Einführung in die Algebra [version 29 Jan 2019 ed.]

Table of contents :
Einleitung......Page 8
Übersicht......Page 13
Grundbegriffe......Page 15
Gruppenoperationen......Page 24
Operation durch Translation......Page 36
Operation durch Konjugation......Page 39
Bahnengleichung......Page 44
Normalteiler und Quotientengruppe......Page 47
Konjugationsklassen von Untergruppen......Page 51
Homomorphiesatz und Isomorphiesätze......Page 54
Klassengleichung......Page 62
Sylowsätze......Page 64
Existenz von p-Gruppen......Page 67
Sylowuntergruppen......Page 71
Anwendung der Sylowsätze......Page 76
Auflösbare Gruppen......Page 81
Übungsaufgaben......Page 88
Übersicht......Page 107
Körpererweiterungen......Page 111
Charakteristik und Primkörper......Page 113
Maximale Ideale in Hauptidealringen......Page 115
Algebraische Körpererweiterungen......Page 116
Konstruktion und Eindeutigkeit......Page 122
Beispiele von Zerfällungskörpern......Page 127
Normale Körpererweiterungen......Page 130
Algebraisch abgeschlossene Körper......Page 131
Konstruktion und Klassifikation......Page 133
Die Einheitengruppe eines endlichen Körpers......Page 137
Die Unterkörper eines endlichen Körpers......Page 138
Die Automorphismengruppe eines endlichen Körpers......Page 143
Übungsaufgaben......Page 144
Übersicht......Page 150
Einheiten und Nullteiler......Page 153
Primideale und maximale Ideale......Page 155
Noethersche Ringe......Page 156
Faktorielle Ringe......Page 158
Teilbarkeit und Zerlegung in irreduzible Elemente......Page 159
Zerlegung in Primelemente......Page 161
Größter gemeinsamer Teiler......Page 164
Hauptidealringe......Page 166
Euklidische Ringe......Page 169
Übungsaufgaben......Page 174
Index......Page 180
Literaturverzeichnis......Page 184

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Einführung in die Algebra Janko Böhm 29. Januar 2019

Inhaltsverzeichnis 1

Einleitung

2

Gruppen 2.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gruppen und Operationen . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . 2.2.3 Operation durch Translation . . . . . . 2.2.4 Operation durch Konjugation . . . . . . 2.2.5 Bahnengleichung . . . . . . . . . . . . 2.3 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Normalteiler und Quotientengruppe . . 2.3.2 Konjugationsklassen von Untergruppen 2.3.3 Homomorphiesatz und Isomorphiesätze 2.3.4 Klassengleichung . . . . . . . . . . . . 2.4 Sylowsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Existenz von p-Gruppen . . . . . . . . 2.4.2 Sylowuntergruppen . . . . . . . . . . . 2.4.3 Anwendung der Sylowsätze . . . . . . 2.5 Auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 6 8 8 17 29 32 37 40 40 44 47 55 57 60 64 69 74 81

Körper 3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . 3.3 Charakteristik und Primkörper . . . . . . 3.4 Maximale Ideale in Hauptidealringen . . 3.5 Algebraische Körpererweiterungen . . . . 3.6 Der Zerfällungskörper . . . . . . . . . . 3.6.1 Konstruktion und Eindeutigkeit . 3.6.2 Beispiele von Zerfällungskörpern

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100 100 104 106 108 109 115 115 120

3

1

1

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INHALTSVERZEICHNIS

3.7

3.8 4

2

3.6.3 Normale Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Algebraisch abgeschlossene Körper . . . . . . . . . Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Konstruktion und Klassifikation . . . . . . . . . . . 3.7.2 Die Einheitengruppe eines endlichen Körpers . . . . 3.7.3 Die Unterkörper eines endlichen Körpers . . . . . . 3.7.4 Die Automorphismengruppe eines endlichen Körpers Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anhang: Ordnung im Ringzoo 4.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Integritätsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Einheiten und Nullteiler . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Primideale und maximale Ideale . . . . . . . . . . 4.3 Noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Teilbarkeit und Zerlegung in irreduzible Elemente 4.4.2 Zerlegung in Primelemente . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . . . 4.5 Hauptidealringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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123 124 126 126 130 131 136 137

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143 143 146 146 148 149 151 152 154 157 159 162 167

Index

174

Literaturverzeichnis

177

Abbildungsverzeichnis 1.1 1.2 1.3 1.4

Elementare Konstruktionsschritte . . . Konstruktion des regelmäßigen 5-Ecks Verdoppelung des Würfels . . . . . . Quadratur des Kreises . . . . . . . . .

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2 4 5 5

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15

Die Platonischen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komposition von zwei Symmetrien des Tetraeders . . . . . . . . Eine Drehsymmetrie des Tetraeders . . . . . . . . . . . . . . . Eine Spiegelsymmetrie des Tetraeders . . . . . . . . . . . . . . Restklassen modulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel einer Bewegung des R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bahnen der Symmetriegruppe des Dreiecks . . . . . . . . . . . Bahn der Symmetriegruppe des Dreiecks auf der Potenzmenge . Symmetriegruppe des Dreiecks und Konjugation . . . . . . . . Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bahnen von Punkten des Tetraeders . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung der Ordnung der Symmetriegruppe des Quadrats . Dreizählige Drehachse des Tetraeders . . . . . . . . . . . . . . Kantenmittendiagonale im Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . Tetraeder in Zeichenebene senkrecht zu einer Kantenmittendiagonalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kantenmittendiagonale im Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . Würfel mit Seitenmittendiagonalen . . . . . . . . . . . . . . . . Drehungen des Würfels um Seitenmittendiagonalen um 180◦ . . Spiegelungen des Würfels an den Koordinatenebenen . . . . . . Punktspiegelung des Würfels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eckendiagonale im Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehspiegelung des Würfels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelmässiges 5-Eck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetriegruppe des Oktaeders als Untergruppe der S6 . . . . . Symmetriegruppe des Oktaeders als Untergruppe der S8 . . . . .

7 7 12 13 13 20 23 24 33 38 39 52 58 58

2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25

3

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59 65 71 72 72 73 73 74 84 85 85

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

i

2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37

Zwei Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oktaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dualität von Würfel und Oktaeder . . . . . . . . . . Dodekaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ikosaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetriegruppe des Würfels als Untergruppe der S6 Tetraeder mit Kantenmittendiagonalen . . . . . . . . Tetraeder mit Kantenmittendiagonalen . . . . . . . . Regelmäßiges 5-Eck . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadrat mit Nummerierung . . . . . . . . . . . . . . Ikosaeder mit Nummerierung der Ecken . . . . . . .

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87 87 88 88 89 90 91 92 93 97 98 99

3.1 3.2 3.3

Unterkörper von F212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Sechste Einheitswurzeln und deren Ordnungen . . . . . . . . . 139 Achte Einheitswurzeln und deren Ordnungen . . . . . . . . . . 140

Symbolverzeichnis GL(V ) GL(n, K) S(X) Sn G1 × G2 SL(n, K) Z/n Zn ker ϕ Im ϕ det µn hEi ord (g) E(n) SE(n) Sym(M) Gm Stab(N) [G : H] bG Aut(G) Inn(G) Z(G) H CG gUg−1 UG V4 ZG (r) ZG (M) sp

Vektorraumautomorphismen von V . . . . Gruppe der invertierbaren n × n Matrizen . Gruppe der Selbstabbildungen von X . . . Symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . Kartesisches Produkt von G1 und G2 . . . . Spezielle lineare Gruppe . . . . . . . . . . Restklassengruppe modulo n . . . . . . . . Restklassengruppe modulo n . . . . . . . . Kern von ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . Bild von ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppe der n-ten Einheitswurzeln . . . . . Untergruppe erzeugt von E . . . . . . . . . Ordnung von g . . . . . . . . . . . . . . . Gruppe der euklidischen Bewegungen . . . Spezielle Bewegungsgruppe . . . . . . . . Symmetriegruppe von M . . . . . . . . . . Bahn von m unter der Operation von G . . Stabilisator von N . . . . . . . . . . . . . . Index der Untergruppe H ⊂ G . . . . . . . Konjugationsklasse von b ∈ G . . . . . . . Automorphismengruppe von G . . . . . . . Innere Automorphismengruppe von G . . . Zentrum von G . . . . . . . . . . . . . . . H ist Normalteiler von G . . . . . . . . . . Zu U konjugierte Untergruppe . . . . . . . Konjugationsklasse der Untergruppe U ⊂ G Kleinsche Vierergruppe . . . . . . . . . . . Zentralisator von r in G . . . . . . . . . . . Zentralisator von M in G . . . . . . . . . . Anzahl der p-Sylowuntergruppen . . . . . ii

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9 9 9 10 10 11 12 12 14 14 16 16 17 17 20 20 21 24 24 31 32 35 35 35 41 44 44 54 55 55 64

SYMBOLVERZEICHNIS NG (S) [L : K] char (K) P (K) K[α] K(α) deg(α) π K F f0 Fix(ϕ) R× K[[x]]

Normalisator von S in G . . . . . . . . . . Grad der Körpererweiterung K ⊂ L . . . . Charakteristik von K . . . . . . . . . . . . Primkörper von K . . . . . . . . . . . . . . Ringadjunktion . . . . . . . . . . . . . . . Körperadjunktion . . . . . . . . . . . . . . Grad des algebraischen Elements α . . . . Kreiszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraischer Abschluss von K . . . . . . Frobeniushomomorphismus . . . . . . . . Formale Ableitung von f . . . . . . . . . . Fixkörper von ϕ . . . . . . . . . . . . . . Einheitengruppe von R . . . . . . . . . . . Ring der formalen Potenzreihen in x über K

iii . . . . . . . . . . . . . .

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66 104 106 107 109 110 111 113 125 127 128 131 144 170

Kapitel 1 Einleitung Die Algebra ist eines der zentralen Teilgebiete der reinen Mathematik, neben Zahlentheorie, Analysis, Geometrie und Topologie. In der Algebra beschäftigen wir uns mit für alle Bereiche der Mathematik grundlegenden algebraischen Strukturen, wie Gruppen, Ringen und Körpern, d.h. mit der Frage, wie man auf Mengen Verknüpfungen einführen kann, wie z.B. die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen. Wichtige Berührungsbereiche bestehen neben der Zahlentheorie mit der algebraischen Geometrie. Diese untersucht und beschreibt Lösungsmengen von polynomialen Gleichungssystemen in mehreren Variablen über Körpern. Das einfachste Beispiel in diesem Zusammenhang ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen Ax = b mit A ∈ K n×m , b ∈ K n (K ein Körper) nach dem Vektor x ∈ K m , das Kernthema der linearen Algebra. Ein anderer Spezialfall sind Polynomgleichungen höheren Grades in einer einzigen Variablen x. Zum Beispiel kann man nach der Lösungsmenge der quadratischen Gleichung f (x) = ax2 + bx + c = 0 fragen. Diese lässt sich mit Hilfe der Quadratwurzel der Diskriminanten b2 − 4ac darstellen durch √ −b ± b2 − 4ac . x= 2a Gegeben ein Polynom f (x) mit Koeffizienten in einem Körper K, beantwortet die Algebra allgemein die Frage, wie man K erweitern muss, um die Lösungen x von f (x) = 0 darstellen zu können. Ein wichtiges Teilgebiet der Algebra, die Galoistheorie, untersucht die Symmetrien der Nullstellen mit Hilfe der Gruppentheorie. Die Galoistheorie besitzt eine Vielzahl praktischer und theoretischer Anwendungen: 1

KAPITEL 1. EINLEITUNG

2

Abbildung 1.1: Elementare Konstruktionsschritte Es stellt sich etwa die Frage, ob es vergleichbare Wurzelausdrücke wie oben auch für Nullstellen eines Polynoms f vom Grad d > 2 gibt. Die Anwort lautet ja für d = 3 (Tartaglia 1535, Cardano 1545) und d = 4 (Ferrari 1522). Für d ≥ 5 können die Lösungen im Allgemeinen nicht mehr mit Wurzeln geschrieben werden. Wann genau dies möglich ist, lässt sich mit Hilfe der Galoistheorie untersuchen. Eine weitere zentrale Anwendung der Galoistheorie sind geometrische Konstruktionsprobleme. Zur Anwendung von Köpertheorie interpretiert man Punkte der Ebene als komplexe Zahlen. Bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal verwendet man die elementaren Konstruktionsschritte in Abbildung 1.1, die aus gegebenen Punkten die neuen roten Punkte bilden. Zum Beispiel lässt sich das regelmäßige 5-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren, das regelmäßige 9-Eck jedoch nicht. Abbildung 1.2 zeigt die Konstruktion des regelmäßigen 5-Ecks: Zunächst konstruieren wir zueinander senkrechte Geraden l und m durch den Mittelpunkt eines Kreises. Danach halbieren wir einen Radius, erhalten den Punkt Q, vierteln einen dazu senkrechten Radius und erhalten den Punkt P. Der Kreis mit Mittelpunkt P durch Q schneidet l im Punkt R. Ebenso schneidet eine Diagonale im 5-Eck dann l orthogonal in R. Tatsächlich werden wir mit Hilfe der Galoistheorie die Frage nach der Konstruierbarkeit des regelmäßigen n-Ecks allgemein beantworten. Andere bekannte Konstruktionsprobleme, die wir behandeln werden, sind die Verdoppelung des Würfels (Abbildung 1.3) und die Quadratur des Kreises (d.h. die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen, siehe Abbildung 1.4). Zumindest für letzteres weist schon der allgemeine Sprachgebrauch darauf hin, dass eine Konstruktion eines flächengleichen Quadrats zu einem gegebenen Kreis mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist. Da die Galoistheorie Probleme aus der Körpertheorie in Probleme der Gruppentheorie übersetzt, werden wir zunächst Gruppen studieren. Die hier gefun-

KAPITEL 1. EINLEITUNG

3

denen Resultate sind natürlich auch auch für sich genommen interessant, etwa bei der Klassifikation von endlichen einfachen Gruppen. Dies sind Gruppen die nur die triviale Untergruppe {e} und sich selbst als Normalteiler besitzen und für Gruppen eine ähnliche Rolle wie Primzahlen für natürliche Zahlen spielen, d.h. endliche Gruppen lassen sich in einfache Gruppen faktorisieren und diese lassen sich wiederum nicht weiter zerlegen. Die Klassifikation von endlichen einfachen Gruppen war ein extrem umfangreiches Projekt, in dem von 1920 bis 2002 etwa 15 000 Seiten mathematischer Resultate produziert wurden. Diese Klassifikation werden wir natürlich nicht behandeln, wohl aber einige der wichtigsten Grundkonzepte. Eine zentrale Fragestellung wird die Existenz von Untergruppen einer gegebenen Ordnung sein: Wir wissen, dass die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt, die Umkehrung ist aber falsch. Anwendungen unserer Resultate gibt es auch weit über die Gruppen- und Körpertheorie hinaus, etwa in der Zahlentheorie und Kryptographie (in der z.B. die Einheitengruppen von Z/n eine zentrale Rolle einnimmt), in der theoretischen Physik (in der die Darstellungstheorie von Gruppen verwendet wird) und in der Computeralgebra und Informatik (wo die Verwendung von Symmetrien von algorithmischen Problemen, die Rechenzeit dramatisch verkürzen kann).

KAPITEL 1. EINLEITUNG

Abbildung 1.2: Konstruktion des regelmäßigen 5-Ecks

4

KAPITEL 1. EINLEITUNG

Abbildung 1.3: Verdoppelung des Würfels

Abbildung 1.4: Quadratur des Kreises

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Kapitel 2 Gruppen 2.1

Übersicht

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Gruppentheorie, die vielfältige Anwendungen in den weiteren Kapiteln über Ringe, Moduln und Körper finden werden. Als Beispiele für Gruppen betrachten wir Symmetriegruppen von Teilmengen des Rn , etwa die Mengen der Drehungen und (Dreh-) Spiegelungen, die jeweils einen der Platonischen Körper Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder (siehe Abbildung 2.1) wieder in sich selbst überführen. Der Gruppenbegriff abstrahiert die folgenden Eigenschaften von Symmetrien: Das Hintereinanderausführen von zwei Symmetrien ist wieder eine Symmetrie, und wir können jede Symmetrie durch eine andere rückgängig machen. Zum Beispiel ist in der Symmetriegruppe des Tetraeders die Drehsymmetrie um 120◦ gleich dem Produkt von zwei Spiegelungen (siehe Abbildung 2.2). Für Symmetriegruppen spielt der Begriff der Operation einer Gruppe G auf einer Menge M eine wichtige Rolle. Zum Beispiel könnte G die Symmetriegruppe des Tetraeders sein und M der Tetraeder oder die Menge der Eckpunkte, der Kanten oder Seiten des Tetraeders. Eine Gruppenoperation ist eine Abbildung (mit einigen offensichtlichen Zusatzbedingungen) G×M (g, m)

−→ M 7−→ g · m,

d.h. ein Gruppenelement g bildet ein Element m ∈ M auf ein anderes Element von M ab, das wir g · m nennen. Starten wir mit einem m und wenden alle Elemente von G an, so erhalten wir die Bahn von m. Zum Beispiel lässt sich jede Ecke des Tetraeders durch eine Symmetrie auf jede andere Ecke abbilden, die Ecken bilden also eine einzige Bahn. Im Allgemeinen können wir auf diese Weise M in disjunkte Bahnen zerlegen. Als zentralen Satz beweisen wir die Bahnengleichung.

6

KAPITEL 2. GRUPPEN

7

Abbildung 2.1: Die Platonischen Körper

Abbildung 2.2: Komposition von zwei Symmetrien des Tetraeders Diese erlaubt uns etwa, die Ordnung von Symmetriegruppen zu bestimmen oder Isomorphieklassen von Graphen aufzuzählen. Die beiden wichtigsten Operationen im Kontext der Konstruktion und Klassifikation von Gruppen sind jedoch die einer Untergruppe H ⊂ G durch Translation H ×G (h, g)

−→ G 7−→ h ◦ g

und von G auf sich selbst durch Konjugation G × G −→ G (a, b) 7−→ a ◦ b ◦ a−1 . Wir werden untersuchen, unter welchen Voraussetzungen die Bahnen der Translationsoperation wieder eine Gruppe bilden, die Quotientengruppe G/H. Die

KAPITEL 2. GRUPPEN

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Bahnen der Konjugationsoperation bezeichnet man als Konjugationsklassen. Sie liefern etwa für Symmetriegruppen eine übersichtliche geometrische Klassifikation der Elemente von G. Zur Klassifikation von Gruppen werden wir insbesondere die Sylowsätze beweisen, die wichtige Informationen über die Existenz und Anzahl von Untergruppen einer gegebenen Gruppe liefern. Beispielsweise zeigen wir in diesem Zusammenhang, dass es zu jedem Primpotenzteiler p j der Anzahl der Elemente |G| einer Gruppe G eine Untergruppe H gibt mit |H| = p j .

2.2 2.2.1

Gruppen und Operationen Grundbegriffe

Definition 2.2.1 Eine Gruppe (G, ◦) ist eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G (a, b) 7−→ a ◦ b die folgende Axiome erfüllt: (G1) Assoziativität, d.h. a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c

für alle a, b, c ∈ G.

(G2) Es existiert ein neutrales Element, d.h. ein e∈G mit e◦a = a◦e = a

für alle a ∈ G.

(G3) Existenz des Inversen, d.h. für alle a ∈ G existiert ein a−1 ∈ G mit a−1 ◦ a = a ◦ a−1 = e. Gilt außerdem das Kommutativgesetz a◦b = b◦a

für alle a, b ∈ G,

dann heißt G abelsch oder kommutativ. Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ◦ : G×G

−→

G,

die (G1) erfüllt, nennt man Halbgruppe, (G, ◦) mit (G1) und (G2) heißt Monoid. Die Ordnung |G| von G ist für G endlich die Anzahl der Elemente von G, und ∞ anderenfalls.

KAPITEL 2. GRUPPEN

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Bemerkung 2.2.2 Setzt man für G nur die Existenz eines linksneutralen Elements e ∈ G mit e ◦ a = a für alle a ∈ G und von linksinversen Elementen a−1 mit a−1 ◦ a = e für alle a ∈ G voraus, dann ist e auch rechtsneutral und a−1 rechtsinvers: 1) Für a, b ∈ G gilt: Ist a ◦ b = e, dann ist auch b ◦ a = e. 2) Es ist a ◦ e = a für alle a ∈ G. Bemerkung 2.2.3 Ist G eine Gruppe, dann gilt: 1) Das neutrale Element von G ist eindeutig. 2) Die Inversen der Elemente von G sind eindeutig. 3) Für alle a, b ∈ G ist (a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 .
−1 = a. 4) Für alle a ∈ G ist a−1 Diese Aussagen zeigen wir in Übung 2.1. Beispiel 2.2.4

1) Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition (Z, +)

ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist die 0. 2) Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Multiplikation (Z, ·) ist ein abelsches Monoid. Das neutrale Element ist die 1. 3) Ist V ein Vektorraum, dann ist die Menge der Vektorraumautomorphismen von V GL(V ) zusammen mit der Komposition eine Gruppe. Das neutrale Element ist die identische Abbildung id. Etwa für V = K n ist GL(V ) = GL(n, K) die Gruppe der invertierbaren n × n Matrizen. 4) Sei X eine beliebige Menge. Die Menge der bijektiven Selbstabbildungen von X S(X) = { f : X −→ X | f bijektiv} , zusammen mit der Komposition, ist eine Gruppe. Das neutrale Element ist die identische Abbildung id.

KAPITEL 2. GRUPPEN

10

Speziell für X = {1, ... , n} ist Sn := S ({1, ... , n}) die Menge der Permutationen von n Elementen, die symmetrische Gruppe. Für σ ∈ Sn schreiben wir auch ! 1 ··· n σ= . σ (1) · · · σ (n) Ein Element von Sn heißt Transposition, wenn es genau zwei Elemente von X vertauscht. 5) Sei A = {α, β , γ, ...} eine endliche Menge. Ein Wort über dem Alphabet A ist eine endliche Folge w = b1 b2 ... bn mit bi ∈ A für alle i, und n ∈ N. Ist v = a1 ... am ein weiteres Wort, dann definiert man die Verknüpfung “Hintereinanderschreiben” durch w ◦ v = b1 ... bn a1 ... am . Die Menge G = {w | w ein Wort über A} zusammen mit ◦ ist eine Halbgruppe. Erlauben wir in G das leere Wort e, dann ist (G, ◦) ein Monoid. 6) Fügen wir zusätzliche Buchstaben α −1 , β −1 , ... jeweils mit der Rechenregel αα −1 = α −1 α = e hinzu, so erhalten wir die freie Gruppe erzeugt von A. 7) Für Gruppen G1 , G2 ist das kartesische Produkt G1 × G2 von G1 und G2 mit der Verknüpfung (a1 , b1 ) ◦ (a2 , b2 ) := (a1 ◦ a2 , b1 ◦ b2 ) ebenfalls eine Gruppe.

KAPITEL 2. GRUPPEN

11

Definition und Satz 2.2.5 (Untergruppenkriterium) Sei (G, ◦) eine Gruppe. Eine Teilmenge H ⊂ G heißt Untergruppe, wenn die beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind: 1) (H, ◦) ist eine Gruppe (d.h. e ∈ H und a, b ∈ H =⇒ a ◦ b ∈ H, b−1 ∈ H). 2) H 6= 0, / und a, b ∈ H =⇒ a ◦ b−1 ∈ H. Jede Untergruppe ist wieder eine Gruppe. Beweis. (1) ⇒ (2) ist klar. Ist umgekehrt H 6= 0, / dann gibt es ein a ∈ H. Für dieses gilt e = a ◦ a−1 ∈ H und damit a−1 = e ◦ a−1 ∈ H. Für a, b ∈ H sind daher a, b−1 ∈ H, also
−1 a ◦ b = a ◦ b−1 ∈ H. Sei H eine Untergruppe. Als Elemente von G erfüllen auch die Elemente von H das Assoziativgesetz, mit (1) ist H somit eine Gruppe. Beispiel 2.2.6 Sei G die Gruppe der Dreh- und Spiegelsymmetrien des Tetraeders, r120 die Drehung in Abbildung 2.3 und s23 die Spiegelung in Abbildung 2.4. Dann sind {id, r120 , (r120 )2 } ⊂ G {id, s23 } ⊂ G jeweils Untergruppen. Beispiel 2.2.7 Die Menge SL(n, K) = {A ∈ GL(n, K) | det A = 1} der invertierbaren Matrizen mit Determinante 1 ist eine Untergruppe von GL(n, K), die spezielle lineare Gruppe. Beispiel 2.2.8 Die Untergruppen von (Z, +) haben die Gestalt nZ := {n · k | k ∈ Z} , wobei n ∈ Z≥0 .

KAPITEL 2. GRUPPEN

12

Abbildung 2.3: Eine Drehsymmetrie des Tetraeders Beweis. Mit dem Untergruppenkriterium sieht man sofort, dass nZ ⊂ Z eine Untergruppe ist. Sei umgekehrt H ⊂ Z eine Untergruppe. Entweder gilt H = {0} oder es gibt ein kleinstes Element n > 0 in H. Wir zeigen, dass dann H = nZ gilt: Die Inklusion nZ ⊂ H folgt sofort mit dem Untergruppenkriterium. Sei umgekehrt m ∈ H. Division mit Rest liefert eine Darstellung m = q·n+r mit 0 ≤ r < n und r ∈ H. Nach der Wahl von n folgt r = 0, also m ∈ nZ. Beispiel 2.2.9 Sei n ∈ N. Für a ∈ Z heißt die Äquivalenzklasse von a modulo n a = {b ∈ Z | a ≡ b mod n} = a + nZ := {a + k · n | k ∈ Z} ⊂ Z Restklasse von a modulo n. Die Menge der Restklassen  Zn := Z/n := 0, 1, 2, ... , n − 1 wird mit der Verknüpfung a + b := a + b eine Gruppe, die Gruppe der Restklassen modulo n. Man beachte, dass die Addition wohldefiniert ist, denn ist a + nZ = a0 + nZ und b + nZ = b0 + nZ, also a − a0 = n · k und b − b0 = n · s, dann a + b = a0 + b0 + n · (k + s) ,

KAPITEL 2. GRUPPEN

13

Abbildung 2.4: Eine Spiegelsymmetrie des Tetraeders und somit a + b = a0 + b0 . Zum Beispiel sind für n = 4 die Restklassen von 2 bzw. 3 2 = 2 + 4Z = {... , −6, −2, 2, 6, 10, 14, ...} 3 = 3 + 4Z = {... , −5, −1, 3, 7, 11, 15, ...} (siehe auch Abbildung 2.5), und 2 + 3 = 1 = 1 + 4Z = {... , −7, −3, 1, 5, 9, 13, ...} .

Abbildung 2.5: Restklassen modulo 4

Dieses Prinzip, in Z modulo der Untergruppe nZ zu rechnen, wird durch die Quotientengruppenkonstruktion verallgemeinert. Beispiel 2.2.10 Ist d ein Teiler von n und a = dn , so ist n o 0, a, 2a, ... , (d − 1)a ⊂ Z/n

KAPITEL 2. GRUPPEN

14

eine Untergruppe der Ordnung d. Für n = 6 und a = 2 erhalten wir z.B. die Untergruppe  0, 2, 4 ⊂ Z/6. Vergleichen wir die Verknüpfung auf dieser Untergruppe mit der von Z/3, so fällt auf, dass die Elemente der beiden Gruppen zwar verschiedene  Namen haben, aber denselben Rechenregeln gehorchen. Die Identifikation von 0, 2, 4 mit Z/3 durch  0, 2, 4 Z/3 −→ a + 3Z 7−→ 2a + 6Z ist ein Beispiel eines Gruppenisomorphismus, d.h. einer bijektiven Abbildung, die die Gruppenstruktur erhält. Wir schreiben dann  Z/3 ∼ = 0, 2, 4 und allgemein gilt n o Z/d ∼ 0, a, 2a, ..., (d − 1)a ⊂ Z/n. = Definition 2.2.11 Ein Gruppenhomomorphismus ϕ zwischen zwei Gruppen G1 und G2 ist eine Abbildung ϕ : G1 −→ G2 , die für alle a, b ∈ G1 ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b) erfüllt, also die Verknüpfungsstruktur erhält. Man beachte, dass ◦ auf der linken Seite die Verknüpfung in G1 , auf der rechten Seite die in G2 bezeichnet. Bemerkung 2.2.12 Ist ϕ : G1 → G2 ein Gruppenhomomorphismus, so gilt ϕ(e1 ) = e2 , wobei ei ∈ Gi jeweils für das neutrale Element steht. Der Kern von ϕ ker ϕ = {a ∈ G1 | ϕ(a) = e2 } und das Bild von ϕ Im ϕ = ϕ(G1 ) = {ϕ(a) | a ∈ G1 } sind Untergruppen von G1 bzw. G2 .

KAPITEL 2. GRUPPEN

15

Siehe auch Übung 2.2. Lemma 2.2.13 Ein Gruppenhomomorphismus ϕ : G1 → G2 ist injektiv genau dann, wenn ker ϕ = {e1 } , d.h. der Kern nur das neutrale Element e1 von G1 enthält. Beweis. Für a, b ∈ G1 gilt (unter Verwendung von Übung 2.2(2)) ϕ(a) = ϕ(b) ⇐⇒ ϕ(a ◦ b−1 ) = e2 ⇐⇒ a ◦ b−1 ∈ ker ϕ, also ker ϕ = {e1 } =⇒ (ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ a = b) . Ist umgekehrt ϕ injektiv, dann folgt aus ϕ(a) = e2 = ϕ(e1 ), dass a = e1 . Definition 2.2.14 Injektive Gruppenhomomorphismen nennt man auch (Gruppen) Monomorphismen, surjektive Gruppenhomomorphismen (Gruppen-) Epimorphismen. Ein Isomorphismus ϕ : G1 → G2 von Gruppen ist ein bijektiver Homomorphismus. Die Umkehrabbildung ϕ −1 : G2 −→ G1 ist dann ebenfalls ein Homomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus G1 → G2 , so bezeichnen wir G1 und G2 als isomorph und schreiben G1 ∼ = G2 . Siehe auch Übung 2.2. Beispiel 2.2.15 1) Die Inklusion H ,→ G einer Untergruppe U in einer Gruppe G ist ein Monomorphismus. 2) Die Abbildung Z k ist ein Isomorphismus.

−→ nZ 7−→ n · k

KAPITEL 2. GRUPPEN

16

3) Die Abbildung (R, +) −→ (R>0 , ·) x 7−→ exp(x) = ex ist ein Isomorphismus. 4) Im Gegensatz dazu ist (C, +) −→ (C∗ , ·) z 7−→ exp(z) = ez zwar ein Epimorphismus, aber kein Isomorphismus. Der Kern ist ker (exp : C −→ C∗ ) = 2πiZ := {2πin | n ∈ Z} . 5) Die Signatur oder das Signum sign :

Sn

−→ ({±1} , ·)

σ

7−→ sign(σ ) = ∏

n

i, j=1 i< j

σ (i)−σ ( j) i− j

ist ein Homomorphismus, für n ≥ 2 ein Epimorphismus, und ker(sign) = An heißt die alternierende Gruppe. Siehe auch Übungsaufgabe 2.3. 6) Sei G = GL(n, K). Die Determinantenabbildung det : G −→ (K ∗ , ·) ist ein Gruppenhomomorphismus und ker(det) = SL(n, K). 7) Sei µn = {ζ ∈ C | ζ n = 1} die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln mit der Multiplikation als Verknüpfung. Dann ist (Z/n, +) −→ µn 2πi j 7−→ e n j ein Isomorphismus. 8) Sind a, b ∈ N und ggT(a, b) = 1, so gilt Z/ab ∼ = Z/a × Z/b. Dies zeigen wir in Übung 2.6.

KAPITEL 2. GRUPPEN

17

Praktisch werden Gruppen oft durch Erzeuger gegeben: Definition 2.2.16 Sei E eine Teilmenge einer Gruppe G. Wir bezeichnen mit hEi die kleinste Untergruppe von G, die E enthält, äquivalent den Durchschnitt aller Untergruppen U ⊂ G, die E enthalten (denn der Durchschnitt von Untergruppen ist wieder eine Untergruppe). Wir nennen hEi die von E erzeugte Untergruppe von G. Ist E = {g1 , ... , gk }, so schreiben wir der Einfachheit halber auch hg1 , ... , gk i für hEi. Für g1 , ... , gk ∈ G ist offenbar   −1 hg1 , ... , gk i = ∏ri=1ti | r ≥ 0 und ti ∈ g1 , g−1 . 1 , ... , gk , gk Definition 2.2.17 Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein g ∈ G gibt mit G = hgi . Beispiel 2.2.18

1) Die Restklassengruppe Z/n ist zyklisch von 1 erzeugt.

2) Die Gruppe (Z, +) ist zyklisch von 1 erzeugt. 3) Die Untergruppe nZ ⊂ (Z, +) ist zyklisch erzeugt von n, also nZ = hni. Nach Beispiel 2.2.15 gilt nZ ∼ = Z. Wir werden später zeigen, dass alle zyklischen Gruppen bis auf Isomorphie von der Form Z oder Z/n sind (siehe Beispiel 2.3.21). Definition 2.2.19 Sei g ∈ G ein Element einer Gruppe. Dann heißt ord(g) = |hgi| die Ordnung von g. Siehe auch Übungsaufgabe 2.8.

2.2.2

Gruppenoperationen

Gruppen werden in der Mathematik u.a. deshalb betrachtet, weil sie als Mengen von Symmetrien von Objekten auftauchen. Um Symmetriegruppen einzuführen, verwenden wir die Notation einer Operation.

KAPITEL 2. GRUPPEN

18

Definition 2.2.20 Sei (G, ◦) eine Gruppe und M eine Menge. Eine Operation von G auf M (von links) ist eine Abbildung ·:

G×M (g, m)

−→ M 7−→ g · m

die folgende Bedingungen erfüllt: 1) Anwenden des Neutralen ist die Identität auf M, d.h. e·m = m für alle m ∈ M. 2) Hintereinander Anwenden von Gruppenelementen ist Anwenden der Verknüpfung der Elemente, d.h. (a ◦ b) · m = a · (b · m) für alle a, b ∈ G und m ∈ M. Bemerkung 2.2.21 Man kann auch Operationen von rechts M × G −→ M (m, g) 7−→ m · g definieren, mit den entsprechenden Eigenschaften m · (g ◦ h) = (m · g) · h für alle g, h ∈ G, m ∈ M und m · e = m für alle m ∈ M. Alle Definitionen und Resultate zu Linksoperationen in diesem Abschnitt übertragen sich direkt. Bemerkung 2.2.22 Anders formuliert ist eine Operation von G auf M ein Gruppenhomomorphismus ϕ:

G −→ S(M)  g

7→

ϕ(g) =

M m

−→ 7→

M g·m



von G in die Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen von M. Beweis. Wir überprüfen, dass ϕ(g) für alle g ∈ G bijektiv und ϕ ein Homomorphismus ist. Zur Injektivität: Sei g · m1 = g · m2 für m1 , m2 ∈ M. Dann folgt
m1 = e · m1 = g−1 ◦ g · m1 = g−1 · (g · m1 )
= g−1 · (g · m2 ) = g−1 ◦ g · m2 = e · m2 = m2 .

KAPITEL 2. GRUPPEN

19

Weiter ist ϕ(g) auch surjektiv: Für m ∈ M gilt g · (g−1 · m) = (g ◦ g−1 ) · m = m. Zur Homomorphismuseigenschaft von ϕ: ϕ(g ◦ h) = (m 7→ (g ◦ h) · m) = (m 7→ g · (h · m)) = (m 7→ g · m) ◦ (m 7→ h · m) = ϕ(g) ◦ ϕ(h).

Definition 2.2.23 Eine Operation von G auf M heißt treu, wenn ϕ injektiv ist, d.h. ∀g ∈ G, g 6= e ∃m ∈ M mit g · m 6= m. Beispiel 2.2.24

1) Sn operiert auf {1, ... , n} durch Permutation.

2) Die Gruppe GL(n, K) operiert auf K n durch Matrixmultiplikation. 3) Sn operiert auch auf Rn , indem wir für σ ∈ Sn die induzierte Permutation {e1 , ... , en } ei

→ {e1 , ... , en } 7 → eσ (i)

der Einheitsbasisvektoren   1   0  e1 =   ..  . 0

  0 .  ..   ... en =    0 1

zu einer linearen Abbildung Aσ : Rn −→ Rn fortsetzen. Die zugehörige Matrix
Aσ = ai, j (σ ) hat die Eigenschaft, dass in jeder Zeile und Spalte genau ein Eintrag ungleich 0 steht und dieser den Wert 1 hat. Solche Matrizen werden als Permutationsmatrizen bezeichnet.

KAPITEL 2. GRUPPEN

20

t Man bemerke, dass Aσ eine orthogonale Matrix ist, d.h. A−1 σ = Aσ . Sie lässt somit den euklidischen Abstand zum Nullpunkt q kxk = ∑ni=1 xi2

invariant. Die Gruppen  O(n) = A ∈ GL(n, R) | A−1 = At ∪ SO(n) = {A ∈ O(n) | det A = 1} heißen orthogonale Gruppe O(n) und spezielle orthogonale Gruppe SO(n). Jede Permutationsmatrix liegt in O(n), aber nicht notwendig in SO(n). Umgekehrt ist (für n ≥ 2) auch nicht jedes Element von SO(n) eine Permutationsmatrix. Allgemeiner betrachtet man Bewegungen: Definition 2.2.25 Die Menge der euklidischen Bewegungen des Rn E(n) = {x 7→ Ax + b | A ∈ O(n), b ∈ Rn } ist mit der Komposition (x 7→ Ax + b) ◦ (x 7→ Bx + c) = (x 7→ ABx + Ac + b) eine Gruppe, die Bewegungsgruppe. Abbildung 2.6 zeigt eine Bewegung, die sich aus einer Translation und einer Drehspiegelung zusammensetzt.

