Çözüm 3D TYT Matematik Soru Bankası [YKS 2020 ed.] 9786051943053

Citation preview

Bu ürünün bütün hakları ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ.’ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.

Çözüm Yayınları Grafik Birimi

Çözüm Yayınları Dizgi Birimi

2018 Ankara

Başak Matbaacılık (0312) 397 16 17





Saygıdeğer Meslektaşlarım ve Sevgili Öğrenciler

Son açıklanan yeni sınav sistemi YKS (Yüksek Öğretim Kurumları Sınavı)'de bilindiği üzere Matematik dersinin ağırlığı artırılmış ve soruların mevcut MEB müfredatından sorulacağı açıklanmıştır. TYT sorularının çözülebilmesi için konuyu bilmenin yanı sıra, doğru ve hızlı düşünebilme, soruyu değerlendirebilme, çözüm alternatifleri arasından doğru ve kısa yöntemi seçebilme, işlemi kısa sürede ve hatasız yapabilme gibi etkenlerin belirleyici öneme sahip olduğu açıktır. Bu gereksinimleri karşılamak amacıyla son derece özgün, yeni nesil sorulardan oluşturduğum bu kitabın sizleri hedefinize ulaştıracağına olan inancım sonsuzdur. Bu kitabın oluşumunda; • Bir bölüme ait çok sayıda alt başlık oluşturularak hazırlanan testlerle konu içerikleri eksiksiz hazırlanmıştır. • Bir test içerisindeki sorular kolaydan zora 3D tekniğine uygun olarak hazırlanmıştır. • Her testin soruları genelden özele bilgi düzeyinizi artırmak üzere tasarlanmıştır. • Özgün ve hedefe uygun sorular kullanılmıştır. • ÖSYM soruları titizlikle analiz edilerek her bölüme ait bire bir ÖSYM testleri hazırlanmıştır. • TÜMEVARIM testleriyle öğrencilerin konuyu geriye doğru dinamik bir şekilde taraması sağlanmıştır. Kitabın hazırlık aşamasında desteklerini esirgemeyen değerli meslektaşım Fatih DAYI'ya teşekkürlerimi sunuyorum. Üniversiteye giriş sınavında ve hayatın her alanında başarı ve mutluluk dileklerimle…

Bu kitabın oluşumundaki zorlu süreçte benden desteklerini esirgemeyen kitabın asıl sahibi ve emektarları olan eşim ve kızıma sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum.

Özgür BALCI

İÇİNDEKİLER

01. BÖLÜM: DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER

02. BÖLÜM: KÜMELER

Temel Kavramlar............................................................................7

Kümeler......................................................................................215

Tek - Çift Sayılar ve İşaret İncelemesi..........................................15

Bire Bir ÖSYM...........................................................................225

Ardışık Sayılar.............................................................................19 Faktöriyel......................................................................................23 Bire Bir ÖSYM.............................................................................27

03. BÖLÜM: FONKSİYONLAR

Sayı Basamakları.........................................................................31

Fonksiyonlar...............................................................................227

Asal ve Aralarında Asal Sayılar....................................................35

Bire Bir ÖSYM...........................................................................253

Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı......................................39 Bölme ve Bölünebilme Kuralları...................................................41 EBOB - EKOK..............................................................................49

04. BÖLÜM: VERİ - SAYMA - OLASILIK

Rasyonel Sayılar..........................................................................57

Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri, Grafik Türleri.......................255

Bire Bir ÖSYM.............................................................................65

Sayma, Permütasyon.................................................................263

Birinci Dereceden Denklemler......................................................69

Kombinasyon..............................................................................275

Birinci Dereceden Eşitsizlikler......................................................75

Binom Açılımı.............................................................................283

Mutlak Değer................................................................................85

Olasılık.......................................................................................287

Üslü Sayılar..................................................................................93

Bire Bir ÖSYM...........................................................................297

Köklü Sayılar..............................................................................103

TÜMEVARIM - III........................................................................301

Çarpanlara Ayırma......................................................................113 Bire Bir ÖSYM...........................................................................121 TÜMEVARIM - I..........................................................................127

05. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

Oran - Orantı..............................................................................135

İkinci Dereceden Denklemler.....................................................311

Sayı - Kesir Problemleri..............................................................143

Bire Bir ÖSYM...........................................................................325

Yaş Problemleri..........................................................................157 İşçi Problemleri...........................................................................161 Bire Bir ÖSYM...........................................................................165

06. BÖLÜM: POLİNOMLAR

Hız - Hareket Problemleri...........................................................171

Polinomlar..................................................................................327

Yüzde Problemleri......................................................................181

Bire Bir ÖSYM...........................................................................339

Karışım Problemleri....................................................................191 Sayısal Mantık Problemleri.........................................................195 Bire Bir ÖSYM...........................................................................203

07. BÖLÜM: MANTIK

TÜMEVARIM - II.........................................................................207

Mantık.........................................................................................341 Bire Bir ÖSYM...........................................................................347 TÜMEVARIM - IV.......................................................................349

BÖLÜM 01 Test

Temel Kavramlar

1.

−1  ( −20) :  −4 − ( −2) ⋅  1   3    



işleminin sonucu kaçtır?



A) –24

B) –20

5.

C) –10

D) 10

(–20) : [–4 – (–2) · 3] (–20) : [–4 + 6] (–20) : 2 = –10

2.

işleminin sonucu kaçtır?



A) –27

:

(–2)2

–

(–5)2

⋅

(3)0

B) –25

C) –20

D) –18

= (–8) : 4 – 25 · 1 = –2 – 25 = –27

E) –15

Çözüm Yayınları

3. |–3| + |4| – |–3| – |–2| işleminin sonucu kaçtır?



A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

3 + 4 – |3 – 2| 7 – |1| 7–1=6

+

2

2

–

–2

–2

x

–2



Yukarıda eş küpler ile oluşturulan bir işlem cismi verilmiştir. Bu cisimde sarı, mavi ve yeşil renkli birim küpler kendi aralarında yer değiştirilmekte ve satırlarda meydana gelen işlemler yapılmaktadır.



Örneğin; Şu hâlde iken yukarıdan aşağıya doğru



(–2) + 2 = 0



2 – (–2) = 4



(–2) x (–2) = 4



işlemleri oluşmaktadır.



Buna göre, sarı, mavi ve yeşil birim küplerin üstten alta doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisi olursa satırlardaki işlemler aynı sayıya eşit olur?



A) Sarı, mavi, yeşil

B) Mavi, sarı, yeşil



C) Yeşil, sarı, mavi

D) Mavi, yeşil, sarı

(Cevap A)



–2

E) 20

(Cevap C)

(–2)3

01

E) Sarı, yeşil, mavi –2 –2 = –4, 2 x (–2) = –4, –2 + (–2) = –4 olacağından sıralama mavi, yeşil, sarı olmalıdır.

(Cevap D)

E) 3

(Cevap B)

6. Aşağıdaki şekilde aynı doğru üzerinde bulunan iki beyaz hücredeki sayıya aralarındaki işlem uygulanarak elde edilen sonuç aynı doğru üzerindeki kırmızı hücreye yazılıyor.

4. Bir sayıya uygulanan

,

ve

işlemleri aşağıda verilmiştir.



: Sayıyı 3 ile çarpıp 4 ekler. Sonuç çift ise 2’ye böler. Sonuç çift değil ise 1 ekleyip 2’ye böler.



: Sayıyı sırasıyla 3 ile çarpar, 2 çıkarır, 5 ekler.



: Sayıyı 3 ile çarpıp 6 ekleyip 3 ile böler. 20 sayısına önce işlemi ve ardından çıkan sonuca işlemi uygulandığında A sayısı, 30 sayısına işlemi uygulandığında B sayısı elde ediliyor.



Buna göre, A – B kaçtır?



A) 72

C) 64

D) 56

E) 32

3 · 20 + 4 = 32 → 32 · 3 – 2 + 5 = 99 = A 2 30 → (30 · 3 + 6) : 3 = 96 : 3 = 32 = B 20 →

A – B = 99 – 32 = 67 fazladır.

+

m

9



B) 67

12

+ 6∙m



Buna göre, m doğal sayısı kaçtır?



A) 12 m

(Cevap B)

7

12

+

1 2 –m

B) 11

C) 10

D) 9

E) 8

(12 – m) · 3 = 12 12 – m = 4 m=8

6

+

3 (Cevap E)

Test 01 7.

1. C

2. A

3. B

4. B

5. D

6. E

7. E

8. C

9. C 10. B 11. D 12. B 13. C 14. A

11. 782 + 44 · 78 + 222

317 2 − 283 2 300



işleminin sonucu kaçtır?



A) 143

B) 130

C) 85

D) 74

E) 68

( 317 − 283 ) ⋅ ( 317 + 283 ) 300 34 ⋅ 600 = 34 ⋅ 2 = 68 300



işleminin sonucu kaçtır?



A) 254

B) 204

C) 124

D) 104

E) 102

782 + 2 · 22 · 78 + 222 (78 + 22)2 = 1002 = (102)2 = 104

(Cevap D)

(Cevap E)

12. , ,  ve  şekilleri toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinden birini simgelemektedir. 4  (1  3) = 0 5  (12  3) = 20

8. (x – 4) · (x + 3) – (x + 1) · (x + 2)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2x + 10



B) –2x + 5

D) – 4x – 10

(2  3)  4  (7  5)

C) – 4x – 14

E) –2x – 10

[x2 + 3x – 4x – 12] – [x2 + 2x + x + 2] (x2 – x – 12) – (x2 + 3x + 2) x2 – x – 12 – x2 – 3x – 2 = –4x – 14

+ (x –

işleminin sonucu kaçtır?



A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

E) 20

(Cevap C)

13. Aşağıdaki tabloda her bir satırın birinci ve ikinci sütununda bulunan sayıların toplamı üçüncü sütundaki sayıya eşittir. Birinci ve ikinci sütunların ikinci ve üçüncü satırlarında bulunan sayıların çarpımı birinci satırlarındaki sayıya eşittir. 1. Sütun

2. Sütun

x2 – 4

36

Birinci Satır

y)2



işleminin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2x2 – 2y2





Verilen ilk iki denklemden dolayı  → –,  → +,  → ·,  → : olarak bulunur. O hâlde istenilen işlemin sonucu (2 + 3) . 4 : (7 – 5) = 5 . 4 : 2 = 20 = 10 (Cevap B) 2

Çözüm Yayınları

9. (x +

y)2

olduğuna göre,

D) –4xy

İkinci Satır

E) 4xy

x2 + y2 + 2xy + x2 + y2 – 2xy 2x2 + 2y2

2x – 4

Üçüncü Satır

C) 2x2 + 2y2

B) 2xy

3. Sütün

x+2

x–2



Buna göre, x’in pozitif değeri kaçtır?



A) 6

(Cevap C)

B) 7

x2 – 4

36

A

B

x+2

x–2

C) 8

D) 9

E) 10

A · (x + 2) = (x – 2) (x + 2) ⇒ A = x – 2 2x – 4

A + B = 2x – 4 ⇒ x – 2 + B = 2x – 4 ⇒ B = x – 2 (x – 2) · (x – 2) = 36 ⇒ x – 2 = 6 ⇒ x = 8 (Cevap C)

14. Aritmetik işlemlerin yer aldığı bir oyunda okun yanında belirtilen işlem uygulanıp elde edilen sonuç, okla gösterilen çember içerisine yazılıyor.

8

6

10. x = 212 olmak üzere,

•3

2

x − 3x + 2 x −1





işleminin sonucu kaçtır?



Buna göre, x kaçtır?



A) 112



A) –3

( x − 2) ⋅ ( x − 1 ) = x−2 x −1 x = 212 ⇒ 212 − 2 = 210

C) 214

D) 412

E) 1614

(Cevap B)

÷x

x–3



B) 210

+(x+3)

B) –1

3 ⋅ ( x − 3) + ( x + 3) =6 x 4 x − 6 = 6 x ⇒ 2 x = −6 ⇒ x = −3

C) 1

D) 2

E) 3

(Cevap A)

BÖLÜM 01 Test

Temel Kavramlar

5. Caner cebindeki A liranın tamamı ile aşağıda verilen 10 parça

1. a ve b tam sayılar olmak üzere aşağıdakilerden hangisi a



3

A)

ürünü satın almıştır.

b

biçiminde yazılabilir? B) e

C) p

D)

7

02

E) 3,2

a, b ∈ Z olmak üzere a biçiminde yazılabilen sayılar rasyonel sayılardır. b Cevap 3,2 dir.

(Cevap E)



2. Aşağıda verilen Venn şeması ile gerçek sayılar kümesi



Bu ürünlerin adet fiyatları sıra belirtmeksizin 2 lira, 3 lira ve 4 lira olduğuna göre, A en fazla kaçtır?



A) 34

B) 33

3 · (silgi) + 2 · (kalemtraş) + 5 · (kalem)

gösterilmiştir.

C) 32

D) 31

E) 30

3 · 3 + 2 · 2 + 4 · 5 = 33

(Cevap B)

R Q

Z N

0

–4

16

12

6. a ve b pozitif tam sayılarından büyük olanın 192 katı küçük olanın 288 katına eşittir.



Buna göre, şemaya yerleştirilmiş sayıların hangisinin bölgesi yanlıştır?



A) 0

B) –4

C)

−4

D)

16

E)

−4 gerçek sayı değildir yeri yanlıştır.

12 (Cevap C)

Çözüm Yayınları

–4





Buna göre, a + b toplamının alabileceği iki basamaklı değerlerin sayısı kaçtır?



A) 16

192a = 288b 2a = 3b a = 3k b = 2k

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

a + b = 5k 10, 15, 20, ..., 95 T .S = 95 − 10 + 1 = 18 5

(Cevap C)

7. Kare biçiminde bir kâğıt üzerinde oynanan bir oyunda herhangi bir kare içerisindeki bölmelerde bulunan 4 sayıya bu karenin köşelerinde bulunan 3 işlem uygulanıp çıkan sonuç bu karenin altında bulunan daire içerisine yazılıyor.

3. Aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur? A) Q ⊂ Z

C) Z+ = N

B) N ∪ Z = Q

D) R – Q = Q′

+

E) Z ∪ Q = R

R – Q = Q′ doğrudur.

(Cevap D)

1

5

2

1

7

3

3

4

–

:



4. a ve b iki basamaklı doğal sayılardır.

Buna göre,



a – b = 55



eşitliğini sağlayan kaç farklı a sayısı vardır?



A) 40

B) 35

C) 30

a en fazla 99, en az 65 olur. 65, 66, 67, ..., 99 olmak üzere 35 tane a sayısı vardır.

D) 25

E) 20

9



Bu sayılara işlemler uygulanırken sayılar yan yana sıralanıp aralarına parantez kullanılmadan işlemler karışık olarak yazılmaktadır.



Örneğin; Sayılar 1, 3, 5 ve 7 işlemler ·, + ve – ise daire içerisindeki sayı 3 + 5 – 1 · 7 = 1 şeklinde bulunabilir.



Daireler içerisindeki sayılar tam sayı olduğuna göre toplamları en fazla kaçtır?



A) 40

B) 41

C) 42

D) 43

E) 44

Sol karenin işlemi: 7 · 5 + 3 – 1 = 37 (Cevap B)

Sağ karenin işlemi: 4 : 1 + 3 – 2 = 5 bulunur. Daireler içindeki sayıların toplamı en fazla 37 + 5 = 42 dir.

(Cevap C)

Test 02

1. E

8. x ve y birer doğal sayı olmak üzere,

2. C

3. D

4. B

5. B

6. C

9. D 10. C 11. C 12. C 13. C 14. A

bulunuyor.



eşitliğini sağlayan y değerlerinin toplamı kaçtır?



A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

1

1 E) 26

x = 12 y +1

1

1

1 1

(Cevap A)

• 5 · a doğal sayıdır.



• a + b rasyonel sayıdır.



• b · c irrasyonel sayıdır.

Her hamlede bir tane boş olmayan kutu seçiliyor. Seçilen kutudan bir bilye alınıp bu kutunun bir sağındaki veya bir solundaki kutuya aktarılıyor.



Buna göre, tüm bilyeler en az kaç hamlede aynı kutuda toplanır?



A) 20



II. b rasyonel sayıdır.



III. c irrasyonel sayıdır.

C) 25

D) 30

E) 32 (Cevap C)

13. Aşağıdaki şekli oluşturan daireler içerisinde birbirinden farklı rakamlar yazmaktadır.



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

a = 1 için 5 · a doğal sayı olduğundan I yanlış olabilir. 5 5 · a doğal sayı ise a rasyonel sayıdır. a + b rasyonel sayı ise b de rasyonel sayıdır. b rasyonel, b · c irrasyonel ise c irrasyoneldir. II ve III daima doğrudur.

Dikey Sıra Çözüm Yayınları

I. a doğal sayıdır.

B) 24

Kutulardan biri seçilip bütün bilyeler bu kutuda toplanırsa en az 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 25 hamlede aktarılır.

Buna göre,



1



9. a, b ve c sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

1

1

1

(y + 1) ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12} y ∈ {0, 1, 2, 3, 5, 11} 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 11 = 22



8. A

12. Bir çember etrafında her birinde birer bilye olan 10 tane kutu

x = 12 y +1



7. C

Yatay Sıra

d

a

b

c

(Cevap D)

e

10. 20 sayısından küçük ve hiçbiri bir diğerinin 4 katı olmayan en çok kaç farklı sayma sayısı vardır?



A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

1, 2, 3, ..., 19 sayıları içerisinden biri diğerinin 4 katı olmayan sayılar olması için 4, 8, 12, 16 sayıları silinmektedir. Ancak 4 silindiğinde 16 nın silinmesine gerek yoktur. O hâlde 19 – 3 = 16 sayı vardır. (Cevap C)

10

11. x, y ve z sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor. • y bir rakamdır.



• x ve z sayma sayıları aralarında asaldır.



• x + z toplamı 5’ten küçük değildir.

3x – 2y + 4z



ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?



A) –16

B) –8



a bir asal sayı olduğuna göre e – d farkı en fazla kaçtır?



A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

E) 3

e – d farkının en fazla olması için e en büyük d, en küçük seçilmelidir. a, d ve b den küçüktür. c, e ve b den büyüktür. a = 2 için d = 3 ve b = 4 c = 9 için e = 8 seçilir. ⇒ e – d = 8 – 3 = 5 (Cevap C)

14. Bir grup çocuğun aralarında oynadığı yazı-tura oyununun

Buna göre,



Dikey sıradaki en büyük sayı c, yatay sıradaki en küçük sayı a’dır.

kuralları aşağıda verilmiştir.







C) –2

y = 9, x = 4 ve z = 1 için 3x – 2y + 4z = 3 · 4 – 2 · 9 + 4 · 1 = –2 olur.

D) 1

E) 8 (Cevap C)



• Parayı atan çocuk; yazı atarsa 1 puan, tura atarsa 2 puan, dik atarsa 3 puan kazanıyor.



• Ozan isimli bir oyuncu parayı 4 kez havaya atıyor.



• Ozan 3 puan türünden de en az bir kez kazanıyor.



Buna göre, Ozan’ın elde ettiği puanın alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

Ozan'ın elde ettiği puanın en büyük değeri 1 + 2 + 2 · 3 = 9 en küçük değeri 2 · 1 + 2 + 3 = 7 olur. 7, 8, 9 olmak üzere 3 değer vardır.

E) 7 (Cevap A)

BÖLÜM 01 Test

Temel Kavramlar 1. a, b ve c pozitif tam sayılardır.

a · b = 17



b · c = 15

03

5. Aşağıdaki tabloda bulunan her bir kare içerisine 3, 5, 7, 21, 6, 10, 11 sayılarından biri yazılmaktadır.



olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır?



A) 36

B) 33

C) 30

D) 27

b = 1, a = 17 ve c = 15 olduğundan a + b + c = 33 tür.

E) 24 (Cevap B)



2. a, b ve c negatif tam sayılardır.

a · b = 18



a · c = 12

olduğuna göre, c + b – a ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?



A) –4

C) –1

Renkleri aynı olan kareler içerisinde bulunan sayıların toplamları eşit olduğuna göre,siyah karede yazan sayı ile kırmızı kare içerisindeki herhangi bir sayı arasındaki fark en az kaçtır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

Siyah: 21, Sarı: 10, 11 Kırmızı: 3, 5, 6, 7 Siyah – Kırmızı en az 21 – 7 = 14 olur.



B) –3



D) 1

a en küçük b ve c en büyük seçilmelidir. a = –6 için b = –3, c = –2 c + b – a = –2 –3 – (–6) = 1 olur.

E) 2

(Cevap E)

6. Aşağıda verilen 9 birim kareden oluşan tabloda her bir mavi kareye kendisiyle ortak kenara sahip olan tüm beyaz karelerdeki sayıların toplamı yazılıyor. Beyaz kareler içerisindeki sayılar 4’den büyük tam sayılardır.

Çözüm Yayınları

(Cevap D)

x

x y

3. a ve b pozitif tam sayılardır.

x

1+ 1 2 a = b⋅ 1− 1 4



olduğuna göre, a – 3b en fazla kaçtır?



A) –4

B) –2

x



C) –1

D) 3

a = b⋅ 3 ⋅ 4 2 3 a = 2b b = 1 ve a = 2 için a – 3b = 2 – 3 = –1 olur.

E) 15



Tabloda mavi karelerde yazan sayıların toplamı 400 olduğuna göre, x’in alabileceği en büyük değer kaçtır?



A) 49

B) 47

C) 43

D) 36

2x + y + 2x + y + 2x + y + 2x + y = 400 ⇒ 8x + 4y = 400 ⇒ 2x + y = 100 ⇒ y = 6 için 2x + 6 = 100 ⇒ x = 47 olur.

E) 32 (Cevap B)

(Cevap C)

11 7. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere, 3a = 7b

4. x ve y doğal sayılar olmak üzere,

b=5 c 3

x + y = 35



olduğuna göre, (x + 1) · (y + 1) ifadesinin en büyük değeri kaçtır?



olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?



A) 342



A) 56

B) 346

C) 354

(x + 1) · (y + 1) ifadesi x = 17 ve y = 18 için en fazla 18 · 19 = 342 olur.

D) 362

E) 384 (Cevap A)

B) 57

C) 58

D) 59

3a = 7b 5c = 3b Ortak eleman olan b, hem 3 ün hem de 5 in katı olan 15 seçilirse b = 15, a = 35, c = 9 a + b + c = 59 bulunur.

E) 60

(Cevap D)

Test 03

1. B

8. a, b ve c pozitif tam sayılardır.

2. D

3. C

4. A

5. E

6. B

7. D

8. A

9. B 10. C 11. A 12. E 13. E 14. D

12. Aşağıda üst sırasında 4, alt sırasında 3 tane askılık bulunan bir duvar askısı modellenmiştir.

a + b + c = 12 3 4 5



olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?



A) 57

B) 59

C) 61

D) 63

E) 65

Paydasi büyük olan sayıyı en fazla seçmek için a ve b en küçük seçilirse a = 3, b = 4 için c = 50 a + b + c = 57 olur.

(Cevap A)



9. {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} kümesinin elemanlarından 5 tanesi ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.



• 3 tanesi 2’nin katıdır.



• 2 tanesi asal sayıdır.



• 2 tanesi 3’ün katıdır.



• 2 tanesi 4’ün katıdır.



Buna göre, bu 5 sayının toplamı en çok kaçtır?



A) 80

B) 82

C) 83

D) 84

Verilen şartlar altında sayılar 19, 18, 17, 16, 12 seçilirse toplam 19 + 18 + 17 + 16 + 12 = 82 bulunur.

(Cevap B)

10. Birbirinden farklı beş doğal sayı için aşağıdaki bilgiler veriliyor.

• Her biri 20’den büyük 110’dan küçüktür.



• İki tanesi 70’ten büyüktür.



• Yalnız bir tanesi 40’tan küçüktür.



• Beş sayının toplamı 274’tür.

Üst sırada bulunan askılıktan her birine en fazla 1 palto asılabilmektedir.



Alt sırada bulunan askılıkların herhangi birine hemen üstünde bulunan iki askılıktan herhangi birinde palto varsa 5, ikisinde de palto varsa 3, ikisinde de palto yoksa 7 palto asılabilmektedir.



Üst sıraya 2 palto asıldığı bilinen bir durumda askıya en fazla kaç palto asılabilir?



A) 23

B) 22

C) 21

Fazla palto için üstte bulunan askılarda asılı 2 paltodan biri en solda diğeri en sağda olmalıdır. 1 + 5 + 7 + 5 + 1 = 19

E) 85

D) 20 1

0 5

E) 19 0

7

1 5

(Cevap E)

13. Aşağıda 2, 3, 4 ve 5 ile numaralandırılmış 4 kutu ve bu kutular Çözüm Yayınları





içerisinde bilyeler vardır.

2

3

4

5



• Her kutuda en az 2 bilye vardır ve kutular içerisindeki bilye sayıları kutu numarasından farklıdır.



• 2 ve 5 nolu kutularda bulunan bilye sayılarının çarpımı 35’tir.



Buna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır?



• 2, 3 ve 4 nolu kutulardaki bilye sayılarının toplamı 25’tir.



A) 99



Buna göre, 3 ve 4 nolu kutularda bulunan bilye sayılarının çarpımı en az kaçtır?



A) 48

B) 100

C) 101

D) 102

En büyüğünün en çok olması için diğer sayılar en az seçilmelidir. 21 + 40 + 41 + 71 + x = 274 x = 101

E) 103

(Cevap C)

B) 45

C) 42

D) 40

E) 36

Soldan sağa doğru bilye sayıları sırasıyla a, b, c, d olsun. a · d = 35 ve d ≠ 5 olduğundan a = 5 ve d = 7 dir. a + b + c = 25 ⇒ b + c = 20 ⇒ c = 2 ve b = 18 için c · b en az 36 dır.

(Cevap E)

11. Bir bakkalda bulunan A, B ve C marka çikolataların fiyatlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

12

14. Aşağıda verilen çember ve kareler içerisine 2'den büyük tam



• Çikolataların fiyatları birbirinden farklı tam sayılardır.



• B marka çikolatanın fiyatı, A marka çikolatanın fiyatından 4¨ ucuzdur. • Bakkaldan 2 tane C marka çikolata alan Fatih, birer tane A ve B marka çikolata alsaydı daha az ödeme yapacaktı.



Buna göre, bakkaldan birer tane A, B ve C marka çikolata alan Fatih, en az kaç ¨ ödeme yapar?



A) 10

B) 9

C) 8

D) 7

B = 1, A = 5 için 2C > 6 ⇒ C > 3 olur. A + B + C = 5 + 1 + 4 = 10 bulunur.

72





A = B + 4 2C > B + A

sayılar yazılmaktadır.

E) 6 (Cevap A)

40



• Her dairenin içerisindeki sayı, kendisine komşu olan iki kare içerisindeki sayılarının çarpımına eşit olmaktadır.



• Mavi renkli karelerde aynı sayılar bulunmaktadır.



Buna göre, kırmızı daire içerisindeki sayı en çok kaçtır?



A) 80 18

72

B) 96 4

x = 10 · 18 = 180 olur.

40

C) 175 10

x

D) 180

E) 196

18 (Cevap D)

1. Birbirinden farklı iki basamaklı altı doğal sayının toplamı

5. Aşağıdaki şemada alt alta bulunan iki çember içerisindeki

526’dır.

Buna göre, bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır?



A) 32

B) 38

04

BÖLÜM 01 Test

Temel Kavramlar

C) 39

D) 41

sayılardan birine aralarındaki kutu içerisindeki işlem uygulanıyor ve oluşan yeni sayı ile diğer çemberlerdeki sayı toplanıp bağlandıkları çember içerisine yazılıyor.

E) 43 4

Birinin en küçük olması için diğerleri en büyük seçilmelidir. 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + x = 526 485 + x = 526 x = 41

x3 :2

2

(Cevap D)

x(–4)

x2

6

x2 :3

2. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere,

3a = 4b = 5c



olduğuna göre, a – b + 2c ifadesinin alabileceği iki basamaklı kaç tam sayı değeri vardır?



A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

3a = 4b = 5c = 60k olsun. Buradan a = 20k, b = 15k, c = 12k ve a – b + 2c = 29k bulunur. k nın 1, 2, 3 değerleri için 3 ifade iki basamaklıdır.

12



E) 7



Örneğin; sarı çember içerisindeki sayı 4 · 3 + 2 = 14 veya 3 · 2 + 4 = 10 olabilir.



Buna göre, kırmızı çember içerisindeki sayı en fazla kaçtır?



A) 61

B) 65

C) 67

D) 70

E) 72

Çemberler içerisindeki sayıları fazla seçersek 4 · 3 + 2 = 14

(Cevap A)

14 +

x2

14 · 2 – 2 = 26

Çözüm Yayınları

2 . (–4) + 6 = –2

3. a, b ve c birer rakam olmak üzere,

–2 = 13 2

:2

x2

26 · 2 + 13 = 65

6 : 3 + 12 = 14

(Cevap B)

6. x, y ve z pozitif tam sayılardır.



a–b=6

1+ 1+ 1 =1 x y z



a–c=3



olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 8



olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

b = 0 için a = 6 ve c = 3 olur. a + b + c en küçük 6 + 0 + 3 = 9 bulunur.

E) 11

B) 9

C) 12

D) 13

E) 14

x = y = z = 3 için ifade sağlanacağından x + y + z = 9 bulunur.

(Cevap B)

(Cevap C)

7. a, b ve c sayıları A = {2, 3, 5, 7, 11} kümesinin elemanlarıdır. 4. Aşağıda verilen çemberlerden bazıları kırmızıya kalanlar ise sarıya boyanmaktadır. Kırmızı çemberler içerisine 2 sayısı sarı çemberler içerisine 3 sayısı yazılmaktadır.



a 0



05

BÖLÜM 01 Test

Tek - Çift Sayılar ve İşaret İncelemesi

B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

a4 · b3 · c7 > 0 ⇒ b · c > 0 dır. O hâlde a bilinemez ancak b pozitiftir. Yalnız II c

(Cevap B)

7. n bir sayma sayısı olmak üzere, 10n

2–5n+6





ifadesi bir tek tam sayıdır.





Buna göre, n’nin alabileceği değerlerin kareleri toplamı kaçtır?



A) 13



Kare etrafındaki çemberlerden sarı renkli olan içerisindeki sayı tek ise kare içerisindeki sayıya eklenir, çift ise çıkarılır. Kırmızı renkli olanlar içerisindeki sayı tek ise kare içerisindeki sayıdan çıkarılır, çift ise eklenir.

3



C) 20

D) 24

E) 29

n2 – 5n + 6 = 0

ise ⇒ (n – 3) (n – 2) = 0 ⇒ n = 2 ve n = 3 ⇒ 22 + 32 = 13

Örneğin;

7

B) 17

2 10n – 5n + 6 = Tek

(Cevap A)

15 12 = 15 + 3 – 4 – 7 + 12 = 19 4

8. x, y ve z gerçek sayılardır.

m bir doğal sayı olduğuna göre,

x2

15



•



•

16 18 14



• x · y · z > 0

2m+7



olduğuna göre; x, y ve z’nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?



A) +, +, +

2m+1



işleminin sonucu kaçtır?



A) 6

B) 7

18 + 2m + 1 – 16 + 14 – 2m – 7 = 10

C) 8

D) 9

E) 10 (Cevap E)



·y0 z

B) +, –, +

D) –, –, –

y > 0 ise z < 0 z x · y · z > 0 ise x > 0 dır. +, –, –

C) –, +, +

E) +, –, –

x2 > 0 olduğundan y < 0,

(Cevap E)

Test 05

1. D

9. Canan sınıf tahtasına bir doğal sayı yazıyor. Yazdığı bu sayı

I. Canan’ın tahtaya yazdığı ilk sayı AB34 ise tahtaya yazdığı 3. sayı çift sayıdır.



II. Canan’ın tahtaya yazdığı ilk sayı 3 ise tahtaya yazdığı ikinci sayı çifttir.



III. Canan’ın tahtaya yazdığı ilk iki sayının toplamı 493 olduğunda tahtaya yazılan ilk sayının rakamları toplamı 6’dır.



A) Yalnız I





6. B

7

7. A

8. E

9. E 10. C 11. C 12. D 13. E

3

2

(–1)3

(–1)10

–(–3)3

5 –(–2)4

B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve III

(–4)2!

(–3)0

E) I, II ve III

I. AB34 çift ve 4 ile bölünemediğinden içerisinde 1 tane 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla 2 ile bölündüğünde bölüm tektir. Çift - Tek - Çift I doğrudur. II. 31000 tek sayı 3 · 3 + 1 = çift sayıdır. II doğrudur. III. İlk sayı çift (2n) ise ikinci sayı n olur. 3n = 493 ⇒ n ≠ Z olur. İlk sayı tek ise n, ikinci sayı 3n + 1 olur. 3n + 1 + n = 493 ⇒ n = 123 ⇒ 1 + 2 + 3 = 6 III doğrudur. (Cevap E)





olduğuna göre,



I. x · y



II. xy



III. 3x + 5y



ifadelerinden hangileri daima çift sayıdır?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve III

Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir. 3x + y = z(z +1) ⇒ 3x + y = Çift, x ve y nin her ikisi de çift ya da her ikisi de tek sayıdır. 3x + 5y = Çifttir. Yalnız III

Çözüm Yayınları



2

3

13

4

13 Buna göre, tabloda sonuç bölümünde bulunan boş kutuların kaç tanesi çifttir? B) 112

C) 120

4 + 9

⇒ 2+4+4–1+9+8 ⇒ 26

(Cevap D)

Üst görünüm

(Cevap C)

3

A) 100

+

5



Sol görünüm

D) 164

E) 169

Mavi bloğun üzerinde tek sayılar, sarı blok üzerinde çift sayılar, kırmızı blok üzerinde tek sayılar ve turuncu blok üzerinde tek sayılar yazılıyor.



Buna göre,



I. Üst görünümde görünen birim karelerdeki sayıların toplamı tek sayıdır.



II. Sol görünümde görünen birim karelerdeki sayıların toplamı tek sayıdır.



III. Sağ görünümde görünen birim karelerdeki sayıların toplamı çift sayıdır.



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I





I, II ve III doğrudur.

B) Yalnız II

D) II ve III

I. T + Ç + T + T = Tek, II.

(Cevap C)

Sağ görünüm



2

Tabloda 13 · 13 = 169 boş kutu vardır. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 yedi tek sayı ile oluşturulan çarpımda 7 · 7 = 49 kutu tek sayılardan oluşur. Çift sayı adedi 169 – 49 = 120 dir.

+

4 –

E) 28

sarı, kırmızı ve turuncu renkli blokların yan yana dizilmiş hali verilmiştir. Bu blokları oluşturan birim karelere birer tam sayı yazılmaktadır.

C) Yalnız III

1

16

–

–1

D) 26

2

13. Aşağıda sırasıyla 5, 4, 3 ve 2 birim küpten oluşan mavi,

E) II ve III

4

C) 24

2

8

aşağıda verilmiştir. 1

B) 22 3

+

11. 1'den 13'e kadar olan sayma sayılarının çarpım tablosu

•

A) 20 7

3x + y = z2 + z



Buna göre, şekilde boş olarak verilen çemberler içerisindeki sayıların toplamı kaçtır?



10. x, y ve z sayma sayılarıdır.



5. E

ifadelerinden hangileri daima doğrudur?





4. E

bulunan sayı; negatif ise soldaki çember içerisindeki sayıdan sağdaki çember içerisindeki sayı çıkartılıp sonuç ok ile birleştirildikleri çember içerisine, pozitif ise iki çember içerisinde bulunan sayıların toplamı ok ile birleştirildikleri çember içerisine yazılmaktadır.

Buna göre,



3. C

12. Aşağıdaki şekilde yan yana bulunan iki çember arasında

çift ise sayıyı silip yerine yarısını, tek ise sayıyı silip yerine 3 katının 1 fazlasını yazıyor.

2. C

T

T

T Mavi

C) I ve II

E) I, II ve III T

T = Tek, III. T

Ç

T

T

T = Çi (Cevap E)

BÖLÜM 01 Test

Tek - Çift Sayılar ve İşaret İncelenmesi 1. a < 0 < b < c

5. n bir pozitif tam sayı olmak üzere,



olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?

(–1)n



A) a · c

B)

a b

C) c + a

D) b – c

B) a < 0 b E) c – a > 0

A) a · c < 0 D) b – c < 0

E) c – a

C) c + a = ? (Cevap E)



=1



olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır?



A) n3 + 1



B) n3 – 7

çarpımı bir tek tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? a

A) b

A) Çift

B) a · b

C) a + 7

D) b + 4a

E) a

kartların bölmelerinde yazan sayma sayıları tek ise T, çift ise Ç harfi ile gösteriliyor.

2



B) Çift

C) Çift

D) Çift

E) Tek

(Cevap E)

Toplama işleminde alt alta gelen bölmelerde yazan sayılar tek iseler sayılar toplanıyor. Çift iseler sayılara 3 eklenip çarpılıyor. Sayıların biri tek biri çift ise sayıların farkı alınıyor. Örneğin,

x = (–5)a



y = (–7)b



z = (–11)a+b



olduğuna göre; x, y ve z sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?



A) +, +, +



B) –, –, –

D) –, +, +

Çözüm Yayınları

+



C) –, +, –



(Cevap C)

2323

2314

–313

 1   4

A

B

C

D

E

−1

Önce A balonu D’nin hem sağına daha sonra E balonu C balonunun hemen soluna taşınırsa son durumda oyunda kaç balon kalmış olur? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

A = Çift, B = Tek, C = Çift, D = Tek, E = Çİft A, D’nin sağına taşınırsa A ve E çiftleri yan yana gelir. A patlar E balonu C’nin soluna taşınırsa ikisi de çift olduğundan E patlar 3 balon kalmış olur. (Cevap C)

Ç

T

T Ç

Ç

T

Ç

Ç

T

T

T

T

Ç

T

T

Ç

T

+

Ç

T

T

T

T

toplamının sonucunda kutucuklardan kaç tanesinde tek sayı vardır?



A) 5

+

B) 4

Ç T

T

Ç

T

Ç T

T

T

T

T Ç

Ç

T

Ç

C) 3

D) 2

E) 1

O hâlde 2 tanesi tek sayıdır. (Cevap D)

7. a ve b birer tam sayı olmak üzere,

20!

T



4. Yan yana asılı duran 5 balon ile oluşturulmuş bir tek çift oyununda balonlar üzerine birer tam sayı yazılmaktadır. Bu oyunda herhangi bir balonun yeri değiştirildiğinde yan yana duran iki balon üzerinde yazan sayıların toplamı çift sayı ise taşınan balon patlıyor. Yan yana duran iki balon üzerinde yazan sayıların toplamı tek sayı ise balonlara dokunulmadan değiştirilmiş haliyle kalıyor.

T Ç

Buna göre,



E) +, –, –

x = (–5)Tek < 0 y = (–7)Çift > 0 Z = (–11)Tek + Çift = (–11)Tek < 0 x, y, z → –, +, –



(Cevap C)

6. Beş bölmeli kartlar ile oluşturulan bir toplama işleminde

3. a tek ve b çift tam sayıdır.



E) nn + 3

D) 3n + 11

(a + 2) · (b + 3)

(a + 2) · (b + 3) = Tek a + 2 = Tek ⇒ a = Tek b + 3 = Tek ⇒ b = Çift



C) n2 + 2n

n10 + 4n = çift ⇒ n + çift = çift ⇒ n = çift olur. n2 + 2n = çift + çift = çift bulunur.

2. a ve b sayma sayılarıdır.

10+4n

06

(a + 3)5 + (b + 5)5



ifadesi bir tek sayıdır.



Buna göre,



I. a tek sayıdır.



II. a + b tek sayıdır.



III. a · b tek sayıdır.

17



ifadesinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) II ve III

(a + 3)5 + (b + 5)5 = Tek a + 3 + b + 5 = Tek a + b + 8 = Tek a + b = Tek

C) I ve II

E) I, II ve III

a + b tekdir daima doğrudur. (Cevap B)

Test 06

1. E

3. C

4. C

5. C

6. D

7. B

8. B

9. B 10. E 11. D 12. D

11. Aşağıda çemberler ve kutular kullanılarak oluşturulmuş

8. Bir öğretmen, cebinde bulunan 100¨’yi kız öğrencilerine 2’şer

şekilde çemberler içerisine tam sayılar yerleştiriliyor.

¨, erkek öğrencilerine 3’er ¨ vererek dağıtıyor ve 27¨ parası artıyor.

2. E

Kız öğrencilerin sayısı x, erkek öğrencilerin sayısı y olmak üzere,



I. x = y olabilir.



II. x daima çift sayıdır.





III. y daima tek sayıdır.



Yan yana olan iki çember içerisinde bulunan sayılar çarpılıyor ve çıkan sonuç ok ile gösterilen kutu içerisine yazılıyor.



Çemberler içerisinde bulunan sayıların toplamı çift sayı olduğuna göre, kutular içerisindeki sayıların en çok kaç tanesi tek sayıdır?



A) 2



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız III

D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

2 · x + 3 · y + 27 = 100 2x + 3y = 73 x → 35, 32, 29, ..., 2 y → 1, 3, 5, ..., 23 Öncüllerden y daima tektir, doğrudur.

x = y ⇒ 2x + 3x = 73 ⇒x=

73 O hâlde x ≠ y dir. 5

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Sol baştan ilk 6 çember tek sayı, son çember çift sayı seçilirse sırasıyla soldan sağa doğru kutular içerisindeki sayılar Tek, Tek, Tek, Tek, Tek, Çift olur. Cevap 5 (Cevap D)

(Cevap B)

9. a, b, c, d ve e sayıları

A = {2, 4, 5, 6, 10}



kümesinin birbirinden farklı elemanlarıdır.



Buna göre,

12. Aşağıda verilen 36 birim kareden oluşan Şekil-I'de önce d1

doğrusu boyunca belirtilen yönde katlama işlemi yapılıyor ve üst üste gelen sayılar toplanıp görünen kare içerisine yazılıyor. Daha sonra oluşan Şekil-II'de d2 doğrusu boyunca belirtilen yönde katlama işlemi yapılıyor ve üst üste gelen sayılar çarpılıp görünen kare üzerine yazılıyor. Şekil-I'de tek sayılar T, çift sayılar Ç ile gösteriliyor.



eşitsizliği için e + d + c toplamı en fazla kaçtır?



A) 21

B) 20

C) 18

D) 15

a, c, d, e ∈ {2, 4, 6, 10} ve b = 5 olur. e + d + c en fazla 10 + 6 + 4 = 20 bulunur.

E) 13 (Cevap B)

Çözüm Yayınları

(–2)a · 3b · (–4)c · (–5)d · (–7)e > 0



10. Bir bilgisayar algoritması girilen a, b ve c tam sayıları için 1. Adım: (a + b) · (b + c) işleminin sonucunu hesapla ve 2. adıma git.

T

T

Ç

T

Ç

T

Ç

T

T

Ç

Ç

Ç

Ç

T

T

T

Ç

Ç

Ç

T

T

T

T

T

Ç

Ç

Ç

T

Ç

T

T

T

Ç

Ç

T

T

2. Adım: İşlemin sonucu tek sayı ise 3. adıma, çift sayı ise 4. adıma git.

d1

Şekil-I

3. Adım: a’nın değerini 2 azalt, b’nin değerini 3 katına çıkart ve 1. adıma geri dön. 4. Adım: İşlemin sonucunu ekrana yaz.

adımlarından oluşmaktadır.



Bu algoritmaya giren a, b ve c tam sayıları için 4. adıma hiçbir zaman geçilememiştir.



Buna göre,

18

I. a çift sayıdır.



II. a + c çift sayıdır.



III. b · a çift sayıdır.

Şekil-III



ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?



A) Yalnız I



d2 Şekil-II

B) Yalnız II

D) I ve III



Buna göre katlamalar sonucu oluşan Şekil-III’deki sayıların kaç tanesi çift sayıdır?



A) 5

C) I ve II

E) II ve III

4. adıma geçilememesinin nedeni (a + b) · (b + c) ve (a – 2 + 3b) · (3b + c) çarpımlarının tek olmasıdır. a b c Ç T Ç a + c ve b · a daima çifttir. T Ç T (Cevap E)

Ç Ç Ç Ç T T Ç T T T Ç T Ç Ç Ç T T Ç d2

B) 6 Ç Ç Ç Ç Ç T Ç Ç Ç

C) 7

D) 8

E) 9

O hâlde 8 çi sayı vardır.

(Cevap D)

1. Ardışık 9 çift tam sayının toplamı 216’dır.

Buna göre, en büyük sayı kaçtır?



A) 24

B) 26

C) 28

5. Ardışık dört doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen sayılara “Çarpışık sayı” denir.

D) 30

E) 32

Ortanca terim 216 = 24 tür. 9 24

07

BÖLÜM 01 Test

Ardışık Sayılar

26

28

30

Örneğin; 24 = 4 · 3 · 2 · 1 olduğundan 24 çarpışık sayıdır.



Bir A çarpışık sayısından büyük en küçük çarpışık sayı B’dir.

B =3 A

32

en büyük sayı 32 dir.



(Cevap E)



olduğuna göre, A sayısının rakamları toplamı kaçtır?



A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

D) 7

n ∈ N+ olmak üzere, A = n ⋅ ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ve B = ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) n + 4 = = 3 ⇒ n = 2 ⇒ A = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 ⇒ 1 + 2 + 0 = 3 n( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) n (Cevap A)

2. Asya tahta blokları aşağıdaki gibi belli bir düzene göre yerleştiriyor.

6. a, b, c, d, e, f, g, h ardışık tek tam sayılardır.

1. satır



2. satır



3. satır







Buna göre, Asya 20 satırdan oluşan düzeneği yapmak için kaç tahta blok kullanmalıdır? A) 165

B) 180

C) 200

D) 210

1 + 2 + 3 + ... + 20 = 20 ⋅ 21 = 210 2

E) 240 (Cevap D)

Çözüm Yayınları



a 5 olduğundan B = 6 için A en az A = 3 · 6 + 5 = 23 tür.

E) 27 (Cevap C)

4. A ve B tam sayılar olmak üzere,



olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 14

a · b + 7 = 127 ⇒ a · b = 120 = 23 · 3 · 5 Pozitif bölen sayısı = 4 · 2 · 2 = 16 ancak a > 7 olduğundan a; 1, 2, 3, 4, 5, 6 olamaz. 16 – 6 = 10 tanedir.

E) 15

(Cevap A)

41

8. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

B

a2 + 3a a + 4

4 5

b+1 4

bölme işlemi veriliyor. A + B = 95



olduğuna göre, B kaçtır?



A) 15

A = 4B + 5

D) 74

b

5

olduğuna göre, A en az kaçtır?



C) 71

7. a ve b pozitif tam sayılardır.

B





B) 67

2x + 1 < x + 7 ⇒ x < 6 ⇒ x = 5 için A = 12 · 5 + 11 = 71

(Cevap A)

3



x+7

2x + 1

E) 9

3. A ve B sayma sayılarıdır.

A

(Cevap D)

x

10

A) 5



E) 5

6. x bir tam sayı olmak üzere,

b

olduğuna göre, b – y farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A

D) 4

x + 4y + 1 4y + 3 + 4y + 1 4( 2y + 1) = = =4 2y + 1 2y + 1 2y + 1

(Cevap D)

A



C) 3

x = 4y + 3 ⇒

2. x, y, a ve b sayma sayılarıdır. x

18

B) 16

⇒ A + B = 95 4B + 5 + B = 95 B = 18

C) 17

D) 18

E) 19 (Cevap D)



olduğuna göre, b'nin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?



A) a – 1

B) a – 2

C) a – 3

a2 + 3a = (a + 4) · (b + 1) + 4 a2 + 3a – 4 = (a + 4) · (b + 1) (a + 4) · (a – 1) = (a + 4) · (b + 1) ⇒ b = a – 2

D) a – 4

E) a + 1

(Cevap B)

Test 18

1. D

2. A

9. ab iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, ab

5. D

6. C

7. A

8. B

9. B 10. C 11. A 12. B 13. E 14. A 15. B

verilen A sayısının 3 olan yüzler basamağındaki rakamı 6 olarak gördüğü için kalanı 5 buluyor.

a+b 3



olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?



A) 6

B) 7

4. D

13. Bir öğrenci verilen bir A sayısını 55’e bölmek istiyor. Öğrenci,

4



3. C

C) 8

D) 9

10a + b = 3a + 3b + 4 7a = 2b + 4 ⇒ b = 5 ve a = 2 ⇒ a + b = 7



Buna göre, öğrenci bu bölme işlemini doğru yapsaydı kalanı kaç bulurdu?



A) 10

B) 12

C) 15

D) 25

E) 35

A + 300 = 55k + 5 A = 55k – 295 k = 6 için A = 55 · 6 – 295 = 35

E) 10

(Cevap B)

(Cevap E)

10. ab87 dört basamaklı, ab iki basamaklı, xy3 üç basamaklı doğal sayılardır. ab87

ab

14. xyz36 beş basamaklı, ab iki basamaklı doğal sayılardır.

xy3 15

xyz36



olduğuna göre, a + b – x – y ifadesinin değeri kaçtır?



A) 7

ab87 ab 0087 – 3 . ab 15 –

B) 6

C) 5

D) 4

87 – 3 · ab = 15 ab = 24 a+b–x–y=2+4–1–0=5

ab 103



E) 3

(Cevap C)

Çözüm Yayınları



92

ab



olduğuna göre, ab’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 20

B) 24

C) 28

D) 32

E) 40

xyz36 = 92 · m + ab

4 ün katı

4 ün katı

4 ün katı

ab < 92 ⇒ ab ∈ {12, 16, 20, . . ., 88} ⇒ 20 değer vardır.

(Cevap A)

11. Aşağıdaki bölme işlemlerinde a, b ve c birer pozitif tam sayıyı göstermektedir. a

b

b

9



15. Aşağıda verilen 4 eş kareden oluşan şekilde bir sayma

4

sayısının başka bir sayma sayısına bölümünde bölünen, bölen, kalan ve bölüm değerleri

c

3

2



Buna göre, a sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

b = 4c + 2, a = 9b + 3 ise a = 9(4c + 2) + 3 a = 36c + 21 ⇒ a nın 12 ile bölümünden kalan 9 dur.

Bölünen

Bölen

Kalan

Bölüm

E) 5 (Cevap A)



kuralıyla gösterilmektedir.



42

a

b

b

c

c

d

0

2

0

12

0

30

d

e

e

f

f

h

0

56

0

90

12. B bir doğal sayı, a ve b tam sayılar olmak üzere, B

a + 20 b



a2



olduğuna göre, a'nın alabileceği kaç farklı değer vardır?



olduğuna göre, a sayısı en az kaçtır?



A) 9



A) 13!

B) 8

C) 7

a2 < a + 20 ⇒ a2 – a – 20 < 0 (a – 5) · (a + 4) < 0 –4 5 + – + ⇒ a ∈ (–4, 5) ⇒ 8 değer vardır.

D) 6

E) 5

B) 12!

C) 11!

0 132

D) 10!

a = 2b, b = 12c, c = 30d, d = 56e e = 90h, f = 132h olduğundan h = 1 için a = 2 · 12 · 30 · 56 · 90 · 132 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 = 12! (Cevap B)

E) 9! (Cevap B)

1. Aşağıda verilen tabloda sütunda bulunan sayılar, satırda

5. Beş basamaklı 21a7b sayısı 5 ile tam bölünüyor.

bulunan sayılara bölünüyor ve kalan sayı işlem yapılan satır ve sütunun kesişimindeki kutuya yazılıyor. ÷

2

3

4

5

19

BÖLÜM 01 Test

Bölme ve Bölünebilme Kuralları

8

9

10

11



Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?



A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

b = 0 veya b = 5 tir.

316

21a70 21a75 2 + 1 + a + 7 + 0 = 9k + 7 2 + 1 + a + 7 + 5 = 9k + 7 3 + a = 9k 8 + a = 9k a = 6 a = 1

4121 327



518

1+6=7

(Cevap A)

932

Buna göre, sarı renkli bölgelerdeki sayıların toplamı kaçtır?



A) 17

B) 18

C) 19

D) 20

6. Aşağıdaki tabloda herhangi bir rakamdan başlayıp çapraz gitmeden ve kutucuk atlamadan yalnızca yatay ve dikey doğrultuda istenilen kutucuk kadar ilerleniyor ve geçilen kutucuklardaki rakamlar sırasıyla soldan sağa doğru yan yana yazılarak sayılar oluşturuluyor.

E) 21

1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 8 = 17

(Cevap A)



Örneğin; 232, 324, 142, 51515, 212514, ...

rakamlarının her birine tam bölünüyor ise bu sayıya bölen sayı denir.

Buna göre, aşağıda verilenlerin hangisi bölen sayı değildir?



A) 12

B) 312

C) 357

D) 315

357 sayısı rakamlarından 5 ile tam bölünemeyeceğinden BÖLEN SAYI değildir.

E) 936

Çözüm Yayınları

2. Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı bir doğal sayı,

Bu sayı 3 ile kalansız bölünebildiğine göre a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?



A) 12

B) 11

C) 10

D) 9

b = 5 ise 3 + 4 + 5 + a + 5 = 3k 17 + a = 3k ⇒ a ∈ {1, 4, 7} ⇒ 1 + 4 + 7 = 12

(Cevap A)

1

2

4

2

5

1



A) 8

B) 7

C) 6

E) 4

9 ile bölümünden kalan 6

(Cevap C)

7. x bir sayma sayısı olmak üzere, 11x + 4



sayısı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?



A) 97255



B) 887521

D) 214579

11 ile bölündüğünde 4 kalanı veren sayı +–+–+ 9 7 2 5 5 = 9 – 7 + 2 – 5 + 5 = 4 sayısıdır.

4. 2x4y

D) 5

52525 · 1212 ⇒ 1 · 6 = 6

E) 8

2

Buna göre, oluşturulabilecek 5 basamaklı en büyük sayı ile oluşturulabilecek 4 basamaklı en küçük sayının çarpımının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

9 ile bölümünden kalan 1



3



(Cevap C)

3. 345ab beş basamaklı sayısının 10 ile bölümünden kalan 5’dir.

2

C) 5321

E) 4579134

43 (Cevap A)

8. x doğal sayısının 13 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi 13 ile tam bölünür?



dört basamaklı sayısı 3 ve 4 ile kalansız bölünebildiğine göre, x + y toplamı en fazla kaçtır?





A) 11



B) 12

C) 13

4y, 4 ile tam bölünür. y ∈ {0, 4, 8} y = 8 için 2x48, 3 ile tam bölünür. 2 + x + 4 + 8 = 3k ⇒ x ∈ {1, 4, 7} ⇒ x + y = 7 + 8 = 15

D) 14

E) 15

A) x + 6

D) 3x + 1

x = 4 seçilir ise 3x + 1 = 13, 13 ile tam bölünür.

(Cevap E)

B) x + 5

C) 2x + 1

E) 4x + 1 (Cevap D)

Test 19

1. A

9. Uzunluğu daire içerisinde yazılı olan bir tel parçasının n

2. C

3. A

4. E

5. A

6. C

7. A

8. D

9. E 10. D 11. E 12. D 13. C

12. Aşağıdaki şekilde kare içerisinde yazan sayının ok üzerinde

eşit parçaya bölünmesi ile oluşan her bir parçanın tam sayı uzunluğunu kutu içerisinde gösteren düzenek aşağıda gösterilmiştir.

bulunan sayı ile bölümünden kalan, çember içerisine yazılmaktadır.

320

8

25

312

3ab4 104



312 cm uzunluğundaki tel 3 eşit parçaya ayrılarak her birinin uzunluğu 104 cm olmuştur.



Buna göre,

80

11

320 cm uzunluğundaki tel 4 eşit parçaya ayrılarak her birinin uzunluğu 80 cm olmuştur.

2



3ab4 dört basamaklı bir sayı olduğuna göre, boş çemberler içerisine yazılacak sayıların toplamı kaçtır?



A) 20

B) 21

C) 22

D) 24

düzeneğinde kutu içerisinde bulunan sayı en fazla kaçtır?



A) 71

C) 75

D) 76

E) 81

406 sayısı 6 ile tam bölünür. Dolayısıyla 2 ve 3 ile tam bölünebileceğinden 4 + a + 6 = 3k ⇒ 10 + a = 3k ⇒ a = 2, a = 5 ve a = 8 olur. a = 8 için kutudaki sayı 486 : 6 = 81 olur.

(Cevap E)

Çözüm Yayınları

3 + a + b + 4 = 9k + 2 ⇒ a + b + 5 = 9k 4 – b + a – 3 = 11m + 1 ⇒ a – b = 11k ⇒ a = b 2a + 5 = 9k ⇒ a = 2 ve b = 2 olur. Boş çemberle içindeki sayıların toplamı 0 + 24 = 24



B) 73

1



4a6

9

E) 26

(Cevap D)

13. 102311457

dokuz basamaklı sayısının rakamları aşağıda verilen 9 birim kareden oluşan karenin birer karesine yazılacaktır.

... 1. satır ... 2. satır

10. Ardışık 35 çift tam sayının toplamı aşağıdakilerden

... 3. satır

B) 9

C) 12

D) 14

Ortanca sayı 2n çift tam sayısı ise toplam 70 · n dir. O hâlde 14 ile daima tam bölünür.

E) 20 (Cevap D)



Sayılar yerleştirildiğinde satırda oluşan a b c sayısı abc a üç basamaklı, sütunda oluşan b sayısı cba üç basamaklı c sayısını temsil etmektedir.



1., 2. ve 3. sütunlarda bulunan üç basamaklı sayıların 10 ile bölümünden kalan 1’dir. 2. ve 3. satırda bulunan üç basamaklı sayılar 5 ile tam bölünebilmektedir.



1. ve 2. sütunda bulunan sayıların 4 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, yeşil karelerde yazan sayıların toplamı kaçtır?

44 11. 240 cevizin tamamı, m tane öğrenciye aşağıdaki koşullara uygun olarak dağıtılacaktır.

• Her bir öğrenci eşit sayıda ceviz alacaktır.



• Her bir öğrenci en az 2, en fazla 60 ceviz alacaktır.



• Her bir öğrenciye düşecek ceviz sayısı tek sayı değildir.



Buna göre, m’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 9

B) 10

C) 11

2 ≤ n ≤ 60 ve m · n = 240 = 2 · 23 · 3 · 5 n çift sayıdır. n nin pozitif bölen sayısı = 4 · 2 · 2 = 16 n ∉ {80, 120, 240} ⇒ 16 – 3 = 13

D) 12

E) 13

(Cevap E)

3. sütun ...

A) 6

1. sütun ...



2. sütun ...

hangisine daima tam bölünür?



A) 8 1 1 1 0 5

B) 9

C) 10

D) 11

Kalan kutulara 2, 3, 4 ve 7 sayıları yazılacaktır. 2. satırdaki sayılar 2 ve 4 olmalı Kırmızı karelerde 3 ve 7 olmalıdır. 3 + 7 = 10 bulunur.

E) 12

(Cevap C)

BÖLÜM 01 Test

Bölme ve Bölünebilme Kuralları

20

1. 1! + 2! + 3! + 4! + . . . + 27!

5. a4179b altı basamaklı sayısı 72 ile tam bölünmektedir.



toplamının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?



Buna göre, a + b toplamı kaçtır?



A) 7



A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

4! ve sonrası 12 ile tam bölünür. Yani kalan 0 dır. 1! + 2! + 3! + 4! + . . . +29! = 1 + 2 + 6 + 0 =9 0

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

9 ve 8 ile tam bölünür. O hâlde 79b, 8 ile tam bölünür ve b = 2 olur. a + 4 + 1 + 7 + 9 + 2 = 9k ⇒ a + 23 = 9k ⇒ a = 4 ⇒ a + b = 6

(Cevap C)

(Cevap A)

6. Dört basamaklı rakamları farklı 12ab doğal sayısının 15 ile bölümünden kalan 6’dır.

Buna göre, a yerine yazılabilecek kaç farklı değer vardır?

2. 20107 + 51010 + 20065



A) 3



sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 0

5 ve 3 ile bölündüğünde kalan 6 olamayacağından 5 ve 3 ile bölündüğünde kalanlar sırasıyla 1 ve 0 olur. b = 1 veya b = 6 ancak b = 1 olamayacağından b = 6 ⇒ 1 + 2 + a + 6 = 3k ⇒ 9 + a = 3k a ∈ {0, 3, 9} yani 3 değer vardır. (Cevap A)

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

2010, 5 ve 2006 sayılarının 5 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 0, 0 ve 1 dir. 07 + 01010 + 15 = 1

Çözüm Yayınları

bölünebildiğine göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 6

C) 5

D) 6

B) 9

C) 15

D) 16

10 ve 3 ile tam bölünür. 10 ile tam bölündüğüne göre b = 0 dır. 705a0 7 + 5 + a = 3k ⇒ 12 + a = 3k ⇒ a ∈ {0, 3, 6, 9} ⇒ 9 + 0 = 9

7. Üç basamaklı A3B sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir.

Aynı sayı 5 ile bölündüğünde kalan 3 olduğuna göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?



A) 9

B) 10

C) 11

E) 15

(Cevap D)

E) 18

8. Dairesel bir çizgi üzerinde duran A, B, C, D, E, F, K, L ve M isimli 9 çocuk A’dan başlayarak ok yönünde kişi atlamadan sırasıyla 1, 2, 3, ... ardışık doğal sayılarını söylüyor. Bu sayma işlemi 2a43 sayısını söyleyen çocukla bitiyor ve oyundan ayrılıyor.

(Cevap B)

A

C

K

4. 3a4b dört basamaklı bir doğal sayıdır.

45

B

L



D) 12

B = 3 veya B = 8 dir. Sayı 2 ve 3 ile tam bölünür. O hâlde B = 8 dir. A + 3 + 8 = 3k ⇒ A + 11 = 3k ⇒ A ∈ {1, 4, 7} ⇒ 1 + 4 + 7 = 12

M



E) 7

(Cevap B)

3. Beş basamaklı 705ab doğal sayısı 30 ile tam



B) 4

D F

E

3a4b tane şekerin tamamı 45 öğrenciye her öğrenciye eşit sayıda şeker düşecek biçimde paylaştırılabildiğine göre, bir öğrenciye en fazla kaç şeker düşer?



Oyundan ilk ayrılan kişi E olduğuna göre, a kaçtır?

A) 68



A) 2

B) 72

C) 79

D) 81

E) 83

Sayı 9 ve 5 ile tam bölünür. 5 ile tam bölündüğüne göre b = 0 veya b = 5 tir. b = 0 ise 3a40 ⇒ 7 + a = 9k ⇒ a = 2 b = 5 ise 3a45 ⇒ 12 + a = 9k ⇒ a = 6 a = 6, b = 5 için en fazla 3645 : 45 = 81 şeker düşer. (Cevap D)

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Saymaya A başlıyor ve 9 da bir sıra aynı kişiye geliyor. 2a43 ü söyleyen ilk kişi E olduğundan 2a43 sayısı 9 ile bölündüğünde 5 kalanını vermelidir. 2 + a + 4 + 3 = 9k + 5 ⇒ a + 4 = 9k ⇒ a = 5 (Cevap D)

Test 20

1. C

2. B

3. B

4. D

5. A

6. A

7. D

8. D

9. Bir A pozitif tam sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

12. M = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11}



• 120 ile bölümünden kalan 97’dir.





• 4 ile bölümünden kalan a’dır.



• 5 ile bölümünden kalan b’dir.



• 12 ile bölümünden kalan c’dir.



Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?



A) 4

B) 5

C) 6

ve ABCD dört basamaklı bir pozitif tam sayı olmak üzere,

K(ABCD) =



A = 120k + 97 a=0·k+1=1 b=0·k+2=2 c=0·k+1=1 a+b+c=4

E) 8

ABCD’yi kalansız bölebilen M kümesi elemanlarının sayısı

+2

olarak tanımlanıyor.

D) 7

9. A 10. A 11. B 12. C 13. C

K(A36B) = 10



olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?



A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

K(A36B) = 10 ⇒ A36B sayısını tam bölen M kümesinin eleman sayısı 8 dir. Kümedeki elemanların sadece 1 tanesine bölünemeyeceğinden birbiriyle bağlantılı olan 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 sayıların her birine tam bölünmelidir. Sayı 10 ve 9 ile tam bölünür. B = 0 ve A + 3 + 6 + 0 = 9k ⇒ A + 9 = 9k ⇒ A = 9 ve A + B = 9 + 0 = 9 (Cevap C)

(Cevap A)

10. Aşağıda verilen şekilde çemberler içerisine birer sayma sayısı



Sol

5ab

Sağ

Bu sayılar soldan sağa doğru sırasıyla 3, 4, 5, 6, 7 ve 8 ile sağdan sola doğru sırayla 9, 10, 11, 12, 13 ve 14 ile tam bölünmektedir.



5ab üç basamaklı sayı olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

Çözüm Yayınları

yazılıyor.

13. Aşağıda verilen şekilde en içteki sayının dışında bulunan şeklin kenar sayısına bölümünden elde edilen kalan, şeklin altına yazılmaktadır. Dışında birden fazla şekil olan durumlarda sayının dışında bulunan şekillerin kenar sayılarının çarpımına bölümünden kalan, dıştaki şeklin altına yazılmaktadır.

