Tutte le opere. Testo greco a fronte 8845259757, 9788845259753

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Questa pubblicazione è stata realizzata con il contributo della Facoltà di Filosofia dell'Università Vita-Salute San Raffaele.

EUCLIDE

TUTfE LE OPERE Testo greco a fronte

Introduzione, traduzione, note e apparati di Fabio Acerbi

....

rfi9i BOMPTANT ~

TL PENSIERO OCCIDENTALE

TSBN 978-88-452-5975-3

© 2007 R.C.S. Libri S.p.A., Milano Tedizione Bompiani TI Pensiero Occidentale novembre 2007 TT edizione Bompiani TI Pensiero Occidentale aprile 2008

A Ellenio e Sergio, in attesa di ritrovarli

Adès sì ch'a revoca un plant di muàrt parsè che il cialt e il frèit dal alt plan dal Friùl son insembràs ta un azur di dis no pierdùs, ma doventàs di un altri; nus drenti di un timp sidìn coma la lus.

Studiare la matematica greca antica mentre imperversano i gringos può sicuramente passare per singolare. Non mi illudo che un piccolo esercizio di ragione critica in un campo che è ritenuto fornire certezze possa apparire come un atto di resistenza al non-pensiero, alla brutalità travestita da atti umanitari, alla menzogna eretta a sistema. Lo si veda dunque come un tentativo di sfuggire ad un presente atroce e bruciante, grazie ad un colloquio con generazioni ormai disfatte: i matematici greci, i grandi filologi di fine ottocento, i miei primi maestri. Non mi è chiaro se tutto ciò mi permetta di alzarmi su trampoli alti una spanna in più di quelli dei miei muti interlocutori, oppure se mi sia solo concesso di spiare dal livello del terreno le loro evoluzioni ad altezze smisurate. In ognuno dei due casi solo il crollo finale è da attendersi, e l'alternativa è tra restare schiacciati o sfracellarsi. Vorrei ringraziare Sandro Caparrini, Paolo Fait e Giulio Pisani per il sostegno morale e logistico, i Bugars e i Siega perché sì, -..Alessandro, Alessandra e Attila perché sfuggono alla morsa, Monica per queste ragioni e per tutto il resto. Ai colleghi di scuola, specialmente a Carlo Càssola e Pietro Donatis, agli studenti che ho abbandonato e che non avrò, offro il libro come risarcimento parziale di una resa all'ambizione che continuo a considerare come un tradimento. Lo consegno idealmente, con affetto e stima, nelle mani di Gianni Morchio (esempio inarrivabile di intelligenza critica e rigore morale) e Franco Strocchi, che provarono invano a farsi maestri di un allievo capriccioso e incapace. Lo dedico ai miei maestri scomparsi, a Dantute perché fu anche colpa mia, alla piccola patria finalmente ritrovata.

NOTA PRELIMINARE

Nelle pagine che seguono sono presentate, discusse e tradotte tutte le opere attribuite ad Euclide. Sono convinto che queste opere, anche quelle più strettamente geometriche e i cui contenuti furono oggetto di insegnamento diffuso fino a tempi recenti, siano impossibili da capire senza un'adeguata contestualizzazione. Non pretendo che quella che propongo lo sia, ma ciò non toglie che fosse doveroso offrirla. Ho cercato di dare al termine «contesto» un significato ampio: lo è il milieu istituzionale ed intellettuale in cui si muove il matematico, ma lo sono anche gli strumenti materiali tramite i quali i testi dei matematici antichi sono giunti fino a noi, cioè la storia della tradizione manoscritta. Lo sono infine, ed eminentemente per la matematica antica, gli autori che hanno adottato, modificato, rivisto, riedito e commentato un testo nel corso della sua trasmissione. È ormai passato il tempo in cui si pensava che quello che leggiamo risalga recta via al supposto autore. Un problema enorme e non immediatamente sormontabile si pone dunque ~.chi indaghi le opere matematiche antiche anche sotto l'aspetto della pratica argomentativa: nessun testo è completamente affidabile se pretendiamo di andare oltre un certo grado di finezza di analisi. Non bisogna però pensare che questi dati di fatto debbano condurre ad un dissolvimento di qualsiasi sicurezza, ad uno scetticismo generalizzato da cui concludere che i testi che leggiamo sono prodotti tardo-antichi, da cui possiamo salvare sì e no alcuni «contenuti>>. Una serie di considerazioni ci aiuta ad uscire dalla paralisi. Primo, in anni recenti, e in particolare grazie allo studio della tradizione arabo-latina dei testi greci, sono stati sviluppati metodi abbastanza raffinati atti a reperire i differenti strati testuali. Secondo, ben difficilmente una forma logica e argomentativa così irregimentata come quella adottata nelle opere matematiche greche potrebbe essere la forma finale di una successione di riscritture posteriori, oppu-

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ACERBI

re il frutto di una sistematizzazione puntuale. Tutto il corpus matematico antico è scritto allo stesso modo, e la rigidità del linguaggio formulare si ritrova negli Elementi come negli Sphaerica di Teodosio. Terzo, si apprendeva a scrivere matematica facendo matematica, ed esercitandosi con lo studio dei trattati elementari più importanti; in più, la cogenza degli argomenti matematici veniva anche percepita grazie alla rigidità delle strutture linguistiche impiegate. È quindi plausibile che la forma espressiva peculiare tendesse ad autoriprodursi anche su scale temporali di parecchi secoli. Tutto ciò ha a che fare con la matematica antica: farne storia raccontando i contenuti matematici è una barzelletta. Cosa si intenda, poi, per «contenuto matematico» non è per niente chiaro. In effetti, il problema di un approccio storico alla matematica è che un risultato, una volta dimostrato, è automaticamente vero, e tale resta: quello matematico è un universo cumulativo, ed è possibile parlare in senso proprio di una crescita della conoscenza. Chi guardi alla matematica del passato è quindi naturalmente portato a leggerla con le categorie tecniche tipiche della propria epoca, dato che i risultati raggiunti anche in epoche lontane sono, in linea di principio, immediatamente traducibili in un linguaggio contemporaneo. Questa «traduzione» è spesso assunta essere innocua, in quanto preserva il supposto «contenuto matematico». Si tratta di un errore rovinoso, e ne vedremo degli esempi all'opera nel corso del1' esposizione. Se infatti le risposte che la matematica si dà sono in qualche senso definitive, il tipo di domande cui queste danno risposta, ed il linguaggio impiegato per esprimere entrambe, sono delle entità eminentemente storiche. È per questo motivo, e non solo per la deplorevole scarsità di fonti, che la matematica greca offre così tanti problemi interpretativi. Studiandola si ha la chiara percezione che certe categorie concettuali siano incommensurabili con le nostre, e che la rivoluzione algebrica e più ancora lo sviluppo dell'analisi abbiano introdotto uno iato insanabile. Nonostante ciò, i risultati possono essere espressi nel linguaggio corrente, creando l'illusione di essere immediatamente comprensibili. È dunque indispensabile ricostruire almeno in parte le coordinate intellettuali e

NOTA PRELIMINARE

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materiali in cui si mossero i testi matematici antichi. Ciò non toglie che il linguaggio simbolico possa aiutare nella comprensione, e specialmente abbreviare l'esposizione di certe procedure. Occorre però limitarne l'uso allo stretto necessario. Cercherò dunque di mettere in chiaro una parte della rete un cui nodo fondante è il corpus euclideo. Non ho pretese di esaustività, ché sarei stato impari al compito, ed è ormai passato il tempo in cui avrei potuto rendere migliore questo libro. Il lettore perdoni le omissioni, le differenze di profondità nella discussione, gli errori gravi e quelli gravissimi .

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INTRODUZIONE

I.

CENNI ALLA MATEMATICA PRE-EUCLIDEA

Se si escludono i due brevi ed elementari trattati di geometria sferica di Autolico di Pitane, non ci è pervenuta nessuna opera completa di matematica pre-euclidea. A parte qualche sporadico riferimento in Archimede, le principali opere matematiche ellenistiche osservano un ferreo silenzio sulle proprie fonti, ed è appropriato affermare che ogni trattato generale cancellava qualsiasi traccia di quelli precedenti, se non altro perché ogni nuova, e più completa, esposizione rendeva superfluo continuare a fare copie delle altre. Gli Elementi sono stati particolarmente efficaci in quest'opera: hanno un carattere elementare, matematicamente enciclopedico e probabilmente contengono molto materiale sufficientemente avanzato per l'epoca in cui furono composti. Certe direzioni di ricerca in essi prominenti (lo studio degli irrazionali e la geometria di misura, ad esempio) saranno indagate a fondo da matematici posteriori, e tutta la trattatistica matematica greca successiva di stampo sistematico si conformerà al modello stilistico-strutturale euclideo, raggiunge;Ìdo il suo vertice nel corpus apolloniano. Al nome di Euclide sono poi legate le primissime opere di matematica applicata (ottica, teoria musicale) e tra le prime di geometria applicata ai fenomeni astronomici. In una situazione in cui sul valore delle singole opere facevano aggio le difficoltà legate alla produzione e distribuzione delle fonti scritte, la costituzione, in un luogo privilegiato dal punto di vista delle possibilità di conservazione e diffusione come l'Alessandria dei Tolomei, di un corpus di opere matematiche coerente e di altissimo livello condannava alla scomparsa ogni e qualsiasi contributo precedente. Non è però andato tutto perduto.

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ACERBI - INTRODUZIONE

1. Il problema delle fonti

Quello che sappiamo della matematica pre-euclidea proviene da fonti secondarie, e non sempre gli autori coinvolti furono matematici di professione. Lo furono Pappo e parzialmente Eutocia, ed un commentatore come Teone. Tra le fonti troviamo però letterati come Plutarco, filosofi come Aristotele, e tutti i suoi commentatori più o meno tardivi, in particolare Alessandro di Afrodisia e Simplicio. I problemi che derivano dal1' avere accesso a queste testimonianze sono molteplici. In primo luogo, le fonti tecniche tendono spesso a riscrivere ciò che compilano da autori sentiti come arcaici. Il processo di riscrittura stravolge sicuramente lo stile, ma può anche toccare gli strumenti matematici utilizzati, ad esempio nel caso le dimostrazioni originali fossero condotte per analisi e sintesi. Le fonti non tecniche, di norma, operano a loro volta su fonti secondarie, tipicamente compendi a carattere enciclopedico, e spesso non sono in grado di padroneggiare il contesto matematico. Queste ultime sono dunque dipendenti dal filtro delle grandi scritture (e quindi riscritture) della storia: quella di stampo peripatetico o academico, quella neopitagorica, prqtrattasi dal pieno dell'età allenistica fino alla tarda età imperiale e a cui dobbiamo il mito di Pitagora matematico, quella neoplatonica, cui afferiscono le ultime, e spesso decisive fonti che abbiamo. Comune a tutti gli indirizzi è l'accento sul ruolo dei precursori, del primus repertor, la mancanza di scrupoli filologici, la tendenza a confezionare falsi. D'altra parte, tutta l'antichità è caratterizzata da una fedeltà stupefacente alla tradizione. È chiaro dunque che più forze operano, e in maniera controvariante, a corroborare o ad intaccare l'attendibilità di una fonte secondaria. Per districarsi occorre lavorare su ipotesi, che per quanto attendibili vanno comunque riconosciute come tali. Esempio principe, come vedremo tra breve, è l'assunzione che il linguaggio matematico greco si sia fissato sul suo canone stilistico tipico solo a partire dagli Elementi. I testi di supposta origine pre-euclidea possono quindi essere accreditati come tali sulla base di certi arcaismi linguistici. Purtroppo, neanche questi dati danno indicazioni univoche, come vedremo. L'atteggia-

I. CENNI ALLA MATEMATICA PRE-EUCLIDEA

17

mento corretto è praticare una salutare critica delle fonti; la raccomandazione potrebbe apparire ovvia, se non fosse che questa non è stata esercitata in storia della matematica antica prima di tempi molto recenti. Occorre dunque partire dal presupposto che le nostre testimonianze non siano attendibili fino a prova contraria, anche se è sicuramente esagerato abbandonarsi ad uno scetticismo generalizzato.

2. Proclo e Filodemo

Il testo di riferimento tradizionale per ogni discussione della matematica pre-euclidea è l'elenco dei geometri che si trova nel Commento al primo libro degli Elementi di Euclide di Proclo (V secolo). Si tratta con ogni probabilità di un sunto rielaborato sulla base di una varietà di fonti, ed è importante notare che queste ultime coprono un arco temporale che non va oltre la generazione immediatamente successiva a quella dei matematici academici. Proclo non menziona le sue fonti in questo caso, 1 ma è stato proposto di poterne individuare in trattati peripatetici (la Storia della Geometria di Eudemo di Rodi, citato alcune volte da Proclo) 2 - eventualmente tramite l'intermediazione della Teoria della matematica di Gemino -,3 oppure in resoconti acad~mici (il IlEpÌ. IlÀciTwvos di Ermodoro, che si rifà all'opera omonima di Filippo di Opunte),4 oppure hanno sottolineato il ruolo di Porfirio.5 Ecco l'elenco di Proclo; 6 tra parentesi uncinate si trovano mie integrazioni: Dopo ciò, occorre ora parlare del suo [cioè della geometria] sviluppo in quest'epoca. Come ha infatti detto quel genio [8mµ6vws] di Aristotele,7 le stesse opinioni si sono presentate agli uomini in certi determinati periodi del mondo, e le scienze non hanno preso consistenza per la prima volta al tempo nostro o di persone da noi conosciute, ma esse sono sia apparse che di nuovo scomparse in altri rivolgimenti - non si può dire quanti-, sia avvenuti che ancora da venire. 8 Poiché dobbiamo indagare i principi delle arti e delle scienze nel presente periodo, diciamo che da parte di molti si racconta che la geometria fu trovata per la prima volta dagli Egizi, prendendo

18

ACERBI - INTRODUZIONE

origine dalla misurazione delle superfici. Essa era infatti necessaria per costoro, a .causa della piena del Nilo che cancellava i confini dei campi appartenenti a ciascuno. 9 Non c'è niente di stupefacente che l'invenzione sia di questa che delle altre scienze si sia originata dalla necessità pratica; poiché appunto tutto ciò che è prodotto di generazione procede dall'incompiuto al compiuto. È dunque ragionevole che il passaggio avvenga dalla percezione sensibile al calcolo e da questo alla conoscenza ragionata. Come dunque l'esatta conoscenza dei numeri ebbe inizio presso i Fenici a causa dei commerci e dei traffici, così appunto anche presso gli Egizi la geometria è stata scoperta per la detta ragione. Talete per primo, 10 andato in Egitto, introdusse nell'Ellade questa diottrina, e egli stesso scoprì molti e di molte fonù le basi elementari ai suoi successori, affrontando alcuni problemi in modo più generale, altri in modo più pratico. Dopo di lui Mamerco (?), fratello del poeta Stesicoro, che è ricordato essersi applicato allo studio della geometria, e Ippia di Elide riporta che egli avesse acquistato reputazione in geometria. Dopo questi Pitagora, che trasformò lo studio della geometria in un insegnamento libero, 11 indagando da capo i princìpi e studiandone i teoremi da un punto di vista puramente astratto e intellettuale. Egli inoltre scoprì la problematica degli irrazionali [~ Twv à(va)À6ywv rrpayµaTE(a] 12 e la costruzione delle figure cosmiche.13 Dopo di lui Anassagora di Clazomene si occupò di molte questioni di geometria, 14 e lo stesso anche Enopide di Chio, che era poco più giovane di lui (essi sono ricordati da Platone ne I rivali per la reputazione acquistata nelle matematiche) 15. Dopo questi Ippocrate di Chio, quello che scoprì la quadratura della lunula, e Teodoro di Cirene divennero celebri in geometria. 16 Dei ricordati, Ippocrate fu anche il primo a comporre Elementi [aTOLXEl:a]. 17 Platone, venuto dopo di questi, fece compiere un enorme progresso alle altre matematiche ed in particolare alla geometria per l'appassionato studio che vi dedicò, lui che, è abbastanza chiaro, ha riempito i suoi scritti di argomentazioni matematiche, ed ha risvegliato dovunque l'ammirazione per questi studi in coloro che si dedicano alla filosofia. 18 In questo tempo vissero anche Leodamante di Taso, Archita di Taranto e Teeteto ateniese, 19 e per opera loro i teoremi vennero aumentati in numero e raggiunsero una consistenza più scientifica. Neoclide, più

I. CENNI ALLA MATEMATICA PRE-EUCLIDEA

19

giovane di Leodamante, ed il suo scolaro Leone, i quali aggiunsero molte cose nuove a quelle dei predecessori, tanto che Leone mise insieme anche degli Elementi molto più accurati sia per numero che per utilità delle cose dimostrate, e scoprì anche limitazioni di possibilità [8LOpwµo[], cioè quando il problema cercato è possibile e quando è impossibile. Eudosso di Cnido, di poco più giovane di Leone, e che fu compagno dei discepoli di Platone, per primo aumentò il numero dei teoremi cosiddetti generali [Ka86À.ov], e aggiunse altre tre alle tre proporzioni , 20 e aumentò il numero delle proposizioni sulla «sezione» che avevano preso origine da Platone, servendosi per esse dell'analisi. Amicla di Er-aclea, uno dei compagni di Platone, e Menecmo, che era scolaro di Eudosso ma anche frequentatore di Platone, e il suo fratello Dinostrato completarono ancora di più la geometria nel suo complesso.21 Teudio di Magnesia apparve eccezionale sia nelle matematiche che in tutte le altre parti della filosofia; infatti compose gli Elementi in modo eccellente, e rese più generali molte proposizioni particolari. E anche Ateneo di Cizico, vissuto negli stessi tempi, divenne celebre nelle altre matematiche, ma soprattutto in geometria. Questi convivevano nell' Academia e conducevano in comune le ricerche. Ermotimo di Colofone fece avanzare di molto quanto era stato risolto prima da Eudosso e Teeteto e trovò molte proposizioni elementari e descrisse alcuni dei . Filippo di Mende, che era discepolo di Platone e da lui iniziato alle matematiche, condusse anche le ricerche sèguendo le indicazioni di Platone, e si propose anche tutte quelle questioni che egli riteneva potessero contribuire al compimento della filosofia platonica. Gli storici hanno seguito lo sviluppo di questa scienza fino a questo punto [cioè fino ai matematici dell'Academia platonica].22 Non molto più giovane di questi è Euclide, che raccolse gli Elementi, ordinò molti di Eudosso, ne perfezionò molti di Teeteto, ed ancora condusse a dimostrazioni inconfutabili ciò che i suoi predecessori avevano dimostrato più debolmente. Visse costui al tempo del primo Tolomeo: anche Archimede infatti, che seguì [Èm~aÀ.wv] il primo , cita Euclide; e a dire il vero si racconta anche che Tolomeo chiese una volta a quest'ultimo se non ci fosse una strada per apprendere la geometria più breve degli Elementi; ed egli rispose che non ci sono vie regie alla geometria. Euclide è dunque più giovane dei

20

ACERBI - INTRODUZIONE

discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede. Costoro infatti sono tra loro contemporanei, come dice da qualche parte Eratostene. Come concezione Euclide è platonico e familiare con questa filosofia, per il qual motivo si propose come scopo finale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle figure chiamate platoniche.23 Ci sono dunque molti altri trattati matematiche di quest'uomo, piene di meravigliosa precisione e di penetrante sguardo scientifico. Sono infatti tali anche l'Ottica e la Catottrica, e sono tali anche l'esposizione elementare concernente la musica, ed ancora il libro Sulle Divisioni. 24

Coerentemente con l'argomento in esame, la lista contiene solo geometri. Ne ricaviamo una ventina di nomi, alcuni dei quali noti solo tramite questa citazione. L'elenco non esaurisce il panorama dei matematici antichi; mancano sicuramente molti astronomi e «pitagorici», cioè cultori di aritmetica e teoria dei numeri. Sono noti almeno 52 nomi di cui le fonti antiche attestino qualche legame con ricerche matematiche e la cui collocazione temporale può essere ritenuta pre-euclidea. 25 La grande maggioranza di questi autori è però nota solo grazie a citazioni singole e casuali: se si escludono Callippo e forse Democrito, l'elenco di Proclo è sostanzialmente completo. Non è chiaro se Proclo assegni a Leone l'introduzione del concetto stesso di condizione di possibilità, e la determinazione delle prime tra esse, oppure se il geometra dell' Academia si sia semplicemente distinto nell'impulso dato ad un campo di ricerca in crescita. Il punto è importante dato che i owpwµo( «determinazioni>> sono una delle chiavi di volta del metodo di analisi e sintesi, e risulta difficile pensare che i primi fossero sviluppati indipendentemente dalla seconda. Un altro passaggio in Proclo testimonia dell'impulso che i geometri dell' Academia dettero al metodo di analisi, anche se occorre guardarsi dal leggerlo nel senso di attribuire l'invenzione del metodo a Platone (il contesto è quello dell'opportunità di usare metodo nella ricerca geometrica, sebbene ci siano geometri, come Cratisto contemporaneo di Proclo, che ottengono risultati solo in virtù del loro talento naturale):

I. CENNI ALLA MATEMATICA PRE-EUCLIDEA

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Eppure vennero trasmessi dei metodi, il più bello dei quali è quello tramite l'analisi, che riconduce quanto ricercato ad un principio su cui ci sia accordo; Platone, così dicono, trasmise questo a Leodamante, e si narra che basandosi su di esso costui si sia fatto scopritore di molti fatti geoemetrici. Il secondo è quello per divisioni, che divide in membri il genere proposto, e stabilisce un punto di partenza alla dimostrazione tramite l'eliminazione degli altri casi della costruzione di quanto proposto; Platone celebrò anche questa, in quanto risulta di aiuto in tutte le scienze.26 Qualche indicazione ulteriore potremmo sperare di ricavare da questo frammento della Academicorum Historia di Filodemo (I secolo a.C.), in cui sembra non essere solo questione della geometria: Si era però riconosciuto, dice, anche un grande progresso nelle scienze matematiche di quel tempo svolgendo Platone funzioni di architetto e ponendo problemi che i matematici ricercavano con zelo. Pertanto in questo modo la teoria generale delle misure raggiunse un culmine allora per la prima volta e i problemi circa le definizioni [òpwµovs] poiché Eudosso rinnovò il metodo antiquato [àpxawµ6v] di Ippocrate . Anche la geometria fece un notevole progresso; furono infatti creati sia il metodo dell'analisi sia quello dei diorismi e, in generale, molto la geometria; ancora di più progredirono l'ottica e la meccanica ... 27

Il testo è preservato in un papiro ercolanese, ed alcune parole chiave sono ricostruite per congettura. Sono ad esempio dubbie opwµous, così letto da Gaiser contro àpL8µous di Mekler e Lasserre, e àpxawµ6v, letto da Mekler e Gaiser contro µEpLuµ6v di Lasserre. Le fonti di Filodemo sono molteplici. 28 Come per Proclo, Lasserre propone il IlEpl IIÀchwvos di Ermodoro, che trae materiale dall'opera omonima di Filippo di Opunte. Gaiser propone invece il peripatetico Dicearco, con la Storia della Geometria di Eudemo di Rodi come testo di appoggio. Questa girandola di attribuzioni lascia comunque alcuni punti fermi: ben difficilmente i resoconti di Proclo e Filodemo

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sono indipendenti; le loro fonti sono invariabilmente Storie di matrice peripatetica oppure opere con intenti storico-apologetici come quelle academiche; in entrambi i casi si tratta di opere composte anche molto prima di quelle di Prodo e Filodemo; diverse intetmediazioni si sono succedute. Insomma, resoconti tardivi come questi vanno presi cum grano salis. Offro in estrema sintesi un elenco di quello che abbiamo della matematica pre-euclidea; si tenga presente che tutto deriva da fonti secondarie: 1) La quadratura delle lunule di Ippocrate di Chio e la sua riduzione del problema di duplicazione del cubo al reperimento di due medie proporzionali tra rette date. 2) Due passaggi nei Meteorologica di Aristotele. 3) Altri passaggi minori in Aristotele. 4) Alcuni passaggi in Platone, in particolare il passo geometrico del Menane. 5) Fonti su una «matematica pitagorica». 6) Archita: due frammenti di teoria dei numeri più una costruzione delle due medie proporzionali. 7) Teeteto: una serie di testimonianze in Platone, Pappo ed alcuni scolli. Gli argomenti coinvolti sono la teoria delle linee irrazionali, l'invenzione dei solidi platonici, quella dei numeri perfetti. 8) Ricerche in vari domìni attribuite a Democrito. 9) Riferimenti aneddotici a figure minori quali Talete o Enopide di Chio. 10) Ricerche attribuite a Menecmo (principalmente teoria delle sezioni coniche) e Dinostrato (curve speciali). 11) Informazioni solo aneddotiche sul contributo di Eudosso alla teoria delle medie, delle proporzioni e allo sviluppo del metodo di esaustione. Mi occuperò in quello che segue di alcuni di questi punti, soffermandomi su aspetti rilevanti per il prosieguo dell'esposiz10ne.

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3. Talete Talete visse a cavallo tra il settimo ed il sesto secolo a.C., se prestiamo fede a due testimonianze di Erodoto, secondo le quali avrebbe previsto un' eclisse nel sesto anno della guerra tra Medi e Lidi ed avrebbe partecipato all'attraversamento del fiume Halys con l'esercito di Creso in spedizione contro i Persiani.29 Oltre alla previsione dell' eclisse, varie forme di sapienza astronomica gli sono attribuite da Diogene Laerzio: Secondo alcuni non lasciò nessuno scritto: si dice infatti che l'Astronomia nautica a lui attribuita sia di Poco di Samo. Calli-

maco lo conosce come scopritore dell'Orsa Minore, dicendo così nei Giambi: «e si diceva che avesse stimato le distanze delle piccole stelle del carro, con cui navigano i Fenici>>. Secondo alcuni scrisse due sole , Sul solstizio e Sul!'equinozio, ritenendo che tutto il resto non fosse cognitivamente accessibile.30 Sembra, secondo alcuni, che per primo avesse studiato gli astri e che avesse predetto eclissi di sole e solstizi, come asserisce Eudemo nella Storia dell'astronomia[ ... ] E per primo scoprì anche l'intervallo da solstizio a solstizio, e per primo, secondo alcuni, affermò che la grandezza del sole è settecentoventi parti dell'orbita solare così come anche la grandezza della luna è settecentoventi parti di quella della luna. Per ~~imo chiamò «trenta>> l'ultimo giorno del mese.3 1 Diogene Laerzio non è in generale un autore da cui ci si possa aspettare una seria selezione delle fonti (la stima da lui riportata sul rapporto tra grandezza di sole e luna e diametro delle loro orbite è in realtà dovuta ad Aristarco, e si noti l'ultima affermazione), ma un dato è confermato da Teone di Smirne: Eudemo racconta nelle Astronomie che Enopide scoprì per primo l'inclinazione dello Zodiaco e il ritorno del grande anno; Talete scoprì invece un'eclisse di sole e che l'intervallo tra i suoi solstizi non si dà sempre uguale. 32

Sull'Astronomia nautica abbiamo anche le testimonianze di Plutarco:

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Prima i filosofi esponevano le dottrine e gli argomenti in versi, come Orfeo ed Esiodo e Parmenide e Senofane ed Empedocle [e Talete]. [. .. ]né, scrivendo in prosa, la scuola di Aristarco e Timocari e Aristillo e Ipparco rese meno illustre l'astronomia; prima avevano scritto in versi Eudosso ed Esiodo e Talete, se davvero Talete compose l'Astronomia a lui attribuita. 33

e di Simplicio: E si dice che non abbia lasciato niente di scritto eccetto la cosiddetta Astronomia nautica.34

Anche questi autori, come Diogene Laerzio, sembrano piuttosto riluttanti a sottoscrivere l'attribuzione: evidentemente, tale era anche l'opinione dell'unica fonte a cui evidentemente vanno ricondotte queste tre testimonianze. A parte i dubbi espressi nelle fonti stesse, non abbiamo alcuna idea dello status dell'astronomia scientifica ai tempi di Talete: occorrerà sospettare che anche la prima previsone delle eclissi e la redazione del trattato di astronomia nautica siano figlie del topos del primus repertor. Quattro proposizioni geometriche sono attribuite a Talete da Proclo: Che il cerchio sia secato a metà dal diametro dicono che sia stato quel famoso Talete a dimostrarlo per primo.35 A Talete l'antico si deve dunque gratitudine per la scoperta, tra molti altri, di questo teorema. Si dice infatti che costui per primo abbia compreso ed enunciato che gli angoli alla base di ogni triangolo isoscele sono uguali, ma che chiamasse in maniera piuttosto arcaica «simili>> gli uguali.36 Questo teorema dimostra che, se due rette si secano tra loro, gli angoli al vertice sono uguali: scoperto per primo, a quanto dice Eudemo, da Talete, e ritenuto degno di dimostrazione scientifica da parte dell'uomo degli Elementi. 37 Ed Eudemo nella Storia della geometria attribuisce questo [cioè Elementi I.26] teorema a Talete. Afferma infatti che il

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modo con cui si dice mostrasse la distanza delle navi in mare facesse necessariamente uso di questo.38

Diogene Laerzio riferisce poi che Panfila dice che Talete, appresa la geometria dagli Egizi, inserisse per primo il triangolo rettangolo in un cerchio [ ... ] Ieronimo afferma che abbia misurato le piramidi dall'ombra, osservando quando è di grandezza uguale a noi.3 9

Quest'ultima performance ci è riferita anche da Plinio: mensurarum altitudinis earum deprehendere invenit Thales Milesius umbram metiendo qua hora par esse corpori solet. 40

I teoremi attribuiti a Talete ci permettono di dire due parole in più su di un problema storiografico che riguarda l'attendibilità delle fonti. 41 L'organizzazione dei dati al loro interno rivela infatti due tendenze: quella di far risalire ai «protomatematici», tipicamente in contatto con la sapienza egizia, certi risultati elementari e quella che attribuisce ad un autore, con effetto di accumulo, risultati da cui dipendono implicitamente altri a lui attribuiti. Il fenomeno è ben presente fin dall'antichità, come il caso di Pitagora dimostra ad abundantiam (qui non si trattò solo di leggerezza storiografica, ma di una strategia deliberat;'ffiente messa in atto dai circoli neopitagorici). 42 Neanche Eudemo si sottraeva a queste inferenze illecite. Ad esempio, T.L. Heath fornisce una descrizione di un semplice strumento, ben presente nella trattatistica rinascimentale di geometria pratica, con cui determinare la distanza delle navi da un luogo sopraelevato senza alcun bisogno di ricorrere alla geometria. 43 Il teorema I.26 può ben servire per dimostrare che il metodo descritto da Heath fornisce in effetti un risultato corretto, ma il problema è quanto si sentisse, ai tempi di Talete, il bisogno di una qualche dimostrazione. Altre due delle testimonianze di Proclo, in effetti, mettono correttamente in rilievo che il protofilosofo scoprì (nel senso di «comprese ed enunciò») i risultati in questione, senza avanzare pretese dimostrative da parte sua.

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Che qualsiasi diametro sechi il cerchio a metà non è dimostrato neanche negli Elementi, e possiamo ben supporre che Talete si fosse limitato a mettere in rilievo questo fatto.

4. Enopide di Chio Testimonianze un poco pm precise abbiamo su Enopide di Chio. Oltre che nella lista, Predo lo nomina altre tre volte, la prima per una questione riguardante i fondamenti filosofici della matematica: Zenodoto, che si rifaceva alla linea di pensiero che faceva capo ad Enopide e che era allievo di Androne, distingueva il teorema dal problema in quanto il teorema ricerca quale sia la proprietà che si predichi del proprio soggetto, mentre il problema ricerca che cosa sussista una volta posto che qualcosa [d'altro] sussista. 44

Le altre menzioni riguardano aspetti tecnici: vengono a lui attibuite le prime ricerche sui problemi di come condurre una perpendicolare ad una retta per un punto che non appartiene ad essa: Enopide indagò per primo questo problema ritenendo che fosse utile in astronomia. In modo arcaico, egli chiama la perpendicolare «secondo gnomone», in quanto anche lo gnomone è ad retti con l'orizzonte. 45

e di come trasportare un angolo: Questo problema, piuttosto una scoperta di Enopide, come afferma Eudemo, richiede la costruzione di un angolo uguale ad un altro angolo rettilineo dato sulla retta data ed al punto dato su di essa. 46

Heath sostiene che questi teoremi sono troppo semplici per fondare una reputazione come geometra, e che il merito di Enopide deve essere stato quello di aver esplicitato per primo,

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nelle sue costruzioni, la limitazione alla riga ed al compasso. 47 Si tratta di un'opinione infondata, e frutto della tendenza, comune nella storiografia del secolo scorso, a retroproiettare un interesse per aspetti formali e metodologici che è già difficile rintracciare nei matematici principali del periodo ellenistico.48 Enopide operò verso la fine del sesto secolo, poco meno di un secolo prima di Ippocrate, e abbiamo tutte le ragioni per supporre che l'approccio dimostrativo alla geometria fosse ancora in stato nascente. Nel caso di Enopide l'indagine era chiaramente subordinata ad altre discipline, in questo caso l'astronomia, e legata ad aspetti pratici, come mostra l'uso del termine «secondo gnomone» per indicare la perpendicolare. Nessuna sorpresa che una costruzione geometrica in qualche senso astratta potesse costituire una novità per il periodo. Come accennato da Frodo, Enopide si occupò di questioni astronomiche: Eudemo racconta nelle Astronomie che Enopide scoprì per primo l'inclinazione dello Zodiaco e il ritorno del grande

anno.49 Il primo e l'ultimo dato sono precisati rispettivamente da Diodoro Siculo ~.~

Ritengono parimenti che anche Enopide, avendo vissuto con sacerdoti ed astronomi , abbia imparato, tra le altre cose, che il circuito solare ha il cammino obliquo, e che fa un moto contrario agli altri astri.50

e da Eliano Enopide di Chio astronomo sistemò in Olimpia l'elenco bronzeo in cui incise l'astrologia di cinquantanove anni, affermando che questo fosse il grande anno. 51

Censorino ci informa che Oenopides CCCLXV et dierum duum et viginti partem undesexagesimam. 52

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Tannery ha proposto una semplice spiegazione per questi numeri: «Censorinus nous dit nettement qu'CEnopide fornit l'année à 365 22159. Le cycle de 59 ans comprend dès lors 21557 jours, c'est-à-dire 730 [. .. ] mois lunaires [ ... ]. CEnopide semble d' ailleurs avoir procédé, pour combiner sa grande année, d'une façon très simple. Partant des valeurs approximatives simples obtenues pour l'année et pour le mois, 365 et 29 1/2, il aura conclu que 59 ans étaient èquivalents à 730 mois. Il ne s'agissait plus que de déterminer exactement le nombre de jours formés par 730 mois [ ... ].53 Il grande anno di Enopide era dunque determinato sulla base del ritorno nella stessa posizione di sole e luna soltanto. Tutti i massimi astronomi antichi si occuparono del problema di determinare periodi di ritorno di sole, luna e certi pianeti, da cui è immediatamente ottenibile il valore della durata dell'anno solare.54

5. Ippocrate di Chio

5.1 La quadratura delle lunule Il frammento più importante di matematica pre-euclidea ci è giunto accidentalmente e l'occasione si è presentata in un contesto filosofico. Aristotele si occupa in effetti di fallacie deduttive in più opere e in più luoghi; in particolare, introduce due generi di false dimostrazioni,55 quelle che sono in accordo con i princìpi di una certa scienza e quelle che non lo sono. Nel corso di alcune esposizioni menziona tentativi di quadratura del cerchio non andati a buon fine. Ecco i testi:56 (1) Le dimostrazioni false [tl>Ev8oypacp~µarn] non sono infatti eristiche ( le argomentazioni fallaci sono infatti in accordo con ciò che ricade sotto la disciplina), e nemmeno se vi è una certa dimostrazione falsa [ falsa di Antifonte, per il fatto che essa non prende le mosse, come apprenderemo, dai principi geometrici, mentre quella di Ippocrate è compito del geometra confutarla, poiché affermò il falso pur tenendo per fermi i principi geometrici. E costoro sono infatti tenuti a confutare soltanto quegli argomenti che, pur mantenendo i principi specifici della disciplina, concludono in questo modo fallacemente, mentre non sono da confutare quelli tramite i quali traggono in errore abbandonando i principi. Antifonte, tracciato un cerchio, inserisse in esso una certa superficie poligonale di quelle che possono essere inscritte. Sia, se càpita; un quadrato quello inscritto. Poi, secando a metà ciascuno dei lati del quadrato, conduceva linee ad retti dalla sezione fino alla circonferenza, che, è chiaro, secavano a metà ciascuna il corrispondente segmento del cerchio. Poi dalla sezione congiungeva rette fino agli estremi delle linee del quadrato, così da risultare quattro triangoli dalle rette, e lo schema totale un ottagono inscritto. E così di nuovo secondo lo 'AVTL~VTOS stesso metodo, secando a metà ljleuSoypa resecare un segmento simile ai segmenti costruiti sull'arco esterno; quelli del primo teorema erano su di un lato di quadrato, quelli negli altri su non meglio definite. Così che non fu quadrata ogni lunula, ma quelle che hanno l'arco interno simile ai segmenti costruiti sull'arco esterno e che sono essi stessi in qualche modo ben preciso definiti. 109

Il frammento sulla quadratura delle lunule è di importanza primaria, sia per il suo contenuto matematico che per la forma linguistica in cui è espresso: esso non solo fornisce informazioni importanti sul livello delle conoscenze matematiche un secolo e mezzo prima di Euclide, ma è anche esplicitamente estratto da un autore pre-euclideo (Eudemo). Sarà quindi prioritario spiegare sulla base di quali criteri si pervenga a disincagliare il relitto di Eudemo dai commenti di Simplicio. Raccolgo questa ed altre questioni rilevanti in una serie di osservazioni.

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1) Particolarità linguistiche e determinazione del testo di Eu-

demo

È sulla base di considerazioni linguistiche che si è tentato di separare dalle postille di Simplicio quanto di Eudemo fosse riportato «parola per parola». Alcuni possibili criteri sono i seguenti: i) La presenza o meno di espressioni complesse per denotare enti geometrici, quale Ti Ècp' ~ AB invece di Ti AB nella designazione della retta AB. Discuteremo, analizzando i passi aristotelici dei Meteorologica, della validità alquanto relativa di questo criterio nella determinazione di espressioni arcaizzanti; resta però il fatto che nella lingua di un autore del VI secolo come Simplicio espressioni complesse sorprenderebbero non poco. È quindi plausibile che dove esse compaiono il testo sia da attribuirsi a Eudemo. (Questo è il criterio principale che è stato utilizzato e qui, contrariamente ai Meteorologica, funziona egregiamente.) ii) L'uso del dativo di relazione OVVcIµEL (tradotto «in potenza») come qualificativo di una retta allo scopo di indicare il quadrato costruito su di essa. L'espressione alternativa, geometricamente più esplicita, denota appunto il quadrato con TÒ TETpciywvov èm6 ... , ed è ad esempio regolarmente usata nel libro XII degli Elementi. Allo stesso modo, viene impiegato il verbo ouvà'µm (tradotto con «potere») per segnalare che il quadrato su una retta è uguale ad una certa altra superficie (la retta «può» la superficie) .110 Il criterio può essere applicato solo in una direzione: dove si trovi I' espressione in termini di quadrato il passaggio è da attribuirsi a Simplicio. In effetti anche Simplicio utilizza la prima espressione in clausole indiscutibilmente sue (determinabili sulla base del criterio iv)), nonostante di norma si serva della seconda. Si osservi poi che la formulazione in termini di potenza non è tipicamente arcaica: essa è rintracciabile in tutti i periodi della matematica greca, da Ippocrate a Pappo, 111 anche se la sua introduzione come termine tecnico risale, come vedremo, a Teeteto. È però vero che la grande maggioranza delle occorrenze si trova nei libri X e XIII degli Elementi, cioè in stretta connessione con la teoria

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di linee e domìni irrazionali. Negli autori posteriori si assiste ad una chiara diminuzione delle occorrenze, 112 mentre nel corpus archimedeo queste si rarefanno con le opere tarde. 113 Il numero relativamente alto in Pappo può ricevere una spiegazione parziale dal fatto che costui si rifacesse a fonti antiche, ad esempio nell'esposizione di argomenti connessi con la costruzione e il confronto di solidi regolari. 114 Ci troviamo insomma di fronte ad un fenomeno di non riuscita canonizzazione linguistica, probabilmente a causa del carattere settoriale della terminologia in gioco: geometria di misura e teoria degli irrazionali (ivi compreso lo studio dei solidi regolari) giunsero a sviluppare lessici separati ed incompatibili, e l'espressione in termini di «potenza», divenuta tipica della teoria degli irrazionali, finì per rarefarsi nell'uso, con l'esaurirsi prematuro del campo di ricerca in cui si trovava impiegata. La sua presenza in clausole esplicative da attribuirsi a Simplicio può essere dunque spiegata con certe tendenze mimetiche dei commentatori, e con la percezione dell'assurdità di cambiare la terminologia di un passo matematico che si voglia integrare una volta che ancora non sia percepita come arcaica una parte di quella impiegata in esso. 115 iii) Lo stile di Eudemo è detto «compendioso» da Simplicio.11 6 Dobbiamo quindi attenderci da lui delle dimostrazioni ridotte ali' osso; questo significa ad esempio che vadano guardate con sospetto le giustificazioni di passi deduttivi ad essi posposte (facilmente riconoscibili, e di solito introdotte da «infatti»), in quanto probabilmente attribuibili a Simplicio. La norma dei chiosatori tardi ai trattati matematici era infatti quella di inserire le clausole esplicative a margine, segnalando il loro carattere con un opportuno connettivo. Una volta che tali clausole marginali risultino inserite nel testo nel corso di successive copiature, il loro posto naturale sarà quindi dopo il passaggio che intendono spiegare. Allo stesso modo, questa sembra essere stata la norma quando gli editori si prendevano la briga di esplicitare passaggi impliciti: come vedremo, questo è uno dei criteri principe con cui identificare interpolazioni al testo degli Elementi. Legato ad esso è il seguente, più specifico. iv) La presenza di citazioni dagli Elementi. Simplicio afferma di averle aggiunte, ed è ben difficile che ce ne fossero di

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presenti nel testo di un autore pre-euclideo come Eudemo. Si tratta dunque di un criterio infallibile, una volta definiti i limiti della citazione. Dobbiamo anche attenderci che Simplicio aderisca piuttosto strettamente al linguaggio formulare degli Elementi, e che le sue osservazioni abbiano spesso (che l'abbiano sempre sarebbe pretendere troppo da un commentatore) una certa pertinenza. Giova in effetti ricordare che Simplicio commentò anche le definizioni del primo libro degli Elementi, e che è il commentatore aristotelico cui dobbiamo più passaggi matematicamente interessanti. v) L'uso dell'operatore modale di necessità (nella forma àvayKY] oppure àvayKatov + infinito) per sottolineare la cogenza di un passaggio. Il costrutto è assente nel corpus euclideo ed apolloniano, 117 mentre Archimede lo utilizza poche volte (sempre nella forma àvayKatoV + infinito). 118 La scomparsa del costrutto in autori più tardi fa ritenere plausibile l'ipotesi che esso possa servire da indicatore di passi di sicura origine eudemiana. 11 9 vi) La presenza di richiami ali' evidenza in certi passaggi dimostrativi, di solito introdotti da espressioni quali «è manifesto», «è chiaro». Quando si trovino nel corpo di una dimostrazione, 120 solitamente questi sono presi, ed è tale ad esempio il caso negli Elementi, come indicatori di interventi editoriali posteriori. lJ, alta frequenza di richiami ali' evidenza nei trattati archimedei 121 mi fa però ritenere che il loro uso fosse comune prima della canonizzazione posteuclidea. Rintracciarne nel testo eudemiano non potrà quindi costituire una sorpresa, anche se Simplicio stesso, in quanto commentatore, ne fa largo uso. Il risultato del lavoro filologico basato sui precedenti criteri è il testo che seguirà questa serie di osservazioni.

2) Che cos è una neusis 122 1

Quella di Ippocrate è la prima neusis attestata nel corpus matematico greco. 123 Neusis è nome di genere per una classe di costruzioni utilizzate lungo tutto l'arco della produzione geo-

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metrica antica, e costituisce per noi una maniera tutto sommato sorprendentemente ad hoc per arrivare alla soluzione di un problema. La nostra percezione è probabilmente dovuta all' assenza di neuseis dai due grandi trattati elementari ellenistici, gli Elementi di Euclide e le Coniche di Apollonio. 124 Questo non significò certo una condanna della tecnica, di cui Archimede fa uso e che troviamo attestata in molte soluzioni di problemi speciali.125 Essa viene così descritta nella notizia dedicata da Pappo al trattato delle Neuseis di Apollonia: Collectio VII.27 Una linea è detta fare una neusis [vEUELV] verso un punto qualora, prolungata, passi per esso. In genera· le è lo stesso qualora sia detto che faccia una neusis verso un punto dato, oppure qualora un certo dato sia su di essa, oppure qualora sia per un punto dato. Le denominarono neuseis sulla base di una sola delle dette , il problema essendo in generale questo: «Date due linee in posizione, porre tra queste una retta data in grandezza che faccia una neusis verso un punto dato». Alcune erano piane, alcune solide, alcune lineari. Scegliendo tra quelle piane le più utili a vari scopi, dimostrarono questi problemi: dati in posizione sia un semicerchio che una retta ad retti con la base, o due semicerchi che hanno le basi in retta, porre una retta data in grandezza tra le due linee, che faccia una neusis verso l'angolo del semicerchio; 126 e dato un rombo e prolungato un solo lato, adattare sotto l'angolo ali' esterno una retta data in grandezza che faccia una neusis verso l'angolo opposto; e dato in posizione un cerchio, adattare una retta data in grandezza che faccia una neusis verso un dato. VII.28 Di queste, nel primo volume sono dimostrate quella per un solo semicerchio e una retta, che ha 4 casi, e quella per il cerchio, che ha due casi, e quella per il rombo, che ha due casi, mentre nel secondo volume quella per i due semicerchi, l'ipotesi avendo 10 casi; e in queste vi sono parecchie suddivisioni con condizioni di possibilità riferite alla grandezza data della retta.

Effettuare una neusis significa quindi, date due linee, inserire tra di esse un segmento di lunghezza fissata in modo che il

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suo prolungamento passi per un punto dato; s'intende che il segmento posto tra le due linee debba avere i suoi due estremi rispettivamente su una e l'altra di esse. È essenziale tener presente che non si richiedeva di effettuare l'inserimento del segmento per mezzo di costruzioni note ed eventualmente più elementari.127 Al contrario, come abbiamo visto in Ippocrate, veniva semplicemente data per scontata la possibilità di inserire effettivamente il segmento, con la stessa naturalezza con cui si supponeva di poter tracciare un cerchio di raggio e centro dati: la neusis costituiva dunque, sin dai tempi di Ippocrate e probabilmente già in precedenza, una costruzione indipendente ed irriducibile. Pur essendolo in casi particolari, le neuseis non sono riconducibili con procedura uniforme a costruzioni più semplici, la difficoltà di effettuare una riduzione in termini generali derivando dal grado di arbitrarietà implicito nella scelta delle due linee tra cui adattare il segmento; in linguaggio moderno questo significa che le neuseis non sono in toto associabili alla risoluzione di un'equazione algebrica di grado determinato. Il problema della riduzione cominciò a farsi sentire solo in periodo relativamente tardo, forse con Eraclito e sicuramente con Apollonio, 128 quando alcune neuseis furono riconosciute piane e dimostrate tali, e assunse, come abbiamo appena visto, accenti apprezzabilmente e documentabilmente normativi solo con i commentatori tardi. 129 È poco probabile che la spinta in direzione di tali raffinamenti sia stata la percezione di una certa ridondanza fondazionale; molto più semplicemente, è immediato vedere che alcune neuseis non possono essere effettuate se non entro determinati limiti di possibilità, 130 e la determinazione esatta di tali limiti è automatica una volta che si effettui una riduzione a costruzioni più elementari, che quindi può condurre ad un rafforzamento della costruzione dal punto di vista deduttivo. Non è difficile dimostrare che la neusis di Ippocrate è un problema piano: ciò significa che il segmento soddisfacente alle condizioni richieste può essere costruito anche con riga e compasso. L'ultima affermazione dell'estratto di Pappo dice appunto che questo era uno dei problemi risolti nelle Neuseis di Apollonio. Quest'ultimo risolse in forma più generale il proble-

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ma cui appartiene quello, specifico, di Ippocrate, considerando tutti i casi possibili di posizione del punto da cui erigere la perpendicolare - sul diametro AB o sul suo prolungamento - e di lunghezza e posizione del segmento da inserire -all'interno oppure all'esterno della circonferenza. Una costruzione che riduce il caso particolare di Ippocrate, espressa nel linguaggio dei «dati» e in stile passabilmente (tardo)antico, 131 è la seguente: Risulti dato un semicerchio di diametro AB e centro O; sia r su AB tale da secare a metà OB e per r sia stata tracciata rE 132 perpendicolare ad AB. Occorre inserire una retta .6.E data in grandezza tra il semicerchio e la perpendicolare così da fare .6.E una neusis verso B. Si supponga effettuata la costruzione. E MB ed ErB sono trian....................... goli rettangoli che hanno o B comune l'angolo in B: è quindi come AB rispetto a .6.B, così BE rispetto a Br (Elementi VI.4). Il rettangolo compreso da .6.B, BE è quindi uguale a quello compreso da AB, Br (ElementiVI.16). Ma quello compreso da AB, Br è uguale al quadrato su AO (conseguenza immediata di Elementi II.5 e II.3 ). E AO è dato: anche il quadrato su AO è quindi dato - cioè il rettangolo compreso da AB, Br -: il rettangolo compreso da .6.B, BE è quindi dato. E .6.B eccede BE per una retta data in grandezza, .6.E. Una e l' altra delle .6.B, BE è quindi data in grandezza (Data 84): .6.B è quindi data in grandezza, e B in posizione . .6.B è quindi data in posizione. Occorre quindi, nel cerchio dato e ad un punto dato su di esso, adattare una retta uguale alla retta data, che non è maggiore del diametro del cerchio (Elementi IV.1). 133 Occorre quindi che .6.B non sia maggiore del diametro del cerchio. Le condizioni di possibilità sono ora facili da determinare: AB ~ .6.B per quanto appena detto; BE ~ Br in quanto ipotenusa e cateto di un triangolo rettangolo; sottraendo membro a membro si ottiene .6.E ~ Ar, cioè a tre quarti del raggio del semicerchio.

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Come si vede, la costruzione piana, per quanto elementare, è sufficientemente sofisticata, e non è assolutamente detto che Ippocrate possedesse gli strumenti tecnici necessari per effettuarla, in particolare la teoria dell'applicazione delle aree. Il suo assumere la neusis senza ulteriori commenti suggerisce che il problema della riduzione semplicemente non gli si fosse presentato.134

3) La quadratura di Brisone

Il genere di fallacia soggiacente l'argomento di Brisone appare differente da quello della quadratura di Antifonte. Come abbiamo visto, quest'ultimo si poneva in aperto contrasto con i princìpi geometrici. Le interpretazioni dei commentatori antichi della fallacia di Brisone, oltre ad essere passabilmente confuse, suggeriscono invece, unitamente alla testimonianza (3), che costui abbia semplicemente proposto una dimostrazione troppo generale. 135 Data una proprietà, per Aristotele esiste infatti un genere ben determinato e massimale per cui si può dimostrare che essa valga, e solo dimostrazioni siffatte permettono di acquisire vera conoscenza scientifica. Esiste quindi, per ogni proposizione matematica, un livello di generalità ad essa appropriat,Q. Se la dimostrazione si applica ad un genere più ampio di quello in esame, oppure se il genere viene esaurito solo tramite giustapposizione di casi specifici, non risulta acquisita conoscenza scientifica. 136 La dimostrazione di Brisone fu probabilmente di questo tipo; vediamo però le interpretazioni dei commentatori. Una prima versione è probabilmente troppo rozza per essere accettabile. Pseudo-Alessandro ed un anonimo, entrambi commentando i Sophistici elenchi, 137 affermano che Brisone avesse circoscritto un quadrato in un cerchio ed inscrittone un altro (supponiamoli con i lati paralleli), inserendo un ulteriore quadrato intermedio tra di essi. Facendo appello al principio che (1) «cose maggiori e minori delle stesse sono uguali tra loro», se ne concluderebbe che cerchio e quadrato intermedio sono uguali, in quanto maggiori e minori degli stessi due qua-

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drati. Il fatto che l'argomento sia così smaccatamente falso rende alquanto implausibile che fosse quello originario; ben difficilmente Aristotele se ne sarebbe occupato come esempio di dimostrazione con difetti di generalità. Non è da escludersi che questa formulazione si origini con qualche commentatore che cercava di ricostruire quella di Brisone, oppure non capiva che sintetizzando troppo resoconti precedenti si finiva per produrne che non stanno in piedi.13 8 Temistio afferma che un altro principio era in gioco:13 9 (2) «cose di cui le stesse cose siano sia maggiori che minori, quelle sono uguali tra loro», argomentando così: il poligono inscritto sia tra quelli inscritti che tra quelli circoscritti al cerchio, sia il cerchio che questo poligono qui è quindi sia maggiore che minore di essi, così che sono anche uguali tra loro per il detto assioma.

L'argomentazione non è falsa come la precedente, in virtù del riferimento ad una pluralità di poligoni. Vedremo tra un attimo che i problemi di tale ricostruzione erano stati riconosciuti sin dall'antichità. Sul principio (1) si basa anche il resoconto di Alessandro, come riferito ampiamente da Filopono; 140 il resto dell'argomentazione è in qualche modo intermedio tra quello di Temistio e quello dei due anonimi: Il cerchio è maggiore di ogni figura rettilinea inscritta nel cerchio, minore di circoscritta. Ma anche la figura rettilinea tracciata tra quella rettilinea inscritta e quella rettilinea circoscritta è minore di quella circoscritta e maggiore di quella inscritta. E cose maggiori e minori della stessa sono uguali tra loro: il cerchio è quindi uguale alla rettilinea tracciata tra quella inscritta e quella circoscritta. 141

Sin dall'antichità si è imposta la lettura caritatevole che interpreta tutti i riferimenti a singole figure rettilinee come singolari collettivi; essa risulterebbe quindi non distinguibile da quella di Temistio. 142 In questo modo, però, l'argomentazione risulta scarsamente distinguibile da quella di Antifonte, doven-

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dosi ipotizzare l'esistenza, in quanto poligono, di una figura compresa tra le due sequenze: i suoi lati si sovrapporrebbero alla circonferenza del cerchio - come fa giustamente osservare Filopono citando un'obiezione di Proclo riferitagli dal suo maestro Ammonio. 143 Proclo osserva anche che (1) è falso, e propone la seguente ricostruzione dell'argomento di Brisone: Il cerchio è maggiore di ogni rettilinea inscritta, minore di circoscritta; e (3) ciò di cui esiste maggiore e minore, di questo esiste anche uguale; ed esiste una rettilinea maggiore e minore del cerchio: è quindi anche uguale ad esso.