Abbildung 2.6: Beispiel einer Bewegung des R2 . In der linearen Algebra zeigt man, dass sich jede abstandserhaltende Abbildung als Komposition einer längenerhaltenden Abbildung und einer Translation schreiben lässt.1 Unter längenerhaltend versteht man dabei, dass die Abbildung 1 Siehe

dazu z.B. [24, Abschnitt 2.1.2].

KAPITEL 2. GRUPPEN

21

den Abstand zur 0 nicht ändert. Weiter sind die längenerhaltenden Abbildungen des euklidischen Raums genau dargestellt durch die orthogonalen Matrizen. Somit sind die Elemente von E (n) nichts anderes als die abstandserhaltenden Abbildungen. Weiter heißt SE(n) = {x 7→ Ax + b | A ∈ SO(n), b ∈ Rn } die spezielle Bewegungsgruppe. Die Elemente sind Komposition einer Drehung und einer Translation, erhalten also zusätzlich die Orientierung. Sei M ⊂ Rn eine Teilmenge. Die Gruppe Sym(M) = {A ∈ E(n) | A(M) = M} heißt Symmmetriegruppe von M. Beispiel 2.2.26 Wir beschreiben die Symmetriegruppe Sym(D) des gleichseitigen Dreiecks D. 3

1

2

Jede Symmetrie ist ein Element der O(2) mit 0-Punkt im Schwerpunkt des Dreiecks, ist also durch Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix gegeben. Wir schreiben die Elemente von Sym(D) mit α = 23 π als ! ! −1 0 1 0 = id = 0 1 0 1 ! ! cos α − sin α − cos α − sin α = = sin α cos α − sin α cos α ! ! cos α sin α − cos α sin α = = − sin α cos α sin α cos α Jede Symmetrie ist eindeutig durch ihre Wirkung auf den Ecken festgelegt. Nummerieren wir die Ecken, können wir also jedes Element als eine bijektive Abbildung {1, 2, 3} → {1, 2, 3} auffassen. Genauer gibt es einen Gruppeniso-

KAPITEL 2. GRUPPEN

22

morphismus Sym(D) =

n

id 7→

(1 ↔ 2)

id

7→

7→

7→

n

7→

7→

ϕ↓ S3 =

o

(1 ↔ 3)

o (2 ↔ 3) .

Mit der Verknüpfung (die gegeben war durch Komposition von Abbildungen) berechnen wir etwa (1 ↔ 2) ◦ (2 ↔ 3) =

◦

= id .

Der Isomorphismus ϕ wird induziert durch die Operation von Sym(D) auf den Ecken des Dreiecks Sym(D) × {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3} . Bezeichnet r120 = die Drehung um 120◦ , dann bildet die Operation beispielsweise ab: (r120 , 1) 7−→ 2, (r120 , 2) 7−→ 3, (r120 , 3) 7−→ 1. Äquivalent haben wir einen Gruppenhomomorphismus Sym(D) −→ S ({1, 2, 3}) = S3 , der z.B. abbildet 

r120

 1 7→ 2 7 →  2 7→ 3  = − 3 7→ 1

1 2 3 2 3 1

!

und analog für die anderen Elemente von Sym (D).

=

KAPITEL 2. GRUPPEN

23

Beispiel 2.2.27 Sei  M = Q = x ∈ R3 |xi | ≤ 1 für alle i der Einheitswürfel. Die Symmetriegruppe von Q ist      ±1 0 0     Sym(Q) =  0 ±1 0  · Aσ σ ∈ S3     0 0 ±1 (mit Aσ wie in Beispiel 2.2.24), hat also 23 · 6 = 48 Elemente: Jede Symmetrie von Q muss die Menge der Punkte kleinsten Abstands zum Nullpunkt auf dem Rand ∂ Q von Q in sich überführen. Die Behauptung folgt, da diese Menge aus den Punkten {±e1 , ±e2 , ±e3 } besteht. Beispiel 2.2.28 Gegeben einen Punkt des gleichseitigen Dreiecks D, wollen wir untersuchen, auf welche anderen Punkte dieser unter der Operation Sym(D) × D → D abgebildet werden kann. Diese Menge nennt man die Bahn, die Anzahl der Elemente die Länge der Bahn. Abbildung 2.7 zeigt Beispiele von Bahnen. 3

3

3

p5

p1

p4

1

2

1

2

1

p6

p3

p2

2

Abbildung 2.7: Bahnen der Symmetriegruppe des Dreiecks Die Operation auf D induziert eine Operation Sym(D) × 2D → 2D auf der Menge aller Teilmengen von D, d.h. auf der Potenzmenge 2D . In der Bahn der schwarzen Teilmenge in Abbildung 2.8 liegt außerdem noch die weiße Teilmenge.

KAPITEL 2. GRUPPEN

24

3

2

1

Abbildung 2.8: Bahn der Symmetriegruppe des Dreiecks auf der Potenzmenge Andererseits kann man die Menge aller Elemente von Sym(D) betrachten, die einen gegebenen Punkt (oder eine Teilmenge) festhalten. Die Ecke 1 wird festgehalten von {id, (2 ↔ 3)}, der 0-Punkt von Sym(D) und der Punkt p nur von der Identität. Die schwarze Teilmenge wird festgehalten von {id,

,

}.

Wir beobachten, dass diese Mengen von Symmetrien stets Untergruppen von Sym(D) sind, und das Produkt der Gruppenordnung mit der Länge der jeweiligen Bahn stets |Sym(D)| = 6 ergibt: 1 m p1

Bahn festgehalten von {1, 2, 3} {id, (2 ↔ 3)} {m} Sym (D) {p1 , ..., p6 } {id}

3·2 = 6 1·6 = 6 6·1 = 6

Dies werden wir in Abschnitt 2.2.5 zur Bahnengleichung allgemein beweisen. Zunächst formalisieren wir aber diese Ideen: Definition 2.2.29 Sei G × M → M eine Operation. Für m ∈ M heißt die Menge Gm = {g · m | g ∈ G} ⊂ M die Bahn (oder der Orbit) von m. Ist N ⊂ M eine Teilmenge, dann heißt Stab(N) = {g ∈ G | gN = N}

KAPITEL 2. GRUPPEN

25

der Stabilisator der Menge N. Für m ∈ M sei Stab(m) = Stab({m}). Bemerkung 2.2.30 1) Stab(N) ⊂ G ist eine Untergruppe. Sie hält N als Menge fest. Dagegen ist T n∈N Stab(n) ⊂ G die Untergruppe, die N punktweise fest lässt. 2) Zwei Bahnen Gm1 und Gm2 sind entweder gleich oder disjunkt. In der gleichen Bahn zu sein ist also eine Äquivalenzrelation. Ist nämlich m3 ∈ Gm1 ∩ Gm2 , dann gibt es g1 , g2 mit m3 = g1 · m1 = g2 · m2 , also m2 = (g−1 2 ◦ g1 ) · m1 . Damit ist m2 ∈ Gm1 , und somit Gm2 ⊂ Gm1 , ebenso gilt die andere Inklusion, also Gm2 = Gm1 . Definition 2.2.31 Die Menge der Bahnen (den Quotienten von M nach G) bezeichnen wir mit G\M bei Linksoperation, und mit M/G bei Rechtsoperation. Jedes Element m ∈ Gm1 nennen wir einen Repräsentanten der Bahn, denn Gm = Gm1 . Weiter heißt π:

M m

−→ 7−→

G\M Gm

die Quotientenabbildung (bzw. π : M → M/G, m 7→ mG für Rechtsoperationen). Aus obigen Bemerkungen erhalten wir: Definition und Satz 2.2.32 Sei G × M → M eine Operation. Ein vollständiges Repräsentantensystem der Bahnen ist eine Teilmenge R ⊂ M, sodass jede Bahn Gm genau ein Element von R enthält. Dann ist M die disjunkte Vereinigung M=

[ r∈R

der Bahnen der Elemente von R.

G·r

KAPITEL 2. GRUPPEN

26

Beispiel 2.2.33 Ist σ ∈ Sn , dann zerlegt die Operation von hσ i die Menge {1, ... , n} in Bahnen der Form  hσ i x = x, σ (x), σ 2 (x), ... , σ t−1 (x) und t ≥ 1 minimal mit σ t (x) = x. Gibt es nur eine Bahn der Länge t > 1 (d.h. alle anderen haben Länge 1), dann heißt σ Zykel der Ordnung t, und wir schreiben
σ = x, σ (x), σ 2 (x), ... , σ t−1 (x) . Transpositionen sind Zykel der Länge 2. Für die Identität schreiben wir (). Satz 2.2.34 Es gilt: 1) Jedes Element der Sn ist ein Produkt elementfremder Zykel. 2) Jedes Element der Sn ist ein Produkt von Transpositionen. Beweis. Sei σ ∈ Sn . 1) Sei {x1 , ... , xr } ein vollständiges Repräsentantensystem der Bahnen der Operation von hσ i auf {1, ... , n}. Schränken wir σ als Abbildung auf die Bahn hσ i xi ein, erhalten wir einen Zykel σi und σ = σ1 ◦ ... ◦ σr als Produkt in Sn (Komposition von Abbildungen). 2) Wir können nach (1) annehmen, dass σ ein Zykel (y0 , ... , yt−1 ) ist, und für Zykel gilt die Gleichung (y0 , ... , yt−1 ) = (y0 , y1 ) ◦ ... ◦ (yt−2 , yt−1 ) .

Um die Notation zu vereinfachen, lassen wir üblicherweise das Verknüpfungssymbol ◦ weg. Beispiel 2.2.35 Sei σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 1 2 3 9 8 7 6 5

! ∈ S9 .

Die Operation von hσ i zerlegt ˙ {5, 9} ∪ ˙ {6, 8} ∪ ˙ {7} {1, ... , 9} = {1, 2, 3, 4} ∪

KAPITEL 2. GRUPPEN

27

in disjunkte Bahnen, und es gilt σ = (1, 4, 3, 2) (5, 9) (6, 8) = (1, 4) (4, 3) (3, 2) (5, 9) (6, 8) . Siehe auch Übungsaufgabe 2.4. Beispiel 2.2.36 Die symmetrische Gruppe S3 wird von (1, 2) und (2, 3) erzeugt S3 = h(1, 2) , (2, 3)i , denn (1, 2) (2, 3) = (1, 2, 3) und (1, 2) (2, 3) (1, 2) = (1, 3). Allgemein gilt Sn = h(1, 2) , (2, 3) , ... , (n − 1, n)i , siehe Übungsaufgabe 2.9 und auch 2.10. Bemerkung 2.2.37 Ist σ = τ1 ◦ ... ◦ τr mit Transpositionen τi , dann können wir das Signum von σ direkt ablesen als sign(σ ) = (−1)r , denn sign ist ein Gruppenhomomorphismus und Transpositionen haben Signum −1: Satz 2.2.38 Ist τ eine Transposition, dann gilt sign τ = −1. Beweis. Angenommen τ = (k, l) und k < l. Dann ist   −1 für i = k und j = l    1 für i, j ∈ / {k, l} τ (i) − τ ( j) = l− j  i− j k− j für i = k und j 6= l    i−k für i 6= k und j = l i−l also sign(τ) = −

l− j

∏ k− j · ∏

j mit l< j

|

{z

>0

j mit k< j sigma^3; (1,2,3,4)(5,9)(6,8) gap> sigma^4; ()

KAPITEL 2. GRUPPEN

29

Somit gilt ord(σ ) = 4. Die Ordnung lässt sich in GAP auch direkt mit dem folgenden Befehl berechnen (wobei im Programm Bemerkung 2.2.40 verwendet wird): gap> Order(sigma); 4 Es ist zu beachten, dass man, abweichend von der üblichen Konvention, zur Berechnung von σ ◦ τ für σ , τ ∈ Sn in GAP τ ∗ σ eingeben muss (d.h. Abbildungen nehmen ihr Argument auf der linken Seite). Wir überprüfen in GAP, dass mit τ = (2, 5) gilt σ ◦ τ = (1, 4, 3, 2) (5, 9) (6, 8) ◦ (2, 5) = (1, 4, 3, 2, 9, 5)(6, 8). gap> tau:=(2,5);; gap> tau*sigma; (1,4,3,2,9,5)(6,8)

2.2.3

Operation durch Translation

Der folgende Satz hat eine zentrale Bedeutung für das praktische Rechnen mit Gruppen: Er erlaubt es, jede endliche Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe Sn aufzufassen. Satz 2.2.43 (Cayley) Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe der Gruppe der Selbstabbildungen S (G). Zum Beweis des Satzes von Cayley (Übungsaufgabe 2.11) betrachtet man die Operation von G auf sich selbst G × G −→ G (g, h) 7→ g ◦ h durch Translation mittels der Verknüpfung. Dies ist eine Operation von links und von rechts. Für eine endliche Gruppe lässt sich die Verknüpfung mittels einer Tabelle angeben, der Verknüpfungstafel (mit g ◦ h in Zeile g und Spalte h). Beispiel 2.2.44 Für  G = Z/4 = 0, 1, 2, 3 ist die Verknüpfungstafel + 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

KAPITEL 2. GRUPPEN

30

In jeder Zeile und Spalte steht jedes Element genau einmal. Eine Gruppe ist abelsch genau dann, wenn ihre Verknüpfungstafel bezüglich der Diagonalen symmetrisch ist. Das Assoziativgesetz kann man der Tabelle nicht unmittelbar ansehen. Analog zur Operation einer Gruppe auf sich selbst ist es auch möglich, die Operation einer Untergruppe zu betrachten: Beispiel 2.2.45 Wie in Beispiel 2.2.8 gezeigt, sind die Untergruppen von (Z, +) von der Form nZ = {n · k | k ∈ Z} . Eine Gruppenoperation von nZ auf Z (von rechts) ist gegeben durch Z×nZ −→ Z (a, n · k) 7−→ a + n · k und die Bahnen sind genau die Restklassen modulo n a = a + nZ = {a + n · k | k ∈ Z} . Wie wir schon in Beispiel 2.2.9 gesehen haben, bildet die Menge dieser Bahnen mit der Addition a + b = (a + nZ) + (b + nZ) = (a + b) + nZ = a + b wieder eine Gruppe Z/n. Später werden wir allgemein untersuchen, wann man der Menge von Bahnen einer Untergruppe wieder eine sinnvolle Gruppenstruktur geben kann. Zunächst formulieren wir dieses Konzept allgemein: Definition 2.2.46 (Nebenklassen) Sei H ⊂ G eine Untergruppe. Dann definiert die Verknüpfung in G eine Operation von H auf G H × G −→ G von links, und ebenso eine von rechts G × H −→ G. Für g ∈ G heißen die Bahnen Hg = {h ◦ g | h ∈ H} bzw. gH = {g ◦ h | h ∈ H} dieser Operationen rechte bzw. linke Nebenklassen von g.

KAPITEL 2. GRUPPEN

31

Satz 2.2.47 Sei H ⊂ G eine Untergruppe. Je zwei Nebenklassen von H stehen in Bijektion zueinander (haben also, falls endlich, gleich viele Elemente). Beweis. Seien a, b ∈ G. Seien a, b ∈ G. Dann stehen aH und bH in Bijektion zueinander durch Multiplikation mit ba−1 von links g 7−→ b ◦ a−1 ◦ g 1:1

G −→ G ∪ ∪ aH −→ bH (was ist die Umkehrabbildung?). Die rechten und linken Nebenklassen aH und Ha stehen in Bijektion vermöge Konjugation mit a g 7−→ a−1 ga 1:1

G −→ G ∪ ∪ aH −→ Ha.

Mit der Operation durch Konjugation werden wir uns in Abschnitt 2.2.4 nochmals im Detail beschäftigen. Für die Translationsoperation gilt: Korollar 2.2.48 (Indexformel) Sei H ⊂ G eine Untergruppe. Es gilt |G| = |G/H| · |H| . Definition 2.2.49 Für eine Untergruppe H ⊂ G heißt [G : H] := |G/H| Index von H in G. Siehe auch Übungsaufgabe 2.13. Zum Beweis der Indexformel bemerken wir zunächst, dass die Abbildung H −→ aH,

h 7−→ ah

eine Bijektion ist, also |aH| = |H| . Wir beweisen nun die Indexformel:

KAPITEL 2. GRUPPEN

32

Beweis. Nach Definition und Satz 2.2.32 ist G die disjunkte Vereinigung aller aH mit a aus einem vollständigen Repräsentantensystem R, also falls |G| < ∞ ist |G| =

∑ |aH| = |R| · |H|

a∈R

(mit der obigen Bemerkung). Ist |G| = ∞, dann auch |G/H| = ∞ oder |H| = ∞. Aus der Indexformel (Korollar 2.2.48) erhalten wir direkt: Korollar 2.2.50 (Lagrange) Ist G eine endliche Gruppe und H ⊂ G eine Untergruppe, dann wird |G| von |H| geteilt. Mit H = hgi ⊂ G folgt: Korollar 2.2.51 In einer endlichen Gruppe G ist die Ordnung eines Elements g ∈ G ein Teiler der Gruppenordnung |G|, d.h. ord(g) | |G|. Korollar 2.2.52 Jede Gruppe G mit |G| prim ist zyklisch. Beweis. Sei |G| prim. Mit der Indexformel folgt, dass G nur die Untergruppen {e} und G hat. Somit ist für jedes e 6= g ∈ G schon {e} 6= hgi = G.

2.2.4

Operation durch Konjugation

Beim Beweis der Gleichmächtigkeit von Nebenklassen in Satz 2.2.47 haben wir die Konjugationsoperation verwendet: Definition 2.2.53 Die Abbildung G × G −→ G (a, b) 7−→ aba−1 definiert eine Operation von G auf G von links. Diese Operation bezeichnet man als Konjugation. Die Bahn  bG = aba−1 | a ∈ G heißt Konjugationsklasse von b ∈ G.

KAPITEL 2. GRUPPEN

33

Beweis. Es ist ebe−1 = b, und Anwenden von a1 a2 auf b vermöge Konjugation gibt
−1 −1 −1 (a1 a2 )b (a1 a2 )−1 = a1 a2 ba−1 a1 2 a1 = a1 a2 ba2 für alle ai , b ∈ G. Beispiel 2.2.54 Wir bestimmen die Konjugationsklassen der S3 : (1, 2, 3) (1, 2) (1, 3, 2) = (2, 3) (1, 2, 3) (2, 3) (1, 3, 2) = (1, 3) . Weiter ist (1, 2) (1, 2, 3) (1, 2) = (1, 3, 2) und ebenso für jede andere Transposition. Da für alle α, β ∈ Sn gilt sign(αβ α −1 ) = sign(α) sign(β ) sign(α)−1 = sign(β ), kann ein 2-Zykel nicht zu einem 3-Zykel konjugiert sein. Die Konjugationsklassen sind also {()} {(1, 2) , (1, 3) , (2, 3)} {(1, 2, 3) , (1, 3, 2)} . Abbildung 2.9 zeigt die Konjugationsklasse der Transpositionen, wobei wir die S3 als Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks auffassen.

Abbildung 2.9: Symmetriegruppe des Dreiecks und Konjugation

KAPITEL 2. GRUPPEN

34

Der folgende GAP-Code berechnet die Konjugationsklassen: gap> g:=SymmetricGroup(3); Sym([1..3]) gap> c:=ConjugacyClasses(g); [()^G, (1,2)^G, (1,2,3)^G] gap> Elements(c[2]); [(2,3), (1,2), (1,3)] gap> Elements(c[3]); [(1,2,3), (1,3,2)] Die Konjugationsklassen der Sn lassen sich allgemein beschreiben: Definition 2.2.55 Eine Partition von n ∈ N ist eine Summe n = n1 + ... + nk mit n1 ≥ ... ≥ nk ≥ 1. Jedes σ ∈ Sn ist ein Produkt σ = σ1 ◦ ... ◦ σk von disjunkten Zykeln der Längen n1 ≥ ... ≥ nk ≥ 1. Schreiben wir auch Bahnen der Länge 1, ist n = n1 + ... + nk eine Partition. Zum Beispiel ordnen wir (2, 3, 4) (5, 6) = (2, 3, 4) (5, 6) (1) ∈ S6 die Partition 6 = 3 + 2 + 1 zu. Ist σ = (x1 , ... , xn ) ∈ Sn und τ ∈ Sn , dann gilt
τ ◦ σ ◦ τ −1 (τ (xi )) = τ (σ (xi )) , also τ ◦ σ ◦ τ −1 = (τ (x1 ) , ... , τ (xn )) . Beispielsweise erhalten wir damit (2, 3, 4) ◦ (1, 2) (3, 4, 5) ◦ (2, 3, 4)−1 = (1, 3) (4, 2, 5) . Mit Hilfe dieser Beobachtungen zeigt man (Übungsaufgabe 2.17): Satz 2.2.56 Die Menge der Konjugationsklassen von Sn ist bijektiv zu der Menge der Partitionen von n. Die zugeordnete Partition heißt Zykeltyp.

KAPITEL 2. GRUPPEN

35

Lemma 2.2.57 Für festes a ∈ G ist Konjugation mit a ein Gruppenhomomorphismus κa : G −→ G g 7−→ a(g) = aga−1 . Beweis. Für g, h ∈ G gilt κa (gh) = a (gh) a−1 = aga−1 aha−1 = κa (g) · κa (h).

Definition 2.2.58 Die Menge der Automorphismen von G (d.h. Isomorphismen G → G) bildet eine Gruppe Aut(G), die Automorphismengruppe von G. Die Abbildung κ:

G −→  Aut(G)  κa : G −→ G a 7−→ g 7−→ aga−1

ist ein Homomorphismus von G in die Gruppe der Automorphismen Aut(G). Die Elemente des Bildes von κ nennt man innere Automorphismen. Diese bilden eine Untergruppe  Inn(G) = g 7−→ aga−1 | a ∈ G ⊂ Aut(G) (siehe auch Übungsaufgabe 2.29). Der Kern von κ ist die Menge der Gruppenelemente a ∈ G, sodass κa = idG , also aga−1 = g für alle g ∈ G. Definition 2.2.59 Das Zentrum einer Gruppe G definieren wir als Z(G) = ker(κ) = {a ∈ G | ag = ga ∀g ∈ G} . Das Zentrum ist eine abelsche Untergruppe von G. Es stellt eine wichtige Invariante zur Klassifikation von Gruppen dar. In Übungsaufgabe 2.53 zeigen wir zum Beispiel, dass Z(An ) trivial ist für n ≥ 4. Beispiel 2.2.60

1) Ist G abelsch, dann ist Inn(G) = {id}.

2) Ist G = hgi = hhi eine endliche zyklische Gruppe, dann setzt sich die Zuordnung ϕ(g) := h zu einem Automorphismus von G fort durch ϕ(g j ) = h j .

KAPITEL 2. GRUPPEN

36

3)  Wir bestimmen die inneren und äußeren Automorphismen von G = Z/3 = 0, 1, 2 . Die Abbildung 
Aut(G) −→ S 1, 2 ∼ = Z/2 ! 1 2 ϕ 7−→ ϕ(1) ϕ(2) 
ist ein Gruppenisomorphismus, denn Aut(G) ⊂ S 0, 1, 2 , für jeden Automorphismus gilt 0 7→ 0 und die Zuordnung 1 7→ 2 setzt sich zu einem Automorphismus ϕ : G −→ G 0 7−→ 0 1 7−→ 2 2 7−→ 1 von G fort. Weiter ist Inn(G) trivial wegen (1). 4) Die Gruppe S6 wird von den Elementen (1, 2, 3, 4, 5) und (5, 6) erzeugt (siehe 2.10). Der folgende GAP-Code zeigt, dass sich die Zuordnung (1, 2, 3, 4, 5) → 7 (1, 2, 3, 4, 5) (5, 6) 7 → (1, 2) (3, 5) (4, 6) zu einem Automorphimus ϕ von S6 fortsetzen lässt: gap> gens:=[(1,2,3,4,5),(5,6)];; gap> newgens:=[(1,2,3,4,5),(1,2)(3,5)(4,6)];; gap> g:=Group(gens); Group([(1,2,3,4,5),(5,6)]) gap> hom:=GroupHomomorphismByImages(g,g,gens,newgens); [(1,2,3,4,5),(5,6)]->[(1,2,3,4,5),(1,2)(3,5)(4,6)] gap> Kernel(hom); Group(()) Da ϕ den Zykeltyp ändert, ist ϕ kein innerer Automorphismus und somit Inn(S6 ) $ Aut(S6 ). Für n 6= 2, 6 gilt stets2 Aut(Sn ) = Inn(Sn ) ∼ = Sn . Dies können wir hier nicht allgemein zeigen, wir behandeln den Fall n = 3 in Übungsaufgabe 2.29. 2 Als

weiterführende Literatur siehe z.B. [37].

KAPITEL 2. GRUPPEN

2.2.5

37

Bahnengleichung

Wir betrachten nun wieder die Operation einer Gruppe G auf einer Menge M und fragen nach der Beziehung zwischen der Bahn eines Elements m ∈ M und dem Stabilisator von m. Satz 2.2.61 Sei G × M → M eine Operation, m ∈ M und H := Stab(m). Dann gibt es eine natürliche Bijektion zwischen der Menge der linken Nebenklassen des Stabilisators und der Bahn G/H −→ Gm gH 7−→ gm. Beweis. Die Abbildung ist wohldefiniert: Für gH = g0 H ist g0 ∈ gH, also g0 = gh mit einem h ∈ H. Es folgt g0 m = ghm = gm, da m von h stabilisiert wird. Die Abbildung ist offenbar surjektiv. Sie ist auch injektiv, denn g1 m = g2 m

=⇒

g2 = g1 g−1 1 g2

∈ g1 H

g−1 1 g2 ∈ H =⇒

=⇒

g1 H = g2 H.

Korollar 2.2.62 (Bahnformel) Sei G × M → M eine Operation. Dann gilt |Gm| · |Stab(m)| = |G| für alle m ∈ M. Beweis. Für H = Stab(m) ist |Gm| = |G/H| mit Satz 2.2.61 und |G/H| · |H| = |G| nach der Indexformel 2.2.48.

KAPITEL 2. GRUPPEN

38

Abbildung 2.10: Tetraeder Beispiel 2.2.63 (Symmetriegruppe des Tetraeders) Sei T ein regulärer Tetraeder mit den Ecken 1, ... , 4 wie in Abbildung 2.10. Die Symmetrien von T sind durch ihre Wirkung auf den Ecken eindeutig bestimmt. Wir können also die Symmetriegruppe Sym(T ) von T als Untergruppe von S4 auffassen. Die Spiegelung an der Ebene, aufgespannt durch eine Kante und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, entspricht einer Transposition, z.B. die Spiegelung an der in Abbildung 2.4 eingezeichneten Ebene entspricht (2, 3). Da die S4 von den Transpositionen erzeugt wird, folgt Sym(T ) ∼ = S4 . Beispiel 2.2.64 (Bahnen und Stabilisatoren) Für die Operation von G = S4 auf dem Tetraeder T mit Mittelpunkt 0 durch Permutation der Vertices von T betrachten wir die Bahnen Gm für die Punkte m ∈ T , die in Abbildung 2.11 markiert sind: Bahnen Gm

|Gm| Stabilisatoren Stab (m)

|Stab (m)|

G1 = {1, 2, 3, 4}

4

6

Gm12

S3 Stab (m12 )

6

= {e, (12) , (34) , (12) (34)} 4 ∼ = Z2 × Z2

Gp

24

Stab (p) = {e}

1

G0 = {0}

1

Stab (0) = S4

24

= {m12 , ... , m34 }

Wir bemerken, dass stets |Gm| · |Stab(m)| = |G| .

KAPITEL 2. GRUPPEN

39

Abbildung 2.11: Bahnen von Punkten des Tetraeders Satz 2.2.65 (Bahnengleichung) Sei R ⊂ M ein vollständiges Repräsentantensystem der Bahnen einer Operation G × M → M. Dann gilt |M| =

|G|

∑ |Stab(r)| .

r∈R

Beweis. Die Menge M ist nach Definition und Satz 2.2.32 die disjunkte Vereinigung [ G · r, M= r∈R

also |M| =

|G|

∑ |G · r| = ∑ |Stab(r)| .

r∈R

r∈R

Beispiel 2.2.66 Die Permutation σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 1 2 3 9 7 6 5 8 10

!

= (1, 4, 3, 2) (5, 9, 8) (6, 7) erzeugt eine zyklische Gruppe G = hσ i der Ordnung 12. Die Operation von hσ i zerlegt ˙ {5, 8, 9} ∪ ˙ {6, 7} ∪ ˙ {10} {1, ... , 10} = {1, 2, 3, 4} ∪

KAPITEL 2. GRUPPEN

40

in Bahnen, also gilt die Bahnengleichung 10 = 4 + 3 + 2 + 1 12 12 12 12 = + + + , 3 4 6 12 denn  Stab(1) = e, σ 4 , σ 8 o n Stab(5) = e, σ 3 , σ 6 , σ 9 o n 2 4 6 8 10 Stab(6) = e, σ , σ , σ , σ , σ  Stab(10) = e, σ 1 , σ 2 , ... , σ 11 = G.

2.3 2.3.1

Normalteiler Normalteiler und Quotientengruppe

Im Folgenden untersuchen wir, ob sich die Konstruktion der Restklassengruppe Z/nZ aus Beispiel 2.2.45 verallgemeinern lässt. Sei H eine Untergruppe von (G, ◦) und π : G −→ G/H, g 7−→ gH die Quotientenabbildung. Können wir dem Quotienten G/H die Struktur einer Gruppe (G/H, ·) geben, sodass die Verknüpfung von der in G induziert wird, d.h. aH · bH = (a ◦ b)H für alle a, b ∈ G, oder anders ausgedrückt, sodass π zu einem Gruppenhomomorphismus wird? Wenn ja, dann ist π (e) = eH = H ∈ G/H das neutrale Element von G/H und somit H = Ker (π). Für den Kern eines Gruppenhomomorphismus beobachten wir allgemein, dass dieser invariant unter der Konjugation ist: Bemerkung 2.3.1 Sei ϕ : G −→ F ein Gruppenhomomorphismus und H = ker(ϕ) ⊂ G.

KAPITEL 2. GRUPPEN

41

Schreibe  gHg−1 := ghg−1 | h ∈ H . Dann gilt für jedes g ∈ G, dass gHg−1 = H. Beweis. Ist h ∈ Ker ϕ, so haben wir für jedes g ∈ G
ϕ ghg−1 = ϕ (g) ϕ (h) ϕ (g)−1 = ϕ (g) ϕ (g)−1 = e, also ghg−1 ∈ H und somit gHg−1 ⊂ H. Ersetzen wir g durch g−1 erhalten wir die andere Inklusion. Untergruppen, die diese Eigenschaft des Kerns haben, nennt man Normalteiler: Definition 2.3.2 Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe H ⊂ G heißt Normalteiler von G (in Zeichen H C G), wenn gHg−1 = H für alle g ∈ G. Äquivalent dazu ist die Bedingung gH = Hg für alle g ∈ G, ebenso die Bedingung gHg−1 ⊂ H für alle g ∈ G (oder mit der Konjugation geschrieben κg (H) ⊂ H). Beweisen Sie diese Äquivalenzen. Allgemeiner als das obige Beispiel gilt: Bemerkung 2.3.3 Ist ϕ : G → F ein Gruppenhomomorphismus und M ⊂ F ein Normalteiler, dann ist ϕ −1 (M) ⊂ G ein Normalteiler. Ist ϕ surjektiv und N ⊂ G ein Normalteiler, so ist ϕ(N) ⊂ F ein Normalteiler. Dies zeigen wir in Übungsaufgabe 2.23. Beispiel 2.3.4 Sei G eine Gruppe. 1) {e} und G sind Normalteiler von G. 2) Inn(G) ist ein Normalteiler von Aut(G). 3) Das Zentrum Z(G) ist ein Normalteiler von G. 4) An = ker(sign) ⊂ Sn ist nach Bemerkung 2.3.1 ein Normalteiler.

KAPITEL 2. GRUPPEN

42

Satz 2.3.5 Sei H ⊂ G eine Untergruppe. Die Menge G/H trägt genau dann die Struktur einer Gruppe, sodass π : G −→ G/H ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn H ein Normalteiler ist. Wir bezeichnen dann G/H als die Quotientengruppe. Beweis. Die Notwendigkeit, dass H Normalteiler ist, haben wir schon bewiesen. Die Bedingung ist auch hinreichend: Sei H ⊂ G Normalteiler. Ist π ein Gruppenhomomorphismus, so muss aH · bH = (a ◦ b)H für die Verknüpfung auf G/H gelten. Wir zeigen zunächst: Durch diese Formel wird eine wohldefinierte Verknüpfung definiert, d.h., gegeben andere Repräsentanten c ∈ aH d ∈ bH, ist (c ◦ d)H = (a ◦ b)H. Schreibe c = a ◦ h1

d = b ◦ h2

mit h1 , h2 ∈ H. Da H ein Normalteiler ist, gilt Hb = bH, also existiert ein h3 ∈ H mit h1 ◦ b = b ◦ h3 und damit (c ◦ d)H = (a ◦ h1 ◦ b ◦ h2 )H = (a ◦ b ◦ h3 ◦ h2 )H = (a ◦ b)H. Man beachte, dass hH = H für alle h ∈ H, da Multiplikation mit h eine bijektive Abbildung H → H gibt. Wir überprüfen noch, dass diese wohldefinierte Verknüpfung auf G/H tatsächlich eine Gruppenstruktur definiert: Die Assoziativität (aH · bH) · cH = aH · (bH · cH) folgt aus (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c). Weiter ist eH = H das neutrale Element und das Inverse von aH.

(aH)−1 = a−1 H

KAPITEL 2. GRUPPEN

43

Beispiel 2.3.6 Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler. Zum Beispiel sind die Untergruppen hni = nZ von (Z, +) Normalteiler, denn g + nZ − g = {g + kn − g | k ∈ Z} = nZ für alle g ∈ Z. Die Quotientengruppen sind (für n ≥ 1) die Restklassengruppen  Z/nZ = Z/n = 0, ..., n − 1 . Bemerkung 2.3.7 Jede Untergruppe U ⊂ G vom Index [G : U] = 2 ist ein Normalteiler von G. Der kurze Beweis ist Teil von Übungsaufgabe 2.34. Gruppen lassen sich auch konstruieren, indem man auf einer freien Gruppe bestimmte Rechenregeln (Relationen) fordert: Definition 2.3.8 Sei A = {g1 , ... , gn } eine endliche Menge und F die freie Gruppe erzeugt von A (mit neutralem Element e). Seien r1 , ... , rs Elemente von F und N der kleinste Normalteiler von F, der r1 , ... , rs enthält. Dann heißt hg1 , ... , gn | r1 = e, ... , rs = ei := F/N die Gruppe mit Erzeugern gi und Relationen ri . Siehe auch Übungsaufgabe 2.22 für eine Beschreibung der Sn durch Erzeuger und Relationen. Beispiel 2.3.9 Die Symmetriegruppe W des Würfels wird nach Übungsaufgabe 2.20 von der Drehung α = (2, 3, 5, 4) um 90◦ und der Drehspiegelung β = (1, 5, 3, 6, 2, 4) um 60◦ erzeugt. Der folgende GAP-Code zeigt, dass sich W durch Erzeuger und Relationen beschreiben lässt als E D
2 4 6 −1 2 2 ∼ W = α, β | α = e, β = e, (αβ ) = e, α β =e . gap> f:=FreeGroup(”a”, ”b”); < free group on the generators [ a, b ] > gap> g:=f/[f.1^4, f.2^6, (f.1*f.2)^2, (f.1^3*f.2^2)^2]; < fp group on the generators [ a, b ] > gap> W:=Group((2,3,5,4), (1,5,3,6,2,4));; gap> IsomorphismGroups(g,W); [ a, b ] -> [ (1,4,6,3), (1,3,2,6,4,5) ]

KAPITEL 2. GRUPPEN

44

Bemerkung 2.3.10 Sei N ⊂ G ein Normalteiler und A ⊂ G/N eine Untergruppe. Nach Übung 2.2 ist mit dem kanonischen Epimorphismus π : G → G/N U = π −1 (A) ⊂ G eine Untergruppe. Offenbar ist N ⊂ U wegen U ⊂ G auch ein Normalteiler von U. Weiter gilt A = π(U) = U/N. Ist A ⊂ G/N ein Normalteiler, dann nach Bemerkung 2.3.3 auch U ⊂ G. Bemerkung 2.3.11 Tatsächlich induziert der Epimorphismus π : G → G/N eine Bijektion {Untergruppen U ⊂ G mit N ⊂ U} → {Untergruppen A ⊂ G/N} U 7→ U/N (Übung).

2.3.2

Konjugationsklassen von Untergruppen

Konjugation liefert eine Operation einer Gruppe G auf der Menge der Untergruppen von G, die gleichartige Untergruppen in einer Bahn zusammenfasst: Bemerkung 2.3.12 Ist U ⊂ G eine Untergruppe und g ∈ G, dann ist die Menge  gUg−1 := gug−1 | u ∈ U ⊂ G als Bild von U unter dem Isomorphismus
h 7→ ghg−1 ∈ Inn(G) ⊂ Aut(G) eine zu U isomorphe Untergruppe von G. Definition 2.3.13 Die Gruppe G operiert auf der Menge S der Untergruppen von G durch Konjugation G × S −→ S (g,U) 7−→ gUg−1 (Übung: Dadurch ist tatsächlich eine Operation gegeben). Die Bahnen  U G = gUg−1 | g ∈ G für U ∈ S heißen Konjugationsklassen von Untergruppen von G.

