Storia della teoria dei quanti

La storia della fisica ha vissuto tra il 1900 e il 1927 uno dei suoi periodi più entusiasmanti. La teoria dei quanti non

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Storia della teoria dei quanti

Table of contents :
Friedrich Hund, Storia della teoria dei quanti......Page 1
Colophon......Page 6
Indice......Page 7
Prefazione......Page 9
Introduzione......Page 11
Fisica classica......Page 13
Novità della teoria quantistica......Page 15
Note bibliografiche......Page 21
La radiazione del corpo nero......Page 22
Tre formule per l’irraggiamento......Page 23
La nascita della teoria quantistica......Page 27
Si procede lungo varie linee......Page 28
La statistica dei quanti indistinguibili......Page 29
Note bibliografiche......Page 31
Le energie E(n) di un oscillatore armonico......Page 33
Il Congresso Solvay del 1911......Page 36
Il rotatore conduce su piste false......Page 37
h come unità dell’estensione in fase di un moto periodico......Page 38
h come unità nella traslazione......Page 41
Note bibliografiche......Page 42
Oltre la statistica quantistica......Page 44
I raggi catodici......Page 45
La scarica elettrica nei gas. L’urto elettronico......Page 46
I raggi röntgen......Page 47
I fotoni......Page 49
Il dualismo onde-particelle nella luce......Page 50
Note bibliografiche......Page 54
Il problema dell’atomo......Page 55
L’atomo della chimica......Page 56
Gli elettroni nell’atomo......Page 57
Modelli dell’atomo......Page 58
Le serie spettrali......Page 61
h e l’atomo......Page 63
Note bibliografiche......Page 65
La prima memoria sulla struttura dell’atomo......Page 66
Sull’inclusione delle leggi spettrali......Page 70
Sul principio di corrispondenza......Page 72
Le altre memorie......Page 74
Note bibliografiche......Page 75
Sommario......Page 76
Moti semplicemente periodici......Page 77
Difficoltà......Page 80
Moti multiperiodici......Page 82
La situazione verso il 1922......Page 86
Note bibliografiche......Page 88
Struttura dell’atomo e righe spettrali......Page 89
La sistemazione secondo n e l......Page 90
La sistemazione degli spettri ottici secondo n, l, j......Page 93
La sistemazione degli spettri röntgen secondo n, l, j......Page 95
Esperimenti complementari......Page 97
Note bibliografiche......Page 98
Acme e crisi......Page 100
Sistema periodico e struttura dell’atomo......Page 101
I trionfi di Bohr......Page 103
Luci e ombre......Page 107
Note bibliografiche......Page 108
Una sconcertante molteplicità......Page 109
Separazione Zeeman anomala dei doppietti e dei tripletti......Page 110
Multipletti......Page 111
Il principio di esclusione di Pauli......Page 115
Interpretazione degli spettri complessi......Page 116
Lo spin dell’elettrone......Page 119
Note bibliografiche......Page 121
Fallimento dell’antica teoria dei quanti......Page 122
Il "campo virtuale" di un atomo......Page 124
La dispersione......Page 126
Regole per le intensità......Page 128
Heisenberg: una reinterpretazione deUa meccanica quantistica......Page 129
Costruzione della meccanica quantistica......Page 132
Nuove aperture......Page 135
Note bibliografiche......Page 136
La dualità......Page 138
Verso l’onda di materia......Page 139
L’onda di de Broglie......Page 140
Dualità nella luce e nella materia......Page 142
Verifica sperimentale dell’onda di materia......Page 143
Due strade verso l’equazione di Schrödinger......Page 144
I lavori di Schrödinger del 1926......Page 146
Note bibliografiche......Page 150
Quattro forme......Page 151
L’interpretazione probabilistica......Page 152
Schema della teoria della trasformazione......Page 154
L’indeterminazione quantistica......Page 157
Le connessioni col passato......Page 161
Note bibliografiche......Page 162
Simmetria del sistema e simmetria degli stati......Page 164
Particelle indistinguibili......Page 165
Simmetria e statistica......Page 167
La teoria dei gruppi......Page 171
Permutazioni......Page 172
Rotazioni......Page 173
Equivalenza tra aspetto ondulatorio e aspetto corpuscolare......Page 175
L’inserimento dello spin......Page 178
Note bibliografiche......Page 179
Procedimenti di calcolo......Page 181
Lo sconfinamento dell’autofunzione......Page 184
La chimica......Page 185
Gli elettroni nei metalli......Page 189
Note bibliografiche......Page 191
La teoria quantistica relativistica......Page 192
Equazioni d’onda relativistiche......Page 193
L’equazione di Dirac per l’elettrone......Page 194
La teoria delle buche......Page 196
La teoria quantistica dei campi......Page 199
Accoppiamenti......Page 203
Note bibliografiche......Page 206
La corrente principale......Page 208
Ostacoli e piste false......Page 210
Avrebbe potuto la storia svolgersi diversamente?......Page 212
Sommario......Page 217
Meccanica......Page 218
Meccanica relativistica......Page 219
L’oscillatore anarmonico......Page 221
La teoria quantistica del principio di corrispondenza......Page 225
Il principio di corrispondenza per più gradi di libertà......Page 228
La forma matriciale della meccanica quantistica......Page 230
Aspetto ondulatorio e aspetto corpuscolare......Page 234
Onde e corpuscoli......Page 236
L’equazione di Schrödinger......Page 238
Tre esempi......Page 240
Lo schema formale......Page 244
Note bibliografiche......Page 247
Berlino......Page 248
Cambridge (Massachusetts)......Page 249
Gottinga......Page 250
Leida e Utrecht......Page 251
Monaco......Page 252
Note bibliografiche......Page 253
Indice dei nomi......Page 257
Indice degli argomenti......Page 261

Citation preview

Friedrich Hund, fisico tedesco, allievo di Max Born, è nato nel 1896 a Karlsruhe. Professore all 'Università di Go ttinga, si è occupato p·rincipalmente di spettroscopia e particolarmente degli spettri di alcune molecole neutre e ionizzate.

La cultura scientifica

Frege Logica e aritmetica : scritti raccolti a cura di Corrado Mangione Gluc k man Potere , diritto e rituale nelle società tribali Hund Storia della teoria dei quanti Lenneberg Fondamenti b iologici del linguaggio Pieranton i Riconoscere e comunicare : i messaggi biologici Portugal e Coben Un secolo di DNA Searle Atti linguistici : saggio di filosofia del linguaggio Steward Teo ri a del mutamento culturale Wborf Linguaggio , pensiero e realtà

Friedrich Hund

Storia della teoria dei quanti

Paolo Boringhit:ri

© 1 980

Editore Boringhieri

società per azioni

Torino, corso Vittorio Emanuele 86

CL 6 1 -8844- 3

Titolo originale Geschichte der Quantentheorie

© 1975 Bibliograpbiscbes Institut AG - Zurigo

Traduzione di Giuseppe Longo

Indice

7

Prefazione

9

l

Veduta d 'insieme

2

La scoperta del quanto d'azione

3

La statistica quantistica

4

I fotoni

5

L'atomo

6

Niels B ohr: 1913

7

La quantizzazione dei moti periodici

8

L'interpretazione degli spettri semplici

9

Struttura dell'atomo e proprietà degli elementi

20

31

42 53 64 74 87 98

107

10

Verso lo spin dell 'elettrone

11

Il principio di corrispondenza viene precisato

12

Le onde di materia e l'equazione di Schròdinger

13

Il completamento della meccanica quantistica

14

L'utilizzazione della simmetria

15

Applicazioni della meccanica quantistica

1 79

16

Ampliamenti della meccanica quantistica

190

l7

Sguardo retrospettivo

120 136

149

162

206

Appendice l Compendio di meccanica quantistica Appendice 2 Geografia della teoria quantistica

Indice dei nomi

255

Indice degli argomenti

259

215

246

Prefazione

Lo sviluppo della teoria dei quanti negli anni tra il 1900 e il 1927 dev 'essere considerato co me una tappa importantissima nella conoscen­ za della natura e fors 'anche uno dei periodi essenziali nella storia del pensiero . Nella meccanica del Seicento esisteva una base unitaria per spiegare tanto i moti sulla Terra quanto quelli nel cielo; dopo la crea­ zione dell 'elettrodinamica, nell 'Otto cento, la luce e i feno meni elettri­ ci e magnetici vennero interpretati seco ndo gli stessi princìpi; dopo il co mpletamento della teoria dei quanti, cinquant 'anni fa, si può parlare di una scienza di base unitaria dei feno meni semplici, che co mprende quanto accade nel do minio ato mico, rende nuo vamente co ncepibili le qualità e quindi riunifica la fisica e la chimica nelle loro basi teoriche. In questo libro si tenta una rassegna della sto ria della teo ria dei quan­ ti. Ora la distanza cronologica dai fatti dovrebbe essere abbastanza gran­ de da permettere una certa valutazio ne dell 'importanza delle singole li­ nee evo lutive, e insieme abbastanza piccola da permettere anco ra di ri­ correre ai ricordi perso nali, di avere ancora presente il pensiero prequan­ tistico e di comprendere ancora abbastanza facilmente quale sfida rap­ presentassero gli esperime nti e anche le piste false che furo no imbo cca­ te e l'incapacità di vedere certi fatti. Il libro si rivolge agli studenti, an che a quelli che co nosco no ancora po co la teoria dei quanti o che l'hanno appresa in forma molto astrat­ ta. Il co mpendio di teoria quantistica che si tro va nell'appendice ha un 'impostazio ne che richiama lo svolgimento storico (non vuoi essere ad esempio una proposta didattica) e può facilitare loro la lettura. l / li­ bro si po trebbe tuttavia rivolgere an che allo specialista e all 'insegnante di fisica. Forse la fisica si co mprende meglio se si co nosco no le difficol­ tà che acco mpagnarono il suo sviluppo .

8

PREFAZIONE

Esiste un reso conto approfondito e molto accurato della sto ria della teo ria quantis tica, in cui vien dato gran rilievo soprattu. t to alla nascita e alla chiarificazione dei conce tti: The Conceptual Development of Quantum Mechanics, di Max jammer. Chi vorrà andare più a fondo nel­ la stpria, ricorrerà al libro di jammer, e anche all 'introduzione che B. L. van der Waerden ba premesso a The Sources of Quantum Mechanics. Dopo la comparsa della prima edizione (196 7) sono stati pubblicati validi reso conti di certi importanti periodi della storia della teoria quan­ tistica (ad esempio quelli di A. Hermann, M. ]. Klein, L. Rosenfeld) e numerose analisi di alcune singole tappe. Ho po tuto profittarne per la stesura di questa seconda edizione. Il rifacimento di alcuni capito li, cer­ te piccole integrazio ni e il capito lo finale (1 7) renderanno forse più chiaro il corso della storia . Anche questa volta devo ringraziare mia moglie, la do ttoressa I. Hund, per il suo diligente aiuto durante la correzio ne delle bozze. Friedrich Hund Gottinga, marzo 1 9 75

Capitolo 1 Veduta d'insieme

Introduzione

A che scopo si studia la storia? Si vuol sapere ciò che è accaduto ; si vuol comprendere il presente, operare in esso, percepire i suoi impul­ si e (anche) avere un suggerimento su che cosa si possa e che cosa meri­ ti cambiare nella situazione attuale. La situazione attuale, per lo più, non è conseguenza di progetti razionali, ma si è creata in modo più o meno cieco ; in breve : si è attuata storicamente . Per occuparsi della sto­ ria d 'una scienza vi sono anche altre ragioni. Questa scienza ( ad esem­ pio la teoria quantistica) oggi viene appresa da un manuale, ci si avvez­ za ai suoi concetti, si prende dimestichezza con strumenti o metodi di calcolo e si definisce con l'adottare uno schema che, in quanto tale, non viene più messo in questione . Una maniera per temperare questo modo di procedere, che è assai difficile evitare , è quello di dare un 'oc­ chiata alla storia della scienza. In genere i suoi concetti vengono discus­ si a fondo solo ai primordi, specie se essi differiscono da un preceden­ te schema concettuale . Inoltre la fisica non si è certo conclusa con la costruzione della teoria quantistica. Nel campo delle alte energie e del­ le particelle elementari si ha l'impressione che le nostre conoscenze non siano ancora definite ; forse qui i nostri schemi concettuali debbono su­ bire un ulteriore mutamento. Può essere che a questo fine l'evoluzione dello schema concettuale precedente, cioè dei princ ìpi della teoria quan­ tistica, sia illuminante. E ' proprio della storia possedere un certo margine, nel senso che so­ no concepibili alternative al suo corso effettivo. Quanto è ampio que­ sto margine ? Nell'evoluzione biologica prevalgono forme aventi grande valore selettivo. L'evoluzione è vista come un sentiero che conduce sì verso un più elevato sviluppo, ma per il quale non esiste alcun risultato teleonomico determinato ( il progetto dell' Homo sapiens non è contenu-

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CAPITOLO PRIMO

to nelle scimmie che lo hanno preceduto) . Nello sviluppo delle forme politiche e sociali i sistemi svantaggiosi non durano molto, ma il caso vi ha una parte notevole ; anche qui si vede un sentiero senza meta pre­ fissata (il progetto che doveva in seguito portare all'I mpero tedesco e all'odierna Comunità europea non esisteva già in Carlo Magn o) . Nella storia delle scoperte geografiche ciò che si deve scoprire è fissato in an­ ticipo. Nella storia di una branca della scienza i fatti della natura sono fissati in anticipo, e di conseguenza lo è in larga misura la meta di quel­ la storia. Pure, la scienza è sempre l'espressione di fatti in una lingua e in forme concettuali umane suscettibili di sviluppo. I l caso interviene an che nella storia di una scienza (Planck poté ap­ prendere di prima mano il risultato di misure precise nell'infrarosso, Bohr nel 1 9 1 2 lavorò con Rutherford) . In essa tuttavia la forza delle co­ se conta più del caso (fra tutte le indicazioni empiriche sul quanto di azione elementare, furono le misure sulla radiazione del corpo nero quel­ le che fornirono a quel tempo la massima informazione). Lo stato cor­ rente della tecnica sperimentale è decisivo (le lunghezze d'onda dei raggi rontgen si poterono misurare con precisione solo dopo il 1 9 1 2, e solo intorno al 1 92 5 fu possibile ottenere prove sperimentali sicure sull 'inter­ ferenza della materia) . Anche la storia della teoria quantistica si muove tra il caso, la forza delle cose e la possibilità di verifica ; dovremo presta­ re attenzione a queste tre componenti ; ci dovremo anche chiedere (con cautela) come si sarebbero potute sviluppare le cose se . . . (se, diciamo, Planck fosse divenuto un musicista e B ohr un avvocato) . L a storia della fisica è i n sostanza u n allontanamento dalla realtà vi­ sibile e perciò anche una trasformazione della metafisica, la quale con­ tinua a esistere dietro le rappresentazioni e i concetti dei fisici ( anche quando essi ritengono di esserne immuni) . La fisica aristotelica era mol­ to prossima alla realtà visibile ; la concezione di allora del movimento, espressa rigorosamente più tardi circa così : " la velocità di un corpo in movimento è determinata dal rapporto tra spinta (forza) e resistenza", corrisponde al trascinamento di un carico. La concezione di Newton in­ vece , in cui era la variazione della velocità che veniva determinata dalla forza, corrisponde al movimento di una massa puntiforme nel vuoto. L'allontanamento dalla realtà visibile non portò la fisica all'isolamento ; anzi ad ogni tappa di questo allontanamento un numero sempre maggio­ re di fenomeni ( alcuni anche da campi contigui) poterono essere sotte­ si da punti di vista generali ed essere sfruttati nella tecnica. D 'altronde in questo processo moltissime cose ritenute semplici divennero più com­ plicate ; ad esempio l 'acqua, così familiare alla percezione naturale, è per la fisica attuale qualcosa di molto complicato e in parte non ancora compreso. Le tappe essenziali di questo sviluppo della fisica, che ab-

11

VEDUTA D'INSIEME

biamo indicato come un allontanamento dal visibile, sono state : l. Un caso ideale è il punto materiale abbandonato a sé stesso o sot­ toposto a forze nello spazio vuoto. La Terra nel suo moto intorno al S ole si può con buona approssimazione considerare in questa situazione. (17" secolo.) 2 . Il concetto di campo elettromagnetico permette una comprensione dei fenomeni elettromagnetici ( compresa la luce) migliore che non il concetto di forza agente tra i corpi elettricamente carichi o ma­ gnetizzati. ( 19° secolo.) 3. La teoria quantistica permette una rappresentazione concettuale dell'atomo e riconduce la chimica ai princìpi della fisica. (Primo terzo del 20° secolo.) 4. A partire dal nucleo atomico, forze di tutt 'altro ordine di grandez­ za divengono accessibili al pensiero e alla pratica. ( Presente.) In questo elenco l'avvento della teoria quantistica appare ben circo­ scritto nel tempo : si situa negli anni 1 900-27 e si compie prima dell' ac­ cesso agli altri ordini di grandezza. Ciò che lo precedette si chiama fisi­ ca classica. Fisica classica

La meccanica dei sistemi di punti materiali può essere considerata co­ me il nucleo della fisica classica. In essa per ogni coppia di punti si con­ sidera una forza agente in direzione della loro congiungente e che dipen­ de dalla loro distanza ( senza attrito nel caso ideale), e si scrivono le "equazioni del moto "

mkxk =Fk (x12. x 13 . . . ), in cui k = l , 2, ... è l'indice corrente dei punti materiali, m k indica una massa, Fk è un vettore forza, Xk esprime le coordinate spaziali e x 1 2 •••

le componenti della distanza in forma vettoriale. Nel secolo scorso si soleva ricondurre questa " meccanica delle forze" a una " meccanica dei princìpi" , nella quale un sistema meccanico veniva caratterizzato, ad e­ sempio, mediante una funzione hamiltoniana H(pt , P 2 , ... , q 1, q 2 , . . . ). Anche il pensiero di Helmholtz si sviluppò in buona parte entro questo schema della meccanica dei punti ; secondo lui, tra i compiti della fisica di allora era quello di scoprire la legge che regola le forze tra gli atomi, considerati come punti materiali ; la maggior parte dei fisici, ancora alla fine dell'Ottocento, ragionava in genere in questo modo . A questo nucleo della fisica classica furono aggiunti nell'Ottocento tre importanti complementi, i quali in parte limitavano e in parte con-

CAPITOLO PRIMO

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fermavano il modello cinetico-corpuscolare dei fenomeni naturali allora dominante. Dobbiamo menzionare a questo proposito la teoria del campo elet­

tromagnetico e della luce. Formulata intorno al 1862 da Maxwell, ver­ so il 1890 era stata ormai ridotta a una forma semplice e accettata dai fisici (per Helmholtz era ancora problematica nel 1888). Essa propone­ va un altro modello generale dei fenomeni naturali; talvolta ci si chiede­ va addirittura se non fosse possibile comprendere tutti i fenomeni coi concetti dell'elettromagnetismo. Poi si deve nominare la termodinamica; posta su basi più sicure a partire dal 1850, essa chiarì i concetti di calo­ re e di temperatura e diede origine al concetto di entropia con la rela­ zione

dQ=TdS (variazione della quantità di calore uguale a temperatura volte variazio­ ne dell'entropia), che vale per i processi reversibili; e con l'idea fonda­ mentale che in un sistema chiuso S non può decrescere. Il terzo comple­ mento importante fu la fisica statistica. Essa ebbe inizio con la teoria cinetica dei gas e culminò con l'interpretazione data da Boltzmann del­ l'entropia

S

-

ln W

in termini del numero W dei microstati corrispondenti alla realizzazione di uno stato macroscopico, che è dato dalla regione dello spazio delle fasi (spazio q, p) corrispondente al macrostato (1877). La grande impre­ sa della fisica statistica fu la riconduzione della termodinamica ai concet­ ti della meccanica. Il quadro complessivo della fisica teorica verso la fine dell'Ottocento

è dunque caratterizzato da due sistemi concettuali, quello della mecca­ nica e quello del campo elettromagnetico. Spesso si distingue una "fisi­ ca della materia", nella quale si fa uso della meccanica, e una "fisica del­ l'etere", cui si accede tramite la teoria del campo elettromagnetico. L'at­ teggiamento dei fisici, e più ancora quello degli osservatori e dei divul­ gatori, era in generale ottimista; si credeva di possedere le cognizioni ge­ nerali essenziali dei fenomeni fisici. Ma in questo quadro della fisica si profilavano anche alcune nubi. All'inizio del nuovo secolo W. Thomson, Lord Kelvin, tenne una con­ ferenza: "19th Century Clouds Over the Dynamical Theory of Heat and Light".1 Poiché allora si pensava in termini di materia, per sostenere le grandezze del campo elettromagnetico occorreva un agente materiale, l'etere. Le grandezze del campo elettromagnetico descrivono stati di ten­ sione di questo etere e le equazioni del campo gli attribuiscono sì un'e-

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VEDUTA D'INSIEME

lasticità trasversale ( elasticità di taglio) , ma non un'elasticità volumetri­ ca ( si pensi a un budino di gelatina rigida) . Il moto relativo della Terra in questo etere non era sperimentalmente rilevabile ( tramite la su a azio­ ne sulla velocità della lu ce) . La prima nube che Lord Kelvin vedeva sta­ va nella domanda: come si muovono senz 'attrito i corpi celesti in que­ sto corpo solido, l'etere, e perché questo loro stato di moto non è spe­ rimentalmente rilevabile? I n risposta alla prima domanda l'etere non venne più pensato in seguito come una materia e fu sostituito dal con­ cetto di " campo"; alla seconda domanda rispose la teoria della relativi­ tà. La seconda nube stava nel fatto che le misure dei calori specifici dei corpi erano inferiori a quanto predicava il teorema di equipartizione. Dalla fisica statistica sopra accennata segue che ciascun grado di libertà di una molecola deve contribuire, in media, all'energia cinetica per kT/2 e ogni oscillatore armonico deve contribuire del pari per kT/2 all'ener­ gia potenziale. Una mole di gas biatomico, le cui molecole consistono in due punti materiali oscillanti l'uno rispetto all'altro, dovrebbe dunque possedere un'energia (6/2 + 1/2) RT; le misure del calore specifico ( a vo­ lume costante) davano tuttavia un valore di 5/2 R e non di 7/2 ·R. Lord Kelvin menzionava solo le nubi che o scuravano le teorie solida­ mente fondate, ma non si avventurava nelle esperienze, ancora assai con­ fuse, sulla struttura dell'atomo. La differenza ora ricordata fra teoria ed esperienza nei calori specifici servì a J. W. Gibbs nella prefazione alla sua meccanica statistica ( 1901) per sottolineare l'incertezza nelle ipotesi sulla struttura della materia. ·

Novità della teoria quantistica

Il Novecento ha contribuito alla fisica con la teoria della relatività e con una teoria della gravitazione, con la teoria dei quanti e con la teo­ ria della nube elettronica dell'atomo, con ulteriori nozioni sul nucleo atomico e coi prodromi di una classificazione delle particelle elementa­ ri. Tra questi contributi il più significativo ci sembra la teoria dei quan­ ti. Essa in primo luogo è molto potente, poiché ha risolto il problema della materia e della struttura atomica e ha incorporato nella fisica i concetti fondamentali della chimica. Inoltre è molto profonda, perché ha reso l'atomo accessibile al pensiero fisico tramite un cambiamento nei modi e nelle forme della descrizione della natura. La meccanica classica contiene ( tacitamente o espressamente) il " prin­ cipio di determinazione", cioè alle variabili , diciamo P k e q k , corrispon­ dono grandezze che di volta in volta effettivamente posseggono valori precisi. Ciò porta a una rigorosa determinazione del futuro. La teoria quantistica asserisce viceversa una determinazione limitata delle grandez-

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CAPITOLO PRIMO

ze fisiche e quindi anche una limitata determinazione del futuro. Una misura simultanea di variabili canoniche coniugate p , q non può forni­ re queste grandezze se non con un'imprecisione corrispondente agli in­ tervalli d'incertezza t::.p , !::. q , secondo la relazione t::.p ·t::.q R:. h , dove h è il quanto d'azione elementare. Nella formulazione generale della teoria quantistica, in cui p e q sono enti matematici più generali dei numeri, questa circostanza viene precisata dall'equazione

i(pq - qp) = '/5 = 2� . Ciò comporta una cinematica modificata rispetto alla descrizione clas­ sica e una determinazione limitata del futuro in termini del passato. Da un punto di vista astratto si può considerare la teoria dei quanti come una teoria nuova, dalla quale si riottiene la teoria classica col pas­ saggio al limite h-+ O. La si può tuttavia anche ottenere dalla teoria clas­ sica modificandola. Si deve in tal caso modificare, sulla base delle espe­ rienze, la rappresentazione corpuscolare classica, togliendole il suo carat­ tere intuitivo, in modo da poter attribuire a un flusso di materia anche proprietà ondulatorie ; si deve modificare una teoria classica dei campi o delle onde materiali, togliendole il suo carattere intuitivo, in modo da paterne ritrovare gli aspetti corpuscolari; in ambedue i modi si ottiene la stessa teoria quantistica. Anche per la luce vale un analogo dualismo onda-corpuscolo, ma in questo caso la teoria quantistica è relativistica e non si esaurisce nella misura, come la meccanica quantistica non rela­ tivistica. Per la materia e per la luce le proprietà corpuscolari, impulso p ed energia E, corrispondono alle proprietà ondulatorie numero d'on­ da k (per 2 7T unità di lunghezza) e frequenza w ( per 2 7T unità di tempo) , secondo le equazioni p=fJk

E = fJw.

In ambedue le rappresentazioni, quella più astratta e quella più aderen­ te al quadro classico, la grandezza fondamentale è il quanto d'azione ele­ mentare h (ovvero 15=b/21T). La teoria quantistica è lo studio del ruolo che ba h nella natura. Il ri­ conoscimento di questo ruolo ha proceduto dal particolare al generale. Si è riconosciuto che: - in statistica h rappresenta l'unità di conteggio per il numero dei mi­ crostati ( cioè per determinare quanti sono i mi crostati che realizzano uno stato macroscopico); questo negli anni 1900-1903; -h è quindi l a grandezza che nel dualismo onda-corpuscolo governa l'interazione fra luce e materia, 1905-192 3 ; -h permette di costruire una dinamica dell 'atomo, 19 13-1925 ; -h interviene nel dualismo corpuscolo-onda nella materia, 1923-1926 ;

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VEDUTA D'INSIEME

- nella formulaz ione definitiva della meccanica quantistica h costitui­ sce una limitazione della descrivibilità in senso classico, 1 92 5 - 1 9 2 7. Queste circostanze permettono di tracciare uno sviluppo storico del­ la teoria quantistica che non separi troppo decisamente fatti concomi­ tanti nel tempo o tra loro apparentati nella problematica e nell' impo­ stazione . Di conseguenza considereremo : la scoperta di h ( capitolo se­ condo) , la storia della statistica quantistica ( capitolo terzo) , del quanto di lu ce ( capitolo quarto) , della prima dinamica atomica ( capitoli dal quinto all'ottavo) , poi la sua crisi e relativa soluzione ( dal nono all'un­ dicesimo), le onde di materia ( dodicesimo) e il completamento definiti­ vo della meccanica quantistica ( tredicesimo e quattordicesimo) con ap­ plicazioni ( quindicesimo) e ulteriori sviluppi ( sedicesimo) . Esiste tutta una serie di indicazioni empiriche sulle funzioni di h che abbiamo menzionato : L'impiego della termodinamica statistica nello studio della dipenden­ za dei fenomeni dalla temperatura fornisce due gruppi di indicazioni. Alle basse temperature i gradi di libertà talvolta non danno alcun con­ tributo all 'energia . Il calore specifico dei gas a temperatura ordinaria si sarebbe dovuto spiegare considerandone le molecole come c orpi rigidi. Nell'urto di due sfere rigide i gradi di libertà della rotazione non vengo­ no influenzati e quindi non esiste alcun processo che condu ca a un equi­ librio termico di questi gradi di libertà; i gas monoatomici hanno pertan­ to ( a volume costante) un calore per mole di 3R/ 2. Nell'urto tra corpi rigidi in rotazione, la rotazione intorno all 'asse non viene interessata ; i gas biatomici hanno un calore per mole di 5R/2. Ciò era stato congetturato ad esempio da Boltzmann . Tra le sostanze solide, B , C ( diamante), Al, S i rivelarono u n calore specifico inferiore a l valore d i 3 R ( per grammoato­ mo) della legge di Dulong e Petit ; quest'ultimo era il valore limite alle temperature elevate . Si cercò di ricorrere a teorie che tenessero conto delle differenze tra le oscillazioni degli oscillatori armonici e le oscilla­ zioni nei solidi. Il decremento dei calori specifici alle basse temperature si p otè misurare solo dopo il 1 9 1 0; perciò ad alcune delle nozioni se­ guenti si potè giungere solo dopo la scoperta del quanto d'azione. Nel calore specifico dei gas manca largamente il contributo dell' oscillazione ; quello della rotazione tende a zero all'abbassarsi della temperatura. L'o­ scillazione ( di frequenza v) comincia ad avere effetto quando T/v è ab­ bastanza grande ; in modo dimensionalmente più corretto si potrebbe scrivere : quando kT>hv ( poiché normalmente T compare nel prodotto kT); h è dunque una grandezza avente le dimensioni di un'energia per un tempo. La rotazione ( momento d'inerzia I) ha influenza apprez­ zabile quando IT è abbastanza grande, cioè ( con le giuste dimensioni) quando I · kT > b2 , e le misure indicano che questo h ha lo stesso ordi-

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CAPITOLO PRIMO

ne di grandezza di quello corrispondente all'oscillazione. Qualcosa di analogo al contributo dell'oscillazione al calore specifico si può rileva­ re nella dipendenza da v e da T della densità di energia in un corpo ne­ ro sede di radiazioni: la densità di energia è apprezzabile quando kT/hv è abbastanza grande. La seconda indicazione fornita dalla termodinamica statica riguarda l'entropia. Mentre un continuo di stati non fornisce alcuna unità natu­ rale per lo spazio delle fasi ( per il piano q, p nel caso dei sistemi uni di­ mensionali) , e quindi introduce nel numero W dei microstati equiproba­ bili un fattore arbitrario e nell'entropia S=kln W una costante additiva arbitraria, l'esperienza indica che il valore delle costanti di entropia si può determinare. Nel caso di un sistema unidimensionale questo valore corrisponde a introdurre nel piano q, p l'unità h. Il quanto d'azione h fu scoperto nel 1 900 nella radiazione del corpo nero ; il calore specifico derivante dall'oscillazione e dalla rotazione gb fu collegato nel 1 907 e, rispettivamente, nel 1 91 3 ; l'entropia dei gas nel 1 91 2 ( capitoli secondo e terzo) . Certi fenomeni di assorbimento della radiazione luminosa e rontgen dimostrano che la radiazione a onda corta (ad alta frequenza) è partico­ larmente ricca di energia, e ciò non è compatibile con una distribuzione continua dell'energia nel campo di radiazione. L'idea del quanto luce e il riconoscimento che la radiazione ondulatoria di frequenza v può esse­ re assorbita ed emessa sono per quantità hv, permisero di collegare nel 1 905 questi fenomeni con la teoria quantistica ( capitolo quarto) . Ciò fornì anche la spiegazione di una serie di altri fenomeni relativi al pas­ saggio dell'elettricità attraverso i gas. L'atomo fornisce indicazioni su h. E' vero che le proprietà chimiche delle sostanze, che sono espresse nel sistema periodico degli elementi e che si distribuiscono in periodi aventi le caratteristiche lunghezze 2, 8, 8, 18, 1 8, ... (2 · n 2 ) , non n e forniscono alcuna chiave semplice. Oggi sap­ piamo che questi numeri sono in rapporto con lo spin e col principio di esclusione di Pauli (capitolo decimo) più che con le basi elementari della teoria quantistica. Tuttavia la determinatezza delle proprietà chi­ miche degli elementi suggerisce l'uguaglianza tra gli atomi di un ele­ mento e una speciale stabilità degli atomi, e, insieme con le esperienze sui gas, anche l 'esistenza di un raggio atomico determinato. La questio­ ne della stabilità dell'atomo e del raggio divenne scottante dopo la sco­ perta da parte di Rutherford di un nucleo praticamente puntiforme, carico positivamente, con un campo di forza coulombiano ( 1 911). Infatti le costanti m ed e (massa dell 'elettrone e carica elementare ; poiché il nucleo è press'a poco in quiete la sua massa non ha influen­ za) non forniscono alcuna grandezza avente le dimensioni di una lun-

17

VEDUTA D'INSIEME

ghezza. Per un atomo d'idrogeno, dotato di un elettrone, la relazione tra forza centripeta e forza coulombiana mw2a3 =e2

(dove si è posto 41Te0= l) dev'essere completata con una scelta ulteriore, diciamo quella del momento angolare, non spiegabile in termini classici mwa2=15

( si è considerata un'orbita di raggio a), col che il raggio atomico è così determinato: a=

f.J2 . me2

--

Una relazione siffatta venne stabilita nel 1 9 1 0 ( capitolo quinto) ; poi nell9 1 3 seguì un'interpretazione della struttura atomica in termini del­ la teoria quantistica ( capitolo sesto) . Un 'informazione cospicua è fornita dagli spettri di righe con le loro caratteristiche di serie. Un 'indicazione molto diretta è offerta innanzi tutto dal fatto che le frequenze spettrali sono differenze di "termini" v=F(n 1

• • •

)

-

F(n2 ... )

e che il complicato sistema delle frequenze si può esprimere mediante quello più semplice dei termini. Nel 1 9 1 3 ci si rese conto che la ricor­ data equazione per v rifletteva la relazione bv=E(nt ... )-E(n 2 . . . )

(capitolo sesto). Che anche la materia possegga proprietà ondulatorie fu ipotizzato nel 1 923 in analogia col dualismo onde-particelle della luce . La dimostrazio­ ne sperimentale si ebbe solo alcuni anni dopo (capitolo dodicesimo). Intorno al 1 900, di queste indicazioni empiriche su h soltanto la radia­ zione del corpo nero e gli spettri erano in qualche misura capiti in ter­ mini quantitativi. La teoria quantistica avrebbe potuto svilupparsi da en­ trambe le esperienze, ma di fatto essa si sviluppò sulla base della radia­ zione del corpo nero. La figura l illustra in modo un po ' semplificato le principali linee di sviluppo. I capitoli successivi (indicati coi loro nu­ meri nella figura e separati da linee tratteggiate) mostreranno come le varie linee di sviluppo corrispondenti ai quanti nella materia (Planck, Hasenohrl) , ai quanti nel campo elettromagnetico (Wien, Einstein, Ehren­ fest, Debye), all'atomo ( Lenard, Thomson, Rutherford) e agli spettri (Rydberg, Ritz) confluirono in Bohr. Da qui (passando per S ommerfeld) la strada portò direttamente alla meccanica quantistica di Heisenberg.

