Palme TYT Matematik Soru Bankası
Youtube'da Kayıp Kütüphaneci kanalına abone olmayı unutmayın.
11,675 1,868 33MB
Turkish Pages 384 Year 2019
Polecaj historie
Citation preview
Matematik Mehmet ŞAHİN Redaksiyon
Alper YILDIZ
Şeymanur AL
Muammer KOÇ
Ali ÖZENLİ
Oğuzhan KIRIKOĞLU
PALME
YAYINEVİ
Matematik Soru Kitabı
PALME
Mehmet ŞAHİN
Yayın No. 1698 / 18
YAYINEVİ
Yayına Hazırlama : PALME Yayıncı Sertifika No. : 14142
Dizgi Grafik Birimi
PALME Yayınevi©
ISBN
: 978-605-282-190-9
Baskı : Tuna Matbaacılık San. ve Tic. AŞ Baskı Tarihi : 2018 Basımevi Sertifika No. : 16102
Bu kitap, 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz; teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PALME YAYINEVİ’ne aittir.
GENEL DAĞITIM
PALME
YAYINEVİ
Merkez: A. Adnan Saygun Caddesi, No.: 10/1 Sıhhiye/ANKARA Tel.: 312 433 37 57 Faks: 312 433 52 72
Şube 1: Olgunlar Sokak, No.: 4/5, Bakanlıklar/ANKARA Tel. : 312 417 95 28 Faks : 312 419 69 64
[email protected]
Şube 2: Kazım Dirlik Mahallesi, Ankara Caddesi, No.: 259/C, Bornova/İZMİR Tel. : 232 343 10 77 Faks : 232 343 10 78
www.palmeyayinevi.com
“Benim Manevi Mirasım “Benim Mirasım BİLİM “Benim Manevi Manevi Mirasım BİLİM ve ve AKILDIR” AKILDIR” BİLİM VE AKILDIR.” M. M. Kemal Kemal ATATÜRK ATATÜRK
YAYINEVİ’NDEN Milli Eğitim Bakanlığının uygulamaya koyduğu öğretim programlarının ana felsefesi; öğrencilerin kendilerine güvenen, sistemli düşünebilen, girişimci, planlı çalışma alışkanlığına ve eleştirel bakış açısına sahip, estetik duyguları ve yaratıcılıkları gelişmiş bireyler olmalarını sağlamaktır. İşte bu felsefe okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve analitik düşünebilen, yaratıcı bir beyin gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle bir süreçte yetişen gençler etrafı ile sağlıklı iletişim kurabilecek, kendini iyi tanıyacak ve çevresine yararlı bireyler olacaktır. Yayınevimiz tarafından büyük bir özveriyle hazırlanan bu yayınlar yukarıda belirtilen bakış açısıyla oluşturulmuş olup, liseler için hazırladığı yeni sınav sistemine (TYT - AYT) uygun bir niteliğe sahiptir. Büyük bir özveri ile bu kitapları hazırlayan değerli yazarlarımıza teşekkür ederiz. Yayınevimizin lise grubunda yüzlerce yayınlarından biri olan Kitabımızın, tüm öğrencilerimize yararlı olmasını, öğretmenlerimize de derslerin de katkı sağlamasını diliyoruz. Palme Yayınevi
ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Üniversiteye giriş sınavına öğrendiklerinizi gerçek anlamda ölçen bir kaynağa ihtiyacınız var. Birbirinin benzeri sorularla bir konuyu öğretmeye çalışan, soru ezberleten kaynaklar yerine, yıllarını lise öğrencilerini üniversiteye giriş sınavlarına hazırlayan, bilimselliğe de önem veren yazarların hazırladığı yayınları tercih etmelisiniz. Bu kitabın; – Sistemiyle, içeriğiyle, görselliğiyle diğer kitaplardan farklı olduğunu hemen farkedeceksiniz. – Her ünitesinde testlerin sol veya sağ kısmında “Bilgi Köşesi” sütunu bulunmaktadır. Bu sütunda bulunan bilgiler, o sayfadaki sorularla ilgili kavram, özellik, örnek – çözüm ve ipucundan oluşmaktadır. – Her ünitedeki testlerin soruları belli bir düzen içinde kolaydan daha çok bilgi içeren soru tipleri şeklinde sıralanmıştır. Bu kitaptaki testlerin her bir sorusu hazırlanırken ÖSYM nin TYT Matematik müfredatı ve soru örnekleri dikkate alınmıştır. Bunu yapmakla kitabımızdan yararlanan öğrencilerimizin TYT de soruları daha çabuk kavrayıp, sınavı başarıyla tamamlamaları amaçlanmıştır. Sevgili öğrenciler, geleceğinizin şekillenmesinde büyük paya sahip olan TYT sınavında başarılı olmanız bizleri mutlu edecektir. Sağlık ve başarı dileklerimle…
Mehmet ŞAHİN
[email protected]
4
Ünite
1
İÇİNDEKİLER
SAYILAR
8 – 62
Sayılar … ……………………………………………………………………………………………………… 9 Sayılar – Basamak Kavramı… ……………………………………………………………………………… 15 Doğal Sayılar ve Tam Sayılar … … …………………………………………………………………………… 19 Faktöriyel Kavramı… ………………………………………………………………………………………… 25 Faktöriyel, Asal Sayılar, Bölen Kavramı… ………………………………………………………………… 29 Bölen Sayısı, Tam Kuvvete Tamamlama …………………………………………………………………… 33 Bölme İşlemi…………………………………………………………………………………………………… 35 Bölünebilme Kuralları… ……………………………………………………………………………………… 39 EBOB-EKOK…………………………………………………………………………………………………… 51
Ünite
2
RASYONEL SAYILAR 63 – 81 Rasyonel Sayılar ve Dört İşlem… …………………………………………………………………………… 64
Ünite
3
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 82 - 92 Birinci Dereceden Denklemler… …………………………………………………………………………… 83
Ünite
4
MUTLAK DEĞER VE SIRALAMA
93 – 109
Mutlak Değer ve Sıralama… ………………………………………………………………………………… 94 Eşitsizlik ve Sayılarda Sıralama…………………………………………………………………………… 104
Ünite
5
ÜSLÜ SAYILAR
110 – 122
Üslü Sayılar… …………………………………………………………………………………………… 111
5
Ünite
6
KÖKLÜ SAYILAR
123 - 135
Köklü Sayılar………………………………………………………………………………………………… 124
Ünite
7
ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA
136 - 154
Özdeşlikler…………………………………………………………………………………………………… 137 Çarpanlara Ayırma… ……………………………………………………………………………………… 145
Ünite
8
ORAN VE ORANTI
155 – 163
Oran ve Orantı… …………………………………………………………………………………………… 156
Ünite
9
PROBLEMLER
164 – 206
Denklem Kurma Problemleri… …………………………………………………………………………… 165 Yaş Problemleri… ………………………………………………………………………………………… 175 İş ve İşçi Problemleri… …………………………………………………………………………………… 179 Hareket Problemleri………………………………………………………………………………………… 183 Yüzde, Alışveriş Problemleri… …………………………………………………………………………… 189 Karışım Problemleri………………………………………………………………………………………… 197 Sayısal Mantık ve Muhakeme Problemleri… …………………………………………………………… 201
Ünite
10
MANTIK
207 – 222
Mantık … …………………………………………………………………………………………………… 208
Ünite
11
KÜMELER VE KARTEZYEN ÇARPIM
223 – 245
Kümeler……………………………………………………………………………………………………… 224 Kartezyen Çarpım…………………………………………………………………………………………… 244
6
Ünite
12
FONKSİYONLAR VE UYGULAMALARI
246 – 280
Tanım Kümesi, Değer Kümesi, Görüntü Kümesi… …………………………………………………… 247 f(x) = ax + b Grafikleri, Birim Fonksiyon, Sabit Fonksiyon, Doğrusal Fonksiyon… ………………… 249 Mutlak Değer Fonksiyonu, Parçalı Fonksiyon, Tanım ve Görüntü Kümesi Bulma… ……………… 251 Ters Fonksiyon, Bileşke Fonksiyon ve Grafikleri……………………………………………………… 253 Fonksiyonlar ve Uygulamaları… ………………………………………………………………………… 255 Fonksiyonlarda Öteleme, Simetri, Dönüşüm, Dört İşlem, Tek – Çift Fonksiyon… ………………… 271
Ünite
13
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER VE KARMAŞIK SAYILAR
281 – 299
İkinci Dereceden Denklemler……………………………………………………………………………… 282 İkinci Dereceden Denklemler (Kök – Kat Sayı İlişkisi)… ……………………………………………… 288 Karmaşık Sayılar… ………………………………………………………………………………………… 294
Ünite
14
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ (PARABOL) 300 – 314 İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)…………………………………………………… 301
Ünite
15
POLİNOMLAR
315 – 331
Polinom Kavramı …………………………………………………………………………………………… 316 Polinomlarda İşlemler… …………………………………………………………………………………… 318 Polinomlarda Bölme… …………………………………………………………………………………… 324 Polinomlarda Çarpanlara Ayırma… ……………………………………………………………………… 330
Ünite
16
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON– BİNOM AÇILIMI – OLASILIK VE İSTATİSTİK
332 – 384
Permütasyon………………………………………………………………………………………………… 333 Kombinasyon… …………………………………………………………………………………………… 339 Binom Açılımı… …………………………………………………………………………………………… 351 Olasılık… …………………………………………………………………………………………………… 355 İstatistik……………………………………………………………………………………………………… 377
7
SAYILAR
1. Ünite
1.Ünite Sayılar
I. 4 ∈ N
II.
III.
4. ab iki basamaklı bir sayıdır.
IV.
V.
−5 ! R
25 ! Q
–8∈Z
A) 1
=
ab
3 !Q 3
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
/Sayılar
Z ] ] ] ] ] ] [ ] ] ] ] ] ] \
a2 + b2, 3
N : Doğal sayılar kümesi
a + b çift ise
3
a –b,
a + b tek ise
–
Z + = {1, 2, 3, ...}
32
Z = Z – , {0} , Z +
işleminin sonucu kaçtır? A) 49
Z : Tam sayılar kümesi Z – = {..., –3, –2, –1}
olduğuna göre, 28
N : {0, 1, 2, 3...}
B) 53 D) 68
C) 60 E) 73
Q : Rasyonel sayılar kümesi, Ql : İrrasyonel sayılar kümesi, R : Gerçek (reel) sayılar kümesi
5.
a
2. Aritmetik işlemlerin yer aldığı bir oyunda okun yanında belirtilen işlem uygulanıp elde edilen sonuç, okla gösterilen çember içerisine yazılıyor. A –8
b
A) –1
B) –2
D) –6
Palme Yayınevi
Buna göre, A kaçtır?
Örnek
'2
53
10
–7 +(–4)
14
C) –4 E) –8
Yukarıdaki karede her satırdaki, her sütundaki ve köşegenlerdeki sayıların toplamı eşittir.
A) 28
B) 31
7
21
5
20
1
4 ten 14 e kadar olan sayılar şekildeki çemberlerin içine, aynı hizada olan çemberlerin içindeki sayıların toplamı eşit ve 23 olacak şekilde yerleştirildiğinde a değerini bulalım.
E) 41
Yukarıdaki işlemler bir kurala göre yazılmıştır.
Buna göre; 7
+
a
3
Çözüm: 4 + 5+ 6 + 7 + ... +14
b e
3.4 − = 105 − 6 = 99 2 2 Aynı hizada bölünen 3 lü çember grubu sayısı 5 ve a 5 kere sayıldığından (4 kere fazla sayılmış.) =
4 c d
6
B) 20
C) 40 E) 55
5
14.15
5.23 – 99 = 115 – 99 4.a = 16 ⇒ a = 4 olmalıdır.
toplamının sonucu kaçtır?
D) 48
g
7
4
A) 15
2
c
C) 33
6.
3.
a
Buna göre, a–b farkı kaçtır?
D) 38
R: Q , Q l
Yukarıdaki şemada her harf 1, 2, 3, ..., 7 rakamlarından birini göstermek üzere, her bir çember içindeki sayıların toplamı birbirine eşittir. Buna göre, a+b toplamı kaçtır? A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15
9
1.Ünite
/Sayılar Bilgi Köşesi
Asal Sayı
7. A doğal sayısının asal çarpanlarının birer fazlasının çarpımının yansıma A'nın KOST'u diyelim. 24 ün KOST'u 6 dır.
9. n doğal sayı olmak üzere, n doğal sayısı n den küçük ya da eşit olan asal sayılara tam bölünemiyorsa asal sayıdır.
Buna göre, 120 sayısının KOST u kaçtır?
A) 24
1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmayan sayılara asal sayı denir.
B) 36 D) 60
Asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13...
C) 48
Örneğin; 91 sayısı için 91 , 9, ...
E) 72
91 sayısının 9 dan küçük olan asal sayılara yani 2, 3, 5, 7 ile bölünüp bölünmediğine bakacağız:
şeklinde sonsuz çokluktadır. Asal sayıları veren bir formül yok-
91
tur. 1 den 100 e kadar olan doğal
= 13 olduğundan 91 asal sayı değildir. 7 Buna göre, aşağıdakilerden hangisi asal sayıdır?
sayılardan 25 tanesi asal sayıdır. En küçük çift asal sayı 2 dir.
A) 793
B) 901 D) 1025
C) 1003
E) 1037
a, b ve c asal sayılar, a 22
1
⇒
1
1 1 33 – – ⇒ 3 3 < 2 2 olur. –
1
9 >6 8 ⇒ 3 3 > 2
⇒
a
= a2
5. a < 0 olduğuna göre,
biçiminde veriliyor.
32 = 6 9
2 .3
1 33
= a3
1 =3 1 3
33
3
a
1
–
1
–
3 3 bulunur.
Örnek a = 11 ise,
3.
A
2 12
a 4 – 2a 3 + a 2
ifadesinin değerini bulalım. Çözüm: a 4 – 2a 3 + a 2 =
a 2 (a 2 – 2a + 1)
=
a2
(a – 1) 2
= a.(a – 1) = 11.10 = 110 bulunur.
132
B
C
−6 3
2 75
D
E
108
− 192
6. x =
B) B
C) C
D) D
6 + 2 5 ifadesinin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)
Yukarıdaki kutuların içindeki sayıların toplamının 2 3 olması için hangi kutunun içindeki sayı toplamaya dahil edilmemelidir? A) A
E) E
2 + 5 + –2 + 5 olduğuna göre,
x2 B) x2 2
C) 2x2 D)
x3 E) x3 2
6.Ünite 7. a =
1 1 1 ,b = 3 ,c = 6 olduğuna göre, 2 3 6
10.
a, b ve c arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
9x + 27 + 25x + 75 = 12 olduğuna göre,
Bilgi Köşesi
x değeri kaçtır? A) –
1 4
B)
D) –
A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b
/Köklü Sayılar
3 4
1 4
1 8
C) E)
3 4
Örnek 3
E) c < b < a
2 5 x = 3 2 .5 3
olduğuna göre, x değerini bulalım. Çözüm: 3
2 5 x = 3 2 .5 3
⇒ ⇒
3 5 3.5
2 5 .x = 2 5 .x .
3.5
15
25 .
5
2 .3
5 .3
33
3
⇒ 25.x = 25.33 ⇒ x = 33 = 27 bulunur. 8. f
6–
3
2 – 3 +1 – 3p 2 –1
11.
işleminin sonucu kaçtır? A) –1
B) – 2
1+
2 . 11
1+
2 g 13
1+
2 79
işleminin sonucu kaçtır? 2 B) 3
A)
C) – 3
2 . 9
2 C)
3 D) 1
E) 3
E) –3 3
Örnek x+
Palme Yayınevi
D) – 6
1+
x +
x–
x =2
olduğuna göre, x değerini bulalım. Çözüm: x+
x +
x–
x =2
(Her iki tarafın karesini alalım.)
_ x+ x +
x–
x i = 22 2
( x + x )2 + 2 x + x . x – x
+_ x –
xi =4 2
x + x + 2 ^ x + x h^ x – x h
+x– x =4
12. x = 1 – 9. x =
5 – 3 olduğuna göre,
x.(x + 3).(x + 6) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 5
B) 4 5
D) –5 5
C) –4 5
3. A
3
5 –1
z=
4
3 −3 5
olduğuna göre,
E) –6 5
4. A
5. B
(2 ile sadeleştirelim.)
y=
3
2. D
2x + 2 x 2 – x = 4
3
1. C
4
6. A
7. C
x+
x2 – x = 2 – x 3
(Tekrar her iki tarafın karesini alalım.)
3
(x + y) + (y + z) + (z + x) x.y.z ifadesinin değeri kaçtır? 1 A) –3 B) –1 C) − D) 1 3
x2 – x = (2 – x)2
M=
8. A
9. C
x2 – x = 2
10. D
11. E
x2 – x = 4 – 4x + x2
E) 3
12. A
⇒ 3x = 4 ⇒x=
4 bulunur. 3
133
6.Ünite
/Köklü Saylıar Köklü Sayılar
Bilgi Köşesi
2 4
olduğuna göre, a – b farkını bulalım.
3
–4 , 7
4
–1 , 0
Çözüm: b=
=
=
• ab + ba
ifadesini rasyonel sayı yapan m tane ab sayısı, rasyonel yapmayan n tane ab sayısı vardır.
Buna göre, n–m farkı kaçtır?
2
2a . a 2 +3 8
b=
4. ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
1. Ayşe aşağıdaki çember içinde olan sayılardan gerçek sayı olmayan sayıyı bulmak istiyor.
Örnek a=2+
6. TEST
5
2a .
4
a2
2+
3
23
2 +2
a – b = (2 +
=
B) 73
C) 74
D) 75
E) 76
2a . a 2 +2
=
2a.a a 2 = 2 +2 2 +2 (2 + 2 ) . 2
A) 72
32
Buna göre, Ayşe'nin aradığı sayı aşağıdakilerden hangisidir? A)
2 dir.
3
–4 B) D)
2)–
7 C)
10 E)
5
4
–1
32
2
2. a, b ve x birden büyük doğal sayılardır.
Büşra kendisine verilen bir x doğal sayısının karekökünü x = a. b biçiminde yazıyor.
Buna göre, Büşra,
432 = a. b biçiminde yazarsa, a+b toplamı en az kaç olur? A) 15
B) 18
C) 20
D) 23
Palme Yayınevi
= 2 bulunur.
5. n tek ise
n
an = a
n çift ise
n
a n = | a | d›r.
Buna göre,
(4 − 7 ) 2 + 3 ( 7 − 3) 3 + 4 (–5) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 7 − 2 B) 2 7 − 12 C) 12 − 2 7
E) 24
Örnek
D) 6
3345.3336 – 3333.3348
E) 12
3. Hülya a ve b tam sayılar olmak üzere,
işleminin sonucunu bulalım.
1863 sayısını
Çözüm:
1863 =
a + b şeklinde
yazıyor. Hülya bulduğu ikilileri aşağıdaki kü-
3345.3336 – 3333.3348
meye yazıyor.
ifadesinde; x = 3345 ve y = 3333 alınırsa, x. (y + 3) – y. (x + 3) =
xy + 3x – yx – 3y
=
3 (x – y) =
=
36 = 6 bulunur.
134
3.12
A = {(0, 9 23 ), (4 23, 5 23 ), ( 92 , 7 23 ) ( 207 , 828 ), ( 368 , 115 } Buna göre, Hülya hangi ikiliyi kümeye yanlış yazmıştır?
A) (0, 9 23 )
B) (4 23 , 5 23 )
C) ( 92 , 7 23 )
D) ( 207 , 828 )
E) ( 368 , 115 )
6. x ve y pozitif tam sayılar.
x.y + 52 = 15 x denklemini sağlayan (x,y) ikililerinin sayısı kaçtır? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
6.Ünite 7. a > 0 olmak üzere,
10. • a, b ve c doğal sayı
2
1+
2
1 – a . 1– 1 − a 1 (a + 1) 2 − . 8(a + 1) 2 + (a − 1) 2B 2 işleminin en sade biçimi aşağıdakilerden
• p, q ve r asal sayı
• a=
p
32
b=
q
125
c=
r
hangisidir? 1 1 1 B) C) D) – E) –1 2 4 2
A) 1
Bilgi Köşesi
Örnek 1
49
3
2 B) 2. 3 2 C) 4. 3 2 D) 3. 2 E) 3. 3 2
Palme Yayınevi
A)
= 117
Çözüm:
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
1
1 3x
1
+
1
+
3 x .3 2 1
+
3 3x
(9 )
a2 − b2 = a − b
13
II.
a2 + b2 = a + b
9 3x
III.
(a + b) 2 = a + b
3x =
13 117.9
3x =
1 9.9
IV.
(a – b) = a – b
V.
( a – b) 4 = ( a – b ) 2
Buna göre, Ahmet'in yazdığı eşitliklerden kaç tanesi daima doğrudur? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3 x+4
= 117
1
+
3 x .3 4 1
9 3x
= 117
= 117
(1 )
= 117
2
+
(3 )
I.
1
+
3 x+2
3 x+4
A) 1
11. Ahmet kareköklü ifadelerle ilgili aşağıdaki eşitlikleri yazıyor.
olduğuna göre, 6a nın değeri kaçtır?
1
+
olduğuna göre, x değerini bulalım.
3x
3
3 x+2
c q b Buna göre, + + toplamının sonucu r a p kaçtır?
1
8. (2a) a = 12 2
1
+
3x
3x
/Köklü Sayılar
1 3x = 4 3
^ 3 x h = ^3 –4 h
2
2
3x = 3–8
x = –8 bulunur.
12. Deniz aşağıdaki tabloda soldaki işlemlerin cevaplarını karşılarına yazmıştır. 12 − 3 3
Örnek
3
x ∈ R+
–1
–27 + 3 8
x–5 x + 5 + 2 5x
0,2
0, 16 − 0, 04 3
1
13 +
1 3
1 d 27 n 4x 9. x = d n 81 olduğuna göre, x değeri kaçtır? 1 1 1 A) 3 B) 2 C) D) E) 3 9 6
1. C
2. A
24 + 3 81
3. E
4. B
5. D
6. B
7. B
8. E
B) 2
9. C
C) 3
x–5 x + 5 + 2 5x
4
x–5
10. E
D) 4
11. A
5x x
Çözüm:
Buna göre, Deniz kaç tane işlemin cevabını doğru yazmıştır? A) 1
x–
işleminin sonucunu bulalım.
4. 3 3
7+3 8
–
E) 5
12. D
^ x + 5h
2
–
–
x–
5x x
x x –x 5 x
(x – 5) ^ x – ^ x – 5h
5h
= x – nur.
x + 5 = 0 bulu-
5 –
–^ x –
5h
135
ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA
7. Ünite
7.Ünite Özdeşlikler 1 = 5 ise, x 1 x – ifadesinin pozitif değeri kaçtır? x
A) 3
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. x +
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
B) 4 D) 5
C)
4.
21
a 2 + ab = 96 b 2 + ab = 304
4 ise,
Örnek a, b ∈ R+ olmak üzere,
la + bl nin değeri kaçtır? A) 22
B) 21
C) 20
D) 18
E) 17
a – b = 24 a + b = 12
6
E)
olduğuna göre, a değerini bulalım. Çözüm: a – b = ^ ah – ^ bh 2
= ^ a –
2
b h^ a + b h
olduğundan,
5. Büşra,
a4 + 4 ifadesinin çarpanlarını aşağıdaki tablodan bulmak istiyor.
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
Palme Yayınevi
1 2. x + = 2 ise, x 1 x 2 + 2 ifadesinin değeri kaçtır? x
^ a – b h^ a + b h = 24
⇒^ a –
b h .12 = 24
⇒
a –
b = 2 dir.
a –
b =2
x
a2 + 2a + 2
y
a2 + 2a + 3
a + b = 12 + –––––––––––––– 2 a = 14 & a = 7
z
a2 – 2a + 2
2 ⇒ ^ a h = 7 & a = 49 olur.
t
a2 – 2a + 1
2
Örnek
Buna göre, Büşra tablodan hangi harfleri seçmelidir? A) x ile z
B) x ile y
D) y ile z
C) x ile t E) z ile t
a < 0 < b olmak üzere, b2 – ab = 60 a2 – ab = 40 olduğuna göre, a + b toplamını bulalım. Çözüm: b2 – ab = 60 ⇒ b(b – a) = 60 ve a2 – ab = 40 ⇒ –a(b – a) = 40 tır. Bu iki denklemi taraf tarafa bölelim:
3. a > 0, b > 0 olmak üzere,
6.
a.b = 4 ve a + b = 6 ise,
a + b nin değeri kaçtır? A) 10
B) 8 D) 2 2 E)
C) 6
10
x=
6, 03
y=
3, 97
b (b – a) b 3 60 = = ⇒ –a 2 –a (b – a) 40
4 ise,
⇒ b = 3k ve a = –2k dir.
(x2 – y2)2 + (2xy)2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 100 B) 95
C) 81
D) 10
E) 8
Bu değerleri; 1. denklemde yerine yazarsak, b2 – ab = 60 ⇒ (3k)2 – (–2k).(3k) = 60 ⇒ 9k2 + 6k2 = 60 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2 dir. O halde, a + b = 3k + (–2k)
⇒ k = 2 olur.
137
7.Ünite
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma 2.9 ifadesindeki 4+e şekillerin yerine yazarak x, y ve z ifadelerini
Bilgi Köşesi
x2 – y2 = 15 4
4 y–x
x + y toplamı kaçtır?
M=
ise, M aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
A) 2
x2 – y2 = 15
D) 81
E) 76
5 5 5 + + 2+x 2+y 2+z
= 16 olduğuna göre,
işleminin sonucu kaçtır? A) 121 B) 100 C) 90
elde ediyor.
Örnek x–y
10. 1192 + 1092 – 119.218
7. Elif a, b, ve c harflerini
B) 5
C) 7
D) 10
E) 12
4 x–y
= 16 ⇒ 4x–y–(y–x) = 42 4 y–x ⇒ x – y – y + x = 2 ⇒ 2x – 2y = 2
⇒x–y=1
x2 – y2 = 15 ⇒ (x–y)(x+y) = 15 1.(x+y) = 15 (x+y) = 15 bulunur.
8. c x +
2
x +
1 3 m = 8 ise, x 1 x2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 12
Örnek
11. a + b + c = 0 olduğuna göre,
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
a + b – c = 11 a2 + b2 + c2 = 79
a2 + b2 + c2 ifadesinin değeri kaçtır? ab + ac + bc A) –6
Palme Yayınevi
B) –4
C) –2
D) –1
E) 4
olduğuna göre, ab – ac – bc ifadesinin değeri kaçtır? Çözüm: a + b – c = 11 ⇒ (a + b – c)2 = 112
9. a = b veriliyor.
12. x2 = y2 + z2 ve
⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)
(y + z – x) . (y + z + x) = 18 ise,
y . z çarpımı kaçtır?
= 121
Aşağıdaki adımların hangisinde hata yapılmıştır?
⇒ 79 + 2(ab – ac – bc) = 121
I. Her iki tarafı b ile çarpalım.
⇒ ab – ac – bc = 21 olur.
a.b = b2
A) 18
B) 16
C) 15
D) 9
II. Her iki taraftan a2 çıkaralım.
Örnek x +
a.b – a2 = b2 – a2
1 = 4 ise, x
III. Her iki tarafı çarpanlarına ayıralım.
1 nin değeri kaçx x + x x tır?
a.(b – a) = (b – a).(b + a) IV. (b – a) ile sadeleştirelim. a = b + a
Çözüm: x x+
1 x x
= ^ xh + d 3
1 3 n x
= d x+
1 3 n –3 x
V. b yerine a yazalım. a = 2a A) I
x.
1 d x
x+
B) II
C) III
D) IV
E) V
5. A
6. A
1 n x
= 43 – 3.4 = 64 – 12 = 52 dir.
138
1. C
2. E
3. C
4. C
7. B
8. E
9. D
10. B
11. C
12. D
E) 6
7.Ünite Özdeşlikler
B) 14600
D) 1362
Bilgi Köşesi
2. TEST
1. 1232 – 232 ifadesinin değeri kaçtır? A) 1462
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
4. Bir baba elindeki bir miktar parayı çocuklarına eşit olarak aşağıdaki tabloda olduğu gibi iki farklı şekilde dağıtılıyor.
C) 13603
E) 1460
Örnek 1 1 = 5 ise, a 3 – kaçtır? a a3 Çözüm: a–
Bir çocuğun aldığı para miktarı
Çocuk sayısı
2x + 5
3x – 8
Babanın dağıttığı toplam para 6x2 – 8x –12
a3 –
1 a3
= c1 –
1 3 1 1 m + 3a. . c 1 – m a a a
= 53 + 3.5 = 140 dır. p
m+n–2
m2 + n2+16
Örnek
Buna göre, m + n + p toplamı kaçtır? A) 13
D) 17
E) 19
çıkararak tamkareye tamamlama yöntemini kullanalım. x4 + x2 + 25 + 10x2 – 10x2
1 ifadesinin değeri kaçtır? x
A) 2 5 B) 3 5 C) 2 6 D) 4 6
Çözüm: x4 + x2 + 25 ifadesine 9x2 ekleyip
E) 5
x4 + 10x2 + 25 – 9x2
Palme Yayınevi
x+
C) 16
1 1 n.d x + n = 4 ise, x x
2. d x –
B) 14
x4 + x2 + 25 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
(x2)2 + 2.5.x2 + (5)2 – 9x2 (x2 + 5)2 – 9x2 (iki kare farkından)
5. 4a4 + 8a2 + 4
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) a4 + 2a2 + 2
B) 8
C) a2 + 1
D) a2 + 2a + 1
(x2 + 5)2 – (3x)2 = (x2 + 5 – 3x)(x2 + 5 + 3x) dir.
Örnek n +
E) 4a2 + 8a + 4
m = 13
n – m = 39 ise, n + m toplamını bulalım. Çözüm: n – m = 39 ( n –
3.
a–
6. Aşağıdakilerden hangisi 24x4 + 26x2 + 2 ifadesinin çarpanlarından biridir?
b = 3 ve a . b = 16 ise,
a2 + b2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 289 D) 251
B) 269
C) 257 E) 249
A) 12x2 + 1
B) 2x2
D) 24x2 + 2
C) 2x2 + 2 E) 6x2 + 2
m )( n +
m ) = 39
( n – m ).13 = 39 n – m =3
n – m =3 n + m = 13 + –––––––––––––– 2 n = 16 ⇒ n = 64 bulunur. Bu değer denklemlerden birinin yerine yazılırsa m = 25 bulunur. O halde, n + m = 64 + 25 = 89 dur.
139
7.Ünite
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
Örnek
81x 4 + 1
B = 12.13.14.15
A – B farkının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
1 = 10 olduğuna göre, 3x
3x +
10. 3 ^x + y h2 . a
7. A = 15.16.17.18
Bilgi Köşesi
3
3
2
x – 3 xy +
2 x k._3 x + 3 y i
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)
3
x+y
B) x + y
C)
3
x +3 y
D) _ 3 x + 3 y i E) x3 + y3 3
A) 83
B) 91
C) 99
D) 111 E) 123
işleminin sonucunu
9x 2 bulalım. Çözüm: 81x 4 + 1 9x
2
=
81x 4
1
= 9x2 +
9x 2
9x
2
+
1 9x
2
dir.
1 = 10 (Her iki tarafın ka3x
3x +
resini alalım.)
9x2 +
1 9x
2
1 1 + = 100 3x 9x 2 = 98 bulunur.
8. a +
1 = 4 olduğuna göre, a
9
a +1 a3 + a6
Palme Yayınevi
9x2 + 2.3x.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 64
B) 63
C) 62
D) 52
11. a, b ∈ N+ ve a2 – 16b2 = 20 ise,
b değeri kaçtır? A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
E) 51
Örnek x, y, z pozitif sayılar olmak koşuluyla x y = ve x2 + xz + 2xy = 1 y z olduğuna göre, x + y toplamını bulalım. Çözüm: x, y, z ∈ R+ x y = ise y2 = x.z dir. y z
9. a 2 +
x2 + xz + 2xy = 1 6 y
2
⇒ x2 + y2 + 2xy = 1 ⇒ (x +
y)2
2
= 12 ise,
a 2 a – ifadesinin pozitif değeri kaçtır? a A) 2 2 B) 4 2 C) 8
= 1 ⇒ x + y = ±1
x + y = –1 olamaz (x, y, z ∈
4
D) 12
12.
1 1 1 4 + + = ve x y z xyz
x + y + z = p ise,
x2 + y2 + z2 nin p türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E) 16
R+)
A) p2
x + y = 1 dir.
140
B) p2 – 4
D) p – 8
1. B
2. A
3. C
4. E
5. C
6. A
7. E
8. E
9. A
10. B
C) p2 – 8
E) p – 4
11. A
12. C
7.Ünite Özdeşlikler
B) 5
Bilgi Köşesi
3. TEST
1. x = 3 4 ise, (x + 1).(x2 – x + 1) ifadesinin değeri kaçtır? A) 6
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
C) 4
D) 3
4. a, b ve c gerçek sayılar olmak üzere Ali bu sayıların kareleri toplamını 36 buluyor.
E) 2
Buna göre, Ali bu sayıların ikişer ikişer çarpımlarının toplamı olan
Örnek a > 0, b > 0
a . b + a . c + b . c ifadesinin en küçük
1 1 + =2 a b
değerini kaç bulur?
a2 + b2 = 12 olduğuna göre,
A) –6
B) –8
C) –12
D) –18 E) –36
a + b toplamını bulalım. Çözüm: a > 0, b > 0 ise a+b 1 1 + =2⇒ =2 a b ab ⇒ 2ab = a + b a2 + b2 = 12 ⇒ (a + b)2 – 2ab = 12
2. c
5.
x y 1 1 – m : c + m = a ise, x2 + y2 – 2xy y x x y
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) a3
B) a2
C) a
D) –a
x–
y =3
x+y
ise,
9 + 2 xy eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 3 1 2 A) B) C) 2 2 3
E) –a3
ifadesinin
D) 1
1 E) 3
⇒ (a + b)2 – (a + b) = 12 ⇒ (a + b)2 – (a + b) – 12 = 0
| \ –4 3
⇒ (a + b – 4).(a + b + 3) = 0 a + b – 4 = 0 ⇒ a + b = 4 olur. a + b + 3 = 0 ⇒ a + b – 3 olamaz.
Palme Yayınevi
(a > 0, b > 0)
4 _b 7 b ` ise, 3. 1 y=– b 7a
(x + y).(x2 – xy + y2) ifadesinin değeri kaçtır? A)
11 10 B) 343 343 D)
10 9 E) 49 49
Örnek
a = b+1 6. 1 1 2 4 ise, – =– a b 5
x=
C)
9 343
x = 3 6 olduğuna göre, (x – 1)(x2 + x + 1) + 2 + x3 ifadesinin değerini bulalım.
a2 + b2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 6
B) 5
C)
9 2
D) 4
E) 3
Çözüm: (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1 olup x3 – 1 + 2 + x3 = 2x3 + 1 x = 3 6 = x3 = 6 2x3 + 1 = 2.6 + 1 = 13 bulunur.
141
7.Ünite
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Bilgi Köşesi
7.
Örnek
a4 + a2 + 1
10. x, y ∈ R olmak üzere,
2
a +a+1
A) a2 + a + 1
x, y birer gerçel sayı ve
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? B) a2 – a + 1
2
2
x y + xy = 4
4 ise,
x + y toplamının değeri kaçtır? A) 2
E) (a – 1)3
D) a + 1
3xy2 + x3 = 9
C) (a + 1)2
x 3 + y 3 = 15
B) 3
C)
3
2 D)
3
5 E) 5
3x2y + y3 = 18 olduğuna göre, x + y toplamını bulalım. Çözüm: 3xy2 + x3 = 9
+ 3x2y + y3 = 18 –––––––––––––– x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 27 (x + y)3 = 27 = 33 x + y = 3 olur.
Örnek
1 – a –1 + a –2 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimini bulalım.
Çözüm: 1
1– a
–1
+a
(a )
a3 + 1 =
a2 2
a – a +1
=
a3 + 1 . a
2
(x2
+ 3x – 4) . +13x + 36) = biçiminde yazılıyor.
a.y2+b
.y + c
a, b ve c tam sayılar olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) –27 B) –25 C) –24
a+ 2 a 1 1 1 – + a a2 1 2 (a)
= –2
(x2
D) –20 E) –18
Palme Yayınevi
a + a –2
a + a –2
11. a + b + 3c = 0 ise,
8. (x + 4)2 = y olmak üzere,
a 3 + b 3 + 27c 3 a+b ifadesinin a ve b türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –3ab
B) –ab
D) ab
C) 1 E) 3ab
(1 )
a2 2
a – a +1
a2 =
(a + 1). (a 2 – a + 1) a2 – a + 1
= a + 1 olur.
Örnek a + b + ab = 5 ve a + b – ab = 1 ise, a3 + b3 toplamının değerini bulalım. Çözüm:
a + b + ab = 5
9. ax = 4 ve
a2 – x2 ax 2 + a 2 x
12.
= 5 ise,
(a2 + x2) toplamının değeri kaçtır? A) 416
B) 408
D) 392
a + b – ab = 1 + ––––––––––––––– 2(a + b) = 6
C) 400 E) 386
a 3 – b 3 = 120 a.b = 10
4 ise,
c
1 1 – m .(a2 + ab + b2) a b
ifadesinin değeri kaçtır? A) 12
B) 6 D) –12
a + b = 3 ve ab = 2
C) –9 E) –18
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab.(a + b) = 33 – 3.2.3 = 27 – 18 = 9 olur.
142
1. B
2. B
3. E
4. D
5. D
6. A
7. B
8. C
9. B
10. B
11. A
12. D
7.Ünite Özdeşlikler b
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
3
lb
1
1
a2 – b2
3
A) a 2 – b 2
Bilgi Köşesi
4. TEST
1.
a2 + b2
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
l
4. x2 + y2 = 0 ⇒ x = 0 ve y = 0
B) a – b
D) a + b
C) E)
a–
b
a +b
Örnek
a ve b gerçek sayılardır.
Buna göre,
10a2
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
+
b2
A) 4
+ 1 = 2a.(3b + 1)
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
7 a + b = 1, a3 + b3 = olduğuna 16 göre, a.b çarpımının değerini bulalım. Çözüm: a + b = 1 ise a3 + b3 =
7 16
⇒ (a + b).(a2 – ab + b2) =
7 16
⇒ (a+b).((a+b)2–2ab – ab) = ⇒ (a + b).((a + b)2 – 3ab) = ⇒ 1.(12 – 3ab) =
x 3 + y 3 = 18 x+y = 6
4
5. 3x – 4y = 6, 3x + 4y = q – 4 olduğuna göre
ise,
x.y çarpımının değeri kaçtır? A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Palme Yayınevi
2.
9x2 – 16y2 + 6x + 8y
ifadesinin q türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) q – 4
B) 2q – 8
D) 8q – 32
7 16
7 16
⇒ 1 – 3ab =
7 16
⇒ 3ab = 1 –
7 9 = 16 16
⇒ a.b =
7 16
3 bulunur. 16
C) 4q – 16
E) 10q – 40
Örnek a – b = 8 ve b – c = 6 olduğuna göre, ab + c2 – bc – ac nin sayısal değerini bulalım. Çözüm: ab + c2 – bc – ac = ab – bc + c2 – ac = b(a – c) + c(c – a)
3. (a + b +
c)2
– 2.(b + c).(a + b + c) + (b +
c)2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) (a+2b+2c)2 B) (a+2b)2 D) (a–2c)2
C) a2
E) (a–2b)2
6.
1 1 – = 1, x2 + y2 = 24 olduğuna göre, y x
x.y aşağıdakilerden hangisi olabilir? A)
2 3
B) 1
C)
4 3
D) 3
E) 4
= b(a – c) – c(a – c) = (a – c)(b – c) a–b=8 c m + b–c=6 –––––––––––– a – c = 14
O halde, (a – c)(b – c) = 14.6 = 84 bulunur.
143
7.Ünite
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Bilgi Köşesi
7. Elif, 4
a4 + 4 a − 2a + 2
a + a2 + 1
Örnek
a2 + a + 1
2 = 7 olduğuna göre, a +1
a+
(a + 1)2 +
(a + 1)
A) 3a – 1
Çözüm:
B) 3a + 1
D) a + 1
2 =7 a +1
A) 22
B) 18
C) 15
D) 11
E) 9
C) a – 1
E) 2a + 1
2 =7+1 a +1
⇒ c (a + 1) +
2 2 m = 82 a +1
⇒(a+1)2+2(a+1).
2 2 2 +c m =64 a +1 a +1 4
⇒ (a + 1)2 + 4 + ⇒ (a + 1)2 +
8. a + b = 2, a . b = 3 olduğuna göre,
(a + 1) 4
(a + 1) 2
2
11.
a6 + a3b3 + b6 ifadesinin değeri kaçtır? A) 127
B) 113 D) 83
= 64
C) 100 E) 73
= 60 olur.
9.
D
^x + yh2 = 2xy olduğuna göre, 1 + xy 1 x2
+
1 y2
A) 6
Palme Yayınevi
⇒a+1+
2x + y ifadesinin değeri kaçtır?
Buna göre, m–n farkı aşağıdakilerden hangisidir?
2
ifadesinin değerini bulalım.
a+
ifadesinin en sade biçimini n
1 1 11 + = olduğuna göre, x x + y 18
olarak buluyor.
4
10. x2 + xy = 18,
ifadesinin en sade biçimini m,
2
ifadesinin değeri kaçtır? B) 4
C) 2
D) 1
E)
D) 16
E) 8
C
Örnek x2
– 2 5 x + 1 = 0 ise,
1 x– in pozitif değerini bulax lım. Çözüm:
A
x2 – 2 5 x + 1 = 0 x2 + 1 = 2 5 x
x
B
L
K
12. a2 – 4a – 8 = 0 ise,
Her iki taraf x ile bölünürse,
1 x+ = 2 5 olur. x
cx –
1 1 2 1 2 m = c x + m – 4.x. x x x
cx –
1 2 m = ( 2 5 )2 – 4 = 16 x
⇒x–
1 = 4 tür. x
E
ABCD ve EFKL birer karedir.
x + y = 12 ve x – y = 4
olduğuna göre, Alan(ABCD) – Alan(EFKL) farkı kaçtır?
1. B
2. A
B) 49
3. C
C) 45
4. A
D) 48
5. D
64 a2
A) 64
F
A) 38
144
y
a2 +
nin değeri kaçtır? B) 48
C) 32
E) 59
6. E
7. B
8. E
9. D
10. D
11. C
12. C
1 2
7.Ünite Çarpanlara Ayırma
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. Aşağıdakilerden hangisi 64 – x6 ifadesinin bir çarpanı değildir? A) 2 – x
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
B) x + 2
C) 4 –
4. (x + y)3 = x3 + 3x2 y+3xy2 + y3
x2
D) x4 + 4x2 + 16 E) x2 + 2
8x3 + mx2 + nx – 27 ifadesi bir tam küp olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 0
B) 18
C) 36
D) –18 E) –36
Örnek
x 2 + ax + b x 2 – cx – 10
ifadesinin en sade şekli x–3 ise, a + b + c toplamını x+2 bulalım. Çözüm: x 2 + ax + b x–3 = x+2 x 2 – cx – 10 olduğuna göre x2 – cx – 10 un çarpanlarından biri x + 2 demektir. x2 –cx – 10 = (x + 2)(x – 5) / \ 2 –5 –c = 2 + (–5) ⇒ –c = –3 ⇒ c = 3 tür. O halde verilen rasyonel ifade
x 2 + 2x – 3 2
ax + bx + c 1 olduğuna 2 göre, a + b + c toplamı kaçtır? kesrinin sadeleşmiş biçimi
A) –8
B) –2
C) 0
D) 4
E) 6
Palme Yayınevi
2.
5.
999.112 – 111.1000 888
(x – 3) (x – 5) şeklindedir. (x + 2) (x – 5)
işleminin sonucu kaçtır?
x 2 – 8x + 15 x 2 + ax + b = x 2 – 3x – 10 x 2 – cx – 10
A) 1
B) 111 D) 999
C) 888 E) 1000
eşitliğinden a = –8, b = 15 c = 3 olup a + b + c = 10 bulunur.
Örnek 3 = 5 olduğuna göre, 2a 16a 4 + 9 nin değerini bulalım. 4a 2
2a +
Çözüm: 2a +
3 3 2 = 5 (2a + ) = 52 2a 2a
⇒ 4a2 + ⇒
3. x2 – 4x + 3 = 0 ise, x 4 +
81
x4 ifadesinin değeri kaçtır? A) 64
B) 70
C) 78
1 _b ax – bx + ay – by 2b ` ise, 6. 1b ax – cx + ay – cy b–c= 4a oranı kaçtır? a–b=
D) 81 E) 82
A)
1 2 B) 8 3
C)
3 4
D) 2
9 + 6 = 25 4a 2
16a 4 + 9 = 19 bulunur. 4a 2
Örnek x pozitif gerçek sayısı için x – 2 x – 2 = 0 olduğuna göre,
E) 4
x ifadesinin değerini bu(x – 2) 2 lalım. Çözüm: x – 2 x – 2 = 0 ise x – 2 = 2 x tir. x x x 1 = = = (x – 2) 2 (2 x ) 2 4x 4 bulunur.
145
7.Ünite
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Bilgi Köşesi
3 3 10. x – y = 30
7. Aşağıdaki tabloda satır ve sütunda bulunan ifadelerin ortak çarpanları kesişim yerlerine yazılmıştır.
Örnek
x2–3x–4
4a 3 + 16a 2 a 3 – 16a : 2 2 4a + 12a a – a – 12
x2+5x+6
2
x2+3x+n
2
3x y – 3xy = 3
olduğuna göre, x2 + xy + y2
ifadesinin değeri kaçtır? A) 2
ifadesinin en sade şeklini bulalım.
x2+mx–8
B) 3
C) 6
D) 9
E) 10
x–2
Çözüm: 4a 3 + 16a 2 a 3 – 16a : 2 2 4a + 12a a – a – 12 =
=
4a 2 (a + 4) a (a 2 – 16) : 4a (a + 3) (a – 4) (a + 3) a (a + 4) (a – 4) (a + 3) . a + 3 a (a – 4) (a + 4)
= 1 dir.
x2–2x–3
x–1
x+3
x2+6x+8
x+4
x+2
Buna göre, m + n toplamı kaçtır? A) –8
B) –6
C) –4
D) 6
E) 8
Palme Yayınevi
Örnek am + bm am – bm + am – bm am + bm ifadesinin eşitini bulalım. Çözüm: am + bm am – bm + am – bm am + bm ifadesinde am = x ve bm = y
8. x2 + y2 – 6x – 12y + 45 = 0 ise,
diyelim.
(x + y)
=
=
=
=
=
(x + y)2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 15
x+y x– y + x– y x+y
11.
B) 25
C) 36
D) 49 E) 81
x m + n – x m–n + x n – x –n x 2n + m + x 2n – x m – 1 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? B) x–m C) x–n
A) 1
( x – y)
D) xm E) xn
(x + y) 2 + (x – y) 2 (x + y) (x – y) x 2 + 2xy + y 2 + x 2 – 2xy + y 2 x2 – y2 2 (x 2 + y 2)
9. x = 2,2 ise,
x2 – y2 2 ((a m) 2 + (b m) 2) (a m) 2 – (b m) 2 2 (a 2m + b 2m) a 2m – b 2m
146
x3 – 6x2 + 12x + 12
ifadesinin değeri kaçtır? A) 18,004
B) 18,008
D) 20,008
bulunan
1. E
12.M =
2. C
3. E
1 2 –2 2 + 3 2 –4 2 + 5 2 − ... + 2019 2 − 2020 2 1 + 2 + 3 + ... + 2020
işleminin sonucu kaçtır? A) 2010
C) 20,004
D) –1
E) 20,009
4. B
5. A
6. B
B) 2
7. A
8. E
9. D
C) 1 E) –1010
10. E
11. C
12. D
7.Ünite Çarpanlara Ayırma
4. a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) dir.
ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) (2x – 1).(y + 5)
B) (x + 5).(2y – 3)
C) (2x – 3).(y + 5)
D) (3x – 2).(y + 5)
Bilgi Köşesi
2. TEST
1. 2xy + 10x – 3y – 15
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
daki özdeşliği kullanarak f
1
+x x 100 ifadesinin değerini bulmak istiyor.
E) (3y – 2).(x + 5)
Örnek
Ayşe x2 – x + 1 = 0 denklemini ve yukarı100
B) –1
C) 0
D) 1
– y 2) (x 2 + xy + y 2) 1 1 (x 3 – y 3) c + m x y
2017
p
Ayşe'nin bulduğu sonuç aşağıdakilerden hangisidir? A) –2
(x 2
E) 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimini bulalım. Çözüm: (x 2 – y 2) (x 2 + xy + y 2) 1 1 (x 3 – y 3) c + m x y =
5.
2. 2a2 + ab – b2 + 4a – 2b
ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2a – b).(a – b)
^a – b h2 + 4ab ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Palme Yayınevi
C) (2a + b).(a + b + 2) D) (2a – b).(a + b + 2) E) (3ab).(a + b – 2)
x+y x + y xy . = x+y x+y 1 xy
=
ab 2 + a 2 b
A)
B) (a + b – 2).(a + b)
(x – y) (x + y) (x 2 + xy + y 2) x+y m (x – y) (x 2 + xy + y 2) c xy
1 1 1 B) + a b ab D) ab
E)
C)
= xy bulunur.
ab a+b
1 a+b
Örnek a2 + a +1 a 1+ a da –1 – 2 n: a –1 a3 –1 işleminin sadeleşmiş şeklini bulalım. Çözüm: a2 + a +1 a 1+ a da –1 – 2 n: a –1 a3 –1 (a + 1 )
=d
6.
3. Aşağıdakilerden hangisi
(2a – 2b).(a2 – c2) – 2.(a – c).(a2 – b2)
ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) (a – c)2
B) 2
D) a – b
C) a – c E) 2c – 2b
2
2
a – 4a + 3 a + 4a – 12 . a 2 + 7a + 6 a 2 – 5a + 6 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A)
a+6 a–3 a –1 B) C) a–6 a–2 a+1 D)
=
=
(1 )
a (a + 1) – (1 + a) a2
–1
(a 2 + a – 1 – a) (a 2
– 1)
.
n.
(a 3 – 1) (a 2 + a + 1)
(a 3 – 1) (a 2 + a + 1)
(a 2 – 1) (a – 1) (a 2 + a + 1) . (a 2 – 1) (a 2 + a + 1)
= a – 1 bulunur.
a+6 a–6 E) a–2 a+6
147
7.Ünite
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Bilgi Köşesi
7. Ömer, aşağıdaki trende x5 + x + 1 ifadesinin çarpanlarından birisi yazan vagona binecektir.
9.
Örnek 3 = 4 olduğuna göre, a 3 2a + nın pozitif değerini bua lalım.
1
2
3
x -x+1
x +x+1
x +x +1
2
2a –
Çözüm:
2
2
3
5
2
x -x -1
2
x –9
2
x -1
B) 2
C) 3
D) 4
:
f
x3 + x2 + x 2
x + 3x
:
1 p 1 –1 x
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)
x+3 x
Buna göre,Ömer kaç numaralı vagona binecektir? A) 1
x + y)2 = (x – y)2 + 4xy
3
4
x3 – 1
D)
B) x + 3
C) x – 3
x –1 x E) x 3–x
E) 5
özdeşliğine göre,
c 2a +
3 2 3 2 3 m = c 2a – m + 4.2a. a a a = 42 + 4.2.3 = 40
c 2a +
2
3 m = 40 a
⇒ 2a +
3 = 2 10 bulunur. a
10. Palme Yayınevi
Örnek x + y = –1 1 1 1 + = olduğuna göre, x y 6 x.y çarpımını bulalım. x + y = –1 ise x+y 1 1 1 1 + = ⇒ = x.y x y 6 6
⇒
(x)
–1 1 = x.y 6
⇒ x.y = –6 bulunur.
Örnek
1 2 m nin değerini bulalım. a
Çözüm: a–
2 1 2 1 = 2 3 ⇒ c a – m = ^2 3 h a a
⇒ a2 – 2a.
⇒ a2 +
ca +
ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir? y–z 2x 4 A) B) C) y+z y+z y+z D)
B=
10x2
C=
2x2
D = 3x2 + 4x + 1
M=
A, B, C ve D ifadeleri yazılıyor. M = 1 ol-
– 9x + 2
2 x E) y+z y+z
+x–1
.
şeklindeki kutulara
duğuna göre, A, B, C ve D kutulara hangi
1 a– = 2 3 olduğuna göre, a
ca +
xy 2 – xz 2
8. A = 15x2 – x – 2
Çözüm:
( y)
^x + y – zh2 – ^x + z – y h2
sırada yazılmış olabilir?
A)
A C
B
.
D D)
1 1 + 2 = 12 a a
B) C A
.
D B
A B
.
E)
D C
C) A B
.
B A
.
C
1 ise, 4 2 2 x − y + 2x + 1
11. x – y =
D
C D
1 = 14 a2
x2 − y2 + x − y ifadesinin değeri kaçtır? 5 5 4 4 A) B) C) D) 4 2 5 3
1 1 1 2 m = a2 + 2a. + 2 a a a
148
= 14 + 2 = 16 bulunur. 1. C
2. D
3. A
4. B
5. B
6. C
7. B
8. E
9. E
10. C
11. E
E) 5
7.Ünite Çarpanlara Ayırma
4. x4–4x2+x+2
(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
ifadesinin çarpanları aşağıdaki kutularda bulunuyor ve kutuların altındaki sayılar toplanıyor.
C) x2 – 1
B) x + 1
D) x + 3
Bilgi Köşesi
3. TEST
1. Aşağıdakilerden hangisi
A) x – 3
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
E)
x2
Örnek c
x 1 1 x – + m:c m 1+ x 1 – x 1+ x 1 – x
işleminin sonucunu bulalım.
– 4x + 3
x+2
x–2
(1)
(3)
Çözüm:
c
2
x–1
x +x–1
(5)
(7)
=
x 1 1 x – + m:c m 1+ x 1 – x 1+ x 1 – x
(1 – x)
(1 – x)
(1 + x)
x (1 – x) – (1 + x) ^1 – x + xh (1 + x) : (1 – x) (1 + x) (1 + x)(1 – x)
= 2
(1 + x)
x – x 2 – 1 – x . (1 + x) (1 – x) (1 – x) (1 + x) 1 – x + x + x 2
x – x +1 =
(9)
2. Aşağıdakilerden hangisi
x2
ifadesinin çarpanlarından biridir?
– 2y – 4x + 3
A) x – 2
A) 10
B) x – 3
D) x – y + 3
C) x + y – 1 E) x – y + 1
Palme Yayınevi
–
y2
Buna göre, toplamın sonucu en fazla kaçtır? B) 11
C) 12
D) 15
E) 22
– x2 –1 . 1 – x2 = –1 bulunur. 1 – x2 x2 +1
Örnek 3ab – 3xb + xy – ay x–a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimini bulalım. Çözüm:
5. a, b ve c pozitif tam sayılardır.
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
+
28
A) 24
+
2a
=
B) 22
(2b
3ab – 3xb + xy – ay x–a
211
+
2c)2
C) 18
D) 14
E) 10
=
3b (a – x) + y (x – a) x–a
=
–3b (x – a) + y (x – a) x–a
=
(x – a) (–3b + y) x–a
= –3b + y bulunur.
6. 1+ x + x2 + ... + x6 = 0 3. Aşağıdakilerden hangisi
2a4 – 32b4
ifadesinin çarpanı olamaz? A) a2 + 4b2
B) a – 2b
D) 2a + 4b
C) a – 4b
E) a + 2b
Örnek
olduğuna göre,
1 + x + x2 + x3 + ... x1400
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1401 B) 1400 C) 701
(x2 – 2x)2 – 3x2 + 6x
D) 700 E) 1
ifadesini çarpanlarına ayıralım. Çözüm: (x2 – 2x)2 – 3x2 + 6x = (x2 – 2x)2 – 3(x2 – 2x) = (x2 – 2x)[(x2 – 2x) – 3] = x(x – 2)(x + 1)(x – 3) olur.
149
7.Ünite
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Bilgi Köşesi
3x =
x+
6
=7 x olduğuna göre, x + kaçtır?
Örnek
10. a + 2b = 4 ve x + 1 = y ise,
7. x ≠ 1 olmak üzere,
a olduğuna göre, 3
A) 2
B) 3
x ifadesinin değeri
C) 4
D) 5
2bx + 2ax – ay
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x – a
E) 6
9 x+2 – 4 nin a cinsinden eşi3 x+2 + 2 tini bulalım.
B) x – a
D) 2x – a
C) 4x – 4a E) 4x + a
Çözüm: x + 2) 2 – 2 2 9 x + 2 – 4 (3 = x + 2 3 +2 3 x+2 + 2
(3 x + 2 – 2) (3 x + 2 + 2) 3 x+2 + 2 = 3x+2 – 2
= 9.3x – 2
= 9.
= 3a – 2 bulunur.
a –2 3
8.
ax – 2ay + 2bx – 4by bx – 2by + ax – 2ay
11. ab + bc + ac = 24
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? a – 2y A) 1 B) a + 2b C) x+y
Örnek x+y+z=6
D)
x2 + y2 + z2 = 14 olduğuna göre,
Palme Yayınevi
a2 + b2 + c2 = 40 olduğuna göre,
a + b + c nin pozitif değeri kaçtır? A) 6
B) 8
C) 4 5
D) 2 21 E) 2 22
1 a + 2b E) b+q b+a
(xy + yz + zx) ifadesinin değerini bulalım. Çözüm: x+y+z=6 x2 + y2 + z2 = 14 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) 62 = 14 + 2(xy + xz + yz) xy + xz + yz = 11 bulunur.
9.
Örnek x + y = 4 ve x – z = 1 olduğuna göre, x2 + xy – xz – yz ifadesinin değerini bulalım.
1– a n + 4 = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 1– a eşitliğini sağlayan n doğal sayısı kaçtır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
12. a + b +c = 1,5 . k olduğuna göre,
Çözüm:
3 ( a 2 + b 2 + c 2) ( x − a) 2 + ( x − b) 2 + ( x − c) 2 ifadesinin değeri kaçtır? 1 3 A) B) 1 C) 2 2
D) 2
x + y = 4 ve x – z = 1 ise x2 + xy – xz – yz = x(x+y) – z(x+y) = (x + y)(x – z) = 4.1 = 4 bulunur.
150
1. D
2. C
3. C
4. D
5. B
6. E
7. E
8. D
9. D
10. A
11. E
12. E
E) 3
7.Ünite Çarpanlara Ayırma
4. x ve y gerçek sayılar,
a4 + 4a2 – 5
ifadesinin çarpanlarından biridir?
B) a2 – 5
D) a2 – 4
Bilgi Köşesi
4. TEST
1. Aşağıdakilerden hangisi
A) a – 1
/Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma
C) a + 2
E) a – 2
–3
olur. x x x 18 Buradan, 3 1 x > ⇒ < 18 x 18 3
1 1 ü hızda, Aylin’in ise 3 6 sı hızda çalışmaktadır. Hatice ile Öznur bir-
12. Bir işi A ve B işçileri birlikte 12 saatte, B ve C işçileri birlikte 8 saatte, A ve C işçileri birlikte 6 saatte bitirebilmektedir.
likte bu işi 12 günde yapabildiklerine göre,
9. Hatice, Öznur’un
üçü birden bu işi kaç günde bitirebilirler? A) 15
B) 9
A) 12
C) 7,2
D) 5
⇒ x < 54 olur.
Bu işi B işçisi tek başına kaç saatte bitirir? B) 18
C) 24
D) 36
E) 4,8
x yerine gelebilecek en büyük tam sayı değeri 53 tür.
180
1. D
2. C
3. E
4. B
5. C
6. D
7. A
8. D
9. E
10. C
11. B
12. E
E) 48
9.Ünite İş ve İşçi Problemleri 1.
Bilgi Köşesi
2. TEST 4.
• Kadir bir işin tamamını 2x günde
• İkisi birlikte bu işin tamamını 12 günde yapabiliyor.
Buna göre, Kadir tek başına işin tamamını kaç günde yapabilir? A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
İşin tamamlanma oranı
Çalışma süresi (saat)
• İlhan ise aynı işin tamamını 3x günde yapabiliyor.
E) 25
Ahmet
24
1/2
Hakan
18
3/4
• Tabloda iki kişinin bir işte çalışma süreleri ve bu süre sonunda işin ne kadarının bittiği verilmiştir.
Buna göre, Ahmet ve Hakan beraber çalışarak bu işi kaç saatte bitirebilir?
/Problemler
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 28
Örnek
Bir işi • Emre ve Ahmet birlikte 6 günde • Mehmet tek başına 30 günde yapabilmektedir. • Bu işi üçü birlikte çalışarak bi1 tirdiklerinde Emre işin ünü 3 yapmış oluyor. Buna göre, işin tamamını Ahmet kaç günde yapar? Çözüm: Emre x
Ahmet y
Mehmet 30
İkisi birlikte 1 1 1 + = x y 6 üçü birlikte
• Zeynep bir işi tek başına 8 günde yapabiliyor.
• Meryem aynı işi tek başına 12 günde yapabiliyor.
• Meryem işe başladıktan 2 gün sonra Zeynep de aynı işe başlıyor.
