Eisenstein級数の初等理論

Table of contents :
序
目次
㐧1章　Fuchs型不連続群
㐧2章　Eisenstein級数とそのFourier展開
㐧3章　Eisenstein級数のTaylor展開
㐧4章　行列　Φ(s)
㐧5章　Eisenstein級数の函数
㐧6章　Eisenstein級数のFourier係数
文献

Citation preview

東

大

数

学

教

室

セミナリー ・ ノート， 18

I

I

Eisenstein 属数の初等理論

8 6

ー

富

y

k 。

田

，

保

゜，

久

維

キ ャ

ff

芦竺以 ︷咆茫品バ締隣呼バ謡、 Laiぶ f潟

) ︵沖要也 g. ．

ふ塁

母

0

、全芯．

L0

l l g 9 0 4芸

、 a d S 5 1 * g品 )fT-:.

澪呼心砂

:h が4f 器 r$:Li-湘 9ミ

[tn

炉咆~k'} 緊如 t53 51 ••

" 森ぷ 竺 f湯

f,1.~.

筋ぶ︱ &i5t奇sd 霞呻吋“

q~

s

13。 ペ ぃ N 'ぶ L I 〒竺舛 ；

~ー t 娑際 '4 トr 梃．母 淫蔀こ榊5 "ぃ J g迄 呻 隣 d.gsべJEi

如洲弐諜裟 r跨 雰 楽 沙

にff:8

w I 岳 こ扉

嘉瓢

Lい[ U

99

E.g59/-If

5 いEi 四茄—。口渫整L”亡こ澤 5． ！

ゃ；ド§も已呼性 s ぶぎ L製 s 4 s 1 4勘 2 t t ＂ 笠 5t1 i 翠ぶ芍翌ム芯 4t，盆ミ斗gぶ 已念芯 g 、 、 ；芯”心ぶ ．ヽ C， .5 丘ぞきさ "、 0 ＃苔︱臼面 l-A 5 [5]

[6]-

b

、 bん

︿

g

if"L§4thc9 よ S[4]喰一” oi屈 t Kー料＾予

g

3 王 rLt飴aぽこg．寸ゞg5• 竺 f今 " g.9C.q炉要一＂サ‘ぐるゞ茫喰ー

料鍮疹ぅ・}^：§芯 5d;tba

瑯ざ

1f"

4 m , ＾梃

狐[¥涵

[ 11] 、[

Agl15い 6ヽ こ

序 iご益＃｀i r { 4 -予

な ＂

—ぃとさ·

q ↓

晶序朕窃掘ぞ翌︶芦 5_打 1 1 ? ] ︷心 t s : aー芦索 rJ9脚呼片孤見 ~E

6J

1.2]'l;•

ン

t^t[5tg︵ふ宅

悔 f 涵謀

f

こ〗醤 Q ぐ‘

’~ー3 淀ゞ翌笞h.f芯 Lr"t 72 Jf"g

itt

ざ竺" yhz、足ご・四．芭竺 g卜芯囲

f4峨 1 .t:

(s

l " t 't桝1 心涵B虹なヽ含粋 778 蔀

504ot ’ い

E

ぐ

q cぶ u

56J

F≪eMlf

1i釦命 S Eャにさ aぶ1芦客ぶ滋g認芯ー翠を盆 深踪

E9 E遥杓．

f " E 4 累 ︳ ハ

J$tli

’ ご ヽ

、

b

g

裟如な塩沿陸

射

{d'

クい L E 5 5ご竺 l

3ぃ｀

F u d w こ

．5内蝶祠竿ぎ注神∼ 1心裳吟芍如))．心u A`t,

r~t吝 R -a1 霊、他 含i 裳心l3 g5 炉r池子ヤ 4O 0} L9h:t 53N心 ¢

、

L

↑ や

亡そ

gd

•L2ぷ 1

1ぷ怠認五 a雫 t(.';.J. 年苫芥，2 ゃ91—

21

芯

d

"-忍淡 g 叫臨︵以欄‘滋茎a反 令 ︳ a

rー？す

∼ ?

ぶふ 3文？ぶ

ぢ丑メ紙:ぷりや心よ

(l

認硲·｛qノ : 厄

1

c{51{rg 1“ t 喜ば ご

疇 ． 芯 肉 召 lq5立布や eqg描 c十

S{

弓 ↑ 吝 ‘

品

c{I(C`0"

oJrcト や 念 ノ や

了ぷ炉

j,2

2215r' 全如認

＄ ＂ ー を ｀ 咄 yi僑糾 ぷ巡 Pぷが ぶ喰

:f111..

