Ricerche sui fondamenti della matematica

Table of contents :
dH001......Page 1
dH002......Page 2
dH004_1L......Page 3
dH004_2R......Page 4
dH005_1L......Page 5
dH005_2R......Page 6
dH006_1L......Page 7
dH006_2R......Page 8
dH007_1L......Page 9
dH007_2R......Page 10
dH008_1L......Page 11
dH008_2R......Page 12
dH009_1L......Page 13
dH009_2R......Page 14
dH010_1L......Page 15
dH010_2R......Page 16
dH011_1L......Page 17
dH011_2R......Page 18
dH012_1L......Page 19
dH012_2R......Page 20
dH013_1L......Page 21
dH013_2R......Page 22
dH014_1L......Page 23
dH014_2R......Page 24
dH015_1L......Page 25
dH015_2R......Page 26
dH016_1L......Page 27
dH016_2R......Page 28
dH017_1L......Page 29
dH017_2R......Page 30
dH018_1L......Page 31
dH018_2R......Page 32
dH019_1L......Page 33
dH019_2R......Page 34
dH020_1L......Page 35
dH020_2R......Page 36
dH021_1L......Page 37
dH021_2R......Page 38
dH022_1L......Page 39
dH022_2R......Page 40
dH023_1L......Page 41
dH023_2R......Page 42
dH024_1L......Page 43
dH024_2R......Page 44
dH025_1L......Page 45
dH025_2R......Page 46
dH026_1L......Page 47
dH026_2R......Page 48
dH027_1L......Page 49
dH027_2R......Page 50
dH028_1L......Page 51
dH028_2R......Page 52
dH029_1L......Page 53
dH029_2R......Page 54
dH030_1L......Page 55
dH030_2R......Page 56
dH031_1L......Page 57
dH031_2R......Page 58
dH032_1L......Page 59
dH032_2R......Page 60
dH033_1L......Page 61
dH033_2R......Page 62
dH034_1L......Page 63
dH034_2R......Page 64
dH035_1L......Page 65
dH035_2R......Page 66
dH036_1L......Page 67
dH036_2R......Page 68
dH037_1L......Page 69
dH037_2R......Page 70
dH038_1L......Page 71
dH038_2R......Page 72
dH039_1L......Page 73
dH039_2R......Page 74
dH040_1L......Page 75
dH040_2R......Page 76
dH041_1L......Page 77
dH041_2R......Page 78
dH042_1L......Page 79
dH042_2R......Page 80
dH043_1L......Page 81
dH043_2R......Page 82
dH044_1L......Page 83
dH044_2R......Page 84
dH045_1L......Page 85
dH045_2R......Page 86
dH046_1L......Page 87
dH046_2R......Page 88
dH047_1L......Page 89
dH047_2R......Page 90
dH048_1L......Page 91
dH048_2R......Page 92
dH049_1L......Page 93
dH049_2R......Page 94
dH050_1L......Page 95
dH050_2R......Page 96
dH051_1L......Page 97
dH051_2R......Page 98
dH052_1L......Page 99
dH052_2R......Page 100
dH053_1L......Page 101
dH053_2R......Page 102
dH054_1L......Page 103
dH054_2R......Page 104
dH055_1L......Page 105
dH055_2R......Page 106
dH056_1L......Page 107
dH056_2R......Page 108
dH057_1L......Page 109
dH057_2R......Page 110
dH058_1L......Page 111
dH058_2R......Page 112
dH059_1L......Page 113
dH059_2R......Page 114
dH060_1L......Page 115
dH060_2R......Page 116
dH061_1L......Page 117
dH061_2R......Page 118
dH062_1L......Page 119
dH062_2R......Page 120
dH063_1L......Page 121
dH063_2R......Page 122
dH064_1L......Page 123
dH064_2R......Page 124
dH065_1L......Page 125
dH065_2R......Page 126
dH066_1L......Page 127
dH066_2R......Page 128
dH067_1L......Page 129
dH067_2R......Page 130
dH068_1L......Page 131
dH068_2R......Page 132
dH069_1L......Page 133
dH069_2R......Page 134
dH070_1L......Page 135
dH070_2R......Page 136
dH071_1L......Page 137
dH071_2R......Page 138
dH072_1L......Page 139
dH072_2R......Page 140
dH073_1L......Page 141
dH073_2R......Page 142
dH074_1L......Page 143
dH074_2R......Page 144
dH075_1L......Page 145
dH075_2R......Page 146
dH076_1L......Page 147
dH076_2R......Page 148
dH077_1L......Page 149
dH077_2R......Page 150
dH078_1L......Page 151
dH078_2R......Page 152
dH079_1L......Page 153
dH079_2R......Page 154
dH080_1L......Page 155
dH080_2R......Page 156
dH081_1L......Page 157
dH081_2R......Page 158
dH082_1L......Page 159
dH082_2R......Page 160
dH083_1L......Page 161
dH083_2R......Page 162
dH084_1L......Page 163
dH084_2R......Page 164
dH085_1L......Page 165
dH085_2R......Page 166
dH086_1L......Page 167
dH086_2R......Page 168
dH087_1L......Page 169
dH087_2R......Page 170
dH088_1L......Page 171
dH088_2R......Page 172
dH089_1L......Page 173
dH089_2R......Page 174
dH090_1L......Page 175
dH090_2R......Page 176
dH091_1L......Page 177
dH091_2R......Page 178
dH092_1L......Page 179
dH092_2R......Page 180
dH093_1L......Page 181
dH093_2R......Page 182
dH094_1L......Page 183
dH094_2R......Page 184
dH095_1L......Page 185
dH095_2R......Page 186
dH096_1L......Page 187
dH096_2R......Page 188
dH097_1L......Page 189
dH097_2R......Page 190
dH098_1L......Page 191
dH098_2R......Page 192
dH099_1L......Page 193
dH099_2R......Page 194
dH100_1L......Page 195
dH100_2R......Page 196
dH101_1L......Page 197
dH101_2R......Page 198
dH102_1L......Page 199
dH102_2R......Page 200
dH103_1L......Page 201
dH103_2R......Page 202
dH104_1L......Page 203
dH104_2R......Page 204
dH105_1L......Page 205
dH105_2R......Page 206
dH106_1L......Page 207
dH106_2R......Page 208
dH107_1L......Page 209
dH107_2R......Page 210
dH108_1L......Page 211
dH108_2R......Page 212
dH109_1L......Page 213
dH109_2R......Page 214
dH110_1L......Page 215
dH110_2R......Page 216
dH111_1L......Page 217
dH111_2R......Page 218
dH112_1L......Page 219
dH112_2R......Page 220
dH113_1L......Page 221
dH113_2R......Page 222
dH114_1L......Page 223
dH114_2R......Page 224
dH115_1L......Page 225
dH115_2R......Page 226
dH116_1L......Page 227
dH116_2R......Page 228
dH117_1L......Page 229
dH117_2R......Page 230
dH118_1L......Page 231
dH118_2R......Page 232
dH119_1L......Page 233
dH119_2R......Page 234
dH120_1L......Page 235
dH120_2R......Page 236
dH121_1L......Page 237
dH121_2R......Page 238
dH122_1L......Page 239
dH122_2R......Page 240
dH123_1L......Page 241
dH123_2R......Page 242
dH124_1L......Page 243
dH124_2R......Page 244
dH125_1L......Page 245
dH125_2R......Page 246
dH126_1L......Page 247
dH126_2R......Page 248
dH127_1L......Page 249
dH127_2R......Page 250
dH128_1L......Page 251
dH128_2R......Page 252
dH129_1L......Page 253
dH129_2R......Page 254
dH130_1L......Page 255
dH130_2R......Page 256
dH131_1L......Page 257
dH131_2R......Page 258
dH132_1L......Page 259
dH132_2R......Page 260
dH133_1L......Page 261
dH133_2R......Page 262
dH134_1L......Page 263
dH134_2R......Page 264
dH135_1L......Page 265
dH135_2R......Page 266
dH136_1L......Page 267
dH136_2R......Page 268
dH137_1L......Page 269
dH137_2R......Page 270
dH138_1L......Page 271
dH138_2R......Page 272
dH139_1L......Page 273
dH139_2R......Page 274
dH140_1L......Page 275
dH140_2R......Page 276
dH141_1L......Page 277
dH141_2R......Page 278
dH142_1L......Page 279
dH142_2R......Page 280
dH143_1L......Page 281
dH143_2R......Page 282
dH144_1L......Page 283
dH144_2R......Page 284
dH145_1L......Page 285
dH145_2R......Page 286
dH146_1L......Page 287
dH146_2R......Page 288
dH147_1L......Page 289
dH147_2R......Page 290
dH148_1L......Page 291
dH148_2R......Page 292
dH149_1L......Page 293
dH149_2R......Page 294
dH150_1L......Page 295
dH150_2R......Page 296
dH151_1L......Page 297
dH151_2R......Page 298
dH152_1L......Page 299
dH152_2R......Page 300
dH153_1L......Page 301
dH153_2R......Page 302
dH154_1L......Page 303
dH154_2R......Page 304
dH155_1L......Page 305
dH155_2R......Page 306
dH156_1L......Page 307
dH156_2R......Page 308
dH157_1L......Page 309
dH157_2R......Page 310
dH158_1L......Page 311
dH158_2R......Page 312
dH159_1L......Page 313
dH159_2R......Page 314
dH160_1L......Page 315
dH160_2R......Page 316
dH161_1L......Page 317
dH161_2R......Page 318
dH162_1L......Page 319
dH162_2R......Page 320
dH163_1L......Page 321
dH163_2R......Page 322
dH164_1L......Page 323
dH164_2R......Page 324
dH165_1L......Page 325
dH165_2R......Page 326
dH166_1L......Page 327
dH166_2R......Page 328
dH167_1L......Page 329
dH167_2R......Page 330
dH168_1L......Page 331
dH168_2R......Page 332
dH169_1L......Page 333
dH169_2R......Page 334
dH170_1L......Page 335
dH170_2R......Page 336
dH171_1L......Page 337
dH171_2R......Page 338
dH172_1L......Page 339
dH172_2R......Page 340
dH173_1L......Page 341
dH173_2R......Page 342
dH174_1L......Page 343
dH174_2R......Page 344
dH175_1L......Page 345
dH175_2R......Page 346
dH176_1L......Page 347
dH176_2R......Page 348
dH177_1L......Page 349
dH177_2R......Page 350
dH178_1L......Page 351
dH178_2R......Page 352
dH179_1L......Page 353
dH179_2R......Page 354
dH180_1L......Page 355
dH180_2R......Page 356
dH181_1L......Page 357
dH181_2R......Page 358
dH182_1L......Page 359
dH182_2R......Page 360
dH183_1L......Page 361
dH183_2R......Page 362
dH184_1L......Page 363
dH184_2R......Page 364
dH185_1L......Page 365
dH185_2R......Page 366
dH186_1L......Page 367
dH186_2R......Page 368
dH187_1L......Page 369
dH187_2R......Page 370
dH188_1L......Page 371
dH188_2R......Page 372
dH189_1L......Page 373
dH189_2R......Page 374
dH190_1L......Page 375
dH190_2R......Page 376
dH191_1L......Page 377
dH191_2R......Page 378
dH192_1L......Page 379
dH192_2R......Page 380
dH193_1L......Page 381
dH193_2R......Page 382
dH194_1L......Page 383
dH194_2R......Page 384
dH195_1L......Page 385
dH195_2R......Page 386
dH196_1L......Page 387
dH196_2R......Page 388
dH197_1L......Page 389
dH197_2R......Page 390
dH198_1L......Page 391
dH198_2R......Page 392
dH199_1L......Page 393
dH199_2R......Page 394
dH200_1L......Page 395
dH200_2R......Page 396
dH201_1L......Page 397
dH201_2R......Page 398
dH202_1L......Page 399
dH202_2R......Page 400
dH203_1L......Page 401
dH203_2R......Page 402
dH204_1L......Page 403
dH204_2R......Page 404
dH205_1L......Page 405
dH205_2R......Page 406
dH206_1L......Page 407
dH206_2R......Page 408
dH207_1L......Page 409
dH207_2R......Page 410
dH208_1L......Page 411
dH208_2R......Page 412
dH209_1L......Page 413
dH209_2R......Page 414
dH210_1L......Page 415
dH210_2R......Page 416
dH211_1L......Page 417
dH211_2R......Page 418
dH212_1L......Page 419
dH212_2R......Page 420
dH213_1L......Page 421
dH213_2R......Page 422
dH214_1L......Page 423
dH214_2R......Page 424
dH215_1L......Page 425
dH215_2R......Page 426
dH216_1L......Page 427
dH216_2R......Page 428
dH217_1L......Page 429
dH217_2R......Page 430
dH218_1L......Page 431
dH218_2R......Page 432
dH219_1L......Page 433
dH219_2R......Page 434
dH220_1L......Page 435
dH220_2R......Page 436
dH221_1L......Page 437
dH221_2R......Page 438
dH222_1L......Page 439
dH222_2R......Page 440
dH223_1L......Page 441
dH223_2R......Page 442
dH224_1L......Page 443
dH224_2R......Page 444
dH225_1L......Page 445
dH225_2R......Page 446
dH226_1L......Page 447
dH226_2R......Page 448
dH227_1L......Page 449
dH227_2R......Page 450
dH228_1L......Page 451
dH228_2R......Page 452
dH229_1L......Page 453
dH229_2R......Page 454
dH230_1L......Page 455
dH230_2R......Page 456
dH231_1L......Page 457
dH231_2R......Page 458
dH232_1L......Page 459
dH232_2R......Page 460
dH233_1L......Page 461
dH233_2R......Page 462
dH234_1L......Page 463
dH234_2R......Page 464
dH235_1L......Page 465
dH235_2R......Page 466
dH236_1L......Page 467
dH236_2R......Page 468
dH237_1L......Page 469
dH237_2R......Page 470
dH238_1L......Page 471
dH238_2R......Page 472
dH239_1L......Page 473
dH239_2R......Page 474
dH240_1L......Page 475
dH240_2R......Page 476
dH241_1L......Page 477
dH241_2R......Page 478
dH242_1L......Page 479
dH242_2R......Page 480
dH243_1L......Page 481
dH243_2R......Page 482
dH244_1L......Page 483
dH244_2R......Page 484
dH245_1L......Page 485
dH245_2R......Page 486
dH246_1L......Page 487
dH246_2R......Page 488
dH247......Page 489

Citation preview

DAVID HILBERT

RICERCHE SUl FONDAMENTI DELLA MATEMATICA a cura di V. MICHELE ABRUSCI

BIBLIOPOLIS

Proprietà letteraria riservata

ISBN

88-7088-118-0

Copyright © 1978 by «Bibliopolis, edizioni di filosofia e scienze s.p.a. » Napoli, via Arangio Ruiz 83

INDICE

Premessa

Il

AUTOFONDAZIONE DELLA HILBERT

SUI

MATEMATICA.

FONDAMENTI

DELLA

LE RICERCHE DI MATEMATICA

(di

v. Michele Abrusci)

13

David Hilbert

15

Lo sviluppo delle ricerche fondazionali di Hilbert

19

La prima fase (p. 19). La seconda fase (p. 23 ) . La terza fase (p. 27 ) . La quarta fase (p. 3 1 ) . La quinta fase (p. 44) . La sesta fase (p. 6 1 ) . L'opera Grundlagen der Mathematik (p. 60) .

Il programma hilbertiano

101

Matematica contenutisticamente sicura, matematica da fon­ dare (p. 103 ) . Assiomatizzazione, dimostrazione di non­ contraddittorietà (p. 106). Formalizzazione, metamatematica (p. 107 ) . Metamatematica e matematica (p. 1 10). Le rifles­ sioni filosofiche (p. 1 12).

La fondazione hilbertiana della matematica

1 15

Appendice 1 Appendice 2

119 125

SCRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HILBERT

Premessa Sul concetto di numero Problemi matematici Sui fondamenti della logica e dell'aritmetica Pensiero assiomatico Nuova fondazione della matematica. Prima comunicazione I fondamenti logici della matematica Sull'infinito r fondamenti ddla matem atic a

133 135 139 1 45 163 177 189 2 15 233 267

8

INDICE

Problemi della fondazione della matematica Conoscenza della natura e logica La fondazione della teoria elementare dei numeri Dimostrazione del tertium non datur

291 301 313 325

DA «GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK » DI DAVID HILBERT E PAUL BERNAYS

331

Premessa

333

Il problema della non-contraddittorietà nell'assiomatica, come problema logico della decisione

341

L'assiomatica formale (p. 341 ) . Il problema della decisione (p. 350). Il problema della non-contraddittorietà per domini infiniti di individui (p. 357 ) .

La teoria elementare dei numeri. Il ragionamento fini­ tario e i suoi confini

365

Il metodo dell'argomentazione intuitiva e la sua applicazione nella teoria elementare dei numeri (p. 365 ) . Altre applica­ zioni di argomentazioni intuitive (p. 376 ) . La posizione fini­ taria; suo superamento già nella teoria dei numeri (p. 381 ) . Metodi non-finitari nell'analisi (p. 386) . Indagini per la fondazione finitaria diretta dell 'aritmetica; ritorno alla pro­ blematica originaria; la teoria della dimostrazione (p. 393 ) .

Il metodo di eliminazione delle variabili vincolate, mediante l'E-simbolo hilbertiano

399

Il processo di risoluzione simbolica delle formule esistenziali (p. 399) . L'e-simbolo hilbertiano e l'e-formula (p. 409). Un teorema generale di non-contraddittorietà (p. 42 1 ) .

Indagine dimostrazionistica sulla teoria dei numeri, per mezzo dei metodi connessi con l'E-simbolo

429

Ostacoli all'inclusione dello schema di induzione illimitato nel procedimento di eliminazione. Formalizzazione del principio di induzione per mezzo di una seconda formula per l'esimbolo. Passaggio all'originaria strategia hilbertiana (p. 429 ) .

Le ragioni per una estensione del quadro metodologico della teoria della dimostrazione Il primo teorema di inderivabilità di Godel (p. 439 ) . Con-

siderazioni sulla questione della formalizzabilità delle argo-

439

INDICE

9

mentazioni dimostrazionistiche finora svolte (p. 444). Elimi­ nabilità dci 'tertium non datur' per l'indagine della non­ contraddittorietà dci sistema (Z) (p. 452 ) .

Supplemento I . Per un orientamento sul calcolo dei predicati e sui formalismi ad esso connessi

459

Il calcolo puro dei predicati (p. 459 ) . Il calcolo dei predicati applicato a sistemi assiomatici formalizzati. La �-regola. I formalismi della teoria dei numeri (p. 464). Teoremi sul calcolo dei predicati (p. 47 1 ).

Bibliografia

475

PREMESSA Questo volume presenta al lettore italiano tutti gli articoli che David Hilbert ha pubblicato nel corso delle sue ricerche intorno ai fondamenti della matematica, ed anche un'ampia scelta di capitoli dell'opera Grundlagen der Mathematik (Fondamenti della matema­ tica) che Hilbert verso la fine delle sue ricerche fondazionali ha scritto congiuntamente con Paul Bernays . Ho voluto introdurre questo volume con un mio saggio sulle ricerche fondazionali di Hilbert, scritto vari anni orsono come opera a sé stante e qui parzialmente riprodotto (in particolare, le citazioni sono state sostituite da rinvii ai testi, e sono stati inseriti i riassunti delle parti non tradotte dell'opera Grundlagen der Mathematik). L'editore, per ragioni tipografiche, ha dovuto apportare alcune modifiche al simbolismo usato da Hilbert nelle sue opere. Esse sono : - le variabili metalinguistiche, che Hilbert indicava mediante let­ tere gotiche, vengono rese in questo volume con lettere in neretto; - il simbolo hilbertiano del connettivo « negazione » (una linea sopra la formula da negare) viene sostituito in questo volume con il simbolo -, (anteposto alla formula da negare) . Voglia il lettore scusare questi cambiamenti, dolorosi perché non permettono di essere del tutto fedeli ai testi hilbertiani, ma necessari perché si giungesse ad una presentazione delle opere fondazionali di Hilbert al lettore italiano. A chi non ha familiarità con il modo hilbertiano di trattare i for­ malismi logici, consiglio di leggere, prima degli altri testi hilbertiani, il Supplemento I del secondo volume di Grundlagen der Mathematik (qui tradotto alle pp. 459-474) . Spero che questo volume raggiunga il suo scopo, quello di of­ frirc IIn lJuadro dello sviluppo e dell'articolazione delle ricerche hilhcrtinnc intorno ai fondamenti della matematica, e possa invo-

12

PREMESSA

gliare molti lettori allo studio anche dei testi qui non tradotti (in particolare, dei dettagli definitori e dimostrativi dell'opera Gru nd­

lagen der Mathematik) . All'aiuto ed ai consigli del prof. Ettore Casari devo il completa­ mento definitivo della traduzione dei testi hilbertiani, e ancor più devo al suo insegnamento le basi della mia formazione logica e il mio interessamento per le ricerche fondazionali hilbertiane : al prof. Ettore Casari la mia più viva gratitudine. Firenze, gennaio 1984

V. MICHELE ABRUSCI AUTOFONDAZIONE DELLA MATEMATICA LE RICERCHE DI HILBERT SUI FONDAMENTI DELLA MATEMATICA

DAVID HILBERT

Le indagini sui fondamenti della matematica non costltUlscono che una parte della straordinaria attività di ricerca di David Hilbert 1. Nato a K6nigsberg (in quella che era allora la Prussia orientale) il 28 gennaio 1862, egli compi nella sua città natale l'intero curri­ culum di studi e vi iniziò la carriera universitaria divenendo dap­ prima (1886) Privatdozent e poi (1892) Extraordinarius. In quella sede si legò di fervida e sincera amicizia con altre due rilevanti figure della matematica degli ultimi cento anni : Hermann Minkowski (18641909) e Adolph Hurwitz (1859-1919) . Contemporaneamente, attra­ verso una serie di viaggi (p. 315), entrò in contatto personale con buona parte dei matematici più rappresentativi del suo tempo, per esempio Karl Weierstrass (1815-1897) , Leopold Kronecker (18231891 ) , Richard Dedekind (1831-1916), Felix Klein (1849-1925) , Georg Cantor (1845-1918) e Henry Poincaré (1854-1912) . La sua chiamata quale professore ordinario (1895) nella celebre università di G6ttingen, dove insegnava Klein e dove avevano inse­ gnato Karl Friedrich Gauss (1777-1855) e Bernhard Riemann ( 1826(866), grandemente contribui ad estendere quel ruolo di preminenza che tale università esercitò nel mondo matematico fino alla fosca t ragedia nazista. Gli interessi matematici di Hilbert furono vastissimi, sicché è diHicile trovare un settore della matematica nel quale egli non sia illtervenuto con contributi di tale peso ed importanza da indurre in essi profonde trasformazioni tematiche e metodiche. Si è soliti suddividere in periodi lo sviluppo delle ricerche di Ililbert. In proposito, un altro dei giganti della prima metà del I

Clr. le biografie di lIilbert REID 1970 e BLUMENTHAL 1935 . Per le espo­

,.IZilllli dell'opera matematica di Hilbert, cfr. WEYL 1944, HAS S E 1932, VAN DER WAEIIIIEN I �H3, SC.IIMIIlT 191'S, lIEI.J.JNGER

1935, BERNAYS 1935.