Buna göre, işin tamamı kaç günde biter? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
5. Aşağıdaki tablo bir usta ile bir çırağın bir iş için aldıkları ücretleri göstermektedir.
(5)
Palme Yayınevi
2.
E) 8
Ustanın Ücreti
Çırağın Ücreti
(3a + 20) TL
a (TL)
3. Bir işi
• Ayşe, Betül ile birlikte 2a günde
• Salih tek başına 4a günde yapmaktadır.
• Aynı işi üçü birlikte çalışarak bitirdi4 ğinde Betül işin ünü yapmış oluyor. 9 Buna göre, işin tamamını Ayşe kaç günde yapar? A) 6a
B) 4a
C) 2a
D) a
a E) 3
1 1 .5 = & x = 15 x 3 1 1 1 Ahmet & + = x y 6
Buna göre, çırak iş başına kaç TL ücret almaktadır? B) 60
C) 70
D) 80
E) 90
6.
• A ve B işçilerinin bir işte çalışma hızları sırasıyla 2 ve 3 ile orantılıdır.
• Bu iki işçi birlikte bir işi 18 günde bitirebiliyor.
Buna göre, aynı işi A işçisi tek başına kaç günde bitirebilir? A) 15
B) 25
C) 30
D) 40
(1)
Emre &
Gelen 15 işten 10 unu usta, 5 ini çırak yapmış ve 1950 TL gelir elde etmişlerdir.
A) 50
1 1 1 1 + + = x y 30 t = 1 1 1 + = & t = 5 gün 6 30 t
E) 45
&
1 1 1 + = 15 y 6
&
1 1 1 = – y 6 15 (5 )
(2)
⇒ y = 10 günde yapar.
Örnek
• x ve y işçilerinin çalışma hızları sırası ile 4 ve 7 ile orantılıdır. • Bu iki işçi birlikte bir işi 56 günde bitirebiliyor. Buna göre, aynı işi y işçisi tek başına kaç günde bitirebilir? Çözüm:
x h›z " 4.V zaman " 7.x
y 7.V 1 4.x
hız ile zaman ters orantılı 1 1 + c m .56 = 1 7.x 4.x (4) (7) 2
11 . 56 = 1 & x = 22 28 .x y işçisi → 4 . x = 4. 22 = 88 bulunur.
181
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
7.
Bir işi, Ali a günde, Burak b günde, Ceyda c günde bitirebiliyor. a < b < c dir.
Bu işi üçü birlikte 21 günde bitirebildiğine göre, c nin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Örnek • Bir işçi, bir işi 24 saatte yapmaktadır. • İşçi, bu işin
A) 7
1 sını bitirince 6
B) 8
C) 48
D) 63
10. • Bir halı dokuma makinesi bir halıyı 16 saatte dokuyor. 1 • Makine, halının ini dokuduğunda 4 makinenin çalışma hızı % 20 arttırılıyor.
E) 64
Buna göre, makine halının tamamını kaç saatte dokur? A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
çalışma hızını % 25 arttırıyor. Buna göre, işçi bu işin tamamını kaç saatte bitirebilir? Çözüm: 1 sını yaptığına göre, 6
1 24. = 4 saatlik işi yapmıştır. 6 Geriye 24 – 4 = 20 saatlik iş kalmıştır. İşçinin çalışma kapasitesi 100
8.
• İşçi bu işi toplam 6 günde bitirebiliyor.
Buna göre, işçi 4. günün sonunda işin ne kadarını yapmıştır?
olsun. % 25 arttıracağına göre 25 100 + 100. = 125 olup 100
11. Bir iş 8 usta ve 12 çırak tarafından eşit sürede yapılabiliyor.
• Bir işçi, bir miktar işi bitirebilmek için her gün bir önceki gün yaptığı işin 2 katını yapıyor.
A) 7
1 1 5 A) B) C) 7 9 21
100 → 20 saat
D)
125 → x saat
Buna göre, 8 usta ve 12 çırak bir işi birlikte 6 günde yapabiliyorsa, aynı işi 16 usta kaç günde yapabilir? B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
Palme Yayınevi
İşçi, işin
15 31 E) 31 63
–––––––––––––––– 125 . x = 100 . 20 x = 16 saatte biter. İşin tamamı, 4 + 16 = 20 saatte biter.
Örnek
9.
12. Belirli bir işi x tane işçi, a zamanda yapıyor.
İşin bitme süresi (saat)
Belirli bir iş için kullanılan makine her gün belli bir süre çalıştırılarak yapılacak işi 30 günde bitiriyor.
15
Makinelerin günlük çalışma
10
20
1 ü kadar kısaltılırsa, süresi 3 aynı iş kaç günde bitirilebilir? Çözüm:
1. işçi
2. işçi
1. ve 3. işçi
Makine günde 3x saat çalışıyor1 kadar azaltılınca 2x saat ken 3 çalışır.
Grafikte, aynı işte çalışan üç işçi ile ilgili bilgiler verilmiştir.
3x saat çalışarak → 30 günde
Buna göre, bu işi 2. ve 3. işçi beraber çalışarak kaç saatte bitirebilir?
2x saat çalışarak → a günde –––––––––––––––––––––––– Ters orantı 3x.30 = 2x.a ⇒ a = 45 günde bitirebilir.
182
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
Buna göre,
I. x azaldıkça a artar.
II. x değişmezken a artıyorsa işçilerin çalışma hızları artmıştır.
III. x değeri
ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur?
1 i oranında azalırsa a değeri 3 3 katına çıkar.
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I, II
C) Yalnız III
E) II, III
E) 18
1. D
2. C
3. A
4. B
5. A
6. E
7. E
8. C
9. B
10. E
11. B
12. A
9.Ünite Hareket Problemleri
A) 750
B) 900 D) 1200
Bilgi Köşesi
1. TEST 4. Hızları saatte 64 km ve 40 km olan iki araç aynı noktadan ters yönde harekete başlıyor. 5 saat sonra hızlı olan araç bozulunca diğeri hızını değiştirmeden ona doğru dönüyor. Kaç saat sonra bozulan araca ulaşır?
1. Bir hareketli saatte 100 km hızla A dan B ye gidip hiç durmadan saatte 60 km hızla A ya geri dönüyor. Gidiş - dönüş 24 saat sürdüğüne göre, A ve B arası kaç km dir? C) 1000
A) 13
E) 1500
/Problemler
B) 11
C) 10
D) 8
Örnek A
C
B
Hızları saatte 80 km ve 120 km olan iki araç A kentinden B ken tine doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan araç B ye varıp hiç durmadan geri dönüyor ve C noktasında diğer araçla karşılaşı yor.
E) 5
Buna göre,
| BC | oranı kaçtır? | AC |
Çözüm:
120 km/saat
A
x
C
y
B
80 km/saat
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5.
A V
Palme Yayınevi
2. Her gün evinden işine saatte 70 km hızla 2 satte giden Yeliz, evden yarım saat geç çıktığı bir gün yine aynı hızla 1 saat yol aldıktan sonra, işe her zamanki saatte yetişmek için kalan yolda hızını kaç katına çıkarmalıdır?
300 km
Araçlar karşılaştıktan kaç saat sonra hızlı olan araç gitmekte olduğu noktaya ulaşır? A) 10
B) 7
C) 5
D) 4
E) 3
45 km/sa
A ve B kentleri arasındaki mesafe 300 km olmak üzere, A dan ve B den şekilde verilen hızla ve yönde, aynı anda harekete başlayan iki aracın 5 saat sonra C de karşılaşması için A dan hareket eden aracın hızı kaç km/sa olmalıdır? A) 155
B) 140 D) 120
3. Aralarında 450 km mesafe bulunan A ve B kentlerinden saatte ortalama 50 km ve 40 km hızlarla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor.
C
B
C) 135 E) 105
6.
x + 2y x ⇒ 3x = 2x + 4y = 80 120 y 1 ⇒ x = 4y ⇒ = olur. x 4 ⇒
Bir motorsikletli A ve B kentleri arasındaki yolu 3 saatte almak tadır. Motorsikletli, saatteki hızını 15 km azaltırsa aynı yolu 4 saatte almaktadır. Buna göre, A ve B kentleri ara sındaki yol kaç km dir? B
C 50 km/sa
80 km/saat hızla giden aracın gittiği yol; x dir. x = 80.t ⇒ t = 80 120 km/saat hızla giden aracın gittiği yol; x + 2y x + y + y = 120.t ⇒ t = 120 dir.
Örnek
120 km
A
|AC| = x km, |BC| = y km olsun.
80 km/sa
Çözüm: A
x km
B
V
B ve C kentleri arası 120 km dir. C den hızları 50 km/sa ve 80 km/sa olan iki hareketli aynı anda ters yönde harekete başlıyor. Hızlı olan araç B ye gidip hiç durmadan geri dönerek diğer araca A da yetişiyor. A ve B kentleri arası kaç km dir? A) 380
B) 400 D) 720
C) 520 E) 900
V km hızla x km lik yolu 3 saatte alıyorsa, x = V.3 olur. Hızını 15 km azaltınca, (V – 15) km hızla x km lik yolu 4 saatte alıyorsa, x = (V – 15).4 tür. x = V.3 = (V – 15).4 ⇒ V = 60 km/saat ve x = V.3 = 60.3 = 180 km olur.
183
9.Ünite
/Problemler 7.
Bilgi Köşesi
A 60 km/sa
Örnek 80
C
A
120
boyları 100 m ve hızları 80 km/sa dir.
90 km/sa
Bu iki tren birbirine doğru ilerlerken karşılaştıktan kaç saat sonra birbirlerini ge-
A ve B kentleri arası 600 km dir. A dan hızı 60 km/sa olan araç B ye doğru yola çıktıktan 2 saat sonra B deki araç da A ya doğru yola çıkıyor.
B
Hızı saatte 80 km olan bir hareketli A noktasından, hızı saatte 120 km olan diğer bir hareketli B noktasından birbirlerine doğru aynı anda hareket ediyorlar ve C gibi bir noktada karşılaşıyorlar.
10. Kızılay - Batıkent arasında çalışan trenlerin
B
çerler? A) 3
B) 4,5
C) 5
D) 5,5 E) 9
Bu iki araç A ve B arasında hiç durmadan gidip geldiğine göre, 2. karşılaşmaları A kentinden yola çıkan araç harekete başladıktan kaç saat sonra olur?
A dan hareket eden, karşılaştıklarından 3 saat sonra B noktasına vardığına göre, A ve B arası kaç km dir?
A) 13,2
B) 11,2
C) 10,2
D) 9,2
E) 8,2
Çözüm: 80 80t
120 C
120t
B
İki araç t saat sonra C de karşılaşmış olsunlar. |AC| = 80t, |BC| = 120t olur. A dan hareket eden araç |CB| yolunu 3 saatte aldığına göre, 120t = 80.3 ⇒ t = 2 olur. |AB| = 80t + 120t = 200t = 200.2 = 400 km dir.
Örnek
8.
72 km/sa
A
B
A ve B noktalarından aynı anda birbirine doğru şekilde verilen hızlarla yola çıkan iki araç 5 saat sonra karşılaşıyor.
11. Bir nehir üzerinde aralarında 2 km mesafe
48 km/sa
bulunan iki noktadan, iki yüzücüden ilerideki yüzücü 45 m/dk hızla harekete başladıktan
Palme Yayınevi
A
10 dk sonra gerideki yüzücü de aynı yönde 65 m/dk hızla yüzmeye başlıyor. Akıntıyla aynı yönde yüzdüklerine ve 130 dk sonra hızlı olan diğerine yetiştiğine göre, akıntının
Karşılaştıktan kaç saat sonra B den çıkan araç A ya varır?
Rüzgârsız havada hızı 660 km/saat olan bir uçak; rüzgârı arkasına alırsa 2772 km, aynı sürede rüzgâra karşı 2508 km yol alabiliyor.
A) 13
B) 10,5 C) 9
hızı kaç m/dk dır? A) 10
D) 7,5 E) 7
B) 15
C) 20
D) 30
E) 40
Buna göre, rüzgârın hızı kaç km/saattir? Çözüm: Rüzgârın hızı x km/saat olsun. Hız Zaman (km/saat)
(saat)
Rüzgâr arkada
660 + x
2772 660 + x
Rüzgâra karşı
660 – x
2508 660 – x
Problemdeki ifadeye göre, 2772 2508 = 660 + x 660 – x ⇒
231 209 = 660 + x 660 – x
⇒660.231–231.x=660.209+209.x ⇒ 660.231–660.209=209x+231x ⇒ 660.22 = 440x 660.22 ⇒x= = 33 tür. 440
184
9.
60 km/sa
20 km/sa
12. Feride, evi ile okulu arasındaki 70 km lik
30 km/sa B
yolu bir saatte gidip, 45 dakikada dönüyor.
A
C
Şekildeki üç araçtan hızı 60 km/sa olan B ye, hızı 20 km/sa olan araç A ya ve hızı 30 km/sa olan üçüncü araç da C ye doğru aynı anda yola çıkıyorlar. Harekete başladıktan 4 saat sonra A dan ve B den çıkan birbirine doğru hareket eden araçlar karşılaştığına göre, A dan çıkan araç diğer araçla karşılaştıktan sonra, B den C ye doğru giden aracı kaç saatte yakalar? A) 2
B) D)
1. B
2. B
Buna göre, Feride’nin gidiş - dönüşteki ortalama hızı kaç km/sa dir? A) 65
B) 70 D) 95
C) 80 E) 100
8 10 C) 3 3
20 20 E) 9 3
3. D
4. A
5. E
6. C
7. A
8. D
9. E
10. B
11. B
12. C
9.Ünite Hareket Problemleri 1.
Bilgi Köşesi
2. TEST
20 km/sa
4.
35 km/sa
A
A
B
B
450 km
220 km
A ve B şehirleri arası 220 km dir.
A ve B şehirlerinden karşılıklı 20 km/sa ve 35 km/sa hızlarla aynı anda yola çıkan iki araç kaç saat sonra karşılaşırlar? A) 4
B) 5
C) 5,5
D) 6
E) 7
A ve B kentleri arası 450 km dir. A dan saatte 90 km hızla yola çıkan bir araç bir saat bu şekilde gittikten sonra bozulup 1,5 saat bekliyor. Kalan yolu başlangıçta belirlediği sürede tamamlaması için kalan yolda kaç km/sa hızla gitmesi gerekir? A) 100
B) 120 D) 140
2.
70 km/sa
A dan B ye doğru 70 km/sa hızla yola çıkan hareketliden 2 saat sonra, B den de 50 km/sa hızla başka bir araç A’ya doğru harekete başlıyor ve harekete başladıktan 3 saat sonra karşılaştıklarına göre, A ve B arası kaç km dir? B) 480
D) 600
Hızları 10 km/saat ve 8 km/saat olan iki bisikletli A ve B den karşılıklı olarak yola çıkıyorlar. Bu iki bisikletli yolun ortasından 3 km uzakta karşılaştıklarına göre, AB arası kaç km dir? Çözüm: O
C
3 km
A
x
B
x
Yolun yarısı x km olsun.
E) 144
55 km/sa
85 km/sa
Bu iki bisikletli C noktasında karşılaşmış olsunlar. A dan yola çıkan bisikletlinin x+3 km yol alması için gereken zaman, B den yola çıkan bisikletlinin x–3 km yol alması için gereken zamana eşittir. Zaman = Yol/Hız olduğundan,
B
A) 450
Örnek
C) 130
A
Palme Yayınevi
5.
50 km/sa
A
/Problemler
C) 500
B
A ve B kentleri arası 300 km dir. A dan ve B den aynı anda ve aynı yönde hızları 85 km/sa ve 55 km/sa olan iki araç yola çıkarsa, hızlı olan yavaş olanı B den kaç km uzakta yakalar? A) 550
E) 630
x+3 x – 3 x+3 x – 3 = = ⇒ 5 10 8 4
300 km
B) 500
D) 400
C) 450 E) 380
⇒ 4x + 12 = 5x – 15 ⇒ x = 27 ⇒ 2x = 54 km dir.
Örnek Bir koşucunun l birim uzunluğundaki bir yolu t saatte koşması 1 isteniyor. Koşucu yolun ünü 3 t saatte koştuğuna göre, geri 2 kalan yolu zamanında tamamlaması için hızını kaç katına çıkarmalıdır? Çözüm:
3. A
B
Bir araç A dan B ye, 60 km/sa hızla giderse belirlenen süreden 2 saat geç, eğer 80 km/sa hızla giderse belirlenen süreden 1 saat erken varıyor. Buna göre, araç tam belirlenen saatte varması için saatte kaç km yol gitmelidir? A) 70
B) 72
C) 75
D) 76
E) 78
6. A dan 80 km/sa, B den 100 km/sa hızlarla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Karşılaştıktan 2,4 saat sonra B den yola çıkan araç A ya ulaştığına göre, A ve B arası kaç km dir? A) 450 D) 500
B) 460
C) 480 E) 540
t/2
t/2
t 1 ünü saatte koştu2 3 2, ğuna göre, geriye kalan lük 3
Yolun
yolu t –
t t = saatte koşması 2 2
gerekir. Bunun için hızını 2 katına çıkarması yeterlidir.
185
9.Ünite
/Problemler 9. Saatteki hızı 110 km olan bir tren bir elektrik direğini 36 sn de geçtiğine göre, trenin boyu kaç m dir?
7.
Bilgi Köşesi
V1
A) 900
Örnek 2 m/dk
A
A 6 m/dk
O
B) 100
C) 1100
D) 1150
V2
E) 1200
B Hızları 2 metre/dakika ve 6 metre/dakika olan iki hareketli, çember üzerindeki A noktasından aynı anda, ters yönde hareket ettiklerinde 12 dakika sonra karşılaşıyor.
Şekildeki O merkezli çember pistin çeyrek yay uzunluğu çıkarılmıştır. Bunun yerine AO ve OB yarıçapları piste dahil edilmiştir.
A noktasından aynı anda şekilde belirtilen yönlerde harekete başlayan iki hareketli ilk V1 kez B noktasında karşılaştığına göre, V2 oranı aşağıdakilerden hangisidir?
Çemberin çevresi kaç metredir? Çözüm: 12 dakika sonra karşılaştıklarına göre, dairenin çevresi,
A)
(Yol = Hız.Zaman) 2.12 + 6.12 = 96 metredir. ; ;
3 4 3 r B) r C) r 2 3 4 2 r D) r E) 3 2
Örnek Sabit bir hızla yürüyen İrem, ev 1 den okula giderken yolun ünü 3 yürüdüğünde matematik defte-
Çözüm:
2x
Ev x
İrem eve dönüp kitabını alırsa 2x kadar fazla yol yürümüş olacak. Dersin başlamasından 4 dakika önce okula varacakken, dersin başlamasından 4 dakika sonra okula varacağından, toplam 8 dakika fazla yürümüş olacaktır. Yani İrem 2x lik mesafeyi 8 dakikada yürüyebiliyor. Buna göre,
8.
A 15 m/dak
25 m/dak
Yavaş aracın hızı kaç km/sa olmalıdır? A) 20
B) 24
C) 30
D) 32
E) 36
11. x metre uzunluğundaki bir tren 500 metre uzunluğundaki bir tüneli 20 sn de, 1000 metre uzunluğundaki bir tüneli 30 sn de geçiyor.
Buna göre, trenin hızı kaç km/sa dir? A) 90
B) 100
C) 120 E) 180
Şekildeki çembersel pistin bir A noktasından aynı anda zıt yönde 15 m/dak ve 25 m/dak hızlarla yola çıkan iki araç 8. dakikada ikinci defa karşılaştığına göre, pistin çevresi kaç m dir? A) 160
B) 180 D) 200
C) 190 12. Aralarında 300 km mesafe bulunan iki hareketli aynı anda birbirine doğru hareket ederse 2 saat, aynı yönde hareket ederse 3 saat sonra hızlı olan diğerine yetişiyor.
E) 210
2x lik mesafeyi 8 dak.da yürürse
3x lik mesafeyi k dak.da yürür –––––––––––––––––––––––––– k = 3x.8/2x = 12 dakika İrem okul ile ev arasını 12 dakikada yürümektedir.
186
Hızı fazla olan araç 360 km ilerledikten sonra geri dönüp hareket başlangıcından 8 saat sonra diğeriyle karşılaşıyor.
D) 150
3x
Okul
Palme Yayınevi
Karşılaşmaya Karşılaşmaya kadar I. nin kadar II. nin aldığı yol aldığı yol
rini yanına almadığını fark ediyor. İrem yoluna dev am eders e dersin başlamasından 4 dakika önce, eve dönerek defterini alıp tekrar yola çıkarsa dersin başlamasından 4 dakika son ra okula varacağına göre, ev ile okul arasını kaç dakikada alm akt ad ır? (Dönüşlerdeki zaman kaybı önemsenmeyecektir.)
10. Birinin hızı diğerinden 50 km/sa fazla olan iki araç aynı anda aynı noktadan aynı yöne doğru harekete başlıyor.
Yavaş olan aracın hızı kaç km/sa dir? A) 25
1. A
2. C
3. B
4. E
5. A
6. E
7. C
8. A
B) 50
9. C
C) 60
10. A
11. E
D) 70
12. A
E) 80
9.Ünite Hareket Problemleri
Bilgi Köşesi
3. TEST 4.
1. Bir otomobil
Alınan yol (km)
Örnek
• Bir kısmı asfalt, bir kısmı toprak olan 600 km lik bir yolda ilerliyor. 540
• Yolun toprak kısmını saatte 50 km hızla gidiyor.
• Yolun asfalt olan kısmını saatte 90 km hızla gidiyor.
• Yolun tamamını 8 saatte tamamlıyor.
Buna göre, otomobil; yolun asfalt kısmını kaç saatte gitmiştir?
Yukarıda bir aracın yol – zaman grafiği verilmiştir.
• Bu aracın hızı saatte 30 km arttırılıyor.
A) 2
Buna göre, araç aynı yolu kaç saatte alır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
9
A) 3
Gidiş Dönüş
Süre (saat)
Hız (km/sa)
6
60
3
C) 70
90
D) 75
5.
X
• Hızları saatte 5V ve 2V olan iki araç aynı
Y
Bu iki araç ikinci kez nerede karşılaşırlar?
• A şehrinden hareket eden aracın hızı saatte 50 km dir.
C) X ve Y arasında
• B şehrinden hareket eden aracın hızı saatte 70 km dir.
E) Z ve Y arasında
• A ve B şehirleri arasındaki mesafe 480 km dir.
Buna göre, bu iki araç arasındaki mesafe kaç saat sonra ikinci kez 120 km olur? C) 6
D) 7
E) 8
T
| XY | | YZ | | YT | dir. • = = 7 2 4
A) Y noktasında
B) 5
Z
birlerine doğru hareket ediyor.
E) 80
• A ve B şehirlerinden aynı anda birbirlerine doğru iki araç yola çıkıyor.
A) 4
şeklindeki pistte 6.V 4 .V A noktasından B aynı anda zıt yönde hızları daD C kikada 6 . V ve 4 . V olan iki bisikletli yola çıkıyor.
anda sırası ile X ve T noktalarından bir-
E) 7
C
A
3.
D) 6
B
x x |AB| = |BC| = x olsun.
Örnek
Buna göre, aracın ortalama hızı saatte kaç km dir? B) 65
C) 5
Çözüm: A
• D a i r e
• Tabloda bir aracın belirli bir yoldaki gidişi ve yolun bir kısmını dönüşü ile ilgili bilgiler verilmiştir.
A) 60
B) 4
Zaman (saat)
Bir otomobil, • A şehrinden B şehrine saatte V km hızla 3 saatte • B şehrinden C şehrine saatte (V + 30) km hızla 2 saatte varıyor. • |AB| = |BC| dir. Buna göre, bu otomobilin B şehrinden C şehrine giderken hızı saatte kaç km dir?
x = V . 3 = (V + 30) . 2 ⇒ V = 60 olup araç B den C ye saatte (V + 30) km hızla gittiğine göre, V + 30 = 60 + 30 = 90 km/sa bulunur.
Palme Yayınevi
2.
/Problemler
• | AB | = tür.
| DA | | BC | = | DC | = 2 3
Buna göre, bu iki bisikletlinin 3. karışmaları nerede olur? Çözüm: Pistin çevresi
A
6.V
B) Z noktasında
4 .V 7x tir. Bu iki x B bisikletli 3
3x
kez karşıla-
D) Z ve T arasında
2x ş a c a ğ ı n a D
göre,
x
C
7x . 3 = (6 . V + 4 . V) . t 21.x & = t olup bu bisikletliler10.V den birinin aldığı yol, 21.x = 12, 6 olur. 10. V Yani, 3. kez B ve C arasında karYol = 6. V .
şılaşırlar.
187
9.Ünite
/Problemler 6.
Bilgi Köşesi
B
8.
• A ve B durakları arasında 4 tane durak vardır.
• Hızı saatte 45 km olan bir araç; 1. durakta 3dk ve sonraki her durakta bir önceki duraktakinden 1 dk fazla durarak ilerliyor.
• Araç A ve B durakları arasındaki yolu toplam 98 dakikada alıyor.
Buna göre, A ve B durakları arasındaki yol kaç km dir?
Örnek D
E 40 m C
80 m/dk A A
B
V1 = 35 m/dk
• Dikdörtgen şeklindeki koşu pistinin A köşesinden iki koşucu aynı anda farklı yönde koşmaya başlıyor. • V1 = 35 m/dk, V2 = 25 m/dk ve |EC| = 40 m dir. • Bu iki koşucu E noktasında karşılaşıyorlar. Buna göre, koşu pistinin çevresi kaç m dir? x
V2 = 25m/dk
• [AC] yolu üzerinde koşan koşucunun hızı dakikada 30 metredir.
• [AB] yolu üzerinde koşan koşucunun hızı dakikada 80 metredir.
• |DC| = 20 metredir.
E 40 m C
y
A) 310
B) 330
C) 540
D) 560
E) 570
x + 40 A
V1 = 35 m/dk
x + y + 80 x + y = & x + y = 200 m 25 35 7
A) 45
5
75 km/sa
V2
45 km/sa
t sa
k sa
Tablo - 1
• 1. tabloda aralarında 240 km olan iki aracın hızları verilmiştir.
• 2. tabloda bu iki aracın aynı yolda hareket yönlerine göre karşılaşma süreleri verilmiştir.
olur. Şeklin çevresi
V1
⇒ 2x + 2y + 80= 2.200+80 = 480 m
A) 6
B) 5
D) 3
1
2
B)
Hız (km/sa)
1
2 3 4 Zaman 0 (saat)
C) Hız (km/sa)
0
1
D)
2 3 4 Zaman 0 (saat)
2. C
3. B
Zaman (saat)
Hız (km/sa)
1
2 3 4 Zaman (saat)
Hız (km/sa)
1
2 3 4 Zaman (saat)
E) 2 Hız (km/sa)
0
1. D
4
Buna göre, hareketlinin her saat sonundaki hızını gösteren sütun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
E)
188
3
Tablo - 2
C) 4
4. D
5. E
E) 65
Şekilde bir aracın 4 saatlik bir yolda bulunduğu konumun zamana bağlı grafiği verilmiştir.
0
Buna göre, t – k farkı kaçtır?
D) 60
A) aynı anda birbirlerine doğru
C) 55
Yol (km)
0
7. aynı anda aynı yönde
B) 50
9.
B
Hızı V2 olan koşucu için x+y olur. 25.t = x + y & t = 25 Buradan
bulunur.
Buna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç m dir?
y
Hızı V1 olan koşucu için x + y + 80 35.t = x + y + 80 & t = 35 olur.
t=
• Eşkenar üçgen şeklindeki koşu parkurunun A köşesinden aynı anda koşmaya başlayan iki koşucu D noktasında karşılaşıyor.
Çözüm: D
C
D
Palme Yayınevi
V2 = 25m/dk
30 m/dk
6. B
7. A
1
8. D
2 3 4 Zaman (saat)
9. E
9.Ünite Yüzde, Alışveriş Problemleri
Bilgi Köşesi
1. TEST 4. %1 inin %20 fazlası 8,4 olan sayı kaçtır?
1. 0,2 sayısı hangi sayının %25 i dir? A)
/Problemler
A) 1000
4 3 5 1 3 B) C) D) E) 5 7 7 2 8
B) 950
D) 750
Örnek
C) 860
0,008 hangi sayının yüzde 40 ıdır?
E) 700
Çözüm: 0,008 sayısı, x in %40 ı olsun. x.
40 = 0,008 100
⇒
40x 8 = 100 1000
⇒ 40x = ⇒x=
5. 15 sarışın ve 35 esmerden oluşan bir grubun yüzde kaçı esmerdir?
2. %10 unun, %30 unun, %50 si 75 olan sayı kaçtır? A) 1000
B) 12000
B) 55
C) 60
D) 70
E) 75
E) 5000
1 2 = = 0,02 olur. 50 100
Örnek %24 ü 86424 olan sayı kaçtır? Çözüm: Sayı x olsun. x.
Palme Yayınevi
D) 4800
A) 40
C) 3500
8 10
24 = 86424 100
⇒x=
100.86424 = 360100 olur. 24
Örnek Buğdaydan ağırlığının %80 i kadar un, undan da ağırlığının %120 si kadar hamur elde edilmektedir. Buna göre, 480 kg hamur elde etmek için kaç kg buğday gereklidir? Çözüm:
3. %50 si, %35 inden 105 fazla olan sayı kaçtır? A) 800 D) 550
B) 700
C) 650 E) 500
6. 500 kg buğdaydan 420 kg un elde edilmektedir.
Buna göre, buğdayın ağırlığının yüzde kaçı kadar un elde edilmiştir? A) 20
B) 56
C) 68
D) 72
E) 84
Buğdayın %80 i kadar un elde ediliyorsa 100 kg buğdaydan 80 kg un elde edilir. Undan %120 si kadar hamur olu120 = 96 yorsa 80 kg undan 80. 100 kg hamur elde edilir. Sonuçta; 100 kg buğdaydan 96 kg hamur x kg buğdaydan 480 kg hamur –––––––––––––––––––––––––– x.96 = 100.480 x = 500 kg buğday gerekir.
189
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
Örnek
10. Bir dikdörtgenin uzun kenarı %5 artırılıp, kısa kenarı %5 azaltılırsa dikdörtgenin alanındaki değişim ne olur?
7. Bir tüccar, elindeki malın önce %10 unu daha sonra da kalan malın %20 sini satmıştır.
Binde 4 ü 7 olan sayı kaçtır?
Başlangıçtaki malın yüzde kaçı kalmıştır? A) 68
Çözüm:
B) 72
C) 80
D) 84
A) %0,25 azalır. B) %0,36 artar.
E) 90
C) %0,0025 artar.
Sayı x olsun.
D) %0,05 azalır.
Binde 4 ü 7 ise x.
E) %0,5 artar.
4 7000 =7⇒x= 1000 4
= 1750 olur.
Örnek a sayısı b sayısının %16 sı, Buna göre, a sayısı c sayısının yüzde kaçıdır? Çözüm: a sayısı b sayısının %16 sı ise 16 a = b. 100
(*)
8. %40 ı kız öğrenci olan bir sınıfa 8 kız öğrenci daha katıldığında, sınıftaki erkek öğrencilerin oranı %50 olmuştur.
b sayısı da c sayısının %25 i ise b = c.
25 dür. 100
Buna göre, başlangıçtaki kız öğrenci sayısı kaçtır? A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 20
Palme Yayınevi
b sayısı da c sayısının %25 idir.
11. Gülşah hergün aynı miktar harçlık almakta ve aldığı harçlığın %16 sını biriktirmektedir.
8 günde biriktirdiği para günlük harçlığının yüzde kaçıdır? A) 100
B) 128
D) 150
(**)
C) 130 E) 156
(**) ifadesini (*) de yerine yazalım. a= c.
1 16 c.4 25 16 . = = c. . 4 100 100 100 100
a sayısı, c sayısının %4 üdür.
Örnek Bir lastik çekilip uzatıldığında boyu %110 artıyor. Buna göre, çekilmiş halde 0,63 metre olan lastiğin çekilmeden önceki boyu kaç metredir? Çözüm: Lastiğin çekilmeden önceki boyu x m olsun. Çekilince %110 uzayıp 0,63 m oluyorsa 110 = 0, 63 x + x. 100
9. Bir lastik çekilip uzatıldığında boyu %80 uzamaktadır.
12. x sayısının %30 u, y sayısının %50 sine eşittir.
Uzatılmış durumdaki boyu 0,99 m olan lastiğin, çekilmeden önceki boyu kaç cm dir? A) 33
B) 44
C) 50
D) 55
Buna göre x, y nin yüzde kaçıdır? A)
100 3
B) 200
D) 250
E) 77
C)
500 3
E) 300
⇒ 210x = 63 ⇒x=
190
63 3 = m dir. 210 10
1. C
2. E
3. B
4. E
5. D
6. E
7. B
8. D
9. D
10. A
11. B
12. C
9.Ünite Yüzde, Alışveriş Problemleri
A) 12
B) 24
C) 25
Bilgi Köşesi
2. TEST
1. Bir öğrenci deneme sınavındaki 45 matematik sorusunun kaçını doğru cevaplarsa soruların % 80 ini doğru cevaplamış olur? D) 36
E) 48
4. Murat parasının %18 ini Talat’a verirse paraları eşit olacaktır.
/Problemler
İlk durumda Talat’ın parası, Murat’ın parasının yüzde kaçıdır? A) 24
B) 32
C) 48
D) 64
E) 72
Örnek Bir sınıfta 40 erkek öğrenci vardır. Erkek öğrencilerin 32 si, kızların ise %70 i matematik dersinden başarılıdır. Tüm sınıfın %75 i bu derste başarılı olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır? Çözüm: Erkek Kız Sınıf ––––– ––– ––––––––––– 40 x
40 + x kişi olsun
Matematikten başarılı olan öğrenciler
A) %10 artar.
B) %9 artar.
C) %5 artar.
D) %9 azalır.
E) %18 azalır.
Palme Yayınevi
2. Bir sayı önce %30 oranında arttırılır, daha sonra da %30 oranında azaltılırsa sayıdaki değişim ne olur?
5. 10 TL’ye alınan bir malın yarısı %10 kârla, diğer yarısı da %10 zararla satılırsa kâr zarar durumu ne olur?
32 + x.
70 75 = (40 + x). 100 100
⇒ 32 =
3000 + 75x – 70x 100
⇒ 3200 = 3000 + 5x
A) Ne kâr ne zarar eder.
⇒ x = 40 kız öğrenci vardır.
B) %5 kâr eder.
Sınıf mevcudu 40 + 40 = 80 kişidir.
C) %10 kâr eder. D) %2 zarar eder. E) %1 zarar eder.
Örnek Bir bakkal bir miktar baharatı etiket fiyatının %40 eksiğine almış ve etiket fiyatının %10 eksiğine satmıştır. Bakkal bu satıştan % kaç kâr etmiştir? Çözüm: Baharatın etiket fiyatı 100 lira olsun.
3. Bir köyün nüfusu her yıl %20 oranında azalmaktadır. 3 yılın sonunda köyün nüfusu 192 kişi olduğuna göre, 3 yıl önceki nüfusu kaçtır? A) 300 D) 450
B) 375
C) 400 E) 900
2 ü %10 zararla satılırken ka3 lanı %35 kârla satılırsa tamamının kâr -
6. Bir malın
zarar durumu ne olur? A) %10 zarar eder. B) %5 kâr eder. C) %20 kâr eder. D) %5 zarar eder. E) %35 kâr eder.
%40 eksiğine aldığına göre, alış fiyatı 40 = 60 liradır. 100 Etiket fiyatının %10 eksiğine sattığına göre, satış fiyatı 100 – 100.
10 = 90 liradır. 100 60 liraya aldığı malı 90 liraya sattığına göre, bakkal bu satıştan alış fiyatının yarısı kadar (%50) kâr etmiştir. 100 – 100.
191
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
10. %40 kârla satılmakta olan bir malın satış fiyatına alış fiyatı üzerinden %15 indirim uygulanırsa yeni satış fiyatından yüzde kaç kâr edilir?
7. %20 kârlı satış fiyatı 132 TL olan bir malın, %20 zararlı satış fiyatı kaç TL olur? A) 130 B) 120 C) 100
Örnek
D) 96
E) 88
A) 32
B) 30
C) 25
D) 19
E) 16
%15 zararla 170 liraya satılan bir mal %15 kârla satılsaydı kaç liraya satılırdı? Çözüm: Malın fiyatı x lira olsun. %15 zararla 170 liraya satılınca x – x.
15 = 170 ⇒ x = 200 li100
radır. %15 kârla satılsaydı; 15 = 200 + 30 = 230 100
liraya satılırdı.
Örnek
8. %30 kârla satılmakta olan bir malın satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapılırsa kâr - zarar durumu ne olur?
Bir kırtasiyeci elindeki kalemlerin 60 tanesini %10 kârla, geriye kalanları da %30 kârla satıyor. Kırtasiyecinin bu satışın sonucundaki kârı %25 olduğuna göre, %30 kârla kaç kalem satmıştır?
A) %2 kâr
B) %4 kâr
C) %8 zarar
D) %4 zarar
Palme Yayınevi
200 + 200.
E) %10 zarar
11. Bir malın %20 si %50 zararla, geri kalanı %40 kârla satılırsa tamamının kâr - zarar durumu ne olur? A) %18 kâr
B)%20 kâr
C) %22 kâr
D) %22 zarar E) %18 zarar
Çözüm: %30 kârla satılan kalemler x tane olsun. 10 30 25 + x. = (60 + x). 100 100 100 ⇒ 600 + 30x = 1500 + 25x ⇒ 5x = 900 ⇒ x = 180 tanedir. 60.
Örnek Bir malın etiket fiyatı, maliyeti üzerinden %40 kârla hesaplanmıştır. Bu mal, etiket fiyatı üzerinden %15 indirimle satılırsa elde edilen kâr yüzde kaç olur? Çözüm: Maliyet 100a lira olsun; %40 kârla
9. Maliyeti 60 lira olan bir gömlek %20 kârla satılmak isteniyor.
Etiket fiyatı üzerinden 2 kez %10 indirimle satıldığında gömleğin satış fiyatı kaç lira olur? A) 58,32
40 = 140a lira 100a + 100a. 100 140a lira üzerinden %15 indirimle
B) 54,12
D) 47,12
12. %30 indirim yapıldığı halde satılamayan bir malın indirimli fiyatından yeniden %15 indirim yapılıyor. Bu indirimlerden sonraki fiyatı 238 TL olduğuna göre, ilk fiyatı kaç TL'dir? A) 250
C) 49,22
B) 368
D) 400
C) 379 E) 450
E) 45,02
15 140a – 140a. = 119a lira 100 olur. Maliyeti 100a lira olan mal, 119a liraya satılıyorsa kâr oranı %19 olur.
192
1. D
2. D
3. B
4. D
5. A
6. B
7. E
8. B
9. A
10. C
11. C
12. D
9.Ünite Yüzde, Alışveriş Problemleri
4. Tanesi 15 liraya mal olan gömlekler %20 kârla satılıp, toplam 150 lira kâr ediliyor.
B) 36
C) 40
Buna göre, kaç gömlek satılmıştır? A) 30
tüm sınıfın yüzde kaçıdır? A) 10
Bilgi Köşesi
3. TEST
1. Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sa2 tür. Kızların %20 si Almanca yısına oranı 3 bildiğine göre, Almanca bilmeyen kızlar
D) 48
/Problemler
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
E) 50
Örnek Bir sınıftaki erkeklerin sayısının 3 kızların sayısına oranı dir. 7 Erkeklerin %20 si futbol oyna dığına göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır? Çözüm: Erkek ––––– 3x
Kız –––– 7x
Sınıfın tamamı ––––––––––– 10x
Erkeklerin %20 su futbol oynadığına göre, 20 3x = 5 100 Futbol oynamayan erkekler 3x.
2. Bir meyve kokteylindeki portakal miktarı, şeftali miktarının
5 ü, şeftali miktarı ise 3
3 sidir. 2 Buna göre, kokteylin yüzde kaçı üzümdür?
5. Bir malın %20 si %60 kârla, geri kalanı %25 zararla satılırsa sonuçta maldan yüzde kaç zarar edilmiş olur?
üzüm miktarının
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
B) 8
C) 12
D) 20
E) 28
Palme Yayınevi
A) 5
3x 12x = tir. 5 5 Futbol oynamayan erkekler tüm sınıfın %y si ise 3x –
y 12x = 10.x 5 100 y 12 ⇒ = & y = 24 olur. 5 10 O halde %24 üdür.
Örnek Bir çobanın koyunları ya iki ya da üç kuzu doğurmuştur. İki kuzulu doğumlarda kuzuların %75 i, üç kuzulu doğumlardaysa kuzuların %50 si yaşamıştır. Bu çobanın doğum yapan 28 koyunu olduğuna göre, toplam kaç kuzusu yaşamıştır?
3. Bir a sayısı %50, b sayısı %10 arttırılıp, c a.b sayısı %70 azaltılırsa, ifadesi yüzde c kaç artar? A) 50
B) 250 D) 450
C) 350 E) 550
6. Bir mal etiket fiyatı üzerinden %15 indirim yapılarak satıldığı halde %36 kâr ediliyor.
İndirim yapılmadan önceki kâr oranı yüzde kaçtır? A) 40
B) 42
C) 51
D) 60
E) 68
Çözüm: x tane koyun 3 kuzulu doğum yapmış olursa (28 – x) tane koyun da 2 kuzulu doğum yapmış olur. Yaşayan kuzuların sayısı ise 50 75 3x. + 2. (28 – x) . 100 100 =
3x 3 + (28 – x) . 2 2
=
3x 3x + 42 – 2 2
= 42 olur.
193
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
1 ünü 3 çifti 15 kuruştan, geri kalanını çifti 20 kuruş-
10. Bir satıcı tanesini 60 kuruşa aldığı bardakla1 rın ünü taşıma esnasında kırıyor. 4 %20 kâr edilebilmesi için bardakların tanesini kaç kuruştan satmalıdır?
7. Bir satıcı satmakta olduğu çorapların
tan almıştır.
Örnek Bir satıcı bir malı %20 kârla satarken, satış fiyatı üzerinden %20 indirim yaparak 384 liraya satıyor.
Hepsinin çiftini 30 kuruşa satarak 70 lira kâr sağladığına göre, kaç çift çorap satmıştır? A) 200
Bu malın maliyeti kaç liradır? Çözüm:
B) 275
D) 450
A) 86
B) 88
C) 90
D) 96
E) 98
C) 300 E) 600
Maliyeti 100a lira olan bir mal %20 kârla 20 = 120a liraya 100a + 100a. 100 satılır. 20 = 384 100 120a – 24a = 384 ⇒ 96a = 384
120a – 120a.
⇒ a = 4 ve maliyet
Örnek Badem, çekirdek, fıstık ve leblebi karıştırılarak bir kuruyemiş paketi hazırlanmıştır. Aşağıdaki tabloda bu paketteki çekirdek, fıstık ve leblebinin ağırlıklarıyla çekirdeğin ağırlıkça yüzde oranı verilmiştir.
8. Alış fiyatı x, satış fiyatı y olan bir malın alış fiyatı ile satış fiyatı arasında y = 880 – 3x bağıntısı vardır.
%40 kârla satılmakta olan bu maldan kaç lira kâr edilmektedir? A) 80
Ağırlığı Yüzde oran› (g) (%)
B) 95 D) 120
Badem Çekirdek
500
F›st›k
300
Leblebi
250
Palme Yayınevi
100a = 100.4 = 400 lira olur.
11. x liraya alınan bir mal %40 kârla, y liraya alınan başka bir mal da %40 zararla aynı fiyata satılmaktadır.
C) 100
x oranı kaçtır? y 3 3 1 A) B) C) 7 11 2 Buna göre,
E) 124
D)
40
7 3
E)
11 7
Bu paketteki bademin ağır lıkça yüzde oranı kaçtır? Çözüm: Pakette 500 gr çekirdek ve toplam 300 + 250 = 550 gr fıstık ve leblebi vardır. 500 gramı %40 ise 550 gramı %x tir. –––––––––––––––––––––– 550.40 x= = 44 500 Paketteki çekirdek, fıstık ve leblebinin toplam yüzde oranı
9. Bir bakkal yumurtaların 4 tanesini 50 kuruştan alıp, 5 tanesini 90 kuruştan satmaktadır.
12. Bir manav 12 limona verdiği paraya 8 limon sattığında yüzde kaç kâr etmiştir? A) 33,3 B) 35
Bakkalın kârı yüzde kaçtır? A) 44
B) 50
C) 52
D) 56
C) 37,5 D) 45
E) 64
40 + 44 = 84 tür. Buna göre, paketteki bademin ağırlıkça yüzde oranı 100 – 84 = 16 dır.
194
1. D
2. B
3. D
4. E
5. B
6. D
7. E
8. A
9. A
10. D
11. A
12. E
E) 50
9.Ünite Yüzde, Alışveriş Problemleri
Bir ürünün satışı için satış elemanları iki gruba ayrılıyor. • İki gruba da eşit miktarda ürün veriliyor. I. grup – Satacağı ürünlerin yarısını % 10 zarar ile satmışlardır. – Geri kalanını % X kâr ile satmışlardır. II. grup – Tüm ürünleri % Y kâr ile satmışlardır. • Her iki grubunda toplam satışından % Z kar sağlanmıştır. • x, y ∈ Z+
I. Ürün: • Önce maliyet üzerinden % 20 zam ile Y tane satılıyor. • Daha sonra zamlı fiyat üzerinden % 20 indirim yapılıyor ve X tane satılıyor. II. Ürün: • Önce maliyet üzerinden % 10 indirim yapılıyor. Y tane satılıyor. • Sonra indirimli fiyat üzerinden % 10 zam yapılıyor ve X tane satılıyor. 1. ve 2. soruları birbirinden bağımsız
3. ve 4. soruları birbirinden bağımsız olarak yukarıdaki bilgilerden yararlanarak cevaplayınız.
olarak yukarıdaki bilgilerden yararlana-
1. İki üründen de kasaya giren para aynı olduğuna göre, X + Y toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? B) 22
C) 36
D) 40
Palme Yayınevi
rak cevaplayınız.
A) 20
E) 52
2. İki ürünün toplam satışından % 2 kâr sağlandığına göre, X ve Y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2Y > 3X D) Y ≤ X
B) 2Y = 3X
Bilgi Köşesi
4. TEST
Maliyet fiyatları aynı olan ürünlerden,
C) Y = X + 2
E) 3X < 2Y – 1
/Problemler
Örnek Bir malın yarısı % 10 zararla, diğer yarısı % x kârla satılıyor. Bu malın tamamından % 30 kâr elde edildiğine göre, x kaçtır? Çözüm: 100 tane ürün olsun. Her birini 2 tl den almış olalım. 50 tanesine 100 lira verilir ve %10 zarar ile 90 liraya, diğer 50 tanesi %x kârla 100+x liraya satılır. Ürünlerin tamamının satışından toplam %30 kâr ediliyorsa, bu ürünlerin tamamı 200+200.
30 =260 liraya satılır. 100
O halde 90 + 100 + x = 260 x =70 bulunur.
Örnek Bir malın % 40 nın satışından % 30 zarar edilmiştir. Malın tüm satışından zarar edilmemesi için kalan kısmın en az yüzde kaç kârla satılması gerekir? Çözüm: 40 70 60 100 + x + . .c m 100 100 100 100
3. Y = 10 ve Z = 10
=
için X değeri kaç olur? A) 10
B) 15
C) 20
x = 20 → % 20 olur.
D) 25
E) 30
4. Tüm satıştan % 1,25 kâr elde edilebilmesi için, Y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç olmalıdır? A) 7
B) 6
C) 5
100 100 . 100 100
D) 4
E) 3
Örnek
Bir mağaza sahibi, kampanya döneminde fiyatlara %25 indirim yaptığında satışların %20 arttığını görüyor. Buna göre, mağaza sahibinin bu satışlardan elde ettiği gelirindeki değişiklik nedir? Çözüm: Kampanya öncesi mağazada 100 A tane mal olsun. Her birini 100 B den satarsa eline 10000 AB para geçecektir. Malın %25 indirimli fiyatı 25 100B–100B . = 75B 100 Satışlar %20 arttığında 20 = 120A olur. 100 O halde mağazanın satışında 100A+100 A.
10 000 AB den 9000 AB ye 1000 AB lik azalma olmuştur. 1000AB 10 = 10000 AB 100 yani %10 luk azalma olmuştur.
195
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
Bu ürün ile ilgili bilgiler tabloda verilmiştir.
Örnek
Satış fiyatı
Satılan miktar
Satış Fiyatı
Kâr Oranı %
Hafta içi
% 20 kâr
200 adet
A+300
+20
Hafta sonu
% 5 kâr
200 adet
(A – 600) TL
–10
Tabloda bir ürünün satış fiyatı ile elde edilen kâr oranı verilmiştir.
• 90 tanesi satılmıştır.
• Satılan kazakların 60 tanesi, satılan kazakların maliyetini karşılamıştır.
Buna göre, bir kazağın kâr oranı yüzde kaçtır?
Tabloya göre, bu ürün için hafta sonu kasaya giren para % kaç azalmıştır? A) 12,5
Buna göre, A kaçtır? Çözüm:
8. Bir mağaza müdürü bir haftalık satışlarını incelemektedir. Bu inceleme sonucunda bir markaya ait kazağın,
5. Bir mağaza A ürünü için hafta içi ve hafta sonu ayrı fiyatlar belirlemektedir.
B) 17
A) 65
B) 60
C) 50
D) 45
E) 40
C) 18,5
D) 21
E) 22,5
+ " kâr 1 – " zarar Ürünün maliyeti = 100 olsun. + 20 → Satış fiyatı 120 TL olur. A + 300
120
A – 600
90
6.
–––––––––––––––– 90 . (A + 300) = 120 . (A – 60) A = 3300 bulunur.
Örnek
Satış Fiyatı
Kâr Oranı %
A TL
+30
(A – 500) TL
–20
9. Bir ürünün etiket fiyatına, Palme Yayınevi
– 10 → Satış fiyatı 90 TL olur.
Tabloda bir ürünün satış fiyatı ile elde edilen kâr oranı gösterilmiştir.
Buna göre, A aşağıdakilerden hangisidir? A) 1750
• Bir miktar kazağın 50 tanesi satılmıştır.
B) 1600
D) 1400
• Satılan 50 kazak 80 tane kazağın maliyetini karşılamıştır.
• Önce % 15 indirim,
• Sonra % m zam yapılıyor.
Son durumda, ürün ilk satış fiyatının % 2 fazlasına satıldığına göre, m aşağıdakilerden hangisidir? A) 20
B) 24
C) 30
D) 36
E) 40
C) 1550 E) 1300
Buna göre, bu kazağın kâr oranı yüzde kaç olur? Çözüm: 1 kazağın maliyeti = 10 a olsun. 80 kazağın maliyeti, 80.10a=800a 1 kazağın satışı = x olsun. 50 kazağın satışı = 50x
7. Bir üretici A ürününü,
10. • Bir satıcı bir ürünü önce % 30 kâr ile satmaktadır.
• Önce % 4 kâr ile satılıyor.
• Daha sonra satış fiyatını değiştirmeden maliyet fiyatını düşürerek % 30 kâr ile satıyor.
• Sonra aynı ürünü % 20 indirim ile alıp bir önceki fiyata satıyor.
Satıcı ikinci satışta yüzde kaç kâr elde etmiştir?
50x = 800 a x = 16 a Kâr = 16a – 10a = 6a 10a
6a kâr ise
100 P ––––––––––––––––––––– P . 10a = 100 . 6a
Buna göre, A ürününün maliyeti yüzde kaç düşürülmüştür? A) 10
B) 20
C) 40
D) 70
E) 80
4. A
5. A
A) 50
B) 52,5 D) 62,5
C) 60 E) 65
P = 60 → % 60 olur.
196
1. B
2. B
3. E
6. E
7. B
8. C
9. A
10. D
9.Ünite Karışım Problemleri
A) 100
B) 200 D) 400
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. Asit oranı %30 olan 200 lt yağa kaç litre asitsiz yağ karıştırılmalıdır ki karışımın asit oranı %10 olsun?
4.
kar›şım (kg)
Örnek
A 9
C) 300 E) 500
/Problemler
Ağırlıkça %36 sı şeker olan ho1 mojen un-şeker karışımının sı 6 alınarak yerine aynı ağırlıkta un ekleniyor.
B
8
Yeni karışımın ağırlıkça şeker yüzdesi kaçtır? Çözüm: 0
1
2
şeker (kg)
%36 şeker x kg (un- şeker)
2. Şeker oranı %60 olan a litre şekerli suyun 1 ü boşaltılıp yerine aynı miktar su ekleni3 yor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
A ve B karışımlarından, A 3 = B 2 oranında karıştırılırsa elde edilen yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? 50 52 A) B) 3 3
C) 20
D) 21
E) 22
Palme Yayınevi
Yukarıdaki grafik A ve B karışımları içerisindeki şeker miktarlarını göstermektedir.
%36 + şeker
–
x/6 kg (un- şeker)
%0 = şeker x/6 kg (un)
%y x kg (un- şeker)
x x + 0. = y.x 6 6 ⇒ 30x = x.y
36.x – 36.
⇒ y = 30 bulunur.
Örnek 20 kg lık tuzlu suyun tuz oranını %20 den %25 e çıkarmak için kaç kg su buharlaştırılmalıdır? Çözüm: %20 tuz
%0 tuz
–
20 kg (tuz- su)
x (tuz- su)
= %25 tuz (20 – x) (tuz- su)
20.20 – 0.x = 25.(20 – x) ⇒ 400 = 500 – 25x ⇒ 25x = 100 ⇒ x = 4 kg su buharlaştırılmalıdır.
Örnek 3. Şeker oranı %70 olan bir miktar şekerli 2 suyun içerisindeki saf su miktarının ü 3 buharlaştırılırsa kalan karışımın su oranı yüzde kaç olur? A) 11,5 D) 14,5
B) 12,5
C) 13,5 E) 15,5
5. Bir karışımın yarısı gümüş, %30 u alüminyum ve %20 si demirdir. Eritme sırasında %10 kayıp olduğuna göre, bu elementleri eriterek 360 kg karışım elde etmek için kaç kg demir gereklidir? A) 20
B) 40
C) 60
D) 70
E) 80
A kg şeker, B kg un ile karıştırılıyor. Bu karışımın ağırlıkça yüzde kaçı şekerdir? Çözüm: A kg şeker ile B kg un karıştırıldığında (A + B) kg un-şeker karışımı elde edilir. (A+B) kg karışımda A kg şeker varsa 100 kg lık karışımda x kg şeker olur.
––––––––––––––––––––––––– 100 A = (A + B).x x=
100A bulunur. A+B
197
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
9. Saf altın 24 ayardır. 18 ayarlık 20 gram bir künye, 20 ayarlık 20 gram bir kolye ve kaç gram saf altın aynı kapta eritilmeli ki elde edilen altının ayarı 22 olsun?
6. Şeker oranı %60 olan 20 litre şeker - su karışımı ile şeker oranı %20 olan 30 litre şeker - su karışımı karıştırılıyor. Bu karışı1 ü alınarak yerine aynı miktarda su mın 4 konuluyor.
Örnek 18 ayarlık 36 gram ağırlığındaki bir altın bilezik, bir miktar saf altınla eritilerek 22 ayar bilezik elde ediliyor.
Katılan saf altın kaç gramdır?
B) 60
C) 61
D) 62
E) 63
Buna göre, yeni karışımın şeker yüzdesi kaçtır? A) 1
(Saf altın 24 ayardır.)
A) 59
B) 3
C) 9
D) 18
E) 27
Çözüm: Katılan saf altın x gram olsun.
10. x litre şekere %10 u kadar su katılarak bir karışım elde ediliyor.
18 ayarlık 36 gram altın bilezikte, 18 = 27 gram altın vardır. 24 Denklem;
36.
27 + x = (36 + x). Buradan,
22 olur. 24
Bu karışımın kaç litresinde 1 litre su vardır? A) 11
11 12 ⇒ 27.12 + 12x = 36.11 + 11.x
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
⇒ 12x – 11x = 36.11 – 27.12 ⇒ x = 72 bulunur.
7. 380 gram su ile 120 gram şeker karıştırılıyor.
Bu karışımın 100 gramında kaç gram şeker vardır? A) 22
Örnek
B) 23
C) 24
D) 25
Palme Yayınevi
27 + x = (36 + x).
11. 80 gr lık bir tuz - su karışımında 20 gr tuz bulunmaktadır.
E) 26
Bu karışıma 120 gr su eklendiğinde karışımın tuz - su oranının değişmemesi için kaç gr tuz eklenmelidir? A) 20
24 litre tuzlu suyun tuz oranını %15 ten %20 ye çıkarmak için kaç litre su buharlaştırılmalıdır?
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
Çözüm: I
II
%15 tuz
%20 tuz
24 litre
24–x litre (x litre su buharlaştırılıyor)
I. ve II. deki saf tuz miktarı aynı olacaktır. 15 20 = (24 – x). 100 100 denkleminden, 24.
24.15 = (24 – x).20 ⇒ 24.3 = (24 – x).4 ⇒ 4x = 24
8. Saf altın 24 ayardır. 12 ayarlık 84 gram altın ile kaç gram saf altın aynı kapta eritilmeli ki elde edilen altının ayarı 16 olsun? A) 42
B) 43
C) 44
D) 45
12. 8 kg nişasta, 12 kg irmik ve 5 kg su karıştırılıyor.
E) 46
Bu karışıma kaç kg su ilave edilmelidir ki karışımdaki su oranı %25 olsun? A)
⇒ x = 6 bulunur.
8 7 5 B) C) 3 3 3 D)
198
1. D
2. B
3. B
4. A
5. E
6. E
7. C
8. A
17 13 E) 3 3
9. B
10. A
11. E
12. C
9.Ünite Karışım Problemleri 1.
Su
X
% 25
% 75
Y
% 70
% 30
4.
40 ml
C) 52
D) 56
• Önce 80 gr tuz
80 ml
• Sonra 120 gr su ekleniyor.
Buna göre, oluşan yeni karışımdaki tuz oranı yüzde kaçtır? B) 48
Karışımın % 20 si kadar tuz içeren 200 gr lık tuzlu su karışımına
18°C
• X karışımından 160 gr, Y karışımından 240 gr alınarak karıştırılıyor.
A) 42
Örnek
72°C
• Tabloda tuz ve su maddelerinden elde edilen iki karışımdaki tuz ve su maddelerinin oranları gösterilmiştir.
Bilgi Köşesi
2. TEST
Tuz
/Problemler
Yukarıda miktarları ve sıcaklıkları gösterilen 2 bardak su karıştırılırsa, oluşan karışımın sıcaklığı kaç °C olur?
Son durumda oluşan karışımdaki tuz oranı yüzde kaç olur?
A) 48
200.
B) 50
C) 52
D) 54
E) 57
Çözüm: 20 = 40 gr tuz 100
Son Karışım = 200 + 80 + 120
E) 62
= 400 gr
Son karışımdaki tuz miktarı
2. Su oranı
A
B
80
60
• B durumunda karışımdaki suyun bir kısmının buharlaştırıldığı bilinmektedir.
Buna göre, buharlaştırılan su miktarı ilk karışımdaki suyun yüzde kaçıdır?
Palme Yayınevi
D) 62,5 E) 70
Altın oranı
A
B
% 20
% 60
• Tabloda A ve B metalleri içerisindeki altın oranları verilmiştir. • A metalinden B metalinin üç katı kadar fazlası alınarak karıştırılıyor.
• 1. Karışım : Şeker yüzdesi % 20 dir.
5. 1. Karışım
2. Karışım
Şeker yüzdesi
% 40
% 30
Karışımdaki toplam madde miktarı
80
120
Oluşan yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? Çözüm:
Tabloda iki karışımın şeker yüzdesi ve karışımdaki toplam madde miktarları verilmiştir.
Buna göre, oluşan karışımın altın yüzdesi kaçtır? A) 25
A) 36
C) 27
D) 28
E) 29
B) 34
2. Karışım: Şeker yüzdesi % 30 dur.
• 1. Karışımdan 120 lt, 2. karışımdan 180lt alınarak karıştırılıyor.
Bu iki karışım karıştırıldığında oluşan yeni karışımdaki şeker oranı yüzde kaç olur?
B) 26
= 40 + 80
Örnek
3.
karışımda % 30 tuz olur.
• Tabloda bir karışımdaki suyun A ve B durumlarındaki oranı gösterilmiştir.
B) 42,5 C) 50
= 120 gr x 400. = 120 ise x = 30 olup 100
A) 30
C) 32
D) 30
Toplam karışım:120 + 180 = 300 lt x 20 30 + 180. = 300. 100 100 100 x = 26 bulunur. 120.
E) 28
199
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
6.
Örnek Boş bir havuzu dolduran iki musluktan • Birincisi havuzu tek başına 12 saatte, % 15 oranında tuzlu su akıtarak, • İkincisi havuzu tek başına 4 saatte % 5 oranında tuzlu su akıtarak doldururlar. İki musluk birlikte açılıp havuz doldurulursa havuzdaki suyun tuz yüzdesi kaçtır? Çözüm:
Havuzun hacmi
Karışımdaki toplam madde miktarı
250
150
Tuz yüzdesi
% 48
% 78
⇒ t = 3 saatte
8. Boş bir havuzu iki musluktan
• 1. si tek başına % 65 tuzlu su akıtarak 4 saatte
• 2. si tek başına % 45 tuzlu su akıtarak 6 saatte doldurabilmektedir.
