutaba trabajando en este te ma. «Es todo eso de la si mplificación - me decía-, nunca le cogí el tranquillo a la si mplificación. » Era una mujer elegante y muy inteligente, y en mi opinión no hay ninguna duda de que las cualidades mentales que se necesitan para co mprender la sofisticada coreografía que es funda men22

PREFACIO

tal para el ballet no son en modo alguno inferiores a las que deben ejercitarse con un problema matemático. Así, sobrestimando amplia­ mente mi capacidad expositiva, intenté, como otros lo habían hecho antes, explicarle la simplicidad y la naturaleza lógica del procedimien­ to de «simplificación». Creo que mis esfuerzos fueron tan infructuosos como lo habían sido los de los otros que lo habían intentado. (Dicho sea de paso, su pa­ dre había sido un eminente geólogo y miembro de la Royal Society, de modo que ella debía de haber tenido una formación adecuada para la comprensión de cuestiones científicas. Quizá aquí podría haber inter­ venido un factor del tipo «rostro severo». No lo sé.) Pero reflexionan­ do sobre ello, me pregunto ahora si ella, y muchas personas como ella, no tenían un complejo inhibidor más racional, uno que yo ni siquiera había advertido con toda mi verborrea matemática. Hay, en realidad, una cuestión profunda con la que uno tropieza una y otra vez en ma­ temáticas y en física matemática, y que encuentra por primera vez en la noción aparentemente inocente de cancelación de un factor común en el numerador y el denominador de una fracción numérica ordi­ naria. Aquellos para los que la acción de simplificar se ha convertido en algo automático, debido a la familiaridad repetida con tales operacio­ nes, pueden ser insensibles a una dificultad que en realidad acecha tras este procedimiento aparentemente sencillo. Quizá muchos de los que encuentran misteriosa la simplificación están viendo cierto punto con más profundidad que aquellos de nosotros que pasamos de largo de forma displicente, pareciendo ignorarlo. ¿De qué punto se trata? Con­ cierne a la forma misma en que los matemáticos pueden ofrecer una existencia a sus entidades matemáticas y a cómo pueden relacionarse tales entidades con la realidad física. Recuerdo que cuando estaba en la escuela, más o menos a los once años, me qued é muy sorprendido cuando el maestro preguntó a la cla­ se qué es realmente una fracción (tal como 3/8, pongamos por caso) . Hubo varias sugerencias, como dividir un pastel en porciones y cosas así, pero fueron rechazadas por el profesor sobre la base (válida) de que estas se referían simplemente a situaciones físicas imprecisas a las que te­ nía que aplicarse la noción matemática precisa de una fracción; pero no 23

PREFACIO

nos decían cuál es dicha noción matemática precisa. Siguieron otras su­ gerencias, tales como 3/8 es «algo con un 3 arriba y un 8 abajo y con una línea horizontal en medio», ¡y me quedé sorprendido al descubrir que el profesor parecía tomar estas sugerencias en serio! No recuerdo muy bien cómo se resolvió finalmente la cuestión, pero con la intui­ ción adquirida de muchas experiencias posteriores como estudiante de licenciatura en matemáticas, podría conjeturar que mi maestro de es­ cuela estaba haciendo un valiente intento por decirnos la definición de una fracción en términos de la ubicua noción matemática de clase de

equivalencia. ¿Cuál es esta noción? ¿Cómo puede aplicarse en el caso de una fracción, y decirnos qué es realmente una fracción? Empecemos con el «algo con un 3 arriba y un 8 abajo» de mi compañero de clase. Básica­ mente, esto nos sugiere que una fracción está especificada por un par ordenado de números enteros, en este caso los números 3 y 8. Pero es evidente que no podemos considerar que la fracción es dicho par or­ denado porque, por ejemplo, la fracción 6/ 1 6 es el mismo número que la fracción 3/8, mientras que el par (6, 1 6) no es ciertamente el mismo que el par (3, 8) . Esta es precisamente una cuestión de simplificación; en efecto, podemos escribir 6/ 1 6 como

� � � y luego cancelar el 2 de

arriba con el 2 de abajo, para obtener 3/8. ¿Por qué se nos permite ha­ cer esto y con ello «igualan>, en cierto sentido, el par (6, 1 6) con el par (3, 8)? La respuesta matemática -que muy bien puede sonar como un «escaqueo»- tiene la regla de simplificación incorporada en la defini­ ción de una fracción: se considera que un par de números enteros (a X n, b x n) representa la misma fracción que el par (a, b) siempre que n sea un número entero distinto de cero (y donde tampoco admitimos que b sea cero) . Pero esto tampoco nos dice qué es una fracción; simplemente nos dice algo sobre la forma en que representamos las fracciones. ¿Qué es, entonces, una fracción? Según la noción de «clase de equivalencia» de los matemáticos, la fracción 3/8, por ejemplo, es simplemente la colec­ ción infinita de todos los pares (3, 8) , (-3, -8) , (6, 1 6) , (-6, -16), (9, 24) , (-9, -24) , (12, 32) , . . , .

24

PREFACIO

donde cada par puede obtenerse de cada uno de los otros pares de la lista por aplicación repetida de la regla de si mplificación anterior. * Ta mbién necesita mos definiciones que nos digan có mo su mar, restar y multiplicar estas colecciones infinitas de pares de nú meros enteros, donde son válidas las reglas nor males del álgebra, y có mo identificar los propios nú meros enteros co mo tipos particulares de fracción. Esta definición cubre todo lo que necesita mos mate mática mente de las fracciones (tal co mo que 1 /2 es un nú mero que su mado a sí mis­ mo da el nú mero 1 , etc.) , y la operación de si mplificación está, co mo he mos visto, incorporada en la definición. Pero todo parece muy for­ mal y pode mos preguntarnos si real mente recoge la noción intuitiva de lo que es una fracción. Aunque este ubicuo procedi miento de las cla­ ses de equivalencia, de la que el ej e mplo anterior es un caso particular, es muy potente co mo pura herra mienta mate mática para establecer la consistencia y la existencia mate mática, puede proporcionarnos enti ­ dades con una apariencia de masiado pesada. ¡Dificil mente nos trans­ mite la noción intuitiva de lo que es 3/8, por ej e mplo! No es extraño que la a miga de mi madre estuviera confundida. En mis descripciones de nociones mate máticas trataré de evitar, hasta donde pueda, el tipo de pedantería mate mática que nos lleva a definir una fracción en tér minos de una «clase infinita de pares», inclu­ so si, por supuesto, tiene su valor en rigor y precisión mate máticos. En mis descripciones me interesaré más en trans mitir la idea -y la belle­ za y la magia- inherente a muchas nociones mate máticas i mportan­ tes. La idea de una fracción tal co mo 3/8 consiste si mple mente en que es cierto tipo de entidad que tiene la propiedad de que cuando se su ma a sí mis ma 8 veces da 3. La magia está en que la idea de una fracción funciona pese al hecho de que en el mundo fisico no experi menta mos directa mente cosas que estén cuantificadas exacta mente por fracciones: las porciones de pastel solo conducen a aproxi maciones. (Esto es muy diferente del caso de los nú meros naturales, tales co mo 1 , 2, 3 , que cuantifican de for ma precisa muchas entidades de nuestra experiencia * Esto se denomina una «clase de equivalencia» porque realmente es una clase de en­ tidades (que, en este caso concreto, son pares de números enteros), cada uno de cuyos miembros se considera equivalente, en un sentido específico, a cada uno de los demás miembros.

25

PREFACIO

directa.) Una forma de ver que las fracciones tienen un sentido consis­ tente es utilizar la «definición» en términos de colecciones infinitas de pares de enteros, como se ha indicado antes. Pero esto no significa que 3/8 sea realmente una colección semejante. Es mejor pensar en 3/8 como una entidad con un tipo de existencia (platónica) propia, y que la colección in finita de pares es simplemente una forma de llegar a en­ tender la consistencia de este tipo de entidad. A medida que nos fami­ liarizamos, empezamos a creer que podemos captar con facilidad una noción tal como 3/8 como algo que tiene su propio tipo de existencia, y la idea de una «colección infinita de pares» es simplemente un artifi­ cio pedante, un artificio que enseguida se retira de nuestra imaginación una vez que lo hemos captado. Buena parte de las matemáticas es así. Para los matemáticos (al menos para la mayoría de ellos, por lo que puedo entender), las matemáticas no son solo una actividad cultural que hemos creado nosotros mismos, sino que tienen vida propia, y buena parte de ellas está en sorprendente armonía con el universo fisi­ co. No podemos tener una comprensión profunda de las leyes que ri­ gen el mundo fisico sin entrar en el mundo de las matemáticas. En par­ ticular, la noción anterior de una clase de equivalencia es relevante no solo para una gran cantidad de matemáticas importantes (aunque con­ fusas) , sino también para una gran cantidad de fisica importante (y confusa) , tal como la teoría de la relatividad general de Einstein y los principios de las «teorías gauge» que describen las fuerzas de la natura­ leza según la moderna fisica de partículas. En la fisica moderna, uno no puede evitar el enfrentarse a las sutilezas de muchas matemáticas sofis­ ticadas. Por esta razón, he dedicado los dieciséis primeros capítulos de esta exposición a la descripción de ideas matemáticas. ¿Qué consejo puedo dar al lector para hacer frente a esto? Este li­ bro tiene cuatro niveles diferentes de lectura. Quizá sea usted un lec­ tor, en un extremo de la escala, que sencillamente se da la vuelta cuan­ do se le presenta una fórmula matemática (y algunos de estos lectores pueden muy bien tener dificultades en entender las fracciones) . Si es así, creo que todavía puede usted aprender mucho de este libro saltán­ dose simplemente todas las fórmulas y leyendo solo las palabras. Su­ pongo que esto será muy parecido a la forma en que yo solía hoj ear las revistas de ajedrez que estaban desperdigadas por mi casa cuando era 26

PREFACIO

niño. El ajedrez constituía buena parte de las vidas de mis padres y her­ manos, pero yo me interesé muy poco por él, excepto en que disfruta­ ba leyendo las hazañas de aquellos excepcionales, y con frecuencia ex­ traños, personaj es que se dedicaban a ese juego. De esa lectura, me hacía una idea de la brillantez de las jugadas que solían hacer, incluso si no las comprendía ni hacía ningún intento por seguir las diferentes po­ siciones a través de las notaciones. Pese a todo, descubrí que era una ac­ tividad agradable e ilustrativa que podía mantener mi atención. Del mismo modo, espero que las exposiciones matemáticas que ofrezco aquí puedan transmitir algo de su interés incluso a algunos lectores poco interesados en las matemáticas que, por valentía o curiosidad, de­ ciden acompañarme en mi viaje de exploración de las ideas matemáti­ cas y fisicas que parecen subyacer en el universo fisico. No tenga mie­ do en saltarse ecuaciones (yo mismo lo hago con frecuencia) y, si lo desea, saltarse capítulos enteros o partes de capítulos cuando empiecen a hacerse demasiado rimbombantes. Hay mucha variedad en las difi­ cultades y tecnicismos del material, y quizá haya algo más de su gusto en otro lugar. Puede decidir simplemente introducirse y mirar. Mi es­ peranza es que las extensas referencias cruzadas puedan ilustrar bien nociones poco familiares, de modo que debería ser posible localizar los conceptos y la notación necesarios regresando a secciones anteriores no leídas en busca de aclaración. En un segundo nivel, quizá sea usted un lector que está dispuesto a echar una ojeada a las fórmulas matemáticas, cuando quiera que se le presenten, pero no siente la inclinación (ni quizá tiene tiempo) de ve­ rificar por usted mismo las afirmaciones que hago. Las confirmaciones de muchas de estas afirmaciones constituyen las soluciones a los ejerci­ cios que he desperdigado por las partes matemáticas de este libro. He señalado tres niveles de dificultad mediante los iconos

� quad muy sencillo � quad necesita un poco de reflexión '/m_ quad no debe abordarse con ligereza 27

PREFACIO

Es perfectamente razonable fiarse de estas, si lo desea, y no hay pér­ dida de continuidad si decide adoptar esta postura. Si, por el contrario, usted es un lector que quiere ejercitarse con es­ tas diversas (e importantes) nociones matemáticas, pero para quien las ideas que describo no son familiares, espero que el trabaj o con estos ejercicios le ofrecerá una ayuda importante para reforzar tales habilida­ des. Con las matemáticas, siempre sucede que una pequeña experiencia directa de reflexión propia sobre las cosas puede proporcionar una com­ prensión mucho más profunda que la mera lectura sobre ellas. (Si nece­ sita las soluciones, consulte la página web www.roadsolutions.ox.ac.uk.) Por último, quizá usted sea ya un experto, en cuyo caso no debería tener dificultades con las matemáticas (la mayoría de las cuales le serán muy familiares) y tal vez no quiera perder el tiempo con los ejercicios. Pero aún puede descubrir que hay algo que extraer de mis propios en­ foques sobre diversos temas, que es probable que sean algo diferentes (a veces muy diferentes) de los habituales. Quizá usted tenga cierta cu­ riosidad por mis opiniones concernientes a varias teorías modernas (por ejemplo, supersimetría, cosmología inflacionaria, la naturaleza del big bang, agujeros negros, teoría de cuerdas o teoría M, variables de lazo en gravedad cuántica, teoría de twistores, incluso los propios fun­ damentos de la teoría cuántica) . Sin duda encontrará mucho en lo que discrepar conmigo en bastantes de estos temas. Pero la controversia es una parte importante del desarrollo de la ciencia, y por eso no tengo reparos en presentar opiniones que puedan considerarse parcialmente reñidas con algunas de las actividades de la corriente principal de la fí­ sica teórica moderna. Puede decirse que este libro trata realmente de la relación entre las matemáticas y la fisica, y de cómo el diálogo entre ambas influye po­ derosamente en los impulsos que subyacen en nuestra búsqueda de una mejor teoría del universo. Un ingrediente esencial de estos impulsos en muchos desarrollos modernos procede de juicios sobre la belleza, pro­ fundidad y so fisticación matemáticas. Es evidente que tales influencias matemáticas pueden ser de importancia vital , como sucede con algu­ nos de los éxitos más impresionantes de la fisica del siglo xx: la ecua­ ción de Dirac para el electrón, el armazón general de la mecánica cuántica y la relatividad general de Einstein. Pero en todos estos casos, 28

PREFACIO

las consideraciones fisicas -en últi ma instancia las observacionales ­ han proporcionado el criterio pri mordial de aceptación. En muchas de las ideas modernas para avanzar de manera funda mental en nuestra co mprensión de las leyes del universo, no se dispone de criterios fisicos adecuados -i.e., datos experi mentales, o siquiera la posibilidad de in­ vestigación experi mental-. Por ello, pode mos cuestionarnos si los de­ siderata mate máticos accesibles son suficientes para per mitirnos esti­ mar las probabilidades de éxito de estas ideas. El te ma es delicado, y trataré de plantear cuestiones que, en mi opinión, no han sido sufi­ ciente mente discutidas en otros lugares. Aunque en algunos pasajes presentaré opiniones que pueden con­ siderarse controvertidas, me he preocupado por aclarar al lector cuán­ do me estoy to mando real mente tales libertades. En consecuencia, este libro puede utilizarse co mo una guía genuina para las ideas (y las pre­ guntas) funda mentales de la física moderna. Puede utilizarse en las aulas co mo una honesta introducción a la física moderna, tal co mo se entiende ahora, cuando nos movemos en los primeros años del tercer milenio.

Agradecimientos Al tratarse de un libro de esta magnitud, cuya redacción me ha llevado aproximadamente ocho años, es inevitable que haya muchas personas a quienes debo dar las gracias. Resulta casi igual de inevitable que, entre ellas, haya algunas cuya valiosa contribución no quede reconocida debi­ do a mi desorganización y despiste congénitos. Permítanme, en primer lugar, expresar mi especial agradecimiento, y también mis disculpas, a esas personas que me han dado su generosa ayuda pero cuyos nombres no me vienen a la memoria. Pasando a las diversas informaciones y ayudas concretas que puedo recordar con más claridad, doy las gracias a Mi­ chael Atiyah, John Baez, Michael Berry, Dorje Brody, Robert Bryant, Hong-Mo Chan, Joy Christian, Andrew Duggins, Maciej D unajski, Freeman Dyson, Arthur Ekert, David Fowler, Margaret Gleason, Je­ remy Gray, Stuart Hameroff, Keith Hannabuss, Lucien Hardy,Jim Har­ tle, Tom Hawkins, Nigel Hitchin, Andrew Hodges, Dipankar Home, Jim Howie, Chris Isham, Ted Jacobson, Bernard Kay, William Marshall, Lionel Masan, Charles Misner, Tristan Needham, Stelios Negrepontis, Sarah J ones N elson, Ezra (Ted) N ewman, Charles Oakley, Daniel Oi, Robert Osserman, Don Page, Oliver Penrose, Alan Rendall, Wolfgang Rindler, Engelbert Schücking, Bernard Schutz,Joseph Silk, Christoph Simon, George Sparling,John Stachel, Henry Stapp, Richard Thomas, Gerard 't Hoo ft, Paul Tod, James Vickers, Robert Wald, Rainer Weiss, Ronny Wells, Gerald Westheimer, John Wheeler, Nick Woodhouse y Anton Zeilinger. Agradecimientos particulares merecen Lee Smolin, Kelly Stelle y Lane Hughston por su ayuda en numerosos y variados puntos. Estoy en deuda especial con Florence Tsou (Sheung Tsun) , por su inmensa ayuda en temas de física de partículas; con Fay Dowker, 31

AGRADECIMIENTOS

por su ayuda y evaluación sobre varios temas, muy especialmente la presentación de ciertas cuestiones mecanocuánticas; con Subir Sarkar, por la valiosa información concerniente a datos cosmológicos y su in­ terpretación; con Vahe Gurzadyan, por lo mismo y por alguna informa­ ción anticipada de sus hallazgos cosmológicos concernientes a la geo­ metría global del universo, y particularmente con Abhay Ashtekar, por su completa información sobre la teoría de variables de lazo y también sobre varios puntos detallados concernientes a la teoría de cuerdas. Agradezco a la National Science Foundation su apoyo mediante las becas PHY 93- 96246 y 00-90091 , y a la Leverhulme Foundation por una beca de dos años Leverhulme Emeritus Fellowship, durante 2000-2002. Los nombramientos a tiempo parcial en el Gresham Co­ llege, Londres ( 1 998-2001), y el Center for Gravitational Physics and Geometry en la Universidad del Estado de Pennsylvania, Estados Uni­ dos, me han sido muy valiosos para escribir este libro, como lo ha sido la ayuda administrativa (muy especialmente, la de Ruth Prestan) y de espacio en el Mathematical Institute de la Universidad de Oxford. También ha sido incalculable el especial apoyo por la parte editorial, compaginando duras restricciones de horario con un autor de hábitos de trabajo erráticos. La primera ayuda editorial de Eddie Mizzi fue vi­ tal para iniciar el proceso de convertir mis caóticos escritos en un libro real, y Richard Lawrence, con su experiencia y su paciente y sensible persistencia, ha sido un factor crucial para llevar a término este pro­ yecto. Teniendo que trabajar con esta complicada reescritura, John Holmes ha hecho un trabaj o excelente al proporcionar un índice. Asi­ mismo, estoy especialmente agradecido a William Shaw, por acudir en nuestra ayuda en el tramo final para generar excelentes gráficas por or­ denador (Figs. 1 . 2 y 2. 1 9, y por la implementación de la transforma­ ción incluida en las Figs. 2 . 1 6 y 2. 1 9) , utilizadas aquí para el conjunto de Mandelbrot y el plano hiperbólico. En cuanto a Jacob Foster, todas las gracias que pueda expresarle por su trabaj o hercúleo en la búsqueda y obtención de referencias y por revisar el manuscrito completo en un tiempo extraordinariamente breve y rellenar innumerables lagunas, no podrán hacer justicia de ninguna manera a la magnitud de su ayuda. Su impronta personal en un enorme número de notas finales les da una calidad especial. Por supuesto, ninguna de las personas a las que doy las 32

AGRADECIMIENTOS

gracias son culpables de los errores y omisiones que pueda haber, cuya única responsabilidad recae sobre mí. Debo expresar una gratitud especial a la M.C. Escher Company, en Holanda, por el permiso para reproducir obras de Escher en las Figs. 2. 1 1 , 2 . 1 2, 2 . 1 6 y 2.22, y en particular por permitir las modifica­ ciones de la Fig. 2. 1 1 que se han utilizado en las Figs. 2 . 1 2 y 2. 16, la úl­ tima de las cuales es una transformación matemática explícita. Todas las obras de Escher utilizadas en este libro tienen copyrigh t (2004) The M. C. Escher Company. Gracias también al lnstitute of Theoretical Physics, la Universidad de Heidelberg y a Charles H. Lineweaver, por su permiso para reproducir las gráficas respectivas en las Figs. 27. 1 9 y 28. 1 9 . Por último, mi gratitud ilimitada s e dirige a mi querida esposa Va­ nessa, no solo por suministrarme gráficas de ordenador al instante (Figs. 4 . 1 , 4.2, 5.7, 6.2-6.8, 8. 1 5 , 9 . 1 , 9.2, 9.8, 9. 1 2, 2 1 .3b, 2 1 . 1 0, 27 .5, 27. 14, 27. 1 5 , y los poliedros en la Fig. 1 . 1 ) , sino por su continuado amor y ca­ riño, y su profunda comprensión y sensibilidad, pese a los en aparien­ cia interminables años en que su marido solo estaba presente mental­ mente en parte. Y también Max, que durante toda su vida solo ha tenido la oportunidad de conocerme en ese estado distraído, merece mi más calurosa gratitud, no solo por retrasar la redacción de este libro (que hizo posible alargarse e incluir dos elementos de información im­ portantes que, de otra forma, no habría tenido) , sino por la continua alegría y el optimismo que transmite y que me ha ayudado a mante­ nerme en buena forma. Después de todo, es mediante la renovación de la vida, tal como él mismo representa, como vendrán las nuevas fuen­ tes de ideas e intuiciones necesarias para un genuino progreso futuro a la búsqueda de esas leyes más profundas que realmente gobiernan el universo en que v1v1mos.

Notación (No lo lea antes de que se haya familiarizado con los conceptos, ¡aun­ que quizá encuentre los tipos de letra confusos!) He tratado de ser razonablemente coherente en el uso de tipos de letra especiales a lo largo de todo el libro. Pero puesto que no todo esto es estándar, puede resultar útil para el lector que haga explícitos los usos que he adoptado. Las letras itálicas (griegas o latinas) , tales como en w2, p", log z, cos O, e ¡8, o e se utilizan de la manera convencional para variables ma­ temáticas que son cantidades numéricas o escalares; pero las constantes numéricas establecidas, tales como e, i, o 'TT' o las funciones establecidas tales como sen, cos o log se denotan mediante redondas. Sin embargo, las constantes físicas estándar tales como e, G, h , li, g o k son itálicas. Una cantidad vectorial o tensorial, cuando se considera en su tota­ lidad (abstracta), se denota por una letra itálica negrilla, tal como R para el tensor de curvatura de Riemann, mientras que su conj unto de componentes podría escribirse con itálicas (tanto para el núcleo como para sus índices) , como Rabea· De acuerdo con la notación de índices abstractos, introducida aquí en § 1 2.8, la cantidad Rabcd puede represen­ tar alternativamente el tensor entero R, si esta interpretación es apro­ piada, y esto debería hacerse claro en el texto. Las transformaciones li­ neales abstractas son tipos de tensores, y letras itálicas negrillas tales como T se utilizan también para tales entidades. También se utiliza aquí, cuando es apropiado, la forma de índices abstractos T"b para una transformación lineal abstracta, donde el escalonamiento de índices hace clara la conexión precisa con el ordenamiento de la multiplica­ ción de matrices. Así, la expresión de índices abstractos Sªb T', represen35

NOTACI Ó N

ta el producto ST de transformaciones lineales. Como sucede con los tensores generales, los símbolos Sªb y T", pueden representar alternati­ vamente (según el contexto o la especificación explícita en el texto) los correspondientes conjuntos de componentes -que son matrices­ para los que también pueden utilizarse letras redondas negrillas S y T. En ese caso, ST denota el correspondiente producto matricial. Esta in­ terpretación «ambivalente» de símbolos tales como Rabcd o S\ (ya re­ presenten el conjunto de componentes o el propio tensor abstracto) no debería causar confusión, pues las relaciones algebraicas (o diferencia­ les) a las que están sujetos estos símbolos son idénticas para ambas in­ terpretaciones. A veces se utiliza también aquí una tercera notación para dichas cantidades -la notación diagramática- que se describe en las Figs. 1 2 . 1 7 , 1 2. 1 8, 1 4,6, 1 4.7, 14.2 1 , 1 9 . 1 y otros lugares en el libro. Hay lugares en este libro donde necesito distinguir las entidades es­ paciotemporales 4-dimensionales de la teoría de la relatividad de las correspondientes entidades espaciales ordinarias puramente 3-dimensio­ nales. Así, aunque podría utilizarse una notación itálica negrilla, como antes, tal como p o x, para el 4-momento o la 4-posición, respectiva­ mente, las correspondientes entidades puramente espaciales 3-dimen­ sionales se denotarán por las correspondientes letras negrillas p o x. Por analogía con la notación T para una matriz, en oposición a T para una transformación lineal abstracta, se considera que las cantidades p y x «representan» las tres componentes espaciales, en cada caso, mientras que p y x podrían verse como una interpretación más abstracta libre de componentes (aunque yo no seré especialmente estricto en esto) . La «longitud» euclídea de una cantidad 3-vectorial a = (a 1 , a , a ) puede 2 3 escribirse a, donde a2 = a� + a� + a; , y el producto escalar de a por b = (b , b , b ), se escribe a • b = a b + a b + a b • Esta notación «pun­ 1 2 3 1 1 22 33 to» para productos escalares se aplica también, en el contexto n-di­ mensional general, para el producto escalar (o interno) a • � de un co­ vector abstracto a por un vector � Sin embargo, surge una complicación notacional con la mecánica cuántica, puesto que las magnitudes físicas, en esta disciplina, suelen re­ presentarse como operadores lineales. No adopto el pro cedimiento to­ talmente estándar en este contexto de colocar «sombreros» (circunflejos) sobre las letras que representan las versiones como operadores cuánti-

36

NOTACI Ó N

cos de las familiares magnitudes clásicas, pues creo que esto conduce a una innecesaria acumulación de signos. (En su lugar, tenderé a adoptar un punto de vista filosófico según el cual las magnitudes clásicas y cuánticas son realmente las «mismas» -y por ello es justo utilizar los mismos símbolos para ambas-, excepto que en el caso clásico uno está justificado al ignorar cantidades del orden de h, de modo que las pro­ piedades de conmutación clásica ah = ha pueden ser válidas, mientras que en mecánica cuántica ah podría diferir de ha en algo del orden de h.) Por consistencia con lo anterior, parecería que tales operadores li­ neales tienen que ser denotados por letras itálicas negrillas (como T) , pero eso anularía la filosofía y las distinciones invocadas e n el párrafo anterior. Por consiguiente, con respecto a magnitudes específicas, tal como el momento p o p, o la posición x o x, tenderé a utilizar la mis­ ma notación que en el caso clásico, en la misma línea con lo que se ha dicho antes en este párrafo. Pero para operadores cuánticos menos es­ pecíficos se utilizarán letras itálicas negrillas tales como Q. Las letras N, "!L, �. C y IFq, respectivamente, para el sistema de los números naturales (i.e., enteros no negativos) , los enteros, los números reales, los números complej os y el campo finito con q elementos (sien­ do q una potencia de un número primo, véase § 1 6 . 1 ) , son ahora están­ dares en matemáticas, como lo son los correspondientes N", "!L", �", C" y IF", para los sistemas de n-tuplas ordenadas de tales números. Estas son q entidades matemáticas canónicas de uso estándar. En este libro, esta notación se extiende a otras estructuras matemáticas estándar tales como un 3-espacio euclídeo IE 3 o, con más generalidad, un n-espacio euclí­ deo IE". En este libro aparece con frecuencia el espaciotiempo de Min­ kowski plano 4-dimensional estándar, que es en sí mismo un tipo de espacio «pseudo»-euclídeo, de modo que utilizo la letra M para este es­ pacio (con M" para denotar la versión n-dimensional, un espaciotiem­ po «lorentziano» con 1 tiempo y (n - 1 ) dimensiones espaciales) . A ve­ ces utilizo e como un adj etivo, para denotar «complexificado», de modo que podríamos considerar el 4-espacio euclídeo complej o, por ejemplo, denotado por C IE". La letra lP puede utilizarse también como un adjetivo, para denotar «proyectivo» (véase § 1 5 .6), o como un sus­ tantivo, cuando !P" denota el n-espacio proyectivo (utilizo �!P" o CIP'" si hay que dejar claro que estamos interesados en un n-espacio proyecti37

NOTACI Ó N

vo real o complejo, respectivamente) . En teoría de twistores (capítulo 33) , existe el 4-espacio complejo lí, que está relacionado con M (o su complexificación CM) de una manera canónica, y existe también la versión proyectiva IPlí. En esta teoría existe también un espacio N de twistores nulos (el doble papel que tiene esta letra no causa aquí con­ flicto) , y su versión proyectiva IP N . El papel adj etivo de la letra C no debería confundirse con el del tipo e, que aquí representa «conjugado complejo de» (como se utiliza en §§ 1 3 . 1 ,2) . Esto es básicamente similar a otro uso de C en física de partículas, a saber la conjugación de carga, que es la operación que inter­ cambia cada partícula con su antipartícula (véanse los capítulos 24 y 25) . Esta operación se considera habitualmente j unto con otras dos operaciones básicas en física de partículas, a saber, P para paridad, que se refiere a la operación de reflexión en un espejo, y T, que se refiere a la inversión temporal. Las letras sans serif que son negrillas sirven aquí para un objetivo diferente, el de etiquetar espacios vectoriales, siendo las letras V, W y H las utilizadas con más frecuencia con este obj etivo. El uso de H es específico para los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica, y H" representaría un espacio de Hilbert de n dimensiones complejas. Los espacios vectoriales son, en un sentido claro, planos. Los espacios que son (o podrían ser) curvos se denotan por letras script, ta­ les como M, S o T, donde hay un uso especial para el tipo concreto .Y que denota el infinito nulo. Además, sigo el convenio común que uti­ liza letras script para lagrangianos (C) y hamiltonianos ('H), en vista de su estatus muy especial en la teoría física.

Prólo go Am-tep, un artista de habilidades consumadas, era el maestro artesano del rey. Esa noche estaba durmiendo en el sofá de su taller, cansado después de una tarde de trabajo generosamente productivo, pero no podía conciliar el sueño, quizá por una tensión intangible que se respi­ raba en el aire. En realidad, ni siquiera estaba seguro de estar dormido cuando sucedió. De repente, había amanecido, aunque él tenía la sen­ sación de que todavía debía ser de noche. Se levantó con brusquedad. Algo muy extraño estaba sucediendo. La luz del alba no podía venir del norte; y, sin embargo, una luz roja resplandecía alarmantemente en su amplia ventana que daba al norte sobre el mar. Se acercó a la ventana y miró al exterior con estupor e in­ credulidad. ¡Nunca antes había salido el Sol por el norte! Aturdido como estaba, necesitó algún tiempo para darse cuenta de que eso no podía ser el Sol. Era un rayo de luz distante, de un intenso rojo vivo, proyectado verticalmente desde las aguas hacia el cielo. Mientras permanecía allí, sobre el haz apareció una nube más os­ cura que daba al conjunto la apariencia de una sombrilla gigantesca y lejana, de un brillo maligno, con un bastón llameante y lleno de humo. La capucha de la sombrilla empezó a ensancharse y oscurecerse: pare­ cía un demonio del mundo subterráneo. La noche se había aclarado, pero ahora las estrellas desaparecían una tras otra engullidas por el avance de esa monstruosa criatura del infierno. Aunque su reacción natural debería haber sido de terror, él perma­ neció inmóvil, paralizado durante varios minutos ante la perfecta si­ metría y la impresionante belleza de la escena. Pero entonces la terri­ ble nube empezó a desviarse ligeramente hacia el este, empujada por el 39

PR Ó LOGO

viento. Quizá eso le alivió algo y el hechizo se rompió momentánea­ mente. Pero de inmediato volvió a sentir aprensión cuando le pareció experimentar una extraña alteración en el suelo, acompañada de un ruido sordo, inquietante, de una naturaleza completamente desconoci­ da para él. Empezó a preguntarse qué podía haber provocado tanta fu­ ria. Nunca antes había sido testigo de la ira divina de una magnitud se­ mejante. Su primera reacción fue culparse a sí mismo por el diseño de la copa sacrificial que acababa de terminar: eso le había tenido preocupa­ do. ¿Quizá su representación del dios-toro no había sido suficiente­ mente terrorífica? ¿Se había ofendido el dios? Pero pronto comprendió lo absurdo de su idea. La furia de la que había sido testigo no podía ser el resultado de una acción tan trivial como la suya, y seguramente no iba dirigida contra él en particular. Pero sabía que habría problemas en el Gran Palacio. El rey sacerdote se apresuraría a tratar de apaciguar a ese dios demonio. Habría sacrificios. Las tradicionales ofrendas de fru­ tos o incluso animales no serían suficientes para aplacar una ira de esa magnitud. Los sacrificios serían humanos. De repente, y para su sorpresa, se vio lanzado hacia el fondo de la habitación por un golpe de aire seguido de un viento violento. El rui­ do era tan atronador que por un momento le dejó sordo. Muchos de sus vasos de arcilla bellamente ornamentados fueron barridos de las es­ tanterías y se hicieron añicos contra la pared trasera. Tendido en el sue­ lo en el apartado rincón al que había sido lanzado por el golpe de aire, empezó a recobrar el sentido y vio que la habitación estaba en com­ pleto desorden. Quedó horrorizado al ver que una de sus grandes ur­ nas favoritas estaba destrozada y ya no existían los preciosos diseños que tan primorosamente había trabajado. Am- tep se levantó tambaleándose y al cabo de un rato se acercó de nuevo a la ventana, esta vez con gran agitación, para contemplar de nuevo aquella lejana y terrible escena en medio del mar. Entonces cre­ yó ver una perturbación que se dirigía hacia él, iluminada por ese hor­ no lejano. Parecía una enorme depresión que se movía con rapidez ha­ cia la costa, seguida por un muro de agua que semejaba un acantilado. De nuevo quedó paralizado, observando cómo la ola que se aproxima­ ba alcanzaba proporciones gigantescas. Finalmente, la perturbación lle40

PRÓ LOGO

gó a la costa y la parte del mar que había inmediatamente ante él se va­ ció, dejando numerosos barcos encallados en la playa recién formada. Luego la ola acantilado entró en la zona vaciada y la golpeó con terri­ ble violencia.Todos los barcos quedaron hechos pedazos, y muchas ca­ sas próximas fueron destruidas en un instante. Aunque el agua alcanzó una gran altura en el espacio que había delante de él, su propia casa se salvó de la destrucción gracias a que estaba situada en un terreno ele­ vado y a gran distancia del mar. El Gran Palacio también se salvó. Pero Am-tep temía que lo peor estaba por llegar, y tenía razón -aunque no podía imaginar hasta qué punto-. Sabía, no obstante, que ahora no bastaría con ningún sacrifi­ cio humano ordinario de un esclavo. Sería necesario algo más para aplacar la ira tempestuosa de ese dios terriblemente enfurecido. Pensó en sus hijos e hijas, y en su nieto recién nacido. Ni siquiera ellos esta­ rían a salvo. Am-tep estaba en lo cierto al temer nuevos sacrificios humanos. Pronto fueron apresados una joven y un joven de buena cuna, y lleva­ dos a un templo cercano, a gran altura en la falda de una montaña. Se estaba procediendo al correspondiente ritual cuando sobrevino otra catástrofe. El suelo tembló con una violencia devastadora, y el techo del templo se vino abajo, matando al instante a todos los sacerdotes y a sus presuntas víctimas sacrificiales. Allí, atrapados en mitad del ritual, ¡yacerían enterrados durante tres mil quinientos años! La devastación fue espantosa, pero no absoluta. Muchas de las islas donde vivían Am-tep y su pueblo sobrevivieron al terrible terremoto, aunque el Gran Palacio quedó destruido casi por completo. Se recons­ truyeron muchas cosas en el curso de los años. Incluso el palacio, cons­ truido sobre las ruinas del antiguo, iba a recuperar mucho de su es­ plendor original. Pese a todo, Am-tep se había jurado abandonar la isla. Su mundo había cambiado irremisiblemente. En el mundo que él conoció se habían dado mil años de paz, pros­ peridad y cultura, durante los cuales había reinado la diosa tierra. Había florecido un arte maravilloso. Existía un gran comercio con las islas ve­ cinas. El magnífico Gran Palacio era un enorme y lujoso laberinto, prácticamente una ciudad en sí mismo, adornado con soberbios frescos de animales y plantas. Había agua corriente, un excelente sistema de al41

PR Ó LOGO

cantarillado y cisternas. La guerra era casi desconocida y las defensas in­ necesarias. Pero ahora Am-tep tenía la sensación de que la diosa tierra había sido derrocada por un ser con valores completamente diferentes. Pasaron algunos años antes de que Am-tep, acompañado de su fa­ milia superviviente, abandonase definitivamente la isla en un barco re­ construido por su hijo más joven, que era un hábil carpintero y mari­ no. El nieto de Am-tep había crecido y se había convertido en un muchacho despierto, interesado en todo lo que le rodeaba. El viaj e duró varios días, pero e l tiempo era sumamente apacible. Una noche clara, Am-tep estaba explicando a su nieto las figuras que formaban las estrellas cuando le asaltó una extraña idea: Las fig uras que formaban las

estrellas no habían sufrido la más mínima alteración con respecto a las que eran antes de la catástrofe de la emergencia del terrible demonio. Am-tep conocía muy bien esas figuras, pues tenía la visión profun­ da de un artista. Si sus vasijas habían quedado destrozadas y su gran urna se había hecho añicos, pensaba él, ¿no deberían aquellas minúscu­ las candelas en el cielo haber sido apartadas, aunque fuera ligeramente, de sus posiciones por la violencia de aquella noche? La Luna también había mantenido su cara, igual que antes, y su ruta a través del cielo lle­ no de estrellas no había cambiado un ápice, hasta donde Am-tep podía afirmar. Durante muchas lunas posteriores a la catástrofe, los cielos ha­ bían parecido en efecto diferentes. Hubo oscuridad y nubes extrañas, y la Luna y el Sol habían mostrado a veces colores inusuales. Pero ahora que eso había pasado, sus movimientos parecían ser exactamente los mismos que habían sido antes.Y, de igual forma, las minúsculas estrellas no se habían movido en absoluto. Si los cielos, que tienen una estatura mucho mayor que la de ese terrible demonio, habían mostrado tan poco interés por la catástrofe, pensó Am-tep, ¿por qué las fuerzas que controlaban al propio demonio habían de mostrar interés por lo que estaba haciendo el pequeño pue­ blo de la isla, con sus ridículos rituales y sacrificios humanos? Se sintió avergonzado por las absurdas ideas que había tenido entonces, cuando pensó que el demonio podría estar interesado en las sencillas figuras de sus vas1ps. Pero Am-tep seguía preocupado por la pregunta: ¿por qué? ¿Qué profundas fuerzas controlan el comportamiento del mundo, y por qué 42

PRÓ LOGO

a veces estallan de formas violentas y aparentemente incomprensibles? Compartía estas preguntas con su nieto, pero no había respuestas. Pasó un siglo, y luego un milenio, y aún no había respuestas. Amphos el artesano había vivido toda su vida en el mismo pueblo que su padre, y que el padre de su padre antes de este, y el padre del pa­ dre de su padre aun antes de eso. Se ganaba la vida haciendo brazaletes de oro bellamente decorados, pendientes, copas ceremoniales y otros finos productos fruto de sus habilidades artísticas. Ese trabaj o había sido la ocupación de la familia durante cuarenta generaciones: una línea ininterrumpida desde que Am-tep se hubiera establecido allí mil cien años antes. Pero no eran solo las habilidades artísticas las que se habían trans­ mitido de una generación a otra. Las preguntas de Am-tep preocupa­ ban a Amphos como habían preocupado al propio Am-tep en una épo­ ca anterior. La gran historia de la catástrofe que destruyó a una antigua y pacífica civilización se había transmitido de padres a hijos. La per­ cepción que tuvo Am-tep de la catástrofe también había sobrevivido con sus descendientes. Amphos, asimismo, comprendía que los cielos tenían una magnitud y estatura tan enormes que estarían completa­ mente desinteresados por aquel terrible suceso. En cualquier caso, el suceso había tenido un efecto catastrófico sobre la pequeña población con sus ciudades y sus sacrificios humanos y sus insignificantes rituales religiosos. Por comparación, el propio suceso debía haber sido el resul­ tado de fuerzas enormes completamente indiferentes a tales acciones triviales de los seres humanos. Pero la naturaleza de dichas fuerzas era tan desconocida en la época de Amphos como lo era para Am-tep. Amphos había estudiado la estructura de las plantas, los insectos y otros pequeños animales, así como de las rocas cristalinas. Su habilidad para la observación también le había sido útil para sus dibujos decora­ tivos. Se interesó por la agricultura y quedó fascinado por el creci­ miento del trigo y otras plantas a partir del grano. Pero nada de esto le decía «¿por qué?», y se sentía insatisfecho. Creía que había una razón subyacente en las pautas de la naturaleza, pero no estaba preparado para descubrir dichas razones. 43

PRÓ LOGO

Una noche clara, Amphos levantó la vista al cielo y, a partir de las pautas de las estrellas, trató de construir las figuras de aquellos héroes y heroínas que formaban las constelaciones en el cielo. Para su humilde oj o de artista, los parecidos de aquellas formas eran muy pobres. Él mis­ mo podría haber dispuesto las estrellas de forma mucho más convin­ cente. ¿Por qué los dioses no han dispuesto las estrellas de una forma más adecuada?, se preguntaba. Tal como estaban, las disposiciones se pa­ recían más a granos diseminados, sembrados al azar por un granjero, que a un diseño deliberado de un dios. Entonces le asaltó una extraña idea: No busques razones en las pautas concretas de las estrellas, o en otras dis­

posiciones desordenadas de objetos; busca en su lugar un orden universal más profundo en el comportamiento de los objetos. Amphos razonaba que, después de todo, no encontramos orden en las figuras que forman las semillas dispersas cuando caen al suelo, sino en la forma milagrosa en que cada una de ellas puede desarrollarse has­ ta formar una planta viva, con una soberbia estructura, y cada una de ellas similar en los detalles a las demás. Nosotros no trataríamos de bus­ car significado en las disposiciones de las semillas dispersas en el suelo; pese a todo, debe de haber un significado en el misterio oculto de las fuerzas internas que controlan el crecimiento de cada semilla indivi­ dual, de tal modo que cada una sigue esencialmente el mismo curso maravilloso. En realidad, las leyes de la naturaleza deben de tener una soberbia precisión para que esto sea posible. Amphos se convenció de que sin precisión en las leyes subyacentes no podría haber orden en el mundo, mientras que se percibe mucho orden en el comportamiento de las cosas. Más aún, debe haber preci­ sión en nuestros modos de pensar acerca de estas cuestiones si no que­ remos extraviarnos sin remedio. Sucedió que Amphos tuvo noticias de un sabio que vivía en otro lugar de la tierra, y cuyas creencias parecían estar en armonía con las suyas. Según este sabio, uno no podía basarse en las enseñanzas y tra­ diciones del pasado. Para estar seguro de las propias creencias, era ne­ cesario llegar a conclusiones precisas mediante el uso de una razón indiscutible. Esta precisión tenía que ser de naturaleza matemática, dependiente en definitiva de la noción de número y su aplicación a las formas geométricas. En consecuencia, debían ser número y geome44

PR Ó LOGO

tría, y no mito y superstición, los que gobernaran el comportamien­ to del mundo. Igual que había hecho Am-tep once siglos antes, Amphos se hizo a la mar. Encontró su camino a la ciudad de Crotona, donde el sabio y su fraternidad de 5 7 1 hombres sabios y 28 muj eres sabias estudiaban en busca de la verdad. Al cabo de un tiempo, Amphos fue aceptado en la fraternidad. El nombre del sabio era Pitágoras.

1 Las raíces de la ciencia 1 . 1 . LA BÚSQUEDA DE LAS FUERZAS QUE CONFIGURAN EL MUNDO ¿Qué leyes rigen nuestro universo? ¿Cómo las conoceremos? ¿ Cómo puede servirnos este conocimiento para comprender el mundo y con ello orientar sus acciones en nuestro provecho? Desde los albores de la humanidad, los hombres se han sentido profundamente intrigados por preguntas como estas. Al principio tra­ taron de dar sentido a las fuerzas que controlan el mundo aferrándose al tipo de conocimiento que les era accesible a partir de sus propias vi­ das. Imaginaban que cualquier cosa o quienquiera que fuera lo que controlaba su entorno lo haría de la misma forma en que ellos se es­ forzaban para controlar las cosas: originalmente habían creído que su destino estaba bajo la influencia de seres que actuaban de acuerdo con sus propios y variados impulsos humanos. Tales fuerzas impulsoras po­ dían ser el orgullo, el amor, la ambición, la rabia, el miedo, la venganza, la pasión, el castigo, la lealtad o el arte. Por consiguiente, el curso de los fenómenos naturales -como el Sol, la lluvia, las tormentas, el hambre, la enfermedad o la pestilencia- se entendía como el capricho de dio­ ses o diosas motivados por tales impulsos humanos. Y lo único que se podía hacer para influir en estos acontecimientos era apaciguar a las fi­ guras divinas. Pero poco a poco se empezó a establecer la fiabilidad de otro tipo de pautas. La precisión del movimiento del Sol en el cielo y su eviden­ te relación con la alternancia del día y la noche ofrecía el ej emplo más obvio; pero también la posición del Sol respecto a las estrellas del orbe celeste aparecía estrechamente asociada al cambio y a la implacable re47

§1 .l

EL CAMINO A LA REALIDAD

gularidad de las estaciones, y a la clara influencia en el clima que la acompañaba y, en consecuencia, en la vegetación y el comportamien­ to animal. También el movimiento de la Luna parecía firmemente re­ gulado, y sus fases determinadas por su relación geométrica con el Sol. Se advirtió que en aquellos lugares de la Tierra en los que los océanos abiertos se encuentran con la tierra, las mareas tenían una regularidad rígidamente gobernada por la posición (y la fase) de la Luna. Por últi­ mo, incluso los mucho más complicados movimientos aparentes de los planetas empezaron a ceder sus secretos, revelando una regularidad y una inmensa precisión subyacente. Si los cielos estaban realmente con­ trolados por los caprichos de los dioses, entonces estos mismos dioses parecían estar baj o el hechizo de leyes matemáticas exactas. Del mismo modo, las leyes que controlaban algunos fenómenos te­ rrestres -tales como los cambios diarios y anuales de temperatura, el flujo y reflujo de los océanos, y el crecimiento de las plantas- que, al menos en ese aspecto, se veían influidos por los cielos, compartían esa misma regularidad matemática que parecía guiar a los dioses. Pero este tipo de relación entre el comportamiento de los cuerpos celestes y los terrestres iba a ser a veces exagerado o mal entendido, e iba a cobrar una importancia desmesurada, que llevaría a las connotaciones ocultas y místicas de la astrología. Pasaron muchos siglos antes de que el rigor del conocimiento científico hiciera posible desenredar las verdaderas influencias de los cielos de las puramente hipotéticas y místicas. Pese a todo, desde los tiempos más remotos había estado claro que aquellas influencias existían realmente y que, en consecuencia, las leyes mate­ máticas de los cielos debían tener relevancia también aquí en la Tierra. De forma en apariencia independiente se percibieron otras regula­ ridades en el comportamiento de los objetos terrestres. Una de ellas era la tendencia de todas las cosas en una vecindad a moverse en la misma dirección hacia abajo, bajo la influencia de lo que ahora llamamos gra­ vedad. Se observó que a veces la materia se transformaba de una forma en otra, tal como ocurría en la fusión del hielo o la disolución de la sal, aunque la cantidad total de materia nunca parecía cambiar, lo que re­ fleja la ley que ahora conocemos como conservación de la masa. Además, se advirtió que hay muchos cuerpos materiales con la importante pro­ piedad de que conservan su forma, de donde surgió el concepto de 48

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

§1.1

Fig. 1 . 1 . Una asociación fantástica, hecha por los antiguos griegos, entre los cinco só­ lidos platónicos y los cuatro «elementos» (fuego, aire, agua y tierra), junto con el fir­ mamento celeste representado por el dodecaedro.

movimiento espacial rígido; y se hizo posible comprender las relacio­ nes espaciales en términos de una geometría precisa y bien definida: la geometría tridimensional que ahora denominamos euclídea. Más aún, la noción de «línea recta» en esta geometría resultó ser la misma que la que proporcionaban los rayos luminosos (o las líneas visuales) . Sin duda, había una extraordinaria precisión y belleza en estas ideas, que despertaban una gran fascinación en los antiguos, igual que la despier­ tan hoy en nosotros. Sin embargo, y en relación con nuestras vidas cotidianas, las impli­ caciones de esta precisión matemática para las acciones del mundo pa­ recían con frecuencia poco excitantes y limitadas, pese al hecho de que las propias matemáticas parecían representar una verdad profunda. En consecuencia, en tiempos antiguos muchas personas iban a permitir que su imaginación se dej ara llevar por su fascinación por el tema y les conduj ese mucho más allá de lo que era adecuado. En astrología, por ejemplo, las figuras geométricas también solían generar connotaciones místicas y ocultas, como era el caso de las supuestas potencias mágicas 49

§1.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

de pentagramas y heptagramas.Y había una supuesta asociación com­ pletamente hipotética entre los sólidos platónicos y los estados ele­ mentales de la materia (véase la Fig. 1 . 1 ) . Tardarían muchos siglos en llegar los conocimientos más profundos que tenemos en la actualidad, concernientes a las relaciones reales entre la masa; la gravedad, la geo­ metría, el movimiento planetario y el comportamiento de la luz.

1 .2. LA VERDAD MATEMÁTICA Los primeros pasos hacia una comprensión de las influencias reales que controlan la naturaleza requerían desenredar lo verdadero de lo pura­ mente hipotético. Pero ant� s de que estuvieran en situación de hacer esto de forma fiable para su conocimiento de la naturaleza, los antiguos necesitaban algo más. Lo primero que tenían que hacer era descubrir la forma de desenredar lo verdadero de lo hipotético en matemáticas. Se necesitaba un procedimiento para decir si se puede confiar o no en la verdad de una afirmación matemátiq dada. Hasta que no quedara es­ tablecida de fo rma razonable esta cuestión preliminar, habría pocas esperanzas de abordar con seriedad aquellos problemas más difíciles concernientes a las fuerzas que controlan el comportamiento del mun­ do y cualesquiera que pudieran ser sus relaciones con la verdad mate­ mática. Esta comprensión de que la clave para entender la naturaleza reside en unas matemáticas incuestionables fue quizá el primer avance trascendental en la ciencia. Aunque ya desde los tiempos antiguos de Egipto y Babilonia se ha­ bían supuesto todo tipo de verdades matemáticas, solo cuando los fi­ lósofos griegos Tales (c. 625-547 a.C.) y Pitágoras 1 * de Samos (c. 572497 a.C.) empezaron a introducida idea de demostración matemática se colocó la primera piedra fundacional firme del conocimiento matemá­ tico -y, por consiguiente, de la propia ciencia-. Quizá fuera Tales el primero en introducir esta idea de demostración, pero parece que fue­ ron los pitagóricos quienes hicieron por primera vez un uso impor* Las notas, indicadas en el texto mediante superíndices, se recogen al final de cada ca­ pítulo.

50

LAS RA Í CES DE LA CIENCIA

§ 1 .2

tante de la misma para establecer cosas que, de otro modo, no eran ob­ vias. Parece que Pitágoras también tuvo una fuerte intuición de la im­ portancia del número, y de los conceptos aritméticos, en el gobierno de las acciones del mundo fisico. Se dice que un factor importante en esta comprensión fue el darse cuenta de que las armonías más bellas pro­ ducidas por liras o flautas correspondían a las razones más simples en­ tre las longitudes de las cuerdas vibrantes o los tubos. También se dice que él introdujo la «escala pitagórica», cuyas razones numéricas sabe­ mos ahora que son las frecuencias que determinan los intervalos prin­ cipales en los que se basa esencialmente la música occidental. 2 El fa­ moso teorema de Pitágoras, que afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, mostró, quizá más que cualquier otra cosa, que existe una relación precisa entre la aritmética de los números y la geometría del espacio fisico (véase el capítulo 2) . Pitágoras tuvo un número considerable de seguidores -los pitagó­ ricos- establecidos en la ciudad de Cretona, en lo que hoy es el sur de Italia, pero su influencia en el mundo exterior se vio dificultada por el hecho de que todos los miembros de la fraternidad pitagórica hacían un juramento de secreto. Por ello, casi todas sus conclusiones detalladas se han perdido. De todas formas, algunas de estas conclusiones se filtra­ ron, con consecuencias desafortunadas para los «topos», que, al menos en una ocasión, ¡sufrieron el castigo de morir ahogados! A la larga, la influencia de los pitagóricos sobre el progreso del pensamiento humano ha sido enorme. Por primera vez, con demostra­ ción matemática, era posible hacer afirmaciones significativas de un ca­ rácter incuestionable, de modo que seguirían siendo tan verdaderas hoy como en la época en que se hicieron, con independencia de cuánto haya progresado nuestro conocimiento del mundo desde entonces. Empezaba a revelarse la naturaleza verdaderamente intemporal de las matemáticas. Pero ¿qué es una demostración matemática? En matemáticas, una demostración es un argumento impecable, basado solo en los métodos del razonamiento puramente lógico, que permite inferir la validez de una afirmación matemática dada a partir de la validez preestablecida de otras afirmaciones matemáticas, o de ciertas afirmaciones concretas 51

§ 1 .2

EL CAMINO A LA REALIDAD

primitivas -los axiomas- cuya validez se considera evidente. Una vez que tal afirmación matemática ha quedado establecida de esta forma, se conoce como un teorema. Muchos de los teoremas que interesaban a los pitagóricos eran de naturaleza geométrica; otros eran solo afirmaciones sobre números. Aquellos que concernían puramente a los números tienen hoy una validez inequívoca, igual que la tenían en los tiempos de Pitágoras. ¿Qué ocurre con los teoremas geométricos que los pitagóricos habían obtenido utilizando sus procedimientos de demostración matemática? También estos tienen hoy una clara validez, pero ahora surge una cuestión que complica las cosas. Se trata de una cuestión cuya natura­ leza es más obvia para nosotros desde nuestro punto de vista moder­ no que lo era en el tiempo de Pitágoras. Los antiguos solo conocían un tipo de geometría, a saber, la que ahora llamamos geometría euclídea, pero ahora conocemos otros muchos tipos. Así pues, al considerar los teoremas geométricos de la época griega antigua es importante espe­ cificar que la noción de geometría a la que nos referimos es en reali­ dad la geometría de Euclides. (Seré más explícito sobre estas cuestio­ nes en §2.4, donde se dará un ejemplo importante de geometría no euclídea.) La geometría euclídea es una estructura matemática específica, con sus propios axiomas específicos (incluidas algunas afirmaciones menos seguras conocidas como postulados) , que proporciona una excelente aproximación a un aspecto concreto del mundo fisico. Este era el as­ pecto de realidad, muy familiar para los antiguos griegos, que remitía a las leyes que gobiernan la geometría de los objetos rígidos y sus rela­ ciones con otros obj etos rígidos cuando se movían en el espacio tridi­ mensional. Algunas de estas propiedades eran tan familiares y autocon­ sistentes que tendían a ser consideradas como verdades matemáticas «evidentes» y se tomaban como axiomas (o postulados). Como vere­ mos en los capítulos 1 7-19 y en §§27.8, 1 1 , la relatividad general de Einstein -e incluso el espaciotiempo minkowskiano de la relatividad especial- proporciona geometrías para el universo fisico que son di­ ferentes de, e incluso más precisas que, la geometría de Euclides, pese al hecho de que la geometría euclídea de los antiguos era ya extraordina­ riamente precisa. Así pues, a la hora de considerar afirmaciones geo52

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

§ 1 .3

métricas debemos tener cuidado si confiamos en los «axiomas» como si fueran, en cualquier sentido, realmente verdaderos. Pero ¿qué significa «verdadero» en este contexto? La dificultad fue apreciada por el gran filósofo griego Platón, que vivió en Atenas desde c. 429 hasta 347 a.C., aproximadamente un siglo y medio después de Pitágoras. Platón dej ó claro que las proposiciones matemáticas -las cosas que podían considerarse como incuestionablemente verdade­ ras- no se refieren a obj etos fisicos reales (como los cuadrados, trián­ gulos, círculos, esferas y cubos aproximados que podrían construirse con marcas en la arena, o con piedra o madera) , sino a ciertas entidades ide­ alizadas. É l imaginaba que esas entidades ideales habitaban en un mun­ do diferente, distinto del mundo fisico. Hoy día podríamos llamar a este mundo el mundo platónico de las formas matemáticas. Las estructuras físicas, tales como los cuadrados, los círculos o los triángulos recortados en papiro, o marcados en una superficie plana, o quizá los cubos, los te­ traedros o las esferas esculpidas en mármol, podrían ajustarse estrecha­ mente a estos ideales, pero solo de forma aproximada. Los cuadrados, cubos, círculos, esferas, triángulos, etc. , matemáticos reales no serían par­ te del mundo físico, sino que serían habitantes del mundo platónico de las formas matemáticas idealizadas.

1 .3. ¿Es «REAL» EL MUNDO MATEMÁTICO DE PLATÓN? Esta era una idea extraordinaria para su época, y ha resultado ser una idea muy fecunda. Pero ¿existe realmente el mundo matemático plató­ nico, en cualquier sentido significativo? Muchas personas, incluidos los filósofos, podrían considerar que un «mundo» semejante es una com­ pleta ficción, un mero producto de nuestra imaginación desbordante. Pese a todo, el punto de vista platónico es inmensamente valioso. Nos dice que debemos ser cuidadosos en distinguir las entidades matemáti­ cas precisas de las aproximaciones que vemos a nuestro alrededor en el mundo de los obj etos físicos. Más aún, nos proporciona el esquema con el que ha procedido la ciencia desde entonces. Los científicos pro­ pondrán modelos del mundo -o, mejor, de ciertos aspectos del mun­ do- y estos modelos pueden ser puestos a prueba frente a observa53

§1.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

ciones previas y frente a los resultados de experimentos cuidadosa­ mente diseñados. Los modelos se juzgan apropiados si sobreviven a este examen riguroso y si, además, son estructuras con consistencia interna. Para nuestra discusión actual, el punto importante en estos modelos es que son básicamente modelos matemáticos puramente abstractos. En particular, la cuestión misma de la consistencia interna de un modelo científico requiere que el modelo esté especificado de forma precisa. La precisión requerida exige que el modelo sea matemático, pues de lo contrario no se puede estar seguro de que estas preguntas tengan res­ puestas bien definidas. Si hay que atribuir algún tipo de «existencia» al propio modelo, en­ tonces dicha existencia está localizada dentro del mundo platónico de las formas matemáticas. Por supuesto, se podría adoptar un punto de vis­ ta opuesto: que el modelo va a tener existencia solo dentro de nuestras diversas mentes, antes que aceptar que el mundo de Platón sea en algún sentido absoluto y «real». Pese a todo, se gana algo importante al con­ siderar que las estructuras matemáticas poseen una realidad por sí mis­ mas. En efecto, nuestras mentes individuales son notoriamente impre­ cisas, poco fiables e inconsistentes en sus juicios. La precisión, fiabilidad y consistencia que requieren nuestras teorías científicas exige algo más allá de cualquiera de nuestras mentes individuales (poco dignas de con­ fianza) . En las matemáticas encontramos una solidez mucho mayor que la que puede localizarse en cualquier mente concreta. ¿No apunta esto a algo exterior a nosotros mismos, con una realidad que está más allá de lo que cada individuo puede alcanzar? De todas formas, aún se podría adoptar el punto de vista alternati­ vo según el cual el mundo matemático no tiene existencia indepen­ diente y consiste meramente en algunas ideas que han sido destiladas de nuestras diversas mentes, que se han mostrado totalmente dignas de confianza y en las que todos coinciden. Pero incluso este punto de vis­ ta parece dejarnos muy lejos de lo que se necesita. ¿ Queremos decir «en las que todos coinciden», por ejemplo, o «en las que coinciden quienes están en su sano juicio», o «en las que coinciden todos aquellos que tienen un doctorado en matemáticas (poco frecuente en la época de Platón) y que tienen derecho a aventurar una opinión autorizada»? Parece que aquí hay un peligro de circularidad; pues juzgar si alguien 54

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

§ 1 .3

está o no «en su sano juicio» requiere algún patrón externo. Lo mismo sucede con el significado de «autorizada», a menos que se adoptara al­ gún canon de naturaleza acientífica tal como la «opinión de la mayo­ ría» (y debería quedar claro que la opinión de la mayoría, por impor­ tante que pueda ser para un gobierno democrático, no debería ser utilizada en modo alguno como criterio de aceptabilidad científica) . Las propias matemáticas parecen tener realmente una solidez que va mucho más allá de lo que cualquier matemático individual es capaz de percibir. Aquellos que trabajan en esta disciplina, ya estén implicados activamente en la investigación matemática o bien utilicen resultados que han sido obtenidos por otros, sienten normalmente que son meros exploradores de un mundo que está mucho más allá de ellos mismos, un mundo que posee una obj etividad que trasciende la mera opinión, ya sea dicha opinión la suya propia o la propuesta de otros, con inde­ pendencia de cuán expertos pudieran ser esos otros. Quizá pueda ayudar el que yo plantee de una forma diferente el caso de la existencia real del mundo platónico. Lo que entiendo por esta «existencia» es tan solo la obj etividad de la verdad matemática. La existencia platónica, tal como yo la veo, se refiere a la existencia de un canon externo objetivo que no depende de nuestras opiniones indivi­ duales ni de nuestra cultura concreta. Tal «existencia» podría también referirse a objetos distintos de las matemáticas, tales como la moralidad o la estética (cf. § 1 .5), pero aquí estoy interesado solo en la objetividad matemática, que parece ser una cuestión mucho más clara. Permítaseme ilustrar este punto considerando un ej emplo famoso de verdad matemática, y relacionarlo con la cuestión de la «obj etivi­ dad». En 1 637, Pierre de Fermat hizo su famosa afirmación conocida hoy día como el «Último teorema de Fermat» (que ninguna potencia n-ésima3 positiva de un número entero puede ser la suma de otras dos potencias n-ésimas positivas si n es un número entero mayor que 2) , que él escribió en un margen de su copia de la Arith metica, libro escri­ to en el siglo m por el matemático griego Diofanto. En este margen, Fermat anotó también: «He encontrado una demostración de esto ver­ daderamente maravillosa, que no cabe en este estrecho margen». La afirmación matemática de Fermat quedó sin confirmar durante más de trescientos cincuenta años, pese a que aunó los esfuerzos de muchos 55

§ 1 .3

EL CAMINO A LA REALIDAD

matemáticos destacados. Finalmente, Andrew Wiles publicó una de­ mostración en 1 995 (que se basaba en el trabajo previo de otros mate­ máticos) , y esta demostración ha sido ahora aceptada como un argu­ mento válido por la comunidad matemática. Ahora bien, ¿aceptamos el punto de vista de que la afirmación de Fermat fue siempre verdadera, mucho antes de que este la hiciera en realidad, o es su validez una cuestión puramente cultural, dependiente de cuáles pudieran ser los cánones subjetivos de la comunidad de ma­ temáticos humanos? Supongamos que la validez de la afirmación de Fermat es, de hecho, una cuestión subjetiva. Entonces no sería un ab­ surdo que un matemático X hubiera dado con un contraej emplo real y concreto de la afirmación de Fermat, siempre que X lo hubiera he­ cho antes de 1 995. 4 En tal caso, la comunidad matemática tendría que aceptar la corrección del contraejemplo de X. A partir de entonces, cualquier esfuerzo por parte de Wiles de demostrar la afirmación de Fermat tendría que ser infructuoso, por la sencilla razón de que X ha­ bía obtenido su argumento primero y, en vista de ello, ¡la afirmación de Fermat sería ahora falsa! Más aún, podríamos plantear la pregunta adi­ cional acerca de si, de acuerdo con la corrección del contraej emplo que iba a dar X, el propio Fermat habría estado necesariamente equi­ vocado al creer en la validez de su «demostración verdaderamente ma­ ravillosa», en el instante en que escribió su nota en el margen. En el punto de vista subjetivo de la verdad matemática hubiera podido dar­ se el caso de que Fermat tuviera una demostración válida (que habría sido aceptada como tal por sus pares en la época, si él la hubiera reve­ lado) , ¡y que fue el secretismo de Fermat el que permitió la posibilidad de que X obtuviese más tarde un contraej emplo ! Creo que práctica­ mente todos los matemáticos, con independencia de las actitudes que profesen hacia el «platonismo», considerarán que tales posibilidades son manifiestamente absurdas. Por supuesto, aún podría darse el caso de que el argumento de Wi­ les contenga un error y que la afirmación de Fermat fuera en realidad falsa. O que pudiera haber un error fundamental en el argumento de Wiles, pero que la afirmación de Fermat sea en cualquier caso verda­ dera. O podría ser que el argumento de Wiles sea correcto en sus líneas esenciales aunque contenga «pasos no rigurosos» que no superarían el 56

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

§ 1 .3

canon de algunas reglas futuras de aceptabilidad matemática. Pero estas cuestiones no abordan el punto que estoy señalando aquL La cuestión es la objetividad de la propia afirmación de Fermat, y no si la demos­ tración (o la negación) particular de la misma que hiciera alguien po­ dría resultar convincente para la comunidad matemática de cualquier época concreta. Quizá habría que mencionar que, desde el punto de vista de la ló­ gica matemática, la afirmación de Fermat es en realidad un enunciado matemático de un tipo particularmente simple, 5 cuya obj etividad es especialmente evidente. Solo una pequeñísima minoría de matemáti­ cos6 consideraría que la verdad de tales afirmaciones es de algún modo «subjetiva» -aunque podría haber cierta subj etividad acerca de los ti­ pos de argumentos que se considerarían convincentes-. Sin embargo, hay otros tipos de afi r maciones matemáticas cuya verdad podría consi,.. derarse plausiblemente como una «cuestión de opinión». Tal vez la más conocida de dichas afirmaciones sea el axioma de elección. No es impor­ tante, por el momento, que sepamos qué es el axioma de elección. (Lo describiré en § 1 6.3.) Aquí se cita solo como ej emplo. Probablemente la mayoría de los matemáticos considerarán que el axioma de elección es «obviamente verdadero», mientras que otros pueden considerarlo una afirmación algo cuestionable que incluso podría ser falsa (y yo mismo me inclino, en cierta medida, hacia este segundo punto de vis­ ta) . Otros aún podrían tomarlo como una afirmación cuya· «verdad» es una mera cuestión de opinión o, más bien, como algo que puede to­ marse de un modo o de otro, dependiendo de a qué sistemas de axio­ mas y reglas de inferencia (un «sistema formal»; véase § 16.6) decida uno adherirse. Los matemáticos que defienden este último punto de vista (pero aceptan la objetividad de la verdad de enunciados matemá­ ticos particularmente nítidos, como la afirmación de Fermat que he mencionado antes) serían platonistas relativamente débiles. Aquellos que se adhieren a la objetividad con respecto a la verdad del axioma de elección serían platonistas más fuertes. Volveré al axioma de elección en § 1 6.3, pues tiene cierta relevan­ cia para las matemáticas subyacentes en el comportamiento del mundo físico, pese al hecho de que no se aborda mucho en la teoría física. Por el momento será mejor que no nos preocupemos demasiado por esta 57

§1 . 3

EL CAMINO A LA REALIDAD

cuestión. Si el axioma de elección puede ser dilucidado en un sentido u otro mediante alguna forma apropiada de razonamiento matemático incuestionable, 7 entonces su verdad es en realidad una cuestión total­ mente objetiva, y o bien el axioma pertenece al mundo platónico o bien lo hace su negación, en el sentido en que estoy interpretando este «mundo platónico». Si, por el contrario, el axioma de elección es una simple cuestión de opinión o de decisión arbitraria, entonces el mun­ do platónico de las formas matemáticas absolutas no contiene axioma de elección ni su negación (aunque podría contener afirmaciones de la forma «tal y cual se sigue del axioma de elección», o «el axioma de elec­ ción es un teorema de acuerdo con las reglas de tal y cual sistema ma­ temático») . Los enunciados matemáticos que pueden pertenecer al mundo de Platón son precisamente aquellos que son objetivamente verdaderos. De hecho, yo consideraría que la objetividad matemática es realmente el objeto del platonismo matemático. Decir que una afirmación mate­ mática tiene una existencia platónica es sencillamente decir que es ver­ dadera en un sentido objetivo. Un comentario similar es aplicable a las nociones matemáticas -tales como el concepto del número 7, por ejemplo, o la regla para la multiplicación de números enteros, o la idea de que cierto conjunto contiene infinitos elementos-, todas las cua­ les tienen una existencia platónica porque son nociones objetivas. En mi opinión, la existencia platónica es simplemente una cuestión de ob­ j etividad y, en consecuencia, no debería verse como algo «místico» o «acientífico», pese a que así la consideran algunos. No obstante, como sucede con el axioma de elección, las pregun­ tas acerca de si debe considerarse o no que cierta propuesta concreta de una entidad matemática tiene una existencia objetiva pueden ser delicadas y a veces muy técnicas. Pese a ello, ciertamente no necesita­ mos ser matemáticos para apreciar la solidez general de muchos con­ ceptos matemáticos. En la Fig. 1 .2 he representado varias porciones pe­ queñas de esa famosa entidad matemática conocida como el conjunto de Mandelbrot. El conjunto tiene una estructura extraordinariamente complicada, pero no se debe a ningún diseño humano. Lo realmente notable es que esta estructura está definida por una regla matemática particularmente simple. Llegaremos a ella explícitamente en §4.5, pues 58

LAS RA Í CES DE LA CIENCIA

§ 1 .3 ..

(a)

Fig. 1.2. (a) El conjunto de Mandelbrot. (b), (c) y (d) Algunos detalles que ilustran am­ pliaciones de las regiones correspondientemente marcadas en la Fig. 1 .2a, aumentadas por factores lineales respectivos 1 1 ,6, 1 68,9 y 1.042.

nos distraeríamos de nuestros propósitos actuales si tratase ahora de ofrecer esta regla en detalle. El punto que deseo señalar es que nadie, ni siquiera el propio Man­ delbrot cuando vio por primera vez las increíbles complicaciones en los detalles finos del conjunto, tuvo ninguna preconcepción real de la extraordinaria riqueza del conjunto. El conjunto de Mandelbrot no fue invención de ninguna mente humana: sencillamente, está ahí de mane­ ra objetiva, en las propias matemáticas. Si tiene significado atribuir una existencia real al conjunto de Mandelbrot, entonces dicha existencia no está dentro de nuestras mentes, pues nadie puede abarcar por com­ pleto la inacabable variedad y la ilimitada complejidad del conjunto. 59

§1.3

E L CAMINO A LA REALIDAD

Y su existencia tampoco puede residir dentro de la multitud de repre­ sentaciones gráficas impresas por un computador que empiezan a cap­ tar algo de su increíble sofisticación y detalle, pues, en el mejor de los casos, tales representaciones gráficas recogen tan solo una sombra de una aproximación al propio conjunto. Pese a todo, tiene una solidez que está más allá de cualquier duda, pues la misma estructura se reve­ la -en todos sus detalles perceptibles, con finura cada vez mayor cuan­ to más de cerca se examina- independientemente del matemático o computador que la examine. Su existencia solo puede estar dentro del mundo platónico de las formas matemáticas. Soy consciente de que aún habrá muchos lectores que encuentren dificil atribuir cualquier tipo de existencia real a las estructuras mate­ máticas. Rogaría a tales lectores que amplíen su idea de lo que la pala­ bra «existencia» puede significar para ellos. Las formas matemáticas del mundo de Platón no tienen evidentemente el mismo tipo de existen­ cia que los obj etos físicos ordinarios tales como las mesas y las sillas. No tienen localización espacial; no existen en el tiempo. Hay que p ensar en las nociones matemáticas objetivas como entidades intemporales, y no debe considerarse que nacieron en el instante en que fueron huma­ namente percibidas por primera vez. Las espirales concretas del con­ junto de Mandelbrot que se muestran en las Figs. 1 .2c o 1 .2d no alcan­ zaron su existencia en el instante en que se vieron por primera vez en la pantalla o la impresora de un computador. Ni surgieron cuando la idea general que hay tras el conjunto de Mandelbrot fue propuesta por primera vez por un ser humano -no por Mandelbrot, tal como suce­ dió, sino por R. Brooks y J. P. Matelski, en 1 98 1 , o quizá antes-. Pues ciertamente ni Brooks ni Matelski, ni siquiera al principio el propio Mandelbrot, tenían ninguna concepción real de los diseños detallados y complicados que vemos en las Figs. 1 .2 c y 1 .2d. Dichos diseños ya «existían» desde el principio de los tiempos, en el sentido potencial e intemporal con que necesariamente se iban a revelar en la forma exac­ ta en que hoy los percibimos, con independencia de qué momento o qué lugar eligiera cualquier ser perceptivo para examinarlos.

60

LAS RA Í CES DE LA CIENCIA

1 .4 .

§1.4

TRES MUNDOS Y TRE S PROFUNDOS MISTERIOS

Así pues, la existencia matemática es diferente no solo de la existencia física, sino también de una existencia que es atribuida por nuestras per­ cepciones mentales. Pese a todo, hay una conexión misteriosa y pro­ funda con cada una de esas otras dos formas de existencia: la física y la mental. En la Fig. 1 .3 he mostrado de manera esquemática estas tres formas de existencia -la física, la mental y la matemático-platónica­ como entidades que pertenecen a tres «mundos» separados, representa­ dos esquemáticamente como esferas. También están indicadas las mis­ teriosas conexiones entre los mundos, y al dibujar el diagrama he im­ puesto al lector algunas de mis creencias, o prejuicios, acerca de tales misterios. Con respecto al primero de esos misterios -que relaciona el mun­ do matemático-platónico con el mundo físico-, puede advertirse que estoy admitiendo que solo una pequeña parte del conjunto de las ma­ temáticas tiene que tener relevancia para el funcionamiento del mun­ do físico. Sucede ciertamente que la gran mayoría de las actividades ac­ tuales de los matemáticos puros no tienen una conexión obvia con la física, ni con ninguna otra ciencia ( cf. §34. 9) , aunque con frecuencia nos veamos sorprendidos por aplicaciones importantes e inesperadas. Análogamente, en relación con el segundo misterio, por el que la men-

Mundo matemático platónico

Fig.

1 .3.

Tres «mundos» -el

matemático-platónico, el fí­

sico y el mental- y los tres

Mundo mental

profundos misterios en las co­ nexiones entre ellos.

61

§ 1 .4

EL CAMINO A LA REALIDAD

talidad entra en asociación con ciertas estructuras físicas (más concre­ tamente, los cerebros humanos vivos, sanos y despiertos) , no estoy in­ sistiendo en que la mayoría de las estructuras físicas tengan que indu­ cir mentalidad. Aunque el cerebro de un gato puede evocar realmente cualidades mentales, no estoy exigiendo lo mismo de una piedra. Por último, respecto al tercer misterio, ¡ considero evidente que solo una pe­ queña fracción de nuestra actividad mental tiene que estar interesada en la verdad matemática absoluta! (Es más probable que estemos inte­ resados en las múltiples irritaciones, placeres, preocupaciones, emocio­ nes y sensaciones por el estilo que llenan nuestras vidas cotidianas.) Es­ tos tres hechos están representados en el pequeño tamaño de la base de la conexión de cada mundo con el siguiente, tomando los mundos del diagrama en el sentido de las agujas del reloj . Sin embargo, es en el he­ cho de englobar cada mundo entero dentro del ámbito de su conexión con el mundo que le precede donde estoy mostrando mis propios pre­ JU1C1os. Así pues, según la Fig. 1 .3, todo el mundo físico se representa go­ bernado de acuerdo con leyes matemáticas. En capítulos posteriores veremos que hay una evidencia muy fuerte (aunque incompleta) que apoya esta opinión. Desde este punto de vista, todo lo que hay en el universo físico está realmente gobernado en todos sus detalles por principios matemáticos, quizá por ecuaciones, tales como las que trata­ remos en los capítulos que siguen, o quizá por algunas nociones mate­ máticas futuras fundamentalmente diferentes de aquellas que hoy eti­ quetamos con el término «ecuaciones». Si esto es así, entonces incluso nuestras propias acciones físicas estarían enteramente sujetas a seme­ jante control matemático último, donde «control» podría admitir toda­ vía cierto comportamiento aleatorio gobernado por principios proba­ bilistas estrictos. Muchas personas se sienten incómodas con este tipo de ideas, y debo confesar que a mí también me producen cierta desazón. De todas formas, mis prejuicios personales están realmente a favor de un punto de vista de este carácter general, puesto que es dificil ver cómo podría trazarse una línea que separe las acciones físicas bajo control matemá­ tico de aquellas que pudieran estar más allá de él. A mi modo de ver, la desazón que muchos lectores puedan compartir conmigo acerca de 62

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

§1.4

esta cuestión surge en parte de una noción muy limitada de lo que pu­ diera entrañar el «control matemático». Parte del obj etivo de este libro es señalar, y revelar al lector, algo de la extraordinaria riqueza, poder y belleza que pueden brotar una vez que se ha dado con las nociones matemáticas correctas. Ya en el conjunto de Mandelbrot, tal como se ilustra en la Fig. 1 .2, podemos empezar a vislumbrar el alcance y la belleza inherentes en ta­ les obj etos. Pero incluso estas estructuras habitan en un rincón muy li­ mitado del conjunto de las matemáticas, donde el comportamiento está gobernado por un control computacional estricto. Más allá de este rincón, hay una increíble riqueza potencial. ¿Cómo me siento real­ mente al considerar la posibilidad de que todas mis acciones, y las de mis amigos, estén gobernadas, en última instancia, por principios ma­ temáticos de este tipo? Puedo aceptarlo. De hecho, preferiría que estas acciones estuviesen controladas por algo que residiera en algún aspec­ to semejante del fabuloso mundo matemático de Platón a que estuvie­ ran suj etas al tipo de motivos primarios simples, tales como la búsque­ da del placer, la codicia p ersonal o la violencia agresiva, que muchos argumentarán que son las consecuencias de una posición estrictamen­ te científica. Pese a todo, imagino que muchos lectores seguirán teniendo difi­ cultades para aceptar que tales acciones en el universo puedan estar en­ teramente suj etas a leyes matemáticas. Análogamente, muchos podrán poner obj eciones a otros dos de mis prejuicios que están implícitos en la Fig. 1 .3 . Podrían pensar, por ejemplo, que estoy adoptando una acti­ tud científica demasiado fría al dibujar mi diagrama de una forma que implica que toda mentalidad tiene sus raíces en la fisicidad. Esto es en realidad un prejuicio, pues aunque es cierto que no tenemos evidencia científica razonable de la existencia de «mentes» que no tengan una base física, no podemos estar completamente seguros de ello. Más aún, muchas personas con convicciones religiosas defenderán con vehe­ mencia la posibilidad de mentes independientes de lo físico, y podrían apelar a lo que ellos consideran evidencia poderosa de un tipo diferen­ te de la que se revela por la ciencia ordinaria. Otro de mis prej uicios se reflej a en el hecho de que en la Fig. 1 .3 he representado todo el mundo platónico dentro del ámbito de la 63

§ 1 .4

EL CAMINO A LA REALIDAD

mentalidad. Con esto pretendo indicar que, al menos en principio, no hay verdades matemáticas que estén más allá del alcance de la razón. Por supuesto, hay enunciados matemáticos (incluso simples sumas arit­ méticas) que son tan enormemente complicados que nadie podría te­ ner la fortaleza mental para llevar a cabo el razonamiento necesario. Sin embargo, tales objetos estarían potencialmente dentro del alcance de la mentalidad (humana) , y serían compatibles con el significado de la Fig. 1 .3, tal y como he pretendido representar. En cualquier caso, uno debe considerar que podría haber otros enunciados matemáticos que están incluso fuera del alcance potencial de la razón, y estos violarían la pretensión que hay tras la Fig. 1 .3. (Esta cuestión será considerada más extensamente en § 1 6.6, donde se examinará su relación con el fa­ moso teorema de la incompletitud de Godel.) 8 En la Fig. 1 .4, y como concesión a aquellos que no comparten to­ dos mis prejuicios personales sobre estas cuestiones, he vuelto a dibu­ jar las conexiones entre los tres mundos para admitir las tres posibles violaciones de mis prejuicios. En consecuencia, ahora se tiene en cuen­ ta la posibilidad de acción fisica más allá del alcance del control mate­ mático. El diagrama admite también la creencia de que pudiera haber mentalidad que no estuviera enraizada en estructuras fisicas. Finalmen­ te, permite la existencia de enunciados matemáticos verdaderos cuya verdad es en principio inaccesible mediante la razón y la intuición. Esta imagen ampliada presenta otros misterios potenciales que van incluso más allá de aquellos que he admitido en mi imagen favorita del mundo, como se representa en la Fig. 1 .3 . En mi opinión, el punto de vista científico más firmemente organizado de la Fig. 1 .3 tiene sufi­ cientes misterios. Estos misterios no desaparecen al pasar al esquema más relajado de la Fig. 1 .4, pues sigue siendo un profundo enigma por qué tendrían que aplicarse las leyes matemáticas al mundo físico con tan extraordinaria precisión. (Vislumbraremos algo de la extraordinaria exactitud de las teorías físicas básicas en § 1 9.8, §26.7 y §27 . 13 .) Ade­ más, no es solo la precisión, sino también la sofisticación sutil y la be­ lleza matemática de estas acertadas teorías lo que es profundamente misterioso. Hay asimismo un profundo e indudable misterio en cómo puede llegar a suceder que la materia física adecuadamente organiza­ da -y aquí me refiero en concreto a cerebros humanos (o animales) 64

§1.4

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

Mundo físico

Fig.

1 .4. Un nuevo dibujo de 1 .3 en el que se admi­

la Fig.

ten violaciones de tres de los prejuicios del autor.

vivos- pueda evocar de algún modo la cualidad mental del conoci­ miento consciente. Por último, hay también un misterio en cómo per­ cibimos la verdad matemática. No se trata solamente de que nuestros cerebros estén programados para «calcular» de manera fiable. Hay algo mucho más profundo que eso en las intuiciones que incluso los más humildes de entre nosotros tenemos cuando apreciamos, por ej emplo, los significados reales de los términos «cero», «uno», «dos», «tres», «cua­ tro», etc. 9 Algunas de las cuestiones que surgen en conexión con este tercer misterio serán objeto de nuestro interés en el capítulo siguiente (y más explícitamente en §§16.5,6) en relación con la noción de demostración matemática. Pero el impulso principal de este libro tiene que ver con el primero de estos misterios: la notable relación entre las matemáticas y el comportamiento real del mundo fisico. No se puede alcanzar una apreciación adecuada del extraordinario poder de la ciencia moderna sin al menos cierta familiaridad con estas ideas matemáticas. Sin duda, muchos lectores pueden asustarse ante la perspectiva de tener que en­ tender semej antes matemáticas para llegar a esta apreciación. Pese a todo, soy optimista, y creo que quizá se darán cuenta de que estas co­ sas no son tan terribles como ellos temen. Más aún, espero poder per­ suadir a muchos lectores de que, pese a lo que hayan podido creer pre­ viamente, ¡las matemáticas pueden ser divertidas! Aquí no me interesaré especialmente por el segundo de los miste65

§1.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

ríos mostrados en las Figs. 1 .3 y 1 .4, a saber, la cuestión de cómo la mentalidad -más en concreto, el conocimiento consciente- puede darse en asociación con estructuras físicas apropiadas (aunque tocaré esta profunda cuestión en §34.7) . Tendremos ocupación más que su­ ficiente en la exploración del universo físico y sus leyes matemáticas asociadas. Además, las cuestiones concernientes a la mentalidad son profundamente controvertidas, y si nos c oncentráramos en ellas nos distraería del objetivo de este libro. Sin embargo, quizá no esté de más hacer algún comentario. En mi opinión, se trata de que hay pocas po­ sibilidades de que podamos tener una profunda comprensión de la na­ turaleza de la mente sin que antes aprendamos mucho más sobre las bases mismas de la realidad física. Como quedará claro en las discusio­ nes que presentaré en capítulos posteriores, creo que se requieren re­ voluciones importantes en nuestra comprensión física. Hasta que no se hayan producido tales revoluciones, es muy optimista esperar que pue­ dan hacerse demasiados progresos reales en la comprensión de la natu­ raleza real de los procesos mentales. 1 0 1 .5 . Lo BUENO, LO VERDADERO Y LO BELLO En relación con esto, hay otra serie de cuestiones planteadas por las Figs. 1 .3 y 1 .4 . He tomado la noción de Platón de un «mundo de for­ mas ideales» solo en el sentido limitado de formas matemáticas. Las matemáticas se interesan crucialmente en el ideal concreto de verdad. El propio Platón habría insistido en que hay otros dos ideales funda­ mentales y absolutos, a saber, los de lo bello y lo bueno. No me niego ni mucho menos a admitir la existencia de tales ideales y a permitir que se amplíe el mundo platónico para contener absolutos de esta natu­ raleza. De hecho, más adelante encontraremos algunas notables interrela­ ciones entre verdad y belleza que iluminan y confunden a la vez las cuestiones del descubrimiento y la aceptación de las teorías físicas (véa­ se §§34.2, 3,9 en particular; véase también la Fig. 34. 1 ) . Más aún, apar­ te del indudable (aunque a menudo ambiguo) papel de la belleza en las matemáticas subyacentes en las acciones del mundo físico, los criterios 66

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

§1.5

estéticos son fundamentales para el desarrollo de ideas matemáticas por sí mismas, al aportar tanto el impulso hacia el descubrimiento como una poderosa guía a la verdad. Incluso conjeturaría que un elemento importante en la convicción común que tienen los matemáticos en que un mundo platónico externo tiene una existencia independiente de nosotros mismos procede de la extraordinaria e inesperada belleza oculta que tan a menudo revelan las ideas mismas. De relevancia menos obvia aquí -pero de evidente importancia en un contexto más amplio- es la cuestión de un ideal absoluto de moralidad: ¿qué es bueno y qué es malo, y cómo perciben nuestras mentes dichos valores? La moralidad tiene una profunda conexión con el mundo mental, puesto que está íntimamente relacionada con los va­ lores asignados por seres conscientes y, lo que es más importante, con la presencia misma de la propia consciencia. Es dificil ver qué podría significar la moralidad en ausencia de seres conscientes. A medida que progresan la ciencia y la tecnología, se hace cada vez más relevante una comprensión de las circunstancias físicas bajo las que se manifiesta la mentalidad. Creo que, en la cultura tecnológica de hoy día, es más im­ portante que nunca que las cuestiones científicas no se separen de sus implicaciones morales. Pero estas cuestiones nos alejarían demasiado del alcance inmediato de este libro. Necesitamos abordar la cuestión de separar lo verdadero de lo falso antes de que podamos intentar de for­ ma adecuada una aplicación de tal comprensión a separar el bien del mal. Por último, hay otro misterio concerniente a la Fig. 1 .3 que he de­ jado para el final. He dibujado deliberadamente la figura para ilustrar una paradoja. ¿Cómo es posible que, de acuerdo con mis prejuicios, cada mundo parezca englobar al siguiente en su totalidad? No creo que esto sea una razón para abandonar mis prejuicios, sino meramente para demostrar la presencia de un misterio aún más profundo que trascien­ de a aquellos que he señalado antes. Quizá haya un sentido en el que los tres mundos no sean en absoluto independientes, sino que mera­ mente reflejen, individualmente, aspectos de una verdad más profunda sobre el mundo como un todo de la que tenemos muy poca idea en el momento presente. Tenemos un largo camino que recorrer antes de que tales cuestiones puedan ser iluminadas adecuadamente. 67

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

Me he permitido alejarme demasiado de las cuestiones centrales que nos interesarán en este libro. El objetivo principal de esta sección ha sido el de acentuar la importancia capital que tienen las matemáti­ cas en la ciencia, tanto antigua como moderna. Echemos ahora una ojeada al mundo de Platón, al menos a una parte relativamente peque­ ña pero importante de dicho mundo, de especial relevancia para la na­ turaleza de la realidad física. Notas

Sección 1 . 2 1.1.

Por desgracia, no se conoce casi nada fiable sobre Pitágoras, su vida, sus seguidores o su trabaj o, aparte de su existencia misma y el reconoci­ miento por parte de Pitágoras del papel de las razones simples en la ar­ monía musical. Véase Burkert ( 1 972) . Pese a todo, muchas cosas de gran importancia se atribuyen habitualmente a los pitagóricos. En consecuen­ cia, utilizaré el término «pitagórico» solo como una etiqueta, sin ningu­ na pretensión de exactitud histórica. 1 . 2. Esta es la «escala diatónica» pura en la que las frecuencias (inversamente proporcionales a las longitudes de los elementos vibrantes) están en las razones 24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48, que presentan muchos casos de razones simples, que subyacen a las armonías que resultan agradables al oído. Las «teclas blancas» de un piano moderno están afinadas (siguien­ do un compromiso entre la pureza pitagórica de la armonía y la facili­ dad de los cambios de clave) como aproximaciones a estas razones pita­ góricas, según la escala uniformemente temperada, con frecuencias relativas 1 : a.2 : a.4 : a.5 : a.7 : a.9 : a.1 1 : a. 12, donde a = J2 = 1 ,05946 . . . (Nota: a5 significa la quinta potencia de a, i. e. a X a X a X a X a. La cantidad f2 es la raíz duodécima de 2, que es el número cuya duodécima potencia es 2, i. e. 2 11 1 2 , de modo que a. 1 2 = 2.Véanse la nota 1 .3 y §5.2 .)

Sección 1 . 3 1 .3. Recuérdese de la nota 1.2 que la potencia n-ésima de un número es di­ cho número multiplicado por sí mismo n veces. Así, la tercera potencia de 5 es 1 2 5 , y se escribe 5 3 = 1 25; la cuarta potencia de 3 es 8 1 , escrito 3 4 = 8 1 ; etc.

68

LAS RAÍCES DE LA CIENCIA

Notas

1 .4. De hecho, mientras Wiles estaba tratando de corregir una «laguna» en su demostración del último teorema de Fermat que se había hecho evi­ dente tras su presentación inicial en Cambridge en junio de 1 993, se ex­ tendió por la comunidad matemática el rumor de que el matemático Noam Elkies había encontrado un contraej emplo de la afirmación de Fermat. Previamente, en 1 988, Elkies había hallado un contraejemplo de la conjetura de Euler -que no hay soluciones enteras de la ecuación x4 + y4 + z4 = w4-, demostrando con ello que era falsa. No era invero­ símil, por consiguiente, que él hubiera demostrado que la afirmación también fuera falsa. Sin embargo, el correo electrónico que inició el ru­ mor tenía fecha de 1 de abril y se descubrió que era una broma de Hen­ ri Darmon; véase Singh ( 1 997), p. 293. * 1 .5. Técnicamente es una I1 1 -sentencia; véase § 1 6.6. 1 .6 . Me doy cuenta d e que, en cierto sentido, estoy cayendo en m i propia trampa al hacer una afirmación semejante. No se trata en realidad de si los matemáticos que adoptan un punto de vista tan extremadamente subj etivo constituyen una pequeñísima minoría o no (y la verdad es que no he realizado una encuesta fiable entre los matemáticos sobre este punto); de lo que se trata es de si una posición tan extrema debe tomar­ se realmente en serio. D ej o esto a juicio del lector. 1 . 7. Quizá algunos lectores conozcan los resultados de Godel y Cohen, se­ gún los cuales el axioma de elección es independiente de los axiomas más básicos de la teoría de conjuntos estándar (el sistema axiomático de Zermelo-Frankel). D ebería quedar claro que el argumento de Godel­ Cohen no establece por sí mismo que el axioma de elección nunca será dilucidado en un sentido o en otro. Este punto es resaltado, por ejem­ plo, en la sección final del libro de Paul Cohen (Cohen, 1 966, cap. 1 4, § 1 3) , salvo que Cohen está más interesado de forma explícita en la hi­ p6tesis del continuo que en el axioma de elección; véase § 1 6.5.

Secci6n 1 . 4 1.8.

Quizá s e da aquí la ironía d e que un antiplatónico hecho y derecho, que crea que las matemáticas están «todas en la mente», también debe creer -así parece- que no hay enunciados matemáticos verdaderos que es­ tén en principio más allá de la razón. Por ejemplo, si el último teorema de Fermat hubiera sido inaccesible (en principio) a la razón, entonces

*

El día 1 de abril es en el mundo anglosajón el equivalente al Día de los Inocentes. (N del T.)

69

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

esta visión antiplatónica no admitiría la validez de su verdad ni de su fal­ sedad, ya que tal validez solamente viene del acto mental de percibir una demostración o una refutación. 1 . 9. Véase, por ej emplo, Penrose (1 997b). 1 . 1 0. Mis propias ideas sobre el tipo de cambio que será necesario en nuestra visión del mundo física para que pueda acomodarse la mentalidad cons­ ciente se exponen en Penrose (1 989, 1 994, 1 997a, 1 997b).

2

Un teorema anti guo y una pre gunta moderna 2. 1 . EL TEOREMA DE PrTÁGORAS Consideremos la cuestión de la geometría. ¿Cuáles son, realmente, los diferentes «tipos de geometría» a los que he aludido en el capítulo an­ terior? Para abordar esta cuestión, volveremos a nuestro encuentro con Pitágoras y consideraremos el famoso teorema que lleva su nombre: 1 para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (Fig. 2 . 1 ) . ¿Qué ra­ zones tenemos para creer que esta afirmación es cierta? ¿Cómo pode­ mos «demostrar» realmente el teorema de Pitágoras? Se conocen mu­ chos argumentos. Quiero considerar dos de ellos, elegidos por su especial transparencia, que ponen el acento en puntos diferentes. En cuanto al primero, consideremos la estructura que se ilustra en la Fig. 2.2. Está compuesta enteramente por cuadrados de dos tamaños diferentes. Puede considerarse «obvio» que esta estructura puede pro­ longarse indefinidamente y que el plano entero queda así recubierto de forma regular y repetitiva, sin huecos ni solapamientos, por cuadrados

b

Fig.

2.1.

El teorema de Pitágoras:

para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa

e

es la

suma de los cuadrados de los otros dos lados

71

a

y

b.

§2.1

EL CAMINO A LA REALIDAD

r L....-

1 Fig.

2.2.

Una teselación del plano por

cuadrados de dos tamaños diferentes.

Fig. 2.3. Los centros de los (por ejemplo) cuadrados mayores forman los vértices de un retículo de cuadrados aún mayores, in­ clinados en un determinado ángulo.

de estos dos tamaños. La naturaleza repetitiva de esta estructura se hace manifiesta por el hecho de que si marcamos los centros de los cuadra­ dos más grandes, dichos centros constituyen los vértices de otro siste­ ma de cuadrados, de un tamaño algo mayor que cualquiera de los otros, pero inclinados en un cierto ángulo respecto a los originales (Fig. 2.3) y que por sí solos recubrirán el plano entero. Cada uno de estos cua­ drados inclinados tiene exactamente las mismas marcas, de modo que las líneas interiores de estos cuadrados encajan para formar la estructu­ ra de dos cuadrados original. Lo mismo se aplicaría si, en lugar de to­ mar los centros de los cuadrados más grandes de entre los dos tipos de cuadrados de la estructura original, elegimos cualquier otro punto, j unto con su conjunto de puntos correspondientes a lo largo de toda la estructura. La nueva estructura de cuadrados inclinados es exactamen­ te la misma que antes pero desplazada sin rotación -i.e., mediante un movimiento que se conoce como una traslaci6n-. Por simplicidad, po­ demos escoger ahora nuestro punto de partida en una de las esquinas de la estructura original (véase la Fig. 2.4) . Debería quedar claro que el área del cuadrado inclinado debe ser igual a la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños: de he­ cho, para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados, las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas inte­ riores pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para for72

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

Fig. 2.4. El retículo de cuadrados inclinados puede desplazarse por una traslación, de modo que los vértices del retículo inclinado están sobre los vértices del retículo de dos cuadrados original, lo que muestra que el lado de un cuadrado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (sombreado) cuyos otros dos lados son los de los dos cuadrados originales.

§2.1

Fig. 2.5. Para cualquier punto de parti­ da particular en el cuadrado inclinado, como el que se muestra, el cuadrado in­ clinado queda dividido en piezas que en­ cajan para formar los dos cuadrados más pequeños.

mar los dos cuadrados más pequeños (por ejemplo, la Fig. 2.5). Además, resulta evidente de la Fig. 2.4 que la longitud del lado del cuadrado in­ clinado grande es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos otros dos lados tienen longitudes iguales a los lados de los dos cuadrados más pequeños. Hemos establecido así el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. El argumento anterior proporciona los elementos esenciales de una demostración sencilla de este teorema y, además, nos ofrece una «ra­ zón» para creer que el teorema tiene que ser verdadero, lo que quizá no fuera tan obvio en el caso de un argumento más formal construido mediante una sucesión de pasos lógicos sin un motivo claro. Sin em­ bargo, habría que señalar que en este argumento han intervenido varias hipótesis implícitas. Una de ellas, y no la menos importante, es la hipó­ tesis de que la estructura en apariencia obvia de cuadrados repetidos que se muestra en la Fig. 2.2 o incluso en la Fig. 2.6 es geométrica­ mente posible -o incluso, y más críticamente, ¡que un cuadrado es algo geométricamente posible!-. Después de todo, ¿qué entendemos por 73

§2. 1

EL CAMINO A LA REALIDAD

1

' A ...

1

1.Q__ E

..

_ _ _ _ _

B ------ c Fig. 2.6. El retículo familiar de cuadrados Fig. 2.7. Tratemos de construir un cua­ iguales. ¿Cómo sabemos que existe? drado. Tomemos ABC y BCD como án­ gulos rectos, con AB = BC = CD. ¿Se si­ gue de esto que DA es también igual a estas longitudes y que DAB y CDA son también ángulos rectos?

un «cuadrado»? Normalmente pensamos en un cuadrado como una fi­ gura plana cuyos lados son todos iguales y cuyos ángulos son todos rec­ tos. ¿Qué es un ángulo recto? Bien, podemos imaginar dos líneas rec­ tas que se cortan en un punto formando cuatro ángulos que son todos iguales. Cada uno de estos ángulos iguales es entonces un ángulo recto. Tratemos ahora de construir un cuadrado. Tomemos tres segmen­ tos de recta iguales AB, BC y CD, donde ABC y BCD son ángulos rec­ tos, y D y A están en el mismo lado de la línea BC, como en la Fig. 2. 7. Surge la pregunta: ¿tiene AD la misma longitud que los otros tres seg­ mentos? Más aún: ¿son los ángulos DAB y CDA también ángulos rec­ tos? Estos ángulos deberían ser iguales entre sí por la simetría izquier­ da-derecha de la figura, pero ¿son realmente ángulos rectos? El hecho de que lo sean solo parece obvio a causa de nuestra familiaridad con los cuadrados, o quizá porque podemos recordar de nuestros días escolares alguna proposición de Euclides que puede ser utilizada para deducir que los lados BA y CD tendrían que ser «paralelos» entre sí, y alguna proposición acerca de que cualquier recta «transversal» a un par de pa­ ralelas tiene que formar ángulos correspondientes iguales allí donde corta a las dos paralelas. De esto se sigue que el ángulo DAB tendría que ser igual al ángulo complementario de ADC (i.e., al ángulo EDC, en la Fig. 2.7, siendo ADE una recta) además de ser, como se ha seña­ lado antes, igual al ángulo ADC. Un ángulo (ADC) solo puede ser 74

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.2

igual a su complementario (EDC) si es un ángulo recto. Debemos de­ mostrar también que el lado AD tiene la misma longitud que BC, pero ahora esto se sigue también, por ejemplo, de las propiedades de las rec­ tas transversales a las paralelas BA y CD. Por lo tanto, es cierto que a partir de un argumento euclídeo de este tipo podemos demostrar que realmente sí existen cuadrados hechos de ángulos rectos. Pero aquí se esconde una cuestión profunda.

2.2. Los POSTULADOS DE EUCLIDES Al construir su noción de geometría, Euclides puso mucho cuidado en ver de qué hipótesis dependía su demostración. 2 En particular, tuvo cuidado en hacer una distinción entre ciertas afirmaciones llamadas axiomas -que se tomaban como verdades autoevidentes, y que básica­ mente eran definiciones de lo que él entendía por puntos, líneas, etc.­ y los cinco postulados, que eran hipótesis cuya validez parecía menos se­ gura, pero que parecían ser ciertas para la geometría de nuestro mun­ do. La última de estas hipótesis, conocida como el quinto postulado de Euclides, se consideraba menos obvia que las otras, y durante varios si­ glos se tuvo la sensación de que debería ser posible encontrar una for­ ma de demostrarla a partir de los otros postulados más evidentes. El quinto postulado de Euclides se conoce habitualmente como el postu­ lado de las paralelas, y yo seguiré esta práctica aquí. Antes de discutir el postulado de las paralelas, vale la pena señalar la naturaleza de los otros cuatro postulados de Euclides. Los postulados conciernen a la geometría del plano (euclídeo) , aunque Euclides tam­ bién consideró el espacio tridimensional en sus obras posteriores. Los elementos básicos de su geometría plana son puntos, líneas rectas y círculos. Aquí consideraré que una «línea recta» (o simplemente una «recta») se extiende indefinida en ambas direcciones; si no es así, me re­ feriré a un «segmento de recta». El primer postulado de Euclides afirma, en efecto, que existe un (único) segmento de recta que conecta dos puntos cualesquiera. Su segundo postulado afirma la prolongabilidad ili­ mitada de cualquier segmento de recta. Su tercer postulado afirma la existencia de un círculo con un centro cualquiera y con cualquier va75

§2.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

lor para su radio. Finalmente, su cuarto postulado afirma la igualdad de todos los ángulos rectos. 3 Desde una perspectiva moderna, algunos de estos postulados pare­ cen un poco extraños, en particular el cuarto, pero debemos tener en cuenta el origen de las ideas que subyacen en la geometría de Euclides. Él estaba interesado básicamente en el movimiento de cuerpos rígidos idealizados y la noción de congruencia que se manifestaba cuando uno de tales cuerpos rígidos idealizados se movía hasta coincidir con otro. La igualdad e'ntre un ángulo recto en un cuerpo y un ángulo en otro cuer­ po tenía que ver con la posibilidad de mover un cuerpo de modo que las líneas que formaban su ángulo recto coincidieran con las líneas que for­ maban el ángulo recto en el otro. De hecho, el cuarto postulado está afirmando la isotropía y la homogeneidad del espacio, de modo que una figura en un lugar podría tener la «misma» (i.e., congruente) forma geo­ métrica que una figura en otro lugar. Los postulados segundo y tercero expresan la idea de que el espacio es indefinidamente prolongable y sin «huecos» en su interior, mientras que el primero expresa la naturaleza básica de un segmento de línea recta. Aunque Euclides consideraba la geometría de un modo bastante diferente de como la consideramos hoy, sus cuatro primeros postulados recogen básicamente nuestra no­ ción actual de un espacio métrico (bidimensional) con completa ho­ mogeneidad e isotropía, e infinito en extensión. De hecho, semejante imagen parece estar en estrecho acuerdo con la naturaleza espacial a muy gran escala del universo real, de acuerdo con la cosmología mo­ derna, como veremos en §27 . 1 1 y §28. 10. ¿Cuál es, entonces, la naturaleza del quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas? Tal como Euclides formulaba esencial­ mente dicho postulado, este afirma que si dos segmentos de recta a y b en un plano cortan a otra línea recta e (de modo que e es lo que se de­ nomina transversal a a y b) de tal forma que la suma de los ángulos in­ teriores en el mismo lado de e es menor que dos ángulos rectos, en­ tonces a y b, cuando se prolongan a suficiente distancia en ese lado de e, se cortarán en alguna parte (véase la Fig. 2.8a) . Una forma equiva­ lente de este postulado (a veces conocida como axioma de Playfair) afir­ ma que, para cualquier línea recta y para cualquier punto que no esté en dicha línea, existe una única línea recta que pasa por dicho punto y 76

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.2

a

Si la suma de estos ángulos es menor que 2 ángulos rectos, entonces a y b se cortan.

b

(a)

�

(b)

Única paralela a a que pasa por P

Fig. 2.8. (a) Postulado de las paralelas de Euclides. Las líneas a y b son trasversales a una tercera línea e, tal que los ángulos interiores donde a y b cortan a e suman menos .que dos ángulos rectos. Entonces a y b (suponiendo que se prolongan lo suficiente) se cor­ tarán en última instancia. (b) Axioma (equivalente) de Playfair: si a es una línea eri un plano y P un punto del plano que no está en a, entonces hay solo una línea paralela a a que pasa por P en el plano.

es paralela a la primera recta (véase la Fig. 2.Bb) . Aquí, rectas «paralelas» serían dos líneas rectas coplanares que no se cortan (y recordemos que mis «rectas» son entidades completamente prolongadas, y no los «seg­ mentos de línea recta» de Euclides Y · 1 I Una vez que tenemos el postulado de las paralelas, podemos pro­ ceder a establecer la propiedad necesaria para la existencia de un cua­ drado. Si una recta transversal a un par de líneas rectas corta a estas de modo que los ángulos internos a un lado de la transversal suman dos ángulos rectos, entonces se puede demostrar que las líneas que forman el par son realmente paralelas. Además, se sigue inmediatamente que cualquier otra transversal al par tiene exactamente la misma propiedad angular. Esto es lo que necesitábamos para el argumento dado antes para la construcción de nuestro cuadrado. Vemos que es precisamente el postulado de las paralelas el que debemos utilizar para demostrar que � [2.1] Demuestre que si es válida la forma de Euclides del postulado de las parale­ las, entonces debe seguirse la conclusión de Playfair de la unicidad de las paralelas. 77

§2.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

nuestra construcción da realmente un cuadrado, con todos sus ángulos rectos y todos sus lados iguales. Sin el postulado de las paralelas no po­ demos establecer que existen realmente los cuadrados (en el sentido habitual de tener todos sus ángulos rectos) . Puede parecer que es una mera cuestión de pedantería matemática el preocuparse por cuáles son exactamente las hipótesis necesarias para proporcionar una «prueba rigurosa» de la existencia de un objeto tan obvio como un cuadrado. ¿Por qué deberíamos interesarnos en cues­ tiones tan pedantes, cuando un «cuadrado» es simplemente esa figura familiar que todos conocemos? Bien, pronto veremos que Euclides dio realmente pruebas de una extraordinaria perspicacia al preocuparse por tales cuestiones. La pedantería de Euclides está relacionada con una cuestión profunda que tiene mucho que decir sobre la geometría real del universo, y en más de una forma. En particular, no es en absoluto obvio que existan «cuadrados» fisicos a una escala cosmológica en el universo real. Esta es una cuestión que se tiene que resolver mediante la observación, y por el momento la evidencia parece contradictoria (véanse §2.7 y §28 . 1 0) .

2.3. LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA D E PIT ÁGORAS POR ÁREAS SEMEJANTES En la próxima sección volveré a la trascendencia matemática que tiene el no dar por supuesto el postulado de las paralelas. Las cuestiones fisi­ cas relevantes serán examinadas en § 1 8.4, §27 . 1 1 , §28 . 1 O y §34.4. Pero antes de discutir tales cuestiones, será instructivo dirigir nuestra aten­ ción a la otra demostración del teorema de Pitágoras que ya había pro­ metido con anterioridad. Una de las formas más sencillas de ver que la afirmación de Pitágo­ ras es cierta en la geometría euclídea es considerar la configuración consistente en el triángulo rectángulo dado subdividido en dos trián­ gulos más pequeños por una recta perpendicular a la hipotenusa trazada desde el ángulo recto (Fig. 2 .9). Ahora tenemos tres triángulos: el origi­ nal y los dos en que este ha sido subdividido. Evidentemente, el área del triángulo original es la suma de las áreas de los dos más pequeños. 78

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.3

Fig. 2.9. Demostración del teorema de Pitágoras utilizando triángulos se­ mejantes. Tómese un triángulo rec­ tángulo y trácese una perpendicular desde su ángulo recto a su hipotenu­ sa. Los dos triángulos en el que ahora está dividido el triángulo original tie­ nen áreas cuya suma es la del triángu­ lo original. Los tres triángulos son se­ mejantes, de modo que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus hipotenusas respectivas. De ello se si­ gue el teorema de Pitágoras.

Ahora es sencillo ver que estos tres triángulos son semejantes entre sí. Esto significa que todos ellos tienen la misma forma (aunque dife­ rentes tamaños) , i.e., se obtienen unos a partir de otros mediante una dilatación o contracción uniforme, junto con un movimiento rígido. Esto se sigue porque cada uno de los tres triángulos posee exactamen­ te los mismos ángulos, en cierto orden. Cada uno de los dos triángulos más pequeños tiene un ángulo en común con el más grande, y uno de los ángulos de cada triángulo es un ángulo recto. El tercer ángulo tam­ bién debe coincidir porque la suma de los ángulos de cualquier trián­ gulo es siempre la misma. Ahora bien, una propiedad general de las figuras planas semejantes es que sus áreas son proporcionales a los cua­ drados de sus correspondientes dimensiones lineales. Para cada trián­ gulo, podemos considerar que esta dimensión lineal es el lado más lar­ go, i.e., su hipotenusa. Notemos que la hipotenusa de cada uno de los triángulos más pequeños coincide con uno de los lados (no hipotenu­ sa) del triángulo original. Así pues, se sigue al mismo tiempo (del he­ cho de que el área del triángulo original es la suma de las áreas de los otros dos) que el cuadrado de la hipotenusa del triángulo original es realmente la suma de los cuadrados de los otros dos lados: ¡el teorema de

Pitágoras! Una vez más, tendremos que examinar algunas hipótesis concretas que intervienen en este argumento. Un ingrediente importante del ar­ gumento es el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo 79

§2.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

tiene siempre el mismo valor. (Este valor de la suma es, por supuesto, 1 80°, pero Euclides hubiera dicho «dos ángulos rectos». La descripción matemática «natural» y más moderna consiste en decir que los ángulos de un rectángulo, en la geometría de Euclides, suman 'TT. Esto supone utilizar radianes para la medida absoluta de un ángulo, donde el sím­ bolo para el grado «º» cuenta como 'TT/ 1 80, de modo que podemos es­ cribir 1 80° = 'TT. ) La demostración habitual se representa en la Fig. 2 . 1 O. Prolonguemos CA hasta E y tracemos una recta AD que pasa por A y es paralela a CB. Entonces (como se sigue del postulado de las pa­ ralelas) , los ángulos EAD y ACB son iguales, y también DAB y CBA son iguales. Puesto que los ángulos EAD, DAB y BAC suman 'TT (o 1 80°, o dos ángulos rectos), así deben hacerlo también los tres ángulos ACB, CBA y BAC del triángulo, tal como queríamos demostrar. Pero nótese que aquí se ha utilizado el postulado de las paralelas. Esta demostración del teorema de Pitágoras también hace uso del hecho de que las áreas de figuras semejantes son proporcionales a los cuadrados de cualquier medida lineal de sus tamaños. (Aquí escogemos la hipotenusa de cada triángulo como representación de su medida li­ neal.) Este hecho no solo depende de la existencia misma de figuras se­ mejantes de diferentes tamaños -que en el caso de los triángulos de la Fig. 2. 9 se han establecido utilizando el postulado de las paralelas-, sino también de algunas cuestiones más sofisticadas que se relacionan con el modo en que definimos realmente el «área» para formas no rec-

B D

e

E 80

Fig. 2.10. Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo ABC es 7T (= = 1 80° = dos ángulos rectos) . Prolónguese CA hasta E; di­ bújese AD paralela a CB. Se sigue del postulado de las pa­ ralelas que los ángulos EAD y ACB son iguales y que los án­ gulos DAB y CBA son iguales. Puesto que los ángulos EAD, DAB y BAC suman 7T, tam­ bién lo hacen los ángulos ACB, CBA y BAC.

UN TEOREMA ANTIGUO

Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.4

tangulares. Estas cuestiones generales se abordan en términos de pro­ cedimientos de paso al límite y no quiero entrar por el momento en esta clase de discusión. Nos llevará a cuestiones más profundas relacio­ nadas con el tipo de números que se utilizan en geometría.Volveremos a la cuestión en §§3 . 1 -3. Un mensaj e importante de la discusión de las secciones preceden­ tes es que el teorema de Pitágoras parece depender del postulado de las paralelas. ¿Es así realmente? Supongamos que el postulado de las para­ lelas fuera falso. ¿Significa eso que el propio teorema de. Pitágoras po­ dría ser falso? ¿Tiene �entido semejante posibilidad? Tratemos de abor­ dar la cuestión de lo que sucedería si se admite que el postulado de las paralelas sea considerado falso. Parecerá que estemos entrando en un mundo de fantasía, én el que la geometría que aprendimos en la escue­ la se pone patas arriba.. Así es, pero también encontraremos que aquí hay un obj etivo más profundo.

2.4. GEOMETRÍA HIPERBÓLICA: IMAGEN CONFORME Echemos una ojeada a la imagen de la Fig. 2. 1 1 . Es una reproducción de uno de los grabados en madera de M. C. Escher, llamado Límite cir­ cular l. En realidad, nos proporciona una representación muy aproxi­ mada de un tipo de geometría -llamada geometría hiperb6lica (o a ve­ ces lobachevskiana)- en la que el postulado de las paralelas es falso, el teorema de Pitágoras deja de ser válido y los ángulos de un triángulo no suman Tr. Además, para una figura de un tamaño dado no existe, en general, una figura semejante de tamaño mayor. En la Fig. 2. 1 1 , Escher ha utilizado una representación concreta de la geometría hiperbólica en la que el «universo» entero del plano hi­ perbólico está «comprimido» en el interior de un círculo en un plano euclídeo ordinario. La circunferencia que limita al círculo representa el «infinito» para este universo hiperbólico. Podemos ver que, en la ima­ gen de Escher, los peces parecen apretarse mucho a medida que se acercan a dicha frontera. Pero debemos considerar esto como una ilu­ sión. Imagínese que usted es uno de los peces. Entonces, ya esté situa­ do próximo al borde de la imagen de Escher o próximo a su centro, el 81

§2.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 2. 1 1 . Límite circular I, grabado en madera de M.C. Escher, que ilustra la represen­

tación conforme del plano hiperbólico.

universo (hiperbólico) entero tendrá la misma apariencia para usted. La noción de «distancia» en esta geometría no coincide con la del plano euclídeo en cuyos términos ha sido representada. Cuando miramos la imagen de Escher desde nuestra perspectiva euclídea, los peces próxi­ mos a la frontera parecen hacérsenos minúsculos. Pero desde su propia perspectiva «hiperbólica», los peces blancos o negros piensan que tie­ nen exactamente la misma forma y tamaño que los que están próximos al centro. Más aún, aunque desde nuestra perspectiva euclídea exterior ellos parecen acercarse cada vez más a la propia frontera, desde su pro­ pia perspectiva hiperbólica dicha frontera siempre queda infinitamen­ te lejos. Ni el círculo frontera ni nada del espacio «euclídeo» exterior tiene existencia para ellos. Su universo entero consiste en lo que para nosotros parece estar estrictamente dentro del círculo. En términos más matemáticos, ¿cómo está construida esta imagen de la geometría hiperbólica? Consideremos un círculo cualquiera en el plano euclídeo. El conjunto de puntos interiores a este círculo va a re82

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA M ODERNA

§2.4

Fig. 2.12. La misma imagen de Escher que en la Fig. 2 . 1 1 , pero con líneas rectas hi­ perbólicas (círculos euclídeos o líneas que cortan ortogonalmente al círculo frontera) y un triángulo hiperbólico. Los ángulos hiperbólicos coinciden con los euclídeos.Evi­ dentemente se viola el postulado de las paralelas y los ángulos de un triángulo suman menos que 1T.

presentar el conjunto de puntos en el plano hiperbólico entero. Las lí­ neas rectas se representan, de acuerdo con la geometría hiperbólica, como círculos euclídeos que cortan ortogonalmente -lo que significa a ángulos rectos- al círculo frontera. Ahora resulta que la noción hiper­ bólica de ángulo entre dos curvas cualesquiera, en su punto de inter­ sección, es exactamente la misma que la medida euclídea del ángulo entre las dos curvas en el punto de intersección. Una representación de esta naturaleza se denomina representación conforme. Por esta razón, a la representación concreta de la geometría hiperbólica que utilizó Escher se le llama a veces el modelo conforme del plano hiperbólico. (También suele llamársele disco de Poincaré. La dudosa justificación histórica de esta terminología será examinada en §2.6.) Estamos ahora en situación de ver si los ángulos de un triángulo, en 83

§2.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

la geometría hiperbólica, suman o no TT'. Una rápida ojeada a la Fig. 2. 1 2 nos lleva a creer que no lo hacen y que suman algo menos. De hecho, la suma de los ángulos de un triángulo en la geometría hiper­ bólica es siempre menor que TT'. Podríamos considerar esto como una característica desagradable de la geometría hiperbólica, ya que parece que no tenemos una respuesta «clara» para la suma de los ángulos de un triángulo. Sin embargo, cuando sumamos los ángulos de un triángulo hiperbólico sucede algo extraordinario y particularmente elegante: el déficit es siempre proporcional al área del triángulo. De forma más ex­ plícita, si los tres ángulos del triángulo son a, f3 y y, entonces tenemos la fórmula (descubierta por Johann Heinrich Lambert, 1 728- 1777) TT-

(a + f3 + y)

=

CL1,

donde L1 es el área del triángulo y C es una constante. Esta constante depende de las «unidades» que se escojan para medir longitudes y áreas. Siempre podemos fijar la escala de modo que C = 1 . Es un he­ cho realmente notable que el área de un triángulo pueda expresarse de una forma tan simple en la geometría hiperbólica. En la geometría euclídea no hay modo de expresar el área de un triángulo simple­ mente en función de sus ángulos, y la expresión para el área de un triángulo en función de las longitudes de sus lados es bastante más complicada. De hecho, aún no he acabado mi descripción de la geometría hi­ perbólica en términos de esta representación conforme, puesto que to­ davía no he descrito cómo va a definirse la distancia hiperbólica entre dos puntos (y convendría saber qué es «distancia» antes de que poda­ mos hablar realmente de áreas) . Permítaseme dar una expresión para la distancia hiperbólica entre dos puntos A y B interiores al círculo. Esta expresión es l og QA · PB ' QB PA donde P y Q son los puntos donde el círculo euclídeo (i.e., la línea rec­ ta hiperbólica) que pasa por A y B y es ortogonal al círculo frontera cor­ ta a dicho círculo frontera, y donde «QA», etc. , se refieren a distancias euclídeas (véase la Fig. 2 . 1 3) . Si se quiere incluir la « O> de la fórmula del área de Lambert (con C =F 1 ) , solo hay que multiplicar la expresión ·

84

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.4

anterior para la distancia por C-112 (el recíproco de la raíz cuadrada de q _4l2·2l Por razones que espero que se aclaren más adelante, me referi­ ré a la cantidad C-112 como el pseudorradio de la geometría. Si expresiones matemáticas como la fórmula «log» anterior le pare­ cen disuasorias, por favor, no se preocupe. Solo la doy para aquellos a quienes les gusta ver las cosas explícitamente. En cualquier caso, no voy a explicar por qué funciona la expresión (por ejemplo, por qué la dis­ tancia hiperbólica más corta entre dos puntos, así definida, se mide real­ mente a lo largo de una línea recta hiperbólica, o por qué las distancias a lo largo de una línea recta hiperbólica «se suman» de la forma ade­ cuada) .12 ·31 También pido disculpas por el «log» (logaritmo) , pero así son las cosas. De hecho, este es un logaritmo natural («log en base e») y ten­ dré mucho que decir sobre ello en §§5.2,3.Veremos que los logaritmos son entidades realmente muy bellas y misteriosas, además de ser im­ portantes en muchos contextos diferentes. La geometría hiperbólica, con esta definición de distancia, resulta tener todas las propiedades de la geometría euclídea salvo aquellas que necesitan el postulado de las paralelas. Podemos construir triángulos, y otras figuras planas, de diferentes formas y tamaños, y podemos despla-

Fig. 2. 13. En la representación conforme, la distancia hiperbólica entre A y B es log {QA.PB/QB.PA } , donde QA, etc., son distancias euclídeas, y P y Q son los puntos donde el círculo euclídeo que pasa por A y B y es ortogonal al círculo frontera (línea hi­ perbólica) corta a este círculo.