Proclo legge dunque quella di Brisone come una dimostrazione esistenziale, basata su assunzioni intuitivamente plausibili di continuità compendiate nella forma (3) del principio (con questo attirandosi le critiche di Filopono - o meglio del suo maestro-, che obietta sul carattere non costruttivo della deduzione) .144 Il difetto di generalità consisterebbe nel potersi una tale dimostrazione applicare a qualsiasi figura piana, non costituendo così un'effettiva quadratura di cerchio. 145 Non è chiaro invece se e in che misura il carattere non costruttivo potesse costituire una parte della critica di Aristotele. 146 Non è semplice prendere partito per una di queste interpretazioni: da una parte sta }~patente falsità della ricostruzione tramite una sola figura inscritta e una circoscritta, dall'altra il sospetto che sulla ricostruzione di Proclo possa avere influito l'effettivo metodo di quadratura come sviluppato da Archimede sulla scia di Eudosso. In favore di quest'ultima ricostruzione milita però l'argomentazione di Antifonte, di cui il metodo di Brisone potrebbe costituire una versione emendata.

4) I princìpi di Ippocrate e la sua supposta fallacia 147

Il contenuto matematico del frammento è interessante per molti versi: le dimostrazioni non sono condotte per analisi e sintesi, 148 introducono una neusis (si veda il punto successivo),

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impiegano l'equivalente della forma estesa del teorema dell'ipotenusa dimostrata in Elementi VI.31 e le varianti dello stesso teorema che si trovano in II.12 e 13, così come le loro inverse.149 La trattazione delle proprietà relative al cerchio, ad esempio la disinvoltura nell'ammettere la possibilità di costruire segmenti circolari simili a segmenti dati, 150 induce inoltre a congetturare che Ippocrate fosse a conoscenza di buona parte dei risultati contenuti nel libro III degli Elementi. Il punto più interessante e controverso è però costituito dai princìpi che Ippocrate è ritenuto aver posto alla base della propria :L.1dagine.151 Riprendiamo il passo dove Simplicio li elenca (i numerali sono inseriti come riferimento): 152 (1) Si dette come principio [apx~v] e pose come prima tra le utili ad esse [cioè le quadrature], che hanno lo stesso rapporto sia tra loro i segmenti simili di cerchi che le loro basi in potenza. (2) Dimostrò questo come conseguenza dell'aver dimostrato che i diametri hanno in potenza lo stesso rapporto dei cerchi. (3) Il che Euclide pose come secondo nel dodicesimo libro degli Elementi, l'enunciato dicendo così «i cerchi sono tra loro [npòs aÀ.i\.~ÀOUS' ELCTLV] come i quadrati sui diametri» (4) come infatti i cerchi sono in relazione tra loro [npòs aÀÀ~ÀOUS' EXOU(JLV ], così anche i segmenti simili. (5)

Segmenti simili sono infatti quelli che sono la stessa parte di cerchio, ad esempio semicerchio a semicerchio e terza parte a terza parte. (6) Perciò i segmenti simili sono anche capaci di angoli uguali. (7) Gli dei semicerchi sono tutti retti, e quelli dei maggiori sono minori di tanto quanto [TOCTOUTlfl fotp] i segmenti sono maggiori di semicerchi, e quelli dei minori sono maggiori di tanto quanto i segmenti sono minori.

La prima osservazione riguarda il contrasto tra porre un risultato «come principio» (1) e dimostrarlo (2), speciahnente se contenuta in un testo di un allievo diretto di Aristotele come Eudemo. Ciò deporrebbe in favore della non autenticità di (2), ma occorre considerare la presenza in essa dell'espressione , ed il fatto che (3) è sicuramente una clausola esplicativa del tipo di quelle che Simplicio stesso aveva appena pro-

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messo di aggiungere ad affermazioni di Eudemo. Inoltre, nulla vieta di assumere come principio di un'indagine settoriale un risultato dimostrabile in contesto più ampio, e ciò è pienamente in linea con il dettato aristotelico. 153 (4) è riconoscibile come un'integrazione ulteriore di Simplicio per la presenza del1' espressione a lui peculiare della proporzionalità: si confronti con la formulazione euclidea della stessa proposizione in (3) .154 (6) coincide con una parte di Elementi III.def.11, e non ha ruolo apparente: 155 è sicuramente un'aggiunta di Simplicio, se non un'annotazione posteriore finita nel testo. (7) può ingenerare dei dubbi, sebbene tutti gli interpreti la ritengano non originale. In essa la (falsa) condizione di proporzionalità è espressa come nell'ultimissima affermazione del passo dei Meteorologica sulla forma dell' arcobaleno 156 e, nell'economia dell' estratto eudemiano, può essere funzionale ad anticipare uno dei risultati su cui più verrà posto l'accento. Che la proporziGnalità non sussista è a mio avviso indice più di provenienza eudemiana che simpliciana; quest'ultimo si sarebbe probabilmente limitato ad una citazione più o meno fedele degli Elementi. L'espressione non canonica della proporzionalità suggerisce poi che (7) sia originale, e ciò risulta confermato dall'uso di «angolo di un segmento» invece dell'euclideo «angolo in un segmento». 157 Il giudizio di autenticità è in questo caso principalmente una questione di sensibilità storiografica. Vari indizi suggerisconò che (5) faccia parte del testo di Eudemo. In primo luogo, essa è oziosa come esplicativa di (4) (si noti l'«infatti»), mentre da (2) e da (5), tramite eventualmente V.22, si ottiene immediatamente che i segmenti stanno tra loro come i quadrati sui diametri, da cui (1) segue per similitudine di triangoli. 158 Si noti poi l'impiego, non canonico in àmbito geometrico e probabilmente indice di un' approccio alla proporzionalità non ancora ben formato, delle . Anche l'esempio «numerico» che segue è in linea con quest'approccio, e può dar luogo alla successiva puntualizzazione in (6). Quest'ultima troverebbe malamente posto in una serie di clausole della stessa mano. Può stupire che la definizionedi segmenti simili sia così strutturata da sembrare solo funzionale alla dimostrazione di (1) e da comportare seri problemi di costruibilità. 159 La frase ha

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suscitato perplessità, ma queste sono fugate con la semplice osservazione, stranamente non presa in considerazione dai commentatori precedenti, che qui «cerchio» va inteso nel senso di «circonferenza « (l'identificazione del cerchio con la sua circonferenza è del tutto abituale ed è la norma negli Elementi, in barba ad I.def.15), leggendo cioè «Segmenti simili sono infatti quelli che sono la stessa parte di ». Occorre dunque pensare che la «parte» coperta dal segmento fosse denominata sulla base della corrispondente «parte» occupata dall'arco di circonferenza che lo determina univocamente, e che l'espressione nel testo sia semplicemente un po' sintetica, come è d'altronde nello stile di Eudemo. Si opererebbe quindi un'identificazione su base metonimica tra segmento (di cerchio) e segmento (di circonferenza), 160 allo stesso modo in cui si tende ad identificare cerchio e circonferenza. È inoltre probabile che alla base dell'asserzione in (7) si situi proprio un'identificazione del genere. Non c'è pertanto alcun motivo per supporre che Tµ~µaTa in (5) significhi «settori» e non «segmenti», 161 o che sia una correzione di Simplicio, ingannato da un salto argomentativo troppo repentino in un testo che aveva il primo terrnine. 162 Una lettura come quella proposta per (5) ha se non altro il merito di restituire un contenuto accettabile alla definizione di segmento di cerchio lì contenuta, e rende passabilmente immediata l'inferenza da (5) a (6). Che Ippocrate si fosse limitato a dimostrare (1) da (2) e da risultati elementari di similitudine è testimoniato dal riferimento «dimostratosi questo» (singolare!) con cui Eudemo inizia immediatamente dopo la dimostrazione del primo caso di lunula quadrabile, ed abbiamo visto come la deduzione sia immediata. 163 Può restare la curiosità di come fosse provata (2) - si noti che il riferimento di Eudemo sembra implicare che quest'ultimo risultato fosse stato dimostrato, ma che ciò fosse avvenuto altrove (forse ad opera dello stesso Ippocrate nei suoi Elementi?). Una dimostrazione per (2) può essere la seguente. Essa è modellata su quella di Antifonte, e prevede, dati due cerchi, l'inscrizione in essi di due poligoni regolari, diciamo due quadrati. Bisecando gli archi sottesi dai loro lati si ottengono due ottagoni regolari, e andando avanti con il procedimento

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risultano costruite due successioni di poligoni regolari inscritti. Non è difficile dimostrare che i poligoni aventi lo stesso numero di lati sono nel rapporto dei quadrati sui diametri dei cerchi rispettivi. 164 Dato che questo vale per coppie di poligoni con numero arbitrariamente elevato di lati, lo stesso deve valere anche per i cerchi. Non soddisfatto della parte infinitaria della dimostrazione, WR Knorr ne ha proposta una alternativa. 165 La procedura è la stessa, per successive bisezioni a partire da una coppia di poligoni dati, ma viene posto laccento sui triangoli che risultano costruiti sui lati dei poligoni a séguito di ogni bisezione. Ogni poligono con un numero fissato di lati è ottenuto dal precedente sommando a quest'ultimo tali triangoli, che non è difficile dimostrare essere anch'essi, così come i poligoni cui sono aggiunti, nel rapporto dei quadrati sui diametri. Potremmo dunque sostenere che ognuno dei due cerchi è in qualche modo ottenuto sommando ai quadrati originali tutti i triangoli così costruiti. Un'applicazione di Elementi V12 al caso di un numero indefinito di grandezze permette di concludere (2). 166 È impossibile valutare la minore o maggiore aderenza storica di queste congetture, che testimoniano più dell'abilità di coloro che le propongono che di effettive potenzialità delle tecniche dimostrative di un periodo storicamente ben determinato. Il problema della supposta fallacia di Ippocrate è estremamente complesso e probabilmente insolubile. Ad aggravare il quadro stanno i seguenti fatti: i) Come abbiamo visto, la connessione tra Ippocrate e la quadratura del cerchio per mezzo di lunule è molto ambiguamente espressa nei testi aristotelici, dove si menziona anche una «quadratura per mezzo dei segmenti». ii) Il testo sembra mostrare Simplicio e Alessandro incerti sia sull'attribuzione della fallacia, 167 sia sul dove situarla nelle dimostrazioni di Ippocrate, sia - addirittura - sull'effettivo sussistere della fallacia stessa. 168 Costoro non avevano quindi a disposizione fonti che permettessero di esprimere un giudizio più fondato del nostro. In particolare, l'estratto da Eudemo non fa menzione di tentatitivi di quadratura del cerchio, anche se Simplicio potrebbe benissimo aver omesso questa parte.

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iii) Dal resoconto di Simplicio non risulta per niente chiaro se Eudemo affermi che Ippocrate avesse utilizzato le lunule per quadrare il cerchio. Qui la testimonianza in positivo di Eutocia, che vedremo tra un attimo, è decisiva. Si osservi che la frase di Eudemo in cui questi afferma (p. 67.3-6) che Ippocrate quadrò ogni lunula è stata corretta dai commentatori proprio per renderla innocua in questo rispetto. iv) Sul giudizio storiografico hanno pesato non poco fattori esterni: l'abilità di Ippocrate come matematico, 169 l' attendibilità di Aristotele, specialmente la sua capacità di comprendere a fondo argomentazioni matematiche. 170 Quanto al primo aspetto, va tenuto presente che il giudizio è basato principalmente su questo stesso frammento, mentre per apprezzare il grado di conoscenza dello Stagirita basta leggere la testimonianza (4) .171 Ulteriori perplessità si generano con le prime due delle tre disgiunzioni interpretative che Simplicio espone sùbito dopo il frammento di Eudemo. Egli si chiede quale sia la quadratura per mezzo di segmenti cui Aristotele fa riferimento. Potrebbe essere in primo luogo quella per mezzo di lunule, come sostiene dubitosamente Alessandro. La frase «se è la stessa di quella per mezzo delle lunule» non è presente nel resoconto di Alessandro, ma non è implausibile che Simplicio non citi alla lettera, e che si riferisca semplicemente ali' osservazione alla fine di p. 55 (il che farebbe cadere i dubbi sull'attribuzione delle quadrature ad Ippocrate da parte di quest'ultimo - si noti anche la sfumatura dubitativa convogliata dall'ottativo a p. 55.26) Una seconda possibilità è che Arsitotele si riferisca a qualche dimostrazione anonima, «una delle quali ha esposto anche Alessandro». Ma è plausibile che la dimostrazione anonima esposta da quest'ultimo sia semplicemente quella di p. 58 sulla divisione del cerchio in lunule e una figura biconvessa. Che si tratti di una citazione di Alessandro è reso verosimile dall'ulteriore obiezione che Simplicio avanza contro la prima obiezione che troviamo nel testo. Ci troveremmo anche qui di fronte ad un episodio del sistematico deprezzamento simpliciano delle analisi di Alessandro. Alcuni luoghi del testo mi sembrano invece lasciar spazio a pochi dubbi. In primo luogo l'affermazione di Eudemo a p.

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67.3-6, che attribuisce senza sfumature ad Ippocrate la quadratura di ogni lunula. Passare da qui alla quadratura del cerchio non comporta nessun aggravamento nella fallacia. La chiosa immediatamente successiva di Simplicio (p. 67.7-10, sempre in polemica con Alessandro), ed in particolare l'uso della terza persona in «mise mano», mostrano che Ippocrate fosse il soggetto sottinteso anche nel resoconto di Alessandro, e che questo punto viene lasciato sottotraccia da Simplicio in quanto ovvio. A ulteriore riscontro si consideri l'osservazione di quest'ultimo sulla fallacia insita nelle due quadrature da lui riportate (p. 60.18-21). Anche qui il nome di Ippocrate connesso con una dimostrazione falsa non pare proprio introdotto per dare definitezza al discorso. Una testimonianza di Eutocia porta un contributo che è stato sistematicamente e strategicamente sottostimato dai commentatori moderni. Il passo e la sua interpretazione corrente sono i seguenti. P. Tannery suggerì che dopo il quarto secolo dell'era volgare nessuno avesse più a disposizione il testo della Storia della geometria di Eudemo, a fortiori neanche Simplicio. 172 Uno degli argomenti addotti riguarda proprio il frammento appena tradotto, e prende le mosse dalla seguente osservazione en passant di Eutocia - condiscepolo di Simplicio-, all'inizio del suo commento alla Dimensio circuii di Archimede: È infatti chiaro che questa qui sarebbe la ricerca la quale, ricercandola con impegno, sia Ippocrate di Chio che Antifonte hanno trovato per noi quei bei paralogismi, che ritengo conoscano con sufficiente precisione sia quelli che hanno dato un'occhiata alla Storia della geometria di Eudemo sia quelli che hanno avuto a che fare con le raccolte [Kl]p(a] aristoteliche. 173

Tannery afferma che il passo di Eudemo-Simplicio «lave complètement Hippocrate de l'accusation de paralogisme lancée contre lui d' après les textes d' Aristate», 174 sostenendo pertanto che il riferimento ad Eudemo sia fittizio, e che Eutocia (e quindi anche Simplicio) non avesse a disposizione l'opera. Lo

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studioso francese pone poi ali' attenzione un'affermazione successiva dello stesso Eutocio, cioè che Sporo, nei suoi KY!p(a, 175 avrebbe criticato Archimede per aver fornito una stima poco precisa del rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio. La conclusione è che le due antologie, 176 quella matematica e quella aristotelica, coincidono. L'argomento, accettato ed utilizzato più volte da WR Knorr e comunque interessante, 177 mi pare basato su di una coincidenza linguistica, visto che il termine KTlp(ov significa anche in generale «raccolta antologica», 178 e toglie completamente valore alla testimonianza di Eutocio, che invece va a mio avviso accettata in pieno come attendibile: non ci sono motivi per supporre che il termine designasse solo la raccolta matematica di Sparo, e quindi neanche per identificare quest'ultima con quella menzionata da Eutocia nel passo appena tradotto (perché mai costui oppure Sporo l'avrebbe denominata «aristotelica»?) .179 Di più, utilizzare l'argomento di Tannery per negare valore alla testimonianza di Eutocio contro Ippocrate inn.esca immediatamente un circolo vizioso logico, in quanto Tannery usa proprio l'inattaccabilità di Ippocrate per corroborare la propria tesi. Una testimonianaza ulteriore di Alessandro è stata completamente trascurata dagli interpreti. Menzionando Ippocrate per i suoi studi sulle comete, egli afferma in un inciso: E questo Ippocrate è uno e lo stesso dei matematici di cui la quadratura per mezzo delle lunule. l80

Dunque anche Alessandro, nonostante tutte le incertezze per determinare la sua posizione sulla base del resoconto di Simplicio, attribuisce ad Ippocrate una quadratura tramite lunule, e ne dobbiamo concludere che questa quadratura non possa essere che quella del cerchio. Il valore della testimonianza non può essere sminuito dall'apparente incongruenza dell'interpretazione di Alessandro del ragionamento di Ippocrate: è pur sempre Simplicio che la riporta, ed il suo intento polemico è del tutto evidente. Tra l'altro, il legame con la quadratura del cerchio è reso esplicito da una varia lectio di alcuni manoscritti, che riportano la seconda parte dell'inciso così: «di que-

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sto è detto essere .anche la quadratura del cerchio per mezzo delle lunule». 181 È vero, la maggiore precisione tecnica è forse compensata dall'attenuazione legata al À.ÉyETUL «è detto», ma francamente non vedo cos'altro avrebbe potuto scrivere Alessandro, che avrà ovviamente lavorato su fonti derivate. L'unica incertezza che mi resta su questa testimonianza è che l'inciso ha tutto l'aspetto di una chiosa marginale finita nel testo. Una domanda pone forse in giusta luce il contributo di Ippocrate: a che scopo mettersi a quadrare lunule se non in vista di farlo con il cerchio? e perché proprio una lunula per sorte?182 La struttura deduttiva dell'argomentazione è chiara e deliberata: far vedere preliminarmente che ogni tipo di lunula risulta quadrabile; applicare poi questo risultato alla quadratura del cerchio. Non sarebbe altrimenti facilmente spiegabile perché il testo di Eudemo insista con così tanti dettagli sulla determinazione dell'estensione (se maggiore, minore oppure uguale ad un semicerchio) dell'arco esterno delle lunule in esame. 183 Inoltre, se l'intento fosse stato soltanto quello di quadrare «ogni» lunula, perché introdurre la sufficientemente cervellotica quadratura finale di cerchio+lunula, passo la cui artificiosità stride in qualsiasi contesto argomentativo che non sia quello di voler quadrare il cerchio per sottrazione? 184 Potremmo pensare che la scelta di una lunula per sorte sia da ricondursi ad una forzatura di Eudemo in vista di dare peso alla fallacia, oppure ad una caratteristica tecnica non sormontabile, dato che non ci sono molte altre lunule quadrabili e costruibili con metodi elementari. 185 Potremmo inoltre supporre, come afferma Aristotele nella testimonianza (4), che Ippocrate si fosse limitato a operare una riduzione, 186 nello stile di quella da lui realizzata per la duplicazione del cubo, nella direzione della quadratura del cerchio. Ma questo ha senso solo se trascuriamo le prime dimostrazioni sia del resoconto di Alessandro che di quello di Eudemo-Simplicio: esse mettono in campo effettive quadrature di lunule, e stabiliscono un chiaro legame di strategia deduttiva con le ultime. Ed in effetti lo stesso Aristotele suggerisce fortemente un tale legame in (4), quando ipotizza la presenza di un unico termine intermedio tra cerchio e figura rettilinea, appunto «il risultare il cerchio con.lunule uguale ad

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una rettilinea». 187 D'altro canto, lo stesso passo mostra che Aristotele conosceva bene i dettagli dell'argomento della quadratura delle lunule, e questo fatto, unitamente alla sua asserzione che questa conducesse ad una fallace quadratura del cerchio, suggerisce che egli si riferisse, anche senza menzionarne esplicitamente l'autore, proprio a quella di Ippocrate. Un'occhiata alla presentazione di Alessandro, stranamente sottostimata dagli. interpreti, fornisce elementi ulteriori. Solo un tipo di lunula, con arco esterno uguale ad un semicerchio, viene quadrato, ma ciò trova immediata applicazione in quella del cerchio. (Semicerchio+tre lunule=trapezio, e le lunule sono appunto del tipo appena considerato quanto all'arco esterno. Si osservi che la lunula è identica a quella del primo caso nel resoconto di Eudemo, e risulta difficile attribuirle a fonti differenti.) Non è certo immediato, e probabilmente lo era ancor meno a metà del V secolo, apprezzare ovvero argomentare che l'arco interno della lunula della seconda dimostrazione non coincide con quello della prima. Alessandro deve aver avuto accesso a fonti indipendenti, che comunque facevano risalire l' argomentazìone ad Ippocrate, a meno di supporre che tutta una fabbrica di quadrature di cerchio tramìte lunule si fosse messa in moto dopo di lui. L'ipotesi più semplice è che Ippocrate avesse presentato più esempi di· quadratura di cerchio per mezzo di quadratura di lunule. 188 Quanto all'assenza di riferimenti espliciti ad Ippocrate in Alessandro (ma abbiamo visto che si può argomentare come questo non sia il caso), Simplicio può benissimo averli omessi in quanto ovvi ovverosia meglio rappresentati nel testo di Eudemo, e si noti in effetti che la citazione si limita allo stretto indispensabile matematicamente. Il tutto può essere messo in una prospettiva meno disonorevole per Ippocrate se consideriamo che non ci sono errori tecnici nella quadratura delle lunule, bensì nell'eventuale applicazione di quest'ultima a quella del cerchio. 189 Tutto ruota intorno alla pretesa di aver quadrato ogni tipo di lunula avendone quadrato solo un esemplare specifico per tipo. 190 Si tratta quindi un problema di generalità matematica. Ora, abbiamo visto sopra come Aristotele dedicasse ancora la propria attenzione proprio al problema della generalità di un enunciato e di una

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dimostrazione, ed è ben noto che il grado di generalità adeguato in teoria delle proporzioni fu raggiunto non prima di Eudosso. In àrnbito geometrico, le scelte degli Elementi sono quasi sempre congrue, anche se forse non per i canoni moderni, ma è opportuno notare già da ora che la struttura stessa della dimostrazione geometrica euclidea può essere interpretata come mirante a convogliare il più alto grado possibile di generalità. 191 A questo si aggiunga che si può mostrare come una piena comprensione dei modi di espressione della generalità matematica fosse andata persa già nella prima età imperiale,192 ed i contorcimenti interpretativi che troviamo nel resoconto di Simplicio mostrano in effetti come le idee dei commentatori in materia fossero confuse. Non è quindi sorprendente che ali' epoca di Ippocrate potessero sorgere dei problemi proprio in quest' àmbito, mentre certi altri aspetti tecnici erano già pienamente sotto controllo. Si aggiunga che già affermare di aver quadrato ogni lunula costituisce una fallacia argomentativa del tipo preso in esame da Aristotele, e la successiva applicazione alla quadratura del cerchio costiuisce solo un raffinamento nell'errore. In conclusione, la questione è forse disperata, ma occorre prendersi la responsabilità di proporre un proprio punto di vista. Le discussioni moderne, oltre a partire dal presupposto inamovibile della inattaccabilità tecnica di Ippocrate, concedono probabilmente troppo peso alle mezze ammissioni ed alle affermazioni contraddittorie dei commentatori (che evidentemente ne sapevano quanto noi o quasi) e considerano ben poco l'evidenza matematica interna, che suggerisce un'interpretazione a mio avviso univoca: 193 qualcuno impegnato prima di Aristotele nel dedurre erroneamente dalla quadratura delle lunule quella del cerchio. Tutto sommato propenderei per attri-buire la mossa allo stesso Ippocrate, la cui reputazione matematica - del resto largamente dipendente proprio da quanto sappiamo sulla quadratura delle lunule - non risulta oscurata se non in un aspetto sottile, quello della piena consapevolezza in fatto di generalità matematica, e che fu oggetto di dibattito, di evoluzione e di incomprensioni ancora molto a lungo. Quest'ipotesi mi sembra nettamente preferibile a quella di rite-

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nere Aristotele incapace di non travisare l'argomentazione di Ippocrate, tesi a mio avviso insostenibile sulla base dell' evidenza a nostra disposizione, oppure a quella che mette in scena uno sconosciuto terzo incomodo solo per accollargli la respon sabilità dell' errore. 194 Segue il testo di Eudemo senza le aggiunte di Simplicio. Anche le quadrature delle lunule, che sembrano essere tra le figure non banali a causa della loro affinità con il cerchio, furono dimostrate geometricamente da Ippocrate per primo e si ritenne che fossero state trattate in modo corretto; per questo motivo ce ne occuperemo e ne tratteremo a lungo. Si dette come principio e pose come prima tra le utili ad es·se [cioè le quadrature], che hanno lo stesso rapporto sia tra loro i segmenti simili di cerchi che le loro basi in potenza. Dimostrò questo come conseguenza dell; aver dimostrato che i diametri hanno in potenza lo stesso rapporto dei cerchi. Segmenti simili sono infatti quelli che sono la stessa parte di cerchio, ad esempio semicerchio a semicerchio e terza parte a terza parte. Gli dei semicerchi sono tutti retti, e quelli dei maggiori sono minori di tanto quanto i segmenti sono maggiori di semicerchi, e quelli dei minori sono maggiori di tanto quanto i segmenti sono minori. Dimostratosi questo, dimostrò geometricamente in primo luogo in che modo risultasse la quadratura della lunula che ha come arco esterno quello di un semicerchi6; trattò ciò ~ circoscrivendo un semicer· chio intorno ad un triangolo sia rettangolo che isoscele e intorno alla base un segmento di cerchio simile a quelli staccati dalle congiunte. Ed essendo il segmento intorno alla base uguale ad entrambi intorno alle altre, e sommata come comune la parte di triangolo sopra il segmento intorno alla base, la lunula sarà uguale al triangolo: dimostrata dunque la lunula uguale al triangolo risulterebbe quadrabile. Così dunque, supponendo come arco esterno della lunula quello di un semicerchio, quadrò agevolmente la lunula.

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Poi di séguito lo ipotizza maggiore di un semicerchio costruendo un trapezio che ha i tre lati uguali tra loro, e uno solo, il maggiore di quelli paralleli, è triplo in potenza di ciascuno di quelli, e sia circondando il trapezio con un cerchio che circoscrivendo al suo lato maggiore un segmento simile a quelli resecati dai tre uguali dal cerchio. E che da una parte il trapezio potrà essere circondato con un cerchio lo si dimostra secando a metà gli angoli del trapezio. Che d'altra parte il detto segmento è maggiore di un semicerchio, è chiaro una volta condotta una diagonale nel trapezio. Ciò dal fatto di essere di necessità quella sottesa da due lati in potenza maggiore che doppia del solo restante del trapezio, e dal fatto di potere quindi il maggiore dei lati del trapezio di necessità meno sia del diametro che di quello tra gli altri lati sotto cui il detto si tende con la diagonale. L'angolo che insiste sul lato maggiore del trapezio è quindi acuto. Il segmento in cui è risulta quindi maggiore di un semicerchio. Il che è l'arco esterno della lunula. Se invece fosse minore di un semicerchio, questo lo costruì tracciando prima una certa ben precisa . Sia un cerchio, diametro del quale su cui AB, suo centro su cui K; e quella su cui r L1 sechi sia .A a metà che ad retti quella su cui BK; e quella su cui E'.&,risulti posta tra questa e la circonferenza facendo A una neusis verso B che sia una volta e mezza in potenza dei raggi. E quella su cui EH sia stata condotta parallela a quella su cui AB. E da K siano state congiunte fino a E Z. Quella congiunta fino a Z prolungata incontri quella su cui EH secondo H e di nuovo da B siano state congiunte fino a Z H. È pertanto manifesto che quella su cui BH prolungata inciderà su E, e quella su cui BH sarà uguale a quella su cui EK. Stando così le cose, un cerchio circonderà il trapezio, su cui EKBH, e il trapezio circonderà un segmento di cerchio, il quale segmento comprenderà anche il triangolo su cui EZH.

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Stando così le cose, la lunula risultante sarà uguale alla rettilinea composta dai tre triangoli. I segmenti staccati dalla rettilinea all'interno della lunula dalle rette su cui EZ ZH sono infatti uguali ai segmenti staccati all'esterno della rettilinea. Uno e l'altro di quelli interni è infatti uguale a una volta e mezza di ciascuno di quelli interni. Se dunque la lunula è i tre segmenti e la della rettilinea oltre ai due segmenti, e la rettilinea contiene i due segmenti ed è esterna ai tre; e i due segmenti sono uguali ai tre, la lunula sarebbe uguale alla rettilinea. Che questa lunula abbia l'arco esterno minore di un semicerchio, lo dimostra per il fatto di essere ottuso l'angolo nel segmento all'esterno. E che l'angolo è ottuso, lo dimostra così: poiché quella su cui EZ è una volta e mezza in potenza del raggio, e quella su cui KB è maggiore di quella su cui BZ, in quanto anche langolo in Z è maggiore è manifesto che quella su cui KE sarà maggiore che doppia in potenza di quella su cui KZ. E quella su cui EZ è una volta e mezza in potenza di quella su cui EK: quella su cui EZ è quindi maggiore in potenza di quelle su cui EK KZ. L'angolo in K è quindi ottuso, il segmento in cui è risulta quindi minore di un semicerchio. Così dunque Ippocrate quadrò ogni lunula, poiché quella avente come arco esterno quello del semicerchio e quello maggiore di un semicerchio e quello minore. Ma quadrò così una lunula insieme con un cerchio: siano due cerchi intorno al centro su cui K, e il diametro di quello esterno sestuplo in potenza del di quello interno, ed inscritto un esagono, quello su cui ABI'L1EZ, nel cerchio interno e i raggi congiunti, su cui

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KA KB KI', siano stati prolungati fino alla circonferenza del cerchio esterno e siano state congiunte su cui H8 81 Hl. E intorno alla su cui Hl sia stato circoscritto un segmento simile a quello staccato dalla su cui H8. Poiché dunque quella su cui Hl è necessario che sia tripla in potenza del lato, su cui 8H, dell'esagono, e 8H è sestupla di quella su cui AB, è chiaro che il segmento circoscritto intorno alla su cui Hl risulta essere uguale sia a quelli staccati dal cerchio esterno dalle su cui H8 81 che a quelli dal cerchio interno da tutti quanti i lati dell'esagono, così che la lunula su cui H81 sarebbe minore del triangolo su cui sono le stesse lettere per i segmenti staccati dai lati dell'esagono dal cerchio interno. La lunula e i segmenti staccati dall'esagono sono quindi uguali al triangolo. E sommato l'esagono comune questo triangolo e l'esagono sono uguali sia alla dettalunula che al cerchio interno. Se dunque è possibile che le dette rettilinee siano quadrate, anche il cerchio con la lunula.

5 .2 La riduzione di Ippocrate del problema della duplicazione del cubo A Ippocrate è concord~mente attribuita la riduzione del problema della duplicazione del cubo a quello di trovare due medie propQfZionali tra segmenti dati. Il problema verrà poi sempre studiato in questa forma. Nel suo commento alla proposizione 1 del libro II del trattato archimedeo De sphaera et cylindro, Eutocia riporta vari metodi per trovare due segmenti medi proporzionali tra segmenti dati. 195 Dopo averne esposti alcuni, il commentatore riproduce una lunga lettera di Eratostene a Tolomeo III, in cui l'autore, oltre a spiegare il proprio metodo, si riferisce a tentativi che avevano avuto luogo nel passato: Ed i geometri si misero a ricercare in che modo poter duplicare il solido dato pur mantenendo la stessa figura, e chiamavano un tale problema duplicazione di un cubo: assumendo infatti un cubo cercavano di duplicarlo. Per molto tempo tutti i geometri non seppero che strada prendere, e per primo

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Ippocrate di Chio capì che qualora si fosse trovato il modo di prendere, di due linee rette la maggiore delle quàli fosse doppia della minore, due medi proporzionali in proporzione continua, sarebbe stato duplicato il cubo, così che la difficoltà si trasformò per lui in un'altra difficoltà non minore. 196 Testimonianza analoga troviamo in Proclo, che offre un resoconto a dire il vero poco connesso, giustapponendo riduzione del problema della· duplicazione, riduzioni non meglio identificate effettuate da Ippocrate e sua quadratura delle lunule, in un contesto che è inteso spiegare il significato matematico del termine «riduzione» (à:rrnywy~): La riduzione è il passare da un problema o teorema ad un altro, noto o prodotto il quale anche quello proposto risulterà completamente manifesto, ad esempio, ricercandosi la duplicazione del cubo, spostarono la ricerca su di un altro , da cui questo segue: il trovare le due medie, e per il resto del tempo ricercarono come si potessero trovare due medie proporzionali di due rette date. Dicono che Ippocrate di Chio effettuò per primo la riduzione di dimostrazioni geometriche difficili, ed egli quadrò anche la lunula e scoprì molte altre cose attinenti alla geometria, essendo predisposto quant' altri mai alle dimostrazioni geometriche. 197 Non è chiaro quali tecniche abbia utilizzato Ippocrate per operare la riduzione. In termini algebrici la questione è molto semplice. Se sono dati due segmenti A e B con B>A e due loro medi proporzionali r e il, tali cioè che AT::r:.Ll::Ll:B, è sufficiente comporre i tre rapporti per ottenere A:B::A3 :r3 . Se A:B è uguale al rapporto dei volumi di due cubi, nel caso della duplicazione A:B::l:2, e se poniamo, come possiamo sempre fare, A uguale allo spigolo del cubo da duplicare, è immediato che r sia uguale allo spigolo del cubo duplicato. Un poco più complesso è cercare di modellare un'argomentazione in termini plausibili per i tempi di Ippocrate. 198 La ricostruzione· tradizionale lo vede impegnato semplicemente ad estendere per analogia al caso geometrico tridimensionale due risultati:

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i) La quadratura di una figura rettilinea è in ultiPla istanza equivalente al reperimento di una media proporzionale tra due segmenti dati (Elementi II.14), ma il risultato era ben noto anche ad Aristotele, come è evidente da un passo del De anima (si noti la terminologia non canonica): Ad esempio, che cos'è la quadratura? Essere un rettangolo equilatero uguale ad un eteromece. E una tale definizione è l'enunciato della conclusione; chi invece dice che la quadratura è trovare una media dice la causa dell'oggetto.199

Le attribuzioni tradizionali ai pitagorici del teorema cosiddetto di Pitagora e della teoria dell'applicazione delle aree comportano che la scoperta sià da farsi risalire ad un periodo relativamente arcaico. ii) L'enunciato di Elementi VIII.12 recita: «Di due numeri cubi ci sono due numeri medi proporzionali, ed il cubo rispetto al cubo ha rapporto triplicato che il lato rispetto al lato». Il risultato era sicuramente noto già molto prima, e fa parte del bagaglio di conoscenze che vanno tradizionalmente sotto il nome di «aritmetica pitagorica»: Platone afferma infatti nel Timeo che Se dUtJ,.que il corpo del tutto dovesse risultare piano, senza avere alcuna profondità, una sola media [µEaOTTJS] sarebbe sufficiente a legare se stessa e ciò che sta con essa; ora, poiché conveniva invece che esso fosse in forma di solido, ed i solidi non li adatta mai una sola, bensì sempre due medie; [ ... ].2°0

Che il contesto sia aritmetico sembra confermato dall'uso del termine «media». Da qui, ammesso che i galloni di arcaicità di questi risultati siano meritati, si può al massimo trarre conclusioni sull' euristica di Ippocrate, ma dall'autore delle dimostrazioni di quadratura di lunule si pretenderebbe qualcosa di più, ad esempio una dimostrazione. 201 Su questa si possono fare solo congetture, ma una riduzione molto elementare ricalcata su quella di Archimede in De sphaera et cylindro II.1 potrebbe servire allo scopo.202

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6. Democrito Democrito non compare nell'elenco di Proclo. L'omissione potrebbe essere dovuta ali' origine academica delle fonti di quest'ultimo (Platone non nomina mai Democrito),203 ma anche semplicemente al fatto che l' Abderita non si occupò di geometria. Le testimonianze in questo senso sono in effetti poche e controverse, anche se tradizionalmente ampliate in un resoconto ricco ed estremamente lusinghiero per il filosofo. Prima che venisse declassata da Diels come non autentica, la seguente testimonianza «autografa» di Democrito forniva la base indubitabile per ritenere non secondario il suo impegno matematico: Io, tra gli uomini del mio tempo, ho viaggiato più a lungo per buona parte della terra, imparando. Vidi molti cieli e terre, ascoltai molti uomini istruiti e nessuno mi superò nel comporre scritti accompagnati da dimostrazioni, neanche, tra gli Egizi, quelli chiamati Arpedonapti; ed è con questi che sono vissuto in tutto*** anni come ospite. 204

Siamo di fronte ad un esempio paradigmatico del gusto tardo-ellenistico per l'apocrifo: il protosapiente che dichiara di aver viaggiato tra i barbari (tipicamente Egizi, Babilonesi, eventualmente Indiani) per raccogliere quei semi che, soltanto quando inseriti nell'humus greco - e qui è chiara la pretesa di superiorità culturale -, potranno produrre risultati eccellenti; resoconti analoghi, anche se non in prima persona, abbiamo visto per Talete ed Enopide, e lo stesso si sosteneva ad esempio di Pitagora, Eudosso, Platone.205 È molto probabile che ci sia qualcosa di vero in tali mitizzazioni,206 ma risulta impossibile districarlo dall'invenzione, e testimonianze del genere devono essere condannate in blocco. Il filologo alessandrino Trasillo ordinò le opere di Democrito in tredici tetralogie, tre delle quali contenenti opere matematiche: Quelle matematiche sono queste:

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Sulla differenza 207 o sul toccare cerchio e sfera Sulla geometria Geometrica208 Numeri I e II Sulle linee e solidi209 irrazionali210 Proiezioni211 Grande anno o Astronomia - Parapegma212 Combattimento della clessidra 213 Descrizione del Cielo Descrizione della Terra Descrizione del Polo Descrizione dei raggi visivi214 E tante sono quelle matematiche, 215

Anche se di contenuto parzialmente matematico - il contesto è quello delle proprietà degli elementi indotte dalla forma deì loro atomi -, è di scarso momento quest'occasionale e criptica menzione di Aristotele: [ ... ] per Democrito anche la sfera, in quanto è un certo angolo, seca per la sua mobilità.216

Sono due-le testimonianze che, lette in parallelo, hanno fatto di Democrito un sostenitore dell'atomismo matematico e addirittura un precursore consapevole dell'approccio per indivisibili alle quadrature. La tesi di fondo dei vari resoconti orientati in questo senso è la stessa, anche se il grado di consapevolezza attribuito a Democrito e la portata dei suoi risultati variano. Heath gli ascrive la concezione del cono - e di un solido in generale - come composto di infinite lamine infinitamente soitili.217 Più radicali, ma al tempo stesso più vicine ali' atomismo democriteo, le tesi in S.Y. Luria,218 per cui la concezione sarebbe quella di lamine subatomiche e matematicamente indivisibili, e J. Mau,219 per cui Democrito considererebbe un cono come composto di un numero finito di lamine di dimensioni atomiche. Tannery lo suppone continuista in geometria e ato-

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mista in campo fisico. 220 In ogni caso Democrito sarebbe un precursore dell'approccio archimedeo sviluppato in Methodus, più in generale dell'approccio per indivisibili, e in definitiva del calcolo integrale. Questa tesi appare fondata su di una lettura robustamente fantasiosa e in certi punti scorretta del passo plutarcheo che leggeremo ora.221 Il contesto è quello di un' affermazione di Crisippo riguardante l' «eccedersi» delle facce di una piramide nell'intorno di un vertice su cui vengono a contatto;222 lo stesso Crisippo si confrontò con un'aporia di Democrito attinente al soggetto: Guarda dunque in che modo si oppose a Democrito, che solleva, da fisico e con successo, una difficoltà: Se un cono è secato con un piano parallelo alla base, cosa occorre pensare delle le superfici dei segmenti, che risultino uguali o disuguali? Essendo disuguali renderanno il cono irregolare, assumendo questo molte indentature a scalino ed irregolarità. Essendo invece uguali saranno uguali i segmenti ed il cono apparirà avere le caratteristiche del cilindro, essendo composto di cerchi uguali e non disuguali, il che è quanto di più assurdo. 223

L'aporia originale è stata qui sicuramente rielaborata: il linguaggio matematico del frammento è troppo canonico per poter risalire a Democrito, 224 le cui irritualità lessicali in àmbito filosofico sono cospicue e ben note. 225 La formulazione è inoltre un po' debole dal punto di vista logico, specialmente se osserviamo che molto probabilmente si tratta di una citazione da Crisippo. In effetti non è chiaro dove stia il problema; solo la seconda alternativa è condannata esplicitamente come «quanto di più assurdo»; non si capisce quindi se la soluzione corretta sia semplicemente la prima alternativa, oppure qualcosa d'altro. La soluzione di Crisippo, che segue immediatamente il passo appena riportato, rende manifesto che il contesto dell'aporia fosse materiale (Plutarco afferma che Democrito risponde «da fisico»), 226 non matematico,227 e la portata metodologica, non tecnica - ma appare confutare solo il secondo corno del dilemma, e non chiarisce se ci fosse una soluzione Democritea:

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E qui [Crisippo], dichiarando Democrito ignorante, afferma che che le superfici non sono né uguali né disuguali, mentre sono disuguali i corpi per il fatto di essere le superfici né uguali né disuguali. [ ... ] infatti, le indentature del cono cui guarda con sospetto le produce la disuguaglianza dei corpi, non quella delle superfici.228

È essenziale osservare che, nel testo di Plutarco, il piano secante viene semplicemente supposto essere parallelo alla base (rrapà T~v ~6.ow), e non anche arbitrariamente vicino ad essa. Di più: il piano preso in esame è uno solo, e si può offrire un'interpretazione dell'aporia e del suo contesto che la fa funzionare anche in quest'ipotesi minimale. Un piano sechi infatti un cono in un tronco di cono ed in un cono più piccolo; ne risultano due cerchi, posti in atto dalla divisione e non più, come invece erano prima di essa, potenziali e quindi non sussistenti.229 Si pone il problema se i due cerchi siano disuguali oppure uguali; nel primo caso risulterebbe uno scalino (per niente infinitesimo) ali' atto del sovrapporli di nuovo, nel secondo caso sarebbero uguali due cerchi che sono i meno inadatti ad essere ritenuti contigui. Se due cerchi contigui arbitrari sono uguali la figura è un cilindro. È poi lecito distinguere tra più sezioni possibili e ripetute, tali quindi da produrre indentature (plurale, come nel testo di Plutarco), ma questo non implica supporre il cono decomposto nei suoi «costituenti» con questa procedura.230 Il problema centrale, che viene còlto bene dalla risposta di Crisippo, risiede nell'in1possibilità di effettuare dei tagli senza con questo distruggere la struttura del continuo. Una volta operato il taglio e separati i due segmenti (le due sezioni?) risultanti si introduce non solo una componente materiale, ma si concepiscono due superfici separate ed attuali dove il continuo ne richiede un'unica (potenziale). 231 Le differenze sono dei corpi e non delle superfici poiché queste ultime, in quanto estremi (nÉpaTa), non hanno dignità di esistenza separata (non sono infatti parti dei corpi). 232 Per questo Crisippo afferma che ad esse, e qui sta la sua soluzione, non possano essere applicati i predicati «uguale» o «disuguale». La risposta di Crisippo, che individua il problema già nell'effettuazione di un singolo taglio,

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sembra dunque corroborare la presente interpretazione: non c'è bisogno di mettere in gioco sezioni infinitamente sottili o

simili. L'interpretazione > è inutile in virtù della frase che la precede e disturba quindi la coerenza logica dell'enunciato. Osserviamo anche che l'espressione canonica «il che è assurdo» segue di norma immediatamente l'affermazione di cui segnala la contraddittorietà; la presenza della clausola esplicativa interposta è quindi ancora più sospetta, e sensata l'ipotesi che sia un'aggiunta posteriore. 235 Quest'interpretazione è resa plausibile dalla domanda iniziale: «cosa occorre pensare che siano le superfici dei segmenti?»: si presume quindi che saranno sempre e solo in questione quei due cerchi che risultano come superfici di sezione dal taglio. Se supponiamo che la seconda occorrenza di «segmenti>> (Tµ~µaTa) si riferisca impropriamente ai due tagli (cioè alle «sezioni>> - Toµa() il testo mantiene una non disprezzabile coerenza.236 Né è tautologico affermare «Essendo invece uguali [i cerchi] saranno uguali i segmenti [cioè, nella nostra lettura, le sezioni]», in quanto il passaggio dalla prima alla seconda affermazione specifica un fatto essenziale, cioè che i cerchi vanno considerati in un certo rispetto e funzionalmente al contesto, cioè come sezioni del cono. Ma introduciamo la seconda testimonianza; si tratta della prefazione archimedea a Methodus: Perciò, anche di questi teoremi sul cono e la piramide, dei quali Eudosso scoprì per primo la dimostrazione, che il cono è la terza parte del cilindro, la piramide del prisma, che hanno base la stessa ed altezza uguale, si deve attribuire una parte non piccola a Democrito, che per primo enunciò, senza dimostrazione, l'enunciato riguardante la detta figura. 237

Coniugando questa con la testimonianza di Plutarco, è stata proposta un'ottimistica ricostruzione, che segue fedelmente la

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strada percorsa nel libro XII degli Elementi, di come Democrito avrebbe calcolato volume di piramide e cono tramite indivisibili.238 Primo, egli avrebbe dimostrato che piramidi aventi la stessa altezza sono nel rapporto delle basi (XII.5-6). Secondo, che ogni prisma a base triangolare può essere diviso in tre piramidi uguali (XII.7), e quindi che ogni piramide è un terzo del prisma avente stessa base e stessa altezza. La tecnica cosiddetta di esaustione è confinata al primo passo, ed è qui che viene sostituita da una dimostrazione tramite indivisibili, così congegnata. Due piramidi (supposte triangolari per semplicità) aventi la stessa altezza sono secate con due piani alla stessa distanza dalle basi. Tramite considerazioni di similitudine di triangoli, e siccome figure rettilinee sono nello stesso rapporto dei lati omologhi, i rapporti tra le sezioni e le rispettive basi sono uguali. Alternando si ottiene dunque che le due sezioni hanno lo stesso rapporto delle rispettive basi. Dato che una piramide è composta dalla totalità delle sezioni così ottenute, ed estendendo la validità di Elementi V 12 al caso di somme con un numero indefinito di termini, 239 le piramidi sono quindi nel rapporto delle basi. Il passaggio dalla piramide al cono (XII.10) si effettuerebbe inscrivendo poligoni nel cerchio di base e procedendo poi ad un'esaustione effettiva, con l'aumentare indefinito del numero dei loro lati (costruzione che rinforzerebbe l'ipotesi di uno specifico interesse democriteo per gli infinitesimi), oppure ripetendo la costruzione appena esposta.240 Non è però difficile proporre una serie di strade alternative, che mostrano quanto sia evanescente la cogenza di questa ricostruzione, interamente congetturale.241 Oltre a ciò, gli storici passano sopra laffermazione, pur fatta da Archimede nello stesso passo, che Democrito si fosse limitato ad enunciare le proprietà in questione, interpretando il non controverso «senza dimostrazione» come «senza una dimostrazione accettabile per i canoni di rigore dei tempi di Archimede» - pretesa sorprendente in un' opera in cui il Siracusano descrive un metodo che lui stesso definisce non rigoroso. WR. Knorr ha poi osservato che il passo del Methodus contraddice quanto Archimede stesso afferma nella prefazione a De sphaera et cylindro, cioè che

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queste proprietà [di cono e piramide], pur pre-esistendo infatti per la natura di queste figure, e pur essendo venuti prima di Eudosso molti geometri degni di menzione, è accaduto che venissero ignorate da tutti e che non fossero state riconosciute da parte di nessuno. 242

Per uscire dall'impasse Knorr ipotizza che l'informazione sul contributo Democriteo fosse giunta ad Archimede, come reazione all'imprecisa affermazione sul contributo dei predecessori di Eudosso, dagli ambienti alessandrini cui aveva spedito De sphaera et cylindro. Archimede avrebbe rettificato in Methodus, ma pur sempre sulla base di fonti di seconda mano. Appare strano in effetti che, se davvero Democrito aveva preceduto Archimede in àmbito dimostrativo e non solo nell' enunciare le proprietà e se davvero Archimede aveva a disposizione un resoconto dettagliato delle sue argomentazioni, il Siracusano si limiti, in un'opera che sviluppa argomentazioni affini e di cui rivendica Porginalità,243 ad un accenno così vago. (Ma anche attribuire il semplice enunciato a Democrito fa dubitare dell'affidabilità delle sue fonti. Gli Egizi conoscevano la procedura per determinare il volume del tronco di piramide,244 e molti esempi dello stesso calcolo, sia esatti che approssimati, sono tramessi nella tradizione metrica che trova espressione tarda nel corpus eroniano. 245) In sintesi, nessuno dei due testi analizzati corrobora la tesi di Democrito impegnato in ricerche matematiche tramite indivisibili: quello di Plutarco può essere interpretato senza bisogno di operare più di un taglio con un piano, e si colloca in un contesto metodologico se non fisico, mentre quello di Archimede è verosimilmente una citazione basata su fonti di seconda mano. Se aderiamo ad un'interpretazione minimale di queste testimonianze, risulta difficile concludere con sicurezza che Democrito si sia impegnato in ricerche matematiche di un qualche spessore tecnico.

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7. La duplicazione del cubo di Archita Nella lettera di Eratostene a Tolomeo III di cui abbiamo letto l'inizio occupandoci di Ippocrate di Chio troviamo la prima delle nostre testimonianze su Archita: Dopo del tempo, si dice che certi Delii, spinti da un responso a duplicare uno degli altari, si siano imbattuti nel problema, e, mandati messaggeri dai geometri raccolti intorno a Platone nell' Academia, chiesero loro di trovare a quanto ricercato. Messisi al lavoro con zelo e cercando di trovare due medie proporzionali di due date, si dice che Archita di Taranto avesse trovate per mezzo di semicilindri, Eudosso per mezzo delle cosiddette linee curve; e a tutti loro avvenne di scriverne in maniera dimostrativa formale, ma di non essere in grado di dame realizzazione manuale o di metterla in pratica, eccetto in piccola parte per Menecmo, e questo con difficoltà. 246

La lettera di Eratostene si chiude con la trascrizione del-

1' epigramma che si trovava sulla stele votiva che lo stesso Eratostene dice di aver fatto erigere in onore della scoperta del proprio metodo per trovare le due medie proporzionali. 247 Archita è menzionato anche qui: Né..i.Jaboriosi congegni dei cilindri di Archita né il sezionar coni le triadi di Menecmo non ricercare, né del divino Eudosso di tracciare la forma curvilinea.2 48

Come vedremo tra un attimo, la costruzione di Archita ci è stata trasmessa da Eutocia nel lungo elenco cui abbiamo fatto cenno nella sezione 5 .2. La costruzione ha delle peculiarità che s~brano corroborare il ruolo di Archita come primo investigatore della meccanica da un punto di vista teorico. Partiamo dal testo di Diogene Laerzio (si noti anche qui l'accento sul pri-

mus repertor): Costui per primo affrontò sistematicamente la meccanica servendosi di principi geometrici e per primo introdusse movi-

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mento meccanico in una costruzione geometrica, cercando, per la duplicazione del cubo, di trovare due medie proporzionali tramite la sezione del semicilindro. E in geometria scoprì per primo il cubo, come dice Platone nella Repubblica.249

Il resoconto di Eratostene contenuto nella prima testimonianza letta sembra contraddire in pieno ciò che leggeremo ora in Plutarco; in gioco è la valutazione platonica negativa dell'uso di procedure cinematiche e di modelli meccanici in geometria: Eudosso ed Archita, che abbellirono la geometria con l'eleganza, dettero inizio a questa prediletta e ben nota meccanica, dando fondamento a problemi non facilmente risolubili tramite dimostrazione argomentativa e costruzioni per mezzo di modelli sensibili e meccanici, come quando entrambi ridussero il problema riguardante le due medie proporzionali, elemento necessario di molte tra le dimostrazioni, a costruzioni meccaniche, adattando certi congegni tracciatori di medie proporzionali [µrnoypci> [rrpoµtjKTJJ.267 SOCRATE: Benissimo. E dopo di ciò? TEETETO: Quelle linee che quadrano un numero equilatero piano le definimmo >, ma lo attribuisce genericamente ad astronomi posteriori. 51 Eliano, Varia Historia X.7. Si veda anche Aezio, ll.32.2 ( = Doxographi Graeci, p. 363 Diels). 52 Censorino, De Die Natali, 19.2. 53 P. Tannery, La grande année d'Aristarque de Samos, Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux 3e série, t. IV (1888), pp. 79-96, ristampato in Id., Mémoires Scienti/iques, tome Il (1912), n. 46, pp. · 345-366, in pàrticolare p. 359. 54 Per ulteriori dettagli si vedano le informazioni contenute in G. Schiaparelli, Sui parapegmata o calendari astro-meteorelogici degli antichi, Annuario meteorologico italiano VII, Torino, Loescher 1892, ristampato in Id., Scritti sulla storia della astronomia antica, 3 voli. Bologna, Zanichelli 1926, vol. II, pp. 237-285 (ristampa: Milano, Mimesis 1998), e in T.L. Heath, Aristarchus of Samos, The Ancient Copernicus, Oxford, Clarendon Press 1913 (ristampa: New York, Dover 1981). 55 Si veda anche la discussione svolta, più oltre, nella presentazione degli Pseudaria euclidei. 56 Il lettore faccia astrazione dalle oscurità dovute a certi tecnicismi aristotelici e alla necessità di proporre estratti ragionevolmente brevi. Le parole riportate in greco torneranno utili nella sezione dedicata agli Pseudaria euclidei. 57 La chiosa è espunta da Diels, e non è improbabile che sia un commento a margine finito nel testo. Si veda la discussione più oltre.

