Resistência dos Materiais

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RESISTÊNCIA DOS MA TERIAIS TRADUZIDO DO RUSSO POR

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Titulo do original russo

B. H. ( D E O U O C b E B

COnPOTMBJIEHME MATEPMAJIOB

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MOCKBA

620.112 F344r 1977

Ex.2

Livraria Lopes da Silva, Editora — Rua Chã,

101-103

PORTO

ÍNDICE

INTRODUÇÃO......................................................................................................................... § 1. Problemas e métodos de resistência dos m ateriais.................................... § 2. Objecto real e esquema de cálculo....... ....................................................... § 3. Forças internas e externas...............................*.............................................. § 4. Tensões.................................................................................. § 5. Deslocamentos e deformações................................................ ...................... § 6. Lei de Hooke e o princípio de sobreposição das forças............................ § 7. Princípios gerais do cálculo dos elementos das estruturas........................ CAPÍTULO I. Tracção e compressão............................................................................... § 8. Forças internas e tensões que surgem nas secções transversais de uma barra nos casos de tracção e de compressão................................................ § 9. Alongamento da barra e a lei de H ooke...................................................... § 10. Energia potencial de deformação........................................................................ § 11. Sistemas estaticamente determinados (isostáticos) e estaticamente inde­ terminados (hiperestáticos)................................................................................... § 12. Estados de tensão e de deformação em caso de tracção e de compressão § 13. Ensaios de materiais à tracção e compressão............................................... § 14. Diagrama de tracção....................................................................................... § 15. Mecanismo da deformação............................................................................ § 16. Carácterísticas mecânicas principais do m aterial........................................ § 17. Plasticidade e fragilidade. Dureza................................................................. § 18. Influência da temperatura e do tempo sobre as características mecâ­ nicas do m aterial.................................................................................................. § 19. Coeficiente de segurança......................................................................................

11 11 13 16 22* 23 26 29 32 32 35 41 43 47 51 56 59 64 69 72 78

CAPÍTULO II. Torção.................................................................... § 20. § 21. § 22. § 23. § 24.

Esforço de talhamento puro* e suas particularidades................................ Torção da barra de secção transversal circular........................... Torção da barra de secção transversal não circular................................... Noções breves sobre a analogia de membrana ............................................. Torção de uma barra de paredes fin a s.........................................................

8 81 86

97 101 104

índice

4

CAPÍTULO III. Características geométricas das secções transversais da b a rra ......... §“ 25, Momentos estáticos da secção............................................................................ | 26. Momentos de inércia da secção..................................................................... § 27. Eixos e momentos principais de inércia............................................................ CAPÍTULO IV. Flexão.................................................................................... .................. § 28. Factores internos de força que surgem nas secções transversais da barra submetida à flexão.............................................................................................. § 29. Tensões na barra no caso de flexão p u ra ......... ................................... § 30. Tensões no caso da flexão transversal............................................................... § 31. Equação diferencial da linha elástica de uma viga. Deslocamentos no caso da flexão..... ................................................................................................. § 32. Viga sobre uma base elástica........................................................ § 33. Flexão oblíqua...................................................................................................... § 34. Tracção e compressão excêntricas............................................................. I 35. Flexão da barra de grande curvatura................................................................ CAPÍTULO V. Deslocamentos na barra no caso de cargas arbitrárias............ .......... § I § § § §

114 118 121 127 127

13 142 151 160 164 167 176

Energia potencial da barra no caso geral de carregamento............................ Teorema de castigliano............................................................ Integral de M o h r................................................................................................. Método Vereschaguin....................................................................... Cálculo dos deslocamentos e das tenções nas molas helicoidais.................... Teorema de reciprocidade dos trabalhos e deslocamentos..............................

196 201

CAPÍTULO VI. Cálculo de sistemas hiperes tá ticos compostos de barras com a ajuda do método das forças.......................................................................

205

§ § § §

36. 37. 38. 39. 40. 41.

114

42. 43. 44. 45.

Ligações impostas ao sistema. Grau da indeterminabilidade estática....... Escolha do sistema básico. Método das forças............................................ Equações canônicas de método das forças....................................................... Utilização das propriedades da simetria para eleminaçâo de indetermi­ nabilidade estática............................................................ § 46. Sistemas plano-espaciais e espaciais.................................................................. I 47. Determinação dos deslocamentos nos sistemas hiperestáticos....................... (CAPÍTULO VII. Fundamentos da teoria do estado de tensão e de deformação........ § § § § $ § §

48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

Estado de tensão em um ponto................................................... Determinação das tensões em um plano de posição geral.............................. Eixos principais e tensões principais.................................................... Diagrama circular do estado de tensão................................................ Resumo dos diversos tipos de estados de tensão............................................. Estados de deformação........................................................ ......................... Lei de Hooke generalizada e a energia potencial de deformaç*ao no caso geral de estado de tensão ................................................................................

176 185

205 211 213

231 236 239 242

24 25 256 260 264

índice CAPÍTULO § 55. § 56. § 57. § 58.

Vin.

Critérios de plasticidade e de ruptura.......................................

Considerações gerais...................................................................................... Hipóteses de plasticidade..................... ......................................................... Teoria de Mohr e sua ar .lo.................................................................... Critérios de ru p tu ra........................................................................................

CAPÍTULO IX. Tubos de paredes grossas e discos que giram com grande veloci­ dade................................................................................................................... § 59. Equações básicas para um corpo simétrico relativamente ao eixo............ § 60. Determinação dos deslocamentos t das tensões no cilindro de paredes grossas.............................................................................................................. § 61. Determinação das tensões nos tubos compostos.......................................... § 62. Discos de espessura constante que giram com grande velocidade.... ....... CAPÍTULO X. Placas e invólucros............................................................................... § 63. Características básicas de placas e invólucros............................................. § 64. Determinação das tensões nos invólucros simétricos pela teoria de mem­ b ra n a ................................................................................................................. § 65. Flexão de placas circulares submetidas a cargas simétricas....................... § 66. Determinação das tensões e dos deslocamentosnas placas circulares ...... § 67. Flexão de placas rectangulares................ § 68. Flexão do invólucro cilíndrico no caso de aplicação de uma carga simé­ trica ................................................................................................................... CAPÍTULO XI. Flexão e torção das barras de paredes finas....................................... § § § §

69. 70. 71. 72.

§ 73. § 74. § 75. § 76.

5

271 271 275 278 288

294 294 297 303 307 311 311 313 322 328 334

336 345

Características básicas das paredes finas...................................................... 345 Área sectorial....,.............................................................. ..... .......................... 348 Características sectoriais e sua determinação.............................................. 352 Tensões tangenciais no caso de flexão transversal de barras de paredes finas..................................... .................................... ........................................ 354 Centro de flexão............................................................................................... 357 Desaplanação das seeções transversais de barras de paredes finas no caso de torção................................................................................................... 363 Torção restringida de barras deparedes finas comsecçãoaberta............... 367 Caso geral de carregamento de uma barra de paredesfinas.Bimomento 372

CAPÍTULO XII. Princípios do cálculo dos elementos das estruturas que trabalham nas condições que ultrapassam os limites da elasticidade............... § 77. Particularidades características do cálculo e a esquematização do dia­ grama de torção......................................................................... .................. . § 78. Tensões e deslocamentos nos sistemas mais simples compostos de barras, nas condições de existência de deformações plásticas.................... § 79. Flexão plástico-elástica da b arra...................................................................

376 376

380 386

índice

6

§ § §

80. Torção da barra de secção transversal circular no caso de deformações plásticas ^.......................................................................................................... 81. Fundamentos do cálculo por cargas limites................................................... 82. Fundamentos de teoria de plasticidade............................. ...........................

393 397 402

CAPÍTULO x m . Resistência no caso de tensões que variam ciclicamente................

411

§ 83. Noções da resistência à fadiga........................................................................ § 84. Características básicas do ciclo e o limite de resistência à fadiga.............. § 85. Influência da concentração das tensões sobre a resistência à fadiga........ § 86. Efeito de escala............................................. .............................................. . § 87. Influência da qualidade do acabamento da superfície................................ § 88. Coeficiente de reserva da resistência à fadiga e a sua determinação........ § 89. Resistência à fadiga nas condições de regimes não estacionários..............

