Dynamik selbsttätiger Regelungen. Band 1 Allgemeine und mathematische Grundlagen: Stetige und unstetige Regelungen, Nichtlinearitäten [2. Aufl. Reprint 2019] 9783486779431, 9783486779424

Table of contents :
VORWORT
INHALTSVERZEICHNIS
I. EINLEITUNG
II. GRUNDLAGEN
III. STETIGE REGELUNGEN
IV. NIC HTLINEARITÄTEN
V. UNSTETIGE REGELUNGEN
VI. DIE ZWECKMASSIGE ANWENDUNG DER VERSCHIEDENEN REGELUNGSARTEN
ANHANG
SCHRIFTTUM
SACH- und NAMENVERZEICHNIS

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DYNAMIK SELBSTTÄTIGER R E G E L U N G E N l.BAND ALLGEMEINE

UND MATHEMATISCHE

STETIGE U N D

UNSTETIGE

GRUNDLAGEN

REGELUNGEN

NICHTLINEARITÄTEN

V O N

D R . - I N G . R U D O L F C. O L D E N B O U R G UND DR.-ING. H A N S

MIT

112 B I L D E R N

SARTORIUS

UND

EINER

TAFEL

2. A U F L A G E

VERLAGVON

R.OLDENBOURG

MÜNCHEN

1951

C o p y r i g h t 1 il 51 by R. O l d e n b o u r g • M ü n c h e n G e s e t z t in d e r O f f i z i n H a a g - D r u g u I i n in L e i p z i g M 1 0 3 V E B 5725 ",0 D r u c k und l i u o h b i n d e r a r b e i t e n : R . O l d e n b o u r g , Graphi sehe B e t r i e b e G.m.b.H., München

VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE Die selbsttätige Regelung, ehemals ein bescheidenes Sondergebiet des Kraftmaschinenbaues, hat sich in den letzten Jahrzehnten nahezu alle Zweige der Technik und Naturwissenschaften erschlossen und steht heute auf den mannigfaltigsten Gebieten im Blickpunkt allgemeinen Interesses. Wohl oder übel müssen sich deshalb weite Kreise von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern mit der Regelungstechnik befassen. Viele werden es schließlich aber mit Freude tun, denn ein eigenartiger Reiz dieses Gebietes zieht auch den zunächst nur flüchtig mit ihm in Berührung Kommenden oftmals nachhaltig in seinen Bann. Und doch ist der Weg zu diesem Wissenszweig nicht leicht. Beide, der Praktiker wie der Theoretiker, müssen sich zunächst ein gehöriges Maß von Erfahrung erarbeiten. Der theoretisch Interessierte muß darüber hinaus noch über ein entsprechendes mathematisches Rüstzeug verfügen, das wegen der V ielfalt der auftretenden Probleme nicht als Allgemeingut des Ingenieurs angesehen werden kann. Die zwar reichhaltige, doch sehr verstreute einschlägige Literatur enthält zum Teil sehr wertvolle Arbeiten, die aber meist nur eng uml issene Teilgebiete behandeln. Ihr Studium ist deshalb und infolge des Fehlens einer einheitlichen Sprache und Symbolik recht mühsam, und es ist für den Anfänger nicht leicht, die Spreu vom Weizen zu scheiden. Die Anforderungen, die an eine geschlossene, allgemeingültige Darstellung der dynamischen Gesetzmäßigkeiten von Regelungen gestellt werden, sind naturgemäß sehr verschieden. Der Anfänger erhofft eine gut verständliche Einführung in die grundlegenden Gedankengänge, der erfahrene Regelungstechniker aber erwartet die Lösung ihn interessierender Fragen oder zumindest Anregungen für seine eigene Arbeit. Der Praktiker schließlich sucht eine klare Bestätigungund Weiterführung seiner Erfahrung, herausgelöst von aller Theorie. Wenn nun in diesem Buch trotz dieser Schwierigkeiten eine Darstellung dieses Gegenstandes versucht wurde, so konnte dies nur unter manchem schweren Verzicht auf Vollständigkeit geschehen. Absicht war, die gleichartigen Wesenszüge aller Regelungen, die »Dynamik« der Regelung, entkleidet aller gerätetechnischen und technologischen Einzelheiten, herauszustellen. Breitester Raum wurde dabei den regeltechnischen und mathematischen Grundlagen eingeräumt, was der Fachmann zwar als Ballast empfinden, der weniger Geschulte aber wahrscheinlich begrüßen wird. Manchem wird vielleicht der mathematische Aufwand übertrieben erscheinen. Dies mag wohl für einzelne der berechneten Probleme zutreffend sein, die aber in manchen Fällen nur als einfache Beispiele für die verwendeten Rechenverfahren zu werten sind. Im übrigen darf man bei dem heutigen Stand der Regelungstechnik von der Theorie Fortschritte nur dann erwarten, wenn man auch in der Lage ist, sich aller Vorteile zu bedienen, welche die Mathematik bietet. Die behandelten Aufgaben wurden stets bis zu den neuesten Ergebnissen vorgetrieben. Weitergeführt wurde die Regelungstheorie namentlich durch den