B [2.2] ¿Puede ver una razón sencilla para ello? � [2.3] Trate de demostrar que, según esta fórmula, si A, B y C son tres puntos su­ cesivos en una línea recta hiperbólica, entonces las distancias hiperbólicas «AB», etc., satisfacen «AB» + «BC» = «AC». Puede suponer la propiedad general de los logaritmos, log (ab) = log a + log b, como se describe en §§5.2,3. 85

§2.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

zarlos «rígidamente» (manteniendo invariables sus formas y tamaños hiperbólicos) con la misma libertad con que podemos hacerlo en la geometría euclídea, de modo que, igual que en la geometría euclídea, surge una noción natural de cuándo son «congruentes» dos figuras (don­ de «congruente» significa «que pueden desplazarse rígidamente hasta que llegan a coincidir») . De hecho, todos los peces blancos del grabado de Escher son mutuamente congruentes, según esta geometría hiper­ bólica, y también lo son todos los peces negros.

2 . 5 . ÜTRAS REPRESENTACIONES DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA Por supuesto, no todos los peces blancos parecen de la misma forma y tamaño, pero ello se debe a que los estamos viendo desde una perspec­ tiva euclídea en lugar de una hiperbólica. La imagen de Escher hace uso simplemente de una representación euclídea concreta de la geome­ tría hiperbólica. La propia geometría hiperbólica es algo más abstracto que no depende de ninguna representación euclídea en particular. Sin embargo, tales representaciones son muy útiles para nosotros, pues pro­ porcionan un modo de visualizar la geometría hiperbólica refiriéndo­ la a algo que es más familiar y en apariencia más «concreto» para noso­ tros, a saber, la geometría euclídea. Además, tales representaciones dejan claro que la geometría hiperbólica es una estructura consistente, y que, en consecuencia, el postulado de las paralelas no puede demostrarse a partir de las otras leyes de la geometría euclídea. Hay, de hecho, otras representaciones de la geometría hiperbólica en términos de geometría euclídea que son diferentes de la represen­ tación conforme que utilizó Escher. Una de ellas es la que se conoce como el modelo proyectivo. Aquí, el plano hiperbólico entero es de nuevo representado como el interior de un círculo en un plano euclí­ deo, pero las líneas rectas hiperbólicas están ahora representadas como líneas rectas euclídeas (y no como arcos de círculo) . Hay, sin embargo, un precio a pagar por esta aparente simplificación, puesto que los án­ gulos hiperbólicos no son ahora iguales a los ángulos euclídeos, y mu­ chos considerarían que este es un precio demasiado alto. Para aquellos lectores que estén interesados, la distancia hiperbólica entre dos pun86

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.5

Fig. 2.14. En la representación proyectiva, la fórmula para la distancia hiperbólica es ahora 1 /2 lag { RA.SB/RB.SA} , donde R y S son las intersecciones de la línea recta euclídea (i.e., hiperbólica) AB con el círculo frontera.

tos A y B en esta representación está dada por la fórmula (véase la Fig. 2. 1 4) .

l log RA · SB 2 RB SA (tomando e = 1 , que es casi igual que la expresión que teníamos antes para la representación conforme) , donde R y S son las intersecciones de la línea recta prolongada AB con el círculo frontera. Esta represen­ tación de la geometría hiperbólica puede obtenerse a partir de la con­ forme por medio de una dilataci ón radial a partir del centro en una cantidad dada por 2R2 R2 + r ' ·

e

donde R es el radio del círculo frontera y re es la distancia euclídea de un punto al centro (euclídeo) del círculo frontera en la representación

Fig. 2. 1 5 . Para pasar de la representación conforme a la proyectiva, se expande a partir del centro en un factor 2R2/ (R2 + r�), don­ de R es el radio del círculo frontera y r< es la distancia euclídea al punto en la representa­ ción conforme. 87

§2.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 2. 1 6. La imagen de Escher de la Fig. 2. 1 1 transformada desde la representación conforme a la proyectiva.

conforme (véase la Fig. 2 . 1 5) . [Z.4J En la Fig. 2 . 1 6 la imagen de Escher de la Fig. 2. 1 1 ha sido transformada del modelo conforme al modelo proyectivq utilizando esta fórmula. (Pese a la pérdida de detalle, el arte preciso de Escher sigue siendo evidente.) Aunque resulta menos atrac­ tiva de esta manera, ¡presenta un nuevo punto de vista! Existe una forma más directamente geométrica de relacionar las imágenes conforme y proyectiva, a través de otra representación aún más ingeniosa de la misma geometría. Las tres representaciones se de­ ben al ingenioso geómetra italiano Eugenio Beltrami (1 835-1 900) . Consideremos una esfera S, cuyo ecuador coincide con el círculo fron­ tera de la representación proyectiva de la geometría hiperbólica que se ha dado antes, Ahora vamos a encontrar una representación de la geo.@ [2.4) Demuéstrelo. (Sugerencia: Si lo desea, puede utilizar la geometría de Beltra­ mi, tal como se ilustra en la Fig. 2. 1 7 .) 88

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.5

Fig. 2.17. Geometría de Beltrami, que relaciona tres de sus representaciones de la geo­ metría hiperbólica. (a) La representación hemisferica (conforme en el hemiiferio norte s+) se proyecta verticalmente en la representación proyectiva sobre el disco ecuatorial. (b) La representación hemisférica proyecta estereográficamente desde el polo sur a la re­ presentación conforme sobre el disco ecuatorial.

metría hiperbólica en el hemiiferío norte s+ de S, que llamaré represen­ tación hemisférica. Véase la Fig. 2 . 1 7. Para pasar de la representación proyectiva en el plano (considerado horizontal) a la nueva representa­ ción en la esfera, simplemente proyectamos verticalmente hacia arriba (Fig. 2. l 7a) . Las líneas rectas en el plano, que representan líneas rectas hiperbólicas, se representan en s+ por semicírculos que cortan ortogo­ nalmente al ecuador. Ahora, para ir de la representación en s+ a la re­ presentación conforme en el plano proyectamos desde el polo sur (Fig. 2 . 1 7b) . Esta es la que se denomina proyección estereográfica, y más ade89

§2.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

lante desempeñará un papel importante en este libro (cf. §8.3, § 1 8.4, §22. 9 y §33.6) . Dos propiedades importantes de la representación es­ tereográfica a la que llegaremos en §8.3 son que es conforme, de modo que conserva los ángulos, y que hace corresponder círculos en la esfe­ ra a círculos (o, excepcionalmente, a líneas rectas) en el plano. r2- 5J . [2·6l La existencia de varios modelos diferentes de geometría hiperbóli­ ca, expresados en términos de espacio euclídeo, sirve para acentuar el hecho de que en realidad estos son meramente «modelos euclídeos» de geometría hiperbólica y no debemos considerar que nos estén dicien­ do qué es realmente la geometría hiperbólica. La geometría hiperbóli­ ca tiene su propia «existencia platónica», igual que la tiene la geometría euclídea (véanse § 1 .3 y el prefacio) . Ninguno de estos modelos debe tomarse como la «representación» correcta de la geometría hiperbóli­ ca, en detrimento de los otros. Las representaciones de la misma que hemos estado considerando son muy valiosas como ayudas para nues­ tra comprensión, pero solo porque el marco euclídeo es aquel al que estamos más acostumbrados. Para una criatura sintiente que haya cre­ cido con una experiencia directa de la geometría hiperbólica (antes que de la euclídea) , un modelo de geometría euclídea en términos hi­ perbólicos parecería la vía más natural. En § 1 8 .4 encontraremos aún otro modelo de geometría hiperbólica, esta vez en términos de la geo­ metría minkowskiana de la relatividad especial. Para terminar esta sección, volvamos a la cuestión de la existencia de cuadrados en la geometría hiperbólica. Aunque en la geometría hi­ perbólica no existen cuadrados cuyos ángulos sean ángulos rectos, sí existen «cuadrados» de un tipo más general cuyos ángulos son menores que los ángulos rectos. La forma más fácil de construir un cuadrado de este tipo es trazar dos líneas rectas que se cortan a ángulos rectos en un punto O. Nuestro «cuadrado» es ahora el cuadrilátero cuyos cuatro

� [2.5] Suponiendo estas dos propiedades enunciadas de la proyección estereográfi­ ca, y siendo la representación conforme de la geometría hiperbólica la que se ha esta­ blecido en §2.4, demuestre que la representación hemisférica de Beltrami es confor­ me, con «líneas rectas» hiperbólicas como semicírculos verticales. /!!!J. [2.6] ¿Puede ver cómo es posible demostrar estas dos propiedades? (Sugerencia: Demuestre, en el caso de círculos, que el cono de proyección es intersectado por dos planos de inclinación exactamente opuesta.) 90

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

B

e

A

D

§2.5

Fig. 2 . 1 8 . Un «cuadrado» hi­ perbólico es un cuadrilátero hiperbólico, cuyos vértices son las intersecciones A, B, C, D (tomadas cíclicamente) de dos rectas hiperbólicas perpendi­ culares que pasan por un pun­ to O con un círculo centrado en O. Debido a la simetría, los cuatro lados de ABCD, así como los cuatro ángulos son iguales. Estos ángulos, no son rectos, pero pueden ser igua­ les a cualquier ángulo positi­ vo dado menor que � 7T.

vértices son las intersecciones A, B, C, D (tomadas cíclicamente) de es­ tas dos líneas con un círculo con centro O.Véase la Fig. 2. 1 8. Debido a la simetría de la figura, los cuatro lados del cuadrilátero resultante ABCD son iguales y los cuatro ángulos también deben ser iguales. Pero ¿son rectos estos ángulos? No en la geometría hiperbólica. D e hecho, pueden ser cualquier ángulo (positivo) que queramos que sea menor que un ángulo recto, pero no igual a un ángulo recto. Cuanto más gran­ de es el cuadrado (hiperbólico) , es decir, cuanto mayor es el círculo en la construcción anterior, menores serán sus ángulos. En la Fig. 2 . 1 9a he representado un retículo de cuadrados hiperbólicos, utilizando el mo­ delo conforme, donde hay cinco cuadrados en cada vértice (en lugar de los cuatro euclídeos) , de modo que el ángulo es

�

7T, o 72°. En la

Fig. 2. 1 9b he dibujado el mismo retículo utilizando el modelo proyec­ tivo. Se verá que este no permite las modificaciones que serían necesa­ rias para el retículo de dos cuadrados de la Fig. 2.2. f2·7l

f!l!J [2.7] Vea si puede hacer algo similar, pero con pentágonos y cuadrados regulares hiperbólicos. 91

§2.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 2 . 1 9 . Un retículo de cuadrados, en el espacio hiperbólico, en el que cinco cua­ drados se encuentran en cada vértice, de modo que los ángulos del cuadrado son 2(;. o 72°. (a) Representación conforme. (b) Representación proyectiva.

2.6. ASPECTOS HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA Aquí es oportuno hacer algunos comentarios históricos c oncernientes al descubrimiento de la geometría hiperbólica. Durante los siglos si­ guientes a la publicación de los elementos de Euclides, aproximada­ mente en el año 300 a.C., varios matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado a partir de los otros axiomas y postulados. Estos es­ fuerzos alcanzaron su culminación con el heroico trabajo del jesuita Girolamo Saccheri, en 1 773. Podría parecer que el propio Saccheri de­ bió de pensar que la obra de su vida era, en definitiva, un fracaso, pues se reducía a un intento insatisfactorio de demostrar el postulado de las paralelas mostrando que la hipótesis de que la suma de los ángulos de todo triángulo es menor que dos ángulos rectos lleva a una contradic­ ción. Incapaz de hacer esto de forma lógica tras tremendos esfuerzos, concluyó, más bien débilmente: La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque re­ pugna a la naturaleza de la línea recta. 5

La hipótesis del «ángulo agudo» afirma que las líneas a y b de la Fig. 2.8 a veces no se cortan. Es realmente viable, ¡y, de hecho, da la geo­ metría hiperbólica! 92

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.6

¿ Cómo puede ser que Saccheri descubriera efectivamente algo que él estaba tratando de demostrar que era imposible? La propuesta de Saccheri para demostrar el quinto postulado de Euclides consistía en formular la hipótesis de que el quinto postulado era falso y obtener en­ tonces una contradicción a partir de dicha hipótesis. De este modo, él proponía hacer uso de uno de los principios más tradicionales y fruc­ tíferos que han sido propuestos en matemáticas -muy posiblemente introducido por primera vez por los pitagóricos- llamado demostración por contradicción (o reductio ad absurdum, para darle su nombre latino). Se­ gún este procedimiento, para probar que una afirmación es cierta se formula primero la hipótesis de que la afirmación en cuestión es falsa, y luego se argumenta que de ello se sigue una contradicción. Si se lle­ ga a encontrar tal contradicción, se deduce que la afirmación debe ser, después de todo, verdadera. 6 La demostración por contradicción pro­ porciona un método muy potente de razonamiento en matemáticas, hoy aplicado con frecuencia. Aquí es apropiada una cita del distingui­ do matemático G. H. Hardy: La reductio ad absurdum, que tanto amaba Euclides, es una de las ar­ mas matemáticas más valiosas. Es un gambito mucho más fino que cual­ quier gambito de ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacri­ ficio de un peón o incluso una pieza, pero un matemático ofrece el

juego. 7

Veremos otros usos de este importante principio más adelante (véan­ se §3. 1 y §§16.4,6). Sin embargo, Saccheri fracasó en su intento de encontrar una con­ tradicción. Por consiguiente, no pudo obtener una demostración del quinto postulado. Pero al esforzarse en ello, descubrió algo mucho más grande: una nueva geometría, diferente de la de Euclides -la geo­ metría discutida en §§2.4,5 que ahora llamamos geometría hiperbólica-. A partir de la hipótesis de que el quinto postulado de Euclides era fal­ so, obtuvo, en lugar de una contradicción real, un montón de teoremas de apariencia extraña y apenas creíble, pero muy interesantes. No obs­ tante, por extraños que parecieran tales resultados, ninguno de ellos era realmente una contradicción. Como sabemos ahora, no había ninguna 93

§ 2 .6

EL CAMINO A LA REALIDAD

posibilidad de que Saccheri encontrara de esta manera una contradic­ ción genuina, por la sencilla razón de que la geometría hiperbólica existe realmente, en el sentido matemático de que existe una estructu­ ra semejante consistente. En la terminología de § 1 .3 la geometría hi­ perbólica habita en el mundo platónico de las formas matemáticas. (La cuestión de la realidad fisica de la geometría hiperbólica se tocará en §2. 7 y §28 . 1 O.) Poco tiempo después de Saccheri, el muy perspicaz matemático Johann Heinrich Lambert ( 1 7 28- 1 777) obtuvo también numerosos y fascinantes resultados geométricos a partir de la hipótesis de que el quinto postulado de Euclides es falso, incluyendo el bello resultado mencionado en §2.4 que da el área de un triángulo hiperbólico en función de la suma de sus ángulos. Parece que Lambert pudo haberse formado la opinión, al menos en alguna etapa de su vida, de que real­ mente podía obtenerse una geometría consistente a partir de la nega­ ción del quinto postulado de Euclides. Al parecer, la razón tentativa de Lambert era que podía contemplar la posibilidad teórica de la geome­ tría en una «esfera de radio imaginario», i.e., en una esfera cuyo «radio al cuadrado» es negativo. La fórmula de Lambert 'TT - (a + f3 + y) = = C..1 da el área, Ll, de un triángulo hiperbólico, donde a, {3, y son los ángulos del triángulo y C es una constante (siendo -C lo que ahora llamaríamos la «curvatura gaussiana» del plano hiperbólico) . Esta fór­ mula tiene básicamente la misma apariencia que una previamente co­ nocida debida a Thomas Hariot ( 1 560-1621), Ll = R2 ( a + f3 + y - 'TT) , para el área Ll de un triángulo eiférico, dibujado con arcos d e círculo má­ ximo8 en una esfera de radio R (véase la Fig. 2.20) . r2 .s1 Para recuperar la fórmula de Lambert, tenemos que poner

C=-

l2 •

Pero, para dar el valor positivo de C, como sería necesario en la geo­ metría hiperbólica, necesitamos que el radio de la esfera sea «imaginafm_ [2.8] Trate de demostrar esta fórmula del triángulo esférico, utilizando básica­

mente solo argumentos de simetría y el hecho de que el área total de la esfera es 47TR2• Sugerencia: Empiece encontrando el área de un segmento de una esfera acotado por dos arcos de círculo máximo que conectan un par de puntos antípodas de la esfera; luego corte y pegue y utilice argumentos de simetría. Tenga en cuenta la Fig. 2.20. 94

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.6

Fig. 2.20. La fórmula de Hariot para el área de un triángulo esférico, con ángulos o:, /3, 'Y es ..1 = R2 (o: + /3 + y - 7T). La fór­ mula de Lambert, para un triángulo hi­ perbólico, tiene C = -1/R2 •

rio» (i.e., que sea la raíz cuadrada de un número negativo) . Nótese que el radio R está dado por la cantidad imaginaria (-Cf112• Esto explica el tér­ mino «pseudorradio», introducido en §2.4, para la cantidad real c-112• De hecho, el procedimiento de Lambert está perfectamente justificado desde nuestra perspectiva más moderna (véanse el capítulo 4 y § 1 8.4) , y el hecho de haberlo previsto revela ilna gran intuición por su parte. Sin embargo, el punto de vista convencional (algo inj usto, en mi opinión) niega a Lambert el honor de haber construido por primera vez una geometría no euclídea, y considera que (aproximadamente medio siglo más tarde) la primera persona que llegó a una aceptación clara de una geometría completamente consistente, distinta de la de Euclides, en la que el postulado de las paralelas es falso, fue el gran matemático Carl Friedrich Gauss. Al ser un hombre muy cauteloso, y temiendo la controversia que semej ante revelación pudiera causar, Gauss no publicó sus hallazgos y se los reservó para sí. 9 Unos treinta años después de que Gauss hubiera empezado a trabajar en ello, la geometría hiperbólica fue redescubierta de forma independiente por otros, entre ellos el húngaro János Bolyai (en 1 829) y, muy en especial, el geómetra ruso Nicolái lvánovich Lobachevski hacia 1 82 6 (de ahí que la geometría hiperbólica sea denominada con frecuencia geome­ tría lobachevskiana). Las realizaciones concretas proyectiva y conforme de la geometría hiperbólica que he descrito antes fueron encontradas p or Eugenio Bel­ trami, y publicadas en 1 868, j unto con algunas otras elegantes repre95

§2.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

sentaciones que incluyen la hemisférica mencionada en §2.5. No obs­ tante, la representación conforme se conoce normalmente como el «modelo de Poincaré», porque el redescubrimiento de esta representa­ ción que hizo Poincaré en 1 882 es mejor conocido que la obra origi­ nal de Beltrami (básicamente debido al importante uso que hizo Poin­ caré de este modelo) . 1 0 Análogamente, la representación proyectiva del pobre Beltrami se denomina a veces «representación de Klein». No es infrecuente en matemáticas que el nombre habitualmente asociado a un concepto matemático no sea el de su descubridor original. Al me­ nos, en este caso, Poincaré sí redescubrió la representación conforme (como hizo Klein con la proyectiva en 1 8 7 1 ) . Hay otros ejemplos en matemáticas en los que el (los) matemático(s) cuyo nombre (o nom­ bres) está asociado a un resultado ¡ ni siquiera conocía el resultado en cuestión! 11 La representación de la geometría hiperbólica por la que Beltrami es más conocido es otra que él también encontró en 1 868. Esta re­ presenta la geometría sobre cierta superficie conocida como una pseu­ doeifera (véase la Fig. 2.21). Dicha superficie se obtiene rotando una tractríz, una curva investigada por primera vez por Isaac Newton en 1 676, alrededor de su «asíntota». La asíntota es una línea recta a la que se aproxima la curva, haciéndose asintóticamente tangente a ella cuan­ do la curva se extiende al infinito. Aquí vamos a imaginar la asíntota dibujada en un plano horizontal de textura rugosa. Imaginemos ahora una varilla ligera, recta y rígida, uno de cuyos extremos, P, lleva unida

(b)

(a)

R

Asíntota

Fig. 2.2 1 . (a) Una pseudoesfera. Esta se obtiene rotando una tractriz (b) alrededor de su asíntota. Para construir una tractriz, imaginemos que su plano es horizontal, sobre el que se arrastra una varilla ligera, rígida y sin fricción. Un extremo de la varilla es un peso puntual P con fricción, y el otro extremo R se mueve a lo largo de la asíntota (recta). 96

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

§2.7

una masa puntual pesada, y el otro extremo R se mueve a lo largo de la asíntota. El punto P describe entonces una tractriz. Ferdinand Min­ ding descubrió, en 1 839, que la pseudoesfera tiene una geometría in­ trínseca negativa constante, y Beltrami utilizó esto para construir el primer modelo de geometría hiperbólica. Parece que el modelo de la pseudoesfera de Beltrami fue el que convenció a los matemáticos de la consistencia de la geometría hiperbólica plana, puesto que la medi­ da de la distancia hiperbólica coincide con la distancia euclídea a lo largo de la superficie. Sin embargo, es un modelo algo complicado por­ que representa a la geometría hiperbólica solo localmente, en lugar de presentar toda la geometría de una vez, como hacen los otros modelos de Beltrami.

2.7. ¿RELACIÓN CON EL ESPACIO FÍSICO? La geometría hiperbólica también funciona perfectamente en dimen­ siones más altas. Más aún, existen versiones de dimensión superior de los modelos conforme y proyectivo. En el caso de la geometría hi­ perbólica tridimensional, tenemos una esfera frontera en lugar de un círculo frontera. Toda la geometría hiperbólica tridimensional infinita está representada por el interior de esta esfera euclídea finita. El resto es básicamente igual que lo que teníamos antes. En el modelo confor­ me, las líneas rectas en esta geometría hiperbólica tridimensional se re­ presentan como círculos euclídeos que cortan ortogonalmente a la es­ fera frontera; los ángulos vienen dados por las medidas euclídeas, y las distancias vienen dadas por la misma fórmula que en el caso bidimen­ sional. En el modelo proyectivo, las líneas rectas hiperbólicas son líneas rectas euclídeas, y las distancias vienen dadas de nuevo por la misma fórmula que en el caso bidimensional. ¿Qué pasa con nuestro universo real a escalas cosmológicas? ¿Espe­ ramos que su geometría espacial sea euclídea, o podría estar en mejor acuerdo con alguna otra geometría, tal como la extraordinaria geome­ tría hiperbólica (aunque en tres dimensiones) que hemos estado exa­ minando en §§2.4-6? Esta es una cuestión realmente importante. Sa­ bemos por la relatividad general de Einstein (a la que llegaremos en 97

§2.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

§ 1 7. 9 y § 1 9.6) que la geometría euclídea es solo una aproximación (extraordinariamente precisa) a la geometría real del espacio físico. Di­ cha geometría no es ni siquiera exactamente uniforme, al tener peque­ ños rizos de irregularidad debidos a la presencia de densidad de mate­ ria. Pese a todo, y de forma notable, de acuerdo con la mejor evidencia observacional de que hoy disponen los cosmólogos, estos rizos parecen promediarse, en escalas cosmológicas, hasta un grado extraordinaria­ mente preciso (véanse §27 . 1 3 y §§28.4- 1 0) , y la geometría espacial de nuestro universo real parece concordar extraordinariamente bien con una geometría uniforme (homogénea e isótropa; véase §27 . 1 1 ) . Parece que al menos los cuatro primeros postulados de Euclides han superado de forma impresionante la prueba del tiempo. Aquí es necesario hacer un comentario aclaratorio. Básicamente existen tres tipos de geometría que satisfarían las condiciones de ho­ mogeneidad (todos los puntos son iguales) e isotropía (todas las direc­ ciones son iguales) , que se conocen como euclídea, hiperbólica y elíp­ tica. La geometría euclídea nos es familiar (y lo ha sido durante unos veintitrés siglos) . La geometría hiperbólica ha constituido nuestro inte­ rés principal en este capítulo. Pero ¿cuál es la geometría elíptica? Esen­ cialmente, la geometría elíptica plana es la satisfecha por figuras dibu­ jadas en la superficie de una esfera. Apareció en la discusión de la aproximación de Lambert a la geometría hiperbólica, en §2.6.Véanse las Figs. 2.22a,b,c, para la interpretación de Escher de los casos elípti­ co, euclídeo e hiperbólico, respectivamente, utilizando en los tres casos una teselación similar de ángeles y demonios, la tercera de las cuales ofrece una alternativa interesante a la Fig. 2. 1 1 . (Existe también una versión tridimensional de la geometría elíptica, y hay versiones en las que se considera que puntos diametralmente opuestos de la esfera re­ presentan el mismo punto. Estas cuestiones se examinarán con algo más de detalle en §27 . 1 1 .) Sin embargo, podría decirse que el caso elíptico viola los postulados segundo y tercero de Euclides (además del primero) . En efecto, se trata de una geometría que es finita en exten­ sión (y en la que más de un segmento de línea une un par de puntos) . ¿Cuál es, entonces, el estatus observacional de la geometría espacial a gran escala del universo? Solo se puede decir que todavía no lo sabe­ mos, aunque recientemente se ha dado gran publicidad a afirmaciones 98

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

(a)

§2.7

(b)

Fig. 2.22. Los tres tipos básicos de geometría plana uniforme, tal como son ilustrados por Escher utilizando teselaciones de ángeles y demonios. (a) Caso elíptico (curvatura positiva); (b) Caso euclídeo (curvatura cero), y (c) Caso hiperbólico (curvatura nega­ tiva), en la representación conforme (Límite circular IV de Escher, que debe comparar­ se con la Fig. 2.17).

99

§2.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

de que la geometría de Euclides era correcta en todos los niveles, y que su quinto postulado también se cumple, de modo que la geometría es­ pacial promediada es lo que llamamos «euclídea». 1 2 Por otra parte, exis­ te también evidencia (parte de la cual procede de los mismos experi­ mentos) que parece apuntar firmemente a una geometría global hiperbólica para el universo espacial. 1 3 Además, algunos teóricos han ar­ gumentado hace tiempo a favor del caso elíptico, y este no está desde luego descartado por la propia evidencia que se aporta en apoyo del caso euclídeo (véanse las últimas partes de §34.4) . Como percibirá el lector, la cuestión está todavía llena de controversia y, como cabría es­ perar, de discusiones con frecuencia acaloradas. En posteriores capítu­ los de este libro, trataré de presentar muchas de las ideas que se han propuesto en relación con esto (y no intento ocultar mi propia opinión a favor del caso hiperbólico, aunque tratando de ser tan justo respecto a los otros como sea posible) . Por fortuna para aquellos, como yo mismo, que se sienten atraídos por las bellezas de la geometría hiperbólica, y también por la magnifi­ cencia de la física moderna, existe otro papel para esta soberbia geo­ metría que es indiscutiblemente fundamental para nuestra moderna comprensión del universo físico. En efecto, según la moderna teoría de la relatividad, el espacio de velocidades es ciertamente una geometría hi­ perbólica tridimensional (véase § 1 8.4) , en lugar de la euclídea que se­ ría válida en la más antigua teoría newtoniana. Esto nos ayuda a enten­ der algunos de los enigmas de la relatividad. Imaginemos, por ejemplo, un proyectil lanzado hacia delante, con velocidad cercana a la de la luz, desde un vehículo que también se mueve hacia delante con una velo­ cidad comparable y pasa frente a un edificio. Pese a todo, con relación a dicho edificio, el proyectil nunca puede superar la velocidad de la luz. Aunque esto parece imposible, veremos en § 1 8.4 que encuentra una explicación directa en términos de geometría hiperbólica. Pero estas materias fascinantes deben esperar hasta capítulos posteriores. ¿Qué pasa con el teorema de Pitágoras, cuyo fallo hemos visto en la geometría hiperbólica? ¿Debemos abandonar el mayor de los regalos concretos que hicieron los pitagóricos a la posteridad? En absoluto, pues la geometría hiperbólica -y, de hecho, todas las geometrías «rie­ mannianas» que generalizan la geometría hiperbólica de una manera 100

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

Notas

irregularmente curvada (que forma el marco esencial de la teoría de la relatividad general de Einstein; véanse § 1 3.8, § 1 4.7, § 1 8 . 1 y § 1 9.6)­ depende vitalmente de la validez del teorema de Pitágoras en el límite de pequeñas distancias. Además, su enorme influencia impregna otras vastas áreas de las matemáticas y la fisica (por ej emplo, la estructura métrica «unitaria» de la mecánica cuántica; véase §22.3) . A pesar de que este teorema es, en cierto sentido, reemplazado para «grandes» dis­ tancias, sigue siendo central para la estructura a pequeña escala de la geometría, encontrando un rango de aplicación que supera muchísimo a aquel para el que fue propuesto originalmente. Notas

Sección 2. 1 2. 1 . No está muy claro históricamente quién demostró realmente por pri­ mera vez lo que ahora conocemos como «teorema de Pitágoras»; véase la nota 1 . 1 . Parece que los antiguos egipcios y babilonios conocían al menos muchos ejemplos de este teorema. El verdadero papel desempe­ ñado por Pitágoras o sus seguidores es básicamente supuesto.

Sección 2 . 2 2.2.

No obstante, incluso con todo este cuidado en la obra de Euclides que­ daron varias hipótesis ocultas, que tienen que ver básicamente con lo que ahora llamaríamos cuestiones «topológicas» que habrían parecido «intuitivamente obvias» para Euclides y sus contemporáneos. Estas hi­ pótesis no mencionadas solo fueron advertidas siglos después, en parti­ cular por Hilbert a finales del siglo XIX. Las ignoraré en lo que sigue.

2.3. Véase, por ej emplo, Thomas ( 1 939) . Compárese también con Schulz ( 1 997), que da una bella exposición axiomática de la geometría espa­ ciotemporal 4-dimensional de Minkowski (§ 1 7.8, § 1 8 . 1 ) .

Sección 2. 4 2.4. La notación «exponencial» tal como C-112 se utiliza con frecuencia en este libro. Como ya se ha dicho en la nota 1 . 1 , a5 significa a X a X a X a X a; por consiguiente, para un entero positivo n, el producto de a consigo

101

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

mismo un total de n veces se escribe a" . Esta notación se extiende a ex­ ponentes negativos, de modo que a-1 es el recíproco 1 /a de a, y a-" es el

recíproco 1 / a" de a", o de forma equivalente (a-1 ) " . De acuerdo con la discusión más general de §5.2, a 11", para un número positivo a, es la «raíz n-ésima de a», que es el número (positivo) que satisface (a 11") " = a (véa­ 1 se la nota 1 . 1 ) . Además, a"'1" es la potencia m-ésima de a 1".

Sección 2. 6 2.5.

Saccheri ( 1 733) , Prop. XXXI II. 2 . 6 . Existe u n punto d e vista conocido como intuicionismo, mantenido por una minoría (bastante pequeña) de matemáticos, en el que no se acepta el pricipio de «demostración por contradicción». La objeción consiste en que este principio puede ser no constructivo en cuanto que a veces lle­ va a una afirmación de la existencia de cierta entidad matemática, sin que se ofrezca ninguna construcción real de la misma. Esto tiene cierta

relevancia para las cuestiones discutidas en § 1 6. 6.Véase Heyting ( 1 956) . 2. 7. Hardy ( 1 940) , p. 34. 2.8. Los arcos de círculo máximo son las curvas «más cortas» (geodésicas) so­ bre la superficie de una esfera; yacen en planos que pasan por el centro de la esfera. 2. 9. Es un tema de discusión si Gauss, que estaba profesionalmente interesa­ do en asuntos de geodesia, podría haber tratado de averiguar realmente si hay desviaciones medibles de la geometría euclídea en el espacio físi­ co. Debido a su bien conocida reticencia en cuestiones de geometría no euclídea, es poco probable que lo diera a conocer si en efecto estuviera tratando de hacerlo, especialmente porque (como ahora sabemos) esta­ ba abocado al fracaso, debido a la pequeñez del efecto, según la teoría moderna. Parece que hoy día hay consenso en que él «solo estaba ha­ ciendo geodesia», al estar interesado en la curvatura de la Tierra, y no del espacio. Pero encuentro algo difícil creer que él no anduviera tam­ bién buscando cualquier discrepancia importante con la geometría euclídea; véanse Fauvel y Gray (1 987) y Gray ( 1 979) . 2 . 10. La representación denominada «semiplano de Poincaré» (con forma mé­ trica (dx2 + dy2) /y2 ; véase § 1 4 . 7) se debe también a Beltrami ( 1 868) . La curvatura negativa constante de la «métrica de Poincaré» 4 (dx2 + + dy2) / ( 1 - x2 - y2) 2 de las Figs. 2 . 1 1 - 1 3 fue advertida realmente por Riemann. 2 . 1 1 . Esto parece aplicarse incluso al propio Gauss (que, por otra parte, había

102

UN TEOREMA ANTIGUO Y UNA PREGUNTA MODERNA

Notas

anticipado con mucha frecuencia el trabajo de otros matemáticos) . Exis­ te un importante teorema matemático topológico conocido como «teo­ rema de Gauss-Bonnet», que puede demostrarse elegantemente me­ diante el uso de la denominada «aplicación de Gauss», pero el propio teorema parece deberse en realidad a Blaschke y el elegante método de demostración citado fue encontrado por Olinde Rodrigues. Parece que Gauss y Bonnet no conocieron jamás ni el resultado ni el método de demostración. Existe un teorema de «Gauss-Bonnet» más elemental, co­ rrectamente citado en varios textos; véanse Willmore ( 1 959) y Rindler (200 1 ) .

Sección 2. 7 2. 12. La evidencia principal respecto a la estructura global del universo como un todo procede de un análisis detallado de la radiación cósmica de fondo

de microondas (CMB) que se discutirá en §§27.7 , 1 0, 1 1 , 1 3, §§28.5, 1 0 y §30. 1 4 . Una referencia básica es de Bernardis et al. (2000); para datos más recientes y más precisos, véase Netterfield et al. (20 0 1 ) (concer­ nientes a BOOMERanG) .Véanse también Hanany et al. (2000) (con­ cernientes a MAXIMA) , Halverson et al. (2001 ) (concernientes a DASI), y Bennet et al. (2003). 2.13. Véanse Gurzadyan y Torres (1 997) y Gurzadyan y Kocharyan (1 994) para los soportes teóricos, y Gurzadyan y Kocharyan ( 1 992) (para los datos de COBE) y Gurzadyan et al. (2002, 2003) (para los datos de BOO­ MERanG y (2004) para los datos de WMAP) para los correspondientes análisis de los datos CMB reales.

3 Tipos de números en el mundo físico 3. 1 . ¿UNA CATÁSTROFE PITAGÓRICA? Volvamos ahora a la cuestión de la demostración por contradicción, el principio que Saccheri trató inútilmente de utilizar en su intento de demostración del quinto postulado de Euclides. Hay muchos casos en las matemáticas clásicas en los que el principio ha sido aplicado con éxito. Uno de los más famosos se remonta a los pitagóricos, y zanjó una cuestión matemática en un sentido que les iba a causar grandes proble­ mas. La cuestión era la siguiente: ¿es posible encontrar un número ra­ cional (i.e., una fracción) cuyo cuadrado sea exactamente el número 2? Resulta que la respuesta es no, y la afirmación matemática que voy a demostrar dentro de poco es, en efecto, que no existe tal número racional. ¿Por qué estaban los pitagóricos tan molestos por este descubri­ miento? Recordemos que una fracción -es decir, un número racio­ nal- es algo que puede expresarse como la razón a/b de dos enteros a y b, siendo b distinto de cero. (Véase el prefacio para una discusión de la definición de una fracción.) Los pitagóricos tenían al principio la es­ peranza de que toda su geometría podría expresarse en términos de longitudes que podrían medirse en términos de números racionales. Los números racionales son cantidades bastante simples, pues son des­ criptibles y comprensibles en términos finitos simples; pese a todo, pueden utilizarse para especificar distancias tan pequeñas o tan grandes como queramos. Si pudiera hacerse toda la geometría con los raciona­ les, esto haría las cosas relativamente sencillas y fácilmente comprensi­ bles. La noción de un número «irracional», por el contrario, requiere 1 05

§3 . 1

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 3 . 1 . Un cuadrado de lado longtiud unidad tie­

ne diagonal ./2, por el teorema de Pitágoras.

procesos infinitos, y esto hubiera planteado dificultades considerables a los antiguos (y con toda la razón) . ¿Qué dificultad plantea el hecho de que no exista un número racional cuyo cuadrado sea Esta procede del propio teorema de Pitágoras. Si en la geometría euclídea tenemos un cuadrado con lados de longitud unidad, entonces la longitud de su diagonal es un número cuyo cuadrado es 1 + 1 (véase la Fig. 3 . 1 ) . Sería realmente catastrófico para l a geometría que n o hubiera ningún número que pudiera describir la longitud de la diagonal de un cuadra­ do. Al principio, los pitagóricos trataron de arreglárselas con una no­ ción de «número en acto» que pudiera describirse simplemente en tér­ minos de razones de números enteros. Veamos por qué esto no puede funcionar. La cuestión consiste en ver por qué la ecuación

2?

2 2=2

(1)2 = 2 no tiene solución para enteros a y b, donde estos enteros se consideran positivos. Utilizaremos las demostración por contradicción para de­ mostrar que no pueden existir tales a y b. Supongamos, por lo tanto, que sí existen tales a y b. Multiplicando ambos miembros de la ecua­ ción anterior por b2, encontramos que se convierte en a2 = 2b2 y concluimos 1 claramente que a2 > b2 > O. Ahora, el s egundo miem­ bro, 2b2, de la ecuación anterior es par, de donde se sigue que a debe ser par (y no impar, puesto que el cuadrado de cualquier número im­ par es impar) . Así pues, existe un entero positivo tal que a = 2c. Suse

1 06

TIPOS DE NÚ MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3.1

tituyendo a por 2c en la ecuación anterior, y elevando al cuadrado, ob­ tenemos

es decir, dividiendo ambos miembros por 2,

h2 = 2c2, y concluimos que b2 > c2 > O. Ahora bien, esta es precisamente la mis­ ma ecuación que teníamos antes, excepto que b reemplaza ahora a a y e reemplaza a h. Nótese que los enteros correspondientes son ahora más pequeños que antes. Podemos repetir el argumento una y otra vez, ob­ teniendo una secuencia interminable de ecuaciones

donde a2 > b 2 > c2 >

d2 > ez >

... ,

siendo todos estos enteros positivos. Pero cualquier secuencia decre­ ciente de enteros positivos debe llegar a un final, lo que contradice el hecho de que esta secuencia es interminable. Esto nos da una con­ tradicción con lo que se había supuesto, a saber, que existe un número racional cuyo cuadrado es 2. De ello se sigue que no existe tal número racional, como queríamos demostrar. 2 Algunos puntos del argumento anterior merecen un comentario. En primer lugar, de acuerdo con los procedimientos normales de la demostración matemática, en el argumento se ha apelado a ciertas pro­ piedades de los números que se tomaban como «obvias» o como pre­ viamente establecidas. Por ej emplo, hemos utilizado el hecho de que el cuadrado de un número impar es siempre impar y, además, que si un entero no es impar, entonces es par. También utilizamos el hecho fun­ damental de que cada secuencia estrictamente decreciente de números enteros positivos debe llegar a un final. Una razón por la que puede ser importante identificar las hipóte­ sis precisas que entran en una demostración -incluso si algunas de es­ tas hipótesis pudieran ser cosas perfectamente «obvias»- es que los matemáticos están a menudo interesados en otros tipos de entidades 1 07

§3 . 1

EL CAMINO A LA REALIDAD

distintas de aquellas a las que originalmente concernía la demostra­ ción. Si estas otras entidades satisfacen las mismas hipótesis, entonces la demostración será extrapolable y se verá que la afirmación que ha sido demostrada tiene una generalidad mayor que la originalmente percibi­ da, puesto que se aplicará también a estas otras entidades. Por el con­ trario, si alguna de las hipótesis necesarias deja de ser válida para estas entidades alternativas, entonces la afirmación en cuestión puede resul­ tar falsa para dichas entidades. (Por ejemplo, es importante darse cuen­ ta de que en las demostraciones del teorema de Pitágoras dadas en §2.2 se utilizaba el postulado de las paralelas, por lo que el teorema es real­ mente falso en la geometría hiperbólica.) En el argumento anterior, las entidades originales son números en­ teros y estamos interesados en aquellos números -los números racio­ nales- que se construyen como cocientes de enteros. Con tales nú­ meros se da realmente el caso de que ninguno de ellos tiene 2 como cuadrado. Pero hay otros tipos de números además de los simples ente­ ros y racionales. En realidad, la necesidad para una raíz cuadrada de 2 obligó a los antiguos griegos, muy en contra de su voluntad en aquel tiempo, a salir de los confines de los números enteros y los racionales, los únicos tipos de números que previamente habían estado dispuestos a aceptar. El tipo de número al que se vieron llevados fue el que hoy día llamamos un «número real»: un número que ahora expresamos me­ diante un desarrollo decimal interminable (aunque una representación semejante no estaba disponible para los antiguos griegos) . De hecho, 2 tiene una raíz cuadrada dentro de los números reales, a saber (como ahora la escribiríamos) :

f2 = 1 ,4 1 4 2 1 3 562 373 095 048 801 688 72 . . . En la próxima sección consideraremos con más detalle el estatus fí­ sico de tales números «reales». Como curiosidad, podemos preguntar por qué la demostración an­ terior de la no existencia de una raíz cuadrada de 2 falla para números reales (o para razones de números reales, lo que es equivalente) . ¿Qué sucede si reemplazamos «entero» por «número real» en todo el argu­ mento? La diferencia básica es que no es cierto que cualquier sucesión estrictamente decreciente de reales positivos (o incluso de fracciones) 1 08

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F ÍSICO

§3.2

debe llegar a un final, y el argumento se viene abaj o en ese punto. 3 (Consideremos, por ejemplo, la secuencia interminable 1 , 1 12, 1 14, 1 /8, 1 1 1 6, 1 /32, . . . , .) A uno podría preocuparle qué sería un número real «impar» y «par» en este contexto. De hecho, el argumento no en­ cuentra ninguna dificultad en este punto porque todos los números rea­ les tendrían que contar como «pares», puesto que para cualquier real a hay siempre un real e tal que a = 2c, al ser siempre posible la división por 2 para los reales.

3.2. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Así fue como los griegos se vieron obligados a admitir que los núme­ ros racionales no son suficientes para desarrollar adecuadamente las ideas de la geometría (de Euclides) . Hoy día no nos preocupa excesi­ vamente que cierta cantidad geométrica no pueda ser medida en tér­ minos de números racionales simplemente. Esto se debe a que la no­ ción de un «número real» resulta muy familiar para nosotros. Aunque nuestras calculadoras de bolsillo expresan los números mediante un número finito de dígitos, aceptamos que esta es una aproximación a la que nos obliga el hecho de que la calculadora es un obj eto finito. Esta­ mos dispuestos a admitir que el número matemático ideal (platónico) podría requerir que el desarrollo decimal se prolongue indefinidamen­ te. Esto se aplica, por supuesto, incluso a la representación decimal de la mayoría de las fracciones, tales como

1 = 0,333 333 333 . . . 3

'

29 = 2,41 6 666 666 T2 9 _ 1 ,285 714 285 714 285 . . . , 7 -

237 = 1 ,601 351 351 35 . . . . 1 48 En el caso de una fracción, el desarrollo decimal siempre acaba sien­ do periódico, lo que quiere decir que llega un momento en que la se­ cuencia infinita de dígitos consiste en una secuencia finita que se repi109

§ 3 .2

EL CAMINO A LA REALIDAD

te indefinidamente. En los ejemplos anteriores, las secuencias repetidas son 3, 6, 28571 4 y 135, respectivamente. Los desarrollos decimales no estaban disponibles para los antiguos griegos, pero ellos tenían sus propios modos de entender los números irracionales. En efecto, lo que adoptaron era un sistema de representa­ ción de números en términos de lo que ahora llamamos fracciones conti­ nuas. No hay necesidad de entrar aquí en detalles, pero es apropiado hacer algunos breves comentarios. Una fracción continua4 es una ex­ presión finita o infinita a + (b + (c + (d + . . . f1 f1 f1 , donde a, b, c, d, . . . son enteros positivos:

a + ------=-1 1 b + ---"-c + -1d + ... _ _ _

Cualquier número racional mayor que 1 puede escribirse como una de estas expresiones terminada (donde, para evitar ambigüedades, exigimos normalmente que el último entero sea mayor que 1 ) , por ejemplo, 52/9 = 5 + (1 + (3 + (2f1 f1 f1 :

52 9

=

1

5+

1 + -13+1 2

y, para representar un racional positivo menor que 1 , simplemente ad­ mitimos que el primer entero en la expresión sea cero. Para expresar un número real, que no es racíonal, simplemente13 · 1 1 permitimos que la expresión de la fracción continua siga de manera indefinida, siendo al­ gunos ej emplos5

ia (3. 1] Experimente con su calculadora de bolsillo (suponiendo que usted tenga te­ clas « '1 » y «x-1») para obtener estas expresiones con la precisión disponible. Tome '1T' = 3,141 592 653 589 793 . . . (Sugerencia: Apunte la parte entera de cada número, rés­ tela de dicho número y forme luego el recíproco del resto. Repita la operación con el número así obtenido.) 110

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

7

-

f3

=

§3.2

n = 1 + (2 + (2 + (2 + (2 + . . . r1r1r1r1. i 5 + (3 + (1 + (2 + (1 + (2 + ( 1 + (2 + . r1r1r1r1r1r1r . 'TT = 3 + (7 + ( 1 5 + (1 + (292 + ( 1 + (1 + ( 1 + + (2 + . . . r1r1r1r1r1r1r1r 1 . .

.

En los dos primeros de estos ejemplos infinitos, las secuencias de números naturales que aparecen -a saber, 1 , 2, 2, 2, 2, . . . en el primer caso y 5, 3, 1 , 2, 1 , 2, 1 , 2, . . . en el segundo- tienen la propiedad de que son finalmente periódicas (repitiéndose indefinidamente el 2 en el primer caso y repitiéndose indefinidamente la secuencia 1 , 2 en el se­ gundo) Y·2l Recordemos que, como ya se ha advertido antes, en la no­ tación decimal familiar, son los números racionales los que tienen ex­ presiones (finitas o) finalmente periódicas. Por otra parte, podemos considerar que una virtud de la representación de «fracción continua» griega es que los números racionales tienen ahora siempre una des­ cripción finita. Una pregunta natural que se puede plantear en este contexto es: ¿qué números tienen una representación en forma de frac­ ción continua finalmente periódica? Un teorema notable, demostrado por primera vez que sepamos por el gran matemático del siglo XVIII Joseph L. Lagrange (cuyas otras ideas más importantes encontraremos más adelante, en particular en el capítulo 20), dice que los números cu­ yas representaciones en términos de fracciones continuas son final­ mente periódicas son los denominados irracionales cuadráticos. 6 ¿Qué es un irracional cuadrático y qué importancia tiene para la geometría griega? Es un número que puede escribirse en la forma

a + lb, donde a y b son fracciones, y donde b no es un cuadrado perfecto. Es­ tos números son importantes en geometría euclídea porque son los nú­ meros irracionales más inmediatos que se encuentran en las construc­ ciones con regla y compás. (Recordemos el teorema de Pitágoras, que en §3. 1 nos ha llevado por primera vez a considerar el problema de fl, � [3.2] Suponiendo esta periodicidad final de estas dos expresiones de fracciones continuas, demuestre que los números que representan deben ser las cantidades del miembro izquierdo. (Sugerencia: Encuentre una ecuación cuadrática que sea satisfecha por esta cantidad, y remítase a la nota 3.6.) 111

§ 3. 2

EL CAMINO A LA REALIDAD

y otras construcciones sencillas de longitudes euclídeas nos llevaron di­ rectamente a otros números de la forma anterior.) Ejemplos concretos de irracionales cuadráticos son aquellos casos donde a = O y b es un número natural (no cuadrado) o racional mayor que 1 , por ejemplo:

n, tJ, vrs. ,/6, n, .JB, m. m . . . . La representación de fracción continua de un número semejante es especialmente sorprendente. La secuencia de números naturales que la define como una fracción continua tiene una curiosa propiedad carac­ terística. Empieza con cierto número A, que luego es seguido inme­ diatamente por una secuencia «palindrómica» (i.e., una que se lee igual hacia atrás) , B, C, D, . . . , D, C, B, seguida por 2A, tras el cual la propia secuencia B, C, D, . . . , D, C, B, 2A se repite indefinidamente. El núme­ ro m es un buen ejemplo, para el que la secuencia es

3, 1 , 2, 1 , 6, 1 , 2, 1 , 6, 1 , 2, 1 , 6, 1 , 2, 1 , 6, . . . Aquí A = 3 y la secuencia palindrómica B, C, D, . . . , D, C, B es simplemente la secuencia de tres términos 1, 2, 1 . ¿Cuánto de esto era conocido por los antiguos griegos? Parece probable que conocían mucho -muy posiblemente todas las cosas que he descrito antes (incluido el teorema de Lagrange)-, aunque quizá carecieran de demostraciones rigurosas para todo. Al parecer, gran par­ te de esto fue establecido por Teeteto, contemporáneo de Platón. Pare­ ce incluso que hay alguna evidencia de este conocimiento (incluidas las secuencias palindrómicas repetidas antes mencionadas) manifiesta en la dialéctica de Platón. 7 Aunque la incorporación de los irracionales cuadráticos nos acerca algo hacia los números adecuados para la geometría euclídea, no hace todo lo que se necesita. En el décimo (y más dificil) libro de Euclides se consideran números como Ja + fb (con a y b racionales positivos) . Es­ tos no son generalmente irracionales cuadráticos, pero se dan, de todas formas, en construcciones de regla y compás. Números suficientes para tales construcciones geométricas serían aquellos que pueden formarse a partir de números naturales por uso repetido de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, y toma de la raíz cuadra1 12

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3.2

da. Pero operar exclusivamente con tales números se hace muy com­ plicado, y estos números son todavía demasiado limitados para consi­ deraciones de geometría euclídea que van más allá de las construccio­ nes de regla y compás. Es mucho más satisfactorio dar el paso capital -y hasta qué punto es capital se indicará en §§16.3-5- de permitir expresiones de fracciones continuas infinitas que son completamente generales. Esto proporcionó a los griegos una forma de describir nú­ meros que resulta adecuada para la geometría euclídea. Estos números son en realidad, en terminología moderna, los de­ nominados «números reales». Aunque se considera que una definición completamente satisfactoria de tales números no fue encontrada has­ ta el siglo XIX (con el trabajo de Dedekind, Cantor y otros) , el gran matemático y astrónomo griego Eudoxo, que había sido uno de los discípulos de Platón, había obtenido las ideas esenciales ya en el si­ glo IV a.C. Aquí resulta apropiado comentar las ideas de Eudoxo. En primer lugar, notemos que los números en geometría euclídea pueden expresarse en términos de razones de longitudes, más que di­ rectamente en términos de longitudes. De esta forma, no se necesitaba ninguna unidad específica de longitud (tal como la «pulgada» o el «dactylos» griego). Además, con razones de longitudes no habría res­ tricciones en cuanto al número de tales razones que podían multipli­ carse (obviando la aparente necesidad de «hipervolúmenes» en dimen­ siones más altas cuando se multiplican más de tres longitudes). El primer paso en la teoría de Eudoxo consistía en proporcionar un cri­ terio acerca de cuándo una razón de longitudes a : b sería mayor que otra razón semejante e : d. Este criterio es que existen ciertos enteros positivos M y N tales que la longitud a sumada a sí misma M veces su­ pera a b sumada a sí misma N veces, mientras que también d sumada a sí misma N veces supera a e sumada a sí misma M veces Y· 3l Un criterio correspondiente es válido para expresar la condición de que la razón a : b es menor que la razón e : d. La condición para la igualdad de ambas razones sería que no se cumpla ninguno de estos criterios. Con esta in­ geniosa noción de «igualdad» de tales razones, Eudoxo tenía, en efec­ to, un concepto abstracto de «número real» en términos de razones de � [3.3] ¿Puede ver por qué funciona esto? 1 13

§ 3.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

longitudes. Él también proporcionó reglas para la suma y el producto de tales números reales. !3.4J Sin embargo, había una diferencia básica en el punto de vista entre la noción griega de número real y la moderna, p orque los griegos creían que el sistema de números nos estaba básicamente «dado» en términos de la noción de distancia en el espacio físico, de modo que el problema consistía en tratar de establecer cómo se comportaban real­ mente estos números «distancia»; pues el propio «espacio» podría haber parecido un absoluto platónico incluso si los obj etos físicos reales exis­ tentes en dicho espacio estuvieran inevitablemente muy lejos del ideal platónico. 8 (Sin embargo, en §17.9 y §§19.6,8 veremos que la teoría de la relatividad general de Einstein ha cambiado ahora esta perspectiva del espacio y la materia de un modo fundamental.) Un objeto físico tal como un cuadrado dibujado en la arena o un cubo esculpido en mármol podría haber sido considerado por los an­ tiguos griegos como una razonable o a veces una excelente aproxima­ ción al ideal geométrico platónico. Pese a todo, cualquier objeto seme­ jante proporcionaría en cualquier caso una mera aproximación. D etrás de tales aproximaciones a las formas platónicas -así hubiera pareci­ do- estaría el propio espacio: una entidad de existencia tan abstracta o conceptual que muy bien podría haber sido considerada como una realización directa de una realidad platónica. La medida de distancia en esta geometría ideal sería algo a determinar; en consecuencia, sería apro­ piado tratar de extraer esta noción ideal de número real de una geo­ metría del espacio que se suponía dada. De hecho, esto es lo que Eudo­ xo consiguió hacer. No obstante, en los siglos xrx y xx había surgido la idea de que la noción matemática de número debería presentarse con independen­ cia de la naturaleza del espacio físico. Puesto que se había demostrado que existían geometrías matemáticamente consistentes diferentes de la de Euclides, resultaba inoportuno insistir en que la noción matemáti­ ca de «geometría» debería ser extraída necesariamente de la naturale­ za supuesta del espacio físico «real». Además, podría ser muy difícil, si no imposible, establecer la naturaleza detallada de esta supuesta «geo!Jl!1 [3.4] ¿Puede ver cómo formularlas? 1 14

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3.2

metría física platónica» subyacente en términos del comportamiento de objetos físicos imperfectos. Para conocer la naturaleza de los nú­ meros de acuerdo con los cuales debe definirse la «distancia geomé­ trica», por ej emplo, sería necesario saber qué sucede tanto a distancias infinitamente minúsculas como infinitamente grandes. Incluso hoy, es­ tas cuestiones no tienen una clara respuesta (y las abordaré de nuevo en capítulos posteriores) . Así pues, era mucho más oportuno estable­ cer la naturaleza del número de un modo que no remitiera directa­ mente a medidas físicas. En consecuencia, Richard Dedekind y Georg Cantor elaboraron sus ideas de lo que «son» los números reales me­ diante el uso de nociones que no se refieren directamente a la geo­ metría. Dedekind define un número real a partir de conj untos infinitos de números racionales. Lo que se hace, básicamente, es considerar que los números racionales, tanto positivos como negativos (y el cero) , es­ tán dispuestos en orden de tamaño. Podemos imaginar que este orde­ namiento tiene lugar de izquierda a derecha, considerando que los ra­ cionales negativos se extienden indefinidamente hacia la izquierda, y los racionales positivos se extienden indefinidamente hacia la derecha, estando O en el centro. (Esto es solo para propósitos de visualización; de hecho, el procedimiento de Dedekind es completamente abstracto.) Dedekind imagina un «corte» que divide esta disposición claramente en dos, de modo que aquellos números que están a la izquierda del corte son más pequeños que los que están a la derecha. Cuando el «filo del cuchillo» que hace el corte no «incide» sobre un número racional sino que cae entre ellos, entonces decimos que define un número real irracional. Dicho de forma más correcta, esto ocurre cuando los que es­ tán a la izquierda no tienen un miembro máximo, y los que están a la derecha no tienen un miembro mínimo. Cuando se añade el sistema de los «irracionales», definidos en términos de tales «cortes», al sistema de los números racionales que ya teníamos, se obtiene la familia completa de los números reales. El procedimiento de D edekind conduce directamente, por medio de simples definiciones, a las leyes de adición, sustracción, multiplica­ ción y división de números reales. Además, permite ir más allá y defi­ nir límites, mediante los cuales pueden asignarse significados en nú1 15

§3 . 3

EL CAMINO A LA REALIDAD

meros reales a cosas tales como la fracción continua infinita que he­ mos visto antes

o la suma infinita

1 + 51 - 71 + 91 l -3 ···

-t

De hecho, la primera nos da el número irracional f2 y la segunda, 7r. La

capacidad de tomar límites es fundamental para muchas nocio­

nes matemáticas, y es esto lo que da a los números reales su fuerza es­ pecial. 9 (Quizá el lector recuerde que la necesidad de «procedimientos de paso al límite» era un requisito para la definición general de áreas, como se ha indicado en §2.3) .

3 . 3 . Los NÚMEROS REALES E N E L MUNDO FÍSICO Aquí estamos tocando una cuestión profunda. Una fuerza impulsora inicial en el desarrollo de las ideas matemáticas ha sido siempre el in­ tento de encontrar estructuras matemáticas que reflej en de forma pre­ cisa el comportamiento del mundo fisico. Pero normalmente no es po­ sible examinar el propio mundo fisico con un detalle tan preciso que de él puedan extraerse directamente nociones matemáticas de la clari­ dad adecuada. El progreso se produce más bien debido a que las no­ ciories matemáticas tienden a tener un «impulso» propio que parece brotar casi por entero del interior de la propia disciplina. Las ideas ma­ temáticas evolucionan, y varios tipos de problemas parecen surgir de forma natural. Algunos de estos (como sucedió con el problema de en­ contrar la longitud de la diagonal de un cuadrado) pueden llevar a una ampliación esencial de los propios conceptos matemáticos en cuyos términos se había formulado originalmente el problema. Puede pare­ cer que tales ampliaciones nos vienen obligadas, o también pueden surgir de maneras que parecen ser cuestiones de conveniencia, consis­ tencia o elegancia matemática. En consecuencia, podría parecer que el desarrollo de las matemáticas se aleja de lo que se habían propuesto 116

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3.3

conseguir, a saber: reflejar el comportamiento físico. Pero, en muchos casos, este mismo impulso hacia la consistencia y elegancia matemáti­ cas nos lleva a estructuras y conceptos matemáticos que resultan refle­ jar el mundo físico de una forma mucho más profunda y de mayor al­ cance que aquellas de las que partimos. Es como si la propia naturaleza se guiara por el mismo tipo de criterios de consistencia y elegancia que guían al pensamiento matemático humano. Un ejemplo de esto es el propio sistema de los números reales. No tenemos ninguna evidencia directa en la naturaleza de que haya una noción fisica de «distancia» que se extienda hasta escalas arbitrariamen­ te grandes; menos evidencia hay aún de que semejante noción sea apli­ cable en el nivel infinitamente minúsculo. En realidad, no hay evidencia de que existan «puntos en el espacio» de acuerdo con una geometría que haga uso precisamente de distancias en números reales. En la épo­ ca de Euclides había escasa evidencia para apoyar siquiera la pretensión de que tales «distancias» euclídeas se extendían hacia fuera hasta más allá de, digamos, unos 1 0 12 metros, 10 o hacia dentro, hasta algo tan pe­ queño como 1 0-5 metros. Pero, al haber sido impulsadas matemática­ mente por la consistencia y elegancia del sistema de los números rea­ les, todas nuestras teorías físicas satisfactorias y de más amplio alcance hasta la fecha han seguido ateniéndose, sin excepción, a esta antigua noción de «número real». Aunque podría parecer que ha habido muy poca justificación para hacer esto a partir de la evidencia de que se dis­ ponía en la época de Euclides, nuestra fe en el sistema de los números reales parece haberse visto recompensada. En efecto, nuestras moder­ nas y satisfactorias teorías cosmológicas nos permiten ahora ampliar el rango de nuestras distancias en números reales hasta aproximadamente 1 026 metros o más, mientras que la precisión de nuestras teorías de la fi­ sica de partículas extiende este rango hacia dentro, hasta 10-1 7 metros o menos. (La única escala para la que se ha propuesto con seriedad que podría llegar un cambio es de unos dieciocho órdenes de magnitud in­ ferior a esta, a saber 10�35 metros, que es la «escala de Planck» de la gra­ vitación cuántica que cobrará una importancia especial en nuestras dis­ cusiones posteriores; por ejemplo, §§3 1 . 1 ,6-1 2, 1 4 y §32.7.) Puede considerarse una notable justificación de nuestro uso de idealizaciones matemáticas el hecho de que el rango de validez del sistema de los nú1 17

§3.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

meros reales se ha ampliado desde un total de aproximadamente 1 0 1 7 , desde lo más pequeño a lo más grande, que parecía adecuado en la época de Euclides, hasta al menos los 1 043 que nuestras teorías actuales utilizan directamente, lo que supone un extraordinario incremento en un factor de 1 026• Hay mucho más a favor de la validez física del sistema de los núme­ ros reales. En primer lugar, debemos considerar que también las áreas y los volúmenes son magnitudes para las que convienen medidas muy precisas en números reales. Una medida de volumen es el cubo de una medida de distancia (y un área es el cuadrado de una distancia). En con­ secuencia, en el caso de los volúmenes podemos considerar que el in­ tervalo relevante es el cubo del anterior. Así, para la época de Euclides esto nos daría un rango de aproximadamente (10 1 7) 3 = 1 051 ; para las teo­ rías actuales, el intervalo es al menos (10 43) 3 = 1 0 1 2 9 • Además, existen otras medidas físicas que requieren descripciones en números reales, se­ gún las teorías que hoy día resultan satisfactorias. La más digna de men­ ción de estas es el tiempo. Según la teoría de la relatividad, este tiene que añadirse al espacio para que nos proporcione el espaciotiempo (que será objeto de nuestro estudio en el capítulo 17). Los volúmenes espacio­ temporales son tetradimensionales, y muy bien podría considerarse que el rango temporal (de nuevo de aproximadamente 1 043 o más en rango total, en nuestras teorías mejor comprobadas) debería ser incorporado también en nuestras consideraciones, dando así un total del orden de 1 0 172 .Veremos algunos números reales todavía mucho mayores que este cuando lleguemos a nuestras consideraciones posteriores (véanse §27 . 1 3 y §28.7), aunque en algunos casos no esté realmente claro que sea esen­ cial el uso de números reales (antes que, por ejemplo, enteros). Más importante para la teoría física es el hecho de que, desde Ar­ químedes hasta Maxwell, Einstein, Schrodinger, Dirac y otros, pasando por Galileo y Newton, un papel crucial del sistema de los números rea­ les ha consistido en proporcionar un marco necesario para la formula­ ción estándar del cálculo infinitesimal (véase el capítulo 6). Todas las teo­ rías dinámicas satisfactorias han requerido para su formulación las nociones del cálculo. Ahora bien, el enfoque convencional del cálculo requiere que la naturaleza infinitesimal de los reales sea la que es. Es de­ cir, en el extremo inferior de la escala es el rango entero de los núme1 18

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3.3

ros reales el que está siendo utilizado. Las ideas del cálculo infinitesimal subyacen en otras nociones físicas, tales como velocidad, momento o energía. En consecuencia, el sistema de los números reales entra en nues­ tras teorías fisicas satisfactorias de una manera fundamental para nuestra descripción de todas aquellas magnitudes. Aquí, como se ha mencio­ nado antes en relación con las áreas, en §2.3 y §3 .2, se está invocando el límite infinitesimal de la estructura a pequeña escala del sistema de los números reales. Pese a todo, podemos seguir preguntándonos si el sistema de los nú­ meros reales es realmente «correcto» para la descripción de la realidad fisica en sus niveles más profundos. Cuando empezaron a introducirse las ideas mecanocuánticas a comienzos del siglo xx, existía la sensación de que quizá entonces empezábamos a ser testigos de una naturaleza discreta o granular del mundo físico en sus escalas más pequeñas. 1 1 Apa­ rentemente, la energía solo podía existir en paquetes discretos -o «cuantos»- y las magnitudes fisicas de «acción» y «espín» parecen dar­ se solo en múltiplos discretos de una unidad fundamental (véanse §§20 . 1 , 5 para el concepto clásico de acción y §26.6 para su contraparti­ da cuántica; véanse §§22.8- 1 2 para el espín) . Por ello, varios físicos in­ tentaron construir una imagen alternativa del mundo en la que proce­ sos discretos gobernaban todas las acciones en los niveles más ínfimos. Sin embargo, y tal como ahora entendemos la mecánica cuántica, esta teoría no nos obliga (ni siquiera nos lleva) a la idea de que hay una naturaleza discreta o granular para el espacio, el tiempo o la energía en sus niveles más ínfimos (véanse los capítulos 21 y 22, en particular la última frase de §22.13) . En cualquier caso, nos ha quedado la idea de que quizá haya realmente una discretización tal en la naturaleza, pese al hecho de que la mecánica cuántica, en su formulación estándar, no im­ plica esto ni mucho menos. Por ejemplo, el gran físico cuántico Erwin Schrodinger fue uno de los primeros en sugerir que podría ser nece­ sario un cambio hacia alguna forma de discretización espacial fun­ damental: 1 2 La idea de un rango continuo, tan familiar para los matemáticos de nuestros días, es algo bastante exorbitante, una enorme extrapolación de lo que es accesible para nosotros.

1 19

§ 3.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

Relacionó dichas propuestas con algunas ideas griegas antiguas re­ lativas a la discretización de la naturaleza. También Einstein sugirió, en sus últimas palabras publicadas, que una teoría («algebraica») basada en la discretización podría ser el camino hacia la física futura: 1 3 Se pueden dar buenas razones por las que la realidad no puede re­ presentarse como un campo continuo . . . Los fenómenos cuánticos . . . deben llevar a un intento de encontrar una teoría puramente algebrai­ ca para la descripción de la realidad. Pero nadie sabe cómo obtener la base de una teoría semej ante. 14

Otros 1 5 también han perseguido ideas de este tipo (véase §33 . 1 ) . A finales de la década de 1 950, yo mismo ensayé algo parecido, llegan­ do a un esquema al que denominé teoría de «redes de espín», en la que la naturaleza discreta del espín mecanocuántico se toma como el bloque constituyente fundamental para un enfoque combinatorio (i.e., discreto en lugar de basado en números reales) de la física (este esquema se des­ cribirá brevemente en §32.6) . Aunque mis propias ideas en esta direc­ ción no se desarrollaron hasta convertirse en una teoría global (si bien en cierto sentido se metamorfosearon más tarde en la «teoría de twisto­ res»; véase §33. 2) , la teoría de redes de espín ha sido ahora importada, por otros, en uno de los programas principales para atacar el problema fundamental de la gravitación cuántica. 1 6 Daré breves descripciones de es­ tas ideas en el capítulo 32. En cualquier caso, tal como hoy se ensaya y pone a prueba la teoría física -y como lo ha sido durante los veinti­ cuatro siglos pasados-, los números reales siguen constituyendo un in­ grediente esencial en nuestra comprensión del mundo físico.

3 .4. ¿NECESITAN LOS NÚMEROS NATURALES AL MUNDO FÍSICO? En la descripción anterior, en §3.2, de la aproximación de Dedekind al sistema de los números reales, he supuesto que los números racionales se daban por «entendidos». De hecho, no es dificil pasar de los enteros a los racionales. Los racionales son simplemente razones de enteros (véa­ se el prefacio) . ¿ Qué pasa entonces con los enteros propiamente dichos? 1 20

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3.4

¿Están enraizados en ideas físicas? Incluso los enfoques discretos de la física, que se mencionaron en los dos párrafos anteriores, dependen de nuestra noción de número natural (i.e., «número para recuento») y su extensión, mediante la inclusión de los números negativos, a los enteros. Los griegos no consideraban los números negativos como «números» en acto, así que continuemos nuestras consideraciones preguntando primero por el estatus físico de los propios números naturales. Los números naturales son las cantidades que ahora denotamos por O, 1, 2, 3, 4, etc. , i.e., son los números enteros no negativos. (Hoy se in­ cluye al O en esta lista, lo que es apropiado desde el punto de vista ma­ temático, aunque parece que los antiguos griegos no reconocieron el «cero» como un número en acto. Esto tuvo que esperar hasta los mate­ máticos hindúes de la India, empezando con Brahmagupta en el si­ glo VII y seguido de Mahavira y Bhaskara en los siglos rx y XII, respec­ tivamente.) El papel de los números naturales es claro e inequívoco. Son los «números para recuento» más elementales, y tienen un papel básico, cualesquiera que puedan ser las leyes de la geometría o de la fi­ sica. Los números naturales están sujetos a ciertas operaciones familiares, muy en especial las operaciones de adición (tal como 37 + 79 = 1 16) y multiplicación (por ejemplo, 37 X 79 = 2.923), que permiten combinar pares de números naturales para producir nuevos números naturales. Estas operaciones son independientes de la geometría del mundo. No obstante, podemos plantear la cuestión de si los propios núme­ ros naturales tienen un significado o existencia con independencia de la naturaleza real del mundo físico. Quizá nuestra noción de los números naturales depende de que en nuestro universo haya objetos discretos ra­ zonablemente bien definidos y que persisten en el tiempo. D espués de todo, los números naturales aparecen inicialmente cuando queremos contar cosas. Pero esto parece depender de que existan realmente «co­ sas» persistentes y distinguibles en el universo que estén disponibles para ser «contadas». Supongamos, por el contrario, que nuestro universo fue­ ra tal que el número de los obj etos tuviese tendencia a variar. ¿Real­ mente serían los números naturales conceptos «naturales» en un univer­ so semejante? Más aún, quizá el universo contenga solo un número finito de «obj etos», en cuyo caso ¡los propios números «naturales» po­ drían terminar en algún punto! Podemos concebir incluso un universo 121

§3 .4

EL CAMINO A LA REALIDAD

que consista solo en una sustancia amorfa e indiferenciada, para la cual la noción misma de cuantificación numérica podría parecer intrínseca­ mente inadecuada. ¿Tendría la noción de «número natural» la más mí­ nima relevancia para la descripción de universos de este tipo? Aunque muy bien pudiera darse el caso de que los habitantes de un universo semejante encontraran dificil de captar nuestro concepto ma­ temático presente de «número natural», es dificil imaginar que no si­ guiera habiendo un papel importante para entidades tan fundamenta­ les. Hay varias formas de introducir los números naturales en las matemáticas puras, y estas no parecen depender en absoluto de la na­ turaleza real del mundo físico. Básicamente, es la noción de un «con­ junto» la que necesita ser invocada, siendo esta una noción abstracta que no parece estar relacionada de ninguna manera esencial con la es­ tructura específica del universo físico. De hecho, existen ciertas sutile­ zas, concernientes a esta cuestión, y volveré a ello más adelante (en § 1 6.5). Por el momento, será conveniente ignorar tales sutilezas. Consideremos un modo (anticipado por Cantor y defendido por el destacado matemático John von Neumann) de introducir los números naturales utilizando simplemente la noción abstracta de conjunto. Este procedimiento permite definir lo que se denominan «números ordina­ les». Al conjunto más simple de todos se le llama «conjunto nulo» o «conjunto vacío», y está caracterizado por el hecho de que ¡no contie­ ne ningún miembro! El conjunto vacío se suele denotar por el símbo­ lo 0, y podemos escribir esta definición 0 = { }, donde los corchetes delimitan un conjunto, el conjunto específico bajo consideración, que tiene como miembros las cantidades indicadas den­ tro de los corchetes. En este caso, no hay nada dentro de los corchetes, de modo que el conjunto descrito es realmente el conjunto vacío. Aso­ ciemos 0 con el número natural O. Ahora podemos continuar y definir el conjunto cuyo único miembro es 0; i.e., el conjunto { 0 } . Es impor­ tante darse cuenta de que {0} no es el mismo conjunto que el con­ junto vacío 0. El conjunto {0} tiene un miembro (a saber, 0) , mien­ tras que el propio 0 no tiene ninguno. Asociemos {0} con el número natural 1 . A continuación definimos el conjunto cuyos dos miembros 122

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3 . 5

son los dos conjuntos que ya hemos encontrado, a saber 0 y { 0} , de modo que este nuevo conjunto es {0, {0} } , que será asociado con el número natural 2. Luego asociamos con 3 la colección de las tres enti­ dades que hemos encontrado hasta ahora, a saber, el conjunto {0, { 0 } , { 0, {0} } } , y c o n 4 e l conjunto { 0 , { 0 } , { 0 , {0} } , { 0 , { 0 } , {0, {0} } } } , cuyos miembros son de nuevo los conjuntos que hemos en­ contrado previamente, y así sucesivamente. Quizá no sea así como se consideran normalmente los números naturales, en cuanto a su defini­ ción, pero es una de las formas en que los matemáticos pueden llegar al concepto. (Compárese esto con la exposición del prefacio.) Más aún, nos muestra, al menos, que cosas como los números naturales 1 7 pueden ser extraídas literalmente de la nada, empleando solo la noción abs­ tracta de «conjunto». Obtenemos una secuencia infinita de entidades matemáticas abstractas («platónicas») : conjuntos que contienen, respec­ tivamente, cero, uno, dos, tres, etc., elementos, un conjunto por cada uno de los números naturales, de forma completamente independien­ te de la naturaleza fisica real del universo. En la Fig. 1 .3 imaginábamos un tipo de «existencia» independiente para las nociones matemáticas platónicas -en este caso, los propios números naturales-, pero esta «existencia» puede ser extraída en apariencia, y ciertamente puede ac­ cederse a ella, por el mero ejercicio de nuestra imaginación, sin ningu­ na referencia a los detalles de la naturaleza del universo fisico. Además, la construcción de Dedekind muestra cómo puede llevarse más lejos este tipo de procedimiento «puramente mental», lo que nos permite «construir» el sistema entero de los números reales, 1 8 sin ninguna refe­ . rencia tampoco a la naturaleza fisica real del mundo. Pese a todo, y . como se ha señalado antes, los «nÚ meros reales» parecen tener real,. mente una relevancia directa para la estructura real del mundo, lo que . ilustra la muy misteriosa naturaleza del «primer misterio» representado en la Fig. 1 .3. '

'

3.5. NÚMEROS DISCRETOS EN EL MUNDO FÍSICO Pero me estoy adelantando un poco a mis propósitos. Podemos recor­ dar, que la construcción de Dedekind utilizaba realmente conjuntos de 123

§3. 5

EL CAMINO A LA REALIDAD

números racionales, y no directamente de números naturales. Como se ha mencionado antes, no es dificil «definir» lo que entendemos por nú­ mero racional una vez que tenemos la noción de número natural. Pero, como paso intermedio, es oportuno definir la noción de entero, que es un número natural o el negativo de un número natural (siendo el nú­ mero cero su propio negativo) . En un sentido formal, no hay ninguna dificultad para dar una definición matemática de «negativo»: dicho de forma muy tosca, simplemente añadimos un «signo», escrito como «-», a cada número natural (excepto el O) y definimos consistentemente to­ das las reglas aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y divi­ sión (excepto por cero) . Sin embargo, esto no aborda la cuestión del «significado fisico» de un número negativo. ¿ Qué podría significar, por ejemplo, decir que hay menos tres vacas en un campo? Creo que está claro que, a diferencia de los propios números natu­ rales, no hay contenido fisico evidente para la noción de un número negativo de obj etos fisicos. Ciertamente, los enteros negativos tienen un papel organizador extraordinariamente valioso, como se ve en los balances bancarios y otras transacciones financieras. Pero ¿tienen rele­ vancia directa para el mundo fisíco? Cuando digo «relevancia directa», no me estoy refiriendo a circunstancias donde podría parecer que son los números reales negativos los que constituyen las medidas relevan­ tes, como sucede cuando una distancia medida en una dirección cuen­ ta como positiva mientras que medida en dirección contraria contaría como negativa (o lo mismo con respecto al tiempo, en cuyo caso el tiempo que se extiende hacia el pasado cuenta como negativo) . Me es­ toy refiriendo más bien a números que son cantidades escalares, en el sentido de que no hay un aspecto direccional (o temporal) en la mag­ nitud en cuestión. En estas circunstancias, parece ser que es el sistema de los enteros, tanto positivos como negativos, el que tiene relevancia fisica directa. Resulta notable que solo en los últimos cien años aproximada­ mente se ha hecho manifiesto que el sistema de los enteros parece te­ ner realmente una relevancia fisica directa. El primer ejemplo de una magnitud fisica que parece estar cuantificada apropiadamente por en­ teros es la carga eléctríca. 1 9 Hasta donde sabemos (aunque todavía no hay una completa justificación teórica para ello), la carga eléctrica de cual124

TIPOS DE N Ú MEROS EN EL MUNDO F Í SICO

§3 . 5

quier cuerpo discreto aislado está realmente cuantificada en términos de múltiplos enteros, positivos, negativos o nulos, de un valor concre­ to, a saber, la carga del protón (o del electrón, que es la negativa de la del protón) . 20 Ahora pensamos que los protones son obj etos compuestos construidos a partir de entidades más pequeñas conocidas como «quarks» (y otras entidades sin carga denominadas «gluones») . Hay tres quarks en cada protón, que tienen cargas eléctricas con valores respectivos de 2/3, 2/3, -1 /3. La suma de estas cargas constituyentes da un valor total de 1 para el protón. Si los quarks son entidades fundamentales, enton­ ces la unidad básica de carga es un tercio de la que parecíamos tener antes. En cualquier caso, sigue siendo cierto que la carga eléctrica se mide en términos de enteros, aunque ahora son múltiplos enteros de un tercio de la carga del protón. (El papel de los quarks y los gluones en la moderna física de partículas se discutirá en §§25.3-7.) La carga eléctrica es solo un ejemplo de lo que se denomina un nú­ mero cuántico aditivo. Los números cuánticos son cantidades que sirven para caracterizar a las partículas de la naturaleza. Un número cuántico semejante, que consideraré aquí que es un número real de algún tipo, es «aditivo» si para obtener su valor para una entidad compuesta suma­ mos simplemente los valores individuales de las partículas constituyen­ tes -teniendo en cuenta debidamente, por supuesto, los signos, como en el caso del protón y sus quarks constituyentes que se ha señalado antes-. Es un hecho muy sorprendente, de acuerdo con el estado ac­ tual de nuestro conocimiento físico, que todos los números cuánticos aditivos conocidos2 1 estén cuantificados realmente en términos del sis­ tema de los enteros, no en términos de números reales en general, ni tampoco de simples números naturales, de modo que realmente se dan los valores negativos. De hecho, según la física del siglo xx, ahora hay un sentido en el que tiene significado referirse a un número negativo de entidades físi:... cas. El gran físico Paul Dirac propuso, en 1 929-19 3 1 , su teoría de las antipartículas, según la cual (tal como se entendió posteriormente) por cada tipo de partícula existe también su correspondiente antipartícula para la que cada número cuántico aditivo tiene exactamente el negati­ vo del valor que tiene para la partícula original (véanse §§24.2,8). Así pues, el sistema de los enteros (incluidos los negativos) parece tener 1 25

§3.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

realmente una clara relevancia para el universo físico, una relevancia fí­ sica que se ha hecho manifiesta solo en el siglo xx, a pesar de los mu­ chos siglos durante los cuales los enteros han encontrado gran valor en las matemáticas, el comercio y muchas otras actividades humanas. Llegados a este punto, habría que hacer una matización importan­ te. Aunque es verdad que, en cierto sentido, un antiprotón es un pro­ tón negativo, no es realmente «menos un protón». La razón está en que la inversión de signo se refiere solo a los números cuánticos aditivos, mientras que la noción de masa no es aditiva en la teoría física moder­ na. Esta cuestión será explicada de manera más detallada en § 1 8.7. «Menos un protón» tendría que ser un antiprotón cuya masa fuera el negativo del valor de la masa de un protón ordinario. Pero la masa de una partícula física real no puede ser negativa. Un antiprotón tiene la misma masa que un protón ordinario, que es una masa positiva. Vere­ mos más adelante que, según las ideas de la teoría cuántica de campos, existen objetos denominados partículas «virtuales» para los que la masa (o, más correctamente, la energía) puede ser negativa. «Menos un pro­ tón» sería realmente un antiprotón virtual. Pero una partícula virtual no tiene una existencia independiente como la de una «partícula real». Ahora nos haremos la correspondiente pregunta acerca de los nú­ meros racionales. ¿Ha encontrado este sistema de números cualquier relevancia directa para el universo físico? Hasta donde sabemos, no pa­ rece que sea así, al menos en lo que respecta a la teoría convencional. Existen algunas curiosidades físicas22 en las que la familia de los núme­ ros racionales desempeña su papel, pero sería dificil sostener que esto revela algún papel físico fundamental para los números racionales. Por otra parte, pudiera ser que hubiera un papel especial para los raciona­ les en las probabilidades mecanocuánticas fundamentales (donde una probabilidad racional representa una elección entre alternativas, cada una de las cuales implica solo un número finito de posibilidades) . Este tipo de cosas desempeña un papel en la teoría de las redes de espín, como se describirá brevemente en §32.6. De momento, el estatus ade­ cuado de estas ideas no está claro. Pese a todo, existen otros tipos de números que, según la teoría aceptada, sí parecen desempeñar un papel fundamental en la marcha del universo. Los más importantes y sorprendentes de estos son los nú1 26

TIPOS DE N ÚMEROS EN EL MUNDO F Í SICO

Notas

meros complejos, en los que se introduce la cantidad aparentemente mís­

tica Ff_, normalmente denotada por «i», y se añade al sistema de los números reales. Encontrados por primera vez en el siglo XVI, pero tra­ tados con desconfianza durante cientos de años, la utilidad matemática de los números c omplej os impresionó poco a poco a la c omunidad matemática en un grado cada vez mayor, hasta que los números com­ plejos se convirtieron en un ingrediente indispensable y casi mágico de nuestro pensamiento matemático. Y ahora encontramos que no solo son fundamentales para las matemáticas : estos extraños números de­ sempeñan también un papel extraordinario y muy básico en el funcio­ namiento del universo físico en sus escalas más ínfimas. Esto produce asombro, y como ejemplo de la convergencia entre ideas matemáticas y los mecanismos más profundos del universo físico es más sorpren­ dente incluso que el sistema de números reales que hemos estado con­ siderando en esta sección.Vayamos ahora a estos números notables. Notas

Sección 3 . 1 3. 1 . Las notaciones >, >, dando preferencia a esta notación científica mucho más clara. La palabra «billón» es particularmente confusa, pues en su uso estadouni­ dense -ahora comúnmente adoptado también en el Reino Unido­ «billón» se refiere a 1 09, mientras que en el uso más antiguo (y más ló­ gico) en el Reino Unido, de acuerdo con la mayoría de las restantes len­ guas europeas, se refiere a 1 0 12• Los exponentes negativos, tales como en 1 0-6 (que se refiere a una «millonésima»), se utilizan también aquí de acuerdo con la notación científica normal. La distancia 1 0 12 metros es aproximadamente 7 veces la separación entre la Tierra y el Sol. Esta es aproximadamente la distancia al planeta Júpiter, aunque no era conocida en tiempos de Euclides y se hubiera conjeturado mucho menor. 3. 1 1 . 3.12. 3.13. 3.14. 3. 1 5.

Véase, por ej emplo, Russell (1 903) , cap. 4. Schrodinger (1 952), pp. 30-3 1 . Véase Stachel (1 995) . Einstein (1 955), p. 1 66. Véanse, por ej emplo, Snyder (1 947), Schild (1 949) y Ahmavaara ( 1 965).

3.16. Véanse Ashtekar (1 986), Ashtekar y Lewandowski (2004), Smolin (1 998, 2001) y Rovelli (1998, 2003) .

Sección 3 . 4 3 . 1 7 . L a noción de «número ordinal», proporcionada aquí e n e l caso finito, se extiende también a números ordinales irifinitos, de los que el menor es el «W» de Cantor, que es la colección ordenada de todos los ordinales finitos. 3.18. No obstante, esta noción de «constructo» no debería tomarse en un sen­ tido demasiado fuerte. En § 16.6 encontraremos que hay ciertos núme-

129

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

ros reales (de hecho, la mayoría de ellos) que son inaccesibles mediante cualquier procedimiento computacional.

Sección 3 . 5 3 . 1 9. El fisico irlandés George Johnstone Stoney fue e l primero, e n 1 874, en dar una (cruda) estimación de la carga eléctrica básica y, en 1 8 9 1 , acuñó el término «electrón» para esta unidad fundamental. En 1 909, el fisico estadounidense Robert Andrews Millikan diseñó su famoso experi­ mento de la «gota de aceite», que demostró de forma precisa que la car­ ga en cuerpos eléctricamente cargados (las gotas de aceite en su experi­ mento) se da en múltiplos enteros de un valor bien definido: la carga del electrón. 3.20. En 1 959, R. A. Lyttleton y H. Bondi propusieron que una ligerísima di­ ferencia entre la carga del protón y (menos) la del electrón, del orden de una parte en 1 0 18 , podría explicar la expansión del universo (para la cual, véanse §§27 . 1 1 , 1 3, y el capítulo 28) . Véase Lyttleton y Bondi ( 1 959) . Por desgracia para esta teoría, semejante discrepancia fue pron­ to refutada en varios experimentos. De todas formas, esta idea propor­ cionó un excelente ejemplo de pensamiento creativo. 3.2 1 . Aquí estoy distinguiendo los números cuánticos «aditivos» de los núme­ ros que los fisicos llaman «multiplicativos», a los que llegaremos en §5.5. 3.22. Por ejemplo, en el «efecto Hall cuántico fraccionario» se observa que los números fraccionarios desempeñan un papel clave; véase, por ejemplo, Frohlich y Pedrini (2000) .

4 Los mágicos números complej o s 4. 1 . E L MÁGICO NÚMERO «i» ¿Cómo es posible que -1 tenga una raíz cuadrada? El cuadrado de un número positivo es siempre positivo, y el cuadrado de un número ne­ gativo es también positivo (y el cuadrado de O es simplemente O, de modo que de poco nos sirve aquí) . Parece imposible que podamos en­ contrar un número cuyo cuadrado sea realmente negativo. Sin embar­ go, esta es una situación similar a la que hemos visto antes, cuando he­ mos establecido que 2 no tiene una raíz cuadrada dentro del sistema de los números racionales. En ese caso hemos resuelto la situación am­ ' pliando nuestro sistema de números desde los racionales a un sistema mayor, y hemos establecido el sistema de los reales. Tal vez el mismo truco funcione de nuevo. Realmente lo hace. De hecho, lo que tenemos que hacer es algo mucho más facil y menos drástico que el paso de los racionales a los rea­ les. (Raphael Bombelli introdujo el procedimiento en 1 572 en su obra L'Algebra, siguiendo los encuentros originales de Girolamo Cardano con los números complejos en su Ars magna de 1545.) Todo lo que te­ nemos que hacer es introducir una simple cantidad, llamada «i» cuyo cuadrado sea -1 , y añadirla al sistema de los reales, permitiendo combi­ naciones de i con números reales para formar expresiones de la forma

a + ib, donde a y b son números reales arbitrarios. Cualquiera de estas combi­ naciones se denomina un número complejo. Es facil ver c ómo se suman los números complejos: 131

§4. 1

EL CAMINO A LA REALIDAD

(a + ib) + (e + id) = (a + e) + i(b + d), que es de la misma forma que antes (pero ahora los números reales a + + e y b + d toman el lugar de los «a» y «b» que teníamos en nuestra ex­ presión original) . ¿Qué pasa con la multiplicación? Es casi igual de fá­ cil.Vamos a encontrar el producto de a + ib por e + id. En primer lugar, multiplicamos simplemente estos factores, desarrollando la expresión mediante el uso de las reglas ordinarias del álgebra: 1

(a + ib) (e + id) = ae + ibe + aid + ibid = ae + i(be + ad) + i2 bd. Pero i2 = - 1 , de modo que podemos reescribir esto como

(a + ib) (e + id) = (ae - bd) + i(be + ad) , que de nuevo tiene l a misma forma que nuestro a + i b original, pero donde ae - bd toma el lugar de a y be + ad toma el lugar de b. Es bastante fácil restar dos números complejos, pero ¿qué pasa con la división? Recordemos que en la aritmética ordinaria nos está per­ mitido dividir por cualquier número real distinto de cero. Tratemos ahora de dividir el número complejo a + ib por el número complej o e + id. Debemos tomar este último distinto de cero, lo que significa que los números reales e y d no pueden ambos ser cero. Entonces, c2 + d2 > O, y por consiguiente c2 + d2 =F O, de modo que podemos dividir por c2 + d2. Es un ej ercicio directo f4 · 1l comprobar (multiplicando ambos miembros de la expresión por e + id) que

(a + ib) - ae + bd + . be - ad (e + id) c2 + d2 c2 + d2 · _

1

Esta expresión es de la misma forma que antes, de modo que es de nuevo un número complejo. Cuando nos acostumbramos a jugar con estos números complej os, dejamos de pensar en a + ib como un «par» de objetos, a saber, los dos números reales a y b; ahora pensamos en a + ib como un «objeto» com­ pleto autónomo, de modo que podríamos utilizar una sola letra, diga� [4.1] Hágalo. Alternativamente, ¿puede comprobarlo multiplicando ambos miem­ bros por (e - id)? 132

LOS MÁ GICOS N Ú MEROS COMPLEJOS

§4 . 1

mos z, para denotar el número complejo global z = a + ib. Puede com­ probarse que todas las reglas usuales del álgebra son satisfechas por los números complejos. r4 .2J De hecho, todo esto es mucho más sencillo que comprobar cada una de estas cosas para los números reales. (Para esa comprobación, suponemos que ya estábamos convencidos de que las re­ glas del álgebra son satisfechas por las fracciones, y luego tenemos que utilizar «cortaduras» de Dedekind para demostrar que las reglas siguen funcionando para los números reales.) Desde este punto de vista, resul­ ta bastante extraño que los números complejos se vieran con recelo durante mucho tiempo, mientras que la mucho más complicada am­ pliación de las racionales a los reales había sido aceptada sin problemas después de la época de la Grecia antigua. Presumiblemente, el motivo de este recelo era que la gente no po­ día «ven> que los números complejos se les presentasen de un modo obvio en el mundo fisico. En el caso de los números reales existía la sensación de que las distancias, los tiempos y otras magnitudes fisicas proporcionaban la realidad que tales números requerían; pero los nú­ meros complejos parecían ser entidades meramente «inventadas», saca­ das de la imaginación de los matemáticos que deseaban números con un alcance mayor que los que ya conocían. Pero habría que recordar de §3.3 que la conexión que tienen los números reales matemáticos con aquellos conceptos fisicos de longitud o tiempo no es tan clara como habíamos imaginado. No podemos ver directamente los mínimos de­ talles de una cortadura de Dedekind, ni está claro que realmente exis­ tan en la naturaleza longitudes o tiempos arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños. Se podría decir que los denominados «nú­ meros reales» son tan producto de la imaginación de los matemáticos como lo son los números complejos. Pese a todo, encontraremos que los números complejos, tanto como los reales, y quizá más incluso, componen una notable unidad con la naturaleza. Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los números complejos como lo estamos nosotros, y hubie­ ra confiado a estos números las operaciones detalladas de su mundo en Compruébelo, siendo las reglas relevantes w + z = z + w, w + (u + z) = = (w + u) + z, wz = zw, w(uz) = (wu)z, w(u + z) = wu + wz, w + O = w, wl = w.

� [4.2)

133

§4 . 1

EL CAMINO.A LA REALIDAD

sus escalas más minúsculas. En los capítulos 2 1 -23 veremos en detalle cómo funciona esto. Además, mencionar solo el alcance y la consistencia de los núme­ ros complejos no hace justicia a este sistema. Hay algo más que, en mi opinión, solo puede ser calificado de «mágico». En lo que queda de este capítulo y en el siguiente, me propongo transmitir al lector algo del sabor de esta magia. Más adelante, en los capítulos 7-9, seremos tes­ tigos de nuevo de esta magia de los números complejos en algunas de sus más sorprendentes e inesperadas manifestaciones. Durante los cuatro siglos que hace que se conoce el sistema de los números complejos, muchas cualidades mágicas se han ido revelando poco a poco. Pero esta es una magia que se percibía dentro de las ma­ temáticas, y ofrecía realmente una utilidad y una profundidad de in­ tuición matemática que no podía conseguirse solo con el uso de los reales. No había ninguna razón para esperar que el mundo físico estu­ viera interesado en dlo. Y durante los aproximadamente trescientos cincuenta años transcurridos desde la época en que dichos números fueron introducidos en las obras de Cardano y Bombelli, la magia del sistema de los números complejos solo fue percibida a través de su pa­ pel matemático. Para todos aquellos que se habían mostrado recelosos de los números complejos habría sido sin duda una sorpresa encon­ trar que, según la física de los últimos tres cuartos del siglo xx, las le­ yes que gobiernan el comportamiento del mundo en sus escalas más minúsculas dependen fundamentalmente del sistema de los números complejos. Estos temas serán capitales para algunas de las secciones posteriores de este libro (especialmente en los capítulos 2 1 -23, 26 y 3 1 -33) . Por el momento nos concentraremos en una parte de la magia matemática de los números complejos y dejaremos su magia física para más adelante. Recordemos que todo lo que hemos hecho es exigir que -1 tenga una raíz cuadrada, además de exigir que se mantengan las leyes usuales de la aritmética, y hemos descubierto que dichas exigencias pueden satis­ facerse de forma consistente. Esto parece algo bastante simple de hacer. ¡Pero pasemos a la magia!

1 34

LOS MÁ GICOS NÚ MEROS COMPLEJOS

4.2.

§4. 2

R ESOLVIENDO ECUACIONES CON N Ú MEROS COMPLEJOS

En lo que sigue, será necesario introducir una notación algo más ma­ temática que la utilizada hasta ahora. Pido disculpas por ello. Sin em­ bargo, dificilmente pueden transmitirse ideas matemáticas serias sin cierta cantidad de notación. Soy consciente de que habrá muchos lec­ tores que se sientan incómodos con ello. Mi consejo para tales lectores es que tan solo lean el texto y no se preocupen demasiado por tratar de entender las ecuaciones. Cuando menos, lean por encima las diversas fórmulas y sigan adelante. De hecho, habrá numerosas expresiones ma­ temáticas serias desperdigadas a lo largo de este libro, especialmente en algunos de los últimos capítulos. Creo que, con el tiempo, empezarán a calar ciertas dosis de conocimiento si se hace un pequeño intento por entender lo que todas las expresiones significan realmente. Así lo espe­ ro, porque la magia de los números complejos es un milagro que vale la pena apreciar. Si usted puede entender la notación matemática, en­ tonces mucho mejor. Antes de nada, podemos preguntarnos si otros números tienen raí­ ces cuadradas. ¿ Qué pasa, por ejemplo, con -2? Esto es fácil. El núme­ ro complejo i {2 ciertamente tiene -2 como cuadrado, y también lo tiene -i f2.. Más aún, para cualquier número real positivo el número complejo i [ci tiene como cuadrado -a, y lo mismo sucede con -i Ja. No hay aquí ninguna magia. Pero ¿ qué pasa con el número complejo más general i (donde y son reales)? Encontramos que el nú­ mero complejo

a,

a+ b

a b J� (a + Ja2 + b2) + iJ� (-a + Ja2 + b2) tiene como cuadrado a + i b (y lo mismo sucede con su negativo) . 14 -3 1

Así pues, vemos que incluso si solo añadimos una raíz cuadrada para una cantidad (a saber -1), ¡ encontramos que todos los números del sis­ tema resultante tienen ahora automáticamente una raíz cuadrada! Esto es muy diferente de lo que sucedía al pasar de los racionales a los rea­ les. En este caso, la mera introducción de la cantidad f2 en el sistema de los racionales no nos hubiera llevado casi a ninguna parte. � [4.3] Compruébelo. 135

EL CAMINO A LA REALIDAD

§4.2

· Pero esto es solo el principio. Podemos preguntarnos sobre raíces cúbicas, raíces quintas, raíces 999-ésimas, raíces 7T-ésimas -e incluso míces i-ésimas-. Milagrosamente, encontramos que para cualquier raíz compleja que escojamos y cualquier número complejo al que la apliquemos (excluyendo el O) , hay siempre una solución compleja a este problema. (De hecho, normalmente habrá varias soluciones dife­ rentes al problema, como veremos d.entro de poco. Antes he señalado que para raíces cuadradas teníamos dos soluciones, pues el negativo de la raíz cuadrada de un número complejo z es también una raíz cuadra­ da de z. Para raíces más altas hay más soluciones; véase §5 .4.) Apenas estamos arañando todavía en la superficie de la magia de los números complejos. Lo que acabo de afirmar es realmente muy Ia.­ cil de establecer (una vez que tengamos la noción del logaritmo de un número complej o, como veremos en el capítulo 5) . Algo más notable es el denominado «teorema fundamental del álgebra», que afirma que cualquier ecuación polinómica, tal como 1 - z + z4 = O o 7T + iz

-

�417 z3 + z999 = O,

debe tener soluciones con números complej os. Dicho de forma más explícita, siempre habrá una solución (y normalmente varias diferen­ tes) para cualquier ecuación de la forma

donde a0 , a l ' a2 , a3 , , ª son números complejos dados, con el a,, to­ " mado no nulo. 2 (Aquí n puede ser cualquier entero positivo que esco­ jamos, tan grande como queramos.) Deberíamos recordar, por compa­ ración, que , como en el último caso de arriba; véanse la Fig. 1 2.Sb y §12.2).

puntos), y la superficie de Riemann tiene entonces exactamente la to­ pología de un toro. 1ª · 2' Las superficies de Riemann proporcionaron los primeros ejemplos de la noción general de variedad, que es un espacio que puede pensar­ se «curvado» de diversas maneras, pero que, localmente (i.e., en un en­ torno suficientemente pequeño de cualquiera de sus puntos), parece un fragmento de espacio euclídeo ordinario. Encontraremos varieda­ des de una forma más seria en los capítulos 1 O y 12. La noción de vaJ.m [8.2] Intente ahora

(1 - z4) 112 • 216

SUPERFICIES DE RIEMANN Y APLICACIONES COMPLEJAS

§8. 1

riedad es crucial en muchas áreas diferentes de la fisica moderna. Y lo que es más sorprendente, constituye una parte esencial de la teoría de la relatividad general de Einstein. Puede considerarse que las varieda­ des están construidas pegando varias cartas diferentes, con un trabajo de pegado realmente sin fisuras, a diferencia de la situación con la fun­ ción h(x) al final de §6.3. La naturaleza sin fisuras del mosaico de car­ tas se consigue asegurando que siempre existe un solapamiento (con­ junto abierto) apropiado entre una carta y la siguiente (véanse la Fig. 8.2c y también § 1 2.2 y la Fig. 1 2.5) . En el caso de las superficies de Riemann, l a variedad (i.e., l a propia superficie de Riemann) está construida pegando varias cartas del plano complejo correspondientes a las diferentes «hojas» que van a formar la superficie entera. Como antes, podemos terminar con unos pocos «agujeros» en forma de algunos puntos individuales que faltan, que proceden de los puntos rama de orden finito, pero estos puntos que fal­ tan siempre pueden ser reemplazados sin ambigüedad, como antes. Por el contrario, para puntos rama de orden infinito, las cosas pueden ser más complicadas, y no puede hacerse ningún enunciado general de este tipo. A modo de ej emplo, consideremos la superficie de Riemann «ram­ pa espiral» de la función logaritmo. Una forma de construirla, en un modelo de papel, sería tomar, sucesivamente, cartas alternadas que son copias de (a) el plano complejo del que se han eliminado los números reales no negativos, y (b) el plano complejo del que se han eliminado los números reales no positivos. La mitad superior de cada carta-(a) es­ taría pegada a la mitad superior de la carta-(b) siguiente, y la mitad in­ ferior de cada carta-(b) estaría pegada a la mitad inferior de la carta-(a) siguiente (a) ; véase la Fig. 8.3. Existe un punto rama de orden infinito en el origen y también en el infinito, pero, curiosamente, encontramos que la rampa espiral entera es equivalente a una esfera en la que falta un único punto, y este punto puede ser reemplazado sin ambigüedad de modo que se tiene simplemente una esfera. ¡s.31

Jm [8.3] ¿Puede ver cómo se obtiene esto? mann de la variable w( = log z); véase §8.3.) 217

(Sugerencia:

Piense en la esfera de Rie­

EL CAMINO A LA REALIDAD

§8.2

8 . 2 . APLICACIONES CONFORMES Cuando construimos una variedad, tenemos que considerar qué es­ tructura local debe conservarse de una carta a la siguiente. Normal­ mente, uno trata con variedades reales, y las diferentes cartas son frag­ mentos de espacio euclídeo (de una dimensión determinada) que están pegadas a lo largo de varias regiones (abiertas) que se solapan. La es­ tructura local que hay que empalmar de una carta a la siguiente se re­ duce normalmente a conservar la continuidad o la suavidad. Esta cues­ tión se discutirá en § 1 0.2. Sin embargo, en el caso de superficies de Riemann, estamos interesados en la suavidad compleja, y recordamos, de §7 . 1 , que esta es una cuestión más sofisticada, que implica lo que se denominan ecuaciones de Ca uchy Riemann . Aunque todavía no las hemos visto explícitamente (llegaremos a ellas en § 1 0.5), ahora será oportuno entender el significado geométrico de la estructura que está codifica­ do en dichas ecuaciones. Es una estructura de elegancia, flexibilidad y potencia notables, que conduce a conceptos matemáticos con un gran ámbito de aplicación. La noción es la de geometría conforme. Hablando en términos gene­ rales, en la geometría conforme estamos interesados en la forma pero no en el tamaño, entendiendo forma en la escala infinitesimal. En una aplicación conforme de una región (abierta) del plano en otra, las for­ mas de tamaño finito quedan en general distorsionadas, pero las formas infinitesimales se conservan. Podemos considerar que esto se aplica a -

(a)

(b)

218

Fig. 8.3. Podemos construir la superficie de Riemann para log z tomando cartas alternas de (a) el plano complejo del que se ha eli­ minado el eje real no negativo y (b) el plano complejo del que se ha eliminado el eje real no posi­ tivo. La mitad superior de cada (a)-carta se pega a la mitad supe­ rior de la siguiente (b)-carta, y la mitad inferior de cada (b)-carta se pega a la mitad inferior de la siguiente (a)-carta.

SUPERFICIES DE RIEMANN Y APLICACIONES COMPLEJAS

§8.2

Fig. 8.4. En el caso de un mapa conforme, los círculos pequeños (infinitesimales) pueden ampliarse o contraerse, pero no distorsionar­ se en pequeñas elipses.

círculos pequeños (infinitesimales) dibujados en el plano. En una apli­ cación conforme, estos pequeños círculos pueden dilatarse o contraer­ se, pero no se distorsionan dando pequeñas elipses.Véase la Fig 8.4. Para hacernos una idea de a qué puede parecerse una transforma­ ción conforme, consideremos el grabado de M. C. Escher, dado en la Fig. 2. 1 1 , que proporciona una representación conforme del plano hi­ perbólico en el plano euclídeo, como se ha descrito en §2.4 («disco de Poincaré» de Beltrami) . El plano hiperbólico es muy simétrico. En par­ ticular, existen transformaciones que llevan las figuras de la región cen­ tral del grabado de Escher a las correspondientes figuras minúsculas que yacen en el interior inmediato al círculo frontera. Podemos repre­ sentar una transformación semejante como un movimiento conforme del plano euclídeo que aplica el interior del círculo frontera sobre sí mismo. Evidentemente una transformación semejante no conservaría en general los tamaños de las figuras individuales (puesto que las que están en el centro son mucho más grandes que las que están cerca del borde), pero las formas se conservan aproximadamente. Esta conserva­ ción de la forma se hace más precisa cuanto menor es el detalle de cada figura que se está examinando, de modo que las formas infinitesimales quedarían completamente inalteradas. Quizá el lector encontraría más útil una caracterización ligeramente diferente: los ángulos entre curvas no son alterados por una transformación conforme. Esto caracteriza la naturaleza conforme de una transformación. ¿Qué tiene que ver esta propiedad conforme con la «suavidad compleja» (holomorficidad) de cierta funciónf(z)? Trataremos de ob­ tener una idea intuitiva del contenido geométrico de la suavidad com­ pleja. Volvamos al punto de vista de una función] como «aplicación» y consideremos que la relación w = j(z) proporciona una aplicación de cierta región del plano complejo de z (el dominio de la función]) en 219

EL CAMINO A LA REALIDAD

§8.2

z-plano

Fig. 8.5. La aplicación w = j(z) tiene como dominio una región abierta en el z-plano comple­ jo y como imagen una región abierta en el w-plano comple­ jo. La holomorficidad de J es equivalente a que sea confor­ me y no reflexiva.

w-plano

el plano complejo de w (la imagen) ; véase la Fig. 8 . 5 . Preguntemos: ¿qué propiedad geométrica local caracteriza esta aplicación como ho­ lomorfa? Hay una respuesta sorprendente. La holomorficidad de f es equivalente a que la aplicación sea conforme y no rqlexiva (donde no re­ flexiva -o que conserva la orientación- significa que las formas peque­ ñas conservadas en la transformación no están reflejadas, i.e., «no están invertidas»; véase la parte final de § 1 2.6). La noción de «suavidad» en nuestra transformación w = f(z) se re­ fiere a cómo actúa la transformación en el límite infinitesimal. Consi­ deremos primero el caso real, y reexaminemos nuestra función realf(x) de §6.2, donde la gráfica de y = f(x) se ilustra en la Fig. 6.4. La función fes suave en un punto si la gráfica tiene una tangente bien definida en dicho punto. Podemos representar la tangente imaginando que se hace una ampliación cada vez mayor de la curva en dicho punto; si la fun­ ción es suave, a medida que la ampliación aumenta la curva se parece cada vez más a una recta que pasa por dicho punto, confundiéndose con la tangente en el límite de ampliación infinita. La situación con la suavidad compleja es similar, pero ahora aplicamos la idea a la aplica­ ción del z-plano en el w-plano. Para examinar la naturaleza infinitesi­ mal de esta aplicación, tratemos de representar el entorno inmediato de un punto z, en un plano, aplicándolo en el entorno inmediato de w en el otro plano. Para examinar el entorno inmediato del punto, ima­ ginemos que ampliamos el entorno de z en un factor enorme y el co­ rrespondiente entorno de w en el mismo factor enorme. En el límite, la aplicación del entorno ampliado de z en el entorno ampliado de w será simplemente una transformación lineal del plano, pero si va a ser holomorfa, debe ser básicamente una de las transformaciones estudia­ das en §5 . 1 . De esto se sigue que, en el caso general, la transformación 220

SUPERFICIES DE RIEMANN Y APLICACIONES COMPLEJAS

§8.2

del entorno de z en el entorno de w combina simplemente una rota­ ción con una dilatación (o contracción) uniforme; véase la Fig. 5 .2b. Es decir, formas (o ángulos) pequeñas se conservan, sin reflexión, lo que demuestra que la aplicación es realmente conforme y no reflexiva. Veamos algunos ejemplos sencillos. Las circunstancias muy concre­ tas de las aplicaciones dadas por la suma de una constante b a z o la multiplicación de z por una constante a, que se han considerado ya en §5 . 1 (véase la Fig. 5.2), son obviamente holomorfas (al ser a + b y az claramente diferenciables) y son también obviamente conformes. Estos son casos particulares de la transformación general combinada (lineal inhomogénea) w

=

az + b.

Tales transformaciones proporcionan los movimientos euclídeos del plano (sin reflexión) , combinados con dilataciones (o contraccio­ nes) uniformes. De hecho, son las únicas aplicaciones conformes (no reflexivas) del z-plano complejo entero en el w-plano complejo ente­ ro. Además, tienen la propiedad muy especial de que los círculos rea­ les -no solo los círculos infinitesimales- se aplican en círculos reales, y también las líneas rectas se aplican en líneas rectas. Otra función holomorfa sencilla es la función recíproca

que aplica el plano complejo, con el origen eliminado, en el plano complejo, con el origen eliminado. Sorprendentemente, esta transfor­ mación también aplica círculos reales en círculos reales[B.4] (donde con­ sideramos las líneas rectas como casos particulares de círculos -de ra­ dio infinito) . Esta transformación, junto con una reflexión en el eje real, es lo que se denomina una inversión. Combinándola con las apli­ caciones lineales inhomogéneas que acabamos de considerar, obtene­ mos la transformación más general¡s. s1 w = az + b

cz + d '

,.@ [8.4] Demuéstrelo.

ia [8.5] Verifique que la secuencia de transformaciones z � Az + B, z � z-1 ' D conduce realmente a una aplicación bilineal.

z � Cz +

221

§8.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

llamada transformación bilineal o de Moebius. Por lo que se ha dicho antes, estas transformaciones también deben aplicar círculos en círcu­ los (considerando de nuevo las líneas rectas como círculos especiales) . La transformación de Moebius aplica en realidad el plano complejo entero, con el punto -di e eliminado, en el plano complejo entero, con el punto al e eliminado, donde, para que la transformación proporcio­ ne una aplicación no trivial, debemos tener ad =/= be (de modo que el numerador no sea un múltiplo determinado del denominador). Nótese que el punto eliminado del z-plano es el valor (z = -di e) que daría «w = oo»; en correspondencia, el «punto eliminado» del w-plano es el valor (w = al e) que se alcanzaría en «Z = oo». De hecho, la transformación completa tendría más sentido global si incorporáramos una cantidad «OO» tanto en el dominio como en la imagen. Esta es una forma de considerar la superficie de Riemann (cerrada) más simple de todas: la eifera de Riemann, a la que llegamos ahora.

8.3. LA ESFERA DE RIEMANN Añadir simplemente un punto extra llamado «oo» al plano completo no deja del todo claro que la estructura sin fisuras requerida se mantenga en el entorno de oo, igual que en cualquier otro lugar. La forma de abordar esta cuestión es considerar que la esfera está construida a par­ tir de dos «cartas de coordenadas», una de las cuales es el z-plano y la otra el w-plano. A todos los puntos de la esfera, salvo a dos, se les asig­ na una z-coordenada y una w-coordenada (relacionadas por la trans­ formación de Moebius anterior). Pero un punto tiene solo una z-coor­ denada (donde w sería «infinito») y otro tiene solo una w-coordenada (donde z sería «infinito») . Utilizamos o bien z o bien w para definir la estructura conforme necesaria y, allí donde utilizamos las dos, obtene­ mos la misma estructura conforme utilizando una u otra, puesto que la relación entre ambas coordenadas es holomorfa. De hecho, para esto no necesitamos una transformación tan com­ plicada entre z y w como la transformación general de Moebius. Basta con considerar la transformación de Moebius, particularmente simple, dada por 222

SUPERFICIES DE RIEMANN Y APLICACIONES COMPLEJAS

§8.3

¡'

i -1

o -j

1

-

� w=

_!__

z

z-plano

l---P"""'-lf-"':..¡....:,,..4--+:"-..-1 -

1

Jf

t

•>

t=o

2

t = -1

Fig. 9.7. En mecánica cuántica, la separación en frecuencias positiva/negativa se refie­ re a funciones del tiempo t, que no se suponen periódicas. La separación de la Fig. 9.5 aún puede aplicarse, para el intervalo completo de t (desde -oc a + oo), si utilizamos la transformación que relaciona t con z(= eix), donde rodeamos el círculo unidad en sen­ tido contrario a las agujas del reloj, desde z = -1 y vuelta a z = -1 , de modo que X va de --1T a 'lT.

En las discusiones habituales de la mecánica cuántica, la separación en frecuencias positivas/ negativas se refiere a funciones del tiempo t, y normalmente no consideramos que el tiempo esté dando vueltas en un círculo. Pero podemos utilizar una transformación sencilla para obte­ ner el intervalo completo de t, desde el «límite pasado» t = -oc al «lími­ te futuro» t = oc, a partir de una X que recorre una vez el círculo; aquí considero que X corre entre los límites X = -1T y X = 1T (de modo que z = eiX recorre el círculo unidad en el plano complej o en sentido con­ trario a las agujas del reloj , partiendo del punto z = -1 y volviendo de nuevo a z = -1 ; véase la Fig. 9.7). Esta transformación viene dada por

1 t- tan z X· La gráfica de esta relación se da en la Fig. 9.8 y una descripción geométrica simple se ofrece en la Fig. 9.9. Una ventaja de esta transformación particular es que se extiende de manera holomorfa a toda la esfera de Riemann; es una transformación que ya consideramos en §8.3, que lleva el círculo unidad (z-plano) a la recta real (t-plano) : l9· 51

.@ [9.5] Demuestre que esto da la misma t que antes. 247

§9.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 9.8. Gráfica de = tan x/2.

t

z - -t + . i . t+1 El interior del círculo unidad en el z-plano corresponde al semi-t­ plano superior y el exterior del círculo unidad corresponde al semi-t­ plano inferior. Así, las funciones de t de frecuencia positiva son aquellas que se extienden de forma holomorfa al semiplano inferior de t. (Hay, sin embargo, un tecnicismo adicional con el que debemos tener cuida­ do cuando trabajamos con el punto «OO» del t-plano; pero este se ma­ neja adecuadamente si pensamos siempre en términos de la esfera de Riemann, en lugar de simplemente el t-plano complejo.) Sin embargo, en las presentaciones estándar, la noción de «frecuen­ cia positiva» en términos de una coordenada temporal t no se enuncia normalmente de la forma concreta que yo acabo de hacer, sino más bien en términos de lo que se denomina transformada de Fourier de f(X) . La respuesta es en realidad la misma5 que la que he dado, pero puesto -1. , t=.zlZ

+1

Fig. 9. 9. Geometría de t

248

= tan

t·

DESCOMPOSICI Ó N DE FOURIER E HIPERFUNCIONES

§9.4

que las transformadas de Fourier son de importancia crucial para la mecánica cuántica (y también en muchas otras áreas) , será importante explicar aquí qué es realmente esta transformada.

9.4. LA TRANSFORMADA DE fOURIER Básicamente, una transformada de Fourier es el límite de una serie de Fourier cuando el período l de nuestra función periódica f(X) se hace cada vez mayor hasta que se hace infinito. En este límite infinito no hay ninguna restricción de periodicidad sobref(x) ; es solo una función or­ dinaria. 6 Esto tiene ventaj as considerables cuando estamos estudiando la propagación de ondas y la capacidad de enviar señales «inesperadas», pues entonces no queremos insistir en que la forma de la señal sea pe­ riódica. La transformada de Fourier nos permite considerar tales seña­ les «excepcionales» mientras seguimos analizándolas en términos de «tonos puros» periódicos. De hecho, lo consigue considerando que nuestra función f(X) tiene período l � oo . A medida que el período l se hace mayor, los tonos puros armónicos, que tienen períodos l! n para algún entero positivo n, se harán cada vez más próximos a cualquier número real positivo que escojamos. (Recordemos que cualquier nú­ mero real puede aproximarse por racionales con la precisión que quera­ mos.) Lo que esto nos dice es que cualquier tono puro de cualquier frecuencia está ahora permitido como componente de Fourier. En lu­ gar de tener f(X) expresada como suma discreta de componentes de Fourier, ahora tenemos f(X) expresada como una suma continua sobre todas las frecuencias, lo que significa que f(X) está ahora expresada como una integral (véase §6.6) sobre la frecuencia. Veamos, a grandes rasgos, cómo funciona esto. En primer lugar, re­ cordemos nuestra expresión «más ordenada» para la descomposición de Fourier de una función periódica f(X), de período l, dada más arriba: F (z)

=

I a,z',

donde z

=

e iwx

(la frecuencia angular w está dada por w = 21T / 0 . Consideremos que el período es inicialmente 21T, de modo que w = 1 . Ahora vamos a tratar de aumentar el período en un factor grande N (así que ahora l = 21TN) , 249

§ 9. 4

EL CAMINO A LA REALIDAD

de modo que la frecuencia se reduce en el mismo factor (i.e., w = �1 ). L a onda oscilatoria que acostumbraba a ser el tono puro fundamental se convierte ahora en el N-ésimo armónico con respecto a esta nueva frecuencia más baja. Un tono puro que antes era un n-ésimo armóni­ co será ahora un (nN)-ésimo armónico. Cuando tomamos el límite de N tendiendo a infinito, no es conveniente identificar una componente oscilatoria particular etiquetándola por su «número armónico» (i.e. , por el número n), puesto que este número sigue cambiando. Es decir, no es conveniente etiquetar esta componente oscilatoria por el entero r, en la suma anterior, puesto que un valor fijo de r etiqueta un armóni­ co particular (r = ± n, para el n-ésimo armónico) , en lugar de identifi­ car un tono de frecuencia particular. En su lugar, es rl N el que identi­ fica esta frecuencia, y necesitamos una nueva variable para etiquetarlo. Teniendo en cuenta el uso importante que haremos de la transforma­ da de Fourier en capítulos posteriores (véase especialmente §21 . 1 1) , llamaré a esta variable ) e y

Fig. 9.15. Según el teorema de extirpación, la noción de una hiperfunción es inde­ pendiente de la elección de región abierta R, con tal de que R contenga a la curva dada y. (a) La región R i' puede consistir en dos piezas separadas (de modo que ob­ tenemos dos funciones holomorfas distintasf y g, como en la Fig. 9 . 1 4) o (b) la región R i' puede ser una pieza simplemente conexa, en cuyo caso f y g son simplemente dos partes de la misma función holomorfa. -

-

morfas en 'R, reducidas módulo funciones holomorfas en 'R

-

y' . Es

bastante notable que esta elección muy libérrima de n no suponga di­

ferencia para la clase de «hiperfunciones» que se define con ello_l9·12l El

caso en que tanto a como

b yacen dentro

de n es útil para integrales

de hiperfunciones, puesto que entonces puede utilizarse un contorno

cerrado en n

-

y.

Todo esto se aplica también a nuestro caso anterior de un círculo

en la esfera de Riemann. Aquí hay cierta ventaj a en tomar 'R como la

esfera de Riemann entera, porque entonces las funciones que tenemos

que tomar «módulo por» son las funciones holomorfas que son globa­

les en la esfera de Riemann entera, y hay un teorema según el cual di­ chas funciones son precisamente constantes. (Estas son realmente las «constantes» a0 de las que hemos decidido no preocuparnos en §9.2.)

Así pues, módulo constantes, una hiperfunción definida en un círculo

en la esfera de Riemann está especificada simplemente por una fun-

� [9.12] ¿Por qué las «funciones holomorfas en R, reducidas módulo funciones ho­ lomorfas en n i'' se convierten en la definición de una hiperfunción que teníamos previamente, cuando n i' se separa en n- y n+? -

-

262

DESCOMPOSICI Ó N DE FOURIER E HIPERFUNCIONES

§9.7

ción holomorfa en toda la región a un lado del círculo y otra función

holomorfa al otro lado. Esto da la separación de una hiperfunción ar­

bitraria en el círculo de forma unívoca (módulo constantes) en sus par­ tes de frecuencia positiva/ negativa.

Terminemos considerando algunas propiedades básicas de las hi­

perfunciones. Utilizaré la notación

�f, g� para

denotar la hiperfunción

especificada por el par j y g definidas holomórficamente en n- y R +,

respectivamente (donde estoy volviendo al caso en que y divide a R en n- y R+. Así, si tenemos dos representaciones diferentes

�f, g) y �fo, decir, �f, g) = �fo, g0� , entonces J- fo y

g0� de la misma hiperfunción, es g - g0 son ambas la misma función holomorfa h definida en R, p ero res­ tringida a n- y R+, respectivamente. Es sencillo, pues, expresar la

suma de dos hiperfunciones, la derivada de una hip erfunción, y el producto de una hiperfunción por una función analítica

�J,g)

q definida en

y:

+ �fi. g1 ) = u + f¡ , g + g1 ), d�f, g) = 6 df dg � dz

�dz dzY'

q�f, g) = �qf, qg) ,

donde en la última expresión, la función analítica q está extendida de 13 manera holomorfa en un entorno de14 y. r9- J Podemos representar la propia

q como una hiperfunción por q = �q , O� = �O, -q), pero no hay un

producto general definido entre dos hiperfunciones. La carencia de

un producto no es culpa de la aproximación de hiperfunción a las fun­ ciones generalizadas. Sucede con todas las aproximaciones. 15 El hecho

de que la función delta de Dirac (mencionada en §6.6; véase también

infra) no pueda ser elevada al cuadrado, por ej emplo, causa un sinfín de

dificultades a muchos teóricos de los campos cuánticos.

Algunos ej emplos sencillos de representaciones hiperfuncionales,

en el caso en que y = IR, y n- y R+ son los semiplanos complejos abiertos superior e inferior, la función escalón de Heaviside (J(x) y la

función delta de Dirac(-Heaviside) 5(x) (= d (J(x) ldx) ; (véanse § § 6 . 1 ,6) :

.§l (9.13] Hay aquí una pequeña sutileza. Resuélvala. (Sugerencia: Piense cuidadosa­ mente en los dominios de definición.) 263

EL CAMINO A LA REALIDAD

§9.7

(J(x)

= b�

� z 1 �· B(x) = b; ;J, i

log z,

2 i

log

-

i' 2

donde tomamos la rama de los logaritmos para la que log 1 = O. La in­

tegral de la hiperfunción �J, gl sobre toda la recta real puede expresarse

como la integral de f a lo largo de un contorno inmediatamente por debajo de la recta real menos la integral de g a lo largo de un contor­ no inmediatamente por encima de la recta real (suponiendo que estas

convergen) , ambas de izquierda a derecha.l9·14l Nótese que la hiperfun­

ción puede ser no trivial incluso cuando f y g son prolongaciones ana­

líticas de la misma función.