Havuz boşken iki musluk aynı anda açılırsa, havuz dolduğunda havuzdaki tuzlu su karışımının yüzde kaçı tuzdur? A) 54
Buna göre, oluşan yeni karışmın tuz yüzdesi kaç olur? A) 50
EKOK(4, 12) = 12V olsun. 1 1 1 + = 4 12 t
2. Karışım
• Tabloda iki karışımın tuz yüzdeleri ve karışımlardaki toplam madde miktarları verilmiştir. 1 1 • 1. karışımın i ile 2. karışımın i ka5 3 rıştırılıyor.
1. Karışım
B) 52
C) 54
D) 58
9.
E) 63
Palme Yayınevi
havuz dolar. I. Musluk 1 saatte V, 3 saatte 3V su akıtır. II. Musluk 1 saatte 3V, 3 saatte 9V su akıtır.
C) 56
D) 57
A
B
C
3x + 13
x+7
x+5
E) 58
• Tabloda A, B ve C maddelerinin kg cinsinden miktarları gösterilmiştir.
• Gösterilen miktarlarda karıştırılan A, B ve C maddelerinin oluşturduğu homojen karışımdan (2x + 5) kg alınıyor.
Buna göre, alınan bu karışımdaki C maddesinin oranı yüzde kaçtır?
x 15 5 3V. + 9V. = 12V. 100 100 100 x = 7,5 ⇒ % 7,5 olur.
A) 20
B) 24
C) 25
D) 28
E) 30
Örnek A
B
C
2x + 5
x+5
x + 10
7.
• Tabloda A, B, C maddelerinin kg cinsinden miktarları verilmiştir. • A, B ve C maddeleri karıştırılarak homojen bir karışım elde ediliyor. Buna göre, oluşan karışımdaki B maddesinin oranı yüzde kaçtır? Çözüm: Karışımdaki B maddesinin oranı % y olsun. Toplam karışım:
Tuz
Şeker
Un
X
% 24
% 50
% 26
Y
% 15
% 33
% 52
Z
% 62
% 13
% 25
• Tabloda X, Y, Z karışımlarının içindeki tuz, şeker ve un miktarlarının karışımdaki yüzdeleri gösterilmiştir.
• X, Y ve Z maddelerinden eşit miktarda alınarak karıştırılıyor.
Buna göre, oluşan karışımdaki tuz (T), şeker(Ş), un(U) miktarlarının küçükten büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
2x + 5 + x + 5 + x + 10 = 4x + 20
A) T < Ş < U
B) Ş < U < T
C) T < U < Ş
D) Ş < T < U
= 4 . (x + 5)
y 4. (x + 5). = (x + 5) 100 y = 25 olur.
200
B) 55
E) U < T < Ş
1. C
2. D
3. D
10. Miktar
Leblebi
Üzüm
Fıstık
x + 30
x
x + 15
• Kuruyemişçiden tabloda verilen miktarlar kadar çerez alan bir kişi toplam miktarın % 25 i kadar üzüm almıştır.
Eğer üzüm miktarı mevcut üzüm miktarının 2 katı kadar olsaydı bu çerez karışımının yüzde kaçı üzüm olurdu? A) 40
B) 45
C) 50
4. D
5. B
6. E
7. D
8. D
9. A
10. A
D) 55
E) 60
9.Ünite Sayısal Mantık ve Muhakeme Problemleri
Bilgi Köşesi
1. TEST 4. Başlangıç konumu yanda verilen ve 6 eşit parçaya bölünmüş olan çark, merkezi etrafında ok yönünde 240° döndürülüyor.
Farklı rakamlardan oluşan sayıları bulmak için tahminler yapılıyor. Sayı basamaklarının üstünde yer alan "+" işareti basamağın doğru tahmin edildiğini, "–" işareti ise basamağın yanlış tahmin
edildiğini gösterir.
+ + – + +
ÖRNEĞİN; 2 3 4 5 1
Örnek 0
Döndürme işlemi bittiğinde, çarkın görünümü aşağıdakilerden hangisi olur?
→ 2, 3, 5, 1 doğru rakam ama 4 yanlış A)
rakamdır.
B)
C)
–
2 3 0 5 1 → 0 yanlış tahmin +
0
2 3 1 5 1 → doğru tahmin Buna göre, 1., 2. ve 3. soruları yuka-
0
D)
0
0
0
Başlangıç konumu yukarıda verilen ve 6 çeşit parçaya bölünmüş çark, ok yönünde 120° döndürülmektedir. Döndürme işlemi bittiğinde, çarkın görünümü nasıl olur? Çözüm:
E)
rıdaki bilgilerden yararlanarak birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız.
120°
60° 60° 0
0
döndürülürse
Örnek
1. abcde beş basamaklı sayısı için ilk tahmin + + – + +
A) 9
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
a
Palme Yayınevi
ab5de dir. a b 5 d e olduğuna göre, ilk tahminden sonra en fazla kaç denemede doğru sayıyı bulabiliriz?
5.
a k m
– + + + –
B) 7
C) 25
D) 35
3. Dört basamaklı bir sayı için ilk tahmin, – + + +
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
g noktasına gelindiğinde ters yöne dönerek sayma işlemine ara vermeden devam edelim. (a, b, c, d, e, f, g, f, e, d …)
Bu kurala göre, sayacağımız 640. nokta aşağıdakilerden hangisidir? C) m
d
Çözüm: a, b, c, d, e, a, e, d, c, b, a, b, c, d, e… ABBBBBBBBBBBB BC 10 ad›mda bir tekrar
93
10
90
9
3
B) e
c
Bu kurala göre, sayacağımız 93. nokta hangisi olur?
e
a noktasını başlangıç noktası olarak varsayarak, saat yönünde çizgiler üzerindeki noktaları saymaya başlayalım.
A) h
e
Örneğin; a, b, c, d, e, a, e, d, c, b ……
f
A) 10
d
g
E) 42
5 4 3 b olduğuna göre, en fazla kaç tahminde aradığımız dört basamaklı sayıyı bulabiliriz?
b
h
a b c d e olduğuna göre, bu tahminden sonra en fazla kaç denemede doğru sayıyı bulabiliriz?
b
a noktasını başlangıç noktası varsayarsak ok yönünde noktaları saymaya başlayalım. a noktasına gelindiğinde, a noktasını tekrar sayarak ters yönde noktaları saymayı devam edelim.
c
2. Beş basamaklı bir sayı için ilk tahmin,
A) 6
/Problemler
D) f
E) g
a
b
c
↓ ↓
↓
1
3
2
Noktamız c olur.
201
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
e
a
Örnek
f
• Bir turnuvaya toplam 64 takım katılıyor.
b
A şehrinde liseler arası futbol turnuvası yapılacaktır.
h
• Turnuvaya toplam 32 takım katılıyor. • Takımlar kura ile eşleşiyor.
g
c
• Maçlar karşılıklı iki takım arasında yapılıyor ve yenilen takım turnuvadan eleniyor.
d
• Yenilen takım ise turnuvadan eleniyor.
Buna göre, bir takım en fazla kaç tane maç yapmıştır?
Yukarıdaki şekilde, köşelerde bulunan iki karenin içindeki sayıların çarpımı çarpılan iki karenin ortasındaki daire içinde olan sayıya eşittir.
Çözüm:
Örneğin, a . c = f
En çok maç yapan takım şampiyonluk maçına çıkan takımdır.
• Ali şampiyonluk maçında oynamıştır.
a.b=e
• Ve bu maçta kırmızı kart görmemiştir.
b. d = h olur.
• Ali toplam iki maçta kırmızı kart cezasından dolayı oynamamıştır.
64 takım I. tur
• Bir maçta 2 sarı kart gören bir oyuncu, ilk maçta cezalı sayılır ve oynayamaz.
Bu kuraldan yararlanarak 6., 7. ve 8. soruları birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız.
32 takım kalır (1 maç yapılmış) II. tur 16 takım kalır (1 maç yapılmış)
8 takım kalır (1 maç yapılmış) IV. tur 4 takım kalır (1 maç yapılmış)
6. a, b, c birer tam sayı olmak üzere,
2 takım kalır (1 maç ve son maç)
e = 20 ve f = 60 için a nın en büyük değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Toplam 5 maç yapmıştır.
A) 5
V. tur
B) 10
C) 15
D) 20
9. Turnuvada toplam kaç tane futbol maçı yapılmıştır? A) 32
B) 31
C) 28
D) 27
E) 26
E) 30
Örnek
10. Turnuvada en fazla maç yapan takım toplam kaç maç yapmıştır?
d
a
Palme Yayınevi
III. tur
9., 10., 11. ve 12. soruları birbirinden bağımsız olarak yukarıdaki bilgilere göre cevaplayınız.
A) 6
b
C) 4
D) 3
E) 2
7. a = – 5, b = – 10, d = –
c e
1 2 için e + h toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
B) 5
f
Yukarıdaki şekilde, köşelerdeki sayıların çarpımı, iki köşenin ortasındaki sayıya eşittir.
A) 20
B) 27
C) 32
D) 45
E) 55
11. Ali, hangi maçlarında kırmızı kart görmüştür? A) 1. ve 4.
Örneğin, d.f = b olur.
B) 2. ve 4.
D) 1. ve 2.
Buna göre, a.b.c = 900 iken d . f . e çarpımı kaç olabilir?
C) 1. ve 3.
E) 2. ve 3.
Çözüm: a = d.e b = d.f 4 olduğundan c = e.f a.b.c = d2.e2.f2 olur. 900 = (d . e . f)2
8. e . f . g . h = 400 olduğunda a . b . c . d çarpımı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) –40 B) –20 C) 10
D) 25
12. Bu turnuvadaki bir oyuncu en fazla kaç maç yapmış olabilir? (Bir oyuncu en fazla bir takımda oynayabilir.) A) 15
E) 80
B) 10
C) 8
D) 7
d . e . f = 30 veya d . e . f = –30 olur.
202
1. D
2. C
3. B
4. A
5. C
6. D
7. E
8. B
9. B
10. B
11. C
12. E
E) 5
9.Ünite Sayısal Mantık ve Muhakeme Problemleri
Bilgi Köşesi
2. TEST
Şermin ve Funda bilet kuyruğunda
4., 5. ve 6. soruları birbirinden
beklemektedirler.
bağımsız olarak verilen bilgilerden
• Şermin sondan başa doğru sayıldı-
yararlanarak çözünüz.
Örnek Ali ve Mehmet aynı bilet kuyruğunda sıra beklemektedirler.
1'den 30'a kadar her sayı kendi adedi
ğında 30. sıradadır.
• Ali sondan 20. sıradadır.
kadar soldan sağa doğru yazılarak bir
• Funda baştan sona doğru sayıldı-
• Mehmet baştan 30. sıradadır.
A sayısı elde ediliyor.
ğında 28. sıradadır.
• Ali ve Mehmet arasında 10 kişi vardır.
(1 ve 30 dahil)
• Şermin ile Funda arasında 8 kişi
A = 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 …
vardır. • Betül ve Murat bilet kuyruğunda
Şermin ve Funda'nın arasında
Ali gişeye daha yakın olduğuna göre, kuyrukta kaç kişi vardır? Çözüm:
beklemektedirler.
Gişe
1., 2. ve 3. soruları birbirinden bağımsız olarak yukarıda verilen
arkasında 19 kişi Ali
bilgileri göre cevaplayınız. 4. A sayısının 38. basamağındaki rakam aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 3
E) 9
1. Funda bilet kuyruğunda, Şermin'den daha önde ise kuyrukta toplam kaç kişi vardır? B) 65
C) 64
D) 63
E) 62
10 kişi
Mehmet
önünde 29 kişi var 20 + 19 – 1 = 38 38 kişi vardır.
Örnek
Palme Yayınevi
A) 66
/Problemler
1'den 12 ye kadar her sayı kendi adedi kadar soldan sağa doğru yazılarak bir sayı elde ediliyor. 122333444455555 … Buna göre, bu sayının 47. basamağındaki rakam kaçtır?
5. Bu sayının ilk 14 basamağının (soldan) sayı değerleri toplamı kaçtır? 2. Kuyruktaki kişi sayısı en az kaç kişi olabilir? A) 60
B) 55
C) 48
D) 36
A) 50
B) 55
C) 60
D) 65
E) 70
Çözüm: 1 → 1 tane 2 → 2 tane 3 → 3 tane 4 → 4 tane
E) 34
5 → 5 tane 6 → 6 tane 7 → 7 tane
3. Şermin kuyrukta Funda'nın arkasında yer alsın. Kuyruğa Betül'ün bir arkadaşı, Betül'ün arkasında sıraya eklenirse Şermin sondan kaçıncı sırada yer alır? A) 27
B) 28
C) 29
D) 30
E) 31
6. A sayısı kaç basamaklı bir sayıdır? A) 500 D) 440
B) 480
C) 465 E) 395
8 → 8 tane 9 → 9 tane + ––––––– 45 basamak …101010 46. basamak
47. basamak = 0 olur.
203
9.Ünite
/Problemler
Bilgi Köşesi
7.
A
9. II. tablodaki Y ve Z sayıları için Y – Z farkı aşağıdakilerden hangisidir?
D
A) –169
Örnek
• Toplantıda masaların hepsi doludur ve masaların 8 tanesi 3 kişiliktir. Buna göre, toplantıda kaç tane 5 kişilik masa kullanılmıştır?
B
Başlangıç konumu yukarıdaki gibi verilen ve 9 eşit parçaya bölünmüş ABCD karesi ok yönünde B köşesinin üzerinde 270° döndürülüyor.
Döndürme işlemi bittiğinde ABCD karesinin görünümü aşağıdakilerden hangisi olur? A)
B) B
8 tane 3 kişilik masa varsa
A
Pelin ve Murat nişan merasimi yapmak için bir salon kiralıyorlar. • Merasimde kullanılacak masaların tamamı doludur.
C)
D
C
C
B
• Merasimde sadece 3,4 ve 5 kişilik masalar kullanılabilecektir.
A
• Merasime toplam 140 kişi katılacaktır. 10., 11. ve 12. soruları birbirinden bağımsız olarak, yukarıda verilen bilgilere göre cevaplayınız.
45 – 8 = 37 tane masa kalır. C
5 . x + 4 . (37 – x) + 8 . 3 = 180 x = 8 olur.
D
A
B
D)
D
E) B
A
D
C
C
D
A
B
Palme Yayınevi
5 kiflilik masa say›s› 4 kiflilik masa say›s› X 37 – X
10. Merasimde kullanılan toplam masa sayısı 35 ve bunlardan 10 tanesi 3 kişilik masa ise kaç tane 5 kişilik masa vardır?
Örnek
–2
Yukarıdaki örüntü belirli bir kurala göre oluşturulmuştur.
3
–7
13
–27
…
729
…
B) 13
C) 10
D) 9
E) 8
I. tablo
Bu kurala göre, örüntünün 6. terimi kaçtır?
4
Çözüm:
X
Y
Z
11. 3, 4 ve 5 kişilik masaların her birinden en az bir tane kullanmak şartıyla, 5 kişilik masadan en fazla kaç tane kullanılabilir?
II. tablo
1 –4 :;;;;< –3 ile çarp›p
A) 29
Yukarıdaki I. tablonun her kutucuğu kendi aralarında belirli bir kurala göre düzenlenmiştir.
–1 eklenmifl Kural, bir önceki terim (–3) ile çarpılıp (–1) ekleniyor.
B) 28
C) 27
D) 26
E) 25
II. tablonun her kutucuğu da I. tablonun kutucuklarına göre, belirli bir kural
O halde
doğrultusunda düzenlenmiştir.
5.terim (–34).(–3) + (–1)=101
8. II. tabloda X yerine gelecek sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) –49 B) –6
204
A) 15
Aşağıda verilen bilgilerden yararlanarak 8. ve 9. soruları cevaplayınız.
1 ,–4, 11, –34
E) 120
C
Çözüm:
6.terim 101.(–3)+(–1)= –303–1= –304
C) 49
D) 100
• Bir toplantıda 3, 4 ve 5 kişilik masalar kullanılacaktır. • Toplantıya 180 kişi katılır ve toplam 45 masa vardır.
B) –120
1. A
2. C
3. D
C) 0
4. E
D) 9
5. A
12. 3, 4 ve 5 kişilik masalardan eşit sayıda kullanılmak istenirse, herhangi bir masanın boş kalmaması için en az kaç kişi daha merasime davet edilmelidir? A) 3
E) 20
6. C
7. A
8. D
B) 4
9. B
C) 7
10. C
D) 8
11. D
12. B
E) 11
9.Ünite Sayısal Mantık ve Muhakeme Problemleri
a
Bilgi Köşesi
3. TEST 2. X sayısının en küçük pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3
c
b
6
9
Örnek X
12
X sayısı hem 3 hem 5, hem de 12
d
X
/Problemler
sayısına tam bölünebilmektedir. 18
24
Buna göre, en küçük pozitif X
e
f
A) 72 Yukarıda verilen şekilde, altıgenin içindeki X sayısı, köşelerde daire içinde bulunan sayılara tam bölünmektedir.
B) 90 D) 144
C) 120
tam sayısı kaçtır?
E) 180 Çözüm:
• a, b, c, d, e, f ve X birer tam sayıdır.
EKOK (3, 5, 12) = 60 . k
• Daire içindeki sayılar birbirinden farklıdır.
k = 1 alınırsa x = 60 olur.
Örneğin 6
3
90
1
2
3. X sayısının en küçük doğal sayı değeri aşağıdakilerden hangisidir?
100
90 sayısı 1, 3, 5, 2, 6, 10 sayılarına tam bölünür. 1.,2.,3. ve 4. soruları birbirinden bağımsız olarak yukarıda verilen bilgilere göre cevaplayınız.
300
X
–40
–240
A) 720
90
Örnek
5
Palme Yayınevi
10
B) 540
60
20
15
C) 360 X
D) 240
E) 0 30
18
x tam sayısı köşelerde yazan sayıların her birine tam bölünmektedir.
1. X sayısının en küçük pozitif değeri aşağıdakilerden 4 hangisidir?
8
16
X
128
32
4. e sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Bu şartı sağlayan en küçük 75
150
30
64
pozitif x tam sayısı kaçtır?
10
2
e
5
Çözüm: EKOK (20, 30, 15, 18) = 180. k k = 1 için x = 180 olur.
A) 1024 D) 128
B) 512
C) 256 E) 64
A) 7
B) 12
C) 15
D) 19
E) 24
205
/Problemler
Sayısal Mantık ve Muhakeme Problemleri
Bilgi Köşesi
Yandaki verilen dörtgen içindeki A sayısı, dörtgenin köşelerindeki, X, Y, Z ve W sayılarına tam bölünmektedir.
Örnek x bir gerçek sayı olmak üzere, [x] = n (n, x'in karesinden büyük ya da x2 ye eşit olan en küçük tam sayı) biçiminde tanımlanıyor. [1, 2] – [3, 2] + [2, 3] . [0]
n ≥ x2 02 = 0
SPOR KENT
Z
[2, 3] = 6 ve [0] = 0 olur.
A
200 000
70
70 000
B
150 000
50
60 000
C
75 000
25
20 000
D
60 000
20
18 000
E
50 000
10
12 000
• Köşelerdeki sayıların mutlak değerleri 1'den büyüktür. Verilen bilgilere göre, 8., 9. ve 10. soruları cevaplayınız.
Bu kentler için aşağıdaki oranlar hesaplanmıştır.
2 – 11 + 6.0 = –9
bulunur.
5. A, 500 den büyük bir sayı olduğuna göre, A nın alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?
Dengedeki bir terazinin birinci kefesine yalnız 24 gramlık, diğer kefesine 16 gramlık bilyeler konulacaktır. İki kefeye toplam olarak en az kaç bilye konulursa, terazi dengede kalır?
NÜFUS
Yukarıda verilen tabloda A, B, C, D, E kentlerinin nüfusları, bu kentlerdeki 15-18 yaş arası genç nüfusun yararlanabileceği kapsamlı spor tesislerinin sayısı verilmiştir.
[1, 2] – [3, 2] + [2, 3] . [0]
Örnek
15-18 yaş
TESİSİ (15-18 yaş)
• Köşelerdeki sayıların işaretleri daima aynıdır.
[1, 2] = 2, [3, 2] = 11,
NÜFUS
W
• Köşelerdeki sayılar ve A sayısı sıfıra eşit olamaz.
Çözüm
(2, 3)2 = 5,29
A
• Köşelerdeki sayılar ve A sayısı tam sayıdır.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
(3, 2)2 = 10,24
5., 6. ve 7. soruları birbirinden bağımsız olarak verilere göre cevaplayınız.
Y
• Köşelerdeki sayıların her biri birbirinden farklıdır.
Buna göre,
(1, 2)2 = 1,44
X
A) 510
5
10 A
XN =
Nüfus Spor Tesisi Say›s›
XG =
Nüfus 15 – 18 yafl nüfus
GX =
15 – 18 yafl nüfus Spor Tesisi Say›s›
4
2
B) 520
D) 540
C) 530 E) 560
6. W sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?
Palme Yayınevi
9.Ünite
8. Bu kentlerin kaç tanesinde
60
20
XN ≥ 3000 dir? A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
180
Çözüm 24 gramlık bilyeden X tane
W
90
16 gramlık bilyeden Y tane olsun.
A) 14
24 . X = 16.Y olmalıdır.
B) 11
C) 9
D) 8
E) 7
3 . X = 2 . Y ise X=2 Y=3
4 toplam 5 tane olur.
7.
Üç basamaklı A sa-yısının alabileceği en büyük değerinin onlar basamağındaki rakam kaçtır? A) 0
206
B) 1
1. D
–9
A) 2
–5
B) 5
C) 8
D) 10
E) 12
A
–20
–10
C) 2
2. A
9. A ve E şehirlerinin GX değerlerinin eşit olması için E kentine kaç tane daha yeni spor tesisi açılmalıdır?
3. E
D) 3
E) 9
4. D
5. B
10. Hangi kentte XG oranı en büyüktür? A) A
6. A
7. A
B) B
8. B
C) C
9. A
D) D
10. E
E) E
MANTIK
10. Ünite
10.Ünite
Mantık Mantık
Bilgi Köşesi • Emir, soru, heyecan cümleleri bir önerme belirtmez.
Örnek
1. TEST 4. p ≡ 1
1. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) Ahmet'in boyu 165 cm dir. B) Van Gölü Güney Doğu Anadolu bölgesindedir.
q≡0
r≡1
olduğuna göre,
p ∧ (pʹ ∨ q)
C) Burak'ın Matematik sınav notu 86 dır.
I. (p ∨ q) ∧ r
önermesinin denk olduğu önermeyi bulalım.
D) Altının karesi otuz altı değildir.
II. (p ∧ q) ∨ r
E) Bu kimi ilgilendirir?
III. (p ∨ r) ∧ (q ∧ p)
Çözüm: p ∧ (pʹ ∨ q) ≡ (p ∧ pʹ) ∨ (p ∧ q)
IV. (p ∧ q) ∨ (q ∨ r)
≡ 0 ∨ (p ∧ q)
V. (p ∨ r) ∨ (q ∨ r)
≡p∧q
bulunur.
önermelerinden kaç tanesinin doğruluk değeri 1 dir?
2. Aşağıdaki önermelerden hangisi doğru değildir? A) Altı çarpı altı otuzdan büyüktür.
Örnek I. p ∧ pʹ≡ 1
B) Bir pozitif tam sayının iki katının iki eksiği negatif değildir.
Palme Yayınevi
A) 1
D) Ardışık üç doğal sayının toplamı üç ile tam bölünür.
III. p ∨ pʹ ≡ 1
E) En küçük asal sayı iki'dir.
C) 3
D) 4
E) 5
5. p ∧ (q ∨ pʹ)
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) 1 D) p ∧ q
C) İkiden büyük iki asal sayının toplamı tek sayıdır.
II. pʹ ∨ 1 ≡ pʹ
B) 2
C) p E) pʹ
IV. p ∧ p ≡ p V. p ∨ 0 ≡ p Yukarıdaki denkliklerden hangilerinin doğru olduğunu bulalım. Çözüm:
I. p ∧ pʹ≡ 0 olup I. yanlış II. pʹ ∨ 1 ≡ 1 olup II. yanlış III. p ∨ pʹ ≡ 1 olup III. doğru IV. p ∧ p ≡ p olup IV. doğru V. p ∨ 0 ≡ p olup V. doğru O halde III, IV ve V doğrudur.
3. Altı farklı önermenin doğruluk değerlerinin sayısı kaçtır? A) 6
B) 8
C) 12
D) 32
E) 64
6. pʹ ∨ (qʹ ∨ p)
önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisine denktir?
A) 1 D) qʹ
208
B) 0
C) pʹ E) p ∧ qʹ
10.Ünite 7.
I. p ∧ p ≡ p
10. p Q pʹ
II. p ∨ p ≡ p
III. pʹ ∧ p ≡ 1
IV. pʹ ∨ p ≡ 0
V. p ∧ (p ∨ q) ≡ p
A) 1
B) 2
B) 1
C) 3
D) 4
• p Q pʹ ≡ 1
C) p
D) pʹ
Yukarıda verilen denkliklerden kaç tanesi doğrudur?
Bilgi Köşesi
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0
/ Mantık
E) p ∧ 1
Örnek
E) 5
p ∧ (p ⇒ 1) önermesinin denk olduğu ifadeyi bulalım. Çözüm: p ∧ (p ⇒1) ≡ p ∧ (pʹ ∨ 1)
11.
.1
A
.2 .8 .5
≡ (p ∧ pʹ) ∨ (p ∧ 1)
≡ 0 ∨ p ≡ p bulunur.
.3
.9 .7
E
8. (p ∧ pʹ) Q (pʹ ∨ p) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) pʹ ∧ 1
B) pʹ
D) 0
C) p E) 1
Palme Yayınevi
.4
.6
Bir p önermesi
x ∈ A ise p(x) ≡ 1
x ∉ A ise p(x) ≡ 0
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, E kümesinin kaç elemanı için p(x) ≡ 0 dır? A) 1
B) 2
Örnek pʹ Q (pʹ ⇒ 0) önermesinin denk olduğu ifadeyi bulalım.
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm: pʹ Q (pʹ ⇒ 0) ≡ pʹ Q (p ∨ 0)
≡ pʹ Q p
≡ 1 dir.
Örnek (pʹ Q 0) ∧ p
9. [p ∨ (p ∧ p)ʹ]ʹ
12. [p ∨ (pʹ ∧ q)] ∨ pʹ
önermesinin denk olduğu önermeyi bulalım.
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
Çözüm:
A) 1
Bu nedenle (pʹ Q 0) ∧ p ≡ pʹ ∧ p
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p
B) 1 D) pʹ
C) 0 E) pʹ ∧ 1
B) 0 D) pʹ ∨ q
C) p
p ʹ Q 0 ≡ pʹ dür.
E) q
≡0
bulunur.
1. E
2. C
3. E
4. D
5. D
6. B
7. C
8. E
9. C
10. B
11. D
12. A
209
10.Ünite
Mantık Mantık
Bilgi Köşesi
2. TEST
1. p : "d1 doğrusu d2 doğrusuna paraleldir."
4. p Q (p ⇒ 0)
q : " d3 doğrusu d1 doğrusuna diktir."
p ve q önermeleri için
önermeleri veriliyor.
p ⊕ q ≡ (p ∧ q)ʹ
şeklinde tanımlanıyor.
p ∧ q önermesinden aşağıdaki sonuçlardan hangisi elde edilir?
Buna göre,
A) d2 doğrusu d3 doğrusuna paraleldir.
(p ⊕ qʹ) ∨ p işleminin sonucu nedir?
B) d1 doğrusu ve d2 doğrusu diktir. C) d1, d2 ve d3 doğruları paraleldir.
Çözüm:
D) d1 ve d2 doğrusuna paralel bir d4 doğrusu vardır.
p ⊕ q ≡ (p ∧ q)ʹ
E) d2 doğrusu d3 doğrusuna diktir.
Örnek
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) p D) pʹ ∧ 0
C) pʹ E) 1
≡ pʹ ∨ qʹ (p ⊕ qʹ) ≡ pʹ ∨ (qʹ)ʹ ≡ pʹ ∨ q (p ⊕ qʹ) ∨ p ≡ (pʹ ∨ q) ∨ p ≡ (pʹ ∨ p) ∨ q ≡ 1 bulunur.
2. p Q (pʹ ∨ 1)
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p
Örnek
B) 1 D) p ∧ 1
Palme Yayınevi
≡ 1 ∨ q
5. pʹ ⇒ (p ∨ 0)
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) pʹ
C) 0
B) p D) 1
E) pʹ
C) 0 E) p ∧ 1
pʹ⇒(pʹ⇒p) koşullu önermesinin değilini (olumsuzunu) bulalım.
Çözüm: pʹ⇒(pʹ⇒p) ≡ pʹ⇒ [(pʹ)ʹ ∨ p)]
≡ pʹ⇒ (p ∨ p)
≡ pʹ⇒ p
≡ (pʹ)ʹ∨p ≡ p ∨ p ≡p
olup verilen önermenin değili pʹ dir.
3. p ∧ (p ⇒ 1)
6. pʹ ⇒ (p ⇒ pʹ)
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1
B) 0 D) pʹ
210
C) p E) p ∧ 1
önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1
B) 0 D) pʹ ∧ 1
C) p E) pʹ
10.Ünite 10. p ∨ qʹ ≡ 1
7. Mantıkta p ∧ 1 ≡ p olarak gösterilen denkliğin kümelerdeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) A ∩ ∅ = ∅
B) ∅ ∩ E = ∅
C) A ∩ Aʹ = ∅
D) A ∪ A ʹ = E
pʹ ∨ s ≡ 0 ve q ∨ sʹ ≡ 1 olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p ≡ 1, q ≡ 0 s ≡ 1 C) p ≡ 0 q ≡ 1 s ≡ 0 E) p ≡ 1 q ≡ 0 s ≡ 0
E) A ∩ E = A
/ Mantık
Bilgi Köşesi
B) p ≡ 0 , q ≡ 1 s ≡ 1 D) p ≡ 0 q≡1 s ≡ 0
Örnek p ∧ (q∨r)ʹ ≡ 1 olduğuna göre, (pʹ ∨ q) ∧ r önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm: p ∧ (q ∨ r)ʹ ≡ 1 ise p ≡ 1 ve (q ∨ r)ʹ ≡ 1 qʹ ∧ rʹ ≡ 1
8. Mantıkta 0 ∧ q ≡ 0 olarak gösterilen denkliğin kümelerdeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? B) A ∩ E = A
C) ∅ ∩ A = ∅
D) A ∪ E = E
E) ∅ ∪ A = E
qʹ ≡ 1, rʹ ≡ 1
q ≡ 0, r ≡ 0 dır.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru olabilir?
O halde
Palme Yayınevi
A) ∅ ∪ A ≡ A
11. p ∧ (q ∨ rʹ) ≡ 1
A) p ≡ 1 B) p ≡ 0 C) p ≡ 1 q ≡ 1 q ≡ 0 q ≡ 0 r ≡ 1 r ≡ 1 r ≡ 1 D) p ≡ 0 E) p ≡ 0 q ≡ 1 q ≡ 1 r ≡ 0 r ≡ 1
(pʹ ∨ q) ∧ r ≡ (1ʹ ∨ 0) ∧0
≡ (0 ∨ 0) ∧ 0
≡ 0 bulunur.
Örnek Mantıkta p ∨ 0 ≡ p ile gösterilen denkliğin kümelerdeki karşılığını bulalım.
9. [p ⇒ (p ∨ qʹ)]
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) pʹ
B) p ∧ qʹ D) 1
12. Mantıkta p ∨ pʹ ≡ 1 olarak gösterilen denkliğin kümelerdeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
C) 0 E) q
1. E
A) A ∩ Aʹ = ∅
B) A ∪ Aʹ = E
C) Aʹ ∩ E = ∅
D) A ∪ E = E
2. E
3. C
4. E
5. B
6. B
7. E
Çözüm: p ∨ 0 ≡ p önermesinin kümelerdeki karşılığı A ∪ Q ≡ A şeklindedir.
E) A ∪ A = A
8. C
9. D
10. E
11. A
12. B
211
10.Ünite
Mantık Mantık
Bilgi Köşesi
3. TEST
1. p : " En küçük negatif tam sayı –1 dir."
Örnek
4. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir?
q : "8 sayısı 4'e tam bölünür."
p : "32 + 42 ≠ 52 dir."
r : "–1 in tüm gerçek sayı kuvvetleri –1 dir."
olduğuna göre, pʹ önermesini bulalım.
s : "17 sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 dir."
C) Üçgenin dört kenarı vardır.
Çözüm:
t : "En büyük iki basamaklı asal sayı 97'dir."
önermeleri veriliyor.
E) 23 Nisan Ulusal Egemenlik ve Çocuk Bayramı'dır.
Bu önermelerden kaç tanesi doğru önermedir?
pʹ : "32 + 42 = 5 2" dir.
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
A) En küçük asal sayı 2 dir. B) Bir hafta 7 gündür. D) Güzel günler göreceğiz.
E) 1
p : "6 + 5 < 13 tür." önermesinin değilini bulalım. Çözüm:
2. Matematikte doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere ………… adı verilir.
p: "6 + 5 ≥ 13" tür.
Yukarıdaki cümleyi doğru olarak tamamlamak için boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) bilgi
B) terim
D) önerme
C) totoloji
Palme Yayınevi
Örnek
5. Bir önermenin doğru ya da yanlış olduğunu bildiren 0 ve 1 sembollerine, o önermenin ……………… denir.
Yukarıdaki cümleyi doğru olarak tamamlamak için boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) hipotezi
E) çelişki
D) tersi
3. p: "Bir dörtgenin iç açılarının ölçülerinin toplamı 330° dir."
Örnek p : "En küçük pozitif tam sayı 1 dir." önermesinin değilini bulalım. Çözüm: pʹ : "En küçük pozitif tam sayı 1 değildir."
212
B) hükmü
C) karşıtı
E) doğruluk değeri
6. p : "En küçük doğal sayı 0 dır."
önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?
q : "33 + 43 + 53 = 63 tür."
r : "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır."
A) pʹ : "En büyük doğal sayı 0 dır."
önermeleri veriliyor.
B) pʹ : "En küçük doğal sayı 1 dir."
Bu önermelerden hangileri yanlış önermedir?
C) pʹ : "En küçük doğal sayı 0 değildir."
A) Yalnız p
E) p : "En büyük pozitif tam sayı 0 değildir."
B) p ve q
D) Yalnız q
C) p ve r
E) p, q ve r
D) pʹ : "En büyük doğal sayı 1 dir."
10.Ünite 7. pʹ ≡ 1
10. p : "Antalya, Akdeniz bölgesindedir."
q≡0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p ≡ 1
B) qʹ ≡ 0
D) (pʹ)ʹ ≡ 1
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q : "(33)2 = 81 dir." B) r : " İki basamaklı asal sayılar 25 tanedir." C) s : "Yunanistan'ın başkenti Varşova'dır." D) t : "İki asal sayının toplamı daima tektir." E) u : "2.9 = 18 dir."
C) (qʹ)ʹ ≡ 1 E) p ≡ q
/ Mantık
Bilgi Köşesi
Örnek Mantıkta 1 ∨ p ≡ 1 ile gösterilen denkliğin kümelerdeki gösterimini bulalım. Çözüm: Mantıkta 1 ∨ p ≡ 1 denkliğinin kümelerdeki karşılığı E evrensel küme olmak üzere E ∪ A ≡ E şeklindedir.
8. p : "6 + 5 + 4 = 3 + 17"
11. I. (p ∨ qʹ) ∨ pʹ
II. [(p ⇒ q) ∨ (p ∨ q)]
III. [(p ∧ q) ∨ (p ⇒ q)ʹ]ʹ
bileşik önermelerinden hangisi veya hangileri bir çelişkidir?
önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) pʹ : "3 + 4 + 6 ≠ 4 + 17" B) pʹ : "6 + 5 + 4 < 3 + 17"
A) I ve II Palme Yayınevi
C) pʹ : "6 + 5 + 4 > 3 + 17" D) pʹ : "6 + 5 + 4 + 3 > 17" E) pʹ: "6 + 5 + 4 ≠ 3 + 17"
B) I ve III
D) Yalnız II
C) Yalnız I
E) Yalnız III
Örnek Mantıkta p ∧ pʹ ≡ 0 ile gösterilen denkliğin kümelerdeki gösterimini bulalım. Çözüm: p ∧ pʹ ≡ 0 denkliğinin kümelerdeki karşılığı A ∩ Aʹ = ∅ şeklindedir.
9. pʹ : "9 + 16 ≤ 25"
önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) p : "16 – 9 ≤ 25" B) p : "16 – 9 < 25" C) p : "16 + 9 < 25"
12. Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri daima 1 dir? A) pʹ Q 0 B) (1 ⇒ 1) Q p C) (0 Q p) ⇒ (1 Q pʹ) D) (pʹ ⇒ 0) Q p E) p Q 1
Örnek pʹ ⇒ (pʹ ∧ q)
D) "9 + 16 > 25"
önermesinin denk olduğu ifadeyi bulalım.
E) p : "16 + 9 = 25"
Çözüm: pʹ ⇒ (pʹ ∧ q) ≡ (pʹ)ʹ ∨ (pʹ ∧ q)
≡ p ∨ (pʹ ∧ q) ≡ (p ∨ pʹ) ∧ (p ∨ q) ≡ 1 ∧ (p ∨ q) ≡ p∨q bulunur.
1. C
2. D
3. A
4. D
5. E
6. C
7. E
8. E
9. E
10. E
11. E
12. C
213
10.Ünite
Mantık Mantık
Bilgi Köşesi
Örnek
1. p′ / q / 1 olduğuna göre,
4. p 0 q′
p : “En küçük asal sayı 2 dir.” p′ : “En küçük asal sayı 2 değildir.” Burada; p / 1, p′ / 0, dır.
pʹ
1
0
0
1
aşağıdakilerden hangisi doğruluk değeri 1 olan bir bileşik önermedir?
önermesi yanlış iken aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
A) p ⇔ q
B) p′ / q′
A) p′ ∧ q′
B) p ∧ q′
C) p ⇒ q
D) p 0 (p′ / q′)
C) p ∧ q
D) (p ∨ q)′ ∧ q
p ve p′ önermelerinin doğruluk değerlerinin tablosu: p
4. TEST
E) p / q
E) (p ∧ q)′ ∧ p
şeklinde olur. (p′)′ / p dir. p
(pʹ)ʹ
1
0
1
0
1
0
p ≡ (pʹ)ʹ
p
q
p vq
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
p
q
p∧ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
2. p ⇒ q
5. (p′ 0 q)′ / q
önermesi yanlış ise aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p′ / q′
B) p / q
C) p′ ⇒ q′
D) q′ ⇒ p′
E) (q ⇒ p)′
Palme Yayınevi
p
önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) p / q
B) p′ 0 q
D) 0
C) (p 0 q)′
E) 1
• p v q önermesi yanlış ise p / 0 ve q / 0 dır. • p v q / p′ ⇒ q
3. (p ⇒ q)′
6. (p ⇒ q′)′
• p / q / 1 ise
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
A) p′ / q
B) p / q
A) p / q′
C) p′ / q′
D) p′ ⇒ q
p / 1 ve q / 1 dir.
214
E) p / q′
B) p′ / q
D) p 0 q
C) p / q E) p′ 0 q′
10.Ünite 7. p 0 q
bileşik önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) p′ ⇒ q′
B) p / q
D) p ⇒ q′
10. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi bir çelişkidir?
C) p′ ⇒ q
A) (p 0 p′)′ 0 p
B) p ⇒ (p′ 0 q)
C) p′ ⇒ (p / q)
D) p ⇔ q
E) p′ / q′
E) p / p′
/ Mantık
Bilgi Köşesi
Örnek (pʹ / q) v qʹ / 0 olduğuna göre, p ∧ q bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım. Çözüm: (pʹ / q) v qʹ / 0 ise, qʹ / 0 ve pʹ / q / 0 olmalıdır. Buradan, pʹ / 1 / 0 (qʹ / 0) ise pʹ / 0 olmalıdır. pʹ / 0 olduğundan p / 1 dir. Buna göre, p / q / 1 / 1 / 1 olur.
A) p ⇒ p′
B) p′ ⇒ p
D) p ⇒ q
C) p 0 p′
E) (p′ ⇒ q)′
Palme Yayınevi
8. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi totolojidir?
1. p v 1 / 1, p v 0 / p,
11. p / (q / r) ≡ (p / q) / r
p / 1 / p, p / 0 / 0
denkliği aşağıdaki özelliklerden hangisini gösterir? A) Tek kuvvet
B) Değişme
C) Birleşme
D) Dağılma
2. p v p′ / 1, p / p′ / 0 3. p v (p / q) / p, p / (p v q) / p dir.
E) De Morgan Koşullu Önermenin Tersi, Karşıtı, Karşıt Tersi p ⇒ q koşullu önermesi verilsin. p ⇒ q nun tersi: pʹ ⇒ qʹ p ⇒ q nun karşıtı: q ⇒ p p ⇒ q nun karşıt tersi: qʹ ⇒ pʹ dir.
9. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi totolojidir? A) (p / q) ⇒ r
B) p ⇒ (q ⇒ p)
C) (p ⇒ q) ⇒ q D) (p ⇒ q′) ⇒ p′ E) (q ⇒ p)′ ⇒ p
1. C
2. C
3. E
4. E
önermesinin karşıt – tersi aşağıdakilerden hangisidir?
6. C
7. D
p⇒q koşullu önermesinin değilini bulalım.
A) (p′ 0 q′ 0 r)
B) (p′ 0 q′) ⇒ r′
Çözüm:
C) p ⇒ r′
D) (q 0 p′) ⇒ r′
p ⇒ q / pʹ v q ise bu önermenin değili,
5. E
Örnek
12. (p / q) ⇒ r
E) r′ ⇒ (p′ 0 q′)
8. C
9. B
10. E
(p ⇒ q)ʹ / (pʹ v q)ʹ
11. C
12. E
/ (pʹ)ʹ / qʹ
/ p / qʹ olur.
215
10.Ünite
Mantık Mantık
Bilgi Köşesi • n farklı önermenin farklı doğruluk değerlerinin sayısı 2n dir.
5. TEST
1. p′ 0 q / 0
Örnek
5. 8 farklı önermenin doğruluk değerleri tablosunda kaç farklı durum oluşur?
olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A) 8
B) 16
A) (p′ ⇒ q′) / p B) (p / q′)′ 0 q′
p ⇒ (q ⇒ p)
C) p′ / q′
bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösterelim.
D) 256
C) 64 E) 512
D) (p ⇒ q) ⇒ q
E) (p ⇒ q)′ / p
Çözüm: p ⇒ (q ⇒ p) / p′ v (q ⇒ p) / p′ v (q′ v p)
6. p ve q önermeleri için aşağıdaki tablo tanımlanıyor.
/ p′ v q′ v p / (p′ v p) v q′ (değişme özelliği) / 1 v q′ / 1 dir.
p ⇒ (q ⇒ p) / 1 (daima)
p
q
p↓q
2. p ⇒ q
D
D
Y
önermesi doğru ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
D
Y
Y
Y
D
Y
A) Karşıtı
Y
Y
D
olduğundan bu bileşik önerme bir totolojidir.
Örnek
B) Tersi C) Karşıt–Tersi
D) Olumsuzu
E) (q ⇒ p)′
p⇒q önermesi doğru ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p′ ⇒ q′
B) q′ ⇒ p′
C) p / q′
D) q ⇒ p
Palme Yayınevi
Buna göre, p ve q nun bütün değerleri için,
(p ⇒ q) / (p′ v q) / 1 den
A) (q ⇒ p)′ / p B) p ⇒ q
yazılır. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim.
C) (p ⇒ q)′ ⇒ p D) (p / q)′ / p
A) (p′ ⇒ q′) / (p′)′ v q′ / p v q′ / 0 v 0 / 0 olduğundan yan-
lıştır.
B) YDY
C) YYY
D) DDD E) YYD
3. Aşağıdaki önermelerden hangisi bir totolojidir?
p′ / 1 v q / 1 ⇒ p / 0 v q / 1
A) DDY
E) p′ / q′ Çözüm:
p ↓ [p ↓ (q ↓ rʹ)] önermesi doğru olduğuna göre, p, q ve r nin doğruluğu sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
E) (p ⇒ p) / p
7. (p′ ⇒ q) ⇒ q
önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) p′ ⇒ q
B) q ⇒ p
D) q′ ⇒ p′
C) p ⇒ q
E) 1
B) (q′ ⇒ p′) / (q′)′ v p′ / q v p′
/ 1 v 1 / 1 olduğundan doğrudur.
C) p / q′ / 0 / 0 / 0
4. p′ ⇒ (p′ 0 q)
olduğundan yanlıştır.
D) (q ⇒ p) / q′ v p / 0 v 0 / 0
olduğundan yanlıştır.
E) p′ / q′ / 1 / 0 / 0
olduğundan yanlıştır.
216
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p 0 q D) p′ 0 q
B) 1
C) p′ 0 q′ E) p 0 q′
8. (p / q) ⇒ (p 0 q)
bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) 1 D) p′ 0 q′
C) p / q E) p ⇒ q
10.Ünite 9. Aşağıdaki önermelerden hangisi bir çelişkidir? A) p / (q / p)
B) p′ / (q / p) C) p ⇒ q′
D) p / (p′ v q)
13. [∀x ∈ R, x2 + 1 > 0 ⇒ ∃ x ∈ R, x < 0]
B) [∃ x ∈ R, x < 0 ⇒ ∃ x ∈ R, x2 + 1 ≥ 0] C) [∃ x ∈ R, x ≥ 0 ⇒ ∃ x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0] D) [∀ x ∈ R, x < 0 ⇒ ∃ x ∈ R, x2 + 1 < 0 E) [∀ x ∈ R, x ≥ 0 ⇒ ∃ x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0]
Örnek Aşağıdakilerden hangisi bir çelişkidir? A) p′ ⇒ (q / p) B) p ⇒ (p v q) C) (p v p′)′ / q
10. a, b ∈ R
Bilgi Köşesi
önermesinin denk olduğu önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) [∀ x ∈ R, x > 0 ⇒ ∀ x ∈ R, x2 + 1 < 0]
E) p′ ⇔ q′
/ Mantık
için aşağıdaki önermelerden hangisi daima doğrudur?
D) p v p′
14. (x2 + y2 = 0 ⇒ x = 0 / y = 0)
A) a.b = 0 ⇒ (a = 0 / b = 0) B) (a – 1)2 + (b + 2)2 = 0 ⇔ (a = 1 / b = –2)
E) p v (p / q)′
koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) [x2 + y2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 0 y ≠ 0]
C) (a = 2 / b = 6) ⇔ a.b = 12
C) deki önerme çelişkilidir.
C) [x = 0 / y = 0 ⇒ x2 + y2 = 0]
E) a + b = 6 ⇒ (a = 4 / b = 2)
(p v p′)′ / q / 1′ / q / 0 / q / 0 olup
B) [x2 – y2 ≠ 0 ⇒ x = 0 0 y = 0]
D) (a = b) ⇒ (lal = b)
Çözüm:
Cevap: C
D) [x ≠ 0 0 y ≠ 0 ⇒ x2 + y2 ≠ 0] E) [x ≠ 0 0 y ≠ 0 ⇒ x2 + y2 = 0]
Örnek
11. Aşağıdakilerden hangisi bir gerektirmedir?
Palme Yayınevi
Aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur? (a, b ∈ R)
15. “ABCD bir kare ise ABCD bir dikdörtgendir.” önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) ABCD dikdörtgen ise ABCD karedir. B) ABCD kare değil ise ABCD dikdörtgendir. C) ABCD dikdörtgen değilse ABCD kare değildir. D) ABCD kare ise ABCD dikdörtgen değildir. E) ABCD bir kare değilse ABCD dikdörtgen değildir.
A) x2 – 9 = 0 ⇒ x = –3 B) x2 – 9 = 0 ⇒ x = 3 C) x.y = 10 ⇒ x + y = 11 D) (x + 1) (y – 2) = 0 ⇒ y = 2 E) (x ∈ Z / 5x + 15 = 0) ⇒ x = –3
A) a.b = 5 ⇒ a = 1 / b = 5 B) a2 + b2 = 0 ⇒ a = 0 v b = 0 C) a + b = 0 ⇒ a = 0 / b = 0 D) a.b = 0 ⇔ a = 0 v b = 0 E) a = 2 v b = 3 ⇔ a.b = 6 Çözüm: a.b = 0 ⇒ a = 0 v b = 0 a = 0 v b = 0 ⇒ a.b = 0 olduğundan, a.b = 0 ⇔ a = 0 v b = 0 dır. Cevap: D
Örnek x ∈ Z için
12. Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermelere ......... denir.
16. [∃ x ∈ R, x2 – x > 0 ⇒ ∀ x ∈ R, x2 + x < 0]
[∃x, x2 – x ≤ 0] ⇒ [∀x, x2 ≥ 0]
önermesinin karşıt tersini
önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? [∃ x ∈ R, x2
∃ x ∈ R, x2
bulalım.
Yukarıdaki cümlede boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?
A)
A) Önerme
C) [∃ x ∈ R, x2 – x > 0 / ∃ x ∈ R, x2 + x ≥ 0]
p ⇒ q koşullu önermesinin karşıt-tersi q′ ⇒ p′ olduğundan verilen önermenin karşıt tersi,
D) [∀ x ∈ R, x2 – x ≤ 0 0 ∃ x ∈ R, x2 + x < 0]
[∃x, x2 < 0] ⇒ [∀x, x2 – x > 0]
E) [∃ x ∈ R, x2 + x > 0 / ∀ x ∈ R, x2 – x < 0]
dır.
B) Teorem
D) Tanım
1. C
2. C
3. C
C) Hipotez
E) Aksiyom
4. B
5. D
6. E
7. E
8. B
–x 0]
10. B 11. E 12. E 13. E 14. C 15. E 16. C
Çözüm:
217
10.Ünite
Mantık Mantık
Bilgi Köşesi • p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye bir gerektirme denir.
6.TEST
1. p ⇒ q
4. x bir gerçek sayı olmak üzere,
[(∀ x, x2 + 1 > 0) 0 (∃x, x – 2 = 0)]
önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?
önermesinin bir gerektirme olması için aşağıdaki koşullardan hangisi gerçekleşmelidir? A) p önermesi doğru olmalıdır.
• p ⇒ q / 1 iken q ⇒ p / 1 ise p ⇔ q önermesi bir çift gerektirmedir.
A) [(∃ x, x2 + 1 < 0) / (∀ x, x – 2 ≠ 0)]
B) q önermesi yanlış olmalıdır.
B) [(∃ x, x2 + 1 ≤ 0) / (∀ x, x – 2 ≠ 0)]
C) q ⇒ p önermesinin doğruluk değeri 1 olmalıdır.
C) [(∀ x, x2 + 1 > 0) / (∃ x, x – 2 ≠ 0)]
D) p′ ⇒ q önermesinin doğruluk değeri 1 olmalıdır.
D) [(∀ x, x2 – 2 ≠ 0) 0 (∃ x, x2 + 2 ≤ 0)] E) [(∀ x, x – 2 = 0) 0 (∀ x, x2 + 1 ≥ 0)]
E) p ⇒ q önermesinin doğruluk değeri 1 olmalıdır.
[(∀x∈R, x2 – 9 > 0) / (∃x∈R, x3 – x = 0)] bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
2. Aşağıdaki önermelerden hangisi bir çift yönlü gerektirmedir?
A) (∃x∈R, x2 – 9 > 0) v (∀x∈R, x3 – x > 0)
A) a . b = 10 ⇔ a = 2 / b = 5
B) (∃x∈R, x2 – 9 < 0) v (∀x∈R, x3 – x ≥ 0)
B) a + b = 0 ⇔ a = 0 / b = 0
C) (∃x∈R, x2 – 9 ≤ 0) v (∀x∈R, x3 – x > 0)
C) a = 4 0 b = 2 ⇔ a . b = 8
D) (∃x∈R, x2 + 9 < 0) v (∀x∈R, x3 – x ≤ 0) E) (∃x∈R, x2 – 9 ≤ 0) v (∀x∈R, x3 – x ≠ 0)
D) a2
+
b2
Palme Yayınevi
Örnek 5. (p ⇒ q) 0 r′
önermesi yanlış iken aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) q ⇒ r′
B) r 0 q C) (q 0 p′) ⇔ r
D) p / (r 0 q)
E) p 0 r
=0⇔a=00b=0
E) a . b = 0 ⇔ a = 0 0 b = 0
Çözüm: [(∀x∈R, x2 – 9 > 0) / (∃x∈R, x3 – x = 0)]′ / (∀x∈R, x2 – 9 > 0)′ v (∃x∈R, x3 – x = 0)′ / (∃x∈R, x2 – 9 ≤ 0) v (∀x∈R, x3 – x ≠ 0) dır.
3. Aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur? A) ∃ a ∈ Z, a2 + a < 0
6. E = {1, 2, 3, 4}
olmak üzere aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
B) ∀ a ∈ Z, a2 > 0
A) [∀x∈E, ∀y∈E, 2x + 3y < 11]
C) ∀ a ∈ Z, a – 5 > 0
B) [∃x∈E, ∀y∈E, 2x + 3y > 15
D) ∃ a ∈
Z, a2
+1 1) ⇒ (x > 0 / y > 1)
x ≥ 4]
9. [(x = 4) / (y = 5) ⇒ x.y = 20]
E) (x < –1) ⇒ (x3 < x)
Palme Yayınevi
D) [x ≥ 4 0
Örnek x∈Z olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
önermesinin karşıt – tersi aşağıdakilerden hangisidir? B) [(x ≠ 4) 0 (y ≠ 5) ⇒ x.y ≠ 20]
A) ∀x, x2 > 0 B) ∃x, x2 + 3 < 0 C) ∀x, x2 > x D) ∃x, x3 < x
C) [x.y ≠ 20 ⇒ (x ≠ 4) 0 (y ≠ 5)]
E) ∀x, x – 3 > 0
D) [x.y = 20 ⇒ (x = 4) 0 (y = 5)]
Çözüm:
A) [(x ≠ 4) / (y ≠ 5) ⇒ x.y ≠ 20]
A) x = 0 için 02 = 0 olduğundan doğru değildir. B) x2 + 3 her zaman pozitiftir.
E) [x.y = 20 ⇒ (x ≠ 4) / (y ≠ 5)] 13. “p: Ayşe sarışındır.”
“q: “Ayşe yeşil gözlüdür.”
önermesi veriliyor.
önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi “Ayşe sarışın değildir veya yeşil gözlüdür.” önermesine denktir?
A) [(∀ x ∈ R, x2 > x3]
A) Ayşe yeşil gözlü değilse sarışındır.
B) [(∃ x ∈ R, x2 ≥ x3]
B) Ayşe yeşil gözlü ise sarışın değildir.
10. [∀ x ∈
p′ ⇒ q önermesinin karşıt tersinin olumsuzu (değili) nedir? Çözüm: p′ ⇒ q nun karşıt tersi q′ ⇒ p ve q′ ⇒ p nin olumsuzu (q′ ⇒ p)′ / [(q′)′ v p]′ / (q v p)′ / q′ / p′ olur.
R, x2
3, bu eşitsizlik ∀x için gerçekleşmez. Örneğin x = –4 için –4 > 3 olur. Bu ise yanlıştır. Cevap: D C) x =
11. A
12. E
13. D
219
10.Ünite
Mantık Mantık
Bilgi Köşesi
7. TEST 3. n ∈ N olmak üzere,
1. Aşağıdaki tablo tanımlanıyor.
Örnek
p
q
pY q
p ↓ q ≡ (p ∧ q)ʹ
D
D
D
olarak tanımlanıyor.
D
Y
D
Buna göre,
Y
D
Y
Y
Y
D
(p ↓ q) ↓ (pʹ ↓ q) önermesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre,
A) qʹ
önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B) q D) pʹ
C) p E) p ∨ q
p(n) : "5n > 60.n + 1"
önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {6, 7, 8, 9, … } ⊆ N B) {3, 4 5, … } ⊆ N C) {4, 5, 6 … } ⊆ N D) N E) N+
p' Y (p' Y q)
A) Mantıksal denkliliktir.
Çözüm:
B) Mantıksal gerektirmedir.
p ↓ q ≡ (p ∧ q)ʹ ≡ pʹ ∨ qʹ
D) Çelişkidir.
(pʹ ∨ qʹ) ↓ (p ∨ qʹ) ≡ [(pʹ ∨ qʹ) ∧ (p ∨ qʹ)]ʹ
≡ [(pʹ ∧ p) ∨ qʹ]ʹ
≡ (0 ∨ qʹ)ʹ ≡ q olur.
E) Belirsizdir.
Palme Yayınevi
4. p ve q önermeleri için aşağıdaki tablo tanımlanıyor.
C) Totolojidir.
pʹ ↓ q ≡ (pʹ ∧ q)ʹ ≡ p ∨ qʹ
Cevap: B
Örnek
p, q ve r önermeleri için (pʹ ∧ q) ⇒ (q ∧ rʹ) koşulu önermesi yanlış olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluğu (yanlışlığı) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) YYD
B) DDD
D) YDY
C) YDD
E) YYY
Çözüm: A ⇒ B ≡ 0 (yanlış) ise A ≡ 1, B ≡ 0 dır. Bu nedenle pʹ∧q≡1 ve q∧rʹ≡ 0 olur. pʹ ≡ 1, p ≡ 0, q ≡ 1 q ≡ 1 ve rʹ ≡ 0 ⇒ r ≡ 1 p q r O halde Y D D
p6q
pXq
D
D
Y
Y
D
Y
D
Y
Y
D
Y
Y
Y
Y
Y
D
Buna göre, pʹ X (p 6 qʹ) önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B) Çelişki
2. Tanım kümesi okulunuzdaki öğrenciler olmak üzere,
C) Belirsiz
D) Mantıksal denklik
p(x) : "x derste her hafta sonu 3 saatten fazla zaman geçirir."
önerme fonksiyonu verilsin.
∃ x pʹ(x)
ifadesinin sözel karşılığı aşağıdakilerden hangisidir? A) Sınıfta hafta içi her gün 3 saatten fazla zaman harcamayan bir öğrenci vardır. B) Sınıfta hafta içi her gün 3 saatten fazla zaman harcayan bir öğrenci vardır.
D) Hiçbir öğrenci sınıfta hafta içi 3 saatten fazla zaman harcamaz. E) En az bir öğrenci vardır ki hafta içi her gün sınıfta 3 saatten fazla zaman harcar.
220
q
A) Totoloji
C) Her öğrenci sınıfta hafta içi her gün 3 saatten fazla zaman harcamaz. Cevap: C
p
E) Mantıksal gerektirme
5. T(x) bir önerme fonksiyonu "x bir totolojidir."
C(x) önerme fonksiyonu "x bir çelişkidir."
"Bazı önermeler çelişkidir ve her önerme totolojidir."
önermesinin mantıksal semboller ve niceleyiciler ile ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ∃x ∃y(T(x) ∧ C(y)) B) ∃x ∀y(T(x) ∨ C(y)) C) ∀x ∀y(T(x) ∧ C(y)) D) ∃x ∀y(C(x) ∧ T(y)) E) ∃x ∀y(T(x) ∧ C(y))
10.Ünite 9. p ve q önermeleri için
6.
a, b ∈ Z olsun. p : a, b yi tam böler. q : a, – b yi tam böler. r : –a, –b yi tam böler. s : –a, b yi tam böler. t : –a, b2 yi tam böler.
önermelerden hangileri birbirine denktir? A) p, q r, s
B) p, q, s, t
C) p, q, r, t
D) p, s, t
Bilgi Köşesi
p 6 q ≡ pʹ ⇒ q
p 5 q ≡ q'
denklikleri tanımlanıyor.
Buna göre,
[p 5 (p 6 qʹ)] 6 [(pʹ 6 qʹ) 5 pʹ]
önermesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) p ∨ q
E) q, r, s, t
Örnek
B) p ∧ q
D) pʹ ∧ qʹ
/ Mantık
p∧q≡q∧p
C) p ∧ qʹ E) pʹ ∨ q
denkliği önermeler mantığında hangi özelliğin bir sonucudur? Çözüm: Değişme özelliği
Örnek p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
7. p(x) : "(x + 1).(x – 3).(x – 2).x = 0, x ∈ N"
10. A, B ve C birer küme olmak üzere,
denkliği önermeler mantığında hangi özelliğin bir sonucudur?
"(A ⊆ B ve A ⊆ C) ise B ⊆ C dir."
Çözüm:
Aşağıdakilerden hangisi bu önermenin yanlış olduğunu gösteren bir örnektir?
A) {–1, 0, 1, 2, 3}
B) {0, 1, 2, 3}
C) {0, 2, 3}
D) {–1, 0, 3}
E) {–1, 0, 2, 3}
Palme Yayınevi
önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A
B
C
A)
{a}
{a, b}
{b}
B)
∅
{a}
{a, b}
C)
{∅}
{a}
{a}
D)
{a}
{a, b}
{a, b}
E)
{a}
{a, b}
{a, c}
∧ nin ∨ üzerine soldan dağılma özelliği
Örnek p : (1 < 0) ⇔ (7 < 6) q : (–4 > –5) ⇒ (–2 < 0) r : (230 < 416) ∧ (2–10 < 2–4) önermelerinin doğru veya yanlış olma durumu sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
11. p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
8. p : a tektir.