6

Vorwort

Begriff der Regelgüte, dessen Einfühlung eine übersichtliche Erfassung der stabilen Ausgleiehsvorgänge auch bei Problernen höherer Ordnung gestattet. Darüber hinaus erscheint der Begriff der Regelgüte — sei es nach der vorliegenden mathematisch besonders einfachen oder auch nach abgewandelten Definitionen — zusammen mit der hier gewählten Kennzeichnung technischer Regelstrecken alsdurchaus geeignet, richtungweisend für die theoretische Durch • dringung bisher noch ungelöster Regelaufgaben zu wirken. Ausgebaut wurde ferner das in der Literatur etwas vernachlässigte Gebiet der Behandlung von Nichtlinearitäten, besonders von Reibung und Lose. Weiterhin erschien es angemessen, auch die Ein-Aus-Regelung wegen ihrer großen praktischen Bedeutung zu streifen, insbesondere unter Berücksichtigung der wesentlichsten Fragen ihres Anwendungsbereiches. Die Theorie der ausschlagabhängigen Schrittregelung dagegen wurde wiederum sehr ausführlich dargelegt, da dieser recht bedeutsame Zweig der Regelungstechnik bis jetzt noch nicht behandelt wurde und die notwendigen Rechenvei fahren erheblich von den üblichen Methoden abwei dien. Die Auswahl der Beispiele wurde von dem Wunsch geleitet, das jeweils Grundsätzliche einprägsam zu zeigen, und es ist zu wünschen, daß die Darstellung aller Ergebnisse in Form von Diagrammen auch den Ansprüchen der Praxis gerecht wird. Sollte es nun gelingen, durch die vorliegende Arbeit der Regelungstechnik neue Freunde zu gewinnen, der Theorieeinige Hinweise zur Weiterarbeit sowie der Entwicklung kleine Fingerzeige für ihre oft recht mühevollen Versuchs- und Einrege lungsarbeiten zu geben, so wäre das diesem Buch gesteckte Ziel voll erreicht. An dieser Stelle möchten die Verfasser Herrn Gerard Romain für seine wertvolle Beihilfe bei der Ausgestaltung des Buches, seine große Sorgfalt und unermüdliche Ausdauer beim Zeichnen der Bilder, besonders aber bei der oft sehr langwierigen Auswertung der Ergebnisse ihren herzlichsten Dank aussprechen. Im besonderen gebührt auch dem Verlag für die verständnisvolle und sorgfältige Betreuung der Ausführung, trotz schwierigster Verhältnisse, Dank und Anerkennung. Berlin, im Januar 1944