E) 8

Verilen sayılar yerleştirildiğinde 5ab, 5 ve 12 ile tam bölünür. Dolayısıyla 5ab, 60'ın katıdır. 5ab = 540 ⇒ a = 4 ve b = 0 dır. a + b = 4 (Cevap A)



Örneğin;

A a b



46

11. 34a5b beş basamaklı bir sayı olmak üzere 34a5b tane bilyesi olan Asya’nın bilyeleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

• Bilyelerini 8 kardeşi ile eşit olarak paylaşabilmekte ve hiç bilye artmamaktadır.



• Bilyelerini 20 kişiye eşit olarak dağıttığında elinde 17 bilyesi kalmaktadır.



Buna göre, elindeki bilyelerin en az kaç tanesini çıkartırsa kalan bilyeler 24 kişiye eşit olarak paylaştırılabilir?



A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

4 ve 5 ile bölündüğünde 17 kalanı veremeyeceğinden 4 ve 5 ile bölündüğünde sırasıyla 1 ve 2 kalanı verir. b tek sayı olduğundan b = 7 dir. 3 + 4 + a + 5 + 7 = 9k ⇒ a = 8 dir. 34857 sayısının 24 ile bölümünden kalan 9 olduğundan 9 bilye kenara ayrılmalıdır. (Cevap B)



şeklinde A sayısının 3 ile bölümünden kalan a, 12 ile bölümünden kalan b’dir.



abc üç basamaklı bir sayı olmak üzere,

abc a 13



olduğuna göre, a + c toplamı kaçtır?



A) 6

B) 5

C) 4

abc sayısının 20 ile bölümünden kalan 13 tür. Dolayısıyla 4 ile bölündüğünde kalan a = 1 dir. 5 ile bölümünden kalan 3 olduğundan c = 3 tür. a + c = 1 + 3 = 4 bulunur.

D) 3

E) 2

(Cevap C)

BÖLÜM 01 Test

Bölme ve Bölünebilme Kuralları 1. A sayısı 101 tane 1923 sayısının toplamıdır.

5. a, b ve c birer sayma sayısıdır.



Buna göre, A sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?



4 · a = 13 · b



A) 6



3 · b = 12 · c

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

–+–+–+–+–+–+ –+–+ 192319231923...1923 101 · (–1 + 9 – 2 + 3) = 101 · 9 = 909 909 un 11 ile bölümünden kalan 7 dir.



olduğuna göre,



(Cevap B)

21

3a + 2b – 4c



ifadesi aşağıdakilerden hangisine daima tam bölünür?



A) 2

B) 6

C) 9

D) 21

E) 43

b = 12 k ⇒ a = 39k ve c = 3k 3a + 2b – 4c = 117k + 24k – 12k = 129k O hâlde 43 ile daima tam bölünür.

(Cevap E)

2. A = 32

B = 555



C = 4334



6. Aşağıdaki şekilde verilen 5 altıgensel hücreye sayma sayıları yerleştiriliyor. Üstte verilen altıgensel hücrenin içindeki sayı kendisine bağlı olan iki hücrenin içindeki sayılara tam bölünmektedir.

olduğuna göre,

A + B2 – C3

sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

10

3. xyza dört basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,

9

a3 + b

(Cevap C)

Çözüm Yayınları

A, B ve C sayılarının 9 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 5, 6 ve 5 olduğundan A + B2 – C3 = 5 + 62 – 125 = –84 ⇒ –84 + 90 = 6

x!

3a4b

E) 8



3a4b dört basamaklı olduğuna göre, x en az kaçtır?



A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

3a4b = 10k ⇒ b = 0 ve 3 + a + 4 + 0 = 9k ⇒ a = 2 x! = 9 · n = 8 · m ⇒ x en az 6 olur.

(Cevap B)

7. Dört basamaklı a34b sayısının 29 ile bölümünden kalan 17’dir.

xyza – (x + y + z + a)



ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisine daima tam bölünür?



Buna göre, a52b sayısının 29 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 6



A) 28

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

B) 27

C) 25

D) 23

a52b = a34b + 180 = 17 + 6 = 23

⇒ 1000x + 100y + 10z + a – x – y – z – a ⇒ 999x + 99y + 9z ⇒ 9 ile tam bölünür.

E) 21 (Cevap D)

(Cevap D)

47 8. Bir A sayma sayısının

4. a bir pozitif tam sayı olmak üzere,

(6a + 9) · (8a + 3)



çarpımının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 1

B) 2

(6a + 9) · (8a + 3) ⇒ 48a2 + 90a + 27 ⇒ 0 · a2 + 0 · a + 3 ⇒ 3

C) 3

D) 4

E) 5 (Cevap C)



• 10 ile bölümünden kalan a,



• 7 ile bölümünden kalan b,



• 8 ile bölümünden kalan c



olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?



A) 24

B) 23

a + b + c en fazla 9 + 6 + 7 = 22 en az 0 + 0 + 0 = 0 dır. 0 + 22 = 22 bulunur.

C) 22

D) 21

E) 20

(Cevap C)

Test 21

1. B

9. Bir torbanın içinde 1’den 999’a kadar olan doğal sayılar ile

2. C

Anıl, Burcu, Cenk, Deniz ve Engin’in çektikleri bilye numaraları sırasıyla 791, 672, 314, 515 ve 917 olduğuna göre, oyunu kazanan kim olur?



A) Anıl



B) Burcu

D) Deniz

(Cevap A)



• 55 sayısına tam bölünebilmektedir.



Buna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

0,04 ile çarpmak, 25 ile bölmek demektir. O hâlde b = 2 veya b = 7 dir. 55 ile tam bölünmesi için 11 ve 5 ile tam bölünür. –+–+ a 3 2 5 ⇒ 6 – a = 11k ⇒ a = 6 ve a + b = 8 –+–+ a 3 7 5 ⇒ 1 – a = 11k ⇒ a = 1 ve a + b = 8 (Cevap E)

Çözüm Yayınları

10. Dört basamaklı a3b5 sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor. • 0,04 ile çarpıldığında bir tam sayı olmaktadır.

6. B

Gün



E) Engin



5. E

7. D

8. C

9. A 10. E 11. D 12. C 13. C 14. C

sağdan sola doğru saniye, dakika, saat (24 saatlik gösterim) ve gün şeklinde ikişer hane olarak göstermektedir.

C) Cenk

7912 + 6722 + 3142 + 5152 + 9172 ≡ 12 + 22 + 42 + 02 + 22 ≡ 25 ≡ 0 Oyunu Anıl kazanır.

4. C

12. Aşağıda verilen 4 bölmeden oluşan bir dijital saat zamanı

numaralandırılmış 999 tane bilye bulunmaktadır. Anıl, Burcu, Cenk, Deniz ve Engin bu torbadan rastgele birer bilye çekiyor ve çekilen bilyelerin üzerinde yazan sayıların kareleri alınıp toplanıyor. Toplamın 5 ile bölümünden kalan “0” ise Anıl, “1” ise Burcu “2” ise Cenk, “3” ise Deniz ve “4” ise Engin oyunu kazanıyor.

3. D

Saat

Dakika

Saniye



• Saniye hanesinde bulunan sayının 7 ile bölümünden kalan 6’dır.



• Dakika hanesinde bulunan sayının 9 ile bölümünden kalan 3’tür.



• Saat hanesinde bulunan sayının 4 ile bölümünden kalan 2’dir.



• Gün hanesinde bulunan sayının 5 ile bölümünden kalan 4’tür.



Buna göre, yukarıdaki şartlara uyan bir tarihte bu saatin bütün bölmelerinde görünen rakamların toplamı en fazla kaçtır?



A) 42

B) 43

Gün Saat Dakika 29 18 57 2 + 9 + 1 + 8 + 5 + 7 + 4 + 8 = 44

C) 44

D) 45

E) 46

Saniye 48 (Cevap C)

13. 2, a, 6 ve 8 sıfırdan farklı rakamları, her rakamın sayısal değeri kadar tekrarlanıp sırayla soldan sağa doğru yan yana yazılarak yeni bir sayı oluşturuluyor.

Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır ?



A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

a2 + 22 + 62 + 82 = 9k + 3 a2 + 104 = 9k + 3 ⇒ a2 + 101 = 9k ⇒ a2 + 2 = 9k a = 4, a = 5 ve 4 + 5 = 9

(Cevap C)

11. Dört basamaklı abcd sayısı, üç basamaklı abc sayısına bölündüğünde kalan 3 olmaktadır.

48

Buna göre,



I. d = 3’tür.



II. abc sayısı en fazla 987’dir.

14. 3b, a5 ve 4c iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,



III. En küçük abcd sayısının 7 ile bölümünden kalan 2’dir.





ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) I ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

abcd sayısının abc ile bölümünden bölüm 10, kalan d dir. d = 3 tür. abc en fazla 999, en küçük abcd sayısı olan 1003 ün 7 ile bölümünden kalan 2 dir. I ve III doğrudur. (Cevap D)

3b · a5 · 4c



çarpımının sonucu 729 ile tam bölünüyor.



Buna göre, a · b · c çarpımının değeri kaçtır?



A) 90

B) 100

C) 120

3b, a5 ve 4c sayıları 9 ile tam bölünmelidir. b = 6, a = 4 ve c = 5 tir. a . b . c = 120

D) 144

E) 150

(Cevap C)

BÖLÜM 01 Test

EBOB - EKOK 1. a ve b pozitif tam sayılardır.

4. Bir seradan toplanan biberler renklerine göre aşağıda verildiği gibi tekrar edecek şekilde sıralanmaktadır.

EBOB(a, b) = 1



olduğuna göre, (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) (6, 8)



B) (4, 12)

D) (15, 16)

...

C) (14, 21)



E) (39, 26)

EBOB(15, 16) = 1 dir.



(Cevap D)

Bu sıralamada baştan 372. biberden sonraki 4 biber aşağıdakilerden hangisidir? A)

B)

C)

D)

·



olduğuna göre,



A) 3

24

·

32)

372 8 32 46 52 48 4

=B

A oranı kaçtır? B

B) 6

C) 8

D) 12

A = 33 ⋅ 25 = 3 ⋅ 2 = 6 B 32 ⋅ 24

(Cevap B)

Biberler 8 de bir tekrar etmektedir. Kalan 4 olduğundan 5. 6. 7. 8 biberler olur. kırmızı

yeşil

(Cevap A)

5. c ve d birer pozitif tam sayı olmak üzere,

E) 24

Çözüm Yayınları



27,

E)



2. EKOK(33 · 24, 32 · 25) = A EBOB(35

22



A = 5c · 22



B = 53 · 2d



EBOB(A, B) = 100



olduğuna göre, c + d toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

EBOB(A, B) = 52 · 22 olduğundan

3. Aşağıda verilen şekilde alttaki iki halkayı üstteki halkaya

c = 2 ve d ≥ 2 dir. c+d=2+2=4

(Cevap D)

bağlayan ipler arasında

• – işareti varsa halkalar içerisindeki sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü,



• + işareti varsa halkalar içerisindeki sayıların ortak katlarının en küçüğü bağlandıkları halka içerisine yazılmaktadır.

+ + – 60



75

– 54

72



A) 90

C) 150



olduğuna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı x değeri vardır?



A) 10



Buna göre, en üstte bulunan halkanın içerisindeki sayı kaçtır? B) 120

EBOB(x, 35) = 7

B) 9

C) 8

D) 7

D) 180

E) 6

49 (Cevap E)

7. (m – 4) ve (8 – m)



EBOB(60, 75) = 15, EBOB(75, 54) = 3, EBOB(54, 72) = 18 EKOK(15, 3) = 15, EKOK(3, 18) = 18 EKOK(15, 18) = 90



x = 7 · a ve 35 = 7 · 5 eşitliklerinde a ve 5 aralarında asaldır. x < 100 ve x çift olduğundan a ∈ {2, 4, 6, 8, 12, 14} 6 değer vardır.

+ –

6. x, 100’den küçük bir çift sayma sayısı olmak üzere,

E) 240 (Cevap A)

birer pozitif tam sayı olmak üzere,



EKOK(m – 4, 8 – m)



ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?



A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

m nin 5, 6, 7 değerleri için EKOK(m - 4, 8 - m) ifadesinin değerleri sırasıyla EKOK(1, 3) = 3, EKOK(2, 2) = 2, EKOK(3, 1) = 3 olur. 3 + 2 = 5 bulunur. (Cevap A)

Test 22

1. D

8. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,

2. B



eşitliğini sağlayan üç basamaklı en küçük KLM sayısı için a + b toplamı kaçtır?



A) 34

C) 36

D) 37

5. D

6. E

7. A

8. A

9. C 10. D 11. A 12. B 13. D 14. B

bulunan sayıların ortak katlarının en küçüğü hemen üstlerinde bulunan kare içerisine yazılmaktadır.

180

E) 38

KLM + 2 = 5a + 5 = 7b + 7 KLM + 2 = 35 · m ⇒ m = 3 için KLM = 103 103 = 5a + 3 = 7b + 5 ⇒ a + b = 20 + 14 = 34



(Cevap A)



Her bir kare içerisine yazılacak olan pozitif tam sayılar birbirinden farklı olacağına göre, boş karelerde yazan sayıların toplamı en fazla kaçtır?



A) 225 180

9. a ve b pozitif tam sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü,

90

ortak katlarının en küçüğüne eşittir.

4. A

12. Aşağıda verilen şekilde yan yana bulunan iki kare içerisinde

KLM = 5a + 3 = 7b + 5

B) 35

3. A

45

60 30

20

B) 245

C) 255

D) 265

E) 275

⇒ 90 + 60 + 45 + 30 + 20 ⇒ 245 (Cevap B)

7a + 5b = 72



olduğuna göre, a · (a + b) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 120

B) 96

C) 72

D) 48

E) 36

EBOB(a, b) = EKOK(a, b) ⇒ a = b 7a + 5a = 72 ⇒ a = 6 ve b = 6 a · (a + b) = 6 · 12 = 72

(Cevap C)

13. EBOB(12, 18, x) = 6 Çözüm Yayınları



10. abc rakamları farklı üç basamaklı bir doğal sayıdır. abc + abc 24 30



toplamının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?



A) 3

B) 5

C) 7

D) 9

EKOK(12, 18, x) = 360



olduğuna göre, x pozitif tam sayısı en az kaçtır?



A) 30

B) 50

C) 60

D) 120

E) 150

EBOB(22 · 3, 32 · 2, x) = 21 · 31 EKOK(22 · 3, 32 · 2, x) = 23 · 32 · 5 x in içinde 2 ve 3 bulunacak aynı anda OKEK sonucunda bulunan 23 ve 5 diğer sayılar içerisinde olmadığından x içinde olacaktır. x en az 23 · 5 · 3 = 120 dir. (Cevap D)

E) 12

abc + abc = 9 ⋅ abc = 3 ⋅ abc 30 24 120 40 ( 4) ( 5)

14. Kenar uzunlukları üzerlerinde yazan üçgen, kare ve

abc = 120 için 3 ⋅ 120 = 9 40

dikdörtgen aşağıda verilmiştir.

(Cevap D)

4

4

4

11. a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere 50

EKOK(a, b) bir asal sayıya eşitir.

Buna göre,



I. a ve b aralarında asal sayılardır.



II. a + b toplamı bir tek sayıdır.



III. a · b çarpımı bir tek sayıdır.



Bu şekiller belli bir kurala göre yan yana dizilerek,

... x

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) I ve II

5







4

3



C) Yalnız III

E) II ve III

EKOK(a, b) = asal ise a ve b den biri 1 diğeri bu asal sayıya eşittir. O hâlde I doğrudur. a = 3, b = 1 için II yanlış a = 2, b = 1 için III yanlıştır.

(Cevap A)



şekli oluşturuluyor.



Buna göre, oluşan şeklin uzunluğu olan x aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 177

B) 187

C) 193

D) 212

E) 250

Şekil soldan sağa doğru kare, üçgen, üçgen, dikdörtgen biçiminde tekrar eder kare ve üçgen artar. (4 + 3 + 3 + 5) · k + 4 + 3 = 15k + 7 k = 12 için 187 olabilir. (Cevap B)

23

BÖLÜM 01 Test

EBOB - EKOK 1. Aşağıda verilen sistemde yan yana bulunan kutular

5. Aşağıda boyları 330 cm ve 210 cm olan iki tomruk verilmiştir.

içerisindeki sayılara aralarındaki işlem uygulanıp ip ile bağlandıkları kutu içerisine yazılmaktadır. 25 ∙ 33 ∙ 52

24 ∙ 33 ∙ 5

23 ∙ 32 ∙ 53

1

2

24 ∙ 33 ∙ 5

23 ∙ 32 ∙ 5



3 24 ∙ 33 ∙ 5



Bu iki tomruk eşit uzunlukta eş tomruk parçalarına ayrılıyor ve bu tomruk parçalarından 3 tanesi aşağıdaki gibi aralarındaki mesafe 10’ar cm olacak şekilde yan yana sıralanıyor.

10 cm

Buna göre 1, 2 ve 3 numaralı daireler aşağıdaki işlemlerden hangileri getirilmelidir? 1

2

3

A)

EBOB

EKOK

EKOK

B)

EBOB

EBOB

C)

EBOB

D) E)

10 cm x



Buna göre x en fazla kaçtır?

EBOB



A) 70

EKOK

EBOB

EBOB

EBOB

EKOK

EBOB(330, 210) = 30 ⇒ x = 30 + 30 + 30 + 20 = 110

EKOK

EBOB

EKOK

B) 90

C) 110

D) 120

E) 130 (Cevap C)

EBOB(25 · 33 · 52, 24 · 33 · 5) = 24 · 33 · 5

⇒ 1 : EBOB EBOB(24 · 33 · 5, 23 · 32 · 53) = 23 · 32 · 5 ⇒ 2 : EBOB EKOK(24 · 33 · 5, 23 · 32 · 5) = 24 · 33 · 5 ⇒ 3 : EKOK

D) 12

Sayılar arasında asal olan en yakın iki değer seçilirse a + b en az 6 + 5 = 11 bulunur.

E) 13

...

(Cevap C)

3. a ve b pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni 6’dır.

...

50. sütun

C) 11

9. sütun

B) 10

8. sütun

A) 9

7. sütun



6. sütun

olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?

5. sütun



4. sütun

EKOK(a, b) = 30

bölündüğünde 3 kalanı veren sütunlar sarıya, diğer satırında 3 ile bölündüğünde 2 kalanı veren sütunlar kırmızıya boyanıyor. 3. sütun



6. 50 sütundan oluşan aşağıdaki şekilde bir satırında 4 ile

2. sütun

2. a ve b pozitif tam sayılardır.

1. sütun

Çözüm Yayınları

(Cevap D)

...



a = 13 b 11



Buna göre, yukarıdaki şeklin kaç sütununda hem sarı hem de kırmızı renkli daire vardır?



olduğuna göre, a + 2b toplamının değeri kaçtır?



A) 3



A) 108

B) 144

C) 180

D) 210

a = 13k, b = 11k ⇒ EBOB(a, b) = k = 6 a + 2b = 78 + 132 = 210

E) 240 (Cevap D)

B) 4

C) 5

D) 6

Sütun = 4k + 3 = 3m + 2 ⇒ Sütun + 1 = 4k + 4 = 3m + 3 Sütun + 1 = EKOK(3, 4) katı ⇒ Sütun + 1 = 12, 24, 36, 48 ⇒ Sütun = 11, 23, 35, 47 olabilir. 4 sütunda hem sarı hem de kırmızı renkli daire vardır.

E) 7

(Cevap B)

51

4. a ve b aralarında asal sayılardır.

EKOK(a, b) = 120

25 + 19 = a b

7. a ve b sayma sayılarının en büyük ortak böleni 4’tür.



olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?



olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?



A) 25



A) 26

B) 27



C) 29

EKOK(a, b) = a · b = 120 25 + 19b = a · b ⇒ 25 + 19b = 120 ⇒ b = 5 b = 5 ise a = 24 ve a + b = 29 dur.

D) 31

E) 33

(Cevap C)

a · b = 192

B) 28

C) 30

D) 32

a = 4m, b = 4n ve EBOB(m, n) = 1 4m · 4n = 192 ⇒ m · n = 12 ⇒ m = 4 ve n = 3 değerleri için a + b = 4 · 4 + 3 · 4 = 28

E) 34

(Cevap B)

Test 23

1. D

8. Aşağıdaki şekil A, B, C, D ve E pozitif tam sayılarının hangi

2. C

B

D



15

1

C



9 E



Çember içinde bulunan sayılar, kendilerine bağlı bulunan çubuklar üzerindeki sayılara tam bölünebilmektedir.



Örneğin; B sayısı 4 ile 6 sayılarına tam bölünmektedir.



Buna göre, C + D toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?



A) 380

B) 390

C ve D sayıları sırasıyla EKOK(6, 8, 10, 9) ve EKOK(12, 10, 15) dir. C + D = 360 + 60 = 420

C) 400

D) 410

9. C 10. C 11. D 12. B 13. C 14. B

• 12 tane pozitif tam böleni vardır.



• EBOB(16, A) = 4 ve EBOB(81, A) = 27’dir.

Buna göre, A sayısının rakamları toplamı kaçtır?



A) 7

D) 10

6 3

5

1 7

9

5 2

4

...

6

4

8

3

7

1. Grup

2. Grup

3. Grup

4. Grup



Buna göre, 39. Grup içerisindeki elemanların toplamı kaçtır?



A) 12

39 9 36 4 3

B) 15

C) 16

D) 22

E) 26

⇒ 39. şekil 3. Grup ile aynı olur. 1 + 9 + 3 + 2 = 15

(Cevap B)

13. a ve b pozitif tam sayılardır.

Çözüm Yayınları



EBOB(16, A) = 4 ise A da 22 den başka 2 çarpanı yoktur. EBOB(81, A) = 27 ise A da 33 den başka 3 çarpanı yoktur. Pozitif bölen sayısı 12 olduğundan A = 22 · 33 olur. A = 108 ⇒ 1 + 0 + 8 = 9

8. E

EKOK(4, 9) = 36 sayı yazıldığından 36 = 9 grup oluşur ve 10. şekilde yazma işlemi başa 4 döner.

(Cevap E)

C) 9

7. B

E) 420

9. Bir A doğal sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

B) 8

6. B

2

10

12

5. C

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sayıları belli bir kurala göre yazılmıştır.

6

8

A

4. C

12. Aşağıda verilen 4 eş çemberden oluşan şekiller içerisine 1, 2,

sayılara tam bölünebildiğini göstermektedir.

4

3. D

E) 4



• A = 5a · 74



• B = 56 · 7b



• EKOK(A, B) = 56 · 74



olduğuna göre, kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır?



A) 36

B) 30

C) 24

D) 21

a ≤ 6 ve b ≤ 4 a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve b ∈ {1, 2, 3, 4} 6 · 4 = 24 tane (a, b) sıralı ikilisi vardır.

E) 18

(Cevap C)

(Cevap C)

10. a pozitif tam sayıdır.

EKOK(7, a) = EBOB(140, a)



koşulunu sağlayan kaç farklı a değeri vardır?



A) 4

B) 5

C) 6

a = 7 · m olsun EKOK(7, 7m) = EBOB(140, 7m) 7m = 7 · EBOB(20, m) ⇒ m = EBOB(20, m) m e {1, 2, 4, 5, 10, 20} 6 değer vardır.

52

D) 7

14. Aşağıda verilen şekilde kutular içerisine soldan sağa doğru artacak biçimde pozitif tam sayılar yazılıyor. E) 8

(Cevap C)

4

1

3

11. Asya ve Eylül arasında bir sayı oyunu şöyle oynanıyor:





• Asya aklından 700 ile 800 arasında bir sayı tutuyor.





• Tuttuğu sayının 10’a, 12’ye ve 18’e bölünmesinden elde edilen kalanları sırasıyla Eylül’e söylüyor.

• Üçgenler içerisinde verilen sayılar, üçgenin bağlı olduğu kutular içerisinde bulunan sayıların en büyük ortak bölenini göstermektedir.



• Eylül’de Asya’nın aklından tuttuğu sayıyı buluyor.



• Mor renk ile boyalı kutular içerisindeki sayıların en küçük ortak katı 72'dir.



Buna göre beyaz kutularda bulunan sayıların toplamı en az kaçtır?



A) 12



Asya, Eylül'e kalan olarak sırasıyla 3, 5 ve 11 sayılarını söylediğinde aklından tuttuğu sayının rakamları toplamı kaç olurdu?



A) 8

B) 9

C) 10

A = 10a + 3 = 12b + 5 = 18c + 11 A + 7 = 10a + 10 = 12b + 12 = 18c + 18 A + 7 = EKOK(10, 12, 18) · m ⇒ A + 7 = 180 · m m = 4 için A + 7 = 720 ⇒ A = 713 7 + 1 + 3 = 11

D) 11

E) 12

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

Kırmızı kutulardaki sayılar soldan sağa doğru A ve B olsun. A ve B aralarında asaldır. A = 8, B = 9 olur. Sol beyaz kutu ile 8 in EBOB u 4 ise sol beyaz kutuda 4 yazılıdır. Sağ beyaz kutu ile 9 un EBOB u 3 ise beyaz kutuda en az 12 vardır. 4 + 12 = 16 (Cevap B) (Cevap D)

1. EBOB(n, 12) = 3

24

BÖLÜM 01 Test

EBOB - EKOK

5. Aşağıda beş lambadan oluşan bir tabela gösterilmiştir. Tabeladaki lambalar A lambasından başlayarak oklar yönünde devamlı olarak yanıp sönmektedir.

EKOK(n, 12) = 108



olduğuna göre, n kaçtır?



A) 18

B) 21

C) 24

D) 27

EBOB(n, 12) · EKOK(n, 12) = n · 12 3 · 108 = 12n ⇒ n = 27

E) 36

E

(Cevap D)

A

D

B

C



Lambalar AEBCEDCDAEBCED... biçiminde yandığına göre baştan 2310. yanan lamba aşağıdakilerden hangisidir?



A) E

2. A = {x: 1 < x < 2000, x ∈ Z}

olduğuna göre, A kümesinin elemanlarının kaç tanesi 60 ve 72 ile tam bölünür? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

EKOK(60, 72) = 360 {360, 720, 1080, 1440, 1800} 5 değer vardır.

E) 7

D) B

E) A

Çözüm Yayınları

6. Aşağıda birbirine bağlı olan 4 basamaklı bir sayının basamaklarına gelecek rakamları belirleyen lamba sistemi verilmiştir.

y = 7! + 8!



olduğuna göre, EKOK(x, y) kaçtır?



A) 7!

B) 5 · 7!

C) C

(Cevap C)

3. x = 6! + 7!

B) D

Lambaların yanması 8 lambada bir tekrar ediyor. 2310 sayısının 8 ile bölümünden kalan 6 olduğundan 2310. yanan lamba D dir. (Cevap B)

C) 8!

D) 9!

EKOK(6! + 7 · 6!, 7! + 8 · 7!) = EKOK(6! · 8, 7! · 9) = 9!

E) 10! (Cevap D)

Binler

Yüzler

Onlar

Birler

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

7

7

8

8 9



4. Doğal sayılarda “▲” ve “●” işlemleri x ▲ y = EBOB(x, y) x ● y = EKOK(x, y)

olarak tanımlanıyor.



A = 2 ▲ 4 ▲ 6 ▲ 8 ▲ 10 ▲ 12 ▲ 14



B = 2 ● 3 ● 6 ● 24



olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?



A) 20

B) 22

C) 24

D) 26

E) 28

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 sayıları ardışık çift sayılar olduğundan EBOB ları A = 2 dir. 2, 3, 6 sayıları 24 ün bölenleri olduğundan EKOK ları B = 24 tür. A + B = 26 (Cevap D)

Bu sistemde binler basamağında 5, yüzler basamağında 6, onlar basamağında 8 ve birler basamağında 9 lamba vardır. Lambalar aşağıdan yukarıya doğru sırasıyla birer saniye yanmakta ve son lambadan sonra tekrar başa dönüp aynı sırada yanmaya devam etmektedir. Lambalarda yanan sayılar dört basamaklı sayıyı göstermektedir.



Örneğin; lambalar aynı anda yanmaya başladıktan 3 saniye sonra 3467 sayısını, 12 saniye sonra 4157 sayısını göstermektedir.



Buna göre, lambalar aynı anda yanmaya başladıktan 312 saniye sonra oluşan dört basamaklı sayı kaçtır?



A) 4114

B) 4247

C) 4456

D) 4378

E) 4684

312 sayısının 5, 6, 8 ve 9 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 2, 0, 0, 6 olduğundan sayı 4114 olur. (Cevap A)

53

Test 24

1. D

7. a ve b pozitif tam sayılardır.



• 2 · EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 96

6. A

7. C

olduğuna göre, a kaçtır?



A) 10

B) 12

8. E

9. C 10. A 11. B 12. B 13. D

C) 15

= 4 ∙ EBOB(x, y)

y

D) 18

x

E) 24

= EKOK(x, y) + x

y

6a + 30 = 5b + 30 ⇒ 6a = 5b a = 5k ve B = 6k olsun. 2EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 96 2 · k + 30k = 96 ⇒ k = 3 ⇒ a = 15

(Cevap C)

8. a, b, c ve d pozitif tam sayılar ve



ifadeleri tanımlanıyor.



Buna göre,

EBOB(a, b) = 12

45 180

EBOB(c, d) = 18

olmak üzere,





I. a · c çarpımı 36 ile tam bölünür.



II. a2 + b2 toplamı 16 ile tam bölünür.



III. a2 · d çarpımı 81 ile tam bölünür.



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

a = 12n, b = 12m, c = 18u, d = 18t a · c = 216n · u, 36 ile tam bölünür. a2 + b2 = 144(n2 + m2), 16 ile tam bölünür. a2 · d = 144 · 18n2 · t, 81 ile tam bölünür.

(Cevap E)

9. Aşağıda verilen 5 birim kareden oluşan 3 şekilde ortada bulunan sayı etrafındaki sayıların en küçük ortak katıdır. 1 2

36

12 4

y

24

x



y x

16

36

y x

36

=

y



eşitliğini sağlayan y aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 18

B) 48

C) 56

D) 64

12. Aşağıda verilen şekilde yeşil renk ile boyanmış kareler içerisindeki sayı, etrafında bulunan 4 kare içerisinde yazan sayıların tam sayı katıdır.

2

1

3

12 y x

y x



Buna göre, kırmızı kare içerisindeki sayı en az kaçtır?

3

4

15

1

25

6



A) 1

C) 4

D) 6

E) 9

EKOK(12, 24, 36, 16) = 144 = y

sayılardır.

1 18

7

2

3

Herhangi bir yeşil kare etrafında bulunan 4 kare içerisindeki sayılar birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, boş yeşil kare içerisindeki sayı en az kaçtır?



A) 200

(Cevap C)

10. Aşağıda yan yana verilen evlerin kapı numaraları ardışık çift

5



EKOK(1, 2, 4, x) = 36 ⇒ x en fazla 36 Kırmızı = EKOK  144 , 144 , 144 , 144  = 4  36 36 36 36 

5



1 15

175 B) 2

E) 72

4 · EBOB(45, 180) = EKOK(y, 36) + 36 180 = EKOK(y, 36) + 36 144 = EKOK(y, 36) = 24 · 32 y içerisinde 24 olmak zorunda ancak 1, 3, 32 değerleri olabilir de olmayabilir de. y değerleri 16, 48 veya 144 olabilir. (Cevap B)

Çözüm Yayınları



54

5. B

x





4. D

a+5 = 5 b+6 6

•



3. D

11. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,





2. C

B) 300

C) 600

D) 900

E) 1800

Sol üst, sağ üst, sol alt ve sağ alt boş kutularda bulunan sayılar sırasıyla 4, 15, 6 ve 25 EKOK(4, 6, 15, 25) = 300 (Cevap B)



Yan yana olan iki evin kapı numaralarının ortak katlarının en küçüğü soldan sağa doğru sırasıyla,



13. m bir pozitif tam sayı olmak üzere,

x, 40 ve y



olduğuna göre, y – x ifadesinin değeri kaçtır?



A) 36

B) 32

C) 30

2. ve 3. sıradaki evlerin kapı numaraları 2n ve 2n + 2 ise EKOK(2n, 2n + 2) = 2 · n · (n + 1) = 40 n(n + 1) = 20 ⇒ n = 4 kapı numaraları 6, 8, 10, 12 y – x = EKOK(10, 12) – EKOK(6, 8) = 60 – 24 = 36

D) 24

E) 20

(Cevap A)

EKOK(13, m) – EBOB(13, m)



ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisi olamaz?



A) 25

B) 38

C) 51

m ile 13 aralarında asal ise EKOK(13, m) – EBOB(13, m) = 13 · m – 1 m = 2, 3, 4 ve 5 değerleri için sonuç 25, 38, 51 ve 64 olur. 57 olmaz.

D) 57

E) 64

(Cevap D)

25

BÖLÜM 01 Test

EBOB - EKOK 1. İçlerinde 100 kg un, 120 kg şeker ve 140 kg un bulunan

5. Bir sınıftaki öğrenciler sıralara dörderli, beşerli ve altışarlı

üç depodaki malzemeler birbirine karıştırılmamak ve hiç artmamak koşuluyla eşit ağırlıklı torbalara doldurulacaktır.

Buna göre, en az kaç torbaya ihtiyaç vardır?



A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

oturduklarında her seferinde 3 öğrenci ayakta kalıyor.

E) 21

EBOB( 100 , 120 , 140 ) = 20 100 + 120 + 140 = 5 + 6 + 7 = 18 20 20 20



Bu sınıftaki öğrenci sayısı 127’den fazla olduğuna göre, en az kaçtır?



A) 129

B) 133

C) 153

D) 183

E) 193

A = 4x + 3 = 5y + 3 = 6z + 3 A – 3 = 4x = 5y = 6z A – 3 = EKOK(4, 5, 6) · k k = 3 için A – 3 = 60 · 3 ⇒ A = 183

(Cevap D)

(Cevap D)

6. 5 günde bir nöbet tutan asker 3. nöbetini salı günü tuttuğuna göre, 15. nöbetini hangi gün tutar?

2. Elinde 1003 tane bilye bulunan bir çocuğa en az kaç bilye

verilmeli ki bilye sayısı 6, 8 ve 10 ile tam bölünsün?



A) 7



B) 47

C) 67

D) 77

E) 197

1003 + A = 6a = 8b = 10c 1003 + A = EKOK(6, 8, 10) · k = 120 · k k = 9 için 1003 + A = 1080 ⇒ A = 77

A) Salı

B) Çarşamba

D) Cuma

C) Perşembe

E) Cumartesi

3. Nöbet Salı

12 nöbet sonrası 15. Nöbet soruluyor. x 60 7 12 . 5 = 60 gün sonra olduğundan salıdan 4 gün sonra cumartesidir. 56 8 4

Çözüm Yayınları

(Cevap D)

3. Boyutları 120 metre, 90 metre ve 105 metre olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir depoya küp biçiminde eş kutular depoda boş yer kalmayacak biçimde yerleştiriliyor.

Buna göre, en az kaç kutu yerleştirilebilir?



A) 256

B) 313

C) 336

D) 342

E) 356

EBOB(120, 90, 105) = 15 Deponun hacmi 120 ⋅ 90 ⋅ 105 = = 8 · 6 · 7 = 336 Kutunun hacmi 15 ⋅ 15 ⋅ 15

(Cevap E)

7. Uzunlukları 48 cm, 45 cm ve 12 cm olan üç tahtanın her biri ayrı ayrı kesilerek eşit uzunlukta parçalara bölünecektir.

Tahtaların her bir kesim işlemi 6 saniye sürdüğüne göre, bu iş en az kaç saniyede yapılır?



A) 72

B) 108

C) 144

D) 192

E) 216

EBOB(48, 45, 12) = 3 cm parça uzunluğu (Cevap C)

48 16 Tahtalar = = , 45 15 , 12 = 4 parçaya ayrılacak 3 3 3 Bunun için 15 + 14 + 3 = 32 kesim işlemi yapılmalı. 32 · 6 = 192 saniye sürer.

(Cevap D)

55

4. 10 metre eninde ve 14 metre boyunda bir dikdörtgen karton

8. Arzu’nun elinde ebatları 4 cm, 6 cm ve 16 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutulardan 200 tane vardır.

parçası kesilerek kare parçalar elde edilmek isteniyor.

Buna göre, en az kaç tane karton parçası elde edilir?



A) 5

B) 7

10

4

4 10

4 10

C) 9

D) 10

E) 12

4

2

2 2

2



Buna göre, Arzu’nun elinde bu kutulardan en az kaç tane daha olursa bir küp oluşturabilir?



A) 86

B) 87

C) 88

D) 96

E) 112

EKOK(4, 6, 16) = 48

Eş kareler demediğinden en az 5 parça elde edilir. (Cevap A)

48 ⋅ 48 ⋅ 48 = 12 ⋅ 8 ⋅ 3 = 288 kutu. 4 ⋅ 6 ⋅ 16 O hâlde 288 – 200 = 88 kutuya daha ihtiyaç vardır.

(Cevap C)

Test 25

1. D

2. D

3. C

4. A

5. D

6. E

7. D

8. C

9. B 10. C 11. B 12. E 13. C 14. A 15. A

13. Kenar uzunlukları 27 · 34 · 5 metre ve 25 · 33 · 52 metre olan

9. Boyutları 240 cm ve 144 cm olan dikdörtgen şeklindeki tarla, kare biçiminde eş parsellere ayrılacak ve her bir parselin köşesine fidan dikilecektir.

dikdörtgen biçimindeki arazi, kenar uzunluğu a metre olan eş kare parsellere ayrılacaktır.



Buna göre, kullanılacak fidan sayısı en az olduğunda tarlanın içine (kenarları hariç) kaç ağaç dikilir?



Buna göre, a tam sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 6



A) 56

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

EBOB(240, 144) = 48

B) 52

C) 48

D) 42

E) 36

EBOB(27 · 34 · 5, 25 · 33 · 52) = 25 · 33 · 51 Pozitif bölen sayısı = 6 · 4 · 2 = 48

En az 8 ağaç dikilir.

(Cevap C)

(Cevap B)

14. Aşağıda içinde küp şekerler bulunan kutular ve içlerindeki küp şeker adetleri verilmiştir.

10. Ceylan 4 günde bir, Medine ise 6 günde bir nöbet tutmaktadır. Ceylan ve Medine'nin birlikte tuttukları 32. nöbet pazar günüdür.

A) Salı



Kutulardan her defasında eşit sayıda şeker alınıp başka bir kutuya atılarak kutulardaki şeker adetleri birbirine eşitlenmek istenmektedir.



Buna göre, en az kaç hamlede kutular içerisindeki şeker adetleri eşit olur?



A) 4

B) Çarşamba

D) Cuma

C) Perşembe

E) Cumartesi

360 7 olduğundan pazardan 3 gün önce perşembe günü tutarlar. 35 51 10 7 3

(Cevap C)

11. Mağaza zinciri bulunan bir şirket, mağazalarında kampanya düzenleyerek tek fiyat uygulaması başlatmış ve bütün ürünleri aynı fiyata satmıştır. Bu şirketin üç mağazasında gün boyu elde edilen satış gelirleri:



• A mağazasında 408¨,



• B mağazasında 442¨,



• C mağazasında 340¨

72

Buna göre, bu üç mağazada satılan ürün adedi en az kaçtır?



A) 34

C) 36

D) 37

E) 38

Bir ürünün satış fiyatı EBOB(408, 442, 340) = 34 408 + 442 + 340 = 12 + 13 + 10 = 35 34 34 34

(Cevap B)

12. Bir duraktan her 45 dakikada bir dolmuş, her 105 dakikada bir

E) 12



Bu duraktan bir dolmuş, bir otobüs ile bir tren ilk kez saat 09.00’da birlikte hareket ettiklerine göre en erken saat kaçta yine bu üç araç birlikte hareket eder?



A) 17.30

B) 18.00

C) 18.30

E) 19.30 (Cevap E)

84

m

m



120 m



• Bu bahçenin etrafına ve her köşesine bir ağaç gelecek ve iki ağaç arasındaki mesafe 30 metreden küçük bir doğal sayı olacak biçimde ağaçlar dikilecektir.



• Herhangi bir kenar üzerine dikilecek ardışık iki ağaç arasındaki mesafeler birbirine eşit olacaktır.



• Dört kenarın ardışık iki ağacı arasındaki mesafe birbirine eşit, diğer kenarın ardışık iki ağacı arasındaki mesafe bu kenarlardan farklıdır.

otobüs ve her 30 dakikada bir tren kalkıyor.

EKOK(45, 105, 30) = 630 dk. 630 dk = 10 saat 30 dk. ⇒ 09:00 + 10:30 = 19:30

D) 10

96 m



D) 19.00

C) 8

şekli ve kenar uzunlukları verilmiştir.

olarak verilmektedir.



B) 6

EBOB(168, 216, 264, 312) = 24, her hamlede 24 şeker alınmalıdır. Her kutuda (168 + 216 + 264 + 312) : 4 = 240 şeker olmalı. O hâlde 264 ten 1 hamle, 312 den 3 hamle yapılarak miktarı az olan kutulara konulur. 1+3=4 (Cevap A)

15. Aşağıda beşgen biçiminde verilmiş bir bahçenin modellenmiş



B) 35

Çözüm Yayınları

EKOK(4, 6) = 12 olduğundan 12 günde bir birlikte nöbet tutarlar. 32. nöbet pazar ise 2. nöbet için 30 nöbet öncesine bakılmalıdır. 2. nöbet 30 . 12 = 360 gün önce tutulandır.

56

312 adet

Buna göre, birlikte tuttukları 2. nöbeti hangi gün tutmuşlardır?





264 adet

m



216 adet

144



168 adet



Buna göre, en az kaç ağaç dikilebilir?



A) 21

B) 24

C) 25

EBOB(72, 96, 120, 144) = 24 72 + 96 + 120 + 144 = 18 ağaç. 24 24 24 24 84 ün 30 dan küçük en büyük böleni 28 olduğundan en az 18 + 84 = 21 ağaç dikilir. 28

D) 30

E) 32

(Cevap A)

1.

1+ 1 − 1 5 10 15

5.

işleminin sonucu kaçtır?

A)

7 30

B)

1 5

C)

1 6

D)

2 15

E)

1 + 1 − 1 = 6+3−2 = 7 5 10 15 30 30 ( 6 ) ( 3) ( 2)

2.

26

BÖLÜM 01 Test

Rasyonel Sayılar

1 16

0,16 + 0, 66 0, 5

işleminin sonucu kaçtır?

A)

1 2

B) 1

C)

3 2

D) 2

E)

16 − 1 + 66 15 + 2 1 + 2 5 90 99 = 90 3 = 6 3 = 6 = 5 ⋅ 9 = 3 5 5 5 5 6 5 2 9 9 9 9

(Cevap A)

1 2 − 17 1 34 9

5 2

(Cevap C)

6. Aşağıdaki dikdörtgen 8 eş parçaya ayrılmıştır.

işleminin sonucu kaçtır?

A)

1 2

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

1⋅9 − 1 = 9 − 1 = 8 =4 2 1 2 2 2 2



(Cevap E)



Buna göre, boyalı bölge aşağıdakilerden hangisine eşittir?



A) 0,325

B) 0,375

C) 0,425

D) 0,525

E) 0,625

5 = 5 ⋅ 125 = 625 = 0 ,625 8 8 ⋅ 125 1000

Çözüm Yayınları

3.

1 1  1 3 − 2  : 3  12  2



işleminin sonucu kaçtır?



A) 7

B) 12

(Cevap E)

C) 14

D) 16

E) 21

 7 − 7  ⋅ 12 = 21 − 14 ⋅ 12 = 7 ⋅ 2 = 14   6 2 3 1

(Cevap C)

7. a ve b pozitif tam sayılardır. 168 = a 60 b

4. a, b ve c sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ondalık gösterimleri

K = 0,ab



L = 0,bc



M = 0,ca

olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?



A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

a 168 = = 42 = 14 b 60 15 5 a = 14, b = 5 ⇒ a + b = 19



biçiminde olan üç sayı veriliyor.



Ondalık gösterimi verilen sayılarda sıralama konusunu yanlış öğrenen Alican, bu üç sayının sıralamasının, onda birler basamağı yerine yüzde birler basamağındaki değerin büyüklüğüne göre yapılacağını düşünerek K < L < M sıralamasını elde ediyor.



Buna göre, bu sayıların doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?



A) K < M < L





B) L < K < M

D) M < K < L

Yanlış algılamada b < c < a eşitsizliği vardır. Doğru sıralama L < M < K olur.

57

8.

(Cevap C)

0,12 +

0, 24

40 ⋅ 10 −2 + 0, 4 0, 2



kesrinin yüzde olarak gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?



A) %10

C) L < M < K

E) M < L < K

(Cevap D)

B) %13

0 , 24 0 , 24 = 0 ,12 + 0 ,4 + 2 2 ,4 22 ⇒ 0 ,12 + 0 ,1 = 0 , 22 = = %22 100

C) %22

D) %30

E) %40

0 ,12 +

(Cevap C)

Test 26

1. A

9. = , b a 3= 5

olduğuna göre,



I. a + 4b = 1



II.



III. a + b + c = 1

a + 4 = 11 b c



A) Yalnız I

6. E

7. D

8. C

9. D 10. D 11. C 12. A 13. E 14. A

• Duman ve Elif Sena, birer rasyonel sayıyı seçerek birbirlerine söylüyorlar.



• Seçilen sayıların her ikisi de basit kesir ise

D) I ve II

3 + 4⋅ 1 = 3 + 2 = 1  5 10 5 5 II . 3 : 1 + 4 : 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ⋅ 5 = 11  5 10 5 5 4 III . 3 + 1 + 4 = 6 + 1 + 8 = 15 = 3  10 10 2 5 10 5





90 basamaklı

    4 + 44 + 444 + ... + 444...4 3 33 333 333...3

A) 111

• Sayıların biri basit, diğeri bileşik kesir ise “Büyük sayı küçük sayıya bölünüyor ve çıkan sonuçtan 2 çıkartılıp çarpmaya göre tersi alınıyor.

Buna göre, Duman ve Elif Sena'nın söylediği sayılar 1 ve 3 −7 ve 1 3 olduğunda bulunan sonuç, 3 2 3 2 olduğundaki sonuçtan kaç fazladır?

(Cevap D)



“Sayıların birer eksiği birbiri ile çarpılıyor.”



I.

işleminin sonucu kaçtır?

• Sayıların her ikisi de bileşik kesir ise



C) I ve III

E) I, II ve III



“Sayıların çarpımına sayıların birer fazlası ekleniyor.”



B) Yalnız II

B) 114

5. C





ifadelerinden hangileri doğrudur?

10.

4. C







3. C

13. Duman ve Elif Sena'nın oynadığı bir oyunda kurallar şöyledir:

1, c=4 10 5



2. E

A) 1,2

 3 : 1 − 2   2 3 

C) 117

D) 120

 9 − 2   2 

E) 124

−1

−1

B) 2,4

C) 3,6

D) 4,8

E) 5,4

−  −7 − 1  ⋅  5 − 1   3  2 

−  −10 ⋅ 3  = 2 + 5 = 0 , 4 + 5 = 5 , 4  3 2 5

(Cevap E)

90 tane

11.

(Cevap D)

x+ 3 + 1 0, 01 0, 02 =2 1 0, 04



olduğuna göre, x kaçtır?



A) –360

B) –320

Çözüm Yayınları

4 + 4 + 4 + . . . + 4 = 4 ⋅ 90 = 120 3  3  3  3 3  

14. Aşağıdaki şekilde basamaklarında sayılar bulunan bir sayı C) –300

D) –240

merdiveni ve bu merdivenin değerini bulmak için +, –, : ve · işlemleri gösterilmiştir.

E) –200

x + 3 + 1 = 2⋅ 1 0 , 01 0 , 02 0 , 04

·

x + 3 + 1 = 1 ⇒ x = −3 ⇒ x = −300 0 , 01 0 , 02 0 , 02 0 , 01

(Cevap C)

+

12. Satırlarındaki, sütunlarındaki ve köşegenlerindeki sayıların toplamı birbirine eşit olan karelere sihirli kare denir ve merkezindeki kutuda (2. satır 2. sütundaki kutu) bulunan sayı herhangi bir satır, sütun ya da köşegendeki sayıların toplamının üçte birine eşittir.

58

4 5

3 5

2

a

Buna göre, yukarıdaki sihirli karede a kaçtır?



A) 6

C) 0

1 D) − 3

Merkezde bulunan 2 herhangi bir sütun ya da satırdaki toplamın 1 üdür. 3 Sol üst kutuda x, sağ alt kutuda y olsun.

1 E) − 5

x + 4 + 3 = 6 ⇒ x = 23 ⇒ 23 + 2 + y = 6 ⇒ y = − 3 ve 3 + a − 3 = 6 ⇒ a = 6 5 5 5 5 5 5 5 (Cevap A)

1 1 2





B) 4

:

3

3 8

2

4

4

1 4

5

6

–

:

+



Merdivende okun çıktığı kutudaki sayı ile okun gittiği sayıya ok üzerindeki işlem uygulanmakta ve çıkan sonuç bir sonraki okun başlangıç sayısı olmaktadır.



1, 2, 3, 4, 5 ve 6 nolu oklar sırası ile uygulandığında en son çıkan sonuç merdivenin değerini oluşturduğuna göre, bu merdivenin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

13 A) − 2

7 B) − 2

C)

1 2

1 : 1 = 2 → 2 + 4 = 6 → 6 ⋅ 3 = 9 → 9 − 4 = −7 2 4 8 4 4 4 → −7 : 1 = −7 → −7 + 1 = − 13 4 4 2 2

D)

7 2

E)

13 2

(Cevap A)

BÖLÜM 01 Test

Rasyonel Sayılar

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

1 − 3 :  2 − 3  8  4

1.

işleminin sonucu kaçtır?



A) 0,3

B) 0,5

(0, 33 ) ⋅ a = (0, 888 ) ⋅ b



C) 0,7

D) 0,8

1 − 3 : 5 = 1 − 3 ⋅ 4 = 1 − 3 = 7 = 0 ,7 8 4 8 5 10 10



E) 0,9

A) 3

B) 4

C) 6

D) 12

4 : 3 =  4 : 4  ⋅ x ⇒ 4 ⋅ 4 = 4 ⋅ 1 ⋅ x 4 3  3 3 4 16 = x ⇒ x = 16 3 3



olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

6.

(Cevap B)

A = 1− 1 2 B = 2+ 2 3 C = 2− 1 3

E) 16 (Cevap E)

olduğuna göre,

A)

19 6

B)

A+B ifadesinin değeri kaçtır? B−C 10 3

C)

7 2

D)

11 3

1, 69 2, 56 1, 21 + − 1, 3 1, 6 11 ,



işleminin sonucu kaçtır?



A) 1,2

B) 1,4

C) 1,8

D) 1,9

E) 2

Çözüm Yayınları

1+8 19 2 3 = 6 = 19 8−5 3 6 3 3 3

3.

23 6

E)

(Cevap A)

7. 1, 2, 3, 4, . . ., 15

169 + 256 − 121 = 13 + 16 − 11 = 18 = 1 , 8 130 160 110 10 10 10 10

E) 14

0 , 33 ⋅ a = 0 , 888 ⋅ b ⇒ 0 , 3 ⋅ a = 0 , 8 ⋅ b 3 ⋅ a = 8 ⋅ b ⇒ 3a = 8b ⇒ a + b = 8 + 3 = 11 9 9

(Cevap C)

4 sayısı 3 sayısının kaç katıdır? 4

4 3 4

2.

27

doğal sayılarından kaç tanesi için

(Cevap C)

x + 2

ifadesi bir rasyonel sayıdır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

x = 2 ⇒ 4 = 2 , x = 7 ⇒ 9 = 3 , x = 14 ⇒ 16 = 4

4. Aşağıda verilen şekildeki 1 , 2 , 3 ve 4 nolu daireler

olduğunda 3 değer vardır.

(Cevap C)

birer rasyonel sayıyı temsil etmektedir.

1 +

8. Aşağıda verilen eş bölmelere ayrılmış şekiller içerisinde bulunan taralı bölgeler o şekil için bir rasyonel sayıya karşılık gelmektedir.

3 – 4

Buna göre 1, 2, 3 ve 4 nolu daireler yerine sırasıyla aşağıdakilerden hangileri yazılırsa kesrin sonucu 3 olur?

A)

2

1 , 1 , 1, 1 3 2 2

1 1 1 B) 1, , , 4 2 4

1 1 1 C) 1, , , 3 2 3

E) Seçenekler incelendiğinde 1 1+ = 1 + 3 = 1 + 1 ⋅ 6 = 3 olur. 1−1 1 3 1 2 3 6

D)

.

–



1 , 1, 2, 1 3 2

1 , 1 , 1, 1 4 2 3



Şekiller ile oluşturulan işlemin sonucu − 3 olduğuna 8 göre, taralı olmayan şeklin kaç karesi taranmalıdır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Şeklin x karesi kalansın. 4 ⋅ 2 − x = −3 ⇒ 1 − x = −3 8 8 6 8 8 6 8

1 3

(Cevap C)

⇒ x = 1+3 ⇒ x = 1 ⇒ x=3 6 8 8 6 2

(Cevap C)

59

Test 27

1. C

9. Dört katlı pasta üzerindeki mumlar bulundukları katlara göre

2. E

3. C

4. C

2. kat 1. kat

Pastadaki tüm mumların değerleri toplamı 13,2 olduğuna göre 2. katta gösterilmeyen kaç mum vardır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

9. B 10. C 11. E 12. D 13. C 14. E

1 ve 8 1 1 1 1 1 sayıları , , , , . . . biçiminde devamlı olarak 4 8 4 8 4 yazıldığında kutulardaki sayıların toplamı 6 olmaktadır.

• Kutular içerisine soldan sağa doğru sırasıyla

3. kat



8. C

...

4. kat

Yukarıdaki pastada 2. katta mumların tamamı gösterilmemiştir.

7. C

kutular içerisindeki sayılar toplanıyor.





6. A

12. Aşağıda verilen şekildeki kutular içerisine birer sayı yazılıp

birer rasyonel sayıyı sembolize etmektedir. Pastanın 1. katındaki her bir mum 0, 3; 2. katındaki her bir mum 0, 5; 3. katındaki her bir mum 0,9 ve 4. katındaki her bir mum 1,2 rasyonel sayısını göstermektedir.



5. B



Buna göre, kutu sayısı kaçtır?



A) 16

B) 18

C) 24

D) 32

E) 48

Kutu sayısı tek olduğunda  1 + 1  ⋅ x + 1 = 6 denkleminden x = 47 çıkar yani kutu 8 3 8 4 sayısı tek olamaz. O hâlde kutu sayısı çift sayıdır ve kutularda bulunan kutu çifti sayısı x ise  1 + 1  ⋅ x = 6 ⇒ x = 16 ve kutu sayısı 32 dir. 8 4

E) 5

(Cevap D)

3 ⋅ ( 1 , 2 ) + 4 ⋅ ( 0 , 9 ) + ( x + 5 ) ⋅ ( 0 , 5 ) + 7 ⋅ ( 0 , 3 ) = 13 , 2

13. İçlerinde kırmızı ve sarı bilyelerin bulunduğu A, B, C, D ve E

3 ,6 + 4 + x + 5 + 2 ,1 = 13 , 2 2

torbalarında eşit sayıda bilye vardır.

9 ,7 + x + 5 = 13 , 2 ⇒ x + 5 = 3 , 5 2 2 ⇒ x + 5 =7 ⇒ x = 2



A torbasının 5 ’sı 16



B torbasının 5 ’i 8



C torbasının 7 ’ü 24



D torbasının 19 ’i 48

Çözüm Yayınları

(Cevap B)

10. a bir pozitif tam sayıdır.



a+8 2a + 6



ifadesi basit kesir olduğuna göre a’nın en küçük değeri kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

E torbasının 13 ’sı kırmızı bilyedir. 16 Buna göre, bu torbaların hangisinde sarı bilye sayısı en fazladır?





A) E

B) D

C) C

D) B

Torbaların sırasıyla 1 − 5 = 11 = 33 , 1 − 5 = 3 = 18 , 1 − 7 = 17 = 34 , 1 − 19 = 29 , 1 − 13 = 3 = 9 16 16 48 8 8 48 24 24 48 48 48 16 16 48 oranlarında sarı bilye vardır. O hâlde en fazla sarı bilye C torbasındadır.

2a + 6 > a + 8 ⇒ a > 2 a en küçük 3 olur.

E) A

(Cevap C)

(Cevap C)

14. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

60

kümesinin elemanları aşağıda verilen kesirli ifadelerdeki kutular içerisine her kutuya farklı bir rakam gelmek üzere yazılacaktır.

,

11. x = 3,235, y = 3,235 ve z = 3,235





olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?



Soldaki kesir basit, sağdaki kesir bileşik kesirdir.



A) x < y < z



Buna göre, oluşacak iki kesrin toplamı en fazla kaçtır?

x=3,23555... y=3,23535... z=3,235235

B) x < z < y

D) y < z < x

C) y < x < z

E) z < y < x

A) 71 9 7 + 9 = 79 8 1 8

z7 ⇒ x>8 x + 3 < 15 ⇒ x < 12 (Cevap D)

B) 2

C) 3

D) 4

x ∈ {9, 10, 11} 3 farklı x değeri vardır.

E) 5 (Cevap C)

Test 35

1. D

9. x bir tam sayı olmak üzere aşağıda Ayşe, Betül ve Çiçek isimli

2. E

3. C

4. D

5. B

6. B

7. A

8. C

9. B 10. E 11. C 12. C 13. D 14. C

13. AB doğru parçasının orta noktası olan O noktasından duvara

üç öğrencinin yaşları verilmiştir.

asılmış 12 eş kutudan oluşan düzenek aşağıda gösterilmiştir. 0

Ayşe 2x + 10





Betül 3x + 5

5

Çiçek 2x + 23

10 15

Bu kişiler arasında ortanca olan Betül, küçük olan Ayşe olduğuna göre Çiçek’in yaşının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 13

B) 12

C) 11

D) 10

E) 9

2x + 10 < 3x + 5 < 2x + 23 2x + 10 < 3x + 5 3x + 5 < 2x + 23

⇒ x>5 ⇒ x < 18

x ∈ {6, 7, 8, . . ., 17} 12 değer vardır.

10. Gerçek sayı doğrusu üzerinde bulunan a sayısının 6 katının 3 eksiği, 3 katının 15 fazlasından küçüktür. Buna göre, a sayısının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?



A) a > 4

D) 4 < a < 6

Düzeneğin her bir kutusuna belli bir ağırlıkta cisim konulduğunda gösterge, sol kısımda bulunan ağırlıklar toplamının sağ kısımda bulunan ağırlıklar toplamından kaç kg fazla olduğunu göstermektedir.



Sol kısma ağırlıkları x, 3, 5, x, 2, 2x kg olan cisimler sağ kısma ağırlıkları 4, 5, 7, 12, 10 ve 1 kg olan cisimler konulduğunda gösterge 5 ile 10 arasında bir yeri göstermektedir.



Buna göre, x tam sayısı kaçtır?



A) 6

(Cevap E)

B

kümesi veriliyor.



A ∩ N kümesinin eleman sayısı 27 olduğuna göre, n kaçtır?



A) 10

C) 12

D) 13

x – 3 < 2n ⇒ x < 2n + 3 A ∩ N = {0, 1, 2, 3, . . ., 2n + 2} s(A ∩ N) = 2n + 3 = 27 ⇒ n = 12

E) 14

(Cevap C)

76

D) 9

E) 10

(Cevap D)

40 m



• A aracının t (saniye) anından frene basması ile B aracıyla arasında kalan mesafeyi (y) veren bağıntı



Buna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?



A) 5

C) 7

D) 8

a – 4b = –8 + 2 / a + 2b = 10 3a = 12 ⇒ a = 4 b=3⇒a+b=7

E) 9

(Cevap C)

y = 40 – 3t’dir.

• C aracının t (saniye) anında frene basması ile A aracıyla arasında kalan mesafeyi (y) veren bağıntı



eşitsizliğinde x’in en geniş değer aralığı [–8, 10)’dur.

60 m

• A aracının B aracı ile arasında 40 metre, C aracıyla arasında 60 metre mesafe vardır.





C



12. a ve b birer pozitif gerçek sayı olmak üzere, −2 < a − x ≤ 4 b

A





–2b < a – x ≤ 4b –2b – a < –x ≤ 4b – a a – 4b ≤ x < a + 2b

C) 8

aşağıdakiler bilinmektedir.



B) 6

B) 7

14. Doğrusal bir yolda arka arkaya hareket eden üç araç ile ilgili

x−3 < n, n ∈ Z} 2

B) 11

B

E) a < 6

11. N doğal sayılar kümesi olmak üzere, A = {x:

Sağ kısım

5 < (x + 3 + 5 + x + 2 + 2x) – (4 + 5 + 7 + 12 + 10 + 1) < 10 5 < 4x – 29 < 10 ⇒ 34 < 4x < 39 ⇒ 8,5 < x < 9,75 ⇒ x = 9

C) a > 6

6a – 3 < 3a + 15 ⇒ 3a < 18 ⇒ a < 6



O

Çözüm Yayınları



B) a < 4

Sol kısım



(Cevap B)



A



y = 60 – 4t’dir.



Buna göre, A ve C araçlarından herhangi biri frene bastığında A aracının B ve C araçlarından biri ile çarpışmaması için t’nin en çok hangi tam sayı değerinde frene basılması gerekir?



A) 11

B) 12

40 − 3t > 0 ⇒

40 > 3t

⇒

60 − 4t > 0 ⇒

60 > 4t

⇒

C) 13 t < 40 ≅ 13 , 3 3 t < 15 t < 13 , 3 t = 13

D) 14

E) 15

(Cevap C)

BÖLÜM 01 Test

Birinci Dereceden Eşitsizlikler 1. a ve b birer tam sayıdır.

5. x ve y tam sayılardır.



–8 < a < 19



EBOB(4, 6) < x < EBOB(24, 36)



–3 < b < 12



EKOK(4, 5) ≤ y < EKOK(12, 18)



olduğuna göre, a + b toplamı en fazla kaçtır?



A) 27

B) 28

C) 29

D) 30

E) 31

a = 18, b = 11 a + b = 29



olduğuna göre, 3x – y en az kaçtır?



A) –30

B) –28

C) –26

D) –24

2 < x < 12 ⇒ x en az 3 20 ≤ y < 36 ⇒ y en fazla 35 3x – y en az 3 · 3 – 35 = –26

(Cevap C)

36

E) –22

(Cevap C)

6. a ve b tam sayılardır.

–5 < a ≤ 4

2. a ve b negatif tam sayılardır.



0 2 b a+c < 6 c



olduğuna göre, a + b + c toplamı en fazla kaçtır?



A) –5

B) –6

a – b < 2b ⇒ a < 3b a + c > 6c ⇒ a > 5c



b = –2 b = –1

C) 32

42 + 32 = 25

En küçük a2 + b2 değeri + 02 + 12 = 1 26

E) –9

a – b < 3b ⇒ a < 4b b = –1 ve a = –5 için a + 2b = –5 –2 = –7

B) 26

En büyük a2 + b2 değeri

C) 28

D) 29

⇒ a = 14 ⇒ + a = 12 26

E) 30

C) –7

D) –8

b = –1, a = –4, c = –1 a + b + c = –6

E) –9 (Cevap B)

8. Aşağıda verilen kare içerisindeki kutular içerisine her satırda bulunan elemanlar soldan sağa doğru artacak biçimde birer pozitif tam sayı yazılacaktır.

(Cevap A)

9 7

77 11

4. x ve y birer tam sayıdır.

–5 + 4y > 19



2x – 1 < –9



olduğuna göre, y – x ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?



A) 9

B) 10

C) 11

2x < –8 ⇒ x < –4 ⇒ x = –5 4y – 5 > 19 ⇒ 4y > 24 ⇒ y > 6 ⇒ y = 7 y – x = 7 – (–5) = 12

D) 12

E) 13

(Cevap D)



Sarı kutu içerisindeki sayılar bulunduğu sütunun en küçük elemanıdır.



Aynı sütunda bulunan elemanlar birbirinden farklı olduğuna göre beyaz karelerdeki sayılar toplamı en az kaçtır?



A) 56 8

9

7

11 12

B) 63

C) 65

D) 70

E) 72

13

9 10 11

8 + 9 + 11 + 10 + 13 + 12 = 63 (Cevap B)

Test 36

1. C

2. C

3. A

4. D

5. C

6. B

7. B

8. B

9. C 10. D 11. B 12. D 13. E 14. C 15. B

9. a, b, c, d ve e sayma sayıları olmak üzere,

13. a ile b gerçek sayılar ve x tam sayıdır.



a 0, y < 0 dır. O hâlde x3 > y3 tür.

(Cevap C)

1 >1 m n



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I



Çözüm Yayınları

D) x2 < y2



C) x3 > y3

B) x < y

Buna göre,

B) Yalnız II

D) II ve III

m2 > m ise m ∈ R – [0, 1] dir.



n > m ⇒ n + m > m + m dir.



m < n < 0 ⇒ 1 > 1 dir. m n



C) I ve II

E) I, II ve III

(Cevap D)

7. a, b, c, d ve e gerçek sayılar olmak üzere,

3. a + y < a + x + y < 0 < a + y + z



ab·c



d+c>e



A) x < 0



olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?