¿Hasta qué punto son generales las hiperfunciones? Ciertamente,

incluyen a todas las funciones analíticas. Incluyen también funciones discontinuas como

(J(x) y la onda cuadrada

(como muestran nuestras

discusiones anteriores) , u otras c-1-funciones obtenidas sumando estos

obj etos. De hecho, todas las c-1-funciones son ej emplos de hiperfun­

ciones. Además, puesto que podemos diferenciar una hiperfunción para obtener otra hiperfunción, y cualquier c-2-función puede obtenerse como la derivada de alguna c-1-función, se sigue que todas las c-2-fun­

ciones son también hiperfunciones. Hemos visto que esto incluye a la función delta de Dirac. Podemos derivar otra vez, y luego otra vez más.

En realidad, cualquier c-"-función es una hiperfunción, para cualquier

n entero. ¿Qué pasa con las c-w-funciones, conocidas como distribucio­ nes? (Véase §6.6) . Sí, también todas estas son hiperfunciones.

Normalmente se define una distribución como un elemento de lo

que se denomina el espacio

dual de las funciones C"'-suaves. La noción

de un «espacio dual» será discutida en § 1 2.3 (y § 1 3.6). De hecho, el dual (en un sentido apropiado) del espacio de las C"-funciones es el es­ pacio de las c-2-n-funciones para cualquier entero n, y esto se aplica

también a

n = oo si escribimos -2 - oo = -oo y -2 + oo =

oo. Por consi­

guiente, las C""'-funciones son duales de las C"'-funciones. ¿Qué suce­

de con el dual (C-w) de las cw-funciones? En realidad, con la definición

� [9.14] Compruebe la propiedad estándar de la función delta por la que J q(x)B(x)dx = = q(O), en el caso en que q(x) es analítica. 264

DESCOMPOSICI Ó N DE FOURIER E HIPERFUNCIONES

Notas

adecuada de «dual», ¡estas c-w_funciones son precisamente las hiper­

funciones!

Hemos cerrado el círculo.Al tratar de generalizar la noción de «fun­

ción», alejándonos todo lo posible de la noción aparentemente muy res­ trictiva de función «analítica» u «holomorfa» -el tipo de función que

hubiera hecho feliz a Euler-, hemos llegado a la noción extraordina­ riamente general y flexible de una

hipeifunción. Pero las propias hiper­

funciones están definidas, de una forma básicamente muy simple, en

términos de estas mismas funciones holomorfas «eulerianas» que pensá­

bamos que habíamos abandonado con reticencia. En mi opinión, este es

uno de los logros mágicos supremos de los números complejos.16 ¡ Oja­

lá Euler hubiera vivido para apreciar este hecho maravilloso! Notas

Sección 9. 1 9 . 1 . Aquí utilizo la letra griega X («chi») , en lugar de una

x

ordinaria, que

podría parecer más natural, solo porque necesitamos distinguir esta va­ riable de la parte real x del número complejo z, que desempeñará un papel importante en lo que sigue.

9.2. No se requiere quefiX) sea real para valores reales de x. esto es, que a,,, b,, y c sean números reales. Es perfectamente legítimo tener funciones complejas de variables reales. La condición para que fiX) sea real es que a_,, sea el complejo conjugado de a,,. Los complejos conjugados se exa­ minarán en § 1 0 . 1 .

Sección 9. 2 9.3. La anomalía notacional de apariencia extraña que supone el utilizar «F» para la parte de la serie con potencias positivas y «F'"» para la parte con potencias negativas, surge en definitiva de un convenio de signos desa­ fortunado que ha llegado a hacerse casi universal en la literatura meca­ nocuántica (véanse §§2 1 .2,3 y §24.3). Pido disculpas por esto, ¡pero no hay nada que pueda hacer de forma razonable! 9.4. Es un principio general que para cualquier cw-función J. definida en un dominio real R, es posible «complejificar» R hasta un dominio com-

265

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

plejo CR ligeramente ampliado, llamado un «engrosamiento complejo» de R, que contiene a R en su interior, tal que f se extiende unívoca­ mente a una función holomorfa definida en CR. Sección 9. 3

9.5. Véase, por ej emplo, Bailey et al. (1 982) . Sección 9. 4

9.6. Por otra parte, es habitual imponer algún requisito de que .f(x) se com­ porte «razonablemente» cuando X tiende a infinito positivo o negativo. Esto no tendrá un interés especial para nosotros aquí y, en cualquier caso, con el enfoque que estoy adoptando, los requisitos habituales se­ rían innecesariamente restrictivos. 9.7. En mecánica cuántica hay también una cantidad constante introdu­ cida para fij ar adecuadamente el escalamiento de p con respecto a x (véanse §§2 1 .2, 1 1 ) , pero por el momento estoy simplificando las cosas tomando lí = 1 . De hecho, es la forma de Dirac de la constante de Planck (i.e., hl2'1T, donde h es el «cuanto de acción» original de Planck) . La elección = 1 puede hacerse siempre definiendo nuestras unidades básicas de la forma apropiada.Véase §27 . 1 0.

lí

lí

lí

Sección 9. 5

9.8. Véase Bailey et al. (1 982) . Sección 9. 7

9.9. 9 . 1 O. 9. 1 1 . 9. 1 2.

9 . 1 3. 9 . 1 4. 9.15.

Véase Sato (1 958, 1 959, 1 960) . Véase también Bremermann (1 965) , aunque el término «hiperfunción» no se utiliza explícitamente en esta obra. Este aspecto de la noción «módulo» será examinado en § 1 6. 1 (y se pue­ de comparar con la nota 3 . 1 7) . Aquí «segmento abierto» s e refiere simplemente al hecho de que los verdaderos puntos extremos a y b no están incluidos en y, de modo que «que contiene» a 'Y no implica que a y b estén contenidos dentro de R. Esta «diferencia» entre conj untos R, 'Y también se escribe habitualmen­ te R y. La definición técnica de «entorno de» es «que contiene un conjunto abierto». Para la aproximación más estándar («distribución») a la idea de «función generalizada», véanse Schwartz ( 1 966), Friedlander ( 1 982), Gel'fand y

266

DESCOMPOSICI Ó N DE FOURIER E HIPERFUNCIONES

Notas

Shilov (1 964) , y Treves ( 1 967); para una propuesta alternativa, útil en contextos «no lineales», y que traslada el «problema de la no existencia del producto» a un problema de no unicidad, véanse Colombeau (1 983, 1 985) y Grosser et al. (200 1 ) . 9 . 1 6. Hay también interconexiones importantes entre hiperfunciones y l a co­ homología de haces holomorfa, que se discutirá en §33. 9. Tales ideas de­ sempeñan papeles importantes en la teoría de hiperfunciones en superfi­ cies de dimensiones más altas; véanse Sato (1 959, 1 960) y Harvey ( 1 966).

10 Superficies 1 0. 1 . DIMENSIONES COMPLEJAS Y DIMENSIONES REALES Uno de los logros más impresionantes de las matemáticas en los dos úl­

timos siglos es el desarrollo de varias técnicas notables que p ueden tra­

tar con espacios no planos de varias dimensiones. Será importante para

nuestros obj etivos que transmita al lector algo de estas ideas, pues la fí­

sica moderna depende de ellas de forma vital.

Hasta ahora hemos considerado espacios de una sola dimensión. El

lector podría sentirse intrigado por este comentario, ya que el plano complejo, la esfera de Riemann y otras superficies de Riemann han sido

protagonistas en varios de los capítulos anteriores. Sin embargo, en el contexto de las funciones holomorfas hay que pensar que estas superfi­

cies son, en esencia, de una sola dimensión, siendo esta una dimensión

compleja, como se ha comentado en §8.2. Los puntos de un espacio se­

mejante se distinguen (localmente) unos de otros por un único pará­ metro, aunque este parámetro resulta ser un número complejo. Así pues,

hay que considerar estas «superficies» realmente como curvas, a saber, cur­

vas complejas. Por supuesto, podríamos separar un número complejo z en sus partes real e imaginaria (x, y) , donde z = x

+ iy, y

considerar x e y

como dos parámetros reales independientes. Pero el proceso de separar

de este modo un número complej o no es algo que pertenezca al ámbi­

to de las operaciones holomorfas. Mientras estemos interesados solo en estructuras holomorfas, como lo hemos estado hasta ahora cuando con­

siderábamos nuestros espacios complejos, debemos considerar que un

único parámetro complejo proporciona una única dimensión. Esta, al

menos, es la actitud mental que yo recomendaría adoptar.

269

§ 1 0. 1

EL CAMINO A LA REALIDAD

,,-/ / ',,

,,,.

_. z = x + iy

,,,. --

.... ......

Eje real ....._

"e z

= x - iy

Fig. 10. 1 . El complejo conjugado de z = = x + iy (x, y reales) es z = x - iy, obtenido como reflexión del z-plano en el eje real.

Por el contrario, se puede adoptar una posición opuesta, a saber,

que las operaciones holomorfas constituyen meramente ejemplos par­ ticulares de operaciones más generales mediante las que

x e y pueden

separarse, si así lo deseamos, para ser consideradas como parámetros in­

dependientes. La forma adecuada de lograrlo es mediante la noción de

conjugación compleja, que es una operación no holomorfa. El conjugado complejo del número z = x + iy, donde x e y son números reales, es el número complejo z dado por

z=

x - iy.

En el z-plano complejo, la operación de formar el conj ugado

complejo de un número complejo corresponde a una

reflexión del pla­

no respecto a la recta real (véase la Fig. 1 0. 1) . Recordemos de la expo­

sición de § 8 . 2 que las operaciones holomorfas conservan siempre la

orientación del plano complejo. Si queremos considerar una aplicación

conforme de (una parte del) plano complejo que invierte la orienta­ ción (tal como poner del revés el propio plano complejo), entonces

necesitamos incluir la operación de conjugación compleja. Pero cuan­ do se incluye j unto a las otras operaciones estándar (sumar, multiplicar,

tomar un límite) , la conjugación complej a nos permite también gene­

ralizar nuestras aplicaciones, de modo que ya no necesitan ser confor­

mes en absoluto. De hecho, cualquier aplicación de una porción del

plano complejo en otra porción del plano complejo (mediante una

transformación continua, pongamos por caso) puede lograrse añadien­ do la operación de conjugación complej a a las otras operaciones. Permítanme desarrollar este comentario. Podemos considerar que

las funciones holomorfas son aquellas construidas a partir de las opera­ ciones de suma y multiplicación, tal como se aplican a los números

270

SUPERFICIES

§1 0.2

complejos,junto con el procedimiento de tomar un límite (puesto que estas operaciones bastan para construir series de potencias, ya que una suma infinita es un límite de sumas parciales sucesivas) . l1 0 11 Si incorpo­ ramos también la operación de conjugación compleja, entonces pode­ mos generar funciones generales (digamos continuas) de x e y, ya que podemos expresar x e y individualmente por z +z x = -2 · (Cualquier función continua de x e y puede construirse a partir de números reales mediante sumas, productos y límites.) Utilizaré la no­ tación F(z, z) , con z explícitamente mencionado, cuando se esté con­ siderando una función no holomorfa de z. Esto sirve para destacar el hecho de que en cuanto salimos del ámbito holomorfo, debemos con­ siderar que nuestras funciones están definidas en un espacio 2-real­ dimensional, en lugar de un espacio de una sola dimensión compleja. Podemos considerar nuestra función F(z, z) expresada tambien en tér­ minos de las partes imaginarias x e y de z, y escribir esta función como j(x, y) . Entonces tenemosj(x, y) = F(z, z) , aunque, por supuesto, la for­ ma funcional de f será en general completamente diferente de la de F. Por ej emplo, si F(z, z) = z2 + z2 , entonces j(x, y) = 2x2 - 2y2 . Como ejemplo adicional, podríamos considerar F(z, z) = zz; entonces f(x, y) = x2 + y2, que es el cuadrado del módulo l z l de z, esto es, l 1 0 ·21 zz = ¡ z ¡ 2

1 0.2. SUAVIDAD, DERIVADAS PARCIALES Puesto que al considerar funciones de más de una variable empezamos a aventurarnos en espacios de dimensiones más altas, aquí es necesario hacer algunos comentarios concernientes al «cálculo infinitesimal» en tales espacios. Como veremos explícitamente dentro de dos capítulos, los espacios -conocidos como variedades- pueden ser de cualquier dimensión n, donde n es un entero positivo. (Una variedad n-dimen§_ [10.1] Explique por qué la resta y la división pueden construirse a partir de estas. � [10.2] Deduzca ambos resultados. 271

§ I 0.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

sional se suele conocer simplemente como una n-variedad.) La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza una 4-variedad para descri­ bir el espaciotiempo, y muchas teorías modernas utilizan variedades de dimensiones aún más altas. Exploraremos las n-variedades generales en el capítulo 1 2 , pero, por simplicidad, en este capítulo consideraremos solo la situación de una 2-variedad (o superficie) real S. Entonces po­ demos utilizar las coordenadas locales x e y (reales) para etiquetar los diferentes puntos de S (en una región local de S). De hecho, la discu­ sión es muy representativa del caso general n-dimensional. Una superficie 2-dimensional podría ser, por ejemplo, un plano or­ dinario o una esfera ordinaria. Pero la superficie no debe ser conside­ rada como un «plano complejo» o una «esfera de Riemann» porque no estamos interesados en asignarle una estructura como espacio comple­ jo (i.e. , con la noción acompañante de «función holomorfa» definida en la superficie). Su estructura solo tiene que ser la de una variedad sua­ ve. Geométricamente, esto significa que no necesitamos seguir la pista de nada parecido a una estructura local conforme, como hacíamos con nuestras superficies de Riemann en §8.2, sino que necesitamos poder decir cuándo una función definida en el espacio (i.e., una función cuyo dominio es el espacio) debe considerarse «suave». Para hacernos una idea intuitiva de lo que es una variedad «suave», pensemos en una esfera en contraposición a un cubo (donde, por su­ puesto, en cada caso me estoy refiriendo a la superficie y no al interior). Como ejemplo de una función suave sobre la esfera podríamos conside­ rar una «función altura», por ejemplo la distancia por encima del plano ecuatorial (estando la esfera representada en un 3-espacio euclídeo ordi­ nario en la forma normal, y contando negativamente las distancias por debajo del plano).Véase la Fig. 10.2a. Por el contrario, si nuestra función es el módulo de esta función altura (véanse §6.1 y la Fig 1 0.2b) , de modo que las distancias por debajo del ecuador también cuentan positivamen­ te, entonces esta función no es suave a lo largo del ecuador. Pero si con­ sideramos el cuadrado de la función altura, entonces esta función es suave sobre la esfera (Fig. 10.2c). Es instructivo notar que en todos estos casos la función es suave en los polos norte y sur, pese a la apariencia «singular» que tienen en los polos las líneas de nivel de altura constante. El único caso de no suavidad ocurre en nuestro segundo ejemplo, en el ecuador. 272

SUPERFICIES

� � (a)

1

(b)

§10.2

1

� - i· h2 V

•¡

(c)

Fig. 10.2. Funciones en una esfera S, representadas como si estuvieran en un 3-espa­ cio euclídeo, donde /¡ mide la distancia por encima del plano ecuatorial. (a) La propia función h es suave en S (valores negativos indicados por líneas discontinuas). (b) El módulo [ h [ (véase la Fig. 6.2b) no es suave a lo largo del ecuador. (c) El cuadrado h2 es suave sobre toda la S.

Para entender lo que esto significa de manera un poco más precisa, introduzcamos un sistema de coordenadas en nuestra superficie S. Estas coordenadas solo tienen que aplicarse localmente, y podemos imaginar S construida a partir de fragmentos locales -cartas de coordenadas­ «pegados», de forma análoga a nuestro procedimiento para las esferas de Riemann en §8. 1 . (En el caso de la esfera, por ejemplo, necesitamos más de una carta.) Dentro de una carta, los diferentes puntos están eti­ quetados por coordenadas suaves; véase la Fig. 10.3. Nuestras coorde­ nadas deben tomar valores reales, y las llamaremos x e y (sin que esto pretenda sugerir que deberían combinarse en forma de un número complejo) . Supongamos ahora que tenemos una función suave

A 1 1

=

¡('\_ { {0

§13.8

Fig. 1 3. 14. La «forma de Killing» Ka/3 definida a par­ tir de las constantes de estructura Ya/ por Ka/3 =

= Ya/ 'Yp/

piedad notable de cualquier grupo de Lie semisimple complejo es que tiene exactamente una forma real Q que es compacta.

1 3 .8. GRUPOS ORTOGONALES

Volvamos ahora al grupo ortogonal. Ya hemos visto al principio de § 13.3 cómo representar 0(3) o S0(3) fielmente como transformacio­ nes lineales de un espacio vectorial real 3-dimensional, con coordena­ das cartesianas ordinarias (x, y, z), en las que la esfera x2 + y2 + z2 = 1

queda invariante (aquí el superíndice 2 signifi c a el «cuadrado» normal). Escribamos esta ecuación en la notación de índices (§1 2.7), de modo que podamos generalizar a n dimensiones. La ecuación de nuestra es­ fera puede escribirse ahora que representa (x1 ) 2 + (x2) 2 + . . . + (x") 2 = 1 , estando dadas las compo­ nentes gab por si a = b, si a * b. En la notación diagramática, yo recomendaba utilizar simplemen­ te un «arco» para gab' como se indica en la Fig. 1 3 . 1 5a. También utiliza­ ré la notación gab (con las mismas componentes explícitas que gªJ para la cantidad inversa («arco invertido» en la Fig. 1 3 . 1 5a) :

gab gbc = {Ja = g'b gba.

El lector intrigado podría preguntarse muy razonablemente por qué he introducido dos notaciones nuevas, a saber, gab y gªb para, exac­ tamente, las mismas componentes matriciales que he denotado me­ diante O'(, en §13.3. La razón tiene que ver con la consistencia de la no389

E L CAMINO A L A REALIDAD

§13.8

(a)

g,¡,

_,...

n'

Fig. 13.15. (a) La métrica g,¡, y su inversa ,(¡, en la notación diagramática de «arco». (b) Las relaciones g,,¡, = g,,., (i.e., gT = g), g,,, = g'" y g,,/' = 8,'. en notación diagramática.

tación y con lo que sucede cuando se aplica una tran.iformación lineal a las coordenadas, de acuerdo con cierto reemplazamiento siendo tªb no singular, de modo que tiene una inversa sª¡,: b t"bs 8' s"b tb(. Este es formalmente el mismo tipo de transformación lineal que se ha considerado en §§13.3,7, pero ahora lo estamos haciendo de una forma muy diferente. En esas secciones nuestra transformación lineal se consideraba activa, de modo que el espacio vectorial V era realmente movido (sobre sí mismo) . Aquí estamos considerando la transformación como pasiva en el sentido de que los objetos en consideración -y, de hecho, el propio espacio V- permanecen fijos, pero cambian las re­ presentaciones en términos de coordenadas. Otra manera de decirlo es que la base (e 1 , , e) que habíamos estado utilizando previamente (para la representación de magnitudes vectoriales/tensoriales en térmi­ nos de componentes) 1 8 debe reemplazarse por alguna otra base. Véase la Fig. 13. 1 6. En correspondencia directa con lo que hemos visto en §13.7 para la transformación activa de un tensor, encontramos que el correspon­ diente cambio pasivo en las componentes Q;:::� de un tensor Q está dado porl1 3·45l Qa ...... � tª · · · t'J Qd.i . . j1 sj . . . s . [

==

[

==

• • •

p

c

r

¡

e

J•··

p

� [13.45] Utilice la nota 13.18 para establecer esto. 390

1

r

GRUPOS DE SIMETRÍA

§ 1 3.8

V

Fig. 13.16. Una transformación pasiva en un espacio vectorial V deja V fijo, pero cam­ bia su descripción en coordenadas, i.e., la base e l ' e2, , e,, es reemplazada por otra base (caso n = 3 ilustrado). • • •

Cuando aplicamos esto a 8� encontramos que sus componentes quedan completamente inalteradas, [! 3.46J mientras que no sucede así con ª gab Además, tras un cambio de coordenadas general, las componentes g b serán por completo diferentes de gab (son matrices inversas). Así pues, la ª razón para los símbolos adicionales g b y gab es simplemente que estos solo pueden representar la misma matriz de coeficientes que 8! en tipos especiales de sistemas de coordenadas (los «cartesianos») y que, en gene­ ral, las componentes son diferentes. Ello es de particular importancia para la relatividad general, en la que el sistema de coordenadas no puede dis­ ponerse en general de modo que tenga esta forma (cartesiana) especial. Un cambio de coordenadas general puede hacer que la matriz de componentes gab sea una matriz más complicada aunque no completa­ mente general. Retiene la propiedad de simetría entre a y b dando una matriz simétrica. El término simétrica nos dice que la disposición cua­ drada de componentes es simétrica respecto a su diagonal principal, i.e., gr = g (utilizando la notación «traspuesta» de § 13.7). En términos de notación de índices, esta simetría se expresa como una u otra de las dos formas equivalentes! 1 3.47J y

ª gab = gba' gab = gb ,

véase la Fig. 13. l Sb para la forma diagramática de estas relaciones.

� [13.46] ¿Por qué? � [13.47] ¿Por qué equivalentes? 391

§ 1 3.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

¿Qué ocurre si vamos en la dirección opuesta? ¿Puede reducirse cualquier matriz n X n simétrica no singular a la forma de componen­ tes de una delta de Kronecker? No del todo, no mediante una trans­ formación lineal real de coordenadas. A lo que puede reducirse por tales medios es a esa misma forma excepto que puede haber algunos términos + 1 y algunos términos -1 en la diagonal principal. El nú­ mero, p, de estos términos + 1 , y el número, q, de términos -1 es un in­ variante, lo que quiere decir que no podemos obtener un número dife­ rente ensayando alguna otra transformación lineal real. Este invariante (p, q) se denomina signatura de g. (A veces es la diferencia p - q la que se denomina signatura; a veces simplemente se escribe + . . . + - . . . - el número apropiado de veces para cada uno.) De hecho, esto funciona también para una g singu lar, pero entonces necesitamos algunos Os en la diagonal principal y el número de Os se convierte en parte de la sig­ natura tanto como el número de + l s y el número de -ls. Si solo te­ nemos + ls, de modo que g es no singular y q = O, decimos que g es definida positiva. Una g no singular para la que p = 1 y q =!= O (o q = 1 y p =/= O) se denomina lorentziana, en honor del físico holándes H.A. Lo­ rentz (1 853-1 928) , cuya importante obra en relación con esto propor­ cionó una de las piedras fundacionales de la teoría de la relatividad; véanse §§17.6-9 y §§18. 1-3. Una caracterización alternativa de una matriz definida positiva A, de considerable importancia en algunos otros contextos (véanse §20.3, §24.3 y §29.3) , es que la matriz simétrica real A satisface

xrAx > O

para todo x =!= O. En notación de índices, esto es: «A.&x x > O, a menos que el vector xª se anule». [ !3 .4SJ Decimos que A es definida no negativa (o semidefinida positiva) si se da esto pero con � en lugar de > (de modo que ahora admitimos xTAx = O para algún x no nulo) . En circunstancias adecuadas, un [ �]-tensor no singular simétrico gab' se denomina una métrica -o a veces una pseudométrica cuando g no es definida positiva. Esta terminología se aplica si vamos a utilizar la can­ b tidad ds, definida por su cuadrado ds2 = gabdx"dx , que nos proporciona � [1 3.48] ¿Puede confirmar esta caracterización? 392

ª b

y

GRUPOS DE SIMETRÍA

onogonal si

ft n =

§13.8

Fig. 13.17. T es una transformación ortogonal si g,J", Td = g,d·

una noción de «distancia» a lo largo de curvas. En § 1 4. 7 veremos cómo se aplica esta noción a variedades curvas (véanse § 1 0.2 y §§ 1 2 . 1 ,2) , y en § 17 .8 cómo, en el caso lorentziano, nos proporciona una medida de «dis­ tancia» que es en realidad el tiempo de la teoría de la relatividad. A ve­ ces nos referimos a la cantidad como la longitud del vector v, con la forma de índices tf. Volvamos a la definición del grupo ortogonal O (n) . Este es simple­ mente el grupo de transformaciones lineales en n dimensiones -lla­ madas transformaciones ortogonales- que conservan una métrica dada g definida positiva. «Conservan> g significa que una transformación or­ togonal T tiene que satisfacer

gab TJ;'d = g,d· Este es un ej emplo de la regla de «cambio de coordenadas» para un tensor descrita en § 1 3. 7, tal como se aplica a gab (y véase la Fig. 1 3 . 1 7 para la forma diagramática de esta ecuación) . Otra forma de decirlo es que la forma métrica ds2 del párrafo anterior no cambia bajo transfor­ maciones ortogonales. Si queremos, podemos insistir en que el sistema de componentes gab sea en realidad el mismo que la delta de Kronec­ ker -que, en efecto, proporciona la definición de 0 (3) que se da en §§13.1 ,3-, pero el grupo que se obtiene es el mismo 1 9 cualquiera que sea la gab (n X n) definida positiva que escojamos. l 13.49J Con la realización en componentes concreta de gab como la delta de Kronecker, las matrices que describen nuestras transformaciones or­ togonales son las que satisfacenl 1 3· 5ºl y- 1 = TT,

"ª [13.49] Explique por qué. "ª [13.50] Explique esto. ¿Qué es y-i en los casos pseudoortogonales (definidos en el siguiente párrafo)?

393

§ 1 3.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

llamadas matrices ortogonales. Las matrices n X n ortogonales reales pro­ porcionan una realización concreta para el grupo O (n) . Para particula­ rizar al grupo no reflexivo SO(n) , exigimos que el determinante sea igual a la unidad: 11 3·51l det T = 1 . También podemos considerar los correspondientes grupos pseudo­ ortogonales O (p, q) y SO(p, q) que se obtienen cuando g, aunque no sin­ gular, no es necesariamente definida positiva y tiene una signatura (p, q) más general. El caso p = 1 , q = 3 (o, de manera equivalente, p = 3 , q = 1 ) , llamado el grupo de Lorentz, desempeña un papel fundamental en la teoría de la relatividad, como se ha indicado antes. Asimismo, ve­ remos (si ignoramos las reflexiones) que el grupo de Lorentz es el mis:... mo que el grupo de simetrías del 3-espacio hiperbólico que se ha des­ crito en §2. 7, y también (si ignoramos las reflexiones espaciales) el mismo que el grupo de simetrías de la esfera de Riemann, conseguido mediante las transformaciones bilineales (de Moebius) estudiadas en §8.2. Será mejor dejar para más adelante las explicaciones de estos he­ chos notables hasta que investiguemos la geometría espaciotemporal de Minkowski de la teoría de la relatividad especial (§§ 1 8 .4,5) . En §33 .2 también veremos que estos hechos tienen una importancia seminal para la teoría de twistores. ¿Hasta qué punto son «diferentes» los diversos grupos O (p, q), para p + q = n, con n fijo? (Los casos definido positivo y lorentziano se con­ trastan, para n = 2 y n = 3, en la Fig. 1 3 . 1 8.) Todos están íntimamen-

�

te relacionados, pues todos tienen la misma dimensión, n(n - 1 ) ; son

lo que se denominanformas reales de un mismo grupo complejo O(n, IC), l a complexificación de O(n) . Este grupo complejo se define del mismo modo que O (n) ( = O ( n , IR)) , pero ahora se permite que las transforma­ ciones lineales sean complejas. En realidad, aunque he expresado mis con­ sideraciones anteriores en términos de transformaciones lineales reales, existe una discusión paralela donde «complejo» reemplaza a «real» en /1l!l [13.51) Explique por qué esto es equivalente a conservar la forma de volumen e•... i.e., e•. ·' T;, · . . T; = el'· · ,. Además, ¿por qué basta con la conservación del signo? O) . Una de las características de la teoría cuántica es que tales desigualdades son a menudo violadas en procesos físicos. Por ejem­ plo, las magnitudes imaginarias pueden, en cierto sentido, tener una im­ portancia físicamente real en mecánica cuántica, de modo que la dis­ tinción entre signaturas diferentes puede quedar difuminada. Por otra parte, tengo la impresión de que los físicos suelen ser algo menos cui­ dadosos sobre estas cuestiones de lo que, en mi opinión, deberían ser. En realidad, esta cuestión tendrá una considerable relevancia para no­ sotros cuando analicemos varias teorías modernas (§28 .9, §31 . 1 3 y §32.3) . Pero lo veremos con detalle más adelante. ¡Este es el «cajón de problemas» que he insinuado en § 1 1 .2!

1 3.9. GRUPOS UNITARIOS El grupo O(n, q nos proporciona una manera de generalizar la noción de un «grupo de rotación» desde los números reales a los complej os. 396

GRUPOS DE SIMETRÍA

§13.9

Pero hay otra manera que, en ciertos contextos, tiene una importancia aún mayor. Esta es la noción de un grupo unitario. ¿Qué significa «unitario»? El grupo ortogonal concierne a la con­ servación de una forma cuadrática, que podemos escribir de forma equi­ b valente como gabxª x o xTgx. En el caso de un grupo unitario, utiliza­ mos transformaciones lineales complejas que, en su lugar, conservan lo que se denomina una forma hermítica (llamada así por el importante matemático francés del siglo XIX Charles Herrnite 1 822- 1 90 1 ) . ¿Qué es una forma herrnítica?Volvamos primero al caso ortogonal. En lugar de una forma cuadrática (en x) , igualmente podríamos haber utilizado la forma bilineal simétrica (en x e y)

Esto aparece como un ejemplo concreto de la definición de un tensor como «forma multilineal» dada en § 1 2.8, aplicada al [ �]-tensor g (y poniendo y = x, recuperamos la forma cuadrática anterior) . La si­ metría de g se expresaría entonces como g(x, y) = g(y, x) ,

y la linealidad en la segunda variable y como g(x, y + w) = g(x , y) + g(x, w) ,

g(x, Ay) = Ag(x, y) .

Para la bilinealidad exigimos también linealidad en la primera varia­ ble x, pero esto se sigue ahora de la simetría. Una forma hermítica h (x, y) satisface en su lugar la simetría herrnítica h(x , y) = h(y, x) ,

junto con linealidad e n l a segunda variable y: h (x, y + w) = h (x, y) + h (x, w) ,

h(x, ,\y) = ,\h (x, y) .

La simetría hermítica implica ahora lo que se denomina antilineali­

dad en la primera variable: h(x + w, y) = h(x , y) + h (w, y) ,

h(Ax, y) = Ah (x, y) .

Mientras que un grupo ortogonal conserva una forma bilineal simétrica (no singular) , las transformaciones lineales complejas que 397

§13.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

conservan una forma hermítica no singular nos dan un grupo uni­ tario. ¿Para qué nos sirven tales formas? Una forma bilineal no singular (no necesariamente hermítica) g nos proporciona un medio de identi­ ficar el espacio vectorial V, al que pertenecen x e y, con el espacio dual v·. Así, si V pertenece a V, entonces g(v, ) nos proporciona una aplica­ ción lineal en V, que aplica el elemento x de V en el número g(v, x) . En otras palabras, g(v, ) es un elemento de V* (véase § 1 2.3). De forma in­ dexada, este elemento de V* es el covector tf'g•b' que es costumbre es­ cribir con la misma letra v, pero con el índice descendido (véase tam­ bién § 1 4.7) mediante gab' de acuerdo con

vb = lf'g.b. La inversa de esta operación se consigue elevando el índice de v. mediante el uso del [ �]-tensor métrico inverso g"b :

V' = g"bvb.

Necesitaremos el análogo de esto en el caso hermítico. Como an­ tes, cada elección de elemento v del espacio vectorial V nos propor­ ciona un elemento h (v, ) del espacio dual V* . Sin embargo, la diferen­ cia reside en que ahora h (v, ) depende antilinealmente de v y no linealmente: así h (Av, ) = Ah(v, ) . Una forma equivalente d e decirlo e s que h (v, ) e s lineal e n ii, sien­ do esta cantidad vectorial ii el complej o conjugado de v. Considera­ mos que estos vectores complej o conjugados constituyen un espacio vectorial ii independiente. Este punto de vista es particularmente útil para la notación de índices (abstractos) , donde se utiliza un «alfabeto» de índices independiente, digamos a ' , b ' , e ' , . . . , para estos elementos complejo conj ugados, donde no se permiten sumas (contracciones) entre índices primados y no primados. La operación de conjugación compleja intercambia los índices primados con los no primados. En la notación de índices, nuestra forma hermítica se representa por una matriz de cantidades h •. b con un subíndice primado de cada tipo, de modo que

398

GRUPOS DE SIMETRÍA

§ 1 3.9

(siendo xª' el complejo conjugado del elemento xª) , donde la hermiti­ cidad se expresa por

La colección de cantidades h a'b nos permite bajar o subir un índice, pero no cambia índices primados por no primados, y viceversa, de modo que nos remite al espacio dual del espacio complejo conjugado:

Para las inversas de estas operaciones -donde se supone que la forma hermítica es no singular (i.e., la matriz de componentes hªb' es no singular)-, necesitamos la inversa hªb' de h a'b

a h b' hb, e = s;,a

u, ,

s: O.

Nótese que esta noción de «definida positiva» generaliza la de § 1 3 . 8 al caso complejo. Una transformación lineal T cuya inversa es T* , de modo que 1 1 = T* , i.e., T T* = I = T* T, se llama unitaria en el caso definido positivo y pseudounitaria en caso contrario. f 1 3-55 l El término «matriz unitaria» se refiere a una matriz T que satisface la relación anterior cuando * representa la operación tras­ puesta conjugada habitual, de modo que 1 1 = T. El grupo de transformaciones unitarias en n dimensiones, o de ma­ trices unitarias (n X n) , se denomina grnpo unitario U(n) De forma más ge­ neral, obtenemos el grupo pseudounitario U(p, q) cuando * tiene signa­ tura (p, q) . 22 Si las transformaciones tienen determinante unidad, entonces obtenemos correspondientemente SU(p) y SU(p, q) . Las transformacio­ nes unitarias desempeñan un papel esencial en mecánica cuántica (y tam­ bién tienen gran valor en diversos contextos puramente matemáticos) . .

1 3. 1 0.

G RUPO S SIMPL É CTICOS

En las dos secciones precedentes hemos encontrado los grupos ortogo­ nales y unitarios. Estos son ejemplos de los denominados grupos clásicos, B [13.54] Demuéstrelo. B [13.55] Demuestre que estas transformaciones son precisamente las que conservan la correspondencia entre vectores v y covectores v*, y que son las que conservan '1,b.. 402

GRUPOS DE SIMETRÍA

§13.10

a saber, los grupos simples de Lie distintos de los excepcionales; véase § 1 3.2. La lista de grupos clásicos se completa con la familia de los gru­ pos simplécticos. Estos tienen gran importancia en la física clásica, como veremos sobre todo en §20.4, y también en física cuántica, especial­ mente en el caso de la dimensión infinita (§26.3). ¿Qué es un grupo simpléctico? Volvamos de nuevo a la noción de una forma bilineal, pero donde en lugar de la simetría (g (x, y) = g (y, x)) requerida para definir el grupo ortogonal, imponemos antisimetría

s(x , y)

=

-s(y, x) ,

junto con linealidad

s(x, y + w)

=

s(x, y) + s(x, w) ,

s(x , Ay)

=

As(x , y) ,

donde la linealidad en la primera variable x se sigue ahora de la antisi­ metría. Podemos escribir nuestra forma antisimétrica de diversas maneras como

igual que en el caso simétrico, pero donde sab es antisimétrica:

sba = -sab i.e. , sr = -S,

siendo S la matriz de componentes de s,b· Exigimos que S sea no sin­ b gular. Entonces sab tiene una inversa s" , que satisface 23

b

donde sª = -iª . Notemos que, por analogía con una matriz simétrica, una matriz antisimétrica S es igual a menos su traspuesta. Es importante observar que una matriz n X n antisimétrica S puede ser no singular solo si n es par. r13· 56l Aquí n es la dimensión del espacio V al que pertenecen x e y, y, de hecho, tomamos n par. Los elementos T de GL(n) que conservan una sab antisimétrica no singular (o, lo que es equivalente, la forma bilineal s) , en el sentido

� [13.56] Demuéstrelo. 403

E L CAMINO A LA REALIDAD

§13.10

se denominan simplécticos, y el grupo de dichos elementos se denomi­ na grupo simpléctico (un grupo de importancia muy considerable en me­ cánica clásica, como veremos en §20.4) . Sin embargo, existe alguna confusión en la literatura con respecto a esta terminología. Es más pre­ ciso desde el punto de vista matemático definir un grupo simpléctico (real) como una forma real del grupo simpléctico

�n, IC) ,

complejo Sp(

definido como el grupo de las Tªb complejas (o T) que satisfacen la re­ lación anterior. La forma real que se acaba de definir es no compacta; pero, de acuerdo con los comentarios que se han hecho al final de

�

§13. 7 -y siendo Sp( n, IC) semisimple-, existe otra forma real de este grupo complejo que

es compacta, y es esta la que normalmente se co­

�

noce como el grupo simpléctico (real) Sp ( n) . ¿Cómo encontramos estas diferentes formas reales? De hecho, como sucede en el caso de los grupos ortogonales, existe una noción de sig natura que no es tan conocida como en los casos de los grupos ortogonales y los unitarios. El grupo simpléctico de transformaciones reales que conservan sab sería el caso de «signatura dividida» de signatu. ' . 1 n) . E n e1 caso compacto, e1 grupo simp ra (l2n, 2 lectico tiene signatura .

.

(n, O) o (O, n) . ¿Cómo se define esta signatura? Para cada par de números natura­ les p y q tales que p + q = n, podemos definir una correspondiente «for-

�

ma real» del grupo complejo Sp( n, IC) tomando solo aquellos elemen­ tos que son también pseudounitarios para la signatura (p, q), i.e., que pertenecen a U(p, q) (véase § 1 3 .9) . Esto nos da24 el grupo pseudosim­ pléctico Sp(p, q). (Otra manera de decirlo es decir que Sp(p, q) es la in-

�

tersección de Sp( n, IC) con U(p, q).) En notación de índices, podemos definir Sp(p, q) como el grupo de transformaciones lineales complejas T"b que conservan la sab antisimétrica, como antes, y también una ma­ triz hermítica H de componentes ha'b' en el sentido de que

404

GRUPOS DE SIMETRÍA

§13. 10

donde H tiene signatura (p, q) (de modo que podemos encontrar una base pseudo-ortonormal para la que H es diagonal con p entradas 1 y q entradas - 1 ; véase § 1 3 . 9) . 25 El grupo simpléctico clásico compacto

�

Sp( n) es mi Sp(n, O) (o Sp(O, n)) , pero la forma de mayor importancia en física clásica es Sp ( n, n) . 1 1 3 . 571

� �

Igual que con los grupos ortogonales y unitarios, podemos encon­ trar elecciones de base para las que las componentes sab tienen una for­ ma particularmente simple. Sin embargo, ahora no podemos tomar una forma diagonal ¡porque la única matriz diagonal antisimétrica es nula! En su lugar, podemos tomar la matriz s.b consistente en bloques 2 X 2 baj o la diagonal principal, de la forma

� �

En el caso familiar con signatura dividida Sp( n, n) , podemos to­ mar las transformaciones lineales reales que conservan dicha forma. El caso general Sp(p, q) se muestra tomando, en lugar de transformaciones reales, transformaciones pseudounitarias de signatura (p, q). f1 3 ·581 Para varios valores (pequeños) de p y q, algunos de los grupos or­ togonales, unitarios y simplécticos son iguales («isomorfos»), o al me­ nos localmente iguales («localmente isomorfos») , en el sentido de tener las mismas álgebras de Líe (cf. § 1 3 .6). 26 El ej emplo más elemental es el grupo S0(2) , que describe el grupo de simetrías no reflexivas de un círculo, que es el mismo que el grupo unitario U ( l ) , el grupo multi­ plicativo de números complejos e;o ( (J real) de módulo unidad. f1 3·59l De particular importancia para la física es el hecho de que SU(2) y Sp(l ) son iguales, y son localmente iguales a S0 (3) (pues son el recubrimiení!J!J. [13.57] Encuentre descripciones explícitas de Sp(l) y Sp(l, 1) utilizando esta fór­ mula. ¿Puede ver por qué los grupos Sp(O, n) son compactos? í!J!J. [13.58] Muestre por qué estas dos descripciones diferentes para el caso p = q = son equivalentes. ta [13.59] ¿Por qué son iguales?

!

405

§13.10

E L CAMINO A L A REALIDAD

to doble de este último grupo, de acuerdo con la naturaleza doble de la representación cuaterniónica de las rotaciones en el 3-espacio, como se ha descrito en § 1 1 .3) . Esto tiene gran importancia para la fisica cuántica del espín (§22.8) . De importancia en la teoría de la relatividad es el hecho de que SL(2, C) , siendo el mismo que Sp ( 1 , C) , es local­ mente igual a la parte no refle xiva del grupo de Lorentz 0 ( 1 , 3) (de nuevo un recubrimiento doble del mismo) . También encontramos que SU(1 , 1), Sp( 1 , 1) y 50(2, 1) son iguales, y hay varios ejemplos más. Es­ pecialmente valiosa para la teoría de twistores es la identidad local en­ tre SU(2, 2) y la parte no reflexiva del grupo 0 (2, 4) (véase §33.3) . El álgebra de Lie de un grupo simpléctico se obtiene buscando so­ luciones X de la ecuación matricial xrs + S X = O,

i.e., S X = (S X)r,

de modo que la transformación infinitesimal (elemento del álgebra de Lie) X es simplemente s-1 multiplicado por una matriz n X n simétrica. Esto permite ver directamente la dimensionalidad

in(n + 1) del

grupo simpléctico. Nótese que X tiene que ser libre de traza (i.e., tra­ za X = O; véase § 1 3 .4) . r1 3· 60l Las álgebras de Lie para grupos ortogona­ les y unitarios se obtienen también fácilmente, en términos, respec­ tivamente, de matrices antisimétricas y múltiplos imaginarios puros de matrices hermíticas, cuyas dimensiones respectivas son n(n - 1 ) / 2 y n2 _ 1 1 3 . 6 1 J Notemos de § 1 3. 4 que, para que las transformaciones tengan de­ terminante unidad, la traza del elemento infinitesimal X debe anular­ se. Esto es automático en el caso simpléctico (señalado antes) , y en el caso ortogonal todos los elementos infinitesimales tienen determinan­ te unidad. [ 1 3·52l En el caso unitario, la restricción a SU(n) es una condi­ ción adicional (traza X = O) , de modo que la dimensión del grupo se reduce a n2 - 1 . � [13.60] Explique de dónde procede la ecuación XTS + SX = O y por qué SX = (SXf ¿Por qué se anula la traza X? Dé el álgebra de Lie explícitamente. ¿Por qué es de esta dimensión? f!!!j_ [13.61] Describa dichas álgebras de Lie y obtenga dichas dimensiones. � [13.62] ¿Por qué, y qué significa esto geométricamente? 406

Notas

GRUPOS DE SIMETRÍA

Los grupos

clásicos mencionados

en § 1 3.2, a veces etiquetados A"',

B"', C "' , D ,,, (para m = 1 , 2, 3, . . . ) , son simplemente los grupos respecti­

vos SU(m + 1 ) , S 0 (2m + 1 ) , Sp(m) y S0 (2m) que hemos examinado en §§1 3.8-10, y vemos de lo anterior que tienen dimensiones respec­ tivas m(m + 2) , m(2m + 1 ) , m(2m + 1 ) , y m(2m - 1), como se ha afirma­ do en § 1 3.2.Así, el lector ha tenido la oportunidad de hacerse una idea de todos los grupos simples clásicos. Como hemos visto, tales grupos, y algunas de las otras «formas reales» (o sus complexificaciones) , de­ sempeñan un papel importante en fisica. Nos familiarizaremos un poco más con todo esto en el próximo capítulo. Como se ha mencionado al principio de este capítulo, según la fisica moderna, todas las interaccio­ nes están gobernadas por «conexiones gauge» que, técnicamente, de­ penden crucialmente de espacios que tienen simetrías exactas. Sin em­ bargo, aún tenemos que saber qué es realmente una «teoría gauge». Esto se abordará en el capítulo 1 5 .

N otas

Sección 13. 1 1 3. 1 . Abe! nació en 1 802

y

murió de tuberculosis en 1 829, a los veintiséis

años. La teoría de grupos no abelianos (ah =t- ha) más general fue intro­ ducida por el matemático francés Évariste Galois ( 1 8 1 1 - 1 832) , que murió de manera aún más trágica en un duelo antes de cumplir los veintiún años, tras haber pasado la noche anterior a su muerte desarro­ llando febrilmente sus revolucionarias ideas sobre el uso de grupos para investigar la solubilidad de las ecuaciones algebraicas, hoy día de­ nominada teoría de Galois. 1 3.2. Deberíamos también tomar nota de que «-C» significa «tomar el com­ plejo conjugado, y multiplicarlo por -1 », i.e., -C (- l)C. 1 3 .3. La S viene de «especial» (que significa «de determinante unidad»), lo que, en el contexto presente, nos dice simplemente que están excluidos los movimientos que invierten la orientación. La O viene de «ortogo­ =

nal», lo que tiene que ver con el hecho de que los movimientos que re­ presenta conservan la «ortogonalidad» (es decir, la naturaleza de ángu-

407

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

lo recto) de los ej es de coordenadas. El 3 se refiere a que estamos con­ siderando rotaciones en tres dimensiones. 1 3.4. Existe un notable teorema que nos dice que no solo todo grupo con­ tinuo es también suave (i.e., eº implica C 1 , en la notación de §§6.3,6, e incluso Cº implica C"'), sino que es también analítico (i.e., e º implica C"') . Este famoso resultado, que representó la solución de lo que se lle­ gó a conocer como «el quinto problema de Hilbert», fue obtenido por

Andrew Mattei Gleason, Deane Montgomery, Leo Zippin y Hidehiko Yamabe en 1 953; véase Montgomery y Zippin (1 955) . Esto justifica el uso de series de potencias en § 13 . 6.

Sección 13. 2 1 3.5. Véase Van der Waerden ( 1 985), pp. 1 66-174. 1 3 .6. Véase Devlin (1 988). 1 3 .7. Véanse Conway y Norton ( 1 972) y Dolan ( 1 996).

Sección 13. 3 1 3.8. Veremos en § 1 4. 1 . que un espacio euclídeo es un ejemplo de espacio afín. Si seleccionamos un punto concreto (origen) O, se convierte en un espacio vectorial. 1 3 .9. En muchos lugares de este libro será conveniente -y a veces esen­ cial- escalonar los índices en un símbolo de tipo tensorial. En el caso de una transformación lineal, necesitamos hacerlo para expresar el or­ den de la multiplicación de matrices. 1 3. 1 0. Esta región es un espacio vectorial de dimensión r (donde r < n). Lla­ mamos a r el rango de la matriz o de la transformación lineal T. U na matriz n X n no singular tiene rango n. (El concepto de «rango» se apli­ ca también a matrices rectangulares.) Compárese con la nota 1 2 . 1 8.

1 3. 1 1 . Para una historia de la teoría de matrices, véase MacDuffe ( 1 933).

Sección 13. 5 1 3. 1 2 . En aquellas situaciones degeneradas en las que los autovectores no llenan todo el espacio (es decir, algún d es menor que el correspon­ diente r) , aún podemos encontrar una forma canónica, pero ahora permitimos que aparezcan ls inmediatamente por encima de la dia­ gonal principal, que residen dentro de bloques cuadrados cuyos tér­ minos diagonales son autovalores iguales (forma normal de ]ordan); véa­ se Anton y Busby (2003) . Al parecer, Weierstrauss había encontrado,

408

GRUPOS DE SIMETRÍA

Notas

efectivamente, esta forma normal en 1 868, dos años antes de Jordan; véase también Hawkins (1 977) .

Sección 13. 6 1 3. 1 3. Para ilustrar este punto, consideremos SL(n, IR) (i.e., los elementos de determinante unidad del propio GL(n, IR)) . Este grupo tiene un «recu­ brimiento doble» SL(n, IR) (siempre que n � 3) , que se obtiene a partir de SL(n, IR) básicamente de la misma forma con que, en efecto, en­ contramos el recubrimiento doble S0 (3) de S0 (3) cuando considerá­ bamos las rotaciones de un libro, con el cinturón unido, en § 1 1 .3 . Así, S0 (3) e s e l grupo d e rotaciones (no reflexivas) d e u n objeto espí­

noríal en un 3-espacio ordinario. De la misma manera, podemos consi­ derar «objetos espinoriales» que están sujetos a las transformacjones li­ neales más generales que permiten «comprimir» o «estirar», como se ha discutido en § 1 3.3. De esta manera, llegamos al grupo SL (n, IR) , que es localmente igual que SL(n, IR), pero que, de hecho, no puede ser repre­ sentado con fidelidad en ningún GL(m) .Véase la nota 1 5 . 9 . 1 3 . 14. Esta noción está bien definida; cf. nota 1 3.4.

Sección 13. 7 1 3 . 1 5 . Véase Thirring (1 983) . 1 3. 1 6. Aquí, de nuevo, tenemos un ej emplo de la manera caprichosa de dar nombre a los conceptos matemáticos. Mientras que muchas nociones de gran importancia en esta materia, a las que se une convencional­ mente el nombre de Cartan (por ejemplo, «subálgebra de Cartan, en­ tero de Cartam>), se debían originalmente a Killing (véase § 1 3 .2), lo que conocemos como «forma de Killing» se debe realmente a Cartan (y Her­ mann Weyl); véase Hawkins (2000), sección 6.2. Sin embargo, el «vec­ tor de Killing» que encontraremos en §30. 6 se debe en realidad a Ki­ lling (Hawkins, 2000, nota 20, p. 1 28). 1 3. 1 7. Estoy siendo (deliberadamente) un poco resbaladizo desde el punto de vista matemático en mi uso de la expresión «igual» en este tipo de con­ texto. El término matemático estricto es «isomorfo».

Sección 13. 8 1 3 . 1 8. No he sido muy explícito sobre este procedimiento hasta este mo­ mento. Una base e = (e l ' . . . , e,,) para V está asociada con una base 1 " dual -que es una base e • = (e , , e ) para V*- con la propiedad de • • •

409

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD ;

que e • t! = 8'.. Las componentes de un tensor Q[P]-valentes se obtieJ q nen aplicando la función multilineal de § 1 2.8 a los diversos conjuntos de p elementos de la base dual y q elementos de la base: Q';·.1; Q(!, . . . , e1'; ea, . . . , e) . 1 3. 1 9. Véase la nota 1 3.3. 1 3.20. Véase la nota 1 3. 1 0. El lector puede preguntarse por qué los T'1, de §13.5 pueden tener muchas invariantes, a saber, todos sus autovalores \, A2, A3 , ,\", mientras que g,b no los tiene. La respuesta reside simple­ mente en la diferencia en el comportamiento de la transformación im­ plícito en la diferente posición de los índices. =

• • •

Sección 13. 9 1 3 . 2 1 . Nótese que, en el caso definido positivo, (e � , e;, . . . ,

X0 , como se requería.

§ 16.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

Existen muchas formas de ver que C = 2 x". Para demostrar que zx, ::s C (que es realmente todo lo que ahora necesitamos para C > X0), es suficiente con establecer que existe una correspondencia 1-1 entre 2 N y algún subconjunto de �- Podemos pensar que cada elemento de 2 N es una asignación de O o de 1 («fuera» o «dentro») a cada número natu­ ral, i.e., uno de tales elementos puede considerarse como una secuen­ cia infinita, tal como 1001 1 000 1 0 1 1 1 0 1 . . . (Este elemento particular de 2 N asigna 1 al número natural O, asig­ na O al número natural 1 , asigna O al número natural 2, asigna 1 al nú­ mero natural 3, etc.) Ahora podríamos tratar de leer esta secuencia completa de dígitos como el desarrollo binario de cierto número real, donde consideramos que hay una coma decimal situada en el extremo izquierdo. Por desgracia, esto no funciona del todo, debido al irritante hecho de que existe una ambigüedad en algunas de tales representa­ ciones, a saber, aquellas que acaban con una secuencia infinita que consta enteramente de Os o enteramente de l s. l 1 5 · 1 1l Podemos sortear esta dificultad mediante varios artificios burdos. Uno de estos consisti­ ría en intercalar entre los dígitos binarios otro dígito, por ejemplo el 3, para obtener .31 30303 1 3 1 3030303 1 303 1 3 1 3 1 303 1 . . .

'

y leer entonces este número como la expresión decimal ordinaria de cierto número real. En consecuencia, hemos establecido realmente una correspondencia 1-1 entre 2 N y cierto subconjunto de � (a saber, el subconjunto cuyos desarrollos decimales tienen esta singular forma in­ tercalada) . De ahí que 2 x, ::s C (y ahora obtenemos C > X0) , como se requería. Para deducir que C = 2 x.', tenemos que ser capaces de demostrar que C ::s 2x". Ahora todo número real estrictamente entre O y 1 tiene un desarrollo binario (como se ha considerado antes), aunque a veces de forma redundante; así pues, dicho conjunto concreto de reales tiene cardinalidad :S i'.: Existen muchas funciones simples que llevan este ...

ia [16. 1 1] Explíquelo. 508

LA ESCALERA DEL INFINITO

§16.5

intervalo a la totalidad de � , l 1 6· 1 2l 10 que establece que e :s i'\ y de ahí e = i'", como se requería. La versión original que dio Cantor del argumento era algo dife­ rente de la que se ha presentado aquí, aunque las ideas esenciales eran las mismas. Su versión original era también una demostración por con­ tradicción, aunque más directa. Se imaginaba una hipotética corres­ pondencia 1-1 entre !\! y los números reales comprendidos estricta­ mente entre O y 1 , y se presentaba como un listado vertical de todos los números reales, cada uno de ellos escrito en desarrollo decimal. Se ob­ tenía una contradicción con la hipótesis de que la lista es completa por un «argumento diagonal» mediante el cual se construye un nuevo nú­ mero real que no está en la lista: para ello se desciende por la diagonal principal de la matriz, partiendo de la esquina superior izquierda, y se escribe un dígito que difiera del n-ésimo dígito del n-ésimo número real de la lista. (Hay muchas exposiciones divulgativas de esto; véase, por ejemplo, la versión que se da en el capítulo 3 de mi libro La nueva mente del emperador) .1 1 6·1 31 Este tipo general de argumento (incluido el que he utilizado al principio de esta sección para demostrar a < 2) se suele conocer como el «corte diagonal» de Cantor.

1 6. 5 . ENIGMAS EN LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS Como se ha comentado antes, la cardinalidad, i'\ del continuo (i.e., de �) se suele denotar por la letra C. A Cantor le hubiera gustado poder etiquetarla «X 1 » , por lo que él entendía el «siguiente cardinal más pe­ queño» después de X0 . Intentó demostrar, aunque fracasó, que 2 x" = X 1 ; de hecho, la afir mación «2x" = X 1 », conocida como la híp6tesís del conti­ nuo, se convirtió en una famosa cuestión no resuelta durante muchos años después de que Cantor la propusiera. Aún sigue sin estar resuelta, en un sentido «absoluto». Kurt Godel y Paul Cohen demostraron que la hipótesis del continuo (y también el axioma de elección) no es de� (16. 12] Muestre una. Sugerencia: Considere la Fig. 9.8, por ejemplo. .@ (16. 13] Explique por qué este es esencialmente el mismo argumento que el que he dado aquí, en el caso a = X0 para demostrar a < 2ª. 509

§16.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

cidible por medio de la teoría de conjuntos estándar. Sin embargo, de­ bido al teorema de la incompletitud de Godel, que comentaré ense­ guida, y varias cuestiones relacionadas, esto no resuelve propiamente la cuestión de la verdad de la hipótesis del continuo. Sigue siendo posible que métodos de demostración más poderosos que los de la teoría de conjuntos estándar puedan ser capaces de decidir la verdad o falsedad de la hipótesis del continuo; por otra parte, podría darse el caso de que su verdad o falsedad fuera una cuestión subjetiva dependiente del pun­ to de vista que se adopte. 8 Esta cuestión ha sido mencionada en § 1 .3, pero en relación con el axioma de elección, y no con la hipótesis del continuo. Vemos que la relación a < 2" nos dice que no puede haber ningún infinito máximo; pues si se propusiera que algún número cardinal n fu era el máximo, entonces el número cardinal 2n resultaría aún mayor. Este hecho (y el argumento de Cantor que lo establece) ha tenido consecuencias trascendentales para los fundamentos de las matemáti­ cas. En particular, el filósofo Bertrand Russell, que previamente era de la opinión de que debía haber un número cardinal máximo (a saber, el de la clase de todas las clases) , había desconfiado de la conclusión de Cantor; pero cambió de opinión alrededor de 1 903, tras estudiarla en detalle. En efecto, aplicó el argumento de Cantor al «conjunto de to­ dos los conjuntos», ¡lo que le llevó inmediatamente a la ahora famosa «paradoja de Russell»! Esta paradoja procede del siguiente modo. Consideremos el conjun­ to n que consiste en «todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos». (Por el momento, no importa si uno está dispuesto a creer que un conjunto pueda ser miembro de sí mismo. Si ningún conjunto perte­ nece a sí mismo, entonces R es el conjunto de todos los conjuntos.) Plan­ teemos la pregunta: ¿ qué pasa con el propio R? ¿Es R un miembro de sí mismo? Supongamos que lo es. Entonces, puesto que pertenece al con­ junto n de conjuntos que no son miembros de sí mismos, no pertenece a sí mismo después de todo: ¡una contradicción! La hipótesis alternativa es que no pertenece a sí mismo. Pero, entonces, debe ser un miembro de la familia de los conjuntos que no son miembros de sí mismos, a saber, el conjunto R. Así pues, R pertenece a R, lo que contradice la hipótesis de que no pertenece a sí mismo. ¡Lo cual es una clara contradicción! 510

LA ESCALERA DEL INFINITO

§ 1 6.5

Puede advertirse que esto es simplemente lo que sucede con la de­ mostración de Cantor a < 2 ª, si se aplica al caso en que se toma a como el «conjunto de todos los conjuntos». P 6· 14J De hecho, así es como Russell llegó a su paradoja. 9 Lo que el argumento está demostrando real­ mente es que no hay nada semejante al «conjunto de todos los conjun­ tos». (De hecho, Cantor ya era consciente de esto, y conocía la «parado­ ja de Russell unos años antes que el propio Russell.) 1 0 Puede parecer extraño que algo tan sencillo como el «conjunto de todos los conjun­ tos» sea un concepto prohibido. Se podría imaginar que cualquier pro­ puesta para un conjunto debería ser perfectamente aceptable si existe una regla bien definida que nos diga cuándo algo pertenece a aquel y cuándo no. Aquí parece que ciertamente existe tal regla, a saber, ¡que todo conjunto está en él! La trampa parece residir en que estamos ad­ mitiendo el mismo estatus para esta magnífica colección que el que da­ mos a cada uno de sus miembros, a saber, llamar simplemente «conjun­ to» a ambos tipos de colecciones. El argumento general depende de que tengamos una idea clara de qué es realmente un conjunto.Y una vez que tengamos tal idea, surge la pregunta: ¿debe realmente contarse como un conjunto la propia colección de todos estos objetos? Lo que Cantor y Russell nos han dicho es que ¡la respuesta a esta pregunta debe ser no! De hecho, la forma en que los matemáticos han llegado a entender esta situación aparentemente paradójica consiste en imaginar que se ha hecho algún tipo de distinción entre «conjuntos» y «clases». (Pensemos en las clases como grandes objetos rebeldes de los que no se supone que se afilian a clubes, mientras que los conjuntos se consideran siem­ pre suficientemente respetables para que sí lo hagan.) Hablando con crudeza, a una colección de conjuntos cualesquiera se le podría consi­ derar como una totalidad, y a semejante colección se la denominaría una clase. Algunas clases son lo bastante respetables para que a ellas mis­ mas se las considere como conjuntos, pero otras clases se consideran «demasiado grandes» o «demasiado revueltas» para que cuenten como conjuntos. Por otra parte, no estamos autorizados necesariamente para reunir clases para formar entidades mayores. Así pues, el «conjunto de !!l!J. [16. 14] Demuestre que es esto lo que sucede. 511

§16.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

todos los conjuntos» no está permitido (ni está permitida la «clase de todas las clases») , pero la «clase de todos los conjuntos» sí se considera legítima. Cantor denotó a esta clase suprema por D, y le atribuyó un significado casi deístico. No se nos permite formar clases más grandes que D. El problema con «2n» residiría en que implica «reunir» todas las diferentes «subclases» de n, muchas de las cuales no son propiamente conjuntos, de modo que esto no está permitido. En todo ello hay algo que parece bastante insatisfactorio. Tengo que confesar que yo mismo me siento insatisfe cho. Este procedimien­ to podría ser razonable si hubiera un criterio claro y tajante que nos dijera cuándo una clase está realmente cualificada para ser un conjun­ to. Sin embargo, la «distinción» parece estar hecha a menudo de un modo muy circular. Se estima que una clase es un conjunto si y solo si puede ser ella misma un miembro de alguna otra clase, lo que ¡me pa­ rece una petición de principio! El problema está en que no hay ningún lugar obvio en donde trazar la línea divisoria. Una vez que se ha traza­ do una línea, no pasa mucho tiempo sin que parezca que la línea se ha trazado de una forma muy restringida. No parece que haya ninguna ra­ zón para no incluir algunas clases mayores (o más rebeldes) en nuestro club de conjuntos. Por supuesto, se tiene que evitar una contradicción flagrante; pero resulta que cuanto más liberales son las reglas de admi­ sión al club de conjuntos, más potentes son los métodos de demostra­ ción matemática que proporciona el conc epto de conjunto. ¡Pero si abrimos una rendija suficientemente ancha en la puerta de este club, se producirá el desastre -¡CONTRADICCI Ó N!-, ¡y el edificio ente­ ro se vendrá abajo! El trazado de la línea es uno de los procedimientos más dificiles y delicados de las matemáticas. 1 1 Muchos matemáticos preferirían retroceder ante un liberalismo tan extremo, adoptando incluso un enfoque «constructivista» rígidamente conservador, según el cual solo se admite un conjunto si existe una construcción directa que nos permita decir cuándo un elemento per­ tenece al conj unto y cuándo no. ¡Ciertamente, el axioma de elección sería un criterio inadmisible bajo reglas tan estrictas! Pero el caso es que estos conservadores extremos no son más inmunes al corte diago­ nal de Cantor que los liberales extremos. Tratemos de ver dónde está la dificultad. 512

LA ESCALERA DEL INFINITO

§ 1 6.6

1 6.6. LAS MÁQUINAS DE TURING Y EL TEOREMA DE GODEL En primer lugar, necesitamos una noción de lo que significa «cons­ truin algo en matemáticas. Es mejor que restrinj amos la atención a subconj untos del conjunto N de los números naturales, al menos para nuestras consideraciones presentes. ¿Podemos pedir que tales subcon­ j untos estén definidos «constructivamente»? Por fortuna, tenemos a nuestra disposición una noción maravillosa introducida por varios ló­ gicos 1 2 del primer tercio del siglo xx y establecida sobre una base cla­ ra por Alan Turing en 1 936. Se trata de la noción de computabilidad; y puesto que los computadores electrónicos se han hecho ahora tan fa­ miliares para nosotros, bastará probablemente con que me refiera a las acciones de estos dispositivos fisicos en lugar de presentar las ideas re­ levantes en términos de alguna formulación matemática precisa. En términos aproximados, una computación (o algoritmo) es lo que realizaría un computador idealizado, donde «idealizado» significa que puede se­ guir funcionando sin «gastarse» durante un período de tiempo indefi­ nido, que nunca comete errores, y que tiene un espacio de almacena­ miento ilimitado. Matemáticamente, una entidad semej ante es lo que, en efecto, se denomina una máquina de Turing. 1 3 Cualquier máquina de Turing particular T corresponde a una computación específica que puede llevarse a cabo sobre los números naturales. La acción de T sobre el número natural concreto n se escri­ be T( n) , y normalmente realizamos esta acción para dar algún (otro) número natural m:

T(n)

=

m.

Ahora una máquina de Turing podría tener la propiedad de que se queda «bloqueada» (o «entra en un bucle») porque la computación que está ejecutando no termina nunca. Diré que una máquina de Turing es defectuosa si no termina su ejecución cuando se aplica a algún número natural n. La llamaré efectiva si, por el contrario, siempre termina, cual­ quiera que sea el número que se le presenta. Un ejemplo de una máquina de Turing T que nunca termina (de­ fectuosa) sería la que, cuando se le presenta n, trata de encontrar el nú­ mero natural más pequeño que no es la suma de n cuadrados (02 = O 513

§16.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

incluido) . Encontramos T(O) = 1 , T( l ) = 2, T(2) = 3, T(3) = 7 (que significa, por ejemplo, en el caso de la última ecuación: «7 es el núme­ ro más pequeño que no es la suma de 3 cuadrados») , l1 6· 15l pero cuando T se aplica a 4, sigue computando para siempre, tratando de encontrar un número que no sea la suma de cuatro cuadrados. La causa de que nues­ tra máquina se cuelgue es un famoso teorema que se debe al gran ma­ temático franco-italiano del siglo XVIII Joseph L. Lagrange, que fu e capaz de demostrar que todo número natural es la suma d e cuatro cua­ drados. (Más adelante, Lagrange tendrá una gran importancia para no­ sotros en un contexto diferente, ¡muy especialmente en los capítulos 20 y 26!) Cada máquina de Turing individual (ya sea defectuosa o efectiva) tiene cierta «tabla de instrucciones» que caracteriza el algoritmo con­ creto que ejecuta esta máquina de Turing concreta. Dicha tabla de ins­ trucciones puede especificarse completamente mediante un «código», que podemos escribir como una secuencia de dígitos. Podemos rein­ terpretar esta secuencia como un número natural t; así pues, t codifi c a el «programa» que permite que la máquina lleve a cabo su algoritmo concreto. La máquina de Turing que está codificada por el número na­ tural t será denotada por Tr" Quizá la codificación no funcione para to­ dos los números naturales t; si no lo hace por alguna razón, entonces podemos referirnos a T, como «defectuosa», además de aquellos casos recién considerados en los que la máquina no se detiene cuando se aplica a algún n. Las únicas máquinas de Turing efectivas T, son aque­ llas que dan una respuesta al cabo de un tiempo finito, cuando se apli­ can a cualquier n individual. Una de las hazañas fundamentales de Turing consistió en darse cuenta de que es posible especificar una única máquina de Turing, lla­ mada una máquina de Turing universal U, que puede imitar la acción de cualquier máquina de Turing. Todo lo que se necesita es que U actúe primero sobre el número natural t, que especifi c a la máquina de Turing concreta T, que tiene que ser imitada, después de lo cual U actúa sobre el número n, de modo que puede proceder a evaluar T1(n). (Los mo� [16.15] Dé una descripción aproximada de cómo podría realizarse nuestro algo­ ritmo y explique estos valores concretos. 514

LA ESCALERA DEL INFINITO

§16.6

dernos computadores de propósito general son, en esencia, tan solo máquinas de Turing universales.) Escribiré esta acción combinada en la forma U(t, n), de modo que

U(t, n) = T1(n). Sin embargo, deberíamos tener en cuenta que se supone que las máquinas de Turing definidas aquí actúan solo sobre un único número natural, y no sobre un par tal como (t, n). Pero no es dificil codificar un par de números naturales como un único número natural, como he­ mos visto antes (por ejemplo, en el ejercicio [16.8]). La propia máqui­ na U estará definida por algún número natural, digamos u, de modo que tenemos

U= T. 11

¿Cómo podemos decir si una máquina de Turing es efectiva o de­ fectuosa? ¿Podemos encontrar algún algoritmo para tomar esta deci­ sión? Uno de los logros importantes de Turing consistió en demostrar que ¡la respuesta a esta pregunta es «no»l La demostración es una apli­ cación del corte diagonal de Cantor. Consideraremos el conj unto N , como antes, pero ahora en lugar de considerar todos los subconjuntos de N, consideramos solo aquellos subconjuntos para los cuales es una cuestión computacional el decidir si un elemento está o no en el con­ junto. (Estos no pueden ser todos los subconjuntos de N, puesto que el número de computaciones diferentes es solo X0 , mientras que el nú­ mero de todos los subconjuntos de N es C.) Tales conjuntos definidos computacionalmente se denominan recursivos. De hecho, cualquier sub­ conjunto recursivo de N está definido por la salida de una máquina de Turing efectiva T, del tipo particular que solo da O o 1 . Si T(n) = 1 , en­ tonces n es un miembro del conjunto recursivo definido por T («den­ tro») , mientras que si T(n) = O, entonces n no es un miembro («fuera») . Ahora aplicamos el argumento de Cantor igual que antes, pero solo a los subconj untos recursivos de N . El argumento nos dice enseguida que el conj unto de los números naturales t para los que T1 es efectiva no puede ser recursivo. ¡ No hay algoritmo, aplicable a todas las máquinas de Turing T, que nos diga si T es o no defectuosa! Vale la pena detenerse en este razonamiento un poco más detalla515

§16.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

damente. Lo que el argumento de Turing/Cantor demuestra en realidad es que el conj unto de los t para los que T1 es efectiva no es siquiera re­ cursivamente numerable. ¿Qué es un subconj unto de N recursivamente numerable? Es un conjunto de números naturales para los que existe una máquina de Turing efectiva T que, con el tiempo, genera cada miembro (posiblemente más de una vez) de dicho conj unto cuando se aplica a O, 1 , 2, 3, 4, . . . sucesivamente. (Es decir, m es un miembro del conjunto si y solo si m = T(n) para algún número natural n.) Un sub­ conj unto S de N es recursivo si y solo si es recursivamente numerable y su complemento N - S es también recursivamente numerable. r1 6· 1 5l La su­ puesta correspondencia 1-1 con la que el argumento de Turing/ Cantor obtiene una contradicción es una numeración recursiva de las máquinas de Turing efectivas. Una pequeña reflexión nos dice que lo que hemos aprendido es que no existe ningún algoritmo general que nos diga cuándo la acción de una máquina de Turing T1(n) no llegará a detenerse. Lo que esto nos dice en definitiva es que a pesar de las esperanzas que se pudieran haber tenido en una postura de «conservadurismo ex­ tremo», en la que los únicos conj untos aceptables serían aquellos -los conjuntos recursivos- cuya admisión está determinada por reglas com­ putacionales tajantes, este punto de vista nos conduce inmediatamente a tener que considerar conj untos que son no recursivos. Este punto de vista tropieza incluso con la dificultad fundamental de que no existe ningún modo computacional de decidir en general si dos conj untos re­ cursivos son el mismo o son conjuntos diferentes, si están definidos por dos máquinas de Turing efectivas diferentes T1 y T/ 6· 1 71 Además, este tipo de problema reaparece una y otra vez en diferentes niveles, cuan­ do tratamos de restringir nuestra noción de «conj unto» con un punto de vista demasiado conservador. Siempre nos vemos llevados a consi­ derar clases que no pertenecen a nuestra familia de conjuntos previa­ mente admitidos. Estas cuestiones están estrechamente relacionadas con el famoso teor1l!?_ [16.16] Demuéstrelo. rJlf?_ [16. 17] ¿Puede ver por qué es así? Sugerencia: En el caso de la acción de una má­

"'

quina de Turing arbitraria T aplicada a n, podemos considerar una máquina de Turing efectiva Q que tiene la propiedad de que Q(r) = O si T aplicada a n no se ha detenido al cabo de r pasos computacionales y Q(r) = 1 si lo ha hecho. Tome la suma mod 2 de Q(n) y T,(n) para obtener T,(n). 516

LA ESCALERA DEL INFINITO

§16.6

rema de Kurt Godel. Este estaba interesado en la cuestión de los méto­ dos de demostración que están disponibles para los matemáticos. Des­ de comienzos del siglo xx, y durante muchos años después, los mate­ máticos habían intentado evitar las paradojas (tales como la paradoja de Russell) que surgían cuando se hacía un uso excesivamente liberal de la teoría de conjuntos, para lo que introdujeron la idea de un sistema matemático forma l, de acuerdo con el cual había que establecer una serie de reglas absolutamente precisas acerca de qué líneas de razonamiento iban a contar como demostración matemática. Lo que Godel demos­ tró es que este programa no funcionaría. Demostró, en efecto, que si estamos dispuestos a aceptar que las reglas de un sistema formal seme­ j ante F deben ser fi a bles y darnos solo conclusiones matemáticamente correctas, entonces también debemos aceptar como correcto cierto enunciado matemático preciso G (F) , aunque concluyendo que G(F) no es demostrable por los métodos de F solamente. Así, Godel nos de­ muestra cómo trascender cualquier F en el que estamos dispuestos a confiar. Existe la idea equivocada de que el teorema de Godel nos dice que existen «proposiciones matemáticas indemostrables», y que esto impli­ ca que existen regiones del «mundo platónico» de verdades matemáti­ cas (véase § 1 .4) que, en principio, nos son inaccesibles. Esto está muy lejos de la conclusión que deberíamos sacar del teorema de Godel. Lo que Godel realmente nos dice es que cualesquiera que sean las reglas de demostración que hayamos establecido por adelantado, si ya acepta­ mos que dichas reglas son dignas de confianza (i.e. , que no nos permi­ ten deducir falsedades) y no son demasiado limitadas, entonces dispo­ nemos de un nuevo medio de acceso a ciertas verdades matemáticas para cuya deducción aquellas reglas particulares no son lo bastante po­ tentes. El resultado de Godel se sigue del de Turing (aunque histórica­ mente las cosas sucedieron al revés). ¿Cómo funciona esto? El punto importante acerca de un sistema formal es que no se necesita ningún juicio matemático adicional para comprobar si se han aplicado correc­ tamente las reglas de F. Decidir la corrección de una demostración matemática de acuerdo con F tiene que ser una cuestión completa­ mente computacional. Observamos que, para cualquier F, el conj unto 517

§16.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

de teoremas matemáticos que pueden ser demostrados utilizando sus reglas es necesaria y recursivamente numerable. Ahora algunos enunciados matemáticos bien conocidos pueden expresarse de la forma «la acción de tal y cual máquina de Turing no termina». Ya hemos visto un ejemplo, a saber, el teorema de Lagrange según el cual todo número natural es la suma de cuatro cuadrados. Otro ejemplo aún más famoso es el «último teorema de Fermat», de­ mostrado a finales del siglo xx por Andrew Wiles (§ 1 .3). 1 4 Otro ejem­ plo (aunque no resuelto) es la bien conocida «conjetura de Goldbach», según la cual todo número par mayor que dos es la suma de dos nú­ meros primos. Los enunciados de esta naturaleza son conocidos por los lógicos matemáticos como II 1 -sentencias. Se sigue ahora inmediata­ mente del anterior argumento de Turing que la familia de I1 -senten­ 1 cias verdaderas constituye un conjunto no recursivamente numerable. Así pues, existen I1 1 -sentencias verdaderas que no pueden obtenerse a partir de las reglas de F (donde suponemos que F es fiable) . Esta es la forma básica del teorema de Godel. De hecho, examinando los deta­ lles de este con más atención, podemos afinar el argumento de modo que obtenemos la versión del mismo que hemos establecido antes, y obtener una I1 1 -sentencia específica G(F) , que, si creemos que F pro­ p orciona solo n i -sentencias verdaderas, debe escapar de la red arrojada por F a pesar del hecho notable de que debemos concluir que G(F) es también una I1 1 -sentencia verdadera Y 6· 1 8l

1 6.7. TAMAÑOS DE INFINITOS EN FÍSICA Por último, veamos qué relación guardan estas cuestiones del infinito y la constructibilidad con las matemáticas de nuestros capítulos anterio­ res y con nuestra comprensión actual de la física. A la vista de la estre­ cha relación entre matemáticas y física, es quizá notable que cuestiones de una importancia tan básica en matemáticas como la teoría de con­ juntos transfinitos y de la computabilidad solo hayan tenido por el mo­ mento un impacto limitado sobre nuestra descripción del mundo físitm_ [16.18] Vea si puede establecerlo. 518

LA ESCALERA DEL INFINITO

§1 6.7

co. Mi opinión personal es que con el tiempo descubriremos que las cuestiones de computabilidad tienen una profunda relevancia para la teoría física futura, 1 5 aunque por el momento estas ideas se hayan uti­ lizado muy poco en física matemática. 1 6 Con respecto al tamaño de los infinitos que han encontrado valor, resulta bastante sorprendente que solo una pequeña parte de la teoría fisica parezca necesitar ir más allá de C ( = 2x..) , la cardinalidad del siste­ ma de los números reales �- La cardinalidad del campo complejo IC es la misma que la de � (a saber, C) , puesto que e es simplemente � X � (pares de números reales) con ciertas leyes de suma y multiplicación definidas en él. Análogamente, los espacios vectoriales y las varieda­ des que hemos considerado están construidos a partir de familias de puntos a los que se les pueden asignar coordenadas a partir de un � X � X . . . X � (o iC X iC X . . . X iC) o a partir de cartas coordenada fi­ nitas (o infinitas numerables, i.e., en número �0) , y una vez más la car­ dinalidad es C. ¿Qué sucede con las familias de funciones en tales espacios? Si consideramos, pongamos por caso, la familia de todas las funciones con valores reales en cierto espacio con C puntos, entonces encontramos, a partir de las consideraciones anteriores, que la familia tiene ce miem­ bros (al ser aplicaciones de un espacio de C elementos en un espacio de C elementos) . Esto es ciertamente mayor que C. De hecho, ce = 2e. (Esto se sigue de que cada elemento de �¡¡;¡ puede ser reinterpretado como un elemento particular de 2¡;¡ x ¡¡;¡, a saber, como una sección trans­ versal (normalmente lejos de ser continua) del fibrado � X �. y la car­ dinalidad de � X � es C.) Sin embargo, las funciones (o los campos tensoriales, o las conexiones) reales (o complejas) continuas en una va­ riedad son solo C en número, porque una función continua está deter­ minada una vez que se conocen sus valores en el conjunto de puntos con coordenadas racionales. El número de estos es precisamente Cx'', puesto que el número de puntos con coordenadas racionales es preci­ samente �0 • Pero ex. = (2x..) x" = 2x. x x.. = 2x. = C .r16 1 91 En §§6.4,6 hemos considerado ciertas generalizaciones de las funciones continuas, que lle¡B [16.19] Explique por qué (A8)c puede identificarse con A8x e, para conjuntos A, B, C. 519

§16.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

van a la gran generalización conocida como hipeifunciones (§9.7). Sin embargo, una vez más el número de estas no es mayor que C, puesto que están definidas por pares de funciones holomorfas (cada una de ellas en número C) . En §22.3 veremos que la teoría cuántica requiere el uso de ciertos espacios, conocidos como espacios de Hilbert, que pueden tener infinitas dimensiones. Sin embargo, aunque estos espacios concretos de dimen­ sión infinita difieren de manera significativa de los espacios de di­ mensión finita, no hay en ellos más funciones continuas que en el caso de dimensión finita, y de nuevo tenemos que el número total es C. La mejor apuesta para llegar más alto que esto está relacionada con la for­ mulación de integrales de camino de la teoría cuántica de campos (como se expondrá en §26.6), cuando se considera un espacio de cur­ vas de apariencia incontrolada (o de configuraciones de campos físicos de apariencia incontrolada) en el espaciotiempo. Sin embargo, parece que seguimos obteniendo e para el número total, puesto que, a pesar de su incontrolabilidad, hay un resto suficiente de continuidad en estas estructuras. La noción de cardinalidad no parece suficientemente refinada para recoger el concepto apropiado de tamaño para los espacios que encon­ tramos en física. Casi todos los espacios de importancia tienen simple­ mente C puntos en ellos. Sin embargo, existe una gran diferencia entre los «tamaños» de dichos espacios, que en primera instancia considera­ mos simplemente como la dimensión del espacio vectorial o variedad M en consideración. Esta dimensión de M puede ser un número na­ tural (por ejemplo, 4, en el caso del espaciotiempo ordinario, o 6 X 1 0 19 , en el caso del espacio de fases considerado en § 1 2 . 1 ) , o podría ser infinito, tal como sucede con (la mayoría de) los espacios de estados de Hilbert que aparecen en mecánica cuántica. Desde el punto de vis­ ta matemático, el espacio de Hilbert más simple de dimensión infinita es el espacio de sucesiones (z l ' z2 , z3 , ) de números complej os para las cuales la suma infinita j z 1 j 2 + j z2 J 2 + j z3 j 2 + . . . converge. En el caso de un espacio de Hilbert de dimensión infinita, es más apropiado pensar que esta dimensionalidad es X0 . (Existen varios puntos sutiles acerca de esto, pero es mej or que no entremos en ello ahora.) Para un espacio n-real dimensional, diré que tiene «oo"» puntos (lo que expresa • • •

520

LA ESCALERA DEL INFINITO

§ 1 6.7

que este continuo de puntos está organizado en una disposición n-di­ mensional) . En el caso de dimensión infinita, me referiré a esto como ((l:x/''» puntos. También estamos interesados en los espacios de varios tipos de campos definidos en M. Normalmente estos se toman suaves, aunque a veces son más generales (por ejemplo, distribuciones) y entran den­ tro del ámbito de la teoría de hiperfunciones (véase §9. 7) . Pueden es­ tar suj etos a ecuaciones diferenciales (en derivadas parciales) que res­ tringen su libertad. Si no están restringidos de este modo, entonces cuentan como «funciones de n variables», para una M n-dimensional (donde n = 4 para el espaciotiempo estándar) . En cada punto el campo puede tener k componentes independientes. Entonces diré que la li­ bertad en el campo es ookª"' . La explicación para esta notación 17 está en que los campos pueden considerarse (cruda y localmente) como apli­ caciones de un espacio con oo" puntos en un espacio con oo k puntos, y nos aprovecharemos de la relación notacional (formal) k\oo"

oo ) = ookoo".

(

Cuando los campos están restringidos por ecuaciones en derivadas parciales apropiadas, entonces puede darse el caso de que estén com­ pletamente determinados por las condiciones iniciales de los campos (véase §27 . 1 en particular) , es decir, por algunos datos subsidiarios del campo especificados en cierto espacio S de menor dimensión, por ejem­ plo, de q dimensiones. Si los datos pueden expresarse libremente en S (lo que significa, básicamente, que no están suj etos a ligaduras, que son ecuaciones diferenciales o algebraicas que los datos tendrían que satis­ facer en S) , y si estos datos constan de r-componentes independientes en cada punto de S, entonces diré que la libertad en el campo es oo""''. En muchos casos, no es nada fácil encontrar r y q, pero lo importante es que parecen ser cantidades invariantes, independientes de cómo pue­ dan reexpresarse los campos en términos de otras' cantidades equiva­ lentes. 18 Estas cuestiones cobrarán gran importancia más adelante (cf. §23.2 y §§3 1 . 1 0- 1 2, 1 5-17).

521

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

N otas Secci6n 1 6. 2 1 6. 1 . Véanse Stephenson ( 1 972) , §7; Howie ( 1 989), pp. 269-27 1 , y Hirsch­ feld ( 1 998); los discos mágicos son equivalentes a lo que se denominan conjuntos con diferencia perfecta. 1 6.2. Al parecer se desconoce si existen discos mágicos (que no surgen ne­ cesariamente de un 1?3(1F)) para los que el teorema de Desargues (o, de manera e quivalente, el de Pappos) siempre falla -o, en realidad, si exis­ ten planos proyectivos finitos no desarguianos (equivalentemente, no pappianos). 1 6.3. De todas formas, a veces se ha sugerido un papel físico para los octo­ niones (véanse, por ejemplo, Gürsey y Tze, 1 996; Dixon, 1 994; Mano­ gue y Dray, 1 999, y Dray y Manogue, 1 999); pero hay dificultades fun­ damentales para la construcción de una «mecánica cuántica octoniónica» general (Adler, 1 995), y la situación con respecto a una «mecánica cuántica cuaterniónica» es solo un poco más positiva. Otro sistema de números, sugerido en una ocasión como candidato para un papel físico importante, es el de los «números p-ádicos». Estos consti­ tuyen sistemas de números a los que se aplican las reglas del cálculo in­ finitesimal, y pueden expresarse como números reales ordinarios desa­ rrollados de forma decimal, salvo que los dígitos representan O, 1 , 2, 3, . . . , p -1 (donde p se escoge primo) y se permite que sean infinitos en el sentido contrarío de lo que sucede en el caso de los decimales ordina­ rios (y no necesitamos signo menos) . Por ejemplo, . . . . . . 2403320041 1 ,3 1 04 representa un número 5-ádico concreto. Las reglas para sumar y multi­ plicar son las mismas que para la aritmética p-aria «ordinaria» (en la que el símbolo « 1 0» representa el primo p, etc.) .Véanse Mahler ( 1 9 8 1 ) , Gouvea (1 993) , Brekke y Frend ( 1 993) ,Vladimirov y Volovich (1 989) y Pitkaenen ( 1 995) .

Secci6n 1 6. 3 1 6.4. L a terminología matemática moderna llama a esto u n isomorfismo. Hay otras palabras tales como «endomorfismo», «epimorfismo» y «mo­ nomorfismo» (o, simplemente, «morfismo») que los matemáticos tien­ den a utilizar en un contexto general para caracterizar aplicaciones en-

522

LA ESCALERA DEL INFINITO

Notas

tre un conj unto o estructura y otro. Prefiero evitar este tipo de termi­ nología en este libro, pues creo que para acostumbrarse a esto se nece­ sita un esfuerzo excesivo. 1 6 . 5 . Para algunas elucubraciones aun anteriores de esta naturaleza, véase Moore ( 1 990), capítulo 3. 1 6.6. Recordemos de la nota 1 5 .5 que he estado dispuesto a adoptar un abu­ so de notación donde N - O representa el conjunto de números natu­ rales distintos de cero. Aquí se da la ironía de que si se adoptara el apa­ rentemente «más correcto» N - { O } , aunque adoptando también los procedimientos de §3.4, donde O = 1 , ¡deberíamos acabar en el inclu­ so más confuso «N - 1» para el conjunto bajo consideración! 1 6.7. Véanse Wagon ( 1 985) y para una exposición divulgativa, Runde (2002).

Sección 1 6. 5 1 6 . 8 . Comentarios similares se aplican a la hipótesis del continuo generalizada de Cantor: 2 K. = xa+ l (donde a es ahora un «número ordinal», cuya de­ finición no he discutido aquí) , y estos comentarios se aplican también al axioma de elección. 1 6.9. Véase Russell ( 1 903) , p. 362, segunda nota final [en la edición de 1 937) . 16. 1 0. VéaseVan H eij enoort ( 1 967), p. 1 1 4. 1 6. 1 1 . Véase Woodin (200 1 ) para un nuevo enfoque de estas materias. Para referencias generales sobre los fundamentos de las matemáticas, véanse Abian ( 1 96 5) y Wilder ( 1 965) .

Sección 1 6. 6 1 6 . 1 2. Los precursores de Turing fu eron, en general, Alonzo Church, Has­ kell B. Curry, Stephen Kleene, Kurt Godel y Emil Post; véase Gandy (1 988) . 1 6. 1 3. Para una descripción detallada de una máquina de Turing, véanse Pen­ rose ( 1 989), capítulo 2; por ej emplo, Davis ( 1 978) , o la referencia ori­ ginal, Turing ( 1 93 7) . 1 6 . 14. Véanse Singh ( 1 997) y Wiles ( 1 995) .

Sección 1 6. 7 1 6 . 1 5. Véase Penrose ( 1 989, 1 994, 1 997a) . 1 6. 1 6. Véanse Komar ( 1 964) y Geroch y Hartle (1 986), §34.7. 1 6 . 1 7. Debo esta útil notación a john A.Wheeler; véase Wheeler (1 960) , p. 67.

523

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

1 6 . 1 8. Véase Cartan ( 1 945) , especialmente §§68,69, pp. 75 y 76 (edición ori­ ginal) . Hay que tener cuidado en garantizar que la cantidad r en oo'"'' se cuenta correctamente. Dos sistemas pueden ser equivalentes, pero te­ ner valores r que parecen diferir a primera vista. Sin embargo, no pue­

de haber ambigüedad en la determinación del valor de q. El tratamien­ to moderno riguroso de estas cuestiones hace las cosas más claras; viene dado en términos de la teoría de fibrados en chorro (véase Bryant et al., 1 9 9 1 ) . Puede mencionarse que existe un refinamiento de la notación ' de Wheeler (véase Penrose, 2003) , donde, por ejemplo, 002"'' + 3"' + 5 significa «los campos dependen de 2 funciones de 2 variables, 3 fun­ ciones de una variable, y 5 constantes». Nos vemos así llevados a con­ siderar expresiones como oc!'"', donde p denota un polinomio con coe­ ficientes enteros no negativos.

17

Espacio tiempo 17 . 1 . EL ESPACIOTIEMPO DE LA FÍSICA ARISTOTÉLICA De ahora en adelante nuestra atención se volverá desde las considera­ ciones básicamente matemáticas que nos han ocupado en los capítulos anteriores a las imágenes reales del mundo fisico a las que nos han lle­ vado la teoría y la observación. Empecemos tratando de entender ese escenario en el que parecen tener lugar todos los fenómenos del uni­ verso fisico: el espaciotiempo. ¡Encontraremos que esta noción desempe­ ña un papel vital en casi todo lo que sigue en este libro! Antes de nada, debemos preguntarnos: ¿por qué «espaciotiempo»? 1 ¿ Qué hay de erróneo en considerar espacio y tiempo por separado, en lugar de intentar unificar estas dos nociones aparentemente muy dife­ rentes? Pese a lo que parece ser una percepción común sobre esta cues­ tión, y pese al soberbio uso que hizo Einstein de esta idea en su for­ mulación de la teoría de la relatividad general, el espaciotiempo no fue una idea original de Einstein ni, según parece, él se mostró muy entu­ siasmado cuando oyó hablar de ella por primera vez. Además, si echa­ mos una ojeada retrospectivamente a las magníficas intuiciones «relati­ vistas» más antiguas de Galileo y Newton, observamos que también ellos pudieron, en principio, haber sacado grandes ventajas de la pers­ pectiva espaciotemporal. Para entender esto, retrocedamos mucho más en la historia y trate­ mos de ver qué tipo de estructura espaciotemporal hubiera sido ade­ cuada para el armazón dinámico de Aristóteles y sus contemporáneos. En la fisica aristotélica existe una noción de 3-espacio euclídeo IE3 para representar el espacio fisico, y los puntos de este espacio mantienen su 525

§ 17.1

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 17 1 ¿Es el movimien­ to físico similar al que se percibe en una pantalla de cine? Un punto concreto de la pantalla (aquí marca­ do «X») retiene su identi­ dad independientemente de qué movimiento se pro­ yecte sobre él. .

.

identidad de un instante al siguiente. Esto se debe a que, en el esquema aristotélico, el estado de reposo es dinámicamente preferido a todos los demás estados de movimiento. Adoptamos la postura de que un punto espacial concreto, en un instante de tiempo, es el mismo punto espacial, en un instante de tiempo posterior, si una partícula situada en dicho punto se mantiene en reposo al pasar de un instante al siguiente. Nues­ tra imagen de la realidad es como la pantalla de una sala de cine, don­ de un punto concreto de la pantalla retiene su identidad independien­ temente de qué tipo de movimientos vigorosos pudieran proyectarse en ella.Véase la Fig. 1 7 . 1 . También el tiempo se representa como un espacio euclídeo, aun­ que uno bastante trivial, a saber, el espacio 1 -dimensional IE1• Así pues, consideramos el tiempo, tanto como el espacio físico, como una «geo­ metría euclídea», en lugar de ser solo una copia de la recta real IR. Esto se debe a que � tiene un elemento privilegiado O que representaría el «cero» de tiempos, mientras que en nuestra visión dinámica «aristotéli­ ca» no tiene que haber ningún origen privilegiado. (En esto estoy adoptando una visión idealizada de lo que pudiera llamarse «dinámica aristotélica», o «física aristotélica», ¡y no adopto ningún punto de vista respecto a lo que el Aristóteles real pudiera haber pensado!) 2 Si existie­ ra un «origen de tiempos» privilegiado, podría concebirse que las leyes dinámicas cambian a medida que transcurre el tiempo a partir de dicho origen privilegiado. Sin un origen privilegiado, las leyes deben seguir siendo las mismas todo el tiempo, porque no hay ningún parámetro tem­ poral privilegiado del que dichas leyes puedan depender. 526

ESPACIOTIEMPO

§17.1

De modo análogo, estoy adoptando el punto de vista de que no existe ningún origen espacial privilegiado, y que el espacio se prolon­ ga indefinidamente en todas direcciones, con completa uniformidad en las leyes dinámicas (una vez más, ¡ con independencia de lo que pudie­ ra haber creído el Aristóteles real!). En la geometría euclídea, ya sea 1 -dimensional o 3-dimensional, existe una noción de distancia. En el caso espacial 3-dimensional, esta va a ser la distancia euclídea ordina­ ria (medida en metros, o en pies, pongamos por caso) ; en el caso 1-di­ mensional, esta distancia es el intervalo de tiempo ordinario (medido, digamos, en segundos) . En la fisica aristotélica -y en los esquemas dinámicos posterio­ res de Galileo y Newton- existe una noción absoluta de simultanei­ dad temporal. Así, de acuerdo con estos esquemas dinámicos, tiene un significado absoluto decir que el tiempo aquí, en este preciso instante, mientras escribo esto sentado en el despacho de mi casa en Oxford, es «el mismo tiempo» en el que tiene lugar cierto suceso en la gala­ xia Andrómeda (por ej emplo, la explosión de una supernova) . Para volver a nuestra analogía con la pantalla de un cine, podemos pre­ guntar si dos imágenes proyectadas que ocurren en dos lugares muy separados de la pantalla están teniendo lugar simultáneamente o no. La respuesta en este caso es evidente. Los sucesos deben considerarse simultáneos si y solo si ocurren en el mismo fotograma proyectado. Así pues, no solo tenemos una noción clara de si dos sucesos (tem­ poralmente separados) ocurren o no en la misma localización espa­ cial de la pantalla, sino que también tenemos una noción clara de si dos sucesos (espacialmente separados) ocurren o no al mismo tiem­ po. Además, si las localizaciones espaciales de los dos sucesos son di­ ferentes, tenemos una noción clara de la distancia entre ellos, ya ocu­ rran o no al mismo tiempo (i.e., la distancia medida a lo largo de la pantalla) ; asimismo, si los tiempos de los dos sucesos son diferentes, tenemos una clara noción del intervalo temporal entre ellos, ocurran o no en el mismo lugar. Lo que esto nos dice es que en nuestro esquema aristotélico es apro­ piado considerar el espaciotiempo como el simple producto

527

EL CAMINO A LA REALIDAD

§ 17 .2

que llamaré espaciotiempo aristotélico. Este es simplemente el espacio de pares (t, x) , donde t es un elemento de IE 1 , un «instante de tiempo», y x es un elemento de IE 3 , un «punto en el espacio». (Véase la Fig. 1 7 . 2 .) Para dos puntos diferentes de IE 1 X IE 3 , digamos (t, x) y (t ' , x ' ) -i.e., dos sucesos diferentes-, tenemos una noción bien definida de su separa­ ción espacial, a saber, la distancia entre los puntos x y x ' de IE3 , y tene­ mos también una noción bien definida de su diferencia temporal, a sa­ ber, la separación entre t y t ' medida en IE 1 • En particular, sabemos si dos sucesos ocurren o no en el mismo lugar (anulación del desplaza­ miento espacial) .y si tienen lugar o no al mismo tiempo (anulación de la diferencia temporal).

17 2 EL ESPACIOTIEMPO PARA LA RELATIVIDAD GALILEANA .

.

Veamos ahora qué noción de espaciotiempo es apropiada para el es­ quema dinámico introducido por Galileo en 1 638. Queremos incor­ porar el principio de relatividad galíleana en nuestra imagen espaciotem­ poral. Tratemos de recordar lo que afirma este principio. No hay mej or manera de hacerlo que citar al propio Galileo (según una traducción de Stillman Drake 3 que doy aquí solo de forma abreviada; y recomien­ do encarecidamente un análisis de la cita entera para quienes tengan acceso a ella) : Encerraos con un amigo en la cabina principal bajo la cubierta de un barco grande, y llevad con vosotros moscas, mariposas, y otros pequeños animales voladores . . . colgad una botella que se vacíe gota a gota en un

Fig. 17 .2. El espaciotiempo aris­ totélico A = [1 X [3 es el espacio de pares (t, x) , donde t («tiempo») recorre un 1 -espacio euclídeo [1, y x («punto en el espacio») reco­ rre un 3-espacio euclídeo [3 •

Tiempo Espacio 528

ESPACIOTIEMPO

§17.2

amplio recipiente colocado por debajo de la misma . . . haced que el bar­ co vaya con la velocidad que queráis, siempre que el movimiento sea uniforme y no haya fluctuaciones en un sentido u otro. . . . Las gotas cae­ rán . . . en el recipiente inferior sin desviarse hacia la popa, aunque el barco haya avanzado mientras las gotas están en el aire . . . las mariposas y las moscas seguirán su vuelo por igual hacia cada lado, y no sucederá que se concentren en la popa, como si se cansaran de seguir el curso del barco . . .

Lo que Galileo nos enseña es que las leyes dinámicas son exacta­ mente las mismas cuando se refieren a cualquier sistema de referencia en movimiento uniforme. (Este era un ingrediente esencial de su en­ tusiasta aceptación del esquema copernicano, en el que se p ermite que la Tierra esté en movimiento sin que advirtamos directamente dicho movimiento, en contraposición a su estatus necesariamente estaciona­ rio que tenía en el marco aristotélico anterior.) No hay nada que dis­ tinga la física del estado de reposo de la del movimiento uniforme. Te­ niendo en cuenta lo que se ha señalado antes, lo que esto nos dice es que no tiene significado dinámico decir que un punto particular en el espacio es, o no es, el mismo punto que un punto escogido en el espa­ cio en un instante posterior. En otras palabras, ¡nuestra analogía con la pantalla del cine es inadecuada! No hay un espacio de fondo -una «pantalla»- que permanece fij o mientras el tiempo pasa. No podemos decir significativamente que un punto particular p en el espacio (por ejemplo, el punto de la señal de admiración en el teclado de mi orde­ nador portátil) es, o no es, el m ismo punto del espacio que era hace un minuto. Para abordar esta cuestión con más fuerza, consideremos la ro­ tación de la Tierra. S egún este movimiento, un punto fij o en la super­ ficie de la Tierra (pongamos por caso en la latitud de Oxford) se habrá movido unos dieciséis kilómetros durante el minuto en cuestión. En consecuencia, el punto p que yo acababa de seleccionar estará situado ahora en algún lugar en las proximidades de la vecina ciudad de Wit­ ney, o más allá. ¡Pero esperen! No he tomado en consideración el mo­ vimiento de la Tierra alrededor del Sol. Si lo hago, entonces encuentro que p estará ahora aproximadamente cien veces más lejos, pero en di­ rección contraria (porque es un poco después del mediodía, y la su529

EL CAMINO A LA REALIDAD

§17.2

perficie de la Tierra, aquí, se mueve ahora en dirección contraria a su movimiento alrededor del Sol) , y la Tierra se habrá alejado de p a tal extremo que p está ahora ¡más allá del límite de la atmósfera terrestre! Pero ¿no debería haber tenido en cuenta el movimiento del Sol alre­ dedor del centro de nuestra Vía Láctea? ¿Y qué pasa con el «movi­ miento propio» de la galaxia misma dentro del grupo local? ¿O con el movimiento del grupo local respecto al centro del cúmulo Virgo, o del cúmulo Virgo respecto al cúmulo Coma, o del cúmulo Coma respecto al «Gran Atractor»? (§27 . 1 1 .) Evidentemente deberíamos tomar en serio a Galileo. No se puede atribuir ningún significado a la idea de que un punto concreto del es­ pacio dentro de un minuto debe considerarse el mismo punto del espa­ cio que el que yo he escogido. En la dinámica galileana no tenemos so­ lamente un 3-espacio euclídeo IE3 como escenario para las acciones del mundo fisico que evoluciona con el tiempo, sino que tenemos un IE 3 diferente para cada instante de tiempo, sin ninguna identificación natu­ ral entre estos diversos IE3 • Puede resultar alarmante que nuestra misma noción de espacio fi­ sico parezca ser algo que se evapora por completo a cada instante que pasa y reaparec e como un espacio completamente diferente cuando

Espacio IEI

Tiempo Fig. 17.3. El espaciotiempo galileano Q es un fibrado con espacio base IE 1 y fibra IE 3, de modo que no se da identificación punto a punto entre diferentes fibras IE 3 (no hay es­ pacio absoluto), mientras que a cada suceso espaciotemporal se le asigna un tiempo vía la proyección canónica (tiempo absoluto). (Compárese con la Fig. 1 5.2, pero la pro­ yección canónica a la base se muestra aquí en horizontal.) Las historias de partículas (líneas de universo) son secciones transversales del fibrado (compárese con la Fig. 1 5.6a), estando mostrados aquí los movimientos inerciales de partículas como lo que especifica la estructura de Q, esto es, líneas de universo «rectas». 530

ESPACIOTIEMPO

§17.3

llega el instante siguiente. Pero las matemáticas del capítulo 15 vienen ahora en nuestra ayuda, pues esta situación es precisamente lo que he­ mos estudiado allí. El espaciotiempo galileano g no es un espacio produc­ to IE 1 X IE3 ; ¡es un espacio fibrado4 con espacio base IE 1 y fibra IE 3 ! En un fibrado no hay identificación puntual entre una fibra y la siguiente; de todas formas, las fibras encajan para formar una totalidad conexa. A cada suceso espaciotemporal se le asigna de forma natural un tiempo, como un elemento particular de un «espacio-reloj » específico IE 1 , pero no hay ninguna asignación natural de una localización espacial en un «espacio de localización» específico IE3 . En el lenguaj e de fibrados de § 1 5 .2, esta asignación natural de un tiempo se consigue mediante la proyección canónica de g en IE 1 • (Véase la Fig. 1 7 .3; compárese también con la Fig. 1 5.2.)

17 .3. LA DINÁMICA NEWTONIANA EN TÉRMINOS DEL ESPACIOTIEMPO Toda esta imagen «fibrada» del espaciotiempo está muy bien, pero ¿cómo vamos a expresar la dinámica de Galileo-Newton en términos de la misma? No es sorprendente que cuando Newton llegó a formular sus leyes de la dinámica se viera llevado a una descripción en la que pare­ cía favorecer una noción de «espacio absoluto». De hecho, Newton era, al menos inicialmente, tan relativista galileano como el propio Galileo. Esto queda claro por el hecho de que en su formulación ori­ ginal de las leyes del movimiento establecía explícitamente como ley fundamental el principio de relatividad de Galileo (según el cual las leyes de la fisica deberían ser ciegas ante un cambio de un sistema de re­ ferencia en movimiento uniforme a otro, al ser absoluta la noción de tiempo como se manifiesta en la imagen anterior del espaciotiempo galileano Q) . Originalmente, Newton había propuesto cinco (o seis) leyes, de las que la ley 4 era el principio galileano, 5 pero más tarde las simplificó, en sus Principia, hasta quedarse en las tres «leyes de Newton» que ahora nos son familiares. En efecto, se había dado cuenta de que estas eran su­ ficientes para derivar todas las demás. Para hacer preciso el marco con­ ceptual para sus leyes, necesitaba adoptar un «espacio absoluto» con 531

§17.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

respecto al cual se describirían sus movimientos. Si la noción de «espa­ cio fibrado» hubiera existido en aquella época (lo que desde luego es una posibilidad inverosímil) , entonces habría sido c oncebible que Newton formulara sus leyes de un modo que es completamente «inva­ riante galileano». Pero sin dicha noción es dificil ver cómo podría ha­ ber procedido Newton sin introducir algún concepto de «espacio ab­ soluto», que es lo que hizo en realidad. ¿Qué tipo de estructura debemos asignar a nuestro «espaciotiem­ po galileano» Q? Sería, por supuesto, demasiado fuerte dotar a nuestro espacio fibrado Q de una conexión fibrada (§1 5 .7). 11 7· 1 1 Lo que debe­ mos hacer en su lugar es dotarle de algo que esté de acuerdo con la primera ley de Newton. Esta ley afirma que el movimiento de una par­ tícula sobre la que no actúa ninguna fuerza debe ser uniforme y en lí­ nea recta. Esto se denomina movimiento inercial. En términos espacio­ temporales, el movimiento (i.e., «historia») de cualquier partícula, ya sea movimiento inercial o no, está representado por una curva, deno­ minada línea de universo de la partícula. De hecho, en nuestro espacio­ tiempo galileano, las líneas de universo deben ser siempre secciones transversales del fibrado galileano; véanse § 1 5 . 3 1 1 7 ·21 y la Fig. 1 7 . 3 . La noción de «uniforme y en línea recta», en términos espaciales ordina­ rios (un movimiento inercial) , se interpreta simplemente como «rec­ to», en términos espaciotemporales. Así pues, el fibrado galileano 9 debe tener una estructura que codifica la noción de «rectitud» de lí­ neas de universo. Una manera de decirlo es establecer que 9 es un es­ pacio cifín (§1 4 . 1 ) en el que la estructura afín, cuando se restringe a fi­ bras individuales IE3, coincide con la estructura afín euclídea de cada IE3. Otra forma es especificar simplemente la 006 familia de líneas rec­ tas que reside de forma natural en IE 1 X IE 3 (los movimientos uniformes «aristotélicos») y considerar que estas proporcionan la estructura de «línea recta» del fibrado galileano, aunque «olvidando» la estructura producto real del espaciotiempo aristotélico A. (Recordemos que 006 significa una familia 6-dimensional; véase § 1 6.7.) Pero otra manera consiste en afirmar que el espaciotiempo galileano, considerado como � [17.1] ¿Por qué? � [17 .2] Explique la razón para esto. 532

ESPACIOTIEMPO

§17.3

una variedad, posee una conexión que tiene curvatura y torsión nulas (que es muy diferente de poseer una conexión fibrada, cuando se con­ sidera como un fibrado sobre IE 1 ) . P 7 -3l De hecho, este tercer punto de vista es el más satisfac torio, pues permite la generalización que necesitaremos en §§ 17 .5, 9 para descri­ bir la gravitación de acuerdo con las ideas de Einstein. Teniendo una conexión definida en Q, disponemos de una noción de geodésica (§1 4.5), y estas geodésicas (aparte de las que son simplemente líneas rectas en los IE3s individuales) definen los movimientos inerciales de Newton. Tam­ bién podemos considerar líneas de universo que no sean geodésicas. En términos espaciales ordinarios, estas representan movimientos de par­ tículas que se aceleran. La magnitud real de dicha aceleración viene medida, en términos espaciotemporales, como una curvatura de la lí­ nea de universo. [1 7 ·41 Según la segunda ley de Newton, esta aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre la partícula dividida por la masa de esta. (Esta es la «f = ma» de Newton en la forma a = f-:- m, siendo a la aceleración de la partícula, m su masa y fla fuerza total que actúa so­ bre ella.) Así pues, la curvatura de una línea de universo, para una par­ tícula de masa dada, da una medida directa de la fuerza total que actúa sobre la partícula. En mecánica newtoniana estándar, la fuerza total sobre una partí­ cula es la suma (vectorial) de las contribuciones de todas las demás par­ tículas (Fig. 1 7.4a) . En cualquier IE3 particular (es decir, en cualquier instante) , la contribución a la fuerza sobre una partícula actúa a lo lar­ go de la recta que une las dos que yacen en ese IE 3 particular. Es decir, actúa simu ltáneamente entre las dos partículas. (Véase la Fig. 1 7.4b.) La tercera ley de Newton afirma que la fuerza ejercida por una de estas par­ tículas sobre la otra es siempre de la misma magnitud y de sentido opuesto a la fuerza que esta última ejerce sobre la primera. Además, para cada tipo de fuerza diferente existe una ley defuerzas que nos dice cuál debe ser la magnitud de la fuerza en función de la distancia espa� [17 .3] Explique estas tres formas con más detalle, demostrando por qué todas dan la misma estructura. l1'J!J. [17.4] Trate de escribir una expresión para dicha curvatura en términos de la co­ nexión V. ¿Qué condición de normalización se necesita (si se necesita alguna) para los vectores tangentes? 533

EL CAMINO A LA REALIDAD

§ 1 7 .3

I •,

'

'

'

•

I

'

(b)

Fig. 17.4. (a) Fuerza newtoniana: en cualquier instante la fuerza total sobre una partí­ cula (flecha doble) es la suma vectorial de las contribuciones (atractivas o repulsivas) de todas las demás partículas. (b) Dos líneas de universo de dos partículas y la fuerza en­ tre ellas actuando «instantáneamente» en una línea que une las dos partículas en cual­ quier instante dentro del IE1 particular definido por el instante. La tercera ley de New­ ton afirma que la fuerza que una ejerce sobre la otra es igual en magnitud y de sentido contrario a la fuerza que la segunda ejerce sobre la primera.

cial entre las partículas, y qué parámetros deben utilizarse para cada tipo de partícula, lo que describe la escala global de dicha fuerza. En el caso particular de la gravedad, esta función es la inversa del cuadrado de la distancia, y la escala global viene dada por cierta constante G, lla­ mada constante gravitatoria de Newton, multiplicada por el producto de las dos masas implicadas. En términos de símbolos, obtenemos la bien conocida fórmula de Newton según la cual la fuerza de atracción que sobre una partícula de masa m ejerce otra partícula de masa M si­ tuada a una distancia r de ella es

GmM r

-

Es notable cómo a partir de estos simples ingredientes surge una teoría de extraordinaria potencia y versatilidad, que p uede utilizarse con gran precisión para describir el comportamiento de cuerpos ma­ croscópicos (y, para muchas consideraciones básicas, también cuerpos microscópicos) , siempre que sus velocidades sean significativamente menores que la de la luz. En el caso de la gravedad, el acuerdo entre la teoría y las observaciones es especialmente evidente, debido a las muy detalladas observaciones de los movimientos planetarios en nuestro sis534

ESPACIOTIEMPO

§17.4

tema solar. Hoy día se sabe que la teoría de Newton es exacta hasta una parte en 1 07 , lo que es una hazaña realmente impresionante, so­ bre todo si se tiene en cuenta que la exactitud de los datos de los que tuvo que partir Newton era solo de una diezmilésima de esto (una parte en 1 03) .

1 7.4. E L PRINCIPIO D E EQUIVALENCIA Pese a esta extraordinaria precisión, y al hecho de que la gran teoría de Newton no tuvo prácticamente rival durante casi doscientos cincuen­ ta años, en la actualidad sabemos que esta teoría no es exacta; además, para mejorar el esquema de Newton se necesitó la perspectiva mucho más profunda y revolucionaria de Einstein con respecto a la naturaleza de la gravitación. No obstante, esta perspectiva por sí misma no altera en absoluto la teoría de Newton en lo que respecta a cualquier conse­ cuencia observacional. Los cambios se dan solo cuando se combina la perspectiva de Einstein con otras consideraciones relacionadas con la fi­ nitud de la velocidad de la luz y las ideas de la relatividad especial, que se describirán en §§17.6-8. La combinación completa, que da lugar a la relatividad general de Einstein, se verá en términos cualitativos en § 1 7.9 y con todo detalle en § § 1 9.6-8. ¿Cuál es entonces la perspectiva más profunda de Einstein? Es la comprensión de la importancia fundamental del principio de equivalen­ cia. ¿Qué es el principio de equivalencia? La idea esencial se remonta (¡una vez más!) al gran Galileo (a finales del siglo XVI , aunque tuvo precursores, a saber, Simon Stevin en 1 586, e incluso otros anteriores, tales como Ioannes Philiponos, en el siglo v o VI) . Recordemos el (su­ puesto) experimento de Galileo, que consistió en dejar caer dos pie­ dras, una grande y otra pequeña, desde lo alto de la torre inclinada de Pisa (Fig. 17 .Sa) . La gran intuición de Galileo era que las dos caerían a la vez, suponiendo que pudieran despreciarse los efectos de la resis­ tencia del aire. Dejara o no caer realmente las piedras desde la torre in­ clinada, realizó otros experimentos que le convencieron de esta con­ clusión. El primer punto que se debe señalar aquí es que esta es una pro535

EL CAMINO A LA REALIDAD

§17.4

\ {¡'l t:"'\ � � � (b)

(a)

Fig. 17.5. (a) Experimento (supuesto) de Galileo. Se dejan caer dos piedras, una gran­ de y otra pequeña, desde lo alto de la torre inclinada de Pisa. La idea de Galileo era que si pueden ignorarse los efectos de la resistencia del aire, las dos caerían al mismo tiem­ po. (b) Bolas de médula (de la misma masa pequeña) con cargas de signo opuesto en un campo eléctrico dirigidas hacia el suelo. Una carga «caería» hacia abajo, pero la otra subiría.

piedad particular del campo gravitatorio, y no se espera de ninguna otra fuerza que actúe sobre cuerpos. La propiedad de la gravedad de la que depende la intuición de Galileo es el hecho de que la intensidad de la fuerza gravitatoria ejercida por un campo gravitatorio sobre un cuerpo es proporcional a la masa de dicho cuerpo, mientras que la resistencia al movimiento (la cantidad m que aparece en la segunda ley de New­ ton) es también la masa. Es útil distinguir estas dos nociones de masa y llamar masa gravitatoria a la primera y masa inercial a la segunda. (Tam­ bién podríamos distinguir la masa gravitatoria pasiva de la activa. La masa pasiva es la contribución m en la fórmula de Newton de la inver­ sa del cuadrado de la distancia GmM/f, cuando consideramos la fuer­ za gravitatoria sobre la partícula m debida a la partícula M. Cuando consideramos la fuerza sobre la partícula M debida a la partícula m, en­ tonces la masa m aparece en su papel activo. Pero la tercera ley de New­ ton decreta que las masas activa y pasiva son iguales, de modo que no voy a distinguirlas aquí.) 6 Así pues, la intuición de Galileo depende de 536

ESPACIOTIEMPO

§17.4

la igualdad (o, más correctamente, la proporcionalidad) de las masas gravitatoria e inerte. Desde la perspectiva del esquema dinámico global de Newton, po­ dría parecer que el hecho de que las masas inercial y gravitatoria sean iguales es un golpe de suerte de la naturaleza. Si el campo no fuera gra­ vitatorio, sino, pongamos por caso, un campo eléctrico, entonces el re­ sultado sería completamente diferente. El análogo eléctrico a la masa gravitatoria pasiva es la carga eléctrica, mientras que la masa inercial (i.e., la resistencia a la aceleración) es exactamente la misma que en el caso gravitatorio (i. e., sigue siendo la m de la segunda ley de Newton f ma). La diferencia es obvia si en lugar del par de piedras de Galileo se toma un par de bolas de médula de la misma masa pequeña pero con cargas opuestas. En un campo eléctrico dirigido hacia el suelo, una car­ ga «caerá» hacia abajo, pero la otra subirá hacia arriba: ¡una aceleración en la dirección exactamente opuesta! (véase la Fig. 17 .Sb) . Esto puede ocurrir porque la carga eléctrica de un cuerpo no guarda relación con su masa inercial, incluso hasta el punto de que su signo puede ser dife­ rente. La idea de Galileo no se aplica a las fuerzas eléctricas; es una ca­ racterística especial de la gravedad. ¿Por qué a esta característica de la gravedad se le llama «el princi­ pio de equivalencia»? La «equivalencia» se refiere al hecho de que un campo gravitatorio uniforme es equivalente a una aceleración. El efec­ to resulta muy familiar en un vuelo aéreo, donde podemos hacernos una idea completamente equivocada de dónde está «abaj o» cuando nos encontramos en el interior de un avión que está realizando un movi­ miento acelerado (que podría ser simplemente un cambio de direc­ ción) . Los efectos de la aceleración y del campo gravitatorio de la Tie­ rra no pueden distinguirse de forma sencilla por lo que «sentimos» dentro del avión, y los dos efectos en dos direcciones diferentes pue­ den sumarse para dar una sensación de dónde «debería estar» abajo, que (quizá para nuestra sorpresa cuando miremos por la ventanilla) puede ser muy diferente de la dirección hacia abajo real. Para ver por qué esta equivalencia entre aceleración y los efectos de la gravedad es precisamente la idea de Galileo que se ha descrito antes, consideremos de nuevo sus piedras en caída mientras descienden des­ de lo alto de la torre inclinada. Imaginemos un insecto situado en una

=

537

§17 .4

EL CAMINO A LA REALIDAD

de las piedras y que mira a la otra. Para el insecto, parece que la otra piedra se cierne inmóvil, como si no hubiera ningún campo gravitato­ rio en absoluto. (véase la Fig. 1 7.6a.) La aceleración que el insecto comparte mientras cae con las piedras cancela el campo gravitatorio, y es como si la gravedad estuviera totalmente ausente, hasta que las pie­ dras y el insecto chocan contra el suelo y la experiencia «ingrávida» 7 termina abruptamente. Estamos familiarizados con las imágenes de astronautas que tienen también experiencias «ingrávidas», aunque evitan el dificil y abrupto final de nuestro insecto al estar en órbita alrededor de la Tierra (Fig. 1 7. 6b) (¡o en un avión que sale de su picado en el momento oportu­ no!) . Una vez más, ellos están simplemente en caída libre, como el in­ secto, pero en una trayectoria escogida de forma más sensata. El hecho de que la gravedad pueda ser neutralizada de este modo por la acelera­ ción (mediante el uso del principio de equivalencia) es una consecuen­ cia directa del hecho de que la masa gravitatoria (pasiva) es la misma que (o proporcional a) la masa inercial, el hecho mismo que subyace en la gran intuición de Galileo. Si vamos a tomar en serio el principio de equivalencia, entonces debemos adoptar una postura diferente de la que hemos adoptado en § 17 .3 con respecto a lo que debería contar como un «movimiento inercial». Previamente, un movimiento inercial se distinguía como el

. "

(a)

Fig. 17.6. (a) Para un insecto que repta en una piedra de la Fig. 17.Sa, la otra piedra parece cernirse sin movimiento, como si el campo gravitatorio estuviese ausente. (b) Análogamente, un astronauta que orbita libremente se siente libre de gravedad, y la es­ tación espacial parece cernirse sin movimiento, pese a la obvia presencia de la Tierra. 538

ESPACIOTIEMPO

§17.5

tipo de movimiento que se da cuando una partícula está sometida a una fuerza externa total nula. Pero con la gravedad tenemos una difi­ cultad. Debido al principio de equivalencia no hay un modo local de decir si una fuerza gravitatoria está actuando o si lo que se «siente» como una fuerza gravitatoria puede ser solo el efecto de una acelera­ ción. Además, como sucede con nuestro insecto en la piedra o nuestro astronauta en órbita, la fuerza gravitatoria puede ser eliminada simple­ mente cayendo en caída libre. Y puesto que podemos eliminar de esta forma la fuerza gravitatoria, debemos adoptar una actitud diferente ha­ cia ella. Esta fue la visión profundamente nueva de Einstein: considerar que los movimientos inerciales son los movimientos que siguen las partí­ culas cuando las fuerzas totales de origen no gravitatorio que actúan sobre ellas son nulas, de modo que las partículas deben estar en caída libre en el campo gravitatorio (y así la fuerza gravitatoria efectiva se re­ duce también a cero) . Así pues, la trayectoria de caída de nuestro in­ secto y el movimiento orbital de nuestro astronauta alrededor de la Tierra deben contar como movimientos inerciales. Por el contrario, al­ guien que solo esté de pie en el suelo no está realizando ningún movi­ miento inercial, en el esquema einsteniano, porque permanecer quieto en un campo gravitatorio no es un movimiento de caída libre. Para Newton, eso hubiera contado como inercial, porque el «estado de re­ poso» debe contar siempre como «inercial» en el esquema newtoniano. La fuerza gravitatoria que actúa sobre la persona está compensada por la fuerza hacia arriba ejercida por el suelo, pero no son c ero por sepa­ rado como requiere Einstein. Por otra parte, los movimientos del in­ secto o del astronauta no son inerciales de acuerdo con Newton.