Die V e r f a s s e r

VORWORT ZUR Z W E I T E N AUFLAGE Die erste, rasch vergriffene Auflage wurde 1948 von der «American Society of Mechanical Engineers» nachgedruckt . Aus dieser Tatsache und aus vielen Nachfragen glauben die Verfasser eine Bestätigung für die Richtigkeit ihres Zielt s und für das Bedürfnis nach einer zweiten Auflage erblicken zu dürfen. Sie erscheint nunmehr, von kleineren Berichtigungen abgesehen, in unveränderte Form, während die Verfasser eine Weiterführung der wichtigsten, in diesem Buche gewonnenen Erkenntnisse demnächst in einer neuen Schrift vorzulegen beabsichtigen. München und Hersbruck im Mai 1949

Dr. R u d o l f O l d e n b o u r g Dr. H a n s S a r t o r i u s

INHALTSVERZEICHNIS Seite I. E i n l e i t u n g

§ 1 Begriff der Regelung § 2 Aufgabenstellung § 3 Bezeichnungen II. Grundlagen A. D e r R e g e l k r e i s u n d s e i n e B e s t a n d t e i l e § 4 Der Regelkreis § 5 Die Regelstrecke § 6 Der Regler B. D a s l i n e a r e Ü b e r t r a g u n g s s y s t e m 1. Allgemeines § 7 Übersicht über die mathematischen Hilfsmittel § 8 Begriff des linearen Übertragungssystems 2. Anwendung linearer Differentialgleichungen und Einführung des komplexen Frequenzganges

12

12 12 13 15 15 15 16 16 17 17 17 17 18

§ 9 Die lineare Differentialgleichung 18 § 10 Die sinusförmige Störfunktion 19 §11 Fourierzerlegung einer beliebigen periodischen Funktion. Fourierreihen 21 §12 Rechteckwelle und Übergang zur Stoßfunktion. Das Fourierintegral . 23 § 13 Das Übertragungssystem bei stoßförmiger Störfunktion. Die Übergangsfunktion 25 § 14 Die Fourierdarstellung einer beliebigen nicht periodischen Funktion und die Einführung der Laplacetransformation 26 § 15 Beispiel zur Anwendung der Laplacetransformation. Ermittlung der Übergangsfunktion eines Systems zweiter Ordnung 29 3. Die Verwendung der Übergangsfunktion

30

§ 16 Die Kennzeichnung eines Übertragungssystems durch die Übergangsfunktion 30 § 17 Das Duhamelsche Integral 31 § 18 Beispiel zum Duhamelschen Integral: Berechnung der Übergangsfunktion für die Hintereinanderschaltung zweier rückwirkungsfreier Systeme erster Ordnung 33

Inhaltsverzeichnis Seite

4. Die komplexe Umkehrforniel § 19 § 20 § 21 § 22 § 23 § 24 §25 § 26

34

Allgemeines über das komplexe Umkehrintegral Der Integrationsweg des Unikehrintegrals Die Aufteilung des Integrationsweges Das Integral längs des Halbkreises Das Umlaufintegral Die Laurentreihe und das Residuum Die Residuumbestimmung Beispiel zur direkten Auswertung des Umkehrintegrals

Die m a t h e m a t i s c h e B e h a n d l u n g des R e g e l k r e i s e s .

34 3,> 36 37 39 39 41 42 .

1. Allgemeines § 27 Voraussetzungen §28 Die mathematischen Verfahren zur Behandlung von Regelaufgaben 2. Die Anwendung linearer Differentialgleichungen § 29 § 30 § 31 § 32

Die Differentialgleichung des Regelkreises Die Stabilitätsbedingungen nach Hurwitz Der aufgetrennte Regelkreis und die Stabilität Der zeitliche Verlauf des Regelvorganges

3. Die Anwendung des Frequenzganges § 33 § 34 § 35 § 36 § 37

Der Regelverlauf Die Stabilitätsbedingung Das Stabilitätskriterium nach Nyquist Der Frequenzgang hintereinander geschalteter Übertragungssysteme Der Frequenzgang gleichsinnig parallel geschalteter Übertragungssysteme