16

v. MICHELE ABRUSCI

nostro secolo, Hermann Weyl (1895-1955) , già suo discepolo, ha osservato che « Hilbert ha aiutato grandemente i recensori della sua opera, poiché essa è divisa abbastanza ordinatamente in diffe­ renti periodi in ciascuno dei quali egli si occupava quasi esclusiva­ mente di un particolare insieme di problemi. . . », e però annotava subito dopo che « naturalmente ci sono sovrapposizioni e ci sono alcuni risultati isolati che spezzano le regole temporali. . . »2. Nel primo periodo, che va dal 1885 al 1893, Hilbert si dedicò alla teoria degli invarianti algebrici; fra l'altro, risolse il problema dell'esistenza di basi finite per i sistemi di invarianti algebrici e sviluppò la teoria degli invarianti algebrici come caso particolare della teoria generale delle funzioni algebriche. Nel periodo succes­ sivo, dal 1893 al 1898, l'interesse prevalente di Hilbert divenne la teoria algebrica dei numeri; la sua opera principale in questa branca, Die Theorie der algebraischen Zahlkorper (1897), fu decisiva per lo sviluppo della teoria dei numeri e dell'algebra astratta. Dal 1898 al 1902 si svolsero le sue ricerche intorno ai fondamenti (alla fondazione) della geometria, il cui momento principale ma non esclu­ sivo fu il volume Grundlagen der Geometrie (1899) . Nel quarto periodo, dal 1902 al 1912, l'attenzione principale di Hilbert si volse all'analisi : molte delle sue ricerche in questa centrale branca della matematica, che cominciarono con il calcolo delle variazioni e arri­ varono alla teoria delle equazioni differenziali e integrali, furono da lui raccolte nel volume Grundzugen einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (1912) . Nel quinto periodo, collocato dal 1912 al 1927, Hilbert si dedicò a ricerche intorno ai fondamenti (alla fondazione) della fisica (e in particolare della teoria cinetica dei gas, della teoria elementare dell'irraggiamento, della teoria della re­ latività, della meccanica quantistica) . L'importanza del ruolo svolto da Hilbert in ciascuna di queste branche è ben nota ad ogni studioso di quella branca. Le ricerche fondazionali accompagnarono a partire dal 1898 ogni ulteriore fase del suo pensiero e finirono addirittura con il divenire (dal 19 17) il centro principale della sua attività. La prima sistema­ zione organica di gran parte delle ricerche più propriamente logiche

2

WEYL 1944, pp. 612-613.

INTRODUZIONE

17

da lui avviate si trova nei Grundziige der theoretischen Logik ( 1928) scritti in collaborazione con uno dei suoi più illustri discepoli, Wilhelm Ackermann (1896-1962) . Alle indagini più propriamente fondazionali fu data invece sistemazione nei due volumi Grundlagen der Mathematik (1934, 1939) scritti in collaborazione con un altro suo grande discepolo, Paul Bernays (1888-1977), che provenendo da Zurigo era divenuto nel 1917 suo assistente. È opportuno sottolineare fin d'ora il fatto che in Hilbert le ri­ cerche fondazionali si saldarono sempre strettamente con le altre indagini matematiche che egli stava compiendo o che aveva com­ piute in passato . In questo senso, una reale comprensione della na­ tura profonda delle riflessioni e delle ipotesi fondazionali hilbertiane presuppone un'attenta considerazione anche dei suoi contributi spe­ cificamente matematici dai quali di volta in volta emergono signi­ ficative indicazioni sull'idea che Hilbert si era fatta o si veniva facendo circa la natura e il ruolo delle diverse branche della mate­ matica che stava indagando nonché il modo in cui di volta in volta egli sentiva il problema della loro 'fondazione' 3. Di 'fondazione' delle teorie matematiche, e della matematica in generale, Hilbert parla tanto nel senso di 'dare ad esse un assetto sicuro', quanto di 'identificazione dei fondamenti' delle stesse, ossia di 'identificazione di ciò che sta alla loro base', 'di ciò su cui esse poggiano'. L'idea unificante sembra essere quella che, in fin dei conti, un assetto sicuro della matematica sia ottenibile quando si sia individuato ciò su cui essa poggia. La presentazione analitica e circostanziata di questo complesso nodo di rapporti fuoriesce evi­ dentemente dai limiti della presente introduzione; della ricerca com­ piuta in tal senso ci limitiamo pertanto a utilizzare, nella successiva delineazione del pensiero più propriamente fondazionale di Hilbert, i risultati raggiunti. Come suggerisce l'elenco delle sue pubblicazioni, e come del resto confermano le biografie esistenti, Hilbert cessò una vera e propria attività di ricerca nei primissimi anni trenta. Mori a Gottingen il 1 4 febbraio 1943 .

.\

Cfr. KREISEL 1976, AnRuscI 1980.

LO SVILUPPO DELLE RICERCHE FONDAZIONALI DI HILBERT

Nello sviluppo del pensiero fondazionale hilbertiano ci sembra possibile riconoscere, sia pure in maniera non sempre rigidamente determinabile, tutta una successione di fasi contrassegnate volta per volta dall'insorgere di nuovi punti di vista e di nuove attenzioni. Si tratta sostanzialmente di sei fasi situabili tra il 1898 e il 1931, alle quali una settima può essere aggiunta : quella in cui venne ultimata e pubblicata l'opera Grundlagen der Mathematik. Dall'indi­ viduazione di tale successione - di cui cercheremo di dare una suc­ cinta caratterizzazione - ci siamo lasciati guidare nel raggruppare gli scritti che abbiamo ritenuto opportuno tradurre nella nostra lingua. Si noti che, anche se le testimonianze fondamentali di questo sviluppo sono naturalmente i lavori su tali argomenti pubblicati da Hilbert a partire dal 1899 (nonché quelli editi dai suoi discepoli e collaboratori) , per una descrizione storica più completa, tuttavia, risultano essenziali anche i resoconti (inediti, e disponibili presso l'Istituto Matematico di G6ttingen) di numerosi corsi di lezioni di Hilbert su temi attinenti al campo dei fondamenti della matematica (pp. 136-137).

LA

PRIMA FASE.

Nella prima fase, che potremmo collocare tra il 1898 e il 1901, IliIbcrt mira ad una fondazione assiomatica della matematica (come purc della fisica e di altre scienze) , e cioè ad una fondazione delle tl'o!'ie matematiche e dei concetti matematici secondo il metodo assiomatico formale. Una tcoria organizzata secondo il metodo assiomatico è detta l"OlIlIlIlCI11Cntc 'teoria assiomatica' . Il metodo assiomatico 'formale'

20

v.

MICHELE ABRUSCI

( talvolta detto anche 'moderno') si distingue da quello 'contenu­ tistico' (talvolta detto anche 'antico') principalmente per la totale astrazione dall'eventuale contenuto intuitivo dei concetti basilari di una teoria assiomatica ( tali concetti vengono definiti implicitamente dagli assiomi di quella teoria), per l'accettazione di un sistema di asserzioni come sistema di assiomi di una teoria assiomatica in forza non della loro eventuale evidenza bensì della dimostrazione della loro non-contraddittorietà da eseguirsi in maniera formale, e per altre caratteristiche a queste due connesse (quali la 'forma esisten­ ziale' e il carattere 'creativo' degli assiomi) . Una teoria organizzata secondo il metodo assiomatico formale può allora essere detta da noi 'teoria assiomatica formale' . Ora, la fondazione assiomatica di una teoria, nell'ottica hilbertiana, in questa fase deve comprendere principalmente la sua trasformazione in una teoria assiomatica for­ male ('assiomatizzazione formale della teoria') e poi la dimostrazione 'formale' della non-contraddittorietà degli assiomi così posti per quella teoria; e la fondazione assiomatica di un concetto viene in­ tesa da Hilbert sempre in questa fase come la fondazione assiomatica della teoria di quel concetto. La fondazione assiomatica di tutta la matematica viene ricon­ dotta da Hilbert a quella dell'aritmetica dei numeri reali e a quella dell'aritmetica dei numeri transfiniti di Cantor, e cioè in definitiva alla dimostrazione della non-contraddittorietà degli assiomi posti per tali teorie. Questo programma fondazionale è esposto ed avviato nell'opera Grundlagen der Geometrie (pubblicata nel 1899 dopo un corso di lezioni sullo stesso argomento tenuto nel 1898-1899) dove viene data la fondazione assiomatica della geometria, nell'articolo Ober den Zahlbegriff (pubblicato nel 1900 ma presentato nel 1899 a Miinchen in una riunione della Deutsche Mathematiker - Vereinigung) e nella conferenza tenuta a Parigi nel 1900 al secondo congresso interna­ zionale dei matematici e intitolata Mathematische Probleme; viene inoltre commentato dallo stesso Hilbert in alcune lettere indirizzate a Gotdob Frege (1848-1925) (la più importante delle quali è datata 29 dicembre 1899) in risposta a critiche da lui mosse. A proposito di questo programma giova almeno sottolineare qual­ che punto che certo meriterebbe una più ampia trattazione. È universalmente riconosciuto il fatto che il metodo assiomatico

INTRODUZIONE

21

formale trovi nell'Hilbert di questi anni una delle sue prime espo­ sizioni precise. Ma Hilbert, che peraltro parla semplicemente di « metodo assiomatico », usa in questi anni il metodo assiomatico formale con alcune caratteristiche aggiuntive non trascurabili (richie­ sta della finitezza del numero degli assiomi, riconoscimento della qualità di teoremi solo a quelle asserzioni che sono derivabili dagli assiomi mediante un numero finito di inferenze logiche, non espli­ citazione del linguaggio e della logica, tacita assunzione che ogni conseguenza logica degli assiomi sia derivabile dagli assiomi me­ diante un numero finito di inferenze logiche, ecc.), come emerge dai suoi scritti. Per la fondazione assiomatica di una teoria, oltre alla sua assio­ matizzazione formale e alla dimostrazione della non-contraddittorietà degli assiomi, Hilbert in questa fase richiede anche, esplicitamente od implicitamente, la dimostrazione dell'indipendenza e della com­ pletezza degli assiomi, la riduzione degli assiomi al minimo numero possibile, l'esame dell'inderivabilità o derivabilità di dati teoremi da certi gruppi di assiomi. In questa fase come pure in quella immediatamente seguente, Hilbert sostiene la tesi, avanzata del resto anche da altri matema­ tici, dell'esistenza matematica come non-contraddittorietà (ad es., p. 1 5 7 ) . Il senso da attribuire a tale tesi è a quanto pare il seguente : la dimostrazione della non-contraddittorietà di un sistema di assiomi per un concetto matematico vale come dimostrazione dell'esistenza matematica di quel concetto. Tale tesi probabilmente vuole anche essere una risposta al quesito spesso sollevato nel mondo matematico nel secolo XIX di fronte al proliferare di nuovi e utili concetti in matematica l , e cioè : se un nuovo concetto è utile in matematica, come possiamo affermare che esso esiste matematicamente? Si noti peraltro che Hilbert riferisce questa tesi solo a concetti già ricono­ sciuti come 'matematici' ; perciò, appare difficile attribuirgli l'idea che ogni sistema di assiomi non-contraddittorio definisce comunque IIn concetto matematicamente esistente. Inoltre, tenuto conto del l'allo che Hilbert in questi anni non ha alcuna sensibilità per que­ si ioni intorno alla logica, e del livello della problematica logica in

I

Cfr. KI.E1N, 1926.

22

V. MICHELE ABRUSCI

quel periodo, non sembra che con la sua tesi voglia affermare che ogni sistema di assiomi non-contraddittorio ha un modello. La dimostrazione della non-contraddittorietà degli assiomi della geometria 2 è ricondotta da Hilbert a quella dell'aritmetica dei nu­ meri reali, mediante il metodo dell' 'interpretazione' che, in questo caso, è 'interpretazione aritmetica' o 'aritmetizzazione' ; cioè facendo vedere che c'è un'interpretazione aritmetica dei concetti geometrici tale che gli assiomi della geometria sotto questa interpretazione divengono delle verità aritmetiche. Con lo stesso metodo Hilbert ritiene di poter ricondurre la non-contraddittorietà degli assiomi di altre teorie matematiche (o fisiche) (pp. 1 56-158) a quella dell'aritme­ tica dei numeri reali, e usa lo stesso metodo per le dimostrazioni di indipendenza e di inderivabilità 3. Tutto induce a pensare che Hilbert concepisce in una maniera puramente formale il metodo dell'interpretazione, metodo già usato nel secolo XIX sia nelle nume­ rose aritmetizzazioni sia nella dimostrazione della non-contradditto­ rietà delle geometrie non-euclidee sotto l'ipotesi della non-contrad­ dittorietà della geometria euclidea. Gli assiomi della « teoria del concetto di numero », dati in Uber den Zahlbegriff, sono gli assiomi dell'aritmetica dei numeri reali; come spiega Bernays, il sistema dei numeri reali è ivi « carat­ terizzato come un corpo reale archimedeo che non è suscettibile di essere esteso ad un altro corpo dello stesso genere che lo com­ prenda »4. In questa fase, la fondazione assiomatica dell'aritmetica dei numeri reali comporta per Hilbert anche la fondazione di tutta l'analisi matematica, poiché egli ritiene che la logica non abbia alcun bisogno di essere fondata e mediante la logica, a partire dagli assiomi dell'aritmetica dei numeri reali, si può ottenere l'intera analisi. È oscuro il modo (che Hilbert dice essere « facile » ; p . 1 4 3 ) con cui egli pensava di dimostrare l a non-contraddittorietà degli assiomi dell'aritmetica dei numeri reali in maniera « diretta » (gli accenni alla « teoria dei numeri irrazionali » (pp. 143, 1 5 7 ) indicano

2 3

4

Cfr. HILBERT 1 899, cap. II. Cfr. HILBERT 1 899, cap. II. Cfr. BERNAYS 1935.

INTRODUZIONE

23

che forse pensava di ricondurla alla non-contraddittorietà della aritmetica dei numeri naturali, ritenuta non bisognosa di fondazione) . Per quanto concerne le origini di questa impostazione fondazio­ nale, dobbiamo far riferimento non soltanto alle origini del metodo assiomatico formale ma anche ad altre influenze, quali quella di Weierstrass (ad es . , relativamente all'esigenza di rigore nei concetti e nei principi, e alla necessità di indagare la non-contraddittorietà dei principi)�, quella di Kronecker (relativamente alla critica del­ l'uso contenutistico di totalità infinite di enti nella fondazione della matematica) (p. 143) e quella di Cantor (relativamente alla tesi del­ l'esistenza matematica come non-contraddittorietà, che Hilbert asso­ cia esplicitamente (p. 143) alla distinzione cantoriana 6 tra « insiemi consistenti » ed « insiemi inconsistenti » ) . L e obiezioni mosse d a Frege 7 ad Hilbert d a u n lato mostrano quanto a Frege fossero estranee le motivazioni e le caratteristiche del metodo assiomatico formale, ma dall'altro sono giustificate per ciò che concerne l'uso ambiguo da parte di Hilbert dei termini « definizione » (usato sia per le 'definizioni esplicite', sia per quel­ le 'implicite', sia per le 'definizioni' di strutture mediante assiomi) e « concetto » (usato sia per i concetti del primo ordine, sia per quelli del secondo ordine ovvero per le strutture) .

LA

SECONDA FASE.

La scoperta delle antinomie logiche ed insiemistiche, e in parti­ colare di quella russelliana (1901), contribuisce a determinare una nuova fase delle ricerche fondazionali di Hilbert, nella quale egli mira ad una « fondazione simultanea » secondo il metodo assioma­ tico formale sia dell'aritmetica (ivi compresa l'aritmetica dei numeri reali) sia della logica. Per raggiungere questo obiettivo, Hilbert pensa ad una formalizzazione progressiva dell'aritmetica e della lo­ gica; cioè, ad una loro formalizzazione mediante formalismi via via più potenti in modo da ottenere successivamente la teoria forma5

6

7

Cfr. HI LBERT 1897a. Cfr. CANTOR 1932. Cfr. FREGE 1976.

v.

24

MICHELE ABRUSCI

· lizzata dei numeri naturali, poi quella dei numeri reali e infine quella dei numeri transfiniti di Cantor. Hilbert fa presente che, con la formalizzazione, le dimostrazioni di una teoria vengono trasfor­ mate in « costrutti matematici » : cos1 la dimostrazione della non­ contraddittorietà di una teoria formalizzata viene ad essere una dimo­ strazione di un'asserzione su « costrutti matematici » e quindi può e deve essere una dimostrazione matematica. Hilbert esige che le dimostrazioni di non-contraddittorietà, per essere davvero 'fondanti', siano eseguite o con certi mezzi concreti e semplici (fra i quali non è incluso il concetto di numero naturale nemmeno nella sua acce­ zione intuitiva) oppure con mezzi appartenenti a teorie delle quali sia stata già dimostrata, in conformità con questo programma, la non-contraddittorietà. Il programma fondazionale di questa fase è esposto, ma solo in parte sviluppato, nella conferenza tenuta da Hilbert a Heidelberg nel 1904 al terzo congresso internazionale dei matematici ed inti­ tolata tJber die Grundlagen der Logik und der Arithmetik. Questa conferenza risulta oscura in vari punti. Le linee indicate nel 1904 vengono ancora sviluppate in corsi di lezioni tenuti da Hilbert, e ciò fin circa al 1910. Il programma fondazionale del 1904 viene però lentamente accantonato da Hilbert stesso, che si rende gra­ dualmente conto di non poterlo proseguire senza una conoscenza adeguata della logica 8 . Poincaré 9 criticò subito alcune parti del programma esposto da Hilbert, che tuttavia ebbe una discreta risonanza 10. Il matematico ungherese Julius Konig (1849-1913) negli anni successivi comp1 ri­ cerche fondazionali che in vari punti riprendono e sviluppano linee presenti nella conferenza hilbertiana del 1904 . Il lavoro di Konig 11, pubblicato postumo nel 19 14, non influ1 direttamente sull'evolu­ zione successiva delle ricerche fondazionali di Hilbert; un certo effetto indiretto 12 , tuttavia, lo esercitò più avanti, a partire dal

8 Cfr. BLUMENTHAL 1935. 9 Cfr. POINCARÉ 1905, 1908. IO

Cfr. PIERI 1906, VAN HEI]ENOORT 197 1 . KONIG 1914. 12 Cfr. BERNAYS 1935.