411 416 423 429 434 436 443

CAPÍTULO XIV. Estabilidade do equilíbrio dos sistemas deformados.......................

450

§ 90. Conceito de estabilidade.................................................................................. § 91. Cálculo das cargas críticas......................................... § 92. Problema de Euler............................................................................................ § 93. Grandes deslocamentos de uma barra flexível.............................................. § 94. Dependência entre a força crítica e as condições de flexão da barra......... § 95. Estabilidade de uma barra no caso de deformações plásticas.................... § 96. Estabilidade de forma plana de flexão........................................................... § 97. Estabilidade de aros e tubos submetidos a pressão externa....................... § 98. Método energético de determinação dascargas críticas............................... § 99. Método de parâmetros iniciais........................................................................ § 100. Alguns casos de perda da estabilidade que não se enquandram no esquema clássico.............................................................................................. § 101. Compressão excêntrica de uma barra flexível.............................................. § 102. Flexão longitudinal-transversal.................................................

450 453 458 461 466 472 479 482 484 489 495 498 500

CAPÍTULO XV. Oscilações dos sistemaselásticos..........................................................

504

§ 103. Definições fundamentais da teoria de oscilações......................................... § 104. Oscilações próprias de sistemas com um só grau de liberdade sem o amortecimento................................................................................................. § 105. Oscilações próprias de sistemas com amortecimento linear....................... § 106. Oscilações forçadas de um sistema com um só grau de liberdade. Ressonância..................................................................................................... § 107. Oscilações de sistemas com váriosgraus deliberdade.................................. § 108. Oscilações longitudinais de uma barra homogênea..................................... § 109. Oscilações transversais da viga...................................................................... § 110. Métodos aproximados de determinação das frequências das oscilações próprias de sistemas elásticos.................................................................. § 111. Número crítico de rotações de uma árvore.......... ........................................ §112. Ressonância paramétrica e auto-oscilações.............................................. •••• § 113. Carga de impacto...........................................................................................

504 506 511 514 521 527 529 532 538 340 342

Índice CAPÍTULO XVI. Métodos experimentais de estado dos estados de deformação e de tensão................................................... ..................... ...................... § § § §

114. 115. 116. 117.

Ensaios dos materiais e das estruturas.......................................................... Determinação das deformações com a ajuda de tensiómetros mecânicos. Aplicação dos captadores de resistência....................................................... Método fotelástico de determinação das tensões com a ajuda de modelos transparentes.................................. .................................................. § 118. Método de faixas de moiré...................................................... ................ ...... § 119. Determinação das tensões por meio de raios X ........................................... § 120. Método de envernizamento.............................................................................

549 549 551 557 561 566 573 578

PREFÁCIO PARA A SÉTIMA EDIÇÃO EM RUSSO

Este livro foi escrito em base das anotações feitas durante as confe­ rências proferidas pelo autor na Escola Técnica Superior N. E. Bauman. O livro reflecte a experiência da cadeira de Resistência dos Materiais deste estabelecimento de ensino. Ao expor a matéria, o autor pretendia, antes de mais nada, per­ manecer dentro dos limites do programa de três semestres admitido para os institutos de c o n s tr u ç ã o de máquinas. No entanto, o têxto abrange também algumas questões suplementares, que são importantes para a formação da ampla visão técnica do futuro engenheiro. Após o lançamento da primeira edição deste livro, passaram-se 15 anos, um prazo suficiente para que o sempre crescente desconten­ tamento do autor, em relação a alguns capítulos, o levasse à conclusão sobre a necessidade imperativa de começar a revisão do presente livro. Porém, ao dar início a este trabalho o autor viu-se forçado a levar em consideração o volume tradicional deste curso, os programas de ensino existentes e os métodos didácticos, baseados na longa existência de magistério. Por isso, na sétima edição continuam invariáveis o volume do livro e a disposição dos capítulos. Sofreram uma revisão, especial­ mente importante, os capítulos dedicados aos critérios da plasticidade e da destruição, assim como da resistência à fadiga e da estabilidade. As modificações em outros capítulos são insignificantes. Na preparação da sétima edição uma importante ajuda foi prestada por V. P. Kogaiev e o autor, considera-se no dever de manifestar-lhe a sua profunda gratidão. V. FEODOSIEV

IN T R O D U Ç Ã O

§ 1

Problemas e métodos de resistência dos materiais

Todos os corpos sólidos possuem, em grau maior ou menor, as propriedades de resistência e de rigidez, isto é, podem resistir à acção das forças externas dentro de determinados limites sem a destruição e sem a variação radical das suas dimensões geométricas. A resistência dos materiais é, por um lado, a ciência que trata da solidez e da rigidez dos elementos das estruturas técnicas. Os métodos de resistência dos materiais são utilizados para efectuar os cálculos práticos e para determinar as dimensões necessárias, ou, como se diz, dimensões seguras de peças de máquinas e de diversas estruturas empre­ gadas na engenharia civil. Por outro lado, a resistência dos materiais é um estudo introdutivo que oferece os fundamentos dos cálculos de solidez. As principais teses da resistência dos materiais têm como base as leis e os teoremas da mecânica geral e em primeiro lugar as leis da estática. Sem o conhecimento destas leis o estudo da resistência dos materiais é impossível. Ao contrário da mecânica racional a resistência dos materiais estuda problemas em que o mais importante são as propriedades dos corpos deformáveis, enquanto as leis do movimento do corpo como um objecto rígido passam para o segundo plano e em alguns casos não têm a mínima importância. Ao mesmo tempo, devido à comunidade das suas teses básicas, a resistência dos materiais pode ser considerada uma parte da mecânica que se denomina mecânica dos corpos sólidos deformáveis. A mecânica dos corpos deformáveis inclui também outras disciplinas como, por exemplo, a teoria matemática de elasticidade que estuda, praticamente, os mesmos problemas que a resistência dos materiais. A diferença entre a resistência dos materiais e a teoria matemática de elasticidade consiste em primeiro lugar na maneira de enfocar os problemas. A teoria matemática de elasticidade estuda os problemas de com­ portamento dos corpos deformáveis de maneira mais exacta. Por isso a solução dos seus problemas exige frequentemente o uso de aparato

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Introdução

matemático complexo e a realização de muitos cálculos complicados. Em consequência disto, as possibilidades do emprego prático dos métodos da teoria de efasticidade são limitadas, porém a análise dos fenômenos estudados é bem mais completa. A resistência dos materiais tem por objectivo criar métodos práticos e simples do cálculo dos elementos típicos mais comuns das estruturas, sendo utilizados amplamente diversos métodos aproximados de cálculo. A necessidade de levar a solução de qualquer problema prático até um resultado numérico faz com que na resistência dos materiais sejam utilizados em vários casos hipóteses simplificadoras, isto é, suposições, que são comprovadas, posteriormente, mediante a comparação dos dados obtidos pelo cálculo com os dados obtidos por meio de ensaios. Na criação dos métodos aproximados de cálculo para a resistência dos materiais são utilizados frequentemente também os resultados da análise mais profunda, efectuada com métodos da teoria matemática de elas­ ticidade. Devido ao seu carácter aplicado, a resistência dos materiais visa objectivos mais amplos do que a teoria matemática de elasticidade. A finalidade da resistência dos materiais consiste não somente em revelar as particularidades internas dos objectos estudados, mas, também, em dar-lhes uma interpretação correcta na avaliação da capacidade de trabalho e da utilidade prática da estrutura examinada. A teoria mate­ mática de elasticidade não estuda absolutamente este problema. Nas últimas décadas entre as ciências que estudam os corpos deformáveis surgiram e desenvolveram-se novos ramos da mecânica que ocupam um lugar intermediário entre a resistência dos materiais e a teoria de elasticidade, como, por exemplo, a teoria aplicada de elasti­ cidade; surgiram também disciplinas afins, como a teoria de plasticidade, teoria de fluidez plástica, etc. Na base das teses gerais da resistência dos materiais foram criados novos ramos da ciência sobre a resistência que têm orientação prática concreta, como, por exemplo, a mecânica de estruturas, mecânica aplicada na construção de aviões, teoria da resistência das estruturas soldadas, etc. Os métodos empregados na resistência dos materiais não são cons­ tantes e variam à medida que surgem novos problemas e novas exigên­ cias práticas. Nos cálculos de engenharia os métodos da resistência dos materiais devem ser aplicados de uma maneira criadora, tendo-se em vista que o êxito de um cálculo prático consiste nem tanto na aplicação do aparato matemático complexo, como na capacidade de compreender a essência do objecto estudado, de encontrar hipóteses simplificadoras mais adequadas e levar o cálculo até um resultado numérico fin a l.