KAPITEL 2. GRUPPEN

45

Ein Normalteiler ist also eine Untergruppe U ⊂ G, die invariant unter Konjugation ist. Dies ist der Fall genau dann, wenn die Konjugationsklasse nur ein Element enthält, d.h. U G = {U} . Wir haben schon an Beispielen gesehen, dass sich Stabilisatoren von Ecken eines Platonischen Körpers gleich verhalten. Der Grund ist, dass sie konjugierte Untergruppen der Symmetriegruppe sind: Beispiel 2.3.14 Wir betrachten S4 als Symmetriegruppe des Tetraeders (Abbildung 2.10). Dann ist Stab(4) = h(1, 2) , (2, 3)i ∼ = S3 und Stab(1) = h(2, 4) , (2, 3)i = (1, 4) · h(1, 2) , (2, 3)i · (1, 4)−1 . Allgemein zeigen wir: Satz 2.3.15 Ist G × M → M eine Gruppenoperation und sind n, m ∈ M in derselben Bahn etwa n = g · m, dann sind die Stabilisatoren konjugiert Stab(n) = g Stab(m)g−1 . Beweis. Sei v = gug−1 mit u ∈ Stab(m), dann v · n = vg · m = gu · m = g · m = n, also v ∈ Stab(n) und damit g Stab(m)g−1 ⊂ Stab(n). Aus m = g−1 · n folgt analog g−1 Stab (n) g ⊂ Stab (m), d.h. Stab(n) ⊂ g Stab(m)g−1 .

Beispiel 2.3.16 Sei G die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks, also G = S3 und |G| = 3! = 6. Somit kann G nach der Indexformel Untergruppen der Ordnungen 1, 2, 3, 6 haben.

KAPITEL 2. GRUPPEN

46

Für |H| = 1 ist H = {e}, also ein Normalteiler. Die Ordnung |H| = 2 besitzt z.B. H12 = {e, (12)} . Die Untergruppe H12 ist kein Normalteiler von G: Konjugation mit (23) liefert (23) e (23)−1 = e (23) (12) (23) = (13) ∈ / H12 . Es gilt (23) H12 (23) = H13 = {e, (13)} . Siehe auch Abbildung 2.9. Genauso können wir mit H23 = {e, (23)} argumentieren, und somit hat G keine Normalteiler der Ordnung 2. Mit |H| = 3 gibt es nur die Untergruppe H = {e, (123) , (132)} . Diese ist als Untergruppe von Index 2 nach Bemerkung 2.3.7 ein Normalteiler von G, und H = A3 , die Untergruppe der Drehungen in G. Als Quotienten erhalten wir G/H = {H, (1, 2) H} ∼ = Z/2 ∼ = ({±1} , ·) . Der Isomorphismus G/H → ({±1} , ·) wird induziert durch den Signumshomomorphismus sign : S3 −→ ({±1} , ·) , denn für alle σ ∈ H ist sign(σ ) = 1 und für alle σ ∈ (1, 2) H = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 3)} gilt sign(σ ) = −1. Wir beobachten, dass H = A3 = ker(sign). Isomorphismen, die wie S3 / ker(sign) ∼ = ({±1} , ·) durch Herausteilen des Kerns eines Gruppenhomomorphismus induziert werden, sind das Thema des nächsten Abschnitts 2.3.3. Für |H| = 6, also H = G, erhalten wir einen weiteren Normalteiler. Insgesamt hat G = S3 also 4 Konjugationsklassen von Untergruppen: {{e}} {H12 , H13 , H23 } {A3 } {S3 }. Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen den Normalteilern. Siehe Übungsaufgabe 2.26 für die Konjugationsklassen von Untergruppen der S4 .

KAPITEL 2. GRUPPEN

2.3.3

47

Homomorphiesatz und Isomorphiesätze

Ist ϕ : G −→ F ein Monomorphismus, dann lässt sich G ∼ = Bild(ϕ) ⊂ F als Untergruppe von F auffassen. Anderenfalls können wir ϕ mittels der Quotientengruppenkonstruktion injektiv machen: Satz 2.3.17 (Homomorphiesatz) Sei ϕ : G → F ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt G/ ker ϕ ∼ = Bild ϕ. Beweis. Wir definieren ϕe : G/ ker ϕ −→ Bild ϕ ϕe (a ker ϕ) := ϕ (a) . Dies ist wohldefiniert, da gilt: =⇒

a0 = ah ∈ a ker ϕ mit h ∈ ker ϕ
ϕ a0 = ϕ (a) · ϕ (h) = ϕ (a) · e = ϕ (a) .

Die Abbildung ϕe ist offenbar ein Homomorphismus, surjektiv, und ϕe ist injektiv, denn ϕe (a ker ϕ) = e =⇒ ϕ (a) = e =⇒ a ∈ ker ϕ =⇒ a ker ϕ = ker ϕ = eG/ ker ϕ .

Also faktorisiert ϕ : G → F in ϕ

G −→ F Projektion ↓ ↑ Inklusion. ∼ G/ ker ϕ = Bild ϕ Beispiel 2.3.18 Sei n ≥ 2. Angewendet auf sign : Sn → ({−1, 1}, ·) mit Kern An und Bild(sign) = {−1, 1} ∼ = Z/2 gibt Satz 2.3.17, dass Sn /An ∼ = Z/2. Beispiel 2.3.19 Die Kleinsche Vierergruppe V4 = {() , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3)} ist ein Normalteiler von S4 , und für die Quotientengruppe gilt S4 /V4 ∼ = S3 ,

KAPITEL 2. GRUPPEN

48

siehe Übungsaufgabe 2.33. Man kann diese Isomorphie auch mit Hilfe von GAP nachrechnen: gap> S4:=SymmetricGroup(4);; gap> NormalSubgroups(S4); [ Group(()), Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]), Group([ (2,4,3), (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]), Sym( [ 1 .. 4 ] ) ] gap> V4:=Group((1,4)(2,3),(1,3)(2,4));; gap> Elements(V4); [ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ] gap> Q:=S4/V4;; gap> Order(Q); 6 gap> IsomorphismGroups(Q,CyclicGroup(6)); fail gap> IsomorphismGroups(Q,SymmetricGroup(3)); [ f1, f2 ] -> [ (2,3), (1,2,3) ] Beispiel 2.3.20 Sei G eine Gruppe. Da Z(G) = ker κ und Inn(G) = Bild κ mit κ: G a gilt

−→ Aut(G)
7−→ g 7−→ aga−1 ,

Inn(G) ∼ = G/Z(G).

Beispiel 2.3.21 (Klassifikation zyklischer Gruppen) Sei G = hgi eine zyklische Gruppe. Für |G| < ∞ kann der Epimorphismus ϕ : (Z, +) −→ G k 7−→ gk nicht injektiv sein, somit ist 0 6= ker ϕ = hni = nZ, mit dem Homomorphiesatz also Z/nZ ∼ =G (d.h. wiederum endlich, und damit |G| < ∞ ⇔ ker ϕ 6= 0). In diesem Fall gilt n o min k ≥ 1 | gk = e = n = ord(g) und G = {e, g, ... , gn−1 }. Für |G| = ∞ dagegen ist ker ϕ = 0, also ϕ ein Isomorphismus. Somit haben wir gezeigt: Hat eine zyklische Gruppe endliche Ordnung, dann ist sie isomorph zu Z/nZ für ein n > 0, anderenfalls isomorph zu Z.

KAPITEL 2. GRUPPEN

49

Anwendungen des Homomorphiesatzes sind: Satz 2.3.22 (Erster Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, H ⊂ G eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G. Dann gilt: 1) Die Teilmenge HN = {hn | h ∈ H, n ∈ N} ist eine Untergruppe von G, und N ist ein Normalteiler von HN . 2) H ∩ N ist ein Normalteiler von H. 3) Wir haben einen Isomorphismus H/(H ∩ N) ∼ = HN/N a (H ∩ N) 7−→ aN. Beweis. Wir bemerken zunächst, dass wir im folgenden Beweis nicht wirklich benötigen, dass N ein Normalteiler von G ist, sondern nur, dass N von H normalisiert wird, d.h. hN = Nh für alle h ∈ H. 1) Sind h1 n1 , h2 n2 ∈ HN, dann gibt es wegen Nh2 = h2 N ein n01 ∈ N mit n1 h2 = h2 n01 , also ist h1 n1 h2 n2 = h1 h2 n01 n2 ∈ HN. Ebenso gilt für das Inverse −1 −1 0 (h1 n1 )−1 = n−1 1 h1 = h1 n ∈ HN

für ein n0 ∈ N. Ferner ist N ⊂ HN ein Normalteiler, da N ⊂ G ein Normalteiler ist, also gNg−1 = N für alle g ∈ G gilt, insbesondere also auch für alle g ∈ HN. 2) H ∩ N ⊂ H ist eine Untergruppe, und ein Normalteiler, da h (H ∩ N) h−1 ⊂ hHh−1 ∩ hNh−1 = H ∩ N für alle h ∈ H, und somit h (H ∩ N) h−1 = H ∩ N für alle h ∈ H.

KAPITEL 2. GRUPPEN

50

3) Die Abbildung ϕ:

H a

−→ 7−→

HN/N aN

ist ein Gruppenhomomorphismus und surjektiv, da jede Nebenklasse von der Form hnN = hN mit n ∈ N und h ∈ H ist. Weiter ist ker ϕ = {a ∈ H | aN = N} = H ∩ N. Der Homomorphiesatz liefert H/(H ∩ N) = H/ ker ϕ ∼ = Bild ϕ = HN/N.

Wir haben also ein Diagramm N C HN ∪ ∪ H ∩ N C H. Beispiel 2.3.23 Sei G = (Z, +) und seien H = mZ und N = nZ die zyklischen Untergruppen erzeugt von m, n ≥ 1. Dann ist H ∩ N = kgV(n, m)Z, denn a ∈ H ∩ N ⇔ n | a und m | a ⇔ kgV(n, m) | a. Zum Beispiel: 6Z = {... , −6, 0, 6, 12, 18, 24, 30 ...} 10Z = {... , −10, 0, 10, 20, 30, ...} und 6Z ∩ 10Z = 30Z = {... , −30, 0, 30, 60, ...} . Weiter ist HN = mZ + nZ = {mu + nv | u, v ∈ Z} = ggT(n, m)Z, denn ggT(n, m) | (un + vm) für alle u, v ∈ Z und ggT(n, m) ∈ HN, da der erweiterte euklidische Algorithmus x, y ∈ Z gibt mit xn + ym = ggT(n, m).

KAPITEL 2. GRUPPEN

51

Zum Beispiel 6Z + 10Z = {... , −2, 0, 2, 4, 6, 10, ...} = 2Z, da 2 = 2 · 6 + (−1) · 10. Der erste Isomorphiesatz liefert somit mZ / kgV(n, m)Z ∼ = ggT(n, m)Z / nZ a + kgV(n, m)Z 7→ a + nZ, im Beispiel m = 6 und n = 10, also 6Z / 30Z ∼ = 2Z / 10Z 0 7−→ 0 6 7−→ 6 12 7−→ 2 18 7−→ 8 24 7−→ 4. Da für w | u positiv die Untergruppe uZ ⊂ wZ den Index |wZ/uZ| =

u w

hat (und isomorphe Gruppen die gleiche Gruppenordnung), folgt kgV(n, m) n = m ggT(n, m) und somit die bekannte Formel m · n = ggT(n, m) · kgV(n, m). Satz 2.3.24 (Zweiter Isomorphiesatz) Seien M, N Normalteiler von G und M ⊂ N. Dann gilt: 1) N/M ist ein Normalteiler in G/M. 2) Es gibt einen Isomorphismus (G/M) / (N/M) ∼ = G/N.

KAPITEL 2. GRUPPEN

52

Abbildung 2.12: Bestimmung der Ordnung der Symmetriegruppe des Quadrats Beweis. Die Abbildung ϕ:

G/M aM

−→ G/N 7−→ aN

ist wegen M ⊂ N ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus und surjektiv. Weiter ist ker ϕ = {aM | aN = N} = {aM | a ∈ N} = N/M, also N/M ein Normalteiler in G/M und mit dem Homomorphiesatz (G/M) / (N/M) = (G/M) / ker ϕ ∼ = Bild ϕ = G/N.

Bemerkung 2.3.25 Mit Punkt (1), Bemerkung 2.3.10 und der Bijektion zwischen Untergruppen aus Bemerkung 2.3.11 haben wir also eine Bijektion {Normalteiler N ⊂ G mit M ⊂ N} → {Normalteiler A ⊂ G/M} N 7→ N/M Beispiel 2.3.26 Sei G = D4 ⊂ S4 die Symmetriegruppe des Quadrats. Der Punkt p in Abbildung 2.12 hat trivialen Stabilisator und Orbit der Länge 8, und damit gibt die Bahnformel |D4 | = 8. Die Untergruppe der Drehungen um 0◦ , 90◦ , 180◦ und 270◦ Z/4 ∼ = N = {() , (1, 2, 3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4, 3, 2)} ⊂ G

KAPITEL 2. GRUPPEN

53

hat Index 2, ist also ein Normalteiler. Die verbleibenden 4 Elemente von G sind die Spiegelungen (1, 2) (3, 4) , (1, 4) (2, 3) (1, 3) , (2, 4) . Die Untergruppe M = {() , (1, 3) (2, 4)} ⊂ N ⊂ G ist ein Normalteiler von G (und damit auch von N), denn M ist das Zentrum von G: Die Drehung (1, 3) (2, 4) um 180◦ (und natürlich das neutrale Element) vertauschen mit allen Drehungen und Spiegelungen. Weitere Elemente liegen nicht im Zentrum, denn die Spiegelungen an den Koordinatenachsen sind zueinander konjugiert, ebenso die Spiegelungen an den Diagonalen. Die Drehung um 90◦ ist konjugiert zu der Drehung um 270◦ . Wir haben also Normalteiler und Quotientengruppen: D4 Z/4 Z/2

= G 5 G/N = {N, {(13) , (24) , (12) (34) , (14) (23)}} ∼ = Z/2 ∼ = N 5 N/M = {M, {(1234) , (1432)}} ∼ = Z/2 ∼ = M,

denn G/N besteht aus genau zwei Nebenklassen, N und dessen Komplement in G. Ebenso besteht N/M aus M und dessen Komplement in N. Die Quotientengruppe G/M hat 4 Elemente,  e := M = {() , (13) (24)} N/M a := (1234) M = {(1234) , (1432)} b := (13) M = {(13) , (24)} c := (12) (34) M = {(12) (34) , (14) (23)}. Beachte N/M = {e, a} ⊂ G/M. Die Verknüpfungstafel von G/M ist · e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

denn bc = (13) (12) (34) M = (1, 2, 3, 4) M = a = (1, 4, 3, 2) M = cb

KAPITEL 2. GRUPPEN

54

und offensichtlich b2 = e, c2 = e, also auch a2 = e. Somit ist G/M ∼ = Z/2 × Z/2 und es gilt

(G/M) / (N/M) ∼ = G/N,

wie im zweiten Isomorphiesatz behauptet. Die weiteren Normalteiler von G sind die Kleinsche Vierergruppe V4 = {() , (14) (23) , (13) (24) , (12) (34)} und {() , (13) , (24) , (13) (24)} , beide von Index 2. Die V4 hat die Normalteiler (von Index 2) {() , (1, 3) (2, 4)} {() , (1, 2) (3, 4)} {() , (1, 4) (2, 3)} , die jedoch keine Normalteiler in G sind. Somit sehen wir, dass aus N2 C N1 C G im Allgemeinen nicht N2 C G folgt. Für ein weiteres Beispiel siehe Übungsaufgabe 2.34. Bemerkung 2.3.27 Eine Gruppe G 6= {e} heißt einfach, wenn sie außer {e} und G keine Normalteiler besitzt. Ist G nicht einfach, so gibt es einen Normalteiler {e} $ H $ G und wir können uns G als zusammengesetzt aus H und G/H vorstellen. Induktiv erhalten wir in jeder endlichen Gruppe G eine Kette von Untergruppen (genannt Kompositionsreihe) {e} ⊂ G1 ⊂ ... ⊂ Gn = G, sodass jeweils Gi C Gi+1 ein Normalteiler und Gi /Gi+1 einfach ist. Eine solche Kette haben wir in Beispiel 2.3.26 explizit konstruiert. Um dieses Prinzip zur Klassifikation von Gruppen zu verwenden, muss man also insbesondere die einfachen Gruppen kennen. Die Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen war eines der umfangreichsten Projekte in der Mathematik mit Beiträgen von hunderten Mathematikern. Zentrale Resultate stammen hier von Feith, Thompson und Gorenstein.3 3 Als

weiterführende Literatur siehe z.B. [3].

KAPITEL 2. GRUPPEN

2.3.4

55

Klassengleichung

Wir betrachten die Operation einer endlichen Gruppe G auf sich selbst von links durch Konjugation (siehe Abschnitt 2.2.4) G × G −→ G (a, b) 7−→ aba−1 . Die Bahnengleichung (Satz 2.2.65) liefert dann für ein vollständiges Repräsentantensystem R der Bahnen (d.h. Konjugationsklassen) |G| =

|G|

∑ |Stab(r)| = ∑ [G : Stab(r)] .

r∈R

r∈R

Definition 2.3.28 Den Stabilisator Stab(r) von r ∈ G unter der Konjugationsoperation nennt man auch den Zentralisator  ZG (r) = g ∈ G | grg−1 = r von r (die Notation CG (r) ist ebenfalls gebräuchlich). Als Stabilisator ist ZG (r) ⊂ G eine Untergruppe. Der Zentralisator lässt sich nicht nur für Elemente, sondern auch für beliebige Teilmengen M ⊂ G definieren als  ZG (M) = g ∈ G | grg−1 = r ∀r ∈ M . Als Spezialfall erhält man für M = G das Zentrum Z(G). Satz 2.3.29 (Klassengleichung) Sei R ⊂ G ein vollständiges Repräsentantensystem der Konjugationsklassen von G. Dann gilt die Klassengleichung |G| =

∑ [G : ZG(r)] = |Z(G)| + ∑

r∈R

[G : ZG (r)] .

r∈R r∈Z(G) /

Beweis. Die erste Gleichheit haben wir uns gerade überlegt, für die zweite bemerken wir, dass Z(G) ⊂ R, da die Konjugationsklassen der Elemente im Zentrum einelementig sind: Ist r ∈ Z(G), dann gilt rgr−1 = g für alle g ∈ G, also g−1 rg = r für alle g ∈ G. Siehe auch Übungsaufgabe 2.37.

KAPITEL 2. GRUPPEN

56

Beispiel 2.3.30 Für G = D4 lautet die Klassengleichung 8 Klassen rD4 ZD4 (r) q D D4  1 () 4 Z(D4 ) +  1 (1, 3) (2, 4)D4 D4 + {() , (1, 3) , (1, 3) (2, 4) , (2, 4)} 2 (1, 3)D4 + 2 (1, 2) (3, 4)D4 {() , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3)} + {() , (1, 2, 3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4, 3, 2)} 2 (1, 2, 3, 4)D4 (wobei wir auch jeweils die Konjugationsklasse und den Zentralisator eines Repräsentanten angeben) und für G = S4 24 q 1 + 3 + 6 + 6 + 8

Klassen rS4

ZS4 (r)

()S4

S4

(1, 2) (3, 4)S4

h(1, 2) , (1, 3, 2, 4)i = D4

(1, 2)S4

{() , (1, 2) , (3, 4) , (1, 2) (3, 4)}

(1, 2, 3, 4)S4

{() , (1, 2, 3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4, 3, 2)}

(1, 2, 3)S4

{() , (1, 2, 3) , (1, 3, 2)}.

Mit der Klassengleichung zeigen wir: Korollar 2.3.31 Ist G eine Gruppe mit |G| = pk , k > 0 und p prim, dann wird |Z(G)| von p geteilt. Beweis. Für r ∈ / Z(G) gibt es ein g ∈ G mit rg 6= gr, d.h. ZG (r) = {g ∈ G | gr = rg} $ G. Somit ist [G : ZG (r)] > 1 und außerdem ein Teiler von |G| = pk , wird also von p geteilt. Wegen der Klassengleichung wird dann auch |Z(G)| = |G| −

∑

r∈R r∈Z(G) /

[G : ZG (r)]

KAPITEL 2. GRUPPEN

57

von p geteilt. Zum Beispiel sehen wir sofort, dass die D4 ein nicht-triviales Zentrum besitzt, also zumindest ein Element g 6= e existieren muss, das mit allen anderen Elementen vertauscht (wie oben schon beobachtet, ist dies die Drehung (1, 3) (2, 4) des Quadrats um 180◦ ). Lemma 2.3.32 Sei G eine Gruppe. Ist G/Z(G) zyklisch, dann ist G abelsch. Beweis. Sei G/Z(G) = hxZ(G)i zyklisch und g1 , g2 ∈ G. Wir können gi = xki zi mit zi ∈ Z(G) schreiben (denn gi liegt in einer Nebenklasse von Z(G) und jede Nebenklasse ist eine Potenz von xZ(G)). Somit ist g1 g2 = xk1 z1 xk2 z2 = xk1 +k2 z1 z2 = xk2 +k1 z2 z1 = g2 g1 , da z1 und z2 mit jedem Element von G vertauschen. Korollar 2.3.33 Ist G eine Gruppe mit |G| = p2 und p prim, dann ist G abelsch.  Beweis. Da |Z(G)| nach Korollar 2.3.31 von p geteilt wird, ist |Z(G)| ∈ p, p2 . Für |Z(G)| = p2 gilt G = Z(G), somit ist G abelsch. Für |Z(G)| = p ist |G/Z(G)| = p, also G/Z(G) mit Korollar 2.2.52 zyklisch. Mit Lemma 2.3.32 ist G also abelsch.

2.4

Sylowsätze

Zur Klassifikation von Gruppen ist die Kenntnis des Untergruppenverbands einer gegebenen Gruppe G wichtig. Wir wissen schon, dass die Ordnung jeder Untergruppe |G| teilt. Andererseits können wir uns fragen, für welche Teiler von |G| wirklich eine Untergruppe von G mit entsprechender Ordnung existiert (und wieviele). Zunächst werden wir zeigen, dass es zumindest zu jedem Primpotenzteiler p j eine Untergruppe gibt. Beispiel 2.4.1 Die Symmetriegruppe Sym(T ) ∼ = S4 des regulären Tetraeders T hat Ordnung |Sym(T )| = 24 = 23 · 3.

KAPITEL 2. GRUPPEN

58

Wir kennen schon alle Untergruppen der Ordnung 3: Es sind die zyklischen Gruppen {() , (1, 2, 3) , (1, 3, 2)} {() , (2, 3, 4) , (2, 4, 3)} {() , (1, 2, 4) , (1, 4, 2)} {() , (1, 3, 4) , (1, 4, 3)} , jeweils erzeugt von einer der Drehungen um 120◦ wie in Abbildung 2.13. Die

Abbildung 2.13: Dreizählige Drehachse des Tetraeders Stabilisatoren von Kantenmittendiagonalen wie in Abbildung 2.14 haben Ord-

Abbildung 2.14: Kantenmittendiagonale im Tetraeder

KAPITEL 2. GRUPPEN

59

nung 23 = 8, denn sie sind isomorph zur Symmetriegruppe des Quadrats D4 . Dies wird ersichtlich, wenn man die Zeichenebene senkrecht zur jeweiligen Kan-

Abbildung 2.15: Tetraeder in Zeichenebene senkrecht zu einer Kantenmittendiagonalen tenmittendiagonalen legt (Abbildung 2.15). Es gibt 3 Untergruppen der Ordnung 8 entsprechend den 3 Kantenmittendiagonalen. Untergruppen der Ordnung 4 werden z.B. von 4-Zykeln, d.h. Drehspiegelungen erzeugt, Untergruppen der Ordnung 2 von Spiegelungen. Insgesamt haben wir gesehen, dass die S4 Untergruppen der Ordnungen 1, 2, 4, 8 und 3 hat. Man beachte, dass darüber hinaus auch Untergruppen der S4 der Ordnung 6 (Stabilisatoren von Ecken), 12 (die Gruppe der Drehsymmetrien von T ) und natürlich 24 existieren. Man kann sich nun, motiviert durch das Beispiel der S4 , fragen, ob es eventuell zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe mit entsprechender Ordnung gibt. Dies ist tatsächlich richtig für endliche abelsche Gruppen, im Allgemeinen aber falsch, wie das folgende Beispiel zeigt: Beispiel 2.4.2 Die Gruppe A4 = {σ ∈ S4 | sign σ = 1} ⊂ S4 der Rotationssymmetrien des Tetraeders (von Ordnung |A4 | = 24 2 = 12) hat keine Untergruppe der Ordnung 6: Jede Untergruppe der Ordnung 6 ist nach Bemerkung 2.3.7 schon ein Normalteiler. Angenommen N ⊂ A4 ist ein Normalteiler mit |N| = 6. Sei weiter H eine Untergruppe (von Ordnung |H| = 3) erzeugt von einer Drehung um 120◦ . Mit dem 1. Isomorphiesatz gilt |H| · |N| = |HN| · |H ∩ N| , somit 12 = |A4 | ≥ |HN| =

|H| · |N| 3·6 = , |H ∩ N| |H ∩ N|

KAPITEL 2. GRUPPEN

60

also H ⊂ N. Die Untergruppe N enthält damit alle 3-Zykel. Diese erzeugen aber schon die ganze A4 , denn jeder 2 + 2-Zykel ist Produkt von 3-Zykeln, etwa (1, 2, 3) (2, 3, 4) = (1, 2) (3, 4) . Es muss also nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe geben. Wir können dies auch nochmals für die A4 mit Hilfe von GAP überprüfen: gap> G:=AlternatingGroup(4);; gap> Order(G); 12 gap> L:=ConjugacyClassesSubgroups(G);; gap> List(List(L,Representative),Size); [ 1, 2, 3, 4, 12 ] Im Folgenden werden wir zeigen, dass es zu jedem Primpotenzteiler von |G| eine Untergruppe gibt.

2.4.1

Existenz von p-Gruppen

Definition 2.4.3 Sei p eine Primzahl. Eine p-Gruppe ist eine Gruppe G, in der jedes Element g ∈ G als Ordnung eine p-Potenz hat, d.h. ord(g) = pl für ein l ≥ 0. Eine endliche Gruppe G der Ordnung |G| = pk ist demzufolge eine p-Gruppe, denn die Ordnung jedes Elements teilt die Gruppenordnung. Die Umkehrung für endliche Gruppen ergibt sich als Korollar zu folgendem zentralen Satz: Satz 2.4.4 Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl, die |G| teilt, etwa |G| = pk m mit p - m. Dann existiert für jedes l mit 0 ≤ l ≤ k eine Untergruppe H ⊂ G der Ordnung |H| = pl . Korollar 2.4.5 Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. Teilt p die Gruppenordnung |G|, dann gilt: 1) (Cauchy) Es gibt ein Element der Ordnung p in G. 2) G ist eine p-Gruppe genau dann, wenn |G| = pl mit l ≥ 0.

KAPITEL 2. GRUPPEN

61

Beweis. Nach Satz 2.4.4 gibt es eine Untergruppe H der Ordnung p. Diese ist nach Korollar 2.2.52 zyklisch, d.h. H = hgi mit ord(g) = p. Die Aussage |G| = pl ⇒ G ist eine p-Gruppe haben wir schon gezeigt. Für die Umkehrung schreibe |G| = pl · m mit l ≥ 0, m > 1 und p - m. Dann existiert ein Element der Ordnung q, wobei q ein Primteiler von m ist. Somit ist G keine p-Gruppe. Beispiel 2.4.6 Wir illustrieren die Beweisidee des Existenzsatzes 2.4.4 am Beispiel von G = S3 , indem wir einen Algorithmus beschreiben, der z.B. eine Untergruppe der Ordnung 3 findet: Dazu betrachten wir die Menge X aller 3-elementigen Teilmengen von G und suchen ein A ∈ X, sodass die Länge der Bahn GA von A unter der Translation G × X −→ X (g, A) 7−→ gA = {ga | a ∈ A} nicht durch 3 teilbar ist (damit gleich 2 ist, warum?). Dann ist der Stabilisator |G| = 3. Stab(A) eine Untergruppe der Ordnung |GA| Zum Beispiel bilden folgende 3-elementigen Teilmengen von G eine Bahn der Länge 6  A = { () , (1, 3) , (2, 3) }    { (1, 2) , (1, 3, 2) , (1, 2, 3) }     { (2, 3) , (1, 2, 3) , () } = GA. { (1, 3) , () , (1, 3, 2) }    { (1, 2, 3) , (2, 3) , (1, 2) }     { (1, 3, 2) , (1, 2) , (1, 3) } Ebenso haben A = {() , (1, 2) , (1, 3)} und A = {() , (1, 2) , (2, 3)} Bahnen der Länge 6.
Da X insgesamt 63 = 20 Elemente enthält, fehlt nur noch die folgende (gesuchte) Bahn der Länge 2:  A = { (1, 2) , (1, 3) , (2, 3) } = GA. { () , (1, 3, 2) , (1, 2, 3) } Der Stabilisator von A ist {() , (1, 3, 2) , (1, 2, 3)} , also eine Untergruppe der Ordnung 3.

KAPITEL 2. GRUPPEN

62

Für die Existenz einer solchen Bahn der gesuchten Länge verwenden wir allgemein folgendes Lemma: Lemma 2.4.7 Sei p eine Primzahl, k, m ∈ Z≥1 und p - m. Dann sind die Zahlen k
. pk−l+1 für 1 ≤ l ≤ k keine Teiler des Binomialkoeffizienten p p·m l Beweis. Die Idee ist pk−l m auszuklammern und dann zu zeigen, dass der verbleibende Term nicht von p geteilt wird. Allgemein gilt  k    k p ·m pk m pk · m − 1 pl −1 p m − i k−l = l · . = p m · ∏i=1 pl pl − 1 p pl − i Wir müssen also beweisen, dass k pl −1 p m − i . pl − i

p - ∏i=1

Dies gilt, da in i < pl der Primfaktor p höchstens mit Exponent kleiner als l ≤ k vorkommt und somit  vollständig gekürzt werden kann: Dazu schreiben wir jedes i ∈ 1, ... , pl − 1 als i = pni · ti mit ni ∈ Z≥0 und ti ∈ Z≥1 und p - ti . Dann gilt ni < l ≤ k wegen i < pl . Kürzen liefert pk m − i pk−ni m − ti = l−n . pl − i p i − ti Weder Zähler noch Nenner in diesem Bruch sind durch p teilbar. Somit ist k pl −1 p m − i i=1 pl − i

∏

pl −1 p

= ∏i=1

k−ni m − t

i

pl−ni − ti

ein Produkt von rationalen Zahlen, in denen in gekürzter Darstellung nirgends
k ein p als Faktor auftaucht, also p - p p·m−1 l −1 . Wir beweisen nun Satz 2.4.4: Beweis. Sei |G| = pk m mit p - m und 1 ≤ l ≤ k und n o l X = A ⊂ G | |A| = p . Wir zeigen, dass ein Element von X eine Untergruppe von G ist: G operiert auf X durch G × X −→ X (g, A) 7−→ gA.

KAPITEL 2. GRUPPEN

63

Da pk−l+1 nach Lemma 2.4.7 kein Teiler von  k  pm |X| = pl ist, gibt es ein A ∈ X mit pk−l+1 - |GA| , denn nach der Bahnengleichung (Satz 2.2.65) ist |X| = ∑A∈R |GA| mit einem vollständigen Repräsentantensystem der Bahnen R. Würden also alle |GA| von pk−l+1 geteilt, dann auch |X|. Wir halten nun dieses A fest und zeigen, dass Stab(A) eine Untergruppe der Ordnung pl ist: Schreibe |Stab(A)| = pr v [G : Stab(A)] = ps w mit r, s ∈ Z≥0 und v, w ∈ Z≥1 mit p - v und p - w. Da |GA| = [G : Stab(A)] nach Satz 2.2.61 ist s ≤ k − l. Außerdem ergibt sich mit der Indexformel 2.2.48 pr+s vw = [G : Stab(A)] · |Stab(A)| = |G| = pk · m, also mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung r + s = k. Somit gilt r = k − s ≥ l, d.h. pl | |Stab(A)|. Sei nun a ∈ A. Für jedes g ∈ Stab(A) ist ga ∈ gA = A. Daher ist die durch die Verknüpfung in G induzierte Abbildung Stab(A) → A g 7→ ga wohldefiniert und offenbar injektiv, also pl ≤ |Stab(A)| ≤ |A| = pl , d.h. der Stabilisator von A Stab(A) ⊂ G ist eine Untergruppe der Ordnung pl .

KAPITEL 2. GRUPPEN

2.4.2

64

Sylowuntergruppen

Für eine gegebene Gruppe G betrachten wir nun die p-Untergruppen (d.h. pGruppen, die Untergruppen sind) maximaler Ordnung. Definition 2.4.8 Sei p prim und |G| = pk · m mit p - m. Eine Untergruppe H ⊂ G heißt p-Sylowuntergruppe, wenn |H| = pk . Satz 2.4.4 zeigt insbesondere die Existenz einer p-Sylowuntergruppe. Satz 2.4.9 (Sylowsätze) Sei G eine endliche Gruppe und p prim. 1) Jede p-Untergruppe H ⊂ G liegt in einer p-Sylowuntergruppe von G. 2) Jede konjugierte Untergruppe einer p-Sylowuntergruppe ist eine p-Sylowuntergruppe, und je zwei p-Sylowuntergruppen sind konjugiert, d.h. die Menge der p-Sylowuntergruppen von G ist eine Konjugationsklasse von Untergruppen der Gruppe G. 3) Sei s p = |{U | U eine p-Sylowuntergruppe von G}| die Anzahl der p-Sylowuntergruppen von G. Dann gilt (a) s p | |G| (b) s p ≡ 1 mod p. Korollar 2.4.10 Schreiben wir |G| = pk · m mit p - m, dann gilt s p | m. Beweis. s p | pk m, und s p ≡ 1 mod p also p - s p . Korollar 2.4.11 H ist eine p-Sylowuntergruppe von G genau dann, wenn H eine maximal große p-Untergruppe H ⊂ G ist. Beweis. Sei |G| = pk ·m mit p - m. Sei H ⊂ G eine maximal große p-Untergruppe. Dann liegt H nach dem 1. Sylowsatz in einer p-Sylowuntergruppe H 0 . Wäre H $ H 0 , so wäre H 0 eine größere p-Gruppe, ein Widerspruch zur Maximalität von H. Ist H eine p-Sylowuntergruppe, also |H| = pk , und angenommen H 0 ⊂ G ist eine p-Untergruppe mit H ⊂ H 0 , dann pk | |H 0 | = pl , also l ≥ k. Da k maximal war mit pk | |G|, ist k = l.

KAPITEL 2. GRUPPEN

65

Beispiel 2.4.12 Es ist |S4 | = 4! = 24 = 3 · 23 , die 2-Sylowuntergruppen von S4 haben also Ordnung 23 = 8. Nach den Sylowsätzen gilt s2 ≡ 1 mod 2 s2 | 3, also s2 ∈ {1, 3}. Betrachte die Stabilisatoren von Geraden durch gegenüberliegende Kantenmitten im Tetraeder wie in Abbildung 2.16. Diese Gruppen haben Ordnung 8, und es gibt 3 = 26 solcher Kantenmittendiagonalen im Tetraeder, also ist s2 = 3.

Abbildung 2.16: Kantenmittendiagonale im Tetraeder Explizit sind die 2-Sylowuntergruppen entsprechend den Kantenmittendiagonalen im Tetraeder gegeben durch die Stabilisatoren in Tabelle 2.1. Für die 3-Sylowuntergruppen gilt s3 ≡ 1 mod 3 s3 | 8, also s3 ∈ {1, 4}. Der Tetraeder hat 4 dreizählige Drehachsen, die jeweils einer zyklischen Untergruppe der Ordnung 3 entsprechen (explizit h(1, 2, 3)i, h(1, 2, 4)i, h(1, 3, 4)i und h(2, 3, 4)i). Somit ist s3 = 4. Zum Beweis der Sylowsätze benötigen wir:

KAPITEL 2. GRUPPEN

66

{() , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3) , (1, 2) , (3, 4) , (1, 3, 2, 4) , (1, 4, 2, 3)}

{() , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3) , (2, 3) , (1, 4) , (1, 2, 4, 3) , (1, 3, 4, 2)}

{() , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3) , (1, 3) , (2, 4) , (1, 2, 3, 4) , (1, 4, 3, 2)}

Tabelle 2.1: Stabilisatoren der Kantenmittendiagonalen im Tetraeder Lemma 2.4.13 Sei H ⊂ G eine p-Untergruppe, S eine p-Sylowuntergruppe von G. Ist H im Normalisator  NG (S) = g ∈ G | gSg−1 = S von S enthalten, dann ist H ⊂ S. Beweis. Schreibe |G| = pk · m und p - m. Da S ⊂ NG (S) nach Konstruktion von NG (S) ein Normalteiler und H ⊂ NG (S) eine Untergruppe ist, liefert der 1. Isomorphiesatz HS/S ∼ = H/ (H ∩ S) . Damit ist |HS/S| ein Teiler von |H| und damit eine p-Potenz, also ist auch |HS| = |HS/S| · |S| ≥ |S| = pk

KAPITEL 2. GRUPPEN

67

eine p-Potenz. Somit muss |HS| = pk sein und daher HS = S, was H ⊂ S impliziert. Zum Normalisator siehe auch Übung 2.36. Lemma 2.4.14 Ist U ⊂ G eine p-Sylowuntergruppe und H ⊂ G eine p-Untergruppe, dann gilt ∃b ∈ G : H ⊂ bUb−1 und bUb−1 ist wieder eine p-Sylowuntergruppe. Beweis. Die Konjugationsoperation  G ×U G −→ U G = gUg−1 | g ∈ G (g, S) 7−→ gSg−1 auf der Konjugationsklasse U G der Untergruppe U hat per Definition nur eine einzige Bahn (eine solche Operation heißt transitiv). Somit ist |G| = U G · |NG (U)| , wobei wir bemerken, dass StabG (U) = NG (U). Schreibe |G| = pk · m mit p - m, d.h. |U| = pk . Da U ⊂ NG (U) eine Untergruppe ist, gilt pk | |NG (U)| und damit

p - U G .