11

INTRODUZIONE

25

1925, attraverso l'opera di Johann von Neumann (1903-1957) di cui avremo modo di parlare. La formalizzazione dell'aritmetica e della logica, cosi come è proposta da Hilbert nella conferenza del 1904, ci appare da un lato ricca di spunti originali e dall'altro insufficiente rispetto ai fini che si prefigge. Fra gli spunti originali vanno notati il modo in cui ven­ gono interpretate le asserzioni formalizzate - gli « enunciati » , nella terminolqgia hilbertiana ( p . 1 66) - (cioè come asserzioni in­ torno all'appartenenza di combinazioni di segni iniziali ad una delle due classi di una partizione di tutte quelle combinazioni), e certi tentativi di dare un calcolo logico delle 'conseguenze' (fra l'altro, la principale regola di inferenza (p. 1 67 ) è una sorta di regola gene­ rale di 'cesura'}. Fra le insufficienze, vanno notate le continue con­ fusioni (ad es., p. 1 6 7 ) tra momento linguistico o teorico e mo­ mento metalinguistico o metateorico (anche se nel mondo logico la pericolosità di tali confusioni fu avvertita in pieno solo assai più tardi riflettendo su antinomie linguistiche quali quelle di Richard e di Konig) e l'assoluta inadeguatezza delle regole logiche proposte (pp. 1 67, 174) a formalizzare le usuali teorie aritmetiche con la loro logica. L'inesperienza logica di Hilbert risulta palese; il suo inte­ resse per la logica, però, forte. Di fronte alla scoperta delle antinomie (che peraltro non scalfi­ scono la fiducia di Hilbert nella non-contraddittorietà della mate­ matica, in quanto egli le attribuisce (p. 1 65 ) al tentativo di voler fondare la matematica sulla logica e alla non precisa formulazione della logica usata in matematica}, nel 1 904 l'unica proprietà inda­ gata da Hilbert per la fondazione è quella della non-contradditto­ rietà. La non-contraddittorietà della matematica esistente è e resta per Hilbert un dato di fatto, un dato che ora, tuttavia, più di prima deve essere dimostrato matematicamente. Ma Hilbert con la sua fondazione mira anche a ricostruire la logica e la teoria degli insiemi (pp. 172- 1 7 3 ) secondo linee (non del tutto chiare) che sicu­ ramente influenzarono l'assiomatizzazione della teoria degli insiemi data da Ernst Zermelo ( 1 87 1-1953) 13 . Per la prima volta ed esplicitamente Hilbert nel 1 904 intende 13 Cfr. ZERMELO 1908.

V.

26

MICHELE ABRUSCI

le dimostrazioni matematiche formalizzate come « costrutti mate­ matici » (p. 1 7 4 ) e quindi oggetto di indagine matematica. Per Hilbert le dimostrazioni matematiche sono « costrutti matematici » poiché per lui, cosi ci sembra, è da ritenersi « costrutto matema­ tico » ogni costrutto di simboli regolato da regole formali (e perciò sono costrutti matematici anche, ad es ., le asserzioni formalizzate) . L'esigenza di rigore aveva portato Hilbert, già in Matematische Probleme (p. 1 50) , a considerare le dimostrazioni come catene finite di inferenze formali; ora, la formalizzazione delle inferenze logiche e del linguaggio porta Hilbert, che ha una mentalità tipi­ camente algebrico-formale, alla conclusione che le dimostrazioni sono costrutti matematici e quindi oggetto di indagine matematica. Nella conferenza sono indicati vari metodi per la dimostrazione di non-contraddittorietà di una teoria formalizzata : mediante una « partizione » delle combinazioni dei segni iniziali rispetto alla quale ogni « conseguenza degli assiomi » (cioè, ogni teorema) è « vera » (p. 1 68) , oppure mediante una proprietà strutturale delle asserzioni formalizzate che è goduta da tutti i teoremi della teoria ma non da una contraddizione formalizzata (p. 169), oppure mediante un sistema di enti per i quali sono veri gli assiomi (p. 1 7 1 ), oppure mediante la trasformazione di ogni dimostrazione formalizzata di una contraddizione a partire dagli assiomi in una dimostrazione formalizzata di una contraddizione a partire dagli assiomi di una teoria per la quale si è già dimostrata la non-contraddittorietà (p. 173 ) . In questi metodi un ruolo importante è svolto dalla veri­ fica (p. 174) che ' tutti i teoremi hanno una certa proprietà' me­ diante un ragionamento per induzione (facendo vedere che gli as­ siomi hanno quella proprietà, e che, se le premesse di una regola hanno quella proprietà, allora ce l'ha anche la conclusione della regola) . Hilbert pensa di poter cominciare la fondazione facendo a meno anche del concetto intuitivo di numero naturale (p. 1 6 3 ) nelle dimo­ strazioni di non-contraddittorietà; ma l'uso, sin dalle prime fasi di questa fondazione, di ragionamenti per induzione comporterebbe per analogia l'accettazione almeno del concetto intuitivo di numero naturale. E Poincaré 14 criticò Hilbert proprio perché gli sembrava 1 4 POINCAllI, 1905.

INTRODUZIONE

27

che egli, con un procedimento circolare, intendesse fondare il con­ cetto di numero e quindi il principio di induzione usando il prin­ cipio di induzione stesso.

LA TERZA FASE.

Mentre non ci risulta che esistano scritti fondazionali di Hilbert nel periodo che va dal 1 9 1 0 al 1 9 1 7 , per gli anni dal 1 9 1 7 al 1 9 1 9 possiamo parlare con qualche ragionevolezza di una nuova ed im­ portante fase delle ricerche fondazionali hilbertiane, dominate dal­ l'influenza dei Principia Mathematica di Bertrand Russell ( 1 8721970) e Alfred North Whitehead ( 1 86 1 - 1 947) (pubblicati tra il 1 9 1 0 e il 1 9 1 3 ) . Hilbert apprezzava l'opera di Russell e di White­ head, « convinto che la combinazione di matematica, di filosofia e di logica, rappresentata da Russell, avrebbe svolto un grande ruolo nella scienza » 1 5 . Il programma delle ricerche fondazionali di questi anni è deli­ neato in alcuni passi (pp. 1 85, 1 88 ) della conferenza tenuta da Hil­ bert a Zurigo nel 1 9 1 7 ed intitolata « Axiomatisches Denken ». La matematica 'numerica' (con tale termine intenderemo qui e nel seguito riferirci complessivamente alle teorie dei numeri natu­ rali, dei numeri reali e degli insiemi, e quindi in particolare all'ana­ lisi e all'aritmetica transfinita) va fondata per Hilbert in una ma­ niera che può essere cosi schizzata : perfezionare l'assiomatizzazione e la formalizzazione della logica date nei Principia Mathematica, d i mostrare che la teoria dei numeri naturali e la teoria degli in­ sicmi (e quindi tutta la matematica numerica) sono contenute in qucsta 'grande' logica, dimostrare la non-contraddittorietà di que­ sta logica assiomatizzata e formalizzata (e quindi di tutta la mate­ lIIatica numerica) . Nell'esigere quest'ultimo punto, Hilbert chiara­ lIIl'ntc si distanzia dal programma logicista di Russell e di White­ bl'ad ed esprime anche l'idea che la dimostrazione di non-contrad­ dittorietà va compiuta in una nuova disciplina matematica la quale

I� Rmll 1970, p. 144 . Per alcuni parziali interventi di Hilbert sui fonda1I1I'IUi, fillo

al

191 7, dr. IhI.BF.Rl' 1909, 1914.

28

v. MICHELE ABRUSCI

abbia per propri oggetti le « dimostrazioni matematiche » (p. 1 88 ) (formalizzate) e alla quale affida anche l a trattazione di altri im­ portanti problemi filosofici e gnoseologici intorno alla matematica (p. 1 85 ) ; si tratta della disciplina che, negli anni successivi, sarà chia­ mata da Hilbert « metamatematica » o « teoria della dimostrazione » . I l programma viene perseguito con cura in questi anni e diviene oggetto di vari corsi di lezioni tenuti da Hilbert a GOttingen; in tale contesto, Hilbert comincia nel 1 9 1 7 uno studio metamatematico della logica degli enunciati, della logica dei predicati e della teoria dei tipi. Iniziano così in questi anni le ricerche logiche a Gottingen e per la prima volta la logica matematica entra a pieno titolo in uno dei massimi centri matematici 16. Nel 1 9 1 7 Hilbert chiama a Gottingen come suo assistente Ber­ nays (con cui si era incontrato durante il suo soggiorno a Zurigo per la conferenza Axiomatisches Denken) il quale, esperto e in matematica e in filosofia - collegato alla « Scuola di Fries » gui­ data da Leonard Nelson ( 1 882- 1 927) , d'ora in poi collaborerà attivamente alle ricerche logiche e fondazionali di Hilbert, contri­ buendo in maniera decisiva sia al loro sviluppo sia al raffinamento e consolidamento della loro impostazione filosofica. Fra i risultati ottenuti in questi anni da Hilbert e Bernays (di quest'ultimo ricordiamo la Habilitationsschrift 17 - rimasta in larga parte inedita - dedicata alla trattazione della logica degli enunciati; da questa opera traiamo molte delle nostre informazioni intorno a questi anni), citiamo soltanto, rinunciando ad una pur importante più ampia trattazione : -

- l'assiomatizzazione e la formalizzazione dei vari calcoli logici, quale sarà caratteristica delle ricerche logiche a Gottingen (ad es ., struttura del linguaggio formale, regole di inferenza - fra le quali, le regole di sostituzione e lo « schema di inferenza » detto oggi abitualmente 'regola di separazione' -, definizione dei concetti formali di « dimostrazione » e di « formula dimo­ strabile », ecc.) 18;

16 Cfr. GoLDFARB 1979 .

17 Cfr. 18

BERNAYS 1918, 1925.

Per alcuni cenni tecnici al riguardo,

v.

p. 63 .

INTRODUZIONE

29

- l'individuazione di numerose proprietà metateoriche e la dimo­ strazione di alcune di esse per la logica degli enunciati e la lo­ gica dei predicati; cosi, per la logica degli enunciati viene dimo­ strata la non-contraddittorietà come corollario del fatto che « ogni formula dimostrabile è universalmente valida », la com­ pletezza sia nel senso che « ogni formula universalmente valida è dimostrabile » sia nel senso che « se una formula non dimo­ strabile viene aggiunta come nuovo assioma, allora tutte le for­ mule sono dimostrabili », la decidibilità della nozione di « for­ mula dimostrabile » 19 ; e per la logica dei predicati viene dimo­ strata la non-contraddittorietà come corollario del fatto che « ogni formula dimostrabile è valida in ogni dominio con un solo individuo » 20 ; l'elaborazione di importanti concetti metateorici e di importanti tecniche metateoriche, quali la nozione di « formula in forma normale (congiuntiva o disgiuntiva) » 21 e le tecniche di dimo­ strazione dell'indipendenza degli assiomi 22 . Sembra che inizialmente l'intenzione di Hilbert fosse stata quel­ la di condurre le indagini metateoriche con mezzi estremamente semplici e concreti, come nella seconda fase. Ma in questi anni diviene a lui chiaro che, anche solo per costituire i formalismi, era necessario accettare in partenza anche altri mezzi che sostanzial­ mente sono quelli che permettono di ottenere il concetto intuitivo di numero naturale (i numeri come concretamente dati, e come un'infinità potenziale) e di usare certi tipi di ragionamento per induzione e certi tipi di definizione per recursione. Ci sono passi nell'Habilitationsschrift di Bernays che testimoniano questa tran­ sizione : vengono consapevolmente usati ragionamenti per induzione e definizioni per recursione ma si cerca di mostrarne 1'« intuitività » ,

1 9 V. ancora, per cenni teCnICI, p. 6 4 (dove l e « formule dimostrabili » sono dette « derivabili » e le formule « universalmente valide » sono dette «identicamente vere »). 20 V. ancora, per cenni tecnici, p. 65 (dove le formule « dimostrabili » sono dette « derivabili » e le formule « valide in ogni dominio con n individui » sono dette « n·identiche ») . 21 Cfr. p. 64 . 22 Cfr. p. 65.

30

v. MICHELE ABRUSCI

e a proposito della dimostrazione di non-contraddittorietà del cal­ colo degli enunciati si afferma che in essa « non si usa la non­ contraddittorietà dell'aritmetica, poiché non si ha a che fare con l'aritmetica nel suo complesso bensl solo con ripetute applicazioni di certe equazioni »23. Con questi mezzi metateorici più ampi, che verranno chiamati « mezzi finitari » nella fase successiva, Hilbert pensa e progetta di indagare i formalismi. Ed è con questo stesso atteggiamento che viene proposto il « problema della decisione » come « il problema fondamentale della logica matematica » , il pro­ blema della ricerca di un criterio 'finitario' per stabilire se una for­ mula (di un dato calcolo logico) ha quella proprietà altamente infi­ nitaria che è la « validità universale » (o la « soddisfacibilità ») (p. 350) . Sarebbe importante, se lo spazio lo consentisse, seguire simultaneamente, da questo momento in poi, l'indagine fondazio­ nale e l'indagine sul problema della decisione, perché a Gottingen esse furono simultanee di fatto e di principio. Dalle lezioni di Hilbert ci risulta che, verso il 1919, egli abban­ donò il programma fondazionale esposto nella conferenza del 1917 . Questo passo dipese, sostanzialmente, dal riconoscimento della « in­ naturalezza » di un assioma essenziale dei Principia Mathematica quale è l'assioma di riducibilità e del carattere non-logico di questo stesso assioma e dell'assioma dell'infinito (p. 280) . Perciò Hilbert ritenne - cosi ci sembra - che tanto valeva rinunciare a costruire tutta la matematica numerica come parte della logica e che con­ venisse invece presentare una formalizzazione della matematica nu­ merica più vicina al suo reale configurarsi nella pratica matematica; e ciò specialmente, come vedremo, di fronte all'incalzare delle criti­ che alla matematica classica. Comunque, d'ora in poi nella formalizzazione della matematica classica Hilbert si rifarà, sia pur con modifiche, al modello di for­ malizzazione dato da Russell e Whitehead e da lui stesso perfezio­ nato; e la logica non sarà più un 'ostacolo' tecnico nelle sue inda­ gini fondazionall come lo era stata invece in quella che abbiamo chiamata la seconda fase del suo pensiero fondazionale.

2.\ Cfr. fiERNAYS 1917.

INTRODUZIONE

LA

31

QUARTA FASE.

Passiamo ora ai primi anni venti, agli anni dal 1 920 al 1 924, che possono essere ritenuti una quarta fase delle ricerche fondazio­ nali di Hilbert e che aprono il periodo in cui si afferma e si impone il suo programma fondazionale. Dapprima nelle sue lezioni e poi nelle due conferenze del 1 922 (Neubegrundurrg der Mathematik. Erste Mitteilung tenuta a Co­ penhagen e ad Amburgo, Vie logischen Grundlagen der Mathematik tenuta a Lipsia), Hilbert elabora ed espone un nuovo modo di fondare l'intera matematica numerica classica . Un importante com­ mento sui primi passi di questa fase è rappresentato dall'articolo di Bernays Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik pubblicato nel 1 922.

Sulle critiche alla matematica classica. Diviene forte, e sarà poi sempre presente, la polemica di Hil­ bert contro predicativisti ed intuizionisti, e precisamente contro le loro critiche ad importanti principi e procedimenti usati nella mate­ matica classica dei quali proponevano l'abbandono, il rifiuto. Fra questi principi e procedimenti, ricordiamo in particolare quelli su cui Hilbert si sofferma nelle due conferenze di questa fase : il terzo escluso su domini infiniti di enti (preso in considerazione da Hilbert non tanto nella sua forma proposizionale - A oppure non-A quanto nella sua forma quantificazionale - ogni ente gode di A op­ pure c'è un ente che gode di non-A, dove enti possono essere individui, funzioni, funzioni di funzioni, ecc. -) (p. 2 1 9 ), le defi­ nizioni impredicative (sulle quali l'attenzione di Hilbert diverrà più precisa negli anni successivi) (p. 1 90), la definizione cantoriana e quella dedekindiana di numero reale (che, come Hilbert sottolinea ( p . 1 90), comportano l'uso dei concetti di 'insieme qualunque' o di ' successione qualunque', oltre che di procedimenti impredicativi) , il principio di scelta (detto anche 'principio zermeliano d i scelta' poiché usato da Zermelo 24 per la dimostrazione del teorema del buon ordinamento degli insiemi; principio particolarmente oggetto 201

ZF.RMELO 1904.

32

V. MICHELE ABRUSCI

di critiche e ritenuto invece da Hilbert come uno dei principi basi­ lari della matematica) (p. 2 1 6), l'uso di teoremi e principi pura­ mente esistenziali (ritenuto da Hilbert anche come una conseguenza dell'uso in matematica dei principi del terzo escluso e di scelta) (pp. 226-227 ) . Hilbert non distingue ora tra 'predicativisti' ed 'intuizionisti', e cita quali critici della matematica classica Poincaré (ad es. , p. 194), Weyl (ad es., p. 1 89) e Luitzen Egbertus Jan Brouwer ( 1 88 1-1 966) (ad es ., p. 192). Poincaré è citato particolarmente come sostenitore della accettazione senza fondazione dell'intera aritmetica dei numeri naturali. Forte è la polemica di Hilbert contro Weyl, che era stato suo discepolo e che egli apprezzava moltissimo; fortissima è la pole­ mica, anche accademica, contro Brouwer. Hilbert temeva l'influenza di questi matematici e delle loro posizioni sul futuro della mate­ matica 25. Si badi : nelle sue conferenze Hilbert accetta dal punto di vista contenutistico le critiche mosse alla matematica classica da questi matematici, ma respinge la loro proposta di mutilare la matematica abbandonando quei principi e quei procedimenti la cui 'ragion d'es­ sere' per Hilbert non sta nella affidabilità contenutistica bensì nel­ l'utilità e nella correttezza formale (p. 220 ) . I motivi per cui se­ condo Hilbert - come emerge in questa fase - tali principi e procedimenti non possono essere accettati contenutisticamente senza una fondazione, sono sostanzialmente due, certo connessi ma tutta­ via distinti : perché essi in generale presuppongono come date (in atto) totalità infinite (p. 1 9 1 ) e perché costituiscono trasposizioni sull'infinito di principi e procedimenti validi contenutisticamente nel finito (p. 2 1 9 ) . Hilbert, forse perché non n e è a l corrente, non s i sofferma sulla parte 'positiva' delle proposte fondazionali predicativista ed intuizio­ nista : infatti, non considera mai la matematica intuizionista come una 'matematica diversa' bensì come una 'matematica mutilata' (p. 1 92) , e non apprezza l'importanza di indagare mediante essa ciò che in matematica si può fare rinunciando a certi principi (e si 25 Cfr. REm 1970, p. 187. Le opere principalmente criticate da Hilbert sem­ brano essere: WEYL 1918, 1919, 192 1 , BROUWER 1912, 1918, 1919, 192 1 . Cfr. anche LEVI 1922 .

INTRODUZIONE

33

ricordi che invece proprio Hilbert aveva richiamato l'attenzione sul­ l'importanza di questo tipo di indagine già nella conclusione di Grundlagen der Geometrie) . Ma, d'altra parte, in quegli anni era scarsa la conoscenza delle caratteristiche della matematica intuizio­ nista mentre era forte la polemica contro di essa.

Matematica finitaria e matematica transfinita. Da questi anni in poi Hilbert distingue all'interno della mate­ matica una parte che è dotata di contenuti concettuali intuitivi e di verità evidenti, che usa l'infinito solo nella sua forma potenziale, che procede con mezzi concreti e finiti e che è accettabile anche da parte dei critici della matematica classica : chiama questa parte « ma­ tematica finitaria » (finite Mathematik) e la restante parte « mate­ matica transfinita » (transfinite Mathematik) . Più in generale, Hil­ bert parla di « pensiero finitario » e di « pensiero transfinito », e in Neubegrundung der Mathematik. Erste Mitteilung (p. 195 ) vuoI descrivere (sia pure a grandi linee) cosa sia il pensiero finitario. Nella matematica finitaria è accettato anche il concetto intuitivo di numero naturale e in essa è possibile svolgere parte dell'aritme­ tica. Hilbert, ora e in seguito, distingue tra il « principio di indu­ zione » (che ha bisogno di fondazione) e certi ragionamenti indut­ tivi contenutistici che si basano sulla costruzione intuitiva delle cifre e che appartengono alla matematica finitaria (pp. 1 96, 279 ) . Si noti che con questa distinzione Hilbert vuoI rispondere alla critica mossa da Poincaré alla sua conferenza del 1904 e abbraccia sostanzialmente la posizione di Kronecker 26. Non viene data, tuttavia, una rigida distinzione tra le due parti della matematica. Nella prima conferenza (p. 1 95) , Hilbert cerca di isolare le caratteristiche basilari del « pensiero finitario » e di far appunto vedere come con tale pensiero si ottenga il concetto intui­ tivo di numero naturale e si svolga parte dell'aritmetica dei numeri naturali (con l'uso di forme del ragionamento per induzione e di forme della definizione per recursione) ; forse Hilbert mirava a ca­ ratterizzare dal basso e in maniera 'positiva' l'intera matematica lìnitaria o almeno l'aritmetica finitaria. Ma alcune critiche, mosse 2�

Cfr.

13ERNAYS

1935 .

V. MICHELE ABRUSCI

34

dal filosofo Aloys MUller all'espressione hilbertiana « segni senza significato » e alle quali rispose Bernays, contribuirono a mostrare la delicatezza di questa impresa 27. Nella seconda conferenza (p. 2 1 9 ) , l a matematica finitaria viene indicata come quella parte della mate­ matica che tratta enti concreti-intuitivi e non usa principi e proce­ dimenti criticati da predicativisti o intuizionisti; cioè, ci troviamo di fronte ad una caratterizzazione dall'alto e in maniera 'negativa' della matematica finitaria. In questo contesto Hilbert comincia a parlare di «logica finitaria » (p. 2 1 8 ) (la logica dei ragionamenti finitari) e di «elementi ideali » (p. 226) ( tutto ciò che in mate­ matica non è finitario) . I l pensiero finitario, che non s i basa quindi solo sull'esperienza, è presentato nelle conferenze come un « prerequisito » per ogni conoscenza scientifica (pp. 195, 243 ), poiché (ci sembra) Hilbert ritiene che senza di esso nessuna costruzione scientifica possa essere compiuta nemmeno formalmente; cioè, il pensiero finitario è per Hilbert il pensiero necessario per costituire i formalismi.