”

2翌 伶

F/9

” . 4~＋ー(Cリ 忍 q-ぞ

C rc J5 忍吾呼利リー十Iギ

ぷぷ

4`t-C

TV~

c

旦 g9︳ / -ぷ で 合 ＇v こ￡令｀＂一岬奈｀配ら距 ~~(.)~!

• i~,

~

辿

ti~さ

~

ヽ

b ¥ { .

~

l

ぷ 満

fト 6

—唸｝． t点

r"吋 l羞

t

ふぬ＇ご｀后ぶ

(60 ぶさ:こ f

R

息 u ば LL9ぷ 9)瞬伍 1含緯 g畑 泌唸 0べベ }v

P l g-13卜

` ( べ

ぶ"

PC{t11

l~a~

ば r0︳ぷ E．ca ぷ芯｀

窃 tl2.5r"l

；序も甜愈 {$s↓ §rr§4

竺孟翁為．竺忠苔

1、 C1

8

-4 ｀竺 r -寄 TgC ふ品o n岡ダ

[幅

゜ "j.1

益t )

dti 点C

乎 "S L( . i ,JR)

44

: t艇添如咄 l o l ごTJ四郎｀忠

FF4 こ畔ぷ飴妥踪

ゞ 遥t 畑け刊

﹃5

芍塙褐朦

3

Fu~tf1L

娑踪

端しさ1 g)z-al g e i

3-1 ？ 、 P41-

U ) z " ？ニま

h

CC{二 8

t 名、

曲弓 2 ぶ 1沿 2翌g} •＂寄Ftt53Lだ i3

が。

£to9F•" ごご L 函芯畑了茫翌 z"c'硲 f ＂ 芯” Q ｀

＜z ) h(

細-仁

舟品︱

t-1 G E t s §

＾ か 。 ぎ に l 1 西l 芯 gT5b9


[＾髯卵．C 名息 知匈ば宝 g-f竺芯 Fg4S飼さ 0 ふ h b 含抽図 4 か7d. : s § 伽 芭 ざ ふ Ap36s￠斗ノ、t涼 や 3 ( Lヽ ＂ 沈 一 7 F

F

L

心

演 き さg -rg

1 ?︵2

f l " ¥

さ 、

s紐際 z 日 ︱ 3.

心

こ︶

氾 零 A3型 一

..

ー

歴c [ r ／

a

l } (,C4) ＂ ＂ ー4 l 、 c , , : l ぶ

I:bdサ

，

N ' ; : t

，｀

＂

. .

~? , , , 、

, . ¥ t " .

~

h , .

＇

~

: . : _ さ 、 .

~

ヽ

~-··

. .

"(t:

( j ? ; 叶 ト 5 図ー一、 d i c

t(tl ,i)

ー＇ーー＇ 9 ( 4、X) ・！

iJ

4-a4

︶

A、x)31,A

bJい 。

~

~.

tぷ ふ

~

竺

N)

(﹁︶

ヽ

I"""'N

; : ぷ ＼

, , . . _

:-~~ 一

~

心-~

栖呼芍 Q

＂ A

'-A

吟＾邑ャ i、Sヰ担︱しこ茂 3 ?kt9L

(kふ玉sゞ百" L=-~ 、

↑

tf 3

J,1

6 , . (c4) a

X (c ぶ

ー

f

さ ＂ 予

a

a令

3

ド 屎ジぶ'ar~

一cな

2 .

5

3

L ( m gぷ念

Aj

い x(6)吝(gq6 I I 、N)

68)

姑 一 ↓ F:s:4和西 0岬↓譲 ゞ か ． 斗 7db8

k,l

︵f ) t

i -

:X g§

s

zJA}X)S

ー ％

る ぶ

心0 バ ・ 'm

心苫ざ

Lを 7J

Uき .P t .A l" 泌l斗~FtrW函 r1ぐ3t45炉°

、

l t J .

︵；北一↓を 1凡濡こ．ざ

＂

ti~ ~~M ご,6 一 t Et (2. ~ 、X

も

:z"8lot

p .