Operieren wir stattdessen nur mit der Untergruppe H ⊂ G H ×U G −→ U G (a, S) 7−→ aSa−1 , dann zerfällt U G in eine disjunkte Vereinigung von Bahnen. Sei V ⊂ U G ein vollständiges Repräsentantensystem. Dann gilt G U =

|H|

∑ |StabH (S)| = ∑ p jS

S∈V

S∈V

mit jS ≥ 0, da H eine p-Gruppe war. G Da p - U , muss es ein S ∈ V geben mit jS = 0, d.h. H = StabH (S)

KAPITEL 2. GRUPPEN

68

und somit H ⊂ NG (S). Weiter können wir S ∈ U G darstellen als S = bUb−1 mit b ∈ G. Mit Lemma 2.4.13 folgt also H ⊂ S = bUb−1 und S hat pk Elemente, ist also eine p-Sylowuntergruppe. Wir beweisen den 1. Sylowsatz: Beweis. Nach Satz 2.4.4 gibt es eine p-Sylowuntergruppe U ⊂ G. Nach Lemma 2.4.14 existiert ein b ∈ G mit bUb−1 ⊃ H. Wir zeigen den 2. Sylowsatz: Beweis. Wir wenden den 1. Sylowsatz auf eine p-Sylowuntergruppe H an. Da zwei p-Sylowuntergruppen gleich viele Elemente haben, ist H = bUb−1 , also liegen alle p-Sylowuntergruppen in derselben Konjugationsklasse von Untergruppen. In Lemma 2.4.14 haben wir schon gesehen, dass jede Konjugierte einer p-Sylowuntergruppe wieder eine p-Sylowuntergruppe ist. Wir beweisen den 3. Sylowsatz: Beweis. Sei U eine p- Sylowuntergruppe, U G die Menge der p-Sylowuntergruppen (nach dem 2. Sylowsatz) und s p = U G . Wie oben gezeigt, ist s p = [G : StabG (U)] =

|G| |StabG (U)|

ein Teiler von |G|. Für den zweiten Teil betrachten wir die Operation U ×U G −→ U G (a, S) 7−→ aSa−1 . Sei V ⊂ U G ein vollständiges Repräsentantensystem der Bahnen. Die Bahn von U enthält offenbar nur U, also insbesondere U ∈ V . Keine andere Bahn besteht nur aus einem einzigen Element, denn wäre S ∈ V mit aSa−1 = S ∀a ∈ U, dann wäre U ⊂ NG (S), also mit Lemma 2.4.13 schon U ⊂ S und somit U = S, da beide Gruppen dieselbe Ordnung haben.

KAPITEL 2. GRUPPEN

69

Mit der Bahnengleichung gilt also s p = U G =

|U|

∑ StabU (S) = 1 + ∑

p jS ≡ 1 mod p

S∈V , S6=U

S∈V

(denn U ist eine p-Gruppe) und jS ≥ 1. In Übung 2.38 überprüfen wir für die S4 die Sylowsätze. Weitere Übungsaufgaben zu den Sylowsätzen sind 2.39, 2.40, 2.41, 2.42, 2.45, 2.46 und 2.47.

2.4.3

Anwendung der Sylowsätze

Der folgende Satz ist eine typische Anwendung der Sylowsätze auf Klassifikationsprobleme in der Gruppentheorie. Als Korollar erhalten wir zum Beispiel, dass jede Gruppe der Ordnung 15 schon zyklisch ist. Satz 2.4.15 Seien p und q Primzahlen, p < q und p kein Teiler von q − 1. Dann ist jede Gruppe G der Ordnung p · q zyklisch, d.h. G∼ = Z/pq. Beweis. Nach dem 3. Sylowsatz ist s p = 1 + kp und s p | q. Wäre s p = q, dann p | (q − 1), ein Widerspruch. Somit ist s p = 1. Sei also S(p) ⊂ G die einzige p-Sylowuntergruppe. Es gilt S(p) ∼ = Z/p. 0 Genauso ist sq = 1 + k q und sq | p. Wäre sq = p, dann p > q, ein Widerspruch und damit sq = 1. Sei S(q) ⊂ G die einzige q-Sylowuntergruppe. Es gilt S(q) ∼ = Z/q. Wir zeigen G∼ = S(p) × S(q). Dann folgt mit dem Chinesischen Restsatz G∼ = Z/p × Z/q ∼ = Z/pq. Wegen s p = 1 und sq = 1 sind S(p), S(q) ⊂ G Normalteiler. Da S (p) und S(q) teilerfremde Ordnung haben, ist S(p) ∩ S(q) = {e} .

KAPITEL 2. GRUPPEN

70

Mit dem 1. Isomorphiesatz ist S(p) · S(q) ⊂ G eine Untergruppe und (S(p) · S(q)) /S(q) ∼ = S(p)/ (S(p) ∩ S(q)) = S(p), also |S (p) · S(q)| = p · q und damit S(p) · S(q) = G. Somit ist die Abbildung ϕ:

S(p) × S(q) → G (a, b) 7→ a · b

bijektiv. Da S(p), S(q) ⊂ G Normalteiler sind, gilt für alle a ∈ S(p) und b ∈ S(q) aba−1 b−1 ∈ S(p) ∩ S(q) = {e} , also ab = ba. Daher ist ϕ ((a, b) (c, d)) = ϕ(ac, bd) = acbd = abcd = ϕ(a, b)ϕ(c, d), das heißt ϕ ist ein Homomorphismus. Korollar 2.4.16 Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch. Siehe auch Übungsaufgabe 2.44. Beispiel 2.4.17 Wir wenden die Sylowsätze auf die Symmetriegruppe G des Würfels an. In Beispiel 2.2.27 haben wir schon gesehen, dass |G| = 48 = 24 · 3. Also gilt für die Anzahl der 2-Sylowuntergruppen (der Ordnung 16) s2 | 3 s2 ≡ 1 mod 2, d.h. s2 ∈ {1, 3}. Die Stabilisatoren Stab(Li ) der Seitenmittendiagonalen L1 , L2 , L3 (siehe Abbildung 2.17) haben Ordnung 16, denn sie sind isomorph zum direkten

KAPITEL 2. GRUPPEN

71

Abbildung 2.17: Würfel mit Seitenmittendiagonalen Produkt

Stab(Li ) ∼ = D4 × Z/2.

Wir können G durch Nummerieren der Ecken als Untergruppe der S8 auffassen. Dann ist etwa Stab(L1 ) = h(1, 2, 3, 4) (5, 6, 7, 8) , (1, 3) (5, 7) , (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8)i

erzeugt von der Drehung um 90◦ und einer Spiegelung an einer Diagonalebene (die zusammen eine D4 erzeugen) und der Spiegelung an der Ebene senkrecht zu L3 . Da die Drehung um 90◦ um L1 jedoch L2 und L3 vertauscht, sind die Stab(Li ) paarweise verschieden, also s2 = 3. Der Durchschnitt

T3

k=1 Stab(Lk )

enthält

• die Identität, • die 3 Drehungen r1 , r2 , r3 um 180◦ um die Seitenmittendiagonalen L1 , L2 , L3 , siehe Abbildung 2.18, beispielsweise r2 = (1, 6) (2, 5) (4, 7) (3, 8) ,

• die 3 Spiegelungen δ1 , δ2 , δ3 an Ebenen senkrecht zu den Seitenmittendiagonalen, siehe Abbildung 2.19, zum Beispiel δ3 = (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) ,

KAPITEL 2. GRUPPEN

72

Abbildung 2.18: Drehungen des Würfels um Seitenmittendiagonalen um 180◦

Abbildung 2.19: Spiegelungen des Würfels an den Koordinatenebenen • und die Punktspiegelung δ in Abbildung 2.20, als Permutation gegeben durch δ = (1, 7) (2, 8) (3, 5) (4, 6) .

Somit gilt T3

k=1 Stab(Lk ) = Stab(Li ) ∩ Stab(L j )

= {id, r1 , r2 , r3 , δ1 , δ2 , δ3 , δ } für alle i 6= j, denn Stab(Li ) ∩ Stab(L j ) $ Stab(Li ). Die 2-Sylowuntergruppen enthalten also zusammen genau 8 + 3 · 8 = 32 Elemente (12 der Ordnung 4 und 19 der Ordnung 2). Für die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen (von Ordnung 3) haben wir s3 | 16 s3 ≡ 1 mod 3, und damit s3 ∈ {1, 4, 16}. Wäre s3 = 16, dann gäbe es (neben den oben gefundenen 32 Elementen von 2-Potenzordnung) noch 16 · 2 = 32 Elemente der Ordnung

KAPITEL 2. GRUPPEN

73

4 3 1 2

8 7 5

6

Abbildung 2.20: Punktspiegelung des Würfels 3, ein Widerspruch. Die Gruppen von Drehungen um die 4 Eckendiagonalen haben jeweils Ordnung 3, z.B. h(2, 4, 5) (6, 3, 8)i, siehe Abbildung 2.21, also s3 = 4. Die 3-Sylowuntergruppen enthalten zusammen 2 · 4 = 8 Elemente der Ordnung

Abbildung 2.21: Eckendiagonale im Würfel 3. Die restlichen 8 Elemente von G liegen in keiner Sylowuntergruppe. Es sind die Drehspiegelungen der Ordnung 6 um Kantenmittendiagonalen, beispielswei-

KAPITEL 2. GRUPPEN

74

se (1, 7) (2, 3, 4, 8, 5, 6) , siehe Abbildung 2.22. Diese zeigt den Würfel in einer Zeichenebene senkrecht zur Drehachse.

Abbildung 2.22: Drehspiegelung des Würfels

2.5

Auflösbare Gruppen

Eine zentrale Anwendung von Ergebnissen der Gruppentheorie ist die Charakterisierung der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen mit Radikalen analog zu der Darstellung der Nullstellen von f (x) = ax2 + bx + c als

√ −b ± b2 − 4ac x= 2a Diese Fragestellungen wollen wir in den folgenden Kapiteln diskutieren. Wir werden zeigen, dass die Nullstellen sich durch Wurzelausdrücke darstellen lassen genau dann, wenn die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers (d.h. die Gruppe der Symmetrien der Nullstellen) auflösbar ist. Auflösbarkeit von Gruppen sagt wiederum etwas über die Existenz von Ketten von Normalteilern mit bestimmten Eigenschaften aus. Deshalb diskutieren wir zunächst den einfachsten Fall einer Gruppe, die keine nichttrivialen Normalteiler besitzt.

KAPITEL 2. GRUPPEN

75

Definition 2.5.1 Eine Gruppe G 6= {e} heißt einfach, wenn sie keine nichttrivialen Normalteiler hat, d.h. keine Normalteiler außer {e} und G. Eine Gruppe ist also einfach, wenn sie keine echte Quotientengruppe besitzt, also keine Quotientengruppe, die nicht schon isomorph zu G oder der trivialen Gruppe ist. Beispiel 2.5.2 Eine abelsche Gruppe G ist genau dann einfach, wenn |G| = p prim ist. Nach Korollar 2.2.52 ist G dann zyklisch. Beweis. Eine Gruppe G von Primzahlordnung hat außer {e} und G keine Untergruppen. Andererseits hat jede Gruppe G mit |G| nicht prim nach Satz 2.4.4 eine Untergruppe U ⊂ G mit |U| = p prim, und diese ist ein Normalteiler, da G abelsch ist. Beispiel 2.5.3 Nach der Klassifikation von endlichen einfachen Gruppen, zerfallen diese (bis auf Isomorphie) in 3 Familien (die zyklischen Gruppen Z/n, die alternierenden Gruppen An für n ≥ 5 und die Gruppen von Lietyp) und 26 Spezialfälle (die sogenannten sporadische Gruppen). Die bekannteste unter den Spezialfällen ist die Monstergruppe von Ordnung 246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 ≈ 8 · 1053 , diese Zahl entspricht in etwa der Masse des Universums in kg. Beispiel 2.5.4 Die Gruppe A4 ist nach Beispiel 2.3.19 nicht einfach, denn V4 ist ein Normalteiler (in S4 und damit in A4 ). Satz 2.5.5 Die A5 ist einfach. Beweis. In Aufgabe 2.43 zeigen wir, dass die Gruppe der Drehsymmetrien des Ikosaeders Ordnung 60 hat und einfach ist. Nach Aufgabe 2.47 ist jede einfache Gruppe der Ordnung 60 isomorph zur A5 . Bemerkung 2.5.6 Wir geben noch einen direkten Beweis: Mit Hilfe von GAP (oder durch Nachrechnen) bestimmt man die Konjugationsklassen (die natürlich eine Verfeinerung der Konjugationsklassen der S5 aus Elementen der A5 sind): gap> g:=AlternatingGroup(5);; gap> c:=ConjugacyClasses(g); [()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ] gap> List(c,Size);

KAPITEL 2. GRUPPEN

76

[ 1, 15, 20, 12, 12 ] Die Klassengleichung der A5 ist also 60 = 1 + 15 + 20 + 12 + 12 wobei es eine Klasse von 15 Elementen der Ordnung 2 gibt, eine Klasse von 20 Elementen der Ordnung 3 und zwei Klassen von 12 Elementen der Ordnung 6. Angenommen {e} = 6 N ⊂ A5 ist nun ein Normalteiler. Für e 6= g ∈ N muss die G Konjugationsklasse g ⊂ N sein. Da Konjugationsklassen als Bahnen disjunkt sind, ist N also eine Vereinigung von Konjugationsklassen. Damit ist |N| ein Teiler von 60 und eine Summe von Zahlen aus der Multimenge {| 1, 15, 20, 12, 12 |}, wobei die 1 in der Summe vorkommen muss. Die einzige solche Teiler von 60 ist 60, also ist N = A5 . Endliche Gruppen lassen sich durch iteratives Bilden von Normalteilern in einfache Gruppen zerlegen. In der Praxis reicht eine etwas schwächere Notation, um Auflösbarkeit zu definieren: Definition 2.5.7 Eine Subnormalreihe für die Gruppe G ist eine Kette von Untergruppen {e} = Gk ⊂ ... ⊂ G1 ⊂ G0 = G sodass Gi+1 C Gi ein Normalteiler ist für alle i. Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn sie eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren Gi /Gi+1 hat. Beispiel 2.5.8

1) Abelsche Gruppen G sind auflösbar durch {e} ⊂ G.

2) Die S4 ist auflösbar durch {e} ⊂ V4 ⊂ A4 ⊂ S4 Siehe dazu auch Beispiel 2.3.19 und beachte, dass A4 /V4 ∼ = Z/3 abelsch ist. 3) Nach Satz 2.5.5 ist die A5 einfach. Da sie keine echten Normalteiler hat und nicht abelsch ist, ist die A5 nicht auflösbar.

KAPITEL 2. GRUPPEN

77

Satz 2.5.9 Sei G eine endliche Gruppe. 1) Ist G auflösbar, dann auch jede Untergruppe U ⊂ G. 2) Sei N ⊂ G ein Normalteiler. Dann ist G auflösbar genau dann, wenn N und G/N auflösbar sind. Beweis. 1) Sei {e} = Gk ⊂ ... ⊂ G1 ⊂ G0 = G eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren. Betrachte die Gruppen Ui = Gi ∩U ⊂ U. Der 1. Isomorphiesatz 2.3.22 angewendet auf die Untergruppe Ui−1 ⊂ Gi−1 und den Normateiler Gi ⊂ Gi−1 liefert ein Diagramm von Normalteilern Gi ∪ Ui−1 ∩ Gi mit

C Ui−1 Gi ∪ C Ui−1

Ui−1 /(Gi ∩Ui−1 ) ∼ = Ui−1 Gi /Gi

Wegen Gi ∩Ui−1 = Gi ∩ Gi−1 ∩U = Ui und da Ui−1 Gi ⊂ Gi−1 eine Untergruppe ist (siehe wieder den 1. Isomorphiesatz), ist Ui−1 /Ui ∼ = Ui−1 Gi /Gi ⊂ Gi−1 /Gi eine Untergruppe der abelschen Gruppe Gi−1 /Gi und somit abelsch. 2) Zu ⇒ nehme an, dass G auflösbar. Mit (1) ist dann auch N auflösbar. Wir zeigen nun, dass auch G/N auflösbar ist: Sei {e} = Gk ⊂ ... ⊂ G1 ⊂ G0 = G

KAPITEL 2. GRUPPEN

78

eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren. Multiplikation mit N liefert eine Kette N ⊂ Gk−1 N ⊂ ... ⊂ G1 N ⊂ G0 N = GN = G von Untergruppen. Wir zeigen, dass dies schon eine Subnormalreihe ist, d.h. dass Gi N ⊂ Gi−1 N für alle i = 1, ... , k ein Normalteiler ist: Ist gn ∈ Gi−1 N, dann ist gnGi N = gnGi Nn = gnNGi n = gNGi n = NgGi n = NGi gn = Gi Ngn denn N ⊂ G ein Normalteiler und somit Gi N = NGi gN = Ng und Gi ⊂ Gi−1 ein Normalteiler und somit gGi = Gi g. Wir zeigen nun, dass {e} = N/N ⊂ Gk−1 N / N ⊂ ... ⊂ G1 N / N ⊂ G0 N / N = G/N eine Subbnormalreihe mit abelschen Faktoren ist: Mit dem 1. Isomorphiesatz angewendet auf die Untergruppe Gi−1 ⊂ G und den Normalteiler Gi N ⊂ G erhalten wir ein Diagramm von Normalteilern Gi N ∪ Gi−1 ∩ Gi N

C Gi−1 Gi N ∪ C Gi−1

und einen Isomorphimus Gi−1 Gi N / Gi N = Gi−1 / Gi−1 ∩ Gi N Mit dem 2. Isomorphiesatz folgt weiter, dass Gi−1 / Gi−1 ∩ Gi N ∼ = (Gi−1 /Gi ) / (Gi−1 ∩ Gi N / Gi ) Damit ist Gi−1 N / Gi N = Gi−1 Gi N / Gi N isomorph zu einem Quotienten der abelschen Gruppe Gi−1 /Gi und somit abelsch.

KAPITEL 2. GRUPPEN

79

Zu ⇐ seinen {e} = Nk ⊂ ... ⊂ N0 = N und {e} ⊂ Gs /N ⊂ ... ⊂ G0 /N = G/N Subnormalreihen mit abelschen Faktoren. Dann ist {e} = Nk ⊂ ... ⊂ N0 = N ⊂ Gs ⊂ ... ⊂ G0 = G eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren, denn mit dem 2. Isomorphiesatz ist Gi−1 /Gi ∼ = (Gi−1 /N)/(Gi N) für alle i.

Korollar 2.5.10 Für n ≥ 5 sind Sn und An nicht auflösbar. Beweis. Jede dieser Gruppen enthält eine A5 als Untergruppe. Diese ist nach Beispiel 2.5.8 nicht auflösbar. Somit folgt die Behauptung mit Satz 2.5.9. In Übung 2.54 zeigen wir: Korollar 2.5.11 Jede p-Gruppe ist auflösbar. Definition 2.5.12 Eine Subnormalreihe {e} = Gk ⊂ ... ⊂ G1 ⊂ G0 = G heißt Kompositionsreihe, wenn alle Faktorgruppen einfach sind, und sie heißt Hauptreihe, wenn alle Faktorgruppen Gi−1 /Gi Primzahlordnung haben. Bemerkung 2.5.13 1) Eine Kompositionsreihe ist eine Subnormalreihe, die sich nicht verfeinern lässt. 2) Nach Korollar 2.2.52 sind die Faktorgruppen einer Hauptreihe insbesondere auch zyklisch. 3) Nach Beispiel 2.5.2 ist eine Kompositionsreihe mit abelschen Faktoren das gleiche wie eine Hauptreihe. Satz 2.5.14 Eine endliche Gruppe G ist auflösbar genau dann, wenn sie eine Hauptreihe besitzt.

KAPITEL 2. GRUPPEN

80

Beweis. Wenn G eine Hauptreihe hat, also nach Bemerkung 2.5.13 eine Kompositionsreihe mit abelschen Faktoren und damit eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren, dann ist sie auflösbar. Hat G eine Subnormalreihe {e} = Gk ⊂ ... ⊂ G1 ⊂ G0 = G mit abelschen Faktoren, dann lässt sich diese zu einer Hauptreihe verfeinern: Ist Gi−1 /Gi abelsch, aber |Gi−1 /Gi | nicht prim, dann ist Gi−1 /Gi nicht einfach, hat also einen echten Normalteiler N/Gi . Dann ist Gi $ N $ Gi−1 und Gi ⊂ N und N ⊂ Gi−1 sind nach Bemerkung 2.3.25 jeweils Normalteiler. Damit erhalten wir eine feinere Subnormalreihe mit abelschen Faktoren {e} = Gk ⊂ ... ⊂ Gi ⊂ N ⊂ Gi−1 ⊂ ... ⊂ G1 ⊂ G0 = G und induktiv nach endlich vielen Schritten eine Hauptreihe. Beispiel 2.5.15 Die S4 hat z.B. die Hauptreihe {e} ⊂ U = h(1, 2)(3, 4)i ⊂ V4 ⊂ A4 ⊂ S4 und wir erhalten die Ordnung 24 = |S4 | = |U| · |V4 /U| · |A4 /V4 | · |S4 /A4 | = 2 · 2 · 3 · 2 Beispiel 2.5.16 Man kann Auflösbarkeit mit Hilfe von GAP prüfen: gap> S4:=SymmetricGroup(4);; gap> IsSolveable(S4); true gap> A5:=AlternatingGroup(5);; gap> IsSolveable(A5); false

Beispiel 2.5.17 Sind p und q prim, dann ist jede Gruppe G mit |G| = p · q auflösbar. Siehe dazu Übung 2.44. Allgemeiner gilt (was wir hier beweisen können):

KAPITEL 2. GRUPPEN

81

Bemerkung 2.5.18 Nach dem Satz von Burnside ist jede Gruppe G mit |G| = pa qb mit p, q prim und a, b ≥ 0 auflösbar. Insbesondere hat |G| für jede endliche nichtabelsche einfache Gruppe G mindestens 3 Primteiler (denn sonst wäre sie auflösbar, und da sie einfach ist wäre aber {e} ⊂ G schon eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren und damit G abelsch). Bemerkung 2.5.19 Der Satz von Feit-Thomposon sagt, dass jede Gruppe ungerader Ordnung auflösbar ist (der Beweis ist einige hundert Seiten lang). Um die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrücke zu untersuchen, müssen wir uns zunächst im folgenden Kapitel etwas genauer mit Körpern und systematischen Methoden zur Vergrößerung von Körpern beschäftigen: Auch wenn ein Polynom über Q oder R definiert ist, muss dasselbe nicht für seine Nullstellen gelten.

2.6

Übungsaufgaben

Übung 2.1 Sei G eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung ◦:

G×G (a, b)

−→ G 7−→ a ◦ b

die folgende Axiome erfüllt: (G1) Assoziativität a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c

für alle a, b, c ∈ G.

(G2’) Es existiert ein linksneutrales Element, d.h. ein e∈G mit e◦a = a

für alle a ∈ G.

(G3’) Existenz des Linksinversen, d.h. ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G mit a−1 ◦ a = e.

KAPITEL 2. GRUPPEN

82

Zeigen Sie: 1) G ist eine Gruppe: i. Für a, b ∈ G gilt: Ist ab = e, dann ist auch ba = e. ii. Es ist a ◦ e = a für alle a ∈ G. 2) Das neutrale Element von G ist eindeutig. 3) Die Inversen der Elemente von G sind eindeutig. 4) Für a, b ∈ G ist (ab)−1 = b−1 a−1 .
−1 = a. 5) Für a ∈ G ist a−1 Übung 2.2 Sei ϕ : G1 → G2 ein Gruppenhomomorphismus und ei ∈ Gi jeweils das neutrale Element. Zeigen Sie: 1) ϕ(e1 ) = e2 . 2) Für a ∈ G1 gilt ϕ(a)−1 = ϕ(a−1 ). 3) Kern ker(ϕ) ⊂ G1 und Bild Im(ϕ) ⊂ G2 von ϕ sind Untergruppen. 4) Ist U ⊂ G1 eine Untergruppe, dann auch ϕ(U) ⊂ G2 . 5) Ist V ⊂ G2 eine Untergruppe, dann auch ϕ −1 (V ) ⊂ G1 . 6) Ist ϕ ein Isomorphismus, dann ist auch die Umkehrabbildung ϕ −1 : G2 −→ G1 ein Gruppenisomorphismus. Übung 2.3 Sei n ≥ 2. Zeigen Sie, dass sign :

Sn

−→ ({±1} , ·)

σ

7−→ sign(σ ) = ∏

n

i, j=1 i< j

ein Gruppenepimorphismus ist.

σ (i)−σ ( j) i− j

KAPITEL 2. GRUPPEN

83

Übung 2.4 Schreiben Sie σ=

! 1 2 3 4 5 6 7 , 3 1 4 2 6 5 7

τ=

! 1 2 3 4 5 6 7 , 2 3 1 4 5 7 6

σ ◦ τ und τ ◦ σ sowohl als Produkt disjunkter Zykel als auch als Produkt von Transpositionen. Bestimmen Sie jeweils Ordnung und sign. Übung 2.5 Lässt sich bei dem bekannten Schiebespiel folgende Konfiguration

in die Ausgangsstellung

überführen? Übung 2.6 gilt

1) Zeigen Sie: Sind a, b ∈ Z mit a, b ≥ 1 und ggT (a, b) = 1. Dann Z/ (a · b) ∼ = Z/a × Z/b.

2) Bestimmen Sie das Urbild von (2 + 6Z, −7 + 35Z) unter dem Gruppenisomorphismus Z/210 ∼ = Z/6 × Z/35. Übung 2.7 Sei G die Symmetriegruppe des regelmäßigen 5-Ecks in Abbildung 2.23. Bestimmen Sie 1) die Gruppenordnung von G mit Hilfe der Bahnformel, 2) alle Elemente von G als Permutationen der Ecken, 3) alle Untergruppen von G und welche davon Normalteiler sind.

KAPITEL 2. GRUPPEN

84

Abbildung 2.23: Regelmässiges 5-Eck. Übung 2.8 1) Sei G eine Gruppe. Seien x, y ∈ G mit x·y = y·x und hxi∩hyi = {1e}. Zeigen Sie: ord(x · y) = kgV(ord(x), ord(y)). 2) Sei σ = c1 · ... · cr ∈ Sn Produkt disjunkter Zykel ci der Längen mi . Zeigen Sie: ord(σ ) = kgV(m1 , ..., mr ). 3) Welche Ordnungen treten bei den Elementen von S4 bzw. S7 auf? Übung 2.9 Zeigen Sie: 1) Ist  σ=

1 ··· σ (1)

n−1 n σ (n − 1) k

 ∈ Sn ,

dann ist (n − 1, n) · ... · (k, k + 1) · σ ∈ Sn−1 = S({1, ... , n − 1}). 2) Die symmetrische Gruppe Sn wird erzeugt von den Transpositionen (1, 2) , (2, 3) , ... , (n − 1, n) , d.h. Sn = h(1, 2) , (2, 3) , ... , (n − 1, n)i . Übung 2.10 Sei G ⊂ Sn eine Untergruppe mit (1, 2) ∈ G und (1, 2, ... , n) ∈ G. Zeigen Sie, dass G = Sn .

KAPITEL 2. GRUPPEN

85

Übung 2.11 Zeigen Sie: Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe der Gruppe der Selbstabbildungen S(G). Übung 2.12 Sei G = Sym (O) die Symmetriegruppe des Oktaeders O. 1) Durch Nummerieren der Ecken von O wie in Abbildung 2.24 ist ein Monomorphismus f1 : G → S6 gegeben. Finden Sie Erzeuger von f1 (G) und zeigen Sie Ihre Behauptung mit Hilfe von GAP. 6

4 1 3 2

5

Abbildung 2.24: Symmetriegruppe des Oktaeders als Untergruppe der S6 2) Durch Nummerieren der Seiten von O wie in Abbildung 2.25 ist ein Monomorphismus f2 : G → S8 gegeben. Finden Sie Erzeuger von f2 (G) und zeigen Sie Ihre Behauptung mit Hilfe von GAP.

8 5

7 6

4 1

3 2

Abbildung 2.25: Symmetriegruppe des Oktaeders als Untergruppe der S8 3) Interpretieren Sie die in (1) und (2) gefundenen Erzeuger geometrisch.

KAPITEL 2. GRUPPEN

86

4) Finden Sie mit GAP jede Ordnung, die für Elemente von G auftreten kann und jeweils die Anzahl der Elemente dieser Ordnung. 5) Bestimmen Sie mit GAP einen Isomorphismus von f1 (G) → f2 (G). Übung 2.13 Sei ( G = SL(2, Z) =

A=

a b c d

!

) ∈ Z2×2 det A = 1

und F3 ein Körper mit 3 Elementen. 1) Zeigen Sie, dass der natürliche Gruppenhomomorphismus SL(2, Z) → SL(2, F3 ) surjektiv ist. 2) Sei ( H=

a b c d

!

∈ SL(2, Z)

a b c d

! ≡

1 0 0 1

!

) mod 3 .

Bestimmen Sie den Index [G : H]. Übung 2.14 Sei A = {a1 , .., an } eine endliche Menge und F die freie Gruppe über dem Alphabet A. Zeigen Sie, dass F folgende universelle Eigenschaft hat: Zu jeder Gruppe G und n Elementen g1 , ... , gn ∈ G gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ϕ : F → G mit ϕ(ai ) = gi . Bemerkung: Ist ϕ surjektiv, so nennt man g1 , ... , gn Erzeuger von G. Übung 2.15 Bestimmen Sie jeweils die Symmetriegruppe Sym(N) ⊂ E(2) für die Gitter 1) N = Z2 ⊂ R2  2) N = a (1, 0 ) + b

1 1 2, 2

√
3 | a, b ∈ Z ⊂ R2

KAPITEL 2. GRUPPEN

87

Abbildung 2.26: Zwei Gitter

Abbildung 2.27: Würfel in Abbildung 2.26. Übung 2.16 Bestimmen Sie die Symmetriegruppen von Würfel (Abb. 2.27), Oktaeder (Abb. 2.28), Dodekaeder (Abb. 2.30) und Ikosaeder (Abb. 2.31). Ermitteln Sie zunächst die Gruppenordnung. Beachten Sie, dass Sie den Oktaeder wie in Abbildung 2.29 in den Würfel einzeichnen können. Das Gleiche gilt für Dodekaeder und Ikosaeder. Übung 2.17 1) Zeigen Sie: Die Menge der Konjugationsklassen von Sn steht in Bijektion mit der Menge der Partitionen von n. 2) Bestimmen Sie alle Konjugationsklassen der S4 . 3) Interpretieren Sie die Konjugationsklassen der S4 geometrisch, indem Sie die S4 als Symmetriegruppe des Tetraeders (Abbildung 2.10) auffassen.

KAPITEL 2. GRUPPEN

88

Abbildung 2.28: Oktaeder

Abbildung 2.29: Dualität von Würfel und Oktaeder Übung 2.18 Sei G = Sym(W ) die Symmetriegruppe des Würfels W mit Ecken (±1, ±1, ±1). Welche Längen von Bahnen treten für die Operation G ×W → W auf, welche bei der induzierten Operation auf der Potenzmenge G × 2W → 2W ? Übung 2.19 Zeigen Sie: 1) Es gibt genau 4 Isomorphieklassen von Graphen mit 3 Knoten. Diese sind repräsentiert durch

KAPITEL 2. GRUPPEN

89

Abbildung 2.30: Dodekaeder 2) Es gibt genau 11 Isomorphieklassen von Graphen mit 4 Knoten. 3) Es gibt genau 34 Isomorphieklassen von Graphen mit 5 Knoten. Übung 2.20 Zeigen Sie: Die Symmetriegruppe G des Würfels wird von der Drehung α = (2, 3, 5, 4) um 90◦ und der Drehspiegelung β = (1, 5, 3, 6, 2, 4) um 60◦ erzeugt, und diese erfüllen die Relationen α4 = e

β6 = e

(αβ )2 = e

α −1 β 2


2

= e.

Dabei nummerieren wir wie in Abbildung 2.32 mit 1, ... , 6 die Seiten des Würfels. Übung 2.21 Beschreiben Sie die Symmetriegruppe G des Ikosaeders (Abbildung 2.31) als Untergruppe der O(3), indem Sie Erzeuger von G, d.h. geeignete orthogonale Matrizen, angeben.

KAPITEL 2. GRUPPEN

90

Abbildung 2.31: Ikosaeder Übung 2.22 Sei 2  s = e für alle i, si s j = s j si für |i − j| ≥ 2, G = s1 , ... , sn−1 i si si+1 si = si+1 si si+1 für alle i, j Zeigen Sie

 .

G∼ = Sn .

Geben Sie si wie oben für G = Sn an. Übung 2.23 Sei ϕ : G → F ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie: 1) Ist M ⊂ F ein Normalteiler, dann ist ϕ −1 (M) ⊂ G ein Normalteiler. 2) Ist ϕ surjektiv und N ⊂ G ein Normalteiler, dann ist ϕ(N) ⊂ F ein Normalteiler. Übung 2.24 Sei F die freie Gruppe erzeugt von x und y. Zeigen Sie:

 1) Die Untergruppe G = x2 , xyx−1 , y ⊂ F ist ein Normalteiler vom Index 2. 2) Die Gruppe G ist isomorph zu einer freien Gruppe erzeugt von 3 Elementen.

KAPITEL 2. GRUPPEN

91

Abbildung 2.32: Symmetriegruppe des Würfels als Untergruppe der S6 Übung 2.25 Bestimmen Sie für die S4 , welche Untergruppen in welchen Untergruppen Normalteiler sind. Übung 2.26 Finden Sie mit Hilfe von GAP alle Konjugationsklassen von Untergruppen der S4 . Bestimmen Sie auch jeweils die Mächtigkeit der Konjugationsklassen und die Gruppenordnung der Elemente. Welche Untergruppen der S4 sind Normalteiler? Interpretieren Sie die Konjugationsklassen von Untergruppen geometrisch, indem Sie die S4 als Symmetriegruppe des Tetraeders T auffassen und Untergruppen als Stabilisatoren Stab (A) von Teilmengen von A ⊂ T beschreiben. Hinweis: Verwenden Sie in GAP die Befehle SymmetricGroup, LatticeSubgroups, ConjugacyClassesSubgroups, Size und Representative. Übung 2.27 Bestimmen Sie mit Hilfe von GAP sämtliche Normalteiler von S4 und von der Symmetriegruppe G = Sym(W ) des Würfels W . Übung 2.28 Sei S4 ∼ = Sym(T ) ⊂ Sym(R3 ) die Symmetriegruppe des Tetraeders T mit den Ecken e1 = (1, −1, −1) e2 = (−1, 1, −1) e3 = (−1, −1, 1) e4 = (1, 1, 1). Jede Symmetrie des Tetraeders T permutiert die Koordinatenachsen von R3 , siehe Abbildung 2.33. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus ϕ : S4 → S3 . Bestimmen Sie 1) das Bild von (1, 2) und von (1, 2, 3, 4) unter ϕ.

KAPITEL 2. GRUPPEN

92

Abbildung 2.33: Tetraeder mit Kantenmittendiagonalen 2) den Kern von ϕ. Übung 2.29 Sei G eine Gruppe und Aut(G) die Gruppe der Automorphismen von G und Inn(G) die Gruppe der inneren Automorphismen, d.h. die Gruppe der Automorphismen κa : G → G der Gestalt g 7→ aga−1 mit a ∈ G. Zeigen Sie: 1) Aut(G) ist vermöge Komposition eine Gruppe und Inn(G) ist ein Normalteiler. 2) Bestimmen Sie für G = Z2 × Z2 , G = S3 und G = Z/4 jeweils die Gruppen der inneren und äußeren Automorphismen Inn(G) und Aut(G) und die Quotientengruppe Aut(G)/ Inn(G). Übung 2.30 Zeigen Sie für n ≥ 2, dass durch ϕ:

(Z/n)× m

−→ Aut(Z/n) 7−→ (a 7→ m · a)

ein Gruppenisomorphismus gegeben ist. Übung 2.31 Bestimmen Sie für die Symmetriegruppe des Quadrats G = D4 die innere Automorphismengruppe Inn(G) und die äußere Automorphismengruppe Out(G) = Aut(G)/ Inn(G).

KAPITEL 2. GRUPPEN

93

Abbildung 2.34: Tetraeder mit Kantenmittendiagonalen Übung 2.32 Zeigen Sie: 1) Die Gruppe S6 wird von den Elementen (1, 2, 3, 4, 5) und (5, 6) erzeugt. 2) Die Zuordnung (1, 2, 3, 4, 5) 7→ (5, 6) 7→

(1, 2, 3, 4, 5) (1, 2) (3, 5) (4, 6)

lässt sich zu einem Automorphismus ϕ von S6 fortsetzen. ϕ ist kein innerer Automorphismus und somit Inn(S6 ) $ Aut(S6 ). Übung 2.33 Zeigen Sie, dass die Kleinsche Vierergruppe V4 = {() , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3)} ein Normalteiler der S4 ist und für die Quotientengruppe gilt S4 /V4 ∼ = S3 Hinweis: Geben Sie eine geometrische Interpretation des Isomorphismus, indem Sie die S4 als Symmetriegruppe des Tetraeders auffassen. Jede Symmetrie des Tetraeders T ⊂ R3 mit den Ecken e1 = (1, −1, −1), e2 = (−1, 1, −1), e3 = (−1, −1, 1), e4 = (1, 1, 1) in Abbildung 2.34permutiert die drei Koordinatenachsen von R3 . Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus ϕ : S4 → S3

KAPITEL 2. GRUPPEN

94

Übung 2.34 1) Sei H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie: Ist [G : H] = 2, dann ist H ein Normalteiler in G. 2) Zeigen Sie: Die alternierende Gruppe A4 = {σ ∈ S4 | sign σ = 1} ⊂ S4 ist ein Normalteiler in S4 und V4 ⊂ A4 . Beschreiben Sie den Normalteiler A4 /V4 ⊂ S4 /V4 und den Isomorphismus (S4 /V4 ) / (A4 /V4 ) ∼ = S4 /A4 . Übung 2.35 Seien G und H Gruppen und ϕ : H → Aut(G) ein Homomorphismus. Mit der Verknüpfung (g1 , h1 ) · (g2 , h2 ) = (g1 · ϕ(h1 )(g2 ), h1 · h2 ) wird G × H zu einer Gruppe P, dem semidirekten Produkt von G und H bzgl. ϕ. 1) Zeigen Sie, dass H˜ = {eG } × H ⊂ P eine Untergruppe und G˜ = G × {eH } ein Normalteiler von P ist, dass G˜ ∼ = G und P/G˜ ∼ = H. 2) Welche Gruppen erhält man für H = Z2 , G = Z3 und den Homomorphis¯ = (Z3 → Z3 , a¯ 7→ −a) ¯ = mus ϕ definiert durch ϕ(1) ¯ bzw. durch ϕ(1) idZ3 . Übung 2.36 Sei H eine Untergruppe von G. Der Normalisator von H ist  NG (H) = g ∈ G | gHg−1 = H . Zeigen Sie: 1) H ⊂ NG (H) ist ein Normalteiler und NG (H) ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von G, in der H ein Normalteiler ist. 2) Bestimmen Sie den Normalisator NG (H) von H = h(1, 2, 3)i ⊂ G = S4 . 3) Geben Sie ein Beispiel einer Gruppe G und einer Untergruppe H ⊂ G, sodass  NG (H) $ g ∈ G | gHg−1 ⊂ H .  Zeigen Sie, dass g ∈ G | gHg−1 ⊂ H dann keine Untergruppe von G ist.