A) e · c > 0



B) 0 < x < z

D) y + z < 0

a + y < a + y + x ⇒ x > 0 a + y < a + y + z ⇒ z > 0 a + x + y < a + y + z ⇒ x < z

C) a · y > 0

E) y – x > 0

0e b b

a < b ve a · c > b · c ⇒ c < 0 dır. d + c > e ⇒ d > e dir.

(Cevap D)

4. Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde a, b ve c sayıları gösterilmiştir.

83 a

–4



–3

b –2

–1

0

c 1

2

8. a3 · b < 0 ve b2 · a > 0 olmak üzere,

3



Buna göre, a2, 2b ve –c sayılarının doğru sıralanmış hâli aşağıdakilerden hangisidir?



A) a2 < –c < 2b



B) 2b < –c < a2

D) –c < 2b < a2

–3 < a < –2 ⇒ 4 < a2 < 9 0 < b < 1 ⇒ a < 2b < 2 1 < c < 2 ⇒ –2 < –c < –1



a · c > 2a



b · d < 6b



olduğuna göre, c + d toplamının alabileceği en küçük iki farklı tam sayının toplamı kaçtır?



A) 16

C) –c < a2 < 2b

E) 2b < a2 < –c

–c < 2b < a2 (Cevap D)

B) 17

C) 18

b 2 ⋅ a > 0 ve a 3 ⋅ b < 0 ⇒ a > 0 , b < 0 a ⋅ c > 2a ⇒ c > 2 ve b ⋅ d > 6 b ⇒ d > 6 a a b b c + d > 8 ise 9 + 10 = 19

D) 19

E) 20

(Cevap D)

Test 39

1. C

9. a ve b gerçek sayılar olmak üzere,

2. C

3. B

4. D

5. C

6. D

7. D

8. D

9. D 10. C 11. E 12. A 13. E

12. Aşağıda A, B ve C ürünleriyle oluşan üç alışveriş sepeti verilmiştir.

12a < b < 4a

olduğuna göre,

A B C

A

C

A

C

C A

3b a



ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?



A) 20

B) 21

C) 22

D) 23

12a > b > 4a ⇒ 4 < b < 12 a a a a 12 < 3b < 36 ⇒ a 36 – 12 – 1 = 23 değer vardır.

1



E) 24

2



Sepetlerin toplam ücretleri soldan sağa doğru azalmaktadır.



Aynı fiyata sahip olan sepetler aynı hizaya konulduğuna göre,

(Cevap D)

B B

10. 3 x 3’lük kare şeklindeki bir tablonun hücrelerine sıfırdan farklı



23

3

5

1. sütun

2. sütun

3. sütun

|–4| 1

alışveriş sepeti yukarıdaki sıralamaya dahil edilirse sıralamasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğru olur?

A) 1 ’in solunda

B) 1 ile 2 arasında

C) 2 ile aynı hizada

D) 2 ile 3 arasında

E) 3 ’ün sağında

1 sütundaki sayıların toplamı 2. sütundaki sayıların toplamından küçük, 2. sütundaki sayıların toplamı 3. sütundaki sayıların toplamından küçüktür.



Mor renkli hücrelerde bulunan sayılar birbirine eşit olduğuna göre, bir mor hücrede bulunan sayının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?



A) 3

C) 5

D) 6

2,9 + 1 + x < 23 + |–4| + 3 < x + x + 5 ⇒ x + 4 < 15 < 2x + 5 x + 4 < 15 ⇒ x < 11 ve 2x + 5 > 15 ⇒ x > 5 ⇒ x ∈ {6, 7, 8, 9, 10} 5 farklı tam sayı değeri vardır.

Çözüm Yayınları

A + B + C > A + C + A > C + C + A ⇒ B > A > C olur. B + B + C > A + B + C olduğundan alışveriş sepeti 1’in solunda olmalıdır.



B) 4

C



gerçek sayılar yazılıyor. 2,9

3

(Cevap A)

13. Aşağıdaki şekilde verilen beş kutunun içerisine a, b, c, d ve e sayma sayıları yazılacaktır.

D) 7

1. kutu

(Cevap C)

2. kutu

3. kutu

4. kutu

5. kutu



11. Ahmet, Bekir, Cengiz, Duygu ve Emir isimli öğrencilerin yaşları sırasıyla a, b, c, d ve e’dir.

84



5c < 3b < a < 3d < 4e

olduğuna göre,



• Kutular içerisindeki sayılar soldan sağa doğru artmaktadır. 1. kutuda yazan sayı d dir.



• Her kutuya birer tane sayı yazılacaktır.



• (a – b) · (b – c) > 0



• (b – c) · (c – d) > 0



• (c – d) · (d – e) < 0



Buna göre,



I. Emir yaşı en büyük olan öğrencidir.



II. Cengiz, yaşı en küçük öğrencidir.



III. Bekir, Duygu’dan yaşça küçüktür.



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I



A) Yalnız I



B) Yalnız III

D) I ve III

C) I ve II

I. 5. kutuya b ve c sayıları yazılamaz.



II. 2. kutuya yazılabilecek 2 farklı sayı vardır.



III. b sayısı 2. kutuya yazılamaz.



E) II ve III

4 e en büyük olan sayıdır. Ancak e en büyük olmak zorunda değildir. C nin 5 katı bile en küçüktür. Dolayısıyla c de en küçük olan sayıdır. Cengiz en genç öğrencidir. 3b < 3d b < d doğrudur.



B) Yalnız II

D) I ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

1. Durum: a > b, b> c, c > d, d < e d 0, –b > 0 –b + a – a – (–b) = 0

(Cevap C)

7. a3 · b > 0 b2 · c < 0

4. x ≠ 4 olmak üzere, |x −4| 4−x



olduğuna göre,







ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2a

ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?





A) 3



C) 1

| x − 4 |= x − 4 ise

| x − 4| x − 4 = = −1 4−x 4−x

| x − 4 |= 4 − x ise

| x − 4| 4 − x = =1 4−x 4−x

−1 + 1 = 0

D) 0

E) –1

a·c 0 a > 0 ⇒ b > 0 (Cevap D)

85

C) a – 2c

E) 2c

a + b > 0, b – c > 0, c – a < 0 a + b – (b – c) – c + a 2a

(Cevap A)

Test 40

1. A

8. a < –3 olduğuna göre,

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2 – a

B) a – 2

D) 3 – a a 2 − 4a + 4

a 2 − 3a + 7 + | a + 3 |

( a − 2) 2

C) a – 3

| a − 2 |= 2 − a

(Cevap A)

a 2 − 2ab + b 2 + |4 – b| = 10

denklemini sağlayan kaç farklı b tam sayısı vardır?



A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

–a + b + 4 – b = 10 4 – a = 10 ⇒ a = –6 –6 < b < 0 ise 0 – (–6) –1 = 5 değer vardır.



I. a pozitif ise b pozitiftir.



II. b pozitif ise a negatiftir.



III. a negatif ise b negatiftir.



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



Çözüm Yayınları

Buna göre,

9. C 10. B 11. D 12. D 13. D 14. D



• a, 2 ile aralarında asal olan iki basamaklı en küçük doğal sayıdır.



• b ve a noktaları arasındaki uzaklık 19 birimdir.



Buna göre, a + b toplamı en az kaçtır?



A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

B) Yalnız II

D) II ve III

E) 2

(Cevap D)

13. {–10, –7, –3, –2, 1, 4, 6, 9, 12}

(Cevap C)

|a · b| = –a · b



8. A

E) 3

10. Sıfırdan farklı a ve b gerçek sayıları için,

eşitliği sağlanıyor.

7. A

• |x| = –a3 · b5 denklemini sağlayan birbirinden farklı iki x gerçek sayısı vardır.





6. C

a = 11 ve a3 · b5 < 0 olduğundan b < 0 dır. |b – 11| = 19 b – 11 = 19 ⇒ b = 30 ⇒ a + b = 11 – 8 = 3 b – 11 = –19 ⇒ b = –8

9. a < b < 0 olduğuna göre,



5. C



E) a – 4

a 2 − 3a + 7 + ( a + 3 ) 2

( a − b ) 2 + |4 – b| = 10 |a – b| + |4 – b| = 10 a – b < 0 ve 4 – b > 0

4. D

aşağıdaki bilgiler veriliyor.



a 2 − 3a + 7 − a − 3

3. B

12. Sayı doğrusu üzerinde bulunan a ve b tam sayılarıyla ilgili

2 2 a − 3a + 7 + a + 6a + 9



2. B

C) I ve III

E) I, II ve III

|a · b| = –ab ⇒ a · b < 0 dır. b pozitif ise a negatiftir.

kümesinin elemanlarının dördü seçilip a, b, c ve d harfleri ile isimlendiriliyor.



• a sayısı mutlak değeri en küçük olan sayıdır.



• a ve c sayılarının mutlak değerlerinin toplamı, toplamlarının mutlak değerinden büyüktür.



• Toplamlarının mutlak değeri en büyük olan a ve d ikilisidir.



Buna göre, a + b + c + d toplamı en fazla kaçtır?



A) 17

B) 18

C) 19

D) 20

Mutlak değeri en küçük olan a = 1 dir. |a| + |c| > |a + c| ⇒ a ve c zıt işaretlidir. c en fazla –2 dir. |a + d| en fazla ise d pozitiftir. d en fazla 12 olur. b = 9 için a + b + c + d en fazla 1 + 9 – 2 + 12 = 20

E) 21

Cevap D)

(Cevap B)

86 11. Aşağıda verilen sayı doğrusunda –12 ve 18 noktaları arası a, b, c ve d noktaları ile 5 eşit parçaya ayrılıyor.

–12



a

b

c

d

18

14. a, b ve c birbirinden farklı tam sayılardır.

|a – b| = b – a



|c – b| = c – b |c – 9| = 9 – c



Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?





A) |a + b| = 6



olduğuna göre, a + b + c toplamı en fazla kaçtır?



A) 27



B) |d – b| = 12

D) |7 – a| = 10

C) |c – 1| = 5

E) |b| = |a + c|

18 – (–12) = 30 olduğundan her iki sayı arasındaki uzaklık 30 : 5 = 6 birimdir. a = –6, b = 0, c = 6, d = 12 |a + b| = 6, |d – b| = 12, |c – 1| = 5, |b| = |a + c| dir. |7 – a| = 13 tür.

B) 26

b – a ≥ 0 ⇒ b ≥ a c – b ≥ 0 ⇒ c ≥ b 9 – c ≥ 0 ⇒ c ≤ 9 (Cevap D)

C) 25

D) 24

E) 21

a + b + c en fazla 7 + 8 + 9 = 24 (Cevap D)

BÖLÜM 01 Test

Mutlak Değer 1. |2a – 12| + |3b – a| = 0

5. (|a| – 3) · (|a| + 3) = 7



olduğuna göre, |a – b||b–1| ifadesinin değeri kaçtır?



A) 2

B) 3

41

C) 4

D) 5



olduğuna göre, a’nın alabileceği değerlerden küçüğünün 3 katı ile büyüğünün 5 katının toplamı kaçtır?



A) 2

E) 6

2a – 12 = 0 ⇒ a = 6 3b – a = 0 ⇒ a = 3b ⇒ 3b = 6 ⇒ b = 2 |a – b||b–1| = |6 – 2||2–1| = 4

B) 3

|a|2 – 32 = 7

C) 4

D) 6

⇒ ⇒ |a| = 4 a = 4, a = –4 tür. –4 · 3 + 4 · 5 = –12 + 20 = 8

(Cevap C)

E) 8

|a|2 = 16

(Cevap E)

6. Pozitif tam sayılarda tanımlı bir işlem

2. |x – 4| = 5





denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?



A) –18

x−4 = 5

⇒

x − 4 = −5 ⇒

B) –9

C) –6

D) 6

x=9

  9 ⋅ ( −1) = −9 x = −1 

(Cevap B)

B

= A + 4 + | A − A ⋅B |

şeklinde tanımlanıyor.



E) 9

A

4

x

= 18



olduğuna göre, x kaçtır?



A) 1

B) 3

C) 4

Çözüm Yayınları

4 + 4+ | 4 − 4 x | = 18

D) 6

| 1 − x |= 3

| 4 − 4 x |= 12

1 − x = 3 veya 1 − x = −3

4 | 1 − x |= 12

x = −2 veeya x = 4

|x + y| + |x + 3| = |y + 13|

3. |x – y + 5|



denklemini sağlayan x değeri kaçtır?





A) 2



ifadesinin değeri kaçtır?



A) 5

B) 6

B) 3

C) 4

D) 5

y < 0 < x ve x > |y| olduğundan x + y > 0, x + 3 > 0, y + 13 > 0 x + y + x + 3 = y + 13 2x = 10 ⇒ x = 5

x 2 − 2xy + y 2 + 4

C) 7

D) 8

(Cevap C)

7. x > |y| > y > –10 olmak üzere,

ifadesinin alabileceği en küçük değer için,

E) 7

E) 6

(Cevap D)

E) 9

x − y + 5 = 0 ⇒ x − y = −5 ( x − y ) 2 + 4 = | x − y | + 4 = | −5 | + 4 = 9

(Cevap E)

8. Aşağıdaki şekilde yan yana bulunan iki kutu içerisindeki sayılardan soldaki sayının 2 katı ile sağdaki sayının farkının mutlak değeri üstlerinde bulunan kutu içerisine yazılıyor.

13

4. ||x – 5| – 4| = 2

olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?



A) 231

B) 132

|x – 5| – 4 = 2 ⇒ |x – 5| = 6 x – 5 = 6, x – 5 = –6 ⇒ x = 11, x = –1 |x – 5| – 4 = –2 ⇒ |x – 5| = 2 x – 5 = 2, x – 5 = –2 ⇒ x = 7, x = 3 (–1) · 3 · 7 · 11 = –231

x



C) 66

D) –132

E) –231

(Cevap E)

4

5



Buna göre, x’in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?



A) –12

B) –10

C) 10

D) 12

|2|2x – 4| – |2 . 4 – 5|| = 13 ⇒ ||4x – 8| – 3| = 13 |4x – 8| – 3 = 13 ⇒ |4x – 8| = 16 |4x – 8| – 3 = –13 4x – 8 = 16 4x – 8 = –16 |4x – 8| = –10 x = 6 x = – 2 ∅ 6 . (–2) = –12

E) 24

(Cevap A)

87

Test 41

1. C

2. B

9. a, b ve c gerçek sayıları için,

|a| = 1



|b| = 2



|c| = 4

5. E

6. C

7. D

8. A

9. C 10. E 11. B 12. B 13. D 14. C 15. A

bir tire işaretinden oluşan bir numara ile tanımlanmıştır.

eşitlikleri veriliyor.



Buna göre, |a + b + c| ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) –2

4. E

13. Bir ülkedeki her şehir ABC-DEFG biçiminde yedi rakamdan ve





3. E

B) 0

C) 1

D) 4

a = 1, a = –1, b = 2, b = –2, c = 4, c = –4 a + b + c = –1 –2 + 4 = 1 olabilir.



Bu numaralarda,



• 6 = |A – F|



• |B + C – D| = E



kuralları bulunmaktadır.



Buna göre, şehir numaralarından biri,

xaa-5917

E) 6 (Cevap C)



olduğuna göre, x · a çarpımının değeri kaçtır?



A) 35

B) 42

C) 45

D) 49

| x − 1 |= 6 ⇒ x − 1 = 6

x − 1 = −6

x =7 | a + a − 5 |= 9 ⇒ 2a − 5 = 9

x = −5 2a − 5 = −9

a =7

E) 63

a = −2

x ⋅ a = 7 ⋅ 7 = 49

10. a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,

(Cevap D)

| 3a | = a ⋅ b 2 a + b > 0

olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 3

C) 5

D) 6

a · b > 0 ve a + b > 0 ⇒ a > 0 ve b > 0 dır. | 3a | = a ⋅ b ⇒ 3a = a ⋅ b ⇒ b = 6 ve a > 0 2 2 olduğundan a + b > 6 olmalıdır. a + b = 7 olabilir.

(Cevap E)

11. Bir ayakkabı mağazasının A marka ayakkabıyı alış ve satış fiyatı aşağıda verilmiştir.

88



Alış fiyatı: (|y – 2| + 4) ¨



Satış fiyatı: (|x + 7| – |x – 16|) ¨



Buna göre, A marka bir ayakkabının satışından elde edilen kâr en fazla kaç ¨ olur?



A) 18

B) 19

C) 20

D) 21



E) 7

E) 22

Çözüm Yayınları

B) 4

14. A, B ve C sayıları



• |A – B| = 12



• |B – C| = 4



olduğuna göre, A + C toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?



A) 6

–7'ye olan uzaklığı |a| birimdir.

3 Buna göre, a + ifadesinin değeri kaçtır? 2



A) 1

| a − ( −7 ) | = | a | ⇒ a + 7 = −a a = −7 2 a + 3 = −7 + 3 = 2 2 2 2

C) 3

D) 4

E) 5

a +7 = a ∅ (Cevap B)

C) 10

D) 15

E) 18

(Cevap C)

15. Aşağıdaki şekilde çemberler içerisine:

(Cevap B)

12. a bir gerçek sayı olmak üzere sayı doğrusu üzerinde a'nın

B) 9

A ve B arasındaki uzaklık 12 birim, B ile C arasındaki uzaklık 4 birimdir. A = 1 B = 13 C = 9 ⇒ A + C = 10



B) 2

kümesinin elemanlarıdır.



Alış fiyatı; y = 2 için en az |0| + 4 = 4 ¨ Satış fiyatı; x = 16 için en fazla |23| – |0| = 23 ¨ Kâr en fazla 23 – 4 = 19 ¨

{1, 2, 3, 4, . . ., 32}

“Kendisine komşu iki çemberi bulunan çember içine yazılan sayı, kendisine komşu olan iki çember içine yazılan sayıların farkının mutlak değerine eşit olmalıdır.”

kuralına uygun olacak biçimde tam sayılar yazılıyor.

3x

7

x+5

y



x bir pozitif tam sayı olduğuna göre, y’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?



A) 14

B) 16

C) 18

D) 20

|3x – (x + 5)| = 7 |7 – y| = x + 5 2x – 5 = 7 2x – 5 = – 7 |7 – y| = 11 –4 + 18 = 14 x = 6 x ≠ –1 y = –4 y = 18

E) 22

(Cevap A)

BÖLÜM 01 Test

Mutlak Değer 1. |x – 4| + |4 – x| = 8

5. Mutlak değer konusunu yanlış anlayan bir öğrenci



olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?



A) 9

x ,  x = 0 ,  − x , 

B) 8

C) 7

D) 6

E) 4

|x – 4| + |x – 4| = 8 2|x – 4| = 8 ⇒ |x – 4| = 4 x – 4 = 4 v x – 4 = –4 x = 8 v x = 0 ⇒ 0 + 8 = 8

(Cevap B)

42

x < 0 ise x = 0 ise x > 0 ise



fonksiyonunu tanımlıyor.



Buna göre, bu öğrenci

x – 6 = 2x

denklemini sağlayan x değeri kaç olarak bulmuştur?



A) –6

B) –3

C) –2

D) 2

E) 3

x – 6 > 0 ⇒ –x + 6 = 2x ⇒ x = 2 x – 6 < 0 ⇒ x – 6 = 2x ⇒ x = –6

(Cevap A)

2. |x| + |2x| + |–3x| = 24

olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?



A) –16

B) –12

C) –13

D) 10

E) 16

x=4 (Cevap A)

Çözüm Yayınları

|x| + 2|x| + 3|x| = 24 6|x| = 24 |x| = 4 ⇒ x = –4 v (–4) · 4 = –16

3. |2x – 3| = x denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?



A) 6

2x – 3 = x x = 3

1 : Okun çıktığı çemberin içindeki sayı ile 20 sayısının farkının mutlak değerini okun gittiği çembere yaz.



2 : Okun çıktığı çemberin içindeki tam sayıdan büyük en küçük tam sayıyı okun gittiği çembere yaz.



3 : Okun çıktığı çemberin içindeki sayının 2 katının 1 fazlasını okun gittiği çembere yaz.



işlemleri tanımlanıyor.

C) 4

D) 3

(Cevap C)

3

23



şeklindeki çemberler içerisindeki sayılara oklar üzerinde belirtilen işlem uygulanıyor.



Buna göre, x kaç olabilir?



A) 10

E) 2

v 2x – 3 = –x v x=1 3+1=4

2

1

x





B) 5

6.

1

x

B) 15 10

2

11

C) 20 3

D) 25

E) 35

23

İşlemlere sondan başa doğru devam edilirse ikinci çemberde 10 sayısı olduğu bulunur. |x – 20| = 10 ⇒ x – 20 = 10 ⇒ x = 30 ⇒ x – 20 = –10 ⇒ x = 10 (Cevap A)

89

4. |x + 6| = m

denklemini sağlayan x gerçek sayılarının çarpımı pozitiftir.

7. |A – 1| = 5 – A



Buna göre, m’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?



olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?



A) 0



A) 0

B) 15

C) 18

x + 6 = m v x + 6 = –m x = –6 + m v x = –6 – m (–6 + m) · (–6 – m) > 0 –6 6 – + – ⇒ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

D) 21

E) 28

(Cevap B)

|B| – B = 2

B) 1

A – 1 = 5 – A v 2A = 6 A=3 |B| = B + 2 ⇒ B = B + 2 ∅ A + B = 3 + (–1) = 2

C) 2

A – 1 = –5 + A ∅ v v

D) 3

E) 4

B = – B –2 B = –1 (Cevap C)

Test 42

1. B

2. A

3. C

4. B

5. A

6. A

8. |x2 – 4x + m| = x + 2

12. 4x = 9 – |y|





denkleminin çözüm kümesi A olmak üzere,

7. C

8. D

9. A 10. A 11. D 12. A 13. A 14. C 15. D

2y = |x|

A ∩ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {3}



olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?



olarak veriliyor.



A) 3



Buna göre, m’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

y=



A) 0

B) 3

C) 4

D) 6

A ∩ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {3} ise denklemin bir kökü x = 3’tür. |32 – 4 · 3 + m| = 3 + 2 ⇒ |m – 3| = 5 m–3=5 ⇒ m=8 8 + (–2) = 6 m – 3 = –5 ⇒ m = –2

D) 8

E) 7

(Cevap A)

13. |x2 – 9| + |x – 3| = x · |x + 3| + x



eşitliğini sağlamaktadır.



Buna göre, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi her zaman doğrudur? B) x · y ≤ 0

D) x + y ≤ 0



denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?



A) 1

B) 2

C) 3

| x − 3 | ⋅ | x + 3 | + | x − 3 |= x(| x + 3 | +1)

C) x + y ≥ 0

10. Aşağıda verilen 4 bölmeden oluşan karede aynı satır veya aynı sütunlarda bulunan sayıların çarpımı birbirlerine eşittir.

|2x – 4|

E) 5

| x − 3 |= x ⇒ x − 3 = x v v

∅ 1 değeri vardır.

E) x – y ≤ 0

||x| + |y|| = |x + y| ⇒ |x| + |y| = |x + y| eşitliğinin sağlanması için x ve y aynı işaretli olmalıdır. x · y ≥ 0 dır. (Cevap A)

D) 4

| x − 3 | ⋅ (| x + 3 | +1) = x(| x + 3 | +1)

Çözüm Yayınları



D) 6

(Cevap D)

||x| + |y|| = |x + y|

A) x · y ≥ 0

C) 5

|x| |x| |x| ⇒ 4x = 9 − ⇒ = 9 − 4x 2 2 2 x = 18 − 8 x v x = 8 x − 18 x = 2 ⇒ 2y = | x | 8 y =1 x=2 v x = 18 7 x +y = 2+1= 3

9. x ve y gerçek sayıları



B) 4

x − 3 = −x x=3 2 (Cevap A)

14. a ve b birer gerçek sayı olmak üzere

|2x – 3| = 2a – 4



denkleminin çözüm kümesi {b} dir.



Buna göre, a · b kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

2a − 4 = 0 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2 | 2 x − 3 |= 0 ⇒ 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ b = 3 2 2 a⋅b = 2⋅ 3 = 3 2

|3x – 1|

Buna göre, x’in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?



A) –3

B) –2

C) –1

D) 2

Koşulların sağlanması için |2x – 4| = |3x – 1| olmalıdır. 2x – 4 = 3x –1 v 2x – 4 = –3x + 1 x = –3 v x = 1 ⇒ (–3) · 1 = –3

E) 4 (Cevap A)

15. m ve n gerçek sayılar olmak üzere,

90



11. Reel sayı doğrusu üzerinde

A(3), B(m + 4) ve C(m + 5)



noktaları veriliyor.



A ve B noktaları arasındaki uzaklık, A ve C noktaları arasındaki uzaklığın 2 katı olduğuna göre, m sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?



A) 12

B) 10

C) 6

|m + 4 – 3| = 2|m + 5 – 3| ⇒ |2m + 4| = |m + 1| 2m + 4 = m + 1 v 2m + 4 = –m – 1 −5 m = –3 v m = 3 ( −3 ) ⋅  − 5  = 5  3

D) 5

(Cevap C)

E) 3

|m – 4| + |n + 2| = 7

olduğuna göre,



I. m’nin alabileceği 15 tam sayı değeri vardır.



II. n en fazla 7'dir.



III. m + n toplamı 9 olabilir.



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) I ve III

E) I, II ve III

m – 4 → –7, –6, –5, . . ., 5, 6, 7 olmak üzere 15 tam sayı vardır. n + 2 = 7 için n en fazla 5 olur. m – 4 > 0 ve n + 2 > 0 için m – 4 + n + 2 = 7 ⇒ m + n = 9 olabilir. (Cevap D)

C) I ve II

(Cevap D)

BÖLÜM 01 Test

Mutlak Değer 1. |x – 5| ≤ 4

5.



eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?



A) 21

B) 28

C) 36

D) 45

E) 66

–4 ≤ x – 5 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ x ≤ 9 1 + 2 + 3 + . . . + 9 = 9 ⋅ 10 = 45 2

43

x 2 − 6 x + 9 + 3 ( x − 2) 3 ≥ 5 ( x + 2) 5



eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x rakamı vardır?



A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

|x – 3| + x – 2 ≥ x + 2 ⇒ |x – 3| ≥ 4 x – 3 ≥ 4 v x – 3 ≤ –4 x ≥ 7 v x ≤ – 1 ⇒ {7, 8, 9} üç rakam vardır.

(Cevap D)

(Cevap A)

2. |x – 1| > 3

eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?



A) (4, ∞)



B) R – [–2, 4)

D) R – (–2, 4]

C) (–2, 4)

E) R – [–2, 4]

6. Çözüm kümesi,

x – 1 > 3 veya x – 1 < –3 x > 4 veya x < –2 (–∞, –2) ∪ (4, ∞) = R –[–2, 4]

(Cevap E)



eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?



A) 30

B) 32

C) 33

D) 34

E) 35

3 ≤ x –4 < 7 veya 3≤–x+4 0 olduğundan |x – 1| – 4 < 0 dır. |x – 1| < 4 ⇒ –4 < x – 1 < 4 ⇒ –3 < x < 5 –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 7 tam sayı vardır.

6

Kişi Sayısı

|a – 6|

|b – 4|

20



• B sınıfının mevcudu, C sınıfının mevcudundan azdır.



Buna göre, a + b toplamı en az kaçtır?



A) –23

B) –22

C) –21

|a – 6| = 20 · 1 + 2 ⇒ |a – 6| = 12 2 ⇒ a – 6 = 12 v a – 6 = –12 ⇒ a = 18 |b – 4| < 20 ⇒ –16 < b < 24 a + b = –6 – 15 = –21

v

D) –20

E) –19

a = –6 dır. (Cevap C)

|y – x| g/cm3



|x – 2| g/cm3

|2x + 8| g/cm3



boyutları aynı ve özkütleleri yukarıda verilen üç cisim aynı anda içi suyla dolu kovaya bırakılıyor.



Bu üç cismin kovaya atıldıktan birkaç saniye sonraki konumları





eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?



A) 6

1< 1 ⇒ 6 > |2x – 4| 6 | 2x − 4 |

C

• A sınıfının mevcudu, C sınıfının mevcudunun yarısından 2 fazladır.

(Cevap D)

1 | 2x − 4 |

B) 5

B



92

11. 1
0

1. Aşağıda 120 birim kareden oluşan dikdörtgen verilmiştir.

x7 · y3 < 0

olduğuna göre,

6 x 6 − 3 y 3    

2



ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?



A) x – y

B) y – x

C) x + y

D) –x – y

[| x | −y ]2 =|| x | −y |



x > 0 ve y < 0 olduğundan |x – y| = x – y bulunur.



E) 0

(Cevap A)

T harfi ile modellenen kesir t, A harfi ile modellenen kesir a olduğuna göre, a – t kaçtır?

A)

1 120

B)

1 C) 1 D) 1 E) 1 100 80 60 40

a = 12 ve t = 10 ⇒ a − t = 12 − 10 = 1 120 120 120 60

(Cevap D)

5. a ve b birer tam sayıdır. a < −3 5

2. 74–x = 49

olduğuna göre,



A) 1

5x–2

B) 2

+ x ifadesinin değeri kaçtır? C) 3

D) 4

E) 5

74–x = 72 ⇒ 4 – x = 2 ⇒ x = 2 5x–2 + x = 50 + 2 = 3

3.

Çözüm Yayınları

b > 13 3

olduğuna göre, a – b en fazla kaçtır?



A) –6

B) –5

C) –4

D) –3

a – b ifadesinin en fazla olması için a en büyük b en küçük olmalıdır. a < − 3 ve b > 13 ⇒ a = –1 ve b = 5 için a – b = –1 – 5 = –6 5 3

E) –2 (Cevap A)

(Cevap C)

A sayısının rakamları çarpımı

A

6. Aşağıda bir ipin her kesimde birbirine eşit parçalar oluşacak biçimde kesiliş süreci verilmiştir.

B sayısının asal olmayan tam bölen sayısı

B



biçiminde tanımlanan işlemlere göre

211 A

12463



İp önce eşit iki parçaya daha sonra sol parça eşit 3, sağ parça eşit 5 parçaya ayrılmıştır. Ayrılan her parçanın uzunluğu birer tam sayıdır.



İpin ilk boyu üç basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre, A ve B parçalarının boyları farkı en fazla kaçtır?



A) 58

x

şeklindeki x değeri kaçtır?



A) 10

B) 12

B

C) 15

1 · 2 · 4 · 6 · 3 = 24 · 32 = B B sayısının asal olmayan tam bölen sayısı 2 · 5 · 3 – 2 = 28 28 sayısının rakamları çarpımı x = 16

D) 16

E) 18

B) 64

C) 66

A = 5x ise B = 3x olsun. İpin ilk boyu (3 · 5x) · 2 = 30x olur. x = 33 için |A – B| = |5x – 3x| = |2x| = 2 · 33 = 66 bulunur. (Cevap D)

D) 70

E) 72 (Cevap C)

Test 03

1. D

7. A, B, C, D ve E sayılarına x sayısı eklendiğinde her biri

olduğuna göre, x kaçtır?



A) 5

B) 8

C) 10

D) 12

E) 20

A, B, C, D ve E sayıları x er arttığında sırasıyla %10, %25, %20, %50 ve %100 artıyor ise A = 10x, B = 4x, C = 5x, D = 2x, E = x A + B + C + D + E = 10x + 4x + 5x + 2x + x = 110 22x = 110 ⇒ x = 5 (Cevap A)

8. Rakamlarının toplamının karesi, rakamlarının kareleri

toplamından 48 fazla olan iki basamaklı kaç tane doğal sayı vardır?



A) 3

B) 4

C) 5

(a + b)2 = a2 + b2 + 48

D) 6

4. A

5. A

6. C

7. A

8. B

9. B 10. D 11. C 12. D 13. D

doğru zamana göre durumları,

A + B + C + D + E = 110



3. D

11. Bir iftar yemeği için randevulaşan 5 arkadaşın saatlerinin

sırasıyla %10, %25, %20, %50 ve %100 artmaktadır.

2. C



A : 7 dakika geri



B : 6 dakika ileri



C : 2 dakika geri



D : 11 dakika ileri



E : 5 dakika geri



olarak veriliyor.



Belirli bir zamanda buluşma noktasında olması gereken bu beş kişi, buluşma noktasına kendi saatine göre tam zamanında gelmiştir.



Buna göre, buluşma noktasına 1. gelen kişi ile 4. gelen kişi arasında kaç dakikalık süre vardır?



A) 18

B) 17

C) 16

D) 13

E) 12

Erken gelenden geç gelene göre sıralanırsa D, B, C, E, A olur. 1. gelen D ile, 4. gelen E arasında 11 + 5 = 16 dakika vardır. (Cevap C)

E) 7

ab ⇒ 38, 83, 46, 64 olmak üzere 4 tane iki basamaklı sayı vardır.

a2 + b2 + 2ab = a2 + b2 + 48 2ab = 48 a · b = 24

(Cevap B)

12. Ahmet, Berfin ve Rümeysa’nın bir işi bitirme süreleriyle ilgili

16, ... birim kareden oluşmaktadır.

1

1

2

3

4

1

2

3

5

6

7

8

1

2

4

5

6

9

10

11

12

3

4

7

8

9

13

14

15

16



Sayma sayıları her bir kareye belli bir kurala göre yazılıyor ve bazı kareler sistematik olarak sarıya boyanıyor.



Buna göre, soldan 6. karenin üstten ikinci satırındaki sarı kare içerisindeki sayı kaçtır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

212

10. Aynur’un doğum tarihi A, Bekir’in doğum tarihi B olmak üzere A + B = 4020’dir.



Aynur ve Bekir’in bugünkü yaş ortalaması 18’dir.



Buna göre, yukarıda geçen konuşma hangi yıl yapılmıştır?



A) 2012

Bugünkü yıl x olsun. Aynur x – A, Bekir x – B yaşında olur.

B) 2018

C) 2024

x − A + x − B = 18 2 2 x − ( A + B ) = 36

D) 2028 2x = 36 + 4020 2x = 4056 x = 2028



• İşin tamamını 12 günde bitirebilen Ahmet, 3 gün çalıştıktan sonra kalan işin yarısını Berfin 3 günde bitirebilmektedir.



• Üçü birlikte işe başladığında 3 gün sonra işin %75’i bitmektedir.



Buna göre, Rümeysa bu işin tamamını kaç günde bitirebilmektedir?



A) 12

B) 15

Ahmet işin 3 = 1 ünü bitirip geriye 12 4 işin 3 ü kalır. Berfin işin 3 ini 3 4 8 günde bitirdiğine göre Berfin işin tamamını 8 günde bitirir.

C) 18

D) 24

E) 28

 1 + 1 + 1  ⋅ 3 = 75   100  12 8 x  ( 2) ( 3)  5 + 1 ⋅3 = 3 ⇒ 5 + 3 = 3 ⇒ 3 = 3 − 5    24 x  4 8 x 4 x 4 8 3 = 1 ⇒ x = 24 x 8 (Cevap D)

E) 14

6. karenin en üst satırında bulunan sarı karedeki sayı 6 dır. Sarı kareler içerisindeki sayılar 2. kareler 1, 3. karede 2, 4. karede 3 olarak artmaktadır. O halde 6. karede 5 artacaktır. 2. satırda bulunan sarı kare 6 + 5 = 11 bulunur. (Cevap B)



Çözüm Yayınları

aşağıdaki bilgiler veriliyor.

9. Aşağıda verilen kareler soldan sağa doğru sırasıyla 1, 4, 9,

E) 2030

(Cevap D)

13. Bir torbada bulunan bilyeler 1’den 10’a kadar olan doğal sayılar ile numaralandırılmış 10 öğrenciye aşağıdaki kurallara göre dağıtılacaktır.

• Çocuklara verilen bilye sayıları numaraları ile orantılıdır.



• Bu 10 çocuk içerisinde bulunan Ferhat ve Muharrem isimli öğrencilerden Ferhat’ın numarası asal sayı, Muharrem’in numarası çift sayıdır.



• Ferhat ve Muharrem’e verilen bilye sayıları arasındaki farkın mutlak değeri 56’dır.



Buna göre, başlangıçta torbada bulunan bilye sayısı en az kaçtır?



A) 300

B) 325

C) 365

D) 385

E) 400

Ferhat’ın 2x bilyesi varsa, Muharrem’in 10x bilyesi olsun. |10x – 2x| = 56 ⇒ 8x = 56 ⇒ x = 7 x + 2x + 3x + . . . + 10x = x(1 + 2 + 3 + . . . + 10) ⇒ x ⋅ 10 ⋅ 11 = 55x ⇒ 55 · 7 = 385 2

(Cevap D)

TÜMEVARIM - II Test 6 6 + 27 2 54 2 + 3 8

1.  9 − 10  ⋅  6 + 6 

5.



işleminin sonucu kaçtır?



işleminin sonucu kaçtır?



A) 5



A) 3

2

3  

7

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

 9 − 10  ⋅  6 ⋅ 7 + 6  = 27 − 20 ⋅ 48 = 7 ⋅ 48 = 8     6 7 6 7 2 3   7  ( 3) ( 2)

B) 5

C) 6

D) 8

3 6 ⋅ 2 6 + 3 6 = 3 6 ( 2 6 + 1) = 65 = 5 3 6 ⋅ 2 2 + 3 8 3 6 ( 2 2 + 3 2 ) 13

(Cevap D)

04 E) 10

(Cevap B)

6. Ali karesel bir bölgeyi birim karelere ayırmış ve birim karelerin

3x – 2 dir. Buna göre, x kaçtır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

En küçük ve en büyük eleman arasında 2 · 10 = 20 fark vardır. 3x – 2 – (x + 2) = 20 2x – 4 = 20 ⇒ x = 12

1. satır

D) 15

2. satır 3. satır

(Cevap C)

3. b – 4, a – 7 ve c + 3 sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 ile doğru orantılıdır. a − 1 + c = 27 2

Çözüm Yayınları



3. sütun

1. sütun

2. Ardışık 11 çift tam sayının en küçüğü x + 2, en büyüğü

2. sütun

konumlarını sıralı ikililer ile ifade etmiştir. Örneğin aşağıdaki tabloda mavi kare (2, 1), sarı kare (1, 3) sıralı ikilisi ile gösterilir.



Ali konumu (a, b) olan bir kare içerisine a · b çarpımından küçük tam sayıları yazacaktır.



Buna göre kareler içerisindeki sayıların toplamı en fazla kaçtır?



A) 27

B) 28

C) 29

D) 30

E) 31

Konumları (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) olan karelerdeki sayılar sırasıyla 1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 6, 9 sayılarında küçük olmalı. O hâlde toplam en fazla 0 + 1 + 2 + 1 + 3 + 5 + 2 + 5 + 8 = 27 olur. (Cevap A)

b

olduğuna göre, b kaçtır?



A) 8

B) 10

b − 4 = a −7 = c + 3 = k 2 3 5 b = 2k + 4 , a = 3k + 7 , c = 5 k − 3 3k + 7 − 1 + 5k − 3 = 27 2k + 4 2

C) 12

D) 16

E) 18

7. Aşağıda üç sıra hâlinde dizilmiş tuğlalardan oluşan bir duvar gösterilmiştir.

3( k + 2 ) + 5k − 3 = 27 2( k + 2 ) 2 5k − 3 = 27 − 3 ⇒ 5k − 3 = 12 ⇒ k = 3 2 2 b = 2k + 4 = 10 (Cevap B)

1m



4. Asya, markete limon almaya gittiğinde iki çeşit paketlenmiş 1. paket: 3 adet limon (2x – 10) ¨



2. paket: 4 adet limon (3x – 20) ¨



Asya birim fiyat üzerinden daha kârlı alışveriş yapmak için 1. paketi tercih ettiğine göre, x tam sayı olarak en az kaçtır?



A) 7

B) 13

C) 18

D) 21

E) 24

2 x − 10 < 3 x − 20 ⇒ 8 x − 40 < 9 x − 60 3 4 x > 20 x tam sayısı en az 21 dir.

(Cevap D)

. . . Aslan

0,1 m

. . . Berk

0,1 m

. . . Cenk



Aslan duvarın üst sırasını sarıya, Berk orta sırayı mora, Cenk duvarın alt sırasını yeşile boyamaktadır.



Aslan’ın boyadığı alan x m2, Berk’in boyadığı alan y m2 ve Cenk’in boyadığı alan z m2 dir.

limon görmüştür.

0,1 m



Her bir sırada bulunan tuğlalar özdeş olduğuna göre, y ⋅ x kaçtır? z A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 1 25 25 25 5 4 0 ,3 3 = x = 0 ,1 ⋅ 3 = 5 5 50 0 ,1 1 3 = y = 0 ,1 ⋅ = 6 2 20 0 ,3 3 = z = 0 ,1 ⋅ 3 = 8 8 80

       

1 y ⋅ x = 20 ⋅ 3 3 50 z 80 = 1 ⋅ 80 ⋅ 3 = 2 20 3 50 25

(Cevap A)

213

Test 04

1. D

8. a ve b sayı doğrusu üzerinde iki gerçek sayı olmak üzere,

• a sayısının –4 sayısına uzaklığı b birimdir.



• b sayısının –3 sayısına uzaklığı 2a birimdir.



bilgileri veriliyor.



Buna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?



A) 16

B) 17

|a + 4| = b |b + 3| = 2a ||a + 4| + 3| = 2a |a + 4| + 3 = 2a

C) 18

D) 19

3. B

4. D

5. B

6. A

7. A

8. C

9. C 10. B 11. D 12. C 13. E

11. Bir okulda bulunan fazla sıra ve tahtalar A, B ve C okullarına

gönderilecektir. Bu okulda bulunan fazla sıraların sayısı fazla tahtaların sayısının 2 katıdır.

E) 20

|a + 4| = 2a – 3 a + 4 = 2a – 3 ⇒ a = 7 a + 4 = –2a + 3 ⇒ a = − 1 3 a = 7 ⇒ b = |7 + 4| = 11 ⇒ a + b = 18

2. C



• Sıraların %25’i ile tahtaların 12 tanesi A okuluna gönderiliyor.



• Kalan tahtaların %50’si ile 20 sıra B okuluna gönderiliyor.



• Kalan sıraların tamamı ve kalan 8 tahta C okuluna gönderiliyor.



Buna göre, C okuluna kaç sıra yollanmıştır?



A) 10

B) 14

C) 17

D) 22

Tahtalardan yola çıkarsak tüm tahta sayısı 2x olsun. ( 2 x − 12 ) ⋅ 50 = 8 ⇒ 2 x − 12 = 16 ⇒ x = 14 Sıra sayısı = 4 . 14 = 56 100 56 ⋅ 75 − 20 = 42 − 20 = 22 100

(Cevap C)

E) 24

(Cevap D)

12. Aşağıda merkezleri aynı olan ve üzerlerinde eşit aralıklarla rakamlar konumlandırılmış küçük ve büyük iki diskten oluşan hareketli bir düzenek verilmiştir. Bu düzeneğin üzerine dikdörtgen biçiminde sabit bir gösterge yerleştirilmiştir.

9. Aşağıda verilen 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 numaralı torbalarda bilyeler vardır.

2

3

4

5

6

7



Bu torbalar farklı çocuklara aittir ve her çocuk kendi torbası hariç diğer tüm torbalardan torba numarası kadar bilye almaktadır.



Çocuklardan üçünün aldığı toplam bilye sayısı 69 olduğuna göre, bu üç çocuğun torba numaralarının toplamı kaçtır?



A) 10

B) 12

C) 15

D) 16

6 Çözüm Yayınları

1

1

8

7

6

1

9 5

2 3

3

7

4

2

5

Başlangıç

D) 17

Her bir çocuk tüm torbalardan bilye alsaydı 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 7 ⋅ 8 = 28 bilye 2 alırdı. Üç çocuğun toplam bilye sayısı 28 + 28 + 28 = 84 olmalıydı. Topladığı toplam bilye sayısı 69 olduğuna göre bu üç çocuğun torba numaraları toplamı 84 – 69 = 15 olur. (Cevap C)

8



Ok yönünde sabit hızlarla hareket eden bu iki diskten küçük disk saniyede 45°, büyük disk saniyede 135° dönmektedir.



Buna göre, başlangıçtan 17 saniye sonra göstergede bulunan rakamların toplamı kaçtır?



A) 3

B) 5

C) 7

D) 9

E) 12

Küçük disk ve büyük disk 8 saniyede aynı konuma gelirler. O halde 17 saniyede 2 kez aynı konuma gelip 1 er tur dönerler. O halde kutu içindeki rakamların toplamı 5 + 2 = 7 olur. (Cevap C)

13. Ali, Berk ve Cengiz’in çalıştığı bir iş ile ilgili aşağıdaki bilgiler

10. 40 öğretmenin görev yaptığı bir okulda içlerinden bir öğretmen evlenecektir. Bu öğretmene hediye almak için para toplanacaktır.

214

veriliyor.



• Ali bu işi tek başına 12 saatte, Berk aynı işi 36 saatte bitirebiliyor.



• Öğretmenler hediye için 10 ¨, 20 ¨ veya 50 ¨’den herhangi birini vermiştir.





• 10 ¨ veren öğretmen sayısı, 20 ¨ veren öğretmen sayısının 3 katıdır.

• Ali bu işe tek başına başlayıp 4 saat çalıştıktan sonra işi bırakıyor. Ali bıraktıktan sonra Berk ve Cengiz birlikte işe başlıyor.



• Berk 6 saat çalıştıktan sonra işi bırakıyor ve kalan işi Cengiz 10 saatte tamamlıyor.



Buna göre, Cengiz bu işin tamamını tek başına kaç saatte bitirebilir?



A) 24



• Alınan hediyenin ücreti 750 ¨’dir.



Buna göre, 20 ¨ veren kişi sayısı kaçtır?



A) 6

B) 8

10

20

50

3x

x

39 – 4x

C) 10

D) 12

3x · 10 + 20 · x + 50(39 – 4x) = 750 30x + 20x + 1950 – 200x = 750 150x = 1200 ⇒ x = 8

E) 16

(Cevap B)

B) 26

C) 28

1 ⋅ 4 +  1 + 1  ⋅ 6 + 1 ⋅ 10 = 1 ⇒ 1 + 1 + 6 + 10 = 1   12 3 6 x x x  36 x  3 + 16 = 1 ⇒ 16 = 1 − 1 ⇒ 16 = 1 ⇒ x = 32 6 x 2 x 2 x

D) 30

E) 32

(Cevap E)

01

BÖLÜM 02 Test

Kümeler 1. A = {1, 3, 5, 7, 9, 1011}

6. A = {1, 2, a, {a}, {2}, {1, 2}}



kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?





A) 1 ∈ A



I. Alt küme sayısı 64’tür.



II. İçinde {a} ve {2} elemanlarının bulunduğu alt küme sayısı 8’dir.



III. İçinde 1 ve 2 elemanının bulunmadığı alt küme sayısı 16’dır.



B) 10 ∈ A

D) {1, 3} ⊂ A

C) s(A) = 6

E) {10, 11} ⊄ A

1011 arasında virgül olmadığından sayı dört basamaklı sayıdır. 10 ∈ A yanlıştır.

(Cevap B)

2. A = {x: |x| < 3, x ∈ Z}

kümesinin alt küme sayısı kaçtır?



A) 16

B) 32

kümesi ile ilgili olarak



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) I ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

26 = 64 olduğunda I doğru,

C) 64

D) 128

A = {–2, –1, 0, 1, 2} Alt küme sayısı = 25 = 32

24 = 16 olduğundan II yanlış,

E) 256

24 = 16 olduğundan III doğrudur.

(Cevap D)

(Cevap B)

3. C = {x: 12 < x ≤ 72, x = 6m ve m ∈ Z}

kümesi veriliyor.



Buna göre, s(C) kaçtır?



A) 13

7. Aşağıda birbirlerinin alt kümeleri olan boş kümeden farklı n

B) 12

C) 11

D) 10

C = {18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72} s(C) = 10

E) 9 (Cevap D)

4. B = {(x, y): x ⋅ y = 360, x ∈ N ve y ∈ N}

kümesinin eleman sayısı kaçtır?



A) 24

B) 18

C) 16

D) 15

E) 12

x ⋅ y = 360 ⇒ y = 360 ⇒ 360 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 x

Çözüm Yayınları

tane kümenin 5 tanesi verilmiştir.

A B C D E



Bu n kümeden herhangi ikisinin eleman sayısı birbirine eşit değildir.



Bu n kümenin eleman sayıları toplamı en az 36 olduğuna göre, n kaçtır?



A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

s(A) = 1, s(B) = 2, s(C) = 3, . . . s(x) = n

Pozitif bölen sayısı = 4 · 3 · 2 = 24 O hâlde s(B) = 24 tür.

(Cevap A)

s(A) + s(B) + s(C) + . . . + s(x) = 36 n( n + 1) 1 + 2 + 3 + . . . + n = 72 ⇒ = 36 ⇒ n(n + 1) = 72 2 ⇒ n=8

(Cevap B)

5. A = {1, 2, 3, a, b, c}

B = {1, 3, a, b}



C = {3, 1, a, 2, b, c}

215



kümeleri için



I. B ⊂ A

8. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonlu kümedir?



II. A = C



A) {x: 1 < x < 4, x ∈ R}



III. C ⊃ A



B) {x: x < 7, x ∈ Z}



C) {x: x = 3n, n ∈ N}



D) {x: x < 10, x ∈ N}



E) {x: x2 > 10, x ∈ R}



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

1, 3, a, b ∈ A olduğundan B ⊂ A Tüm elemanları aynı olduğundan A = C Her küme kendisinin alt kümesi olduğundan A ⊂ C ve C ⊃ A dır.

x < 10 koşulunu sağlayan doğal sayılar kümesi {0, 1, 2, . . ., 9} olduğundan sonlu kümedir. (Cevap E)

(Cevap D)

Test 01

1. B

9. Ardışık her iki terimi arasındaki farkı birbirine eşit olan sayı







Buna göre,



3. D

4. A

5. E

6. D

7. B

8. D

9. D 10. B 11. C 12. B 13. E 14. D

13. Aşağıdaki A, B ve C kümelerinin elemanları

dizilerine aritmetik sayı dizisi denir.

2. B



K = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

kümesinin elemanlarından oluşmaktadır.

A = {1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12}

B

kümesinin elemanları kullanılarak elemanları bir aritmetik sayı dizisi oluşturabilen 5 elemanlı kaç küme oluşturulabilir? A) 27

B) 24

C) 21

D) 12

A ●5

E) 10

●6

{1, 2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6, 7}, . . ., {8, 9, 10, 11, 12} ardışık iki terimi arasındaki farkı 1 olan 8 tane {1, 3, 5, 7, 9}, {3, 5, 7, 9, 11}, {2, 4, 6, 8, 10}, {4, 6, 8, 10, 12} ardışık iki terimi arasındaki farkı 2 olan 4 tane küme vardır. Toplam 12 küme var. (Cevap D)

●

● ●

● ●8

● C



K kümesinin elemanlarının 3 tanesi kümelere yerleştirilmiştir ve kümelerin her birinin elemanları toplamı 30’dur.



Kümelerdeki her bir nokta o bölgede bulunan elemanı göstermektedir. Örneğin; A kümesi 4, B kümesi 5, C kümesi 4 elemanlıdır.



B = { 12 , 16 , . . ., 128 } ve s( B ) = 128 − 12 + 1 = 30 4

Buna göre, B kümesinin yazılmayan elemanlarının çarpımı kaçtır?



A) 50

C ∩ B = { 12 , 24 , 36 , . . ., 120 } ve s( C ∩ B ) = 120 − 12 + 1 = 10 12 s( B ∩ C ′ ) = s( B ) − s( B ∩ C ) = 30 − 10 = 20

Üst sarı nokta x, alt sarı nokta y olsun. 5 + 6 + x + y = 30 ⇒ x + y = 19 ⇒ x = 10, y = 9 O hâlde yeşil bölgedeki eleman 7, turuncu bölgedeki elemanlar 2, 4 ve 10 dur. 2 · 4 · 10 = 80 (Cevap E)

10. A = {x: 10 ≤ x < 130, x ∈ Z}

kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile tam bölünür ancak 3 ile tam bölünemez?



A) 19

B) 20

C) 21

D) 22

E) 23

(Cevap B)

11. A kümesi doğal sayılar kümesinin boş kümeden farklı bir alt kümesi olmak üzere bir a ∈ A alınıyor. Eğer a sayısının A kümesinde kendisi hariç tam böleni yoksa a’ya Aa sayısı denir.

B) 56

C) 70

D) 72

E) 80

Buna göre,



A = {3, 6, 13, 14, 15, 21, 24, 33, 45}

14. Eleman sayıları eşit olan boş kümeden farklı iki küme ile bir



kümesinde kaç tane Aa sayısı vardır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

toplama işlemi tanımlanıyor ve bu kümelerle eşit eleman sayısına sahip yeni bir küme elde ediliyor.

Toplama işlemi,



elemanları soldan sağa doğru artan A ve B kümesi





A = {a, b, c, …, f, d, e}

12. An = {a1, a2, a3, ..., an}





B = {x, y, z, …, t, m, n} olmak üzere,

Bm = {b1, b2, b3, ..., bm}





A + B = {a + n, b + m, c +t, ..., f + z, d + y, x + e}





olarak tanımlanıyor.

3, 13, 14 sayılarının A kümesi içerisinde kendilerinden başka tam böleni yoktur. 3 tane Aa sayısı vardır. (Cevap C)

216

Çözüm Yayınları

4 ile bölünenlerin kümesi B, 3 ile tam bölünebilenlerin kümesi C olsun.

birer küme olsun.

An ve Bm kümelerinin elemanları üreten bağıntılar ax = 2x + 4 bx = x + 2

olduğuna göre, A5 ∩ B6 kümesinin eleman sayısı kaçtır?



A) 1

B) 2

A8 = {a1, a2, a3, ... a5} B6 = {b1, b2, b3, ... b6} a1 = 6, a2 = 8, a3 = 10, ... a5 = 14 b1 = 3, b2 = 4, b3 = 5, ... b6 = 8

C) 3

D) 4

A5 = {6, 8, 10, 12, 14} B6 = {3, 4, 5, 6, 7, 8} A5 ∩ B6 = {6, 8} s(A5 ∩ B6) = 2

E) 5



A = {1, 2, 3, …, n}



B = {2, 4, 6, …, m}



kümeleri için A + B kümesinin en büyük ve en küçük elemanının toplamı 99 olduğuna göre, m kaçtır?



A) 27

B) 32

C) 54

s(A) = s(B) olduğundan m = 2n dir. A + B = {n + 2, n + 3, n + 4, . . ., 2n, 2n+1} n + 2 + 2n + 1 = 99 ⇒ 3n = 96 ⇒ n = 32 ⇒ m = 64 (Cevap B)

D) 64

E) 72

(Cevap D)

BÖLÜM 02 Test

Kümeler

02

1. A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

4. A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.





•



• A ve B kümelerinin alt küme sayılarının çarpımı 413 tür.

B = {x: x tek rakam}



olduğuna göre, A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?



A) 4

B) 8

C) 16

D) 32

E) 64

A ∩ B = {5, 7, 9} ⇒ s(A ∩ B) = 3 ⇒ 23 = 8

(Cevap B)

s( A ) − 2 s(B) + 1 = 3 2



Buna göre, s(A) kaçtır?



A) 17

B) 15

C) 13

D) 11

E) 9

s( A ) − 2 s( B ) + 1 = = k ⇒ s( A ) = 3k + 2 , s( B ) = 2k − 1 3 2 2 3k + 2 ⋅ 2 2k −1 = 4 13 ⇒ 2 5 k +1 = 2 26 ⇒ 5k + 1 = 26 k = 5 ⇒ s( A ) = 3 ⋅ 5 + 2 = 17

(Cevap A)

2. A = {1, a, 2, b, 3, c, 4, 5}



B= {1, b, d, 3, 7}



olduğuna göre, A – B kümesinin iki elemanlı alt küme sayısı kaçtır?



A) 6

B) 10

C) 15

D) 21

5. A = {x: –2 ≤ x < 4, x ∈ R}

E) 28



olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A ∩ B kümesinin bir alt kümesidir?



A) (–2, 5]

(Cevap B)

Çözüm Yayınları

A − B = { a , 2, c , 4, 5} 5 5⋅4 = 10  =  2  2!  

B = {x: –1 ≤ x < 5, x ∈ R}



B) [–1, 4]

D) (–3, 3]

C) (0, 3]

E) [0, 5]

4 –2

–1

5

A ∩ B = [–1, 4) olduğundan (0, 3], A ∩ B kümesinin bir alt kümesidir.

(Cevap C)

3. Aşağıda verilen şekilde bölgelerde bulunan rakamlar bulunduğu bölgenin eleman sayısını göstermektedir. A B 3

4

C

2

6. Aşağıda verilen düzenekte A kümesinin alt kümelerinin

5

bazıları okların gösterdiği çemberler içerisine parantez olmadan yazılmıştır.



Buna göre,



I. s(A ∩ B) + s(B) = 12



II. s(A – C) + s(B – C) = 11



III. s(A ∩ B ∩ C) + s(B ∪ C) = 13



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



217

A

B) Yalnız II

D) II ve III

I. (4 + 2) + (4 + 2) = 12  II. (3 + 4) + 4 = 11  III. 2 + (4 + 2 + 5) = 13 

a, b, c

e, a, d

1, 3, 7

a, e, 2, d



Buna göre, A kümesinin alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?



A) 28

C) I ve II

E) I, II ve III

(Cevap E)

B) 29

C) 210

D) 211

E) 212

{a, b, c} ∪ {e, a, d} ∪ {1, 3, 7} ∪ {a, e, 2, d} = {a, b, c, d, e, 1, 2, 3, 7} olduğundan A kümesinin eleman sayısı 9 dan büyük eşittir. s(A) ≥ 9 ⇒ alt küme sayısı ≥ 29 olur. O halde 28 olamaz. (Cevap A)

Test 02

1. B

7. A, B ve C kümelerinin birleşimini gösteren Venn şeması B

3. E

4. A

5. C

6. A

7. D

8. D

9. B 10. D 11. C 12. D 13. C

11. A = {3, 9, 27, 1 }

şekildeki gibi farklı renklerle boyanmıştır. A

2. B

3

C



kümesinin bütün alt kümelerindeki elemanlar çarpılıyor.



Buna göre, çarpımın sonucu kaçtır?



A) 336

B) 338

C) 340

D) 344

E) 346

Her bir eleman alt kümelerin tamamında 23 = 8 defa kullanılır. Bu nedenle



8

3 8 ⋅ 9 8 ⋅ 27 8 ⋅  1  = 3 8 ⋅ 3 16 ⋅ 3 24 ⋅ 3 −8 = 3 40 3

Buna göre,



I. (A ∪ B) \ C



II. A ∩ (B ∪ C)



III. (B \ A) ∪ C



kümelerinden hangileri verilen Venn şemasında üç renk ile boyanmıştır?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) I ve III

12. Aşağıda bir matematik öğretmeninin kümeler ile ilgili soracağı bir sorunun bilgilerini gizlediği bulmaca verilmiştir.

C) I ve II

E) I, II ve III

A ∪ B \ C kümesi sarı - turuncu - kırmızı A ∩ (B ∪ C) kümesi turuncu (B \ A) ∪ C kümesi kırmızı - mavi - pembe renkler ile ifade edilir. I ve III üç renk ile boyanmıştır. (Cevap D)



8. A = {1, 2, 3, 4, 5, a, b, c}

B = {a, b, c, d, 4, 5, 6, 7}



kümelerinin alt kümelerinin kaç tanesi eşit kümelerdir?



A) 4

B) 8

C) 16

D) 32

A ∩ B = {4, 5, a, b, c} kümesinin alt kümeleri iki kümenin eşit kümeleridir. 25 = 32

E) 64 (Cevap D)



14

13

15

3

1

16

4

2

12

11



• Bulmaca içerisine 1’den 16’ya kadar olan doğal sayılar her kareye bir tane gelecek şekilde yerleştirilecektir.



• Bulmacada siyah noktanın çevresindeki dört karenin toplamı A kümesinin eleman sayısını, kırmızı noktanın çevresindeki dört karenin toplamı B kümesinin eleman sayısını ve mavi noktanın çevresinde, dört karenin toplamı A ∩ B kümesinin eleman sayısını vermektedir.



Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı en fazla kaçtır?



A) 75

B) 76

C) 77

D) 78

E) 80

Sayılar yukarıdaki tabloya yerleştirildiğinde s(A ∪ B) en fazla s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) =45 + 43 – 10 = 78 bulunur.

9. A = {x: 1 < x < 100, x = 2n, n ∈ Z}

Çözüm Yayınları



(Cevap C)

B = {y: 1 < y < 50, y = 3m, m ∈ Z}

(Cevap D)

olduğuna göre,

B ⊂ A

olabilmesi için B kümesinden en az kaç eleman silinmelidir?



A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

13. Aşağıda verilen şekilde çemberler içerisine yazılan A, B, C, D ve E boş kümeden farklı kümeleri aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.

B kümesinin A kümesinin alt kümesi olabilmesi için B’nin çift elemanları kalmalı diğerleri silinmelidir. B = {3, 6, 9, . . ., 48} ⇒ s(B) = 16

218

B nin çift elemanları {6, 12, 18, . . . 48} yani 8 elemanlı bir küme olmalıdır. 16 – 8 = 8 eleman silinmelidir.

(Cevap B)

10. A – B boş kümeden farklı olmak üzere,



s(A ∪ B) = 24

olduğuna göre B – A′ kümesinin eleman sayısı en fazla kaçtır? A) 6

B) 12

C) 15

s(A – B) = 2k ve s(B – A) = 3k olsun. s(B – A′) = s(A ∩ B) s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B) 24 = 5k + s(A ∩ B) s(A ∩ B) = 24 – 5k ⇒ k = 1 için s(A ∩ B) = 19 olur.

D) 19

E) 24

1

B

2

C

3

D

2

E



• Çemberlerin arasında yazan rakamlar, arasında bulunduğu çemberler içerisindeki kümelerin eleman sayıları arasındaki farkı göstermektedir.



• s(D′) < s(E′) < s(C′) < s(A′) < s(B′)



• s(A) + s(E) = 24



Buna göre, s(C) kaçtır?

3 ⋅ s(A – B) = 2 ⋅ s(B – A)

A





A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 15

s(B) < s(A) < s(C) < s(E) < s(D) x x+1 x+2 x+3 x+5 s(A) + s(E) = x + 1 + x + 3 = 24 ⇒ x = 10 ⇒ s(C) = 12 (Cevap D)

(Cevap C)

03

BÖLÜM 02 Test

Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4}

5. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}



• A – B, B – A ve A ∩ B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 8, 16 ve 32’dir.



• A′ ∩ B′ kümesinin alt küme sayısı 64’tür.



Buna göre, s(E) değeri kaçtır?



A – B = {1, 3}



olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) {5}



B) {5, 6}

D) {2, 5, 6}

A

C) {2, 4, 5, 6}



E) {1, 5, 6}

B •1 •2 •5 •3 •4 •6

A) 17

B) 18

C) 19

D) 20

E) 21

s(A – B) = 3, s(B – A) = 4, s(A ∩ B) = 5 s(A′ ∩ B′) = s((A ∪ B)′) = 6 s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B) = 3 + 4 + 5 = 12 s(E) = s(A ∪ B) + s((A ∪ B)′) = 12 + 6 = 18

B = {2, 4, 5, 6} (Cevap C)

(Cevap B)

6. Aşağıda sarı, yeşil ve mavi kareler etrafında dizilmiş birim karelerden oluşmuş düzenekte sarı kare A, yeşil kare B, mavi kare C kümesini göstermektedir. Renkli karelerin etrafındaki birim karelere renkli karedeki kümenin boş kümeden farklı elemanları birer kez yazılmaktadır. Birim karelerin tamamı dolmak zorunda değildir.

2. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. • s(E) = 24



• s(A′ ∪ B′) = 11

A



olduğuna göre, s(A ∩ B) kaçtır?



A) 9

B) 10

C) 11

B D) 12

E) 13

s(A′ ∪ B′) = s((A ∩ B)′) s(A ∩ B) + s((A ∩ B)′) = s(E) s(A ∩ B) + 11 = 24 ⇒ s(A ∩ B) = 13

(Cevap E)

3. N doğal sayılar kümesini göstermek üzere, tek sayılar kümesi A kümesinin evrensel kümesidir.



A = {x: x > 7, x tek sayı}



olduğuna göre, A′ ∩ N kümesinin eleman sayısı kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 4

C Çözüm Yayınları





Kümelerin ortak elemanları ortak birim karelere yazılmak zorunda olduğuna göre,



I. A = {1, 2, 3, 4, 5} için C = {1, 3, 7, a, b} olabilir.



II. s(B \ C) = 12 olabilir.



III. B = {1, 3, 4, 7, 10, 12} için C = {1, 4, 9, 11, 13} olabilir.



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I

D) 5

E) 6

A′ = {x: x ≤ 7, x tek sayı} A′ = {. . ., –3, –1, 1, 3, 5, 7} A′ ∩ N = {1, 3, 5, 7} s(A’ ∩ N) = 4

(Cevap C)

B) Yalnız II

D) I ve III

C) Yalnız III

E) II ve III

I. A ve C kümelerinin bir tane ortak karesi vardır. s(A ∩ C) = 1 olmalıdır. Ancak s(A ∩ C) = 2 dir. II. B nin C den farklı elemanları için gelebilecek 10 birim kare vardır. s(B \ C) = 10 en fazla olabileceği değerdir. s(B \ C) = 12 olamaz. III. B ve C nin 2 ortak birim karesi vardır. s(B ∩ C) = 2 dir. O halde verilen kümeler doğrudur. (Cevap C)

7.