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58 Sophistici elenchi 11, 17lb12-18. Un commento adeguato dal punto cli vista filosofico cli questo e del prossimo passaggio è fornito in Aristotele, Le confutazioni sofistiche_ Introduzione, traduzione e commento cli p_ Fait. Roma-Bari, Laterza 2007. 59 Sophistici elenchi 11, 171b34-172a7. Per l'ultima clausola si veda più oltre_ 60 Analytica posteriora A 9, 75b37-76a3_ 61 Analytica priora B 25; 69a29-34- Si noti il plurale > simpliciano, è correttamente ritenuta eudemiana da Heiberg, sulla base della presenza coordinata delle due particelle µÉv ... 8É, la prima qui e la seconda poco sotto, in una clausola sicuramente eudemiana (il costrutto, comunissimo nel greco scritto e di

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norma non tradotto, è qui reso con «da una parte ... d'altra parte»). Occorrerà comunque cambiare tempo e persona del verbo. 91 La dimostrazione viene lasciata per esercizio, e non è il caso di disattendere alla tradizione. Da qui in poi si trovano gli argomenti geometrici che impiegano designazioni tramite lettere; i manoscritti riportano per queste ultime una pletora di varianti, confermando le difficoltà dei copisti con il testo, che troveremo corrotto in alcuni punti. 92 Usener segnala qui giustamente una lacuna (I.32 è il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo). Un'integrazione possibile e minimale potrebbe essere «per il fatto di essere r AZ un triangolo isoscele: così che uno e l'altro degli angoli uguali è acuto». 93 L'affermazione è falsa, e nei manoscritti i due angoli sono addirittura scambiati. La correzione è dovuta a Bretschneider, che propone giustamente di espungere la clausola. Se fosse 2rAZ=BAr, sarebbe anche 2. per il verbo associato. La scelta di limitarsi a traslitterare intende sottolineare il carattere (per noi) esoterico di questa tecnica dimostrativa. 123 è un termine tecnico geometrico per Aristotele: si veda Analytica posteriora A 10, 76a9, tradotto nella sezione 11.l più oltre. 124 L' assèrtza è ovviamente dovuta al dato strutturale caratterizzante i due trattati in questione, cioè che le tecniche dimostrative utilizzate siano limitate ad una certa classe di costruzioni particolarmente elementari. 125 Per Archimede si vedano le neuseis utilizzate in De lineis spiralibus, 59. Molte soluzioni al problema della duplicazione del cubo fanno uso di particolari neuseis, e la concoide di Nicomede può essere vista come una linea che permetta di effettuarne una certa classe. 126 La neusis con semicerchio e retta generalizza quella di Ippocrate di Chio. 127 A questo si riferisce Pappo quando afferma che «alcune erano piane, alcune solide, alcune lineari>>. Piane significa «riconducibili a costruzioni con riga e compasso»; solide significa «riconducibili a costruzioni classificabili come solide», cioè all'uso di sezioni coniche. Lineari sono tutte le altre, supposte in ogni caso riducibili ad una qualche costruzione, eventualmente meccanica. 128 Al primo è attribuita da Pappo (Collectio VIl.128-129) la risoluzione di un problema di neusis che è un caso particolare (la figura è un quadrato) della neusis del rombo ridotta da Apollonio nel suo trattato.

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129 Il riconoscimento del carattere più elementare di alcune neuseis deve essere avvenuto molto presto, ma l'intento strategico di effettuare un sistematico tentativo di riduzione non è documentabile neppure per Apollonio. Si veda più oltre, nella sezione dedicata ai Luoghi su superficie euclidei. 13 Come vedremo tra un attimo, nel caso della neusis di Ippocrate il segmento da inserire non può essere maggiore di tre quarti del diametro del semicerchio. Il problema di neusis ha quindi un massimo. 131 Tardo-antico è l'uso di inserire riferimenti esplicativi, come vedremo nella sezione dedicata alla trasmissione degli Elementi. 132 Come sarà facile verificare negli Elementi, lo stile matematico greco tende a fare economia nel numero di lettere impiegate. Può quindi capitare, come in questo caso con il punto E, che venga introdotto, per designare completamente una retta, un punto che nel séguito risulterà chiaro essere determinato da condizioni ben precise ed indipendenti dal contesto in cui era avvenuta la prima menzione. 133 Si osservi che solo a questo punto divengono chiari i limiti di possibilità. 134 Un'analisi dettagliata della questione, che amplia il punto di vista qui esposto, si trova in A.D. Steele, Uber die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie, und Physik B3 (1936), pp. 287-369, in particolare pp. 319-322. 135 La formulazione delle menzioni di Brisone in Aristotele rende chiaro che si trattava di quadrature non viziate da errori, anche se comunque non accettabili. 136 Si confrontino rispettivamente Analytica posteriora A 7 e A 5, il primo tradotto nella sezione 11.1 più oltre, il secondo nella sezione 4.6 dell'introduzione agli Elementi. 137 Pseudo-Alessandro, In Sophisticos elenchos, p. 90.10-21 Wallies, e Anonimo, In Sophisticos elenchos, p. 60.8-17 Hayduck. 138 Il lungo estratto di Filopono che vedremo tra breve rende chiaro che ci fosse una fonte comune: tutti adducono lo stesso esempio numerico per falsificare il principio (1). 139 Temistio, In Analytica posteriora p. 19.7-17 Wallies. 14 Filopono, In Analytica posteriora 111.6-114.17 Wallies. 141 Filopono, In Analytica posteriora 111.20-31 Wallies. 142 Il punto è sostenuto con forza da O. Becker (Eudoxos-Studien IL Warum haben die Griechen die Existenz der vierten Proportionale angenommen?, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik B2.3 (1933) pp. 369-387, in particolare pp. 370-375) secondo il quale l'argomento originale di Alessandro, sia nella versione di Filopono che in quella di Temistio - a questo punto equivalenti-, costituirebbe la ricostru2ione ~orretta. Sempre nell'ipotesi di singolare collettivo, i princìpi (1) e (2) sono equivalenti, il primo essendo soltanto affetto da una formulazione infelice. Brisone avrebbe in realtà mirato a provare l'unicità dell'area rettilinea che

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realizza la quadratura. Si vedano le critiche in Mueller, Aristotle and the Quadrature of the Circle, pp. 161-163 e note. 143 Filopono, In Analytica posteriora 111.31-112.24 Wallies. Non si vede quindi perché Aristotele avrebbe dovuto distinguere tra le due. Ma si osservi che Aristotele non cita mai Antifonte e Brisone contemporaneamente. 144 Filopono, In Analytica posteriora 112.25-34 Wallies. 145 La ricostruzione di Proclo è quella ritenuta corretta da I. Mueller (Aristotle and the Quadrature of the Circle, pp. 152-153 e 160-164). 146 Si osservi che l'argomento di Brisone ha un grado di sofisticazione geometrica maggiore rispetto ad una dimostrazione banale come quella proposta dallo pseudo-Alessandro, il punto essenziale essendo l'introduzione di una sequenza di poligoni circoscritti. Che esistesse una qualche figura rettilinea uguale ad un cerchio dato dev'essere stato un fatto assunto come ovvio, altrimenti nessuno si sarebbe dato la pena di tentare la quadratura. Il punto della critica di Aristotele non può quindi essere stato la non costruttività. 147 Le migliori discussioni si trovano in Tannery, Le fragment d'Eudème sur la quadrature des lunules, Rudio, Der Bericht des Simplicius, Heath, A History of Greek Mathematics, vol I, pp. 183-200, WR Knorr, Infinity and Continuity: The Interaction of Mathematics and Philosophy in Antiquity, in N. Kret=ann (curatore), Infinity and Continuity in Ancient and Medieval Thought. Ithaca and London, Comell Cniversity Press 1982, pp. 112-145, in particolare pp. 123-135, e Id., The Ancient Tradition, pp. 26-39, G.E.R Lloyd, The Alleged Fallacy of Hippocrates of Chios, Apeiron 20 (1987), pp. 103-127. 148 Ed infatti abbiamo visto che Prodo assegna l'invenzione del metodo ad un'età posteriore, mentre Filodemo la lega senza esitazione alle ricerche condotte nell'Academia (anche se queste attribuzioni possono ben essersi radicate più in una base propagandistica che docurnentabilmente storica). I tentativi di riduzione di Ippocrate (quadratura del cerchio e duplicazione del cubo) possono dunque essere visti come forme embrionali di analisi, ed in effetti Procl6'attribuisce ad Ippocrate, sulla base delle solite fonti non precisate, l'invenzione del metodo di riduzione per affrontare problemi difficili (In primum Euclidis, p. 213.7-11 Friedlein, tradotto più oltre nella sezione 5.2). Il formato solamente sintetico potrebbe essere dovuto ad una rielaborazione eudemiana mirante ad economizzare in spazio, ma leventualità mi pare molto improbabile. D'altronde, le uniche analisi sufficientemente antiche attestate lo sono di problemi, mentre le quadrature di lunule di Ippocrate sono tutte teoremi. 149 Avendo il teorema dell'ipotenusa (Elementi I.47) e II.12 e 13 è immediato dedurne che valgono anche le inverse. Negli Elementi si preferisce dimostrare geometricamente l'inverso di I.47 (in I.48), mentre le altre due inverse non sono neanche enunciate. 150 Immediatamente deducibile da Elementi III.33, come afferma anche Simplicio. 151 La storiografia non considera l'ipotesi che i principi di Ippocrate siano soltanto un'inferenza di Eudemo, eventualità a dire il vero discretamente implausibile.

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152 La discussione in Knorr, lnfinity and Continuity, pp. 127-134 Wallies, peraltro interessante, è viziata dall'aver assunto .in blocco il passo seguente come eudemiano. 153 Si veda ad esempio Analytica posteriora A 9, tradotto nella sezione 11.1 più oltre. · 15 4 Si vedano le analoghe formulazioni in 56.12-13 (il testo è di Alessandro ma si tratta chiaramente di un'integrazione di Simplicio), 62.4-5 e 66.26. 155 Si noti che i segmenti che determinano l'arco interno sono costruiti direttamente come simili a quelli sull'arco esterno. 156 Si confronti con l'enunciato di Elementi III.31, che ovviamente non fa cenno alla proporzionalità. 157 Elementi III.def.8. Il criterio che sta dietro queste osservazioni è che espressioni non canoniche non siano da attendersi da Simplicio quando questi possa citare da opere matematiche a lui note; Il caso della proporzionalità in (3) e (4) è paradigmatico, Stante il fatto che quella in (4) può essere mostrata formulazione a lui peculiare. 158 Che i triangoli formati da due coppie di raggi e dalle basi dei segmenti siano simili segue esattamente dalla definizione di segmenti simili data in (5), se seguiamo la lettura che propongo sùbito sotto. 159 Il problema di determinare un settore circolare che sia una parte data del cerchio non è risolubile in generale con strumenti elementari. 160 Si ricordi che la terminologia matematica antica non ha due vocaboli distinti per «arco» e per «circonferenza>>, entrambi essendo designati con

TTE pL>. 199 De Anima Il.2, 413a17-20. Si veda ancheMetaphysica B 2, 996b18-21. 200 Platone, Timaeus 32A-B.

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ACERBI - INTRODUZIONE

201 La stessa coerenza sarebbe gradita in quegli interpreti moderni che si appellano al rigore di Ippocrate per considerare assurdo attribuirgli la fallacia della quadratura del cerchio, mentre si accontentano dell'analogia o di resoconti algebrici per la duplicazione del cubo. 202 Il lettore la trova in K. Saito, Doubling the Cube: A New Interpretation of Its Significance for Early Greek Geometry, Historia Mathematica 22 (1995), pp. 119-137. 203 Già le fonti antiche elaborano su questo dato di fatto: secondo Diogene Laerzio, Platone voleva raccogliere e bruciare tutti i libri di Democrito (Vitae philosophorum IX.40). Ma è più verosimile l'inverso: il presunto ostracismo intellettuale da parte di Platone ha l'aria di una giustificazione a posteriori cieli' assenza di citazioni nel corpus platonico. 204 Clemente Alessandrino, Stromates I.15.69, vol. II, p. 43 Stahlin, (= fr. 68 B 299 Diels-Kranz). La testimonianza è riportata da altri autori, sia anteriori che posteriori, che parlano specificamente di viaggi in Egitto e presso i Caldei: Diodoro Siculo (Bibliotheca historica I.96.2 e I.98.3, nella lista dei Greci che si sono istruiti in Egitto), Eusebio di Cesarea (Praeparatio evangelica X.4.23), Sozomenos (Historia ecclesiastica Il.24.4), Diogene Laerzio (Vitae philosophorum IX.34-35), che cita come fonti Demetrio, nell'opera Omonimi, e Antistene, nell'opera Successioni. Lo stesso Diogene, sulla base delle testimonianze di Trasillo e di autorità coeve (Glaucone e l'allievo di Democrito Apollodoro di Cizico), parla (IX.38) anche di sicura formazione pitagorica. Evidentemente l'accumulo di testimonianze aveva superato la massa critica, così da materializzarne una, di pugno dello stesso Democrito, che desse autorevolezza a tutte le altre. La lacuna sul numero di anni è giustificata dal presentare il testo l'inverosimile cifra di 80 (il cui numerale è la lettera greca II). La correzione, proposta da Diels sulla base di Diodoro, è 5 (lettera grecar, facilmente confondibile con II). 205 Si veda la discussìone in Vitrac, L'interprétation mathématique du dilemme du eone, pp. 111-114. Questo lavoro costituisce, più in generale, la migliore discussione del contributo matematico di Democrito. 206 Tra le opere di Democrito, Diogene Laerzio elenca anche resoconti di viaggi, «presi dalle note» (Vitae phzlosophorum IX.40). Ma il fatto che tali opere non fossero comprese nell'ordinamento di Trasillo (si veda sùbito sotto) le rende sospette. Inoltre, una parte degli aneddoti narrati dallo stesso Diogene a proposito cieli'Abderita è legata alle sue ricorrenti crisi finanziarie, dovute alle spese sostenute per i viaggi (Vitae philosophorum IX.39-40). 207 Il testo porta yvwµT]s, corretto da Heath in ywv(T]s (Heath, A History of Greek Mathematics, vol I, pp. 178-179). Ma anche la lezione vulgata, pur comportando come traduzione l'insipido «Sulla diHerenza d'opinione>>, potrebbe convogliare comunque un significato geometrico, suggerendo una confutazione della dottrina protagorea - filosofo attaccato da Democrito (Sesto Empirico, Adversus mathematicos Vll.389 e Plutarco, Adversus Colotem 4, 1109A) - del contatto pluripunto tra cerchio e retta (Tannery, La géométrie grecque, p. 123). Alternativamente, il titolo potrebbe fare riferimento, sempre nello stesso contesto particolare, alla dottrina democritea delle due forme di

I. CENNI ALLA MATEMATICA PRE-EUCLIDEA. NOTE 201-221

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conoscenza, quella sensibile e quella intellettuale (esposta in Sesto Empirico, Adversus mathematicos VII.138). 208 Il titolo della prima di queste opere suggerisce un'impostazione metodologico-fondativa, il secondo un trattato più tecnico. 209 Con significato geometrico viene di solito qui interpretato il termine vaaTwv, aggettivo sostantivato dal significato più ampio di «compatto». 2 10 P. Tannery (La géométrie grecque, p. 123) fa notare che l'ordinamento delle ultima quattro opere coincide con quello degli analoghi argomenti negli Elementi. 211 EKIIETALMA(TA) è il termine tecnico utilizzato da Tolomeo (nel titolo di Geographia VII.7) per indicare la proiezione della sfera armillare contenente la terra su di un piano. B. Vitrac (L'interprétation mathématique du dilemme du céìne, p. 109 nota 63) propone una corruzione da EIIIZ:HMAZ:IAI, termine che designa, nella letteratura calendariale, determinazioni astronomiche e pronostici metereologici legati a posizioni stellari (di solito le levate). Si veda ad esempio Gemino, Isagoge XVII. 212 Democrito è menzionato undici volte nel parapegma con cui termina l'Isagoge di Gemino (p. 98 e segg. Aujac), ventisei volte nelle Phaseis di Tolomeo. 213 Integrazione di Diels sulla base di Ars Eudoxi 14.13, p. 21 Blass. 214 Forse un trattato di prospettiva. Si confronti con Vitruvio, De Architectura, VII.pref.11: >, iii) due accenni nella Vita Pitagorica di Giamblito - da cui dipende Proclo (si veda E. Sachs, Die funf platonischen Korper. Zur Geschichte der Mathematik und der Elementenlehre Platons und der Pythagoreer. Berlin, Weidmann 1917 (ristampa: New York, Arno Press 1976), pp. 23-41) - all'interno dell'episodio della morte di Ippaso, defunto tragicamente «per aver rivelato e dimostrato per primo la sfera dei dodici pentagoni (!)» (18 4a Diels-Kranz = Giamblico, De vita pythagorica 88 = Giamblico, De communi mathematica scientia 25, p. 77.18-24 Festa) o, in una variante, per «aver rivelato la costruzione dell'icosagono (!),cioè il dodecaedro, una delle cinque cosiddette figure solide» (18 4b Diels-Kranz = Giamblico, De vita pythagorica 247). Che questi resoconti siano, al pari di molti altri, solo tentativi di accreditare a posteriorile dottrine pitagoriche attribuendo loro la scoperta di tutto il sapere cosmologico-matematico accumulatosi fino ad Aristotele è ormai un dato acquisito. Si vedano ad esempio Burkert, Lare and Science, cap. I, e D.J. O'Meara, Pythagoras Revived. Mathematics and Philosophy in Late Antiquity. Oxford, Clarendon Press 1989. 279 Per qualche considerazione addizionale sul ruolo di Teeteto nell'invenzione dei poliedri regolari si veda la notizia sul libro XIII contenuta nell'introduzione agli Elementi. Un passaggio del Teeteto di Platone (204A7205A10) suggerisce che vada attribuita a Teeteto anche l'invenzione della nozione di numero perfetto; si veda F. Acerbi, A Reference to Perfect Numbers in Plato's Theaetetus, Archive Jor History of Exact Sciences 59 (2005), pp. 319348. 280 Platone, Respublica 527 Al-B8. 281 Platone, Meno 86E4-87B2. 282 I lessici segnalano questa come unica occorrenza del verbo in tale accezione. Lo stesso vale per il sostantivo EvTacns-. 283 Echi della vecchia terminologia si rintracciano ancora nella breve descrizione di Proclo (In primum Euclidis, pp. 419.15-420.21 Friedlein). Per dettagli sulla teoria dell'applicazione delle aree si veda l'introduzione al libro VI degli Elementi. Qui basta ricordare che Proclo, sulla base di Eudemo, afferma che la teoria è una scoperta della >. 346 De Anima II.2, 413a13-20. Si veda ancheMetaphysica B 2, 996bl8-21. 347 Per una proposta si veda Euclid, The Thirteen Books o/ the Elements. Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath. 3 voli. Cambridge, Cambridge University Press 1908 (ristampa New York, Dover 1956), vol. 1, pp. 191-192. 348. Oppure «effettuare diniostrazioni riguardanti le parallele». Sull'ambiguità di questo verbo abbiamo discusso nell'introduzione. 34 9 Analytica priora B 16, 64b28-65a9. 350 Si veda il lavoro citato nella prossima nota, ed anche H. Freudenthal, Nichteuklidische Geometrie ini Altertum?, Archive /or History of Exact Sciences 43 (1991), pp. 189-197. I commenti di Filopono non offrono in generale un quadro rassicurante sulle capacità matematiche del loro autore. 351 I. Toth, Das Parallelenproblem ini Corpus Aristotelicum, Archive /or History o/ Exact Sciences 3 (1967), pp. 249-422. 352 Anaf"ytica priora B 17, 66al 1-15. 353 La proposta, comunque congetturale, è ad esempio in Heath, Mathematics in Aristotle, p. 29. 354 De Ccelo I.12, 281b2-7. 355 Physica B 9, 200al5-19. 356 Una dimostrazione sulla falsariga delle indicazioni aristoteliche è trasmessa da tutti i codici degli Elementi (la cosiddetta X.117 vulgo), ma è chiaramente un'aggiunta posteriore. 357 Analytica priora A 23, 41a21-32. Per una discussione ulteriore si veda la sezione 4.8 dell'introduzione agli Elementi. 358 Analytica priora A 44, 50a29-38. 359 Ulteriori menzioni si trovano ad esempio in Analytica posteriora A 33, 89a29-30, Topica A 15, 106a38, e e 13, 163all-13, Physica ~ 12, 221b24-25, De Generatione animalium II.6, 742b27, Metaphysica I 1, 1053al7, Ethica nicomachea r 5, 1112a21-23. Il penultimo passaggio accenna al fatto che occorre misurare lato e diagonale con due misure differenti. 360 Metaphysica ~ 12, 1019b21-27_ L'integrazione è diJaeger. 340 341

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ACERBI - INTRODUZIONE

Metaphysica A 2, 983al5. Basta osservare che una tassellazione richiede che un vertice sia comune ad almeno tre poligoni: questo permette di escludere tutti i poligoni regolari con angoli maggiori di un terzo di giro, cioè con numero di lati maggiore di 6. Il pentagono è poi facile da eliminare (che un suo angolo sia J!YO era infatti>> a qui è espunto da Tannery.

Il.

COLLOCAZIONE CRONOLOGICA DI EUCLIDE

Sulla collocazione cronologica di Euclide possediamo dati scarsi e in linea generale poco affidabili; sulla sua vita non ci è fornita nessuna informazione. 1 Presento qui di séguito un elenco di fatti e testimonianze antichi che possono aiutarci a fissare meglio il quadro. Riporto anche delle testimonianze che, per quanto pertinenti solo indirettamente alla questione della datazione di Euclide, permettono di farsi una prima idea della posterità di alcune opere euclidee nell'antichità greca ellenistica ed imperiale. Quest'ultimo aspetto, ed in particolare l'immediatezza o meno della «risposta» alla diffusione (di parti) del corpus, è in fondo più rilevante della determinazione esatta della data del suo autore. Le testimonianze sono disposte in ordine approssimativamente cronologico. 1. Aristotele (384-322 a.C.) riporta alcuni teoremi che si trovano anche negli Elementi, ad esempio I.5, I.32 e III.31. Le dimostrazioni che Aristotrele propone, quando presenti, sono differenti: a volte, ma non sempre, più rozze, a volte semplicemente troppo'sintetiche. Alcune delle nozioni comuni poste da Aristotele alla base di ogni scienza figurano all'inizio del I libro degli Elementi. La definizione di linea in Elementi I.def.2 era ben nota ad Aristotele, che la discute in prospettiva antiplatonica in Topica Z 6, 143bll-32.

2. Nei Fenomeni euclidei si fa uso di risultati che sono molto

prossimi a certi teoremi dimostrati in De Sphaera mota di Autolico di Pitane. La collocazione cronologica esatta di Autolico, che si può dimostrare approssimativamente contemporaneo di Euclide sulla base di testimonianze indipendenti, è però fondata su argomenti altrettanto fragili di quella di Euclide, e la dipendenza di entrambi da una fonte comune sembra l'ipotesi più probabile.

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ACERBI - INTRODUZIONE

3. Archimede (287-212 a.C.) cita gli Elementi in De sphaera et cylindro I.2: Si ponga BI' uguale a Li per la seconda del primo dei di Euclide [8Là TÒ WTOÙ a' TGìv EÙKÀEL8ou]2 [. .. ]

La citazione è però chiaramente un'interpolazione. La proposizione menzionata è banale; con questo criterio, Archimede avrebbe dovuto infarcire le sue dimostrazioni di citazioni. Inoltre, il riferimento è scorretto: la proposizione cui fare appello avrebbe dovuto essere la terza del primo libro. In De sphaera et cylindro I.6, dopo aver menzionato un risultato che corrisponde approssimativamente ad un passaggio di Elementi XII.2, Archimede afferma che «ciò è infatti stato trasmesso nel trattato elementare [oTOLXELW quale rapporto abbiano tra loro, ritennero che Apollonio questo non lo avesse redatto in modo corretto, e essi stessi, una volta emendatolo, ne trattarono per iscritto, come mi fu dato di sentire da padre. Ed io mi imbattei [TTEpLÉTTrnov] in séguito in un altro libro pubblicato da Apollonia e che conteneva una certa dimostrazione riguardante il soggetto, e mi sentii molto attratto a studiare il problema.7°

Questo quadro non è contraddetto dal fatto che Eutocio avesse dovuto collazionare più edizioni delle Coniche, fatto che sembrerebbe comportare una diffusione piuttosto capillare. 71 Basta ranunentare che Eutocia operò sette secoli dopo Apollonia, che quell'opera di Apollonia era un riferimento fondamentale e che le procedure di edizione dei trattati matematici antichi ammettevano come norma interventi sul testo; La traduzione araba cui dobbiamo la trasmissione dell' opera di Diode, contemporaneo di Apollonia, non ha preservato il nome del destinatario, ma l'autore si rivolge ad una seconda persona per spiegare le proprie motivazioni, e ci offre uno spaccato deli1attività di ricerca a lui precedente del tutto in linea con quanto abbiamo trovato nella prefazione di Apollonio al suo quarto libro: Pythion di Taso il geometra scrisse una lettera a Conone in cui gli chiede come trovare una superficie riflettente tale che, posta di fronte al sole, il raggio da essa riflesso incontri la circonferenza di un cerchio. E quando l'astronomo Ippodamo72 venne in Arcadia e ci fu presentato, ci chiese come trovare la superficie di una superficie riflettente tale che, posta di fronte al sole, i raggi da essa riflessi si incontrino in un punto e quindi brucino.73

Il caso di Archimede ci offre un esempio di come si formi il mito della formazione scientifica ad Alessandria.7 4 Di positivo

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ACERBI - INTRODUZIONE

sappiamo che egli aveva tra i suoi corrispondenti (coloro cioè cui ha inviato sue opere) alcuni scienziati alessandrini: Eratostene,75 Conone,76 Dositeo. 77 Inoltre, siamo informati da Diodoro Siculo dell'uso delle cosiddette coclee, che furono inventate da Archimede, quando capitò in Egitto».78 Ora, Eratostene era nato in Cirenaica, si era formato ad Atene ed arrivò ad Alessandria non prima del 246 a.C. 79 Archimede non poteva averlo quindi incontrato negli anni della sua presunta formazione Alessandrina, ma si indirizzava a lui come figura di elevato profilo istituzionale e scientifico. Conone (più anziano di Archimede, della cui morte quest'ultimo si duole nella prefazione a Quadratura Parabolae) effettuò osservazioni astronomiche in Sicilia, 80 e il padre di Archimede era un astronomo; 81 occasioni di contatto tra i due possono quindi ben esserci state al di fuori del contesto alessandrino. Dositeo non ebbe altro ruolo se non sostituire Conone come destinatario, ed è molto probabile che Archimede non l'abbia mai conosciuto di persona. Che Archimede abbia «studiato» ad Alessandria è quindi pura congettura, e gli elementi a nostra disposizione rendono anzi probabile il contrario. Mettendo insieme molte congetture di questo genere non è difficile figurarsi un'intensa attività educativa di alto livello che ebbe il primo impulso con Euclide e che si svolgeva in stretta connessione con il Museo. (È interessante mettere a confronto il silenzio delle fonti riguardo alla collocazione istituzionale dei matematici ellenistici con l'insistenza compatta delle stesse fonti sul fatto che i matematici dei tempi di Platone conducessero le loro ricerche in comune sotto l'egida dell' Academia, anche se il valore di quest'osservazione è diminuito dalla matrice quasi invariabilmente neoplatonica delle testimonianze posteriori.) Le lettere di accompagnamento alle opere di Archimede rivelano che egli inviava elenchi di problemi aperti e congetture, e in séguito eventualmente le loro dimostrazioni. Alcune delle congetture rivelatesi poi false, egli si curava di mostrare perché, ma non pare che qualcuno dei suoi corrispondenti si fosse impegnato a risolvere i problemi proposti. 82 Proprio come farà più tardi Apollonio, le opere erano inviate a singoli matematici - 83 Conone e, alla sua morte, Dosìteo, Eratostene o scritte per il tiranno Gelone, e tale «edizione» aveva luogo in

Il. COLLOCAZIONE CRONOLOGICA DI EUCLIDE

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copia unica, come conferma l'affidamento ad ·Eraclida delle dimostrazioni da consegnare a Dositeo ed attualmente facenti parte di De sphaera et cylindro. 84 Non possediamo alcuna opera inviata a Conone, e non è improbabile che a lui fosse indirizzata soltanto la missiva (forse con intento di sfida?) contenente una lunga serie di problemi aperti menzionata nella prefazione a De lineis spiralibus, 85 cui fece séguito solo a distanza di anni l'invio a Dositeo delle opere contenenti le soluzioni. 86 È chiaro che Conone era stimato da Archimede in quanto geometra, non perché facesse parte di una qualche istituzione (anche se in effetti ne faceva parte); lo stesso accade con Dositeo, ma con qualche tentennamento: Archimede, come prima Apollonia con Eudemo ed Attalo, sembra in leggero affanno a causa del cambiamento di destinatario; le grandi lodi del defunto si accompagnano a espressioni di certezza (o di speranza?) sulle doti matematiche del subentrante, in ogni caso ritenute di livello inferiore a quelle del defunto Conone. 87 Le opere di Euclide non sono precedute da prefazioni. Ne concludiamo che egli, ammesso che abbia avuto legami duraturi con un'istituzione e non un rapporto personale con il suo presunto protettore Lagide, abbia costituito un'eccezione notevole allo status sociale medio del matematico ellenistico. Le testimonianze che abbiamo appena discusso sostanziano la sintesi di G.J. Toomer: «the whole of the introduction [del trattato di Dioc!è] confirms the impression we derive from other contemporary sources, that mathematics during the Hellenistic period was pursued, not in schools established in «cultura! centers», but by individuals all over the Greek world, who were in lively communication with each other both by correspondence and in their travels». 88 Un interessante argomento di R Netz può essere usato per corroborare il quadro appena delineato. 89 Non sono noti più di 150 nomi di matematici che abbiano scritto in greco antico (diciamo dal 500 a.C. al 500 d.C.). Considerazioni statistiche, basate sul fatto che certi nomi sono menzionati da più fonti, conducono ad una stima complessiva, e per largo eccesso, di non più di 1000 matematici per lo stesso periodo. Il dato è corroborato dallo scarso numero di occorrenze di lemmi relativi

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ACERBI - INTRODUZIONE

alle discipline matematiche nel corpus antico di testi, iscrizioni, papiri non matematici che è disponibile su supporto elettronico. Il numero di matematrici per generazione è così basso, anche supponendo una distribuzione non uniforme che privilegi i periodi di maggiore sviluppo, da risultare difficilmente compatibile con l'esistenza di istituzioni educative stabili fin dall'inizio del periodo ellenistico. In sintesi, gli elementi che abbiamo discusso non possono certo servire a negare con sicurezza i legami tradizionalmente ammessi tra Euclide ed ambienti di ricerca ad Alessandria come il Museo. È però opportuno essere ben consapevoli del fatto che si tratta in larghissima parte di una ricostruzione congetturale basata su una lettura modernizzante del contesto antico e dell'evidenza pervenutaci. In ogni caso, appare del tutto infondata la credenza che esistesse una attività di insegnamento istituzionalizzata di alto livello. 3. La dipendenza di Apollonia da Euclide. È questo un esempio paradigmatico di rapporto di filiazione intellettuale stretta: ciò che potremmo chiamare «appartenere ad una stessa scuola». Rileggiamo la testimonianza 5 tradotta sopra: Il terzo contiene molti e stupefacenti teoremi, la maggior parte ed i più belli dei quali sono nuovi, utili sia per le sintesi dei luoghi solidi che per le limitazioni di possibilità, elaborati i quali realizzammo che del luogo a tre e quattro linee non era stata fornita la sintesi da Euclide, se non di una sua parte in cui si era imbattuto, ed anche di questa non felicemente; non era infatti possibile completarne la sintesi senza i teoremi da noi scoperti.

Come abbiamo visto, cinque secoli dopo Pappo corre in difesa di Euclide: [Apollonio] fu in grado di aggiungere la parte mancante del luogo [s'intende quello a tre e quattro linee] in quanto aveva già ben presenti alla mente gli scritti di Euclide sul luogo, ed aveva studiato per lungo tempo ad Alessandria con coloro che avevano imparato da Euclide [ ... ]

Il. COLLOCAZIONE CRONOLOGICA DI EUCLIDE

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Sebbene quanto dice Pappo sia chiaramente funzionale alla sua tesi che Apollonio non sarebbe potuto arrivare ai suoi vertici senza issarsi sulle spalle di Euclide, le due testimonianze mettono in rilievo una relazione di continuità tra questi ultimi: il primo dichiara di aver portato a compimento un programma di ricerca cui il secondo si era accostato in modo forse non pienamente consapevole e comunque parziale. Altri dati, che vedremo nella sezione 3.1 dell'introduzione agli Elementi, confermano come si trattasse una scelta strategica da parte di Apollonio. Egli si pone quindi in maniera esplicita come interprete ottimale dell'approccio sistematico euclideo. Resta da vedere se questo implichi un rapporto di dipendenza dottrinale diretta, quale allievo di allievi, come affermato da Pappo. Ciò è possibile, ma certamente non necessario: a Pappo può semplicemente esser risultato naturale inferire un rapporto di discepolato più o meno istituzionalizzato. Recentemente A. Jones ha messo decisamente in dubbio l'attendibilità della testimonianza di Pappo in questo senso, 90 sostenendo che si tratti di un'elaborazione basata sul fraintendimento di quanto Apollonio afferma nell'introduzione al I libro delle Coniche, cioè che quest'ultimo si fosse dedicato al loro studio sistematico su richiesta del geometra Neucrate, nel periodo che egli, venuto ad Alessandria, passò [ÈoxoÀa(E] presso cli noi [. .. ]91

....

Si osservi che nell'affermazione di Pappo sopra citata compare lo stesso verbo qui trascritto anche in greco: egli, insegnante in un contesto simile alle nostre istituzioni scolastiche, ne avrebbe frainteso il significato come «andare a scuola», lettura che, come abbiamo visto, appare piuttosto problematico ritenere valida per il primo periodo ellenistico ma che era solo naturale per un autore tardo-antico. Aggiungendo a questo l'ammissione di Apollonia di essersi trovato ad Alessandria in quel periodo, Pappo sarebbe stato indotto a ritenere naturale che egli si fosse formato scientificamente nello stesso luogo. L'argomento di J ones non è però convincente, e al massimo può essere utilizzato per escludere che Pappo avesse accesso a fonti dirette sulla vita del geometra di Perge. Resta il fatto che

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ACERBI - INTRODUZIONE

la sua opera testimonia di una fedeltà a caratteri tecnicamente molto caratterizzanti dell'impostazione euclidea, fedeltà che può essere ragionevolmente ricondotta ad una filiazione intellettuale stretta, seppur eventualmente mediata. La datazione esatta di Apollonia non è sicura, anche se gli elementi a disposizione concorrono a dare credito ad Eutocia che, 92 sull'autorità di un certo Eraclio autore di una Vita di Archimede, 93 colloca la sua nascita nel periodo di regno di Tolomeo III (246-221 a.C.). Se davvero Apollonia fosse stato allievo di allievi di Euclide, dovremmo decisamente spostare in avanti la collocazione di quest'ultimo. 4. La dipendenza di Archimede da Euclide. I rapporti tra Euclide ed Archimede sono meno vistosi ma non inesistenti. Quest'ultimo non nomina mai Euclide nelle sue prefazioni, e, come abbiamo visto, i due riferimenti espliciti presenti nelle parti tecniche delle sue opere sono quasi sicuramente interpolazioni. Le opere geometriche di Archimede sviluppano fino ad un grado di sofisticazione eccezionale la geometria di misura, risultati preliminari per la quale sono esposti in una porzione molto ristretta degli Elementi (in sostanza il libro XII), e lo studio di curve speciali, non discusse nell'opera euclidea. Contrariamente a quella di Apollonia, che pure aveva affrontato tematiche molto avanzate, l'opera di Archimede non è strutturata con taglio sistematico: 1) In ognuno dei trattati geometrici maggiori sono risolti problemi specifici, ed il legame che viene instaurato tra di essi è tipicamente fornito dal fatto di riferirsi alla stessa figura o alla stessa classe (estremamente ristretta) di figure. 94 I due trattati di geometria applicata pervenutici offrono un quadro solo in apparenza più variegato. Entrambi iniziano con considerazioni e proposizioni molto elementari,95 ma finiscono per risolvere problemi estremamente complessi (le proposizioni finali di De corporibus /lu#antibus sono dei veri tour de Jorce tecnici), il cui comune denominatore è sempre un'investigazione di proprietà della parabola. Neanche Methodus, apparentemente concepito con intenti più ampi, è privo di tale marcata caratteristica di settorialità. Ovviamente, l' asistematicità è largamente indotta

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dalle problematiche affrontate, in quanto gli strumenti tecnici a disposizione in geometria di misura rendevano necessario affrontare i problemi singolarmente. 96 È però vero che la scelta delle tematiche è effettuata da Archimede in piena consapevolezza,97 e si riallaccia alla visione dell'impresa geometrica come finalizzata alla risoluzione di problemi che costituisce la base ideologica fondamentale della matematica greca antica. 98 2) Le singole opere sono precedute da postulati e definizioni ad hoc, 99 in certi casi del tipo che Aristotele avrebbe rubricato come appartenenti a scienze subordinate. Allo stesso tempo, però, il trattamento riservato ai risultati presupposti e/o utilizzati è estremamente disuguale: 100 alcuni, molto semplici, sono richiamati esplicitamente in quanto appartenenti al corredo dei prerequisiti, 101 altri sono ridimostrati, 102 altri solo utilizzati, 103 mentre risultati complessi vengono sottintesi. 3) Dalla forma verbale dei rimandi autentici a risultati precedenti, quasi tutti della forma «risulta nelle esposizioni elementari di ... », 104 traspare una specie di voluto distacco dalle esposizioni canoniche dei risultati stessi. La presenza di questi rimandi è però irrituale nella pratica matematica antica, in cui i risultati utilizzati vengono assunti senza ulteriori commenti (al massimo una ripetizione non istanziata dell'enunciato). Tale variabilità stilistica dà l'impressione di un autore che si muove al margine della corrente di ricerca principale, soggetto solo in misura limitata al suo influsso di omogenizzazione e canonizzazione stilistica, ma al tempo stesso disposto a stabilire conness1om con essa. Questi dati già rendono Archimede ìnterprete di un filone di ricerca sostanzialmente indipendente da quello euclideo. Ulteriori elementi provengono dalle ricerche di W.R. Knorr sull'ordinamento cronologico delle opere del Siracusano. 105 Il punto centrale dell'argomento è il seguente: due tecniche matematiche basilari, la teoria delle proporzioni e il principio di bisezione, 106 sono utilizzate in alcuni trattati archimedei in modo da far escludere che egli avesse avuto contatto con la loro formulazione in Euclide. In effetti, la definizione euclidea di proporzionalità tra grandezze (Def. 5 del V libro) è applicata da Archimede solo nella proposizione 1 di De lineis spiralibus,

198

ACERBI - INTRODUZIONE

mentre proposizioni come le 6-7 del De planorum aequilibriis ricorrono, in casi trattabili in modo analogo, a tecniche dimostrative alternative e probabilmente precedenti alla sistemazione euclidea. 107 Per quanto riguarda il principio di bisezione, passo cruciale nella dimostrazione della convergenza della procedura di approssimazione nel metodo cosiddetto di esaustione, un lemma da cui esso è facilmente deducibile viene esplicitamente assunto come postulato all'inizio di De lineis spiralibus, De sphaera et cylindro e Quadratura Parabolae, mentre l'analogo euclideo del lemma è posto come quarta definizione all'inizio del V libro degli Elementi. Sulla base di questa definizione il principio di bisezione è dimostrato in un corollario alla prima proposizione del X libro. Archimede, nella prefazione a Quadratura Parabolae, si riferisce invece al suo lemma come ad un postulato simile a quello utilizzato da geometri precedenti per dimostrare proposizioni attualmente contenute in Elementi XII, che non è inverosimile supporre vicine alla formulazione eudossiana originale. In queste proposizioni appare il principio di bisezione, non il lemma da cui è deducibile né il suo analogo euclideo. Archimede non conosceva dunque la dimostrazione euclidea del principio, e si ricollegava direttamente alle elaborazioni eudossiane: il suo lemma si porrebbe come un tentativo, indipendente e parallelo a quello di Euclide con V.def.4 e X.l, di fondare il principio di bisezione. Inoltre, egli enuncia le applicazioni del principio in una varietà di formulazioni che fanno escludere che conoscesse quella della dimostrazione in Elementi X. l, il modello linguistico essendo piuttosto quello di certe dimostrazioni del libro XII. 108 Archimede si sarebbe quindi formato su testi preeuclidei, probabilmente sotto la guida di suo padre, l'astronomo Fidia, e il contatto con gli Elementi si sarebbe verificato solo tardivamente, lasciando piccole tracce in trattati della maturità. Questo implicherebbe un contatto avvenuto non prima del 250 a.C. circa, cinquant'anni dopo la fioritura di Euclide tradizionalmente fissata. Due fattori limitano non poco la portata di queste osservazioni. Il primo riguarda le incertezze sulla mutua collocazione cronologica delle opere archimedee, ed è appunto sulla base della presenza o meno di echi «euclidei» che Knorr aveva pro-

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posta la periodizzazione che abbiamo preso come riferimento. C'è quindi il rischio di produrre un'argomentazione circolare. Il secondo fattore limitante è l'estrema variabilità della velocità di diffusione delle opere matematiche nel periodo ellenistico. Se le opere di Euclide furono scritte nel quadro delle attività istituzionali del Museo è molto probabile che il numero di copie in circolazione del trattato fosse sufficientemente elevato da permettere una diffusione relativamente rapida, 109 - ma il problema sta nella nostra assoluta incapacità a quantificare la velocità di diffusione, sia in generale sia in casi particolari. Pur con queste limitazioni, è chiaro che solo aspetti marginali dell'elaborazione archimedea risultano influenzati dalla sistemazione euclidea. Nonostante la marginalità geografica e di ricerca del Siracusano, ciò depone a sfavore di una datazione troppo precoce per Euclide. 5. Criteri interni al!' opera euclidea. Le opere di Euclide sono molto disuguali, sia dal punto di vista stilistico che da quello del rigore matematico. Quest'ultimo è carente nelle opere di matematica applicata (ammesso che siano veramente euclidee), ed il dato è irriducibile a corruzioni testuali, Sia i Fenomeni che la Sectio canonis, ed in misura minore l'Ottica, tendono inoltre a mantenere una certa commistione tra piano fenomenico e analisi geometrica, aspetti che troviamo ben separati in trattati più tardi còìne De magnitudinibus et distantiis solis et lunae di Aristarco di Samo. 110 Le stesse opere presentano inoltre caratteristiche stilistiche che le differenziano nettamente dagli Elementi e dai Data, la cui monoliticità lessicale e stilistica è un dato impressionante e senza altri confronti nell'antichità se non forse le Coniche di Apollonia. Certo, vedremo che l'origine di questo tratto saliente è in certa misura da indicarsi nei molteplici rimaneggiamenti che i due trattati fondamentali hanno subìto, nel corso del processo di riedizione, nella tarda antichità, ma è difficile supporre che esso non fosse ben presente negli originali. Potremmo dunque quasi azzardarci a sostenere di trovarsi di fronte a un Euclide bifronte, che mutava di registro stilistico una volta uscito dall'àmbito strettamente geometrico. L'ipotesi è ovviamente fantasiosa, ma riflette un dato di fatto di

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non immediata né univoca spiegazione. Disparità tra opere differenti del corpus non costituiscono però indicatori cronologici particolarmente significativi, date le loro differenti radici e storie testuali, a meno che non sia percepibile una sorta di evoluzione, il che non è il caso. 6. Conclusioni. Gli elementi a disposizione sono dunque molto scarsi anche se fortunatamente non contraddittori; la questione cronologica è pertanto largamente dipendente dal grado di attendibilità che ci sentiamo di attribuire a certe fonti. In particolare, il legame con il primo dei Tolomei è affermato solo da Frodo, 111 in un passaggio poco sicuro dal punto di vista testuale, sulla base di un aneddoto e di riferimenti in Archimede sulla cui autenticità o pertinenza pesano forti dubbi. Se abbandoniamo questo punto di riferimento, le ragioni sommariamente esposte mi sembrano suggerire che uno slittamento in avanti di qualche decennio, rispetto al 300 a.C. tradizionalmente fissato, della fioritura di Euclide risolva più problemi di quanti ne ponga, né risulta confutato dalla datazione dell' ostrakon, in quanto non abbiamo chiaro quale fossa la relazione di dipendenza tra questo e gli Elementi, né quale potesse essere la loro velocità di diffusione. Euclide ne risulterebbe approssimativamente contemporaneo di Archimede. La testimonianza di Pappo su Apollonio allievo di allievi di Euclide sarebbe dunque da intendersi in senso letterale, e dovremmo supporre che Pappo ricorse a fonti per noi inaccessibili. Quanto alla collocazione spaziale di Euclide ad Alessandria, questa può essere tenuta per ferma giusto per dare definitezza al discorso. Ritengo però quantomeno questionabile continuare a sostenere la sua affiliazione al Museo, e decisamente senza fondamento affermare che fosse coinvolto in attività di insegnamento istituzionalizzate; altrettanto azzardato è affermare che gli Elementi fossero stati originariamente concepiti come un manuale. Questo nonostante il fatto che, paradossalmente, cercare di mantenere il legame tra Euclide e le istituzioni alessandrine finisca per avvalorare la tesi che il baricentro della sua vita vada spostato decisamente in avanti, almeno nel pieno del regno di Tolomeo IL

NOTE AL CAP.

II

1 L'ipotesi che Euclide sia un nome collettivo per una équipe di autoricompilatori può essere ritenuta plausibile solo da chi, avvezzo a fenomeni come quello di Bourbaki, non abbia idea di quanto le feroci rivendicazioni autoriali caratterizzino tutta la letteratura greca. Ne vedremo qualche esempio nel séguito. 2 Archimede, Opera omnia, voi. I, p. 12.3 Heiberg. 3 Archimede, Opera omnia, voi. I, p. 20.15-16 Heiberg. 4 Archimede, Opera omnia, voi. IV; p. 17 Dold-Samplonius et al. 5 Nelle prefazioni a De sphaera et cylindro (Archimede, Opera omnia, voi. I, p. 4.2-13 Heiberg), Methodus, (voi. II, pp. 430.1-9), Archimede attribuisce esplicitamente ad Eudosso la dimostrazione di ciò che leggiamo enunciato nel porisma a XII.7 e in XIl.10. In Quadratura parabolae (voi. Il, p. 264.13-21) estende la citazione anche a XII.2 e 18 ma non menziona Eudosso. 6 J. Mau, W Miiller, Mathematische Ostraka aus der Berliner Sammlung, Archiv fiir Papyrusforschung 17 (1982), pp. 1-10. 7 Apollonio, Opera, voi. I, p. 4.10-17 Heiberg. 8 Edizione in A. Angeli, T. Dorandi, Il pensiero matematico di Demetrio Lacone, Cronache Ercolanesi 17 (1987), pp. 89-103. 9 Le citazioni di Demetrio Lacone permettono di corroborare l'ipotesi che alcune parti di Ldef.15 siano interpolazioni. 10 Per una discussione generale di tutte le testimonianze su Zenone di Sidone si veda A. Angeli, M. Colaizzo, I frammenti di Zenone Sidonio, Cronache Ercolanesi 9 (1979), pp. 47-133. Vedremo i dettagli della disputa nella sezion;'.2 dell'introduzione agli Elementi. 11 Erone menziona Archimede (e si riferisce a risultati di Apollonio) ed è citato da Pappo. La datazione comunemente accettata si ricava dall'eclisse di luna cui Erone fa riferimento in Dioptra 35, identificata da O. Neugebauer con quella del 13 marzo 62. Altri elementi ricavabili da opere eroniane corroborano tale data, ma non hanno valore indipendente: la loro ricerca è basata sull'assunzione che l'identificazione dell'eclisse sia corretta. Quest'ultima è stata però messa in discussione recentemente, e la questione è riaperta; si veda N. Sidoli, Heron's Dioptra 35 and Analemma Methods: An Astronomica! Determination of the Distance between Two Cities, Centaurus 47 (2005), pp. 236-258. 12 Co/lectio VIl.35, p. 121.6-9 Jones; dr. p. 678.8-12 Hultsch. 13 Ma la citazione mostra apprezzabili divergenze rispetto al testo contenuto nelle Coniche. 14 Il contesto mostra che qui yÉyovE va reso con > (e in forma avversativa Ò.ÀÀ.a e oÉ), ~TOL «oppure», tra i secondi predomina apa «quindi»,7 e in misura minore W> e i partigiani delle >. Posidonio, A·-----~=----- r B da parte sua, afferma che una dimostrazione del genere non si trova da nessuna parte nelle esposizioni elementari, e che Zenone accusa falsamente i geometri del suo tempo di servirsi di una dimostrazione scorretta: è infatti possibile esporre un argomento anche in difesa di questa. Poiché infatti c'è in ogni caso una certa ad retti con una e con l'altra delle rette - ogni coppia di rette può infatti fare un retto. Anche questo lo abbiamo assunto preliminarmente definendo quello retto. Solo secondo quella inclinazione stabiliamo infatti quello retto - sia questa quella che càpita di aver eretto. E in aggiunta che anche lo stesso Epicuro e gli altri filosofi ammettono che si possano ipotizzare molte cose possibili e molte materialmente impossibili allo scopo di far procedere la teoria. 45

Viene da chiedersi a cosa mirasse veramente Zenone con le sue critiche. È del tutto implausibile che vi fosse una qualche connessione con le critiche, del tipo di quelle che possiamo con una certa ""Sicurezza ipotizzare per Demetrio Lacone, formulate sulla base di un preteso atomismo geometrico.46 D'altra parte, sembra una lettura semplicistica supporre che Zenone si fosse limitato a far notare delle lacune logico-deduttive.47 Proclo stesso afferma che Zenone intendeva distruggere l'edificio geometrico non direttamente dalle fondamenta ma, per così dire, «dal primo piano». È in effetti lecito chiedersi in che modo mettere in rilievo una lacuna tra i princìpi possa condurre ad una confutazione dell'intera geometria: basta aggiungere il principio mancante. La reiterazione delle obiezioni contro I.1 suggerisce piuttosto che l'argomento di Zenone tendesse a mostrare che ogni dimostrazione di questa proposizione dovesse presentare delle lacune, e che l'argomento fosse condotto su

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ACERBI - INTRODUZIONE

di un esempio. Si tratta insomma di una critica di stampo metodologico molto raffinata: nessuna proposizione matematica (e Elementi l.l ne è l'esempio paradigmatico) è dimostrata sull'unica base delle assunzioni esplicitamente poste. Non è una sorpresa vedere un epicureo che si occupa di matematica per criticarla. È già più sorprendente che gli attacchi non partano dalla pretesa di validità di una geometria discreta, ma da una critica raffinata dei princìpi, come nel caso di Zenone di Sidone. Sicuramente molto sorprendemte è invece che una piccola galassia di personalità in contatto tra loro, Apollonia, Eudemo, Ipsicle, Basilide di Tiro, Filonide, Dionisodoro, Zenodoro, Protarco, esaurisca al tempo stesso buona parte dei matematici a cavallo tra III e II secolo e includa, a meno di omonimie, due ben noti esponenti dell'epicureismo, uno dei quali sicuramente scolarca. Vediamo in breve la storia. Nella lettera prefatoria di Conica II, indirizzata ad Eudemo, Apollonia lo invita a darsi da fare: 48 «e Filonide il geometra, che ti avevo presentato ad Efeso, qualora càpiti mai dalle parti di Pergamo, rendi anche lui partecipe [cioè del secondo libro]». Un papiro di Ercolano contiene un ~(os LÀovl8ou TJO"L, TÒ a Tifì ~ 'Laov, TOUTO 8È Tifì y, À.Éyw on Kal TÒ a Tifì 'Y 'Laov. ÈTTEL yàp TÒ

a Tifì

~

ì'.aov

TÒV QVTÒV avTifì KUTÉXEl TOTTOV,

Kal ÈrrEl TÒ ~ T(fì y ì'.aov, TÒV avTÒV Kal TOVT

144 è regolarmente formata a partire dall'enunciato nel modo seguente. I due membri diventano due proposizioni semplici indipendenti: nel caso ad esempio I' enunciato sia un condizionale, il suo antecedente, che contiene l'elenco dei dati della proposizione, è trasformato in un'ipotesi, il conseguente in una dichiarativa retta da «dico», denominata da Proclo (e solo da lui) «determinazione». 145 Nel caso degli altri due tipi di enunciati la trasformazione segue procedure più elastiche, che permettono ad esempio la ripetizione del soggetto. Le istanze relative ai tre enunciati proposti nella sezione precedente sono le seguenti: VII.23

"EoTWCTQV 8Vo à.pLSµol npwTOL npÒS' Ò.ÀÀtjÀOVS' o1 A, B, TÒV 8È A µETpEL TW TLS' Ò.pL8µÒS' r· ÀÉyw, OTL Kal OL r, B npwTOL npÒS' à.UtjÀOVS' ELaiv.

Siano due numeri primi tra loro A, B, e un certo numero I' misuri A: dico che anche r, B sono primi tra loro.

o

ill.21

"Ea1w KVKÀOS' ABf'Li, Kal Èv Téiì m'néiì 1µtjµan Téiì BAEL1 ywv(m È'aTwaav ai imò BM, BEL1· ÀÉyw, on a1 imò BM, BEL1 ywv(m fom Ò.ÀÀtjÀaLS ELULV.

o

Sia un cerchio ABI'Li, e nello stesso segmento BAEL1 siano angoli BAL1, BEL1: dico che gli angoli BM, BEL1 sono uguali tra loro.

N.13

'Eu1w TÒ 8o8Èv rrEvTaywvov ta6nÀEvp6v TE Kal ì.aoywvwv TÒ ABf'LiE· 8EL 8Ìj ELS TÒ ABf'LiE 11Ev1aywvov KVKÀov Èyypal(mL.

Sia il pentagono sia equilatero che equiangolo dato ABI'LiE: nel pentagono ABI'LiE si deve pertanto mscnvere un cerchio.