Fondazione dell'analisi: formalizzazione. È chiaro - dalle conferenze - che per Hilbert va data una fondazione per l'analisi matematica e per quel tanto di teoria degli insiemi che vi è presente; ma, riprendendo obiettivi già perseguiti nelle fasi precedenti delle sue ricerche fondazionali, Hilbert vede la fondazione dell'analisi come un primo passo verso la fondazione della teoria degli insiemi (p. 23 1 ) . Resta aperto, a nostro parere, i! problema se l'intera teoria degli insiemi fosse ritenuta da Hilbert 'parte' della « matematica classica » : ad es ., von Neumann, nel presentare 28 il programma hilbertiano, lo mette in dubbio. Di fatto, comunque, Hilbert si limita ora alla fondazione dell'analisi mate­ matica. Per Hilbert il primo momento della fondazione dell'intera mate­ matica numerica è la sua formalizzazione. In questa fase la distin­ zione tra formalismo e metateoria è precisa e testimoniata dall'uso di segni metalinguistici (i « segni per la comunicazione ») accanto

27

Cfr. MULLER 1923, BERNAYS 1923 .

28 VON NEUMANN 1 927.

INTRODUZIONE

35

ai segni del formalismo (p. 199). Nei linguaggi formali presentati da Hilbert, le «formule » formalizzano le asserzioni, mentre i «fun­ zionali » formalizzano gli argomenti dei predicati o delle funzioni. Hilbert in questi anni non propone un formalismo complessivo per l'intera analisi, ma indica una successione di formalismi via via più potenti per ottenere l'usuale analisi matematica, e ciò in armo­ nia con una concezione di «costruttività » che egli ritiene, in pole­ mica con quella proposta da Weyl, più consona alla pratica mate­ matica (p. 204 ) . Ci troviamo però di fronte a due modi di forma­ lizzare l'analisi . mediante una successione di formalismi: il primo è proprio dei primi anni di questa fase ed è ricavabile dal citato articolo di Bernays e in parte dalla prima conferenza di Hilbert, il secondo è ricavabile dalla seconda conferenza di Hilbert e sosti­ tuisce il precedente nelle indagini successive. Conviene osservare con attenzione la formalizzazione dell'analisi delineata in Neubegrundung der Mathematik. Erste Mitteilung : essa si basa su un linguaggio del secondo ordine, volutamente privo e del connettivo della negazione e del quantificatore esistenziale (p. 209) . Ci limitiamo qui ad alcune brevissime annotazioni su queste due ' assenze'. Sembra che Hilbert pensasse di poter esprimere la negazione di un'asserzione A o come un'asserzione ottenuta formalmente da A portando la negazione (secondo le usuali leggi logiche) sulle compo­ nenti più semplici (e perciò nel formalismo accanto al predicato = c'è il predicato ..= ) o come un'asserzione metateorica ('l'aggiunta di A come assioma - come formula iniziale - porta a contraddizione') (p. 209 ) ; e questo modo di trattare la negazione gli appare più consono alla pratica matematica (p. 209 ) . E sembra che Hilbert pensasse di poter esprimere nel modo se­ guente un giudizio esistenziale quale 'c'è un x tale che A ( x ) ' (dove x è una variabile di qualche tipo) : si introduce mediante assiomi 1 1 11 ente c (dello stesso tipo di x ) tale che A(c) è teorema sulla base d i quegli assiomi (p. 209 ) . (Nel caso più generale, se A ( al , . . . , aD, x ) l: un'asserzione che contiene libere le variabili al , . . . , aD , x, allora per formalizzare l'asserzione 'c'è un x tale che A ( al , . . . , aD , x ) ' si i n t roduce mediante un assioma una funzione f che, ad enti CI, . . . , CD ri spettivamente aventi il tipo di al , . . . , aD, associa un ente f(Cl , . . . , CD ) , i I I Illodo tale che A (a" . . . , an , f(al, . . . , aD ) ) è teorema sulla base di

36

V. MICHELE ABRUSCI

quegli assiomi) . Anche questo modo di trattare i giudizi esistenziali gli appare più consono alla pratica matematica (p. 209 ) . E cosi sono presenti fin d'ora due idee 'guida' delle ricerche fondazionali e lo­ giche di Hilbert : quella di 'associare' in qualche modo ad ogni for­ mula esistenziale (dimostrabile) (Ex)A(x) una formula (dimostrabile) A(t) dove t è un simbolo o un certo complesso di simboli, e quella di concepire la teoria della quantificazione esistenziale come un caso speciale del principio di scelta (nel senso che, invece di dire 'c'è un ente che gode della proprietà A', si postula insieme, con il prin­ cipio di scelta, di poter scegliere un ente tra tutti quelli che godono della proprietà A ) . Naturalmente, con questo modo di formalizzazione s i incontrano notevoli difficoltà (ad es ., quando si voglia formalizzare il terzo escluso predicativo) e si producono via via estensioni dei forma­ lismi (p. 2 1 3 ) . Forse - ma solo uno studio attento delle lezioni di Hilbert potrà dire una parola precisa in proposito - furono proprio queste difficoltà a portare Hilbert, con la collaborazione di Bernays, alla formalizzazione proposta in Die logischen Grundlagen der Mathe­ matik imperniata sull'uso dell'operatore "t', priva di quantificatori e dotata però del connettivo della negazione. Fu introdotta anche un'analoga formalizzazione, con l'operatore E al posto dell'operatore "t', e dalle lezioni di Hilbert risulta che la formalizzazione con l'E precedette quella con il "t'. Ricordiamo brevemente l'idea soggia­ cente a queste formalizzazioni. Nella formalizzazione con l'E, ogni asserzione esistenziale quale 'c'è un x tale che A(x) ' (dove x è una variabile di un dato tipo) viene espressa come 'A vale di ExA(x) ', e cioè con A(ExA(x) ) , e vengono stabiliti assiomi SUll'E relativamente a ciascun tipo di varia­ bile. Con ciò viene espressa l'idea che, mediante un'unica funzione logica, per ogni giudizio esistenziale ci sia la possibilità di trovare un ente che sia come un 'rappresentante' della proprietà espressa nel giudizio, e gli assiomi stabiliscono appunto che ' se per qualche ente vale una certa proprietà, allora essa vale per il rappresentante di quella proprietà'. Nella formalizzazione con il "t', ogni asserzione universale quale 'per ogni x vale A(x) ' (dove x è una variabile di un dato tipo) viene espressa come 'A vale di "t'xA(x) ', e cioè con A ("t'xA(x) ) , e vengono stabiliti assiomi sul "t' relativamente a cia-

INTRODUZIONE

37

scun tipo di variabile. Con ciò viene espressa l'idea che, mediante un'unica funzione logica, per ogni giudizio universale ci sia la pos­ sibilità di trovare un ente che sia come un 'prototipo' della pro­ prietà espressa da quel giudizio, e gli assiomi stabiliscono appunto che 'se una proprietà vale per il suo prototipo, allora vale per ogni ente'. Gli operatori E e 't sono chiamati da Hilbert « funzioni transfi­ nite » o « funzioni transfinite logiche di scelta », sia perché espri­ mono l'elemento transfinito nella matematica (p. 22 1 ) , sia perché hanno lo status di funzioni aventi come argomenti i predicati (p. 22 1 ) , sia perché (come è ben illustrato da Hilbert stesso) (p. 270) sono strettamente connessi con certe forme del principio di scelta. Bernays, come Hilbert ricorda (p. 222), riuscl a far vedere che, in ciascuna delle due formalizzazioni, gli usuali quantificatori esi­ stenziale ed universale possono essere introdotti con assiomi defi­ nitori nei termini di uno dei due operatori e che da questi assiomi con la logica si ottengono come teoremi gli usuali assiomi di quei quantificatori e come regole derivate le usuali regole di inferenza di quei quantificatori; si riesce anche a far vedere che in una for­ malizzazione con l'E un giudizio universale può essere espresso come A(EXìA(x)) e in una formalizzazione con il 't un giudizio esisten­ ziale può essere espresso come A('tXìA(x) ) : cosi per la formaliz­ zazione dei giudizi esistenziali ed universali basta uno solo di quegli operatori. Non è vero, tuttavia, che gli assiomi posti ora da Hilbert su quegli operatori siano sufficienti a derivare il principio zermeliano di scelta, contrariamente a quanto Hilbert pensa in questi anni ( p . 23 1 ) ; a prescindere dalla più complessa questione della dimo­ s t rabilità nella teoria degli insiemi del principio zermeliano, resta a nche il fatto, notato qualche anno dopo da von Neumann 29 , che con quegli assiomi si esprime una scelta compiuta sulle 'intensioni' ddle proprietà, cosicché per due proprietà intensionalmente diverse ma estensionalmente uguali la scelta mediante uno di quegli ope­ ra t ori può dar luogo in generale ad esiti diversi. Per la formalizzazione dell'analisi Hilbert introduce anche un

l"

VON NElJMANN 1927 .

38

V.

MICHE LE A B R U S c. r

assioma SUll'E (o sul 't") che serve per la formalizzazione dell'assioma di induzione (p. 227) , e inoltre prevede di introdurre volta per volta assiomi logici sempre più forti sugli operatori E o 't" e anche altri operatori ( ad es . , TI) con i relativi assiomi (pp . 228 ss . ) I formalismi sono costituiti tutti usando soltanto il pensiero finitario, cosicché gli enti formali che si ottengono sono enti mate­ matici finitari.

Fondazione dell'analisi: ricerca della dimostrazione della non-con­ traddittorietà dei formalismi. Il secondo momento della fondazione dell'analisi è la dimostra­ zione della non-contraddittorietà dei formalismi per essa costituiti, nell'ordine in cui si susseguono, fino ad ottenere cosi la dimostra­ zione di non-contraddittorietà dell'usuale analisi matematica. Queste dimostrazioni sono contenutistiche (i loro oggetti sono gli enti for­ mali e in particolare le dimostrazioni formalizzate) (pp. 204, 2 1 7 ) , devono essere compiute entro l a metamatematica o teoria della dimostrazione (pp. 204, 2 1 0), e in esse devono essere usati solo mezzi finitari (pp. 2 1 7 , 220) (sembra che ora Hilbert non preveda più una progressiva acquisizione dei mezzi delle teorie delle quali si sia già dimostrata la non-contraddittorietà) . Chiaramente, i metodi indicati per tali dimostrazioni di non­ contraddittorietà dipendono dai formalismi considerati. Nella prima conferenza (p. 205), Hilbert a mo' di esempio dà una dimostrazione di non-contraddittorietà per un formalismo abba­ stanza ristretto (sufficiente solo per una piccola parte dell'aritme­ tica dei numeri naturali) . Essa consiste nel mostrare che, in un tale formalismo, non è dimostrabile alcuna formula della forma a � a (dove a è una cifra) , poiché altrimenti nella sua dimostrazione ci sarebbe una formula dimostrabile avente più di due segni � , mentre si fa vedere che ciò non può accadere. È un metodo pura­ mente formale. Nella seconda conferenza, con riferimento alla formalizzazione ivi proposta, Hilbert indica un metodo generale per dimostrare la non-contraddittorietà di ciascun formalismo siffatto (p. 222 ) . La dimostrazione deve concludersi mostrando che O o;é O non è formula dimostrabile : a questo fine, va portata a contraddizione l 'ipotesi

INTRODUZIONE

39

che nel formalismo considerato ci sia una dimostrazione di O � O, e per far vedere ciò vengono usati sostanzialmente due metodi, l'uno riferito a formalismi privi dell'operatore E (risp., dell'operatore 't'), l'altro riferito a formalismi con l'operatore E (risp., con l'operatore 't' ) . Vogliamo brevemente descrivere questi metodi. Se il formalismo è privo dell'operatore E (risp., dell'operatore 't') : si mostra come ogni eventuale dimostrazione D di O � O possa

essere trasformata (mediante certe tecniche n �tamatematiche dive­ nute poi standard) in una dimostrazione D' .ella quale tutte le formule sono prive di variabili libere (tali formule, prive ovviamente di variabili vincolate, sono chiamate « formule numeriche » ; esse sono interpretabili nell'aritmetica finitaria, e per ciascuna di esse si può stabilire in maniera finitaria se sono 'vere' o 'false') ; si mostra poi che in D' tutti gli assiomi sono formule numeriche vere e lo « schema di inferenza » (l'unica regola residua in D') porta da for­ mule numeriche vere ad una formula numerica vera, e quindi si conclude che O � O dovrebbe essere una formula numerica vera, il che invece non è. Di fatto, con questo metodo si dimostra la non-contraddittorietà per ogni formalismo (nella formalizzazione proposta da Hilbert in "-l uesti anni) privo di operatori transfiniti, ovvero in generale per ogni formalismo aritmetico o analitico che sia privo di variabili vincolate; e si ottiene anche che, per ciascuno di tali formalismi, ogni dimostrazione di una formula numerica può essere trasformata in una dimostrazione della stessa formula numerica nella quale tutte le formule sono formule numeriche vere. Se il formalismo contiene l'operatore E (risp., l'operatore 't'L il metodo è più complesso :

l ) si mostra come ogni eventuale dimostrazione D di O � O possa venir trasformata (mediante quelle stesse tecniche cui abbiamo sopra accennato) in una dimostrazione D' nella quale tutte le formule sono sl prive di variabili libere, ma possono contenere espressioni con operatori transfiniti (e quindi in generale non sono interpretabili nell'aritmetica fi.nitaria) ;

2 ) si mostra poi come, per ogni sifIatta dimostrazione D', mediante tentativi

e

errori, si possa rimpiazzare ogni espressione EXA(x) che vi compare con una cifra o (a seconda del

( ri sp . , uA(x»

40

V. MICHELE ABRUSCI

tipo della variabile x ) con una funzione numerica 'computabile', in modo tale che ogni formula in D' sia trasformata in una formula numerica e ogni assioma in D' cosi trasformato sia una formula numerica vera; 3 ) si mostra che lo « schema di inferenza » (ovvero l'unica regola residua in D') porta da formule numeriche vere ad una formula numerica vera, e quindi si conclude che 0 ,,= O dovrebbe essere una formula numerica vera, il che invece non è. Il punto 2) di questo metodo è il « procedimento di rimpiaz­ zamento » degli E (risp., dei 't" ) . L'intero metodo è detto « strategia dimostrativa hilbertiana ». Ora, con questo metodo, il punto critico è il procedimento di rimpiazzamento degli E (risp., dei 't") : se per un dato formalismo viene dato questo procedimento e si fa vedere (come richiede la posizione finitaria) che esso in ogni caso è con­ creto e finito, allora per quel formalismo è dimostrata la non­ contraddittorietà e inoltre si ottiene come corollario che (in quel formalismo) ogni dimostrazione di una formula numerica può essere trasformata in una dimostrazione (della stessa formula numerica) nella quale tutte le formule sono formule numeriche vere. Di fatto, nella sua conferenza (p. 224) Hilbert mostra un procedimento finito e concreto di rimpiazzamento dei 't" solo per un particolare e ri­ stretto formalismo, nel quale sono considerate solo certe istanze molto semplici degli assiomi del 't" . Quindi, a Gottingen, la ricerca della dimostrazione della non-contraddittorietà dell'analisi consisterà d'ora in poi nella ricerca di un procedimento concreto e finito di rimpiazzamento degli E (risp ., dei 't" ) , ed eventualmente anche di altri operatori transfiniti presenti nel formalismo, per ciascun for­ malismo della successione di formalismi che sta formalizzando la analisi. Come si vede, in entrambi questi metodi ci si basa sull'inter­ pretazione finitaria delle formule numeriche. Conveniamo ora di chiamare ' transfinita' una dimostrazione condotta con principi e metodi della matematica transfinita, 'asser­ zione numerica' la versione contenutistica di una formula numerica, e 'asserzione transfinita' la versione contenutistica di una formula transfini ta. Il primo metodo sopra ricordato sembra esprimere l'ipotesi me-

INTRODUZIONE

41

todologica secondo cui ogni dimostrazione non-transfinita di un'as­ serzione numerica è una dimostrazione in cui tutte le asserzioni sono (a meno di inutili complicazioni) asserzioni numeriche vere. E questa ipotesi metodologica risulta confermata dal successo di tale metodo . La strategia dimostrativa hilbertiana sembra esprimere un'altra e più forte ipotesi metodologica. È l'ipotesi che, data una dimo­ strazione transfinita di un'asserzione numerica, si possono associare asserzioni numeriche alle asserzioni transfinite ivi presenti (quasi come ' significati non-transfiniti' di queste asserzioni nella dimostra­ zione data) e trasformare quella dimostrazione in una non-transfinita nella quale tutte le asserzioni sono asserzioni numeriche vere; e cioè, l'ipotesi metodologica che ogni asserzione numerica dimostrabile può essere dimostrata senza far uso del transfinito. In particolare, si tratta dell'ipotesi che ogni asserzione numerica dimostrabile nel­ l 'analisi (e quindi nella teoria analitica dei numeri) può essere di­ mostrata già nell'ordinaria teoria non-transfinita dei numeri ; questa i potesi, estesa anche ad asserzioni universali della forma 'per ogni n u mero n, A(n) ' dove A(n) è un'asserzione numerica (e di questa forma sono in generale i teoremi della teoria non-transfinita dei l I u meri) , è l'ipotesi metodologica della teoria analitica (che può essere v i sta come la teoria « transfinita » ) dei numeri, sostenuta e discussa ( la vari matematici nel corso del secolo XIX. Quindi, ed Hilbert lo fa notare implicitamente (p. 226) , la dimostrazione di non­ l"I ln t raddittorietà dell'analisi, condotta con la sua strategia dimo­ s l l"ativa, porterebbe ad una prima e parziale conferma di questa im­ portante ipotesi. Le tecniche metamatematiche sopra richiamate, e in parte elen­ ca l e dallo stesso Hilbert in Vie logischen Grundlagen der Mathe­ II/tllik , furono elaborate in questi anni e sono : la scomposizione della dimostrazione data in con il

« fili dimostrativi » , che la dimostrazione acquista una struttura ad albero ;

il « ri porto delle sostituzioni sulle formule iniziali », con il che in sos tanza si mostra come, prendendo 'schemi di assiomi' i l l vece che assiomi, si possa far a meno delle regole di sosti­ l uzione ; l 'l"I i l ll i nazionc delle variabili libere da certe dimostrazioni ;

42

V.

MICHELE ABRU S n

- il calcolo dei funzionali contenenti solo cifre e segni per fun­ zioni numeriche, e cioè la loro riduzione a cifre; - la trasformazione delle formule in qualche loro forma normale.

Ackermann: formalizzazione e dimostrazione imperfetta di non­ contraddittorietà dell'analisi. Nel 1 924 Ackermann, discepolo di Hilbert, nella sua disserta­ zione di dottorato a G6ttingen, perfeziona la formalizzazione del­ l'analisi con l'operatore E proposta da Hilbert e sviluppa la strategia dimostrativa hilbertiana al fine di ottenere una dimostrazione di non-contraddittorietà per l'intera analisi matematica. Egli crede di aver trovato una tale dimostrazione e di aver cosi ottenuto la fon­ dazione dell'analisi secondo il programma di Hilbert (il quale con­ divide questo giudizio) e si accinge a pubblicare la sua dissertazione con il titolo Begriindung des Tertium non datur mittels der Hilbert­ schen Theorie der Widerspruchsfreiheit (ritenendo al pari di Hilbert che al centro dell'analisi classica fosse il principio del terzo escluso) . M a nel correggere le bozze della sua pubblicazione 30 , che apparirà nel 1 925, egli si accorge che la dimostrazione di non-contraddittorietà da lui eseguita funziona solo se si apporta al formalismo una modifica che ne riduce di molto la portata e certamente non gli permette più di formalizzare l'intera analisi. Ci limitiamo ad alcuni cenni sul lavoro di Ackermann. Schema­ ticamente, il formalismo di Ackermann contiene come assiomi : - gli assiomi della logica proposizionale; - gli assiomi di Peano 3 1 per i numeri naturali, eccetto l'assioma di induzione; - lo schema di definizione per recursione delle funzioni numeriche; - gli assiomi transfiniti SUll'E e sul 1t (sia per le variabili individuali che per quelle funtoriali) e l'assioma SUll'E che serve a formalizzare il principio di induzione; - lo schema di definizione per recursione delle funzioni di tipo superiore.

30

ACKERMANN 1925 .

3\ PEANO 1889.