A na = {x: (–1)a < n · x < a, x ∈ R}

olduğuna göre,

219

A 3 ∩ A 24 ∩ A 53 1



4. A = {2, 4, 6, 8, …, 130}

 1 1 A)  ,  4 3

B = {3, 6, 9, 12, …, 162}



kümeleri veriliyor.



Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?



A) 101

B) ) 100

kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



C) 99

D) 98

s( A ) = 130 − 2 + 1 = 65 2

s( A ∩ B ) = 126 − 6 + 1 = 21 6

s( B ) = 162 − 3 + 1 = 54 3

s( A ∪ B ) = 65 5 + 54 − 21

A ∩ B = { 6 , 12 , 18 , . . ., 126 }

s( A ∪ B ) = 98

E) 97

 1 3  1 1 B)  − ,  C)  − ,   3 5  5 2

1 1 D)  ,   4 2

 1 1 E)  − ,   5 3

A1 3 : −1 < 3 x < 1 ⇒ − 1 < x < 1 ⇒ A1 3 =  − 1 , 1  3 3  3 3 A2 4 : 1 < 4 x < 2

⇒1 24 ⇒ b > 8 3a + 3b + 12 = 63 ⇒ a + b = 17 b = 9 için a = 8 ve 2b + a + 12 en az 38 olur.

• %72’si hoşaf,



(Cevap E)

• Derslerden herhangi ikisinden geçenlerin sayısı birbirine eşittir.





için 180x = 27 olabilir.



Düğüne katılanların

I. Önder’in bulunduğu bölgeyi gösteren küme A ∩ C dir.

B

x= 3 20





E) 27

• Sadece matematik, sadece Türkçe ve sadece Fizik dersinden geçenlerin sayısı birbirine eşittir.

alt kümeleri olmayan B ve C kümelerini çiziyor. Önder, Asya ve Bülent isimli üç öğrenci çizilen kümelerin içerisindeki bir bölgede sabit olarak duruyor.

D) 24



T



Erkek

Evet

C) 21

80x + 40y = 20x + 60y ⇒ 60x = 20y ⇒ y = 3x 237 asal olmadığından hayır diyenler doğru cevaplamıştır. 60y = 180x

63 kişilik öğrenci grubuyla ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

9. Bir sınıf öğretmeni bahçeye A kümesini çizip içine birbirinin



B) 15

11. Matematik, Türkçe ve Fizik derslerinin en az birinden geçen

Çözüm Yayınları



G

Buna göre, bu sınıfta matematik dersinden geçen erkek öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

(Cevap A)

%40’ı gitar, gitar çalabilenlerin %30’u keman çalamamaktadır.

C) 38



Kız

8. Bir müzik kursundaki öğrencilerden keman çalabilenlerin

B) 34

Soru: “237 sayısı asal mıdır?”

E) 24

m + a + b + c + d + e + f + k = 70 İ a d b d + e + f + k = 40 e m + a + b + c + d + f + k = 36 f k m (m + a + b + c) 1 = m ⇒ a + b + c = 2m c 3 T e = 34 ve m + a + b + c = 30 ⇒ 3m = 30 ⇒ m = 10 d + e + f + k = 40 ⇒ d + f + k = 6 ⇒ m – (d + f + k) = 4 A

222

3. D

10. Bir matematik öğretmeni sınıftan geçecek ya da kalacak

bilenler ve bilmeyenler bulunmaktadır.

2. B

B) 24

C) 27

D) 29

A ∩ B ∩ C ∩ D nin minimum olması için (A ∩ B ∩ C ∩ D)′ en fazla olmalıdır. A′ ∪ B′ ∪ C′ ∪ D′ = 28 + 21 + 14 + 10 = %73 Düğüne katılanların en az %27 si yemek yemiştir.

E) 30 (Cevap C)

BÖLÜM 02 Test

Kümeler 1. (3x – 4, 2y – 4) = (y, 42)

5. A = {1, 3, 5, 7, 9}



olduğuna göre, x kaçtır?





A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

2y – 4 = 42 ⇒ 2y = 46 ⇒ y = 23 3x – 4 = y ⇒ 3x = 4 + 23 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 3

(Cevap C)

05

B = {2, 3, 4, 5, 6}



olduğuna göre, s((A ∩ B) x (A – B)) değeri kaçtır?



A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

A ∩ B = {3, 5} ve A – B = {1, 7, 9} s((A ∩ B) x (A – B)) = s(A ∩ B) · s(A – B) =2·3=6

(Cevap B)

2. A = {x: 1 < 2x – 1 ≤ 9, x ∈ N} B = {1, 3, 5, 7}

6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}



kümeleri veriliyor.



Buna göre, aşağıdakilerden hangisi A x B’nin elemanı değildir?



A) (2, 1)



B) (1, 3)

D) (5, 5)

C) (4, 7)

E) (4, 5)

1 < 2x –1 ≤ 9 ⇒ 2 < 2x ≤ 10 ⇒ 1 < x ≤ 5 A = {2, 3, 4, 5} ve B = {1, 3, 5, 7} A x B, (2, 1), (4, 7), (5, 5), (4, 5) elemanlarına sahip (1, 3) elemanına sahip değildir.

3.

• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}



• s(A x B) = 30

(Cevap B)

B = {2, 3, 4, 5, 6}



C = {1, 4, 5, 6, 7}



olduğuna göre, s((A x B) ∩ (A x C)) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 10

B) 12

C) 18

D) 20

E) 24

(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C) B ∩ C = {4, 5, 6} s(A x (B ∩ C)) = s(A) · s(B ∩ C) = 6 · 3 = 18

(Cevap C)

7. {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}



olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) {a, b, c, d}





Çözüm Yayınları



B) {1, 2, 3, 4, a}

D) {1, 5, 7}

C) {1, 3}

E) {2, a, 3, b, 4, c}

s(A x B) = s(A) · s(B) = 30 6 · s(B) = 30 ⇒ s(B) = 5 5 elemanlı B kümesi B seçeneğidir.



kümesinin kartezyen çarpım kümesi olabilmesi için kümeye en az kaç tane sıralı ikili eklenmelidir?



A) 3

B) 4

C) 6

D) 7

E) 9

(1, 2), (2, 3), (3, 4) ise A kümesinde {1, 2, 3}, B kümesinde {2, 3, 4} elemanları olduğundan A x B nin eleman sayısı en az 3 · 3 = 9 olmalıdır. 6 sıralı ikili eklenmelidir. (Cevap C)

(Cevap B)

223 8. N doğal sayılar Z tam sayılar kümesini göstermek üzere, 4. A ve B ayrık kümelerdir.

s(A) = 4



s(B) = 3



olduğuna göre, s((A ∪ B) x A) kaçtır?



A) 12

B) 16

C) 21

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) = 4 + 3 = 7 s((A ∪ B) x A) = s(A ∪ B) · s(A) = 7 · 4 = 28

D) 28

E) 35 (Cevap D)



A = [–4, 5]



B = (–3, 7)



kümeleri veriliyor.



Buna göre, (A ∩ B ∩ Z) x ((A ∪ B) ∩ N) kartezyen çarpımının eleman sayısı kaçtır?



A) 48

B) 52

C) 56

A ∩ B = (–3, 5] ve A ∩ B ∩ Z = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∪ B = [–4, 7) ve (A ∪ B) ∩ N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] s((A ∩ B ∩ Z) x ((A ∪ B) ∩ N)) = 8 · 7 = 56

D) 63

E) 72

(Cevap C)

Test 05

1. C

2. B

3. B

4. D

5. B

6. C

7. C

8. C

9. A = {1, 3, 5, 7}

12. A ve B kümeleriyle ilgili,





• s(A) + s(B) = 7 • s(A x A) + 21 = s(B x B)

B = {2, 3, 4, 5, 6}

9. A 10. A 11. A 12. D 13. C 14. D



kümeleri veriliyor.





Buna göre, A x B’nin grafiğindeki noktaları açıkta bırakmayacak en küçük karenin alanı kaç br2’dir?



bilgileri veriliyor.



Buna göre, s(A x B) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 36



A) 6

B) 30

C) 28

D) 25

E) 16

6

B 6 5 4 3 2

En küçük karenin alanı 6 · 6 = 36 dır.

6

1

3

5

7

B) 8

C) 9

D) 10

s(A) = m ve s(B) = 7 – m olsun. m · m + 21 = (7 – m) (7 – m) m2 + 21 = m2 – 14m + 49 ⇒ 14m = 28 ⇒ m = 2 s(A x B) = s(A) · s(B) = 2 · 5 = 10

A

E) 12

(Cevap D)

(Cevap A)

10. A = {1, 2, 3, 4}

B = {x: 1 ≤ x < 5, x = 2n, n ∈ Z}



C = {y: 1 < 2y < 13, y ∈ N}

olduğuna göre, A 4

C

BxA

C 4

CxB

3

3

3

2

2

2

1

1

1

2 I



4

B

2 II

4



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve III

B

13. A ve B kümeleri için A x B, A ve B kümelerinin kartezyen

AxC

1

çarpımı olmak üzere,

2 3 III

4

A

C) I ve II

Çözüm Yayınları





• B ⊄ A



• s(A) = 12



• s(B) = 9



olduğuna göre, (A ∩ B) x (A ∪ B) kümesinin eleman sayısı en fazla kaçtır?



A) 84 A

E) I, II ve III

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}, C = {1, 2, 3} olduğundan I. B x A nın grafiğidir doğrudur. II. B x C nin grafiğidir yanlıştır. III. C kümesi yanlış alındığından yanlıştır.

B) 96 B

12 – x

x

9–x

C) 104

D) 108

E) 120

s((A ∩ B) x (A ∪ B)) = s(A ∩ B) · s(A ∪ B) = x · (21 – x) x = 8 için ifade en fazla 8 · 13 = 104 (Cevap C)

(Cevap A)

224

11. A ve B kümeleri

14. A, B ve C boş kümeden farklı ayrık kümelerdir.



A = {x: 1 < x < 1000, x = 2n + 1 ve n ∈ Z}



• s(A x B) = 360



B = {y: 4 < y < 10, y ∈ N}



• s(A x C) = 600



olduğuna göre, B x A’nın grafiği kaç farklı noktadan oluşur?



A) 2495

B) 2500

C) 2505

999 - 3 + A = {3, 5, 7, ..., 999} ⇒ s(A) = 1 = 499 2 B = {5, 6, 7, 8, 9} ⇒ S(B) = 5 S(B x A) = 499 ⋅ 5 = 2495

D) 2510

E) 2515

(Cevap A)



olduğuna göre, s(A ∪ B ∪ C) nin alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 32

B) 28

C) 24

D) 16

E) 12

s(A) = a, s(B) = b, s(C) = C olsun. a · b = 360 ve a · c = 600 ise a, EBOB(360, 600) = 120 nin pozitif bölenleridir. 23 · 3 · 5 ⇒ Pozitif bölen sayısı 4 · 2 · 2 = 16 16 farklı a değerine karşılık 16 farklı s(A ∪ B ∪ C) değeri vardır. (Cevap D)

BİRE BİR

BÖLÜM 02 Test

1. En az bir elemanı bulunan farklı A ve B kümeleri

4. Boş kümeden farklı A ve B kümeleriyle ilgili,

(A ∩ B′) ∪ B = A



• 3 ⋅ s(A – B) = 2 ⋅ s(B – A) =



eşitliğini gerçekleştiriyorsa bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?



• s(A ∩ B) < 80



A) B ⊂ A



B) A ⊂ B

D) A ∪ B = B

C) A ∩ B = ∅ E) (A ∩ B′)′ = A

(A – B) ∪ B = A ⇒ B – A = ∅ dir. Yani B ⊂ A dır.

1 ⋅ s(A ∪ B) 4



bilgileri veriliyor.



Buna göre, s(A ∪ B) en fazla kaçtır?



A) 72

B) 96

06

C) 108

D) 120

E) 144

s(A – B) = 2x ⇒ s(B – A) = 3x, s(A ∪ B) = 24x s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B) 24x = 3x + 2x + s(A ∩ B) ⇒ s(A ∩ B) = 19x 19x < 80 ⇒ x en fazla 4 ve s(A ∪ B) = 96 dır.

(Cevap A)

(Cevap B)

5. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a, b, c}

kümesinin boş olmayan her A alt kümesi için



2. Z tam sayılar kümesi olmak üzere,

T(A): “A kümesinin rakam olan elemanlarının çarpımı”



A = {x2: –3 < x ≤ 2, x2 ∈ Z}



olarak tanımlanıyor.



B = {3x: –1 < x ≤ 2, x ∈ Z}



Buna göre,



olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?





A) s(A) = 9



koşulunu sağlayan kaç farklı A kümesi yazılabilir?



A) 16

D) s(A x B) = 27

C) s(B – A) = 1

E) s(B′ ∩ A) = 6

–3 < x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ x2 < 9 ⇒ A = {0, 1, 2, . . ., 8} x ∈ {0, 1, 2} ⇒ 3x ∈ {1, 3, 9} ⇒ B = {1, 3, 9} s(A) = 9, s(A ∩ B) = 2, s(B – A) = 1, s(A x B) = 27 olur. Ancak s(B′ ∩ A) = s(A – B) = 7 dir.

(Cevap E)

Çözüm Yayınları



B) s( A ∩ B) = 2

T(A) = 42

B) 24

C) 32

D) 40

A nın rakam elemanları {1, 6, 7}, {6, 7}, {2, 3, 7}, {1, 2, 3, 7} olabilir. 23 + 23 + 23 + 23 = 32 tane A kümesi yazılabilir.

E) 48 (Cevap C)

6. Aşağıda bir babanın üç çocuğuna bıraktığı arsaların birim kareler kullanılarak oluşturulmuş krokileri verilmiştir. Verilen üç kroki de aynı arsayı göstermektedir.

3. Aşağıdaki Venn şemasında

• Büyükbaş hayvanlar kümesi B



• Yüzebilen büyükbaş hayvanlar kümesi Y



• Sarı renkli hayvanlar kümesi S



ile gösterilmiştir. B

Y

Özge

S

Seydi

225



Ozan



Özge, Seydi ve Ozan’ın arsalarının küme gösterimleri sırasıyla A, B ve C olmak üzere, krokiler üst üste konduğunda oluşan venn şemasında



Buna göre, yukarıdaki şemada boyalı bölgenin temsil ettiği küme aşağıdakilerden hangisidir?



A) Yüzebilen büyükbaş hayvanlar



B) Yüzebilen sarı renkli büyükbaş hayvanlar



C) Yüzemeyen sarı renkli büyükbaş hayvanlar

(A ∩ B) ∪ (C – A)



D) Yüzemeyen sarı renkli olmayan büyükbaş hayvanlar



kümesi ile gösterilen bölgenin alanı kaç br2’dir?



E) Yüzebilen sarı renkli olmayan büyükbaş hayvanlar



A) 15

Boyalı bölge yüzemeyen sarı renkli büyükbaş hayvanlar kümesidir.

(Cevap C)

B) 17

C) 18

D) 19

E) 23

İstenilen bölge yanda gösterilmiştir. O hâlde bölgenin alanı 17 dir. (Cevap B)

Test 06

1. A

7. A = {1, 2, 3, 4, …, 21}

2. E

3. C

4. B

5. C

6. B

7. E

8. B

9. D 10. E 11. B

10. Matematik dersinden geçenlerin ve kalanların bulunduğu bir sınıfın

kümesi ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor. • A1, A2, A3, …, An kümeleri A kümesinin boş kümeden farklı alt kümeleridir.



• %60’ı bayandır.



• %50’si matematik dersinden geçmiştir. • Matematik dersinden kalan erkeklerin sayısı erkeklerin sayısının %10’udur.



• A1, A2, A3, …, An kümelerinin ikişerli kesişimleri boş kümedir.





• A1, A2, A3, ..., An kümelerinin elemanlarının toplamı birbirine eşittir.



Buna göre, matematik dersinden geçen kız sayısı matematikten geçenlerin % kaçıdır?



A) 10



Buna göre, n en fazla kaçtır? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

B) 12

Bayan Erkek

E) 11

A1 = {1, 20}, A2 = {2, 19}, A3 = {3, 18}, A4 = {4, 17}, A5 = {5, 16}, A6 = {6, 15}, A7 = {7, 14}, A8 = {8, 13}, A9 = {9, 12}, A10 = {10, 11}, A11 = {21} olduğundan n en fazla 11 dir. (Cevap E)

Kalan

46x

4x

Geçen

14x

36x

60x

40x

C) 16

D) 24

E) 28

Sınıf mevcudu 100x olsun. 50 x ⋅ d = 14 x 100 d = 28

(Cevap E)

8. Sayı doğrusu biçiminde dizayn edilmiş bir yürüyüş parkurunda tam sayı noktalarına basarak yürüyen bir öğrenci ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.



• A = (–6, 7], B = (3, ∞) ve C = (–∞, –2]



• Öğrencinin bulunduğu bölge A ∩ B′ ∩ C′ dir.



Buna göre, öğrencinin bulunabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

A ∩ (B ∪ C)’ = A ∩ ((–∞, –2] ∪ (3, ∞))′ = (–6, 7] ∩ (–2, 3] = (–2, 3] Öğrenci –1, 0, 1, 2, 3 noktalarında yani 5 farklı noktada bulunabilir.

Çözüm Yayınları

O



11. Asya ve Ekin A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a, e, 9} kümesinden faydalanarak bir küme oyunu oynuyor. Asya, A kümesinin alt kümelerinden birini seçiyor. Ekin ise bu kümeyi çeşitli tahminler yaparak bulmaya çalışıyor.

Asya, Ekin’in yaptığı her tahmin için sıcak ve soğuk kelimeleriyle elemana ne kadar yaklaştığını belirten ipuçları veriyor.



Asya’nın ipuçlarında yer alan “sıcak” kelimesi elemanın aranan kümeye ait olduğunu, “soğuk” kelimesi ise elemanın aranan kümeye ait olmadığını gösteriyor. Elemanların veriliş sırası ile kelimelerin veriliş sırası arasında bir ilişki bulunmuyor.



Örneğin,

E) 8

(Cevap B)

9. Aşağıdaki Venn şemasında

• A harfi ile başlayan isimler kümesi A,



• N harfi ile biten isimler kümesi N,



• 5 harfli isimler kümesi B



ile gösterilmiştir. A

N

B

226

7

1

2

sıcak, soğuk, soğuk

3

4

5

sıcak, sıcak, sıcak



Verilen ilk tahminde 7, 1 ve 2 elemanlarından 1 tanesinin 3, 4 ve 5 elemanlarının hepsinin kümeye ait olduğu anlaşılıyor.



Buna göre,



1

2

3

sıcak, soğuk, soğuk



Buna göre,

3

4

5

soğuk, sıcak, soğuk



K = {ASUDE, ATINÇ, AYSUN, CEREN, KENAN, NERİMAN}

1

5

7

sıcak, sıcak, sıcak



kümesinin elemanlarından kaç tanesi şekildeki boyalı bölgeler ile gösterilen kümenin elemanıdır?



Asya’nın seçtiği kaç farklı küme olabilir?

A) 1



A) 16



B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

A ile başlayan N ile bitmeyen 5 harfli isimler ile N ile biten A ile başlamayan 5 harfli isimler kümesini göstermektedir. {ASUDE, ATINÇ, CEREN, KENAN} 4 elemanlıdır. (Cevap D)

B) 32

C) 48

D) 64

E) 128

1, 5, 7 elemanlarının üçü de sıcak olduğundan üçü de kümeye aittir. İkinci satırda bir sıcak iki soğuk olduğundan 5 kümenin elemanıdır. 3 ve 4 kümenin elemanı değildir. İlk satırda bir sıcak iki soğuk olduğundan 1 kümenin elemanıdır. 2 ve 3 elemanı değildir. 6, 8, 9, a, e kümenin elemanları olabileceğinden 25 = 32 farklı küme olabilir. (Cevap B)

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar

01

1. A = {1, 2, 3}

5. f(2x – 1) = x2 – 2x + 3



olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A’dan A’ya bir fonksiyondur?



olduğuna göre, f(3) + f(5) toplamının değeri kaçtır?



A) 9



A) {(1, 3), (2, 3), (3, 4)}

B) {(1, 1), (2, 3), (2, 4)}



C) {(1, 3), (3, 2)}

D) {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

2 x − 1 = 3 ⇒ x = 2 ⇒ f ( 3 ) = 4 − 4 + 3 = 3   3+6 = 9 2 x − 1 = 5 ⇒ x = 3 ⇒ f ( 5 ) = 9 − 6 + 3 = 6 

(Cevap A)

E) {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 1)} Tanım kümesinde boşta eleman kalmadığı ve tanım kümesindeki her elemanın yalnız bir görüntüsü olduğundan D seçeneği fonksiyondur. (Cevap D)

6. f ( x ) =  x + 6

I.

III.

f

A

II.

B

A

g

B

•a

•1

•a

•1

•b

•2

•b

•2

•c

•3

•c

•3

h

A

IV.

B

A

u

•a

•1

•a

•1

•b

•2

•b

•2

•c

•3

•c

•3

A) f



B) f ve g

D) f ve h

C) g ve h

E) g, h ve u

x 3

,

x≤3

olduğuna göre, x = 2 için,



f(g(x)) + g(f(1 – x))



ifadesinin değeri kaçtır?



A) 15

B) 16

olduğuna göre, f(2) + f(3) toplamının değeri kaçtır?



A) 30

B) 31

f ( 2) = 2 3 − 2 ⋅ 2 + 3 = 7 f ( 3 ) = 3 3 − 2 ⋅ 3 + 3 = 24

C) 32

D) 33

  f ( 2 ) + f ( 3 ) = 31 

E) 34

(Cevap B)

E) 19

(Cevap C)

f

A





D) 18

7. Aşağıda A’dan B’ye tanımlı y = f(x) fonksiyonu verilmiştir.

Tanım kümesinde açıkta eleman kalmadığı ve tanım kümesindeki her elemanın yalnız bir görüntüsü olduğundan g ve h fonksiyondur. (Cevap C)

3. f(x) = x3 – 2x + 3

C) 17

f(g(2)) + g(f(–1)) = f(4) + g(5) = (2 · 4 + 3) + (5 + 1) = 17

B

Yukarıda verilen ifadelerden hangileri fonksiyondur?



Çözüm Yayınları

2.

,

B

•a

• –3

•b

•3

•c

•5

•d

• 11



f(x) = 2x – 7 olduğuna göre, a – b + c – d ifadesinin değeri kaçtır?



A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

2b – 7 = –3 ⇒ b = 2 2a – 7 = 5 ⇒ a = 6 2d – 7 = 3 ⇒ d = 5 2c – 7 = 11 ⇒ c = 9 a–b+c–d ⇒ 6–2+9–5=8

(Cevap A)

8. f pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyondur. 4. Tanım kümesi A = {1, 2, 3, 4} ve







görüntü kümesi B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olan



f(x) = 2x + 1

olduğuna göre,

 f ( 4 ) f (3 )  EKOK  ,   f ( 3 ) f ( 2) 



bağıntısı tanımlanıyor.



f bağıntısının fonksiyon olabilmesi için B kümesinden silinecek elemanların toplamı kaçtır?



A) 18

B) 24

f(x + 1) = (2x + 1)!

C) 30

D) 32



ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 350

B) 360

C) 400

D) 420

E) 480

E) 36

f(1) = 3, f(2) = 5, f(3) = 7, f(4) = 9 olduğundan görüntü kümesinde sadece 3, 5, 7, 9 elemanları olmalıdır. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 (Cevap C)

Sırasıyla x = 3, x = 2 ve x = 1 değerleri için f(4) = 7!, f(3) = 5! ve f(2) = 3! olur. EKOK  7 ! , 5 !  = EKOK (7 ⋅ 6 , 5 ⋅ 4 ) = 420  5 ! 3!  (Cevap D)

227

Test 01

1. D

2. C

9. Bir matematik öğretmeni öğrencilerine fonksiyonlarda görüntü

3. B

)

=

5. A

6. C

7. A

8. D

9. B 10. D 11. B 12. D 13. E 14. D 15. A

13. Pozitif gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonunun kuralı

elemanı bulma konusuyla ilgili aşağıdaki etkinliği düzenliyor.

f( x

4. C

aşağıdaki şema ile verilmiştir.

y

x.

1 ∈Z 2

f(x) = x2 + 2

x.

1 ∉Z 2

f(x) = 4x

1 ∈Z x

f(x) =

x+2 x

1 ∉Z x

f(x) =

1 x2

x ∈Z a

10

–2

b

c

c

x





x ∉Z

Bir kağıda yazdığı fonksiyonun üzerine makas ile kestiği kartonu yerleştiriyor. Kartonu her defasında yukarı doğru kaydırarak oluşan eşitliği sağlayan a, b ve c sayılarını bulmalarını istemektedir.



Öğrencilerin kullanması gereken fonksiyon f(x) = 3x + 4 olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır? A) –1

B) –2

C) –3

D) –4

f (6) + f (5) + f  1  3

E) –5

f ( a ) = 10 ⇒ 3a + 4 = 10 ⇒ a = 2   f ( −2 ) = b ⇒ −6 + 4 = b ⇒ b = −2  a + b + c = −2  f ( c ) = c ⇒ 3c + 4 = c ⇒ c = −2 

(Cevap B)

– x + 1) = 4



fonksiyonu veriliyor.



Buna göre, f(40) + f(44) toplamı kaçtır?



A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

Fonksiyon sabit fonksiyon olduğuna göre f(40) + f(44) = 4 + 4 = 8 bulunur.

(Cevap D)

f ( x ) + f (3 ) = x+2 x+3

11.

olduğuna göre, f(2) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 3

B) 5

C) 6

D) 7

E) 9

x = 3 için 2 f ( 3 ) = 6 ⋅ 5 ⇒ f ( 3 ) = 15 x = 2 için

f ( 2 ) + 15 = 4 ⇒ f ( 2) = 5 5

(Cevap B)

Çözüm Yayınları

10. f: R → R olmak üzere, f(2x3

Buna göre,



toplamı kaçtır?



A) 69

B) 68

C) 67

6 ∈  → 6 ⋅ 1 ∈  → f ( 6 ) = 6 2 + 2 = 38 2 5 ∈  → 5 ⋅ 1 ∉  → f ( 5 ) = 4 ⋅ 5 = 20 2 1+2 1 ∉ → 3 ∈ → f  1  = 3 =7   1 3 1 3 3

14.

 x − 4 f (x) =  2x − 3

D) 66

E) 65

38 + 20 + 7 = 65

(Cevap E)

,

x ≥ 4 ise

,

x < 4 ise



olduğuna göre, |f(x) – 4| = 4 denkleminin çözüm kümesindeki elemanların çarpımı kaçtır?



A) 96

B) 84

C) 80

D) 72

f(x) – 4 = 4 ⇒ f(x) = 8 ve f(x) – 4 = –4 ⇒ f(x) = 0 f(x) = x – 4 = 8 ⇒ x = 12 (12 ≥ 4) f(x) = 2x – 3 = 8 ⇒ x = 5,5 (5,5 < 4) 12 · 1,5 · 4 = 72 f(x) = 2x – 3 = 0 ⇒ x = 1,5 (1,5 < 4) f(x) = x – 4 = 0 ⇒ x = 4 (4 ≥ 4)

E) 60

(Cevap D)

12. Tanım kümesi gerçek sayılar olan y = f(x) fonksiyonu,

228



• x bir tam sayı ise tanım kümesindeki her elamanı kendisinden bir fazlasına eşler.



• x bir tam sayı değil ise tanım kümesindeki her elemanı kendisinden büyük olan en küçük tam sayıya eşler.



biçiminde tanımlanıyor.



Buna göre,

f ( −2) + f (3, 12) + f  − 5   2



ifadesinin değeri kaçtır?



A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

−2 ∈  ⇒ f ( −2 ) = −2 + 1 = −1    5 3 ,12 ∉  ⇒ f ( 3 , 12 ) = 4  f ( −2 ) + f ( 3 ,12 ) + f  −  ⇒ −1 + 4 − 2 = 1  2  −2 , 5 ∉  ⇒ f ( −2 , 5 ) = −2 

E) 2

15.

n

1

2

3

4

5

f(n)

5

1

4

2

3



f fonksiyonu yukarıdaki gibi tanımlanıyor. f fonksiyonu altında bir kelimenin görüntüsü Gf(A); f(i) = J yani A kelimesindeki soldan i. harfin yerine A kelimesindeki soldan J. harf yazılarak bulunur.



Buna göre, Gf(ÇÖZÜM) aşağıdakilerden hangisidir?



A) MÇÜÖZ



B) ÖMÜZÇ

D) MÜZÖÇ

C) ÖÜMZÇ

E) MÖÜZÇ

1. harf yerine 5., 2. harf yerine 1., 3. harf yerine 4., 4. harf yerine 2., 5. harf yerine 3. harf yazılarak Gf(ÇÖZÜM) = MÇÜÖZ bulunur. (Cevap A) (Cevap D)

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar 1. f(x) = 3x + 1

5. f(x) = x3 – 4x2 + 4x + 1



olduğuna göre, f(2x – 1) + f(x + 1) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?





A) 6x + 2



B) 7x + 1

D) 9x – 7

x → 2x – 1 x → x + 1

olmak üzere,

x 3 ⋅ f  1  x

C) 8x + 4

E) 9x + 2

⇒ f(2x – 1) = 3(2x – 1) + 1 ⇒ f(x + 1) = + 3(x + 1) + 1 9x + 2

02

(Cevap E)



çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?



A) x3 + 2x2 – x + 3

B) x3 – 5x2 + x + 1



C) x3 + x2 – 4x + 4

D) x3 – 4x2 + 2x + 1

E) x3 + 4x2 – 4x + 1 3 2   x 3 ⋅   1  − 4  1  + 4 ⋅ 1 + 1   x   x x     x 3 ⋅ 13 − 4 ⋅ 12 ⋅ x 3 + 4 ⋅ x 3 ⋅ 1 + x 3 = x 3 + 4 x 2 − 4 x + 1 x x x

2. f(g(x)) = 2g(x) + 5

6. f fonksiyonu n ≥ 1 tam sayıları için



olduğuna göre, f(2) kaçtır?





A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

g(x) → x için f(x) = 2x + 5 ⇒ f(2) = 2 · 2 + 5 = 9

E) 13

Çözüm Yayınları

(Cevap A)



eşitliğini sağlıyor.



f(0) = 1 olduğuna göre, f(3) kaçtır?



A) 108

B) 106

C) 104

D) 102

n = 1 için f(1) = 4f(0) + 2 ⇒ f(1) = 4 · 1 + 2 = 6 n = 2 için f(2) = 4f(1) + 2 ⇒ f(2) = 4 · 6 + 2 = 26 n = 3 için f(3) = 4f(2) + 2 ⇒ f(3) = 4 · 26 + 2 = 106

x

f(7) = 25



olduğuna göre, m kaçtır?



A) 1

B) 2

f(n) = 4 · f(n – 1) + 2

E) 100

(Cevap B)

7. Gerçek sayılar kümesinde,

3. f(4x – 1) = xm – 7

(Cevap E)

C) 3

D) 4

4x – 1 = 7 ⇒ x = 2 f(7) = 2m – 7 = 25 ⇒ 2m = 32 ⇒ m = 5

E) 5 (Cevap E)

= x2 + 2



eşitliği tanımlanıyor.



Buna göre,

x + 4 = x + 2

eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?



A) –4

B) –3

C) –2

D) –1

E) 0

2

x → x + 4 ⇒ (x + 4) + 2 x → x + 2 ⇒ (x + 2)2 + 2

229

x + 4 = x + 2 ⇒ x2 + 8x + 16 + 2 = x2 + 4x + 4 + 2 4x = – 12 ⇒ x = –3

4. M  4  + M  x  = x x

8. f(2x) = 8x – 4x+1 + 10

4



olduğuna göre, M(1) kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

olduğuna göre, f(3) kaçtır?



A) 1 x

x3

B) 3

(Cevap B)

C) 5

D) 7

E) 9

x2

f(2 ) = (2 ) – 4 · (2 ) + 10 2x → 3 f(3) = 33 – 4 · 32 + 10 ⇒ f(3) = 1

x = 4 için M  4  + M  4  = 4 4 4 2M( 1) = 4 M ( 1) = 2

(Cevap B)

(Cevap A)

Test 02

1. E

2. A

3. E

4. B

5. E

6. B

7. B

8. A

9. C 10. A 11. D 12. B 13. C 14. D 15. B 16. D

9. f(–1) = 1 ve f(2) = 3 olmak üzere,

13. f(x) = (x – 2) · (–ax + 12) + (x – 3) · (ax + 6)

g(x2 + f(x)) = 6 · f(x) + x





fonksiyonu veriliyor.





Buna göre, g(2) + g(7) toplamının alabileceği değer kaçtır?



olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?



A) 23



A) 4

B) 24

C) 25

D) 26

E) 27

x = –1 için g(1 + f(–1)) = 6 · f(–1) – 1 ⇒ g(2) = 6 · 1 – 1 = 5 x = 2 için g(4 + f(2)) = 6 · f(2) + 2 ⇒ g(7) = 6 · 3 + 2 = 20 g(2) + g(7) = 25

fonksiyonu için, f(2) < 0 < f(3)

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

0 · (–2a + 12) + (–1) · (2a + 6) < 0 < 1 · (–3a + 12) + 0 · (3a + 6) –2a –6 < 0 < –3a + 12 –3a + 12 > 0 ⇒ a < 4 ve –2a – 6 < 0 ⇒ a > –3 a ∈ {–2, –1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere 6 tanedir.

(Cevap C)

(Cevap C)

14. Pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu, f(x2 – x + 4) = x + 7

10.

3 x + 2 ,  f ( x ) =  f ( x + 2) ,  f ( x + 4) ,

x≥2 −1 ≤ x < 2 x < −1



olduğuna göre, f(–8) + f(–13) toplamı kaçtır?



A) 19

B) 20

C) 21

D) 22

E) 23

f(–8) = f(–8 + 4) = f(–4) = f(–4 + 4) = f(0) = f(0 + 2) = f(2) = 3 · 2 + 2 = 8 f(–13) = f(–9) = f(–5) = f(–1) = f(1) = f(3) = 3 · 3 + 2 = 11 f(–8) + f(–13) = 19



Buna göre, f(a) = a denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır?



A) 10



A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 20

(Cevap D)

15. a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,

• f: R → R



• f(x) = ax7 + bx3 + cx + 3 fonksiyonu tanımlanıyor.



g(1), g(2), g(3), ..., g(10)

sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?

C) 13

ve x + 7 = a ⇒ x = a – 7 (a – 7)2 – (a – 7) + 4 = a ⇒ a2 – 14a + 49 – a + 7 + 4 = a ⇒ a2 – 16a + 60 = 0 ⇒ (a – 10) (a – 6) = 0 ⇒ a1 + a2 = 6 + 10 = 16



olduğuna göre,



B) 12

x2 – x + 4 = a

Çözüm Yayınları

11. f(x) = x + x + 2 ve g(x) = f(x + 2) – f(x + 1)



olarak tanımlanıyor.

(Cevap A)

2





D) 15

E) 17

[g( 1) + g( 2 ) + g( 3 ) + . . . + g( 10 )] : 10 = A.O  f ( 3 ) − f ( 2 ) + f ( 4 ) − f ( 3 ) + f ( 5 ) − f ( 4 ) + . . . + f ( 12 ) − f ( 11)  : 10 = A.O   ( f ( 12 ) − f ( 2 )] : 10 = ( 158 − 8 ) : 10 = 15 = A.O

(Cevap D)

f(2) = 4



olduğuna göre, f(–2) değeri kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

g(x) = ax7 + bx3 + cx fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan g(–2) = –g(2) dir. f(2) = g(2) + 3 ⇒ g(2) = 4 – 3 = 1 f(–2) = g(–2) + 3 = –1 + 3 = 2

(Cevap B)

16. Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu, her x gerçek sayısı için,

230

12.

f(x) < f(x + 4)

I. f(x) = 3x



eşitliğini sağlıyor.



II. f(x) =

3x



Buna göre,



III. f(x) = x3



I. f(2) < f(10)



II. |f(–2)| < |f(2)|



III. f(4) + f(8) < 2 · f(12)



fonksiyonlarının hangileri her a ve b gerçek sayısı için



f(a + b) = f(a) · f(b)



eşitliğini sağlar?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) I ve III

I. 3(a + b) ≠ 3a · 3b her zaman sağlamaz. II. 3a + b = 3a · 3b ⇒ 3a + b = 3a + b her zaman sağlar. III. (a + b)3 ≠ a3 · b3 her zaman sağlamaz.

C) I ve II



ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?



A) Yalnız I



E) II ve III

(Cevap B)

B) Yalnız II

D) I ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

I. f(2) < f(6) < f(10) ⇒ f(2) < f(10) Doğru. II. f(–2) < f(2) ⇒ |f(–2)| < |f(2)| Bilinemez. III. f(4) < f(8) < f(12) ⇒ f(4) + f(8) < f(12) + f(12) dir. Doğru.

(Cevap D)

1. f(x – 3) = 3x + 7

5. Sayma sayılarından sayma sayılarına tanımlı y = f(x) fonksiyonu,

olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 3x + 1





03

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar

B) 3x + 4

D) 3x + 12

C) 3x + 16

E) 3x + 18

x–3→x ⇒ x→x+3 f(x + 3 – 3) = 3(x + 3) + 7 ⇒ f(x) = 3x + 16

(Cevap C)

x 3 • x2 – x sayısı 3 ile tam bölünemiyorsa f(x) = x + 2

• x2 – x sayısı 3 ile tam bölünüyorsa f(x) =



olarak tanımlanıyor.



Buna göre, f(2) + f(3) + f(5) toplamının değeri kaçtır?



A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

4 – 2 = 2; 3 ile tam bölünmüyor. f(2) = 4 9 – 3 = 6; 3 ile tam bölünüyor. f(3) = 3 = 1 3 52 – 5 = 20; 3 ile tam bölünmüyor. f(5) = 5 + 2 = 7 f(2) + f(3) + f(5) = 12

(Cevap D)

2. Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı f ve g fonksiyonları,

f(x) = x + 4



g(x) = x2 + 1



olarak tanımlanıyor.

6. f(x) = 3x – 2



Buna göre, (f · g + 2) (–1) ifadesinin değeri kaçtır?





A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

olduğuna göre, f(2x) fonksiyonunun f(x + 4) cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

E) 5

f(–1) · g(–1) + 2 = (–1 + 4) · ((–1)2 + 1) + 2 = 8

A)

(Cevap B)

3.

g x

2x f

Yukarıda f, g ve h fonksiyonları tanımlanmıştır.



Örneğin; g(2x) = x



Buna göre, (f – 2g + h)(4) kaçtır?



A) 21

D) 2f(x + 4) + 10

E) 2f(x + 4) – 22 f(x + 4) = 3x + 10 f(2x) = 2 · 3x – 2

⇒ 3x = f(x + 4) – 10 ⇒ f(2x) = 2(f(x + 4) – 10) – 2 ⇒ f(2x) = 2f(x + 4) – 22

(Cevap E)

B) 22

C) 23

D) 24

7. f(x) = 3x–1 olarak tanımlanıyor.

E) 25

h(x) = x2 + 1 için

f(4) – 2g(4) + h(4) 8 – 2 · 2 + 42 + 1 = 21

(Cevap A)

4. f = {(–1, 5), (0, –3), (1, 3), (2, 8)}

C) 2f(x + 4) + 12

h



f(x) = 2x, g(2x) = x ve

x2+1

x

Çözüm Yayınları



f ( x + 4) B) 2f(x + 4) 2

g = {(–1, 3), (–2, 3), (3, 5), (0, 3)}



Buna göre, f(2x – 1) · f(2 – x) ifadesinin f(x) türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?



A) f(x)

D) 3f2(x)



işlemi y = xy – x2 + y

x



Buna göre, (f – g)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?





A) {(–1, 2)}

B) {(–1, 2), (2, 3)}





C) {(0, 3)}

D) {(–1, 2), (0, –6)}



olduğuna göre, f ( 3



A) –1

(Cevap A)

şeklinde tanımlanıyor.

3 (Cevap D)

f 2(x) 3

231

8.

fonksiyonları veriliyor.

f: {–1, 0, 1, 2} → R , g: {–1, –2, 0, 3} → R f – g: {–1, 0} → R f – g: {(–1, 5 – 3), (0, –3 – 3)} = {(–1, 2), (0, –6)}

E)

f(x) = 3x–1 f(2x – 1) · f(2 – x) = 32x –1–1 · 32–x–1 = 3x–1 = f(x)



E) {(–1, –2), (0, 6)}

C) f2(x)

B) 3f(x)

f(x) = x

x

B) 0

2 ) kaçtır? C) 1

D) 2

E) 3

2

2 = 3 · 2 – 3 + 2 = –1

f(–1) = –1 –1 = (–1) · (–1) – (–1)2 + (–1) = 1 – 1 – 1 = –1

(Cevap A)

Test 03

1. C

2. B

3. A



x −1 A) 6



D)



6x − 6 B) x

7. A

8. A

9. D 10. D 11. D 12. B 13. A 14. C 15. C 16. D

6x x −1

E)

Doğal sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu her m doğal sayısı için,



x −1 C) x x x −1

f  3 ⋅ x + 1  = 2 ⋅ x − 2 ⇒ f ( x ) = 2 ⋅ 3  x−2 x +1 x

f(m) = m + (m)2



olarak tanımlanıyor.



f(x) = 76 olduğuna göre, x ifadesinin değeri kaçtır?



A) 2

B) 3

f(x) = y olsun. f(y) = 76 ise 72 = 2

f  1 − 1  = 6 ⋅ 1 = 6 x x −1 x −1  x x

C) 4

D) 5

(Cevap A)

14. f fonksiyonu her x ∈ (–3, 1] için,

g(x) = 4x+1



f(x) = –2x + 3



olduğuna göre, g(x + 1) fonksiyonunun f(x + 2) fonksiyonu türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?



A) 64 · f2(x + 2)

B) 32 · f2(x + 2)





C) 16 · f2(x + 2)

D) 4 · f2(x + 2)



eşitliği sağlanıyor.



Buna göre, f(4015) + f(–119) toplamı kaçtır?



A) 4



f(x + 2) = 2x+1 g(x + 1) = 4x+2 = 22x+4 = 22x+2 · 22 g(x + 1) = (2x+1)2 · 4 = 4f2(x + 2)

(Cevap D)

Çözüm Yayınları

E) 4 · f(x + 2)

biçiminde tanımlanıyor ve her x ∈ R için, f(x) = f(x + 4)

B) 5

f(4015) + f(–119) = 6

(Cevap C)





olduğuna göre, f(72) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 6

B) 12

C) 18

D) 24

E) 36

E) 8

f(–119) = f(–3) = f(1) = –2 + 3 = 1



f(9) = 3

D) 7

f(4015) = f(3) = f(–1) = –2(–1) + 3 = 5

15. f(x) = x2 – 3x

biçiminde tanımlanan fonksiyonda

C) 6

f(x) = f(x + 4) ise f fonksiyonunun periyodu 4 tür.

11. f(x – y) = f(x) – f(y)



E) 6

f(72) = 72 + 22 = 76 olduğundan y = 72 dir.

(Cevap D)

10. f(x) = 2x–1

6. E

gösteriliyor.

x +1

1 olduğuna göre, f  1 −  fonksiyonu aşağıdakilerden x  hangisidir?



5. D

13. Bir m doğal sayısının rakamlarının en küçüğü m ile

9. f  3 x + 3  = 2x − 4    x−2 

4. D

g(x) = 3x – 1



olduğuna göre, (xf + g)(x) fonksiyonunun x = 3 3 + 1 için görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?



A) 1

B) 2

C) 3

(xf + g)(x) = x . f(x) + g(x) = x(x2 – 3x) + 3x – 1

D) 4

E) 6

⇒x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3

f(18 – 9) = f(18) – f(9) ⇒ f(18) = 2 · f(9) Aynı mantıkla f(36) = 2 · f(18) ve f(72) = 2 · f(36) dır. f(72) = 2 · 3 · 2 · 2 = 24

x=

3

3 + 1 ⇒ ( 3 3 + 1 – 1)3 =

3

3 =3

(Cevap D)

(Cevap C)

232 16. Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları

12. f: (1, 4] → R olmak üzere,

f(x) = |x – 5| – |4x – 1|



olduğuna göre, f(x + 3) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?



A) –5x + 1



B) –5x – 9

D) –3x – 9

1 < x ≤ 4 ⇒ x – 5 < 0 ve 4x – 1 > 0 dır. f(x) = –x + 5 – 4x + 1 = –5x + 6 x → x + 3 ⇒ f(x + 3) = –5(x + 3) + 6 = –5x – 9

C) –4x + 6

E) –3x + 9



(f + g) (x – 1) = 2x + 3



(f – g) (x + 1) = 4x + 3



eşitliklerini sağlıyor.



Buna göre, f(2) · g(0) çarpımının değeri kaçtır?



A) 15

B) 18

x → x + 1 ⇒ (f + g)(x) = 2x + 5 x → x – 1 ⇒ (f – g)(x) = 4x – 1 (Cevap B)

⇒ f(x) = 3x + 2 ve g(x) = –x + 3 ⇒ f(2) · g(0) = 8 · 3 = 24

C) 21

D) 24

E) 36

⇒ f(x) + g(x) = 2x + 5 ⇒ + f(x) – g(x) = 4x – 1 (Cevap D)

04

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar 1. s(A) = 3

5. B = {1, 3, 5, 7}





olduğuna göre, A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı, B’den A’ya tanımlanan fonksiyon sayısından kaç eksiktir?

olmak üzere A’dan B’ye tanımlı f(x) = 2x + 1 fonksiyonu veriliyor.



Buna göre, boş kümeden farklı kaç A kümesi vardır?

A) 1



A) 7



B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

A → B ye 23 = 8, B → A ya 32 = 9 tane fonksiyon tanımlanır. 9 – 8 = 1 eksiktir.

2.

f (x) =

(Cevap A)

B) R – {0}

E) 16

(Cevap D)

D) R – {–1, 3}



fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) (0, 2)

C) R – {0, 4}

E) R – {1, –3}

x2 – 2x – 3 ≠ 0 ⇒ (x – 3) · (x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 ve x ≠ –1 olmalıdır. Tanım kümesi = R – {–1, 3}

(Cevap D)



fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?



A) (–∞, 3]

B) [3, ∞)

D) [11, ∞)

B) (–4, 12]

D) (–4, 6]

C) [0, 6]

E) (6, 12]

12 − 2 x ≥ 0 ⇒ 12 − 2 x ≥ 0 ⇒ 12 ≥ 2 x ⇒ x ≤ 6 olur. x +4 x ≥ 0 olduğundan T.K = [0, 6] olur.

(Cevap C)

7. f: [–2, 3) → R

3. f ( x ) = 3 11 − x + x − 3



D) 15

f ( x ) = 12 − 2x x +4

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



C) 12

6. x bir gerçek sayı olmak üzere,

x 2 − 4x 2 x − 2x − 3

A) R

B) 8

2x + 1 = 1 ⇒ x = 0, 2x + 1 = 3 ⇒ x = 1 2x + 1 = 5 ⇒ x = 2, 2x + 1 = 7 ⇒ x = 3 A kümesi {0, 1, 2, 3} kümesinin boş kümeden farklı alt kümesidir. 24 – 1 = 15 tane A vardır.

Çözüm Yayınları



s(B) = 2

C) [3, 11]

E) (–∞, 11]

x–3≥0 ⇒ x≥3 Tanım kümesi = [3, ∞)

(Cevap B)

f ( x ) =  1  2

x



fonksiyonunun görüntü kümesindeki tam sayı elemanlarının toplamı kaçtır?



A) 6

−2 ≤ x < 3 ⇒  1  2

B) 10 −2

x

≥  1  >  1  2 2

C) 15

D) 21

E) 28

3

x

1 4



B) b > 5

D) a + b < 2

C) a + b > 5



biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun görüntü kümesindeki en büyük ve en küçük tam sayının toplamı –5’tir.



Buna göre, a tam sayısı kaçtır?



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

–3 < x < 2 ⇒ –27 < x3 < 8 ⇒ a – 27 < x3 + a < 8 + a En küçük + En büyük = a – 26 + a + 7 = –5 ⇒ 2a = 14 ⇒ a = 7

E) a · b > 10

+

Değer kümesi R olduğundan 2a + 2b − 10 > 0 ⇒ 2a + 2b − 10 > 0 ⇒ a + b > 5 olur . x2 + 2

f(x) = x3 + a

(Cevap D)

(Cevap C)

14. Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı

f(x) = |x – 2| + |3x – 9|

fonksiyonunun görüntü kümesi A, g(x) = –x2 + 6x + 10

10. En geniş tanım aralığı [2, ∞) olan,



f ( x ) = 2x − a − 1



fonksiyonunun görüntü kümesi B’dir.



Buna göre, A ∩ B kümesinin tam sayı elemanlarının adedi kaçtır?



A) 17



fonksiyonu için f–1(a + 1) değeri kaçtır?



A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

f −1 ( 4 ) = b

⇒ f ( b) = 4 ⇒

2b − 4 = 4 ⇒ 2b − 4 = 16 ⇒ b = 10

(Cevap B)

Çözüm Yayınları

2 x − a − 1 ≥ 0 ⇒ 2 x ≥ a + 1 ⇒ x ≥ a + 1 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 3 tür . 2 2

mx + 3 (m − 2)x 2 + 2



fonksiyonunun en geniş tanım kümesi gerçek sayılardır.



Buna göre, m’nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?



A) [0, ∞)



B) [2, ∞)

D) (–∞, 2]

D) 20

E) 21

g(x) = –(x – 3)2 + 19 ⇒ G.K (g) = (–∞, 19] = B A ∩ B = [1, 19] ⇒ 1, 2, 3, . . ., 19 olmak üzere 19 tam sayı vardır.

(Cevap C)

15. A = {1, 2, 3, 4} B = {a, b, c, d, e}



kümeleri veriliyor ve A’dan B’ye bir f fonksiyonu tanımlanıyor.



Buna göre,



f(1) = a

f(2) ≠ c

C) (–∞, 2]

E) (0, 2]

m – 2 ≥ 0 ⇒ m ≥ 2 dir. Yani [2, ∞) aralığıdır.

C) 19

x = 2 için | 0 | + | −3 | = 3   G. K ( f ) = [ 1, ∞ ) = A x = 3 için | 1 | + | 0 | = 1 



11. f ( x ) =

B) 18

(Cevap B)



koşulunu sağlayan kaç farklı f fonksiyonu vardır?



A) 96

B) 100

C) 108

D) 120

E) 125

1 → a ya gidecek ancak 2 → c ye gitmeyecektir. 1 in gideceği 1, 2 nin gideceği 4, 3 ün gideceği 5, 4 ün gideceği 5 değer vardır. 1 · 4 · 5 · 5 = 100 (Cevap B)

16. Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı

234

− x + 4, f ( x) =   x + 2,

x < 1 ise x ≥ 1 ise

12. f : [1, 3) → R



fonksiyonu tanımlanıyor.





Buna göre, f fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) (0, 3]



f(x) = 2x

fonksiyonunun görüntü kümesindeki tam sayı elemanlarının toplamı kaçtır? A) 14

1 ≤ x < 3 ⇒ 2 ≤ 2x < 6 2 + 3 + 4 + 5 = 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18



B) (–∞, 3)

D) [3, ∞)

C) (–∞, 3]

E) (3, ∞)

x < 1 ⇒ –x > –1 ⇒ –x + 4 > 3 ⇒ (3, ∞) (Cevap A)

x ≥ 1 ⇒ x + 2 ≥ 3 ⇒ [3, ∞) (3, ∞) ∪ [3, ∞) = [3, ∞)

(Cevap D)

1. f doğrusal bir fonksiyondur.

05

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar

5. Gerçek sayılardan gerçek sayılara

f(x) = (a – 2)x3 + (b – 3)x2 + (a + b)x + a



olduğuna göre, f(b) kaçtır?



A) 10

B) 12

C) 15

D) 17



E) 19

a–2=0 ⇒ a=2 b–3=0 ⇒ b=3 f(x) = 5x + 2 ⇒ f(3) = 17

f(x) = (m – n – 4)x2 + (n – m)x + 2



birebir fonksiyonu tanımlanıyor.



m ve n gerçek sayılar olduğuna göre, f(3) kaçtır?



A) –10

B) –9

C) –8

D) –7

E) –6

İkinci dereceden fonksiyonlar bire bir değildir. O hâlde m – n – 4 = 0 ⇒ m – n = 4 ve

(Cevap D)

n – m = –4 olur. f(x) = 0 · x2 + (–4) · x + 2 f(x) = –4x + 2 ⇒ f(3) = –10

(Cevap A)

2. f(x) = (m – 3)x + n – 2

6. f(x) = |x – 1| + x

g(x) = (a – 1)x + b + 4



fonksiyonları veriliyor.





f(x) birim fonksiyon, g(x) sabit fonksiyon olduğuna göre, a · n + m işleminin sonucu kaçtır?

fonksiyonu birebir olduğuna göre, aşağıdaki kümelerden hangisi f fonksiyonunun tanım kümesi olabilir?



A) {0, 1, 2, 3}

A) 4





B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

f; m – 3 = 1 ve n – 2 = 0 ⇒ m = 4 ve n = 2 g; a – 1 = 0 ⇒ a = 1 a·n+m=1·2+4=6

B) {–2, –3, 4}

D) {–3, 0, 5}

C) {–4, –2, 0}

E) {2, 3, 4}

{2, 3, 4} kümesinin her bir elemanının görüntü elemanları birbirinden farklı olduğundan f bire bir fonksiyonunun tanım kümesi olabilir. f(2) = 3, f(3) = 5, f(4) = 7 (Cevap E)

Çözüm Yayınları

(Cevap C)

7. f(x) doğrusal bir fonksiyondur.

3. f(x) = x2 – (a – 3)x + c – 4

g(x) = (b – 1)x2 + 4x + 1



fonksiyonları eşit fonksiyonlardır.



Buna göre, f(a + b + c) kaçtır?



A) 58

B) 59

C) 61

D) 62

E) 63

b–1=1 ⇒ b=2 –(a – 3) = 4 ⇒ a – 3 = –4 ⇒ a = –1



f(2) = 4



f(4) = 6



olduğuna göre, f(f(f(5))) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 12

f(x) = ax + b

B) 11

C) 10

D) 9

⇒ f(2) = 2a + b = 4 \– ⇒ + f(4) = 4a + b = 6

a = 1, b = 2 f(x) = x + 2 ⇒ f(5) = 7, f(7) = 9, f(9) = 11

c–4=1 ⇒ c=5 f(x) = x2 + 4x + 1 ⇒ f(a + b + c) = f(2 – 1 + 5) = f(6) ⇒ f(6) = 36 + 24 + 1 = 61

E) 8

(Cevap B)

(Cevap C)

235

4. Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı f fonksiyonu tek, g fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(x) = (a + b)x2 + 4x



g(x) = x2 – (b – 4)x + 3



olduğuna göre, f(a) + g(b) toplamının değeri kaçtır?



A) 1

B) 2

g; b – 4 = 0 ⇒ b = 4 f; a + b = 0 ⇒ a = –4 f(–4) = 4(–4) = –16, g(4) = 16 + 3 = 19 f(–4) + g(4) = 3

C) 3

D) 4

E) 5

(Cevap C)

8. f(x) sabit fonksiyonu f ( x ) = mx + 12 −3 x + m − 12



olarak tanımlanıyor.



Buna göre, m + f(2) değeri kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

m = 12 ⇒ m 2 − 12m + 36 = 0 ⇒ ( m − 6 ) 2 = 0 ⇒ m = 6 −3 m − 12 6( x + 2 ) = −2 f ( x ) = 6 x + 12 = −3 x − 6 −3( x + 2 ) m + f ( 2 ) = 6 + ( −2 ) = 4

(Cevap D)

Test 05

1. D

2. C

3. C

4. C

6. E

7. B

8. D

9. A 10. D 11. A 12. A 13. E 14. A 15. E 16. E

9. f: [0, ∞) → R olmak üzere,

13. f(x) birim, g(x) sabit fonksiyondur.



2 f (2a − 4) + g(3) = f ( a ) + g(a)



f(x) = x – 2

fonksiyonu için,



I. Bire birdir.



II. Azalandır.



III. Örtendir.



A) Yalnız I

B) Yalnız II

D) I ve II

E) 4

sayı olmak üzere,

B = {a, b, c, d}

olduğuna göre, A’dan B’ye kaç farklı örten fonksiyon tanımlanabilir?



A) 36

C) 28

D) 24

E) 18

s(A) = s(B) durumunda birebir olan her fonksiyon örtendir. O hâlde A dan B ye tanımlı örten fonksiyon sayısı 4 · 3 · 2 · 1 = 24 tür.

(Cevap D)

11. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,

I. f(x) = 3x – 4



II. f(x) = x4 + 5



III. f(x) = 4 + |x|



fonksiyonlarından hangileri bire birdir?



A) Yalnız I

B) Yalnız III

D) I ve III

C) I ve II



olarak veriliyor.



f fonksiyonu örten olduğuna göre, f(2)’nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?



A) 6

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

15. A, B ve C boş kümeden farklı kümelerdir.

• A = {x: 1 < x2 < 27,



• A’dan B’ye tanımlı f fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyondur.



• B’den C’ye tanımlı g fonksiyonu bire bir ve içine fonksiyondur.



Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?



A) 4

B) 5

x ∈ Z}

C) 6

D) 8

A = {–5, –4, –3, –2, 2, 3, 4, 5} s(A) = 8 ⇒ s(B) = 8 s(C) > s(B) = 8 ⇒ s(C) en az 9 dur.

E) 9

(Cevap E)

E) I, II ve III

f(x1) = f(x2) x14 + 5 = x24 + 5 x1 = x2 x1 = –x2 birebir değil

f(x1) = f(x2) 4 + |x1| = 4 + |x2| |x1| = |x2| x1 = x2, x1 = –x2 birebir değil

(Cevap A)

12. A = {1, 2, 3, 4}

16. Bir f fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

• Tanım kümesi [a – 3, a + 7] aralığıdır.



• Grafiği orijine göre simetriktir.



• a ve b birbirinden farklı gerçek sayılar olmak üzere f(a) = – f(b)’dir.

B = {4, 5, 6, 7, 8}



olduğuna göre, A’dan B’ye tanımlı kaç farklı sabit fonksiyon tanımlanabilir?



A) 5

B) 6

f(x) = (4m - 7)x + 2m

Fonksiyonun örten olması için 4m – 7 = 1 ⇒ m = 2 veya 4m – 7 = –1 ⇒ m = 3 2 f(x) = x + 4 veya f(x) = –x + 3 f(2) = 6 veya f(2) = 1 ⇒ 6 · 1 = 6 (Cevap A)

Çözüm Yayınları



B) 32

(Cevap E)

14. Tam sayılardan tam sayılara tanımlı f fonksiyonu m bir gerçek

f fonksiyonu; ∀x1 ve x2 ve f(x1) = f(x2) için x1 = x2 olduğundan birebirdir, artandır, içinedir.

10. A = {1, 2, 3, 4}



D) 2

E) I ve III

(Cevap A)

f(x1) = f(x2) 3x1 – 4 = 3x2 – 4 x1 = x 2 birebirdir.

3 2

C) Yalnız III

–2



C)

2a − 4 + c = a + c ⇒ 2a − 4 = a ⇒ a = 4

y



B) 1

2



x

1 2

f ( 2a − 4 ) = 2a − 4 , g( 3 ) = c f ( a ) = a , g( a ) = c olur .

ifadelerinden hangileri doğrudur?

2

olduğuna göre, a kaçtır?

A)





236

5. A

C) 10

5  1  = 5 tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.  

D) 12

E) 15 (Cevap A)



Buna göre, 2a + 3b toplamının değeri kaçtır?



A) –2

B) –1

C)

1 2

D) 1

E) 2

Orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyonlardır. Tanım kümeleri [–m, m] olmalıdır. –a + 3 = a + 7 ⇒ a = –2 f(a) = –f(b) ⇒ a + b = 0 ⇒ b = 2 dir. 2a + 3b = –4 + 6 = 2 (Cevap E)

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar 1. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisinin grafiği y

5. f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.

eksenine göre simetriktir?





A) f(x) = x2 – x

B) g(x) = x – 4



C) h(x) = x3 – x

D) m(x) = x4 + x3

06

E) n(x) = x2 – x4 + 1

3f(x) + f(–x) = 2x2 + (a – 3)x + a – 5



olduğuna göre, f(a) kaçtır?



A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

f(–x) = f(x) yani çift fonksiyondur. 3f(x) + f(x) = 2x2 + (a – 3)x + a – 5

Çift fonksiyonların (f(–x) = f(x)) grafikleri y eksenine göre simetriktir.

a – 3 = 0 ⇒ a = 3 ⇒ 4f(x) = 2x2 – 2

n(x) = x2 – x4 + 1 fonksiyonunda n(–x) = n(x) olduğunda çift fonksiyondur.



(Cevap E)

4f(3) = 2 · 9 – 2 ⇒ f(3) = 4

(Cevap B)

6. f fonksiyonu doğrusal fonksiyon olmak üzere g fonksiyonu 2. f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.

g(2x) =

f(x) = (a + 2)x2 + (a + b – 4)x + b – 3



olduğuna göre, f(12) değeri kaçtır?



A) –36

B) –24

C) –18

D) –15

E) –12

f(x) tek fonksiyondur. a + 2 = 0 ⇒ a = –2, b – 3 = 0 ⇒ b = 3 f(x) = –3x ⇒ f(12) = –36

f (x) olarak tanımlanıyor. 2



g(0) = 4



g(4) = 5



olduğuna göre, f(5) kaçtır?



A) 16

(Cevap A)

B) 15

Çözüm Yayınları

f ( x ) = ax + b olsun. f ( 0) = g( 0 ) ⇒ f ( 0 ) = 8 2 f ( 2) = g( 4 ) ⇒ f ( 2 ) = 10 2

C) 14

D) 13

E) 12

f ( 0) = b = 8 f ( 2 ) = 2a + b = 10 ⇒ 2a + 8 = 10 ⇒ a = 1 f ( x ) = x + 8 ⇒ f ( 5 ) = 13

(Cevap D)

3. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

7. m bir gerçek sayı olmak üzere,



olmak üzere, A’dan B’ye f fonksiyonu tanımlanıyor.





Buna göre, f(1) = 2 koşuluna uyan kaç farklı bire bir f fonksiyonu vardır?



fonksiyonu tanımlanıyor.



A) 36



y = f(x) doğrusal fonksiyon olduğuna göre, f(m + 2) kaçtır?



A) 16

A 1 2 3 4

f

B) 48 B 2 3 4 5 6 7

C) 60

D) 96

E) 120

2 nin gidebileceği 5, 3 ün gidebileceği 4, 4 ün gidebileceği 3 değer vardır. 5 · 4 · 3 = 60 (Cevap C)

f(x) = x2m–3 + xm–1 + m + 2

B) 14

C) 12

D) 10

2m – 3 = m – 1 ⇒ m = 2 f(x) = x + x + 2 + 2 = 2x + 4 f(m + 2) = f(4) = 2 · 4 + 4 = 12

E) 8

(Cevap C)

237

4. f sabit, g birim fonksiyondur.

8. f, A’dan B’ye tanımlı bire bir ve içine fonksiyondur.

f ( x ) + g(2x − 2) 2 = g(3 x + 2) − f (2x ) 3



s(A) = 24m+5



s(B) = 22m+13



olduğuna göre, f(3) kaçtır?





A) 1

olduğuna göre, m doğal sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

f ( x ) = c olsun.



A) 3

c + 2x − 2 = 2 ⇒ 3x + 2 − c 3

A dan B ye fonksiyon birebir ve içine ise s(B) > s(A) dır.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

3c + 6 x − 6 = 6 x + 4 − 2 c

C) 5

D) 6

E) 7

22m+13 > 24m + 5 ⇒ 2m + 13 > 4m + 5 ⇒ 2m < 8

5c = 10 ⇒ c = 2 f ( 3) = c = 2

B) 4

⇒ m < 4 ⇒ m ∈ {0, 1, 2, 3} yani 4 tane m değeri vardır. (Cevap B)

(Cevap B)

Test 06

1. E

2. A

3. C

4. B

5. B

6. D

7. C

8. B

9. D 10. C 11. B 12. A 13. D 14. E 15. A

9. Tam sayılardan tam sayılara tanımlı f fonksiyonu,

12. A = {x : 1 < x < 7, x ∈ N}





f(x) · f(2x) · f(3x) = 8

B = {y : –1 < y < 10, x ∈ Z}



olarak tanımlanıyor.



kümeleri veriliyor.