Objecto real e esquema de cálculo § 2.

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Objecto real e esquema de cálculo

Na resistência dos materiais, assim como em qualquer outro ramo das ciências naturais, o estudo da resistência de um objecto real começa com a escolha de um esquema de cálculo. Ao começar o cálculo de uma estrutura, deve-se estabelecer em primeiro lugar o que neste caso é essencial e o que é secundário; é preciso, como se diz, esquematizar o objecto e desprezar todos os factores que não podem exercer uma influência considerável sobre o trabalho do sistema em geral. Esta simplificação do problema, ou a escolha do seu esquema, é absoluta­ mente indispensável em todos os casos, pois, em princípio, solucionar um problema tendo em conta todas as propriedades de um objecto real é impossível, porquanto o número destas propriedades é evidentemente ilimitado. Se, por exemplo, é preciso calcular a resistência do cabo de um elevador, é preciso, em primeiro lugar, levar em consideração o peso da carga levantada, a aceleração com que ela se desloca e se a altura de elevação é grande, provavelmente seja preciso também considerar o peso do próprio cabo. Ao mesmo tempo deve-se desprezar de antemão a influên­ cia dos factores insignificantes como, por exemplo, a resistência aerodinâmica que surge durante a ascenção do elevador, as forças da pressão barométrica em diversas alturas, a variação das temperaturas em diversas alturas e outros factores semelhantes cujo número é ilimitado. O objecto real, isento das particularidades sem importância, denomina-se esquema de cálculo. Para o mesmo objecto podem ser Fig. 1 propostos vários esquemas de cálculo, o que depende, em primeiro lugar, da precisão exigida e do aspecto de fenô­ meno que interessa neste caso concreto. Por exemplo, se no caso acima mencionado é preciso avaliar somente a resistência do cabo, o elevador e a carga podem ser considerados como um corpo íntegro rígido e a sua acção sobre o cabo reduzida à força aplicada na extremidade do mesmo (flg. 1). Se é preciso estudar a resistência da própria cabina, esta última já não pode ser considerada como um corpo absolutamente rígido. As particularidades da sua estrutura devem ser estudadas à parte, e, em conformidade com isto, deve-se escolher um esquema adequado de cálculo. Para um determinado objecto pode-se propor vários esquemas de cálculo; ao mesmo tempo a um esquema de cálculo podem corresponder

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Introdução

diversos objectos reais. Isto é sumamente importante, pois mediante o estudo de um esquema pode-se obter a solução de toda uma série de problemas Concretos, que podem ser reduzidos a este esquema. Em par­ ticular, o esquema do cabo na fíg. 1, com uma força aplicada na sua extremidade, é muito comum e se encontra em muitos casos práticos de cálculo de resistência. Na resistência dos materiais a escolha do esquema de cálculos começa com a esquematização das propriedades dos materiais. Costuma-se considerar todos os materiais como um meio contínuo e homogêneo, independentemente das particularidades da sua microestrutura. Um material é considerado homogêneo, se as suas propriedades não dependem das dimensões do volume destacado de corpo. Ê evidente, que na realidade um material, já devido à sua estrutura molecular, não pode ser homogêneo de acordo com esta definição. Os metais de estrutura policristalina, isto é, composto de inúmeros cristais que estão dispostos caoticamente, também não são homogêneos no sentido rigoroso desta palavra. Entretanto, estas propriedades não são essenciais, pois se tratado estudo de uma estrutura, cujas dimensões são infinitamente superiores não somente às distâncias interatómicas, mas, também, às dimensões dos órgãos cristalinos. Do conceito de homogeneidade provém o conceito do meio con­ tínuo, como um meio que ocupa continuamente o volume que lhe é atribuído. Devido à propriedade de continuidade, pode-se utilizar a análise infinitesimal em relação ao meio contínuo. Na escolha do esquema de cálculo ao meio contínuo são atribuídas as propriedades que correspondem às propriedades básicas da matéria real. Por exemplo, as dimensões geométricas de um corpo real variam devido à acção das forças externas. Retiradas as forças externas, as dimensões geométricas restabelecem-se total ou parcialmente. A proprie­ dade de um corpo de restabelecer as suas dimensões geométricas denomina-se elasticidade. Na solução da maior parte dos problemas de resistência dos materiais o meio é considerado absolutamente elástico. Na realidade, em um corpo real verificam-se pequenos desvios da con­ dição da elasticidade absoluta. Quando as cargas são grandes este desvio torna-se bastante importante para que no esquema de cálculo ao meio contínuo sejam atribuídas outras propriedades que correspondem ao novo carácter de deformação do corpo real. Normalmente, o meio contínuo é considerado isótropo, isto é, supõe-se que as propriedades de qualquer corpo destacado de um meio contínuo não dependem da sua orientação angular original dentro deste meio. O cristal de um metal, tomado separadamente, é anisótropo. Porém, se um volume contém um grande número de cristais, dispostos caoticamente, o material em geral pode ser considerado isótropo. Por isso, supõe-se habitualmente que os metais, na medida em que são

Objecto real e esquema de cálculo

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estudados na resistência dos materiais, são isótropos. Porém, existem também corpos anisótropos como, por exemplo, a madeira, cujas pro­ priedades dependem da orientação das fibras. O papel também é anisótropo: tiras de papel, cortadas de uma folha em dois sentidos perpendiculares, têm resistências diferentes. Existe a anisotropia devida às particularidades da estrutura do corpo como, por -exemplo, a de contraplacado e de tecidos. Entretanto, a resistência dos materiais estuda sobretudo os materiais isótropos. Ao escolher o esquema de cálculo, introduzem-se simplificações também na geometria do objecto real. O principal método de simpli­ ficação na resistência dos materiais é a redução da forma geométrica do corpo ao esquema de barra ou de invólucro. De um modo geral, a palavra barra vem a designar um corpo qualquer que tem uma dimensão (o comprimento) bem superior a duas outras. Sob o ponto de vista da geometria pode-se obter uma barra mediante a deslocação de uma figura plana ao longo de uma curva, como o mostra a (fig. 2). Esta curva, chama-se eixo da barra e a figura plana, cujo centro de gravidade Fig. 2 encontra-se no eixo da barra e que é perpendicular a este eixo, denomina-se a sua secção transversal. A secção de uma barra pode ser constante ou variável. A secção pode também girar em torno do eixo; neste caso qualificamos a barra como naturalmente retorcida. Um exemplo de barra retorcida espontaneamente é uma broca espiral. Uma barra pode ser recta, curva ou encurvada no espaço em confor­ midade com a forma do seu eixo. Por exemplo, o cálculo de molas helicoidais reduz-se ao esquema de barra encurvada no espaço. Muitas estruturas complexas podem ser consideradas como com­ postas de elementos, que têm a forma de barra. O segundo esquema geométrico típico, utilizado na resistência dos materiais é o esquema de invólucro. Qualificamos de invólucro um corpo que tem duas dimensões (a espessura) muito menor do que outras duas. Os elementos de estruturas tais, como as paredes de recipientes, cúpulas de edifícios, etc. reduzem-se ao esquema de invólucro. O esquema de invólucro será examinado mais pormenorizadamente no capítulo X. Ao esquematizar os objectos reais, na resistência dos materiais são simplificados também os sistemas de forças aplicadas a um elemento de estrutura, e intoduz-se o conceito de força concentrada. Por exemplo, ao calcular a barra que vemos na (fig. 3 a), pode-se considerar a carga P co m o uma força aplicada em um ponto (fig. 3 c). Esta simplificação é natural, pois as dimensões da área, em que está aplicada a força transmitida à barra (fíg. 3 b), são pequenas em comparação com as