III. CORPUS EUCLIDEO GRECO. A. ELEMENTI

265

I verbi e la struttura di enunciato e istanza sono strettamente correlati, e in larga parte identici. Le variazioni principali sono due. Primo, sono introdotte lettere, in posizione attributiva e come nomi degli enti geometrici coinvolti, facilitando tra l'altro il riferimento al diagramma. In certe circostanze le lettere sostituiscono interi sintagmi: vedremo più oltre l'esempio di IX.35. Secondo, il verbo dell'istanza è invariabilmente all'imperativo, e questo la fa ricadere nel modo ipotetico. 146 Il verbo «essere» che si trova di frequente nelle istanze non funziona da copula, ma non ha neanche portata esistenziale, del tipo «ci sia» ovvero «esista». Si tratta invece di una maniera di fissare nella loro concretezza i dati del problema, in vista della susseguente dimostrazione. Così, l'inizio dell'istanza di III.21 non significa

L'unica differenza di rilievo è l'impiego del verbo ÈmC"EuyvuµL «congiungo» nelle applicazioni del primo postulato invece di ay(ù «conduco», che ha altri impieghi; per il resto

l'applicazione ricalca la formula cieli' espressione non istanziata del postulato. 156 Possiamo dividere le costruzioni in tre categorie: 1) Vere costruzioni ausiliarie: gli enti geometrici aggiunti sono necessari alla dimostrazione o alla risoluzione del problema. Esempi ne sono I.16 (caso di un teorema) o II.11 (caso di un problema). 2) Costruzioni che si limitano a rendere esplicita la configurazione geometrica implicitamente assunta nell'enunciato: esempi ne sono i lemmi lineari in II.1-8 (II.9-10 appartengono alla categoria precedente). 3) Costruzioni richieste dall'enunciato (quindi nel caso di problemi), ma in cui non entra nessun ente ausiliario: un esempio è I.46. Le costruzioni ausiliarie sono le parti di una dimostrazione che è impossibile ridurre a una procedura meccanica: la loro presenza nella configurazione Bnale resta un mistero irriducibile a puri fatti logici, e costituisce tutto sommato il cuore duro dell'intera dimostrazione. Aristotele stesso, in un passaggio della Metaphysica che abbiamo già letto, 157 sembra essere di quest'avviso: Anche le figure collegate alle dimostrazioni geometriche [8wypaµµaTa]158 vengono scoperte per mezzo di un'attività: le scoprono infatti operando divisioni .

ID. CORPUS EUCLIDEO GRECO. A. ELEMENTI

273

Perché un triangolo è due retti? Perché gli angoli intorno ad un punto sono due retti. Se poi fosse stata condotta la retta parallela ad un lato [EL oùv à:vfìKTO ~ napà TÌjv TIE1!pciv ], il perché sarebbe stato chiaro a chi guardava . Perché in generale un angolo in un semicerchio è rett:o? Se sono uguali tre rette, sia le due basi che la retta apposta dal mezzo ad angolo retto [~ ÈK µÉCTo1! ÈmcJTa9E'Laa òpe~J, è chiaro anche solo a guardare per chi conosce quello [cioè che un triangolo è due retti]. Così che è chiaro che ciò che è in potenza viene scoperto riportandolo ali' atto: causa ne è che il pensiero è atto: [ ... ] 159

Aristotele, dunque, sembra proprio sostenere che una dimostrazione è compiuta e diventa manifesta esattamente quando tutte le linee ausiliarie rilevanti in un diagramma siano state tracciate. Come suo solito, Aristotele sfrutta abilmente l'ambiguità di fondo del ouiypaµµa: nel passaggio significa di volta in volta la figura data, la figura dopo che la costruzione è stata eseguita, l'intera dimostrazione. Se una forma di conoscenza completa è possibile soltanto quando siano state eseguite, e si trovino di fronte a noi, le costruzioni opportune, Aristotele suggerisce che questa condizione è anche sufficiente, una volta che la mente abbia presenti i teoremi appropriati, e, di conseguenza, che la redazione della dimostrazione vera e propria non sia nie:t:!f altro che un'appendice.

4.5 Alcuni oggetti logici

In quello che segue mi concentro più da vicino sulla parte che possiamo chiamare «dimostrazione» in senso proprio; inizio da alcuni punti più specificamente logici. 4.5.1 Anafora e paracondizionale La dimostrazione inizia di norma con un riferimento ad dato di fatto geometrico che consegue dall'ipotesi o dalla costruzione, solitamente tramite la mediazione di un teorema precedente. 16° Questa parte di una proposizione, ben determinata ma non

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ACERBI - INTRODUZIONE

riconosciuta come indipendente da Proclo, è stata recentemente battezzata «anafora» da M. Federspiel, 161 con riferimento al fatto che essa rimanda appunto a quanto disposto in ipotesi o costruzione. Dal punto di vista grammaticale si tratta di una subordinata causale, introdotta da É1TEL «poiché» e con verbo all'indicativo, 162 seguita da una principale con verbo ancora all'indicativo. In casi particolari, nella principale si trova anche l'imperativo, 163 Di norma É1TEL «poiché» è completato con ovv «dunque» oppure yap «infatti», dato che ci troviamo in inizio di dimostrazione, ma molto frequenti sono gli incipit in Ka( ÉnE( «e poiché». Lo stoico Crinis (posteriore alla seconda metà del II secolo a.C.) introdusse nella sua Tecnica dialettica una proposizione non semplice affine al condizionale, denominandola napaawT] µµÉvov «paracondizionale»: dal condizionale differisce dal punto di vista lessicale solo per l'uso di E1TEL «poiché» al posto di EL «se». Dal punto di vista semantico ne è un rafforzamento: di I.43 e I.44 (le proposizioni cui si fa riferimento implicito sono I.34 e I.29 rispettivamente): I.43

'E1TEL yàp 1TapaÀ.À.TJÀ.6ypaµµ6v Eo-n TÒ ABrLi, 8uiµETpos- 8È avTOV ~ Ar, i'o-ov Ècnl TÒ ABr Tp( ywvov TQ ArLi TpLywvlfl.

Poiché infatti è un parallelogrammo ABrL1, e una sua diagonale Ar, il triangolo ABr è uguale al triangolo ArLi.

III. CORPUS EUCLIDEO GRECO. A. ELEMENTI

I.44

KaÌ. ÈrrEÌ. El.s rrapaÀÀT)Àous Tàs AE>, EZ EùeE'ia ÈvÉTrECiEV ~ E>Z, al ripa vrrò AE>Z, 0ZE ywvCm 8uc;ì.v òp8al:s ELCiLV

275 E poiché l1na retta ez incise su parallele Ae, EZ, gli angoli A6Z, 6ZE sono quindi uguali a due retti.

fom.

Nella prima troviamo una proposizione non semplice in forma canonica di paracondizionale, nella seconda un ibrido logico tra proposizione non semplice e argomento. Se però guardiamo ali' apparato di Heiberg ci viene un suggerimento su come dirimere la questione. Nel caso di I.43 F inserisce apa «quindi» tra foov opàç Tclìv UTIOKELµÉvwv.

oTÈ

oTÈ

Qualora due rette siano condotte o da un solo punto dato oppure da due, e o in retta oppure parallele oppure comprendenti un angolo dato, e o aventi un rapporto tra loro oppure comprendenti un dominio dato, e173 l'estremo di una sola tocchi un luogo piano dato in posizione, anche l'estremo dell' altra toccherà un luogo piano dato in posizione, ora dello stesso genere, ora dell'altro, e ora posto similmente rispetto alla retta, ora in maniera opposta. E ciò risulta conformemente alle differenze di ciò che è stato supposto.

278

ACERBI - INTRODUZIONE

4.5.3 Negazione

La matematica greca fa ovviamente uso di negazioni. Di norma queste agiscono sul predicato, anche se si trovano esempi di enunciati denegativi, 174 come ad es. i teoremi di impossibilità in ElementiVIIT.6 e IX.10, 13-14. Leggiamo il primo: 'Eàv wcnv OTTOCYOLOVV àpt8µol É/;~S' 6 8È TTPWTGS' TÒv 8EuTEpov µ'JÌ µETpfj, OÙ8È OÀÀOS' OÙ8ELS' oÙ8Éva µETpTjcrEt. àvaÀoyov,

Qualora siano quanti si voglia numeri di séguito in proporzione, e il primo non misuri il secondo, neanche nessun altro misurerà nessuno.

Più comuni sono asserzioni privative: il predicato «disuguale» ricorre circa 200 volte nel corpus euclideo. La forma più corrente di negazione è però quella in cui una particella negativa è incorporata in un'asserzione affermativa. Quando sia negato il predicato verbale la particella è la negazione oggettiva; la negazione soggettiva trova invece impiego per negare predicati non verbali in forma di sintagmi complessi; ciò accade anche nelle ipotesi dell'assurdo. Negli enunciati negativi la negazione è sempre anteposta direttamente al verbo, e questo si trova di norma in posizione intermedia all'interno della frase. Il corpo di una dimostrazione offre però esempi estremamente interessanti di negazioni anteposte ad un'intera proposizione. Le occorrenze si trovano tutte in inferenze per contrapposizione o per assurdo, in particolare nella conclusione, che è sempre data in forma negativa. Il punto sta nel capire se questa posizione, di carattere ovviamente enfatico e già attestata come tendenza marcata in prosa greca ordinaria, può essere caricata di plusvalori logici. 175 Ciò è suggerito dai seguenti dati: 1) La negazione anteposta si trova solo e soltanto nei casi menzionati. Le conclusioni di queste inferenze iniziano invariabilmente (157 occorrenze) con oÙK apa «non si dà quindi il caso che»; oÙoÈ apa «neanche quindi» (2 casi) compare se l'enunciato richiedeva questa negazione. A volte, ad esempio in I.7, IIl.10, 23, IX.31, X.42-47, Xl.13, la conclusione dell'argomento per assurdo è offerta direttamente in forma non istanziata, e coincide con la conclusione dell'intero teorema. Ciò pro-

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duce alcuni tra i pochissimi casi in cui la conclusione di un teorema non è identica ali' enunciato, anche se solo per la posizione della negazione. 176 2) La coassunzione oÙK ECJTL oÉ «e non è», nella prova per contrapposizione di I.19 che leggeremo più oltre, è particolarmente breve, consistendo in una stringa di tre parole, in greco nell'ordine negazione-verbo-particella avversativa. La posizione della negazione comporta la dislocazione della particella, normalmente in seconda posizione. In autori classici proposizioni analoghe hanno la negazione in ultima posizione. 177 3) Si trovano esempi di doppia negazione, la più interna delle quali non è però mai anteposta. 178 Se ne deve presumere che le due posizioni della negazione, anteposta all'intera asserzione e al verbo, fossero ritenute equivalenti dal punto di vista logico. Le due negazioni si elidono, e spesso il carattere inferenziale di questa mossa viene reso esplicito con un passaggio successivo, come abbiamo letto in III.12. Esempio ulteriore, ed interessante, in I.6, dove la negazione anteposta è portata a reagire con quella implicita in una privativa: OTTEP

clTOTTOV"

ÈCJTLV

ii

AB

Tfj

OÙK apa avw6sAr· LCJT] apa.

il che è assurdo: non si dà quindi il caso che AB sia disuguale a Ar: è quindi uguale.

Il senso che si vuole convogliare è che inferenze per contrapposizibne o per assurdo arrivano a negare tutto ciò che è stato supposto, quindi un'intera proposizione. Che non si tratti solo di enfatizzare il verbo negato ma la negazione dell'intera frase segue ulteriormente dal fatto che il verbo è mantenuto nella sua posizione canonica all'interno della frase, cioè lontano dalla negazione. Passo ora a discutere brevemente alcuni punti di interesse più propriamente logico-deduttivo.

280

ACERBI - INTRODUZIONE

4.6 La generalità matematica negli «Elementi»

La matematica greca impiega raramente la quantificazione; la generalità di un teorema è semplicemente espressa dall'assenza di determinazioni che ne limitino la validità: 179 un enunciato indefinito sottintende una quantificazione universale. Così, ben pochi teoremi degli Elementi contengono quantificazìoni esplicite nell'enunciato; gli altri esprimono la generalità facendo riferimento a classi di oggetti prese come pluralità, a oggetti generici di una certa classe o a coppie o n-ple di tali oggetti. Vediamo un esempio per sorte preso dal I libro degli Elementi: I.16

IIavTòç TpLywvov µL retti con il piano soggiacente. E il piano soggiacente è quello per le rette AB, rt... ZE è quindi ad retti con il piano per AB, rt...

Confrontiamola con la versione arabo-latina di Gerardo da Cremona; il lettore non avrà problemi a stabilire la corrispondenza tra le lettere denotative: 193 Ergo quisquis duorum angulorum hbt et hbk est rectus, ergo hb est perpendicularis super tk. Et similiter ostenditur, quod omnis linea a puncto b in superficie linearum gd; ez propterea continet cum hb angulum rectum. Ergo linea hb est perpendicularis erecta super superficiem gd; ez. 194

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È chiaro che nella versione greca c'è un surplus di determinazioni di generalità. Il determinativo di arbitrarietà «come càpita» in corsivo nel testo è in una forma avverbiale che è uno hapax nel corpus euclideo e già per questo sospetto. 195 La dimostrazione è appesantita prima da una forma di argomento potenziale (ancora i..ri corsivo nel testo) abbastanza inusuale, 196 poi da una citazione completa di XI def. 3, infine dagli ultimi tre passaggi, farraginosi ma necessari una volta che si sia fatto appello ad un «piano soggiacente» come nella def. 3. Troviamo inoltre, nella parte non tradotta, 4 richiami di dimostrazione in 7 righe e una dimostrazione analogica, tutti assenti nella tradizione arabo-latina. Sembra chiaro che la prova greca sia il risultato di una revisione capillare; il prodotto finale, corretto ma pesante ed inelegante, vuole veder scritti tutti i passaggi e resa manifesta la struttura deduttiva. Questo esempio permette di giungere ad una conclusione importante: dobbiamo aspettarci che le esplicitazioni della generalità tramite opportuni determinativi siano dovute a revisori posteriori, 197 vuoi per motivi didattici vuoi per semplice esigenza di rendere più perspicuo un testo percepito come troppo poco esplicito (e probabilmente non proprio corretto dal punto di vista matematico). Ovviamehte le due motivazioni non si escludono a vicenda, anche se non è detto che ogni edizione degli Elementi sia stata prodotta a fini scolari; si potrà anzi suppò'rre che più strati di correzioni si siano sovrapposti per dare il risultato trasmesso in greco. Le proposizioni con quantificatori nell'enunciato sono relativamente innocue, e tutto sommato non si intravede un razionale che discrimini quelle che lo hanno da quelle che non lo hanno. 198 Le dimostrazioni sono indistinguibili da quelle associate ad enunciati generali ma senza quantificatore: l'istanza arbitraria funziona in ogni caso. Su questa falsariga sono le dimostrazioni dei libri I, VII, XII e inoltre VI.24 e Xl.21. Interessanti III.16 e XI.2: una certa proprietà è provata valida dimostrando che non esistono oggetti che contraddicono la proprietà. Oggi vi vedremmo un'applicazione dell'equivalenza di V e --,3--,. VI.27 è un teorema di massimo preliminare alla teoria dell'applicazione delle aree:

290

ACERBI - INTRODUZIONE

IIaVTUJ// TWV 1rapà TÌ]V avTÌ]V EV8EtaV 'ITapa~aÀÀoµÉvwv 'ITapaÀÀ.T]Àoypaµµwv Kaì. ÈÀÀErnovTwv d8Eat 'ITUpUÀÀT]ÀOypaµµOLS Òµo(ots TE Kaì. òµo(ws KEtµÉvoLs Tc!ì >), riferimenti alla figura. Il confronto con la tradizione indiretta permette di sviluppare criteri ragionevolmente affidabili,282 sia interni che linguistici, per riconoscere quando tali unità linguistiche presenti nel testo greco siano interpolazioni, di origine scolastica o più probabilmente erudita. Da tutto ciò consegue che un'indagine approfondita degli Elementi non può fare a meno della tradizione indiretta arabolatina. A parte dichiarazioni esplicite in senso contrario, c'è sempre il sospetto (corroborato dal fatto che in buona parte dei casi ciò può essere provato positivamente) che il materiale aggiuntivò"'sia di origine greca, e che quindi (ben) prima della tarda antichità circolassero versioni greche divergenti degli Elementi. In questa prospettiva, diventa impraticabile impiegare categorie come quella di maggiore o. minore conformità ali' «originale» euclideo. Ciò non deve stupire, dato il numero di edizioni (commentate e non) e riscritture più o meno tardive cui il trattato fu sottoposto. Quello che abbiamo visto delle polemiche epicuree, delle proposte di Apollonia e del commento di Erone mostra che il lavorìo esegetico sul testo degli Elementi cominciò sùbito,283 ed interferì in modo decisivo con la costituzione del testo stesso. I modi peculiari di produzione e diffusione dei prodotti letterari antichi rendono questa incessante pratica interpretativa la base ideale per la produzione di recensioni divergenti. L'accento sul carattere erudito, e non

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scolastico, di questi interventi è dovuto. Va infatti sottolineato che nessuna edizione tarda delle Opere dei matematici ellenistici sembra essere legata a esigenze pedagogiche. La convinzione contraria, espressa ad esempio da Heiberg nei Prolegomena critica alla sua edizione degli Elementi,284 non ha nessun fondamento documentario: a partire dalla constatazione che l'edizione di Teone non raggiunge il livello di quelle dei grandi grammatici alessandrini e dall'attestata appartenenza di Teone al Museo, Heiberg inferisce che questa può essere stata composta solo a fini didattici. In quest'ottica non si capisce però come l'edizione di Teone possa differire in modo tutto sommato trascurabile dal punto di vista matematico da quella trasmessa nell'unico codice conosciuto che avesse accesso ad una edizione non-teonina. Aggiungo qualche informazione sulla tradizione testuale del cosiddetto libro XIV. Heiberg assunse a manoscritto base il Monacensis 427 (M) del XII-XIII secolo,285 avvalendosi anche di PBV e v, quest'ultimo non usato per l'edizione degli Elementi. M è anche l'unico testimone del commento di Proclo al I libro; non contiene opere euclidee e neanche il cosiddetto XV libro. Sulla base delle divergenze rilevate, Heiberg stimò che il testo di M fosse migliore di quello del resto dei manoscritti e lo privilegiò nell'edizione, come aveva fatto per P nel caso degli Elementi. Heiberg argomentò anche in favore di una giustapposizione congiunta, e quindi posteriore al VI secolo, dei libri XIV-XV al resto degli Elementi. Egli osservò a questo scopo che alcuni manoscritti teonini (tra gli altri bpq) non hanno i libri posticci, che il loro testo in P è deteriore e quindi tratto da un altro antigrafo (ciò riceverebbe conferma dal fatto che tra il XIII e il XIV sono intercalati in P i Prolegomena di Marino e i Data), che il libro XIV è trasmesso da solo in M.286 In realtà, le differenze tra M e gli altri manoscritti suggeriscono piuttosto che rimontino tutti ad un archetipo comune le cui lezioni si siano corrotte in luoghi e gradi diversi, La tradizione indiretta presenta un panorama alquanto variegato.287 Quasi tutti i manoscritti della versione araba di Ishàq-Thàbit hanno i libri XIV e XV, ma il loro traduttore è indicato concordemente in Qustà ibn Lùqà (il traduttore di Diofanto), che operò verso

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la fine del IX secolo. Tutte le traduzioni latine dall'arabo hanno i due libri, eccetto quella di Ermanno di Carinzia, che d'altronde si interrompe con il libro XII degli Elementi. Contrariamente al caso dei libri I-XIII, le versioni arabo-latine sono molto più ricche del testo greco ricevuto, oltre che sensibilmente rielaborate e presentanti· talvolta formulazioni «moltiplicative» delle usuali espressioni formulari per il rettangolo compreso da due rette. Due lunghi scolli contenuti in alcuni manoscritti della traduzione di Gerardo hanno una versione, forse dall'arabo ma molto vicina al testo greco, della fine del libro XN. 288 Ancora: uno dei due manoscritti della versione greco-latina presenta, intercalata tra i libri I-XIII e il XV, una traduzione molto compressa dei libri XN-XV (chiamata «compendio»), scritta da mani differenti da quella del testo principale.289 Come si vede, la situazione è piuttosto complessa, e la presenza del «compendio», che introduce un'ulteriore ramificazione dicotomica all'interno della tradizione indiretta, rende la tradizione del libro XN ulteriormente irriducibile a quella dei libri XIII.

6. Gli «Elementi>>: contenuto a grandi linee e orientamento bibliografico Gli Elementi vanno letti in primo luogo come un libro che si inseriva è°cm autorevolezza e completezza in un genere già ben definito (e sappiamo come considerazioni di questo tipo fossero cruciali nella produzione antica), in secondo luogo come un libro di riferimento, quali i Data oppure, più tardi, le Coniche di Apollonio. La matematica veniva insegnata in modo dogmatico e scolastico solo in epoca tarda (e così si fa ancora oggi), 290 quando era stato perso il contatto con certe caratteristiche originarie, alcune linee di ricerca dominanti si erano esaurite e la presentazione di tipo sintetico era divenuta la norma (probabilmente proprio a séguito dell'esempio degli Elementi!). Che gli Elementi avessero una valenza pedagogica fondamentale, 291 a partire dal periodo imperiale e sicuramente nella tarda antichità, risulta chiaramente da questa presentazione di Proclo, che non possiamo esimerci dal leggere:

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ACERBI - INTRODUZIONE

Scopo del libro è dunque questo: porre per gli studenti gli elementi di base dell'intera scienza ed insegnare le costruzioni particolari delle figure cosmiche. Ma questo stesso nome di «esposizione elementare» [CJTO LXE[ W{JL s-], e quello di «elemento» [>, altri «elementari» [ che hanno gli stessi limiti saranno state costruite verso punti differenti dalla stessa parte»= negazione della conclusione della proposizione I.7. Occorre sottintendere due passaggi prima della conclusione finale: l'assunzione di A e la regola della doppia negazione. Dei tre teoremi che stiamo esaminando, questa è l'unica prova per contrapposizione; la tradizione indiretta la trasforma consensualmente in una reductio. Si tratta probabilmente di un intervento posteriore, teso ad uniformare la struttura dei tre argomenti. Tale struttura un interesse ulteriore, in quanto, curiosamente, è identica a quella di uno dei pochissimi esempi attestati di sillogismo non semplice ricondotto ad indimostrati per mezzo dei themata stoici.305 =

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Libro II Due definizioni precedono le proposizioni. La prima stabilisce il significato dell'espressione formulare canonica per la designazione di un rettangolo. La seconda è la definizione di gnomone. Il libro, dalla consistenza modesta, inizia con dieci lemmi lineari (prop. 1-10). Segue, largamente scorrelata da quanto precede, una costruzione che nel libro VI scopriremo produrre la sezione di una retta in rapporto estremo e medio (la cosiddetta sezione aurea) .306 Le proposizioni 12 e 13 dimostrano forme di I.47 estese a triangoli ottusangoli e acutangoli. L'ultima proposizione insegna a costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea data (in realtà, grazie a I.45, basta eseguire la quadratura di un rettangolo). Con questa proposizione si completa la dimostrazione che ogni figura rettilinea è quadrabile. Le proposizioni 11 e 14 sono tra quelle di cui abbiamo «repliche» nel libro VI, nel nostro caso nelle proposizioni 3 O e 13 rispettivamente. Queste ultime impiegano la teoria delle proporzioni, e VI.30 la teoria dell'applicazione delle aree. La presenza di «doppioni» come questi è uno degli argomenti principali a favore dell'ipotesi che gli Elementi contengano, tra l'altro, compilazioni di più strati.307 Non sono sicuro che questa prospettiva sia sostenibile quando non sia corroborata da testimonianze indipendenti (ad esempio quelle che attribuiscono ad Eudosso la dimostrazione di molti teoremi che leggiamo nel libro XII). In primo luogo, non si vede perché non usare la teoria delle proporzioni debba essere considerato indice di maggiore piuttosto che di minore arcaicità. Non usarla può benissimo essere la conseguenza di uno scrupolo fondazionale mirante a minimizzare le tecniche dimostrative impiegate,308 ma anche indice di uno stato anteriore della teoria. In secondo luogo, le proposizioni del libro VI sono equivalenti ma non identiche a quelle del libro II, mettendo in campo già dal!' enunciato nozioni irriducibili a quelle cui si ha accesso con il libro II. Si aggiunga che II.11 è utilizzata in modo cruciale in IV.10, mentre II.14, che ha comunque valore in sé in quanto completa la teoria dell'equivalenza, lo è in X.54-59. La presenza di

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II.11 e 14 è quindi ampiamente giustificata da criteri interni agli Elementi. La vera croce esegetica del libro II è l'interpretazione dei lemmi lineari. Essi assumono invariabilmente come data una retta (da qui la denominazione di «lineari») secata a metà e/o in punti arbitrari. Viene richiesto di dimostrare che intercorre una certa uguaglianza tra opportune combinazioni di quadrati e rettangoli costruiti sui segmenti in cui la retta risulta divisa. Dopo la costruzione del diagramma, che coincide con la costruzione degli oggetti direttamente coinvolti nelle uguaglianze e che può essere anche piuttosto laboriosa, le figure che compaiono nell'uguaglianza da dimostrare sono identificate «pezzo per pezzo» fino a che siano esauriti tutti i sottodomìni che le compongono: Lo strumento di lavoro fondamentale è il teorema dei completamenti (I.43 ), e le dimostrazioni sono indipendenti l'una dall'altra. Fanno eccezione a questa procedura II.910,309 sebbene non sia difficile proporre una dimostrazione in linea con quelle precedenti.310 In queste proposizioni, gli oggetti coinvolti nelle uguaglianze non compaiono nel diagramma, che ruota intorno alla costruzione di opportuni triangoli rettangoli isosceli; la dimostrazione, meno trasparente di quelle analoghe di II.1-8, procede tramite ripetute applicazioni di I.47. Come abbiamo accennato e come vedremo in maggiore dettaglio nell'introduzione ai Data, Erone propose dimostrazioni alternative delle proposizioni 2-10. Queste dimostrazioni sono strutturate come analisi e sintesi e non prevedono la costruzione di nessuna figura sulle rette date. La prova parte da un'uguaglianza di base e procede per somma o sottrazione di domìni e per sostituzioni di segmenti o domìni uguali, quest'ultima mossa basandosi sempre su teoremi precedenti appartenenti alla stessa sequenza II.1-10. In questo modo la sezione II.1-10 è trasformato da una successione disconnessa di teoremi in una catena deduttiva dalla struttura ben definita. In età moderna, la lettura dominante del libro II lo interpreta come rappresentante tipico della cosiddetta «algebra geometrica». L'interpretazione fu originariamente concepita da P. Tannery per spiegare II.5 e 6 - ed ancora Data 84-85, la teoria

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dell'applicazione delle aree in I.44 e VI.28-29 e i problemi I.2728 negli Arithmetica di Diofanto - in termini di soluzione di equazioni di secondo grado. 311 Propagandata ed estesa all'intero segmento II.1-10 da Zeuthen,312 Heath, Neugebauer (che vi vedeva connessioni inesistenti ma per lui strategiche con la pretesa «algebra» dei Babilonesi)3 13 e Gandz,314 la lettura del libro II in termini di «algebra geometrica» ricevette dopo la guerra un'autorevole canonizzazione da parte di van der Waerden, 315 al punto che traduzioni «algebriche» di II.1-10 sono incluse nell'apparato I dell'edizione di Heiberg-Stamatis. Le traduzioni si basano sulla seguente constatazione: se assegnamo variabili ai segmenti coinvolti nella configurazione geometrica di base e facciamo corrispondere in modo «ovvio» operazioni algebriche sulle variabili alle operazioni geometriche sui segmenti, ne risultano delle identità algebriche, la cui utilità nella risoluzione di equazioni di secondo grado è immediatamente esperibile. Così, II.5 corrisponderebbe a

Y)2 --xy+ (X Y)2 X+(-- -

2

2

e permetterebbe di risolvere problemi del tipo

....

x+y=a xy = b

con a e b costanti. Va sottolineato che l' «algebra geometrica>> non è mai stata intesa come un male minore interpretativo per poter rendere ragione agli occhi di un lettore moderno di certe caratteristiche dei lemmi lineari. No, i «greci» ragionavano davvero algebricamente, ma avevano più o meno inconsapevolmente provveduto a coprire il nucleo matematico per questo tipo di teoremi è quella indiretta. Merita soffermarsi brevemente sulla nozione di tangenza tra retta e cerchio. La definizione è data già nella forma adatta al cerchio (che è una figura convessa), e non deriva dalla particolarizzazione di una concezione generale di retta tangente ad una curva.327 Il dossier è ripreso nella proposizione 16, dove è in effetti fornita una costruzione per condurre una tangente ad un cerchio per un punto sulla sua circonferenza: basta tracciare la perpendicolare al diametro per quel punto. Nel teorema (formato sorprendente, visto che in effetti è indicata una costruzione) non si fa menzione di tangenza, ma si verifica il definiendum in def.2. Di rendere esplicita la connessione con la tangente si incaricherà il porisma sùbito seguente. Nella seconda parte del teorema viene dimostrato che la tangente è unica, nella terza messi a confronto gli angoli tra tangente (risp. diametro) e circonferenza e la classe degli angoli rettilinei. 328 Allo stesso modo, il concetto di tangente ad una conica non è neanche definito da Apollonia, che dimostra direttamente una coppia di teoremi (Conica I.17 e 32) dalla struttura congiunta del tutto analoga alle prime due parti di III.16. 329 Il teorema III.17 costruisce la tangente da un punto esterno in accordo con la costruzione esposta in III.16. I teoremi III.18-19 dimostrano che la condizione di perpendicolarità con il raggio condotto al punto di tangenza è caratteristica della tangente. Poiché vi sono tre condizioni in gioco: i) una prima retta è tangente a un cerchio; ii) una seconda retta è perpendicolare a una prima retta nel punto in cui questa tocca il cerchio; iii) una seconda retta passa per il centro e per il punto in cui una prima retta tocca il cerchio, il risultato complessivo di questo gruppo di teoremi è che la congiunzione di ogni coppia di queste asserzioni implica la rimanente.330

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Libro W Il quarto libro offre unicamente costruzioni per mezzo delle quali inscrivere e circoscrivere un triangolo generico e alcuni poligoni regolari intorno ad un cerchio dato. Le 7 definizioni che aprono il libro chiariscono in primo luogo cosa si intenda per figura rettilinea inscritta e circoscritta ad un'altra (1-2),33l poi l'analoga relazione tra una figura rettilinea ed un cerchio (36). Tutta la combinatoria è esaurita, nell'ordine «figura in cerchio»l«intorno a cerchio»l«cerchio in figura»l«intorno a figura». La def. 7 stabilisce cosa significhi per una retta «essere adattata in un cerchio», nozione usata immediatamente nella prop. 1 (oltre che in 10 e 16). Questa è una semplice costruzione dotata di una determinazione, in quanto la retta da adattare nel cerchio deve ovviamente essere minore del diametro, e funziona da lemma per il problema che segue. Il resto del libro ha una sottostruttura per tetradi, che ripetono l'ordine dato nelle definizioni 3-6: «figura in cerchio»/«intorno a cerchio»l«cerchio in figura»l«intorno a figura». Le figure rettilinee coinvolte sono: triangolo (2-5),3 32 quadrato (6-9), pentagono regolare (11-14), per la cui costruzione N.10 è un lemma.3 33 Questa insegna a costruire un triangolo isoscele avente ognuno degli angoli alla base doppio di quello al vertice. Nel caso dell'esagono regolare (15) è fornita solo la prima costruzione della tetrade, seguita da un porisma che afferma che le altre tre costruzioni possono essere effettuate analogamente a quelle del pentagono. La costruzione chiave di ogni tetrade è la prima, le altre tre essendo facilmente replicabili per ogni numero di lati una volta che la prima sia eseguibile. Le tetradi complete non si arrestano però a quella del quadrato perché le costruzioni offerte negli ultimi tre problemi di quella tetrade sfruttano alcune proprietà specifiche di questa figura, e non sarebbero quindi estendibili al caso di un poligono generico. L'ultima proposizione (16) spiega in uno stile stringato e non molto canonico come combinare le costruzioni precedenti per inscrivere poligoni regolari con numeri di lati che siano opportuni prodotti del numero di lati di poligoni già costruiti. Ciò viene mostrato sul caso particolare del poligono

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ACERBI - INTRODUZIONE

di 15 lati. Un porisma finale svolge la stessa funzione del porisma precedente. Per tutti questi problemi, non si tratta di costruzioni dei poligono dato il lato (per il triangolo equilatero ed il quadrato è fatto in I.1. e I.46), ma in rapporto ad un cerchio di riferimento. La retta data rispetto a cui costruire i poligoni è quindi il diametro del cerchio.

Libro V 334 Nel V libro è esposta la teoria generale delle proporzioni. Con «generale» si intende valida per le generiche grandezze geometriche, se è vero che troviamo nel libro VII una teoria delle proporzioni concepita su misura per i numeri. 335 Queste grandezze generali sono rappresentate da segmenti. Il segmento, oltre a rappresentare di per sé una grandezza geometrica piuttosto tipica, 336 va letto molto aristotelicamente qua substrato minimale, spogliato di ulteriori caratteristiche accidentali, cui siano applicabili le operazioni tipiche agenti sulle grandezze: somma e sottrazione tra coppie omogenee e (illimitata) divisione di singole grandezze. È -quindi tutto sommato legittimo vedere nei segmenti delle grandezze astratte e non solo la rappresentazione ottimale di grandezze astratte. Il libro si apre con un congruo numero di definizioni, intese fondare anche il libro VI: - Che cosa significa per una grandezza essere parte (multiplo) di un'altra (1-2); - che cos'è un rapporto tra due grandezze e cosa significa per due grandezze «avere rapporto» (3-4); - quando quattro grandezze sono nello stesso rapporto (5); abbreviazione dell'espressione «avere lo stesso rapporto» con «essere in proporzione» (6); - coppia ordinata di grandezze in rapporto maggiore che un'altra coppia ordinata (7); - la minima proporzione è in tre termini (8);337 - rapporto raddoppiato e triplicato (9-10); - grandezze omologhe in una proporzione (11). - Manipolazioni di rapporti e proporzioni: alternando (12),

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invertendo (13 ), composizione (14), divisione (15), conversione (16), tramite uguale (17), proporzione perturbata (18).33 8 I 25 teoremi del libro si aprono con una breve investigazione della nozione di «equimultiplo», la relazione tra grandezze alla base della teoria: due grandezze A, C sono equimultipli di altre due B, D se e solo se A = nB e C = nD per lo stesso intero n: 339 scriverò, in forma simbolica per offrire una descrizione sintetica e forse più perspicua per il lettore, (A; C) = n(B, D). Le proposizioni di teoria degli equimultipli sono le seguenti: - Se (A, C, ... ) = n(B, D, ... ) ... allora (A, A+C+ ... ) = n(B, B+D+ ... ) (1); - Se (A, C) = n(B, D) e (E, F) = m(B, D), allora (A+E, C+F) = k(B, D) (2);340 -Se (A, C) = n(B, D) e (E, F) = m(A, C), allora (E, F) = k(B, D) (3);

- Se A:B::C:D allora, per ogni coppia di multipli n ed m, nA:mB::nC:mD (4);341 - Se (A, C) = n(B, D) con C, D minori di A, B, allora (A-C, A) = n(B-D, B) (5); - Se (A, C) = n(B, D) e (E, F) = m(B, D) con E, F minori di A, C, allora A-E = B e C-F = D oppure (A-E, C-F) = k(B, D) (6). Teore1hi di teoria delle proporzioni propriamente detta: - Se A = B e C qualsiasi, allora A:C::B:C e C:A::C:B, e viceversa (7 e 9), - Se A > B e C qualsiasi, allora A:C>B:C e C:B>C:A, e viceversa (8 e 10), - Transitività dell'identità di rapporto: A:B::C:D e C:D::E:F implica A:B::E:F (11) . .,. e transitività «mista>>: A:B::C:D e C:D>E:F implica A:B>E:F (13). -A:B::C:D eA>C implicanoB>D, e lo stesso per= e< (14). - Stabilità dell'identità del rapporto sotto:3 42 - somma di antecedenti e conseguenti: A:B::C:D::E:F ... implica (A+C+E ... ):(B+D+F... )::A:B (12),

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ACERBI - INIRODUZIONE

- passagg10 ad equimultipli: A:B::nA:nB, con n multipli qualsiasi (15), - alternando: A:B::C:D implica A:C::B:D (16), - dividendo: A:B::C:D implica (A-B):B::(C-D):D (17), - componendo: A:B::C:D implica (A+B):B::(C+D):D (18), - sottrazione di antecedenti da antecedenti e di conseguenti da conseguenti: A:B::C:D implica (A-C):(B-D)::A:B (19), - tramite uguale: A:B::C:D e B:E::D:F implicano A:E::C:F (20 e 22), - tramite uguale in proporzione perturbata: A:B::C:D e B:E::F:C implicano A:E::F:D (21 e 23 ), - somma degli antecedenti in proporzioni differenti con conseguenti uguali: A:B::C:D e E:B::F:D implicano (A+E):B:: ::(C+F):D (24). - Infine, in una proporzione la somma degli estremi è maggiore di quella dei medi (25). Le prime due definizioni operano una riduzione dei concetti di «parte» e «multiplo» alla nozione non definita di misura (senza residuo), esattamente come avverrà nel libro VIT: 343 le definizioni di «parte>> e «multiplo» nei libri V e VIl sono in effetti, mutatis mutandis, identiche. Contrariamente al libro VII, però, la nozione di «parte» ha un ruolo marginale nel libro V: il vero protagonista sono i multipli, anzi gli ì.aaKLS' noÀÀanÀ.aaw «equimultipli». Come detto, due grandezze A, C sono equimultipli di altre due B, D se e solo se A = nB e C = nD per lo stesso intero n. La nozione non è definita, probabilmente perché lo è quella di «multiplo» e l'avverbio Ì.aaKLS' convogliava un significato coincidente con quello corrente. L'uso del1'espressione, che è una relazione a quattro posti tra grandezze o, per essere più precisi, di due relazioni a due posti annidate,344 è però regolato implicitamente in maniera molto sottile. Si trovano in effetti due formulazioni della relazione di equimultiplicità: troviamo scritto sia al singolare ì.aaKLS' È:CJTL noÀ.À.anÀ.ciawv TÒ A TOU B KaL TÒ r TOU ~«è equimultiplo A di Be di D» (che diremo forma I), che al plurale ÈaTL Tà A, r TWV B, ~ L> e, più ristretta, LCJQKLS 6 A TÒV B µETpEL KaL 6 r TÒV L1 lA), con m,n,k,l E N

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Il punto sta nell'interpretazione della clausola ouvaTm 'TTOÀ.À.aTIÀ.acna(6µEva Ò.À.À.fjÀ.wv UTIEPÉXELV «se sono presi multipli, possono eccedersi tra loro». Dalla formulazione sembra indiscutibile che i multipli delle grandezze vadano presi prima di verificare se questi si «eccedano» o no, e che vadano presi multipli di entrambe. È poi ovvio che i multipli non possono eccedersi sempre, ma mi pare altrettanto chiaro che il participio congiunto non permette che lo facciano una volta soltanto (il che corrisponderebbe a quantificare esistenzialmente tutti i multipli). D'altra parte, la presenza di «possono» assicura che un quantificatore esistenziale sia presente. Infine, una definizione di rapporto tra grandezze incentrata sulla comparazione reciproca dei loro multipli non può che essere strettamente funzionale alla formulazione della cruciale definizione di proporzionalità della def.5: 354 se vogliamo che due rapporti siano identici secondo la definizione, occorre che almeno uno dei tre disgiunti si realizzi per ogni scelta di multipli (si veda sùbito sotto), e quindi che multipli arbitrari delle due grandezze in gioco possano reciprocamente superarsi. Da qui la necessità di introdurre il quantificatore universale nella trascrizione simbolica appena vista. D'altra parte, la reciproca comparabilità dei multipli è solo una condizione necessaria perché due grandezze abbiano un rapporto, ma il punto della def.4 è porre la stessa condizione anche come sufficiente. La nozione di rapporto ch;ne risulta è del tutto priva di contenuto intuitivo e non determina un oggetto, ma una relazione tra oggetti, e stabilisce con precisione il campo d'applicazione della teoria delle proporzioni del V libro. Da questo punto di vista, la def.4 può quindi essere considerata il vertice di astrazione dell'intera teoria delle proporzioni. Questa lettura minimale rende inutili le interpretazioni che vedevano V.def.4 come mirante o i) a eliminare dal gioco grandezze infinitesime/infinite o ii) ad ammettere la possibilità di rapporti anche tra grandezze incommensurabili oppure iii) a caratterizzare l'omogeneità di due grandezze. Le prime interpretazioni sono cieche ai semplici dati testuali ma miranti a confermare una ricostruzione globale,355 e proprio per questo largamente congetturale, del panorama matematico pre-eucli-

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ACERBI - INTRODUZIONE

deo comprendente le teorie delle proporzioni e dell'irrazionalità. È chiaro ad esempio che la teoria del libro V è intesa valere anche per grandezze incommensurabili, ma da qui a vederne un indizio esplicito nella formulazione di V.def.4 c'è una indebita estrapolazione che non può in fondo trovare appiglio, in mancanza di dati supplementari, nel nudo dato della formulazione. La terza interpretazione ha fini più modesti, ma lascia inspiegato il fatto banale che il termine «omogeneo» non compare nella definizione 4, e che questa è formulata in una maniera più complessa di quanto una semplice caratterizzazione del1' omogeneità richiederebbe. Lo stesso termine «omogeneo», che compare in V.def.3, assume che le grandezze siano omogenee e non fornisce un criterio per stabilire quando due lo siano. Evidentemente, la nozione di omogeneità fra grandezze era inclusa tra quelle da dare per note. Potremmo chiederci se V.def.4 trova un impiego in quanto tale e non come condizione necessaria a V.def.5. La sua applicazione viene tradizionalmente invocata in V.8 e in X.1. La prima applicazione in V.8 dice che, sex, y, z sono grandezze tali che x < y, allora (=lnln(y-x) > z)v(=lmlmx > z).

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Il fatto che di una delle grandezze non siano presi multipli non costituirebbe un problema per un'eventuale identificazione con V.def.4: se vale la condizione di Vdef.4, vale a fortiori anche per la grandezza, presa da sola, un cui multiplo sia maggiorato dal1' altro. 357 La seconda applicazione in V8 può essere scritta così:358 x

< y =:::> :Jn/(nx > y A(n-l)x < y).

Più debolmente, ma in modo equivalente alla prima applicazione in V.8, in X.1 si assume che x

< y =:::> :Jn/nx > y.359

Queste assunzioni sono ovviamente diverse da V.def.4: basta osservare che qui la formulazione è differente in certe

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particolarità lessicali (si leggano sia il greco che la traduzione)360 e che, soprattutto, non è questione di rapporto tra grandezze (anche se ciò che verrà dimostrato in V.8 è la disuguaglianza di due rapporti - ma che le grandezze abbiano rapporto non è tra i dati del problema e lo si dimostra contestualmente): una definizione non può essere invocata a fondare un argomento in cui il definiendum non compare. Le relazioni di V.def.4 con l'assunzione al lavoro in X.1 e quindi nel libro XII e con il lemma di Archimede3 61 hanno suscitato un ampio dibattito tra gli interpreti recenti. 362 Come vedremo presentando il libro XII, Archimede asserisce che servendosi del lemma che «l'eccesso per cui il maggiore di donùni disuguali eccede il minore, sommato a se stesso, può eccedere ogni dominio limitato dato» fu dimostrato ciò che leggiamo enunciato in XII.2, e per mezzo di uno «simile» a questo ciò che leggiamo in XII.18, porisma a XII.7 e XII.10. Il lemma di Archimede può essere scritto, con x, y, z tre linee o donùni piani o solidi,

x < y => 3n!n(y-x) > z. Non è difficile mostrare che il lemma di Archimede è equivalente ad una forma debole di X.1 (e ad X.1 stessa sex - y < x per ogni coppia di grandezze omogenee) e coincide con l' assunzione iii.' gioco nel libro XII. Se tutto ciò implichi qualcosa riguardo alla conoscenza da parte di Archimede di V.def.4 o della dimostrazione in X.1, alla sua volontà o meno di discostarsi da quella definizione, o addirittura riguardo alla cronologia di Archimede, resta materia di speculazione. L'importanza della questione è largamente sopravvalutata, comprensibilmente se pensiamo al ruolo che il cosiddetto «assioma di Archimede» ha avuto negli sforzi fondazionali tra otto e novecento. Può giovare osservare che i contesti tecnici in Archimede e nel libro V sono totalmente differenti, e che il lemma è formulato da Archimede in maniera da adattarsi esattamente alle dimostrazioni in cui intende applicarlo: tutto ciò può spiegare in maniera semplice le differenze di formulazione. Oltretutto, si osservi che quella del libro V è una definizio-

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ne, mentre in Archimede troviamo un'assunzione di tipo esistenziale.363 Tutto il libro V ruota intorno alla definizione di proporzionalità tra grandezze data in V.def.5, che conviene avere qui presente:364 'Ev Tc;ì aÙTc;ì Àoy

C:D3m,n E NIA B

>~;?;C. m

D

Da questa discende immediatamente V.def.7, più semplice di V.def.5 e quindi dalla formulazione più trasparente: A :B > C:D{::}3m,n E N/(mA. > nBAmC:S:nD);

e analogamente per il caso «minore di»: A :B >. Ebbene, buona parte delle occorrenze nel libro V sono interpolazioni posteriori. In primo luogo, solo poche di esse sono attestate nella tradizione arabo-latina: 5 in Adelardo, 3 in Gerardo (e un sottoinsieme delle prime), rispetto alle 32 in PT.377 La locuzione in ÉTVXEV ha due impieghi nel libro V: 1) Segnala l'arbitrarietà nella scelta di una grandezza direttamente coinvolta in un rapporto (come ad esempio in V7, 8, 14). 2) Esprime il fatto che una delle prescrizioni della def.5 sia regolarmente soddisfatta, cioè quella che gli equimultipli vanno presi Ka8' ÒTToLovovv TTOÀ.ÀaTTÀ.aawaµ6v «secondo quale si voglia multiplo». Ora, negli Elementi l'esplicitazione di una condizione verificata di routine viene progressivamente rarefatta, una volta che la condizione non stabilisca nessi logici necessari allo sviluppo della dimostrazione, oppure possa essere tranquillamente sottintesa dato il contesto. 378 Ci si dovrebbe quindi aspettare che un tale fenomeno abbia luogo anche per la clausola in ÉTVXEV nella verifica della def. 5, dal momento che la prescrizione di arbitrarietà degli equimultipli è automaticamente soddisfatta: i multipli non devono essere manipolati per essere condotti a soddisfarla. Ma la def. 5 è notoriamente sottile e difficile. Un revisore coscenzioso potrà ben avvertire tra i suoi compiti quello di mostrarla sempre verificata in tutti i suoi dettagli. L'impressione di una standardizzazione sistematica è confermata dal fatto cruciale che la locuzione in ÉTVXEV si trova

a

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anche dove non dovrebbe stare. Abbiamo in effetti appena visto che può servire ad esprime arbitrarietà e indipendenza mutua nella scelta dei multipli in gioco nella def. 5. Ma quando si ha a che fare con disuguaglianze di rapporti, come nelle proposizioni V8 e 13, occorre fare ricorso alla definizione 7: ·oTaV oÈ TWV LCHIKLS' lTOÀÀmrÀa-

a(wv TÒ µÈv TOU TIPWTOU lTOÀÀalTÀaaLov uTIEPÉXD Tou Tou 8EvTÉpou lTOÀÀOlTÀaa(ou, TÒ oÈ TOV TpllTOÀÀaTIÀaawv µ~ UlTEPÉXD Tov TOV TETapTou lTOÀÀalTÀaa(ou, TOU

TOTE TÒ 1Tp6ìTov lTpÒs TÒ oEilTEpov

Àoyov EXELv

µE((ova

ÀÉì'ETOL,

E quando degli equimultipli, il multiplo della prima ecceda il multiplo della seconda, e il multiplo della terza non ecceda il multiplo della quarta, allora la prima rispetto alla seconda è detta avere rapporto maggiore che la terza rispetto alla quarta.

~lTEp TÒ Tpl TOV lTpÒs TÒ TÉTapTOV.

La seconda coppia di multipli non può essere arbitraria in questo caso, dal momento che non ogni coppia funziona, 379 e infatti nella def. 7 la frase che nella definizione 5 è introdotta da Ka9' onoLovovv «secondo quale si voglia>> non c'è. Inserire ETUXEV in questi casi è un errore grave. L'errore è particolarmente evidente in V13: TWV µÈv

r,

LCTUKLS lTOÀÀalTÀci>: sono tutte nella costruzione, e questo indica chiaramente quanto il termine EKBEuLS sia mal scelto. 145 Lo stesso termine greco denotava anche, e principalmente, le condizioni di risolubilità di un problema (si veda più oltre). Quest'ambiguità è un ulteriore indice dell'artificiosità della classificazione di Proclo.

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ACERBI - INTRODUZIONE

146 Le ipotesi sono uno dei dicibili non proposizionali del sistema stoico. Si veda S. Bobzien, The Stoics on Hypotheses and Hypothetical Arguments, Phronesis 42 (1997), pp. 299-312. 147 Richiami impliciti alla figura sono indice di rifacimento di una dimostrazione: questi sono molto più facili e naturali col codice che con il rotolo, dove tipicamente la figura, posta al termine dell'intera proposizione, non si vedeva mentre veniva letta la dimostrazione. Richiami espliciti sono interpolazioni sicure. 148 Lo scambio delle lettere denotative (qui da BA ad AB) in occorrenze consecutive è un fenomeno fuori controllo, essendo strettamente dipendente dagli accidenti di copia. 149 Principalmente per distinguere i vari oggetti geometrici: se ad es. in una dimostrazione intervengono più di due rette, come identificade? 150 Esempio: negli Elementi (ma non nei Data) uno «gnomone» è sempre denotato con tre lettere, ma è più plausibile che ognuna di queste denotasse uno dei tre parallelogrammi di cui si compone ogni gnomone che non l'intersezione di certe rette con un arco di circonferenza a tratteggio che di norma identifica lo gnomone stesso nelle figure dei manoscritti (Heiberg riproduce fedelmente questa caratteristica, si veda ad esempio Elementi II). 151 Questa pratica crea un problema che non è semplice risolvere, visto che possono aver giocato un ruolo decisivo riscritture e normalizzazioni tardive. 152 Ambiguità con la designazione della diagonale identificata dai due stessi punti non sono possibili, perché in greco questa è femminile e un quadrilatero è neutro: dotare di articolo le lettere serve anche a evitare ambiguità di questo genere. 153 Proclo non fa mai cenno a questo significato, neanche quando commenta I.22, che contiene la prima determinazione (in senso proprio) degli Elementi. Troviamo la questione del doppio significato discussa brevemente da Eutocio nel suo commento alle Coniche di Apollonio (in Apollonio, Opera, vol. II, p. 178.4-15), per spiegare l'accenno alle determinazioni nella descrizione apolloniana del libro IL Eutocio cita come esempio di determinazione proprio l'enunciato di I.22. 15 4 Un dettaglio: Heiberg, contro la lezione unanime dei codici, corregge otj in .SÉ, seguendo il lemma di Proclo e una lezione erronea nella citazione di Eutocio di I.22, una proposta di August per VI.28. La correzione nell'edizione del libro XI (Euclide, Opera omnia, vol. IV, p. 33.9 Heiberg-Stamatis in app. n, immagino dovuta a Stamatis, è conseguenza dell'aver Heiberg stabilito, nell'edizione critica di Apollonio del 1893, che anche Eutocio leggeva 8tj. (La questione non può essere decisa solo su basi filologiche, dato che il fenomeno dello iotacismo rese le due particelle foneticamente indistinguibili; ma in una determinazione il carattere connettivo di otj è di gran lunga più adatto.) 155 Abbondavano, ovviamente, nelle opere perdute comprese nel cosiddetto corpus analitico, come Pappo attesta nel corso di tutto il libro VII della Collectio. Si veda l'introduzione ai Data per ulteriori informazioni sul corpus analitico.

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156 Il termine 8tciCYTT]µa «intervallo» è usato per motivì grammaticali: un'espressione preposizionale come ÈK TOU KÉVTpou «raggio», priva di articolo come richiesto dalla formula delle applicazioni del terzo postulato, non è declinabile in casi; si veda M. Federspiel, Sur l' expression linguistique du rayon dans les mathématiques grecques, Les Études Classiques 73 (2005), pp. 97-108. 157 Nella sezione 11.2 del capitolo dedicato alla matematica pre-euclidea. 158 Il termine può significare sia che, per metonimia, «dimostrazioni (costruzioni) geometriche>>, ed a mio avvìso la pluralità di significati deve essere mantenuta ovunque si possa, anche a costo di introdurre lunghe perifrasi. 159 Metaphysica e 9, 1051a24-33. 160 Ma mai direttamente alla costruzione tramite la quale il dato di fatto risulta realizzato; i riferimenti di questo tipo in II.11-13 o XI.35 sono solo apparenti: ci troviamo in realtà di fronte alla citazione istanziata dell'enunciato di un teorema. 161 M. Federspiel, Sur l'opposition dé/ini/indéfini dans la langue des mathématiques grecques, Les Études Classiques 63 (1995), pp. 249-293. 162 Occorrenze di perfetto coincidono con quelle menzionate nella nota prima della precedente e si spiegano allo stesso modo. 163 Ad esempio all'inizio della dimostrazione di III.8, dove si effettua una costruzione: «E poiché AM è uguale a EM, sia stata sommata ~ comune». 164 Diogene Laerzio, Vitae philosophorum VII.71. 165 Diogene Laerzio, Vitae philosophorum VII.74. 166 Simplicio, In De cado, pp. 552.31-553.4 Heiberg (= fr. 112C Fortenbaugh et al). 167 Euclide, Opera omnia, vol. I, pp. 57.14 e59.3 in app., rispettivamente. 168 I.:unico esempio di «o» monosillabico anteposto si trova nella definizione 5 del V libro. 169 Disgiunzioni non esclusive in I.28, III.def.l, 11, VII.def.19-21 e VIl.913 (che aìràlizzeremo presentando il libro VII). Naturalmente, ci aspettiamo disgiunzioni non esclusive nelle definizioni, quando ne siano proposte di alternative. 170 Pappo, Collectio VIl.9, pp. 89.25-91.4 Jones; cfr. pp. 642.19-644.4 Hultsch. Vedremo che Pappo si rammarica del fatto che i Porismi euclidei non gli permettano di realizzare il suo exploit. 171 Simili interessi combinatori sono impliciti negli enunciati omnicomprensivi che Pappo elabora per le Tangenze di Apollonio e per alcuni dei Porismi euclidei (Collectio VIl.11, pp. 91.22-93.7 Jones; cfr. pp. 644.23-646.6 Hultsch, e VIl.16, p. 99.2-20 Jones; cfr. pp. 652.18-654.15 Hultsch rispettivamente). 172 Pappo, Collectio VIl.23, p. 107.16-25 Jones; cfr. pp. 662.25-664.7 Hultsch. 173 Questo terzo «e>> è un 8É in greco, a se,,,onalare che quella che introduce è un'ipotesi che non va inserita nella congiunzione che precede. 174 Si confronti la classificazione stoica degli enunciati negativì in Diogene Laerzio, Vitae philosophorum VII 69-70.