TNTRODUZIONE

43

Le regole sono principalmente lo « schema di inferenza » e le regole di sostituzione. Nel formalismo non ci sono variabili funto­ riali per funzioni di tipo superiore, perché non necessarie per la formalizzazione dell'analisi matematica. La modifica da apportare al formalismo per far funzionare la dimostrazione di Ackermann sta in una limitazione della regola di sostituzione delle variabili funtoriali 32, regola che (come qualche anno dopo sarà mostrato con precisione da von Neumann) 33 svolge un ruolo simile a quello del principio di comprensione ed è alla base della possibilità di compiere definizioni impredicative. Nello sviluppare la strategia dimostrativa hilbertiana, Ackermann, avendo nel formalismo anche funzioni di tipo superiore introdotte per recursione, deve anche preoccuparsi che in ciascuna formula di ciascuna dimostrazione ogni espressione funzionale sia 'calcolabile' (ossia, riducibile ad una cifra in un numero finito di passi), e il calcolo di funzionali contenenti segni di funzioni di tipo superiore non è affatto banale. Ackermann, inoltre, introduce i concetti metamatematici di « rango » e di « indice » per i funzionali. Il rango di un E-funzionale (cioè, di un funzionale che comincia con E) misura la subordinazione ad esso di altri E-funzionali, dove si fissa che un E-funzionale ExA(x) i:: subordinato a EyB(y) se è dentro EyB(y) e contiene la variabile y; a l lalogamente, con riferimento alla loro definizione per recursione, si parla di rango di un funzionale che comincia con un segno di fu nzione (misurando la subordinazione fra i segni di funzione) . L 'indice di un funzionale è un sistema finito di ranghi . Vogliamo qui appena accennare al fatto, davvero importante, ,'he Ackermann si rende conto che la sua dimostrazione dell'esi­ s l e nza di un procedimento finito e concreto di rimpiazzamento de­ g l i E e di calcolo delle espressioni funzionali fa uso di un'induzione I ransfinita su ordinali minori di w'" limitatamente a proprietà deci­ d i hili e spiega come tale forma di ragionamento possa essere intesa ( '( I accettata in maniera finitaria 34 .

\!

Il

ACK ER MANN

.1 925 ;

v.

VON N EUMANN 1 92 7 . " J\ C K I ' Il M A ;\; N 1 92 ') ,

anche p. 9 J ,

v. MICHELE

44

ABRUSCI

LA QUINTA FASE.

Negli anni immediatamente successivi al lavoro di Ackermann, e cioè dal 1 925 al 1 927, possiamo scorgere con qualche sensatezza una nuova fase delle ricerche fondazionali di Hilbert, testimoniata da altre due sue conferenze, Ùber das Unendliche ( tenuta a Miinster i.W. nel 1 925) e Die Grundlagen der Mathematik (tenuta ad Amburgo nel 1 927 ) .

La fiducia nella realizzazione del programma e la riflessione filo­ sofica su di esso. Durante questi anni le linee del programma fondazionale hilber­ tiano non cambiano in modo sostanziale, ma ci pare che in Hilbert e nei suoi collaboratori e discepoli domini una doppia fiducia. La prima fiducia è quella di poter davvero formalizzare l'usuale analisi matematica (e poi eventualmente anche la teoria degli in­ siemi) con un unico formalismo contenente operatori transfiniti, quale quello elaborato da Ackermann; e declina cosi l'idea di una ' successione di formalismi' . La seconda fiducia è quella di poter davvero dimostrare, mediante la strategia dimostrativa hilbertiana perfezionata da Ackermann, la non-contraddittorietà di questo for­ malismo dell'analisi e di poterlo fare usando nella metamatematica soltanto i mezzi finitari, che (come aveva mostrato Ackermann) si rivelano più ricchi di quanto non si pensasse. Domina, in definitiva, la fiducia nella realizzabilità del programma fondazionale hilbertiano. Questa fiducia non è contestata in questi anni nemmeno da critici quali Weyl 3S e Brouwer; quest'ultimo, significativamente, in questo momento solleva questioni non tanto sulla riuscita tecnica quanto sull'impostazione metodologica del programma hilbertiano 36 . Essi però, ovviamente, non riconoscono a tale programma alcun valore fondazionale : per Weyl, fra l'altro, il programma hilbertiano non rende conto del motivo e del modo con cui si costituiscono le

3S Cfr. WEYL 1 928 . 36 Cfr. BROUWER 1928 .

INTRODUZIONE

45

parti transfinite della matematica 37 , mentre Brouwer sottolinea l'im­ portanza di giustificare i « contenuti » della matematica 38. Dalla lettura delle due conferenze di Hilbert si ricava la netta impressione che egli voglia soffermarsi sul significato della fonda­ zione della matematica da lui proposta e ormai ritenuta imminente. Hilbert afferma che, con essa, vengono confutate le critiche rivolte alla matematica classica (p. 242) (così, egli accentua il tema della fondazione come ' salvataggio') e viene mostrato che con il « finito » (ovvero, con il pensiero finitario) si può esprimere, dominare e giu­ stificare 1'« infinito » (ovvero, il pensiero transfinito, (p. 266) ) ; so­ stiene inoltre che, con il successo del suo programma, sarà possibile considerare l'infinito in matematica come qualcosa di « ideale » (non di « reale ») introdotto senza pericolo e per ragioni di utilità, così come in algebra elementi immaginari (ideali) vengono introdotti ,Iccanto agli elementi reali (p. 253 ) . Sulle ragioni e sul merito di queste riflessioni, non ci possiamo qui dilungare.

Applicazioni della metamatematica. In questo contesto di fiducia nell'ormai imminente dimostra­ zione finitaria di non-contraddittorietà dell'analisi, Hilbert comincia ad interessarsi a certe importanti applicazioni di tale dimostrazione l, i n generale ad applicazioni della metamatematica, che per Hilbert non esulano dal campo delle ricerche fondazionali. Un'applicazione è la piena conferma dell'ipotesi metodologica d d l a teoria analitica dei numeri. Nella conferenza del 1 927 (pp, 2 8 1 2 X 2 ) Hilbert fa vedere infatti che, una volta ottenuta una dimo­ s t razione della non-contraddittorietà dell'analisi formalizzata, per ogni d i l !lostrazione in quel formalismo di una formula della forma (x)A(x) ( dove A(n) è una formula numerica) può essere trovata una dimo­ s t razione finitaria dell'asserzione che « per ogni data cifra n , A(n) (' l i lla formula numerica vera »; così, come corollario della non­ IlI n t raddittorietà dell'analisi, si ottiene che ogni teorema non-trans­ f i n i t o del l a teoria analitica dei numeri è dimostrabile anche nell'or­ d i n a r i a teoria non-transfinita dei numeri. Il

1M

Cf r. WEYI. 1 928, Cf . . . B I\O \ l W E R 1 928.

46

V. MICHELE ABRU SCI

Lo schema dell'argomentazione hilbertiana è in teressante. Sup­ poniamo che (H) sia il formalismo dell'analisi, che per (H) si sia data una dimostrazione finitaria di non-contraddittorietà e che in (H) sia dimostrata la formula (x)A(x) dove A(n) è una formula numerica. Allora la dimostrazione finitaria dell'asserzione « per ogni n, A ( n) è una formula numerica vera » è compiuta nel modo seguente. Sia n una cifra qualsiasi. Dobbiamo mostrare che A(n) è vera: poiché fini­ tariamente A(n) è o vera o falsa, basterà mostrare che A(n) non è falsa. Supponiamo allora che A(n) sia falsa : allora -,A(n) è vera e quindi -,A(n) è dimostrabile in (H) ; ma in (H) è anche dimostra­ bile A(m) per ogni cifra m (poiché è dimostrabile (x)A(x» , e quindi è dimostrabile anche A(n) . Così, in (H) sarebbero dimostrabili A(n) e -,A(n) , e cioè (H) sarebbe contraddittorio contro il fatto stabilito finitariamente che (H) è non-contraddittorio. Quindi A(n) è vera. Si osservi che l'argomentazione poggia, tra l'altro, su queste basi che gettano luce su talune idee implicite di Hilbert : - dimostrare finitariamente l'asserzione « per ogni n, A(n) è vera » significa avere un procedimento con il quale, data una cifra n qualsiasi, si fa vedere che A(n) è vera; - ogni asserzione numerica vera è dimostrabile nel formalismo ; - se il formalismo dimostra (x)A(x) (dove A(n) è formula numerica) , allora dimostra anche A(n) per ogni data cifra n; - i fatti stabiliti finitariamente possono essere presi come 'verità' contro cui portare a contraddizione un'ipotesi al fine di negarla. Una seconda applicazione è il tentativo di soluzione del problema cantoriano del continuo, da Hilbert delineato in entrambe le con­ ferenze di questi anni (pp. 255, 278 ) . Dobbiamo qui ricordare che le linee esposte da Hilbert non furono affatto comprese in quegli anni 39 e che GodeI vi riconobbe analogie con la sua dimostrazione della non-contraddittorietà dell'ipotesi cantoriana del continuo 40. Dobbiamo anche far notare come nella dimostrazione delineata da Hilbert confluiscano non solo le sue ricerche metamatematiche ma anche ricerche sue e di Ackermann sulla definizione delle funzioni

39 40

Cfr . VAN HEl]ENOORT 1 9 ì 1 , p. 368 ; LEVY 1 964 ; LUZIN 1929, 1933, 1 935 . Cfr. VAN H E lJF.NOORT 1 97 1 , p. 368 .

INTRODUZIONE

47

per recursione : citiamo in particolare la chiara distinzione tra « re­ cursione ordinaria », « recursione simultanea », « recursione ordinaria con l'uso di variabili funtoriali di tipo superiore », « recursione trans­ finita », e il risultato stabilito da Ackermann 4 1 che esiste una fun­ zione numerica 'computabile' (la cosiddetta 'funzione di Ackermann') ma non definibile con l'uso esclusivo di sostituzioni, recursioni ordi­ narie e variabili numeriche (p. 26 1 ) . Vengono sfruttati inoltre sia il teorema che la cardinalità dei numeri reali è pari a quella delle funzioni di numeri naturali, sia buona parte della teoria cantoriana dei numeri della seconda classe (cioè, degli ordinali numerabili) . I n modo molto schematico (perché un esame approfondito del tentativo hilbertiano sarebbe certo interessante ma troppo lungo), possiamo dire che l'idea di Hilbert era quella di dimostrare, in un formalismo dell'analisi che sia dotato anche di simboli per la teoria degli ordinali numerabili e per il quale sia stata data finitariamente la dimostrazione di non-contraddittorietà, la formalizzazione dell'as­ serzione « esiste una corrispondenza biunivoca tra le funzioni nume­ riche e i numeri della seconda classe » . I l formalismo al quale Hilbert pensa è ottenuto da quello del­ l'analisi (ad es. , da quello di Ackermann) aggiungendo i predicati Z ( O, ac > bc e ca > cb.

a>b

e

b > c,

allora è anche

a > c.

anche

allora è sempre anche

dell'altro ;

1 42

IV.

SCRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HI LBERT

Assiomi della continuità.

IV 1 . (Assioma archimedeo) . Se a > O e b > O sono due numeri qualsiasi, allora è sempre possibile sommare a con se stesso tante volte cosi che la somma risultante abbia la proprietà

a + a + . . . + a > b. IV2 . (Assioma della completezza) . Non è possibile aggiungere al sistema dei numeri un altro sistema di cose in modo tale che anche nel sistema risultante dalla riunione dei due sistemi siano sod­ disfatti tutti gli assiomi I, II, III, IV 1 ; ovvero, brevemente, i numeri costituiscono un sistema di cose che, se si conservano tutti gli assiomi, non è più capace di alcuna estensione. Fra gli assiomi I 1-6, II 1-6, III 1-4, IV 1-2 alcuni sono conse­ guenze dei rimanenti, e quindi sorge il compito di discutere le dipen­ denze logiche dei predetti assiomi. Questo compito fornisce parecchie informazioni nuove e feconde per l'indagine dei principi dell'aritme­ tica. Ad esempio, veniamo a conoscere i seguenti fatti : L'esistenza del numero O (assioma 13) è conseguenza degli assiomi I l , 2 e II I ; quindi si basa essenzialmente sulla legge associativa del­ l'addizione. L'esistenza del numero 1 (assioma 16) è conseguenza degli as­ siomi 14, 5 e 1 1 3 ; quindi si basa essenzialmente sulla legge associa­ tiva della moltiplicazione. La legge commutativa dell'addizione (assioma II2) è conseguenza degli assiomi I, II I , 4, 5 ; quindi, appare essenzialmente come una conseguenza della legge associativa dell'addizione e di entrambe le leggi distributive. Dimostrazione. Si ha :

(a + b) ( 1 + 1 )

= =

(a + b) l + (a + b) l a( 1 + 1 ) + b( l + 1 )

= =

a+b+a+b a + a + b + b,

e perciò

a + b + a + b - a + a + b + b, e quindi per 12

b + a = a + b. La legge commutativa della moltiplicazione ( a ss i o m a II6) è con-

SUL CONCETTO

DI

NUMERO

143

seguenza degli assiomi I, I I 1 -5 , III, IV 1 , ma non è conseguenza dei soli assiomi I, II 1-5, III ; quindi, questa legge può essere ottenuta dai rimanenti assiomi se e solo se si introduce l'assioma archimedeo (assioma IV1 ) . Questo fatto ha un particolare significato per i fonda­ menti della geometria 2 . Gli assiomi IV1 e IV2 sono indipendenti l'uno dall'altro ; essi non contengono alcuna asserzione sul concetto di convergenza o sul­ l'esistenza del limite; eppure, si può mostrare che da essi segue il teorema di Bolzano sull'esistenza del punto di accumulazione . Perciò, riconosciamo la corrispondenza del nostro sistema di numeri con l'ordinario sistema dei numeri reali . Per dimostrare la non-contraddittorietà degli assiomi costituiti, occorre soltanto un'idonea modifica di noti metodi argomentativi. In questa dimostrazione io vedo anche la dimostrazione dell'esistenza della totalità dei numeri reali, ovvero - nel modo di esprimersi di G. Cantor - la dimostrazione che il sistema dei numeri reali è un insieme consistente (compiuto) . Con la concezione sopra caratterizzata, perdono ogni giustifica­ zione le obiezioni sollevate contro l'esistenza della totalità di tutti i numeri reali e, in generale, contro l'esistenza di insiemi infiniti : con essa, come insieme dei numeri reali non abbiamo da pensare, ad es ., la totalità di tutte le possibili leggi secondo cui si possono susseguire gli elementi di una successione fondamentale, ma piut­ tosto - come è stato appena spiegato - un sistema di cose le cui relazioni sono date mediante quel sistema finito e conclusivo di assomi I-IV e su cui valgono nuove asserzioni solo se possono essere derivate da quegli assiomi per mezzo di un numero finito di inferenze logiche. Se si volesse produrre in un modo simile la dimostrazione del­ l'esistenza di una totalità di tutte le cardinalità (ovvero, di tutti gli aleph di Cantor) , questo tentativo andrebbe a vuoto ; infatti la tota­ lità di tutte le cardinalità non esiste, ovvero - nel modo di espri­ mersi di G. Cantor - il sistema di tutte le cardinalità è un sistema inconsistente (incompiuto) . Gottingen, 1 2 ottobre 1 89 9 .

2 Cfr. I h l.81!RT 1 899, cap . 6 .

PROBLEMI MATEMATICI

Chi di noi non vorrebbe sollevare il velo sotto cui sta nascosto il futuro, per gettare uno sguardo sui prossimi progressi della no­ stra scienza e sui segreti del suo sviluppo durante i secoli venturi? Quali saranno gli speCiali obiettivi a cui mireranno le più insigni menti matematiche delle generazioni future? Quali nuovi metodi e quali nuovi risultati scopriranno i nuovi secoli, nell'ampio e ricco campo del pensiero matematico? La storia insegna la continuità dello sviluppo della scienza. Sap­ piamo come ogni epoca abbia propri problemi che l'epoca succes­ siva risolve oppure accantona perché sterili e li sostituisce con nuovi problemi. Se vogliamo immaginarci lo sviluppo presumibile della conoscenza matematica nel prossimo futuro, dobbiamo far passare davanti alla nostra mente le questioni aperte e dobbiamo conside­ rare i problemi che sono posti dalla scienza attuale e la cui solu­ zione attendiamo dal futuro . Questi giorni, che stanno a cavallo tra due secoli, mi sembrano ben adatti per una tale rassegna dei pro­ blemi : infatti, i grandi periodi di tempo non solo ci richiedono una retrospezione sul passato ma anche spingono i nostri pensieri verso l'ignoto futuro. È innegabile che determinati problemi abbiano un alto signifi­ cato per lo sviluppo della matematica in generale e svolgano un ruolo importante nel lavoro del singolo ricercatore . Un campo della conoscenza è vitale, finché offre un'abbondanza di problemi ; una scarsità di problemi significa la sua morte o la fine del suo sviluppo autonomo . Come in generale ogni umana iniziativa persegue degli obiettivi, cosi la ricerca matematica ha bisogno di problemi. Risol­ vendo problemi, si tempra la forza del ricercatore : egli trova nuovi metodi e nuove prospettive, e conquista un orizzonte più ampio e più libero .

146

SCRITTI FONDAZIONALI DI DA VID HILBERT

È difficile, e spesso è impossibile, giudicare anticipatamente il valore di un problema: infatti, alla fine quel che decide è il gua­ dagno di cui la scienza è debitrice al problema. Eppure, possiamo chiederci se ci siano caratteristiche generali che contraddistinguano un buon problema matematico .

Un antico matematico francese ha detto : una teoria matematica non può essere considerata perfetta, finché non è stata resa cosi chiara da poterla spiegare al primo uomo che si incontri per la strada. La chiarezza e la facile esprimibilità, qui richieste cosi dra­ sticamente per una teoria matematica, preferirei piuttosto esigerle da un problema matematico che voglia essere perfetto : infatti, ciò che è chiaro e facilmente esprimibile ci attrae, ciò che è intricato ci spaventa. Inoltre, un problema matematico deve essere difficile perché pos­ sa eccitarci, e tuttavia non del tutto inaccessibile perché non irrida alle nostre fatiche; deve essere per noi un segnale nei sentieri tor­ tuosi verso le verità nascoste e ci deve ricompensare poi di gioia per la soluzione raggiunta. I matematici di altri secoli erano soliti dedicarsi con zelo appas­ sionato alla soluzione di difficili problemi particolari : essi conosce­ vano il valore dei problemi difficili. Ricordo soltanto il problema della brachistocrona, posto da Johann Bernoulli. L'esperienza inse­ gna - spiega Bernoulli nella presentazione pubblica di questo pro­ blema - che gli spiriti nobili da null'altro vengono meglio stimo­ lati ad operare per l'accrescimento delle conoscenze che dalla pre­ sentazione ad essi di problemi difficili e insieme utili. Cosi egli spera di meritare la riconoscenza del mondo matematico quando (sull'e­ sempio di uomini come Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani e altri che già fecero altrettanto prima di lui) presenta agli eminenti ana­ listi del suo tempo un problema sul quale, quasi come su una pietra di paragone, essi possano valutare la bontà dei loro metodi e misu­ rare le proprie forze. A questo problema di Bernoulli e ad altri si­ mili il calcolo delle variazioni deve la sua origine. Come è noto, Fermat aveva affermato che l'equazione diofantea xn + yn = ZH

non ha soluzioni in interi x, y ,

z,

all'infuori di tal u n i casi hanal i ;

il problema della dimostrazione di questa impossibilità offre

\In

PROBLEMI MATEMATICI

147

esempio convincente di quanto possa risultare vantaggioso per la scienza un problema abbastanza particolare e apparentemente insi­ gnificante. Infatti, sotto la spinta del problema di Fermat, Kummer arrivò all'introduzione dei numeri ideali e alla scoperta del teorema della scomposizione dei numeri di un corpo ciclico in fattori primi ideali; e questo teorema oggi, nella sua generalizzazione ad un do­ minio qualsiasi di numeri algebrici (data da Dedekind e Kronecker) , è a l centro della moderna teoria dei numeri e d h a un'importanza che si estende ben oltre i confini della teoria dei numeri fin dentro l'algebra e la teoria delle funzioni. Per parlare di un ambito di ricerche del tutto diverso, ricordo il problema dei tre corpi. Al fatto che Poincaré riprese a trattare questo problema e a cercare di portarlo più vicino ad una soluzione, noi dobbiamo quei metodi fecondi e quei principi di vasta portata che questo scienziato prospettò per la meccanica celeste e che oggi gli astronomi sperimentali apprezzano ed usano. Nella collezione dei problemi, i due problemi sopra menzionati, quello di Fermat e quello dei tre corpi, ci appaiono quasi come due poli contrapposti : il primo una libera invenzione dell'intelletto puro ed appartenente al campo della teoria astratta dei numeri, l'altro impostoci dall'astronomia e necessario per la conoscenza dei più semplici e fondamentali fenomeni naturali. Ma spesso succede anche che uno stesso problema particolare si presenti nelle discipline più diverse della matematica. Così, il problema della linea più breve svolge un ruolo importante, storico e teoretico, nei fondamenti della geometria, nella teoria delle linee e delle superfici curve, nella meccanica e nel calcolo delle variazioni. E con quale forza persuasiva F. K1ein descrive, nel suo libro sull'icosaedro, l'importanza che spetta al problema dei poliedri rego­ lari nella geometria elementare, nella teoria dei gruppi e delle equa­ zioni, e nella teoria delle equazioni differenziali lineari ! Per mettere in luce l'importanza di problemi determinati posso anche rimandare a Weierstrass, il quale indicò come una felice com­ binazione l'essersi imbattuto all'inizio della sua carriera scientifica in un problema così significativo quale era il problema dell'inver­ sione di Jacopi, alla cui elaborazione potesse dedicarsi. Dopo aver evidenziato il significato generale dei problemi nella matema tica, veniamo ora a domandarci da quali fonti la matematica