1 7 . 5 . EL «ESPACIOTIEMPO NEWTONIANO» DE CARTAN ¿Cómo incorporamos la noción de Einstein de un movimiento «iner­ cial» en la estructura del espaciotiempo? Para dar un paso en la direc­ ción de la teoría de Einstein completa, será útil proceder primero a cierta reformulación de la teoría gravitatoria de Newton de acuerdo con la perspectiva de Einstein. Como se ha mencionado al principio de § 17.4, esto no representa realmente un cambio en la teoría de N ew539

§17.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

ton, sino que proporciona meramente una descripción diferente de la misma.Al hacer esto me estoy tomando otra libertad con la historia, ya que tal reformulación fue propuesta por el destacado geómetra y alge­ brista Élie Cartan -cuya importante influ encia sobre la teoría de los grupos continuos se ha señalado en el capítulo 13 (y recordemos tam­ bién § 12.5)- unos seis años después de que Einstein hubiera estable­ cido su revolucionario punto de vista. En términos generales, en el esquema de Cartan son los movi­ mientos inerciales en este sentido einsteniano, antes que en el sentido newtoniano, los que proporcionan las líneas de universo «rectas» del es­ paciotiempo. En caso contrario, la geometría es similar a la galileana de § 17.2. Voy a llamarlo el espaciotiempo newtoníano N, puesto que el campo gravitatorio newtoniano va a estar completamente codificado en su estructura. (Quizá debería haberlo llamado «cartaniano», pero esta es una palabra horrible. En cualquier caso, Aristóteles no conocía los espacios producto, ¡ni Galileo conocía los espacios fibrados!) El espaciotiempo N va a ser un fibrado con espacio base IE 1 y fibra 3 IE , igual que en el caso de nuestro anterior espaciotiempo galileano 9. Pero ahora va a haber algún tipo de estructura en N diferente de la de 9, porque la familia de líneas de universo «rectas» que representan mo­ vimientos inerciales son diferentes; véase la Fig. 1 7 . 7 a. Al menos son esencialmente diferentes en todos los casos excepto en aquellos en los que el campo gravitatorio puede ser eliminado por completo median­ te una elección del sistema de referencia global en caída libre. Tal ex­ cepción sería un campo gravitatorio newtoniano que es absolutamen­ te constante (tanto en magnitud como en dirección) en todo el espacio, aunque puede variar en el tiempo. A un observador en caída libre en dicho campo no le parecería que hay campo en absoluto. ll7.SJ En tal caso, la estructura de N sería la misma que la de 9 (Fig. 1 7 .7b,c) . Pero la mayoría de los campos gravitatorios cuentan como «esencial­ mente diferentes» de la ausencia de un campo gravitatorio. ¿Podemos ver por qué? ¿Podemos reconocer cuándo es la estructura de N dife­ rente de la de 9? Llegaremos a esto enseguida. � [17 .5] Encuentre una transformación explícita de x como función de t que hace esto para un campo gravitatorio newtoniano F(t) que es constante en el espacio en cualquier instante, pero variable en el tiempo tanto en intensidad como en dirección. 540

ESPACIOTIEMPO

§ 1 7.5

-

-

-

IE' Tiempo

(a)

(e)

Fig. 17.7. (a) El espaciotiempo de Newton-Cartan N, como el caso galileano particu­ lar Q, es un fibrado con espacio base IE 1 y fibra IE3 • Su estructura la proporciona la fa­ milia de movimientos «inerciales», en el sentido de Einstein de caída libre baj o grave­ dad. (b) El caso especial de un campo gravitatorio newtoniano constante en todo el espacio. (c) Su estructura es completamente equivalente a la de Q, como puede verse «deslizando» horizontalmente las fibras IE 3 hasta que todas las líneas de universo de caí­ da libre son rectas.

La idea consiste en que la variedad N va a poseer una conexión, como sucedía en el caso particular Q. Las geodésicas de esta c onexión, V (véase § 1 4.5), van a ser las líneas de universo «rectas» que represen­ tan movimientos inerciales en el sentido einsteniano. Esta conexión será libre de torsión (§1 4.4) , pero en general tendrá curvatura (§1 4.4) . Es la presencia de esta curvatura la que hace a algunos campos gravi­ tatorios «esencialmente diferentes» de la ausencia de campo gravitato­ rio, en contraste con el campo espacialmente constante que se acaba 541

§ 17.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

de considerar. Tratemos de entender el significado físic o de esta cur­ vatura. Imaginemos a un astronauta, Albert, a quien nos referiremos como «A», en caída libre en el espacio ligeramente por encima de la atmósfe­ ra terrestre. Es útil considerar que A está precisamente en el momento en que empieza a caer hacia la superficie de la Tierra, pero no importa realmente cuál sea la velocidad del astronauta; es su aceleración, y la aceleración de sus partículas vecinas, la que nos interesa. A podría estar en una órbita segura y no necesita estar cayendo hacia el suelo. Imagi­ nemos que hay una esfera de partículas que rodea a A, e inicialmente en reposo con respecto a A. Ahora, en términos newtonianos ordina­ rios, las diversas partículas en esta esfera estarán acelerándose hacia el centro de la Tierra, E, en diversas direcciones ligeramente diferentes (puesto que la dirección de E diferirá ligeramente para las diferentes partículas) y la magnitud de esta aceleración también variará (puesto que variará la distancia a E) . Nos interesarán las aceleraciones relativas, comparadas con la aceleración del astronauta A, puesto que estamos in­ teresados en lo que un observador inercial (en el sentido einstenia­ no) -en este caso A- observará que está sucediendo a las partículas inerciales próximas. La situación se ilustra en la Fig. 1 7 .8a. Aquellas partículas que están desplazadas horizontalmente respecto a A se ace­ lerarán hacia E en direcciones que apuntan ligeramente hacia dentro con relación a la aceleración de A, debido a la distancia finita al centro de la Tierra, mientras que aquellas partículas que están desplazadas ver­ ticalmente respecto a A se acelerarán ligeramente hacia fuera con rela­ ción a A porque el campo gravitatorio decrece con la distancia a E. En c onsecuencia, la esfera de partículas se distorsionará. De hecho, esta distorsión, para partículas próximas, transformará la esfera en un elip­ soide de revolución, un elipsoide (prolato) que tiene su eje mayor (el eje de simetría) a lo largo de la recta AE. Además, la distorsión inicial de la esfera será un elipsoide cuyo volumen es igual al de la esfera Y 7 ·6l Esta última propiedad es característica de la ley de la inversa del cua­ drado de la gravedad newtoniana, un hecho notable que tendrá imr!Jg_ [17 6] Deduzca estas diversas propiedades, dejando claro mediante el uso de la no­ tación O( . . . ) a qué orden se pretende que sean válidas estas afirmaciones. .

542

§17.5

ESPACIOTIEMPO

(b)

Fig. 17.8. (a) Efecto de marea. El astronauta A (Albert) rodeado por una esfera de par­ tículas vecinas inicialmente en reposo con respecto a A. En términos newtonianos, es­ tas tienen una aceleración hacia el centro de la Tierra E, que varía ligeramente en di­ rección y magnitud (flechas simples). Restando la aceleración de A de cada una de ellas obtenemos las aceleraciones relativas a A (flechas dobles); esta aceleración relativa está dirigida ligeramente hacia dentro para aquellas partículas desplazadas horizontalmen­ te de A, pero ligeramente hacia fuera para las desplazadas verticalmente de A. En con­ secuencia, la esfera se distorsiona para dar un elipsoide (prolato) de revolución, con eje de simetría en la dirección AE. La distorsión inicial conserva el volumen. (b) Movamos ahora A al centro de la Tierra E y movamos la esfera de partículas hasta que rodee a E justo sobre la atmósfera. La aceleración (relativa a A = E) es hacia dentro en toda la es­ fera, con una aceleración de reducción de volumen inicial 4'lTGM, donde M es la masa total rodeada.

portancia para nosotros cuando lleguemos a la relatividad general de Einstein propiamente dicha. Debería advertirse que este efecto de con­ servación de volumen solo tiene validez inicialmente, cuando las par­ tículas parten del reposo respecto a A; de todas formas, con esta salvedad, es una característica general de los campos gravitatorios newtonianos, cuando A está en una región vacía. (Por el contrario, la simetría rota­ cional del elipsoide es un accidente de la simetría de la geometría con­ creta considerada aquí.) Ahora bien, ¿cómo tenemos que considerar todo esto en términos de nuestra imagen espacio temporal N? En la Fig. 1 7.9a he tratado de indicar qué aspe cto tendría esta situación para las líneas de universo 543

EL CAMINO A LA REALIDAD

§17.5

(b)

(a)

Fig. 17.9. Versiones espaciotemporales de la Fig. 17.8 (en la imagen N de New­ ton-Cartan de la Fig. 17.7), en términos de la distorsión relativa de geodésicas vecinas. (a) Desviación geodésica en espacio vacío (básicamente, la curvatura de Weyl de §19. 7) vista en las líneas de universo de A y las partículas que la rodean (se ha suprimido una dirección espacial), tal como podría inducirse a partir del campo gravitatorio de un cuerpo próximo E. (b) La correspondiente aceleración hacia dentro (básicamente, la curvatura de Ricci) debida a la densidad de masa dentro del haz de geodésicas.

de A y las partículas que le rodean. (Por supuesto, he tenido que pres­ cindir de una dimensión espacial porque ¡es dificil representar una geometría genuinamente 4-dimensional! Afortunadamente, dos di­ mensiones espaciales son suficientes aquí para transmitir la idea esen­ cial.) Nótese que la distorsión de la esfera de partículas (representada como un círculo de partículas) aparece a causa de la desviación geodé­ sica de las geodésicas que están en la vecindad de la línea de universo geodésica de A. En § 1 4. 5 he indicado por qué esta desviación geodé­ sica es, de hecho, una medida de la curvatura R de la conexión V. En términos fisicos newtonianos, el efecto de distorsión que aca­ bo de describir es lo que se denomina el efecto de marea de la gravedad. La razón de esta terminología se hace evidente si dejamos que E y A intercambien sus papeles, de modo que ahora consideramos que A está en el centro de la Tierra pero con la Luna (o quizá el Sol) localizada en E. Consideremos que la esfera de partículas es la superficie de los océanos de la Tierra, de modo que vemos que hay un efecto de dis­ torsión debido al campo gravitatorio no uniforme de la Luna (o del 544

ESPACIOTIEMPO

§17.5

Sol) Y 1·7l Esta distorsión es realmente la causa de las mareas oceánicas, de modo que la terminología «efecto de marea» para esta manifestación física directa de la curvatura espaciotemporal es realmente apropiada. De hecho, en la situación que se acaba de considerar el efecto de la Luna (o del Sol) sobre las aceleraciones relativas de las partículas en la superficie de la Tierra es solo una pequeña corrección al efecto gravi­ tatorio principal sobre dichas partículas, a saber, la atracción gravitato­ ria de la propia Tierra. Por supuesto, esta es hacia dentro, a saber, en la dirección del centro de la Tierra (ahora el punto A en nuestra descrip­ ción espacial; véase la Fig. 1 7 .8b) , medido desde la localización indivi­ dual de cada partícula. Si ahora se toma la esfera de partículas alrede­ dor de la Tierra, inmediatamente por encima de la atmósfera terrestre (de modo que podemos ignorar la presión del .aire) , entonces las partí­ culas estarán en caída libre (movimiento inercial einsteniano) hacia dentro en toda la esfera. En lugar de una distorsión de la forma esféri­ ca para dar un elipsoide inicialmente del mismo volumen, ahora tene­ mos una reducción de vo lumen más que una distorsión. En el caso gene­ ral, ambos efectos podrían estar presentes. En el espacio vacío hay solo distorsión y no reducción de volumen inicial; cuando la esfera rodea la materia, existe una reducción de volumen inicial que es proporcional a la masa total rodeada. Si esta masa es M, entonces la «tasa» inicial de reducción de volumen (como medida de la aceleración hacia dentro) es, de hecho, 41T GM, donde G es la constante gravitatoria de Newton Y 7 ·8l . [l7 .9l De hecho, como demostró Cartan, es posible reformular por com­ pleto la teoría gravitatoria de Newton en términos de condiciones ma� [17.7] Demuestre que esta distorsión de marea es proporcional de mr-3, donde m es la masa del cuerpo gravitante (considerado puntual) y r es su distancia. El Sol y la Luna muestran discos en la Tierra de un tamaño angular aproximadamente igual, pero la distorsión de marea de la Luna sobre los océanos de la Tierra es aproximadamente cinco veces la debida al Sol. ¿Qué nos dice esto sobre sus densidades relativas? � [17 .8] Establezca este resultado, suponiendo que toda la masa está concentrada en el centro de la esfera. !!!!J. [17. 9] Demuestre que este resultado sigue siendo cierto con toda generalidad, in­ dependientemente de cuán grande sea o qué forma tenga la corteza circundante de partículas estacionarias, y de cuál sea la distribución de masa. 545

§17.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

temáticas sobre la conexión V, que básicamente son ecuaciones sobre la curvatura R que proporcionan una expresión matemática precisa de los requisitos antes esbozados, y que relacionan la densidad de materia p (masa por unidad de volumen espacial) con la parte «reductora de volumen» de R. No daré en detalle la descripción de Cartan para esto porque no es necesaria para nuestras consideraciones posteriores, pues la teoría completa de Einstein es, en cierto sentido, más simple. Sin em­ bargo, la idea misma es importante para nosotros, no solo porque nos lleva suavemente a la teoría de Einstein, sino también porque nos ayu­ dará en nuestras consideraciones posteriores en el capítulo 30 (§30. 1 1) , concernientes a los profundos enigmas que nos presenta la teoría cuán­ tica y a su posible solución.

1 7 .6. LA VELOCIDAD FINITA Y FIJA DE LA LUZ En nuestra exposición anterior hemos considerado dos aspectos fun­ damentales de la relatividad general de Einstein, a saber, el principio de relatividad, que nos dice que las leyes de la física son ciegas a la distin­ ción entre reposo y movimiento uniforme, y el principio de equiva­ lencia, que nos dice de qué forma sutil deben modificarse estas ideas para englobar el campo gravitatorio. Ahora debemos dirigirnos al ter­ cer ingrediente fundamental de la teoría de Einstein, que tiene que ver con la finitud de la velocidad de la luz. Es un hecho notable que estos tres ingredientes básicos puedan remontarse a Galileo; en efecto, parece que fue también Galileo el primero que tuvo una expectativa clara de que la luz debería viajar con velocidad finita, hasta el punto de que intentó medir dicha velocidad. El método que propuso (en 1 638), que implica la sincronización de destellos de linternas entre co­ linas distantes, era, como sabemos hoy día, demasiado tosco. Pero él no tenía forma alguna de anticipar la extraordinaria rapidez a la que real­ mente viaja la luz. Parece que tanto Galileo como Newton8 tenían poderosas sospe­ chas respecto a un profundo papel que conecta la naturaleza de la luz con las fuerzas que mantienen la materia unida. Pero la comprensión adecuada de estas ideas tuvo que esperar hasta el siglo xx, cuando se 546

ESPACIOTIEMPO

§17.6

reveló la verdadera naturaleza de las fuerzas químicas y de las fuerzas que mantienen unidos a los átomos individuales. Ahora sabemos que tales fuerzas tienen un origen fundamentalmente electromagnético (que concierne a la implicación del campo electromagnético con partículas cargadas) y que la teoría del electromagnetismo es también la teoría de la luz. Para entender los átomos y la química se necesitan otros ingre­ dientes procedentes de la teoría cuántica, pero las ecuaciones básicas que describen el electromagnetismo y la luz fueron propuestas en 1 865 por el gran físico escocés James Clerk Maxwell, que había sido inspira­ do por los magníficos descubrimientos experimentales de Michael Fa­ raday, unos treinta años antes. Más adelante volveremos a la teoría de Maxwell (§1 9.2) , pero su importancia inmediata para lo que ahora nos ocupa es que requiere que la velocidad de la luz tenga un valor fijo y definido, que normalmente se conoce como «O>, y que en unidades or­ dinarias es de aproximadamente 3 X 1 0 8 metros por segundo. Sin embargo, esto nos presenta un enigma, si queremos conservar el principio de relatividad. El sentido común nos diría que si se mide que la velocidad de la luz toma el valor concreto c en el sistema de re­ poso de un observador, entonces un segundo observador que se mue­ va a una velocidad muy alta con respecto al primero medirá que la luz viaja a una velocidad diferente, aumentada o disminuida, según sea el movimiento del segundo observador. Pero el principio de relatividad exigiría que las leyes físicas del segundo observador -que definen en particular la velocidad de la luz que percibe el segundo observador­ deberían ser idénticas a las del primer observador. Esta aparente con­ tradicción entre la constancia de la velocidad de la luz y el principio de relatividad conduj o a Einstein -como, de hecho, había llevado previa­ mente al físico holandés Hendrick Antoon Lorentz y muy en especial al matemático francés Henri Poincaré- a un punto de vista notable por el que el principio de relatividad del movimiento puede hacerse compatible con la constancia de una velocidad finita de la luz. ¿Cómo funciona esto? Sería natural que creyéramos que existe un conflicto irresoluble entre los requisitos de (a) una teoría, tal como la de Maxwell, en la que existe una velocidad absoluta para la luz, y (b) un principio de relatividad, según el cual las leyes físicas parecen las mismas con independencia de la velocidad del sistema de referencia 547

§17.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

utilizado para su descripción. Pues ¿no podría hacerse que el sistema de referencia se moviera con una velocidad que se acercara o incluso superara a la de la luz? Y según este sistema, ¿no es cierto que la ve­ locidad aparente de la luz no podría seguir siendo la misma que era antes? Esta indudable paradoja no aparece en una teoría, tal como la originalmente preferida por Newton (y yo diría que también por Ga­ lileo) , en la que la luz se comporta como partículas cuya velocidad de­ p ende de la velocidad de la fuente. En consecuencia, Galileo y New­ ton podían seguir viviendo cómodamente con un principio de relatividad. Pero semejante imagen de la naturaleza de la luz había en­ trado en conflicto con la observación a lo largo de los años, como era el caso de las observaciones de estrellas dobles lejanas que mostraban que la velocidad de la luz era independiente de la de su fuente. 9 Por el contrario, la teoría de Maxwell había ganado fuerza, no solo por el po­ deroso apoyo que obtuvo de la observación (muy especialmente en los experimentos de Heinrich Hertz en 1 888) , sino también por la naturaleza convincente y unificadora de la propia teoría, por la que las leyes que gobiernan los campos eléctricos, los campos magnéticos y la luz están todas subsumidas en un esquema matemático de notable ele­ gancia y simplicidad. En la teoría de Maxwell, la luz toma la forma de ondas, no de partículas; y debemos enfrentarnos al hecho de que, en esta teoría, hay realmente una velocidad fija a la que deben viajar las ondas luminosas.

1 7 .7. CONOS

DE LUZ

El punto de vista geométrico-espaciotemporal nos proporciona una ruta particularmente clara hacia la solución de la paradoja que pre­ senta el conflicto entre la teoría de Maxwell y el principio de relativi­ dad. Como he comentado antes, este punto de vista espaciotemporal no fue el que Einstein adoptó originalmente (ni fue el punto de vista de Lorentz, ni siquiera, al parecer, el de Poincaré) . Pero, mirando en re­ trospectiva, podemos ver la potencia de este enfoque. Por el momen­ to, ignoremos la gravedad y las sutilezas y complicaciones asociadas que proporciona el principio de equivalencia. Empezaremos con una 548

ESPACIOTIEMPO

(b)

§17.7

(c)

Fig. 17 .10. El cono de luz especifica la velocidad fundamental de la luz. Historias de fo­ tones que pasan por un punto espaciotemporal (suceso) p. (a) En términos puramente espaciales, el cono de luz (futuro) es una esfera que se expande hacia fuera desde p (fren­ tes de onda). (b) En el espaciotiempo, las historias de fotones que pasan por p barren el cono de luz en p. (c) Puesto que más tarde consideraremos espaciotiempos curvos, es mejor pensar en el cono -frecuentemente denominado el cono nulo en p--- como una estructura local en el espaciotiempo, i.e., en el espacio tangente TP en p.

pizarra en blanco o más bien con una 4 -variedad real sin característi­ cas distintivas. Queremos ver qué podría significar el decir que existe una velocidad fundamental, que va a ser la velocidad de la luz. En cualquier punto (i.e. , «suceso») p en el espaciotiempo podemos con­ cebir la familia de todos los diferentes rayos de luz que pasan por p, en todas las diferentes direcciones espaciales. La descripción espaciotem­ poral es una familia de líneas de universo que pasan por p. Véase la Fig. 1 7 . l üa,b. Será conveniente referirse a dichas líneas de universo como «histo­ rias de fotones» que pasan por p, aunque la teoría de Maxwell conside­ ra la luz como un efecto ondulatorio. Este no es realmente un conflic­ to importante, por diversas razones. En la teoría de Maxwell uno puede considerar un «fotón» como un paquete minúsculo de perturbación electromagnética de muy alta frecuencia, y este se comportará, adecua­ damente para nuestros propósitos, como una pequeña partícula que viaja a la velocidad de la luz. (Alternativamente, podríamos pensar en términos de «frentes de onda» o de lo que los matemáticos llaman «bi­ características», o quizá prefiramos apelar a la teoría cuántica, según la cual también puede considerarse que la luz consiste en «partículas» que en realidad se conocen como «fotones».) 549

§17 7 .

EL CAMINO A LA REALIDAD

En la vecindad de p, la familia de historias de fotones que pasan por

p , tal como se representa en la Fig. 17 .1 Ob, describe un cono en el es­

paciotiempo conocido como el cono de luz en p. Considerar funda­ mental la velocidad de la luz es equivalente en términos espaciotem­ porales a considerar fundamentales los conos de luz. De hecho, desde el punto de vista que es apropiado para la geometría de variedades (véanse los capítulos 12 y 1 4) , suele ser mejor considerar el cono de luz como una estructura en el espacio tangente Tp en p (véase la Fig. 1 7 . l üc) . (Después de todo, estamos interesados en velocidades en p, y una velocidad es algo que está definido en el espacio tangente.) Con frecuencia se utiliza el término cono nulo para esta estructura del espacio tangente -y esta es mi preferencia personal-, reservando el término «cono de luz» para el lugar geométrico real en el espaciotiempo que es barrido por los rayos de luz que pasan por un punto p. Nótese que el cono de luz (o el cono nulo) tiene dos partes: el cono pasado y el cono futuro. Podemos considerar que el cono pasado representa la historia de un destello luminoso que está implosionando hacia p, de modo que toda la luz converge simultáneamente en el suceso p; en correspon­ dencia, el cono futuro representa la historia del destello luminoso de una explosión que tiene lugar en el suceso p.Véase la Fig. 17 . 1 1 . ¿ Cómo vamos a dar una descripción matemática del cono nulo en

Fig. 17 . 1 1 . El cono pasado y el cono futuro. El cono nulo pasado (de vec­ tores nulos pasados) se refiere a la luz que implosiona en p de la misma manera que el cono futuro (de vec­ tores nulos futuros) se refiere a la luz que se origina en p. La línea de uni­ verso de cualquier partícula masiva en p tiene un vector tangente que es de género tiempo (futuro), y por lo tanto yace dentro del cono nulo (fu­ turo) en p.

tangente de género tiempo

550

ESPACIOTIEMPO

p? Los capítulos 1 3

§17.7

y 14 nos han proporcionado la base. Exigimos

que la velocidad de la luz sea la misma en todas las direcciones en p, de modo que un instante después de un destello de luz la configura­ ción espacial que rodea al punto aparece como una esfera antes que como alguna otra forma ovoide. 1 0 Al referirme a «un instante» , quie­ ro decir realmente que estas consideraciones se aplican a la vecindad infinitesimal temporal (tanto como espacial) de p, de modo que es le­ gítimo considerar que esto se está refiriendo realmente a estructuras en el espacio tangente en p. D ecir que el cono nulo parece «esférico» es decir simplemente que el cono está dado por una ecuación en el espacio tangente que es cuadrática. Esto significa que esta ecuación toma la forma donde gab es la forma de índices de cierto [ � ]-tensor g simétrico y no singular, de signatura lorentziana (§ 1 3.8) . 1 1 7 · 1 0l El término «nulo» en «cono nulo» se refiere al hecho de que el vector v tiene longitud cero 2 ( J v J = O) con respecto a la (pseudo)métrica g. En esta etapa lo que nos interesa de g es solo su papel para definir los conos nulos, de acuerdo con la ecuación anterior. Si multiplicamos g por un número real diferente de cero, obtenemos exactamente el mis­ mo cono nulo que antes (véanse también §27 . 1 2 y §33.3). D entro de poco exigiremos que g desempeñe el papel fisico adicional de pro­ porcionar la métrica espaciotemporal, y para esto exigiremos el factor de escala apropiado; pero, por el momento, lo que nos interesa es solo la familia de conos nulos, uno en cada punto espaciotemporal. Para poder asegurar que la velocidad de la luz es constante, adoptamos la postura de que tiene sentido considerar que los conos nulos en suce­ sos diferentes son paralelos entre sí, puesto que «velocidad» en térmi­ nos espaciales se refiere a la «pendiente» en términos espaciotempo­ rales. Esto nos lleva a la imagen del espaciotiempo representada en la Fig. 1 7 . 1 2 .

� [17. 1 0] Explique por qué. 551

§ 1 7.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

¿ ·.·

X: < .•. , X :z ",;. . Z .

.

�-: .

.

:::·(." · .. .

Fig. 17 . 12. El espacio MI de Minkows­ ki es plano y sus conos nulos están dispuestos uniformemente; aquí se muestran todos paralelos.

.

.

1 7 . 8 . EL ABANDONO DEL TIEMPO ABSOLUTO Podemos preguntar ahora si sería apropiado imponer, además, la es­ tructura fibrada del espaciotiempo galileano Q. En otras palabras, ¿po­ demos incluir una noción de tiempo absoluto en nuestra imagen? Esto nos llevaría a una imagen como la de la Fig. 17 . 1 3. Las secciones IE 3 en el espaciotiempo nos darán un elemento 3-plano en cada espacio tan­ gente T , además del cono nulo, como se muestra en la Fig. 17 . 1 3. P Pero, como explicaré con más detalle en el próximo capítulo, g deter­ mina una noción de ortogonalidad que significa que ahora hay una di­ rección temporal privilegiada en cada suceso p (el complemento orto­ gonal con respecto a g de dicho 3-elemento plano), y esta dirección temporal privilegiada nos da un estado de reposo privilegiado en cada suceso. ¡Hemos perdido el principio de relatividad! En términos más prosaicos, este argumento está expresando sim­ plemente la noción de «sentido común» de que si existe una velocidad de la luz absoluta, entonces existe un «estado de reposo» privilegiado con respecto al cual la velocidad parece ser la misma en todas las di­ recciones. Lo que es menos obvio es que este conflicto surge solamente si tratamos de mantener la noción de un tiempo absoluto (o, al menos, un 3-espacio privilegiado en cada T ). Debería quedar claro cómo de­ P bemos proceder. La noción de un tiempo absoluto (y, por consiguiente, de la estructura fibrada de Q y N) debe ser abandonada. En el estadio de sofisticación al que hemos llegado, esto no debería sorprendernos especialmente.Ya hemos visto que el espacio absoluto debe ser aban552

ESPACIOTIEMPO

§17.8

Fig. 17.13. Una noción de tiempo absoluto introducida en M especifi­ caría una familia de secciones [3 que cortan a M y con ello un elemento plano local en cada suceso. Pero cada cono nulo define una (pseudo)mé­ trica g, salvo la proporcionalidad, cuya noción de ortogonalidad deter­ mina un estado de reposo.

donado tan pronto como se adopta seriamente un principio de relati­ vidad siquiera galileano (aunque esta percepción no suele tener un re­ conocimiento tan amplio como debería) . De modo que, por ahora, la aceptación del hecho de que el tiempo no es un concepto absoluto, igual que el espacio no es un concepto absoluto, no debería parecer tan revolucionaria como podríamos haber pensado. Así pues, debemos despedirnos de las secciones IE 3 en el espacio­ tiempo, y aceptar que la única razón de que tengamos un tiempo ab­ soluto tan firmemente incrustado en nuestro pensamiento es que la ve­ locidad de la luz es extraordinariamente grande comparada con las velocidades que nos son familiares. En la Fig. 1 7 . 1 4 he vuelto a dibujar parte de la Fig. 1 7 . 1 3, con una razón de escala horizontal/vertical que es un poco más próxima a la que sería adecuada para las unidades nor­ males que solemos utilizar en la vida cotidiana. Pero solo está un poco más próxima, puesto que debemos tener en cuenta que en unidades ordinarias, segundos para el tiempo y metros para la distancia, ponga­ mos por caso, encontramos que la velocidad de la luz está dada por e =

299 792 458 metros/segundo,

¡ que es realmente un valor exacto! 1 1 Puesto que nuestros diagramas (y nuestras fórmulas) espaciotemporales parecen tan complicados en uni­ dades convencionales, una práctica común al trabaj ar en la teoría de la relatividad es la de utilizar unidades para las que e = 1 . Esto significa que si escogemos un segundo como nuestra unidad de tiempo, entonces debemos utilizar un segundo luz (i.e., 299792458 metros) para nuestra unidad de distancia; si utilizamos el año como nuestra unidad de tiem­ po, entonces utilizamos el año luz (aproximadamente 9,45 X 1 0 15 me553

EL CAMINO A LA REALIDAD

§17.S

Fig. 17. 14. El cono nulo redibujado, de modo que las escalas espacial y tempo­ ral estén ligeramente más próximas a las de la expe­ riencia normal.

tros) como la unidad de distancia; si queremos utilizar un metro como nuestra medida de distancia, entonces debemos utilizar para nuestra medida de tiempo algo como 3 1 /3 nanosegundos, etc. La imagen espaciotemporal de la Fig. 1 7 . 1 2 fue introducida por primera vez por Hermann Minkowski (1 8 64- 1 909) , que era un mate­ mático extraordinariamente bueno y original. Casualmente, él fue también uno de los profesores de Einstein en el ETH, el Instituto Fe­ deral de Tecnología de Zurich, a finales de la última década del si­ glo XIX. De hecho, la idea misma del espaciotiempo es de Minkows­ 2 ki, 1 que ya en 1 908 escribía: «En lo sucesivo el espacio por sí solo, y el tiempo por sí solo están condenados a desvanecerse en meras som­ bras, y solo un tipo de unión entre ambos conservará una realidad in­ dependiente». En mi opinión, la teoría de la relatividad especial no estaba aún completa, pese a las maravillosas intuiciones físicas de Eins­ tein y las excelentes contribuciones de Lorentz y Poincaré, hasta que Minkowski aportó su punto de vista fundamental y revolucionario: el

espaciotiempo. Para completar el punto de vista de Minkowski con relación a la geometría subyacente en la relatividad especial, y definir con ello el es­ paciotiempo minkows kiano MI, debemos fijar el escalamiento de g, de modo que proporcione una medida de «longitud» a lo largo de las líneas de universo. Esto se aplica a curvas en MI a las que llamamos de género tiem­ po, lo que significa que sus tangentes yacen siempre dentro de los co­ nos nulos (véanse las Figs. 1 7 . 1 1 y 1 7 .1 Sa) y, de acuerdo con la teoría, son líneas de universo posibles para partículas masivas ordinarias. Esta «longitud» es realmente un tiempo y mide el tiempo real T que registra­ ría un reloj (ideal), entre dos puntos A y B en la curva, de acuerdo con la fórmula (véanse § 1 3.8 y § 1 4.7) T=

(

ds,

donde ds = 554

(gabdx''dxh)!_

ESPACIOT!EMPO

§17.8

Fig. 17.15. (a) La línea de universo de una partícula masiva es una curva de género tiempo, de modo que sus tangentes están siempre dentro de los conos nulos locales, lo que da ds2 = g0bdxªdxb positiva. La cantidad ds = (g0bdxªdx� 1 12 mide el intervalo de tiempo infinitesimal a lo largo de la curva, de modo que la «longitud», T = fds, es el tiem­ po medido por un reloj ideal transportado por la partícula entre dos sucesos de la cur­ va. (b) En el caso de una partícula sin masa (por ejemplo, un fotón), las líneas de uni­ verso tienen tangentes en los conos nulos (línea de universo nula), de modo que el intervalo de tiempo T = fds se anula siempre.

Para esto exigimos que la elección de la métrica espaciotemporal g tenga signatura + - - - (que es mi elección preferida, antes que + + + -, que prefieren otras personas por diferentes razones) . Los fotones tienen líneas de universo que se denominan nulas (o de género luz), pues tienen tangentes que están sobre los conos nulos (Fig. 1 7 . 1 Sb) . En consecuen­ cia, el «tiempo» que experimenta un fotón (si realmente un fotón pu­ diera tener experiencias) , ¡ tiene que ser cero! En mi exposición anterior he preferido resaltar la estructura de conos nulos del espaciotiempo, más incluso que su métrica. En ciertos aspectos, los conos nulos son realmente más fundamentales que la mé­ trica. En particular, determinan las propiedades de causalidad del espa­ ciotiempo. Como acabamos de ver, las líneas de universo de las partí­ culas materiales están obligadas a yacer dentro de los conos, y los rayos de luz tienen líneas de universo a lo largo de estos. A ninguna partícu555

§17.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 17 . 1 6. El futuro de p es la región que puede ser alcanzada por curvas de género tiempo futuro que parten de p . Se indica un caso de espaciotiempo curvo (véase la Fig. 17 . 1 7). La frontera de esta región (suave en todo punto) es tangente a los conos de luz. Las señales, ya sean transportadas por partícu­ las masivas o por fotones sin masa, llegan a puntos dentro de esta región o en su fronte­ ra. El pasado de p se define de forma similar.

la física se le permite tener una línea de universo de género espacio, i.e., una línea fuera de sus conos de luz asociados. 1 3 Si pensamos que las se­ ñales reales son transmitidas por partículas materiales o fotones, enton­ ces observamos que ninguna señal semejante puede superar las restric­ ciones impuestas por los conos nulos. Si consideramos un punto p en M, entonces observamos que la región que yace sobre o dentro de su cono de luz futuro consiste en todos los sucesos que, en principio, pue­ den recibir una señal desde p. Análogamente, los puntos de M que ya­ cen sobre o dentro del cono de luz pasado de p son precisamente aque­ llos sucesos que, en principio, pueden enviar una señal al punto p; véase la Fig. 17 . 1 6. La situación es similar cuando consideramos campos que se propagan e incluso efectos mecanocuánticos (aunque pueden surgir algunas situaciones extrañamente enigmáticas con lo que se denomi­ na entrelazamiento cuántico -o «cuanlazamiento»-, como veremos en §23 . 1 0) . Los conos nulos definen, de hecho, la estructura de causalidad de M: ningún cuerpo material o señal puede viajar más rápido que la luz; está necesariamente obligado a estar dentro de (o sobre) los conos de luz. ¿Qué pasa con el principio de relatividad? En § 1 8.2 veremos que la notable geometría de Minkowski tiene precisamente un grupo de si­ metría tan grande como el que tiene el espaciotiempo Q de la fisica ga­ lileana. No solo están todos los puntos de M en pie de igualdad sino que todas las velocidades posibles (direcciones de género tiempo que apuntan al futuro) están también en pie de igualdad entre sí. Todo esto 556

ESPACIOTIEMPO

§17.9

se explicará más extensamente en § 1 8.2. ¡El principio de relatividad si­ gue siendo tan válido para M como para Q!

1 7.9. EL ESPACIOTIEMPO DE LA RELATIVIDAD GENERAL DE EINSTEIN Finalmente, llegamos al espaciotiempo einsteniano [ de la relatividad general. Básicamente aplicamos la misma generalización al M de Min­ kowski que hemos aplicado previamente al g de Galileo, cuando he­ mos obtenido el espaciotiempo N de Newton(-Cartan) . En lugar de tener la disposición uniforme de conos nulos que se muestra en la Fig. 1 7 . 1 2, ahora tenemos la disposición de aspecto más irregular de la Fig. 17 . 1 7. Una vez más, tenemos una métrica g lorentziana ( + - - -) cuya interpretación física es definir el tiempo medido por un reloj ideal, de acuerdo precisamente con la misma fórmula que para M , aun­ que ahora g es una métrica más general sin la uniformidad que es la ca­ racterística de la métrica de M . La estructura d e conos nulos definida por esta g especifica l a es­ tructura de causalidad de los [s, como sucedía con el espacio de Min­ kowski M. Localmente, las diferencias son pequeñas, pero las cosas pue­ den ser más elaboradas cuando examinamos la estructura de causalidad global de un complicado espaciotiempo einsteniano [. Surge una si­ tuación extrema cuando tenemos lo que se conoce como vio lación de causalidad, en la que pueden darse «curvas cerradas de género tiempo» y se hace posible enviar una señal desde algún suceso ¡al pasado de ese Fig. 17 . 17. El espacio­ tiempo einsteniano E de la relatividad general. Esta generalización del M de Minkowski es similar al paso de g a N (Figs. 17.12, 17.3 y 17.7a, respectiva­ mente). Como sucede con M, la pseudométrica lo­ rentziana g ( + - - -) de­ fine la medida física del tiempo. 557

§ 17.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 1 7 . 1 8. La estructura de causalidad de [ está determinada por g (como sucede con MI; véase la Fig. 1 7 . 1 6), de modo que hipotéticamente podrían darse situaciones no físicas extremas con «curvas ce­ rradas de género tiempo», lo que permitiría que re­ gresasen desde el pasado señales dirigidas al futuro.

mismo suceso! Véase la Fig. 17 . 1 8 . Tales situaciones suelen descartarse como «no fisicas», y descartarlas sería mi propia posición para un espa­ ciotiempo clásicamente aceptable. Pese a todo, algunos fisicos adoptan un punto de vista mucho más relajado sobre la cuestión 1 4 y están dis­ puestos a admitir la posibilidad del viaje en el tiempo que tales curvas ce­ rradas de género tiempo permitirían. (Véase §30.6 para una exposición de estas cuestiones.) Por otra parte, pueden aparecer estructuras de causalidad menos extremas -aunque ciertamente algo exóticas- en algunos espaciotiempos interesantes de gran relevancia para la astrofi­ sica moderna, a saber, las que representan agujeros negros. Estos serán considerados en §27.8. En § 1 4.7 encontrábamos el hecho de que una (pseudo)métrica g determina una única conexión V libre de torsión para la que Vg = O, de modo que esto también se aplicará aquí. Este es un hecho notable. Nos dice que el concepto de Einstein de movimiento inercial está completamente determinado por la métrica espaciotemporal. Esto es completamente diferente de la situación con el espaciotiempo newto­ niano de Cartan, donde la «V» tenía que ser especificada, además de las nociones métricas. La ventaja aquí es que la métrica g es ahora no de­ generada, de modo que V está completamente determinada por ella. De hecho, las geodésicas de género tiempo de V (movimientos inercia­ les) están fij adas por la propiedad de que sean (localmente) las curvas que maximizan lo que se denomina el tiempo propio. Este tiempo propio es simplemente la longitud, medida a lo largo de la línea de universo, y es lo que mide un reloj ideal que tenga dicha línea de universo. (Esto 558

ESPACIOTIEMPO

Notas

es curiosamente «opuesto» a la noción de geodésica como «cuerda es­ tirada» en una superficie riemanniana ordinaria con una métrica defi­ nida positiva; véase § 1 4.7. En § 1 8 . 3 veremos que esta maximización del tiempo propio para la línea de universo no acelerada es básicamen­ te una expresión de la «paradoja del reloj» de la teoría de la relatividad.) La conexión V tiene un tensor de curvatura R, cuya interpreta­ ción física es básicamente la misma que la que se ha dado antes en el caso de N. Lo que distingue localmente al M de Minkowski de la re­ latividad especial, del E de Einstein, de la relatividad general, es que R = O para M. En el próximo capítulo exploraremos con más detalle la geometría lorentziana, y en el siguiente veremos que las ecuaciones de campo de Einstein son la codificación natural, dentro de la estruc­ tura de las Es, de la «tasa de reducción de volumen» 47TGM mencio­ nada hacia el final de § 1 7 . 5. También empezaremos a ser testigos de la extraordinaria potencia, belleza y precisión de la revolucionaria teoría de Einstein.

N otas

Sección 1 7. 1 1 7 . 1 . Aunque en el pasado he sido partidario de escribir «espacio-tiempo», con guión intercalado, creo que hay pasajes en este libro donde causa­ ría confusiones en la terminología. En consecuencia, aquí adopto «es­ paciotiempo» de forma consistente. 17 .2. Parece que Aristóteles pudo muy bien haber tenido dificultades con la noción de un espacio físico infinito, como se requiere, si la geometría euclídea IE3 tiene que ofrecer una descripción aproximada de la geo­ metría espacial, pero sus ideas con respecto al tiempo pueden haber sido más acordes con el IE1 de la imagen IE 1 X IE3 . Véase Moore ( 1 990) , capítulo 2.

Sección 1 7. 2 1 7.3. Véase Drake ( 1 953), pp. 1 86- 1 87 . 1 7.4. Véanse Trautman ( 1 965) , Arnol'd ( 1 978) y Penrose ( 1 968) .

559

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

Sección 1 7. 3 1 7 .5. Esto era en su fragmento manuscrito De motu corporum in mediis regula­ riter cedentibus, un precursor de los Principia, escrito en 1 684.Véase tam­ bién Penrose (1 987c), p. 49.

Sección 1 7. 4 1 7 .6 . Pero véase Bondi (1 957) . 1 7 . 7. ¡Ahora en Rusia hay «oportunidades turísticas» de experiencias de este tipo para seres humanos, en aviones y en vuelos parabólicos!

Sección 1 7. 6 1 7.8. Véase Drake (1957) , p. 278, concerniente a un comentario de Galileo en El ensayador; véanse también Newton ( 1 730) , Query 30, y Penrose (1 987c), p.23. 1 7.9. Véase De Sitter ( 1 9 1 3) .

Sección 1 7. 7 1 7 . 1 0. Existe la peliaguda cuestión de cómo se distingue una «esfera» de un «elipsoide», puesto que las distancias pueden recalibrarse en direcciones diferentes, de modo que cualquier «elipsoide» parezca esférico. La cues­ tión no es aquí realmente importante. Sin embargo, lo que las recali­ braciones no pueden hacer es que un ovoide no elipsoidal parezca es­ férico, al menos con recalibraciones «suaves». Tales ovoides darían lugar a un espacio de Finsler, que no tiene la agradable simetría local de las es­ tructuras (pseudo)riemannianas de la teoría de la relatividad.

Sección 1 7. 8 1 7 . 1 1 . El lector podría muy bien sentirse intrigado por el hecho de que la ve­ locidad de la luz sea un número entero exacto cuando se mide en me­ tros por segundo. Esto no es una casualidad, sino un mero reflej o del hecho de que las medidas muy precisas de distancias son ahora mucho más difíciles de establecer que las medidas precisas de tiempo. En con­ secuencia, el patrón más exacto para el metro se define conveniente­ mente de modo que haya 299792458 de ellos para la distancia recorri­ da por la luz en un segundo patrón, lo que da un valor para el metro que encaja de forma muy aproximada con el ahora insuficientemente preciso metro patrón de París. 1 7. 1 2. Véase Minkowski (1 952) . Esta es una traducción de la conferencia que

560

Notas

ESPACIOTIEMPO

pronunció Minkowski en la L Asamblea de Científicos Naturales y Médicos Alemanes, en Colonia, el 2 1 de septiembre de 1908. 1 7 . 13. Algunos físicos han jugado con la idea de «partículas» hipotéticas co­ nocidas como taquiones que tendrían líneas de universo de género es­ pacio (de modo que viajan más rápidas que la luz) . Véase Bilaniuk Sudarshan ( 1 9 69); para una referencia más técnica, véase Sudarshan

y

y

Dhar (1 968) . Es dificil desarrollar algo parecido a una teoría consisten­ te en la que estén presentes los taquiones, y normalmente se cree que

tales entidades no existen.

Sección 1 7. 9 1 7 . 14. Véanse, por ej emplo, Novikov (2001)

y

Davies (2003) .

18 Geometría minkowskiana 1 8. 1 . Los 4-ESPACIOS EUCLÍDEO y MINKOWSKIANO Las geometrías de los 2-espacios y 3-espacios euclídeos nos son muy familiares. Además, la generalización a una geometría euclídea 4-di­ mensional lE4 no es dificil de hacer en principio, aunque para ello no se pueda apelar directamente a la «intuición visual». Sin embargo, es evi­ dente que existen muchas configuraciones 4-dimensionales muy be­ llas, ¡o que seguramente serían muy bellas si pudiéramos verlas real­ mente! Una de las más sencillas (!) de estas configuraciones es la estructura de paralelos de Clifford en la 3-esfera, cuando consideramos que esta esfera está situada en lE 4 • (Por supuesto, aquí sí podemos valer­ nos un poco de la visualización porque S 3 es solamente 3-dimensional, y su proyección estereográfica, tal como se presenta en la Fig. 33 . 1 5, nos da alguna idea de la configuración de Clifford real. Si fuéramos capaces de «ver» realmente dicha configuración como parte de lE4 , podríamos hacernos una idea del aspecto que realmente tiene la estructura de 2espacio vectorial complejo de IC2 ; 1 véanse § 1 5.4 y la Fig. 1 5 .8.) El espa­ cio de Minkowski M es en muchos aspectos muy similar a !E4, pero exis­ ten algunas diferencias importantes en las que vamos a entrar. Desde el punto de vista algebraico el tratamiento de lE 4 es muy similar al tratamiento en coordenadas del 3-espacio «ordinario» lE3 • Todo lo que se necesita es una coordenada cartesiana más, w, además de las coordenadas estándar x, y y z. La distancia s en lE 4 entre los puntos (w, x, y, z) y (w' , x ' , y ' , z ' ) viene dada por la relación pitagórica

s2 = (w - w' ) 2 + (x - x ' ) 2 + (y - y ' ) 2 + (z - z ' ) 2 • 563

EL CAMINO A LA REALIDAD

§18.1

Si consideramos que (w, x, y, z) y (w' , x', y', z') están solo «infinite­ simalmente» desplazados uno respecto de otro, y escribimos formal­ mente (dw, dx, dy, dz) para la diferencia (w' , x', y', z') - (w, x, y, z) , i.e.,2 w'

= w + dw, x' = x + dx, y' = y + dy, z' = z + dz,

entonces, encontramos

ds2 = dw2 + dx2 + dy2 + dz2 • La longitud de una curva en IE 4 viene dada por la misma fórmula que en IE3 , a saber fds (tomando el signo positivo para ds) . Ahora la geometría del espaciotiempo de Minkowski MI está muy próxima a esta, siendo los signos la única diferencia. Muchos de los que trabajan en este campo prefieren concentrarse en la pseudométrica con signatura ( + + + -) dt' 2 = -d t2 + dx2 + dy2 + dz2 , porque resulta conveniente cuando se considera geometría espacial, ya que la cantidad representada arriba por «dt' 2» es positiva para desplaza­ mientos de género espacio (i.e., desplazamientos que no están ni dentro ni sobre los conos de luz nulos futuros o pasados; véase la Fig. 1 8 . 1 ) . Pero la cantidad «ds2» definida por la signatura ( + - - -) ds2

= dt2 - dx2 - dy2 - dz2

tiene un significado fisico más directo, ya que es positiva a lo largo de curvas de género tiempo que son las líneas de universo admisibles para partículas masivas, y la integral f ds (con ds > O) es directamente inter­ pretable como el tiempo físico real medido por un reloj ideal que tiene a dicha curva como línea de universo. Utilizaré esta signatura ( + - - -) para mi elección del tensor (pseudo)métrico g, con forma de índices g•b' de modo que la expresión puede escribirse en forma de índices (véase § 13.8) b ds2 = g bdxª dx . .

No obstante, deberíamos recordar de § 1 7 . 8 que, a diferencia del caso de una partícula masiva, f ds es cero para una línea de universo de un fotón (de modo que puntos no coincidentes en la línea de univer564

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

Nulo: di' , d€2, ambos cero

Género espacio: d€2 positivo

§18.1

Fig. 1 8 . 1 . En el espacio de Minkowski MI, la métrica dC2 proporciona una medida de (distancia) 2 espacial para des­ plazamientos de género espa­ cio (ni sobre ni dentro de co­ nos nulos futuros o pasados) . Para desplazamientos de géne­ ro tiempo (dentro del cono nulo), ds2 proporciona una medida del (intervalo) 2 tem­ poral, donde fds es un tiempo fisico tal como lo mide un re­ loj ideal. Para un desplaza­ miento nulo (a lo largo del cono nulo), ambos dC 2 y ds2 dan cero.

so pueden estar a «distancia cero») . Esto también sería cierto para cual­ quier otra partícula que viaje a la velocidad de la luz. El tiempo «expe­ rimentado» por dicha partícula sería siempre cero, ¡no importa cuán lejos viaje! Esto está permitido debido a la naturaleza no definida po­ sitiva (lorentziana) de gab · En los primeros días de la teoría de la relatividad había una ten­ dencia a resaltar la proximidad de la geometría de M a la de IE 4 consi­ derando la coordenada temporal t como puramente imaginaria: t

= iw,

lo que hace que la forma «dt' 2 » de la métrica de Minkowski parezca exactamente la misma que la ds2 de IE 4 • Por supuesto, las apariencias son algo ilusorias debido a que por la condición de «realidad» el tiempo se mide en unidades puramente imaginarias mientras que las coordenadas espaciales utilizan unidades reales normales. Además, en un sistema de referencia en movimiento las condiciones de realidad se complican porque las coordenadas reales e imaginarias se mezclan. De hecho, hay una tendencia moderna a hacer algo muy similar a esto, con varios dis­ fraces diferentes en nombre de lo que se denomina «teoría cuántica de 565

§ 1 8.1

EL CAMINO A LA REALIDAD

campos euclídea». Más adelante, en §28 .9, expondré mis razones para sentirme menos que satisfecho con este procedimiento (al menos si se considera un ingrediente clave en una aproximación a una nueva teo­ ría fisica fundamental, como a veces se hace; el artificio se utiliza tam­ bién como un «truco» para obtener soluciones a preguntas en teoría cuántica de campos, y para esto puede desempeñar realmente un papel honesto y valioso) . En lugar de adoptar un procedimiento como este que a mí, al menos, me parece tan poco natural, «tiremos la casa por la ventana» y permita­ mos que todas nuestras coordenadas sean complejas (véase la Fig. 1 8 .2) . Entonces n o hay diferencia entre las diferentes signaturas, pues nuestras coordenadas comp lejas w, g, YJ, l se refieren ahora al espacio complej o C4, que podemos considerar como la complexificación CIE4 de IE4• Como espacio afin complej o -véase § 1 4. 1-, este es el mismo que la com­ plexific ación CM de M. Más aún, cada 4-espacio complej o ICIE4 y ICM tiene una métrica compleja ICg plana (curvatura nula) completamente equivalente. Dicha métrica puede tomarse como ds2 = dw2 + dg2 + + drJ2 + dl2, donde IE4 es el subespacio real de CM para el que todos los w, g, YJ, l son reales y M es el subespacio para el que w es real pero g, YJ, l son imaginarios puros. El subespacio real minkowskiano alter­ nativo M, dado cuando w es imaginario puro pero g, YJ, l son reales, tiene su «ds2» que da la anterior versión «df 2» de la métrica de Min­ kowski. Los tres subespacios IE4, M y M se denominan secciones rea les (alternativas) de ICIE4• Podemos distinguir una cualquiera de estas si dotamos a ICIE4 de una operación de conjugación compleja C que es in­ volutiva (i.e., C 2 = 1) y que deja solo la sección real escogida inva­ riante punto a punto. I 1 ª · 1 l

� [18.1] Encuentre C explícitamente para cada uno de los tres casos IE4, M y M. Su­ gerencia: Considere cómo va a actuar C sobre w, �' r¡ y (. Modifique la conjugación compleja estándar con signos en los casos M y M. 566

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

Fig. 1 8.2. El espacio euclídeo complejo

ICIE 4

§18.2

tiene una métrica (holomorfa) compleja

ds2 = dw2 + de + d7J2 + d(2 en coordenadas cartesianas complejas (w, �' '1], {;). El 4-es­

pacio euclídeo IE4 es la «sección real» para la que w, �, '1], ( son todas reales. El espacio­ tiempo de Minkowski M, con la métrica ds2 + - - -, es una sección real diferente, sien­ do w real y �, 71, ( imaginarios puros. Obtenemos otra sección real lorentziana M tomando w imaginario puro y �, '1], ( reales, donde la ds2 inducida da ahora la versión «d.C 2» + + + - de la métrica de Minkowski.

1 8.2. Los GRUPOS DE SIMETRÍA DEL ESPACIO DE MINKOWSKI El grupo de simetrías de IE4 (i.e. , su grupo de movimientos euclídeos) es 1 O-dimensional, puesto que (i) el grupo de simetría para el que el ori­ gen está fijo es el grupo 6-dimensional 0(4) (puesto que n ( n - 1)/2 6, cuando n = 4; véase § 1 3.8), y (ii) existe un grupo de simetría 4-di­ mensional de traslaciones del origen (véase la Fig. 1 8.3a) . Cuando complejificamos IE 4 a CIE4, obtenemos un grupo 10-complejo dimensio­ nal evidentemente, puesto que si escribimos cualquiera de los movi­ mientos euclídeos reales de IE4 como una fórmula algebraica en térmi­ nos de las coordenadas, todo lo que tenemos que hacer es permitir que

=

567

�18.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 18.3. (a) El grupo de movimientos euclídeos de IE4 es 1 0-dimensional, siendo el grupo de simetría con origen fijo el grupo de rotación 6-dimensional 0(4) y el gru­ po de traslaciones del origen, 4-dimensional. (b) Para las simetrías de MI, obtenemos el grupo de Lorentz 6-dimensional 0(1 , 3) (o 0(3, 1)) para origen fijo y 4 dimensiones de traslaciones, lo que da el grupo de simetría de Poincaré 1 0-dimensional.

todas las cantidades que aparecen en la fórmula (coordenadas y coefi­ cientes) sean complejas en lugar de reales, y obtenemos un movimien­ to complej o correspondiente de ICIE4 • Puesto que el primero conserva la métrica, también lo hará el segundo. Además, todos los movimientos continuos de ICIE4 en sí mismo que conservan la métrica complejifica­ da Cg son de esta naturaleza. ¡is.21 Resulta ahora muy plausible, aunque no del todo obvio en esta fase, que el grupo tendría la misma dimensión, a saber 1 O (pero ahora dimensiones reales), si particularizamos a una diferente «sección real» de IC 4 , tal como aquella para la que las coordenadas (w, g, 77, f;) tienen la condición de realidad de que w es imaginario puro y �. 77, ( son reales (signatura + + + -) o para las que w es real y �. 77, ( son imaginarios puros (signatura ( + - - -); véase la Fig. 1 8 .2. La parte traslacional sigue siendo obviamente 4-dimensional. De hecho, esta parte nos dice que el grupo es transitivo en M, lo que significa que cualquier punto dado de fW1I puede ser enviado a cualquier otro punto dado de M por algún ele­ mento del grupo, como era el caso para IE 4 • Pero ¿qué pasa con el gru­ po de Lorentz (0(3, 1) u 0 ( 1 , 3))? ¿Cómo podemos ver que este es tm. [18.2] ¿Puede ver por qué? 568

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.2

«exactamente tan 6-dimensional» como lo es 0 (4)? De hecho, el gru­ po de Lorentz es 6-dimensional (véase la Fig. 18.3b.) La forma más ge­ neral de verlo es examinar el álgebra de Lie -véase § 1 3.6- y com­ probar que sigue funcionando con los cambios de signo menores exigidos Y 8· 3l Más adelante (§ 1 8.5) veremos una muy notable forma al­ ternativa de considerar 0 ( 1 , 3) , relacionándola con el grupo de sime­ tría de la esfera de Riemann. El grupo de simetría completo 1 O-dimensional del espacio de Minkowski M se denomina grupo de Poincaré, en reconocimiento de los logros del destacado matemático francés Henri Poincaré ( 1 854- 1 9 1 2) al desarrollar la estructura matemática esencial de la relatividad especial en los años comprendidos entre 1 898 y 1 905, independientemente de la aportación fundamental de Einstein en 1905. 3 El grupo de Poincaré es importante en física relativista, especialmente en fisica de partículas y en teoría cuántica de campos (capítulos 25 y 26) . Resulta que, según las reglas de la mecánica cuántica, las partículas individuales corres­ ponden a representaciones (§§ 13.6, 7) del grupo de Poincaré, donde los valores de su masa y espín determinan las representaciones concretas (§22 . 1 2) . Es, en esencia, l a exhaustividad d e este grupo lo que nos permite afirmar que el principio de relatividad sigue siendo válido para M, in­ cluso si tenemos una velocidad de la luz fij a (§§ 17 .6,8) . En primer lu­ gar, vemos que todos los puntos del espaciotiempo M están en pie de igualdad debido a la naturaleza transitiva del subgrupo de traslaciones. Además, tenemos una completa simetría de rotación espacial (3 di­ mensiones) . Esto nos deja 3 dimensiones más para expresar el hecho de que hay una completa libertad para pasar de una velocidad ( < c) a cual­ quier otra, y la estructura global sigue siendo la misma -¡lo que bási­ camente es el principio de relatividad de M !-. De manera algo más formal, lo que el principio de relatividad afirma es que el grupo de Poincaré actúa transitivamente sobre elfibra do de direcciones futuras de gé­ nero tiempo en M . 4 Estas son las direcciones que apuntan hacia los inte­ riores de los conos nulos futuros, que son las posibles direcciones tan� [1 8.3] Confírmelo en este caso examinando explícitamente las matrices 4 X 4 del álgebra de Lie. 569

§ 18.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

gentes a las líneas de universo de observadores. [ tB.4] No obstante, hay que señalar que esto solo funciona debido a que hemos abandonado la familia de «secciones simultáneas» en el espaciotiempo galileano o new­ toniano. Conservarlas hubiera reducido la simetría respecto a un pun­ to espaciotemporal a la del 0 (3) 3-dimensional, sin dejar ninguna li­ bertad para pasar de una velocidad a otra.

1 8.3. ÜRTOGONALIDAD LORENTZIANA; LA «PARADOJA DEL RELOJ» Este punto de vista considera a Ml como tan solo una «sección real» del espacio complejo ICIE4 (o IC 4) , aunque una sección con un carácter di­ ferente del propio IE4 • Se trata de un punto de vista muy conveniente, siempre que podamos adoptar la actitud mental correcta. Por ejemplo, en el IE4 euclídeo tenemos una noción de «ortogonal» (que significa «a ángulos rectos») . Esto se traslada directamente a ICIE 4 por el proceso de «complexificacióm. 5 Sin embargo, hay ciertos tipos de propiedades de las que cabe esperar que serán un poco diferentes después de aplicar este procedimiento. Por ejemplo, encontramos que en ICIE 4 una direc­ ción puede ahora ser ortogonal a sí misma, que es algo que ciertamen­ te no puede suceder en IE 4 • Sin embargo, esta característica persiste cuando regresamos a nuestra nueva sección real, el Ml lorentziano. Así pues, retenemos una noción de ortogonalidad en Ml, p ero vemos que existen direcciones reales que son ortogonales a sí mismas, siendo estas las direcciones nulas que apuntan a lo largo de las líneas de universo de los fotones (véase infra). Podemos llevar más lejos esta noción de ortogonalidad y conside­ rar el complemento ortogonal 11.L de un elemento r-plano 'TI en un punto p. Este es el elemento (4 r)-plano 111- de todas las direcciones en p que son ortogonales a todas las direcciones dentro de 'TI en p. Así, el com­ plemento ortogonal de un elemento de línea es un elemento 3-plano, el complemento ortogonal de un elemento 2-plano es otro elemento 2-plano, y el complemento ortogonal de un elemento 3-plano es un elemento de línea. En cada caso, tomar de nuevo el complemento or-

¡1ª [1 8.4] Explique más detalladamente esta acción del grupo de Poincaré. 570

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.3

(b)

(a)

Fig. 18.4. En IE4, un elemento r-plano 11 en un punto p tiene un complemento ortogo­ nal 111. que es un elemento (4 - r)-plano, donde 11 y 111. nunca tienen una dirección en común. (a) En particular, si r¡ es un elemento 3-plano, entonces 11 1. es la dirección nor­ mal al mismo. (b) Si 11 es un elemento 2-plano, entonces 111. es otro elemento plano.

togonal nos devolvería al elemento del que hemos partido; en otras pa­ labras (11J.) J. = 11· Recordemos que en § 1 3 . 9 y § 1 4.7 hemos conside­ rado las operaciones de bajar y subir índices, en una magnitud vectorial o tensorial, con gab o gªb . Cuando se aplica al simple r-vector o una sim­ ple (4 - r)-forma que representa un elemento 3-superficial, de acuerdo con §§1 2.4,7 (por ej emplo, 11.b � 11ªb = 11,Jgª'gbd; 11•b � 11.b = 11'�0,gb), esta operación de subir y bajar índices corresponde a pasar al comple­ mento ortogonal; véase también § 1 9.2. En [4, el complemento ortogonal de un elemento 3-plano 11, por ejemplo, es un elemento de línea 111. (normal a 11) que nunca está con­ tenido en 11; véase la Fig. 1 8 .4. Pero como en la Fig. 1 8.2 podemos pa­ sar a la complexificación IC[4 y de ahí a la diferente sección real fW11 . Este es precisamente el procedimiento al que apelábamos, en efecto, en el capítulo anterior (§ 17. 8) , cuando buscábamos el complemento orto­ gonal de una sección temporal (elemento 3-plano de género espacio) en un punto p para encontrar una dirección de género tiempo («esta­ do de reposo») que nos mostraba que no puede mantenerse un princi­ pio de relatividad si queremos tener a la vez una velocidad finita de la 571

§ 18.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

luz y un tiempo absoluto (véase la Fig. 17 . 13). ¡ is.si No obstante, leamos ahora esto en la dirección contraria. Consideremos un observador inercial en un suceso concreto p en M. Supongamos que la línea de universo del observador tiene alguna dirección (de género tiempo) T en p. Entonces el 3-espacio T.L representa la familia de direcciones «pu­ ramente espaciales» en p para dicho observador, i.e., aquellos sucesos vecinos que el observador estima que son simultáneos con p. Mi intención no es explicar aquí todos los detalles de la teoría de la relatividad especial ni ver por qué, en particular, esta es una noción razonable de «simultáneo». Para esto, el lector debe remitirse a varios textos excelentes. 6 No obstante, habría que señalar que esta noción de simultaneidad depende en realidad de la velocidad del observador. En la geometría euclídea, el complemento ortogonal de una dirección en el espacio cambiará cuando cambia dicha dirección (Fig. 1 8 .Sa) . En c orrespondencia, en geometría lorentziana el complemento ortogonal también cambiará cuando cambie la dirección (i.e., la velocidad del observador) . La única diferencia está en que el cambio inclina al com­ plemento ortogonal en sentido contrario a lo que sucede en el caso euclídeo (véase la Fig. 1 8 . Sb) y, por consiguiente, es posible que el c omplemento ortogonal de una dirección contenga a dicha dirección (véase la Fig. 1 8.Sc) , como se ha comentado antes, siendo esto lo que sucede para una dirección nula (i.e., a lo largo del cono de luz) . Al pasar de IE 4 a M hay también cambios relacionados con las de­ sigualdades. El más espectacular de estos contiene la esencia de la denominada «paradoja del reloj» (o «paradoja de los gemelos») de la re­ latividad especial. A algunos lectores quizá les resultará familiar esta «paradoja»: se refiere a un viajero espacial que toma un cohete que se dirige a un planeta lejano a una velocidad próxima a la de la luz, y lue­ go regresa para descubrir que en la Tierra han transcurrido muchos si­ glos, mientras que el viajero solo ha envejecido algunos años. Como ha resaltado Bondi ( 1964, 1 967) , si aceptamos que el paso del tiempo, re� [18.5] (i) ¿En qué circunstancias es posible que un elemento 3-plano 'f1 contenga a su normal 'fil., en M? (ii) D emuestre que existen dos familias distintas de 2-planos que son los complementos ortogonales de sí mismos en CJE4, pero ninguna de estas fa­ milias sobrevive en M. (Estos 2-planos complejos denominados «autodual» y «antiauto­ dual» tendrán considerable importancia más adelante; véanse §32.2 y §33.1 1). 572

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.3

Fig. 18.5. (a) En la 4-geometría euclídea, si una dirección rota también lo hace su complemento ortogonal 3-plano. (b) Esto es cierto también en la 4-geometría lorent­ ziana, pero en el caso de una dirección de género tiempo la pendiente del comple­ mento ortogonal 3-plano (direcciones espaciales de «simultaneidad») se mueve en sen­ tido inverso; (c) en consecuencia, si la dirección se hace nula, el complemento ortogonal contiene realmente dicha dirección.

gistrado por un reloj en movimiento, es realmente una especie de «lon­ gitud de arco» medida a lo largo de una línea de universo, entonces el fenómeno no es más enigmático que el hecho de que la distancia en­ tre dos puntos en el espacio euclídeo depende del camino a lo largo del cual se mide dicha distancia. Ambos se miden por la misma fórmu­ la, a saber fds , pero en el caso euclídeo el camino recto representa la minimización de la distancia medida entre dos puntos extremos fijos, mientras que en el caso minkowskiano resulta que el camino recto, i.e., inercial, representa la maximización del tiempo medido entre dos suce­ sos extremos fij os (véase también § 1 7.9). La desigualdad básica, de la que dimana todo esto, es la que se de­ nomina desig ualda d triangular de la geometría euclídea ordinaria. Si ABC es un triángulo euclídeo cualquiera, entonces las longitudes de sus lados satisfacen AB + BC ;::: AC, y la igualdad solo es válida en el caso degenerado en que A, B y C son

colineales (véase la Fig. 1 8.6a) . Por supuesto, las cosas son simétricas, y no importa qué lado escojamos como lado AC. En la geometría lorent­ ziana solo obtenemos una desigualdad triangular consistente cuando todos los lados son de género tiempo, y ahora debemos tener cuidado 573

�18.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

en ordenar las cosas adecuadamente, de modo que AB, BC y AC están todos dirigidos hacia el futuro (véase la Fig. 1 8.6b) . Nuestra desigual­ dad está ahora invertida: AB + BC :::; AC, y de nuevo la igualdad es válida solo cuando A, B y C son colineales, i.e., están en la línea de universo de una partícula inercial. La interpre­ tación de esto es precisamente la denominada «paradoj a del reloj». La línea de universo del viaj ero espacial es la trayectoria quebrada ABC, mientras que los habitantes de la Tierra tienen AC como línea de uni­ verso. Vemos que, según la desigualdad, el reloj del viaj ero espacial re­ gistra realmente un tiempo total transcurrido más corto que el que registran los relojes en la Tierra. A algunas personas les preocupa que en esta descripción no se tome en cuenta adecuadamente la aceleración del cohete, y de hecho he idealizado las cosas de modo que parece que el astronauta está someti­ do a una aceleración impulsiva (i.e., infinita) en el suceso B (¡lo que re­ sultaría fatal!). Sin embargo, esta cuestión es fácilmente tratable solo suavizando las esquinas del triángulo, como se indica en la Fig. 1 8 . 6d. La diferencia de tiempo no se ve muy afectada, como es obvio en la si­ tuación correspondiente para el triángulo euclídeo «suavizado» que se muestra en la Fig. 1 8 . 6c. Se suele argumentar que sería necesario pasar a la relatividad genera l de Einstein para tratar la aceleración, pero esto es erróneo. La respuesta para los tiempos del reloj se obtiene utilizando la fórmula f ds (con ds > O) en ambas teorías. Al astronauta se le permite acelerar en la relatividad especial, igual que en la relatividad general. La diferencia reside tan solo en la métrica que realmente se está utilizan­ do para evaluar la cantidad ds; i.e., depende del gii real. Estaremos tra­ baj ando en relatividad especial siempre que esta métrica sea la métrica plana de la geometría de Minkowski M . D esde el punto de vista fisico, esto significa que pueden despreciarse los campos gravitatorios. Cuan­ do necesitemos tener en cuenta el campo gravitatorio, deberemos in­ troducir la métrica curva de la relatividad general de Einstein. Esto se examinará con más detalle en el próximo capítulo.

574

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.3

e

A (b)

(a)

e

A (c)

(d)

575

Fig. 1 8.6. (a) La desigualdad del triángulo euclídeo AB + + BC 2: AC, donde la igual­ dad solo es válida en el caso degenerado en que A , B, C son colineales. (b) En geometría lorentziana, con AB, BC, AC de género tiempo futuro, la desigualdad se invierte: AB + + BC ::5 AC, con la igualdad válida solo cuando A, B, C es­ tán en la línea de universo de una partícula inercial. Esto ilustra la «paradoja del reloj» de la relatividad especial, donde un viajero espacial con línea de universo ABC experimen­ ta un intervalo de tiempo más corto que el de los habitantes de la Tierra AC. (c) «Suavizar» las esquinas de un triángulo euclídeo supone poca dife­ rencia para las longitudes de los lados, y el camino recto si­ gue siendo el más corto. (d) Análogamente, hacer las ace­ leraciones finitas («suavizan­ do» las esquinas) supone poca diferencia para los tiempos, y el camino (inercial) recto si­ gue siendo el más largo.

§ 18.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

1 8.4. GEOMETRÍA HIPERBÓLICA EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI Consideremos algunos otros aspectos de la geometría minkowskiana y su relación con la de Euclides. En la geometría euclídea, el lugar geo­ métrico de los puntos situados a una distancia fija a de un punto fijo O es una superficie esférica. En IE4, por supuesto, esta es una 3-esfera S 3 • ¿Qué sucede en M? Ahora hay dos situaciones que se deben conside­ rar, dependiendo de si tomamos a como un número real (digamos po­ sitivo) o puramente imaginario (donde estoy adoptando mi signatura preferida + - - -; en caso contrario, los papeles se invertirían) ; véase la Fig. 1 8. 7, que ilustra ambos casos. El caso de a imaginario no nos interesa particularmente aquí. Por ello, supongamos a > O (el caso a < O es equivalente) . Ahora nuestra «esfera» consta de dos piezas, una de las cuales tiene «forma de cuen­ co», H+, y yace dentro del cono de luz futuro, y la otra, H-, con «forma de colina», que yace dentro del cono de luz pasado. Nos concentrare­ mos en H+ (el espacio H- es similar) . ¿ Cuál es la métrica intrínseca en H+? Ciertamente hereda una métrica, inducida en el mismo por su in-

Fig. 1 8.7. «Esferas» en M, como los lugares geométricos de puntos a una distancia de Minkowski dada a a un punto fijo O. Si a > O, obtenemos dos piezas «hiperbólicas», la pieza «en forma de cuenco» H + (dentro del cono de luz futu­ ro) y la pieza «en forma de colina» H- (dentro del cono de luz pasado). Para a imagi­ naria (o con a real y la signa­ tura + + + para d{>2), obte­ nemos un hiperboloide de una hoja, con separación de género espacio de O. -

576

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.4

Fig. 18.8. Una «línea recta hi­ perbólica» (geodésica) en rt+ es la intersección con rt+ de un 2-plano que pasa por O. (Se ilustra el caso 2-dimensio­ nal, pero es análogo para un rt+ 3-dimensional.)

mersión en fMI. (La longitud de una curva en 'H+, por ejemplo, se defi­ ne simplemente considerándola como una curva en fMI.) De hecho, para este caso, la d.t'2 (con signatura + + + ) es la mej or medida, pues­ to que las direcciones a lo largo de 'H + son de género espacio. Podemos hacer una buena conjetura respecto a la métrica de 'H + porque es esen­ cialmente una «esfera» de algún tipo, pero con un «signo cambiado». ¿Cuál puede ser? Recordemos las elucubraciones de Johann Lambert, en 1 786, sobre la posibilidad de construir una geometría en la que se violara el quinto postulado de Euclides. Él consideraba que una esfera de radio imaginario proporcionaría una geometría tal, siempre que algo semej ante tuviera realmente un sentido consistente. De hecho, la construcción de 'H + que acabamos de dar proporciona precisamente un espacio semej ante -un modelo de geometría hiperbólica- pero ahora es 3-dimensional. Para obtener el plano no euclídeo de Lambert (el plano hiperbólico) , todo lo que tenemos que hacer es prescindir de una de las dimensiones espaciales en lo que se ha descrito más arriba. En cada caso las «líneas rectas hiperbólicas» (geodésicas) son simple­ mente intersecciones de 'H + con 2-planos que pasan por O (Fig. 1 8.8) . Por supuesto, resulta extravagante imaginar que Lambert pudiera -

577

§18.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 1 8.9. Secciones del cono de luz t2 - x2 - y2 - z2 = O , por 3-planos (z + t) + + A(t - z) = 2, que pasan por el 2-plano t = 1 = z. Se ha suprimido la coordenada y, de modo que las dimensiones aparecen reducidas en uno. Cuando A > O, la sección S tiene una métrica df2 que es 2-esfera, ilustrada por el caso horizontal A = 1 . Cuando A = O, obtenemos la métrica df2 euclídea plana de la sección paraboloide E. Cuan­ do A < O, obtenemos una métrica df2 hiperbólica, ilustrada por la sección hiperbólica vertical H, en el caso A = -1 .

haber guardado en el fondo de su mente algo parecido a esta construc­ ción. De todas formas, ilustra en cierto modo la consistencia interna de las ideas de este tipo, en las que las signaturas pueden ser «conmutadas» y las cantidades reales hechas imaginarias y las imaginarias hechas rea­ les. Esto es algo acerca de lo que Lambert podría haber tenido intui­ ciones muy encomiables. Quizá sea instructivo examinar la Fig. 1 8. 9 . E n ella h e dibujado u n cono d e luz t2 - x2 - y2 - z2 = O (con y supri­ mida) , para el 4-espacio de Minkowski M , con coordenadas (t, x, y, z) , y he tomado una familia de secciones del cono por los planos z + t + A(t - z) = 2,

para varios valores de A, todos ellos tomados a través de un plano con­ creto t = 1 = z. Esta intersección es 2-dimensional (al ser el propio cono 3-dimensional), y resulta que para cada valor positivo de A, la métrica de esta 2-superficie es exactamente la de una esfera de radio A-1 12 = 1 1 JX (con respecto a la métrica dt'2) . Cuando A = O, obtenemos la métrica de un plano euclídeo ordinario. (Esta intersección no se ve «plana», sino que en su lugar parece «paraboloide»; de todas formas, su 578

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.4

- MP -

Fig. 18.10. En el 3-espacio de Minkowski M3, la 2-geometría hiperbólica de 7-{+ (dada por r - x2 - y2 = 1) se relaciona directamente con las representaciones conforme y proyectiva de Beltrami (ilustradas en las Figs. 2 . 1 1 y 2. 16 respectivamente -grabado de M. C. Escher y su versión distorsionada-. El modelo proyectivo de Beltrami («Klein») se obtiene proyectando 7-l+ desde el origen (0,0,0) al interior del círculo uni­ dad en el plano t = 1 . El modelo conforme de Beltrami («Poincaré») se obtiene pro­ yectando 7-l+ desde (-1 , O, O) en el interior del círculo unidad en t = O. (Véase también la geometría de Beltrami de la Fig. 2.17.) La construcción análoga funciona asimismo para la 3-geometría hiperbólica en M.

métrica intrínseca es realmente plana.) P 8·61 Cuando A se hace negativo, la intersección es la esfera de Lambert de radio imaginario ( = 1 / fÁ) . Realmente tiene una métrica intrínseca (a partir de df2) de geometría hiperbólica. De este modo, vemos que la intuición tentativa de Lam­ bert, según la cual podrían tener sentido esferas de radio imaginario, es­ taba perfectamente justificada aunque siglos por delante de su tiempo. La construcción para la geometría hiperbólica como la «pseudoes­ fera» H+ puede relacionarse directamente con las representaciones con­ forme y proyectiva de Beltrami que se han descrito (en el caso 2-di­ mensional) en §§2.4,5. En la Fig. 1 8 . 1 0 he ilustrado la forma en que ambas pueden obtenerse directamente a partir de H+ , mostrando explí� [18.6] Demuestre todo esto. Sugerencia: Resulta útil utilizar coordenadas x, y y w, donde w = (t - z - 1 1,\) f,\ = (1 - t - z)/f,\. 579

EL CAMINO A LA REALIDAD

§1 8.4

citamente el caso 2-dimensional de pseudoesferas en el 3-espacio de Minkowski M3 (con coordenadas t, x, y) . Considerando que H_+ tiene ecuación r - x2 - y2 1 , obtenemos la representación «Klein» (i.e., pro­ yectiva) de Beltrami proyectándolo desde el origen (O, O, O) en el plano t = 1 , y obtenemos la representación «Poincaré» (i.e., conforme) de Bel­ trami proyectándolo desde el «polo sur» (-1 , O, O) en el «plano ecuato­ rial» t = O (i.e, «proyección estereográfica»; véanse §8.3 y la Fig. 8. 7) . [ l B. 71 Nótese que las direcciones de género tiempo futuras se representan por los puntos de H.+ (donde, por claridad, tomo a = 1 ) . Estos son sim­ plemente las velocidades posibles de una partícula con masa. Así pues, H.+ puede considerarse como un espacio de velocidades en la teoría de la relatividad. (Recordemos que esta cuestión se ha planteado al final de §2 7.) Uno de los aspectos de la relatividad que la gente suele encon­ trar más perturbador es que no se pueden sumar velocidades al modo usual. Así, en particular, si una nave espacial viaj ara en una dirección a

=

.

i c, con respecto a la Tierra, y lanzara un misil en la misma dirección espacial a una velocidad i c, con respecto a la nave, entonces el misil viajaría solo a �� c, con respecto a la Tierra, y no a la velocidad superlumínica (i + i ) c = � c. (Aquí c es la velocidad de la luz, reintro­

velocidad

ducida solo por claridad; las unidades se escogen de modo que c = 1 .) Esto se comprende ahora como un efecto de sumar longitudes en la geometría hiperbólica (véase la Fig. 1 8. 1 1 ) . ¡is.si Para apreciarlo, tenemos que entender la interpretación física de esta «longitud» hiperbólica. De hecho, es una magnitud, conocida

"ª [18.7] Demuestre por qué las líneas rectas hiperbólicas se representan por rectas en

el caso «Klein» y por círculos que cortan la frontera ortogonalmente en el caso «Poin­ caré», indicando mediante el uso de un «salto de signatura» por qué este segundo caso es, de hecho, conforme. {!l!i_ [18.8] Utilice un argumento de «salto de signatura» para ver por qué sumar lon­ gitudes en geometría hiperbólica debería dar lugar a la fórmula de adición que se está utilizando aquí, a saber (u + v)cl ( l + uv) , para «sumar» velocidades uc, ve en la misma dirección espacial. Considere la suma de longitudes de arco alrededor de un círculo o una esfera, siendo la «velocidad» correspondiente a cada longitud de arco la tangente del ángulo que subtiende en el centro. 580

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.4

V

Fig. 1 8. 1 1 . El espacio de velocidades en la teoría de la relatividad es el espacio hiper­ bólico (unidad) ?t+ , donde la rapidez p (= tanh-1v) mide la distancia hiperbólica a lo largo de ?t+ (la velocidad de la luz e = 1 corresponde a p infinita). Esto es equivalente (por «salto de signatura») a que la distancia a lo largo del círculo unidad sea el ángulo (} subtendido en su centro.

como la rapidez, para la que utilizaré la letra griega p, definida en tér­ minos de la velocidad v por las fórmulas (representadas gráficamente en la Fig. 1 8 . 1 2) 1 1og 1 + V i.e., v eP - e-P p=1 v' 2 eP + e-P (la expresión derecha es lo que se denomina la «tangente hiperbólica» de p, escrita «tanhp»). La rapidez es simplemente la medida de «distan­ cia» en el espacio hiperbólico '}-{,+ (escogida para tener pseudorradio unidad -véanse §§2.4, 6- puesto que a = 1). Para velocidades v pe­ queñas comparadas con la de la luz, la rapidez es lo mismo que v. ¡is.91 Nótese que la frontera, en el grabado de Escher mostrado en la Fig.

=

-

p u =

-1

Fig. 1 8.12. La gráfica de la velocidad v (con e = 1) en términos de la rapidez p definida por 1 p = z-log { (1 + v)/(1 - v) } , i.e., v = (t!' - e-")/ (eP + e-") = tanh p.

B [1 8.9] Justifique esta afirmación; demuestre la equivalencia de las dos fórmulas

mostradas antes.

581

EL CAMINO A LA REALIDAD

§ 1 8.5

(b)

(a)

Fig. 18.13. Composición de velocidades relativistas en el espacio de velocidad hiper­ bólico 1-t+. (a) Para velocidades en la misma dirección, simplemente sumamos las rapi­ deces. (b) Para velocidades en direcciones diferentes, utilizamos una ley del triángulo para componerlas, donde las longitudes hiperbólicas de los lados son la mitad de sus ra­ pideces respectivas. (Compárese con la Fig. 1 1 .4b, que describe la composición de ro­ taciones ordinarias en el 3-espacio, cuya demostración es la misma.)

2 . 1 1 y que describe el infinito para la geometría hiperbólica (p = oo) , representa la velocidad límite inalcanzable e (= 1 ) . La composición d e velocidades e n l a misma dirección s e describe simplemente sumando sus rapideces (i.e., sumando longitudes hiperbóli­ cas); véase la Fig. 18.13a. Podemos componer velocidades en direcciones diferentes simplemente utilizando el procedimiento dado para rotaciones ordinarias en § 1 1 .4, como se ilustra en la Fig. 1 1 .4 (con «signatura con­ mutada» de manera adecuada) . Aquí utilizamos una ley triangular hiperbó­ lica, aplicada a las dos velocidades que se tienen que componer, donde cada una está representada por un segmento hiperbólico cuya longitud hiperbólica es exactamente la mitad de la rapidez que representa (corres­ pondiente al hecho de que las longitudes de arco en la Fig. 1 1 .4 son exac­ tamente la mitad del ángulo que se está rotando) ; véase la Fig. 1 8. 1 3b.

1 8.5. LA ESFERA CELESTE COMO UNA ESFERA DE RIEMANN A continuación echemos una ojeada a la geometría interna de la «fron­ tera en el infinito» para la geometría hiperbólica rf+, donde debemos dejar claro que estamos interesados en el espaciotiempo de Minkows­ ki 4-dimensional completo, de modo que esta frontera es ahora una es582

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§ 1 8.5

fera S 2 en lugar de un círculo (S 1 ) que hemos encontrado como fron­ tera del grabado de Escher de la Fig. 2. 1 1 . Cada punto de esta esfera re­ presenta una dirección a lo largo del propio cono de luz nulo, que repre­ senta la velocidad de la luz límite que es inalcanzable para las partículas masivas. Sin embargo, estas velocidades límite son alcanzables para las partículas sin masa; de hecho, estas son las únicas velocidades permiti­ das para las partículas sin masa en vuelo libre. Afortunadamente, los fo­ tones son partículas sin masa, y podemos ver los fotones. Si miramos al cielo en una noche despejada veremos lo que parece una cúpula he­ misférica por encima de nosotros, salpicada de miríadas de estrellas. De hecho, nos estamos representando de forma realista la familia de los ra­ yos de luz que constituyen el cono de luz centrado en el suceso O que está ocupado por nuestro ojo en el momento en que percibimos el es­ cenario celeste. En realidad, estamos percibiendo solo la mitad de los rayos del cono de luz, pero si imaginamos que nos encontramos en el espacio exterior, con una completa visión de la esfera celeste que nos rodea, entonces tendremos una imagen mejor de la esfera de rayos que constituyen el cono de luz entero de O. Quizá resulta más fácil imagi­ nar que esta esfera representa el cono pasado de O, puesto que nos in­ teresamos en la luz que entra en el ojo y no en la que sale de él. Pero los rayos luminosos, en el sentido de líneas rectas nulas, se extienden en ambas direcciones, desde el pasado al futuro, de modo que podría con­ siderarse que la esfera celeste representa solo esta familia S de rayos lu­ minosos completos que pasan por O. (Véase también §33.2.) Por supuesto, el espacio S es topológicamente una 2-esfera, pero ¿tiene alguna estructura particular digna de mención? Podríamos ima­ ginarlo dotado de una métrica y considerarlo como un espacio rie­ manniano 2-dimensional. La forma más obvia sería tomar una sección del cono de luz, por ejemplo un corte por el 3-plano espacial t = -1 , para obtener (a partir de la ecuación del cono t2 - x2 - y2 - z2 = O) la esfera métrica de radio unidad x2 + y2 + z2 = 1 como representación de S. Alternativamente, podríamos seccionar el cono por t 1 , y de nuevo obtenemos una esfera de radio unidad, estando ambas relacio­ nadas por la aplicación antipodal (que conserva esta métrica) . Pero no hay nada especial en estas formas particulares de seccionar el cono, a menos que discriminemos la línea de universo de algún observador

=

583

§ 1 8.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

particular que pasa por O y utilicemos la coordenada t de dicho obser­ vador. Si otro observador, que podría estar viajando a una velocidad alta con respecto al primero, se encuentra con el mismo suceso O, pue­ de haber cierta distorsión entre el mapa del cielo celeste que hace un observador y el mapa que hace el otro. En realidad, existe un tipo de distorsión que se debe al efecto cono­ cido como aberración estelar, que fue observada por James Bradley en 1 725. Según este efecto, la posición aparente de una estrella en la esfera celeste se desplaza ligeramente con las estaciones, debido al hecho de que la velocidad de la Tierra es diferente cuando está en diferentes lu­ gares en su órbita alrededor del Sol. Este efecto es similar al que suelen observar los automovilistas cuando viajan a gran velocidad bajo la llu­ via. Para quienes están dentro del automóvil parece que la lluvia viene directamente de frente, mientras que desde la perspectiva de un obser­ vador en reposo en el suelo la lluvia cae en dirección vertical. Este efec­ to se debe al hecho de que la velocidad finita de la lluvia debe compo­ nerse de la forma adecuada con la velocidad del automóvil para que pueda discernirse el efecto relativo observado. De hecho, en esta situa­ ción estamos considerando que la velocidad del automóvil es mucho mayor que la de la lluvia, de modo que el efecto aparente principal pro­ cede del movimiento del automóvil. En el caso de la estrella, por el contrario, la variación en la velocidad orbital de la Tierra es mucho me­ nor que la velocidad de la luz de la estrella cuando viaj a hacia nosotros. En consecuencia, la variación estacional en la posición aparente de la estrella es muy pequeña (aproximadamente 20 segundos de arco) . En cualquier caso, el efecto está presente y representa una distorsión de la esfera celeste dependiente de la velocidad, lo que nos dice que no po­ demos considerar que esta esfera tenga una estructura métrica natural, independiente de la velocidad del observador. La cuestión que estoy planteando aquí es si hay alguna bonita es­ tructura matemática en S, más débil que una estructura métrica, que se conserva al pasar del mapa celeste que hace un observador al mapa que hace otro, cuando ambos coinciden en el suceso O cruzándose a gran velocidad relativa. De hecho, sí existe tal estructura, y curiosamente es precisamente la estructura que hemos estudiado antes en §§8.2,3, cuan­ do hemos considerado la esfera de Riemann. Recordemos que la esfe584

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.5

Fig. 18.14. «Efecto de achatamiento» de FitzGerald-Lorentz. Un planeta esférico se mueve hacia la derecha a velocidad v (próxima a la de la luz) con respecto a un siste­ ma de referencia fijo. En ese sistema se describiría como si estuviera achatada en un factor (1 - il/ r) 1 12 en su dirección de movimiento.

ra de Riemann posee una estructura conforme, de modo que aunque no tenga asignada ninguna métrica particular y no hay definida una noción de distancia entre puntos o de longitudes asignadas a curvas, existe una noción absoluta de ángulo definido entre curvas en la esfera. Cualquier transformación admisible de la esfera de Riemann en sí mis­ ma debe conservar esta noción de ángulo. En consecuencia, las formas pequeñas (infinitesimales) se conservan en estas transformaciones, aun­ que sus tamaños pueden cambiar. Además, círculos de cualquier tama­ ño en la esfera se transforman de nuevo en círculos. Esta es, de hecho, la estructura propia de la esfera celeste S. Por consiguiente, cualquier figura circular de estrellas, tal como la percibe un observador, debe ser también percibida como circular por cualquier otro. p s. i o1 Esto sugiere que un etiquetado conveniente de las estrellas del cielo podría con­ sistir en ¡asignar un número complej o a cada una de ellas (admitien­ do también oo) ! No tengo noticia de que dicha propuesta haya sido tm. [18. 1 0] Trate de reconstruir en detalle un argumento ingenioso para esto, que se debe al muy original e influyente teórico relativista irlandés John L. Synge y que ¡no requiere cálculos! El argumento procede aproximadamente como sigue. Considere la configuración geométrica consistente en el cono de luz pasado C de un suceso O y un 3-plano P (de género tiempo) que pasa por O. Sea ¿; la intersección de C y P. Descri­ ba la «historia», a medida que avanza el tiempo, de las descripciones espaciales respec­ tivas de C, P y L:, de acuerdo con algún sistema de referencia minkowskiano concreto. Explique por qué cualquier observador en O ve ¿; como un círculo y, además, que esta construcción geométrica caracteriza, de una forma independiente del sistema, a aque­ llos haces de rayos que se le aparecen a un observador como un círculo. 585

§18.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

adoptada en astronomía, pero el uso de un parámetro complej o se­ mejante, denominado «coordenada estereográfica», relacionada con los ángulos polares esféricos estándar (§2. 1 1 , Fig. 2 . 1 6) por la fórmula

( = éPcot � fJ, P 8· 1 1J es común en la teoría de la relatividad general.7

Esta propiedad puede parecer sorprendente, sobre todo para quie­ nes estén familiarizados con la contracción de FitzGerald-Lorentz en la que se considera que una esfera que se mueve rápidamente con ve­ locidad v sufre un achatamiento en la dirección de su movimiento en un factor J(1 - (-J/ c)); véase la Fig. 1 8. 1 4. (No he discutido explí­ citamente este efecto de achatamiento. Aparece cuando consideramos la descripción espacial de un objeto en movimiento, y puede encon­ trarse en la mayoría de las exposiciones estándar de la teoría de la rela­ tividad) . 8 · ¡ 18· 1 21 Imaginemos que la esfera pasa en dirección horizontal a una velocidad próxima a la de la luz. Es fácil imaginar que este achata­ miento debería ser perceptible para un observador que esté en reposo en el suelo. Por el principio de relatividad, el efecto debería ser idénti­ co al que percibiría un observador que se moviera a velocidad v en di­ rección opuesta mientras la esfera permanece en reposo. Pero para un observador en reposo que ve una esfera en reposo, la esfera es percibi­ da ciertamente como un obj eto con perfil circular. ¡Esto parecería con­ tradecir la afirmación hecha en el párrafo anterior según la cual «lo que se percibe como un círculo va a algo que se percibe como un círculo» ! De hecho, n o hay contradicción, porque este «efecto d e achatamiento» de FitzGerald-Lorentz no es directamente observable. Esto se sigue de una consideración detallada de las longitudes de camino de la luz que llega a un observador con respecto al cual la esfera está en movimien­ to.Véase la Fig. 1 8. 1 5 . La luz que procede de la parte trasera de la esfe­ ra llega al observador desde un punto más lejano que la que procede de la parte frontal de la esfera. 9· 1 1 8 · 131

y=

B_ [18. 1 1 J Deduzca esta fórmula. g¡!j_ [18.12] Trate de obtener esta fórmula utilizando las ideas anteriores de la geome­

tría espaciotemporal. g¡!j_ [18.13] Desarrolle este argumento en detalle para demostrar por qué el achata­ miento de FitzGerald-Lorentz compensa exactamente el efecto que aparece de la di­ ferencia de la longitud del camino. Demuestre que para un diámetro angular pequeño el efecto aparente es una rotación de la esfera, y no un achatamiento. 586

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.6

Fig. 1 8.15. El achatamiento de FitzGerald­ Lorentz no es directamente visible porque lo que para un observador parece ser la parte trasera de la esfera implica una longitud de camino mayor que lo que parece ser la parte frontal de la esfera (pues la parte trasera se aleja del camino de la luz y la parte frontal se mueve hacia él). Por consiguiente, el borde trasero aparente se refiere a una posición de la esfera anterior a la que se refiere el borde frontal, por lo que la imagen sugiere un esti­ ramiento compensatorio en la dirección del movimiento.

1 8.6. ENERGÍA Y MOMENTO (ANGULAR) NEWTONIANOS Hay un último aspecto de la geometría minkowskiana que quiero exa­ minar en este capítulo. Concierne a las importantes cuestiones de la energía, el momento y el momento angular en la teoría de la relatividad. Lle­ garemos a ello enseguida, en § 1 8. 7 , pero antes debería hacer algunos comentarios sobre estos conceptos esenciales en la teoría newtoniana, pues no los he introducido antes en este libro. La importancia vital de estas magnitudes se debe a que son cosas con un significado bien defi­ nido en la teoría newtoniana, y que se conservan -para un sistema sobre el que no actúan fuerzas externas- en el sentido de que la energía, el momento y el momento angular total son constantes en el tiempo. La energía de un sistema puede considerarse compuesta de dos par­ tes, a saber, la energía cinética (i.e., energía de movimiento) y la energía potencial (la energía almacenada en las fuerzas entre partículas) . La ener­ gía cinética de una partícula (sin estructura) , en la teoría newtoniana, viene dada por la expresión

�mtl, 587

EL CAMINO A LA REALIDAD

§ 1 8.6

donde m es la masa de la partícula y v es su velocidad. Para obtener la energía cinética total, simplemente sumamos las energías cinéticas de todas las partículas individuales (aunque cuando hay muchas partículas constituyentes que se mueven al azar, podemos referirnos a su energía como energía térmica; véase §27.3). Para obtener la energía potencial total tenemos que saber algo de la naturaleza detallada de todas las fuerzas implicadas. Ni la energía cinética total ni la energía potencial total tienen que conservarse por separado, pero la energía total sí debe hacerlo. (El primer indicio de ello puede remontarse al estudio de Ga­ lileo del movimiento de los cuerpos baj o la gravedad. Cuando oscila la lenteja del péndulo, partiendo de una posición elevada, su energía po­ tencial gravitatoria, medida por su altura sobre el suelo, se convierte en energía cinética, que después se convierte de nuevo en energía poten­ cial, y luego de nuevo en energía cinética, etc.) El momento lineal p de nuestra partícula es una magnitud vectorial, dada por la expresión p

= mv,

donde v es el vector que describe su velocidad. Para obtener el mo­ mento lineal total tomamos la suma vectorial de todos los momentos individuales. Esta cantidad total también se conserva en el tiempo. ¡is. i4J Recordemos de §§17.2,3 que hay un principio de relatividad váli­ do para la teoría newtoniana (relatividad de Galileo) . ¿Cómo se las arreglan nuestras leyes de conservación para sobrevivir cuando ni la energía ni el momento lineal quedan invariables al pasar de un sistema inercial a otro? Si el segundo sistema se mueve uniformemente con respecto al primero, con una velocidad dada por el vector u , entonces una partícula cuya velocidad es v, en el primer sistema, tiene una velo­ cidad descrita por v u en el segundo. Resulta que la conservación de la energía y el momento lineal en el primer sistema se corresponde con la conservación de la energía y el momento lineal en el segundo sistema, siempre que tengamos en cuenta que la masa también se con-

-

1ª [1 8.14] Utilice la conservación de la energía y del momento para demostrar que si una bola de billar en reposo es golpeada por otra de la misma masa, entonces salen a ángulos rectos (suponiendo una colisión elástica, de modo que no hay conversión de energía cinética en calor). 588

GEOMETRÍA MINKOWSKIANA

§18.6

serva (y asimismo debemos utilizar la tercera ley de Newton; véanse la Fig. 17. 4b y § 1 7 . 3). l18 · 15l Habría que mencionar que en la mecánica newtoniana hay tam­ bién otras magnitudes conservadas, la más importante de las cuales es el momento angular (o momento del momento lineal) , tomado respecto a un punto origen O. Supongamos que el vector de posición de una partí­ cula con respecto a O es x

=

(x 1 x2 x3) '

'

'

siendo x1 , x2, x3 sus coordenadas cartesianas y p su momento lineal; en­ tonces, el momento angular viene dado por

M = 2x /\ p (véase § 1 1 .6 para el significado de /\). 1 0 Para obtener el momento an­ gular total del sistema, simplemente sumamos las cantidades M para to­ das las partículas individuales. ¡ 1 8 · 1 61 En la teoría newtoniana hay también otra magnitud que se conser­ va en el tiempo en ausencia de fuerzas externas que se suele discutir menos que el momento angular. Para una sola partícula, esta es N=

tp - mx,

donde t es el tiempo, y obtenemos el valor total de N sumando los va­ lores individuales para cada partícula. Este total tiene la misma forma que el N dado antes, pero ahora x es el vector de posición del centro de masas y p el momento lineal total. La constancia de esta N total ex­ presa el hecho de que el centro de masas se mueve uniformemente en línea recta; véase la Fig. 1 8 . 1 6. r 1 8· 1 7l Tendremos que plantearnos la siguiente pregunta: ¿cómo queda afectado todo esto por las convulsiones de la relatividad especial? ¿Se­ guimos teniendo los conceptos de energía, momento, momento angu­ lar y movimiento del centro de masas conservados? ¿Qué hay de la f1'l!4 [18. 1 5] Demuestre todo esto. � [18. 1 6] ¿Por qué los patinadores que giran recogen sus brazos para incrementar su velocidad de rotación? f1'l!4 [18. 17] Demuéstrelo. (N.B. El vector de posición del centro de masas es la suma de las cantidades mx dividida por la suma de las masas m.) 589

EL CAMINO A LA REALIDAD

§ 1 8.7

Fig. 18. 16. Movimiento uniforme del centro de masas. La cantidad N = tp - mx, don­ de t es el tiempo y x es el vector de posición del centro de masas, se conserva. Esto ex­ presa el hecho de que el centro de masas se mueve uniformemente en línea recta, con velocidad p/m.

conservación de la masa? La respuesta a las cuatro primeras preguntas es «SÍ», aunque tenemos que tener cuidado en definir estas magnitudes correctamente. Con respecto a la conservación de la masa, sucede algo muy curioso. Las dos leyes de conservación newtonianas independien­ tes para energía y momento se subsumen en una. En un sentido claro, masa y energía se hacen completamente equivalentes entre sí, de acuerdo con la ecuación más famosa de Einstein

E = me, E

donde es la energía total del sistema y m su masa total, siendo e la ve­ locidad de la luz, como antes. En la última sección de este capítulo ve­ remos cómo funciona todo esto.

1 8.7. ENERGÍA Y MOMENTO (ANGULAR) RELATIVISTAS Recordemos de qué forma el espacio y el tiempo llegan a unirse en la teoría de la relatividad para convertirse en la entidad única «espacio­ tiempo», de modo que la coordenada temporal t se añade al vector de posición en el 3-espacio x = (x 1 , x2 , x3) para dar el 4-vector xª

Encontraremos que el momento y la energía llegan a unirse de modo similar. Cualquier sistema finito en relatividad especial tendrá una energía total y un 3-vector momento total p. Estos se unen en

E

590

GEOMETRÍ A MINKOWSKIANA

§18.7

lo que se denomina el 4-vector energía-momento, cuyas componentes espaciales son

0

y cuya componente temporal p mide no solo la energía total, sino tam­ bién de forma equivalente la masa total m del sistema de acuerdo con

p º = E = mé2, que incorpora la famosa relación masa/energía de Einstein. Con unidades más naturales con c = 1 , energía y masa son simple­ mente iguales. Sin embargo, he escrito explícitamente la velocidad de la luz c (i.e., sin escoger unidades espacio/tiempo tales que c = 1) para facilitar la traducción a descripciones no relativistas. Los convenios que estoy utilizando consisten en tomar las componentes métricas gab como la matriz cuyas componentes no nulas son (1 , -c-2 , -c-2 , -c-2) por deba­ jo de la diagonal principal, y cuya inversa g"b tiene (1, -c-2 , -c-2 , -c-2) por debajo de la diagonal principal. Aunque inicialmente se puede considerar la energía-momento como un vector espaciotemporal en este sentido, resulta más conveniente (véan­ se §20.2 y §21 .2) considerarlo como un covector, descrito por cantidad con subíndice p con componentes

ª

Esto tiene un irritante signo menos (aunque la c ha desaparecido) . Cualquiera que sea la versión utilizada (p0 o pª) , el 4-momento satisfa­ ce una ley de conservación. Así pues, en una colisión entre dos o más par­ tículas (o sistemas) , o en la desintegración de una única partícula (o sis­ tema) en dos o más, la suma de todos los 4-momentos antes de la colisión es igual a la suma de todos los 4-momentos después de la mis­ ma. Así pues, la ley de conservación de la energía, la de conservación del momento, y también la de conservación de la masa, están todas subsumidas en esta única ley. La razón para reunirlas de esta forma está en que, en un cambio de sistema de referencia, dichas cantidades se transforman entre sí de la forma correcta para la teoría de la relativi­ dad, como requiere la notación de índices (véase § 1 2.8). Notamos que la masa total de un sistema no es una magnitud esca591

§18.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

lar en la teoría de la relatividad, de modo que su valor depende del sis­ tema de referencia con respecto al cual es medida. Por ejemplo, una partícula cuya masa es m, medida en su propio sistema de referencia, parece tener una masa mayor medida en un segundo sistema con res­ pecto al cual se está moviendo. No obstante, para que el efecto sea sig­ nific ativo, la velocidad relativa entre los dos sistemas tendría que ser comparable a la velocidad de la luz. l18·18I Sin embargo, estos comentarios se aplican solo al tipo de masa que se conserva en el sentido aditivo recién descrito (para un sistema sobre el que no actúan fuerzas externas) . Existe otro concepto de masa en re­ latividad, a saber, la masa en reposo µ, ( ::::: O) , que no depende del sistema de referencia. Esta es igual a la masa medida en el sistema de reposo, i.e. , en el sistema para el que el momento es cero. La masa en reposo µ, es c-2 multiplicado por la energía en reposo (ppª) 1 12 , de modo que y tenemos µ, = c-2 (E2 - c2p2) 1 12 • Aquí estoy adoptando la notación vec­ torial 3-espacial en la que, para un 3-vector a arbitrario, definimos a 2 = a • a = a ; + a ; + a ; . El «punto» denota «producto escalar» (de modo análogo a la notación de § 1 2.3) : con a = (a l ' a , a ) y b = (b l ' h , b ). (Esta notación nos será de utilidad 2 3 2 3 más adelante.) Para una única partícula que es masiva en el sentido de que µ, > O, podemos tomar el 4-momento como la 4-velocida d con una escala dada por la masa en reposo µ,. La 4-velocidad tf es un vector de género tiempo(-futuro) tangente a la línea de universo de la partícula, y cuya longitud (minkowskiana) es e (i.e., un vector unidad si e = 1 ) :

pª = µ,vª, donde v.vª = c2; véase la Fig. 1 8. 17 . Como se ha señalado antes, la masa en reposo de una partícula masiva es la masa (masa-energía) de dicha partícula me� [18. 1 8] Demuestre que la fórmula para la masa aumentada es m(1 de v es la velocidad de la partícula en el segundo sistema; véase infra. 592

-

tl-! r?r1 12, don­

GEOMETRÍ A MINKOWSKIANA

§18.7

4-momento P'

Fig. 18.17. Para una partícula con masa, el 4-momento p' es la 4-velocidad ti escala­ da por la masa en reposo µ, (> O), donde ti es un 4-vector unidad (de género tiempo futuro) tangente a la línea de universo de la partícula (tomando e = 1).

dida en su propio sistema de reposo. Considerando que la 3-velocidad ordinaria de la partícula es v, de modo que v = (dx 1 /dt, dx2/dt, dx3 /dt) don de t = xº obtenemos l 1 8 · 1 9J.l18 ·20J '

'

p = mv ,

m = yµ.,,

ti = y(c, v),

donde

Las partículas también pueden ser sin masa (i.e. , con masa en reposo nula, µ., = O) , siendo el fotón el ejemplo primordial. Entonces el 4-mo� [18.19] ¿Por qué? � [18.20] Utilice la serie de Taylor de §6.4 para obtener (1 + x) 112 = 1 + �x

/

-

�x2 +

A partir de aquí, obtenga un desarrollo en serie de potencias para la ener­ + 6 x3 c gía E = [( µ,) 2 + c2p2] 1 12 de una partícula de masa en reposo µ, y 3-momento p. De­ muestre que el término dominante es precisamente el E = mc2 de Einstein aplicado a la energía en reposo µ, y que el término siguiente es la expresión newtoniana para la energía cinética. Escriba los dos términos siguientes para dar aproximaciones mejores a la energía relativista completa. - • • •

593

§18.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 18.18. La desintegración de un «pión neutro» masivo irº en 2 fotones sin masa. El 4-vector masa­ energía se conserva aditivamente (aunque la masa en reposo no lo hace).

mento es un vector nulo. Puesto que la masa en reposo no se conserva, no hay nada que impida que una partícula masiva se desintegre en par­ tículas sin masa, o que partículas sin masa se unan para producir partí­ culas masivas. De hecho, una partícula conocida como «pión neutro» (denotado por 7T0) se desintegrará normalmente en dos fotones en aproximadamente 1 0-1 6 segundos. No obstante, en cualquier sistema de referencia particular la masa­ energía total (no la masa en reposo) se conserva aditivamente, siendo no nula la masa-energía de cada fotón por separado. La forma en que se suman los 4-momentos se ilustra en la Fig. 1 8 . 1 8. Veamos, finalmente, cómo hay que tratar el momento angular en relatividad especial. Se describe mediante una cantidad tensorial M'b , antisimétrica en sus dos índices: (Véase §22. 1 2 para la relevancia de Mªb para la mecamca cuántica.) Para una simple partícula puntual sin estructura, tenemos 11

594

GEOMETR Í A MINKOWSKIANA

Notas

donde xª es el 4-vector de posición (de forma indexada) del punto en la línea de universo de la partícula en el instante en que se está con­ siderando su momento angular. Si la partícula está en movimiento b inercial, entonces M' es el mismo para to dos los puntos en su línea de universo. [ l3·2 1 I Para obtener el momento angular relativista total, sim­ plemente sumamos los tensores momento angular para cada partícula por separado. Para una partícula individual (no giratoria) , las tres com­ ponentes independientes puramente espaciales M23 , M3 1 , M12 son las componentes (x c2) del momento angular ordinario M = 2x /\ p con­ siderado antes en § 1 8.6, y las restantes componentes independientes M° 1 , M°2 , M°3 constituyen la cantidad N = tp mx (x c2). (La conserva­ ción del N total expresa el movimiento uniforme del centro de masas; véase la Fig. 1 8 . 1 6.) [ 1 8 ·221 Recordemos de § 1 8 .2 que el grupo de Poincaré 1 0-dimensional de simetrías del espacio de Minkowski tiene 4 dimensiones que se re­ fieren a las traslaciones espaciotemporales y las 6 restantes a rotaciones (Lorentz) .Veremos en §20.6 que un principio importante de la mecá­ nica clásica conocido como teorema de No ther relaciona simetrías con leyes de conservación, y en §§21 . 1-5 y §22.8 que algo similar ocurre en la teoría cuántica. Esto proporciona una razón profunda para las le­ yes de conservación para el 4-momento pª y el 6-momento angular b M' , puesto que estas aparecen, respectivamente, a partir de las 4 sime­ trías traslacionales y las 6 simetrías rotacionales (Lorentz) del espacio de b Minkowski. La conservación de pª y M' tiene mucha importancia para el capítulo 2 1 y §§22.8, 1 2 , 1 3 . -

N otas Sección 1 8. 1 1 8 . 1 . Tom Banchoff, de la Brown University, lleva muchos años desarrollan­ do sistemas interactivos de computación con el fin de desarrollar la in­ tuición 4-dimensional, y en particular la visualización de funciones

� [18.21] ¿Por qué? 1ª [18.22] Explíquelo, en detalle, en el caso relativista. 595

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

complej as en términos de superficies de Riemann en C2• Véase Ban­ choff ( 1 990, 1 996) . 1 8 .2. Las cantidades «ds» en esta expresión deberían leerse simplemente como «cantidades infinitesimales» (como las e de § 1 3.6) . Compárese con la nota 1 2.8.

Sección 1 8. 2 1 8.3. Para una discusión particularmente detallada de los papeles de Lorentz, Poincaré y Einstein en el desarrollo de la relatividad especial, véase Sta­ chel ( 1 995), pp. 249-356. En mi opinión, ni siquiera Einstein tenía completa la relatividad especial en 1 905, y se necesitó la perspectiva 4-dimensional de Minkowski de 1 908 para completar la imagen; véa­ se § 1 7.8. 1 8 .4. Existen también elementos inversores del tiempo en el grupo de Poinca­ ré, que envían direcciones de género tiempo futuras a direcciones de género tiempo pasadas.

Sección 1 8. 3 1 8.5. Debería resaltar, sobre todo para aquellos lectores ya familiarizados con la mecánica cuántica, que la noción compleja de «ortogonalidad» que estoy utilizando aquí es necesariamente la holomorfa (puesto que en esto consiste la «complexificación») , y no la noción hermítica de § 13. 9 que entra en la conjugación compleja, y que se utiliza en muchas otras áreas de la matemática y la física. 1 8 .6. Véanse, por ejemplo, Rindler ( 1 982, 200 1 ) , Synge ( 1 956) , Taylor y Wheeler ( 1 9 63) y Hartle (2002). Para una aproximación geométrica axiomática, véase Schutz (1 997) .

Sección 1 8. 5 1 8.7. Véanse, en particular, Newman y Penrose (1966) y Penrose y Rindler ( 1 984, §§1 .2-4, §4. 1 5 ; 1 986, §9.8) . 1 8.8. Véase, por ejemplo, Rindler ( 1 982, 200 1 ) . 1 8.9. Véanse, por ej emplo, Terrell (1 959) y Penrose (1 959) .

Sección 1 8. 6 1 8. 1 O. Algunos lectores pueden estar confundidos por la presencia de un «2» en esta expresión, pero deberían reexaminar la definición de «/\» que

596

GEOMETR Í A MINKOWSKIANA

Notas

xlpjJ t(x;i} - xjpi) . xipj - xjpi.

he dado en § 1 1 .6. Las componentes de x /\ p son Por lo tanto, las componentes de M son

=

Sección 1 8. 7 1 8. 1 1 . Veremos en §22.8 que la mayoría de las partículas (cuánticas) también poseen un espín intrínseco que proporciona una contribución de «espín» constante a M'b (véase §22. 1 2) sumada al «M'¡, orbital» que se da aquí.

19

Los campos clásicos de Maxwell y Einstein 1 9. 1 . EVOLUCIÓN FUERA DE LA DINÁMICA NEWTONIANA En el período comprendido entre la introducción del soberbio esque­ ma dinámico de Newton, que podemos datar en la publicación de sus Principia en 1 687, y la aparición de la teoría de la relatividad especial, que podría fecharse razonablemente en la primera publicación de Einstein sobre el tema ( 1 905), se produjeron muchos desarrollos im­ portantes para nuestras imágenes de la física fundamental. El mayor cambio ocurrido en ese período fue la comprensión, básicamente me­ diante los trabajos de Faraday y Maxwell en el siglo XIX, de que cierta noción de campo fisico, que permea el espacio, debe coexistir con la pre­ viamente aceptada «realidad newtoniana» de las partículas individuales que interaccionan por medio de fuerzas instantáneas. 1 Más tarde, esta noción de «campo» se convirtió también en un ingrediente crucial de la teoría de la gravedad en un espaciotiempo curvo a la que llegó Eins­ tein en 1 9 1 5. Lo que ahora denominamos campos clásicos son el cam­ po electromagnético de Maxwell y el campo gravitatorio de Einstein. Pero hoy día sabemos que hay mucho más en la naturaleza del mundo físico que la sola física clásica.Ya en 1 900, Max Planck había re­ velado los primeros indicios de la necesidad de una «teoría cuántica», aunque se necesitó un cuarto de siglo más antes de que pudiera ofre­ cerse una teoría bien formulada y global. También debería quedar claro que, además de todos estos profundos cambios que se han producido en los fundamentos «newtonianos» de la física, ha habido otros desarrollos importantes, tanto previos a dichos cambios como coexistentes con al­ gunos de ellos en forma de poderosos avances matemáticos, dentro de 599

§19.1

E L CAMINO A LA REALIDAD

la propia teoría newtoniana. Estos avances matemáticos serán el tema del capítulo 20. Tienen interrelaciones importantes con la teoría de los campos clásicos y, lo que es incluso más significativo, constituyen un im­ portante prerrequisito para la comprensión adecuada de la mecánica cuántica que se describirá en capítulos posteriores. Otra área importan­ te de avance sobre la que habría que llamar la atención es la termodiná­ mica (y su refinamiento conocido como mecánica esta dística). Esta estudia el comportamiento de sistemas de un gran número de cuerpos, donde los detalles de los movimientos no se consideran importantes y el com­ portamiento del sistema se describe en términos de promedios de las magnitudes adecuadas. Esta fue una empresa iniciada entre mediados del siglo XIX y principios del xx, y los nombres de Carnot, Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs y Einstein son los protagonistas. Más ade­ lante, en el capítulo 27, abordaré algunas de las cuestiones más funda­ mentales e intrigantes planteadas por la termodinámica. En este capítulo describiré las teorías fisicas de campos de Maxwell y Einstein: la «fisica clásica» del electromagnetismo y la gravitación. La teoría del electromagnetismo desempeña también un papel importan­ te en la teoría cuántica, pues proporciona el «campo» arquetípico para el desarrollo posterior de la teoría cuántica de campos que veremos en el capítulo 26. Por el contrario, el enfoque cuántico apropiado del cam­ po gravitatorio sigue siendo enigmático y controvertido. Abordar estas cuestiones constituirá una parte importante de los últimos capítulos de este libro (a partir del capítulo 28) . No obstante, por lo que se refiere a la fisica que examinaremos inmediatamente, limitaremos nuestra com­ prensión a los campos fisicos en su aspecto clásico. Al inicio de este capítulo me he referido al hecho de que ya en el siglo XIX se había iniciado un cambio profundo en los fundamentos newtonianos, antes de las revoluciones de la relatividad y la teoría cuántica en el siglo XX. El primer indicio de que sería necesario un cambio semejante se produjo con los maravillosos descubrimientos ex­ perimentales de Michael Faraday hacia 1 833, y de las representaciones de la realidad que encontró necesarias para acomodar dichos descubri­ mientos. Básicamente, el cambio fundamental consistió en considerar que las «partículas newtonianas» y las «fuerzas» que actúan entre ellas no son los únicos habitantes de nuestro universo. A partir de ahí había 600

LOS CAMPOS CLÁ SICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

§19.1

que tomar en serio la idea de un «campo» con una existencia propia incorpórea. Fue el gran fisico escocés James Clerk Maxwell quien en 1 864 formuló las ecuaciones que debe satisfacer este «campo incorpó­ reo», y quien demostró que estos campos pueden transportar energía de un lugar a otro. Estas ecuaciones unificaban el comportamiento de los campos eléctricos, los campos magnéticos e incluso la luz, y hoy día son conocidas como las ecuaciones de Maxwell, las primeras entre las ecuaciones de campo relativistas. Desde la perspectiva del siglo xx, cuando se han hecho profundos avances en las técnicas matemáticas (y aquí me refiero en particular al cálculo en variedades que hemos visto en los capítulos 1 2-15), las ecua­ ciones de Maxwell parecen tener una naturalidad y simplicidad con­ vincentes que nos hacen preguntarnos cómo pudo considerarse algu­ na vez que el campo electromagnético pudiera obedecer a otras leyes. Pero semejante perspectiva ignora el hecho de que fueron las propias ecuaciones de Maxwell las que llevaron a muchos de estos mismos de­ sarrollos matemáticos. Fue la forma de estas ecuaciones la que condujo a Lorentz, Poincaré y Einstein a las transformaciones espaciotempora­ les de la relatividad especial, que, a su vez, conduj eron a la concepción de Minkowski del espaciotiempo. En el marco del espaciotiempo estas ecuaciones encontraron una forma que se desarrolló de manera natu­ ral en la teoría de Cartan de las formas diferenciales (§ 1 2.6); y las leyes de conservación de la teoría de Maxwell llevaron en definitiva al cuer­ po de expresiones integrales que ahora se resumen de forma tan bella por esa maravillosa fórmula que se ha mencionado en § § 1 2.5,6 como el teorema fun damental del cálculo exterior. Quizá, pareciendo atribuir todos estos avances a la influencia de las ecuaciones de Maxwell, he adoptado una posición demasiado extrema en estos comentarios. En realidad, aunque no hay duda de que la influencia de las ecuaciones de Maxwell ha sido muy importante a este respecto, muchas precursoras de estas ecuaciones, tales como las ecuaciones de Laplace, D ' Alembert, Gauss, Green, Ostrogradski, Coulomb, Ampere y otras, han tenido también influencias importantes. Pese a todo, seguía siendo la necesidad de entender los campos eléctrico y magnético la que básicamente proporcionó la fuerza impulsora que había tras estos desa­ rrollos -estos y también el campo gravitatorio-. El resto de este capí601

§ 1 9.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

tulo está dedicado a la comprensión de los campos electromagnético y gravitatorio y de cómo encajan en el marco matemático moderno.

1 9 .2. LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE MAXWELL ¿Cuáles son, entonces, las ecuaciones de Maxwell? Son ecuaciones en derivadas parciales (véase § 10.2) que describen la evolución temporal de E del campo eléctrico y las tres compo­ las tres componentes nentes , del campo magnético, donde la densidad de carga eléc­ trica p y las tres componentes de la densidad de corriente eléctrica se consideran dadas. También pueden incluirse algunas otras cantidades que tienen que ver con el medio material dentro del que se considera que se propagan los campos. En las discusiones de la fisicafun damental es normal despreciar aquellos aspectos de las ecuaciones que se relacionan con dicho medio material, puesto que el propio medio consistiría, en realidad, en muchos constituyentes minúsculos, cada uno de los cuales podría tratarse en principio en el nivel más fundamental. También será conveniente escoger las que se denominan unidades «gaussianas», y uti­ lizar coordena das de Min kows ki estándar (§ 1 8. 1) , a saber xº = t, = = y, = z (signatura + ) con unidades espaciotemporales tales que la velocidad de la luz c se toma como unidad (c = 1). E l campo electromagnético y la densidad de corriente de carga s e re­ sumen, respectivamente (de acuerdo con una receta debida originalmen­ te a Minkowski), en una 2-forma espaciotemporal F, denominada tensor de campo de Maxwell, y un vector espaciotemporal], denominado vector de carga-corriente, con sus componentes mostradas en forma matricial como:

E1 , E2, 3

B1 , B2 B3

}1 ,}2,

}3

--

x3

(

F"" F10 F20 F30

FOl F11 F21 F3 1

Faz F12 F22 F32

x1 x, x2

) (-�,2 (f ) m F"' F13 F23 F33

E

1

Ez

E ,

o -B3 B2 E B o -B -E3 -B32 B I o ¡

=

602

)

LOS CAMPOS CLÁSICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

§19.2

Fba = -Fab'

como se exige Nótese que se satisface la antisimetría para una 2-forma. También haré uso de lo que se conocen como los duales de Ho dge de F que son, respectivamente, la 2-forma F la definidas por 3-forma

*], ' Foc * F10 * F20 * F30

(

y],

* Fo 1 * F1 1 * F21 * F31

) ( ) ) ( (;

* Fo2 * F12 * F22 * F32

' F"' * F1 3 * F23 * F33

=

·; , ,,

-B 1 - B 2 o -E3 B2 E3 o B�.3 -E2 E1

-B' E2 -E1 o

*]023 *10 13 *1012

)

* y

* Fab =

donde se satisfacen las propiedades de antisimetría requeridas En términos del tensor de Levi-Civita (§1 2.7), con componentes totalmente antisimétricas normalizadas de 1 , los duales pueden escribirse como modo que

= * F[abJ' *]abe = *]¡a&er

ºabed(= º¡a&"IJ) y

e01 23 =

e

* Fab = le pd y *']abe = eabedj' 2 abed donde la versión ascendida p& de· Fab es simplemente l'ldFed' de acuer­ do con § 1 4.8. Nótese que la versión « ascendida» e"bcd = g"Pg°qg''l' epqrs sa­ tisface e0 1 23 = -1, de donde la de § 1 2.7 viene dada porr19· 1l E"bcd = -e"b'd. E

Véase la Fig. 1 9. 1 para la forma diagramática de estas operaciones «dua­ también de las propias ecuaciones de Maxwell) . Veremos lizadoras» otros relacionados) ten­ que la noción de un «dual» en este sentido drá importancia más adelante, en varios contextos diferentes. Habría que comentar algo sobre el significado geométrico del dual de Hodge. Recordemos de § 1 2.7 que la operación de pasar de un bi­ a su 2-forvector H, como el descrito por la cantidad antisimétrica

(y

(y

H"b,

ma «dual» It*, dada por

� ºa&eµd, no supone mucha diferencia para

su interpretación geométrica. Si H fuera un bivector simple, por ejem� (19.1] Compruebe ambas afirmaciones. 603

§19.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

TI = � Tro . (=

8abcd � - Eabcd)

· b p ,_

rrn - P

g = WJ

illI =

24

]"

�

']abe �

• = - ! l.m

1'I'

= rm

Fig. 1 9 . 1 . Diagrama para los duales de Hodge y las ecuaciones de Maxwell. Las canti­ 1 dades e,&,d = (e¡,&aiJ) y E'&'' = (E '&'dJ), normalizadas de modo que E0 1 23 = E0 1 23 = 1 en un marco de Minkowski estándar, están relacionadas con sus versiones de índices subi­ dos/bajados (por g'" y g,J por e,&,d = - E,&,d y E'&'J = -e'"'d. En el diagrama (centro iz­ quierda, dos líneas inferiores) este cambio de signo de absorbe por una inversión efec­ tiva de índices. En la caja superior derecha están las ecuaciones de Maxwell, primero utilizando el tensor de campo F (con su forma elevada P" = g"l'F,d; cf. Fig. 14.21), de modo que las ecuaciones son 'il,P& = 47Tj', V1,F&,1 = O, y por debajo de ello, utilizando d correspondientemente el dual • F (donde F,& = � e'"''P , *],&, = e,b,df), de modo que 41T & - o. 1as ecuac10nes son v· 1,F&< J - 3 ·1'"'' v• ,p •

·

plo, de modo que la 2-forma W sería también simple (véase el final de § 1 2.7) , entonces el elemento 2-plano determinado por W sería preci­ samente el mismo que el elemento 2-plano determinado por H (con la única diferencia de que, estrictamente, W tiene el carácter de una densidad, como se ha indicado en § 1 2.7) . Por el contrario, la subida de índices que nos lleva de una 2-forma H.& a un bivector H"b (= H,dg'ªib) , tiene u n efecto geométrico más significativo. E n el caso de un bivector simple, el elemento 2-plano determinado por H.& es el complemento ortogonal del elemento 2-plano determinado por Hªb (véase § 1 8.3). El dual de Hodge, tal como se aplica a la 2-forma Ha ' que nos lleva a b d eabcdH' (i.e., a W) , emplea la subida de índices H.& !--.,) H"b, y por con-

�

604

LOS CAMPOS CLÁ SICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

§19.2

Fig. 1 9.2. En el 4-espacio un simple bivector H (H'") representa el mismo elemento

2-plano que su forma «dual» W(�e,,,JHd). Pero la versión de H de índice bajado, sim­ ple 2-forma H,,, que es equivalente a su bivector «dual» �E,b,ftd, representa el elemen­

to 2-plano complemento ortogonal (véase la Fig. 1 8.4). De aquí que sea la subida/ba­ jada de índices en el dual de Hodge la que lleva al paso al complemento ortogonal.

siguiente, implica pasar al complemento ortogonal.Véase la Fig. 1 9.2. En consecuencia, el dual de Hodge que nos lleva de F a * F también implica un complemento ortogonal. Una vez establecida esta notación, las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse ahora de forma muy simple como f1 9 ·2l dF = O ,

d*F = 47r*J.