KAPITEL 2. GRUPPEN

95

Übung 2.37 Sei ( P(n) =

t

(r1 , ... , rt ) | t ∈ N, r1 , ... , rt ∈ Z≥0 , rt > 0 und

)

∑ rk · k = n k=1

die Menge aller Partitionen von n ∈ Z≥1 . Zeigen Sie, dass 1=

1

∑

t k rk r k ! (r1 ,...,rt )∈P(n) ∏k=1

gilt. Hinweis: Verwenden Sie die Klassengleichung der Sn . Übung 2.38 Überprüfen Sie für die Sn , n = 3, ... , 7 mit Hilfe von GAP, dass es von den Sylowuntergruppen jeweils nur eine Konjugationsklasse gibt, d.h. den 2. Sylowsatz, und auch den 3. Sylowsatz. Übung 2.39 Bestimmen Sie Anzahl und Isomorphietyp der 5-Sylowuntergruppen von S5 . Übung 2.40 Sei G die Symmetriegruppe des Ikosaeders (Abbildung 2.31). 1) Basteln Sie einen Ikosaeder. 2) Bestimmen Sie die Gruppenordnung von G. 3) Bestimmen Sie für jeden Primteiler p von |G| die Anzahl der p-Sylowuntergruppen von G, und interpretieren Sie die Sylowuntergruppen geometrisch. Übung 2.41 Eine Gruppe G heißt einfach, wenn sie keine nicht-trivialen Normalteiler hat (d.h. wenn {e} und G selbst die einzigen Normalteiler sind). Zeigen Sie, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung 84 gibt. Übung 2.42 1) Sei G eine endliche Gruppe und na die Anzahl der Elemente der Ordnung a. Zeigen Sie, dass die Summe |G| =

∑

na

a teilt |G|

durch Zusammenfassen von Termen der Klassengleichung von G entsteht. 2) Welche Klassengleichungen können für eine Gruppe G der Ordnung 10 auftreten? Bestimmen Sie auch jeweils die na . Übung 2.43 Betrachten Sie die Gruppe R der Drehsymmetrien des Ikosaeders. 1) Bestimmen Sie die Ordnung von R.

KAPITEL 2. GRUPPEN

96

2) Beschreiben Sie die Elemente von R geometrisch. 3) Bestimmen Sie die Klassengleichung von R. 4) Zeigen Sie, dass R einfach ist. Übung 2.44 1) Geben Sie Primzahlen p < q an, für die es eine nicht-zyklische Gruppe der Ordnung pq gibt. 2) Seien p, q Primzahlen und G eine Gruppe der Ordnung |G| = p · q. Zeigen Sie, dass G nicht einfach ist, d.h. einen nicht-trivialen Normalteiler besitzt. 3) Zeigen Sie auch, dass G auflösbar ist. Übung 2.45 Sei p eine Primzahl und F p ein Körper mit p Elementen. Bestimmen Sie die Gruppenordnung von SL(2, F p ), eine der p-Sylowuntergruppen und die Anzahl s p der p-Sylowuntergruppen. Übung 2.46 Bestimmen Sie die Sylowuntergruppen der Würfelgruppe. Übung 2.47 Sei G eine einfache Gruppe der Ordnung 60. 1) Bestimmen Sie die Anzahl der 3- und 5-Sylowuntergruppen von G. 2) Zeigen Sie, dass A5 eine Untergruppe der Ordnung 12 hat. 3) Zeigen Sie: Hat G eine Untergruppe der Ordnung 12, dann ist G isomorph zu A5 . 4) Zeigen Sie: G ist isomorph zu A5 . Übung 2.48 Sei G die Symmetriegruppe des regelmäßigen 5-Ecks (Abbildung 2.35). Bestimmen Sie: 1) Erzeuger von G, und beweisen Sie mit Hilfe von GAP Ihre Behauptung. 2) Die Elemente von G. 3) Alle Untergruppen von G und welche davon Normalteiler sind. 4) Die Sylowuntergruppen von G. 5) Die Konjugationsklassen von G, deren geometrische Interpretation und die Klassengleichung von G.

KAPITEL 2. GRUPPEN

97

Hinweis: Verwenden Sie die GAP-Funktionen • Group • Order • LatticeSubgroups • ConjugacyClassesSubgroups • Size • Representative • ConjugacyClasses.

Abbildung 2.35: Regelmäßiges 5-Eck Übung 2.49 1) Sei D4 die Symmetriegruppe des Quadrats, wie in Abbildung 2.36. Bestimmen Sie mit Hilfe von GAP die Automorphismengruppe Aut(G) und die Gruppe der inneren Automorphismen Inn(G), das Zentrum Z(G), und zeigen Sie, dass Aut(G) ∼ = D4 . 2) Zeigen Sie: Die Gruppe S6 wird von den Zykeln (1, 2, 3, 4, 5) und (5, 6) erzeugt und die Zuordnung (1, 2, 3, 4, 5) − 7 → (1, 2, 3, 4, 5) (5, 6) 7−→ (1, 2) (3, 5) (4, 6) lässt sich zu einem Automorphismus ϕ von S6 fortsetzen. ϕ ist kein innerer Automorphismus und somit Inn(S6 ) $ Aut(S6 ). Hinweis: Verwenden Sie die GAP-Befehle

KAPITEL 2. GRUPPEN

98

• AutomorphismGroup • InnerAutomorphismsAutomorphismGroup • IsomorphismGroups • GroupHomomorphismByImages • Kernel.

Abbildung 2.36: Quadrat mit Nummerierung

Übung 2.50 Finden Sie Erzeuger der Symmetriegruppe G des Ikosaeders als Untergruppe der S12 (siehe Abbildung 2.37), und bestimmen Sie die Klassengleichung von G. Finden Sie alle Sylowuntergruppen von G. Übung 2.51 Sei A = {g1 , ... , gn } eine endliche Menge und F die freie Gruppe erzeugt von A (mit neutralem Element e). Seien r1 , ... , rs Elemente von F und N der kleinste Normalteiler von F, der r1 , ... , rs enthält. Dann heißt hg1 , ... , gn | r1 = e, ... , rs = ei := F/N die Gruppe mit Erzeugern gi und Relationen ri . Zeigen Sie mit Hilfe von GAP, dass für die Symmetriegruppe des Würfels gilt D E
2 2 W∼ = α, β | α 4 = e, β 6 = e, (αβ ) = e, α −1 β 2 = e . Hinweis: Verwenden Sie den GAP-Befehl FreeGroup.

KAPITEL 2. GRUPPEN

99

1 6

2

5

3

4

8

7 11

9 10 12

Abbildung 2.37: Ikosaeder mit Nummerierung der Ecken Übung 2.52 Bestimmen Sie mit Hilfe von GAP das semidirekte Produkt G oϕ H von G = h(1, 2, 3, 4)i und H = h(1, 2)i bezüglich dem Gruppenhomomorphismus ϕ:

H h

→ Aut(G)
7 → κh = g → 7 hgh−1 .

Welche Gruppe erhalten Sie? Überprüfen Sie für G = A4 und H und ϕ wie oben, dass G oϕ H ∼ = S4 . Hinweis: Verwenden Sie den GAP-Befehl SemidirectProduct. Übung 2.53 Zeigen Sie, dass für G = An , n ≥ 4 das Zentrum Z(G) = {a ∈ G | ab = ba ∀b ∈ G} trivial ist. Übung 2.54 Zeigen Sie: Jede p-Gruppe G ist auflösbar. Hinweis: Betrachten Sie das Zentrum von G.

Kapitel 3 Körper 3.1

Übersicht

In diesem Kapitel behandeln wir die Grundlagen der Körpertheorie. Wir erinnern uns, dass ein Körper ein kommutativer Ring K mit 1 ist, sodass für die Einheitengruppe gilt K × = K\{0} (das heißt jedes Element 6= 0 hat ein multiplikativ Inverses). Als Beispiele von Körpern kennen wir bisher neben den rationalen, reellen und komplexen Zahlen Q⊂R⊂C auch die endlichen Körper F p = Z/p für p eine Primzahl. In erster Linie wird uns die Frage beschäftigen, wie man einen Körper K vergrößern muss, um alle Nullstellen eines Polynoms f ∈ K[x] darstellen zu können. Beispielsweise benötigen wir für den Satz über die Jordansche Normalform, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Beispiel 3.1.1 Das Polynom f = x2 + 2x − 1 ∈ Q[x] hat die Nullstellen

√ x = −1 ± 2.

Über dem Ring Q

o √ √  n 2 = a + b 2 | a, b ∈ Q ⊂ R

zerfällt f in Linearfaktoren 100

KAPITEL 3. KÖRPER

101

 √
  √
 f = x − −1 + 2 x − −1 − 2 . √ √  Tatsächlich ist Q 2 schon ein Körper, denn für a + b 2 6= 0 ist das Inverse √ √ √  1 a−b 2 a b √ = 2 = − 2 ∈ Q 2 . a + b 2 a − 2b2 a2 − 2b2 a2 − 2b2 √ 2 Dabei verwenden wir, dass 2 = 2. Euklids Beweis der Irrationalität von √ 2 2 zeigt, dass der Nenner a − 2b2 6= 0 ist: Gibt es a, b ∈ Q mit a2 = 2b2 , dann auch teilerfremde a, b ∈ Z. Somit wäre a durch 2 teilbar und damit wiederum auch b, ein Widerspruch. Geometrisch ist die Verschwindungsmenge  2 a − 2b2 = 0 ⊂ R2 √ die Vereinigung von zwei Geraden mit irrationaler Steigung ± 2. √  Wie lassen sich Rechnungen in Körpern der Form Q 2 praktisch durchführen? Bemerkung 3.1.2 Der Substitutionshomomorphismus √ √  Q[x] → Q 2 , x 7→ 2
hat als Kern das Ideal x2 − 2 ⊂ Q[x] (warum?), also gibt der Homomorphiesatz √
√  Q[x]/ x2 − 2 ∼ = Q 2 , x 7→ 2. √  Das heißt: Man rechnet in Q 2 wie mit Polynomen in einer Unbestimmten x mit der zusätzlichen Rechenregel x2 = 2.
Somit hat jedes Element von Q[x]/ x2 − 2 einen Repräsentanten vom Grad < 2, ist also von der Form a + bx = a + bx mit a, b ∈ Q. Wollen wir das Inverse von a + bx 6= 0 bestimmen, verwenden wir analog zum Invertieren von primen Restklassen in Z/n den erweiterten euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers: Dieser berechnet Polynome v, w ∈ Q[x] mit
v · (a + bx) + w · x2 − 2 = 1, denn x2 − 2 ∈ Q[x] ist irreduzibel. Also gilt v · (a + bx) ≡ 1 mod x2 − 2




KAPITEL 3. KÖRPER

102

oder anders ausgedrückt a + bx


−1


= v ∈ Q[x]/ x2 − 2 .

Eine explizite Lösung wäre (analog zur Formel in Beispiel 3.1.1) v=

a a2 −2b2

b − a2 −2b 2x

w=

b2 . a2 −2b2

Beispielsweise ist x − 1 das Inverse von x + 1, denn Division mit Rest gibt x2 − 2 = (x − 1) (x + 1) − 1. In Q

√  2 heißt dies

√ −1 √ 2+1 = 2 − 1.

Diese Konstruktion ist eine der wichtigsten Ideen in der Körpertheorie und lässt sich wie folgt direkt verallgemeinern: Bemerkung 3.1.3 Ist K ein Körper, dann ist K[x] ein Euklidischer Ring und damit ein Hauptidealring, d.h. jedes Ideal wird von einem einzigen Element erzeugt. Ist q ∈ K[x], dann sind äquivalent K[x]/(q) ist ein Körper ⇐⇒ q ist irreduzibel Dabei heißt q ∈ K[x], q 6= 0, q ∈ / K[x]× = K × irreduzibel, wenn gilt q = a · b mit a, b ∈ K[x] =⇒ a ∈ K × oder b ∈ K × . Beweis. Wäre q = a · b mit a, b ∈ K[x] und deg(q) > deg(a), deg(b) > 0, dann ist a · b = 0 mit a, b 6= 0 und somit K[x]/(q) kein Körper. Ist umgekehrt q irreduzibel und a ∈ K[x] mit deg(a) < deg(q), dann ist ggT(a, q) = 1, also liefert der erweiterte Euklidische Algorithmus eine Gleichung 1 = ggT(a, q) = ua + bq und somit ist u = a−1 . Bemerkung 3.1.4 Sei nun α in einem Erweiterungskörper L von K (etwa K = Q und L = C) und algebraisch über K, d.h. Nullstelle eine Polynoms g ∈ K[x]\{0}. Dann ist der Kern des Substitutionshomomorphismus ϕα : K[X] → K[α] = { f (α) | f ∈ K[x]}

KAPITEL 3. KÖRPER

103

nichttrivial, hat also einen eindeutigen normierten Erzeuger mα 6= 0, das Minimalpolynom von α. Dieses muss irreduzibel sein: Angenommen mα = g1 · g2 , dann 0 = mα (α) = g1 (α) · g2 (α) also ein gi (α) = 0 und somit mα | gi . Damit hat aber der andere Faktor von mα Grad Null, ist also eine Einheit. Somit ist mit dem Homomorphiesatz K[α] ∼ = K[X]/(mα ) ein Körper. Da jedes Element in K[X]/(mα ) einen Repräsentanten vom Grad < deg(mα ) hat, ist der Körper K[α] ist ein K–Vektorraum der Dimension [K[α] : K] := deg(mα ) mit Basis 1, α, ... , α deg(mα )−1 . Inverse können wir in K[α], wieder wie in dem obigen Beispiel mit dem Euklidischen Algorithmus berechnen. Bemerkung 3.1.5 Ist α nicht algebraisch (etwa α = π), dann ist ker ϕα 6= 0, also K[α] ∼ = K[X] ein Polynomring und somit kein Körper. In diesem Fall können wir statt dessen immer noch den Körper der rationalen Funktionen K(α) ∼ = K(X) in α betrachten. Für α algebraisch ist K(α) = K[α], da der Nenner einer rationalen Funktion in α in K[α] invertierbar ist. Das Betrachten von rationalen Funktionen in α statt Polynomen in α liefert also nichts neues. Bemerkung 3.1.6 Ein Polynom kann natürlich mehr als eine Nullstelle haben. Sind α, β ∈ L ⊃ K, dann liegen diese offenbar in dem Körper K[α][β ]. Mit der üblichen induktiven Definition von multivariaten Polynomen gilt K[α][β ] ∼ = K[α, β ] = { f (α, β ) | f ∈ K[x, y]}. Im ersten Teil des Kapitels behandeln wir die gerade diskutierte Konstruktion ausführlich und konstruieren für ein gegebenes Polynom den kleinsten Körper, in dem alle Nullstellen liegen. Im zweiten Teil dieses Kapitels betrachten wir dann endliche Körper. Insbesondere stellen wir eine Verbindung zur Gruppentheorie her, indem wir die Galoiskorrespondenz von Zwischenkörpern und Untergruppen der Automorphismengruppe beschreiben. Diese Korrespondenz verallgemeinern wir im Anschluss auf nicht-endliche Körper. Auf der Basis der in diesem Kapitel geschaffenen Grundlagen diskutieren wir die Frage der Konstruierbarkeit von Zahlen und geometrischen Objekten mit Zirkel und Lineal.

KAPITEL 3. KÖRPER

3.2

104

Körpererweiterungen

Ein Körperhomomorphismus f : K → L ist ein Ringhomomorphismus zwischen Körpern aufgefasst als Ringe mit 1. Insbesondere fordern wir f (1K ) = 1L . Bemerkung 3.2.1 Körperhomomorphismen sind injektiv. Beweis. Sei f : K → L ein Körperhomomorphismus. In K gibt es nur die Ideale {0} und K. Wegen f (1) = 1 6= 0 folgt ker( f ) = {0}, also ist f injektiv. Der Homomorphismus
Q → Q[x]/ x2 − 2 r 7→ r ist somit injektiv, wir können ihn also als Inklusion auffassen. Die Inklusion
Q ⊂ Q[x]/ x2 − 2 √  (oder auch Q ⊂ Q 2 ) ist ein Beispiel einer Körpererweiterung: Definition 3.2.2 Ist L ein Körper und K ⊂ L bezüglich den Verknüpfungen von L ein Körper, so heißt K ein Unterkörper von L, das Tupel K⊂L eine Körpererweiterung, und L ein Oberkörper von K. Dann ist L insbesondere ein K-Vektorraum vermöge der Skalarmultiplikation K × L → L, (k, l) 7→ k · l, und die Dimension von L als K-Vektorraum [L : K] := dimK (L) heißt Grad der Körpererweiterung. Andere gebräuchliche Schreibweisen für eine Körpererweiterung K ⊂ L sind L/K oder L ⊃ K. Etwas allgemeiner können wir eine Körpererweiterung auch als Körperhomomorphismus definieren. Nach Bemerkung 3.2.1 korrespondiert eine solche Erweiterung zu einer Erweiterung im Sinne von Definition 3.2.2. Ist [L : K] = 1, so ist 1 ∈ L eine K-Vektorraumbasis von L, also: Bemerkung 3.2.3 [L : K] = 1 genau dann, wenn L = K.

KAPITEL 3. KÖRPER

105

Beispiel 3.2.4 Im Beispiel aus der Einleitung ist 
 Q[x]/ x2 − 2 : Q = 2, denn jedes Element des Oberkörpers besitzt einen eindeutigen Repräsentanten der Form a +
bx mit a, b ∈ Q, d.h. 1 und x bilden eine Q-Vektorraumbasis von Q[x]/ x2 − 2 . Für die Körpererweiterungen Q⊂R⊂C gilt [R : Q] = ∞

[C : R] = 2.

Wir bemerken dazu: R ist überabzählbar, jeder endlich-dimensionale Q-Vektorraum aber abzählbar. Jede komplexe Zahl z hat eine eindeutige Darstellung z = a + i · b mit Realteil a = Re(z) ∈ R und Imaginärteil b = Im(z) ∈ R. Satz 3.2.5 (Gradsatz) Seien K ⊂ L ⊂ M Körpererweiterungen (man nennt L auch einen Zwischenkörper von K ⊂ M). Dann gilt [M : K] = [M : L] · [L : K] . Beweis. Wir müssen dies nur für [M : L] , [L : K] < ∞ zeigen. Sei v1 , ... , vs eine L-Vektorraumbasis von M und w1 , ... , wr eine K-Vektorraumbasis von L. Jedes m ∈ M lässt sich mit li ∈ L schreiben als m = ∑si=1 li vi und jedes li mit ki j ∈ K als li = ∑rj=1 ki j w j , und daher m = ∑i, j ki j w j vi . Ist m = 0, dann li = 0 für alle i und somit ki j = 0 für alle i, j. Damit bilden die s · r Vektoren vi · w j eine K-Vektorraumbasis von M, d.h. s · r = [M : K]. Ist also zum Beispiel [L : K] eine Primzahl, dann gibt es keine echten Zwischenkörper von K ⊂ L.

KAPITEL 3. KÖRPER

3.3

106

Charakteristik und Primkörper

Wir beschreiben zunächst den kleinstmöglichen Unterkörper eines gegebenen Körpers K. Für einen solchen Körper gibt es nur sehr wenige Möglichkeiten, die sich über eine Zahl charakterisieren lassen: Definition 3.3.1 Der Kern der charakteristischen Abbildung χ : Z −→ K n 7−→ n · 1K ist ein Ideal ker χ = (p) mit p ≥ 0. Zwei Fälle können auftreten: 1) p = 0, d.h. χ ist injektiv. In diesem Fall lässt sich χ zu einem Körperhomomorphismus Q → K fortsetzen. Dieser ist nach Bemerkung 3.2.1 schon ein Monomorphismus Q ,→ K. Wir haben also Monomorphismen Z → K ↓ % Q (mit der Einbettung j : Z → Q, n 7→ n1 ). 2) Für p > 0 ist Z/ (p) ,→ K nach dem Homomorphiesatz ein Unterring von K. Somit muss p eine Prim¯ ein zahl sein, denn wäre p = a · b mit a, b > 1, dann a¯ · b¯ = 0¯ mit a, ¯ b¯ 6= 0, −1 ¯ ¯ ¯ Widerspruch zu b = a¯ · a¯ · b = 0. Der Unterring F p := Z/ (p) ist ein Körper mit p Elementen (siehe Übung 4.4). Definition 3.3.2 In beiden Fällen nennt man char(K) = p ≥ 0 die Charakteristik des Körpers K.

KAPITEL 3. KÖRPER

107

Bemerkung 3.3.3 Ist K ⊂ L eine Körpererweiterung, dann haben K und L dieselbe Charakteristik char(K) = char(L), denn 1K = 1L . Beispiel 3.3.4 Es gilt also char(C) = char(R) = char(Q) = 0 char(F p ) = p. Für |K| < ∞ endlich, kann χ nicht injektiv sein, d.h. char(K) = 0 ⇒ |K| = ∞ char(K) prim ⇐ |K| < ∞. Nicht jeder unendliche Körper hat Charakteristik 0, zum Beispiel enthält der Quotientenkörper F p (x) des Polynomrings F p [x], also der Körper der rationalen Funktion in x mit Koeffizienten in F p , unendlich viele Elemente. Definition 3.3.5 Ein Körper heißt Primkörper, wenn er keinen echten Unterkörper besitzt. Ist K ein Körper, dann ist P(K) =

\ U⊂K Unterkörper

U

ein Primkörper, der Primkörper von K. Da das Bild des Monomorphismus Q ,→ K bzw. F p ,→ K ein Unterkörper ist (und insbesondere dieselbe Charakteristik wie K hat), können wir die möglichen Primkörper klassifizieren: Satz 3.3.6 Es gilt char(K) = 0 ⇐⇒ P(K) ∼ =Q char(K) = p ⇐⇒ P(K) ∼ = Fp (mit p prim).

KAPITEL 3. KÖRPER

3.4

108

Maximale Ideale in Hauptidealringen

2 Im Beispiel in Abschnitt 3.1 hatten wir
festgestellt, dass die Aussagen x − 2 ∈ 2 Q[x] ist irreduzibel und Q[x]/ x − 2 ist ein Körper äquivalent sind. Allgemeiner hatten wir gesehen, dass ein Polynom q ∈ K[x] über einem Körper K irreduzibel ist genau dann, wenn der Quotientenring K[x]/(q) ist ein Körper ist. Diese Äquivalenz basiert auf den folgenden grundlegenden Beobachtungen:

Definition 3.4.1 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Ideal m ⊂ R heißt maximal, wenn es kein Ideal I ⊂ R gibt mit m $ I $ R. Definition 3.4.2 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Element q ∈ R, q 6= 0, q∈ / R× heißt irreduzibel, wenn gilt q = a · b mit a, b ∈ R =⇒ a ∈ R× oder b ∈ R× . Damit gilt: Bemerkung 3.4.3 Ist R ein Hauptidealring und q ∈ R, q 6= 0, q ∈ / R× , dann gilt q irreduzibel ⇐⇒

(q) maximal

⇐⇒

R/(q) Körper

Die zweite Äquivalenz gilt ganz allgemein: Satz 3.4.4 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Dann ist R/m ein Körper ⇐⇒ m ist ein maximales Ideal. Beweis. Ist m ⊂ R ein Ideal und a ∈ R mit a ∈ / m, so gilt (a) + m = R

⇔ ⇔

∃b ∈ R und w ∈ m mit a · b + w = 1 ∃b ∈ R mit a · b = 1 ∈ R/m,

und somit die Behauptung. Auch allgemein richtig ist: Lemma 3.4.5 Für jeden Nichtnullteiler q in einem kommutativen Ring R mit 1 gilt (q) ist ein maximales Ideal =⇒ q ist irreduzibel

KAPITEL 3. KÖRPER

109

Beweis. Sei (q) maximal und q = a · b mit a, b ∈ / R× , dann (q) $ (a), denn sonst a = q · b0 , also 1 = b · b0 (da a kein Nullteiler), ein Widerspruch. Bemerkung 3.4.6 Ist q irreduzibel, so muss (q) im Allgemeinen nicht maximal sein, betrachte zum Beispiel q = xy − 1 ∈ C[x, y]. Übung: Finden Sie ein Ideal I mit (xy − 1) $ I $ C[x, y]. In Hauptidealringen ist diese Implikation aber korrekt: Satz 3.4.7 Ist R ein Hauptidealring, dann folgt aus q irreduzibel, dass (q) maximal ist. Beweis. Sei q irreduzibel und (q) ⊂ (a) ⊂ R. Dann gibt es ein b ∈ R mit q = a · b. Somit ist a ∈ R× oder b ∈ R× , also (a) = R oder (a) = (q), das heißt (q) ist maximal.

3.5

Algebraische Körpererweiterungen

Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und α ∈ L. In Abschnitt 3.1 hatten wir K[α] = Bild(ϕα ) als das Bild des Substitutionshomomorphismus ϕα : K[x] → L, x 7→ α definiert, d.h. K[α] = { f (s) | f ∈ K[x]} , ebenso K[α1 , ... , αn ] = { f (α1 , ... , αn ) | f ∈ K[x1 , ... , xn ]} für α1 , ... , αn ∈ L. Lemma 3.5.1 K[α1 , ... , αn ] ist der Durchschnitt aller Unterringe von L, die K und α1 , ... , αn enthalten. Beweis. Jeder Ring, der K und die Elemente α1 , ... , αn enthält, muss schon alle f (α1 , ... , αn ) für f ∈ K[x1 , ... , xn ] und damit K[α1 , ... , αn ] enthalten, und K[α1 , ... , αn ] ist ein Unterring von L.

KAPITEL 3. KÖRPER

110

Definition 3.5.2 Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und seien α1 , ... , αn ∈ L. Dann definieren wir K(α1 , ... , αn ) (in Worten, K adjungiert α1 , ... , αn ) als den Durchschnitt aller Unterkörper von L, die K und α1 , ... , αn enthalten. Lemma 3.5.3 Der Körper K(α1 , ... , αn ) ist der Quotientenkörper des Integritätsrings K[α1 , ... , αn ]. Beweis. Zunächst ist der Unterring K[α1 , ... , αn ] ⊂ L ein Integritätsring. Mit der universellen Eigenschaft des Quotientenkörpers (siehe Übung 4.9) setzt sich die Inklusion K[α1 , ... , αn ] → K(α1 , ... , αn ) zu einer Inklusion Q (K[α1 , ... , αn ]) → K(α1 , ... , αn ) zwischen Unterkörpern von L fort. Zum Beispiel gilt für α ∈ L, dass   f (α) f , h ∈ K[x], h(α) 6= 0 . K(α) = h(α) Bemerkung 3.5.4 Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Man kann auch für eine beliebige (nicht notwendig endliche) Teilmenge M ⊂ L die Körperadjunktion K(M) definieren als den Durchschnitt aller Unterkörper von L, die K und M enthalten. Ebenso ist die Ringadjunktion K[M] der Durchschnitt aller Unterringe von L, die K und M enthalten. Nach Lemma 3.5.1 stimmt dies für M = {α1 , ... , αn } mit unserer obigen Definition überein. Definition und Satz 3.5.5 Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Ein Element α ∈ L heißt algebraisch über K, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind: 1) Es existiert ein Polynom g ∈ K[x]\{0} mit g(α) = 0, d.h. es gibt ein n und c0 , ... , cn−1 ∈ K mit α n + cn−1 α n−1 + ... + c1 α + c0 = 0 (indem wir den Leitkoeffizienten von g auf 1 normieren). 2) ker(ϕα ) 6= 0,

KAPITEL 3. KÖRPER

111

3) K[α] = K(α), d.h. K[α] ist ein Körper. Dann ist der normierte Erzeuger mα des Hauptideals (mα ) = ker(ϕα ) ⊂ K[x] irreduzibel und heißt Minimalpolynom von α. Es gilt [K[α] : K] = deg(mα ) und die Potenzen 1, α, ... , α deg(mα )−1 bilden eine K-Vektorraumbasis von K[α]. Der Grad von α ist deg(α) := deg(mα ). Ist α nicht algebraisch über K, dann heißt α transzendent über K. Das Minimalpolynom von α ist das normierte Polynom kleinsten Grades, das durch ϕα auf 0 abgebildet wird. Beweis. Wir zeigen die Äquivalenz in 3.5.5: (1) ⇔ (2) ist klar. (2) ⇒ (3): Mit dem Homomorphiesatz gilt K[α] = Bild(ϕα ) ∼ = K[x]/ ker(ϕα ). Nach Bemerkung 3.4.3 müssen wir zeigen, dass der normierte Erzeuger mα 6= 0 von ker (ϕα ) irreduzibel ist: Angenommen mα = g1 · g2 , dann =⇒ =⇒ =⇒

0 = mα (α) = g1 (α) · g2 (α) ∈ L g1 (α) = 0 oder g2 (α) = 0 mα | g1 oder mα | g2 deg(g2 ) = 0 oder deg(g1 ) = 0.

Ein konstantes Polynom 6= 0 ist aber eine Einheit, d.h. in K × = K[x]× . (3) ⇒ (2): Ist ker(ϕα ) = 0, dann gilt mit dem Homomorphiesatz K[α] ∼ = K[x] und dies ist kein Körper. Für die restlichen Aussagen bemerken wir noch: Jedes Element von K[x]/ (mα ) lässt sich nach Division mit Rest nach mα durch ein eindeutiges Polynom vom Grad < deg(mα ) repräsentieren. Somit bilden 1, x, ... , xdeg(mα )−1 eine Basis von K[x]/ (mα ) als K-Vektorraum, d.h. 1, α, ... , α deg(mα )−1 eine K-Vektorraumbasis von K[α] ∼ = K[x]/ (mα ).

KAPITEL 3. KÖRPER

112

Zum Rechnen in K[x]/ (mα ) ∼ = f 7−→

K[α] = K(α) f (α)

repräsentieren wir jedes Element durch ein Polynom f ∈ K[x] mit deg( f ) < deg(mα ). Bemerkung 3.5.6 Ist α algebraisch über K, und kennen wir das Minimalpolynom mα = xn + cn−1 xn−1 + ... + c1 x + c0 ∈ K[x], dann können wir für das Inverse direkt eine solche Darstellung angeben: Es ist c0 6= 0 und somit 1 · (α n−1 + cn−1 α n−2 + ... + c1 ). c0 √ √ √ Zum Beispiel in Q[ 2] gilt ( 2)−1 = 12 2. α −1 = −

Für die Berechnung des multiplikativ Inversen eines beliebigen Elements in K[α] siehe auch Übung 3.2. Definition 3.5.7 Eine Körpererweiterung K ⊂ L, für die es ein α ∈ L gibt mit L = K(α), heißt einfach, und α nennt man ein primitives Element von K ⊂ L. √ Beispiel 3.5.8 1) Die Quadratwurzel 2 ∈ R ist algebraisch über Q mit Minimalpolynom x2 − 2 und √
√ 
Q 2 =Q 2 ∼ = Q[x]/ x2 − 2 , also deg

√
 √   2 = Q 2 : Q = 2.

2) Die komplexen Zahlen sind C a+b·i

∼ = R[x]/ x2 + 1 a+b·x 7−→




3) Es gibt über Q transzendente Zahlen in R: Die Menge der Polynome vom Grad n über Q ist abzählbar, also die Menge der Nullstellen auch, aber R ist überabzählbar.

KAPITEL 3. KÖRPER

113

4) Die Kreiszahl π ist transzendent (Beweis von Ferdinand von Lindemann 1882, Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises).1 Bemerkung 3.5.9 Im Beweis von Satz 3.5.5 haben wir gesehen: Für α transzendent über K ist K[α] ∼ = K[x] ein Polynomring, also kein Körper und somit echt enthalten in K(α) ∼ = K(x) (dem Körper der rationalen Funktionen über K in einer Variablen x). Definition 3.5.10 Eine Körpererweiterung K ⊂ L heißt algebraisch, wenn jedes α ∈ L über K algebraisch ist, anderenfalls heißt sie transzendent. Beispiel 3.5.11 Der Körper der rationalen Funktionen K(x) in einer Unbestimmten x über einem Körper K ist eine transzendente Erweiterung und [K(x) : K] = ∞. Dagegen gilt: Ist K ⊂ L eine Körpererweiterung und α ∈ L algebraisch über K, dann ist [K(α) : K] < ∞,   √
beispielsweise Q 2 : Q = 2. Also ist die einfache Erweiterung K ⊂ K(α) algebraisch genau dann, wenn [K(α) : K] < ∞. Allgemein gilt: Satz 3.5.12 Für eine Körpererweiterung K ⊂ L sind äquivalent: 1) [L : K] < ∞. 2) K ⊂ L ist eine algebraische Körpererweiterung und es gibt α1 , ... , αn ∈ L mit L = K(α1 , ... , αn ). 3) Es gibt über K algebraische Elemente α1 , ... , αn ∈ L mit L = K(α1 , ... , αn ). Wir bezeichnen K ⊂ L dann auch als endlich. Beweis. (1) ⇒ (2) : Bezeichne n := [L : K] < ∞ die Dimension von L als KVektorraum. Dann sind für jedes α ∈ L die Elemente 1, α, ... , α n linear abhängig über K, d.h. es existieren λi ∈ K nicht alle 0 mit ∑ni=0 λi α i = 0, 1 Dies

zeigt man mit Methoden der Analysis. Für einen der vielen Beweise siehe etwa [31].

KAPITEL 3. KÖRPER

114

also g(α) = 0 mit 0 6= g = ∑ni=0 λi xi ∈ K[x]. Ist α1 , ... , αn eine K-Vektorraumbasis von L, dann gilt L = K(α1 , ... , αn ). (2) ⇒ (3) : klar. (3) ⇒ (1) : Mit Satz 3.2.5 gilt [L : K] =

[K(α1 , ... , αn ) : K(α1 , ... , αn−1 )] · [K(α1 , ... , αn−1 ) : K(α1 , ... , αn−2 )] .. . · [K(α1 , α2 ) : K(α1 )] · [K(α1 ) : K]

und mit Definition und Satz 3.5.5 für jeden Faktor [K (α1 , ... , αi ) (αi+1 ) : K(α1 , ... , αi )] ≤ [K(αi+1 ) : K] < ∞.

Bemerkung 3.5.13 Ist K ⊂ L eine Körpererweiterung und sind α1 , ... , αn ∈ L algebraisch über K, dann ist nach Satz 3.5.12 jedes 0 6= α ∈ K[α1 , ... , αn ] algebraisch über K, nach Satz 3.5.5 also in K(α) = K[α] ⊂ K[α1 , ... , αn ] invertierbar. Damit ist K[α1 , ... , αn ] ein Körper, und somit K(α1 , ... , αn ) = K[α1 , ... , αn ]. Eine leichte Folgerung des Satzes ist: Satz 3.5.14 Für Körpererweiterungen K ⊂ L ⊂ M gilt: K ⊂ M algebraisch ⇐⇒ K ⊂ L und L ⊂ M algebraisch. Die Schlussrichtung ⇒ folgt direkt aus der Definition von algebraisch. Die andere Richtung zeigen wir in Übung 3.4. Noch ein Hinweis dazu: Sei α ∈ M und f = xd + cd−1 xd−1 + ... + c0 ∈ L[x] mit f (α) = 0. Man betrachte dann die Erweiterungen K ⊂ K[c0 , ... , cd−1 ] ⊂ K[c0 , ... , cd−1 , α]. Bemerkung 3.5.15 Ist K ⊂ L eine Körpererweiterung, so bilden die über K algebraischen Elemente von L nach Satz 3.5.12 einen Körper A, denn sind α, β ∈ A, dann ist K ⊂ K[α, β ] algebraisch und damit auch α + β , α · β , α −1 ∈ K[α, β ] algebraisch, d.h. in A. Nach Definition von A ist K ⊂ A also eine algebraische Körpererweiterung. Mit Satz 3.5.14 folgt, dass jedes über A algebraische Element schon über K algebraisch ist. Siehe dazu auch Übung 3.5. Beispiel 3.5.16 Die über Q algebraischen Elemente C (das heißt die Menge √ von √ aller Nullstellen von Polynomen f ∈ Q[x], z.B. 2, i = −1) heißen algebraische Zahlen. Sie bilden eine algebraische, nicht-endliche Körpererweiterung Q ⊂ Q. Zu den algebraischen Zahlen siehe auch Übung 3.8.