16

Introdução

dimensões gerais da barra. Evidentemente, nas estruturas reais é impos­ sível aplicar ç esforço num só ponto e a força concentrada é uma noção utilizada somente nos esquemas de cálculo. A substituição de forças distribuídas pela sua resultante concentrada é possível somente quando se faz uma análise do trabalho da barra em geral, isto é, em volumes muito superiores ao volume da zona de contacto. Se neste exemplo é preciso calcular o olhai em que está suspensa a carga, a introdução do conceito de força concentrada é inadmissível. Os exemplos acima mencionados não esgotam todos os métodos possíveis de escolha do esquema de cálculo e a seguir serão introduzidos

também outros conceitos, referentes à esquematização de objectos reais. Ê importante que o leitor no processo de estudo do curso de resistência dos materiais não esqueça que a escolha do esquema de cálculo é o primeiro passo na realização do cálculo. É preciso compreender bem que um cálculo não consiste apenas na aplicação de distintas fórmulas. Antes de reduzir um problema real às operações matemáticas, é preciso, às vezes, um estudo longo e sério para separar correctamente no objecto estudado os factores importantes dos secundários.

§ 3. Forças internas e externas As forças são uma medida da interação mecânica dos corpos. Se uma estrutura é considerada separadamente dos corpos que a cercam, a acção destes últimos sobre a estrutura é substituída pelas forças denominadas externas. As forças externas dividem-se em forças volumétricas e superficiais. As forças volumétricas são distribuídas em todo o volume do corpo

Forças internas e externas

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e aplicadas a cada uma das suas partículas. Como exemplo de forças volumétricas pode-se mencionar o peso ou as forças de atracção magné­ tica. As forças superficiais são aplicadas a certas áreas da superfície e caracterizam a interação directa de contacto entre o objecto exami­ nado e os corpos que o cercam. As forças externas compreendem não somente as forças dadas que são consideradas frequentemente como a causa principal da possível ruptura, mas, também, as reacções das ligações que completam o sis­ tema das forças tornando-o equilibrado. Por exemplo, para o guindaste que vemos na (fig. 4 a), pode-se considerar como forças externas o peso da carga levantada P, assim como o peso próprio da estrutura. Deter­ minando as reacções dos apoios R i e R 2 obtemos um sistema equi­ librado das forças, mostrado na (fig. 4 b), e denominado habitualmente ca rg a .

As forças externas, sua magnitude e o carácter da sua distribuição dependem, em primeiro lugar, de como é traçado o limite entre o objecto estudado e os corpos que o cercam. Se no caso de guindaste, por exemplo, incluirmos no esquema de cálculo o cabo e a plataforma de carga, assim como os trilhos e as travessas, o sistema de forças externas será diferente (fig. 4 c). Se no primeiro caso as reacções dos apoios foram determinadas com a ajuda de equações de estática, então, no segundo caso a sua determinação exige um outro método, visto que o número das forças incógnitas R'lf /?', . . /?' supera o número das equações de equilíbrio. Os sistemas deste tipo são denominados estaticamente indetermináveis ou hiperestáticos. A seguir esta questão será analisada mais detalhadamente. Vemos, portantõ, que a interação do objecto examinado com os corpos, situados além dos limites convencionais deste objecto, caracte­ riza-se pelas forças qualificadas como externas. A interação entre as partes do objecto examinado, dentro dos limites fixados do objecto, caracteriza-se pelas forças internas. Por exemplo, no caso dum guindaste as forças de interação R { e R 2 entre as rodas e os trilhos (fig. 4 b), são externas. Porém, quando os limites do sistema foram ampliados (fig. 4, c), estas forças tornaram-se internas. As forças internas surgem não somente entre diversos elementos da estrutura, que actuam mutuamente entre si, mas, de um modo geral, entre todas as partículas contíguas do objecto submetido à acção de uma carga. Examinemos um corpo em forma de barra (fig. 5, a). Suponhamos que ele é submetido à acção de uma carga, isto é a um sistema de forças externas P u P2, . . P n que satisfazem às condições de equi­ líbrio. As forças internas 12, que surgem na barra, revelam-se somente se a barra for cortada mentalmente em duas partes, por exemplo, pela secção A. Na resistência dos materiais este método de revolação das forças internas denomina-se o método de secções. 2

Fig. 4

Forças internas e externas

19

Visto que as ligações entre as duas partes foram eliminadas, é preciso substituir a acção da parte direita sobre a esquerda e da esquerda sobre a direita por um sistema de forças na secção, isto é, introduzir um sistema de forças internas, que será designado pelo símbolo (PÃ) (fig. 5, b). Portanto, as forças internas determinam a interação entre as partícjulas do corpo, que se encontram nos lados opostos da secção, tra­ çada mentalmente, as forças internas são diferentes em diversas secções. Em conformidade com o princípio de acção e de reacção, as forças internas sempre são recíprocas. A acção da parte direita da barra sobre a esquerda é exactamente igual à acção da esquerda sobre a direita e o sistema de forças, que surgem no plano A* tem o sinal contrário ao sistema de forças no plano A" (fig. 5, b).

É de se compreender que as forças internas estão distribuídas de um modo bastante complexo pela superfície da acção traçada, porém, em todos os casos, elas devem satisfazer a condição de equilíbrio das duas partes da barra, tomadas separadamente. Estas condições podem ser escritas simbolicamente da seguinte maneira: (P n) es + (P â) = 0 , OU

~(PA) + (Pn)é = 0 , onde os símbolos (Pn)es e (Pn)d designam, respectivamente, a soma das forças externas, ou a soma dos momentos da parte da barra situada à esquerda ou à direita da secção. O valor (PA) designa o mesmo para o sistema das forças internas da secção. A primeira equação, escrita simbolicamente, dá seis condições de equilíbrio para a parte esquerda da barra e a segunda para a parte direita.

20

Introdução

Uma vez que o sistema das forças externas satisfaz as condições de equilíbrio, temos: (Pn) e s + ( P n ) a = 0 , Logo, as equações escritas anteriormente tornam-se identidades. Isto significa que a resultante das forças internas (PA) na secção A pode ser determinada tanto das condições de equilíbrio da parte esquerda, como da parte direita do corpo seccionado. As forças internas devem ser distribuídas pela secção de taf maneira, que as superfícies deformadas da secção A coincidam exactamente ao juntar as duas partes do corpo. Na resistência dos materiais e na teoria de elasticidade esta condição denomina-se condição de continuidade das deformações.