También podemos escribir las ecuaciones de Maxwell totalmente de forma indexada como f 1 9 -3l

� [19 .2] Escríbalas en detalle, en términos de las componentes de los campos eléc­ trico y magnético, mostrando que estas ecuaciones proporcionan una evolución tem­ poral de los campos eléctrico y magnético, en términos del operador a1at. � [19.3] Demuestre la equivalencia con el par de ecuaciones anterior. 605

§19.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

Nótese que si aplicamos el operador derivada exterior d a ambos miembros de la segunda ecuación de Maxwell d • F = 41T*J, y utiliza­ mos el hecho de que d2 = O (§1 2.6), deducimos que el vector carga­ corriente J satisface la ecuación de «divergencia nula» 1 1 9 .4J d*J = O

o, lo que es equivalente,

Va]ª = O '

En este punto, y como pequeña digresión que más adelante tendrá una importancia considerable para nosotros (§32.2 y §§33.6,8, 1 1 ; véanse § 1 8.3 y el ejercicio [1 8.S] (ii)), vale la pena señalar las partes au­ todual y anti-auto dual del tensor de Maxwell, dadas respectivamente por

(que son complejas conjugadas una de otra) . Resulta que en la teoría cuántica estas cantidades complejas describen, respectivamente, los fo­ tones (cuantos del campo electromagnético) con espín a derechas o a iz­ quierdas; véanse §§22.7, 1 2 y la Fig. 22.7. Las propiedades autodual/anti­ autodual se expresan en1 1 9·5 l

Teniendo en cuenta que *J es real, podemos combinar las dos ecua­ ciones de Maxwell (como partes imaginaria y real respectivamente) en la forma d +p = -21Ti *J.

Los fotones proporcionan la descripción corpuscular de la luz, y en el capítulo 2 1 veremos que la teoría cuántica permite que coexis­ tan una descripción corpuscular y una descripción ondulatoria para la luz. Una de las grandes hazañas de Maxwell fue demostrar me­ diante sus ecuaciones que existen ondas electromagnéticas que viajan con la velocidad de la luz y tienen todas las propiedades de polariza-

� [19.4] Demuestre que las dos versiones de esta divergencia nula son equivalentes. � [19.5] Demuéstrelo probando, primero, que dualizar dos veces produce menos la cantidad original. ¿Tiene relación este signo con la signatura lorentziana del espacio­ tiempo? Explíquelo. 606

LOS CAMPOS CL ÁSICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

§ 19.3

ción conocidas para la luz (y que examinaremos en §22.7). De acuer­ do con estos hechos notables, Maxwell propuso que la luz es en reali­ dad un fenómeno electromagnético. En 1 888, casi un cuarto de siglo después de que Maxwell publicara sus ecuaciones, Heinrich Hertz confirmó experimentalmente la maravillosa predicción teórica de Maxwell. En la descripción explícita anterior he supuesto que el espacio­ tiempo de fondo es el espacio de Minkowski plano M, y las discusio­ nes que siguen, en § § 1 9.3,4, y en la primera parte de § 1 9.5, también pueden considerarse sobre esta base. Sin embargo, esto no es realmen­ te necesario, y todas las conclusiones se siguen aplicando en presencia de curvatura espaciotemporal. Para ello, las componentes dadas antes deben considerarse tomadas con respecto a cierto sistema de Min­ kowski local, y la notación de índices se ocupará del resto. l19·6l

1 9.3. LEYES DE CONSERVACIÓN Y DE FLUJO EN LA TEORÍA DE MAXWELL La divergencia nula del vector de carga-corriente nos proporciona la ecuación de conservación de la carga eléctrica. La razón de que se conoz­ ca como una «ecuación de conservación» se debe al hecho de que, por el teorema fundamental del cálculo exterior (véase § 1 2.6) , tenemos fRd *] = Ían *], de modo que

L*J =

O,

integrado sobre cualquier 3-superficie cerrada Q en el espacio de Minkowski M . (Cualquier 3-superficie cerrada en M es la frontera aR de cierta región 4-dimensional compacta R en M .) Véase la Fig. 1 9.3. La magnitud *J puede interpretarse como el «flujo de carga» a través de Q = aR. Así pues, lo que la ecuación anterior nos dice es que el flujo neto de carga eléctrica a través de esta frontera tiene que ser cero, i.e.,

!fl!i_ [19.6] ¿Puede desarrollar esto? ¿Qué le sucede a las componentes de F y • F en un sistema general de coordenadas curvilíneas? ¿Por qué no quedan afectadas las ecuacio­ nes de Maxwell si se expresan correctamente? 607

§19.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 19.3. Conservación de la carga eléctrica en el espaciotiempo. La 3-superficie ce­ rrada Q es la frontera Q = an de un 4-volumen compacto R, en el espaciotiempo de Minkowski MI, de modo que el teorema fundamental del cálculo exterior nos dice f Q*] = fR.d*J = O, puesto que d*J = O. La cantidad *] describe el «flujo» de carga a tra­ vés de Q, de modo que la carga total que atraviesa Q hacia dentro es igual a la que lo atraviesa hacia fuera, lo que expresa la conservación de carga.

la cantidad total que entra en R tiene que ser exactamente igual a la cantidad total que sale de R: la carga eléctrica se conserva. l19·7l También podemos utilizar la segunda ecuación de Maxwell d * F = = 471' *] para obtener lo que se denomina una «ley de Gauss». Esta ley concreta se aplica en un instante dado t = t0 , de modo que ahora esta� [19.7] Aunque correcto, este argumento ha sido dado de forma algo retórica. De­ sarrolle los detalles completamente, en el caso en que R es un «cilindro» espaciotem­ poral que consiste en una región espacial agotada que es constante en el tiempo, para un intervalo finito dado de la coordenada temporal l. Explique las diferentes nociones de «flujo de carga» implicadas, contrastando el flujo en la «base» y el «techo» de géne­ ro espacio del cilindro con el flujo en los «lados» de género tiempo. 608

LOS CAMPOS CLÁSICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

I

I

/

t = t0

§19.3

Fig. 1 9.4. Dentro de la 3-su­ perficie de tiempo constante t = t,,. la d*F = 47r*] de Max­ well nos da la ley de Gauss, por la que la integral del flujo eléctrico (integral de • F) so­ bre una 2-superficie espacial cerrada mide la carga total ro­ deada (por el teorema funda­ mental del cálculo exterior). De hecho, esto no está restrin­ gido a 2-superficies a tiempo constante, y la ley de Gauss se generaliza por ello.

mas utilizando la versión tridimensional del teorema fundamental del cálculo exterior. La ley nos dice cuál es el valor de la carga eléctrica to­ tal que hay dentro de una 2-superficie cerrada S en el instante t0 (véa­ se la Fig. 1 9.4) , expresando esta carga como una integral sobre S del dual del tensor de Maxwell • F, lo que equivale a decir que podemos obtener la carga total encerrada por S si integramos el flujo total del campo eléctrico E a través de S. 1 19·81 De manera más general, esto se aplica incluso si S no se encuentra en un instante determinado t = t0• Supongamos que S es la 2-frontera de género espacio de cierta región espacial compacta A. Entonces, la carga total X en la región A, rodeada por S (o, en términos espacio­ temporales, «ensartada en» S; véase la Fig. 1 9.4) , está dada por

L• F

=

41TX ,

donde X =

L*].

También podemos obtener un tipo relacionado de ley de conser­ vación a partir de la primera ecuación de Maxwell dF = O. Esta tiene precisamente la misma forma que la segunda ecuación de Maxwell, ex­ cepto que F reemplaza a • F y la «fuente» correspondiente a *] es aho­ ra cero. Por lo tanto, para cualquier 2-superficie cerrada en el espacio de Minkowski, 2 siempre tenemos la ley de fluj o � [19.8] Explique e n detalle por qué esto e s precisamente e l flujo eléctrico. 609

§19.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

Nótese que al pasar de *F a F (o de F a * F) simplemente intercam­ biamos los vectores campo eléctrico y campo magnético (con un cambio de signo para uno de ellos) . La ausencia de una fuente para F es una expresión del hecho de que (hasta donde se sabe) no existen monopolos magnéticos en la naturaleza. Un monopolo magnético sería un polo norte magnético o un polo sur magnético aislado, en lugar de los po­ los norte y sur que siempre aparecen en pares, que es lo que sucede en un imán ordinario. (Estos últimos no son entidades físicas indepen­ dientes, sino que aparecen a partir de la circulación de cargas eléctricas.) Parece que en la naturaleza no hay nunca una «carga magnética» neta («intensidad de polo» no nula) en un obj eto físico. Desde el punto de vista de las ecuaciones de Maxwell únicamente, no parece haber nin­ guna buena razón para la ausencia de monopolos magnéticos, puesto que podríamos añadir un segundo miembro a la primera ecuación de Maxwell dF = O sin ninguna pérdida de consistencia. De hecho, en ocasiones los físicos han contemplado la posibilidad de que realmente pudieran existir monopolos magnéticos y han intentado buscarlos. Su existencia tendría importantes implicaciones para la física de partículas (véase §28.2) , pero de momento no hay ningún indicio de que existan tales monopolos en el universo real.

1 9.4. EL CAMPO DE MAXWELL COMO CURVATURA GAUGE La primera ecuación de Maxwell dF = O tiene también como conse­ cuencia que F = 2dA, para cierta 1 -forma A. (Esto se sigue del «lema de Poincaré», que es­ tablece que si la r-forma a satisface da = O, entonces localmente existe siempre una (r - 1)-forma f3 para la que a = d/J; véase § 1 2.6.) Ade­ más, en una región con topología euclídea, este resultado local se am­ plía a uno global. 3 La magnitud A se denomina potencial electromagné­ tico. No está unívocamente determinada por el campo F, pero está 610

LOS CAMPOS CLÁSICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

§ 19.4

fijada salvo la adición de una cantidad d@,P 9·9l donde €> es un campo escalar real A � A + d@. En forma de índices, estas relaciones son

con libertad

Aa � Aa + Va ®· Esta «libertad gauge» en el potencial electromagnético nos dice que A no es una magnitud localmente medible. No puede haber ningún ex­ perimento para medir «el valor de A» en un punto porque A d @ sir­ ve exactamente para el mismo propósito fisico que A. Sin embargo, el potencial proporciona la clave matemática para la forma en que el cam­ po de Maxwell interacciona con alguna otra entidad fisica 1/1'. ¿ Cómo funciona esto? El papel específico de consiste en que nos proporcio­ na una conexión gauge (o conexión fibrada; véase § 1 5.8)

+

A0

V0 = a/axª - i eA0, donde e es un número real concreto que cuantifica la carga eléctrica de la entidad descrita por 1/1'. De hecho, esta «entidad» será en general una partícula cuántica cargada, tal como un electrón o un protón, y 1/1' se­ ría entonces su función de onda mecanocuántica. El significado com­ pleto de estos términos tendrá que esperar a la exposición del capítulo 2 1 , cuando se explique la noción de una función de onda. Todo lo que necesitamos saber sobre ello ahora es que 1/1' va a considerarse como una sección transversal de un fibrado (§1 5.3) que describe campos car­ gados, y es sobre este fibrado sobre el que actúa V como una conexión. Las magnitudes del campo electromagnético F y A no tienen car­ ga ( e = O) , de modo que ninguna de nuestras ecuaciones de Maxwell, etc., queda alterada por tener esta nueva definición para i.e. , aún te­ nemos = a/axª en dichas ecuaciones, en coordenadas de Minkowsª

V0;

V

ta [19.9] ¿Por qué se puede sumar una cantidad semejante? 611

§19.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

ki planas, o la generalización adecuada (véase § 1 4.3) si estamos consi­ derando un espaciotiempo curvo. ¿Cuál es la naturaleza geométrica del fibrado sobre el que actúa esta conexión? Un punto de vista posible consiste en considerar que este fibrado tiene fibras que son círculos (S 1 s), sobre el espaciotiempo M, que describen una fase multiplicativa e¡6 para 1/'. (Este es el tipo de cosas que suceden en la imagen «Kalu­ za-Klein» mencionada en § 1 5 . 1 pero en ese caso el fibrado entero se considera «espaciotiempo».) Más adecuado es considerar el fibrado como el fibrado vectorial de los valores posibles de 1Jt en cada punto, donde la libertad de multiplicación por una fase hace del fibrado un U(l)-fibrado sobre el espaciotiempo M. (Una cuestión de este tipo ha sido considerada al final de § 1 5.8.) Para que esto tenga sentido, 1Jt debe ser un campo complejo cuya interpretación física es, en un sentido apropiado, insensible al reemplazamiento 1Jt � ei6 1Jt (donde () es algún campo con valores reales en la variedad M ) . Este reemplazamiento se conoce como una traniformación gauge electromagnética, y el hecho de que la interpretación física sea insensible a este reemplazamiento se de­ nomina invariancia gauge. La curvatura de nuestra conexión fibrada re­ sulta ser entonces el tensor de campo de Maxwell F0b. l1 9· 1 01 Antes de seguir con estas ideas es oportuno hacer unos breves co­ mentarios históricos. Poco después de que Einstein introdujera su teo­ ría de la relatividad general en 1 9 1 5,Weyl sugirió en 1 9 1 8 una genera­ lización en la que la propia noción de longitu d se hace dependiente del camino. (Hermann Weyl, 1 885-1955, fue una importante figura mate­ mática del siglo xx. En realidad, de entre todos los matemáticos cuya obra se realizó por completo en el siglo xx, él fue, en mi opinión, el más influyente, y destacó no solo como matemático puro, sino también como físico.) En la teoría de Weyl, los conos nulos retienen el papel fundamental que tienen en la teoría de Einstein (por ejemplo, definir las velocidades límite para partículas masivas y proporcionarnos el «grupo de Lorentz» local que va a actuar en la vecindad de cada pun­ to) , de modo que localmente se sigue requiriendo una métrica g lo­ rentziana (digamos + - - -) con el obj etivo de definir dichos conos. Sin embargo, en el esquema de Weyl no hay escala absoluta para medi� [19.10] Demuéstrelo. Sugerencia: Eche una ojeada a §15.8. 612

LOS CAMPOS CLÁ SICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

§ 19.4

das de tiempo o espacio, de modo que la métrica viene dada salvo pro­ porcionalidad. Así pues, se permiten transformaciones de la forma g � Ag, para una función escalar A (digamos positiva) en el espaciotiempo M , que n o afectan a los conos nulos d e M . (Tales transformaciones se co­ nocen como reescalamientos conformes de la métrica g; en la teoría de Weyl, cada elección de g nos proporciona un gauge posible en términos del cual pueden medirse distancias y tiempos.) Aunque quizá Weyl es­ tuviera pensando más en las separaciones espaciales, será oportuno que las consideremos en términos de medidas temporales (de acuerdo con el punto de vista del capítulo 17 ) Así pues, en la geometría de Weyl no existen «reloj es ideales» absolutos. El ritmo al que cualquier reloj mide el tiempo dependerá de su historia. La situación es «peor» que la que se da en la «paradoja del reloj» es­ tándar que he descrito en § 1 8.3 (Fig. 1 8.6d) . En la geometría de Weyl podemos imaginar a un viaj ero espacial que viaja a una estrella lejana y luego vuelve a la Tierra para encontrar no solo que los que están en la Tierra han envej ecido mucho más, sino también que ¡los reloj es de la Tierra corren ahora a un ritmo diferente del de los reloj es del cohete! Véase la Fig. 1 9.Sa. Utilizando esta sorprendente idea, Weyl fue capaz de incorporar las ecuaciones de la teoría electromagnética de Maxwell en la geometría espaciotemporal. La forma en que lo hizo consistió esencialmente en codificar el po­ tencial electromagnético en una conexión fibrada, igual que he hecho más arriba, pero sin la unidad imaginaria «i» en la expresión para Podemos considerar que el fibrado relevante sobre M está dado por las métricas lorentzianas g que comparten los mismos conos nulos. Así pues, la fibra sobre cierto punto x en M consiste en una familia de métricas proporcionales (en las que, si así lo deseamos, podemos escoger que los factores de proporcionalidad sean positivos) . Estos factores son las posibles «ÁS» en la g � Ag anterior. Para cualquier elección particu­ lar de métrica, tenemos un gauge por el que se definen distancias o tiempos a lo largo de curvas. Pero no hay ninguna elección absoluta de gauge, y por lo tanto ninguna elección preferida de métrica g de entre la clase de equivalencia de las métricas proporcionales. No obstante, .

Vª.

613

§19.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

/ I

�· 1

1

(a)

(b)

Fig. 1 9.5. En la teoría gauge del electro­ magnetismo original de Weyl, la noción de intervalo temporal (o de intervalo es­ pacial) no es absoluta sino que depende del camino tomado. (a) Una comparación con la «paradoja del reloj» ilustrada en la Fig. 1 8.6; en la teoría de Weyl encontra­ mos que el viajero espacial llega a casa (lí­ nea de universo ABC) para encontrar no solo lecturas de reloj diferentes entre las de la Tierra (ruta directa AB) y las de la nave espacial, ¡sino también diferentes rit­ mos de reloj! (b) La curvatura gauge de Weyl (que da el campo de Maxwell F) resulta de este cambio de escala temporal (conforme) cuando rodeamos un lazo in­ finitesimal (diferencia entre dos rutas des­ de p a un punto vecino p') .

existe cierta estructura adicional a esta estructura de conos nulos (i.e., a la estructura conforme), a saber, una conexión fibrada -o conexión gau­ ge- que introdujo Weyl para obtener la F de Maxwell (i.e., F.J como su curvatura. Esta curvatura mide la discrepancia en los ritmos de los re­ lojes como se ilustra en la Fig. 1 9 .5a cuando las líneas de universo di­ fieren solo en una parte infinitesimal; véase la Fig. 1 9. 5b. (Esto puede compararse con el «fibrado tenso» ac, sobre e, considerado en § 1 5 .8, Figs. 1 5 . 1 6 y 1 5 . 1 9 ; el concepto fibrado básico es muy similar.) Cuando Einstein supo de esta teoría, le dijo a Weyl que tenía una objeción fundamental que hacer desde el punto de vista físico, a pesar de la elegancia matemática de las ideas de este. Las frecuencias espec­ trales, por ej emplo, no parecen estar en absoluto afectadas por la histo­ ria de un átomo, mientras que la teoría de Weyl predecía lo contrario. Y lo que es más fundamental, aunque no todas las reglas mecanocuán­ ticas relevantes habían sido completamente formuladas en esa época (y llegaremos a estas más adelante, en §2 1 .4 y §§23. 7 ,8), la teoría de Weyl está en conflicto con la identidad necesariamente exacta entre diferen­ tes partículas del mismo tipo (véase §23.7) . En particular, existe una re­ lación directa entre ritmos de relojes y masas de partículas. Como ve614

LOS CAMPOS CLÁ SICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

§19.4

remos más adelante, una partícula de masa en reposo m tiene una fre­ cuencia natural mc2h-1 , donde h es la constante de Planck y c la veloci­ dad de la luz. Así pues, en la geometría de Weyl, no solo los ritmos de los reloj es, sino también la masa de una partícula dependerán de su his­ toria. En consecuencia, según la teoría de Weyl, dos protones que hu­ bieran tenido historias diferentes tendrían casi con certeza masas dife­ rentes, con lo que se viola el principio mecanocuántico de que las partículas del mismo tipo tienen que ser exactamente idénticas (véanse §§23.7,8) . Aunque esta observación suponía una condena para la versión ori­ ginal de la teoría de Weyl, más tarde se comprendió4 que la misma idea funcionaría si el «gauge» de Weyl se refiriese no al escalamiento real (por A), sino a un escalamiento por un número complejo de módulo unidad (ei8) . Esta puede parecer una idea extraña, pero como veremos en el ca­ pítulo 2 1 y siguientes (véanse muy en especial §§21 .6, 9), las reglas de la mecánica cuántica nos obligan al uso de números complej os en la des­ cripción del estado de un sistema. Existe en particular un número com­ plej o e¡8 de módulo unidad por el que puede multiplicarse este «estado cuántico» -el estado que se suele conocer como 1/1'- sin consecuen­ cias observables localmente. Este reemplazamiento «no observable» 1/1' � ei 8 1/I' se conoce todavía hoy día como una «transformación gau­ ge», incluso si ahora no hay implicado ningún cambio en la escala de longitud, pues el cambio es una rotación en el plano complejo (un pla­ no complej o sin conexión directa con dimensiones espaciales ni tem­ porales) . De esta forma extrañamente retorcida, la idea de Weyl pro­ porcionaba el escenario físico adecuado para una U(1)-conexión del tipo que he ilustrado al final del capítulo 1 5 , y que ahora constituye la base de la imagen moderna de la forma de interacción real del campo electromagnético. El operador V que se ha definido antes a partir del potencial electromagnético (i.e., V = éJ/éJxª ieA) proporciona una ª conexión U(1 )-fibrada en el fibrado de funciones de ondas cuánticas cargadas rf1 (véase §2 1 . 9) . Es interesante que la dependencia de camino de la conexión (que podemos comparar con la dependencia de camino ilustrada en la Fig. 1 9.5) se manifiesta de una forma sorprendente en ciertos tipos de si­ tuaciones experimentales, que ilustran lo que se conoce como el efecto -

615

§ 1 9. 4

E L CAMINO A L A REALIDAD

Aharonov-Bohm.5 Puesto que nuestra conexión V opera solamente en el nivel de los fenómenos cuánticos, no vemos esta dependencia del ca­ mino en los experimentos clásicos; en su lugar, el efecto Aharonov­ Bohm depende de la ínteiferencía cuántica (véanse §21 .4 y la Fig. 2 1 .4) . En la versión más conocida s e lanzan electrones desde una fuente para que atraviesen dos regiones que están libres de campo electromagnéti­ co (F = O) , pero separadas una de otra por un largo solenoide cilíndri­ co (que contiene líneas de fuerza magnéticas), hasta llegar a una panta­ lla detectora que hay detrás (véase la Fig. 1 9.6a) . En ningún momento encuentran los electrones un campo F no nulo. Sin embargo, la región relevante R libre de campo (que empieza en la fuente, se bifurca de modo que pasa a uno u otro lado del solenoide, y se vuelve a unir en la pantalla) no es simplemente conexa, y el campo F fuera de R es tal que no hay elección gauge para la que el potencial A desaparece en to­ dos los lugares dentro de R. La presencia de este potencial no nulo en la región no simplemente conexa R -o, más correctamente, la de­ pendencia de camino de V en R- conduce a un desplazamiento en las franjas de interferencia en la pantalla. De hecho, el efecto de desplazamiento de franjas no depende de ningún valor local especial que pudiera tomar A (lo que no puede ha­ cer, porque A no es localmente observable, como se ha mencionado antes) , sino de cierta integral no local de A . Esta es la cantidad fA, to­ mada a lo largo de un lazo topológicamente no trivial dentro de R. Véase la Fig. 1 9.6b. Puesto que dA se anula dentro de R (porque F = O en R) , la integral fA no se ve afectada si movemos de forma continua nuestro lazo cerrado dentro de R.l1 9·11l De esto resulta evidente que la no anulación de fA, dentro de una región libre de campo, y por lo tan­ to el propio efecto Aharonov-Bohm, depende de que esta región libre de campo sea topológicamente no trivial. Debido a sus orígenes históricos en la notable idea de Weyl (don­ de originalmente sí desempeñó un papel como una «calibración» de­ pendiente del camino) , llamamos a esta conexión electromagnética V una conexión gauge; este nombre se adopta también para las generali­ zaciones del electromagnetismo, conocidas como teorías de «Yang� [ 1 9. 1 1 J Explíquelo. 616

LOS CAMPOS CLÁ SICOS DE MAXWELL Y EINSTEIN

Cañón de electrones

§19.5

Divisor Solenoide de haz

(b)

(a)

Fig. 19.6. Efecto Aharonov-Bohm. (a) Un haz de electrones se divide en dos caminos que pasan por uno u otro lado de una serie de líneas de flujo magnético (que se con­ siguen por medio de un largo solenoide). Los haces se reúnen en una pantalla, y la fi­ gura de interferencia cuántica resultante (compárese con la Fig. 2 1 .4) depende de la in­ tensidad de flujo magnético, pese al hecho de que los electrones solo encuentran una intensidad de campo nula (F = O). (b) El efecto depende del valor de fA, que puede ser no nulo sobre el camino cerrado relevante topológicamente no trivial, pese a que F se anula sobre este camino. La cantidad fA queda inalterada por deformaciones continuas del camino dentro de la región libre de campo.

Mills», que se utilizan en la descripción de las interacciones débil y fuerte en la moderna fisica de partículas. Notemos que la idea de «co­ nexión gauge» sí depende, estrictamente hablando, de la existencia de una simetría (que en el caso del electromagnetismo es la simetría 1Jt � e;9 1JI) que se supone exacta y no directamente observable. Re­ cordemos que la obj eción de Einstein a la idea gauge original de Weyl era, de hecho, que la masa de una partícula, y por consiguiente su fre­ cuencia natural, es directamente medible, y por ello no puede utilizarse como un «campo gauge» en el sentido requerido. Más adelante vere­ mos que esta cuestión resulta muy confusa en algunos usos modernos de la idea «gauge».

19.5. EL TENSOR ENERGÍA-MOMENTO Como prerrequisito para dirigir nuestra atención a ese otro campo clá­ sico fundamental con sus aspectos de «teoría gauge», a saber, el campo gravitatorio, será importante considerar primero la cuestión de la den­ sida d de energía de un campo, pues esta densidad es la fuente de la gra­ vedad. En efecto, la famosa ecuación de Einstein E = me nos dice que masa y energía son lo mismo (véase § 1 8.6) y, como Newton ya nos ha617

EL CAMINO A LA REALIDAD

§ 1 9.5

bía informado, la masa es la fuente de la gravitación. Por ello necesita­ mos entender cómo se puede describir la densidad de energía de un campo, tal como el de Maxwell, y cómo esto puede actuar como fuen­ te de gravedad. Lo que Einstein nos dice es que lo hace a través de una magnitud tensorial conocida como el tensor energía-momento. Este es un tensor simétrico [ �]-valente T (en forma de índices Tab = Tb) que sa­ tisface una «ecuación de conservación» 'Vª Tab = O .

(Para el resto del capítulo utilizamos el operador derivada covariante espaciotemporal Vª en lugar de a/ superior se refiere al «número de pun­ tos» en el 3-espacio euclídeo IE3. Este número es ahora reemplazado por 10, el número real de puntos en nuestro universo de juguete, de modo que 00ª00'" se convierte en 00 ª 1 º" (que denota el número de puntos en un espacio (a X 10")-real dimensional) . Así pues, en lugar de 00200"' para la li­ bertad en una función de onda escalar para n-partículas en [3 , ahora te­ nemos 002 x 1 0" para la libertad en una función de onda de n-partículas para nuestro universo de j uguete. El espacio de Hilbert complejo es ahora H 1 º" para la función de onda de n-partículas de nuestro universo de juguete, frente a H 1 º" para n independientes funciones de onda com­ plejas de 1 -partícula. Así pues, nuestra función de onda de n-partículas está definida en un espacio 2 X 1 011-dimensional (es decir, un espacio de Hilbert 1 011-complej o dimensional) , en lugar de un mero espacio 20n-dimensional para n funciones de onda independientes. Para solo 8 partículas, por ejemplo, esto es 200.000.000 dimensiones en lugar de unas meras 1 60. ,

• • •

·

23.3. ENTRELAZAMIENTO CUÁNTICO; DESIGUALDADES

DE

BELL

¿Qué está haciendo toda esta información extra? Está expresando lo que se conoce como las relaciones de «entrelazamiento» entre las par­ tículas. ¿Cómo hay que entenderlas? Los entrelazamientos entre partí­ culas, una noción que hizo explícita por primera vez Schrodinger ( 1 935b) , son los que conducen a los fenómenos extraordinariamente 783

§23.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

enigmáticos, pero realmente observados, conocidos como efectos Eíns­ teín-Podolskí-Rosen (EPR) . 2 Sin embargo, son aspectos bastante sutiles del mundo cuántico muy difíciles de demostrar experimentalmente de un modo convincente. Llama la atención que tengamos que dirigirnos a algo tan esotérico y oculto a la vista cuando, para sistemas de muchas partículas, ¡casi toda la «información» en la función de onda concierne a tales cuestiones! Este es un enigma al que volveré más adelante (§23.6). En mi opinión, está tratando de decirnos algo sobre las nuevas direc­ ciones en que debería moverse nuestro formalismo cuántico actual. Sea como fuere, nos está diciendo ciertamente algo del poder potencial de la computación cuántica, 3 un tema de investigación actual muy activa que pretende explotar los enormes recursos de «información» que yacen ocultos en estas relaciones de entrelazamiento. Así pues, ¿qué es el entrelazamiento cuántico? ¿Qué son los efec­ tos EPR? Estará más claro si consideramos solo una situación de di­ mensión finita, lo que podemos hacer si nos concentramos solamente en estados de espín. La situación EPR más sencilla es la que consideró David Bohm (195 1). En esta, imaginamos un par de partículas de espín 1 12, pongamos por caso, la partícula P1 y la partícula P0 , que parten de un estado combinado de espín O y luego viajan en sentidos opuestos, una hacia la izquierda y la otra hacia la derecha, hasta detectores res­ pectivos I y D separados a una gran distancia (véase la Fig. 23.2). Supon­ gamos que cada uno de los detectores puede medir el espín en cierta dirección de la partícula que se le aproxima, y esta dirección solo se de­ cide una vez que las dos partículas están bien separadas una de otra. El problema consiste en ver si es o no posible reproducir las predicciones de la mecánica cuántica utilizando un modelo en el que las partículas se consideran entidades de tipo clásico, independientes y desconecta­ das, incapaces cada una de ellas de comunicarse con la otra una vez que se han separado. Como consecuencia de un notable teorema debido al físico norir­ landés John S. Bell, resulta que no es posible reproducir de este modo las predicciones de la teoría cuántica. Bell obtuvo unas desigualdades4 que relacionan las probabilidades conjuntas de los resultados de dos medidas físicamente separadas. Tales desigualdades deben ser necesaria­ mente satisfechas por cualquier modelo en el que las dos partículas se 784

EL ENTRELAZADO MUNDO CUÁNTICO

§23.3

�·----P!..o1....__"i".< -'*-"'!Jlo�P. ..!o�---� D I Fig. 23.2. Experimento mental EPR-Bohm. Un par de partículas de espín 1 12, P1 y P0 se originan en un estado combinado de espín O, y luego viajan en direcciones opuestas, a izquierda y derecha, hacia detectores respectivos I y D ampliamente separados. Cada detector está preparado para medir el espín de la partícula que se le acerca, pero en una dirección que solo se decide una vez que las partículas están en vuelo. El teorema de Bell nos dice que no hay manera de reproducir las predicciones de la mecánica cuánti­ ca con un modelo en el que las dos pueden actuar como objetos independientes de tipo clásico que no pueden comunicarse después de haberse separado.

comportan como entidades independientes una vez que se han separa­ do físicamente, pero las predicciones de la mecánica cuántica las vio­ lan. Así pues, la violación de la desigualdad de Bell indica la presencia de efectos esencialmente cuánticos -siendo estos los efectos de los entrelazamientos cuánticos entre partículas físicamente separadas­ que no pueden ser explicados por ningún modelo que trate a las partí­ culas como objetos reales desconectados e independientes. En la literatura hay ejemplos particularmente sorprendentes de este tipo de violación de la desigualdad de Bell. 5 Algunos de estos, cono­ cidos como «desigualdades de Bell sin probabilidades» , 6 son particu­ larmente notables en cuanto que implican solo resultados sí/no, y no tenemos que preocuparnos por probabilidades, o, más bien, nos preo­ cupamos solo por los casos extremos definidos con probabilidades O («nunca») y 1 («siempre»). Aquí daré únicamente dos versiones explí­ citas de esta contradicción tipo desigualdad de Bell entre partículas cuánticas y partículas individuales. Ambas incluyen un par de partícu­ las de espín 1 12 que viajan independientemente hacia un detector 1 a la izquierda y hacia otro detector D a la derecha. La primera, que sigue un razonamiento debido a Henry Stapp (197 1 , 1979), es un ejemplo directo de la versión original de Bohm para EPR, como se ha men­ cionado antes, y en la que necesitamos examinar valores de probabili­ dad. La segunda, debida a Lucien Hardy (1992), es «casi» una versión sin probabilidades, pero con un ligero matiz extra. Antes de dar estos ejemplos en detalle, necesitaré un poco más de notación (de Dirac) . Supongamos que tenemos un sistema cuántico 785

§23.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

que consiste en dos partes l r/I) y 1 c/J) , que pueden considerarse mutua­ mente independientes. Entonces, si deseamos considerar el estado cuántico que consiste en ambas partes juntas, escribimos esto

l r/J) 1 c/J) . Este es todavía un único estado, y sería legítimo escribir una ecua­ ción tal como 1 x) = l r/I) 1 c/J) que exprese este hecho. El tipo de produc­ to que se está utilizando aquí es lo que los algebristas denominan un producto tensorial, y satisface las leyes (z l r/J)) 1 c/J) = z ( l r/I) 1 c/J)) = 1 r/l) (z 1 c/J)) , ( i O) + l r/I)) 1 c/J) = 1 O) 1 c/J) + l r/I) 1 c/J) , l r/1) ( 1 O) + 1 c/J)) = l r/I) 1 O) + l r/J) 1 c/J) . La operación del producto tensorial se denota habitualmente en la li­ teratura matemática por ®, y el producto l r/I) 1 c/J) podría denotarse me­ diante l r/I) ® 1 c/J) . En cualquier caso, es práctico utilizar el símbolo ® en conexión con los espacios (de Hilbert) a los que pertenecen tales productos. Así, si l r/I) pertenece a W y 1 c/J) pertenece a Hq, entonces l r/I) 1 c/J) pertenece a W ® Hq. La dimensión de W ® Hq es el producto de las dimensio­ nes de sus dos factores, de modo que podríamos escribir legítima­ mente HP ® Hq = Hpq. Estoy admitiendo que o bien uno, o bien ambos, p, q puedan ser oo, en cuyo caso tomamos que el producto es también oo . Solo una parte muy pequeña de H P ® Hq consiste en elementos de la forma l r/J) 1 c/J) (suponiendo p, q > 1), donde l r/I) pertenece a W y 1 c/J) pertenece a Hq. Estos son estados desentrelazados. Un elemento ge­ neral de HP ® Hq sería una combinación lineal de estos estados desen­ trelazados (que puede implicar una suma infinita, si ambos p y q son infinitos) . 7 Sin embargo, deberíamos tener en cuenta que la noción misma de entrelazamiento depende de la separación concreta de nues­ tro espacio de Hilbert entero Wq en algo de la forma W ® Hq. (Nin­ guna separación de un espacio de Hilbert general HP q es preferida a cualquier otra. Algebraicamente, habrá siempre muchas maneras de expresar H" como un producto tensorial, siempre que n sea un núme­ ro compuesto.) En situaciones donde uno está interesado en la noción de «entrelazamiento», la separación concreta de interés fisico es algo razonablemente obvio, muy particularmente cuando hay partículas «individuales» separadas por una gran distancia, que es de lo que trata EPR. 786

EL ENTRELAZADO MUNDO CUÁNTICO

§23.4

A veces es útil utilizar una formulación de índices abstractos para operaciones tales como esta (véase § 1 2.8). El vector ket 1 1/1) podría es­ cribirse lf/', con un superíndice abstracto, y su correspondiente (conju­ gado complejo) vector bra ( 1/1 1 por lf¡ª, con un subíndice abstracto. El paréntesis completo ( 1/1 1 iii-ª�« . . . c/>Nµ.J.

siderar que el operador 1JI* está eliminando simplemente de dicho es­ tado la función de onda específica r/¡ de la partícula.4 En general, es poco probable que la función de onda concreta r/¡ intervenga exacta­ mente como parte del estado. En su lugar, lo que hace 1JI* es formar un producto escalar con la parte del estado que se refiere al tipo de partí­ cula que se está eliminando. (En la Fig. 26. 1 -sobre todo para diver­ sión de los expertos- indico la forma diagramática de lo que entiendo por esto, tanto en el caso fermiónico como en el bosónico, y también presento diagramas que representan el proceso de creación tanto como el de aniquilación.)126·21 De acuerdo con esto, resulta que los operado­ res creación y aniquilación (para el mismo tipo de partícula) deben sa­ tisfacer reglas de (anti)conmutación 1Jl*

O) en el comportamien­ to de nuestro universo. Examinaré más estas cuestiones en §28. 1 O, pero por el momento el lector puede remitirse a la Fig. 27 . 13d,e,f, que pre­ senta los análogos de la Fig. 27 . 13a,b,c, pero donde se ha incorporado una A positiva (suficientemente grande) en las ecuaciones de Fried­ mann. Según el balance actual de observación y opinión entre cosmó­ logos, uno de estos modelos parecería ser una j usta descripción de la historia de nuestro universo real, al menos desde el momento del desa­ cop lamien to, cuando la edad del universo era de unos meros - 3 X 10 5 años, que es aproximadamente 1 /50.000 de su edad actual de unos 1 ,5 X 1 0 1 0 años. Este desacoplamiento es el instante al que efectiva­ mente «miramos en retrospectiva» cuando observamos el fondo de mi­ croondas. Antes del desacoplamiento, el universo habría estado básicamente «dominado por la radiación», y después del desacoplamiento, «domina­ do por la materia». No esperamos que el modelo del «polvo» de Fried­ mann sea apropiado en la fase dominada por la radiación, y más apro­ piado podría ser el modelo lleno de radiación de Tolman (1 934) . Esto no supone una gran diferencia en nuestras imágenes. Acorta la vida media del universo entre el big bang y el desacoplamiento en un fac­ tor de aproximadamente 3/ 4 con respecto a lo que habría sido la pre967

§27 . 1 1

E L CAMINO A L A REALIDAD

Fig. 27 .14. Antes del «desacopla­ miento», que ocurrió cuando el universo tenía unos 300.000 años (solo 1/50.000, aproximadamente, de su edad actual) -la época a la que «miramos en retrospectiva» con la radiación de microondas-, el universo estaba «dominado por la radiación» y la aproximación de «polvo» de Friedman no era váli­ da. En su lugar, tenemos la algo más rápida expansión de Tolman, indicada por la curva interna.

dicción de Friedmann, r27 · 1 7l como se indica en la Fig. 27. 1 4. Los de­ fensores de la cosmología inflacionaria sugieren un cambio mucho mayor en la evolución, a saber, una expansión exponencial que incre­ menta la escala del universo en un factor de quizá 1 060 • ¡Pero esto ha­ bría terminado en la época en que el universo solo tenía unos 1 0-32 se­ gundos, de modo que no supone ninguna diferencia para la apariencia de la Fig. 27 . 1 3 o la Fig. 27 . 1 4! Pese a todo, si la imagen inflacionaria es correcta, las implicaciones en otros aspectos serían enormes. Consi­ deraré la cosmología inflacionaria en §§28.4,5. En cualquier caso, creo que es razonable no incluir la inflación en lo que va a llamarse «el mo­ delo estándar de la cosmología», y aquí no lo haré. 34 Pero ¿cuál de los tres modelos de la Fig. 27 . 1 3d,e,f es probable que sea el apropiado para el universo real? Examinaré esta cuestión en §28. 1 O. Por el momento consideremos que cualquiera de ellos podría ser básicamente correcto. Examinemos un poco más cada una de estas diferentes geometrías espaciales. El caso K > O se representa normalmente como la 3-esfera. Debe­ ría mencionarse, sin embargo, que existe también el espacio proyectivo !Rlfl> 3 obtenido al identificar los puntos antipodales de S3 (véanse §2. 7 y "ª [27 .17] Vea si puede obtener este factor 3/ 4, suponiendo que el comportamiento del modelo del polvo de Friedmann es de la forma t = AR312 para valores pequeños del tiempo 1, y el de la radiación de Tolman es t = BR2 , donde R = R(I) es una medida del «radio» del universo, y A y B son constantes. Sugerencia: ¿Deben empalmar las tangen­ tes a las curvas? 968

EL B!G BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

R

R

R

K > O, A = O (a)

R

K < O, A = O

K = O, A = O

(e)

(b)

§27 . 1 1

A> O (d)

Fig. 27.15. Gráficas de R = R(t) para modelos de Friedmann, primero con A = O : (a) K > O, (b) K = O, (c) K < O, y luego (d) con A > O. (El caso (d) se representa para K = O, pero los otros casos son muy similares siempre que A sea suficientemente gran­ de en relación con la curvatura espacial.)

§§15 .4-6) ; es dificil imaginar que los dos fueran en la práctica observa­ cionalmente distinguibles. Existen otras identificaciones entre puntos separados de S 3 , que dan lo que se denominan espacios lente, pero nin­ guno de estos es globalmente isótropo. 35 El caso K = O (isótropo) es el 3-espacio euclídeo ordinario, y K < O da la 3-geometría hiperbólica que hemos estudiado en §§2.4-7 y § 1 8.4.Véanse las Figs. 2.22a, b y c, respectivamente, para las elegantes e ingeniosas representaciones de M. C. Escher de (las versiones 2-dimensionales de) las respectivas geome­ trías espaciales para K > O, K = O y K < O. El caso K > O habitual se denomina un universo cerrado, lo que significa cerrado espacia lmen te (i.e., contiene una hipersuperficie de género espacio compacta) . 36 Con fre­ cuencia los cosmólogos se refieren a K < O como el caso «abierto», aunque técnicamente el caso K = O es también abierto espacialmente. En consecuencia, no utilizaré aquí esta terminología algo confusa. Si abandonamos la isotropía global, entonces, como sucede con los espa­ cios lente K > O antes mencionados, hay modelos de universos cerra­ dos (no isótropos) también para K = O y K < O. 37 El 4-espacio completo M viene descrito en términos de una evo­ lución temporal para la 3-geometría espacial, como hemos visto, don­ de existe una escala global que cambia con el tiempo. En la imagen es­ tándar, el universo se expande inicialmente de forma muy rápida a partir de un big bang, pero es una ima.gen incorrecta pensar en un «punto central» en el que ocurrió la explosión y del que todo se aleja. Una imagen más apropiada, en el caso de dos dimensiones espaciales, 969

§27 . 1 1

E L CAMINO A L A REALIDAD

es la superficie de un globo cuando se está inflando. Cada punto de la superficie se alej a poco a poco de todos los demás, a medida que pasa el tiempo, y no hay «punto central» en el modelo de universo. En esta analogía, la superficie representa el universo entero. Así pues, el interior del globo no cuenta como parte del universo en expansión; ni lo hace ningún otro punto que no yace en la superficie. Utilicemos la notación d�:" para denotar la forma métrica de una de estas tres 3-geometrías, donde en los casos K * O normalizamos la métrica para que sea la de la 3-esfera unidad o el espacio hiperbólico unidad (i. e. , tomamos K = 1 o K = -1 respectivamente) Y 7· 1 8l La 4-mé­ trica del espaciotiempo puede entonces expresarse en la forma

donde t es un parámetro de «tiempo cósmico», cuyos valores constan­ tes determinan la T, individual, y donde R = R(t) es una función del parámetro temporal t que da el «tamaño» del uni­ verso espacial «en el instante f». Así pues, la métrica de cada T, está dada por R2d:k2 . En la Fig. 27. l Sa,b,c he representado la gráfica de R = R(t) para K = 1 , O, -1 , respectivamente, en el caso original de Friedmann con «polvo» (fluido sin presión) ¡27191 y con A = O, y en la Fig. 27 . 1 S d h e mostrado lo que sucede con una A positiva, siendo similares las cur­ vas para los tres valores de K (con tal de que, en el caso K > O, A sea suficientemente grande para superar el colapso posterior, como real­ mente sugieren las observaciones) . El ritmo de expansión final es en­ tonces exponencial. � [27 . 1 8 J Vea si puede demostrar que d�:2 = dr + sen2cp(dcp2 + sen28 de2) describe la

métrica de una 3 - esfera unidad, y utilice los procedimientos de §18.1 para deducir que d�2 = d1J + sen2X(dx2 + sen20 de2) describe el espacio hiperbólico unidad. Sugerencia: Escriba primero la métrica para una 3 - esfera de radio arbitrario. � [27 . 1 9] La solución del «polvo» de Friedmann para K > O, A = O puede expresar­ se en la forma R = C(l - cos g¡, t = C(g - sen g¡, donde C es una constante y g es un parámetro conveniente. Demuestre que esta es la ecuación de una cicloide -la curva trazada por un punto de la circunferencia de un círculo que rueda sobre una recta ho­ rizontal-. ¿Puede ver cómo pasar del caso K > O al caso K < O utilizando un «truco» similar a l utilizado en § 1 8. 1 y el ejercicio [27 16] y a K = O tomando un límite ade­ cuado (que impüca un reescalamiento de coordenadas)? .

970

,

EL BIG BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

§27. 1 2

2 7 1 2 DIAGRAMAS CONFORMES .

.

Para comprender lo que se entiende por el término «universo observa­ 3 ble», es útil emplear lo que se conoce como un diagrama conforme 8 en el que una representación (con frecuencia 2-dimensional) del espacio­ tiempo se presenta de modo que las direcciones nulas están dibujadas a 45° respecto de la vertical, y donde también se representa el infinito como (parte de) la frontera del diagrama. La letra script .Y se utiliza normalmente -y se pronuncia «scri»- para esta noción de «infinito», donde « §+» se utiliza para el infinito futuro (o futuro nulo) , «alcanza­ do» en última instancia por rayos de luz salientes, y « _y-» para el infini­ to pasado, para rayos de luz entrantes. Normalmente resultan ser 3-su­ perficies nulas en la teoría de Einstein estándar con A = O (sin término 3 cosmológico), y 3-superficies de género espacio si A > 0. 9 Los diagramas conformes muestran la estructura causal del espacio­ tiempo, donde lo que nos interesa es la familia de conos nulos, antes que la métrica espaciotemporal completa. Esta es la versión lorentzia­ na de la geometría conforme que hemos visto en §2.4, §8.2 y § § 1 8.4,5 (definida como una clase de equivalencia de métricas, siendo g equiva­ lente a O!-g, donde n es una función escalar en el espaciotiempo, de modo que {l modifica la escala de distancia de un lugar a otro) . En §2.2 hemos visto cómo puede representarse el plano hiperbólico ente­ ro de forma conforme en una región finita del plano euclídeo (Figs. 2. 1 1 , 2 . 1 2 y 2. 1 3) . La idea de un diagrama espaciotemporal conforme es bá­ sicamente la misma, pero ahora es la métrica lorentziana (no definida positiva) la que se está representando de forma conforme. La nueva ca­ racterística clave es que en geometría lorentziana los propios conos nu­ los definen la geometría conforme. En dos dimensiones, el cono nulo consiste en un par de direccio­ nes nulas, y esto determina la 2-métrica salvo un factor local conforme. Una situación en la que una representación 2-dimensional semejante es especialmente valiosa es aquella en la que existe simetría esférica en el 4-espacio entero. Entonces podemos considerar que este 4-espacio­ tiempo es un 2-espaciotiempo que está «rotado», de modo que cada punto del 2-espacio representa un S2 entero en el 4-espacio. Para tales espaciotiempos, los diagramas conformes pueden hacerse completa971

§27 . 1 2

EL CAMINO A LA REALIDAD

mente precisos, y para estos haré uso de la noción de un diagrama con­ forme estricto. Los diagramas conformes que no son estrictos se deno­ minarán esquemáticos. Los puntos de un diagrama conforme estricto re­ presentan esferas S 2 (métricas) enteras. (En el caso de un espaciotiempo lorentziano n-dimensional del tipo que se podría considerar en teoría de cuerdas, etc. -véanse §§31 .4,7-, estas serían (n - 2)-esferas s" - 2 .) Lugares excepcionales, donde puntos del diagrama representan simples puntos espaciotemporales, se dan en aquellas partes de la frontera del diagrama que describen un eje de simetría. Dichas partes se indican por líneas de puntos, de modo que hay que considerar que el diagrama se rota alrededor de dicha línea de puntos. f27 ·20l Las partes de la frontera que representan el infinito están indicadas por líneas continuas, y aque­ llas partes que representan singularidades están indicadas por líneas quebradas.Véase la Fig. 27. 1 6a. Hay también ciertas esquinas donde se unen diferentes líneas de la frontera de un diagrama conforme. Las que están indicadas por pequeños círculos vacíos o deben considerarse como una representación de 2-esferas enteras (como la frontera de un 3-espacio hiperbólico; véase §2.4) , mientras que las indicadas por pun­ tos llenos • se consideran mejor como representación de puntos (esfe­ ras de radio cero) . La Fig. 27. 1 6b es el diagrama conforme estricto para el espacio de Minkowski, y la Fig. 27 . 1 6c, para el colapso gravitatorio de un agujero negro de Schwarzschild (el colapso con simetría esféri­ ca descrito en la Fig. 27 . 1 1 ) . En la Fig. 27 . 1 7 he representado los res­ pectivos modelos cosmológicos de la Fig. 27 . 1 3 Y7 ·21l Los diagramas conformes son útiles porque hacen particularmente manifiestas las propiedades de causalidad de los espaciotiempos. Nóte­ se, por ejemplo, que en el colapso esféricamente simétrico a un aguje­ ro negro mostrado en la Fig. 27 . 1 6c, el horizonte del agujero negro

f1!!J. [27.20] Vea si puede obtener explícitamente el 4-espacio minkowskiano de la Fig. 27 . 1 6b, tomando la mitad derecha del 2-espacio minkowskiano entero (métrica ds2 = dr - dr, con r ;::: O), y rotando alrededor del eje vertical de este modo. Exprese la métrica del 4-espacio utilizando funciones apropiadas de t, r y ángulos polares esféricos (J, cfJ (véase el ejercicio [27. 1 8]). (Para fines de visualización, trate de obtener primero un 3-espacio minkowskiano, en el que la rotación es ahora de un tipo más familiar.) f1!!J. [27.21] Trate de ver cómo encajan los diagramas de las Figs. 27. 1 1 y 27. 1 6b. En­ cuentre factores conformes que multiplican las métricas para cada uno de los ejemplos de las Figs. 27. 1 6 y 27. 17. 972

EL BIG BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

§27 . 1 2

Eje de simetría

'-.. Infinito

" f

�ngularidad •

O

Punto Esfera 52 (a)

(b)

(c)

Fig. 27 . 1 6. Los diagramas conformes son representaciones planas d e espaciotiempos, dibujadas habitualmente de modo que las líneas nulas en el espaciotiempo que yacen en el propio plano están orientadas a 45º de la vertical, y donde el «infinito» suele re­ presentarse como una frontera finita para la figura, donde el factor conforme entre la métrica física y la del diagrama va a cero en la frontera. (a) En un diagrama conforme estricto (en contraposición a esquemático), cada punto en el interior del diagrama repre­ senta una 2-esfera exacta; pero sobre un eje de simetría (mostrado con una línea de tra­ zos), esta 2-esfera se contrae a un punto, como lo hace en una esquina marcada con • ; pero en una esquina marcada con o, el punto frontera sigue siendo conformemente una 2-esfera. El infinito está indicado con una línea sólida frontera (a menudo denota­ da J -pronunciado «scri»-); las singularidades se indican como fronteras con líneas onduladas. (b) Diagrama conforme estricto para el espacio de Minkowski M. (c) Dia­ grama conforme estricto para la Fig. 27 . 1 1 , que demuestra el colapso esféricamente si­ métrico a un agujero negro.

está a 45°. Cualquier línea de umverso de una partícula material no puede inclinarse más de 45° respecto a la vertical, de modo que no puede escapar de la región interior que hay tras el horizonte una vez que la ha cruzado. Además, una vez en el interior de dicha región está obligada a caer en la singularidad (Fig. 27 . 1 8a) . La singularidad parece ser una frontera futura de género espacio para la parte interior del es­ paciotiempo, un hecho que es algo contraintuitivo desde la perspecti­ va más convencional de la Fig. 27 . 1 1 . La situación mostrada por el big bang desempeña un papel similar al inverso temporal de este, actuando 973

EL CAMINO A LA REALIDAD

§27 .12

� 1

1 1

A=O (a)

1

1 1 1 1

� '

A>O

1 1

1 1 1 1 1 1

1

K> O

'

K< O

K= O

I C> C> (f)

(e) ...(d) ............-..

Fig. 27 . 17. Diagramas conformes estrictos para los respectivos modelos de Friedmann de la Fig. 27. 13: (a) K > O, A = O; (b) K = O, A = O; (c) K < O, A = O; (d) K > O, A > O (y A suficientemente grande); (e) K = O, A > O; (f) K < O, A > O.

como una frontera pasada de género espacio para el espaciotiempo (Fig. 27 . 1 8b) . Esto es de nuevo algo contraintuitivo, puesto que tende­ mos a pensar en el big bang como un punto (singular) . 40 El carácter de género espacio de esta frontera inicial nos lleva a la noción de un horizonte de partículas, que es un aspecto importante del big bang. Consideremos la Fig. 27 . 1 8b, donde un observador está en un punto p próximo a la frontera big bang. La región del universo que puede transmitir información al observador es aquella sobre o dentro del cono de luz pasado de p, y notamos que esta intersecta solo a una porción P de la hipersuperficie inicial del big bang. 4 1 Partículas creadas en el big bang en la región exterior a P están ocultas a la ob­ servación en p. Estas regiones están más allá del horizon te de partículas de p. Decimos que yacen fuera del universo observable de p, siendo esta par­ te observable del universo la que yace sobre o dentro del cono de luz pasado de p. r27 · 221 � [27 .22] Remitiéndose a los diagramas conformes que se dan aquí, demuestre que para K = O o K < O, donde A = O, el universo observable de una partícula que se origi­ na en p aumenta para incluir el universo entero, en el límite de tiempo futuro de la par­ tícula, mientras que esto no es cierto para el caso K > O, o para cualquier K (en los ca­ sos mostrados en la Fig. 27 . 17) si A > O (donde se da un «horizonte de sucesos cosmológico»). 974

EL BIG BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

§27.13

Singularidad en .Y +

big bang (b)

(a)

Fig. 27. 1 8. Horizontes. (a) El horizonte de sucesos ocurre cuando una frontera futu­ ra -ya sea una singularidad o el infinito- es de género espacio en un diagrama con­ forme esquemático. A medida que un observador p se aproxima a la frontera, siempre queda alguna porción del espaciotiempo (cuya frontera está definida como un hori­ zonte de sucesos) que p no puede ver, aunque de qué parte se trata exactamente, de­ pende de cómo se mueve p. (Por ejemplo, el suceso q es visto finalmente si p toma la ruta izquierda, pero no la ruta derecha.) En el caso de un agujero negro, el «horizonte de sucesos» más familiar de una naturaleza más absoluta (de puntos, en la figura) que es común a todos los observadores externos. (b) Los horizontes de partículas ocurren en todas las cosmologías estándar, y aparecen debido a que la singularidad pasada es de gé­ nero espacio. El observador en p ve solo la porción limitada P del big bang (y de las partículas producidas allí), aunque esta porción crece con el tiempo.

27. 13. NUESTRO EXTRAORDINARIAMENTE E SPE CI AL BIG BANG

Volvamos ahora al extraordinario «carácter especial» del big bang. El hecho de que debe haber tenido una entropía absurdamente baj a es ya evidente por la mera existencia de una segunda ley de la termodiná­ mica. Pero una entropía baj a puede tomar muchas formas diferentes. Queremos entender en qué forma concreta era especial nuestro univer­ so inicialmente. Una propiedad especialmente chocante -y en apariencia contra­ dictoria- del big bang procede de una excelente evidencia observa­ cional a favor de que el universo muy primitivo estaba en un esta do tér­ m ico. Parte de esta evidencia es la excepcional proximidad a la curva teórica de «cuerpo negro» de Planck (véanse §21 .4 y la Fig. 2 1 .3b) que muestra la radiación de fondo de microondas de 2, 7 K que representa el «destello» real del big bang, todavía hoy en evidencia, aunque enor­ memente enfriada por el «desplazamiento hacia el rojo» debido a la ex975

§27 . 1 3

EL CAMINO A LA REALIDAD

errores

1 O y A = O. La presencia de al­ gunas irregularidades42 en el material original puede conducir a con­ densaciones gravitacionales, y supongamos que estas son suficientes para producir galaxias que contienen agujeros negros sustanciales (di­ gamos 1 06M1J , lo que nos da una entropía por barión de aproximada­ mente 1 021 • Si consideramos que nuestro universo cerrado tiene apro­ ximadamente 1 080 bariones (aproximadamente el contenido bariónico del universo observable) , esto da una entropía total de 1 0 1 0 1 , mucho mayor que el 1 088 que habría en la radiación y la materia en el instan­ te del desacoplamiento, del oren de 300.000 años después del big bang. Los aguj eros negros galácticos crecerían poco a poco, pero el incre­ mento principal ocurriría durante la fase de colapso del universo, cuando las galaxias vuelven a juntarse y sus agujeros negros coalescen. El big crunch final no es del tipo ordenado mostrado en la Fig. 27 . 1 6a, que es el inverso temporal del big bang simétrico neto FLRW; es más parecido al temible revoltij o de la coalescencia de singularidades de agujero negro mostrada en la Fig. 27.20a. Podemos estimar la entropía de este revoltijo de un big crunch utilizando la fórmula de la entropía de Bekenstein-Hawking un poco antes de su estado final, cuando todavía podemos considerar que el revoltijo está compuesto de agujeros negros reales, acercándose a la aglomeración de agujero negro final en la que están implicados la totalidad de los 1 080 bariones. El valor de S8H para 977

EL CAMINO A LA REALIDAD

§27 . 1 3

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 27.20. (a) Si en el caso K > O, A = O de la Fig. 27. 13a permitimos irregularidades del tipo que vemos en nuestro universo real, entonces, en lugar del big crunch «limpio» del modelo de Friedmann exacto, obtenemos un temible amasijo de singularidades de agujero negro coaguladas de entropía enormemente mayor (S 1 0 1 23). (b) Esto no de­ pende de A = O, pues análogamente podáamos considerar perturbaciones correspon­ dientes de la inversa temporal de la Fig. 27 .13d (K > O, A > O) y de nuevo obtenemos una amasijo similar de entropía enormemente alta (S 101 23) de agujeros negros coa­ gulados. (c) Un big bang genérico se parecería al de la inversa temporal de semejante colapso genérico (ilustrado para K > O y A = O o A > O). (d) La situación más «proba­ ble» (como la curva de la Fig. 27.Sa) -ilustrada en el caso K > O, A = O por claridad­ no guarda ninguna similitud con el universo real en sus etapas primitivas. =

=

este número de bariones, que es 10 123 , no debería estar demasiado lejos de la respuesta para la entropía que debe asignarse a este revuelto big crunch. En este punto, el lector puede objetar razonablemente que, inclu­ so si es cierto que K > O, las observaciones actuales parecen apuntar fuertemente en contra de la hipótesis A = O que he hecho, y que Gun­ to con los límites observados sobre la curvatura espacial) el valor posi­ tivo observado de A parece ser suficientemente grande para impedir la ocurrencia de la fase de colapso que he considerado, aunque con la ex­ pectativa de una expansión exponencial final en su lugar. Sin embargo, si se expresa adecuadamente, la discusión precedente sigue siendo apli­ cable, y se encuentra la misma medida del valor de la entropía (- 10 123) disponible para un universo cerrado de 1 0 80 bariones independiente­ mente de A > O. Para el inverso temporal del universo descrito por la Fig. 27. 13d, tan solución de las ecuaciones dinámicas es esta como la descrita por la propia Fig. 27 . 1 3d (mientras consideremos leyes diná978

EL BIG BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

§27 . 1 3

micas que deberían ser reversibles en el tiempo) . Si consideramos per­ turbaciones de este universo, podemos encontrar modelos en los que agujeros negros ya formados se juntan y producen un tipo de «revolti­ jo» de aguj eros negros que coagulan similar al que teníamos antes (véa­ se la Fig. 27.20b) . Una vez más, llegamos a un valor de la entropía que, por el mismo razonamiento que antes, es del orden de (Este tipo de razonamiento tendrá importancia de nuevo cuando consideremos la cosmología inflacionaria en §28. 5 .) Nos vemos llevados así a una estimación razonable para el volumen total de Pu (que es en esencia el mismo que el volumen E de la caja E de entropía máxima de la Fig. 27 .4) , a saber, la exponencial de este va­ lor de entropía:

10123•

"' E = e1 0

=

1 010

"'

r27·23l

muy aproximadamente. (Esto procede de la S = k log V de Boltz­ mann, en unidades naturales.) Ahora bien, ¿cómo se compara esto con lo que sabemos del volumen N de la caja N para la entropía hoy y con el tamaño B de la caj a B para la entropía en el big bang (suponiendo, por ahora, que vivimos en un universo de 1 080 bariones) ? Tomando la estimación de aguj eros negros dada arriba para la entropía actual y el valor de 1 08 para la entropía por barión en la radiación de 2,7 K, obte­ nemos

B: N: E =

1 0 1 0"': 1 0 1 0"" : 1 0 1 0'".

Se sigue que cada uno de los

B y N es solo

una parte en 1 0 1 0 del volumen total E. Además, el volumen

"'

B es solo

una parte en 1 O 1 0

""

del volumen N del espacio de fases del universo actual.

� [27.23] ¿Por qué son estas cifras -dentro de la precisión expresada por el núme­ ro «123»- prácticamente iguales? ¿Por qué el valor real de B no aparece en las con­ clusiones siguientes? 979

§27 . 1 3

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 27.21 . Creación del universo: ¡una descripción extravagante! La aguja del Crea­ dor tiene que encontrar una caja minúscula, solo de 1 parte en 1 0 1 0"·' del volumen del espacio de fases entero para crear un universo con un big bang tan especial como el que realmente encontramos.

Para apreciar el problema planteado por el volumen absurdamente minúsculo del espacio de fases de 8, podemos imaginar al Creador tra­ tando de utilizar una aguja para localizar este minúsculo punto en el espacio Pu, y poner en marcha el universo de modo que se parezca al que conocemos hoy. ¡En la Fig. 27.21 he dibujado una representación imaginaria de este tremendo suceso! Si el Creador se equivocase en lo más mínimo al señalar este punto y hundiera la aguja de forma efecti­ vamente aleatoria en la región de máxima entropía E, entonces el re­ sultado sería un universo inhabitable como el de la Fig. 27 .20d en el caso A = O, K > O, pero por lo demás bastante parecido al caso de eter­ na expansión de 27 .20c, en el que no hay ninguna segunda ley que de­ fina una direccionalidad temporal estadística (como en la Fig. 27. 8a) . (Las cosas n o s e explican mucho mejor si imaginamos que nuestro Creador pretende meramente construir un universo en el que hay se­ res sintientes como nosotros. Esto plantea la cuestión del «principio antrópico»; discutiré estas materias en §§28.6, 7 y §34. 7 .) Por el contrario, podría ser muy bien que el universo sea espacial­ mente infinito, quizá como los modelos FLRW con K = O o K < O. Esto no invalida el argumento anterior. Podemos imaginar que lo aplicamos solo al universo observable (en el instante actual) en lugar de al univer­ so entero. Suponiendo que el universo actualmente observable contie980

EL BIG BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

§27 . 1 3

ne aproximadamente 1080 bariones, es dificil ver que las condiciones an­ teriores resultasen seriamente afectadas. Por el contrario, si aplicamos el argumento al universo como un todo (tomando todavía FLRW como una buena aproximación) , obtenemos simplemente un requisito de pre­ cisión infinita por parte del Creador, en lugar de una mera precisión ab­ surdamente grande. No veo cómo resuelve esto en modo alguno el di­ lema que presenta el «ajuste» extraordinariamente preciso que estaba inherente en el big bang -un correlato esencial de la segunda ley. ¿Qué mensaje extraemos de estas consideraciones? Hemos apren­ dido no solo que el big bang origen del universo fue extraordinaria­ mente especial, sino también algo importante sobre la naturaleza de este carácter especial. En lo que concernía a la materia (incluido el electromagnetismo) , la descripción de «equilibrio térmico», en el con­ texto de un universo en expansión, parece haber sido muy apropiada. Esta es la imagen acertada de «big bang caliente», que es un ingredien­ te importante del modelo estándar de la cosmología. Al cabo de apro­ ximadamente 1 0- 11 s, la temperatura cayó a 1 09 K. Esta caída en tem­ peratura habría estado de acuerdo con el ritmo de expansión de Tolman- Friedmann, y muchos detalles observacionales (por ej emplo, razones hidrógeno/deuterio/helio) son compatibles con los procesos nucleares que tendrían lugar a esas temperaturas posteriores. Pero para la gravitación las cosas eran completamente diferentes en cuanto que los grados de libertad gravitatorios no fueron «termaliza­ dos» en absoluto. La misma uniformidad (i.e., naturaleza FLRW) de la geometría espaciotemporal inicial era lo que resultaba especial en el big bang. El hecho de que un estado singular inicial para el universo «no necesita haber sido así» se ilustra en la Fig. 27.20c -o en el inver­ so tempora l del big crunch físicamente apropiado de la Fig. 2 7 .20a. La gravedad parece tener un estatus muy especial, diferente del de cual­ quier otro campo. En lugar de compartir la termalización que en el universo primitivo se aplica a todos los demás campos, la gravedad per­ maneció aparte, con sus grados de libertad a la espera, de modo que la segunda ley entraría en juego a medida que estos grados de libertad empiezan a asumirse. Esto no solo nos da una segunda ley, sino que nos da una de la forma concreta que observamos en la naturaleza. ¡La gra­ vedad parece haber sido diferente! 981

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

Pero ¿por qué era diferente? Entramos en áreas más especulativas cuando intentamos dar respuestas a una cuestión de este tipo. En el ca­ pítulo 28 veremos algunas de las formas que han ensayado los fisicos para tratar de entender este enigma y otros relacionados concernientes al origen del universo. En mi opinión, ninguno de estos está muy cer­ ca de abordar el enigma del párrafo precedente. Creo que tendremos que volver a un examen de los mismos fundamentos de la mecánica cuántica, pues tengo la firme convicción de que estas cuestiones están conectadas muy profundamente. Haremos esto en el capítulo 29. En el capítulo 30 trataré de presentar una buena medida de mi propia pers­ pectiva sobre estas cuestiones fundamentales.

N otas Sección 2 7. 2 27 . 1 . Esto es cierto si consideramos que la dinámica es totalmente clásica. Técnicamente, un «sistema caótico» es un sistema clásico en el que un minúsculo cambio en el estado inicial puede dar como resultado un comportamiento posterior que crece exponencialmente con el tiempo en lugar de, por ej emplo, linealmente. Esta «impredecibilidad» es, por supuesto, una cuestión de grado y no la cuestión de principio con res­ pecto al determinismo que a veces se le atribuye. 27 .2. Esto supone que los calores específicos son positivos, que es lo nor­ mal. Pero con los agujeros negros esta hipótesis suele ser falsa; véase §3 1 . 1 5 . 27.3. No obstante, existe la curiosa «paradoja» de que en la vida ordinaria ¡las cosas son normalmente al revés! Con frecuencia hacemos «retrodiccio­ nes» precisas recordando simplemente lo que sucedió en el pasado, mientras que no tenemos un correspondiente acceso al futuro. Además, las investigaciones arqueológicas pueden extender estos «recuerdos» a tiempos muy anteriores a la existiencia de seres humanos. Sin embar­ go, esta retrodicción no implica la evolución de las ecuaciones dinámi­ cas, en ningún sentido obvio, y su conexión detallada con la segunda ley sigue estando oscura para mí. (Véase Penrose, 1 979.)

982

Notas

EL BIG BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

Sección 27.3 27.4. Véase Pais ( 1 986) . 27. 5 . Véanse Gibbs ( 1 960) , E hrenfest y Ehrenfest ( 1 959) y Pais ( 1 982) . 27 .6. En realidad, el propio Boltzmann nunca utilizó esta constante, puesto que no estaba interesado en las unidades reales que pudieran utilizarse en la práctica; véase Cercignani ( 1 999) . La fórmula S k log V, que incluye esta constante, parece haber sido escrita explícitamente por primera vez por Planck; véase Pais ( 1 982) . =

Sección 2 7. 5 27.7. D e Eddington (1 929a) .

Sección 2 7. 6 27.8. Véanse Hawking y Ellis (1 973), Misner et al. (1 973),Wald (1 984) y Hart­ le (2002) . 27.9. Véase Gold (1 962); véase Tipler ( 1 997) para estas ideas llevadas a una conclusión bastante fantasiosa. 27. 10. Véase Penrose ( 1 979a) .

Sección 27. 7 27. 1 1 . Algunos años antes que Hubble, en 1 9 1 7, el astrónomo estadouniden­ se Vesto Slipher ya había encontrado algún indicio de que el universo se está expandiendo. Véase Slip her ( 1 9 1 7) . Aunque rara vez se le reco­ nocen estas observaciones, ¡también tiene la distinción de haber des­ cubierto Plutón! 27. 12. Esta radiación fue predicha teóricamente por primera vez por George Gamow en 1 946, sobre la base de la imagen del big bang, y más explí­ citamente por Alpher, Bethe y Gamow en 1 948; luego lo fue también independientemente por Robert Dicke en 1 964. Fue descubierta ob­ servacionalmente (por accidente) por Amo Penzias y Robert Wilson, en 1 965, e interpretada enseguida por Dicke y sus colegas. Véanse Al­ pher et al. ( 1 948) , Dicke et al. (1 965) , y por supuesto Penzias y Wilson ( 1 965) , ¡posiblemente el artículo con el título más modesto de todos los tiempos! 27. 1 3. Para más discusiones, véase Penrose ( 1 979, 1 989) . 27 . 1 4. De hecho, la Tierra devuelve en total una energía ligeramente mayor que la que recibe. Ignorando la cuestión del quemado por parte del hombre de «combustibles fósiles», que finalmente devuelve alguna

983

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD energía recibida del Sol y almacenada en la Tierra hace muchos millo­ nes de años (y, en el extremo opuesto de la escala, ignorando el conse­ cuente calentamiento global que resulta del «efecto invernadero» por el que la Tierra atrapa un poco más de energía solar que antes), existe el calentamiento del interior de la Tierra por la desintegración radiactiva que se pierde poco a poco en el espacio a través de la atmósfera.Véase §34. 1 0.

Sección 27. 8 27 . 1 5 . Véanse Michell ( 1 784) y Tipler et al. (1 980) . 27. 1 6. Véase Penrose ( 1 978). 27 . 1 7. Véase Van Kerkwijk (2000) para la situación en este tema. 27. 1 8. Véanse Schwarzschild ( 1 9 1 6), o la presentación moderna en Wald (1 984) . 27 . 1 9 . Véase Na rayan (2003) para una reciente evidencia.

Sección 27. 9 27.20. La ocurrencia de lo que se conoce como una «superficie atrapada» es una caracterización útil de semejante «punto de no retorno».Una su­ perficie atrapada es una 2 -superficie de género espacio compacta S con la propiedad de que las dos familias de normales nulas a S convergen en el futuro. (En términos más «coloquiales», esto significa que, si un destello de luz se origina en S, entonces las áreas de las partes entran­ tes y salientes del destello empezarán a disminuir.) Esperamos encon­ trar superficies atrapadas dentro del horizonte 1t de un agujero negro. La fuerza del criterio de la superficie atrapada reside en que no depen­ de de ninguna hipótesis de simetría, y es «estable» frente a pequeñas perturbaciones de la geometría. Una vez que se ha formado una su­ perficie atrapada, entonces las singularidades son inevitables (supo­ niendo ciertas condiciones muy débiles y razonables respecto a la cau­ salidad y positividad de la energía en la teoría de Einstein) . Resultados similares son válidos para la singularidad big bang cosmológica. Véanse Penrose ( 1 965b) y Hawking y Penrose (1 970) . 27. 2 1 . Véanse Penrose ( 1 965b) y Hawking y Penrose ( 1 970) . Wald ( 1 9 84) revisa estos teoremas en un marco pedagógico. 27.22. Véanse Penrose ( 1 969a, 1 998b) y Belinskii et al. ( 1 970) . 27.23. Véase Penrose ( 1 969a, 1 998b) . 27.24. Véanse Reeves et al. (2002) para una visión más actualizada sobre estas materias, y Chen y Wang ( 1 999) ; también Hansen y Murali (1 998) para la teoría de colisiones.

984

EL BIG BANG Y SU LEGADO TERMODINÁMICO

Notas

Sección 2 7. 1 0 27.25. Véanse Israel (1 967), Carter (1 970), Hawking ( 1 972) y Robinson (1975). 27.26. Véanse Kerr ( 1 963) y Newman et al. ( 1 965) en el caso cargado. Wald (1 984) tiene una presentación pedagógica. 27.27. Como las elipses de Kepler mencionadas al principio de este capítulo, la métrica de Kerr aporta otra de aquellas situaciones excepcionales donde hemos sido bendecidos con la buena fortuna de que, a partir de las leyes dinámicas, aparecen realmente configuraciones geométricas relativamente simples. 27.28. Véase Chandrasekhar ( 1 983) , p. 1 . 27.29. De hecho (como veremos en §31 . 1 5 ; véase también la nota 27.26), hay un parámetro adicional que describe la carga eléctrica total (que es una cantidad conservada; véase § 1 9 .3) . Pero para agujeros negros astrofísi­ cos realistas, puede ser ignorada en la geometría de agujeros negros, ya que es minúscula en comparación con m y a, debido a la fuerte ten­ dencia del aguj ero negro a neutralizarse eléctricamente. 27.30. Por supuesto, habría que tener cuidado en no confundir esta « e» con la base de los logaritmos naturales e = 2,71 8281 8285 . . . ; véase §5.3.

Sección 2 7. 1 1 27.3 1 . Véanse Smoot et al. ( 1 99 1 ) para la evidencia de COBE y Spergel et al. (2003) para WMAP. 27 .32. Liddle (1 999) es una soberbia introducción a la cosmología. Wald (1 984) cubre el tema con un nivel más sofisticado. 27.33. Véanse Bondi ( 1 96 1 ) , Rindler (2001 ) y Dodelson (2003). 27.34. El término «modelo de concordancia» ha surgido para describir la si­ tuación para la que K = O y A > O, donde la inflación está también in­ corporada.Véanse Blanchard et al. (2003) y Bahcall et al. ( 1 999) .Véase §28.1 O para mi valoración del estatus actual de esto. 27.35. Una posibilidad más bien peculiar es que los antiguos griegos tuvieran razón (Fig. 1 . 1 ) y el universo sea realmente un dodecaedro (o más bien una versión encolada de uno) .Véase Luminet (2003). 27 .36. El término hipersupeificie se refiere a una subvariedad (n - 1 )-dimensio­ nal de una n-variedad. Aquí T, es una 3-superficie de género espacio. 27.37. Véanse Killing ( 1 893) y Wolf (1 974) .

Sección 27. 1 2 27.38. A veces s e conocen como «diagramas d e Penrose» o «diagramas de Carter-Penrose». Los utilicé por primera vez en mi conferencia de Var-

985

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

sovia ( 1 9 62) ; la noción sistemática de un diagrama conforme estricto fue introducida por Carter (1 966) . 27.39. Véanse Penrose ( 1 964, 1 965a) , Carter ( 1 966) , Penrose ( 1 963, 1 964, 1 965a) y Penrose y Rindler (1 986), capítulo 9 . 27 .40. Ciertos modelos hipotéticos e n los que e l b i g bang ( o más bien e l big crunch) es conformemente (i.e., causalmente) un punto -conocido como el «punto {},»- encuentran apoyo en algunos teóricos; véase Ti­ pler ( 1 997). No obstante, no conozco ninguna discusión, compatible con los argumentos del capítulo 27, que haga tales modelos físicamen­ te plausibles. 27.4 1 . Véase la nota 27.36 para el término hipersuperficie. En este caso vemos que el big bang, en su representación conforme, es 3-dimensional. (Po­ demos contrastarlo con algunas otras representaciones, véase Rindler, 200 1 .)

Sección 27. 13 27.42. A menudo se considera que e l fenómeno responsable, e n última instan­ cia, de tales irregularidades son las «fluctuaciones cuánticas» en la densi­ dad inicial de materia en el big bang. (Esto se discutirá en §30. 1 4.)

28 Teorías especulativas del universo primitivo 28. 1 . RUPTURA ESPONTÁNEA DE SIMETRÍA EN EL UNIVERSO PRIMITIVO Hasta este punto del libro, nuestras consideraciones se han mantenido dentro del alcance de la teoría fisica firmemente establecida, donde im­ presionantes datos observacionales han proporcionado un poderoso apoyo a las a veces algo extrañas ideas teóricas que han entrado en jue­ go. Algunos de mis argumentos han sido presentados de una forma li­ geramente diferente de como se suelen encontrar en la literatura, pero no creo que exista nada controvertido en ello. En este capítulo empe­ zaré a abordar algunas ideas más especulativas que están relacionadas con las cuestiones que plantea la naturaleza especial del big bang. En particular, consideraré las ideas de la cosmología inflacionaria, además de otras que se relacionan con la ruptura espontánea de sime­ tría en el universo primitivo (véase §25 .5) . Algunos lectores versados en ciertas ideas de uso común en cosmología quizá encuentren enig­ mático que sitúe tan firmemente la cosmología inflacionaria en el campo «especulativo» . De hecho, las exposiciones divulgativas suelen dar la impresión de que es un hecho establecido que en las etapas muy primitivas del universo hubo un período de expansión exponencial en el curso del cual el universo aumentó de tamaño en un factor de 1 030 , o quizá incluso de 1 060 o más. Otros lectores entendidos quizá estén incluso más alarmados por el hecho de que considere el fenómeno ge­ neral de la ruptura espontánea de simetría en el universo primitivo como una idea especulativa. En cualquier caso, las nociones que deseo abordar en este capítulo no tienen de momento ningún apoyo signifi987

§28.1

EL CAMINO A LA REALIDAD

cativo e inequívoco (si es que tienen alguno) por parte de la observa­ ción, y se puede plantear perfectamente la pregunta de si estas ideas tienen o no auténtica relevancia para la naturaleza. Empecemos con la idea general de ruptura espontánea de simetría. Recordemos la potencia de esta idea para producir QFT renormaliza­ bles, en las que la renormalizabilidad saca provecho de una simetría («oculta») mayor que la que se manifiesta directamente en el compor­ tamiento observado. Esta ausencia de una simetría completa en lo que se observa se atribuye a la elección por parte del sistema de un «estado vacío» que no comparte la simetría completa de la teoría dinámica. En particular, esto constituyó un ingrediente clave en la parte electrodébil del modelo estándar de la física de partículas. Más aún, este tipo de ideas, que implican diferentes «vacíos» posibles, son también un ingre­ diente esencial de la inflación, y estas nociones de ruptura espontánea de simetría y «falsos vacíos» son también invocadas habitualmente por los teóricos que buscan esquemas cada vez más unificados. Sin embar­ go, debería dejar claro que la ruptura espontánea de simetría propia­ mente dicha no es una idea especulativa. Tiene una relevancia induda­ ble para muchos fenómenos físicos genuinos (la superconductividad es un excelente ejemplo) . Se aplica por supuesto a muchos fenómenos bien establecidos, con frecuencia de una forma elegante y satisfactoria. D e ninguna manera voy a arrojar dudas sobre la idea en sí misma. Mi problema con ella es que temo que sea una idea con tanto atractivo que pueda incitar a los fisicos a emplearla a veces con demasiada gene­ ralidad, y a veces en circunstancias inadecuadas. La idea de ruptura espontánea de simetría se suele introducir de una forma gráfica haciendo referencia al fenómeno delferromagnetísmo. Imaginemos una bola esférica y maciza de hierro. Podemos considerar sus átomos como pequeños imanes que, debido a las fuerzas involucra­ das, tienen tendencia a alinearse paralelamente a sus vecinos, norte con norte y sur con sur. Cuando la temperatura es suficientemente alta, por encima de un valor crítico que es de aproximadamente 770 ºC ( 1 .043 K) , la energía de agitación térmica de los átomos superará esta tenden­ cia al alineamiento magnético y el material no mostrará ninguna pro­ pensión a convertirse en un imán a gran escala, pues habrá una dispo­ sición efectivamente aleatoria en las orientaciones de sus pequeños 988

TEORÍAS ESPECULATIVA;:, ;::; ,;:r, UNIVERSO PRIMITIVO

§28.1

imanes atómicos. Pero a una temperatura por debaj o de 770 ºC (el de­ nominado «punto de Curie»), la alineación de los átomos resultará energéticamente favorable, y en una situación ideal el hierro quedaría completamente magnetizado. 1 Imaginemos ahora que nuestra bola de hierro está inicialmente ca­ lentada por encima de 770 ºC (pero no a una temperatura tan alta que pueda fundirse) , de modo que inicialmente es una bola desmagnetiza­ da. Luego se enfría poco a poco hasta bajar de los 770 ºC críticos. ¿Qué sucede entonces? La tendencia natural para la esfera es encontrar un estado de mínima energía, y la energía de las vibraciones internas de sus átomos se transfiere al entorno más frío. Debido a las interac­ ciones entre átomos vecinos, la energía mínima se alcanza cuando to­ dos los átomos están alineados, de modo que la bola se magnetiza con una dirección definida para su polaridad norte/sur. Pero no hay nin­ guna dirección favorecida respecto a las demás. Existe lo que se deno­ mina una degeneración en los estados de mínima energía (compárese con §22 .6) . Al no haber una dirección favorecida en su estado caliente y desmagnetizado inicial, la dirección de magnetización final se produce a l azar. Este es un ejemplo de ruptura espontánea de simetría: el estado inicial esféricamente simétrico se asienta en un estado con una sime­ tría menor, a saber, tan solo la simetría de rotación alrededor del eje magnético norte/sur resultante. Un estado S0 (3)-simétrico (la bola caliente desmagnetizada original) evoluciona hacia un estado S 0 (2)­ simétrico (la bola fría magnetizada; véanse § § 1 3. 1 ,2,3,8, 10 para el sig­ nificado de estos símbolos) . La imagen utilizada para describir una situación de este tipo es la de un potencial tipo «sombrero mexicano» que se muestra en la Fig. 28. 1 . El «sombrero» representa la familia de estados permitidos del sis­ tema (cuando la temperatura ambiente se ha enfriado hasta cero) , y la «altura» representa la energía del sistema. Observamos que hay un esta­ do de equilibrio (i.e. , que tiene un plano tangente horizontal) representa­ do por el punto más alto de la copa del sombrero que posee la simetría completa del grupo original, y que en la imagen viene representada como una rotación alrededor del eje vertical. (Esta simetría de rotación S0 (2) se considera análoga a la simetría S0 (3) completa de la bola de hierro, pero hemos tenido que perder una dimensión espacial para ha989

§28.1

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 28. 1 . Ruptura espontánea de simetría, con un potencial tipo «sombrero mexica­ no» para los estados permisibles en un sistema donde la altura mide la energía. El es­ tado de un sistema está representado por una canica, restringida a la superficie del sombrero. Cuando la temperatura ambiente es suficientemente alta (por encima del punto de Curie), el estado de equilibrio del sistema está representado por la canica en reposo en la cima, y tiene simetría rotacional completa (S0(2)), en esta imagen sim­ plificada). Pero cuando la temperatura se enfría, la canica rueda hacia abajo, hasta al­ canzar finalmente un punto arbitrario de equilibrio en el ala, rompiendo la simetría ro­ tacional completa.

cer visualizable la imagen. Este punto más alto de la copa del sombre­ ro representa la total falta de magnetización para la bola en conjunto.) Pero este equilibrio -que representa el estado no magnetizado- es inestable y no representa el núnimo de las energías disponibles. Estos núnimos son los estados representados por las partes horizontales -el equivalente a un círculo completo- justamente dentro del ala del sombrero (los puntos diferentes en el ala representan diferentes direc­ ciones de magnetización total en la bola de hierro) . Podemos imaginar que el estado está inicialmente en la copa, re­ presentado por una «canica» colocada inicialmente en dicho punto para representar el estado fisico, dej ada allí por el estado anterior de alta temperatura. Pero la falta de estabilidad significa que la canica cae­ rá rodando desde dicho punto (suponiendo la existencia de ciertas influencias perturbadoras aleatorias) y finalmente encontrará un pun­ to de reposo en el ala. Cada punto en el ala en el que pudiera asen­ tarse la canica representa una dirección de magnetización diferente que la bola podría adquirir finalmente. Esta localización de la canica representa el estado fisico final. Pero debido a la degeneración rota­ cional, no hay ningún lugar favorecido donde la canica llegue al repo­ so. Todos estos puntos de equilibrio en el ala están en pie de igualdad. Se supone que la elección que hace la canica es aleatoria, y una vez 990

TEORÍ AS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28. 1

que s e h a hecho dicha elección, la simetría s e ha roto, en una direc­ ción escogida al azar. Un fenómeno de esta naturaleza, en el que una reducción en la temperatura ambiente induce un abrupto cambio global en la natura­ leza del estado de equilibrio estable del material, se denomina transición de fase. En nuestro ej emplo de la bola de hierro, la transición de fase ocurre cuando la bola pasa del estado desmagnetizado (cuando la tem­ peratura está por encima de 770 ºC) al estado uniformemente magne­ tizado (temperatura por debajo de 770 ºC) . Más familiares son los fe­ nómenos de congelación (en el que el estado pasa de líquido a sólido cuando desciende la temperatura) y, en un proceso inverso, la ebulli­ ción (en la que el estado pasa de líquido a gas cuando aumenta la tem­ peratura) . Una transición de fase, cuando desciende la temperatura, suele estar acompañada por una reducción de simetría, pero esto no es esencial. En procesos QFT, una transición de fase se describiría frecuente­ mente en términos de una nueva elección de estado vacío (como el 1 B) de §26. 1 1) , donde se imagina que el estado pasa por «efecto tú­ nel»2 de un vacío a otro. Sin embargo, esta descripción debe tomarse como una aproximación, puesto que no hay ningún proceso mecano­ cuántico (unitario) por el que un estado pueda evolucionar desde un sector a otro (aquí un «sector» se refiere a los estados que pueden cons­ truirse a partir de una elección concreta del estado vacío 1 8) , y los es­ tados en diferentes sectores pertenecen a diferentes espacios de Hil­ bert; véanse §§26.5, 1 1) . La aproximación, que implica considerar que un sistema es infinito, cuando en la práctica es finito, es evidentemente una buena aproximación en situaciones prácticas. Por ejemplo, el fenó­ meno bien establecido de la superconductividad (en el que la resisten­ cia eléctrica se reduce a cero cuando la temperatura es suficientemen­ te baja) se trata de esta forma, y la superconductividad es una transición de fase que acompaña a la reducción de simetría que rompe la simetría U (1) ordinaria del electromagnetismo. En el ejemplo específico ilustrado en la Fig. 28. 1 , la simetría se rompe a partir del grupo de rotaciones axiales S0 (2) para dar el gru­ po trivial («SO ( l)»), que contiene solo un elemento (de modo que toda la simetría se pierde finalmente, en este ejemplo, pues la posición 991

§28.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

de reposo de la canica rompe por completo la simetría) . 3 Pero versio­ nes de este «sombrero» en dimensiones más altas ilustran la ruptura es­ pontánea de simetría desde SO(p) a SO(p - 1 ) , con p > 2 Y ª· 1 l (Nues­ tra bola de hierro ilustra el caso p = 3.) También podemos utilizar la imagen del «sombrero mexicano» para ilustrar la ruptura desde U(2) a U ( l ) que ocurre en el modelo estándar de la fisica de partículas, l28 · 2l donde se considera que la simetría electrodébil U(2) (véase §25 .5) se rompe en la simetría U ( l ) del electromagnetismo a una temperatura de aproximadamente 10 1 6 K, algo que habría ocurrido 10- 12 s después del big bang. En las teorías GUT más generales (véase §25 .8), están involucrados otros grupos tales como SU(5), y podemos concebir di­ ferentes etapas de ruptura de simetría que ocurren a diferentes tem­ peraturas. Así pues, a cierta temperatura mucho más alta que 1 0 1 6 K (i.e., en un instante significativamente anterior a los 1 0- 12 s inmedia­ tamente después del big bang), SU(5) podría romperse primero en algo que contiene de manera adecuada4 tanto el SU(3) para las inte­ racciones fuertes como el SU(2) X U(1)/Z 2 (i.e., U(2)) que se necesi­ ta para la teoría electrodébil.

28.2. DEFECTOS TOPOLÓGICOS CÓSMICOS

No obstante, deberíamos tener en cuenta que es poco probable que esta ruptura de simetría tenga lugar «de una vez», y que muy bien pue­ den aparecer dominios en los que la simetría está rota en «direcciones» diferentes. Consideremos de nuevo nuestra bola de hierro; cabría espe­ rar que la elección aleatoria de la dirección de magnetización fuera di­ ferente en diferentes lugares dentro de la bola. Podríamos imaginar que, si el enfriamiento es suficientemente lento, entonces estas no uni­ formidades podrían «alisarse», para dar solo un imán uniforme. 5 Pero, � [28.1] Demuestre que el «sombrero» con forma E = (x� + . . . + xP2 - 1)2 muestra esta ruptura de simetría. !!!J. [28.2] Demuéstrelo, con U(2) actuando en C2, con coordenadas complejas (w, z) , estando dado el «sombrero» por E = ( [ w J 2 + [z J2 - 1)2• ¿Puede ver la geometría de esta reducción de simetría en la configuración de los paralelos de Clifford en S3, descrita en §1 5.4 e ilustrada en las Figs. 15.8 y 33. 1 5? 992

TEORÍ AS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.2

Fig. 28 . 2. Idealmente, cuando un material ferro­ magnético se enfría lentamente desde su punto de Curie, las direcciones de magnetización de sus átomos se alinearán todas en la misma dirección (arbitraria). Pero, en la práctica (o con un enfria­ miento demasiado rápido), obtenemos un «mo­ saico» de tales direcciones de magnetización.

alternativamente, con un enfriamiento más rápido, podríamos encon­ trarnos con un «mosaico» de direcciones parecido al ilustrado en la Fig. 28.2. El tamaño de las celdas resultantes y las pautas que presentan po­ dría depender, entre otras cosas, de la velocidad a la que tiene lugar el enfriamiento. Se plantea así la cuestión de con qué facilidad tiene lu­ gar la «comunicación» entre diferentes regiones, y con qué facilidad podría ser «reorientada» la dirección de magnetización en una región de la bola bajo la influencia de regiones vecinas. Más serios e interesantes son los defectos topológicos que no pue­ den ser eliminados en absoluto mediante un movimiento continuo al­ rededor de las direcciones de magnetización en el interior de la bola. Un defecto semejante es un «monopolo magnético de Dirac» (un polo magnético norte o sur aislado) . Un monopolo semejante no puede producirse en el espacio ordinario con un conjunto de imanes y co­ rrientes. l2ª·3l Sin embargo, se puede conseguir un monopolo efectivo si permitimos que la carga magnética sea «evacuada» a lo largo de un «ca­ ble de Dirac», como en la Fig. 28.3. Si se admiten cargas magnéticas en la teoría de Maxwell (§ 1 9.2), entonces el «cable» aparece solamente en el potencial A (§ 19 . 4) , y puede eliminarse por completo por la adop­ ción del apropiado punto de vista «fibrado» (§ 1 5 .4) . Un tipo similar de monopolo existiría también en adecuadas teorías gauge no abelianas. Estas complicaciones en la imagen de la reducción espontánea de simetría, parcialmente ilustrada antes en el ejemplo «de andar por casa» de una bola de hierro, tienen también relevancia en el nivel más esoté.@ [28.3] Demuéstrelo apelando a las expresiones integrales del capítulo 19. 993

§28.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

! Sur

� Norte

Fig. 28.3. Un monopolo magnético podáa aparecer si de alguna forma «evacuamos» el exceso de «polo sur» en el centro de la esfera a lo largo de un «cable magnético». Con fuentes magnéticas permitidas en la teoáa de Maxwell, dicho polo podáa inser­ tarse en el centro, y el «cable» (Dirac) solo tiene que ocurrir como una falla en el po­ tencial A. Esta falla puede eliminarse con el apropiado punto de vista «fibrado» (tales monopolos también se dan en adecuadas teoáas gauge no abelianas).

rico de las teorías físicas básicas (tales como la teoría electrodébil o las GUT) que dependen fundamentalmente de la idea de ruptura espon­ tánea de simetría. Cabe esperar que haya defectos topológicos a gran escala (cosmológica) si tal ruptura espontánea de simetría tuvo lugar en el universo primitivo. En general (para un espacio 3-dimensional) , existen tres tipos básicos de defecto topológico, dependiendo de la di­ mensión de las regiones en las que residen esencialmente. Estos son los denominados monopo los (cósmicos, que son espacialmente O-dimensio­ nales) , cuerdas cósm icas (espacialmente 1 -dimensionales) y paredes de dom inios (espacíalmente 2-dimensionales) . La dimensión depende de cuestiones topológicas que tienen que ver con los grupos involucra­ dos. El punto importante en relación con los defectos topológicos es que ningún movimiento continuo de la «dirección» de la ruptura de si­ metría puede eliminarlos (donde consideramos que, en el defecto pro­ piamente dicho, no hay ninguna dirección bien definida de ruptura de 994

TEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.2

simetría, aunque una variación continua de esta dirección tiene lugar en otra parte) . D ebemos tener en cuenta que esta noción de «direc­ ción» no se refiere a una dirección en el espacio ordinario, sino a una noción más abstracta de «dirección» que ocurre dentro del modelo fi­ sico en consideración (por ej emplo, en la teoría electrodébil, donde nos dice qué grado de mezcla electrón/neutrino se está considerando). Desde el punto de vista geométrico, deberíamos pensar en términos de un fibrado vectorial sobre el espaciotiempo (véase el capítulo 1 5, si se necesita recordar esta noción) . Las consideraciones topológicas se si­ guen aplicando, y los defectos topológicos presentarían problemas se­ rios que no pueden ser «tomados a broma» si se va a tomar seriamente la ruptura de simetría como parte de una teoría fisica básica. De hecho, se ha considerado seriamente que cuerdas cósmicas de escalas enormes (incluso mayores que galácticas) son los agentes esen­ cialmente responsables de inducir las inhomogeneidades en el gas de fondo que llevan a la formación de galaxias. 6 Podemos pensar que el campo gravitatorio de una cuerda cósmica semejante está construido mediante un procedimiento de «cortar y pegar» aplicado a un espacio­ tiempo de Minkowski. En términos espaciales (véase la Fig. 28.4), re­ presentamos un «sector» eliminado del 3-espacio, sector que está aco­ tado por un par de semiplanos cuyo ángulo diédrico a está centrado en la propia cuerda. Para construir la geometría de la cuerda cósmica, las dos superficies planas se «pegan» de nuevo. (En los modelos sugeri­ dos, a es aproximadamente 1 0-6 .) El lector puede tener la sensación, en parte justificada, de que es­ tas son medidas extremas para la producción de una entidad tan «tó­ pica» como una galaxia ordinaria. Pero sigue habiendo algunos enig-

Fig. 28.4. El campo gravitatorio de una cuerda cósmica puede construirse me­ diante un procedimiento de «cortar y pe­ gar» aplicado al 4-espacio de Minkowski. En el 3-espacio se elimina un sector, limi­ tado por dos semiplanos que se cortan a un ángulo a a lo largo de la cuerda. Lue­ go se «pegan» las superficies semiplanas. 995

§28.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

mas teóricos acerca de la formación de galaxias, de modo que ideas tan exóticas no deberían ser descartadas, pese a su naturaleza aparen­ temente escandalosa. De hecho, uno de los modelos más plausibles de la formación de galaxias -que tiene un impresionante apoyo obser­ vacional reciente- propone que son «sembradas» por agujeros negros supermasivos que ahora parecen residir en sus centros. 7 ¡Pero hoy los agujeros negros deben considerarse como física convencional antes que exótica! La mayoría de estos defectos topológicos sugeridos remiten a teo­ rías (tales como las diversas GUT) que no tienen un apoyo significati­ vo o inequívoco procedente de la observación. Por el contrario, la teo­ ría electrodébil está muy bien apoyada observacionalmente, de modo que debemos prestar atención a lo que implica esta teoría con respec­ to a procesos en el universo primitivo. Los monopolos cósmicos, que resultan de la ruptura de simetría de la teoría electrodébil, son una po­ sibilidad topológica, pero no una necesidad. Podrían surgir en la rup­ tura espontánea desde U(2) a U(1), pero solo si lo que se denominan «monopolos gauge» estaban ya presentes en la fase U(2)-simétrica in­ tacta de la teoría, que se supone que ha ocurrido antes de 1 0-12 s. Tales monopolos podrían surgir de una ruptura anterior de una simetría GUT mayor, pero estas ideas no son en modo alguno una parte nece­ saria de la teoría electrodébil. 8 Tales monopo los gauge son los análogos, dentro de alguna teoría Yang-Mills (gauge no abeliana) , a los «monopolos magnéticos» que propuso Dirac (en 1 93 1 ) en el contexto de la teoría (gauge abeliana) del electromagnetismo. Mediante un ingenioso argumento, Dirac de­ mostró que tan solo con que existiera en la naturaleza un único mo­ nopolo magnético (un polo magnético norte o sur aislado), todas las cargas eléctricas tendrían que tener valores que son múltiplos enteros de cierto valor concreto, valor que es inversamente proporcional a la in­ tensidad magnética del monopolo. De hecho, observaciones actuales sugieren con fuerza que todas las cargas eléctricas son múltiplos ente­ ros de un valor concreto (digamos el de la carga del antiquark d, que es un tercio de la del protón; véanse §3.5 y §25. 6) . Algunos tomarían esto como evidencia circunstancial de la existencia real de monopolos mag­ néticos. De todas formas, para que tales monopolos no estén en con996

TEORÍ AS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.3

flicto con la observación, tendrían que ser extraordinariamente poco comunes. 9 (De lo contrario tendrían el efecto de «cortocircuitar» cam­ pos magnéticos cósmicos, cuando lo cierto es que la existencia de tales campos es un hecho observado en grandes regiones del universo.) Aná­ logamente, los monopolos de Yang-Milis provocarían serios conflictos observacionales si dichos monopolos estuviesen presentes de forma significativa en el universo actual. ¡Esta cuestión ha tenido importantes consecuencias para el desarrollo de la disciplina de la cosmología, como veremos enseguida!

28.3. PROBLEMAS PARA LA RUPTURA DE SIMETRÍA

EN EL UNIVERSO PRIMITIVO Antes de llegar a esto es oportuno que consideremos de nuevo la rup­ tura de simetría en la teoría electrodébil, que se estima que tuvo lugar aproximadamente 1 0-12 s después del big bang. ¿Debemos aceptar que este es un fenómeno real, o podría ser meramente un artificio de la forma concreta en que se presenta normalmente la teoría? Por lo que puedo entender, la mayoría de los teóricos electrodébiles considerarán ciertamente que este proceso es real. Por consiguiente, el lector queda advertido de que mi propuesta de cuestionar aquí su realidad es una posición poco convencional. De todas formas, sigamos adelante y con­ sideremos algunas de las dificultades intrínsecas en la idea de ruptura de simetría. Supongamos que, contrariamente a mi opinión (menos que con­ vencional) sobre esta materia, hubo un momento en la historia primi­ tiva del universo -anterior a aproximadamente 10- 1 2 s a partir del big bang- en que imperaba una simetría U(2) exacta en la que todos los leptones y los quarks carecían de masa, donde electrones y neutrinos «zig» estaban en pie de igualdad, y donde también los bosones W y Z y el fotón podían ser adecuadamente «rotados» en combinaciones de unos en otros de acuerdo con una simetría U(2) (véase §25.5). Luego, en un tiempo de aproximadamente 1 0-1 2 s, la temperatura en todo el universo cayó justo por debaj o del valor crítico. En ese instante se hizo al azar una elección concreta de (W-,W+, Z º , y) entre toda la va997

§28.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

riedad Q U(2)-simétrica de conjuntos posibles de bosones gauge. No esperamos que esto suceda de forma exactamente uniforme en todo el espacio, y simultáneamente en el universo entero. Prevemos que, como sucede con los dominios de magnetización en la bola de hierro ilustra­ da en la Fig. 28.2, en algunas regiones se hará una elección concreta y en otros lugares se harán elecciones diferentes. En este punto deberíamos abordar la cuestión de lo que se entiende realmente por las palabras «mismo» y «diferente» en este contexto. El espacio Q de bosones gauge posibles es, en cada punto espaciotempo­ ral, completamente U(2)-simétrico antes de que tenga lugar la reduc­ ción de simetría. Como es inherente a la noción de fibrado, no hay ninguna forma particular preferida a otras de hacer una identificación entre la Q en un punto y la Q en otro punto diferente por completo. Así pues, no parece que haya una regla a priori que nos diga a qué ele­ mento de g en un punto hay que llamar «el mismo» elemento que un elemento de Q en otro punto. Parece que esto nos da la libertad de mantener el punto de vista según el cual simplemente definimos la no­ ción de «el mismo» como la que proporciona la elección concreta que ofrece la ruptura espontánea de simetría. Según tal punto de vista, el (W-, W+, zº , y) concreto que se «congela» en un punto se identificaría con el correspondiente (W- , w+, Z º , y) en cualquier otro punto, de modo que parece que no seríamos testigos del tipo de «inconsistencia» entre las rupturas de simetría en diferentes puntos que se da con los dominios de magnetización de hierro ilustrados en la Fig. 28.2. Pero un punto de vista semejante se enfrenta a la idea general que hay tras la teoría gauge, según la cual no solo son los Q-espacios las fi­ bras de un fibrado 89, con espacio base en el espaciotiempo M, sino que también la teoría gauge concreta -en este caso la teoría electro­ débil intacta- se define en términos de una conexión sobre este fibra­ do (véanse §§ 1 5.7,8). Esta conexión define la identificación (paralelis­ mo) localmente significativa entre los espacios Q cuando nos movemos a lo largo de cualquier curva dada en M . 1 0 En general, esta identifica­ ción no es globalmente consistente cuando recorremos lazos cerrados (a causa de la curvatura en la conexión, que expresa la presencia de un campo gauge no trivial; véase § 1 5.8). En cualquier caso, la aleatoriedad implicada en la ruptura de simetría en puntos diferentes tendrá como 998

TEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.3

p

� (a)

big bang

big bang

(b)

Fig. 28.5. Diagramas conformes esquemáticos que ilustran (in)dependencia causal en el universo primitivo. (a) Un observador en p ve cuásares en direcciones opuestas, en q y r. Si la línea de puntos representa la 3-superficie ¡ de tiempo 1 0-1 1 s, a lo largo de la cual se considera rota la simetáa electrodébil exacta anterior U(2) (que relaciona el fo­ tón y con los bosones W y Z), entonces la particular elección «congelada» de y en p difiere casi con certeza de la de r, al ser disjuntas las intersecciones de los pasados de p y r con ¡; pero las elecciones y respectivas no pueden comunicar su identidad/ dife­ rencia hasta que se alcanza p. De forma similar, si ¡ representa ahora desacoplamiento, en el instante 1 0 13 s, las temperaturas en u y v no pueden haberse igualado por terma­ lización, pues sus pasados completos son disjuntos. (b) La «resolución» por inflación del «problema del horizonte» en el último caso consiste en retrasar el big bang de modo que los pasados de q y r se cortan ahora antes de alcanzar la 3-superficie big bang. Sin embargo, el primer problema sigue sin resolver, puesto que las intersecciones de sus pa­ sados ocurren antes de la «congelación» en 1 0-1 1 s.

consecuencia que el paralelismo local entre los Q-espacios no será ge­ neralmente consistente con las elecciones que se hagan en la ruptura espontánea de simetría; de modo que la imagen de la Fig. 28.2 no es una analogía tan irrazonable. Podemos imaginar que, como sucede con una bola de hierro enfriada con suficiente lentitud, las inconsistencias se «alisarán» si se deja un tiempo suficiente, con tal de que no haya de­ fectos topológicos (como se indica en las Figs. 28.3 y 28.4) . La cuestión que quiero plantear aquí es si puede haber alg una vez «tiempo sufi­ ciente» en el caso de la ruptura espontánea de simetría electrodébil. La dificultad tiene que ver con los horizontes de partículas que en­ contramos en §27 1 2 Fig. 27 . 1 8b. Consideremos el diagrama confor­ me esquemático de la Fig. 28.5. Un observador situado en el punto p ve cuásares (cf. §27. 9) en dos direcciones opuestas, en puntos espacio­ temporales respectivos q y r. Según el modelo FLRW estándar, si el des­ plazamiento hacia el rojo 1 1 (véase §27.7) de los cuásares es suficiente.

,

999

§28. 3

EL CAMINO A LA REALIDAD

mente grande, entonces los conos de luz pasados de p y q no se inter­ sectarán, de modo que no puede haber ningún tipo de comunicación entre ellos. Puesto que están incomunicados entre sí, no habrán tenido tiempo de «alisar» su ruptura de simetría para que sea consistente en la forma indicada antes. Enseguida consideraremos el «escenario inflacio­ nario» que hace retroceder la línea del big bang, en el diagrama con­ forme, para poner a q y r en «comunicación» después de todo. Pero eso no nos servirá aquí, porque la 3-superficie I, donde va a tener lugar la ruptura de simetría electrodébil, desempeña efectivamente el papel del big bang en nuestras actuales consideraciones de causalidad, suponien­ do que la ruptura espontánea de simetría ocurre aleatoriamente en la 3-superficie I, sin ninguna influencia causal común efectiva. Ahora las líneas qp y rp son líneas nulas, de modo que solo el fotón puede viajar de q a p o de r a p, y no los bosones W y Z, pues el fotón es el único miembro sin masa de la familia de bosones gauge. Así pues, a lo largo de estas dos líneas nulas debemos tener una noción consistente de lo que es un fotón. Es muy probable que la noción de «fotón» en q sea incompatible (en el sentido antes indicado) con la noción de «fotón» en r, porque se suponía que cada uno de ellos había sido seleccionado ale­ atoriamente sin influencia causal común, y sin tiempo para que hubie­ ra comunicación entre ellos. 1 2 ¿Pueden «alisarse» a tiempo los «dife­ rentes» tipos de fotón para que el observador en p se ahorre una desconcertante confusión W-Z-y cuando los reciba? No veo cómo puede hacerse esto posible sin alejarse significativamente de las cone­ xiones nulas (i.e., «de género luz») directas desde q a p y desde r a p. Esto podría llevar a un grave conflicto con el hecho de que los objetos leja­ nos se ven con claridad a través de telescopios ópticos. Me parece que aquí hay peligro de tener una grave incompatibilidad con la observa­ ción, aunque yo no lo he visto planteado en la literatura especializada. Pero algunos lectores tal vez se quejarán (quizá en voz baja) porque parece que he ignorado el muy impresionante apoyo observacional que hay en favor de la teoría electrodébil. ¡Por supuesto, no voy a aban­ donar todo eso solo por una confusión que pueda tener respecto a los fenómenos propagados desde distancias cosmológicas! Ni mucho me­ nos. De ningún modo estoy sugiriendo que debamos abandonar las ideas esencialmente bellas de la teoría electrodébil, pero respecto a la 1000

TEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.3

ruptura de su simetría U (2) , prefiero mantener una actitud ligeramen­ te diferente de la que se presenta normalmente. Tal como lo veo, toda­ vía no ha salido a la luz el verdadero esquema de la naturaleza para la física de partículas. Un esquema semejante debería ser matemática­ mente consistente y no tener el hábito desagradable que tienen nues­ tras QFT actuales de escupir la respuesta «oo» a preguntas físicas tan ra­ zonablemente planteadas. Pero de momento no podemos ver por qué esta teoría «correcta» (aún desconocida) va a dar respuestas finitas. Así que hemos recurrido a «trucos» diversos, que nos han abierto camino mediante una combinación de fortuna histórica y excepcional ingenio humano, y que nos permiten dar respuestas finitas que encajan con la observación. En nuestra fase actual de conocimiento, necesitamos una teoría de interacciones débiles y electromagnéticas que sea renormali­ zable, y la idea de una simetría gauge no abeliana rota no solo ha pro­ porcionado un camino hacia tal teoría renormalizable, sino que las res­ tricciones para hacerlo nos han guiado hasta una familia de verdades profundas sobre la forma en que estas interacciones encajan como par­ te de una imagen más amplia. Pero no veo por qué una simetría es­ pontáneamente rota tiene que ser el verdadero camino de la naturale­ za en física de partículas. De hecho, hay otras rutas para ver por qué las exigencias de renormalización proporcionan las relaciones necesarias entre los parámetros de la teoría electrodébil. 1 3 Esto plantea una cuestión importante (a la que volveré en §34.8) : la noción de simetría, tan dominante en muchas ideas para sondear los secretos de la naturaleza, ¿tiene realmente el papel fundamental que con frecuencia se le supone? No veo por qué tiene que ser así. No me resulta necesario que basar la física de partículas en algún gran grupo de simetría (lo que es parte de la filosofía GUT) sea realmente una imagen «simple», por lo que concierne a una teoría física fundamental. Para mí, los grupos de simetrías geométricas grandes son cosas compli­ cadas, y no simples. Podría muy bien darse el caso de que existan asi­ metrías fundamentales intrínsecas en las leyes de la naturaleza, y que las simetrías que vemos sean a menudo características meramente aproxi­ madas que no llegan a los niveles más profundos. Volveré más adelante a esta cuestión (en §34.8) .

1001

§28.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

28.4. COSMOLOGÍA INFLACIONARIA

Volvamos a la cuestión de los monopolos cósmicos, cuya proliferación es una característica de ciertas GUT. El problema con estos monopo­ los era la ausencia de cualquier indicio de su existencia real. Peor aún, existen fuertes límites observacionales a la abundancia cósmica de tales monopolos, muy por debajo del nivel predicho por las GUT. Sin em­ bargo, en 1981 Alan Guth presentó la propuesta «escandalosa» (también sugerida previamente y de forma independiente por Alexei Starobins­ ki y Katsuoko Sato) de que si el universo se hubiera expandido en un factor de, digamos, 1 030 o quizá incluso 1 060 o más en algún período posterior a la producción de los monopolos (aunque anterior al mo­ mento de la ruptura de simetría electrodébil a los 1 0-12 s) , entonces los monopolos no deseados serían ahora tan escasos que fácilmente po­ drían escapar a la detección, como se exigía a partir de la observación. Pronto se advirtió que este «período infla cionario» de extraordina­ ria expansión exponencial también podría tener otros efectos que te­ nían que ver con la uniformidad del universo. Como se ha destacado en el capítulo 27, el universo es extraordinariamente uniforme y casi espacialmente plano a gran escala, lo que presentaba un enigma para los cosmólogos . Por ejemplo, la temperatura observada en el universo primitivo es prácticamente la misma (al menos hasta una parte en 1 05) en diferentes direcciones. Esto podría considerarse como el resultado de una «termalización» en el universo muy primitivo, pero solo si las dife­ rentes partes del universo en cuestión estaban «en comunicación» en­ tre sí. (Recordemos que la segunda ley de la termodinámica hace que se igualen las temperaturas de un gas en lugares diferentes, como parte del proceso de llegada al equilibrio térmico; véase §27.2.) Pese a todo, un examen de la Fig. 28.Sa nos dice que la igualdad de las temperatu­ ras en puntos u y v lejanos, observados ambos desde nuestra localiza­ ción actual p en el espaciotiempo, no pueden ser resultado de termali­ zación en los modelos cosmológicos convencionales, debido a que los puntos u y v (donde tomamos I. en el instante de «desacoplamiento», cuando se formó la radiación cósmica de cuerpo negro) estaban de­ masiado lejos uno de otro para haber estado en comunicación causal en el modelo estándar. 1002

TEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.4

Esta imposibilidad de la comunicación causal que se requeriría para la termalización, en el modelo estándar, se conoce como el pro­ blema del horizonte. A este respecto, el efecto del período de inflación se muestra en el diagrama conforme de la Fig. 28.Sb. La 3-superficie de género espacio que representa el big bang se ha desplazado ahora a una localización muy anterior, de modo que los pasados de u y v sí se cortan antes de alcanzar la 3-superficie que describe el big bang, y hay oportunidad para que la termalización tenga efecto, por lo que pode­ mos imaginar que la igualdad de temperaturas en u y v puede darse de esta forma. Otra ventaja de este período inflacionario propuesto era que podía proporcionar una explicación de la extraordinaria uniformidad de la distribución de materia y la geometría espaciotemporal, que se conoce como el problema de la suavida d. La idea consiste en que, con inflación, el estado inicial del universo podría haber sido muy irregular en detalle, pero la enorme expansión del universo durante la etapa inflacionaria habría servido para «alisar» estas irregularidades, y por ello cabría prever un universo aproximadamente FLRW El punto de vista inflacionario concibe que incluso un estado inicial «genérico» parecería una variedad suave a pequeña escala, y vemos que esta minúscula porción suave se expandió a escalas cosmológicas -hasta parecer espacialmente plana­ en el curso de la fase inflacionaria; véase la Fig. 28.6 (y compárese con la Fig. 1 2.6) .Volveré enseguida a mi propia valoración de esta extraor­ dinaria idea. Por el momento, vale la pena señalar que en esta imagen el universo no solo es uniforme, sino que también tiene curvatura espacial nula (K = O) . Como veremos, este es un factor importante para el desa­ rrollo histórico del tema. Pero sea o no espacialmente plano el univer­ so observable en promedio, lo cierto es que está muy cerca de serlo, y esto había presentado un enigma para muchos cosmólogos, conocido como el problema de la p lanitud. No es inmediato a simple vista que la fase de expansión inflaciona­ ria tenga que ver con el retroceso de la 3-superficie del big bang en los diagramas conformes, como en la Fig. 28.5 . Por consiguiente, será ins­ tructivo examinar el modelo cosmológico concreto sobre el que se basa esta «fase inflacionaria». Esta es la versión de «estado estacionario» del espacio de De Sitter. La forma más rápida de describir el espacio de 1 003

§28.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 28.6. Una de las motivaciones sub­ yacentes de la inflación es que una escala de expansión exponencial de quizá 1 050 (digamos entre 1 0-35 s y 1 0-32 s) podría servir para «alisar» un estado inicial gené­ rico, y proporcionar así un universo post­ inflación esencialmente uniforme y espa­ cialmente plano.

Fig. 28.7. El espaciotiempo de De Sitter (representa­ do como un hiperboloide con dos dimensiones espa­ ciales suprimidas) es una «4-esfera» lorentziana (de radio imaginario que da una signatura métrica intrín­ seca + - - -) en el 5-espacio de Minkowski M5 (cuya métrica es ds2 = df - dw2 - dx2 - dy2 - dz2). Para ob­ tener el modelo de estado estacionario, «cortamos» el hiperboloide por la mitad a lo largo de t = w; el tiem­ po constante está dado por t - w positiva constante.

De Sitter es decir que es una «4-esfera» lorentziana (signatura + - - -) en un 5-espacio de Minkowski (signatura + - - - -) . Esta descripción está de acuerdo con las ideas de «salto de signatura» geométrica de § 1 8.4, pero es geométricamente más evidente si representamos el es­ pacio de De Sitter como el hiperboloide de la Fig. 28. 7. En este punto, vale la pena mencionar otro modelo, llamado espacio anti-De Sitter, que es una O, A = O. El universo se expande a partir de la singularidad del big bang inicial y luego se contrae hasta otra singularidad, el big crunch final. Sin em­ bargo, en los primeros días de la cosmología esto se conocía como un modelo «oscilante», porque la curva que representa R(t) frente a t es una cicloide que admite un número infinito de ciclos de expansión y contracción (véanse la Fig. 27. 1 5a y el ejercicio [27. 1 9] ) . No obstante, ahora se aprecia mej or que antes que no hay forma de «suavizar» la singularidad que une cada «crunch» con el siguiente «bang», dentro de los límites de la relatividad general clásica convencional. 29 Si se ignora este hecho, o se presume que alguna forma de «gravedad cuántica» per­ mitirá que se produzca tal «rebote», entonces cabe especular que el ci­ cloide de Friedmann sea una aproximación plausible a lo que realmen­ te podría suceder. La idea de Wheeler era que la física cuántica extrema que tiene lugar en el punto de retorno singular implica un cambio en las constantes fundamentales de la naturaleza. En consecuencia, el «con­ j unto» de universos que se contempla en relación con el principio an­ trópico fuerte se realiza físicamente en la propuesta de Wheeler. Lee Smolin, en su extraordinario libro de 1 997 The Life of the Cos­ mos,30 sugiere una modificación intrigante de esta idea. En lugar de exigir un universo cerrado cuyo big crunch omniabarcador se con­ vierte en el big bang de la próxima fase de universo, Smolin considera que las singularidades en el interior de los agujeros negros son fuentes de nuevas fases de universos, donde cada singularidad de agujero negro produce individualmente una fase de universo diferente, 3 1 y donde en cada caso habría un ligero reajuste de las constantes físicas fundamen1 020

TEOR Í AS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.6

tales. Smolin presenta la idea ingeniosa de que podría haber entonces alguna forma de «selección natural» de universos, donde las constantes fundamentales evolucionan lentamente para obtener fases de universo «mejor adaptadas» , y toma la proliferación de aguj eros negros como un mejor indicio de un «aj uste» del universo (porque produce muchos «hij os») que cualquier consideración antrópica. Argumenta que hay al­ gún indicio de que las constantes físicas fundamentales que encontra­ mos realmente en nuestro universo son tales que favorecen una pro­ liferación de agujeros negros. Sin embargo, creo que el argumento antrópico tendría también un papel importante en esta discusión, ¡puesto que no podríamos encontrarnos en una fase de universo de «muerte de la vida simiente», por muchas de ellas que haya! El lector puede preguntarse cómo la masa-energía de un único agujero negro podría convertirse en la de un universo entero, que muy bien podría ser 10 22 veces más masivo. De hecho, puesto que se nece­ sita una física desconocida para evitar la singularidad y alterar las cons­ tantes fundamentales, «ya no hay apuestas» con respecto a las leyes de conservación estándar de la física convencional. En cualquier caso, puede argumentarse que la ley de conservación de masa-energía es pro­ blemática en el contexto de la relatividad general sin la hipótesis de planitud asintótica (véase § 1 9. 8) . Tengo u n montón de dificultades con las propuestas d e Wheeler y Smolin. En primer lugar, está la naturaleza extraordinariamente espe­ culativa de la idea clave de que alguna física actualmente desconocida en la actualidad no solo pueda convertir la singularidad espaciotempo­ ral del colapso en un «rebote», sino también reajustar ligeramente las constantes físicas fundamentales cuando esto sucede. No conozco nin­ gunajustificación a partir de la física conocida que sugiera tal extrapo­ lación. Pero, en mi opinión, todavía es menos plausible geométrica­ mente que las singularidades altamente irregulares que resultan del colapso puedan convertirse por arte de magia en (o adherirse a) el big bang extraordinariamente suave y uniforme que cada nuevo universo necesitaría si va a adquirir una respetable segunda ley del tipo que nos es familiar (véase §27. 1 3) .