43 43 43 44 45 45 46 47 48 50 50 51 53 55 56

4. Die Anwendung der Übergangsfunktion

56

§ 38 Die Stabilität des RegelVorganges §39 Der Regelverlauf

57 57

5. Der Regelvorgang bei periodischer Störung

59

§ 40 Die Übergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises §41 Die periodische Störung 6. Teilvorgänge § 42 Die Eigenwerte des Regelvorganges § 43 Teilvorgänge bei einfachen komplexen Eigenwerten und ihr Dämpfungszustand 7. Die Güte der Regelung § 44 Definition der Regelgüte § 45 Ermittlung der Regelfläch c 8. Zusammenfassung

59 59 60 60 61 63 63 64 64

Inhaltsverzeichnis

9 Seite

III. Stetige Regelungen A. Die wichtigsten Bestandteile des Regelkreises 1. Elemente mit statischem Verhalten § 46 § 47 § 48 § 49 § 50 § 51 § 52 § 53

Das trägheitslose Übertragungsglied Das Übertragungsglied erster Ordnung Übertragungsglieder höherer Ordnung Das Kontinuum Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit als Ursache der Laufzeit . . . . Die re-gliedrige K e t t e von Verzögerungsgliedern erster Ordnung . . Beispiel eines Systems zweiter Ordnung mit Laufzeit Das Übertragungssystem mit Massenwirkung

2. Elemente mit astatischem Verhalten § 54 Das astatische Übertragungssystem ohne Verzögerung § 55 Das astatische Übertragungssystem mit Verzögerung 3. Stabilisierungseinrichtungen § 5 6 Bückführungen § 57 Einführung zeitlicher Ableitungen B. S p e z i e l l e R e g e l k r e i s e 1. Allgemeines § 58 Ungleichförmigkeit, Regelfaktor und Verstärkung 2. Regelkreise mit statischem Verhalten

67 67 67 67 68 70 74 79 82 85 86 89 89 90 91 91 93 94 94 95 98

§ 59 Ersatz der Übergangsfunktion durch Laufzeit und Übergangszeit. . 9 8 § 60 Die aus Laufzeit und Exponentialfunktion zusammengesetzte Übergangsfunktion 100 § 61 Regelkreis mit zwei Verzögerungsgliedern erster Ordnung und Laufzeit 103 § 62 Der verzögerungsfreie statische Regler an einer Regelstrecke mit räumlich verteilten Verzögerungssystemen 106 3. Regelkreise mit astatischem Verhalten

108

§ 6 3 Astatischer Regelkreis mit Laufzeit 108 a) Übergangsfunktion und Frequenzgang 109 b) Die Bedingungen für vorgegebenen Dämpfungszustand 109 c) Der Regelverlauf 110 d) Die graphische Ermittlung der Wurzeln der Stammgleichung . . 1 1 0 e) Die Teil Vorgänge für durchweg verschiedene Eigenwerte . . . . 1 1 2 f) Teilvorgang für einen Pol zweiter Ordnung (aperiodischer Grenzfall der Grundwelle) 114 g) Die Ermittlung des Regel verlauf es für kleine Zeiten durch eine Reihenentwicklung 115 § 64 Astatischer Regelkreis mit Verzögerung erster Ordnung und Laufzeit 116 a) Bedingungen für Stabilität und für aperiodischen Verlauf der Grundwelle b) Optimaler Regelverlauf

118 119

c) Die Wirkung einer periodischen Störung

120

]o

Inhaltsverzeichnis Seite

4. Regelkreise m i t R ü c k f ü h r u n g

121

§ 65 Die Verbesserung der Regelgüte durch nachgebende Rückführung, dargestellt an einem einfachen astatischen Regelkreis a) Der Regelkreis ohne R ü c k f ü h r u n g b) Der Regelkreis mit nachgebender R ü c k f ü h r u n g c) Die Bedingungen für kleinste Regelfliiche d) Dimensionierung der R ü c k f ü h r u n g für optimalen Regelverlauf . e) Der Regelverlauf beim eigentlich aperiodischen Grenzfüll . . . . f) Berücksichtigung weiterer Einflußgrößen § 66 Die nachgebende R ü c k f ü h r u n g an einer Regelstrecke mit Laufzeit . 5. Regelkreise mit differenzierenden Organen