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175 La negazione dell'intera proposizione per anteposizione della particella negativa era dottrina stoica caratterizzante la loro teoria logica, ma già argomenti di Diodoro Crono e Arcesilao impiegano volutamente l'accorgimento (Sesto Empirico, Adversus mathematicos VII 157 e X 85-101; non è però chiaro se i loro argomenti siano vittime di da una riscrittura sestiana). Si vedano A.C. Moorhouse, Studies in the Greek Negatives. Cardiff, University of Wales Press 1959, per una trattazione generale dei negativi nella prosa greca (sebbene il campione di prosa post-classica sia limitato) e W Cavini, La negazione di frase nella logica greca, in M.C. Donnini Macciò, M.S. Funghi, D. Manetti (curr.), Studi su papiri greci di logica e di medicina. Accademia toscana di Scienze e Lettere . «Studi>> LXXIV. Firenze, Leo S. Olschki 1985, pp. 7-126, per quanto riguarda gli aspetti più spiccatamente logici. 176 Il caso di X.42-47 è solo apparentemente più complicato. 177 Moorhouse, Studies, p. 76. 178 L'unica eccezione apparente è in VI.26, ma si tratta quasi sicuramente di un caso accidentale, dovuto alla forma particolare dell'asserzione negata, che ha il verbo «essere», negato a sua volta, anteposto. Le due negazioni sono ad ogni buon conto separate da un «quindi>>. 179 Ciò era stato còlto già da Galeno, che ne parla in Istitutio logica XII.58. 180 Negli Elementi non c'è mai tendenza ad enunciare i teoremi nei termini più generali possibili; è anzi vero il contrario, specialmente se ciò che serve nel séguito non è il caso più generale (esempi in V.2-3 e 5-6). 181 Si confrontino anche le considerazioni in Topica B 3, 110a32-b7. 182 Il riferimento è criptico; potrebbe riferirsi al parallelismo di rette che formino angoli corrispondenti uguali con una trasversale; per «angoli che si incontrano» occorrerebbe intendere l'intersecarsi di due dei loro lati, una volta posti i due restanti in linea retta. Si noti che la dimostrazione non richiede il quinto postulato, come non lo richiede nessuna condizione sufficiente al parallelismo: basta ossèrvare che se le rette non fossero parallele darebbero origine ad un triangoio, contraddicendo così Elementi I.16. Così dimostrano gli Elementi in I.27-28. 183 Discuteremo questo passaggio presentando il libro V. 184 L'accenno è alla controversa ed estremamente sottile dottrina aristotelica degli enti matematici come ottenuti per «sottrazione». Si vedano le considerazioni più ampie in Metaphysica M 1-3. 185 È probabile che con «figura>> si intenda quella triangolare, «limite» riferendosi alla mera esistenza di una figura geometrica (in quanto delimitata da linee). 186 Analytica posteriora A 4, 73b26-74a3 ed A 5, 74a4-74b4. Il recente articolo di P.S. Hasper, Sources of Delusion in Analytica Posteriora I.5, Phronesis 51 (2006), pp. 252-284, non offre niente di nuovo dal punto di vista interpretativo; la discussione dei riferimenti aristotelici alla teoria delle proporzioni è dilettantesca. 187 Analytica posteriora A 24, 85b38-86a3. 188 Analytica posteriora B 17, 99al6-21.

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189 Per un'analisi parziale, limitata all'uso dei determinativi di arbitrarietà nel V libro, si veda più oltre la presentazione di quello stesso libro. l90 Eccone l'elenco: I.16-20, (22), 32, 43; III.16; (V 1, 12); VI.24, 27; VII.4, 29, 31-32; IX.8-10, 20, (35); XI.2, 18, 21; XII.3, (4), 7, 10. Le proposizioni tra parentesi contengono forme di «ogni>> o non connesse con la generalità dell'enunciato. 19 1 I.def. 15; I.post.i, 3, 4; II.def. 1, 2; VI.def. 4; XI.def. 3, 11. 192 Arbitrarietà segnalata da «come càpita» nel testo. 193 Nella stessa traduzione troviamo poco prima un richiamo esplicito della definizione di angolo retto, assente nel testo greco. Evidentemente non tutti i revisori vedono le stesse lacune deduttive. 194 Alla c. 340.48-53 Busard. 195 Nel corpus matematico antico lo si ritrova solo in Teone, In Almagestum I.2. 196 Solo una grandezza è dotata di lettere. 197 È questo il caso ad esempio per le occorrenze delle forme del determinativo di arbitrarietà «come càpita>> in Elementi V. 198 Una curiosità: nel libro VII i soli tre teoremi che presentano una conclusione hanno anche il quantificatore nell'enunciato. La tradizione arabolatina non aiuta, anzi: in una delle traduzioni medievali tutti i teoremi del libro XII sono quantificati! 199 Contrariamente all'uso attuale, nello stile matematico greco viene specificato, qui con «uno e l'altro», quando i termini di una sequenza vanno presi separatamente, mentre l'assenza di specificazioni comporta che i termini vadano sommati. 2 00 La qualificazione «a partire da A minimo» è necessaria nell'istanza ma non nell'enunciato. 201 Che sia un pentagono la figura in gioco non si ricava dalla figura, ma dal numero delle lettere che nel testo denotano l'oggetto geometrico >, ed R (in effetti una relazione di identità) può essere collocata anche in posizione differente, ad esempio R, ecc.; nel ca"SG della forma II, lo stesso simbolo denota semplicemente una coppia ordinata. Ho anche rimpiazzato A con mB and C con mD, nella speranza di rendere la cosa più chiara. 347 In V3 si dimostra come comporre relazioni di equimultiplicità con multipli differenti. Si tratta di una forma di transitività differente da quella qui considerata. 348 Nel libro V otteniamo: le proposizioni 11, 12, 13, 22, 23 hanno solo la forma Il; le proposizioni 2, 5 e 15 solo la forma I; le proposizioni 3, 4, 6, 7, 8, 16, 17 entrambe. Gli altri teoremi non usano gli equimultipli. 349 Far apparire l'espressione «le stesse volte» anche nella traduzione della denominazione degli equimultipli sarebbe stato preferibile, ma non sono riuscito a trovare una soluzione soddisfacente. 350 La seconda formulazione compare per la prima volta nell'enunciato di VII.15. 35l 1TTJÀLKOTT]S compare ancora solo nell'inautentica VI.def.5. 35 2 Si noti anche che Vdef.3 identifica il rapporto come un tipo di relazione e Vdef.4 specifica quando due grandezze siano in tale relazione.

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353 La mia proposta differisce da quella in Mueller, Philosophy of mathematics, p. 144, dove i quattro multipli sono quantificati solo esistenzialmente. Occorre sempre intendere che gli interi siano maggiori di 1. 3 54 Occorre ovviamente supporre, com'è d'altronde del tutto naturale, che essere . 357 Come detto sopra, non~ semplicemente un caso particolare della definizione, in quanto una grandezza non è un multiplo di se stessa. 35 8 C'è una terza applicazione in V.8, ma in una parte della dimostrazione che è un'aggiunta posteriore. 359 Quest'assunzione e X.1 sono di fatto equivalenti. 360 La presenza del participio rroÀÀ.mrÀaC:D, per ogni

°

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mEN fissato esiste solo un insieme finito di nEN tali che mA>nB ma mCS11D, e per certi m*eN e m 3, 158b29-35), in cui asserisce che «avere le stesse sottrazioni reciproche» è la definizione di «stesso rapporto». 399 Le altre proposizioni in cui sia applicata V.def.5 sono VI.3 3, XI.25 e XII.13. 400 Nell'ordine: angoli uguali I lati in proporzione I un angolo uguale ed j lati che lo comprendono in proporzione I un angolo uguale e i lati che comprendono un altro angolo in proporzione (i terzi angoli contemporaneamente maggiori o minori di un retto). 401 Nel libro XI tornerà utile il rapporto triplicato, definito in V.def.10. Si veda lo stùèrio K. Saito, Duplicate Ratio in Book VI of Euclid's Elements, Historia Scientiarum (New Series) 3 (1993), pp. 115-135. 402 Cfr. il porisma a VI.19, mal collocato, e il secondo porisma, inautentico, a VI.20. Una dimostrazione che il rapporto raddoppiato di due grandezze è univocamente determinato dal rapporto delle stesse grandezze è sostanzialmente contenuta nella prima parte della dimostrazione di VI.22. 4 o3 VIII.19 e 27 nel caso del rapporto triplicato. 404 Questa apparente incongruenza argomentativa mostra che eseguire l'applicazione parabolica non è lo scopo precipuo di I.44, che va letta invece come un passaggio decisivo nella teoria della quadrabilità delle figure rettilinee. 405 Conseguentemente, in contesti metrici il termine Tiapa~oÀ~ divenne sinonimo di «divisione>>. 406 Nessuno dei tre aggettivi compare negli Elementi. Le forni.e verbali corrispondenti compaiono invece negli enunciati delle tre costruzioni. I nomi attuali delle tre coniche si riferiscono ovviamente a queste pratiche costruttive. Proclo (In primum Euclidis, pp. 419.15-420.21 Friedlein), sulla base di 39l 392 3 93

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una testimonianza di Eudemo, attribuisce l'invenzione della tecnica dell'applicazione delle aree alla «musa dei Pitagorici» ed asse.risce che i geometri «più recenti trasferirono i nomi anche alle cosiddette sezioni coniche». Il riferimento ai Pitagorici va naturalmente interpretato come sinonimo di «preeuclideo». 407 Per le qualificazioni dei dati si veda l'introduzione ai Data. 408 Per lo studio dei libri aritmetici è uno strumento indispensabile C.M. Taisbak, Division and Logos. A Theory o/ Equivalent Couples and Sets o/ Integers Propounded by Euclid in The Arithmetical Books o/ the Elements. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium, vol. 25. Odense University Press 1971. Si veda anche Mueller, Philosophy o/ Mathematics, cap. 2. 409 La terminologia era già fissata in epoca platonica: in Parmenides 154D una certa relazione di proporzionalità è espressa nel linguaggio delle in Apollonio, Opera, vol. I, pp. 6.1 e 66.16 Heiberg (rispettivamente a precedere l'intero trattato e la prop. I.17). Ciò mostra che le denominazioni del libro X non hanno niente a che vedere con una sua possibile partizione originaria in tre rotoli (così ad esempio in T. Dorandi, Il libro X degli Elementi di Euclide, Prometheus 12 (1986), p. 225). 449 X.108 (mediale sottratto da esprimibile): apotome o minore; X.109 (esprimibile sottratto da mediale): apotome prima di una mediale o che con un esprimibile fa il totale mediale; X.11 O (mediale sottratto da mediale): apotome seconda di una mediale o che con un mediale fa il totale mediale. 450 Il lettore è invitato a confrontare questa descrizione con i raccapriccianto prospetti algebrici che accompagnano l'edizione Heiberg-Stamatis o certe traduzioni. 451 Ofil:e che nel libro di Mueller (capp. 6 e 7), la struttura deduttiva dei libri stereometrici è studiata in E. Neuenschwander, Die stereometrischen Biicher der Elemente Euklids, Archive far History of Exact Sciences 14 (197475), pp. 91-125. 452 Non troviamo postulati tipicamente stereometrici, per quanto necessari e facilmente formulabili in analogia con quelli piani. Evidentemente la streometria non era ritenuta una disciplina indipendente dalla planimetria. Tentativi di riduzione, d'altronde non ben riusciti, si trovano nelle prop. XI.1-3 e 7. 453 Due definizioni alternative, di cui la prima sicuramente spuria. 454 Le definizioni delle figure rotonde sono tutte «cinematiche>>. 4 55 Coni e cilindri sono retti. 45 6 Se la somma di ogni coppia è maggiore di due retti, la dimostrazione può essere facilmente adattata al caso in cui l'appiattimento non produce una figura convessa, ma allora la condizione di XI.21 entra in modo esplicito e cruciale. 45 ì Banale controesempio alla richiesta che i tre angoli di XI.22 siano

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insieme minori di 4 retti: si prendano tre angoli uguali maggiori di 4/3 di un retto. I tre lati di base sono uguali tra loro e quindi possono sempre formare un triangolo. 458 Quasi sicuramente inautentici, né li troviamo nella tradizione indiretta. Questa fornisce una dimostrazione di XI.23 differente a quella mantenuta da Heiberg nel testo critico principale. 459 Il porisma a XII.8 è in margine ( ! ) in P, per quanto trascritto dalla prima mano, eppure Heiberg lo mantiene nel testo critico principale. 460 VI.20 vale in generale per poligoni; la prima, seconda e quarta fattispecie non hanno senso per la sfera, la prima non ne ha per triangoli e piramidi. 461 XII.14 è una conseguenza immediata di XII.13. Nessuna delle due è presente nella tradizione indiretta. 462 Come visto nell'introduzione al libro VI, un rapporto triplicato non è della forma a:b, i termini essendo i cubi costruiti sugli elementi caratteristici. Il problema è qui insignificante. 463 Due assunzioni mai rese esplicite: esistenza di un quarto proporzionale omogeneo alla grandezza sostituita ed ordinamento totale tra grandezze omogenee. 464 Che la denominazione sia fuorviante (il solido da stimare non è «esaurito») e non risulti da nessuna fonte antica è un problema trascurabile; dopotutto, si tratta di un'etichetta di comodo appiccicata ad una procedura. 465 Nel resto del corpus matematico greco la procedura ammette variazioni significative, legate all'introduzione di sequenze approssimanti sia dal basso che dall'alto (metodo detto «di compressione»); il repertorio è dispiegato i.. r1 tutta la sua ampiezza da Archimede: si veda Dijksterhuis, Archimedes, pp. 130-133. 466 Costruire la figura simile ad S non costituisce mai un problema. In casi di difficoltà, basta ripetere la procedura che genera S e che descriverò tra breve. 467 In realtà non si usa V.14, ma alternando seguita dall'applicazione della proprietà che, se A:B::C:D e A>B, allora C>D (abbiamo accennato a questo problema discutendo V.def.5). 468 Così ad esempio nella dimostrazione del lemma XII.2/3. 469 Si noti che le grandezze intermedie nelle sottrazioni successive si cancellano l'una con l'altra. 470 Questa costruzione presenta delle difficoltà matematiche piuttosto sottili. Si vedano le discussioni in Knorr, The Wrong Text, pp. 242-253 e 261274, e di Vitrac in Euclide, Les Éléments. Voi. 4, pp. 355-371. 471 Archimede, Opera omnia, vol. I, p. 4.2-13, e voi. II, pp. 430.1-9 Heiberg. 472 Opera omnia, voi. II, p. 264.9-22 Heiberg. Per una breve discussione del lemma di Archimede in relazione a V.def.4, X.1 e al procedimento di esaustione applicato nel libro XII si veda la presentazione del libro V qui sopra. 473 Specialmente il primo, che rende rigorose idee che erano contenute in nuce in certe quadrature fallaci.

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47 4 Queste proposizioni non hanno una struttura canonica, consistendo in un problema e un teorema racchiusi dallo stesso enunciato. 475 Pappo offre costruzioni alternative (sempre inscrizioni in sfera data) dei poliedri regolari in Co/lectio III.75-95; queste sono caratterizzate dall'uso di analisi e sintesi. Lo stesso Pappo, all'interno di una trattazione più ampia del problema isoperimetrico, confronta poliedri regolari isoepifani (cioè di uguale superficie) in V.72-102. La seconda esposizione di Pappo ha molti punti di contatto con quella di Ipsicle. 476 Applicazione di Data def.1 al diametro della sfera, che determina univocamente la sfera data in grandezza. 477 Eccettuata XIII.9, che asserisce che il lato di un esagono e di un decagono inscritti nello stesso cerchio, se giustapposti, formano una retta secata in rapporto estremo e medio. 478 La dimostrazione è elegante ma opaca: sono state avanzate proposte su come questa proprietà possa essere stata scoperta. Si veda Sachs, Die fiinf platonischen Korper, pp. 102-103, eJ.P. Hogendijk, Observations on the Icosahedron in Euclid's Elements, Historia Mathematica 14 (1987), pp. 175-177, per una connessione esplicita con la costruzione dell'icosaedro, e C.M. Taisbak, Splitting a Square. Analysis of Euclid's Euclid's Elements xiii.10, Centaurus 41 (1999), pp. 293-295, per una proposta alternativa. 47 9 Scolio liminare al XIII libro degli Elementi (Euclide, Opera omnia, vol. V,2, p. 291 Heiberg-Stamatis), tradotto nella sezione 8 del capitolo dedicato alla matematica pre-euclidea. Si veda in primis Sachs, Die /un/ platonischen Korper, che resta uno studio fondamentale, e più recentemente il bel1' articolo W.C. Waterhouse, The Discovery of the Regular Solids, Archive /or History o/ Exact Sciences 9 (1972-73), pp. 212-221. 480 Nella storia riassunta da Ipsicle non trova posto il XIII libro degli Elementi. Il riferimento al termine della prima proposizione è quasi sicuramente un'interpolazione. 481 Ad ;empio, il lemma finale, sull'unicità del rapporto determinato da una retta secata in rapporto estremo e medio, è richiesto nelle proposizioni che precedono. C'è quindi il sospetto che sia un'aggiunta posteriore. 482 Segnalo la pubblicazione di un trattato di argomento affine noto in due versioni, in arabo ed ebraico. La redazione araba non è la traduzione di un trattato greco, contrariamente a quanto affermato in prima battuta. La versione ebraica non è ancora stata edita. Si vedano J.P. Hogendijk, YT. Langermann, A Hiterto Unknown Hellenistic Treatise on the Regular Polyhedra, Historia Mathematica 11 (1984), pp. 325-326, e J.P. Hogendijk, An Arabic Text on the Comparison of the Pive Regular Polyhedra: "Book XV" of the Revision o/ the Elements by Muhyi al-Din al-Maghribi, Zeitschri/t /ur Geschichte der arabisch-islamischen Wissenscha/ten 8 (1994), pp. 133-233.

ID B. DATA I Data sono la prima in ordine tra le opere propedeutiche ali' acquisizione di abilità atte a risolvere problemi geometrici con la tecnica dell'analisi. Così ci spiega Pappo nella sua presentazione del corpus analitico all'inizio del libro VII della Collectio. Per tentare di capire i Data, opera quanto più possibile lontana dalla nostra pratica e sensibilità matematica, è dunque opportuno dotarsi di una spiegazione preliminare di che cosa sia l'analisi e sintesi antica. Questo è però un problema storiografico gigantesco. Mi limiterò pertanto a proporne una descrizione sommaria e, soprattutto, a mostrare tramite esempi che i resoconti correnti danno un'immagine alquanto parziale, quando non erronea, delle forme che assunse il procedimento. Non mi soffermerò sul problema delle possibili origini del metodo, né sulla favoletta di Proclo che ne attribuisce l'invenzione a Platone. 1 1. Analisi e sintesi

LA Definizioni Nel corpus matematico antico troviamo alcune definizioni di analisi e sintesi. La più nota è quella di Pappo (in corsivo alcuni punti discussi nel séguito):2 Collectio VII.I 'O KaÀ.ovµEvos cìvaÀ.uoµEVOS,

'Epµ68wpE TÉKVOV,

KaTà avÀ.À.Y]\j!Lv ì.8(a TLS Èanv UÀ.YJ 11apEaKEuaaµÉvYJ KOLVWV

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ypaµµàls ovvaµLV EUpETL~V TWV TIPOTELVOµÉvwv auTOLS Tipo~À.Y]µaTwv,3 Kal ELS TOilTo µ6vov xpria(µri

Ka8EaTwaa.

yÉypa11Tm

Il cosiddetto corpus analitico, 6 diletto Ermodoro, è per dirla in breve una certa materia particolare predisposta, dopo la composizione degli elementi generali, per coloro che vogliono acquisire nelle dimostrazioni geometriche una capacità di scoperta dei problemi loro proposti, e risulta utile per questo soltanto. È stato scritto da tre autori,

440

ACERBI - INTRODUZIONE

8È ùrrò TpLwv àv8pwv, EÙKÀEL8ov TE TOU CJ"TOLXELWTOU KaÌ. 'ArroÀÀwv(ov TOU IlEpya(ov KaÌ. 'ApwTa(ov Tou rrpEu~vTÉpov, KaTà àvaÀvaw KaÌ. uvvernw EXOVCJQ TTjv €o8ov.

dvaÀV(J'lç TOLVVV €aTLV o8òç drrò TOV (TJTOVµÉvov wç oµoÀoyovµ€vov 8Là Twv Eçfìç dKoÀovBwv €rr[ Tl oµoAoyovµEvov uvvBÉaEt · Èv µÈv yàp TQ àvaÀVCJEL TÒ (T)TOVµEws- yEyovòs- ùrro0ɵEvoL TÒ Èl; ou TOUTO uvµ~a[vEL CJKorrovµE8a KaÌ. TrclÀLV ÈKELVOV TÒ trpOT]YOVµEvov, EWS" èìv OUTWS àvarro8[(ovTES" KaTavTtjuwµEv ELS n Twv i]8T] yvwpL( oµÉvwv ~ Ta/;Lv àpxfis- ÈXOVTwv· KQL TÌ}V TOLQVTT]V €o8ov àvaÀVO"LV KQÀOUµEv, olov àvcirraÀLV ÀVCJLV. Èv 8È TQ uvv0ÉCJEL È/; ùrrouTpoi'ìs TÒ Èv Tfj àvaÀVCJEL KQTUÀT)0Èv UuTaTOV Ù1TOCJTT]CJciµEvoL yEyovòs i]8ri, Kaì. ÉrroµEva Tà ÈKEL [Èvrnu8a] 1TPOTJYOUµEva KaTà vuw Tcil;avTES KaÌ. àÀÀtjÀOLS Èmuvv0ÉVTES", ELS TÉÀos àLKVovµE8a Tfjs Tou (T)TovµÉvov KaTaCJKEvfjs-· KaÌ. TODTO KaÀ.ouµEv CJVV0ECJLV. VII.2 .6.LTTÒv 8' ÈCJTÌ.v àvaÀ.VCJEWS" yÉvos, TÒ µÈv (T)TT)TLKÒV TàÀ.T)0oils, 8 KUÀELTQL 0EWpT)TLKOV, TÒ 8È 1TOpL, è già soddisfatto alla fine dell'analisi. È quindi scorretto caratterizzare una dimostrazione per analisi e sintesi come quelle in cui la soluzione è assunta come realizzata. 6) Analisi e sintesi non sono esclusive del dominio geometrico. Di Diofanto, culmine della teoria dei numeri antica, non ci sono rimaste che dimostrazioni di questo genere, e della stragrande maggioranza di queste solo le analisi. 34 Molte delle analisi e sintesi in Erone e Tolomeo non possono essere considerate puramente geometriche. 7) Analisi e sintesi non furono applicate solo alla risoluzione di problemi di costruzione, e questo indipendentemente dalla manciata di analisi e sintesi teorematiche che troviamo in Pappo. Le analisi e sintesi teorematiche furono inventate molto prima di Pappo, ne rimangono di attestate nelle Coniche di Apollonia e queste entrano a buon diritto nel corpus analitico antico. D'altro canto, Pappo distorce la realtà storica, cui comunque non era sicuramente interessato, mettendo analisi problematiche e teorematiche sullo stesso piano, come se le prime non fossero la forma di gran lunga più diffusa di analisi geometrica, e molto probabilmente quella originaria. 8) In un'analisi non si trovano deduzioni che procedono «all'indietro». Si danno solo pochissimi esempi di analisi strutturate esplicitamente come ricerca degli antecedenti, in ogni caso nell'àmbito teorematico, ma le deduzioni, per quanto formulate in maniera molto peculiare, sono sempre «in avanti». A mia conoscenza sono di questo genere solo Pappo, Collectio N.6-7 e 17-18, VI.125, VII.73, 191, 225-226, 231 e 321, Apollonia, Conica III.24-26 e, nel corpus archimedeo, De sphaera et cylindro II.8 aliter (quasi sicuramente spuria).35 Sono d'altronde attestate analisi teorematiche (le dimostrazioni alternati-

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ve a Elementi XIII.1-5) che non si presentano come ricerca di antecedenti né ovviamente contengono passaggi «all'indietro». 9) In un'analisi non c'è niente di euristico, ed è formalizzata esattamente come la sintesi. L'idea che la fase analitica della dimostrazione di un problema di costruzione riproduca in qualche modo la linea di pensiero del matematico mentre è alla ricerca della risoluzione di quel problema è del tutto erronea, sebbene l'errore risalga ali' antichità. L'irriducibilità del procedimento di analisi e sintesi ad una procedura meccanica è conseguenza della necessità di ricorrere a costruzioni ausiliarie, come ben videro Hintikka e Remes,36 ma questo non rende un' analisi più euristica di una proposizione provata solo per via sintetica. Che l'euristica antica (come quella moderna d'altronde) procedesse per via analitica è probabilmente vero, che l'abilità euristica si formi studiando il corpus analitico è sicuramente vero, ma ciò non ha niente a che vedere con quanto avviene in una dimostrazione per analisi e sintesi. 10) Non è vero che ci sono pochissime analisi «pubblicate». Tutte le opere di Apollonio, a parte quasi sicuramente le Coniche, erano strutturate per analisi e sintesi, e lo stesso vale per il corpus matematico euclideo minore. Il corpus anàlitico antico era molto ampio: semplicemente ce n'è pervenuta una parte minima. I nostri dati suggeriscono anzi che buona parte della letteratura matematica prearchimedea fosse nel formato di analisi e sintesi (eccezione notevole gli Elementi). 37 Sulla persistenza della forma analitica al tempo di Apollonio giocarono probabilmente anche fattori stilistici quali il collocarsi in un genere letterario ben definito. Inoltre, se la sintesi da sola può bastare a dimostrare un teorema o a costruire un problema, essa si rivela totalmente non trasparente quando il problema comporti limitazioni di possibilità alla costruc zione (la cosiddetta determinazione): a queste si arriva in modo naturale tramite l'analisi. Non è però detto che qualsiasi costruzione data in forma sintetica fosse prece-

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ACERBI - INTRODUZIONE

duta da un'analisi che poi è stata omessa, né a maggior ragione è detto che, se un'analisi preliminare era stata fatta, questa fosse usata per produrre la sintesi. Nessuna delle analisi ricostruite nel magistrale libro di Knorr ha la benché minima plausibilità storica, specialmente perché tutte le sue analisi sono l'inversione della dimostrazione sintetica attestata. Per capire come funziona il metodo, iniziamo dalle procedure ritenute canoniche: trascriviamo e discutiamo due analisi e sintesi problematiche in qualche modo esemplari. L'aggettivo va chiarito: grazie al naufragio delle fonti antiche, e in particolare della quasi totalità del corpus analitico, la stragrande maggioranze delle analisi geometriche problematiche anteriori a Pappo è contenuta in una singola opera, il De sectione rationis di Apollonia. Per il resto, una manciata di problemi in Archimede,38 lo stesso nelle Coniche di Apollonio,39 la soluzione di Diocle ad un problema lasciato aperto nel corpus archimedeo40 - e basta. Il De sectione rationis ci è stato trasmesso solo in arabo e ho preferito attenermi à testi greci. Il testo arabo non è ancora stato edito, e occorre rivolgersi alla traduzione latina di E. Halley, comunque eccellente. 41

1.B.1 Apollonia, «Conica» II.50 e Archimede, «De sphaera et cylindro» II.3

Della lunga proposizione 50 del libro II delle Coniche di Apollonia traduco solo la parte relativa alla parabola,42 inserendo commenti e riferimenti alle proposizioni dei Data. L'unico prerequisito di teoria delle coniche a questa ·dimostrazione è la conoscenza della proprietà della sottotangente alla parabola. Questa può essere formulata semplicemente nei termini seguenti (si veda la figura qui sotto). Da un punto r di una parabola conduciamo la perpendicolare ali' asse e la tangente alla parabola; entrambe intersecano l'asse della parabola, nei punti B e Li rispettivamente. Il segmento Bil dell'asse compreso tra i due punti di intersezione si chiama sottotangente. La proprietà

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della sottotangente dice che questa è secata a metà dal vertice A della parabola (Conica I.35): ~A= AB. 43 Conica Il.50 Condurre una tangente alla sezione di cono data, tale che faccia sull'asse un angolo, dalla stessa parte della sezione, uguale ali' angolo acuto dato. Sia in primo luogo come sezione di cono una parabola, asse della quale AB: si deve pertanto tracciare una tangente alla sezione, tale che faccia sull'asse AB un angolo, dalla stessa parte della sezione, uguale ali' acuto dato. Risulti essere, e sia r ~ (la soluzione è assunta come realizzata): l'angolo B,1.I' è quindi dato (proprietà della soluzione richiesta dall'.enunciato e Data de/ 1). Sia stata condotta una perpendicolare Br (Elementi B I.12): anche l'angolo su B è pertanto dato (Elementi I. de/ 10 e Data de/ 1 !) . Il rapporto di ~B rispetto a Br è quindi dato (Data 40 e def.3). E il rapporto di B~ rispetto a BA è dato (OJ'nica I.35; proprietà della sottotangente: BL1 è doppia di BA): anche il rapporto di AB rispetto a Br è quindi dato (Data 8). Ed è dato l'angolo su B: anche BAr è quindi dato (Data 41 e de/3). Ed è su una BA in posizione e su un punto dato A (di una parabola data in posizione sono dati asse e vertice): rA è quindi in posizione (Data 29). Ed è anche in posizione la sezione (ipotesi): r è quindi dato (Data 25). E r~ è tangente (assunzione iniziale): r~ è quindi in posizione (deriva dalle due premesse - T dato e TL1- tangente in virtù della conclusione della catena dei dati del primo caso di Conica II.49). 44

Qui terminal' analisi, e quella che d'ora in avanti chiamerò la «catena dei dati» (si noti che è dotata di un verso, quello della

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ACERBI - INTRODUZIONE

progressione deduttiva) si chiude con l'asserzione che l'oggetto che risolve il problema è dato in posizione. Può finire qui la dimostrazione? No. Ci sono vari motivi. Il primo è ovviamente che r Li va determinata in posizione come risultato di una dimostrazione indipendentemente dal fatto che sia stata assunta come realizzata (attenzione!! NON è assunta come data) sin dall'inizio: l'analisi termina invece con la constatazione che il predicato «dato in posizione» si applica allo stesso oggetto posto sin dall'inizio risolvere il problema. Il tutto è apparentemente circolare e fastidiosamente tautologico; ovviamente ciò non è vero, dato che allo stesso oggetto si applicano predicati differenti.45 Resta il fatto che una dimostrazione non potrà consistere in una semplice inversione dell'analisi (e cosa vuol dire poi «invertire» una catena di dati?), e che occorrerà smontare e rimontare quest'ultima in un altro modo. Un secondo motivo è come l'opposto del primo: nell'analisi non è usato ciò che ci aspetteremmo debba esserlo: certi dati del problema, quale l'angolo acuto dato. Questo non ha un ruolo indipendente dalla figura realizzata, come richiederebbe l'enunciato; l'angolo dato viene invece identificato con quello che risolve il problema. Un terzo motivo è che alla fine della catena dei dati si giunge ali' oggetto che risolve il problema, ma solo per dìchiararlo dato, cioè ottenibile come ultimo anello di una catena di dati. Il problema è che di quest'oggetto occorre proporre una costruzione effettiva, e tale costruzione deve prendere lo mosse solo dalle ipotesi del problema, e non supporre la soluzione come realizzata e trarne profitto. A priori, inoltre, il legame che sussite tra una catena di dati e una serie di costruzioni con cui risolvere il problema resta ineffabile. Di certo i Data non ci dicono come fare. Già da quest'analisi risulta però del tutto evidente l'utilità di una raccolta come i Data: raccogliere una serie di teoremi elementari che possano costituire i mattoni di una inferenza strutturata come catena di dati. Si noti, in particolare, il ruolo decisivo di Data def.1 nel permettere alla macchina analitica di mettersi in moto. Procediamo ora con la sintesi; prima viene costruito «alla cieca» l'oggetto cercato e poi si dimostra che soddisfa le proprietà elencate nell'enunciato. Anche qui ho inserito tutti i riferimenti possibili.

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Il problema sarà sintetizzato così: sia la sezione di cono data in primo luogo una parabola, asse della quale AB, e l'angolo dato EZH, e sia stato preso un punto su EZ, E, e sia stata condotta una perpendicolare EH (Elementi I.12), e sia stata secata a metà ZH con 8 (Elementi I.10), e sia stata congiunta 8E (Elementi I.post.1), e uguale all'angolo H8E sia stato costruito BAr (Elementi I.23), e sia stata condotta una perpendicolare Br (Elementi I.12), 46 e uguale a BA sia stata posta M (Elementi I.post.3), e sia stata congiunta rA (Elementi I.post.1). rA è quindi tangente alla sezione (Conica I.33).

r

E

z

e

H

Dico ora che rAB è uguale a EZH. Poiché infatti è come ZH rispetto ad HB, così L1B rispetto a BA (antecedenti doppi dei conseguenti, entrambi per costruzione), ed è anche come BH rispetto a HE, così AB rispetto a BI' (Elementi Vl.4), tramite uguale quindi come ZH rispetto a HE, così L1B rispetto a BI' (Elementi V.22). E sono retti gli angoli su H, B: l'angolo Z è quindi uguale all'angolo L1 (Elementi Vl.6).

Ad un'occhiata d'insieme l'ordine della dimostrazione è grosso modo invertito: nell'analisi ci si occupa prima della determinazione dell'angolo, 47 poi di quella della tangente; nella sintesi è l'opposto. Vediamo i dettagli.

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ACERBI - INTRODUZIONE

La catena dei dati si spezza in due. La parte iniziale, quella in corsivo e relativa alle manipolazioni di proporzioni e alle proprietà di singoli triangoli, si trasforma nella parte finale della sintesi: tre passaggi relativi a manipolazioni di proporzioni e alle proprietà di coppie di triangoli. Con questi passaggi si dimostra che la tangente alla parabola ha la proprietà richiesta di formare un angolo dato con l'asse. Solo questa parte, che è tradizionalmente chiamata dimostrazione per distinguerla dalla costruzione che la precede, è in effetti la migliore approssimazione possibile dell'inverso di una parte dell'analisi. 48 Nell'analisi il percorso è: angolo Bt1r dato -> rapporti di lati dati -> angolo BAr dato; nella sintesi: angolo BAr uguale a HE>E -> rapporti di lati dati-> angolo BL1r uguale a HZE, con la prima affermazione sottintesa in quanto già presente nella costruzione. All'interno della costruzione, si noti la ripetizione dell'unica costruzione ausiliaria eseguita nell'analisi, quella cioè che conduce la perpendicolare Br. Essa svolge però ruoli differenti all'interno della progressione deduttiva: nell'analisi segue la caratterizzazione come «dato» dell'angolo Bt1r, nella sintesi la costruzione di BAr uguale ad un angolo noto. Ma ad un'ispezione più fine le cose si complicano. 1) La costruzione di una figura indipendente come il triangolo EZE>H è una caratteristica tipica e cruciale di tutte le dimostrazioni per analisi e sintesi, che chiameremo in mancanza di meglio «attualizzazione» delle grandezze date nell' enunciato; qui l'attualizzazione è abbastanza complessa e consiste nella creazione, guidata dall'analisi (altrimenti non sarebbe motivato secare a metà la retta ZH), di una figura simile a quella che si genererà una volta completata la costruzione. L'attualizzazione rimedia al primo e al secondo dei motivi di inadeguatezza dell'analisi menzionati sopra: la grandezza «attualizzata» è diversa da una delle possibili grandezze in gioco nel disegno, contrariamente a quanto avveniva nell' analisi; in questo modo non c'è rischio di circolarità e i dati sono resi · iniziali totalmente indipendenti da quanto verrà poi realizzato. Non è necessario introdurre grandezze ausiliarie nell'analisi. In effetti, nel nostro caso occorre dimostrare che un angolo è uguale a uno dato: per Data def.1 anche l'angolo della retta che

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realizza il problema sarà dato, in quanto un'analisi parte esattamente dall'assunzione che tale angolo sia stato «prodotto» uguale ad un altro: in quanto tale è dunque «riproducibile» a piacere, e quindi anch'esso dato. Insomma, l'analisi può iniziare prendendo semplicemente in considerazione l'angolo della soluzione effettiva, ma solo per il motivo appena detto. È cruciale infatti ricordare che la soluzione non è assunta come «data», ma soltanto come effettivamente realizzata: da questa constatazione non possiamo quindi trarre alcuna indicazione diretta sull'essere «dato» un oggetto geometrico, come nel nostro caso l'angolo B~r, legato alla soluzione. La realizzazione della soluzione è però necessaria perché l'argomento appena esposto funzioni. E interessante il caso dell'angolo retto, che viene dichiarato «dato» senza preamboli. Il motivo è il seguente: «retto» è un predicato, d'accordo, ma se si legge bene la definizione esso sta per la relazione di uguaglianza tra due angoli adiacenti. Per questo, e non perché abbia un «valore» determinato, un angolo retto è sempre dato: è definito come quello il cui adiacente gli è uguale, e la definizione stessa dà il modo di produzione di entrambi - il dichiarare un angolo retto dato è quindi un'applicazione impeccabile di Data def.1. 2) In più, ciò che nell'analisi veniva qualificato o determinato tramite il «dato», nella sintesi figura i..ri uguaglianza o identità di ra:J?porti. L'analisi mette in gioco predicati, anzi un solo predicato, la sintesi relazioni. 49 Già da questa osservazione segue che ha poco senso affermare che una qualche inferenza nella sintesi sia inversa o no di una dell'analisi. Al massimo si può stabilire una sorta di isomorfismo. Tuttavia, anche questo produce una corrispondenza fuorviante: proposizioni dei Data e degli Elementi si corrispondono solo approssimativamente, e, ciò ch'è peggio, quelle dei Data si dimostrano tramite quelle degli Elementi. C'è ovvia simmetria tra i passaggi che usano Data 40 nell'analisi e Elementi VI.4 nella sintesi e Data 41 nel1' analisi e Elementi VI.6 nella sintesi, ma i) Data 40 si dimostra a partire da Elementi VI.4 e Data 41 da Elementi VI.6; ii) per ricavare i rapporti o gli angoli richiesti come dati occorre, nel1' analisi, districarla dalla nozione di figura «data in forma>> via def.3, mentre la sintesi può far uso diretto di VI.4 e VI.6 (dove

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ACERBI - INTRODUZIONE

per contrappasso non si usa la nozione di triangoli simili). Un confronto può quindi essere stabilito al massimo tra VI.6 e VI.4. Queste non sono tuttavia inverse ma converse parziali, cioè proposizioni in cui parti di ipotesi e tesi si siano scambiate. C'è dell'altro: l'inferenza «tramite uguale>> autorizzata da Elementi V.22 a cosa corrisponde? A Data 8, che è dimostrata, con tanto di menzione del passaggio «tramite uguale», usando V.22 stessa. Si usa quindi la stessa inferenza, solo riformulata nel linguaggio dei dati, e non una sua inversa. La nostra deduzione è insomma un labirinto logico: finisce per porre le proposizioni «isomorfe» di Data ed Elementi nello stesso ordine, sfruttando la permutazione degli angoli di partenza e di arrivo e il fatto che VI.4 e VI.6 siano converse parziali. Per capire che in realtà si tratti di una vera inversione dell'ordine deduttivo basta verificare la diversa posizione del ZK: uno r e l'altro dei E> K è quindi dato. Poiché dunque è come il su rA quello su rz rispetto quello su ZE>, anche il rapporto di quello su ZA restante, cioè di quello su EH, rispetto a quello da KH8 restante è quindi dato. 94 E sono dati K E>: E è quindi su un'iperbole per E> E. IV. 79 Sia data in posizione e grandezza AB, e ad retti Ar, e sia quello da ArB uguale a quello da una data e da r A: che il punto A tocca una parabola in posizione.

a

z

.....

.. B

;~----E~--I'~-

Sia infatti stata secata AB a metà con E, e ad retti EZ, e uguale a quello da EB sio quello da una data e da EZ: Z è quindi dato. E parallela ad AB AH: quello su Er restante, cioè quello su AH, è quindi uguale a quello da una data e da ZH. Ed è dato Z: il punto A tocca quindi una parabola che transita per A Z B, asse della quale è EZ.

Il luogo seguente si trova in Collectio VII.27 6, tra i lemmi al libro V, quasi sicuramente impiegato da Apollonio nella sua soluzione per mezzo di coniche, citata da Pappo medesimo,95 del

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ACERBI - INTRODUZIONE

problema di inserimento di due medie proporzionali. Anche questo luogo è probabilmente tratto da Aristeo (la coniugazione è ortogonale), la sintesi sarebbe ovviamente di Pappo. Collectio VIl.276 In posizione una retta AB, e dato r. Sia stata condotta oltre Br, e sia stata posta data BA, sia stata condotta su ortogonale A.E: che E tocca una sezione di cono, un'iperbole che transita per r. Sia stata condotta perpendicolare rz, e ZA: A è quindi dato. Sia stata condotta su ortogonale AH: AH è quindi in posizione. H Incontri Br prolungata secondo H; e date in posizione BA AH e dato un punto r un'iperbole intorno a HA AB come asintoti tran- A Li Z B siterà quindi anche per E, per il fatto di essere uguale Br a EH, 96 poiché anche totale a totale. E risulterà per mezzo di quanto scritto prima. 97 Sarà sintetizzato così: sia la retta data in posizione AB, il dato r, quella condotta oltre Br, quella data e, e uguale ad essa sia, condotta perpendicolare rz, ZA, e sia stata condotta su ortogonale AH e incontri Br secondo H, e intorno a HA AB come asintoti per r dato sia stata tracciata un'iperbole: 98 dico che realizza il problema, cioè che, qualora sia stata condotta perpendicolare EA, BA risulta uguale a e. E questo è manifesto per gli asintoti: EH è infatti uguale a rB, 99 così che anche M a ZB: anche AZ totale, cioè e, è quindi uguale a BA.

N.B. A questo punto il lettore dovrebbe saltare alla presentazione dei Luoghi su superficie euclidei, dove trova un'analisi dettagliata dei luoghi esposti in Collectio VII.312-318. Problemi di costruzione sono a volte risolti tramite intersezione di luoghi. Leggiamo Pappo, Collectio IV.60-61. Nell'analisi viene usata come caratteristica una proprietà dell'iperbole che troviamo in Apollonio, Conica II.12, nella sintesi una costruzione che appare come Conica II.4 ma che è sicuramente

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spuria - e infatti Pappo dice che ne darà una costruzione di séguito e mantiene la promessa in Collectio N.65-66. 100 La sintesi è esposta in dettaglio perché questo è un problema di costruzione, non di luogo. Collectio IV.60 Dato un parallelogrammo rettangolo ABI'A e prolungata BG, si debba, condotta oltre AE, fare la retta EZ uguale a quella data· 10 1 Risulti essere, e parallele a EZ EA siano state condotte AH HZ. Poiché dunque ZE è data ed è uguale a AH, anche AH è quindi data. B~~Z E A è dato: H è quindi E H su una circonferenza di cerchio in posizione.102 E poiché il

A L1 da BrA è dato ed è uguale a quello da BZ EA, 103 anche quello da BZ EA è dato, cioè quello da BZH. 104 H è quindi su un'iperbole. Ma anche su una circonferenza di cerchio in posizione: H è quindi - dato. IV.61 Il problema sarà pertanto sintetizzato così. Sia il parallelogrammo dato ABI'A, la retta data in grandezza M, 105 e uguale ad essa sia AK, e sia stato tracciata per A intorno ad ABr come asintoti un'iperbole AH0 (questo infatti lo dimostreremo"""d.i séguito), e per K intorno a A come centro un arco di cerchio KH che seca l'iperbole secondo H, e condotta parallela a Ar una HZ sia stata congiunta ZA: dico che EZ è uguale a M.

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ACERBI - INTRODUZIONE

Sia infatti stata congiunta HLl e parallela a KA sia stata condotta una HA: il da ZHA, cioè quello da BZH, è uguale a quello da C'.1A, cioè a quello da Br r~. È quindi come ZB rispetto a Br, cioè come r~ rispetto a ~E, così r~ rispetto a ZH: E~ è quindi uguale a ZH: ~EZH è quindi un parallelogrammo: EZ è quindi uguale a ~H, cioè a ~K, cioè aM.

1.B.3 Analisi senza sintesi

La sintesi può essere assente semplicemente perché riconosciuta avE pa «manifesta>> una volta prodotta l'analisi (ad esempio se i passaggi non costruttivi dell'analisi siano palesemente invertibili). 106 Più interessante il caso delle proposizioni contenute nei Data o nei Porismi: poiché queste si propongono di mostrare che certi oggetti o configurazioni sono dati, non c'è ovviamente bisogno della sintesi. Proposizioni di questo genere si ritrovano anche in trattati non interamente e programmaticamente dedicati ad esporre delle analisi. Ad esempio, Pappo dimostra in Collectio Nl0-15 e VII.192 (ma sono esempi tra molti altri) semplicemente che certi oggetti relativi ad una configurazione assegnata sono dati. 107 Ci sono indizi che altre trattazioni antiche avessero lo stesso formato. Pappo lo dichiara esplicitamente nell'introdurre la sua esposizione del confronto tra i cinque poliedri regolari nel caso questi abbiano uguale superficie (si noti che si tratta di teoremi!): 108 scriveremo di séguito, come avevamo promesso, i confronti delle cinque figure che hanno superficie uguale, sia piramide che cubo che ottaedro e sia dodecaedro che icosaedro, il cui metodo di dimostrazione non procede tramite la cosiddetta teoria analitica, per mezzo della quale alcuni degli antichi fecero le dimostrazioni, ma tramite un procedimento sintetico da me approntato in modo il più possibile chiaro e conciso. 109

Se quanto dice Pappo è vero, probabilmente l'autore della versione analitica (o gli autori delle versioni analitiche) aveva

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tralasciato le sintesi in quanto ovvie o comunque non necessarie. Sulla base di quanto riferisce Ipsicle, Jones propone di identificare l'autore con Aristeo, anche se Pappo avrebbe potuto adattare al caso isoperimetrico una trattazione originariamente centrata su poliedri inscritti nella stessa sfera, come appunto afferma Ipsicle. 110 Probabilmente anche i Luoghi su superficie euclidei contenevano solo delle analisi, e quasi sicuramente i Luoghi solidi di Aristeo, come abbiamo visto. Una manciata di passi suggerisce che le analisi che non si era in grado di sintetizzare per mancanza di strumenti adeguati fossero percepite come un problema. Due testimonianze preziose provengono da Aristotele. La prima ci dice che era chiara la necessità di utilizzare proposizioni convertibili nelle analisi, e comporta l'esistenza di procedure analitiche non invertibili o non invertite: Se fosse impossibile dimostrare vero da falso sarebbe facile fare analisi: infatti le proposizioni convertirebbero necessariamente [ ... ] In matematica la conversione è più comune in quanto non si assume niente di accidentale (e anche in questo differisce dalla dialertica), bensì definizioni.11 1

Ancora più importante un paragone dei Sophistici elenchi, dove è chiaro l'accenno all'incapacità di effettuare la sintesi; l'interpret~.ione del passo nei soli termini di incapacità di effettuarla per mancanza di allenamento è semplicistica e va respinta: [ ... ] anche se qualcosa può esserci chiaro, eppure, se manchiamo di pratica, perdiamo spesso l'occasione. Accade proprio come talvolta nelle dimostrazioni geometriche; anche là infarti a volte analizziamo ma poi non siamo in grado di sintetizzare all'indietro; così anche nelle confutazioni, pur sapendo in virtù di che cosa l'argomento stia insieme, ci troviamo in difficoltà a risolverlo. 112

Apollonio, nella prefazione alle Coniche, si sofferma in maniera esplicita sulla questione. Il passo può suggerire che in realtà Euclide non si fosse occupato esplicitamente della solu-

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zione di questo luogo, ma che alcuni suoi risultati fossero stati a posteriori riconosciuti rilevanti. Ci troveremmo dunque di fronte ad una forzatura di Apollonia. Nel corpus apolloniano non troviamo nessuna trattazione del luogo a 3 e 4 linee. Il terzo contiene molti e stupefacenti teoremi, la maggior parte ed i più belli dei quali sono nuovi, utili sia per le sintesi dei luoghi solidi che per le limitazioni di possibilità, elaborati i quali realizzammo che il luogo a tre e quattro linee non era stato sintetizzato da Euclide, se non una sua parte in cui si era imbattuto, ed anche questa non felicemente; non era infatti possibile completarne la sintesi senza i teoremi da noi scoperti. 113

1.B.4 Un'analisi teorematica rispetto a E>Z, e sia stata congiunta E>E: che l'angolo BEt.. è uguale ali' angolo t..EE>.

A

A

Sia stata condotta da H perpendicolare a BE una HK: BK è quindi uguale a KE. Ed è retto Bt..E: le tre BK, Kt..,

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KE sono quindi uguali tra loro. E HK è parallela a EZ, e poiché si ricercava l'angolo KE.6. uguale all'angolo LiE8, e .6.K è uguale a KE, che quindi l'angolo KE.6. è uguale a UE, che quindi KLiE è uguale a .6.E8, che quindi LiK è parallela a E8. Sia anche stata condotta parallela a .6.E una KA, e sia stata prolungata I'Li fino a A, e sia stata congiunta BA. Poiché dunque KA è parallela a .6.E, e KH a EZ, e si ricerca U parallela a E8, che quindi - per il fatto di essere il triangolo KAH equiangolo al triangolo E.6.Z, e .6.KH a E8Z - è come AH rispetto a HK, LiZ rispetto a ZE, e come KH rispetto a IB, EZ rispetto a Z8: che quindi anche come AH rispetto a HLi, così LiZ rispetto a Z8 (tramite uguale infatti): che quindi anche come A.6. rispetto a .6.H, così .6.8 rispetto a 8Z (dividendo infatti). Ed è stato anche supposto come .6.8 rispetto a 8Z, così AH rispetto a IB: che quindi come A.6. rispetto a .6.H, così 6.8 rispetto a 8Z, cioè AH rispetto a HLi: che quindi ALi è uguale a AH: che quindi anche AA è uguale a .6.H. Ma anche AB è uguale a B.6.: che quindi anche AB è uguale a BH. Ma BH è uguale a una e ali' altra di A.6. AH: che quindi anche BA è uguale a ALi. Ed è: poiché infatti KA è parallela a .6.E, e LiK è uguale a KE, anche l'angolo BKA è uguale a AK.6.. Poiché dunque BK è uguale a U e un angolo BKA è uguale a un angolo .6.KA, anche BA è quindi uguale a ALi.