148

SCRITTI FONDAZIONALl DI DAVID HILBERT

tragga i suoi problemi. Sicuramente, i primi e più antichi problemi in ogni branca della matematica traggono origine dall'esperienza e sono stati suscitati dal mondo dei fenomeni esterni . Persino le regole del calcolo con i numeri interi sono state scoperte proprio in questo modo, in un più basso stadio culturale dell'umanità; ed anche oggi il bambino impara l 'uso di queste leggi con il metodo empirico . Lo stesso vale per i primi problemi della geometria (quelli, traman­ datici dall'antichità, della duplicazione del cubo e della quadratura del cerchio) e per i più antichi problemi della teoria della risolu­ zione delle equazioni numeriche, della teoria delle curve, del calcolo differenziale ed integrale, del calcolo delle variazioni, della teoria . delle serie di Fourier e della teoria del potenziale - per non par­ lare della più ampia e ricca messe di problemi propri della mecca­ nica, dell'astronomia e della fisica. Con lo sviluppo di una disciplina matematica, però, lo spmto umano, incoraggiato dalla riuscita delle soluzioni, diviene consape­ vole della propria autonomia; esso trae da se stesso, e spesso senza ticonoscibili stimoli esterni, nuovi e fecondi problemi, eseguendo soltanto nel modo più felice combinazioni logiche, generalizzazioni e particolarizzazioni, separazioni e unioni dei concetti, ed emerge in primo piano come il vero e proprio soggetto interrogante. Sono sorti in questo modo il problema dei numeri primi e gli altri pro­ blemi dell'aritmetica, la teoria delle equazioni di Galois, la teoria degli invarianti algebrici, la teoria delle funzioni abeliane e auto­ morfe; e sorgono in questo modo quasi tutte le più fini questioni

delle teorie moderne dei numeri e delle funzioni. Frattanto, mentre continua ad agire la potenza creatrice del pen­ siero puro, il mondo esterno torna a farsi valere, mediante i feno­ meni reali ci impone nuove questioni, apre nuovi campi della cono­ scenza matematica; e non di rado, mentre cerchiamo di acquisire questi nuovi campi al regno del pensiero puro, troviamo le risposte ad antichi problemi irrisolti e facciamo avanzare nel modo migliore le vecchie teorie. Su questo gioco, alterno e sempre rinnovantesi, tra pensiero e esperienza si basano - mi pare - quelle numerose, e sorprendenti analogie, e quella apparente armonia prestabilita ; che il matematico percepisce cosi spesso nelle problema tiche , nei metodi e nei concetti dei diversi settori di conoscenza . Ci soffermiamo ancora, brevemente, sui requ i si t i generali che

PROBLEMI MATEMATICI

149

legittimamente vanno posti alla soluzione di un problema matema­ tico. Penso innanzitutto a questo : si deve riuscire a far vedere la correttezza della risposta mediante un numero finito di inferenze e precisamente in base ad un numero finito di ipotesi che si trovano nella presentazione del problema e che ogni volta vanno formulate con esattezza. Questo requisito della deduzione logica mediante un numero finito di inferenze è nient'altro che il requisito del rigore nella conduzione della dimostrazione. Difatti, il requisito del rigore, divenuto (come è noto) di proverbiale importanza nella matematica, corrisponde ad un'esigenza generale filosofica del nostro intelletto e, d'altra parte, solo se esso viene soddisfatto, si fanno valere ap­ pieno il contenuto concettuale e la fecondità del problema. Un nuo­ vo problema, specialmente se proviene dal mondo dei fenomeni esterni, è come un giovane tralcio che cresce e dà frutti solo se, con cura e secondo le rigorose regole del giardiniere, viene innestato sul vecchio tronco, sul sicuro patrimonio della nostra conoscenza matematica. Inoltre, è un errore credere che il rigore nella conduzione della dimostrazione sia nemico della semplicità . Al contrario, numerosi esempi ci confermano che i metodi rigorosi sono anche i più sem­ plici e i più facili da cogliere. Lo sforzo verso il rigore ci costringe appunto a trovare modi più semplici di argomentazione : spesso, ci apre anche la via a metodi che sono più passibili di sviluppo rispetto a quelli vecchi e meno rigorosi. Cosi, la teoria delle curve algebriche ha ricevuto una notevole semplificazione e una maggiore unitarietà mediante il più rigoroso metodo della teoria delle funzioni e la con­ seguente introduzione di strumenti trascendenti. Inoltre, la dimo­ strazione che le serie di potenze ammettono sia le quattro opera­ zioni elementari, sia la differenziazione e l'integrazione membro a membro, ha contribuito in modo rilevante alla semplificazione dell'intera analisi, in particolare della teoria dell'eliminazione e della teoria delle equazioni differenziali cosi come delle dimostrazioni di esistenza che si devono condurre in questa. Ma l'esempio più con­ vincente per la mia affermazione è il calcolo delle variazioni. La trat­ tazione della prima e seconda variazione di un integrale definito comportava calcoli almeno in parte assai complicati, e ciò che era s tato ottenuto a questo riguardo dai matematici antichi mancava del necessario rigore . Weierstrass ci ha mostrato la via verso una

150

SCRITTI FONDAZIONAL I

DI

DAVID

HI LBERT

nuova e più sicura trattazione del calcolo delle variazioni. All'esem­ pio dell'integrale semplice e dell'integrale doppio mi riferirò breve­ mente alla fine di questa conferenza, in quanto la prosecuzione di questa via porta con sé anche una sorprendente semplificazione del calcolo delle variazioni, poiché nella dimostrazione dei criteri neces­ sari e sufficienti per la presenza di un massimo e di un minimo diventano superflui il calcolo della seconda variazione e (in parte) persino le faticose argomentazioni connesse alla prima variazione - per non parlare del progresso che dipende dall'aver eliminato la limitazione alle sole variazioni per le quali variano poco le deri­ vate delle funzioni. Quando presento il rigore nelle dimostrazioni quale requisito per una soluzione perfetta di un problema, desidero tuttavia confu­ tare l'opinione secondo cui soltanto i concetti dell'analisi, o perfino soltanto quelli dell'aritmetica, sarebbero capaci di una trattazione pienamente rigorosa. Ritengo del tutto errata una tale opinione, sostenuta talvolta da eminenti personalità. Una cosi unilaterale inter­ pretazione del requisito del rigore conduce presto ad ignorare tutti i concetti provenienti dalla geometria, dalla meccanica e dalla fisica, a troncare l'afflusso di nuovo materiale dal mondo esterno, e infine come ultima conseguenza anche a respingere i concetti di continuo e di numero irrazionale. Ma che importante nervo vitale verrebbe reciso alla matematica, con l'estirpazione della geometria e della fisica matematica ! Ritengo, al contrario, che dovunque emergano concetti matematici, da parte della gnoseologia oppure in geometria o nelle teorie della scienza naturale, sorge per la matematica il com­ pito di indagare i principi che stanno alla base di questi concetti e di fissarli mediante un sistema di assiomi semplice e completo, in modo tale che la precisione dei nuovi concetti e la loro utilizzabilità nella deduzione non siano in nessun aspetto inferiori rispetto a quel­ le dei vecchi concetti aritmetici. Ai nuovi concetti spettano necessariamente anche nuovi segni : noi li scegliamo in modo che ci ricordino i fenomeni che avevano motivato la formazione dei nuovi concetti. Cosi, le figure geome­ triche sono segni per le immagini dell'intuizione spaziale, e come tali vengono usate da tutti i matematici . Chi è che non usa sem­ pre, insieme alla doppia disuguaglianza a < h < c per tre gran­ dezze a, b. c. l'immagine di tre punti che stanno s u IIn:l rel l a l 'li no

PROB LEMI MATEMATICI

151

dopo l'altro, quale segni geometrici del concetto « tra » ? Chi non si serve del disegno di segmenti e rettangoli inseriti l'uno nell'altro quando si tratti di dimostrare con tutto rigore un difficile teorema sulla continuità di certe funzioni o sull'esistenza di punti di accu­ mulazione? Chi saprebbe fare a meno della figura del triangolo, del cerchio con il suo centro, o dell'incrocio di tre assi perpendi­ colari? Oppure, chi è che vorrebbe rinunciare alla rappresentazione del campo vettoriale, o all'immagine di una famiglia di curve o di superfici con i loro inviluppi, che svolgono un ruolo cosi importante nella geometria differenziale, nella teoria delle equazioni differen­ ziali, nella fondazione del calcolo delle variazioni e in altre branche della matematica? I segni aritmetici sono figure scritte e le figure geometriche sono formule disegnate. E nessun matematico potrebbe rinunciare a que­ ste formule disegnate, cosi come nel calcolo non si può fare a meno di mettere e togliere le parentesi o di usare altri segni analitici. L'uso dei segni geometrici quale rigoroso strumento dimostra­ tivo presuppone la precisa conoscenza e la totale padronanza degli assiomi che stanno alla base di quelle figure; quindi, perché queste figure siano incorporate nel tesoro generale dei segni matematici, è necessaria una rigorosa indagine assiomatica del loro contenuto in­ tuitivo . Come nel sommare due numeri non si possono porre disor­ dinatamente le cifre l'una sotto l'altra, ma anzi il corretto operare con le cifre viene determinato soltanto dalle regole del calcolo (cioè dagli assiomi dell'aritmetica) , cosi l'operare con i segni geometrici viene determinato mediante gli assiomi dei concetti geometrici e delle loro connessioni. La corrispondenza tra pensiero geometrico e pensiero aritmetico si manifesta anche nel fatto seguente : nelle ricerche aritmetiche, cosi come nelle ricerche geometriche, noi non seguiamo in ogni momento la catena delle operazioni mentali fino agli assiomi; invece, in aritme­ tica, né più né meno che in geometria, specialmente al primo im­ patto con un problema, ricorriamo a certe combinazioni rapide, in­ consapevoli, non definitivamente sicure, fidandoci di una certa sen­ sibilità aritmetica verso il modo di agire dei segni aritmetici, senza la quale progrediremmo nell'aritmetica altrettanto poco quanto senza l 'immaginazione geometrica faremmo nella geometria. Come esem­ pio di una teoria aritmetica che opera in maniera rigorosa con con-

SCRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HILBERT

152

cetti e simboli geometrici, menziono l'opera di Minkowski Geome­

trie der Zahlen l .

Ancora alcune osservazioni sulle difficoltà che possono presen­ tare i problemi matematici e sul superamento di tali difficoltà. Se non si riesce a dare una risposta ad un problema matematico, spesso la ragione sta nel non aver ancora compreso il punto di vista più generale dal quale il problema dato appare solamente come un singolo membro di una catena di problemi affini. Con la scoperta di questo punto di vista, spesso non solo diviene più accessibile alla nostra indagine il problema dato, ma arriviamo anche al tempo stesso a possedere un metodo applicabile ai problemi affini. Valgano come esempi di ciò l'introduzione da parte di Cauchy dei cammini di inte­ grazione complessi nella teoria dell'integrale definito e la costitu­ zione da parte di Kummer del concetto di ideale nella teoria dei numeri. Questa via verso la scoperta di metodi generali è certamente la via più praticabile e più sicura : infatti, chi cerca metodi senza aver davanti agli occhi un problema determinato, per lo più cerca invano . Nel lavoro intorno ai problemi matematici un ruolo ancor più importante della generalizzazione credo venga svolto dalla specializ­ zazione. Forse nella maggior parte dei casi nei quali cerchiamo in­ vano la risposta ad una questione, la causa dell'insuccesso sta nel non aver ancor risolto, o nel non aver ancor risolto completamente, problemi più semplici e più facili di quello che ci sta innanzi. Al­ lora, tutto sta nello scoprire questi più semplici problemi e nel risol­ verli con strumenti quanto più perfetti possibile e con concetti pas­ sibili di generalizzazione. Questa norma è una delle leve più impor­ tanti per il superamento delle difficoltà matematiche e mi sembra che di solito, anche se inconsapevolmente, di essa si faccia uso . A volte capita che cerchiamo la risposta sotto ipotesi insuffi­ cienti ovvero in un senso sbagliato, e che quindi non raggiungiamo la meta. Sorge allora il compito di dimostrare l'impossibilità della soluzione del problema sotto le ipotesi date e nel senso voluto . Tali dimostrazioni di impossibilità furono compiute già dagli antichi quando, ad esempio, mostrarono che l'ipotenusa di un triangolo

l

MINKOWSKI 1896.

PROBLEMI MATEMATICI

153

rettangolo isoscele sta in un rapporto irrazionale con i cateti . Nella matematica moderna la questione dell'impossibilità di certe soluzioni svolge un ruolo eIninente, e ci rendiamo cosi conto che antichi e difficili problemi (quali la dimostrazione dell'assioma delle parallele, la quadratura del cerchio o la risoluzione delle equazioni di 5 ° grado mediante radicali) hanno trovato una soluzione pienamente soddisfa­ cente e rigorosa anche se in un senso diverso da quello originaria­ mente inteso . È proprio questo fatto rimarchevole, accanto ad altre ragioni filosofiche, a far sorgere in noi una convinzione, che è certamente condivisa da ogni matematico ma che finora non è stata consolidata da alcuno mediante una dimostrazione : intendo la convinzione che ogni problema matematico determinato debba essere necessariamente passibile di una rigorosa sistemazione, o riuscendo a dare la rispo­ sta alla questione posta oppure mostrando l'impossibilità di una sua soluzione e quindi la necessità dell'insuccesso di ogni tentativo . Ci si proponga un qualsiasi ben determinato problema tuttora irrisolto, quale la questione dell'irrazionalità della costante C di Eulero-Ma­ scheroni oppure la questione dell'esistenza di infiniti numeri primi della forma 2n + 1 . Per quanto inaccessibili ci appaiono questi pro­ bleIni, e per quanto noi si stia talora del tutto privi di prospettive davanti ad essi, noi abbiamo comunque la sicura convinzione che la loro soluzione deve riuscire mediante un numero finito di inferenze puramente logiche. Questo assioma della risolubilità di ogni problema è una pecu­ liarità propria del pensiero matematico, o non è forse una legge generale che inerisce all'intima natura del nostro intelletto, quella per cui il nostro intelletto è capace di dare una risposta a tutte le questioni da lui poste? Anche in altre scienze compaiono antichi probleIni che mediante la dimostrazione di impossibilità sono stati risolti nel modo più soddisfacente e con supremo vantaggio della scienza. Ricordo il problema del perpetuum mobile. Dopo i vani tentativi di costruire un perpetuum mobile, si cercarono piuttosto le relazioni che devono sussistere tra le forze naturali quando debba risultare impossibile un perpetuum mobile 2 ; e questa impostazione

2

Cfr . I 1F.1.MIIOLTZ 1 854.

154

S CRITTI FONDAZ IONALI

DI D A V I D H I L B E R T

ribaltata del problema condusse alla scoperta della legge della con­ servazione dell'energia, che per parte sua spiega l'impossibilità del perpetuum mobile nel senso originariamente desiderato . Questa convinzione della risolubilità di ogni problema matema­ tico è per noi un potente stimolo durante il lavoro . Dentro di noi udiamo continuamente l'appello : « Ecco il problema, cerca la solu­

zione. La puoi trovare mediante il puro pensiero,· perché in mate­ matica non c'è l' 'Ignorabimus' » . Nella matematica esiste un'immensa abbondanza di problemi e, appena un problema viene risolto, al suo posto emergono innume­ revoli nuovi problemi. Permettetemi ora di menzionare, quasi per campione, singoli determinati problemi presi da discipline matema­ tiche diverse, dalla cui trattazione ci si può aspettare un progresso della scienza. Diamo uno sguardo complessivo sui principi dell'analisi e della geometria. In questi campi gli avvenimenti più interessanti e più importanti del secolo trascorso sono, a mio parere, l'aritmetizzazione del concetto del continuo con i lavori di Cauchy, Bolzano e Cantor, e la scoperta della geometria non-euclidea da parte di Gauss, Lobat­ schefski e Bolyai. Perciò, in primo luogo, indirizzo la vostra atten­ zione su alcuni problemi appartenenti a questi campi. 1 . Il problema di Cantor della potenza del continuo. Due sistemi, cioè due insiemi, di numeri reali ordinari (o di punti) sono detti da Cantor equivalenti o di uguale potenza, se possono essere posti in una relazione tale che a ciascun numero di un insieme corrisponde uno e un solo determinato numero dell'altro insieme. Le indagini di Cantor su tali insiemi di punti rendono molto verosimile un teorema la cui dimostrazione peraltro non è stata ancora ottenuta da nessuno nonostante gli sforzi più assidui; questo teorema dice : Ogni sistema di infiniti numeri reali, cioè ogni insieme infinito di numeri o di punti, è equivalente o all'insieme dei numeri interi naturali 1 , 2, 3 , . . . oppure all'insieme di tutti i numeri reali e quindi al continuo (cioè, ad es . , ai punti di un segmento) ; perciò, nel senso dell'equivalenza, ci sono solo due insiemi di numeri, p,li insiemi

l1umerabili e il continuo.

PROBLEMI MATEMATICI

1 5 .5

Da questo teorema discenderebbe anche che il continuo costi­ tuisce la cardinalità che viene immediatamente dopo la cardinalità degli insiemi numerabili ; perciò la sua dimostrazione getterebbe un nuovo ponte tra gli insiemi numerabili e il continuo . Va citata anche un'altra affermazione, assai notevole, fatta da Cantor, che sta in strettissima connessione con il teorema prece­ dente e forse offre la chiave per la dimostrazione di quel teorema. Un sistema qualunque di numeri reali è detto ordinato se per ogni due numeri del sistema è determinato quale viene prima e quale viene dopo, e questa determinazione è tale che, se un numero a viene prima del numero b e b prima di c, allora anche a viene sem­ pre prima di c. È detto ordinamento naturale dei numeri di un si­ stema quello con il quale si determina che viene prima il numero minore e viene dopo il numero maggiore . Ma si può vedere facil­ mente che ci sono ancora infinite altre maniere in cui possono es­ sere ordinati i numeri di un sistema . Se consideriamo un determinato ordinamento dei numeri, e da esso isoliamo un qualunque sistema particolare di questi numeri, un cosiddetto sottosistema o sottinsieme, allora anche questo sottin­ sieme risulta sempre ordinato . Cantor considera ora un particolare genere di insiemi ordinati, che egli chiama bene ordinati e che sono caratterizzati dal fatto che non solo nell'insieme stesso ma anche in ogni sottinsieme esiste un numero che viene prima di tutti gli altri. Il sistema dei numeri interi 1 , 2 , 3 , . . in questo suo ordinamento naturale è chiaramente un insieme bene ordinato . Invece, il sistema di tutti i numeri reali, cioè il continuo nel suo ordinamento natu­ rale, chiaramente non è bene ordinato . Infatti, se consideriamo come un sottinsieme i punti di un segmento finito con l'esclusione del punto iniziale del segmento, allora certamente questo sottinsieme non possiede un elemento che viene prima degli altri. Sorge ora la questione : non si può ordinare la totalità di tutti i numeri in un altro modo, cosicché ogni sottinsieme abbia un elemento che viene prima di tutti gli altri, ossia non si può concepire anche il continuo come un insieme bene ordinato ? Cantor crede che si debba rispon­ dere affermativamente . Mi sembra altrettanto desiderabile ottenere .

una dimostrazione diretta di questa notevole asserzione di Cantor; ad esempio , attraverso l'esibizione effettiva di un tale ordinamento

156

S CRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HI LBERT

dei numeri con il quale si possa indicare in ogni sottinsieme un numero che viene prima di tutti gli altri . 2 . La non-contraddittorietà degli assiomi aritmetici. Quando si tratta di indagare i fondamenti di una scienza, si deve fissare un sistema di assiomi che contengano una precisa e completa descrizione delle relazioni che sussistono tra i concetti ele­ mentari di quella scienza. Gli assiomi fissati sono ad un tempo le definizioni di quei concetti elementari ; ogni proposizione interna al dominio della scienza di cui esaminiamo i fondamenti la riteniamo vera solo se essa può venir derivata dagli assiomi mediante un nu­ mero finito di inferenze logiche. Ad una considerazione più appro­ fondita sorge la questione se certi enunciati di alcuni assiomi non

si condizionino tra di loro, e quindi se gli assiomi non contengano ancora parti comuni che vanno rimosse se si vuoi arrivare ad un sistema di assiomi che siano del tutto indipendenti l'uno dall'altro. Ma, soprattutto, fra le numerose questioni che possono essere poste intorno agli assiomi, desidero indicare come il problema più importante quello di dimostrare che gli assiomi sono tra di loro

non-contraddittori, cioè che in base ad essi non si può mai arrivare con un numero finito di inferenze logiche a risultati che siano in contraddizione tra di loro. Nella geometria si ottiene la dimostrazione della non-contraddit­ torietà degli assiomi costruendo un opportuno dominio di numeri in modo che agli assiomi geometrici corrispondano analoghe rela­ zioni tra i numeri di questo dominio e dunque tale che ogni con­ traddizione fra le conseguenze degli assiomi geometrici dovrebbe essere riconoscibile anche nell'aritmetica di questo dominio nume­ rico. Quindi, in questa maniera, la desiderata dimostrazione della non-contraddittorietà degli assiomi geometrici viene ricondotta al teorema della non-contraddittorietà degli assiomi aritmetici. Per dimostrare la non-contraddittorietà degli assiomi aritmetici occorre invece una via diretta. Gli assiomi aritmetici, in sostanza, non sono altro che le note leggi del calcolo con l'aggiunta dell'assioma di continuità . Di recen­ te, io li ho raccolti in un sistema 3 , sostituendo l'assioma di conti3

H I LBERT

1900a, (p. 139

in

qucsto volumc).