←こ守

ヘ

＂

3

O

、 ] 5 3 ° 3

叩 バt . g }

哭

よ 呼 ↑a r -％ 0店 ﹁｀

9 , 1﹁ 6.

⇔

aI

1

︶

i ・ " r "-

. g 、こござt

tl.639

l

﹁

．｀

f T f i.

(4)

1

g ) $ CVo

fc ﹁

5

ぷ

’ 、

︶)轡

が

~

g l : { s g g u ‘ヰぎ ↑ ぃ. ：もも 4 ふ ぷ 1.,

可

( 1 9 )

この結果は．もちろん (t)">核格である。

：：っ章 9 最1ゑ ,~F(z, ~、 x)~E. c2.,~ 、 x)- a 。 ( ' , . d ,x )が、

0--'-x.~1 で足手ず帯状舘減叶0分 J:. ~ 方におい " 21 1 - E(z~A'.. X)1 A ( : .ついて

. t . . O Jように餌オf Tオ 糾 免l r~ 先にぢ " " ' 1 .も 席i 器であることな示そう．

n危のうち

ニれ ( 1E . M ' 叫必級叔￠り）ートにち;t . , . . 1 _あ..,かわれが

最 6解祈労的な告鈴豆ふ 最l vに (3)q]尺 ( : : .ぁ‘ける a呵( , a、 A、X ) . ,具く本的な形を荻めると、

以か鉗紅 (c,J.)二

￡ 1 1 : ( 2 _ ,1 ,; x ) e . 2 1 1 1 . r

エ

. . f戸 応(uJ.)le酎'.dll4e-2. . ぃA 叫"・ , 6

••

f——

-

M

I cI ユ . . = ± 2 . , _L_ キ0 ぷ C

?

年

h .dx

2 . ? r l . 7 t｀ X

一一 l 三 ＋ 告l u

2 . . . . X , C c , t l . )

l m心

戸 叫 I 匡丑 f . d

e

ん

_ rI土c1.i4 ( I .和c,d)e り んI~ J : x . • 2~o I わ必 え' I I L 7 / ;

・

従って；ここで

=年（専G ; 冗（バ） t " ' 7 t "吾 ） 〉

乎 (4,X, m )

;:~,d) tr

w-(い）＝［品t叶~iー：『：

( , ) .

' * ). （ ）内，式は切( u ,A)4 i ,: S > oJで．餌祈オ姜9 免するたか9畜のであふ 以下同社に辞今桟令波で ' W( l { , ・ A ' ){ 1 全平面に捻免されな函告文とな

る 。 笈 可5B 四ほ赦

Kげ 恥 れ l 安

に喜; a t "ユ 冗 ＾ “ ふi 「

( 4 ) ー1 K , . _合( : i .江），

となることに注意。

( 辺 ).0)

（ ゆ ）

とおけは‘‘

r

a叫， 4,x)=~1-A (AX ,m)祝呵， A) 』

となるわけ z . . r , . , ?。 以 上 0) :...とから

誓 げO 氾( Aぷ叫加（叫 A ) l t .

('/)『 I F ( z ,. . & ,x ) 0

- 咋

が 十 令 大9い］について釣立っ

4{ かo 喝合

0

E(三, , / 4 ¥ , X )が正剌

な第枡棒視ふもっく王覧q イ逍!."よい。 そ , : .t , ,. Aをらる A 6tiJ 1つのコンハ’叶

な泣傍 U ひ知えると.~~ 麟 Lたと, (?)が担{~ い が 最 大 恒 iと る ． ; ; .微令祖呈式｀佐）≫ あるいは~瓜 ぃ 桟 令 叶i知

ゞ尻(~1 4 ) 1(な，

c , )と力；ら

2

Aがあ ic . o , . . 1 3 0 . dな筵厨に（いついれは・,ある一

釦億ょ')大9い}につ " " ' t .は単急周演少であるこいがわかる。政に (7)#J

筵

f ; J . . ,廷

u とさりについて一袢ぷ Iミ有堺こあることがいえた。 0)

1

このこと

t 今大さな Y> o1-=- っ ~HJ.Jf!F位，.& ,X ) l " ¥ il ' :勺 が・,AEU . ) ( 1 : 1 ( )

1 1 ' 4 .