Buna göre,



f : A → B, sabit fonksiyon g : B → B, birim fonksiyon



I. f birim fonksiyondur.





II. f sabit fonksiyondur.



olmak üzere, m ∈ A ve n ∈ B elemanları seçiliyor.



III. f içine fonksiyondur.



Buna göre, f(m) + g(n) toplamı en fazla kaçtır?



A) 18



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız III

D) II ve III

C) 16

D) 15

E) 14

f(m) = 9 ve n = 9 için g(9) = 9 olduğundan

C) I ve III

f(m) + g(n) en fazla 9 + 9 = 18 dir.

E) I, II ve III

f(x) = c biçiminde sabit fonksiyondur. f(x) · f(2x) · f(3x) = 8 ⇒ c · c · c = 8 ⇒ c = 2 f fonksiyonu sabit ve içine fonksiyondur.

B) 17

(Cevap A)

(Cevap D)

13. f: A → [5, 10) olmak üzere, f ( x ) = x − 1 + 4

10. f: R → R



I. m = 4 ve n = 3 için f fonksiyonu sabit fonksiyondur.



II. n = 3 ve m ≠ 4 için f fonksiyonu çift fonksiyondur.



III. n ≠ 3 ve m = 4 için f fonksiyonu tek fonksiyondur.



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) I ve III

11.

f : A → B birebir



g : B → C örten ve bire bir



h : C → D içine

C) I ve II

E) I, II ve III

m = 4 ve n = 3 için f(x) = 7 sabit fonksiyondur. n = 3 ve m ≠ 4 için f(x) = (m – 4)x2 + m + n çift fonksiyondur. n ≠ 3 ve m = 4 için f(x) = (n – 3)x + m + n ne tek ne de çift fonksiyondur. I ve II doğrudur.

238

fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) (3, 19]



fonksiyonu için,

(Cevap C)

Çözüm Yayınları



f(x) = (m – 4)x2 + (n – 3)x + m + n



B) (–2, 15]

D) [2, 37)

C) [5, 12)

E) [2, 17)

5 ≤ x − 1 + 4 < 10 ⇒ 1 ≤ x − 1 < 6 1 ≤ x − 1 < 36 ⇒ 2 ≤ x < 37 ⇒ A = [ 2 , 37 )

(Cevap D)

14. Gerçek sayılardan gerçek sayıların bir A alt kümesine tanımlı − x + 4 f (x) =   x + 2

,

x < −1 ise

,

x ≥ −1 ise



fonksiyonu örtendir.



Buna göre, en geniş A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) (5, 8)



B) (1, 5)

D) [5, ∞)

C) [1, 5)

E) [1, ∞)

x < –1 ⇒ –x > 1 ⇒ 4 – x > 5 ⇒ (5, ∞) x ≥ –1 ⇒ x + 2 ≥ 1 ⇒ [1, ∞) (5, ∞) ∪ [1, ∞) = [1, ∞) = A

(Cevap E)

15. A = {2, 3, 4} ve B = {5, 6, 3}



fonksiyonları tanımlanıyor.



olmak üzere f, A’dan B’ye tanımlı bire bir fonksiyondur.



Buna göre,



Buna göre,



I. s(A) ≥ s(B)



I. f(2) + f(4) = 7



II. s(B) = s(C)



II. f(3) · f(2) = 30



III. s(C) ≤ s(D)



III. f(3) + f(2) + f(4) = 14



ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

ifadelerinden hangileri her zaman yanlıştır?



A) Yalnız I



Birebir f fonksiyonunda s(A) ≤ s(B) olmalıdır. Birebir ve örten g fonksiyonunda s(B) = s(C) dir. İçine h fonksiyonunda s(C) ≤ s(D) olabildiği gibi s(C) > s(D) de olabilir. Her zaman doğru olan II dir.



(Cevap B)

B) Yalnız II

D) II ve III

C) I ve III

E) I, II ve III

f(2), f(3) ve f(4) değerleri 5, 6 ve 3 sayılarından birer tanesine eşittir. f(2) + f(4) = 7 olamaz, f(3) · f(2) = 5 · 6 = 30 olabilir. f(3) + f(2) + f(4) = 14 tür.

(Cevap A)

1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi tanımlı olduğu A)

x+4 x−3



D)

x+5 x+2

B) x+3 x +1

E)

C)

f −1  x + 4  = x + 2  x−2 x+3

5.

aralıkta kendisine eşittir?



07

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar

2x − 3 5x − 2

4x − 1 x+4



1 olduğuna göre, f   ifadesinin değeri kaçtır? 2



A) –2

3 B) − 2

C) –1

D)

1 2

E) 2

f  x + 2  = x + 4  x+3 x−2

f ( x ) = 2 x − 3 = f −1 ( x ) 5x − 2 olduğundan C seçeneğinin tersi kendisine eşittir.

x + 2 = 1 ⇒ 2 x + 4 = x + 3 ⇒ x = −1 x+3 2

(Cevap C)

f  1  = −1 + 4 = 3 = −1  2  −1 − 2 −3

(Cevap C)

6. Bire bir ve örten f fonksiyonu 2. (f–1)–1(x) = 2x + 5

f ( x ) = 10 x − 2 2x − 5



olduğuna göre, f(2) kaçtır?



olarak veriliyor.



A) 7



Buna göre, f fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

(f–1)–1(x) = f(x) = 2x + 5 f(2) = 9

(Cevap C)

A) R

B) R – {2} E) R+

D) R – {5}

{}

C) R –

{52}

{}

Çözüm Yayınları

f :  − 5 → B ⇒ f −1 : B →  − 5 2 2

 x 2 − 5 x , f (x) =  2x + 4 ,

f–1(2a – 1) = 5 f(5) = a + 2



olduğuna göre, a kaçtır?



A) 0

B) 1

(Cevap D)

7. Bire bir ve örten f fonksiyonu

3. f birebir fonksiyonunda



f −1 ( x ) = 5 x − 2 ⇒ B =  − {5} 2 x − 10

C) 2

D) 3

E) 4

f(5) = 2a – 1 ve f(5) = a + 2 2a – 1 = a + 2 ⇒ a = 3

(Cevap D)

x ≥ 3 ise x < 3 ise



olarak veriliyor.



Buna göre, f–1(14) değeri kaçtır?



A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

2x + 4 = 14 ⇒ x = 5 ancak x < 3 e uygun değil. x2 – 5x = 14 ⇒ x2 – 5x – 14 = 0 ⇒ x = 7, x = –2 ancak x ≥ 3 e uygun olan x = 7 dir.

(Cevap A)

239 8. y = f(x) bir fonksiyon olmak üzere,

4. f: R → R ve f(2x – 3) = 4x + m



fonksiyonu veriliyor.

f–1(5) = 3

olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A)



olduğuna göre, m kaçtır?



A) –7

B) –6

f(3) = 5 ⇒ 2x – 3 = 3 ⇒ x = 3 f(3) = 12 + m = 5 ⇒ m = –7

C) –5

D) –4

E) –3 (Cevap A)

4xy – 2x + 4y – 3 = 0

4x − 2 3 − 4x



D)

B)

4x − 3 4x − 2

2x + 3 4x + 4

E)

C)

2x − 4 4x − 2

3 − 4x 4x − 2

4 xy + 4y = 2 x + 3 ⇒ y( 4 x + 4 ) = 2 x + 3 y = f ( x ) = 2 x + 3 ⇒ f −1 ( x ) = −4 x + 3 = 3 − 4 x 4x + 4 4x − 2 4x − 2

(Cevap E)

Test 07

1. C

2. C

3. D

9. f : [1, ∞) → [0, ∞) olmak üzere,

4. A

5. C

6. D

7. A

8. E

9. E 10. C 11. C 12. C 13. A 14. A 15. B 16. C

13. R den R ye tanımlı f fonksiyonu

f(x) = x2 – 3x

f(3x2 – 5x + 1) = 12x2 – 20x + 11



olduğuna göre, f–1(10) + f(2) ifadesinin değeri kaçtır?



A) –4

B) –2

C) –1

D) 2



E) 3

f(2) = 4 – 6 = –2 f–1(10) = a ⇒ f(a) = 10 ⇒ a2 – 3a = 10 ⇒ a2 – 3a – 10 = 0 ⇒ a = 5 ve a = –2, a ∈ [1, ∞) olmak zorunda olduğundan a = 5 tir. f–1(10) + f(2) = 5 – 2 = 3

olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir? x−7 4

A)



D)

x−7 2

B) x−5 2

E)

C) x – 7 x−5 4

3x 2 − 5x + 1 → x

(Cevap E)

f ( 3 x 2 − 5 x + 1) = 4( 3 x 2 − 5 x + 1) + 7 ⇒ f ( x ) = 4 x + 7 4x + 7 = y ⇒ x =

• f(x) = 3x

10.

y = f(x) fonksiyonu

•



olduğuna göre, a kaçtır? A) 1



2 C)

B)



3

D) 2

1

2a ⋅ 3 2 = 6 ⇒ a = 3 = 3 3

f–1((h + g)(x)) = (h · g)(x) h(4) = 3



g(4) = 2

Çözüm Yayınları

(Cevap C)

11. Uygun koşullarda tanımlı f, g ve h fonksiyonları için

olduğuna göre, f(6) kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 5

eşitliğini sağladığına göre,



ifadesinin değeri kaçtır?



A) 5

x = 2 için

15.

D) 7

E) 9

f (h(4) + g(4)) = h(4) · g(4) f–1(3 + 2) = 3 · 2 ⇒ f–1(5) = 6 ⇒ f(6) = 5

f ( 9) f ( 4) f ( 9) f ( 4) = 3 ise + =5 = 2 ve x = 3 için f ( 3) f ( 2) f ( 3) f ( 2)



olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 4 − x + 1 B) 2 − x + 1 C) 2 + x − 1 D) 2 + x + 1 E) 4 + x − 1 ( x − 2 ) 2 = y − 1 ⇒ | x − 2 |= y − 1

x 2 − 4x + 4 = y − 1

x −2 = y −1 ⇒ x = y −1 + 2

( x − 2) 2 = y − 1

f −1 ( x ) = x − 1 + 2

(Cevap A)

f (x) = 2 − x x

1 4

B)

1 1 C) 3 2

D) 7

E) 9

(Cevap B)

16. f(x) = x3 + x – 27

f(x) = x2 – 4x + 5

x 2 − 4x + 5 = y

=x

    f −1 ( x ) = 2 ⇒ f  1  = 2 x +1  2   x +1  2− x +1 2 = 2 ⇒ 3 − x = x + 1 ⇒ 3 − x = 2x + 2 ⇒ x = 1 f  x + 1  = 2 ⇒ x +1 2 3  2  2

12. f: [2, ∞) → [1, ∞)

E) 12

denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

(Cevap C)

240



f( x)

D) 10

olduğuna göre,

A)



C) 8 f(x2 )

  f  −11  = 2 f (x)  



–1

B) 6

f −1 ( y ) = x ⇒ f ( x ⋅ x ) = x ⋅ f ( x ) ⇒





f(x · f–1(y)) = x · y

f ( 4 ) f (9 ) + f (2) f (3)

E) 3

f −1 ( 9 a ) = m ⇒ f ( m ) = 9 a ⇒ 3 m = 3 2a ⇒ m = 2a



(Cevap A)

14. Pozitif gerçek sayılardan pozitif gerçek sayılara tanımlı

f −1(9 a ) ⋅ f  1  = 6 2





y −7 ⇒ f −1 ( x ) = x − 7 4 4

(Cevap C)



fonksiyonu tanımlanıyor.



Buna göre,



f(m) = f–1(m)



denklemini sağlayan m sayısı için f(m) değeri kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Bir fonksiyon ve bu fonksiyonun tersinin grafiği y = x eksenine göre simetriktir. f(x) = f–1(m) eşitliğini sağlayan m değerleri y = f(x) ve y = x fonksiyonlarının kesişim noktalarıdır. x3 + x – 27 = x ⇒ x3 = 27 ⇒ x = 3 = m ⇒ f(m) = f(3) = 3 (Cevap C)

08

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar 1. Aşağıda M den M ye tanımlı f fonksiyonu verilmiştir. f

M



•a

•a

•b

•b

•c

•c

•d

•d

•e

•e

Buna göre, (fofof)(c) aşağıdakilerden hangisidir?



A) a

C) c



M



B) b

5. f(x – 2) = x – 1

D) d

f(c) = d ⇒ f(d) = e ⇒ f(e) = c



g(x + 2) = 2x – 3

olduğuna göre, (fog)(x) fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A)

1 ( x − 4) 2



1 ( x − 2) 3

B)

D)

1 ( x + 6) 4

E)

x → x + 2 ⇒ f( x) = x + 1

1 ( x + 6) 2

1 ( x + 2) 6

2x − 6 = y y +6 x= 2

x → x − 2 ⇒ g( x ) = 2 x − 7

E) e

C)

( f οg ) −1 ( x ) = 1 ( x + 6 ) 2

( f οg )( x ) = ( 2 x − 7 ) + 1 = 2 x − 6

(Cevap C)

(Cevap C)

6. f ( x ) = 2 − x 3

(gοf ) = x + 2 x−2



1 A) 3 − x

2. f–1(x + 2) = x g(x) = x2



olduğuna göre, (fog)(4) kaçtır?



A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

f ( x ) = x + 2   ⇒ f ( g( 4 )) = f ( 16 ) = 16 + 2 = 18 

g( x ) = x 2

E) 19

(Cevap D)

2 B) 1 + x

2 C) 1 − x

4 E) 1 − 3x

1 D) 1 + 3x

Çözüm Yayınları



olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir?

g  2 − x  = x + 2  3  x−2 x → 2 − 3 x ⇒ g( x ) = 2 − 3 x + 2 = 3 x − 4 = 1 − 4 2 − 3x − 2 3x 3x

(Cevap E)

7. f(x) ve g(x) birer fonksiyondur. ( fοg)( x ) = x + 6

3. f(3x – 2) = 4x + 7

g(x + 15) = 2x – 6





olduğuna göre, (gοf)(10) değeri kaçtır?



A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

x = 4 için f(10) = 4 · 4 + 7 = 23 x = 8 için g(23) = 2 · 8 – 6 = 10 (gοf)(10) = g(23) = 10

E) 12

(Cevap D)

f ( x ) = 2x − 4 5

olduğuna göre, g–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?

A)

2x + 3 4



D)

3 x + 12 5

B) 5x + 1 4

E)

C)

2x − 34 5

5 x + 34 2

( f οg )( x ) = x + 6 ⇒ f ( x ) = ( x + 6 )οg −1 ( x )

241

2 x − 4 = g −1 ( x ) + 6 ⇒ g −1 ( x ) = 2 x − 4 − 6 = 2 x − 34 5 5 5

(Cevap C)

4. g(x) = 4x + m

8. g fonksiyonu bire bir ve örten olmak üzere

f(x) = mx + 2

(g–1of)(2) = 3





olduğuna göre, m kaçtır?



olduğuna göre, (gog)(2) kaçtır?



A) 6



A) 0

B) 7

(g–1οf)(2) = 3 ⇒ f(2) = g(3) ⇒ 2m + 2 = 12 + m ⇒ m = 10

C) 8

D) 9

E) 10

(gog)(x) = g(3x – 4)

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

g(g(x)) = g(3x – 4) ⇒ g(x) = 3x – 4 (Cevap E)

g(2) = 6 – 4 = 2 ⇒ (gog)(2) = 2

(Cevap C)

Test 08

1. C

2. D

3. D

5. C

6. E

7. C

8. C

9. A 10. D 11. C 12. D 13. E 14. E 15. C 16. E

9. f: R → R olmak üzere,

13. f ve g fonksiyon olmak üzere,

( f −1οfοfοf −1οf )( x ) = 4 − x 2



• f’nin periyodu 5 ve f(–22) = 7



• g’nin periyodu 6 ve g(19) = 3



olarak veriliyor.



fonksiyonu tanımlanıyor.



Buna göre, f(2) kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

(f–1οf)(x) = x olduğundan f ( x ) = 4 − x olur. 2 f ( 2) = 4 − 2 = 1 2

E) 5

(Cevap A)

f(4) = 272

ifadesinin değeri kaçtır?



A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

olduğuna göre, (fof)(0) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 1

B) 3

C) 9

D) 27

x = 4 için f(4) = 9m = 272 ⇒ 32m = 36 ⇒ m = 3 f(0) = 13 = 1 ⇒ f(1) = (2 + 1)3 = 27 (fοf)(0) = f(1) = 27

(Cevap E)

(fofof)(x) = 8x E) 81



g(2x + 1) = f(x – 2)



f(x + 3) = h(3x – 2)

eşitlikleri tanımlanıyor.

olduğuna göre, f(4) kaçtır?



A) 4

(g–1oh)(7) + (f–1og)(5)

toplamının değeri kaçtır?



A) 19

C) 17

D) 16

E) 15

(f–1οg)(5) = 0

x = 2 için g(5) = f(0) ⇒ x = 3 için f(6) = h(7) ve x = 8 için f(6) = g(17) ⇒ g(17) = h(7) ⇒ (g–1οh)(7) = 17 O hâlde 0 + 17 = 17

(Cevap C)

12. a ve b gerçek sayılar olmak üzere,

f(x) = 2x + a



g(x) = bx + 4

C) 6 a3 · x = 8

D) 7 ⇒

E) 8

⇒ a=2 (Cevap E)

(fog)(x) = x6 – 3

olduğuna göre, g(2) ifadesinin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?



A) –48

B) –56

C) –60

D) –64

E) –72



f(m) = 2m + 3



g(m) = 3m + 2



biçiminde tanımlanıyor.



Buna göre,



I. (fof)(m) fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemanı 9’dur.



II. (gog)(m) fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemanı 8’dir.



III. (fogof)(m) fonksiyonunun görüntü kümesinde rakam yoktur.

olarak veriliyor.



a gof bileşke fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, b oranı kaçtır?



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I

A) –24



C) –18

D) –16

E)–12

( gof )( x ) = b( 2 x + a ) + 4 = 2b x + ab + 4 ⇒ 2b = 1 ⇒ b = 1  2 1 0 a ⋅ b = −4 ⇒ a = −4 ⇒ a = −8 ⇒ a = −8 ⋅ 2 = −16 2 b

(Cevap D)

(Cevap C)

16. Tanım kümesi doğal sayılar olan f ve g fonksiyonları



B) –20

a3 = 8

15. f(x) = x2 – 4x + 1

f: R → R ve g: R → R fonksiyonları

B) 5

g2(x) – 4g(x) + 1 = x6 – 3 x = 2 için g2(2) – 4g(2) – 60 = 0 g(2) = –6 ve g(2) = 10 ⇒ –6 · 10 = –60

Buna göre,

B) 18



f(x) = ax ⇒ (fοfοf)(x) = a(a(ax)) = 8x ⇒ f(x) = 2x ⇒ f(4) = 8

(Cevap D)

11. R den R ye tanımlı f, g ve h fonksiyonları için



E) 17

14. y = f(x) bir doğrusal fonksiyondur.







polinom fonksiyonu olmak üzere





2 · (fog)(–5) + (gof)(103)

g(–5) = g(–5 + 24) = g(19) = 3 f(3) = f(3 – 25) = f(–22) = 7 f(103) = f(3) = 7 ve g(7) = g(19) = 3 2f(g(–5)) + g(f(103)) = 2 · f(3) + g(7) = 2 · 7 + 3 = 17

Çözüm Yayınları



Buna göre,



10. f : R → R, f(x) = (2x + 1)m

242

4. E

B) Yalnız II

D) I ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

(fοf)(m) = 4m + 9 ⇒ m = 0 için en küçük 9 dur. (gοg)(m) = 9m + 8 ⇒ m = 0 için en küçük 8 dir. (fοgοf)(m) = 12m + 25 ⇒ G.K nin en küçük elemanı 25 tir. Yani rakam yoktur, hepsi doğrudur.

(Cevap E)

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar 1. f(x) = 2x + 3 ve g(x) =

olduğuna göre,

5. (f–1og)(x) = x + 1

x +1 2



(fog)(1) + (gof)(2)

toplamının sonucu kaçtır?



A) 10

B) 9

C) 8

D) 7

B) 1 2

C) 1

D) 2

E) 3

(f–1og)(x) = x + 1 ⇒ g(x) = f(x + 1)

E) 6

x = 2 için g(2) = f(3) ⇒

f ( 3) =1 g( 2 )

(Cevap C)

(Cevap B)

6. (fofofof)(x) = 16

2. f(x) doğrusal fonksiyon olmak üzere, f(x) = (gog–1)(x) + (f–1of)(4)



olduğuna göre, f(3) kaçtır?



A) 7

B) 8

f(3) kaçtır? g(2)

olduğuna göre,

A) 1 3

g( 1) = 1 + 1 = 1 ⇒ f ( 1) = 2 ⋅ 1 + 3 = 5 2 f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 + 3 = 7 ⇒ g(7 ) = 7 + 1 = 4 2 ( f οg )( 1) + ( gοf )( 2 ) = 5 + 4 = 9



09

C) 9

D) 10



olduğuna göre, (fof)(2) kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 4

D) 8

E) 16

(fofofof)(x) = 16 ise f sabit fonksiyondur.

E) 11

f(x) = c için (fofofof)(x) = c = 16

(fοf–1)(x) = (f–1οf)(x) = x olduğundan

(fof)(2) = 16

(gοg–1)(x) = x ve (f–1οf)(4) = 4 f(x) = x + 4 ⇒ f(3) = 7

(Cevap E)

Çözüm Yayınları

(Cevap A)

7. Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için,

3. g(x) = x + 1

(fog)(x) = f(x) . g(x)

f(x–1) = x + 2



olduğuna göre, (f–1og)–1(2) kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4



E) 5

(f–1og)–1(2) = (g–1of)(2) = g–1(f(2))

f(x) = 3x + 1 olduğuna göre, g(3) değeri kaçtır?

A)

x = 3 için f(2) = 5 g–1(f(2)) = g–1(5) = 4

(Cevap D)

1 1 1 1 1 B) C) D) E) 8 7 6 5 4

3g( x ) + 1 = ( 3 x + 1) ⋅ g( x ) x = 3 için 3g( 3 ) + 1 = 10g( 3 ) 7 g( 3 ) = 1 ⇒ g( 3 ) = 1 7

(Cevap B)

243 4. f(x) = 4x – 12

g(x) = (x – 3)3

8. f bire bir ve örten fonksiyondur.



fonksiyonları veriliyor.



Buna göre, (gof–1)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

x3 A) 8

4 x − 12 = y ⇒ x =

x3 B) 64

D) (3x – 8)3

C) (3x +

4)3

(Cevap B)

= 4x + 8

olduğuna göre, 1 2

x = 6 için 2( f

3

3 ( gοf −1 )( x ) =  x + 12 − 3  =  x  = x  4 64  4



A)

E) (x – 1)3

y + 12 ⇒ f −1 ( x ) = x + 12 4 4 3

–1og)(x + 2)

2(f

f(5) oranının değeri kaçtır? g(8)

B) 1 −1og )( 8 )

C)

3 2

D) 2

E)

5 2

= 32 ⇒ f −1 ( g( 8 )) = 5

f ( 5) =1 g( 8 ) = f ( 5 ) ⇒ g( 8 )

(Cevap B)

Test 09

1. B

2. A

3. D

4. B

5. C

6. E

7. B

8. B

9. A 10. B 11. D 12. B 13. A 14. C 15. C 16. D

9. (gof–1)(x) = 2x + 8

13. f ve g bire bir ve örten fonksiyonlar olmak üzere,

(fog–1oh)(x) = 3x – 2

(fog)(x) = x



olduğuna göre, h(3) değeri kaçtır?



f(3) = 5



A) 22



f(7) = 6

B) 23

C) 24

(gοf–1) ο (fοg–1οh)(x) = 2(3x – 2) + 8 (gof–1οfοg–1οh)(x) = 6x + 4

D) 25

I(x) (gοg–1οh)(x) = 6x + 4 h(x) = 6x + 4 ⇒ h(3) = 22

10.



x + 3  f ( x ) = 2 x   x + m

E) 26

,

x ≡ 1 (mod 3)

,

x ≡ 2 (mod 3)

A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

(Cevap A)

14. (fog–1)(x) = 2x – 4 (f–1og–1)–1(x) = x3 – 2

(fof)(13) = (fofof)(3)

olduğuna göre, m kaçtır?



A) –15

B) –14

C) –13

D) –12

f(13) = 26, f(26) = 26 + m ⇒ (fοf)(13) = m + 26 f(3) = 6, f(6) = 9, f(9) = 12 ⇒ (fοfοf)(3) = 12 m + 26 = 12 ⇒ m = –14

E) –11

olduğuna göre, (fof)(2) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

( f −1οg −1 ) −1 ( x ) = x 3 − 2 ⇒ ( gοf )( x ) = x 3 − 2

Çözüm Yayınları

(Cevap B)

f(1) = 3 ve (f–1og)(3) = 7

( f οf )( x ) = 2 x 3 − 8 ⇒ ( f οf )( 2 ) = 8

(Cevap C)

15. f, g ve h bire bir ve örten, w ise birim fonksiyondur. (f–1ogoh)(x) = w–1(x)

olduğuna göre,

(gof)(x) =f(a + f(x))

biçiminde tanımlanan g fonksiyonu için a kaçtır?



A) 1

B) 2



( f οg −1 ) ο ( gοf )( x ) = 2( x 3 − 2 ) − 4

11. Gerçek sayılarda tanımlı bire bir ve örten f fonksiyonu için





x ≡ 0 (mod 3)

fonksiyonu veriliyor.



olduğuna göre, g(6) + (gof)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

g(x) = f–1(x) veya f(x) = g–1(x) dir. g(6) = f–1(6) = 7 g(f(3)) = (gοg–1)(3) = 3 g(6) + (gοf)(3) = 7 + 3 = 10

(Cevap A)

,



C) 3

D) 4

E) 5

(f–1οg)(3) = 7

⇒ g(3) = f(7) x = 1 için (gοf)(1) = f(a + f(1)) ⇒ g(3) = f(a + 3) ⇒ f(7) = f(a + 3) ⇒ a + 3 = 7 ⇒ a = 4



olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?



A) (foh)(x)

D) (h–1of)(x)



C) (foh–1)(x)

B) (wof)(x) E) (hof)(x)

Birim fonksiyonun tersi kendisidir ve bir fonksiyon eşitliğin diğer kısmına tersi ile geçer. (f–1οgοh)(x) = x ⇒ (gοh)(x) = f(x) ⇒ g(x) = f(x) ο h–1(x) = (foh–1(x) bulunur. (Cevap C) (Cevap D)

244

12. f: R+ → (–∞, 9) olmak üzere

16. Bire bir ve örten f ve g fonksiyonları için



(fog)(x) + (g–1of–1)–1(x) = g2(x) + 2 · g(x)

g(x) = 2x – 3

(fog)(x) = x2 – 4x – 66

olduğuna göre, f–1(30) değeri kaçtır?



A) 22

B) 21

C) 20

D) 19

f ( 2 x − 3 ) = x 2 − 4 x − 66

x 2 − 4 x − 96 = 0

f −1 ( x 2

x = 12 ,

− 4 x − 66 ) = 2 x − 3

x 2 − 4 x − 66 = 30

E) 18

eşitliği veriliyor.



Buna göre, f(2) kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

( fog )( x ) + ( fog )( x ) = g 2 ( x ) + 2g( x )

x = −8

f −1 ( 30 ) = 24 − 3 = 21



( fog )( x ) = (Cevap B)

2 g 2 ( x ) + 2g( x ) ⇒ f ( x ) = x + 2x ⇒ f ( 2) = 4 + 4 = 4 2 2 2

(Cevap D)

5. A = {1, 2, 3, 4} olmak üzere A dan A ya tanımlı f ve g–1

1. Sayma sayılar kümesinde f ve g fonksiyonları

fonksiyonları



f(x) = “x sayısının pozitif bölen sayısıdır.”



g(x) = “ x sayısının asal bölenlerinin toplamıdır.”



olarak tanımlanıyor.



Buna göre, (gof)(24 · 32 · 5) kaçtır?



A) 8

B) 9

C) 10

D) 11



(gof)(24 · 32 · 5) = g(30) = 2 + 3 + 5 = 10

E) 12 (Cevap C)

2. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı





olduğuna göre, (fog–1)–1 bileşke fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?



A) {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 3)}



B) {(2, 3), (1, 4), (3, 2), (4, 1)}



C) {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)}



D) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}



E) {(3, 1), (2, 2), (4, 3), (1, 4)}

f–1: {(2, 1), (4, 2), (3, 3), (1, 4)},

f(x) = 4x + 3

olduğuna göre, a kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

6. Tam sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlı

(fof)(a) = 4(4a + 3) + 3 = 63

f fonksiyonu: Her bir pozitif tam sayıyı kendisinin toplamsal tersinin iki fazlasına dönüştürmektedir.

16a + 15 = 63 ⇒ 16a = 48 ⇒ a=3

, x < 2 ise

 − x g( x ) =  4

, x < 0 ise

Çözüm Yayınları

(Cevap C)

x + 1 3. f ( x ) =   x

, x ≥ 2 ise



I. (f + g)(2) = 6



II. (fog)(–9) = 3



III. (f · g)(1) = 12



Buna göre, (fog)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A)

3x + 1 2





ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I



g fonksiyonu: Her bir pozitif tam sayıyı kendisinin çarpımsal tersinin iki eksiğine dönüştürmektedir.

, x ≥ 0 ise

olduğuna göre,

D) I ve III 

II. f(g(–9)) = f ( 9 ) = f(3) = 3



III. f(1) · g(1) = 2 · 4 = 8



D)

C) I ve II

4x − 1 2

4x − 1 x

E)

C)

5x − 2 3x + 1

3x + 4 x−2

( f οg )( x ) = −  1 − 2  + 2 = 4 − 1 = 4 x − 1 x x x 

(Cevap D)

E) I, II ve III

I ve II doğrudur.

(Cevap C)

4. f: {(5, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}

7. Z → Z ye tanımlı bir f fonksiyonu,



fonksiyonları veriliyor.

x + 1  f ( x ) = 2 x   x + a



Buna göre,



g: {(5, 4), (1, 2), (2, 5), (3, 1), (4, 3)}

(fog)(x) = x eşitliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?



A) 5

C) 3

D) 2

E) 1

g(x) = f–1(x) yani (a, b), (b, a) biçimindeki sıralı ikililer denklemi sağlayan x değerleridir. (4, 3), (3, 4) ⇒ x = 4 (5, 4), (4, 5) ⇒ x = 5 İki değer vardır. (Cevap D)

,

x ≡ 0 (mod 3)

,

x ≡ 1 (mod 3)

,

x ≡ 2 (mod 3)

245



şeklinde veriliyor.





B) 4

B)

f ( x ) = − x + 2 , g( x ) = 1 − 2 x

B) Yalnız II

I. f(2) + g(2) = 2 + 4 = 6



(Cevap E)

(fof)(a) = 63





g: {(3, 1), (1, 2), (2, 3), (4, 4)}

(fοg–1)–1 = gοf–1: {(1, 4), (2, 2), (3, 1), (4, 3)}

fonksiyonu için



f: {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1)}

g–1: {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}

f(24 · 32 · 51) = (4 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 30



10

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar

f(7) + f(6) = f(5)



olduğuna göre, a kaçtır?



A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

7 = 1 (mod3) ⇒ f(7) = 2 · 7 = 14 6 = 0 (mod3) ⇒ f(6) = 7 5 = 2 (mod3) ⇒ f(5) = a + 5 f(7) + f(6) = f(5) ⇒ 14 + 7 = a + 5 ⇒ a = 16

(Cevap A)

Test 10

1. C

2. C

3. C

4. D

5. E

6. D

7. A

8. D

8. y = f(x) bir fonksiyon olmak üzere

12. (fog)(x) = x3 + 1



(g–1oh)(x) = x + 2

(x – 2) · (y + 2) = 12

9. E 10. A 11. B 12. B 13. C 14. C 15. B



olarak veriliyor.



olduğuna göre, (foh)–1(65) ifadesinin değeri kaçtır?



Buna göre, f–1(4) kaçtır?



A) 1



A) 1

y = f(x) ⇒

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

O hâlde y = 4 için (x – 2)(4 + 2) = 12 ⇒ x – 2 = 2

9. f: R – {4} → R – {3}



2f ( x ) + x x−2

ifadesi fonksiyon olduğuna göre, (fof)(2) kaçtır?



A) 3

5 2

E) 5

(Cevap B)

 x + 8 f (x) =  2x + 4

,

x < 8 ise

,

x ≥ 8 ise

fonksiyonu veriliyor.

(fofof)(m) = 56



B)

D) 4

(Cevap D)

13.

f (x) − m =

C) 3

(fοh)(x) = (x + 2)3 + 1 (fοh)–1((x + 2)3 + 1) = x x = 2 için (fοh)–1(65) = 2

f–1(y) = x olur. ⇒x=4

B) 2

(fοg) ο (g–1οh)(x) = (x + 2)3 + 1

C) 2

D)

8 7 E) 5 5



olduğuna göre, m kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

f(fοf(m)) = 56 ⇒ (fοf)(m) = 26 f(f(m)) = 26 ⇒ f(m) = 11 f(m) = 11 ⇒ m + 8 = 11 ⇒ m = 3

xf ( x ) − mx − 2 f ( x ) + 2m = 2 f ( x ) + x xf ( x ) − 4 f ( x ) = mx + x − 2m

E) 5

(Cevap C)

f( x) =

( m + 1) x − 2 m ⇒ m + 1 = 3 ⇒ m = 2 ⇒ f ( x ) = 3x − 4 x−4 1 x−4

f ( 2 ) = 3 ⋅ 2 − 4 = −1 , f ( −1) = −2

3 ⋅ ( −1) − 4 7 = −5 5

(Cevap E)

Çözüm Yayınları

f ( x )( x − 4 ) = ( m + 1)) ⋅ x − 2m

14. Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu

10. (fog)(x) = 2g(x) + 3



• x tam sayı ise x

(goh)(x) = h(x) + 2



• x tam sayı değilse x’in tam kısmı olarak tanımlanıyor.



g( x ) = 1 + x x 10



olduğuna göre,



olduğuna göre, (fog)(3) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 13

B) 12

C) 11

D) 10

E) 9

f(g(x)) = 2g(x) + 3 ve g(h(x)) = h(x) + 2 x x x f(x) = 2x + 3, g(x) = x + 2 g(3) = 5, f(5) = 13 (fοg)(3) = 13

(fog)(10) +(fog)(20)

x

(Cevap A)



toplamının değeri kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

g( x ) = 1 + x fonksiyonunda 10, 20 değerlerinin görüntüleri sırasıyla yaklaşık olarak x 10 1,01 - 2,1 dir. f(1, 01) + f(2,1) = 1 + 2 = 3 (Cevap C)

246 f ( x) = 4x + 3 5x − 4

11.

15. f(x) ve g(x) birer fonksiyondur.

olduğuna göre,

(f–1og)–1(x) = 2x + 3

(fοfοfο ... οf)(1)  27 tane

ifadesinin değeri kaçtır?



A) 9

B) 7



C) 5

D) 3

E) 1

f ( x ) = 4 x + 3 = f −1 ( x ) 5x − 4 ( f οf ο  f οf ο . . . ο  f οf οf )( 1) = f ( 1) = 4 + 3 = 7 5−4 I( x )

I( x )

I( x )

(Cevap B)

f(x) = 3x – 4



olduğuna göre, g(5) değeri kaçtır?



A) –2

(g–1οf)(x) = 2x + 3 g–1(3x – 4) = 2x + 3 g(2x + 3) = 3x – 4 x = 1 için g(5) = –1

B) –1

C) 1

D) 2

E) 3

(Cevap B)

1. Aşağıda verilen grafiklerden hangisi fonksiyon grafiğidir? A)

B)

y

C)

y

4. Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

y

y

x

x

x

2

y = f(x)

1

D)

E)

y

y

–3

x

x

x eksenine çizilen dikmelerden her biri grafiği en çok 1 noktada kesiyor ise fonksiyondur. O hâlde D seçeneği fonksiyon grafiğidir. (Cevap D)

2.

Buna göre, (f–1og)(3) ifadesinin değeri kaçtır?



A) –9

B) –8

C) –6

D) –5

E) –3

g( 3 ) = −1 ⇒ f −1 ( g( 3 )) = f −1 ( −1) ⇒ 1 + x = −1 ⇒ x = −6 ⇒ ( f −1og )( 3 ) = −6 3 (Cevap C)

y 5

x

5

–1



5.

y = f(x)

0

y = g(x)

x + y = 1 ⇒ g( x ) = 2 − x 2 2 x + y = 1 ⇒ f( x) = 1+ x 3 −3 1

y –2 –1

x

2

0





2 –4

–2 –4

Yukarıda y = f(x) fonksiyon grafiği verilmiştir. Buna göre,

–1 0 1

Çözüm Yayınları

–3



11

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar

x

8

–3

Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım kümesi A, görüntü kümesi B’dir.

f(0) + f–1(0) – (fof)(–2)



Buna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



ifadesinin sonucu kaçtır?



A) (–4, 8] – {1}



A) 1



B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

f–1(0) = 5,

f(0) = –4, f(–2) = –1, f(–1) = –3 f(0) + f–1(0) – (fοf)(–2) = –4 + 5 – (–3) = 4

(Cevap D)

3. Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri



B) (–2, 8]

D) (–3, 5]

E) (–3, 5] – {1}

A = (–4, 8] – {1}, B = (–3, 5] A ∩ B = (–3, 5] – {1}

(Cevap E)

6. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

çizilmiştir.

y

y

y = f(x)

C) (–4, 8]

247 1

2 –4 0

2

–4



x

Buna göre, (fog)(5) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 10

C) 8

D) 7

E) 6

x + y = 1 ⇒ x + y = 2 ⇒ y = f( x) = 2 − x 2 2 g( 5 ) = −4 ise f ( g( 5 )) = f ( −4 ) = 2 − ( −4 ) = 6

0

–1

1

3

5

x



y = g(x)



B) 9

–3 –2

(Cevap E)



Buna göre, f(x + 2) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?



A) –8

B) –7

x + 2 = –4 ⇒ x = –6 x + 2 = –2 ⇒ x = –4 –6 – 4 – 1 + 3 = –8

C) –6

D) –5

E) –4

x + 2 = 1 ⇒ x = –1 x+2=5 ⇒ x=3 (Cevap A)

Test 11

1. D

2. D

3. E

4. C

5. E

6. A

fonksiyonu,

y

“2x + 3y – 24 = 0 doğrusu x ekseni x = a ve x = b doğruları arasında kalan kapalı bölgenin alanı”



olarak tanımlanıyor.



Buna göre, f(6, 12) değeri kaçtır?



A) 8

B) 10

8. A

9. C 10. D 11. B 12. C

10. Aşağıda f(x) ve f–1(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

7. Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı bir f(a, b)

7. C

f–1(x) f(x)

4 b+2

C) 12

D) 15

0

E) 16

x

a

2b+1

y 8 4 6

12

x

6



4 ⋅ 6 = 12 2 (Cevap C)



Buna göre, a + b toplamı kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Bir fonksiyon ve bu fonksiyonun tersi y = x doğrusuna göre simetriktir. b + 2 = 2b + 1 ⇒ b = 1 ve a = 4 tür. a+b=5

8.

(Cevap D)

y 2

11.

–2 –1

4

4

x

0

–3

–1

y=x

y 2

y = f(x)

A –6

C

B

–4

2

x

X=4

Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.



g(2x + 1) = (x2 + 1) · f(x + 1)

Çözüm Yayınları



olduğuna göre,



g(–7) + g–1(m) = –5



denklemini sağlayan m değeri kaçtır?



A) –10

B) –9

C) –8

D) –7

E) –6

x = –4 için g(–7) = 17 · f(–3) = 17 · 0 = 0 0 + g–1(m) = –5 ⇒ g(–5) = m x = –3 için g(–5) = 10f(–2) = m = 10 · (–1) = –10

(Cevap A)

–4

y + x = –4

Yukarıdaki şekle göre,

f: a → “x = a’nın solunda kalan taralı bölgenin alanı”



biçiminde tanımlanan y = f(a) fonksiyonu için f(4) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 18

B) 20

C) 22

D) 24

E) 26

x = 4 doğrusunun solundaki taralı bölgenin alanı A = 4 + 6 ⋅ 2 = 10 , B = 2 ⋅ 2 = 4 , C = 2 + 4 ⋅ 2 = 6 ⇒ A + B + C = 20 2 2

9.

(Cevap B)

y

12. f : R → R olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda

4

verilmiştir.

3

y 1 4 –1

248

–1

1

2

3

x

4 x

m

Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunda



( fοfοfο ... οf )( −1) = 4  m tan e

f–1(6) · f(4) < 0 f–1(1) · f(7) ≤ 0



eşitliği veriliyor.



Buna göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 21

B) 24

C) 29

D) 34

E) 40

f(–1) = 1, f(1) = 4, f(4) = –1, f(–1) = 1, . . . olduğunda fonksiyonun 3 bileşke işleminde aynı konuma gelmektedir. m 3 ⇒ m = 3k + 2 ⇒ k = 9 için m = 29 olabilir. k (Cevap C) 2



olduğuna göre, m tam sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 1

B) 2

C) 3

f–1(6) < 0 ⇒ f(4) > 0 ise m > 4 tür. f–1(1) > 0 ⇒ f(7) ≤ 0 ise m ≤ 7 m ∈ {5, 6, 7} olmak üzere 3 tam sayı değeri vardır.

D) 4

E) 5

(Cevap C)

12

BÖLÜM 03 Test

Fonksiyonlar 1. Aşağıda y = f–1(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y

4. y = f(x) fonksiyonunun grafiği A(2, 5) noktasından, y = g(x) fonksiyonunun grafiği B(3, 8) noktasından, y = h(x) fonksiyonunun grafiği C(1, a) noktasından geçmektedir.

y = f–1(x)

3



2 –4 –2

0

x

2



Buna göre, f–1(2) + f(–2) + f(0) toplamı kaçtır?



A) –4

B) –3

C) –2



olduğuna göre, a kaçtır?



A) 13

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

f(2) = 5, g(3) = 8, h(1) = a x = 1 için h(1) = f(2) + g(3) + 1 h(1) = 5 + 8 + 1 a = 14

–2



h(x) = f(x + 1) · x + g(2x + 1) + x

D) –1

(Cevap B)

E) 0

f–1(2) = 3,

f(–2) = –4, f(0) = –2 f–1(2) + f(–2) + f(0) = 3 – 4 – 2 = –3

(Cevap B)

5. f ve g gerçek sayılar kümesinde tanımlı birer fonksiyondur. y

y

4

2. f(x) = |x – 4| + x fonksiyonunun parçalı fonksiyona dönüştürülmüş hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A)  x − 4 ,  , 4

x < 4 B) 2x − 4 ,  , x≥4 −4

C) 2x  −4

x < 4 D) 2x − 4 ,  x≥4 , 4

, ,

E)  x − 8 ,  , 4 x < 4 4 x≥4 f(x) = –x + 4 + x f(x) = x – 4 + x f(x) = 4 f(x) = 2x – 4

0

x≥4

x≥4 x0

verilmiştir.

1



x 2 + 4 + 6 + 12



olduğundan 36 sayısı “minimum sayı”dır.



Buna göre, aşağıdakilerden hangisi “minimum sayı” değildir?



A) 14

B) 16

C) 20

D) 30

E) 40

A) 14 > 2 B) 16 > 2 + 4 + 8 C) 20 > 2 + 4 + 10 D) 30 > 2 + 6 + 10 E) 40 < 2 + 4 + 8 + 10 + 20 olduğundan 40 minimum sayı değildir. (Cevap E)

Çözüm Yayınları





Silindirlerden birine özdeş sarı, diğerine özdeş mavi bilyeler üst üste konularak hem alt tabanlara hem de üst tabanlara teğet olacak biçimde yerleştirilmiştir.



Sarı bilyelerin yarıçap uzunluğu 2 cm, mavi bilyelerin yarıçap uzunluğu 3 cm’dir.



Bu sistemde kullanılan toplam bilye sayısı 20 olduğuna göre, silindirlerin yüksekliği kaç cm’dir?



A) 72

B) 60

C) 54

D) 48

E) 36

Yükseklik h olsun. Kullanılan sarı bilye sayısı h , kullanılan mavi bilye sayısı h dır. 6 4 h + h = ⇒ 5h = 20 ⇒ h = 48 4 6 12 (Cevap D)

5. a, b ve c sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere, a 2 + ab + ac + bc (b a) a (b + c ) + c −

3. x ve y yerine yazılan değerlerle x ≤ y veya x ≥ y eşitsizliklerini sağlama durumlarına göre aşağıdaki şemalar tanımlanmıştır. x

y

x

y

x≤y

x≥y

x+y

x·y



ifadesinin a = 54 ve b = 27 için değeri kaçtır?



A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

a( a + b ) + c( a + b ) ( a + b ) ( a + c ) a + b a = +1 = = b b ab + ac + bc − ac b( a + c ) 54 + 1 = 3 27

(Cevap D)



Buna göre,

6. f ( x ) = 2x − 1

303

x −1

3a – 4

a + 16



şemasındaki a doğal sayılarının adedi kaçtır?



A) 9

C) 11

3a – 4 + a + 16 = 4a + 12 olduğundan 3a – 4 ≤ a + 16 ⇒ 2a ≤ 20 ⇒ a ≤ 10 ⇒ a ∈ {0, 1, 2, . . ., 10} O hâlde 11 tane a değeri vardır.

fonksiyonunun grafiği ile y = 2 doğrusu (a, b) noktasında kesişiyor.



Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11 2 2 3 4 4

4a + 12

B) 10



D) 12

2x − 1 = 2 ⇒ 2x − 1 = 2 ⇒ 2x − 1 = 2x − 2 x −1 x −1

E) 13

(Cevap C)

2x − 1 = 2x − 2

2 x − 1 = −2 x + 2

1=0

4x = 3

Ç .K = ∅

x= 3 ⇒ a= 3 4 4

a = 3 ise b = 2 ve a + b = 11 4 4

(Cevap E)

Test 02

1. D

7. Orçun, Burçin ve Murat’ın bugünkü yaşları toplamı 30’dur. Buna göre, Murat’ın bugünkü yaşı kaçtır?



A) 7 Orçun a 0

Burçin b b–a

B) 8 Murat c c–a

C) 9

D) 10

3. C

4. D

5. D

6. E

7. D

8. D

9. D 10. E 11. E 12. E

10. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Orçun doğduğunda Burçin’in yaşı Murat’ın yaşının 2 katı idi.

2. E

E) 11

b – a = 2(c – a) ⇒ a + b = 2c a + b + c = 30 ⇒ 2c + c = 30 ⇒ c = 10



kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı sayılardan biri seçiliyor.



Buna göre, seçilen sayının 5 ile tam bölünemeyen bir sayı olma olasılığı kaçtır?

A) 9 B) 2 C) 11 D) 12 E) 16 25 5 25 25 25

(Cevap D)

s(E) = 5 · 5 · 4 = 100 5

4

1 + 4 0

4

1 5

⇒ s(A′) = 5 · 4 · 1 + 4 · 4 · 1 = 36

P( A′ ) = 36 = 9 ve P( A ) = 1 − 9 = 16 100 25 25 25

(Cevap E)

8. Aşağıda özdeş iki cep telefonunun şarj durumları gösterilmiştir.

11. f : [1, ∞) → [1, ∞) olmak üzere f fonksiyonu x +1 f (2 ) = x + 1 + 1



B

A telefonunun %10’u, B telefonunun %40’ı doludur. Sabit hızla şarj olan bu iki telefon aynı anda şarja konulduğunda B telefonu 24 dakika sonra %70’lik şarj düzeyine ulaşmaktadır.



Buna göre, A telefonu kaç dakika sonra tamamen şarj olur?



A) 36

%30 %90

24 x

B) 40

C) 48

D) 72

E) 96

Çözüm Yayınları

A





olarak veriliyor.



Buna göre, f–1(3) değeri kaçtır?



A) 4 f −1

(

B) 8

(

D) 12

E) 16

)

x + 1 + 1 = 2 x +1

x +1+1= 3 ⇒ f −1

C) 10

4 +1

)

= 24

x +1 = 2 ⇒ x +1= 4 ⇒ x = 3 ⇒ f −1 ( 3 ) = 16

(Cevap E)

D.O

30 x = 90 ⋅ 24 ⇒ x = 90 ⋅ 24 = 3 ⋅ 24 = 72 30

(Cevap D)

12. Bir spor salonunda bulunan skor tabelasında sayılar birim çubuklar kullanılarak oluşturulmaktadır. Bu skor tabelasındaki rakamların biçim ve boyutu aşağıda verilmiştir.

9. Aşağıda verilen çarpan ağacında okun çıktığı çemberdeki sayı okun gittiği çemberlerdeki sayıların çarpımına eşittir. 2n–8



304

Örneğin: 1 rakamı için 2, 2 rakamı için 5, 8 rakamı için 7 çubuk kullanılmıştır.



Yeşil daireler içerisinde yazan sayıların çarpımı 120 ve sarı daire içerisindeki sayı 2n – 8 olduğuna göre, n kaçtır?



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Yeşil daireler harflendirilip çarpan ağacı doldurulduğunda yeşil daireler içerisindeki sayılar çarpımının sarı daire içerisindeki sayıya eşit olduğu görülür. 2n – 8 = 120 ⇒ 2n = 128 ⇒ n = 7 (Cevap D)



Yukarıda tabelası gösterilen bir basket maçında takımlar toplam 8 puanlık basket attığında oluşacak tabelanın birim çubuk sayısı en fazla kaç olur?



A) 21

B) 22

C) 23

D) 24

E) 25

Tabela 00 – 08 olursa toplam 6 + 6 + 6 + 7 = 25 çubuk kullanılır. (Cevap E)

TÜMEVARIM - III Test 1.

( 0,1 + 0, 025 ) :  4 

4. Faruk, can sıkıntısından defterine 10 sayısını yazıyor ve

−1

sonraki her sayı için bir önce bulunan sayıya sırasıyla

3

işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 12 10 8 6 4  1 + 25  : 3 = 125 ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 = 1    10 1000  4 1000 3 8 3 6 ( 100 )

2.

03

(Cevap D)



• 2 ile böler



• 4 ekler



• 4 ile çarpar



• 2 çıkarır



işlemlerini devamlı olarak uygulayıp her bir işlem sonucunda çıkan sayıyı defterine yazıyor ve üç basamaklı 2 ile tam bölünemeyen ilk sayıyı elde edince duruyor.



Buna göre, Faruk defterine kaç sayı yazmıştır?



A) 22

B) 21

C) 20

D) 19

E) 18

10 → 5 → 9 → 36 → 34 → 17 → 21 → 84 → 82 → 41 → 45 → 180 → 178 → 89 → 93 → 372 → 370 → 185 olduğundan 18 sayı yazmıştır. (Cevap E)

1 + 3 − 6 =1 x 4x 9x

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 1 B) 1 C) 1 9 6 4

D) 1

E) 4

1 + 3 − 6 = 1 ⇒ 1 1+ 3 − 2 = 1   2  x 2 x 3 x x



1. bölme

0

0

0

0

Yukarıda verilen 4 bölmeli sayacın kolu 3 tam tur çevrildiğinde birinci bölmedeki sayı, 4 tam tur çevrildiğinde 2. bölmedeki sayı, 9 tam tur çevrildiğinde 3. bölmedeki sayı, 10 tam tur çevrildiğinde 4. bölmedeki sayı 1 artmaktadır. Göstergelerden biri 9’u gösterdikten sonra 1 arttığında gösterge 0 sayısını göstermektedir.



; 4 tane 410 un çarpımı



; 6 tane 85 in çarpımı



; x tane 162 nin toplamı



olarak veriliyor.



Buna göre,



:

=



eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?



A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

12 tam tur döndüğünde

1

1

3

4

6 tam tur döndüğünde

0

0

1

2

3

3

8

1

x tan e

6 tane

( ) :( ) 6 85

4 4 10

= x ⋅ 16 2

2 90 : 2 80 = 2 8 ⋅ x ⇒ 2 10 = 2 8 ⋅ x ⇒ x = 4

(Cevap A)

6. Hızı saatte 120 km olan bir otomobil ile hızı saatte 80 km olan kamyon aralarında 980 km mesafe bulunan A ve B şehirlerinden aynı anda birbirlerine doğru hareket etmişlerdir. A

Buna göre, gösterge 1

2

8



biçiminde olduğunda sayaç kolu 147 tam döndürme yaptığında bölmelerdeki rakamların toplamı kaç olur?



A) 21

B) 22

C) 23

D) 24

E) 25

147 tam tur sonunda 1. bölme 49 kez artarak 7 rakamına, 2. bölme 36 kez artarak 8 rakamına, 3. bölme 16 kez artarak 3 rakamına, 4. bölme 14 kez artarak 5 rakama dönüşür. 7 + 8 + 3 + 5 = 23 (Cevap C)

B

120

7

E) 32

5 ⋅ 8 5 ⋅ 8 5 ⋅ ... ⋅ 8 5 : 4 10 ⋅ 4 10 ⋅ 4 10 ⋅ 4 10 = 16 2 + 16 2 + ... + 16 2 (8  )( )  

Örneğin;

34 tam tur döndüğünde



Çözüm Yayınları

2. bölme

(Cevap C)

3. bölme

3.



5. x sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere,

x=1 ⇒ x=1 2 4

4. bölme

⇒ 1  3 − 1  = 1 ⇒ x2 

80



Araçların haraketinden belli bir süre sonra otomobilin lastiği patlamış ve yola devam edememiştir.



Bu iki araç 10 saat sonra karşılaştığına göre, lastiği patlayan aracın lastiği harekete başladıktan kaç saat sonra patlamıştır?



A) 1

B) 1,5

C) 2

D) 2,5

E) 3

Lastik hareketinden t saat sonra patlamış olsun. (120 + 80) · t + (10 – t) · 80 = 980 200 t + 800 – 80 t = 980 120 t = 180 ⇒ t = 3 = 1,5 saat 2

(Cevap B)

305

Test 03 7.



1. D

1

2

3

4



Buna göre, son durumda kaç farklı görüntü oluşturulabilir?



A) 10

B) 11

C) 15

D) 18

6. B

7. B

8. D

9. C 10. E 11. A



Buna göre, işportacının torba sayısının rakamları toplamı kaçtır?



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

(Cevap C)

10. a bir gerçek sayı olmak üzere, pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları

5 Farklı butonlara basılmış olursa   = 10 görüntü oluşur. Aynı butona iki defa basılarak 2 1 görüntü oluşur. 10 + 1 = 11 görüntü oluşur. (Cevap B)



f(x) = ax2 + 2



g(x) = x + 4



biçiminde tanımlanıyor.



Çözüm Yayınları



lambalardan oluşan bir tabela tasarlamıştır. Bu tabelelar farklı iki yanma düzeniyle yanmaktadır.

5. A

Torba sayısı 3x olsun. Ürün adedi = 3x · 4 + 4 Ürün adedi = 2x · 7 – 6 12x + 4 = 14x – 6 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5 ⇒ 3x = 15 ⇒ 1 + 5 = 6

E) 21

8. Bir öğrenci fen proje ödevi için sarı, yeşil, kırmızı ve mavi

4. E

sayıdaki torbalara dolduracaktır. İşportacı her torbaya 4 ürün koyarsa hiç torbası kalmıyor ve elinde 4 ürün artıyor. Her torbaya 7 ürün koyduğunda ise torbaların üçte biri boş kalıyor ve bir torbada 1 ürün olduğunu fark ediyor.

Yukarıda verilen lambaların üst kısımları butondur ve butona basıldığında lamba yanıyorsa sönmekte, sönüyorsa yanmaktadır. Tamamı sönük olan lambaların butonlarına toplamda 2 kez basılıyor. Örneğin; 1 nolu lambaya 1 defa 2 nolu lambaya 1 defa basılarak ikiside yanan hale getirilebilir. Ya da 3 nolu lambanın butonuna iki defa basılarak 3 nolu lamba önce yanan sonra sönük hale getirilebilir.

3. C

9. Bir işportacı tezgahında bulunan ürünleri elindeki belli

5



2. C



(fog)(16) = 194

olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

f ( g( 16 )) = f ( 16 + 4 ) = f ( 8 ) = 194 ⇒ a ⋅ 8 2 + 2 = 194 ⇒ 64a + 2 = 194 ⇒ a = 3 f ( 2 ) = 3 ⋅ 2 2 + 2 = 14

(Cevap E)

11. Aşağıda ipler ile tavana asılı mavi, sarı, kırmızı, yeşil, turuncu ve gri renkli 6 balon verilmiştir. Tavan



306



Bu öğrenci düzeneklerden birini çalıştırdığında n. kez yanan lambanın renginin kırmızı olduğunu gördüğüne göre,



I. n = 147’dir.



II. n = 172’dür.



III. n = 214’dür.



ifadelerinden hangileri doğru olabilir?



A) Yalnız I



B) Yalnız II

D) I ve III



Ali’nin bu 6 balona yaptığı atışlar ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.



• Toplam 6 atış yapmıştır ve bu atışların 1 tanesinde balon patlatamamıştır.



• Atışların 1 tanesinde yan yana duran 2 balonu birden patlatmıştır.



• Son yaptığı atışta 1 balon patlatmıştır.



Buna göre, Ali bu 6 balonu kaç farklı biçimde patlamış olabilir?



A) 2400

C) I ve II

E) I, II ve III

Bir lambanın kırmızı yanması için üstteki düzenekte 4 ile bölündüğünde 2, alttaki düzenekte 6 ile bölündüğünde 3 veya 5 kalanını vermelidir. O hâlde 147 sayısı alttaki düzenekte 214 sayısı üstteki düzenekte kırmızı yanar. (Cevap D)

B) 2160

C) 2000

D) 1800

E) 1440

Beraber vurduğu balonlar (mavi, sarı), (sarı, kırmızı), (kırmızı, yeşil), (yeşil, turuncu), (turuncu, gri) olabilir. Iska – (mavi, sarı) – kırmızı – yeşil – turuncu – gri Son atışı ıska veya (mavi, sarı) olamayacağından 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 4 = 480 durum vardır. Birlikte patlatılan 5 balon olduğundan toplam 5 · 480 = 2400 durum olur. (Cevap A)

TÜMEVARIM - III Test 1. Aşağıda A ve B sayıları büyüklük olarak eş dairelerle ifade

4. a bir gerçek sayı olmak üzere

edilmiştir.



A=

B=

(a + 1)x + ax – 2 = a



denkleminin kökünün 4 katına eşittir.



Buna göre, a kaçtır?

A) − 4 B) − 3 3 2

Her sayıda en sağda bulunan daireler eş parçalara ayrılmıştır.



Renkli bölgeler A ve B sayılarını temsil ettiğine göre A : B işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 3 2 2

⇒ 4a 2 + 2a + 16a + 8 = 4a 2 + 8a − 8a − 16 ⇒ 18a = −24 ⇒ a = − 4 3

5. (Cevap B)



Örneğin; 12 ve 15 sayıları aralarında asal sayılar değildir. Bu sayıları ortak bölen en büyük asal sayı 3 olduğundan aralarında 3’lü asal sayılardır.



x ve 55 sayıları aralarında 5’li asal sayılar olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz?



A) 30

B) 45

C) 75

D) 110

E) 115

110 ve 55 sayılarının en büyük ortak asal böleni 11 dir. O hâlde aralarında 5 li asal sayılar değildir.

(Cevap D)

Çözüm Yayınları

2. Aralarında asal olmayan iki pozitif tam sayının ikisini de bölen en büyük asal sayı m ise bu iki sayıya “aralarında m’li asal sayı” denir.

A

B

Yukarıda üzerinde A ve B noktaları işaretli olan cetvelin belli bir kısmı verilmiştir. Bu cetvel A noktası sayı doğrusunun –2 ile –1 noktaları arasına gelecek şekilde sayı doğrusu üzerine yerleştiriliyor. A



–5

–4

–3

–2

–1

|AB| = 7 birim ve B noktasının sayı doğrusunda karşılık



A) 1

B) 2

C) 3

grafiği aşağıda verilmiştir. Yol (km)

A B

B 3

Tekerlek (4 + 2) tur attığında A noktasından B noktasına ulaştığına göre, |AB| kaç metredir? B) 4 2 + 2

D) 7 2

C) 6 2

E) 6 2 + 3

|AB| = (Tur sayısı) · (Çevre uzunluğu)

6

307

Zaman (saat)



Bu iki hareketli aralarında 480 km mesafe bulunan iki şehirden karşılıklı olarak aynı anda hareket ettiklerinde 3 saat sonra karşılaşıyor.



Buna göre, m kaçtır?



A) 60

B) 80

C) 100

D) 120

E) 150

VB = 2m , VA = 3m 6 3

= ( 4 + 2 ) ⋅ ( 2 2 − 1) = 8 2 − 4 + 4 − 2 = 7 2 metre

E) 5

5 < x − 2 < 6 ⇒ 7 < x < 8 ⇒ 14 < x < 16 o halde x = 15 için bir tam sayı degeri vardır. 2 2 (Cevap A)

2m

A) 3 2 + 1

D) 4

|AB| = 7 birim olduğunda B noktası 5 ile 6 aralığındadır.

3m



B

geldiği nokta x –2 olduğuna göre, x’in alabileceği kaç 2 farklı tam sayı değeri vardır?

noktasından B noktasına hareket etmektedir.



(Cevap A)

6. Sabit hızlarla hareket eden A ve B araçlarının yol-zaman

3. Çevre uzunluğu (2 2 − 1) metre olan bir tekerlek A

A

D) 3 E) 4 2 3

C) –1

x( a − 2 ) = a + 4 ⇒ x = a + 4 a−2 x( a + 1 + a ) = a + 2 ⇒ x = a + 2 2a + 1 2a + 8 = 4a + 8 ⇒ ( 2a + 8 ) ( 2a + 1) = ( a − 2 ) ( 4a + 8 ) a − 2 2a + 1

D) 5 E) 10 2 2

C) 2

A = 1+ 1+ 1 = 9  4 4  9 3 9 2 3  A:B = : = ⋅ = 4 2 4 3 2 4  B = 1+ = 3  8 2



ax – 2x – 4 = a

denkleminin kökünün 2 katı,





04

(Cevap D)

 2m + 3m  ⋅ 3 = 480 ⇒ m + m = 160 ⇒ 4m = 160 ⇒ m = 120   3  3 3  6

(Cevap D)

Test 04

1. B

7. 49 birim kareden oluşan oyun tahtasının sarı karesinde

3. D

4. A

5. A

6. D

7. D

8. D

9. D 10. C 11. B

10. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesi üzerinde B ⊂ A olmak üzere

bulunan bir dama taşı her hamlede oklar yönünde bir birim kare hareket ettirilerek kırmızı kare içerisine taşınacaktır.

bağıntısı ve B sıralı yedilisi tanımlanıyor.

M

Yukarı Sol

2. D

B Sağ



B

M

=

M

=

a

B B B

= 1,

m ∈ B ise

= 0,

m ∉ B ise

, b

B

, c

B

, d

B

, e

B

, f

B

, g

B

B

Buna göre, K = {1, 0, 0, 1, 1, 0, 1}

M = {1, 1, 1, 0, 0, 0, 1}



Buna göre, 6 hamle ile bu taşıma işlemi kaç farklı biçimde yapılabilir?



A) 15

B) 18

C) 20

D) 30

E) 36

A = {3n: n ∈ Z+}



B = {n3: n ∈ N}



kümeleri veriliyor.



Buna göre, aşağıdakilerden hangisi

Çözüm Yayınları



A) 2

kartezyen çarpım kümesinin bir elemanıdır?



A) (2, 5)

B) (27, 1)

C) (3, 9)

D) (6, 7)

308

Bu tablonun 4 hücresine

1. sütun

B) 144

C) 132

D) 120

E) 112

(Tüm 4 lü hücre sayısı) – (Aynı satırda seçilen 4 hücre sayısı)

()()()

(Cevap C)

⇒ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 − 1 − 5 = 126 − 6 = 120 24

2. sütun 3. sütun

3. satır



Dağıtımında her öğrenci bir üstünde bulunan öğrencinin yarısı, bir solunda bulunan öğrencinin 3 katı kadar bilye almaktadır.



Buna göre,



I. Birinci satırdaki öğrencilerin aldığı toplam bilye sayısı 3. satırdaki öğrencilerin aldığı toplam bilye sayısının 9 katıdır.



II. İkinci sütundaki öğrencilerin aldığı toplam bilye sayısı üçüncü sütundaki öğrencilerin aldığı toplam bilye sayısının 2 katıdır.



III. Birinci satır üçüncü sütunda bulunan öğrencinin aldığı bilye sayısı ile üçüncü satır birinci sütunda bulunan öğrencinin aldığı bilye sayısının toplamı en az 37’dir.

imojileri

Her satırda en az bir tane imojili hücre olacak biçimde kaç farklı desen oluşturulabilir?

9 − 4 − 5 4 4 4

E) 32

1. satır

yerleştirilerek desenler oluşturuluyor.

A) 150

D) 16

dağıtacaktır.

E) (5, 3)

9. Şekilde 2 satır ve 9 hücreden oluşan bir tablo veriliyor.