PROBLEMI MATEMATICI

157

nuità con due assiomi più semplici, cioè il noto assioma archimedeo e un nuovo assioma il cui contenuto è che i numeri costituiscono un sistema di cose che, se si conservano tutti gli altri assiomi, non è più capace di alcuna estensione (assioma della completezza) . Ora sono convinto che si deve riuscire a trovare una dimostrazione della non­ contraddittorietà degli assiomi aritmetici, se in considerazione dello scopo prefissato si rielaborano con precisione e si modificano in modo opportuno i noti metodi inferenziali della teoria dei numeri irra­ zionali. Per caratterizzare l'importanza del problema anche sotto un altro aspetto, desidero aggiungere la seguente osservazione. Se si attribuiscono ad un concetto note caratteristiche che si contraddi­ cono tra di loro, allora io dico : il concetto matematicamente non esiste. Così, ad es . , matematicamente non esiste un numero reale il cui quadrato è uguale a - l . Se si riesce a dimostrare che le note caratteristiche attribuite ad un concetto non possono mai portare a contraddizione usando un numero finito di inferenze logiche, allora io dico che con ciò è stata dimostrata l'esistenza matematica del concetto (ad es ., di un numero o di una funzione) che soddisfa a certe condizioni. Nel caso presente, trattandosi degli assiomi dei numeri reali nell'aritmetica, la dimostrazione della non-contraddit­ torietà degli assiomi è anche la dimostrazione dell'esistenza mate­ matica dell'aggregato dei numeri reali, ovvero del continuo. Difatti, quando sarà perfettamente riuscita la dimostrazione della non­ contraddittorietà degli assiomi, allora perderanno ogni giustificazione le obiezioni che sono state mosse talvolta contro l'esistenza del­ l'aggregato dei numeri reali. Ovviamente, secondo la concezione so­ pra accennata, l'aggregato dei numeri reali, cioè il continuo, non è per esempio la totalità di tutti i possibili sviluppi decimali, né la totalità di tutte le possibili leggi secondo cui possono procedere gli elementi di una successione fondamentale; bensì, è un sistema di cose le cui relazioni reciproche sono regolate mediante gli assiomi fissati e per le quali sono veri tutti e soli quei fatti che possono essere ricavati dagli assiomi mediante un numero finito di inferenze logiche. Secondo la mia opinione, solo in questo senso il concetto Jel continuo può essere colto in modo rigorosamente logico. In ef­ fet ti , mi pare che ciò corrisponda meglio di tutto a quanto ci è dato dall \:spcrienza e dall'intuizione. Il concetto del continuo, o anche

1 58

SCRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HI LBERT

il concetto del sistema di tutte le funzioni, esiste allora proprio nello stesso senso in cui esistono, ad esempio, il sistema dei numeri interi razionali o anche le classi numeriche e cardinalità superiori di Cantor. Infatti sono convinto che, nel senso da me indicato, si potrà dimostrare anche l'esistenza di quest'ultime, cosi come quella del continuo - al contrario del sistema di tutte le possibili cardi­ nalità (o anche di tutti gli aleph) di Cantor per il quale, come si può mostrare, non può venir costituito un sistema non-contraddit­ torio di assiomi nel mio senso e che quindi, secondo il mio modo di dire, è un concetto matematicamente non esistente 4 .

6 . Trattazione matematica degli assiomi della fisica. Mediante le indagini sui fondamenti della geometria, ci viene proposto il compito di trattare assiomaticamente, secondo questo modello, quelle discipline fisiche nelle quali già oggi la matematica svolge un ruolo eminente: innanzitutto, queste sono il calcolo delle probabilità e la meccanica. Per quanto attiene agli assiomi del calcolo delle probabilità 5 , mi sembra auspicabile che, insieme alla loro indagine logica, proceda di pari passo un rigoroso e soddisfacente sviluppo del metodo del valor medio nella fisica matematica e specialmente nella teoria cine­ tica dei gas. Sui fondamenti della meccanica esistono importanti indagini svolte da parte dei fisici : rimando agli scritti di Mach 6, di Hertz 7 , di Boltzmann 8 e di Volkmann 9; quindi, è assai auspicabile che an4 Il testo di Hilbert espone quindi i seguenti problemi (che però non furono trattati nella conferenza a Parigi) : « 3 . L'uguaglianza in volume di due tetraedi aventi superficie di base e altezza uguali »; « 4 . Problema della retta come collegamento più breve tra due punti �; « 5 . Il concetto di Lie dei gruppi continui di trasformazione, senza l'ipotesi della derivabilità delle funzioni che definiscono i gruppi » [N. d. C.] . S Cfr. BOHLMANN 1900. 6 MACH 1889. 7 HERTZ 1894. 8 BOLTZMANN 1897. 9 VOLKMANN 1900.

PROBLEMI MATEMATICI

1 59

che da parte dei matematici si accetti di discutere sui fondamenti della meccanica. Ad esempio, il libro di Boltzmann sui principi della meccanica ci stimola a fondare e ad eseguire in modo rigorosamente matematico quei processi di limite, ivi accennati, che portano dalla concezione atomistica alle leggi sul movimento dei continui. Inver­ samente, si potrebbe tentare di derivare le leggi sul movimento dei corpi rigidi mediante processi di limite a partire da un sistema di assiomi che dipendono dalla rappresentazione di condizioni variabili in modo continuo (e che vanno definite mediante parametri) di una sostanza che riempie in modo continuo l'intero spazio. La questione se diversi sistemi di assiomi abbiamo uguale legittimità è pur sempre di alto interesse fondazionale. Per trattare gli assiomi fisici sul modello della geometria, do­ vremo cercare dapprima di abbracciare con un piccolo numero di assiomi la più ampia classe possibile di processi fisici, e arrivare poi alle teorie più particolari aggiungendo via via nuovi assiomi - dove, forse, un principio di classificazione può essere ricavato dalla cosl profonda teoria di Lie sui gruppi infiniti di trasformazione. E il matematico, cosl come ha fatto nella geometria, avrà da considerare non solo le teorie che si avvicinano alla realtà ma anche in generale tutte le teorie logicamente possibili, e si preoccuperà sempre di ottenere un quadro completo della totalità delle conseguenze del sistema di assiomi che è stato assunto. Inoltre, a complemento delle modalità di trattazione proprie della fisica, spetta ai matematici il compito di esaminare ogni volta con precisione se un assioma aggiunto ex novo non sia in contrad­ dizione con gli assiomi precedenti. Il fisico, spesso, si vede costretto dai risultati dei suoi esperimenti a fare di tanto in tanto nuove assunzioni, nel corso dello sviluppo della sua teoria, appellandosi, per quanto concerne la non-contraddittorietà delle nuove assunzioni con gli assiomi precedenti, meramente proprio a quegli esperimenti oppure ad una certa sensibilità fisica : un procedimento, questo, che è inammissibile nella costruzione rigorosamente logica di una teoria. L'auspicata dimostrazione della non-contraddittorietà di tutte le as­ sunzioni fatte mi sembra importante, anche perché lo sforzo di ese­ guire una tale dimostrazione spinge sempre, e con molta efficacia, anche ad una esatta formulazione degli assiomi stessi. Pinora abbiamo considerato soltanto problemi intorno ai fonda-

160

S CRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HILBERT

menti delle discipline matematiche. Difatti, l'occuparsi dei fonda­ menti di una scienza ha un fascino particolare e il controllo di que­ sti fondamenti farà sempre parte dei compiti più raffinati dei ricer­ catori. Una volta Weierstrass ha detto : « La meta che dobbiamo avere sempre davanti agli occhi consiste nel cercare di ottenere un più sicuro giudizio sui fondamenti della scienza » . . . « Per penetrare davvero dentro la scienza, è certamente indispensabile occuparsi di singoli problemi » 10 . Infatti, per trattare con successo i fondamenti di una scienza, è necessaria una comprensione penetrante delle sue particolari teorie; solo il costruttore, lui che conosce a fondo anche nei particolari la disposizione dell'edificio, è in grado di porre in modo sicuro i fondamenti dell'edificio. Quindi, ci volgiamo ora a problemi speciali dei singoli rami della matematica, e in primo luogo prendiamo in considerazione l'aritmetica e l'algebra I l . lO. Decisione della risolubilità di una equazione diofantea. Sia data una equazione diofantea con certe incognite e a coeffi­ cienti razionali interi. Si deve dare un procedimento, con il quale si possa decidere, mediante un numero finito di operazioni, se l'equa­ zione è risolubile in numeri razionali interi 12 .

lO Hilbert non fornisce la fonte d i queste citazioni. [N. d. C.] .

Il

Seguono questi problemi: 7. Irrazionalità e trascendenza di determinati numeri » : 8 . Problemi sui numeri primi » ; 9 . Dimostrazione della legge più generale d i reciprocità i n u n qualsiasi di numeri ». [N. d. C.] . 12 Elenchiamo i rimanenti problemi, appartenenti all'algebra, alla geometria, alla teoria delle funzioni, all'analisi : « 1 1 . Forme quadratiche i cui coefficienti sono numeri algebrici arbitrari » ; « 12. Estensione del teorema d i Kronecker sui corpi abeliani, a d u n do­ minio algebrico di razionalità qualsiasi » ; « 13 . Impossibilità d i risoluzione dell'equazione generale di 7° grado mediante funzioni di soli 2 argomenti » ; « 14 . Dimostrazione della finitezza d i certi sistemi completi di funzioni » ; « 15. Fondazione rigorosa del calcolo della numerazione di Schubert » ; « 16. Problema della topologia di curve e superfici algebri che » ; « 17. Rappresentazione mediante quadrati di forme defi n i te » ; « 18 . Costruzione dello spazio con poliedri congruen ti » ;

« « « corpo

PROBLEMI MATEMATICI

161

I problemi qui menzionati sono solo campioni di problemi; ma

sono sufficienti a far vedere quanto sia ricca, quanto sia varia, quanto sia estesa oggi la scienza matematica; e si solleva irresisti­ bile in noi la domanda : non è imminente per la matematica ciò che da lungo tempo è già accaduto per le altre scienze, cioè di dividersi in singole sottoscienze i cui esponenti difficilmente si com­ prendono ancora tra di loro e le cui connessioni perciò si allentano sempre più? lo credo e mi auguro di no; a mio parere, la scienza matematica è un tutto indivisibile, un organismo la cui vitalità è condizionata dall'interconnessione delle sue parti. Infatti, malgrado la diversità dei singoli contenuti conoscitivi matematici, scorgiamo pur sempre molto chiaramente l'identità dello strumento logico, l'af­ finità dei processi costitutivi delle idee nell'intera matematica e le numerose analogie nelle sue diverse discipline. Noi osserviamo an­ che che, più una teoria matematica viene sviluppata, tanto più armo­ niosamente e unitariamente si configura la sua costruzione e tanto più vengono scoperte relazioni insospettate tra branche fino allora separate. Così risulta che, estendendosi la matematica, il suo carat­ tere unitario non viene perso ma, anzi, si manifesta ancor più chia­ ramente. Ma, ci domandiamo, con l'estendersi della scienza matematica non diverrà alla fine impossibile per il singolo ricercatore compren­ derne tutte le parti? Per rispondere, vorrei richiamare l'attenzione su questo fatto : è nell'essenza della scienza matematica che ogni suo reale progresso vada di pari passo con l'individuazione di stru­ menti più penetranti e di metodi più semplici che, al tempo stesso, facilitano la comprensione delle teorie precedenti e mettono da parte vecchi e complicati modi di procedere; quindi, al singolo ricercatore

« 19. Le soluzioni di problemi regolari di variazione sono sempre neces­ sariamente analitiche? » ; « 20. Problema generale del valore a l contorno » ; « 21 . Dimostrazione dell'esistenza d i equazioni differenziali lineari con un gruppo di monodromia prescritto »; « 22 . Uniformizzazione di relazioni analitiche mediante funzioni auto­ morfe » ; « 23 . Sviluppo dei metodi del calcolo delle variazioni » . Di questi, Hilbert espose a voce solo i problemi BO, 160, 190, 210, 220

[ N.ù .C. ] .

1 62

SCRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HI LBERT

che si impadronisca di questi strumenti più penetranti e di questi metodi più semplici diventa più agevole orientarsi nelle diverse branche della matematica, più di quanto non avvenga in ogni altra scienza. Il carattere unitario della matematica affonda le sue radici nel­ l'intima natura di questa scienza; infatti, la matematica è il fonda­ mento di ogni esatta conoscenza scientifica della natura. Perché essa soddisfi pienamente a questa sua alta missione, nascano per essa nel nuovo secolo geniali maestri e molti giovani accesi di nobile zelo !

SUI FONDAMENTI DELLA LOGICA E DELL'ARITMETICA

Oggi, mentre siamo sostanzialmente d'accordo sulle vie da pren­ dere e sugli scopi da perseguire nelle indagini sui fondamenti della geometria, la situazione è diversa per quanto riguarda il problema dei fondamenti dell'aritmetica; qui attualmente si fronteggiano dura­ mente le più diverse opinioni dei ricercatori. Le difficoltà nella fondazione dell'aritmetica in parte sono real­ mente di un genere diverso da quelle che si sono dovute superare nella fondazione della geometria . Nell'esame dei fondamenti della geometria certe difficoltà che sono di natura puramente aritmetica potevano essere lasciate da parte; ma nella fondazione dell'aritmetica non sembra lecito il ricorso ad un'altra disciplina di base. Farò risaltare nel modo più chiaro le difficoltà essenziali che si incontrano nella fondazione dell'aritmetica, sottoponendo ad una breve discus­ sione critica le vedute di alcuni ricercatori. L. Kronecker, come è noto, ha visto nel concetto di numero intero il vero e proprio fondamento dell'aritmetica; egli si formò l'idea che il numero intero - e precisamente il numero intero come concetto generale (come valore di parametro) - è dato direttamente ed immediatamente ; ciò gli impedl di rendersi conto che il concetto di numero intero deve e può avere una fondazione. lo desidero chiamarlo dogmatico, in tanto in quanto egli accetta come un dogma il numero intero con le sue proprietà essenziali e non getta uno sguardo più indietro . H. Helmhotz rappresenta la posizione dell'empirista. Ma mi sembra che la posizione della pura esperienza sia da refutare, richia­ mandosi al fatto che la possibilità o l'esistenza di un numero arbi­ trariamente grande non può mai venir derivata dall'esperienza, cioè mediante un esperimento . Infatti il numero delle cose che sono

164

SCRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HILBERT

oggetto della nostra esperienza, anche se è grande, è comunque al di sotto di un confine finito. E. B. Christoffel e tutti quegli avversari di Kronecker che, gui­ dati dalla giusta sensazione che senza il concetto di numero irra­ zionale l'intera analisi sarebbe condannata alla sterilità, cercano di salvare l'esistenza del numero irrazionale mediante la scoperta di proprietà « positive » di questo concetto o mediante strumenti simili, desidero chiamarli opportunisti. A mio modo di vedere, però, essi non sono riusciti a dare una reale confutazione della posizione di Kronecker. Fra gli studiosi che sono penetrati più a fondo nell'essenza del numero intero menziono i seguenti : G. Frege si pone il compito di fondare le leggi dell'aritmetica con lo strumento della logica intesa nel senso tradizionale. Egli ha il merito di aver riconosciuto correttamente le proprietà essenziali del concetto di numero intero, cosi come il significato dell'inferenza dell'induzione completa. Ma, fedele al suo programma, fra le altre cose, accetta come principio che un concetto (un insieme) è definito ed immediatamente usabile sotto la sola ipotesi che per ogni oggetto sia determinato se esso cade o no sotto il concetto; e, non imponendo qui alcuna restrizione sul concetto « ogni », si espone proprio a quei paradossi insiemistici che sono presenti, ad esempio, nel concetto di insieme di tutti gli insiemi e che mi sembra mostrino come le con­ cezioni e i metodi di indagine della logica intesa nel senso tradizio­ nale non siano all'altezza delle rigorose esigenze imposte dalla teoria degli insiemi. Anzi) nelle indagini sul concetto di numero sin dall'ini­ zio si deve prendere come uno degli scopi principali quello di evitare tali contraddizioni e di chiarire quei paradossi. R. Dedekind ha riconosciuto chiaramente le difficoltà matema­ tiche insite nella fondazione del concetto di numero ; ed egli ha, con straordinario acume, presentato per primo una costruzione della teoria dei numeri interi. Tuttavia, io desidero chiamare trascenden­ tale il suo metodo, in quanto egli dimostra l'esistenza dell'infinito lungo una via la cui idea basilare è usata in un modo simile da parte dei filosofi, ma che naturalmente non posso riconoscere come prati­ cabile e sicura in ragione dell'inevitabile contraddittorietà del con­ cetto ivi usato di totalità di tutte le cose. G. Cantor ha percepito la predetta contraddizione ed ha espresso

SUI FONDAMENTI DELLA LOGICA

165

questa percezione mediante la distinzione tra insiemi « consistenti » e insiemi « inconsistenti » . Dato però che egli, a mio avviso, non fornisce un criterio preciso per questa distinzione, devo definire la sua concezione su questo punto come una concezione che lascia ancora spazio ad una valutazione soggettiva e che non garantisce quindi alcuna sicurezza oggettiva. Sono dell'opinione che si possono superare tutte queste difficoltà e che si può arrivare ad una fondazione rigorosa e del tutto soddi­ sfacente del concetto di numero, e precisamente mediante un metodo che io chiamo assiomatico, la cui idea basilare desidero sviluppare brevemente nel seguito. È ben vero che l'aritmetica viene indicata come una parte della logica e che per lo più nella fondazione dell'aritmetica si presup­ pongono i tradizionali concetti basilari della logica. Solo con una considerazione più attenta ci accorgiamo che nell'esposizione tradi­ zionale delle leggi della logica vengono già usati certi concetti basilari dell'aritmetica, per esempio il concetto di insieme e in parte anche quello di numero. CosÌ finiamo in una situazione assai critica, e perciò per evitare i paradossi è necessario uno sviluppo parzialmente simultaneo delle leggi della logica e dell'aritmetica. Nel breve spazio di una conferenza posso soltanto indicare come io penso questa costruzione comune. Vi prego quindi di scusarmi se riuscirò soltanto a darvi un'idea approssimativa della direzione nella quale si muovono le mie indagini. Inoltre, per farmi compren­ dere più facilmente, farò uso del linguaggio ordinario « in parole » e delle leggi logiche espresse indirettamente in esso, più di quanto non sarebbe desiderabile in una costruzione esatta. Un oggetto del nostro pensiero è detto cosa mentale, o breve­ mente cosa, ed è denominato mediante un segno. Alla base delle nostre considerazioni poniamo dapprima una cosa mentale, 1 (uno ) . Chiamiamo combinazioni della cosa 1 con se stessa ciò che otteniamo mettendo insieme questa cosa con se stessa due, tre o più volte, come

1 1, 1 11, 1111; parimenti, saranno dette combinazioni della cosa 1 con se stessa anche le combinazioni di queste combinazioni, come

( 1 ) ( 1 1 ) , ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) , (( 1 1 ) ( 1 1 » ( 1 1 ) , ( ( 1 1 1 ) ( 1 » ( 1 ) .

166

S CRITTI FONDAZIONA LI DI DAVID HI LBERT

Le combinazioni a loro volta sono chiamate senz'altro cose, e allora la cosa mentale basilare

1 è chiamata cosa semplice.

Aggiungiamo ora una seconda cosa mentale semplice e denomi­ niamola mediante il segno = (uguale) . Formiamo allora le combi­ nazioni di queste due cose mentali, come

1 = , 1 1 = , .. ., ( 1 ) ( = ) ( = 1 = 1 , (1 1) = (1) (1).

= = ),

Diciamo che l a combinazione ferisce dalla combinazione

« 1 1 ) ( 1 ) ( = )) ( = = ) ,

a delle cose semplici 1 e

=

dif­

b di quelle cose, se le combinazioni si

discostano in un qualche modo l'una dall'altra nel tipo e nell'ordine delle combinazioni o nella scelta e nel posto delle cose se

1 e

=

;

cioè,

a e b non sono identiche l'una con l'altra. Ora, pensiamo di ripartire le combinazioni di queste due cose

semplici in due classi, la

classe degli enti e la classe dei non-enti;

ogni cosa appartenente alla classe degli enti differisce da ogni cosa appartenente alla classe dei non-enti. Ogni combinazione delle due cose semplici

1 e

= appartiene ad una di queste due classi.

Se a è una combinazione delle due cose basilari

1 e

= , allora

a anche l'enunciato che a appartiene alla classe degli la l'enunciato che a appartiene alla classe dei non-enti. Chiamiamo a enunciato vero, se a appartiene alla classe degli enti; invece, -,a è detto enunciato vero, se a appar­ indichiamo con

enti, e indichiamo con

tiene alla classe dei non-enti. Gli enunciati a e -,a formano una

contraddizione. È detto enunciato anche l'aggregato di due enunciati A e B , espresso in segni con

AIB , in parole con

«

da

A

segue B » oppure con

è anche B » ; e precisamente A è detto

«

se A è vera allora lo

ipotesi e B è detto tesi.

Ipotesi e tesi possono consistere a loro volta di più enunciati AI, A2

e rispettivamente BI, B2, Bl, ecc . ; e cioè in segni

e in parole

«

da AI e A2, segue BI oppure B2 oppure BJ », ecc .