KAPITEL 3. KÖRPER

3.6 3.6.1

115

Der Zerfällungskörper Konstruktion und Eindeutigkeit

Gegeben ein Polynom über einem Körper, kann man diesen so erweitern, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt? Definition 3.6.1 Sei K ein Körper und 0 6= f ∈ K[x] keine Einheit (d.h. deg( f ) ≥ 1). Ist K ⊂ L eine Körpererweiterung, sodass f in dem faktoriellen Ring L[x] in Linearfaktoren zerfällt f = c · (x − α1 )n1 · ... · (x − αr )nr mit c ∈ K, αi ∈ L und ni ≥ 1, dann heißt L ein zerfällender Oberkörper für f und K[α1 , ... , αr ] ein Zerfällungskörper von f . Man beachte, dass die αi als Nullstellen von f über K algebraisch sind. Nach Definition ist K[α1 , ... , αr ] der kleinste Unterkörper von L, in dem f in Linearfaktoren zerfällt. Beispiel 3.6.2 1) Der Körper der komplexen Zahlen C ist ein Zerfällungskör2 per von x + 1 ∈ R[x], denn x2 + 1 = (x − i) · (x + i) und C = R[i] = R[i, −i]. √ 2) Für f = x2 − 2 ∈ Q[x] ist Q[ 2] ⊂ R ein Zerfällungskörper, denn √ √ x2 − 2 = (x − 2) · (x + 2). Allgemeiner für f = ax2 + bx + c ∈ Q[x] ist Q[α] mit p α = b2 − 4ac ∈ C ein Zerfällungskörper von f . Für α ∈ Q gilt [Q[α] : Q] = 1, sonst [Q[α] : Q] = 2. √ 3) Für α = 3 2 ist Q[α] ⊂ R kein Zerfällungskörper von x3 − 2 ∈ Q[x], denn x3 − 2 = (x − α) · (x2 + αx + α 2 ), | {z } =:g

aber g hat keine Nullstelle in R und damit auch nicht in Q[α].

KAPITEL 3. KÖRPER

116

Können wir einen Oberkörper von K konstruieren, in dem f eine Nullstelle hat, dann lässt sich damit induktiv die Existenz eines zerfällenden Oberkörpers, und damit eines Zerfällungskörpers zeigen. In Bemerkung 3.4.3 haben wir gesehen, dass für g ∈ K[x] gilt K[x]/ (g) ist ein Körper ⇐⇒ g ist irreduzibel. Satz 3.6.3 (Satz von Kronecker) Sei K ein Körper, f ∈ K[x] keine Einheit und g ein irreduzibler Faktor von f . Dann hat f in dem Oberkörper L = K[x]/ (g) von K eine Nullstelle, nämlich α = x¯ = x + (g) ∈ L, und L = K[α]. Beweis. Schreiben wir f = g · h mit h ∈ K[x], so gilt f (α) = f = g · h = 0 ∈ L. Weiter ist K[x]/ (g) = K[x]. ¯ Tatsächlich ist das Minimalpolynom einer Nullstelle von f stets ein Teiler von f : Bemerkung 3.6.4 Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und α ∈ L eine Nullstelle von f ∈ K[x]. Dann ist das Minimalpolynom mα ∈ K[x] von α ein Teiler von f . Beweis. Es ist f ∈ ker(ϕα ) = (mα ) mit ϕα : K[x] → L, x 7→ α. Mit dem Satz von Kronecker können wir induktiv einen Oberkörper von K konstruieren, in dem f ∈ K[x] in Linearfaktoren zerfällt: Korollar 3.6.5 Sei K ein Körper und f ∈ K[x] vom Grad d ≥ 1. Dann besitzt f einen Zerfällungskörper L, und [L : K] ≤ d! Beweis. Es genügt, die Existenz eines zerfällenden Oberkörpers zu beweisen: Für d = 1 nehmen wir L = K. Anderenfalls sei g ein irreduzibler Faktor von f . In L1 = K[x]/ (g) = K[α] hat f nach dem Satz von Kronecker 3.6.3 eine Nullstelle α, also f = (x − α) · f1

KAPITEL 3. KÖRPER

117

mit f1 ∈ L1 [x]. Mit Induktion nach d existiert ein Oberkörper L von L1 , sodass f1 in L[x] in Linearfaktoren zerfällt. Also zerfällt f über L. Die Gradungleichung folgt mit dem Gradsatz 3.2.5, da [L1 : K] = deg(g) ≤ deg( f ) und deg( f1 ) = deg( f ) − 1. Das Konstruktionsverfahren im Beweis benötigt maximal d − 1 Schritte: Ist etwa f vom Grad 2 wie in Beispiel 3.6.2(2), so genügt es, eine Nullstelle zu adjungieren, die zweite ist dann automatisch enthalten. Oft erreichen wir den Zerfällungskörper in weniger als der maximalen Zahl von Schritten, wie wir gleich anhand von Beispielen in Abschnitt 3.6.2 sehen werden. Für einen gegebenen zerfällenden Oberkörper L von f ∈ K[x] gibt es einen eindeutig bestimmten Zerfällungskörper M ⊂ L (erzeugt von den Nullstellen von f ). Insofern ist das folgende Resultat nicht erstaunlich: Satz 3.6.6 Sei K ein Körper und f ∈ K[x] keine Einheit. Je zwei Zerfällungskörper von f sind isomorph. Wir beweisen eine etwas allgemeinere Aussage. Zu deren Formulierung bemerken wir zunächst: Jeder Körperhomomorphismus ϕ : K → K0 induziert durch koeffizientenweises Anwenden einen Ringhomomorphismus ϕ˜ : K[x1 , ... , xn ] → K 0 [x1 , ... , xn ], und dieser ist ein Isomorphismus genau dann, wenn ϕ ein Isomorphismus ist. Proposition 3.6.7 Sei ϕ : K → K 0 ein Körperisomorphismus, 0 6= f ∈ K[x] keine ˜ f ). Einheit, L ein Zerfällungskörper von f und L0 ein Zerfällungskörper von ϕ( 0 Dann gibt es einen Körperisomorphismus ψ : L → L mit ψ |K = ϕ. Angewendet auf ϕ = idK : K → K impliziert Proposition 3.6.7 direkt Satz 3.6.6. Die grundlegende Idee zum Beweis von Proposition 3.6.7 ist es, den Isomorphismus ψ entsprechend der Konstruktion des Zerfällungskörpers induktiv zu konstruieren. Dazu verwenden wir den folgenden Satz, mit dem man alle Körperhomomorphismen von einer einfachen Erweiterung in einen anderen Körper klassifizieren kann: Satz 3.6.8 Sei ϕ : K → L0 ein Körperhomomorphismus, und sei α in einer Erweiterung von K mit Mini˜ malpolynom g ∈ K[x]. Dann stehen die Nullstellen von ϕ(g) in L0 in Bijektion mit den Körperhomomorphismen ψ : K[α] −→ L0 mit ψ |K = ϕ.

KAPITEL 3. KÖRPER

118

Beweis. Durch ψ 7−→ ψ(α) ˜ wird einem Körperhomomorphismus eine Nullstelle von ϕ(g) zugeordnet, denn g(α) = 0, also ˜ ˜ ϕ(g)(ψ(α)) = ψ(g)(ψ(α)) = ψ(g(α)) = 0. ˜ Wir geben die Umkehrabbildung an: Sei α 0 ∈ L0 eine Nullstelle von ϕ(g). Durch die Komposition K[α] ∼ L0 = K[x]/(g) −→ α 7−→ x 0) ˜ h 7−→ ϕ(h)(α 0 ) = 0 wohldefinierter) Körperhomomorphismus gegeben, ˜ ist ein (wegen ϕ(g)(α 0 der α auf α abbildet und auf K mit ϕ übereinstimmt.

Dies löst direkt das Isomorphieproblem für einfache Erweiterungen: Korollar 3.6.9 Sei φ : K → K0 ein Körperisomorphismus, α in einer Erweiterung von K mit Minimalpolynom 0 ) = 0. Dann gibt es ˜ g ∈ K[x] und α 0 in einer Erweiterung von K 0 mit ϕ(g)(α einen Isomorphismus ψ : K[α] −→ K 0 [α 0 ] mit ψ |K = φ . Hier interpretieren wir die Gleichung ψ |K = φ so, dass wir das Ziel von ψ |K auf das Ziel von φ d.h. auf K 0 einschränken. Ganz formal würde man sagen, dass das Diagramm φ

K → ∩ K[α] →

K0 ∩ 0 K [α 0 ]

ψ

kommutiert, d.h. es gilt ι2 ◦ φ = ψ ◦ ι1 mit den Inklusionen ι1 : K ,→ K[α] und ι2 : K 0 ,→ K 0 [α 0 ]. φ

Beweis. Nach Satz 3.6.8 existiert zu der Komposition ϕ : K → K 0 ⊂ K 0 [α 0 ] ein Körperhomomorphismus ψ : K[α] ∼ = K[x]/(g) → K 0 [α 0 ]

KAPITEL 3. KÖRPER

119

mit ψ |K = ϕ. Der Ringhomomorphismus K[x] −→ K 0 [α 0 ],

0 ˜ h 7−→ ϕ(h)(α )

ist surjektiv mit Kern (g) ⊂ K[x] (denn g ist im Kern und irreduzibel), also ist ψ ein Isomorphismus. Proposition 3.6.7 folgt nun induktiv: Beweis. Induktion nach d = deg( f ): Für d = 1 setze ψ = ϕ. Für d > 1 sei α1 eine Nullstelle von f mit Minimalpolynom g ∈ K[x]. Nach ˜ Bemerkung 3.6.4 ist g ein irreduzibler Faktor von f , und damit ϕ(g) ein irredu˜ f ). Da L0 ein Zerfällungskörper von ϕ( ˜ f ) ist, gibt es also ein zibler Faktor von ϕ( 0 ˜ α10 ∈ L0 mit ϕ(g)(α 1 ) = 0. Nach Korollar 3.6.9 existiert ein Isomorphismus ϕ1 : K[α1 ] −→ K 0 [α10 ] mit ϕ1 (α1 ) = α10 ϕ1 |K = ϕ. Division mit Rest liefert ein f1 ∈ K[α1 ][x], sodass f = (x − α1 ) · f1 (denn der Rest hat Grad < 1 und eine Nullstelle in α1 ). Dann gilt in K 0 [α10 ][x], dass ˜ f ) = ϕ˜ 1 ( f ) = (x − α10 ) · ϕ˜ 1 ( f1 ). ϕ( Somit sind L bzw. L0 Zerfällungskörper von f1 ∈ K[α1 ][x] bzw. ϕ˜ 1 ( f1 ) ∈ K 0 [α10 ][x]. Nach Induktionsvoraussetzung setzt sich ϕ1 also zu einem Isomorphismus ψ : L → L0 fort. Bemerkung 3.6.10 Der zum Beweis der Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers konstruierte Isomorphismus ψ hält K punktweise fest. Einen Körperhomomorphismus mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als K-Homomorphismus. Die Galoisgruppe Gal( f ) von f ∈ K[x] besteht aus allen K-Automorphismen ψ : L → L des Zerfällungskörpers L von f . Sie beschreibt die möglichen Wahlen bei der Konstruktion von L, und spielt eine wichtige Rolle bei der Klassifikation von Zwischenkörpern einer Körpererweiterung im Rahmen der Galoistheorie. Darauf werden wir in Abschnitt 3.7 für den Fall von Erweiterungen endlicher Körper genau eingehen, bevor wir den allgemeinen Fall diskutieren.

KAPITEL 3. KÖRPER

3.6.2

120

Beispiele von Zerfällungskörpern

Beispiel 3.6.11 Die Nullstellen von f = xd − 1 ∈ Q[x] in C bilden die zyklische Gruppe o n 2πi j d µd = α j = e j = 0, ... d − 1 ⊂ C× der d-ten Einheitswurzeln. Der Zerfällungskörper von f ist Q[α0 , ... , αd−1 ] = Q[α j ] für jeden zyklischen Erzeuger α j von µd , d.h. (nach Übung 3.6) für alle j mit ggT(d, j) = 1, d.h. j ∈ (Z/d)× . Abbildung 3.2 gibt für die Elemente von µ6 jeweils ihre Ordnung an, ebenso Abbildung 3.3 für die Elemente von µ8 . Können Sie Gal( f ) bestimmen? Wir betrachten den Fall d = 3: Der Zerfällungskörper von f = x3 − 1 ∈ Q[x] hat Grad [Q[e2πi/3 ] : Q] = 2 über Q, denn das Minimalpolynom von e2πi/3 ist
x3 − 1 = x2 + x + 1. (x − 1) Die Galoisgruppe Gal( f ) ∼ = Z/2 vertauscht die beiden Nullstellen. Beispiel 3.6.12 Das Polynom f = x3 − 2 ∈ Q[x] ist irreduzibel, hat in C die Nullstellen √ 2πi 3 αn = 2e 3 n mit n = 0, 1, 2 √ √ und Q[α1 , α2 , α3 ] ist der Zerfällungskörper. Da [Q[ 3 2] : Q] = 3 und α2 ∈ / Q[ 3 2], gilt nach der Konstruktion des Zerfällungskörpers [Q[α1 , α2 , α3 ] : Q] = 3 · 2 · 1 = 6. Insbesondere haben wir Q[α1 , α2 , α3 ] 6= Q[αi ] ∀i. Können Sie ein primitives Element der Erweiterung Q ⊂ Q[α1 , α2 , α3 ] angeben? Der Grad der Erweiterung lässt sich alternativ auch durch das folgende elementare Argument bestimmen: Da √ 3 Q[α1 , α2 , α3 ] = Q[ 2, e2πi/3 ] wird [Q[α1 , α2 , α3 ] : Q] von √ 3 [Q[ 2] : Q] = 3 und [Q[e2πi/3 ] : Q] = 2

√ geteilt. Andererseits teilt das Minimalpolynom von e2πi/3 über Q[ 3 2] das Minimalpolynom über Q, und somit gilt √ √ 3 3 [Q[ 2, e2πi/3 ] : Q[ 2]] ≤ [Q[e2πi/3 ] : Q], mit der Dimensionsformel also [Q[α1 , α2 , α3 ] : Q] ≤ 6.

KAPITEL 3. KÖRPER

121

Beispiel 3.6.13 Wir bestimmen den Zerfällungskörper von f = x8 + x ∈ F2 [x]. Zunächst faktorisieren wir f in F2 [x]: Ein normiertes Polynom in F2 [x] vom Grad d hat d Koeffizienten, also gibt es 2d solcher Polynome. In jedem Grad erhalten wir die reduziblen Polynome als Produkt von irreduziblen von kleinerem Grad: d 1 2 3

2d 2 4 8

reduzibel

irreduzibel x, x + 1 2 x +x+1 3 x + x + 1, x3 + x2 + 1

x2 , x2 + x, x2 + 1 x3 , x3 + x2 , x3 + x, x3 + x2 + x x3 + 1, x3 + x2 + x + 1

Man beachte: Für Grad d = 2, 3 lässt sich einfacher entscheiden, ob ein Polynom irreduzibel ist, siehe dazu Übungsaufgabe 3.9. Man beachte auch: In allen Rechnungen spielen Vorzeichen keine Rolle, da in F2 = Z/2 gilt 2 = 0 also −1 = 1. Faktorisiere nun f = x · (x + 1) ·

x7 + 1 x + 1

 = x · (x + 1) · x + x + x + x + x + x + 1

= x · (x + 1) · x3 + x + 1 · x3 + x2 + 1 . 6

5

4

3

2

Zur Konstruktion des Zerfällungskörpers betrachten wir z.B. den irreduziblen Faktor x3 + x + 1, der in dem Körper
K = F2 [y]/ y3 + y + 1 n o = 0, 1, y, y + 1, y2 , y2 + y, y2 + 1, y2 + y + 1 die Nullstelle α = y besitzt. Division mit Rest nach x − α = x + α liefert
x3 + x + 1 = x2 · (x + α) + αx2 + x + 1


= x2 + αx · (x + α) + 1 + α 2 x + 1


= x2 + αx + 1 + α 2 · (x + α) + α 3 + α + 1

= x2 + αx + 1 + α 2 · (x + α) . Tatsächlich zerfällt dies weiter:

x3 + x + 1 = x + α 2 + α · x + α 2 · (x + α) .

KAPITEL 3. KÖRPER

122

Da auch

x3 + x2 + 1 = (x + α + 1) · x + α 2 + 1 · x + α 2 + α + 1 , gilt, ist K schon der Zerfällungskörper von f . Siehe auch Übung 3.11. Den Grund hierfür werden wir in Abschnitt 3.7 über endliche Körper in allgemeinerer Form sehen. Beispiel 3.6.14 Sei F ein Körper mit endlich vielen Elementen. Dann ist char(F) = p eine Primzahl und F p der Primkörper von F (Satz 3.3.6), und mit der Vektorraumstruktur aus Definition 3.2.2 F∼ = Frp also die Anzahl der Elemente von F eine p-Potenz |F| = pr mit 1 ≤ r = [F : F p ] < ∞. Die Einheitengruppe F× = F\{0} eines Körpers F mit pr Elementen hat Ordnung × F = pr − 1, r

also gilt mit Satz 2.2.51, dass a p −1 = 1 für alle a ∈ F× oder, wenn wir die 0 mit einschliessen wollen, r a p = a für alle a ∈ F. Jeder Körper mit pr Elementen (also auch F) ist damit ein Zerfällungskörper von r

x p − x ∈ F p [x]. Mit Satz 3.6.6 ist F also eindeutig bis auf Isomorphie. Wir bezeichnen diesen Körper mit F pr . Vorsicht: Wir haben noch nicht gezeigt, dass es einen Körper mit pr Elementen überhaupt gibt: Der Zerfällungskörper könnte mehr Elemente als nur r die Nullstellen von x p − x enthalten (drauf kommen wir im nächsten Abschnitt zurück, wir werden sehen dass die Nullstellen im Zerfällungskörper tatsächlich schon einen Körper bilden). Falls es ein irreduzibles Polynom g ∈ F p [x] vom Grad r gibt (auch das werden wir beweisen), lässt sich F pr leicht explizit konstruieren: Der Ring F p [x]/ (g) ist nach Bemerkung 3.4.3 ein Körper mit pr Elementen, also F pr ∼ = F p [x]/ (g) .

KAPITEL 3. KÖRPER

123

Praktisch kann man ein solches irreduzibles Polynom g mit der Methode aus Beispiel 3.6.13 finden. Verschiedene irreduzible Polynome vom selben Grad r liefern isomorphe Körper (vermöge dem in Satz 3.6.6 konstruierten Isomorphismus). Bevor wir endliche Körper im Detail untersuchen, wollen wir zunächst aber noch auf eine Besonderheit von Zerfällungskörpern eingehen und die Beobachtungen aus Bemerkung 3.5.15 zu nicht algebraisch erweiterbaren Körpern etwas genauer diskutieren.

3.6.3

Normale Körpererweiterungen

Zerfällungskörper haben eine sehr erstaunliche Eigenschaft: Proposition 3.6.15 Für den Zerfällungskörper L von f ∈ K[x] gilt: Ist g ∈ K[x] irreduzibel und hat eine Nullstelle in L, so zerfällt g über L schon in Linearfaktoren. Eine (nicht notwendig endliche) Körpererweiterung mit dieser Eigenschaft des Zerfällungskörpers wird als normal bezeichnet: Definition 3.6.16 Eine algebraische Körpererweiterung K ⊂ L heißt normal, wenn jedes irreduzible Polynom g ∈ K[x] mit einer Nullstelle in L, schon über L in Linearfaktoren zerfällt. Man beachte, dass die Definition eine Bedingung an alle irreduziblen Polynome über K stellt. Anmerkung: Wenn wir die Bedingung irreduzibel in der Definition weglassen, so wäre sie in diesem Zusammenhang nicht wirklich sinnvoll, denn dann würde jedes Polynom in Linearfaktoren zerfallen (wir werden eine ähnlich geartete Bedingung in Abschnitt 3.6.4 über algebraisch abgeschlossene Körper diskutieren). Proposition 3.6.15 liefert mit den Zerfällungskörpern eine große Klasse von normalen Erweiterungen. Weitere Beispiele dieser Form werden wir in Abschnitt 3.6.2 sehen. Nun zum Beweis der Proposition: Beweis. Sei L = K[α1 , ... , αr ] mit den die Nullstellen αi von f ∈ K[x]. Nach Satz 3.5.12 ist [L : K] < ∞. Sei g ∈ K[x] irreduzibel mit Nullstelle β ∈ L, und M der Zerfällungskörper von g ∈ L[x], d.h. aufgefasst als Polynom über L. Wir müssen zeigen, dass M = L, d.h. jede Nullstelle γ ∈ M von g liegt schon in L. Wegen g irreduzibel gibt es nach Korollar 3.6.9 einen Isomorphismus ϕ : K[β ] −→ K[γ]

KAPITEL 3. KÖRPER

124

mit ϕ |K = idK . Der Körper L[γ] = K[γ][α1 , ... , αr ] ist ein Zerfällungskörper von f über K[γ]. Weiter ist L auch ein Zerfällungskörper von f ∈ K[β ][x], d.h. aufgefasst als Polynom über K[β ]. Damit setzt sich ϕ mit Proposition 3.6.7 zu einem Isomorphismus ψ : L −→ L[γ] fort. Für diesen gilt ψ |K = idK , also ist ψ ein Isomorphismus von K-Vektorräumen. Somit haben L und L[γ] dieselbe K-Vektorraumdimension, sind also wegen L ⊂ L[γ] gleich. √ Beispiel 3.6.17 Die Erweiterung Q ⊂ Q[ 3 2] ist nicht normal, denn das Mini√ √ 3 − 2 von 3 2 hat die beiden weiteren Nullstellen 3 2e± 2πi 3 ∈ C, die malpolynom x √ 3 nicht in Q[ 2] ⊂ R liegen. Tatsächlich können wir endliche normale Erweiterungen als Zerfällungskörper charakterisieren: Satz 3.6.18 Eine endliche Erweiterung K ⊂ L ist normal genau dann, wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K[x] ist. Beweis. Die eine Schlußrichtung ist Proposition 3.6.15. Sei umgekehrt K ⊂ L normal. Da die Erweiterung endlich ist, gibt es nach Satz 3.5.12 über K algebraische αi ∈ L mit L = K[α1 , ... , αr ]. Nach Voraussetzung zerfällt über L das Minimalpolynom gi ∈ K[x] von αi in Linearfaktoren. Somit ist L der Zerfällungskörper von f = g1 · ... · gr . Korollar 3.6.19 Ist K ⊂ L eine endliche, normale Erweiterung und K ⊂ M ⊂ L ein Zwischenkörper, dann ist auch M ⊂ L normal. Beweis. Ist L ein Zerfällungskörper von f ∈ K[x], dann auch von f ∈ M[x] aufgefasst als Polynom über M. Korollar 3.6.19 ist auch ohne die Voraussetzung endlich korrekt, da sich analog zu Satz 3.6.18 normale Erweiterungen als Zerfällungskörper für Familien von Polynomen charakterisieren lassen.

3.6.4

Algebraisch abgeschlossene Körper

Definition und Satz 3.6.20 Sei K ein Körper. Es sind äquivalent: 1) Jedes f ∈ K[x] mit deg( f ) ≥ 1 hat eine Nullstelle in K.

KAPITEL 3. KÖRPER

125

2) f ∈ K[x] ist irreduzibel ⇐⇒ deg( f ) = 1. 3) K lässt sich nicht algebraisch erweitern (d.h. ist K ⊂ L eine algebraische Körpererweiterung, gilt schon K = L). Dann heißt K algebraisch abgeschlossen. Beweis. (1) ⇒ (2) : Nach Voraussetzung hat f eine Nullstelle a, mit Division mit Rest können wir schreiben f = g · (x − a) + r mit deg (r) = 0. Da 0 = f (a) = r(a) ist r = 0. Induktiv ist f ein Produkt von Linearfaktoren. (2) ⇒ (3) : Das Minimalpolynom jedes über K algebraischen Elements a ist irreduzibel, also vom Grad 1, mit Bemerkung 3.2.3 ist also a ∈ K. (3) ⇒ (1) : Mit Satz 3.6.3 besitzt f eine Nullstelle a in einer algebraischen Erweiterung, nach Voraussetzung gilt K(a) = K und somit a ∈ K. Mit Induktion nach dem Grad folgt sofort: Bemerkung 3.6.21 Ein Körper K ist algebraisch abgeschlossen genau dann, wenn jedes f ∈ K[x] mit deg( f ) ≥ 1 in ein Produkt von Linearfaktoren zerfällt. Beweis. Ist K algebraisch abgeschlossen, so hat f eine Nullstelle α ∈ K, also f = g · (x − α). Nach Induktionsvoraussetzung zerfällt g in Linearfaktoren. Die andere Schlussrichtung ist klar. Satz 3.6.22 Zu jedem Körper K existiert eine algebraische Körpererweiterung K ⊂ K mit K algebraisch abgeschlossen. Der Körper K ist bis auf Isomorphie eindeutig. Jede algebraische Erweiterung von K lässt sich in K einbetten. Wir bezeichnen K als den algebraischen Abschluss von K. Die Beweisidee ist eigentlich einfach, die Durchführung aber technisch kompliziert. Im Prinzip möchte man die Vereinigung aller Zerfällungskörper für irreduzible Polynome in K[x] betrachten. Ist K überabzählbar führt dies zu einem Problem, das eher in der axiomatischen Mengenlehre angesiedelt ist. Deshalb wollen wir darauf nicht genauer eingehen.2 Die Verwendung des Auswahlaxioms löst dieses Problem. Auf den Fall K endlich werden wir später noch in Korollar 3.7.25 zurückkommen. Eines ist allerdings leicht zu beweisen: Es reicht einen algebraisch abgeschlossenen Oberkörper von K zu konstruieren, wie die folgende Beobachtung zeigt. 2 Für

einen Existenzbeweis siehe z.B. [4, Abschnitt 3.4, Thm. 4].

KAPITEL 3. KÖRPER

126

Beispiel 3.6.23 Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und L algebraisch abgeschlossen. Dann ist die Menge A der über K algebraischen Elemente von L ein algebraischer Abschluss von K (siehe Übung 3.5). Beispielsweise ist die √ √ Menge aller Nullstellen in C von allen Polynomen in Q[x] (z.B. 2 oder i = −1, nicht jedoch π) der algebraische Abschluss Q von Q, denn es gilt der Fundamentalsatz der Algebra: Satz 3.6.24 (Fundamentalsatz der Algebra) Der Körper der komplexen Zahlen C ist algebraisch abgeschlossen. Trotz seines Namens ist das eher ein Satz aus der Analysis. Der eleganteste Beweis verwendet ein Resultat aus der Funktionentheorie: Ist f ∈ C[x] ein Polynom ohne Nullstelle, so ist 1f eine beschränkte auf ganz C definierte holomorphe Funktion. Mit dem Satz von Liouville ist f damit konstant.3 Es gibt auch einen eher algebraischen Beweis, der Galoistheorie und den Zwischenwertsatz verwendet.

3.7 3.7.1

Endliche Körper Konstruktion und Klassifikation

Ist F ein endlicher Körper, dann kann die charakteristische Abbildung χ : Z → F nicht injektiv sein (siehe Beispiel 3.3.4). Somit folgt mit Satz 3.3.6: Satz 3.7.1 Sei F ein Körper mit endlich vielen Elementen. Dann ist char(F) = p eine Primzahl, also F p der Primkörper von F, und die Anzahl der Elemente von F eine p-Potenz |F| = pr mit 1 ≤ r = [F : F p ] < ∞. Beweis. F ist ein endlicher F p -Vektorraum, also muss r = [F : F p ] = dimF p (F) < ∞ sein, d.h.

F∼ = Frp

als F p -Vektorraum. 3 Als

9.1].

weiterführende Literatur zum Beweis des Fundamentalsatzes siehe z.B. [33, Abschnitt

KAPITEL 3. KÖRPER

127

Bemerkung 3.7.2 Die Einheitengruppe F× = F\{0} eines Körpers F mit pr Elementen hat Ordnung × F = pr − 1, r

also gilt mit Satz 2.2.51, dass a p −1 = 1 für alle a ∈ F× oder, wenn wir die 0 mit einschliessen wollen, r a p = a für alle a ∈ F. Jeder Körper mit pr Elementen ist damit ein Zerfällungskörper von r

x p − x ∈ F p [x]. Falls ein solcher Körper existiert, ist er also mit Satz 3.6.6 eindeutig bis auf Isomorphie. Die Nullstellen dieses Polynoms können wir mit Hilfe des Frobeniushomomorphismus charakterisieren: Definition und Satz 3.7.3 Sei L ein Körper mit char(L) = p. Die Abbildung F :L→L F(a) = a p ist ein Körpermonomorphismus, der Frobenius-Homomorphismus. Für einen endlichen Körper L ist also F ein Automorphismus. Beweis. Offenbar gilt F(1) = 1, F(0) = 0 und F(a) · F(b) = F(a · b) für alle a, b ∈ L. Erstaunlicher ist die Additivität p   p j p− j p F(a + b) = (a + b) = ∑ ab = a p + b p = F(a) + F(b) j j=0 für alle a, b ∈ L. Sie gilt, da p für 0 < j < p den Binomialkoeffizienten und p · 1L = 0. Bemerkung 3.7.4 Ist p prim und 0 < j < p, dann gilt   p p| , j denn p teilt den Zähler der Bruchdarstellung des Binomialkoeffizienten   p p! ∈ Z, = j! · (p − j)! j nicht jedoch den Nenner.

p
j

teilt

KAPITEL 3. KÖRPER

128

Nach Bemerkung 3.2.1 ist der Körperhomomorphismus F : L → L injektiv (was aber auch direkt klar ist, da aus a p = 0 folgt, dass a = 0), wegen L endlich ist F also bijektiv. Bemerkung 3.7.5 Sei L ein Oberkörper von F p . Dann ist a ∈ L eine Nullstelle r von x p − x ∈ F p [x] genau dann, wenn F r (a) = a, d.h. wenn a ein Fixpunkt von F r ist. Im Folgenden werden wir ein Kriterium benötigen, um festzustellen, ob ein Polynom f ∈ K[x] mehrfache Nullstellen hat: Sei L ein Oberkörper von K. Ein Element a ∈ L heißt m-fache Nullstelle von f , wenn (x − a)m | f

und

(x − a)m+1 - f

in L[x]. Ist m ≥ 2, so sprechen wir von einer mehrfachen Nullstelle. Die Ableitung eines Polynoms über einem endlichen Körper kann nicht mittels einer analytischen Grenzwertbildung definiert werden. Stattdessen verwendet man allgemein die formale Ableitung, die für einen kommutativen Ring R mit 1 und f = cn · xn + ... + c2 · x2 + c1 · x + c0 ∈ R[x] definiert ist als f 0 = n · cn · xn−1 + ... + 2 · c2 · x + c1 . Es gelten die übliche Produkt- und Kettenregel (Übung). Lemma 3.7.6 Mit der Notation wie oben ist a ∈ L eine mehrfache Nullstelle von f genau dann, wenn f (a) = 0 und f 0 (a) = 0. Beweis. Sei f = (x − a)m · g mit g(a) 6= 0. Dann
f 0 = (x − a)m−1 · m · g + (x − a) · g0 . Ist m ≥ 2, dann f (a) = 0 und f 0 (a) = 0. Ist m = 0, dann f (a) 6= 0. Ist m = 1, dann f 0 (a) = g(a) 6= 0. Satz 3.7.7 Zu jeder Primzahlpotenz pr , r ∈ N gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper F pr mit pr Elementen, nämlich den Zerfällungskörper von r

x p − x ∈ F p [x].

KAPITEL 3. KÖRPER

129 r

Beweis. Sei L der Zerfällungskörper von f = x p − x ∈ F p [x]. In L hat f nach Lemma 3.7.6 keine mehrfachen Nullstellen, denn r

f 0 = pr · x p −1 − 1 = −1 ∈ F p [x] hat keine Nullstellen. Somit enthält L die pr Nullstellen von f . Wir zeigen, dass die Nullstellen von f einen Körper bilden. Dann ist die Menge der Nullstellen von f schon gleich L, also |L| = pr . r Mit der r-ten Potenz F r : L → L, a 7→ a p des Frobenius gilt (Bemerkung 3.7.5) r a ist eine Nullstelle von x p − x ⇐⇒ F r (a) = a. Seien α, β Nullstellen von f . Mit Definition und Satz 3.7.3 ist F r (α + β ) = F r−1 (F(α) + F(β )) = ... = F r (α) + F r (β ) = α + β , also auch α + β eine Nullstelle von f , ebenso F r (α · β ) = F r (α) · F r (β ) = α · β , d.h. α · β eine Nullstelle von f . Die Eindeutigkeit haben wir schon in Bemerkung 3.7.2 gezeigt. Nach Satz 3.6.18 ist damit die Erweiterung F p ⊂ F pr normal, mit Korollar 3.6.19 ist also jede Erweiterung endlicher Körper normal. Bemerkung 3.7.8 Für p prim und g ∈ F p [x] ein irreduzibles Polynom vom Grad r, ist F p [x]/ (g) ein Körper mit pr Elementen, also können wir F pr explizit konstruieren als F pr ∼ = F p [x]/ (g) , sofern die Existenz eines solchen g gesichert ist. Dies werden wir im Folgenden in Korollar 3.7.15 beweisen. Wie man alle irreduziblen Polynome in einem gegebenen Grad rekursiv aufzählt, haben wir bereits in Beispiel 3.6.13 gesehen. Wir diskutieren noch das einfachst mögliche Beispiel: Beispiel 3.7.9 Da [F4 : F2 ] = 2, benötigen wir, um F4 explizit zu konstruieren, ein irreduzibles Polynom in F2 [x] vom Grad 2. Ein normiertes Polynom vom Grad d hat d Koeffizienten, also gibt es 2d solcher Polynome. In jedem Grad erhalten wir die reduziblen Polynome als Produkt von irreduziblen von kleinerem Grad: d 1 2 also

2d 2 4

reduzibel x2 , x2 + x, x2 + 1

irreduzibel x, x + 1 2 x + x + 1,


F4 ∼ = F2 [x]/ x2 + x + 1 .

Siehe auch Übungsaufgaben 4.13, 3.11 und 3.13.

KAPITEL 3. KÖRPER

3.7.2

130

Die Einheitengruppe eines endlichen Körpers

Satz 3.7.10 Die Einheitengruppe F× q eines endlichen Körpers mit q Elementen ist zyklisch. Insbesondere gibt es mit Aufgabe 3.6(3) in F× q zu jedem Teiler d von q − 1 genau ϕ(d) Elemente der Ordnung d. Bemerkung 3.7.11 Um F pr im Computer zu implementieren, kann man also einen zyklischen Erzeuger α von F× pr wählen, und jedes Element 6= 0 von F pr als Potenz von α darstellen. Die Multiplikation ist dann trivial, die Addition wird typischerweise (für p, r nicht zu groß) über eine vorausberechnete Additionstabelle (Gruppentafel) realisiert. Zum Beweis von Satz 3.7.10 verwenden wir die eine Charakterisierung zyklischer Gruppen durch die Eigenschaft, dass die Gleichung xd = e für jeden Teiler d der Gruppenordnung maximal d Lösungen besitzt. Wir bemerken zunächst: Bemerkung 3.7.12 Sei G eine Gruppe, d ∈ N und g ∈ G. Nach Beispiel 2.3.21 (angewendet auf die zyklische Gruppe erzeugt von g) gilt gd = e genau dann, wenn ord(g) ein Teiler von d ist. Satz 3.7.13 Eine endliche abelsche Gruppe G ist genau dann zyklisch, wenn für jeden Teiler d von |G| gilt, dass n o d g ∈ G | g = e ≤ d. Beweis. Ist G zyklisch, so besitzt G nach Aufgabe 3.6(5) eine eindeutige Untergruppe U der Ordnung d und nach Aufgabe 3.6(3) enthält diese alle Elemente g ∈ G, deren Ordnung d teilt. Für die andere Schlussrichtung zeigen wir, dass höchstens eine Untergruppe H ⊂ G der Ordnung d existiert. Aufgabe 3.7 gibt dann die Behauptung. Für jede  Untergruppe H ⊂ G mit |H| = d gilt mit Korollar 2.2.51, dass H ⊂ g ∈ G | gd = e . Nach Voraussetzung ist also n o H = g ∈ G | gd = e .

Nun zum Beweis von Satz 3.7.10: d Beweis. Für jeden Teiler d von F× q hat das Polynom x − 1 nach Satz 4.6.3 in dem Körper Fq maximal d Nullstellen und diese liegen alle in F× q . Nach Korollar × 3.7.13 ist also Fq zyklisch. Aus Satz 3.7.10 folgt:

KAPITEL 3. KÖRPER

131

Korollar 3.7.14 (Satz vom primitiven Element) Jede endliche Erweiterung eines endlichen Körpers ist einfach (hat also ein primitives Element). Beweis. Ist |K| < ∞ und [L : K] < ∞, dann auch |L| < ∞ und somit L× = hαi nach Satz 3.7.10 zyklisch, wobei α ein Erzeuger sei. Insbesondere gilt L = K[α].

Wir werden später auch eine Version dieses Satzes für nicht-endliche Körper zeigen. Mit Korollar 3.7.14 sehen wir: Korollar 3.7.15 Sei q eine Primpotenz. In Fq [x] gibt es irreduzible Polynome vom Grad n für alle n ∈ N. Beweis. Die Körpererweiterung Fq ⊂ Fqn ist mit Korollar 3.7.14 einfach, also existiert ein α ∈ Fqn mit Fqn = Fq [α],   deg (mα ) = Fqn : Fq = n und das Minimalpolynom mα ∈ Fq [x] ist irreduzibel.

3.7.3

Die Unterkörper eines endlichen Körpers

Bemerkung 3.7.16 Für einen endlichen Körper F mit Primkörper F p ist der Frobenius-Automorphismus F ein F p -Automorphismus, denn die Elemente von F p ⊂ F sind, wie oben schon bemerkt, Nullstellen von x p − x, also Fixpunkte von F. Sei ϕ ein Automorphismus von F. Dann ist Fix(ϕ) = {a ∈ F | ϕ(a) = a} ein Unterkörper von F (Übung). Damit lässt sich z.B. der Primkörper von F beschreiben als F p = Fix(F).