A) DDY
denkliği aşağıdaki özelliklerden hangisine bir örnektir?
q : b çifttir.
r : a + b tektir.
A) Tek kuvvet
B) Birleşme
önermeleri veriliyor. I. p ∧ q ⇒ r II. p ∧ r ⇒ q
C) Dağılma
D) Değişme
III. q ∧ r ⇒ p
D) YYD
C) DDD
E) DYD
Çözüm: p: (1 < 0)⇔(7 < 6) ≡ 0⇔0 ≡ 1 ≡ D q: (-4>-5)⇒(-2< 0) ≡ 1⇒0 ≡ 1 ≡ Y r: (230 5}
B = {y l 12 < y ≤ 500, y = 6k, y ∈ Z}
kümeleri veriliyor.
Buna göre, A + B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 40
224
6. A ve B kümeleri için, s(A – B) ile s(B – A) nın aritmetik ortalaması s(A + B) ye eşittir.
3. A = {x l 12 < x ≤ 500, x = 4k, x ∈ Z}
B) 41
C) 42
D) 43
E) 44
s(A , B) = 12 olduğuna göre, s(A + B) kaçtır? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
11.Ünite 7. Bir grupta İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az biri konuşulmaktadır. Her üçünü konuşan 5 kişi, İngilizce ve Fransızca konuşan 7 kişi, Fransızca ve Almanca konuşan 8 kişi, Almanca ve İngilizce konuşan 9 kişi vardır.
10.
A
B
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
1 7
4
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A = {x | 11 ≤ x ≤ 1200, x = 4n, n∈N}
5
B = {y | 8 < y < 900, y = 6k, k∈N}
Şekilde verilenlere göre,
olduğuna göre, A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
[(A – B) , (B – C)] + C
Çözüm:
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A = {12, 16, 20, ..., 1200} yani 4 ün katı olan sayılar
A) {1, 2, 3}
B = {12, 18, 24, ..., 894} yani 6 nın katı olan sayılar olduğuna göre, A ∩ B kümesi, hem 4 hem de 6 nın katı olan sayılar kümesidir.
B) {2, 3, 4}
C) {3}
E) {5}
A = {1, 2, 3, ... ,10} ⇒ A nın değeri 3 tür.
A = {2, 4, 6, ... , n} ve A nın değeri 7 olduğuna göre, n nin alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaçtır?
Palme Yayınevi
A) 6
Örnek
3
11. Ahmet aşağıdaki kümelerdeki tam kare olan sayıların sayısını bulmak istiyor.
8. Bir grupta herkes en az bir spor dalı ile uğraşmaktadır. Futbol oynayanlar 10, voleybol oynayanlar 12, en çok birini oynayanlar 8 kişidir. Buna göre, bu grupta her ikisini oynayanların sayısı kaçtır?
6
2
D) {4}
Bilgi Köşesi
C
Gruptakilerin sayısı 30 olduğuna göre, sadece bir dil bilenlerin sayısı kaçtır? A) 13
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
A) 412
B) 428
D) 450
A ∩ B = {12, 24, 36, ..., 888} kümesinin eleman sayısı 888 – 12 + 1 = 73 + 1 = 74 tür. 12
C) 440 E) 75
Örnek Bir sınıfta; İngilizce bilen 15 kişi, Almanca bilen 12 kişi, Fransızca bilen 6 kişi, İngilizce ve Almanca bilen 5 kişi vardır. Bu sınıfta, hem İngilizce hem Fransızca bilen de, hem Almanca hem Fransızca bi len de yoktur. Ayrıca, herkes en az bir dil bilmektedir.
12. O
O2
1
3
2
Buna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır? Çözüm:
9. s(A – B) = s(A + B) = s(B + C) = s(C – B)
‹
A
F
Şekilde O1 merkezli dairenin yarıçapı 3 cm, O2 merkezli dairenin yarıçapı 2 cm dir.
s(B) değeri kaçtır?
Bu dairelerin sınırladığı toplam alan 10π cm2 olduğuna göre, taralı alan kaç π cm2 dir?
s(İ ∩ A) = 5
A) 12
A) 3
s(A – İ) = s(A) – s(İ∩A) = 12–5 = 7
A+C=Q
s(B) = 4.s(A – B) ve
s(A , B , C) = 18 olduğuna göre,
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
10
5
7
6
s(İ – A) = s(İ) – s(İ∩A) = 15–5 = 10 s(F) = 6 Buna göre, s(İ ∪ A ∪ F) = 10 + 5 + 7 + 6 = 28 dir.
1. D
2. A
3. A
4. C
5. B
6. A
7. D
8. B
9. A
10. D
11. D
12. A
225
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
2. TEST
1.
3. • s(A) = 3a – 2, s(B) = 2a + 4,
A
Örnek
B
2 elemanlı alt küme sayısı 36 olan bir kümenin, öz alt küme sayısı kaçtır?
4
3
2
1
C
• s(A , B) = 4a + 10 ve
• A+B=Ø
olduğuna göre, a nın değeri kaçtır? A) 6
Çözüm: Bu küme, “A” olsun. s(A) = n ise, n b l = 36 dır. Buradan, 2
Yukarıdaki şekilde bölgelerde bulunan rakamlar bulundukları bölgelerin eleman sayısını göstermektedir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
n! = 36 (n – 2) !.2 n. (n – 1). (n – 2) ! = 36 (n – 2) !.2
⇒ n.(n – 1) = 72
C) 8
D) 9
E) 10
A) s(A ∩ B) + s(C) = 8
⇒ n = 9 bulunur.
B) s(A – B) + s(B – C) = 7
9 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı,
4. [(B + A′) , (A + B)] + B′
C) s(A ∩ C) + s(A ∪ B) = 12
29 – 1 = 512 – 1 = 511 dir.
D) s(A ∩ B ∩ C) + s(B ∪ C) = 8
Örnek
E) s(B ∩ C) + s(A) = 11
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(E) = 12, s(A\B) = 4, s(A′∩B′) = 3 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Palme Yayınevi
⇒
B) 7
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) A
B) B
C) A + B
D) ∅ E) E
Çözüm: A
B 4 3
E
A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′ dir. s(E) = 4 + 3 + s(B) ⇒ 12 = 7 + s(B) ⇒ s(B) = 5 tir.
Örnek A = {1, 2, 3}
2. • A = {x:
|x| ≥ 3, x ∈ R}
• B = {x:
–2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
olduğuna göre, B∩Aʹ kümesi aşağı-
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
dakilerden hangisidir?
A – B = {1, 2} olduğuna göre, B kümesini bulalım. Çözüm: A
B •1 •2
•3
B = {3, 4, 5} bulunur.
226
•4 •5
A) {x:
–2 ≤ x < 3, x ∈ R}
B) {x:
–2 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}
C) {x:
–3 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}
D) {x:
–3 ≤ x ≤ –2, x ∈ R}
E) {x:
5 < x < ∞, x ∈ R}
5. A kümesinin alt küme sayısı 64, B kümesinin öz alt küme sayısı 127, A \ B kümesinin alt küme sayısı 8 ise, A , B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
11.Ünite 6.
9. A = {a, b, {a, b}, c} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
• Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya fizik derslerinin en az birinden başarılı olmuşlardır.
• Öğrencilerin %72 si matematikten, %60 ı fizikten başarılıdır.
B) 28
C) 24
D) 21
A) {a} 1 A
B) {a, b} 1 A
C) {{a, b}} 1A
D) {a, b} ∈ A
24 kişi her iki dersten de başarılı olduğuna göre, yalnız fizikten başarılı olan kaç öğrenci vardır? A) 45
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
E) {c} ∈ A
Bilgi Köşesi
Örnek 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin öz alt küme sayısı kaçtır? Çözüm:
E) 18
Bu küme, “A” olsun. s(A) = n ise, n n b l = b l tir. 3 5 n n b l = b l olduğundan, 3 5 n = 3 + 5 = 8 dir. 8 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı,
7.
s^A , Bh s^A + Bh s^A – Bh 10. s ^ A h = 40, = = 6 2 3
• A ve B aynı E evrensel kümesinin alt kü-
meleridir. • s(A) + s(B′) = 10 + a, s(A′) + s(B) = 8 – a
olduğuna göre, E evrensel kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 19
olduğuna göre, s(B – A) değeri kaçtır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Palme Yayınevi
28 – 1 = 256 – 1 = 255 tir.
Örnek Pozitif tam sayılardan oluşan A = {x | x < 100, x = 2n, n ∈ Z+} B = {x | x < 151, x = 3n, n ∈ Z+} kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm: A = {2, 4, 6, ..., 98}
11. A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e, f, k}
8. A = {x: x = 6k, x < 102, x ∈ N+}
B = {x: x = 4k, x ≥ 16, x ∈ N+}
kümeleri veriliyor.
Buna göre, A – B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 9
B) 10
C) 11
olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi A kümesini kapsar? A) 32
B) 30
C) 28
D) 16 E) 8
⇒ s(A) =
98 – 2 + 1 = 49 2
B = {3, 6, 9, ..., 150} ⇒ s(B) =
150 – 3 + 1 = 50 3
A ∩ B = {6, 12, 18, ..., 96} ⇒ s(A ∩ B) =
D) 12 E) 13
96 – 6 + 1 = 16 6
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) = 49 + 50 – 16 = 83 tür.
1. C
2. A
3. C
4. D
5. C
6. D
7. B
8. A
9. E
10. C
11. D
227
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
3. TEST 4. A ve B kümeleri için
1. s(A) = 9, s(B) = 12, s(C) = 13 olduğuna göre,
Örnek
A = (–3, 4] ve B = (1, 5]
A + B + C kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? A) 8
B) 9
C) 10
A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) dır.
Aşağıda verilen önermelerin veriliş sırasına göre doğruluk sırası hangisidir?
D) 12 E) 13
olduğuna göre, (A \ B) ∩ Z
I. A ⊂ B ⇔ A Δ B = B \ A
kümesini bulalım.
II. A ⊂ B ⇔ Bʹ ⊂ Aʹ
Çözüm:
III. A \ B = Ø ⇔ A = B A) DYD
A \ B = {x: x ∈ A ve x ∉ B}
B) DDY
D) YDD
A = (–3, 4] ve B= (1, 5]
C) DDD
E) YYY
A \ B = (–3, 1] olup (A \ B) ∩ Z = (–3, 1) ∩ Z
= {–2, –1, 0, 1}
bulunur.
5. A = {1, 2, 3, ... , 100}
2. A = {1, 2, 3, 4}
kümesinin elemanlarıyla (x, y) ikilileri oluşturuluyor.
•x>y
• x.y çarpımı beşin katı
A = {x2 – y2 : x, y ∈ Z} olsun.
olacak şekilde kaç tane (x, y) ikilisi yazılabilir?
0 ∈ A, 1 ∈ A fakat 2 ∉ A oldu-
A) 1790
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} veriliyor.
A 1 K 1 B koşulunu sağlayan A ve B den farklı kaç tane K kümesi yazılabilir?
Örnek
A) 32
B) 31
C) 30
D) 28 E) 8
Palme Yayınevi
ğunu gösterelim.
B) 1890 D) 2190
C) 2090 E) 2290
Çözüm: 0 = 02 – 02 olduğundan 0 ∈ A ve 1 = 12 – 02 olduğundan 1 ∈ A x2 – y2 = 2 = 1 . 2 x−y = 1 + x+y = 2
4 & 2x = 3 x=
olduğu görülür.
3 2
g Z, 2 g A
3. s(A – B) + s(B – C) + s(C – A) = 36
s(A + B + C) = 6 ise,
s(A , B , C) değeri kaçtır? A) 26
B) 30
C) 38
6. Bir sınıftaki öğrencilerin %30 u matematikten, %60 ı Türkçe’den başarılı, %20 si her iki dersten başarısızdır.
D) 42 E) 44
Sadece Türkçe’den başarılı olan 25 kişi olduğuna göre, her iki dersten başarılı olan kaç kişi vardır? A) 15
228
B) 12
C) 10
D) 8
E) 5
11.Ünite 7. Eleman sayısı 3 azaltıldığında, alt küme sayısı 112 azalan bir kümenin alt küme sayısı kaçtır? A) 256 B) 128 C) 64
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
10. Bir grupta A ve B marka otomobil tercih eden kişi sayısı ve kullandıkları yakıt türünü gösteren tablo aşağıda verilmiştir.
Bilgi Köşesi
D) 32 E) 16
Dizel
Benzin
LPG
A
10
8
12
B
14
5
10
Buna göre, bu grupta A marka araç tercih eden veya LPG yakıt türünü kullanan kaç kişi vardır? A) 2
B) 30
C) 40
D) 48
Örnek
_b 2 ]Z] bb n +2 ]] bb , ]xn | xn = 2 A = ][ b`b n −n+2 ]] b ]] n = 1, 2, 3, ..., 2019 bb \ a
kümesi veriliyor. A∩N kümesini bulalım. Çözüm: –
E) 54
11. Bir sınıftaki öğrenciler A, B ve C derslerinden herhangi ikisini seçeceklerdir.
B = {b, c, d, e, f}
C = {a, d, e, f, g}
olduğuna göre, s[(AxB)∩(AxC)] ifadesinin değeri kaçtır? B) 12
C) 15
D) 18
E) 24
Palme Yayınevi
A) 9
ve n −n+2 n = 1, 2, 3, ..., 2019 olduğundan 1 < xn < 2 dir. O halde A ∩ N = Ø dir.
B) 26
C) 28
2
Örnek
A dersini 16, B dersini 20, C dersini 24 kişi seçtiğine göre, sınıf mevcudu kaç kişidir? A) 24
1
n
xn = 1 +
8. A = {a, b, c, d, e, f}
n2 – n+ 2
n2 + 2 – n + 2) n
(n2
D) 30 E) 32
1 den 7 ye kadar pozitif tam sayıları şekildeki 7 yere öyle yerleştirin ki her bir daire içindeki sayıların toplamı eşit ve 19 olsun. Üç dairenin ortak bölgesine hangi sayı geleceğini bulalım. Çözüm:
t
9. A = {x2: x ∈ Z ve –3 ≤ x < 5}
12. A ve B kümeleri için
•A⊄B
• s(A) = 7
• s(B) = 10
olduğuna göre, s[(A∪B) x (A∩B)] en fazla kaçtır?
olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I. s(A) = 8
II. 25 ∈ A
III. 1, 4, 9 ∈ A
IV. 3 ∈ A
V. 0 ∉ A
VI. –3 ∉ A A) 1
A) 30
B) 2
C) 3
D) 4
c a
x
z b
y a + c + x + t = 19
B) 42
a + b + x + y = 19
C) 52
D) 60
E) 66
E) 5
+ b + c + x + z = 19 a+b+c+x+y+z+t+a+b+ c + 2x = 57 (1+2+ ... +7) + a +b + c + 2x = 57 28 + a + b + c + 2x = 57 a + b + c + 2x = 29 ↓
↓
↓
↓
4
5
6
7
x = 7 bulunur.
1. B
2. C
3. D
4. B
5. A
6. E
7. B
8. D
9. B
10. C
11. D
12. E
229
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
4. TEST
1. Lokantaya giden bir grup iki çeşit tatlı ve üç çeşit yemekten birini yemiştir.
Örnek A ve B kümeleri için;
Lahmacun
s(M , N) = 30 ve s(N – M) = 4 ise,
s(M + N) değeri kaçtır?
8
10
12
s(A \ B) + s(B \ A) = 6
Baklava
5
6
7
s(M) – s(N) = s(M + N)
Döner
Künefe
kaçtır?
İskender
s(A) + s(A ∩ B) = 23 ve
olduğuna göre, s(A ∪ B) en az
3. M ve N kümeleri için,
A) 13
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
Buna göre, lahmacun veya künefe tercih edenlerin sayısı kaçtır? A) 33
B) 35
C) 37
D) 41
E) 43
Çözüm: A
B x
y
4. K = )d
6–x
3x + 1 n ! Z : x ! Z ve –4 < x < 5 3 2 3x + 1 n ! Z : –4 < x < 5 3 2
L = )d
kümeleri için s(K) + s(L) toplamı kaçtır?
1) s(A \ B) = x alınırsa s(B \ A) = 6 – x olur.
Palme Yayınevi
s(A ∩ B) = y alınırsa s(A) + s(A ∩ B) = 23 olduğundan,
A) 12
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
(x + y) + y = 23 ⇒ x + 2y = 23 olur. 2) s(A ∪ B) = x + y + 6 – x
= y + 6 dır.
x + 2y = 23 ifadesinde y mümkün
2. İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerini bilenlerin bulunduğu bir grupta,
olduğunca küçük; dolayısıyla x
• Herkes İngilizce biliyor.
5. Tanım: Bir A kümesinin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye A nın kuvvet kümesi adı verilir ve P(A) ile gösterilir.
mümkün olduğunca büyük se-
• Almanca bilenler, Fransızca bilmemek-
A = {3, 4, {5}, 6}
kümesi ile ilgili aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?
tedir.
çilmelidir. x ≤ 6 olacağından;
• Yalnız bir dil bilen 18, Almanca bilme-
x = 6 için 6 + 2y = 23 ⇒ y = 8,5 (olamaz)
yen 21 ve Fransızca bilmeyen 24 kişi
I. s[P(A)] = 16
vardır.
II. Ø ∈ P(A)
Buna göre, yalnız iki dil bilen kaç kişi vardır?
III. {3, 4} ∈ P(A)
x = 5 için 5 + 2y = 23
IV. A ∉ P(A)
⇒ y = 9 olur.
A) 9
V. {{5}} ⊂ P(A)
Buradan, s(A ∪ B) = y + 6 = 9 + 6 = 15 olarak bulunur.
230
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11.Ünite 6. A, B, C dillerinden sadece birini bilenlerden oluşan bir toplulukta,
A dilini bilmeyen 15
B dilini bilmeyen 16
C dilini bilmeyen 17 kişi vardır.
Buna göre, topluluk kaç kişidir? A) 24
B) 23
9. A kümesinin eleman sayısı 4 azaltılarak elde edilen küme B ise, A nın alt küme sayısı B nin alt küme sayısının kaç katıdır? A) 15
C) 21
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
B) 16
C) 20
Bilgi Köşesi
D) 32 E) 64
Örnek A ile B kümeleri için, A ⊄ B, B ⊄ A s(A ∪ B) = 8
D) 20 E) 18
s(A ∩ B) = 2 olduğuna göre, A kümesinde en çok kaç eleman olabilir? Çözüm: A
B a
2
b
a+2+b=8 a+b=6 A kümesinin eleman sayılarının en çok olması için a nın en büyük, b nin en küçük değeri alınmalıdır.
10. A = {b + 3, m, n, p}
B = {a, b, c, 3, 4, 5}
B = {9,12, 3}
A ve B kümelerinin alt kümelerinin kaç tanesi eşit kümelerdir?
C = {a, a + 6, b + 1}
A) 8
kümeleri veriliyor.
B ⊂ A ve B = C
olduğuna göre, A kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
B) 16
C) 32
D) 64
E) 128
Palme Yayınevi
7. A = {1, 2, 3, a, b, c, d}
O halde, b = 1 alınmalıdır.
A) 36
• A kümesinin üç elemanlı bir alt kümesi
s(A) = 5 + 2 = 7 bulunur.
C) 38
D) 39 E) 40
B) 29
C) 27
D) 25
Bir sınıftaki erkeklerin sayısının 3 kızların sayısına oranı dir. 7 Erkeklerin % 20 si futbol oyna dığına göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır? Sınıfın tamamı 100 kişi olsun.
E) 24
• B kümesinin elemanları toplamı 3 ile tam bölünüyor.
Örnek
Çözüm:
A kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 210
B olsun.
B) 37
a + 1 = 6 ise a = 5
11. A = {x : x ∈ Z+, l2x – 1l ≤ 9} veriliyor.
8. A = {1, 2, 3, ... , 21}
b = 0 olmaz, çünkü B ⊄ A verilmiş.
E 3 = ise erkekler 30 kişi iken K 7 kızların sayısı 70 tir. Erkeklerin %20 si futbol oyna-
Buna göre, kaç farklı B kümesi vardır?
dığına göre;
A) 392
30.
B) 412 C) 448
D) 478 E) 512
20 = 6 kişidir. 100
30 – 6 = 24 erkek futbol oynamıyor. Öyleyse, futbol oynamayan erkekler, tüm sınıfın %24 ü olur.
1. C
2. A
3. B
4. D
5. B
6. A
7. B
8. C
9. B
10. C
11. D
231
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
5. TEST
1.
3. A, B, C aynı evrensel kümenin üç alt kümesidir. A + B = C ise,
C
Örnek
A B
Herhangi A ve B kümeleri için
3
5
(A ∪ B) – (A ∩ B) fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
4
2
(A′ , C) , (A + B′)
kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) Q
A) A ∩ (A – B) B) A ∪ (A – B)
Yukarıdaki şekilde bölgelerde bulunan rakamlar o bölgedeki eleman sayısını gösteriyor.
Buna göre,
C) (A – B) ∪ (B – A) D) (A – B) ∩ (B – A) E) (A ∪ B) – (A – B) Çözüm: A
B
A
B
A
(A ∩ B)
I. s(A ∩ B) + s(A ∩ C) = 7
II. s(C – A) + s(B – C) = 9
=
III. s(A ∩ B ∩ C) + s(A ∪ C) = 10
= (A – B) ∪ (B – A)
ifadelerinden hangileri doğrudur?
– (A ∪ B)
B
Cevap: C
A) I ve II
Örnek
B) I ve III
D) C′
E) Yalnız II
A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e, f} A ≠ C ve A ⊂ C ⊂ B koşulunu sağlayan kaç farklı C kümesi yazılabilir?
kümesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) A , B
A, B herhangi iki küme ve A ∪ B,
A
B a
b
Örneğin;
A
A
ve
B
olduğuna göre,
c
2a = 32 = 25 ⇒ a = 5 2a+b+c = 512 = 29 ⇒a+b+c=9 ⇒5+b+2=9 ⇒ b = 2 dir.
232
E) A′
⇒ s(A) = 3
s(A)+ s(B) toplamı kaçtır? 2c = 4 = 22 ⇒ c = 2
C) Q
2. A kümesinin eleman sayısı içinde bulunduğu çokgenin kenar sayısına eşittir.
A – B, B – A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm:
B) A
D) B
B nin A dan farklı d, e, f gibi 3 elemanı var. O halde 23 = 8 tane C kümesi yazılabilir. Bu C kümelerinden biri A ile aynı olacaktır.
Örnek
E) E
4. [(A , B′)′ + B] , (A′ , B′)′
Çözüm:
O halde 8 – 1 = 7 farklı C kümesi yazılabilir.
C) A′
C) I, II ve III Palme Yayınevi
D) Yalnız I
B) A , B
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
5. A, B, C kümeleri aynı evrensel kümenin birer alt kümesidir.
B 1 A olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) A + B′ = Q
B) A 1 (B , C)
C) B 1 A′
D) A + C′ = Q
E) A′ 1 B′
11.Ünite 6. A ve B kümeleri için s(A) = 5 ve s(B) = 7 olup A ∪ B kümesinin alt küme sayısı n dir.
9. A , C = {a, b, c, d, e, f} ve
B , C = {c, d, e, f, g, h, k, l} ise,
64 < n < 512 olduğuna göre, s(A ∩ B) nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
C nin en çok kaç elemanı vardır?
A) 6
B) 9
C) 15
D) 21
A) 2
B) 3
C) 4
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Bilgi Köşesi
D) 5
E) 6
Örnek A = {x : 1 < x ≤ 175 ve x ∈ N}
E) 24
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 5 ile bölünebilir? Çözüm: 1 < x ≤ 175 aralığındaki sayılardan; önce 4 e, sonra 5 e bölünebilenlerin sayısını buluruz. Daha sonra, bu sayılardan 4 ve 5 e bölünebilenlerin (4.5 = 20 ye bölünebilenlerin) sayısını çıkarırız. 175 172
7. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a, b, c } kümesi için, B ⊂ A olmak üzere, R(B): B kümesinin rakam olan elemanlarının toplamıdır. Örneğin;
R({1, 2, 5, 7, a, b}) = 1 + 2 + 5 + 7 = 15 gibi.
Buna göre, R(B) = 8 şartını sağlayan kaç farklı B kümesi yazılabilir? A) 32
B) 40
C) 48
D) 56
E) 64
3
10. A = {a, b, c}
B = {a, b, c, d, e, f} kümeleri veriliyor.
A 1 K 1 B koşuluna uyan kaç farklı K kümesi yazılabilir? A) 4
B) 8
C) 16
D) 32 E) 64
175 175
5 35
0
175 160
20 8
15
1 < x ≤ 175 aralığındaki sayılardan 4 ile bölünebilenlerin sayısı 43, 5 ile bölünebilenlerin sayısı 35, 4 ve 5 ile bölünebilenlerin sayısı 8, 4 veya 5 ile bölünebilenlerin sayısı, 43 + 35 – 8 = 70 tir.
Palme Yayınevi
4 43
Örnek 8. n gün hava durumunu takip eden Ahmet şunları söylüyor:
• Sabah ya da öğleden sonra olmak üzere 9 gün hava kapalı,
gün vardır. • Sabah havanın açık olduğu 8 gün varBuna göre, n değeri kaçtır? A) 8
1. A
kümesi aşağıdaki kümelerden hangisine eşittir?
B) M =
{2n-4
: n ∈ Z ve 1 < n < 152}
B) 10
2. D
C) 12
3. E
E) M =
D) 18
4. D
s(A) + s(Aʹ) = s(E) olduğundan, s(E) = 4 + 6 = 10 olur. 10 elemanlı E kümesinin,
: n ∈ Z ve 1 ≤ n < 15}
210 = 1024
E) 24
5. E
s(A) = n ⇒ 2n = 16 ⇒ n = 4 ve s(Aʹ) = m ⇒ 2m = 64 ⇒ m = 6 dır.
C) M = {2n–4 : n ∈ Z ve 1 ≤ n ≤ 15}
{2n–4
A, E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. A kümesinin 16 tane alt kümesi, Aʹ kümesinin ise 64 tane alt kümesi olduğuna göre, E evrensel kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? Çözüm:
D) M = {2n–4: 1 ≤ n < 15}
dır.
A) M = {2n-3 : n ∈ Z ve 1≤ n ≤ 15}
• Öğleden sonra havanın açık olduğu 7
1 1 1 11. M = ) , , , 1, 2,..., 1024 3 8 4 2
tane alt kümesi vardır.
6. B
7. B
8. C
9. C
10. B
11. E
233
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
6. TEST 3. M = {x ∈ N : x ∈ (–2, 5)}
1. A = {x: 10 < x < 100, x = 2k, k ∈ Z}
Örnek
Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için,
B = {x: x< 150, x = 3t, t ∈ Z+} A
B
N = {( x ) ∈ Z : 0 ≤ x < 49}
kümeleri için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
s(N) = 4s(M) ve s(N\M) = 5s(M\N) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır?
I. N ⊂ M
Çözüm:
III. M = N
M
II. M ≠ N
N a
b
IV. M ⊂ N
5a
b + 5a = 4.(a + b) ⇒ b + 5a = 4a + 4b ⇒ a = 3b
V. ∀x ∈ M ⇒ x ∈ N Buna göre, boyalı bölge ile gösterilen kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 41
B) 40
C) 38
D) 36
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 34
s(N) = b + 5a = b + 5.(3b) = 16b olur.
Palme Yayınevi
N nin eleman sayısının en az olması için b = 1 alınırsa s(N) = 16 bulunur.
Örnek E evrensel küme olmak üzere,
4. Boş kümeden farklı bir A kümesi veriliyor. Bu kümenin eleman sayısı n, alt küme sayısı m – 1 dir.
s(E) = 9 s(A ∩ B) = 3
Buna göre, m + n toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 5
s(A ∪ B) = 6
B) 8
C) 11
D) 22 E) 38
s(B) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A′ kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm: A
B 2
3
E
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
1 3
Verilen bilgiler uygun bölgelere yazıldığında yukarıdaki durum oluşur. s(A′) = 1 + 3 = 4 olur.
kümesinden en az sayıda eleman atıldığında geriye kalan elemanların çarpımı tam kare olmaktadır. Buna göre, atılan sayıların toplamı kaçtır? A) 22
234
B) 21
C) 20
D) 18
E) 15
5. A, B, C birbirinden farklı kümelerdir.
A 1 B 1 C ve s(A) + s(B) + s(C) = 24 ise,
A kümesinin en çok kaç farklı alt kümesi vardır? A) 4
B) 16
C) 32
D) 64
E) 128
11.Ünite
9. 601 den küçük pozitif doğal sayılardan kaç tanesi ne 5 ne de 6 ile bölünebilir?
6. A = {x l x = 5k, x < 100, k ∈ N}
B = {x l x = 2k, x < 100, x, k ∈ N}
kümeleri veriliyor.
Buna göre, s(A \ B) değeri kaçtır? A) 8
B) 9
A) 400
C) 10
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
B) 401
D) 420
Bilgi Köşesi
C) 410
Örnek
E) 421
D) 11 E) 13
A, B ve A ∩ B kümelerinin alt kümelerinin sayıları sırasıyla 2.4m, 4.8m ve 2m olduğuna göre, A ∪ B kümesinin alt küme sayısını bulalım.
Çözüm: 2.4m = 2 . 22m = 22m+1 s(A) = 2m + 1; 4.8m= 22.23m = 23m+2 s(B) = 3m + 2;
7. A ve B boş kümeden farklı kümeler
10. A = {x : x < 90, x ∈ N} kümesi veriliyor.
s(A ∩ B) = m
• 4.s(A) = 3.s(B) = 5.s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A∩B)
• s(A ∪ B) < 180
Buna göre, s(A ∩ B) en fazla kaçtır? B) 60
C) 72
D) 84
A) 30
E) 96
B) 29
C) 26
D) 25 E) 22
= (2m + 1) + (3m + 2) – m = 4m + 3 A ∪ B nin alt küme sayısı 24m+3 = 23. 24m = 8.16m bulunur.
Palme Yayınevi
A) 48
Buna göre, A kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile bölünüp 4 ile bölünemez?
Örnek A=*
a: c
2a − 1 3
m ! Z ve 2#a#8
4
kümesinin elemanlarının toplamını bulalım.
8. Bir grubun
11. Ali aşağıdaki kümelerden boş küme olanları bulup alfabetik sıraya göre yazıyor.
• %60 ı bayandır.
A = {x: x ∈ Z+, 3x + 1 < 3}
• %50 si sarışındır.
Çözüm:
B = {x: x ∈ Z+, 4x – 4 ∈ Z–}
2 ≤ a ≤ 8 ⇒ 2 . 2 ≤ 2 . a ≤ 2.8
• Sarışın olmayan erkek sayısı erkeklerin %10 udur.
C = {x: x ∈ N,
4 ≤ 2.a ≤ 16
Buna göre, sarışın bayan sayısı, sarışınların yüzde kaçıdır?
2x + 1 ∈ N} 3 D = {x: x ∈ R, x ∈ Z} Buna göre, Ali'nin oluşturduğu harf dizisi aşağıdakilerden hangisidir?
1≤
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
B) AC D) ABC
2. B
3. C
4. E
5. E
6. C
7. D
8. A
C) AD E) ABD
9. A
10. E
11. A
2a − 1
2a − 1 3
A) AB
1. E
3 ≤ 2.a –1 ≤ 15 3
≤5
!Z&
1+2+3+4+5=
2a − 1 3
5.6 2
! " 1, 2, 3, 4, 5 ,
= 15 bulunur.
235
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
7. TEST 4. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
1. M ve N kümeleri için;
Örnek
s(M + N) + s(M) = 15 ve
A ve B herhangi iki kümedir.
s(M \ N) + s(N \ M) = 6 olduğuna göre,
A ∪ B, A ∩ B ve A \ B kümeleri nin alt kümelerinin sayıları sıra ile 128, 1 ve 8 olduğuna göre, B – A kümesinin eleman sayısı kaç tır?
M , N en az kaç elemanlıdır? A) 9
B) 10
C) 11
D) 12 E) 13
s(A) + 2.s(B′) = 15,
2.s(B) + s(A′) = 24 olduğuna göre,
s(E) değeri kaçtır? A) 10
B) 11
C) 12
D) 13 E) 14
Çözüm: A
B a
b
c
2a+b+c = 128 = 27 ⇒ a + b + c =7 2b = 1 = 20 ⇒ b = 0
5. Futbol veya basketbol sporlarından en az birini yapanlardan oluşan bir grubun %60 ı futbol, %80 i basketbol oynamaktadır.
2a = 8 = 23 ⇒ a = 3
2. E evrensel küme, A, B ⊂ E dir.
a+b+c=3+0+c=7
s(A , B) = 8a,
⇒ c = 4 bulunur.
s(A – B) = 7
s(A + B) = a2
olduğuna göre, B – A nın eleman sayısı en çok kaçtır?
16 kişilik bir sınıfta Fransızca bilenlerin kümesi F, Almanca bilenlerin kümesi de A dır.
A) 10
B) 9
C) 8
D) 5
E) 4
Palme Yayınevi
Örnek
Her iki sporu yapan 20 kişi olduğuna göre, yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) 34
B) 23
C) 20
D) 17 E) 15
s(F) = 8, s (A ) = 9, s (A + F ) = 14 olduğuna göre, bu sınıfta sadece Almanca bilen kaç kişi vardır? (s(X), X kümesinin eleman sayısını; X , X kümesinin tümleyenini göstermektedir.) Çözüm: A
F a
b
E
c d
_ b b ` ⇒a=? bb a (3) ve (4) ortak çözülürse; (1) a + b + c + d = 16 (2) b+c = 8 (3) c+d = 9 (4) a + c + d = 14
a + 9 = 14 a = 5 bulunur.
6. A = {x : x ∈ Z ve –3 < x < 8}
3. A ve B iki kümedir.
s(A) + s(A – B) = 23,
s(B) = 8 olduğuna göre,
A , B kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 12
B) 13
C) 15
D) 16 E) 17
B = {y ∈ A : 4≤ y2 ≤ 9}
C = {(3 . z) ∈ Z : –s(B) < z < s(B)}
kümeleri ile ilgili aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I. B ⊂ C
II. A ⊂ C
III. s(A) = 9
IV. B nin elemanlarının toplamı 0 dır.
V. 20 ∉ C A) 1
236
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11.Ünite
10. Tarih ve coğrafya derslerinden en az birinden bütünlemeye kalan 48 kişilik bir sınıfta tarihten kalanlar, yalnız coğrafyadan kalanların 2 katından 3 fazladır.
7. 32 kişilik bir sınıfta x dersini seçen 22, y dersini seçen 16 öğrenci vardır. Her iki dersi de seçenlerin sayısı ikisini de seçmeyenlerin sayısının 3 katı ise, yalnız x dersini seçenlerin sayısı kaçtır? A) 13
B) 14
C) 15
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
D) 16 E) 17
Bu sınıfta yalnız coğrafyadan kalan kaç kişi vardır? A) 24
B) 20
C) 18
D) 16 E) 15
Bilgi Köşesi
Örnek 32 kişilik bir sınıfta, İngilizce bilenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sayısının 3 katıdır. Bu toplulukta 10 kişi İngilizce veya Almanca bilmemekte, 6 kişi ise bu iki dili de bilmektedir. Bu sınıfta, yalnız İngilizce bilen kaç kişi vardır? Çözüm: ‹
A 6 10
8. Bir sınıfta en az bir dil bilen 17 ve sadece iki dil bilen 14 kişi varsa, sınıfta yalnız bir dil bilen kaç kişi vardır? B) 4
C) 5
D) 6
E) 7 Palme Yayınevi
A) 3
11. 30 kişilik bir sınıfta futbol oynayanların kümesi F, basketbol oynayanların kümesi ise B ile gösterilmiştir.
Problemdeki ifadeye göre,
s(F) = 18, s(B′) = 14 ve s[(F + B)′] = 17 ise,
s(İ ∪ A) = s(İ) + s(A) – s(İ ∩ A)
sadece futbol oynayan kaç kişi vardır?
olduğundan,
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
s(İ) = 3.s(A) dır. s(İ ∪ A) = 32 – 10 = 22 ve
22 = 3.s(A) + s(A) – 6 ⇒ 4.s(A) = 28 ⇒ s(A) = 7 ve s(İ) = 3.s(A) = 3.7 = 21 dir. Yalnız İngilizce bilen, s(İ) – s(İ ∩ A) = 21 – 6 = 15 kişi vardır.
Örnek
9. 40 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin her biri İngilizce ya da Almanca dillerinden en az birini bilmektedir. Sınıfta sadece İngilizce bilenlerin sayısı, sadece Almanca bilenlerin sayısının 2 katından 5 fazladır.
Her iki dili konuşabilenlerin sayısı 8 olduğuna göre, sadece İngilizce bilen öğrenci sayısı kaçtır? A) 9
B) 17
C) 23
12. Futbol, basketbol ve voleybol oynayanlarla, oynamayanların bulunduğu bir sporcu grubunda, en az iki oyunu oynayan 12, en çok bir oyunu oynayan 18 ve en çok iki oyunu oynayan 25 kişi olduğuna göre, her üç oyunu da oynayan kaç kişi vardır? A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oyna yanlar 5, futbol ve voleybol oy nayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir. Futbol oynayanlar 23, voleybol oynayanlar 21, basketbol oy nayanlar 15 kişi olduğuna gö re, kafilede kaç sporcu vardır? Çözüm:
D) 31 E) 32
s(F ∪ V ∪ B) = s(F) + s(V) + s(B) – s(F ∩ V) – s(F ∩ B) – s(V ∩ B) + s(F ∩ V ∩ B) = 23 + 21 + 15 – 9 – 6 – 8 + 5 = 41 kişidir.
1. C
2. B
3. D
4. D
5. C
6. C
7. A
8. A
9. C
10. E
11. E
12. B
237
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
8. TEST
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin kaç tane alt kümesinde en az bir asal sayı bulunur?
Örnek
A) 64
A ve B gibi iki kümeden A nın bir, B nin iki elemanı A ∩ B kümesinin elemanı değildir.
B) 56
C) 48
D) 16
4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde yalnız bir çift sayı bulunur?
E) 8
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128 E) 256
Ø dışında A ∩ B nin alt kümelerinin sayısı 63 olduğuna göre, A ∪ B kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? Çözüm: A
B 1
x
2
2x – 1 = 63 ⇒ x = 6 dır. s(A ∪ B) = 1 + 6 + 2 = 9 elemanı var. A ∪ B nin alt küme sayısı: 29
= 512 olur.
2. A kümesinin 2 elemanı, B kümesinin 3 elemanı A + B kümesinin elemanı değildir.
A + B kümesinin öz alt kümelerinin sayısı 31 olduğuna göre, A , B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8
B) 9
C) 10
D) 12 E) 13
5. A = {a, 1, b, 8, 10, 14} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya 8 bulunur? A) 8
B) 16
C) 32
D) 48 E) 64
Palme Yayınevi
2x = 64 = 26
Örnek Bir A kümesinin 3 ten az elemanlı alt kümelerinin sayısının 29 olması için, A kaç elemanlı olmalıdır? Çözüm: A nın eleman sayısı n olsun. 3 ten az elemanlı alt kümelerinin sayısı, n n n b l + b l + b l = 29 0 1 2 1+n+
n (n – 1) = 29 2.1
2n + n 2 – n =28 ⇒ n2 + n – 56 = 0 2 / \ (n – 7) (n + 8) = 0 –7 8 n = 7 elemanlı olmalıdır.
238
3. A = {1, 2, 3, 7, 11, 13} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur, 7 bulunmaz? A) 8
B) 16
C) 36
D) 48 E) 56
6. A ve B kümeleri için,
s(A , B) = 12 ve
s(A) = 3.s(B – A)
olduğuna göre, s(A + B) en çok kaç olabilir? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
11.Ünite 7. Bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
Bu kümede eleman sayısı 8 olan kaç tane alt küme vardır? A) 7
B) 8
C) 9
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
10. İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu bir grupta her ikisini bilenlerin sayısı 14 tür.
D) 10 E) 11
Sadece İngilizce bilenlerin sayısı, sadece Almanca bilenlerin sayısının 2 katı ise bu gruptaki kişi sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
Bilgi Köşesi
Örnek 34 kişilik bir grup, İngilizce bilen, Fransızca bilen, hem İngilizce hem Fransızca bilen ya da hiçbirini bilmeyen kişilerden oluşmaktadır. Bu grupta İngilizce bilmeyenlerin sayısı 12 dir. İngilizce veya Fransızca’dan en çok birisini bilenlerin sayısı 26 ve Fransızca bilmeyenlerin sayısı 21 olduğuna göre, hiçbirini bilmeyenlerin sayısı kaçtır? Çözüm: E ‹
F a
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Palme Yayınevi
8. Bir sporcu grubunda, futbol oynayanların sayısı ile basketbol oynayanların sayıları toplamı 30, bu sporlardan en az birini oynayanların sayısı 20 ve her ikisini oynayanlarla hiçbirini oynamayanların sayıları toplamı 13 olduğuna göre, hiçbirini oynamayanların sayısı kaçtır?
11. Bir sınıfta fizikten sınıfı geçen her öğrenci matematikten de sınıfı geçmiştir. En az birinden geçenler 10, en çok birinden geçenler 16 ve fizikten sınıf geçenlerle hiçbirinden geçemeyenlerin sayıları toplamı 18 kişi olduğuna göre, sınıfın mevcudu kaçtır? A) 30
B) 28
C) 26
D) 24
E) 22
b
c d
(1) a + b + c + d = 34 _b (2) c + d = 12 b `⇒ d (3) a + c + d = 26 b =? (4) a + d = 21 b a (1) ve (3) ten b + 26 = 34 ⇒b=8 (1) ve (2) den a + b + 12 = 34 ⇒ a + b = 22 a + 8 = 22 ⇒ a = 14 (4) ten 14 + d = 21 d = 7 kişi hiçbir dili bilmiyor.
Örnek 9. İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az birinin konuşulduğu bir grupta, yalnız iki dili bilen kimse bulunmamaktadır.
6 kişinin her üç dili konuştuğu bu grupta, yalnız bir dili konuşan 30 kişi bulunduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır? A) 35
B) 36
C) 37
D) 38
12. A = {a, b, c, d, e}, B = {a, b, 1, 2, c, d}
kümeleri veriliyor.
A ve B nin alt kümelerinden kaç tanesi aynıdır? A) 32
B) 28
C) 20
D) 16 E) 8
E) 39
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin kaç tane alt kümesinde 1 elemanı bulunur, 3 elemanı bulunmaz? Çözüm: Alt kümeler {1, ., ., ., .} şeklinde olmalı. . olan yerlere B = {2, 4, 5, 6} kümesinden eleman seçmeliyiz. s(B) = 4 olduğundan 24 = 16 alt kümede 1 bulunur, 3 bulunmaz.
1. B
2. C
3. B
4. C
5. D
6. E
7. C
8. C
9. B
10. C
11. E
12. D
239
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
Örnek M ve N kümeleri
9. TEST
1. A j B ve B j A olmak üzere s(A).s(B) = 24 ve s(A + B) ≠ 0 veriliyor.
4. Bir grupta bulunan herkese sinemayı mı tiyatroyu mu tercih ettikleri sorulmuştur.
• Sinemayı tercih eden 19 kişi
• Tiyatroyu tercih eden 30 kişi
Bu gruptaki bayanların sayısı erkeklerin sayısından bir fazla olduğuna göre, kaç bayan vardır?
s(A , B) nin en büyük değeri kaçtır? A) 9
M = {a, b, {1, 2}, ∆}
B) 10
C) 13
D) 15
E) 25
N = {a, 1, 2, {∆}} olduğuna göre, M – N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Çözüm:
A) 22
M – N = {b, {1, 2}, ∆} olmak üzere 3 elemanlıdır.
B) 24
C) 25
D) 27
E) 30
2 elemanlı alt küme sayısı; 3 c m = 3 olur. 2
U kümesi, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak oluşturulan ve rakamları birbirinden farklı olan dört basamaklı bütün doğal sayıların kümesidir. U nun elemanlarından 4 rakamı 1 rakamının solunda olanlar A kümesini, 4 rakamı 2 rakamının sağında olanlar B kümesini uluşturuyor.
Buna göre, evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
5. {a, b, c} ⊂ Z
Palme Yayınevi
Örnek
2. A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleri olmak üzere; A + B nin alt küme sayısı 4, A – B nin öz alt küme sayısı 15, B – A nın alt küme sayısı 8 ve A′+B′ nin alt küme sayısı 4 tür.
A = {7c, 10, 19} ve
B = {5a + b, 3b – c, 14}
kümeleri eşit olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
E) 13
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm: 4 3 2 1 ⇒ 4.3.2.1 = 24 = s(U) A ve B kümelerinin eleman sayıları 12 dir. A ∩ B (yani 4 rakamı, hem 1 in solunda, hem de 2 nin sağında) elemanları ise, 3241, 2413, 2431, 2341 olmak üzere 4 tanedir. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) = 12 + 12 – 4 = 20 dir.
1 3. Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, sınıfın ü 4 1 kadardır. Kız öğrencilerin i kısa saçlıdır. 5 Bu sınıfta 8 kızın saçları uzun olduğuna göre, sınıf kaç kişiliktir? A) 20
B) 24
C) 32
D) 36
6. A = {1, 3, 5, 10, 20, 50, 82} kümesi veriliyor.
Ömer ve Merve, A kümesinden en az iki eleman alıp topluyorlar.
Ömer toplamı aynı olan m tane farklı küme, Merve de toplamları farklı olan n tane farklı küme buluyor.
Buna göre, m+n toplamı kaçtır?
E) 40
A) 110
240
B) 120 C) 122
D) 124 E) 128
11.Ünite 7. 37 kişilik bir sporcu kafilesinde futbol oynamayan 14 kişi, basketbol oynamayan 23 kişi, bu iki oyundan en çok birini oynayan 32 kişi olduğuna göre, hiçbir oyunu oynamayan kaç kişi vardır? A) 12
B) 8
C) 6
D) 5
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
10. I
Bilgi Köşesi
F
4
3
Örnek
5
E) 4 2
Bu öğrenci toplam 13 soru çözdüğüne göre, kimya sorularının kaç tanesini çözmüştür? A) 7
B) 6
C) 4
D) 3
E) 2
Şekilde İ; İngilizce bilmeyenlerin, F; Fransızca bilmeyenlerin kümesidir.
l. Her üç spor u yap anlar ın sayısı 6
Buna göre, aşağıdakilerin kaç tanesi doğrudur?
II. Sad ec e voleyb ol, sad ec e futbol ve sadece basketbol oy nayanların sayıları birbirine eşit,
I. Fransızca bilen 5 öğrenci vardır.
II. Yalnızca Fransızca bilen 3 öğrenci vardır.
III. İngilizce ve Fransızca bilmeyen 4 öğrenci vardır.
III. Bu sporlardan herhangi iki sini yapanların sayıları eşittir. Buna göre, voleybol oynayan ların sayısı en az kaçtır? Çözüm: F
IV. İngilizce ya da Fransızca bilmeyen 8 öğrenci vardır.
V y
x
V. İngilizce ve Fransızca bilen 10 öğrenci vardır. A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x
6 y
Palme Yayınevi
8. Fizik ve kimya sorularından oluşan 28 soruluk sınava giren bir öğrenci, kimya so1 3 rularının ünü, fizik sorularının ünü 4 4 çözmüştür.
Voleybol, futbol ve basketbol sporlarından en az birini yapan sporculardan oluşan 60 kişilik bir sporcu kafilesinde;
y x B
Sporcuların tamamı 60 kişi olduğuna göre, 3x + 3y + 6 = 60 3.(x + y) = 54 ⇒ x + y = 18
11.
Voleybol oynayanlar, T
S
9
4
(x + 2y + 6) = x + y + y + 6 = y + 24 18 Voleybol oynayanların sayısının en az olması için y = 0 alınmalıdır.
1
y + 24 = 0 + 24 = 24 kişidir. 12
9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birinin konuşulduğu 60 kişilik bir grupta, Almanca bilen gözlüklü kişi bulunmamaktadır. Grupta Almanca bilen kişi sayısının grubun yarısından fazla olduğu bilinmektedir.
B) 8
C) 7
D) 6
Yukarıdaki venn şemasında bir sitede tavla bilenler T, satranç bilenler S ile gösterilmiştir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Sitede 26 kişi vardır. B) Sadece satranç bilen 1 kişi vardır.
Gruptaki İngilizce bilen gözlüklülerin sayısı, İngilizce bilen gözlüksüzlerin sayısının 2 katı ise, grupta İngilizce bilen gözlüksüz kişi sayısı en çok kaçtır? A) 9
Örnek
C) Satranç bilmeyen 21 kişi vardır. D) En az birini bilen 14 kişi vardır. E) Satranç bilmeyip tavla bilen 13 kişi vardır.
E) 4
1. C
2. D
3. E
4. C
5. D
6. B
7. D
8. C
9. A
10. D
11. E
B A
Şekilde boyalı alan 12 cm2, A bölgesinin alanı 40 cm2, B bölgesinin alanı 35 cm2 ise, A ve B nin sınırladığı toplam alan kaç cm2 dir? Çözüm: Alan(A ∪ B) = Alan(A) + Alan(B) – Alan(A ∩ B) = 40 + 35 – 12 = 63 cm2 olur.
241
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kümeler
Bilgi Köşesi
10. TEST 4. Alt kümelerinin sayıları toplamı 160 olan iki kümenin eleman sayılarının toplamı kaçtır?
1. [(A′ , B) + (B′ , A′)]′
Örnek A ve B herhangi iki kümedir.
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) A , B
A ∪ B, B ∩ Aʹ, A ∩ Bʹ küme lerinin alt küme sayıları sırası ile 512, 32 ve 8 olduğuna göre,
B) A + B
D) B
A) 10
C) A
B) 11
C) 12
D) 13 E) 14
E) Q
s(A ∩ B) kaçtır? Çözüm: s(A ∪ B) = n ⇒ 2n = 512 ⇒ 2n = 29 ⇒ n = 9 s(B ∩ Aʹ) = s(B – A) = m ⇒ 2m = 32 ⇒ 2m= 25 ⇒ m = 5 ve s(A ∩ Bʹ) = s(A – B) = p ⇒ 2p = 8 ⇒ 2p = 23 ⇒ p = 3 tür. s(A ∪ B) = s(A – B) + s(A ∩ B) + s(B – A) olduğundan,
2. A = {1, 2, 3}
5. A \ B nin iki elemanlı alt küme sayısı 66,
⇒ s(A ∩ B) = 1 olur.
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B \ A nın öz alt küme sayısı 15 tir.
A 1 B 1 C, 7 ∈ B ve B ≠ C olmak üzere,
kaç farklı B kümesi yazılabilir?
s(A) = 2.s(B) olduğuna göre, A , B kümesi kaç elemanlıdır?
A) 15
B) 16
C) 24
D) 30 E) 31
Palme Yayınevi
9 = 3 + s(A ∩ B) + 5
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18 E) 20
Örnek A = {a, c, d} ve B = {a, b, c, d, e, f, g} olduğuna göre, B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? Çözüm: B •b
A •a •d
•c
•e •f •g
B = {a, c, d, –, –, –, –} B deki boşluklara {b, e, f, g} elemanlarından istediğimizi yazabiliriz ya da hiçbirini yazmayabiliriz. 24 = 16 tane kümenin hepsi de A kümesini içerir ve B nin alt kümesidir.
242
3. A + B = {1, 2, 3} ve A + C = {1, 3, 4, 5}
6. A ve B kümeleri için;
olduğuna göre, (B , C) + A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
s(A) < s(B)
s(A) + s(B) = 25
A) {1, 2, 3, 5}
B) {1, 2, 3, 4, 5}
s(A + B) = 4
C) {1, 2, 3, 4}
D) {1, 3, 4}
olduğuna göre, A \ B nin eleman sayısı en çok kaçtır?
E) {1, 3, 5}
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
7. Futbol, basketbol ve voleybol oyunlarından en az birinin oynandığı 29 kişilik bir grupta her üç oyunu da oynayan 8 kişidir.
10. Bir sınıfta basketbol ve voleybol oynayanların sayısı 7, basketbol veya voleyboldan en az birini oynayanların sayısı 16 dır.
Yalnız iki oyunu oynayanların olmadığı bu grupta sadece bir oyunu oynayanların sayısı eşitse, basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) 7
B) 10
C) 13
Basketbol oynayanların sayısı voleybol oynayanların sayısından 5 fazla olduğuna göre, bu sınıfta basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) 14
D) 15 E) 18
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
Bilgi Köşesi
Örnek Bir otobüs kazasında 18 kişinin bacağı, 11 kişinin kolu kırılmış; 7 kişi başından yaralanmış; 3 kişinin hem başı yaralanmış hem de kolu kırılmış; 4 kişinin hem kolu hem bacağı kırılmış; 2 kişi de kazayı hiç yara almadan atlatmıştır. Buna göre, kaza sırasında otobüste kaç kişi vardır? Çözüm: Bacağı kırılanlar A kümesi, kolu kırılanlar B kümesi, başı yaralananlar C kümesi olsun. s(A) = 18, s(B) = 11, s(C) = 7, s(B ∩ C) = 3, s(A ∩ B) = 4, s[(A ∪ B ∪ C)ʹ] = 2 dir.
8. 40 kişilik bir sınıfta, matematikten bütünlemeye kalan 18, fizikten bütünlemeye kalan 25, en az bir dersten geçen 32 kişi vardır. Bu sınıfta her iki dersten de geçen kaç kişi vardır? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Palme Yayınevi
A
11. 40 kişilik bir sınıfta matematik dersinden kalan 16, fizik dersinden kalan 12, her iki dersten de geçen 16 kişi vardır.
14
B) 8
C) 9
D) 10 E) 12
4 3
Buna göre, matematikten geçip, fizikten kalanların sayısı kaçtır? A) 7
B 4
4 2
C
Tüm yaralıların sayısı, s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(B ∩ C) – s(A ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C) = 18 + 11 + 7 – 4 – 3 – 0 + 0 = 29 kişidir. 2 kişi de hiç yaralanmadığı için otobüsteki toplam yolcu sayısı, 29 + 2 = 31 dir.
Örnek A ve B iki kümedir.
9. 16 kişilik bir sınıfta Fransızca bilenlerin kümesi F, Almanca bilenlerin kümesi A dır.
s(F) = 7, s(A′) = 9
s[(A ∩ F)′] = 14 olduğuna göre,
bu sınıfta yalnız Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?
12. 24 kişinin bulunduğu bir sınıfta 12 kişi matematikten başarılı, 9 kişi fizikten başarısız ve 4 kişi her iki dersten başarısızdır.
Buna göre, bu iki dersten başarılı olan kaç kişi vardır? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
s(A) = 2.s(B), s(A – B) = 10 ve A ∩ B kümesinin alt kümelerinin sayısı 16 olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm: A
B 10
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
4
x
E) 8 A ∩ B nin alt küme sayısı 16 ise eleman sayısı 4 tür. 14 = 2.(4+x) ⇒ x = 3 tür. s(A ∪ B) = 10 + 4 + 3 = 17 bulunur.
1. C
2. A
3. B
4. C
5. E
6. E
7. D
8. A
9. B
10. A
11. B
12.D
243
11.Ünite
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım Kartezyen Çarpım
Bilgi Köşesi
Örnek
1. TEST
1. A = {–1, –2} ve B = {1, 2}
4. (xy – 4, 3) = (–2x, xy + x)
A, B, C kümeleri için,
olduğuna göre, A x B kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A)
B)
y
A ∩ B = {a, b} ve C = {0, 1, 2, 3}
B) –2
C) 0
D) 2
E) 3
2 1
1 –2 –1
A) –3
y
2
olduğuna göre, (A x C) ∩ (B x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
O
x
–2 –1
O
x
5. s(A – B) = 3 ve s(A x (A ∩ B)) = 18 ise,
Çözüm:
C)
y
(A x C) ∩ (B x C) = (A ∩ B) x C olduğu için, s[(A x C) ∩ (B x C)] = s[(A ∩ B) x C] ⇒ s(A ∩ B).s(C) = 2.4 = 8
D)
–2 –1
2
2
1
1
O
x
y
–2 –1
O
s(A) değeri kaçtır? A) 3
B) 6
C) 9
D) 10
E) 12
x
bulunur.
E)
Örnek
y
6. A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3} ise,
A = {2, 3, 4, 5} ve B = {∆, 0, +} ise, BxA nın alt küme sayısını bulalım.
Palme Yayınevi
2 1 –2 –1
x
O
A) {(1, 1) , (1, 2)} B) {(1, 2) , (2, 3)} C) {(1, 2) , (1, 3), (2, 2)}
Çözüm:
D) {(2, 2) , (2, 3), (3, 2)}
s(B x A) = s(B) . s(A)
24.3
=
E) {(1, 2) , (1, 3), (2, 1), (2, 3}
= 3 . 4 = 12
olup 212
dir.
Örnek
A = "x ! N |
2. A x B={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b)}
x > 4 & x = 6,
ise, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {a}
B = " y ! Z | | y | # 3, olduğuna göre, A x B kümesinin eleman sayısını bulalım.
B) {a, b} D) {b, c}
C) {a, c} E) {a, b, c}
7. A = [–2, 3] ve B = [–4, 8]
Çözüm: p ⇒ q ≡ pʹ ∨ q olduğundan A = {x ∈ N | x ≤ 4 ∨ x = 6} olup A = {0, 1, 2, 3, 4, 6}
B = {y: y < 3, y ∈ Z+} olmak üzere
B kümesi için
AxB kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
s(B) = 7 dir. s(AxB) = s(A) . s(B)
= 6 . 7 = 42 bulunur.
244
• A x B kümesinin elemanlarını dışarıda rin çevresi m.π birim
3. A = {x: lx + 1l ≤ 2, x ∈ Z} ve
y ∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}
olmak üzere bırakmayan en küçük yarıçaplı çembe-
s(A) = 6 dır. |y| ≤ 3 ⇒ –3 ≤ y ≤ 3
aşağıdakilerden hangisi AXB nin alt kümesi değildir?
A) 25
B) 210 D)
218
C) 215 E)
220
• A x B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin alanı n birim karedir.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 75
B) 73
C) 72
D) 70
E) 69
11.Ünite 8. A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
11. A = [–2, –1) ve B = {1, 2, 3} ise,
B x C = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)}
şeklinde verildiğine göre,
(A + C) x B kümesinin eleman sayısı
B) 3
C) 4
D) 6
Bilgi Köşesi
A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B
A)
kaçtır? A) 2
/Kümeler ve Kartezyen Çarpım
B)
3
1 –2 –1 O
1
2
B
C)
A = {x: –2 ≤ x ≤ 1, x ∈ R} ve
1
2
E) 8
Örnek
B 2
A
O –1
1
2
A
3
B 3 2
O –1
1
2
3
A
1 –2 –1 O
–2
1
2
A
B 3
E)
x ∈ R} ise
A x B kümesinin grafiğini ana litik düzlemde (koordinat siste minde) gösterelim.
–2
D)
B = {x: 1 ≤ x ≤ 3,
Çözüm: A x B ifadesinde birinci küme x– ekseni üzerinde (yani A), ikinci küme y–ekseni üzerinde (yani B) alınacaktır. A = {x: –2 ≤ x ≤ 1, x ∈ R} kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü y
2 1
9. A = {(x, y): x2 + y + 1 = 0, (x, y) ∈ R2}
şeklinde tanımlanıyor.
Aşağıdakilerden hangisi A kümesinin elemanı değildir? A) (0, –1)
B) (1, –2)
D) (–2, –5)
Palme Yayınevi
–2 –1
A
O
–2
x
1
O
A
12.
B = {x: 1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü
y 2
C) (2, –5)
y 3
1
B
E) (–1, 0) –1
0
x
2
Şekilde A x B nin grafiği verilmiştir.
A + B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? B) {0, 1, 2} D) {1, 2}
x
A ile B nin grafiklerinin kesiştikleri bölge A x B nin grafiğini verir.
A) {1}
1 O
y 3 AxB
C) {0, 1}
E) (0, 2
1 –2
O
1
x
Örnek
13. A = {0, 1, 2, 3} ve B = {–2, –1, 0, 1, 2} 10. A = {a: la – 1l ≤ 2, a ∈ Z} ve
A = {a, b, c} kümesi veriliyor.
olduğuna göre,
B = {b: l2b + 1l ≤ 1, b ∈ Z} ise,
A x A nın kaç alt kümesinde (a, b) elemanı bulunur?
A x B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A x B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin çevresi kaç birimdir?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 12
E) 20
A) 3π
B) 5π D) 8π
1. A
2. B
3. B
4. E
5. B
6. D
7. B
8. A
9. E
C) 7π E) 10π
10. C
11. E
12. A
13. B
Çözüm: s(A x A) = 3 . 3 = 9 dur. {(a, b), …} 9 – 1 = 8 olup 28 = 256 alt kümede (a, b) elemanı bulunur.
245
FONKSİYONLAR ve UYGULAMALARI
12. Ünite
12.Ünite Tanım Kümesi, Değer Kümesi, Görüntü Kümesi
4. f : A → B, f(x) = 3x + 5
4 A) f : R " R, f (x) = x – 5 3
Örnek
fonksiyonu veriliyor.
f(A) = {–10, –4, 0, 5} olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2x 2
x +3 3 C) f : N " R, f (x) = x – 2
A) {–25, –7, 5, 20}
B) {–25, 5, 20}
C) {–5, –3, 0}
5 D) ' –5, –3, – , 0 1 3
5 E) ' –5, –3, – 1 3
D) f : R " R, f (x) = 2 x E) f : Z " R, f (x) =
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. Aşağıdakilerden hangisi fonksiyon değildir?