C) 8

2. satır

Birinci bileşeni A \ B kümesinin elemanıdır. Yani 3 ile tam bölünen ancak bir doğal sayının küpü olmayan sayıların kümesidir. İkinci bileşeni N \ A kümesinin elemanıdır. Yani 3 ile tam bölünemeyen doğal sayıların kümesidir. O hâlde (6, 7) elemanı olabilir. (Cevap D)



B) 4

11. Cevdet aşağıdaki gibi sıralanan 9 çocuğa elindeki bilyeleri

(A \ B) x (N \ A)







(Cevap D)

8. N doğal sayılar kümesi olmak üzere,



olduğuna göre, K ∪ M kümesinin {0, 0, 1, 1, 0, 0, 1} koşulunu sağlayan kaç farklı alt kümesi vardır?

K = {a, d, e, g} ve M = {a, b, c, g} K ∪ M = {a, b, c, d, e, g} kümesinin {c, d, g} yi kapsayan alt küme sayısı 23 = 8 dir.

Dama taşı 4 kez yukarı 1 kez sağa ve 1 kez sola taşınmalıdır. 6 ! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4! = 30 4! 4!



(Cevap D)



ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız III

D) I ve III

4a

12a

36a

2a

6a

18a

a

3a

9a

C) I ve II

E) I, II ve III

I. (4a + 12a + 36a ≠ 9 · (a + 3a + 9a) II. (3a + 6a + 12a) ≠ 2(36a + 18a + 9a) III. 36a + a = 37a ⇒ a = 1 için 37a = 37 olur. (Cevap B)

TÜMEVARIM - III Test 1.

4. Aşağıda verilen dört işlem tablosunda sarı bölmelere 1, 2, 3,

5 x + 1 , x + 5 ve 2x + 1 2x − 7 5 x − 11 4 x − 12



ifadelerini tanımsız yapan x değerleri sırasıyla a, b ve c’dir.



Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?



A) a < b < c



B) b < a < c

D) a < c < b

05

4, 5, 6, 7, 8 sayılarından dördü eşitlikler sağlanacak şekilde yazılacaktır.

C) b < c < a

E) c < b < a

–

=3

+

=3

–

b 2 ⇒ (2, ∞)

8. (a + 6)x2 – (a – 2)x + 1 = 0

(Cevap E)

B) –1

D>0 (a – 2)2 – 4 · (a + 6) · 1 > 0 a2 – 4a + 4 – 4a – 24 > 0 a2 – 8a – 20 > 0

C) 0

D) 1

E) 2

(a – 10) (a + 2) > 0 –2 +

10 –

+

Sağlamayan a tam sayılarının çarpımı (–2) (–1) . 0 . 1 . 2 ... 10 = 0 (Cevap C)

Test 02

1. D

2. C

3. E

9. m bir gerçek sayı olmak üzere

4. E

5. D

6. C

7. C

8. C

9. B 10. E 11. D 12. C 13. E 14. A 15. C 16. A

13. Gerçek katsayılı ikinci dereceden

(x + 4)2 = m – 2

2 (a − 7)x + a ⋅ x + 2 = 0

denkleminin köklerinin çakışık olmasını sağlayan m değeri için

x2 – 2m = 0

denkleminin kökleri çarpımı kaçtır?



A) –8

B) –4

C) 0

D) 4

E) 8

m–2=0 ⇒ m=2 x2 – 2 · 2 = 0 ⇒ x2 – 4 = 0 ⇒ x1 = 2, x2 = –2 ⇒ x1 · x2 = –4



denkleminin kökleri gerçek sayılardır.



Buna göre, a’nın alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) (7, 8]



B) (2, 8]

D) (–∞, 8] – {7}

2

a – 4 · (a – 7) · 2 ≥ 0 a – 8a + 56 ≥ 0 56 ≥ 7a ⇒ 8 ≥ a ⇒ a ≤ 8

(Cevap B)

C) [8, ∞)

E) [0, 8], – {7}

a–7≠0 ⇒ a≠7 a ∈ R ⇒ a ≥ 0 dır. a ∈ [0, 8] – {7}

(Cevap E)

10. f : R → R 1 f (x) = 2 − 2x + m x

14. (x2 – mx + 9) · (nx2 – 6x + 2) = 0

denkleminin çözüm kümesini boş küme yapan m ve n sayılarının değer aralıkları A ve B’dir.

Buna göre, m’nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?



Buna göre, A ∩ B kümesinin tam sayı elemanlarının sayısı kaçtır?

A) (–∞, 1)



A) 1

fonksiyonu tanımlanıyor.





B) (0, 1)

D) (0, ∞)

C) (1, 2)

E) (1, ∞)

Tanım kümesi reel sayılar olduğundan x2 – 2x + m = 0 denkleminin reel kökü yoktur. ∆ < 0 ⇒ 4 – 4 · 1 · m < 0 ⇒ 4 < 4m

⇒ m > 1

⇒ (1, ∞)

(Cevap (E)

11. a ve n bir tam sayı, m bir pozitif basit kesir olmak üzere,

Çözüm Yayınları



B) 2

x2 – mx + 9 = 0 ∆ 0 ⇒ m < 1 O hâlde m = − 1 dir. 10 2

16. n ve m bir gerçek sayılar olmak üzere

(Cevap C)

C) 3 4n2 – 4n – 8 = 0 n2 – n – 2 = 0 (n – 2) (n + 1) = 0 n 1 + n2 = 2 – 1 = 1

D) 4

E) 5

(Cevap A)

BÖLÜM 05 Test

İkinci Dereceden Denklemler

03

1. x2 – 4x – 12 = 0

5. x2 + 10x + m – 4 = 0



denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



denkleminin köklerinden biri diğerinin 3 katından 2 fazladır.



Buna göre,



Buna göre, m kaçtır?

(x1 + x2) · x1 · x2



A) 32



ifadesinin değeri kaçtır?



A) –60

x1 = 3x2 + 2 x1 + x2 = –10 3x2 + 2 + x2 = –10 4x2 = –12

B) –56

C) –48

D) 48

x1 + x 2 = 4 x1 · x2 = –12 (x1 + x2) · x1 · x2 = 4(–12) = –48

E) 56

B) 30

C) 28

D) 26

x2 = –3 (–3)2 + 10(–3) + m – 4 = 0 9 – 34 + m = 0 m = 25

E) 25

(Cevap E)

(Cevap C)

6. m bir gerçek sayı ve m < –3 olmak üzere,

2. x2 – 6x + 1 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



Buna göre,

toplamının değeri kaçtır?



A) 2

B)

5 C) 2 2

D) 3

x1 + x 2 = 6

x1 + x 2 + 2 x1 ⋅ x 2 = a 2

x1 ⋅ x 2 = 1

6 + 2 1 = a2

x1 + x 2 = a

denkleminin kökleri toplamı aşağıdakilerden hangisidir?



A) –3

B) 3

C) 6

D) m – 3

x2 – 6x + 9 + m + 3 = 0 x2 – 6x + m + 12 = 0 x1 + x 2 = 6







a2 = 8 ⇒ a = 2 2

E) 2 3

(Cevap C)

E) –m + 3

(Cevap C)

Çözüm Yayınları



x1 + x 2

(x – 3)2 + m + 3 = 0

7. x2 – ax + 3 = 0

x2 + 1 = 2 x1 3

3. x2 + x – 3 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.



(x1 + 1) · (x2 + 1)

işleminin sonucu kaçtır?



A) –4

B) –3

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

C) –2

olduğuna göre, a kaçtır?

A) 13 B) 14 2 3 D) –1

E) 0

x 1 ⋅ x 2 = 3 ve

(Cevap B)

D) 16 3

E) 6

x1 + x 2 = a

x2 x ⋅x +1 2 + 1 =2 ⇒ 1 2 = ⇒ 4 =2 x1 x1 3 1 x1 3 3

x1 + x2 = –1 ve x1 . x2 = –3 (x1 + 1) · (x2 + 1) = x1 + x2 + x1 · x2 + 1 = –1 – 3 + 1 = –3

C) 5

( x1 )

⇒ x 1 = 6 , x 2 = 1 ⇒ a = 6 + 1 = 13 2 2 2

(Cevap A)

4. x2 – 6x + 2 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.



Buna göre,

8. x2 – (x1 · x2)x + 8 = 0

x12 + x22



denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



ifadesinin değeri kaçtır?



Buna göre, bu denklemin diskriminantı kaçtır?



A) 24



A) 24

B) 28

C) 30

D) 32

E) 38

x1 + x2 = 6 ⇒ (x1 + x2)2 = 62 ⇒ x12 + x22 + 2x1x2 = 36

C) 32

D) 36

E) 40

x2 – 8x + 8 = 0

x1 · x2 = 2 x12 + x22 + 4 = 36 x12 + x22 = 32

B) 30

x1 + x 2 = x 1 · x 2 = 8 (Cevap D)

∆ = 64 – 4 · 1 · 8 = 32

(Cevap C)

315

Test 03

1. C

2. C

3. B

4. D

5. E

6. C

7. A

8. C

9. C 10. D 11. C 12. C 13. C 14. E 15. D 16. D

9. x2 – 6x + 3m = 0

13. m ve n sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,



x2 – (3m – 2n)x + 3m + n = 0

ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

2x1 – x2 = 3



denkleminin kökleri m – n ve m + 2n’dir.



olduğuna göre, m kaçtır?



Buna göre m · n çarpımının sonucu kaçtır?



A) 1



A) 1

+

2x1 – x2 = 3 x1 + x 2 = 6

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

9 – 18 + 3m = 0 3m = 9 m=3

3x1 = 9 x1 = 3

3

a +3b =2

3

3



B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

olduğuna göre, m ve n arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2m + n = 4

+ 3 b = 10 ⇒ a + b = 10 ⇒ a + b = 3m + 4 = 10 ⇒ m = 2 ⇒ a ⋅ b = 6

(Cevap D)

11. m bir gerçek sayı olmak üzere, x2 – (m + 2)x + 128 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

olduğuna göre, m kaçtır?



A) 30 x1

x22

B) 32

C) 34

D) 36

E) 38

x 1 = 2 ⋅ 4 2 = 32

= 2 ⇒ x1 = 2 ⋅ x 2 2

x1 + x 2 = m + 2

x 1 ⋅ x 2 = 128 ⇒ x 2 ⋅ 2 x 2 2 = 128

D) m = n

x1 – x 2 = 4 x1 + x2 = –2m

C) m + n = 4 2

E) m = n + 4

x1 · x2 = n (2 – m) · (–2 – m) = n m2 – 4 = n m2 = n + 4

x1 = 2 – m x2 = –2 – m

(Cevap E)

15. x2 – 4x – 6 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



Buna göre,

x 2 + 4x 2 − 5 1

x ⋅ x −2 = 2 1 2

Çözüm Yayınları

+

3

B) m · n = 4 2



( 3 a + 3 b ) ⋅ ( 3 a 2 + 3 b 2 − 3 a ⋅ b ) = 10 3a

ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



Denklemler taraf tarafa çarpılır.

3

(Cevap C)

x1 – x2 = 4

olduğuna göre, a · b çarpımının sonucu kaçtır? A) 2

E) 5

14. x2 + 2mx + n = 0

2 2 3 a + b − ab = 5



D) 4

(m – n) · (m + 2n) = 3m + n (3n – n) (3n + 2n) = 3(3n) + n 2n · 5n = 10n n = 1, m = 3 ⇒ m · n = 3

(Cevap C)

ikinci dereceden denkleminin kökleri a ve b’dir.



C) 3

(m – n) + (m + 2n) = 3m – 2n 2m + n = 3m – 2n m = 3n

10. x2 – (3m + 4)x + m + 4 = 0

B) 2



ifadesinin değeri kaçtır?



A) 25

C) 18

D) 17

= 4(x1 + x2) + 1 = 4 · 4 + 1 = 17

36 = m + 2 ⇒ m = 34

⇒ x 2 3 = 64 ⇒ x 2 = 4

B) 20

E) 12

x12 – 4x1 – 6 = 0 ⇒ x12 = 4x1 + 6 x12 + 4x2 – 5 = 4x1 + 6 + 4x2 – 5 (Cevap D)

(Cevap C)

316

16. x2 – (a + 1)x + b = 0 12. x2 – 45x – a = 0







denkleminin kökleri x1 ve x2’dir. 3



x1 + 3 x 2 = 3





olduğuna göre, a kaçtır?



A) 6

B) 7 3

x1 + x 2 = 3 x1 + 3 x 2

⇒

3a

C) 8

D) 9

E) 10

3

ikinci dereceden denkleminin kökleri

x1 − x 2 ve



Buna göre, a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?



A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

x1 + ( − x 2 ) = a + 1 ⇒ x1 − x 2 = a + 1

2

=2 ⇒ a=8

(a – 3)x2 + 2x + 12 = 0

x1 + x 2 ’dir.

( 3 x1 + 3 x 2 ) ⋅ ( 3 x1 + 3 x 2 ) − 3 3 x1 ⋅ x 2  45 = 3 ⋅ ( 9 − 3 3 −a ) ⇒ 15 = 9 + 3 3 a 45 =

ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve –x2,

( (Cevap C)

)(

x1 − x 2 ⋅

)

x 1 + x 2 = 12 ⇒ x 1 − x 2 = 12 a−3 a−3

a + 1 = 12 ⇒ a 2 − 2a − 3 = 12 ⇒ a 2 − 2a − 15 = 0 ⇒ a1 + a2 = 2 a−3

(Cevap D)

BÖLÜM 05 Test

İkinci Dereceden Denklemler 1. x2 – mx + 2 = 0

5. n bir gerçek sayı olmak üzere



(x2 – nx – (n – 2)) · (x – n) = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

x1 + x2 + 3x1 · x2 = 10

olduğuna göre, m kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

x1 + x2 = m ve x1 · x2 = 2 x1 + x2 + 3x1 · x2 = 10 m + 3 · 2 = 10 ⇒ m = 4

E) 5



denkleminin kökleri çarpımı 1 olduğuna göre, kökleri toplamı kaçtır?



A) 1

B) 2

2. x2 – (m – 3)x + 4 = 0

6. x2 – 11x + 6 – n = 0





denkleminin kökler toplamı

2x2

– 4x + m – 2 = 0



Buna göre, n kaçtır?



Buna göre, m kaçtır?



A) –4



A) 1

C) 3

D) 4

E) 5

(Cevap B)

(Cevap D)

3. x2 – (a – 1)x + a + 1 = 0



A) 1

C) 3

D) 4

D) 2

12 − 11 ⋅ 1 + 6 − n = 0 ⇒ − 4 − n = 0 ⇒ n = −4



x12 · x2 + x22 · x1 = 15 olduğuna göre, a kaç olabilir?

C) –2

E) 3

(Cevap A)

7. x2 – (m – 2)x + 16 = 0

ikinci dereceden denklemin kökleri x1 ve x2 dir.



Çözüm Yayınları

m − 3 = m − 2 ⇒ 2m − 6 = m − 2 ⇒ m = 4 2

B) –3

x1 = 5 ⋅ x 2 ⇒ x 1 = 10 x 2 2 x 1 + x 2 = 11 ⇒ 10 x 2 + x 2 = 11 ⇒ 11x 2 = 11 ⇒ x 2 = 1

x1 + x 2 = x1 ⋅ x 2

B) 2

E) 5

x1 ve x2 sırasıyla 2 ile doğru, 5 ile ters orantılıdır.

denkleminin kökler çarpımına eşittir.



D) 4

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



B) 2

C) 3

x2 – nx – n + 2 = 0 ⇒ x1 · x2 = –n + 2 x – n = 0 ⇒ x3 = n x1 · x2 · x3 = 1 ⇒ (–n + 2) · n = 1 ⇒ n2 – 2n + 1 = 0 ⇒ (n – 1)2 = 0 ⇒ n = 1 x1 + x2 + x3 = n + n = 2n = 2

(Cevap D)

04

E) 5

x 1 ⋅ x 2 ( x 1 + x 2 ) = 15 x 1 ⋅ x 2 = a + 1  ( a + 1)( a − 1) = 15  x 1 + x 2 = a − 1  a 2 − 1 = 15 ⇒ a 2 = 16 ⇒ a = −4

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

− x1 + 3 = 8 x2

olduğuna göre, m kaçtır?



A) 17

B) 18

C) 19

D) 20

E) 21

− x 1 ⋅ x 2 + 3 x 2 = 8 ⇒ − 16 + 3 x 2 = 8

a=4

(Cevap D)

⇒ 3 x 2 = 12 ⇒

x 2 = 4 ⇒ x 2 = 16

x 1 ⋅ x 2 = 16 ⇒ 16 x 1 = 16 ⇒ x 1 = 1 x 1 + x 2 = m − 2 ⇒ 17 = m − 2 ⇒ m = 19

(Cevap C)

4. (n – 2)x2 + 4 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

x 2 + x 22 = 4 1

8. x2 – (15 – b)x + 4a = 0



olduğuna göre, n kaçtır?



ikinci dereceden denkleminin sıfırdan farklı kökleri a ve b’dir.



A) 0



Buna göre, a + b toplamı kaçtır?



A) 9

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x 1 + x 2 = 0 ve x 1 ⋅ x 2 = 4 n−2 2

x1 + x 2 + 2x1 ⋅ x 2 = 0 4 + 2⋅ 4 = 0 n−2 8 = −4 ⇒ − 4n + 8 = 8 ⇒ − 4n = 0 ⇒ n = 0 n−2

B) 10

a · b = 4a ⇒ b = 4 a + b = 15 – b ⇒ a + 4 = 11 ⇒ a = 7 a + b = 4 + 7 = 11

2

(Cevap A)

C) 11

D) 12

E) 13

(Cevap C)

317

Test 04

1. D

2. D

3. D

4. A

5. B

6. A

7. C

8. C

9. E 10. E 11. B 12. A 13. C 14. B 15. C 16. D

9. n bir gerçek sayı olmak üzere,

13. m bir gerçek sayı olmak üzere

x2 – nx + n + 1 = 0

3x2 + 12x – m1000 – m = 0



ikinci dereceden denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması ile geometrik ortalamasının karesinin toplamı 16’dır.



denkleminin köklerinden biri 6 olduğuna göre, kökler çarpımının değeri kaçtır?



Buna göre, n kaçtır?



A) –56



A) –10

A.O =

B) –6

x1 + x 2 n = 2 2

(

)

C) 6

D) 8

E) 10

x 1 + x 2 = − 12 3 6 + x 2 = −4

G .O = x 1 ⋅ x 2 = n + 1

x 2 = −10

2

 n  + n + 1 = 16 ⇒ n + n + 1 = 16   2 2 3n + 2 = 16 ⇒ 3n + 2 = 32 ⇒ n = 10 2

B) –58

C) –60

    x 1 ⋅ x 2 = 6 ⋅ ( −10 ) = −60   

14. m bir gerçek sayı olmak üzere,

x2

x2 – 2mx + m + 5 = 0

– (n + 6)x + n + 3 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



x2

+

x2 x1

=4



olduğuna göre, n’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?



A) 8

B) 7

(Cevap C)

C) 6

Payda eşitlenirse

D) 5

(n + 6)2 = ( 4 n + 3 )2 n2 + 12n + 36 = 16n + 48 n2 – 4n – 12 = 0 –6 +2 n = 6, n = –2 ⇒ 6 + (–2) = 4

x1 ⋅ x1 + x 2 ⋅ x 2 = 4 x1 ⋅ x 2 x1 + x 2 = 4 x1 ⋅ x 2 n+6 = 4 n+3



denkleminin büyük kökü, küçük kökünün 2 fazlasına eşittir.



Buna göre, m’nin alabileceği değerlerin farkı kaç olabilir?



A) 6

+

E) 4

(Cevap E)

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

2 – 2m(m + 1) + m + 5 = 0

x1 – x 2 = 2 x1 + x2 = 2m

(m + 1) m2 + 2m + 1 – 2m2 – 2m + m + 5 = 0 –m2 + m + 6 = 0 m2 – m – 6 = 0 m = 3, m = –2 ⇒ 3 – (–2) = 5

2x1 = 2m + 2 x1 = m + 1

Çözüm Yayınları

x1

E) –72

(Cevap E)

10. n bir gerçek sayı olmak üzere,



D) –64

(Cevap B)

15. x2 – (x1 – 3) · x + (x2 + 1)4 = 0

ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

11. (m – 2)x2 – (m – 2)x + 2 = 0



Buna göre,



x 2 ⋅ x = 4m 2 1

ikinci dereceden denkleminin kökleri a ve b’dir.

2a2 + 2b2 + a + b = 2

olduğuna göre, m kaçtır?



A) 9

B) 10

C) 11

a + b = m−2 =1 m−2 2[(a + b)2 – 2ab] + a + b = 2 2 · [1 – 2ab] + 1 = 2

D) 12

E) 13

3 − 4ab = 2 a ⋅ b = 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ m = 10 4 m−2 4



denklemini sağlayan m değeri kaçtır?



A) –16

B) –15

C) –12

D) –10

x1 + x2 = x1 – 3 ⇒ x2 = –3 x1 · x2 = (x2 + 1)4 = 16 x1 · x2 · x2 = 4m ⇒ 16 · (–3) = 4m ⇒ m = –12

E) –8

(Cevap C)

(Cevap B)

318 12. x2 – 6x + 2 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



Buna göre,

x13 ⋅ x 2 3

=

=

x2 + cx + d = 0 denkleminin bir kökü –2,

1 + 1 toplamının değeri kaçtır? x 13 x 32

A) 45 2 x13 + x 2 3

16. x2 – ax + b = 0 denkleminin bir kökü 3,

C) 47 2

B) 23

(

( x1 + x 2 ) ( x1 + x 2 ) 2 − 3x1 ⋅ x 2

D) 24

E) 49 2

)

(

23

2



Buna göre, a + c kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

x1 + 3 = a

) = 6 ⋅ 30 = 45 8

denklemlerin diğer kökleri birbirine eşittir.

Ortak kökleri x1 olsun.

( x1 ⋅ x 2 ) 3

6 ⋅ 62 − 3⋅2



+ (Cevap A)

–/ x1 – 2 = –c 5=a+c

(Cevap D)

BÖLÜM 05 Test

İkinci Dereceden Denklemler 5. x2 – x – 1 = 0

1. Kökleri 1 ve 1 olan ikinci dereceden denklem 4 3 aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 – 2x – 12 = 0



C)

4x2

– 7x + 1 = 0

B) x2 – 12x + 7 = 0 D)

12x2

+x+1=0

2



denkleminin köklerinin 2 fazlasını kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



A) x2 – 5x + 5 = 0

B) x2 – 5x + 6 = 0



C) x2 – 3x + 5 = 0

D) x2 – 5x + 7 = 0

E) 12x – 7x + 1 = 0

E) x2 – 3x + 1 = 0

x 2 −  1 + 1  x + 1 ⋅ 1 = 0 4 3 4 3 x 2 − 7 x + 1 = 0 ⇒ 12 x 2 − 7 x + 1 = 0 12 12

x → (x – 2) yazılırsa (x – 2)2 – (x – 2) – 1 = 0 x2 – 4x + 4 – x + 2 – 1 = 0 ⇒ x2 – 5x + 5 = 0

(Cevap E)

2. Köklerinden biri 1 − 2 olan rasyonel katsayılı ikinci A) x2 – x – 1 = 0

B) x2 + 2x – 1 = 0



C) x2 – 2x – 1 = 0

D) x2 – x – 2 = 0

(Cevap A)

6. Köklerinin aritmetik ortalaması 6, harmonik ortalaması

dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



05

1 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

E) x2 + x – 2 = 0



A) x2 – 2x – 3 = 0

B) x2 + 12x + 2 = 0



C) x2 + 6x + 2 = 0

D) x2 + 12x + 6 = 0

E) x2 – 12x + 6 = 0

Köklerinden biri 1 − 2 ise diğeri 1 + 2 dir. x 2 − ( 1 − 2 + 1 + 2 )x + ( 1 − 2 ) ⋅ ( 1 + 2 ) = 0 x 2 − 2x − 1 = 0

Çözüm Yayınları

(Cevap C)

3. x2 – 2x – 3 = 0

x1 + x 2 = 6 ⇒ x 1 + x 2 = 12 2 2 x1 ⋅ x 2 1= ⇒ x1 ⋅ x 2 = 6 x1 + x 2

x 2 − ( x1 + x 2 ) ⋅ x + x1 ⋅ x 2 = 0 x 2 − 12 x + 6 = 0 (Cevap E)

7. x2 – 3x + 5 = 0

denkleminin köklerinin karelerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

denkleminin köklerinin 2 katının 3 eksiğini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



A) x2 + 12x + 11 = 0

B) x2 + 11 = 0



A) x2 + 9x – 10 = 0

B) x2 – 9x – 10 = 0



C) x2 – 12x + 11 = 0

D) x2 – 11 = 0



C) x2 – 10x – 9 = 0

D) x2 – 10x + 9 = 0



E) x2 + 10x + 9 = 0

E) x2 – 11x + 12 = 0 x → x + 3 yazılırsa 2

(x – 3) · (x + 1) = 0 ⇒ x = 3, x = –1

2

Yeni kökler 9 ve 1 olur. x2 – 10x + 9 = 0

 x + 3  − 3⋅ x + 3 + 5 = 0   2  2 

x 2 + 6 x + 9 − 6 x − 18 + 20 = 0

x 2 + 6 x + 9 − 3x + 9 + 5 = 0 4 2

x 2 + 11 = 0

(Cevap D)

(Cevap B)

319

8. ax2 – x + b = 0 2x2 – bx + a = 0

4. x2 – 2x – 3 = 0

ikinci dereceden denkleminin köklerinin 2 katını kök kabul eden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



A) x2 – 8x – 12 = 0

B) x2 + 10x – 12 = 0



C) x2 – 12x – 4 = 0

D) x2 – 6x – 10 = 0

ikinci dereceden denklemlerinin çözüm kümeleri birbirine eşittir.



Buna göre, a3 + 4 ifadesinin değeri kaçtır?



A) 6 ax 2

E) x2 – 4x – 12 = 0

−x+b=0

B) 7 ax 2

C) 8

D) 9

E) 10

−x+b=0

2 a / 2 x 2 − bx + a = 0 ax 2 − ab + a = 0 2 2 2 −a ⋅ b = −1 ⇒ a ⋅ b = 2 ⇒ b = 2 2 a

x→ x 2 2

 x  − 2 ⋅ x − 3 = 0 ⇒ x 2 − x − 3 = 0 ⇒ x 2 − 4 x − 12 = 0   2 2 4



(Cevap E)

2 2 b = a ⇒ 2 = a ⇒ a3 = 4 ⇒ a3 + 4 = 8 2 a 2

(Cevap C)

Test 05

1. E

2. C

3. D

4. E

5. A

6. E

7. B

8. C

9. E 10. D 11. A 12. B 13. B 14. A 15. D 16. C

9. x1 + x2 – 2x1x2 = –1

13. x1 · x2 = 4 + x2

x1 + x2 + 3x1x2 = 19

x1 – 2x2 = 6



olduğuna göre, kökleri x1 + 2 ve x2 + 2 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



olduğuna göre, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



A) x2 – 11x + 20 = 0

B) x2 – 10x + 12 = 0



A) x2 + x – 2 = 0

B) 2x2 + 5x – 4 = 0



C) x2 + 10x + 22 = 0

D) x2 – 7x + 15 = 0



C) 2x2 – x – 4 = 0

D) x2 – 5x – 1 = 0

E) x2 – 11x + 22 = 0 +

E) 2x2 + 5x – 1 = 0 x1 – 2x2 = 6

x2 – 7x + 4 = 0 x → x – 2 yazılırsa (x – 2)2 – 7(x – 2) + 4 = 0 x2 – 4x + 4 – 7x + 14 + 4 = 0 x2 – 11x + 22 = 0

–/ x1 + x2 – 2x1 · x2 = –1 x1 + x2 + 3x1 · x2 = 19 5x1 · x2 = 20 x1 . x2 = 4 x1 + x2 = 7

⇒ 2x22 + 5x2 – 4 = 0 ⇒ 2x2 + 5x – 4 = 0

(Cevap B)

14. 1. Denklem: 4x2 + 6x – 9 = 0

(Cevap E)

2. Denklem: ax2 + bx + 1 = 0

10. 3x2 + 6x + 1 = 0

⇒ x1 = 2x2 + 6

x1 · x2 = 4 + x2 ⇒ (2x2 + 6) · x2 = 4 + x2

denkleminin köklerinin karelerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



olmak üzere 1. denklemin kökleri x1 ve x2,



2. denklemin kökleri

x1

x2



A) 9x2 – 30x + 2 = 0

B) 9x2 – 12x + 1 = 0



Buna göre, b kaçtır?



C) 9x2 – 20x + 1 = 0

D) 9x2 – 30x + 1 = 0



A) 3

– 10x + 1 = 0 x12 ⋅ x 2 2 = 1 9 x 2 − 10 x + 1 = 0 3 9

x 1 + x 2 = −2 x1 ⋅ x 2 = 1 3 x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) − 2 x 1 ⋅ x 2 = 4 − 2 = 10 3 3 2

B) 4

x2

x1

’dir.

C) 5

x1 x 2 1 ⋅ = ⇒ 1 =1 ⇒ a=1 x 2 x1 a a

D) 6

E) 7

x1 + x 2 = − 3 , x1 ⋅ x 2 = − 9 2 4

2

x1 x 2 ( x + x ) − 2 x 1 ⋅ x 2 = −b + = −b ⇒ 1 2 x1 ⋅ x 2 x 2 x1

9 x 2 − 30 x + 1 = 0

(Cevap D)

Çözüm Yayınları

E)

9x2

ve

⇒  9 + 18  :  − 9  = −b ⇒ − b = 27 ⋅ − 4 ⇒ − b = −3 ⇒ b = 3 4 4   4 4 9

(Cevap A)

15. 2x2 + ax + b = 0

ikinci dereceden denklemin kökleri –2 ve 4’tür.



Buna göre, kökleri a ve b olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

x2 + bx – 4 = 0



A) x2 – 30x + 72 = 0

B) x2 – 10x + 16 = 0



denkleminin köklerinden ikişer fazladır.



C) x2 – 20x + 32 = 0

D) x2 + 20x + 64 = 0



Buna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?

11. x2 – 2x + a = 0



denkleminin kökleri

A) –2

B) –1

x→x–2 (x – 2)2 + b(x – 2) – 4 = 0 x2 – 4x + 4 + bx – 2b – 4 = 0 x2 – x(4 – b) – 2b = 0

C) 1

D) 2

E) 3

x2 – x(4 – b) – 2b = x2 – 2x + a 4–b=2 ⇒ b=2 a = –2b ⇒ a = –4 a+b=–2

(Cevap A)

12. Rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden biri a’dır.

320

olduğuna göre, bu denklem aşağıdakilerden hangisidir? x2



A)

– 6x + 7 = 0



C) x2 – 10x + 5 = 0

B)

x2

+ 14x + 1 = 0

E) x + 10x + 5 = 0

(

3 −2

)

2

3−4

a1 = 3 + 4 − 4 3 = −7 + 4 3 −1 a 2 = −7 − 4 3

2x2 – 4x – 16 = 0 ⇒ a = –4, b = –16 x2 – (a + b)x + a · b = 0 x2 – (–20)x + 64 = 0 ⇒ x2 + 20x + 64 = 0

(Cevap D)

16. 4x2 – 2x – 4 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



Buna göre, kökleri

2

(

a1 ⋅ a 2 = ( −7 ) − 4 3

)

2

= 49 − 48 = 1

olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2x2 – 5x + 3 = 0

B) x2 – 3x – 7 = 0



C) 2x2 – 5x + 2 = 0

D) 2x2 – 3x – 1 = 0

E) x2 – 5x + 1 = 0 x 1 ⋅ x 2 = −4 = −1 4 x 1 + x 2 = − −2 = 1 4 2

x 2 −  2 + 1  x + 2 ⋅ 1 = 0  2 2 x 2 − 5x + 1 = 0 2 1

a1 + a 2 = −7 + 4 3 − 7 − 4 3 = −14

4 x1 ⋅ 4 x 2 = 4 x1 + x 2 = 4 2 = 2

x 2 − ( −14 ) x + 1 = 0 x 2 + 14 x + 1 = 0



D) x2 – 14x + 3 = 0

2

a1 = 3 − 2 = 3 +2

E) x2 –40x + 72 = 0

x1 x2 ve (2 x1 ) x 2 4 ⋅ 4

a= 3 −2 3 +2

2(x2 – (–2 + 4)x + (–2) · 4) = 0

(2x ) 1

(Cevap B)

x2

= 2 x 1 ⋅x 2 = 2 −1 = 1 2

2x 2 − 5x + 2 = 0 (Cevap C)

06

BÖLÜM 05 Test

İkinci Dereceden Denklemler 1. x3 – 4x2 – 5x = 0

5. x3 – 4x2 – 9x + 36 = 0



denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?



A) {0, 5}



A) 4



B) {–1, 5}

D) {–1, 0, 5}

C) {0, 1, 5}

B) 5

E) {–1, 1, 5}

x = 0, x = 5, x = –1, ⇒ ÇK = {–1, 0, 5}

6. |x2 – 4x| = 5



denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?





A) {–2, 2}

D) {–2, –2, –3, 3}

E) 8

x = 4, x = 3, x = –3 ⇒ –3 + 3 + 4 = 4

(Cevap D)

2. x4 + 5x2 – 36 = 0



D) 7

(x – 4) (x2 – 9) = 0

x(x2 – 4x – 5) = 0 ⇒ x · (x – 5) · (x + 1) = 0



E) {− 3, 3 }

(Cevap A)

denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∅

C) {− 2, 2 }

B) {–3, 3}

C) 6

x2(x – 4) – 9(x – 4) = 0

B) {–1, 5}

D) {–1, –5}

C) {–5, 1}

E) {0, 5}

x2 – 4x = 5 veya x2 – 4x = –5

x2 = a olsun. a2 + 5a – 36 = 0

x2 – 4x – 5 = 0 veya x2 – 4x + 5 = 0

+9

⇒ a = –9,

a=4

–4

⇒ x2 = –9,

x2 = 4

⇒ ∅

x = 2, x = –2 ⇒ ÇK = {–2, 2}

(Cevap A)

Çözüm Yayınları

⇒ (a + 9) · (a – 4) = 0

(x – 5) (x + 1) = 0

∆ 4



olduğuna göre, 3a – b kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

(Cevap C)

6 = 5 x−2

x−2 +



denklemi sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?



A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

x − 2 = a olsun. a + 6 = 5 ⇒ a 2 − 5a + 6 = 0 a ( a − 3) ⋅ ( a − 2) = 0 ⇒ a = 2 , a = 3

E) 5

2x = m olsun. m2 – 6m + 8 = 0 ⇒ (m – 4) (m – 2) = 0

  6 + 11 = 17 x − 2 = 3 ⇒ x − 2 = 9 ⇒ x = 11  x−2 = 2 ⇒ x−2= 4 ⇒ x =6

⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

2x = 4 ⇒ x = 2 2a + b > 4 olacağından a = 2, b = 1 o hâlde 3a – b = 5

(Cevap E)

(Cevap B)

Çözüm Yayınları

m = 2 veya m = 4

6. B

x 2 − 3 x = a olsun. a 2 − 2a − 8 = 0 ⇒ ( a − 4 )( a + 2 ) = 0

x − 3 = −2 ⇒ ÇK = ∅



5. A

( x 2 − 3 x ) 2 − 2( x 2 − 3 x ) − 8 = 0

x − 3 = a olsun.

a 2 + a − 2 = 0 ⇒ ( a + 2 ) ⋅ ( a − 1) = 0 ⇒ a = −2 , a = 1



4. D

13. (x2 – 3x)2 – 2x2 + 6x – 8 = 0

x−3 +4 x−3 −2=0

9.

4 ( x − 3) 2

2. A

11. (|x| – 4) · (|x| – 2) = 3

denkleminin çözüm kümesinin eleman sayısı kaçtır?

15.



A) 0



olduğuna göre, x kaçtır?



A) 5

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

|x|2 – 2|x| – 4|x| + 8 = 3 2

|x| – 6|x| + 5 = 0 (|x| – 5) (|x| – 1) = 0

⇒

(

|x| = 5 ⇒ x = 5, x = –5

x+4 − x−4 =2

x+4 − x−4

B) 6

)

2

= 22

x + 4 + x − 4 − 2 x 2 − 16 = 4

|x| = 1 ⇒ x = 1, x = –1 Çözüm kümesi 4 elemanlıdır.

(Cevap E)

2 x − 2 x 2 − 16 = 4

C) 7

D) 8

E) 9

x 2 − 16 = x − 2 x2

− 16 = x 2 − 4 x + 4 4 x = 20 ⇒ x = 5 (Cevap A)

322 12.

f (x) = 3 x



g( x ) = (2x + 3)3

16. x2 – 4x + |x – 2| – 2 = 0



olduğuna göre







denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?



A) 1

(fog)(x) = f 6(x)

( fog )( x ) =

f 6( x)

B) 2 ⇒

3 ( 2x + 3) 3

C) 3 =

( x) 3

D) 4

E) 5

denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?



A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

x 2 − 4 x + 4+ | x − 2 | −4 − 2 = 0 ( x − 2 ) 2 + | x − 2 | −6 = 0 ⇒ | x − 2 |2 + | x − 2 | −6 = 0 | x − 2 |= a olsun. a 2 + a − 6 = 0 ⇒ a = −3 , a = 2 | x − 2 |= −3 ⇒ ÇK = ∅

6

⇒ 2 x + 3 = x 2 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ ( x − 3 ) ⋅ ( x + 1)) = 0 x = 3 , x = −1 ⇒ 3 − 1 = 2



(Cevap B)

| x − 2 |= 2 ⇒ x − 2 = 2 ⇒ x = 4   4+0 = 4 x − 2 = −2 ⇒ x = 0 

(Cevap B)

BÖLÜM 05 Test

İkinci Dereceden Denklemler 1. (1 + 2i)2 + (1 – 3i) · (1 + 3i)

5. P(x) = x2 + (1 + i)x + 4



işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?





A) 2 + 5i



2

B) 5 – i

D) 3 – 4i 2

C) 6 – 2i

E) 7 + 4i

1 + 4i + 4i + 1 + 3 –3 + 4i + 10 = 7 + 4i

(Cevap E)

olmak üzere, P(1 – i) = a + ib



olduğuna göre, a oranının değeri kaçtır? b



A) –4

2

07

C) − 2 D) 1 3 3

B) –3

E) 3

P( 1 − i ) = ( 1 − i ) 2 + ( 1 + i ) ⋅ ( 1 − i ) + 4 = −2i + 12 + 12 + 4 a + ib = 6 − 2i a = 6 , b = −2 ⇒ a = 6 = −3 b −2

6. Gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin

2. i2 = –1 olmak üzere, 3

− −16 + −8

+ 3i17

köklerinden biri 2 – 4i’dir.



işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2 – i

B) 2i – 1 3

− 16 i 2 + 3 ( −2 ) + 3i 17

(Cevap B)

C) –2 – i

D) 1 – i

E) 3i – 2



Buna göre, bu denklem aşağıdakilerden hangisidir?



A) x2 – 4x + 2 = 0

B) x2 – 4x + 12 = 0



C) x2 – 4x + 20 = 0

D) x2 – 2x + 10 = 0

E) x2 – 2x + 20 = 0

( 17 ≡ 1(mod 4 ))

−4i − 2 + 3i (Cevap C)

Çözüm Yayınları

x1 = 2 – 4i ise x2 = 2 + 4i

−2 − i

x2 – (2 – 4i + 2 + 4i)x + (2 – 4i) (2 + 4i) = 0 x2 – 4x + 22 + 42 = 0 x2 – 4x + 20 = 0

(Cevap C)

7. w bir karmaşık sayı olmak üzere, 3. 4x2 – 12x + 25 = 0

w+w=2



ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?



A) 3 − 2i 2



B) − 3 − 2i 2

D) 2 + 3i

w ⋅ w = 6

C) 3 + 2i

E) 2 – 3i

olduğuna göre, |im(w)| ifadesinin değeri kaçtır?



A) 1

B)

2 C)

3 D)

5

E) 3

w = a + ib olsun. a + ib + a − ib = 2 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1

2

∆ = 12 – 4 · 4 · 25 = –256

( a + ib ) ⋅ ( a − ib ) = 6 ⇒ a 2 + b 2 = 6

12 ∓ −256 12 ∓ 256 i 2 = 2⋅4 8 = 12 ∓ 16 i = 3 ∓ 2i köklerinden biri 3 − 2i dir . 8 8 2 2

x 1 ,2 = x 1 ,2



⇒ 1 + b 2 = 6 ⇒ b 2 = 5 ⇒ b = 5 veya b = − 5 | im( z ) | = | 5 |= 5

(Cevap D)

(Cevap A)

8. z = a + ib karmaşık sayısı için Re(i ⋅ z) + Im(iz) = 6

4. 1 + i + i2 + i3 + ... + i29

2 Re( z) + Im( z) = 11



ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?



olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?



A) 1 + i



A) 1

B) 1 – i

C) –1 – i

D) 2

E) –2i

i nin ardışık her 4 tam sayı kuvvetinin toplamı sıfırdır. İfadede 30 terim olduğuna göre 4 erli gruplandırıldığında 2 terim artar. 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 + . . . +i28 + i29 = i28 + i29 = i0 + i1 0 0 =1+i (Cevap A)

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

iz = ai − b , iz = ai + b , z = a − ib olduğundan Re( iz ) + im( iz ) = −b + a = 6 2 Re( z ) + im( z ) = 2a − b = 11

a = 5, b = –1 a+b=4

(Cevap D)

323

Test 07

1. E

2. C

3. A

4. A

5. B

6. C

7. D

8. D

9. B 10. B 11. B 12. D 13. C 14. E 15. B 16. E

9. z = 6 + 3i ve w = 4i

13. z = a + 1 + ai olmak üzere,



karmaşık sayıları veriliyor.

Re( z + Im( z)) + Im( z + Re( z)) = 4



Buna göre,

w⋅z 2 + 4i

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?



A) –6i



B) –6

D) 6 – 6i



olduğuna göre, a gerçek sayısı kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

Re(a + 1 + ai + a) + im(a + 1 –ai + a + 1) = 4 2a + 1 + (–a) = 4 a+1=4 a=3

C) 6i

E) 5

(Cevap C)

E) 6 + 6i

4i ⋅ 6 + 3i = ( −4i ) ⋅ ( 6 − 3i ) = −24i + 12i 2 2 + 4i 2 + 4i 2 + 4i ⇒

−12 ( 1 + 2i ) = −6 2 ( 1 + 2i )

14. i2 = –1 olmak üzere, (Cevap B)

f: N → C

10. i2 = – 1 olmak üzere, (2 + i)4 = a · (2 + i)8 · (2 – i)4





olduğuna göre, 125 · a ifadesinin değeri kaçtır? 1 1 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 5 5 5 5

A) 1

( 2 + i )4

4

1 = a ⋅ (( 2 + i ) ⋅ ( 2 − i )) 1 = a⋅

(

4

= a ⋅ (2 + i ) ⋅(2 + i ) ⋅(2 − i )

)

4 2 2 + 12

4

4

⇒ 5 4 ⋅ a = 1 ⇒ a = 14 ⇒ 5 3 ⋅ a = 5 3 ⋅ 14 = 1 5 5 5

(Cevap B)

Çözüm Yayınları



f(x) = ix

fonksiyonu için,



I. f(20) + f(6) = 0



II. A = {x: x = 4n + 1, n ∈ Z} olmak üzere f(A) = i’dir.



III. [f(4) + f(3)] · [f(8) + f(21)] = 2



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I



B) Yalnız III

D) II ve III

C) I ve III

E) I, II ve III

f(20) + f(6) = i20 + i6 = 1 + i2 = 1 – 1 = 0 f(4n + 1) = i4n+1 = i4n · i1 = i [f(4) + f(3)] · [f(8) + f(21)] = (i4 + i3) (i8 + i21) ⇒ (1 – i) · (1 + i) = 12 + 12 = 2 hepsi doğrudur.

(Cevap E)

15. a ve b gerçek sayılar olmak üzere, ax2 + 8x + b = 0

11. x ve y gerçek sayılar, x < 2 olmak üzere, x − 2 + x − y = 4 + 3i

olduğuna göre, x – 2y ifadesinin değeri kaçtır?



A) 14

B) 15

− ( 2 − x ) + x − y = 4 + 3i

( 2 − x ) i 2 + x − y = 4 + 3i 2 − xi + x − y = 4 + 3i

C) 16

D) 17

E) 18

denkleminin köklerinden biri –2 – 3i’dir.



Buna göre, b kaçtır?



A) 28

B) 26

C) 24

x 1 = −2 − 3i ise x 2 = −2 + 3i dir .

16.

−1 = i ve a, b ∈ R olmak üzere,



f(x) = x + xi

12. i2 = – 1 olmak üzere,





g(x) = 4x – xi

x2 – 2ix – 10 = 0



olarak veriliyor.



B) 2 – i

C) 2 + i

D) 3 + i E) 2i + 3

∆ = (–2i)2 – 4 · 1(–10) = 4i2 + 40 = 36 x 1 ,2 =

(Cevap B)

(fog)(a) = 10 + bi

ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 – i

E) 18

(Cevap B)

324



D) 20

x 1 + x 2 = −8 ⇒ − 2 − 3i − 2 + 3i = −8 ⇒ − 4 = −8 ⇒ a = 2 a a a x 1 ⋅ x 2 = b ⇒ ( −2 − 3i )( −2 + 3i ) = b ⇒ 4 + 9 = b ⇒ b = 26 a 2 2

2 – x = 9 ⇒ x = –7 x – y = 4 ⇒ –7 – y = 4 ⇒ y = –11 x – 2y = –7 –(22) = 15

2 − x = 3 ve x − y = 4



2i ∓ 36 2i 6 = ∓ ⇒ x 1 = i − 3 ve x 2 = i + 3 2 2 2

(Cevap D)



olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?



A) 18

B) 15

(fog)(a) = (4a – ai) + (4a – ai)i = 10 + ib 4a – ai + 4ai + a = 10 + ib 5a + 3ai = 10 + ib ⇒ 5a = 10 ⇒ a = 2 ⇒ 3a = b ⇒ b = 6 ⇒ a + b = 8

C) 13

D) 10

E) 8

(Cevap E)

BİRE BİR

BÖLÜM 05 Test

(1 − i) 4 ⋅  2 + 2   i

1.

5. m bir pozitif gerçek sayı olmak üzere

2

–3x2 – mx + 2 = 0



işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 4

B) 4i

2  ( 1 − i ) 2  ⋅  2 − 2i      −i 2 

08

C) 16

D) 16i

E) 32i

2



denkleminin bir kökü m’dir.



Buna göre, diğer kökü kaçtır?

A) −2 2 B) − 2 C) −2 2 D) −2 2 E) 2 2 3 2

( −2i ) 2 ⋅ ( 2 − 2i ) 2

−3m 2 − m 2 + 2 = 0 ⇒ 4m 2 = 2 ⇒ m = 1 = 2 2 2

4i 2 ⋅ −8i −4 ⋅ ( −8i ) 32i

−3 x 2 − 2 x + 2 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −m 2 3

(Cevap E)

2 + x = − 2 ⇒ x = −2 2 2 2 2 6 3

(Cevap A)

2. a bir gerçek sayı olmak üzere, x2 – (2a2 + 8a + 8)x + a + 1 = 0

ikinci dereceden denkleminin birbirinden farklı gerçek kökleri x1 ve x2’dir.

6.

|x1| – |x2| = 0

olduğuna göre, a kaçtır?



A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

a2 + (1 – b)2 – 2 · a · (1 – b) = 0 [a – (1 – b)]2 = 0

⇒ a + b – 1 = 0

⇒ a + b = 1

2

2 ( a + 2 ) = 0 ⇒ a = −2

(Cevap A)

3. m ve n sıfırdan ve birbirinden farklı iki gerçek sayı olmak üzere x2 + (m + 1)x + n – m = 0 denkleminin köklerinden biri m – n sayısıdır.

Çözüm Yayınları

2a 2 + 8a + 8 = 0 1

Buna göre, n oranı kaçtır? m 1 A) B) 1 C) 2 3 2



a2 + (1 – b)2 = 2 · a(1 – b)

| x1 | = | x 2 | ⇒ x1 = − x 2 ⇒ x1 + x 2 = 0



a + 1− b = 2 1− b a

7. a bir pozitif tam sayı olmak üzere, x2 – 6x + a – 2 = 0

denkleminin kökleri birer rasyonel sayı olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

∆ = 36 – 4 · 1(a – 2) = 44 – 4a



x 1 ,2 =

D) 3

(Cevap A)

E) 4

Diğer kökü x1 olsun. x 1 ⋅ x 2 = c ⇒ x 1 ⋅ ( m − n ) = −( m − n ) ⇒ x = −1 a

6 ∓ 44 − 4a 2

Köklerin rasyonel olması için 44 – 4a bir doğal sayının karesi olmalıdır. a = 2, a = 7, a = 10 ve a = 11 için kökler rasyonel sayıdır.

(Cevap D)

( −1) 2 + ( m + 1)( −1) + n − m = 0 ⇒ 1 − m − 1 + n − m = 0 ⇒ 2m = n

8. x2 – 2x – 6 = 0

⇒ n =2 m

(Cevap C)

4. 2x2 – 3x + 5 = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



Buna göre, aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri 1 ve 1 dir? x1 x2

olduğuna göre,

3− 5 2 x x

ifadesinin değeri kaçtır?



A) –3

B) –2



A) 6x2 + 2x = 0

B) 3x2 + 2x – 6 = 0



C) 6x2 + 2x – 1 = 0

D) 6x2 – x – 1 = 0

E) 2x2 + 2x – 6 = 0 C) 1

D) 2

E) 3

x1 + x 2 = 2 x 1 ⋅ x 2 = −6

2x 2 − 3x + 5 = 0 ⇒ 2 − 3 + 5 = 0 x x2 x2 x2 x2 ⇒ 3 − 52 = 2 x x

325



1 + 1 = x 1 + x 2 = 2 = −1 x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2 −6 3 (Cevap D)

1 ⋅ 1 = 1 = 1 x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2 −6   x 2 −  1 + 1  x + 1 ⋅ 1 = 0 x x x1 x 2 2  1 1 x 2 x + − = 0 ⇒ 6 x 2 + 2x − 1 = 0 3 6

(Cevap C)

Test 08

1. E

2. A

3. C

4. D

5. A

6. A

7. D

8. C

9. C 10. A 11. E 12. D 13. C 14. D 15. B 16. A

9. m bir gerçek sayı olmak üzere,

13. z bir karmaşık sayı ve

x2 – (m + 4)x + m = 0







denkleminin kökler toplamı, kökler çarpımının 2 katına eşittir.



olduğuna göre, Re(z) + Im(2z) toplamının değeri kaçtır?



Buna göre, m kaçtır?



A) –1



A) 1

B) 2

C) 4

D) 6

x1 + x 2 = 2 · x 1 · x 2 m+4=2·m m=4

E) 8

(Cevap C)

z . |Re(z)| = –4 + 3i

B) 0

C) 1

D) 2

z = a + ib olsun.

| a | ⋅ a = −4 ⇒ − a 2 = −4 ⇒ a = −2

( a + ib ) ⋅ | a | = −4 + 3i

b ⋅ | a |= 3 ⇒ b = 3 2

| a | ⋅ a + ib ⋅ | a |= −4 + 3i

Re( z ) + im( 2 z ) = −2 + 3 ⋅ 2 = 1 2

E) 3

(Cevap C)

14. x2 – ax + 4 = 0

10.

x ⋅ x 2 − x 2 ⋅ x1 = 4 1

−1 = i olmak üzere,

x2 – 2ax – 2 = 0

ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri i24 – i45 olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisine eşittir?



A) –i

i 24 − i 45 = i 0 − i 1 = 1 − i ( 1 − i ) 2 − 2a( 1 − i ) − 2 = 0 −2i − 2a( 1 − i ) − 2 = 0 −2a = 2 + 2i 1−i

C) –1

D) 1



olduğuna göre, a kaçtır?



A) 2 x1 ⋅ x 2

E) 1 + i

4 −a = 1 + i 1− i −a =

(1 + i )2

12 + 12

(

(

B) 4

C) 6

)

(

x1 − x 2 = 4

)

x1 − x 2 = 4

= 2i = i ⇒ a = − i 2

(Cevap A)

x1 − x 2

D) 8

)

2

E) 10

= 22

x1 + x 2 − 2 x1 ⋅ x 2 = 4

x1 − x 2 = 2

( 1+i )

Çözüm Yayınları

B) i

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

a−2 4 = 4 ⇒ a = 8

(Cevap D)

15. m bir gerçek sayı olmak üzere, x2 + (m + 1)x – 6 = 0 x2 + (m – 2)x – 3 = 0

11. x2 – mx + 4m = 0

denkleminin birbirine eşit iki gerçek kökü olduğuna göre, m’nin alacağı değerler toplamı kaçtır?



A) 0

B) 6

C) 8

D) 12

∆=0 m2 – 4 · 1 · 4m = 0 m2 – 16m = 0 m(m – 16) = 0 ⇒ m = 0, m = 16 ⇒ 0 + 16 = 16

E) 16



denklemlerinin birer kökü ortaktır.



Buna göre, denklemlerin ortak olmayan köklerinin toplamı kaçtır?



A) –10

B) –9

x2 + (m + 1)x – 6 = 0 + –/ x2 + (m – 2)x – 3 = 0 3x = 3 ⇒ x = 1

(Cevap E)

C) –8

D) –7

12 + m + 1 – 6 = 0 ⇒ m = 4 x2 + 5x – 6 = 0 ⇒ x = –6, x = 1 x2 + 2x – 3 = 0 ⇒ x = –3, x = 1 (–3) + (–6) = –9

E) –6

(Cevap B)

326 16. mx2 – (3m + 1)x + n + 2 = 0

12. x2 – 4x + 2 = 0

2x1 + x2 = 7



denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.



  x x Buna göre,  1 + 1 .  2 + 1 ifadesinin sonucu kaçtır?    x1  x2



A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

x1 + x 2 = 4 ⇒ x1 ⋅ x 2 = 2 x1 + x 2 x 2 + x1 4 4 ⋅ = ⋅ = 16 = 16 = 8 x2 x1 x 2 x1 x1 ⋅ x 2 2

ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2’dir.

x2 – 2x1 = –5 +

(Cevap D)

olduğuna göre, n kaçtır? A) 1 2x1 + x2 = 7 x2 – 2x1 = –5 2x2 = 2 x2 = 1, x1 = 3

B) 2

C) 3

D) 4

x 1 + x 2 = 3m + 1 ⇒ 4 = 3m + 1 ⇒ m = 1 m m 2 n + x1 ⋅ x 2 = ⇒ 3 =n+2 ⇒ n =1 1

E) 5

(Cevap A)

01

BÖLÜM 06 Test

Polinomlar 1. Aşağıdakilerden hangisi polinom değildir?

5. 10. sınıf öğrencisi olan Kazım proje ödevi için aşağıdaki bilgisayar programını yazmıştır.

B) P(x) = x2 + 4



A) P(x) = 3



C) P( x ) = 3 x D) P( x ) = 2x 2 + x + 1



2 E) P( x ) = x + 1 x +1

Bu programda polinom kısmında yazan polinomda x yerine girdi kısmındaki değer yazıyor ve sonuç çıktı kısmında görünüyor.

Polinom : x2 + x – 4

2 P(x) = 3, P(x) = x2 + 4 ve P(x) = 3 x , P( x ) = 2 x + x + 1 Polinomlarında x in kuvvetleri doğal sayı olduğundan birer polinomdur. 2 P( x ) = x + 1 sadeleşme olmadığından polinom değildir. x +1

(Cevap E)

Girdi

:

Çıktı

:

Polinom : x2 – ax + 3

2

1. Bilgisayar

Girdi

:

Çıktı

:

1

2. Bilgisayar



2. P(x) = x3 – x + 3

polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 6

B) 7

C) 8

D) 9



Yukarıda gösterilen iki bilgisayarın çıktı değerleri aynı olduğuna göre, a kaçtır?



A) –2

22

E) 10

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

+2–4=1–a+3 ⇒ 2=4–a ⇒ a=2 (Cevap E)

x–2=0 ⇒ x=2 P(2) = 23 – 2 + 3 = 9

Çözüm Yayınları

(Cevap D)

3. P(x) = x3 – x + 2

6. P(x) = x3 + xm–2 + 2x2–m + 4

Q(x) = 2x2 + 3



olduğuna göre, der(P2(x) · Q(x)) kaçtır?



A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

P(x) = x3 ve Q(x) = x2 olarak daraltılırsa P2(x) · Q(x) = (x3)2 · x2 = x6 · x2 = x8



ifadesi polinom olduğuna göre, P(2) kaçtır?



A) 14

B) 15

m–2≥0 ⇒ m≥2 2–m≥0 ⇒ m≤2

(Cevap C)

D) 17

E) 18

m=2

P(x) = x3 + x0 + 2 · x0 + 4

der(P2(x) · Q(x)) = 8 olur.

C) 16

⇒ P(x) = x3 + 7

⇒ P(2) = 23 + 7 = 15

(Cevap B)

327

7. P(x) bir sabit polinomdur.

4. P(x) = (2x4 + mx2 – mx + 3)m–7

polinomunun katsayıları toplamı 125 olduğuna göre, m kaçtır?



A) 12

B) 11

x = 1 için P(1) = 125 dir. (2 + m – m + 3)m–7 = 125 5m–7 = 53 m–7=3 m = 10

C) 10

D) 9

E) 8



2P(3x + 1) + P(x) = 12



olduğuna göre, P3(10) kaçtır?



A) 4

B) 16

c ∈ R olmak üzere P(x) = c olsun. 2P(3x + 1) + p(x) = 12 2c + c = 12 ⇒ c = 4 P3(10) = (P(10))3 = 43 = 64 (Cevap C)

C) 27

D) 64

E) 125

(Cevap D)

Test 01

1. E

8. P(x) = x2 + 3x + 4

2. D

3. C

4. C

5. E

6. B

7. D

8. A

9. C 10. B 11. A 12. B 13. E 14. D

11. P(x) polinomunun katsayılar toplamı Q(x + 1) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalanın 2 katına eşittir.

olduğuna göre, P(x + 1) + P(x – 1) toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?



A) 2x2 + 6x + 10 B) x2 + 3x + 10



polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan 36 olduğuna göre, P(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 8

C)

2x2

– 6x + 10 D)

x2

– 3x + 10

E) 2x2 + 6x + 8 x→x–1 P(x – 1) = (x – 1)2 + 3(x – 1) + 4 P(x – 1) = x2 – 2x + 1 + 3x + 1 P(x – 1) = x2 + x + 2

x→x+1 P(x + 1) = (x + 1)2 + 3(x + 1) + 4 P(x + 1) = x2 + 2x + 1 + 3x + 7 P(x + 1) = x2 + 5x + 8

P(x + 1) + P(x – 1) = 2x2 + 6x + 10

x · P(x – 3) + Q(x – 1)

B) 9

C) 10

D) 11

x = 1 için P(1), x – 2 = 0 ⇒ x = 2 için Q(3) ün 2 katı olduğundan P(1) = 2Q(3) x – 4 = 0 ⇒ x = 4 için 4P(1) + Q(3) = 36 ⇒ 4 · 2Q(3) + Q(3) = 36 ⇒ Q(3) = 4 x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ P(1) = 2 · Q(3) = 8

(Cevap A)

E) 12

(Cevap A)

12. a ve b gerçek sayılardır. P( x ) = (2a − 3)4 x + x b + x 2

9. P(x) = ax4 – 2x3 + bx + 4

polinomunun x2 – 2 ile bölümünden kalan x + 8 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?



A) 4

C) 6

D) 7

A) 7 B) 5 2 2

E) 8

x2 – 2 = 0 ⇒ x2 = 2 a(x2)2 – 2x2 · x + bx + 4 = x + 8 a · 22 – 2 · 2 · x + bx + 4 = x + 8 x(b – 4) + 4 + 4a = x + 8 b – 4 = 1 ⇒ b = 5 ve 4a + 4 = 8 ⇒ a = 1 a+b=6

(Cevap C)

Çözüm Yayınları

B) 5

polinom olduğuna göre, a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

2a − 3 = 0 ⇒ a = 3 2

D) 3 2

C) 2

E) 1

1

b = 1 için P( x ) = ( 2a − 3 ) 4 x + x 4 + x 2 4 P( x ) = ( 2a − 3 ) 4 x + 4 x + x 2 2a − 3 = −1 ⇒ a = 1 1+ 3 = 5 2 2

(Cevap B)

13. Katsayıları pozitif tam sayılar olan üçüncü dereceden P(x) polinomu için aşağıdaki bilgiler veriliyor.

10. Bir matematik öğretmeni Ahmet ve Cengiz isimli iki öğrenciye birer polinomu inceleme ödevi veriyor.

328

İnceleme sonucunda tahtaya kaldırdığı Ahmet ve Cengiz sınıfa aşağıdaki konuşmaları yapıyor. Ahmet

: Benim polinomum ikinci dereceden, başkatsayı 3, sabit terimi 2 ve katsayılar toplamı 7 olan bir polinomdur.



Cengiz



Öğretmen : Peki arkadaşlar Ahmet’in polinomu P(x), Cengiz’in polinomu Q(x) olsun. O halde P(3) + Q(2) kaçtır?



• Terim sayısı 3’tür.



• Katsayıları toplamı 7’den büyüktür.



• x ile tam bölünebilmektedir.



Buna göre, P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan en az kaçtır?



A) 20

B) 21

C) 22

D) 23

x ile tam bölünüyor ise P(x) = ax3 + bx2 + cx dir. a + b + c > 7 ise a = 1, b = 1 için c = 6 seçilirse P(x) = x3 + x2 + 6x P(2) = 8 + 4 + 12 = 24

E) 24

(Cevap E)

: Benim polinomum birinci dereceden, başkatsayısı 2 olan ve x – 3 ile tam bölünebilen bir polinomdur.



Buna göre, öğrencilerin vereceği doğru yanıt aşağıdakilerden hangisidir?



A) 30

B) 33

C) 35

D) 37

14. P(x3 + 1) = 2x9 + x3 + 4

E) 39

P(x) = 3x2 + 2x + 2 Q(x) = 2(x – 3) P(3) + Q(2) = (3 · 32 + 2 · 3 + 2) + 2 · (2 – 3) = 27 + 6 + 2 – 2 = 33

(Cevap B)

der(Q(x2)) = 6







olduğuna göre, der(P(x) + Q(x)) ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?



A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

der(P(x3 + 1)) = 9 ⇒ der(P(x)) = 3 tür. der(Q(x2)) = 6 ⇒ der(Q(x) = 3 tür. Her ikisinin de dereceleri aynı olduğundan toplama işleminde katsayılar sıfırlanabilir. O hâlde toplamın derecesi 3, 2, 1 ve 0 olabilir. 3 + 2 + 1 + 0 = 6 (Cevap D)

BÖLÜM 06 Test

Polinomlar 1. P( x ) =

(

5. P(x) = (x2 + 2)3 · (x3 + 1)

)

a − 2 x 2 +  3 b − a  x + c − 1  2



polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, b + c kaçtır?



A) 9 a −2 =0 ⇒

B) 10

C) 11

D) 12

02

E) 13

a =2 ⇒ a=4



polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır?



A) 15

B) 20

C) 24

D) 27

P( 1) + P( −1) ( 1 + 2 ) 3 ⋅ ( 1 + 1) + ( 1 + 2 ) 3 ⋅ ( −1 + 1) 27 ⋅ 2 = = = 27 2 2 2

4 =0 ⇒ 3b =2 ⇒ b=8 2 c −1= 0 ⇒ c = 1 ⇒ b+c = 9 3b−

E) 30

(Cevap D)

(Cevap A)

2. P(x – 2) = x3 + 2

olduğuna göre, P(x2 + 2x + 1) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 27

B) 29

C) 30

D) 32

6. der(P(x)) = 2

E) 35

x + 2 = 0 ⇒ x = –2 P(4 – 4 + 1) = P(1) = Kalan x = 3 için P(1) = 27 + 2 = 29

(Cevap B)





der(Q(x)) = 3



olduğuna göre, der(P(x + 1) + Q(x + 2)) kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 5

D) 6

E) 8

Çözüm Yayınları

der(P(x + 1)) = der(P(x) ⇒ P(x) = x2 der(Q(x + 2) = der(Q(x) ⇒ Q(x) = x3 P(x) + Q(x) = x2 + x3 der(P(x + 1) + Q(x + 2) = 3

(Cevap B)

3. P(x – 3) = x4 + 4

olmak üzere P(x) polinomunun katsayılar toplamı, P(x – 1) polinomunun sabit teriminin kaç katıdır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) P(x – 1) polinomunun sabit terimi P(–1) olduğundan x = 4 için P(1) = 44 + 4 = 260 x = 2 için P(–1) = 24 + 4 = 20 P(1) = a · P(–1) ⇒ 260 = 20a ⇒ a = 13

E) 14

7. Aşağıda kısa kenarı (x + 3) birim, uzun kenarı (3x + 2) birim olan dikdörtgensel bahçe verilmiştir.

(Cevap D)

329

4. P(x + 1) = x5 + 2mx + 3

olmak üzere, P(x – 1) polinomunun katsayılar toplamı 12 olduğuna göre, m kaçtır?