Voltando às equações de equilíbrio, vemos que com a sua ajuda pode-se determinar não a lei de distribuição das forças internas mas somente as resultantes das mesmas, se são conhecidas todas as forças externas. Utilizando os princípios da estáctica, podemos transferir o sistema das forças internas para o centro de gravidade da secção. Obtemos, então, o principal vector R e o principal momento M (fig. 6). Escolhemos a seguir um sistema de coordenadas x, y, z, de maneira que o eixo z seja perpendicular à secção e os eixos x e y situados no plano da secção. Projectando o principal vector e o principal momento nos eixos x, y, z, obtemos seis componentes: três forças e três momentos. Estas compo­ nentes denominam-se factores internos de força na secção da barra. A componente das forças internas, perpendicular à secção (iV), chama-se força normal ou longitudinal da secção. As forças Qx e Qy são denominadas forças transversais. O momento em torno do eixo perpen­ dicular M t denomina-se momento de torção e os momentos M x e M y denominam-se momentos de flexão em relação aos eixos x e y. Conhe­ cendo as forças externas, pode-se determinar os seis factores internos

Forças internas e externas

21

d a força por meio das seis equações de equilíbrio que podem ser escritas para a parte cortada da barra. A classificação dos principais tipos de carregamento da barra faz-se por analogia às denominações acima mencionadas. Se nas secções trans­ versais de uma certa parte da barra surge apenas 'a força normal N, enquanto os demais factores internos de força são iguais a zero, temos neste local a tracção ou a compressão, conforme o sentido fa força N. Se na secção transversal surge apenas o momento M t, a barra trabalha neste local exclusivamente à torção. Finalmente, se as forças externas

N

t \'P

estão aplicadas à barra de tal maneira que nas secções transversais surge apenas o momento de flexão (Mx ) ou (My) tem-se a flexão pura no plano yz (ou xz). Normalmente, na secção transversal ao par do momento de flexão (por exemplo M x), surge também a força trans­ versal Qy. Este caso de carregamento da barra é denominado flexão transversal (no plano yz). São possíveis casos de aplicação da carga em que a barra trabalha simultaneamente à torção e flexão ou tracção. Para determinar se a barra trabalha à tracção, torção ou flexão, é preciso utilizar o método de secções. Por exemplo, ao cortar a barra que vemos na fíg. 7, a pela secção A A. podemos determinar das con­ dições da parte separada que nesta secção surge apenas a força normal N~-z- P. Logo, temos neste caso a tracção. Na secção BB da mesma jú D D barra surge a força transversal Ç =-F- e o momento de flexão Af=-^. z z

Introdução

22

Portanto, chegamos à conclusão de que a parte horizontal da barra trabalha à flexão. Para as secções AA, BB e CC da barra que vemos na fig. 7, b obtemos, respectivamente, a flexão transversal com torção, flexão transversal e tracção. §4.

Tensões

Para caracterizar a lei de distribuição das forças internas na secção é preciso introduzir uma medida da sua intensidade. Esta medida denomina-se tensão. Vejamos a secção A de um corpo (fig. 8). Em torno do ponto K escolhamos uma área elementar AF, dentro da qual revela-se a força

Fig. 8

Fig. 9

interna AR. A razão AR AF ~~P *“

é considerada a tensão média na área AF. Reduzamos a área AF para o ponto K. Dado que o meio é contínuo, é possível a passágem ao limite quando AF —►0. Para o limite obtemos lim

AR

AF-fO AF

O valor vectorial p é tensão total no ponto K da secção A. A tensão é medida em unidades de força divididas por área. Na técnica as tensões são medidas, normalmente, em quilogramas por centímetro quadrado ou por milímetro quadrado*. A tensão total p pode ser decomposta em três componentes, uma dos quais está no eixo perpendicular ao plano de secção e dois outros nos eixos situados no plano da secção (fig. 9). A projecção do vector da tensão total sobre a perpendicular é designada por o e se chama * Actualmente recomenda-se como preferível o sistema de medidas SI em que a tensão é medida em newtons por metro quadrado. Por exemplo, uma tensão 0 = 40 kgf/mm2 neste sistema será 392400000 N/m2.

Deslocamentos e deformações

23

tensão normal A s c o m p o n e n te s situadas no p la n o da secção denominam-se tensões tangendais e são designadas por t . Conforme a situação e designações dos eixos, o e t vem acompanhados de um sistema de ín d ic e s , cujo emprego será explicado a seguir, S e p e lo p o n to K do c o rp o t r a ç a r uma o u tra área secante, a te n sã o P neste ponto será, de um modo geral, diferente. O conjunto das tensões para muitas áreas, que passam pelo ponto, forma o estado de tensão do ponto. Veremos, a seguir, que o estado de tensão é determinado por seis magnitudes numéricas e é um dos mais importantes conceitos na resis­ tência dos materiais. Esta questão será estudada mais detalhadamente no capítulo VIL No início do curso são analizados os casos particulares mais simples e frequentes do estado de tensão, § 5.

Deslocamentos e deformações

Todos os materiais que existem na natureza n ã o são absolutamente rígidos e sob a acção das forças externas alteram até um certo p o n to a sua forma (deformam-se). Isto exerce uma influência considerável sobre as leis; de distribuição das forças inter­ nas no corpo submetido à tensão, embora a variação da forma seja, em regra, insignificante e se revele na maioria das vezes somente com a ajuda de aparelhos sensíveis. Os diferentes pontos do corpo mudam as suas posições no espaço sob a acção das forças externas. O veetor, cuja origem é um ponto do corpo» deformado e o extremo é ó mesmo ponto do corpo deformado, dehomina-se veetor de deslocamento total do ponto. As suas projecções nos eixos chamam-se deslocamentos pelos eixos e são designados por u, v e w, respectivamente para os eixos x, y e z (fig. 10). Além do deslocamento linear, pode-se introduzir também o conceito de deslocamento angular. Se analisarmos um segmento da recta entre dois pontos próximos antes e depois da variação da forma do corpo sólid o, veremos facilmente que este segmento gira no espaço formando um certo ângulo em relação à sua posição anterior. Este ângulo de giro também sç caracteriza por um veetor que pode ser decomposto pelos eixos; x. y e z. Se a um sistema de corpos estão impostas ligações, suficientes para impedir o seu deslocamento no espaço como um corpo rígido, o sistema d e n o m in a -s e cinematicamente invariável. Precisamente os sisternas deste tipo é que são analisados, em regra, na ^resistência dos

24

Introdução

materiais. Em caso contrário, de todos os deslocamentos dos pontos deve-se excluir a parcela de deslocamento do corpo, interpretado como absolutamente «ígido, conservando-se a parte que é própria somente de um corpo deformável. Então, para a maioria esmagadora de sistemas os deslocamentos u, v, e w de qualquer ponto são pequenos em com­ paração com as dimensões geométricas gerais do corpo. Devido ao valor insignificante de deslocamentos, no método de análise das forças internas, utilizado na resistência dos materiais, são introduzidas simplificações que têm um carácter de princípio. Uma delas denomina-se principio de dimensões iniciais. Conforme este princípio, ao compor as equações da estática (equações de equilíbrio), o corpo sólido é considerado não deformado, isto é, considera-se que as suas dimensões geométricas são as mesmas que antes da aplicação das forças externas. Por exemplo, se no ponto A do sistema, que vemos na fig. 11a, é aplicada uma força P, o comprimento do cabo AB aumentará, mas

da barra AC diminuirá, e o sistema em geral sofrerá certas deformações (fig. 11 b). Para determinar as forças internas no cabo e na barra, é preciso utilizar o método de secções e com pôr equações de equilíbrio para o nó de união A (fig. 11 e), que nós separamos mentalmente. Porém, aí surge uma dificuldade, visto que as novas dimensões geométricas do sistema continuam desconhecidas enquanto não forem determinadas as forças internas que dependem, por sua vez, das dimensões geométricas. Quando os deslocamentos são pequenos, este facto não tem importância, visto que o sistema deformado pouco difere do não deformado. Neste caso, em conformidade com o princípio de dimensões iniciais, as equações de equilíbrio são compostas para o nó de união não deformado (fig. 11 d). Temos então: N x - ^ P V 2 : N t = — P. Naturalmente, este princípio não pode ser aplicado em caso de grandes deslocamentos. Além disto, o princípio de dimensões iniciais pode

25

Deslocamentos e deformações

ser inadmissível» como excepçãô» também em caso de deslocamentos pequenos se a forma original do sistema varia consideravelmente. Por exemplo» em caso de duas barras, situadas na mesma recta e ligadas por uma articulação, as condições de equilíbrio do nó de união A (fig. 12) devem ser formuladas de tal modo que seja levado em consideração» obrigatoriamente, o ângulo de inclinação a, que surge devido ao alonga­ mento das barras. Qs sistemas deste tipo chamam-se maquinismos instantâneos. Isto significa que num momento dado o sistema é cinematicamente variável, isto é verificam-se deslocamentos dos elementos sem a deformação dos mesmos. Neste caso a variabilidade cinemática tem lugar nas proximi­

Fig. 12

Fig. 13

dades da posição original em que as três articulações se encontram numa recta. Ao contrário de maquinismo instantâneo, a variabilidade cinemática de um maquinismo comum não depende da disposição mútua dos elementos componentes. Para caracterizar a intensidade das variações da forma e das dimensões, examinemos os pontos A e B de um corpo sólido não defor­ mado, situados a uma distância s um do outro (fig. 13). Suponhamos que em consequência da variação da forma do corpo esta distância aumenta em As. A razão entre o aumento do comprimento do segmento As e o seu comprimento inicial é denominado alongamento médio no segmento s: Vamos diminuir o segmento s, aproximando, portanto» o ponto B ao ponto A. Em limite teremos: lim -—== e ^ . a n* Onde a magnitude é denominada deformação linear (ou simples­ mente deformação) no ponto A em direcção AB. Porém a deformação neste mesmo ponto, mas noutra direcção, será, de um modo geral, diferente. Se são examinadas deformações em direcção dos eixos das coordenadas x, y? e z, o g vem acompanhado de índices x, y, z. Temos então e*, f&y e &g.