137

§ 67 Einführung der zeitlichen Ableitungen der Regelgröße § 68 Differenzierende Meßeinrichtung u n d Sollwertverstellung §69 Das differenzierende Meßgerät mit Verzögerung a) Laufzeit b) Verzögerung erster Ordnung c) Das Verhalten der Oberwellen § 70 Die differenzierende Meßeinrichtung bei einer Regelstrecke m i t Laufzeit a) Optimaler Regelverlauf bei vorgegebener Arbeitsgeschwindigkeit des Stellmotors b) Optimaler Regelverlauf bei beliebig einstellbarer Geschwindigkeit des Stellmotors c) Das Verhalten der Oberwellen IV. Nichtlinearitäten

147 147 149 150

152

§ 7 1 Allgemeines § 72 Ansprechempfindlichkeit § 73 Reibung u n d reine Lose

152 153 154

2. Beispiel f ü r die rechnerische Behandlung von Nichtlinearitäten

. . . .

Der lineare Regelkreis Der Regelkreis mit endlichen Ansprechgrenzen Der Regelkreis mit Lose oder Reibung Zusammenfassung

155 155 156 160 165

V. Unstetige Regelungen

167

§78 Allgemeines A. Die E i n - A u s - R e g e l u n g grenzen

137 140 141 141 144 144

152

1. Entstehung von Nichtlinearitäten im Regelkreis

§ 74 § 75 § 76 § 77

121 121 124 125 127 ISO 130 132

167 mit vorgegebenen

Ansprech168

§ 79 Der Ein-Aus-Regler an einer Regelstrecke mit Laufzeit u n d Verzögerung erster Ordnung 168 § 80 Der Ein-Aus-Regler an einer Regelstrecke m i t räumlich verteilten Verzögerungsgliedern 172

Inhaltsverzeichnis

11 Seite

B. D i e a u s s c h l a g a . b Ii i i n g i g e S c h r i t t r e g e l u n g

175

] . Grundlagen § 8 1 Der Begriff der Schrittregelung §82 Der Ansatz der simultanen Differenzengleichungen § 83 Die Differenzcngleichung des Regelvorganges § 84 Die Bedingungen f ü r stabilen Regelverlauf § 85 Der zeitlicheVerlauf des Regel Vorganges. Eigenwerte u n d Teilvorgänge a) Der Teilvorgang bei konjugiert komplexen Eigenwerten . . . . b) Der Teilvorgang bei reellen und verschiedenen Eigenwerten gleichen Vorzeichens c) Der Teilvorgang bei gleichen reellen Eigenwerten § 86 Die E r m i t t l u n g der Summationskonstanten (gezeigt am Beispiel der §§82,83) § 87 Die Berechnung der Regelflüche

175 175 17f> 179 180 185 186

2. Spezielle Regelkreise § 8 8 Die verschiedenen Schrittformen a) Ausschlagabhängiges Arbeitsintervall b) Ausschlagabhängige Stellgeschwindigkeit § 89 Die Schrittregelung bei einer Regelstrecke mit Laufzeit

198 198 198 200 205

a) L a u f z e i t k l e i n e r a l s T a s t z y k l u s

b) Laufzeit größer als Tastzyklus c) Der Grenzfall der Stabilität d) Die Bedingung f ü r aperiodischen (¡renzfall § 90 Der Schrittregler mit differenzierendem Meßgerät an einer Regelstrecke mit Laufzeit u n d Verzögerung erster Ordnung § 91 Die ausschlagabhängige Schrittregelung mit nachgebender Rückführung a) Die Differenzengleichung des Regelvorganges (Laufzeit kleiner als Tastzyklus) b) Der zeitliche Verlauf der Regelgröße. Die Regelfiäche e) Die Bedingungen f ü r optimalen Regelverlauf d) Der zeitlicheVerlauf der Regelgröße f ü r verschwindende Eigenwerte e) Übergang zur stetigen Regelung