•、 y

に1いてすべ' t . ., f l限疋しかも Alこ つ い t逢流なこともわかる。

(X

｀ 区I I ( X V f N )

Vへ N)3 囀

ヽrヽ

uP

：ジよ刃

3

？

?u) ． ．

ぶ 心 ・ 2hr+I"7`l.E " ﹂。又{

9-9{

、な[

へ

︸

[i(X`r`N)3

嘉 (X`V9:IIUT

＂

マヘ ヘ

AWi

ぃs E令 4 3 A - _ ↓む益川 rト又 "JG2

尺 SI格 i 心扇予ミ

芯忍

gl

曲妥る 点

otiT

H 0 - 9 C 5 Lて

9

u(x ｀ 、 ンdこ べゃ rv5"-gゃ 囚 g V•N) 、

ド S 33[irT 6・2'i.,¥J"令 6 1 袖喝

ぷ -

5: >: . } ・ " ' 1 1ふ；し心 tl,2EEC炉 t}Un,1 0 1 ク

号 g ( t l 円 ︱ ぷ ︶ ー ﹃ 叶

T52

eN"︵ や ︸ ぶ

。 ^:￠1要

r^ (X 、

＂)︵

U)山

｀ ご

t}CIJ

だ白

J/]23

X`く、N)

(b)X7

u

lI・

︵ ＂ ざ

ば？忘

u(F

J`

且

It 'V

• 攣 EE

ミ、

泰哄

ぷ

s,2こ tg2.7q10ごi

｀尺｀ 豆歪は玉＾：〗終\3([(vg )r 3ぃぷハ

。︷史ぷ佃 t

蕊 1

E 麟盆 罹 { 5 1 e岳 I屯 1 令塁 益滋亡 c心 回 速r ＄ t仁 3 3(X`v`N)1 念F:z虚︸ 2 9 l

t

/心

rC

、 竺 起

t J ”3 9

t

＾つヽ

1

11?

油葵；や 2ば図唸窓蒋筵

へ

tf ャ2

炉

鼻

ご炉 ぶ 4﹃べ‘芯りこ叙忠

v心

(1 C

＾ ヌ

3

贔芯ごこ為笹号 4 vi 芯翌ぷ噌3 L L l `El盆皿ヽ源3 割f 巡 以芯吋3吋 g s l J J 丹命g?s/ ↑ l . m l i 7 送翠 1 5 k 戻円品忠g 岱へ 3(X`v`N)3奴魯蕊忍Tg月 や 令 5

^“ン 0

ノ

く ＾ 2 ..

1 l l J

宝涎＄ぎビご硲緊

2}

1

檸？ k

t)

︵↑

り

g . C i i i l1 " , r i

暮

は

Jほ叫 必 ＇ ・ ．

2 , , , ,x)1 " a 1 しC e ) A1=S ' -んt¥馬入し≫ 笞 ' ) ' ¥ )(1)Jj)x . )

i )をテ，療すふ

ぉ‘砂、舒位） ( , 1 ,. t ,

S =凡"'>1, S ' ヨ兌…;> 1な ら は ＂ 、

これら二っ0i½. 数は,A#A 1 に...,いて也径』もあり．註

S ,S ' 1 ) ' 1 ・ 天にある

⑳し臼"',/.註向に含 1れれは．えか合び咋に近つ"Ce',ーオ象 I :〇

に 近 . . , .。 く 1 払てもしし恥， .d,退 ( i c ,A ,f) 仰）が， S キ s·~ ヂ d S n d S '

湯合に来められたとすれ（ざ．そ叶甜果に一—~れを ll と••こすことによって

J Ci., -(n)

必

E

( . a ,A ' , ' I . . )lJA(i.)が求のられ， 9らr : .

とな位極？長をとみことによ

にいえ t~··,,

s -s ' →O

-(,t)

/ J ,X )E

. , c m餞の手麦合がまt幕＂れることになる｀屠漁

L ~ c , 収束2捏を用いるわけである。

こ こ ? : ・

H. t : .1 : .o > t..1-:. ‘5 0

f K 5 33uo こ 溢 吟 ぷ b、5ざ

←{ S (

3

3

9(A 、

↑

AV

Xこ t.laf(A、

t)

?5名い t度ざ 1 ふ 、 L 2 ' 竺 密 心 芯’

b

ot)