26

Introdução

Cumpre assinalar que a palavra “deformação” tem um sentido duplo. Habitualmegte a palavra deformação vem a designar qualquer variação da forma sem a sua avaliação quantitativa. Na resistência dos materiais e na teoria de elasticidade, a deformação tem uma definição rigorosa que mencionamos acima, e serve na qualidade da medida quan­ titativa da alteração das dimensões geométricas em torno do ponto. A deformação mede-se em unidades não dimensionais ou em percentagem de As em relação a s. Visto que a variação da forma do corpo é insignificante, as deformações são pequenas. Nos corpos elásticos, estas deformações não excedem a milésima parte da unidade. Além da deformação linear, pode-se introduzir também o conceito de deformação angular. Examinemos o ângulo recto, formado num corpo não deformado por dois segmentos OD e OC (fig. 13). Depois da apli­ cação de força externa, este ângulo sofrerá uma variação e tomará a forma C '0 'D '. Vamos diminuir os segmentos OC e OD, aproximando os pontos C e D ao ponto O de maneira que o ângulo COD continue recto. Então, em limite, a diferença entre os ângulos COD e C'OfD' será: lim (COD ^-Cí? D ,)=7coi>ocuo OD-+0

A magnitude Ycoz> denomina-se deformação angular ou ângulo de talhamento no ponto O, situado no plano COD. Nos planos do sistem.a de coordenadas as deformações angulares são designadas por y yz1 yzx e Y*y O conjunto de deformações angulares e lineares para um ponto, mas em diversos sentidos e planos, forma o estado de deformação do ponto. O estado de deformação, assim como o estado de tensão, é determinado por seis valores numéricos. Esta questão será examinada mais detalhadamente no capítulo VII.

§ 6. Lei de Hooke e o principio de sobreposição das forças Numerosas observações do comportamento dos corpos sólidos com­ provam que na maioria esmagadora dos casos os deslocamentos são proporcionais, dentro de determinados limites, às forças que actuam. Pela primeira vez esta lei foi formulada em 1676 por Hooke da seguinte maneira: “ qual é a deformação, tal é a força” e ela é chamada, portanto, a lei de Hooke. Se examinarmos o deslocamento de um ponto qualquer A (ver a fig. 10) em certa direcção, por exemplo ao longo do eixo x , teremos: Ua = 6 xP ’

(0.1)

sendo P a força que provoca o deslocamento Ua e ôx, coeficiente de proporcionalidade entre a força e o deslocamento.

Lei de Hooke e o princípio de sobreposição das forças

21

Evidentemente, este coeficiente depende tanto das propriedades físicas do material, como da posição do ponto A em relação ao ponto de aplicação da força, e, de um modo geral, das particularidades geo­ métricas do sistema. Portanto, a expressão (0.1) deve ser interpretada como a lei de Hooke para um sistema. Actualmente, a lei de Hooke é interpretada como dependência linear entre a tensão e a deformação, e não como dependência entre a força e o deslocamento, sendo determinadas desta maneira as dependências lineares, próprias para o estado do material no ponto. Neste caso os coeficientes de proporcionalidade são constantes físicas do material e não estão ligadas às propriedades geométricas do sistema em geral. Portanto, a lei expressa as propriedades do próprio material/ Na base desta interpretação da lei de Hooke pode-se obter as depen­ dências lineares do tipo (0.1) entre os deslocamentos e forças para sistemas concretos. As constantes físicas do material serão introduzidas nos capítulos posteriores, em que será feita a análise dos casos parti­ culares do estado de tensão e de deformação. A interpretação geral da lei de Hooke será dada no capítulo VII. Por enquanto, pára revelar as propriedades básicas do corpo, submetido à tensão, basta analisar a relação (0.1), que é típica para a maioria esmagadora dos sistemas. Cumpre assinalar que a dependência linear admitida entre os deslocamentos e as forças verifica-se tanto durante o aumento das forças, como no processo da sua diminuição e, portanto, predetermina as pro­ priedades elásticas do sistema. Isto é confirmado também pelos ensaios, que mostram que em caso da dependência linear, assinalada acima, o corpo sólido restabelece totalmente as suas dimensões e a forma inicial após a retirada das forças externas. Os sistemas, em que se cumpre a condição de proporcionalidade entre os deslocamentos e as forças externas, obedecem ao princípio de sobreposição (ou superposição) ou de independência de acção das forças. Em conformidade com este princípio considera-se que as deslocações e as forças internas, que surgem num corpo elástico, não dependem da ordem de aplicação das forças externas. Isto é, se a um sistema estão aplicadas várias forças, pode-se determinar as forças internas, tensões, deslocamentos e deformações, produzidas por cada força em separado, e depois obter o resultado de acção de todas as forças como soma de acções de cada força. Suponhamos que a um certo sistema está aplicada a força Pv O des­ locamento produzido por esta fdrça no ponto A, por exemplo em direcção do eixo x, será, segundo a expr.essão (0.1), =

(0 -2)

Admitamos que a força Pl está retirada e que a um outro ponto do corpo elástico está aplicada a força P2. O deslocamento que esta

Introdução

28 força provoca no ponto A será '

+

< °-3 >

Naturalmente, os coeficientes de proporcionalidade òXi e ôX2 serão diferentes, porquanto as forças P x q P 2 estão aplicadas a diversos pontos do corpo. Examinemos agora a acção conjunta das força P x e P 2. Apliquemos ao corpo elástico inicialmente a força P x e depois a força P 2 sem retirar a primeira. Então a deslocação do ponto A será: 'UA — àx P 1~i~àX2P 2.

(0.4)

O coeficiente ôXi será o mesmo que na fórmula (0.2), porquanto a força P x foi aplicada a um sistema sem carga. O coeficiente ô*2, ao contrário da fórmula (0.3) leva o sinal ', porquanto a força P 2 não foi aplicada a um sistema livre, mas ao sistema que já estava sujeito à acção da força P t . Se os coeficientes ô*2 e ÒX2 são diferentes, devemos admitir que ô*2 depende da força P x. Porém,2 isto contradiz a suposição fundamental sobre a dependência linear dos deslocamentos em relação às forças aplicadas. Logo ô*2 não depende das forças. A expressão (0.4) para p 1==0 transforma-se em (0.3); então dXi= ô X2 e UA- à x P1+ òXiP 2.