SUI FONDAMENTI DELLA LOGICA

167

Con il segno « o » ( ( * ) , 1jJ ( * ) , 0 ( * , * ) , S ( * , * ) , lJ.( * , * ) (funzioni specifiche con posti vuoti, funzioni-di-funzioni specifiche) ; = (uguale) , :;é (diverso) , > (maggiore) (segni matematici) ; Z (essere numero), (essere funzione) ; � ( n (fn ) � Z{g(f) ) ) ; queste equivalenze forniscono un esempio di definizione di un enun­ ciato-di-tipo mediante recursione. I tipi variabili possono essere classificati secondo la loro « al­ tezza » . L'altezza O è costituita da tutte le costanti numeriche; l'altezza 1 da tutte quelle funzioni i cui argomenti e valori hanno la proprietà di una variabile basilare, cioè la Z-proprietà o la N-proprietà . Una funzione, l'argomento e il valore della quale hanno una determinata altezza, possiede un'altezza maggiore di 1 rispetto alla maggiore delle due altezze od eventualmente rispetto ad entrambe le altezze. Una successione di funzioni aventi altezze diverse ha come sua altezza il limite di quelle altezze. Dopo questi preparativi, riprendiamo il nostro compito e te­ niamo presente che per dimostrare il teorema del continuo si deve essenzialmente associare biunivocamente ai numeri cantoriani della seconda classe le definizioni delle funzioni di numeri interi prive del simbolo E, ovvero almeno associare in modo tale che ogni fun­ zione di numeri interi risulti associata ad almeno un numero della seconda classe. Strumenti elementari per la formazione delle funzioni sono, chiaramente, la sostituzione (cioè, il rimpiazzamento di un argo­ mento con una nuova variabile o funzione) e la recursione (secondo lo schema della derivazione del valore della funzione per n + 1 da quello per n ) . S i potrebbe pensare che a questi due processi della sostituzione c della recursione debbano essere aggiunti anche altri metodi ele­ mentari di definizione : ad es ., la definizione di una funzione me­ d i ante l'indicazione del suo valore fino ad un certo punto dal quale i n poi la funzione diviene costante, la definizione mediante processi l'!t'mentari ottenuti dalle operazioni di calcolo (quali quello del res to nella divisione o del massimo comun divisore di due numeri) ( lp p U fe anche la definizione di un numero come il minimo entro 1 1 1 1 certo sistema finito di numeri. H i su l ta però che tutte queste definizioni si lasciano rappresen­ l a n: co m e s i l lll i .

casi particolari dell'applicazione di sostituzioni e reCU!­

Il metodo della ricerca delle recursioni necessarie equivale,

260

S CRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HILBERT

sostanzialmente, a quella argomentazione con la quale si riconosce come finitario il relativo procedimento di definizione. Dopo queste constatazioni, importa dare uno sguardo sui risul­ tati delle due operazioni della sostituzione e della recursione . Per quanto concerne l'uso delle recursioni, si vede che, dati i molteplici modi con cui si può passare da n a n + 1 , esse non si lasciano portare ad una forma unitaria, finché si continua ad operare con le ordinarie variabili numeriche. Ci si rende conto di questa diffi­ coltà già con l'esempio seguente. Consideriamo la funzione a + h; da essa, mediante una n-plice iterazione e un'identificazione, risulta a+a+ ... +a

=

a · n.

Parimenti, si giunge da a·h

a

a · a · ... · a

=

an ,

e poi da ab

a(aa) , a (a(a4» , • • • •

a

Cosi abbiamo successivamente le funzioni a+h a . h ab

= = =

Cj)l(a, h) Cj)2 (a, h) Cj)3 (a, h)

Cj)4(a, h) è il h-esimo valore nella successione

In modo analogo si giunge a Cj)s(a, h), Cj)6 (a, h), ecc. Ora invero, Cj) n (a, h) per n variabile potrebbe essere definita mediante sostituzioni e recursioni; ma queste recursioni non sareb­ bero le recursioni successive ordinarie, bensl si sarebbe portati ad una recursione intrecciata presa contemporaneamente (simultanea) su diverse variabili; si ottiene una sua risoluzione in recursioni successive ordinarie soltanto usando il concetto di variabile fun­ toriale : la funzione Cj)a(a, a) è un esempio di una funzione della va­ riabile numerica a che non può essere definita soltanto mediante

SULL 'INFINITO

261

sostituzioni e recursioni successive ordinarie, se si accettano esclu­ sivamente variabili numeriche l . Come si possa definire la funzione epn (a, b) usando le variabili funtoriali, è mostrato dalle seguenti formule :

L (f, a, l ) L (f, a, n + l ) epl(a, b) ep n+ l (a, b)

= =

a f (a, L (f, a, n» a+b L (ep n , a , b ) .

Qui L significa una funzione specifica a tre argomenti, il primo dei quali è una funzione di due variabili numeriche ordinarie. Un altro esempio di una recursione più complicata è questo :

epoCa) ep n+ l (a)

= =

a(a) f(a, n, epn (epn (n + a) ) ) ,

dove a significa un'espressione nota di u n argomento e f un'espres­ sione nota di due argomenti. La caratteristica di questa recursione sta nel fatto che qui il valore per n + 1 non è ricavato dal solo valore numerico per n, ma anzi per la determinazione di epn + 1 si deve far uso del decorso della funzione cpn . Le difficoltà venute alla luce in questi esempi sono superate se si usano i tipi variabili; allora lo schema generale di recursione l� il seguente : = a p(g, a, O) p(g, a, n + l ) = g(p(g, a, n), n ) ;

q ll i

a è una data espressione di u n qualsiasi tipo variabile; pari1 I \enti, g è una data espressione e precisamente di due argomenti, i I primo dei quali è dello stesso tipo variabile di a e il secondo è 1 1 11 numero; g deve soddisfare inoltre alla condizione che il suo va­ l o re sia ancora dello stesso tipo variabile di a. Infine, p è l'espres­ s ione da definire mediante recursione; essa dipende da tre argo­ I l l enti e, quando sono state fatte le sostituzioni per g, a, n, riceve Il I stesso tipo variabile di a; inoltre è ammesso che in a e in g e q l 1 i nd i anche in p compaiano ancora parametri qualsiasi.

I

W " Al"kcrmann ha d a t o

la

dimostrazione di questa asserzione.

262

SCRITTI FONDAZIONALI DI DAVID

H I LBERT

Mediante sostituzione, da questo schema generale si ricavano recursioni determinate. Cosi, si ottengono le recursioni dei nostri esempi : nel primo esempio considerando f ed a come parametri, e nel secondo rappresentando il passaggio da Cj> n (a) a Cj> n +l(a) come un passaggio da una funzione Cj>n alla funzione Cj> n + l compiuto me­ diante la funzione-di-funzioni g, cosicché nella recursione a non viene affatto concepito come parametro . Nei nostri due esempi, l'estensione del genere di recursione rispetto alla recursione elementare consiste nel fatto che nel primo caso introduciamo un parametro superiore che non è un numero intero ordinario, e nel secondo caso scegliamo per a una funzione e per g una funzione-di-funzioni. I tipi variabili costituiscono l'anello di congiunzione col quale viene resa possibile l'associazione delle funzioni di una variabile numerica ai numeri della seconda classe. Infatti, arriviamo ad una tale associazione tra i numeri della seconda classe e certi tipi va­ riabili confrontando i due processi di generazione dei numeri della seconda classe (cioè, il processo dell'aggiungere-uno e il processo del limite di una successione numerabile) con il crescere dei tipi-di­ variabili rispetto alla loro altezza. Vogliamo poter far corrispondere al processo dell'aggiungere-uno il prendere-le-funzioni (cioè, la so­ stituzione, come argomento in una funzione, di un dato tipo variabile) e al processo del limite l'aggregazione della successione numerabile di un tipo variabile in un nuovo tipo variabile, e indi­ care specificatamente come Z-tipi i tipi variabili che vengono a corri­ spondere in questo modo ai numeri della seconda classe. Quindi nella formazione degli Z-tipi, oltre che dei processi logici di con­ nessione si fa uso esclusivamente proprio di quelle recursioni ordi­ narie (non transfinite) che sono necessarie ogni volta per la nume­ razione di una successione di tipo quale atto preparatorio del pro­ cesso del limite. Se ordiniamo questi Z-tipi secondo la loro altezza, allora ai numeri della seconda classe corrispondono biunivoca­ mente i tipi variabili di una determinata altezza. Ma con ciò arriviamo anche a una corrispondenza biunivoca tra le funzioni definite mediante gli Z-tipi e i numeri della seconda classe. Per vedere questo, basta la seguente argomentazione. Se prendiamo soltanto tipi variabili fino ad una determinata altezza e poi formiamo funzioni soltanto per mezzo di recursione e di sostituzione, otteniamo sempre soltanto un 'infinità nu merahile di

SULL'INFINITO

263

funzioni. Questa numerazione può anche essere rigorosamente for­ malizzata; e precisamente, in modo che dapprima si stabilisce una funzione di recursione p che comprenda in sé tutte le recursioni considerate e contenga inoltre un parametro che sorpassi i tipi variabili ivi ammessi . La definizione di p è un'applicazione dello schema generale di recursione, in cui è usato in maniera essenziale quel tipo variabile superiore. A questo punto si ordinano secondo le loro altezze le specificazioni che entrano in campo dei tipi va­ riabili presenti in p, e si ottengono quindi le diverse sostituzioni iniziali. Si pongono queste in una successione numerata. Eseguita questa numerazione, le funzioni da definire sono ottenute ordinando secondo il numero delle sostituzioni da fare. Nell'argomentazione ora descritta ho presupposto in modo es­ senziale la teoria dei numeri della seconda classe. Ho introdotto i numeri della seconda classe semplicemente come risultato della transnumerazione al di là dell'infinito numerabile, e l'enunciato spe­ cifico N ( (a.(n) ) ,

dove

q> è definita per recursione transfinita, allora questa recursione t r-ansfinita può essere eliminata. I n casi determinati, questa eliminazione è riuscita. Ne sono l"sempi quelli che Cantor ha introdotto e chiamato primo E-numero l' primo E-numero critico. n primo E-numero è il limite della successione a.(n) , dove

a.(O) a.(n') ( ' l ,)"

=

w

= wa(JI)

(n numero ordinario)

l' defi n i t a nel modo consueto per recursione transfinita.

286

SCRITTI FONDAZIONALI

DI

DAVID HILBERT

Per E-numero si intende, secondo Cantor, un numero quale è

ex =

ex

per il

w "' .

Nella definizione del primo E-numero per recursione ordinaria si ha già bisogno di specie variabili numerate :

No(a) ,.., N(a) N n .(a) ,.., (b) (N n (b) � Nn ( a (b» ) . w. Ackermann è riuscito recentemente a compiere un notevole passo avanti nella dimostrazione di non-contraddittorietà. Desidero concludere la mia conferenza dandone un resoconto assai breve . Nella dimostrazione della non-contraddittorietà dell'E-funzione si tratta di mostrare che l'E-funzione può essere eliminata da una dimostrazione data di O ;.é O, nel senso che le figure composte con essa possono essere rimpiazzate da segni numerici in modo tale che le formule che risultano per sostituzione dall'assioma logico di scelta, le « formule critiche », si trasformano con questi rim­ piazzamenti in formule « vere » . Questi rimpiazzamenti vengono trovati, mediante tentativi pro­ gressivi, dopo aver eseguito l'eliminazione delle variabili libere, e si deve mostrare che questo processo arriva in ogni modo ad una conclusione. Facciamo qui le seguenti assunzioni particolari :

1 . Come segni di enunciati specifici, devono occorrere soltanto Z

e =

.

2 . Le figure che stanno come argomenti - le chiamiamo « funzionali » - se sono prive dell'E-funzione, devono essere o segni numerici oppure composte da segni numerici per mezzo dei segni per funzioni definite mediante assiomi di recursione. Nel caso in cui occorre soltanto un funzionale composto con E e soltanto un'unica formula critica, la finitezza del processo di rim­ piazzamento progressivo viene accertata come segue. La formula critica sia

Ak � AEaAa

I FONDAMENTI DEL LA MATEMATICA

287

(dove in k può occorrere eventualmente anche EaAa) . Per prima cosa, rimpiazziamo ovunque EaAa con O . Allora tutti i funzionali divengono privi dell'E-funzione, pos­ siamo calcolare tutto e ottenere i valori numerici dei funzionali . Ora, gli enunciati elementari possono essere distinti in « veri » e « falsi », dove è ritenuto vero ogni Z-enunciato e nelle equazioni è determinante la coincidenza dei segni numerici che stanno dalle due parti . Al posto della formula critica abbiamo

Az � AO . O questa formula è vera, e allora abbiamo concluso, oppure è vera

Az . Quindi abbiamo trovato in questo modo un esempio z per cui vale A. Allora, facciamo un nuovo rimpiazzamento, rimpiazzando EaAa dovunque con il segno numerico z. Se eseguiamo ora il calcolo di tutti i funzionali, la formula critica SI trasforma in una formula

che è senz'altro vera.

Se compaiono più E-funzioni, allora queste possono essere com­ h i nate in modi complicati; e precisamente, da un lato nella forma dl'l I ' « inserimento », ad es .

EaA(a, EbKb) dove EbKb è senza la variabile a, oppure nella forma della « su­ hor d inazione »

EaA (a, EbK(a, b)) . Nel caso del semplice inserimento, non sorge alcuna difficoltà d i p r i ncipio . Dobbiamo badare ad eseguire i rimpiazzamenti par­ I l'l Ido dall'interno e a tener conto dell'assioma dell'identità : ad es ., I wl ll' due figure rI/A (a , EbCb) fIl A ( a , EhKh)

288

S CRITTI FONDAZIONALI DI DAVID HILBERT

rimpiazzando l'E esterno nello stesso modo nel caso di uguali rim­ piazzamenti per

EbKb

e

Ebeb .

Finché restano immutati i rimpiazzamenti per gli E interni, gli esempi trovati per gli E esterni sono definitivi. Essi possono diven­ tare inutilizzabili soltanto se viene trovato un nuovo esempio per un E interno. Cosi, se il procedimento non è già arrivato prima alla conclu­ sione, nel trovare esempi per gli E andiamo sempre più all'interno. Cosicché alla fine vengono trovati esempi per gli E più interni; allora questi esempi sono definitivi e il grado massimale dell'in­ serimento è diminuito di 1 . Sulla base della figura dimostrativa presentata, si può stimare in anticipo e facilmente il numero totale dei passi di rimpiazza­ mento che al massimo sono necessari per trasformare tutte le for­ mule critiche in formule vere, con il che risulta chiaro il carattere finitario dell'argomentazione. Più difficile è il caso della subordinazione. Volendo qui eseguire il rimpiazzamento a partire dall'interno, ad es . in

EaA(a, EbK(a, b)), l'E interno EbK(a, b) può essere rimpiazzato non con un numero ma soltanto con una funzione. Come funzioni rimpiazzanti basta prendere soltanto di quelle che all'infuori di un numero finito di argomenti hanno sempre il valore O. Si comincia con la funzione che ha sempre il valore O ( per indicare relazioni di grandezza (ancora da spiegare) tra cifre; 5) le parentesi come segni per il modo di susseguirsi dei pro­ cessi, quando esso non è di per sé chiaro . Come si operi con i segni introdotti e come vadano fatte le argomentazioni contenutistiche, si chiarisce meglio andando un po' più avanti nello sviluppo dei tratti fondamentali della teoria dei numeri. La prima cosa che constatiamo sulle cifre è la relazione di gran­ dezza. Una cifra a sia diversa da una cifra b. Domandiamoci come questo possa verificarsi. Entrambe iniziano con 1 , e la composizione procede nello stesso modo sia per a che per b finché una delle due cifre non finisce mentre va avanti la composizione dell'altra. Questo caso deve dunque, ad un punto, verificarsi ; e con ciò una cifra coincide con un pezzo dell'altra, ovvero, espresso con più preci­ sione : la composizione di una cifra coincide con un pezzo iniziale della composizione dell'altra cifra. Nel caso in cui una cifra a coincide con pezzo di una cifra b, diciamo che a è minore di b o anche che b è maggiore di a, ed usiamo per questo le indicazioni a

< b,

b >

a .

Da queste considerazioni risulta che per una cifra b deve sempre darsi una delle relazioni a =

b,

a

< b,

b
a . Quindi, o è

a=b'q ,

372

DA « GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK »

oppure abbiamo una rappresentazione a = (b · q) + r

e s i ha (b · q ) + r < (b ' q) + b

e quindi r

< b.

Nel primo caso, a è « divisibile per b » ( 2 non rap­ presentabile come somma di due numeri primi » . « O ciascun numero intero della forma 2(2k) + 1 , per k > 4 , è scomponibile in due fattori > 1 , oppure c'è un numero primo della forma 2(2 ') + 1 con k > 4 » . « O ciascun numero intero sufficientemente grande è rappre­ sentabile come somma di meno di 8 cubi, oppure per ogni numero intero n c'è un numero intero m maggiore di n che non è rappre­ sentabile come somma di meno di 8 cubi » . « O ci sono numeri primi p arbitrariamente grandi aventi la proprietà che p + 2 è sempre un numero primo, oppure c'è un massimo numero primo che ha questa proprietà » . « O per ogni numero intero n > 2 e per interi positivi qual­ siasi a, b, c vale la disequazione an + bn :;6 c" , oppure c'è un numero minimo n > 2 per il quale l'equazione an + b n = cn è risolubile con numeri interi positivi a, b, c » . Esempi siffatti della teoria dei numeri sono idonei a illustrarci le forme più semplici di argomentazioni non-finitarie. Ma nella teo­ ria dei numeri non sorge mai veramente il bisogno di oltrepassare la posizione finitaria; infatti, è ben difficile che ci sia anche solo una dimostrazione condotta con strumenti della teoria dei numeri nella quale i modi inferenziali non-finitari eventualmente usati non possano essere evitati mediante modificazioni abbastanza semplici.

METODI NON-FINITARI NELL'ANALISI .

Del tutto diversa è a questo proposito la situazione nell'analisi (calcolo infìnitesimale) ; qui il modo non-finitario di concettualizzare e di dimostrare fa proprio parte del metodo della teoria.

Diverse definizioni del numero reale. Vogliamo richiamare brevemente il concetto basilare dell'analisi,

IL

RAGIONAMENTO FINITARIO

387

quello di numero reale. Il numero reale è definito come una suc­ cessione monotona crescente di numeri razionali

rl < r2 < r3 < . . . che giacciono tutti sotto u n confine comune ( r . Ora, bisogna rendersi conto che, in generale, nell'analisi un in­ sieme viene dato solo mediante una proprietà che lo definisce, cioè l'insieme viene introdotto come la totalità di quei numeri reali che soddisfano ad una certa condizione B . Quindi, il problema dell'esi­ stenza nell'insieme considerato di un numero reale a > r si riporta a quello dell'esistenza di un numero reale che sia maggiore di r e soddisfi anche ad una certa condizione B . In questa formulazione risulta chiaro che stiamo mettendo alla base la totalità dei numeri reali come un dominio di individui. Si noti ancora che il descritto procedimento per ottenere l'estre­ mo superiore conduce essenzialmente alla costituzione di un insieme riunione. Infatti, ogni numero reale è definito mediante una partiO

l Alla situazione che qui si verifica ha fatto riferi mento espressamente Weyl in WEYL 1918.

IL

RAGIONAMENTO FINITARIO

391

zione dei razionali in minori e maggiori, risp. mediante l'insieme dei numeri razionali minori. L'insieme dato di reali, quindi, è rap­ presentato come un insieme M di insiemi di razionali. E l'estremo superiore dell'insieme M viene costituito dall'insieme di quei numeri razionali che appartengono ad almeno uno degli insiemi di M. Ma la totalità di questi razionali è proprio l'insieme riunione di M. E nemmeno si riesce ad evitare il riferimento al dominio di individui dei numeri reali usando, invece della definizione dedekin­ diana di numero reale, la sua definizione mediante successioni fon­ damentali o frazioni diadiche . Anzi, il processo viene ulteriormente complicato in quanto si viene ad aggiungere anche un procedimento ricorsivo . Esponiamolo brevemente nel caso della definizione di nu­ mero reale mediante frazioni diadiche. Abbiamo allora a che fare con un insieme di frazioni diadiche

che è di nuovo determinato da una certa condizione B; e l'estremo superiore è rappresentato da una frazione diadica o, bi b2

• • •

che è definita nel modo seguente : bl = O, se in tutte le frazioni diadiche che soddisfano alla con­ dizione B c'è O al primo posto diadico, altrimenti bl = 1 ; bn+I = O, se in tutte le frazioni diadiche che soddisfano alla condizione B e le cui prime n cifre diadiche coincidono rispettiva­ mente con bi, b2, , bn c'è O all'{n + I )-esimo posto, altrimenti bn+ l = 1 . Qui la totalità dei numeri reali si presenta come la totalità di tutte le frazioni diadiche, e facciamo uso del presupposto che il �( tertium non datur » vale per le successioni infinite costituite da O e 1. • • •

Il principio di scelta. Ma non è sufficiente neanche questo presupposto della totalità di tutti i numeri reali, o di tutte le frazioni diadiche, come dominio di individui. Lo si vede in questo semplice caso. Sia a l'estremo superiore di u n insieme di numeri reali. Vogliamo mostrare che c'è

392

DA

« GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK »

una successione di numeri reali appartenenti all'insieme che con­ verge ad a. A questo scopo ragioniamo nel modo seguente : Dalla proprietà dell'estremo superiore, segue che per ogni nu­ mero intero n c'è nell'insieme un numero Cn tale che 1

a--