KAPITEL 3. KÖRPER

132

Beispiel 3.7.17 Für F4 = F2 [x]/ x2 + x + 1  = 0, 1, x, x + 1




gilt   Fix(F) = a ∈ F | a2 = a = 0, 1 = F2  Fix(F 2 ) = a ∈ F | a4 = a = F4 . Mit dieser Methode können wir alle Unterkörper finden: Zunächst ist klar, dass F pr nur Unterkörper der Form F ps mit s | r haben kann: Bemerkung 3.7.18 Ist K ⊂ F pr ein Unterkörper, dann ist K ∼ = F ps für einen Teiler s von r. Beweis. Der Körper K enthält den Primkörper F p , und mit s := [K : F p ] ist |K| = ps , also K ∼ = F ps mit Satz 3.7.7. Dann liefert Satz 3.2.5, dass r = [F pr : F p ] = [F pr : K] · [K : F p ] = [F pr : K] · s.

Satz 3.7.19 In F pr existiert zu jedem Teiler s von r genau ein Unterkörper von F pr mit ps Elementen, nämlich n o s ps s r F p = Fix(F ) = a ∈ F p | a = a . Oder anders ausgedrückt, es gibt eine Bijektion  {Teiler von r}  Unterkörper von F pr s 7→ Fix(F s ) = F ps r Beweis. Mit Satz 3.7.10 ist F× pr = hαi zyklisch der Ordnung p − 1. Schreiben wir r = s · d, dann   r sd s s (d−1)s p − 1 = p − 1 = (p − 1) 1 + p + ... . + p .

Mit Satz 5 gibt es also zu jedem Teiler s von r eine eindeutige Untergruppe der Ordnung ps − 1, nämlich D r E (p −1)/(ps −1) α ⊂ hαi = F× pr .

KAPITEL 3. KÖRPER

133

Diese ist in dem Fixkörper n o s Fix(F s ) = a ∈ F pr | a p = a enthalten, also |Fix(F s )| = ps . Weiter gilt nach Bemerkung 3.7.18 für jeden Unterkörper L ⊂ F pr , dass |L| = s s p mit s | r, also ist L× ⊂ F× pr eine Untergruppe der Ordnung p − 1. Bemerkung 3.7.20 Aus dem Beweis ergibt sich: Ist s ein Teiler von r und α ein zyklischer Erzeuger von F× pr = hαi , dann F× ps

E D r (p −1)/(ps −1) . = α

Siehe dazu auch Übung 3.13. Beispiel 3.7.21 Wir betrachten F24 ∼ = F2 [x]/ x4 + x + 1




= {0, 1, x, x + 1, x2 , x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1, x3 , x3 + 1, x3 + x, x3 + x2 , x3 + x + 1, x3 + x2 + 1, x3 + x2 + x, x3 + x2 + x + 1}. Es gilt 4  2 x + x = x8 + x4 = x2 + 1 + x + 1 = x2 + x  4 2 x + x + 1 = x8 + x4 + 1 = x2 + x + 1, also erhalten wir die Unterkörper   F2 = Fix(F) = a ∈ F24 | a2 = a = 0, 1 ∩ o  n F22 = Fix(F 2 ) = a ∈ F24 | a4 = a = 0, 1, x2 + x, x2 + x + 1 ∩  F24 = Fix(F 4 ) = a ∈ F24 | a16 = a . Siehe auch Übung 3.16 und 3.12.

KAPITEL 3. KÖRPER

134

Beispiel 3.7.22 Der Körper F212 hat folgende Unterkörper: Den Primkörper  F2 = a ∈ F212 | a2 = a , die echten Unterkörper  F22 = F4 = a ∈ F212 | a4 = a n o F24 = F16 = a ∈ F212 | a16 = a  F23 = F8 = a ∈ F212 | a8 = a n o 64 F26 = F64 = a ∈ F212 | a = a und sich selbst

n o F212 = F4096 = a ∈ F212 | a4096 = a .

Die Inklusionen zwischen den Unterkörpern sind in Abbildung 3.1 dargestellt.

Abbildung 3.1: Unterkörper von F212 r

Satz 3.7.23 Das Polynom x p − x ∈ F p [x] ist das Produkt aller normierten irreduziblen Polynome vom Grad d mit d | r. Beweis. Zeige: Ist f ∈ F p [x] normiert irreduzibel vom Grad d, dann gilt  r  p f | x − x ⇐⇒ d | r. r

Da x p − x nur einfache Nullstellen hat, folgt damit die Behauptung.

KAPITEL 3. KÖRPER

135

Zu ⇐: Angenommen d | r. Mit Satz 3.6.3 gibt es einen Oberkörper K ⊃ F p , in dem f eine Nullstelle α ∈ K besitzt und für den [K : F p ] = d gilt. Also ist |K| = pd und K∼ = Fix(F d ) ⊂ F pr . Das Polynom

r

x p − x = ∏a∈F pr (x − a) wird somit von

d

x p − x = ∏a∈K (x − a) geteilt, hat also das Bild von α unter K ∼ = Fix(F d ) als Nullstelle und wird damit vom Minimalpolynom f von α geteilt.
r r Zu ⇒: Angenommen f | x p − x . In F pr [x] zerfällt mit x p − x also auch f in Linearfaktoren. Ist α ∈ F pr eine Nullstelle von f , dann r = [F pr : F p ] = [F pr : F p (α)] · [F p (α) : F p ]. {z } | d

Beispiel 3.7.24 In F2 [x] ist jeweils 1

x2 − x = 2 x2 − x = 3 x2 − x = 6 x2 − x =

x (x − 1) x (x − 1) x (x − 1) x (x − 1)


x2 + x + 1
x2 + x + 1



x3 + x + 1 x3 + x2 + 1

x3 + x + 1 x3 + x2 + 1


x6 + x + 1 ...

das Produkt aller normierten, irreduziblen Polynome vom Grad d mit d | 1, 2, 3, 6. Mit den gerade gezeigten Resultaten ist die Idee zur Konstruktion des algebraischen Abschlusses von F p einfach: Nach Satz 3.7.7 ist F pr der Zerfällungsr körper von x p −x ∈ F p [x], muss also in F p enthalten sein. Wir betrachten deshalb die Vereinigung aller F pr für r ∈ N. Dabei müssen wir aber noch Elemente vermöge der Inklusionen F ps ,→ F pr für s | r aus Satz 3.7.19 identifizieren. Einfacher ist es, die Vereinigung aller F pr j zu nehmen für eine Folge (r j ) natürlicher Zahlen mit r j | r j+1 für alle j und sodass jede Zahl d ∈ N ein Teiler eines r j ist. Damit geht die Vereinigung über eine aufsteigende Kette von Körpern F pr1 ⊂ F pr2 ⊂ F pr3 ⊂ ... und jedes F pr liegt in einem (und allen nachfolgenden) F pri .

KAPITEL 3. KÖRPER

136

Korollar 3.7.25 Der algebraische Abschluss von F p ist Fp =

[

F p j!

j∈N

insbesondere also abzählbar unendlich. S

Beweis. Als Vereinigung über eine aufsteigende Kette von Körpern ist L = j∈N F p j! wieder ein Körper. Als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen ist L abzählbar. Wie oben schon diskutiert, enthält F p jedes F pr und damit L. Es reicht also zu zeigen, dass L algebraisch abgeschlossen ist: r Nach Satz 3.7.23 ist fr = x p − x ∈ F p [x] das Produkt aller normierten irreduziblen Polynome vom Grad d mit d | r und F pr ist nach Satz 3.7.7 der Zerfällungskörper von fr . Da L jedes F pr enthält, zerfällt also jedes Polynom aus F p [x] über L in Linearfaktoren. Da alle Elemente von L algebraisch über F p sind, ist L mit dem folgenden Lemma (das Bemerkung 3.6.21 etwas verallgemeinert) schon algebraisch abgeschlossen: Lemma 3.7.26 Ist K ⊂ L eine algebraische Körpererweiterung, sodass jedes f ∈ K[x] in L in Linearfaktoren zerfällt, dann ist L algebraisch abgeschlossen. Beweis. Gemäß Definition und Satz 3.6.20 zeigen wir, dass sich L nicht algebraisch erweitern lässt. Sei L ⊂ M eine algebraische Erweiterung. Nach Satz 3.5.14 ist K ⊂ M algebraisch. Somit ist jedes α ∈ M eine Nullstelle eines Polynoms in K[x]\{0}, dieses zerfällt nach Voraussetzung über L in Linearfaktoren, also ist α ∈ L.

3.7.4

Die Automorphismengruppe eines endlichen Körpers

Wir beginnen mit einer grundlegenden Beobachtung zu Körperautomorphismen: Bemerkung 3.7.27 Jeder Automorphismus ϕ ∈ Aut(K) eines Körpers K ist ein P(K)-Automorphismus, d.h. er ist auf dem Primkörper die Identität ϕ |P(K) = idP(K) . Beweis. Zunächst ist ϕ(1) = 1, also für a ∈ Z ϕ(a · 1) = a · 1. Falls P(K) = F p = Z/p folgt die Behauptung, denn a · 1 = a.

KAPITEL 3. KÖRPER

137

Für P(K) = Q gilt

  ϕ(p) p p = = . ϕ q ϕ(q) q

In Definition und Satz 3.7.3 hatten wir gesehen, dass für einen endlichen Körper K der Charakteristik p der Frobeniushomomorphismus F:

K b

−→ K 7−→ b p

ein Automorphismus ist. Wir beschreiben nun die Gruppe Aut(K) aller Automorphismen von K: Satz 3.7.28 Sei K ein Körper mit pr Elementen, p prim. Dann ist Aut(K) zyklisch der Ordnung |Aut(K)| = r und der Frobenius F ein Erzeuger, d.h. Aut(K) = hFi . Mit der Klassifikation der Untergruppen dieser zyklischen Gruppe erhalten wir somit Bijektionen: {Unterkörper von K} Fix(F s ) ∼ = F ps

3.8

 {Teiler von n}

 {Untergruppen von Aut(K)}

7→

7→

s

hF s i.

Übungsaufgaben

√ √ Übung 3.1 Sei K = Q( 2, 3). √ √ 1) Zeigen Sie, dass 3 ∈ / Q( 2). 2) Folgern Sie [K : Q] = 4. √ √  √ √  3) Zeigen Sie Q 2, 3 = Q 2+ 3 . 4) Bestimmen Sie das Minimalpolynom f ∈ Q[x] von

√ √ 2 + 3.

5) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f . Übung 3.2 Sei K ⊂ K[α] eine algebraische Körpererweiterung und g ∈ K[x] das Minimalpolynom von α. 1) Geben Sie ein Verfahren an, um das Inverse β −1 von 0 6= β ∈ K[α] zu berechnen.

KAPITEL 3. KÖRPER

138

2) Bestimmen Sie das Inverse von √ √ √ √ 2 √ √ 2 + 3 + 2 + 3 ∈ Q[ 2, 3] und machen Sie die Probe. Übung 3.3 Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und t ∈ L ein über K transzendentes Element. Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung K ⊂ K(t) unendlich viele Zwischenkörper besitzt. Übung 3.4 Seien K ⊂ L ⊂ M Körpererweiterungen. Zeigen Sie K ⊂ M algebraisch ⇐⇒ K ⊂ L und L ⊂ M algebraisch. Übung 3.5 Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und A die Menge der über K algebraischen Elemente von L. Zeigen Sie: 1) A ist ein Zwischenkörper von K ⊂ L. 2) Die Körpererweiterung K ⊂ A ist algebraisch. 3) Ist α ∈ L algebraisch über A, dann schon über K. 4) War L algebraisch abgeschlossen, dann ist A der algebraische Abschluss von K. Übung 3.6 Sei G = hgi eine zyklische Gruppe der Ordnung n = |G| < ∞. Zeigen Sie: 1) Jede Untergruppe von G ist zyklisch. Hinweis: Division mit Rest. 2) Für j ∈ N ist ord(g j ) =

n . ggT(n, j)

3) Ist d ∈ N ein Teiler von n, dann gibt es genau ϕ(d) = (Z/d)× Elemente der Ordnung d in G, nämlich n n o rd g 1 ≤ r ≤ d, ggT(r, d) = 1 . Insbesondere hat G genau ϕ(n) zyklische Erzeuger.

KAPITEL 3. KÖRPER

139

4) Für n ∈ N gilt

∑ ϕ(d) = n d|n

5) Zu jedem Teiler d von n hat G eine eindeutige Untergruppe der Ordnung d, und diese ist

n g d ⊂ G. 6) Bestimmen Sie alle Untergruppen von Z/36 und deren Inklusionen. Siehe auch die Abbildungen 3.2 und 3.3.

Abbildung 3.2: Sechste Einheitswurzeln und deren Ordnungen

Übung 3.7 Sie G eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n. Zeigen Sie, dass für G äquivalent sind: 1) G ist zyklisch. 2) Zu jedem Teiler d von n hat G genau eine Untergruppe der Ordnung d. 3) Zu jedem Teiler d von n hat G höchstens eine Untergruppe der Ordnung d. 4) Zu jedem Teiler d von n hat G höchstens ϕ(d) Elemente der Ordnung d. 5) Zu jedem Teiler d von n hat G genau ϕ(d) Elemente der Ordnung d.

KAPITEL 3. KÖRPER

140

Abbildung 3.3: Achte Einheitswurzeln und deren Ordnungen Übung 3.8 1) Sei Q ⊂ C der Körper der algebraischen Zahlen. Zeigen Sie, dass Q abzählbar ist. 2) Sei F ein endlicher Körper und F ⊃ F eine algebraische Körpererweiterung von F zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper F. Zeigen Sie, dass F abzählbar unendlich ist. Übung 3.9 Sei K ein Körper und f ∈ K[x]. Zeigen Sie: 1) Ist deg( f ) = 1, dann ist f irreduzibel. 2) Falls deg( f ) ≥ 2 und f eine Nullstelle in K hat, dann ist f reduzibel über K. 3) Für deg( f ) = 2 oder 3 gilt: f hat keine Nullstelle in K genau dann, wenn f irreduzibel über K ist. 4) Geben Sie ein Gegenbeispiel für die Aussage in (3) für deg( f ) = 4. 5) Bestimmen Sie alle normierten, irreduziblen Polynome vom Grad ≤ 3 in F2 [x]. Übung 3.10

1) Sei F4 ein Körper mit 4 Elementen. Zeigen Sie, dass
F4 ∼ = F2 [x]/ x2 + x + 1 .

KAPITEL 3. KÖRPER

141

2) Bestimmen Sie induktiv alle irreduziblen normierten Polynome vom Grad 2 in F3 [x].

3) Ist F3 [x]/ x2 + 1 isomorph zu F3 [y]/ y2 + y − 1 ? Übung 3.11 Betrachten Sie das Polynom f = x9 − x ∈ F3 [x] mit Koeffizienten in dem Körper F3 = Z/3 mit 3 Elementen. 1) Zerlegen Sie f in irreduzible Faktoren fi ∈ F3 [x].
2) Bestimmen Sie zu jedem Faktor fi die Nullstellen in F9 ∼ = F3 [x]/ x2 + 1 . Übung 3.12 1) Bestimmen Sie alle Unterkörper von F236 und die Inklusionsbeziehungen zwischen diesen. 2) Beschreiben Sie die Körpererweiterung F4 ⊂ F16 als F16 = F4 [y]/ (g) mit g ∈ F4 [y] irreduzibel. Übung 3.13 Schreiben Sie (z.B. in GAP oder M APLE) jeweils eine Funktion, die 1) induktiv alle normierten, irreduziblen Polynome vom Grad r ∈ N in F p [x] aufzählt. 2) für ein gegebenes normiertes irreduzibles f ∈ F p [x] vom Grad r die Elemente von F pr ∼ = F p [x]/ ( f ) bestimmt, d.h. für jedes Element seinen Repräsentanten vom Grad < r. 3) auf der Menge dieser Repräsentanten die Addition, Multiplikation und Bildung des Inversen implementiert. × × 4) alle zyklischen Erzeuger von F× pr bestimmt, d.h. alle q ∈ F pr mit F pr = hqi.

Hinweis: GAP-Funktionen PolynomialDivisionAlgorithm, Gcd, GcdRepresentation und Factors, oder M APLE-Funktionen Irreduc, Rem, Gcdex, mod.

Übung 3.14 Sei f = x5 − x4 − 6x3 + 6x2 − 3x + 3. Bestimmen Sie über F5 und F13 jeweils die Primfaktorzerlegung und die Ordnung des Zerfällungskörpers von f .

 Übung 3.15 Sei K = F3 , L = F3 [x]/ x3 − x + 1 und a = x2 + x + 1 ∈ L. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von a über K und geben Sie für alle Automorphismen von L über K das Bild von a an. Übung 3.16 Wieviele Elemente a ∈ F4096 gibt es, sodass F4096 = F2 [a]?

Kapitel 4 Anhang: Ordnung im Ringzoo 4.1

Übersicht

Für verschiedene wichtige Eigenschaften des Rings der ganzen Zahlen Z, insbesondere der Konstruktion des Quotientenkörpers Q, der Existenz einer eindeutigen Primfaktorisierung, und dem euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers stellt sich die Frage, inwieweit sich diese Eigenschaften auch bei anderen Ringen wiederfinden lassen. In Verallgemeinerung der ganzen Zahlen ist ein kommutativer Ring mit 1 eine Menge R mit Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation), sodass 1) (R, +) eine abelsche Gruppe (mit Neutralem 0) ist, 2) (R, ·) ein kommutatives Monoid (mit Neutralem 1) ist, 3) das von Z bekannte Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c für alle a, b, c ∈ R gilt. Neben Z ist zum Beispiel auch die Restklassengruppe  Z/nZ = 0, ... , n − 1 ein Ring durch Multiplikation der Repräsentanten a · b = a · b. Dies ist wohldefiniert, denn (a + k1 · n) · (b + k2 · n) = a · b + n · (k1 · b + k2 · a + k1 · k2 · n) . 143

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

144

Beispielsweise sind die Verknüpfungen auf Z/4Z gegeben durch + 0 1 2 3 0 1 2 3

0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

· 1 2 3

3 0 1 2

1 1 2 3 2 2 0 2 3 3 2 1

Wir sehen, dass 3 bezüglich · ein Inverses besitzt, denn 3 · 3 = 1. Allgemein bezeichnet man ein Element a ∈ R als Einheit, wenn a die 1 teilt, d.h. ein b ∈ R existiert mit a · b = 1. Die Menge der Einheiten R× ist bezüglich · eine Gruppe, die Einheitengruppe, zum Beispiel hat (Z/4Z)× die Gruppentafel · 1 3 1 1 3 3 3 1 Dagegen ist 2 keine Einheit, es gilt sogar 2 · 2 = 0. Allgemein heißt a ∈ R Nullteiler von R, wenn a die 0 auf nicht-triviale Weise teilt, d.h. ein 0 6= b ∈ R existiert mit a · b = 0. Jede Einheit ist ein Nichtnullteiler, denn ist a eine Einheit und a · b = 0, dann ist b = a−1 ab = 0. In den Übungen werden wir zeigen, dass in einem endlichen Ring R jedes Element entweder Einheit oder Nullteiler ist. Im Ring Z gibt es außer dem trivialen Nullteiler 0 keine Nullteiler. Allgemein heißt ein Ring (kommutativ, mit 1 6= 0) ohne nicht-triviale Nullteiler Integritätsring. Man kann dann durch Einführen von Brüchen jedes Element außer 0 zu einer Einheit machen. Die Verknüpfungen sind a c ad + cb + = b d bd

und

a c ac · = , b d bd

wir brauchen also b, d 6= 0 ⇒ bd 6= 0. Zum Beispiel bilden wir so Q aus Z. Ein Ring, in dem jedes Element ungleich 0 eine Einheit ist, heißt Körper. Durch

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO





Integritätsringe ∪



Faktorielle Ringe



145

Eigenschaften

Beispiel für R = Z

Quotientenkörperkonstruktion

Q

Eindeutige Primfaktorisierung (bis auf Einheiten), Existenz des ggT

120 = 23 · 3 · 5 84 = 22 · 3 · 7 ggT (120, 84) = 22 · 3

Jedes Ideal wird von einem Element erzeugt

120Z + 84Z = |{z} 12 Z

Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung des ggT

120 = 1 · 84 + 36 84 = 2 · 36 + 12 36 = 3 · 12 + 0

∪ 

Hauptidealringe



ggT(120,84)

∪ 

Euklidische Ringe



Tabelle 4.1: Ringklassen, die wesentliche Eigenschaften der ganzen Zahlen abstrahieren Bruchrechnung mit Elementen eines Integritätsrings konstruiert man den sogenannten Quotientenkörper. Die Klassen von Ringen in Tabelle 4.1, die wir im Folgenden studieren wollen, abstrahieren die wesentlichen Eigenschaften der ganzen Zahlen. Auch den Begriff des Hauptidealrings haben wir schon implizit kennengelernt: Ein Ideal ist eine Untergruppe von R, in der auch alle R-Vielfachen liegen. Die von 120 und 84 erzeugte Untergruppe 120Z + 84Z = {120 · n1 + 84 · n2 | n1 , n2 ∈ Z} ⊂ Z enthält für r ∈ Z auch r · (120 · n1 + 84 · n2 ) = 120 · (r · n1 ) + 84 · (r · n2 ) , ist also ein Ideal. Sie wird schon von ggT (120, 84) = 12 erzeugt.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

4.2 4.2.1

146

Integritätsringe Einheiten und Nullteiler

Definition 4.2.1 Sei R ein Ring. 1) Ein Element a ∈ R heißt rechter (linker) Nullteiler von R, wenn ein x ∈ R\{0} existiert mit xa = 0 (bzw. ax = 0). 2) Ein Ring heißt nullteilerfrei, wenn er außer 0 keine rechten oder linken Nullteiler besitzt. Nullteilerfreie kommutative Ringe mit 1 6= 0 nennt man Integritätsringe. 3) Sei R ein Ring mit 1. Ein Element u ∈ R heißt Einheit von R, wenn ein w ∈ R existiert mit uw = wu = 1. Die Menge der Einheiten wird mit R× bezeichnet. Mit u ist offenbar auch w eine Einheit, und (R× , ·) ist eine Gruppe, die Einheitengruppe von R. Das Inverse w = u−1 eines gegebenen Elements u ist in R× , wie in jeder Gruppe, eindeutig (siehe Übung 2.1). In diesem Zusammenhang siehe auch die Übungsaufgaben 4.5, 4.7 und 4.8. Bemerkung 4.2.2 Jeder Unterring eines Integritätsrings ist offensichtlich wieder ein Integritätsring. Definition 4.2.3 Ein kommutativer Ring R mit 1 6= 0, sodass R× = R\{0}, nennt man einen Körper. Beispiel 4.2.4 also

1) Z ist ein Integritätsring. Die Einheiten sind +1 und −1, Z× = {+1, −1} ∼ = Z/2.

2) Jede Einheit ist ein Nichtnullteiler. Insbesondere ist jeder Körper ein Integritätsring, denn jedes Element 6= 0 ist eine Einheit. 3) Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper, siehe Übungsaufgabe 4.4.  4) Z/ (6) = 0, 1, ... 5 ist kein Integritätsring, 2, 3, 4 (und natürlich 0) sind Nullteiler, 1, 5 sind Einheiten. Siehe auch Übungsaufgabe 4.1.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

147

5) Sei R ein Integritätsring. Dann ist auch R[x] ein Integritätsring, denn für f = a0 + a1 x + ... + an xn

und

g = b0 + b1 x + ... + bm xm

mit an , bm 6= 0 ist f · g = c0 + c1 x + ... + cn+m xn+m und cn+m = an · bm 6= 0. Für die Einheitengruppe gilt R[x]× = R× , denn falls f · g = 1, dann 0 = deg(1) = deg( f · g) = deg( f ) + deg(g) = n + m, also n = m = 0. Induktiv folgt, dass R[x1 , ... , xn ] ein Integritätsring ist. Zum formalen Potenzreihenring siehe Übung 4.11. 6) Der Ring C ( [0, 1] , R) der stetigen Funktionen [0, 1] → R ist kein Integritätsring, da stetige Funktionen ungleich 0 existieren, deren Produkt die Nullfunktion gibt. Die Einheiten C ([0, 1] , R)× sind die stetigen Funktionen ohne Nullstellen. 7) Die Einheitengruppe des Rings der Gaußschen Zahlen Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z} ⊂ C ist Z[i]× = {1, −1, i, −i} , denn sind z j = a j + ib j ∈ Z[i], dann gilt |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | 2 und z j = a2j + b2j ∈ Z. Ist also z1 · z2 = 1, so folgt 2 a2j + b2j = z j = 1 mit a j , b j ∈ Z, also z1 , z2 ∈ {1, −1, i, −i}, und dies sind offenbar Einheiten. Weiter ist Z[i] ein Integritätsring, denn wäre z1 · z2 = 0, dann auch |z1 | = 0 2 oder |z2 | = 0. Es gilt aber 0 = z j = a2j + b2j genau dann, wenn a j = b j = 0.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

148

Satz 4.2.5 Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper. Dies zeigen wir in Übung 4.4. Bemerkung 4.2.6 Für Integritätsringe können wir analog zur Konstruktion von Q aus Z den Quotientenkörper bilden, siehe Übungsaufgabe 4.9.

4.2.2

Primideale und maximale Ideale

Hier wollen wir untersuchen, wann der Quotientenring nach einem Ideal ein Integritätsring oder ein Körper ist. Im folgenden Abschnitt geben wir eine geometrische Interpretation dazu. Definition 4.2.7 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Ideal P $ R heißt Primideal, wenn für alle a, b ∈ R gilt a · b ∈ P =⇒ a ∈ P oder b ∈ P. Ein Ideal m $ R heißt maximales Ideal, wenn es kein Ideal gibt, das echt zwischen m und R liegt, d.h. m ⊂ I $ R =⇒ m = I für alle Ideale I ⊂ R. Beispiel 4.2.8 Sei (n) = nZ ⊂ Z ein Ideal, n > 0. Dann gilt (n) ist ein Primideal ⇐⇒ n ist eine Primzahl. Zum Beweis der Äquivalenz: Ist p prim, so gilt ab ∈ (p) =⇒ p | a · b =⇒ p | a oder p | b =⇒ a ∈ (p) oder b ∈ (p) . Ist umgekehrt (ab) ein Primideal mit a, b > 0, dann a ∈ (ab) oder b ∈ (ab), d.h. ab teilt a oder b und somit b = 1 oder a = 1. Ist p prim, so ist (p) auch schon ein maximales Ideal: Sei (p) $ I ⊂ Z. Dann existiert ein q ∈ I mit p - q, also ggT(q, p) = 1. Damit liegt auch 1 in I, also I = R. Wir bemerken noch, dass (0) ⊂ Z ein Primideal ist, aber nicht maximal, denn (0) $ (p) $ Z für p prim.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

149

Satz 4.2.9 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und I $ R ein Ideal. Dann gilt: 1) I prim ⇐⇒ R/I ist ein Integritätsring. 2) I maximal ⇐⇒ R/I ist ein Körper. Beweis. 1) Ist I prim, dann ab+I

}| { z (a + I) (b + I) = 0R/I = I ⇐⇒ a · b ∈ I =⇒ a ∈ I oder b ∈ I =⇒ a + I = I = 0R/I oder b + I = I = 0R/I , das heißt R/I ist ein Integritätsring. Sei umgekehrt R/I ein Integritätsring. Dann gilt a · b ∈ I ⇐⇒ (a + I) (b + I) = I = 0R/I =⇒ a + I = 0R/I = I oder b + I = 0R/I = I =⇒ a ∈ I oder b ∈ I. 2) Dies haben wir schon in Abschnitt 3.1.3 bewiesen.

Siehe auch Übungsaufgabe 4.12 und 4.14.

4.3

Noethersche Ringe

Wie lassen sich Ideale beschreiben? Eine Möglichkeit ist durch ein Erzeugendensystem: Definition 4.3.1 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und seien a1 , ... , an ∈ R und ( ) sei dass n

(a1 , ... , an ) :=

∑ biai | bi ∈ R

⊂ R.

i=1

Wir nennen Ideale dieser Art endlich erzeugt. Satz 4.3.2 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent: 1) Jedes Ideal I ⊂ R ist endlich erzeugt.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

150

2) Jede aufsteigende Kette I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ ... ⊂ In ⊂ ... von Idealen wird stationär, d.h. es gibt ein m, sodass Im = Im+1 = Im+2 = ... gilt. 3) Jede nicht-leere Menge von Idealen besitzt bezüglich Inklusion ein maximales Element. Erfüllt R diese äquivalenten Eigenschaften, dann nennt man R noethersch. Diese Ringe heißen noethersch nach Emmy Noether (1882-1935), die die allgemeine Strukturtheorie dieser Ringe formuliert hat. Beweis. (1) ⇒ (2): Sei I1 ⊂ I2 ⊂ ... eine Kette von Idealen. Dann ist I=

S∞

j=1 I j

ebenfalls ein Ideal: Sind a, b ∈ I, so existieren j1 , j2 ∈ N mit a ∈ I j1 , b ∈ I j2 , und somit ist a + b ∈ Imax( j1 , j2 ) ⊂ I. Nach (1) ist I endlich erzeugt, also gibt es a1 , ... , an ∈ I mit I = (a1 , ... , an ). Für jedes ak existiert ein jk mit ak ∈ I jk . Für m := max { jk | k = 1, ... , n} gilt dann a1 , ... , an ∈ Im , also I = (a1 , ... , an ) ⊂ Im ⊂ Im+1 ⊂ ... ⊂ I und somit Im = Im+1 = ... (2) ⇒ (3): Angenommen (3) ist nicht erfüllt. Dann gibt es eine Menge M von Idealen, sodass für jedes I ∈ M ein I 0 ∈ M existiert mit I $ I 0 . Induktiv können wir also eine Folge I1 $ I2 $ I3 $ ... von Idealen aus M konstruieren, die nicht stationär wird, d.h. (2) ist nicht erfüllt. (3) ⇒ (1): Sei I ein beliebiges Ideal. Die Menge M = {J | J ⊂ I ein endlich erzeugtes Ideal}

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

151

ist nicht leer, z.B. (0) ∈ M. Sei J ein maximales Element von M. Wegen J endlich erzeugt gibt es a1 , ... , an ∈ J mit J = (a1 , ... , an ). Wir zeigen I = J: Angenommen dies gilt nicht, dann existiert ein a ∈ I\J mit J $ (a1 , ... , an , a) ⊂ I. Dies widerspricht der Maximalität von J. Beispiel 4.3.3 1) Der Ring der ganzen Zahlen Z ist noethersch, denn die Ideale von Z sind alle von der Form (n) = nZ = {nk | k ∈ Z} , also endlich erzeugt (von einem einzigen Element). 2) Ein Körper K besitzt nur die Ideale (0) und K = (1), siehe auch Übungsaufgabe 4.3. Insbesondere ist K noethersch. Hilbert hat 1890 gezeigt, dass der Polynomring K[x1 , ... xn ] noethersch ist. Satz 4.3.4 (Hilbertscher Basissatz) Sei R ein noetherscher Ring, dann ist R[x] ebenfalls noethersch. Daraus erhalten wir mit Induktion nach der Anzahl der Variablen R[x1 , ... xn ] = R[x1 , ... , xn−1 ][xn ], und da K und Z noethersch sind: Korollar 4.3.5 Sei K ein Körper und n ∈ N. Dann ist der Polynomring K[x1 , ... xn ] in n Variablen noethersch. Ebenso ist Z[x1 , ... xn ] noethersch. Den Beweis des Hilbertschen Basissatzes würde hier den Rahmen sprengen. Er ist aber nicht schwierig, man betrachtet die Leitkoeffizienten in R von Polynomen in R[x]. Dass der Polynomring K[x] in einer Variable über einem Körper K noethersch ist, werden wir noch anderweitig in Abschnitt 4.6 sehen.

4.4

Faktorielle Ringe

In diesem Abschnitt diskutieren wir Ringe, in denen analog zu den ganzen Zahlen eine Primfaktorisierung existiert.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

4.4.1

152

Teilbarkeit und Zerlegung in irreduzible Elemente

Definition 4.4.1 Sei R ein kommutativer Ring, und seien a, b ∈ R. Dann heißt a ein Teiler von b, wenn es ein c ∈ R gibt mit a · c = b. Wir schreiben a | b. Lemma 4.4.2 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. 1) Für alle a ∈ R gilt a | 0 und a | a. 2) (Transitivität) Seien a, b, c ∈ R. Gilt c | b und b | a, dann c | a. 3) Jede Einheit in R teilt jedes Element von R, d.h. ist u ∈ R× und a ∈ R, dann u | a. 4) Jeder Teiler einer Einheit ist eine Einheit, d.h. ist a ∈ R und u ∈ R× und a | u, dann ist a ∈ R× . 5) Seien a, b, d ∈ R mit d | a und d | b. Dann gilt d | (xa + yb) für alle x, y ∈ R. 6) Seien a, b ∈ R. Dann ist (a) ⊂ (b) ⇐⇒ b | a. Sei R ein Integritätsring. 6) (Kürzungsregel) Für a, b, c ∈ R, c 6= 0 folgt aus ac = bc, dass schon a = b. 7) Sind a, b ∈ R, so gilt a | b und b | a ⇐⇒ ∃u ∈ R× mit a = u · b. Die Aussagen des Lemmas überlegen wir uns in Übung 4.15. Definition 4.4.3 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. 1) Zwei Elemente a, b ∈ R heißen assoziiert, wenn a | b und b | a, d.h. wenn gilt (a) = (b). Wir schreiben dann a ∼ b. Dies ist eine Äquivalenzrelation. 2) Ein Element q ∈ R, q 6= 0, q ∈ / R× heißt irreduzibel, wenn gilt q = a · b mit a, b ∈ R =⇒ a ∈ R× oder b ∈ R× . 3) Ein Element p ∈ R, p 6= 0, p ∈ / R× heißt Primelement, wenn gilt p | a · b mit a, b ∈ R =⇒ p | a oder p | b.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

153

Die Beziehung zu den Begriffen Primideal und maximales Ideal aus Abschnitt 4.2.2 stellt folgende Bemerkung her: Bemerkung 4.4.4 Für q ∈ R, q 6= 0, q ∈ / R× gilt (q) ist ein Primideal ⇐⇒ q ist Primelement, und für q ein Nichtnullteiler (q) ist ein maximales Ideal =⇒ q ist irreduzibel. Ist q irreduzibel, so muss (q) nicht maximal sein, betrachte zum Beispiel q = xy − 1 ∈ C[x, y], siehe auch Übung 4.14. Beweis. Die erste Äquivalenz folgt sofort aus a ∈ (q) ⇔ q | a. Sei (q) maximal und q = a · b mit a, b ∈ / R× , dann (q) $ (a), denn sonst 0 0 a = q · b , also 1 = b · b , ein Widerspruch. Satz 4.4.5 Ist R ein Integritätsring und p ∈ R, so gilt p prim =⇒ p irreduzibel. Beweis. Sei p prim und p = a · b, dann p | a · b also ohne Einschränkung p | a und somit a = p · r. Dies impliziert p = p · r · b, also mit der Kürzungsregel in Integritätsringen 1 = r · b und damit b ∈ R× . Beispiel 4.4.6 In Z/6 ist 2 prim (warum?), aber nicht irreduzibel, denn 2·4 = 2 und weder 2 noch 4 sind Einheiten, siehe Beispiel 4.2.4(4). Satz 4.4.7 Ist R noethersch, dann gilt: Jeder Nichtnullteiler a ∈ R mit a ∈ / R× ist ein Produkt a = q1 · ... · qr von irreduziblen Elementen. Beweis. Für a irreduzibel, ist nichts zu zeigen. Ist a reduzibel, etwa a = b · c mit b, c ∈ / R× , dann gilt (a) ( (b) und (a) ( (c). Wäre etwa (a) = (b), also b = a · r, dann 0 = a · (1 − r · c), ein Widerspruch zu c ∈ / R× . Wenn b und c irreduzibel sind, haben wir eine Zerlegung gefunden, anderenfalls zerlegen wir b bzw. c induktiv weiter. Bricht dieser Prozess nicht ab, so erhalten wir eine unendliche strikt aufsteigende Kette von Hauptidealen, ein Widerspruch.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

4.4.2

154

Zerlegung in Primelemente

Definition 4.4.8 Ein Integritätsring heißt faktoriell, wenn jedes a ∈ R mit a 6= 0, a∈ / R× ein Produkt a = p1 · ... · pr von Primelementen pi ist. Primelemente sind stets irreduzibel, in faktoriellen Ringen gilt auch die Umkehrung: Satz 4.4.9 Sei R faktoriell und a ∈ R, dann gilt a prim ⇐⇒ a irreduzibel. Beweis. Die eine Schlussrichtung ist Satz 4.4.5. Zur Umkehrung: Wäre a das Produkt von r ≥ 2 Primelementen, dann wäre a nicht irreduzibel. In der Darstellung a = p1 · ... · pr muss damit r = 1 und a = p1 prim sein. Satz 4.4.10 Ein Integritätsring R ist faktoriell genau dann, wenn jedes a ∈ R, a 6= 0, a ∈ / R× ein bis auf Permutation und Einheiten eindeutiges Produkt von irreduziblen Elementen ist. Das heißt, a lässt sich schreiben als a = p1 · ... · pr mit pi irreduzibel, und sind p1 · ... · pr = a = q1 · ... · qs zwei solcher Darstellungen, so ist r = s und es existiert eine Permutation σ ∈ Sr sodass pi ∼ qσ (i) . Beweis. Sei R faktoriell, also gibt es eine Zerlegung in irreduzible (äquivalent prime) Elemente. Zur Eindeutigkeit: Seien p1 · ... · pr = q1 · ... · qs zwei solcher Zerlegungen. Da p1 prim ist, gilt p1 | q j für ein j, ohne Einschränkung j = 1, also q1 = w · p1 und w ∈ R× (wegen q1 irreduzibel und p1 prim). Mit der Kürzungsregel folgt aus p1 · ... · pr = w · p1 · q2 · ... · qs ,

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

155

dass p2 · ... · pr = (w · q2 ) · ... · qs . Induktion nach r gibt die Behauptung. Umgekehrt müssen wir nur zeigen, dass jedes irreduzible Element prim ist: Sei q irreduzibel und q | a · b. Ist a eine Einheit, dann q | b, ist a = 0 dann q | a. Sind a, b ∈ / R× und a, b 6= 0, können wir schreiben a·b = q·w mit w ∈ / R× . Nach Voraussetzung haben a, b, w Zerlegungen in irreduzible Elemente. Setzen wir diese ein, liefert die Eindeutigkeit, dass q bis auf eine Einheit einer der irreduziblen Faktoren von a oder b sein muss, also q | a oder q | b. Somit ist q prim. Beispiel 4.4.11

1) Z ist faktoriell.