1 021

§28.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

28.7. LA NATURALEZA ESPECIAL DEL BIG BANG: ¿UNA CLAVE ANTRÓPICA? ¿Puede invocarse el principio antrópico para explicar la naturaleza tan especial del big bang? ¿Cómo puede incorporarse dicho principio como parte de la imagen inflacionaria, de modo que un estado inicial­ mente caótico (máxima entropía) pueda conducir, pese a todo, a un universo como este en el que vivimos, en el que impera la segunda ley? Básicamente, el argumento general consiste en decir que la segunda ley es esencial para la vida tal como la conocemos; más aún, las densidades, temperaturas, distribuciones de materia y composiciones, etc., globales, deben ser tales que conduzcan a la vida. Además, el universo debe ha­ ber existido durante el tiempo suficiente para que la evolución actúe, y todo lo demás. A veces se utiliza este argumento junto con un argu­ mento inflacionario. Por consiguiente, aunque un estado inicial com­ pletamente genérico podría no hincharse para darnos un universo sua­ vizado como el que observamos, lo único que habría que pedir es que alguna pequeña región de la «variedad» espaciotemporal inicial, inme­ diatamente después del big bang, sea suficientemente suave para que la inflación domine en dicha región y todo el universo observable actual surja como resultado de una inflación de esa minúscula región suave (véase la Fig. 28. 1 4a) . El argumento diría aproximadamente: «Para que exista vida sintiente necesitamos un gran universo con escalas de tiem­ po suficientemente grandes para que tenga lugar la evolución, en con­ diciones propicias, etc.; esto requiere cierta inflación, que se origina a partir de nuestra minúscula región inicial suave,y una vez que empie­ za, la inflación continúa para ofrecernos el universo observable mara­ villoso y enorme que hoy conocemos». Aunque pueda parecer que esta imagen es de una naturaleza tan maravillosamente romántica que resulta completamente inmune al ata­ que científico, no creo que sea así.Volvamos al extraordinario grado de precisión (o «ajuste fino») que parece exigido por un big bang como el que parecemos observar. Como se ha argumentado en §27. 13, la pre­ cisión requerida, en términos de volumen de espacio de fases, es al me­ "' nos de una parte en 10 1 0 . El exponente « 1 0 1 23 » procede de la entropía de un agujero negro de masa igual a la del universo observable. 1022

TEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

(a)

(b)

§28.7

(c)

Fig. 28.14. (a) Un estado inicial completamente general para el universo no se infla, pero podemos buscar meramente una pequeña región inicial que es suficientemente suave para inflarse hasta el universo que observamos (coste: 1 010"\ (b) Pero ¿cuánto de nuestro enorme universo es realmente necesario para nuestra existencia sintiente? Para el Creador es absurdamente «más barato», para la creación de vida sintiente, producir un universo de una décima parte de la dimensión lineal (coste: 1 010' \ (c) Para crear tantos seres sintientes como en (a), el Creador puede producir de forma mucho más barata 1 03 ejemplares independientes de los universos «más pequeños» de (b) (a un cos­ te de «ganga»: (1010"') 1.ooo = 1 0 10"\ Por ello el principio antrópico no explica la apa­ rente extravagancia de la inflación.

Pero ¿realmente necesitamos todo el universo observable para que pueda darse la vida sintiente? Esto parece poco probable. Resulta difi­ cil imaginar que fuera necesario siquiera algo externo a nuestra gala­ xia. Pese a todo, pudiera ser que la vida inteligente sea muy rara, y podría ser un poco más cómodo tener algo más de espacio que esto. Seamos muy generosos y pidamos que una región del radio de una dé­ cima parte de la distancia al límite del universo observable deba pa­ recerse al universo que conocemos, pero sin que nos preocupe lo que suceda fuera de ese radio. El volumen del espacio de fases puede cal­ cularse como antes. Calculamos que la masa en dicha región es 1 0-3 de la que teníamos antes, y que esto nos da una entropía de agujero negro de 10-6 de la que teníamos antes Y8·7 1 Así pues, la precisión necesaria por parte de nuestro «Creador» (véase la Fig. 27 .21) para construir esta región más pequeña es ahora de solo: una parte en 10 1 0 "' . !'a [28.7] ¿Por qué? 1 023

§28.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

Echemos una ojeada a la Fig. 28. 1 4b. Ahora nuestro Creador solo requiere una «minúscula región suave» de la «variedad» inicial, bastan­ te más pequeña que antes. Es mucho más probable que el Creador en­ cuentre una región suave de este menor tamaño que la región algo ma­ yor que hemos considerado antes. Suponiendo que la inflación actúa sobre la región pequeña de la misma forma que lo haría sobre la región algo mayor, aunque produciendo un universo inflado menor, en pro­ porción, podemos estimar cuánto más frecuentemente encuentra el Creador las regiones más pequeñas antes que las más grandes. La cifra no es mejor que

(dentro de la precisión expresada por los exponentes más altos). r28·81 Se ve qué extravagancia tan increíble era (en términos de probabilidad) que el Creador se molestase en producir esta parte lejana extra del uni­ verso, que en realidad no necesitamos -y que el principio antrópico en realidad no necesita- para nuestra existencia. Algunos lectores podrían lamentarse de que esta «economía» por parte del Creador haya podido producir un número relativamente menor de seres sintientes. Esté esto en cuestión o no, no es la respues­ ta a por qué tuvo lugar la «extravagancia». En términos de probabili­ dades (i.e., tamaño de cajas en el espacio de fases; véase la Fig. 27.2) , sería mucho «más barato» -en u n factor d e aproximadamente 1 fren­ te a 1 0 1 0'"_ tener 1 03 regiones menores de universo inflado (que nos dan el mismo número de seres sintientes que una única más grande) que tener solo una región de universo más grande (Fig. 28 . 1 4c). r28· 91 Para ver hasta qué punto es impotente el argumento antrópico en este contexto, consideremos los hechos siguientes. La vida en la Tierra no necesita directamente la radiación de fondo de microondas. De he­ cho, ¡ni siquiera necesitamos la evolución darwiniana! Habría sido mucho más «barato», en términos de «probabilidades» , producir vida sintiente a partir de la unión aleatoria de gas y radiación. (Se puede es­ timar que el sistema solar entero, junto con sus habitantes, podría � [28.8] Explique estas cifras. � [28.9] Explique las cifras con detalle. 1 024

TEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.7

crearse a partir de la colisión aleatoria de partículas y radiación con "' una probabilidad de una parte en 10 10 -o probablemente mucho me­ "' nos-, que es el «chocolate del loro» en comparación con los 1 0 1 0 ne­ cesarios para el big bang del universo observable.) 32 No necesitamos que haya un big bang en esta configuración uniforme observada. No necesitamos la segunda ley en tiempos anteriores a que hubiera vida. Sería mucho más «barato» para el Creador no molestarse con eso.Y la inflación no sirve en absoluto. La curva de economía «barata» que de­ bería adoptar el Creador en la Fig. 27.8 solo para producir vida sin­ tiente se parecería mucho más a la curva (c) (b) que a la observada (d) (b) , ¡con o sin inflación! Todo esto refuerza simplemente el argumento de que es erróneo buscar razones del tipo anterior, donde se supone que las condiciones adecuadas del universo han resultado de algún tipo de elección inicial aleatoria. Había algo muy especial en el punto de partida del universo. Me parece que hay dos rutas posibles para abordar esta cuestión. La di­ ferencia entre ambas es una cuestión de actitud científica. Podríamos adoptar la postura de que la elección inicial fue un «acto divino» (pa­ recido al ilustrado imaginativamente en la Fig. 27. 2 1 ) , o podríamos buscar alguna teoría científico-matemática para explicar la naturaleza extraordinariamente especial del big bang. Por supuesto, siento una gran inclinación por tratar de ver hasta dónde podemos llegar con la segunda posibilidad. Nos hemos acostumbrado a utilizar leyes mate­ máticas -leyes de extraordinaria precisión- que controlan el com­ portamiento físico del mundo. Parece que una vez más necesitamos algo de precisión excepcional, una ley que determine la naturaleza misma del big bang. Pero el big bang es una singularidad espaciotem­ poral, y nuestras teorías actuales no son capaces de manejar estos as­ pectos. No obstante, pensamos que lo que se requiere es una forma apropiada de gravedad cuán tica, 33 donde las reglas de la relatividad gene­ ral, de la mecánica cuántica, y quizá también de algunos otros ingre­ dientes físicos desconocidos, se reúnan de la forma adecuada.

1 025

§28.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

28.8. LA HIPÓTESIS DE CURVATURA DE WEYL Pospondré mis principales consideraciones de la actividad actual en el campo de la gravedad cuántica hasta los capítulos 30-33 . Por el mo­ mento, concentrémonos solo en tratar de entender cuáles parecen ha­ ber sido realmente las ligaduras geométricas del big bang. Después exa­ minaremos la única propuesta seria que conozco, a saber, la de Hartle y Hawking, que intenta explicar esta geometría sobre la base de una teoría de gravedad cuántica seria. Recordemos de § 1 9 .7 que los grados de libertad gravi tatorios vie­ nen descritos por el tensor de Weyl conforme Cabed· Así pues, en el es­ pacio vacío (donde una posible constante cosmológica A, pequeña en cualquier caso, será aquí ignorada por el momento) encontramos que la curvatura espaciotemporal es enteramente curvatura de Weyl (anu­ lándose la curvatura de Ricci) . La curvatura de Weyl es el tipo de cur­ vatura cuyo efecto sobre la materia es de naturaleza distorsionante o de marea, en lugar de la reductora de volumen de las fuentes materiales. El efecto de la curvatura de Weyl se ilustró en la Fig. 1 7 . 9a (y el hecho de que esta imagen fuera originalmente una imagen espaciotemporal newtoniana no le resta validez) . Esta imagen debe contrastarse con la Fig. 17.9b, en la que vemos el efecto de reducción de volumen de la ma­ teria, i.e. , tensor de Ricci. No obstante, existen realmente algunas cues­ tiones complicadas cuando consideramos (como aquí) los efectos de la curvatura de Weyl y de Ricci sobre geodésicas de género tiempo (partí­ culas masivas que se mueven libremente), puesto que el tensor de Ricci también puede tener a veces un efecto distorsionante, además de su efecto de reducción de volumen. Estas cuestiones complicadas se eliminan si pensamos en la actua­ ción de estos tipos de curvatura sobre geodésicas nu las (rayos de luz) . Más aún, podemos reinstaurar entonces una constante cosmológica A, puesto que un término de la forma Agab no concentra rayos de luz. ¡zs. toJ Podemos considerar que las geodésicas en la Fig. 17. 9 son rayos de luz que pertenecen a cierto cono de luz (a la manera de la Fig. 17 . 1 6) . D e hecho, si pensamos que pertenecen al cono de luz pasado de cierto oh.§1 [28.10] ¿Por qué no? Sugerencia: Explique la nota 28.34. 1 026

TEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.8

Fig. 28. 15. El efecto focalizador del tensor de Ricci libre de traza (debido a una distri­ bución de materia) es una lente positiva­ mente focalizadora, mientras que el del ten­ sor de Weyl (debido a un campo gravitatorio libre) es una lente puramente astigmática, con una focalización mucho más positiva en un plano y focalización negativa en el plano perpendicular.

servador, los efectos distorsionantes pueden entenderse muy gráfica­ mente en términos de lentes colocadas entre una fuente de luz y el ob­ servador. El efecto del tensor de Ricci, 34 debido a una distribución de materia, es el de actuar como una lente con focalización positiva, mien­ tras que el efecto del tensor de Weyl, debido a un campo gravitatorio li­ bre, es el de actuar como una lente puramente astígmátíca, con tanta fo­ calización positiva en un plano como focalización negativa en un plano perpendicular (Fig. 28. 1 5) . Podemos hacernos una idea muy buena de los efectos (de orden más bajo) de estos dos tipos diferentes de curvatu­ ra si imaginamos que simplemente estamos mirando a través de un cuerpo esférico sólido y muy masivo que tiene el índice de refracción del vacío. (Quizá deberíamos pensar en «mirar» a través del Sol con neutrinos -considerados como partículas sin masa- que atraviesan el Sol directamente, ¡prestando atención solo a su campo gravitatorio!) Con razonable aproximación, podemos considerar que los rayos que atraviesan el Sol son afectados principalmente por la curvatura de Ric­ ci, de modo que obtenemos una ampliación aparente (lente positiva) del campo estelar detrás del Sol. Por el contrario, más allá del borde del Sol obtenemos en efecto los efectos distorsionantes puramente astig­ máticos de la curvatura de Weyl, de modo que una pequeña figura cir­ cular en el fondo celeste parecería ser elíptica para el observador.Véase la Fig. 28. 1 6 Y8· 11 J Esta es esencialmente la forma en que el campo gra­ vitatorio del Sol distorsiona la pauta estelar de fondo, como se vio por primera vez en la expedición de Eddington en 1 9 1 9 (véase § 1 9.8). � [28. 1 1] Demuestre que las áreas se conservan para un desplazamiento infinitesimal hacia fuera, que varía de forma inversamente proporcional a la distancia. 1 027

§28.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

---

-

'CD'

1 '

1 '

Fig. 28. 16. Obtenemos una buena impresión de efectos (de orden más bajo) de los dos diferentes tipos de curvatura espaciotemporal «examinando» el campo estelar a través de un Sol transparente no refractivo (como si fueran neutrinos sin masa). Hasta una aproximación razonable, los rayos que atraviesan el Sol son focalizados solo por la cur­ vatura de Ricci, lo que da como resultado una ampliación (como en una lente positi­ va), mientras que fuera del borde del Sol obtenemos en esencia distorsiones de Weyl puramente astigmáticas, de modo que una pequeña figura circular en el campo estelar parecería elíptica.

Consideremos ahora un universo que evoluciona de modo que una distribución inicialmente uniforme de materia (con ciertas fluctuaciones de densidad) se amontona poco a poco gravitatoriamente, de modo que finalmente partes del mismo colapsan en aguj eros negros. La uni­ formidad inicial corresponde principalmente a una distribución de curvatura de Ricci, pero a medida que se acumula gravitatoriamente más material obtenemos cantidades crecientes de curvatura de Weyl, que básicamente habita las regiones de distorsión espaciotemporal que rodean a la materia acumulada. La curvatura de Weyl diverge final­ mente a infinito cuando se alcanzan las singularidades de agujeros negros. Si consideramos que el material había sido vomitado original­ mente del big bang de una forma casi completamente uniforme, en­ tonces empezamos con una curvatura de Weyl que, para todos los efec­ tos, es nula. D e hecho, un rasgo característico de los modelos FLRW es que la curvatura de Weyl se anula por completo (siendo estos modelos, por consiguiente, conformemente planos; véase § 1 9 . 7) . Para un uni­ verso que empiece muy próximo a un FLRW, esperamos que la curvatu­ ra de Weyl sea extraordinariamente pequeña comparada con la curva­ tura de Ricci, que realmente diverge en el big bang. 1028

ÍEORÍAS ESPECULATIVAS DEL UNIVERSO PRIMITIVO

§28.8

Esta imagen sugiere con fuerza cuál es la diferencia geométrica en­ tre la singularidad big bang inicial -de entropía extraordinariamente baja- y las singularidades de aguj ero negro genérico de muy alta en­ tropía. La curvatura de Weyl se anula (o es al menos muy pequeña -por ejemplo, simplemente finita- comparada con la que podría ha­ ber sido) en la singularidad inicial y no tiene ligaduras, divergiendo sin duda incontroladamente al infinito, en las singularidades finales. Es esta caracterización geométrica la que parece distinguir la Fig. 27 .20a de la Fig. 27.20d, por ejemplo, incluso si pudiera ser dificil reconocer la dis­ tinción en términos de diagramas conformes. Esta observación debería considerarse junto con otra característica conjeturada de las singularidades espaciotemporales, conocida como censura cósmica. Esta es una afirmación (en la actualidad no demostrada) según la cual, a grandes rasgos, el resultado de un colapso gravitatorio imparable será un agujero negro, en lugar de algo peor conocido como una singularidad desnu da. Una singularidad desnuda sería una singulari­ dad espaciotemporal resultante de un colapso gravitatorio que es visible para observadores externos, de modo que no está «vestida» por un ho­ rizonte de sucesos. Hay varias maneras técnicas ligeramente diferentes de especificar lo que se entiende por el término «singularidad desnuda», y aquí no pretendo entrar en las distinciones. 35 Para nuestros propósitos, bastaría con decir que una singularidad desnuda es de «género tiempo», en el sentido de que pueden entrar y salir señales de la singularidad, tal como se indica en la Fig. 28. 1 7a. La censura cósmica prohibiría tales ob­ jetos (excepto tal vez en ciertas situaciones muy raras o «especiales» que no ocurrirían en un colapso gravitatorio realista) . La censura cósmica es básicamente una conj etura matemática -todavía no demostrada ni refutada- concerniente a las soluciones generales de la ecuación de Einstein. Si aceptamos esta conj etura, en­ tonces las singularidades espaciotemporales físicas tienen que ser de «género espacio» (o quizá ), . . . , l x), descritos arriba, con matriz densidad D, obtenemos la respuesta probabilidad de sí = (ED). La importancia de esto es que no necesitamos conocer la informa­ ción completa de la distribución de probabilidades para los estados al­ ternativos l r/J), 1 ), . . . , I X) para poder calcular probabilidades para una pregunta estándar sí/No en mecánica cuántica (o, de hecho, para el va­ lor esperado de cualquier otro observable mecanocuántico) ; f29.4l toda la información necesaria está almacenada en la matriz densidad, y como veremos muy pronto una matriz densidad dada puede estar compuesta de muchas distribuciones de probabilidad de estados diferentes. Hay una economía y elegancia considerable en esta notable entidad matemática (introducida en 1 932 por el destacado matemático húngaro-estadou­ nidense John von Neumann) . Combina en una expresión lo que pare­ cerían ser dos nociones completamente diferentes de probabilidad. Por una parte, tenemos los números p, q, . . . , s, que son las probabilidades clásicas ordinarias para los estados alternativos l r/J), 1 ), . . . , l x) , mien­ tras que, por la otra, tenemos las probabilidades cuánticas obtenidas a partir de la regla del módulo al cuadrado de §21 .9. La matriz densidad combina las dos y no distingue directamente un tipo del otro.

29.4. MATRICES DENSIDAD PARA ESPÍN 1 /2: LA ESFERA DE BLOCH

Permítanme ilustrar este punto con un ejemplo sencillo. Supongamos que tenemos una partícula de espín 1 /2, cuyo estado de espín sabe­ mos que es o 1 1') o l '1.- ) , con probabilidad 1 12 para cada alternativa. Si decidimos medir este espín en una dirección arriba/abajo, simplemen­ te obtenemos «arriba» si el estado es 1 1'), y «abajo» si el estado es 1 -.V ) . En cada caso la probabilidad es 1 12. Estas son solo probabilidades clá­ sicas directas, y aquí no hay ningún misterio cuántico. Pero suponga­ mos que en lugar de lo anterior medimos el espín en la dirección iz/!!!1 [29.4] ¿Puede ver por qué debería ser así? 1 064

LA PARADOJA DE LA MEDIDA

§29.4

quierda/ derecha. Entonces, si el estado es 1 1' ), las reglas R cuánticas nos dicen que obtenemos una probabilidad 1 /2 de que el espín sea «iz­ quierda» y una probabilidad 1 /2 de que el espín sea «derecha». Exacta­ mente la misma conclusión se obtiene si el estado es 1 -.L- ) . Así, para la mezcla con prohabilidades iguales de 1 1' ) y 1 -.L-), seguimos obteniendo probabilidades de 1 /2 para cada uno de los resultados «izquierda» y «derecha». Ahora, sin embargo, las probabilidades se obtienen entera­ mente a partir de la ley mecanocuántica del «módulo al cuadrado». También podríamos decidir medir el espín en cualquier otra dirección. Las probabilidades resultarían ser una vez más 1 /2 para cada respuesta, pero esta probabilidad estaría compuesta, en general, por una mezcla de probabilidades clásicas y cuánticas Y9·51 Alternativamente, podríamos imaginar que rotamos la mezcla de estados en lugar del aparato de medida. Así, una mezcla con probabili­ dades iguales de 1 � ) y 1 7 ) daría exactamente las mismas respuestas que la mezcla anterior con probabilidades iguales de 1 1' ) y 1 -.L- ) , y lo mismo sucedería con una mezcla con pro habilidades iguales de I " ) y 1 �) (donde en cada caso consideramos que estos pares de estados son ortogonales y normalizados: ( 1' 1 -.L-) = ( � 1 7 ) = (!": 1 �) = O, ( 1' 1 1' ) = = ( .J.- 1 -.L-) = . . . = (� 1 � ) = 1 ) . Obtenemos, para la matriz densidad D, en cada caso

� l 1' ) (1' 1 + � l .J.- ) ( .J.- 1 , D = � l � ) (� I + � 1 7 ) ( 7 1 , D = � I " ) (r;: I + � I � ) (� 1 .

D=

y la notable propiedad de la matriz densidad es que todas estas D son la mismaY9·61 Todas las probabilidades para medidas de espín a las que nos acabamos de referir pueden ser obtenidas mediante el uso de la fórmula (ED) anterior; así pues, puesto que las D son la misma, las � [29.5] Calcule esto para un ángulo general de pendiente (} de la dirección de me­ dida, utilizando la expresión + cos (!¡ de §22.9 para la probabilidad. � [29.6] Demuéstrelo por cálculo explícito utilizando los resultados de §§22.8,9 y el ejercicio [22.25].

1(1

1 065

§29.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

probabilidades respectivas deben dar el mismo resultado, tal como he­ mos visto. Pero ¿cómo vamos a considerar la ontología de estas mezclas proba­ bilistas de estados? Si consideramos que el estado cuántico tiene algún tipo de realidad fisica, entonces estas tres situaciones son decididamen­ te distintas desde un punto de vista ontológico. D ecir que existe la misma probabilidad de que el estado se encuentre en una u otra de las alternativas (fisicamente reales) 1 1' ) , 1 �) es completamente diferente de decir que existe la misma probabilidad de que esté en I " ) o 1 �) . Sin embargo, esta cuestión está extraordinariamente confusa en buena parte de la literatura mecanocuántica. A menudo, los fisicos cuánticos parecen estar tomando una posición ontológica completamente dife­ rente de la que se acaba de describir, al considerar la propia matriz den­ sidad como algo que proporciona una mejor descripción de la realidad que los estados individuales. Podrían adoptar el punto de vista de que las tres ontologías aparentemente distintas para D dadas arriba (i.e., las tres diferentes colecciones con probabilidades ponderadas de estados cuánticos alternativos) son fisicamente indistinguibles. Por consiguien­ te, estos físicos -a menudo partidarios del punto de vista (c) de la de­ coherencia por el entorno- podrían adoptar la postura positivista o pragmática según la cual no tiene sentido distinguir entre dichas alter­ nativas. Estas personas podrían adoptar el punto de vista de que es la matriz densidad lo que mejor describe la realidad cuántica. De hecho, en muchos contextos se considera que la palabra «esta­ do» se refiere a una matriz densidad en lugar de a la noción más pri­ mitiva que, hasta este momento, he estado llamando un «estado cuán­ tico», a saber, una magnitud descriptible por un ket tal como 1 1/J). Cuando se utiliza la palabra «estado» en el sentido de una matriz den­ sidad, se utiliza el término «estado puro» para una matriz densidad de la forma especial 1 1/1) ( lf! 1 , y se utiliza «estado mezcla» para una matriz densidad más general que no puede representarse de este modo. Los «estados puros» en este sentido se refieren a lo que he estado llamando simplemente un «estado». Personalmente, encuentro muy confuso re­ ferirse a una matriz densidad (pura o no) como un «estado», y me abs­ tendré de utilizar aquí esta terminología. Para mí, un «estado cuántico» es efectivamente un vector de estado cuántico 1 1/1), y no una matriz 1 066

LA PARADOJA DE LA MEDIDA

§29.4

\\' ,q..._

1\'

/_

',

) \

1 \1



=

( 1�) + IEdclJ ) ( I�) + 1��) ) + ( 1 1�) - l�J) ( I�) - l@tJ))

Fig. 29.9. Reformulación de la Fig. 29.8 (en el caso estado del entorno con el del gato) como sigue.

z

=w=

R1n.' e incorporando el

v's 1 1/1) = { 1 gato vivo) + 1 gato muerto)} { 1 percibir gato vivo) + 1 percibir gato muerto)} + { 1 gato vivo) - 1 gato muerto)} { 1 percibir gato vivo) 1 percibir gato muerto)} .

-

1 082

LA PARADOJA DE LA MEDIDA

§29.8

tos? Hasta que sepamos exactamente qué hay en un estado cuántico que le permita ser considerado como una «percepción», y ver en con­ secuencia que tales superposiciones son «no permitidas», no habremos llegado en realidad a ninguna parte en el intento de explicar por qué el mundo real de nuestras experiencias no puede involucrar superposi­ ciones de gatos vivos y muertos. A veces la gente pone objeciones a este ej emplo sobre la base de que la igualdad de las amplitudes para las dos alternativas es una situa­ ción muy especial, y que en general no hay libertad para reexpresar los estados entrelazados de este modo. Sin embargo, cuando consideramos esta situación con mayor profundidad observamos que el aspecto de «igual amplitud» de este ej emplo particular no tiene realmente ningu­ na importancia. Es útil tener en cuenta el ejemplo de un par EPR de partículas de espín 1 /2, considerado en §29 . 5 . «Igualdad de amplitu­ des» (en realidad, «igualdad de módulos de amplitudes» 1 z 1 = 1 w 1 ) es lo que da lugar a una matriz densidad con valores propios iguales. En §§29.4,5 hemos visto explícitamente que una matriz densidad 2 X 2 con valores propios desiguales tiene muchas representaciones como una mezcla probabilista de un par de estados, pero el par será en ge­ neral no ortogonal. De hecho, la ortogonalidad ocurre solo cuando los dos estados son autovectores de la matriz densidad. f29· 1 6l En el caso de «amplitudes iguales» (estrictamente J z J = J w J ) , podemos consi­ derar que los estados J gato vivo ) y J gato muerto ) son ortogonales y, de hecho, los estados acompañantes J percibir gato vivo ) y J percibir gato muerto ) son ortogonales (los «autovectores»). Pero en el caso J z J i= J w ¡ , el par de estados de percepción que acompaña a un par or­ togonal de estados de gato superpuestos no será en general ortogonal, y el par de estados de gato que acompaña a un par de estados de percep­ ción ortogonales no será en general ortogonal. No hay nada erróneo en usar cualquiera de estas representaciones del estado total J 1/1) . Pues­ to que R no tiene lugar realmente según la posición (b) , no hay un es­ tatus especial para las alternativas ortogonales (puesto que nada se «re­ duce» a ellas en ningún caso). De hecho, resulta que en el caso general habrá un único par de esfm. [29. 1 6] Demuéstrelo. 1083

§29.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

tados ortogonales que acompañan a un par de estados del gato ortogo­ nales. Esto es algo conocido como la descompos ición de Schm idt de un es­ tado entrelazado. 2 1 Sin embargo, esto no sirve de mucho para resolver la paradoj a de la medida (pese a la popularidad de la descomposición de Schmidt en relación con la teoría de la información cuántica) , 22 porque en general este par de estados del gato «matemáticamente pre­ feridos» (autoestados de la matriz densidad del gato) no serían los de­ seados 1 gato vivo ) y 1 gato muerto ), sino alguna no deseada superposi­ ción lineal de ellos. Podemos ver que estos autoestados de la matriz densidad que ocurren en una descomposición de Schmidt no necesi­ tan tener nada que ver con las expectativas de lo que debería ser «on­ tológicamente real» si miramos de nuevo el ej empo de Lucien Hardy considerado en §29.5. Encontramos (véase el ejercicio [29. 12]) que los autovectores de la matriz densidad (para la partícula que yo recibo aquí en la Tierra) ¡son muy diferentes de las alternativas 1 f-) y 1 1' ) que son «alternativas macroscópicamente distinguibles» según las medidas de mi colega en Titán! Puesto que las matemáticas por sí solas no discriminarán los esta­ dos « 1 gato vivo )» y « 1 gato muerto)» como estados «preferidos», segui­ mos necesitando una teoría de la percepción antes de que podamos dar sentido a (b) , y carecemos de una teoría semej ante. 23 Más aún, una obligación de una teoría semej ante sería no solo explicar por qué no ocurren superposiciones de gatos muertos y gatos vivos (o de cualquier otra cosa macroscópica) en el mundo percibido, sino también por qué la maravillosa y extraordinariamente precisa regla del módulo al cua­ drado ¡ da realmente las respuestas correctas en mecánica cuántica! Una teoría de percepción que pudiera hacer esto necesitaría ser ella misma tan precisa como la teoría cuántica. Los defensores de (b) no han esta­ do nunca próximos a sugerir un esquema semejante. 24 Volvamos ahora a los intentos de resolver la paradoja del gato me­ diante decoherencia por el entorno (c) . Consideremos que la emisión inicial del fotón es ontológicamente real. (La fuente podría estar pre­ parada para registrar este suceso de una forma macroscópica.) Enton­ ces, una vez que el fotón ha encontrado el divisor de haz, tenemos una superposición ontológicamente real del mismo en los dos haces. La parte transmitida del estado del fotón evoluciona hacia un gato muer1 084

LA PARADO]/\ :Ji �!\ MEDIDA

§29.9

to, junto con su entorno, y la parte reflejada evoluciona hacia un gato vivo, junto con un entorno diferente. Por el momento, la ontología es aún la superposición de los dos. Las alternativas del entorno, al ser «inobservables», se han de sumar, llevándonos a una matriz densidad 2 X 2. Ahora la posición ontológica cambia sigilosamente, y la «reali­ dad» llega a describirse por la propia matriz densidad. El argumento de la decoherencia por el entorno afirma que esta matriz llega a hacerse rápidamente casi diagonal, con extraordinaria aproximación, en la base ( J gato vivo ) , J gato muerto )) , de modo que hay otro cambio subrepti­ cio en la ontología, y el estado se convierte en una mezcla probabilista de J gato vivo) y J gato muerto ) . ¡Así es como se nos ha «permitido» pasar con este cambio de ontología de la superposición

w J gato vivo ) J entorno del gato vivo ) + z J gato muerto ) J entorno del gato muerto) a las alternativas J gato vivo ) o J gato muerto ) ! Recordemos que no hay unicidad en la interpretación ontológica de una matriz densidad de una mezcla probabilista de estados (sean o no iguales los autovalores) . De hecho, pasar a la mezcla de J gato vivo ) y J gato muerto) represen­ ta un genuino (doble) cambio de ontología desde la superposición ori­ ginal. La posición (c) es, de hecho, FAPP, y no nos da ninguna ontolo­ gía consistente para la realidad física.

29.9. ¿QUÉ ONTOLOGÍAS NO CONVENCIONALES PUEDEN AYUDAR? Debería hacer un breve comentario sobre (d) y (e) . Si se adopta la on­ tología «extravagante» para la aproximación (d) de las historias consis­ tentes, en la que la realidad se representa como la totalidad del conjun­ to de historias consistentes máximamente refinadas, entonces puede plantearse una crítica que es algo similar a la del caso (b) de los muchos mundos. Como sucede con (b) , se necesita una teoría detallada y pre­ cisa de los perceptores conscientes para que (d) pueda evocar una ima­ gen que sea consistente con el mundo físico que conocemos. Se han hecho intentos en esta dirección (proporcionados por la noción de un IGUS, «sistema de recogida y utilización de información»), pero por el 1 085

§29.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

momento están muy lej os de ser suficientes. 25 Alternativamente, se po­ dría preferir algo como la ontología más económica sugerida en §29.2, en la que un único conjunto de historias consistentes máximamente refinado se considera un candidato plausible para una ontología del «mundo real». Sin embargo, esta (igual que la más extravagante ontolo­ gía anterior) depende de que el criterio de «historia consistente» con­ siga realmente aquello para lo que estaba diseñado, a saber, discriminar historias que se parezcan al tipo de mundo en el que vivimos. No obs­ tante, como demostraron Dowker y Kent en 1 996, esta condición de «consistencia» por sí sola está lejos de ser adecuada. Parece que se re­ quieren algunos criterios adicionales. En mi opinión, una desventaja importante para (d) es que, a pesar de la introducción de procesos tipo R (mediante la inserción de con­ juntos de proyectores) , no parece acercarnos más a una comprensión de lo que es realmente una medida que lo que lo hacen las ontologías más convencionales de (a) o (b) . De hecho, en (d) los procedimientos tipo R son establecidos explícitamente para no tener nada que ver di­ rectamente con medidas físicas reales. Mi problema con esto es que eli­ minando la asociación entre estos reemplazamientos tipo R y las me­ didas físicas no sacamos ninguna idea de lo que realmente constituye una medida física. ¿Por que, según (d), no vemos realmente cosas como gatos de Schrodinger en un limbo superpuesto entre la vida y la muer­ te? La teoría no parece ofrecer ninguna mejora sobre la posición de Copenhague estándar (a) para explicar qué sistemas (tales como piezas de aparatos físicos o gatos) deberían comportarse clásicamente, mien­ tras que los neutrones o los fotones no lo hacen. El requisito de «con­ sistencia» para historias de grano grueso (máximamente refinadas) pa­ rece estar lej os de lo que se necesita para ofrecer un modelo 26 para la realidad física observada. Aunque es una característica positiva de (d) el hecho de que hace un serio intento por incorporar procesos tipo R en un nivel funda­ mental, los criterios que se han propuesto hasta ahora no hacen sufi­ ciente por estrechar el comportamiento del modelo de modo que pue­ da aparecer una imagen algo parecida al mundo que conocemos. Esto parece ser cierto tanto en el nivel «tipo clásico» macroscópico (como he comentado antes, en relación con el análisis de D owker-Kent del 1086

LA PARADOJA DE LA MEDIDA

§29.9

criterio de «historia consistente») como en el «nivel cuántico» en el que uno esperaría ver una evolución unitaria no perturbada. Puesto que la paradoja de la medida está relacionada con el aparente conflicto en­ tre el comportamiento físico en estos dos niveles diferentes, es dificil ver cómo el punto de vista (d) de las historias consistentes esté, pese a todo, en posición de arrojar mucha luz sobre esta paradoja. ¿Qué pasa con (e)? Como se ha comentado en §29.2, el punto de vista (e) de la onda piloto de De Broglie-Bohm parece tener la onto­ logía más clara entre todas aquellas que no alteran realmente las pre­ dicciones de la teoría cuántica. Pese a todo, en mi opinión no aborda realmente la paradoja de la medida de una forma más satisfactoria que las otras. Tal como lo veo, (e) puede sacar ventaja conceptual de sus dos niveles de realidad, pues tiene un nivel de «partícula» más firme de la realidad de la configuración del sistema, así como un nivel de reali­ dad secundario «de onda», definido por la función de onda l/J, cuyo papel es guiar el comportamiento del nivel más firme. Pero no tengo claro cómo podemos estar seguros, en cualquier situación experimen­ tal real, de a qué nivel deberíamos estar apelando. Mi dificultad reside en que no hay ningún parámetro que defina qué sistemas son «gran­ des», en el sentido apropiado, de modo que coincidan con imágenes «tipo partícula» o «tipo configuración» más clásicas, y qué sistemas son «pequeños», de modo que cobre importancia el comportamiento «tipo función de onda» (y esta crítica se aplica también a (d) ) . Sabemos de §23.4, etc. , que el comportamiento cuántico puede extenderse sobre distancias de decenas de kilómetros al menos, de modo que no es solo la distancia física la que nos dice cuándo un sistema deja de parecer mecanocuántico y empieza a comportarse como una entidad clásica. Pero, de todas formas, hay un sentido en el que un objeto grande (como un gato) parece no estar de acuerdo con las leyes cuánticas unitarias a pequeña escala. (En §30. 1 1 explicaré mis propias ideas respecto al tipo de «medidas de escala» que serán necesarias.) Pero ya crea uno o no que cualquier medida concreta semejante es apropiada, pienso que al­ guna medida de escala es necesaria para definir en qué momento el comportamiento de tipo clásico empieza a tomar el mando a partir de la actividad cuántica a pequeña escala. En común con las otras ontolo­ gías cuánticas en las que no se espera ninguna desviación medible de la 1 087

§29.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

mecánica cuántica estándar, el punto de vista (e) no posee una medida de escala semejante, de modo que no veo cómo puede abordar de ma­ nera adecuada la paradoja del gato de Schrodinger. En relación con esta cuestión, quizá sea apropiado un comentario general respecto a los intentos por «obtener» la o currencia aparente de R a partir de la dinámica de (digamos) U. Podemos ver que la di­ námica ordinaria (determinista) por sí sola nunca puede conseguir esto, como es evidente, aunque solo sea por la razón de que no hay probabilidades en una ecuación dinámica como la ecuación de S chrodinger. (Remito al lector a la discusión de §27 . 1 .) Se necesita también algún principio probabilista. Después de todo, R es una ley probabilista. Así pues, como se ha comentado en §29.2, es realmente un ingrediente esencial de (e) el que las sucesivas probabilidades de medidas estén correctamente codificadas en la elección de (digamos) el estado inicial. Esto nos deja con (f) . Las dificultades principales con la mayoría de las muchas propuestas diferentes (a menudo heroicas) de una «R obje­ tiva» residen en su apariencia poco natural, su carácter esencialmente no relativista, su necesidad de introducir parámetros arbitrarios que no están justificados por la fisica conocida, sus violaciones de la ley de conservación de la energía y, en algunos casos, su conflicto directo con la observación. No sería oportuno que discuta aquí todas estas pro­ puestas, y sería poco honesto que discriminase algunas de ellas en de­ trimento de las otras. De hecho, adoptaré el procedimiento de ser uni­ formemente injusto con todas las propuestas que otros han presentado ¡ imponiendo al lector, en el capítulo 30, la propuesta (en algunos as­ pectos minimalista) que para mí tiene más probabilidad de ser correc­ ta (con disculpas para muchos de mis amigos) ! De hecho, ha habido un estímulo y aportaciones muy importantes por parte de varias propues­ tas que otros han presentado antes, y me referiré a estas (con la grati­ tud debida) , pero solo en relación con la ideas específicas que deseo ar­ gumentar.

1088

LA PARADOJA DE LA MEDIDA

Notas

N otas Sección 29. 1 29. 1 . Véase Deutsch (2000) . 29 .2. Debo este término a mi colega clasicista Pe ter Derow. Véase Penrose (1 987a) . 29.3. Véanse Everett (1 957) , Wheeler (1 957) , DeWitt y Graham ( 1 973) y Deutsch (2000) . 29.4. Algunos físicos argumentan que no hay «ningún problema» en la su­ perposición cuántica de estados macroscópicamente diferentes -como el superpuesto gato vivo y muerto de Schrodinger que se ha comenta­ do en §§29.7-9-, porque sencillamente sería «demasiado caro» (o una imposibilidad práctica) diseñar un experimento para detectar interfe­ rencias entre los estados vivo y muerto. Esto, de nuevo, es tomar una posición «pragmática» que no aborda en realidad las cuestiones onto­ lógicas que nos interesan aquí. Personalmente, ubicaría a tales físicos, en general, en la categoría (c) . 29.5. Véase Hawking y Penrose (1 996), p. 121 .

Sección 29.2 29.6. Para (d), véase Gell-Mann y Hartle ( 1 995); para (e) , véase Bohm y Hi­ ley (1 994) . La lista (a), (b), (c) , (d) es solo representativa, y hay muchos matices diferentes dentro de los puntos de vista que he enumerado. Por ej emplo, algunos han expresado la idea (por ejemplo, Sorkin, 1 994) de que la «realidad cuántica» se entiende mejor en términos de las in­ tegrales de camino y/o diagramas de Feynman que hemos visto en §§26.6- 1 1 . Por lo que puedo deducir, esta familia concreta de ontolo­ gías pertenecería a la clase gen eral cubierta por (b) (aunque teniendo algunos elementos importantes en común con (d)), según la cual a una superposición particular que define el «estado cuántico» (o «historia cuántica») se le asignaría estatus de «realidad». D ebería mencionar también las ontologías «transaccionales» de Aharonov yVaidman (200 1), Cramer ( 1 988) , Costa de Beauregard ( 1 995) y Werbos y Dolmatova (2000) , según las cuales una función de onda con propagación de Schrodinger hacia el futuro de la última medida junto con otra función de onda con propagación de Schrodinger hacia el pasado de la próxi­ ma medida se reúnen en la descripción de la realidad (véase §30 .3) . Sin

1089

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD embargo, no veo que en ninguna de estas alternativas, sin otros ingre­ dientes, se resuelva la paradoja de la medida mejor que en (a), (b), (c), (d) o (e) .

29.7. El formalismo (d) permite también que el «estado de partida» pudiera ser una matriz densidad (véase §29.3). 29.8. A veces a esto se le llama simplemente una «historia», pero esto podría confundirse con el uso de dicho término en la «suma sobre historias» de Feynman de §26.6. 29. 9. Esta es una condición del tipo siguiente. Supongamos que tenemos una sucesión dada de conjuntos de proyectores (y supongamos por el

momento 'H. = O) ; entonces construimos la expresión X= (r/10 1 E' F' . . . K' L' D,,,LK . . . FE j rf!0), donde j r/10) es el estado inicial y donde el esta­ do final podría tomarse como una matriz densidad D., (véase la nota 29.7) . Los proyectores en los pares sucesivos (E, E') , (F, F'), . . . , (K, K') , (L, L ' ) pertenecen, respectivamente, a l a sucesión dada de conjuntos de

proyectores. La condición de consistencia exige que la parte real de X se anule cuando cualquiera de los pares (E, E'), (F, F') , . . . , (K, K') ,

(L, L') e s desigual. Este es estrictamente el caso solo cuando se h a ig­ norado la parte de Schrodinger de la evolución (i.e., tomamos 'H. = O) , pero podemos reinstaurar una evolución de Schrodinger no trivial in­ troduciendo esta evolución apropiadamente entre las aplicaciones de los proyectores. Esta «condición de consistencia» sobre historias de

grano grueso puede interpretarse como la condición de «no interfe­ rencia» entre las historias que se comparan. 29. 1 0 . De hecho, no he localizado un enunciado claro de ninguna «(d)-on­ tología» realmente pretendida en la literatura de las historias c onsis­ tentes. Lo que estoy presentando aquí es solo mi propia tentativa de entender esta cuestión, basada en extensas discusiones con Jim Har­ tle y, más en particular, una fructífera correspondencia con Fay Dow­ ker. Es probable que, pese a mis esfuerzos, aún no esté presentando adecuadamente una ontología subyacente defendida por la comuni­ dad « (d) » . 29. 1 1 . Véanse Bohm y Hiley ( 1 995) y Valentini (2002). Antony Valentini tie­ ne también un libro en curso sobre la teoría de De Broglie-Bohm, ¡que esperamos se publique pronto! 29. 1 2. Véanse Károlyházy (1 974) , Frenkel (2000) , Ghirardi et al. ( 1 986), Ghi­ rardi et al. (1 990), Komar (1964) , Pearle (1 985), Pearle y Squires (1 995), Kibble ( 1 9 8 1) , Weinberg ( 1 989) , Diósi (1 984, 1 989), Percival ( 1 994,

1 090

LA PARADOJA DE LA MEDIDA

Notas

1 995) , Gisin (1 989, 1 990) , Penrose (1 986a, 1 989, 1 996a, 2000a) y Leg­ gett (2002) , sin ningún orden particular.

Sección 29. 3 29. 1 3. Para una distribución de probabilidad continua, necesitamos una fun­ ción univaluada de valor real J sobre P, cuya integral es 1 . El espacio P tendría una forma de volumen natural -la 2N-forma I de §20.4 que

intervenía en el teorema de Liouville-, de modo que JI puede inte­ grarse legítimamente sobre P, y nuestra condición requerida es real­ mente f J.! 1 . 29. 1 4. Véase Brody y Hughston (1 998b) . Nielsen y Chuang (2000) ofrecen un buen cubrimiento conceptual de la matriz densidad en la práctica. =

Sección 29. 4 29. 1 5 . Para un sistema de n estados, con n > 2, la imagen es más complicada. Solo parte de la frontera del espacio (n2 - 1)-dimensional de matrices densidad es el espacio de estados puros, siendo esta parte un (n - 1 )-es­ pacio proyectivo complejo ClfD" - 1 (cf. §21 .9 y §22 . 9) .

Sección 29. 5 29 . 1 6. Quizá el lector se está preguntando cómo podría afectar la noción de cuanlazamiento, introducida en §23. 1 O, a estas cuestiones ontológicas. Esta es una pregunta intrigante, y muy bien podría ser que la cuestión global de la «ontología» en un contexto cuántico tenga que verse en definitiva a una nueva luz. Pero por el momento adoptemos simple­ mente una actitud más de «sentido común» hacia la realidad, en la que no entrarán las cuestiones planteadas por la relatividad. 29. 1 7 . Nielsen y Chuang discuten este punto; véase también Hughston et al. (1 993) .

Sección 29. 6 29. 1 8 . La idea se debe originalmente (como tantas cosas) a Wheeler; véase Ng (2004) para una perspectiva moderna. 29. 1 9 . Véanse Hawking ( 1 976b) y Preskill (1 992) ; véase también §30 . 1 4. 20.20. No estoy seguro de si este punto de vista representaba la posición real de Wigner con respecto a la medida cuántica, que, después de todo, puede haber evolucionado durante su vida. Debería señalar también que mi posición difiere fundamentalmente de aquellas, como la aquí

1 091

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

mencionada, que afirman que es la consciencia la que reduce el estado. (En relación con esto, mi opinión ha sido a veces malinterpretada por otros comentaristas.) Véanse §§30.9- 1 2 .

Sección 29. 8 29.2 1 . La descomposición de Schmidt (o polar) de un estado entrelazado J 'f!') perteneciente a H 2 X H2, lo expresa (de forma esencialmente unívoca) como J 111 = A J a) J ,B) + µ, J p) J u), donde J a) y J p), que pertenecen al primer H 2 , son ortogonales (autoestados normalizados de su matriz densidad) , y J ,B) y J u) corresponden análogamente al segundo H 2. Aquí AA y ¡iµ, son autovalores de la matriz densidad. Una expresión similar es válida para H" X H", donde la suma en J 111 tiene n términos.Véase Nielsen y Chuang (2000) . 29.22. Véase Nielsen y Chuang (2000), ¡que trata, después de todo, de la teo­ ría de la información cuántica! 29.23. Véase Page ( 1 995) para una discusión de estas cuestiones. 29.24. Véanse G ell-Mann (1 994) y Hartle (2004) para un corte de diez años de tales ideas.

Sección 2 9. 9 29.25. Véase Dowker y Kent (1 996). 29.26. Un ejemplo sorprendente que se debe a Adrian Kent muestra con cla­ ridad lo insuficiente que es la condición de «consistencia» para ofrecer una imagen fisicamente plausible de la «realidad». En este ejemplo, una partícula p puede estar en una de tres cajas A, B, C, descritas por los respectivos estados ortogonales normalizados JA), J E), J C). El hamil­ toniano lo tomamos cero, lo que da una evolución unitaria constante. El estado inicial va a ser J A) + J B) + J C) y suponemos que el estado final que se mide es J A) + J B) - J C). (Esto es posible porque JA) + J B) + J C) y JA) + J B) - J C) no son ortogonales.) La inserción del conjunto de proyectores { J A)(A J , I JA)(A J } entre los dos resulta ser «consistente», y parece que concluimos que p debe estar en la caja A en -

esta etapa intermedia (básicamente porque J E) + J C) y J E) - J C) son ortogonales) . El mismo argumento, con B en lugar de A, llega a la con­ clusión de que ¡p debe estar en B en la etapa intermedia! Este ej emplo parece haberse desarrollado a partir del «problema del rey» de Yakir Aharonov»; véase Albert et al. (1 985) , p. 5.

30 El papel de la gravedad en la reducción del estado cuántico 30. 1 . ¿VA A QUEDARSE AQUÍ LA TEORÍA CUÁNTICA ACTUAL?

En este capítulo argumentaré que existen razones poderosas y positivas, aparte de las negativas presentadas en el capítulo precedente, para creer que las leyes de la mecánica cuántica actual necesitan un cambio funda­ mental (aunque presumiblemente sutil). Estas razones proceden de principios físicos aceptados y de hechos observados acerca del universo. Pese a todo, encuentro muy significativo que haya tan pocos físicos cuánticos actuales que estén dispuestos a mantener en serio la idea de un cambio real en las reglas básicas de su disciplina. La mecánica cuán­ tica, a pesar de su notable apoyo experimental sin excepciones y de sus predicciones confirmadas de manera sorprendente, es una disciplina re­ lativamente joven, pues solo tiene unos tres cuartos de siglo (si la data­ mos a partir del establecimiento de la teoría matemática por Dirac y otros, basada en los esquemas de Heisenberg y Schrodinger, en los años inmediatamente posteriores a 1 925). Cuando digo «relativamente», es­ toy comparando la teoría cuántica con la de Newton, que perduró unos 300 años antes de que necesitase una modificación seria en la forma de la teoría de la relatividad especial y luego la general, y de la mecánica cuántica. Incluso si admitimos que la teoría de Newton sufrió su pri­ mera modificación con la introducción de los campos maxwellianos, ¡ esto aún le dio un reinado de más de 1 75 años libre de excepciones! Además, la teoría de Newton no tenía una paradoja de la medida. Mientras que la linealidad del proceso U de la teoría cuántica da a di­ cha teoría una elegancia particular, es esa misma linealidad (o unitarie1093

§30.1

EL CAMINO A LA REALIDAD

dad) la que nos lleva directamente a la paradoja de la medida (§22.2) . ¿No resulta razonable creer que esta linealidad pudiera ser una aproxi­ mación a alguna no linealidad más precisa (pero sutil) ? Tenemos un precedente claro. La teoría gravitatoria de Newton tiene una elegancia matemática especial porque las fuerzas gravitatorias siempre se suman de una forma completamente lineal. Sin embargo, en la teoría más precisa de Einstein esta linealidad se ve sustituida por un tipo característicamente sutil de no linealidad en la forma en que se combinan los efectos gravitatorios de cuerpos diferentes.Y la teoría de Einstein no carece de elegancia, de un tipo completamente diferente de la de Newton. En la teoría de Einstein también vemos que las mo­ dificaciones en la teoría de Newton que fueron necesarias no eran nada parecido al «retoque» al que me he referido en §29.2. En diversos momentos se han sugerido retoques semej antes en la teoría de New­ ton, tales como reemplazar la potencia 2 en la fórmula de la inversa del cuadrado de Newton GmMIY2 (véase § 1 7.3) por 2.000 000 1 6, como sugirió Aspeth Hall en 1 894 para acomodar aquellas ligerísimas desvia­ ciones, descubiertas en 1 843, respecto a las predicciones newtonianas detalladas del movimiento de Mercurio alrededor del Sol (y la suge­ rencia de Hall da también buenos ajustes para los otros planetas, como demostró Simon Newcombe) . 1 La teoría de Einstein explicó poste­ riormente dichas desviaciones, sin ningún revuelo, pero la nueva teo­ ría no se obtuvo ni mucho menos con solo retocar la vieja, sino que implicaba un cambio de perspectiva completamente radical. Este es, en mi opinión, el tipo general de cambio en la estructura de la mecánica cuántica al que debemos mirar si queremos obtener la (en mi opinión) necesaria teoría no lineal que reemplace a la teoría cuántica conven­ cional actual. De hecho, mi perspectiva es que la relatividad general de Einstein proporcionará por sí misma algunas claves necesarias respecto a las mo­ dificaciones que se requieren. El siglo xx nos trajo dos revoluciones capitales en el pensamiento fisico, y a mi modo de ver la relatividad general ha supuesto una revolución tan impresionante como la teoría cuántica (o la teoría cuántica de campos) . Pese a todo, estos dos gran­ des esquemas están basados en principios dificilmente compatibles. La perspectiva usual con respecto al matrimonio propuesto entre estas 1094

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.2

teorías es que una de ellas, a saber, la relatividad general, debe someter­ se a la voluntad de la otra. Al parecer, es una idea común que las reglas de la teoría cuántica de campos son inmutables y es la teoría de Eins­ tein la que debe modificarse de manera adecuada para encajar en el molde cuántico estándar. Pocos sugerirían que las reglas cuánticas de­ ben admitir una modificación para asegurar un matrimonio armonio­ so. De hecho, el mismo nombre «gravedad cuántica», que normalmen­ te se asigna a la unión propuesta, conlleva la connotación implícita de que lo que se busca es una teoría cuántica (de campos) estándar. Pese a todo, ¡yo diría que hay evidencia observacional a favor de que la idea que tiene la naturaleza de esta unión es muy diferente! Sostengo que su diseño para esta unión debe ser lo que a nuestros ojos sería uno cla­ ramente no estándar, y que una de sus características importantes debe ser una reducción de estado objetiva.

30.2. CLAVES DE UNA ASIMETRÍA TEMPORAL COSMOLÓGICA

¿ Cuál es esta evidencia? Dirijámonos, en primer lugar, a aquellos luga­ res donde con más claridad se manifiesta la elección por la naturaleza de una unión cuántico/gravedad. Me refiero a las singularidades espa­ ciotemporales del big bang y de los agujeros negros (y también del big crunch, si tal cosa va a tener lugar) . En el capítulo 27 se ha expuesto la naturaleza extraordinariamente especial del big bang, en abierto con­ traste con la naturaleza en apariencia «genérica» de las singularidades de colapso. A pesar de las atrevidas sugerencias hechas de acuerdo con la propuesta de Hartle-Hawking (discutidas en §28.9) , no veo escapa­ toria a que una flagrante asimetría temporal sea una característica ne­ cesaria de la unión cuántico/ gravedad de la naturaleza. Tal asimetría temporal parecería estar en completo contraste con las implicaciones de cualquier teoría cuántica de campos estándar. Con­ sideremos, por ejemplo, el teorema CPT, señalado en §25.4. (Recorde­ mos que «T» representa inversión temporal, mientras que «P» y «C» representan, respectivamente, reflexión espacial y reemplazamiento de partículas por sus antipartículas.) Si creemos que el teorema CPT se aplica a nuestra deseada unión cuántico/ gravedad, entonces estamos en 1095

§30.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

dificultades. Si aplicamos CPT a cualquier singularidad final «genérica» de colapso gravitatorio, entonces obtenemos que una posibilidad para el big bang (o para parte del big bang) es una singularidad del tipo ini­ cial. Recordemos la enormidad del espacio de fases disponible, como se ha descrito en §27 . 1 3 (y se ha ilustrado gráficamente en la Fig. 27.21). Una vez que se hacen admisibles tales singularidades iniciales «genéricas», entonces no hay nada que guíe a la aguja del Creador en dicha región B absurdamente (y, desde la perspectiva «antrópica», en §28.6, innecesariamente) minúscula, que parece haber sido el punto de partida real de nuestro universo. Creo que está claro que el misterio de la naturaleza extraordinariamente especial del big bang no puede re­ solverse dentro del marco estándar de la teoría cuántica de campos. Este sería al menos el caso para cualquier teoría para la que la p a­ labra «estándar» implica la validez del teorema CPT (§25 .4) . Estricta­ mente hablando, este teorema no es inmediatamente aplicable a una teoría que respete por completo el espaciotiempo curvo base de la relatividad general de Einstein. Una de las premisas del teorema C PT es que el espaciotiempo de fondo es el espacio de Minkowski plano. De todas formas, sospecho que la mayoría de los fisicos considerarán esto como un «tecnicismo» sin importancia, adoptando el punto de vista de que la teoría de Einstein se puede reexpresar, si así se desea, en la forma de una «teoría de campos invariante por Poincaré» intro­ duciendo un fondo de Minkowski como conveniencia. Personal­ mente, tengo grandes reservas sobre este tipo de procedimientos; 2 pero estaría de acuerdo en que parece poco probable que la teoría de la relatividad general de Einstein clásica y completamente simétrica respecto al tiempo se hiciera tan asimétrica cuando se someta a los procedimientos estándar con simetría temporal de la teoría cuántica de campos. Por otra parte, recordemos que en §25. 5 y §§26.5 , 1 1 hemos visto situaciones donde una simetría de la teoría clásica se rompe cuando pa­ samos a la teoría cuántica. ¿Podría ser que esto es lo que sucede cuan­ do la teoría de Einstein se introduce adecuadamente dentro del alcan­ ce de las reglas estándar QFT? Supongo que es concebible, pero resulta dificil ver cómo podría esto parecerse mucho al tipo de ruptura de si­ metría que o curre, por ej emplo, en la teoría electrodébil, donde se 1096

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.2

considera que el «estado vacío» 1 @) no comparte las simetrías de la di­ námica cuántica. Para que esta idea funcione 1 @) tiene que ser «asimé­ trico respecto al tiempo». No estoy seguro de cómo se podría dar sen­ tido a una idea de este tipo. Es cierto que el ket 1 @) tendría que colocarse a la derecha de todos los operadores de campo, a la manera descrita en §26. 1 1 , y podría considerarse que representa el estado ini­ cial del universo, que aquí quiere decir el muy concreto estado big bang. Pero en la QFT estándar, el complejo conjugado de 1 @) , a saber el bra < e ¡, también intervendría en el formalismo, pues es necesario para la formulación de probabilidades vía expresiones como ( @ 1 A 1 @), y desempeñaría un papel completamente simétrico al de 1 @) pero con el tiempo invertido. Así pues, (@ 1 tendría que representar el estado fi­ nal del universo, y tenemos un estado final de una estructura similar al inicial, en total contradicción con el mensaje entero del capítulo 27. Hay también otras características que aparecen en el proceso de «cuantización», por las que la teoría cuántica podría no compartir las simetrías de la teoría clásica. Se conocen como anomalías. Estas ocurren cuando las reglas de conmutación clásicas que proporcionan la simetría clásica (dada por los paréntesis de Poisson; véase § 1 4.8) no pueden ser completamente realizadas por conmutadores cuánticos, y solo un sub­ grupo del grupo de simetría clásico completo sobrevive en la teoría cuántica. Parece que las anomalías deben considerarse normalmente como cosas a evitar (y veremos los malabarismos que tienen que reali­ zar a veces los teóricos para eliminarlas cuando consideremos la teoría de cuerdas en el capítulo siguiente) . Pese a todo, podríamos imaginar que se adopta un punto de vista diferente y se considera una anomalía como algo «bueno» en aquellas circunstancias en que la simetría mayor es algo que no deseamos. Sin embargo, en nuestro caso presente es una simetría discreta, a saber C PT, además de T, CT y PT -en realidad cualquier cosa que contenga una «T»-, la que hay que violar, y es di­ ficil ver la relevancia de la idea de anomalía usual, que habitualmente (pero no siempre) se refiere solo a las simetrías continuas que pueden realizarse en términos de paréntesis de Poisson. Como quiera que se mire, es dificil evitar la conclusión de que en aquellas circunstancias extremas en que los efectos cuánticos y los efec­ tos gravitatorios deben unirse -en las singularidades espaciotempora1097

§30.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

les en el big bang y en el colapso gravitatorio- la gravedad se com­ porta deforma diferente de otros campos. Recordemos la conclusión fi­ nal en el penúltimo párrafo del capítulo 27 respecto a este punto. Por la razón que sea, la naturaleza ha impuesto una flagrante asimetría tem­ poral en el comportamiento de la gravedad en circunstancias tan ex­ tremas.

30.3. ASIMETRÍA TEMPORAL EN LA REDUCCIÓN

DEL ESTADO CUÁNTICO ¿Tiene esto relación con cualquier otra clave respecto a la posible in­ terrelación entre gravedad y mecánica cuántica? Así lo creo firme­ mente. Mientras que no percibimos ninguna asimetría temporal en la parte U de la teoría cuántica (§27 . 1) , sí hay una asimetría temporal esencial en R. Podemos ver esto en un sencillo experimento cuánti­ co hipotético. Supongamos que hay una fuente de fotones S que emite fotones de uno en uno y que cada vez que lo hace este suceso queda registrado. 3 Supongamos también que los fotones son de alta energía, posiblemente fotones de rayos X o incluso rayos y. Los foto­ nes se dirigen a un divisor de haz B (un «espej o semiplateado») colo­ cado a un ángulo de 45° respecto al haz, de modo que si un fotón se transmite, entonces activa un detector D al otro lado, mientras que si el fotón se refleja, entonces queda absorbido en el techo e (véase la Fig. 30. 1 ) . Estoy suponiendo amplitudes iguales para estas dos alter­ nativas, de modo que el detector registrará la llegada del fotón solo en la mitad de las ocasiones en que se registra que la fuente lo ha emitido. Esto es solo una aplicación directa del procedimiento R. Hay una

}i (ignorando posibles factores de fase) para la historia del fotón SBD y una amplitud }i para la historia del fotón SBC. La apli­ amplitud

cación de la regla del módulo al cuadrado para R da entonces la res­ puesta (correcta) , según la cual cada vez que hay un suceso de emisión en S, hay una probabilidad de un 50 % de un suceso de detección en D 1098

§30.3

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

o

s

'��"��".%���"'& : F

Fig. 30. 1 . Una fuente S emite aleatoriamente fotones únicos de alta energía (regis­ trándose cada uno de tales sucesos) dirigidos a un divisor de haz B, inclinado a 45° del haz. Si se transmite a través de B, el fotón activa un detector O (ruta SBD); si se refle­ ja, es absorbido en el techo C (ruta SBC) . La regla cuántica del módulo al cuadrado predice correctamente las probabilidades 1 12, 112. Por otra parte, dado que D registra, el fotón podría haber venido de S (ruta SBD) o del suelo F (ruta FBD). Utilizada en la dirección inversa del tiempo, la regla del módulo al cuadrado retrodice incorrecta­ mente probabilidades 1 12, 1/2, que deberían ser 1,0.

y (por inferencia) una probabilidad del 50 % de que el fotón llegue a C. Esta es sencillamente la respuesta correcta. Pero imaginemos ahora que leemos este experimento concreto hacia atrás en el tiempo. No estoy proponiendo que tratemos de cons­ truir una fuente o un detector «hacia atrás en el tiempo». No, los pro­ cesos fisicos no deben alterarse en modo alguno. Solo yo propongo expresar mis preguntas acerca de ellos de una forma invertida en el tiempo. En lugar de preguntar acerca de las probabilidades finales, preguntamos cuáles son las probabilidades iniciales, dado que existe un suceso de detección en D. Las amplitudes relevantes se refieren ahora a las dos historias alternativas SBD y FBD, donde F represen­ ta un punto en el suelo con la propiedad de que, si se emitiera un fo­ tón desde allí, po dría ser reflejado en B para ser recibido en D. Una vez más las amplitudes son

}i para cada una de estas dos historias (ig­

norando las fases) . Esto debe ser así porque la razón de (los módulos de) las amplitudes de seguir un camino o el otro es solo una propiedad del divisor de haz. Aquí no hay asimetría temporal. Ahora, si aplicára­ mos la «regla del módulo al cuadrado» para obtener las probabilidades 1099

§30.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

para estas dos alternativas, encontraríamos una probabilidad del 50 % para la emisión en S y del 50 % (por inferencia) para que el fotón pro­ venga del suelo F, cada vez que haya un suceso de detección en D. Por supuesto, esto es absurdo. Hay prácticamente una probabilidad cero de que un fotón de rayos X (o de rayos y) surja del suelo en di­ rección al divisor de haz. Cada vez que haya un suceso de detección en D, las probabilidades de que haya un suceso de emisión en S son casi del 1 00 % y las de que el fotón provenga del suelo F son del O %. ¡ La regla del módulo al cuadrado aplicada en la dirección del pasado nos ha dado una respuesta completamente errónea! 4 Por supuesto, esta regla no fue diseñada para ser aplicada hacia el pasado, pero resulta instructivo ver hasta qué punto sería completa­ mente erróneo hacerlo así. A veces se han planteado objeciones a esta deducción señalando que yo no he tenido en cuenta todo tipo de cir­ cunstancias particulares que atañen a mi descripción con el tiempo in­ vertido, tales como el hecho de que la segunda ley solo funciona en un sentido en el tiempo, o el hecho de que la temperatura del suelo es mucho menor que la de la fuente, etc. ¡Pero la maravillosa característi­ ca de la ley del módulo al cuadrado mecanocuántica es que nunca te­ nemos que preocuparnos por circunstancias concretas! El milagro es que las probabilidades cuánticas para predicciones futuras que aparecen en el proceso de medida no parecen depender en absoluto de conside­ raciones de temperaturas particulares, o geometrías, o cualquier cosa. 5 Si conocemos las amplitudes, entonces podemos calcular las probabili­ dades futuras. Todo lo que necesitamos conocer son las amplitudes. La situación es muy diferente para las probabilidades de retrodicción. En­ tonces sí necesitamos conocer toda clase de detalles acerca de las cir­ cunstancias. Las amplitudes por sí solas son completamente insuficien­ tes para computar probabilidades pasadas. Sin embargo, hay situaciones en que las probabilidades cuánticas pueden calcularse de un modo que es completamente simétrico en el tiempo, y quizá sea instructivo echarles un vistazo. Tales situaciones se dan cuando el estado cuántico se mide para ser algo conocido tanto antes como después de una medida cuántica intermedia. Para ser más explícitos, imaginemos una sucesión de tres medidas, la primera de las cuales proyecta el estado en J 1/1) y la tercera lo proyecta en J cf>) , y entre 1 100

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.3

estas dos hay una medida sí/No descrita por el proyector E (§22.6). La probabilidad de sí para la medida intermedia viene dada entonces por[30. 1 1

1 ( cf> I E 1 1/1) 1 2 (donde suponemos las normalizaciones (1/1 1 1/1) = 1 = ( cf> I cf>) ) , que cier­ tamente tiene simetría temporal. (Para establecer una situación seme­ jante, uno realiza muchas veces las tres medidas sucesivas y escoge para examen solo aquellos casos en los que la primera medida da 1 1/1) y la tercera da 1 cf>) . La probabilidad anterior se refiere entonces a la fracción de estos casos para los que la medida intermedia dio sí.)6 Esto ha lleva­ do a algunas personas a concluir que, de entrada, no hay ninguna asi­ metría temporal en la medida cuántica. 7 Sin embargo, la mayoría de las medidas cuánticas no son de este tipo. Para el uso normal hacia delante en el tiempo de la regla del mó­ dulo al cuadrado no especificamos un 1 cf>), y para el pretendido uso an­ terior hacia atrás en el tiempo no especificamos 1 1/1) .Vemos que pode­ mos calcular perfectamente las probabilidades cuánticas, aunque no especifiquemos 1 cf>), pero no podemos arreglárnoslas sin especificar 1 1/J) . Se podría adoptar el punto de vista de que la razón de que las re­ glas cuánticas funcionen bien para las probabilidades futuras tiene que ver con que 1 cf>) sea en algún sentido «aleatorio», lo que tiene que ver con la segunda ley de la termodinámica. Quizá haya algo de verdad en esto, pero encuentro este requisito para 1 cf>) muy poco claro. ¿Qué sig­ nifica «aleatorio» en este contexto? De todas formas, parecería cierta­ mente que hay alguna conexión con la segunda ley en la cuestión de la medida. Podemos tomar nota del hecho de que los dispositivos de me­ dida reales suelen sacar ventaja de ello en algún momento de su actua­ ción. La existencia de cierta relación entre R y la segunda ley es parte de mi propia perspectiva sobre el tema. Y puesto que hemos visto que la segunda ley está íntimamente ligada con la buscada unión cuánti­ co/gravedad, debemos esperar también una íntima relación entre R y esta unión. Antes de llegar a esto de forma más explícita, vale la pena señalar que � (30.1] ¿Por qué? ¿Puede obtener esta fórmula? 1 101

§30.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

Estado cuántico R

(a)

Estado cuántico (hacia atrás) (b)

Fig. 30.2. Ilustración esquemática de la alternancia . . U, R, U, R, U, . . de los dos procesos U y R tal como se usan en la práctica en mecánica cuántica (compárese con la Fig. 22. 1), según: (a) la dirección temporal estándar de evolución y donde ocurren autoestados de operador en el extremo pasado de cada tramo de evolución U, y (b) el punto de vista del tiempo invertido para la evolución, donde autoestados del operador ocurren en el extremo futuro de cada tramo de evolución U. En la interpretación «transaccional» de la mecánica cuántica, hay dos vectores de estado, uno que evolucio­ na según (a) y el otro que evoluciona según (b). .

.

el otro aspecto de R, a saber, el «salto» del estado cuántico -en oposi­ ción al cálculo de probabilidades vía la regla del módulo al cuadrado­ puede (aparentemente) expresarse tanto según una perspectiva hacia atrás en el tiempo como según una hacia delante en el tiempo. Esto se ilustra de manera esquemática en las Figs. 30.2a, b; en la Fig. 30.2a he mostrado la visión «normal» de la alternancia . . . , U, R, U, R, U, . . . (véase la Fig. 22. 1 ) y el estado es un autoestado de la medida una vez que esta ha tenido lugar, y en la Fig. 30.2b he representado la visión «invertida en el tiempo» en la que el estado es un autoestado inmedia­ tamente antes de la medida. El cálculo de las amplitudes da el mismo resultado cualquiera que sea el punto de vista que se adopte, Pº-21 pero aquel con el tiempo invertido tiene un aspecto «teleológico» que algu­ nos encuentran perturbador. Hay también un punto de vista, la inter­ pretación «transaccional» (que se debe, independientemente, a varios teóricos cuánticos) , 8 según el cual ambas imágenes se mantienen de .@ [30.2] Explique por qué esto es básicamente una expresión de la naturaleza «uni­ taria» de U; véase §22.4. 1 102

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.4

manera simultánea, y en cualquier instante hay dos vectores de estado que evolucionan simultánea y unitariamente para describir el sistema cuántico, uno parecido al de la Fig. 30.2a y el otro como en la Fig. 30.2b. Se dice que esto tiene ventajas con respecto a la interpretación de los fenómenos EPR del capítulo 23. En mi opinión, esta descrip­ ción es algo excesiva, y quizá sea mejor adoptar una perspectiva de cuanlazamiento en la que la dirección temporal de «propagación» del estado no es importante, y el cuanlazamiento simplemente proporcio­ na conexiones entre los estados en instantes diferentes (§23 . 1 O) .

30.4. TEMPERATURA DEL AGUJERO NEGRO DE HAWKING

¿Hay formas de conectar R con la buscada unión cuántico/gravedad (con asimetría temporal) que sean más directas que el solo hecho de la asimetría temporal en R? Creo que las hay, y describiré dos de ellas. La primera de estas tiene que ver con el notable fenómeno de «evapora­ ción de aguj eros negros». El argumento es parcialmente sugerente y ciertamente incompleto; más aún, es controvertido en ciertos aspec­ tos fundamentales. Los ingredientes de esta discusión serán el obj eto de esta sección, y de las secciones siguientes hasta §30.9 (excepto §§30.5,6, que pueden considerarse una digresión) . El segundo argu­ mento es mucho más explícito, pues procede de una tensión funda­ mental entre los principios básicos de la relatividad general y los de la mecánica cuántica, y conduce a algunas predicciones cuantitativas pre­ cisas. Esta línea de razonamiento se expondrá en §§30 . 1 0-13. Sin em­ bargo, el primer argumento -que concierne a ciertas implicaciones de la entropía de los aguj eros negros- plantea otras cuestiones teóricas que son importantes para nosotros y muy citadas en las discusiones teóricas actuales, y será útil tener cierta idea de ellas. Recordemos de §27 . 1 O la expresión de Bekenstein-Hawking

tA (en unidades naturales, donde k = e = G = fí = 1) para la en­ tropía S8H de un aguj ero negro cuyo horizonte de sucesos tiene un área superficial A. Como parte de su propia discusión, Hawking (1 973) S8H =

demostró que un aguj ero negro también debe tener una tempera tura, 1 103

§30.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

que resulta ser proporcional a lo que se denomina la «gravedad super­ ficial» del agujero. Para un agujero estacionario en rotación (geometría de Kerr; véase §27 . 1 O), encontramos 1 TBH 1 41Tm[ 1 + (1 - a2 l m2p] ' donde, como en §27 . 1 0, m es la masa del agujero negro y am es su mo­ mento angular. Esta temperatura puede obtenerse a partir de una fór­ mula estándar de la termodinámica:

T d S = dE, donde, al variar la energía E, mantenemos constante el momento an­ gular conservado. f3º·31 Por consiguiente, el agujero negro emitirá foto­ nes, como si fuera un objeto físico en e quilibrio térmico, irradiando energía con el espectro característico de «cuerpo negro» (planckiano), descrito en §21 .4 (véase la Fig. 2 1 .3b) , para la temperatura TBH " Puede advertirse que, aunque la entropía de Bekenstein-Hawking de un agu­ jero negro es enorme y da lugar a las extraordinarias cifras examinadas en §27. 13, la temperatura de Hawking es absurdamente minúscula para los agujeros negros de un tamaño plausible. Para un agujero negro de una masa solar, por ejemplo, la temperatura de Hawking es solo de al­ rededor de 1 0-7 K, que no es mucho mayor que las temperaturas más bajas conseguidas por el hombre en la Tierra (aproximadamente 1 0-9 K) . Jakob Bekenstein (1 972) había obtenido algunos años antes la ex­ presión de la entropía de un agujero negro utilizando un argumento fí­ sico (basado en la aplicación de la segunda ley a situaciones en las que partículas cuánticas caen lentamente dentro del aguj ero) , pero no ha­ bía obtenido un valor claro para el « 1 /4» que ahora aparece en dicha expresión, ni había obtenido una temperatura del aguj ero negro. Ste­ phen Hawking proporcionó por primera vez la temperatura y el factor « 1 14» en la fórmula de la entropía utilizando ideas de QFT en un fon­ do espaciotemporal curvo. Aquí el fondo describe un aguj ero negro que ha sido resultado del colapso de cierto material (digamos una es­ trella) en el pasado remoto. La situación está descrita por el diagrama fm. [30.3] Obtenga esta fórmula para TllH suponiendo la expresión para el área del horizonte de un agujero de Kerr dada en §27.10. 1 104

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.4

conforme de la Fig. 27 . 1 6c (que es estricto si el colapso es esférica­ mente simétrico) . En mi opinión, el extraordinario cálculo de Hawking de la entro­ pía y la temperatura de un agujero negro Gunto con el relacionado «efecto Unruh») 9 es la única conclusión razonablemente fiable que se ha obtenido hasta la fecha de cualquier teoría de la gravedad cuántica. Incluso las conclusiones de Hawking no eran estrictamente de grave­ dad cuántica, sino que más bien estaban obtenidas a partir de conside­ raciones de QFT en un espaciotiempo de fondo curvo. En general, surgen problemas graves cuando se intenta formular la teoría cuántica en un fondo curvo, y es sorprendente que Hawking fuera capaz, pese a todo, de llegar a algunas conclusiones firmes. Uno de los problemas más cruciales consiste en encontrar una no­ ción adecuada de «frecuencia positiva» en un fondo curvo. Como he­ mos visto en §24. 3 y §26.2, esta noción es un ingrediente clave de la visión estándar de las partículas cuánticas y la QFT. El problema de formular esta cuestión en un espaciotiempo curvo general reside en la ausencia de un «parámetro temporal» definido de forma natural en cu­ yos términos pueda formularse la noción de «frecuencia positiva». El lector avisado podría muy bien señalar que tampoco hay pará­ metro temporal definido de forma natural en un espacio de Minkows­ ki plano. Sin embargo, un hecho sorprendente viene en nuestra ayuda y nos dice que para soluciones de las ecuaciones de ondas relativistas (como las estudiadas en los capítulos 1 9 y 24-26) , la frecuencia positi­ va en una elección del parámetro temporal de Minkowski t es equiva­ lente a la frecuencia positiva en cualquier otro parámetro semejante, para el que la orientación temporal no esté invertida. Para campos sin masa, se puede ir incluso más lejos y obtener la misma condición de frecuencia positiva con el uso de un «parámetro temporal» que se ob­ tiene a partir del parámetro temporal de Minkowski estándar por una transformación conforme que conserva la orientación temporal (lo que tiene relevancia para la teoría de twistores; véanse §§33.3, 10) . 1 º En un espaciotiempo general no hay un análogo natural a un pará­ metro semejante, y la noción de frecuencia positiva resultaría, en gene­ ral, de forma distinta para diferentes elecciones de un parámetro tem­ poral. Aparte del caso de la temperatura de Hawking, los resultados más 1 1 05

§30.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

plausibles proceden de consideraciones de espaciotiempos estacionarios, para los que existe una familia continua de desplazamientos tempora­ les que conservan la geometría espaciotemporal (véase la Fig. 30.3) . Ta­ les movimientos espaciotemporales están generados por un vector de Ki ­ lli ng K de gé nero t iempo (véanse § 1 4.7 y §30.6) . Las curvas a lo largo de las cuales apuntan los vectores K (curvas integrales de K) son las curvas a lo largo de las cuales puede especificarse un «parámetro temporal» t razonablemente natural, de modo que K=

a at'

donde las tres coordenadas restantes x, y, z se toman constantes a lo lar­ go de las curvas. Entonces puede definirse una noción de «frecuencia positiva» con respecto a este parámetro. Una curiosa situación puede aparecer cuando hay más de un vec­ tor de Killing de género tiempo, puesto que entonces puede haber más de una noción de «frecuencia positiva». Esta multiplicidad de vectores de Killing de género tiempo sucede, por supuesto, con el espacio de Min­ kowski M, pero, por lo que se ha dicho antes, las nociones de frecuen­ cia positiva coinciden cuando pasamos de un sistema inercial min­ kowskiano a otro. Sin embargo, este no es el caso cuando pasamos a un sistema acelerado. Entonces obtenemos una noción diferente de «fre­ cuencia positiva», y la QFT resultante está en lo que se denomina un vado té rmico, según el cual un observador acelerado experimenta una temperatura no nula, aunque absurdamente baja, para cualquier acele­ ración razonable. Debería quedar claro que, aunque este es un efecto sorprendente, esta «temperatura de aceleración» es simplemente el tipo ordinario de temperatura, tal como sería medida por un termómetro ordinario (aunque idealizado) . En este caso, el termómetro estaría experimen­ tando aceleración uniforme, y se supone que está en un vacío ambien­ te que tendría temperatura cero si fuera medida por un termómetro no acelerado. (La noción de «vacío térmico» tiene relaciones con las no­ ciones de QFT de «vacíos alternativos» en §§26.5, 1 1 y «falso vacío» en §§28 . 1 ,4.) Esto se conoce como el «efecto Unhru», y es compatible con el estado térmico de Hawking de un agujero negro. Un obser­ vador que se mantenga estacionario cerca de un agujero negro muy 1 106

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.4

Fig. 30.3. La estacionariedad de un espa­ ciotiempo está expresada como la presencia de un vector de Killing K de género tiempo. Esto genera una familia continua de desplazamientos temporales que conservan la métrica. Si K = a1at, donde t es el «pará­ metro tiempo» de un sistema de coordena­ das (t, x, y , z), entonces x, y y z deben ser constantes a lo largo de las curvas integrales de K. (Véase §14.7.)

grande experimentaría, según el principio de equivalencia (§ 1 7.4) , una aceleraciüu eíectiva, y la temperatura de Unhru de esta aceleración coincide con la temperatura de Hawking, tal como se obtiene con sus propios procedimientos. La dificultad que presenta en general la falta de una definición na­ tural de «frecuencia positiva» es evitada en algunos enfoques abando­ nando la noción de «partícula» y concentrándose en el álgebra de los operadores mecanocuánticos. 1 1 A primera vista, esto puede parecer un sacrificio demasiado grande, y se necesita ingenio en la formulación de muchas preguntas de interés en tal enfoque. En el momento de escri­ bir esto, yo mismo no he sido capaz de evaluar todos los méritos de este tipo de teoría enigmática y de aspecto prometedor. No obstante, sos­ pecho que es superior a los enfoques basados en campos vectoriales de género tiempo específicos. En cualquier caso, no veo por qué la QFT en un fondo dado debería tener necesariamente un sentido fisico com­ pleto. Es solo una aproximación a un esquema más exacto en el que los grados de libertad en el campo gravitatorio -es decir, en la geometría del propio espaciotiempo- deben formar parte también de la fisica cuántica. En su cálculo de la temperatura y la entropía de un agujero negro, Hawking se las arregla para evitar la mayoría de estos problemas exi­ giendo una noción de frecuencia positiva/negativa que se separa solo en el infinito. Existe una noción en _y- (infinito nulo pasado) y otra di­ ferente en .Y+ (véase §27 . 1 2) . Esta diferencia lleva a la producción de un «estado térmico» de Hawking por el agujero negro, cuyo resultado es lo que se conoce como radiación de Hawking. También es digno de 1 1 07

§30.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 30.4. El cálculo de Hawking de la temperatura de un agujero negro, que incluye el colapso de materia a un agujero negro en el pasado distante, requiere solo la noción (estándar) de separación de frecuencias positiva/negativa en J+ y .Y-. El vacío del agujero negro se convierte en un estado térmico (una matriz densidad) porque la información inicial en J+ se divide entre la información en f+ y la información en la sin­ gularidad final, perdiéndose la última.

mención que este efecto debe su existencia al hecho de que parte de la información definida en s- se p ierde en la singularidad, y no toda lo hace en f+ (véase la Fig. 30.4).Veremos la importancia de este hecho en §30.8.

30.5. TEMPERATURA DEL AGUJERO NEGRO A PARTIR DE LA PERIODICIDAD COMPLEJA

En este punto es instructivo considerar una ingeniosa derivación pos­ terior de la temperatura de Hawking, obtenida por Gibbons y Perry en 1 976, aunque suponga una ligera digresión respecto a las líneas princi­ pales de razonamiento de este capítulo. (Las retomaré en §30.8.) El ar­ gumento de Gibbons-Perry plantea algunas cuestiones interesantes res­ pecto al papel de las ideas matemáticas elegantes en la derivación de fenómenos físicos genuinos. Lo que ellos advirtieron era que si la solu­ ción de la ecuación de Einstein (a saber, la solución de Schwarzschild o de Kerr; véanse §§27.8,1 O) que representa al aguj ero negro asentado en su estado fi n al es «complexificada» (i.e., extendida desde valores reales a valores complejos de las coordenadas; véase § 1 8 . 1 ) , entonces una condición de regularidad básica sobre las cantidades definidas en este espacio complexificado implica que dichas cantidades adquieren necesa­ riamente una periodicidad (véanse §9 . 1 y la Fig. 9 . 1 a) en el tiempo complexificado, con un período puramente imaginario 21l"i TBH ' Con­ sideraciones de termodinámica estadística nos dicen que semejante pe­ riodicidad compleja corresponde a la temperatura exacta TBH ' dada en 1 1 08

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.5

§30.4. Esto ofrece una ruta sorprendentemente directa a la temperatu­ ra de Hawking para un agujero negro. Pero ¿qué vamos a hacer de un procedimiento semejante como de­ rivación fisica? De hecho, es un argumento notablemente elegante, y puede utilizarse directamente para obtener la temperatura de agujero negro de Hawking en varias situaciones diferentes en las que no podría aplicarse de inmediato su discusión original. Por otra parte, tengo difi­ cultad en considerar que este argumento proporciona genuinamente una justificación fisica real de la temperatura de Hawking. Es un buen ejemplo de un bello fragmento de matemáticas, que resulta dar la res­ puesta correcta (si se juzga su «corrección» por su acuerdo con la res­ puesta obtenida a partir de criterios más aceptables fisicamente: en este caso, el argumento original de Hawking que se ha mencionado antes) , pese al hecho de que algunas de las hipótesis «fisicas» que intervienen en las matemáticas pueden juzgarse de validez dudosa. Consideremos un poco más de cerca los ingredientes matemáticos de esta «complexificación». Una buena manera de entender lo que está implícito aquí es pensar primero en el plano euclídeo ordinario 2-di­ mensional IE2, y su complexificación estándar ICIE2 ( = IC2). El espacio real IE2 se denomina a veces una sección real de ICIE2 (Figs. 30.Sa,b; véase tam­ bién la Fig. 1 8.2) . Es una sección real euclídea, porque posee una mé­ trica euclídea ordinaria. Pero ICIE2 tiene también secciones reales loren t­ zianas (véanse la Fig. 1 8.2 y § 1 8.2) , y podemos construir una de estas, M 2 , tomando la coordenada y de un par de coordenadas cartesianas es­ tándar (x, y) para IE2 (que son números reales) y exigir que y tome va­ lores puramente imaginarios en lugar de reales. Entonces, t = iy sirve como una coordenada temporal para M2 • (Este es simplemente el caso 2-dimensional de lo que ya hemos hecho en § 1 8. 1 .) Consideremos ahora coordenadas po lares (r, fJ) para IE2, en lugar de coordenadas carte­ sianas (x, y) ; véanse § 5 . 1 y la Fig. 30.Sa. El número real no negativo r mide la distancia al origen y el ángulo real (} da el ángulo entre el ra­ dio vector y el eje x, medido en sentido contrario a las agujas del reloj . ¿Cómo s e extienden entonces estas coordenadas a nuestra sección lo­ rentziana M 2 ? Con tal de que restrinjamos la atención al cuadrante de­ recho M R , como se indica en la Fig. 30.Sb, la cantidad r sigue siendo real y no negativa, pero (} es ahora puramente imaginaria, de modo que 1 109

EL CAMINO A LA REALIDAD

§30.5

tw112

(a)

(b)

Fig. 30.5. Periodicidad en el tiempo imaginario, ilustrada por el 2-espacio de Min­ kowski MJ2, complexificado a ICM2 = ICIE2• (a) El plano euclídeo M2 es una sección real del espacio complejo ICM2. El vector de Killing al a(J genera rotaciones en IE2, donde tomamos coordenadas polares (r, B). Cualquier función que es univaluada en IE2 debe ser periódica en 8 con período 21T. (b) En la sección real lorentziana M2 de ICM2, la coordenada temporal de «Rindler» (aceleración uniforme) es T = i8 (un análogo del tiempo de Schwarzschild que es natural para un agujero negro), y una función que es analítica en el origen O debe tener un período imaginario en T, con período 2iri. (Vector de Killing K = a1a-r = -ia!a8.)

T = iO e s real. L a coordenada r mide ahora l a distancia espacial lorentziana al origen, y T es el «ángulo hiperbólico a partir de la horizontal». r3o .4J Vamos a interpretar que la coordenada T (multiplícada por una constante r0) mide el «tiempo» en el sentido espaciotemporal ordinario para un observador (en esta geometría espaciotemporal plana 2-di­ mensional) que «acelera uniformemente» alejándose del centro y cuya línea de universo está dada por r = ro - («Coordenadas de Rindler».) 1 2 Se considera que el propio espaciotiempo es el M 2 entero, pese al hecho de que el «tiempo» del observador se aplica solo al cuadrante M R. Su­ pongamos que el observador está interesado en cantidades analíticas definidas sobre M 2 • Tales cantidades tendrán una extensión holomorfa a la complexificación del espaciotiempo (véanse §7.4 y § 1 2.9), pero esto solo puede garantizarse para un entorno inmediato de la «sección � [30.4) Escriba estas coordenadas (r, T) en términos de las coordenadas cartesia­ no-lorentzianas (x, t); vea por qué la parte real de 8 se anula sobre M2• 1 1 10

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.5

real», lo que en este caso significa la sección lorentziana. Sin embargo, si una cantidad semejante es en realidad analítica en el origen O de esta sección, entonces también debe ser analítica en el origen de la sección euclídea (puesto que es exactamente el mismo punto O en cada caso) . Pero una cantidad que es suave en el origen euclídeo debe ser periódi­ ca en (), con período 21T, puesto que si incrementamos () en 21T (para algún valor radial pequeño r = e) , simplemente damos una vuelta alre­ dedor del origen para llegar exactamente al mismo punto del que hemos partido. De ello se sigue que la cantidad T referida a las coorde­ nadas espaciotemporales lorentzianas originales tiene un período imagi­ nario de 21Ti en T (complexificado). Esta es la base del argumento de Gibbons-Perry que ahora aplica­ mos a la geometría 4-espacial entera del aguj ero negro en lugar de a nuestro espaciotiempo simplificado 2-dimensional M 2 • La geometría relevante es ahora la de Schwarzschild (para el caso esféricamente si­ métrico y sin rotación, pero también podemos utilizar la de Kerr para un agujero en rotación) . Para que el argumento funcione necesitamos un análogo del origen O en M 2 .Vemos esto en la Fig. 30.6a, donde he pre­ sentado un diagrama conforme estricto para lo que se conoce como un espaciotiempo de Schwarzschild «máximamente extendido» K. 1 3 El espaciotiempo K se denomina a veces un «agujero negro eterno» por­ que no fue creado a partir de un colapso gravitatorio, sino que estuvo «siempre allí». El punto central O del diagrama representa una 2-esfera, de acuerdo con las convenciones de los diagramas conformes estrictos. K es el análogo de M 2 , pero también necesitamos un análogo del espa­ cio euclídeo IE2. Hay un espacio semejante, conocido a veces como el espacio de Schwarzschild «euclidianizado» Q (y en ocasiones llamado incluso un «espacio euclídeo», ¡lo que me sorprende por ser tan confu­ so!), donde el «tiempo» 1 4 de Schwarzschild T en K toma valores pura­ mente imaginarios T = i{3() en Q, siendo () la coordenada angular en Q que se incrementa en 21T cada vez que se da una vuelta alrededor de O en una dirección positiva (Fig. 30.6b) , y donde f3 es un número real (constante, a r constante) denominado «gravedad superficial». Cual­ quier cantidad que es regular (i.e. , analítica) en O en K debe también ser regular en O en Q (puesto que este es exactamente el mismo lugar « Ü», en el espacio de Schwarzschild complexificado, para cada una 1111

EL CAMINO A LA REALIDAD

§30.5

. .. ..

.

.

- � e,,' .

·. .

.

.

.

.·,·, ... ... 'T

o:: . �... .·· ·· . .. . · .. . · ·· ·

.·

-

o

..

/

/

B

(b)

(a)

Fig. 30.6. Temperatura de Hawking a partir de una periodicidad en el tiempo imagi­ nario (argumento de Gibbons-Perry). (a) Diagrama conforme estricto para un «aguje­ ro negro eterno», que es el espaciotiempo de Schwarzschild «máximamente extendi­ do» /C, con tiempo de Schwarzschild T y vector de Killing IC = ()/o T. El punto central O representa una 2-esfera. (b) El espacio de Schwarzschild «euclidianizado» Q, cerca de O, tiene una coordenada angular real O, de modo que el «tiempo» T toma valores pu­ ramente imaginarios T = i{30, siendo el número real constante {3 la «gravedad de su­ perficie» del agujero. Aquí (] aumenta en 2'1T cuando rodeamos O una vez, de modo que cualquier función sobre /C, analítica en O (y que se extiende a (i), tiene período 2'1T en (], i.e., período 2'1Tif3 en T (cerca de O), donde f3 debe interpretarse como la temperatura de Hawking del agujero negro.

de las dos secciones reales K y Q') . Al ser regular en O en Q, una cantidad semejante debe ser periódica, con período 27ri{3 en T, porque (J es una coordenada angular ordinaria que cuando se incrementa en 27r(= 360°) simplemente nos devuelve al mismo lugar en el espacio (tiempo) del que hemos partido. Esta p eriodicidad imaginaria es característica de un «estado térmico de temperatura {3» de acuerdo con los principios de la termodinámica estadística. No es mi propósito aquí discutir estos principios termodinámicos. Esto nos llevaría demasiado lejos. El único punto de interés es si pode­ mos confiar en el razonamiento para esta periodicidad compleja. De­ pende de tomar en serio la región O. ¿Está esto j ustificado? No está claro ni mucho menos. Para un aguj ero negro físico real, toda esa ima­ gen «eterna» no es ciertamente adecuada. Un agujero físico tendría que haber sido creado a partir de un colapso gravitatorio (por ejemplo, de una estrella supermasiva o un cúmulo de material en un centro galác­ tico) , a menos que fuera en cierto sentido una creación «primordial» del propio big bang. Incluso un aguj ero primordial -un aguj ero ne­ gro antes que su inverso temporal, a saber, un agujero blanco-- seguiría representando en cierto sentido un «colapso» y, ya fuera negro o blan1 1 12

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.5

co, no está bien descrito por el modelo completo de la Fig. 30.6a. Sin embargo, cierta parte exterior de este modelo es apropiada para la des­ cripción de un colapso a un agujero negro, a saber, esa parte de la Fig. 30.7 que está por encima y a la derecha de la línea fronteriza exterior indicada del material real que sufre el colapso. Por debaj o y a la iz­ quierda de esta frontera, la métrica espaciotemporal sería la de la mate­ ria, y sería diferente de la del agujero negro eterno. El colapso com­ pleto se esboza en la Fig. 30.7, lo que equivale a un ligero redibujado de la Fig. 27. 1 6c. Notemos ahora que O está siempre fuera de la región donde se aplica la métrica de Schwarzschild (extendida) . Parece que no hay ninguna justificación fisica para suponer que las cantidades fisicas definidas en el espaciotiempo real tienen una regularidad en O, y es di­ ficil ver por qué el argumento proporciona una justificación real para la temperatura de Hawking, pese a su elegancia matemática. (Cualquier modelo fisicamente realista de un agujero negro presentaría desviacio­ nes de la métrica de Schwarzschild -o de la de Kerr- exacta, y cabe esperar razonablemente que dichas desviaciones se hagan cada vez ma­ yores, divergiendo finalmente a infinito cuanto más próximos a «Ü» nos extendamos.) 13º · 51 Pero el modelo exacto de agujero negro estacionario representa el límite final de un colapso realista, donde se considera que todas las irregularidades se alisan a medida que avanza el tiempo. Es el espacio­ tiempo limitante el que tiene esta regularidad, y por consiguiente la periodicidad compleja requerida y, con ella, la temperatura requerida. Aunque no veo cómo se puede considerar este argumento como una derivación fisica real de la temperatura de Hawking (a pesar de que nor­ malmente se toma así) , lo cierto es que proporciona un «fuerte indicio» de una consistencia interna oculta de la idea global de esta «tempera­ tura de aguj ero negro». En esta tesitura, no puedo resistirme a hacer una comparación con otra observación, que se debe originalmente a Brandon Carter, que en un contexto diferente tiene una similaridad importante con el argu­ mento que se acaba de dar, aunque nunca se ha presentado como una Tm. (30.5] Vea si puede dar un argumento que justifique esta afirmación. Sugerencia: Considere pequeñas perturbaciones lineales. ¿Espera un comportamiento exponencial en el tiempo? (Considere modos propios de a!aT.) 1 1 13

§30.5

/ '

/ '

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 30.7. Una historia de colapso gravita­ torio esférico -un ligero redibujado de la Fig. 27 . 16c- representada en términos del espaciotiempo de Schwarzschild maximal K de la Fig. 30.6a. La región sombreada con líneas inclinadas debe ser borrada y en la sombreada con puntos la métrica difiere de la de K, debido a la presencia de mate­ ria. Nótese que O está siempre fuera de la región donde se aplica la métrica de K.

/

'

«derivación» de nada. Recordemos que un agujero negro estacionario libre de carga está descrito por los dos parámetros de Kerr m y a, don­ de m es la masa del agujero y am es su momento angular (y donde por c onveniencia escoj o unidades para las que e = G = 1 , tales como las unidades de Planck, como en §27 . 1 0) . Una generalización de la métri­ ca de Kerr encontrada por Ezra T. Newman 15 (normalmente conocida como la métrica de Kerr-Newman) representa un agujero estacionario en rotación y eléctricamente cargado. Ahora tenemos tres paráme­ tros: m, a y e. La masa y el momento angular son los de antes, pero aho­ ra hay una carga eléctrica total e. También hay un momento magnéti­ co M = ae, cuya dirección coincide con la del momento angular. Carter notó que la razón giromagnética (dos veces la masa por el mo­ mento magnético dividido por el producto de la carga por el momento angular, que para un agujero negro cargado es (2m X ae) / (e X am) = 2), que está completamente fijada para un agujero negro (i.e. , independiente de m, a y e) , toma precisamente el valor que Dirac predijo originalmente para el electrón, a saber 2 (pues para el electrón de Dirac el momento

�

�

angular es h y el momento magnético es he/ me, lo que de nuevo da una razón giromagnética 2, tomando e = 1 ) . Véase §24.7 . Newman (2001) ha ofrecido una interpretación de esta «coincidencia» en térmi­ nos de un desplazamiento en una dirección compleja en el espacio. ¿Podemos considerar que este argumento proporciona una deduc­ ción de la razón giromagnética del electrón con independencia del argumento original de Dirac? Ciertamente no lo hace, en ningún sen­ tido ordinario del término «deducción». S olo podría aplicarse si un 1 1 14

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.6

electrón pudiera considerarse en cierto sentido como un «aguj ero ne­ gro». De hecho, los valores reales para los parámetros a, m y e, en el caso de un electrón, violan flagrantemente una desigualdad

que es necesaria para que la correspondiente métrica de Kerr-New­ man pueda representar un agujero negro. Por ello, este argumento está muy lejos de ser una deducción real de la razón giromagnética del electrón. Pese a todo, se parece algo al argumento de Gibbons-Perry para una temperatura de agujero negro en cuanto que revela cierta «naturalidad» de este valor por vía de extensiones a lo complejo. 1 6 El argumento de Gibbons-Perry tiene a su favor el punto adicional de que no está limitado a la mera consideración de la familia Schwarzs­ child/Kerr de métricas espaciotemporales. De todas formas, en mi opinión, esto dificilmente j ustifi c a su aceptación común como una deducción real.

30.6. VECTORES DE KILLING, FLUJO DE ENERGÍA . . .

jY VIAJE EN EL TIEMPO!

El «agujero negro eterno» ha llamado con frecuencia la atención de la gente por otras razones, pese al hecho de que tiene algunas curiosas propiedades globales que dificultan que se tome como modelo de un universo fisicamente aceptable. Aunque varias de estas razones podrían pertenecer más al ámbito de la ciencia ficción que al de la realidad, el agujero negro eterno tiene un valor geométrico para nosotros, pues ilustra aspectos matemáticos interesantes que serán importantes en §§30. 7, 1 0.Vemos que tiene dos infinitos nulos pasados distintos ( .Y- y 5-') y dos infinitos nulos futuros distintos ( J+ y J+'). A menudo se considera que este espaciotiempo representa una evolución temporal de dos universos diferentes que han llegado a conectarse por un «agu­ j ero de gusano» que posteriormente «se estrangula» dando una singu­ laridad; véase la Fig. 30.8. Con respecto a cada una de las dos regiones «externas», parecería que este universo contiene un agujero negro, pero el agujero negro es 1 1 15

§30.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

Singularidad (b)

Fig. 30.8. El espaciotiempo K visto globalmente como un 3-espacio «en evolución temporal» que representa un «agujero de gusano» que conecta dos regiones asintótica­ mente planas. El agujero de gusano se estrangula de una manera singular, tanto en el futuro como en el pasado. Cualquier viajero espacial que se proponga atravesar el agu­ jero de gusano desde una región a la otra no puede pasar antes de que «se estrangule» como se pone de manifiesto a partir del diagrama conforme, puesto que esto exigiría que la línea de universo del viajero tenga una porción de género espacio (superlumí­ nica), la cual se muestra punteada.

singular en el sentido de que al mismo tiempo es también un «agujero blanco». Pueden escapar señales hacia cada universo externo E y E' desde la región interna p asada S- (comportamiento de «agujero blan­ co») igual que es posible que se propaguen señales a la región inter­ na futura B+ desde cada universo externo E y E' (comportamiento de «agujero negro») . El hecho de que el espaciotiempo es estacionario se expresa en la existencia de un vector de Killing K (véanse § 1 4.7, § 1 9 . 5 y §30.4) . H e esbozado este vector d e Killing e n l a Fig. 30.9. Notemos que el vector de Killing es de género tiempo en las dos regiones exter­ nas E, E' , pero es de género espacio en las regiones internas S-, B+. La naturaleza de género tiempo de K en las regiones externas significa que K expresa la estacionariedad del agujero blanco/negro. Una familia de observadores en E, cuyas líneas de universo son tangentes al vector de Killing K del campo, percibirá un universo que no cambia. Lo mismo se aplica a E' . Sin embargo, la familia de observadores en E' con esta propiedad debe aplicar estas consideraciones al vector de Killing -K, en lugar de a K, porque necesitamos mantener las distinciones futuro/pa­ sado consistentes para observadores locales a lo largo del espaciotiem­ po. En cierto sentido, la «dirección temporal» se ha invertido cuando 1 1 16

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.6

Fig. 30.9. El vector de Killing IC es de género tiempo en las dos regiones exter­ nas [ y [' , pero de género espacio en las regiones internas B y B'. Comparando IC en [ y [', observamos que invierte la orientación temporal, de modo que el concepto de densidad de energía con­ servada T,b K' invierte su signo.

pasamos de E a E' . La magnitud densidad de energía conservada (§ 1 9.5) b obtenida a partir de la contracción T0b K del tensor energía-momento con el vector de Killing K proporciona una densidad de energía posi­ tiva (para materia normal) en E, pero una densidad negativa para mate­ ria normal en E' (puesto que K apunta hacia el pasado en E' , y -K es ahora el vector de Killing ordinario que expresa la estacionariedad) . Esto no es exactamente una contradicción, pero ilustra la extraña na­ turaleza del espaciotiempo en consideración. De hecho, no es posible para un observador físico «pasar» real­ mente de E a E' , pues ello implicaría una «línea de universo» que no es de género tiempo en todo lugar (Fig. 30.8). D e todas formas, a me­ nudo los teóricos intentan evitar este hecho, tratando de modificar el espaciotiempo de alguna forma aparentemente «menor». Sus razones proceden de una intención (en mi opinión, equivocada) de demostrar que se podría conseguir un tipo de viaj e entre universos a través de un «agujero de gusano» -o (con una ligera modificación de la imagen, como en la Fig. 3 0 . 1 O) de una región del espacio tiempo a otra región distante- mediante alguna tecnología futura. Si una propuesta seme­ jante pudiera tener éxito, entonces abriría la posibilidad de una forma de viaje espacial en la que se trascienden las limitaciones normales de la relatividad. En una auténtica línea S tar Trek, se concibe un procedi­ miento «impulsado por curvatura» que permite a la nave espacial via­ jar a través del aguj ero de gusano hasta una región lejana que podría incluso ser «anterior» a cuando la nave espacial entró en el aguj ero de gusano. Por extraño que pueda parecer, incluso profesionales de primera fila en relatividad general han tomado en consideración la posibilidad de tal «viaje en el tiempo». 17 Una razón seria para esto (al menos a veces) no 1 1 17

EL CAMINO A LA REALIDAD

§30.6

(b)

(a)

Fig. 30. 1 O. Una sugerencia de ciencia ficción para el viaje espacial superlunúnico ba­ sada en un espaciotiempo de agujero de gusano modificado. (a) «Identificando» partes distantes de las dos regiones espaciales externas de la Fig. 30.8, se obtiene un agujero de gusano que conecta regiones distantes del mismo espacio, pero atravesar de nuevo el agujero de gusano desde una a la otra no puede conseguirse por una curva de géne­ ro tiempo. (b) Para que esto sea posible, se necesitaría algo similar a la versión «estira­ da» de K, representada aquí (pero semejante modelo requiere densidades de energía negativas.

es tanto la posibilidad de que un viaje en el tiempo pudiera ser real­ mente factible dentro de los límites de la física actual (o imaginable) como el que podríamos aprender algo del hecho de que físicamente no debería serlo. f3° 6l En la «descripción espacial» dada en la Fig. 30.8, el agujero de gusano «se estrangula hasta un tamaño cero» antes de que el viajero espacial pueda atravesarlo. No obstante, se contempla la posibili­ dad de que pudiera ser factible, dentro de los límites de la teoría, «man­ tener abierto el agujero de gusano» el tiempo suficiente para que el via­ jero pase al otro lado, si se admiten densidades de energía negativas. Tales densidades de energía negativa se consideran normalmente prohi­ bidas en la teoría clásica, pero podrían ser admitidas bajo circunstancias especiales en la teoría cuántica de campos apropiada. ¿Realmente esperan los físicos relativistas que estas fantasiosas con­ sideraciones podrían llevarnos a una idea de «impulso por curvatura», con la que podría conseguirse viajar a una parte distante del universo a través de dicho agujero de gusano apoyado en QFT? Imagino que muy pocos. 1 8 Parece que una cuestión más seria es que estas consideracioB_ [30.6) Explique por qué, de acuerdo con los principios de la relatividad general,

la posibilidad de viajar entre sucesos p y q, con separación de género tiempo, impli­ ca la posibilidad de viajar de p a un suceso en el pasado directo de p, en una línea de universo de género tiempo que pasa por p. 1118

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30.7

nes podrían proporcionar un «test» para ideas en gravedad cuántica. Si dichas ideas en QFT sí permiten realmente «mantenerlo abierto», en­ tonces esto podría tomarse como una mala señal para esas ideas con­ cretas acerca de la gravedad cuántica, y hay que replantearlas. De esta forma, se podría obtener una guía útil respecto a la plausibilidad de la teoría en consideración. (Al menos esta es mi propia lectura de tales propuestas. Quizá esté adoptando una posición demasiado «generosa» sobre esto, y más teóricos de los que yo imagino están pensando en realidad que ¡hay que tomar en serio dicho «impulso por curvatura»!)

30. 7. FLUJO DE ENERGÍA SALIENTE DE ÓRBITAS

DE ENERGÍA NEGATIVA Me he desviado demasiado de la tarea que tenía entre manos, que era considerar las implicaciones de la temperatura de Hawking de un agu­ jero negro. ¿Podemos ver a partir de razones más fisicas por qué, en el contexto de la mecánica cuántica, un agujero negro debería emitir ra­ diación de acuerdo con que tiene una temperatura no nula? De hecho, Hawking también proporcionó una derivación «intuitiva» de la pre­ sencia de esta radiación de Hawking. Esta se ilustra en la Fig. 30. 1 1 . En la vecindad del horizonte del agujero se están creando continuamente pares virtuales partícula-antipartícula a partir del vacío, solo para ani­ quilarse mutuamente en un período de tiempo muy corto. (Este es el proceso que se ha considerado en §26.9, e ilustrado en las Figs. 26.9 y 26. 1 0.) Sin embargo, la presencia de un aguj ero negro modifica esta actividad, porque de vez en cuando una de las partículas del par cae en el agujero y la otra escapa. Esto solo puede suceder cuando la partícu­ la que escapa se convierte en una partícula real (i.e., «sobre la capa de masas», en oposición a la partícula virtual de partida «fuera de la capa»; véanse §26.8 y la Fig. 26.6) , y por consiguiente la partícula que escapa debe tener energía positiva, de modo que (por la conservación de la energía) la partícula que cae en el agujero tiene que convertirse en una partícula real con energía negativa (siendo evaluadas dichas energías a partir del infinito) . De hecho, energías negativas pueden darse para par­ tículas reales dentro del agujero negro. Esta posibilidad surge porque el 1 1 19

§30.7

� {t (a)

EL CAMINO A LA REALIDAD

(b)

Fig. 30. 1 1 . Deducción «intuitiva» de Haw­ king de la radiación de Hawking. (a) Lejos del agujero se están produciendo continuamente pares virtuales partícula-antipartícula a partir del vacío, pero luego se aniquilan en un tiem­ po muy corto (véase la Fig. 26.9a). (b) Muy cerca del horizonte del agujero podemos ima­ ginar que un miembro del par cae en el agu­ jero, y el otro escapa al infinito externo. Por ello, ambas partículas virtuales se hacen reales, y la conservación de la energía exige que las partículas entrantes tengan energía negativa. Esto es posible porque el vector de Killing K se hace de género espacio dentro del horizon­ te. (Si K' es de género espacio, la energía con­ servada p,K' puede ser negativa, donde p, es el 4-momento de la partícula.)

vector de Killing Kª se convierte en un vector de género espacio en la región interior B+ y un 4-momento P , de género tiempo que apunta al futuro puede tener un producto escalar negativo p ,Kª, siendo esto la energía (conservada) de la partícula; véase la Fig. 30. 1 lb. [3º·7l El proce­ so de Hawking ocurre porque una partícula real (en oposición a vir­ tual) puede tener energía negativa si está dentro del horizonte de su­ cesos del agujero. La compañera real de dicha partícula tiene que tener energía positiva, de modo que puede salir energía positiva del agujero. En este punto vale la pena comentar que algo muy similar sucede en la teoría de los agujeros negros clásicos cuando el aguj ero está en ro­ tación. Y en contraste con el caso de la radiación de Hawking, para el que la emisión de energía por agujeros negros de tamaño plausible es ridículamente pequeña -y cuyo interés es puramente teórico-, lo que sucede con un aguj ero clásico en rotación parece tener enormes implicaciones astrofísicas. De hecho, las más potentes fuentes de ener­ gía conocidas en el universo (cuásares y radiogalaxias) parecen estar ali­ mentadas por la energía rotacional de enormes agujeros negros. El proceso tiene similitud con el que conduce a la radiación de � [30.7] Explique cómo un K' puede dar un valor de «energía» negativo p,K'. 1 120

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

(')(@ = E l x>. in ª 1�> = E ¡ cp), 1 132

EL PAPEL Dr. ;,f\ C'.1.AVEDAD

§30. 1 0

(Fig. 30.20. El «gato» de Schrodinger de la Fig. 29.7, pero ahora la superposición cuántica resultante es entre dos localizaciones ligeramente diferentes de un bulto de materia.

que nos dan sendos autoestados de la energía, con el mismo autovalor E para la energía. Si la superposición se representa como el estado J 1/1) = w J x) + z j .

En la situación actual no estamos tan mal, porque estamos conside­ rando la cuestión de «estados estacionarios», de modo que al menos debemos tener un espaciotiempo de fondo que es en sí mismo esta­ cionario. De hecho, consideramos que el campo de la Tierra es esta­ cionario. Como hemos visto (§§30.4,6, Fig. 30.3) , un espaciotiempo estacionario se caracteriza por la existencia de un vector de Kílling K de género tiempo. ¿ Cómo interviene este vector de campo concreto en la discusión? Nuestro espaciotiempo es estacionario en el sentido de ser «independiente de t», lo que nos dice que simplemente podemos hacer el reemplazamiento (Fig. 30.21) en las fórmulas anteriores a K at � . Puede plantearse una cuestión de un factor de escala global constan­ te, pero esto no es muy importante aquí para nosotros. La forma habitual de fij ar este factor global es exigir que K se convierta en un desplaza­ miento temporal «ordinario» a grandes distancias, donde se considera que el campo gravitatorio decae a cero. Sin embargo, localmente la magnitud de K puede cambiar de un lugar a otro, de una forma que tiene en cuenta los efectos de «frenado de reloj» del campo gravitato1 134

EL PAPEL DE LA GRAVEDAD

§30. 10

rio de la Tierra (§ 1 9 .8) . 13º· 1 01 Puesto que K está tomando ahora el papel de a! a t, nuestras ecuaciones de Schrodinger estacionarias individuales son ilíK J X) = E J x) , ilíK J cp) = E J cp), e, igual que antes, deducimos que para cualquier superposición J 1/1') se­ guimos teniendo ilíK j 1/1') = E J 1/1') . Así pues, l a presencia de u n campo gravitatorio estacionario como fondo no altera el hecho de que cualquier superposición cuántica de los dos estados estacionarios IX y J cp) es en sí misma estacionaria. Pero veamos ahora lo que sucede cuando tenemos en cuenta el p ro­ p io campo gravitatorio del bulto. Si consideramos cada uno de los es­ tados J X y J cp) por separado, entonces parece que no tenemos ningún problema real. Por supuesto, cada uno de los J X y J cp) es un estado cuántico y, en ausencia de una teoría cuántica de la gravedad aceptada, no podemos saber cómo tratar su campo gravitatorio. Pero no impor­ ta realmente el hecho de que no sepamos cómo hacer esto en detalle. El punto de vista convencional afirmaría que la teoría cuántica de la gravedad correcta puede acomodar cosas que se parecen a bultos clási­ cos de material con campos gravitatorios que están descritos de forma muy precisa de acuerdo con los principios de la relatividad general clá­ sica de Einstein, aunque no con toda exactitud. (En mi opinión, la va­ lidez de este «punto de vista convencional» podría cuestionarse, pero si creemos las hipótesis gemelas estándar -que no es necesario cambiar el formalismo cuántico, y también que la relatividad general clásica es válida para cuerpos macroscópicos-, entonces debemos aceptarlo. Después de todo, la naturaleza del argumento consiste en explorar los límites de compatibilidad de estas dos suposiciones.) Por consiguien­ te, debería haber un estado cuántico J x) y un estado cuántico J cp) que

!!!J. [30.1 O] Vea si puede dar una explicación de esto utilizando la ley de conservación que proporciona un vector de Killing K, como se describe en §30.6 y teniendo en cuenta el hecho de que la norma KªKª puede diferir de la unidad en la vecindad de un cuerpo gravitan te, incluso si está normalizada a la unidad a grandes distancias del cuer­ po. ¿Cómo afecta esto a la medida del tiempo? 1 1 35

§30.1 1

EL CAMINO A LA REALIDAD

describan muy aproximadamente el bulto de material, situado en la plataforma horizontal en la Tierra, en cada una de sus dos posiciones separadas, y donde cada copia del bulto esté acompañada por su cam­ po gravitatorio einsteiniano clásico. 32 Puesto que cada uno de estos dos estados de posición del bulto se considera estacionario en su espacio­ tiempo acompañante, cada uno tendrá su respectivo vector de Killing asociado, 33 Kx y IC'P, y satisfará su ecuación de Schrodinger apropiada con valor propio E:

En la situación anterior, cuando ignorábamos los campos gravita­ torios de los bultos, éramos capaces de escribir la ecuación de Schro­ dinger para cualquier superposición w J x) + z J lf+ representa partículas sin masa de helicidad positiva y !fl>lf- representa partículas sin masa de helicidad negativa; véase la Fig. 33.6. Sin embargo, no sería co­ rrecto pensar en los twistores como partículas sin masa. En su lugar, los twistores proporcionan las variables en cuyos términos deben expre­ sarse las partículas sin masa. (Esto es comparable al uso ordinario de un 3-vector de posición x para etiquetar un punto en el espacio. Aunque una partícula podría ocupar el punto etiquetado por x, no sería co­ rrecto identificar la partícula con el vector x. ) La perspectiva twistorial nos lleva a una visión del «espaciotiempo cuantizado» muy diferente de la que se suele proponer. Un punto de vista bastante «convencional» sostiene que los procedimientos de la teoría (cuántica) de campos deben aplicarse al tensor métrico gab' con­ siderado este como un campo tensorial en (la variedad de) el espacio­ tiempo. Se expresa la idea de que la métrica cuantizada mostrará aspectos de «borrosidad» debido al principio de incertidumbre de Heisenberg. Se nos presenta la imagen de cierto tipo de espacio tetradimensional que posee una «métrica borrosa», de modo que, en particular, los conos nulos -y en consecuencia, la noción de causalidad- quedan sujetos a «incertidumbres cuánticas» (véase la Fig. 33.7a) . Por consiguiente, no hay una noción clásicamente bien definida acerca de si un vector del espaciotiempo es de género espacio, de género tiempo o nulo. Esta cuestión ha planteado dificultades fundamentales para cualquier «teo­ ría cuántica de la gravedad» demasiado convencional, pues una carac1 293

§33.2

EL CAMINO A LA REALIDAD

(b)

(a)

Fig. 33.7. (a) Con respecto a la posible naturaleza de un «espaciotiempo cuantizado», ha sido un punto de vista común que debería ser un tipo de espaciotiempo con una métrica «borrosa», que lleva a una especie de cono de luz «borroso», donde la noción de dirección en un punto, ya sea nula, de género tiempo o de género espacio, estaría sujeta a incertidumbres cuánticas. (b) Una perspectiva más «twistorial» sería tomar el espacio twistorial (en este caso IP'N) para retener un tipo de existencia (de modo que seguiría habiendo rayos de luz), pero la condición de su intersección estaría ahora so­ metida a incertidumbres cuánticas. Por consiguiente, la que ahora se haría borrosa es la noción de «punto espaciotemporal».

terística básica de la QFT es que los requisitos de causalidad exigen la conmutación de los operadores de campo definidos en sucesos con se­ paración de género espacio (§26. 1 1) . Si la propia noción de «de géne­ ro espacio» está suj eta a incertidumbres cuánticas (o se ha convertido en una noción cuántica) , entonces los métodos estándar de la QFT -que implican la especificación de relaciones de conmutación para operadores de campo (§§26.2,3)- no pueden aplicarse directa­ mente. La teoría de twistores sugiere una imagen muy diferente. Aho­ ra, cualesquiera que sean los procedimientos de «cuantizacióm adecua­ dos, deben ser aplicados dentro de un espacio twistorial y no dentro del espaciotiempo (como hubiera sido el punto de vista «convencio­ nal») . De forma análoga a como en la aproximación convencional los «sucesos» quedan intactos mientras que los «conos de luz» se hacen bo­ rrosos, en una aproximación basada en twistores son ahora los «rayos de luz» los que quedan intactos mientras que los «sucesos» se hacen bo­ rrosos (véase la Fig. 33.7b) . Como acabamos de ver, la teoría de twistores, explota inicialmen­ te una manifestación de la magia de los números complej os diferente de las que se encuentran en la teoría cuántica, a saber, la característica clasica de la geometría espaciotemporal por la que la esfera celeste pue­ de considerarse como una esfera de Riemann, que es una variedad 1 294

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.2

compleja 1 -dimensional. La idea es que esto nos ofrece indicios res­ pecto al esquema real de cosas de la naturaleza, que en definitiva debe unificar la estructura espaciotemporal con los procedimientos de la mecánica cuántica. Hay que decir que esta característica de la geome­ tría espaciotemporal es específica de la dimensión y la signatura con­ cretas que nuestro espaciotiempo posee realmente. En realidad, el hecho de que la esfera de Riemann desempeñe un papel importante como esfera celeste en la teoría de la relatividad (§ 1 8.5) requiere que el espa­ ciotiempo sea 4-dimensional y lorentziano, en abierto contraste con las ideas subyacentes en la teoría de supercuerdas y otros esquemas de tipo Kaluza-Klein. La magia compleja de la teoría de twistores es muy es­ pecífica de la geometría espaciotemporal 4-dimensional de la teoría de la relatividad (especial) ordinaria, y no tiene la misma relación estrecha con la «geometría espaciotemporal» de dimensiones más altas (véase §33.4 infra). Para i r más lejos, volvamos a l a imagen d e l a red d e espín pura ori­ ginal, y recordemos que su carencia principal era que no había ningu­ na referencia al desplazamiento espacial. En dicha teoría, los ángulos euclídeos surgen como una especie de «límite geométrico» de la teoría de red de espín pura; pese a todo, en esta teoría no aparecen distancias. En el esquema de variables de lazo, el aspecto de «distancia» de las co­ sas es abordado por los números (n = 2;) en las líneas que se refieren al área antes que al espín. Pero esto es diferente de la interpretación de la teoría de redes de espín original, donde no hay medida de distancia porque el espín es momento angular, que tiene que ver meramente con rotaciones y ángulos. Para poder incorporar desplazamientos tras­ lacionales y distancias reales necesitaríamos un papel correspondiente para el momento lineal en la teoría. Por consiguiente, parece que nece­ sitamos pasar del grupo de rotación al grupo completo de movimien­ tos euclídeos y, para un esquema propiamente relativista, al grupo de Poincaré (§ 1 8 . 1 2) . 17 A finales de la década de 1 950 y principios de la de 1 960, cuando me dedicaba activamente a este tema, todavía no se había desarrollado la teoría de las variables de lazo, y contemplaba una generalización de las redes de espín en la que el grupo de Poincaré participa directamente. Sin embargo, me preocupaba un aspecto incómodo del grupo de Poin1295

§33.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

caré -que no es semisimple (véase § 1 3.7)- que tiene desagradables implicaciones con respecto a sus representaciones. En aquella época, te­ nía la idea de que una extensión del grupo de Poincaré a lo que se co­ noce como el grupo conforme (que sí es semisimple) podría constituir el análogo relevante de la teoría de redes de espín en una estructura más satisfactoria matemáticamente. El grupo conforme amplía el grupo de Poincaré exigiendo meramente que se conserven los conos de luz, an­ tes que la métrica del espacio de Minkowski. De hecho, resulta que el grupo conforme tiene un papel importante en la teoría de twistores, pues es también el grupo de simetría del espacio IPl\I de los rayos de luz (idealizados) . (La parte no reflexiva del grupo conforme es también el grupo de simetría de cada uno de los espacios [plf + y IPlf-, antes men­ cionados, que describen partículas sin masa con helicidad y energía.) En las dos secciones siguientes veremos de forma más explícita cuál es el papel de este grupo.