-Q>------

l

Wi

()2-3

-------

Pl

Ei

Eh

De

Onde di materia

17-10

4

_L-------------.... ,

l l l

6

Rappresentazione schematica dello sviluppo della teoria quantistica.

Quanti nel campo elettromagnetico

Figura

LeTh

Ri

-------(. }------{

Quanti nella materia

Atomo

Spettri

Ry

5

l

l l l l l

12

/11 l

l

13-15

16

Teoria quantistica dei campi

l l



,

.,

5

§



n

.... QO

19

VEDUTA D'INSIEME

Quest'ultima, insieme con l'equazione di S chrodinger, che derivava dal­ la formulazione ondulatoria di de B roglie, consenn' una formulazione generale della me ccanica quantistica ( capitoli tredicesimo e quattordi­ cesimo) . Nella storia della meccanica quantistica corre dunque una specie di strada maestra. I l suo corso superiore consiste essenzialmente nella sta­ tistica quantistica, durante quello medio viene ricavata, sulla base in so­ stanza degli spettri atomici, una dinamica dell'atomo, e soltanto nel cor­ so inferiore viene riconosciuta la parte fondamentale che ha nella lu ce e nella materia la dualità onda-particelle . Note bibliografiche

1 Lord Kelvin, Phil. Mag. 2, l ( 1 90 1 ). Rassegne storiche della teoria dei quanti sono M. jammer, The Conceptual Development of Quan tu m Mecbanics (New York 1 966) ; Tbe Pbilosopby of Quantum Mecbanics (New York 1 9 7 4) . B . L. van der Waerden, Historiscbe Einleitung zu: Sources of Quantum Mecbanics (Amsterdam 1 967, New York 1 968). A. Hermann, F7Ubgescbichte der Quantentheorie 1890-1913 (Mosbach 1 9 69). J . C. Slater, Con cept and Development of Quantum Physics (New York 1 969). A. Hermann, introduzioni ai volumi l, 3 , 4, 5 , 7 , 1 0 dei Do ku men te der Naturwissenscbaft , Abteilug Physik Stuttgart 1 9 62 ecc. R. E. Peierls, The Development of Quantum Theory, Contempo rary physics 6 , 1 29 , 1 92 ( 1 9 6 5 ) . Comode fonti d i dati biografici sono : T. S. Kuhn, J . L. Heilbron, P. Forman e L. Allan , S ources [or History of Quantum Pbysi cs, Amer. Philos. Soc. (Filadelfia 1 967).

Capitolo 2 La scoperta del quanto d'azione

La radiazione del corpo nero

La teoria quantistica rappresentò in conclusione la risposta alla sfida lanciata dall'atomo ; ma il quanto d 'azione h non venne scoperto in con­ nessione con le proprietà dell' atomo, bensì attraverso la dipendenza di certi fenomeni dalla temperatura. Una questione di cui si o ccupa la termologia è: come si ripartisce l'e­ nergia tra le parti di un sistema fisico in equilibrio termico? Tale que­ stione comprende il problema dell'energia di un corpo in funzione della temperatura, E(T), e quindi il problema dei calori specifici, e inoltre il problema dell'energia di radiazione di un corpo nero per unità di volu­ me e nell'intervallo di frequenza d v, diciamo w(T, v) d v; essa compren­ de anche il problema dell'equilibrio di un vapore col suo liquido o della distribuzione di gas che possono reagire chimicamente tra loro. In tutti e tre questi fenomeni si manifesta h: nel 1900 se ne riconobbe la pre­ senza nella radiazione del corpo nero , nel 1 907 nei calori specifici e nel 1912 nelle proprietà dei gas. D al con cetto di equilibrio termico segue che w(T, v), la densità del­ l'energia di radiazione del corpo nero per unità di frequenza, è indipen­ dente dalla qualità delle pareti, dal punto, dalla direzione della radiazio­ ne e dalla polarizzazione ; quindi la funzione w delle due variabili T e v esprime una proprietà generalissima della natura. Nel 1 89 3-94 W. Wien , considerando la variazione adiabatica delle frequenze causata da uno specchio in movimento, con cluse che questa funzione si può ricondurre a una funzione di una sola variabile :

.[11

21

LA SCOPERTA DEL QUANTO D'AZIONE

(nella sua formula egli prese come variabile la lunghezza d'onda À): que­ sta è la " legge di Wien" o "dello spostamento".2 Se f hon rappresenta esattamente una potenza (e ciò in effetti non è consentito dalla sua de­ crescenza alle alte frequenze, riscontrata empiricamente) essa si deve po­ ter esprimere come funzione di una variabile adimensionale ; poiché T dovrebbe figurare nella combinazione kT, questa variabile sarebbe hvlkT, dove h avrebbe le dimensioni di un 'energia per tempo. Poiché le proprie­ tà del campo di radiazione dovrebbero dipendere soltanto dalle costanti del campo elettromagnetico, c, 411'€0, mediante le quali la grandezza h non si può costruire, ci si troverebbe di fronte a una grandezza h mi­ surabile, ma incomprensibile nell'ambito della fisica classica. Detto altri­ menti : La densità dell'energia di radiazione, w ( o l'intensità, ad essa pro­ porzionale) manifesta un massimo, dipendente dalla temperatura, a una frequenza vm; dalla [ l ] segue vm!T= cost, ovvero hv

m ---w-= l .

A quel tempo tutto ciò non venne esplicitato, forse neppure pensato. Ma la costante di radiazione b = TÀ m, misurata accuratamente negli an­ ni dal 1 897 al 1 899 (À m differisce da clv m p er un fattore, a causa della di­ versità di scala), e che per considerazioni dimensionali si era potuta scrivere nella forma TÀm=chlk, conteneva una grandezza non classica h che diffe­ riva dal futuro quanto di azione di Planck solo per un fattore numerico. La funzione w (T, v) ( ovvero una funzione di T e di À) fu misurata molto accuratamente nell'ultimo decennio del secolo , specie presso l'I­ stituto imperiale per la Fisica e la Tecnica di Berlino-Charlottenburg ( F. Paschen, H . Rubens, W . Wien) . Sulla base di quelle misure vennero rica­ vate due formule per w ( T v), molto importanti per la storia della teo­ ria quantistica, una da Wien ( 1 896 ) e una da Planck (ottobre del 1 900). A queste se ne aggiunse una terza, ricavata da lord Rayleigh su base teo­ rica (giugno 1 900). ,

Tre formule per l'irraggiamento

Nel 1 896 W. Wien espresse i risultati delle misure mediante una for­ mula equivalente alla3 bv T

[2]

Già nel 1 888 il fisico russo W . A . Michelson aveva ricavato per via teorica una formula simile, nella quale tuttavia l'esponente era equivalente a - bv2/T. Secondo le considerazioni statistiche di L. Boltzmann , la funzione espo-

22

CAPITOLO SECONDO

nenziale corrispondeva al fatto che a temperatura T l'energia assumeva valori - v2 . Michelson era in grado di spiegare la formula dell' irraggia­ mento con l'ipotesi che la radiazione derivasse da oscillazion i degli ato­ mi di un solido aventi una velocità proporzionale a v e quindi un'ener­ gia cinetica proporzionale a v 2 • Wien, riprendendo queste idee, concepì per la [2] un modello costitu ito da molecole che emettevano lu ce e la cui velocità v era funzione di v. La fisica statistica forniva poi per la frequenza delle diverse velocità un fattore exp ( m v 2 /2 kT ) ; secondo la legge dello spostamento di Wien, v2 doveva essere proporzionale a v, e w doveva avere la forma [ 2]. 3 Qui affiorava dunque, per la prima volta, l 'idea che l 'irraggiamento avesse a che fare con particelle dotate di ener­ gia proporzionale a v (non si trattava ancora proprio dei quanti di luce prop osti in seguito da Einstein, ma si era già molto vicini). Anche Planck cercò di spiegare la radiazione del corp o nero e in questo contesto si sforzò di dimostrare mediante concetti elettromagne­ tici il secondo principio della termodinamica, al quale si era molto in­ teressato fin dall'epo ca della sua tesi di dottorato. Egli si costruì un mo­ dello per l'emissione e l'assorbimento della radiazione alle pareti del cor­ po nero ; ipotizzò risonatori, oscillatori armonici ( le proprietà particola­ ri della materia non contavano) , e cercò di trovare uno stato d'irraggia­ mento che si mantenesse stazionario durante l'emissione e l'assorbimen­ to. Nel 1 899 egli giunse per via complicata alla relazione -

-

81T

w= -3- v2 E(T, v), c

[ 3]

dove E era l'energia media dei risonatori. A questo punto non calcolò

E col teorema di equipartizione, che avrebbe fornito E= kT e w- v2 T, in contrasto con l'esperienza. Per E non applicò alcuna considerazione statistica, anzi cercò un'espressione per l'entropia di un oscillatore di frequenza v. Con la " definizione " S =-

- -E E bv ln eav

[4]

fu in grado di dimostrare la stazionarietà dello stato d 'irraggiamento e ottenne la formula di Wien [2].4 Il modo in cui ricavò la formula equi­ valeva al calcolo seguente ( col valor medio E ) :

; = :�

(

� l, )=- bv �

1 =- bv ln e v -

inoltre risultava

1

1n

a

E

=

a

ve

bv T

23

LA SCOPERTA DEL QUANTO D'AZIONE

Era importante che questa derivata se conda fosse negativa, poiché così uno scambio energetico tra due oscillatori faceva aumentare l'entropia. Plan ck supponeva erroneamente che soltanto la p osizione [4] garantisse la stazionarietà, ma qualunque altra funzione con derivata se conda nega­ tiva sarebbe andata bene. Così egli ritenne di aver giustificato per via teorica la formula dell'irraggiamento di Wien. 5 Nel 1 900 lord Rayleigh indagò su come si distribuisse l'energia tra le autooscillaz ioni di un continuo tridimensionale . Mentre le autooscillazio­ ni di una corda vibrante si distribuiscono in modo uniforme sull'asse del­ le v e nel caso di una struttura bidimensionale che oscilli linearmente la quantità Z ( v) d v nell'intervallo d v è proporzionale a v, per un continuo tridimensionale di volume V si ottiene Z (v) - v2 V. Solo nel 1 905 lord Rayleigh forn ì il fattore Z(v) =

8 11' v2 V c3

questa volta per le autooscillazioni elettromagnetiche del corpo nero

(aetberial vibrations) . Quindi per la densità di energia egli ottenne w(T, v)"" v2 E( T, v) , dove E era adesso l'energia media di un 'oscillazione fattore 8 1r/c3 si sarebbe ottenuta la relazione [ 3 ] di ta tuttavia per l 'o,s cillatore elettromagnetico) . Per E teorema di equipartizione e ottenne così la formula w(T, v) "' v2 T ;

del corpo nero ( col Planck, questa vol­ egli si servì ora del d'irraggiamento

[5]

che con quel fattore avrebbe avuto quest'aspetto 8 11' 2 kT w( T, v) = --v c3

[6]

La formula [ 5 ] era naturalmente in contraddizione con l'esperienza, ma lord Rayleigh riteneva che forse essa potesse esser valida per grandi lun­ ghezze d 'onda ( piccole v) . Nel 1 90 3 H. A . Lorentz ricavò la stessa rela­ zione con un modello degli elettroni in movimento all'interno di un me­ tallo .6 M. Planck vedeva nella legge d 'irraggiamento del corpo nero qualco­ sa di veramente fondamentale. Le due costanti della formula d 'irraggia­ mento di Wien [ 2], che ancora nel 1 899 egli riteneva corretta e teorica­ mente ben fondata, oppure quelle della definizione [ 4] dell'entropia di un oscillatore, avevano per lui il significato di costanti naturali universa-

24

CAPITOLO SECONDO

li e assolute (a era ciò che più tardi egli avrebbe indicato con h e b era hlk).4 Insieme con la costante di gravitazione e con la velocità della lu­ ce nel vuoto, esse gli fornivano quattro unità naturali e universali dalle quali si potevano calcolare le unità naturali per il temp o, la lunghezza, la massa e la temperatura. Queste si rivelarono in seguito unità inadegua­ te per l'atomo e per le proprietà della materia; in questo caso le unità adatte erano, accanto a h e k, la massa m dell'elettrone e la carica ele­ mentare e. Misure più precise della radiazione del corpo nero fecero sorgere dub­ bi sulla validità rigorosa della formula di W ien [2]; nell'anno 1 900 all'I­ stituto imperiale per la F isica e la Tecnica H . Rubens e F . Kurlbaum rilevarono scostamenti significativi alle basse frequenze, che rendevano inaccettabile il fattore v3• Planck, al quale furono comunicati questi ri­ sultati, dovette quindi cercare un'altra espressione per l'entropia dei suoi risonatori, diversa dalla [4]. Nell'ottobre del 1 900 egli completò' la sua precedente posizione d2 S 1 -E d E2

--

-

corrispondente alla formula di Wien e scrisse d2 S a = E(P+E). dE2

[7]

Mediante la __!_= dS =� P+E ln T dE P E ( corrispondente a una scelta particolare della costante d'integrazione) giunse alla

p E=--::(j eaT - 1

Per la legge dello spostamento di Wien doveva risultare p- v e a dove­ va essere indipendente da v. Planck scrisse ancora la formula con �. ma il suo risultato era equivalente alla

w

=

811' c3

hv3 bv kT e -1

[8]

La posizione [7] di Planck era un'interpolazione di d2 S/dE2 tra - - 1/E e - - 1/E 2 ; facendo quest 'ultima posizione egli sarebbe giunto alla for-

25

LA SCOPERTA D E L QUANTO D'AZIONE

mula di Rayleigh, w"" v T. Planck interpolò dunque in maniera sempli­ ce tra la formula d 'irraggiamento di Wien e quella di Rayleigh, senza tuttavia tener conto di quest'ultima. La formula di Planck era in otti­ mo accordo con le misure . 2

Così nell'ottobre del 1900 esistevano tre formule per l'irraggiamento:

-

quella di Rayleigh, w v2 kT, ben fondata teoricamente e corretta per piccole v ; quella di Wien, che espressa in termini di v si scriveva w"'

(_ z�). oscura dal punto di vista teorico e corretta per gran­ di valori � i v ; e quella di Planck, w,..., �xp ( Z;) - 1 J. ancora oscura ,..., v3 exp

v 3/

èlal punto di vista teorico e corretta per tutti i valori di v. Tutte e tre obbedivano alla legge dello !òpostamento di Wien, w = v?. [(v/T). La nascita della teoria quantistica

19

14

1900

Tra il ottobre e il dicembre Planck elaborò una spiega­ zione teorica della sua formula interpolativa per l'irraggiamento. Fin lì egli aveva mantenuto un atteggiamento di riserbo nei confronti della fi­ sica statistica di Boltzmann : nella prefazione al suo trattato sulla termo­ dinamica aveva parlato di " difficoltà essenziali nell' interpretazio­ ne meccanica dei princìp i della termodinamica", e certamente si riferi­ va alle divergenze tra i suoi allievi E . Zermelo e B oltzmann . Ora scioglie­ va la riserva. Egli conosceva la relazione

(1897)

w( T,

v) =

811"c -

-3

v2 E(T,

v)

[3]

per l'energia media E degli oscillatori materiali del suo modello. Rayleigh trovò in modo più semplice la stessa relazione per l'energia media delle autooscillazioni del campo elettromagnetico. Ora Planck affrontò il problema dell'energia media degli oscillatori assimilandolo al problema della distribuzione statistica dell'energia tra gli oscillatori di una data frequenza v.8 Egli ripartì tra N oscillatori P quanti d 'ener­ gia, ciascuno di grandezza €, in modo che agli oscillatori potessero com­ petere le energie P1 €, P2€, . . . , con P1, P2, numeri interi. Per " caso" (microstato) egli intendeva una determinata su ccessione P1, P2, degli oscillatori. Espressa in un linguaggio posteriore, l'enumerazione di Planck significava: i casi sono gli stati qu antici E1 =PIE assunti dai singoli oscillatori. Planck fu ora in grado di calcolare (oltre all'entropia) l'ener­ gia media E degli oscillatori all'equilibrio termico e ottenne •••

•••

€ E =---=-­ e

e kT

-1

26

CAPITOLO SECONDO

Per mantenersi in accordo con la legge dello spostamento di Wien do­ veva supporre e- v, e pose

e= h v.

Nei particolari, il suo calcolo seguiva da presso un esempio , di contenu­ to fisico diverso, che era stato dato da B oltzmann . D el ragionamento di Planck, che fonda la teoria quantistica, sono no­ tevolissimi due aspetti. Planck scelse un quanto di energia e, di grandezza finita ; per e� O egli avrebbe ottenuto E = kT, l'equipartizione e la formula d'irraggiamento di Rayleigh . Inoltre l 'enumerazione di Planck si scostava da quella che ci si sarebbe aspettata ripartendo i quanti di energia col pro­ cedimento di Boltzmann. Secondo B oltzmann infatti per definire un mi­ crostato si dovrebbe specificare in quale casella si trova il primo quanto, in quale il secondo ecc. Ciò (a parte alcune difficoltà da cui ora prescindia­ mo) fornirebbe la formula di Wien. Alcuni fatti che stanno alla base del­ l'enumerazione di Planck furono scoperti da lui stesso nel 1906 e da L. Na­ tanson nel 1911. L'enumerazione dei mi crostati di Planck corrisponde a quella che oggi si chiama la statistica di B ose per i quanti. Dei due aspetti notevoli del ragionamento di Planck, la finitezza dei quanti giustifica lo scostamento della formula classica di Rayleigh, mentre la differenza ri­ spetto a Boltzmann nell'enumerazione dei " casi " giustifica lo scosta­ mento dalla formula di Wien. Confrontando le misure delle densità di energia (o intensità di radia­ zione) con la formula di Planck , si poterono determinare h e hlk. Planck determinò subito hlk e da J w(T, v) d v ricavò un'altra combinazione di h e k; ottenne così il valore più pre ciso, per quei tempi, della costante k e quindi del numero di Loschmidt e della carica elementare, e poi il valore della nuova costante naturale h. Agli inizi della teoria quantistica s'incontrano essenzialmente tre ri­ cercatori : Wien, Rayleigh e Planck. La legge dello spostamento e la formula d'irraggiamento di Wien contenevano già implicitamente la grandezza h. In un primo momento Planck non avvertì il carattere fondamentale di queste leggi, anzi cercò di dar fondamento teorico alla formula di Wien nell 'ambito della fisica d'allora e non tenne con­ to del teorema dell'equipartizione. Rayleigh mostrò che questo teore­ ma conduce a un risultato impossibile. Planck invece vide il significato fondamentale del concetto di entropia e scoprì così la sua formula d'ir­ raggiamento. L 'unica strada per spiegarla lo portò all'introduzione dei quanti di energia hv. Si procede lungo varie linee

In un certo senso l'ipotesi dei quanti di Planck era prematura. Certe proprietà essenziali della natura con cui la quantità h poteva venir col-

27

LA SCOPERTA DEL QUANTO D'AZIONE

legata ( in particolare le proprietà degli atomi e le loro manifestazioni) erano ancora poco investigate o poco sistemate. Mentre la formula d ' ir­ raggiamento di Planck venne subito accettata per la sua validità empiri­ ca, all'in izio la sua teoria non ebbe consensi. La prima eco apprezzabile di questa teoria si ebbe solo nell 'estate del 1 90 5 in alcune brevi note di Lord Rayleigh e di J . M. Jeans. 9 I n u n libro J eans aveva tentato d i risolvere l e difficoltà dei calori specifici facendo l'ipotesi di scambi energetici lentissimi tra certi gradi di liber­ tà. Lord Rayleigh era al corrente delle analoghe difficoltà per la radiazio­ ne del corpo nero e sospettava che si sarebbero potuti capire i calori speci­ fici se si fosse capita la radiazione del corpo nero ; tuttavia egli non ac­ cettò la soluzione di Jeans. Rayleigh ora scriveva la sua formula d'irrag­ giamento col fattore 81rlc3 e si domandava come, seguendo le considera­ zioni di B oltzmann, Planck potesse ottenere qualcosa di diverso da w - v2 T. J eans rimproverava a Planck di fare statistiche errate: egli dove­ va far tendere h a zero. Per Jeans le proprietà della radiazione indicava­ no che l 'etere in realtà non era in equilibrio, e per Rayleigh che il teore­ ma dell'equipartizione non valeva neppure all'equilibrio termico. L'ipotesi di Planck consisteva nel distribuire i quanti di energia tra oscillatori materiali. Spostando leggermente l'accento si poteva asserire : gli oscillatori armonici hanno energie discrete E= h v n . Questi oscillatori potevano essere oscillatori materiali, ma anche autooscillazioni elettro­ magnetiche. Inoltre all'interpretazione della radiazione del corpo nero contribuiva anche il modello di Wien delle particelle , la cui energia era una funzione della frequenza di radiazione . Questi diversi punti di vi­ sta corrisposero nei primi anni della teoria quantistica a diverse linee di sviluppo collegate tra loro: i quanti di energia, i quanti di luce, gli sta­ ti energetici degli oscillatori materiali e quelli degli oscillatori elettroma­ gnetici. Ora seguiremo queste linee nell'ordine. Al principio tutto resta ancora nell' ambito della statistica e per il momento sarà pre so in esame solo l'oscillatore armonico. La statistica dei quanti indistinguibili

Nella statistica di Planck i microstati ( tutti ugualmente permessi) coin­ cidevano col numero di quanti e nei singoli oscillatori a una frequenza. Ciò era diverso dal ripartire in modo indipendente i quanti e tra gli o­ scillatori, poiché allora i microstati sarebbero stati individuati dagli oscil­ latori nei quali si fossero collocati i singoli quanti. Il computo di Planck poteva essere compreso considerando come microstati gli stati energetici E=hv n di un oscillatore ; e in seguito Planck seguì questa strada. E sso tuttavia poteva essere compreso anche come una distribuzione di quanti

28

CAP ITOLO SEC ONDO

indistinguibili in caselle, uguali ma distinguibili, di capacità finita ; sicché una permutazione dei quanti contenuti in una casella non produce un nuovo microstato. Con un linguaggio estremamente chiaro, L. Natanson nel 1911 studiò così la distribuzione di " unità di energia" non distingui­ bili in " contenitori di energia" distinguibili. 10 Consideriamo per esempio P= 3 quanti tra loro uguali e N= 2 caselle uguali ; allora con quanti indipendenti e distinguibili si ottengono 23 = 8 casi ; ma con quanti indipendenti e in distinguibili si ottengono solo 4 ca­ si ( fig. 2). I n generale i quanti distinguibili forniscono NP casi , quelli indistinguibili

(N + P-1)! w= P!(N-1)! casi ; quest'ultima è l 'espressione che Planck aveva usato. I l modo mi­ gliore per vederlo è ( seguendo Ehrenfest) di rappresentare ciascun mi­ crostato con un disegno ; ad esempio, per 2, l , 4, O, 3 quanti in 5 ca­ selle si ha .

·

1 1 ·

·

.

.

·

l l

·

.

.

Vi sono (N + P-1)! permutazioni di questi elementi, e la figura non cambia eseguendo le P! permutazioni dei punti o le (N- l)! permuta­ zioni delle aste. L 'enumerazione illustrata da Natanson è proprio quel­ la che B ose impiegò in seguito per i quanti di luce e che ora viene det­ ta statistica di Bose. Passando a caselle arbitrariamente piccole ( statisti­ ca classica) il numero dei microstati di una distribuzione tende a quello della statistica di B oltzmann , corretto del fattore P! al denominatore e di un fattore dipendente dalla grandezza arbitraria delle caselle al nume­ ratore .

• •• ••



••



••





••



••



•• •••

Figura 2

Distribuzione di

3 particelle in 2 caselle.

29

LA SC OPERTA DEL QUANTO D'AZIONE

I fotoni

Nel 190 5 il modello di Wien delle particelle con energia e - v fu este­ so da Einstein , in forma molto più precisa, all'ipotesi dei quanti di energia e = h v nella radiazione. 1 1 Egli definì euristico questo modo di vedere e sperava quindi che ne scaturissero nuove conoscenze. Egli discu­ teva brevemente la teoria dell'irraggiamento di Planck e partendo da quella contraddizione costruiva una teoria ben fondata. Poi analizzava il caso limite della formula d 'irraggiamento di Wien , w - v 3 exp ( - h vlkT ) , n e calcolava l'entropia corrispondente ( come già aveva fatto Wien) e stabiliva che essa si comportava come l'entropia di un gas costituito da corpuscoli aventi energia e = h v. Il suo risultato si enunciava così : Nel

campo di validità della formula di Wien, una radiazione monocromatica dal punto di vista termologico si comporta come se consistesse in quan­ ti di energia, tra loro indipendenti, di entità h v (egli scriveva R (j v/N ) .

Più avanti ( cap . 3 ) discuteremo come questo punto d i vista venne appli­ cato da Einstein alla luminescenza, all'effetto fotoelettrico e alla ioniz­ zazwne. Un anno dopo Einstein cercò di spiegare la formula d 'irraggiamento di PlanckP Egli non si rendeva ancora conto che la corrispondente en­ tropia era prodotta da particelle e ond e (vedi cap. 3) ; ma riusciva a spie­ garla poiché non ipotizzava un continuo di valori possibili per l'energia, ma ne ammetteva solo i valori E = h v n . Tuttavia la relazione di Planck w - v2 E non era con ciò meglio fondata. "A quanto pare Plan ck ha in­ trodotto in fisica un nuovo elemento ipotetico : l'ipotesi del quanto di luce . " Così Einstein accettava la teoria dell'irraggiamento di Planck. Note bibliografiche

1 M. Planck, Wissenschaftliche Selbstbiographie ( Lipsia 1 948) .

L. Rosenfeld, La première phase de l'évoluti on de la théorie des quanta, Osi ris 2, 1 49 ( 1 9 3 6) . M . J . Klein, M. Plan ck and the Beginning of the Quantum Theory, Arch. Hist. Ex. Sci. l , 45 9 ( 1 962). A. Hermann , Frilhgeschichte der Quan tentheorie (1899-191 3 ) (Mosbach 1 969). H. Kangro , Vorgescbichte des Planckschen Strahlungsgesetzes (Wiesbaden 1 970). 2 W. Wien, Sitz . Ber. Berlin 1 8 9 3 , 5 5 , Wied . Ann. 5 2, 1 3 2 ( 1 894) . 3 W. A . Michelson, Phil. Mag. ( 5 ) 2 5 , 42 5 ( 1 8 88). W . Wien, Wied . Ann. 5 8 , 662 ( 1 896). M. Planck, Sitz. Ber. 1 8 99, 440, Ann . d . Phys. l , 69 ( 1 900). 5 M. Planck, Ann. Phys. l , 7 1 9 (1 900 ). 6 Lord Rayleigh, Phil. Mag. 49, 5 39 ( 1 900) . H. A. Lorentz, Pro c. Amsterdam 5 , 666 ( 1 90 3 ) .

4

CAPITOLO S ECONDO

30

7 M. Planck, Verh. D. Phys. Ges. 2, 202 ( 1 900). 8 M. Planck, Verh. D. Phys. Ges. 2, 237 ( 1 900). 9

Lord Rayleigh, Nature 7 1 , 5 59 , 7 2 , 54, 243 ( 1 905). J . H. jeans, Nature 7 1 , 607 , 72, 1 0 1 , 29 3 ( 1 90 5 ) , Pro c. Roy. So c. 545 ( 1 90 5 ) . 10 L . Natanson Phys. Z. 1 2 , 6 5 9 ( 1 9 1 1 ) . 1 1 A . Einstein , Ann. Phys. 1 7, 1 3 2 ( 1 90 5 ). 1 2 A. Einstein, Ann. Phys. 2 0, 1 9 9 ( 1 906).

A

76,

Cap itolo 3 La statistica quantistica

Le

E(n) di un oscillatore armonico Dire che i quanti di energia e = h v si ripartiscono tra gli oscillatori energie

equivale a fare l'ipotesi che gli oscillatori p ossano assumere solo le ener­ gte

E = h vn .

Nel libro di Planck del 1906 sulla teoria della radiazione termica, sia quest 'ipotesi sia l'enumerazione di questi livelli energetici come micro­ stati della termodinamica statistica vengono viste in una luce nuova ( dap­ prima è una specie di osservazione marginale) . 1 Nel piano delle fasi x, p i l punto rappresentativo del moto percorre un'ellisse

P2 2m

--

+

mw 2 x 2 = E 2

che racchiude un'area ( ! " ' e stensione in fase ") si a e b sono determinati dalla

ci> = rra b,

dove i semias­

Dunque

ci> = 27T _g_ w = K. v L'ipotesi di Planck implica quindi

ci> = h n . [ l] Regioni del piano delle fasi di area h corrispondono a un unico micro-

32

CAPITO LO TERZO

S i noti che quando h è piccolo rispetto all'estensione in fase, il numero degli stati diviene praticamente un continuo e diventa quin di proporzionale all'estensione in fase ; quindi si vede che la statistica clas­ sica (di B oltzmann) è un caso limite di quella di Planck. Il libro di Planck diede a P. E hrenfest lo spunto per un ' osservazione . Già nel 1 9 0 5 quest'ultimo aveva notato nella teoria di Planck alcuni ele­ menti importanti, cioè che l'espressione dell'entropia S che garantisce la stazionarietà dello stato d 'irraggiamento non è necessariamente solo quella indicata; inoltre che in Planck s'ipotizza un quanto e finito e in­ fine che i microstati vengono contati in un determinato modo. 2 Ora, nel 1 906, egli dimostra che nello spazio delle fasi si possono introdurre condizioni supplementari, che queste influiscono sulla densità di radia­ zione e che perciò si può costruire una teoria dell' irraggiamento soltan­ to se viene introdotta in modo accorto una condizione supplementare. La formula d 'irraggiamento di Planck si ottiene quando si consentano solo le energie E = h v n e le si considerino tutte egualmente legittime. 3 Ehrenfest considerò come oscillatori anche le autooscillazioni elettroma­ gnetiche del corpo nero. Nel 1 907 Einstein calcolò l'energia media di un oscillatore armonico avente livelli energetici E n = h v n sommando direttamenté (vedi appen­

stato .

dice):

l

(3= kT .

[2]

Questo calcolo dei valori medi venne facilitato dal libro d i J . W . G ibbs sui fondamenti della meccanica statistica, pubblicato nel 1902 e tradot­ to in tedesco nel 1 90 5 . I l calcolo di Einstein si trova nel lavoro in cui egli utilizzava l'ipote si di Planck sul calore specifico di un solido. Egli rappresentò idealmente un cristallo di N atomi uguali mediante un siste­ ma di 3N oscillatori armonici di frequenza ident1ca v e quindi per l'ener­ gia delle oscillazioni del cristallo ottenne la

-=h.:....v_ E = 3N hv

[3]

e kT -1 La regola di Dulong e Petit indicava che i calori specifici cos ì ottenuti erano casi limite alle alte temperature ; tanto più alte quanto maggio­ re è v. Così spiegava Einstein la nota circostanza che gli elementi B , C, Al, Si hanno calori specifici essenzialmente più bassi di quelli corrispon­ denti alla regola. Dunque nel 1 907 E instein aveva di fatto accettato la teoria quantistica di Plan ck. A quel tempo non si sapeva quasi nulla, dal punto di vista empirico, sul decremento dei calori specifici alle bassissi-

33

LA STATISTICA QU ANTISTIC A

me temperature. Ma intorno al 1 900, specie per iniziativa di N ernst, i calori specifici alle basse temperature furono misurati con precisione ; essi non risultarono in buon accordo con la formula di Einstein . Tenen­ do conto che un cristallo oscillante contiene oscillatori di diverse fre­ quenze , nel 1 9 1 2 P . D ebye eseguì un calcolo teorico in buona armonia con l 'esperienza. 5 Egli ipotizzò una distribuzione di frequenze come se si trattasse di un continuo oscillante, ma limitò il loro numero a quelle possibili nel reticolo cristallino. Ottenne così una teoria sempli ce ed ele­ gante . Quasi allo stesso tempo M. B orn e Th. von Karman eseguirono un calcolo più minuzioso, e perciò stesso anche più preciso, con l' aiuto del­ la teoria del reticolo.6 I l modo forse più rapido e trasparente per ottenere la formula dell'ir­ raggiamento di Planck fu proposto da P . Debye nel 1 9 1 0 . 7 Egli utiliz­ zò la valutazione di R ayleigh per il numero di autooscillazioni elettro­ magnetiche del corpo nero per unità di volume :

Z(v) = e nella

8 71'

c3

"2

w(T, v) = Z(v) E(T, v) pose il valor medio E prima,

al modo classico, uguale a kT ( e questo era il ragionamento di Rayleigh) e poi, al modo quantistico, lo deter­ minò a partire dai livelli energetici E = h r m , e ciò in conformità con la [ 2 ] fornisce la formula di Planck . Anche P . Ehrenfest volle avvalersi dell'idea delle autooscillazioni elet­ tromagnetiche del corpo nero . Nel 1 9 1 1 approfond ì la sua osservazione del 1 906 e investigò con cura quali tratti dell'ipotesi dei fotoni fossero essenziali per la teoria dell'irraggiamento. 8 In questa indagine si servì , per l'enumerazione degli stati, di una funzione peso G(E/v) . La diminu­ zione della densità di energia per grandi valori di v significava che il va­ lore particolare E = O dell'energia aveva un peso speciale, dell'ordine di grandezza che sarebbe dovuto altrimenti corrispondere a tutto un inter-

{- :; ) indicava un ricoprimento esattamente puntiforme di E = O. In àtre Ehrenfest metteva in rilievo che

vallo finito ; una diminuzione """ exp

alla formula di Planck conduceva l'ipotesi che i valori energetici b v n fossero equiprobabili, ma non l'ipotesi che i quanti di energia e = b v si distribuissero in modo equiprobabile tra i diversi oscillatori. Tutto ciò era più o meno contemporaneo della già menzionata osservazione di Natanson .