B) f : R " R, f (x) =
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
x –1 2
2x + 3 + x – 3 9–x fonksiyonunun tanım kümesi nedir? Çözüm: f (x) =
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için x – 3 $ 0 ve 9 – x 2 0 olmalıdır. O halde, x–3≥0⇒x ≥3 9 – x > 0 ⇒ 9 > x olup 3 ≤ x < 9 yani
5. f : A → B, A = {–1, 0, 2} olmak üzere, x2
[3, 9) bulunur.
f(x) =
Buna göre, f(A) görüntü kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır? A) 0
+ 2 fonksiyonu veriliyor.
B) 5
C) 6
D) 11
E) 12
Örnek
A) [4, 6)
B) {5}
C) {4, 5}
D) [4, ∞)
Palme Yayınevi
1 6–x fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2. f (x) = 3 x + 4 x – 4 +
f : A → B, A = {–3, –2, 0, 1} olmak üzere f(x) = 2x2+3x fonksiyonu veriliyor.
6. Aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan hangisi bir fonksiyon değildir?
Çözüm:
y
A)
E) (–∞, 6)
Buna göre, f(A) görüntü kümesini bulalım.
y
B) x
O
O
x
f(A) yı bulmak için A kümesinde verilen her bir elemanı f(x) fonksiyonunda yerine yazıp sonucu bulmamız gerekir. x = –3 için f(–3) = 2 . (–3)2 + 3 . (–3) ⇒ f(–3) = 9 dur.
y
C) 3. f : A → B, f(x) = 2x – 3 fonksiyonu veriliyor.
A = {–6, 3, 5} olduğuna göre, f(A) görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 3 A) ' – , 3, 4 1 2
B) {3, 4}
C) {–15, 3, 7}
D) {3, 7}
E) {3, 4, 7}
x
O
x = –2 için
y
D)
f(–2) = 2 . (–2)2 + 3 . (–2) O
x
⇒ f(–2) = 2 dir. x = 0 için f(0) = 2 . (0)2 + 3 . (0) ⇒ f(0) = 0 dır. x = 1 için f(1) = 2 . (1)2 + 3 . (1)
y
E)
⇒ f(1) = 5 dir. O halde f(A) kümesi {0, 2, 5, 9} bulunur.
O
x
247
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
7. f : (–2, 3] → R, f(x) = –2x + 5
10. f (x) =
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek
A) [–1, 9)
f : A → (–1, 7] ve
B) (–1, 9]
D) [–1, 8]
C) (–1, 8]
9– x
fonksiyonunun tanım kümesi A, görüntü kümesi B olduğuna göre, A – B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (3, 81)
E) [0, 8]
f(x) = 3 – x
B) (3, 81]
D) [3, 9)
C) (3, 9)
E) (3, 9]
ise f(x) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Çözüm÷ f(x) = 3 – x ve f(x) in görüntü kümesi (–1, 7 ] olduğundan 3 – x = –1 ⇒ x = 4 tür. 3 – x = 7 ⇒ x = –4 tür. O halde, f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [–4, 4) bulunur.
11. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
8. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A dan B ye bir fonksiyon belirtir?
A) [0, ∞)
A) {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3)} C) {(1, d), (2, c), (3, c)} D) {(2, a), (3, b)} E) {(1, a), (2, b), (3, b), (3, d)}
B) [2, ∞)
D) (–2, ∞)
Palme Yayınevi
B) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}
Örnek
f(x) = |(x – 2)3 + 2| fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? C) [–2, ∞)
E) (–∞, 0]
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) = 3 . |2x – 7| + 5 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir? Çözüm÷ Mutlak değerli ifade en küçük sıfır olabilir. O halde f(x) fonksiyonunun görüntü kümesindeki en küçük değer 3. | 2x – 7 | + 5 = 5 olur. >
9.
12. f : R → R, f(x) = –2|x – 1| + 4
y
5
=0
Yani fonksiyonun görüntü kümesi
3 2
[5, ∞) bulunur.
A) [4, ∞)
–5
–3
–2
f:A→B fonksiyonu verilsin. A nın keyfi iki farklı elemanının görüntüleri de farklı ise f ye birebir fonksiyon adı verilir.
248
O
C) (–∞, 4)
E) (–∞, –4]
x
4 –2
B) (–∞, 4]
D) (–∞, –4)
6 Birebir fonksiyon:
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
y = f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Tanım kümesi A, görüntü kümesi B olmak üzere A ∩ B kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır? A) 3
1. D
B) 4
2. A
3. C
C) 6
4. D
D) 10
5. D
E) 12
6. D
7. A
8. C
9. E
10. B
11. A
12. B
12.Ünite f(x) = ax + b Grafikleri Birim Fonksiyon, Sabit Fonksiyon, Doğrusal Fonksiyon
4. Uygun koşullarda
3x –1 2x + 4
f (x) =
olduğuna göre, f(–1) . f(0) + f(1) ifadesinin değeri kaçtır?
23 B) –2 12
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. Uygun koşullarda
A) –
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
C)
23 5 D) 12 6
E) 2
f (3x) =
Örnek
5 – 2f (3x) 3x – 1
f(2x + 3) = 4x2 + 12x + 7
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir? A)
15 5 5 B) C) x+1 3x + 1 3x – 1
olduğuna göre, f(5) değeri kaçtır? Çözüm: f(5) değerini bulmak için 2x + 3 = 5 ⇒ x = 1 olup yerine yazalım.
15 5 D) E) x –1 x+1
f(2 . 1 + 3) = 4 . (1)2 + 12 . 1 + 7 ⇒ f(5) = 23 bulunur.
Örnek f(x) = 2x + 1 olduğuna göre, f(x + 1) in f(x – 1) cinsinden eşiti nedir?
2. f (x) =
olduğuna göre, a değeri kaçtır? A) –
10 B) –3 3
7 5 C) – D) 3 3
E) 3
Palme Yayınevi
Çözüm:
5. f(x) = 3x+1
2x – 3 ve f(1) = 3 a+3
olduğuna göre, f(4x) in f(2x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 2
A)
2
f (2x) f (2x) B) 9 3 D)
C) f2(2x)
f(x + 1) = 2x + 1 + 1 = 2x . 2 + 1 dir. 2x + 1 olup 2 x 2 = 2 . (f(x – 1) – 1) ifadesi f(x + 1) de yerine yazılırsa f(x – 1) = 2x – 1 + 1 =
f(x + 1) = 2x . 2 + 1
2f (2x) f (2x) E) 9 3
⇒ f(x + 1) = 2 .(f(x – 1) – 1) . 2 + 1 ⇒ f(x + 1) = 4 . f(x – 1) – 3 bulunur.
Örnek f(3x
+ 1) = 3x + 2
olduğuna göre, f ^ 3 3 + 1 h değeri kaçtır?
6. f(3x – 1) = 2x + 6
3. f(x) = 9x2 – 6x + 3
olduğuna göre, f(–1) değeri kaçtır? A) –4
B) –2 D) 14
C) 12 E) 18
Çözüm:
g(x2 – 2) = 3x
3
olduğuna göre, 2 . f(8) + 3 . g(2) toplamının değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
33 = 3 & x =
1 tür. 3
f ^3 3 + 1h = 3.
1 +2 = 1+2 = 3 3
A) 16
B) 14
C) 10
D) 8
E) 2
3 + 1 = 3x + 1 1
x
bulunur.
249
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
7. f (x) =
Örnek
f (x) =
10. f(x) = |a – 4| . x4 + (2b – 3)x
kx + 5 4 – 2x
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(2k) değeri aşağıdakilerden hangisidir? 5 5 A) – B) – 4 2
mx – 6 5 + 2x
C) 0
D)
a değeri fonksiyonu birim fonksiyon ise b kaçtır? A) 1
5 5 E) 2 4
B) 2
C)
5 2
D) 3
E)
7 2
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(203) değeri kaçtır? Çözüm: mx – 6 2x + 5 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğundan f (x) =
6 12 m =– &m=– 5 5 2
=
12 x–6 5 5 + 2x
–12x – 30 –6 (2x + 5 ) = 25 + 10x 5 (2x + 5 ) f (x) = –
6 bulunur. 5
Örnek
Z x ]2 , | x |< 3 ] 2 8. f (x) = [ 5 – x, x = 9 ] ]| x | , | x |> 3 \
f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
f (2) : f (–4) ifadesinin defonksiyonu için, f (–3) ğeri kaçtır?
f(1) = –2 ve f(3) = 4 olduğuna göre, f(–2) değeri kaçtır? Çözüm: f(x) doğrusal fonksiyon olduğundan f(x) = ax + b yazılabilir.
11. f(x) fonksiyonunun grafiği bir doğru belirtmektedir.
A)
1 1 1 B) C) 8 4 2
D) 2
E) 4
Palme Yayınevi
f (x) =
–
Buna göre,
f (x) =
olmak üzere, f(1) değeri kaçtır? A) 2
2k – 4 2 .x + (3 – k) x + k + 1 k+1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
f(1) = –2 ⇒ a . 1 + b = –2 ⇒ a + b = –2 …➀ f(3) = 4 ⇒ a . 3 + b = 4 ⇒ 3a + b = 4 …➁ ➀ ve ➁ den (a + b = –2) . (–3) 3a + b = 4 ––––––––––––––– –3a – 3b = 6 3a + b = 4 + –––––––––––––––
–2b = 10
⇒ b = –5 olup
a + b = –2 denkleminden
9. f(x . y) = f(x) + f(y)
12. f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
olduğuna göre, f(2) = 3 ise f(64) değeri kaçtır? A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
f(–5) = 8 ve f(5) = –2 olduğuna göre, f(6) değeri kaçtır? A) –3
E) 27
B) –1
C) 0
D) 6
⇒ a – 5 = –2 ⇒ a = 3 olur. O halde, f(x) = ax + b ⇒ f(x) = 3x – 5 olur. f(–2) = 3.(–2) – 5 = –11 bulunur.
250
1. C
2. A
3. E
4. D
5. B
6. E
7. E
8. A
9. D
10. B
11. C
12. A
E) 9
12.Ünite Mutlak Değer Fonksiyonu, Parçalı Fonkisyon, Tanım ve Görüntü Kümesi Bulma
1. f (x) = *
x#3
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
fonksiyonun grafiğini çizelim.
Çözüm:
A) y
1 2
x
3
–3
–2 –1 O 1 –1
2
Örnek f (x) = *
B)
2
1 –2 –1 O 1 –1
Z 2 ] x , x 1 –2 ] –2 # x 1 3 3. f (x) = [ 1, ] ] x – 2, 3 # x \ fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
3
3 2
–3
Bilgi Köşesi
1. TEST
3x – 6, x 2 3 –x –3,
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Z x – 3, x < –1 ] ] f (x) = [ 2, –1 # x < 2 ]] 2 x$2 \x , • x < –1 için f(x) doğrusal fonksiyon
y
x
3
4
4
–2
–2
3
3
–3 –4
–3 –4
2
2
–5
–5
–6
–6
1 –3 –2 –1
O 1
2
1
x
3
–3 –2 –1
O1
x – 3, x 1 –1 2 , –1 # x 1 2 x2 , x$2
2
3
x
ve x = –1 ⇒ x –3 = –4
• –1≤ x < 2 için f(x) sabit fonksiyon ve [1, 2) aralığında x = 2
y
C)
y
D)
3
3
2
2
1 –3
–2 –1 O 1 –1
•
D)
C) y
y
4
4
3
3
2
2
x ≥ 2 için f(x) parabol olduğundan ve x = 2 için x2 = 4 y
1 2
3
x
–3
–2 –1 O 1 –1
–2
2
x
3
–2
–3
–3 –4
–5
–5
–6
–6
E)
1 –3 –2 –1
Palme Yayınevi
–4
y 3 2
O 1
2
E)
–2 –1 O 1 –1
2
3
–3 –2 –1
O1
2
3
2
x –1
0
2
x
–4
y 4
1 –3
1
x
3
4
bulunur.
3
x
2 1
–2 –3 –2 –1
–3
O 1
2
x
3
–4
Örnek f (x) = 4 8 – x
–5 –6
fonksiyonunun tanım kümesi D, görüntü kümesi G ise D ∩ G kümesini bulunuz.
Çözüm: 4 8 – x ifadesinde kök derecesi (4) çift olduğundan 8 – x ≥ 0 olmalıdır.
Buradan x ≤ 8 dir.
2. f (x) =
9–
fonksiyonunun tanım kümesi T, görüntü kümesi G ise, T ∩ G kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [0, 3] D) [9, 8]
Yani D = (–∞, 8] olur.
4. f(x) = ||x – 1| + 1| + 2
x
B) [0, 9]
C) [3, 9]
E) [3, 81]
ve g(x) = 3 fonksiyonları veriliyor.
f(x) = g(x) denkleminin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) [–1, 3] D) [1, 3]
B) {1}
C) [0, 3]
6x ! ^ –3, 8@ için 4 8 – x $ 0
olacağından G = [0, ∞)
dur. D ⊂ IR, G ⊂ IR olur. D ∩ G = (–∞, 8] ∩ [0, ∞) = [0, 8] bulunur.
E) [–1, 5]
251
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
5.
y
8. f(x) = x – |x – 2| . |x| a
O
Örnek
x
–a
y = 2 – |2 – |x – 1|| fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım. Çözüm: 2 – |x – 1| = 0
–3a
a ∈ R+ olmak üzere,
şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
⇒ x – 1 = 2 veya x – 1 = – 2
A) y = |x – 2a| – |x + a|
⇒ x = 3 veya x = – 1 olup
B) y = |x + a| + |x – 2a|
x < –1 için
C) y = |x + 2a| – |x – a|
y = 2 – |2 – |x – 1||
D) y = |x – a| – |x + 2a|
⇒ y = 2 – |2 + x – 1|
E) y = |x – a| + |x + 2a|
⇒ y = 2 + 2 + x – 1 ⇒y = 3 + x olur. –1 ≤ x < 1 için
fonksiyonu aşağıdaki parçalı fonksiyonlardan hangisine denktir?
⇒ y = 2 – 2 – x + 1 ⇒ y = –x + 1 olur. 1 ≤ x < 3 için
A) f (x) = *
3 – 2x , ,
x20
B) f (x) = *
3 – 2x ,
x#0
,
x20
C) f (x) = *
2x + 3 ,
x#0
y = 2 – |2 – |x – 1|| ⇒ y = 2 – |2 – x + 1| ⇒ y = 2 – 3 + x ⇒ y = x – 1 olur. x ≥ 3 için y = 2 – |2 – | x – 1|| ⇒ y = 2 – |2 – x + 1| ⇒ y = 2 + 2 – x + 1 ⇒ y = –x + 5 olur. O halde, Z x + 3, ] ] ] 1 – x, f (x) = [ ] x – 1, ] ] 5 – x, \
D) f (x) = *
x < –1
E) f (x) = *
–1 # x < 1 1#x
a 2
C) a >
b 2
D) a ≤ E) b
y ise
m (x, y) = x
x < y ise
şeklinde tanımlanıyor.
a < b < c < d < e olmak üzere
M(M(a, m(b, c)), m(e, m(a, d)))
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
koşulunu sağlıyor. Buna göre, >f f 1 +
9 y
2 pH
12 y
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
ifadesinin değerini bulalım. Çözüm:
>f f 1 +
9 y
2 pH
12 y
2.
3 2 = >f f 1 + d n pH y
3 2 = >>f f 1 + d n pH y 3 y
10. f(x) = x2 – x + 1
7. f : A → B, f(x) = –2x + 7 3 y 3 2 y
H
fonksiyonu veriliyor.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi f(f(x)) = 1 denkleminin bir köküdür? 1 A) –1 B) C) –1 veya 2 2 D) 0 veya 1 E) 3
11 9 , n 5 2 olduğuna göre, B kümesinde en az kaç tam sayı vardır? A = =−
A) 13
B) 12
1. C
2. D
C) 11
D) 10
E) 9
= x denilirse
= 8f (1 + x 2) x B = 9 2 = 81 2
bulunur.
256
3. D
4. B
5. D
6. C
7. A
8. E
9. B
10. D
12.Ünite Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
2. TEST 4.
1. f: IR → IR tanımlı f(x) fonksiyonu
y
f(x) + f(x + 1) = 2x + 2 koşulunu sağlıyorsa
4
f(2) – f(4) değeri kaçtır?
2
A) –2
B) 0
C) 2
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
D) 4
y=f(x)
y
y=f(x)
–3
E) 6
–2
• y = f(x) fonksiyonu grafik olarak verilirse,
5
O
b
x
x
O a
–2
f: A → B, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde verilen bilgilere göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
• f –1(b) = a demektir. y
y=f(x)
3 I. f c – m < 0 2
4 2 1 –4 –3 O
II. A = [–3, 5)
B) 7
C) 6
D) 5
E) –9
Palme Yayınevi
A) 9
IV. f –1 ^2 h – f –1 ^–2 h = 3
f –1(4) = 7, f –1(2) = 3
V. f([–3, 0]) = [0, 4)
f –1(–2) = –4 tür.
A) 1
B) 2
x
7
–2
III. B = [–2, 4]
2. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu için f(x + 4) = 4x + 3 ise, f(1) değeri kaçtır?
3
f –1(1) = 0, f –1(0) = –3
C) 3
D) 4
E) 5
• f(x) = mx + n fonksiyonunda a) m = 0 ve n ≠ 0 ise f sabit fonksiyon b) m = 0 ve n = 0 ise f sıfır
5. Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonların terslerinin kuralları verilmiştir. Fonksiyon
Fonksiyonun Tersi
f(x) = 2x – 3
x+3 f–1(x) = 2
g(x) = 4 – x
g–1(x) = 4 – x
fonksiyonu,
c) m = 1, n = 0 ise f birim fonksiyondur.
Örnek 3f (x + 1) + 2 ve f(1) = 7 3 ise, f(16) değeri kaçtır?
f(x + 2) =
Çözüm: 3f (x + 1) + 2 3 ⇒ 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + 2 f(x + 2) =
h(x) = x2 – 4
3. f: IR → IR
f(x) = 3x – 4 için f(a) + f–1(a) = 24 olduğuna göre, a değeri kaçtır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 12
h–1(x) =
x+4
t(x) =
2x − 1 x−4
t–1(x) =
4x –1 x–2
k(x) =
3x − 5 2−x
k–1(x) =
x−5 2 − 3x
x = 0 ⇒ 3f(2) = 3f(1) + 2 x = 1 ⇒ 3f(3) = 3f(2) + 2 x = 2 ⇒ 3f(4) = 3f(3) + 2 . . . . . . x = 14 ⇒ 3f (16) = 3f (15) + 2 + ––––––––––––––––––––
Buna göre, hangi fonksiyonun tersi yanlış alınmıştır? A) f(x)
B) g(x) C) h(x)
D) t(x)
E) k(x)
3f(16) = 3f(1) + 15.2 3f(16) = 21 + 30 3f(16) = 51 ⇒ f(16) = 17 dir.
257
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları 3 6. f: IR – {5} → R – ' 1 2
Bilgi Köşesi
Örnek y f(x) –4 2
O
f^xh =
fonksiyonları için f–1(x) = g(x) ise,
m + n toplamı kaçtır?
x
4
9. f ^x h =
3x + 4 5mx + n 3 ve g ^xh = ,c x ] m 2x – 3 2 2x – 10
A) 3
B) 5
C) 6
xf ^x h + x – 1 , x ∈ IR 2x + 3
f(x) fonksiyonu x in hangi değeri için tanımsız olabilir? A) –2 B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
D) 13 E) 16
Şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f(–5).f(–2) < 0 B) f(–2).f(1) > 0
10. Aşağıda verilenlerden hangisi bir fonksiyondur?
D) f(1).f(3) < 0
7. (fog–1) (x) = x – 4
E) f(3).f(4) < 0
(g–1of–1) (x) = 2x + 5 ise,
(gog)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: y
–5 –4 –2
A) x – 4
f(x)
a
b O 12 c d
3 4
x
D)
B) x + 4
C) 2x – 1
x+3 x–4 E) 2 2
A) f: Z → Z, f ^x h = Palme Yayınevi
C) f(–4).f(1) = 0
f(1) = a > 0
f(–4) = 0
f(3) = c < 0
f(–2) = b > 0
f(4) = 0 dır.
B) f: R → R, f ^x h =
x2 – 1
C) f: R → R, f ^x h =
1
2x – 1 1 D) f: R+ → R, f ^x h = x+1
Grafiğe göre, f(–5) = d < 0
1 x
E) f: Z → Z, f(x) = 5–x
Buna göre, A) f(–5) . f(–2) < 0 dır. Doğru. 123 123
–
+
B) f(–2) . f(1) > 0 dır. Doğru.
8.
y
123 123
+
11. f(x – 1) – f(x) = x ve f(0) = 10 olduğuna göre,
2
+
123 123
–2
+
D) f(1) . f(3) < 0 dır. Doğru. 123 123
+
–
E) f(3) . f(4) = 0 olmalıdır. 123 123
–
0
f(3) . f(4) < 0 yanlıştır. Cevap E
258
f(19) değeri kaçtır? A) –190
C) f(–4) . f(1) = 0 dır. Doğru. 0
f
2
O
5
x
Grafik f fonksiyonuna aittir.
Aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) f(–3) + f(6) = 0
B) f(f(–1)) > 2
C) f(f(3)) < 0
D) f(f(–2)) > 0
1. A
2. E
B) –180
D) 180
C) 0 E) 190
E) f(f(8)) > 0
3. C
4. B
5. E
6. C
7. D
8. D
9. B
10. D
11. B
12.Ünite Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
3. TEST
1. f: IR2 → IR
y
4.
f(x, y) = x2 – y – 3x + 1 fonksiyonu için
f(–1, a) + f(2, a) = 2 olduğuna göre,
a değeri kaçtır? A) –2
B) –1
g(x)
1
D) 2
Örnek
f(x)
y
1 2 –3
C) 1
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
g(x)
O
–2
x
1
E) 3
3 2
O
4 1
–3
Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonları verilmiştir.
Buna göre, (fogof) (–2) değeri kaçtır? A) –3 B) –2
C) 0
D) 1
1 E) 2
2
3
x
–2 f(x)
Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre, g (1) + (fog) (2) değeri kaçtır? f (4) Çözüm:
f(x) =
3x
ise,
f ^x + 1h – f ^x – 1h ifadesinin eşiti aşağı8 dakilerden hangisidir? A) 32x+1
5. f: R → R, şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için, (fof)(x) = 16x – 15 ise,
B) 32x–3
D) 3x+2
C) 3x+1 E) 3x–1
B) 6
C) –5
g (1) + f (g (2)) 2 + f (3) = –2 f (4) =
f(3) değeri kaç olabilir? A) 8
Palme Yayınevi
2. f: IR →
IR+,
D) –7
2+0 = –1 bulunur. –2
E) –9
Örnek f(x) =
2x + u ve x +1
(fof)(x) =
x–9 olduğuna göre, 3x – 2
u değeri kaçtır? Çözüm: 2x + u f(f(x))= f c m= x +1
(gof)(x) = (2m – 7)x + 12 dir.
f ve g doğrusal fonksiyonlar olduğuna göre,
m değeri kaçtır? A) 1
B) 2
(gof–1)(–7) değeri kaçtır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
2x + u m+u x +1 2x + u +1 x +1
4x + 2u +u x +1 = 2x + u + x + 1 x +1
6. f(x + 2) = x – 5, g(x – 1) = 4x + 1 ise,
3. (fog)(x) = 3x + 13 ve
2c
E) 5 ⇒
(4 + u) x + 3u x–9 = 3x + u + 1 3x – 2
ise 3u = –9
C) 3
D) 4
E) 5
u = –3 bulunur.
259
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
Örnek Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor. fc
3x – 2 m = 5x – 3 ve x +1
g(x) = 2x – 3 ise, (gof)(2) değeri kaçtır?
10. f(2x) = 24x + 1 ise,
7. f: IR → IR ve g: IR → IR iki fonksiyon olmak üzere
f ^xh = *
g^xh = *
x 2 + 1, x > 1
B) 4f(x)
C) f(x) + 2
D) f(x) + 4
x – 3, x < 2
E) 2f(x) + 4
2x – 5, x $ 2
şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre, (gof)(3) değeri kaçtır? A) 5
f(x + 1) fonksiyonunun f(x) cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2f(x)
Çözüm:
3x – 1, x # 1
B) 7
C) 9
D) 11
E) 15
(gof)(2) = g(f(2)) dir. f fonksiyonunda 3x – 2 = 2 ise 3x – 2 = 2x + 2 x +1 x = 4 tür. fc
3x – 2 m = 5x – 3 ifadesinde x +1 x = 4 yazılırsa, f(2) = 17 dir.
8. f = {(–1, 3), (4, 2), (–2, 1), (3, 5)} ve
g(x) = 2x – 3 ise
g = {(–1, 4), (0, –1), (2, 3) (1, –2), (4, 3)}
g(17) = 2.17 – 3 = 31 dir.
şeklinde tanımlanan fonksiyonlara göre fog fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek
Palme Yayınevi
11. f: A → [–4, 2], f(x) = 3x – 1 ise,
(gof)(2) = g(f(2)) = g(17) dir.
A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [–1, 0]
B) [0, 1]
D) [–1, 2]
C) [–1, 1] E) [–2, 1]
A) {(4, 3), (–2, 2)}
f(x) = x2 + x + 2a
B) {(4, –1), (0, –1), (2, 3), (1, –2), (4, 3)}
(gof)(x) = x – 3 ve g(a) = –1 ise, a değeri kaçtır?
C) {(–1, 2), (0, 3), (2, 5), (1, 1), (4, 5)}
Çözüm:
D) {(0, 3), (1, 1), (4, 5)}
(gof)(x) = x – 3 ise
E) {(2, –1), (3, 0), (5, 2), (1, 1), (5, 4)}
(gof)–1(x) = x + 3 ten, (f–1og–1)(x) = x + 3 bulunur. (fo(f–1og–1))(x) = f(x+3) ⇒ g–1(x) = (x2 + x + 2a)o(x + 3) = (x + 3)2 + (x + 3) + 2a = x2 + 6x + 9 + x + 3 + 2a = x2 + 7x + 12 + 2a dır. Ayrıca; g(a) = –1 ise,
9. A dan B ye tanımlı f ve g fonksiyonları için g–1(–1)
=a
olduğundan, g–1(–1) = (–1)2 + 7(–1) + 12 + 2a = a ⇒ 1 – 7 + 12 + 2a = a ⇒ a = –6 dır.
260
2ax + 3 dir. 4x – 1
f(x) = (a – 3)x + 5, g(x) =
f(x) sabit fonksiyon ise, g–1(3) değeri kaçtır? A) 0
1. C
B) 1
2. E
3. E
C) 2
4.E
D) 3
5. D
12. f c
x 2
x –1
tanımlı olduğu yerde f–1(x) aşağıdakilerden hangisi olabilir? A)
x x–2
E) 4
6. E
m = x + 1 ise,
D)
7. E
8. C
B) x
x2 – 2
9. B
x2 2
x –2
10. B
E)
C)
x –1 x 2 – 2x
x+1 x 2 – 2x
11. C
12. C
12.Ünite Fonksiyonlar ve Uygulamaları
4 B) – 5
D) –
1 6
Bilgi Köşesi
4. TEST
Z 1– x ]] x>0 3 1. f ^x h = [ ]x+5 x # 0 ise, \ 2 (fofof)(1) ifadesinin değeri kaçtır? 5 A) – 2
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
4. Bir sınıftaki öğrencilerden kazanabilecekleri üniversitelere bir bağıntı tanımlanmaktadır.
8 C) 3 E) –
Aşağıdaki durumlardan hangisi gerçekleşirse tanımlanan bağıntı fonksiyon belirtmez? A) T ü m öğrenciler kazanmalıdır.
1 2
üniversiteyi
B) Her öğrenci farklı bir üniversite kazanmalıdır. C) Tüm öğrenciler kazanmalıdır. D) En az bir kazanmalıdır.
aynı
öğrenci
üniversiteyi
Örnek f : R →R olmak üzere; f(x) = *
x2 – x , x $ 3 x–2 , x 0 olmak üzere
Uygun koşullarda
f ^xh =
9x mx ve ^fofh^xh = x–2 nx + k
olduğuna göre, m + n + k toplamının değeri kaçtır? A) 8
2 + 3f (x) f(x) = x
B) 3
C) 1
D)
1 3
E)
1 6
x–3 m = x ve (gof)(x) = x – 1 ise, 2
(fog)(x) fonksiyonunun g(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? g^xh g^xh – 4 A) B) g(x) – 2 C) 2 2 D) 2.g(x) – 2
E) 2.g(x) – 4
eşitliğini sağlayan f fonksiyonu için f(0) değeri kaçtır? Çözüm: f(x) =
2 + 3f (x) x
xf(x) = 2 + 3 f(x) xf(x) – 3.f(x) = 2 f(x) =
2 x–3
f(0) =
2 2 =– 0–3 3
8. f(x) + g(x) = x . f(x) ise,
g ^3h f ^3h
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Palme Yayınevi
bulunur.
11. f: R → R, f(x) = 1 – 3x ise,
(f–1ofofof–1ofof)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 1 – 3x
B) 2 – 3x
D) 9x – 2
C) 1 – 9x
E) 9x + 1
Örnek f(x) =
x–2 x 2 – 4x + 3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım. Çözüm: x – 2 nin tanım kümesi x–2≥0 x ≥ 2 ..........(1) x2 – 4x + 3 ≠ 0 olmalı (x – 1)(x – 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1, x ≠ 3
9. x =
f ^xh + x x2 + 1
12. f ^x h =
ise,
x–3 fonksiyonunun en geniş x2 – x – 2 tanım kümesi aşağıdakilerden hangisi-
f–1(8) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
dir?
E) 1
A) (–1, 2)
olmalı. O halde fonksiyonun tanım
B) [3, ∞)
kümesi
C) (–1, 2) ∪ [3, ∞)
[2, ∞) – {3} olur.
D) (–∞, –1) ∪ [3, ∞) E) R \ {2, –1}
262
1. E
2. A
3. A
4. D
5. D
6. B
7. A
8. B
9. D
10. C
11. D
12. B
12.Ünite Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
5. TEST
1. (fog)(x) = 4x – 7 ve g–1(x) = x – 1 ise,
4. f (x) =
f–1(1) değeri kaçtır? A) 1
B) 2
C) 3
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
D) 4
E) 5
5x 2 – 2x + 8
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) g(x) = 5x2 – 2x + 8 ve h (x) =
x ise
f(x) = (goh)(x)
B) g (x) =
x ve h(x) = 5x2 – 2x + 8 ise
f(x) = (hohog)(x) 2 8 2 ve h (x) = 2 x ise C) g (x) = x – x + 5 5 f(x) = (goh)(x) D) g(x) = 5x2 – 2x + 8 ve h (x) =
2. f(x) =
C) 214 E) 216
3. ^f + gh^x h = x 2 + 2x + 5 ve g –1 ^xh =
x –1 ise, 2
f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x2 – 1
B) x2
D) x2 + 2
Çözüm: x = 1 ⇒ f(2) = f(1) + 2 x = 2 ⇒ f(3) = f(2) + 2 . . . x = 19 ⇒ f(20) = f(19) + 2
f(x) = (goh)(x)
sadeleştirmeler yapıldığında f(20) = f(1) + 19.2 100 = f(1) + 38 f(1) = 62 olur.
B) 213
D) 215
x ve h(x) = x2 – 5x + 8 ise
^fof h^2h değeri kaçtır? f ^2h
A) 212
f(20) = 100 ise
taraf tarafa toplanırsa
ise,
C) x2 + 1 E) x2 + 3
Palme Yayınevi
2x+2
x ise
f(x)=(hog)(x)
E) g (x) =
f(x + 1) = f(x) + 2 ve f(1) kaçtır?
Örnek
Örnek 5. f ^x h = *
4x – 3, x # 3 2
x ,x>3
ve g ^xh = *
2 – 4x, x < 0 2
2– x ,x$0
ise, (f + g)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? Z , x#0 ]] –1 A) [ –x 2 + 4x – 1 , 0 < x < 3 ]2 , x$3 \ Z , x3 \ Z , x 0 dır.
1 dir.
B) f : R → R, f(x) = – 3
A) I, II ve III
B) I ve III
ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur?
D) f : R+ → R, f(x) = x2
C) II, III ve IV
D) Yalnız III
Çözüm:
R+,
f(x) =
2x2
Palme Yayınevi
C) f : (1, ∞) → R, f(x) = –x2 + 2x – 1 E) f : R →
+1
3.
I. –2 < x < 3 aralığında f(x) için
E) I, II, III ve IV
y 3
y
1
–2
O
2
4
x
5.
O
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) –2 < x < 2 için f(x) ≥ 0 dir. C) f(x) in yerel minimum noktasının ordinatı 0 dır.
1 –1
2
3
4 5 6
7 8
x
–2
Çünkü fonksiyonun azalandan artana geçtiği noktadır. III. f(x) in yerel maksimumunun ordinatı 3 tür. (Doğru) y
IV.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre y = f(x) fonksiyonunun yerel minimum ve yerel maksimum değerlerinin toplamı 2 ise, a nın değeri kaçtır?
B) 0 < x < ∞ için f(x) artandır.
D) f(x) in yerel maksimum noktasının apsisi 2 dir.
A) 2
E) –2 < x < 0 için f(x) azalandır.
B) 3
II. f(x) in yerel minimumu –2 dir.
f(x)
–6 –5 –4 –3 –2 –1
x
Yani I yanlıştır.
a
Şekildeki f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
2
(–2, 0) (0, 3) aralığında aralığında artan azalandır.
y
f(x)
3
O
–2
x
I. –2 < x < 3 aralığında f(x) artandır.
si –3 tür.
A) f : R → R, f(x) = x5
2 y = f(x)
C) 4
D) 6
E) 8
3
–2
O
2
x ⇒x=5 için y negatif değer alır. Yani f(5) < 0 dır. (Doğru)
O halde, cevap II, III ve IV tür.
267
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
y
6.
y
8.
f(x) 3
Örnek y
–5
–4 –3 –2 –1 O
–4
–1
3
–4
Şekilde y = f(x – 3) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f(x) ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
x
Şekilde y = f(x – 1) fonksiyonunun
A) –36 B) –9
grafiği verilmiştir.
C) 0
D) 27
O
x
5
–2
f(x – 3)
y = f(x – 1) O
2
x
1 2
Yukarıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g(x) = 3 – f(x – 1) olduğuna göre, g(–3) + g(6) toplamının değeri kaçtır? A) 3
E) 36
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15
Buna göre, x . f(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Palme Yayınevi
Çözüm: y = f(x) fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x – 1) fonksiyonunun grafiğini 1 birim sola kaydıralım. y
y = f(x) O –5
–2
2
7. x
y
9.
y
x y = f – –– 2
f(–x)
5 4 3
⇒ x . f(x) < 0 ise – +_ b b veya ` olmal›d›r. bb + –a
2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O
–6 –5 –4 –3 –2 –1 O
1 1 –1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
x Şekilde y = b – l fonksiyonunun grafiği ve2 rilmiştir.
Şekilde y = f(–x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
olur.
# 0 eşitsizliğini sağx 2 layan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Buna göre f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktalarının apsisler toplamı a, yerel minimum noktalarının apsisler toplamı b olmak üzere a – b farkının değeri kaçtır?
• x in işareti (+) iken f(x) in işa-
A) –8
A) –7
• x in işareti (–) iken f(x) in işaretinin (+) olduğu aralık (–5, –2) dir. Buradaki x tam sayıları –4 ve –3
retinin (–) olduğu aralık (0, 2) dir. Buradaki x tam sayısı 1 dir.
Buna göre,
f (x + 2)
B) –6
C) 2
D) 10
E) 18
B) –3
C) –2
D) 3
E) 5
O halde sonuç, –4 –3 + 1 = –6 bulunur.
268
1. E
2. C
3. B
4. D
5. C
6. A
7. C
8. A
9. D
12.Ünite Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
8. TEST
Yakıt (lt)
1.
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
4.
Kazak (adet)
Örnek
A
48
(lt)
320
A
B 20
96 O
2
8
Zaman (saat)
O
Şekildeki bir aracın deposunda bulunan yakıt miktarının zamana göre değişim grafiği verilmiştir. Buna göre aracın 2 saatte kullandığı yakıt miktarı kaç litredir? A) 8
B) 10
2.
C) 12
D) 18
E) 36
Zaman (gün)
O
Şekilde A ve B şirketlerinde üretilen kazak sayılarının zamana bağlı değişimi gösterilmektedir.
Buna göre, aynı anda üretime başladıktan kaç gün sonra iki şirkette üretilen kazakların sayıları arasındaki fark 56 olur? A) 2
su (m3) 80 60
8
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A
4
Zaman (saat)
Şekilde A ve B depolarında bulunan su miktarlarının zamana bağlı değişimi gösterilmektedir.
Palme Yayınevi
30 20 2
B) 9
C) 8
D) 7
Saat
Şekilde A ve B musluklarının kaç saatte, ne kadar su akıttıkları gösterilmiştir. Bir havuzu doldurmak için bu iki musluk aynı anda açılıyor. A musluğundan tuz oranı % 20 olan, B musluğundan tuz oranı % 30 olan tuzlu–su aktığına göre, havuz dolduğunda havuzdaki suyun tuz oranı yüzde kaç olur?
A musluğu
B musluğu
4 saat 20 lt
5 saat 10 lt
1 saat 5 lt
1 saat 2 lt
5.
x 20 30 + 2. = 7. 100 100 100
100 + 60 = 7x ⇒ x =
160 olur. 7
Yani havuz dolduğunda havuz160 dir. daki suyun tuz oranı % 7
E) 6
3.
5.
Örnek
Süt miktarı (litre)
Süt tozu (kg)
Boyu 40 cm olan bir fidan her ay 8 cm uzayarak büyümektedir. Bu fidanın boyunun uzama fonksiyonunu bulup, 12 ay sonraki boyunu bulalım.
72
A 4
12
B
Çözüm:
2 O
6
O Kahve (kg)
Şekilde A ve B karışımlarına ait kahve – süt tozu miktarları gösterilmektedir.
A karışımından 25 kg ve B karışımından 50 kg alınıp karıştırıldığında elde edilen karışımın süt tozu oranı % kaç olur? A) 30
5
O halde bu iki musluk 1 saatte,
Buna göre, kaçıncı saat içerisinde iki depodaki su miktarları birbirine eşit olur? A) 10
4
Çözüm: B
O
B
10
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
10
Zaman (dakika)
Şekilde bir kazandaki süt miktarının zamana bağlı değişimi gösterilmektedir. Buna göre, 30 dakika sonunda kazanda kaç litre süt bulunur? A) 168 D) 192
B) 172
Fidanın ilk boyu 40 cm ve her ay 8 cm uzayacağına göre, f(x) = 40 + 8 . x olur. 12 ay sonraki boyu ise f(12) = 40 + 8 . 12 = 136 cm bulunur.
C)180 E) 198 269
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları 6. Bir şehirde taksi ücretleri ilk açılışta 2,2 TL, hareketten sonraki her kilometre için ise 1,75 TL dir.
Bilgi Köşesi
Örnek Su miktarı (lt)
Ödenmesi gereken ücret f(x), gidilen kilometre x olmak üzere f(x) kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
80
A) 2,2x + 1,75
B) 2,2x – 1,75
65
C) 1,75x + 2,2
D) 1,75x – 2,2
O
3
3x + 60 y = ––––––– x+2 O
E) 3,95x
Zaman (saat)
Grafikte bir musluğun bir havuzu, kaç saatte ne kadar boşalttığı verilmiştir.
(y) Faiz oranı (%)
9.
Şekilde bir bankanın verdiği faizin yıllara göre değişimi verilmiştir.
Buna göre kaçıncı yıldan sonra faiz % 12 nin altına düşer? A) 2
Boy(cm)
7. 30
Buna göre, bu musluk 10 saat açık kalırsa havuzda kalan su miktarı kaç litre olur?
B) 3
D) 5
E) 6
Yakıt (litre)
10.
24
60
O
80 – 65 = 15 litre su boşaltır. 3 saat
15 lt
10 saat
x lt
4
6 I
Şekilde yakılan I ve II nolu mumların boylarının zamana göre değişimi gösterilmektedir.
Buna göre iki mum aynı anda yakıldıktan kaç saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı olur?
3 . x = 15 . 10 x = 50 lt su boşaltır.
Zaman (saat)
II
O halde havuzda kalan su miktarı 80 – 50 = 30 lt bulunur.
A)
Örnek
Palme Yayınevi
40
Musluk 3 saatte
19 18 17 16 15 B) C) D) E) 7 7 7 7 7
O
Buna göre yakıt bitene kadar kaç saat daha hareket edebilir? A) 4
Adet
8. 5
B) 5
11.
75
Zaman (saat)
Şekilde bir aracın deposundaki yakıtın zamana göre değişimi verilmiştir. 60 litre yakıtla harekete başlayan bu araç 10 saat hareket ettikten sonra 15 litre yakıt daha almıştır.
80 60
4
Yakıt (lt)
C) 6
D) 7
Buna göre, 12. saatin sonunda aracın deposunda kaç litre benzin kalır? Çözüm: 5 saat boyunca araç 80–60=20 lt benzin harcar. 1 saatte 4 lt benzin harcar. 12 saatte 12.4=48 lt harcar. 12 saatin sonunda 80 – 48 = 32 lt yakıt kalır.
55 50 40
2
I
II
O
Gün
Şekildeki grafik bir dükkanda kalan I ve II nolu ürünlerin günlere göre değişimini göstermektedir.
Başlangıçtan itibaren kaçıncı gün I ve II nolu ürünlerin sayıları eşit olur? B) 4
C) 5
D) 6
1
2. E
3. A
4. A
5. D
6. C
7 8
Zaman (saat)
Şekilde A ve B araçlarının yol-zaman grafiği verilmiştir.
Buna göre, başlangıçtan 10 saat sonra iki araç arasındaki yol farkı kaç km olur? A) 250
E) 7
5
B) 275
D) 375 1. C
B
500
O
A) 3
E) 8
Yol (km) A
Zaman (saat)
Şekilde bir aracın deposundaki yakıtın zamana göre değişimi verilmiştir.
270
C) 4
Çözüm:
O
Yıl (x)
7. B
8. C
C) 325 E) 425
9. C
10. B
11. D
12.Ünite Fonksiyonlarda Öteleme, Simetri, Dönüşüm, Dört İşlem Tek-Çift Fonksiyon
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları Bilgi Köşesi
1. TEST
1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tek
4. f = {(–1, 0), (0, 3), (2, 3), (4 –1)}
Örnek
fonksiyondur?
g = {(0, –2), (1, 2), (2, 4), (3, 2)}
A) f(x) = 5
fonksiyonları veriliyor.
f(x) = a . x3 + (a – 2) . x2 + 3x + b + 3
Buna göre, (f – g)(2) değeri kaçtır?
fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre, f(a + b) değeri kaçtır?
B) f(x) = 3|x|
A) –1
C) f(x) = 4x
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm:
D) f(x) = 2x2 + 3
f, tek fonksiyon olduğundan
E) f(x) = x4 + x
f (x) = a.x 3 + (a – 2).x 2 + 3x + b + 3 > < =0
=0
a – 2 = 0 ve b + 3 = 0 olmalıdır. a – 2 = 0,
b+3=0
⇒ a = 2 , b = –3 olur. f(x) = 2x3 + 3x fonksiyonunda f(a + b) = f(2 – 3) = f(–1) için f(–1) = 2 . (–1)3 + 3 . (–1) = –5 bulunur.
A)
x2
.f(x)
B)
C) f(–x)
f(–x3)
D) –f(x) E) f(x2)
5. f = {(0, –1), (2, –2), (3, 1), (4, 0)} Palme Yayınevi
2. f(x) tek fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi bir çift fonksiyondur?
Örnek
g = {(0, 2), (3, –1), (4, 3)}
fonksiyonları veriliyor.
f = {(–1, 2), (0, 1), (2, 3)}
Buna göre (f + 2g) fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
g = {(–2, –1), (0, 3), (2, 4)}
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
E) 8
fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (2 . f – 3 . g)(0) değeri kaçtır? Çözüm: (2.f – 3.g) (0) = 2.f(0) – 3.g(0) olduğundan f(0) = 1 ve g(0) = 3 değerleri için 2 . f(0) – 3 . g(0) = 2 . 1 – 3 . 3 = –7 bulunur.
3. f çift fonksiyon, g tek fonksiyon olmak üzere,
g (x – 1) –f (x + 1) h ( x – 2) = f (2x – 1) + g (x + 1)
B) –1 D) 1
C) 0 E) 2
g(x, y) = maks (2x + y, x + 2y)
fonksiyonları veriliyor.
f Buna göre, c m (3, 2) değeri kaçtır? g
f:A→B her x ∈ A için –x ∈ A olmak üzere; f(–x) = f(x) ise f ye çift fonk-
ise h(–2) nin değeri kaçtır? A) –2
6. f(x, y) = min(xy, yx)
8 7 A) B) 9 8
C) 1
8 9 D) E) 7 8
siyon; f(–x) = –f(x) ise f ye tek fonksiyon adı verilir.
271
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları 8. |y| = f(x) bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Bilgi Köşesi y 2
Örnek 3 2 –2 –1 O 1
2
3 4
6
5
2 1
x
–4
y = f(x)
–2 –3
1
–1
B)
a) y = |f(x)| bağıntısının grafiğini çiziniz.
2 1
7. y = |f(x)| bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A)
–4 –3 –2 –1 O
C) –6 –5 –4 –3 –2 –1
O1 2
3 4
5 6
Palme Yayınevi
2
1 O –1
2
3
4
5 6
1
2
3
4
5
6
1
2
3 4
5
6
1
–4 –3 –2 –1
x
–2
1
y
–4 –3 –2 –1 O
1 2
x
3 4
D)
y
y = |f(x)|
2
C) O
–3 –2 –1
3 4
2
y
B)
a) y = |f(x)| bağıntısında x negatif değerler alırken y negatif olamayacağından grafik,
2
y
x
–1
Çözüm:
x
1
y
b) |y| = f(x) bağıntısının grafiğini çiziniz.
3
x
y
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
6
2 3 4 5
O –1 –2
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre 7. ve 8. soruları yanıtlayınız.
x
4
–2
1
–3 –2 –1 O –1
–4
y
y = f(x)
1 y
–3
A)
1
y
x
4
–4 –3 –2 –1
2
O
1
şeklindedir.
–4 –3 –2 –1 O
1 2
3 4
5 6
x
x
b) |y| = f(x) bağıntısı y = f(x) ve y = –f(x) olacağından
D)
y
y
E)
3 2 O 1 –3
–1
4
y
2 1 x –4 –3 –2 –1 O
1
2
3
4
5
6
2 1
x
–2 –3
–4 –3 –2 –1 O y
E)
şeklindedir.
2 1 –4
–3 –2 –1
O1 2 –1 –2
x
3 4
5 6
x
272
1. C
2. E
3. B
4. A
5. E
6. C
7. D
8. C
12.Ünite
Fonksiyonlarda Öteleme, Simetri, Dönüşüm, Dört İşlem Tek-Çift Fonksiyon
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları Bilgi Köşesi
2. TEST
1. f : IR → IR
3. f = {(–1, 0), (0, 2), (1, 3), (2, 2)}
y = f(x) = x + 1
g = {(–2, 0), (0, –1), (1, 2) (3, 2)}
ise |y| = f(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonları veriliyor.
f : IR → IR
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
y = f(x) = (x – 1)2 + 1
y
A)
y
B)
1
f+g ––––––
f.g ––––––
A)
{(0, 1), (1, 5)}
{(0, –2), (1, 6)}
B)
{(0, –1), (1, 5)}
{(0, 4), (1, 6)}
C)
{(0, 1)}
{(0, 6)}
D)
{(0, 1), (1, 6)}
{(0, –2), (1, 5)}
E)
{(0, –2), (1, 6)}
{(0, 1), (1, 5)}
1
O
1
x
x
O
–1
Örnek
|y| = |f(x)| bağıntısının grafiğini çizelim. Çözüm:
–1 y
C)
D)
1 –1
O
y 1 –1
x
1
O
x
|y| = |f(x)| demek, y = f(x) ve y =–f(x) grafikleri aynı koordinat düzleminde çizilecektir. y
y
E)
fonksiyonu için
y = f(x)
2 1
1 x
x
1
O
Palme Yayınevi
–1 O –1
y
4.
y O –2
2. Analitik düzlemde |x| + |y| ≤ 8
A) A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 6A
–1
–1 O
eşitsizlik sisteminin sınırladığı alan A birim kare ise |x – 2| + |y – 3| ≤ 16 eşitsizlik sisteminin sınırladığı alan kaç A birim karedir?
x
x
–2
–1 y = –f(x)
–2
Şekildeki bölgenin kendisi dahil, x – ekseni, y – ekseni ve orijine göre simetrikleri alınarak oluşturulan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
y
A) – 1 ≤ |x| + |y| ≤ 2
2
B) –1 < |x | + |y| ≤ 2
1
C) 1 < |x| + |y| ≤ 2 D) 1 ≤ |x | + |y| ≤ 2 E) 1 < |x| + |y| < 2
O
1
x
–1 –2
273
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
5.
8. y = 2f(x – 2) – 1 fonksiyonu (0, 3) noktasından geçtiğine göre, y = f(x) fonksiyonu aşağıdaki noktaların hangisinden kesinlikle geçer?
y 4
Örnek
A) (–2, –1)
y = f(x – 1) + 3 fonksiyonu (–2, 4) noktasından geçtiğine göre, y = f(3x) –1 fonksiyonunun hangi noktadan geçebileceğini bulalım.
–4
x
O
(–2, 4) ve y = f(x – 1) + 3 için
Şekildeki taralı bölgenin kendisi dahil olmak üzere x – eksenine göre simetriği alınarak oluşturulan yeni şekil hangi eşitsizlik sisteminin grafik çözümüdür?
4 = f(–2 – 1) + 3 ⇒ f(–3) = 1 olur.
A) |y| < 4 – x
B) |y| < x + 4
C) |y| ≤ x + 4
D) y < | 4 – x|
Çözüm:
y = f(3x) –1 fonksiyonu için 3x = –3 ⇒ x = –1 olup
x = –1 için y = f (–3) –1 ;
B) (4, 1)
D) (4, 2)
C) (–2, 1) E) (–2, 2)
E) y ≤ |4 – x|
1
⇒ y = 0 olup fonksiyon (–1, 0) noktasından geçer.
9. .
y
g(x) = x3
fonksiyonları veriliyor. Buna göre, tanımlı oldukları aralıklarda,
Örnek f(x) = x2 + 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, I. 2 . f(x), II. x . f(x), III. x2 + f(x)
I. g – f
II. f . g g III. f IV. gof
Palme Yayınevi
6. f(x) = 3x
y=f(x)
x y=g(x)
O
V. fog
gisi olabilir?
fonksiyonlarından hangisi veya hangileri çifttir? A) Yalnız I
B) II ve III
D) II ve IV
fonksiyonlarından hangisi ya da hangileri tektir?
1 olmak üzere şekilde verilen x y = g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hanf (x) =
C) I, IV ve V
A) –f(x)
B) f–1(x)
C) f(–x)
D) |f(x)|
E) II, IV ve V
E) |f(–x)|
Çözüm: I. 2 . f(x) = 2 . (x2 + 2) = 2x2 + 4 → Çift II. x . f(x) = x . (x2 + 2) = x3 + 2x → Tek III. x2 + f(x) = x2 + x2 + 2 = 2x2 +2 → Çift olup cevap yalnız II dir.
7. y = f(–x) fonksiyonu (1, –2) noktasından geçtiğine göre, y = f(x + 1) – 3 fonksiyonu aşağıdaki noktaların hangisinden kesinlikle geçer? A) (–2, –1)
B) (–2, –5)
D) (1, 5)
274
1. B
2. D
C) (1, –1)
10. y = f(x) fonksiyonunu grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x) + x2 = 2 . f(–x) – 3
olduğuna göre, f(–2) değeri kaçtır? A) 7
E) (–2, 1)
3. A
4. C
5. C
6. B
B) 6
7. B
C) 5
8. E
D) 4
9. B
E) 3
10. A
12.Ünite
Fonksiyonlarda Öteleme, Simetri, Dönüşüm, Dört İşlem Tek-Çift Fonksiyon
1.
1 2 O
3. Şekildeki boş kabın içi tamamen su ile doldurulacaktır. Kaptaki suyun yüksekliğinin zamana göre değişimini gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
x
–1
A)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, y = |f(x) – 4| fonksiyonunun maksimum değeri kaçtır? B) 3
Örnek y y = f(x) 4 3 1
A) –3
Bilgi Köşesi
3. TEST
y
–3 –2 –1
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
C) 4
D) 5
Yükseklik
O
E) 6
–1 0
B)
Yükseklik
O
Zaman
1
x
2
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Zaman
Buna göre, y = f(x – 1) fonksiyonunun 0 ≤ x ≤ 3 için değişim hızı kaçtır? Çözüm:
C)
D)
Yükseklik
f(x – 1) fonksiyonunun grafiği için f(x) fonksiyonun grafiğini x ekseni boyunca 1 birim sağa öteleyelim.
Yükseklik
y y = f(x)
4
Palme Yayınevi
O
O
Zaman
Zaman
3 1
E)
O
Yükseklik
2
3
x
y = f(x – 1) fonksiyonunun 0 ≤ x ≤ 3 aralığındaki değişim hızı f (3) – f (0) 3 – 1 2 = = bulunur. 3 3–0 3
O
Zaman
4.
2. y
y 5
y
–2 –1
O
x
–1
O
5 1 2 –1
–2
3 4
x
C) 9
D) 10
bir fonksiyon olup [a, b] ⊂ A
1 y = g(x)
Şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. (fog)(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? B) 7
f:A→B
3 2
–2 –1 O
y = f(x)
A) 6
Ortalama Değişim Hızı
y = f(x)
4
E) 15
1
2
3
olmak üzere
x
f (b) – f (a) değerine f fonkb–a
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
siyonunun [a, b] aralığın-
Buna göre, y = f(x + 1) – 2 fonksiyonunun –3 ≤ x ≤ 0 için ortalama değişim hızı kaçtır?
adı verilir.
A) 1
B)
4 5 C) 3 3
D) 2
E)
daki ortalama değişim hızı
7 3 275
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları 5.
Bilgi Köşesi
3
Örnek y
–2
O
f(x) = 3x + 1, g(x) = x – |x|
olmak üzere (fog)(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x
6
3
A) 11 – –– 3
2
x
Şekilde y = f(x) parabolünün grafiği verilmiştir.
Buna göre y = f(x – 1) + 2 parabolünün tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?
Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 2)
B) (1, 6)
D) (3, 6)
A) y = |x – 1| + 2
B)
y
y = f(x)
1 O
7. f ve g; R de tanımlı iki fonksiyon ve
y
C)
O
11 – –– 6
x
x
O
D)
y
C) (1, 4)
y
y
1
E) (3, 4)
x
O
1 – –– 3
B) y = |x| + 1
x
O –1
C) y = |x + 1| + 2 D) y = |x – 2| + 1
Palme Yayınevi
E) y = |x + 2| + 1
Çözüm: Verilen grafik (2, 1) ve (0, 3) noktalarından geçmektedir. Bu iki noktayı seçeneklerde deneyerek grafiğin denklemini bulmaya çalışalım.
1 – –– 6
8.
6.
–1
y y = f(x)
y
4 3
B) (2, 1) ⇒ 1 = |2| + 1 ⇒ 1 ≠ 3
1
C) (2, 1) ⇒ 1 = |2 + 1| + 2 ⇒ 1 ≠ 5 D) (2, 1) ⇒ 1 = |2 – 2| + 1 ⇒ 1 = 1
–2
(0, 3) ⇒ 3 = |0 – 2| + 1 ⇒ 3 = 3
–1
2 1
x
O
–4 –3 –2 –1 O
2
3
4
x
–3
Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = |x| – 1
B) y = |x – 1|
C) y = |x| + 1
D) y = |x + 1|
276
1 –1 –2
E) (2, 1) ⇒ 1 = |2 + 1| + 1 ⇒ 1 ≠ 4 olup cevap D bulunur.
x
O
A) (2, 1) ⇒ 1 = |2 – 1| + 2 1 ≠ 3 olduğundan diğer noktayı denemeye gerek kalmaz.
y
E)
A) 2
E) y = 1 – |x|
1. D
2. D
3. A
4. B
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için [–4,4] aralığında ||f(x)|–1| = 2 eşitliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır?
5. D
6. D
B) 3
7. B
C) 4
8. B
D) 5
E) 6
12.Ünite
Fonksiyonlarda Öteleme, Simetri, Dönüşüm, Dört İşlem Tek-Çift Fonksiyon
Bilgi Köşesi
4. TEST
1. f(x) = 12 – 3x
4. f(x – 2) = f(x) . x
fonksiyonunun grafiğinin eksenlerle oluşturduğu bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 16
B) 18
C) 24
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
D) 36
Örnek
olmak üzere f(–8) değeri kaçtır? A) –48 B) –8
C) 0
D) 8
f(x) = 2x – 8
E) 48
fonksiyonunun grafiğinin eksenlerle oluşturduğu bölgenin alanı kaç birim karedir?
E) 48
Çözüm: y = f(x) = 2x – 8 fonksiyonu için x = 0 ⇒ y = 2 . 0 – 8 ⇒ y = –8 y = 0 ⇒ 0 = 2x – 8 ⇒ x = 4 y
2.
y y = f(x)
O x
5. f(x) = 4x+1
O
8
x
–1
3
x y = – –– 2
A)
x Şekilde y = – doğrusu verilmiştir. x < –1 2 olmak üzere f(x) = “taralı bölgenin alanı” ise f(x) kuralı aşağıdakilerden hangisidir? 2
A)
3
D) 4f3(x)
2
E) 64f3(x)
8. 4 = 16 birim karedir. 2 1
2
2
x –1 1– x C) D) 4 4
Örnek
2
E) 1 – x2
f(x + 1) = 2 . x + f(x – 1)
6.
f(1) = 2
y
ise f(17) değeri kaçtır? 3
Çözüm:
2 1 –6 –5
–4
–3
–2 –1
O –1
1
y 2
3
4
5
6
–2 –3 –4
3. f(x – 3) = f(x – 1) + x
x
Oluşan üçgensel bölgenin alanı
1– x x –1 B) 2 2
4
3
f (x) f (x) f (x) B) C) 64 16 4
Palme Yayınevi
olmak üzere f(3x) in f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
4
ve f(–6) = 8 olmak üzere f(–14) değeri kaçtır? A) –36
B) –32 D) –24
C) –28 E) –20
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(fof) (3 – x) = 1 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 19
x = 2 için
f (3) = 4 + f (1)
x = 4 için
f (5) = 8 + f (3)
x = 6 için . . .
f (7) = 12 + f (5)
x = 16 için f (17) = 32 + f (15) + ––––––––––––––––– f(17) = 4 + 8 + 12 + … + 32 + f(1) ⇒ f(17) = 4 (1 + 2 + 3 + …8) + 2 8.9 +2 2 ⇒ f(17) = 146 bulunur. & f (17) = 4.
277
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları 7.
Bilgi Köşesi
y
9.
y = f(x) = a.x3
y 6
Örnek
4
y
3
2
2
O
O
4 2
–3
2
x
1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O
x
3
y –3
4
(fofof)(3) = f (f (f (3))) 7 =2
= f (f (2)) 7
0
= f (0) = –3 bulunur.
y
2
x
O
Buna göre, (fofof)(–6) ifadesinin değeri kaçtır? A) –3
O 1
x
(fog) (2) ifadesinin değeri Buna göre, –1 (gof) (–6) kaçtır? C) –4
D) 2
E) 4
10.
D) 4
E) 6
y = f(x)
y 1
y = g(x)
–2
Yukarıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, kaçtır? Çözüm:
x
O
(fog –1) (0) değeri (gof) (2)
y 2
f (g –1 (0)) = f (3) için = =3
O
y x + = 1 & 2y – x = –2 2 –1
(–1)
C) 1
x
3
–1
f"
B) 0
y 2
y = f(x)
Şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
A) –16 B) –8
Örnek
Şekilde y = f(x) fonksiyonu veriliyor.
y = g(x)
Palme Yayınevi
Çözüm:
–1
x
1
2
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. Buna göre, (fofof)(3) değeri kaçtır?
O
y = f(x)
5
4
2
x
4
(2)
& y = f (x) =
x–2 2
y = g(x)
olup f (3) =
3–2 1 = 2 2
olur.
g (f (2)) = g (0) = 2 olur. O halde, 7 0
8. f(x2 – x – 1) = 3x2 – 3x + 3
olduğuna göre, f(2) – f(1) değeri kaçtır? A) 9
B) 8
C) 6
D) 3
Şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre (fogof)(0) değeri kaçtır?
E) 2
3 A) – B) –1 2
1 (fog –1) (0) 2 1 1 1 = = . = 2 2 2 4 (gof) (2)
C)
3 7 D) 2 4
E) 2
bulunur.
278
1. C
2. C
3. D
4. C
5. B
6. A
7. A
8. D
9. E
10. D
12.Ünite
Fonksiyonlarda Öteleme, Simetri, Dönüşüm, Dört İşlem Tek-Çift Fonksiyon
Bilgi Köşesi
5. TEST
y
1.
y
3.