187 188 188 192

205

208 209 212 215 220 220 223 225 229 230

VI. Die zweckmäßige Anwendung der verschiedenen Regelungsarten

233

§ 9 2 Vergleich zwischen stetiger Regelung u n d Schrittregelung § 93 Die Verwendung des Ein-Aus-Reglers

233 230

Anhang

238 1. Zur Laplacetransformation 238 a) Die wichtigsten Sätze und Regeln 238 b) Zusammenstellung einiger häufig vorkommender Funktionenpaare . . 241

I I . Zur Differenzenreihnung a) Differenzen und Summen b) Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . Schrifttum Sach- und Namenverzeichnis Tafel der wichtigsten Übertragungssysteme mit typischen Ausführungsbeispielen

242 242 246 249 251 258

I. EINLEITUNG § 1

Begriff der Regelung

Unter Regelungen im vorliegenden Zusammenhang werden ausschließlich solche Anordnungen verstanden, die selbsttätig, d . h . also ohne Eingriff von H a n d , für die Aufrechterhaltung irgendeiner physikalischen Größe sorgen. 1 )iese Aufgabe läßt sich nur durchführen, wenn die zu regelnde Größe laufend meßtechnisch überwacht wird und bei entstehenden Abweichungen vom vorgeschriebenen Sollwert selbsttätig Maßnahmen zur Wiederherstellung desselben ausgelöst werden. Ks sind demgemäß zwei wesentliche Merkmale, die Regelungen im vorliegenden Sinne kennzeichnen: einmal das Vorhandensein einer Meßeinrichtung für die zu regelnde physikalische Größe und zweitens die selbsttätige (unmittelbare oder mittelbare) Beeinflussung der gemessenen Größe durch diese Meßeinrichtung. So erkennt man das Bestehen eines geschlossenen Kreislaufs von der Meßeinrichtung (über beliebige Zwischenglieder) nach der zu regelnden Größe und von dieser w ieder zur Meßeinrichtung. Man müßte also genauer von einer geschlossenen selbsttätigen Regelung sprechen, doch werden wir der Einfachheit halber nur die Bezeichnung Regelung verwenden. Wir setzen dabei voraus, d a ß der geschlossene Kreislauf immer gegeben sein soll und vermerken schon jetzt als wesentliches Merkmal, daß derartige Anordnungen prinzipiell immer schwingungsfähig sind. § 2

Aufgabenstellung

Bei einer auszuführenden oder bereits bestehenden Regelanlage werden sich grundsätzlich immer zwei Arten von Problemen ergeben. Die einen sind vorwiegend technologischer N a t u r ; man denke beispielsweise an die Art des zu regelnden Mediums, an die hiermit verbundenen Werkstofffragen, an Bauart, Betriebsmittel und Arbeitsvermögen des Reglers usw. Alle diese äußerst vielfältigen Fragen werden hier nicht behandelt, und es m u ß daher auf die einschlägige Spezialliteratur verwiesen werden. Die zweite Gruppe von Problemen ergibt sich aus dem regeltechnischen Verhalten einer Anlage. Hierzu gehört Stabilität, Genauigkeit und Geschwindigkeit einer Regelung, das Arbeitsprinzip des Reglers und der Einfluß von Fehlerquellen, wie etwa Reibung. Alle diese Fragen lassen sich unter dem Begriff des dynamischen Verhaltens einer Regelung zusammenfassen. Mit dem hierdurch

§3

Bezeichnungen

13

gekennzeichneten Aufgabenkreis, der für jede Regelung von Bedeutung ist, gleichgültig ob es sich um elektrische, thermische oder andere Vorgänge handelt, werden wir uns hier ausschließlich beschäftigen. § 3