33.3. EL GRUPO CONFORME; EL ESPACIO DE MINKOWSKI

COMPACTIFICADO

Antes me he referido al grupo conforme del espaciotiempo. Tratemos de explorar un poco más en detalle el papel de este grupo. Tiene una importancia especial en fisica en relación con los campos sin masa (por ejemplo, el campo de Maxwell) , pues resulta que las ecuaciones de campo para los campos sin masa son invariantes bajo este grupo más grande, y no meramente bajo el grupo de Poincaré. 1 8 Se puede adop­ tar la postura de que en el nivel más fundamental las partículas/campos sin masa son los ingredientes básicos, siendo la masa algo que entra en una etapa posterior. De hecho, este parece ser el punto de vista implí­ cito en el modelo estándar, descrito en el capítulo 25, en el que la masa se introduce por medio del bosón de Higgs y se considera que surge solo a través de un mecanismo de ruptura de simetría (§25. 5) . Sea como fuere, una de las importantes motivaciones subyacentes tras la teoría de twistores fue en realidad una creencia en la importancia bási­ ca de los campos sin masa y el grupo conforme. Observaremos (§33.8) que las partículas y los campos sin masa tienen una descripción extra1 296

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33 . 3

Fig. 33.8. La estructura de conos nulos de una variedad lorentziana M es equivalente a su estructura conforme. Un reescalamien­ to conforme de M afecta a su métrica, pero no a sus propiedades de causalidad. (Una métrica g reescala conformemente a g' si g' = n2g, siendo el campo escalar n positivo en todas partes.) En circunstancias favora­ bles, dichos reescalamientos pueden ser úti­ les para «traer a la vista» singularidades y re­ giones infinitas.

ordinariamente concisa en la teoría de twistores, y este hecho consti­ tuye una de las piedras angulares de dicha teoría. ¿Qué es exactamente el grupo conforme? Estrictamente hablando, este grupo no actúa sobre el espacio de Minkowski M, sino sobre una ligera extensión de M conocida como espacio de Minkowski compacti­ ficado M # . El espacio M # es una variedad cerrada bellamente simétrica, que en muchos aspectos tiene una geometría más elegante que la del propio espacio de Minkowski. No obstante, no hay que pensar en él como «espaciotiempo real», sino como una conveniencia matemática. Es un útil intermediario para la comprensión de la geometría twisto­ rial y su relación con la geometría espaciotemporal física. Una imagen que no hay que olvidar es la esfera de Riemann y su relación con el plano complej o. Recordemos de §8.3 que la esfera de Riemann se obtiene a partir del plano complej o añadiendo a este un «elemento infinito», a saber, el punto etiquetado oo, y cuando lo hemos hecho obtenemos una estructura geométrica con una simetría mayor incluso que la del plano del que hemos partido. De manera similar, el «espacio de Minkowski compactificado» M # se obtiene a partir del es­ pacio de Minkowski ordinario M añadiéndole un «elemento infinito» que, esta vez, resulta ser un cono de luz en el infinito completo. El espa­ cio resultante tiene una simetría mayor (a saber, el grupo conforme) que el propio espacio de Minkowski. Veamos cómo funciona esto. El espacio M # resulta ser una variedad compacta real 4-dimensional con una métrica conforme lorentziana. Recordemos de §27 . 1 2 que una métrica conforme lorentziana es pre­ cisamente la familia de conos nulos especificados en el espacio. Esta es1297

§33.3

EL CAMINO A LA REALIDAD

tructura se expresa más comúnmente en términos de una clase de equi­ valencia de métricas, donde una métrica g se considera equivalente a una métrica g' si g' = D!-g para algún campo escalar [], que es positivo en todas partes. Este reescalamiento conserva, de hecho, los conos nu­ los (Fig. 33.8). Ahora, para pasar de M (considerada como una variedad conforme) a la variedad conforme compacta M # , añadimos la 3-super­ ficie ..Y a la que antes nos hemos referido como el «cono de luz en el infinito». Recordemos las 3-superficies _y- y _y+ (llamadas «scri me­ nos» y «scri más», respectivamente) que representan los infinitos nulos pasado y futuro del espacio de Minkowski (véase la Fig. 27. 1 6b) . Po­ demos construir M # identificando _y- con _y+ de la manera indicada en la Fig. 33.9. Un punto de _y- se considera el mismo que un punto co­ rrespondiente de _y+ que es espacialmente antípoda[ a él (sobre la 2-es­ fera que representan la mayoría de los puntos del diagrama) . El cono de luz de un punto a- sobre _y- se concentra de nuevo en el punto a+ so­ bre ..Y+, y son los puntos a_ y a+ los que deben identificarse. Además, los tres puntos que representan infinitos espaciales y temporales ¡-, ,-0 e ¡+ son también identificados como el punto único ¡_ l33·2l La variedad con­ forme M # tiene más simetría que el espacio de Minkowski, pues tiene un grupo de simetría 1 5-dimensional -el grupo conforme-- en lugar de meramente el grupo de Poincaré 1 O-dimensional. Existe una forma elegante de describir el espacio M # y su grupo de transformaciones. Consideremos el «cono de luz» K del origen O en un 6-espacio pseudoeuclídeo 1E2·4 con signatura + + - - - -. Escojamos coordenadas estándar w, t, x, y, z, v para [ 2.4 , de modo que K viene dado por la ecuación w2 + t2 - x2 - y2 - z2 - v2 = O, siendo la métrica ds2 de IE 2·4

ds2 = dw2 + dt2 - dx2 - dy2 - dz2 - dv2 . Esto es un «cono» 5-dimensional con vértice O. He hecho lo mel!J!j_ [33.2] Vea si puede describir con más detalle la geometría de MI# explicando la identificación punto a punto de _y+ con _y- en términos espaciotemporales ordinarios. ¿Puede ver por qué la topología de MI# es S 1 X S3? ¿Puede pensar en una diferencia im­ portante que ocurriría para un número impar de dimensiones espaciotemporales? 1298

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.3

(b)

(a)

Fig. 33.9. El espacio de Minkowski compactificado M # se obtiene a partir del espacio de Minkowski ordinario M añadiendo sus infinitos nulos futuro f+ y pasado 5- e identificándolos luego adecuadamente. (a) El cono de luz futuro de cualquier punto a­ en .Y- se concentra de nuevo en otro vértice a+ en f+ (siendo este «cono de luz» en términos ordin�ri0< simplemente la historia de un frente de onda plano que viaja a la velocidad de la luz), y a- debe indentificarse con a+. El infinito de género espacio iº y los infinitos pasado y futuro ¡- e ¡+ de género tiempo tienen que identificarse como un único punto. (b) Se muestra esta identificación 5, en términos del diagrama conforme estricto de la Fig. 27 . 1 6b, donde a- es anti poda! a a+ sobre la «52 de rotación» para el diagrama entero.

jor que he podido con él en la Fig. 33 . 1 0, pero uno de los aspectos principales en que la imagen resulta equívoca es el hecho de que lo que parecen ser dos «piezas» distintas de K («pasado» y «futuro») están conectadas realmente en «una pieza».l33·3l Consideremos ahora la sección de K por el 5-plano nulo w - v = 1 . Esta intersección es una 4-varie­ dad («paraboloide») cuya métrica intrínseca, inducida a partir de la de IE2,4 es l33.4J ds2 = dr - dx2 - dy2 - dz2. Reconocemos esto como la forma métrica del 4-espacio de Min­ kowski plano ordinario (§ 1 8 . 1) , de modo que podemos identificarla con M, incluso si está insertado de una forma «doblada» en IE2·4 (con la apariencia de una parábola en la Fig. 33 . 1 0) . ¿Cómo encontramos M# en esta imagen? Es el espacio abstracto de los generadores completos de K (líneas rectas que pasan por O y yacen en K, donde la recta comple­ ja que pasa por O en ambas direcciones cuenta como un único gene"ª [33.3] ¿Puede ver por qué? IB [33.4] ¿Por qué? 1299

EL CAMINO A LA REALIDAD

§33.3

Fig. 33.10. El espacio de Minkowski compactificado

M # puede identificarse como el espacio de generado­ res del «cono de luz» K., en un [E2.4 pseudoeuclídeo, dado por ul + t2 x2 - y2 - z2 - tl = O. La 4-varie­ dad sección «paraboloide» M de K. por el 5-plano -

nulo w - v = 1 tiene métrica intrínseca minkowskia­ na ds2 = dt2 - dx2 - dy2 - dz2• La familia de genera­ dores de K. en w v = O (no visible en este diagrama debido a la representación de solo una dimensión «temporal») son paralelas a w - v = 1 y no cortan a M, y estos generadores proporcionan los puntos de 5. -

rador) . Así, podemos considerar que cada punto de M# es simplemente un generador de K (Fig. 33. 1 0) , ¡de modo que M# es la «esfera celeste» para un «observador» situado en el origen de IE2•4 ! ¿Por qué funciona esto? Cada generador que no yace en el 5-pla­ no w v = O corta a M en un único punto, de modo que esta familia de generadores está en una correspondencia continua 1 -1 con M. Pero, además, están los generadores que yacen en este 5-plano. Estos suminis­ tran a M los puntos adicionales que constituyen .!7. El espacio M# d e­ finido de esta manera tiene una métrica lorentziana conforme que está proporcionada localmente por la de cualquier sección transversal local de K.133.sJ El grupo pseudoortogonal 0 (2, 4) que actúa sobre IE 2 •4 (véanse § 13.8 y §§ 1 8 . 1 ,2) consta de las «rotaciones» que conservan la métrica ds2 • Esto envía generadores de K a otros generadores de K, de modo que envía M# sobre sí mismo. Además, conserva la estructura conforme de M#_!33·5l Hay exactamente dos elementos de 0 (2, 4) que actúan como la identidad sobre M#, a saber, el propio elemento identidad de 0 (2, 4) y el elemento identidad negativo de 0 (2, 4) , que simplemente invierte la dirección de cada generador. Aparte de la naturaleza dos a uno de la correspondencia que surge de esta reversibilidad de las di-

rJl!J. [33.5] ¿Por qué la métrica conforme que proporciona una sección transversal cualquiera es la misma que la de cualquier otra? ¿Por qué los puntos de J, definidos de esta manera, coinciden con la definición dada antes? Sugerencia: Véanse §18.4 y la Fig. 1 8.9. � [33.6] ¿Por qué? Puede suponer el resultado del ejercicio [33.5]. 1 300

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.4

recciones de los generadores, 0(2, 4) es el grupo conforme. Incluye un subgrupo 1 0-dimensional que conserva el 5-plano w - v = O, y esto da el grupo de Poincaré de MJ. l33 ·7l De hecho, este argumento es tan solo una versión en dimensiones más altas del que hemos dado en § 1 8.5 cuan­ do mostrábamos que las transformaciones conformes de una esfera or­ dinaria (que es el plano euclídeo compactificado) proporcionan una realización del grupo de Lorentz 0(1 , 3); véase la Fig. 1 8.9. 33.4. Los TWISTORES COMO ESPINORES DE DIMENSIÓN SUPERIOR

¿Cómo encajan los twistores en todo esto? La forma más fácil (pero en absoluto la más transparente) de describir un twistor (en un espacio de Minkowski) es decir que es un espinar reducido (o medio espinar) para 0(2, 4) . (No hay que alarmarse por el laconismo matemático de esta descripción; ¡pronto daré una imagen mucho más fisica!) Véase § 1 1 .5 para una breve mención de la noción de un espinar reducido. Para un espacio 2n-dimensional, sobre el que actúa un grupo pseudoortogonal O(n - r, n + r), el espacio de espinares reducidos es 2" - 1-dimensional. En el caso presente, n = 3 (y r = 1 ) , así que tenemos un espacio 4-di­ mensional de espinares reducidos, conocido como espacio twistorial. 1 9 Por desgracia, con una definición como esta, no nos hacemos una imagen fisica o geométrica clara de cómo es un twistor. Además, vemos que debería existir una teoría de twistores para cualquier número par 2(n - 1) de dimensiones espaciotemporales, pese a lo que se ha dicho hacia el final de §33.2. Generalizamos la construcción anterior para K (tomándolo ahora de 2n - 1 dimensiones) y la compactificación del es­ paciotiempo de Minkowski 2(n - 1)-dimensional funciona de un modo exactamente análogo al que se ha dado antes, donde simple­ mente introducimos las dos nuevas coordenadas v y w, como antes, una con un signo menos en la métrica, y la otra con un signo más. El «es­ pacio twistorial» es ahora 2 2" - 1 -dimensional. Esto también funcionará para un número impar 2n - 1 de dimensiones espaciotemporales, salvo � [33.7] ¿Cuál es la condición explícita sobre una matriz (6 X 6) para que represen­ te un elemento infinitesimal de 0(2, 4)? ¿Cuál de estas matrices da transformaciones de Poincaré infinitesimales? 1301

§33 .4

EL CAMINO A LA REALIDAD

que ahora no tenemos la noción de espinares reducidos y es todo el espacio de espín 2"-dimensional el que tendría que contar como nues­ tros «twistores». Sin embargo, en el caso de dimensión impar se pierde una característica importante de los twistores, a saber, su naturaleza quiral (que discutiremos más en detalle en §§33.7, 1 2 , 1 4) . Solo cuando pasamos a los espacios de espín reducido conseguimos un formalismo esencialmente quiral (de modo que las entidades dextrógiras y levógi­ ras reciben descripciones twistoriales diferentes; véase §33.7) , y pode­ mos mantener la esperanza de que, en última instancia, puedan incor­ porarse los aspectos quirales de las interacciones débiles (§25 .3) . También veremos más adelante por qué esta definición general n-di­ mensional de un twistor carece de muchas de las propiedades físicas (y holomorfas) clave que hacen tan efectiva la teoría de twistores. Puesto que los twistores se refieren a un grupo activo de transfor­ maciones espaciotemporales (el grupo conforme) donde puntos del es­ paciotiempo son enviados a otros puntos del espaciotiempo bajo la ac­ ción del grupo, los twistores se ven como entidades que se refieren globalmente al espaciotiempo total, más que a puntos individuales en el espaciotiempo. Las cantidades locales tales como vectores, tensores o espinares ordinarios se refieren al grupo de simetría que actúa en un punto; véase § 1 4 . 1 (por ejemplo, el grupo de rotaciones o el grupo de Lorentz; § 1 3.8) . Aunque esto hace de los twistores algo más dificil de manejar que los vectores, tensores o espinares ordinarios, esta globali­ dad tiene una ventaja cuando buscamos un formalismo que pretenda reemplazar el espaciotiempo y no solo definirlo en referencia a una va­ riedad espaciotemporal previamente dada. De hecho, como se ha men­ cionado en §33.2, uno de los obj etivos principales de la teoría de twis­ tores es obtener un formalismo semejante. El inconveniente principal de esta aproximación es que resulta dificil ver cómo un formalismo se­ mejante puede aplicarse a un espaciotiempo curvo general M, cuando cosas tales como el grupo conforme no aparecen como una simetría de M. En §§33. 1 1 , 1 2 veremos cómo la teoría de twistores resuelve esta dificultad de una forma notable. La definición anterior de un twistor, como un espinar reducido para 0(2, 4) , nos ofrece solo una perspectiva muy limitada sobre las ideas y la motivación de la teoría de twistores. No hay nada específica1 302

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.4

mente 4-dimensional en esta aproximación, y no da ninguna indica­ ción clara de por qué habría que interesarse en la teoría de twistores con el fin de que nos proporcione una guía para avanzar en nuestra búsqueda de una teoría más profunda de la naturaleza. Para apreciar con más detalle lo que la teoría de twistores está tratando de decirnos en este aspecto, recordemos el mensaj e de los capítulos 29 y 30. Mien­ tras que normalmente se acepta que la unión apropiada cuántico/ gra­ vedad debe ser un objetivo principal en la búsqueda de una perspecti­ va fundamentalmente nueva en física, el mensaj e de estos capítulos es que deberíamos buscar un desarrollo en el que las propias reglas de la teoría cuántica (de campos) no sigan siendo sacrosantas, sino que de­ berían doblegarse, igual que deberían hacerlo nuestras imágenes espa­ ciotemporales convencionales. De todas formas, hay evidentemente mucha verdad y belleza en los principios de la mecánica cuántica, y es­ tos no deberían ser abandonados sin más. En la teoría de twistores, en lugar de imponer reglas QFT, se examinan dichas reglas y se trata de extraer características que se mezclen con las de las ideas de Einstein, buscando armonías ocultas entre la relatividad y la mecánica cuántica. Como se ha dicho antes, un elemento clave para guiarse es la magia de los números complejos que ha intervenido en tantos lugares de este li­ bro. Otro es una armonía especial con la teoría de Einstein del 4-espa­ cio lorentziano antes que con sus generalizaciones a dimensiones más altas o a otras signaturas. ¿Qué hay de especial a este respecto en el 4-espacio lorentziano? Como se ha señalado en § 1 8. 5 y en §33.2, la esfera celeste de un obser­ vador tiene una estructura conforme natural y puede interpretarse como una esfera de Riemann. Habría que tener en cuenta que algo de esta naturaleza ocurre realmente en cualquier número (no nulo) de di­ mensiones de espacio y tiempo, donde la esfera celeste tiene siempre la estructura de una variedad conforme. [33·31 Lo que hay de especial en el caso 4-dimensional lorentziano es que dicha variedad conforme puede interpretarse de modo natural como una variedad compleja (la esfera de Riemann) , una propiedad que no aparece en ningún otro número de dimensiones de espacio y tiempo. ¿Cuál es la importancia de esto? En la §g_ [33.8] Explique por qué.

1 303

§33.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

teoría de twistores, la magia de los números complejos se explota al máximo. No solo el espacio twistorial resulta ser una variedad com­ pleja, sino que dicha variedad compleja tiene una interpretación fisica directa. De hecho, resultados generales nos dicen que los únicos casos en los que el «espacio twistorial» es un espacio complejo de cualquier tipo20 son aquellos en que la diferencia entre el número de dimensio­ nes espaciales y el número de dimensiones temporales deja resto 2 cuando se divide por 4. Hay que señalar que este no es el caso para la teoría de Kaluza-Klein original, ni para la teoría de la supergravedad 1 0 u 1 1-dimensional, ni para la teoría de cuerdas 26-dimensional original, ni para la teoría de supercuerdas 1 0-dimensional, ni para la supergra­ vedad o la teoría M 1 1 -dimensional, ni siquiera para la teoría-F 1 2-di­ mensional (puesto que en este caso hay 2 dimensiones temporales) .

33.5. GEOMETRÍA TWISTORIAL BÁSICA Y COORDENADAS

¿Cuál es la interpretación fisica o geométrica de un twistor general para el 4-espacio minkowskiano ordinario? Es más fácil describirlo si utili­ zamos coordenadas minkowskianas estándar t, x, y, z para un punto R de M, donde tomamos la velocidad de la luz como la unidad, c = 1 . El espacio twistorial completo lf es un espacio vectorial complejo 4-dimensio­ nal, para el que se utilizarán las coordenadas complejas zi, Z1 , Z2 , Z3 • D ecimos que un twistor Z con estas coordenadas es incidente con el punto R del espaciotiempo (o que R es incidente con Z) si se satisface la relación matricial clave (véase § 1 3.3 para la notación matricial) i t + Z X + iy Z2 1 z f2 x - iy t - z z3 ' ¡ de la que se siguen todas las propiedades básicas de la geometría twis­ torial en un espacio plano! r33. 9J De acuerdo con la notación de § 1 2. 8 , la notación de índices (abs­ tactos) Zª se utilizará a veces para representar el twistor Z (donde las componentes de Z en un sistema estándar serían Z1, z1 , Z2 , Z3) . Cada twistor Z, o Zª (un elemento de lf) tiene un complej o conj ugado Z ,

(z:1)

_

(

)( )

� [33.9] Escriba esta ecuación en notación algebraica ordinaria. 1304

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33 . 5

que es un twistor dual (elemento del espacio twistorial dual lr*). En la forma de índices, Z se escribe Z"', con un subíndice, y sus componen­ tes (en el sistema estándar) serían

Esta notación es probablemente algo confusa. Las cuatro cantidades (números complej os) de la izquierda son simplemente las cuatro com­ ponentes del twistor dual Z . Las cuatro de la derecha son los respecti­ vos complej os conjugados de los números complejos Z2 , Z3 , ;tJ , Z1 . Así pues, la componente Z0 de Z es el complejo conjugado de la compo­ nente Z2 de Z, etc. Nótese el intercambio de las dos primeras con las dos segundas cuando se forma la conjugación compleja. Puesto que Z es un tensor dual, podemos formar su producto escalar (hermítico) (véanse § 1 3 . 9 y §22.3) con el twistor original Z para obtener la norma twistorial (al cuadrado)

z z

z Z"' = z0 z> + z z1 + z z2 + z z3 = 3 "' 1 2 2 3 3 = z ;tJ + Z Z1 + � Z2 + Z Z = 1 ;tJ + z2 ¡ 2 + 1 z1 + z3 ¡ 2 - 1 z> - z2 2 - 1 z1 - z3 z) , ·

=

�(

=

¡

¡

donde esta última fórmula muestra que la expresión hermítica Z"'Z"' tiene signatura ( + + - -) , de acuerdo con § 1 3 . 9_ [33 · 101 (La simetría del espacio twistorial exhibe la equivalencia local, mencionada en §3. 10, del grupo SU(2, 2) con el 0 (2, 4) de §33 . 3 .) A partir de la relación de incidencia clave dada arriba, observamos que un twistor Z"' puede ser incidente con un suceso en el espacio de Minkowski real MI solo si su norma se anula: Z Z"' = 0 Y3 · 1 11 Cuando Z"' Z"' = O , decimos que el twistor Z es nulo. Para enlazar con la exposición de §33.2, deberíamos primero fami­ liarizarnos con el espacio twistorial proyectivo IPlr, que es el 3-espacio proyectivo complej o (CIP 3) construido a partir del espacio vectorial complejo lr. (Véase § 1 5 . 6 para una discusión general de los espacios proyectivos.) Buena parte de la geometría twistorial se expresa muy fa"'

� [33. 10] Verifique esta expresión final; explique por qué esto nos dice la signatura. !!!fl [33.1 1] Demuéstrelo; demuestre, recíprocamente, que un suceso semejante existe siempre si ZªZ' = O, con tal de que Z2 y Z3 no se anulen simultáneamente. 1 305

§33. 5

EL CAMINO A LA REALIDAD --

-

•

Fig. 33. 1 1 . El espacio twistorial ir es un espacio vectorial complejo con una métrica pseudohermítica. El espacio twistorial proyectivo IPT es el espacio de rayos (subespa­ cios 1-dimensionales) en ir.Así pues, si un twistor Z tiene coordenadas (Z', Z1, Z2, Z3) , las razones Z' : Z1 : Z2 : Z3 determinan el punto correspondiente en IP'T. El subespacio 7-real dimensional N (de twistores nulos ZªZ" = O) divide el espacio twistorial T en los 4-espacios complejos ir+ (de twistores positivos ZªZ" > O) y -U-- (de twistores negativos ZªZ" < O). Las versiones proyectivas respectivas de estos espacios son los 5-real dimen­ sionales IP'N (que representan rayos de luz en MI#) y las dos 3-variedades complejas IPT+ (que representan partículas sin masa de helicidad positiva) y IP-U-- (que representan par­ tículas sin masa de helicidad negativa).

cilmente en términos de IPT en lugar de T. Los números ;tJ, Z1 , Z2 , Z3 proporcionan ahora coordenadas homogéneas para IPT, de modo que las tres razones independientes

sirven para etiquetar puntos de IPT. Los twistores proyectivos nulos constituyen el espacio IPN, que es el subespacio 5-real dimensional del espacio 6-real dimensional IPT para el que la norma twistorial se anula: Z Z' = O. a Esta ecuación define también el subespacio 7-real dimensional N de los twistores no proyectivos nulos, en el espacio vectorial T. Cuan­ do Z Zª > O, obtenemos el espacio T+ de los twistores positivos, y ª cuando ZªZ' < O, obtenemos el espacio -u-- de los twistores negativos. Los espacios proyectivos lfllT + y IPT- se definen en correspondencia con esto. Véase la Fig. 33. 1 1 (y compárese con la Fig. 33.6) . Exploremos la relación geométrica entre IPN y fWll que se muestra en la Fig. 33.5 como una consecuencia de la relación de incidencia cla1306

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33 .5

ve dada al principio de esta sección. Puede verse directamente a partir de esta relación que dos puntos P, R de MI (sucesos) que son inciden­ tes con el mismo twistor Z diferente de cero (necesariamente un twis­ tor nulo) deben tener una separación nula entre sí (i.e. , cada uno de ellos yace en el cono de luz del otro) . Se sigue que Z define un rayo de luz -línea recta nula en MI-, puesto que todos los puntos de MI que son incidentes con Z deben tener separación nula entre sí.Véase la Fig. 33. 1 2. Además, el twistor Z representa el mismo rayo de luz si reem­ plazamos Zª por AZª, donde A es cualquier número complejo no nulo. El lugar geométrico de los sucesos incidentes con un twistor proyecti­ vo nulo (diferente de cero) es, de hecho, un rayo de luz; pero en la si­ tuación particular en la que Z2 = Z3 = o debemos interpretar esto de manera adecuada, pues no obtenemos puntos reales en MI incidentes con za, pese a lo cual podemos seguir considerando que tal twistor nulo describe un rayo de luz en el infinito (un generador de J, que yace en MI#, en lugar de Ml) .133· 1 21 Examinemos ahora el recíproco. Fijando el suceso R, con coorde­ nadas reales t, x, y, z, observamos que el espacio de twistores Z inciden­ tes con R está definido por dos relaciones homogéneas lineales en las componentes Z1, Z1 , Z2, Z3 • Cada una de estas relaciones lineales defi­ ne un plano en lfl>lr y su intersección (el conjunto de puntos en lfl>lr que sa­ tisfacen ambas relaciones) nos da una línea proyectiva R en lfl>lf (un Clfl>1) -que yace en lfl>l\J , de hecho-, que es por consiguiente una esfera de Riemann, como se requiere (§§ 1 5 .4,6) . Así pues, los puntos de MI (su­ cesos) se representan, en el espacio twistorial, por líneas proyectivas en lfl>l\J. En la situación particular Z2 = O = Z3 , obtenemos una línea pro­ yectiva particular en lfl>l\J a la que llamaremos l. Esta línea especial re­ presenta el punto i que es el vértice del cono de luz .Y en el infinito. Cualquier otro punto Q de .'f está representado, en lfl>l\J , por una línea proyectivas que corta a 1.J33· 1 3 1 La situación se ilustra en la Fig. 33. 1 2. La forma en que estas estructuras complejas representan la geome­ tría del espacio de Minkowski (en el número de dimensiones estándar de espacio y tiempo) es muy notable. Podemos reinterpretar el espa� [33. 1 2] Demuestre explícitamente las afirmaciones de este párrafo. � [33.13] ¿Por qué? 1307

EL CAMINO A LA REALIDAD

§33. 5

(b)

(a)

Fig. 33. 12. La geometría de los lugares geométricos básicos en M # y IPN, dada por la r�lación de incidencia de la correspondencia twistorial. (a) Fij emos un punto (twistor nulo proyectivo) Z en IPN. Los puntos de M # (por ejemplo, P, R) que son incidentes con Z constituyen un rayo de luz, puesto que todos los puntos semejantes tienen una separación nula entre sí. (b) Fijemos un punto R en M #. Los puntos de IPN (por ejem­ plo, Z, X) que son incidentes con R (al yacer en la intersección de dos planos com­ plejos en IP'lí) constituyen una línea proyectiva compleja, que es una esfera de Rie­ mann. Puntos P y R en M # que tienen una separación nula a lo largo del rayo de luz Z tienen esferas de Riemann correspondientes P y R, que se cortan en el punto Z. (He dibujado estas esferas de Riemann muy alargadas, como un compromiso con el hecho de que son también líneas rectas proyectivas en la geometría proyectiva de IP'lí.) Una de estas esferas de Riemann particular es 1, que representa el punto í y en M #. El pun­ to í especifica infinito de género espacio/de género tiempo; es el vértice del cono de luz .Yen el infinito. Cualquier otro punto Q de J'está representado e ri IPN por una lí­ nea proyectiva Q que corta a l .

cío de Minkowski como el espacio de líneas complej as que yacen en IJl>� (o en IJl>� J, si queremos solo los puntos espaciotemporales fini­ tos) , tomando IJl>� como estructura primaria y M como secundaria. Esto equivale a tomar los rayos de luz como algo más primitivo que los propios puntos espaciotemporales. La intersección de rayos de luz Z y X se representa por la existencia de una línea proyectiva sobre IP� que contiene los puntos correspondientes Z y X de IP� y, como hemos visto, la condición de que dos puntos espaciotemporales P y R tengan separación nula viene representada por la condición de que las corres­ pondientes líneas proyectivas P y R, en IJl>�. se corten (Fig. 33. 1 2) .Ve­ mos así que un espacio twistorial proporciona una perspectiva com­ pletamente diferente, en geometría física, de la imagen espaciotemporal normal. Los puntos espaciotemporales ordinarios están representados -

1 308

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.6

como esferas de Riemann en IPl\J. Los puntos de IPl\J están representa­ dos como rayos de luz en el espaciotiempo. En cualquiera de las formas la correspondencia es no local. Pese a todo, podemos pasar de una ima­ gen a la otra mediante reglas geométricas precisas. 33.6. GEOMETRÍA DE TWISTORES COMO PARTÍCULAS SIN MASA

CON ESPÍN

Recordemos que la más fundamental de las ideas motivadoras tras la teoría de twistores es que habría que explotar al máximo la magia de los números complej os. A pesar de contener un sistema grande (de 4 parámetros reales) de líneas proyectivas complejas, el propio IPl\J no es una variedad compleja (lo que difícilmente podía ser, como se ha se­ ñalado en §33.2, puesto que es de dimensión impar) . Sin embargo, se convierte en una, a saber IPlr (que es una CIP3) , cuando tan solo se le añade una dimensión real más. ¿Podemos interpretar estos puntos ex­ tra de una forma físicamente significativa? En realidad sí (como se ha sugerido en §33 .2). Recordemos que los fotones libres reales tienen más estructura que la de ser simplemente rayos de luz en MI. Un rayo de luz describe una partícula puntual que viaj a a la velocidad de la luz en una dirección determinada, pero los fotones reales tienen energía y espín. Por ahora podemos pensar en ellos clásicamente. Las dos formas básicas en que puede girar un fotón son en sentido dextrógiro y en sentido levógiro respecto a la dirección de movimiento (helicidad po­ sitiva y negativa, respectivamente, definidas por polarización circular y dextrógira levógira; véase §22. 7). En cualquiera de los casos, la magni­ tud de esta helicidad es Resulta que los fotones clásicos de helicidad positiva pueden representarse como puntos de IPlr+, y los de helici­ dad negativa, como puntos de IPlr-, donde las dimensiones extra pro­ ceden de la energía del fotón. Esta descripción es también válida para

fí .

cualquier otra partícula sin masa con espín

!nfí no nulo.

¿Cómo funciona esto? No es este el lugar para entrar en detalles, pero los rasgos esenciales se pueden esbozar de la siguiente forma. Como primer paso, hay que señalar que las dos primeras componentes 1 309

EL CAMINO A LA REALIDAD

§33.6

Z y Z1 del twistor Z son realmente las dos componentes de un 2-es­ pinor W, con forma de índices WA , donde wº = Z, w1 = Z1 (véanse §22.8 y §25.2) . Las dos componentes restantes Z2 y Z3 de Z son las componentes de un espinor (dual) primado 1T, con forma de índices 1T " donde 1TO' = Z2 ' 1T 1 ' = Z3 • A veces escribimos A Z = (w, 1T),

nos referimos a w y 1T como las partes espinoriales del twistor Z . El twistor conjugado complej o Z tiene sus partes espinoriales en orden inverso

y

z = (1T, w) , de modo que la norma del twistor puede expresarse

Zaza = Z • Z = 1f •

W •

1T = ft WA + WA '1T ' " A A La relación de incidencia entre el twistor Z y el punto espaciotem­ poral R, con coordenadas de Minkowski t, x, y, z, se escribe ahora W+

W = ir1T,

que representa wA = ilA '1T " donde r (o yAA ') tiene la matriz de com­ A ponentes o ro · r0 1 ·· = -1- t + z x + iy r1 0' r1 1 fj. X - iy t - Z •

(

)

(

)

El espinor 1T está asociado con el momento de la partícula sin masa, en el sentido de que el producto exterior 1T1T (sin contracciones; véase § 1 4 .3) describe su 4-momento. El espinor w está asociado con el mo­ mento angular de la partícula, en el sentido de que el producto simetri­ zado de w con 1T describe la parte anti-autodual del 6-momento an­ gular de la partícula (§ 1 8. 7 , § 1 9.2, §22 . 1 2 y §32.2) y el producto simetrizado de w con 1T describe su parte autodual. 2 1 A diferencia del caso del momento, el momento angular depende de una elección del ori­ gen espaciotemporal O, y se suele hablar de momento angular con res­ pecto a O. Esta independencia/ dependencia del origen se refleja en el comportamiento traslacional de las dos partes espinoriales 1T y w de un twistor Z. Baj o desplazamiento del origen O a un nuevo punto espa­ ciotemporal Q, con vector de posición q con respecto a O, encontra1310

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.6

mos (con q en forma matricial, como antes) que las partes espinoriales experimentan las transformacionesf33 -14l 1'T � 1'T

y

W � W-

iqTT.

Hay también una cantidad escalar independiente del origen que puede construirse a partir del momento y del momento angular, a saber, la helicidad s. Resulta que la helicidad es la mitad de la norma del twistor: s

= 1.zªza = l z z .

2 2 (y notamos de lo anterior que esto es tan solo la parte real de iiJ • 11') . De hecho, los twistores ofrecen un formalismo considerablemente más conciso para manejar partículas sin masa que la aproximación conven­ cional 4-vector/tensorial de §22. 1 2. Ahora tenemos una imagen física clara de un twistor no nulo (salvo el reescalamiento de fase Z � ei0z, con O real) como una partícula clásica giratoria y sin masa;f33 - 1 5l com­ párese con la Fig. 33.6. Aún no tenemos una imagen geométrica muy clara de un twistor no nulo. Podemos obtenerla si estamos dispuestos a considerar un espacio de Minkowski complexificado CM (o su compactificación CM#) , donde las coordenadas espaciotemporales t, x, y, z se consideran ahora núme­ ros complejos. En efecto, siempre hay un lugar geométrico no trivial 2-complejo dimensional de puntos de CM# incidentes con un twistor Z" (distinto de cero) , llamado un a-plano, que es autodual en el sentido de que una 2-forma tangente al mismo es autodual. Este a-plano re­ presenta a Z" salvo proporcionalidad; véase la Fig. 33. 1 3 . Análogamen­ te, un twistor dual wa define un {3-plano que es un 2-plano complejo antí-autodual en CtW11 # .f33· 1 61 Hasta ahora, esto solo nos da una imagen espaciotemporal compleja de un twistor. ¿Podemos obtener una imagen «real» que podamos vi­ sualizar realmente? La estructura de realidad de CM# está contenida en jg [33.14] Demuestre que la relación de incidencia entre un twistor y un punto es­ paciotemporal se conserva en esta transformación; demuestre que la norma del twistor se conserva. jg [33.15] Explique por qué existe esta libertad de fase y por qué para una partícula de helicidad dada s > O la energía de la partícula está codificada en la localización del punto en lfl'lr+. jg [33.16] Demuéstrelo. 1311

§33.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

--· ·-�· · · L_ &�..u:-��--tJ ¡

1

M#

!

1

_ ... ...

L - - - --'

Fig. 33. 13. Descripción espaciotemporal compleja de twistores (en general no nulos) y twistores duales. Para cualquier twistor Z' distinto de cero, hay siempre un lugar geométrico 2-complejo dimensional en CM# de puntos incidentes con él, llamado un a-plano, que es autodual en todo lugar. Para cualquier twistor dual Wª distinto de cero, los puntos en CM# incidentes con él constituyen siempre un plano 2-complejo dimensional que es anti-autodual, llamado un plano. Solo para twistores nulos o twis­ tores duales nulos hay puntos reales en estos lugares geométricos, y entonces los pun­ tos reales constituyen un rayo de luz, de acuerdo con la Fig. 33. 1 2.

su noción de conjugación comp leja (§ 1 8 . 1); esta intercambia a-planos con ,8-planos, de acuerdo con el hecho de que intercambia superíndices twistoriales con subíndices (i.e., twistores con twistores duales) e in­ tercambia «autodual» con «anti-autodual». En términos de la geometría proyectiva de IPT, la conjugación compleja intercambia puntos con planos, puesto que un twistor dual determina un plano en JP]"_l33 · 17l Este hecho nos permite obtener una imagen de un twistor proyectivo no nulo Zª en términos de una geometría espaciotemporal real. Lo primero que tenemos que hacer es representar Zª por su conjugado complejo Zª, que, siendo un twistor real, está asociado con un plano complejo en IPT. Este plano está determinado por su intersección con IP�, que es un lugar geométrico 3-dimensional real. Podemos inter­ pretar este lugar geométrico como una familia 3-paramétrica de rayos de luz en M . Así, esta familia de rayos de luz representa geométrica­ mente al twistor za (salvo proporcionalidad) .Véase la Fig. 33. 1 4. Los rayos de luz se retuercen de una forma complicada, pero es po­ sible obtener una imagen sorprendente de la configuración. Conside­ remos un instante de tiempo IE3 (i.e., una sección 3-espacial euclídea f1ª [33. 17] ¿Por qué?

1312

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

Fig. 33. 14. Podemos obtener una ima­ gen «real» de un twistor Z: no nulo pa­ sando primero a su complejo conjugado Zª, definiendo así un plano proyectivo complejo en IP'lr. Este plano está deter­ minado por su intersección con IP'N, que es un lugar geométrico 3-real di­ mensional. Este lugar geométrico define una familia 3-paramétrica de rayos de luz en M # llamada una congruencia de Robinson.

� hY».

�� MJ#

§ 33 .6

Congruencia de Robinson

ordinaria -«ahora»- a través del espaciotiempo de Minkowski M) . Cualquier rayo de luz en M -una partícula puntual que se mueve en una dirección concreta con la velocidad de la luz- viene representa­ do en IE3 por un punto con una «flecha» unida a él, flecha que deter­ mina la dirección de movimiento. Tenemos que imaginar una familia 3-paramétrica de rayos de luz semejantes -llamada una congruencia de Robinson- para representar nuestro único twistor Z. En la Fig. 33. 1 5 , vemos u n sistema d e círculos orientados (y una recta) que llena l a to­ talidad del 3-espacio ordinario IE3 . Habrá una partícula de nuestra fa­ milia en cada punto de IE3 , que se mueve (a la velocidad de la luz) en la dirección indicada por la tangente orientada al círculo que pasa por di­ cho punto. Es bastante significativo que, a medida que avanza el tiem­ po, toda esta configuración se propaga simplemente como un todo con la velocidad de la luz en la dirección (negativa) de la línea recta en la imagen, y esa propagación representa el movimiento de la partícula gi­ ratoria y sin masa descrita por el twistor. Esta configuración de círcu­ los es, de hecho, la proyección estereográfica (§8 .3, Fig. 8.7a) , en el 3-espacio euclídeo ordinario, de la configuración de paralelos de Clif­ ford en S 3 (§15.4) . No debemos pensar en estos «rayos de luz» como entidades físicas; solo nos proporcionan una realización geométrica de un twistor (pro­ yectivo) . Esta configuración codifica en realidad la estructura del mo­ mento angular de la partícula (clásica) giratoria y sin masa. 22 Es cier­ tamente una imagen no local. En la Fig. 33. 1 5 hay un círculo mínimo cuyo radio es el espín dividido por la energía de la partícula. El centro 1313

§33.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

Dirección de movimiento

Fig. 33. 1 5. Una imagen espacial que da una «instantánea» de una congruencia de Robinson. (Paralelos de Clifford proyec­ tados estereográficamente sobre S3; véan­ se las Figs. 8.7a y 1 5.8, que es una familia 3-paramétrica de círculos -y una línea recta- que llena la totalidad de iE3.) Ima­ ginamos una partícula en cada punto de iE3, que se mueve en línea recta con la velocidad de la luz (un rayo de luz) en la di­ rección del círculo (orientado) en el que yace. La configuración completa se pro­ paga con la velocidad de la luz en la di­ rección (negativa) de la línea recta en la figura. Esto representa el movimiento y el momento angular de la partícula sin masa giratoria descrita por la Z'.

de este círculo, a grandes rasgos, representa la «localización» de la par­ tícula giratoria (pero no puede considerarse que la historia de este centro sea un rayo de luz que representa la historia de la partícula sin masa, porque no se comporta adecuadamente bajo transformaciones de Lorentz) .133 · 1 31 Fue esta configuración la que provocó originalmen­ te el nombre de «twistor». 23 33.7. TEORÍA CUÁNTICA TWISTORIAL

Esto esboza la geometría básica de la teoría de twistores en el espacio plano. Pero quizá algunos lectores estén comprensiblemente impa­ cientes y se pregunten cómo una imagen semej ante, con toda su ele­ gancia geométrica, va a servirnos para avanzar en física. ¿Qué tiene que decir la teoría de twistores acerca de la unificación de la estructu­ ra del espaciotiempo con los principios mecanocuánticos? Hasta aho­ ra, hemos visto algunas «bonitas» maneras geométricas y algebraicas de fm. [33. 1 8] Encuentre el centro (en las coordenadas de §33.5) y muestre cómo se transforma bajo una transformación general de Lorentz para la velocidad. 1314

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33. 7

describir partículas sin masa, pero ni las ideas mecanocuánticas ni las de la relatividad general han desempeñado papel alguno. ¡Yo tendría que saberlo! Volvamos a la idea más básica de la teoría de twistores. Esta consis­ te en considerar que todas las nociones espaciotemporales son subsidia­ rias de las del espacio twistorial lf. Al ser un espacio completamente complejo, lf ofrece la potencialidad de explotar la magia de los núme­ ros complejos de formas que no están inmediatamente presentes en el marco espaciotemporal estándar. Por consiguiente, antes que utilizar descripciones en términos de coordenadas espaciotemporales reales, en su lugar se utilizan las variables twistoriales complejas Z". Ahora bien, las variables twistoriales son mezclas de variables de posición y de mo­ mento, y debemos preguntar: ¿qué es lo que toma el lugar de la regla de cuantización estándar (§2 1 .2)

(o alternativamente x" � -ih a I ap.)? La respuesta es que, en analogía con el hecho de que x" y P . son variables canónicas conjugadas, como se expresa en la ley de conmutación p bx• - x"pb = ih5: de §2 1 . 2, las varia­ bles twistoriales Z" y z,, van a tomarse como operadores canónicos conjugados zaz - z Z" = ha;. 13 13

donde, como la posición y el momento por separado, las Z" y z,, con­ mutan entre sí .· zaz13 z13za = o y Z z13 - z13 z = o . r33.i91 " " Como un aparte, puede comentarse que esta no conmutación cuántica de Z,, con Z" plantea algunas cuestiones intrigantes con res­ pecto al tipo de «geometría» que podría aparecer si nos tomamos más en serio el hecho de que las «coordenadas» fundamentales para un es­ pacio twistorial cuántico podrían ser tales entidades no conmutativas. Clásicamente, cuando consideramos la estructura de 8-variedad real del espacio twistorial lf, podemos utilizar Z" y z,, como variables con­ mutativas independientes (véase § 1 0 . 1 ) . Pero en esta imagen cuántica, _

� [33. 1 9] A partir de consideraciones generales sobre operadores en un espacio de Hilbert, ¿puede ver por qué es apropiado que no hubiera ninguna «i» en el conmuta­ dor de twistores? 1315

§33 .7

EL CAMINO A LA REALIDAD

Z" y Zª no conmutan. Intentar utilizar un par «cuántico» semejante Z" y za como coordenadas independientes nos llevaría al área de la geo­ metría no conmutativa, que se ha examinado brevemente en §33 . 1 . Podría resultar interesante proseguir esta línea, pero hasta ahora nadie lo ha hecho. Recordemos que en una función de onda ordinaria rf!(x) en el es­ pacio de posición para una partícula no aparecen las variables de mo­ mento p, sino que, en su lugar, el momento se representa en términos del operador a/axª (como antes) . ¿Cuál es el análogo twistorial de esto? Parece que necesitamos que nuestra «función de onda twistorial» .f(Z") fuera «independiente de Zª» y que zª fuera representado en su lugar en términos del operador a/ aza. De hecho, esto es correcto, pero ¿qué significa realmente que J sea «independiente de Zª»? Formalmente, esta «independencia» se expresaría como aj! a Zª = O, que (como recorda­ mos de § 1 0.5) son simplemente las ecuaciones de Cauchy-Riemann que afirman que j(Z") es una función holomoifa de Z". Este es un hecho muy sorprendente y bastante notable. Las funcio­ nes de onda twistoriales son entidades holomorfas, de modo que pue­ den entrar en contacto adecuado con el mundo mágico de los núme­ ros complejos. El papel cuántico de las variables complejo conjugadas za consiste en que aparecen como diferenciación

a za � -haza ' que es un operador holomorfo, de modo que, en el nivel de descrip­ ción cuántico, la holomorficidad se conserva. Resulta tranquilizador que la interpretación de los twistores en términos de momento y de momento angular para una partícula sin masa sea compatible con las reglas de conmutación de twistores, que dan correctamente los con­ mutadores de momento y momento angular (§22 . 1 2) y los engloban en los conmutadores de twistores que se han dado antes. 24 Una cantidad de particular interés es la helicidad, considerada aho­ ra como un operador, cuyos valores propios son los diversos posibles . ¿ 3 i: - ¿n, - 2n, l i: O, 2n, 1 2ñ, 3 2n, . . . ) que valores sem1enteros ( . . . , - 2n, - 2n,

están permitidos para una partícula sin masa. Es especialmente digno 1316

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.7

de mención que, teniendo en cuenta correctamente la no conmuta­ ción, el operador helicidad se convierte en25·f33·201

s=

t(zazª + ZªZJ �lí( + za a�) . �

2

El operador

Y=

za-ª aza

se denomina operador homogeneidad de Euler. (Recordemos a nuestro viejo amigo Leonhard Euler, de quien he hablado en los capítulos 5, 6, 7 y 9, en particular.) Como demostró Euler, Y tiene la notable propie­ dad de que sus funciones propias son homogéneas, siendo el valor pro­ pio el grado de homogeneidad. Es decir, la ecuación Yj = uf, donde u es cierto número, es la condición para que se satisfaga la pro­ piedad de homogeneidadf33·2 1 1

f(AZj = A''f(Zj. Se sigue que una función de onda twistorial para una partícula sin masa con una helicidad definida de valor S (de modo que sf = hSJ, donde s es el operador y S el valor propio) debe ser homogénea de grado -25 2 además de ser holomorfa. l33 ·221 Así pues, en particular, una función de onda twistorial de un fo­ tón (S = ± 1 ) sería suma de dos partes, una homogénea de grado O, que describe la componente levógira (S = -1) , y una de grado -4, que describe la componente dextrógira (S = 1 ) . Un neutrino, toma­ do como partícula sin masa, tendría una función de onda homogénea de grado -1 (puesto que la helicidad es 1 12) mientras que la fun­ ción de onda de un antineutrino (sin masa) sería de grado -3. La fun­ ción de onda de una partícula escalar sin masa es homogénea de gra­ do -2 . Lo que importa para nuestra discusión aquí es el caso de un gravitón, que consideraremos (provisionalmente) como una partícula

-

- ,

� (33.20] Verifique la igualdad entre estas dos expresiones para s. !!J!'J. (33.21] Vea si puede demostrarlo. � (33.22] ¿Por qué este valor? 1 3 17

§33. 8

EL CAMINO A LA REALIDAD

sin masa de espín 2 en un fondo de Minkowski plano (S = ±2) . Su parte levógira (S = -2) tiene una función twistorial homogénea de grado 2 y su parte dextrógira (S = 2) , una función de onda twistorial de grado -6. Este sesgo es sorprendente e ilustra la naturaleza esencialmente quiral de la teoría de twistores. Veremos enseguida que este sesgo se hace especialmente fuerte cuando tratamos de llevar la relatividad ge­ neral bajo el paraguas twistorial. Por el momento, tratemos de enten­ der cómo hay que interpretar las funciones de onda twistoriales. Para estas, el sesgo no plantea problemas, y todo funciona con gran suavi­ dad. No obstante, hay una sutileza importante acerca de cómo se va a interpretar nuestra función de ondafiZj, llamada normalmentefunción twistoríal. Vayamos a eso ahora. 33.8. DESCRIPCIÓN TWISTORIAL DE CAMPOS SIN MASA

En el caso de la representación espaciotemporal de la función de onda de una partícula libre sin masa y de espín general, la ecuación de Schrodinger se traduce en una ecuación conocida como la ecuación de campo libre y sin masa. 26 Hemos visto un ejemplo de esto en el caso de espín 1 12 en la ecuación del neutrino (Dirac-Weyl) sin masa (§25 .3) . No es oportuno entrar ahora en detalles, pero la ecuación misma es su­ ficientemente simple de escribir una vez que tenemos a mano el for­ malismo 2-espinorial, como se ha utilizado en §22.8 y §25.2. Para la

-!n, tenemos una cantidad l/JAB . y para la helicidad positiva S = !n, una cantidad con índices primados l/J ' B'. . A '

helicidad negativa S =

. .D

v··

Cada una de estas es completamente simétrica en todos sus n índices, y cada una de ellas tiene frecuencia positiva, y satisfacen las respectivas ecuaciones t"1 A' t"1AA ' VA ¡/JAB D = O , V "'A ' B' D' = O ,

..

..

donde VAA' es simplemente la traducción 2-espinorial del operador gradiente ordinario Vª (escrito en forma de índices elevados; véase 1318

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.8

§ 1 4.3) .'33·231 Para espín O, tenemos simplemente la ecuación de ondas Dr/I = O, donde D es el d'alembertiano ordinario introducido en §24.5 . De hecho, la notación 2-espinorial conveniente para estas ecuaciones ilumina algunas sutilezas. Cuando n = 2 (espín 1 ) , estas dos ecuaciones se convierten simplemente en las ecuaciones de Maxwell para campo libre en los casos anti-autodual y autodual, respectivamente.133·241 Cuan­ do n = 4, se convierten en las ecuaciones de Einstein para el campo débil, donde la curvatura se considera como una perturbación infinite­ simal del espacio plano M .27 ¿Qué tienen que ver estas ecuaciones con las funciones twistoriales? Curiosamente resulta28 que hay una expresión explícita como integral de contorno (§7 .2) que da automáticamente la solución general de frecuen­ cia positiva del campo libre sin masa, partiendo simplemente de la fun­ ción twistorialflZj . De hecho, la expresión también funciona perfec­ tamente sin este requisito de frecuencia positiva, aunque el requisito está facilmente garantizado en el formalismo twistorial, como veremos en §33 . 1 0 . No es oportuno dar aquí todos los detalles, pero la idea bá­ sica es que, en el caso de la helicidad positiva,flZj se multiplica prime­ ro por '11' (§33.6) tomado n veces (lo que proporciona n índices prima­ dos), o, en el caso de la helicidad negativa, sobre él actúa primero a; a w tomado n veces (lo que suministra n índices espinoriales n o primados); luego se multiplica por la 2-forma T = d'!T0• /\ d'IT • y se integra sobre un 1 contorno 2-dimensional apropiado, donde se incorpora primero la re­ lación de incidencia w = ir'TT para eliminar w en favor de '11' y r. Esta in­ tegración elimina '11', de modo que terminamos con una cantidad inde­ xada r/I .. en cualquier punto espacio temporal R escogido (de modo que r/I... es función solo de r) . El contorno debe yacer dentro del lugar geo­ métrico w = ir'TT (para cada r fijo), i.e., dentro de (la versión no proyec­ tiva29 de) la línea R, en �. que representa el suceso R; véase la Fig. 33. 1 6. f1ll [33.23] Escriba explícitamente estas ecuaciones, para helicidad

n

-in, utilizando la

notación 1/1, = lfloo. ..lll t . . . I ' donde �ay - r Os y r ls, y traduzca VAA' a partir de v· de la núsma forma que la cantidad �A se traduce a partir de las coordenadas de Minkowski ordinarias t, x, y, z, como se ha descrito antes. f1ll (33.24) Intente demostrar esto, donde 1/100 = C1 - iC2, lf'.>t = -iC , 1/11 1 = -C1 - iC , 3 donde C = 2E - 2iB (véase §1 9.2), y donde son válidas expresiones correspondientes2 para lf! 'B'" A

1319

EL CAMINO A LA REALIDAD

§33.8

Fig. 33. 1 6. La integral de contorno twistorial básica. Una función twistorial f (para helicidad in), homogénea de grado -n - 2, se multiplica n veces por 1T, o sobre ella ac­ túa n veces al aw (n negativo), lo que suministra los índices, y luego se multiplica por la 2-forma T = d?T0, /\ d?T1 Para cualquier elección particular del punto espaciotem­ poral R, con vector de posición r, se realiza entonces una integral de contorno en la región R del espacio twistorial definido por la relación de incidencia w = ir 1T. Esto in­ tegra la 1T-dependencia, y nos deja con una solución de las ecuaciones de campo sin masa. En el caso ilustrado, R se toma en la mitad superior del espacio twistorial IP'lí y j es holomorfa en la intersección de U1 con U2 ,. donde los conjuntos abiertos U1 y U , 2 cubren juntos la totalidad de IP'lí. ••

La condición de frecuencia positiva está asegurada exigiendo que la integral de contorno siga siendo válida también cuando se permite que la línea R se aventure dentro de la región twistorial lfl>lf+. (Las lí­ neas en lfl>lr corresponden a «puntos espaciotemporales complej os», como hemos visto en §33.6, y las que yacen enteramente en la sub­ región lfl>]"+ corresponden a puntos de la subregión MJ+ de CM que se conoce como el tubo avanzado. 30Volveremos a esta cuestión en §33. 1 0.) También pueden describirse dentro de este marco campos sin masa de helicidad mixta -tales como un fotón plano polarizado, que es una suma de una parte levógira y una dextrógira- donde las funciones twistoriales para las dos helicidades diferentes simplemente se suman. La existencia misma de una expresión semejante me resulta algo má­ gico. Para el campo sin masa, las ecuaciones parecen evaporarse en el for­ malismo twistorial, al convertirse, de hecho, en «holomorficidad pura». Cuando examinamos esta expresión con más cuidado, observamos que existe una sutileza importante acerca de cómo debe interpretarse una función twistorial, y esto se relaciona de forma sorprendente con la se­ paración en frecuencia positiva/negativa de campos sin masa (§33 . 1 0) . Esta sutileza resulta también crucial para la forma e n que s e manifiestan 1320

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.9

las funciones twistoriales, y nos proporciona espacios twistoriales curvos. ¿Cuál es esta sutileza? Se trata de que las funciones twistoriales no deben verse realmente como «funciones» en el sentido ordinario, sino como lo que se denominan elementos de cohomología de haces holomoifa. 31 33.9. COHOMOLOGÍA DE HACES TWISTORIAL

¿Qué es la cohomología de haces? Las ideas son bastante sofisticadas matemáticamente, pero muy naturales en realidad. Aquí nos interesare­ mos solo en lo que se denomina cohomología de primer haz. Quizá la manera más fácil de representar esta noción sea pensar primero en la forma en que puede construirse una variedad en términos de varias cartas de coordenadas, como se ha discutido en §10.2 y § 1 2.2 y se ha ilustrado en la Fig. 1 2.Sa. En cada solapamiento entre un par de cartas se define una función de transición (que proporciona el pegamento de las cartas) . Recordemos de § 1 2.2, Fig. 1 2.Sa, que estas funciones de tran­ sición están sujetas a ciertas condiciones de consistencia en solapa­ mientos triples entre cartas. Consideremos ahora una variedad construida así pero donde las funciones de transición difieren de la identidad en solo una cantidad infinitesimal. Véase la Fig. 33. 17. Este cambio infi n itesimal entre una carta U' y otra carta UJ estaría descrito por un campo vectorial F1) en la parte de u¡ que se solapa con �· que describe cómo debe «deslizarse» infinitesimalmente U; con respecto a �- De forma equivalente, pode­ mos pensar que � está deslizado con respecto a u¡ pero en dirección contraria. Esto está descrito por el campo vectorial F¡; en la parte de � que se solapa con U;, por lo que en este solapamiento tenemos ..

Fji.. = -F1)..

(véase la Fig. 33. 1 Sa) . En un triple solapamiento entre cartas U¡, � y Uk, encontramos (Fig. 3 3 . 1 8b) que debe cumplirse la relación de compati­ bilidadl33·25I

B [33.25] Demuestre que la antisimetría en Fij es un requisito de consistencia de la condición de solapamiento triple. 1 321

§33. 9

L CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 33.17. Recordemos (de la Fig. 12.Sa) cómo se construye una variedad a partir de varias cartas de coordenadas. (Definida en cada solapamiento entre un par de cartas hay una «función de transición» que pro­ porciona el «pegamento» de las cartas.) Aquí consideramos funciones de transición que difieren solo infinitesimalmente de la iden­ tidad, y que por consiguiente están dadas por un campo vectorial Fy en cada solapa­ miento de cartas, lo que nos dice cómo está «desplazada» cada carta en relación con las otras con las que se solapa. (Las «cartas» son conjuntos abiertos Ul ' U2, U3, en el espa­ cio de coordenadas plano.) • • •

Existen también deformaciones infinitesimales «triviales» que sur­ gen simplemente de cambiar (infinitesimalmente) el sistema de coor­ denadas en cada carta. Podemos pensar que estas vienen dadas por un campo vectorial H; en cada carta particular U;, que simplemente «des­ liza» la carta entera a lo largo de sí misma. Esto nos daría una familia de Fy.. «triviales» de la forma Fy. .

= H. - H. 1

)

en solapamientos entre pares de cartas, que no cambian la variedad (Fig. 33. 1 8c) . Estas ideas nos dicen en esencia las reglas de la cohomología de pri­ mer haz. 32 Sin embargo, no tenemos por qué interesarnos solo en cam­ pos vectoriales. Las funciones ordinarias fij serán tan buenas como los campos vectoriales F que hemos estado considerando. Simplemente ij exigimos que cadaf.y esté definida en la intersección de U con U., J que 1-y = = -�;• que .fy + �k + Í,,; = O en cada solapamiento triple, y que la colección completa {{¡) sea considerada equivalente a otra colección semejante {gij} si cada miembro de la colección de las correspondientes diferencias f_fy -gij} tiene la forma «trivial» { h; - h) . Decimos que las f_fy} están re­ ducidas módulo cantidades de la forma { h; - h) , que es en esencia el mis­ mo sentido en que se ha utilizado el término «módulo» en § 16. 1 (véase también la noción de «clase de equivalencia» mencionada en el prefacio) . 1

1322

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.9

Fig. 33. 18. Los campos vectoriales Fij están sujetos a ciertos requisitos. (a) En la in­ tersección de U; con �, tenemos Fij = -FP" Esto se ilustra como el movimiento de U; sobre �, como se muestra por el vector F1 2 en U1 • Pero el mismo movimiento relati­ vo se consigue por el negativo de esto sobre U2• (b) Se ilustra la condición de solapa­ miento triple F;j + Fjk = Fw En la intersección triple de Ul ' U2 y U3, el movimien­ to F12 de U1 sobre U2 es la suma del movimiento F13 de U1 sobre U3 y el movimiento de F32 de U3 sobre U2• (c) Si todas las cartas se toman individualmente en su totalidad, esto no tiene ningún efecto (excepto por un cambio de coordenadas en cada carta). Esto ilustra que el desplazamiento global Fij = H; - � no cuenta para nada y debe ser «factorizado».

De hecho, la clase de funciones ({y o h) en las que podemos estar intere­ sados en la teoría de la cohomología puede ser extraordinariamente ge­ neral. En la teoría de twistores solemos trabajar con funciones holomor­ fas. Esto nos da la noción de «cohomología de haces holomorfa». Específicamente, esta idea de cohomología se aplica a funciones twistoriales. De hecho, tenemos que considerar que una «función twis­ torial» no es simplemente una única función holomorfaf, sino que está proporcionada por una colección de funciones holomorfas {{¡) . donde cada .fij está definida en el solapamiento entre un par de conj untos abiertos U;, �· donde �; = -fij, donde en solapamientos triples .fij + �k + + .Íi,; = O, y donde la colección completa de estos conjuntos abiertos {UJ cubre la región entera Q del espacio twistorial bajo considera­ ción. Un primer elemento de cohomología en Q (con respecto al recubri­ miento {U;} viene representado como esta colección {{¡) . reducida 1 323

§33 .9

EL CAMINO A LA REALIDAD

módulo las cantidades de la forma { h. - h.}, con h. definida en U. La ) colección de funciones {f } no debe considerarse como el elemento de ¡¡ cohomología, sino como algo que proporciona una forma de repre­ sentar ese misterioso «elemento». Llamamos a las {f¡¡ } representantes de este primer elemento de cohomología. No obstante, para la definición estricta de cohomología, tendría­ mos que considerar también el tomar el límite de recubrimientos cada vez más finos de la región Q. Afortunadamente, hay teoremas que nos dicen que para la cohomología de haces holomoifa podemos parar el re­ finamiento cuando las u¡ son tipos de conjuntos suficientemente sim­ ples conocidos como conjuntos de Stein. 33 (La cohomología de primer haz holomorfa se anula siempre en cualquier conjunto de Stein.) Así pues, si restringimos nuestra atención a recubrimientos para los que cada U; es un conj unto de Stein, no necesitamos decir «con respecto al recubrimiento {U¡}» cuando nos referimos a un elemento de cohomo­ logía definido en Q. La noción de cohomología no depende de la elec­ ción concreta del recubrimiento de Stein. Un elemento de cohomolo­ gía es un «obj eto» definido en Q, que resulta ser el mismo cualquiera que sea el recubrimiento utilizado. 34 ¡Este hecho notable es parte de la magia de la cohomología de haces (holomorfa) ! ¿Cómo se aplica todo esto a las funciones twistoriales y las inte­ grales de contorno que hemos considerado en §33.8? La situación más simple surge cuando hay solo dos cartas u¡ y �· que, juntas, cubren la región del espacio twistorial baj o consideración. Allí hay solo una fun­ ción por considerar, y esta es la función twistorial de §33.8: f(Zj = = f¡ 2 = -fz • D e acuerdo con las reglas anteriores de la cohomología de 1 haces, decimos que j(Zj es equivalente a g(Zj si la diferencia es trivial en el sentido anterior, i.e., si 1

J

l

donde la función holomorfa h¡ está definida globalmente en u¡ y h2 globalmente en U • Es sencillo demostrar que la integral de contorno 2 apropiada aplicada a J es, de hecho, la misma que la aplicada a g cuando quiera que estas funciones son equivalentes en este sentido. Sin embar­ go, a veces es necesario considerar «carteados» más complicados. En esencia, las anteriores «reglas de cohomología» para la equivalencia en1 324

PERSPECTIVAS MÁS RADIC/\�C.S. � A TEORÍA DE TWISTORES

§33.9

Fig. 33.19. Un «contorno ramificado» (sobre la esfera de Riemann), aplicable a la evaluación espaciotempo­ ral de funciones twistoriales para las que el recubri­ miento consiste en más de dos conjuntos.

tre funciones twistoriales están adaptadas para preservar las respuestas que proporcionan las expresiones con integrales de contorno, pero donde la noción de una integral de contorno debe ahora ser generali­ zada a la de una «integral de contorno ramificada», con una rama en cada región del solapamiento. Esto se indica en la Fig. 33. 1 9 . 35 Una característica importante de la cohomología es que es esencial­ mente no local. Podríamos tener un elemento de cohomología definido en una región Q. Entonces tiene sentido considerar la restricción de dicho elemento a una región más pequeña Q', contenida en Q. La ca­ racterística no local de la cohomología se manifiesta en el hecho de que para cualquier subregión (abierta) suficientemente pequeña Q', en Q, el elemento se anula necesariamente cuando se restringe a Q', en el sentido de que, dadafii en Q', entonces siempre pueden encontrarse h, en Q', para las que fij = h; - hr Esta no localidad de las funciones twistoriales nos dice que no hay que atribuir significado al valor alcanzado por !y en un punto particu­ lar. De hecho, podemos restringirnos a una región suficientemente pe­ queña que rodea a dicho punto y encontrar que el elemento de coho­ mología desaparece por completo.Véase la Fig. 33.20. Esta no localidad que muestran las funciones twistoriales (consideradas como elementos de la primera cohomología) recuerda inevitablemente los aspectos no locales de los efectos EPR y el cuanlazamiento (§23. 1 0) . En mi opi­ nión, algo importante está sucediendo entre bastidores que algún día puede dar sentido a la misteriosa naturaleza no local de los fenómenos EPR, aunque, si es así, todavía no ha sido completamente revelada. Tenemos que pensar que este «elemento de cohomología» es un «objeto» definido en el espacio Q, que es un poco como una función definida en Q pero que es fundamentalmente no local. Un ejemplo de 1 325

§33.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

Fig. 33.20. Un elemento de cohomolo­ gía siempre puede restringirse a una re­ gión más pequeña. Pero si esta región es suficientemente pequeña, la cohomolo­ gía desaparece siempre. Esto ilustra la no localidad de la cohomología.

un «obj eto» de este tipo es realmente unfibrado vectoria l (complejo) en­ tero sobre Q, como se ha descrito en § § 1 5 .2,5. Recordemos que en la definición de un fibrado la parte que yace por encima de una región suficientemente pequeña del espacio base (aquí Q) es «trivial» en el sentido de que esta parte es solo un producto topológico (§1 5 . 2) . (Véase la Fig. 1 5.3.) Este es u n ejemplo del hecho de que si restringi­ mos nuestro primer elemento de cohomología a una región suficien­ temente pequeña, también se hace «trivial», i.e., se anula. Así pues, la «información» que se está expresando en un elemento de cohomolo­ gía es algo de carácter fundamentalmente no local. Quizá valga la pena ofrecer un ejemplo elemental que ilustra la no­ ción de cohomología, aunque solo en un caso sencillo, de una manera particularmente gráfica. La Fig. 33.21 es un dibuj o de un «obj eto im­ posible» a veces conocido como una «tribarra». 36 Es evidente que el «objeto 3-dimensional» que el dibujo parece mostrar no puede existir realmente en el espacio euclídeo ordinario. Pese a todo, loca lmente no hay nada imposible en el dibujo. La imposibilidad es algo no local, que desaparece si consideramos una región suficientemente pequeña en el dibujo. De hecho, esta noción de «imposibilidad» en un dibujo seme­ jante puede expresarse como un elemento de cohomología específi­ co. 37 l33·26l No obstante, es un tipo de cohomología relativamente sim­ ple, en la que las funciones {[y} se toman constantes. Solo he tocado aquí algunas ideas básicas de la cohomología de ha­ ces. Existen muchas aplicaciones de estas ideas en matemáticas, no todas JI#_ [33.26] Vea si puede hacer esto rompiendo el dibujo en varios dibujos que se so­

lapan (las {UJ), cada uno de los cuales representa individualmente una estructura 3-es­ pacial consistente, y utilizando el logaritmo de la distancia de esta estructura 3-espacial al ojo del observador para calcular lasfr 1 326

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33.10

Fig. 33.21. Dibujo de un «objeto imposible» (una «triba­ rra»). Localmente, no hay nada imposible en lo que el di­ bujo representa. La «imposibilidad» viene medida por un elemento de cohomología, que desaparece en cualquier región suficientemente pequeña en el diagrama.

ellas relacionadas con la holomorficidad. Los «haces» en los que estamos principalmente interesados en la teoría de twistores son los expresados en términos de funciones holomorfas, y hay una magia especial en la teoría de la cohomología en este contexto particular. (A grandes rasgos, el término «haz» se refiere al tipo de función que nos interesa, pero la noción de haz es en realidad mucho más general que la de una función ordinaria.) 38 Hay muchos otros usos de la cohomología, entre ellos al­ gunos que tienen importancia en el estudio de los espacios de Cala­ bi-Yau que aparecen en la teoría de cuerdas (§3 1 . 1 4) , por ejemplo. Ade­ más, hay otras formas completamente diferentes de definir elementos de cohomología de haces, y puede demostrarse que todas ellas son mate­ máticamente equivalentes, pese a sus diferentes aspectos. 39 En mi opi­ nión, la cohomología (de haces) es un ejemplo excelente de una noción platónica (§ 1 .3) ' que, al igual que el propio sistema e de los números complejos, parece tener una «vida propia» que está más alla de cualquier forma concreta que pudiéramos escoger para representarla. 33 . 1 0. Los TWISTORES

POSITIVA/NEGATIVA

y

LA SEPARACIÓN EN FRECUENCIA

¿Cómo incorporamos la condición de frecuencia positiva, tan fundamen­ tal para la QFT, en la teoría de twistores? Recordemos (§§9.2,3) de qué modo la división de la esfera de Riemann S2 en los hemisferios sur y norte s- y s+ nos proporciona la separación de una función, definida en el ecuador S 1 , en sus partes de frecuencia positiva y negativa. La par­ te de frecuencia positiva se extiende en s-, y la parte de frecuencia ne­ gativa, en s+ (Fig. 33.22a) El espacio twistorial proyectivo hace algo 1 327

EL CAMINO A LA REALIDAD

§33.1 0

t

v

t

Frecuencia 1' cohomología (b)

(a)

Fig. 33.22. Una analogía entre la esfera de Riemann S2(= CIP1) y el espacio twistorial proyectivo IPlL (a) Función compleja (i.e., un «elemento de O' cohomología»), defini­ da sobre el eje real � de S2, se divide en su parte de frecuencia positiva, que se extien­ de de manera holomorfa en lo que aquí se representa como el hemisferio norte s-, y su parte de frecuencia negativa, que se extiende al hemisferio sur s + . (La esfera de Rie­ mann está dibujada aquí de modo que � es su ecuador, pero tal que -i está en el polo norte e i en el polo sur; compárese con las Figs. 8.7, 9. 1 0 y §9.5.) (b) Un elemento de cohomología, definido sobre IPN (y que representa un campo sin masa), se divide en su parte de frecuencia positiva, que se extiende de manera holomorfa a la mitad superior [plf+ del espacio twistorial proyectivo, y su parte de frecuencia negativa, que se extien­ de a la mitad inferior IPr.

correspondiente, pero de una forma global que se aplica directamente a campos sin masa en su totalidad. Lo hace según una analogía directa entre la esfera de Riemann y el espacio twistorial proyectivo IP>lr, don­ de el análogo de una función en la esfera de Riemann 52 es un primer elemento de cohomología en IP>lr. El análogo del ecuador 5 1 va a ser el espacio IP>N, y notamos que IP>N divide a IP>lr (que es un CIP>3) en dos mitades [p>lf+ y IP>lr- precisamente de la misma forma que 5 1 divide a 52 (que es un Clfl> 1 ) correspondientemente4 0 en dos hemisferios 5- y 5+ (Fig. 33.22b) . Más explícitamente, el análogo de una función (complej a) ordina­ ria definida en 5 1 ' o en 5-, o en 5+ es, respectivamente, un primer ele­ mento de cohomología definido en IP>N, o en IP>lr+, o en IP>lr-, respecti­ vamente. Campos sin masa en M (estrictamente, en M#) se representan como elementos de primera cohomología en IP> N . Cada uno de estos puede expresarse (esencialmente de modo unívoco) como una suma de un elemento que se extiende en [p>lf+ y un elemento que se extiende en IP>lr-. El primero describe un campo sin masa de frecuencia positiva, y el segundo, uno de frecuencia negativa. 4 1 En términos espaciotem1 328

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33 . 1 0

porales, esta parte de frecuencia positiva del campo se extiende para es­ tar definida en el tubo avanzado, que recordemos de §33.8 es la región M+ de CM# que consiste en puntos que están representados en el es­ pacio twistorial por líneas proyectivas en ¡p·p . En CM+, estos son los puntos (complejos) cuyos vectores de posición tienen partes imagina­ rias que son de género tiempo y apuntan al pasado. 133· 27 1 Esta analogía entre IPT y la esfera de Riemann lleva a un posible modo en que las ideas de la teoría de twistores podrían encontrar una analogía con algunas ideas de la teoría de cuerdas. Recordemos de §§3 1 .5 , 1 3 que las superficies de Riemann se utilizan para representar «historias de cuerdas» en dicha teoría. La esfera de Riemann (CIP 1 ) es la más simple de tales superficies, pero se introducen superficies con dife­ rentes números de «asas» (superficies de Riemman de género superior; véase §8.4) para representar tipos más generales de historias de cuerdas. Estas superficies de Riemann también pueden tener «agujeros» (con fronteras S 1 ) , además de asas (véase la Fig. 3 1 .5) . Por analogía, 42 pode­ mos considerar generalizaciones del espacio IPT, que adquieren asas de un modo correspondiente, y también «agujeros» (con fronteras que son copias de IPN) . Estas se conocen como «espacios twistoriales pretzel», y es posible desarrollar una forma de QFT basada en estos espacios (véa­ se la Fig. 33.23) . Por el momento, el estatus de estas ideas no ha sido completamente establecido. Históricamente, el requisito de frecuencia positiva -y esta propie­ dad de que IPN divide a IPT en dos mitales tales- ofreció una motiva­ ción clave en la formulación original de la teoría de twistores; fue en 1 963, más de doce años antes del descubrimiento de que los campos sin masa tienen una descripción twistorial como cohomología holo­ morfa de primer haz. 43 Resulta sorprendente que aquí tengamos una vez más una propiedad que es específica del hecho de que el espacio­ tiempo tiene cuatro dimensiones con signatura lorentziana. Hay tam­ bién algo muy concreto en el hecho de que tenemos primeros ele­ mentos de cohomología que desempeñan un papel en la teoría de � [33.27] Pruebe esto: Demuestre, a partir de la ecuación de incidencia, que un vec­ tor de posición complejo r" para un punto R de CM representado por una línea pro­ yectiva en IP'lr-, si y solo si la parte imaginaria de r" es de género tiempo y apunta al pa­ sado. 1329

EL CAMINO A LA REALIDAD

§33. 1 1

(a) Fig. 33.23. (a) Teoría de campo conforme (modelo tipo teoría de cuerdas) , basada en generalizaciones de la esfera de Riemann a superficies de Riemann de género más alto que pueden tener «agujeros» de tamaño finito, así como asas (véase la Fig. 3 1 .5: los agu­ jeros representan lugares donde se introduce información externa) . (b) Versión twisto­ rial que utiliza generalizaciones de IP'lí, que adquiere «asas» de una manera que corres­ ponde a superficies de Riemann, y también •agujeros• cuyas fronteras son copias de IP'N («espacios twistoriales pretzel») .

twistores, en lugar de funciones ordinarias -que son elementos de co­ homología «cero»-, o elementos de segunda cohomología y superio­ res. También existen nociones de orden superior de cohomología (y tie­ nen un papel que desempeñar en la teoría de twistores), pero hay algo único en la primera cohomología que es fundamental para la teoría de twistores. Pues solo entonces estas cantidades encuentran un papel di­ recto para generar deformaciones del espacio twistorial. Vayamos a ello. 33. 1 1 . EL GRAVITÓN NO LINEAL

Los elementos de cohomología (funciones twistoriales) que hemos considerado deberían pensarse, de momento, como enteramente «pasi­ vos», en el sentido de que están simplemente «pintados» en el espacio (twistorial). Esto corresponde al hecho de que describen campos espa­ ciotemporales que simplemente residen en el espaciotiempo y no in­ fluyen en otros campos. Para ver cómo pueden proporcionar una in­ fluencia activa, pensemos que la «pintura» en el espacio twistorial «se seca», de modo que ahora el espacio se distorsiona (Fig. 33.24). Para ver cómo puede suceder esto, consideremos que nuestra función twistorial previamente pasivaf¡¡ está asociada de la forma apropiada a un campo 1 330

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33 . 1 1

(b)

(a)

Fig. 33.24. Un elemento de campo vectorial de primera cohomología es «pasivo» (i.e., simplemente «pintado en» el espacio). Para que tenga una influencia activa, considere­ mos el «secado de la pintura» como un resultado de una exponenciación del campo vectorial en cada solapamiento. El resultado de esto es un «deslizamiento» finito de una carta sobre otra, lo que da una distorsión finita, o un «espacio curvo».

vectorial F'. .. «Deslizando una carta sobre otra» una cantidad infinitesimal en la dirección de estos campos vectoriales, empezamos a «secar la pintura» y construir un espacio twistorial infinitesimalmente «curva­ do». Podemos imaginar que esta deformación es «exponenciada» (§14.6) hasta que se obtiene una deformación finita del espacio twistorial (¡pintura completamente seca!) . La primera situación en la que se aplicó con éxito este procedi­ miento fue en el caso de la gravedad anti-autodual. 44 En el caso infini­ tesimal (campo débil) tenemos un campo sin masa de helicidad S = -2, de modo que, utilizando la fórmula anterior -2S - 2 para el grado de homogeneidad, tenemos una función twistorialfi= f;) de homogenei­ dad 2. Aquí estamos suponiendo por simplicidad que hay solo dos car­ tas U y U2, cada una de las cuales se toma como una porción de un es­ 1 pacio twistorial plano lr con las coordenadas estándar de §33.5. El campo vectorial F requerido, construido a partir de J, resulta ser a¡ a a¡ a F= a wº aw1 - aw1 a wº· Nótese que el grado de homogeneidad 2 de f compensa exacta­ mente el de los dos operadores diferenciales para dar un operador que es homogéneo de grado cero, de modo que actúa sobre el espacio twis­ torial proyectivo. [33·2ª 1 Imaginemos ahora que exponenciamos este desplazamiento infini­ tesimal de una carta sobre la otra (véase la Fig. 33.25) . Entonces obte'

� [33.28) ¿Por qué el grado cero implica que esto da un campo vectorial en una re­ gión en IP'lr? Sugerencia: ¿Cuál es el conmutador de F con Y (§33.7)? 1331

§33. 1 1

EL CAMINO A LA REALIDAD

T

Ui

1ttt

�·, lt+ . �·

�·: :t 1

U2

-

e::: � == : � === � == �====�

r·-i .,

e� o

,

.,

l

T

�c�== �====== � �==1�=n

n-espacio

Simpléctico

Fig 33.25. Aplicamos la idea de la Fig. 33.24 en el caso de la descripción twistorial de la gravedad anti-autodual (con dos cartas) . El campo vectorial es (ojla w0)a/w1 - (oflow1)olwº, confhomogénea de grado 2. Obtenemos un espacio twistorial curvo T. Existe una proyección global de Ten el n-espacio. Cada fibra de esta proyección es un 2-espacio simpléctico complejo, como lo es el propio n-espacio.

nemos un espacio twistorial curvo T. La ausencia de 1T-derivadas en nuestra relación de carteado infinitesimal implica que el twistor en una carta debe tener la misma parte 1T que el twistor con el que empalma en la carta contigua. Se sigue de ello que la operación que «destaca» el espinor 1T del espacio carteado entero T es consistente sobre la totali­ dad de T. Es decir, existe una proyección global de T en el espacio de espinores 1T. I gnoremos (o preferiblemente eliminemos) los «elemen­ tos cero» tanto de T como del espacio 1T. Entonces encontramos que T es un tipo defibrado sobre el 71'-espacio (véase § 1 5.2). 45 Cada.fibra (ima­ gen inversa de cualquier 1T concreta, i.e., la parte de T que yace «sobre» 1T) resulta ser una 2-variedad completa con una estructura simpléctica, como la tiene el propio espacio 1T (véase § 1 4. 8; aquí esto solo signifi­ ca que una medida de área está definida en esta 2-variedad) , un hecho que está asegurado por la forma específica del carteado que se ha dado antes. ¿Cómo vamos a retomar contacto desde este espacio twistorial cur­ vo con alguna noción de «espaciotiempo»? La respuesta es que cada «punto espaciotemporal» corresponde unívocamente a una sección transversal holomorfa del fibrado T. (La noción de una sección trans­ versal holomorfa se ha visto en § 1 5.5; aquí es una aplicación del 1T-es­ pacio de nuevo en T.) ¿Por qué es esta una definición razonable? En el caso plano T, esto equivale a representar el punto espaciotemporal R (posiblemente complejo) por la aplicación que lleva 1T a Z = (ir1T, 1T). En términos del espacio twistorial proyectivo plano IJl>T, esta sección trans­ versal es simplemente la línea recta R (una esfera de Riemann, CIJl> 1 ) en 1332

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33. 1 1

IPlr que hemos utilizado en §33.5 para representar a RY3·29l Es muy no­ table que esta definición de un «punto espaciotemporal» funcione igual­ mente bien para el espacio twistorial curvo T Vemos46 que existe una

familia de secciones transversales holomorfas con 4 parámetros comple­ jos, igual que en el caso plano. (En el espacio proyectivo IPT, esta es una familia de líneas CIP 1 con 4 parámetros complejos.) Tenemos así una va­ riedad complej a 4-dimensional M para representar esta familia. La 4-dimensionalidad es un hecho notable -un ejemplo de la magia com­ pleja en dimensiones más altas- que se sigue de los teoremas del ma­ temático japonés Kunihiko Kodaira. 47 (La experiencia solo con varie­ dades reales podría haber llevado a esperar que hubiera una familia de infinitos parámetros de tales objetos. Pero ya hemos advertido en §1 5.5 que las secciones transversales holomorfas pueden ser muy restringidas.) En la Fig. 33.26 se ilustra gráficamente este procedimiento (en la descripción proyectiva) . Partamos de una región apropiada R del espa­ ciotiempo de Minkowski complej o CM. Por simplicidad, tomemos R como algún entorno (abierto) apropiado de un punto R en C M . La correspondiente región Q del espacio proyectivo IPlr es la barrida por la familia de líneas, cada una de las cuales representa un punto de R. Este será un entorno (conocido como entorno tubular) de la línea R, en IPlr, que representa a R (Figs. 33.26b,c) . Podemos considerar que la to­ pología de Q es S 2 X IR4, donde S 2 proviene de la topología de la línea R -o, de forma equivalente, del 1T-espacio proyectivo- y el IR 4 des­ cribe la parte transversal del entorno inmediato de cada punto de R. Pensemos ahora en S 2 (aquí el 1T-espacio proyectivo) separado en dos hemisferios, ligeramente ampliados, de modo que hay un «collar» de solapamiento, y entonces consideramos Q construido a partir de las dos piezas (conj untos abiertos) U y U2 solapadas que yacen por enci­ 1 ma de cada uno de estos hemisferios ligeramente ampliados (Fig. 33.26d) . Ahora «desplazamos» U2 con relación a UI ' según el campo vectorial anterior, para obtener nuestra región espacio twistorial pro­ yectiva deformada IPT (Figs. 33.26e,f) . Sigue habiendo una proyección global en el 1T-espacio (Fig. 33.26f) que da la estructura fibrada. Sin embargo, las «líneas rectas» originales en ..@ [33.29] Explique en qué sentido es esta línea una «sección transversal» de IP"U" 1 333

-

l.

EL CAMINO A LA REALIDAD

§33. 1 1

M ,..--,"" 'R.

1 i··'' '·

IP'lf

(a)

(d) I

(b)

l

\

... -

1 . l '7?.

(L

.... _,

l

C?3 -� (g)

8

J l

..

.

l

1'1

l

'lT-espacio - e::::====>

Fig 33.26. Construcción de un gravitón no lineal levógiro. (a) En la correspondencia twistorial estándar en el espacio plano, puntos P y Q de CM tienen una separación nula cuando quiera que las líneas correspondientes P y Q en IP'T se cortan. (b) Queremos deformar IP'T de algún modo en un esp:\cio twistorial curvo, pero algunos teoremas ma­ temáticos nos dicen que esto no puede hacerse globalmente. Por consiguiente, toma­ mos solo una vecindad adecuada (abierta) R, de un punto R en CM como nuestro «es­ paciotiempo» de partida. (c) Esto corresponde a una vecindad tubular Q, en IJJ>T, de la línea R. (d) Podemos aplicar ahora el procedimiento de la Fig. 33.25 para deformar Q (considerada como la unión de dos conjuntos abiertos U1 y Ur (e) Sin embargo, obser­ vamos que la línea original R está ahora rota, y no se puede utilizar como una defini­ ción razonable de un «punto espaciotemporal». (f) Un teorema de Kodaira viene en nuestra ayuda, para decirnos que existe una familia 4-paramétrica de «líneas» R* (cur­ vas holomorfas compactas, que pertenecen a la misma clase topológica que nuestras lí­ neas originales), que servirán para este propósito. (g) Los puntos de nuestro espacio «gravitón no lineal» buscado M (un 4-espacio complejo) están dados por curvas de Ko­ daira R•. La métrica (conforme compleja) de M está definida (como en (a)) por la con­ dición de que P* y Q* tienen separación nula cuando quiera que las líneas correspon­ dientes P* y Q* se cortan. La curvatura de Weyl de M resulta ser automáticamente anti-autodual, y es también Ricci-plana en virtud de los detalles de la construcción.

1334

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33. 1 1

u¡ y u2 están ahora rotas, de modo que no dan secciones transversales, pero, según el teorema de Kodaira, hay una nueva familia de 4 paráme­ tros de curvas holomorfas en IPT, siendo estas las secciones transversales holomorfas de la estructura fibrada. El espacio requerido M está cons­ truido de modo que cada uno de sus puntos corresponde a una de estas secciones transversales (Figs. 33.26f,g). Resulta que a M se le puede asignar una métrica g de una manera natural y que su curvatura de Weyl es anti-autodual, y es Ricci-plana. Podemos encontrar fácilmente los conos nulos de g (estructura conforme) utilizando el hecho de que los dos puntos P* y Q* de M tienen separación nula si y solo si se cor­ tan las líneas correspondientes P* y Q* en IPT (Fig. 33.26). Quizá el lector se preocupe por lo que en realidad significa fisica­ mente este «espacio tiempo» M . Resulta complejo (y, por consiguiente, 8-dimensional, en lugar de 4-dimensional, cuando se considera como variedad real) . En el caso plano, podemos discriminar los puntos espa­ ciotemporales reales (sucesos en M) tomando secciones transversales de lr que yacen en � . y considerar entonces que nuestro M es simple­ mente la complexificación CM del espacio de Minkowski M . Pero en el caso curvo no se nos permite tal lujo. De hecho, en el caso curvo, el «espaciotiempo» que obtenemos mediante esta construcción es nece­ sariamente una variedad compleja por sí misma, y no puede aparecer como una complexificación de un espaciotiempo real lorentziano. ¿Por qué es así? Una 4-variedad lorentziana con una curvatura de Weyl anti-autodual es necesariamente Weyl-plana (puesto que la con­ jugada compleja de la parte autodual cero es la parte anti-autodual, que por consiguiente es también cero). Si es también Ricci-plana, entonces es simplemente plana en general. En el caso complej o, 48 por el contra­ rio, hay una gran familia de 4-variedades Ricci-planas anti-autoduales y no triviales. ¡Es un hecho sorprendente que todas estas pueden obte­ nerse (al menos localmente) por medio del ya mencionado procedi­ miento twistorial! ¿Qué haremos con este espacio complej o M? Físicamente, la inter­ pretación de un 4-espacio complejo Ricci-plano y anti-autodual (si puede decirse que sea de «frecuencia positiva» en un sentido apropiado) es que representa un gravitón levógiro. De hecho, es un gravitón no lineal, en el sentido de que es un tipo de «función de onda», pero ahora es una

1335

§33.12

EL CAMINO A LA REALIDAD

solución de la ecuación no lineal de Einstein para el vacío (Ricci-pla­ nitud), en lugar de su aproximación lineal. Lo último habría sido el caso si solo hubiéramos tomado la función twistorialf como un elemento de cohomología, en lugar de permitir que «la pintura se seque» y deforme así el propio espacio twistorial. Vemos que la teoría de twistores nos ha llevado en una dirección curiosa y previamente inesperada en la unifi­ cación de ideas de la teoría cuántica con la estructura espaciotemporal. Nuestras funciones de onda twistoriales son ahora entidades no linea­ les, de modo que empiezan a aparecer desviaciones respecto a las reglas estándar de la mecánica cuántica lineal (§§22.2-4). Hay un aspecto de esta construcción que es particularmente digno de mención. Si tomamos cualquier punto Z del espacio twistorial cur­ vo T, observamos que cualquier entorno suficientemente pequeño de Z tiene una estructura idéntica a la de un entorno de cualquier punto escogido Z ' del espacio twistorial plano 1r (que no esté en la región «infinita» I; véase §33.5). Por consiguiente, la estructura local que po­ see el espacio twistorial es «blanda», en el sentido en que se ha utiliza­ do esta palabra en § 1 4.8. Así, toda la información relativa a curvatura, etc., del espacio M está almacenada en Tglobalmente, no localmente. Esto refleja el hecho mencionado antes de que un elemento de coho­ mología definido por una función twistorial desaparece por completo cuando se restringe a una región suficientemente pequeña. No hay «ecuaciones de campo» en el espacio twistorial. El tipo de información que está normalmente almacenada en las soluciones de las ecuaciones de campo en el espaciotiempo (en este caso, la· ecuación de Einstein anti-autodual) parece estar almacenada solo no localmente en una construcción espacio twistorial. 49 33. 1 2 . TWISTORES Y RELATIVIDAD GENERAL

Esta «construcción del gravitón no lineal» ha sido fundamental para el desarrollo de la teoría de twistores desde la década de 1 970. En su for­ ma inicial, pedía a gritos avances en dos direcciones diferentes. La más obvia de estas apuntaba a una construcción correspondiente para el gravitón no lineal dextrógiro, y para que este se combinara con el levó1 336

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TW!STORES

§33. 1 2

giro d e modo que pudieran formarse estados de polarización mixta (tales como gravitones no lineales plano polarizados) . Esta podría ser una parte clave del programa twistorial. Como se ha señalado antes, la noción de un «gravitón no lineal» está muy en el espíritu de búsque­ da de una teoría, como la que se ha defendido en el capítulo 30, en la que las reglas lineales estándar de la teoría U-cuántica ordinaria nece­ sitan doblegarse para que se pueda obtener la unión correcta con la relatividad general de Einstein. Sin embargo, el «gravitón» que ha apa­ recido en la construcción anterior es solo «medio gravitón», en cuan­ to que solo ha sido incorporado uno de los dos posibles estados de he­ licidad. Algunos lectores avisados podrían aventurar la sugerencia de que, si pasamos a una descripción en términos de twistores duales W , en lu­ ª gar de twistores Z', entonces se obtendría una función de onda no li­ neal para un gravitón dextrógiro, repitiendo la construcción anterior en términos de twistores duales. l33 ·3ºl De esta forma, sería el gravitón dex­ trógiro el que corresponde a la homogeneidad de grado 2 (en W ) y el ª levógiro el que corresponde a la homogeneidad 6 No obstante, esto no nos saca de dificultades, porque ahora perdemos los estados de hf:­ licidad levógira, y no tendría sentido utilizar las variables wa para los estados dextrógiros y las variables Z' para los levógiros, sobre todo 0 porque también necesitamos describir estados de helicidad mixta. 5 El problema de «exponenciar» de algún modo las funciones twis­ toriales .f(Z') de homogeneidad -6 para obtener un gravitón no lineal dextrógiro ha sido calificado como el problema googly (gravitacional) . (El término «googly» se utiliza en el críquet para describir una bola que gira en sentido dextrógiro con relación a su dirección de movimiento, aunque su lanzamiento se parece al que normalmente impartiría un giro levógiro.) Se ha tardado veinte años en encontrar una solución plausible, pero estudios recientes parecen ofrecer una construcción apropiada para esto. 5 1 Pese a todo, en el momento de escribir este libro muchos aspectos de los procedimientos siguen siendo conj�turas. No voy a intentar describir estos desarrollos aquí, excepto para decir que la -

.

� [33.30] ¿Por qué? Sugerencia: ¿Por qué una reflexión espacial convierte twistores en twistores duales? 1337

§33. 1 2

E L CAMINO A L A REALIDAD

nueva característica esencial es que las.fibras de la proyección de nues­ tro espacio twistorial curvo Ten el espacio proyectivo IP> T se «retuer­ cen» de una forma que está definida por una función twistorial de homogeneidad -6. (El «giro» se efectúa exponenciando un campo vec­ torial, sobre un par de cartas que se solapan, de la forma engañosa­ mente simple Cf-{,zaa;aza, donde C es una constante apropiada y f-{, es una función twistorial de grado de homogeneidad -6.) Esto permi­ te que las dos partes levógira y dextrógira del gravitón estén incorpo­ radas simultáneamente. Al menos en el caso de un espaciotiempo asintóticamente plano M de la forma adecuada, existe una construcción explícita directa para Ten términos de M. Además, hay una propuesta tentativa para obte­ ner M a partir de un Tdado, i.e., para construir puntos espaciotempo­ rales a partir de la estructura puramente twistorial de T, que se conje­ tura para asegurar que la Ricci-planitud (ecuación del vacío de Einstein) se incorpora correctamente. De forma significativa, la pro­ puesta está relacionada con un proyecto de investigación a largo plazo, debido a Ezra T. Newman y sus colegas, para interpretar puntos espa­ ciotemporales en términos de lo que se denominan «cortes de conos de luz», que son las intersecciones de los conos de luz en M con el in­ finito nulo futuro f+ . 52 Sin embargo, aunque parece prometedora, al­ gunos aspectos importantes de esta construcción twistorial siguen sin estar resueltos en el momento de escribir esto. 53 La otra dirección en la que la construcción del gravitón no lineal levógiro (de 1 975-1 976) reclamaba avances ·era en generalizaciones desde la teoría gravitacional a otros campos gauge. Muy pronto, en 1 976-1977, Richard Ward demostró cómo los campos gauge anti-auto­ duales podían obtenerse también utilizando una construcción twisto­ rial algo similar a la gravitatoria. De hecho, la construcción de Ward ha generado un considerable interés matemático y desarrollos posteriores por parte de Ward y otros, sobre todo en el área de los sistemas integra­ bles (ecuaciones no lineales que pueden resolverse, en un sentido apro­ piado, en el caso general) . Aquí la teoría de twistores ha proporciona­ do una potente visión de conjunto de este tema. 54 Parece probable que los avances mencionados hacia una completa solución al problema de la helicidad mixta gravitacional marcarán el camino para tratar los 1338

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33. 1 3

campos gauge generales (con helicidad mixta) también dentro del for­ malismo twistorial.

33. 1 3 . HACIA UNA TEORÍA TWISTORIAL DE LA FÍSICA DE PARTÍCULAS Esto nos lleva a la cuestión de cómo podría desarrollarse la teoría de twistores para dar una teoría fisica generalizada, lo que, por el momen­ to, no es. Para ello es importante que se desarrollen dos áreas adiciona­ les de estudio en la teoría de twistores. La primera trata de proporcio­ nar un tratamiento global de la QFT. De hecho, ha habido una considerable actividad, llevada a cabo principalmente por Andrew Hodges y sus estudiantes en Oxford (con alguna aportación inicial mía a comienzos de la década de 1 970), que proporciona un enfoque per­ turbativo de la QFT en el que los diagramas de Feynman se reemplazan por construcciones conocidas como diagramas twistoriales. Estos impli­ can una integración de contorno en altas dimensiones, y el formalismo consigue algunos éxitos sorprendentes al evitar muchos de los infinitos que se encuentran en los procedimientos de Feynman convenciona­ les. ss No obstante, el enfoque es todavía algo más complicado de lo que sería deseable, y carece de un principio guía independiente que nos diga exactamente qué integral de contorno hay que realizar, sin que tengamos que apelar como intermediarias a las expresiones con­ vencionales de Feynman. La segunda de estas áreas es la teoría twistorial de partículas, que fue desarrollada básicamente por Zoltan Perj és, George Sparling, Lane Hughston, Paul Tod y Florence Tsou (Tsou Seung Tsun) a partir de ideas que introduj e desde mediados de la década de 1 970 hasta princi­ pios de la de 1 980, pero que desde entonces se ha estancado. La idea básica aquí es que mientras que las partículas sin masa pueden describir­ se mediante funciones de onda twistoriales de una sola variable twis­ torial flZj, las partículas masivas requieren más variables, por ejemplo, XX, . . . , Z'. Existe una expresión para el momento lineal y el momento angular de una partícula masiva que supone sumar las contribuciones in­ dividuales de todos estos twistores, pero ahora hay un grupo de simetría interno que surge de las transformaciones entre estas variables twisto1 339

E L CAMINO A L A REALIDAD

§33. 1 4

riales y sus conjugadas complejas que no afectan al momento total ni al momento angular. Quizá valga la pena mencionar que se obtienen grupos que incluyen, pero que generalizan ligeramente, el U (2) de las interacciones electrodébiles y el SU(3) de las interacciones fuertes. Se advirtieron varias relaciones sorprendentes con la clasificación estándar de las partículas según el modelo estándar, pero el esquema llegó a es­ tancarse por ciertas razones técnicas. Parece haber una perspectiva ra­ zonable de que los recientes desarrollos en el «problema googly» -es­ pecialmente si pueden aplicarse a campos gauge- pudieran reabrir el tema. Hay también, en mi opinión, una posibilidad significativa de que la propuesta de Chan-Tsou para un modelo de fisica de partículas, bre­ vemente descrito en §25.8, pudiera ligarse de forma importante con estos desarrollos. Dicha propuesta requiere que exista un grupo dual para cada grupo de simetría (no abeliano) para partículas, además del grupo gauge original. La teoría de twistores sugiere que, de acuerdo con la construcción de Ward que se ha mencionado antes -junto con su conjeturada versión «googly»-, cada gupo debería intervenir en las versiones anti-autodual y autodual, y esto parece exigir que la forma dual del grupo gauge debería desempeñar un papel significativo ade­ más del papel del grupo gauge original. Así, utilizando ideas de la pro­ puesta de Chan-Tsou, el programa twistorial de partículas muy bien podría tomar parte en una futura fisica de partículas. Hay que antici­ par, además, que un progreso exitoso en esta área debería tener tam­ bién un impacto importante en el programa QFT de la teoría de dia­ gramas twistoriales.

33. 1 4.

¿EL

FUTURO DE LA TEORÍA DE TWISTORES?

En mis descripciones de la teoría de twistores no he advertido al lec­ tor de que mis ideas sobre el tema quizá no reflejen las de la comuni­ dad de fisicos en general. De hecho, puesto que he dedicado más de la mitad de mi vida (de manera intermitente) a la teoría de twistores, ape­ nas es probable que mi propia perspectiva se corresponda estrecha­ mente con la de muchos otros que no han estado tan implicados. Acle1340

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

§33. 1 4

más, debería dejar claro que la comunidad d e fisicos que dominan el tema es relativamente pequeña, y desde luego muy pequeña en rela­ ción con la de aquellos que saben de teoría de cuerdas o de supersi­ metría. La teoría de twistores no podría calificarse ni mucho menos como una actividad en la «corriente principal» de los fisicos teóricos actuales. Pese a todo, la teoría de twistores, como la teoría de cuerdas, ha ejercido una influencia significativa en las matemáticas puras, y esto se ha considerado una de sus mayores virtudes. La teoría de twistores ha tenido un impacto importante sobre la teoría de los sistemas integra­ bles (como se ha mencionado antes brevemente) , en la teoría de repre­ sentaciones 56 y en la geometría diferencial. (En esta última área debe­ ría mencionar el trabajo de Sergei A. Merkulov y L.J. Schwachhofer, que fueron capaces de encontrar una solución al que se conoce como el «problema de la holonomía», utilizando métodos desarrollados a par­ tir de los de la construcción del gravitón no lineal original. 57 En traba­ jos relacionados, la teoría de twistores tiene un valor importante en la construcción de lo que se denominan «variedades hyperkhaler», «espa­ cios de Zoll», etc.) 58 La teoría de twistores se ha visto guiada en gran medida por consideraciones de elegancia e interés matemático, y bue­ na parte de su fuerza reside en su estructura matemática rigurosa y fructífera. Todo esto está muy bien, podría estar inclinado a decir el lector in­ genuo con cierta justificación, pero ¿no me quej é yo, en el capítulo 3 1 , de que una debilidad de la teoría de cuerdas e s que su impulso era bási­ camente matemático y tenía poca guía procedente de la naturaleza del mundo fisico? En algunos aspectos, esta es también una crítica válida para la teoría de twistores. Ciertamente no hay una razón de peso pro­ cedente de los datos observacionales modernos que nos obligue a creer que la teoría de twistores ofrece el camino a seguir por la física mo­ derna. Además, muchos podrían tener la sensación de que la naturale­ za fuertemente quiral de la teoría lleva las cosas demasiado lejos en la dirección de la asimetría espacial. Después de todo, no hay evidencia fí­ sica de que una asimetría izquierda/ derecha tenga que desempeñar un papel en la física gravitacional. En los capítulos 27, 28 y 30 he señala­ do la necesidad de una asimetría temporal en la unión cuántico/ gravi1 341

§33.14

EL CAMINO A LA REALIDAD

tacional apropiada, pero no hay un requisito físico aparente de una asi­ metría espacial (salvo quizá indirectamente, vía el teorema CPT de la QFT; véanse §25.4 y §30.2) . Por supuesto, podría darse el caso de que la asimetría espacial en el formalismo no se traduj era en una asimetría en los efectos físicos. La mejor razón para esperar que esto sea cierto reside en el hecho de que las álgebras generadas por el par (Z", -lía!aZj , p or una parte, y (lía1azª, Z), por otra, son formalmente idénticas. Esto sugiere que, cualquiera que sea la conclusión a la que llegáramos a alcanzar utili­ zando una descripción twistorial (variables Zj , podría obtenerse igualmente utilizando una descripción dual twistorial (utilizando va­ riables wa = ZJ, y que esta similaridad es tan completa que ninguna simetría izquierda/derecha en gravitación emergería en la teoría resul­ tante. Por otra parte, si el formalismo ti ene que reflejar la naturaleza, entonces exigiremos una asimetría izquierda/ derecha cuando la teoría llegue a describir las interacciones débiles (§25.3) . Pero tal como está la teoría de twistores, en su relativamente primitivo estado actual, no hay ninguna razón clara para esta diferencia. Por ahora la principal crítica que se puede formular contra la teo­ ría de twistores es que no se trata realmente de una teoría física. Cier­ tamente no hace ninguna predicción física inequívoca. Mi propia pers­ pectiva (super)optimista sería considerar que la teoría de twistores es vagamente comparable al formalismo hamiltoniano de la física clásica. La teoría hamiltoniana no introdujo cambios físicos, pero ofreció una perspectiva diferente acerca de la física clásica que más tarde resultó ser la que se requería para la nueva teoría cuántica según las recetas de Schrodinger, como se ha descrito en los capítulos 2 1 -23. Análogamen­ te, la teoría de twistores es meramente una reformulación que no in­ troduce cambios fisicos. La esperanza optimista está en que su armazón pudiera proporcionar también un trampolín para algunos importantes desarrollos físicos en el futuro. Por supuesto, el escéptico no está obligado a creer que tales desa­ rrollos vayan a tener lugar, y el argumento básico para la teoría de twis­ tores reside, de hecho, como en la teoría de cuerdas (o en la teoría M), en la fuerza de su atractivo estético y matemático. Sin embargo, ambas teorías son incompatibles matemáticamente tal como están, puesto que 1342

PERSPECTIVAS MÁ S RADICALES: LA TEORÍ A DE TWISTORES

§33.14

operan con diferente número de dimensiones espaciotemporales. Se podría decir justamente (pero con demasiada dureza) que una predic­ ción de la teoría de twistores es que las aspiraciones de la teoría de cuerdas son erróneas. Esta incompatibilidad no se extiende a las va­ riantes o reinterpretaciones de la teoría de cuerdas (o la teoría M) don­ de las dimensiones extra no se consideran como dimensiones espacio­ temporales en absoluto, sino que se consideran como dimensiones «internas» de algún tipo. Aunque una reinterpretación semejante pare­ ce ofrecer un punto de vista consistente, está en desacuerdo con la fuerza impulsora que hay tras la teoría de cuerdas tal como se acepta habitualmente. En relación con esto, debería recordar al lector cierto trabajo muy reciente, mencionado en §3 1 . 1 8, básicamente de Edward Witten. 59 Este apunta a algunas posibilidades fascinantes para una nueva perspec­ tiva sobre las amplitudes de dispersión de Yang-Milis. Combina algunas ideas de la teoría de twistores con otras de la teoría de cuerdas, ¡pero ahora en un contexto 4-dimensional! En cualquier caso, la teoría de twistores requiere algún aporte nue­ vo. Entre los ingredientes más importantes de otras teorías físicas de éxito destacan los lagrangianos y las integrales de camino de Feynman, que proporcionan la forma adecuada en QFT de tratar las ecuaciones de campo (véase §26. 6) . Sin embargo, la teoría de twistores se jacta de la evaporación de las ecuaciones de campo (§§33 . 9, 1 1) , así que, al pa­ recer, se necesitan nuevas ideas para el desarrollo de una QFT twisto­ rial completa. 60 ¿Hace alguna otra «predicción» precisa la teoría de twistores? Lo más próximo a una predicción que puedo considerar es que las moti­ vaciones subyacentes en la teoría parecen implicar que el universo de­ bería tener una curvatura espacial negativa, i.e., K < O. Para ver la ra­ zón de esta expectativa, recordemos primero de los capítulos 27 y 28 (especialmente, §27 . 1 3) que el big bang parece haber tenido una natu­ raleza extraordinariamente uniforme, con un estrecho parecido a uno de los modelos de FLRW Estos modelos son conformemente planos (anulación de la curvatura de Weyl) y pueden describirse de forma muy simple en términos de un espacio twistorial plano (CIFD3) . 61 En cada uno de los casos K > O, K = O, K < O, hay un grupo de simetría 1 343

§33. 1 4

E L CAMINO A L A REALIDAD

exacta, pero solo en el caso K < O es este un grupo holomorfo. De he­ cho, en tal caso el grupo es precisamente aquel del que hemos partido con la «magia compleja» de la teoría de twistores, a saber, el grupo de Lorentz 0(1 ,3) , que (ignorando las reflexiones) es el grupo de trans­ formaciones holomorfas de la esfera de Riemann. ¿Dónde está esta es­ fera de Riemann? Es el «infinito» del 3-espacio hiperbólico -como el círculo !imitador de la imagen de Escher, reproducida en la Fig. 2. 1 1análogo a la esfera celeste de § 18.5, como una frontera para el 3-espa­ cio hiperbólico de § 1 8.4; véase la Fig. 1 8. 1 0. Vemos que K < O no es tanto una predicción de la teoría de twis­ tores como de la filosofia holomorfa subyacente. ¿Podemos ir más lej os y decir algo sobre la constante cosmológica A? Las construcciones twistoriales propuestas en la actualidad (véase §33. 1 2) parecen poder acomodar la ecuación del vacío de Einstein solo en el caso A = O, y es dificil ver cómo podría modificarse el tipo actual de procedimiento para acomodar A =F O. ¿Nos dice esto que A = O es una predicción de la teoría de twistores? ¡Más valdría que no (a pesar de mi preferencia personal por A = O) ! Pues datos observacionales muy recientes (véase §28 . 1 0) indican con fuerza A > O. Esto simplemente plantea a la teoría de twistores nuevos desafios. ¡Está claro que la teoría de twistores ten­ drá que hacerlo mucho mej or que esto si tiene que llegar a hacerse res­ petable como teoría fisica! ¿Qué pasa con las reglas de la teoría cuántica? ¿Señala la teoría de twistores alguna dirección concreta para el cambio, de acuerdo con las aspiraciones del capítulo 30? El gravitón no lineal de §33. 1 1 empieza a indicar que la aproximación twistorial implicará finalmente una modi­ ficación (no lineal) de las reglas de la mecánica cuántica. Sin embargo, todavía no hay mucho, dentro del formalismo twistorial, que indique la presencia de una asimetría temporal fundamental en estas modificacio­ nes, como se requeriría de acuerdo con las discusiones de §§30.2,3, 9 . Sin embargo, una posible característica sugestiva de los desarrollos «googly» concretos que se han discutido brevemente en §33. 1 2 es que realmente dependen de una descripción con asimetría temporal. La fuerza de esta posibilidad tendrá que esperar a futuros desarrollos, y de­ berían tenerse en cuenta los comentarios de los párrafos precedentes. Por consiguiente, la teoría de twistores no dice hasta ahora nada útil 1 344

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

Notas

sobre la reducción del estado cuántico, pese a que este fenómeno ha proporcionado una parte significativa de los impulsos motivadores ini­ ciales tras la teoría. Para concluir, abordemos la cuestión del estatus de la filosofía ho­ lomorfa subyacente, que constituye uno de los impulsos principales que hay tras la teoría de twistores. Creo que es justo decir que se ha mantenido esta filosofía y que ha ofrecido una poderosa fuerza im­ pulsora, que en algunos aspectos ha superado las expectativas (como sucede con las representaciones twistoriales de campos sin masa, tan­ to lineales (§§33.8-1 O) como no lineales (§§33. 1 1 , 1 2)). Pese a todo, en algún momento la teoría tendrá que decir algo sobre la presencia de números reales en la física y el comportamiento no holomorfo, tales como la emergencia de valores de probabilidad (de acuerdo con la re­ gla no holomorfa del módulo al cuadrado z � l z 1 2) y los puntos es­ paciotemporales reales, donde esperaríamos ser capaces de acomodar el comportamiento no analítico (no digamos ya el no holomorfo) . Con respecto a esta última cuestión, podría extraerse cierto aliento de la extraordinaria noción de las hiperfunciones, introducidas al final del capítulo 9 (véase § 9 7), según las cuales el comportamiento no analí­ tico puede representarse de forma muy elegante dentro del contexto de operaciones holomorfas. Queda para el futuro saber en qué medi­ da una teoría de twistores futura será realmente capaz de abordar estas cuestiones. .

N otas Sección 33. 1 33. 1 . Véase Ahmavaara (1 965) . 33.2. Véanse Schild (1 949) , 't Hooft (1 984) y Snyder (1 947) . 33.3. Véanse Sorkin (1991 ) , Rideout y Sorkin (1 999) y Markopoulos y Smolin (1 997) ; uno de los desarrollos más importantes en este campo fue Markopoulos (1 998) . 33.4. Véanse Kronheimer y Penrose (1 967) , Geroch et al. (1 972) , Hawking et al. ( 1 976) , Myrheim (1 978) y 't Hooft (1 978) . 33.5. Véase Finkelstein (1 969) . 1 345

EL CAMINO A LA REALIDAD

Notas

33.6. Véanse Smolin (200 1), Gürsey y Tze ( 1 996) , Dixon (1 994) , Manogue y Schray (1993) y Manogue y Dray ( 1 999). 33. 7. Véase Regge ( 1 962) para la referencia original. Immirzi ( 1997) ha escrito una revisión informal (e informativa) . 33.8. Jozsa desarrolló estas ideas en su tesis doctoral.Véase Jozsa ( 1 9 8 1 ) . 3 3 . 9 . Véase Isham y Butterfield (2000). 3 3 . 1 0 . Véase Goldblatt ( 1 979). 3 3. 1 1 . Véanse Eilenberg y Mac Lane (1 945), Mac Lane ( 1 9 88) y Lawvere y Schanuel ( 1 997). 33.12. Véanse Baez y Dolan ( 1 998), Baez (2000) , Baez (2001 ) y Chari y Pressley ( 1 994) . 33. 1 3 . Véase Connes y Berberian ( 1 995) . 33. 1 4. Hay también otros muchos usos de la geometría no conmutativa, tan­ to en matemáticas puras como aplicados a la física. Véase Connes ( 1 990, 1 998). Como ej emplo de los últimos, se ha desarrollado un ele­ gante formalismo para el tratamiento global de la renormalización con la ayuda de la geometría no conmutativa; véanse 26.9 y Kreimer (2000). 33. 1 5 . Véase Connes y Berberian ( 1 995).

Sección 33. 2 33. 1 6 . Para una exactitud estricta, necesitamos incluir u n equivalente a una esfera (de Riemann) de «rayos de luz en el infinito» para completar la definición de IJl>�; véase 33.3. 33. 1 7 . Esto necesitaría las apropiadas cantidades (escalares) no direccionales para el grupo de Poincaré (a saber, sus operadores de Casimir; véase §22 . 1 2) . Estas son el espín total y la masa en reposo (al cuadrado) . Sin embargo, no se sabe que la masa en reposo se construya como múlti­ plos enteros de algo, de modo que los aspectos combinatorios de un esquema semejante no son tan claros. Este enfoque fue desarrollado, de todas formas, por John Moussouris en su tesis doctoral en Oxford en 1 983 (véase Moussouris, 1 983) . Requería una etiqueta adicional unida a las líneas de la red además de masa y espín.

Sección 33.3 33. 1 8 . Véanse McLennan ( 1 965) y Penrose ( 1 963, 1 964, 1 9 65a, 1 986) .

Sección 33. 4 33. 1 9. Véase Penrose y Rindler ( 1 986) , en particular el apéndice.

1346

PERSPECTIVAS MÁS RADICALES: LA TEORÍA DE TWISTORES

Notas

33.20. Véanse Harvey (1 990) , Penrose y Rindler (1 986) y Budinich y Traut­ man (1 988) .

Sección 33. 6 33.21 . Véanse Penrose y Rindler (1 986) y Huggett y Tod (200 1 ) . 33.22. E n cualquier suceso x e n e l espaciotiempo hay dos direcciones nulas especificadas. Está la dirección del «rayo de luz» de esta familia que pasa por x y está la dirección del 4-momento de la partícula giratoria que representa el twistor. Estas dos direcciones nulas son las «direcciones nulas principales», i.e., las direcciones definidas por la representación de Majorana (véase §22. 1 0) , del (la parte autodual o anti-autodual) mo­ ment 1 , que sería ne­ cesario para la propuesta original de Hartle-Hawking) . De esta for­ ma, la planitud espacial global (K = O) puede ser compatible con la observación (como podría serlo la curvatura espacial global positiva) , con [},A = O, 7. En vista de ello, la mayoría de los inflacionistas parecen haber vuelto a que K = O es una predicción de la cosmología inflacio­ naria. ¡No estoy seguro de lo que hubiera dicho Popper sobre todo esto! De hecho, ahora hay una propuesta inflacionaria exótica en la que se introduce un nuevo ingrediente (un nuevo campo) para el universo, conocido como «quintaesencia», que proporcionaría una constante cosmológica efectiva a través de una «energía oscura» dinámica de pre­ sión negativa. Véase Steinhardt et al. (1 999) . Se ha argumentado que 1369

§34.4

EL CAMINO A LA REALIDAD

esto podría indicar que se nos viene una nueva fase de inflación (véase §28 . 1 0) . Cabe esperar que sugerencias que suenan tan fantásticas como estas encontrarán modos de ser concluyentemente establecidas obser­ vacionalmente, aunque, en la práctica, las cosas pocas veces parecen tan claras. En mi opinión, debemos ser extraordinariamente cautos respecto a este tipo de afirmaciones, incluso si están aparentemente apoyadas por resultados experimentales de gran calidad. Estos son a menudo analizados desde la perspectiva de alguna teoría científica de moda. Por ejemplo, las soberbias observaciones de BOOMERANG2 1 del fondo cósmico de microondas fueron originalmente interpretadas des­ de la perspectiva inflacionaria, y se ha proclamado con firmeza que las observaciones muestran realmente que K = O (y, por consiguiente, A = O) . Más aún, en el caso de algunos experimentos (como en el de BOOMERANG) , en los que se ha recogido una gran cantidad de da­ tos y hay mucho lugar para diferentes tipos de análisis, es posible que los datos en bruto no se distribuyan libremente durante un período de varios años para que las personas involucradas puedan tener (muy ra­ zonablemente) «prioridad» en ello. Durante el período intermedio, hay poco lugar para que los datos sean analizados desde otro punto de vis­ ta. De hecho, en el caso de B OOMERANG, Vahe Gurzadyan, con al­ gunos miembros del equipo, pudieron acceder realmente a los datos y aplicar su análisis de elipticidad (§28. 1 O), y encontraron un importan­ te indicio directo de que K < O (más tarde apoyado por su correspon­ diente análisis de los datos de WMAP) . Como sucede con la «anóma­ la» medida WMAP f = 2 (extrañamente oculta por el eje vertical en la Fig. 28. 1 9) , esto no es demasiado favorable para la posición inflaciona­ ria. ¡Tendremos que esperar hasta que se asiente el polvo por comple­ to antes de llegar a una conclusión clara sobre todo esto! Vemos así con qué fuerza pueden influir las cuestiones de moda científica en las direcciones de la investigación teórica en ciencia, pese a la tradicional insistencia de los científicos en la obj etividad de su dis­ ciplina. De todas formas, debería dejar absolutamente claro que la apa­ rente falta de obj etividad no es culpa de la propia naturaleza. Existe un mundo físico obj etivo ahí fuera, y los físicos consideran correctamen­ te que su trabajo es descubrir su naturaleza y entender su comporta1370

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.5

miento. La aparente subj etividad que vemos en las acusadas influencias de la moda mencionadas antes son solo características de nuestros es­ carceos en esta comprensión, donde las presiones sociales, las presiones de financiación y (comprensiblemente) las debilidades y limitaciones humanas desempeñan papeles importantes en las algo caóticas y a me­ nudo mutuamente incompatibles imágenes que se nos presentan en la actualidad.

34.5. ¿DÓNDE PODEMOS ESPERAR NUESTRA PRÓXIMA REVOLUCIÓN EN FÍSICA? Creo que en mis descripciones en este capítulo quizá he presentado una imagen del progreso actual hacia una comprensión fundamental de la física bastante más pesimista que la que se suele encontrar en las ex­ posiciones divulgativas. Pero creo también que es una imagen mucho más realista. Por otra parte, no quiero sugerir que hayamos alcanzado una etapa en la que sea prácticamente imposible un progreso funda­ mental, como algunos divulgadores han tratado de mantener. 22 Existe una enorme cantidad de datos observacionales a los que todavía hay que dar sentido, y esto sería así incluso si no se hicieran más experi­ mentos. Los datos resultantes de los experimentos modernos se suelen al­ macenar de forma automática, y solo un aspecto particular de la infor­ mación almacenada puede ser de interés para los teóricos y los experi­ mentadores que están directamente involucrados. Sería así probable que el conjunto de datos fuera analizado solo en el aspecto concreto que aborda las cuestiones en las que aquellos están interesados. Es cier­ tamente posible que en tales datos haya ocultas muchas claves sobre la naturaleza, incluso si todavía no las hemos leído de manera adecuada. Recordemos que la relatividad general de Einstein estaba basada fun­ damentalmente en una idea (el principio de equivalencia; véase § 1 7.4) que había estado implícita en datos observacionales que existían desde (e incluso antes de) la época de Galileo, aunque no del todo aprecia­ dos. Muy bien puede haber otras claves ocultas en las inconmensura­ blemente más extensas observaciones modernas. Quizá haya incluso 1 371

§34.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

claves «obvias» ante nuestros propios ojos que necesitan que se les dé la vuelta para contemplarlas desde una perspectiva diferente, de modo que pueda obtenerse una perspectiva fundamentalmente nueva respec­ to a la naturaleza de la realidad fisica. De hecho, creo que es necesaria una nueva perspectiva de esta na­ turaleza, y que este cambio de punto de vista tendrá que abordar las cuestiones profundas planteadas por la paradoja de la medida en mecá­ nica cuántica y la no localidad relacionada que es inherente a los efec­ tos EPR y la cuestión del «entrelazamiento» (capítulos 23 y 29) . He discutido en el capítulo 30 que la paradoja de la medida debe estar profundamente interconectada con los principios de la relatividad ge­ neral (y, específicamente, con el principio de equivalencia de Gali­ leo-Einstein que se ha mencionado) . Quizá nuevos experimentos (ta­ les como el de FELIX, o una alternativa más realista basada en tierra; §30. 1 3) puedan señalar el camino hacia una mejor comprensión de la teoría cuántica. Quizá habrá otros tipos de experimentos que arrojen luz sobre la naturaleza de la gravedad cuántica (tales como los diseña­ dos para poner a prueba la posibilidad de una dimensionalidad más alta para el espaciotiempo) . Tal vez, por el contrario, serán las consideracio­ nes teóricas las que nos hagan avanzar. ¿Van a encontrarse las semillas de tales supuestos desarrollos teóri­ cos en las ideas descritas en los capítulos previos de este libro? Eviden­ temente habría numerosos puntos de vista diferentes sobre esta cues­ tión, y la opinión personal debe desempeñar un papel importante en cualquier respuesta. Mi esperanza (durante más de cuarenta años) ha sido -y lo sigue siendo- que la herramienta de la teoría de twistores pueda aportar ideas que puedan conducir a un cambio semejante en el punto de vista fisico. Pero a pesar de los avances que se han hecho (véase el capítulo 33) , no puede decirse que la teoría de twistores nos haya llevado significativamente, tal como están las cosas, en alguna di­ rección que nos ayude a resolver la paradoja de la medida. Cualquiera que pueda ser la posición propia concerniente a los méritos relativos de las teorías que he descrito, se necesitan decidida­ mente nuevas ideas y nuevas perspectivas. ¿Cómo van a llegar estas? ¿Podemos esperar un «nuevo Einstein» trabajando en solitario que dé con ideas tan revolucionarias a partir fundamentalmente de elucubra1372

¿DÓNDE ESTÁ EL Ci\:.i11,;ci A LA REALIDAD?