3 2
3 5/2
–5 –4
–1 –2
Örnek
4
–3 –2 O
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
y = f(x)
y 5
x
2
O1
–3 –2 –1
3
5
x 2
–1
y = f(x)
2 –4
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x) = 1 denkleminin kökleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
3
–2
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
D) –2 den küçük iki kökü vardır. E) İkisi pozitif, üçüncüsü negatiftir.
k ∈ R olmak üzere f(x) = k denkleminin dört farklı kökünün olması için k hangi aralıkta olmalıdır? A) [–1, 4)
B) [–4, 4]
D) [–1, 4]
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x) = a denkleminin 3 farklı kökü olduğuna göre, a nın alabileceği tam sayı değerlerini bulalım. Çözüm: y
C) (–4, 4)
5
E) (–1, 4)
Palme Yayınevi
2
2.
y
–4
4.
–5 –4
–1
O –1
5
Örnek
2
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilf(x) = m denkleminin 5 farklı kökü olduğuna göre, m’nin alacağı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) –1
B) 0
C) 1
1 2 –– 2
4
6 y = f(x)
3 O
miştir.
O
y
x
–4
–3
–5 –4 –3 –2
x
3
D) 2
E) 3
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) ∈ [2, 3] olmasını sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) –3
B) –2
farklı üç kök x 4 farklı üç kök farklı üç kök
Yukarıdaki şekilden a değeri –2, –1, 0, 1 sayılarını alabilir.
2 –6
–1
farklı üç kök 2
1 O
–2 –3
3 y = f(x)
1
–3 –2
y
4 3
x
4
–3
B) Çarpımları pozitiftir. C) Toplamları pozitiftir.
O
–2
–4
A) İki kökü vardır.
–3
C) 0
D) 4
–1
4
x
f : [–4, 4] → IR fonksiyonunun grafiği veriliyor. f(x) = –3 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm:
y
E) 8 3 O –4
–1
4
x
3
y = –3 doğrusu grafiği kesmediğinden f(x) ≠ –3 tür. O halde f(x) = – 3 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
279
12.Ünite
/Fonksiyonlar ve Uygulamaları
Bilgi Köşesi
Örnek y 4 y = f(x)
3
–3 –4
–1
5. Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi bire bir ve örtendir?
7. Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bire bir fonksiyona aittir?
R+
2
4
, f(x) =
III. f : R → R, f(x) = 3x – 1
IV. f : Z → Z, f(x) = x + 2
V. f : N → N, f(x) = –x + 1
→
B) 2
C) 3
y
A)
–x2
II. f :
A) 1 1
R–
2 1 O
I. f : R → R, f(x) = 2 – x
y
B)
2 –1
D) 4
E) 5
C)
x
O
y
y 1
D)
x
–2
x
O
x
O
O
–1
x
1 –1
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için
y
E)
I. Tanım kümesi [–4, 4] tür. II. Görüntü kümesi [–2, 4] III. [–4, 0] aralığında bire birdir.
6.
ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur?
f(x)
I. Tanım kümesi [–4, 4] tür. Çünkü y = f(x) fonksiyonunda x in değer aralığı [–4, 4] tür. (Doğru)
–4
–2
x
O –1
T
8.
III. [–4, 0] aralığında bire bir değildir. Çünkü
Şekildeki eğri f(x) fonksiyonunun grafiği olduğuna göre, y = 4(f(x) – |f(x)|) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
–4
O –2
B)
y
y 3 2 1
y
O
İki farklı x değeri, aynı y değerine gidiyor. (Yanlış)
x
4
O
x
2 4
–8
C)
D)
y
–2 –4
O halde, I, II ve IV doğrudur.
3 4
x
–3
y 8
IV. Şekilde de görüldüğü gibi f(1) = 2 dir. (Doğru)
2
–2
2 x
1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1
8
1 –1
x
y
Çözüm:
II. Görüntü kümesi [–2, 4] tür. Çünkü, y = f(x) fonksiyonu için x değerleri [–2, 4] aralığında bir y değerini verir. (Doğru)
4
Palme Yayınevi
IV. f(1) = 2 dir.
–3
O
–2
x
O
–4 –2
x
O
–8
E)
y
O
I. Tanım kümesi [–5, 4) tür.
II. Görüntü kümesi [–3, 3] tür.
III. f(1) = –2 dir.
IV. Bire birdir.
V. Örtendir. A) 1
4
–2 –1
Şekilde grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x
280
1. B
2. C
3. E
4. A
5. D
6. C
7. C
8. D
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER VE KARMAŞIK SAYILAR
13. Ünite
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler
Bilgi Köşesi
Örnek x–
İkinci Dereceden Denklemler 1. 4x2 + 16x = 0
4. 2x2 – (ab–2b).x – ab2 = 0
x –12 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0}
denkleminin gerçek kökünü bulalım. Çözüm: x–
1. TEST
B) {–4} D) {4}
C) {–4, 0} E) {0, 4}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ab b A) {–ab, 2b} B) ) − , b 3 C) ) − , ab 3 2 2 ab D) {2ab, b} E) ) , − b 3 2
x – 12 = 0 denkleminde
↓ 2
x –
x – 12 = 0 ise
x
–4
x
+3
x = 4,
x = –3 olup
^ x – 4h.^ x + 3h = 0
x = 4 alınır. O halde verilen
5. A = {–4, –1, 1, 2, 3,
kümesi veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki denklemlerin hangisinin kökleri A kümesinde bulunmaz?
denklemin kökü 16 bulunur.
Örnek x2 – 5x – 2 =0 denkleminin köklerini bulalım. Çözüm:
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 7 1 A) ' – , 1 2 3
B) {–7, 1}
1 7 C) ' , 1 2 2
D) {1, 7}
1 E) ' – , 7 1 3
A) x2 – 2x – 3 = 0
Palme Yayınevi
x = –3 için x ∉ R olduğundan
1 , a, b} a
2. 6x2 + 19x – 7 = 0
B) x2 + 3x – 4 = 0 C) x2 – 4x + 4 = 0 D) ax2 – (ab+1).x + b = 0
Verilen denklem çarpanlarına ayrılamadığından Δ yardımı ile denklemin kökleri bulunabilir.
E) x2 – (a–b)x – ab = 0
Δ = b2 – 4.a.c = (–5)2 – 4.(1).(–2) ⇒ Δ = 33 olur. x 1, 2 =
–b " D 2.a
⇒ x 1, 2 =
– (–5) " 33 2.1
O halde denklemin kökleri
3. x2 – 7x + 1 = 0
6. x4 – 4x2 + m = 0
5–
denkleminin dört farklı gerçek kökü vardır.
Buna göre, m hangi aralıkta değer alır?
33 2
ve
5 + 33 bulunur. 2
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A)
–7 + 3 5 7–3 5 B) 2 2
–7–3 5 5–3 7 C) D) 2 2 E)
282
5+3 7 2
A) (0, 1)
B) (0, 2)
D) (0, 8)
E) (0, 16)
C) (0, 4)
13.Ünite 7.
2
x + 2x + 12 2
2x – 5x – 6
/İkinci Dereceden Denklemler
10. (x + 1)2 – 3.(x + 1) – 4 = 0
= 1
denkleminin küçük kökünün büyük köküne oranı aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 4}
1 2 2 1 7 A) – B) – C) D) E) 7 7 9 3 9
Bilgi Köşesi
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? B) {–1, 2}
D) {–2, 3}
C) {1, 4}
E) {–2, 1}
Örnek (x – 3)2 + 2.(x – 3) – 8 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: (x – 3)2 + 2.(x – 3) – 8 = 0 denkleminde (x – 3) ifadesine t diyelim. t2 + 2t – 8 = 0
11. x + 7 x – 8 = 0
8. x2 + 4x – 21 = 0 denkleminin büyük kökü m,
–3x2 + 18x – 24 = 0 denkleminin küçük kökü n dir. m Buna göre, oranı kaçtır? n 7 7 2 3 3 A) B) C) − D) E) − 2 4 3 2 4
denkleminin gerçek köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) –8
B) –7
C) 0
D) 1
E) 9
4
t
–2
(t + 4).(t – 2) = 0 t + 4 = 0, t – 2 = 0 ifadelerinde t yerine tekrar x – 3 yazarsak
Palme Yayınevi
t
x – 3 + 4 = 0,
x–3–2=0
x = –1,
x=5
olup denklemin çözüm kümesi Ç = {–1, 5} bulunur.
Örnek x2 – 6x + m – 2 = 0 denkleminin gerçek kökü olma2
dığına göre, m nin değer ara-
9.
x + 4x – 21
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2
x –9
=0
A) {–7}
B) {–7, 3}
D) {3, 7}
12
x4
denkleminin gerçek sayılar kümesinde kaç tane kökü vardır?
Çözüm:
A) 0
ğından Δ < 0 olmalıdır.
C) {–3, 3}
–
4x2
lığı nedir?
–5=0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Denklemin gerçek kökü olmadı-
Δ = (–6)2 – 4.1.(m – 2) < 0
E) {–3, 3, 7}
⇒ 36 – 4m + 8 < 0
⇒ 44 < 4m
⇒ 11 < m bulunur.
1. C
2. A
3. B
4. E
5. E
6. C
7. B
8. B
9. A
10. D
11. D
12. C
283
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler
Bilgi Köşesi
İkinci Dereceden Denklemler
1.
Örnek (x2 – 3).(1 + x2).(x – 2) = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin kaç farklı gerçek kökü vardır? A) 6
B) {–2, 1}
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
C) " – 3 , 3 , D) " –2, 1, 3 ,
Çözüm: x2 – 3 = 0 ⇒ x =
4. (x2 + 5).(x2 – 7).(3x + x2) = 0
1 2 + =3 x+2 x –1
A) " – 3 , –2, 1, 3 ,
denkleminin kaç farklı gerçek kökü vardır?
2. TEST
E) ∅
3 veya
x=– 3 3 , – 3 ! R dir.
ve
1 + x2 = 0 ⇒ x2 = – 1 olacak şekilde bir gerçek sayı olmadığından bu ifadeyi sağlayan gerçek kök yoktur. x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ∈ R dir.
2.
x –2 x+3 + =0 x+3 x –2
5. x2 + (b – 1).x – b = 0
– 3 , 3 ve 2 olmak üzere üç
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
tanedir.
A) {–3, 2}
B) {–1, 0}
D) { }
C) {–4, 1}
E) R
Palme Yayınevi
O halde, denklemin kökleri
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ∅
B) {–b, 1}
D) {b ,1}
C) {–1, b} E) R
Örnek x+1 3 – x + =0 x –1 x – 2 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: x+1 3 – x + =0 x –1 x – 2
(x – 2 )
(x – 1 )
x2 – x – 2 –x 2 + 4x – 3 & + =0 (x – 1) . (x – 2) (x – 2) . (x – 1)
&
x 2 – x – 2 –x 2 + 4x – 3 =0 (x – 1). (x – 2)
3x – 5 & = 0 olup (x – 1). (x – 2) 3x – 5 = 0 , x – 1 ≠ 0 , x – 2 ≠ 0 x=
5 3
, x≠1
, x≠2
5 olduğundan Ç = ' 1 bulunur. 3
284
3.
6. (x – 2).(x – 1) = 3
2
3 x –2 + 5 = 2x + x+m x+4 denkleminin bir kökü –1 olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3 1 7 A) B) C) 5 2 8
D) 3
denkleminin küçük kökü aşağıdakilerden hangisidir? A)
3 + 13 –3 + 13 B) 2 2
C)
–3 – 13 13 – 3 D) 2 2
E) 7
E)
3 – 13 2
13.Ünite 7. x2 – 4x + m = 0
10. (m – 1).x2 + 6x + 18 = 0
denkleminin gerçek kökleri a ve b dir.
a2 – 2ab – 3b2 + 32 = 0
olduğuna göre, m değeri kaçtır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Bilgi Köşesi
denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, m için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A)
E) 5
/İkinci Dereceden Denklemler
3 3 2 m B) 0 # m 1 2 2
3 3 C) m 2 D) – 1 m 2 2 E) –
3 1m10 2
Örnek x2
+ (a – 1).x – 2 – 2.a = 0
denkleminin çift katlı kökü olduğuna göre, a değeri kaçtır? Çözüm: Denklemin çift katlı kökü olduğuna göre, Δ = 0 olmalıdır. Δ = (a – 1)2 – 4.1.(–2 – 2.a) = 0 ⇒ a2 – 2.a + 1 + 8 + 8.a = 0 ⇒ a2 + 6a + 9 = 0 ⇒ (a + 3)2 = 0 ⇒ a = – 3 bulunur.
Örnek x+1 = 2
8. x = 12 –
x 3
11. x2 – 2mx – 9 + 6m = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) –3
B) –1
C) 0
D) 2
E) 5
Palme Yayınevi
2
denkleminin çift katlı kökü olduğuna göre, bu kök aşağıdakilerden hangisidir? A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
x+3
denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Verilen denklemde kareköklü ifadeden kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
^ x + 1h2 = ^ x + 3 h
2
⇒ x2 + 2.x + 1 = x + 3 x2 + x – 2 = 0 x +2 1 (x + 2) . (x – 1) = 0 –1 x x + 2 = 0 & x = –2 1 Değerlerini x –1 = 0 & x = 1 denklemde yerine yazalım. x = –2 için –2 + 1 =
9. 3x2 – 6mx + 3m2 = 0
12. x2 – 12x + 3m – 6 = 0
denkleminin diskriminantı (Δ) aşağıdakilerden hangisidir? A) 0
B) 3
C) 5
D) 11
E) 17
–2 + 3
–1 ! 1
denkleminin kökleri eşit olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Yani x = –2 değeri denklemi sağ-
A) 14
elemanı değildir.
B) 10
C) 9
D) –6
E) –8
lamadığından çözüm kümesinin
x = 1 için 1 + 1 =
1+3
2 = 2 olup denklemi sağlar. O halde denklemin çözüm kümesi Ç = {1} bulunur.
1. C
2. D
3. A
4. C
5. B
6. E
7. C
8. A
9. A
10. C
11. E
12. A
285
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler İkinci Dereceden Denklemler
Bilgi Köşesi
Örnek x2 – (m – 2).x – 2m + 1= 0
3. TEST
1. x2 – 6x + 7 = 0
4. A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} kümesi veriliyor.
denkleminin köklerinden biri p dir.
Buna göre, p2 – 6p işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin farklı iki gerçek kökü olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin kümesini bulalım.
A) 2
B) –5
C) –7
D) –9
• a, b ve c; A kümesinin birbirinden farklı elemanlarıdır.
• Katsayıları a, b ve c olan ikinci dereceden denklemler yazılıyor.
E) –1
Çözüm: Denklemin farklı iki gerçek kökü var ise Δ > 0 olmalıdır.
Buna göre, bu denklemlerin kaç tanesinin gerçek sayılarda çözüm kümesi boş kümedir? A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
Δ = [– (m – 2)]2 – 4.(–2m + 1) > 0 & m 2 – 4m + 4 + 8m – 4 2 0 ⇒ m2 + 4m > 0 ⇒ m.(m + 4) > 0
m = 0 ve m = –4 için
–∞
–4 +
0 –
∞ +
2. x2 – 8x + m = 0
m ∈ (–∞, – 4) ∪ (0, ∞) bulunur.
5. x2 –6x + 2m – 3 = 0
denkleminin iki gerçek kökü olduğuna göre, m nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 16 > m
B) 16 ≥ m
D) 16 ≤ m
C) 16 < m
E) 0 ≤ m < 16
Palme Yayınevi
denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre, m değeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) m > 6
B) m ≤ 6
D) m ≥ 6
C) 0 < m < 6 E) m < 6
Örnek –5x2
+ 2mx + 2m + 5 = 0
denkleminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, m değeri kaçtır? Çözüm: Denklemin çözüm kümesi tek elemanlı ise Δ = 0 olmalıdır.
3. –4x2 – 12x – 2m + 1 = 0
6. x2 + mx + 4x +4 = 0
Δ = (2m)2 – 4.(–5).(2m + 5) = 0
⇒ 4m2 + 40m + 100 = 0
denklemi tam kare olduğuna göre, m değeri kaçtır?
⇒ m2 + 10m + 25 = 0
A) –7
⇒ (m + 5)2 = 0
⇒ m = – 5 bulunur.
B) –2
C) 4
D) 5
E) 9
A) 6
286
denkleminin çakışık iki kökü olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? B) 4
C) –2
D) –8
E) 10
13.Ünite 7. 2x2 + 2.(m – 1)x + 2 = 0
10. (x – 3).(x – 2) = –2x + 6
denkleminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 6
B) 4
C) –1
D) –3
/İkinci Dereceden Denklemler? Bilgi Köşesi
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, 3}
E) –5
B) {–1, 2}
D) {0, 2}
C) {–4, –3}
E) {–1, 0}
Örnek x2
+ (2.a – 1).x + 4 – a = 0
denkleminin bir kökü 2 ise diğer kökü kaçtır? Çözüm: Kök denklemi sağlayacağından x = 2 için 22 + (2.a – 1).2 + 4 – a = 0 ⇒ 4 + 4a – 2 + 4 – a = 0 ⇒ a = –2 olup denklem x2 – 5x + 6 = 0 olur. Kökler çarpımı 6 olduğundan diğer kök (x2 olsun) 2.x2 = 6 ⇒ x2 = 3 bulunur.
11. x2 – 3mx + m – 1 = 0
8. x2 – 6 = 5.|x| denkleminin gerçek köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) –7
B) –6
C) 0
D) 6
E) 7
Palme Yayınevi
denkleminin bir kökü 3 ise diğer kökü aşağıdakilerden hangisidir? A –3
B) –1
C) 0
D) 2
E) 4
Örnek x2 – 2 = |x| denklemini sağlayan x değerlerini bulalım. Çözüm: x2 – 2 = |x| ⇒ x2 – |x| – 2 = 0 x2 – |x| – 2 = 0
x2 – x – 2 = 0 ,
x2 + x – 2 = 0
x
–2
x
+2
x
+1
x
–1
(x – 2).(x + 1) = 0 (x + 2).(x – 1)=0 x = 2, x = –1
x = –2, x =1
Bulunan değerleri denklemde yerine yazalım. x = 2 için
ifadesinin 2. dereceden bir denklem belirtmesi için m değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A) 8
1. C
B) 7
2. B
C) 6
3. D
x = –1 için 1 – 2 = |–1| ⇒ –1 ≠ 1
12. x2 + (2m – 1) . x + m – 1 = 0
9. 3.xm–3 + 5x – 4 = 0
4. E
D) 5
5. E
6. D
denkleminin çözüm kümesi {–1, p} olduğuna göre, p değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0
E) 4
7. C
8. C
B) 1
9. D
C) 2
10. A
4 – 2 = |2| ⇒ 2 = 2
D) 3
11. C
E) 4
12. A
x = –2 için 4 – 2 = |–2| ⇒ 2 = 2 x = 1 için 1 – 2 = |2| ⇒ –1 ≠ 1 O halde denklemi sağlayan x değerleri 2 ve –2 dir.
287
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler
Bilgi Köşesi
Örnek
İkinci Dereceden Denklemler (Kök–Kat Sayı İlişkisi)
1. TEST
1. 3x2 – 6x + 5 =0
4. –x2 + 2x + 5 = 0
4x2 – 3x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 1 1 olmak üzere, toplamı + x1 x 2 kaçtır?
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, x1 + x2 toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) –6
B) –1
C) –2
D) 1
E) 2
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, |x1– x2| değeri aşağıdakilerden hangisidir? A)
6 B) 2 6 C) 3 7 D) 4 7 E)
Çözüm: x1 + x2 = –
42
–3 3 = 4 4
–2 1 = – olur. 4 2 x2 + x1 1 1 + = x1 x2 x 1 .x 2
x 1 .x 2 =
(x 1 )
3 3 2 4 = .c – m 1 1 4 – 2 3 = – bulunur. 2
=
5. 2x2 + 6x + 4k – 1 = 0
2. 6x2 – 2x – 8 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, 1 1 – – değeri aşağıdakilerden hangix1 x2 sidir? A)
1 1 B) 4 2
C) 3
D) 5
E) 7
Örnek
Palme Yayınevi
(x 2)
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x 1 .x 2 + x 1 .x 2 = 15
olduğuna göre, k değeri aşağıdakilerden hangisidir?
2
A)
x2 – 4x + k – 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x 21 + x 22 = 10 olduğuna göre, k
2
1 1 3 B) C) – 5 7 2 1 9 D) – E) – 9 4
değeri kaçtır? Çözüm: x1 + x2 = – x 1 .x 2 =
–4 =4 1
k–2 = k – 2 dir. 1
x1 + x2 = 4 olup eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa
6. x2 – 7x – 1 = 0
(x1 + x2)2 = 42
3. x2 – 3x + k + 1 = 0
& x 21 + 2. x 1 .x 2 + x 22 = 16 =
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 + x2 + x1.x2 = 8 olduğuna göre, k değeri aşağıdakilerden hangisidir?
k–2
& x 21 + x 22 + 2k – 4 = 16 > 10
⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5 bulunur.
288
A) –6
B) –2
C) 4
D) 5
E) 7
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, 2
2
x 1 + x 2 toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 47
B) 49
C) 51
D) 53
E) 55
13.Ünite 10. x2 – 5x + m – 1 = 0
7. Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir denklemde,
• 3x1 – x1.x2 + 3x2 = 4
• x1 + x2 + 2.x1.x2 = 13
bağıntıları vardır.
Buna göre, bu denklem için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
/İkinci Dereceden Denklemler
Bilgi Köşesi
denkleminin kökleri arasında x1 – 2x2 = –4 bağıntısı olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 7
B) 11
C) 13
D) 17
E) 21
Örnek x2
+ 8x – 3m + 2 = 0
denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında x1= 3.x2 bağıntısı olduğuna göre, m değeri kaçtır?
A) Farklı iki rasyonel kökü vardır.
Çözüm:
B) Farklı iki gerçek kökü vardır.
C) Gerçek kökü yoktur.
x1 + x2 =
–8 = –8 olup x1 yerine 1
3.x2 yazılırsa
D) Ters işaretli iki kökü vardır.
⇒ 3.x2 + x2 = –8
E) Aynı işaretli iki kökü vardır.
⇒ x2 = –2 olur. x1 = 3.x2 ⇒ x1 = 3.(–2)
⇒ x1 = –6 dır. x 1 .x 2 =
x1 ve x2 değerleri bu denklemde
11. x2 – 6x + 3p – 1= 0
Palme Yayınevi
8. x2 – 4x + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1 1 ifadesinin de+ x1 + 1 x2 + 1 ğeri aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin x 1 ve x 2 kökleri arasında x1 = 2.x2 bağıntısı olduğuna göre, p değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –6
B) –3
C) 3
D) 6
B) 3
C) 7
D) 11
yerine yazılırsa (–6 ).(–2) = –3m + 2 ⇒ m=–
10 bulunur. 3
E) 9
Örnek
Buna göre,
A) 1
–3m + 2 = –3m + 2 olup 1
x2
– (k + 3).x + 8 = 0
denkleminin pozitif kökleri ara-
E) 13
sında x 2 = 2.x 1 bağıntısı varsa k değeri kaçtır?
Çözüm: x 1 .x 2 =
8 = 8 olup 1
x 2 = 2.x 1
yazılırsa 2.x 21 = 8 & x 1 = 2 olup x1.x2 = 8 ⇒ 2.x2 = 8
denkleminin köklerinin toplamı, köklerinin çarpımına eşit olduğuna göre, p değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 2
1. E
B) 5
2. A
C) 7
3. C
⇒ x2 = 4 bulunur.
12. x2 – 2mx – 8 = 0
9. x2 – 5x + p – 2 = 0
4. B
D) 8
5. E
A) –8
E) 13
6. C
2
denkleminin x1 ve x2 kökleri için x 1 = x 2 olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir?
7. C
8. A
B) –3
9. C
C) –2
10. A
D) 0
11. C
x1 + x2 = – .
– (k + 3) = k+3 1
.
& 2 + 4 = k + 3 & k = 3 bulunur.
E) 1
12. E
289
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler
Bilgi Köşesi
İkinci Dereceden Denklemler (Kök–Kat Sayı İlişkisi)
2. TEST
1. Köklerinden biri ^ 1 + 3 h olan II. dereceden, rasyonel kat sayılı denklem aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek Çözüm kümesi {–3, 4} olan ikinci dereceden denklemi bulalım. Çözüm: Denklemin çözüm kümesi {–3, 4} olduğundan
4. x2 – 3x + 1 = 0
A) x2 – 2x – 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, kökleri (x1 + 1) ve (x2 + 1) olan 2. dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
B) x2 + 2x – 2 = 0 C) x2 – 2x + 2 = 0 D) x2
A) x2 + 4x + 5 = 0
–x–1=0
B) x2 – 5x + 5 = 0
E) x2 + x – 1 = 0
C) x2 – 4x – 5 = 0
• denklemin kökleri toplamı:
D) x2 – 5x + 4 = 0
T = –3 + 4 = 1 dir.
E) x2 – 5x – 4 = 0
• denklemin kökleri çarpımı:
Ç = (–3).4 = –12 dir. O halde, x2 – Tx + Ç = 0 olup bu denklemlerden biri x2 – x – 12 = 0
2. Çözüm kümesi {–2, –1} olan ikinci dereceden denklemlerden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek Kökleri x2 + 4x – 3 = 0 denkleminin köklerinden birer eksik olan ikinci dereceden denklemi bulalım. Çözüm: x2 + 4x – 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
A) x2 – 3x – 2 = 0 B) x2 + 3x – 2 = 0 C) x2 + 3x + 2 = 0 D) x2
Palme Yayınevi
bulunur.
5. Kökleri x2 – 3x – 5 = 0 denkleminin köklerinden ikişer fazla olan 2. dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 7x + 5 = 0 B) x2 – 5x + 7 = 0 C) x2 – 7x – 5 = 0
+ 3x – 1 = 0
D) x2 – 5x – 7 = 0
E) x2 – 3x + 2 = 0
E) x2 + 7x + 5 = 0
x1 + x2 = –4 ve x1 . x2 = –3 olur. Oluşturulacak denklemin kökleri (x1 – 1) ve (x2 – 1) olup kökleri toplamı: T = x1 – 1 + x2 – 1 = x1 + x2 – 2 > –4
⇒ T = –6 dır. Kökler çarpımı: Ç = (x1 – 1) . (x2 – 1) & Ç = x 1 .x 2 – ( x 1 + x 2) + 1 > > –3
–4
⇒ Ç = 2 olup x2 –Tx + Ç = 0 ⇒ x2 + 6x + 2 = 0 bulunur.
3. Çözüm kümesi " 2 , olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 2 = 0 2
B) x + 2 2 x + 2 = 0 C) x2 + 2 = 0
6. x2 + 2x – 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, kökleri
1 1 ve olan 2. dex1 x2 receden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) x2 + 2x + 1 = 0
2
B) x2 – 2x – 1 = 0
D) x – 2 2 x + 2 = 0 E) x + 2 2 x – 1 = 0
C) x2 – x + 2 = 0 D) x2 – x – 2 = 0 E) x2 + 2x – 1 = 0
290
13.Ünite 7. x2 – mx + n – 2 = 0 denkleminin bir kökü 1,
10. x2 – px + 3 = 0
x2 + (m + 1).x – k = 0 denkleminin bir kökü –1 dir.
Bu iki denklemin diğer kökleri ortak olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 4
Bilgi Köşesi
3x2 – 5x + k – 3 = 0
denklemlerinin ikişer kökü de ortak olduğuna göre, p . k çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 20
3 1 1 C) D) E) 2 3 2
B) 3
/İkinci Dereceden Denklemler
B) 16
C) 15
D) 11
E) 10
Örnek m ≠ 1 ve n ≠ 1 olmak üzere, (m – 1).x2 – 2mx + 3 = 0 ve (1 – n).x2 – (n – 3).x + 4 = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise m değeri kaçtır? Çözüm: Verilen iki denklemin çözüm kümeleri aynı ise bu iki denklemin kat sayıları orantılıdır, çakışıktır. Yani m –1 –2m 3 = = olur. 1 – n – (n – 3) 4 m –1 3 = 1– n 4
x2 + kx +n = 0 denkleminin bir kökü 3 tür. Bu iki denklemin diğer kökleri ortak olduğuna göre, t + k toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) –4
B) –3
C) –1
D) 5
E) 7
Palme Yayınevi
⇒ 3 – 3n = 4m – 4
11. x2 – m . x – 4 = 0
8. x2 – tx + m = 0 denkleminin bir kökü 2,
⇒ 3n = 7 – 4m dir. ……➀
x2 + 3x + m – 1 = 0
denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –2
B) –1
C) 3
D) 5
E) 7
–2m 3 = – (n – 3) 4 ⇒ 8m = 3n – 9 ⇒ 3n = 8m + 9 dur. ……➁ ➀ ve ➁ den 3n = 7 – 4m = 8m + 9 ⇒ –2 = 12m
⇒ m=–
1 bulunur. 6
Örnek x2 + 3a.x + b + 1 = 0 denkleminin bir kökü –2, x2 + (2a + 2).x – b = 0 denkleminin bir kökü 1 ve denklemlerin diğer kökleri ortak olduğuna göre, a değeri kaçtır? Çözüm: Kök denklemi sağlayacağından
x2 – nx + m – 3 = 0 denkleminin köklerinden birer fazla olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
px2
– 3x + m + 1 = 0 1).x2
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre, p değeri aşağıdakilerden hangisidir?
4. B
5. A
6. B
7. E
+ 2x + 3 – p = 0
27 17 7 B) C) – 13 13 13 D)
3. D
⇒ 6a – b = 5 … ➀ x = 1 için
(m +
A)
2. C
(–2)2 + 3a.(–2) + b + 1 = 0
1. A
x = –2 için
12. m ≠ – 1 olmak üzere,
9. x2 – 2x + n = 0 denkleminin kökleri,
8. C
37 13 E) 11 11
9. B
10. A
11. C
(1)2 + (2a + 2).1 – b = 0 ⇒ 2a – b = –3 … ➁ ➀ ve ➁ den 6a – b = 5 –/ 2a – b = – 3 + ––––––––––––––
12. A
4a = 8 ⇒ a = 2 bulunur.
291
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler İkinci Dereceden Denklemler (Kök–Kat Sayı İlişkisi)
Bilgi Köşesi
3. TEST
1. x2 – (m – 1).x – 4 = 0
Örnek
x2 – 4.(m + 3).x + m + 1 = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m değeri kaçtır?
4. x2 – 3 . (4m – 6).x + m – 2 = 0 2
denkleminin kökleri arasında x 1 = 2.x 2 bağıntısı olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –5
B) –2
C) 1
D) 3
denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A)
E) 4
Çözüm: Denklemin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökler simetrik ise
1 3 1 B) C) – 5 2 3 1 5 D) – E) – 2 3
x1 + x2 = 0 olmalıdır. –4. (m + 3) 1 0 = 4m + 12 ⇒ m = – 3 x1 + x2 = –
bulunur.
Örnek – 4x + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 2 2 olmak üzere, top+ x1 x2 lamı kaç olabilir?
2.
denkleminin kökleri p ve k olduğuna göre, denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
_ x2 i
&
2. _ x 1 + 1
x2 i
= 2. _ x 1 +
B) {–2, 1}
D) {–2, 0}
2 x1 + 2 x2 2 = x2 x 1 .x 2
_ x1 i
– (2 + p).x + p – 1 = 0
A) {–1, 2}
x1 + x2 = 4 ve x1 . x2 = 1 olup 2 + x1
5. x2 – 12x – 1 = 0
x2
Palme Yayınevi
x2
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, x1 + x2
ifadesinin değeri aşağıdakilerx 1 .x 2 den hangisidir? 3
C) {0, 1}
A) 2 3 B)
E) {0, 2}
5
C) –1
D) –2 3 E) – 5 x2 i
olur. O halde, x1 +
x 2 = k olsun.
Denklemde her iki tarafın karesini alalım.
_ x 1 + x 2 i = ^k h2 2
x 1 + x 2 + 2. x 1 x 2 = k 2 > > 4
1
⇒ 6 = k2 ⇒ k = " 6 x1 + sonuç
x 2 ! - 6 olduğundan
2 6 bulunur.
3. x2 – 9x + 9 = 0
6. x2 – 8x + 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, x 1 + x 2 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 5 B) 2 3 C) 5 2 D)
15 E)
17
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, 1 1 ifadesinin değeri aşağıdaki+ x1 x2 lerden hangisidir? A)
3 B)
7 C) 3 5
D) 2 11 E) 3 13
292
13.Ünite 7. 2x2 – px + 5 = 0
/İkinci Dereceden Denklemler
10. x2 – 3x + n = 0
Bilgi Köşesi
x2 + px – 8 = 0
2x2 – mx + 11 = 0
denklemlerinin birer kökü ortak olduğuna göre, p değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
denklemlerinin kökleri ortak olduğuna göre, m . n çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –11
B) –5
C) 3
D) 4
E) 7
A) 21
B) 27
C) 30
D) 33
E) 35
Örnek x2
+ (k + 1).x – 4 = 0
x2
+ 2kx – k – 3 = 0
denklemlerinin birer kökleri eşit ise k değeri kaçtır? Çözüm: –/ x2 + (k + 1).x – 4 = 0
x2 + 2kx – k – 3 = 0 + ––––––––––––––––––––– (k – 1).x – k + 1 = 0
⇒ x = 1 (ortak kök) Kök denklemi sağlayacağından x = 1 için (1)2 + (k + 1).1 – 4 = 0 ⇒ k = 2 bulunur.
8. mx2 – (m2 + 1).x – m + 4 = 0 2. dereceden denkleminin bir kökü m olduğuna göre, diğer kökü aşağıdakilerden hangisidir? A)
1 2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Palme Yayınevi
11. x2 – (2a – 1).x + k + 2 = 0 denkleminin kökleri,
x2 – ax + a – 3 = 0 denkleminin köklerinin birer fazlası olduğuna göre, k değeri kaçtır? A) 7
B)
7 2
C) 5
D)
5 2
E) 2
Örnek x2 – (m – 3).x + n – 2 = 0 denkleminin kökleri, x2 + 4mx + k = 0 denkleminin köklerinden üçer eksik ise m değeri kaçtır? Çözüm: x2 + 4mx + k = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise x1 + x2 = –4m olur. x2 – (m – 3).x + n – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 – 3 ve x2 – 3 olup
9. x2 – 3mx + n + 1 = 0 denkleminin kökleri,
x2 + (m – 5)x – p = 0 denkleminin köklerinin ikişer katı olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –11
B) –6
C) 1
D) 2
12. m ≠ 0 olmak üzere,
x1 – 3 + x2 – 3 = m – 3
x2 + x + m = 0
x2
& x1 + x2 – 6 = m – 3 >
denklemlerinin birer kökü ortak olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir?
E) 5
–4m
– x + 2m = 0
A) –6
B) –3
C) –1
D) 2
& 5m = –3 & m = –
3 bulunur. 5
E) 3
1. C
2. A
3. D
4. A
5. D
6. A
7. E
8. A
9. D
10. D
11. E
12. A
293
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler Karmaşık Sayılar
Bilgi Köşesi 1. i =
Örnek
1. TEST 3. i =
–1 olmak üzere, 33
201
1+i
1+i
–1 olmak üzere,
i=
Z = x + 2 + 3i – yi karmaşık sayısında Re(Z) = –2 ve Im(Z) = 1 ise x + y toplamı kaçtır?
–1 olmak üzere,
–5 . –7 . –14 = A olduğuna göre, A sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 10 B) – 70 C) –7 10 i D) –7i
Çözüm:
z
Z = x + 2 + (3 – y) .i ; > Reel
67
1+i
1
Sanal
Re(Z) = –2 ⇒ x + 2 = –2 ⇒x = –4 tür. Im(Z) = 1 ⇒ 3 – y = 1 ⇒ y = 2 dir. O halde, x + y = –4 + 2 = –2 bulunur.
–1 olmak üzere,
z2
i52 – i33 + i20 ifadesinin reel kısmı kaçtır?
Yukarıda verilen işlem algoritmasına göre, z 1 + z 2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2
Çözüm: 33 4 52 4 4 13 32 8 1 12 12 0 i52 – i33 + i20 ↓ ↓ ↓ 1 – i1 + 1 =
B) 1 + 2i
20 4 20 5 0
D) 4
C) 2 – i E) 2 – 4i
4. i = Palme Yayınevi
Örnek i=
10 .i
E)
–1 olmak üzere,
x = i25 + i24 + i3
olduğuna göre, x sayısının sanal kısmı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2i
B) –2i
C) i
D) –i
E) 0
2 – i olup 6
reel k›s›m
Reel kısım 2 bulunur.
Örnek i=
–1 olmak üzere,
1 i
2019
+
1 2020
i işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: 2019 4 3 i2019 ≡ i3 ≡ –i
2020 4 0 i2020 ≡ i0 ≡ 1 olup
1 1 +1 = – +1 –i i i =- + 1 i2 i =+ 1 = 1 + i bulunur. –1
294
2. i =
–1 olmak üzere,
Z = (a – 3) + bi – (3 + ai).i
5. a ve b birer gerçek sayı ve i = üzere,
karmaşık sayısında
Z1 = 2i – 4.b
Re(Z) = –1 ve Im(Z) = 5
Z2 = a + (2i – b).i ve Z1 = Z2
olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –7
B) –3
C) –5
D) 5
E) 9
A) 10
B) 8
C) 6
D) 5
–1 olmak
E) 4
13.Ünite 6. i =
9. i =
–1 olmak üzere,
Z1 = 5 + 5i ve Z2 = 2 + 2i
olduğuna göre, Z1 . Z2 çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 20i
B) 10i D) –10
E) –10i
Z+i = 1+i 1– i eşitliğinde Z sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2
B) 2 + i D) –2
Palme Yayınevi
C) 2 – i
E) –2 – i
Bilgi Köşesi
a 2 + b 2 ile
z
w
z+w
1 + 3i
8 – 3i
A
i=
1–i
1+i
B
2.Z – i.Z + 3 = 5 + i olduğuna göre, Z sayısı nedir?
2 – 3i
1 – 2i
C
Çözüm:
3 + 4i – 2
2i + 3 – 5i
D
2.Z – i.Z + 3 = 5 + i
3
5i – 2
E
Tablodaki karmaşık sayılar ve bunların toplamı olan A, B, C, D, E karmaşık sayıları veriliyor.
A, B, C, D, E karmaşık sayılarının orijine olan uzaklıklarının sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) A > E > C > D > B
B) E > B > C > D > A
C) B > D > C > A > E
D) A > C > E > D > B
E) A > B > C > D > E
–1 olmak üzere,
7. i =
–1 olmak üzere, Z = a + bi karmaşık
sayısının orijine uzaklığı x = bulunur.
C) –20i
/İkinci Dereceden Denklemler
Örnek –1 olmak üzere,
⇒ Z.(2 – i) = 2 + i &Z=
2+i 2–i (2 + i)
&Z=
3 + 4i 3 4 = + .i bulunur. 5 5 5
Örnek i=
–1 olmak üzere,
x2 + 4x + 6 = 0 denkleminin köklerini bulalım. Çözüm: x2 + 4x + 6 = 0 denklemi için Δ = b2 – 4.a.c = (4)2 – 4.1.6 ⇒ Δ = –8 olup x 1, 2 =
–1 olmak üzere,
8. i =
1+
10. i =
1 i
1
+
1 i
2
+
1 i
3
+…+
1 i
20
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 1 D) –i
2. E
Z2 = 6 + 6i
4. E
–4 " –8 2.1
=
–4 " 2 2 .i 2
olduğuna göre, Z1 . Z2 çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Denklemin kökleri:
B) –30 D) 30i
E) –1
3. C
Z1 = 5 – 5i
A) 60
=
olur.
C) i
–2 – nur.
2 . i ve –2 + 2 . i bulu-
C) 60i E) –60i
1. A
–1 olmak üzere,
–b " D 2a
5. B
6. A
7. C
8. B
9. D
10. A
295
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler Karmaşık Sayılar
Bilgi Köşesi 1. i =
Örnek i = –1 olmak üzere,
2. TEST 4. x2 – y2 = (x – y).(x + y) ve i = –1 olmak üzere, z = a + bi ise z = a – bi dir.
–1 olmak üzere,
f(x) = x8 – 4x6 + x2 + 2x – 1
olduğuna göre, f(i) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
f(x, y) = 2x5.y – x4.y3 + 2.x.y + 1 f(i2
A) 3 + 2i
ise , i) ifadesinin sonucu kaçtır?
B) 3 – 2i
D) 3i – 2
Çözüm:
C) 3i + 2
z2 + 9 = 8 − 5i z – 3i olduğuna göre, z + z toplamı kaçtır? A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
E) –3 – 2i
f(i2 , i) = 2.(i2)5.i – (i2)4.i3 + 2.i2.i + 1
= 2i11 – i11 + 2i3 + 1
= 2i3 – i3 + 2i3 + 1
= 3i3 + 1
= –3i + 1
olduğundan f(i2, i) = 1 – 3i bulunur.
Örnek 2. i =
i8.n + 2 + i4n – i12.n + 1 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
i4 = 1 olduğundan i4n = i8.n = i12.n = 1 dir. Yani
i
–1 ve n ∈ N olmak üzere,
16n–2 4n–1
i ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –1
i8.n+2 + i4.n – i12.n+1
B) –i
C) 1
D) i
1
=
1
5
5.
i=
Z=
olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisidir? A)
E) 2i
–1 olmak üzere, 3+i 3 + 2 i
3 – 5i 3 + 5i 5i – 3 B) C) 2 2 2 D)
= i 8.n . i 2 + i 4.n – i 12.n . i 1 8 8 : i2 + 1 –
Palme Yayınevi
–1 ve n ∈ Z+ olmak üzere,
i=
–3 – 5i 3 + 3i E) 2 2
1
i = –i bulunur.
–1
Örnek x2
+ 2x + 4 = 0
denkleminin köklerini bulalım. Çözüm:
6. x2 – x + 3 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
3. i =
= 22 – 4.1.4
f(x, y) = x7 + y7 – 2x2y + y3 – 3
olduğuna göre, f(i2, i3) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
= –12 = 12.i2 x1 =
12i 2
–2 + 2
–2 + 2 3 i = 2 x 1 = –1 + 3 i x 2 = –1 –
bulunur.
296
3i
–1 olmak üzere,
A) 4i
B) –4 D) 4i – 4
C) 4i + 4
denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) i 11 B)
–1 + 11 2
C) i 11 – 1 D) i 11 + 1
E) 4 – 4i E)
1 + i. 11 2
13.Ünite 7. i =
10. i =
–1 olmak üzere,
Z.(1 – i) + 2 = 3 + i
olduğuna göre, Z sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) i
B) 3i D) i + 3
C) i – 1 E) 2 – i
–1 ve z = a + bi olmak üzere,
z
z
/İkinci Dereceden Denklemler
= a2 + b2
Örnek = z + z olarak veriliyor.
i = –1 olmak üzere, köklerinden biri 2 + 3i olan gerçek kat sayılı ikinci dereceden denklemlerden birini bulalım.
z = 3 – 4i olduğuna göre,
Bilgi Köşesi
+
z
A) 5 + 8i
Çözüm:
toplamı kaçtır?
z
B) 10
D) 5 – 8i
Denklemin köklerinden biri 2 + 3i ise diğeri 2 – 3i olur.
C) 11 E) –1
Kökler toplamı: T ise T = 2 + 3i + 2 – 3i = 4 tür. Kökler çarpımı: Ç ise Ç = (2 + 3i) . (2 – 3i) = 13 tür. O halde denklemlerden biri, x2 – Tx + Ç = 0 için
11. i =
8. x4 + 5x2 – 36 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Palme Yayınevi
A) {–2, –3i, 2, 3i} B) {–2, 2} C) {–3i, 3i} D) {2, 3i} E) {–2, –3i}
x2 – 4x + 13 = 0 bulunur.
–1 olmak üzere,
Z + 3 + 2i = 1 + iZ
olduğuna göre, Z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) –2i
B) i – 1 D) i + 5
C) 3i E) 3i – 7
Örnek i=
–1 olmak üzere,
Z – 2.Z + 2i = 4 – i ise Z karmaşık sayısı nedir? Çözüm: Z = x + iy olursa Z = x – iy olur. Z – 2.Z + 2i = 4 – i
9. i =
12. i =
–1 olmak üzere,
köklerinden biri i + 3 olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 6x – 10 = 0
–x = 4 ,
olduğuna göre, Z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
C) x2 – 6x + 10 = 0
B) 2i
D) 1 – 2i
D) x2 + 6x – 10 = 0
⇒ –x + 3yi = 4 – 3i olup
Z.(1 + i) = 2 + i + Z
A) 1 + i
B) x2 + 16x + 10 = 0
⇒ x + iy – 2.(x – iy) = 4 – 3i
–1 olmak üzere,
3y = –3
⇒ x = –4 , ⇒ y = –1 olur. Z = x + iy = –4 – i bulunur.
C) –3 E) 3 + i
E) x2 + 6x + 10 = 0
1.A
2. B
3. D
4. D
5. B
6. E
7. A
8. A
9. C
10. C
11. A
12. D
297
13.Ünite
/İkinci Dereceden Denklemler Karmaşık Sayılar
Bilgi Köşesi 1. i =
Örnek –1 olmak üzere,
i=
x2
3. TEST 4. i =
–1 olmak üzere,
–1 olmak üzere,
x2 + mx + 1 – 3i = 0
(1 + i2010) . (1 – i2013)
denkleminin köklerinden biri (3 + i) olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir?
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
– k.x + 4 – 2i
denkleminin köklerinden biri 1 + 2i ise k değeri kaçtır?
A) –3i
Çözüm:
B) –5i D) 5
Denklemin kökleri x1 = 1 + 2i ve x2 olsun.
A) 1 + i
C) 3i
B) –2i
D) (1 – i)
E) –3
C) –i E) 0
x1.x2 = 4 – 2i ⇒ (1 + 2i).x2 = 4 – 2i & x2 =
4 – 2i –10i = 5 1 + 2i (1 – 2i)
⇒ x2 = –2i olup x1 + x2 = k ⇒ 1 + 2i – 2i = k ⇒ k = 1 bulunur.
Örnek i=
2. i =
–1 olmak üzere,
karmaşık sayılarda verilen,
x2 + 2i = mx –2 denkleminin bir kökü 2 olduğuna göre, diğer kökü aşağıdakilerden hangisidir?
–1 olmak üzere,
2 1 Z= + ise 1 + 3i 1 + i
A) –2i
Im(Z) kaçtır?
B) –i – 1 D) i + 1
Çözüm: Z=
5. i =
Palme Yayınevi
–1 olmak üzere,
5 2 + karmaşık sayısının sanal kısmı 3i i aşağıdakilerden hangisidir? Z=
A) –
C) 2i
11 –3 –5 B) C) 3 11 2 D)
E) i
–2 –1 E) 5 3
2 1 + 1 + 3i 1 + i (1 – 3i)
&Z=
(1 – i)
2 – 6i 1 – i + 10 2 (1)
(5)
&Z=
2 – 6i + 5 – 5i 7 – 11i = 10 10
&Z=
7 11 – .i olup 10 10
11 Im (Z) = – bulunur. 10
3. i =
–1 olmak üzere,
köklerinden biri 2i, diğeri 3i + 6 olan, ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2
6. i =
–1 olmak üzere,
Z=
1 1 – 2+i 3–i
olduğuna göre, Re(Z) + Im(Z) toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
+ (5i + 6).x + 12i – 6 = 0
B) x2 + (5i – 5).x + 3i = 0 C) x2
– (5i + 6).x + 12i – 6 = 0
D) x2
+ (5i + 5).x + 3i = 0
E) x2 + (5i + 6).x + 12i + 6 = 0
298
A)
1 –1 –1 B) – C) 5 10 2 D)
–3 –7 E) 4 10
13.Ünite 7. i =
–1 ve Z = 3 – i olmak üzere,
Z . i + Z = n + 4i
eşitliğini sağlayan n sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) –2
B) –1
C) 1
D) 3
/İkinci Dereceden Denklemler
10. i =
–1 olmak üzere,
Z=
2+i (1 – i) . (2 –i )
karmaşık sayısı için Re(Z) aşağıdakilerden hangisidir?
E) 4
A)
Bilgi Köşesi
3 1 7 B) C) – 5 10 8 4 5 D) – E) – 3 2
Örnek –1 olmak üzere,
i=
1– i ise Z8 değeri kaçtır? 1+i Çözüm: Z=
Z=
1– i 1+i
& Z8 = c & Z8 = >
4
1 – i 8 = 1 – i 2G m = c m 1+i 1+i
^1 – i h2
4
H = c –2i m 2
^1 + i h
4
2i
⇒ Z8 = (–1)4 = 1 bulunur.
Örnek 8. i =
^ Z + Z h ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
–1 olmak üzere,
i=
6
A) –64
B) –64i C) 0
D) 64i
E) 64
Palme Yayınevi
11. i =
–1 ve Z = 1 + 2i olmak üzere,
olmak üzere,
i.z + 2 = 3i – 2.z
denklemini sağlayan Z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? 1 8 A) – – i 5 5
B) –1 + 2i
C) –5 + 3i
D)
1 3 + i 7 7
1 9 E) + i 4 4
2.Z + i.Z = m + 10i ise m değeri kaçtır? Çözüm: Z = 4 – 3i ise Z = 4 + 3i olur. 2.Z + i.Z = m + 10i ⇒ 2 . (4 + 3i) + i.(4 – 3i) = m + 10i & 8 + 6i + 4i – 3i 2 = m + 10i 8 –1
⇒11 + 10i = m + 10i
–1 ve Z = 4 – 3i
⇒ m = 11 bulunur.
Örnek 9. i =
12. i =
–1 olmak üzere,
x2
denkleminin bir kökü 3i olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A)
– mx + 5 = 0
1 4i i B) – C) 3 3 4 D)
–1 olmak üzere,
–1 olmak üzere,
x2
+ (m + 1).x + 4 = 0
2 Z= 2 + 2i
denkleminin bir kökü 2i olduğuna göre, m değeri kaçtır?
karmaşık sayısı için Z6 aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
A) 8i
3i i E) – 4 3
i=
B) 2i D)
i i E) – 8 8
i C) 2
Kök denklemi sağlar. (2i)2 + (m + 1).2i + 4 = 0 4i2 + (m + 1).2i + 4 = 0 – 4 + 2mi + 2i + 4 = 0
2m i = –2 i m = –1 bulunur.
1. E
2. D
3. C
4. E
5. A
6. B
7. E
8. E
9. A
10. C
11. A
12. D
299
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ (PARABOL)
14. Ünite
14.Ünite İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
4. Aşağıda tepe noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde olan y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
fonksiyonunun grafiği A(–1, 3) noktasından geçtiğine göre, m aşağıdakilerden hangisidir? A) 7
B) 4
C) 2
D) –1
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. f(x) = 5x2 – (m +1) . x – 7
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
Örnek f(x)= (m – 3).x2 + 2.(m + 1).x + 5 – m
y
parabolü orijinden geçtiğine göre, m değeri kaçtır?
y = f(x)
E) –3
Çözüm: (0, 0) dan geçmeli. ⇒ y = (m – 3).x2 + 2.(m + 1).x + 5 – m ⇒ 0 = (m – 3).0 + 2.(m +1).0 + 5 – m x
O
⇒ m = 5 olur.
2. f(x) = x2 – (m – 1).x – 3m + 9 fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı (–3) olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir? A) 4
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
Buna göre,
I. a > 0
II. b > 0
y = 2x2 – 4x + m – 5
III. c < 0
IV.
b2
parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, m değeri kaçtır?
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 0
Palme Yayınevi
Örnek
> 4ac
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm: Δ = 0 olmalı b2 – 4ac = 0 (–4)2 – 4.2. (m – 5) = 0 16 – 8m + 40 = 0 56 = 8m m = 7 olur.
Örnek y = x2 + x – 3m
5. y =
3. f(x) =(2m – 1).x2 + 3x – 2m – 6
fonksiyonunun grafiğinin başlangıç noktasından geçmesi için m aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A) 4
B) 2
C) 1
D) –3
E) –5
x2
– 3x + k – 5
parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, k değeri aşağıdakilerden hangisidir? 29 A) 4
parabolü x eksenini kesmediğine göre, m nin değer aralığını bulalım.
25 B) 4
21 C) 4
17 15 D) E) 4 4
Çözüm: Δ 0 olmalı –
b m 20 ⇒ – 20 ⇒m 0
1 Buna göre, f c m değeri kaçtır? 2 Çözüm:
y = a .(x – 0)2 + 0
y = a . x2
(2, 4) ⇒ 4 = a . 22
a=1
f(x) = x2 olur. 1 1 f c m = olur. 2 4
305
14.Ünite
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) 5. f(x) = x2 – 6x – 2 fonksiyonu için
Bilgi Köşesi
7.
y
I. Tepe noktasının koordinatları
T(3, –11) dir.
Örnek
II. Fonksiyonun grafiği x eksenini pozitif
y
8
apsisli iki noktada keser. y = f(x)
III. x = 3 doğrusu fonksiyonun simetri eksenidir.
6 2 O
3
x
A) Yalnız I
Şekilde y = f(x) parabolü verilmiştir.
–2
ifadelerinden hangileri doğrudur? B) Yalnız II
D) I ve II
x
4
O
C) Yalnız III
y = f(x)
E) I ve III
Buna göre, parabolün en küçük değeri kaçtır?
Yukarıda y = f(x) parabolü verilmiştir.
Buna göre, f(x) fonksiyonunun en büyük değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
A) 9
y = a . (x – 2) . (x – 3)
B) 10
C) 12
D) 13
E) 17
(0, 6) ⇒ 6 = a . (–2) . (–3) a = 1 dir. f(x) = (x – 2) . (x – 3)
r=–
Palme Yayınevi
= x2 – 5x + 6 olur. En büyük ya da en küçük değer parabolün tepe noktasının ordinatıdır. b 5 = 2a 2
5 5 2 5 k = f c m = c m – 5. + 6 2 2 2 =
25 25 – +6 4 2
25 13 olur. =– +6 = – 2 2
8.
y
6.
y
y = f(x)
y = f(x)
3
Örnek
O
f(x) = –2x2+ 4x + 5 parabolünün alabileceği en büyük değer kaçtır? Çözüm: Tepe noktasının ordinatıdır. r=–
b –4 = =1 2a 2. (–2)
1
3
x
x
O
T(r, k)
Yukarıda y = f(x) parabolü verilmiştir.
Buna göre, f(x) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y = f(x) = ax2 + bx + c olduğuna göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, +, +
A) –1
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
k = f(1) = –2 + 4 + 5 = 7 olur.
B) +, –, +
D) –, +., –
C) –, –, – E) +, –, –
306
1. E
2. C
3. B
4. E
5. E
6. A
7. A
8. B
14.Ünite İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) Bilgi Köşesi
4. TEST
1. f(x) = x2 + (m + 2).x + 2m
4. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi veriliyor.
parabolü A(–1, 1) noktasından geçtiğine göre, tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) (–2, 0)
B) (0, 2)
D) (2, 1)
C) (1, 2)
• a, b ve c; A kümesinin elemanlarıdır. • f(x) =
ax2
+ bx + c ikinci dereceden
fonksiyondur.
• f(x) fonksiyonunun grafiği x eksenini iki farklı noktada kesmektedir.
E) (0, 1)
Bu şartları sağlayan kaç farklı f(x) fonksiyonu yazılabilir? A) 18
B) 20
C) 24
D) 28
E) 30
Örnek y = x2 + 2x + m – 3 fonksiyonunun grafiği y = – 3 doğrusuna teğet olduğuna göre, m değeri kaçtır? Çözüm: Δ = 0 olmalı x2 + 2x + m – 3 = –3 ⇒ x2 + 2x + m = 0 Δ = b2 – 4ac
4 – 4.1.m = 0 ⇒ m = 1 olur.
Örnek y
T(r, k)
5. y = 3x2 – 4mx + 12
parabolünün tepe noktası T(–1, 2) olduğuna göre, parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2
B) 1
C) –3
D) –4
E) –5
Palme Yayınevi
2. y = mx2 – 2.(m + 2).x + m – n
parabolü x eksenine negatif tarafta teğet olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –5
B) –3
C) –2
D) 1
E) 3
C
B
O A
x
y = f(x)
Yukarıda y = –x2 – 8x + m parabolü verilmiştir. |AO| = |BA| = |BC| ve tepe noktası T(r, k) olduğuna göre, m değeri kaçtır? Çözüm:
T(r, k)
3. f(x) = (m –
2)x2
6. y =
+ 2x + m
fonksiyonunun grafiği y = –2 doğrusuna teğet olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A)
7 D) – 3
B)
6
C)
2
x2
–
3.(n2
– 1).x – 5
–2n –n
O
x
parabolünün simetri ekseni x = 9 doğrusu olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisi olabilir?
parabolünün kökleri –n ve –3n
A) – 7
–4n = –8
D)
E) – 5
–3n
y
B) – 3 5
C) E)
11
2
olur. Kökler toplamı
n=2 O halde kökler –2 ve –6 olur. Kökler çarpımı: –m = (–2).(–6) m = –12 olur.
307
14.Ünite
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
Bilgi Köşesi
7.
9. Gerçek sayılar kümesinde
y y = f(x)
Örnek C
B
f : [0, 3] → R f(x) = x2 – 2x – 5 fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
A
x
O
T(–4, 0)
f(x) = –x2 + 20x + 53 fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
I. f(20) < f(15)
II. f(9) > f(8)
III. f(18) = f(–2)
Çözüm:
–2 b =– = 1 f(1) = –6 2a 2 f(0) = –5 r=–
f(3) = –2
A)
En küçük değer –6 olur.
Örnek f(x) = x2 + 3
A) Yalnız I Şekilde y = f(x) parabolü x eksenine (–4, 0) noktasında teğettir. OABC dikdörtgeninin alanı 32 br2 olduğuna göre, B noktasının ordinatı aşağıdakilerden hangisidir? 1 4
B)
1 2
C) 2
D) 4
C) Yalnız III
E) I, II ve III
E) 8
y
8.
B) Yalnız II
D) I ve II
Palme Yayınevi
f(0), f(3) ve f(r) ayrı ayrı incelenir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
10. f(x) = x2 + 2.(m2 – 1).x + 3
y = f(x)
g(x) = x2 – 4x + 1
parabolü x = –3 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, f(1) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 13
parabollerinin tepe noktaları
O
arasındaki uzaklık kaç birim-
A
dir?
x
B
Çözüm: A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun.
T(3, k)
|AB|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 dir. f(x) → r = 0 f(0) = 3 ⇒ T(0, 3) = A(0,3) g(x) → r = 2
Yukarıdaki grafik y = f(x) parabolüne aittir. Parabolün tepe noktası T(3, k) ve |OB| = 4. |AO| olduğuna göre, B noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3
B) 6
C) 8
D) 10
11. f(x) = x2 – 2 ve
E) 12
g(2) = –3 ⇒ T(2, –3) = B(2, –3) |AB|2 = (2 – 0)2 + (–3 – 3)2
g(x) = x2 – 6x + 9
parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A)
|AB|2 = 4 + 36
13 D)
B) 2 3 7
C)
10
E) 2 2
|AB|2=40⇒| AB | = 2 10 birimdir.
308
1. A
2. B
3. E
4. B
5. B
6. A
7. D
8. C
9. D
10. C
11. A
14.Ünite İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
Bilgi Köşesi
5. TEST
1. A = (1 + x) . (x – 2)
4. D
olduğuna göre, A nın en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir? 9 A) – 4
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
3 7 B) – C) – 4 4
3 D) 4
Örnek
C
y = x2 – 3x + 2
150°
9 E) 4
y = –x2 – mx – 6 4–2x
parabolleri birbirine teğet olduğuna göre, m nin alabileceği değerleri bulalım.
A
B) y =
x2
–x–2
C) y =
x2
+x–2
D) y = 2x2 – 2x + 4 E) y =
2x2
Çözüm:
ABCD paralelkenarında
Ortak çözümde
|AB| = (5x – 4) birim
|BC| = (4 – 2x) birim
Δ = 0 ⇒ paraboller birbirine teğettir.
% m (ADC) = 150° dir.
x2 – 3x + 2 = –x2 – mx – 6 2x2 – 3x + mx + 8 = 0
Alan(ABCD) nin en büyük değeri için |AB| kaç birimdir? 6 8 12 A) B) C) 1 D) E) 3 5 5 5
2x2 + x.(m – 3) + 8 = 0 Δ = (m – 3)2 – 4.2.8 = 0 (m –3)2 – 64 = 0 (m – 3)2 = 64 m–3=8 m = 11
Palme Yayınevi
A) y = 2x2 – 2x – 4
5x–4
2. A(–1, 0), B(2, 0) ve C(1, –2) noktalarından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B
veya m – 3 = –8 veya m = –5 olur.