La sintesi inizìa esattamente dal primo passaggio della spiegazione posposta «KA è parallela a .1.E», e riproduce con qualche espansione quelli che seguono a chiudere l'analisi. Il verso di quest'ultima è «in avanti»: se le sostituzioni per uguaglianza non bastano a dissipare un eventuale dubbio, il passaggio qualificato esplicitamente da «dividendo» è dirimente, 118 e infatti nella sintesi diventerà un «componendo». Non si tratta però di una catena deduttiva canonica: due registri vi sono sovrapposti: 1) l'inferenza «in avanti», che opera direttamente sul linguaggio oggetto, il cui scandirsi è regolarmente segnalato dal connettivo apa «quindi» e da trasformazioni come appunto il passaggio in «dividendo»; 2) la freccia logica implicita in OTL «che» (sottinteso «si ricerca» ovvero «occorre dimostrare»), che agisce come linguaggio di secondo ordille a indirizzare la successione delle inferen.ie «all'indietro», cioè alla ricerca di precondizioni. Questa sovrapposizione di livelli linguistici, rilevabile da tali

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spie lessicali, è la proiezione sul piano stilistico di un'ambiguità logica di fondo: un'analisi teorematica, vista l'assenza della catena dei dati, assume molto spesso un carattere quasi interamente algoritmico - successioni di equivalenze, manipolazioni di proporzioni o insomma passaggi di scarso o nullo contenuto geometrico e la cui invertibilità è patente-, ed è tutto sommato materia di gusto personale formularla come sequenza di conseguenti oppure di antecedenti. A parte le analisi e sintesi di Elementi XIII. l-5 aliter, però, gli autori antichi lasciarono in larga misura l'ambiguità irrisolta, nella forma bizzarra di conclusioni in forma dichiarativa (OTL apa «Che quindi»): l'enorme inerzia stilistica delle esposizioni sintetiche e quindi «in avanti» non riesce ad azzerare la percezione «matematica» fondamentale che si stia procedendo a ristroso rispetto ad un ordine logico più naturale (sempre quello della sintesi!). Struttura del tutto analoga, con in più alcuni passaggi saltati, hanno le dimostrazioni in Co/lectio VII.225-226, 231 e 321. Vediamo giusto la prima; l'analisi parte direttamente da una conseguenza immediata di ciò che va dimostrato e che si trova espresso nella determinazione alla fine dell'istanza; appare anzi chiaro che ne sono una sorta di riformulazione le successive asserzioni introdotte da «che quindi»: Collectio VIl.225 Un semicerchio su AB, e dai punti A, B ad

an§Qli retti con AB siano state condotte linee rette BL1, AE, e sia stata condotta come càpita L1E, e da Z ad angoli retti con L1E una linea retta ZH incontri AB secondo H. Che il da AE, BL1 è uguale a quello da AHB. Che quindi è Li come EA rispetto ad AH, così HB rispetto a BA Intorno ad angoli uguali i lati sono in proporzione. Che quindi l'an- A f>: è chiaro che, semplicemente, il suo schema è troppo

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rigido per poterlo applicare, come pretendono di fare Hintikka e Remes, alle analisi teorematiche. 117 Ricordo l'enunciato: Qualora una linea retta sia secata in rapporto estremo e medio, il su quella totale e sul segmento minore, i quadrati messi insieme, sono tripli del quadrato sul segmento maggiore. 118 È essenziale che il punto ti.. si trovi tra A ed H. 119 La paragraphos finale è nel manoscritto; negli Arithmetica di Diofanto la clausola finale trova impiego frequente per segnalare che la soluzione trovata verifica le condizioni del problema. 120 Si veda la discussione in Jones, Pappus o/ Alexandria, pp. 15-18 e 2426, che suggerisce una data immediatamente posteriore alla morte di Pappo (seconda metà del IV secolo). È però da dire che i singoli libri della Collectio sono piuttosto unitari come concezione e stile. M. Decorps-Foulquier, Recherches, pp. 47-61, propone argomenti per spostare la data dell'assemblaggio della Collectio al VI-VII secolo. 121 L'edizione fu curata da Eutocio, e dotata di commento. Qui egli afferma che ancora ai suoi tempi «c'erano più edizioni» delle Coniche, e che aveva proceduto a «riunirle, ponendo nel testo, per la comodità dell'esposizione, le dimostrazioni più chiare tra quelle che si presentavano, segnalando le varianti all'esterno, nelle annotazioni raccolte ordinatamente» (Apollonio, Opera, vol. II, p. 176.17-22 Heiberg). Detto en passant, questa è una delle pochissime testimonianze dirette sulla collocazione di commentari come marginalia ad un testo, pratica resa più agevole dall'avvento del codice. Sulla storia del testo delle Coniche il migliore studio è il secondo citato nella nota precedente. 122 Che le tre proposizioni appartenessero ad una redazione antica è reso certo da un lemma di Pappo al libro III delle Coniche, che dimostra un passaggio dato per scontato in tutte e tre le proposizioni e solo in quelle. Il lemma di Pappo è in Collectio VII.264, p. 319.5-9 Jones; cfr. p. 946.20-24 Hultsch. 123 Apollonio, Opera, vol. I, pp. 374.29-376.13 Heiberg. Il primo e l'ultimo passaggio sono giustificati dal lemma di Pappo, che non è specifico di teoria delle coniche ma analogo a quelli in Elementi II. 124 Archimede, Opera omnia, vol. I, pp. 216.1-222.3 Heiberg. 125 Nell'ordine: De sphaera et cylindro I.43 e 42; Elementi XII.2 e VI.19; E> è l'intersezione delle rette B!l e Ar. 12 6 È il risultato fondamentale di De sphaera et cylindro II, dimostrato nella prop. 2: un segmento di sfera è uguale a un cono che ha come base la stessa del segmento e come altezza una retta che rispetto all'altezza del segmento ha lo stesso rapporto che la somma del raggio della sfera e deil' altezza del segmento complementare rispetto ali' altezza del segmento complementare. Nel nostro caso, l'altezza del cono BM coincide con quella del segmento, e il secondo rapporto coincide appunto con HE>:E>r, poiché rH è uguale al raggio. 127 In espressioni come «il su er per E>Z» ho mantenuto la connotazione moltiplicativa di È'rr( «peD>, sebbene il riferimento sia ad un solido di base il quadrato su er ed altezza E>Z; il linguaggio misto geometri-

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co-aritrnetico è tipico di commentatori e di autori come Erone e Diofanto. Sull'uso di quest'espressione si veda R. Netz, The Transformation o/ Mathematics, in particolare pp. 97-120, e la mia critica radicale in Archimedes and the Angel. Phantom Paths from Problems to Equations, Aestimatio 2 (2005), pp. 169-226. 128 Poiché AZ = rH per ipotesi, e poiché il segmento BM è maggiore di B!.6., e quindi A0 è maggiore di er, sarà anche ze maggiore di H0. La proprietà sussiste e qui termina l'analisi del caso «rapporto minore che raddoppiato». 129 I triangoli rettangoli AB! e A0B sono simili, quindi AB:B1::A0:0B. 130 I triangoli rettangoli Ber e A0B sono simili, quindi 01:0B::0B:A0. l3l In effetti AE è minore del raggio e 0A è maggiore. La proprietà sussiste e qui termina l'analisi del caso «rapporto maggiore che una volta e mezzo». 132 Ma occorre fare attenzione: sulla sola base dei lemmi di Eutocio (alla traduzione latina di Guglielmo di Moerbeke introduce analoghi aggiustamenti nel XVI secolo Andreas Coner, possessore a quell'epoca e accanito correttore dell'autografo di Guglielmo - si veda l'appendice F per notizie ulteriori) Heiberg emenda in 8E'L, on come iotacismi ciò che nei manoscritti si legge 8LOTL «poiché>> (Archimede, Opera omnia, vol. I, p. 220.16.18). Regolarmente introdotti da on sono i passaggi a pp. 220.21.25 and 222.3. 133 Ciò che mi lascia perplesso è che la dimostrazione pseudo-archimedea assomiglia terribilmente, anche per l'uso del rapporto composto, a quelle in Apollonio, Conica Ill.24-26. Ma non è detto con questo che Apollonio debba aver imitato Archimede - cosa che di per sé non sorprenderebbe, nel più letterariamente e filologicamente consapevole dei mat=atici antichi-: il redattore della prova archimedea, se tardivo, avrebbe avuto un'ampia tradizione cui attingere, a cominciare proprio dalle tre analisi apolloniane. 134 Archimede, Opera omnia, vol. ID, pp. 113.19-23 e 202.1-216.12 ..... Heiberg. 135 Il caso di Dimensio circuii è clamoroso, ma anche De sphaera et rylindro era stata rivista: per esempio, i lemmi conservati in Eutocio mostrano che egli lavorava già su un testo senza forme doriche. Inoltre, non sono convinto che le due menzioni pappiane di un auvTayµ.a archimedeo si riferiscano soltanto a Dimensio circuii e non a un corpus di scritti: cfr. Pappo, Collectio V.6, p. 314.2 Hultsch e In Almagestum VI.7, p. 254.l Rome. 136 È del tutto improbabile che la dimostrazione sia il risultato di una corruzione testuale su larga scala. 137 Nella Collectio, Pappo propone varie dimostrazioni doppie, quella alternativa sfruttando il rapporto composto in maniera decisiva. La presentazione di Pappo suggerisce che una tale applicazione sistematica del metodo fosse un suo portato originale e che ne fosse orgoglioso: si veda ad esempio Collectio Vll.68, 74-75, 84, 86, 194, 197, 210, 246, 253, 255, 272. Rapporti composti nel corpus archimedeo si trovano in De conoidibus et sphaeroidibus 10, 23, 24 (Archimede, Opera omnia, vol. I, pp. 304.13.17; 364.12.14.24 e 366.7; 368.26 e 370.6 Heiberg rispettivamente): sono tutti riferimenti a pro-

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prietà di coni stabilite negli Elementi. De conoidibus et sphaeroidibus 3 l (ivi, p. 432.1.10), De sphaera et cylindro Il.4 (ivi, p. 190.4.8.15.17), De corporibus fluitantibus 2.10 (ivi, voi. II, pp. 388.13 e 390.2) sono ovviamente 2.8 a/iter (ivi, voi. I, p. 216.15.24) di natura differente, e l'ultima occorrenza in De corporibus /luitantibus afferma che il rapporto composto di 2:5 e 5:1 è 2:1. Non è semplice trarre conclusioni univoche da dati così disparati, ma solo II.8 aliter si basa interamente su un'applicazione astuta dei rapporti composti. Nelle Coniche di Apollonio come ci sono.pervenute il rapporto composto figura in ben 25 enunciati. Anche se non è detto che tutte le occorrenze siano originali, è con Apollonio che si registra la prima irruzione massiccia del metodo. In Eutocia troviamo due esposizioni della nozione di «rapporto composto», una nel suo commentario a De sphaera et cylindro II.4 stessa (in Archimede, Opera omnia, voi. ID, pp. 120.16--126.20 Heiberg), l'altra nel commentario alle Coniche di Apollonia (Apollonia, Opera, voi. II, pp. 218.3-220.25 Heiberg). Nella prima esposizione Eutocia menziona Pappo, Teone, un certo Arcadio, Nicomaco, ed ancora un certo Heronas come autorità precedenti sullo stesso soggetto. Eutocio giudica le loro esposizioni insoddisfacenti, per il fatto di servirsi solo di dimostrazioni «induttive>> (cioè basate su esempi numerici), e afferma di essere il primo a fornirne una adeguata. Nel secondo passaggio asserisce di aver redatto una terza trattazione nel suo «commento al primo libro della Syntaxis di Tolomeo». L'esposizione di Teone è nel suo commentario a Almagesto I.13, pp. 532.1-535.9 Rome; è probabile che quella di Pappo cui Eutocia fa riferimento fosse ugualmente contenuta nel commentario ad Almagesto I, oggi perduto (è facile congettura supporre che Teone riproduca più o meno fedelmente Pappo). Un'esposizione ulteriore si trova nella cosiddetta Introduzione all'Almagesto, che Knorr (Textual Studies, pp. 155-177) identifica, senza altro fondamento che la menzione di Eutocia, come opera di Arcadio, dopo che Tannery aveva proposto Eliodoro come autore e dopo di lui, confutandolo, Mogenet aveva avanzato la proposta di Eutocia stesso. Una spiegazione di tipo induttivo esaurisce il contenuto di un breve tratto di Domnino di Larissa (ivi, pp. 201-207). Knorr (ivi, p, 157 e nota 17) interpreta «Heronas nel commentario all'introduzione aritmetica>> (Archimede, Opera omnia, voi. ID, p. 120.22-23) come riferimento ad un altrimenti ignoto commentatore al trattato di Nicomaco; suggerirei piuttosto una connessione con l'autore dei «preliminari all'esposizione elementare di aritmetica>> (dr. W.R Knorr, Arithmetike Stoù:heiosis: On Diophantus and Hero of Alexandria, Historia Mathematica 20 (1993), pp. 180-192, dove si propone che l'autore delle De/initiones eroniane, così come dei perduti Preliminari, sia Diofanto). 138 Si vedaJ. Blomqvist, Greek Particles in Hellenistic Prose. Lund, CWK Gleerup 1969, pp. 100-103. 139 Archimede, Opera omnia, voi. ID, p. 206.11-12 e .31 rispettivamente. Le sintesi di Eutocio sono inversioni banali delle corrispondenti analisi. l40 Uno dei due riferimenti è superfluo; è più naturale proporre il primo per lespunzione. 141 Anaritius, pp. 83.4-84.220 Tummers; cfr. pp. 102.3-104.3 Curtze. Il testo arabo è identico.

III. CORYUS EUCLIDEO GRECO. B. DATA. NOTE 138-154

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142 Il commentario di Anaritius è la nostra fonte per le dimostrazioni alternative eroniane di II.2-10. All'inizio di II.11 Anaritius scrive: >. 201 La trasposizione non è propria di b in quanto occorre a metà di una sua pagina. 202 L'aleatorietà degli spazi concessi alle figure impedisce di applicare ai

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manoscritti di opere matematiche l'inferenza che da lacune o trasposizioni permette di risalire al numero di righe per pagina dell'antigrafo. La lacuna è poco più di 4/3 dell'ampiezza della trasposizione, entrambe misurate in righe dell'edizione di Menge. Se la trasposizione corrisponde alla dislocazione di un foglio, questo rapporto rende difficile dar ragione della lacuna per via puramente meccanica. 203 Menge non ne dà un elenco dettagliato e nell'apparato critico alle prop. 38-87 segnala le varianti teonine attribuendole al solo b. 204 A quanto pare, dunque, è solo l'età dei manoscritti (particolare d'altronde cruciale) che orienta la decisione su quale dei due sia copia dell'altro, una volta assunto che non siano indipendenti. 205 Si veda l'introduzione ai Fenomeni per ulteriori dettagli. 206 I Data sono inseriti, insieme con altro materiale matematico eterogeneo al corpus, alla fine del codice, e non c'è alcun legame chiaro tra questo materiale e quanto precede. I Data non facevano quindi parte del corpus astronomico minore, come del tutto erroneamente si continua ad affermare. In effetti, scorrendo i manoscritti che contengono i Data, si resta sorpresi dalla varietà di combinazioni delle opere contenute. I codici con il corpus astronomico minore sono una manciata, così come quelli che contengono Data ed Elementi. 207 Il fenomeno delle recensioni bizantine è ben noto agli editori di testi scientifici antichi; tipicamente la tradizione si divide in due rami, uno dei quali caratterizzato da un testo migliorato, specialmente dal punto di vista sintattico e lessicale. Di solito una recensione bizantina può essere distinta da una tardo-antica sulla base del tipo di varianti e di certe preferenze sintattico-linguistiche. Un esempio studiato in grande dettaglio è quello del Grande Commentario di Teone alle Tavole facili di Tolomeo. Si veda J. Mogenet, Le «Grand Commentaire» de Théon d'Alexandrie aux Tables Faciles de Ptolémée. Livre I Histoire du texte, édition critique, traduction revues et complétées par A. Tihon. C~mentaire par A. Tihon. Studi e Testi 315. Roma, Biblioteca Apostolica Vaticana 1985, pp. 27-91. Lo stesso accade per la cosiddetta Introduzione all'Almagesto. 208 Si veda J. Irigoin, Stemmas bifides et états de manuscrits, Revue de philologie, 3e série, 28 (1954), pp. 211-217, ora in Id., La tradition des textes grecs. Paris, Les Belles Lettres 2003, pp. 67-77. l:osservazione risale per lo meno ad una comunicazione di A. Dain del 1932. Su tutta la questione è bene leggere S. Timpanaro, La genesi del metodo di Lachmann. Seconda edizione riveduta e ampliata. Padova, Liviana Editrice 1981, in particolare pp. 123150. 209 Non è chiaro se il correttore abbia addirittura proceduto per collazione di b. 210 Quasi tutte le interpolazioni di questo genere sono presenti in tutta la tradizione e sono quindi pre-teonine. Il loro numero è comunque piuttosto basso; ecco un elenco completo delle proposizioni che le contengono (dove non indicato l'esplicativa posposta è introdotta da yap): 1, 2 (bis), 3-5, 10, 24 (bis), 31, 43, 49 (ElrELOtjTIEp), 57, 58-59 (bis), 60, 61 (semel ÈTIELOTj) (bis), 62,

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ACERBI - INTRODUZIONE

67 (semel 8tà TÒ+infinito) (ter), 69 (bis), 78-80, 85 (ÈTIE[), 86, 87 (semelÈTIEL) (bis); dimostrazioni alternative: 7, 9, 11, 13 (ter), 15, 18, lemma a 18 (bis), 20, 21 (ÈlTELOlllTEp ). 211 Si veda E Sezgin, Geschichte des Arabischen Schri/ttums. Band V, Mathematik bis ca. 430 H. Leiden, E.J. Brill 1974, p. 116. Della traduzione rivista da Thàbit, Sezgin riporta due soli manoscritti: Sray, Ahmet III, 3464/1, ff. 1-19 ed un altro in mani private. La recensione di at-Tùsi è trasmessa in un notevole numero di manoscritti. 212 C. Thaer, Euklids Data in arabischer Fassung. 213 R Lemay, voce GERARD OF CREMONA in C.C. Gillispie (curatore), Dictionary o/Scientific Biography. 16 voli. New York, C. Scribner's Sons 19701980, vol. V (1974), pp. 173-192, in particolare p. 178. 214 Edita, sulla base di 4 manoscritti, in S. Ito, The Medieval Latin Translation o/ the Data of Euclid. Tokyo, University of Tokyo Press e Boston/Basel/Stuttgart, Birkhauser 1980. Si vedano le pp. 23-38 per l'identificazione del traduttore. Il lavoro va completato con la lettura dell'ancora fondamentale J. Murdoch, Euclides Graeco-Latinus: A Hitherto Unknown Medieval Latin Translation of the elements Made Directly from the Greek, Harvard Studies in Classica! Philology 71 (1966), pp. 249-302, e con H.L.L. Busard, The Mediaeval Latin Translation o/ Euclid's Elements made directly /rom the Greek. Boethius, Band 15. Stuttgart, Franz Steiner Verlag 1987, pp. 1-20. 215 Edito da Menge in Euclide, Opera omnia, vol. VI, pp. 234-256, tradotto e commentato nell'appendice C. 21 6 Ibidem, p. 256.24-25 Menge. 217 Sono i nn. 13 e 16 in Euclide, Opera omnia, vol. V,2, p. 323.5-6 e 1617 Heiberg-Stamatis.

III c.

OPERE MINORI

1. La modellistica antica 1.1 Il concetto di modello Concetto ed uso dei modelli hanno avuto un ruolo centrale nell'indagine scientifica dell'ultimo secolo, non solo nelle scienze esatte ma anche nei campi medico-biologico e delle discipline economiche o sociali. Se l'àmbito di ricerca cui viene applicata la modellistica varia in maniera non indifferente, resta immutata la sua caratteristica essenziale, il costruire cioè all'interno dell'universo matematico immagini semplificate di classi di eventi appartenenti all'universo fenomenico. D'altro canto, accade di norma che, a tale scopo, specifiche discipline utilizzino in maniera peculiare strumenti matematici ben determinati, e questo fatto ha spesso contribuito in maniera decisiva a definire con maggiore nettezza i confini e quindi lo scopo delle discipline in gioco. È però vero che aspetto eminente della modellistica matematica contemporanea è proprio quello di non rappreS'i:ntare in maniera biunivoca l'effettiva divisione degli àmbiti di ricerca, nel senso che intere classi di fenomeni del tutto eterogenei possono essere rappresentati, ad esempio, dalla stessa equazione differenziale, mentre certi approcci matematici generali trovano applicazioni omologhe in campi disparati. Già queste prime osservazioni suggeriscono che il rapporto tra modelli matematici, fenomeni che essi rappresentano e discipline che se ne servono possa presentarsi alquanto complicato, e come la componente matematica formale possa determinare in misura spesso decisiva la struttura dei modelli stessi. È stato messo in evidenza come lo sviluppo notevole della modellistica matematica nell'ultimo secolo possa essere ricondotto alla crisi del paradigma meccanicista. 1 S'intende che

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anche all'interno di quest'ultimo era possibile costruire ed effettivamente venivano costruiti modelli di buona parte dei fenomeni indagati, ma in essi l'introduzione del formalismo matematico era sempre e comunque subordinata alla riduzione preliminare del fenomeno ad entità ed interazioni «reali»: Lord Kelvin propose un modello meccanico (una sorta di reticolo di piccole masse in rotazione, connesse da giunti flessibili ma non estensibili) 2 della struttura dell'etere, e le teorie matematiche dell'elasticità e della propagazione delle onde entrano in gioco come conseguenza di questa scelta; Boltzmann introdusse metodi statistici allo scopo di giustificare il secondo principio della termodinamica in termini del moto caotico delle molecole. La modellistica matematica contemporanea si caratterizza invece per il fatto di fare a meno della mediazione di una struttura esplicativa soggiacente (appunto come conseguenza della crisi suddetta), che essa appartenga allo stesso campo di indagine del fenomeno oppure ad un campo ritenuto più fondamentale (di solito la fisica): le variabili matematiche rilevanti all'interno del modello risultano quindi la traduzione di alcuni parametri fenomenologici caratterizzanti il sistema fisico ed il modello stesso vive di vita propria all'interno dell'universo matematico:3 un sistema di equazioni differenziali è già di per sé un modello. Ciò comporta un rischio: leggere, senza prima aver percorso all'indietro con cautela il processo di traduzione sopra accennato, le proposizioni interne al modello come asserti su come è fatto il mondo reale. Subentrati a quello meccanicista dei quadri esplicativi al tempo stesso più rigidi, limitati nel campo di applicazione e tra loro spesso in conflitto (la meccanica quantistica, la teoria relativistica dei campi, la teoria della relatività generale), la loro interazione con una modellistica siffatta può produrre corto circuiti ancora più gravi. Si assiste in effetti negli ultimi decenni ad un generalizzato fenomeno di reificazione delle entità teoriche interne al modello, 4 la loro esistenza effettiva risultando automaticamente assunta una volta che esse siano necessarie perché il modello funzioni (e si badi bene, funzionare significa ormai soltanto produrre previsioni in grado di accordarsi con i dati sperimentali,5 mentre sono state abbandonate richieste anche elementari di coerenza interna e

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di consistenza del formalismo matematico utilizzato): ne consegue una rigogliosa fioritura, ai limiti dell'inestricabile, del parco ontologico, e non è assolutamente detto che tale prezzo da pagare sia né ragionevole né accettabile. Alla luce delle incertezze contemporanee può essere utile focalizzare la presentazione delle opere euclidee in domìni scientifici subordinati sul loro carattere modellistico. Giusto per fissare un sistema di riferimento, metto in evidenza alcune caratteristiche che delimitino in prima approssimazione il concetto di modello cui intendo riferirmi: 1) Focalizzazione su alcuni aspetti del fenomeno in esame, con sfrondamento di quelli considerati inessenziali (quali che siano i criteri di demarcazione dell'essenziale dall'inessenziale). Questo processo di sottrazione trasforma automaticamente gli enti coinvolti nel fenomeno e le affermazioni su di esso in enti ed affermazioni teoriche. La terminologia ne risente, in quanto vengono introdotti nuovi termini per i nuovi enti - ad esempio prendendoli a prestito dal lessico matematico - ovverosia, aspetto più importante, una parte del lessico pertinente al fenomeno assume un nuovo significato, beninteso interno al modello e quindi teorico, come conseguenza del processo di sottrazione. Si creano dunque delle regole di corrispondenza in base alle quali ritradurre le asserzioni teoriche in affermazioni concernenti il fenomeno. 2) AppHtazione costante del metodo ipotetico-deduttivo ed uso più o meno estensivo della matematica. Le ipotesi poste possono anche essere palesemente false (di solito in quanto risultato del processo di sottrazione rubricato sotto il punto 1). Non si richiede che il fenomeno in esame debba essere ricondotto e «spiegato» in termini di una teoria (fisica) soggiacente considerata più elementare; in particolare, non è ritenuto necessario né, eventualmente, opportuno introdurre enti (teorici o reali) più fondamentali: l'indagine può restare al livello di variabili fenomenologiche.

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1.2 La controversia storiografica tra strumentalismo e realismo

Un apprezzamento effettivo del ruolo dei modelli nella scienza antica, sebbene la loro centralità sia sempre stata del tutto chiara agli studiosi di alcuni settori specifici, è stato finora ostacolato dall'essere lo status della modellistica stato considerato come un aspetto del più vasto dibattito storiografico che ruota intorno ali' alternativa tra le interpretazioni strumentalista e realista (alternativa denotata con SIR nel séguito) della pratica scientifica antica e della prima età moderna. 6 In questo modo, l'analisi della modellistica si è sempre limitata ad accenni cursòri, confortati probabilmente dalla tacita convinzione di stare elaborando sull'ovvio. Manca invece in letteratura sia una rassegna ad ampio spettro della pratica modellistica antica, sia una sua interpretazione alla luce della riflessione epistemologica del periodo, sia un suo (discreto e sempre da effettuarsi cum grano salis) confronto con la prassi contemporanea, quest'ultimo punto essendo necessario se non altro per stabilire se sia da ritenersi giustificata la denominazione di «modellistica» che possiamo in prima battuta attribuire a certi e ben determinati aspetti dell'attività scientifica antica. L'ultima osservazione è rilevante in quanto, in realtà, l'alternativa SIR è largamente un falso problema, specialmente quando si tenti di applicarla alla scienza antica: entrambi i corni del1'alternativa sono categorie epistemologiche e storiografiche che sono nate e si sono arricchite in àmbito strettamente moderno. 7 In particolare, essi sono un consapevole prodotto della riflessione sulla scienza, e trovano una loro ragione di essere all'interno di un dibattito filosofico in continua interazione con la pratica scientifica corrente, caratteristica la cui sussistenza è tutta da dimostrare quando ci si riferisca alla riflessione epistemologica del periodo cui siamo interessati (in effetti, come vedremo tra breve, di una riflessione su questo specifico punto si trovano tracce labili nel pur ricchissimo panorama del dibattito epistemologico che si sviluppò in età ellenistica e, in misura minore, imperiale). Cercare di adattare a questa griglia interpretativa le categorie concettuali e la prassi di ricerca dell'antichità classica costituisce un passo immotivato ed inde-

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bito da un punto di vista storiografico, e può essere sostenuto solo a prezzo di distorcere seriamente le fonti. L'articolo di Lloyd appena citato è principalmente una confutazione dettagliata della lettura offerta da Duhem di buona parte dei testi addotti da quest'ultimo a sostegno della propria tesi (cioè che gli scienziati antichi fossero in larga misura strumentalisti). Si vedano le conclusioni di Lloyd: «[ ... ] per molte delle più importanti figure della storia dell'astronomia greca noi semplicemente non siamo in condizione di pronunciarci in modo definitivo sulle loro concezioni o sullo status delle varie ipotesi da loro utilizzate o sulla questione più generale della natura dell'astronomia e del suo rapporto con la fisica>>. 8 Detto questo, va però osservato che lo stesso Lloyd (che in questo segue Duhem) non ritiene opportuno adottare scansioni temporali più fini per distinguere tra le varie fonti utilizzate, e finisce per porre sullo stesso piano, ad esempio, la testimonianza implicita di Aristarco e quella esplicita di Proclo,9 quelle cioè di uno scienziato del III secolo a.C., vissuto nel pieno dello sviluppo della scienza ellenistica, e di un commentatore del V secolo, isolato - e la cui brillantezza d'ingegno ed indipendenza di giudizio in materia epistemologica resta tutta da dimostrare - in un periodo di produzione scientifica originale pressoché nulla. Lloyd scrive chiaramente nelle considerazioni conclusive del suo saggio che «L .. ] la maggior parte di quei testi prodotti a sostegno de"tta tesi secondo cui in generale gli astronomi greci non erano interessati alla verità delle loro ipotesi o al loro conformarsi o meno alla natura delle cose, finiscono invece per fornire prove contro questa tesi» - e qui si riferisce a Gemino, Teone, Proclo e Tolomeo, cioè ad autori, e si noti che solo l'ultimo è uno scienziato, tardi se non tardissimi -, ma è costretto ad ammettere poche righe dopo che le ipotesi alla base dell'unica opera di Aristarco pervenutaci creano gravi problemi ali' accettare questa stessa conclusione come valida in generale. 10 Un esempio di come la categoria storiografica SIR non costituisca una buona griglia interpretativa è fornito dalla pretesa di volerla identificare con il dibattito, di matrice aristotelica, sulla distinzione tra matematica e fisica: i matematici (in questo caso principalmente gli astronomi) stavano dalla parte degli stru-

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mentalisti, i fisici da quella dei realisti. Come vedremo, le posizioni sono più sfumate, le due alternative finendo per non collimare esattamente. Un ultimo punto può essere d'aiuto nel fissare le coordinate concettuali in cui ci muoveremo: la storiografia più avverti;a ha messo giustamente in rilievo la centralità del pensiero analogico presso i Greci. 11 Ciò prepara in maniera del tutto >. Nel corso del trattato, però, l'analisi si svolge sempre ad un livello fenomenologico (eventualmente anche per mancanza di strumenti matematici adeguati), e nessun risultato dipende dal fatto che la materia sia effettivamente continua o discreta. Non è quindi chiaro, e le fonti a disposizione tendono piuttosto ad orientare in negativo la risposta, èhe quella dei modelli fosse stata concettualizzata e messa a fuoco come problematica indipendente, ed in quanto tale meritevole quindi di una riflessione filosofica che facesse astrazione dai casi concreti di modellizzazione dello specifico fenomeno. Anzi, i passi di Epicuro e di Posidonio mostrano come alcune peculiarità della modellistica fossero state più o meno volutamente fraintese ed utilizzate allo scopo di ribadire la priorità dell'indagine filosofica su quella scientifica, mentre abbiamo constatato che l'analisi aristotelica, per il fatto di porsi ali' origine dell'elaborazione dell'approccio modellistico, denota un notevole grado di consapevolezza e di penetrazione di certi aspetti sottili di quest'ul-

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timo. La scarsità di fonti disponibili - in particolare quelle riguardanti riflessioni di scienziati sulla propria prassi, fonti che, ammesso siano esistite in origine, ben difficilmente potevano resistere alla selettività di una tradizione testuale che ha completamente azzerato la produzione scientifica di una figura gigantesca come Ipparco - 38 consiglia però una cauta sospensione del giudizio. Come spesso accade, il miglior partito da prendere è quello di rivolgersi direttamente ai trattati tecnici: vedremo come l'uso dei modelli fosse diffuso e consapevole, e che anzi esso possa essere assunto senza ambiguità come una delle invarianti cognitive caratterizzanti la ricerca scientifica ellenistica. In particolare, un indicatore importante del grado di consapevolezza raggiunto sarà da individuarsi nella naturalezza con cui, in più occasioni e da parte di autori differenti, viene effettuata la mossa di cambiare modello (senza una parola di commento) all'interno della trattazione dello stesso argomento. Questa caratteristica è del tutto evidente nell'àmbito della modellistica astronomica, che analizzerò brevemente nell'introduzione ai Fenomeni.

1.4 La modellistica nel dominio ottico

Questa è la situazione stando alle fonti antiche: 1) Primi studi, scoperte e teorizzazioni ad opera di Empedocle, Democrito, Archita e di membri della scuola di Platone e di Aristotele. Il materiale, scarso e frammentario, si concentra sui meccanismi fisico-fisiologici della visione. Platone nel Timeo ne presenta una teoria. Aristotele espone nei Meteorologica una teoria dell' arcobaleno, nel De anima una teoria della visione. Nei Problemi, una compilazione mi::;cellanea (non si occupa solo di ottica) di scuola aristotelica, viene per la prima volta menzionato il fatto che la riflessione avviene ad angoli uguali. 2) Opere di Euclide: un trattato di ottica impostato in modo molto simile agli Elementi ed uno di catottrica. i: Ottica (strutturata in 7 definizioni e 58 teoremi) non fa

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menzione di meccanismi percettivi e considera, salvo poche eccezioni, solo il caso della visione monoculare. È un trattato che sviluppa una teoria della visione, non un'opera di ottica geometrica; non studia cioè la propagazione della luce. Sono affrontate, fra le altre, questioni che oggi definiremmo «prospettiche»; è anche offerta una breve analisi della relatività ottica del moto. I.; Ottica ci è pervenuta in due redazioni sensibilmente differenti. La Catottrica (30 teoremi preceduti da 6 ipotesi preliminari) si occupa di riflessione da specchi piani, concavi e convessi; questi ultimi due sono in ogni caso sferici. La legge degli angoli uguali è dimostrata a partire da un' assunzione sostanzialmente ad hoc. Viene proposta un'analisi non completamente soddisfacente delle proprietà focali di uno specchio sferico concavo. 3) Opera di Archimede sulla catottrica, oggi perduta. Le testimonianze sono però scarse; tra le altre, uno scolio alla Catottrica riporta un'interessante dimostrazione, a lui attribuita, della legge degli angoli uguali. Teoremi di Diade sull'aberrazione negli specchi sferici concavi, sulle proprietà focali della parabola e sulla geometria degli specchi ustori (paraboloidi di rotazione). Sono contenuti in un breve trattato pervenutoci solo in traduzione araba, e che presenta altro materiale geometrico del tutto scorrelato dai risultati ottici. Il trattato è una miscellanea compilata in modo rozzo; tra l'altro l'autore stesso, dopo essersi espresso in prima persona nella lettera prefatoria, è menzionato nella proposizione 6. 4) Raccolta di risultati in ambito catottrico, pervenutaci in traduzione latina, tradizionalmente nota come De Speculis e attribuita a Tolomeo;39 in realtà è basata su di un'opera di Erone. In essa si trova la dimostrazione della legge degli angoli uguali come conseguenza del principio che i raggi visivi devono percorrere la minima distanza possibile. Di questo teorema si possiede anche una versione greca in Olimpiodoro, un commentatore tardo di Aristotele. Il De Speculis presenta anche descrizioni di sistemi di specchi per creare effetti speciali.

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5) Ottica di Tolomeo in almeno cinque libri. 40 Pervenutaci in latino, tradotta da una traduzione araba dell'originale greco, si occupa di teoria della visione, ottica e catottrica: è il trattato più completo ed approfondito che ci sia giunto, e comprende descrizioni dettagliate di un buon numero di esperimenti con i relativi apparati sperimentali, riportando e commentando i risultati delle misure. Il primo libro non compare nella traduzione, ed era assente anche nell'intermediario arabo. Il secondo libro affronta i fondamenti di un'analisi della visione, discutendo la percezione di colore, luogo, dimensioni, forma e cambiamento e soffermandosi a lungo sulle illusioni ottiche. Il terzo libro introduce le leggi che stanno alla base della riflessione, studia la visione binoculare di oggetti estesi e la riflessione da specchi piani e convessi. Viene fornita una giustificazione «fisica» della legge degli angoli uguali. Il quarto libro è occupato interamente da un' analisi della riflessione da specchi concavi. Il quinto libro contiene un'analisi abbastanza fine, e senza confronti nell'antichità classica, degli aspetti sperimentali e teorici connessi con la rifrazione. È proposta una forma, scorretta ma molto interessante, della legge della rifrazione. 6) Commenti ed edizioni nell'àmbito della tradizione euclidea. Un commento di Pappo ad alcune proposizioni del1' Ottica di Euclide, contenuto nel libro VI della Collectio. Il commento di Pappo si riferisce ai teoremi più «difficili» contenuti nell'Ottica di Euclide: quelli che studiano, in funzione della posizione dell'occhio, come appare un cerchio. 7) Breve compilazione ottica di Damiano,41 sotto forma di commento alle «ipotesi ottiche». L'autore attribuisce ad Erone la dimostrazione della legge degli angoli uguali che si trova nel De Speculis e cita un esperimento dell' Ottica di Tolomeo. Descrizione di costruzioni approssimate (approssimazione di un paraboloide con una serie di specchi piani) di specchi ustòri ad opera di Antemio di Tralle.

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Questi brevi cenni sul contenuto dei trattati mettono in evidenza uno spostamento nell'impostazione del problema dall'età ellenistica a quella imperiale. Nella prima il metodo di indagine è unicamente geometrico, anche se le applicazioni sono sempre tenute presenti (è il caso ad esempio del trattato diDiocle): i raggi si muovono lungo rette ma nelle dimostrazioni sono rette, viene studiata l'apparenza di scorcio di cerchi e non di oggetti circolari, gli «oggetti» visti, quando· siano generici, sono sempre dei segmenti. Si assiste ovviamente al fenomeno del prestito terminologico, per cui ad esempio le rette vengono chiamate «raggi», ma questo non coinvolge assunzioni esplicite sul meccanismo percettivo. La struttura delle opere è di tipo ipotetico-deduttivo, identica nel formato ad un trattato di geometria «pura>>. In età imperiale si passa dalla compilazione a scopo dimostrativo-stupefacente (il livello matematico del De speculis è piuttosto basso) al trattato di Tolomeo, di eccezionale valore tecnico e metodologico ma che si presenta chiaramente come un opera complessa, in cui trovano spazio considerazioni geometriche e molti teoremi, ma anche descrizioni di strumenti ed esperimenti, un'analisi approfondita del meccanismo percettivo, tabelle di dati,42 lunghe parentesi metodologiche o fisiche. Il tutto amalgamato all'interno di un' esposizione discorsiva, organizzata come una lunga argomentazione. Occupiamoci in qualche dettaglio dell'Ottica di Euclide e di quella di Tolomeo. La prima è opera disuguale;43 non le hanno giovato le edizioni della tarda età imperiale, che ci hanno consegnato due recensioni sensibilmente differenti tra loro (come vedremo, una di esse presenta una prefazione sicuramente molto tarda). Il livello di rigore non è sempre soddisfacente: alcuni teoremi sono enunciati con un grado di generalità più ampio di quanto la dimostrazione proposta permetterebbe - in particolare ciò accade nella prima parte (prop. 10-17), dedicata a questioni «prospettiche», e nell'ultima, concernente la relatività ottica del moto (prop. 49-56) -; l'uso di certi termini cruciali, ad esempio «alto» e «basso», non è completamente regolato dalle definizioni iniziali; qualche proposizione non dimostra in senso proprio ma si limita in realtà a constatare fatti evi-

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denti oppure introduce argomentazioni di scarso momento (si veda il teorema in cui si mostra che grandezze rettangolari appaiono rotonde); certe volte vengono presupposti legami con l'universo fenomenico che esulano dai limitati accenni che ci aspetteremmo nell'àmbito di un modello geometrico. Rigorose (a parte un errore molto sottile e qualche lemma sottointeso) sono invece le proposizioni connesse direttamente alla teoria della visione, in particolare l'ampio tratto che si occupa di quali porzioni siano visibili, a seconda della posizione dell'occhio, di varie figure geometriche (prop. 23-48). Nel complesso l'opera è però solida, l'impianto di fondo e la struttura ipotetico-deduttiva consapevoli. Sono particolarmente interessanti quelle che la tradizione manoscritta ci consegna come definizioni iniziali (in realtà delle assunzioni, come è reso chiaro dal verbo «supporre» che le introduce), che determinano chiaramente il carattere geometrico del modello, stabilendo una serie di regole di corrispondenza tra enti teorici interni ed oggetti esterni. Come di consueto, l'ente geometrico mantiene tutte e sole le proprie specificità, ma riceve una differente denominazione, secondo il termine che designa l'oggetto corrispondente. Così, la definizione 1 stabilisce che gli enti fondamentali che mettono in connessione l'occhio con l'esterno sono rette, che ricevono il nome di ol(JELS «raggi visivi»;44 nella def. 2 si assume che l'occhio sia un punto e che l'insieme dei raggi visivi determini un cono (geometrico) avente come base l'oggetto visto, che già a questo punto non può che essere un ente geometrico. La def. 3 stabilisce cosa significhi opàu8m «essere visto» per un oggetto geometrico - all'interno del modello (occorre cioè che su di esso incidano raggi visivi), la def. 4 cosa significhi cpaLVECJ8m «apparire», assumendo che le dimensioni apparenti di un oggetto sono legate a quelle dell'apertura del cono visivo che esso determina; le deff. 5 e 6 fissano cosa si intenda per «apparire più in alto», «apparire più in basso» «più a destra>>, «più a sinistra». La 7, infine, definisce il termine «apparire con maggiore precisione». Quest'ultima definizione è legata ad un'importante caratteristica dei raggi visivi in un cono visivo: essi formano un insieme discreto, ognuno essendo separato dagli altri da una certa distanza angolare finita e fissa; un cono visivo è

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quindi formato da un insieme finito di raggi, ed un oggetto è visto con maggiore nettezza quando su di esso incidano più raggi. La struttura discreta del cono visivo permette di affrontare e risolvere in modo semplice i problemi legati alla visibilità di oggetti che sottendono piccoli angoli, ed all'invisibilità di quelli che ne sottendono di troppo piccoli. L'assunzione non è banalmente falsificabile (anche se Tolomeo insisterà sulla continuità dei raggi e proporrà altri meccanismi per giustificare il fenomeno - si veda oltre) ma non è neanche facilmente corroborabile, ed appare chiaramente essere stata introdotta per salvare una certa classe di fenomeni. Nel corso della trattazione si rivelano altre assunzioni semplificative che determinano ulteriormente il modello: l'occhio-punto è sempre singolo; quando sì stabiliscono risultati non particolari il tutto avviene nel piano (fanno quindi ovviamente eccezione i teoremi sulle porzioni visibili di coni, sfere, ecc.), 45 gli oggetti visti essendo quindi sempre dei segmenti ed il cono visivo degenerando in un fascio piano di rette. Come si vede, non viene fatto alcun accenno alla natura della luce, non viene introdotto alcun meccanismo percettivo:46 si tratta di un puro modello geometrico. È interessante ricordare che il carattere modellistico della trattazione è stato completamente frainteso sino a tempi molto recenti: Euclide veniva accusato di ingenuità per il fatto di far uscire dall'occhio i raggi visivi, cosa ovviamente falsa. Ai critici non era chiaro che, trattandòsi di teoria della visione e non di ottica geometrica, occorreva fissare il centro dei raggi nell'occhio, non nell' oggetto visto: sfuggiva loro, ad esempio, che la def. 2 stabilisce chiaramente come non esista un cono visivo indipendente dal1' oggetto visto, e che nelle definizioni non viene fatta alcuna assunzione riguardo ad un possibile verso di percorrenza dei raggi visivi. Nella porzione del suo trattato dedicata alla teoria della visione Tolomeo si muove invece su di un altro piano: analizzerò solo un esempio. In più punti traspare la sua concezione estromissiva della natura dei raggi visivi, visti come un' emissione materiale da parte dell'occhio che determina linee - i raggi - di sensibilità visive nell'aria. In vari punti questa concezione risulta decisiva per spiegare fatti che Euclide giustifica altri-

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menti: nel caso ad esèmpio della debole o mancata percezione di oggetti lontani si argomenta che il raggio visivo porta con sé un potere che si indebolisce man mano che si allontana dal vertice del cono visivo:47 Cum igitur principium visibilis radii in figura piramidis sit duplex (alterum quidem in medio spere, in uno puncto quod est caput piramidis; alterum vero est recta linea que incipit ab isto loco, et protenditur per totam longitudinem, et est axis figure), oportet ut aspectus eius quod elongatur a capite piramidis, fiat cum radio minori in virtute quam illius cuius distantia sit moderata; similiter etiam ea que remota sunt ab axe, respectu illorum que propinqua sunt ei. 48 Di particolare interesse è la critica all'assunzione euclidea della discretezza del cono visivo (II.48-50). Merita citare il paragrafo finale per porre in rilievo il radicale cambiamento di prospettiva: Res quoque videnda, cum valde parva fuerit et propter parvitatem non videtur, nec accidit ei hoc quia incidit in locum minutionis radiorum visus. Oportet autem cognoscere quod natura visibilis radii in his que sensus consequitur, continua est necessario et non disgregata. Si vero posuerimus mathematicas demonstrationes et constituerimus radios visus tamquam rectas lineas, magnitudines utique magne que sunt in distantia equali distantie qua parve res non videntur propter parvitatem eorum, apparebunt manifeste, quod non accideret si visibiles radii in ilio loco minuerentur et disgregarentur. Similis quoque esset ibi apparitio magni et parvi. Quoniam, cum id quod de radiis cadit super diametros eorum per totam basem, sint singuli radii, et quod ex unoquoque ipsorum radiorum comprehenditur, sit punctus, et que sunt inter ipsos punctos distantie habeant magnitudinem, non debet videri id quod est in distantiis, quia radius visibilis non cadit super illas. Nec puncti etiam videbantur, cum non habeant quantitatem neque subtendant angulum. Erit ergo omnis res illa invisibilis. 49 Dietro la brillante argomentazione sofistica di Tolomeo si annida una chiara incomprensione del senso e dello scopo delle

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assunzioni euclidee, che vengono poste su di un piano oggettuale cui non possono appartenere. Molto interessante ai nostri fini è un confronto tra le maniere in cui viene spiegato il fatto che un raggio visivo venga riflesso ad angoli uguali. Il primo cenno a tale fenomeno si trova nei Problemi pseudo-aristotelici (.XVI.13) .50 Anche se sicuramente apocrifa, la raccolta che va sotto quel nome può essere fatta risalire ad ambienti peripatetici molto vicini ad Aristotele, e costituisce quindi la prima testimonianza in proposito. Il cenno è inserito in una breve discussione del perché oggetti materiali rimbalzino ad angoli uguali quando incontrano ostacoli; non c'è traccia di dimostrazione; il fatto ottico serve anzi a motivare l'analogo comportamento meccanico. Nella Catottrica euclidea viene introdotta come terza un'assunzione che è utilizzata soltanto a questo scopo: Posto uno specchio in un piano e osservata una certa altezza, che è ad retti con il piano, risultano in proporzione, come la retta tra lo specchio e colui che osserva rispetto a quella tra lo specchio e l'altezza ad retti, così l'altezza di colui che osserva rispetto all'altezza ad retti con il piano.

Su questa base la dimostrazione della prima proposizione . È pertanto manifesto che gli angoli su H sono uguali. Sono infatti retti. E sia AH uguale a HE>, e siano state congiunte E>Z e E>E. Questa è la costruzione. Poiché dunque AH è uguale a HE>, ma anche l'angolo AHE è uguale all'angolo E>HE, e comune un lato HE dei due triangoli, anche E>E come base è uguale a EA come base, e il triangolo HE>E è uguale al triangolo AHE, e gli angoli che restano, sotto cui si tendono i lati uguali, sono uguali agli angoli che restano. E>E è quindi uguale a EA. Di nuovo, poiché HE> è proprio uguale a HA e un angolo AHZ è uguale a un angolo E>HZ, e HZ comune dei due triangoli AHZ e E>HZ, anche E>Z come base è quindi uguale a ZA come base, e il triangolo ZHA è uguale al triangolo E>HZ. E>Z è quindi uguale a ZA. E poiché E>E è uguale a EA, sia stata sommata Er comu-

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ne. Due rE, EA, sono quindi uguali a due rE, Ee. re totale è quindi uguale a due rE, EA. E poiché due lati sostituiti in ogni modo di ogni triangolo sono maggiori di quello che resta, i due lati ez, zr di un triangolo ezr sono quindi maggiori di uno solo, re. Ma re è uguale a rE, EA. ez, zr sono quindi maggiori di rE, EA. Ma ez è uguale a ZA. zr, ZA sono quindi maggiori di rE, EA. E rz, ZA sono quelle che comprendono gli angoli disuguali: le che comprendono gli angoli disuguali sono quindi maggiori di quelle che comprendono gli angoli uguali.57

Si esce dunque dall'àmbito del modello, e le motivazioni addotte hanno natura più metafisica che osservativa. Approccio radicalmente differente troviamo nell'Ottica di Tolomeo. Egli ribadisce la propria posizione sui fondamenti della conoscenza scientifica e afferma che in ottica vi sono tre princìpi: Curo ergo in omnibus rebus quarum scientia queritur, aliquibus principiis universalibus indigetur, videlicet ut preponatur res sive in effectu sive in consistentia certe et indubitabiles ex quibus sequentes demonstrationes sumantur, debemus dicere quod principia quibus indigetur in scientia speculorum, precipue sunt tria, et sunt prime scientie possibiles per se cognosci. Quorum unum est quo dinoscitur quod res que videntur in speculis, apparent secundum directionem visibilis radii qui cadit super eas per reverberationem suam que fit secundum positionem pupille a speculo. Secundum vero est quo dinoscitur quod singula que in speculis videntur, apparent super perpendicularem que cadit a re videnda super speculi superficiem et penetrat. Tertium autem quo cognoscitur quod talis est positio fracti radii qui est inter pupillam et speculum et inter speculum et rem videndam, quod unusquisque istorum duorum pervenit ad punctum de quo fit fractio, et continent cum perpendiculari que ab ipso puncto procedit de speculo, equales angulos. 58

Il terzo principio è dunque quello degli angoli uguali. Tolomeo ne offre due giustificazioni. La seconda è di natura puramente sperimentale: viene descritto in dettaglio uno strumento ed il suo impiego per verificare che i raggi visivi si comportano

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effettivamente secondo il principio. La prima è interessante, anche se Tolomeo la considera esplicitamente al più un argomento di supporto. Si tratta di un piccolo esperimento mentale basato sulla reversibilità del cammino ottico (che possiamo quindi supporre ispirato in qualche senso dalla dimostrazione di Archimede), in cui il principio degli angoli uguali viene verificato in un caso particolare ben determinato (quello cioè in cui il vedente sia un occhio ed il visto sia l'altro occhio; in questo modo la situazione è esplicitamente simmetrica). La dimostrazione teorica di Tolomeo ricalca quella di Archimede ed è basata su argomenti di simmetria:5 9 Fit etiam simili modo, cum fuerit situs oculorum sic constitutus ut alter uideat alterum in eodem tempore; quod fit, cum ex utrisque in simul uisus ceciderit super umun et eundem punctum de illis qui sunt in speculo. Quod si ita non fit, accidit nullum eorum uidere alterum, et hoc significar quod radii uisus refracti sint ad inuicem. Ex his quoque patet quod reuerberatio fit ad equales angulos. Angulus enim erit unum et idem propter casum alterius duorum radiorum super speculum et reuerberationem alterius radii a speculo. Si uero posuerimus illos esse inequales in utraque parte, necesse est fieri ab altero oculorum radium obuiantem super:ficiei speculi ad angulum maiorem ilio qui fit ex radio post reuerberationem eius a speculo, in altero autem oculo fieri e converso, uidelicet ut angulus ""!adii post reuerberationem fit maior angulo alterius radii qui cadit super speculum. 60

Tolomeo prende poi a prestito la configurazione geometrica nella dimostrazione del De speculis per dimostrare che il raggio visivo che realizza la riflessione ad angoli uguali è unico, modificando ovviamente la dimostrazione eroniana.61

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OTTICA E CATOTTRICA

1. Contenuto dei trattati I; Ottica ci è pervenuta in due redazioni, che sono comunemen-

te indicate con le sigle A e B e che confronteremo in dettaglio nella prossima sezione. Le due redazioni sono sensibilmertte differenti tra loro dal punto di vista linguistico, ma non da quello del contenuto; riassumo quello della redazione A. Quando si fa riferimento ad una grandezza senza ulteriori determinazioni, questa è sempre rappresentata con un segmento. Definizioni (o, meglio, assunzioni): raggi visivi come linee rette uscenti dall'occhio (1) a formare un cono (2); gli oggetti visti sono quelli su cui si posano i raggi (3). Grandezza apparente di un oggetto determinata dall'ampiezza dell'angolo sotteso (4). La posizione relativa dei raggi visivi determina quella degli oggetti visti: alto-basso (5); destra-sinistra (6). Maggior precisione visiva raggiunta quando un oggetto sia visto da più raggi (7). Proposizioni f-3: risoluzione visiva. Un oggetto esteso non lo si vede mai tutto insieme (1); oggetti più vicini si vedono con maggiore precisione (2); oltre una certa distanza un oggetto diventa invisibile (3). Proposizioni 4-7: variazioni delle dimensioni relative di insiemi di oggetti al variare della distanza dall'occhio. Di grandezze uguali poste su di una stessa retta, quelle più distanti appaiono più piccole (4); un oggetto più vicino (trasportato parallelamente) appare più grande (5); grandezze parallele sembrano convergere (6); stessa di 4, ma le grandezze non sono adiacenti (7). Proposizione 8: grandezze uguali, distanti in modo disuguale, non sono viste in maniera proporzionale alle distanze. Proposizione 9: un quadrato appare arrotondato.

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Proposizioni 10-14: teoremi «prospettici»: oggetti distesi e più lontani visti dall'alto sembrano trovarsi più in alto (10), oggetti distesi e più lontani visti dal basso sembrano trovarsi più in basso (11), le grandezze che si estendono a destra e si allontanano dall'occhio sembrano tendere a sinistra, e viceversa (12),lo stesso che 10e11 per oggetti posti in verticale (13) (14). Proposizioni 15-17: come appaiono due grandezze disuguali - la prima non copre la seconda - e parallele: vari casi a seconda di come è posto e si sposta l'occhio, che si può muovere lungo una retta perpendicolare alle grandezze. Caso in cui la retta passa sopra un estremo della prima grandezza (15), sotto (16), oppure è esattamente allineata (17). Proposizioni 18-21: determinazione di lunghezze incognite facendo uso della riflessione. Altezze, sia che vi sia il sole (18), sia che non ci sia (19); profondità (20); larghezze (21). Proposizione 22: un arco di circonferenza visto di taglio appare come un segmento. Proposizioni 23-27: immagine di una sfera se vista da un occhio (23); cosa succede se l'occhio si sposta più vicino (24). Visione binoculare di una sfera: quale porzione ne viene vista a seconda che la distanza tra gli occhi sia uguale (25), maggiore (26), minore (27) del diametro della sfera. Proposizioni 28-29: cilindro visto da un occhio solo (28); cosa succe.4e se l'occhio si sposta più vicino (29). Proposizioni 30-33: immagine di un cono (30); cosa succede se l'occhio si sposta più vicino (31). Spostamento dell'occhio lungo linee rette: due casi considerati: luogo da cui la parte vista del cono resta sempre la stessa (32); retta da cui invece la parte vista dipende dalla posizione (33 ). Proposizioni 34-36: come viene visto un cerchio in funzione della posizione dell'occhio. I diametri di un cerchio, visto dà una retta perpendicolare al piano in cui giace il cerchio e passante per il centro, sono uguali; lo stesso accade se l'occhio si trova ad una distanza dal centro uguale al raggio (34). In ogni altro caso i diametri del cerchio appaiono disuguali (35). Le ruote di una carro appaiono ora circolari, ora oblunghe (36). Proposizioni 3 7-44: variazione o invarianza delle grandezze apparenti di singoli oggetti che si spostano (o nel caso si sposti

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l'occhio). Luoghi geometrici associati. Invarianza: luogo (circonferenza) da cui una grandezza che si muova su di esso appare sempre uguale all'occhio (37); a ruoli invertiti, con l'occhio che si muove (38). Se la grandezza è perpendicolare ad un piano e descrive una circonferenza al centro della quale ci sia l'occhio la grandezza appare sempre uguale (39), e a ruoli invertiti (41). Variazione: se si è nelle ipotesi del 37, ma la grandezza non è perpendicolare al piano, la si vedrà ora uguale, ora diversa (40). Occhio in moto e grandezza ferma: un luogo (retta) da cui la grandezza è vista disuguale (42); altro luogo (retta parallela alla grandezza) per cui accade lo stesso (43). Proposizioni 44-49: studio di luoghi geometrici da cui grandezze date si vedono in date proporzioni. Punto da cui grandezze uguali appaiano disuguali (44); punto da cui grandezze disuguali appaiano uguali (45). Vi sono luoghi in un piano da cui grandezze uguali e poste perpendicolari al piano appaiano ora uguali ora disuguali (46). Vi sono luoghi su di un piano da cui l'unione di grandezze disuguali appare uguale all'una ed all'altra delle due prese separatamente (47). Trovare luoghi da cui grandezze date appaiano metà, un quarto, o in qualsiasi rapporto dato (48 e 49). Proposizioni 50-57: visione di più corpi in moto ed analisi della relatività ottica del moto. Occhio fermo e serie di grandezze parallele, poste a distanze variabili e che si muovono alla stessa velocità: le più lontane sembrano prima precedere, poi seguire le altre (50). Se l'occhio si muove, oggetti che si spostano alla sua velocità appaiono fermi, oggetti più veloci appaiono andare oltre, quelli più lenti restano indietro (51). Un oggetto fermo che si intravede dietro oggetti in moto sembra restare indietro (52). Se l'occhio si avvicina ad un oggetto, questo sembra crescere (53). Stessa situazione che in 50: le grandezze più lontane sembrano muoversi a velocità minore (54). Lo stesso se si muove l'occhio (55). Grandezze che crescono sembrano avvicinarsi (56). Sotto certe condizioni, una figura può essere vista prima concava, poi convessa (57). Proposizione 58: Un quadrato è visto ancora quadrato se l'occhio si trova lungo la retta passante per il centro e perpendicolare al piano in cui giace.