° 、 心 ．

E i翌亨苓﹃︶ぶ s雰罫︱’ご

(6)S色

g m‘竺︶匹言逆含 2

己杞 A-flJ5

さぎ

5#-1さぎ炉︵

83

ぃ• 〉中さ5、A)x)b, E(z

A

t

9 g f"fag ゞAご 4s,9西念ごょぶ池

各翌こ

4X)-5 、

2

ぞ

••

＊ ︶

ふ誓

KAr

E ⋮

苓油 f改 i繁海’3 存抽 斗 芦〗心ぶ 'ig- → iF~i)廻 Aぞ弐竺、 {q2

i 、 } ふ

↓T3-l 皮

今

掲W

:~

︵ 卜 7)

4)

E tf己芦ふ娑芦︱ a．飴舟 亨姿踪和蕊ぞ翌袋 ⋮

, :


! t J

を

" T l QJ•

、 い

. , l > -

ー ~

(2)

" l

f ︶

羹

C5f が。

3t (FtFi)

f J(Nb,9 沐

︶ モ＂

蛉ご

＾き，． 4叫 -4"{tT5。 g 江一1(11)~~ y~S-1

l 1塁 さ竺"

含

傑心︸

L N ︵も︶ 袋 Tfr-a3-d1翌 5 1 3茂 亥 、 EP

キBl l、X) (11J5t

E i . .

t

992

c , i , i . , ( A ; X)y

と

汀 十 ． ど＇

(EtgL)"5 朽

・ ←

一

I & , 、 ‘—•一""・

ヽ

’‘

q,),

r , ,

か

豆 心 F 'J5翌 ＆︶l i 7心 ” こ 1巨 一 ． i芯 t l 9 Fご 寮

？宍 3%ごりふ st．ふが

z ぶ笠

I

?}一卜と何らかが息昧C、 関 係 か ‘ 、 あ ろ も q"'うち．比鼓的新しいもっを 匙いついただ

n ぁft"(ぉ‘く。

[ 1 ] I丸 Gel・'farid, Automorphic functions・and the ,theoryof representations, Proc。 Int. Congr 書

1962, Uppsala, 1963, 74-85。 [2]

T. .Kubbta,

Ein arithmetischerSatzi j b e r eine

、 Matrizengruppe, J . reine・angew.Math. 222 (1966), 55-57。

[ 3 ] R.P.Langlands.,・On the functional equations satisfied by Eisenstein series, to appear.

[ 4 ] . . .

_—;—•』.. ●●

， Eisenstein series

’

Proc. . of the

s ・ u m m e r institute on algebraic groups and

d . . iscon tュ nuous subgroups, A.M.S。 , 1966.

[ 5 ] A.Selberg, Harmonic analysis anddiscontinuous groups inweakly symmetric riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J。 Indian Math. Soc. 2 0 . (1956), 47-87 . .

[ 6 ] ・-—...・.,,,_ , Discontinuous groups andharmonic analysis, Proc. Int•. Congr. 1962, U J . ? p s a l a , 1963, 177-189 亀

[ 7 ] ._ C .L.Si.egel, Die Funktionalgleichung einer

( 3 1 )

Dirichletschen Reihen, Math. Zeitschr. 6 3 .

·~.、,·

( 1 9 5 6 ) , 363-373. [8]

’

Lectures on advanced analytic number

961. theory, Bombay, 1 [9] A.Weil, Surcertains groupes d ' o p e r a t ・ . e u r s 1 9 6 4 ) , 143-211。 u n 1 . t a 1 . r e s, ActaMath。 111 ( [10]-----, Sur la formulede Siegel da 呻

la

t.h~orie d e f 3 groupes classiques, A c t . aMath.

113. ( 1 9 6 4 ) ,1 8 . 7 . [11]久保田富雄，

P ん四必型和麟群 l 潤する言も題，，

代‘数学シンボ砂ム報告氣

[12] 一

， [13] 一 ，

; 1 ' 8回

l 9 6 l ,1 J . ( ) .

S晶吋理論入門≫ ま青羨録，允古屋，， 1Uf 祖五法剖と保型函居女｝数学 1 8 1( t t晶）， l じ : :

[ 1 4 ] 坑原日月夫， T J 四在冴表i 見 とZ 心 函 数 ,; j '這 代 数 } シヘ、ならム孝及告長 1 ' i 6 b 5 3 s ぶ I

[ 1 5 ]T. . Kubota, On a special kind of Dirichlet series, ・to appear in J . Math. Soc Japan . . 参