(0.5)

Portanto, a deslocação é determinada como soma dos resultados das acções independentes das forças P x e P 2. Se alterar a ordem de apli­ cação das forças, pode-se mediante os mesmos raciocínios chegar à mesma expressão (0.5). Assim, o resultado da acção das forças não depende da ordem em que elas são aplicadas e isto pode ser provado facilmente para qualquer número de forças. Logo, o princípio de independência de acção das forças tem como base a suposição sobre a dependência linear entre os deslocamentos e as forças, assim como a suposição, ligada à anterior, sobre a reversibilidade dos processos de carregamento e descarregamento. Nos sistemas que não obedecem ao princípio de dimensões iniciais, exposto no pará­ grafo anterior, revelam-se dependências não lineares entre as forças e os deslocamentos; por isso, a estes sistemas é também inaplicável o princípio de independência de acção das forças (ver, por exemplo, o sistema da fig. 12). Ao mesmo tempo nem todos os sistemas, que obedecem ao princípio de dimensões iniciais, obedecem também ao princípio de independência de acção das forças. Se, para pequenos deslocamentos, as propriedades do material são tais que a dependência entre os deslo­ camentos e as forças não é linear, este sistema obedece ao primeiro princípio, mas não obedece ao segundo. O princípio de independência

Princípios gerais do cálculo dos elementos das estruturas

29

de acção das forças é o princípio básico para a solução da maioria dos problemas de resistência dos materiais. § 7 . Princípios gerais do cálculo dos elementos das estruturas O cálculo de uma estrutura tem por objectivo determinar se a mesma satisfaz ou não as exigências de segurança, que se fazem a ela. Para isto é preciso antes de mais nada formular os princípios que devem servir de base para a avaliação das condições de segurança suficiente. Sem isto uma análise de uma estrutura concreta é destituída de qualquer objectivo. Se, por exemplo, em uma estrutura são determinadas as tensões, antes de mais nada é preciso ter uma ideia bem clara, para que se faz isto e o que se deve fazer a seguir com as tensões deter­ minadas. Da mesma maneira, se é determinada a forma de um corpo deformado, é preciso escolher de antemão o método de utilização ulterior do resultado obtido, para avaliar a segurança da estrutura. Todas estas questões são solucionadas ao escolher o método geral de cálculo. O método mais comum de cálculo de resistência das peças de máquinas e dos elementos de estruturas é o método baseado no cálculo de tensões. Este método tem como base a suposição de que o critério de segurança da estrutura é a tensão, ou mais exactamente, o estado de tensão no ponto. O cálculo, efectuado em conformidade com este método, realiza-se da seguinte maneira: Na base da análise da estrutura determina-se o ponto do corpo em que surgem as tensões máximas. A magnitude determinada da tensão é comparada com a tensão limite para o material dado que se determina anteriormente por meio de ensaios de laboratório. Compa­ rando as tensões obtidas por meio de cálculo, com as tensões limites do material dado, faz-se a conclusão sobre a resistência da estrutura. Este método utiliza-se na solução da maior parte dos problemas práticos. Ao mesmo tempo, não se deve pensar que este método é o único possível. Em vários casos outros métodos são mais eficientes. Acontece, também, que o cálculo na base do método de tensões é sim­ plesmente inadmissível, como, por exemplo, em caso de algumas estru­ turas, sujeitas à grande variação de temperaturas (camisa de motor a jacto de combustível líquido, etc.). Em vários casos resulta incorrecta a principal concepção do método exposto, segundo a qual as tensões num ponto podem ser consideradas como factor determinante na variação da segurança de toda a estrutura. Examinemos como exemplo mais simples para ilustrar o que foi exposto acima, uma barra com ranhura (fig. 14 a). Pode-se provar que, quando esta barra está sujeita à tracção, as tensões nos pontos A y situados nos vértices da ranhura, serão bem maiores do que numa barrai lisa, sujeita à acção de mesmas forças (fig. 14 b). O método das tensões leva à conclusão de que a barra com ranhura é menos résistente, ou

30

Introdução

seja, é capaz de resistir a uma carga menor do que a lisa. Entretanto, isto nem sempre % é assim. Para alguns materiais, como, por exemplo, o aço de alto teor de carbono, o vidro, a pedra e outros materiais semelhantes, uma barra com ranhura é realmente menos resistente do que uma barra lisa. Porém, se as duas bar­ ras são feitas de aço de baixo teor de car­ bono, de cobre, bronze ou alumínio, a W /, barra com ranhura resiste, por incrível que pareça, a uma carga maior do que a lisa. Portanto a tensão no ponto nem sempre caracteriza totalmente as condições de des­ truição de uma estrutura. O que acaba clusão de que em alguns casos emprega-se b) o método de cálculo por cargas de r u p t u r a . d) Por meio deste método de cálculo são deter­ ^ minadas não as tensões, mas a carga limite a que a estrutura pode resistir sem se des­ yp truir e sem alterar radicalmente a sua \IP forma. A carga limite (ou de ruptura) é Fig. 14 comparada com a carga de trabalho e na base disto se fazem as conclusões sobre o grau de resistência da estrutura nas condições de trabalho. O defeito deste método consiste em que a determinação da carga de ruptura por meio de cálculo é possível somente nas estruturas mais simples. Os métodos de cálculo são escolhidos conforme às condições de tra­ balho da estrutura e exigências que se lhe fazem. Se é preciso conseguir que a forma da estrutura sofra a alteração mínima, como, por exemplo, em caso de refractor de um holofote ou do sistema de espelhos de um aparelho astronômico, faz-se o cálculo de deslocamentos admissíveis, ou, como se diz, o cálculo de rigidez. Naturalmente, isto não exclui a necessi­ dade de verificar a resistência do sistema na base das tensões. Além dos métodos de cálculo acima mencionados, existem muitos outros, relacionados com fenômenos de 'diversas características qualita­ tivas como, por exemplo, a estabilidade, efeito de cargas repetidas, efeitos dinâmicos, etc. O curso de resistência dos materiais não pretende oferecer instruções exactas de como e onde utilizar os métodos, acima mencionados, de cálculo de estruturas concretas. De um modo geral a resistência dos materiais expõe os métodos praticamente aceitáveis para resolver pro­ blemas de determinação das tensões, deformações, deslocamentos, cargas de ruptura, etc., nos elementos típicos das estruturas. O grau de segu­ rança de uma estrutura nas condições concretas estuda-se sobretudo nos cursos de peças de máquinas, resistência de estruturas de aviões e de navios, etc.

Princípios gerais do cálculo dos elementos das estruturas

31

No entanto, ao estudar a resistência dos materiais não se deve esquecer que a determinação das tensões e deslocamentos não é um objectivo em si e que depois da determinação destes valores surge, inevitavelmente, a questão de como utilizar os resultados obtidos para avaliar a resistência de uma estrutura.

Capítulo I TRACÇÃO E COMPRESSÃO

§ 8. Forças internas e tensões que surgem nas acções transversais de uma barra nos casos de tracção e de compressão Segundo foi assinalado no § 3, a tracção caracteriza-se apenas pelo surgimento de forças normais nas secções transversais da barra, enquanto todas as demais forças internas (isto é forças de cisalhamento, momentos de torsão e de flexão) são iguais a zero. Um fenômeno muito geral é a tracção de uma barra pelas forças aplicadas nas suas extremidades. A transmissão dos esforços à barra pode ser efectuada de diversas maneiras, como o mostra a fig. 15. Entre-

P

■__________________________ __ P d; Fig. 15

tanto, em todos os casos o sistema das forças externas reduz-se à resul­ tante P, orientada ao longo do eixo da barra. Por isso, independente­ mente das condições de fixação da barra sujeita à tracção, o esquema de cálculo é o mesmo para todos os casos em questão indicado na fig. 15 d. Se utilizarmos o método de secções, será evidente que em todas as secções transversais da barra surgem as forças normais N, iguais à força P (fig. 16). N — P.