34

CAPITOLO TERZO

Il Congresso Solvay del 1 9 1 1

Come fu che dai livelli energetici E = h v n dell'oscillatore armonico si passò ai livelli E(n) di altri sistemi meccanici, all'iniz io unidimensio­ nali ? Planck aveva applicato solo all'oscillatore armonico la sua propo­ sta del 1 906, di identificare con un unico microstato le regioni di area h del piano delle fasi x, p ; ma quella proposta si poteva generalizzare. Alcuni progressi in questa direzione emersero dalle discussioni del Con­ gresso S olvay tenutosi a B ruxelles nel 1 9 1 1 .9 Esso fu dovuto in larga misura a un'iniziativa di W . Nernst e fu il primo di una serie di convegni che i fisici più eminenti tennero per lo più ogni tre anni ; aveva per oggetto "la teoria della radiazione e i quan­ ti " e tra i presenti c 'erano Lorentz, Planck, Wien, Nernst, S ommerfeld, Poincaré, Rutherford, Hasenohrl, J eans, Einstein ; mancava Ehrenfest e mancavano anche i giovanissimi Debye e B ohr. Nel discorso inaugurale, Lorentz metteva in rilievo il fallimento della meccanica classica: la fisica del futuro sarebbe stata diversa ; in connessione con l'irraggiamento e coi calori specifici la vecchia teoria porta all'equipartizione dell'energia tra i gradi di libertà, e quindi " non comprendiamo perché a temperatura am­ biente un pezzo di ferro non sia incandescente " . Neppure l'idea che certi gradi di libertà si p ortino all'equilibrio solo dop o un tempo molto lungo è soddisfacente : " tutto questo non ci è di aiuto" . Planck ora, in connessione con l'oscillatore armonico, diede impor­ tanza primaria all'estensione in fase . La vecchia statistica, che conside­ rava il num.ero dei microstati proporzionale alla regione dp d x del pia­ no delle fasi, portava a un'energia d 'irraggiamento "" v 2 T, mentre con l'ipotesi quantistica una regione

Hdx dp = h contava come un solo microstato. La teoria quantistica si poneva chia­ ramente in contrasto con la meccanica classica e la differenza tra fisica e chimica si poteva vedere così : la " fisica" segue la dinamica classica, essa vale per le molecole intere e per gli elettroni liberi e dà conto del­ le " forze fisiche " ; alla " chimica" compete la struttura degli atomi e del­ le molecole, le " forze chimiche" competono alla teoria quantistica (la spiegazione delle forze chimiche in termini quantistici era un program­ ma che divenne attuabile nel 1926 ). Al Congresso S olvay la discussione s'indirizzò verso la tesi che t::.

§p d x = h

35

L A STATISTIC A QUANTISTIC A

§

per tutti i moti periodici con un grado di libertà. ( Con indichiamo gli integrali estesi a un periodo. ) Ma leggendo gli atti del Congresso ci si av­ vede chiaramente di un inciampo : non ci si liberò della relazione

E = bv n .

Al Congresso, dei quanti di luce non si parlò. n rotatore conduce

su

piste false

Quali difficoltà presentasse la spiegazione

= §p dx = b n

per gli stati quantici E(n) di un sistema periodico con un grado di liber­ tà è dimostrato dalle piste false che furono seguite a proposito del rota" tore . Si tratta del sistema più semplice dopo l'oscillatore armonico, e Nernst vi era interessato per via del calore specifico delle molecole bia­ tomiche. Presentiamo cinque spiegazioni che ne furono date a quel tempo . Due di esse derivavano dalla formula finale di Planck per l 'energia media di un oscillatore armonico

:h�"­ E(v, T)= _..: bv

[4 ]

e kT -1

Per ottenere E(T) e quindi il calore specifico del rotatore, Nernst ( nel feb­ brai�_del 1 9 1 1 ) eliminò 11 impiegando senza troppi scrupoli un valore me­ dio " 2 - T e così ottenne

E(T)-

-.:Vf.,...T_ e ..{i - 1

che poteva esser compatibile con le misure . 1 0 Ancora nel 1 9 1 2 due ricer­ catori così eminenti come Einstein e Stern impiegarono, anch 'essi sen­ za molto riflettere la valutazione media Vi - E, e ottennero per E( T) una formula che non era compatibile con le misure alle basse temperatu­ re. Ma se alla formula finale di Planck si aggiungeva un'"energia di punto zero ", di cui allora si discuteva,

bv + 2 , E(v, T)= -b="hv e kT - 1

36

CAPITOLO TERZO

si otteneva per le basse temperature h

E( T ) = E o + a e T ,

che era accettabile. Gli autori videro in ciò una conferma di un'energia di punto zero hv/2. 1 1 Si rifletta anche che Einstein aveva in preceden­ za ottenuto la formula L 4 ] sommando le energie b v n dell'oscillatore . Al congresso H. A. Lorentz (e nel 1 9 1 2 anche N . Bj errum1 2 ) aderi­ rono all'impostazione di Planck nella forma E(n ) = b v ( n ) n .

Con la relazione classica E = 2 7r2 /112

"=

� V2;21

( I è i l momento d 'inerzia) s i otteneva E(n ) =

b2 n 2

2 7r2 I '

che differisce solo per un fattore numerico dalla formula corretta, ot­ tenuta più tardi. Fu Hasenohrl che rispose al problema, sollevato da Nemst durante il congresso, degli stati quantici di un rotatore : a differenza dell'oscil­ latore armonico, nel rotatore la frequenza dipende dall'energia ; quindi a regioni uguali nel piano delle fasi corrispondono livelli energetici diversi e a livelli energetici uguali corrispondono regioni diverse ; la prima possi­ bilità era appunto in accordo con le idee di Planck. Il lettore degli atti del congresso si aspetterebbe in realtà a questo punto la teoria di un ro­ tatore con asse vincolato

cl> = 2 1rP = b n

E=

p2 21

=

b2 n2 81r 2 /

( ciò fu scritto da Ehrenfest soltanto nel 1 9 1 3 ) ; invece alcune pagine do­ po si trova il rotatore con asse libero, cioè un sistema con più gradi di libertà in cui di nuovo cl> ""' E e per il quale Hasenohrl assegna E ""' n . La quinta spiegazione, quella corretta, fu poi data da Ehrenfest. h come unità dell'estensione in fase di un moto periodico

Eppure Hasenohrl aveva l'idea giusta, cioè che !::. cl> = b . Al congresso dei fisici di Karlsruhe ( anch 'esso del 1 9 1 1 ) , egli considerò da un punto

37

LA STATISTIC A QUANTISTIC A

di vista generale la relazione tra v(E ) ed E(n) . 1 3 Per le tre quantità I (l è

48

CAPITOLO QUARTO

il lavoro di ionizzazione ) . Le equazioni si potevano dimostrare allora solo con scarsa precisione . Come si è detto, l'equazione E = bv venne presto applicata da Stark e Wien ai raggi X, per i quali i fenomeni quanti­ stici sono molto più appariscenti a causa della frequenza elevata. La relazione [2], nella quale l'energia cinetica degli elettroni si poteva misurare tramite il potenziale elettrico U capace di frenarli b v = e U + P,

servì per l 'ideazione di un metodo per determinare con precisione il rap­ porto ble . Ma si trattava di una strada faticosa; solo nel 1 9 1 4 e nel 1 9 1 6 Millikan riuscì a compiere una misura d i precisione . Nel 1 906 E instein ricondusse la teoria della radiazione del corpo nero di Planck all'introduzione, da parte di quest'ultimo, dell'ipotesi dei foto­ ni. Ma la spiegazione di Einstein era ancora imperfetta nella misura in cui, secondo le sue stesse ricerche , un gas di fotoni corrispondeva alla formula di W ien e non a quella di Planck. Accanto all'interpretazione di E in stein dell'effetto fotoelettrico, per alcuni anni vi furono ancora numerosi tentativi di spiegarlo nell'ambi­ to della fisica tradizionale. Il dualismo onde-particelle nella luce

La comprensione completa e insieme una profonda penetrazione nel rapporto fra particelle e onde luminose furono i contributi dell 'indagine di Einstein del 1 909, in cui veniva analizzata la formula dell'irraggiamen­ to di Planck. 6 Poiché non riteneva giustificato il modo in cui Planck enu­ merava i microstati per determinare l'entropia S = k ln W della radiazione del corpo nero, Einstein girò la questione : quali conseguenze ha per W la formula dell'irraggiamento di Planck, confermata dall'esperienza? Da w(T, v) egli poté ricavare s(T, v) , cioè l 'entropia per unità di volume e di frequenza. Le fluttuazioni statistiche dell'energia d 'irraggiamento con­ tenuta in un volume parziale erano fornite allora da l : d2 S/dE 2 , secon­ do la [ 3 ] . Ricordiamo che Planck aveva all 'inizio indovinato la sua for­ mula d 'irraggiamento mediante l 'interpolazione, scrivendo proprio que­ sta grandezza come somma di due termini. Un termine da solo avrebbe fornito la formula di Wien, che Einstein spiegava col modello dei quanti di luce ; l 'altro termine da solo avrebbe fornito la formula di Rayleigh, che derivava dalla rappresentazione classica delle onde luminose. Quindi si capisce come Einstein ottenesse per l 'entità della fluttuazione una somma, di cui un termine rappresentava le fluttuazioni dell'energia in un gas di particelle luminose (fotoni) indipendenti e l'altro rappresenta­ va le fluttuazioni dell 'energia in un sistema di onde luminose classiche. Il risultato di Einstein era equivalente alla relazione

49

I FOTONI

[4 ]

dove E è l'energia contenuta i n un volume parziale, z il numero medio di autooscillazioni elettromagnetiche e q quello dei fotoni nel volume parziale . Dunque nella radiazione sono in qualche modo contenute tan­

to le oscillazioni elettromagnetiche classiche quanto le particelle lumino­ se. Del primo membro della [4] E instein calcolò soltanto l'ordine di

grandezza e fu H . A. Lorentz a eseguirne il calcolo esatto nel 1 9 1 2 . 7 Teniamo presente la relazione tra i l risultato di E instein e le conside­ razioni di Planck del 1 900. Con la sua interpolazione , Planck aveva e­ spresso il reciproco di d 2 S/dE 2 come somma di due termini semplici, di cui uno solo forniva la formula d'irraggiamento di Rayleigh, l 'altro quella di Wien. Dei termini di Einstein , uno dava le fluttuazioni delle onde classiche, l'altro quelle delle particelle luminose. La teoria dei quan­ ti di Planck mostrava uno scostamento dei valori energetici dal continuo, e ciò costituiva la differenza con la formula di Rayleigh ; per E instein ciò significava che al termine di fluttuazione delle onde, 1 /z , si doveva aggiungere ancora un contributo di fluttuazione delle particelle. La teo­ ria di Planck mostrava anche uno scostamento da una distribuzione di quanti di energia indipendenti e = hv (corrispondente alla successiva sta­ tistica di B ose), e ciò costituiva la differenza con la formula di Wien. Per Einstein ciò significava che al termine di fluttuazione llq dei fotoni si deve aggiungere un contributo di fluttuazioni delle onde. Einstein investigò anche la vibrazione ( analoga al moto browniano delle molecole) di una lastra mobile immersa nella radiazione, vibrazio­ ne dovuta alle fluttuazioni dell'impulso collegate con la pressione di ra­ diazione. Anche in questo caso trovò due contributi alla fluttuazione, uno classico, del campo elettromagnetico, e uno originato da un Impul­ so h v/ c delle p articelle luminose. Quest'ultimo indicava un moto forte­ mente concentrato dei fotoni ( più tardi si parlò di " radiazione ad ago ") che risultava molto strano.

Con la sua memoria sulle fluttuazioni statistiche della radiazione, Ein­ stein aveva introdotto il dualismo onde-corpuscoli nella luce. Natural­

mente egli non poteva ancora afferrare tutta la portata di questa idea rivoluzionaria; essa fu compresa solo dopo l'introduzione del corrispon­ dente dualismo nella materia ad opera di de B roglie e dopo l'interpre­ tazione della nuova e rigorosa meccanica quantistica. Durante la discussione al Congresso dei fisici a S alisburgo nel 1 909,8 Einstein espresse la speranza in una prossima fusione tra la teoria ondu­ latoria della luce e la teoria dell'emissione ; Planck caratterizzò più o me­ no così la differenza tra la sua formulazione e quella di E in stein : E in-

50

CAPITOLO QUARTO

stein collocava la teoria dei quanti nel vuoto, mentre per Planck le ener­ E = h v n dei risonatori erano fondamentali. Tutti erano d ' accordo nel ritenere che l'interazione tra radiazione e materia fosse il punto nodale delle difficoltà. Mentre nella prima fase della teoria dei quanti il quan­ to elementare d'azione era considerato di pertinenza della fisica stati­ stica e nella seconda fase come una faccenda dell 'interazione tra luce e materia, più tardi se ne riconobbe il ruolo molto più ampio, che consi­ sté nel modificare ogni descrizione classica, anche quella di un moto per il quale si potesse prescindere dalla radiazione. Quindi ai fotoni di Einstein non venne dato troppo peso dai suoi con­ temporanei. Soltanto J. Stark era uno zelante propugnatore di quest'i de a, di cui metteva in risalto il carattere intuitivo. Ad esempio nel 1 909, con­ siderando il frenamento degli elettroni, Stark impiegò la composizione vet­ toriale degli impulsi degli elettroni e degli impulsi hv/c dei fotoni. 9 Planck e Sommerfeld ritenevano i fotoni una variazione superflua dell 'ipotesi quantistica. Specialmente Planck era contrario. In quel momento egli era occupato ad attenuare nella sua teoria la frattura con la fisica precedente ; i suoi tentativi di modifica rimasero tuttavia senza effetto sullo sviluppo del­ la teoria dei quanti. Perfino nella proposta di ammissione di Einstein all'Ac­ cademia di B erlino ( 1 9 1 3 ) , si disse di lui che con l' ipotesi dei quanti di luce " aveva oltrepassato il segno " . Ancora nel 1 922 anche B ohr esitava. L'atteggiamento negativo o indifferente dei fisici mutò soltanto dopo la scoperta dell'effetto Compton. Nel 1 9 2 2 A. H. Compton scoprì che nella diffusione dei raggi X in sostanze con piccolo peso atomico si ma­ nifestava un aumento della lunghezza d 'onda 6."A "' ( 1 - cos 5 ) , dove il fattore è una costante universale. Compton e anche Debye mostrarono che il decremento della frequenza corrispondeva proprio alla diminu­ zione dell 'energia di corpuscoli luminosi che collidessero con un elettro­ ne, che si doveva riguardare come libero (se il peso atomico è piccolo, il legame dell'elettrone con l' atomo si può trascurare) . 1 ° Come per l'urto tra masse puntiformi, era necessario applicare solo i teoremi dell'impul­ so e dell'energia. D al teorema dell'impulso si ricava ( fig. 4, per velocità non relativistiche dell'elettrone)

gi e

2 m 2 v 2 = .!t._ c 2 (v

o

+ v2 - 2 vo vcos

�)

,

e per una variazione v0 - v non troppo grande 2 b2 m v2 = m -.c -2 v0 v ( l - cos �) ; dal teorema dell 'energia si ricava

mv 2 = 2 b ( v 0 - v)

51

I FOTON I

e confrontando le due espressioni si ricava la variazione della lunghezza d 'onda

c -c =c !:::. 'A = 0 v v

Vo - v v0 v

= mhc ( 1 - cos {}) . --

E Compton aveva misurato proprio questa variazione di lunghezza d'on­ da. Dunque alle particelle luminose (fotoni) si potevano applicare i teore­

mi dell'urto.

Che la formula d'irraggiamento di Planck si basasse su fondamenti più generali che l'ipotesi E (n) = h vn per gli oscillatori fu dimostrato dal modo in cui Einstein la ricavò nel 1 9 1 6 e 1 9 1 7 .U E sso era basato sul­ l'ipotesi che la luce possa essere emessa e assorbita solo per quantità h v, inoltre che un sistema atomico possa passare spontaneamente da un'e­ nergia più elevata E 2 a un'energia più bassa E 1 (h v = E 2 - E 1 ) con una certa probabi iità, poi che le transizioni siano proporzionali alla densità di energia w della radiazione tra le due energie con coefficienti di pro­ babilità B 2 1 e B 1 2 , e infine sull'ipotesi (utilizzata nel 1 9 1 6 in una forma più debole , nel 1 9 1 7 in una più forte) che per piccole v valga la fisica classica. L'equ ilibrio stazionario richiede

(A 2 1 + B 2 1 w ) N2 = B 1 2 WN 1 , dove N2 e N 1 sono i numeri degli atomi negli stati E 2

la densità d 'energia della radiazione si ha

e E 1 . Quindi per

A 2 1 --'=-=w = --N B 1 2 Nl - B 2 1 2 Poiché all'equilibrio termico si ha

N1 N2

-

_

hv kT e

'

si ricava

A....2 1=..::.: -- ' w = --h v/ k T - B B 12 e 21

Figura 4 Illustrazione dell'effetto Compton.

52

CAP ITOLO QUARTO

Per piccole v deve valere ( formulazione del 1 9 1 7 ) la formula d 'irraggia­ mento classica

da qui si ricava

B 1 2 = B21 , A 21 = 81rhv 3 /c 3 e qu indi la formula di Planck.

Note bibliografiche 1

A. Hermann , nell'introduzione al volume 7 dei Do kumente der Naturwissenscbaft ( 1 96 5 ). J . Franck e G . Hertz, Verh. D . Phys. Ges. 1 6 , 45 7 , 5 1 2 ( 1 9 1 4) . .T . Stark, Phys. Z . 8 , 8 8 1 ( 1 907 ) . j . Stark , Phys. Z . 8, 9 1 3 (1 907 ) . 5 W. Wien, Gott. Nachr. 1 90 7 , 598. 6 A. Einstein, Phys; Z. 1 0, 1 85 ( 1 909). 7 H. A . Lorentz, Les tbéo ries statistiques en tbermodynamique (Lipsia e Berlino 1 9 1 6) p . 1 1 4. 11 A. Einstein, Phys. Z. 1 0, 8 1 7 ( 1 909) . 9 j . Stark, Phys. Z. 1 0, 902 ( 1 909 ) . 10 A. H. Compton, Phys. Rev. 2 1 , 48 3 ( 1 92 3 ) . P. Debye, Phys. Z. 24, 16 1 ( 1 9 2 3 ). A. Einstein, Verh. D . Phys. Ges. 1 8, 3 1 8 ( 1 9 1 6), Phys. Z . 1 8, 121 ( 1 9 1 7).

2 3

4

11

Capitolo 5 L'atomo

Il problema dell'atomo

Mentre agli inizi la teoria dei quanti era una statistica dei quanti e un po' più tardi venne considerata come una faccenda relativa all' inte­ razione tra luce e materia, oggi si è inclini a vedere l'essenza di questa teoria nella possibilità che essa offre di rappresentare l'atomo . L'atomo è il dominio per eccellenza della teoria dei quanti. La meccanica quanti­ stica (non intuitiva) vale nell 'ambito degli ordini di grandezza atomici ; la meccanica classica ( intuitiva) vale per dimensioni macroscopiche . Per questa circostanza le ricerche sull'atomo fornirono un contributo essen­ ziale, se non proprio alla scoperta del quanto d'azione elementare, certo alla comprensione della teoria dei quanti. Fin dall'in izio l'atomo fu legato a un singolare problema concettua­ le. D a una parte si richiedeva che Patomo fosse l'ultima e indivisibile pietra da costruzione della materia, senza cui la materia non pareva con­ cepibile . D 'altra parte esso doveva essere pensato come dotato di un'e­ stensione e di una forma determinata; quindi almeno in linea di prin­ cipio esso era divisibile . Di ciò si occupa la seconda della antinomie della ragion pura di Kant. Oggi conosciamo un modo per risolvere que­ sta contraddizione: per noi l'atomo è l 'ultima pietra da costruzione con la quale possiamo pensar costituita la materia nel senso intuitivo del termi­ ne. Se invece parliamo della costituzione dell'atomo stesso , non usiamo più il termine nel senso intuitivo. Ma è solo dagli anni venti che ci si può esprimere in questo modo. Un indizio di questa circostanza ci viene fornito dalla teoria dei calori specifici : gli atomi e le molecole celano il loro intimo, essi agiscono in larga misura come masse puntiformi o strutture rigide di masse puntiformi, specie alle basse temperature.

54

CAPITOLO QU INTO

L'atomo della chimica

L'idea che la materia consistesse in atomi era un tentativo di risolve­ re un problema antichissimo, il problema della sostanza e delle sue par­ ticolari proprietà. Insieme col problema della mutazione, in particolare del movimento , e col problema cosmologico, questo era uno dei grandi problemi della filosofia e della fisica. Nell'antichità vi erano due impo­ stazioni per risolvere il problema della materia: la teoria dei quattro e­ lementi, che fu ripresa da Aristotele e che perciò entrò nella filosofia tradizionale ; e l'atomistica, secondo la quale esistono gli atomi e il vuo­ to ; le mutazioni nella natura si possono pensare come movimenti di par­ ticelle nel vuoto . La teoria atomistica tuttavia rimase nell'ombra anche più tardi, nella tradizione araba. La nuova chimica del Seicento si servì di idee atomistiche. La fisica di Newton era una meccanica di particelle nel vuoto ; per Boyle le so­ stanze erano composte di particelle dotate di proprietà qualitative spe­ cifiche . Chiarito il concetto di elemento chimico, effettuate precise mi­ sure di peso e formulate le leggi delle combinazioni semplici, lo svilup­ po di questa chimica portò al punto di vista espresso nel 1 808 da Dal­ ton : le particelle dei composti chimici sono aggregati di un numero de­ terminato di particelle di elementi chimici. Con ciò il problema della sostanza veniva ricondotto al problema dell'atomo . La notazione forma­ le della chimica d'oggi esprime che le molecole sono costituite da atomi e si fonda sulla legge dei rapporti di massa e sulla legge dei volumi per i gas. Il concetto di mole , che sta alla base della legge dei volumi, e l'i­ potesi di Avogadro ( che il volume di una mole di gas non dipenda dal tipo di gas e contenga un numero costante di molecole) si affermarono tuttavia soltanto intorno al 1 860. Per le su ccessive concezioni sulla struttura dell'atomo fu particolar­ mente importante il concetto di valenz a; esso fu stabilito non appena, intorno al 1 860, le formule chimiche divennero in certo qual modo uni­ voche. Presto si scoprirono omologie tra gli elementi, ad esempio quel­ li della serie Na, K, Rb, Cs oppure della serie Mg, Ca, Sr, B a ; tutto ciò culminò nel sistema periodico degli elementi ( 1 868/69) . Certe lacune nel sistema furono colmate ; verso la fine dell'Ottocento si aggiunsero i gas nobili ; furono così sistemati i periodi di lunghezze 2, 8, 8, 1 8, 1 8. Tuttavia non esisteva alcuna idea generale su quale fosse la causa della valenza. Nella chimica inorganica (fin da B erzelius) si era inclini ad at­ tribuire agli atomi cariche elettriche e a spiegare così l'affinità e la va­ lenza. Nella chimica organica si pensava a forze che promanavano da particolari punti di valenza degli atomi ( Le B el, van 't Hoff) . Entrambe

55

L'ATOMO

le idee erano sostenute da buoni argomenti, e di fatto entrambe alla fi­ ne sono entrate nella teoria quantistica del legame chimico. Grosso mo­ do erano specialmente i chimici tedeschi ad essere contrari alla teoria ; ciò si può interpretare come una reazione contro il romanticismo ( col suo mito della polarità) e contro le costruzioni di Hegel. Ma anche i fi­ sici erano molto restii di fronte a questi modelli dell'atomo . B oltzmann non utilizzò né il numero di Loschmidt ( cioè il nu mero L di molecole per unità di volume o per mole) né la relazione R = L k ( per la costante dei gas) ; anche Planck volle mantenersi indipendente dall'ipotesi atomi­ ca; W. Ostwald ed E . Mach non attribuirono all'atomo praticamente al­ cuna realtà. E ppure in fondo i fisici misuravano proprietà dell' atomo ; in modi affatto differenti venne determinato sempre lo stesso valore di L. Poiché i fisici sapevano dell'elettrone, i modelli dei chimici si trova­ rono alla fine circondati da quelli dei fisici.

Gli elettroni nell'atomo L'elettrone si manifestò come unità di carica nell'elettrolisi, poi nella radiazione catodica e nell'emissione dalle superfici dei metalli e infine come elettrone ottico nelle righe spettrali dell'atomo. Il numero di Lo­ schmidt L è legato secondo la

eL=F al numero di F araday F ( carica trasferita nell 'elettrolisi di un equivalen­ te) ; nell'atomo vi sono particelle elettriche di carica ± e, e la valenza del­ l'elemento ha a che fare con ciò. Nella radiazione catodica si potè mi­ surare e /m e ne risultò che le particelle di carica negativa che possono essere liberate dagli atomi hanno una massa piccolissima; è evidente che la carica positiva non si può estrarre dall'atomo ; quindi l'atomo consiste in una carica elettrica positiva e in elettroni. Le frequenze dello spettro visibile e ultravioletto vennero attribuite agli elettroni contenuti nell'a­ tomo . Nel 1897 H . A. Lorentz potè spiegare la separazione delle linee spettrali in un campo magnetico esterno, che P. Zeeman aveva appena scoperto . Confrontando l'equazione del moto di un elettrone nel cam­ po magnetico B

miJ= - e v X B

con l'equaz ione del moto di una massa puntiforme in un sistema di ri­ ferimento rotante ( con velocità angolare w)

m v = 2m v x w si vede che il campo magnetico impone agli elettroni un moto rotatorio

56

CAPITOLO QU INTO

supplementare con

eB w = 2m ·

[ l]

Ciò fornisce proprio la separazione di Zeeman in casi tipici. La sua mi­ surazione, come mostra la [ l ] , costituisce allo stesso tempo una deter­ minazione di e/m. Tramite misure affettuate da Zeeman, Lorentz calco­ lò per e/m lo stesso valore trovato nella radiazione catodica . Nell'a tomo si

trovano elettroni, gli stessi che nella radiazione catodica; le righe spet­ trali derivano dai moti di questi elettroni. Questa si può riguardare co­

me l'opinione dei fisici sull' atomo intorno al 1 900. Ci si chiese quanti fossero gli elettroni in un atomo. D alla complicata struttura degli spet­ tri parecchi conclusero che fossero moltissimi. D all'intensità della diffu­ sione della radiazione X, tuttavia, J. J. Thomson nel 1 903 calcolò che il numero degli elettroni doveva essere circa uguale al peso atomico . Modelli dell'atomo

L'atomo quindi constava di una parte carica positivamente e di un cer­ to numero di elettroni. Sulla parte positiva se ne sapeva poco ; su di es­ sa si poteva speculare. Così poco dopo il 1 900 vennero proposti model­ li dell'atomo con un nucleo puntiforme positivo e alcuni con una mate­ ria positiva distribuita con continuità. 1 Tra gli atomi dotati di nucleo c 'era la structure nucléoplanetaire di J. Perrin ( 1 9 0 1 ) e il Saturnian Sy­ stem d i H . Nagaoka ( 1 904) . Un modello con carica positiva distribuita con continuità fu costruito da lord Kelvin nel 1 902 sulla base di consi­ derazioni sulla stabilità delle configurazioni elettroniche ; egli non tro­ vò alcuna spiegazione del sistema periodico degli elementi. N el 1 90 3 J. 1. Thomson estese ulteriormente que s to modello. "Poi ché non sappia­ mo nulla sulla carica positiva" , essa venne distribuita uniformemente in una sfera. In questo campo di forze esistevano configurazioni di equili­ brio per l , 2, 3 , . . elettroni ; per esempio, per 4 elettroni, la configura­ zione a tetraedro. Poiché non trovava una soluzione generale per N elettroni, Thomson costru ì una versione semplificata del suo modello, in cui gli elettroni erano distribuiti con regolarità su anelli piani. Su un singolo anello trovavano posto fino a 5 elettroni ; ma se c'erano più anelli, nel secondo, terzo ecc. anello verso l'estern o potevano essere in­ seriti più elettroni. I massim i numeri d'occupazione per gli anelli da lui ottenuti erano, dall'interno verso l'esterno : 5 , 1 1 , 1 5 , 1 7 , 2 1 , 24 . I n particolare ( mediante i l calcolo e tramite esperimenti con magneti gal­ leggianti} egli trovò una distribuzione stabile sugli anelli per ogni nume­ ro di elettroni. Nella tabella l è riportato un estratto dei suoi risultati .

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L'ATOMO

Tabella l 5 6 7 8 9 lO . . .

5 1+5 1 +6 1 +7 1 +8 2+8

Gli anelli elettronici di J . J . Thomson 16 17 18 19 20 21 22 23 .

..

5 + 11 1 + 5 + 11 l + 6 + 11 1 + 7 + 11 l + 7 + 12 l + 8 + 12 2 + 8 + 12 2 + 8 + 13

57 5S 59 60 61 .. 66 67 68 69 70 .

· - -

2 + 8 + 12 + 16 + 19 2 + 8 + 13 + 16 + 19 2 + 8 + 1 3 + 1 6 + 20 3 + 8 + 1 3 + 1 6 + 20 3 + 9 + 1 3 + 1 6 + 20

...

5 + 10 + 14 + 1 7 + 20 5 + lO + l 5 + 1 7 + 20 5 + 10 + 15 + 1 7 + 21 5 + 1 1 + 15 + 17 + 21 l + 5 + 1 1 + l 5 + 17 + 21

. . .

( i numeri d 'occupazione degli anelli sono riportati dall'interno verso l'e­ sterno) . Ora ci si poteva attendere che quelle configurazioni che avevano gli stessi numeri d'occupazione in alcuni anelli mostrassero proprietà fisi­ che simili, ad esempio le configurazioni di 5 e 1 6, di 6 e 17 elettroni , eccetera, che nella tabella sono adiacenti. Così Thomson aveva indicato un modello (e non pretendeva nulla di più) per l'omologia chimica de­ gli elementi. Se poi si consideravano ad esempio le configurazioni che avevano 20 elettroni nell'anello più esterno, si sarebbe potuto ritenere questo anello poco stabile quando ci fossero stati in tutto 5 9 elettroni, e quindi questa configurazione avrebbe potuto perdere facilmente un elettrone se la si fosse in qualche modo perturbata; dunque essa presen­ tàva analogie con un elemento fortemente elettropositivo . Per le confi­ gurazioni con 68 elementi valeva qualcosa di analogo. Così Thomson aveva ottenuto anche un modello per la valenza chimica. Peraltro la va­ lenza e l' omologia non si attagliavano tra loro tanto quanto nel sistema periodico degli elementi ; ma Thomson considerava soltanto un modello piano della sua rappresentazione, che in realtà era spaziale. A partire dal 1 907 Stark fornì una rappresentazione molto particolareggiata, ma un po' fantasiosa, della porzione dell'atomo carica positivamente. 2 Poco dopo il 1 900 il numero degli elettroni veniva considerato come una caratteristica essenziale dell' atomo di un elemento chimico; qualche volta lo si supponeva uguale al peso atomico, qualche volta più piccolo , circa la metà , così che ad ogni numero potesse corrispondere un ele­ mento. Ciò apriva la prospettiva seducente di descrivere in modo esau­

riente un elemento chimico tramite un unico numero e di poter dedur­ re teoricamente le sue proprietà chimiche e fisiche con l'ausilio di que­ st'unico numero. Per i modelli del tipo di Thomson la stabilità dell 'ato-

58

CAPITOLO QU INTO

mo non era ancora un problema serio : gli elettroni in una carica spazia­ le positiva hanno posizioni stabili. Ma degli spettri non si comprendeva ancora nulla. La ricerca sperimentale decise il problema della configurazione della carica positiva a favore dell'atomo dotato di nucleo . Mentre i modelli di Perrin, Thomson , N agaoka erano speculativi, le misure del passaggio attraverso la materia di panicelle velocissime generate dal decadimento radio attivo fornirono indicazioni più precise . Lenard studiò l'assorbi­ mento dei raggi f3 e dalle sue misure dedusse nel 1 903 che per particel­ le abbastanza veloci un atomo è trasparente e che nel suo interno vi è un campo di forze e non una distribuzione di materia. Nel laboratorio di Rutherford a Manchester si studiava il passaggio dei raggi a. H. G ei­ ger ed E . Marsden scoprirono nel 1 909 che certe particelle a subivano una fortissima deviazione e quindi erano soggette a un robusto campo di forze. Rutherford calcolò allora le deviazioni indotte sulle particelle a da una forte carica elettrica puntiforme centrale , accanto alla quale la carica compensativa poteva essere distribuita con continuità ; il suo risultato si trovò in accordo con gli esperimenti. 3 Anche se a questo modo egli non era in grado di determinare il segno della carica centrale, tuttavia il segno positivo s'imponeva. Dunque Rutherford concludeva che la carica positiva e la gran parte della massa di un atomo sono con­ centrate in uno spazio ristretto , e che qu indi un atomo consta di un nu­ cleo centrale praticamente puntiforme e di elettroni . In base alle misu­ re di Geiger e Marsden poté valutare il numero delle cariche elementari del nu cleo a circa la metà del peso atomico . I l risultato di Rutherford fu confermato nel 1 912, quando si rilevò che nella camera a nebbia di C. T. R. Wilson, le tracce di alcune particelle a avevano un andamento decisamente spezzato , e nel 1 9 1 3 da misure più precise di Geiger e Mar­ sden, che in panicolare confermavano che il numero di cariche del nu­ cleo era circa la metà del peso atomico . Con la scoperta del nucleo atomico si apriva la possibilità di ripartire in due classi le manifestazioni dell'atomo, e quindi le proprietà delle so­ stanze . Il calore, lo stato di aggregazione e il comportamento chimico potevano essere ricondotti alla nube elettronica, la radioattività al nucleo atomico . Questi problemi vennero discussi nel 1 9 1 2 a Manchester e il giovane Niels B ohr era presente. Ora il numero delle cariche del nu cleo era l'unico parametro in grado di determinare le proprietà degli elementi chimici ( a parte il peso atomi­ co) . Che esso corrispondesse al numero d'ordine dell'elemento, cioè al­ la posizione che esso occupava nella successione del sistema periodico ( che si discostava di poco dalla su ccessione dei pesi atomici) non pote­ va passare inosservato . Ma la sicurezza si ebbe quando nel sistema pe-

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L'ATOMO

rio dico furono inseriti gli elementi radioattivi e quando si riconobbe che l'emissione della radiazione a faceva arretrare l'elemento di due po­ sizioni, mentre ne uscivano due cariche elementari positive (uno ione He ••). Nel 1 9 1 2 Van der Broek pose il numero d'ordine (numero ato­ mico) uguale al numero delle cariche del nucleo. 4 Le serie spettrali5

N egli spettri di molti elementi si trovano successioni di righe eviden­ ti e dall'apparenza regolare. Le prime righe di una siffatta successione nello spettro dell'idrogeno furono rappresentate da J . Balmer nel 1885 tramite la formula Cn2 X = --7� n2 - 4 che in seguito fu scritta così .l.. .1... À =Rf \4 - n2 Nel 1 88 3 W . Hartley osservò che se si esprimeva non X ma 1/X, in mol­ ti spettri si riscontravano certe regolarità e verso il 1 888 si conoscevano differenze ricorrenti in termini di 1/X in numerosi spettri. Nel 1 888 C. Runge scrisse la serie di Balmer per l'idrogeno:

_l_)

l

T -A _

·

+ B (B < O), n2

altre serie l

B

C

T =A + n2 + n4 , 1\

e in pochi casi anche _!_ = A + .1L + � + · · · . X n n2 Gli sviluppi ulteriori seguirono due strade. Dopo che H. A. Rowland eb­ be fabbricato reticoli spettrali ad alto potere risolutivo, si cominciò a eseguire misure precise sulle serie spettrali. Così H. Kay ser e C. Runge dal 1 888 al 1 892 compirono un esame meticoloso degli spettri di Na, K, Rb, Cs, di Mg, Ca, Sr, Ba, Zn, Cd, Hg, di Cu, Ag, Au, di Al, In, Tl, di Sn e di Pb, di As, Sb e Bi. Dal 1895 al 1897 l k L Pk q L - q LP k = .f?l

[ 1 2]

P RINCIPIO D I CORRI SPONDENZA

133

si trovano sia nel lavoro a tre sia in quello di Dirac. Born, Heisenberg e j ordan formularono anche teoremi sul momento angolare . Dalle rego­ le di commutazione [ 1 2] essi dedussero le regole di commutazione per le componenti Px , Py . Pz del vettore momento angolare 15

Px Py - Py Px = T Pz ,

inoltre gli autovalori }, J- l . -j (volte ti) di una componente e gli autovalori }(} + l) (volte fi 2 ) del quadrato del momento angolare. Con questi calcoli essi potevano confermare certe regole per le intensità tro­ vate in precedenza. Una comoda tecnica di calcolo con variabili angola­ ri e d'azione fu elaborata nel gennaio 1926 da D irac. 1 7 I l calcolo con le matrici era molto pesante in confronto a quello con le grandezze classiche, quindi il calcolo dei valori dell'energia di un ato­ mo con un elettrone, compiuto da Pauli nel gennaio 1 927, richiese una grande abilità. Pauli stabilì le regole di commutazione per le coordinate x , y, z , per la distanza r, per le componenti dell'impulso p e del mo­ mento angolare P ; impiegò un vettore . .