2) Der Integritätsring R = K[x, y, z, w]/ (xy − zw) ist nicht faktoriell, denn x¯y¯ = z¯w. ¯ Ergänzen Sie die Details dazu als Übung. Warum ist R ein Integritätsring? Da für noethersche Integritätsringe nach Satz 4.4.7 eine Zerlegung in irreduzible Elemente existiert, folgt sofort: Korollar 4.4.12 Ein noetherscher Integritätsring ist genau dann faktoriell, wenn jedes irreduzible Element auch prim ist. Beispiel 4.4.13 Der Ring h√ i n o √ R = Z −3 = a + b −3 | a, b ∈ Z ⊂ C ist nicht faktoriell, denn  √  √  4 = 2 · 2 = 1 − −3 1 + −3 sind√Zerlegungen in irreduzible (nicht-prime) Elemente und die Faktoren 2 und 1 ± −3 unterscheiden sich nicht nur um Einheiten:

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

156

• Wir bestimmen die Einheitengruppe: Ist  √   √  1 = a + b −3 · c + d −3 , dann folgt

1 = a2 + 3b2 · c2 + 3d 2 , also a, c = ±1 und b = d = 0, d.h. R× = Z× = {−1, +1} . √ • Wir zeigen, dass 2 und 1 ± −3 irreduzibel sind: Angenommen  √   √  2 = a + b −3 · c + d −3 oder

 √ √   √  1 ± −3 = a + b −3 · c + d −3

ist ein Produkt von Nichteinheiten. Nehmen wir das Betragsquadrat, erhalten wir in jedem Fall √ 2 √ 2

4 = a + b −3 · c + d −3 = a2 + 3b2 · c2 + 3d 2 , also a2 + 3b2 = c2 + 3d 2 = 2, was offenbar für a, b, c, d ∈ Z nicht möglich ist. Siehe auch Übungsaufgabe 4.16. Wir formulieren noch folgenden Satz zu faktoriellen Polynomringen (auf den wir noch zurückkommen werden): Satz 4.4.14 (Satz von Gauß) Sei R ein Integritätsring. Dann gilt R faktoriell ⇐⇒ R[x] faktoriell. Induktiv ist also für R faktoriell jeder Polynomring R[x1 , ... , xn ] faktoriell. Insbesondere gilt dies, falls R ein Körper ist.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

4.4.3

157

Größter gemeinsamer Teiler

Analog zum Konzept des größten gemeinsamen Teilers in Z formulieren wir: Definition 4.4.15 Sei R ein Integritätsring. Dann heißt d ∈ R ein größter gemeinsamer Teiler (kurz ggT oder gcd für greatest common divisor) von a1 , ... , ar ∈ R, wenn gilt 1) d | a j für alle j = 1, ... , r, d.h. d ist ein Teiler von allen a j , und 2) ist d˜ ∈ R ein Teiler aller a j , d.h. d˜ | a j für alle j = 1, ... , r, dann gilt d˜ | d. Bezeichne mit ggT(a1 , ... , ar ) die Menge aller größten gemeinsamen Teiler der Elemente a1 , ... , ar ∈ R. Ist d ein ggT von a1 , ... , ar , so gilt  ggT(a1 , ... , ar ) = u · d | u ∈ R× . Wir schreiben kurz ggT(a1 , ... , ar ) = d, das heißt d repräsentiert alle Elemente von ggT(a1 , ... , ar ) bis auf Assoziiertheit. Beweis. Sind d1 , d2 ∈ ggT(a1 , ... , ar ), dann d1 | d2 und d2 | d1 , nach Lemma 4.4.2 sind d1 und d2 also assoziiert. Ist umgekehrt d1 ∈ ggT(a1 , ... , ar ) und d2 = u · d1 mit u ∈ R× , so gilt auch d2 | a j ∀ j. Haben wir d˜ | a j ∀ j, dann nach Voraussetzung d˜ | d1 auch d˜ | d2 . Beispiel 4.4.16 Für Z ist Z× = {+1, −1}, also ggT(6, 15) = {−3, 3} = 3. Durch die Zusatzbedingung ggT > 0 ist in Z der ggT eindeutig bestimmt. Analog geht man für das kleinste gemeinsame Vielfache vor: Definition 4.4.17 Sei R ein Integritätsring. Dann heißt m ∈ R ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kurz kgV oder lcm für least common multiple) von a1 , ... , ar ∈ R, wenn gilt 1) a j | m für alle j = 1, ... , r, d.h. m ist ein Vielfaches aller a j , und 2) ist m˜ ∈ R ein Vielfaches aller a j , d.h. a j | m˜ für alle j = 1, ... , r, dann gilt m | m. ˜

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

158

Bezeichne mit kgV(a1 , ... , ar ) die Menge aller kleinsten gemeinsamen Vielfachen von a1 , ... , ar . Ist m ein kgV von a1 , ... , ar , so gilt  kgV(a1 , ... , ar ) = u · m | u ∈ R× . Wir schreiben kurz kgV(a1 , ... , ar ) = m. Definition 4.4.18 Elemente a1 , ... , ar in einem Integritätsring R heißen teilerfremd, wenn ggT(a1 , ... , ar ) = 1. Satz 4.4.19 Sei R faktoriell. Dann gibt es einen ggT und kgV von a1 , ... , ar ∈ R. Beweis. Sind

r

s

a j = u j · ∏i=1 pi j,i mit paarweise nicht-assoziierten Primelementen p1 , ... , ps und r j,i ≥ 0 und u j ∈ R× , dann ist s

min j {r j,i }

s

max j {r j,i }

ggT(a1 , ... , ar ) = ∏i=1 pi kgV(a1 , ... , ar ) = ∏i=1 pi

ein größter gemeinsamer Teiler bzw. ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. Ist eines der ai = 0, so gilt kgV(a1 , ... , ar ) = 0. Ist eines der ai 6= 0, so kann man alle a j = 0 beim ggT weglassen, anderenfalls gilt ggT(0, ... , 0) = 0. Sind a, b ∈ R\{0} und schreiben wir ggT(a, b) · kgV(a, b) := {d · m | d ∈ ggT (a, b) , m ∈ kgV (a, b)} = {u · a · b | u ∈ R× }, dann gilt mit obiger Notation ggT(a, b) · kgV(a, b) = a · b. Das heißt aber nur, ist d ∈ ggT(a, b) und m ∈ kgV(a, b), dann sind d · m und a · b assoziiert d · m ∼ a · b, äquivalent, es existieren d ∈ ggT(a, b) und m ∈ kgV(a, b) mit d · m = a · b.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

4.5

159

Hauptidealringe

Im Ring der ganzen Zahlen ist jedes Ideal von einem einzigen Element erzeugt. Es gibt eine wesentlich größere Klasse von Ringen mit dieser Eigenschaft. Wir bezeichnen diese als Hauptidealringe: Definition 4.5.1 Sei R ein kommutativer Ring. Ein Ideal I ⊂ R, das von einem einzigen Element a ∈ R erzeugt wird, d.h. von der Gestalt I = (a) , heißt Hauptideal. Einen Integritätsring R, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, nennt man einen Hauptidealring. Da ein Ideal, das von einem einzigen Element erzeugt wird, insbesondere endlich erzeugt ist, gilt: Satz 4.5.2 Jeder Hauptidealring ist noethersch. Nach Satz 4.4.5 sind in einem Integritätsring Primelemente stets irreduzibel. In Hauptidealringen ist auch die Umkehrung richtig: Satz 4.5.3 In einem Hauptidealring gilt p irreduzibel =⇒ p prim. Mit Satz 4.5.2 und 4.4.12 folgt daraus sofort: Korollar 4.5.4 Hauptidealringe sind faktoriell. Wir zeigen Satz 4.5.3: Beweis. Sei p irreduzibel und p | ab. Es ist (p) ⊂ (p, a) und (p) ⊂ (p, b). Es können nicht (p, a) und (p, b) beide gleich (1) sein, denn sonst gäbe es ri , si mit r1 a + s1 p = 1 = r2 b + s2 p, also 1 = (r1 a + s1 p) · (r2 b + s2 p) = r1 r2 ab + r1 as2 p + s1 r2 bp + s1 s2 p2 ∈ (p) . Somit ist ohne Einschränkung (p, a) = (d) & R mit d ∈ / R× , also p = cd und a = ed mit c, e ∈ R. Da p irreduzibel ist, folgt c ∈ R× und damit a = ec−1 p ∈ (p), d.h. p | a. In einem Hauptidealring existiert somit nach Satz 4.4.19 ein größter gemeinsamer Teiler. Der folgende Satz 4.5.5 zeigt, dass ein größter gemeinsamer Teiler der Erzeuger eines Ideals, schon das Ideal erzeugt. Dies ist für faktorielle Ringe im Allgemeinen nicht richtig (wie wir uns im nachfolgenden Beispiel 4.5.7 und Übung 4.18 überlegen werden).

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

160

Satz 4.5.5 Sei R ein Hauptidealring und a1 , ... , ar ∈ R. Dann gilt: 1) Das von Elementen a1 , ... , ar erzeugte Ideal wird schon vom größten gemeinsamen Teiler erzeugt, d.h. (a1 , ... , ar ) = (ggT(a1 , ... , ar )) . Insbesondere lässt sich der ggT darstellen als ggT(a1 , ... , ar ) = x1 a1 + ... + xr ar mit xi ∈ R. 2) Der Durchschnitt der von a1 , ... , ar erzeugten Hauptideale wird vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen erzeugt, d.h. (a1 ) ∩ ... ∩ (ar ) = (kgV(a1 , ... , ar )) . Bemerkung 4.5.6 Die Ideale (ggT(a1 , ... , ar ))

und

(kgV(a1 , ... , ar ))

sind wohldefiniert, denn nach Lemma 4.4.2 gilt a ∼ b genau dann, wenn (a) = (b). Wir zeigen nun Satz 4.5.5: Beweis. 1) Da R ein Hauptidealring ist, gibt es ein d ∈ R mit (a1 , ... , ar ) = (d) = {v ∈ R | d teilt v} , also d | ai für alle i. Weiter gibt es xi ∈ R mit d = x1 a1 + ... + xr ar . Somit ist jeder Teiler von allen ai schon ein Teiler von d, also d = ggT(a1 , ... , ar ). 2) Da R ein Hauptidealring ist, gibt es ein m ∈ R mit (a1 ) ∩ ... ∩ (ar ) = (m) . Damit ist m ∈ (ai ), d.h. ai | m für alle i. Gilt ai | m˜ für alle i, d.h. m˜ ∈ (ai ) für alle i, also m˜ ∈ (a1 ) ∩ ... ∩ (ar ) = (m) , dann m | m. ˜ Insgesamt erhalten wir m = kgV(a1 , ... , ar ).

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

161

Beispiel 4.5.7 1) Der Ring der ganzen Zahlen Z ist ein Hauptidealring, denn jedes Ideal hat die Form nZ = (n) . Wir erinnern uns an Beispiel 2.3.23, wo wir schon für die Ideale aufgefasst als abelsche Gruppen (n, m) = mZ + nZ = (ggT(n, m)) gezeigt haben. Beispielsweise ist (6, 10) = (ggT(6, 10)) = (2) . Eine Darstellung 2 = 2 · 6 + (−1) · 10 wie in Satz 4.5.5 erhalten wir mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Weiter ist (6) ∩ (10) = {gemeinsame Vielfache von 6 und 10} = (kgV(6, 10)) = (30) (was wir bereits in Beispiel 2.3.23 für die abelschen Gruppen gesehen haben). 2) Sei K ein Körper. Der Polynomring in (mindestens) 2 Variablen K[x, y] ist kein Hauptidealring, denn das Ideal (x, y) lässt sich nicht von einem einzigen Element erzeugen. Siehe auch Übung 4.18. Nach dem Satz von Gauß 4.4.14 ist K[x, y] faktoriell, es existiert also der ggT(x, y), jedoch gilt (x, y) $ (ggT(x, y)) = (1) = K[x, y]. 3) Dagegen ist der Polynomring K[x] in einer Variablen über einem Körper K ein Hauptidealring, wie wir mit Hilfe des euklidischen Algorithmus sehen werden. In Hauptidealringen gilt auch die Umkehrung von Bemerkung 4.4.4: Bemerkung 4.5.8 Ist R ein Hauptidealring und q ∈ R, q ∈ / R× , q 6= 0, dann gilt (q) ist maximales Ideal ⇐⇒ q ist irreduzibel. Beweis. Sei q irreduzibel und (q) ⊂ (a) ⊂ R. Dann gibt es ein b ∈ R mit q = a · b. Somit ist a ∈ R× oder b ∈ R× , also (a) = R oder (a) = (q), das heißt (q) maximal. Der Nachweis, dass zum Beispiel Z und K[x] Hauptidealringe sind, erfolgt stets nach demselben Schema. Wir abstrahieren daher den wesentlichen Teil:

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

4.6

162

Euklidische Ringe

Definition 4.6.1 Ein euklidischer Ring ist ein Paar (R, δ ) aus einem Integritätsring R und einer Abbildung δ : R\{0} −→ N0 sodass für je zwei Elemente a, b ∈ R\{0} Elemente g, r ∈ R existieren mit 1) a = g · b + r

und

2) r = 0 oder δ (r) < δ (b). Wir bezeichnen dies als Division von a durch b mit Rest r. Die Abbildung δ heißt euklidische Norm. Beispiel 4.6.2 1) Der Ring der ganzen Zahlen Z ist euklidisch mit der Betragsabbildung δ (n) = |n| und der üblichen ganzzahligen Division mit Rest zur Bestimmung von g und r. 2) Sei K ein Körper. Der Polynomring R = K[x] in einer Variablen ist ein euklidischer Ring mit der Gradabbildung δ ( f ) = deg( f ) und der üblichen Polynomdivision mit Rest zur Berechnung von g und r. Konkrete Beispiele: Teilen wir a = x2 + 12 x + 21 durch b = 2x − 1 erhalten wir x2 + 12 x + 12

( 12 x) · (2x − 1) + x + 12 1 1 = ( x + ) · (2x − 1) + |{z} 1 | 2 {z 2 } =




r

g

also δ (r) = 0 < 1 = δ (b). Teilen wir a = xn − 1, n ≥ 1 durch b = x − 1 erhalten wir xn − 1


xn−1
· (x − 1) + xn−1 − 1
xn−1 + xn−2 · (x − 1) + xn−2 − 1 .. .. . .
n−1 n−2 0 = x +x + ... + x + 1 · (x − 1) + |{z} {z } |

= =

g

r

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

163

3) Z[x] ist kein euklidischer Ring. Siehe auch Übungsaufgabe 4.18. 4) Der Ring der Gaußschen Zahlen R = Z[i] = {a1 + i · a2 | a1 , a2 ∈ Z} ⊂ C ist euklidisch mit δ : R\{0} −→ Z≥0 δ (a1 + i · a2 ) = |a1 + i · a2 |2 = a21 + a22 . Die Abbildung δ setzt sich zum Betragsquadrat |−|2 : C −→ R≥0 fort, also gilt |z · w|2 = |z|2 · |w|2 . Seien a, b ∈ Z[i], a, b 6= 0. Wir müssen die Existenz von g, r ∈ Z[i] mit a = g · b + r und |r|2 < |b|2 zeigen: Wir können den Quotienten ab ∈ C durch Runden von Real- und Imaginärteil mit einer Gaußschen Zahl g = n + i · m ∈ Z[i] approximieren, sodass für die Differenz a w = −g ∈ C b gilt |Im w| ≤ 12 . |Re w| ≤ 21 Somit

 2  2 1 1 1 |w| ≤ + = , 2 2 2 2

also erfüllt der Rest r = a − b · g = b · w, dass |r|2 ≤

1 2 |b| < |b|2 . 2

Konkretes Beispiel: Wir teilen −1 + 12i durch 3 + 4i in Z[i]: −1 + 12i (−1 + 12i) (3 − 4i) 9 8 = = + i. 3 + 4i 25 5 5 Mit g = 2 + 2i

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

164

gilt −2+14i

r

z }| { z }| { −1 + 12i = g · (3 + 4i) + (1 − 2i) und der Rest hat eine kleinere Norm als der Divisor: δ (1 − 2i) = 5 < 25 = δ (3 + 4i). Mit Hilfe der Division mit Rest zeigt man z.B. den folgenden Satz über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms: Satz 4.6.3 Sei K ein Körper und 0 6= f ∈ K[x]. Dann hat f maximal deg( f ) Nullstellen. Beweis. Vollständige Induktion nach d = deg( f ): Für d = 0 ist f 6= 0 konstant, hat also keine Nullstelle. Ist d > 0 und x0 eine Nullstelle von f , so gibt Division mit Rest g, r ∈ K[x] mit f = g · (x − x0 ) + r und deg(r) < 1. Wegen f (x0 ) = r(x0 ) = 0 ist r = 0, also f = g · (x − x0 ). Wegen deg(g) = d − 1 folgt die Behauptung nach Induktionsvoraussetzung. Satz 4.6.4 Euklidische Ringe sind Hauptidealringe. Beweis. Sei (R, δ ) ein euklidischer Ring und I ⊂ R ein Ideal. Das Ideal I = (0) ist ein Hauptideal. Für I 6= (0) gibt es ein b ∈ I\{0} mit δ (b) minimal. Sei a ∈ I beliebig und a = g · b + r mit r = 0 oder δ (r) < δ (b). Da mit a und b auch r ∈ I ist, muss r = 0 sein, denn sonst hätten wir ein Element kleinerer Norm gefunden. Also ist a ∈ (b). Es folgt I ⊂ (b) ⊂ I. Somit sind euklidische Ringe auch faktoriell und noethersch. Insbesondere gilt dies also für die ganzen Zahlen Z, den Polynomring K[x] in einer Variablen über einem Körper und den Ring der Gaußschen Zahlen Z [i]. Weitere Beispiele werden wir in Übungsaufgabe 4.23 sehen. Ohne Beweis bemerken wir: h √ i Bemerkung 4.6.5 Der Ring Z 1+ 2−19 ist ein Hauptidealring, aber kein euklidischer Ring.1 In euklidischen Ringen kann man analog zu Z und K[x] die Division mit Rest und den euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT durchführen. Dies gibt eine Methode, um den ggT effizient zu berechnen, ohne wie in faktoriellen Ringen auf die (im Vergleich dazu ineffiziente) Faktorisierung in Primelemente zurückgreifen zu müssen. 1 Für

einen Beweis siehe z.B. [40, Bsp. 1.29].

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

165

Satz 4.6.6 (Euklidischer Algorithmus) Sei (R, δ ) ein euklidischer Ring und seien a1 , a2 ∈ R\{0}. Dann terminiert die sukzessive Division mit Rest a1 = q1 a2 + a3 .. .

δ (a3 ) < δ (a2 )

a j = q j a j+1 + a j+2 .. . an−2 = qn−2 an−1 + an an−1 = qn−1 an + 0

δ (a j+2 ) < δ (a j+1 ) δ (an ) < δ (an−1 ) an+1 = 0

und ggT(a1 , a2 ) = an . Rückwärtseinsetzen an = an−2 − qn−2 an−1 .. . a3 = a1 − q1 a2 liefert eine Darstellung ggT(a1 , a2 ) = x · a1 + y · a2 mit x, y ∈ R. Beweis. Der Beweis für Z lässt sich direkt übertragen. Alternativ kann man folgendermaßen argumentieren: In jedem Schritt j = 1, ... , n − 1 gilt ! ! ! a j+1 qj 1 aj · = , 1 0 a j+2 a j+1 also mit n−1

Q= ∏

j=1

und an+1 = 0 Q·

an 0

qj 1 1 0

! =

!

a1 a2

! .

Somit sind a1 , a2 ∈ (an ) und, da Q wegen det Q = ±1 in R2×2 invertierbar ist, auch

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

166

an ∈ (a1 , a2 ) , also (an ) = (a1 , a2 ) , d.h. an ist ein größter gemeinsamer Teiler von a1 und a2 . Beispiel 4.6.7 Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler von f = x4 + x3

und

g = x4 − 1

in Q[x] mit dem euklidischen Algorithmus

x4 + x3 = 1 · x4 − 1 + x3 + 1
x4 − 1 = x · x3 + 1 + (−x − 1)
x3 + 1 = −x2 + x − 1 · (−x − 1) + 0, also ggT( f , g) = x + 1 und damit
x4 + x3 , x4 − 1 = (x + 1) . Man beachte, dass im Polynomring K[x] über einem Körper K der ggT nur eindeutig bis auf Einheiten K[x]× = K × = K\{0} ist. Der ggT wird eindeutig, indem wir den Leitkoeffizienten festlegen als LC(ggT( f , g)) = 1. Beispiel 4.6.8 Wir bestimmen den ggT von 3 + 4i und −1 + 12i in Z[i]: In Beispiel 4.6.2 haben wir schon gesehen, dass die Division mit Rest von −1 + 12i durch 3 + 4i −1 + 12i = (2 + 2i) · (3 + 4i) + (1 − 2i) ergibt. Bei der nächsten Division im euklidischen Algorithmus 3 + 4i (3 + 4i) (1 + 2i) −5 + 10i = = = −1 + 2i ∈ Z [i] 1 − 2i 5 5 bleibt kein Rest, und damit gilt ggT(3 + 4i, − 1 + 12i) = 1 − 2i. Der ggT ist nur eindeutig bis auf Einheiten Z [i]× = {1, −1, i, −i}, also sind alle größten gemeinsamen Teiler ggT(3 + 4i, − 1 + 12i) = {1 − 2i, − 1 + 2i, 2 + i, − 2 − i} . Siehe auch Übungsaufgabe 4.24.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

4.7

167

Übungsaufgaben

Übung 4.1 Stellen Sie die Verknüpfungstafeln der Multiplikation und Addition des Rings Z/10 auf. Welche Elemente von Z/10 sind Einheiten und welche Nullteiler? Geben Sie auch die Gruppentafel der Einheitengruppe (Z/10)× an. Können Sie ein Kriterium formulieren, wann ein Element von Z/nZ eine Einheit oder ein Nullteiler ist? Übung 4.2 Geben Sie dem äußeren direkten Produkt ( ) [ ∏ Rα = f f : I → Rα mit f (α) ∈ Rα ∀α α∈I α∈I wobei I 6= ∅ eine Indexmenge und (Rα )α∈I eine Familie von Ringen ist, eine Ringstruktur. Zeigen Sie, dass Abb(X, R) ein Spezialfall ist (deshalb schreibt man auch Abb (X, R) = RX ). Übung 4.3 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und I ⊂ R ein Ideal. Zeigen Sie: I = R genau dann, wenn I ∩ R× 6= 0. / Übung 4.4 Zeigen Sie: 1) Jeder Integritätsring mit endlich vielen Elementen ist ein Körper. 2) In einem endlichen Ring ist jedes Element entweder eine Einheit oder ein Nullteiler. √  Übung 4.5 Wir bestimmen die Einheitengruppe R× des Rings R = Z 2 . Zeigen Sie dazu: 1) ±1 ∈ R×  √  2) ± 1 ± 2 ∈ R× √ 3) Ist a + b 2 ∈ R× , dann gilt a2 − 2b2 = ±1. √ 4) Ist a + b 2 ∈ R× , dann gibt es n1 , n2 ∈ Z≥0 mit  √ √ n1  √ n2 a+b 2 = ± 1+ 2 1− 2 . Hinweis: Vollständige Induktion nach |a|.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

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5) Folgern Sie, dass n  o √ n R = ± 1+ 2 | n ∈ Z . ×

Übung 4.6 Sei ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie: 1) Ist J ⊂ S ein Ideal, dann ist ϕ −1 (J) ein Ideal. Insbesondere ist ker ϕ ein Ideal. 2) Ist ϕ surjektiv und I ⊂ R ein Ideal, dann ist ϕ(I) ein Ideal. Geben Sie ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass dies ohne die Voraussetzung ϕ surjektiv im Allgemeinen nicht richtig ist. Übung 4.7 Sei R ein Ring. Ein Element x ∈ R heißt nilpotent, wenn es ein n ∈ N gibt mit xn = 0. Zeigen Sie: Ist x nilpotent und R ein Ring mit 1, dann ist 1 − x eine Einheit in R. Übung 4.8 Sei R ein kommutativer Ring. Zeigen Sie, dass I = {a ∈ R | ∃n ∈ N mit an = 0} ein Ideal in R ist. Bestimmen Sie dieses für R = Z/12. Übung 4.9 Sei R ein Integritätsring und S = R\{0}. Wir konstruieren den Ring von Brüchen o nr | r ∈ R, s ∈ S Q(R) = s als Q(R) = (R × S) / ∼ mit der Äquivalenzrelation
(r, s) ∼ r0 , s0 ⇔ rs0 − sr0 = 0 und schreiben rs := [(r, s)]. Addition und Multiplikation sind gegeben durch r1 r2 r1 s2 + r2 s1 + = s1 s2 s1 s2 r1 r2 r1 r2 · = . s1 s2 s1 s2 Zeigen Sie: 1) Addition und Multiplikation sind wohldefiniert und Q(R) ist ein Körper. 2) j : R → Q(R), r 7→

r 1

ist ein Monomorphismus.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

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3) Universelle Eigenschaft: Ist K ein Körper und ϕ : R → K ein Monomorphismus, dann existiert genau ein Monomorphismus ϕ˜ : Q(R) → K, sodass ϕ = ϕ˜ ◦ j. Übung 4.10 In Verallgemeinerung von Aufgabe 4.9 hat man folgende Konstruktion: Sei R ein kommutativer Ring mit 1. 1) Eine Menge S ⊂ R heißt multiplikativ abgeschlossen, wenn 1 ∈ S und s1 , s2 ∈ S ⇒ s1 s2 ∈ S. Zeigen Sie:  (a) Ist f ∈ R, dann ist S = 1, f , f 2 , ... multiplikativ abgeschlossen. (b) Ist P ⊂ R ein Primideal, dann ist S = R\P multiplikativ abgeschlossen. 2) Wir konstruieren den Ring von Brüchen o   nr R S−1 = | r ∈ R, s ∈ S s  −1  als R S = (R × S) / ∼ mit

(r, s) ∼ r0 , s0 ⇔ ∃t ∈ S : t rs0 − sr0 = 0 und schreiben rs := [(r, s)]. Addition und Multiplikation sind gegeben durch r1 r2 r1 s2 + r2 s1 + = s1 s2 s1 s2 r1 r2 r1 r2 · = . s1 s2 s1 s2 Zeigen Sie:   (a) R S−1 ist ein kommutativer Ring mit 1.   (b) j : R → R S−1 , r 7→ 1r ist ein Ringhomomorphismus.   (c) Universelle Eigenschaft von R S−1 :   Der Ringhomomorphismus j : R → R S−1 bildet alle Elemente von S auf Einheiten ab. Ist ϕ :R→T ein Ringhomomorphismus, sodass jedes Element s ∈ S auf eine Einheit ϕ (s) ∈ T abgebildet wird, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus   ϕ˜ : R S−1 → T, sodass ϕ = ϕ˜ ◦ j.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

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  (d) Ist S die Menge der Nichtnullteiler von R und Q(R) = R S−1 der sogenannte totale Quotientenring von R, dann ist jeder Nichtnullteiler in Q(R) eine Einheit. (e) Ist R ein Integritätsring, dann ist Q(R) ein Körper (der Quotientenkörper von R). Jede Inklusion von R in einen Körper K setzt sich durch die universelle Eigenschaft auf Q(R) fort. Übung 4.11 Sei K ein Körper. Der formale Potenzreihenring K[[x]] ist die Menge i der Reihen ∑∞ i=0 f i x mit f i ∈ K (ohne irgendeine Konvergenzbedingung). Eine solche Reihe ist durch die Koeffizientenfolge f : N0 j

→ 7 →

K fj

eindeutig bestimmt. Somit steht K[[x]] in Bijektion mit der Menge aller Abbildungen von N0 nach K. Die Ringstruktur auf K[[x]] = K N0 = { f | f : N0 → K Abbildung} ist in Termen der Koeffizienten f ( j) = f j folgendermaßen gegeben: Komponentenweise Addition + : K[[x]] × K[[x]] −→ K[[x]] ( f , g) 7−→ f + g : N0 → K ( f + g) ( j) = f ( j) + g( j) und Multiplikation durch · : K[[x]] × K[[x]] −→ K[[x]] ( f , g) 7−→ f · g : N0 → K k

( f · g) (k) = ∑ f (i)g(k − i). i=0

Zeigen Sie: 1) K[[x]] ist ein kommutativer Ring mit 1. 2) K[[x]] ist ein Integritätsring.   ∞ 3) K[[x]]× = ∑ fi xi | f0 6= 0 . i=0

Übung 4.12 Zeigen Sie: Es gibt keinen Körper mit genau 6 Elementen. Gibt es einen Körper mit genau 4 Elementen?

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

171

Übung 4.13 Bestimmen Sie alle Elemente von K = F2 [x]/ x2 + x + 1




und die Additions- und Multiplikationstabelle von K. Zeigen Sie, dass K ein Körper ist. Welche Charakteristik hat K? Übung 4.14

1) Bestimmen Sie I = { f ∈ Q[x] | f (0) = 0}

und zeigen Sie, dass I ⊂ Q[x] ein maximales Ideal ist. 2) Zeigen Sie, dass I = (xy − 1) ⊂ C[x, y] ein Primideal ist.
3) Ist F3 [x]/ x2 + x + 1 ein Integritätsring? Übung 4.15 Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeigen Sie: 1) Für alle a ∈ R gilt a | 0 und a | a. 2) Seien a, b, c ∈ R. Gilt c | b und b | a, dann c | a. 3) Für alle u ∈ R× und a ∈ R gilt u | a. 4) Ist a ∈ R und u ∈ R× und a | u, dann ist a ∈ R× . 5) Seien a, b, d ∈ R mit d | a und d | b. Dann gilt d | (xa + yb) für alle x, y ∈ R. 6) Seien a, b ∈ R. Dann ist (a) ⊂ (b) ⇐⇒ b | a. Sei R ein Integritätsring. Zeigen Sie: 6) Für a, b, c ∈ R, c 6= 0 folgt aus ac = bc, dass schon a = b. 7) Sind a, b ∈ R, so gilt a | b und b | a ⇐⇒ ∃u ∈ R× mit a = u · b. Übung 4.16 Sei R=Z

o h√ i n √ −5 = a + b −5 | a, b ∈ Z ⊂ C.

1) Bestimmen Sie die Einheitengruppe R× . 2) Zeigen Sie, dass R nicht faktoriell ist.

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

172

3) Zeigen Sie, dass R noethersch ist. Übung 4.17 Sei Fq ein endlicher Körper mit q Elementen. 1) Zeigen Sie, dass es unendlich viele irreduzible Polynome in Fq [x] gibt, indem Sie Euklids Beweis für Z auf den Polynomring Fq [x] übertragen. 2) Bestimmen Sie alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad ≤ 4 in F2 [x]. Übung 4.18 Sei K ein Körper. 1) Zeigen Sie: Das Ideal (x, y) ⊂ K[x, y] ist kein Hauptideal. 2) Ist Z[x] ein Hauptidealring? Übung 4.19 Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass der formale Potenzreihenring K[[x]] ein Hauptidealring ist. Übung 4.20 Sei R = { f ∈ Q[x] | f (0) ∈ Z} . Zeigen Sie: 1) R ist ein Ring. 2) Jedes von zwei Elementen erzeugte Ideal von R ist ein Hauptideal. 3) Das Ideal I=

 x | n ∈ N ⊂R 2n

ist kein Hauptideal. 4) Jedes endlich erzeugte Ideal von R ist ein Hauptideal. 5) R ist nicht noethersch. Übung 4.21 Sei K ein Körper und (a1 , ... , an ) ∈ K n . Zeigen Sie: (x1 − a1 , ... , xn − an ) ⊂ K[x1 , ... , xn ] ist ein maximales Ideal. Übung 4.22 Bestimmen Sie alle maximalen Ideale von R[x].

KAPITEL 4. ANHANG: ORDNUNG IM RINGZOO

173

√ Übung 4.23 Zeigen Sie für n = −1, −2, 2, 3, dass R = Z [ n] zusammen mit δ:

R\{0} √ a+b n

→ N0 √ √ 7→ |(a + b n) (a − b n)|

ein euklidischer Ring ist. Geben Sie ein Verfahren an, um die Division mit Rest durchzuführen. Übung 4.24 1) Finden Sie alle größten gemeinsamen Teiler von 1 + 5i und −1 + 5i in dem Ring Z [i]. 2) Bestimmen Sie jeweils einen Erzeuger der Ideale √ √
√  (2 − i, 2 + i) ⊂ Z[i] 11 + 8 3, 7 + 2 3 ⊂ Z 3 . √ Übung 4.25 Schreiben Sie ein M APLE Programm, das in R = Z [ n] jeweils für n = −1, −2, 2, 3 die Division mit Rest und den euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT durchführt.

Index abelsch, 8 adjungiert, 110 algebraisch, 110 algebraisch abgeschlossen, 125 algebraische Geometrie, 1 algebraische Zahlen, 114 algebraischer Abschluss, 125 alternierende Gruppe, 16 Assoziativität, 8 assoziiert, 152 auflösbar, 76 Automorphismengruppe, 35 Bahn, 24 Bahnengleichung, 39 Bewegungsgruppe, 20 Bild, 14 Cardano, Geronimo, 2 Cauchy, 60 Cayley, Satz von, 29 Charakteristik, 106 Diskriminante, 1 Division mit Rest, 162 einfach, 75 einfache Gruppe, 54 einfache Körpererweiterung, 112 Einheit, 144, 146 Einheitengruppe, 144, 146 Einheitswurzeln, 16 endlich erzeugt, 149

Epimorphismus, 15 Erster Isomorphiesatz, 49 Erzeuger, 17 Erzeuger und Relationen, 43 euklidische Bewegungen, 20 euklidische Norm, 162 euklidischer Algorithmus, 165 euklidischer Ring, 162 faktorieller Ring, 154 Ferrari, Lodovico, 2 formale Ableitung, 128 formaler Potenzreihenring, 170 freie Gruppe, 10 Frobenius, 127 Fundamentalsatz der Algebra, 126 Galois, Évariste, 1 Galoistheorie, 119 Gaußsche Zahlen, 147 gcd, 157 ggT, 157 größter gemeinsamer Teiler, 157 Grad, 111 Grad einer Körpererweiterung, 104 Gradsatz, 105 Gruppe, 8 Gruppe der Restklassen, 12 Gruppe der Selbstabbildungen, 9, 18, 29 Gruppenhomomorphismus, 14 Gruppenoperation, 18

174

INDEX Halbgruppe, 8 Hauptideal, 159 Hauptidealring, 159 Hauptreihe, 79 Hilbertscher Basissatz, 151 Homomorphiesatz für Gruppen, 47 Index, 31 Indexformel, 31 Innere Automorphismen, 35 Integritätsring, 144, 146 Inverses, 8 irrational, 101 irreduzibel, 152 Isomorphismus, 15 K-Automorphismus, 119 K-Homomorphismus, 119 Körper, 144, 146 Körpererweiterung, 104 Körperhomomorphismus, 106 Kartesisches Produkt, 10 Kern, 14 Kettenregel, 128 kgV, 157 Klassengleichung, 55 Klassifikation von Gruppen, 54 Kleinsche Vierergruppe, 47, 54 kleinstes gemeinsames Vielfaches, 157 kommutativ, 8 kommutativer Ring mit 1, 143 Kommutativgesetz, 8 kommutiert, 118 Kompositionsreihe, 54, 79 Konjugation, 32 Konjugationsklassen, 32 Konjugationsklassen von Untergruppen, 44 Kronecker, Satz von, 116 Lagrange, Satz von, 32 lcm, 157

175 Linksoperation, 18 maximales Ideal, 148 mehrfache Nullstelle, 128 Minimalpolynom, 111 Monoid, 8 Monomorphismus, 15 Nebenklassen, 30 neutrales Element, 8 Noether, Emmy, 150 noethersch, 150 normale Körpererweiterung, 123 Normalisator, 66 normalisiert, 49 Normalteiler, 41 Nullstelle, 128 Nullteiler, 144, 146 nullteilerfrei, 146 Oberkörper, 104 Operation, 18 Orbit, 24 Ordnung, 8 Ordnung eines Gruppenelements, 17 orthogonale Gruppe, 20 p-Gruppe, 60 p-Sylowuntergruppe, 64 Partition, 34 Permutationsmatrix, 19 Potenzreihenring, 170 Primelement, 152 Primideal, 148 primitives Element, 112 Primkörper, 107 Produktregel, 128 Quotient, 25 Quotientenabbildung, 25 Quotientengruppe, 42 Quotientenkörper, 148

INDEX Rechtsoperation, 18 Relationen, 43 Repräsentanten, 25 Restklassengruppe, 12, 143 Satz vom primitiven Element, 131 Satz von Burnside, 81 Signatur, 16 Signum, 16 spezielle Bewegungsgruppe, 21 spezielle lineare Gruppe, 11 spezielle orthogonale Gruppe, 20 Stabilisator, 25 Subnormalreihe, 76 Sylowsätze, 64 Symmetriegruppe, 21 symmetrische Gruppe, 10 Tartaglia, Nicolo, 2 Teiler, 152 teilerfremd, 158 Tetraeder, 38 totaler Quotientenring, 170 transitiv, 67 Transposition, 10, 26 transzendent, 111 treu, 19 Untergruppe, 11 Unterkörper, 104 Verknüpfungstafel, 29 vollständiges Repräsentantensystem, 25 Wort, 10 Zentralisator, 55 Zentrum, 35 zerfällender Körper, 115 Zerfällungskörper, 115 Zweiter Isomorphiesatz, 51 Zwischenkörper, 105 Zykel, 26

176 Zykeltyp, 34 zyklisch, 17

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