Forças internas e tensões nas secções de barra

33

A única diferença entre a compressão e a tracção sob o ponto de vista formal é o sinal da força N. Em caso da tracção a força normal N é dirigida da secção para fora, e em caso da compressão, rumo à secção. Portanto, na análise das forças internas utiliza-se. o mesmo método em caso da tracção e da compressão. Ao mesmo tempo,

Fig. 16

entre estes dois tipos de esforços podem surgir também diferenças quantitativas, como, por exemplo, em caso do estudo dos processos de ruptura dos materiais, ou em caso de investigação do comportamento de barras longas e finas, quando a compressão é acompanhada, em regra, pela flexão. Examinemos as tensões, que surgem na secção transversal de uma barra sujeita à tracção. A força normal iV é a resultante das forças internas na secção (fig. 17). Seria natural supor que em caso de uma

Fig. 17

barra homogênea, as forças internas estão distribuídas de maneira uniforme em toda a secção. Então, a tensão normal para todos os pontos da secção será: ( í . i )

sendo F a área da secção transversal. É de se compreender que a suposição anterior sobre a distribuição uniforme das forças internas na secção transversal é justa, desde que não sejam analisadas as particularidades de fixação de uma barra concreta nos seus extremos. Neste caso deve-se guiar pela regra denominada, geralmente, princípio de Saint Venant. (Saint Venant é conhecido cien­ tista francês do século passado). O princípio de Saint Venant é geral, e no caso concreto de barras ele pode ser formulado da seguinte maneira: As particularidades de aplicação das forças externas a uma barra, sujeita à tracção, revelam-se em regra * nas distâncias que não superam as * A única excepção são barras de paredes finas (ver cap. XI). 3

34

Tracção e compressão

dimensões características da secção transversal da barra. Isto quer dizer, que ao estudar uma barra submetida à tracção, basta levar em consi­ deração somente a resultante das forças externas P, menosprezando os pormenores referentes à aplicação da carga. Para isto é preciso desprezar

Fig.

18

a parte da barra situada na zona de aplicação das forças externas, como é indicado na fig. 15. Ignorando as partes extremas da barra, obtemos um esquema de cálculo único (fig. 15 c/), independentemente do modo de aplicação das forças externas. Estas considerações podem ser aplicadas também às partes especiais da barra, cujas formas geométricas variam radicalmente, Por exemplo, em caso da barra escalonada, que vemos na fig. 18, deve-se excluir o local da mu* dança brusca de um diâmetro a outro e as zonas em torno do orifício. Em todas as i outras partes as tensões nas secções trans­ Forças versais serão distribuídas de m aneira * do peso proprio uniforme e determinadas pela fórmula (1.1). próprio tj Ii Em caso de uma barra homogênea, submetida à tracção, sendo esforços apli­ i \ cados nas suas extremidades, as tensões continuam constantes tanto dentro da * * secção transversal, como ao longo da barra, Qj | ' uj isto é, são constantes para todos os pontos ▼P do volume ocupado pelo sólido./ Este estado de tensão é qualificado como homogêneo, Fig- 19 e todos os pontos do sólido, que se encontra neste estado, estão nas condiÇes iguais. O conceito de estado de tensão homogêneo está ligado estreitamente ao conceito do meio contínuo. Evidentemente, nas condições reais a distribuição das forças internas não pode ser uniforme devido ao carácter heterogêneo dos grãos cristalinos do metal e da estrutura molecular da matéria. Por isso, quando se fala da distribuição uniforme das forças internas pela secção, tem-se em vista a distribuição sem detalhes micros­ cópicos, isto é, nas áreas, que excedem consideravelmente as dimensões das

35

Alongamento da barra e a lei de Hooke

secções dos grãos cristalinos. Esta reserva diz respeito não somente à tracção e compressão, mas também, a todos os demais tipos de cargas que serão examinados a seguir. Entretanto, no caso de tracção o estado de tensão nem sempre é homogêneo. Por exemplo, em caso da barra, que tem a área da secção transversal variável (fig. 19 a), a tensão varia ao longo da barra e o estado de tensão não é homogêneo. O mesmo se verifica em caso de uma barra sujeita à tracção do seu próprio peso (fig. 19 b). § 9. Alongamento da barra e a lei de Hooke As dimensões de uhia barra, sujeita à tracção, variam conforme a magnitude das forças aplicadas. Se antes da aplicação da carga o seu comprimento era /, depois da aplicação desta o comprimento se torna igual a l+ A l (fig. 20). O valor Al chama-se alongamento absoluto da barra. A

i

B

6 1 1« —




i c>

pi

i

i

r d)

Fig. 21

o diagrama da força normal tem na fig. 2\b a forma de rectângulo, porquanto N = P = = const. Na fig. o diagrama de N está sombreado com linhas orientadas no mesmo sentido em que se coloca o valor de N. Neste caso, os valores de N são colocados sobre o eixo, logo, o sombreado é vertical. Para obter o diagrama das tensões cr, é preciso variar as ordenadas do diagrama de N de maneira inversamente proporcional ao valor de F (fig. 21 c). O valor máximo de a é (Jmáx = - ^ = — ^ —- = 2 500 k g f /c m 2.

Determinemos a distância u (em cm) de cada secção da barra em direcção da força P. O deslocamento da secção z é igual ao alongamento do segmento de comprimento z. Logo, conforme a fórmula (1.6) temos Pz

u - Ef . Portanto, no segmento em que z varia de zero até /, o deslocamento u é proporcional a z (fig. 21 d), Na segunda parte da barra o deslocamento é

pi , p*i u_

EF~t 2EF ’

A dependência entre u e z{ também será linear. O maior deslocamento verifica-se na secção extrema da barra:

3Pl u máx 2EF

3*5 000-100 =0,187 cm.

2*2*106*2

Exemplo 1.2. Construir os diagramas de forças normais, tensões q deslocamentos para uma barra cilíndrica, suspensa livremente e sujeita à acção do seu próprio peso (fig. 22). O comprimento da barra é /, a área da secção transversal é F, e o peso específico do material é y.

Alongamento da barra e a lei de Hooke

39

A força normal na secção z é igual ao peso da parte inferior da barra: N = yFz.

Logo, a força normal é proporcional a z. Neste caso o diagrama de N é sombreado com linhas horizontais, porquanto os valores de N são colocados no sentido horizontal. A tensão na secção é igual a o = y z (ver o diagrama da fig. 22).

Fig. 22

O deslocamento u na secção z é igual ao alongamento da parte superior da barra. Conforme a fórmula (1.5) calculamos

«= r f f i ç J

EF

~2E

(l 2 — z2).

Portanto, a lei de variação de u é representada graficamente em forma da função quadrática de z. O maior deslocamento verifica-se na secção extrema inferior da barra (z = 0) e é

y/2 u m áx — 2E ' Exemplo 1.3. A coluna (fig. 23) está carregada com a força P e sofre a acção do seu próprio peso. É preciso determinar a lei de variação da área da secção transversal F = F iz) de tal maneira que as tensões em todas as secções sejam as mesmas e iguais a

P

e construir os diagramas das forças normais, tensões e deslocamentos.

Pq

A força normal de compressão N à distância z da extremidade da coluna é z

N = P + y ^ F d Í. 0 Segundo as condições do problema

P + y)Fd£

0 F

P

*7T“ = COEãt,

Tracçâo e compressão

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2 '

p+y

J

Fdt=y-F.

0 Diferenciando os dois membros desta igualdade em relação a z obtemos:

Fig. 23

Por meio da integração obtemos Z= ou

yfo

(In F — ln

C)

yF0z F = Ce p Quando z = 0, F = F q, 1°8° C = F q e a lei procurada de variação da área F adquire a forma VFqZ

F = F 0e p

.

A construção dos diagramas convém começar com o diagrama da tensão 0, que segundo as condições do problema não varia ao longo do eixo da coluna (fig. 23). Dado que a tensão é constante o alongamento relativo 8 também será constante. Logo, o deslo­ camento u cresce proporcionalmente à distância a partir da base da coluna. A força normal na secçâo z é VFqz N = oF = Pe p . Vemos o diagrama de N na fig. 23. O problema que acabamos de examinar é muito frequente na resistência dos materiais. A sua finalidade é determinar as condições de igualdade da resistência de todas as partes do corpo. Se a tensão num certo corpo (neste caso na coluna) é constante em todos os pontos do seu volume, ele é qualificado como estrutura de resistência uniforme. Nas estruturas deste tipo o material é utilizado de maneira mais eficiente.

Energia potencial de deformação

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Exemplo 1.4. Na extremidade do suporte ABC está aplicada a força P (fig. 24). Ê preciso escolher a secçào transversal das barras AB e BC de maneira que as tensões, que surgem nelas, tenham o mesmo valor dado