A= z

x l m e 2 P X p + -r

la cui direzione era quella dell'asse maggiore dell'orbita ellittica e il cui modulo era il valore numerico della sua eccentricità e che già era stato utilizzato da W. Lenz nei calcoli relativi all' atomo di H ; ridusse in for­ ma diagonale E, Pz e P 2 e ottenne infine gli autovalori E(n) dell'ener­ gia. Nel calcolo dell'energia in presenza dell'effetto Stark, in coordina­ te paraboliche, egli ridusse in forma diagonale E, Pz e A z . Certe considerazioni basate su campi elettrici e magnetici incrociati facevano ora sparire certe difficoltà che prima provenivano dal fatto che certi stati stazionari ( ad esempio le orbite passanti per il nucleo) dove­ vano essere esclusi. Allo stesso tempo che Pauli, anche Dirac eseguì dei calcoli per l'atomo d'idrogeno , che però non erano altrettanto definiti­ vi. l ' Una descrizione definitiva della forma matriciale della meccanica quantistica ( compresa l'interpretazione che verrà discussa nel cap . 1 3) venne esposta nel libro di B orn e J ordan 1 9 Meccanica quantistica ele­ mentare (dove " elementare" significava l' impiego di strumenti algebrici) . Nuove aperture L'idea di D irac, che contassero le relazioni algebriche fra i "numeri la loro particolare rappresentazione mediante matrici può es-

q " e non

CAPITOLO UNDICES IMO

134

sere considerata come una generalizzazione della forma matriciale della meccanica quantistica. Il riferimento fatto nel " lavoro a tre " alle ricer­ che di Hilbert indicava legami con i sistemi di funzioni ortogonali. Nello stesso tempo ( dicembre 1 925 ) anche C. Lanczos mise in luce una rela­ zione con i sistemi di funzioni, associando una matrice della forma a k l = J [(x , y) l{)k (x) I{)I ( y) dx dy a un sistema di funzioni ( per lui reali) l{)k . Ma egli non fece alcun uso della libertà nella scelta di questo sistema. Due sue memorie consecuti­ ve mostrarono in realtà alcuni prodromi di quella che in seguito fu chia­ mata teoria della trasformazione ; ma non ebbero seguito. 20 Nel gennaio 1 926 Born e Wiener tentarono di sostituire alle matrici operatori lineari, ma non riuscirono a scoprire che l'impulso p an dava sostituito con l'operatore fJ oliò q . 2 1 Fu C . E ckart, dopo aver seguito cer­ te lezioni che B orn aveva tenuto in America e aver letto la prima memo­ ria di S chròdinger, a scoprire che sostituendo quest'operatore a p si po­ teva soddisfare la regola di commutazione [ 9] . In tal modo egli collegò l'equazione di S chròdinger alla meccanica quantistica. In una nota ag­ giunta in sede di correzione di bozze egli dovette tuttavia riconoscere che in una memoria successiva S chròdinger aveva già dimostrato l'equi­ valenza tra la forma matriciale e l'equazione di Schròdinger. 22 Note bibliografiche

1

Vedi l'introduzione a Sources of Quantum Mecbanics , a cura di B. L. van der Waerden (Amsterdam 1 967) ; vedi anche P. Jordan, Phys. BI. 3 1 , 97 ( 1 97 5). 2 W. Pauli, Ann . Phys. 68, 1 1 7 ( 19 22). H. A . Kramers, Z . Phys. 1 3 , 3 1 2 ( 1 92 3 ) . M. Bom e W. Heisenberg, Z. Phys. 1 6 , 2 2 9 ( 1 92 3) . ] . H. van Vleck , Phys. Rev. 2 1 , 372 ( 19 2 3 ) . 3 N. Bohr, Z . Phys. 1 3 , 1 1 7 ( 1 92 3 ) . 4 C . G . Darwin, Nature 1 1 0, 8 4 1 ( 1 922), 1 1 1 , 7 7 1 ( 1 9 2 3 ) , Proc. Nat. Ak. Sci. 9 , 2 5 ( 1 92 3 ) .

5 J . C. Slater, Nature 1 1 3 , 307 ( 1 924), 1 1 6 , 278 ( 1 92 5 ) . N. Bohr, H. A . Kramers e J . C. Slater, Phil. Mag. 4 7 , 7 8 5 ( 1 9 24) , Z. Phys. 24, 69 ( 1 924). 6 W. Bothe e H. Geiger, Z . Phys. 26, 44 ( 1 924), 3 2, 6 3 9 ( 1 92 5 ) , Naturwiss. 1 3 440 ( 1 9 2 5 ) . A . H . Compton e A. Simon, Phys. Rev. 2 5, 306 ( 1 9 2 5 ) . 7 R . Ladenburg, Z . Phys. 4, 4 5 1 ( 1 92 1 ). H. A. Kramers, Nature 1 1 3 , 67 3 ( 1 924) . ] . H . van Vleck, Phys. Rev. 24, 3 30 ( 1 924) . M. Bom, Z . Phys. 26, 3 7 9 ( 1 924). 8 H. A. Kramers, Nature 1 1 4, 3 1 0 ( 1 924). H. A. Kramers e W. Heisenberg, Z . Phys. 3 1 , 681 ( 1 9 2 5 ) . ,

135

PRINCIPIO D I CORRISPONDENZA

9 W. Kuhn, Z. Phys. 3 3 , 408 ( 1 92 5 ) . W. Thomas, Naturwiss. 1 3 , 6 2 7 ( 1 92 5) . A. Smekal, Naturwiss. 1 1 , 8 7 3 ( 1 9 2 3 ) . 1 1 H. B . Dorgelo, Z. Phys. 22, 1 70 ( 1 924). H� C. Burger e H. B. Dorgelo, Z . Phys. 23, 2 5 8 ( 1 924) . L. S. Ornstein e H. C. Burger, Z. Phys. 24, 4 1 , 28, 1 3 5 , 2 9 , 241 (1 924), 3 1 , 3 5 5 ( 1 92 5 ). H. Honl, Z. Phys. 3 1 , 340 ( 1 9 2 5 ) . S . Goudsmit e R . d e L. Kronig, Naturwiss. l 3, 90 ( 1 92 5 ) . R . de L. Kronig, Z . Phys. 3 1 , 8 8 5 ( 1 9 2 5 ) . 1 2 W. Heisenberg, Z . Phys. 3 3 , 879 ( 1 9 2 5 ) . A questo proposito vedi N. Bohr, A tomtheorie u n d Naturbeshreibung (Berlino 1 9 3 1); trad. it. l quan ti e la vita (Torino 1 96 5 ). 1 3 M. Born e P. Jordan, Z. Phys. 3 4, 8 5 8 ( 1 925). 1 4 M. Born, W . Heisenberg, P. Jordan, Z. Phys. 3 5 , 5 5 7 ( 1 926). 1 5 M. Born, Pro bleme der Ato mdynamik ( Berlino 1 926). 16 P. A. M. Dirac, Pro c. Roy. Soc. 1 09. 642 ( 1 926). 17 P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 1 1 0, 561 ( 1 926). 1 8 W. Pauli, Z. Phys. 36, 3 3 6 ( 1 926). 1 9 M. Born e P. Jordan , Elementare Quantenmechanik (Berlino 1 9 3 0). 20 C. Lanczos, Z . Phys. 3 5 , 8 1 2 , 36, 40 1 , 3 7 , 40 5 ( 1 926). 2 1 M. Born e N . Wiener, Z. Phys. 36, 1 7 4 ( 1 926) . 22 C. Eckart, Proc. Nat. Ak. Sci. 1 2 , 47 3 ( 1 926), Phys. Rev. 28, 7 1 1 ( 1 926). 10

Capitolo 1 2 Le onde di materia e l'equazione di Scbrodinger

la dualità

Uno dei possibili modi di vedere oggi la teoria quantistica sotto il pro­ filo fisico è quello di considerarla come un 'unificazione non intuitiva di un modello corpuscolare classico , intuitivo, e di un modello ondulatorio, o di campo, classico, anch'esso intuitivo ; e ciò tanto per la materia quan­ to per la lu ce . La teoria classica delle particelle materiali viene modifica­ ta in modo non intuitivo proprio quanto serve per render possibile anche la rappresentazione ondulatoria. Questa modifica viene compiuta trami­ te la quantizzazione dei moti periodici, che conduce a una discretizza­ zione dei valori dell'energia e talvolta del momento angolare , oppure tra­ mite il calcolo con enti matematici che soddisfino relazioni di commu­ tazione come la i(p q - qp) = fj. La teoria intuitiva delle onde di materia e del campo materiale viene modificata in modo non intuitivo proprio quanto serve affinché anche le particelle vi trovino posto ; la modifica viene compiuta mediante una sorta di quantizzazione del campo mate­ riale in cui i numeri quantici sono numeri di particelle. Nel caso delle onde luminose la modificazione del modello intuitivo del campo viene compiuta quantizzando le autooscillazioni del campo elettromagnetico ; la modificazione della rappresentazione corpuscolare si manifesta trami­ te una statistica particolare dei fotoni. Il fondamento di q uesta conce­

zione della teoria q uantistica è dunq ue la "dualità " nella materia e nel­ la luce. Una " meccanica" quantistica è possibile solo per la materia ; la

luce rientra a priori nella fisica relativistica, e in quest 'ultima non esiste alcuna meccanica relativistica generale per un sistema a molte particelle . Per la meccanica quantistica della materia lo schema sopra tracciato può essere attuato. La quantizzazione della meccanica corpuscolare e la quan-

137

ONDE D I MATERIA

tizzazione della teoria intuitiva dei campi portano alla stessa meccanica quantistica. Storicamente fu per la luce che la dualità fu riconosciuta per prima; essa comparve nello studio di Einstein sulle fluttuazioni del campo di radiazione ( cap . 4) . Per la materia la teoria quantistica fu costruita a partire dalla meccanica delle particelle , come vedemmo, fino quasi all'e­ quazione di S chrodinger. Perché l'onda materiale è stata vista così tardi ( 1 9 2 3 ) ? Lo stato delle tecniche di sperimentazione ne avrebbe permesso la scoperta an che prima. Sarebbe stato possibile osservare per caso le in­ terferenze di un raggio catodico che attraversa un sottile foglietto di mi­ ca, così come esse vennero più tardi mostrate nei corsi o nelle esercita­ zioni universitarie . E l'analogia con la lu ce ? Per Einstein ed Ehrenfest quest'analogia sarebbe stata naturale ; ma Einstein era troppo occupato col problema della teoria della relatività generale e per Ehrenfest la dua­ lità della luce era sempre piuttosto sospetta. Verso l'onda di materia

Una relazione tra un impulso materiale p e una specie di numero d'on­ da 11l era già stata scoperta da Duane nel marzo del 1 92 3 : 1 quando un'onda rontgen di lunghezza d'onda À viene diffratta su una materia a struttura periodica di periodo l, conformemente alla rappresentazione ondulatoria ( fig. 1 5) vale la condizione di Bragg

nÀ= 2l cos �;

l'impulso trasferito alla materia è, secondo l'ipotesi dei fotoni

hv

h

6.p = 2 c cos � = 2 T cos �L a rappresentazione quantistica e quella ondulatoria forniscono dunque ms1eme

h 6.p = n l .

Figura 1 5 Illustrazione della relazione di Duane.

138

CAPITOLO DODICES IMO

Quindi per una materia di periodo l vengono ipotizzati solo valori ben determinati dell' impulso, multipli di h/1. H. A. Compton vide in ciò (ot­ tobre del 1 92 3 ) la relazione f p d x = h n relativa al moto quasi periodico della materia. L'equazione di Duane p = h/l coincide formalmente con la relazione successiva di de B roglie tra l'impulso di una particella e il numero d'onda di un processo ondulatorio ; ma nel lavoro di Duane non si ritrova l'idea corrispondente . Se Duane avesse applicato la sua intuizione , che una materia a strut­ tura periodica può assorbire solo impulsi discreti, a particelle materiali incidenti, avrebbe potuto collegare un processo ondulatorio con una cor­ rente di particelle ( ciò fu fatto rilevare nell'aprile del 1 926 da J ordan) . 2 In generale una teoria che comprendesse la dualità della luce non sareb­ be stata coerente se non avesse anche contenuto la corrispondente duali­ tà della materia. L'idea delle oscillazioni proprie all'interno di un atomo si trova, in modo impreciso, in M. Brillouin. 3 Egli tentò di spiegare i fenomeni quantistici nell'atomo mediante uno stato particolare dell'etere in pros­ simità del nucleo atomico , dove la velocità di propagazione era minore. Questa regione interna possedeva quindi oscillazioni proprie le cui fre­ quenze ( dato il valore del raggio atomico e per una scelta opportuna della velocità di propagazione ) erano dell'ordine di grandezza delle fre­ quenze spettrali . De Broglie era al corrente di queste considerazioni. L'onda di de Broglie

De Broglie aveva riflettuto sui fotoni e aveva tentato di conciliarli con le onde luminose . Nel settembre del 1 92 3 egli pubblicò le idee fondamentali della concezione ondulatoria della materia : 4 a ciascuna massa egli associava una frequenza di oscillazione . A una particella a riposo di massa m veniva associata una frequenza v0 secondo la

m c 2 = h v0 . Con una trasformazione di Lorentz

per una particella che si movesse con velocità so ondulatorio, un'onda piana sin 2 7r v

�- : ) 2 x

v

egli otteneva un proces­

ONDE DI MATERIA

1 39

con velocità di fase u = c 2 /v, frequenza v = v0/y l - v 2/c 2 e numero d'on­ da

La velocità con cui si moveva la particella coincideva con la velocità di gruppo d v/ d ( 11�) = v . Con questa rappresentazione ondulatoria de Broglie fornì una certa spiegazione della condizione quantistica per l'atomo. Un'onda che cir­ cola intorno al nucleo comprende un numero intero di lunghezze d'on­ da :

2 1r r = n � . Con un impulso p = h l � si otteneva così la relazione

P= m rp = n

h 2 7r

--

tra il momento angolare della particella orbitante e il numero quantico azimutale . Po co più tardi de B roglie caratterizzava così la sua formulazione : la nuova meccanica sta alla meccanica classica come l'ottica ondulatoria sta a quella geometrica. In seguito ( luglio 1 9 24) 5 egli formulò le equa­ zioni fondamentali della sua teoria, che esprimevano la relaz ione tra il

quadrivettore dell'energia e dell 'impulso (E, p) di una particella e il qua­ drivettore della frequenza e del numero d 'onda (v, 1/À.) di un 'o nda : E=h v p=

�.

[ l]

Con la sua formulazione de Broglie poteva spiegare anche il principio di combinazione degli spettri : 6 quando nel campo sono presenti le fre­ quenze Vn e V m , allora si può osservare la frequenza di battimento Vm - Vn . Inoltre per un'onda di materia in un campo elettrico (con poten­ ziale U) egli fornisce la relazione 7

hv=

m c2 +eU. y' l - v 2/c 2

[2]

Se si prende come unità di misura dello spazio delle fasi h 3 , il numero di autooscillazioni in una scatola corrisponde al numero degli stati del­ la particella. Per de B roglie è importante la spiegazione della condizione quantisti­ ca ; nel riepilogo del novembre 1 9 24 egli la definisce première explana­ tion physiquement plausible. 7 Tuttavia la speranza, qui implicita, di

1 40

CAPITOLO DODICES IMO

poter spiegare i fenomeni quantistici in modo intuitivo non era realiz­ zabile . Dualità nella luce e nella materia

Le ricerche di E instein sulle fluttuazioni dell'energia e dell'impulso nel campo di radiazione, in cui egli individuava nella formula dell'irrag­ giamento di Planck i contributi delle particelle e delle onde luminose, avevano posto le basi concettuali della dualità della lu ce ( cap. 4) . Ma gli altri non videro bene la loro portata e quindi ancora verso il 1 92 3 venivano nuovamente discussi certi problemi che avevano a che fare con la formula dell 'irraggiamento, ad esempio da parte di Pauli, Bothe8 e de Broglie.7 Un notevole impulso venne da una breve nota dell'indiano N . S . Bo­ se,9 tradotta da E instein e pubblicata nel luglio del 1 9 24. " Poiché i modi in cui si è finora ricavata la formula dell'irraggiamento non sono soddisfacenti sotto il profilo logico", egli la ricavava dall' idea dei foto­ ni con l'ausilio della meccanica statistica. I quanti di lu ce venivano di­ stribuiti in celle dello spazio delle fasi di grandezza b 3 ; un microstato veniva quindi definito tramite il numero delle celle contenenti un nu­ mero determinato di quanti di tipo (frequenza) determinato. I micro­ stati corrispondevano dunque ai numeri d'occupazione delle celle. La statistica di B ose per i fotoni coincideva quindi con la statistica prece­ dentemente applicata da Planck ai quanti di energia ( cap. 2) e forniva perciò la formula d' irraggiamento di Planck ; questa maniera di enume­ rare i microstati nel caso di particelle non distinguibili, che già aveva chiaramente individuato N atanson nel 1 9 1 1 , fu chiamata in seguito sta­ tistica di Bose ( nel 1 924 le considerazioni di Natanson erano già state dimenticate ) . Fu solo più tardi che ci si accorse della possibilità di un'al­ tra statistica quantistica per le particelle non distinguibili, la statistica di Fermi. A questo punto E instein eseguì la corrispondente modifica della sta­ tistica per le particelle materiali. 10 Il comportamento teorico di un gas ideale alla basse temperature contraddiceva il principio termodinamico di Nernst. Applicando la statistica di B ose , tuttavia, questa contraddizio­ ne veniva rimossa. S costamenti dal comportamento ideale classico inter­ venivano ( secondo E instein ) nella misura in cui diventava apprezzabile la quantità n b3/(m k T ) 3 1 2 , dove n è il numero di particelle per unità di volume e m è la loro massa. A temperatura ambiente inoltre n dove­ va essere dello stesso ordine di grandezza che nei liquidi , mentre a tem­ perature di alcuni gradi Kelvin bastava che ne fosse 1 1 1 000. Nel gennaio del 1 92 5 Einstein dimostrò che un gas le cui particelle seguano la stati-

141

ONDE D I MATERIA

stica di B ase manifesta fluttuazioni in cui si ravvisano contributi corpu­ scolari e ondulatori, e menzionò la rappresentazione ondulatoria di de Broglie, alla quale solo a questo punto molti rivolsero la propria atten­ zione . Verifica sperimentale dell'onda di materia

Allorquando de Broglie introdusse l 'idea dell'onda di materia, si cono­ scevano alcuni fenomeni connessi con la natura ondulatoria della materia ; ma essi non sarebbero bastati a far scoprire questa natura ondulatoria. A Gottinga nel luglio del 1925 W. E lsasser (confortato da discussioni con Franck ) vide un'espressione delle proprietà ondulatorie in due fenome­ ni : !'" effetto Ramsauer", che consiste nella diminuzione della sezione efficace degli atomi dei gas nobili rispetto agli elettroni lenti quando decresce la loro velocità ; e il fenomeno ( che è simile all'interferenza e che era stato scoperto da C. J . Davisson e C . H. Kunsman) che nella ri­ flessione di elettroni lenti sulle superfici di alcuni metalli l'intensità di­ pende dall'angolo. L'effetto Ramsauer poteva essere interpretato quali­ tativamente come una diffrazione di onde lunghe su piccole sfere, e i fenomeni delle superfici metalliche potevano essere vere e proprie inter­ ferenze delle onde col reticolo cristallino ; quanto all'ordine di grandez­ za essi quadravano con la relazione di de B roglie 'A = b/m v . N aturalmen­ te in quegli anni si cercavano conferme pii� precise . Secondo la relaziq­ ne di de Broglie, le velocità degli elettroni alle quali si potevano compie­ re sperimentazioni soddisfacenti corrispondevano a lunghezze d 'onda il cui ordine di grandezza era quello dei raggi X ordinari ; ma gli elettroni penetravano poco profondamente nella materia, quindi all'inizio produr­ re interferenze nette fu più difficile che con i raggi X. Tuttavia nel 1927 C. J . Davisson e L . H. Germer ottennero massimi d 'interferenza molto evidenti facendo riflettere gli elettroni su monocristalli di nichel ; nello stesso anno G. P. Thomson potè ben controllare e confermare la rela­ zione À = hl m v nelle interferenze prodotte dal passaggio degli elettroni attraverso sottili fogli metallici. Nel 19 30 H. Mark e R. Wierl ottennero su molecole di gas interferenze di elettroni che erano molto simili alle interferenze dei raggi rontgen ottenute da Debye . 1 2 Tracce di interferenze furono osservate anche con fasci di atomi : pre­ cisamente da O. S tern nel 1929 con fasci di He su salgemma e più chia­ ramente da I . Estermann e Stern con fasci di He e di H 2 su cristalli di Li F ( 1929). 1 3

CAPITOLO DODICESIMO

142

Due strade

verso

l'equazione di Schrodinger

All'equazione di S chròdinger si sarebbe potuti giungere per due stra­ de : a partire dall'onda di materia o dalla meccanica quantistica. Per il moto di una materia omogenea in un campo elettrico, secondo la rappresentazione corpuscolare si aveva

2 _L_ + e U= E '· 2m

per l 'onda corrispondente , alla quale era associato secondo la p = IJ k un vettore numero d'onda k ( ogni 2 71" unità di lunghezza) che nel cam­ po elettrico variava da punto a punto, secondo de Broglie si aveva (vedi

[2] ):

IJ 2 k 2 + e U= E = 15 w .

[3]

2m

Naturalmente la grandezza k è definita esattamente solo per U costante, e l'equazione indica quindi come varia k quando un'onda di materia di frequenza costante passa da una zona priva di campo a un 'altra zona pri­ va di campo attraversando un campo. Nel campo stesso si deve utilizza­ re un 'equazione delle onde e la più semplice delle equazioni che per U costante fornisca la relazione [ 3 ] per un 'onda piana 1/1 e -iw t + ik · x ,_

è la

2 . - 2IJm D. 1/1 + e U 1/1 - i/5 1/1 = O

[4]

-

E =l5 w costante : jj 2 D. ljJ + (e U- E ) = O: 1/J 2m

e con

[5]

Supponendo che l'onda sia reale : 1/1 "' sin( - w t + k

· x + a),

si può ottenere la [ 3 ] solo con la [ 5 ] , cioè per E costante. Poiché il po­ tenziale elettrico U deve contenere anche l' az ione esercitata dalla mate­ ria su sé stessa, le equazioni [ 4] o [ 5 ] devono essere completate median­ te la

D.U= - p , dove la densità di carica elettrica

p

dev'essere espressa tramite 1/1 . Dato

ONDE DI MATE RIA

143

che p dovrebbe essere legato a 1/1 2 o a 1/1 * 1/J , nel caso limite di una ma­ teria distribuita molto tenuemente si può considerare U come il poten­ ziale del campo esterno senza l'azione della materia su sé stessa e scri­ vere la [ 4] o la [ 5 ] anche in termini dell'energia potenziale V di una par­ ticella nel campo esterno:

- ;:

[). 1/J + ( V - E ) 1/J = O.

[6]

Naturalmente questa equazione, che accanto alla grandezza ondulatoria 1/J contiene anche le grandezze corpuscolari m ed e (nella V = e U) , non è coerente. Tuttavia si rifletta, accanto alla natura ondulatoria della ma­ teria, all'esistenza di particelle e si pensi che una singola particella non esercita alcuna azione su sé stessa ; si potrebbe quindi basare la teoria per un'unica particella sull'e quazione [ 6 ] , in cui V sarebbe solo il po­ tenziale del campo applicato dall'esterno. Si potrebbe esprimere la quan­ tità di materia, cioè una particella, mediante l'equazione

J l/1 * 1/l d r = l . L 'altra strada che porta all'equazione di S chrodinger comincia con la meccanica quantistica. In essa i calcoli sono eseguiti con enti mate­ matici, matrici od operatori, che soddisfano relazioni di commutazione come la

i( p q - qp) = f; .

[7]

Grazie alla relazione

(� d

q -q

lq ) F(q) = F(q) ,

,

valida per l'operazione di differenziazione d!d q la [ 7 ] può essere sod­ disfatta sostituendo p con -b d/id q ; più in generale le relazioni di com­ mutazione della meccanica quantistica per sistemi a più gradi di libertà possono essere soddisfatte tramite la

[8] Pertanto la relazione classica

.

H(p t , P 2 . . . q t , q 2 . . ) - E = O dev'essere sostituita dall'equazione

(fJ

a

. H a-· l

ql

fJ

a -. a l

q2

..

)

. q � > q 2 . . . 1/J( q l , q 2 . . . ) - E l/l ( q l , q 2 . . . ) = o,

144

CAPITOLO DODICES IMO

dove H, la funzione hamiltoniana, è ora divenuta un operatore hamil­ toniano. Per una singola particella con

H= L 2 m + V(x) si ottiene così l'equazione [ 6 ] . I lavori di Schrodinger del 1 92 6

La storia ha scelto la strada dell' onda di materia. Delle due correnti evolutive essa ha riportato alla ribalta quella fino a quel momento me­ no seguita. La corrente fino allora principale aveva proceduto dalle leg­ gi spettrali, considerandole indicazioni essenziali sul comportamento de­ gli atomi, ed era riuscita a compiere una modificazione fe conda della meccanica classica delle particelle. La corrente secondaria aveva messo in evidenza la dualità della luce, che tuttavia solo da poco era stata presa in seria considerazione. Ora l'estensione della dualità alla materia diede nuovo impulso a questa corrente, e fu Schrodinger a compiere un progresso importante. Già nel passato S chrodinger aveva riflettuto a un'analogia, già osservata da Hamilton , tra la meccanica di un pun­ to materiale in un campo di forze e l'ottica geometrica in un mezzo non omogeneo, e aveva anche una certa simpatia per i fotoni ; inoltre egli non era troppo legato alle considerazioni dei fisici di Copenaghen . Quin­ di l'esortazione rivolta da Debye a S chrodinger affinché all'o ccasione segnalasse ai fisici di Zurigo le idee di de Broglie cadeva su un terreno fertile . S chrodinger ( e forse la spinta di Debye non sarebbe stata neces­ saria ) si occupò in modo approfondito dell'onda di materia e nell 'anno 1 926 pubblicò sei memorie . 1 4 Il primo lavoro venne concluso in gennaio ; esso riportava il calcolo dei valori dell'energia dell' atomo d 'idrogeno e la connessione con le ri­ flessioni di de Broglie vi era alquanto dissimulata. Nel secondo lavoro, del febbraio 1 926, veniva adottato il punto di vista di de Brogli e ( che la nuova meccanica stesse a quella classica come l'ottica ondulatoria sta­ va a quella geometrica) e se ne illustravano alcune semplici applicazio­ ni. I due lavori si possono riassumere dicendo che , stimolato da de Bro­ glie, S chrodinger aveva esteso l' analogia di Hamilton , già ricordata, fino a costruirne una teoria ondulatoria della materia. La grandezza - E t + + S ( x , y , z), dove p = grad S, che interviene nella meccanica in connes­ sione con l'equazione differenziale di H amilton-J acobi, corrisponde nel­ l'ottica alla propagazione di un fronte d 'onda; a meno di un fattore es­ sa coincide con la fase dell'onda. Ora S chrodinger scrisse l'onda di de Broglie nella forma

ONDE DI MATERIA

145

sm

-

,

Et + S(x � fJ

, .

la sua velo cità di fase era

u=

E

l grad SI

'

oppure , espressa mediante grandezze meccaniche

E

E u = - = ---;=======p y 2 m ( E - V)

.

[ 9]

Per poter costruire una vera e propria teoria ondulatoria era necessario possedere un'equazione d'onda. A questo fine era naturale porre

= - � 1/1 + --4u � O e quindi per un'onda di frequenza pura

w = E/15

2 - � 1/1 - 1JE2 u 2 1/1 = O e con la [ 9 ] :

- :� � 1/1 + ( V - E) 1/1 = O .

[ l O]

S chròdinger vide i n questa equazione l a base della teoria ondulatoria per una particella. Se si impongono alla funzione 1/1 certe condizioni fisicamente significative, l'equazione è risolubile solo per certi valori di E, gli autovalori dell'equazione . Degli stati discreti, che nella teoria dei quanti avevano fino ad allora richiesto condizioni suppletive, era quindi

fornita un 'interpretazione in certo senso intuitiva co me auto oscillazioni.

Le frequenze di irraggiamento Wn - wz, fino ad allora attribu ite alle tran­ sizioni fra due stati ( n , / ) , per S chròdinger erano frequenze di battimen­ to . Applicando tutto ciò all'oscillatore armonico si ottenevano gli auto­ valori

( � ).

E =�w n +

Nel caso di oscillatori armonici pluridimensionali e isotropi a ciascuna energia E(n) corrispondevano più autofunzioni. Inoltre venivano studia­ ti : il rotatore rigido con assi fissi o liberi: per quest'ultimo si ottenne

E=

15 2 n(n + l ) 2/

1 46

CAPITO LO DODICESIMO

e la molecola biatomica oscillante e rotante. L'atomo di H era stato già trattato nel primo lavoro . Sovrapponendo autooscillazioni d i frequenze diverse :

1/J = l: Cn Un (X ) e - i wn t ' dove x rappresenta le coordinate spaziali e u è una soluzione dell' equa­ zione d 'onda [ 1 0 ] per un autovalore En fissato, S chrodinger con un 'op­ portuna scelta dei coefficienti C n fu in grado di rappresentare agglomera­ ti limitati di materia. Nell'oscillatore armonico questi gruppi di onde compivano moti per}odici e non si sparpagliavano ; essi si comportavano quindi come particelle . Che non si sparpagliassero era tuttavia una pro­ prietà che presto si rivelò limitata all' oscillatore armonico. Nel marzo 1 926 S chrodinger fu in grado di dimostrare l'equivalenza formale tra la sua teoria ondulatoria e la meccanica quantistica di Hei­ senberg, B orn e J ordan. Alla base dell'equivalenza stava naturalmente la relazione

(_Q__ _Q__) dq

q -q

F( q ) = F(q ) .

dq

I mpiegando un sistema ortogonale , normato e completo ( nel senso del­ la teoria dei sistemi di funzioni) Un (x) (dove x rappresenta tutte le va­ riabili) , a un operatore r si poteva associare la matrice

r m n = f u m (X) . run (X) " dx . Introducendo gli operatori fJ a P k = T aqk '

per le matrici

( pk ) m n = f U m (X)

jj

a un (X) dx T aqk

( qk ) m n = f u m (x) qk un (x) d x si ottenevano proprio le relazioni di Heisenberg, B orn e J ordan . Quindi il problema che la meccanica quantistica po neva per un particolare si­ stema meccanico consisteva ora nella riso luzio ne di un 'equazione diffe­ renziale alle derivate parziali, e in partico lare nel calcolo dei suoi auto­ valo ri e delle sue autofunzioni. Una memoria del maggio 1 926, considerata come il terzo dei l avori, adattava il calcolo delle perturbazioni all'equazione d 'onda, la quale ve­ niva risolta passo passo mediante la posizione

1/J =

1/l(o) + À 1/1 ( 1 )

+

"'A.2 1/1 (2) + .

. . .