5. a TL ye alınan bir ürün b TL ye satılıyor. Alış a
+ 2x + 4
Örnek
Satış b=
–a2
y = (m – 1).x2 + 4mx – 4x + 5 + 13a + 28
parabolünün tepe noktasının
Buna göre, bu ürünün satışından elde edilen kâr en fazla kaç TL dir? A) 28
B) 44
C) 56
D) 64
E) 72
koordinatları toplamı –5 olduğuna göre, m değeri kaçtır? Çözüm: y = (m – 1).x2 + 4x.(m – 1) + 5 r=–
4. (m – 1) b =– = –2 2a 2. (m – 1)
r + k = –5 –2 + k = –5 ise k = –3
3. f(x) = x2 + (2m + 6).x + m2 – 1
6. A =x2 – 2x + 5
B = x2 + 4x + 5
f(–2) = – 3
olduğuna göre, A + B toplamının en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(m – 1).(–2)2 + 4.(–2).(m–1)+5= –3
parabolünün tepe noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, f(0) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –3
B) –1
C) 4
D) 8
E) 9
A)
19 2
B)
13 2
C)
7 4
D)
3 4
E)
1 4
–4m + 9 = –3 ⇒ m = 3 bulunur.
309
14.Ünite
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) 7.
Bilgi Köşesi
10.
y
y y = x2 + 4x + 13
Örnek –6
y –8
O
A
B
O
A
y = f(x)
T
x
B
x
T(–6, k)
O
A(–5, 0)
x
B(1, 0)
T(–8, k)
Şekildeki y = f(x) parabolünün tepe noktası T(–8, k) dır.
Yukarıdaki parabolün tepe noktası T(–6, k) dır.
|AO| = 3.|OB| olduğuna göre,
|AO| = 2.|OB| olduğuna göre, B noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisidir?
B noktasının apsisi kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 18
E) 20
A) 18
Çözüm:
3t
O
A
B
D) 26
E) 27
11. y = x2 –6x + 8
x
|AO| = 3 .|OB| ↓ ↓ 3t t t + (–3t) r= = –8 ⇒ t = 8 2 bulunur.
Örnek
C) 22
y = x2 – 8x + m
t
O
A
Palme Yayınevi
–3t
B) 20
y
8.
y
Şekilde y = x2 + 4x + 13 parabolü verilmiştir. T tepe noktası, A(–5, 0), B(1, 0) olduğuna göre, ATB üçgeninin alanı kaç birim karedir?
x
B
parabolünün x eksenini kestiği noktalar A ve B; tepe noktası T olsun.
Buna göre ABT üçgeninin alanı kaç birim kare olur? A) 1
Yukarıda verilen parabolün denklemi
y = x2 – 8x + m dir.
|OB| = 3.|OA| olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = x2 + 2.(m – 3).x – 5
A) 14
fonksiyonu x = 4 doğrusuna
B) 12
C) 10
D) 6
B) 2
12.
C) 4
D) 6
E) 8
y
T
E) 2
göre simetrik olduğuna göre, f(–1) değeri kaçtır? Çözüm:
y y = f(x)
9.
x = 4 doğrusuna göre simetrik ise r = 4 tür. r=–
A
2. (m – 3) =4 2.1 m – 3 = –4 ⇒ m = –1 olur. –
f(–1) = 1 + 8 – 5 = 4 olur.
x
2
T
C
–8
1. A
B) 12
2. B
3. D
C) 18
4. E
D) 24
5. D
A
x
O
Yukarıda y = –x2 – 16x + k parabolü verilmiştir.
|OA| = |AB| = |BC| olduğuna göre, bu parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) –12
B) –8
D) 8
E) 36
6. A
B
y=–x2–16x+k
Şekildeki parabolün tepe noktası T ve A(–4, 0), B(2, 0), C(0, –8) olduğuna göre, AOT üçgeninin alanı kaç birim karedir? A) 9
310
B
–4
b =4 2a
f(x) = x2 – 8x – 5
O
C
7. C
8. B
9. C
C) –6 E) 12
10. E
11. A
12. D
14.Ünite İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) Bilgi Köşesi
6. TEST
1. y = x2 + x – 3
4. y = x2 – x +m + 3
parabolü ile y = 4 doğrusunun kesim noktalarının apsisleri toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) –1
B) –2
C) 3
D) 4
E) 5
parabolü ile y = x + 1 doğrusu iki farklı noktada kesiştiklerine göre, m nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) m < 1
B) m < –1
C) m > –1
D) m > 1
E) –1 < m < 1
Örnek y = x2 – 3x – 4 parabolü ile y = x + 1 doğrusunun kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? Çözüm: Kesim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapalım.
x2 – 3x – 4 = x + 1 x2 – 4x – 5 = 0 (x – 5).(x + 1) = 0 x = 5 veya x = –1 Apsisler toplamı 5 + (–1) = 4 olur.
2. y = x2 – 2x – 5
5. y = 2x2 – x + 2m – 1
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
x doğrusu kesişmedikle2 rine göre, m nin değer aralığı aşağıdakiparabolü ile y =
A)
41 1 m 64
C) m 1 –
41 64
E) –
Örnek y = x2 – 5x – m + 3
lerden hangisidir?
Palme Yayınevi
parabolü ile y = x – 1 doğrusunun kesim noktalarının apsisleri toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
B)
41 2m 64
D)
–41 1m 64
41 41 1m1 64 64
parabolü ile y = 1 – 2x doğrusu iki farklı noktada kesiştiklerine göre, m nin değer aralığını bulalım. Çözüm: Δ = 0 ise parabol ile doğru birbirine teğettir. Δ < 0 ise parabol ile doğru kesişmezler. Δ > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişirler. O halde Δ > 0 olmalıdır.
3. y = x2 – 2x + 2m – 1
6. y = x2 – 3x + 5
parabolü ile y = –3 doğrusu birbirlerine teğet olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir? 7 A) 2
1 D) – 2
5 B) 2
9 E) – 2
3 C) 2
x2
– 5x – m + 3 = 1 – 2x
x2
– 3x – m + 2 = 0
Δ = (–3)2 – 4.1.(–m + 2) > 0
parabolü ile y = 2 + x doğrusunun kesim noktaları aşağıdakilerden hangisidir?
9 + 4m – 8 > 0
A) {(3, 1), (5, 3)}
olur.
4m 2 –1 & m 2 –
1 4
B) {(–1, 0), (2, 3)} C) {(–3, 1), (–1, 0)} D) {(5, 1), (3, 0)} E) {(1, 3), (3, 5)}
311
14.Ünite
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) 7.
Bilgi Köşesi
10. y = x2 + 3x + m – 1
y g(x)
Örnek y
–3
g(x)
O
–4
parabolleri iki farklı noktada kesiştiklerine göre, m nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) m < 3
B) m > 3
C) m < –3 E) –3 < m < 3
f(x)
Yukarıdaki şekilde f(x) = –x2 +mx + n ve g(x) = 8 – 4x fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
fikleri verilmiştir.
Buna göre, n değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, n değeri kaçtır?
A) –6
Şekilde f(x) = –x2 – mx – n ve g(x) = 6 – 2x fonksiyonlarının gra-
x
B
f(x)
y = 2x2 + 5x + 2m – 3
D) m > –3
x
O
B) –5
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm:
kestiği noktayı bulalım. 6 – 2x = 0 ⇒ x = 3 olur.
8.
Palme Yayınevi
g(x) fonksiyonunun x eksenini y
f(x) fonksiyonunun kökleri –4 ve 3 olur. O halde kökler çarpımından –n (–4).3 = –1 –12 = n olur.
–2
11. y = x2 + 2x – 3
y = –x2 + x – 1
parabollerinin kesiştikleri noktaların apsislerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? 3 B) – 2
5 A) – 2
x
O
y=–x+4
D) –1
C) –2 E) –
f(x)
Örnek f(x) = 2x2 + 3.(m – 6).x + 5
Yukarıda y = –x + 4 doğrusunun ve f(x) fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.
Buna göre, f(6) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
parabolünün tepe noktası y ek-
A) –8
B) –6
C) –4
D) –3
1 2
E) –2
seni üzerinde olduğuna göre, m değeri kaçtır? Çözüm:
12. y = x2 + 3x – 5
Tepe noktası y ekseni üzerinde
9. y = 2x2 – x + 2
ise r = 0 olmalıdır.
y = x2 + 2x + m – 1
parabolleri birbirlerine teğet olduğuna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir?
r=–
–3. (m – 6) b = =0 2a 2.2
3.(m – 6) = 0 m = 6 olur.
312
1 A) – 2
1 1 B) – C) 7 2
D)
3 4
E)
y = 2x2 – 3x + 4
parabollerinin kesiştikleri noktalardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
3 5
A) (3, 13)
D) (–5, 7)
1. A
2. B
3. D
4. B
5. A
6. E
B) (3, 0)
7. E
8. A
9. D
10. A
C) (–1, 4) E) (8, 9)
11. E
12. A
14.Ünite İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) Bilgi Köşesi
7. TEST 4.
1. f: R → R
f(x) = x2 + 4mx + 2m – 2
fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları T(r, k) dır.
Buna göre, k nın alabileceği en büyük değer kaçtır? 5 7 3 3 1 A) − B) − C) − D) E) 4 4 4 4 4
y
Örnek
y
D 1
C
x
O
A
B
O
–2 –3
y = 9 – x2
Yukarıda y = f(x) ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır? A) 1
B) 0
C) –1
D) –2
E) –3
y = g(x) = ax2 – 3ax + 3a + 5
fonksiyonunun grafiği y ekseni üzerinde kesişmektedir.
Buna göre, (gof)(–5) ifadesinin değeri kaçtır? B) 8
C) 4
D) 2
Buna göre, Alan(ABCD) nin kaç br2 olduğunu bulalım.
Çözüm: x= 0 ⇒ y = 9 olduğundan 9 – x2= 0 ⇒ x = –3 veya x = 3 olup |AB| = 2. 3 = 6 birimdir.
Palme Yayınevi
A) 10
y = 9 – x2 parabolü ve ABCD dikdörtgeni veriliyor.
|AD| = |BC| = 9 birim
2. y = f(x) = (a + 2).x + a – 1 doğrusu ile
x
O halde Alan(ABCD)=9.6=54 br2
5.
bulunur.
y
E) 1
Örnek
a, b ∈ R olmak üzere A
O
B
x
y = f(x) = (x – a)2 + (x – b)2 parabolünün, x in hangi değeri için en küçük değerini
T
3. f: R → R 1)2
f(x) = m.(x +
fonksiyonu veriliyor.
f(2 + x) = f(4 – x)
olduğuna göre, m değeri kaçtır? A) –8
B) –6
+ 6x + 5
C) –4
D) 2
E) 4
C
alacağını bulalım.
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
• B(4, 0)
• Tepe noktasının apsisi –
y = f(x) = 2x2 – (2a+2b).x+a2+b2
5 dir. 2
r=
• [AC] ⊥ [BC]
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) –2
Çözüm:
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
x=
2a + 2b 2.2 a+b
=
a+b 2
2
apsisli noktada parabol en küçük değerini alır.
313
14.Ünite
/İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol) 6. y = f(x) = x2 – 2x – 8
Bilgi Köşesi
y y=f(x)
fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
Örnek
9.
y d
y=f(x)
x
–4 –24 k
Çözüm:
O
y = f(x) parabolü ile d = 4x – 33 doğrusu T noktasında teğettir.
Buna göre, TOA üçgeninin alanı kaç birim karedir?
m
x2 – 5x = 0
x = 0 için y = 1 (0, 1) 3 x = 5 için y = –4 (5, –4)
Buna göre, k + m + n toplamı kaçtır? A) –8
B) –6
C) –4
T
x
n
x2 – 6x + 1 = –x + 1 x.(x – 5) = 0 ⇒ x = 0 veya x = 5
A
O
y = x2 – 6x + 1 parabolü ile y = –x + 1 doğrusunun kesim noktaları A ve B olsun. [AB] nın orta noktasının koordinatlarını bulalım.
D) –2
E) 0
A) 63
B) 64
C) 65
D) 66
E) 67
Orta nokta formülü x1 + x2 y1 + y2 m olup , 2 2
c
0 + 5 1 –4 5 –3 , m = c , m olur. 2 2 2 2
y
f(x)
O –1
Örnek
3
x
–3 K
y
y = f(x)
B
x
A
Şekilde y = x2 – 6x – 7 parabolünün grafiği verilmiştir. & Alan ( AOB) nin kaç br2 olduğunu bulalım. Çözüm:
parabolü ile y = 5 – x doğrusunun kesim noktaları A ve B olduğuna göre, [AB] nın orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
Şekilde f(x) ve d = x + m fonksiyonları, K noktasında birbirine teğettir.
3 7 A) c , m 2 2
3 7 B) c – , m 2 2
C) (3, 7)
Buna göre, m değeri aşağıdakilerden hangisidir?
7 3 D) c – , m 2 2
A) –
21 4
B) –
17 D) 4
17 4
C) – 21 E) 4
15 4
7 3 E) c – , – m 2 2
y
11.
f(x)
y
8.
x2 – 6x – 7 = 0 (x – 7) . (x + 1) = 0 x = 7 ve x = –1 x = 0 için y = –7 (0, –7)
10. y = x2 – 4x + 1
d
O
Palme Yayınevi
7.
c
y = g(x)
y=x
A(3, 4)
B
O
O
x
x
C
d
y
f(x) = y A 7
O –1 7
7
7.7 49 & Alan ( AOB) = = 2 2 nur.
314
Şekilde y = x2 – 2x – 4 parabolü ile y = x doğrusu B ve C noktalarında kesişmektedir.
Buna göre, AOB üçgeninin alanı kaç birim karedir?
Yukarıdaki iki parabol tepe noktalarında kesişmektedir. Tepe noktası A(3, 4) olan y = f(x) parabolü başlangıç noktasından geçtiğine göre, (fog)(3) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 16
A)
x
–7
bulu-
1. C
B) 12
2. D
C) 11
3. B
D) 9
4. E
E) 8
5. E
6. B
32 9
7. A
B)
21 2
8. E
C)
9. A
11 5
D)
10. A
1 2
E)
1 7
11. A
POLİNOMLAR
15. Ünite
15.Ünite
/Polinomlar Polinom Kavramı
Bilgi Köşesi
1. TEST
1.
Örnek P (x) = 6.x
3x3 – 2x2+ 6x + 4
a + 18 a
– 5.x
a–3
x4 – x3+ x2– x – 3
+1
I. P(x) = x2 + 2 . x–1 – 3
II. Q(x) = x3 – 2x + 4
III. T(x) = 8
+
fonksiyonu bir polinom belirtti-
3.
ğine göre, a nın alabileceği de-
A) Yalnız I
ğerler toplamını bulalım.
A
T
A
A
→ A polinomunun çift dereceli te-
rimlerinin kat sayılar toplamı
a ≥ 3 … (★★)
T
A
işleminin sonucu
Ç A kaçtır? 3 2 1 A) B) C) 4 5 7
(★) ve (★★) dan a = 3, 6, 9, 18 bulunur. Toplamları:=3+6+9+18 = 36 olur.
olmak üzere,
D) 7
E)
4 3
Palme Yayınevi
a = 1, 2, 3, 6, 9, 18 … (★) a–3≥0
Ç
E) II ve III
malıdır. a + 18 18 = 1+ ise a a
C) Yalnız III
→ A polinomunun tek dereceli te-
rimlerinin kat sayılar toplamı
x lerin dereceleri doğal sayı ol-
B) Yalnız II
D) I ve III
Çözüm: P(x) bir polinom belirttiğine göre,
fonksiyonlarından hangisi ya da hangileri polinom belirtir?
4. P(x) = xn–3 + 3x7–n + 5
fonksiyonu bir polinom belirttiğine göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 3
B) 4
5. P (x) = 3x
a + 16 a
C) 5
D) 6
E) 7
Örnek P(x) = (k – 3) . x4 – 4x3 + 5 Q(x) = (m – 5) . x5 – (2 – n).x3 + 5 olmak üzere P(x) polinomu Q(x) polinomuna eşit olduğuna göre, k+m oranını bulalım. n Çözüm: P(x) = Q(x) ise aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olur. k–3=0 k=3
m–5=0
2–n=4
m=5
n = –2
k+m 3+5 = = –4 bulunur. n –2
2.
n − 12 x 2
n−5 − 3.x 3
P (x) = + 4 polinomu için I. P(x) in derecesi en az 3 tür. II. En küçük dereceli P(x) polinomunun
III. P(x) polinomunun sabit terimi 4 tür. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) I ve III
a–2
+1
fonksiyonu bir polinom belirttiğine göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 27
baş kat sayısı 1 dir.
D) I ve II
316
+ 4x
B) 28
C) 29
D) 30
E) 31
15.Ünite 6. P(x) = 4x3 – 5x + 7x4 + 3
9.
D
C
Bilgi Köşesi
polinomu için
I. Polinomun baş kat sayısı 4 tür.
II. Polinomun sabit terimi 3 tür.
III. Polinomun derecesi 4 tür.
IV. Polinomun kat sayılar toplamı 9 dur.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
3x – 6
Örnek P(x) ve Q(x) birer polinom A
ise der > A) 3
P (x 2) H kaçtır? 2.Q (x) B) 5
C) 6
D) 8
der[P(x) + Q(x)] ifadesinin de-
L
x–2
ğerini bulalım.
ABCD bir dikdörtgen, KLMN bir kare olmak üzere,
Çözüm:
|AB| = 8x + a br
der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n
|AD| = 3x – 6 br
der[P(x2) . Q (x)] = 13 ise
|KL| = x – 2 br
2 . m + n = 13 … (★)
olarak veriliyor.
ABCD dikdörtgeni KLMN karesine eş karesel bölgelere ayrıldığında oluşan bölgelerin sayısı 24 ise a değeri kaçtır?
P (x) der > 2 H = 3 ise x .Q (3x)
Palme Yayınevi
P (x) der > 2 H= 3 x .Q (3x) olduğuna göre,
E) 4
der[P(x)] = 5 ve der[Q(x)] = 2
der[P(x2) . Q(x)] = 13
M
K
B
8x + a
N
7. P(x) ve Q(x) birer polinom,
/Polinomlar
A) 8
B) 16
C) 4
D) –8
m – (2 + n) = 3 m – n = 5 …(★★)
E) –16
2m + n = 13
(★) … (★★) … +
E) 10
m– n =5
3m = 18 ⇒ m = 6
n = 1 olur.
der[P(x) + Q(x)] = 6 bulunur.
Örnek
10. P(x5) = x15 + (a + b + 4).x12 + bx10 +
(2a + b – 1).x4 + 4 – b
P(x) = (a+4).x4 + (a + 2b) . x + a . b
polinomu veriliyor.
polinomu sabit polinom ise P(–7)
Buna göre,
nin değerini bulalım.
I. P(x) polinomunun kat sayılar toplamı
8. P(x) = 2x3 – 3x,
a = –4
Q(x) = (a – 4).x3 + (b – 2).x2 + (c + 1).x
II. P(a) = 2 dir.
olmak üzere P(x) polinomu Q(x) polinomuna eşit ise a + b – c değeri kaçtır?
III. P(x) polinomunun sabit terimi 8 dir.
A) 12
B) 10
C) 6
D) 4
E) 2
A) Yalnız I
B) Yalnız II
2. E
3. E
4. C
5. D
6. D
7. D
C) Yalnız III
9. E
10. E
a + 2b = 0 –4 + 2b = 0 2b = 4 b=2
O halde, P(x) = –4 . 2 = –8 olur.
E) I, II ve III
8. A
ifadelerinden hangileri yanlıştır?
D) I ve II
1. D
a+4=0
6 dır.
P(–7) = – 8 bulunur.
317
15.Ünite
/Polinomlar Polinomlarda İşlemler
Bilgi Köşesi
1. TEST
1. P(x) = 2x3 – x2 + x
Örnek P(2x – 4) = x2 + 2x – 1
4. P(x) baş kat sayısı 1 olan beşinci dereceden bir polinomdur.
polinomu için P(2) + P(1) toplamı kaçtır? A) 24
B) 22
C) 20
D) 18
E) 16
polinomu için P(0) ifadesinin değerini bulalım.
• P(1) = P(–1) = P(–2) = 4
• P(x) in x2 + 1 ile bölümünden kalan –2x tir.
Çözüm: P (2x – 4) :;;;;
3. P(x) = (x – a) . (x + b) ve
: P(x) polinomunun x2 – 2x ile bölü-
münden kalanı verir.
P(x) ve Q(x) polinomları için, P (2x – 3) = x 2 – 5x + 3 ve Q (x + 1)
P(x)
2. TEST
+
P(x)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x – 13
B) x + 16
D) 16
C) 14
E) 3x – 2
Palme Yayınevi
15.Ünite
4. P(x) = x3 – 3x
Q(x) = x2 – 4
T(x) = P(x + 1) – Q(x)
ise T(x) polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır?
Örnek
A) –5
P(x) = (x – a) . (x – b) ve
B) –1
C) 1
D) 5
E) 6
Q(x) = x2 – 3x polinomları veriliyor. P(x) = Q(x – 1) olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? Çözüm: Q(x – 1) = (x – 1)2 – 3 .(x – 1)
= x2 – 2x + 1 – 3x + 3
= x2 – 5x + 4
P(x) = (x – a) . (x – b) = x2 – b . x – a . x + a . b = x2 – x.(b + a) + a . b P(x) = Q(x – 1) olduğundan x2 – x . (b + a) + a . b = x2 – 5x + 4 b + a = 5 ve a.b = 4
2. P(x + 2) polinomunun sabit terimi 3 ise P(x + 1) polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır? A) –3
B) –2
C) 0
D) 2
5. P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + x + 1
E) 3
A) 0
bulunur.
B) 1 D) x + 1
320
polinomunun x2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? C) x E) x – 1
15.Ünite 6. P(x) = x4 – 6x2 + 8
9. P(x) – 7 = x2 – x . P(x)
polinomunun kaç farklı tam sayı sıfırı vardır? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Bilgi Köşesi
eşitliğini sağlayan P(x) polinomu için P(3) değeri kaçtır? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
/Polinomlar
Örnek P(x) + x = x4 – x2 . P(x) eşitliğini sağlayan P(x) polinomu için P(–2) değerini bulalım. Çözüm: x = –2 için P(–2) – 2 = (–2)4 – (–2)2 . P(–2) P(–2) – 2 = 16 – 4 . P(–2) P(–2) + 4 . P(–2) = 18 5 . P(–2) = 18 18 bulunur. 5
P (–2) =
7. P(x – 2) = x2 + 3x – 1
10. (x – 2) . P(x) = x2 + 5x + m
ise P(x + 1) polinomunun sabit terimi kaçtır? B) –1
C) 9
D) 14
A) 8
B) 6
C) 4
D) –6
E) –8
E) 17
Örnek P(x) bir polinom (x – 3).P(x) = x2 – 2x + m için
Palme Yayınevi
A) –2
için P(1) değeri kaçtır?
P(–1) değerini bulalım. Çözüm: x = 3 için (3 – 3) . P(3) = 9 – 6 + m 0=3+m (x – 3) . P(x) =
x2
m = –3 olur.
– 2x – 3
(x – 3) .P (x) = (x – 3) . (x + 1) P (x) = x + 1 P (–1) = 0 bulunur.
11. P(x) = x2017 + 2 . x2016 – x + 3
8. P(x + 3) = x2 – x + 5
polinomu veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
polinomu için P(–2) değeri kaçtır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Örnek P(x) = x 4006 + 3 . x4005 + 7
A) P(1) = 11 dir.
P(x) polinomunun (x + 3) ile bölümünden kalanı bulalım.
B) P(0) = 5 tir.
Çözüm:
C) P(2) – P(1) = – 4 tür.
x+3=0
D) P(x) polinomunun derecesi 2 dir.
x=–3
E) P(x – 1) polinomunun kat sayılar toplamı 17 dir.
x = –3 için
1. C
2. E
3. C
4. D
5. D
P(–3) = (–3)4006 + 3 . (–3)4005 + 7
6. C
7.E
8. B
9. B
10. A
11. E
= 34006 – 34006 + 7
= 7 bulunur.
321
15.Ünite
/Polinomlar Polinomlarda İşlemler
Bilgi Köşesi
3. TEST
1. Aşağıda P(x) = x4 + 3x2 – 2x + 5 polinomunun x – 2 ile bölümünün kısa olarak yapılışı verilmiştir.
Örnek
3. P(x) = x3 + x2 – 2x
n ∈ N+ ve P(x) bir polinom olmak üzere P(x) = x2n – 1 + x2n + 4 ise
x–2=0
P(x – 1) polinomunun sabit terimini bulalım.
1
x=2
polinomu aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez? A) x
0
3
–2
5
2
4
14
24
2
7
12
29 kalan
B) x – 1 D) x2 – x + 2
C) x + 2 E) x2 – x
Çözüm: x = 0 için P(–1) = ?
1
x = –1 için
Bölüm: x3 +2x2 + 7x + 12
P(–1) = (–1)2n–1 + (–1)2n + 4
= –1 + 1 + 4 = 4
P(–1) = 4 bulunur.
Örnek P(2x) + P(x – 1) = ise
Kalan: 29
P(x) = x3 – 4x + 8 in Q(x) = x – 1 ile bölümü;
x – 1= 0 15x2
+ 3x + 2
1
x=1
0
–4
8
m
b
k
a
n
c
C) 7
D) 8
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? 1
Çözüm: P(x) = ax2 + bx + c olsun. (Toplamları II. dereceden olduğundan P(x) ikinci derecedendir.)
A) 4
B) 6
E) 9
Palme Yayınevi
P(x) polinomunu bulalım.
4. P(x), ikinci dereceden bir polinom olmak üzere, P(1) = P(2) = 0 ve P(3) = 4 ise P(4) değeri kaçtır? A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
P(2x) = 4ax2 + 2bx + c P(x – 1) = a . (x – 1)2+ b . (x – 1) + c = ax2 – 2ax + a + bx – b + c P(2x) + P(x – 1) 1442443 = 5ax2 + x.(3b – 2a) + a – b + 2c = 15x2 + 3x + 2 5a x 2 = 15 x 2 a = 3 tür. 3b – 2a = 3 3b – 6 = 3 b = 3 tür. a – b + 2c = 2 3 – 3 + 2c = 2 c = 1 dir. Buradan P(x) = 3x2 + 3x + 1 bulunur.
322
5. n ∈ N+ olmak üzere,
2. P(3 – x) = x2 – 4x + m
polinomu veriliyor. P(x – 1) polinomunun kat sayılar toplamı –6 ise m değeri kaçtır? A) –2
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
P(x + 3) = x2n+1 – 5x2n + 4
ise P(x + 1) polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır? A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
15.Ünite 6. (x2 – x – 6) . P(1– x) = x3 + (a–1).x2 – bx + 12
9.
Bilgi Köşesi
ise P(x + 4) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) –5
B) –2
C) 0
D) 2
/Polinomlar
I
II
I II
E) 5
= III
Örnek
III
P(x) polinomu için P(x + 1) – P(x) = x2 – 3 I I = II + III II
III
olduğuna göre, P(3) – P(1) farkını bulalım. Çözüm:
işlemleri tanımlanmıştır ve
P(x) = x3 + x2 – 4x – 4
Q(x) = x2 + 3x + 2
polinomları verilmiştir.
x = 2 için P (3) – P (2) = 1 x = 1 için P (2) – P (1) = –2 T(x)
T(x)
Q(x)
O halde, P (3) – P (2) = 1
P(x)
B) 35
C) 36
D) 37
E) 38
Palme Yayınevi
ise P(85) değeri kaçtır? A) 34
+ P (2) – P (1) = –2
K(x)
P(3) – P(1) = –1 bulunur.
7. P(x) = (x + 4)2 – 16x
Q(x)
olduğuna göre, K(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x
B) x + 1 D) x
C) x – 1
Örnek
E) x – 2 P(x) ve Q(x) polinomları için
P (x + 1) = Q (x – 1) + 3x 2 x–3 eşitliği veriliyor. P(3 – x) polinomunun kat sayılar toplamı 6 olduğuna göre, Q(x) polinomunun sabit terimini bulalım. Çözüm: x = 1 için P(3 – 1) = P(2) = 6
Q(2x) = x2 – 4x + 1
polinomları için P(2) – Q(4) farkı kaçtır?
P (2x + 1) = Q (x –1) + 10 x eşitliği veriliyor. P(x + 3) polinomunun sabit terimi 7 ise Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
A) 22
A) –3
10.
8. P(x – 1) = x3 – 2 ve
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
B) –4
C) –5
D) –6
E) –7
x = 0 için Q(0) = ?
6 = Q (0) + 3 –2
x = 1 için P (2) = Q (1 – 1) + 3.1 1– 3
Q (0) = –6 bulunur.
1. C
2. B
3. D
4. C
5. B
6. A
7. E
8. D
9. C
10. A
323
15.Ünite
/Polinomlar Polinomlarda Bölme
Bilgi Köşesi 1.
Örnek
(x2
P(x) =
–7x – 7 b
– 1) . (x + 2) – 3
x = 2 için =3.4–3
= 9 bulunur.
P(–2) = P(–1) = P(3) = P(4) = 0
olduğuna göre,
Verilen polinom bölmesine göre, a + b toplamı kaçtır? A) –10
P(2) = (22 – 1) . (2 + 2) – 3
4. P(x) dördüncü dereceden bir polinom olmak üzere,
x2 – 6x + 3 x + 1 x2 + x x+a –7x + 3
Bir P(x) polinomunun (x2 – 1) ile bölümünde bölüm (x + 2) ve kalan –3 olduğuna göre, P(2) değerini bulalım.
Çözüm:
1. TEST
B) –3
C) 3
D) 8
A) 0
B) −
P (0) oranı kaçtır? P (1)
2 2 3 3 C) D) E) − 3 3 2 2
E) 10
Örnek (x12 – 3x6 + 5) ile bölümünden elde edilen kalanın derecesi en çok kaç olabilir?
2. P(x) = 4x2 – 5x + 3
polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
A) 8
der[Bölen] > der[Kalan]
B) 9
C) 10
D) 11
Palme Yayınevi
Bir P(x) polinomunun
5. Bir P(x) polinomunun x2 ile bölümünden elde edilen bölüm x – 1 ve kalan 5 ise P(3) değeri kaçtır? A) 11
E) 13
B) 16
C) 18
D) 21
E) 23
Bölen polinomunun derecesi 12 O halde, 12 > der[Kalan] ⇒ der[Kalan]= 11 bulunur.
Örnek P(x) = x3 + mx + 2m + 3 polinomunun x + 2 ile bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm: x + 2 = 0 ⇒ x = –2 dir. P(–2) = (–2)3 + m.(–2) + 2m + 3 = –8 – 2m + 2m + 3
= –8 + 3 = – 5 bulunur.
324
3. P(x) = x2 – x + 4
polinomunun x – 3 ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 1 D) x + 4
B) x + 2
6. Bir P(x) polinomunun x6 – 7x ile bölümünden elde edilen kalanın derecesi en çok kaç olabilir? A) 2
C) x + 3
E) x + 5
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
15.Ünite 10. P(x) = (x2 – 4) . Q(x) + 2x – 1
7. P(x) bir polinom olmak üzere
• P(x) in x2 –3x – 10 ile bölümünden kalan B(x) tir.
A) 6x + 2
B) x – 6
D) 2x – 6
Örnek
B) (x + 2) . Q(x) + 2
Buna göre, B(x) polinomu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
C) (x – 2) . Q(x)
P(x) ve Q(x) polinomlarının (x + 3) ile bölümünden kalanlar sırasıyla –2 ve 4 tür.
D) (x +2) . Q(x)
C) x + 6
Bilgi Köşesi
polinomunun (x + 2) ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 2) . Q(x) + 2
• P(5) = 8 . P(–2)
/Polinomlar
E) 5
Buna göre P(x) – 3 . Q(x) polinomunun (7x + 21) ile bölümünden kalanı bulalım.
E) 2x + 6
Çözüm: x + 3 = 0 ⇒ x = –3 x = –3 için P(–3) = –2 ve Q(–3) = 4 tür. 7x + 21 = 0 x = –3 için P(–3) – 3 . Q(–3) = ? –2 – 3 . 4 = –14 bulunur.
8. P(2x) = x2 – 3x + 2 ise P(x) polinomunun (x – 4) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0
B) 2
C) 6
D) 10
E) 12
11. P(x) ve Q(x) polinomlarının (2x – 1) ile bölümünden kalanlar sırası ile 6 ve –3 tür.
Palme Yayınevi
Buna göre, 2 . P(x) – 3. Q(x) polinomunun 2x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
Örnek P(x) = (x2 – 9) . Q(x) + 2x – 5
polinomunun (x + 3) ile bölümünden elde edilen bölümü bulalım. Çözüm: P(x) = (x2 – 9) . Q(x) + 2x – 5 = (x – 3) . (x + 3) . Q(x) + 2x – 5 (x–3).(x+3).Q(x)+2x–5 (x + 3) (x–3).(x+3).Q(x) (x–3).Q(x)+2 0 + 2x – 5
9. P(x) = (a – 2).x2 + 3x + 1
12. P(x) =
polinomunun x + 1 ile tam bölünebilmesi için a değeri kaç olmalıdır? A) 6
1. C
B) 5
2. B
C) 4
3. B
4. D
D) 3
5. E
E) 2
6. D
2x + 6
+ (n – 1).x + 4
–11
polinomunda kat sayılar toplamı 5 ve
Bölüm = (x – 3). Q(x) + 2 bulunur.
P(2) = 6 ise m . n çarpımı kaçtır? A) –2
7. E
mx2
8. A
B) –1
9. C
C) 0
10. A
D) 1
11. B
E) 2
12. C
325
15.Ünite
/Polinomlar Polinomlarda Bölme
Bilgi Köşesi
2. TEST
1. P(x) = ax2 + 3x + b – 1
Örnek
P(x) = n . x2 + 2x + m + 1
+ x ile bölümünden kalan polinomunun 5x + 2 ise a + b toplamı kaçtır? A) 1
polinomunun (x2 – 2x) ile bölümünden kalan 3x + 5 olduğuna göre, m . n çarpımını bulalım.
4. P(x) polinomunun sabit terimi 8 ve kat sayıx lar toplamı –3 ise P (4 – x) + P b l polino4 munun x – 4 ile bölümünden kalan kaçtır?
x2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm: n.x2+2x+m+1=(x2–2x).R(x)+3x+5 n.x2+2x+m+1=x.(x–2).R(x)+3x+5 x = 2 için 4n + m + 5 = 11 ⇒ 4n + m = 6 x = 0 için m+1=5⇒m=4
⇒ 4n + 4 = 6
n=
1 = 2 bulunur. 2
Örnek P(x) = –x3 + 2x2 + (m – 1) . x + n – 3 polinomu (x2 – 2x – 3) ile tam bölünebildiğine göre, m + n toplamını bulalım.
2. P(x) polinomunun x2 – 9 ile bölümünden kalan 3x – 2 ise x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Palme Yayınevi
m.n = 4.
1 2
5. P(x) = x3 + (m + 1).x2 – nx + 2
polinomunun x2 + x – 2 ile tam bölünebilmesi için m . n çarpımı kaç olmalıdır? A) –6
B) –3
C) –2
D) 3
E) 6
Çözüm: x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3) . (x + 1) = 0 x = 3 veya x = –1 olur. P(3) = 0
ve
P(–1) = 0
x = 3 için –27 + 18 + 3 . (m – 1) + n – 3 = 0 ⇒ 3m + n = 15 … (★) x = –1 için 1 + 2 – (m – 1) + n – 3 = 0 ⇒ –m + n = –1 … (★★)
3. P(x – 3) = Q(x + 1) . x – 4
6. P(x + 1) = x3 – 3x + (m – 1).x + 1
(★★) ifadesini –1 ile çarpıp (★) ile toplayalım.
eşitliği veriliyor.
polinomu veriliyor.
P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 6 ise Q(x) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x – 1) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan –9 ise m değeri kaçtır?
3m + n = 15 m–n=1 + ––––––––––––– 4m = 16
m = 4 ve n = 3 olur. m + n = 7 bulunur.
326
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
A) –3
B) –4
C) –5
D) –6
E) –7
15.Ünite 10. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan –3 ve x – 2 ile bölümünden kalan 5 ise x2 – 2x ile bölümünden kalan kaçtır?
7. P(x) ikinci dereceden bir polinom olduğuna göre,
I. P(3x – 1) polinomunun P(x + 2) ile bölü-
A) 4x + 3
münden elde edilen bölüm 3 tür.
II. P(x + 7) polinomunun P(x – 4) ile bölü-
münden elde edilen bölüm 1 dir. x−4 n ile böIII. P(x + 1) polinomunun P d 2 lümünden elde edilen bölüm 9 dur.
B) –4x + 3
D) 3x – 4
B) Yalnız II
D) I ve II
Örnek P(x) polinomunun (x2 – 6x + 5) ile bölümünden kalan (x – 1) ise (x – 5) ile bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm: P(x) = (x2 – 6x + 5) . R(x) + x – 1
ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız III
Bilgi Köşesi
C) 4x – 3
E) 3x + 4
/Polinomlar
C) Yalnız I
= (x – 5) . (x – 1) . R(x) + x – 1
x = 5 için
E) II ve III
P(5) = 5 – 1 P(5) = 4 bulunur.
Örnek P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 2, (x + 2) ile bölümünden kalan – 1 ise (x2 + x – 2) ile bölümünden kalanı bulalım.
11. P(x) ve Q(x) polinomları için
P(x + 1) = (x2 – 3x + 3) . Q(x) eşitliği veriliyor.
P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 36 ise Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
polinomunun x2 – x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 1
B) x + 1
D) 1
C) –x – 1 E) –1
Palme Yayınevi
8. P(x) = 2x3 – 3x2 + x – 1
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
Çözüm:
E) 13
P(x) = (x2 + x – 2) . R(x) + mx + n olsun. P(x) = (x – 1) . (x + 2) . R(x) + mx + n x = 1 için P(1) = m + n = 2 … (★) x = –2 için P(–2) = –2m + n = –1 … (★★) (★★) ifadesini –1 ile çarpıp (★) ile toplayalım. m+n=2 2m – n = 1
+ ––––––––––––––– 3m = 3
m = 1 ve n = 1 olur. mx + n ⇒ x + 1 bulunur.
9. P(x) polinomunun x2 – 2x – 8 ile bölümünden kalan 2x + 5 ise (x – 4) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
12. II. dereceden bir P(x) polinomu (x – 1) ve
E) 16
Örnek
(x + 2) ile tam bölünebilmektedir. P(–1) = –4
P(x) = ax3 + (a + 1).x2 + x + 1
olduğuna göre P(2) kaçtır?
polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 11 ise a değerini bulalım.
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) –1
Çözüm: x + 2 = 0 ⇒ x = –2 P(–2) = 11 ise a.(–2)3+(a + 1).(–2)2 + (–2) + 1 = 11 –8a + 4a + 4 – 1 = 11 –4a = 8 ⇒ a = –2 bulunur.
1. A
2. B
3. D
4. A
5. B
6. E
7. B
8. E
9. B
10. C
11. D
12. A
327
15.Ünite
/Polinomlar
Bilgi Köşesi
Örnek P(x) ve Q(x) polinomlarının x2 – 5
Polinomlarda Bölme
3. TEST 4. P(x) = x3 + mx + 7
1. Sabit terimi 8 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu (x + 2), (x – 1), (x + 1) ile tam bölünüyor ise P(2) kaçtır? A) –48
ile bölümünden kalanlar sırasıyla
B) –40
D) –24
(x – 2) ve (x + 5) olduğuna göre,
C) –32
polinomu veriliyor. P(x – 1) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 4 ise (x + 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 13
E) –16
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
P(x) . Q(x) polinomunun x2 – 5 ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm: Kalan(x)=(x–2).(x+5)= x2+3x–10 x2 – 5 = 0 ⇒ x2 = 5 için P(x) . Q(x) = x2 + 3x – 10
= 3x – 5 bulunur.
2. İkinci dereceden bir P(x) polinomunun (x– 3) ile bölümünden kalan 6 dır. P(x) polinomu (x – 1) ve (x – 2) ile tam bölünebildiğine göre, P(–1) kaçtır? A) –18
B) –9
C) 0
D) 9
E) 18
Örnek
Palme Yayınevi
= 5 + 3x – 10
5. P(x) ve Q(x) polinomlarının (x2 – 3) ile bölümünden kalanlar sırası ile (x – 2) ve (x + 1) ise P(x) . Q(x) polinomunun x2 – 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 + x
B) x – 1
D) 2 – x
C) 1 – x E) x – 2
P(x) = 2x2 + 3x + m polinomu (x + 2) ile tam bölünmektedir. Buna göre, P(x + 2) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm: x + 2 = 0 ⇒ x = –2 P(–2) = 0 2 . (–2)2 + 3 . (–2) + m = 0 8 – 6 + m = 0 ⇒ m = –2 olur. P(x) = 2x2 + 3x – 2 x+2=0 x = –2 için P(–2 + 2) = P(0) = ? x = 0 için P(0) = –2 bulunur.
328
3. Bir P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan –2, (x + 1) ile bölümünden kalan 4 ise (x2 + 3x + 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x – 10
B) 6x + 10
D) 10x – 6
C) –6x + 10
E) 10x + 6
6. P(x) = 4x3 – 3x2 + ax + 7
polinomu (x – 1) ile tam bölünebildiğine göre, P(x – 2) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
15.Ünite 7. P(x) = 3x26 – 2x20 – x6 + 5
10. P(2 – x) = 2x3 – 3x2 + 6
polinomunun x5 – 1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 3
B) –x + 6
D) 3x + 2
C) 4x – 7
E) 5x + 4
B) –23
D) –25
Bilgi Köşesi
olduğuna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır? A) –22
Örnek
C) –24 E) –26
/Polinomlar
Bir P(x) polinomunun x–20 ile bölümünden kalan 18; P(x) in x–18 ile bölümünden kalan 20 olduğuna göre, P(x) in, (x–20).(x–18) ile bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm: x–20 = 0 ⇒ x= 20 P(20) = 18 ve x–18 = 0 ⇒ x = 18 den P(18) = 20 veriliyor. P(x) in (x – 20).(x – 18) ile bölümünden kalan mx+n olsun. P(x) = (x–20).(x–18).B(x)+mx+n P(20) = 20 m + n =18
8. İkinci dereceden bir P(x) polinomunun x ve (x + 3) ile bölümünden kalan – 4 tür. P(2) = 16 ise P(x) polinomunun kat sayılar toplamı kaçtır? B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
Palme Yayınevi
A) 4
11. P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan 8 ve (2x – 6) ile bölümünden kalan 12 ise P(x) in x2 – 5x + 6 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x
B) 3x – 1 D) 4x + 2
C) 3x + 1
– P(18) = 18 m + n = 20
2m = –2 ⇒ m = –1
m = –1 ⇒ 20 . (–1) + n = 18
n = 38
P(x) = mx + n = –x+ 38 bulunur.
E) 4x – 2
Örnek P(x) baş kat sayısı 2 olan ikinci dereceden bir polinomdur. P(1) = 3 ve P(–1) = –3 olduğuna göre, P(0) değerini bulalım. Çözüm: P(x) = ax2 + bx + c P(x) = 2x2 + bx + c
9. P(x) polinomunun x2 – 5x + 6 ile bölümünden bölüm Q(x) kalan 4x + 1 dir.
12. P(x), baş kat sayısı 4 olan ikinci dereceden bir polinomdur.
Buna göre, P(x) polinomunun (x – 3) ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir?
P(x) in (x – 3) ile bölümünden kalan 7 ve P(2) = 3 ise P(0) değeri kaçtır? A) 22
B) 20
C) 19
D) 18
E) 16
P(1) = 2 + b + c = 3 ⇒ b + c = 1 P(–1) = 2 – b + c = –3 ⇒ –b + c = –5 + 2c = –4
c = – 2 ve
b = 3 olur.
A) (x – 2) . Q(x) + 12
P(x) = 2x2 + 3x – 2
B) (x + 2) . Q(x) – 3
P(0) = –2 bulunur.
C) (x – 2) . Q(x) + 4 D) (x + 2) . Q(x) + 1 E) Q(x) + 4
1. A
2. E
3. B
4. C
5. C
6. E
7. A
8. A
9. C
10. A
11. A
12. C
329
15.Ünite
/Polinomlar Polinomlarda Çarpanlara Ayırma
Bilgi Köşesi
3
1.
Örnek
x 2 – 7x – 8 x 2 – 10x + 16 ifadesinin en sade halini bulalım.
18.x .y 2
6.x .y
1. TEST
2
4.
3
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? y x A) 3.x.y B) C) y x 3.y 3.x D) E) y x
x2 – 7x – 8
x2 – 10x + 16
x
–8
x
–8
x
1
x
–2
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? x+3 x–3 x+3 B) C) x+1 x+1 x–2 D)
x –1 x+6 E) x–2 x+1
(x – 8) . (x – 2)
( x – 8) .(x + 1) x+1 = bulunur. ( x – 8) . (x – 2) x – 2
2.
x 2 – mx + 10 x 2 – 4x – 5 ifadesi sadeleştirilebilir bir kesir
5.
2
x –4 ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A)
Örnek
2
2
x + 2x
1 x x B) – C) x+2 2 x+2 D)
x+1 x E) x–2 x–2
Palme Yayınevi
(x – 8) . (x + 1)
2
x –x–2
A)
Çözüm:
2
x – 5x + 6
x + (m – 2) x – 20 2
x – 7x + 12 ifadesi sadeleştirilebilir bir kesir olduğuna göre, m tam sayısı kaçtır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
olduğuna göre, m tam sayısının alabileceği değerleri bulalım. Çözüm: x2 – 4x – 5 = (x – 5) . (x + 1) O halde x2 –mx + 10 (x – 5) veya (x + 1) ile tam bölünebilmelidir. x = 5 için 25 – 5m + 10 = 0
3.
x = –1 için 1 + m + 10 = 0 m = –11
m = 7 veya m =–11 bulunur.
330
6.
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A)
m=7
x 2 – x – 1 x2 – 1
x+2 2 x+2 B) C) x –1 x –1 x+1 D)
x–2 x–2 E) x –1 x +1
x –2 x+4 = x+1 x+2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–2}
9 8 B) ' – 1 C) ' – 1 5 5
8 9 D) ' 1 E) ' 1 5 5
15.Ünite 7.
x–3 2
x –1
=
A B + x+1 x –1
10.
eşitliğini sağlayan A ve B değerleri için A . B çarpımı kaçtır? A) –3
B) –2
C) 0
D) 2
E) 3
2x + 5
=
2
x – 3x + 2
A B + x – 2 x –1
/Polinomlar
Bilgi Köşesi
eşitliğini sağlayan A ve B değerleri için A – B farkı kaçtır? A) 1
B) 2
C) 9
D) 15
Örnek
E) 16
2x + 12 A B = + x – 3 x+3 x2 – 9 eşitliğini sağlayan A ve B rasyonel sayıları için A + B toplamını bulalım. Çözüm: 2x + 12 A B = + x – 3 x+3 x2 – 9 (x + 3 )
(x – 3)
2x + 12 = A.(x + 3) + B.(x – 3) 2x + 12 = x.(A + B) + 3.(A – B) A+B=2
3.(A – B) = 12
A–B=4
A+B = 2 2
x –y 2
x + 2xy + y
2
:
x.y – y x+y
11. a – b = 3 olmak üzere,
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) –y
B)
1 y
+ A– B=4 ––––––––––––– 2A = 6 ⇒ A = 3 ve B = –1 dir.
2
C) 1
D)
1 x
E) x
Palme Yayınevi
8.
2
2
A + B = 3 + (–1) = 2 bulunur.
2
a – 2a – b + 1 2
2
a –a –b +b ifadesinin değeri kaçtır? 2 1 1 3 B) C) D) 3 3 2 4
A)
E) 1
Örnek a + b = 4 olmak üzere a 2 + 2ab + b 2 + 8 6a + 6b
9.
ifadesinin değerini bulalım.
1 a 1 – a –1 a
a–
12.
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) a
B) a D)
C) 1
4x + 2
=
2
x –4
1 x + x –2 x+2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0}
a+1 a E) a a+1
Çözüm:
B) {0, 2} D) {0, 5}
C) {5}
(a + b) 2 + 8 4 2 + 8 16 + 8 = = 6.4 24 6. (a + b) =
24 = 1 bulunur. 24
E) {2, 5}
1. D
2. D
3. C
4. B
5. C
6. C
7. B
8. B
9. C
10. E
11. C
12. D
331
PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM AÇILIMI OLASILIK VE İSTATİSTİK
16. Ünite
16.Ünite Permütasyon
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak, basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı olan dört basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? A) 120
B) 136
D) 152
Bilgi Köşesi
1. TEST 4.
Örnek A
B
C
D
C) 144 E) 160
Şekildeki çizgiler A, B, C ve D kentleri arasındaki farklı yolları göstermektedir.
Buna göre, A dan D ye kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 25
B) 28
C) 30
D) 33
E) 35
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak; a) Üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? b) Rakamları farklı üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? Çözüm a) Bu sayılar abc şeklinde olsun. a yerine 5 rakamdan biri b yerine 5 rakamdan biri c yerine 5 rakamdan biri yazılabileceğinden 5.5.5. = 125 sayı yazılabilir. b) a
2. 3 farklı türkçe kitabı, 4 farklı matematik kitabı ve 2 farklı kimya kitabı bir rafa dizilecektir. Türkçe kitapları bir arada olmak koşulu ile bu kitaplar rafa kaç değişik şekilde dizilir? A) 3!.7!
B) 4.3!
D) 4!.7!
C) 7!.2!
Palme Yayınevi
5. Onlar basamağı 5 olan ve rakamları birbirinden farklı olan kaç tane üç basamaklı doğal sayı yazılabilir? A) 64
B) 60
C) 58
D) 54
E) 40
yazılabileceğinden 5.4.3 = 60 tanedir.
Örnek 20 kişilik bir sınıftan önce bir başkan, sonra bir başkan yardımcısı, sonra bir laboratuvar sorumlusu ve sonra da bir malzeme sorumlusu seçilecektir.
E) 5!.2!
Bu seçim kaç değişik biçimde yapılır? Çözüm
6. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile beş basamaklı rakamları tekrarsız ve sonu 36 ile biten kaç sayı yazılabilir?
n n 3. P c m = 6.P c m 4 3
olduğuna göre, n değeri kaçtır? A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A) 36
B) 38
C) 40
D) 44
E) 48
Önce 20 kişiden bir başkan 20 değişik biçimde seçilir. Başkan seçildikten sonra başkan yardımcısı, kalan 19 kişi arasından 19 değişik biçim seçilir. Laboratuvar sorumlusu geri kalan 18 kişi arkasından 18 değişik biçimde ve son olarak malzeme sorumlusu geri kalan 17 kişi arasından 17 değişik biçimde seçilir. O halde bu seçim işlemi 20.19. 18. 17 değişik biçimde yapılır. Yani sıralı 4 lülerin sayısı 20. 19. 18. 17 dir.
333
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik 10. 5 farklı kişiye yazılmış 5 farklı mektup 3 posta kutusuna kaç farklı biçimde atılır?
7. 2 kız ve 5 erkek, 3 kişi arkada 4 kişi önde olacak şekilde oturacaklardır.
Bilgi Köşesi
Örnek
Kızlar yanyana olmak koşuluyla kaç farklı biçimde oturabilirler? A) 1440
4 matematik 3 fizik, 2 kimya kitabı düz bir rafa fizik kitapları bir arada olmak koşulu ile kaç değişik şekilde dizilebilir?
B) 1200
D) 960
A) 52
B) 53
C) 35
D) 54
E) 38
C) 1120 E) 840
Çözüm Fizik kitaplarının tamamını 1 kitap gibi düşünelim. M1 M2 M3 M4 :;;;;;;;;
4
O halde kalan 4, 5, 6, 7 rakamları P(4, 4) = 4! = 24 şekilde sıralanacağından istenen koşullarda 24 sayı yazılabilir.
9. Anne, baba ve dört çocuğu bir sıraya oturup fotoğraf çektirecektir.
Palme Yayınevi
Anne ve baba başta veya sonda yan yana durmak üzere kaç değişik biçimde fotoğraf çektirebilirler? A) 72
B) 84 D) 96
C) 92 E) 108
Örnek A = {a, b, c, d, e, f}
7.
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur, b bulunmaz? Çözüm: Önce b elemanını kümeden atalım. {a, c, d, e, f} kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısından {c, d, e, f} kümesinin üçlü permütas yonlarının sayısını çıkarmalıyız. P(5, 3) – P(4, 3) = 5 . 4 . 3 – 4 . 3 . 2 = 60 – 24 = 36 bulunur.
Yukarıda küçük bir salonda sinema izleyecek Atilla, Bülent ve Ceren vardır. Atilla ve Bülent'in yan yana sinema izlemesi şartıyla bu üç kişi koltuklara kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 150
336
B) 120 C) 100
1. E
2. E
3. A
D) 96
E) 60
4. E
5. E
10. ANKET kelimesinin harfleri kullanılarak anlamı ya da anlamsız 5 harfli kaç tane kelime yazılabilir? A) 120
B) 192
D) 225
6. C
7. D
8. E
C) 210 E) 240
9. D
10. A
16.Ünite Permütasyon
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
4.
1. Ahmet ve Burak'ın da aralarında bulunduğu 5 kişi yan yana oturacaklardır.
Bilgi Köşesi
3. TEST
Örnek
Bu oturma biçimlerinin kaç tanesinde Ahmet ile Burak arasında en az bir kişi vardır? A) 30
B) 48
C) 56
D) 66
E) 72
Şekil – I
Şekil – II
Şekil – I deki karede her satır ve sütunda bulunan bir karenin içi taranıyor ve Şekil – II deki gibi bir desen elde ediliyor.
Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edilir? A) 144
B) 120
D) 72
5.
Fotoğraf çekme işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 2400
B) 2520
D) 2880
C) 2600 E) 2960
Palme Yayınevi
2. 5 i kız 4 ü erkek olan 9 kişi, kızlar önde erkekler arkada olacak şekilde fotoğraf çektireceklerdir.
TAMBUR kelimesinin harfleri birer kez kullanılarak sonu TA ile biten 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç harf grubu yazılabilir?
A
B
D
E
F
TA
G
Şekilde, yanyana olan yedi kutu üç farklı renkle boyanacaktır.
Yanyana olan iki kutunun renkleri birbirinden farklı olacak şekilde kaç farklı boyama yapılabilir? B) 212
D) 196
4! = 24 tanedir.
4 harf
A) 224
6 lı harf gruplarının TA ile biteceğinden solundaki 4 harfin yer değiştirme sayısı kadar 6 lı harf grubu elde edilir. Bu ise
C) 100 E) 60
C
Çözüm:
C) 204 E) 192
Örnek 4 matematikçi ile 3 fizikçi 3 ü önde, 4 ü arkada ve fizikçiler bir arada olmak koşulu ile kaç değişik şekilde sıralanırlar? Çözüm: Fizikçilerin önde olduğu sıralamaların sayısı M1 M2 M3 M4 → 4! F1F2F3
→ 3!
4!3! = 144 tür. Fizikçilerin arkada ve bir arada olduğu sıralamaların sayısı
3. Anne, baba ve birer çocuktan oluşan iki aile yan yana duran 6 koltukta oturacaktır.
6. Anne, baba ve 3 çocuk bir taksiye biniyorlar.
İki aileninde bireyleri yan yana olmak koşuluyla, 6 kişi kaç farklı şekilde bu 6 koltuğa oturabilir? A) 288
B) 180 C) 144
D) 72
E) 36
Anne ve baba şoförün yanında, çocuklar arkada olmak üzere kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 18
B) 16
C) 12
D) 10
E) 8
Bu sıralamalarda arka sıraya matematikçilerin her biri geçebileceğinden 4 ile çarpılır. 4.3!3!2! = 4.6.6.2 = 288 dir. O halde bütün sıralamaların sayısı 288 + 144 = 432 dir.
337
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
B
7.
10. A = {1, 2, 3} ve B = {0, 1, 2, 3}
Örnek
kümeleri veriliyor.
f : A → B, f(1) = çift sayı
olacak şekilde kaç tane f fonksiyonu tanımlanabilir?
A = {1, 2, 3, 4} olmak üzere, f : A → A tanımlanıyor. f(1) = f(4) koşulunu sağlayan kaç f fonksiyonu tanımlanabilir? Çözüm:
A) 64
A
B) 48
C) 36
D) 32
E) 24
Şekilde küpün A noktasında bulunan bir böcek küpün ayrıtları üzerinde yürüyerek ve her köşeye en çok bir kez uğramak koşuluyla B noktasına kaç farklı yoldan gidebilir? A) 24
B) 20
C) 18
D) 16
E) 15
f(1) = f(4) olacağından f(1) ve f(4) için aynı durum var. Bu nedenle f(1),
f(2)
f(3)
↓
↓
↓
4
.
4 = 64 fonksiyon
tanımlanabilir.
8. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört basamaklı ve 4 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazılabilir? A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
Palme Yayınevi
4 .
11. A = {a, b, c} ve B = {1, 2}
kümeleri ile f : A → B fonksiyonu tanımlanıyor.
f(b) + f(c) = 4 koşulunu sağlayan kaç f fonksiyonu tanımlanabilir?
Örnek
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 6
A = {1, 2, 3, 4} kümesi ve f : A → A fonksiyonu tanımlanıyor. f(1) ≠ f(4) olacak şekilde kaç f fonksiyonu tanımlanabilir? Çözüm: f(1) ≠ f(4) olacağınan f(1)
f(2)
f(3)
f(4)
↓
↓
↓
↓
4
. 4
4
.
. 3 = 192
9. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları ile, rakamları farklı, 3 basamaklı 5 ile bölünebilen en çok kaç tane sayı yazılabilir? A) 108
B) 120
D) 130
fonksiyon tanımlanabilir.
12. 4 erkek, 3 kız bir sırada oturacaklardır.
İki erkeğin arasına bir kız gelecek şekilde kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 144
C) 124
B) 136
D) 124
E) 136
C) 130 E) 120
338
1. E
2. D
3. D
4. B
5. E
6. C
7. C
8. B
9. E
10. D
11. C
12. A
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Kombinasyon
1. n elemanlı bir kümenin r – li kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre,
Bilgi Köşesi
1. TEST 4.
Örnek
C(n, 2) + C(n, 3) = 4 . C(n, 1) eşitliğinde n değeri kaçtır? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
7 kişiden seçilen 4 kişi bir sıraya oturacaktır.
E) 9
Bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir? Çözüm:
Yukarıdaki şekil 24 tane birim kareden oluşmuştur.
• şekildeki dikdörtgen sayısı m
• şekildeki kare sayısı n
Buna göre, m – n farkı kaçtır? A) 160
B) 165 C) 170
35 ve 35.4! = 35.24 = 840 bulunur.
D) 175 E) 180
Örnek
7 7 7 7 7 7 7 2. d n + d n + d n + d n + d n + d n + d n 0 1 3 4 5 6 7
işleminin sonucu kaçtır? A) 158
B) 107 C) 102
D) 96
E) 90
Palme Yayınevi
10 sporcudan beş kişilik bir takım oluşturulacaktır.
5. 10 voleybolcu arasından 6 kişilik voleybol takımı seçilecektir.
Takımın kaptanı belli olduğuna göre, bu takım kaç farklı biçimde kurulabilir? A) 130
B) 126
D) 120
C) 124 E) 112
Bu sporculardan takıma girecek iki kişi belli olduğuna göre, takım kaç değişik biçimde oluşturulabilir? Çözüm: Seçilecek 2 kişi belli olduğuna göre, takımı tamamlamak için geriye kalan 8 kişi içinden 3 kişi daha seçilmelidir. 8 8.7.6 = 56 farklı şekilde c m= 3.2.1 3 oluşturulur.
Örnek n elemanlı bir kümenin r – li tüm kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C(0, 0) + C(6, 3) = 3.C(m, m – 1) eşitliğinde m kaçtır?
3. 6 kişiden seçilen 3 kişi bir sıraya oturacaktır.
Kaç farklı biçimde oturabilirler? A) 96
B) 100 D) 116
C) 108 E) 120
6. 12 kişilik bir öğrenci grubundan oluşturulan ve içinde en az bir kız öğrenci bulunan 3 kişilik ekiplerin sayısı 185 dir.
Çözüm:
Bu grupta kaç kız öğrenci vardır? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
339
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
10. 10 kişi bulunan bir takımdan 6 kişi rastgele seçilip bunlardan da üçü sırayla şut çekecektir.
7. 11 öğrenciden 5 i basketbola, 6 sı voleybola seçilecektir.
Örnek
Kaç değişik biçimde seçim yapılabilir? A) 462
Bir öğrenci 10 soruluk bir sınavda, ilk 3 soruya cevap vermek şartı ile 5 soruyu kaç değişik şekilde seçebilir?
B) 464
D) 504
C) 480
Buna göre, kaç farklı biçimde şut çekilir? A) 25200
E) 520
B) 24000
D) 12500
C) 20000
E) 144000
Çözüm: 10 sorudan ilk 3 üne cevap vermek şartı olduğuna göre, geriye kalan 7 sorudan 2 tane seçmek gerekir. 7 Buradan, c m = 21 olur. 2
11 kişilik bir kafileden 5 kişi İzmir'e 6 kişi Ankara'ya gidecektir.
Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturulabilir?
Birler basamağı B kümesinden, onlar ve yüzler basamağındaki rakamlar da A kümesinden seçilerek rakamları farklı üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
Palme Yayınevi
Örnek
8. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {5, 6, 7} kümeleri veriliyor.
11. Her sorunun 3 seçenekli olduğu 21 soruluk bir test hazırlanırken ardışık iki sorunun doğru yanıtının aynı seçenekte olmamasına dikkat ediliyor.