§34.5

ciones interiores? ¿ O nos veremos conducidos de nuevo por hallaz­ gos experimentales enormemente enigmáticos? En el caso de Albert Einstein, sus intuiciones internas le llevaron finalmente a la relatividad general, que es en gran medida la «teoría de una persona» (pese a la aportación esencial que Einstein recibió de Lorentz, Poincaré, Mach, Minkowski, Grossmann y otros) . La teoría cuántica, p or el contrario, fue en gran medida la «teoría de muchas personas», pues estaba impul­ sada externamente por los extraordinarios resultados de cuidadosos ex­ perimentos. En el clima actual de la investigación fundamental, parece que resulta mucho más dificil que individuos aislados hagan progresos sustanciales de lo que lo era en la época de Einstein. El trabajo en equi­ po, los cálculos de computador en masa, el seguimiento de ideas en boga . . . Estas son las actividades que solemos ver en la investigación ac­ tual. ¿Podemos c onfiar en que las nuevas perspectivas fundamental­ mente necesarias salgan de tales actividades? Queda por verlo, pero tengo mis dudas sobre ello. Quizá si las nuevas direcciones tuvieran un impulso más experimental, como fue el caso de la mecánica cuántica en el primer tercio del siglo xx, podría funcionar el enfoque de «mu­ chas personas». Pero veo que en el área de la gravedad cuántica esto solo puede suceder si existen experimentos que revelen una influencia de los principios de la relatividad general en la propia estructura de la mecánica cuántica (como he planteado en el capítulo 30) . A falta de esto, tengo la sensación de que se necesitará algo más parecido a la aproximación einsteniana de «una persona».Y para eso hay pocas du­ das, en mi opinión, de que la estética matemática debe ser una fuerza impulsora importante además de la intuición física. La razón para esta creencia es que cuanto más profundamente son­ deamos los fundamentos del comportamiento físico, más encontramos que está controlado de forma precisa por las matemáticas. Más aún, las matemáticas que encontramos no son solo del tipo que lleva a un cálcu­ lo directo; son de un carácter profundamente sofisticado, donde hay una belleza y una sutileza que no se ven en otras matemáticas que son rele­ vantes en un nivel menos fundamental. De acuerdo con esto, el progre­ so hacia una comprensión física más profunda, cuando no puede ser guiado en detalle p or el experimento, debe basarse cada vez c on más fuerza en una capacidad para apreciar la relevancia física y la profundi1 373

§34.5

EL CAMINO A LA REALIDAD

dad de las matemáticas, y «olfatear» las ideas apropiadas mediante el uso de una apreciación matemática estética y profundamente sensible. Por la propia naturaleza del problema, es extraordinariamente difi­ cil establecer cualquier tipo de criterio fiable para conseguir esto. En el contraste entre los enfoques que se han descrito en los últimos capítu­ los de este libro, ya hemos visto cuántos y qué diferentes desarrollos matemáticos, cada uno de ellos guiado por su propio conjunto de cri­ terios estéticos fisicos y matemáticos, pueden desarrollarse en direccio­ nes mutuamente contradictorias. Algunos han argumentado que quizá deberíamos buscar la forma de reunir todos estos enfoques en algún tipo de síntesis, quizá destilando lo que es apropiado del conjunto de todos ellos. Por el contrario, podría argumentarse razonablemente que las contradicciones entre los diferentes enfoques son demasiado gran­ des, y que a lo sumo puede sobrevivir uno de ellos, teniendo que des­ cartarse todos los demás. Particularmente, sospecho que la verdad está en algún lugar entre estos extremos, y que todavía puede hallarse algo de importancia incluso en muchas de las teorías cuyas ideas principales tendrán que ser abandonadas al final. Algunas de las teorías que he descrito, aunque no completamente compatibles, tienen una base común apreciable. En particular, la apro­ ximación de variables de lazo del capítulo 32 tiene características im­ portantes en común con la teoría de twistores (capítulo 33) y puedo imaginar perfectamente que una combinación adecuada de las ideas de cada una de ellas (que quizá incluya redes de espín, espumas de espín, teoría de n-categorías, o incluso geometría no conmutativa) pudiera llevar a un avance. Pero la teoría de cuerdas, tal como está hoy día, con su dependencia de dimensiones espaciales extra, está para mí demasia­ do lejos de la teoría de twistores o de variables de lazo para que surja una unión previsible. Las cuerdas propiamente dichas no son una razón para la incompatibilidad (§31 .5). Incluso la supersimetría ha sido uni­ da a ideas twistoriales. 23 Pero la insistencia de la teoría de cuerdas en dimensiones más altas (especialmente en aquellas dimensiones/signa­ turas concretas que violan la filosofia holomorfa de la teoría de twisto­ res; véase el párrafo final de §33.4) representa un conflicto fundamen­ tal tanto con la teoría de twistores como con la de las variables de lazo. Hasta muy recientemente los teóricos de cuerdas no han mostrado 1374

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.6

ninguna inclinación a ofrecer una teoría ( 1 + 3)-dimensional consis­ tente. Sin embargo, como se ha mencionado en §3 1 . 1 8 y §33. 1 4, se ha producido un cambio reciente, y ahora parecen tomarse en serio apli­ caciones de ideas de la teoría de cuerdas a un espaciotiempo ( 1 + 3)-di­ mensional ordinario.

34.6. ¿QUÉ

ES LA

REALIDAD?

Como el lector habrá podido deducir, no creo que hayamos encontra­ do todavía el verdadero «camino hacia la realidad», pese a los extraor­ dinarios progresos que se han hecho durante dos mil quinientos años, sobre todo en los últimos siglos. Ciertamente, se necesitan ideas funda­ mentalmente nuevas. Pese a todo, algunos lectores podrían muy bien adoptar el punto de vista de que el propio camino puede ser un espe­ jismo. Es cierto, podrían argumentar, que hemos tenido la suerte de dar con esquemas matemáticos que presentan una notable coincidencia con la naturaleza, pero la unidad de la naturaleza en su conjunto con un esquema matemático puede no ser más que una «quimera». Otros podrían adoptar el punto de vista de que la propia idea de una «reali­ dad fisica» verdaderamente obj etiva, con independencia de cómo deci­ damos mirarla, es en sí misma una quimera. De hecho, podemos muy bien preguntar:¿qué es la realidad fisica? Esta pregunta se ha planteado durante miles de años, y a lo largo de los tiempos los filósofos han intentado todo tipo de respuestas. Hoy mira­ mos en retrospectiva desde nuestro punto de vista de la ciencia moder­ na y decimos adoptar una posición más moderada. Más que intentar responder a la pregunta «¿qué?», la mayoría de los científicos modernos tratarán de evitarla. Intentarán argumentar que la pregunta ha sido mal planteada: no deberíamos preguntar qué es la realidad, sino meramente cómo se comporta. «¿Cómo?» es, de hécho, una pregunta fundamental que podemos considerar que ha sido uno de los intereses principales de este libro. ¿Cómo describimos las leyes que rigen nuestro universo y sus contenidos? Pese a todo, muchos lectores sentirán sin duda que esta respuesta es algo decepcionante: un perfecto «escaqueo». Saber cómo se comportan 1 375

§34.6

EL CAMINO A LA REALIDAD

los contenidos del universo no parece decirnos mucho acerca de qué es lo que se está comportando así. Esta pregunta «¿qué?» está íntimamente relacionada con otra pregunta antigua y profunda, a saber, «¿por qué?» . ¿Por qué los objetos d e nuestro universo se comportan d e l a forma particular que lo hacen? Pero sin saber qué son estos objetos, es dificil ver por qué deberían hacer una cosa antes que otra. La ciencia moderna debería ser prudente al intentar dar respuestas a preguntas «¿por qué?» tanto como a preguntas «¿qué?». Pese a todo, preguntas como «¿qué?» y «¿por qué?» reciben frecuentemente res­ puestas. Se cree que está bien hacerlo así siempre que las preguntas no estén preguntando algo sobre la realidad en sus niveles más profundos. Se puede esperar una respuesta a preguntas como las siguientes: «¿de qué está compuesta una molécula de colesterol?», «¿por qué se encien­ de una cerilla cuando se frota rápidamente sobre una superficie rugosa apropiada?», «¿qué es una aurora?», «¿por qué brilla el Sol?», «¿cuáles son las fuerzas que mantienen unidos a un átomo de hidrógeno o a una molécula de hidrógeno?», «¿por qué es inestable el núcleo de uranio?». Pero otras preguntas posibles podrían causar más embarazo, tales como: «¿qué es un electrón?» o «¿por qué el espacio tiene solo tres dimensio­ nes?». Sin embargo, estas preguntas pueden encontrar significado den­ tro de alguna imagen más fundamental de la realidad física. Se verá, sobre todo por las discusiones de los capítulos 3 1 -33, que los físicos modernos describen las cosas invariablemente en términos de modelos matemáticos. Esto es independiente de la familia concreta de propuestas que puedan sostener. Es como si trataran de encontrar la «realidad» dentro del mundo platónico de las ideas matemáticas. Seme­ jante visión parecería ser una consecuencia de alguna «teoría de todo» propuesta, pues entonces la realidad física aparecería como un reflejo de leyes puramente matemáticas. Como he argumentado en este capí­ tulo, sin duda estamos a mucha distancia de una teoría semejante, y es materia de controversia si se encontrará alguna vez algo parecido a una «teoría de todo». Sea como fuere, se da el caso de que cuanto más pro­ fundamente sondeemos los secretos de la naturaleza, más profunda­ mente nos vemos dirigidos hacia el mundo platónico de las ideas ma­ temáticas a medida que buscamos el conocimiento. ¿Por qué es así? Por el momento, solo podemos verlo como un misterio. Es el primero de 1376

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

Mentalidad

____ _

Fisicalidad

§34.6

Fig. 34. 1 . Una repetición del dia­ grama (Fig. 1 .3) que muestra «tres mundos y tres misterios», pero em­ bellecido con los otros «absolutos platónicos» de belleza y moralidad, además de la verdad absoluta que debe encontrarse en las matemáti­ cas. Belleza y verdad están entreteji­ das, la belleza de una teoría fisica ac­ túa como guía para su corrección en relación con el mundo fisico, mientras que la cuestión general de la moralidad depende en última ins­ tancia del mundo de la mentalidad.

los tres profundos misterios mencionados en § 1 .4 e ilustrados en la Fig. 1 .3, y aquí vueltos a dibujar y algo adornados como en la Fig. 34. 1 . Pero ¿son las nociones matemáticas cosas que habitan realmente en un «mundo» propio? Si es así, parece que hemos encontrado que nues­ tra realidad última tiene su hogar dentro de este mundo completamen­ te abstracto. Algunas personas tienen dificultades para aceptar que el mundo matemático de Platón es en cierto sentido «real», y no obten­ drán ningún consuelo de una visión en la que la propia realidad física está construida a partir de nociones abstractas. Mi postura en esta cues­ tión es que ciertamente deberíamos considerar que el mundo de Pla­ tón proporciona un tipo de «realidad» para las nociones matemáticas (y he tratado de argumentar con fuerza esta postura en § 1 .3), pero me re­ sistiría a intentar identificar la realidad física dentro de la realidad abs­ tracta del mundo de Platón. Creo que mi posición sobre esta cuestión está bien expresada en la Fig. 1 .3 , donde cada uno de los tres mun­ dos -matemático-platónico, físico y mental- tiene su propio tipo de realidad, y donde cada uno está basado (profundamente y misteriosa­ mente) en el que le precede (tomando los mundos cíclicamente) . Me gusta pensar que, en cierto sentido, quizá sea el mundo platónico el más fundamental de los tres, puesto que las matemáticas son una nece­ sidad que prácticamente se conjura a sí misma mediante la sola lógica. 1377

§34.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

Sea como fuere, existe el misterio, o paradoja, adicional del aspecto cí­ clico de estos mundos, donde cada uno de ellos parece capaz de englo­ bar en su totalidad al que le sigue, aunque en sí mismo parezca depen­ der solo de una pequeña parte de su predecesor. 34.7. Los PAPELES DE LA MENTALIDAD EN LA TEORÍA FÍSICA Debemos tener en cuenta que cada «mundo» posee su propio tipo de existencia, diferente del de los otros dos. En cualquier caso, no creo que, en última instancia, seamos capaces de considerar cualquiera de estos «mundos» por sí mismo, separado de los otros dos. Puesto que uno de estos es el mundo de la mentalidad, esto plantea la cuestión del papel de la mente en la teoría física, y también de cómo interviene la mentalidad en las estructuras físicas con las que está relacionada (tales como, al menos, los cerebros humanos vivos, despiertos y sanos)� Me he abstenido de manera deliberada de abordar extensamente en este libro la cuestión de la mentalidad consciente, pese al hecho de que esta cues­ tión debe ser en definitiva importante en nuestro intento de entender la realidad física. (He discutido en detalle estas cuestiones en otra obra, y aquí no plantearé muchos de los puntos controvertidos que apare­ cen.) 24 Pero no sería apropiado que tratara de evitar por completo la cuestión de la mentalidad. Aparte de que el mundo de la mentalidad deba considerarse en unión de los otros dos mundos, de acuerdo con la Fig. 34. 1 , hay varios apartados en este libro donde la cuestión de la consciencia ha desempeñado ya un papel importante en la teoría físi­ ca, ya sea implícita o explícitamente. Uno de estos está relacionado con el principio antrópico, mencio­ nado en §27 .3 y discutido con cierto detalle en §§28.6,7. Cualquier universo que pueda «ser observado» debe ser capaz, como necesidad lógica, de soportar la mentalidad consciente, puesto que la consciencia es precisamente la que desempeña el papel final como «observador». Este requisito fundamental podría muy bien proporcionar ligaduras so­ bre las leyes físicas o los parámetros físicos del universo, para que pueda existir (y exista) mentalidad consciente. Por consiguiente, el principio antrópico afirma que el universo que nosotros, como observadores 1378

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§3 4.7

conscientes, realmente observamos debe operar con leyes y valores apropiados de los parámetros que sean compatibles con dichas ligadu­ ras. Tales ligaduras podrían manifestarse en valores concretos para las constantes (adimensionales) fundamentales de la naturaleza, discutidas en §3 1 . 1 . De hecho, se ha convertido en un tópico el considerar que los valores que en realidad encontramos son el resultado de algún tipo de aplicación del principio antrópico. Por desgracia, incluso si los valores de estas constantes están deter­ minados por el principio antrópico -antes que, digamos, por conside­ raciones matemáticas-, el principio es casi inutilizable, pues sabemos muy poco sobre las condiciones que son necesarias para que exista la consciencia y realmente se produzca. Es casi del todo inutilizable en un universo espacialmente infinito y esencialmente uniforme (K ::5 O) , porque en un universo semej ante cualquier configuración de materia que pudiera ocurrir por azar, ocurriría en algún lugar, de modo que incluso condiciones muy desfavorables para la vida consciente estarían permitidas por el principio; véase §28.6. En mi opinión, una posibili­ dad mucho más optimista es que estas constantes fundamentales sean en realidad números matemáticamente determinables. En un universo espacialmente infinito, esta necesidad no plantea problemas importan­ tes con el principio antrópico. Hay un papel importante e independiente que desempeña la cons­ ciencia en muchas interpretaciones de la parte R de la mecánica cuán­ tica, como se ha expuesto en el capítulo 29 (en particular, en §§29.7,8) . De hecho, casi todas las interpretaciones «convencionales» dependen en definitiva de la presencia de un «ser perceptivo», y por ello parecen exigir que sepamos qué es realmente un ser perceptivo. Recordemos que la interpretación de Copenhague (punto de vista (a) en §29 . 1) considera que la función de onda no es una entidad física objetiva­ mente real, sino que, en efecto, es algo cuya existencia está «en la men­ te del observador». Además, al menos en una de sus manifestaciones, esta interpretación requiere que una medida sea una «observación», lo que presumiblemente significa algo finalmente observado por un ser consciente, aunque, en un nivel de aplicabilidad más práctico, la medi­ da es algo realizado por un aparato de medida «clásico». No obstante, esta dependencia de un aparato clásico es solo una «medida provisio1 379

§34.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

nal», puesto que cualquier aparato real sigue estando hecho de compo­ nentes cuánticos, y en realidad no se comportaría de forma clásica -ni siquiera aproximadamente- si se atuviera a la evolución U cuántica es­ tándar. (Esta es simplemente la cuestión del gato de Schrodinger; véan­ se §§29.7-9 y § §30. 1 0-1 3.) La cuestión de la decoherencia por el en­ torno (punto de vista (c) en §29 . 1 ) también nos ofrece una posición provisional, puesto que la inaccesibilidad de la información «perdida en el entorno» no significa que esté perdida realmente, en un sentido obje­ tivo. Pero para que la pérdida sea subjetiva, nos vemos abocados de nuevo a la cuestión de lo «subjetivamente percibido . . . ¿por quién?» que nos devuelve a la cuestión del observador consciente. En cualquier caso, incluso con la decoherencia por el entorno, si mantenemos la adhesión rigurosa a la evolución U para la «verdadera» descripción cuántica del universo, entonces nos vemos dirigidos a la des­ cripción de los muchos universos para la realidad (punto de vista (b) en §29. 1 ) . El punto de vista de los muchos universos es manifiestamente dependiente de tener una comprensión adecuada de lo que constituye un «observador consciente», puesto que cada «realidad» percibida está asociada con un «estado de observador», de modo que no sabemos qué estados de realidad (i.e., «mundos») están permitidos hasta que sepamos qué estados de observador están permitidos. Dicho de otra forma, el comportamiento del mundo aparentemente objetivo que es realmente percibido depende del camino que siga la consciencia de uno a través de las miríadas de alternativas cuánticamente superpuestas. En ausencia de una teoría adecuada de los observadores conscientes, la interpreta­ ción de los muchos universos debe necesariamente seguir estando fun­ damentalmente incompleta (véase §29. 8). 25 El enfoque de las historias consistentes (punto de vista (d) en §29.2) también depende explícitamente de cierta noción de lo que pudiera ser un «observador» (la noción mencionada como un IGUS en el es­ quema de Gell-Mann/Hartle) . 26 El punto de vista sugerido por Wig­ ner (una versión del punto de vista (f) en §29.2) , según el cual la cons­ ciencia (o quizá los sistemas vivos en general) podría violar la evolución U también es otro punto de vista que hace referencia explícitamente al papel de la mente (o de lo que quiera que sea lo que constituye un «observador») en la interpretación de la mecánica cuántica. Por lo que 1 380

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.7

puedo deducir, las únicas interpretaciones que no dependen necesaria­ mente de una noción de «observador consciente» son las de De Bro­ glie -Bohm (punto de vista (e) en §29.2) 27 y la mayoría de aquellas (puntos de vista (f) en §29.2) que requieren algún cambio fundamen­ tal en las reglas de la mecánica cuántica, según las cuales tanto U como R deben tomarse como aproximaciones a cierta evolución física obje­ tivamente real. Como he afirmado en muchos apartados de este libro (en espe­ cial, en el capítulo 30) , me adhiero a este último punto de vista, según el cual es en los fenómenos gravitatorios donde una R objetiva (i.e., RO) domina sobre U. Esta RO gravitatoria tendría lugar espontánea­ mente, y no requiere que un observador consciente forme parte del proceso. En circunstancias normales, habría frecuentes manifestaciones RO que ocurren continuamente, y estas conducirían a que a gran es­ cala emerja un mundo clásico como excelente aproximación. Por con­ siguiente, no hay necesidad de invocar ningún observador consciente para conseguir la reducción del estado cuántico (R) cuando tiene lu­ gar una medida. Por otra parte, imagino que el fenómeno de la consciencia -que considero que es un proceso físico real, que aparece «ahí fuera» en el mundo físico- hace uso fundamentalmente del proceso RO real. Así pues, mi posición es básicamente la inversa de las antes mencionadas, en las que, de un modo u otro, se imagina que la consciencia es res­ ponsable del proceso R. En mi opinión, es un proceso R físicamente real el que es (parcialmente) responsable de la propia consciencia. 28 ¿Es esta afirmación verificable experimentalmente? Creo que lo es. En primer lugar, hay sugerencias concretas acerca de estructuras en el cerebro que podrían ser relevantes -muy en particular, los microtú­ bulos neuronales A- reticulares, como sugirió originalmente Stuart Ha­ meroff29 (pero quizá también otras estructuras, como las clatrinas si­ nápticas, 30 cuya estructura se asemeja mucho a las moléculas de C 60)­ y hay un espacio considerable para confirmar/refutar estas ideas con­ cretas. El esquema requeriría un tipo de coherencia cuántica a gran es­ cala que actuara en regiones considerables del cerebro (con caracterís­ ticas en común con la superconductividad a alta temperatura; 3 1 véase §28 . 1 ) , y se supone que los microtúbulos neuronales A-reticulares de1381

§34.7

EL CAMINO A LA REALIDAD

sempeñarían un papel importante en ello. Un suceso consciente estaría asociado con una reducción parcial (RO orquestada) del estado de di­ cho sistema cuántico. Esto implicaría normalmente a muchas partes del cerebro juntas, para conseguir suficiente movimiento coherente en moléculas de proteína para producir la RO gravitatoria de acuerdo con la propuesta descrita en §§30. 1 1 , 1 2. Hay una ingeniosa sugerencia propuesta por Andrew Duggins se­ gún la cual estas conjeturas -aunque no específicas de la hipótesis de los microtúbulos- podrían ser puestas a prueba. Esta sugerencia de­ pende del hecho de que regiones completamente diferentes del cerebro son responsables de diferentes aspectos de la percepción (tales como la percepción visual del movimiento, del color o de la forma) , y, pese a todo, en la imagen que resulta en la consciencia, todos estos aspectos diferentes se unen para formar una única imagen. Esto se conoce a ve­ ces como el problema de la encuadernación. La idea de Duggins consiste en tratar de ver si hay violaciones significativas de las desigualdades de Bell implicadas en la formación de una imagen consciente, lo que in­ dicaría la presencia de efectos tipo EPR no locales (§§23.3-5) , que su­ gerirían con fuerza que efectos cuánticos a gran escala forman parte de la percepción consciente. Hasta ahora, los resultados preliminares no son concluyentes, aunque sí algo alentadores. 32 Cualquiera que sea el estatus de estas ideas, creo que una teoría fi­ sica «fundamental» que proclame cualquier tipo de compleción en los niveles más profundos de los fenómenos fisicos debe tener también la capacidad de acomodar la mentalidad consciente. Algunas personas tra­ tarían de evitar (o empequeñecer) este problema, argumentando que la consciencia «emerge» simplemente como una especie de «epifenóme­ no». Por consiguiente, se afirmaría, para la emergencia de la consciencia no importa el tipo exacto de fisica que pueda subyacer en los procesos fisicos (no necesariamente biológicos) relevantes. Una postura estándar es la del funcionalismo computacional, según el cual es meramente la acti­ vidad computacional (de cierta naturaleza apropiada pero aún no es­ pecificada) la que da lugar a la mentalidad consciente. He argumentado con vehemencia contra esta idea (en parte utilizando razonamientos basados en el teorema de Godel y la noción de computabilidad de Tu­ ring; véase § 1 6.6) , y he sugerido, de hecho, que la consciencia depen1382

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.8

de realmente de la teoría RO (gravitatoria) de la que carecemos. 33 Mis argumentos exigen que esta teoría debe ser una teoría no computacional (i. e., sus acciones caen fuera del ámbito de la simulación por una má­ quina de Turing; § 1 6 .6). Las ideas teóricas para producir un modelo RO de este tipo están hoy día en una fase muy preliminar, pero quizá haya aquí algunas claves.

34.8. NUESTRO LARGO CAMINO MATEMÁTICO A LA REALIDAD Espero que haya quedado claro de las discusiones ofrecidas en las sec­ ciones precedentes que nuestro camino hacia la comprensión de la na­ turaleza del mundo real está todavía muy lejos de su obj etivo. Quizá este objetivo no se alcance nunca, o tal vez surja con el tiempo una teoría final en cuyos términos pueda entenderse, en principio, lo que llamamos «realidad». Si es así, la naturaleza de dicha teoría debe diferir enormemente de lo que hasta ahora hemos visto en las teorías físicas. La idea simple más importante que ha surgido de nuestro viaje, de unos tres mil quinientos años de duración, es que existe una profunda unidad34 entre ciertas áreas de las matemáticas y el funcionamiento del i mundo f sico, y este es el «primer misterio» mostrado en las Fig. 1 .3 y 34. 1 . En mi opinión, si el «camino a la realidad» alcanza por fin su ob­ jetivo, entonces tendría que haber una simplicidad profundamente sub­ yacente en dicho punto final. Pero no veo esto en ninguna de las pro­ puestas existentes. Esta idea de los antiguos griegos de que son las matemáticas las que subyacen en el funcionamiento de la realidad física nos ha servido ex­ traordinariamente bien, y espero haber dejado claro que, pese a la dis­ tancia que queda respecto a nuestro pretendido objetivo, hemos llega­ do a una impresionante comprensión de las operaciones del universo en los niveles más profundos que conocemos. Algunos conceptos ma­ temáticos destacan por haber sido particularmente exitosos en el pa­ sado. Entre ellos están el sistema de los números reales y las ideas de la geometría. Inicialmente fue la geometría euclídea, estudiada de mane­ ra sistemática por primera vez por los antiguos griegos, pero luego las ideas se desarrollaron alejándose de la geometría de Euclides para lle1383

§34. 8

EL CAMINO A LA REALIDAD

gar a las de Lambert, Gauss, Lobachevski, Bolyai, Riemann, Beltrami y otros. Luego Minkowski nos habló de incorporar el tiempo al espacio, y Einstein nos presentó su magnífica geometría espaciotemporal curva de la relatividad general. El cálculo diferencial e integral de Arquíme­ des, Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Cartan y muchos otros, y también las ideas relacionadas de las ecuaciones diferenciales, ecuaciones inte­ grales y derivadas variacionales, se han mostrado absolutamente vitales para las teorías exitosas que describen el funcionamiento del mundo, uniéndose con la geometría de maneras que tienen un significado pro­ fundo. También han sido fundamentales las ideas estadísticas que nos permiten manejar grandes y complicados sistemas fisicos con un nú­ mero enorme de ingredientes individuales, tal como nos han enseñado Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Einstein y otros. Las matemáticas subya­ cen profundamente en la teoría cuántica, desde las ideas de la teoría de matrices de Heisenberg hasta los espacios de Hilbert complej os, las ál­ gebras de Clifford, la teoría de la representación, el análisis funcional en infinitas dimensiones, etc., de Dirac,Von Neumann, y muchos otros. Quisiera destacar tan solo dos aspectos particulares de las matemá­ ticas que subyacen en el funcionamiento del mundo, discutiendo cada uno de ellos por turno, pues creo que pueden llevar a cuestiones de principio importantes aunque no abordadas en nuestra teoría fisica. El primero es el papel del sistema de los números comp lejos, que encontra­ mos tan fundamental para las operaciones de la mecánica cuántica, en contraste con el sistema de los números reales, que había proporciona­ do la base de todas las teorías previas de éxito. El segundo es el papel de la simetría, que tiene una importancia capital en prácticamente todas las teorías del siglo xx, en particular en relación con la formulación de las teorías gauge de las interacciones fisicas. En primer lugar, consideremos los números complej os. Ha sido un tema recurrente de este libro que no solo hay una magia especial en las matemáticas de estos números, sino que la propia naturaleza parece aprovecharse de ella cuando teje su universo en sus niveles más pro­ fundos. Pese a todo, podemos muy bien preguntarnos si esto es real­ mente una característica verdadera de nuestro mundo, o si es mera­ mente la utilidad matemática de dichos números la que ha llevado a su uso extendido en la teoría fisica. Creo que muchos fisicos se inclinarían 1 384

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.8

hacia la segunda opinión. Pero para ellos sigue habiendo algo de mis­ terio -que necesita alguna explicación- en por qué el papel de di­ chos números debería aparecer de forma tan universal en el armazón de la teoría cuántica, puesto que subyacen en el fundamental princi­ pio de la superposición cuántica y, con un disfraz algo diferente, en la ecuación de Schrodinger, la condición de frecuencia positiva y la «es­ tructura compleja» de dimensión infinita (§26.3) que interviene en la teoría cuántica de campos. Para estos fisicos, los números reales parecen «naturales» y los números complejos «misteriosos». Pero desde una po­ sición puramente matemática, no hay nada especialmente más «natu­ ral» en los números reales que en los números complejos. De hecho, en vista del estatus matemático algo mágico de los números complej os, se podría adoptar muy bien el punto de vista contrario y considerarlos característicamente más «naturales» o «infusos» que los reales. Desde mi peculiar punto de vista, la importancia de los números complejos -o, más específicamente, la importancia de la holomorfici­ dad (o analiticidad complej a)- en la base de la fisica debe verse como algo «natural», y quizá el enigma haya que verlo al revés. 35 ¿Cómo es posible que estructuras reales parezcan desempeñar un papel tan im­ portante en fisica? D ebería dejar claro que incluso el formalismo es­ tándar de la mecánica cuántica, aunque basado en los números com­ plej os, no es una teoría completamente holomorfa. Lo vemos en el requisito habitual de que los observables cuánticos sean descritos por operadores hermíticos (o incluso normales, como se ha descrito en §22.5) y en la naturaleza unitaria (y no simplemente lineal compleja) de la evolución cuántica, que dependen de la noción de conjugación compleja (z � :Z) . En relación con esto, la importante propiedad de or­ togonalidad entre estados es una operación no holomorfa. La hermiti­ cidad tiene que ver con la exigencia habitual (pero no necesaria) de que los resultados de las medidas sean números reales, y la unitariedad tiene que ver con que «la probabilidad se conserve», i . e. , que la regla del módulo al cuadrado (que también tiene que ver con las medidas) se mantenga, por lo que una amplitud compleja z se convierte en una probabilidad, de acuerdo con la operación no holomorfa z � zz.

1 385

§34.8

EL C A M I N O A LA R EA L I DAD

Vemos que es básicamente en la conversión de «información cuán­ tica» (i.e., entrelazamiento; véase §23 . 1 0) en «información clásica» donde se rompe la holomorficidad cuántica. La ortogonalidad de alter­ nativas es de nuevo una característica crucial de la medida. Así pues, la no holomorficidad parece intervenir solo en el momento en que se in­ troducen las medidas en la teoría cuántica. Por supuesto, también vemos el papel de los números reales en el espaciotiempo de fondo dentro del cual se sitúa el formalismo de la teoría cuántica. Si la RO gravitatoria resulta ser la verdadera base de la reducción del estado cuántico, entonces veremos que la estructura (no holomorfa) de números reales del espaciotiempo real se relaciona con la de la operación z ¡..-.¿ zz. ¿Hay aquí quizá una lección para la teoría de twistores, dada la dependencia particular de la teoría respec­ to de las operaciones holomorfas? ¿Quizá, por el contrario, deberíamos buscar un papel para principios combinatorios discretos que emergen de alguna manera a partir de la magia compleja, de modo que el «es­ paciotiemp0» debería tener una estructura discreta subyacente en lugar de una basada en números reales (como se ha examinado en §§3.3,5, §32.6 y §33. 1 ) ? En cualquier caso, creo que hay aquí cuestiones im­ portantes y profundas concernientes a la misma base matemática de la realidad fisica. Vayamos ahora al papel fundamental de la simetría en la teoría fisi­ ca moderna. No hay duda de la utilidad de esta noción. Tanto la teo­ ría de la relatividad (en relación con el grupo de Lorentz) como la teoría cuántica hacen un uso exhaustivo de ella. Pero ¿debemos considerar la simetría como algo fundamental para los modos de la naturaleza, o una característica accidental o aproximada? Parece que un principio en muchas de las modernas aproximacio­ nes a la fisica de partículas es tomar la simetría como algo realmente fundamental, y considerar las desviaciones de la simetría observadas en la actualidad como un resultado de la ruptura de simetría en el univer­ so primitivo. De hecho, como se ha señalado en § 1 3 . 1 y en §§1 5.2,4, la simetría exacta es una característica necesaria de la idea de conexión fi­ brada. Además, recordemos d, §§25.5,8 que la actitud estándar hacia la teoría electrodébil es considerar la simetría SU(2) como fundamental­ mente exacta, de modo que pueda desempeñar un papel como sime1 386

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.8

tría gauge de las fuerzas electrodébiles (§§ 1 5 . 1 ,8), pero donde normal­ mente se concibe que la simetría se rompe de manera espontánea (10- 1 2 segundos después del big bang) . Recordemos de §28.3 que existen ciertas dificultades en invocar el universo primitivo para proporcionar la ruptura de simetría necesaria. Esto se aplica a la simetría SU(2) de la teoría electrodébil y también a las simetrías mucho mayores que se uti­ lizan en las teorías GUT. ¿Realmente simplifican los grupos grandes de simetría de las teo­ rías GUT nuestra imagen de la física de partículas? ¿O sería esta más simple si muchas de estas simetrías aparentes estuvieran fundamental­ mente rotas desde el principio? Desde esta segunda perspectiva alter­ nativa (que es, de hecho, una perspectiva consistente incluso para la teoría electrodébil; véase §28.3), muchas de las simetrías que percibi­ mos en nuestras teorías fundamentales serían realmente solo aproxima­ das en el nivel fundamental, y debemos buscar con más profundidad para entender de dónde proceden esas simetrías aparentes. En la teoría cuántica ordinaria tenemos ejemplos de ambos tipos de simetrías rotas. Existen situaciones bien comprendidas en las que manifiestamente ocurre ruptura espontánea de simetría, tal como su­ cede en la superconductividad (ruptura U(1)) y otros fenómenos. Por otro lado, hay ejemplos en los que pueden utilizarse ideas de simetría para ofrecer una excelente comprensión de un fenómeno, pero donde se sabe que la simetría es solo una aproximación que surge de una teo­ ría más profundamente subyacente que es más exacta pero menos si­ métrica, tal como sucede en la clasificación de los espectros atómicos. 36 Queda por ver cuál de estos dos tipos de situaciones tendrá mayor im­ portancia en una teoría más profunda de la física de partículas. 37 Como punto de interés relacionado, hay circunstancias en las que un grupo de simetría exacta puede intervenir incluso en estructuras en las que inicialmente no se impone ninguna simetría. Lo vemos con la propia esfera de Riemann, que podemos imaginar compuesta de cartas del plano complejo de una forma específica que carece de cualquier si­ metría. Pero con tal de que la topología de la variedad compleja resul­ tante sea, de hecho, S 2 , encontramos que es equiva lente a la esfera de Riemann, en tanto que variedad compleja (por un teorema de Rie­ mann) , de modo que su grupo de simetría es exactamente SL(2, C) , 1387

§34.8

EL CAMINO A LA REALIDAD

i.e., el grupo de Lorentz no reflexivo (§1 8.5) , por muy irregularmente , que este compuesta. 38 Hay una cuestión, en parte relacionada, concerniente a las miste­ riosas constantes de la naturaleza (§3 1 . 1 ) . ¿Están estos números deter­ minados en el universo extremadamente primitivo (tal como sucede e n l a propuesta d e tipo Wheeler/Smolin mencionada en §28.6) , en analo­ gía con la idea de ruptura de simetría? De hecho, se suele considerar que algunas de estas constantes, como los ángulos de Cabbibo y Wein­ berg (§25.7) , surgen de esta manera. ¿O en realidad podrían estos nú­ meros determinarse matemáticamente a partir de alguna teoría más profunda subyacente? Personalmente, preferiría esto último, pero no parece que estemos cerca de tener una teoría creíble de este tipo. 39 Una cuestión interesante en relación con esto es la simetría quiral de las interacciones débiles (§25.3) . En la aproximación normal al mo­ delo estándar, esta simetría quiral se incorpora en el armazón de la teo­ ría. Pero ahora se ha observado que los neutrinos (al menos la mayoría de ellos) son partículas masivas (i.e., con masa en reposo no nula) , y este hecho ya representa una desviación del modelo electrodébil están­ dar original. No podemos simplemente «culpar» a un neutrino levógi­ ro de toda la asimetría quiral de las interacciones débiles. Un neutrino masivo no es completamente una partícula «zig» levógira, puesto que con masa tendría también una parte «zag» dextrógira (véase §25.2) . Po­ dríamos imaginar que en algunas versiones del modelo estándar (ligera­ mente ampliadas de modo que se incorporen neutrinos masivos) había una ruptura espontánea de simetría a partir de un modelo previo con simetría izquierda/ derecha. Pero, en este caso, la «perspectiva» conven­ cional es que la asimetría esta ahí desde el principio, en lugar de apare­ cer de una ruptura espontánea de simetría en el universo primitivo. También podríamos contemplar si la asimetría temporal (exigida por la discusión de los capítulos 27 y 28) es un punto que debería ser reexaminado desde esta perspectiva. Sin embargo, ciertamente no pue­ de aparecer de una convencional «ruptura espontánea de simetría en el universo primitivo». La imagen convencional utiliza la segunda ley de la termodinámica; no puede utilizarse para deducirla.

1 388

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

34.9. BELLEZA

Y

§34.9

MILAGROS

Volvamos ahora a algunos aspectos más generales y misteriosos de las matemáticas que se ha encontrado que subyacen en la teoría física en sus niveles más profundos, al menos en un nivel tan profundo como se nos ha revelado hasta ahora. Dos poderosas fuerzas impulsoras internas han tenido una gran influencia en la dirección de la investigación teó­ rica, pese a que normalmente pasan desapercibidas en escritos teóricos serios, por miedo, sin duda, a que pueda parecer que dichas influencias se hayan desviado demasiado de las reglas estrictas del método cientí­ fico correcto. La primera de estas es la belleza, o elegancia, y ya he to­ cado el tema en muchos apartados de este libro. En cuanto a la segun­ da, a saber, el irresistible atractivo de lo que frecuentemente se califica de «milagros», tan solo la he sugerido (en § 1 9.8, §21 .5 y §3 1 . 1 4) ; pero, como puedo dar fe por mi experiencia personal, estos pueden ej ercer realmente una poderosa influencia en la dirección de la propia investi­ gación de cada uno. Antes de entrar en la cuestión de los milagros, que son el interés principal de esta sección, volvamos primero a la cuestión de la belleza, puesto que las dos están relacionadas. Como se ha indicado antes, mu­ chas de las ideas que se cree que han impulsado un avance importante en la teoría física también se consideran de una belleza cautivadora. Está la indudable belleza de la geometría euclídea, que formó la base de la primera teoría física profundamente precisa, a saber, la teoría del espacio formulada por los antiguos griegos. Mil quinientos años más tarde llegó la extraordinaria elegancia de la dinámica newtoniana, con su profunda y bella estructura subyacente de geometría simpléctica, como se reveló posteriormente por los formalismos lagrangiano y ha­ miltoniano (§20.4) . La forma matemática del electromagnetismo de Maxwell también es exquisita, y no hay duda de la suprema belleza matemática de la relatividad general de Einstein. Lo mismo puede de­ cirse de la estructura de la mecánica cuántica y muchas de sus caracte­ rísticas específicas.Yo destacaría la extraordinaria elegancia matemática del espín mecanocuántico, de la ecuación de ondas relativista de Dirac, y del formalismo de integrales de camino para la QFT, tal como lo de­ sarrolló Feynman. 1389

§34.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

Pese a todo, podemos preguntarnos si la indudable belleza mate­ mática de estos esquemas es algo que brillaría independientemente, tan solo como puras matemáticas, si no hubiera sido por el extraordinario hecho de que están en tan buen acuerdo con el funcionamiento de nuestro universo. Consideradas solo como estructuras matemáticas, ¿ cómo soportarían la comparación con algunas de las gemas o faros de las matemáticas puras? Creo que la soportarían bastante bien, aunque no de forma abrumadora. Existen muchos dominios de las matemáti­ cas puras, sin relaciones discernibles con el mundo físico, cuya belleza iguala o incluso supera a la de las teorías físicas por las que hemos pa­ sado. (Véase también §1 6.3.) Consideremos algunos bellos y profundos desarrollos en matemá­ ticas, cuya influencia sobre la física -al menos hasta ahora- ha sido mínima. La teoría de Cantor del infinito es un ejemplo digno de men­ ción. En mi opinión, es una de las contribuciones más profundamente bellas en el conjunto de la historia de las matemáticas. Sin embargo, parece que muy poco de ella tiene relevancia para el funcionamiento del mundo físico tal como lo conocemos (véanse § § 1 6 .3,4,7) . La mis­ ma cuestión surge en relación con otro de los monumentales logros del conocimiento matemático, un descendiente muy próximo de la teoría de Cantor del infinito, a saber, el famoso teorema de incompletitud de Godel (§1 6.6) . Están también las interesantes y amplias ideas de la teo­ ría de categorías (§33. 1 ) en las que por el momento se ha visto muy poca relación con la física. En estas dos últimas áreas hay algún indicio plausible de que podría haber una relación importante con una física que pudiera desarrollarse en el siglo xxr (§34.7 y §33. 1 ) , pero esto es muy especulativo. Parece mucho menos plausible que se revele alguna conexión importante con la física en el caso de la inmensa mayoría de las otras teorías matemáticas bellas y profundas que se han desarrollado. Consideremos, por ej emplo, el extraordinario logro de Andrew Wiles en el siglo xx al establecer la verdad de la afirmación de 350 años de antigüedad conocida como «último teorema de Fermat». Esto parece estar muy alejado de las leyes físicas, tal como las entendemos hoy, pese a las magníficas ideas mate­ máticas implicadas. Muchos otros maravillosos desarrollos matemáticos se produjeron en el siglo xx, tales como la clasificación de los grupos 1390

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.9

simples, tanto continuos como discretos. Aquí ha habido ciertamente aplicaciones a la fisica, pero esto no quiere decir ni mucho menos que la teoría de los grupos simples nos proporcione una «teoría fisica». Se trata simplemente de que las clasificaciones matemáticas son útiles para los fisicos, pues les permiten ver qué posibilidades hay. Consideremos otro ejemplo. El siglo xrx vio la exquisita teoría de Riemann de la fun­ ción ( y su relación con la distribución de los números primos. Esto parece tan igualmente alejado de la fisica como lo anterior, pese a la in­ dudable belleza y gran importancia matemática de la aún no demos­ trada hipótesis de Riemann (§7.4) . De hecho, hay aquí algunas relacio­ nes intrigantes con la fisica, 40 pero sería dificil mantener que la teoría de Riemann nos ofrece algo parecido a un modelo del mundo fisico. ¿Cabe esperar que haya una estrecha relación con un cuerpo ma­ yor de bellas y profundas matemáticas en la fisica del futuro, o vamos a ser engañados por los éxitos que hemos visto hasta ahora en la teoría fisica para hacernos creer que la relación entre matemáticas y fisica es más estrecha de lo que realmente es? La pregunta puede parafrasearse de forma sucinta en términos de la Fig. 1 .3. ¿Cuánto del mundo mate­ mático de Platón yace en la base de la flecha que muestra el «primer misterio»? También podemos preguntar si puede haber alguna forma de per­ cibir qué tipo de matemáticas son las que encuentran un papel profun­ do en el gobierno del comportamiento del mundo fisico. Esta es una pregunta intrigante. Quizá los factores cruciales subyacentes que go­ biernan la relación misteriosa entre matemáticas y fisica serán mejor entendidos en alguna fecha futura. Espero que consideraciones como las anteriores aclaren al lector que la belleza matemática es, en sí misma, una guía ambigua en el me­ jor de los casos. Pese a todo, como he comentado en numerosos apar­ tados en este libro, es la dificil dudar del extraordinario papel que los juicios estéticos, tanto matemáticos como fisicos, desempeñan en la toma de decisiones respecto a las líneas más fructíferas que se deben en la investigación en la fisica teórica. La mayoría de estas son de un carácter sutil, y resulta fácil creer que la valoración del atractivo de las distintas alternativas que se pueden seguir es una cuestión muy perso­ nal. En ocasiones, sin embargo, puede surgir algo en la investigación de 1391

§34.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

las teorías matemáticas del mundo fisico que tenga un impacto mucho más poderoso sobre tales elecciones que la mera elegancia matemática, y esto es a lo que yo llamo «milagro». Puedo pensar en muchos ej emplos de esto en la historia reciente de las ideas de la «gravedad cuántica». Uno de ellos se dio en la teoría de la supergravedad (§3 1 .2) , donde se observó que, mientras que el enfo­ que perturbativo de la QFT de la teoría estándar de la relatividad ge­ neral de Einstein conducía a divergencias no renormalizables en se­ gundo orden, los términos divergentes se cancelaban milagrosamente cuando se introducía la supersimetría. Esta cancelación implicaba grandes números de términos, y durante algún tiempo muchos inves­ tigadores en supergravedad pensaron que este «milagro» aparente de la cancelación era una señal de que la teoría estaba en el camino correc­ to, de modo que la renormalizabilidad debía esperarse en todos los ór­ denes; y que, por consiguiente, ¡la verdadera teoría de la gravedad cuántica sería pronto revelada! Por desgracia para los investigadores en supergravedad, cuando fueron capaces de completar el cálculo a tercer orden volvieron las divergencias no renormalizables. Esto llevó a con­ sideraciones de dimensionalidad superior, pero las cosas se estancaron durante un tiempo. Luego la supergravedad fue reavivada como parte de la ruta que lleva a la teoría M, como se describe en §§3 1 .4, 14. Estoy seguro de que la propia teoría de cuerdas y la teoría M han sido guiadas p or muchos de estos milagros. Uno de los más importan­ tes fue seguramente el descubrimiento de las simetrías espejo, que ofre­ cía un indicio de que la enigmática colección de teorías de cuerdas, en apariencia completamente diferentes (descritas en §31 . 1 4), podrían uni­ ficarse en un gran esquema conocido como «teoría M». Dichas sime­ trías espej o actuaban como magia, y se descubrió que números que previamente había parecido que tenían p oco que ver entre sí, eran los mismos, como fue el caso de los cálculos realizados por Candelas y sus colegas, descritos en §3 1 . 1 4. Esto ciertamente lo califica como un mi­ lagro, en el sentido en que utilizo aquí el término. Estoy seguro de que cuando el número 31 7206 375, obtenido en el cálculo de Candelas utilizando simetría espejo, fue confirmado finalmente por los geóme­ tras algebraicos, esto fue j aleado como un milagro que proporcionaba la evidencia concluyente de que la nueva teoría de cuerdas M estaba en

41

1 392

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34.9

el camino correcto. Sea o no este el caso, el «milagro» proporcionaba un excelente apoyo a los aspectos matemáticos de la idea de la sime­ tría espejo. De hecho, posteriormente se ha suscitado mucho interés puramente matemático por esa cuestión, y ahora se ha obtenido una buena comprensión puramente matemática de mucho de lo que está implicado. ¿Realmente son estos aparentes milagros buenas guías del carácter correcto de una aproximación a una teoría fisica? Esta es una pregunta profunda y dificil. Puedo imaginar que a veces lo son, pero hay que ser extraordinariamente cautos sobre esto. Puede ser muy bien que el des­ cubrimiento de Dirac de que su ecuación de ondas relativista incorpo­ raba automáticamente el espín del electrón pareciera uno de estos mi­ lagros, como lo había sido el uso que hizo Bohr de la cuantización del momento angular para obtener los espectros atómicos correctos, y aná­ logamente la comprensión de Einstein de que su aproximación a la gravedad mediante el espacio curvo de la relatividad general diera real­ mente la respuesta correcta para la posición del perihelio de Mercurio -que previamente había intrigado a los astrónomos durante setenta años-. Pero estas eran claramente consecuencias fisicas apropiadas de las teorías que se estaban proponiendo, y los milagros ofrecían una confirmación impresionante de las respectivas teorías. Menos claro está cuál es la fuerza de los milagros puramente matemáticos, como es el caso de la supergravedad o de la simetría espejo. Cuando por fin se ob­ tiene una comprensión matemática de un milagro de este tipo mate­ mático, existe la posibilidad de que pueda producir, en alguna medida, una «devaluación» del milagro en cuestión. Incluso así, quizá esto no elimine por completo la fuerza psicológica del propio milagro, que siempre debe verse en su contexto histórico apropiado. Sin embargo, una cosa es cierta, y es que tales milagros matemáti­ cos no siempre pueden ser una guía segura. En el curso de mis propios estudios de la teoría de twistores, he encontrado varios elementos alen­ tadores que parecían caer bajo el encabezamiento de «milagros» en el sentido en que estoy utilizando aquí el término. El descubrimiento (§33.8) de que funciones homogéneas de twistores simples generan so­ luciones generales de las ecuaciones de campos sin masa fue uno de es­ tos, y la construcción del gravitón no lineal de §33 . 1 1 fue otro. ¿En

42

1 393

§34.9

EL CAMINO A LA REALIDAD

qué medida son estos indicios fuertes de que la teoría de twistores está «en la línea correcta»? Una vez más, hay que ser prudentes. No preten­ do hacer una comparación entre los milagros de la teoría de twistores y los de la teoría de cuerdas. Pero ambos no pueden ser indicadores inequívocos, porque, como se ha señalado en §33 . 1 4, ¡las dos teorías, tal como están, son mutuamente incompatibles! Pese a todo, estos comentarios se aplican solamente a lo que en­ tiendo que es el estado de estas teorías «en este momento».Algunos de­ sarrollos que parecen interesantes y que se han llevado a cabo solo en los últimos meses podrían dar la vuelta por completo a la conclusión a la que parezco haber llegado en mis comentarios finales en el párrafo anterior. Se trata de algunas aplicaciones muy innovadoras de las ideas de la teoría de cuerdas en el contexto de la teoría de twistores; y se de­ ben, principalmente, a Edward Witten43 (las he mencionado breve­ mente en §3 1 . 1 8 y §33 . 1 4) . En estos desarrollos, la teoría de cuerdas se aplica a la fisica espaciotemporal tetradimensional estándar y se intere­ sa en interacciones de tipo Yang-Mills que probablemente tienen rele­ vancia directa para las interacciones entre partículas reales, con lo que representan una ruptura sustancial con la forma de la teoría de cuerdas a la que me he referido en los párrafos anteriores. ¿ Cómo se consigue esto? En esencia, se hace considerando que el «espacio imagen» en el que deben aplicarse las superficies de Riemann de la teoría de cuerdas no es una 3-variedad compleja de Calabi-Yau (§3 1 . 14), que había sido invocada para suministrar las «dimensiones espaciales extra» de la teo­ ría de cuerdas «estándar», sino la 3-variedad compleja que es el espacio twístoría l proyectivo lfl>lf (un C lfl>3 ; véase §33.5) . Como hemos visto, la geometría twistorial remite explícitamente a un espacio 4-dimensional ordinario, y no hay «dimensiones espaciales extra». Tal como se han des­ crito estas nuevas ideas, hay todavía implicada alguna supersimetría, y esta versión supersimétrica de lfl>lf puede considerarse realmente como un tipo de «espacio de Calabi-Yau» . (Esto es así para que se cancele cierta «anomalía», aunque creo que la necesidad de cancelación de la anomalía puede estar sobrevalorada, y quizá la supersimetría no sea realmente necesaria.) Tal como están estas nuevas ideas, las superficies de Riemann se toman de género O (véase §8.4) , i.e., son eiferas de Rie­ mann. 44 Esto permite establecer un contacto notable con buena parte 1 394

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34. 1 0

de la teoría de twistores anterior, en la que s e habían incluido previa­ mente ideas de «cuerda». 45 Si la teoría de cuerdas puede llegar a cambiar de esta forma, que a mí me parece un cambio muy sustancial, ¿qué relevancia fís ica tienen entonces los «milagros» de dicha teoría? Mi conjetura sería que pueden tener una relevancia importante (aunque indirecta), y que podría salir inmediatamente a la luz una comprensión mayor de lo que «está pa­ sando entre bastidores» (como se sugiere en los comentarios de Ri­ chard Thomas citados en §31 . 1 8) . ¿Podemos extraer lo que es potente en la teoría de cuerdas y despojarla de una dependencia necesaria de la supradimensionalidad espaciotemporal? Tal vez. Lo que parece cierto, en esencia, es que hay algo profundo en la idea de una teoría cuántica de campos basada en las aplicaciones de esferas de Riemann en varie­ dades complejas46 (o quizá también las aplicaciones de superficies de Riemann de género más alto) , y este tipo de objeto seguiría teniendo relevancia en este contexto más nuevo, al ser la variedad compleja un espacio twistorial (proyectivo) . Pero lo que está pasando realmente sigue pareciendo un misterio.

34. 1 0. PREGUNTAS PROFUNDAS RESPONDIDAS, PREGUNTAS MÁS PROFUNDAS PLANTEADAS Cuestiones tales como las descritas en las secciones precedentes están lejos de tener respuestas dentro del conocimiento físico actual, y pode­ mos confiar en que una física futura del siglo xxr arroje luz importan­ te sobre ellas. Pero si volvemos la vista atrás para ver lo que ya hemos conseguido en nuestra comprensión a finales del siglo xx, la especie humana puede sentirse, y con razón, bastante orgullosa. Muchas cues­ tiones que eran profundamente enigmáticas -y a veces terroríficas­ para los antiguos han encontrado respuestas, y con frecuencia es posi­ ble actuar de un modo positivo a la luz de dichas respuestas. Muchos de los terrores que antes causaban las enfermedades no provocan mie­ do ahora, no solo debido a los fármacos modernos (donde el método científico se ha mostrado de valor incalculable) , sino a que puede uti­ lizarse el diagnóstico precoz mediante el uso de la moderna tecnología 1395

§ 3 4.1 0

EL CAMINO A LA REALIDAD

(rayos X, ultrasonidos, tomografia, etc.) y los tratamientos fisicos sofis­ ticados (radiación, láseres, etc.) . A menudo esta tecnología depende de conocimientos profundos de fisica que no estaban a disposición de los antiguos. El mismo tipo de conocimiento nos ha dado muchas otras cosas, tales como la hidroelectricidad, la iluminación eléctrica, los mo­ dernos materiales que sirven de protección contra los elementos, las telecomunicaciones tales como la televisión y la telefonía móvil, la tec­ nología de ordenadores, internet, el transporte moderno en sus diver­ sas formas y otros numerosos aspectos de nuestra vida moderna. Muchos de estos desarrollos dependen directamente de la fisica de una forma u otra. Además, las reglas básicas de la química, tal como se entiende hoy día, son también básicamente fisicas (en principio, si no en la práctica) , pues proceden sobre todo de las reglas de la mecánica cuántica. La biología está mucho más lej os de ser reducible a leyes fisi­ cas, pero no tenemos ninguna razón para creer que (aparte de la cons­ ciencia) el comportamiento biológico no sea, en su raíz, puramente dependiente de acciones fisicas que ahora comprendemos básicamen­ te. En consecuencia, la biología también parece estar, en última instan­ cia, controlada por las matemáticas. Consideremos, por ejemplo, la forma milagrosa en que una semilla puede desarrollarse en una planta viva, donde la soberbia estructura de cada planta es similar en gran detalle a cada una de las demás que pro­ c eden del mismo tipo de semilla. Hay aquí fisica profundamente sub­ yacente, puesto que el ADN que controla el crecimiento de la planta es una molécula, y la persistencia y fiabilidad de su estructura depen­ de de forma crucial de las reglas de la mecánica cuántica (como seña­ ló Schrodinger en 1 944 en su influyente librito ¿ Qué es la vída?). 47 Además, el crecimiento de la planta está controlado en última instan­ cia por las mismas fuerzas fisicas que gobiernan las partículas indivi­ duales de las que está compuesta. Las relevantes son principalmente de origen electromagnético, pero la fuerza nuclear fuerte es vital para de­ terminar qué nucleos son posibles, y por lo tanto qué tipos de átomos pueden existir. También la fuerza débil tiene su papel en los fenómenos que ve­ mos a gran escala, y es notable cómo, a pesar de su debilidad (solo unas 10-7 veces la intensidad de la fuerza fuerte y 1 0-5 veces la intensidad del 1396

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

§34. 1 0

electromagnetismo) , esta fuerza puede dar como resultado algunos de los sucesos más espectaculares que ha experimentado la humanidad. Pues es la fuerza débil la responsable, a través de las desintegraciones radiactivas en el interior de la Tierra, del calentamiento del magma te­ rrestre. En particular, las erupciones volcánicas son su legado. Hubo un período de unos pocos años en la historia de la Tierra, a partir del 535 d.C. aproximadamente, durante el que se registraron hambrunas globa­ les y un clima anormalmente frío, debido a una capa prácticamente continua de polvo que había sido arrojado en una enorme explosión volcánica. El volcán era probablemente el mismo obj eto que el Kraka­ toa, cerca de Java, que al parecer entró en una violenta erupción en el año 535 , y así lo hizo otra vez (pero con menos violencia) en 1 883. Posiblemente más dramática incluso para sus espectadores civiliza­ dos fue la explosión volcánica que destruyó la isla de Thera (Santori­ ni) , que habría sido visible desde Creta, a unos 1 60 kilómetros al sur, aproximadamente en 1 628 a.C. Barrió la civilizada comunidad de la propia Thera y probablemente fue la responsable en definitiva del pos­ terior ocaso de la pacífica y culta sociedad de Knossos en C reta, en cuyo Gran Palacio se dice que estaba localizado el famoso laberinto de Dédalo. 48 Se ha argumentado de manera convincente que la des­ trucción de Thera puede haber sido muy bien la fuente de la leyenda de la Atlántida. 49 Quizá encontremos consuelo en el hecho de que al­ gunos de los cataclismos del pasado también pueden haber generado el crecimiento de nuevos avances que no se hubieran producido en otro caso. (El más espectacular de estos fue la aniquilación global de los dinosaurios, que permitió el desarrollo de los mamíferos que llevó finalmente a los seres humanos, aunque parece que la causa de esto fue la colisión con un asteroide antes que la actividad volcánica.) ¿Debe algo a este suceso volcánico catastrófico el extraordinario desarrollo de la cultura de la antigua Grecia en el milenio que siguió a la des­ trucción de Thera? Quizá sea aún más sorprendente que las más violentas explosiones vistas en el universo son causadas por la fuerza más débil de todas -si es justo llamarla una fuerza-, a saber, la gravitación (solo aproximada­ mente 1 0-40 de la fuerza eléctrica, en un átomo de hidrógeno, y apro­ ximadamente 1 0-3s de la intensidad de la fuerza débil), donde los agu1397

EL CAM I NO A LA R E A L I DA D

Notas

jeras negros alimentan las increíblemente poderosas fuentes de ener­ gía de los cuásares. Pero, pese a su extraordinaria potencia, su distancia a nosotros es tan grande que, visto desde la Tierra, el cuásar más bri­ llante, 3C-273, tiene solo aproximadamente 1 0- del brillo de la cer­ cana estrella Sirio. De hecho, cuando examinamos el cielo en una no­ che clara y tranquila, aunque podemos sentirnos sobrecogidos ante la inmensidad del universo, solo percibimos la más minúscula fracción de su enorme escala. Los obj etos más lej anos visibles a simple vista (la galaxia Andrómeda) están a un ridículo 1 0-3 de la distancia a 3C-27 3 ¡y aproximadamente a 1 0-4 de la distancia al límite del universo ob­ servable! Las singularidades espaciotemporales que residen en los núcleos de los aguj eros negros están entre los obj e tos conocidos (o presuntos) del universo sobre los que permanecen los más profundos misterios, y que nuestras teorías actuales se ven impotentes para describir. Como hemos visto en §§34. 5,7,8, en particular, hay otras cuestiones profundamente misteriosas de las que tenemos poca comprensión. Es muy probable que el siglo xxr revele ideas más maravillosas incluso que aquellas con las que nos ha bendecido el siglo xx. Pero para que esto suceda, necesitaremos nuevas y poderosas ideas que nos lleven en direcciones significativamente diferentes de las que en la actualidad se están siguiendo. Quizá lo que necesitamos fundamentalmente es algún cambio sutil de perspectiva . . . algo que todos hemos pasado por alto . . . Notas Sección 34. 1

34. 1 . 34.2. 34.3. 34.4.

Véase, por ejemplo, Mukohyama y Randall (2003). Véase Tittel et al. ( 1 998) . Véase Arndt et al. ( 1 999) . Véanse Amelino-Camelia et al. ( 1 998) , Gambini y Pullin (1 999) , Ame­ lino-Camelia y Piran (200 1 ) , Sarkar (2002) , o, para una perspectiva al­ ternativa, Magueijo y Smolin (2002) .

1398

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD? Secció n

Notas

34.2

34.5. Utilizo aquí l a palabra «coherencia» para transmitir algo que e s solo un poco más fuerte que consistencia. La palabra quiere sugerir que hay cier­ ta economía además de consistencia en una estructura matemática completamente co h erente, donde diferentes aspectos de su formalismo funcionan en perfecto acuerdo. Secció n

34.3

34.6. Véase Rovelli ( 1 998) . 34.7. Algunos de mis colegas me han dicho que creen que este es realmente el caso ahora. 34.8. Recordemos de § 1 5 . 4 que la S 7 está fibrada por esferas S3 en analogía con los paralelos de Clifford en S 3 • De hecho, S7 es lo que se denomi­ na «paralelizable», lo que significa que un 7-sistema de vectores tan­ gentes puede ser c ontinuamente asignado en todos sus puntos. El «aplastamiento» de S 7 es conseguido sistemáticamente a lo largo de es­ tas direcciones «paralelas».Véase Jensen ( 1 973) . 34.9. Véanse Collins ( 1 977) para las trayectorias de Regge, y Chew ( 1 962) para la matriz S. 34. 10. Véase Geroch (notas de clase en la Universidad de Chicago, inéditas) . 34. 1 1 . Véanse Van der Waerden ( 1 929) , Infeld y Van derWaerden ( 1 933) , Pen­ rose y Rindler (1 984, 1 986) y O'Donnell (2003). 34. 1 2. Véase D irac ( 1 936); para otras versiones de las ecuaciones de espín más alto, véase Corson ( 1 953) . 34. 13. Véase Weiss y Zumino (1 974) . Secció n

34. 4

34. 1 4 . Véase Popper ( 1 934) . 34. 1 5 . Para un uso divertido de una idea de este tipo, véase Aldiss y Penrose (2000) . 34. 1 6 . A pesar de recientes afirmaciones de que BOOMERanG ha propor­ cionado realmente dicha confirmación.Véase, por ejemplo, Bouchet et a l. (2002) para una crítica (limitada) de tales afirmaciones. 34. 1 7. El universo en estado estacionario, propuesto por Bondi, Gold y Hoy­ le a principios de la década de 1 950, era acentuadamente popperiano, como fue bien establecido por Bondi, y entre sus vías de refutación hubiera estado también el establecimiento de K * O. Sin embargo,

cayó a causa de otros conflictos con la observación, muy especial-

1399

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

mente la presencia de la radiación de fondo de 2,7 K, que era eviden­ cia prácticamente directa del big bang; véanse §§27. 7, 1 0, 1 1 , 13 y §§28.4,7, 1 0. 34. 1 8 . Véase, por ejemplo, Linde (1 993) . 34. 1 9 . Véanse Bucher et al. (1 995) y Linde (1 995). 34.20. Véase Hawking y Turok (1 998) . 34.2 1 . Véase Lange et al. (200 1 ) .

Sección 34. 5 34.22. Véase, por ej emplo, Elfin de la ciencia, de John Horgan. 34.23. Véanse Ferber (1 978) , Ward y Wells (1 989) , D elduc et al. (1 993) e Il­ yenko (1 999).

Sección 34. 7 34.24. 34.25. 34.26. 34.27.

Véase Penrose (1 989, 1 994, 1 997a, 1 997b) . Véanse D eutsch (2000) y Lockwood ( 1 989) . Véanse Gell-Man (1 994) y Hartle (2004) . No obstante, cualquiera que haya oído alguna vez las ideas de David Bohm sobre este tema se daría cuenta de que él no consideraría que las cuestiones de la consciencia carezcan de relación con las de la mecáni­ ca cuántica. 34.28. Véase Penrose (1 989, 1 994, 1 997) . 34.29. Véanse Hameroff y Watt (1 982) , Hameroff (1 987, 1 998) y Hameroff y Penrose (1 996) . 34.30. Véase Koruga et al. (1 993). 34. 3 1 . Véase, por ej emplo,Anderson (1 997) . 34.32. Comunicación personal. Por lo que sé, las investigaciones de Duggins no están aún completas, y no hay ninguna publicación disponible has­ ta la fecha. 34.33. Véanse Penrose (1 987a, 1 994) y Hameroff y Penrose (1 996) .

Sección 3 4. 8 34.34. Que esta unidad deba considerarse notable, y algo misteriosa, parece ser una cuestión de debate entre expertos. En una famosa conferencia, el físico matemático Eugene Wigner (1 960) habló sobre «La irrazona­ ble efectividad de las matemáticas en las ciencias físicas». Pero Andrew Gleason, un destacado matemático, dos de cuyos potentes teoremas han aparecido en otros lugares de este libro (véanse las notas 1 3. 4 y 23.4) , ha adoptado una postura contraria ( 1 990), al considerar la con1400

¿DÓNDE ESTÁ EL CAMINO A LA REALIDAD?

Notas

cordancia entre matemáticas y física como un mero reflejo del hecho de que «la matemática es la ciencia del orden». Mi propio punto de vis­ ta estaría más cerca del de Wigner que del de Gleason. No solo la ex­ traordinaria precisión, sino también la sutileza y sofisticación que en­ contramos en las leyes matemáticas que operan en los fundamentos de la física, son para mí mucho más que la mera expresión de un «orden» subyacente en el funcionamiento del mundo. 34.35. Esta filosofía parece estar próxima a la de Geoffrey Chew, que valora­ ba mucho las propiedades holomorfas de la matriz S. Véase Chew (1 962). 34.36. Véanse los comentarios introductorios por Freeman Dyson, en Dyson (1 966). 34.37. Véase Penrose (1 988b) . 34.38. Este hecho tiene importancia en el estudio de las simetrías asintóticas de espaciotiempos asintóticamente planos en la relatividad general; véanse Sachs ( 1 9 62a, 1 962b) y Penrose y Rindler (1 986). 34.39. Compárese con Eddington (1 946).

Secci6n 34. 9 34.40. Véanse Du Sautoy (2004) para una discusión de la conexión de la hi­ pótesis de Riemann con la fisica, así como también Berry y Keating (1 999). Otra relevancia de la función ( de Euler para la física es la que se denomina «regularización de la función (». Una búsqueda rápida en los LANLarXiv mostró ¡ 1 42 ítems en el último recuento! 34.41 . Véanse Wess y Bagger (1 992) y la nota 3 1 . 1 3 . 34.42. Véanse las notas 3 1 .57 y 3 1 .58. 34.43. Véase la nota 3 1 . 8 1 . 34.44. Esto en sí mismo no restringe a dichas superficies de Riemann a ser las líneas del espacio twistorial que representan puntos espaciotemporales (véase §33.5), sino que pueden ser curvas de «orden superior». La «condición de género 0» nos dice básicamente que uno está interesado en procesos de árbol de Yang-Mills en los que no aparecen «lazos ce­ rrados» (§26.8). 34.45. Véanse Shaw y Hughston (1 990) y Hodges (1 985, 1 990a, 1 990b). 34.46. Estos se conocen como «a-modelos»; véase Ketov (2000) .

Secci6n 34. 1 0 34.47. Reimpreso en Schrodinger (1 967) .

1401

Notas

EL CAMINO A LA REALIDAD

34.48. Véase Davies ( 1 997), pp. 89-94, para una descripci�n gráfica de este

acontecimiento (lo he tomado prestado del prólogo), Para la leyenda, un viejo favorito está reimpreso en Hamilton ( 1 999) . 34.49. Véase Friedrich (2000) para un resumen reciente de estas ideas.

Epílogo Antea, una estudiante posdoctoral de fisica, con un gran talento tanto artístico como matemático, procedía de una pequeña ciudad del sur de Italia. Observaba el cielo en una noche despejada desde una ventana oriental del Instituto Albert Einstein en Golm, cerca de Potsdam, Ale­ mania. Este prestigioso instituto de investigación había sido fundado a finales del siglo xx cerca del lugar donde Einstein había tenido una pe­ queña casa de recreo. Una buena parte de la investigación estaba rela­ cionada con la debatida cuestión de la «gravedad cuántica» que intenta unificar los principios subyacentes en la relatividad general de Einstein y los de la mecánica cuántica: un misterio en la base misma de las leyes del mundo. En esta dirección se encaminaba la propia investigación de Antea, pero ella era una recién llegada y tenía algunas ideas poco ortodoxas y todavía no plenamente formadas acerca del camino a seguir, algunas de las cuales eran fundamentalmente opuestas a las de sus colegas. Esa no­ che había estado trabajando hasta la madrugada, en la biblioteca supe­ rior del instituto, cuando hacía rato que todos los demás se habían ido a dormir. Había estado estudiando una vieja investigación relativa a gi­ gantescas emisiones de energía que tenían lugar en los centros de algu­ nas galaxias. Afortunadamente, pensaba para sí, la Tierra y el sistema so­ lar no están próximos a ninguno de estos lugares, pues si lo estuvieran se habrían vaporizado en su totalidad casi instantáneamente. La expli­ cación establecida para estas explosiones increíblemente potentes con­ sistía en que cada una de ellas estaba alimentada por un aguj ero negro de proporciones inmensas. Antea sabía que un agujero negro es una región del espaciotiempo 1 403

EL CAMINO A LA REALIDAD

en cuyo interior hay una estructura conocida c omo una «singularidad espaciotemporal», algo cuya descripción científica era aún profunda­ mente esquiva y que dependía de la todavía carente teoría de la grave­ dad cuántica. Pero el interés real de Antea no estaba tanto en los agu­ j eros negros galácticos como en una explosión aún más monstruosa, la explosión que termina con todas las explosiones -o, mej or, la que dio inicio a todas-, llamada el «big bang». Ella pensaba que era el origen de todas las cosas buenas tanto como de todas las cosas malas. Pero la singularidad espaciotemporal en el big bang planteaba misterios aún mayores que los de los agujeros negros. Antea sabía que en la raíz de es­ tos misterios yace el secreto de cómo unificar la teoría de Einstein del espacio, el tiempo y la gravedad a gran escala con los principios meca­ nocuánticos de la fisica de lo pequeño. Era una noche tranquila y las estrellas eran inequívocamente claras. Antea permaneció un rato pensativa, con los brazos cruzados reposan­ do en la balaustrada de la escalera, observando las figuras de las estrellas a través del ventanal: no sabía durante cuánto tiempo. Siempre se so­ brecogía al contemplar, en esa vasta cúpula aparentemente hemisférica, la gran distancia de esos minúsculos pinchazos de luz, aunque contara muy poco frente a la inmensidad de las escalas cosmológicas. Pese a todo, cavilaba, si alguna explosión cósmica llegara a hacerse visible para ella ahora, por muy lejana que fuese, sus pequeños fotones no habrían experimentado ningún tiempo en alcanzarla. Lo mismo se aplicaría a los minúsculos gravitones producidos en la explosión, algunos de los cuales podrían sentirse en el detector de ondas gravitatorias del Insti­ tuto cerca de Hannover a 250 km de distancia. Se estremeció con la idea de que, en efecto, estaría en inmediato contacto directo con ese suceso explosivo . . . Mientras estaba allí, mirando al este, fue sorprendida por un fogo­ nazo momentáneo e inesperado de luz verde, como si llegara el alba, antes de irrumpir el rojo vivo del sol. El fenómeno del «rayo verde» y su bien establecida explicación fisica eran muy conocidos para ella, pero nunca lo había presenciado antes, y le produjo un extraño efecto emocional. Esta experiencia se mezcló con varias ideas matemáticas que le habían dado problemas durante la noche.

Bibliografia

Además de los grandes avances en el conocimiento físico que se han logrado en el siglo XX -a partir de experimentos muy refinados y teoría matemática sofisticada-, la moderna tecnología y la innovación han mejorado enorme­ mente la capacidad de distribuir y recoger información a escala mundial. E n concreto, está la introducción d e arXiv. org, un archivo online donde físicos y matemáticos, biólogos y científicos de la computación pueden publicar pre­ prints (o e-prints) de su trabajo antes (¡o incluso en lugar de!) enviarlos a re­ vistas. ArXiv. org ha hecho posible que los científicos comuniquen nuevas ideas a una velocidad increíblemente alta, y como consecuencia el ritmo de la actividad investigadora se ha acelerado en un grado sin precedentes (o, como algunos podrían considerar, alarmante) . He tratado de sacar provecho de esta importante nueva tendencia ofre­ ciendo, donde fuera posible, los enlaces a arXiv.org para ítems en la biblio­ grafía. Encontrar un artículo en arXiv.org es muy sencillo. Primero, utilice su buscador preferido para ir a www.arxiv.org. Luego, o bien busca el artículo, o bien entra www.arxiv. org/, seguido del código de identificación proporcio­ nado entre paréntesis en la bibliografía. Por ej emplo, para llamar al artículo de 2003 de Lee Smolin «How far are we from the quantum theory of gra­ vity?», entraríamos en la dirección web: www.arxiv.org/hep-th/0303 1 85 . Esto será especialmente útil para aquellos lectores que tengan acceso a la World Wide Web pero estén lejos de una biblioteca universitaria que pudie­ ra guardar las revistas especializadas donde se suelen publicar los artículos. Es­ pero que esta nueva característica en la bibliografía le anime a leer los muchos buenos artículos en los arXiv, ya estén o no referenciados aquí.

1405

BIBLIOGRAFÍA

Abian,A. (1 965), The Theory of Sets and Tranefinite Arithmetic, Saunders, Filadelfia. Abbott, B. , et al. (2004) , «Detector Description and Performance for the First Coincidence Observations between LIGO and GEO», Nucl. Instrum. Meth. A517, 1 54-1 79 [gr-qc/0308043] . Adams, C. C. (2000) , The Knot Book, Owl Books, Nueva York. Adams, F. J., y Atiyah, M. F. A. (1 966) , «Ün K-theory and Hopf invariant», Quarterly J. Math. 17, 3 1 -38 . Adler, S . L. (1 995), Quaternionic Quantum Mechanics and QuantHm Fields, Ox­ ford University Press, Nueva York. Afriat,A. ( 1 999), «The Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox», en Atomic, Nu­

clear, and Particle Physics, Plenum Publishing Corp. Aharonov,Y., y Albert, D. Z. ( 1 98 1 ) , «Can we make sense out of the measure­ ment process in relativistic quantum mechanics?», Phys. Rev. D24, 359-370. Aharonov, Y. , y Anandan, J. ( 1 9 87) , «Phase change during a cyclic quantum evolution», Phys. Rev. Lett. 58, 1 593- 1 596. Aharonov,Y. , y Bohm, D.J. ( 1 959), «Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory», Phys. Rev. 115, 485-49 1 . Aharonov,Y. , y Vaidman, L. ( 1 990), «Properties of a quantum system during the time interval between two measurements», Phys. Rev. A41, 1 1 . Aharonov, Y., y Vaidman, L. (200 1 ) , «The Two-State Vector Formalism of Quantum Mechanics», en Time in Quantum Mechanics (eds. J. G. Muga et al.), Springer-Verlag. Aharonov,Y. , Bergmann, P., y Lebowitz,J. L. ( 1 964) , «Time symmetry in the quantum process of measurement», en Quantum Theory and Measurement (eds.J. A. Wheeler y W. H. Zurek) , Princeton University Press, Princeton, N ew Jersey, 1 983; originalmente en Phys. Rev. 134B, 1 4 1 0- 1 4 1 6. Ahmavaara,Y. ( 1 965) , «The structure of space and the formalism of relativistic quantum theory», !.]. Math. Phys. 6, 87-93.

l., y Hey, A. (2004), Gauge Theories in Particle Physics: A Practica/ In­ troduction, vols. 1 y 2, Institute of Physics Publishing, Bristol.

Aitchison,

Albert, D., Aharanov,Y. , y D'Amato, S. ( 1 985), «Curious New Statistical Pre­ diction of Quantum Mechanics», Phys. Rev. Lett. 54, 5 . Aldiss, B. W., y Penrose, R. (2000), White Mars, St Martin's Press, Londres. Alpher, B., y Gamow ( 1 948) , «The Origin of Chemical Elements», Phys. Rev. 73, 803 . Ambjorn,J., Nielsen, J. L., Rolf, J. , y Loll, R. ( 1 999), «Euclidean and Lorent­ zian Quantum Gravity: Lessons from Two Dimensions», Chaos Solitons Fractals 1 O [hep-th/9805 1 08] .

1406

BIBLIOGRAFÍA

Amelino-Camelia, G., y Piran, T. (200 1 ) , «Planck-scale deformations of Lo­ rentz symmetry as a solution to the UHECR and the TeV-MATH-gam­ ma paradoxes», Phys. Rev. D64, 036005 [astro-ph/0008 1 07). Amelino-Camelia, G., et al. ( 1 998) , «Potential Sensitivity of G amma-Ray Burster Observations to Wave Dispersion in Vacuo», Nature, 393, 763-765 [astro-ph/97 1 2 1 03]. Anderson, P. W ( 1 997) , The Theory of Superconductivity in the High- Tc Cuprate Superconductors, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. Anguige, K. ( 1 999) , «lsotropic cosmological singularities 3 : The Cauchy pro­ blem for the inhomogeneous conforma! Einstein-Vlasov equations», An­ nals Phys. 282, 395-4 1 9 . Antoci, S . (200 1 ) , «The origin of the electromagnetic interaction in Einsteins unified field theory with sources» [gr-qc/0 1 8052] .

Anton, H., y Busby, R. C. (2003) , Contemporary Linear Algebra, John Wiley Sons, Hoboken, NJ.

&

Aposto!, T. M. (1 976) , Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, Nueva York (hay traducción castellana: Introducción a la teoría analítica de números, Editorial Reverté, Barcelona, 1 984) . Arfken, G., y Weber, H. (2000), Mathematical Methods for Physicists, Har­ court/Academic Press. Arndt, M . , et al. ( 1 999), «Wave-particle duality of C60 molecules», Nature 401, 680. Arnol'd,V l . ( 1 978) , Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Ver­ lag, Nueva York (hay traducción castellana: Mecánica clásica. Métodos mate­ máticos, Thomson Paraninfo, Madrid, 1 983] . Arnowitt, R., Deser, S. , y Misner, C. W ( 1 962), en Gravitation: An Introduction

to Current Research (ed. L. Witten) , John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. Ashtekar, A. ( 1 986), «New variables for classical and quantum gravity», Phys. Rev. Lett. 5 7, 2244-2247.

Ashtekar, A. (1 987) , «New Hamiltonian formulation of general relativity»,

Phys. Rev. D36, 1 587-1 602. Ashtekar, A. ( 1 99 1 ) , Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity (Apéndice) , World Scientific, Singapur. Ashtekar, A., y Das, S. (2000), «Asymptotically anti-de Sitter space-times», Classical and Quantum Gravity, 17, L 1 7-L30. Ashtekar,A., y Lewandowski,J. ( 1 994) , «Representation theory of analytic ho­ lonomy algebras», en Knots and Quantum Gravity (ed. J. C. Baez) , Oxford University Press, Oxford.

1407

BIBLIOGRAFÍA

Ashtekar, A., y Lewandowski,J. (2001), «Relation between polymer and Fock excitations», Class. Quant. Grav. 18, Ll 1 7-L127. Ashtekar, A., y Lewandowski,J. (2004) , «Background Independent Quantum Gravity: A Status Report» [gr-qc/0404018] . Ashtekar, A., y Magnon, A. (1 980), «A geometrical approach to externa! po­ tential problems in quantum field theory», General Relativity and Gravita­ tion, vol. 1 2 , 205-223. Ashtekar, A., y Schilling, T. A. (1 998) , en On Einstein 's Path (ed. A.Harvey) , Springer-Verlag, Berlín. Ashtekar, A., Baez,J. C., y Krasnov, K. (2000), «Quantum geometry of isolated horizons and black hole entropy», Adv. Theo. Math. Phys. 4, 1-95. Ashtekar, A., Baez, J. C., Corichi, A., y Krasnov, K. ( 1 998) , «Quantum geo­ metry and black hole entropy (1 998)», Phys. Rev. Lett. 80, 904-907. Ashtekar, A., Bojowald, M., y Lewandowski,J. (2003) , «Mathematical structu­ re of loop quantum cosmology», Adv. Theor. Math. Phys. 7, 233-268. Atiyah, M. E ( 1 990), The Geometry and Physics of Knots, Cambridge University Press, Cambridge.

Atiyah, M.

E,

y Singer,

l.

M. (1 963) , «The Index of Elliptic Operators on

Compact Manifolds», Bull. Amer. Math. Soc. 69, 322-433 . Atiyah, M. E , Hitchin, N. J., y Singer, l. M. (1 978), «Self-duality in four-di­

mensional Riemannian geometry», Proc. Roy. Soc. Lond. A362, 425 6 1 . Baez,J. C . (1 998) , «Spin foam models», Class. Quant. Grav. 1 5 , 1 82758.

Baez,J. C. (2000), «An introduction to spin foam models of quantum gravity and BF theory», Lect. Notes Phys. 543, 25-94 Baez,J. C. (200 1 ) , «Higher-dimensional algebra and Planck-scale physics», en

Physics Meets Philosophy at the Planck Sea/e (eds. C. Callender y N. Hug­ gett), Cambridge University Press, Cambridge [gr-qc/ 99020 1 7] .

Baez, J . C., y Dolan, D. (1 998), «Categorification», e n Higher Category Theory (eds. E. G etzler y M. Kapranov), Contemporary Mathematics vol. 230. AMS, Providence. RI (véase también http:/ /xxx.lanl.gov/abs/math.QA/ 9802029) . Bahcall, N., Ostriker,J. P., Perlmutter, S., y Steinhardt., P. J. (1 999) , «The Cos­ mic Triangle: Revealing the State of the Universe», Science 284 [astro-ph/9906463]. Bailey,T. N., y Baston, R.J. eds. (1 990), «Twistors in Mathematics and Physics», LMS Lecture Note Series 156, Cambridge University Press, Cambridge. Bailey, T. N., Ehrenpreis, L., y Wells, R. 0. , Jr. ( 1 982), «Weak solutions of the massless field equations», Proc. Roy. Soc. Lond. A384, 40325.

1408

BIBLIOGRAFÍA Banchoff, T. (1 990, 1 99 6) , Beyond the Third Dimension, Scientific American Li­ brary.Véase también http://www.faculty.fairfield. edu/jmac/cl/tb4d.htm.

Bar,

I.

(2000), «Survey ofTwo-Time P hysics» [hep-th/0008 1 64] .

Barbour, J. B. ( 1 989) , Absolute or Relative Motion, vol. 1 : The Discovery of Dyna­ mics, Cambridge University Press, Cambridge. Barbour, J. B. (1 992) , Time and the Interpretation of Quantum Gravity, Syracuse University Preprint. Barbour, J. B. (2001a) , The Discovery of Dynamics:A Study from a Machian Point

efView of the Discovery and the Structure of Dynamical Theories, Oxford Uni­ versity Press, Oxford. Barbour,J. B. (2001b), The End ofTime, Oxford University Press, Oxford. Barbour, J. B. (2004), Absolute or Relative Motíon: The Deep Structure ef General

Relativity, Oxford University Press, Oxford. Barbour,J. B., Foster, B., y O Murchadha, N. (2002), «Relativity without rela­ tivity», Class. Quant. Grav. 19, 321 7-3248 [gr-qc/00 1 2089] . Barrett,J. W, y Crane, L. ( 1 998), «Relativistic spin networks and quantum gra­ vity», J. Math. Phys. 39, 329 6-302.

Barrett,J. W, y Crane, L. (2000), «A Lorentzian signature model for quantum general relativity», Class. Quant. Grav. 17, 3 1 0 1 -3 1 1 8. Barrow,J. D. , y Tipler, F. J. ( 1 986) , The Anthropic Cosmological Principie, Oxford University Press, Oxford. Barrow, J. D. , y Tipler, E J. (1 988) , The Anthropic Cosmological Principie, Oxford University Press, Oxford.

Baston, R. J., y Eastwood, M. G. ( 1 989) , The Penrose Traniform: Its Interaction

with Representatíon Theory, Oxford University Press, Oxford. Bateman, H. ( 1 904) , «The solution of partial differential equations by means of definite integrals», Proc. Lond. Math. Soc. (2) 1 , 45 1 -459 . Bateman, H. ( 1 944), Partía/ Differential Equations of Mathematical Physics, Dover, Nueva York. Becker, R. ( 1 982) , Electromagnetic Fields and Interactíons, Dover, Nueva York. Begelman, M. C., Blandford, R. D., y Rees, M.J. ( 1 984), «Theory of extraga­ lactic radio sources», Rev. Mod. Phys. 56, 255. Bekenstein, J. ( 1 972) , «Black holes and the second law», Lett. Nuovo Cim. 4, 737-740.

Belinskii, V. A., Khalatnikov, l . M . , y Lifshitz, E. M. ( 1 970) , «Üscilliatory ap­ proach to a singular point in the relativistic cosmology», Usp. Fiz. Nauk 1 02 , 463-500 (traducción inglesa en Adv. in Phys. 19, 525-573) . Bell,J. S. ( 1 987), Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge 1409

BIBLIOGRAFÍA

University Press, Cambridge (hay traducción castellana: Lo decible y lo in­

decible en mecánica cuántica, Alianza, Madrid, 1 990) . B eltrami, E. ( 1 868), Essay on the Interpretation of non-Euclidean Geometry, tradu­ cido en Stillwell, J. C. ( 1 996) , «Sources of Hyperbolic Geometry», Hist. Math., 10, AMS Publications. Bennet, C. L., et al. (2003), «First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Pro­ be (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results», As­

trophys. ]. Suppl. 1 48, 1 [astro-ph/0302207 ] . B ergmann, P. G . ( 1 956), Helv. Phys. Acta Suppl. 4 , 7 9 . B ergmann, P. G . ( 1 957) , «Two-component spinors i n general relativity», Phys.

Rev. 107, 6249. Bern, Z. (2002) , «Perturbative Quantum Gravity and its relation to Gauge Theory», Living Rev. Relativity, 5 [www.livingreviews.org/Articles/Volu­ me5/20025 bern/index.html] . Berry, M.V. ( 1 984) , «Quantal phase factors accompanying adiabatic changes»,

Proc. Roy. Soc. Lond. A392, 45-57. Berry, M. V. ( 1 985), «Classical adiabatic angles and quantal adiabatic phase»,J. Phys. A. Math. Gen. 18, 1 5-27. Berry, M. V., y Keating, ]. P. ( 1 999) , «The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics», SIAM Review 41, 2, 236-266. Berry, M.V., y Robbins,J. M. (1 997) , «lndistinguishability for quantum parti­ cles: spin, statistics and the geometric phase», Proc. R. Soc. Lond. A 453, 1 77 1 - 1 790. Biedenharn, L. C., y Louck,J. D. ( 1 98 1 ) , Angular Momentum in Quantum Phy­

sics, Addison-Wesley, Londres. Bilaniuk, 0.-M. , y Sudarshan, G. (1 969) , «Particle beyond the light barrier», Phys. Today 22, 43-5 1 . Birrell, N. D. , y Davies, P. C . W (1 984) , Quantum Fields in Curves Space, Cam­ bridge University Press, Cambridge. Bjorken, ]. D. , y Drell, S. D. ( 1 965) , Relativistic Quantum Mechanics, McGraw Hill, Nueva York y Londres. Blanchard,A., Douspis, M., Rowan-Robinson, M., y Sarkar, S. (2003), «An al­ ternative to the cosmological concordance model», Astron. Astrophys. 412, 35-44. Blanford, R. D. , y Znajek, R. L. ( 1 977), «Electromagnetic Extraction of Energy from Kerr Black Holes», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 179, 433. Bohm, D. ( 1 9 5 1 ) , Quantum Theory (Prentice-Hall, Englewood-Cliffs) . Ch. 22,

1410

BIBLIOGRAFÍA sect. 1 5- 1 9 . Reimpreso como «The Paradox of Einstein, Rosen and Po­ dolsky», en Quantum Theory and Measurement ( eds. J. A. Wheeler y W H. Zurek) , Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1 983. Bohm, D. , y Hiley, B. ( 1 994) , The Undivided Universe, Routledge, Londres. Bojowald, M. (200 1 ) , «Absence of singularity in loop quantum cosmology»,

Phys. Rev. Lett. 86, 5227-5230. Bondi, H. ( 1 957) , «Negative mass in general relativity», Rev. Mod. Phys. 29, 423-428; también en Math. Rev. 19, 8 1 4. Bondi, H. ( 1 960) , «Gravitational waves in general relativity», Nature (Londres) 186, 535. Bondi, H. ( 1 96 1 ) , Cosmology, Cambridge University Press, Cambridge. Bondi, H. ( 1 964) , Relativity and Common Sense, Heinemann, Londres. Bondi, H. (1 967), Assumption and Myth in Physical Theory, Cambridge Univer­ sity Press, Cambridge. Bondi, H . , y Gold, T. ( 1 948), «The Steady-State Theory of the Expanding Universe», Man. Not. Roy. Astron. Soc. 108, 252-270. Bondi, H., van der Burg, M . G. J., y Metzner, A. W K. ( 1 962), «Gravitational waves in general relativity, VII. Waves from axisymmetric isolated sys­ tems», Proc. Roy. Soc. Lond. A269, 2 1 -52. Bonnor, W B., y Rotenberg, M. A. ( 1 966), «Gravitational waves from isolated sources», Proc. Roy. Soc. Lond. A289, 247-274. Borner, G. (2003) , The Early Universe, Springer-Verlag. Bouchet, F. R., Peter, P. , Riazuelo, A., y Sakellariadou, M. (2000), «Evidence against or for topological defects in the BOOMERanG data?», Phys. Rev. 065 (2002), 0 2 1 3 0 1 [astro-ph/0005022] .

Boyer, C. B. ( 1 968), A History of Mathematics, 2. ª ed. John Wiley & So ns, Nue­ va York (hay traducción castellana: Historia de la matemática, Alianza, Ma­ drid, 2003). Braginsky, V ( 1 977), «The Detection of Gravitational Waves and Quantum Non-Distributive Measurements», en Tapies in Theoretical and Experimental

Gravitation Physics (eds. V De Sabbata y J. Weber) , pp. 105-1 22. Plenum Press, Nueva York. Bramson, B. D. ( 1 975), «The alignment of frames of reference at null infinity for asymptotically flat Einstein-Maxwell manifold», Proc. R. Soc. London, Ser A 34 1 , 451-461 . Brandhuber, A., Spence, B., y Ttavaglini, G. (2004) , «Üne-Loop Gauge Theory Amplitudes in N = 4 Super Yang Milis from MHV Vertices» [hep-th/04072 1 4] .

141 1

BIBLIOGRAFÍA Brauer, R., y Weyl, H. ( 1 935), «Spinors in n dimensions», A m . J. Math.57, 425-449. Brekke, L., y Freund, P. G. O. ( 1 993), P-adic Numbers in Physics, North-Ho­ lland, Amsterdam. Bremermann, H. (1 965), Distributions, Complex Variables and Fourier Traniforms, Addison Wesley, Reading, Massachusetts.

Brody, D. C., y Hughston, L. P. (1 998a), «Geometric models for quantum sta­

tistical inference», en The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (eds. S. A. Huggett, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou y N. M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oxford.

Brody, D. C., y Hughston, L. P. (1 998b), «The quantum canonical ensemble»,

J. Math. Phys. 39 ( 1 2), 6502-6508. Brody, D. C., y Hughston, L. P. (200 1 ) , «Geometric Quantum Mechanics», J. Geom. and Phys. 38 (1), 1 9-53 . Brown,J. W, y C hurchill, R. V. (2004), Complex Váriables and Applications. Mc­ Graw-Hill, Nueva York y Londres. Bryant, R. L., Chern, S. -S. , Gardner, R. B., Goldschmidt, H. L., y Griffiths, P. A. (1991 ), Exterior Dijferential Systems, MSRI Publications, 1 8. Sprin­ ger-Verlag, Nueva York. Bucher, M., Goldhaber,A., y Turok, N. (1 995), «An open Universe from Infla­ tion», Phys. Rev. D52 [hep-ph/941 1 206] . Buckley, P., y Peat, E D. (1 996) , Glimpsing Reality, University ofToronto Press, Toronto. Budinich, P. , y Trautman, A. ( 1 988), The Spinorial Chessboard. Trieste Notes in

Physics, Springer-Verlag, Berlín. Burbidge, G. R., Burbidge, E. M., Fowler, W A., y Hoyle, E ( 1 957) , «Synthesis of the Elements in Stars», Revs. Mod. Phys. 29 , 547-650 . Burkert, W (1 972), Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard Univer­ sity Press, Harvard. Burkill,J. C. ( 1 962) , A First Course in Mathematical Analysis, Cambridge Uni­ versity Press, Cambridge. Byerly, W E. (2003), An Elementary Treatise on Fouriers Series and Spherical, Cy­

lindrica/, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Prob/ems in Mathema­ tical Physics, Dover, Nueva York.

Cachazo, E , Svrcek, P. , y Witten, E. (2004), «MHVVertices and Tree Amplitu­

des in Gauge Theory» [hep-th/0403047] . Cachazo, E , Svrcek, P. , y Witten, E. (2004b) , «Twistor Space Structure of One-Loop Amplitudes in Gauge Theory» [hep-th/0406 1 77] .

1412

BIBLIOGRAFÍA

Cachazo, F., Svrcek, P. , y Witten, E. (2004c) , «Gauge Theory Amplitudes in Twistor Space and Holomorphic Anomaly» [hep-th/0409245] . Candelas, P., de la Ossa, X. C., Green, P. S., y Parkes, L. ( 1 9 9 1 ) , «A pair of Ca­ labi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory», Nucl.

Phys. B359, 2 1 . Cartan, É . (1 923), «Sur les varietés

a

connexion affine e t la théorie de la rela­

tivité generalisée I», Ann. École Norm. Sup. 40, 325-4 1 2 .

Cartan, É. (1 924), «Sur les varietés a connexion affine et la théorie d e l a rela­ tivité generalisée (suite) », Ann. École Norm. Sup. 41, 1 -45 .

Cartan, É. ( 1 925), «Sur les varietés a connexion affine et la théorie de la rela­ tivité generalisée 11», Ann. École Norm. Sup. 42, 1 7-88.

Cartan, É. ( 1 945), Les Systemes Differentiels Exterieurs et leurs Applications Geo­

metriques, Hermann, París.

Cartan, É. ( 1 966) , The Theory of Spinors, Hermann, París.

Carter, B. ( 1 966) , «Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr's Solution of Einstein's Equations», Phys. Rev. 141, 4. Carter, B. (1971), «Axisimmetric Black Holes Has Only Two Degrees of Fre­ edom», Phys. Rev. Lett., 26, 331-332. Carter, B. ( 1 974), «Large Number Coincidences and the Anthropic Principie», en Confrontation of Cosmological Theory with Astronomical Data (ed. M . S. Longair) , pp. 2 9 1 8 , Reidel, Dordrecht. (Reimpreso en Leslie, 1 990.) Cercignani, C. (1 999), Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms, Oxford University Press, Oxford. Chan, H-M., y Tsou, S. T. ( 1 993) , Sorne Elementary Gauge Theory Concepts, World Scientific Lecture Notes in Physics, vol. 47, Londres. Chan, H-M., y Tsou, S. T. (2002) , «Fermion Generations and Mixing from Dualized Standard Model», Acta Physica Polonica B 12. Chandrasekhar, S. ( 1 9 8 1 ) , «The maximum mass of ideal white dwarfs», As­

trophys.J., 74, 8 1 -82. Chandrasekhar, S. ( 1 983) , The Mathematical Theory of Black Hales, Clarendon Press, Oxford. Chari,V. , y Pressley, A. ( 1 994) , A Cuide to Quantum Groups, Cambridge Uni­ versity Press, Cambridge. Chen, W W L. (2002), Linear Functional Analysis. [Disponible online:

http:/ /www.maths.mq.edu. au/-wchen/lnlfafolder/lnlfa.html.] Cheng, K. S., y Wang, J. ( 1 999), «The formation and merger of compact ob­ j ects in central engine of active galactic nuclei and quasars: gamma-ray burst and gravitational radiatiorn, Astrophys. ,J 521 , 502.

1413

BIBLIOGRAFÍA Chern, S. S. (1979) , Complex Manifolds Wíthout Potentíal Theory, Springer-Ver­ lag, Nueva York. C hernoff, P. R., y Marsden, J. E. (1974) , «Properties of infinite hamiltonian systems», Lecture Notes in Mathematícs, vol. 425, Springer-Verlag, B erlín. C hevalley, C. ( 1 946) , Theory of Lie Groups, Princeton University Press, Prin­ ceton. Chevalley, C. ( 1 954) , The Algebraíc Theory of Spínors, Columbia University Press, Nueva York. Chew, G.

E

( 1 962), S-Matríx Theory of Strong lnteractíons, Pearson Benjamín

Cummings. C hoquet-Bruhat, Y. , y DeWitt-Morette, C. (2000) , Analysís, Manifolds, and Physícs, partes 1 y 11, North-Holland, Amsterdam. Christian,]. (1995), «Definite events in NewtonCartan quantum gravity», Ox­ ford preprint, enviado a Phys. Rev. D. Christenson,J. H . , Cronin,J. W., Fitch,V. L., y Turlay, R. (1 964), «Evidence for the 2p decay of the KO meson», Phys. Rev. Lett. 13, 1 38-1 40.

Church,A. ( 1 936), The calculí ef lambda conversíon, Annals of Mathematics Stu­ -

dies, 6, Princeton University Press, Princeton, NJ.

Claudel, C. M., y Newman, K. P. (1998), «lsotropic Cosmological Singulari­ ties l. Polytropic Perfect Fluid Spacetimes», Proc. R. Soc. Lond. 454, 1 073-1 107. Clauser, J. E , Home, M. A., Shimony, A., y Holt, R. A. ( 1 969), «Proposed ex­

periment to test local hidden-variable theories», Phys. Rev. Lett. 23, 880. Clifford, W. K. ( 1 873) , «Preliminary Sketch of Biquaternions», Proc. London

Math. Soc. 4, 381-395. Clifford, W. K. ( 1 878) , «Applications of Grassmanns extensive algebra», Am .J

Math. 1, 350-358. Clifford, W. K. ( 1 882) , Mathematícal Papers by Wíllíam Kíngdon Cl!fford (ed. R. Tucker) , Londres. Cohen, P. J. ( 1 966), Set Theory and the Contínuum Hypothesis, W. A. Benjamín, Nueva York.

Collins, P. D. B. ( 1 977) , An Introductíon to Regge Theory and High Energy Physics, Cambridge University Press, Cambridge.

Colombeau,J. E (1 983) , «A multiplication of distributions»,J Math.:Atial.Appl. 94, 96- 1 1 5 . Colombeau, ]. E (1 985) , Elementary lntroduction to New Generalízed Functions, N orth-Holland, Amsterdam. Connes, A. ( 1 990) , «Essay on physics and non-commutative geometry, en The

1414

BIBLIOGRAFÍA

lnteiface of Matliematics and Particle Physics (eds. D. G. Quillen, G. B. Segal y

Tsou S. T.), Clarendon Press, Oxford.

Connes, A. (1 998) , «Noncommutative differential geometry and the structure of space-time», en The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (eds. S. A. Huggett, L . J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou y N. M. J. Woodhouse) , Oxford University Press, Oxford. Connes,A., y Berberian, S. K. (1 995), Noncommutative Geometry,Academic Press.

Connes, A., y Kreimer, D. (1 998), «Hopf Algebras, Renormalization and Non-commutative Geometry» [hep-th/9808042] . Conway, J. H. (1976) , On Numbers and Games, Academic Press, Londres. Conway, J. H., y Kochen, S. (2002), «The geometry of the quantum parado­ xes», en Quantum {Un}speakables: From Bel/ to Quantum Information (eds. R. A. Bertlmann y A. Zeilinger), Springer-Verlag, Berlín. Conway, J. H., y Norton, S. P. ( 1 979) , «Monstrous Moonshine», Bull. Lond.

Math. Soc. 11, 308-339.

Conway, J. H., y Smith, D. A. (2003), On Quaternions and Octonions, A. K. Pe­ ters. Corson, E. M. (1 953) , Introduction to Tensors, Spinors, and Relativistic Wave-equa­

tions, Blackie and Son Ltd., Londres. Costa de Beauregard, O. ( 1 995), «Macroscopic retrocausation», Found. Phy. Lett. 8 (3) , 287-291 . Cotes, R. ( 1 7 1 4), «Logometria», Phi/. Trans. Roy. Soc. Lond (marzo) . Cox, D. A., y Katz, S. (1 999) , Mirror Symmetry and Algebraic Geometry, Mathe­ matical Surveys and Monographs 68, American Mathematical Society, Providence, RI. Cramer. J. G. (1 988) , «An overview of the transactional interpretation of quantum mechanics», lnt.J. Theor. Phys. 27(2), 227-236. Crowe, M . J. ( 1 967) , A History (if Vector Analysis: The Evo/ution oj the Idea oj a Vectorial System, University of Notre Dame Press,Toronto (reimpreso con añadidos y correcciones por Dover, Nueva York, 1 985) . Cvitanovic,

P. ,

y Kennedy, A. D. (1 982), «Spinors in negative dimensions»,

Phys. Scripta 26, 5-14. Das, A., y Ferbel. T. (2004), Introduction to Nuclear and Particle Physics, World Scientific Publishing Company, Singapur. Davenport, H. (1952), The Hig her Arithmetics: An Introduction to the Theory ef Numbers, Hutchinson's U niversity Library. Davies, M. (1 997) , Europe: A History, Oxford University Press, Oxford, pp. 89-94.

1415

BIBLIOGRAFÍA D avies, P. (2003) , How to Build a Time Machine, Penguin, USA. D avis, M. (1 978) , «What is a Computation?», en Mathematics Today: Twelve In­ formal Essays (ed. L . A. Steen) , Springer-Verlag, Nueva York. D avis, M. (1 988) , «Mathematical logic and the origin of modern computers», en The Universal Turing Machine: A Haif- Century Survey (ed. R. Herken) , Kammerer and Unverzagt, Hamburgo. D avydov, A. S. ( 1 976), Quantum Mechanics, Pergamon Press, Oxford. D e Bernardis, P. , et al. (2000), «A Flat Universe from High-Resolution Maps ofthe Cosmic Microwave Background Radiation», Nature 404, 955-959.

Delduc, E , Galperin, A., Howe, P., y Sokatchev, E. ( 1 993), «A twistor formula­ tion of the heterotic D = 10 superstring with manifest (8,0) worldsheet super-symmetry», Phys. Rev. 047, 578-593 [hep-th/9207050] . Derbyshire,J. (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Un­

solved Problem in Mathematics,Joseph Henry Press, Washington, DC. D eser, S. ( 1 999) , «N onrenormalizability of D 99050 1 7] .

=

1 1 supergravity» [hep-th/

Deser, S. (2000) , «lnfinities in quantum gravities», Annalen Phys, 9 , 299-307 [gr-qc/99 1 1 073] . Deser, S., y Teitelboim, C. (1 977), «Supergravity Has Positive Energy», Phys. Rev. Lett. 39, 248-252. Deser, S., y Zumino, B. (1 976) , «Consistent supergravity», Phys. Lett. 62B, 335-337. De Sitter,W ( 1 9 13), Phys. Zeitz.,14, 429 (en alemán) . Deutsch, D. (2000), The Fabric of Realíty, Penguin, Londres (hay traducción castellana: La estructura de la realidad, Anagrama, Barcelona, 2002) . Devlin, K. (1 988), Mathematics: The New Golden Age, Penguin Books, Londres.

Devlin, K. (2002) , The Millennium Problems:The Seven Greatest Unsolved Mathe­ matical Puzzles of Our Time, Basic Books, Londres/Perseus Books, Nueva York. DeWitt, B. S. ( 1 967) , «Quantum Theory of Gravity. l. The Canonical Theory», Phys. Rev. 1 60, 1 1 1 3. DeWitt, B. S. ( 1 984), Supermanifolds, Cambridge University Press, Cambridge.

DeWitt, B. S., y Graham, R. D., eds. ( 1 973) , The Many- Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton. Dicke, R. H. ( 1 9 6 1 ) , «Dirac's Cosmology and Mach's Principie», Nature 192, 440-441 . Dicke, R. H . ( 1 9 8 1 ) , «lnteraction-free quantum measurements: A paradox?», Am.j. Phys. 49, 925.

1416

BIBLIOGRAFÍA

Dicke, R. H., Pee bles, P. J. E . , Roll, P. G., y Wilkinson, D. T. (1 965) , «Cosmic Black-Body Radiation», Astrophys.J. 142, 4 1 4-4 19. Dine, M. (2000) , «Some reflections on Moduli, their Stabilization and Cos­ mology» [hep-th/000 1 1 57] . Diósi, L. ( 1 984) , «Gravitation and quantum mechanical localization of ma­ cro-objects», Phys. Lctt. 105A, 1 99-202. Diósi, L. (1 989) , «Models for universal reduction of macroscopic quantum fluctuations», Phys. Rcv. A40, 1 1 65- 1 1 74. Dirac, P. A. M. (1 928), «The quantum theory of the electron», Proc. Roy. Soc. Lond. A117, 6 1 0-24; ibid, parte II, A1 18, 35 1 -3 6 1 . Dirac, P. A. M. ( 1 932), Proc. Roy. Soc. A136, 453. Dirac, P. A. M. (1 933), «The Lagrangian in Quantum Mechanics», Physicalische

Zeitschrift der Sowjctunion, Band 3, Heft 1 . Dirac, P. A. M. (1 936), «Relativistic Wave Equations», Proc. R. Soc. Lond. A155, 447-459. Dirac, P. A. M. (1 937), «The Cosmological Constants», Nature 139, 323. Dirac, P.A. M. ( 1 938), «A new basis for cosmology», Proc. R. Soc. Lond. A165, 1 99. Dirac, P. A. M. (1 950) , «Generalized Hamiltonian dynamics», Can.]. Math. 2, 129. Dirac, P. A. M. (1 964), Lectures on Quantum Mcchanics Yeshiva University, Nue­ va York. ,

Dirac, P. A. M. (1 966), Lecturcs in Quantum Field Theory,Academic Press, Nue­

va York. Dirac, P. A. M. (1 982a) , The Principies of Quantum Mcchanics, 4." ed., Clarendon Press, Oxford (hay una traducción castellana de la tercera edición inglesa: Principios de mecánica cu ántica , Ariel, Barcelona, 1 958, agotada) . Dirac, P. A. M. (1 982b) , «Pretty mathematics», lnt.]. Theor. Phys. 21, 603-605. Dirac, P. A. M. (1983) , «The Origin of Quantum Field Theory», en The Birth

of Particle Physics (eds. Brown y Hoddeson) , Cambridge University Press, Nueva York. Dixon, G. ( 1 994) , Divisio11 Algcbras, Quatemions, Complex Numbers and the Al­

gebraic Design of Physics, Kluwer Academic Publishers, Boston. Dodelson, S. (2003), Modern Cosmology, Academic Press, Londres. Dolan, L. (1 996) , «Superstring twisted conformal field theory: Moonshine, the Monster, and related topics» (South Hadley, MA, 1 994) , Contcmp. Math. 193, 9-24. Domagala, M . , y Lewandowski , J. (2004) , «Black Hole Entropy from Quan­ tum Geometry» [gr-qc/040704 1 ] .

1 417

BIBLIOGRAFÍA

Donaldson, S. K., y Kronheimer, P. B. ( 1 990), The Geometry of Four-Manifolds, Oxford University Press, Oxford. Douady, A., y Hubbard, J. ( 1 985), «Ün the dynamics of polynomial-like map-pings», Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 18, 287-343. Dowker, F., y Kent, A. (1996), «Ün the consistent histories approach to quan­ tum mechanics»,J. Stat. Phys. 82 [gr-qc/94 1 2067] . Drake, S. (1957), Discoveries and Opinions of Galileo, Doubleday, Nueva York. Drake, S., trad. ( 1 953), Galileo Galilei: Dialogue Concerning the Two ChiefWorld SystemsPtolemaic and Copernican, University of California, Berkeley (hay una edición castellana de los diálogos de Galileo: Diálogo sobre los dos má­

ximos sistemas del mundo, edición y traducción de Antonio B eltrán Mari, Alianza, Madrid, 1 995). D ray, T. , y Manogue, C. A. ( 1 999), «The Exceptional Jordan Eigenvalue Pro­ blem», Int.j. Theor. Phys. 38, 290 1 - 1 6 [math-ph/991 10004] . D reyer, O., Markopoulou, F, y Smolin, L. (2004) , «Symmetry and entropy of black hole horizons» [hep-th/0409056] . Duffin, R. J. ( 1 938), «Ün the characteristic matrices of covariant systems», Phys. Rev. 54, 1 1 1 4. Dunajski, M. (2002) , «Anti-self-dual four-manifolds with a parallel real spi­ nor>>, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 458(2021), 1 205-1 222. Du Sautoy, M. (2004) , The Music of the Primes, Perennial, Nueva York. Dunham, W (1 999), Euler: The Master of Us Ali, Math. Assoc. Amer. , Washing­ ton, DC. Dyson, F. J. ( 1 966), Symmetry Groups in Nuclear and Partícle Physícs: A Lecture-note and Reprint Volume, W A. B enjamín, Nueva York. Eastwood, M. G., Penrose, R., y Wells, R. O., Jr. ( 1 9 8 1 ) , «Cohomology and massless fields», Comm. Math. Phys. 78, 305-35 1 . Eddington, A. S . ( 1 929a), Th e Nature of the Physical World, Cambridge Univer­ sity Press, Cambridge (hay traducción castellana: La naturaleza del mundo

físico, Editorial Sudamericana, Buenos Aires, 1 945 , agotada) . Eddington, A. S. (1 929b) , «A Symmetrical Treatment of the Wave Equation», Proc. R. Soc. Lond. A121, 524-542. Eddington, A. S. ( 1 946), Fundamental Theory, Cambridge University Press, Cambridge.

Eden, R.J., Landshoff, P.V., Olive, D. l . , y Polkinghorne,J. C. (2002), The Ana­

lityc S-Matrix, Cambridge University Press. Edwards, C. H., y Penney, D. E. (2002), Calculus with Analytic Geometry, Pren­ tice Hall, 6.' ed.

1418

BIBLIOGRAFÍA

Ehrenberg, W. , y Siday, R. E. ( 1 949) , «The refractive index in electron optics and the principies of dynamics», Proc. Phys. Soc. LXIIB, 8-2 1 . Ehrenfest, P. , y Ehrenfest, T. ( 1 959), Th e Conceptual Foundations of the Statistical

Approach in Mechanics, Cornell University Press, Ithaca, NY Eilenberg, S., y Mac Lane, S. ( 1 945), «General theory of natural equivalences, Trans. Am. Math. Soc. 58, 23 1 -294. Einstein, A. ( 1 9 1 4) , en Lorentz, et al. ( 1 952) . Einstein, A. ( 1 9 1 7) , «Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relati­ vitatstheorie», Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 142- 1 52. Einstein, A. ( 1 925), «S. B. Preuss», Akad. Wiss. 22, 4 1 4. Einstein, A. ( 1 945), «A generalization of the relativistic theory of gravitation»,

Ann. Math. 46, 578. Einstein, A. ( 1 948), «A generalized theory ofgravitation», Rev. Mod. Phys. 20, 35. Einstein, A. ( 1 955), «Relativistic theory of the non-symmetric field», en Ap­ pendix Il: The Meaning of Relativity, 5. ª ed., pp. 1 33-66, Princeton U niver­

sity Press, Princeton, NJ. Einstein, A., y Kaufman, B. ( 1 955), «A new form of the general relativistic field equations», Ann. Math. 62, 1 28. Einstein, A., y Straus, E . G. ( 1 946), «A generalization of the relativistic theory of gravitation 11», Ann. Math. 47, 73 1 . Einstein, A., Podolsky, P. , y Rosen, N. ( 1 935), «Can quantum-mechanical des­ cription of physical reality be considered complete?», en Quantum Theory and Measurement ( eds. J. A. Wheeler y W. H. Zurek), Princeton U niversity Press, Princeton, New Jersey, 1 983; originalmente en Phys. Rev. 47, 777-780. Elitzur, A. C., y Vaidman, L. ( 1 993), «Quantum mechanical interaction-free measurements», Found. Phys. 23, 987-997 . Elliott, J. P. , y Dawber, P. G. ( 1 984), Symmetry in Physics, vol. Londres.

l.

Macmillan,

Ellis,J., Mavromatos, N. E . , y Nanopoulos, O.V. ( 1 997a), «Vacuum fluctuations and decoherence in mesoscopic and microscopic systems», en Symposium on Flavour-Changing Neutral Currents: Present and Future Studies, UCLA. Ellis,J., Mavromatos, N. E., y Nanopoulos, D.V. ( 1 997b) , «Quantum decohe­ rence in a D-foam background», Mod. Phys. Lett. A12, 2029-2036. Engelking, E. ( 1 968), Outline of General Topology, North-Holland & PWN, Amsterdam. Euler, L. ( 1 748), lntroductio in Analysis lnfinitorum.

1419

BIBLIOGRAFÍA

Everett, H. (1 957) , «Relative State formulation of quantum mechanics», en

Quantum Theory and Measurement (eds.J.A.Wheeler y W H. Zurek) , Prin­ ceton University Press, Princeton, New Jersey, 1 983; originalmente en Rev. Mod. Phys. 29, 454-262. Fauvel, J., y Gray, J. ( 1 987) , The History of Mathematics: A Reader, Macmillan, Londres. Ferber, A. (1 978) , «Supertwistors and conformal supersymmetry», Nucl. Phys. B132, 55-64. Fernow, R. C. ( 1 989), Introduction to Experimental Particle Physics, Cambridge University Press, Cambridge. Feynrnan, R. P. ( 1 948) , «Space-time approach to nonrelativistic quantum me­ chanics», Rev. Modern Phys. 20, 367-387. Feynman, R. P. ( 1 949) , «The theory of positrons», Phys. Rev. 76, 749. Feynman, R. P. ( 1 987), Elementary Particles and the Laws of Physics: The 1 986 Dirac Memorial Lectures, Cambridge University Press, Cambridge. Feynman, R. P. , y A. Hibbs. ( 1 965) , Quantum Mechanics and Path Integrals, Mc­ Graw-Hill, Nueva York. Fierz, M. (1 938), «Uber die Relativitische Theorie kraftefreier Teichlen mit belie-bigem Spin», Helv. Phys. Acta. 12, 3-37. Fierz, M. (1 940), «Uber den Drehimpuls von Teichlen mit Ruhemasse null und beliebigem Spin», Helv. Phys. Acta. 1 3 . ,45-60. Fierz, M., y Pauli, W (1 939) , «Ün relativistic wave equations for particles of ar­ bitrary spin in an electromagnetic field», Proc. Roy. Soc. Lond. A173, 2 1 1 -232. Finkelstein, D. (1 969) , «Space-time code», Phys. Rev. 184, 1 2 6 1 - 1 279. Finkelstein, D. , y J. Rubinstein (1 968) , «Connection between spin, statistics, and kinks»,j. Math. Phys. 9, 1 972. Flanders, H. ( 1 963), Differential Forms, Academic Press (reeditado por Dorf, 1 989). Floyd, R. M., y Penrose, R. ( 1 971), «Extraction of Rotational Energy from a Black Hole», Nature Phys. Sci. 229, 1 77 . Fortney, L. R . (1 997) , Principies oJ Electronics, Analogic and Digital, Harcourt Bra­ ce Jovanovich. Frankel, T. (200 1 ) , The Geometry of Physics, Cambridge University Press, Cam­ bridge. Frenkel, A. (2000) , «A Tentative Expresion of the Károlyházy Uncertainty of the Space-time Structure through Vacuum Spreads in Quantum Gravity» [quant-ph/0002087] .

1420

BlBLJv;:;K!.F Í A

Friedlander, F. G. ( 1 982) , Introduction to the Theory of Distributions», Cambridge University Press, Cambridge. Friedrich,W. L. (2000) , Pire in the Sea: The Santorini Volcano: Natural History and

the Legend ofAtlantis (trad. A. R. McBirney) , Cambridge University Press, Cambridge. Frittelli, S., Kozameh, C., y Newman, E. T. ( 1 997) , «Dynamics of light cone cuts at null infinity», Phys. Rev. 056, 8. Frohlich,J., y Pedrini, B. (2000), «New applications ofthe chiral anomaly», en

Mathematical Physics 2000 (eds.A. Fokas,A. Grigoryan, T. Kibble, y B. Ze­ garlinski), pp. 947, Imperial College Press, Londres. Gambini, R., y Pullin,J. (1 999) , «Nonstandard optics from quantum spaceti­ me», Phys. Rev. 059 1 2402 1 . Gandy, R. (1 988) , «The conflu ence of ideas in 1 936», e n Th e Universal Turing Machine: A Half-Century Survey (ed. R. Herken), Kammerer and Unver­ zagt, Hamburgo. Gangui,A. (2003) , «Cosmology from Topological Defects», AIP Conj Proc. 668 [astro-ph/0303504] . Gardner, M. ( 1 990) , The New Ambidextrous Universe, W H . Freeman, Nueva York (hay traducción castellana: El nuevo universo ambidiestro, RBA Colec­ cionables, Barcelona, 1 994) . Gauss, C. F. ( 1 900) , Werke, vol.VIII, pp. 357-362, Leipzig. Gelfand, l . , y Shilov, G. ( 1 964), Generalized Functions, vol. 1 , Academic Press, Nueva York.

Gell-Mann, M. (1 994) , The Quark and thejaguar:Adventures in the Simple and the

Complex, W H. Freeman, Nu eva York (hay traducción castellana: El Quark y eljaguar: aventuras en lo simple y lo complicado, Tusquets, Barcelona, 1 995). Gell-Mann, M., y Hartle,J. B. ( 1 995), «Strong Decoherence», en Proceedings of the 4th Drexel Conference on Quantum Non-Integrability: The Quantum- Clas­ sical Correspondence (eds. D.-H. Feng y B.-H. Lu) , International Press of Boston, Hong Kong, 1 988 [gr-qc/ 9509054] . Gell-Mann, M . , y Neeman,Y. (2000), Eighifold Way, Perseus Publishing. Geroch, R. ( 1 968) , «Spinor structure of space-times in general relativity 1»,J.

Math. Phys. 9, 1 739-1 744. Geroch, R. (1 970) , «Spinor structure of space-times in general relativity 11»,J.

Math. Phys. 11, 343-348. Geroch, R. ( 1 984), «The Everett Interpretation, Nous, 1 8 , 6 1 7-633. Geroch, R. (inédito) , Geometrical Quantum Mechanics, Lecture notes given at U niversity of Chicago.

1421

B IBLIOGRAFÍA

Geroch, R. y Hartle,J. (1 986), «Computability and physical theories», Found.

Phys. 16, 533. Geroch, R., Kronheimer, E. H., y Penrose, R . (1 972), «Ideal points for spa­ ce-times», Proc. Roy. Soc. Lond. A347, 545-567. Ghirardi, G. C., Grassi, R., y Rirnini, A. (1 990), «Continuous spontaneous re­ duction model involving gravity», Phys. Rev. A42, 1 057-1 064. Ghirardi, G. C., Rirnini,A., y Weber, T. (1 986), «Unified dynamics for micros­ copic and macroscopic systems», Phys. Rev. D34, 470. Gibbons, G. W (1 984), «The isoperimetric and Bogomolny inequalities for black holes», en Global Riemannian Geometry (eds. T. Willmore y N.J. Hit­ chin), Ellis Horwood, Chichester. Gibbons, G. W ( 1 997), «Collapsing Shells and the Isoperimetric Inequality for Black Holes», Class. Quant. Grav. 14, 2905-29 1 5 [hep-th/9701 049] . Gibbons, G.W, y Hartnoll, S.A. (2002), «Gravitational instability in higher di­ mensions» [hep-th/0206202] . Gibbons, G. W, y Perry, M.J. ( 1 978) , «Black Holes and Thermal Green's Func­ tion», Proc. Roy. Soc. Lond. A358, 467-494. Gibbs,J. (1960), Elementary Principies in Statistical Mechanics, Dover, Nueva York. Gindikin, S. G. ( 1 986), «Ün one construction of hyperkahler metrics», Funct.

Anal. Appl. 20, 82-83 (en ruso). Gindikin, S. G. ( 1 990), «Between integral geometry and twistors», en Twistors in Mathematics and Physics (eds. T. N. Bailey y R. J. Baston), LMS Lecture

Note Series 1 56, Cambridge University Press, Cambridge.

Gisin, N. ( 1 989),