147

ONDE D I MATERIA

Si trattava della generalizzazione di un procedimento già impiegato da Rayleigh per le vibrazioni di una corda. S chròdinger poté così calcola­ re l'effetto S tark per l'atomo di H insieme con le regole di selezione e le intensità. Il quarto lavoro, del giugno 1 9 26 , introduceva l'equazione d'onda dipendente dal tempo. Una possibilità era quella di eliminare E dalla [ 1 0] tramite la relazione

a2 1/1 E2 ---at2 = - w2 1/1 = - f.J2 1/1 , valida per le soluzioni periodiche . L 'equazione così ottenuta

[(- ;�

Y

�+ v

]

l/l - f.J2 � = o

tuttavia non soddisfaceva S chròdinger. Egli allora scrisse un 'onda perio­ dica in forma complessa: 1/J - e + i w t ; ciò comportava

. - E 1/1 = + iwl/l = + i - 1/1 15

ed eliminando E dalla [ 1 0] si otteneva

-

1f2 � I/I + VI/I + i 151/1 = 0 . Zm o

[11]

S chròdinger scelse questa come equ azione base anche per le onde che non avessero una frequenza w costante, cioè anche per gli stati che non avessero un 'energia E costante. Così fu in grado di studiare sistemi la cui energia potenziale dipendesse dal tempo, e in particolare di debora­ re una teoria della dispersione. Nella stessa memoria egli formulò anche la generalizzazione relativistica dell'equazion-e d 'onda, che in cludeva un campo magnetico. Corrispondentemente alla relazione

-

(; y -e u

+ (p - e A ) 2 + m 2 c2 = 0

.

valida per una particella in un campo elettromagnetico, tramite gli ope­ ratori E -+ ± i'b a/at, Px ....,. ± f.l a/iax . . egli scrisse l'equazione d 'onda

{(

) (

)

}

2 2 i15a a ± -.15- ± --eA x + · · · + m 2 c2 1/J = O. c at - e U + !ax

[ 1 2]

Schròdinger aveva tra l' altro esteso le sue equazioni [ 1 0] e [ 1 1 ] anche al caso di più particelle ; 1/1 diveniva in tal caso una funzione in uno spa-

148

CAPITOLO DODICESIMO

zio di coordinate multidimensionale. S chrodinger non era ancora in grado di dire molto sul significato della grandezza ondulatoria 1/1. 1/1* 1/1 rappresentava una funzione peso nello spazio delle coordinate , che pren­ deva il posto di un punto nella meccanica classica. Dall' equazione [ 1 1 ] e dalla sua coniugata si otteneva per la funzione peso un teorema di conservazione, che nel caso di una particella si esprimeva così grad 1/J *) = O 1/1 * 1/1 + div � _Q_ 2 1 m ( 1/1 * grad 1/1 - 1/1 at

[13]

[nella [ 1 1 ] si è scelto davanti a i il segno superiore] ; nel caso di p iù parti­ celle si ottengono subito le corrispondenti rappresentazioni in uno spazio di coordinate multidimensiùnale. Qu ando in 1/1 sono presenti le frequen­ ze Wn e W L , la densità di carica e di corrente nella [ 1 3 ] contengono le frequenze Wn - W / . Note ·bibliografiche

1

W. Duane , Proc . Nat. Akad . S ci . 9, 1 5 8 ( 1 9 2 3 ). P . j o rdan , Z . Phys . 3 7 , 3 7 6 ( 1 9 26). 3 M . Brillouin , Co mpt . Rend . 1 68, 1 3 1 8 , 169, 48 ( 1 9 1 9), 1 7 1 , 1 000 ( 1 920 ), I n . de phys. 3, 65 ( 1 92 2 ) . 4 L. d e Broglie, Co mpt . Rend. 1 77, 507 , 5 48 ( 1 92 3 ), Phil. Mag . 4 7 , 446 ( 1 924) . 5 L . d e Broglie, Compt. Rend. 1 79, 3 9 ( 1 92 4). 6 L. de Broglie , Compt. Rend. 1 79, 67 6 ( 1 9 2 4). 7 L. de Broglie , An n. phys. 3, 2 2 ( 1 9 24) (tesi ) . R istampa Parigi 1 9 6 3 . A que­ sto proposito vedi J . U. Gerber, Arch. H ist. Ex. Sci. 5 , 3 49 ( 1 9 6 9 ) . F . Kubi l , ibid . 7 , 26 ( 1 970) . 8 W. Pauli , Z . Phys . 1 8, 272 ( 1 9 2 3 ) . W . Bothe, Z. Phys. 20, 1 45 ( 1 9 2 3 ), 2 3 , 2 1 4 ( 1 924) . 9 N . S . Bose, Z . Phys . 2 6 , 1 7 8 ( 1 924) . 10 A. Einstein, Sitz. Ber. B erlino 1 9 24, 261 , 1 92 5 , 3, 1 8. 1 1 W. Elsasser, Naturwiss. 1 3 , 7 1 1 ( 1 9 2 5 ) . 12 C . J . Davisson e L. H . Germer, Phys. Rev. 3 0, 7 0 5 ( 1 9 27), Proc. Nat. Akad. Sci. 1 4 , 3 1 7 ( 1 9 2 8 ) .

2

G . P . Thomso n , Pro c. Roy. S o c . 1 1 7 , 600, 1 1 9, 65 1 ( 1 928) . H. Mark e R . Wierl, Z. Phys. 60, 741 ( 1 9 30) . 1 3 O . Stern, Naturwiss . 1 7 , 3 9 1 ( 1 929). l . Estermann e O . Stern , Z . Phys. 61, 9 5 ( 1 9 30). 14 E . S chrod inger , Ann . Phys . 79, 3 6 1 , 489, 7 34, 80, 4 3 7 , 81, 1 09 ( 1 926), Na­ turwiss. 14, 664 ( 1 92 6 ) ; ristampa vol. 3. Vedi anche V. V. Raman e P. Forman , H ist. Stu d . i. Phys. Sci. l , 2 9 1 ( 1 9 6 9 ) .

Capitolo 1 3 Il completamento della meccanica quantistica

Quattro forme

Nella primavera del 1 926 esistevano quattro forme, tra loro manife­ stamente equivalenti, della meccanica quantistica: quella delle matrici , che risaliva a Heisenberg, la meccanica dei numeri q di Dirac, gli esordi di un calcolo con gli operatori dovuto a B orn e Wiener e l'equazione d 'onda di S chrodinger. Nella meccanica classica un sistema viene carat­ terizzato da una funzione hamiltoniana H( p, q) o dalle equazioni del moto. Nella forma matriciale veniva ripresa la H classica ; ma in luogo delle variabili Pk , q k venivano introdotte matrici le cui righe e colonne in ultima analisi dovevano essere numerate mediante gli stati energetici discreti e forse anche i valori di un momento angolare. Perciò H( p, q ) doveva risultare una matrice diagonale. Se non era così , era necessario introdurre, mediante una trasformazione canonica SqS - 1, SpS - 1 ( cap . 1 1) , nuove matrici adatte allo scopo. La corrispondenza con la mecca­ nica classica era assicurata dall'impiego della funzione hamiltoniana e le regole di commutazione fornivano asintoticamente le vecchie condi­ zioni quantiche . Nella meccanica dei numeri q di D irac ci si svincolava dalla particolare forma matriciale, poiché si consideravano come essen­ ziali solo le relazioni algebriche tra i P k , q k e le grandezze che da essi dipendevano. L'analogia col calcolo classico era qui ancora più stretta che nel lavoro di Heisenberg, B orn e J ordan, poiché anche le grandezze i( p q - qp) corrispondevano asintoticamente a grandezze classiche. L 'im­ piego degli operatori in luogo delle matrici o dei numeri q non era mol­ to esteso ; con essi si sperava di poter studiare anche processi aperiodici, e quindi processi nei quali l'energia manifestasse un continuo di valori. Infine l'equazione di S chrodinger, riagganciandosi a un campo allora fa-

1 50

CAP ITOLO TREDICESIMO

miliare dell'analisi matematica, apriva una comoda strada per risolvere i problemi della meccanica quantistica. Ma, al di là di ciò, la grandezza ondulatoria introdotta da S chrodinger aveva qualche realtà fisica? E ancora: esisteva ( poiché infine ci si era convinti della piena equivalenza delle varie forme della meccanica quan­ tistica) una rappresen tazione generale della meccanica quantistica, di cui le fo rme note fossero casi particolari? Su entrambe le questioni ven­ ne fatta, già nel 1 92 6 , notevole luce. A posteriori è possibile separare accuratamente il completamento del formalismo della meccanica quantistica dalla sua interpretazione fisica. Ma nèllo sviluppo storico essi sono intrecciati. Il completamento del for­ malismo nella "teoria della trasformazione " si collegava in parte all'inter­ pretazione probabilistica, e la teoria della trasformazione veniva impie­ gata per chiarire il rapporto tra la descrizione quantistica e quella classica tramite l'" indeterminazione" . Dobbiamo perciò considerare, in quest'or­ dine, l'interpretazione probabilistica, la teoria della trasformazione e l'in­ determinazione . L'inter pretazione p robabilistica

De Broglie e inizialmente anche Schrodinger credevano di aver reso pos­ sibile una comprensione intuitiva dei fenomeni quantistici. S chrodinger lo credeva in quanto aveva riconosciuto negli stati stazionari dell'antica teoria dei quanti le oscillazioni proprie di un continuo e in quanto cre­ deva di poter rappresentare le particelle come pacchetti di onde concen­ trati . Ma questa era una rappresentazione intuitiva tutt 'al più quando la funzione d'onda 1/1 era una funzione nello spazio tridimensionale x , y , z , cioè nel caso di un'unica particella. Nel suo quarto lavoro (giugno 1 926 ) anche 1/1 * 1/1 aveva assunto il significato di una specie di distribu­ zione nello spazio delle coordinate, che aveva preso il posto del punto senza dimensioni della meccanica classica. Un'interpretazione di 1/1 fisicamente accettabile fu data da B orn in una breve comunicazione del giugno e in una memoria più esauriente del luglio 1 926. 1 Egli osservò che delle quattro forme esistenti della meccanica quantistica solo quella di S chrodinger era adatta a fornire una descrizione semplice dei processi aperiodici, e considerò l'urto de­ gli elettroni sugli atomi. Può darsi che a risvegliare l'interesse di B orn avesse concorso il fatto che Fran ck, un collega a lui vicino, aveva lavo­ rato sull'urto degli elettroni e vi dedicava ancora molta attenzione. Nel­ l'onda di de Broglie o di S chrodinger, B orn vedeva una specie di cam­ po guida per gli elettroni. I l campo in sé era determinato in modo cau­ sale, e l'intensità del campo determinava a sua volta le prob abilità del

COMPLETAMENTO DELLA TEORIA

151

passaggio di un atomo in altri stati e della deviazione di un elettrone in determinate direzioni. Born studiava poi la diffusione di un elettrone in un potenziale V(r) a simmetria sferica. Poiché la funzione d' onda po­ teva essere considerata periodica nel tempo, gli era sufficiente l'equazio­ ne di S chrodinger senza il tempo

-

fj 2

2m

l:ll/1 + [ V(r) - E ] 1/J = O ;

le soluzioni da lui trovate contenevano un 'onda piana progressiva

1/1

...._

z ei k -i w t

e un 'onda riflessa diffusa

"' = f(k , 11)

ei k r -i w t

�-, --

Per lui la quantità l f(k , 11) 1 2 d .Q ( con un 'opportuna normalizzazione· dell'onda incidente) era la probabi­ lità che l'elettrone venisse deviato entro l'angolo solido d .Q intorno al­ l'angolo 11 . Quindi 1/J * 1/J d T era la probabilità che le coordinate si trovas­ sero nella regione d T . Nel problema successivo, lo studio della diffusio­ ne in un atomo con stati stazionari n, si otteneva la grandezza l fn m ( 11) 1 2 d .Q , che rappresentava la probabilità di una deviazione entro l'angolo solido d.Q quando avveniva una transizione dallo stato n allo stato m. I l concetto di transizione a un altro stato stazionario non era ancora completamente comprensibile nell'ambito concettuale della teoria di Bohr, come in quello della teoria di Heisenberg, Born e J ordan. In S chro­ dinger pareva che il suo posto fosse preso dal concetto di miscuglio di stati d'oscillazione . Nell'ottobre del 1 926 Born 2 considerò i processi

1/J = � Cn Un (X) e - i wn t . Essi sono soluzioni dell'equazione d'onda di S chrodinger dipendente dal tempo

-

fj 2

2m

.

l:l l/1 + V( x) 1/J - i15 1/1 = O

se le funzioni Un (x) sono soluzioni di quella indipendente dal tempo per le energie En =f.J Wn . Ora B orn vide in l cn 1 2 la probabilità che il si­ stema si trovasse nello stato stazionario n , interpretando la teoria di

152

CAPITO LO TREDICESIMO

Schrodinger " alla Heisenberg" . Applicando all' istante t = O un'azione esterna che comportasse un incremento W(x, t ) di V(x ), dalla funzione iniziale l/In = Un (x) e - iwn t si otteneva la funzione '1:. fnm ( t) U m (x) e - i wm t ; 1/l n (X , t) = m

al cessare dell'azione esterna ( W = O per t > T > O) si otteneva dunque 'i:. bnm Um (x) e - Ì W m t . 1/l n ( X , t) = m Ora le grandezze E m = 15 Wm avevano di nuovo il significato di energie e le Um di autofunzioni degli stati stazionari possibili. Le probabilità di transizione l bnm 1 2 erano determinate da Un e dal tipo di azione esterna. Per uno stato iniziale arbitrario 'i:. cn u n (x) e - i wn t esse erano determina­ te da quest'ultimo e dall' azione esterna. Una variazione lenta di W(x , t) non induceva alcuna transizione. Così veniva dimostrato il teorema adia­ batico nella nuova meccanica quantistica. L'interpretazione data da Born della funzione 1/1 di S chrodinger ven­ ne presto generalizzata. 3 In una sua lettera Pauli parlava della probabi­ lità I �P ( p) l 2 d p che l'impulso avesse il valore p a meno di dp . Nel novem­ bre 1 926 Heisenberg dava al quadrato I So: � l 2 di un elemento di matrice il significato di una probabilità. Nel dicembre 1 926 Pauli interpreta­ va l un (x) l 2 dx come la probabilità che il sistema fosse nello stato n e le coordinate ( rappresentate da x) fossero in una regione di ampiezza dx intorno a x .4 Più in generale egli sperava ( come riferisce J ordan) 6 in una funzione ip ( {3, x) che con l'espressione I �P ( /3, x) l 2 dx determinasse la probabilità che la coordinata spaziale x fosse nella regione dx e che un'altra grandezza avesse il valore fissato {3. Egli chiamò ip ( {3, x) ampiez­ za di probabilità. I n ciò si celava l'idea che si potesse fissare il valore di una grandezza e poi domandarsi quale fosse la probabilità che un' altra grandezza assumesse un valore determinato. Evidentemente si potevano utilizzare alcuni concetti classici. Invece di descrivere uno stato median­ te i valori delle variabili {3, x , lo si descriveva mediante ip ( {3, x) . E instein rifiutò l'interpretazione probabilistica : " il Vecchio [ cioè Dio] non gioca a dadi", scriveva in una lettera a Born del dicembre 1 926.5 Schema della teoria della trasformazione

La forma della meccanica quantistica indipendente dalle formulazio­ ni storiche era ormai nell' aria. La forma matriciale fissava i numeri n , che corrispondevano a stati con valori costanti dell'energia ( e fors' anche del momento angolare) . La formulazione di S chrodinger metteva in evi-

153

COMPLETAMENTO DE LLA TEORIA

denza la posizione x nello spazio delle coordinate, e nella forma indi­ pendente dal tempo fissava anch'essa n e forniva la probabilità della po­ sizione x . Nella ricerca d i una formulazione generale per la meccanica quantisti­ ca, fu essenziale riconoscere nell'equazione di Schrodinger una prescri­ zione per compiere una trasformazione canonica che da H( p 1 q 1 ) permettesse di ricavare una matrice diagonale . Per cominciare si ebbero studi più precisi sulle trasformazioni canoniche : 6 fu dimostrato che tut­ te le trasformazioni canoniche hanno la forma A = SA S * (Jordan, nell'a­ prile del 1 926) , e per quantità reali A = SA S - 1 , poi si vide che le trasfor­ mazioni canoniche classiche si possono trasferire nella meccanica quanti­ stica ( London nel maggio e J ordan nel luglio del 1 9 26 ) . Eseguendo lo sviluppo 1/J (x) = '1:, 1/Jn un (x ) secondo il sistema ortogonale di funzioni un (x), F . London associò delle matrici agli operatori di differenziazione, per esempio a quelli li a/i a q che compaiono nell'equazione di Schrodin­ ger ; in generale egli trovò ( nel settembre del 1 926) che la trasformazio­ ne di un operatore A secondo lo schema •• •

A = SA S *

• • •

A;k = S;n A n m S:,k

corrisponde al passaggio a un altro sistema ortogonale e a una trasfor­ mazione

� = S ljJ

�n = Sn m 1/J m

dei coefficienti dello sviluppo. Questa trasformazione dei coefficienti significa una rotazione nello spazio di Hilbert delle funzioni. I coeffi­ cienti 1/Jn si comportano come componenti di vettori (vedi appendice) . Le trasformazioni canoniche erano dunque trasformazioni di coordina­ te in uno spazio astratto, e le matrici che corrispondevano alle grandez­ ze fisiche rappresentavano applicazioni lineari. Fin qui erano stati per lo più considerati matrici A n m o sistemi di coefficienti 1/Jn con indici discreti. Fu con la "teoria della trasformazio­ ne " che si riuscì a estendere le trasformazioni a enti con indice conti­ nuo ; essa fu scoperta indipendentemente da D irac e da J ordan nel di­ cembre del 1 926.6 E ssi partivano da punti diversi : Dirac tentava di a­ dattare il formalismo dei suoi numeri q all'equazione di S chrodinger, Jordan si collegava alla congettura di Pauli della probabilità I �P ( /3, q ) l 2 d q . Nel caso di indice continuo D irac sostituì la trasformazione

.Ar f' = S f a' A a' a" S � " � " con la

A( f f') = f s< f a') da' A(a'a " ) da " S *(a " f')

CAPITOLO T REDICESIMO

154

(gli autovalori sono contrassegnati dagli apici) . Nel caso di una matrice diagonale � con autovalori r e � " egli sostituì l'espressione

� ( � ' f' ) = � ' 5 � ' (' con la

� = f 5 < � ' - � " > .

dove compare la funzione 5 ( di D irac) la cui proprietà fondamentale è espressa dalla

Jf(x) 5 (x -y) dx =f( y) .

J ordan stabilì assiomi per le " ampiezze d i probabilità" !() ( �, q) ( indipen­ denza dal comportamento dinamico, sovrapposizione delle ampiezze, simmetria in � e in q ) . Entrambi gli autori studiarono le relazioni per le variabili canoniche coniugate p e q , giunsero agli stessi risultati e in­ fine dimostrarono che le autofunzioni di S chrodinger U n ' (q') sono gli elementi S(n' q') della matrice S della trasformazione che riduce in for­ ma diagonale l'operatore di Hamilton . Gli indici delle matrici corrispon­ devano ora a variabili arbitrarie . Le funzioni di S chrodinger collegano le matrici i cui indici corrispondono alle energie con quelle i cui indici sono coordinate spaziali. Questa teoria della trasformazione di Lo n don, D irac e J ordan non soddisfaceva i severi criteri della matematica. La sua rifinitura matema­ tica fu compiuta in occasione di un corso di lezioni sui recenti sviluppi della meccanica quantistica tenuto da Hilbert a G ottinga nel semestre in­ vernale dell'anno 1 926-2 7 , alla cui preparazione contribuirono sostanzial­ mente Nordheim e (per la parte matematica) j . von Neumann. 7 Una me­ moria di questi tre autori dell'aprile 1 927 rese trasparenti e comprensibi­ li le idee di Dirac e di J ordan e rese possibile una più esplicita separazio­ ne tra il formalismo e la sua interpretazione fisica. I concetti di stato e di osservabile acquistarono un senso chiaro. Certe lacune nelle dimostrazioni matematiche furono poi colmate ne­ gli anni seguenti da von N eumann. 8 Fu un lavoro arduo associare i con­ cetti della meccanica quantistica, stato e variabile, ai vettori e alle tra­ sformazioni nello "spazio di Hilbert", cioè lo spazio delle funzioni 1/J (x ) di quadrato sommabile ( per le quali 1/J * 1/J d x è finito) e dimostrare in­ fine che la soluzione del problema della meccanica quantistica è in ef­ fetti una trasformazione secondo gli assi principali in questo spazio. S i può ritenere che la formulazione della teoria della trasformazione sia la conclusione o il " coronamento " della meccanica quantistica? Essa possiede ora una relazione più intima con la rappresentazione corpusco­ lare classica che con la rappresentazione dell'onda di materia. Concetti

J

155

COMPLETAMENTO DELLA TEORIA

come stato stazionario e salto quanti co erano stati interpretati ex n o v o , ma si continuò a utilizzarli. Fin dal punto di partenza, rappresentato dal­ la funzione hamiltoniana, il numero delle particelle di un sistema mecca­ nico era stato considerato come ben determinato. Questa limitazione fu presto rimossa. La rappresentazione ondulatoria o di campo riuscì per­ ciò a farsi nuovamente valere con più vigore ; tuttavia sarà possibile com­ prendere meglio questa evoluzione se avremo prima esaminato la connes­ sione tra la statistica delle particelle non distinguibili e la simmetria del­ la funzione d'onda ( cap. 1 4) . S i potrà allora ritenere che il coronamento della meccanica quantistica sia la dimostrazione dell'equivalenza tra l'a­ spetto ondulatorio e quello corpuscolare ( cap . 1 6 ) . L'indeterminazione quantistica

La teoria della trasformazione della meccanica quantistica, che era stata elaborata verso la fine del 1 9 26, aveva indicato quali domande avessero senso e potessero avere risposta nell 'ambito della me ccanica quantistica. Questa indicazione era stata data in modo piuttosto astrat­ to . Contemporaneamente alla costruzione di questa teoria, si poneva tuttavia anche il problema di un suo senso fisico più profondo e del suo significato intuitivo. 3 Di ciò si discusse a Copenaghen nell'autu nno del 1 92 6 , e in particolare anche durante una visita di S chrodinger, il quale era molto propenso a mantenere alla sua funzione d'onda un'interpre· tazione intuitiva. In una lettera a Pauli dell'ottobre 1 926, Heisenberg più o meno scriveva : alla relazione i( p q - qp) =Jf fa riscontro nella rap­ presentazione ondulatoria il fatto che non ha alcun senso parlare di un 'onda monocromatica in un breve intervallo di tempo ; analogamen­ te , non ha alcun senso parlare della posizione di un corpuscolo avente una velocità determinata. Ciò invece ha affatto senso se posizione e ve­ locità non vengono prese troppo alla lettera. E' di quel tempo anche l' asserzione di Pauli : si può guardare il mondo con l'o cchio delle p o con l'occhio delle q ; ma se lo si fa contemporaneamente, ci si confon­ de. Accanto allo scambio epistolare tra Heisenberg e Pauli, proseguiva­ no i colloqui tra B ohr e Heisenberg. Le formulazioni di costoro si di­ mostrarono chiaramente diverse. Per B ohr il dualismo onda-corpuscolo era il punto di partenza per l'interpretazione fisica dei fenomeni quan­ tistici ; per Heisenberg la certezza stava nei teoremi della meccanica quantistica e nella teoria della trasformazione. Intorno al febbraio del 1 927 Heisenberg riuscì a chiarirsi il proprio punto di vista ; una sua lun­ ga lettera a Pauli di quel periodo riporta più o meno il contenuto della memoria sulla relazione d' indeterminazione . " S i fa giorno nella teoria quantistica" gli rispose più o meno Pauli. B ohr non era an cora del tut-

1 56

CAPITOLO TREDICESIMO

to soddisfatto . Ma a questo punto ( marzo 1 9 27) Heisenberg pubblicò la sua memoria " sul contenuto intuitivo della cinematica e della meccani­ ca quantistica".9 I n essa veniva compiuta un'analisi dei concetti fonda­ mentali : posizione, velocità, traiettoria ed energia di un corpuscolo. La posizione di una particella per esempio può essere determinata con un microscopio ; con ciò si deve tener conto di un'indeterminazio­ ne il cui ordine di grandezza è quello della lunghezza d'onda della luce impiegata:

I::J.x :::::! À . Si può pensare che questa sia arbitrariamente piccola, e quindi in linea di principio una posizione può essere determinata in modo arbitraria­ mente preciso. Ma una luce avente lunghezza d'onda piccolissima indu­ ce una variazione apprezzabile nell'impulso della particella osservata e un 'indeterminazione nell'impulso

h �::!.p :::::! T · sicché l'indeterminazione nella posizione e quella nell'impulso sono tra loro legate da

!::J.x i::J.p :::::! h . Se la posizione della particella invece che col microscopio ottico viene determinata mediante la deviazione che da essa subiscono i corpuscoli materiali, valgono considerazioni analoghe. Poiché per un elettrone l s i n u n atomo il prodotto della distanza dal nucleo e dell'impulso h a già un ordine di grandezza pari circa a h, non ha senso parlare dell 'orbita di un elettrone l s. La velocità di una particella può essere determinata ad esempio mediante l'effetto Doppler della luce, ma, a causa del rincu­ lo così provocato, solo con un'imprecisione l::!.p :::::! h/X nell'impulso ; una contemporanea determinazione della posiz ione comporta !::J.x :::::! À . All'e­ nergia di uno stato atomico si può risalire mediante la frequenza emes­ sa 11 , e quest'ultima può essere determinata tanto più precisamente quan­ to più a lungo se ne può disporre ; vale infatti

!::J. v i::J. t :::::! 1 . Tra l'incertezza nella determinazione d i un 'energia e quella nell'accerta­ mento di un istante sussiste quindi la relazione

!::J.E I::J. t :::::! h . I concetti classici si possono definire esattamente anche nel dominio atomico; la determinazione simultanea di due grandezze canoniche coniu-

COMPLETAMENTO DELLA TEORIA

157

gate, tuttavia, è affetta da un 'indeterminazione secondo la b.p b.q -;:::. b. Se esistessero esperimenti che consentissero una determinazione più pre­ cisa delle variabili , la teoria quantistica sarebbe impossibile ( più chiara­ mente Heisenberg avrebbe potuto dire che in tal caso si sarebbero ma­ nifestate contraddizioni a risultati accertati della teoria quantìstica) . Con l'ausilio della teoria della trasformazione di Dirac e J ordan, Hei­ senberg calcolò le incertezze : nel caso più semplice l'ampiezza di pro­ babilità per la posizione

corrispondeva a quella per l'impulso

con

a b = l5 . Oltre a ciò Heisenberg mostrò anche come questi pacchetti d'onde nel corso del tempo si sparpagliassero. Heisenberg esprimeva così le conseguenze dell'indeterminazione : "Nel­

la proposizione: 'se conosciamo con precisione il presente possiamo cal­ colare il futuro ' non è falsa la conseguenza, bensì la premessa. Poiché ogni accadimento è sottoposto alla relazione b.p b.q -;:::. h, la nullità del principio di causalità (nel senso detto) è inappellabile. "

Mentre Heisenberg nel fondare la relazione di indeterminazione si col­ legava alla teoria della trasformazione , per Bohr, come si è detto, era la dualità a occupare il primo posto ; egli espose questo punto di vista al Congresso di fisica di Como, nel settembre del 1 927 . 10 I llustrando un esperimento concettuale di determinazione della posizione mediante il microscopio , egli metteva in risalto sia l'utilizzazione di proprietà ondu­ latorie, che conducevano all' indeterminazione

b.x =

À_

sm lP

_ __

della posiz ione (4p è l'apertura della lente dell 'obiettivo) , sia l 'utilizza­ zione di proprietà corpuscolari, che portavano all'effetto Compton e al­ l' in determinazione

158

CAPITOLO TREDICESIMO

della componente x dell'impulso (a causa della diversità degli angoli) . Anche nelle equazioni fondamentali

E=hv

h

p = ---;;

vengono combinate proprietà corpuscolari e proprietà ondulatorie. Tut­ ta l'epistemologia di B ohr è pervasa dal concetto di "comple mentarità" . " Qualunque osservazione d i fenomeni atomici comporta un 'interazione non trascurabile con gli strumenti di misura" ; né il fenomeno né lo stru­ mento d'osservazione posseggono dunque una realtà fisica autonoma. A causa di questa interazione, dobbiamo " considerare la rappresentazione spazio-temporale e il postulato della causalità come aspetti complemen­ tari ma mutuamente esclusivi della descrizione del contenuto dell'espe­ rienza" . In seguito si diffuse un 'accezione della complementarità alquan­ to più restrittiva: due grandezze sono complementari quando la cono­ scenza precisa dell'una esclude la conoscenza della sua complementare . I n questo senso le grandezze canoniche coniugate della meccanica sono complementari. La misurazione di una delle grandezze provoca sull'ap­ parecchio di misura una reazione che disturba la misura della grandezza complementare . Sulla base di questa spiegazione del significato fisico degli schemi for­ mali, già nell'estate del 1 927 E . H. Kennard ( allora a Copenaghen) po­ té illustrare con semplici esempi le relazioni tra funzioni di S chrodinger, matrici, misura e indeterminazione. 1 1 Al Congresso Solvay dell'ottobre 1 9 27 , de B roglie , B orn, Heisenberg e S chrodinger illustrarono diversi modi di comprendere i fenomeni quan­ tistici. 1 2 De Broglie cercò di mantenere in piedi un'interpretazione in­ tuitiva delle onde, quella di onde guida per le partic�lle. Tuttavia dovet­ te almeno concedere che la densità associata alla funzione d 'onda era adesso divenuta una probabilità. B orn e Heisenberg sottolinearono che la teoria quantistica era con clusa ; allontanarsi dall'interpretazione for­ nita dalla teoria della trasformazione avrebbe portato a contraddizioni con gli esperimenti. Per S chrodinger la connessione tra l'onda di de Bra­ glie e la grandezza t/1 nello spazio delle coordinate non era ancora del tutto chiara ; per lui 1/1 indicava in qualche modo che il sistema effetti­ vo corrispondeva al sistema classico presente con tutti i suoi possibili stati. In conclusione, come si vide durante la discussione, de B roglie e S chrodinger ritenevano che la situazione fosse provvisoria, Born e Hei­ senberg che fosse definitiva. Durante il Congresso Solvay ebbero luogo tra Bohr e Einstein con­ versazioni più private sulla causalità e la probabilità nei processi su sca­ la atomica. Einstein se ne usciva sempre con nuovi esperimenti concet-

COMPLETAMENTO DELLA TEORIA

1 59

tuali, Bohr glieli confutava, ma alla fine non riuscì a persuadere Ein­ tein . Le connessioni col passato

A quel tempo naturalmente si tentò anche di chiarire mediante sem­ plici esempi il rapporto fra la teoria di S chrodinger, i risultati provviso­ ri dell'antica teoria dei quanti e la meccanica classica. Il metodo di approssimazione di Wentzel, B rillouin e Kramers, detto per brevità metodo WB K, permise di accertare con quale approssimazio­ ne fossero corretti i risultati forniti dal precedente metodo dell'integra­ le di fase . 13 Nel giugn o del 1 92 6 Wentzel, mediante la posizi one

-IJ2 d 2 , /, --� + [ V(x) - E] 1/J = O 2 m dx 2 trasformò l'equazione di S chrodinger unidimensionale

� fydx

1/J = e u

nell'equazione

� y ' + y 2 + 2 m( V - E ) = O. l

Passando al limite per IJ tendente a O se ne otteneva

y = ± y2 m(E - V) = ± p 1/J = e

! J p(x) dx TJ

Dunque plf.J era una specie di numero d'onda. Wentzel ottenne appros­ simazioni migliori sviluppando y in potenze di f.J . Nel caso in cui il mo­ to classico si svolgesse nella regione V� E tra due punti di frontiera x 1 e x 2 , in un modo non molto persuasivo Wentzel trovò

x2 J p dx = xi

bn 2

§p dx = b n .

Egli applicò il su o pro cedimento anche a un sistema separabile con più gradi di libertà. Nel luglio del 1 9 26, indipendentemente da Wentzel, Brillouin fece considerazioni equ ivalenti . Nel settembre del 1 9 26 H. A . Kramers studiò con più cura il comportamento della soluzione nei pun-

CAPITOLO TREDICESIMO

160

ti x 1 e x 2 ; facendo intervenire la soluzione esatta per un andamento li­ neare di V(x) e confrontando il suo andamento asintotico ad una certa distanza da x 1 e da x 2 ( V= E ) con l'andamento dell'approssimazione e

± � I p dx

± _i_ I Ji dx

e t5

ji= y'2 m( V-E ) ,

per x > x 1 , V < E egli trovò 1/J =

W:-v sin (� Jt dx + � ).

e quindi

§p dx = b

( �). n+

L 'analogia tra il comportamento di un pacchetto d'onde molto stret­ to e una particella fu dimostrata in modo semplice da P. E hrenfest nel settembre del 1 92 7 . 1 4 Egli calcolò per una soluzione dell'equazione d ' on­ da unidimensionale -

- --

. jj 2 é) 2 "' + V(x) ·1· iiJ·1· =0 'l' 'l' 2 m òx 2

e per la soluzione 1/J * (x) dell' equazione coniugata la relazione

m

2I

d d t2

1/1 * l/1 dx =

I l/1 *

(- ��)

l/1 dx ,

ovvero in forma abbreviata .:.:.

dV dx

m x = - -­ La legge fo ndamentale della meccanica classica vale per i valori medi della posizione e della forza. Note bibliografiche

1 M. Born , Z. Phys. 3 7 , 8 6 3 , 3 8 , 80 3 ( 1 9 26). 2 M. Born , Z . Phys. 4 0 , 1 67 ( 1 92 6) . 3 Vedi W . Heisenberg, Phys. BI. 1 2, 2 8 9 ( 1 9 56), nel volume i n memoria d i Pauli e in Scbritte u ber Grenzen (Mon aco

4 5 6

1 97 1 )

pp.

64 sgg.

W. Heisenberg, Z. Phys. 40, 501 ( 1 927). W . Pauli, Z. Phys. 4 1 , 8 1 ( 1 927). Einstein-Born , Briefwechsel (Monaco 1 969). P. j ordan , Z. Phys. 3 7 , 3 8 3 , 5 1 3 ( 1 926). F . Lo n d o n , Z . Phys. 3 7 , 91 5, 4 0 , 193 ( 1 926).

P. A . M. Dirac, Proc. Roy. Soc.

113,

621 ( 1 927).

COMPLETAMENTO DELLA TEORIA

161

P. Jordan , Z. Phys.

40,

809, 41 , 797,

44, l

( 1 927).

7 D. H ilbert, J . von Neumann e L. Nordheim, Math. Ann . 98, l ( 1 9 2 7 ) . 8 J . v o n Neumann, Matbematische G rundlagen der Quantenmecbanik ( Berlino 19 32). 9 W . Heisenberg, Z. Phys. 43 , 1 7 2 ( 1 927). N . Bohr, Naturwiss. 16, 245 ( 1 9 2 8) ; trad . it . l quanti e la vita (Torino 1 9 6 3 ). E. H. Kennard , Z . Phys. 44, 3 2 6 ( 1 927) . 12 Rap port 5 me conseil de physique à Bruxelles ( Parigi 1 928 ) . G . Wentzel, Z . Phys. 3 8, 5 1 8 ( 1 92 6). L. Brillouin , Compt. Rend . 183, 24 ( 1 926), J n . de phys. 7 , 3 5 3 ( 1 926) . H. A. Kramers, Z. Phys. 3 9 , 828 ( 1 926). P. Ehrenfest, Z . Phys. 4 5 , 45 5 ( 1 92 7 ) .