Bezeichnungen

Bevor mit einer ins einzelne gehenden Darstellung begonnen werden kann, ist noch die Bezeichnungsweise festzulegen. Es soll dabei vermieden werden, eine vollständige Aufzählung aller verwendeten Symbole zu geben. Dagegen erscheinen an dieser Stelle einige grundsätzliche Bemerkungen angebracht. Eine Reihe von Symbolen besitzt die allgemein übliche Bedeutung. Zu ihnen gehören in erster Linie: t laufende Zeit,

T Periodendauer,

/ = 1 jT Frequenz, a) = Inf

= 2 njT Kreisfrequenz,

i imaginäre Einheit = ]/— 1, ico imaginäre Kreisfrequenz, p — -- ö - iu> komplexer Frequenzparaineter, mit ö = Dämpfung Einige dieser Symbole werden häufig in bezogener (dimensionsloser) wendet, und zwar: r bezogene Zeit (z. 13. r =

Form ver-

tjTz),

q =•-- — A -f- iQ bezogener Frequenzparameter, z. B. q

pTz,

mit A — b Tz,

Ü

wTz,

wobei Tz mit der später noch zu erläuternden Bedeutung als Bezugszeitfestwert willkürlich herausgegriffen wurde. Es wird ferner eine Reihe von Symbolen benötigt, die jeweils den einzelnen Elementen des Regelkreises zugeordnet sind. Um eine klare und eindeutige Unterscheidung zwischen Veränderlichen und Konstanten, laufenden Größen und Abweichungsgrößen, dimensionsbehajteUn und dimensionslosen Größen, Proportionalitätsfaktoren und Zeitfestwerten zu erzielen, w ird hierbei folgendes Schema verwendet: Veränderliche Größen erhalten kleine lateinische Buchstaben; dabei werden laufende Werte durch den Index x gekennzeichnet, während Abweichungsgrößen kein Kennzeichen erhalten. Konstante Größen erhalten große lateinische Buchstaben. Größenintervalle werden durch ein vorgesetztes A gekennzeichnet. Daß eine Größe dirnensionsbehaftet ist, wird (mit Ausnahme von Zeitfestwerten, deren Verdeutlichung weiter unten angegeben ist) durch Überstreichen «usgedriickt. i m Interesse der Allgemeingültigkeit «erden wir grundsätzlich von einer bezogenen Schreibweise Gebrauch machen. Eine beliebige zeitlich veränderliche Abweichungsgröße 2 (t) = [ zx (t) — Z:s\/A Z entsteht dabei aus der Differenz

14

I. Einleitung

des dimensionsbehafteten Momentanwertes

zx (l) und eines Festwertes Z, für

den in der Regel der Sollwert Zs verwendet wird, bezogen auf einen willkürlichen Festwert, für den sich meist die Differenz zweier Festwerte ZlZ als sinnvoll erweist. Jedem Glied des Regelkreises wird ein bestimmtes Symbol zugeordnet. Grundsätzlich wird z . B . 2 als Symbol für den zu regelnden Zustand (Regelgröße) z (. Sie wird als komplexer Frequenzgang g(icu) des Ubertragungssystems bezeichnet, da ihr absoluter Betrag ein Maß für die Amplitudenänderung und ihr Argument ein Maß für die Phasenverschiebung ist, die eine Schwingung der Frequenz w beim Durchlaufen des Systems erfährt. In Gleichung (.6) erkennen wir im Nenner die Stammfunktion der homogenen

§11

21

Fourierzerlegung. Fourierreihen

Differentialgleichung [s. Gleichung (9. 8)]. Man ist nun in der Lage, für ein bestimmtes Übertragungssystem den komplexen Frequenzgang direkt aus dessen Differentialgleichung abzulesen. Er ist nämlich gleich dem Reziprokwert der Stammfunktion, wenn man in ihr die Größe p durch i CD ersetzt. Als stationäre Lösung unserer Differentialgleichung ergibt sich also mit Gleichung (.3) und (.6) z , = S(ico)-Z1ei»,J

(10.7)

wobei diese komplexe Form wieder als symbolische Schreibweise der reellen Lösung aufzufassen ist: sin(coi +