A) –7

B) –5

x = 1 için P(1 – 1) = 12 ⇒ P(0) = 12 x = –1 için P(0) = –1 – 2m + 3 = 12 –2m = 10 m = –5

C) 2

D) 5

E) 7



Bahçenin alanı P(x), çevresi B(x) polinomu ile ifade edilmektedir.



Buna göre, P(x) – B(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

x – 2 = 0 ⇒ x = 2 P(2) – B(2) = (2 + 3) · (3 · 2 + 2) – 2 · ((2 + 3) + (3 · 2 + 2))

(Cevap B)



= 5 · 8 – 2 · (13)



= 40 – 26



= 14

(Cevap E)

Test 02

1. A

2. B

3. D

4. B

5. D

6. B

7. E

8. B

9. D 10. E 11. B 12. D 13. C 14. C 15. B

8. P(x) = x5 – 4x3 – 2x + 3

12. P(x) bir polinom olmak üzere,



polinomu veriliyor.



Buna göre, P[P(x) + 4] polinomunun P(x) + 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

P( x − 1) = x + 1 P(2)



A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

P(x) + 5 = 0 ⇒ P(x) = –5 P(P(x) + 4) ⇒ P(–5 + 4) = P(–1) P(–1) = –1 + 4 + 2 + 3 = 8



olduğuna göre, P(4) · P(6) çarpımının sonucu kaçtır?



A) 6

B) 8

x = 3 için P(2) = 4 P( 2 )

(Cevap B)

C) 10

D) 12

E) 15

⇒ [P(2)] 2 = 4

⇒ P(2) = 2 veya P(2) = –2 P(x – 1) = x + 1 veya P(x–1) = x + 1 her iki polinomda aynı sonucu vereceğinden 2 −2 P(4) · P(6) = 6 ⋅ 8 = 12 bulunur. (Cevap D) 2 2

9. P(x) bir polinom olmak üzere, P(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerine P(x) polinomunun kökleri denir.

13. P(x) polinomunun derecesi Q(x) polinomunun derecesinden 1

P(x) = x – 2 B(x) =

x2

fazladır.

– 2x





olduğuna göre,



olduğuna göre, der(P(x)) kaçtır? A) 6

der(P(x2) · Q(x3)) = 37

I. –1





II. 2



III. 1

der(Q(x)) = a ve der (P(x)) = a + 1 olsun. der(P(x2)) = 2a + 2, der(Q(x3)) = 3a olur. der(P(x2) · Q(x3) = 2a + 2 + 3a + 37 5a = 35 ⇒ a = 7 der(P(x)) = 7 + 1 = 8



sayılarından hangileri P(x) + B(x) polinomunun köklerindendir?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve II

⇒

E) II ve III

x2 – 2x + x – 2 = 0

P(x) + B(x) = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0

C) Yalnız III

Çözüm Yayınları



(Cevap D)

10. P(x2 + x + 7) = 14 – 3x2 – 3x

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?



A) –3x + 15



B) –3x + 20

D) –3x + 30

C) 8

D) 9

E) 10

(Cevap C)

14. P(x) derecesi 3 olan bir polinomdur. P(2x + 2)

⇒ (x – 2) (x + 1) = 0

x = 2, x = –1

B) 7



P(x) k(x)



Yukarıda bölme işlemindeki k(x) polinomu için k(1) + k(2) + k(3) toplamının değeri kaçtır?



A) 6

B) 18

C) 24

D) 36

E) 48

der(P(x)) = 4 ise P(x) polinomunun başkatsayısı m olduğunda P(2x + 2) polinomunun başkatsayısı 8 m olur ve bu iki polinom dereceleri eşittir. O halde bölme işleminde k(x) polinomu k(x) = 8 dir. k(1) + k(2) + k(3) = 8 + 8 + 8 = 24 bulunur. (Cevap C)

C) –3x + 25

E) –3x + 35

P(x2 + x + 7) = –3(x2 + x + 7) + 35

330

x P(x) = –3x + 35

11. P(x) =

x (Cevap E)

x7

–

5x6

–

x5

+

5x4

polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 4

B) 6

veriliyor.

• Başkatsayısı 4 ve katsayılar toplamı 102’dir.



• (x2 + 3)2 ile bölündüğünde elde edilen bölüm ile kalan birbirine eşittir.



Buna göre, P(x + 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 16

+x+1



x – 5 = 0 ⇒ x = 5 için P(5) = 57 – 5 · 56 – 55 + 5 · 54 + 5 + 1 P(5) = 57 – 57 – 55 + 55 + 6 P(5) = 6

15. Beşinci dereceden bir P(x) polinomuyla ilgili aşağıdaki bilgiler

C) 8

D) 10

E) 12

(Cevap B)

B) 20

C) 21

D) 24

E) 27

(x2 + 3)2 polinomu tam bölündüğünde bir çarpanıdır derecesi 4 olduğundan başkatsayısı 4 olan polinomun diğer çarpanı (4x + a) dır. P(x) = (x2 + 3)2 · (4x + a) + 4x + a P(1) = 42 · (a + 4) + 4 + a = 102 17a + 68 = 102 ⇒ a = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = –1 ⇒ P(–1 + 1) = P(0) = 9 · 2 + 2 = 20 (Cevap B)

BÖLÜM 06 Test

Polinomlar 1. P(x + 3) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 5

5. P(x) ve B(x) birer polinomdur.

olduğuna göre, aşağıdaki polinomlardan hangisi x – 1 ile tam bölünür?



A) P(x – 3)

B) P(x – 2) + x



C) P(x + 3) + 3

D) P(6x – 1) – 5x

03

P(x)

x4 B(x)



E) P(6x – 1) x – 2 = 0 ⇒ x = 2 için P(2 + 3) = 5 ⇒ P(5) = 5 Seçeneklere x – 1 = 0 ⇒ x = 1 yazıldığında sıfır sonucunu veren x – 1 ile tam bölünür. P(6x – 1) – 5x ⇒ P(5) – 5 = 5 – 5 = 0 D seçeneğindeki x – 1 ile tam bölünür. (Cevap D)

B(x)



olduğuna göre, der(P(x)) en fazla kaçtır?



A) 8

B(x) = x3 için

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

P(x) = x4 · x3 + x3 = x7 + x3

der(P(x)) en fazla 7 dir.

(Cevap B)

2. der(P3(x)) = 6

olduğuna göre, der(P(x2)) kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

6. 2P(x + 1) + 3P(x) = 10x + 9 D) 4

E) 6



olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?



A) 5

P(x) = xa olsun. P3(x) = (xa)3 = x3a 3a = 6 ⇒ a = 2 P(x) = x2 ⇒ P(x2) = (x2)2 = x4 der(P(x2)) = 4

Çözüm Yayınları

(Cevap D)

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

P(x) = ax + b olsun P(x + 1) = a(x + 1) + b = ax + a + b 2(ax + a + b) + 3(ax + b) = 10x + 9 5ax + 2a + 5b = 10x + 9 5a = 10 ⇒ a = 2 ve 2a + 5b = 9 4 + 5b = 9 ⇒ b = 1 a+b=3

(Cevap C)

3. P(x) = 3(x – 2) · (x – 4)

polinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) polinomudur.

7. P(x) = (x2 – 3x + 4)2 · (xb + c)4



Buna göre, B(7) kaçtır?



polinomunun derecesi 24 olduğuna göre, b kaçtır?



A) 9



A) 3

B) 10

3 · (x - 2) · (x – 4)

x–2

3 · (x – 2) · (x – 4)

3 · (x – 4)

C) 11

D) 12

E) 13

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

der((x2 – 3x + 4)2) = 4

0 B(x) = 3(x – 4) ⇒ B(7) = 3 · 3 = 9

(Cevap A)

der((xb + c)4) = 4b der((x2 – 3x + 4)2 · (xb + c)4) = 24 4 + 4b = 24 ⇒ b = 5

(Cevap C)

331

4. P(x – 3) = x4 – 2x3 + a

olmak üzere P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 4’tür.

8. (x – 1) · P(x) = (x2 + a)3 – 8



Buna göre, a kaçtır?



eşitliğinde P(x) bir polinom olduğuna göre, a kaçtır?



A) 3



A) 5

B) 4

C) 5

x + 1 = 0 ⇒ x = –1 için P(–1 – 1) = 4 ⇒ P(–2)= 4 x = 1 için P(–2) = 1 – 2 + a = 4 a – 1 = 4 a = 5

D) 6

E) 7

B) 4

⇒ (a + 1)3 = 8 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 1 (Cevap C)

C) 3

D) 2

E) 1

x = 1 için 0 · P(1) = (a + 1)3 – 8 (Cevap E)

Test 03

1. D

2. D

9. Kısa kenar uzunluğu x cm, uzun kenar uzunluğu (10 – x) cm

3. A

4. C

5. B

6. C

7. C

8. E

9. A 10. B 11. C 12. E 13. D 14. B 15. D

12. P(x + 2) polinomunun P(x – 1) ile bölümünden kalan 2’dir.

olan özdeş iki tahta blok aşağıdaki gibi yerleştirildiğinde aralarında mavi bir üçgen oluşmaktadır.

P(x) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan 7’dir.

Buna göre, P(x) polinomunun x – 7 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

x – 4 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ P(4) = 7 x + 2 ile x – 1 polinomlarının başkatsayıları 1 ve P(x + 2) ile P(x – 1) dereceleri aynı olduğundan bölüm 1 dir. P(x + 2) P(x – 1) – 1 2



(Cevap E)

Oluşan mavi üçgenin alanı P(x) olduğuna göre P(x4 + 2) polinomunun x2 – A) 6

2 ile bölümünden kalan kaçtır?

B) 8 P( x ) =

10 – 2x



P(x + 2) = P(x – 1) + 2 P(7) = P(4) + 2 P(7) = 7 + 2 = 9

C) 10

D) 12

13. P(x) bir polinom olmak üzere,

E) 14

P(x5) = 2 · x15 + (a – 4)x12 + x10 – (a – b)x4 + c

( 10 − 2 x ) ⋅ ( 10 − x ) 2

x 2 − 2 = 0 ⇒ x 2 = 2 ⇒ P( 2 + 2 ) = P( 4 ) 10 – x

( 10 − 8 ) ⋅ ( 10 − 4 ) 2 P( 4 ) = 2 ⋅ 6 = 6 2 P( 4 ) =

(Cevap A)



olarak veriliyor.



P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, P(a + b – 6) ifadesinin değeri kaçtır?



A) 23

B) 24

C) 26

D) 28

E) 30

Çözüm Yayınları

5)polinomunda x5 in kuvvetleri olmak zorundadır.

10. P(x) ve Q(x) polinomları için



der[P2(x) · Q(x)] = 11





der[Q(x3) · P(x)] = 13



olduğuna göre, der[Q(x)] kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 4

P(x a–4=0⇒a=4 a – b = 0 ⇒ a = b = 4 bulunur. P(x5) = 2x15 + x10 + c ⇒ P(x) = 2x3 + x2 + c P(–1) = 7 ⇒ –2 + 1 + c = 7 ⇒ c = 8 P(a + b – 6) = P(4 + 4 – 6) = P(2) = 2 · 8 + 4 + 8 = 28

14. D) 5

der(P(x)) = a, der(Q(x)) = b olsun. der(P2(x) · Q(x)) = 2a + b = 11 der(Q(x3) · P(x)) = 3b + a = 13 \ –2 + –––––––––––––––––– –5b = –15 b = 3

E) 6

(Cevap B)

P( x ) = ( x )n + 3 x

n +120 n

(Cevap D)

− x n −7 + 1



ifadesi bir polinom olduğuna göre, n kaç farklı değer alabilir?



A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

( x ) n den dolayı n çift, xn–7 den dolayı n ≥ 7 n+120 n

den dolayı n + 120 ∈  ⇒ 1 + 120 n n n, 120 nin bölenleridir. O hâlde her üç şartı da sağlayan n sayıları 23 · 3 · 5 in 7 den büyük çift bölenleridir. 2 22 · 3 · 5 3 · 2 · 2 = 12 ancak 2, 4 ve 6 olmayacağından 12 – 3 = 9 (Cevap B) x

332 11. P(x) polinomunun çift dereceli katsayılar toplamı Q(1), tek dereceli katsayılar toplamı Q(–1) dir.



P(x + 3) polinomunun x + 4 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre, Q(x) polinomunun tek dereceli katsayılar toplamı kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 6

x + 4 = 0 ⇒ x = −4 ⇒ P( −4 + 3 ) = 6 ⇒ P( −1) = 6 P( 1) + P( −1) P( 1) − P( −1) − P( −1) 6 2 2 = =3 = 2 2 2



• P(2) = P(1) = P(–1) = P(–2) = P(4) = 0



• P3(x) polinomunun başkatsayısı 125’tir.



Buna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) –120

E) 12

P( 1) + P( −1) P( 1) − P( −1) = Q( 1) ve = Q( −1) 2 2

Q( 1) − Q( −1) = 2

15. P(x) beşinci dereceden bir polinomdur.

(Cevap C)

B) –150

C) –180

P3(x) in başkatsayısı 125 = 53 ise P(x) Polinomunun başkatsayısı 5 tir. P(x) = 5 (x – 2) (x – 1) (x + 1) (x + 2) (x – 4) P(3) = 5 · 1 · 2 · 4 · 5 · (–1) = –200

D) –200

E) –240

(Cevap D)

BÖLÜM 06 Test

Polinomlar 1. (x – 1) · P(x) = x2 + 3x – 4

5.

olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

2 ( x + 4 )( x − 1) = x+4 P( x ) = x + 3 x − 4 = x −1 x −1 P ( 1) = 1 + 4 = 5

E) 6

P( x ) =

04

2x 2 + ax + b 3x 2 + 6x + a + 5



ifadesi sabit polinom olduğuna göre, b kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

2=a= b 3 6 a+5 (Cevap D)

2 = a ⇒ 3a = 12 ⇒ a = 4 3 6 2 = b ⇒ 3b = 18 ⇒ b = 6 3 4+5

(Cevap E)

6. P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, 2. P(x) =

x6

–

x3

+1





polinomunun x3 – 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5



olduğuna göre, Q(3) kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

x = 2 için 0 · P(2) = Q(3) – 8 + 4

x3 – 2 = 0 ⇒ x3 = 2 (x3)2 – x3 + 1 ⇒ 22 – 2 + 1 = 3

(x – 2) · P(x) = Q(x + 1) – x3 + x2



0 = Q(3) – 4



Q(3) = 4

(Cevap D)

Çözüm Yayınları

(Cevap C)

7. P(x) polinomunun (x – 1) · (x – 2) · (x – 3) ile bölümünden kalan (x + 1) · (x + 2) dir. 4

2

3. P(x + 1) = x – 3ax + 4ax + 3

olmak üzere, P(x) polinomunun çarpanlarından biri x – 2 olduğuna göre, a kaçtır?



A) –7

B) –6

C) –5

D) –4

E) –3



Buna göre, P(x – 1) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

E) 20

P(x) = (x – 1) · (x – 2) · (x – 3) · B(x) + (x + 1) · (x + 2) x – 4 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ P(4 – 1) = P(3) = Kalan

Polinomun çarpanı polinomu tam böler yani kalan sıfırdır. x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ P(2) = 0 x = 1 için P(2) = 1 – 3a + 4a + 3 0 = 4 + a a = –4

P(3) = 2 · 1 · 0 · B(3) + 4 · 5 ⇒ P(3) = 20

(Cevap E)

(Cevap D)

8. P(x) polinomunun x2 – 4x + 4 ile bölümünde, bölüm Q(x), kalan 2x – 3’tür.

Buna göre, P(x) polinomunun x – 2 ile bölündüğünde elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisi olur?



A) xQ(x) – 2

4. P(x + P(x – 2)) = 2x3 + 4

olmak üzere, P(x) polinomunun sabit terimi 2’dir.



Buna göre, P(x) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 18

B) 19

P(0) = 2 ise P(4) = ? x = 2 için P(2 + P(0)) = 2 · 23 + 4 P(2 + 2) = 20 P(4) = 20

C) 20

D) 21

E) 22

(Cevap C)

B) (x + 2)Q(x) + 2

C) xQ(x) + 2 D) (x – 2)Q(x) E) (x – 2) Q(x) + 2 P(x) x2 – 4x + 4 (x – 2)2 Q(x) + 2x – 3 – Q(x) (x – 2)2 Q(x) – 2x – 3 0 + 2x – 3 2

P(x) = (x – 2) · Q(x) + 2x – 3

–

2x – 4 1

x–2 (x – 2) Q(x) + 2

(Cevap E)

333

Test 04

1. D

2. C

3. D

4. C

5. E

6. D

7. E

8. E

9. C 10. B 11. B 12. A 13. C 14. A 15. C 16. B

9. P(x – 3) – P(x – 5) = x4 – 4x3 + 4x + 4

13. P(x) = xm+4 – 3 · xm + 2



olduğuna göre, P(x) polinomunun tek dereceli katsayılarının toplamı kaçtır?



polinomunun x2 – 2 ile bölümünden kalan 6’dır.



Buna göre, m kaçtır?



A) 15



A) 2

B) 12

C) 10

D) 8

E) 6

x = 4 için P(1) – P(–1) = 44 – 4 · 43 + 4 · 4 + 4 P(1) – P(–1) = 44 – 44 + 20 P(1) – P(–1) = 20

x2 – 2 = 0 ⇒ x2 = 2 xm · (x2)2 – 3 · xm + 2

P( 1) − P( −1) = 10 2



P(x) · P(–x) · P(2x) =





olduğuna göre, P(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 2

C) 6

D) 8

P(x) = ax ise P(–x) = –ax ve P(2x) = 2ax P(x) · P(–x) · P(2x) = –128x3 ax · (–ax) · 2ax = –2a3x3 = –128x3 a3 = 64 ⇒ a = 4 ⇒ P(x) = 4x x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ P(3 – 2) = P(1) = 4 · 1 = 4

E) 12

m

( x 2 ) 2 (4 − 3) = 4

E) 6



=4 ⇒ m =2 ⇒ m=4 2

(Cevap C)

P(x) = (2x2n–6 + 2)n–4



ifadesi sabit polinomdur.



Buna göre, P(3)’ün alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A) 5 B) 4 4 3

D) 1 E) 1 4 6

C) 1

2n − 6 = 0 ⇒ n = 3 ⇒ P( 3 ) = ( 2 ⋅ x 0 + 2 ) −1 = 1 ⇒ P( 3 ) = 1 4 4 n − 4 = 0 ⇒ n = 4 ⇒ P( x ) = ( 2 x 2 + 2 ) 0 = 1

Çözüm Yayınları

(Cevap B)

⇒ P( 3 ) = 1 ⇒ 1 + 1 = 5 4 4

(Cevap A)

15. P(x) = (x + 4)m – (x + 3)4m + 6

11. P(x) = x2 – 2x + 3

D) 5

14. n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

–128x3

B) 4

C) 4

m 22

x m · 22 – 3 · x m + 2 = 6

(Cevap C)

10. P(x) bir polinom olmak üzere,

B) 3

Q(x) = x2 + 1



polinomları veriliyor.







polinomu sabit polinom olduğuna göre, a + b + c · d ifadesinin değeri kaçtır?



A) –8

P(x) · Q(x) + [ax4 + bx3 + cx2 + dx]

B) –7

C) –6

D) –5

E) –4

(x2 + 1) (x2 – 2x + 3) = x4 – 2x3+ 4x2 – 2x + 3 4 3 2 + ax + bx + cx + dx 3



polinomunun x2 + 7x + 12 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2x + 1



B) 2x + 11

D) x + 13

E) x + 2

(x + 4)m – (x + 3)4m + 6 = (x + 4) (x + 3) B(x) + ax + b –4a + b = 5 \– x = –4 ⇒ – (–1)4m + 6 = –4a + b ⇒ x = –3 ⇒ 1m + 6 = –3a + b ⇒ + –3a + b = 7 a = 2, b = 13

a = –1, b = 2, c = –4, d = 2 olmalıdır. a + b + c · d = –1 + 2 + (–4) · 2 = 1 – 8 = –7

C) 2x + 13

ax + b = 2x + 13

(Cevap C)

(Cevap B)

334

12. P(x) polinomunun x4 – x2 ile bölümünden kalan x2 + 2x

olduğuna göre, P3(x) polinomunun x2 + x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?



A) x



B) 2x + 1

D) 1 – 2x

• P(x – 7) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan, x – 13 ile bölümünden kalana eşittir.



• P(–2) ⋅ P(6) = 4 ⋅ P(–2) – 4



Buna göre, P(x + 5) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?



A) 1

C) x + 2

E) 4x + 1

P(x) = (x4 – x2) · B(x) + x2 + 2x

P3(x) = [(x4 – x2) B(x) + x2 + 2x]3 P3(x) = [(x2 – x) (x2 + x) B(x) + x2 + 2x]3 x2 + x = 0 ⇒ x2 = –x ⇒ [0 · B(x) + (–x) + 2x]3 = x3 ⇒ x2 · x = –x · x = –x2 = x

16.

B) 2

P(5 – 7) = P(13 – 7) ⇒ P(–2) = P(6) P(–2) · P(6) = P(–2) · 4 – 4 P(6) · P(6) = 4 · P(6) – 4 P2(6) – 4P(6) + 4 = 0 (P(6) – 2)2 = 0 ⇒ P(6) = 2 (Cevap A)

C) 3

D) 4

E) 5

(Cevap B)

05

BÖLÜM 06 Test

Polinomlar 1. Aşağıda verilen polinomlardan hangisi x – 3 ile tam

5. P(2) = 3

bölünemez?



A) P(x) = x2 – 3x

B) P(x) = x2 – 4x + 3



C) P(x) = x3 – 2x2 – 9

D) P(x) = (x – 1)4 – 16



E) P(x) = x3 – 3x2 + x

P(3) = 5



olduğuna göre, P(x) polinomunun (x – 2) · (x – 3) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?



A) x – 1



x–3=0 ⇒ x=3 polinomlara x = 3 yazıldığında sıfır sonucunu verenler x – 3 ile tam bölünür.

B) x + 1

D) 2x – 1

C) 3x – 1

E) 2x + 1

P(x) = (x – 2) · (x – 3) · B(x) + ax + b 

Sıfır sonucunu vermeyenler tam bölünemez.

P(2) = 2a + b = 3

P(x) = x3 – 3x2 + x ⇒ P(3) = 27 – 27 + 3 = 3 olduğundan tam bölünemez.

P(3) = 3a + b = 5

(Cevap E)

a = 2, b = –1

Kalan 2x – 1 dir.

(Cevap D)

6. P(x + 4) = x2 + 4x + a 3

2. P (x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 8’dir.



Q(x + 2) = x2 + 4





P(x + 2) = Q(x + 2)

Buna göre,

x2

· P(x – 1)



polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 4

x–1=0 ⇒ x=1 ⇒

C) 16

D) 32

E) 64

olduğuna göre, a kaçtır?



A) 6

B) 7

x = 1 için P(3) = Q(3) x = –1 için P(3) = 1 – 4 + a x = 1 için Q(3) = 1 + 4



B) 8



P3(1) = 8

⇒ P(1) = 2 x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ 22 · P(1) = 4 · 2 = 8

E) 10

a–3=5 a=8 (Cevap C)

Çözüm Yayınları

Q(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 4’tür. Q(2x − 1) = x+m−2 P( x )

olduğuna göre, m kaçtır?



A) 1

C) 3

D) 4

E) 5

P(1) = 2, Q(1) = 4 x = 1 için

D) 9

(Cevap B)

3. P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2,

B) 2

C) 8

Q( 1) =m–1 ⇒ 4 =m–1 P ( 1) 2 ⇒ m=3

7.

I. P(x) polinomunun derecesi 2 ise P(x2 + 3) polinomunun derecesi 4’tür.



II. P(x3) polinomunun P(2x) polinomuna bölümünden elde edilen bölümün derecesi 2’dir.



III. der(P(2x + 3)) = 4 ise der(P(x)) = 2’dir.



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I





B) Yalnız II

D) II ve III 2

2

2

2

C) I ve II

E) I, II ve III 2

I) P(x) = x ⇒ P(x + 3) = (x + 3) ⇒ der(P(x + 3)) = 4 ifade doğrudur. II) P(x) = x2 için P(x3) = x6 ve P(2x) = 4x2 dir. bölümün derecesi 4 tür ifade daima doğru değildir. III) der(P(2x + 3) = der(P(x)) dir ifade yanlıştır.

(Cevap A)

(Cevap C)

335 8. P(x) = x(x – 8) polinomu veriliyor.

4. P(x) = 2x – 3

P(x2 + 3x) + 16

olduğuna göre,





polinomunun çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?



A) x + 1

P(m – 1) + P(m + 1) = 14



denklemini sağlayan m değeri kaçtır?



A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

P(m – 1) = 2(m – 1) – 3 = 2m – 5 P(m + 1) = 2(m + 1) – 3 = 2m – 1 P(m – 1) + P(m + 1) = 2m – 5 + 2m – 1 = 14 4m – 6 = 14 ⇒ 4m = 20 ⇒ m = 5

Buna göre,

(Cevap C)



B) x – 2

D) (x – 4)2

x → x2 + 3x P(x2 + 3x) + 16 = (x2 + 3x) (x2 + 3x – 8) + 16 (x2 + 3x)2 – 8 (x2 + 3x) + 16 (x2 + 3x – 4)2 = (x + 4)2 · (x – 1)2 O hâlde polinomun çarpanlarından biri 1 – x dir.

C) 1 – x

E) (x – 3)2

(Cevap C)

Test 05

1. E

2. B

3. C

9. (x2 + 2) · P(x – 1) = (m – 3)x5 + x4 – m – 1

5. D

6. C

7. A

8. C

9. B 10. A 11. B 12. C 13. E 14. C 15. A 16. E

13. Derecesi 4 olan P(x) polinomu, x3 – 16x ve x3 + 5x2 + 4x polinomları ile tam bölünmektedir.

olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 15



olduğuna göre, P(–2) değeri kaçtır?



A) 32

B) 14

C) 13

D) 12

E) 11

x2 + 2 = 0 ⇒ x2 = –2 0 = (m – 3) (x2)2 · x + (x2)2 – m – 1 0 = (m – 3) (–2)2 · x + (–2)2 – m – 1 0 = (4m – 12)x + 3 – m ⇒ m = 3 x – 3 = 0 ⇒ x = 3 için P(3) = ? x = 4 için 18P(3) = 44 – 4 ⇒ P(3) = 252 = 14 18

(Cevap B)

• x – 1 ile bölümünden kalan ile x + 2 ile bölümünden kalan birbirine eşittir.



• Sabit terimi başkatsayısının 2 katıdır. P(4) oranı kaçtır? P(2) C) 13 D) 15 4 4

P( 4 ) a ⋅ 3 ⋅ 6 + 4a 22a 11 = = = P( 2 ) a ⋅ 1 ⋅ 4 + 4a 8a 4

(Cevap A)



P(4) = 10



P(2) = 10



P(1) = 10



olduğuna göre, P(3) kaçtır?



A) 8

A) 0

B) 1

x2 + x + 1 = 0 (x – 1) (x2 + x + 1) = 0 (x – 1) x3 – 1 = 0 ⇒ x3 = 1

C) 2

D) 3

E) 4

x3 · x2 + x3 · x + ax + b x2 + x + ax + b –1 + ax + b = 0 a = 0, b = 1 ⇒ a + b = 1

C) 6

D) 5

E) 4

(Cevap C)

x2 – 2x – 3 ile bölümünden kalan x + 2 dir.

bölünebilmektedir.



B) 7

15. Başkatsayısı –3 olan dördüncü dereceden P(x) polinomunun

11. x5 + x4 + ax + b polinomu x2 + x + 1 polinomuna tam Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

E) 24

(Cevap E)

P(x) = 2 · (x – 4) (x – 2) (x – 1) + 10 P(3) = 2 · (–1) · 1 · 2 + 10 P(3) = –4 + 10 = 6

E) 4

P(x) = a(x – 1) (x + 2) + k P(0) = 2a ⇒ a · (–1) · (2) + k = 2a ⇒ k = 4a



D) 26

Çözüm Yayınları

B) 3

C) 28

14. P(x) üçüncü dereceden başkatsayısı 2 olan bir polinomdur.



A) 11 4

B) 30

x3 + 5x2 + 4x = x (x + 4) (x + 1) P(x) = a · x · (x + 1) (x – 4) (x + 4) P(3) = a · 3 · 4 · (–1) · 7 = 84 ⇒ a = –1 P(–2) = (–1) · (–2) · (–1) · (–6) · 2 = 24

bilinmektedir.

Buna göre,

P(3) = 84

x3 – 16x = x · (x2 – 16) = x (x – 4) (x + 4)

10. İkinci dereceden bir P(x) polinomu ile ilgili aşağıdakiler



4. C

(Cevap B)



P(x) polinomunun sabit terimi –7, katsayılar toplamı –5 olduğuna göre, x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 19

B) 16

C) 10

D) 8

P(x) = (–3x2 + ax + b) (x2 – 2x – 3) + x + 2 P(0) = –7 ⇒ b · (–3) + 2 = –7 ⇒ b = 3 P(1) = –5 ⇒ (–3 + a + 3) · (1 – 2 – 3) + 3 = –5 –4a + 3 = –5 ⇒ a = 2 P(x) = (–3x2 + 2x + 3) (x2 – 2x – 3) + x + 2 P(2) = (–12 + 4 + 3) · (4 – 4 – 3) + 4 = (–5) · (–3) + 4 = 19

E) 6

(Cevap A)

336

12. P(x) bir polinom ve a > 0 olmak üzere

• P(x) + (x – a) · P(x + 3) = x2 + 3x – 13



• P(x + 1) polinomunun x – a + 1 ile bölümünden kalan a + 2’dir.



Buna göre, a kaçtır?



A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

x – a + 1 = 0 ⇒ x = a – 1 ⇒ P(a – 1 + 1) = a + 2 ⇒ P(a) = a + 2 x = a için P(a) + 0 · P(a + 3) = a2 + 3a – 13 a + 2 = a2 + 3a – 13 ⇒ a2 + 2a – 15 = 0 (a + 5) (a – 3) = 0 ⇒ a = 3

D) 5

16. P(x) bir polinom olmak üzere,

P(x + 1) · P(x) = P(2x) + 20



olduğuna göre, P(10) aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 1

B) 2

C) 3

Verilen denklemdeki polinom sabit polinomdur. C · C = C + 20 ⇒ C2 – C – 20 = 0 (C – 5) (C + 4) = 0 C = 5, C = –4 (Cevap C)

D) 4

E) 5

(Cevap E)

BÖLÜM 06 Test

Polinomlar 1. P(4x – 2) = 12x + 5

5. Çember ve oklar kullanılarak oluşturulan polinom işleminde



olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 3x – 1



B) 2x + 5

D) 3x + 11

4x – 2 → x 4x → x + 2 x→ x+2 4

06

okun çıktığı çemberdeki polinoma okun üzerinde yazan işlem uygulanıp okun gittiği çembere yazılıyor.

C) x + 6 P(x)

E) 3x + 4

x – 2 ile bölümünden

x – 4 ile

elde edilen bölüm

bölümünden kalan

P(x) = 12 · x + 2 +5 4



P(x) = 3x + 6 + 5



P(x) = x3 – 8 için turuncu çemberdeki sayı kaçtır?



A) 26

P(x) = 3x + 11

(Cevap D)

B) 28

C) 30

D) 32

E) 34

P(x) = x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4) polinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen bölüm x2 + 2x + 4 x – 4 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ 42 + 2 · 4 + 4 = 16 + 8 + 4 = 28

(Cevap B)

6. der(EBOB(P(x), Q(x)) = 0

olan P(x) ve Q(x) polinom ikililerine aralarında asal polinomlar denir.



Buna göre, aşağıdaki polinom çiftlerinden hangileri aralarında asaldır?



A) P(x) = x2 – 2x B) P(x) = x2 – 2x – 3

2. P(x) = (a – 2) x + (a – 3)x + a

ifadesi polinom olduğuna göre, P(3) kaçtır?



A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

a – 2 = 0 ⇒ a = 2 ⇒ P(x) = –x + 2 P(3) = –1

Çözüm Yayınları

(Cevap A)



Q(x) = x2 – 4x Q(x) = x2 – 9

C) P(x) = (x – 2)2 · x



D) P(x) = x4 – 16

Q(x) = x2 – 10x + 16

Q(x) = x3 + 4x

E) P(x) = x2 – 4x – 5 Q(x) = x2 – 3x + 2 EBOB ((x – 5) (x + 1), (x – 2) (x – 1)) = 1 der(EBOB (x2 – 4x – 5, x2 – 3x + 2)) = 0

(Cevap E)

P( x ) = x ⋅ Q( x − 2) + x 2 − 13 x−3

3. P(2x + 1) = 8x – 2x

7.





olmak üzere, P(x + 1) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 31’dir.



Buna göre, Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) 7

olduğuna göre, P(4) kaçtır?



A) 24 x

x

2 +1→4 2x

B) 21

C) 18 x3

P(2 + 1) = (2 ) – 2

D) 16

E) 12

x

3

→3

P(4) = 3 – 3 P(4) = 27 – 3 = 24

(Cevap A)

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ P(3 + 1) = 31 ⇒ P(4) = 31 x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ Q(2) = ? x = 4 için

P( 4 ) = 4 · Q(2) + 42 – 13 1



31 = 4Q(2) + 3 ⇒ Q(2) = 7

337 (Cevap A)

8. P(x – 2) + P(x) = Q(x – 4) + 6x + b + 3

4.

x3



olmak üzere, P(x) polinomunun sabit terimi 4 tür ve P(x – 3) polinomunun katsayılar toplamı Q(x – 4) polinomunun sabit terimine eşittir.



Buna göre, b kaçtır?



A) 0

− 2x + a x−2



ifadesi bir polinom olduğuna göre, a kaçtır?



A) –4

B) –2

C) 0

D) 2

E) 4

x3 – 2x + a polinomu x – 2 ile tam bölünür. x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ 23 – 2 · 2 + a = 0 ⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = –4

(Cevap A)

B) 1

P(0) = 4 ve P(–2) = Q(–4) x = 0 için P(–2) + P(0) = Q(–4) + b + 3 P(–2) + 4 = P(–2) + b + 3 b + 3 = 4 ⇒ b = 1

C) 2

D) 3

E) 4

(Cevap B)

Test 06

1. D

2. A

3. A

9. P(x) = 2x3 + 3ax2 – b + 6 polinomunun (x + 1)2 ile bölümünden kalan 3x + 4 olduğuna göre, 2b ifadesinin değeri kaçtır?



A) 6

C) 8

x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ x2 = –2x – 1 2x · x2 + 3ax2 – b + 6 2x (–2x – 1) + 3a (–2x – 1) – b + 6 –4x2 – 2x – 6ax – 3a – b + 6 –4(–2x – 1) – 2x – 6ax – 3a – b + 6 x (6 – 6a) – 3a – b + 10 = 3x + 4

6. E

7. A

8. B

9. D 10. C 11. D 12. C 13. C 14. C 15. C 16. B

D) 9

Q(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 1’dir. P(x – 1)



6 − 6a = 3 ⇒ a = 1 2 −3a − b + 10 = 4 − 3 − b = −6 ⇒ b = 9 2 2 2b = 9



• Q(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 2’dir.



Buna göre, P(x) polinomunun x2 – x – 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2x

B) 2x + 1

D) 2x + 2



olduğuna göre, B(3) değeri kaçtır?



A) 1



E) 2x + 3

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

(Cevap C)

(x – 2) · Q(x) = P(x) · (x2 – 2x – 1)



olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) x + 1

Çözüm Yayınları

B) x2 – 1

D) x3 + 8

(Cevap C)



14. P(x) ve Q(x) birer polinomdur.

C) 2x – 1

P(x) = (x – 2) Q(x) + 3 Q(x) = (x + 1) B(x) + 2 P(x) = (x – 2) · [(x + 1) B(x) + 2] + 3 P(x) = (x2 – x – 2) B(x) + 2x – 4 + 3 P(x) = (x2 – x – 2) B(x) + 2x – 1

4x – 3

x + 1 = 0 ⇒ x = –1 ⇒ P(2) = 12 x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ Q(3) = 1 P(x – 1) = Q(x) · B(x) + 4x – 3 x = 3 için P(2) = Q(3) · B(3) + 9 12 = B(3) + 9 ⇒ B(3) = 3

(Cevap D)

• P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x), kalan 3’tür.

Q(x) B(x)

E) 10

10.



5. B

13. P(x + 3) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 12,



B) 7

4. A

C) x2 + 2x – 8

E) 2

x2 – 2x – 1 ;

Q(x) Polinomunun, x – 2 ise P(x) Polinomun bir çarpanıdır. P(x) = x2 + 2x – 8 = (x + 4) (x – 2) olabilir.

(Cevap C)

11. P(x + 4) = (x2 – 1) · Q(x) + 2x + 3 15. P(x) bir polinom olmak üzere



polinomu veriliyor.



Buna göre, P(x) polinomunun x2 – 8x + 15 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?



olarak veriliyor.

A) 2x – 1



P(0) ≠ 0 olduğuna göre, der(P(x)) kaçtır?



A) 0





B) 3x – 4

D) 2x – 5

C) 4 – 2x

E) 3x + 4

x = –1 için P(3) = 1 x = 1 için P(5) = 5 P(x) = (x – 5) (x – 3) B(x) + ax + b P(3) = 3a + b = 1 a = 2, b = –5 P(5) = 5a + b = 5 ax + b = 2x – 5

(x – 4) · P(2x) = 4 · (x – 1) · P(x)

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4



Eşitliğin sağ kısmının katsayısı 4, sol kısmının katsayısı 1 olduğundan eşitliğin sağlanması için P(x) polinomunun derecesi 2 dir. (Cevap C)

(Cevap D)

338

12. P(x) polinomunun x3 – 8 ile bölümünden kalan x + 2’dir.

Buna göre, P3(x) polinomunun x2 + 2x + 4 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?



A) 2x – 4



B) 3x – 6

D) 4x – 6

P(x) in x2 + 2x + 4 ile bölümünden kalan P3(x) = (x + 2)3 (x2 + 4x + 4) (x + 2) 2x (x + 2) = 2x2 + 4x = 2(–2x – 4) + 4x = –8

16. (x – 2) · P(2x – 1) = P(x + 3) + x2 – 2

olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) –10

C) –8

E) 4x + 8

(Cevap C)

B) –9

C) –8

x = 2 için 0 · P(3) = P(5) + 4 – 2 ⇒ P(5) = –2 x = 3 için 1 · P(5) = P(6) + 9 – 2 ⇒ –2 = P(6) + 7 ⇒ P(6) = –9

D) –7

E) –6

(Cevap B)

BİRE BİR 1.

BÖLÜM 06 Test

5. Başkatsayısı 2 olan ikinci dereceden bir P(x) polinomu için

P  6  − 2x = 4 x 2 − P  x  x 6



olduğuna göre, P(1) kaçtır?



A) 70

B) 74

C) 76

D) 78

x = 6 için P(1) – 12 = 144 – P(1) 2P(1) = 156 P(1) = 78

E) 80



A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

(Cevap D)

6. m ve n birer pozitif tam sayı olmak üzere,

der(P(x) · x + Q(x) ·



polinomunun katsayılarının toplamı 21 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?



A) 10

x2)







ifadesinin değeri kaçtır?



A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

P(x) = (x2 + m) · (x2 + n)

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6

x = 1 için P(1) = 21 P(1) = (1 + m) (1 + n) = 21 1 + m = 3 ⇒ m = 2 m+n=8 1 + n = 7 ⇒ n = 6

E) 10



olduğuna göre,

olduğuna göre, P(2) – P(1) değeri kaçtır?

der(Q2(x4)) = der(Q8(x)) = 48 ⇒ der(Q(x) = 6 der(P(x2)) = der(P2(x) = 6 ⇒ der(P(x) = 3 P(x) = x3, Q(x) = x6 alınırsa der(x3 · x + x6 · x2 = der(x8 + x4) = 8 olur.

(Cevap C)

(Cevap C)

Çözüm Yayınları





P(x) = 2x + ax + b P(1) – P(0) = (2 + a + b) – (b) = 3 ⇒ a + 2 = 3 ⇒ a = 1 P(2) – P(1) = (8 + 2a + b) – (2 + a + b) = 6 + a = 6 + 1 = 7

(Cevap D)

der(P(x2)) = 6



P(1) – P(0) = 3

2

2. der(Q2(x4)) = 48

07

7. Başkatsayısı 3 ve sabit terimi 2 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

3.

P( x ) = ( x 6

n + 4x 3 ) 3

⋅ (x3



polinomunun derecesi en az kaçtır?



A) 12

B) 15



• P(x + 2) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 8’dir.



• P  x  polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan 34’tür. 2



Buna göre, P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?



A) –2

+ 1)3n + 4

C) 18

D) 21

n = 0 için (x6 + 4x3)0 · (x3 + 1)4 1 · (x12 + ......) derece en az 12 dir.

E) 24

(Cevap A)

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

P(x) = 3x3 + ax2 + bx + 2 P(1) = 8 ve P(2) = 34 P(1) = 3 + a + b + 2 = 8 ⇒ a + b = 3 \ –2 P(2) = 24 + 4a + 2b + 2 = 34 ⇒ 4a + 2b = 8 + a = 1, b = 2 P(x) = 3x3 + x2 + 2x + 2 ⇒ P(–1) = –3 + 1 – 2 + 2 = –2

339 (Cevap A)

4. P(x) = x3 – x – m + 1

olmak üzere, P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan m – 1’dir.



Buna göre, m kaçtır?



A) –1

B) –2

x + 1 = 0 ⇒ x = –1 ⇒ P(–1 – 1) = m – 1 ⇒ P(–2) = m – 1 x = –2 için P(–2) = –8 + 2 – m + 1 = m – 1 2m = –4 m = –2

C) –3

D) –4

E) –5

(Cevap B)

8. P(x) = 2x3 – (m + 2)x2 – nx + 3m

polinomu x2 – x ile tam bölünebildiğine göre, m + n toplamı kaçtır?



A) 0

B) 1

x (x – 1) = 0 için P(0) = P(1) = 0 dır. P(0) = 3m = 0 ⇒ m = 0 P(1) = 2 – (m + 2) – n + 3m = 0 2–2–n+0=0⇒n=0 m+n=0

C) 2

D) 3

E) 4

(Cevap A)

Test 07

1. D

2. C

9. Başkatsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu P(4x) polinomunun 4x – 3 ile bölümünden elde edilen kalan 45’tir.



Buna göre, P(2) değeri kaçtır?



A) 32

D) 24

P(x) = (x2 + 6) · (x + a) 4x – 3 = 0 ⇒ 4x = 3 ⇒ P(4x) = P(3) = 45 P(3) = (9 + 6) · (3 + a) = 45 15(3 + a) = 45 ⇒ a + 3 = 3 ⇒ a = 0 P(2) = (4 + 6) · (2 + 0) = 20

6. C

7. A

8. A

9. E 10. D 11. A 12. A 13. D 14. E 15. A

f (ax − b) = x f (a) = 2b a

E) 20



eşitliklerini sağlamaktadır.



Buna göre, f(0) değeri kaçtır?

A) −1 B) −1 C) −2 2 3 3

(Cevap E)

D) 1

ax → ba

ax − b → 0

x → a+b a

x → b ⇒ f ( 0) = b = a = 1 a a a

E) 2

f ( a ) = a + b = 2b ⇒ a = b a a

10. P(x) = x2 – 4x + a

(Cevap D)

Q(x) = x2 + 5x + b



polinomları veriliyor.



Bu iki polinom ortak bir köke sahip ve P(x) polinomunun kökleri birbirine eşittir.



Buna göre, a · b çarpımının sonucu kaçtır?



A) –36

B) –48

C) –52

D) –56

P(x) in kökleri eşitse ∆ = 0 dır. b2 – 4ac = (–4)2 –4 · 1 · a ⇒ 16 – 4a = 0 ⇒ a = 4 P(x) = x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 = 0 ise x = 2 dir. x = 2 aynı zamanda Q(x) polinomunun bir köküdür. Yani Q(2) = 0 dır. Q(2) = 22 + 5 · 2 + b = 0 ⇒ b = –14 a · b = 4 · (–14) = –56

14. P(x) bir polinom olmak üzere, P(a) = 0 eşitliğini sağlayan a sayısına bu polinomun kökü denir.

E) –60

(Cevap D)

Çözüm Yayınları



5. D

kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu



C) 28

4. B

13. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar

x2 + 6 ile kalansız bölünebilmektedir.

B) 30

3. A

P(x) ve R(x) polinomları için,



P(x) = x2 – 4





R(x) = P(P(x))



eşitlikleri veriliyor.



Buna göre,



I. –1

II. − 6 III. 2

11. P(x) bir polinom olmak üzere

P(x) · (x2 + 1) + x + 2 = 3x3 + 2x2 + ax + b



olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?



A) 16

B) 15

C) 12

D) 10

x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = –1 yazılırsa P(x) · (–1 + 1) + x + 2 = 3 · x2 · x + 2x2 + ax + b  0 x + 2 = 3 · (–1) · x + 2 (–1) + ax + b x + 2 = x (a – 3) + b – 2 a – 3 = 1 ⇒ a = 4 ve b – 2 = 2 ⇒ b = 4 a · b = 4 · 4 = 16

E) 9



A) Yalnız I

B) Yalnız II







(Cevap A)

polinomu her x gerçel sayısı için P(x) = P(–x)

P(1) = P(3) = 0



olduğuna göre, P(0) kaçtır?



A) 9

B) 18

C) 24

D) 30

E) 36

( x 2 − 6 ) ⋅ ( x 2 − 2) = 0

(Cevap E)

15. Gerçek katsayılı P(x), Q(x) ve R(x) polinomları veriliyor.

Sabit terimi sıfırdan farklı P(x) polinomu için







eşitliği sağlanıyor.



P(x + 2) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan, Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalanın 3 katıdır.



Buna göre, R(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?



A) 3

P(x) = Q(x + 2) · R(x + 1)

B) 2

C) 1

P(x) polinomunun sabit terimi: P(0) ≠ 0 P(0) = Q(2) · R(1) x + 2 = 0 ⇒ x = –2 ⇒ P(–2 + 2) = P(0) P(0) = 3Q(2) x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ Q(2)

D) 1 E) 1 3 21



P(x) = P(–x) ise P(x) çift polinomdur. Kökleri x = 1, x = 3, x = –1, x = –3 olur. P(x) = (x – 1) (x + 1) (x – 3) (x + 3) P(0) = (–1) · 1 · (–3) · 3 = 9

E) II ve III

R( x ) = P( P( x )) ⇒ R( x ) = P( x 2 − 4 ) = ( x 2 − 4 ) 2 − 4

eşitliğini sağlamaktadır.



D) I ve III

C) Yalnız III

O hâlde II ve III köküdür.

12. Gerçel katsayılı ve baş katsayısı 1 olan 4. dereceden bir P(x)



sayılarından hangileri R(x) polinomunun köküdür?

x = 6, x = − 6, x = 2, x = − 2

340





(Cevap A)

P(0) = Q(2) · R(1) ⇒ 3Q(2) = Q(2) · R(1) ⇒ R(1) = 3

(Cevap A)

01

BÖLÜM 07 Test

Mantık 1.

I. 3 + 5 < 1

5. p(x) : “∀x ∈ Z, x + 1 ≤ 0”



II. –3 sayısının 2 sayısına uzaklığı 5 birimdir.





III. Bu çocuk çok güzel.

A) ∃x ∈ Z, x + 1 ≤ 0



ifadelerinden hangileri önermedir?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve III

önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?

B) ∃x ∈ Z, x + 1 > 0 C) I ve II

E) I, II ve III

D) ∀x ∈ Z, x + 1 ≤ 0 E) ∀x ∈ Z, x + 1 > 0



3 + 5 < 1 ve –3 sayısının 2 sayısına uzaklığı, 5 birimdir ifadeleri doğru ya da yanlış kesin hüküm belirtiği için önermedir. Bu çocuk çok güzel kesin hüküm belirtmediğinden önerme değildir.

C) ∃x ∈ Z, x + 1 ≥ 0



“∀x ∈ Z, x + 1 ≤ 0” önermesinin olumsuzu

(Cevap C)

“∃x ∈ Z, x + 1 > 0” olur.

(Cevap B)

2. (x = 2) ⇒ (x2 = 4)

önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?



A) (x = 2) ⇒ (x2 ≠ 4)



B) (x ≠ 2) ⇒ (x2 = 4)



C) (x ≠ 2) ⇒ (x2 ≠ 4)



D) (x2 ≠ 4) ⇒ (x ≠ 2)



E) (x2 = 4) ⇒ (x = 2)

(x = 2) ⇒ (x2 = 4) önermesinin karşıt tersi (x2 ≠ 4) ⇒ (x ≠ 2) dir.

(Cevap D)

Çözüm Yayınları

6. p : “a ∈ A”



q : “b ∈ B”





r : “c ∈ C”



önermeleri veriliyor.



Buna göre,



A=B∪C



eşitliği aşağıdaki bileşik önermelerinden hangisine denktir?



A) p = q ∧ r



B) p ⇒ (q ∨ r)

D) p ⇔ (q ∨ r)

C) p ⇒ (q ∧ r)

E) p = q ∨ r

A = B ∪ C eşitliğine denk olan bileşik önerme p ⇔ (q ∨ r) olur.

3.

I. p′ ∨ p ≡ 1



II. p′ ∧ p ≡ 0



III. p ⇒ p ≡ 1



denkliklerinin kaç tanesi doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve II

C) Yalnız III

E) I, II ve III

7. p, q ve r önermeleri için (p ⇒ r) ⇒ q

p′ ∨ p ≡ 1, p′ ∧ p ≡ 0 ve p ⇒ p ≡ 1 olduğundan üç denklikte doğrudur.

(Cevap D)

(Cevap E)



önermesinin doğruluk değeri “0” dır.



Buna göre,



I. p ⇒ q



II. q ⇒ p



III. r ⇒ p

341

4. (p ∨ p′) ∨ (p′ ∨ 0)



önermelerinden hangileri her zaman doğrudur?

önermesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?



A) Yalnız I

B) Yalnız II









p ∨ p′ ⇒ 1



A) 1

p′ ∨ 0 ⇒ p′

B) 0 1 ∨ p′ ≡ p

C) p

D) p′

E) Hiçbiri

D) I ve II

C) Yalnız III

E) II ve III

p ⇒ r ≡ 1 ve q ≡ 0 (Cevap C)

1. Durum 2. Durum 3. Durum

p 1 0 0

q 0 0 0

r 1 1 0

q ⇒ p her zaman doğrudur. (Cevap B)

Test 01

1. C

2. D

3. E

4. C

5. B

6. D

7. B

8. A

9. D 10. E 11. E 12. E 13. A 14. D 15. A

8. (p′ ∨ 0) ⇒ (p ∧ 1)

12. p ⇔ q





koşullu önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

bileşik önermesi



I. p



A) (p ∧ q′) ∨ (p′ ∧ q′)



II. 1



B) (p ∨ q) ∧ (q′ ∨ p′)



III. p′



C) (p′ ∨ q) ∧ (p′ ∨ q′)



önermelerinden hangilerine her zaman denktir?



D) (p′ ∨ q) ∧ (p ∨ q′)



A) Yalnız I

B) Yalnız II



E) (p ∧ q′) ∨ (p′ ∧ q)







D) I ve II

C) Yalnız III

p ⇔ q ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ≡ (p′ ∨ q) ∧ (q′ ∨ p)

E) II ve III

değili ≡ (p′ ∨ q)′ ∨ (q′ ∨ p)′ ≡ (p ∧ q′) ∨ (p′ ∧ q)

(Cevap E)

(p′ ∨ 0) ⇒ (p ∨ 1) ≡ p′ ⇒ p

≡p

(Cevap A)

13. (p′ ∧ q) ∨ (p′ ⇒ q)′

9. p(x) : “x ∈ N, –1 ≤ x – 1 < 7”

açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman sayısı kaçtır?



A) 5

B) 6

C) 7

D) 8



önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?



A) p′

B) 1

C) 0

D) q

E) q′ ∨ p

(p′ ∧ q) ∨ (p ∨ q)′ = (p′ ∧ q) ∨ (p′ ∧ q′) p′ ∧ (q ∨ q′) ≡ p′ ∧ 1 ≡ p′

(Cevap A)

E) 9

–1 ≤ x – 1 < 7 ⇒ 0 ≤ x < 8 (Cevap D)

Çözüm Yayınları

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} doğruluk kümesi 8 elemanlıdır.

10. 0 ⇔ p′ ≡ 1

olduğuna göre,



I. p ∨ r



II. p ∧ r′



III. r ∨ p



önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri “1” dir?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve II





olduğuna göre,

q : “Burdur, Akdeniz Bölgesi’ndedir.”



bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?



A) Salda Gölü, Burdur’dadır.



B) Salda Gölü, Burdur’dadır ve Akdeniz Bölgesi’ndedir.



C) Burdur, Akdeniz Bölgesi’ndedir.



D) Salda Gölü, Burdur’da değildir.



E) Burdur, Akdeniz Bölgesi’ndedir ancak Salda Gölü Burdur’da değildir.

C) I ve III

[p′ ∧ q′ ∧ q]′ ∧ p′ ≡ [p′ ∧ 0]′ ∧ p′ ≡ 0′ ∧ p′ ≡ 1 ∧ p′

E) I, II ve III

≡ p′

0 ⇔ p′ ≡ 1 ise p′ ≡ 0, p ≡ 1

342



[(p ∨ q)′ ∧ q]′ ∧ p′

1 ⇔ r ≡ 0

14. p : “Salda Gölü, Burdur’dadır.”

“Salda Gölü, Burdur’da değildir.”

(Cevap D)

1 ⇔ r ≡ 0 ise r ≡ 0 p ∨ r ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1, p ∧ r′ ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1, r ∨ p ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1

(Cevap E)

15. I. (p′ ⇒ q) ∨ p′

II. (p ∧ p ∧ p) ⇔ (p′ ∨ p′ ∨ p′)

11. p′ ∨ (q ∧ p)



III. (p ⇒ q)′ ∨ p′



önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?



önermelerinden hangileri totolojidir?



A) p ∧ q



A) Yalnız I

B) Yalnız II









D) p ⇒ q

B) q ⇒ p





E) p ∧ q′

C) p′ ⇒ q

(p′ ∨ q) ∧ (p′ ∨ p) ≡ (p′ ∨ q) ∧ 1

E) II ve III

I. p ∨ q ∨ p′ ≡ p ∨ p′ ∨ q ≡ 1 ∨ q ≡ 1 totolojidir.

≡ p′ ∨ q) p′ ∨ q önermesinin olumsuzu p ∧ q′ olur.

D) I ve II

C) Yalnız III

II. p ⇔ p′ ≡ 0 çelişkidir. (Cevap E)

III. (p′ ∨ q)′ ∨ p′ ≡ (p ∧ q′) ∨ p′ ≡ (p ∨ p′) ∧ (q′ ∨ p′)

≡ 1 ∧ (q′ ∨ p′) ≡ q′ ∨ p′ totoloji değildir.

(Cevap A)

BÖLÜM 07 Test

Mantık 1.

I. p ⇔ p′ ≡ 0



II. p′ ∨ p′ ≡ p′



III. p ⇒ 1 ≡ p

5. p :



denkliklerinden hangileri her zaman doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve III

C) I ve II

q : “İki basamaklı en büyük asal sayı 97’dir.”





r : “Doğrusal olmayan üç nokta bir üçgen belirtir.”



önermeleri veriliyor. p

q

p

r′

r

p



2. (p ∨ q′)′ ∧ r′

önermesinin doğruluk değeri 1 olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir? p

q

r

A)

1

1

1

B)

1

1

0

C)

1

0

0

D)

0

1

1

E)

0

1

0

”



p ⇔ p′ ≡ 0 ve p′ ∨ p′ ≡ p′ doğrudur. (Cevap C)

(−2) 4 + 2 = 0



E) I, II ve III

p ⇒ 1 ≡ 1 olduğundan p ⇒ 1 ≡ p yanlıştır.

“4

02

ifadelerindeki renkli kutuların içerisine ise (⇒), ancak ve ancak (⇔), ya da (∨) bağlaçları hangi sırayla yerleştirilirse üç önermenin doğruluk değeri 1 olur?

A)

⇒

∨

⇔

B)

⇒

⇔

∨

C)

∨

⇔

⇒

D)

⇔

⇒

∨

E)

∨

⇒

⇔

p ≡ 0, q ≡ 1, r ≡ 1 p ⇒ q ≡ 1, p ⇔ r’ ≡ 1, r ∨ p ≡ 1 olacağından sırasıyla

(p′ ∧ q) ∧ r’ ≡ 1 ise r′ ≡ 1, p′ ∧ q ≡ 1 olur. (Cevap E)

3. Aşağıda verilen denkliklerin hangisi yanlıştır?

⇒, ⇔ ve ∨ olmalıdır.

(Cevap B)

Çözüm Yayınları

p ≡ 0, q ≡ 1, r ≡ 0



A) 1 ∧ 0 ≡ 0

B) (0 ∧ 1) ∨ 0 ≡ 0

6. p : “ x – 6 < 0, x ∈ Z”



C) (1 ∧ 1) ⇔ 1 ≡ 1

D) (1 ∧ 0)′ ⇒ 0 ≡ 0





q : “2x + 7 > 3, x ∈ Z”





r : “x + 2 = 6”



önermeleri veriliyor.

E) (1 ⇔ 0)′ ∨ 1 ≡ 1 (1 ⇔ 0)′ ∨ 1 ⇔ 0′ ∨ 1 ≡ 1 ∨ 1 ≡ 0 olduğundan E seçeneği yanlıştır.

(Cevap E)

p ⇒ (q ⇒ r)

önermesinin doğruluk değeri “0” olduğuna göre x’in alabileceği kaç farklı değer vardır?

4. ((p ∧ q′)′)′



A) 4



p ⇒ (q ⇒ r) ≡ 0 için p ≡ 1, q ⇒ r ≡ 0 olur. q ⇒ r ≡ 0 için q ≡ 1 ve r ≡ 0 dır. x–6 –2 olmak üzere 6 tanedir. x+2≠6 ⇒ x≠4

[(p ⇒ q) ⇒ r] ⇒ 1

bileşik önermesine denktir.



Buna göre,



I. p ≡ 1



II. q ≡ 0



III. p ≡ 0

C) 6

D) 7



bileşik önermesi

B) 5

E) 8

(Cevap C)

7. p ve q önermeleri için



ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?



A) Yalnız I





B) Yalnız II

D) Yalnız III

(p′ ⇒ q) ∨ (p′ ∧ q′) C) I ve II

E) II ve III

[(p ⇒ q) ⇒ r] ⇒ 1 ≡ 1 ((p ∧ q′)′)′ ≡ 1 ise p ∧ q′ ≡ 1 ise p ≡ 1, q ≡ 0



bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?



A) 0

B) 1

C) p

D) q

E) p′

((p′)′ ∨ q) ∨ (p ∨ q)′ (Cevap C)

(p ∨ q) ∨ (p ∨ q)′ ≡ 1

(Cevap B)

343

Test 02

1. C

8.

3. E

4. C

5. B

6. C

7. B

8. E

9. B 10. E 11. E 12. D

11. Bir öğretmen ile öğrencisi arasında geçen mesajlaşma p ∧ q′



2. E

aşağıda verilmiştir.

(p ⇒ q)′

Bileşik önermesinin doğruluk değerinin 1 olması için boş kareye,

Ayşe

Çevrimiçi

I. ⇒

Eylül 23, 2018

II. ∨

Ayşe: Hocam gerektirme ne demektir?

III. ⇔

bağlaçlarından hangileri yazılabilir?



A) Yalnız I





B) Yalnız II

D) I ve II



(p ∧ q′)

(p′ ∨ q)′ ≡ (p ∧ q′)

O hâlde

yerine ⇒ ve ⇔ bağlaçları gelebilir.

Özgür Hoca: p ⇒ q önermesinin doğruluk değeri 1 olduğunda bu şartlı önermeye gerektirme denir.

C) Yalnız III

E) I ve III

(p ∧ q′) (Cevap E)

Ayşe: Peki hocam I. p ⇒ (p′ ∨ p) II. “Ayşe Ankara’da ise Ayşe Türkiye’dedir.” III. (p ∧ q′) ⇒ q′

9.

bunlardan hangileri gerektirmedir?

q

Gönder

r



İkisi yanlış biri doğru tartma yapan p, q ve r tartıları yukarıda verilmiştir.



Özge bu üç tartıda tartıldığında,



p : 21 kg



q : 23 kg



r : 25 kg



Buna göre, Özgür Hoca’nın doğru cevabı aşağıdakilerden hangisidir?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

I. p ⇒ 1 ⇒ 1 olduğundan gerektirmedir. II. p ⇒ q ≡ 1 olduğundan gerektirmedir. III. (p ∧ q′)′ ∨ q′ ≡ p′ ∨ q ∨ q′ ≡ p′ ∨ 1 ≡ 1 gerektirmedir.



ölçümleri elde ediliyor.



Buna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin sonucu kesinlikle doğrudur?



A) (p ∨ q) ∧ r



Çözüm Yayınları

p

D) p ⇒ r

B) (p ∨ q) ∨ r

(Cevap E)

C) p ∧ r

E) p ⇔ r

p, q ve r nin doğruluk değerleri sıra belirtmeksizin 0, 0, 1 dir. (p ∨ q) ∨ r önermesi 0, 0, 1 in tüm kombinasyonları için 1 dir.

(Cevap B)

12. (p′ ∨ r) ⇒ (p ∨ q)

344



10. (p ∨ q) ⇒ (p ⇔ r)

bileşik önermesinin karşıt tersinin doğruluk değeri “0” dır.



Buna göre, p, q ve r’nin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 1, 1, 1



B) 1, 1, 0





D) 0, 1, 0



C) 0, 0, 0

E) 0, 1, 1

bileşik önermesiyle ilgili;



I. Karşıt tersi kendisine denktir.



II. p ≡ 0 için doğruluk değeri 1’dir.



III. p ≡ q′ için doğruluk değeri 1’dir.



ifadelerinden hangileri daima doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız III







D) I ve III

E) I, II ve III

Her koşullu önerme karşıt tersine denk olduğundan

I. Koşullu önermelerin karşıt tersi kendisine denktir. İfade doğrudur.

(p ∨ q) ⇒ (p ⇔ r) ≡ 0 dır.

II. p ≡ 0 ise 1 ∨ r ⇒ 0 ∨ q ≡ 1 ⇒ q ≡ q her zaman doğru değildir.

p ∨ q ≡ 1 ve p ⇔ r ≡ 0 p, q ve r önermeleri 1, 0, 0 veya 0, 1, 1 olabilir.

III. p ≡ q′ ise p′ ∨ r ⇒ 1 ≡ 1 doğrudur. (Cevap E)

C) I ve II

(Cevap D)

BÖLÜM 07 Test

Mantık 1. p′ ⇒ (q ∨ r)

5. Yan yana olan iki kare içerisinde önerme işlemi aşağıdaki gibi



önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?



A) q ∨ r ⇒ p



03

B) q ∨ r ⇒ p′

D) p′ ⇒ q′ ∧ r′

tanımlanıyor. Yan yana bulunan iki kare içerisindeki sayıya p ⇒ q bileşik önermesi uygulanıp sonuç bir kare içerisine yazılmaktadır.

C) p ⇒ q′ ∧ r′

E) (q′ ∧ r′) ⇒ p



(q ∨ r)′ ⇒ (p′)′ ≡ (q′ ∧ r′) ⇒ p (Cevap E)

Örneğin, 1

0 karelerine 1 ⇒ 0 ≡ 0 işlemi uygulanıyor ve iki kareli

ifade 0 biçimine dönüşüyor.

İkiden fazla kare barındıran işlemlerde işlemlere sol baştan başlanıyor.



Örneğin,



0

1

1 karelerinde 0

karesi oluşur. 0

1 kareleri yerine 1 yazılarak 1

kare ikilisi elde edilir. 1

2. (p ⇒ p) ⇔ q

önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?



A) 1

B) 0

C) q

D) p

1 , 0 ⇒ 1 ≡ 1 olduğundan 1 1

1 , 1 ⇒ 1 ≡ 1 olduğunda sonuç

1 karesi bulunur.

E) q′ ∨ p

Buna göre,

(p ⇒ p) ⇔ q ≡ 1 ⇔ q ≡ q

Çözüm Yayınları

(Cevap C)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0



tablosunda satırlarda işlemler yapıldığında oluşan beş karenin içerisindeki sayıların toplamı kaç olur?



A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Yukarıdan aşağıya doğru (0 ⇒ 0) ⇒ 0 ≡ 0

3. p′ ∨ (q ⇒ r)

(1 ⇒ 1) ⇒ 1 ≡ 1



(1 ⇒ 0) ⇒ 1 ≡ 1

bileşik önermesi p′ ⇔ p bileşik önermesine denk olduğuna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?