10 11 13 14

Capitolo 14 L'utilizzazione della simmetria

Simmetria del sistema e simmetria degli stati

La presenza di una simmetria o invarianza in un sistema meccanico implica l 'esistenza di certe caratteristiche di simmetria nei su oi stati e ( in meccanica quantistica) una particolare proprietà di simmetria delle autofunzioni di S chrodinger. Nel caso semplice di un potenziale unidi­ mensionale a simmetria speculare

V(x) = V( -x) , dall'equazione di S chrodinger

- _E_ 1/1" + ( V- E ) 1/1 = O 2m segue immediatamente che, se 1/J = u(x) è una sua soluzione , anche u ( -x) e u(x) ± u ( - x) sono soluzioni e corrispondono allo stesso autovalore. Poiché, come si vede facilmente, nel caso unidimensionale a ciascun autovalore corrisponde una sola autofunzione , una delle funzioni u (x) ± ± u( - x) dev'essere nulla, cioè u dev'essere una funzione pari o dispari di x . Quindi l'integrale J I/J r x i/J 2 dx, fondamentale per la radiazione di dipolo, è diverso da zero solo se 1/J 1 e 1/J 2 sono di tipo diverso.

Dalla simmetria della funzione hamiltoniana discendono una riparti­ zione degli stati in sistemi di termini con diverse proprietà di simmetria delle autofunzioni e una regola di selezione. Nel 1 926-2 7 questo col­ legamento si manifestò a proposito delle diverse simmetrie e invarianze che si possono presentare : per le particelle uguali, per le simmetrie di riflessione e di rotazione, per l'invarianza alla traslazione . Certo che già la suddivisione dei numeri quantici che si usava allora costituiva spesso

UTILIZZAZIONE DELLA S IMMETRIA

163

un 'indicazione sulla ripartizione in questi sistemi di termini. Cronologi­ camente questa particolare situazione fu scoperta per prima nei sistemi di particelle uguali. Particelle indistinguibili

Indipendentemente dall 'equazione di S chrodinger si conoscevano già alcune particolari caratteristiche dei sistemi di particelle uguali. Nel rica­ vare la sua formula per l'irraggiamento ( 1 900) Planck aveva utilizzato un 'interessante statistica per la distribuzione dei quanti di energia tra gli oscillatori : i microstati equiprobabili coincidevano coi numeri di oc­ cupazione degli oscillatori. In ciò N atanson aveva riconosciuto ( 1 9 1 1) una possibile statistica per le particelle non distinguibili. Nel 1 924 B ose aveva applicato la stessa statistica ai fotoni e Einstein alle molecole di un gas, dimostrando che le fluttuazioni di un gas di questo tipo si com­ portavano come se fossero prodotte da particelle e da onde . A questa statistica di Bose d i u n gas, nel marzo del 1 926 E . Fermi a Roma ne contrappose un' altra, che fu poi chiamata statistica di Fermi. 1 In realtà i gas di Bose e Einstein non ottemperavano al prin cipio di esclusione di Pauli e , in conformità con questo principio, Fermi postulò che ciascuna cella elementare di volume h 3 dello spazio delle fasi di una molecola di un gas monoatomico ideale potesse contenere al più una molecola, e che una permutazione delle particelle indistinguibili non po­ tesse dare origine ad alcun nuovo microstato. La figura 1 6 illustra i di­ versi modi in cui si distribuiscono due particelle in tre caselle secondo le statistiche di B ose, di B oltzmann e di Fermi. Se il numero delle casel­ le e il numero delle particelle erano molto grandi, secondo Fermi il nu-

l

l

































• •

Bs

l

l





l

l







F

• • • •

Figura 1 6

l



• •

• •

• •

l

'-- ·

Bm

Illustrazione delle statistiche di Bose , di Boltzmann e di Fermi.

164

CAPITO LO QUATTORDICESIMO

mero delle particelle nella l-esima casella macroscopica era dato da .;;., NL = 1 - t�---,€,--

l

e

kT

[l]

+l

dove €J è l'energia di una particella nella l-esima cella e t è un parame­ tro che dipende dal numero totale N delle particelle ; inoltre deve risul­ tare "i. Nr = N . l

Fermi scoprì una forma di degenerazione dei gas ( scostamento dal gas di B oltzmann) diversa da quella di E instein ; lo scostamento era apprez­ zabile anche se b 3 ni(JJ. k T) 3 1 2 non era piccolo (n è il numero delle par­ ticelle per unità di volume, Jl la loro massa) . Le tre statistiche conduce­ vano all'espressione comune NI =

l

-----=. er - t�­

e

k T + i}

( i} = O, ± 1 ) .

La figura 1 7 illustra la relazione tra N1 e ( el - t)/k T nel caso della sta­ tistica di Fermi. Pauli proseguì l'indagine nel dicembre del 1 926 . 2 Egli considerava possibili entrambe le statistiche, quella di Bose e quella di Fermi ( dopo che Heisenberg ne aveva mostrato il nesso con la simmetria della funzio­ ne d'onda di S chrodinger) . In entrambe le statistiche i fenomeni di flut­ tuazione fornivano contributi che potevano essere ricondotti a particel­ le e a onde, e le formule differivano solo per un segno. Pauli applicò la statistica di Fermi a particelle dotate di spin ( F ermi l'aveva omesso) . Egli mostrò che gli elettroni in un metallo sono praticamente del tutto degeneri : gli stati a energia più bassa sono completamente occupati ; a un certo livello t dell'energia si presenta una stretta zona energetica, la cui ampiezza è circa kT, in cui gli stati sono parzialmente occupati; più in su essi sono vuoti (vedi fig. 1 7) ; a temperatura ambiente k T � t . In un campo magnetico esterno vi è un eccesso di elettroni con una delle due possibili orientazioni dello spin ; €J contiene un'energia magnetica supplementare che ha segno diverso per queste due orientazioni. Ciò dà origine a un momento magnetico che è proporzionale al campo ap­ plicato e che non dipende in modo apprezzabile dalla temperatura, dun­ que a una suscettibilità magnetica indipendente dalla temperatura. (Nel­ la fig. 1 8 l'energia magnetica supplementare non è inclusa nell'ordinata ; ciò fornisce due curve N(e) diverse per le due orientazioni dello spin.)

165

UTILIZZAZ IONE DELLA S IMMETRIA

L-----....__.� N,

o

Figura 1 7 La statistica d i Fermi.

Figura 18 Il paramagnetismo dei metalli.

Durante questa ricerca Pauli costatò per la prima volta la differenza es­ senziale tra il gas elettronico di un metallo e un gas ordin ario ; ciò rappresentò l'inizio di una teoria quantistica della struttura elettronica dei metalli. L. H . Thomas escogitò un metodo statistico per calcolare le proprie­ tà atomiche ;3 poiché in esso la situazione reale viene approssimata me­ diante una densità elettronica continua, i risultati che esso fornisce sia quando il numero degli elettroni è piccolo , cioè per gli atomi il cui nu­ mero atomico è prossimo alla saturazione di un livello, sia sulla super­ ficie dell'atomo, non sono precisi . La memoria di Thomas del novembre 1 9 2 6 teneva conto della statistica di Fermi, poiché in ciascuna cella di volume b3 dello spazio delle fasi veniva posta una quantità di materia corrispondente a due elettroni ; gli impulsi p erano rappresentati fino a un limite p 212 m = e U, dove U è il potenziale. Per quest'ultimo valeva dunque l'equazione

6. U= 01. U 3t 2 . Nel febbraio del 1 928 F ermi riscoprì questo metodo indipendentemente da Thomas e con esso calcolò in corrispondenza di quali numeri atomici compaiono gli elettroni p, d e f, completando così la teoria di B ohr sul sistema periodico degli elementi ( cap. 9) . Poco dopo Fermi calcolò le correzioni di Rydberg per i termini s.4

Simmetria e statistica In una memoria del giugno 1 926 dal titolo Il problema dei molti cor­ pi e la risonanza, Heisenberg mostrava il nesso tra le statistiche di B ose e di Fermi e la simmetria degli stati dei sistemi di particelle identiche . 5 Dati due oscillatori identici accoppiati con elongazioni x 1 e x 2 , le com­ binazioni x 1 ± x 2 compiono oscillazioni indipendenti ; le due frequenze

166

w_

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

w+ e sono diverse, e tanto più quanto più forte è l'accoppiamento; si manifesta una " separazione di risonanza" . Nella teoria dei quanti nel­ l'approssimazione armonica vi sono le energie

E = b w+

0 + � )+bw-(n -+ �) D..n _ D..n D.. +

con le regole di selezione n + = ± l , = O, per la radiazione di mul­ tipoli arbitrari rimane = O, ± , ± 4 . . . . Vi sono dunque due siste­ 2 mi di stati che non si combinano, uno con numeri pari e l'altro con numeri dispari. Ciascun sistema di stati rappresenta una so luzione completa. La figura 1 9 illustra gli stati per un accoppiamento debole ; i due sistemi che non si combinano sono contrassegnati con e con X , e a sinistra sono riportati i numeri quantici degli oscillatori non accoppia­ ti. Un sistema ( ) corrisponde alla statistica di B ose, l'altro ( X ) alla sta­ tistica di Fermi. Heisenberg riuscì poi a dimostrare, esprimendosi nel linguaggio della meccanica delle matrici, che due meccanismi identici accoppiati si com­ portano sempre come i due oscillatori. Tuttavia fornì anche le funzio­ ni di Schrodinger nell' approssimazione dell'accoppiamento debole :

n_

n_

·

·

1Ji ( l , 2) =

.,}2

[ a( l) b( 2) ± b( l) a( 2) ] ,

dove le cifre corrispondono ai due sistemi meccanici debolmente ac­ coppiati ( ad esempio due elettroni) e le lettere ad autofunzioni dei si­ stemi disaccoppiati. Le funzioni 1P di uno dei sistemi sono simmetriche nelle coordinate l , 2 : 1Ji ( l , 2) = 1Ji ( 2 , l ) ; quelle dell'altro sono antisim­ metriche : 1Ji ( l , 2) = - 1J! ( 2 , 1 ) . Che i due sistemi di stati non si combini­ no segue ora subito dalla simmetria:

J [a( l ) b( 2)

+

b( l) a( 2) ] [( l , 2) [a( l ) b( 2) - b( l) a( 2) ] d T = O ,

poiché f dev'essere simmetrica in entrambe le cifre. I due elettroni dell'atomo di He sono un esempio di tali sistemi mec­ canici accoppiati. Trascurando lo spin, Heisenberg identificò i due si­ stemi di termini che non si combinano coi sistemi dei termini para e orto . Se veniva aggiunto lo spin, venivano permesse deboli combinazio­ ni tra i due sistemi, e i termini si separavano ciascuno in quattro. I nuo­ vi termini si dividevano a loro volta in due sistemi che non si combina­ vano, secondo la figura 2 0. S olo quello indicato con X è realizzato in natura. Uno studio più preciso degli atomi con due elettroni fu com­ piuto nel luglio , con l'ausilio del metodo di S chrodinger. Due spin si possono combinare in tre modi simmetrici e in un modo antisimmetri­ co . Se O! e {3 indicano i due stati dello spin le

0! ( 1) 0! ( 2)

O!

( l) {3 ( 2)

+

{3 ( 1) a ( 2) {3( 1) {3 ( 2)

167

UTI L I Z ZAZ IONE DELLA SIMMETRIA

03

12

02

11

• •

01



00



Figura 1 9

x x



x



1 s 3s

• • •x

1 s 2s

• • • x

1 s2

• • •x

x

Due oscillatori uguali .

Figura 2 0

x xx •

XXX •

Lo spettro di He.

sono le combinazioni simmetriche e la

a( l) /3 ( 2) - 13 ( l) a ( 2) è quella antisimmetrica. Gli stati con autofunzioni d'orbita simmetriche (paratermini) possono essere resi an tisimmetrici con l' aggiunta dello spin in un modo solo ; i termini con autofunzioni d' orbita antisimmetriche ( ortotermini) in tre modi . In realtà il parasistema è un sistema di sm­ goletti, l' ortosistema è un sistema di tripletti. Così concludeva Heisen­ berg: in natura si presentano solo stati con un 'autofunzione ( costituita dalla componente orbitale e dalla componente di spin) antisimmetrica

nelle coordinate degli elettroni. Nell'agosto del 1 926, utilizzando anch'egli l'equazione di Schrodin­

ger, Dirac ottenne gli stessi risultati. 6 Uno stato in cui il primo elettrone ha un numero quantico n e il secondo un numero quantico m non è uno stato osservabile. In luogo degli stati (n , m) e ( m , n) ce n'è uno so­ lo ; per la sua autofunzione sussistono le due possibilità

1/J( l , 2) = a( l ) b ( 2) ± b( l ) a( 2) . Se si accettano le funzio nt simmetrtcbe vale la statistica di Bose, se si accettano quelle antisimmetriche vale la statistica di Fermi. Queste considerazioni furono estese anche al caso di più di due par­ ticelle . Nel giugno del 1 9 26 Heisenberg considerò l'interazione tra parti­ celle negli stati a, b, c, . . . , e mise in evidenza quegli stati che potevano essere rappresentati approssimativamente mediante

1/J( l , 2, 3 . . . ) = l: ( - l) P a( l ) b( 2) c ( 3) . . .

[2]

La somma s i deve compiere su tutte le permutazioni dei numeri l , 2 , 3 , . . . delle particelle e P rappresenta il numero delle trasposizioni che portano a ciascuna singola permutazione . Queste funzioni non si com-

168

CAPITOLO QUATTO RDICESIMO

binavano con funzioni dotate di proprietà di simmetria diverse, erano anti­ simmetriche in ciascuna coppia di particelle e obbedivano al principio di Pauli. Nell'agosto del 1 926 Dirac dimostrò che le combinazioni simmetri­ che

[3]

1/J - � a( l) b( 2) c( 3)

obbedivano alla statistica di B ose e quelle antisimmetriche [ 2 ] alla sta­ tistica di Fermi. Nel dicembre 1 926 Heisenberg considerò molecole con due nuclei uguali. Per entrambi i nuclei l'autofunzione del moto dell'elettrone è o simmetrica o antisimmetrica, l'oscillazione vi apporta una componente simmetrica, mentre se si considera anche la rotazione si ottiene una fun­ zione globale simmetrica ( antisimmetrica) e con i numeri quantici di ro­ tazione O, 2, 4 . . per una componente elettronica simmetrica ( antisim­ metrica) e con i numeri quantici di rotazione l , 3 , 5 . . per una compo­ nente elettronica antisimmetrica (simmetrica) . Ora Heisenberg era in grado di spiegare lo scambio di intensità scoperto da R . Mecke negli spettri a banda delle molecole con due nuclei uguali. Gli stati con funzione glo­ bale simmetrica nei due nuclei identici e gli stati con funzione globale anti­ simmetrica costituivano separatamente un sistema che non si combina­ va; essi potevano essere presenti indipendentemente l'uno dall'altro, e quindi anche con pesi diversi. In uno dei tipi di scambio d' intensità ( fig. 2 1 in basso) comparivano con pesi diversi entrambi i sistemi, nel­ l'altro tipo ( fig. 2 1 in alto) si notava la presenza di uno solo dei siste­ mi. Aggiungendo uno spin del nucleo di 15/2 si potevano ottenere con­ dizioni come nell' orto e nel paraelio , e quindi uno scambio d'intensità .

.

3 : l.

I l comportamento anomalo del calore specifico dell'idrogeno alle bas­ se temperature poté essere spiegato nel giugno del 1 927 da D . M. D en­ nison dopo un lavoro preliminare di Hund: 7 l'idrogeno era un miscu­ glio di idrogeno para e orto ; gli stati di rotazione O, 2, 4 . . della com­ ponente para, simmetrici in entrambi i protoni, potevano essere resi an­ tisimmetrici in un solo modo tramite l'aggiunta di uno spin di protone di -b/2 , mentre gli stati di rotazione l , 3 , 5 . . della componente orto, antisimmetrici nei protoni, potevano essere resi antisimmetrici in tre .

.

43

Figura 2 1

21

Tipi di sene di righe di ro tazione.

UTI LIZZAZ I ONE DELLA S IMMETRIA

169

modi. I pesi statistici così calcolati fornivano l' andamento del calore specifico rilevato sperimentalmente. I pro to ni avevano dunq ue uno spin pari a fJ/2 e seguivano la statistica di Fermi. Nel 1 92 9 K. F . Bonhoeffer e P. Harteck poterono produrre idrogeno para allo stato puro . La

teoria dei gruppi

Gli esempi hanno mostrato che una certa proprietà d 'invarianza o ( ciò che è lo stesso) una certa simmetria del sistema fisico porta sia a una suddivisione degli stati secondo le proprietà di simmetria delle auto­ funzioni sia a regole di selezione. Così dalla simmetria speculare

V(x) = V( x) -

seguiva una classificazione delle autofunzioni in pari e dispari, dall'ugua­ glianza di due particelle

H( l , 2) = H( 2, l) seguiva l a classificazione delle autofunzioni i n simmetriche e antisimme­ triche, con il divieto di combinarle . Inoltre si sapeva che una particella in un campo a simmetria sferica possiede le autofunzioni

1/J = f(r) Yt( � . l{) )

[4]

( Yt è una funzione sferica di ordine 1 ) e che per la radiazione di dipolo si ricava la regola di selezione /::. 1 ± l ; poi si sapeva che per una particel­ la in un campo a simmetria di rotazione le autofunzioni

1/J = f(z , r) e i m !p !::. m = O, ± l

[5]

possono essere scritte nella forma

1/J = f(z , r)

�f� À I{)

/::. ). = 0, ± l

[ 6]

se vi è una simmetria supplementare rispetto a ciascun piano passante per l'asse di rotazione. Si poteva rispecchiare la separazione che si pre­ sentava in seguito a una riduzione della simmetria ( ad esempio quando si passa dalla simmetria sferica alla simmetria di rotazione) scrivendo le funzioni sferiche nella forma

Y( � , I{)) = P( �) e i m � La teoria sistematica della simmetria è oggi costituita dalla teoria ma· tematica dei gruppi e quando essa fu introdotta nella teoria dei quanti, quest'ultima si arricchì di un potente strumento. Per alcuni degli esem­ pi di simmetria sopra menzionati, la dipendenza dell'autofunzione dalla

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

1 70

o dalle variabili con cui aveva a che fare la simmetria venne assegnata esplicitamente. Così l' andamento delle autofunzioni e la loro suddivisio­ ne in sistemi aventi diversa simmetria ( come l == O, l , 2, . . . , m == O, ± l , ± 2, . . . , À == O, l , 2, . . . ) diveniva immediatamente visibile . Questo procedi­ mento non ha successo se il numero delle variabili è grande . Tuttavia ( ad esempio nel caso di invarianza rispetto alla rotazione intorno a un asse e di simmetria speculare rispetto a un qualsiasi piano passante per l' asse) il comportamento delle funzioni [ 6] si può caratterizzare anche mediante le matrici di trasformazione

(

cos À a

- sin À a

sin Àa

cos Àa

)(

l

O

O -l

)

[7]

con le quali le due funzioni vengono trasformate rispettivamente in una rotazione 1{) � 1{) + a e in una riflessione l{) � - ..p. Questo procedimento ha una portata assai più ampia. Queste matrici di trasformazione costituisco­ no le " rappresentazioni del gruppo mediante trasformazioni lineari", e

le rappresentazio ni "irriducibili " del gruppo delle operazio ni di copertu­ ra di un sistema fisico corrispondono ai sistemi di termini. Questa forma della teoria dei gruppi fu applicata per la prima volta alla teoria dei quanti da Wigner nel novembre 1 926 . 8 I gruppi più importanti nella teoria dei quanti sono il gruppo delle permutazioni ( per le particelle identiche) , i gruppi delle riflessioni e delle rotazioni e i gruppi delle tra­ slazioni. Permutazioni

Nella prima delle due memorie del novembre 1 9 26, W igner conside­ rava un sistema di tre elettroni accoppiati senza spin ; elencava le sei combinazioni generate dalle funzioni a , b , c degli elettroni disaccoppia­ ti alle quali si accompagnano sempre le autofunzioni in presenza di ac­ coppiamento :

� a( l ) b( 2) c ( 3 ) � ( - l) P a( l ) b( 2) c ( 3 ) ( bisogna sommare su tutte e sei le permutazioni dei numeri l , 2 , 3 e P è ancora il numero degli scambi) e altre quattro, che a due a due cor­ rispondono allo stesso autovalore ( sono degeneri) . Nella seconda memo­ ria Wigner trattava N elettroni accoppiati mediante la teoria del gruppo delle permutazioni di N elementi . Con ciò i sistemi di termini che non si combinavano corrispondevano alle " partitiones numerorum" dei nume­ ri N ; così per N== 4 si hanno le scomposizioni

171

UTILIZ ZAZIONE DELLA SI MME T R I A

1+1+1+1 1+1+2

( l)

( 3)

2+2

( 2)

1+3

( 3)

4

( l)

o

Wigner assegnò una formula ricorrente per il grado di degenerazione, che nel caso N= 4 compare qui tra parentesi. Nel dicembre del 1 9 26 anche Heisenberg trovò i sistemi di termini per N = 3 , ma con l'aggiunta dello spin . 5 Dette a, � le due possibilità relative a ciascun singolo spin, egli elencò quattro combinazioni di spin simmetriche :

aaa

aa � + a � a + � aa

a � � + �� a + � a �

���

( la dipendenza dal numero della particella è indicata dall' ordine nella succe ssione) , due combinazioni degeneri e nessuna antisimmetrica. Uno stato orbitale a a a , necessariamente simmetrico, non poteva essere com­ pletato in uno antisimmetrico, e ciò era in accordo col principio di Pau­ li ; uno stato orbitale a a b poteva essere reso antisimmetrico con due combinazioni di spin, e quindi generava un doppietto ; uno stato orbita­ le a b c poteva esser reso antisimmetrico , e diventare � (- l) P a( l ) b( 2 ) c( 3 ) , con le quattro combinazioni d i spin scritte sopra, e ciò dava u n quadru­ pletto ; oppure diventava un 'altra combinazione con due combinazioni di spin , il che dava un doppietto. Fu Hund nel maggio 1 927 a fornire l 'enumerazione dei sistemi di molteplicità per un numero arbitrario di elettroni . Mediante un procedimento meno astratto egli fu in grado di chiarire i rapporti di simmetria tra la componente orbitale delle auto­ funzioni e la componente dovuta allo spin . 9

Rotazioni Nel maggio del 1 9 27 Wigner fornì le basi generali per poter applica­ re la teoria della rappresentazione dei gruppi alla teoria dei quanti e tro­ vò la corrispondenza tra le rappresentazioni irridu cibili e i sistemi di ter­ mini . La simmetria di rotazione intorno a un asse ( esempio : un atomo in un campo magnetico) portò alle rappresentazioni (e iM a ) della trasformazione delle autofunzioni mediante una rotazione di am­ Se piezza a e a una suddivisione degli stati secondo M = O, ± l , ± 2 , . si aggiungeva l'invarianza alla riflessione rispetto a qualunque piano pas­ sante per l'asse di rotazione , a M = ± A corrispondeva lo stesso autovalo. .

.

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

172

re ; le rappresentazioni [ 7 ] , cioè ora

(

cos A Ol - sin AOL sin A Ol

cos A Ol

) (l ) -l O

O

,

valevano in generale e gli stati venivano classificati conformemente al loro comportamento rispetto alla rotazione secondo A = O, l , 2, . . . e quelli con A = O conformemente al loro comportamento rispetto alla ri­ + flessione in stati + e stati -, e complessivamente nei tipi � , � -; n, b. . . . Nel caso della simmetria sferica Wigner trovò famiglie di 2 L + auto­ funzioni corrispondenti allo stesso autovalore, che si comportavano ri­ spetto alla rotazione come le 2 L + l funzioni sferiche di ordine L, YL , e che in un'inversione rispetto al punto medio venivano moltiplicate per ± l ; trovò dunque i tipi di stati

l

S + P _ D + F -...

S _ P+ D _ F + ··· ·

Le transizioni di dipolo sono possibili solo tra stati + e - ( questa rego­ la di selezione era già nota empiricamente) . Una riduzione della simme­ tria richiedeva la riduzione completa di una rappresentazione della sim­ metria superiore in rappresentazioni irriducibili di quella inferiore. Così dai termini L nascevano i termini A = O, l , . . . , L oppure M= - L, -L + 1 , . . . , L . L o spin non era incluso in queste rappresentazioni del gruppo delle rotazioni. L 'inclusione dello spin fu resa possibile solo dalle rappresen­ tazioni a due valori dei gruppi delle rotaz ioni, che sono indicate coi nu. . . 3 l men M = ± 2 , ± 2 , . . ne l caso d"1 s1mmetna d"1 rotaziOne e con ] = 2 ,

l

.

.

� , . . . nel caso di simmetria sferica. Era stato Weyl nel 1 925 a sco­

prire queste rappresentazioni a due valori per i gruppi delle rotazioni. Egli le utilizzò per descrivere gli stati atomici con spin nel suo corso durante il semestre invernale del 1 927-28. Queste applicazioni della teoria dei gruppi alla meccanica quantistica ricevettero formulazioni definitive nei libri di Weyl ( 1 928) , Wigner ( 1 9 3 1 ) e B . L. van der Waerden ( 1 9 3 2) . 1 0 Accanto ai gruppi continui delle rotazioni, anche i gruppi delle rotazioni discreti e di ordine finito avevano una certa importanza; così i termini di un atomo o di uno ione si separano in modo determinato quando dallo spazio libero esso vie­ ne portato nel campo meno simmetrico generato dagli atomi vicini all'in­ terno di un reticolo cristallino . Questa separazione dei termini di un elet­ trone fu studiata da E. Bethe, che utilizzò le rappresentazioni a due va­ lori . 1 1 I mparentati con i gruppi discreti delle rotazioni sono i gruppi delle traslazioni, le cui proprietà furono sfruttate da F . Bloch per studiare gli elettroni nei cristalli ( cap. 1 5 ) .

173

UTILI ZZAZIONE DELLA SIMMETRIA

Equivalenza tta aspetto ondulatorio e aspe tto corpuscolare S chrodinger aveva scoperto la sua equazione stimolato dalla rappre­ sentazione ondulatoria e animato dalla speranza di poter spiegare i fe­ nomeni quantistici in modo intuitivo. Ma l'interpretazione che ne ave­ vano dato Born , Pauli, D irac, j ordan e Heisenberg soffocava la rappre­ sentazione ondulatoria. Per questi studiosi l'equazione di S chrodinger era una comoda forma per esprimere le modificazioni quantistiche della meccanica classica delle particelle e per calcolare certe grandezze quan­ tistiche. Bohr tuttavia era persuaso che le rappresentazioni corpuscolare e ondulatoria avessero gli stessi diritti di cittadinanza. Ai fisici il dualismo onde-corpuscoli era più familiare nel caso della luce, e i risultati della teoria ondulatoria della luce erano ben conosciu­ ti da oltre un secolo. Nell' ambito della teoria dei quanti, Dirac fu in gra­ do di spiegare , nell'agosto del 1 9 26 , i fenomeni dell' assorbimento e dell'emissione di luce da parte di atomi provocata dalla presenza di un campo di radiazione. Per fare ciò egli si servì della meccanica quantistica per gli atomi e della teoria ondulatoria classica per il campo luminoso, che trattò come una perturbazione esterna, rappresentandolo mediante un potenziale periodico.6 In questa occasione egli sviluppò la teoria delle perturbazioni per processi variabili nel tempo. Tuttavia Di­ rac non riuscì a ricavare in questo modo l'emissione spontanea della lu­ ce da parte di atomi eccitati. Ciò gli riuscì nel febbraio del 1 9 2 7 me­ diante una coerente teoria quantistica dell'interazione tra luce e mate­ ria, nella quale il campo luminoso veniva rappresentato mediante oscil­ latori armonici quantizzati. 12 Le ampiezze del campo luminoso diven­ tavano perciò numeri q o matrici. Dirac utilizzò le grandezze ondulato­ rie costruite a partire dalle q e p dell'oscillazione luminosa (vedi app. 1 ) , per le quali le equazioni del moto si scrivevano h = - i w b , b * = i w b * . Esse si potevano esprimere nella forma b = e - i � yN = yN + 1 e - i �

}

[S]

b * = yN e i � = e i{}yN + 1

tramite i numeri q N e i numeri q � - Nella forma matriciale b aveva l'aspetto ( analogo alla matrice di Heisenberg) o

b=

vTe -i {} t o

o

o

o

y2 e - i {} 2

O

o

v3e - i {}3 . . .

CAPITO LO QUATTORDICE SIMO

1 74

o e -i � l

=

o o o o

v'l =

o o

o

o

e -i � 2 o

...

o v'l o

.. .

o

o o

y'2 . . .

o e -i � l

o

o

o o

e - i �2 o

o o

o

o

o

o

o o

e - i �3 . . .

.

. .

v'2 o . v'T . . o

. .

=

e -i �3 . . .

D alla [ 8] si ricavava b *b = N con gli autovalori O, l , 2 , . . . e bb * = N + l con gli autovalori l , 2 , 3 , . . . . Per b e b* valeva la regola di commutazio­ ne bb * - b * b = l ; dis tinguendo tra le diverse autooscillazioni si otteneva

[9] mentre b r continuava a commutare con b5 e b ; con b : , br e i"h b ; pote­ vano essere considerati come grandezze canoniche coniugate . D irac applicò la sua rappresentazione con le grandezze b , b * anche alle onde di materia e dimostrò che un gas di B ose poteva essere rappre­ sentato a questo modo. N el luglio del 1 927, a Copenaghen , J ordan os­ serv� ch�per le re_g_ol� di commutazione delle ampiezze d'onda b = = e -l �v'N, b * = y'Ne 1 � restava ancora un grado di libertàY Se si vole­ va che N avesse gli autovalori O, l , 2, . . . allora si doveva porre bb * ­ - b * b = l come Dirac, in accordo con la i ( pq - qp ) = IJ . Si potevano tut­ tavia richiedere soltanto gli autovalori O, l , il che implicava la regola di commutazione

b = e -i �v'N = v' l - N e -i � b * = v'Ne i � = e i �v' l - N e quindi

bb * = 1 - N b*b =N e bb* + b*b = l. La grandezza b 2 conteneva i l fattore y'N( l - N ) con l' autovalore zero ; perciò v'N e v' l - N potevano anche venir sostituiti da N e l - N . D i­ stinguendo i vari tipi di onde si doveva porre

UTILIZZAZ IONE DELLA SIMMETRIA

175

[ 1 0) Le due possibilità per gli autovalori delle grandezze N, corrispondevano ai numeri di particelle secondo la statistica di B ose e secondo quella di Fermi. Quindi Jordan poteva manifestare la speranza che si riuscisse a ottenere una teoria ondulatoria quantistica della materia, in cui i nume­ ri di particelle potessero diventare i numeri di o ccupazione N, degli sta­ ti quantici discreti delle onde. La speranza divenne realtà con una memoria di J ordan e Klein (Copenaghen, ottobre 1 927) .14 D alle equazioni di una teoria ondulato­ ria della materia

�- ::



6.- e U- iti òat l{) = O jj2 ò 1()* = 0 - e U+ iti - -6. ò t 2m 6. U- 4rrel{) *l{) = O si poteva eliminare la parte di U derivante dall'interazione tramite la l{)*(x') l{)(x) U(x) = Ua (x) - e J l x _ x l d t . Mediante lo sviluppo l{) = l: b , u, ( x ) secondo autooscillazioni nel potenzia­ le esterno Ua, il campo veniva trattato in qualche modo come un siste­ ma meccanico avente una funzione hamiltoniana

in cui il primo termine corrispondeva ad autooscillazioni disaccoppiate e il secondo all'accoppiamento rappresentato da U- Ua . I b, erano ora numeri q . Tramite le regole di commutazione [ 9 ] , per ciascun valore fis­ sato di N= l: N, le equazioni potevano essere trasformate in analoghe equazioni per gli N, . D ' altra parte anche l'equazione di S chrodinger per N particelle

{.n- ::

]

ll n -e Ua(x n > + . � k

,�:- E}

\ll ( x 1 , x , · · · ) = O

si poteva trasformare nelle stesse equazioni con la posizione

1/J =

l:

r1 r2 •• ·

b ,l , 2 . . . u, l ( x l ) u, 2 ( x 2 ) . . . ,

dove i coefficienti b erano funzioni simmetriche degli Ti . I n tal modo

1 76

CAPITOLO QUATTO RDICESIMO

restava dimostrata l'equivalenza tra le autooscillazioni quantistiche e le soluzioni simmetriche dei sistemi quantizzati di N parti celle . Nella stes­ sa memoria J ordan e Klein dimostrarono che le regole di commutazione per le grandezze del campo potevano essere espresse anche nella forma

..p (x) ..p* ( x') - ..p* (x') ..p (x) = 6 (x - x' ) ..p(x) ..p(x' ) - ..p (x') ..p(x) = O ..p * ( x) ..p*(x') - ..p *(x') ..p* ( x) = O .