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2. Le due redazioni dell' «Ottica» La redazione B ha un'introduzione che si occupa di chiarire alcuni aspetti del trattato che segue. In estrema sintesi, gli argomenti discussi sono i seguenti. I raggi visivi, così come la luce, si muovono ii1 linea retta: a conferma sono addotti fenomeni tratti dall'esperienza comune: ombre proiettate da sole e da lanterne. Conferma dall'esperienza comune che i raggi visivi non formano un continuo ma sono intervallati: esempi dell'ago caduto a terra e delle lettere sulla pagina di un libro. Polemica contro la teoria delle immagini di matrice materialistica (atomistico-epicurea); argomento basato sulla forma convessa del globo oculare. Gli archi di cerchio visti di scorcio appaiono retti. Nella redazione B la proposizione 34 è spezzata nelle 34 e 35; le proposizioni 46 e 49 non hanno corrispettivo; l'ordine delle proposizioni da 36 a 41 è notevolmente diverso. La redazione B contiene quindi 57 proposizioni, la cui numerazione è discorde da quella di A a partire dalla 34. La situazione è forse resa più chiara dalla tabella seguente, che mostra le concordanze delle redazioni A e B: sono incluse anche le principali traduzioni e revisioni medievali. Le proposizioni 22, 28, 42, 44, 54 in A hanno dimostrazioni alternative, che Heiberg ha inserito nel testo principale e che coincidono in misura variabile con le dimostr;:zionì in B. Lettere dopo i numeri individuano le successive parti di una dimostrazione. Un asterisco individua le proposizioni virtualmente identiche in A e B; 62 due asterischi quelle solo leggermente rielaborate. La traduzione araba e le due recensioni di al-Kindì e di at-Tusì hanno problemi testuali propri di non poco conto. 63 La traduzione greco-latina è una versione fedele di A; 64 sono solo introdotte due proposizioni (24 e 25) e fornita la dimostrazione di un'asserzione non dimostrata in A. Tutto ciò sembra non provenire da tradizione antica.

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A

B

1*

1*

2* 3* 4 5 6a 6b 7

2* 3*

8

9* 10

4

5

araba 1

al-Kindi

al-Tusi

1

2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7

1 2 3 4

8

9

6a 6b 7 8 9* 10

10 11

11

11

12

12 13

12

13

13

14

14 15 16 17 18 19

14 15

15 16 17 18 19 20 21 22 22alt1 22alt2**

20

21 I I

16 17 18 19 20 21 22

Greco-latina l

2 3

4

5 6

5 6

8

7 8

9 10

7 8 9

10

11

11

10 11

12 13 14

12

12

13

13

14 15

23 I I

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23altl 23alt2

15

9

16 17

16

18

18

19 20 21

20

22

17 19 21 22

23

23

I

22**

I I

I I

I I

23 24 25 26 27

24 25 26 27 28 29

26 27 28 29a

I

I

I

28*"

30

I

30

I

I

I

I

I I

31

31

3}

32 33

29b 30a

31

29 30 31

31,...ofonta 32

32

33

33

I I

23 24 25 26

27 28

28agg.l Ksolo enunc.) 28alt28 agg.2 29

30

I I

I I

I

24

I

I

24

24 25 26 27

25 26

25

28

29

27

28

29 30 31 32 (en.+dim.)

30b

32 33

31 32

34 35

I

34 35

34 35 .. 35 ""'"iunta 36 37

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A 34a 34b

34c 35 lcmma35a

B

araba

al-Kindi

al-Tusi

Greco-latina

34 35a 35b 36 lemma

36 37

33

36 37

38 39a 39b 40 lemma40a

I

38 39

34 35a 35b 36a

I

38 39

36abc'~

lemma35b lemma35c lcmma35d 36** 37 38* 39a"""

I

I

lemma36d lcmma36c 37** 41 42* 38a**

40 41 42 43a 43b e48 44

I I

I I

I

39 ru>11iunta I

38 alliunta

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40a 40b 40c 39*

I I

41* 42

I

I

I 45a I

45b 46 47 49 50

36b 37a 37b 38 39 40c44 41a 4lb 4lc 42a 42bc 43a 43b 43c 45

I

I I

I

51 52

46 47

45* 46*

I

45*

54

46

I

47* 48** 49 50 51 .. 52* 53* 54** 54"/tl 54alt2 55 56

47* 48**

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57*

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I

49 50* 51* 52* 53"* I I

54 55 56* 57

53 55

I

I

40 41 42 43 43bc48 44

I I 44 fine I

I

I J

44 ru>t1iunta

I

47 46 45 49 50

45 I I

46 47

I

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I

I

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49 48 51

54 53 55

49 50 51 52a 52b 53 54 55

I

I

I

56 57 58

52 53 54

56 57 58 I 59

I

I

59

55

I 60 I 62 6}

I I I 1>arrcdi56 I I

64

59

61

iemma40b lemma40c lcmma40d 41 42 43 44a

56

I

57

60

57altl 57alt2 58

I 61 62

63 64

59 60 61

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Della Catottrica attribuita ad Euclide ci è giunta una sola redazione greca, e non si ha notizia di traduzioni arabe. L'opera può essere divisa in due grandi tranches, a seconda se venga fatto uso o meno del metodo per la determinazione delle immagini riflesse, che viene fornito solo con la proposizione 16. Si osservi che gli specchi concavi e convessi sono sempre da intendersi sferici. > in 19, TIT]ÀLKOV «che valore» in 19, 20 (bis), 21 (bis). In tutte queste 8 occorrenze la redazione A ha TITJÀLKOV (due per ogni proposizione). In generale, in queste proposizioni gli enunciati e le istanze in A sono scritti in maniera più lineare (si vedano anche i punti 6 e 19 più sopra). 22) La redazione A preferisce l'espressione «è vista minore» nelle proposizioni 26 (bis), 27 (bis), 28, 30 (bis), dove B ha «ciò che è visto di ... è visto». La redazione B mantiene la locuzione «è vista minore>> nelle proposizioni 28 e 30. A queste osservazioni linguistiche si possono aggiungere alcune notazioni stilistiche: 23) La redazione A tende a posticipare parti della costruzione, inserendole all'interno della dimostrazione vera e propria. 24) La redazione A adotta una maniera peculiare di esprimere la relazione di uguaglianza: non «A è uguale a B» ma «A

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e B sono uguali». Lo stesso accade per la relazione di parallelismo: si vedano le proposizioni 5, 8, 44, 45 (quest'ultima in entrambe le redazioni). 25) La redazione B produce dimostrazioni molto simili per teoremi omogenei, A perde omogeneità come conseguenza di variazione di singole dimostrazioni; si vedano ad esempio le prop. 23 e 15-17. 26) Nella redazione A la qualità degli enunciati e delle inferenze è in generale migliore, ma non.sono pochi gli abbagli che trovano una spiegazione plausibile in corruzioni del testo di B. Che conclusioni trarre da questa massa di dati, che meriterebbero comunque di essere estesi ad un'indagine capillare? L'impressione è che la redazione A sia globalmente più regolare, o regolarizzata, di B. Che ciò sia dovuto ad un lavoro di revisione è un'ipotesi plausibile, ma resta un'ipotesi. Quello che disturba è la constatazione che l'eventuale revisore non ha fatto il proprio lavoro fino in fondo: la redazione A non è totalmente regolarizzata. Può ben darsi che il revisore fosse un inetto, ma allora vien.e il sospetto che possa essersi trattato di un correttore bizantino, e non di un editore tardo-antico con qualche competenza matematica. La stessa conclusione sembra suggerita dal lavoro di compilazione fatto su B dal redattore di A, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni alternative. La presenza in B di un'introduzione dottrinale (di cui ci occuperemo nell'ultima sezione) non prova niente, dato che può essere stata giustapposta in qualsiasi momento senza interferire con il testo. Che entrambi i testi possano eventualmente essere piuttosto lontani da una versione che circolava in età ellenistica lo prova l'accidentale recupero, che apre e purtroppo sùbito richiude prospettive vertiginose, del testo originale delle proposizioni 10-11. Le differenze tra la vecchia e la nuova redazione devono far nascere più di un dubbio riguardo ali' autenticità complessiva di quello che stiamo leggendo. La questione delle idiosincrasie linguistiche è ancora più spinosa. Come abbiamo visto, su questioni delicate come l'uso e l'ordine di introduzione delle lettere denotative il ruolo dei copisti può essere stato decisivo, e, quel che è peggio, si tratta di un fenomeno che non

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siamo in grado di controllare completamente. Gli arcaismi lessicali sembrano invece un discreto indicatore, considerando il conservatorismo linguistico dello stile matematico greco. Più in generale, il nucleo originario discernibile dell'Ottica sembra riflettere in maniera adeguata uno stato, nell'evoluzione delle tecniche di indagine, iniziale ma non primitivo. Possiamo quindi ragionevolmente collocarla nella prima età ellenistica. Che l'opera sia autenticamente euclidea è un'ipotesi di lavoro che possiamo ritenere plausibile ma che tutto sommato mi pare di scarso interesse.

3 .2 Catottrica Della Catottrica è giunta una sola redazione. L'edizione di Heiberg si basa sul Vat. gr. 204, che contiene anche quest'opera, anche se non di séguito all'Ottica. Heiberg accolse in apparato le varianti del Vat. gr. 191 e dei Marciani graeci 301 e 303. Dei manoscritti che contengono la redazione B dell'Ottica, 26 includono anche la Catottrica; in altri 7 codici la Catottrica si trova da sola. Poche le citazioni di opere di argomento catottrico in fonti antiche, ed alcune di queste controverse. 1) Nella prop. 19 dell'Ottica (entrambe le redazioni) è applicato il fatto che i raggi si riflettono ad angoli uguali; viene fatto esplicito, ma generico, riferimento ai trattati di catottrica. La redazione A afferma «come è detto nelle Catottriche>>, la B «questo si dimostra infatti nelle Catottriche». Almeno una citazione è modificata da uno dei due editori: l'altra è quindi probabilmente antica. Sui problemi che crea questo riferimento si veda sotto. 2) Teone, nel suo commento all'Almagesto, spiega il passo in cui Tolomeo afferma che i corpi celesti, quando sono vicini al1' orizzonte, appaiono ingranditi per un effetto ottico: per questo, imbattendosi la vista in aria più caliginosa, i raggi che da essa incidono sull'astro subiscono un'inflessione e fanno maggiore l'angolo sull'occhio, come dimostrò anche

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Archimede nei Sulle catottriche. Dice che «proprio come ciò che è gettato nell'acqua appare maggiore, e tanto maggiore quanto più è posto in basso». 102 Siano infatti grandezze AB, ril disuguali in aria pura, viste sotto lo stesso angolo rELl, l'occhio essendo chiaramente E. È pertanto manifesto che AB, ril appariranno uguali, per il fatto di essere viste sotto lo stesso angolo. Risultino essere anche sott'acqua, così che la superficie dell'acqua sia secondo ZH. E incidano raggi sulla superficie dell'acqua Ee, EK, e siano inflessi fino ad A, B, come E8A, EKB, come anche Archimede nei Sulle catottriche, come abbiamo detto. E poiché la vista vede per natur1!· secondo linee rette, siano stati prolungati i raggi E8, EK in retta fin verso A, M; e ancora AB sia stata prolungata da una e dall'altra parte secondo A, M. La grandezza AB proporrà quindi come immagine di essere vista tale, quale è AM, vista sotto l'angolo AEM. Ed è manifesto che la grandezza AB sarà vista maggiore quando si trova nell'acqua. Incidano pertanto anche altri raggi come EN, ES, inflessi verso Nr, 2Ll e che circondano la grandezza ril. E di nuovo siano state prolungate NO, BIT in retta con EN, ES, e ancora ril da una e dall'altra parte secondo O, Il. Di nuovo, per gli stessi , la grandezza ril sembrerà pertanto essere vista come OD, risultando maggiore. AB, ril, che sono disuguali e appaiono uguali in aria pura, in acqua appaiono disuguali, e quella più in basso maggiore, poiché appunto è vista proprio sotto un angolo maggiore. l03

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3) Proclo menziona la Catottrica, insieme all'Ottica, alle «esposizioni elementari concernenti la musica» e al > i termini iniziali: nella proposizione 16 si fa riferimento al 4 con l'espressione «era stato supposto nei fenomeni [Èv To'i-:; awoµÉvoLs]». La denominazione canonica OpOL è d'altronde attestata solo in recentiores, o come aggiunta di mani posteriori. Tre riferimenti sono interessanti. La definizione di retta inserita all'interno del fenomeno 1: >

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mettono in corrispondenza intervalli consonanti e rapporti multipli o superparticolari e che appare, in forma più asciutta, nella Sectio canonis. 344 Il termine non è neutro, e in àmbito geometrico designa inequivocabilmente oggetti che possono essere portati a coincidere esattamente. lni_~e, non ha valore l' osservazione che il principio di consonanza sotto forma di equivalenza è falso, in quanto includerebbe tra le consonanze intervalli che palesemente non lo sono, e che anche i Pitagorici stessi escludevano in quanto dissonanti, come quelli corrispondenti ai rapporti sesquiquarto e quintuplo: 345 come abbiamo visto, anche il principio sotto forma di implicazione semplice è musicalmente falso. Quanto alla presenza di proposizioni inutili, beh, se ne trovano anche negli Elementi, e proprio in forma di contrapositive; al massimo possiamo condannare la proposizione, non l'intero trattato. Il fatto che il principio.di consonanza sia falso non costituisce un problema: tutte le ipotesi lo sono, e ciò che conta è che il modello sia consistente. Ricordiamo ancora che in opere di stampo modellistico come questa, occorre distinguere il piano della giustificazione delle ipotesi da quello delle deduzioni a partire dalle ipotesi stesse: si noti che il principio di consonanza è introdotto dalla formula ELKOS' «è ragionevole». Le conclusioni che traggo da questa discussione, e l'impressione che deriva da una lettura attenta dell'opera, è che alla sua unica carenza logica sia slata data un'importanza esagerata dai commentatori, e che l'argomentazione proceda invece per mezzo di una concatenazione deduttiva stringente. È dunque un'opera da giudicare autentica in blocco, rappresentante tipico di un approccio «pitagorizzante» alla teoria musicale, come conferma la decisiva testimonianza di Tolomeo. Che la Sectio canonis risalga dunque approssimativamente al periodo in cui visse Euclide è una conclusione che possiamo trarre con un certo margine di confidenza. Che sia da attribuirsi ad Euclide oppure no è una questione tutto sommato marginale. Un problema interpretativo interessante è costituito dall'espressione «un solo nome» nella parte finale dell'introduzione. Così sono detti essere in relazione i numeri che danno origine a rapporti multipli o superparticolari.

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L'interpretazione corrente dell'espressione è dovuta a L. Laloy. 346 Egli fa osservare che la lingua greca possiede parole singole soltanto per denotare rapporti multipli o superparticolari, e che questi termini appartengono al linguaggio ordinario. Le denominazioni dei rapporti superparticolari, più complesse 1.1 linea di principio di quelle dei rapporti multipli, sono formate in accordo con una regola fissa, in maniera che ogni rapporto di questo genere può essere facilmente nominato. Così, a parte ~µLoÀLOv «sesquialtero», ÈmTp( TOS' «sesquiterzo» significa «un terzo in più», e denota quindi 4:3; i rapporti successivi sono ottenuti premettendo ÈiTL al nome della parte, Il linguaggio ordinario non offre denominazioni simili per gli altri tipi di rapporti, e ricorre di preferenza a perifrasi. L'occorrenza di termini singoli per designare i rapporti superparticolari in Nicomaco, Introductio arithmetica I.20-21 (fine II secolo; trattato sicuramente più tardivo della Sectio canonis) non va considerata significativa: l'esposizione stessa in Nicomaco, afferma Laloy, suggerisce che costui stesse in effetti impiegando termini poco comuni, forse addirittura inventandoli.347 Infine, Laloy commenta in questa maniera il fatto che nella versione boeziana della Sectio canonis il passaggio su «un solo nome>> sia assente: «le fait de langage auquel il est fait allusion est propre du grec: les mots sesquiquartus, sesquiquintus, [ ... ] sont des mots savants forgés pour les besoins d'un ouvrage d' arithmétique: ils ne peuvent étre invoqués comme des preuves. Euclide, au contraire, trouvait toutes formées, dans sa langue, des locutions usuelles qui sont à ses yeux des témoins irrécusables». 348 Dopo Laloy, gli studiosi si sono schierati con lui o hanno riscoperto la sua interpretazione: così P. Tannery, 349 Ch.E. Ruelle (in effetti sull'autorità di Tannery),350 E. Lippmann,351 W Burkert,352 A. Barker,353 e A. Barbera.354 Nella sua traduzione italiana, B. Zanoncelli qualifica in maniera interessante l'interpretazione di Laloy:355 il riferimento dell' «un solo nome» non è il singolo termine che designa il rapporto, ma il singolo numerale che compare nella designazione di un rapporto (multiplo) o superparticolare; ad esempio ÈTT( rptrnç «un terzo in più», ecc. Detto in termini moderni, il riferimento sarebbe all'intero n nell'espressione (n+ l):n di un rapporto superparticolare ridotto ai minimi

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termini. 356 Il problema di questa proposta è che, oltre alle denominazioni dei rapporti superpazienti formate regolarmente con riferimento a due numerali, come ad esempio Èmofrptrnç «due terzi in più», cioè 5:3, sono attestati nomi alternativi degli stessi rapporti contenenti un solo numerale, in questo caso Èm&µEpr\s «due parti in più». 357 La caratterizzazione di Zanoncelli non può pertanto essere usata come criterio per identificare rapporti multipli e superparticolari. Nell'ipotesi, alternativa alla precedente, che il riferimento dell'espressione «un solo nome» fosse una qualche parola che designasse la categoria dei rapporti multipli e superparticolari, sono state fatte varie proposte per questo termine. A.C. Bowen argomenta a lungo per «consonante». 358 Il cuore del1' argomento è che i predicati «multiplo» e «superparticolare» possono essere applicati direttamente agli intervalli tra note, dal momento che nella Sectio canonis i suoni fenomenici (cioè descritti da intervalli correlati a rapporti) ed oggettivi (cioè sequenze di moti consecutivi) sono identificati. Ciò rende impossibile ogni riferimento a numeri e rapporti in quanto tali, e il problema dell' «un solo nome» evapora. Le proposte di Jan KpE( TTOUS «migliori»359 e di Mathiesen >, come vedremo tra un attimo. 235 Nel periodo ellenistico non c'era nessuna stella di questo genere, ma un > sembra implicare che invece lanalisi fosse stata compiuta. Per una discussione di come i luoghi a 3 e 4 linee vennero probabilmente risolti dai vari autori si veda in primis Zeuthen, Die Lehre, pp. 126-150; T.L. Heath, Apollonius of Perga, Treatise on Conzc Sections, pp. cxxxviiicd, che si limita come al solito a tradurre e riassumere Zeuthen; Knorr, The Ancient Tradition, pp. 120-127, con un =ore che inficia tutta l'argomentazione; Jones, Pappus of Alexandria, pp. 399-400 e 587-591. Un'estensione del primo porisma di Euclide si rivela utile nella dimostrazione che il è una conica (cfr. Zeuthen, Die Lehre, p. 152).

NOTA ALLA TRADUZIONE

Il testo adottato è quello dell'edizione teubneriana dell'Opera omnia di Euclide. Nell'ordine: 1) Euclidis Elementa, post I.L. Heiberg edidit E.S. Stamatis. 5 voli. Leipzig, B.G. Teubner 1969-1977. 2) Euclidis Data, cum Commentario Marini et scholiis antiquis, edidit H. Menge, vol. VI in Euclidis Opera Omnia, ediderunt I.L. Heiberg et H. Menge. Leipzig, B.G. Teubner 1896. 3) Euclidis Optica, Opticorum Recensio Theonis, Catoptrica, cum scholiis antiquis, edidit I.L. Heiberg, vol. VIl in Euclidis Opera Omnia, ediderunt I.L. Heiberg et H. Menge. Leipzig, B.G. Teubner 1895. 4) Euclidis Phaenomena et Scripta Musica, edidit H. Menge. Fragmenta, collegit et disposuit LL. Heiberg, vol. VIII in Euclidis Opera Omnia, ediderunt LL. Heiberg et H, Menge. Leipzig, B.G. Teubner 1916. Il lettore avrà modo di verificare che la traduzione cerca di mantenersi fedele a certe particolarità del testo greco. Come abbiamo visto nell'introduzione agli Elementi, la lingua matematica greca è strutturata come una catena di espressioni formulari, atte ad esprimere per mezzo di una struttura linguistica fissa ben precise costruzioni, proprietà o relazioni matematiche; Tali espressioni vengono di norma ripetute, a parte eventuali abbreviazioni, con l'unica variazione delle lettere denotative. Varianti nella struttura dell'espressione segnalano problemi testuali o assumono un significato matematicamente rilevante. Più in generale, la lingua greca concede una libertà quasi assoluta per quanto riguarda l'ordinamento dei vocaboli all'interno della frase, e fa un uso dell'articolo, delle preposizioni e dei costrutti participiali la cui ricchezza è difficilmente replicabile in una lingua moderna. Abbiamo visto a più riprese nell'introduzione come la presenza o assenza dell'articolo abbia un

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NOTA ALLA TRADUZIONE

ruolo cruciale, ad esempio nell'espressione della generalità matematica, e che certe scelte nell'ordinamento dei termini all'interno di una frase sono significative sul piano matematico e sicuramente non legate a fattori casuali. Come conseguenza di tutto ciò, ho tentato, con attenzione maniacale, di mantenere invariata sia la struttura formulare che le peculiarità nell' ordinamento dei termini, aiutato in quest'ultimo caso dalla straordinaria flessibilità della lingua italiana. Allo stesso modo, ho impiegato un ampio spettro di tempi verbali, e cercato di restare fedele a certi costrutti. Ho resistito, e già me ne pento, alla tentazione di tradurre come avrei voluto tutte le relazione con operatore relazionale esterno, ad esempio «ed è uguale A a B», perché mi sembrava di forzare troppo la mano. Ho però mantenuto l'idioma nel caso dei multipli. Come è comprensibile, il risultato è del tutto alieno alla pratica di scittura corrente di una dimostrazione geometrica, e sfiora spesso il barbarismo. Occorre però tener presente che anche la lingua matematica greca sarà molto probabilmente apparsa alquanto artificiosa ad un contemporaneo. Che il lettore della traduzione faccia dunque un piccolo sforzo per entrare nel linguaggio, e si lasci guidare dal contesto matematico per sciogliere le possibili ambiguità. Spero che risulti chiaro quanto sia ingente la quantità di convenzioni di traduzione di cui ho dovuto tener conto, ed il fatto increscioso che a volte queste entrassero, a causa della mancanza di opportune strutture linguistiche in italiano, in conflitto tra loro. Il lettore è quindi invitato a considerare con clemenza gli errori che troverà. Alcuni problemi restano irrisolti, come ad esempio la frequente ed apparentemente immotivata assenza dell'articolo di fronte a termini come «lato», «angolo» o «rapporto». L'arte di tradurre la lingua matematica greca deve molto alle riflessioni linguistiche di M. Federspiel, di cui ho adottato alcuni suggerimenti. Il lettore interessato è invitato a leggere i suoi lavori citati in bibliografia.

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LIBRO I

Sia infatti stata congiunta dal punto A fino al punto B una retta AB, e sia stato costruito su di essa un triangolo equilatero ilAB, e siano state prolungate in retta con ilA, ilB rette AE, BZ, e con centro B e intervalz lo Br sia stato tracciato un A cerchio rHe, e di nuovo con .E centro il e intervallo ilH sia stato tracciato un cerchio HKA. Poiché dunque il punto B .è centro del cerchio rHe, Br è uguale a BH. Di nuovo, poiché &punto il è centro del cerchio KAH, ilA è uguale a ilH, delle quali ilA è uguale a ilB. AA restante è quindi uguale a BH restante. E fu anche dimostrata Br uguale a BH: una e l'altra delle AA, Br è quindi uguale a BH. E gli uguali allo stesso sono anche uguali tra loro: anche AA è quindi uguale a Br. Risulta quindi posta sul punto dato A una retta AA uguale alla retta data Br: il che si doveva fare. 3 Di due rette disuguali date, sottrarre dalla maggiore una retta uguale alla minore. Siano le due rette disuguali date AB, r, maggi--;)ì-e delle quali sia AB: .._:__ si deve pertanto sottrarre dalla maggiore AB una retta uguale alla minore r. Sia stata posta sul punto A uguale alla retta r una Ail; \,........_ ~ e con centro A e intervallo M sia ~k stato tracciato un cerchio ilEZ. E poiché il punto A è centro del cerchio ilEZ, AE è uguale a M; ma anche r è uguale a M. Una e l'altra delle AE, r è quindi uguale a Ail: così che anche AE è uguale a r. Di due rette disuguali date AB, r, risulta quindi sottratta dalla maggiore AB una AE uguale alla minore r: il che si doveva fare.

r

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EUCLIDE - ELEMENTI

4 'Eàv 8fo Tp(ywva TÙS' 8fo nÀEupàs [rn'iS'] 8uuì. nÀEupa'is foas EXTJ ÈKaTÉpav È:rnTÉpçt KaÌ. TÌjv ywvl.av TlJ ywv(g LuTJV EXTJ TÌjv imò Twv fowv EùeELwv nEpLExoµÉvT)v, Kaì. TÌ]v [3auw Tij [3auEL LuTJV EçEL, rnì. TÒ Tp( ywvov Tcfl TpLywvcp foov foTm, KaÌ. ai. ÀOLnaì. ywv[m Ta'is Àorna'is ywv(ms fom EUOVTm È:KaTÉpa ÉKaTÉpçt, ùcp' usai. fom nÀEupaì. ÙnOTELvouuw. YEurn 8fo TPL ywva Tà ABr, AEZ Tàs 8fo nÀEUpàs Tàs AB, Ar Tffis 8uuì. nÀEuA. pa'is TalS' AE, AZ foas EXOVTa ÉKaTÉpav È:KaTÉpq TÌ]v µÈv AB Tij AE TÌ]v 8È Ar TlJ !il. rnì. ywv(av TÌ]v ùnò BAr ywv(çi T-ij ùnò EAZ LuTJV. ÀÉyw, on Kaì. [3auLs ~ Br [3ciuEL Tiì EZ fo11 foT(v, Kaì. TÒ ABr Tpl.ywvov Tcfl AEZ TpLywvcp foov EUTm, KaÌ. ai. Àornaì. ywv(m Ta'is ÀOLna'is ywv(ms rum EUOVTaL ÈKaTÉpa ÈKaTÉpçt, Ùcp' US' aÌ. luaL lTÀEupaÌ. ùnoTELvouuLv, ~ µÈv ùnò ABr TiÌ ùnò AEZ, ~ 8È ùnò ArB T-ij ùnò AZE. 'Ecpapµo(oµÉvou yàp Toù ABr TpLywE~-----7 Z vov ÈnÌ. TÒ AEZ Tp[ywvov KaÌ. n8EµÉvou TOÙ µÈv A UT)µE(ou ÈnÌ. TÒ A UT)µE'iov Tiìs 8È AB EùeE(as ÈnÌ. TÌjv AE, Ècpapµ6uEL KaÌ. TÒ B UT)µE'iov ÈnÌ. TÒ E 8Là TÒ LuTJV Elvm TTJV AB T-ij AE" ÈcpapµouauT)s 8Tj Tiìs AB Ènì. TÌ]v AE Ècpapµ6uEL KaÌ. ~ Ar EùeE'ia Ènì. TÌjv AZ 8Là TÒ LuTJV Elvm TTJV ùnò BAr ywv[av T-ij ÙTIÒ EAZ· WUTE KaÌ. TÒ I' UT)µELoV ÈTIÌ. TÒ Z UT)µELoV ÈcpapµOuEL 8LÙ TÒ Lul}V TIUÀLV Elvm TÌ]v Ar T-ij /il.. ÙÀÀÙ µTjv KaÌ. TÒ B ÈTIÌ. TÒ E ÈcpT)pµ6KEL · wuTE [3auLs ~ Br ÈTIÌ. [3ciuLv TÌ]v EZ Ècpapµ6uEL. EL yàp Toù µÈv B ÈTIÌ. TÒ E Ècpapµ6uaVTOS' TOÙ 8È ÈTIÌ. TÒ ~ Bf' [3ciULS' ÈTIÌ. TÌ]V EZ OVK Ècpapµ6uEL, 8Vo EùeE'im xwp[ov TIEplÉçouuw· OTIEP ÈuTÌ.V à8vvaTOV. Ècpapµ6uEL apa ~ Br [3aULS' ÈTIÌ. TÌ]V EZ KaÌ. luT) avT-ij EUTaL. WUTE KaÌ. OÀOV TÒ ABr TPL ywvov ÈTIÌ. OÀOV TÒ AEZ TpL ywvov Ècpapµ6uEL rnì. foov aÌJTcfl EUTm, KaÌ. ai. Àornaì. ywv[m ÈTIÌ. TÙS' Àornàs ywv(as Ècpapµ6uouuL rnì. fom aÌJTa'is EuovTm, ~ µÈv lJTIÒ ABr T-ij ÙTIÒ AEZ ~ 8È ÙTIÒ ArB TiÌ ÙTIÒ AZE. 'Eàv apa 8Vo TPL ywva TÙS' 8Vo TI ÀEupàs [ Ta'is] 8Vo TI ÀEupa'is foas EXTJ È:rnTÉpav È:KaTÉpçt KaÌ. TÌjv ywv(av TiÌ ywv[q LuTJV EXTJ TÌ]v ÙTIÒ Twv 'Lawv Ev8ELwv nEpLExoµÉvT)v, Kaì. TÌ]v [3auw TiÌ j3aUEL fo11v EçEL, rnì. TÒ Tp[ ywvov T/iì TpLywvcp foov foTm, KaÌ. ai. Àornaì. ywv[m Ta'is Àorna'is ywv(ms fom Euov-rm ÈKaTÉpa ÈKaTÉpçt, ùcp' éìs ai. fom TIÀEUpaì. ÙTIOTE(vouuLv· OTIEP E8EL 8E'içm.

BL]r

r

z

LIBRO I

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4 Qualora due triangoli abbiano i due lati rispettivamente uguali a[i] due lati, e abbiano anche l'angolo, quello compreso dalle rette uguali, uguale ali' angolo, avranno anche la base uguale alla base, e il triangolo sarà uguale al triangolo, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, saranno rispettivamente uguali ai restanti angoli. Siano due triangoli ABr, ~EZ che hanno i due lati AB, Ar rispettivamente uguali ai due lati ~E,~' retta con EA una retta AZ. E poiché una retta M incidendo su due rette Br, EZ risulta fare gli angoli alterni EM, Mr uguali tra loro, EAZ è quindi parallela a Br. Risulta quindi condotta per il punto dato A parallela alla retta data Bruna linea retta EAZ: il che si doveva fare.

32 Prolungato avanti uno solo dei lati di ogni triangolo, l' angolo ali' esterno è uguale ai due all'interno e opposti, e i tre angoli all'interno del triangolo sono uguali a due retti.

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EUCLIDE - ELEMENTI

"Em. "ECYTW ~ oo8E'LCYa Eùe{Ca ~ AB· OEL o~ ànò TfìS' AB EÙ8das TETpciywvov àvaypcilj>m. VHx8w Tij AB EÙ8dq ànò Tov npòs aÙTij ...1 E CYTJµE(ou Toù A npòs òp8às ~ Ar, rnì. KELCY8w Tij AB foTJ ~ M· KaÌ. oLà µÈv TOV Li CYTJµE(ou TQ AB napaÀÀTJÀOS' ~xew ~ LiE, Olà oÈ TOV B CYTJµELOU TlJ M napciÀÀ.TJÀOS' ~xew ~ BE. napaÀÀTJÀoypaµµov À . rz, e per H parallela a una o ali' altra delle AB, L1E sia stata èòndotta una 0K. E poiché rz è parallela a M, e su di esse risulta incidere B./1, l'angolo ali' esterno rHB è uguale a quello ali; interno e opposto MB. Ma MB è uguale a AB.L1, poiché anche un lato BA è uguale a M: anche l'angolo rHB è quindi uguale a HBr: così che ariche un lato Br è uguale a un lato rH; ma rB è uguale a HK, e rH a KB: anche HK è quindi uguale a KB: rHKB è quindi equilatero. Dico ora che anche rettangolo. Poiché infatti rH è parallela a BK [e su di esse risulta incidere una retta rBJ, gli angoli KBr, HrB sono quindi uguali a due retti. Ma KBr è retto: anche BrH è quindi retto: così che anche opposti rHK, HKB sono retti. rHKB è quindi rettangolo; e fu anche dimostrato equilatero: è quindi un quadrato; ed è su rB. Proprio per gli stessi anche ez è un quadrato; ed è su 0H, cioè

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EUCLIDE - ELEMENTI

[àrrò] Tfìs Ar· Tà apa ez, Kr TETpaywva àrrò TWV Ar, rB ELrnì. ÈrrEÌ. foov Ècnì. TÒ AH TZ, sia stato sommato .6.M comune: rM totale è quindi uguale a .6.Z totale. Ma rM è uguale a AA, L-~~~-+.,,.l,lo!;ic--1~~~M

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EUCLIDE - ELEMENTI

KaL T] Ar TQ rB ÈCJTLV Lol]" KCTL TÒ AA apa T T AZ, per Z a AB una ZH; e sia stata congiunta AZ. E poiché Ar è uguale a rE, anche l'angolo EAr è uguale a AEr. E poiché quello su r è retto, EAr, AEr restanti sono quindi uguali a un solo retto; e sono uguali: uno e l'altro dei rEA, r AE è quindi metà di un retto. Proprio per gli stessi anche uno e l'altro dei rEB, EBr è metà di un retto: AEB totale è quindi retto. E poiché HEZ è metà di un retto, e EHZ è retto - è-infatti uguale all'interno e opposto ErB -, EZH restante è quindi metà di un retto: l'angolo HEZ [è] quindi uguale a EZH: così che anche un lato EH è uguale a HZ. Di nuovo, poiché l'angolo su B è metà di un retto, e ZAB è retto - è infatti di nuovo uguale all'interno e opposto ErB -, BZA restante è quindi metà di un retto: l'angolo su B è quindi uguale a AZB: così che anche un lato ZA è uguale a un lato AB. E poiché Ar è uguale a rE, anche il su Ar è uguale a quello su rE: i quadrati su Af, rE sono quindi doppi di quello su Ar. E uguale a quelli su Ar, rE è il quadrato su EA - l'angolo ArE è infatti retto ~: quello su BA è quindi doppio di quello su Ar. Di nuovo, poiché EH è uguale a HZ, anche quello su EH è uguale a quello su HZ: i quadrati su EH, HZ sono quindi doppi del quadrato su HZ. E uguale ai quadrati su EH, HZ è il quadrato su EZ: il quadrato su EZ è quindi doppio di quello su HZ. E HZ è uguale a rA: quello su EZ è quindi doppio dr-quello su rA. Ed è anche quello su BA doppio di quello su Ar: i quadrati su AE, EZ sono quindi doppi dei quadrati su Ar, r A. E uguale a quelli su AE, EZ è il quadrato su AZ - l'angolo AEZ è infatti retto-: il quadrato su AZ è quindi doppio di quelli su Ar, rA. E uguali a quello su AZ sono quelli su M, AZ -1' angolo su A è infatti retto -: quelli su M, AZ sono quindi doppi dei quadrati su Ar, rA. E AZ è uguale a AB: i quadrati su AA, AB sono quindi doppi dei quadrati su Ar,rA. Qualora quindi una linea retta sia secata in uguali e disuguali, i quadrati sui segmenti disuguali della totale sono doppi sia del quadrato sulla metà che di quello sulla tra le sezioni: il che si doveva dimostrare.

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10 'Eàv EùeEt.a ypaµµÌj TµT]8fj OLXa, 1Tp00'TE8fj OÉ ns aÙTfj EÙ.: 8E'ia ÈTI' EùeE[as, TÒ àTiò Tfìs OÀTJS aùv Tfj rrpoaKELµÉvlJ KaÌ. TÒ àrrò TfìS TTpOO'KELµÉVT]S Tà auvaµ~OTEpa TETpaywva OLTTÀUO'La Èan TOU TE àrrò Tfìs ~µLaE[as KaÌ. TOU àrrò Tfìs auyKELµÉvT]s ÉK TE Tfìs ~µLO'ELas Kal TfìS TTpOO'KELµÉVT]S ws àTIÒ µLas àvaypa~ÉvTOS TETpaywvou. Eù8Ei:a yap ns ~ AB TETµtjaew Z OLXa KaTà TÒ I', 1TpOO'KEL0'8W oÉ TLS M'>----"f aÙTQ EÙ8E'ia Èrr' EÙ8E[as ~ BL1· ÀÉyw, OTL Tà àrrò TWV M, L1B TE,,.j Tpaywva ornÀciaLa Èan Titlv àrrò TWV Ar, r11 TETpaywvwv. "Hxew yàp àrrò TOU r EZ, per~ parallela a rE sia stata condotta una Z~. E poiché una certa retta EZ incise su rette parallele Er, Z~, rEZ, EZ~ sono quindi uguali a due retti: ZEB, EZ~ sono quindi minori di due retti; e le prolungate da meno di due retti si incontrano: quindi EB, Z~ prolungate si incontreranno dalla parte B, ~. Siano state prolungate e si incontrino secondo H, e sia stata congiunta AH. E poiché Ar è uguale a rE, anche l'angolo EAr è uguale a AEr; e quello su r e· retto: uno e l'altro degli EAr, AEr [è] quindi metà di un retto. Proprio per gli stessi anche uno e l'altro dei rEB, EBr è metà di un retto: AEB è quindi retto. E poiché EBr è metà di un retto, anche ~BH è quindi metà di un retto. Ed è anche B~H retto - è infatti uguale a ~rE; è infatti alterno-: ~HB restante è quindi metà di un retto: ~HB è quindi uguale a ~BH: così che anche un lato B~ è uguale a un lato M. Di nuovo, poiché EHZ è metà di un retto, e quello su Z è retto - è infatti uguale all'opposto su r -, ZEH restante è quindi metà di un retto: l'angolo EHZ è quindi uguale a ZEH: così che anche un lato HZ è uguale a un lato EZ. E poiché [Er è uguale a r A, anche] il quadrato su Er è uguale al quadrato su rA: i quadrati su Er, rA sono quindi doppi del quadrato su rA. E uguale a quelli su Er, rA è quello su EA: il quadrato su

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EUCLIDE - ELEMENTI

ano Tfjs EA TETpay{ùvov 8rnÀaaL6v Èan ToD ànò Tfjs Ar TETpaywvo1J. TTaÀLv, ÈTTEÌ. ì'.aTJ ÈaTì.v ~ ZH Tij EZ, ì'.aov ÈaTÌ. Kaì. TÒ ànò Tfjs ZH T retta, il sulla totale insieme con quella sommata e quello su quella sommata, i quadrati messi insieme, sono doppi sia di quello sulla metà che del quadrato descritto su quella composta sia dalla metà che da quella sommata come su una sola : il che si doveva dimostrare.

11 Secare la retta data così da essere il rettangolo compreso da quella totale e dall'uno o dall'altro dei segmenti uguale al quadrato sul restante segmento. Sia la retta""'data AB: si deve pertanto secare AB così da essere il rettangolo Z..--v.11. compreso da quella totale e dall'uno o À .__ _,..."°""" dall'altro dei segmenti uguale al quadrato sul restante segmento. Sia infatti stato descritto su AB un quadrato ABD.r, e sia stata secata Ar a J"' metà secondo il punto E, e sia stata congiunta BE, e sia stata condotta oltre rA fino a Z, e uguale a BE sia stata posta EZ, e sia stato descritto su AZ un quadrato ze, e sia stata condotta oltre HG fino a K: dico che AB risulta secata secondo e così da fare il rettangolo compreso da AB, Be uguale al quadrato su

Ae.

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EUCLIDE - ELEMENTI

'ErrEÌ. yàp EVSE'ia ~ Af' TÉTµT}Tm 8(xa KaTà TÒ E, rrpoaJTTWVTaL ÈaTLV, ~ 8È ÙTIÒ BAL1 rrpòs TTJ rrEpLEpdq_, ml. EXOUCTL T~V m'.!T~v rrEpLÉpELaV O-LV T~V Bril, ~ apa UTIO BZL1 ywv(a 8rnÀ.aa(wv ÈaTL TfìS ùrrò BM. 8Là Tà avTà 8~ ~ ùrrò BZL1 KaL TfìS' ÙTIÒ BELl ÈaTL 8rnÀaaLWV" LaTJ apa ~ {mò BM TTJ ÙTIÒ BELl. 'Ev KVKÀ([l apa al Èv Tiiì m'.!Tiiì TµtjµaTL ywv(m fom UÀÀtjÀms EÌ.a(v· orrEp É8EL 8E'Ll:;m.

r

M-

911

LIBRO ill

Congiunta infatti AB sia stata condotta oltre fino a Z. Poiché dunque BA è uguale a EB, anche un angolo EAB è uguale a EBA: gli angoli EAB, EBA sono quindi doppi di EAB. E BEZ è uguale a EAB, EBA: anche BEZ è quindi doppio di EAB. Proprio per gli stessi anche ZEr è doppio di EAr. BEr totale è quindi doppio di BAr totale. Sia ora stata inflessa di nuovo, e sia un altro angolo Bdr, e congiunta dE sia stata prolungata fino a H. Del tutto similmente dimostreremo che l'angolo HEr è doppio di Edr, dei quali HEB è doppio di EdB: BEr restante è quindi doppio di BAr. In un cerchio un angolo sul centro è quindi doppio di uno sulla circonferenza, quando [gli angoli] abbiano come base lo stesso arco: il che si doveva dimostrare. 21 In un cerchio gli angoli nello stesso segmento sono uguali tra loro. Sia un cerchio ABrA, e nello stesso seg~nto BAEA siano angoli BM, BEA: dico che gli angoli BAA, BE~ sono uguali tra loro. Del cerchio ABrd sia infatti stato preso il centro, e sia Z, e siano state congiunte BZ; ZA. E poiché l'angolo BZA è sul centro, e BM sulla circonferenza, e hanno base lo stesso arco Br~, l'angolo BZA è quindi doppio di BAA. Proprio per gli stessi BZd è doppio anche di BEA: BM è quindi uguale a BEd. In un cerchio gli angoli nello stesso segmento sono quindi uguali tra loro: il che si doveva dimostrare.

r

912

EUCLIDE - ELEMENTI

22 Twv Ev TOLS KVKÀOLS TETparrÀEvpwv al àrrEvavT(ov ywv(aL 8valv òp9aLs fom da(v. "Earn KVKÀos 6 ABrLi, rnl Ev aim\ì TETparrÀEvpov foTw TÒ ABrLi· ÀÉyw, on al àTTEvavT(ov ywv(m 8vaì.v Òp9aLs ì'.am EL M, ~E sono pertanto rispettivamente uguali a due r ~' ~E; e un angolo ME è uguale a un angolo r~E - uno e l'altro è infatti retto -: AE come base è quindi uguale a rE come base. Ma AE fu dimostrata uguale a BE: anche BE è quindi uguale a rE: le tre AE, EB, Er sono quindi uguali tra loro: il cerchio tracciato con centro E e intervallo una sola delle AE, EB, Er passerà quindi anche per i restanti punti e risulterà essere descritto oltre. Dato un segmento di cerchio risulta quindi descritto oltre il cerchio. Ed è chiaro come il segmento ABr sia minore di un semicerchio, per il fatto di capitare il centro E ali' esterno di esso. [E] similmente anche qualora l'angolo AB~ sia uguale a BA~, M essendo uguale a una e all'altra delle B~, ~r, le tre ~A, ~B, ~r saranno uguali tra loro, e sarà~ centro del cerchio che risulta completato oltre, e chiaramente ABr sarà un semicerchio. Qualora invece AB~ sia minore di BA~, e costruiremo, sulla retta BA e sul punto su di essa A, uguale all' angolo AB~, il centro su ~B cadrà all'interno del segmento ABr, e chiaramenft:· il segmento ABr sarà maggiore di un semicerchio. Dato un segmento di cerchio risulta quindi descritto oltre il cerchio: il che si doveva fare. 26 Nei cerchi uguali gli angoli uguali insistono su archi uguali, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze. Siano cerchi uguali ABr, ~EZ, e in essi siano angoli uguali, sui centri BHr, E8Z, sulle circonferenze BAr, E~Z: dico che l'arco BKr è uguale all'arco EAZ.

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'ErrE(Evx0waav yàp ai. BI', EZ. Kaì. ÈrrEÌ. ì'.aoL Elaì.v oi. ABr, LiEZ KVKÀ.oL, ì'.am Elaì.v ai. ÈK TG.ìv KÉVTpwv- ovo 8~ ai. BH, Hr ovo Ta'Ls E8, 8Z ì'.am. KaL ywv(a rrpòs TZ quello su A: anche quello su A è quindi uguale a quello su A. Nei cerchi uguali gli angoli che insistono su archi uguali sono quindi uguali tra loro, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze: il che si doveva dimostrare.

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28 'Ev TOLS' 'lams- KUKÀOLS' al fom EU6Èlm 'L [è] maggiore di un retto, [l'angolo] del segmento minore minore di un retto: il che si doveva dimostrare.

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[II6pLaµa 'EK oÌJ TOVTOV avEpov, on Eàv [~] µ(a ywv(a TpLywvou rn'is ovaì.v LaT] ~. Òp8tj EaTLV ~ ywv(a Olà TÒ KQL TTJV EKELVTJS' ÈKTÒSTCTLS' aÙTCTLS' laTJV ELVaL. Èàv oÈ al ÈEçfìs- fom WO"LV, òp8a( EL(jLV .]

32 'Eàv KVKÀOU Èa'!TTTJTCTL TLS' EVSELa, àrrò oÈ TfìS- afìs- ELS'

TÒV

KVKÀOV owxSiJ TLS' EV8E'ia Tɵvouaa TÒV KVKÀOV' as 'TTOLEL ywv(asrrpòs- TlJ ÈarrToµÉvlJ, fom ÉaovTUL Ta'is Èv TOLS ÈvaÀÀàç Tou K-6KÀou TµtjµaaL ywv(ms. KvKÀov yàp Tou ABI'Li ÈmnÉaSw TLS' EVSE'ia ~ EZ KaTà TÒ B O"TJµELov, KaÌ. àrrò TOU B O"TJµE(ou 8Ltjx8w ns EVSE'ia ds Tòv ABI'Li KVKÀOV Tɵvouaa avTÒV ~ BLi. ÀÉyw, on éìs- rroLEL ywv(as- ~ BLi µETà Tfìs- EZ ÈmnoµÉvTJs-, fom foovTm rn'is- Èv TOLS' ÈvaÀÀàt TµtjµaaL Tou KVKÀou ywv(ms-, TovTÉaTLv, on ~ µÈv imò ZBLi ywv(a LaTJ ÈaTÌ. Tij Èv T due, I' angolo è retto per il fatto di essere anche quello ali' esterno di quello uguale agli stessi; e qualora consecutivi siano uguali, sono retti.] 32 Qualora una certa retta sia tangente a un cerchio, e dalla tangenza sia condotta oltre nel cerchio una certa retta che seca il cerchio, gli angoli che fa su quella tangente saranno uguali agli angoli nei segmenti alterni del cerchio. Una certa retta EZ sia infatti tangente a un cerchio ABr,1. secondo il punto B, e dal punto B sia stata condotta oltre nel cerchio ABr,1. una certa retta B,1. che lo sechi. Dico che gli angoli che B,1. fa con quella tangente EZ saranno uguali agli angoli nei segB menti alterni del cerchio, cioè che l'angolo ZB,1. è uguale ali' angolo costruito nel segmento BM, e l'angolo EB,1. è uguale all'angolo costruito nel segmento ,1.f'B. Sia infatti stata condotta da B ad retti con EZ una BA, e""Sia stato preso sull'arco B,1. un punto come càpita r, e siano state congiunte M, ,1.r, 1B. E poiché una certa retta EZ è tangente a un cerchio ABr,1. secondo B, e dalla tangenza risulta condotta ad retti con quella tangente una BA, il centro del cerchio ABr,1. è quindi su BA. BA è quindi diametro del cerchio ABr.6.: l'angolo A.6.B, che è in un semicerchio, è quindi retto. BM, AB.6. restanti sono quindi uguali a un solo retto. Ed è anche ABZ retto: ABZ è quindi uguale a BM, AB.6.. Sia stato sottratto AB,1. comune: l'angolo .6.BZ restante è quindi uguale ali' angolo nel segmento alterno del cerchio BM. E poiché è un quadrilatero in un cerchio ABr.6., i suoi angoli opposti sono uguali a due retti. E sono anche ,1.BZ, .6.BE uguali a due retti: ,1.BZ, ,1.BE sono quindi uguali a BM, BI',1., dei quali BM fu

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EUCLIDE - ELEMENTI

ÈOELX8T] i'.a11· ÀOLlTTi apa ~ UlTÒ ABE Tfj Èv TalTTT]Tal TLS" EÙ8El:a, arrò oÈ TfìS" à8w Kal forn 6 ABE, Ka"L ÈrrE(Eux8w ~ EB. ÈlTEL ovv arr' clKpas- TfìS" AE owµÉTpou arrò TOV A TQ AE rrpòs- op8as- Èanv ~ M, ~ M apa ÈcpalTTETaL TOÙ ABE KVKÀou· È:nEl ovv KUKÀou Toù ABE ÈarrTErn( ns- EÙ8El:a ~ M, Kal cirrò TfìS" KaTà TÒ A à:~pl]TaL TÒ BAr 8Ex6µEvov ywv[av LulJV Ti] 8o8EL EZ secondo il punto B, e sia stato costruito, sulla"tetta ZB e sul punto su di essa B, un ZBr uguale all'angolo su~. Poiché dunque una certa retta EZ è tangente al cerchio ABr, e dalla tangenza secondo B risulta condotta Br, l'angolo ZBr è quindi uguale ali' angolo costruito nel segmento alterno BAr. Ma ZBr è uguale a quello su~: anche quello nel segmento BAr è quindi uguale all'[angolo] in~. Dal cerchio dato ABr risulta quindi sottratto un segmento BAr capace di un angolo .uguale all'angolo rettilineo dato, quello su~: il che si doveva fare. 35 Qualora in un cerchio due rette si sechino tra loro, il rettangolo compreso dai segmenti di una sola è uguale al rettangolo compreso dai segmenti dell'altra.

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'Ev yàp KUKÀ L:\E, e sia stato preso il centro del cerchio ABf, e sia Z, e siano state congiunte ZE, ZB, ZL\. L'angolo ZEL:\ è quindi retto. E poiché L:\E è tangente al cerchio ABr, e L\[A seca, quello da M, L\[ è quindi uguale a quello su L:\E. Ed era anche quello da AL:\, L\[ uguale a quello su L:\B: quello su L:\E è quindi uguale a quello su L\B: L\E è quindi uguale a L:\B. Ed è anche ZE uguale a ZB: due L:\E, EZ sono pertanto uguali a due L:\B, BZ: e loro base comune è ZL\: un angolo L:\EZ è quindi uguale a un angolo L:\BZ. E L:\EZ è retto: anche L:\BZ è quindi retto. Ed è ZB prolungata un diametro; e la retta condotta ad retti con il diametro del cerchio da un estremo è tangente al cerchio: L:\B è quindi tangente al cerchio ABf. Del tutto similmente sarà dimostrato, anche qualora il centro càpiti su Af. Qualora quindi sia preso un certo punto ali' esterno di un cerchio, e dal punto incidano sul cerchio due rette, e una di esse sechi il cerchio, l'altra incida, e il dalla secante totale e staccata ali' esterno sia tra il punto che l'arco convesso di circonferenza sia uguale al su quella che incide, quella che incide sarà tangente al cerchio: il che si doveva dimostrare .

.....

IV OPOI

Lxfìµa Eùevypaµµov ELS oxfìµa EÙ8vypaµµov ÈyypacpEa8m À.ÉyETm, OTQV ÉKaoµÉvou ÉKaO"TTJS ywv(as Toù, nEpÌ. 0 nE pl ypacpETm, aTITTJTal. Lxfìµa Eùevypaµµov ELS KVKAov Èyypacprn8m AÉyETm, oTav ÉKaO"TTJ ywv(a Toù ÈyypacpoµÉvou aiTTTJTaL Tfjs Tou KVKÀ.ou 1TEpLcpEpE(as. Lxfìµa oÈ Ev8vypaµµov nEpì. KVKAov nEpLypa, rnì. àTiò Tfìs KaTà TÒ A È1TaAf LaTj ÈCTTL TU Èv TAf T°6 ÙTIÒ LiEZ ÈCTTLV LaTj. KaÌ. ~ Ù1TÒ ABf apa ywv[a T°6 Ù1TÒ LiEZ ÈCYTLV LaTj. 8Là Tà auTà 8iì KaÌ. ~ Ù1TÒ AfB TU imò AZE ÈCTTLV LaY}. KaÌ. ÀOL1TJÌ apa ~ imò BAf ÀOL1T°6 T°6 Ù1TÒ EAZ ÈCTTLV LaTj. [Laoywvwv apa È(JTL TÒ ABr Tp[ywvov T, e sia stato preso K centro del cerchio ABr, e sia stata condotta oltre, come càpita, una retta KB, e siano stati costruiti, sulla retta KB e ..,1 sul punto su di essa K, un BKA uguale all'angolo bEH, un BKr uguale a bZE>, e per i punti A, B, r siano state condotte tangenti al cerchio ABr AAM, MBN,NTA. E poiché AM, MN, NA sono tangenti al cerchio ABr secondo i punti A, B, r, e dal centro K fino ai punti A, B, r risultano congiunte KA, KB, Kr, gli angoli sui punti A, B, r sono quindi retti. E poiché i quattro angoli del quadrilatero AMBK sono uguali a quattro retti - poiché appunto AMBK si divide proprio anche in due triangoli -, e sono retti gli angoli KAM, KBM, AKB, AMB restanti sono quindi uguali a due retti. E sono anche bEH, bEZ uguali a due retti: AKB, AMB sono quindi uguali a bEH, bEZ, dei quali AKB è uguale a bEH: AMB restante è quindi uguale a bEZ restante. Del tutto similmente sarà dimostrato che anche ANB è uguale a bZE: anche MAN restante è quindi uguale a EbZ [restante]. Il triangolo AMN è quindi equiangolo al triangolo bEZ: e risulta circoscritto intorno al cerchio ABr. Intorno al cerchio dato risulta quindi circoscritto un triangolo equiangolo al triangolo dato: il che si doveva fare. 4 Nel triangolo dato inscrivere un cerchio. Sia il triangolo dato ABr: nel triangolo ABr si deve pertanto inscrivere un cerchio. Siano stati secati gli angoli ABr, ArB a metà con le rette Bb, rb, e concorrano tra loro secondo il punto b, e siano state condotte

À

r .B

948

EUCLIDE - ELEMENTI

TOV !i. ÈTTÌ. Tàs- AB, Br, rA EÙ8E(as- Ka8ETOL ai. !i.E, !i.Z, !i.H. Kaì. ÈTTEL Ì'.cJT) ÈCJTÌ.V ~ ìmò AB!i. ywv(a TQ UTTÒ rBti., ÈaTÌ. 8È Kaì. òp8Tj ~ uTTò BE!i. òp8ij Tij uTTò BZ!i. Ì'.cJT), 8fo 8Tj Tp( ywva Èan Tà EB!i., ZB!i. Tàs Mo ywv(as Tciis 8uaì. ywv(ms foas €xovTa KaÌ. µ(av TTÀEupàv µu;ì TTÀEupq Ì'.cJT)V TTJV UTTOTELvouaav uTTÒ µ(av TWV ì'.awv YWVLWV KOLVTJV aÙTWV TTJV B!i.. KaÌ. Tàs Àornàs apa TTÀEupàs Ta'Ls Àornal:s- TTÀEUpal:s foas EçouaLV- Ì'.cJT) apa ~ !i.E Tij !i.Z. 8Là Tà aÙTà 8Tj KaÌ. ~ !i.H TTJ !i.Z ÈaTLV Ì'.cJT). al TpELS apa EÙ8ELaL al !i.E, !i.Z, !i.H fom CÌ.ÀÀ~ÀmS EÌ.a(v· Oapa KÉVTp([l TQ !i. KaÌ. 8waT1lµan Évì. TGiv E, Z, H KVKÀOS ypmpoµEvos TjçEL rnì. 8Là Twv Àornwv aT)µE(wv Kaì. Ècpa\j.JETm TGiv AB, Br, rA Eù8ELwv 8Là Tò òp8às Elvm Tàs TTpòs TOLS E, Z, H aT)µELoLs ywv(as-. EL yàp TEµE'L aùTas, foTm ~ Tij 8wµÉTP4J KVKÀou TTpòs òp8às CÌ.TT' aKpas ci.yoµÉvT] ÈvTÒs- TTL TTTouaa Tov KUKÀou· OTTEP aTOTTov È8ELX8ri· OÙK apa 6 KÉVTP([l TQ !i. 8LaaT~µaTL 8È ÉvÌ. TWV E, Z, H ypacp6µEVOS KUKÀOS' TEµEL Tàs- AB, Br, rA EÙ8das-· Ècpa\j.JETm apa aÙTWV, KaÌ. EaTQL 6 KUKÀOS ÈyyEypaµµÉvos ELS' TÒ ABr Tp(ywvov. Èyyqpacp8w ws o ZHE. Els apa TÒ 8o8Èv Tpl ywvov TÒ ABr KUKÀOS ÈyyÉypaTTTQL o EZH- OTTEP E8EL TTOLfìaaL.

mv

5 IIEpL TÒ 8o8Èv Tp( ywvov KUKÀOV TTEpLypa\j.Jm. ~EaTW TÒ 8o8Èv Tpl ywvov TÒ ABr· 8EL TTEpÌ. TÒ 8o8Èv Tp(ywvov TÒ ABr KUKÀov nEpLypa\j.Jm.