A) 1, 1, 1



B) 0, 0, 0





D) 1, 0, 0



(0 ⇒ 0) ⇒ 1 ≡ 1 (1 ⇒ 0) ⇒ 0 ≡ 1 0+1+1+1+1=4

(Cevap E)

C) 1, 0, 1

E) 1, 1, 0

p′ ≡ 0

q⇒r≡0

p ≡ 1

q≡1



r≡0



p′ ⇔ p ≡ 0 olduğundan p′ ∨ (q ⇒ r) ≡ 0 dir.

6. A, B ve C birer küme olmak üzere p, q, r sırasıyla 1, 1, 0 dır. (Cevap E)

“(A ⊆ B ve A ⊆ C) ise (B ⊆ C) dir.”

önermesi veriliyor.



Aşağıdakilerden hangisi, bu önermenin yanlış olduğunu gösteren bir örnektir? A

B

C

A)

{ }

{2}

{2}

B)

{3}

{3, 4}

{4}

4. [(p ⇒ p) ∨ (p′ ⇒ p′)] ⇒ q

C)

{ }

{5}

{5, 6}



önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

D)

{5}

{6}

{5, 7}



A) 0

E)

{4}

{4, 5}

{4, 6}

B) 1

C) p

D) p′

E) q

[(p ⇒ p) ∨ (p′ ⇒ p′)] ⇒ q ≡ (1 ∨ 1) ⇒ q

{4} hem {4, 5} kümesinin hem de {4, 6} kümesinin alt kümesidir ancak {4, 5}, {4, 6} kümesinin alt kümesi değildir.

≡ 0 ⇒ q ≡ 1

(Cevap B)

(Cevap E)

345

Test 03

1. E

7. a bir tam sayı olmak üzere

B) –1

4. B

5. E

6. E

7. D

8. B

9. C 10. C 11. E

bulmacasında sütunda ve satırda yazan önermelere

p(x) : “x ∈ R, ax – 4 ≤ a”

A) –2

3. E

10. 3 x 3’lük birim kareler kullanılarak oluşturulan bir mantık

açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanlarından biri 3 olduğuna göre, a en fazla kaçtır?



2. C

C) 1

D) 2

E) 3







bileşik önermesi uygulanıyor.



Oluşan önerme çelişkiyse önermelerin kesiştiği birim kare sarıya, totolojiyse önermelerin kesiştiği birim kare maviye, totoloji veya çelişki değilse önermelerin kesiştiği kare turuncu renge boyanıyor.



Örneğin,

x = 3 için 3 · a – 4 ≤ a ⇒ 2a ≤ 4 ⇒ a ≤ 2 a en fazla 2 dir.

(Cevap D)

(Sütundaki önerme)′ ∨ (Satırdaki önerme)

p′

p

1

8. p : a = 0 3

a +3b =0

(p′)′ ∨ 1 ≡ p′, p′ ∨ 1 ≡ p, p ∨ p ≡ 0, p′ ∨ p ≡ 1

a⋅ b =0



olduğundan kareler sırasıyla turuncu, turuncu, sarı, mavi olur.



Buna göre,



q:





r:



önermeleri veriliyor.



Buna göre, aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi doğrudur?



A) r ⇒ p D) p ⇒ q

B) p ⇒ r





E) q ⇒ r

a ⋅ b = 0 doğrudur.

C) ( 3 a + 3 b = 0 ) ⇒ a = 0 ifadesinde a ≠ 0 olabilir. D) ( a = 0 ) ⇒

3a

+ 3 b = 0 ) ifadesinde b ≠ 0 olabilir.

E) ( 3 a + 3 b = 0 ⇒

q

C) q ⇒ p

a ⋅ b = 0 ⇒ ( a = 0 ) ifadesinde a ≠ 0, b = 0 olabilir.

B) ( a = 0 ) ⇒

p∨p′ q

Çözüm Yayınları

A)

p



a ⋅ b = 0 ) ifadesinde a ≠ 0, b ≠ 0 olabilir.

q⇒1



bulmacasının cevabı aşağıdakilerden hangisidir? A)

B)

C)

(Cevap B)

D)

E)



9. Aşağıda her bir yüzeyi 9 eş kareye ayrılmış küp verilmiştir. Bu küpün birim kareleri üzerine bileşik önermeler yazılmıştır.

1 1 p′

346

p∧q

1

⇒

p′

⇒

1

∨

1

p

⇔

p′

p′∨q′

0

∧

0

∨

11. p : 2x + 3x = 5x

Küpün karşılıklı yüzeyleri birbirleri ile aynıdır.



Bu küp havaya atıldığında turuncu yüzey üzerine düştüğünde görünen yüzeylerinde bulunan bileşik önermelerin doğruluk değerleri toplamı kaçtır?



A) 5 Turuncu p′ ⇒ p′ ≡ 1 1∨1≡0 p ⇔ p′ ≡ 0

Sarı 1∨0≡1 (p ∧ q) ∧ (p ∧ q)′ ≡ 0 1⇒1≡1

D) 8

E) 9



q : 7x – 5x = 2x





r : 3x · 2x = 6x



önermeleri veriliyor.



Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur?



A) p ∧ (r ∨ q)



Yeşil 1⇒1≡1 0∧1≡0 0∨0≡0

B) (p ∨ q) ∧ r

D) p ∨ (r ⇒ q)

C) r ⇒ (p ∧ q)

E) p ⇒ (q ∧ r)

p ≡ 0, q ≡ 0 ve r ≡ 1 A) 0 ∧ (1 ∨ 0) ≡ 0 ∧ 1 ≡ 0

Görünen yüzler 2 sarı, 2 yeşil, 1 turuncu olduğundan doğruluk değerleri toplamı 2 · 2 + 2 · 1 + 1 = 7 olur.

turuncudur.

1

0

C) 7

q′ ∨ (p ⇒ 1) ≡ q′ ∨ 1 ≡ q olur. Yani sırasıyla turuncu, sarı sarı (Cevap C)



B) 6

(p ∨ p′)′ ∨ q ≡ 0 ∨ q ≡ q, q′ ∨ q ≡ 1, (p ∨ p′)′ ∨ (p ⇒ 1) ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1

1 ⇒

1

Mavi

Mavi Turuncu

0

∨ ∧

Turuncu

B) (0 ∨ 0) ∧ 1 ≡ 0 ∧ 1 ≡ 0

C) 1 ⇒ (0 ∧ 0) ≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0 (Cevap C)

E) 0 ⇒ (0 ∧ 1) ≡ 0 ⇒ 0 ≡ 1

D) 0 ∨ (1 ⇒ 0) ≡ 0 ∨ 0 ≡ 0 (Cevap E)

BİRE BİR 1. p′ ∧ 1 ≡ 1

5. Yolların takip edilip geçilen karelerden altınların toplanması ile kurgulanmış bir oyunda, yarışmacılar geçtiği karelerdeki altınları toplayıp en alt basamağa ulaşıyor. En alt basamağa ulaşıncaya dek topladığı altın miktarı yarışmacının puanı oluyor.

p ∧ q′ ≡ q′ q ∧ r ≡ 0

olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?



A) 0, 1, 0







D) 1, 1, 0

p′ ∧ 1 ≡ 1 p′ ≡ 1 p≡0

04

BÖLÜM 07 Test

B) 1, 0, 1



Başlama Noktası

C) 0, 0, 0 1∨p

E) 1, 1, 1

0 ∧ q′ ≡ q′ q′ ≡ 0 q≡1

p′∧p

p′⇔p

1∧r≡0 r≡0

Sırasıyla 0, 1, 0 olur.

(Cevap A)

0∧1 1⇒1

p′∨p p⇒1

p′∨p p′⇒1′



Oyuncunun seçtiği yol üzerindeki önermenin, doğruluk değeri 1 ise ulaşacağı kutudaki altın sayısı iki katına çıkmakta, doğruluk değeri 0 ise ulaşacağı kutudaki altın sayısı değişmemektedir.



Buna göre, başlama noktasından oyuna başlayan bir oyuncu en fazla kaç puan kazanabilir?



A) 11

2. (p ∧ 0)′ ∧ (0 ∨ q)′

bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?



A) 1

B) 0

C) p′

D) q’

E) p ∧ q’

(p ∧ 0)′ ∧ (0 ∨ q)′ ≡ 0′ ∧ q′ ≡ 1 ∧ q′ ≡ q′

Çözüm Yayınları

(Cevap D)

3. (∃x ∈ R, x > 2) ∨ (∀x ∈ R, x2 – 9 = 0)

önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?



A) (∃ x ∈ R, x ≤ 2) ∨ (∀x ∈ R, x2 – 9 ≠ 0)



B) (∀ x ∈ R, x < 2) ∨ (∃x ∈ R, x2 – 9 = 0)



C) (∀ x ∈ R, x ≤ 2) ∧ (∃x ∈ R, x2 – 9 ≠ 0)



D) (∀ x ∈ R, x ≥ 2) ∨ (∃x ∈ R, x2 – 9 ≠ 0)



E) (∀ x ∈ R, x ≥ 2) ∧ (∀x ∈ R, x2 – 9 = 0)

(∀x ∈ R, x ≤ 2) ∧ (∃x ∈ R,

– 9 ≠ 0) olur.

C) 17

D) 19

E) 21

0 ∧ 1 ≡ 0 ve 1 ⇒ 1 ≡ 1 olduğunda 1 ⇒ 1 yolu seçilir. 4 altın toplanır, toplam 14 puan kazanılır.

(Cevap B)

6. p(x) : “f(x) = 3x – 1”



q(x) : “g(x) = x + 2”





r(x) : “(fog)(x) = 3x + 5



önermelerine göre aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1’dir?



A) p ⇒ q





B) p ⇒ r

D) (r ∧ q) ⇒ p



C) r ⇒ (p ∨ q)

E) r ⇔ (p ∨ q)

(fog)(x) = 3x + 5 ve g(x) = x + 2 için f(x + 2) = 3x + 5 ⇒ f(x) = 3x – 1 olduğundan (r ∧ q) ⇒ p dur.

7.

((∃x ∈ R, x > 2) ∨ (∀x ∈ R, x2 – 9 = 0))′ x2

B) 14

1 ∨ p ≡ 1, p′ ∧ p ≡ 0, p′ ⇔ p ≡ 0 olduğundan 1 ∨ p yolu seçilir ve 10 altın toplanır.

(Cevap C)



(Cevap D)

p

q

p∨q

p ⇒ (p ∨ q)

1

1

a

c

1

0

1

1

0

1

b

d

0

0

0

1

Yukarıda verilen doğruluk tablosuna göre,

4. (p′ ⇒ q)′ ∨ (q′ ⇒ q)

(a ⇒ b) ⇔ (c ∨ d)



önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?



önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?



A) q



A) 0

B) p′

C) p ∨ q′

D) p

E) p ⇒ q

(p ∨ q)′ ∨ (q ∨ q) (p′ ∧ q′) ∨ q ≡ (p′ ∨ q) ∧ (q′ ∨ q) ≡ (p′ ∨ q) ∧ 1 ≡ p′ ∨ q ≡ p ⇒ q

(Cevap E)

347

1∨1≡0≡a 0∨1≡1≡b 1⇒0≡0≡c 0⇒1≡1≡d

B) 1

C) p

D) p′

E) q

(a ⇒ b) ⇔ (c ∨ d) (0 ⇒ 1) ⇔ (0 ∨ 1) 1⇔1=1 (Cevap B)

Test 04

1. A

8. Aşağıdaki önermelerden hangisi

önermesine denktir?



A) p′ ∨ r′ ⇒ q′ ∧ r′

B) p′ ∧ r′ ⇒ q′ ∨ r′



C) q ∧ r ⇒ p ∨ r

D) q′ ∨ r′ ⇒ p′ ∧ r′



E) q′ ∨ r′ ⇒ p′ ∨ r′

Her koşullu önerme karşıt tersine denktir. q′ ∨ r′ ⇒ p′ ∧ r′

(Cevap D)

9.

I. (p ⇒ p) ⇒ p



II. (p ∨ q′) ∨ (p′ ∧ q)



III. (1 ∧ p) ∧ (0 ∨ p′)



önermelerinden hangileri çelişkidir?







C) Yalnız III

E) II ve III

(p ⇒ p) ⇒ p ≡ 1 ⇒ p ≡ p olduğundan çelişki değildir. (p ∨ q′) ∨ (p ∨ q′)′ ≡ 1 olduğundan çelişki değildir. (1 ∧ p) ∧ (0 ∨ p′) ≡ p ∧ p′ ≡ 0 çelişkidir.





p : “Deniz’in paltosu kırmızı renklidir.”





q : “Can’ın paltosu yeşil renklidir.”





r : “Kerem’in paltosu sarı renklidir.”



önermeler için,

bileşik önermesinin doğruluk değeri 0 dır.



Buna göre, Engin’in paltosunun rengi ile,



I. Sarı



II. Mavi



III. Yeşil



ifadelerinden hangileri doğrudur?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







(Cevap C)

348



önermeleri veriliyor.



Buna göre,



I. m + n = 0



II. m · n = 1



III. m + n = –2



önermelerinden hangileri p ∧ q önermesine denktir?



A) Yalnız I

B) Yalnız II







D) I ve II

D) I ve II

C) Yalnız III

E) I ve III

C) Yalnız III

E) II ve III

(Cevap A)

12.

10. m ve n negatif tam sayılar olmak üzere,

q : n = –1

9. C 10. E 11. A 12. E







8. D

O hâlde Kerem’in paltosu sarıdır.

Çözüm Yayınları

B) Yalnız II



7. B

Denizin paltosu kırmızıdır. Can’ın paltosu yeşildir. Kerem’in paltosu sarı değildir.

A) Yalnız I

p : m = –1

6. D

(p ∧ q) ⇒ r ≡ 0 ⇒ p ≡ 1, q ≡ 1 ve r ≡ 0





5. B

(p ∧ q) ⇒ r

(q ∧ r)′ ⇒ (p ∨ r)′



4. E

renkleri sarı, kırmızı, mavi ve yeşil renklerdedir. Paltolarının her biri farklı renktedir.



D) I ve II

3. C

11. Engin, Deniz, Can ve Kerem isimli dört öğrencinin paltolarının

p ∨ r ⇒ q ∧ r



2. D

5 katlı bir pansiyonda her katta bir oda vardır. Ali, Ayşe ve Oya 3 ayrı oda tutmuştur. Tuttukları odalarla ilgili oluşturulan üç önerme aşağıda verilmiştir.



p : “Ali’nin tutuğu oda, Ayşe’nin tuttuğu odadan daha yüksektedir.”



q : “Oya’nın tuttuğu oda, Ayşe’nin tuttuğu odadan daha yüksektedir.”



r : “Ali’nin tuttuğu oda, Oya’nın tuttuğu odadan daha yüksektedir.”



Buna göre, seçme işleminin,

(p ∧ q) ∧ r ≡ 1

denkliğini sağlıyor olma olasılığı kaçtır?

A) 1 2

B) 1 3

C) 1 4

D) 1 5

m · n = 1 için m = –1 ve n = –1 olması gerektiğinden p ∧ q dur.

s(E) = 5 . 4 . 3 = 60 dır. p ∧ q ∧ r ≡ 1 ise p ≡ q ≡ r ≡ 1 olmalıdır.

m + n = –2 için m = –1 ve n = –1

Oda sıralaması üstten alta doğru Ali, Oya, Ayşe olmalıdır. 5 s(A) =   = 10 ⇒ p(A) = 10 = 1 60 6 3

olması gerektiğinden p ∧ q dur. (Cevap E)

E) 1 6

(Cevap E)

TÜMEVARIM - IV Test 1.

01

4. Sıfır tuşu bozuk olan arızalı bir telefonda hesap makinesi ile

1 + 0, 999 1 − 8 + 0, 8 8 − 0, 8

işlem yapılacaktır.



işleminin sonucu kaçtır?



A) –12

B) –9

C) –6

D) 6



Bu telefonda sıfır tuşuna ilk defa basıldığında 5, ikinci defa basıldığında 4, üçüncü defa basıldığında 3 rakamı yazılmaktadır.



Örneğin;

E) 9

1 + 0 ,9 1, 9 = = 2 = 2 = 2 ⋅ 9 = −9 8 , 8 1 − 88 1 − 11 − 2 −2 1− 72 9 9 7 ,2

(Cevap B)

2. n kenarlı bir düzgün çokgenin içine yazılan bir m doğal

sayısıyla oluşturulan sembol ile n · mn sayısı gösterilmektedir. 2



Örneğin;



Buna göre,

1

çarpımının değerini gösteren sembol aşağıdakilerden hangisidir?

A)



Telefondaki hesap makinesinde 100 x 32 çarpma işlemini hesaplamak istenmiş ancak 154 x 32 çarpımının sonucu bulunmuştur.



Buna göre, bu telefon ile







işlemini yapmak isteyen bir kişi sonucu kaç bulur?



A) 2010

5

4 B)

6 · 16 · 5 · 55 = 6 · 56 =

5 C)

5 D)

5

5 olur.



4

E)

(Cevap D)

3. Bir çiçekçi toptancıdan her biri içerisinde 45 adet gül bulunan paketlerden belli bir sayıda alıyor. Toplamda kaç tane gül aldığını hesap makinesi ile hesaplıyor.

Çözüm Yayınları



·



sembolü ile 5 · 25 = 160 sayısı gösterilmektedir.

10 x 100 + 15



B) 2100

D) 2160

C) 2140

E) 2210

15 x 143 + 15 = 2160 (Cevap D)

5. Elemanları sayma sayısı ve en büyük elemanı 10 olan 8 elemanlı bir A kümesinin elemanlarının her biri, farklı bir çembere gelmek koşuluyla aşağıdaki çemberlere yazılıyor.

–4

:3

x2 +3

–1



Hesap makinesini elinden düşüren çiçekçi 4 haneli sonucun birler ve binler basamağını göremiyor.



Çiçekçinin aldığı paket sayısı çift sayı olduğuna göre, çiçekçinin göremediği rakamların toplamı kaçtır?



A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

•37• sayısı 5, 9 ve 2 ile tam bölünür. O hâlde birler basamağı 0 dır. •370 sayısı 9 ile tam bölündüğünden binler basamağı 8'dir. 0 + 8 = 8

(Cevap C)

x3

349

–4



Bu yerleştirmede okun çıktığı çemberdeki sayıya okun yanındaki işlem uygulanıp okun gösterdiği çemberin içerisine yazıldığına göre, sarı çemberler içerisindeki sayıların toplamı kaçtır?



A) 21

B) 23

C) 25

D) 27

E) 29

Verilen işlemlerin sonucunda tam sayıların olması için 10 en üstteki çemberde olmalıdır. O hâlde sayılar sırasıyla 10 → 6 → 2 → 4 → 7 → 3 → 9 → 8 olur. Sarıların toplamı 10 + 2 + 3 + 8 = 23 olur. (Cevap B)

Test 01 6.

1. B

)

(

 ( x − 1) 2 ! ,  f (x) =  ( x !)! , 

A) 120!

B) 72!

f(1) = 0! = 1 (fοf)(1) = 0!=1

4. D

5. B

x ≥ 3 ise

C) 48!

6. D

7. E

8. B

9. D 10. D

aşağıda gösterildiği gibi iki merdiven yapılacaktır.

D) 24!

5 cm

10 cm 20 cm

13 tane



3. C

9. Uzunlukları aynı olan 4 kalas ve istenilen sayıda mavi tahta ile

x < 3 ise

f(4) olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ( fοfοfο  οf )(1)   



2. D

30 cm

E) 12!

f ( 4 ) = ( 4!)! = 24!

...

f ( 4) = 24 ! = 24 ! 1 ( f οf οf ο ... οf )( 1)

(fοfοfο . . . οf(1) = 1

(Cevap D)

30 cm 20 cm

7. Bir öğrencinin harçlığını harcama biçimi aşağıda verilmiştir.







A) 100

B) 120

Harçlığının tamamı 180x olsun.

C) 160

D) 180

E) 240

10 cm

5 cm



Sol merdivende alttan ve üstten 10’ar cm mesafe bırakarak 20 cm aralıklarla mavi tahta çakılmaktadır.



Sağ merdivende alttan ve üstten 5’er cm mesafe bırakarak 30 cm aralıklarla mavi tahta çakılmaktadır.



Sol merdiven için kullanılan mavi tahta sayısı 14 olduğuna göre, sağ merdiven için kullanılan mavi tahta sayısı kaçtır?



A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

14 tahta 13 aralık demektir. Sağ merdivende y tahta olsun. 20 · 13 + 10 + 10 = (y – 1) · 30 + 5 + 5 ⇒ 280 = 30y – 20 ⇒ y = 10

1. gün; 180 x ⋅ 1 = 36 x ini harcar, 144 x ⋅ 1 = 24 x ini kumbaraya atar. 5 6 2. gün; 120 x ⋅ 1 = 30 x ini harcar, 90 x ⋅ 1 = 15 x ini kumbaraya atar. 4 6 24 x + 15 x = 52 ⇒ x = 52 = 4 ⇒ 180 x = 180 ⋅ 4 = 240 39 3 3

30 cm



Çözüm Yayınları



1. GÜN: Harçlığının 1 ’ini harcıyor ve kalan harçlığının 5 1 ’sını kumbaraya atıyor. 6 2. GÜN: Geriye kalan harçlığının 1 ’ünü harcıyor ve kalan 4 harçlığının 1 ’sını kumbaraya atıyor. 6 2. günün sonunda kumbarasında biriken toplam para 52 ¨ olduğuna göre, öğrencinin başlangıçtaki harçlığı kaç ¨’dir?

20 cm

(Cevap E)

(Cevap D)

10. Aşağıda düzgün altıgen biçimindeki hücrelerden oluşturulmuş bir kafes verilmiştir. Beyaz hücrelerin bazılarına özdeş kuşlardan birer tane konulacaktır.

8. Bir baloya katılan 51 kişiden;

• Birinci erkek 6 kadınla



• İkinci erkek 7 kadınla



• Üçüncü erkek 8 kadınla



• Sonuncu erkek tüm kadınlarla



dans etmiştir.



Buna göre, baloya katılan erkek sayısı kaçtır?



A) 21

B) 23

C) 25

4



...

350

2

D) 27

E) 28

Erkek sayısı x, kadın sayısı 51 – x olsun. Verilen sıralamada x. erkek 51 – x kadın ile dans eder. O hâlde dans eden erkeğin sıra numarasının 5 fazlası kadın sayısına eşittir. x + 5 = 51 – x ⇒ 2x = 46 ⇒ x = 23 bulunur. (Cevap B)



Her bir sarı hücrenin içerisinde yazan sayı, o sarı hücre ile ortak kenarı olan ve içinde kuş bulunan toplam hücre sayısını göstermektedir.



Buna göre, kuşlar hücrelere kaç farklı şekilde konulabilir?



A) 56

B) 52

C) 48

D) 44

E) 42

Sağ ve sol altıgenin ortak hücreleri olan 2 hücreden; ikisinde de kuş olabilir + birinde kuş olabilir + hiç kuş olmayabilir.

( 22) ⋅ ( 42) + (12)(14)( 43) + (02)( 42)( 44)

1 · 6 + 2 · 4 · 4 + 1 · 6 · 1 = 44

(Cevap D)

02

TÜMEVARIM - IV Test 1. a sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere,





olduğuna göre, a kaçtır?



A) 2

4. x beş harfli bir kelime olmak üzere

(0,a + a – 2) : (0,0a · 5) = 12

B) 4

x

işleminin sonucu

beş haneli y sayısıdır.

C) 5

D) 6

E) 8

a +a−2 10 = 12 ⇒ 11a − 20 = 12 ⋅ a ⋅ 5 ⇒ 11a − 20 = 6a a ⋅5 10 100 10 10 100 11a − 20 = 6a ⇒ 5a = 20 ⇒ a = 4

y sayısı bulunurken,



• x’in harfleri kendi aralarında alfabedeki sıralarına göre küçükten büyüğe doğru sıralanır.



• x’in herhangi bir harfinin kelimede soldan bulunduğu sıra ile harfin alfabetik sıralamada bulunduğu sıra aynı ise harf yerine 1, aynı değil ise harf yerine 0 yazılır.

(Cevap B)



Örneğin; x = acbdf için harflerin kendi içerisindeki alfabetik sıralaması a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 ve f = 5 tir. Kelimedeki harflerin

2. Aynı büyüklükteki bardaklar ile her basamakta bir tane eksik

sıralaması a = 1, c = 2, b = 3, d = 4 ve f = 5 tir.

bardak kullanılarak bardak kuleleri oluşturulacaktır.

Örneğin, 14 bardak kullanılarak aşağıdaki 4 basamaklı bardak kulesi oluşturulmaktadır.



acbdf

Buna göre,



elmzk



işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 10000



Buna göre, 42 bardak kullanılarak oluşturulacak bardak kulesi en fazla kaç basamaklı olur?



A) 5

B) 6

C) 7

D) 9

E) 11

Çözüm Yayınları



= 10011 olarak bulunur.

B) 10100

D) 10010

C) 11000

E) 10011

Harflerin sıralaması e = 1, k = 2, l = 3, m = 4 ve z = 5 tir. Kelimedeki sıralama e = 1, l = 2, m = 3, z = 4, k = 5 olur. elmzk

= 10000 olur.

(Cevap A)

Aşağıdan yukarıya doğru 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 bardak kullanılarak en fazla 7 basamaklı kule oluşturulabilir. (Cevap c)

3. 3 x 3 lük bir tablo üzerinde tanımlanan bir işlem aşağıda verilmiştir. 3

x

2

x

12

y

8

5

x

5.

veya çubuklarından 4 tanesi ve noktalar kullanılarak şifreler oluşturuluyor. Her bir çubuğun altına en az bir ve en fazla üç nokta yazılmaktadır.



Örneğin,

351



Bu tabloda her bir sütunun değeri



[(Sarı karedeki sayı) + (Mavi karedeki sayı)] · (Turuncu karedeki sayı)



olarak tanımlanıyor.



Tabloda sütun değerleri birbirine eşit olduğuna göre, y kaçtır?



Buna göre, 3 kalın 1 ince çubuk ile kaç farklı şifre oluşturulabilir?



A) 5



A) 4!

B) 6



C) 7

(3 + x) · 8 = (x + 12) · 5 ⇒ 8x + 24 = 5x + 60 ⇒ 3x = 36 ⇒ x = 12 (12 + 12) · 5 = (2 + y) · 12 ⇒ 120 = 12 · (y + 2) ⇒ 10 = y + 2 ⇒ y = 8

D) 8

E) 9

(Cevap D)

B) 4! · 3

C) 5!

Çubuklar 4! = 4 farklı şekilde sıralanır. 3! Her bir çubuk altına 3 farklı noktalama yapılabilir. 4 . 3 . 3 . 3 . 3 = 4 . 34

D) 34 · 4

E) 34 · 4!

(Cevap D)

Test 02

1. B

6. Kirazın kilogramını K TL’den, muzun kilogramını ise M TL’den

2. C

3. D

4. A

5. D

6. E

7. B

8. D

9. C 10. D

9. Bir baba Anıl, Berk ve Cumhur isimli çocuklarına cebindeki

satan bir manava gelen bir müşteri, 3 kg kiraz ve 3 kg muz alıp manava 40 TL veriyor. Sonrasında manav ile müşteri arasında aşağıdaki konuşma geçiyor.





Manav: “Hiç bozuk param yok. Bunun yerine 1 kg kiraz daha vereyim.”

• Anıl, Berk ve Cumhur paranın sırasıyla %60, %30 ve %10’unu alıyor.





Müşteri: “Daha fazla kiraz istemiyorum. Bunun yerine bana 1 kg muz daha ver, ben de sana 4 TL daha vereyim.”

• Dağıtımdan sonra Anıl Cumhur’a 40 ¨ verdikten sonra Berk ve Cumhur ellerindeki paraları eşit olarak paylaşıyorlar.



Buna göre, K + M toplamı kaçtır?



• Son durumda Anıl’ın parası Berk’in parasının 2 katı oluyor.



A) 7

B) 7,5

C) 8

D) 9

parayı aşağıdaki gibi dağıtıyor.

E) 12

4K + 3M = 40 3K + 4M = 44

+

7K + 7M =84 ⇒ K + M = 12

(Cevap E)



Buna göre, babanın başlangıçta cebinde bulunan para kaç ¨’dir?



A) 240

B) 360

C) 400

D) 480

E) 600

Babanın başlangıçtaki parası 100x olsun. Anıl’a 60x, Berk’e 30x, Cumhur’a 10x ¨ verir. 60x – 40 = 2(20x + 20) Anıl Berk Cumhur 60x – 40 = 40x + 40 60x – 40 30x 10x + 40 20x = 80 ⇒ x = 4 60x – 40 20x + 20 20x + 20 100x = 100 · 4 = 400 (Cevap C)

7. Şekilde 4 x 4 lük eş karelere bölünmüş bir pazar yeri modellenmiştir. Bu karelerde meyve ya da sebze tezgahları vardır.

3

1

1 1 0 2



Çözüm Yayınları

2

2 1



Buna göre, sarı karelerdeki toplam tezgah sayısı en az kaçtır?



A) 1 M M M M M S S

352

S M

C) 3

D) 4

ÜST 1. sıra

SOL 2. sıra

SAĞ

3. sıra ALT

Sebze tezgahı S ile meyve tezgahı M ile gösterilsin. Sarı karelerde en az 2 tezgah vardır. (Cevap B)

8. P(x) = (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 12) polinomu



E) 5

S



sıra hâlinde dizilmiştir. Bu resim çerçevelerinden biri boştur. Diğerlerinde A, B, C, D, E, F, K ve L kişilerinin vesikalık fotoğrafları vardır.

1

Her karede en fazla bir tezgah vardır. Sütun ya da satırlarda bulunan turuncu renkli üçgen içerisindeki sayı o satır veya sütundaki meyve tezgahı sayısını, yeşil üçgen içerisindeki sayı bulunduğu satır veya sütundaki sebze tezgahı sayısını göstermektedir.

B) 2

10. Bir duvarda bulunan 9 resim çerçevesi şekildeki gibi üç

Q(x) = (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 6) polinomuna bölünüyor.



Buna göre, bu bölümden elde edilen kalan kaçtır?



A) 24

B) 28

C) 32

P( x ) = 12 x + 1 + 2 + 3 + ... + 12 = 12 x + 12 ⋅ 13 = 12 x + 78 2 Q( x ) = 6 x + 1 + 2 + ... + 6 = 6xx + 6 ⋅ 7 = 6 x + 21 2

D) 36

–

E) 40

12x + 78 6x + 21 12x + 42 2 36

(Cevap D)



• A, B, C kişilerinin fotoğrafları aynı satırdadır.



• E’nin hemen üstündeki fotoğraf C, hemen altındaki fotoğraf F, hemen solundaki fotoğraf L kişisine aittir.



• K’nin hemen sağındaki çerçeve boştur.



Buna göre, D kişisinin fotoğrafının konumu aşağıdakilerden hangisidir?



A) 1. sıranın solu





B) 2. sıranın sağı



C) 3. sıranın ortası





D) 2. sıranın solu



E) 1. sıranın sağı A

B

C

B

A

C

D

L

E

D

L

E

F

K

K

F

İstenilen şartlara uygun durumlar yandaki gibi olduğundan D kişisinin fotoğrafı 2. sıranın solundadır. (Cevap D)

TÜMEVARIM - IV Test 1. P bir asal sayı iken 2P + 1 sayısı da asal sayı ise P sayısına

4. Aşağıda bir giyim mağazasında bulunan kasaların lambaları

Sophie Germen asal sayısı denir.

gösterilmiştir. Kasaların butonlarına her basışta kasanın lambaları farklı renk yanmaktadır.



Buna göre,







kümesinin elemanlarından kaç tanesi Sophie Germen asal sayısıdır?



{3, 5, 7, 11, 23}

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4



E) 5

sayıları Sophie Germen asalıdır. 7 → 2 · 7 + 1 = 15 Sophie Germen asalı değildir. 4 tane vardır.

3→2·3+1=7 5 → 2 · 5 + 1 = 11 11 → 2 · 11 + 1 = 23 23 + 2 · 23 + 1 = 47

(Cevap D)

2. Aşağıda 5 x 5 birimlik bir tablo verilmiştir. Tabloda sağa - sola, yukarı - aşağı doğru hareket edebilen 2 x 2’lik boyutlarda kare biçiminde renkli bir çerçeve bulunmaktadır. 2

2

3

2 –1

1

3

5

1

2

8

2

3

2

1

2

1 2 –1

2 +1 2+ 2

5

6

6

5

1

2

Çözüm Yayınları

2



Çerçevenin değeri







olarak hesaplanmaktadır.



Örneğin; çerçeve şu anki konumundayken değeri

(Turuncu sayı · Mavi sayı) – (Sarı sayı · Yeşil sayı)



olarak bulunur.



Buna göre, çerçeve 1 birim sağa, 3 birim aşağıya kaydırıldığında oluşan çerçevenin değeri kaç olur? A) 1 2

1 2 –1

1+ 2 2+ 2

B) =

2 C)



1 nolu kasanın butonuna 1. basışta sarı, 2. basışta kırmızı, 3. basışta mavi, 4. basışta yeşil, 5. basışta mor, 6. basışta sarı, 7. basışta kırmızı, ... biçiminde yanmaktadır.



2 nolu kasanın butonuna 1. basışta kırmızı, 2. basışta kırmızı, 3. basışta sarı, 4. basışta mor, 5. basışta yeşil, 6. basışta kırmızı, 7 basışta kırmızı... biçiminde yanmaktadır.



1 nolu kasanın butonuna x defa basıldığında mavi, 2 nolu kasanın butonuna y defa basıldığında yeşil yandığına göre 1 nolu kasanın butonuna x2 + y defa basıldığında lamba hangi renk yanar?



A) Sarı



B) Kırmızı





D) Yeşil



C) Mavi

E) Mor

x sayısının 5 ile bölümünden kalan 3, y sayısının 5 ile bölümünden kalan 0 dır. x2 + y = 32 + 0 = 9 ⇒ 5 ile bölündüğünde 4 kalanı verir. Yeşil renk yanar. (Cevap D)

5. Aşağıda

çubukları kullanılarak oluşturulmuş iki düzgün çokgen örüntüsü verilmiştir. 1. örüntü üçgen, 2. örüntü beşgen ile başlamıştır ve her iki örüntüde aynı kural ile oluşturulmuştur.

3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 5 = 2 3 − 10



03

3

1 ⋅ ( 2 + 1) − 2 ( 2 + 2 ) 2 −1

D) 2



E)

6

...

= ( 2 + 1) ⋅ ( 2 + 1) − 2 2 − 2

1. örüntü

=3+2 2 −2 2 −2 =1

(Cevap A)

353 3. A + B < 10 olmak üzere iki basamaklı her AB tam sayısının 11

...

ile çarpılmasından elde edilen üç basamaklı sayının yüzler, onlar ve birler basamağında sırasıyla A, A + B ve B rakamları bulunur. AB · 11 = D5E CD · 11 = M3N

olduğuna göre, A + B + M + N toplamı kaçtır?



A) 1

B) 3

AB · 11 = D5E ⇒ D + E = A + B = 5 CD · 11 = M3N ⇒ M + N = C + D = 3 A+B+M+N=3+5=8

C) 5

D) 7

E) 8

(Cevap E)

2. örüntü

1. örüntüde kullanılan çubuk sayısı 2. örüntüde kullanılan çubuk sayısından 5 fazla olduğuna göre, 2. örüntünün son çokgeni kaç kenarlıdır?



A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (5 + 5 + 6 + ... + n) + 5 denkleminde 45 = 5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 5 45 = 45 olacağından n = 9 son çokgen 10 kenarlıdır.

E) 11

(Cevap D)

Test 03

1. D

6. Ahmet, Can ve Mert’in oynadığı bir alt küme oyununda Ahmet,

2. A

3. E

4. D

5. D

6. D

7. E

8. B

9. B 10. C

9. Kare biçimindeki bir karton şekildeki gibi 9 eş kareye

Can’a bir küme söylüyor. Can bu kümenin alt kümelerini küme biçiminde tahtadaki isminin yanına yazıyor. Mert, Can’ın yazdığı kümenin alt kümelerinden oluşan kümeyi isminin yanına yazıyor.

bölünüyor ve ortadaki kare kesilerek çıkartılıyor. Daha sonra, kalan karelerin her biri dokuzar eşit kareye bölünüp ortadaki küçük kareler kesilip çıkartılıyor.

Can : Mert :







Ahmet’in Can’a söylediği kümenin eleman sayısı 3, Mert’in yazdığı kümenin alt küme sayısı 4x olduğuna göre, x kaçtır? A) 16

B) 32

C) 64

D) 128



E) 256

Bu işlem 1 defa daha uygulandığında oluşan karelerin yarısına 1 , geriye kalanına 1 sayısı yazılıyor. 16 2 Buna göre, oluşan şekil içerisindeki tüm sayıların toplamı kaçtır?

Can'ın yazdığı kümenin eleman sayısı 23 = 8, Mert'in yazdığı kümenin eleman sayısı



28 = 256, Mertin yazdığı kümenin alt küme sayısı 2256 dır.

Uygulanan her adımda 8 kare oluşuyor. O hâlde 4 adımda 8 · 6 = 64 kare oluşur.

2256 = 22x ⇒ x = 128

 x 2 + m + 1 , f (x) =  ,  x − 2m

x < 2 ise x ≥ 2 ise



olmak üzere,







eşitsizliğini sağlayan en küçük m tam sayısının değeri kaçtır?



A) –2

f(–2) > f(10)

B) –1

C) 0

D) 1

8

1. Seçenek: 300 ¨ zam



2. Seçenek: Maaşının 1 ’i kadar zam 8 3. Seçenek: %20 zam



1

2

7

2

6

3

6

3

4

5

1. Oyun Çarkı



4

2. Oyun Çarkı



• Başlangıçta 1. oyun çarkının 1. bölmesinde balon, 2. oyun çarkının 1. bölümesinde top bulunmaktadır.



• Çarklar saat yönünde döndürüldüğünde 1. oyun çarkındaki balon birim zamanda 2 bölme ilerlerken 2. oyun çarkındaki top birim zamanda 3 bölme ilerlemektedir.



• Çarklar saat yönünün tersine doğru döndürüldüğünde 1. oyun çarkındaki balon birim zamanda 1 bölme ilerlerken 2. oyun çarkındaki top birim zamanda 5 bölme ilerlemektedir.



Bir çocuk bu çarkları saat yönünde aynı anda döndürüyor. Balon ile top tekrar aynı bölmeye geldiğinde ise çarkları saat yönünün tersine doğru döndürüyor ve balon 5. bölmeye geldiğinde çarkları durduruyor.

sunulmaktadır:

8

7

5

8. Bir iş yerinde çalışan işçilere maaş zammı için üç seçenek

E) 56

(Cevap B)

1

E) 2

(Cevap E)

D) 32

verilmiştir.



354

C) 26

10. Aşağıda 8 eş parçaya bölünmüş A ve B oyun çarkları

f(–2) = m + 5 ve f(10) = 10 – 2m f(–2) > f(10) ⇒ m + 5 > 10 – 2m 3m > 5 ⇒ m > 5 3 m tam sayısı en küçük 2 dir.

B) 18

64 ⋅ 1 ⋅ 1 + 64 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 + 16 = 18 2 16 2 2

(Cevap D)

Çözüm Yayınları

7.

A) 10



Bu işyerinde çalışan işçilerden biri 1. ve 2. seçenek içerisinden 1.’yi, 1. ve 3. seçenek içerisinden 3. seçeneği seçmektedir.



Buna göre, bu işçinin maaşı aşağıdakilerden hangisi olabilir?



Buna göre, son durumda top hangi bölmede olur?



A) 1440



A) 1

B) 2100

C) 2500

D) 3000

E) 3200

Maaşı x olsun. x < 300 ⇒ x < 2400 8 x ⋅ 20 > 300 ⇒ x > 1500 100

1500 < x < 2400 ise x = 2100 olabilir. (Cevap B)

B) 3

C) 5

D) 6

E) 7

Saat yönünde VB = 2 iken VT = 3 ve x = 8 olarak alınırsa (VT – VB) · t = x ⇒ (3 – 2) · t = 8 ⇒ t = 8 xT = 8 · 3 = 24 bölme ilerlediğinde aynı bölmeye gelirler. Yani 1. bölmede buluşurlar. Saatin tersine çevirdiğinde balon 4 birim zaman sonra 5. bölmeye gelir. Top 4 birim zamanda 4 . 5 = 20 bölme ilerler ve 5. bölmeye gelir. (Cevap C)

04

TÜMEVARIM - IV Test 1. Aşağıdaki çarpma işleminde her bir nokta bir rakamı temsil

4. Üzerlerinde kütleleri yazılı olan ağırlıklar, eşit kollu bir terazinin

etmektedir.

kefelerine şekildeki gibi yerleştirilerek terazi dengelenmiştir. x

A kefesi

72

B kefesi

+ 861

Buna göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır?



A) 8742

B) 8782

C) 8796

D) 8812

95

E) 8856

(•••) · 7 = 861 ⇒ ••• = 123 123 · 72 = 8856

Aşağıda verilen ağırlıklardan biri terazinin B kefesine eklenip B kefesindeki ağırlıklardan biri A kefesine aktarıldığında bu terazi yine dengede kalmaktadır.

2. Kareler üzerinde hareket edilerek oynanan bir oyunda sarı

25

gram

karede bulunan bir hareketli oklar yönünde hareket ediyor. Hareketli yeşil karelere geldiğinde kare içerisinde yazan sayı asal sayı ise yolunu değiştiriyor, asal sayı değilse yoluna devam ediyor. 2

1

3

5

1

1

2 11 3

7

1

5

1

4

1

3

2

2

1

1

3

3

4

3

2

3

5

3

Çözüm Yayınları

1

gram gram gram

(Cevap E)



5

20 35 40

gram

5

1

1

2

2

2

1

40

gram

55

gram

60

gram

75

gram



Buna göre, bu işlem sırasında B kefesine eklenebilecek ağırlık kaç gramdır?



A) 25

95 + 20 = 35 + 40 + x 40 = x

B) 40

C) 55

95 + 35 = 20 + 40 + x x = 70

D) 60

E) 75

95 + 40 = 20 + 35 + x x = 80

Dolayısıyla üç ihtimalde hesaplandığında x = 40 olabilir.

(Cevap B)

3



Oyun hareketlinin hareket edecek yolu kalmadığında son buluyor.



Buna göre, oyun sonlandığında kaç kareye basmış olur?

5. n ve k pozitif tam sayılar olmak üzere, nK değeri



A) 10



• n sayısı, k sayısına tam bölünüyorsa nK =



• n sayısı, k sayısına tam bölünmüyorsa nK = 0

B) 16

C) 18

D) 21

E) 27

2, 5 ve 11 asal, 4 asal olmadığından hareketli sağ, yukarı, sağ, aşağı biçiminde sırasıyla 1, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 7, 5, 1, 1, 1, 2, 11, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 2 olmak üzere 21 kareye basmış olur.

(Cevap D)



olarak tanımlanıyor.



Örnek:

n k

355

153 = 5 154 = 0

3.



( x − 1) ( x 3 + x 2 + x ) + x

n1 + n2 = 15

x2



ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?



A) x4

(

(

1 C) x2 D) 1 E) 2 x x

B) x3

) ) = x 3 − 13 + 1 = x 3 = x 2

x ( x − 1) ⋅ x 2 + x + 1 + 1 x2

x

Buna göre,

x

(Cevap C)



eşitliğini sağlayan n sayılarının toplamı kaçtır?



A) 24

B) 25

C) 32

D) 36

E) 40

n, 2 ile tam bölünmüyorsa n + 0 = 15 ⇒ n = 15 1 n, 2 ile tam bölünüyorsa n + n = 15 ⇒ n = 10 2 10 + 15 = 25

(Cevap B)

Test 04

1. E

6.

2. D

3. C

4. B

8



Yukarıda uzunluğu 2 metre olan bir borunun 40 cm’lik kısmı, kalın kısma monte edilmek için ayarlanmış ince kısımdan oluşmaktadır.



Aşağıda eş iki borunun birbirine monte edilmiş hâli verilmiştir.

6



Bu borulardan bir miktar alınıp birbirine monte edilmesiyle oluşan borunun uzunluğu 26 metre olduğuna göre, kullanılan boru sayısı kaçtır?



A) 10

C) 14

x ⋅ ( 2 − 0 , 4 ) + 0 , 4 = 26 ⇒ 1 ,6 ⋅ x = 25 ,6 ⇒ x = ⇒ x = 256 = 16 16

D) 16

25 ,6 1 ,6

Elma

Armut

Kiraz

3x + 6

x+4

x

C) 76

D) 77

3x + 6 + x + 4 + x = 380 ⇒ 5x = 370 ⇒ x = 74 3x + 6 + a = (2x + 4) · 2 ⇒ 3x + 6 + a = 4x + 8 ⇒ a = x + 2 ⇒ a = 74 + 2 = 76

E) 78

(Cevap C)

8. Bir çocuk aşağıda verilen A, B, C, D, E ve F bölgelerinden oluşan şeklin her bir bölgesini ortak kenarlı bölgeler farklı renkle boyanmak koşuluyla boyayacaktır. A

356

C

B

D

Çözüm Yayınları

Bu bahçede toplam 380 ağaç olduğuna göre, elma ağaçlarının sayısının armut ve kiraz ağaçlarının toplam sayısının 2 katı olması için kaç elma ağacı daha dikilmesi gerekir? B) 75

F



Buna göre, bu boyama işlemi için en az kaç boya gereklidir? A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

Şekle göre A ve B farklı renkle B ve E farklı renkle D ve E farklı renkle, C ile E farklı renkle boyanmalıdır. Buna göre A, C ve F bölgeleri aynı renkle; B, D ve C bölgeleri farklı renkle boyanmak üzere 2 farklı renkle boyama işlemi yapılabilir. (Cevap E)

4 1

9 2



Düşen toplar üzerindeki numaraların toplamı en fazla olan yarışmacı oyunu kazandığına göre, herkesin farklı puan kazandığı bir yarışmada bir yarışmacının yarışmayı kesin olarak kazanması için toplar üzerindeki numaralar toplamı kaç olmalıdır?



A) 20

B) 24

C) 26

D) 28

Yarışmacı butona 5 defa basıp sırasıyla 1, 2, 6, 8 ve 9 topları düşerse 1 + 2 + 6 + 8 + 9 = 26 puanla oyunu kesin kazanır.

E) 30 (Cevap C)

10. Bir oto galerinin düzenlediği bir günlük promosyana göre,

• Navigasyon ve otomatik klima özelliklerini birlikte satın alana A,



• Navigasyon ve koltuk ısıtma özelliklerini birlikte satın alana B,



• Otomatik klima ve koltuk ısıtma özelliklerini birlikte satın alana C,



• Navigasyon, otomatik klima ve koltuk ısıtma özelliklerini birlikte satın alana D



hediyelerini veriyor.



Promasyonun yapıldığı gün her bir kişi en az 2 özellik satın alıyor.



Promasyon sonunda 12 tane otomatik klima ve 6 tane koltuk ısıtma özellikleri satılmıştır.



Kaç adet navigasyon özelliği satıldığı bilinmediğine göre, aşağıdaki hediyelerden hangisi kesinlikle verilmiş olamaz?



A) 4 tane C, 2 tane D ve 6 tane A



B) 5 tane B, 1 tane D ve 11 tane A



C) 6 tane C ve 6 tane D



D) 6 tane A ve 6 tane D



E) 6 tane B ve 12 tane A

E



9. C 10. C

1’den 9’a kadar doğal sayılar ile numaralandırılmış 9 top bulunan bir soru topu makinesinde tuşa her basıldığında makine içerisindeki kol çalışarak topları karıştırıyor ve rastgele bir top mekanizmanın alt bölmesine düşüyor. Her yarışmacı tuşa düşen topların numaralarının çarpımı üç basamaklı doğal sayı olana kadar basıyor ve üç basamaklı ilk sayı elde edildiğinde yarışmacı yarışmayı tamamlıyor.

(Cevap D)

elma ağaçlarının sayısı armut ağaçlarının sayısının 3 katından 6 eksik, armut ağaçlarının sayısı ise kiraz ağaçlarının sayısından 4 fazladır.

A) 74

8. E



E) 18

7. Elma, armut ve kiraz ağaçlarının bulunduğu bir bahçedeki



7. C

3 5

7

B) 12

6. D

9.

2 metre

40 cm



5. B

6 tane C ve 6 tane D verilmesi için 12 tane otomatik klima, 12 tane koltuk ısıtma ve 6 tane navigasyon satmalıdır. 6 tane koltuk ısıtma satıldığı bilindiğine göre 6 tane C ve 6 tane D satılmış olamaz. (Cevap C)

05

TÜMEVARIM - IV Test 1. Ahmet tost ekmeğini aşağıdaki gibi 3 eş dilime ayırmıştır.

bölmesi 2,4 metre, orta bölmesi 3 metre ve üst bölmesi 1,8 metre yüksekliğindedir. Dolabın üst bölmesinde sarı etiket alt bölmesinde yeşil etiket yapıştırılıyor.

C

B

A

4. Üç bölmeli dikdörtgenler prizması şeklindeki bir dolabın alt

1,8



Sonra bu dilimlerden birini 3 eş, diğer bir dilimi ise 4 eş parçaya ayırıyor. Bazı dilimler A, B ve C harfleri ile isimlendirilmiştir.

3



Buna göre, A dilim ekmeğinin ağırlığının C dilim ekmeğinin ağırlığından farkının, B dilim ekmeğin ağırlığına oranı kaçtır?

2,4

A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 12 10 9 6 4



1 1 Ekmek 1 olsun. A = 3 = 1 , B = 1 , C = 3 = 1 3 9 3 4 12 1− 1 4−3 A − C = 9 12 = 36 = 1 ⋅ 3 = 1 1 1 B 36 12 3 3

(Cevap A)

Sarı etiketin yerden yüksekliği x, yeşil etiketin yerden yüksekliği y olduğuna göre, (x, y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) (6 2,

2 ) B) ( 4 3,



D) (2 6,

10 )

C) ( 4 3,

2)

3 ) E) ( 41, 2 3 )

5, 4 < x< 7, 2 ve 0 < y < 2,4 tür.

birer tam sayı yazılmıştır. 7

6

4

2

5

–2

–5

8

3

–6

–3

–9

2

4

7

4



Ali yeşil birim karelerden birini seçip, seçtiği karenin bulunduğu satır ve sütunu siyaha boyuyor. Böylece şekil 4 ayrık bölgeye ayrılmış oluyor.



Ali, –3 yazan birim kareyi seçip oluşan herbir ayrık bölgedeki sayıları kendi içlerinde topluyor.



Buna göre, bulduğu toplamların en büyüğü kaç olur?



A) 20

B) 18

C) 16

D) 10

E) 8

–3 ün bulunduğu kare seçilirse bölgelerdeki sayılar toplamı 7 + 6 + 5 – 2 = 16, 2 + 4 = 6, 4, 2 + 8 = 10 olur.

3.

(Cevap C)

27 x − 1 = 26 + 3x + 1

9x



olduğuna göre, 2x – 4 ifadesinin değeri kaçtır?



A) 4

(3x )

3

− 13

9x + 3x + 1

B) 5

=

( 3 x − 1) ( 9 x +3 x + 1 ) 9 x +3 x + 1

C) 6

D) 7

E) 8

O hâlde= x

Çözüm Yayınları

2. Aşağıda 16 birim kareden oluşmuş karenin her birim karesine

= 48 4 3 ve y = 2 için ( 4 3 ,

2 ) olabilir.

(Cevap C)

5. der(P(x)) = 7 ve der(Q(x)) = 6

olmak üzere, P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm H(x) polinomudur.



• H(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7’dir.



• H(x – 1) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 10’dur.



Buna göre, H(3) kaçtır?



A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

der(H(x)) = 1 ve H(1) = 7, H(2) = 10 dur. H(x) = ax + b ⇒ –/ a + b = 7 + 2a + b = 10 a = 3, b = 4 H(x) = 3x + 4 ⇒ H(3) = 3 · 3 + 4 = 13

E) 16

(Cevap B)

6. a, b ve c pozitif tam sayıları için



b · (a + c)



ifadesi bir tek sayıya eşittir.



Buna göre,



I. ab + c



II. bc + a



III. ca + b

357



ifadelerinden hangileri her zaman tek sayıya eşittir?



A) Yalnız I







B) Yalnız III D) II ve III

C) I ve II

E) I, II ve III

b tek a + c tek sayıdır. a tek c çift veya a çift c tek sayı olabilir.

= 26

3 x − 1 = 26 ⇒ 3 x = 27 ⇒ x = 3 ⇒ 2 x − 4 = 2 3 − 4 = 4

O hâlde ab + c her zaman tek sayıdır. (Cevap A)

(Cevap A)

Test 05

1. A

7. a, b ve c sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

2. C

3. A

4. C

5. B

6. A

7. A

8. E

9. A 10. C 11. D 12. E

10. Bir öğretmen sayılar konusu bitince öğrencilerine 1’den 20’ye kadar olan doğal sayıları belli kurallara göre gruplandıracakları bir oyun oluşturmuştur.





p:a+b=0





q:a+c 0 dır. –, +, +

(Cevap A)

Oyunun kuralları:



• Sayılar üç gruba ayrılacaktır.



• Her sayı yalnızca bir grupta yer alacaktır.



• Her grupta en az bir asal sayı bulunacaktır.



• Her grupta pozitif bölen sayısı 4 olan en az iki sayı bulunacaktır.



Buna göre, öğrencilerin oluşturduğu bir grupta en çok kaç sayı bulunabilir?



A) 16

B) 15

C) 14

D) 13

Asal sayılar {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} Pozitif bölen sayısı 4 olan sayılar {6, 10, 14, 15, 8} olduğundan iki grup {6, 10, 2}, {14, 15, 3} biçiminde olursa 3. grupta en çok 14 sayı olur.

E) 12

(Cevap C)

8. Bir zarın bir yüzü mavi, iki yüzü kırmızı ve üç yüzü sarıdır. Bu zar üç kez havaya atılıyor.

Buna göre, bu üç atışta üst yüze gelen renklerin en az ikisinin aynı renk olma olasılığı kaçtır?

11. i2 = –1 olmak üzere,

A = Tüm durum – Farklı renkli olma olasılığı P( A ) = 1 − 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ! ⇒ P( A ) = 1 − 1 = 5 6 6 6 6 6

(Cevap E)

9. Aşağıdaki şekil, her dilimde sarı, mavi ve turuncu bölgeleri olan 12 dilimlik bir hedef tahtasını göstermektedir. Hedef tahtasına yapılan her atışta, ok dilimin sarı bölgesine gelirse dilim üzerinde yazılı sayının 2 katı, turuncu bölgesine gelirse 3 katı puan alınmaktadır. Ok dilimin mavi bölgesine gelirse dilim üzerinde yazılı sayı kadar puan alınmaktadır.

Çözüm Yayınları

A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 5 36 18 6 3 6

(1 – 2i)m · (1 + 2i)m · 1616







çarpımının sonucu 65 basamaklı en küçük doğal sayıdır.



Buna göre, m doğal sayısı kaçtır?



A) 24

B) 36

C) 48

D) 64

E) 72

[(1 – 2i) (1 + 2i)]m · (24)16 = (12 + 22)m · 264 = 5m · 264 m = 64 için 564 · 264 = 1064 olur.

(Cevap D)

12. a ve b tam sayılar olmak üzere, a | b gösterimi, a sayısının 6

1

3

b sayısını tam böldüğünü ifade eder. 8

2

4

16

5

12

15 10

7



Bir öğrenci,







önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemini kullanarak ispatlamak istiyor.



Buna göre, öğrencinin verdiği örnek aşağıdakilerden hangisi olabilir?

358

Seydi’nin bu hedef tahtasına yaptığı dört atışla ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.



• Ok, her atışta farklı dilime isabet etmiştir.



• Ok, atışların birinde turuncu bölgeye, ikisinde sarı, birinde mavi bölgeye isabet etmiştir.



Seydi’nin alabileceği en yüksek puan kaçtır?



A) 112

B) 98

C) 96

D) 95

E) 92

En yüksek: 16 · 3 + 15 · 2 + 12 · 2 + 10 · 1 = 112

“a, b ve c tam sayıları a | c ve b | c koşullarını sağlıyorsa (a – b) | c koşulunu da sağlar.”

a

b

c

A)

1

3

12

B)

2

4

24

C)

3

2

30

D)

4

5

60

E)

5

1

30

5 sayısı 30 u böler. 1 sayısı 30 u böler. (Cevap A)

5 – 1 = 4 sayısı 30 u bölemez.

(Cevap E)

06

TÜMEVARIM - IV Test 1. Aziz doğum günü pastasını aşağıdaki gibi 6 eş dilime

3. Aşağıda eş kare biçiminde dikdörtgenler kullanılarak



Buna göre, bu pastadan Bekir’in payına düşen miktarın pastanın tamamına oranı kaçtır?

1. Satır

2

3

4

5

2. Satır

3

4

5

3. Satır

4

5

1

4. Satır

5

1

2

5. Satır

1

2

3

6. Satır



A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 60 40 30 24 12 Pastanın tamamı 1 olsun. Bir dilim 1 olur. 6 Bekir'e 1 : 5 = 1 ⋅ 1 = 1 olur. 6 6 5 30

4

5. Sütun

Sonra, bu pastanın bir dilimi Ali, Bekir, Can, Deniz ve Eylül arasında eşit miktarda paylaştırmıştır.

3

4. Sütun



2

3. Sütun



1

2. Sütun

oluşturulmuş dikdörtgen ve üzerindeki sayılar gösterilmiştir.

1. Sütun

ayırmıştır.



Sütunlar soldan sağa doğru turuncu, sarı, yeşil, turuncu,



sarı, ... renkler ile boyanıyor. 1, 2, 3, 4, 5 sayıları yukarıdaki gibi devamlı olarak yazılıyor.



Buna göre, tabloya yerleştirilen 123. sayı ve bulunduğu sütunun rengi aşağıdakilerden hangisidir?



A) 3 ve yeşil





(Cevap C)

B) 2 ve sarı

D) 5 ve turuncu

C) 4 ve yeşil

E) 3 ve turuncu

Çözüm Yayınları

Sayılar 24 sayıda bir 4 sütunu tamamlar. O hâlde 123. sayı

2. Aşağıda tablet içerisinde 2 seviyeli kodlama programı

123 = 24 · 5 + 3 olduğundan soldan 21 sütuna yazılır ve yazılan sayı 3 tür. 21. sütun yeşil renklidir.

(Cevap A)

gösterilmiştir. Kodlamada birinci ve ikinci sayı bölmelerine üçer basamaklı sayılar yazılıyor. Hangi seviye kodlama yapılmak isteniyorsa butonuna basılarak kod oluşturuluyor ve kod bölmesinde beliriyor.

4. Belirli sayıda A, B ve C marka topların bulunduğu bir spor KODMATİK PROGRAMI

Birinci Sayı :

xyz

Birinci Sayı :

xyz

İkinci Sayı :

def

İkinci Sayı :

def

1. Seviye :

1. Seviye :

A

2. Seviye :

2. Seviye :

150°

Oluşan Kod:

xdyezf

Oluşan Kod:

1. seviye kodlama



salonunda aynı marka olan her bir top eşit ağırlıktadır. Bu topların sayıca dağılımı 1. grafikte, toplam ağırlıklarının dağılımı ise 2. grafikte gösterilmiştir.

KODMATİK PROGRAMI

fedzyx

B

2. seviye kodlama

C

B

1. grafik



Yukarıda 1. seviye kodlama kuralı ile 2. seviye kodlama kuralı verilmiştir.





A

C

359

2. grafik



Birinci sayının 3a2, ikinci sayının aab olduğu 1. seviye kodlamadaki kod 344422, 2. seviye kodlamadaki kod mnnmnk olduğuna göre, n ⋅ k çarpımı kaçtır?

A, B ve C marka topların her birinin ağırlığı sırasıyla x, y ve z olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?



A) x < y < z

A) 16





B) 15

C) 12

1. kod → 3aaa2b = 344422 ⇒ a = 4, b = 2 2. kod → 244243 = mnnmnk m = 2, n = 4, k = 3 ⇒ n · k = 12

D) 10

E) 6

B) z < y < x

D) z < x < y

C) y < x < z

E) y < z < x

360 tane top olsun. A = 150, B = 90, C = 120 Ağırlıkları toplamı 360 olsun. A = 180, B = 90, C = 90 (Cevap C)

x = 180 = 6 , y = 90 = 1 , z = 90 = 3 ⇒ z < y < x 150 5 90 120 4

(Cevap B)

Test 06

1. C

8.

5. Gerçek sayılar kümesi üzerinde f ve g fonksiyonları x ⋅ ( x − 3) f (x) = 9 g( x ) =

x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2) 2



biçiminde tanımlanıyor.



Buna göre,







eşitliğini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır?



A) 5

C) 7

3x ⋅ ( 3x − 3) = x ⋅ ( x − 1) 9 ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 ) g( x − 1) = 2 ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 ) x ( x − 1) = 2 f ( 3x ) =

D) 8

E) 9

x −1= 0 ⇒ x = 1 2 x = x − 5x + 6 2 x 2 −7 x + 6 = 0 x = 1 veya x = 6 ⇒ 1 + 6 = 7

3. A

4. B

5. C

6. B

7. B

Bir TV kanalında yayınlanan oyunun kuralları şöyledir.



• Oyun başlangıç bölmesinden bitiş bölmesine ulaşılınca son bulmaktadır.



• Bir kareden yalnız bir kez geçilebilmektedir.



• Herhangi bir karede bulunurken, bu karenin bir solunda, bir sağında, bir üstünde bir altında veya bir çaprazında bulunan kareye hareket edilebilmektedir.



• Karelerin tümünden geçmek zorunlu değildir ve geçilen kareden bir daha geçilemez.



• Geçilen tüm karelerdeki sayıların toplamı yarışmacının puanıdır. 6

3

20

1

14

11

7

19

13

18

8

17

2

10

16

4

12

9

15

5

Bitiş

Başlangıç

6. A, B ve C kümeleri

A = {(x, 2x): x ∈ R}





B = {(x, 6 – x): x ∈ R}



Buna göre, bir yarışmacı en az kaç puan alabilir?





C = {(x, x + 12): x ∈ R}



A) 30



şeklinde tanımlanıyor.



(a, b) ∈ A ∩ B ve (c, d) ∈ B ∩ C olduğuna göre,

Çözüm Yayınları





ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1 B) 1 4 3

C) 1

D) 3

E) 4

B) 36

bırakmıştır. Aşağıdaki grafikte bu üzümlerin kuruduğunda kaybettikleri ağırlıkların yüzdeleri verilmiştir. Ağırlık kaybı (%) 50

7. Azra soldaki hesap makinesinde 89 sayısından iki basamaklı

25 20

bir doğal sayıyı çıkartıyor.

A

360

9

1

2

3

4

5

6

4

5

6

1

2

3

7

8

9

–

0

=

–

0

=



B

A 120° 160° B

Azra’nın kardeşi Berk ise rakamları bilmediği için ablasının bastığı tuşlarla aynı konumdaki tuşlara aynı sırada sağdaki hesap makinesinde basıyor.



Berk’in elde ettiği sonuç 11 olduğuna göre, Azra’nın elde ettiği sonuç kaçtır?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

Azra’nın yazdığı 89 sayısına denk olan Berk’in yazdığı sayı 23 tür. 23 – x = 11 ⇒ x = 12 O hâlde Azra’nın elde ettiği sonuç 89 – 78 = 11 olur.

Üzüm türü

C

Kuruduktan sonra bu üzümlerin toplam ağırlığının türlere göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.



E) 41

9. Bir tüccar A, B ve C türündeki yaş üzümleri kurumaya

(Cevap D)

8

D) 39

(Cevap A)

B ∩ C: 6 – x = x + 12 ⇒ 2x = –6 ⇒ x = –3 ⇒ (–3, 9) = (c, d) ⇒ c = –3, d = 9

7

C) 37

Sırasıyla 6 – 7 – 2 – 10 – 5 karelerine basılırsa en az 6 + 7 + 2 + 10 + 5 = 30 puan alabilir.

A ∩ B: 2x = 6 – x ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 ⇒ (2, 4) = (a, b) ⇒ a = 2, b = 4 c+d = 9−3 = 6 = 3 b−a 4−2 2

9. D

• 4 x 5 lik bir tablo üzerindeki karelerde 1 den 20 ye kadar olan doğal sayılar yazmaktadır.

(Cevap C)

c+d b − a

8. A



f(3x) = g(x – 1)

B) 6

2. C

E) 14

(Cevap B)

C



Kurutma sürecinde bu üzümlerin toplam ağırlığı 480 kg azaldığına göre, tüccar bu üzümlerden toplam kaç kg kuru üzüm elde etmiştir?



A) 1440

B) 1200

C) 1100

D) 1080

Tüm üzüm miktarı 360x olsun. A = 120x, C = 160x, B = 80x olur. 40 x + 80 x + 40 x = 480 Ailk ⋅ 75 = 120 x ⇒ Ailk = 160 x 100 50 Bilk ⋅ = 80 x ⇒ Bilk = 160 x x=3 100 80 C ilk ⋅ = 160 x ⇒ C ilk = 200 x 360 x = 1080 100

E) 1000

(Cevap D)