Nel gennaio del 1 928 J ordan e Wigner eseguirono un analogo stu­ dio per il caso delle autooscillazioni con le regole di commutazione [ 1 0] e ne dimostrarono l'equivalenza con le soluzioni antisimmetriche del sistema di N particelle. 15 Ora la simmetria fra aspetto ondulatorio e aspetto corpuscolare della materia era ristabilita: la quantizzazione

del campo della materia e la quantizzazione delle particelle materiali portavano alla stessa meccanica quantistica. Con ciò la teoria quantisti­

ca non relativistica era giunta al suo compimento. Per la teoria quanti­ stica relativistica, tuttavia, l' aspetto ondulatorio doveva assumere un'im­ portanza ancora maggiore . L'inserimento dello spin

Fino a quel momento si era tenuto conto dello spin dell'elettrone solo nella misura in cui la sua influenza rientrava nell'ambito del prin­ cipio di Pauli ; le forze magnetiche che esso esercitava erano state tra­ scurate. Nel 1 927 queste lacune poterono essere colmate nell'approssi­ mazione non relativistica. 1 6 Una teoria che comprendesse lo spin dove­ va possedere tre proprietà: per ciascun elettrone esistono due possibili­ tà di inserimento in un campo magnetico ; lo spin aveva un momento angolare di IJ/2 ; allo spin competeva un momento magnetico 1J e/2 m c ( il rapporto tra momento magnetico e momento angolare era il doppio che per una carica rotante) . Nel febbraio e nel luglio del 1 927 C . G . Darwin tenne conto delle due possibilità d' inserimento mediante un'equazione di S chrodinger, vali­ da per una 1/1 dotata di due componenti e nella quale l'energia magne­ tica in un campo di direzione assegnata era stata posta diversa per le due componenti di 1/1 corrispondenti a questa direzione . Delle proprietà del momento angolare tenne conto Pauli, il quale nel maggio del 1 927 fornì l'espressione degli operatori corrispondenti alle componenti Px , Py . Pz del momento angolare che agivano sulle due componenti di 1/1 e obbedivano alle regole di commutazione per le componenti del momento angolare. Si trattava delle " matrici di spin di Pauli " , Ox , Oy , Oz :

1 77

UTILIZZAZ IONE DELLA SIMMETRIA

(o 1) ( ? ) ( l o) l o o -i

l

0 -1

che moltiplicate per IJ/2 corrispondevano alle componenti del momen­ to angolare. Quindi l'operatore della componente x del momento ango­ lare di un elettrone si esprimeva così :

� � : - z � ) + � ax . a

a

L'energia magnetica indotta dallo spin si poteva esprimere tramite l'o­ peratore

e 'h

2mc

B

o.

Nel caso di N elettroni 1/J diveniva una grandezza con 2 N componen­ ti . Von N eumann e Wigner appl icarono la teoria dello spin di Pauli agli spettri atomici. Essi fecero ricorso alla rappresentazione a due valo­ ri del gruppo delle rotazioni trovata da Weyl; le rappresentazioni irridu­ cibili corrispondevano ai valori di ] ( dicembre 1 927) ; i due autori ricava­ rono la struttura dei sistemi di molteplicità, e le regole di selezione e d'intensità ( marzo 1 928) e la formula per g nell'effetto Zeeman anoma­ lo (giugno 1 928) . N el frattempo Dirac aveva formulato la teoria relati­ vistica invariante dello spin ( vedi cap . 1 6) .

I libri Quando la fondazione della meccanica quantistica fu compiuta, ne comparvero subito le prime esposizioni ricapitolative e i primi manuali. Essi prendevano le mosse dal dualismo. Un'eco notevole suscitarono : 1 7 le introduzioni di Frenkels e di de Brogli e del 1 92 9 e i libri di Dirac e di Heisenberg, basati sui corsi che essi avevano tenuto nel 1 92 9 a Chi­ cago. Dirac incentrò la sua esposizione, che fece epoca, intorno al con­ cetto di ampiezza di probabilità, mentre Heisenberg mostrò in modo efficace come il dualismo limitasse la validità dei concetti classici. Note bibliografiche

1

E. Fermi, Z. Phys. 3 6 , 902 ( 1 926).

3 4 5 6 7

L. H . Thomas, Proc. Cambr. Philos. Soc. 2 3 , 5 42 ( 1 9 27 ) . E . Fermi, Z. Phys. 48, 7 3 , 49, S S O ( 1 928), Conferenze del 1 92 8 a Lipsia, p. 9 5. W. Heisenberg, Z . Phys. 3 8, 41 1 , 3 9, 499 (1 926), 41 , 2 3 9 ( 1 92 7). P. A . M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 1 1 2, 661 ( 1 92 6) . D . M . Dennison , Proc. Roy. Soc . l l S , 48 3 ( 1 92 7 ) .

2 W. Pauli, Z. Phys. 41 , 8 1 ( 1 927).

CAPITOLO QUATTO RDICESIMO

178

F. Hund , Z. Phys. 42, 9 3 ( 1 9 2 7 ) .

8 E. Wigner, Z. Phys. 40, 492 , 8 8 3 , 43, 642 , 4 5 , 60 1 ( 1 927). 9 F. Hund , Z . Phys. 43 , 788 ( 1 927). 1 0 H . Weyl, Gruppentbeorie und Quantenmechani k ( Lipsia 1 9 3 1 ) .

E . Wigner, Gruppentbeorie und ibre A nwendung auf die Quantenmecbani k der A tomspe k tren (Braunschweig 1 9 3 1 ) . B. L. van der Waerden, Die gruppentbeoretiscbe Metbode in der Quan ten mecbani k ( Berlino 1 9 32).

11

H.

Bethe, Ann . Phys. 3 , 1 3 3 ( 1 929). A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 1 1 4, 243 ( 1 927). 13 Jordan, Z . Phys. 44, 47 3 ( 1 9 2 7 ) . 14 Jordan e O . Klein , Z . Phys. 45 , 2 5 1 ( 1 927). 15 Jordan e E. Wigner, Z . Phys. 47, 631 ( 1 928). 1 6 C . G. Darwin , Nature 1 1 9, 2 8 2 , Proc. Roy . Soc. 1 16, 2 2 7 ( 1 92 7 ). W. Pauli, Z. Phys. 4 3 , 6 0 1 ( 1 92 7 ). 1 7 J . von Neumann e E . Wigner, Z . Phys. 47 , 20 3 , 49, 7 3 , 5 1 , 884 ( 1 9 2 8 ) . J . Frenkel, Einfubrung i n die Wellen mecbani k ( Berlino 1 929). L. de Broglie, Einfu brung in die Wellen mecbanik ( Lipsia 1 929). P. A. M. Dirac, Tbe Principles of Quantu m Mecbanics (Oxford 1 9 3 0) ; trad. it. I princìpi della meccanica quan tistica (Torino 1 9 5 9) . W. Heisen berg, Die physikaliscben Prinzipien der Quantentbeorie (Lipsia 1 9 3 0 ) ; trad . it . I princìpi fisici della teo ria dei quan ti (Torino 1 9 6 3 ) . 12

P. P. P. P.

Capitolo 1 5 Applicazioni della meccanica quantistica

Procedimenti di calcolo

Alla fine del 1 926 i princìpi della me ccanica quantistica, con l'inter­ pretazione probabilistica e la teoria della trasformazione , erano in com­ plesso conosciuti. A partire dalla primavera del 1 9 26, l'equazione di S chrodinger rappresentò un metodo per la soluzione dei problemi più semplici ; era un metodo comodo e adeguato alle conoscenze matemati­ che dei fisici di allora. Intorno al 1 92 7 queste circostanze produssero una marea di applicazioni e lo sviluppo di alquanti procedimenti prati­ ci di calcolo. Per sistemi meccanici non proprio facilissimi da calcolare servì all' ini­ zio il calcolo delle perturbazioni creato da S chrodinger nel maggio del 1926, nel quale la funzione hamiltoniana veniva posta nella forma

H = H(o) + X H(t) e la soluzione nella forma

VI = Vl (o) + XVI ( t ) + x 2 Vl (2) + . . . Qui la funzione Vl o era una soluzione del problema " non perturbato "

H(o) . Il metodo partiva da uno sviluppo della funzione cercata VI secon­

do il sistema ortogonale completo delle autofunzioni di H (o )_ S pesso ci si limitava a soluzioni di H (o) corrispondenti allo stesso autovalore E (o ) . Quindi Vl ttJ veniva sviluppata rispetto al sistema incompleto costituito da queste funzioni e si calcolava così come si separava l'energia E (o) a causa della perturbazione H ( t ) . Spesso la rappresentazione in termini delle autofunzioni di H(o) poteva essere ricavata in buona misura da considerazioni di simmetria. Così ad esempio nel 1 9 2 9 J . C. Slater, il

1 80

CAPITOLO QU INDICESIMO

quale già nel 1 9 26 aveva fatto un calcolo analogo nell'ambito dell'anti­ ca teoria dei quanti, potè partire dall'approssimazione monoelettronica, nella quale lo stato di un atomo viene descritto mediante i numeri quan­ tici n;, l; dell'unico elettrone . Trattando l'interazione tra gli elettroni co­ me una perturbazione, egli riuscì a esprimere tramite pochi parametri le energie dei multipletti corrispondenti all'insieme dei numeri quantici dei singoli elettroni n 1 , /1 , n 2 , 1 2 , ; 1 ottenne così i rapporti tra le di­ 2 stanze dei multipletti corrispondenti a p 2 ( 3 P 1 D 1S ) , p 3 , p4 , d , d3 d8 (elettroni equivalenti) , a p5 p . . . S later aggirò le difficoltà della teoria dei gruppi inserendo l'orientazione dello spin tra le variabili delle funzioni monoelettroniche , scrivendo la funzione di approssimazione antisimme­ trica richiesta sotto forma di determinante di funzioni monoelettroniche : . • •

• • •

l/l (o) =

1 yN !

a( 1) a( 2) a( 3) . . b( l ) b( 2) b( 3) . . c ( 1 ) c ( 2) c ( 3 ) . .

e combinando poi varie funzioni d'orbita e posizioni di spin corrisponden­ ti a n 1 , 1 1 , n 2 , 12 , . . . , tenendo conto della simmetria di rotazione. Così il vecchio schema di enumerazione ( cap. 1 0) veniva completato sotto il pro­ filo quantitativo . Nella pratica esistevano già sviluppi secondo sistemi di funzioni incom­ pleti. I l calcolo di Heitler e London per la molecola d'idrogeno 2 diede origine a un altro tipo di rappresentazione mediante poche funzioni asse­ gnate. In essa si partiva approssiman do la funzione cercata nella forma

1/J = 1: Cn U n

[1]

tramite alcune funzioni U n assegnate, e cercando quindi di determinare la " migliore" combinazione Cn . A questo scopo si poteva sostituire la rap­ presentazione [ 1 ] nell'equazione di S chrodinger e ottenere così delle equa­ zioni per i Cn . Allo stesso risultato si poteva giungere scegliendo quei Cn per i quali un determinato integrale assumeva un valore estremale per tut­ te le funzioni della forma [ 1 ], lo stesso integrale che avrebbe fornito la so­ luz ione esatta dell'equazione di S chrodinger se per 1/1 si fosse p otuta sceglie­ re una funzione arbitraria. Con ciò siamo giunti ai potenti procedimenti variazionali in cui si suppo­ ne che la funzione cercata sia una semplice funzione analitica

1/J = u(x , c 1 , c 2 . . . ) con alcuni pochi paramentri c 1 , c 2 ,

• . •

ancora incogniti che possono poi es-

181

APPLICAZIONI

sere determinati, per lo più per tentativi, in modo che l' integrale corrispon­ dente all'equazione di S chrodinger assuma un valore minimo. Nel giugno del 1 927 G. W. Kellner calcolò a questo modo lo stato fondamentale del­ l'elio tramite la posizione

1/1 = f(r1 ) f( r 2 ) [ l + ag ( iJ) + {j b ( {J) + 'Y k( r1 ) k (r2 ) ] , dove r1 e r 2 erano le distanze degli elettroni dal nucleo, {J era l'angolo formato da queste distanze, f, g, h , k erano funzioni semplici date e a , (j, 'Y venivano determinate mediante la variazione . Questi procedimenti fu­ rono sviluppati con grande abilità specialmente da E. A. Hylleraas. Nel febbraio 1929 egli ottenne un valore molto preciso per l'energia dello sta­ to fondamentale dell'elio ponendo

ljJ - e - a h + r2 ) [ l + (j r1 2 + 'Y r� 2 + 8 ( r1 - r2 ) 2 + e(r1 + r 2 ) + � (r1 + r 2 ) 2 ] ; in seguito egli calcolò le energie di numerosissimi atomi. 3 Per atomi con numero atomico più elevato si dimostrò molto adatto il procedimento di D . R. Hartree ( ottobre del 1 927).4 Si partiva da un po­ tenziale provvisorio, in corrispondenza al quale si risolveva l'equazione di S chrodinger per i singoli elettroni ; con le soluzioni si calcolava la densità elettronica e con questa un nuovo e più corretto potenziale, col quale si risolvevano di nuovo le equazioni di S chrodinger per i singoli elettroni, e così via, fino al punto in cui applicando di nuovo il procedimento i risul­ tati non variavano in modo apprezzabile. Veniva dunque determinato un selfconsistent field . Nel 1 92 8 J . A. Gaunt e J . C . Slater dimostrarono che nell'ipotesi che 1/1 fosse un prodotto :

1/J = a( l ) b ( 2 ) c ( 3 ) . . , .

[2]

dove l , 2 , 3 indicavano le coordinate degli elettroni e a , b, c, . . . erano fun­ zioni da determinare, la soluzione dell' equazione di S chrodinger portava diritto alle equazioni di Hartree. N el 1 9 3 0 Fock migliorò il proc edimen­ to, ammettendo che in luogo dalla [ 2 ] ci fossero anche somme di prodot­ ti e tenendo così conto della maggi ore o minore antisimmetria delle com­ binazioni delle funzioni monoelettroniche che corrispondevano ai vari ter­ mini di multipletto. Per quanto riguarda le applicazioni dell'equazione di S chrodinger all'urto di particelle contro atomi, si riscontrano due tendenze di metodo. La pri­ ma consisteva nel risolvere l'equazione di S chrodinger in modo rigoroso li­ mitatamente agli urti elastici . In virtù della simmetria sferica del campo e della simmetria assiale del processo si potevano calcolare separatamente le componenti della funzione di S chrodinger corrispondenti alle funzioni sferi­ che P ( cos 8 ) a simmetria assiale ; per ciascuna componente si otteneva 1 una differenza di fase tra onda uscente e onda entrante.

182

CAP ITOLO QU INDICESIMO

Si poteva a questo modo spiegare ad esempio l'effetto Ramsauer ( cap . 1 2) . 5 L 'altra tendenza consisteva nel considerare l'effetto dell' atomo ur­ tato relativamente piccolo ; si trattava di una prosecuzione delle conside­ razioni di B orn del 1 9 26 ( cap . 1 3 ) . Nell'agosto del 1 926 D irac, nell'ambito della sua prima applicazione dell 'equazione di S chròdinger, elaborò un calcolo delle perturbazioni per una perturbazione variabile nel tempo . Con riferimento allo svilup­ po 1/1 = L an Un , egli impostò equazioni per ricavare gli an . L'applicazio­ ne all' assorbimento e alla componente dell'emissione causata dalla radia­ zione incidente è già stata incontrata ( cap . 14). Il metodo permetteva di calcolare processi di diffusione e d 'urto. Questi procedimenti ebbero una parte di primo piano specialmente in seguito, nella fisica delle par­ ticelle elementari fiorita dopo il 1 9 5 0 . Lo sconfinamento dell'autofunzione

Una differenza caratteristica della meccanica quantistica nei confron­ ti della meccanica classica è che l'autofunzione si protende al di là dei punti limite V= E del moto classico. Se tra due zone in cui V E ( fig. 22), nella meccanica classica vi sono due tipi di moto, ciascuno dei quali compete a una delle buche di potenziale . La funzione d'onda corrispondente a E tuttavia sconfina da una buca all' al­ tra, tanto più debolmente quanto più alta o più larga diviene la soglia. Una soglia non costituisce una separazio ne co mpleta ; si presenta ciò che più tardi fu chiamato l'effetto tunnel . Questo fatto, messo in luce dall'equazione di S chròdinger, aveva per la teoria degli elettroni negli atomi, nelle molecole e nei cristalli un'importanza che fu ben pre­ sto riconosciuta. Hund riuscì a rappresentare gli stati degli elettroni in un molecola bia­ tomica come stati di un sistema a due buche, interpolando tra i casi li­ mite di atomi dis giunti e di atomi uniti. Nel caso di due atomi identici si presentava una separazione degli stati degli atomi disgiunti in uno sta-

Figura 2 2 Soglia d i potenziale.

183

APPLICAZIONI

to simmetrico e in uno antisimmetrico rispetto al piano medio. Il pri­ mo calcolo numerico di uno stato molecolare , lo stato fondamentale di H ; , fu compiuto da 0 . Burrau. Per la sistemazione degli spettri moleco­ lari furono particolarmente importanti le ricerche sperimentali e di clas­ sificazione compiute da R. S . Mulliken su molecole semplici ; esse dimo­ strarono ( nel 1 9 28) l'utilità dell'approssimazione mon oelettronica. N el­ l'agosto del 1 9 27 B orn e Oppenheimer, sviluppando in serie di potenze il rapporto tra la massa dell'elettrone e quella del nucleo, dimostrarono che in una molecola agivano insieme rotazione , oscillazione e moto degli elettroni. Nei suoi contributi ( dicembre del 1 9 27 e giugno del 1 9 28), R. Kronig trattò i n modo esatto i termini dovuti alla rotazione . L e con­ seguenze dello sconfinamento delle funzioni d'onda per i nuclei atomi­ ci furono indicate da Hund nel maggio 1 927 ; in particolare egli mostrò che ciò può implicare tempi d'interferenza aventi ordini di grandezza compresi tra quelli atomici e quelli astronomici. 7 N eli' agosto 1 927 Op­ penheimer affrontò da un punto di vista numerico generale questo scon­ finamento tra due buche di potenziale e, come si è detto, applicò i ri­ sultati all ' atomo d'idrogeno in un campo elettrico esterno. N el dicembre del 1 92 7 Nordheim mostrò l'effetto di uno strato superficiale, idealizza­ to come una soglia, sull'emissione termica degli elettroni dai metalli , mentre nel marzo 1 9 2 8 N ordheim e Fowler studiarono il ruolo dello sconfinamento nell'emissione di elettroni in presenza di un forte cam­ po elettrico . La più notevole tra le speculazioni di questo tipo fu certo l'interpretazione del decadimento a dei nuclei radioattivi come l ' at­ traversamento di una barriera di p otenziale situata tra un campo di for­ ze che tratteneva le particelle a all'interno del nucleo e la regione ester­ na. Essa fu fatta contemporaneamente da Gurney e Condon nel luglio del 1 928 e da G amow nell'agosto del 1928. La

chimica

Uno dei risultati più cospicui della teoria dei quanti fu l'inclusione della chimica teorica nel quadro concettuale della fisica. La trattazione fisica teorica del legame chimico presuppone naturalmente la teoria del­ le molecole, e quindi non sarebbe stata possibile senza la nu ova mecca­ nica quantistica e senza l'equazione di S chròdinger . L' approssimazione monoelettronica, utile all'inizio per la descrizione degli stati molecola­ n, non era tuttavia molto adatta per il legame chimico. Per quest'ultimo entrava in gioco la relazione tra lo stato della mole cola e lo stato degli atomi separati, e in questo passaggio al limite la più fine interazione degli elettroni ( trascurata fino allora) diveniva più grande del legame tra gli atomi.

184

CAPITO LO QU INDICES IMO

Fondamentalmente l'accesso verso la comprensione del legame chi­ mico e verso quella che più tardi si sarebbe chiamata la chimica quan­ tistica fu aperto nel giugno del 1 927 da W. Heitler e F. London, che valutarono l'energia dello stato fondamentale della mole cola d 'idroge­ no approssimando l'autofunzione

u( l , 2) "' a( l ) b( 2) + b( l) a ( 2)

[3]

mediante gli stati fondamentali a , b dei due atomi ( senza spin ; l , 2 in­ dicano le coordinate dei due elettroni) . 2 Questi due autori ottennero come valore approssimato dell' energia

c+ A

E = 2E0 + l +S •

[ 4]

dove E0 era l'energia di un atomo d 'idrogeno, S un integrale che forni­ va la sovrapposizione delle funzioni a e b , C una grandezza interpreta­ bile come interazione coulombiana delle due " nubi elettroniche " e dei nuclei ( C < O) e !"' integrale di scambio " A era una grandezza spiega bi­ le soltanto in termini quantistici. Il "legame chimico " tra i due ato mi corrispondeva alla co mbinazione simmetrica nella [ 3 ] delle autofunzio­ ni a e b degli ato mi, che portava (A < O) a un rilevante abbassamento dell'energia ( per distanze abbastanza grandi C è abbastanza piccolo) . La combinazione antisimmetrica nella [ 3 ] portava a un segno meno davan­ ti ad A e quindi a un 'energia più grande. Invece di combinazione sim­ metrica tra le funzioni d 'orbita degli elettroni si poteva anche parlare di combinazione antisimmetrica degli spin . Una considerazione analoga per He 2 non forniva alcun legame, poiché già negli atomi separati le funzioni d 'orbita sono combinate in modo simmetrico e gli spin in mo­ do antisimmetrico. L'approssimazione di Heitler e London dello stato della molecola mediante un sistema molto incompleto di funzioni a( l ) b( 2) e b( l ) a( 2) , che non erano neppure ortogonali, contribuì a far apprezzare queste approssimazioni con poche funzioni assegnate. Nel dicembre del 1 92 7 London cap ì che il comportamento del siste­ ma quantistico si poteva interpretare come un'immagine dello schema delle valenze dei chimici: 8 se in un atomo o in un gruppo di atomi gli elettroni sono già legati simmetricamente ( se cioè formano un termine di singoletto) , l'aggiunta di un secondo atomo o di un secondo gruppo di atomi non permette alcuna nuova combinazione simmetrica e alcuna separazione dell'energia ( l T + 1 T � 1 T, 2 T + 1 T � 2 T) ; non esiste valenza. Se invece gli elettroni in un atomo o in un gruppo di atomi non sono legati in modo simmetrico (e quindi dànno 2 T, 3 T, . . . ) , l'aggiunta di un compagno dotato anch 'esso di elettroni non legati simmetricamente pro­ voca una separazione , per esempio

185

APPLICAZIONI

Secondo London l'abbassamento di l della molteplicità significava la saturazione di una valenza, l'abbassamento di 2 la saturazione di due valenze . Il triplice legame in N 2 veniva spiegato col passaggio 4 S + 4 S -+­ -+- 1 � . Questa "teoria della valenza di spin " di Lo n don spiega corretta­ mente un punto essenziale , ma vale solo quando si possa prescindere dalla degenerazione spaziale delle orbite elettroniche nell' atomo. Dun­ que essa è solo un modello di come si comporta la valenza. G. Herzberg, che compiendo ricerche sugli spettri molecolari si era persuaso della bontà dell'approssimazione monoelettronica ( tramite au­ tofunzioni monoelettroniche nel campo della molecola) , distinse nelle molecole biatomiche stati " leganti" e stati " antileganti", a seconda che accostando tra loro gli atomi non si originasse tra loro alcuna nuova su­ perficie nodale della funzione d'onda oppure se ne originasse una.9 La saturazione di una valenza consisteva nel fatto che un elettrone di un atomo giungesse a formare con un elettrone di un atomo vicino uno stato legante . Un contributo essenziale al legarne atomico è fornito dall' eliminazione della degenerazione ( basata sulla simmetria sferica degli atomi) degli stati p. In effetti quando il legame è abbastanza forte distinguere tra stati s e stati p perde significato, e ad esempio i quattro elettroni esterni dell' a­ tomo di C si legano su base di parità con gli atomi vicini. C iò fu osser­ vato da L. Pauling nel marzo 1 9 28, ma la trattazione precisa annuncia­ ta in quell'occasione fu compiuta soltanto all' inizio del 1 9 3 1 , subito dopo una ricerca di J . C. Slater. 1 0 Entrambi gli autori consideravano essenziale per il legame che la funzione d'onda di un elettrone nell'ato­ mo venisse orientata dal suo compagno di legame in modo tale che la sovrapposizione fosse massima. Due elettroni p (p 2 ) possono quindi le­ gare due compagni nel modo più forte quando le loro direzioni rispet­ to ad essi formano un angolo retto ; tre elettroni p ( p 3 ) possono legare tre compagni nel modo più forte quando le direzioni rispetto ad essi formano un triedro rettangolo . Se il legame è abbastanza forte, in modo che la distanza fra i termini s e i termini p di un atomo si possa consi­ derare piccola, con opportune combinazioni di funzioni s e p si posso­ no costruire funzioni atomiche orientate che sono idonee alla descrizio­ ne del legame ; tre funzioni siffatte danno un legame massimo quando le direzioni rispetto al compagno stanno in un piano e formano angoli di 1 20° ; quattro funzioni legano al massimo quando le direzioni cor­ rispondono alla disposizione in un tetraedro regolare . Nell'agosto 1 9 3 1 Slater sviluppò i calcoli per questa teoria della valenza orientata, appros­ simando l'autofunzione della molecola mediante una somma di prodot­ ti di autofunzioni monoelettroniche negli atomi. I fenomeni dell'angolo

1 86

CAP ITOLO QU INDICESIMO

di valenza potevano essere spiegati anche con l'approssimazione mano­ elettronica dello stato molecolare ( approssimazione mediante autofun­ zioni monoelettroniche nella molecola) . La circostanza, già nota ai chimici, che le parti di una molecola che sono connesse da un legame semplice possono essere rotate l'una rispetto all'altra intorno a questo legame, mentre ciò non si può fare per un le­ game doppio o triplo, fu spiegata da E . Hiickel all'inizio del 1 9 3 0 col fatto che a un legame multiplo partecipano elettroni 1T ( dotati di fun­ zione d 'onda non simmetrica rispetto alla rotazione) . Il comportamento particolare osservato nel benzolo e in altri composti " aromatici" fu da lui messo in relazione nel 1 9 3 1 con le proprietà di simmetria degli elettroni 'IT, i quali contraggono un " legame non localizzato" .U Quindi verso il 1 9 3 1 vi erano tre modelli quantistici del legame chi" mico. Nel modello di London della valenza di spin lo stato della mole­ cola veniva approssimato mediante gli stati fondamentali del comples­ so degli elettroni negli atomi separati, e quindi il legame chimico era considerato debole rispetto all'interazione fra gli elettroni che portava ai diversi multipletti. Per London le valenze dei compagni di legame si esprimevano nella molteplicità dei loro stati fondamentali e la satura­ zione delle valenze nell'abbassamento della molteplicità che si esplica­ va nel passaggio alla molecola. La generalizzazione delle considerazioni di Heitler e London compiuta da Slater consisteva nell' approssimare lo stato della molecola mediante gli stati dei singoli elettroni negli atomi separati. Egli quindi introduceva l'interazione fra gli elettroni e il lega­ me chimico nello stesso passo dell'approssimazione. In queste conside­ razioni avevano un ruolo particolare quelle combinazioni delle funzio­ ni monoelettroniche che corrispond evano ai trattini con cui si rappre­ sentano in chimica le valenze e come funzioni monoelettroniche erano spesso adatte quelle combinazioni che rappresentavano valenze orienta­ te . Nel terzo modello , in cui lo stato delle molecole veniva approssima­ to mediante funzioni monoelettroniche della mole cola, queste funzioni risultavano suddivise in funzioni leganti e funzioni antileganti e si ave­ va inoltre una suddivisione dei legami in legami localizzati 1T o a e in legami non lo calizzati. In questa formulazione l'interazione fra gli elet­ troni era considerata debole rispetto al legarne chimico . Ciò è spesso corretto nella molecola, ma non vale quando si passa agli atomi separati . Era chiaro che queste tre formulazioni corrispondevano a grossolane approssimazioni, in cui ciò che si trascurava non era poco, ma veniva considerato come meno tipico . A partire dai modelli del legame chimi­ co si sono in seguito sviluppati i procedimenti di calcolo della " chimi­ ca quantistica" : il metodo del legame di· valenza ( valencebond , VB) ,

1 87

APPLICAZIONI

che si sviluppò in un metodo VB-LCAO partendo dall' approssimazione di Slater basata su combinazioni lineari di funzioni atomiche (linear com­ binations of ato mic orbitals) ; e il metodo MO , che si sviluppò dall'ap­ prossimazione monoelettronica nella molecola (molecular orbitals) ; in particolare nel metodo MO-LCAO si approssimavano le funzioni mano­ elettroniche della molecola tramite le corrispondenti funzioni degli atomi. Gli elettroni nei metalli

Qui, oltre lo sconfinamento della funzione d 'onda, ha una parte deci­ siva la statistica di Fermi. Già nel dicembre 1 9 26 Pauli aveva riconosciuto la statistica di Fermi come la differenza e ssenziale tra gli elettroni di un metallo e quelli di un gas ordinario. Egli ne dedusse l'esistenza di una suscettibilità parama­ gnetica indipendente dalla temperatura e ciò aprì la strada a una tratta­ zione quantistica delle proprietà dei metalli. Nell'ottobre e nel dicembre del 1 9 2 7 , Sommerfeld intraprese un vasto studio sul modello dell'elet­ trone libero in un metallo . Calcolò i calori specifici e la relazione tra la conducibilità elettrica e quella termica. Nel febbraio 1 928, a Leningrado, Frenkel interpretò la dipendenza dalla resistenza elettrica dalla tempe­ ratura come conseguenza del fatto che le osc illazioni termiche del reti­ colo cristallino causavano una perturbazione nelle onde associate agli elettroni e limitavano la lunghezza del cammino libero ; egli rese plausi­ bile la proporzionalità fra resistenza e temperatura. Quasi contempora­ neamente , nel marzo 1 9 28 , W. V. Houston , che allora si trovava a Mo­ naco, calcolò in modo preciso questa diffusione ; alle alte temperature il calcolo forniva una proporzionalità tra resistenza e temperatura, men­ tre alle basse temperature forniva un risultato sbagliato. 1 2 I l gas elettronico in un metallo differisce da un gas ordinario sotto un altro aspetto, che deriva dalla differenza tra il comportamento delle funzioni di Schrodinger e quello del moto delle particelle classiche . Nel luglio del 1 93 0, a Cambridge , Landau, risolvendo l'equazione di Schro­ dinger in presenza di un campo magnetico , dimostrò che, in contrasto con la teoria classica, un gas di elettroni liberi manifesta un debole dia­ magnetismo . 1 3 Nell'estate del 1 928 , a Lipsia, B loch considerò il comportamento degli elettroni nel reticolo cristallino di un metallo. 1 4 L 'invarianza rispet­ to alla traslazione

V(x) = V(x + a) portò a un numero quantico di traslazione k e a una rappresentazione delle funzioni d 'onda dei singoli elettroni nella forma

188

CAPITOLO QU INDICESIMO

k !JJ = ei x Vk(X)

Vk(x) = vk(X + a ) .

Bloch riuscì a calcolare le perturbazioni provocate da un reticolo oscil­ lante sugli stati degli elettroni. Il problema portò , modificando lo spiri­ to di certe considerazioni di B oltzmann, a un'equazione integrale, la cui soluzione forn ì alle alte temperature una resistenza proporzionale alla temperatura. Verso la fine del 1 9 29 Bloch trovò anche una soluzione per le basse temperature e una resistenza provocata dalle oscillazioni termiche e proporzionale a T 5 • Nella memoria del 1 92 8 B loch eseguì anche il calcolo approssimato della funzione della banda di energia E(k) nel caso di legame forte tra elettroni e resto dell' atomo ; egli approssi­ mò le funzioni d'onda nel reticolo mediante le autofunzioni dell'atomo, sfruttando l'invarianza del potenziale rispetto alle traslazioni. Servendosi dell'esempio di un semplice reticolo cubico

E = C + 2 K( cos kx a + cos ky a + cos kz a) , Bloch mostrò le differenze tra il comportamento di un elettrone in un reticolo e quello di un elettrone libero. Grande risonanza ebbero le ricerche di Peierls sul diamagnetismo degli elettroni in un metallo alle basse temperature ( 1 9 3 2-3 3 ). Il suo teorema ( " se E(k) è la funzione della banda di energia di un metallo, allora la funzione hamiltoniana

H=E

0 � A) +

descrive approssimativamente il comportamento degli elettroni del reti­ colo in un campo magnetico esterno") costituì il fondamento per la successiva misurazione sperimentale delle " superfici di Fermi " E(k) = � del reticolo metallico. Nelle applicazioni finora accennate della teoria dei quanti al proble­ ma degli elettroni nei metalli era stata trascurata l'interazione fra gli elettroni di conduzione. Già allora questa interazione era riconosciuta come la causa del ferromagnetismo . Nel marzo del 1 928 Frenkel de­ dusse dalle esperienze sugli spettri atomici che quando gli spin assumo­ no un'orientazione parallela si osserva una diminuzione dell'energia. Quando tale diminuzione compensa l'energia necessaria a raggiungere gli stati elettronici superiori ( imposti dal principio di Pauli) , allora si manifesta il ferromagnetismo. Nel maggio 1 928 Heisenberg affrontò il problema dando all'interazione una formulazione analoga a quella data da Heitler e London per il calcolo di H 2 e spiegò così il fatto che in certe condizioni si può presentare il ferromagnetismo. B loch a sua vol­ ta, nel giugno del 1 929, prese le mosse dall'approssimazione monoelet­ tronica e attuò quantitativamente l' idea di Frenkel. 1 6

APPLICAZIONI

189

Nella storia delle applicazioni qui ci fermeremo essenzialmente al 1 9 30. Il tempo in cui si potevano cogliere risultati cospicui con mezzi relativamente semplici, sulla base della sola teoria dei quanti , era finito : " il latte era stato scremato ". Quelli che allora erano solo agli inizi sono in seguito divenuti metodi molto raffinati. Oggi la ricerca è ancora attiva sia nella chimica quantistica sia nell'elettronica dei solidi, ma i risultati non possono più essere esposti in maniera semplice . Note bibliografiche

1 J. C. Slater, Phys. Rev. 28, 291 ( 1 926), Phys. Rev. 34, 1 2 9 3 ( 1 929). 2 W. Heitler e F . London , Z. Phys. 44, 45 5 ( 1 927). 3 G . W. Kellner, Z. Phys. 44, 9 1 ( 1 927).