TETµ~a8waav al AB, Ar Eù8E'Lm 8[xa KaTà Tà !i., E aiiµE'i:a, KaÌ. CÌ.TTÒ TWV !i., E CJT]µELWV TaLS AB, Ar TTpÒs op8às Tix8waav al t:.Z, EZ· auµTTrnolìvTm 8Tj T]ToL ÈvTòs Tolì ABr TpLywvou ~ ÉTT1 Tfìs- Br EÙ8E[as ~ ÈKTòs Tfìs Br.

LIBRO IV

949

da A perpendicolari alle rette AB, Br, rA AE, AZ, AH. E poiché l'angolo ABA è uguale a 1BA, ed è anche BEA retto uguale a BZA retto, sono pertanto due triangoli, EBA, ZBA, che hanno due angoli uguali a due angoli e un solo lato, quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, uguale a un solo lato, BA comune a essi: avranno quindi anche i restanti lati uguali ai restanti lati: AE è quindi uguale a AZ. Proprio per gli stessi anche AH è uguale a AZ. Le tre rette AE, AZ, AH sono quindi uguali tra loro: il cerchio tracciato con centro A e intervallo una sola delle E, Z, H passerà quindi anche per i restanti punti e sarà tangente alle rette AB, Br, rA per il fatto di essere retti gli angoli sui punti E, Z, H. Se infatti le secherà, la condotta ad retti con il diametro del cerchio da un estremo cadrà all'interno del cerchio; il che fu dimostrato assurdo: non si darà quindi il caso che il cerchio tracciato con centro A e intervallo una sola delle E, Z, H sechi le rette AB, Br, rA: è quindi tangente a esse, e il cerchio risulterà essere inscritto nel triangolo ABr. Risulti inscritto come ZHE. Nel triangolo dato ABr risulta quindi inscritto un cerchio EZH: il che si doveva fare.

5 Intorno al triangolo dato circoscrivere un cerchio. Sia il triangolo dato ABr: intorno al triangolo dato si deve circoscrivere un cerchio ABr . ....

Siano state secate le rette AB, Ara metà secondo i punti A, E, e dai punti A, E siano state condotte ad retti con AB, Ar AZ, EZ: si incontreranno pertanto o all'interno del triangolo ABr oppure sulla retta Br oppure all'esterno del triangolo.

950

EUCLIDE - ELEMENTI

LvµmTTTÉTwaav rrpoTEpov ÈvTÒS KaTà TÒ Z, KaÌ. ÈrrE(Eux8waav al. ZB, zr, ZA. KaÌ. ÈTTEL laT] ÈaTÌ.V ~ M TlJ ~B. KOLV~ 8È KaÌ. rrpòs òp8às ~ ~z. ~ams apa ~ AZ ~CTO"EL TlJ ZB ÈaTLV laT]. oµo[ws 8~ 8E(çoµEv, OTL KaÌ. ~ rz TlJ AZ Èanv forr WO"TE KaÌ. ~ ZB Tfj zr ÈaTLV fo11· al. TpELS apa al ZA, ZB, zr \'.am àÀ.ÀtjÀms ELO"LV. o apa KÉVTP([.l Tcjì 8waTtjµaTL 8È É:VÌ. TWV A, B, KVKÀOS ypacp6µEvos ~çEL KaÌ. 8Là TWV ÀOLTTWV O"T]µELWV, KUÌ. ÉO"Tm TTEpl)'E)'paµµÉvos o KuKÀos TTEpì. TÒ ABr Tpl: ywvov. rrEpLyEypacp8w ws

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o ABr.

'AUà 8~ al~. EZ avµmnTÉTWaa\.I Èrrì. Tfìs Br EùeE(as KuTà TÒ Z, ws EXEL ÈTIÌ. Tfìs 8EvTÉpas rnrnypacpfìs, Kaì. ÈrrE(Euxew ~ AZ. oµol:ws 8~ 8E(çoµEv, OTL TÒ z O"TjµELoV KÉVTpov ÈO"TÌ. TOU rrEpÌ. TÒ ABr Tp[ywvov TTEpLypacpoµÉvov KVKÀov. 'AUà 8~ al ~Z, EZ avµmTTTÉTwaav ÈKTÒS Tou ABr TpLywvov KaTà TÒ Z rraÀLv, ws EXEL Èrrì. Tfìs Tp( TTJS Karnypacpfìs, KaÌ. ÈrrE(Eux8waav al AZ, BZ, rz. KUÌ. ÈTTEÌ. 'TTCTÀLV laT] ÈaTÌ.V ~ M TlJ ~B, l\OLV~ 8È KaÌ. rrpòs Òp8às ~ ~z. MaLs apa ~ AZ ~CTO"EL TlJ BZ ÈaTLV LaT]. oµo(ws 8~ 8E(çoµEv, OTL KaÌ. ~ rz TlJ AZ ÈaTLV fo11· WO"TE KaÌ. ~ BZ TlJ zr ÈaTLV forr o apa [rraÀLV] KÉVTP([.l Tcjì 8LaO"TtjµaTL 8È É:vì. TWV ZA, ZB, zr KUKÀOS ypacp6µEVOS ~çEL KaÌ. 8Là Twv Àomwv a11µE(wv, Kaì. Eal\JETm Twv AB, Br, r~ • .ilA Ev8Elwv olà Tò òpeàs Elvm Tàs npòs TOLSE, Z, e, K ywv(as· EL yàp TEµEL 6 KUKÀOS Tàs AB, Br, r.il, .ilA, ~ TQ owµÉTpKA, doppio di ZAr KAM, anche E>KA è quindi uguale a KAM. Del tutto similmente anche ciascuno dei KE>H, E>HM, HMA sarà dimostrato uguale a uno e all'altro dei E>KA, KAM: i cinque angoli HE>K, E>KA, KAM, AMH, MHE> sono quindi uguali tra loro. Il pentagono HE>KAM è quindi equiangolo. E fu anche dimostrato equilatero, e risulta circoscritto intorno al cerchio ABrbE. [Intorno al cerchio dato risulta quindi circoscritto un pentagono sia equilatero che equiangolo]: il che si doveva fare. 13 Nel pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, inscrivere un cerchio. Sia il pentagono sia equilatero che equiangolo dato ABrbE: nel pentagono ABrbE si deve pertanto inscrivere un cerchio. Sia infatti stati secati gli angoli Brb, rbE a metà rispettivamente dalle rette rz, bZ; e dal punto Z, secondo cuiìè rette rz, ~ concorrono tra loro, siano state congiunte le rette ZB, ZA, ZE. E poiché Br è uguale a rb, e rz comune, due Br, rz sono pertanto uguali a due br, rz; e un angolo Bf'Z [è] uguale a un angolo brZ: BZ come base è quindi uguale a bZ come base, e il triangolo Bf'Z è uguale al triangolo brZ, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, saranno uguali ai restanti angoli: langolo f'BZ è quindi uguale a f'bZ. E poiché rbE è doppio di rbZ, e rbE è uguale a ABr, rbZ a rBZ, anche rBA è quindi doppio di rBZ: l'angolo ABZ è quindi uguale a ZBr: l'angolo ABf' risulta quindi secato a metà dalla retta BZ. Del tutto similmente sarà dimostrato che anche BAE, AEb risultano secati a metà rispettivamente dalle rette ZA, ZE. Siano pertanto state condotte dal punto Z per-

966

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z CJT]j.lELOU ÈTTÌ. TÙS AB, Br, rA, AE, EA EùeE(as Ka8ETOL al ZH, Z8, ZK, ZA, ZM. mì. ÈTTEÌ. foT] È:aTLV ~ {mò 8I'Z ywv(a Tfj imò Krz, È:aTì. oÈ mì. òp8ÌJ ~ imò zer [òp8'Ql Tfj imò ZKr to-TJ, olio oÌj Tpl ywva È:aTL Tà zer, ZKr TÙS olio ywv(as OU TOÙ M

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LIBRO V

989

Le uguali rispetto alla stessa hanno quindi lo stesso rapporto, e la stessa rispetto a quelle uguali. Porisma Da questo è pertanto manifesto che, qualora siano certe grandezze in proporzione, anche invertendo saranno in proporzione. Il che si doveva dimostrare. 8 Delle grandezze disuguali, la maggiore rispetto alla stessa ha rapporto maggiore che la mìnore. E la stessa rispetto alla minore ha rapporto maggiore che rispetto alla maggiore. Siano grandezze disuguali E AB, r; e sia maggiore AB, e A r---+----;B un'altra, quale càpita Li: dico I't----~ che AB rispetto a Li ha rapporto H maggiore che r rispetto a .Ll, e Li z r---t---+---+-----l@ rispetto a r ha rapporto maggioKi-----4---1 re che rispetto a AB. Poiché infatti AB è maggiore dir, uguale a r sia stata posta At----1---1 BE; la minore di AE, EB, se Mt----+--1----l siano presi multipli, sarà Nr----t---r---+--i pertanto prima o poi maggiore di Li. Sia in primo luogo AE minore di EB, e siano stati presi multipli di AE, e sia un suo multiplo ZH che sia maggiore di Li, e quante volte multiplo è ZH di AE, tante volte multiplo risulti essere anche He di EB e K di r; e sia stato preso doppio di Li A, triplo M, e di séguito uno in più, finché ciò che è preso risulti multiplo di Li, e in primis maggiore di K. Sia stato preso, e sia N quadruplo di Li, e in primis maggiore di K. Poiché dunque K è in primis minore di N, K non è quindi minore di M. E poiché è equimultiplo ZH di AE e He di EB, è quindi equimultiplo ZH di AE e Z8 di AB. Ed è equimultiplo ZH di AE e K dir: è quindi equimultiplo ze di AB e K dir. Z8, K di AB, r sono quindi equimultipli. Di nuovo, poiché è equimultiplo H8 di EB e K dir, e EB è uguale a r, anche He è quindi uguale a K; e K non è minore di M: neanche He è

990

EUCLIDE - ELEMENTI

ze

EÀaTTOV ÈcJTLV. µE'L(ov 8È TÒ ZH TOÙ A· OÀOV apa TÒ crnvaµcpoTÉpwv Twv A, M µE'L(6v ÈCJnv. àUà auvaµcpoTEpa Tà A, M T4ì N Èanv 'Laa, ÈrrELO-JlrrEp TÒ M TOV A TpLrrÀaaL6v Èanv, auvaµcpoTEpa 8È Tà M, A TOÙ A ÈCJTL TETparrÀaaw, fon 8È KaÌ. TÒ N TOV A TETparrÀaaLov· auvaµcp6TEpa apa Tà M, A T4ì N foa ÈaTLV. àUà TÒ TWV M, A µEL(6v Èanv· TÒ apa TOÙ N VTTEPÉXEL" TÒ 8È K TOÙ N ovx UTTEPÉXEL. KaL ÈaTL Tà µÈv K TWV AB, taaKLS' TTOÀÀarrÀaaw, TÒ 8È N TOÙ A aÀÀo, ETUXEV, TTOÀÀarrÀaawv· TÒ AB apa rrpòs; TÒ A µE((ova À.Ùyov EXEL TlTTEP TÒ rrpòs; TÒ A. AÉyw 8tj, OTL KaÌ. TÒ A rrpòs; TÒ µE((ova ÀO)'OV EXEL TlTTEP TÒ A rrpòs; TÒ AB. Twv yàp aVTWV KCTTaCTKEUaa8ÉVTWV oµo(ws; 8E(toµEv. OTL TÒ µÈv N TOÙ K UTTEPÉXEL, TÒ 8È N TOÙ ovx VTTEPÉXEL. KaL ÈaTL TÒ µÈv N TOÙ A TTOÀÀarrÀciaLOV, Tà 8È K TWV AB, aÀÀa, ETUXEV, taciKLS' TTOÀÀarrÀaaw· TÒ A apa rrpòs; TÒ µE((ova ÀOyov EXEL -flrrEp TÒ A rrpòs; TÒ AB. '.AUà 8~ TÒ AE Toù EB µE'L(ov EaTW. TÒ 8~ EÀ.aTTov TÒ EB rroÀÀaE A '----'---'B rrÀaaw(6µEvov EaTm rroTÈ TOÙ A µE'L(ov. TTETTOÀÀarrÀaaLcia8w, KaÌ. EaTW TÒ H8 rroÀÀarrÀaawv µÈv

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EB, µE'L(ov 8È TOV A· KQÌ. oaarrÀaaLOV Èan TÒ H8 TOÙ EB, TOaauTaTTÀUCTLOV )'E)'OVÉTW KaÌ. TÒ µÈv ZH TOÙ AE, TÒ 8È K TOÙ oµo(wç 8~ 8dtoµEv, OTL Tà K A '-I--1-----J TWV AB, taciKLS' ÈaTÌ. TTOÀÀarrÀaM....___,__ _,_____, aw· KaÌ. ELÀtjcp8w oµo(wç TÒ N TTOÀÀarrÀaaLOV µÈv TOÙ A, rrpWTWS' 8È µEL( OV TOÙ ZH. WCTTE TTUÀLV TÒ ZH TOÙ M OUK Èanv EÀ.aaaov. µEL(ov 8È TÒ H8 TOÙ A· OÀOV èipa TÒ TWV A, M, TOUTÉaTL TOÙ N, vTTEPÉXEL. TÒ 8È K Toù N ovx VTTEPÉXEL, ÈTTEL8tjrrEp KaÌ. TÒ ZH µE'L(ov òv TOÙ H8, TOUTÉan TOÙ K, TOÙ N ovx VTTEPÉXEL. rnì. waaVTWS' KaTaKOÀOU80ÙVTES' TolS' ETTUVW TTEpa(voµEV T~V ÙTTOOELz1----l----H1---1---if)

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Twv èipa àv[awv µqE8wv TÒ µE'L(ov rrpòs; TÒ avTÒ µE((ova Àoyov EXEL -flrrEp TÒ EÀ.aTTov· KaÌ. TÒ aÙTÒ rrpòs; TÒ EÀ.aTTov µE((ova Àoyov EXEL -flrrEp rrpòs; TÒ µ.E'L(ov· orrEp €8EL 8E'Ltm.

LIBRO V

991

quindi minore di M. E ZH è maggiore di d: ze totale è quindi maggiore di d, M messe insieme. Ma d, M messe insieme sono uguali a N - poiché appunto M è proprio triplo di d, M, d messe insieme sono quadruple di d, ed è anche N quadruplo di d: M, d messe insieme sono quindi uguali a N -. Ma ze è maggiore di M, d: ze eccede quindi N, e K non eccede N. E sono ze, K di AB, r equimultipli, e N di d è un altro, quale càpita, multiplo: AB rispetto a d ha quindi rapporto maggiore che r rispetto a d. Dico ora anche che d rispetto a r ha rapporto maggiore che d rispetto a AB. Effettuate infatti le stesse costruzioni dimostreremo similmente che N eccede K, e N non eccede ze. Ed è N multiplo di d, e ze, K di AB, r altri, quali càpita, equimultipli: d rispetto a r ha quindi rapporto maggiore che d rispetto a AB. Ma ora sia AE maggiore di EB. Pertanto la minore EB, se E siano presi multipli, sarà A 1------1B prima o poi maggiore di d. Siano n--i stati presi multipli, e sia H8 un H multiplo di EB, maggiore di d; e z 1-----1-----;r----r---i B quante volte multiplo è He di Kl1--+---1 EB, tante volte multiplo risulti essere anche ZH di AB e K di r. L11--1 Del tutto sinùtmente dimostrere- A 1---1----1 mo che ze, K di AB, r sono Mi-i-1--~--1 equimultipli; e similmente sia stato preso N multiplo di d, e in N primis maggiore di ZH: così eh di nuovo ZH non è minore di M. E H8 è maggiore di d: ze totale eccede quindi d, M, cioè N. E K non eccede N - poiché appunto anche ZH, essendo maggiore di H8, cioè di K, non eccede proprio N -. E tirando le conseguenze allo stesso modo di quanto sopra terminiamo la dimostrazione. Delle grandezze disuguali, la maggiore rispetto alla stessa ha quindi rapporto maggiore che la minore. E la stessa rispetto alla minore ha rapporto maggiore che non rispetto alla maggiore: il che si doveva dimostrare.

992

EUCLIDE - ELEMENTI

9 Tà npò..aTTov· oTIEP ÈCTTì.v vaTov· OÙK èipa ÈCTTÌ.V wc:; TÒ AB npòc:; TÒ BE, OVTWS' TÒ rA 1TpÒs ÉÀacrcrov TOV ZA. oµo(wc:; 8~ oECçoµEv, OTL o'ÙOÈ 1TpÒc:; µE'i(ov· 1TpÒS aÙTÒ apa. 'Eàv apa OL1JpT]µÉva µE)'É8T] àvaÀ.oyov Ù, KaÌ. ..oyov fornv o1TEp EOEL 8E'Lçm. 18 'Eàv OL1JpT]µÉva µqÉ8TJ àvaÀ.oyov

rz,

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19 'Eàv wc:; OÀ.OV 1TpÒc:; OÀ.OV, OUTWS à, è quindi come AB rispetto a ZE, così Br rispetto a ZE. Ma come AB rispetto a ZE, così 11B rispetto a BE, e come Br rispetto a ZE, così HB rispetto a BZ: anche quindi come 11B rispetto a BE, così HB rispetto a BZ. I lati intorno agli angoli uguali dei parallelogrammi AB, Br sono quindi in relazione inversa. Ma ora sia come 11B rispetto a BE, così HB rispetto a BZ: dico che ilt>arallelogrammo AB è uguale al parallelogrammo Br. Poiché infatti è come 11B rispetto a BE, così HB rispetto a BZ, ma come 11B rispetto a BE, così il parallelogrammo AB rispetto al parallelogrammo ZE, e come HB rispetto a BZ, così il parallelogrammo Br rispetto al parallelogrammo ZE, anche quindi come AB rispetto a ZE, così Br rispetto a ZE: il parallelogrammo AB è quindi uguale al parallelogrammo Br. I lati intorno agli angoli uguali dei parallelogrammi sia uguali che equiangoli sono quindi in relazione inversa; e i parallelogrammi equiangoli i cui lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, quelli sono uguali: il che si doveva dimostrare.

1048

EUCLIDE - ELEMENTI

15 Twv Lo-wv rnì. µ(av µL. Kal ÈTIEÌ. oµ.oLov fon TÒ ABrL1E TioÀvywvov T0 ZHE>KA TI0Àuywv41, LoTJ ÈCJTÌ.v ~ imò BAE ywv(a TQ imò HZA. Ka( ÈCJTLV ws ~ BA Tipòs AE, ovTws ~ HZ Tipòs ZA. ÈTIEl ovv olio Tp( ywva ÈO"Tl Tà ABE, ZHA µ.(av ywv(av µ.uj ywv(q LoT]V EXOVTa, TIEpÌ. oÈ TàS foas ywv(as TàS iTÀEupàs avaÀoyov, LO"O'jWVLOV apa ÈCJTL TÒ ABE Tpl ywvov T0 ZHA Tplywv41· WCJTE Kal OIJ-Olov· loT] apa ÈCJTLV ~ imò ABE ywv(a TQ l,JiTÒ ZHA. fon oÈ KUL OÀT] ~ imò ABr OÀlJ TQ {mò ZHE> fo11 Olà TT\V OIJ-OLOTTjTa TWV iTOÀvywvwv· ÀOLTITj apa ~ ÙTIÒ EBr ywv(a TlJ ÙTIÒ AHE> Èonv fo11. Kaì. ÈrrEÌ. olà TTiv oµ.OL6T11rn Twv ABE, ZHA TpLywvwv ÈO"Tlv ws ~ EB Tipòs BA, oi!Tws ~ AH rrpòs HZ, ànà µ.Tjv Ka'L olà TTiv oµ.olOTTJTa Twv TioÀvywvwv ÈO"Tlv ws ~ AB Tipòs Br, oiJTws ~ ZH Tipòs RE>, oL' foou apa ÈCJTLV ws ~ EB iTpòs Br, OVTWS ~AH iTpÒs HE>, Kal iTEpÌ.

LIBRO VI

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I triangoli simili sono quindi tra loro in rapporto raddoppiato dei lati omologhi: [il che si doveva dimostrare]. Porisma Da questo è pertanto manifesto che, qualora siano tre rette in proporzione, è come la prima rispetto alla terza, così la forma sulla prima rispetto a quella sulla seconda, quella simile e descritta similmente [- poiché fu proprio dimostrato come rB rispetto a BH, così il triangolo ABr rispetto al triangolo ABH, cioè a ~EZ - ] : il che si doveva dimostrare. 20 I poligoni simili si dividono in triangoli sia simili che uguali in molteplicità che omologhi ai totali, e il poligono rispetto al poligono ha rapporto raddoppiato che il lato omologo rispetto al lato omologo. .A Siano poligoni simili ABr~ ZH0KA, e sia AB omologo a ZH: dico che i poligoni fiL--+.,...----::J.E ABI'~E, ZH0KA si dividono ~z in triangoli sia simili che ugua B .A li in molteplicità che omologhi . ai totali, e il poligono ABr~E A 'K rispetto al poligono ZH0KA ha rapporto raddoppiato che AB rispetto a ZH. Siano state congiunte BE, Er, HA, A0. E poiché il poligono ABI'~E è simile al poligono ZH0KA, l'angolo BAE è uguale a HZA. Ed è come BA rispetto a AE, così HZ rispetto a ZA. Poiché dunque sono due triangoli ABE, ZHA che hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e intorno agli angoli uguali i lati in proporzione, il triangolo ABE è quindi equiangolo al triangolo ZHA: così che anche simile: l'angolo ABE è quindi uguale a ZHA. Ed è anche ABr totale uguale a ZH0 totale per la similitudine dei poligoni: l'angolo EBr restante è quindi uguale a AH0. E poiché per la similitudine dei triangoli ABE, ZHA è come EB rispetto a BA, così AH rispetto a HZ, ma a dire il vero anche per la similitudine dei poligoni è come AB rispetto a Br, così ZH rispetto a H0, tramite uguale quindi è come EB rispetto a Br, così AH rispetto

1060

EUCLIDE - ELEMENTI

Tàs ì'.aas ywv(as Tàs l.mò EBr, AHE> al TIÀEvpaì. àvaì..oy6v EÌ.aLvLaoywvLov apa È TPL ywvcp- W, ~ 8È imò BI'A Tfj vrrò HE>Z. KaÌ. ÈTTEÌ. LaTJ ÈaTÌ.v ~ vrrò BAM ywv(a Tfj vrrò HZN, fon 8È KaÌ. ~ iJTiò ABM Tfj VTTÒ ZHN laT], KaÌ. ÀOLTT~ apa ~ VTTÒ AMB Àornfj Tfj VTTÒ ZNH laT] È Tp(ywvov. Kat Èanv ws ~ AM rrpòs Mr, OUTWS ~ ZN rrpòs NE>- KUL ws apa TÒ ABE Tpl ywvov rrpòs TÒ BEr Tp( ywvov, ovTws TÒ ZHA Tp( ywvov rrpòs TÒ HA0 Tp( ywvov, KaÌ. Èvanàç, ws TÒ ABE Tp( ywvov rrpòs TÒ ZHA Tp( ywvov, ouTWS TÒ BEr Tp( ywvov 11pòs TÒ HAE> Tpt ywvov.

LIBRO VI

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a He, e intorno agli angoli uguali EB!, AHe i lati sono in proporzione: il triangolo EBr è quindi equiangolo al triangolo AHe: così che il triangolo EBr è anche simile al triangolo AHe. Proprio per gli stessi anche il triangolo ED~ è simile al triangolo AeK. I poligoni simili ABrilE, ZHeKA risultano quindi divisi in triangoli sia simili che uguali in molteplicità. Dico che anche omologhi ai totali, cioè così da essere i triangoli in proporzione, e da essere antecedenti ABE, EBr, Eril, e loro conseguenti ZHA, AH8, AeK, e che il poligono ABCtlE rispetto al poligono ZHeKA ha rapporto raddoppiato che il lato omologo rispetto al lato omologo, cioè AB rispetto a ZH. Siano infatti state congiunte Ar, ze. E poiché per la similitudine dei poligoni l'angolo ABr è uguale a ZH8, ed è come AB rispetto a Br, così ZH rispetto a H8, il triangolo ABr è equiangolo al triangolo ZHe: l'angolo BAI' è quindi uguale a HZe, e BrA a HeZ. E poiché l'angolo BAM è uguale a HZN, ed è anche ABM uguale a ZHN, anche AMB restante è quindi uguale a ZNH restante: il triangolo ABM è quindi equiangolo al triangolo ZHN. Del tutto similmente dimostreremo anche che il triangolo BMr è equiangolo al triangolo HNe. In proporzione quindi è come AM rispetto a MB, così ZN rispetto a NH, e come BM rispetto a Mr, così HN rispetto a Ne: così che anche tramite uguale come AM rispetto a Mr, così ZN rispetto a Ne. Ma.....tome AM rispetto a Mr, così [il triangolo] ABM rispetto a MBr, e AME rispetto a EMr - sono infatti tra loro come le basi -. Anche quindi come uno solo degli antecedenti rispetto a uno solo dei conseguenti, così tutti gli antecedenti rispetto a tutti i conseguenti: come quindi il triangolo AMB rispetto a BMr, così ABE rispetto a I'BE. Ma come AMB rispetto a BMr, così AM rispetto a Mr: anche quindi come AM rispetto a Mr, così il triangolo ABE rispetto al triangolo EBr. Proprio per gli stessi è anche come ZN rispetto a Ne, così il triangolo ZHA rispetto al triangolo HAe. Ed è come AM rispetto a Mr, così ZN rispetto a N8: anche quindi come il triangolo ABE rispetto al triangolo BEr, così il triangolo ZHA rispetto al triangolo HAe, e alternando, come il triangolo ABE rispetto al triangolo ZHA, così il triangolo BEr

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EUCLIDE - ELEMENTI

òµo(ws 8~ 8E(çoµEv Èm(EUX8ELcrwv Twv Bll, HK, on KaÌ. ws TÒ BEr Tp( ywvov rrpòs TÒ AH8 Tp( ywvov, ovTws TÒ Eril Tp( ywvov rrpòs TÒ AE>K Tp( ywvov. KaÌ. ÈTTEL Ècrnv ws TÒ ABE Tp( ywvov rrpòs TÒ ZHA Tp( ywvov, ovTws TÒ EBr rrpòs TÒ AH8, KaÌ. ETL TÒ Erll rrpòs TÒ A8K, KaÌ. WS' apa EV TWV ~youµÉvwv rrpòs EV TWV ÉrroµÉvwv, OVTWS' éfoavTa Tà ~youµEva rrpòs arravTa Tà ÉrroµEva. EcrTLV apa WS' TÒ ABE TPL ywvov rrpòs TÒ ZHA Tpl ywvov, ovTws TÒ ABrllE rroÀuywvov rrpòs TÒ ZH8KA rroÀ.vywvov. aÀÀà TÒ ABE Tpl ywvov rrpòs TÒ ZHA Tpl ywvov OLTTÀacr(ova ÀOyov EXEL iirrEp ~ AB òµ6Àoyos rrÀEupà rrpòs T~v ZH òµ6Àoyov TTÀ.EUpav· TÙ yàp oµOLa Tpl'}'WVQ ÈV OLTTÀ.QCYLOVL À.Ùycp ÈCYTL TWV ÒµoÀoywv TTÀEUpWV. K(ll TÒ ABrilE apa TTOÀuywvov rrpÒs TÒ ZH8KA rroÀuywvov 8rnÀacr(ova Àoyov EXEL iirrEp ~ AB òµ6Àoyos TTÀ.EUpà rrpòs T~v ZH òµoÀoyov rrÀEupciv. Tà apq oµow TTOÀuywva ELS' TE oµOLa Tpl ywva 8LmpELTaL KaÌ. ELs foa TÒ rrÀ-fì8os Kaì. òµoÀoya To'ls oÀoLs, rnì. TÒ rroÀuywvov rrpòs TÒ rroÀuywvov 8rnÀacr(ova Àoyov EXEL iirrEp ~ òµ6Àoyos TTÀEupà rrpòs T~v 6µ6Àoyov rrÀ.EVpav· [orrEp EOEL 8E'lçm]. II6pwµa 'OcrauTws 8È Km Em Twv [oµo(wv] TETparrÀEupwv 8ELX8~crETm, on Èv 8rnÀacr(ovL Àoycp El.crì. Twv òµoÀoywv rrÀEVpwv. È8ELX8TJ 8È KaÌ. ÈTTÌ. TWV TpLywvwv· WCYTE KaÌ. Ka86Àou Tà oµow EÙ8uypaµµa crx~µarn rrpòs UÀÀT]Àa Èv 8rn Àacr(ovL Àoycp dcrì. TWV 6µoÀ6ywv rrÀ.EVpwv. orrEp E8EL 8E'lçm. [II6pwµa ~' Kaì. Èàv TWV AB, ZH Tpl TT]V avaÀ.oyov Àa~wµEv T~V 3, ~ BA rrpòs T~v 3 8LrrÀacr(ova À6yov EXEL iirrEp ~ AB rrpòs T~v ZH. ÉXEL 8È Kaì. TÒ rroÀuywvov rrpòs TÒ rroÀuywvov ~ TÒ TETparrÀEupov rrpòs TÒ TETparrÀ.Eupov 8rnÀacr(ova Àoyov iirrEp ~ òµ6Àoyos TTÀEUpà rrpòs T~V òµoÀoyov 1TÀ.Eupciv, TOUTÉcrTLV ~ AB rrpòs T~V ZH- È8ELX8TJ 8È TovTo Kaì. Èrrì. Twv TpLywvwv· wcrTE Kaì. Ka86Àou cpavEp6v, on, Èàv TpE'ls Eù8E'lm àvaÀ.oyov wcrLv, foTm ws ~ rrpWTTJ rrpòs T~v TpLTTJV, oiJTws TÒ àrrò Tiìs rrpwTT]S EL8os rrpòs TÒ clTTÒ T-fìS OEUTÉpas TÒ oµOLOV KaÌ. Òµo(wg àvaypacpoµEVOV.]

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rispetto al triangolo HA0. Del tutto similmente dimostreremo, congiunte B.6., HK, che è anche come il triangolo BEr rispetto al triangolo AH0, così il triangolo Er.6. rispetto al triangolo A0K. E poiché è come il triangolo ABE rispetto al triangolo ZHA, così EBr rispetto a AHe, e ancora Er.6. rispetto a A8K, anche quindi come uno solo degli antecedenti rispetto a uno solo dei conseguenti, così tutti gli antecedenti rispetto a tutti i conseguenti: è quindi come il triangolo ABE rispetto al triangolo ZHA, così il poligono ABr.6.E rispetto al poligono ZH0KA. Ma il triangolo ABE rispetto al triangolo ZHA ha rapporto raddoppiato che il lato omologo AB rispetto al lato omologo ZH i triangoli simili sono infatti in rapporto raddoppiato dei lati omologhi -. Anche il poligono ABr.6.E rispetto al poligono ZH0KA ha quindi rapporto raddoppiato che il lato omologo AB rispetto al lato omologo ZH. I poligoni simili si dividono quindi in triangoli sia simili che uguali in molteplicità che omologhi ai totali, e il poligono rispetto al poligono ha rapporto raddoppiato che il lato omologo rispetto al lato omologo: [il che si doveva dimostrare]. Porisma Allo stesso modo sarà stato dimostrato anche per i quadrilateri [simili], che sono in rapporto raddoppiato dei lati omologhi. E fu anche dimostrato per i triangoli: così che anche in generale lè figure rettilinee simili sono tra loro in rapporto raddoppiato dei lati omologhi: il che si doveva dimostrare. [Porisma2 E qualora di AB, ZH prendiamo una terza proporzionale X, BA rispetto a X ha rapporto raddoppiato che AB rispetto a ZH. Ed ha anche il poligono rispetto al poligono o il quadrilatero rispetto al quadrilatero rapporto raddoppiato che il lato omologo rispetto al lato omologo, cioè AB rispetto a ZH; e questo fu dimostrato anche per i triangoli: così che è manifesto in generale che, qualora siano tre rette in proporzione, sarà come la prima rispetto alla terza, così la forma sulla prima rispetto a quella simile e descritta similmente sulla seconda.]

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EUCLIDE - ELEMENTI

21 Tà T..oyov {i, KaÌ. aÙTal al EÙ6E'i:m àva>..oyov foovTm. "ECJTWCJQV TÉCYCYapES EÙ6ELal àva>..oyov al AB, rii, EZ, H8, ws ~ AB npòs TTJV rii, OUTWS ~ EZ npòs TTJV He, ml àvayEypa..~..oyov ~ O. Kal ÈTIE( ÈCJnv ws µÈv ~ AB npòs TTJV rii, OUTWS ~ EZ npòs TTJV H0, ws 8È ~ rLi npòs TTJV 3, OUTWS ~ H8 npòs TTJV O, 8L' LCYOU apa ÈCYTÌ.V ws ~ AB npòs TTJV 3, OUTWS ~ EZnpòs TTJV O. CÌÀÀ.' ws µÈv ~ AB npòs TÌ]v 3, ouTws [rnì.] TÒ

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\{J

21 Le simili alla stessa rettilinea sono simili anche tra loro. Sia infatti una e l'altra delle figure rettilinee A, B simile a I': .A ~ dico che anche A è simile a B. ~_J Poiché infatti A è simile a r, sia è equiangolo a esso che ha i lati intorno agli angoli uguali in proporzione. Di nuovo, poiché B è simile a r, sia è equiangolo a esso che ha i lati intorno agli angoli uguali in proporzione. Uno e l'altro degli A, B, quindi, sia è equiangolo arche ha i lati intor~ no agli angoli uguali in proporzione [, così che anche A sia è equiangolo a B sia ha i lati intorno agli angoli uguali in proporzione]. A è quindi simile a B: il che si doveva dimostrare. 22 Qualora siano quattro rette in proporzione, anche le rettilinee sia simili che descritte similmente su di esse saranno in proporzione; e, qualora le rettilinee sia simili che descritte similmente su di esse siano in proporzione, anche le rette stesse saranno in proporzione. Siano quattro rette in proporzione AB, r..il, EZ, He, come AB rispetto a I'L1, così EZ rispetto a He, e siano state descritte su AB, I'.il rettilinee KAB, Ar.il sia simili che poste similmente, e su EZ, He rettilinee MZ, Ne sia simili che poste similmente: dico che è come KAB rispetto a AI'L1, così MZ rispetto a Ne. Siano infatti state prese di AB, I'Ll una terza proporzionale 3, e di EZ, He una terza proporzionale O. E poiché è come AB rispetto a r.il, così EZ rispetto a He, e come I'Ll rispetto a 3, così He rispetto a O, tramite uguale quindi è come AB rispetto a 3, così EZ rispetto a O. Ma come AB rispetto a 3, così

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EUCLIDE- ELEMENTI

KAB 1Tpòs TÒ Ai.Li, ws 8È ~ EZ 1Tpòs TÌ]v O, ovTws TÒ MZ 1Tpòs TÒ NE>· KQL ws apa TÒ KAB npòs TÒ Ai.Li, OVTCùS TÒ MZ 1TpÒs TÒ

NE>. 'AHà 8T] E· ÀÉyw, on ÈCJTl Kal ws ~ AB 1Tpòs TTJV !Li, ovTWS ~ EZ 1Tpòs TÌ]v HE>. EÌ. yàp µi\ ÈCJnv, ws ~ AB 1Tpòs TÌ]v !Li, ovTws ~ EZ 1Tpòs TÌ]v HE>, foTw ws ~ AB 1Tpòs TÌ]v !Li, ovTws ~ EZ 1Tpòs TÌ]v ITP, Kal àvayEypa8w à1Tò Tfìs ITP 01TOTÉpcp Twv MZ, NE> oµoLOV TE KQL oµo(ws KELµEVOV EÙSvypaµµov TÒ 1:P. 'E1TEL ovv ÈCJTLv ws ~ AB npòs TÌ]v !Li, ovrns ~ EZ 1Tpòs TÌ]v ITP, KQL àvayÉypa1TTaL Ù1TÒ µÈv TWV AB, !Li oµOLa TE KQL oµo(ws KELµEva Tà KAB, Ai.Li, CT1TÒ 8È TWV EZ, ITP oµoLa TE Kal oµo(ws KELµEva Tà MZ, 1:P, fonv apa ws TÒ KAB 1Tpòs TÒ Ai.Li, OVTCùS TÒ MZ 1Tpòs TÒ 1:P. Ù1ToKELTm 8È Kaì. ws TÒ KAB 1Tpòs TÒ AD~. OVTCùS TÒ MZ 1TpÒs TÒ NE>· KaL ws apa TÒ MZ 1TpÒs TÒ 1:P, OVTCùS TÒ MZ 1Tpòs TÒ NE>. TÒ MZ apa 1Tpòs ÈKclTEpov TWV NE>, 1:P TÒV m'.iTòv EXEL Àoyov· foov apa EcrTL TÒ NE> Tcjì 1:P. fon 8È aÙTcjì Kal oµowv Kal oµo(ws KELµEvov· fori apa ~ HE> TÙ ITP. KaL E1TEL EaTLV ws ~ AB npòs TTJV !Li, OUTCùS ~ EZ 1Tpòs TTJV ITP, fori oÈ ~ ITP Tfj HE>, Eo-nv apa ws ~ AB 1TpÒs TTJV 1.6., OlJTCùS ~ EZ 1Tpòs TTJV HE>. 'Eàv apa TÉmmpE, 1:P, KaÌ. EcrTCù ws ~ E>H 1Tpòs TTJV HN, ouTws ~ PIT npòs TTJV IT1:· ÀÉyw, OTL fori ÈCJTÌ.v ~ PTI Tfj E>H. El yàp avwo( EÌ.CJLV, µ(a aÙTwv µE((wv ÈCJT(v. Eo-Tw µE((wv ~ PIT TfìS E>H. Kaì. ETIEt ÈCJnv ws ~ PIT 1Tpòs TI1:, ovTws ~ E>H 1Tpòs TÌ]v HN, Kaì. E:vanaç, ws ~ PIT 1Tpòs TÌ]v E>H, ovTws ~ I11: 1Tpòs TTJV HN, µd(wv oÈ ~ ITP Tfìs E>H, µE((wv apa KaL ~ TI1: TfìS HN· ùSCJTE Kaì. TÒ P1: µE'L(6v fon ToD E>N. ànà rnì. foov· o1TEP à8u-

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[anche] KAB rispetto a Ar~, e come EZ rispetto a O, così MZ rispetto a NE>: anche quindi come KAB rispetto a Ar~, così MZ rispetto a NE>. Ma ora sia come KAB rispetto a Ar~, così MZ rispetto a NE>: dico che è anche come AB rispetto a r~, così EZ rispetto a HE>. Se infatti non è come AB rispetto a r~, così EZ rispetto a HE>, sia come AB rispetto a r~, così EZ rispetto a IIP, e sia stata descritta su IIP una rettilinea L:P sia simile che posta similmente a una o ali' altra delle MZ, NE>. Poiché dunque è come AB rispetto a r~, così EZ rispetto a IIP, e risultano descritte su AB, r~ KAB, Ar~ sia simili che poste similmente, su EZ, IIP MZ, 1:P sia simili che poste similmente, è quindi come KAB rispetto a Ar~' così MZ rispetto a L:P. Ed è anche stato supposto come KAB rispetto a Ar~, così MZ rispetto a NE>: anche quindi come MZ rispetto a L:P, così MZ rispetto a NE>. MZ rispetto a uno e all'altro degli NE>, L:P ha quindi lo stesso rapporto: NE> è quindi uguale a L:P. Ed è anche simile e posto similmente a esso: HE> è quindi uguale a IIP. E poiché è come AB rispetto a r ~' così EZ rispetto a IIP, e IIP è uguale a HE>, è quindi come AB rispetto a r~, così EZ rispetto a HE>. Qualora quindi siano quattro rette in proporzione, anche le rettilinee simili e descritte similmente su di esse saranno in proporzione; e, qualora le rettilinee simili e descritte similrìiente su di esse siano in proporzione, anche le rette stesse saranno in proporzione: il che si doveva dimostrare. [Lemma] [Che, qualora rettilinee siano uguali e simili, i loro lati omologhi sono uguali tra loro, dimostreremo così. Siano figure rettilinee uguali e simili NE>, L:P, e sia come E>H rispetto a HN, così PII rispetto a IIL:: dico che PII è uguale a E>H. Se infatti sono disuguali, una sola di esse è maggiore. Sia PII maggiore di E>H. E poiché è come PII rispetto a IIL:, così E>H rispetto a HN, e alternando, come PII rispetto a E>H, così IIL: rispetto a HN, e IIP è maggiore di E>H, anche IIL: è quindi maggiore di HN: così che anche PL: è maggiore di E>N. Ma è anche

EUCLIDE - ELEMENTI

1068 vaTOv. OUK apa avw6s- È yvwµwv À.OLTI He simile e posto similmente a ~- Sia Ke omologo a ZA, e KH a ZE. E poiché He è maggiore di ZB, anche K0 è quindi maggiore di ZA, e KH di ZE. Siano state prolungate ZA, ZE, e uguale a K0 sia ZAM, uguale a KH ZEN, e sia stato completato MN: MN è quindi sia uguale che simile a He. Ma He è simile a EA: anche MN è quindi simile a EA: EA è quindi intorno alla stessa diagonale di MN. Sia stata condotta la loro diagonale Z3, e sia stata tracciata completamente la figura. Poiché H0 è uguale a EA, r, ma H0 è uguale a MN, anche MN è quindi uguale a EA, r. Sia stato sottratto EA comune: lo gnomone 'l'X restante è quindi uguale a r. E poiché AE è uguale a EB, anche AN è uguale a NB, cioè a AO. Sia stato sommato ES comune: A3 totale è quindi uguale allo gnomone X'l'. Ma lo gnomone X'l' è uguale a r: anche A3 è quindi uguale a r. Risulta quindi applicato alla retta data AB un parallelogrammo A3 uguale alla rettilinea data r oltrepassando di una forma parallelogrammica no che è simile a ~' poiché anche a EA è simile OIT: il che si doveva fare. 30 Secare la retta limitata data in rapporto estremo e medio. Sia la retta limitata data AB: si deve fj pertanto secare la retta AB in rapporto I' estremo e medio. Sia infatti stato descritto su AB un quadrato Br, e sia stato applicato a Ar un parallelogrammo r~ uguale a Br oltrepassando di una forma A~ simile aBr. E Br è un quadrato: anche A~ è quindi un quadrato. E poiché Br è uguale a r ~' sia stato sottratto rE LJ comune: BZ restante è quindi uguale a M restante. Ed è anche equiangolo allo stesso: i lati intorno agli angoli uguali di BZ, M sono quindi in relazione inversa: è quindi come ZE rispetto a E~, così AE rispetto a EB. E ZE è

z

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EUCLIDE - ELEMENTI

n µÈv ZE TQ AB, noÈ EA TQ AE. EaTLV apa WS nBA rrpòs n AE rrpòs T~V EB. µEL(wv oÈ n AB Tfìs AE· µE((wv apa rnl nAE Tfìs EB.

oÈ

T~V AE, OUTWS

'H apa AB EU8ELa aKpov KCTÌ. µÉaov Àoyov TÉTµT]TCTL KaTà TÒ E, KaÌ. TÒ µE'L(ov aÙTfìs Tµfìµa Èan TÒ AE· OTTEP EOEL rroLfìcrnL.

31 'Ev TOLS òp8oywv(OLS TPLYWVOLS TÒ àrrò TfìS T~V òp8~v ywv(av urroTELVOUCJT]S rrÀEupas ELoos foov ÈaTl To'Ls àrrò Twv T~v òpe~v ywv(av TTEPLEXOUCJWV TTÀEupwv Eì'.OEO"L TOLS oµOLOLS TE KCTL oµo(ws àvaypmpoµÉvoLs. "ECJTW Tp( ywvov òp8oywvwv TÒ ABr òp8~v EXOV T~v urrò BAr ywv(av· ÀÉyw, on TÒ àrrò Tfìs Br Eloos foov ÈCJTÌ. To'i:s àrrò Twv BA, Ar Eì'.OrnL To'Ls oµOLOLS TE KaÌ. OµOLWS CÌvaypacpoµÉVOLS. "Hxew KU8ETOS M. 'ErrEÌ. ovv Èv òp8oywv(cp TpLywvcp T retta con rE. Qualora quindi due triangoli che hanno i due lati in proporzione ai due lati siano composti secondo un solo angolo così da essere i loro lati omologhi anche paralleli, i restanti lati dei triangoli saranno in retta: il che si doveva dimostrare. 33 Nei cerchi uguali gli angoli hanno lo stesso rapporto degli archi su cui insistono, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze. Siano cerchi uguali ABr, .LlEZ, e sui loro centri H, e siano angoli BHr, E0Z, sulle circonferenze BAr, E.LlZ: dico che è

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EUCLIDE - ELEMENTI

oÈ TaLS TTEplcpEpELatS aL imò BAr, Et..Z· ÀÉyw, OTL ÈCJTLV ws ~ Br rrEpLcpÉpELa rrpòs T~v EZ rrEpLcpÉpEwv, ouTws ~ TE vrrò BHr ywv(a rrpòs TDV ùrrò E8Z rnl ~ ùrrò BAr rrpòs TDV ùrrò Et..Z. KE(o9wcmv yàp TU µÈv Br TTEpLcpEpEL. apa µÉpT] ÈaTÌ.V 6 HE> TOV rA, Tà avTà µÉpT] ÈaTÌ. Kal 6 AE TOV rz. Ol1Jptju8w 6 µÈv HE> ELS' Tà TOV rA µÉpT] Tà HK, KE>, 6 OÈ AE ELS' Tà TOV rz µÉpT] Tà AA, AE· ECJTm oiì 'Laov TÒ 1TÀfì8os- TWV HK, KE> T0 TTÀtj8EL Twv AA, AE. Kal ÈTTEL, µÉpos- ÈaTlv 6 HK TOV rA, TÒ avTÒ µÉpos- ÈaTÌ. Kal 6 AA TOV rz, µEl.(wv oÈ 6 rA TOV rz, µEl.(wv apa KUL 6 HK TOV AA. KELCJ8w T0 AA 'Laos- 6 HM. apa µÉpos- ÈaTLV 6 HK TOU rA, TÒ avTÒ µÉpos- ÈaTL Kal 6 HM TOV rz· KaL ÀOLTIÒS' apa 6 MK ÀOLTTOV TOV ZA TÒ avTÒ µÉpOS' ÈaTLV, onEp oÀos- 6 HK oÀou Tov rA. naÀLv ÈTTEL, µÉpos- foTlv 6 KE> TOV rA, TÒ avTÒ µÉpOS' ÈaTL KQL 6 EA TOV rz, µd(wv 8È ò rA TOV rz, µd(wv apa KQL ò E>K TOV EA. KELCJ8w T0 EA foos6 KN. apa µÉpos- ÈaTLV 6 KE> TOV rA, TÒ QVTÒ µÉpos- ÈaTL KaL 6 KN TOV rz· KaÌ. ÀOLTTÒS' apa 6 NE> ÀOLTTOV TOV ZA TÒ avTÒ µÉpOS' ÈaT(v, onEp oÀos- 6 KE> oÀov Tov rA. ÈoEl.xeri oÈ Kal Àomòs 6 MK ÀoLTTOV TOV ZA TÒ avTÒ µÉpos wv, OTTEp OÀOS' 6 HK OÀ.OV TOV rA· KaL CJvvaµoTEPOS' apa 6 MK, NE> TOV AZ Tà avTà µÉpT] ÈCJTLV, KaL

6

z

a

o

o

o

o

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di rH, che parte è quindi AE di rz, la stessa parte è anche AB di HZ. E che parte è AE di rz, la stessa parte è stato supposto anche AB di n1: che parte è quindi AB di HZ, la stessa parte è anche di n1: HZ è quindi uguale a rl'.1. Sia stato sottratto rz comune: Hr restante è quindi uguale a ZL'.1 restante. E poiché, che parte è AE di rz, la stessa parte [è] anche EB di Hr, e Hr è uguale a ZL'.1, che parte è quindi AE di rz, la stessa parte è anche EB di ZL'.1. Ma che parte è AE di rz, la stessa parte è anche AB di r L'.1: anche EB restante di ZL'.1 restante è quindi la stessa parte che AB totale di r L1 totale: il che si doveva dimostrare. 8 Qualora un numero sia parti di un numero, che un sottratto di un sottratto, anche il restante del restante sarà le stesse parti che il totale del totale. I' z Ll Sia infatti un numero AB parti di un numero rl'.1, che un sotH MK NfJ tratto AE di un sottratto rz: dico che anche EB restante di Z!J. B A A E restante è le stesse parti che AB totale di rl'.1 totale. Uguale a AB sia infatti stato posto He. Che parti è quindi He di rl'.1, le stesse parti è anche AE di rz. Sia stato diviso He nelle parti l{K, Ke di rl'.1, e AE nelle parti AA, AE di rz: la molteplicità di HK, Ke sarà pertanto uguale alla molteplicità di AA, AE. E poiché, che parte è HK di rl'.1, la stessa parte è anche AA di rz, e rl'.1 è maggiore di rz, anche HK è quindi maggiore di AA. Uguale a AA sia stato posto HM. Che parte è quindi HK di rl'.1, la stessa parte è anche HM di rz: anche MK restante di ZL'.1 restante è quindi la stessa parte che HK totale di rl'.1 totale. Di nuovo, poiché, che parte è Ke di rl'.1, la stessa parte è anche EA di rz, e I'L'.1 è maggiore di rz, anche eK è quindi maggiore di EA. Uguale a EA sia stato posto KN. Che parte è quindi Ke di I'L'.1, la stessa parte è anche KN di rz: anche Ne restante di ZL'.1 restante è quindi la stessa parte che Ke totale di rl'.1 totale. E fu anche dimostrato MK restante di ZL'.1 restante essere la stessa parte che HK totale di rl'.1 totale. Anche MK, Ne messo insieme di L'.lZ è quindi le stesse parti che eH totale

1104

EUCLIDE - ELEMENTI

o o

o

anEp oÀos- 0H oÀou Toù I'A. 'Lcrns- 8È L1 le stesse volte. È quindi come l'unità Z rispetto al numero A, così B rispetto a L1. Proprio per gli stessi è anche come l'unità Z rispetto al numero A, così r rispetto a E: anche quindi come B rispetto a LÌ, così r rispetto a E. Alternando quindi è come B rispetto a r, così L1 rispetto a E: il che si doveva dimostrare. 18 Qualora due numeri moltiplicando un certo numero facciano certi numeri, quelli che risultano da essi avranno lo stesso rapporto di quelli che moltiplicano. Due numeri A, B moltiplicando un certo numero r facciano Ai-----! infatti L1, E: dico che è come A 7 B i--------1 rispetto a B, così L1 rispetto a E. ,11------1 Poiché infatti A moltiplicando E r risulta fare L1, anche r moltipli-

EUCLIDE - ELEMENTI

1114

apa TÒV A 1TOÀÀarrÀacncicrns TÒV il 1TE1TOLT]KEV. 8Là Tà aÙTà 81) rnì. r Tòv B rronarrA.aaLciaas Tòv E rrrnoi'.TJKEv. àpLSµòs- 81) 6 r 8Uo àpL8µoùs TOÙS' A, B 1TOÀÀarrÀaCJLclCJUS' TOÙS' il, E 1TE1TOLT]~ KEV. fonv apa WS' A rrpòs- TÒV B, OUTWS' il rrpòs- TÒV E· OTIEP E8EL 8é.çm.

o

o

o

o

19 'Eàv TÉCJ'CJapE, ez. rnl. ÈiTEl. fooL Ei.CJl.v ol rH, H~ àpL8µol. àUtjÀoLs, Ei. da A, r è~' quello da B, E è Z. ~' Z sono quindi primi tra loro: il che si doveva dimostrare. 28 Qualora due numeri siano primi tra loro, anche messo insieme sarà primo rispetto a uno e ali' altro di essi; e qualora messo insieme sia primo rispetto un certo di essi, anche i numeri in origine saranno primi tra loro. Siano infatti stati composti due numeri primi tra loro, AB, Br: dico B I' A che anche Ar messo insieme è primo rispetto a . uno e ali' altro degli AB, Br. Se infatti r A, AB non sono primi tra loro, un certo numero misurerà rA, AB.