E . A. Hylleraas, Z . Phys. 48, 469 ( 1 92 8) , 54, 3 47 ( 1 929), 60, 624, 6 3 , 29 1 , 6 5 , 209 ( 1 9 3 0) . 4 D . R . Hartree, Proc. Cambr. Philos. Soc . 24, 89, 1 1 1 ( 1 928). J . A. Gaunt, Proc. Cambr. Philos. Soc. 24, 328 ( 1 92 8). J. C. Slater, Phys . Rev. 3 5 , 2 1 0 ( 1 929) . V . Fock, Z . Phys. 6 1 , 1 26 ( 1 9 3 0) . 5 H. Faxén e J . Holtsmark, Z. Phys. 4 5 , 307 ( 1 927). L. Mensing, Z . Phys. 45, 60 3 ( 1 927). J . Holtsmark, Z . Phys. 48, 2 3 1 ( 1 9 2 8) , 5 5 , 437 ( 1 929), 66, 49 ( 1 9 30). 6 F. Hund, Z . Phys. 40, 742 ( 1 92 7 ) . 0 . Burrau, K . Danske Vid. Selsk. m.-phys. Medd. 7/ 1 4 ( 1 927). 7 M. Bom e J . R. Oppenheimer, Ann . Phys. 84, 457 ( 1 927). R. Kronig, Z. Phys. 46, 8 1 4, 50, 3 47 ( 1 928). F . Hund, Z. Phys. 43, 805 ( 1 927). ] . R. Oppenheimer, Phys. Rev. 3 1 , 66 ( 1 92 8). L. Nordheim, Z . Phys. 46 , 8 3 3 ( 1 928). R. H. Fowler e L. Nordheim, Proc. Roy. So c. 1 1 9, 1 7 3 ( 1 928) . R. W . Gurney e E . U. Condon, Nature 1 1 2, 4 3 9 ( 1 92 8) , Phys. Rev. 3 3 , 27 ( 1 929). G . Gamow, Z. Phys. 51, 204 ( 1 928). F. London, Z. Phys. 46 , 45 5 , S O , 24 ( 1 928). 9 G. Herzberg, Z . Phys. 57, 601 ( 1 929) . 1 0 L. Pauling, Proc. Nat. Akad. 1 4, 3 5 9 ( 1 928), J n . Amer. Chem. Soc. 5 3 , 1 3 67 (1931). J . C. Slater, Phys. Rev. 3 7 , 48 1 , 3 8, 1 1 09 ( 1 9 3 1 ) . 1 1 E. Hii ckel, Z. Phys. 60, 42 3 ( 1 9 30), 70, 204 ( 1 9 3 1). 12 W. Pauli, z. Phys. 41 , 81 ( 1 927). A. Sommerfeld, Naturwiss . 1 5, 8 2 5 ( 1 927), Z. Phys. 47 , l , 43 ( 1 9 2 8) . J . Frenkel, Z . Phys. 47, 8 1 9 ( 1 928). W. V . Houston, Z . Phys. 48, 449 ( 1 92 8). 1 3 L. Landau, Z . Phys. 64, 629 ( 1 9 30). 14 F. Bloch, Z . Phys. 5 2, S S S ( 1 928). 1 5 R. Peierls, Z . Phys. 80, 763, 81, 1 8 6 ( 1 9 3 3 ) . 1 6 J . Frenkel, Z. Phys. 49, 3 1 ( 1 92 8). W. Heisenberg, Z . Phys. 49, 6 1 9 ( 1 92 8) . F. Bloch, Z . Phys. 57, 545 ( 1 929).

8

Capitolo 1 6 Ampliamenti della meccanica quantistica

La teoria quantistica relativistica Intorno al 1 927 la meccanica quantistica era, nei suoi princìpi, ormai completa. Un sistema meccanic o veniva caratterizzato dal suo operato­ re hamiltoniano H( p 1 , p 2 , . . . , q 1 , q 2 , . . . ) , le grandezze fisiche , le osser­ vabili, venivano rappre sentate mediante operatori hermitiani in uno spa­ zio di H ilbert e gli operatori associati alle variabili canoniche p, q sod­ disfacevano le regole di commutazione . Sui valori numerici delle gran­ dezze fisiche venivano enunciate proposizioni di natura probabilistica. Tutto ciò rientrava nella meccanica quantistica non relativistica. A cau­ sa della velocità finita con cui si propaga ogni azione , nella fisica clas­ sica non esisteva una meccanica relativistica per più particelle ; esisteva tuttavia la meccanica relativistica di un punto materiale elettricamente carico ( di carica e) in un campo elettromagnetico definito dai potenzia­ li U, A , con energia cinetica e impulso legati alla relazione

(E

e

- c-c u

)2 (

e + p - cA

)2

+ m2 c2 = o .

[l]

Quindi era naturale attendersi una meccanica relativistica per una par­ ticella ( o per particelle non accoppiate) . Poiché la meccanica quantistica non relativistica poteva essere costruita anche a partire dalla rappresen­ tazione intuitiva dei campi e poiché era possibile dare una rappresenta­ zione dei campi nell'ambito relativistico della fisica classica, si poteva anche sperare in una teoria quantistica relativistica dei campi. Nella trat­ tazione dell'irraggiamento mediante oscillatori quantizzati si trovavano già cenni di elettrodinamica quantistica, i quali fornivano indicazioni an che per una teoria quantistica dei campi materiali .

191

AMPLIAMENTI

La teoria quantistica relativistica di una particella condusse sorpren­ dentemente, nell'ambito della " teoria di Dirac dell'elettrone " , anche a una terza teoria dello spin e all'idea di un " antielettrone" . Furono pre­ sto abbozzati schemi generali di una teoria quantistica dei campi, ma nei particolari ci s 'imbattè in gravi difficoltà. Una caratteristica importante della teoria relativistica quantistica dei campi era tuttavia che il numero delle particelle non era necessari amente costante ; le particelle potevano essere create o annichilate , oppure trasformarsi in altre particelle. Que­ sta teoria quantistica dei campi, che era un ampliamento della meccani­ ca quantistica, fu dunq ue il dono che la fisica teorica negli anni intorno

al 1925 fece all'età successiva, cioè all'età della ''fisica delle alte energie " o fisica delle particelle elementari, la quale è caratterizzata dalla genera­ zione e dalla trasformazione di particelle . Equazioni d'onda relativistiche

Tanto la relazione

[2] per i l quadrivettore (E/c, p ) dell'energia e dell'impulso di una particel­ la e la sua generalizzazione [ l ], quanto la relazione di de B roglie per il quadrivettore ( w/c, k) della frequenza e del numero d'onda portavano ' e · u z o e d' · m

mr{;r� :)� : ( � : ; �y��: l ::� �·

_

c

.

[l]

Essa si poteva interpretare sia come equazione di un campo materiale intuitivo sia come equazione per una particella avente massa a riposo m e carica e . Questa equazione si trova in un lavoro di O. Klein dell'a­ prile 1 926, dedicato a un'unificazione pentadimensionale del campo gravitazionale e di quello elettromagnetico. E ssa si trova in un lavoro di Schròdinger del giugno 1926, nel quale si accennava che essa portava alla vecchia formula di Sommerfeld per la struttura fine delle righe del­ l' idrogeno ; e si trova anche presso altri autori. Nel settembre 1 926 W . Gordon ricavò dal corrispondente principio variazionale anche l e espres­ sioni per la carica e la corrente : 15

(

s a - 2f 1/1 *

)

a l/l a l/l * - eA a l/1 * 1/1 ax a 1/1 �

a = O , l , 2, 3 .

[4]

N e l seguito l'equazione [ 3 ] fu spesso chiamata equazione d i Klein, S chro­ dinger e G ordon . Nel dicembre del 1 926 Klein, con la posizione

192

CAPITOLO S EDICESIMO

1/J = e

_

_i_ mc2t ti

'{)(x, t),

dove '{) variava lentamente nel tempo , ne ricavò l'equazione di S chrodin­ ger non relativistica. Ancora nel dicembre del 1 926 S chrodinger dimo­ strò la validità di un principio di conservazione per la somma dei tenso­ ri energia-impulso della materia e del campo elettromagnetico. Il fatto che la relazione non includesse l'effetto della materia su sé stessa era visto da S chrodinger come una difficoltà: egli non vedeva ancora chia­ ramente la [ 3 ] come un'equazione per una sola particella. Nel 1 928 Weyl sottolineò l'invarianza rispetto alle scelte relative al potenziale elettromagnetico ( gauge transjormation), e quindi rispetto alle sostituzioni simultanee

1/1 -+- 1/J e

i .!:.._ cf> 15

A Q -+- A Q +

a:'!_ ,

che è assicurata dalla combinazione l

a

-

IJ . a

x

Q - eA Q

( a = o, 1 , 2, 3 ) .

A quel tempo non fu ancora notato che i due segni della densità di carica elettrica s0 che compaiono nell'equazione (4] implicavano anche la possibilità di un simultaneo presentarsi di materia carica positivamen­ te e negativamente. Anzi, dopo che Dirac ebbe formulato un'altra teo­ ria invariante rispetto alla trasformazione di Lorentz, l'equazione [ 3 ] cadde un po' in dimenticanza. L'equazione di Dirac per l'elettrone

L'equazione [ 3 ] non dava alcun conto dello spin ; inoltre essa non si conformava allo schema generale della meccanica quantistica e alla sua interpretazione fisica che pareva richiedere una relazione

Hl/l - iiJ IÌJ = O . Nel gennaio del 1 92 8 Dirac riuscì a formulare un'equazione di questo tipo, invariante rispetto alla trasformazione di Lorentz, che sorprenden­ temente comprendeva anche lo spin. 2 Per ottenere un'equazione che contenesse solo la derivata prima rispetto al tempo , D irac separò la [ 2 ] a questo modo

( !' -

) (;

+ ap + a4 m c

)

+ ap + a4 m c = O ,

[5]

AMPLIAMENTI

193

dove ora per le tre componenti del vettore

a

e per a4 doveva risultare

ap. cx v + cx v a p. = 2 �p.v ( tJ. , v = l , 2, 3 , 4) . Egli riuscì a soddisfare le relazioni tramite le matrici di ordine 4

c )( - , x -x J { ��o= � :::(�o:;:) ::: }::: l

l

l

-

l

1

-l

(nelle quali gli zeri non sono stati scritti) . Per un elettrone D irac, aggiunn i l'equazione gend ·

c

.

[61

dove ora la carica elettronica è indicata con - e e 1/J indica una colonna di quattro funzioni. Accanto a questa si può scrivere la corrispondente equazione per le funzioni complesse coniugate . Dirac dimostrò che la sua equazione era invariante rispetto alla trasformazione di Lorentz e fece vedere che la carica elettrica con le densità

p - - 1/1 * 1/1

s - - 1/J * a l/l

si conserva ( 1/1 * rappresenta una riga di quattro funzioni) . Moltiplicando a sinistra l'equazione [ 6 ] senza U e A per l 'operatore i/J a JJ - -- + cx -.- n + cx4 m c

cat

1

v

si otteneva, in virtù della [ 5 ] , l'equazione d 'onda

.

fjl 1/1 - f> 2 �1/1 + m 2 c 2 1/1 = O ; Cl

ma viceversa moltiplicando a sinistra tutta l'equazione [ 6 ] per l'opera­ tore

-

(

i-V a + L cat c

u)

+a

f.-o_ \ 1

)

v + LA + � m c

c

non si otteneva l'equazione d'onda [ 3 ] . Inoltre comparivano termini sup­ plementari, i quali indicavano la presenza nel campo elettromagnetico di un 'energia supplementare che descriveva lo spin , poiché nel caso di un moto lento corrispondeva a un momento magnetico 1J e/2 m c. L 'equa­

zione di Dirac si presentava dunque an che co me una teoria dello spin .

La relazione [ 2 ] ammette valori positivi e negativi per l'energia cinetica E, la relazione [ l ] valori positivi e negativi per l'energia cinetica E - ceU

1 94

CAPITOLO SEDICES IMO

e precisamente le regioni

E - e U"?; m c 2 E - e U � - m c2 . Nella meccanica classica la regione negativa può essere ignorata, ma nel­ la teoria quantistica, come subito osservò Dirac, possono manifestarsi anche transizioni da una regione all' altra. Applicazioni dell'equazione di Dirac3 se ne ebbero subito. Così Gordon e C. G. D arwin ne ricavarono immediatamente la formula di Sommerfeld per la struttura fine , che dunque ricevette ora un'interpreta­ zione affatto diversa. Darwin fece vedere fino a che punto la teoria non relativistica dello spin formulata da lui e da Pauli fosse un'approssima­ zione della teoria di D irac ; poco dopo Gordon dimostrò che nella teoria di Dirac la corrente elettrica poteva essere separata in una corrente di conduzione e in una corrente di polarizzazione e di magnetizzazione, che soddisfacevano separatamente un principio di conservazione e delle quali la prima corrispondeva al moto e la seconda allo spin dell'elettro­ ne . Tra le applicazioni fu importante il calcolo della diffusione C ompton della luce sugli elettroni liberi, eseguito da O. Klein e Y. Nishina a Cope­ naghen nell'agosto del 1 928. Il calcolo dello scostamento rispetto alle teorie precedenti risultò confermato dall'esperienza. Così nel 1 92 8 la validità della formula per la struttura fine e della formula di Klein e Nishina convinsero i fisici che la formula di Dirac era corretta. Presto si imparò a vedere nelle 1/1 quadridimensionali di Dirac un tipo speciale di grandezze, che erano diverse da scalari, vettori e tensori ; esse furono chiamate spinori. Il libro di Weyl ( 1 92 8) conteneva implicitamen­ te una sorta di analisi spinoriale. Esplicitamente quest'analisi fu costrui­ ta nel giugno del 1 92 9 da van der Waerden,4 il quale mise l 'equazione di D irac in una forma che possiamo riscrivere concisamente così Der 1/J = K X Der X= Kl/1 , dove Der è una derivata covariante e 1/J e X sono spinori a due compo­ nenti. La teoria delle buche

Una seria difficoltà che presentava la teoria dell'elettrone di Dirac era la possibilità di un passaggio a valori negativi dell'energia cinetica. Nel dicembre del 1 928 Klein indicò come esempio particolarmente evi­ dente e semplice da calcolare ciò che accade quando un 'onda di Dirac incide su una soglia elevata di energia potenziale ( - e U> 2 m c 2 ) . 5 La

195

AMPLIAMENTI

figura 2 3 può aiutarci a capire il suo calcolo. A una distanza di m c 2 al di sopra e al di sotto del valore dell'energia p otenziale cominciano le re­ gioni energetiche permesse per l'elettrone . Per un'energia che a sinistra giaccia nella regione permessa superiore e a destra in quella inferiore, un 'onda incidente da sinistra in parte viene riflessa e in parte continua la sua strada verso destra. Ciò significa che un flusso di elettroni prove­ niente da sinistra in parte viene riflesso, ma in parte penetra nella regio­ a destra della soglia sotto forma di una corrente di elettroni con ener­ gia cinetica negativa. I l principio dell'energia è soddisfatto , poiché le par­ ticelle acquistano un'energia potenziale molto elevata. In un campo di forze queste particelle aventi energia cinetica negativa, e quindi massa negativa, subiscono un'accelerazione opposta alla forza e quindi in un campo elettrico si comportano come particelle cariche positivamente. Tuttavia non da tutti i punti di vista ; infatti per la conservazione del­ la carica elettrica esse sono cariche negativamente . Nel dicembre del 1929 D irac trovò una via per uscire da questa diffi­ coltà. 6 Poiché per gli elettroni vale il principio di Pauli, egli potè fare l'ipotesi che normalmente tutti gli stati di massa negativa fossero occu­ pati. Quindi uno stato di massa negativa non occupato per D irac signi­ ficava la presenza di una particella di massa positiva e di carica elettri­ ca positiva. Egli la identificò col protone, l'unico elemento di carica po­ sitiva allora conosciuto. Ciò che accade nel paradosso di Klein si deve ora descrivere in modo diverso : a destra nella figura 2 3 stati di massa negativa prima non occupati vengono riempiti, cioè vi sono particelle di carica positiva che scompaiono ( com'è mostrato nella fig. 24) . N atur---- - e U + m c 2

�---- - e u

--

l l l l

-- E

l l \ - }- - · ,-,

l l ,_ ... F igura 2 3

l l

I l p aradosso d i Kle i n .

196

CAPITOLO S EDICESIMO

l l

�Il � l i -Q 1 1 .....-�

l

l

Figura 24 Annichilazione di particelle.

l l

� I l +-0 : : l l

(!)---+

Figura 2 5 Creazione di particelle.

ralmente esiste anche il processo inverso, illustrato nella figura 2 5 , la comparsa in ugual numero di particelle di carica positiva e negativa. Fu necessario aggirare la difficoltà della densità infinita di carica elettrica cui la nuova spiegazione condusse in un primo momento, servendosi di una diversa interpretazione della carica. La dissimmetria tra massa del­ l'elettrone e massa del protone in una teoria che peraltro sembrava sim­ metrica rappresentava per Dirac una difficoltà ; egli credette di doverla mettere in relazione con una differenza nell'interazione, non an cora pre­ sa in considerazione , fra elettroni e fra protoni. La diffusione della lu­ ce da parte di un elettrone veniva da lui spiegata mediante l'assorbimen­ to e l'emissione di un fotone e mediante uno stato intermedio per il quale , a causa della sua breve durata, l'energia non era obbligata a con­ servarsi. La spiegazione di Dirac corrispondeva al primo dei diagrammi della figura 26, divenuti comuni molto più tardi ( il tempo scorre da si­ nistra a destra, la riga grossa rappresenta un protone intermedio, crea­ to insieme con un elettrone e subito dopo scomparso con un elettrone) . Dirac dimostrò che i calcoli sull'effetto Compton comprendevano questi elementi e che l'elemento relativo alla particella positiva intermedia era essenziale . Nel febbraio del 1 9 3 0 J . R. Oppenheimer dimostrò che la spiegazio­ ne data da Dirac per la dissimmetria della massa comprometteva i risul­ tati di certi calcoli che erano in accordo con l'esperienza, e valutò che il protone e l'elettrone di un atomo d'idrogeno avrebbero dovuto an­ nientarsi reciprocamente in circa 1 0 - 1 0 s emettendo una radiazione . Egli riteneva che l'elettrone e il protone fossero particelle indipendenti e che per ciascun tipo di particella gli stati a energia negativa fossero occupati. Anche Dirac ( nel marzo del 1 9 3 0) e I . Tamm ( nell' aprile del 1 9 3 0) calcolarono che l'annichilazione delle particelle avesse un'eleva­ ta probabilità. Tuttavia Dirac riteneva che l'interazione , che non era ancora inclusa nella sua teoria, potesse salvare la stabilità del protone e dell'elettrone. Eppure un anno dopo ( maggio 1 9 3 1 ) egli interpretava le " buche " come nuove particelle sconosciute, come " antielettroni " , aventi l a stessa massa degli elettroni m a dotati di una carica + e , e con­ siderava possibile anche un antiprotone. 7

197

F igura 2 6

AMPLIAMENTI

·�

Contributi all'effetto Compton.

Mentre redigeva il suo contributo all'Handbuch der Physik ( comparso nel 1 9 3 3 ) , Pauli riteneva ancora insoddisfacente il tentativo di Dirac di liberarsi della difficoltà rappresentata dagli stati con energia negativa. 8 Solo dopo la scoperta sperimentale del positone da parte di C. A. Ander­ son nell'agosto del 1 9 3 2, la validità della teoria delle buche di Dirac fu ammessa da tutti . La teoria quantistica dei campi

I l dualismo onde-corpuscoli aveva aperto due strade verso la teoria quantistica: Nel caso della materia la strada che partiva dalle particelle aveva portato a una meccanica quantistica non relativistica conseguente, ma una meccanica relativistica in senso generale non poteva esistere. P ar­ tendo dalle onde o dai campi si poteva costruire una teoria quantistica dei campi equivalente alla meccanica quantistica non relativistica. Poiché nell'ambito relativistico non sembrava esservi alcuna limitazione per una teoria dei campi, si poteva sperare di giungere a una teoria quantistica relativistica a partire dai campi. F ino a un certo punto questa speranza si avverò ; furono chiariti il concetto di campo materiale e la sua quan­ tizzazione , che rendeva possibile l'esistenza di particelle . La possibilità che le particelle venissero create e annichilate si rivelò una caratteristi­ ca generale di una teoria quantistica relativistica. La scoperta di nuove particelle elementari e lo studio delle loro trasformazioni si attagliavano allo schema della teoria quantistica dei campi, poiché i fenomeni carat­ teristici delle particelle elementari, le trasformazioni riconducibili agli accoppiamenti, trovavano nella teoria, almeno fino a un certo punto, il loro corrispettivo negli accoppiamenti tra campi diversi. Accanto al­ l " ' accoppiamento elettrico" o accoppiamento tra campo elettromagne­ tico e " campo di D irac" (-y e e) c'erano per esempio l' accoppiamento (n p e v) fra neutrone, elettrone e neutrino, che portava al decadimen­ to (3, l'accoppiamento (N N 1T) tra nucleone ( protone , neutrone ) e me­ sone 1T, che rappresentava un contributo essenziale alle forze tra i nu­ cleoni. Questi sviluppi ci interessano nella misura in cui essi diedero corpo a idee della teoria quantistica. La prima fra le teorie quantistiche dei campi fu quella del campo della luce . Essa abbe inizio con la quantizzazione delle autooscillazioni elettromagnetiche nell'irraggiamento compiuta da Ehrenfest ( 1 906) e

CAPITOLO SEDICESIMO

198

Debye ( 1 9 1 0) e col riconoscimento da parte di Einstein ( 1 909) , nelle fluttuazioni dell'energia e dell'impulso del campo di radiazione, dell'a­ zione sia di particelle sia di onde ( cap. 4) . La teoria quantistica esatta dell'oscillatore armonico con gli elementi di matrice X n , n + 1 "' V n + l diede origine a una nuova situazione ; in conseguenza di ciò Dirac trattò le ampiezze dell'irraggiamento ( 1 927) come numeri q con gli elementi h n , n + 1 "' ..jn + l: 9 l'assorbimento della luce diventava annichilazione di fotoni con una probabilità proporzionale a l h n - l , n 1 2 - n , l'emissione della luce diventava creazione di fotoni con una probabilità proporzio­ nale a l h n , n + 1 1 2 """ n + l , che comprendeva l'emissione indotta e quella spontanea. Nell'interpretazione comparivano termini

b ; a k a l*

a1a k* b i*

(dove gli a k erano i coeffic ienti dello sviluppo delle funzioni d ' onda della materia) , che pian piano vennero interpretati come simboli dell'an­ nichilazione di un fotone , dell'annichilazione di un elettrone nello stato k , della creazione di un elettrone nello stato l e rispettivamente dell'an­ nichilazione di un elettrone nello stato /, della creazione di un elettrone nello stato k e di un fotone , e che più tardi furono rappresentati coi diagrammi della figura 27. N o n si trattava ancora d i un'elettrodinamica quantistica generale , la quale doveva essere una teoria del campo descritto dai potenziali elet­ tromagnetici U e A . Nel dicembre del 1 927 j ordan e Pauli fornirono regole di commutazione invarianti rispetto a una trasformazione di Lo­ rentz per le grandezze del campo elettromagnetico B; k ( i, k = O, l , 2 , 3) senza interazione . 1 0 L e grandezze del campo relative a punti x , x' dello spazio-tempo che non potevano interagire tra loro dovevano commuta­ re ; quindi la quantità Bik(x) BLm(x ' ) - BLm(x ' ) Bik(X)

poteva essere diversa da zero solo se x e x' potevano essere collegati tramite un raggio luminoso. Nell'eseguire lo sviluppo in serie di F ourier delle grandezze del campo, J ordan e Pauli scoprirono che B;k (x) Bzm (x' ) - BLm (x' ) B;k (X) """ b.iklm (x' - .x ) ,

Figura 2 7

Assorbimento e d emissione d i u n quanto d i luce.

AMPL IAMENTI

1 99

dove tlik lm era una derivata di una si!lgol�re funzione invariante tl(x - x ' ) , che non era nulla solo per (x; -x') (x ' - x'') = O ( si deve sommare rispet­ to agli indici inferiori e superiori uguali) . Solo dopo la costruzione di uno schema generale di una teoria quan­ tistica dei campi da parte di Heisenberg e Pauli (nel marzo del 1 929) furono compiuti progressi nell'elettrodinamica quantistica. Questi due ricercatori partirono dalla meccanica quantistica, trattando un campo come un sistema meccanico dotato di infiniti gradi di libertà. I n luogo delle coordinate qk comparivano le grandezze del campo Q (x) relative a un punto x ( dello spazio tridimensionale) , ad esempio 1/J(x) , 1/J * (x ) , U(x) , A (x) . In luogo della funzione lagrangiana L(qk , t/k ) , che forniva le equazioni del moto tramite un principio variazionale , compariva l'in­ tegrale di una " densità lagrangiana"

JL

(

Qa ,

)

aQa . i Qa d r, ax '

da cui si ricavavano le equazioni del campo tramite la

J L d r d t = Estr . I n luogo degli impulsi canonici coniugati Pk grandezze del campo

=

auaqk comparivano le

Pa(x) = � aQa e corrispondentemente alla H = "'Lpk 4k - L venivano costruite una " den­ sità hamiltoniana''

H= "'L Pa(x) Qa(x) - L

.

e una funzione hamiltoniana J H d r Le equazioni canoniche che ne deri­ vavano erano ancora le equazioni del campo. La traduzione nella teoria quantistica fu effettuata mediante relazioni di commutazione, che essen­ zialmente si scrivevano

i [Pa (x) Q � (x ' ) - Q � (x ' ) Pa (x) ] = -65 a �5 (x - x ' ) . Sviluppando le grandezze del campo secondo un sistema ortogonale si ottenevano analoghe relazion i di commutazione per i coefficienti. Per il campo di S chròdinger si ricavavano così le regole di commuta­ zione di Klein e j ordan. Per il campo corrispondente all'equazione di Dirac per l'elettrone, Heisenberg e Pauli scrissero le regole di commuta­ zione col segno più e il segno meno. Nell'elettrodinamica quantistica si presentava con ciò una difficoltà, poiché la grandezza canonica coniu­ gata della coordinata U(x) si annullava. Si venne a capo della difficoltà mediante l'eliminazione di U e con altri accorgimenti.

200

CAPITOLO SE DICESIMO

Difficoltà più serie furono in seguito causate nell'elettrodinamica quantistica dal divergere all' infinito di certe espressioni dell 'autoenergia di un elettrone, che derivava dall'interazione col campo elettrodinamico, e dalla " polarizzazione del vuoto " , che era connessa con la probabilità dalla creazione virtuale di coppie elettrone-positone. N el corso del tem­ po queste " difficoltà di divergenza" furono aggirate piuttosto che chia­ rite . D opo che Dirac ebbe trovato la sua equazione si credette per un po' che questa equazione per l'elettrone, con uno spinore come grandezza del campo, rappresentasse l'unica teoria quantistica relativistica possibi­ le della materia e che perciò lo spin fi/2 fosse l'unico possibile per una particella elementare . Fu quindi un progresso essenziale quando nel 1 9 34 Pauli e Weisskopf elaborarono la teoria quantistica di un campo scalare , il campo dell'equazione di Klein, S chrodinger e G ordon } 2 Nella teoria scalare la densità di carica elettrica.

già data da Gordon ( vedi [ 4] ) poteva avere entrambi i segni , mentre per Dirac la p - l/l * 1/1

( 1/1 è una grandezza a quattro dimensioni) aveva un solo segno. Perciò nella teoria scalare la densità di energia era positiva, mentre per Dirac, poteva avere entrambi i segni (e vi erano anzi transizioni da stati con energia positiva a stati con energia negativa) . Nella teoria scalare il nu­ mero di particelle non era necessariamente costante ; non vi era alcun teorema di conservazione per questo numero, ma solo per la carica elet­ trica. La teoria di D irac, prima di essere ampliata con la teoria delle buche, prevedeva che il numero degli elettroni fosse costante ( perciò essa si attagliava allo schema della meccanica quantistica) ; dopo l'esten­ sione alla teoria delle buche, la nascita di un elettrone e di una buca implicava una variazione del numero delle particelle, mentre la carica elettrica restava costante . Nella teoria scalare la creazione o l'annichila­ zione di coppie particella-antiparticella sotto l'azione di un campo elet­ tromagnetico era possibile senza dover ricorrere a una teoria delle buche , e quindi si apprese a considerare la creazione e l'annichilazione di cop­

pie di particelle e "antiparticelle " come una caratteristica generale delle teorie quantisticbe relativisticbe dei campi. Le regioni E ci n > m c 2 , E cin < - m c 2 della figura 2 3 sono ora regioni dove la carica ha segno di­ verso. Le figure 24 e 2 5 restano valide . Ciò portò a distinguere due tipi di campi. Il primo tipo aveva densi-

201

AMPLIAMENTI

tà di carica definita ( suscettibile di un solo segno) ed energia indefini­ ta ; per esso un'interpretazione fisica accettabile era possibile solo con la statistica di Fermi ; lo spin aveva il valore 15/2. L' altro tipo possedeva carica indefinita ed energia definita, ed era possibile anche con la stati­ stica di B ose ; il campo scalare aveva spin nullo . Più tardi Pauli dimostrò che per particelle e campi con spin semiintero doveva valere la st.atistica di Fermi e che per particelle e campi con spin intero doveva valere quel­ la di Bose . 1 3 Acco ppiamenti

D egli accoppiamenti fra campi diversi o fra particelle elementari di­ verse si conosceva all'inizio solo l'accoppiamento elettromagnetico, il quale tramite l'introduzione dei potenziali elettromagnetici nella teoria non relativistica dei campi la ampliò in quella relativistica scalare o spi­ noriale . L 'accoppiamento fu in seguito rappresentato col diagramma del­ la figura 28 ; il quale , dal punto di vista temporale , si poteva leggere in sei modi ( quattro dei quali avevano significati distinti) e illustrava l ' e­ missione di un fotone, l'assorbimento di un fotone , la creazione di una coppia elettrone-positone ( per soddisfare i princ ì pi dell 'energia e dell'im­ pulso erano qui ne cessarie altre particelle) , l'annichilazione di una cop­ pia elettrone-positone. La scoperta del neutrone da parte di Chadwick nel febbraio del 1 9 3 2 permise una nuova descrizione della struttura del nucleo atomico e del decadimento (3. A proposito di quest'ultimo si erano in pre cedenza ma­ nifestate alcune difficoltà: benché allo stato iniziale e allo stato finale del nucleo corrispondessero valori energetici costanti, la radiazione (3 manifestava un continuo di energia. Inoltre i nuclei con numero di mas­ sa pari possedevano spin intero e i nuclei con numero di massa dispari avevano spin semintero ; quindi gli elettroni, che si presumevano pre­ senti nel nucleo accanto ai protoni, non davano contributo allo spin ; ancora, i momenti magnetici dei nuclei erano troppo piccoli perché vi potesse essere un contributo al momento magnetico da parte degli elet­ troni. I nfine i nuclei con numero di massa pari seguivano la statistica di B ose e quelli con numero di massa dispari seguivano la statistica di Fermi ; quindi gli elettroni del nucleo apparentemente non solo avevano perduto il loro spin , ma non fornivano neppure il loro contributo alla statistica. Per superare le difficoltà, Pauli formulò l'ipotesi che durante il decadimento (3 venisse emessa dal nucleo una nuova particella, priva di carica e perciò difficile da scoprire , di massa piccola o quasi nulla, con lo spin semiintero e statistica di Fermi ( lettere e conversazioni verso il 1 9 30) ;14 in seguito la si chiamò neutrino .

202

CAPITOLO SEDICES IMO

y

Figura 2 8

L'accoppiamento (-y e e ) .

Dopo la scoperta del neutrone fu fatta subito l'ipotesi che i protoni e i neutroni fossero gli elementi costitutivi dei nucle i ; divennero allora comprensibili i teoremi sullo spin e sulla statistica dei nuclei. Le parti­ celle (3 nascevano soltanto nelle trasformazioni nucleari, così come i fo­ toni potevano nascere nelle transizioni degli atomi da uno stato a un altro . Secondo Heisenberg (giugno del 1 9 3 2) la possibilità che nella tra­ sformazione di un neutrone in un protone venisse emesso un elettrone e nella trasformazione di un protone in un neutrone venisse assorbito un elettrone portava all'esistenza di forze tra le particelle nucleari, così come la possibilità dell'emissione e dell' assorbimento di fotoni portava alle forze coulombiane . Nel 1 9 3 4 Fermi costruì una teoria quantita­ tiva del decadimento (3, postulando tra i campi del neutrone , del prato­ ne , dell'elettrone e del neutrino un'interazione che faceva comparire nell'operatore hamiltoniano i termini

n *p e v ,

np*e*v*

dove n è l'operatore di annichilazione di uno stato neutronico, p * , e * , v * sono gli operatori di creazione di uno stato del protone , dell'elettro­ ne e del neutrino . n e p venivano trattati in modo non relativistico, e per e e v venivano introdotte le quattro componenti di Dirac. Fermi riuscì a ottenere la forma dello spettro energetico della disintegrazione (3 e un criterio per una massa piccolissima o quasi nulla del neutrino . In seguito I . T amm e D . Ivanenko fecero notare che l'accoppiamento di Fermi forniva forze nucleari troppo deboli o distanze troppo piccole tra le particelle del nu cleo. 1 5 Nel 1 9 3 5 H . Yukawa dimostrò che l'entità delle forze nucleari rica­ vata sperimentalmente poteva essere spiegata con un campo di materia statico. In accordo con l'equazione del campo

61/1 - 1 15, la [ 3 3 ] non implica alcuna diffe­ renza rispetto alla meccanica classica. Il problema della meccanica quantistica consiste ora nel trovare per le variabili canoniche p e q matrici che soddisfino la relazione [ 3 3 ] e le cui righe e colonne corrispondano agli stati del sistema, per le quali dunque alla funzione hamiltoniana sia associata una matrice diagonale . Poiché se si trasformano tutte le grandezze x tramite la S x S - l (S è una matrice) la relazione [ 3 3 ] continua a valere e poiché la "trasforma­ zione unitaria" S x S * (S S * = l ) trasforma una matrice hermitiana in una

COMPENDIO

23 1

matrice hermitiana, il problema può essere enunciato così : si associno alle variabili p e q matrici che soddisfino le relazioni di commutazione e si cerchi una trasformazione unitaria S x S * che trasformi la matrice associata alla funzione hamiltoniana H( p, q ) in una matrice diagonale. I l problema è analogo a quello di trasformare una forma quadratica di­ sponendola secondo gli assi principali. La generalizzazione al caso di più gradi di libertà è immediata. L'equa­ zione del moto [ 3 1 ] , quindi anche le equazioni del moto fJqk = i( Hq k - q k H) IJfik = i( Hp k - pk H) corrispondono alle equazioni canoniche classiche . aH q k = ap k

. aH Pk = - a q k

se si può porre

� = i(Fqk - qk F )

fJ a

e ciò accade se risulta i( p k q L - q LPk ) = IJ [) kl PkPL - PLP k = O q k q [ - q [q k = o

}

[ 3 4]

.

Le trasformazioni canoniche conservano la forma S xS * , SS* = l . Poi­ ché valgono le relazioni

(: a

/ a \ ax

x -x

: ) F(x , y . . . ) = F(x , y . . . )

a

a a a ay - ay ax

)

F(x y . . . ) = O ' '

le regole di commutazione possono essere soddisfatte considerando i q k come numeri e sostituendo i Pk con gli operatori differenziali 15a/ lia qk . Dall'equazione classica H( p l , P 2 . . . q 1 . q 2 . . . ) - E = O si ricava allora l'equazione differenziale alle derivate parziali di Schro­ dinger

(JJ

.

JJ a . -a- · . -. . . q 1 , q 2 . . . w