Buna göre, yanıt anahtarı kaç farklı şekilde hazırlanabilir? A) 3.221
E) 44
Çözüm:
D) 3.220
11 kişiden önce 5 kişi seçip sonra kalanlardan 6 kişi seçilebilir.
c
B) 3.222
C) 320 E) 321
11 6 m . c m = 462 olur. 5 6
Örnek Bir okulda 6 seçmeli dersten 3 tanesi aynı saatte verilmektedir. 3 ders seçmek isteyen bir kişi kaç farklı seçim yapabilir? Çözüm: 6 seçmeli dersten 3 tanesi aynı saatte veriliyorsa 3 ders seçmek isteyen bir kişi, aynı saatte verilen derslerden bir tane, diğer 2 tanesini diğer derslerden veya seçeceği 3 dersi aynı saatte verilen derslerden seçmez. Buna göre,
9. 6 bayan, 6 erkek arasından 3 ü bayan, 2 si erkek 5 kişilik bir ekip oluşturulmak isteniyor.
12. Bir kişinin 200 lira borcu vardır. Bu kişinin cebinde 6 tane 20 liralık, 8 tane 50 liralık kağıt para vardır.
Bu ekip kaç farklı biçimde oluşturulabilir? A) 234
B) 240
D) 250
C) 248
Buna göre, kişi borcunu kaç farklı şekilde ödeyebilir? A) 406
E) 300
B) 392
D) 369
C) 380 E) 238
3 3 3 c m . c m + c m = 10 olur. 1 2 3
340
1. A
2. B
3. E
4. A
5. B
6. A
7. A
8. D
9. E
10. A
11. D
12. E
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Kombinasyon
4. 15 kişilik bir topluluk içinden oluşturulan ve içinde en az bir erkek bulunan üç kişilik tüm grupların sayısı 435 tir.
1. P(n, 2) = C(n + 1,2) + 9
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) 4
B) 5
C) 6
Bilgi Köşesi
2. TEST
D) 7
E) 8
Buna göre toplulukta kaç kız vardır? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Örnek 10 öğrenci arasında 4 kişilik bir ekip, bu ekip içinden de bir başkan seçilecektir. Bir başkan ve üç üyeden oluşan bu ekip kaç değişik biçimde oluşturabilir? Çözüm: 10 10 kişi içinden 4 kişi, c m farklı 4 şekilde, 4 4 kişi içinden 1 başkan, c m farklı 1 şekilde seçilebilir.
2. 4 mühendis ve 3 teknisyen arasından 3 kişilik bir komisyon seçilecektir.
5. Bir öğrenci 6 seçmeli dersten 2 sini seçecektir.
Bu komisyonda en çok bir teknisyen bulunmak üzere bu üç kişilik komisyon kaç değişik biçimde seçilebilir? B) 22
C) 20
D) 18
E) 16
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 22
Palme Yayınevi
A) 24
Belirli 3 ders aynı saatte verildiğine göre, seçim kaç değişik biçimde yapılabilir?
Örnek P(n, 2) = C(n, 2) + 10 olduğuna göre, n değeri kaçtır? Çözüm:
20
Örnek 3. 8 öğrenci ve 4 öğretmenden oluşan 12 kişilik bir gruptan 5 kişilik bir komisyon kurulacaktır.
En çok 2 öğretmenin bulunabileceği kaç farklı komisyon kurulabilir? A) 680 D) 576
B) 672
C) 620 E) 524
6. 5 er kişilik boş yer bulunan A ve B sınıflarına 9 öğrenci dağıtılmak isteniyor.
Öğrencilerden a ve b aynı sınıfta olmamak üzere kaç farklı dağılım yapılabilir? A) 156 D) 124
B) 140
C) 132 E) 108
Her sorunun 4 seçenekli olduğu 30 soruluk sınavda cevap anahtarı hazırlanırken ardışık iki sorunun cevabının aynı seçenek olmamasına dikkat ediliyor. Buna göre, cevap anahtarı kaç farklı şekilde hazırlanabilir? Çözüm: İlk soru için 4 seçenek, diğer 29 soru için 3 seçenek vardır. Cevap anahtarı 4.329 şekilde hazırlanabilir.
341
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
Örnek
7. Bir marangoz atölyesinde 6 usta, 9 çırak vardır. Bir usta günde 3 koltuk, bir çırak günde 1 koltuk yapabiliyor.
10. 10 farklı kitap 3 farklı koli kutusundan birincisine 5 tane, ikincisine 3 tane ve üçüncüsüne 2 tane olmak üzere konulacaktır.
20 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturulacak ikili grupların sayısı, erkek öğrencilerin sayısının iki katından 4 fazladır. Sınıftaki erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Günde 5 koltuk yapabilecek bir grup kaç farklı şekilde oluşturabilir? A) 342
B) 348
D) 360
Bu işlem kaç değişik biçimde yapılacaktır? A) 2940
C) 354
B) 2880
D) 2460
E) 384
C) 2520 E) 2400
Çözüm: Sınıftaki kız öğrenci sayısı n olsun. Bu durumda
İlk 5 sorudan en az 3 ünü yanıtlama koşulu ile bu öğrenci soru seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? A) 440
B) 420
D) 392
C) 416
Palme Yayınevi
8. Bir öğrencinin 12 soruluk bir sınavda 8 soruyu yanıtlaması isteniyor.
11. 36 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturulacak ikişerli grupları sayısı, bu sınıftaki erkek öğrencilerin sayısına eşittir.
Buna göre, sınıfta kaç kız öğrenci vardır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 360
Örnek 8 kişiden 3 ü Antalya'ya 5'i İzmir'e seçilerek gönderilecektir. Bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir. Çözüm:
Örnek A, B, C farklı şehirler olmak üzere A dan B ye 3 farklı yol, B den C ye 4 farklı yol varsa A dan C ye gidecek olan bir B ye uğramak koşulu ile kaç farklı şekilde gidebilir.
9. Bir kutuda bir kısmı mavi, bir kısmı da kırmızı olmak üzere 20 kalem vardır.
12. 9 kişilik öğrenci grubundan 5 kişi gezi, 4 kişi araştırma grubu için ayrılacaktır.
Bu kutudaki kırmızı kalemlerin 2 şerli gruplarının sayısı mavi kalemlerin sayısının 2 katından 4 fazladır.
Seçim kaç türlü yapılabilir? A) 63
Buna göre, kutuda kaç tane kırmızı kalem vardır? A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
5. A
6. B
B) 72 D) 126
C) 108 E) 152
Çözüm: Çarpma ilkesine göre A dan C ye 4.3 = 12 yoldan gidebilir.
342
1. C
2. .B
3. B
4. C
7. A
8. B
9. D
10. C
11. C
12. D
16.Ünite Kombinasyon
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
1. 6 erkek, 4 kadın arasından 2 erkek ve 2 kadından oluşan 4 kişilik bir grup kaç değişik biçimde seçilebilir? A) 60
B) 64
C) 72
Bilgi Köşesi
3. TEST
D) 80
4. Rakamları toplamı 6 olan üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? A) 21
B) 23
C) 25
D) 27
E) 30
E) 90
Örnek Bir okulda 6 seçmeli dersten 2 tanesi aynı saatte okutulmaktadır. 3 ders seçmek zorunda olan bir öğrenci kaç değişik biçimde seçim yapabilir? Çözüm: Dersler aynı saatte okutulma6 saydı c m = 20 seçim yapılabi3 lirdi. Öğrenci aynı saatte okutulan 2 dersi seçsin. Kalan 4 dersten 1 tane daha seçecektir. 4 c m = 4 seçim var ama olanaksız 1 O halde 20 – 4 = 16 seçim ya-
2. 8 soruluk bir sınavda ilk iki soru cevaplanmak zorunda olduğuna göre, 6 soru kaç değişik şekilde seçilebilir? B) 15
C) 21
D) 24
E) 30
Palme Yayınevi
A) 12
5. A, B, C, D, E, F gibi 6 seçmeli dersten B ve D dersleri aynı saatte verilmektedir.
3 ders seçmek isteyen bir öğrenci bu seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? A) 9
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
pabilir.
Örnek 10 kişi arasından en az 8, en çok 9 kişilik kaç grup oluşturulabilir? Çözüm:
Örnek Bir kutuda 6 tane sarı 4 tane kırmızı top vardır.
3. Bir voleybol takımında en çok 2 bayan oyuncunun bulunmasına izin veriliyor.
3 ü bayan 9 oyuncusu bulunan bir spor kulübü 6 kişilik bir takımı kaç değişik şekilde oluşturabilir? A) 64
B) 72
C) 80
D) 84
E) 90
6. Bir öğrenci üç şıklı bir problemin a şıkkını 3 farklı yoldan, b şıkkını 2 farklı yoldan, c şıkkını da 3 farklı yoldan çözebiliyorsa öğrenci bu sorunun tamamını kaç farklı yoldan çözebilir? A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
Bu torbadan 2 si sarı 3 ü kırmızı olan 5 top kaç farklı şekilde alınabilir? Çözüm: 6 6 sarı toptan 2 sarı top c m = 15 2 şekilde, 4 kırmızı toptan 3 kırmızı top 4 c m = 4 şeklinde seçilir. 3 2 sarı ve 3 kırmızı top 6 4 c m . c m = 60 farklı şekilde seçilir. 2 3
343
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
7. 1 + c
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) c
Örnek
10. Beş evli çift arasından 3 kişi seçilecektir. Seçilenler arasında sadece bir evli çift olmak koşuluyla kaç farklı seçim yapılır?
100 101 102 m+c m+c m 99 99 99
102 101 104 m B) c m C) c m 100 100 100
Bir otelde iki yataklı 1, üç yataklı 2 oda boştur. 8 kişi, bu odalara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
D) c
A) 32
B) 38
C) 40
D) 44
E) 56
103 102 m E) 2. c m 100 98
Çözüm: 1. odaya 2 kişi, 2. odaya kalan 6 kişiden 3 kişi,
8. 5 doktor ve 4 hemşireden 4 kişilik gezici sağlık ekibi oluşturulacaktır.
Örnek
6 kız ve 5 erkek öğrenci arasından, 6 öğrencinin katılacağı bir yarışma grubu seçilecektir.
Bu ekipte en az iki doktor olacağına göre, seçim kaç değişik biçimde yapılabilir? A) 102
B) 105
D) 112
Palme Yayınevi
3. odaya da kalan 3 kişi yerleştirilir.
11. 5 avukat, 1 doktor, 1 mühendis, 1 öğretmenin bulunduğu 8 kişilik bir ekipten farklı mesleklerde 2 kişi seçilecektir.
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 18
C) 108
B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
E) 120
a) Yarışmaya katılacak öğrenci grubu kaç farklı biçimde oluşturulabilir? b) Kız ve erkek öğrenci sayısının eşit olacağı kaç grup vardır?
c) Sadece 4 kızın bulunduğu grup sayısı kaç tanedir? Çözüm: a) Grupta 11 öğrenci vardır. 11 11 öğrenci arasında 6 kişi c m farklı 6 biçimde seçilebilir. b) 3 kız ve 3 erkek öğrencinin bulunacağı grup sayısı,
9. Bir otelde 3 kişilik ve 2 kişilik iki oda boştur.
Bu odalara 5 kişi, belirli ikisi aynı odada kalmamak koşuluyla kaç değişik biçimde yerleştirilebilir? A) 6
344
1. E
B) 7
2. B
3. A
C) 8
4. A
D) 9
5. D
12. 8 öğrenci arasından 3 tanesi matematik yarışmasına 5 tanesi fizik yarışmasına katılacaktır.
E) 10
6. C
Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturulabilir? A) 90
7. D
8. B
B) 72
9. A
C) 64
10. C
11. A
D) 60
12. E
E) 56
16.Ünite Kombinasyon
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
1. Aralarında Burak ve Sunay'ın bulunduğu 4 kız ve 5 erkek öğrenci arasından 2 kız ve 2 erkek öğrenciden oluşan bir ekip kurulacaktır.
Bilgi Köşesi
4. TEST 4.
A
B) 30
C) 36
D) 48
C
M
Burak ve Sunay'ın birlikte bulunmadığı kaç farklı ekip kurulabilir? A) 24
Örnek
B
N
L
E) 54
D
A = {1, 3, 5} ve B = {2, 6, 8} kümelerinin elemanları ile iki tek, iki çift rakam kullanarak 4 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? Çözüm:
E
K H
G
A = {1, 3, 5} ve B = {2, 6, 8} kümelerinden önce 2 tek, 2 çift seçilir. Sonra bu 4 rakamla, 4 basamaklı sayılar yazılır.
F
Şekildeki çember üzerindeki 12 nokta eşit aralıklarla işaretlenmiştir.
Bu noktaları kullanarak çizilen kaç farklı eşkenar üçgen vardır? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
2. A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, 5, 6}
Örnek
kümelerinin elemanları kullanılmak üzere yüzler basamağı A kümesinden, birler ve onlar basamağı B kümesinden seçilerek oluşturulan rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 24
B) 30
C) 36
D) 48
E) 50
Palme Yayınevi
10 soruluk bir sınavda 8 sorunun çözülmesi istenmektedir.
5. 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 29
3. 8 değişik kitap, 3 çocuğa dağıtılacaktır. Birinci çocuğa iki kitap, ikinci çocuğa üç kitap ve üçüncü çocuğa üç kitap verileceğine göre, 8 kitap üç çocuğa kaç farklı biçimde dağıtılabilir? A) 480 D) 576
B) 540
C) 560
B) 28
C) 25
D) 22
E) 19
6. 5 kız ve 4 erkek öğrenci arasından en az biri kız olmak üzere, 4 kişilik bir ekip kaç türlü seçilebilir? A) 125 D) 116
B) 124
C) 120 E) 108
İlk 4 sorudan en az 3 ü seçilmek zorunda olduğuna göre, kaç türlü seçim yapılabilir? Çözüm: Zorunlu sorulardan 4 ü seçilirse o zaman diğer 4 soru geri kalan 6 soru içinden seçilir. 4 6 6 Bu seçim c m . c m = 1. c m = 15 4 4 2 farklı şekilde yapılır. Zorunlu sorulardan 3 ü seçilirse o zaman diğer 5 soru geri kalan 6 soru içinden seçilir. 4 6 Bu durumda c m . c m = 4.6 = 24 3 5 farklı şekilde seçim yapılır. Buna göre dört sorudan en az üçü 15 + 24 = 29 farklı şekilde seçilebilir.
E) 624
345
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
7.
9. Bir öğrenci bir sınavda 13 sorudan 10 tanesini yanıtlamak zorundadır.
A
Örnek 6 matematik ve 4 türkçe öğretmeni arasından 3 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır.
B
A) 520
B) 460
C) 320
D) 276
En az bir Türkçe öğretmeni bulunmak koşulu ile bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturabilir? Çözüm:
İlk 5 sorudan en az 3 tanesini yanıtlamak koşuluyla yanıtlayacağı soruları kaç farklı biçimde seçebilir?
E) 240
C
Tüm 3 lü grupların sayısından hiç türkçe öğretmeni bulunmayan 3 lü grupların sayısını çıkarırız.
Şekildeki çizgiler üzerinden sağa ya da aşağıya gitmek ve B ye uğramak şartıyla A dan C ye kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 45
B) 60
C) 90
D) 120 E) 180
Palme Yayınevi
6
Örnek
10. İki aileden biri 6, diğeri 7 kişidir.
55 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturabilecek ikişerli grupların sayısı, bu sınıftaki erkek öğrencilerin sayısına eşittir.
Her aileden en az bir kişi bulunmak koşuluyla 4 kişilik kaç farklı grup oluşturulabilir? A) 665
B) 672
C) 676
D) 680
E) 720
Sınıfta kaç erkek öğrenci vardır? Çözüm: Kızların sayısı x olsun.
8. A = {3, 4, 6}, B = {1, 2, 4, 8}
Erkeklerin sayısı 55 – x olur.
kümelerinin elemanları kullanılarak rakamları farklı abc üç basamaklı sayıları yazılacaktır.
• abc çift sayıdır.
• Yüzler basamağı A kümesinin, onlar ve birler basamağı B kümesinin elemanıdır.
A) 17
346
11. 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup öğrenci arasından 2 si erkek 3 ü kız öğrenci olmak üzere 5 kişilik 120 farklı grup oluşturabildiğine göre, kız öğrenci sayısı kaçtır?
Buna göre, kaç farklı abc sayısı yazılabilir?
1. D
B) 18
2. B
C) 21
3. C
D) 22
4. C
E) 24
5. A
A) 9
6. A
7. C
B) 8
8. D
C) 7
9. D
10. A
D) 6
11. D
E) 5
16.Ünite Kombinasyon
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
4. Aynı düzlemde bulunan 12 doğrudan 8 i kendi aralarında paralel; diğer 4 doğru da kendi aralarında paraleldir.
1. 10 doğrunun 5 i paraleldir.
Bu 10 doğrunun en çok kaç tane kesim noktası vardır? A) 35
B) 32
C) 30
Bilgi Köşesi
5. TEST
D) 28
E) 24
Bu doğrular kaç farklı paralelkenar oluşturur? A) 84
B) 96 D) 160
Örnek Aşağıdaki şekilde 4 tanesi doğrusal 7 nokta veriliyor.
C) 132 E) 168 Bu 7 nokta ile
a) Kaç doğru oluşur? b) Kaç üçgen oluşur? Çözüm:
2. Aynı düzleme ait 13 noktadan 5 i doğrusaldır.
5. Paralel iki doğrunun birinin üzerinde 6, diğerinin üzerinde 5 nokta vardır.
Diğer noktalardan herhangi üçü doğrusal olmadığına göre, bu noktalardan kaç farklı doğru geçer? B) 70
C) 72
D) 84
A) 120
E) 80
B) 128
D) 135
Palme Yayınevi
A) 69
Köşeleri bu noktalarda bulunan kaç üçgen çizilebilir? C)130 E) 160
a) Genel olarak 7 nokta ikişerli 7 birleştirildiğinde c m = 21 doğru 2 vermeliydi. Ancak doğrusal olan 4 4 nokta c m = 6 doğru yerine 1 2 doğru verdi. 5 kayıp doğru var böylece 21 – 5 = 16 doğru oluşur. b) Genel olarak 7 nokta 3 erli bir7 7.6.5 leştirildiğinde c m = = 35 1.2.3 3 üçgen oluşabilirdi. Ancak doğ4 rusal olan 4 nokta c m = 4 üç3 geni vermedi 4 kayıp 35 – 4 = 31 üçgen oluşur.
3. Bir çember üzerinde alınan 7 nokta ile çember düzlemi dışındaki bir doğru üzerinde farklı 4 nokta veriliyor.
6.
Örnek Düzlemde n tane farklı çemberin kesim noktalarının sayısı en çok kaçtır?
Bu noktalarla kaç farklı doğru oluşturulur? A) 44
B) 46
C) 48
D) 50
Çözüm:
E) 54
Şekilde kaç farklı üçgen vardır? A) 28
B) 35
C) 40
D) 42
E) 45
347
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
7.
10. 10 doğru ile 3 çemberin kesim noktalarının sayısı en çok kaçtır? A) 111
B) 96
C) 90
D) 84
E) 76
Örnek
Şekilde doğrular üzerindeki noktaları köşe kabul eden kaç tane üçgen oluşturulabilir?
Köşeleri şekilde belirtilen 6 noktadan üçü olmak üzere, kaç tane farklı üçgen oluşturulabilir?
A) 15
B) 22
C) 30
D) 32
E) 36
Çözüm:
8.
D C B
Paralel iki doğrudan biri üzerinde 6, diğeri üzerinde 7 nokta vardır. Köşeleri bu noktalarda bulunan kaç üçgen çizilebilir? Çözüm:
Palme Yayınevi
Örnek
O
E
F
K
Bu noktaları kullanılarak kaç farklı üçgen oluşturulabilir? A) 48
B) 15
C) 12
D) 10
B) 40
C) 36
D) 32
E) 30
E) 9
9. 4 tanesi bir d doğrusu üzerinde bulunan 10 nokta vardır. Bu 10 nokta ile en çok kaç tane üçgen oluşturulabilir? A) 120
348
Şekilde noktalarla bir köşesi daima O noktasında bulunan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 16
11. Paralel iki doğru üzerinde 4 er tane nokta vardır.
1. A
2. A
B) 118 C) 116
3. D
4. E
D) 96
5. D
12. Bir çember üzerinde 6 nokta ile çember düzlemi dışındaki bir doğru üzerinde 3 nokta veriliyor.
E) 84
6. B
Bu noktalarla en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir? A) 83
7. C
8. E
B) 81
9. C
C) 72
10. A
11. A
D) 71
12. A
E) 69
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Kombinasyon
4. d1 // d2 olmak koşuluyla d1 doğrusu üzerinde farklı 4 nokta ve d2 doğrusu üzerinde farklı 3 nokta alınmıştır.
1. 10 kenarlı bir konveks çokgenin kaç tane köşegeni vardır? A) 35
B) 32
Bilgi Köşesi
6. TEST
C) 30
D) 24
E) 20
Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
Örnek Şekilde kaç paralelkenar vardır?
E) 38
Çözüm:
5.
2.
B
A
d1 d2
C
D
E
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
d6
E) 5 Palme Yayınevi
d3
Bu seçimlerin sayısı
d4
5 4 c m = 10 ve c m = 6 2 2
d5
Şekildeki 5 nokta ile bir köşesi A olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
d7
d8
d9
d1//d2//d3//d4//d5 ve d6//d7//d8// d9
olduğuna göre, şekilde kaç farklı paralelkenar vardır? A) 90
B) 72
C) 68
D) 60
Paralelkenarın karşılıklı kenarları paraleldir. Şekildeki 5 tane yatay paralel doğru, 4 tane de eğik paralel doğru vardır. Paralelkenarların 2 kenarı yatay doğrulardan, 2 kenarı da eğik doğrulardan seçilmelidir.
E) 54
Çarpma kuralına göre 10.6 = 60 paralelkenar oluşur.
Örnek
d1 // d2 ise bir köşesi A olan kaç üçgen çizilebilir? Çözüm:
6. 3.
C
B
A
Tabanı d1 üzerinde olan ve bir köşesi A olan üçgen sayısı
A
D
2 3 c m . c m = 6 tanedir. 1 1 F
E
K
Tabanı d2 üzerinde ve bir köşesi A olan üçgen sayısı 3 1 c m . c m = 3 tanedir. 2 1
Şekilde d1 // d2 dir.
Tabanı d2; tepesi d1 üzerinde olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Şekilde A noktasından geçen üç doğru ve birbirine paralel 4 doğru veriliyor.
A) 10
Köşeleri bu doğruların kesim noktaları olan kaç farklı üçgen vardır?
B) 12
C) 15
D) 18
E) 22
A) 196 D) 240
B) 200
O halde 6 + 3 = 9 üçgen çizilebilir.
C) 224 E) 252
349
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik 7.
Bilgi Köşesi
10. Düzlemde 4 ü doğrusal olan diğerleri ise herhangi üçü doğrusal olmayan toplam 10 nokta veriliyor.
Örnek Bir düzlem üzerinde bulunan 11 doğrudan 4 ü bir A noktasından, geri kalanlardan 3 ü de A dan farklı bir B noktasından geçmektedir.
Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 118
A) 474
B) 480
D) 512
Çözüm:
D) 96
E) 84
Köşeleri, şekilde verilen üçgen üzerindeki 16 noktadan oluşan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Birbirine paralel olmayan bu doğruların A ve B ile birlikte kaç kesişme noktası vardır?
B) 116 C) 108
C) 500
E) 518
6
8.
11. Bir düzlemde bulunan 10 doğrudan 3 ü bir A noktasından, 4 ü bir B noktasından geçmektedir. Palme Yayınevi
4
Örnek
Şekilde çember yaylarının birinin üzerinde üç farklı, diğerinin üzerinde beş farklı nokta vardır.
İki farklı yay üzerindeki herhangi üç nokta doğrusal olmadığına göre, köşeleri bu noktalarda bulunan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 60
B) 56
C) 50
D) 48
Herhangi ikisi birbirine paralel olmayan doğrular, A ve B ile birlikte en çok kaç noktada kesişir? A) 40
B) 38
C) 32
D) 30
E) 28
E) 40
D İki farklı yay üzerindeki herhangi üç nokta doğrusal olmadığına göre verilen 8 noktayı köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir?
9. Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 8 nokta vardır.
Çözüm:
Verilen noktaların herhangi üç doğrusal olmadığına göre, 8 8.7.6 = 56 c m= 3.2.1 3
Bu noktalardan belirli bir noktayı sabit köşe kabul eden kaç tane üçgen çizilebilir? A) 16
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
farklı üçgen oluşur.
12. P ve Q farklı paralel iki düzlemdir. P düzleminde herhangi üçü doğrusal olmayan ve herhangi dördü aynı çember üzerinde bulunmayan farklı beş nokta ve Q düzleminde herhangi üçü doğrusal olmayan ve herhangi dördü aynı çember üzerinde bulunmayan farklı dört nokta veriliyor.
Bu düzlemlerdeki noktalarla kaç farklı koni oluşturulabilir? A) 70
350
1. A
2. D
3. B
4. B
5. D
6. E
7. A
8. B
B) 60
9. D
C) 50
10. B
11. B
D) 48
12. B
E) 42
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Binom Açılımı
4. (a2 + 2b)7 açılımı yapıldığında a8 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
1. (4x – 2y +2z)n açılımında katsayılar toplamı 256 olduğuna göre, n nin değeri kaçtır? A) 3
B) 4
C) 5
Bilgi Köşesi
1. TEST
D) 6
A) 240
E) 7
B) 260
D) 280
C) 270 E) 290
Örnek (3x – my)10 açılımında katsayılar toplamı 1024 olduğuna göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? Çözüm:
Örnek 2. ^3 2 –1 h açılımında rasyonel terimlerin toplamı kaçtır? 10
B) 524
D) 532
E) 534
1 15 n açılımında sabit terim baştan x2
kaçıncı terimdir?
C) 530 Palme Yayınevi
A) 521
5. d x +
A) 2
B) 3
^ 2 + 3 3 h açılımındaki rasyonel terimler toplamı kaçtır? 9
Çözüm:
C) 4
D) 5
E) 6
Örnek (x + 3)7 ifadesinde baştan 4. terimin katsayısı nedir?
3. d x 3 –
10
1 n x2
açılımında sabit terim kaçtır?
A) –240 D) 240
B) –200
C) 210 E) 260
6. c 2x 2 –
1 9 m ifadesinin açılımındaki sabit x
Çözüm: olup
terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 680 D) –640
B) 672
C) 640 E) –672
O halde katsayı 945 dir.
351
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
7. (x – 2y)8 açılımında baştan 3. terimin katsayısı kaçtır? A) 112
B) 110 C) 108
D) 96
10. d x 2 –
E) 92
2 x
A) –20
Örnek
5
3n
açılımında sabit terim kaçtır?
B) –10 C) 30
D) 40
E) 50
(x + y + 2)5 açılımındaki xy2 li terimin katsayısı kaçtır? Çözüm:
a
y3 p açılımında oluşan terimlerden 3 biri k.x8.y6 şeklinde olduğuna göre, a . k aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –10
B) –8
C) 10
D) 12
E) 14
Örnek c
9 1 2 – x m ifadesi açıldığında x
11. (3x – 2y)8 = (3x)8 +…+56.k.x2y6 + …
açılımında k değeri kaçtır? A) 320
Palme Yayınevi
8. f x 2 –
B) 288
D) –144
C) 280 E) –288
sabit terim kaçtır? Çözüm:
,
9. (4y – 2x)n ifadesinin açılımında terimlerin katsayılarının toplamı 64 olduğuna göre, içinde x3 bulunan terimin katsayısı kaçtır? A) 10240
B) 9680
D) –10200
352
1. B
2. A
3. C
12. 74 – 4. 73 . 5 + 6 . 72 . 52 – 4 . 7 . 53 + 54
işleminin sonucu kaçtır? A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
C) –9640 E) –10240
4. D
5. E
6. B
7. A
8. C
9. E
10. D
11. B
12. D
E) 25
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Binom Açılımı 1. f
a3 – b2
8
p açılımında
a2 b çarpımı kaçtır?
A) 60
B) 56
Bilgi Köşesi
2. TEST k.a n b2
C) 54
1 10 4. c 2 – m açılımında ortadaki terim kaç2 tır?
terimi için k.n
D) 52
Örnek
A) 6
E) 50
Çözüm:
5. (x3 – 2y2)16 açılımında bir terim x27.yn olduğuna göre, n değeri kaçtır?
2. (x2 + 2y)5 = x10 + …+a.x6.y2 + … olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 30
B) 36
C) 40
D) 42
E) 45
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
Palme Yayınevi
Örnek – 2y2)n açılımında x4y4 lü terimin katsayısı kaçtır?
(x2
Çözüm:
3. d x 3 –
1
3n
n x2 sabit terim olduğuna göre, n değeri kaçaçılımında baştan 10. terim
tır? A) 4
n
x2 3 n 6. d açılımında baştan 8. terimin kat– x 9 sayısı –360 olduğuna göre, n değeri kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
353
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
3
7. d 2x –
12
2n
2 n m açılımında sabit terim 60 oldux ğuna göre, n değeri kaçtır?
10. c x –
ifadesinin açılımı yapıldığında
x sabit terim aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek
nin açılımında x8 li tekinin kat sayısı kaçtır?
A) 3
A)
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Çözüm:
8. (x – y2)n ifadesinin açılımında baştan 3. terimin katsayısı 21 dir.
İçinde y6 olan terimin katsayısı kaçtır? A) 21
Örnek dx +
B) 7
Palme Yayınevi
.
11. d x 2 +
10
nn
açılımında sabit terim 210 oldux ğuna göre, n değeri kaç olabilir?
A) 1
C) –28
D) –35
1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) –42
1 6 n ifadesinin açılımınx2
daki sabit terim kaçtır? Çözüm:
2 8 9. c x 3 – m ifadesinin açılımında baştan 6. x
12. b x 2 –
a 6 l ifadesinin açılımında sabit terim x
terim aşağıdakilerden hangisidir?
240 olduğuna göre, a sayısı kaç olabilir?
A)
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
354
1. B
2. C
3. B
4. D
5. C
6. C
7. B
8. D
9. A
10. D
11. C
12. A
E) 6
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Olasılık
4. a351 dört basamaklı sayısının 3 ile bölünebilme olasılığı kaçtır?
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor.
Bilgi Köşesi
1. TEST
Bu alt kümenin 4 elemanlı alt küme olma olasılığı kaçtır?
A)
6
A)
9
Örnek Bir çift zar atılıyor. a) Evrensel kümeyi bulalım. b) Üstte görülen sayılar toplamının 9 olma olayını yazalım. c) Üste görülen sayıların aynı olma olayını yazalım. Çözüm:
2. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin elemanları yan yana sıralanacaktır.
a ve f harflerinin iki uçta bulunma olasılığı kaçtır? A)
4
Palme Yayınevi
5. Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor.
Zarın beşten küçük ve paranın yazı gelmesi olasılığı kaçtır? A)
6
Örnek Rastgele yazılan iki basamaklı bir sayının 9 ile bölünebilme olasılığı kaçtır? Çözüm:
,99} 10
3. Bir çift zar atılıyor.
Üste gelen sayıların toplamının 9 olma olasılığı kaçtır? A)
6. Bir çift zar atılıyor.
10 9
Üste gelen sayıların toplamının 8 den büyük olma olasılığı kaçtır? A)
6
355
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
Örnek {0, 1, 3, 5} kümesinin elemanlarıyla yazılabilen rakamları tekrarsız dört basamaklı sayılar birer karta yazılıp bir torbaya konuluyor.
10. Altı elemanlı bir kümenin rastgele seçilen bir alt kümesinin 3 elemanlı olma olasılığı kaçtır?
7. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı sayılar kartlara yazılıp torbaya konuluyor.
Çekilen bir kartın çift sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
A)
1 1 3 1 5 B) C) D) E) 16 8 8 4 16
4
Torbadan rastgelen çekilen bir kartın 10 ile tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
8. A = {1, 2, 3, 4 5} kümesinin elemanlarından rastgele iki sayı seçiliyor.
Örnek Bir para 5 defa atılıyor. 3 tane yazı, 2 tane tura gelmesi olasılığı kaçtır?
Bu sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır? A)
B)
Palme Yayınevi
P
11. Bir madeni para ile bir zar birlikte atıldığında paranın tura ve zarın asal gelme olasılığı kaçtır? A)
1 1 1 1 1 B) C) D) E) 6 8 3 2 4
D)
Çözüm: Atılışlar bağımsızdır. p(YYYTT) + p(YYTYT) + … olasılıkları toplanacak ve bu şekilde 10 tane yazabiliriz.
9. 2 zar havaya atılıyor.
Üst yüze gelen sayılardan birinin diğerinden fazla olma olasılığı kaçtır? A)
12. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin iki elemanlı alt kümelerinden biri seçiliyor.
1 2 5 7 7 B) C) D) E) 3 9 6 18 9
Seçilen alt kümede a elemanının bulunması olasılığı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)
356
1. A
2. B
3. E
4. D
5. E
6. E
7. B
1 1 1 1 1 B) C) D) E) 9 3 6 2 4
8. E
9. A
10. C
11. E
12. B
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Olasılık
Bilgi Köşesi
2. TEST
1. {1, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlarından rastgele ikisi alınıp çarpılıyor.
4. E = {a, b, c} örnek uzayında a, b, c ayrık üç olaydır.
Çarpımın asal sayı olma olasılığı kaçtır? A)
4 3 1 2 1 B) C) D) E) 5 5 5 5 10
2 olduğuna göre, 3 P(a) değeri kaçtır? P ( b , c) =
A)
1 1 1 2 1 B) C) D) E) 6 4 3 3 9
Örnek İki zar birlikte atılıyor. Toplamlarının 4 veya daha az olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
Örnek
2. kümesinden rastgele seçilen iki sayının toplamının 1 den büyük olma olasılığı kaçtır? 4 3 2 1 1 A) B) C) D) E) 5 5 5 5 10
A)
Palme Yayınevi
5. A = {–2, –1, 1, 2, 3} kümesinden seçilen iki sayının çarpımının negatif olma olasılığı nedir? 4 3 2 1 1 B) C) D) E) 5 5 5 5 10
Uzunlukları 1, 3, 5, 7, 9 olan 5 doğru parçasından rastgele üçü seçildiğinde bu üç parçanın üçgen oluşturma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek uzayın eleman sayısı beş ayrı uzunluk arasında üç uzunluğun seçimlerinin sayısıdır. 1, 3, 5, 7, 9 uzunluklarının üçgen oluşturulabilmesi için, (3, 5, 7), (3, 7, 9) (5, 7, 9) üçlülerinin olması gerekir. O halde istenen olasılık P=
3 olur. 10
Örnek
P
3. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin herhangi farklı üç elemanı seçiliyor.
Seçilen bu üç sayının bir üçgenin kenar uzunlukları olma olasılığı kaçtır? A)
2 1 3 1 1 B) C) D) E) 5 5 10 2 10
6. Bir arabayı çalıştırmak için 5 anahtardan biri uymaktadır.
Denenen anahtar bir daha denenmemek üzere bu arabayı en fazla üçüncü denemede çalıştırma olasılığı kaçtır? A)
Çözüm: P
3 2 1 B) C) 5 5 10 3 3 D) E) 10 25
357
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
Örnek
7. Üç torbadan birincisinde 3 beyaz, 3 mavi , ikincisinde 3 beyaz 4 mavi ve üçüncüsünde 5 beyaz, 3 mavi bilye vardır. Torbaların her hangi birinden rastgele bir bilye çekiliyor.
İçinde 4 kırmızı, 4 mavi ve 4 sarı bilye bulunan bir torbadan rastgele seçilen üç bilyeden her birinin farklı bir renkte olması olasılığı kaçtır?
10 Bir lisenin son sınıf öğrencilerinin, % 40'ı kız öğrenci, % 60'ı erkek öğrencidir. Kız öğren2 3 ü TYT de cilerin 'i erkek öğrencilerin 5 4 başarılı olmuşlardır.
Çekilen bilye beyaz ise, ikinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır? A)
8 9 10 11 12 B) C) D) E) 29 29 29 29 29
Bu öğrencilerin arasından rastgele seçilen birinin TYT de başarılı olduğu bilindiğine göre, kız öğrenci olma olasılığı kaçtır? A)
Çözüm:
18 17 16 B) C) 61 61 61 D)
51 13 E) 61 61
Gömlek ve tişörtlerin bulunduğu bir dolaptaki gömlek sayısı 10 dur. Bu dolaptan rastgele seçilen iki giyecekten birinin gömlek di35 ğerinin tişört olma olasılığı 39 olduğuna göre, dolaptaki tişört
8. Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi, 5 beyaz bilye bulunuyor.
Rastgele çekilen üç bilyenin farklı renklerde olma olasılığı kaçtır? A)
sayısı kaçtır? Çözüm: Dolaptaki tişört sayısı x olsun.
1 2 3 B) C) 11 11 11 2 3 D) E) 5 10
Palme Yayınevi
Örnek
11. Bir veteriner kliniğinde bir yavru kedi ve bir yavru köpek kendilerini sahiplenecek aile beklemektedirler. Kedinin bir aile tarafından sahiplenme olasılığı 0,80 iken köpeğin sahiplenme olasılığı 0,95 dir.
Aynı hafta içinde her ikisinin de birer yuva bulma olasılığı kaçtır? A) 0,79
B) 0,78
D) 0,76
Buna göre, dolaptaki toplam
C) 0,77 E) 0,75
giyecek sayısı (x + 10) dur. Bu durumda örnek uzayın eleman sayısı s (E) = c
x + 10 m dır. Seçi2
len giyeceklerden birinin gömlek, diğerinin tişört olma olması olayı 10 x A ise s (A) = c mb l = 10.x dur. 1 1
O halde s (A) 10.x 35 = = x + 10 69 s (E) c m 2 10x 35 = (x + 10)(x + 9) 69 2 4x 7 = & 2 x + 19x + 90 69
P (A) =
9. Herhangi üçü bir doğru üzerinde olmayan 6 nokta birleştirilerek çokgenler elde ediliyor.
12. 3 öğrenciden birer rakam yazmaları isteniyor.
Seçilen bir çokgenin dörtgen olma olasılığı kaçtır? A)
3 1 5 B) C) 7 2 14 D)
& 7x 2 + 133x + 630 = 276x
3 ünün de aynı tek rakamı yazma olasılığı kaçtır? A)
2 9 E) 7 14
1 1 1 B) C) 100 200 400 D)
3 1 E) 200 600
% x 2 – 9x + 90 = 0 x = 9 veya x = 10 olur.
358
1. E
2. B
3. A
4. C
5. B
6. A
7. A
8. C
9. A
10. C
11. D
12. B
16.Ünite Olasılık
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik Bilgi Köşesi
3. TEST
1. 5 erkek, 4 kızdan oluşan 9 kişi arasından rastgele 3 kişi seçiliyor.
4. 5 erkek ve 4 kadın arasından 6 kişilik bir jüri seçilecektir.
Seçilen bu kişilerden ikisinin erkek, birinin kız olma olasılığı kaçtır? A)
A)
1 2 3 B) C) 7 7 7 D)
Örnek
Jüride 4 erkeğin bulunma olasılığı kaçtır?
iki olay
3 2 9 1 5 B) C) D) E) 7 7 14 2 14
10 11 E) 21 21 Çözüm: P
5. 3 kız ve 6 erkek öğrenci arasında üç kişilik bir ekip oluşturuluyor.
2. A ve B olayları için,
P
olduğuna göre, P(Aʹ ∪ Bʹ) kaçtır? A)
1 3 7 B) C) 2 8 8 D)
1 5 E) 16 16
Bu ekipte en az bir erkek öğrenci bulunma olasılığı kaçtır? A)
Palme Yayınevi
83 20 17 B) C) 84 21 21 71 65 D) E) 84 84
Örnek Bir torbada, üzerinde 1 den 12 ye kadar sayılar yazılı 12 tane kırmızı ve 12 tane beyaz top vardır. Beyaz ve kırmızı birer top çekince üzerindeki sayıların toplamının 10 olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
6.
3. A ve B E örnek uzayında iki olay olsun.
P
olduğuna göre, P(A ∩ B) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A)
1 3 1 B) C) 5 5 10 1 3 D) E) 2 10
|DE| = 3 br, |BC| = 6 br dir.
d1 ve d2 doğruları arasındaki uzaklık 6 br olduğuna göre, köşeleri bu 7 noktada bulunan tüm üçgenlerden rastgele biri seçildiğinde bu üçgenin alanının 6 br2 olma olasılığı kaçtır? A)
1 2 1 1 1 B) C) D) E) 3 3 2 4 6
359
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
Örnek
7. Bir torbada 4 ü beyaz, 5 i siyah olan 9 bilye vardır. Bu torbadan bir defada 3 bilye birlikte çekiliyor.
Düzgün bir para 3 defa atıldığında, en az bir tura gelme olasılığı kaçtır?
Bir torbada 5 beyaz ve 4 siyah bilye bulunmaktadır.
Çekilen bilyelerden birinin beyaz, ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? A)
Çözüm:
Örnek
10. Düzgün bir madeni para arka arkaya 4 kez havaya atılıyor.
3 4 13 B) C) 7 7 21 11 10 D) E) 21 21
8. Kırmızı ve siyah kalemlerin bulunduğu bir kutudaki 14 kalemden 6 sı kırmızıdır.
Aynı anda çekilen iki kalemin siyah renkli olma olasılığı kaçtır? A)
Torbadan gelişigüzel 2 bilye çekilirse ikisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?
En az bir tura gelme olasılığı kaçtır? A)
4 1 3 5 7 B) C) D) E) 13 2 4 13 13
Palme Yayınevi
16.Ünite
15 3 1 1 7 B) C) D) E) 16 8 4 2 8
11. Özüm'ün üniversite giriş sınavını kazanma 3 3 ololasılığı , Ege'nin kazanma olasılığı 5 4 duğuna göre, yalnız birinin kazanma olasılığı kaçtır? A)
1 20 10 9 1 B) C) D) E) 5 27 27 20 2
Çözüm: a
olma
Örnek 4 kız, 6 erkek öğrenci bulunan bir okul kafilesinden rastgele 2 öğrenci seçilirse öğrencilerden birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
360
9. A, B, C, D, E, F noktaları bir çember üzerindedir.
12. İçinde 4 kırmızı ve 5 mavi bilye bulunan bir torbadan art arda üç bilye çekiliyor.
Köşeleri bu noktalar üzerinde olan üçgenlerden rastgele biri seçilirse bu üçgenin bir köşesinin A noktası olma olasılığı kaçtır? A)
1. D
Birinci bilyenin kırmızı, diğerlerinin mavi olması olasılığı kaçtır? A)
10 4 5 B) C) 63 21 21
1 1 1 1 3 B) C) D) E) 4 8 2 3 4
2. B
3. B
4. D
5. B
6. A
D)
7. E
8. A
13 16 E) 63 63
9. C
10. A
11. D
12. A
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Olasılık
1. Bir zar atıldığında üste gelen sayının asal olma olasılığı kaçtır? A)
Bilgi Köşesi
4. TEST 4. A ve B bağımsız olaylardır.
1 1 1 1 1 B) C) D) E) 5 6 4 3 2
Örnek
P olduğuna göre, P(B) kaçtır? A)
1 3 1 1 5 B) C) D) E) 2 4 3 4 8
4 evli çift arasında 2 kişi rasgele seçilecektir. a. Seçilenlerden birinin erkek, birinin kadın olması. b. Seçilenlerin karı – koca olması c. Seçilenlerden en az birinin kadın olması olasılığı kaçtır? Çözüm:
5. A < 1000 ve A ! N + dir.
2. {–4, –3, –2, –1, 1, 2, 3} kümesinin elemanlarından rastgele 3 tanesi alınıp çarpılıyor. Sonucun negatif olma olasılığı kaçtır? A)
2 3 17 B) C) 5 5 35 3 16 D) E) 16 35
Palme Yayınevi
A sayılarından bir tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen bu sayının rakamları toplamının 8 olma olasılığı kaçtır? A)
79 100 10 B) C) 999 999 111 5 1 D) E) 111 111
3. İkisi kardeş olan 8 kişi arasından, 3 kişilik bir komite oluşturuluyor.
6. Üç evli çift arasından 2 kişi rastgele seçilecektir.
Bu komitede, her iki kardeşin de bulunma olasılığı kaçtır? A)
1 3 3 1 5 B) C) D) E) 7 28 14 4 28
Birinin erkek diğerinin kadın olma olasılığı kaçtır? A)
4 3 1 2 2 B) C) D) E) 5 5 2 3 15
361
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
Örnek
7. Bir torbada aynı büyüklük ve biçimde 7 sarı, 3 kırmızı ve 4 mavi top vardır. Çekilen toplar yerine konulmamak üzere art arda 3 top çekiliyor.
Bir torbada 5 beyaz, 4 kırmızı top vardır. Bu torbadan rastgele iki top çekiliyor.
10. Alman ve İngilizlerden oluşan 15 kişilik bir turist grubundan rastgele seçilen üç kişiden 1 olduüçünün de Alman olması olasılığı 13 ğuna göre, grupta kaç tane İngiliz vardır?
Çekilen toplardan ilk ikisinin sarı, üçüncüsünün mavi çıkma olasılığı kaçtır?
A) 4
2 1 3 A) B) C) 13 13 13
Çekilen iki topun da beyaz olma olasılığı kaçtır?
D)
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
4 5 E) 13 26
Çözüm:
9
8. Bir kutuda 5 mavi ve 4 kırmızı top vardır. Çekilen top yerine konmamak koşuluyla art arda iki top çekiliyor.
İkinci topun mavi olma olasılığı kaçtır? A)
Örnek
1 2 2 4 5 B) C) D) E) 3 3 9 9 9
Bir torbada 2 tane mavi ve 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşuluyla iki kez birer mendil çekiliyor.
Palme Yayınevi
durumların
11. 40 soruluk bir sınavda her soru 5 seçeneklidir.
Bu sınava giren bir öğrencinin bütün soruları yanlış yapma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? A)
Bu iki çekilişin birincisinden mavi, ikincisinden de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? Çözüm:
9. K = {1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamları yalnız bir kez kullanmak koşulu ile yazılabilecek tüm iki basamaklı doğal sayılar bir karta yazılıp torbaya atılıyor.
Torbadan rastgele bir kart çekildiğinde üzerindeki sayının 9 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı kaçtır? A)
362
12. 6 anahtarın bulunduğu bir anahtarlıkta, kapıyı açan 2 anahtar vardır.
1. E
A)
1 1 1 1 3 B) C) D) E) 5 20 4 10 4
2. E
3. C
4. B
5. D
6. E
Hangi anahtarın kapıyı açacağı bilinmemekte ve denenen bir daha denenmemek şartıyla, kapının 3. denemede açılma olasılığı kaçtır? 1 1 1 B) C) 5 3 4 D)
7. B
8. E
1 1 E) 6 10
9. D
10. E
11. C
12. C
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Olasılık
1. 36 kişilik bir sınıfta kayak yapanların sayısı 12, buz pateni yapanların sayısı 24 ve her iki sporu yapanların sayısı 6 dır.
Rastgele seçilen bir öğrencinin buz pateni yapmadığı bilindiğine göre, kayak da yapmayan bir öğrenci olma olasılığı kaçtır? A)
Bilgi Köşesi
5. TEST 4. Bir torbada 12 mavi, 6 sarı top vardır. Torbadan arka arkaya 3 top çekiliyor.
Birincisinin mavi veya sarı, ikincisinin mavi, üçüncüsünün sarı olma olasılığı kaçtır? A)
1 1 4 12 1 B) C) D) E) 2 3 9 17 6
4 3 5 B) C) 17 17 17 4 5 D) E) 9 12
Örnek İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerden meydana gelen 21 kişilik bir toplulukta Almanca bilenlerden hiçbiri başka bir dil bilmemektedir. Bu toplulukta İngilizce bilmeyenler 13, Fransızca bilmeyenler 12, İngilizce, Almanca ve Fransızcadan sadece birini bilenler 18 kişidir. Bu toplulukta rastgele seçilen bir kişinin Almanca bilen bir kişi olması olasılığı kaçtır? Çözüm:
2. 40 kişilik bir sınıfta Matematik dersinden geçenlerin sayısı 25, Fizik dersinden geçenlerin sayısı 20, her iki dersten geçenlerin sayısı 15 dir.
5. A kutusunda 4 sağlam, 2 bozuk, B kutusunda 3 bozuk, 5 sağlam radyo vardır. Rastgele bir kutudan rastgele bir radyo alınıyor.
A)
4 2 1 2 3 B) C) D) E) 5 3 6 9 4
Palme Yayınevi
Rastgele seçilen bir öğrencinin Matematik dersinden kaldığı bilindiğine göre, Fizik dersinden de kalmış olma olasılığı kaçtır?
Alınan radyonun sağlam bir radyo olma olasılığı kaçtır? A)
1 2 5 B) C) 3 3 8 D)
31 10 E) 48 17
3. 15 erkek ve 10 kadından oluşan bir toplulukta 8 erkek 5 kadın İngilizce bilmektedir.
6. Siyah torbada 2 siyah ve 2 beyaz; beyaz torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır.
Bu topluluktan seçilen bir kişinin kadın veya İngilizce bilmeyen bir kişi olma olasılığı kaçtır? 3 13 14 A) B) C) 5 25 25 D)
4 17 E) 5 25
Rastgele seçilen bir torbadan, rastgele çekilen bir bilyenin torbayla aynı renkte olma olasılığı kaçtır? 3 1 5 A) B) C) 4 8 16 D)
Örnek Bir grupta 3 erkek ve 2 kız öğrenci vardır. Bu gruptan seçilecek 2 kişinin ikisinin de erkek olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
1 7 E) 2 16
363
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
Örnek
4 10. Bir atıcının belli bir hedefi vurma olasılığı 7 dir.
7. Bir torbada 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Çekilen bilye geri konmamak üzere ard arda 3 bilye çekiliyor.
Birincinin kırmızı ikinci ve üçüncünün beyaz renkte olma olasılığı kaçtır? A)
1 2 6 8 9 B) C) D) E) 5 7 35 35 35
Bu atıcının dört atıştan üçünü vurup birini vuramaması olasılığı kaçtır? A)
Hedefin vurulma olasılığı kaçtır? Çözüm:
P
Torbadan bir bilye çekildiğinde kırmızı gelme olasılığı beyaz gelme olasılığının üç katı ise torbada kaç tane beyaz bilye vardır? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Palme Yayınevi
8. Bir torbada toplam 16 tane kırmızı ve beyaz bilye vardır.
11. Bir kişinin, aralarından bir çifti kendisine ait olan 6 çift ayakkabı içinden rastgele aldığı iki ayakkabının kendi ayakkabıları olma olasılığı kaçtır? A)
1 1 1 B) C) 72 66 32 D)
1 1 E) 36 12
Örnek
P
Çözüm:
9. Bir toplulukta 12 kadın ve 24 erkek vardır. Hem kadınların hem de erkeklerin yarısı gözlüklüdür.
Bir topluluktan rastgele seçilen bir kişinin gözlüklü kadın olma olasılığı kaçtır? A)
364
1. A
12. Siyah ve beyaz bilyelerin bulunduğu bir torbadan bir beyaz bilye çekme olasılığı, iki beyaz bilye çekme olasılığının 6 katına eşittir.
1 1 1 2 3 B) C) D) E) 12 3 6 3 4
2. B
3. E
4. A
5. E
6. E
Buna göre, torbada en az kaç bilye olabilir? A) 4
7. A
8. B
B) 5
9. C
C) 6
10. E
D) 7
11. B
12. D
E) 8
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Olasılık
4. 3 öğrenciye kendi kimlikleri rastgele dağıtılıyor.
1. Eşit sayıda kırmızı ve beyaz top bulunan bir torbadan rastgele iki top birlikte çekiliyor.
3 İkisinin de aynı renkte olma olasılığı 7 olduğuna göre, bu torbada kaç tane top vardır? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
Palme Yayınevi
kaçtır?
1 1 2 3 2 B) C) D) E) 6 3 9 4 3
Örnek Bir kutudaki 12 ampulden 4 ü bozuktur. Bu kutudan rastgele seçilen 3 ampülün de bozuk olması olasılığı kaçtır? Çözüm:
1 İkisinin de beyaz olma olasılığı oldu20 ğuna göre, torbadaki toplam bilye sayısı
A) 14
Bu dağıtımda en az bir öğrencinin kendi kimliğini almış olma olasılığı kaçtır? A)
2. Bir torbadaki siyah bilyelerin sayısı, beyaz bilyelerin sayısının üç katıdır. Bu torbadan rastgele iki bilye alınıyor.
Bilgi Köşesi
6. TEST
5. A, B, C gibi üç öğrencinin bir sınavı ka2 3 1 zanma olasılıkları sırası ile , , dur. 5 10 10 Sınav sonucunda sınavı yalnız B nin kazanmış olma olasılığı kaçtır? A)
Örnek Eşit büyüklükteki üç torbaya eşit sayıda kırmızı bilye, kırmızı bilyelerin sayısından birer fazla olmak koşulu ile eşit sayıda sarı bilye konuluyor. Torbalardan birisi rastgele seçilip içinden rasgele bir bilye alınırsa bilyenin kırmızı 5 renkli olma olasılığı olmak11 tadır. Torbalardaki bilyelerin toplam sayısı kaçtır? Çözüm:
3. Bir öğrenci arka arkaya iki sınava girecektir. İlk sınavı başarma olasılığı % 60 ve ikinci sınavı başaramama olasılığı % 55 tir.
Bu öğrencinin ilk sınavı başaramayıp ikinci sınavı başarma olasılığı yüzde kaçtır? A) 14
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
6. A = {2, 3, 5, 6, 7} kümesindeki rakamlarla her bir rakam bir kez kullanılarak üç basamaklı sayılar yazılıyor.
Rastgele seçilen bir sayının 5 in katı olması olasılığı kaçtır? A)
1 2 1 B) C) 5 5 10 D)
3 7 E) 5 10
365
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
Örnek Üzerinde 1 den 15'e kadar numaralar yazılmış 15 top bir torbaya konuluyor ve torbadan bir top çekiliyor.
10. Her biri 5 seçenekli olan 5 soruyu rastgele işaretleyen bir öğrencinin sorulardan yalnız iki tanesini doğru yanıtlamış olma olasılığı kaçtır?
7. 30 kişilik bir turist grubunda Japonca veya Fransızca bilen 20, Japonca bilen 10, her iki dili de bilen 3 kişi olduğuna göre, bu gruptan seçilecek bir turistin Fransızca bilmesi koşulu ile Japonca bilme olasılığı kaçtır? A)
4 5 5 B) C) 13 12 17 D)
Çekilen toptaki sayı çift olduğuna göre, asal sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
28 5
4
B)
26 5
4
C)
36 5
5
D)
27 5
4
E)
34 56
2 3 E) 13 13
Çözüm:
P
Örnek
Rastgele biri seçildiğinde bu üçgenin bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır?
8. Birinci torbada 3 kırmızı 5 siyah; ikinci torbada ise 5 kırmızı 3 siyah bilye vardır. Düzgün bir zar atılıyor. Üst yüzüne gelen sayı 3 ten küçükse birinci, aksi halde ikinci torbadan bir bilye çekiliyor.
Çözüm:
Çekilen bu bilyelerin kırmızı olma olasılığı kaçtır? A)
Örnek 36 soruluk bir sınavda her soru 4 seçeneklidir. Bu sınava giren bir kişinin bütün soruları yanlış yapma olasılığı kaçtır? Çözüm:
Çekilen bu kartların üstündeki doğal sayıların her ikisinin de 4 ile bölünebilen sayılar olma olasılığı kaçtır? 17 21 25 A) B) C) 304 304 304
4
D)
O halde 36 soruyu da yanlış 3 36 çözme olasılığı c m bulunur. 4
366
1. D
Rastgele iki kişi seçildiğinde seçilen iki kişinin birbiriyle evli olmama olasılığı kaçtır? A)
1 2 8 5 7 B) C) D) E) 3 3 9 9 9
11 1 13 2 5 B) C) D) E) 24 2 24 3 8
9. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört basamaklı yazılabilecek tüm doğal sayılar birer karta yazılarak bir torbaya konuluyor. Daha sonra bu torbadan rastgele iki kart çekiliyor.
11. Bir yarışmaya 5 evli çift katılıyor. Palme Yayınevi
Bir çember üzerindeki farklı 8 noktadan biri A dır. Köşeleri bu noktalar olan tüm üçgenler çiziliyor.
2. C
12. Bir çember üzerinde ikisi A ve B noktası olan farklı 8 nokta veriliyor. Köşeleri bu noktalar olan rastgele bir üçgen çiziliyor.
Çizilen üçgenin köşelerinden en az birinin A veya B olması olasılığı kaçtır? A)
2 9 3 5 7 B) C) D) E) 7 14 14 9 14
27 29 E) 304 304
3. D
4. D
5. A
6. B
7. E
8. C
9. E
10. D
11. E
12. C
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Olasılık 1. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı erkektir.
4. Bir iş yerinde 1000 kişi arasında bir araştıma yapılıyor ve e – posta adreslerinin olup olmadığı soruluyor. Cinsiyetlerine göre verilen cevaplar aşağıdaki tablodaki gibidir.
Erkeklerin % 15 i, kızların % 20 si gözlüklü olduğuna göre, rastgele seçilen bir öğrencinin kız öğrenci veya gözlüklü olma olasılığı yüzde kaçtır? A) 36
B) 48
Bilgi Köşesi
7. TEST
C) 49
D) 50
Cinsiyet
E) 56
e –posta adresi
Erkek
Kadın
Toplam
Var
160
240
400
Yok
440
160
600
Toplam
600
400
1000
D)
b)10
A)
3 2 1 1 1 B) C) D) E) 5 3 3 4 2
4 21 E) 5 25
Palme Yayınevi
2. (a + açılımındaki terimlerin katsayılarından farklı olanlar birer karta yazılarak bir kutuya konuluyor. Kutudan rastgele bir kart çekilirse bunun 45 ten küçük bir sayı olması olasılığı kaçtır?
(1 + x)6 açılımında rastgele seçilen iki terimin katsayıları toplamının 25 ten küçük olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
1000 kişi arasında rastgele seçilen bir kişinin e – posta adresi olmayan bir kişi veya kadın olma olasılığı kaçtır? 17 18 19 A) B) C) 25 25 25
Örnek
durumların
durumların
Örnek 40 kişilik bir sınıfta Matematik dersinden başarılı olanların sayısı 15, Türkçe dersinden başarılı olanların sayısı 20 olup her ikisinden başarısız olanların sayısı 10 kişidir. Rastgele bir öğrenci seçiliyor. Bu öğrencinin her iki dersten başarılı olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
3. Bir torbada 3 kırmızı ve 6 sarı bilye vardır. Çekilen bilye yerine konulmak üzere art arda iki bilye çekiliyor.
5. 4 kırmızı ve 3 sarı top bulunan bir torbadan, çekilen top yerine konmamak üzere art arda iki top çekiliyor.
Bilyelerden birinin kırmızı, diğerinin sarı olma olasılığı kaçtır? A)
4 1 2 1 2 B) C) D) E) 9 3 9 3 3
İkinci topun kırmızı olmama olasılığı kaçtır? A)
1 2 3 4 1 B) C) D) E) 7 7 7 7 2
367
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
6.
9.
B
C
Örnek
Şekildeki, A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ayrıca C, D noktaları bir çember üzerindedir.
d1 // d2 olup d1 ve d2 üzerinde dörder farklı nokta alınıyor.
Köşeleri bu sekiz noktadan herhangi üçü olan tüm üçgenlerden rastgele seçilen birinin bir köşesinden A olma olasılığı kaçtır?
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır?
A)
A
Şeklide E merkezli yarım çemberde
° dir.
1 3 1 1 5 B) C) D) E) 8 8 2 4 8
A, B, C, D, E noktalarını köşesi kabul eden üçgenlerden seçilen herhangi birinin eşkenar üçgen olma olasılığı kaçtır? A)
Örnek
Son çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır? A)
Bir sınıfta 40 kişi olup 24 ü Almancadan, 14 ü Biyolojiden, 8 tanesi her ikisinden başarılıdır.
2 3 19 B) C) 7 7 42 D)
1 1 1 1 1 B) C) D) E) 9 6 4 3 2
10. Bir sınıftaki 24 öğrencilerden 8 i matematik, 5 i Türkçeden, 3 ü de her iki dersten geçmiştir. Palme Yayınevi
7. İki torbanın birincisinde 3 kırmızı ve 4 sarı; ikincisinde 5 kırmızı ve 6 sarı bilye vardır. Birinci torbadan bir bilye çekilerek, ikinci torbaya atılıyor. Sonra da ikinciden bir bilye çekiliyor.
D
Çözüm: A, B, C, D, E noktalarından 2 tanesi seçileceği için tüm alternatiflerin sayısı
E
Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten kaldığı bilindiğine göre, Türkçeden geçme olasılığı kaçtır? A)
3 1 1 1 7 B) C) D) E) 8 8 2 4 12
1 23 E) 2 42
Rastgele seçilen bir öğrencinin her iki dersten başarısız olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
11. A torbasından 4 tane mavi ve 2 tane yeşil; B torbasında 3 tane mavi ve 4 tane yeşil top vardır. A torbasından rastgele bir top çekilip rengine bakılmadan B torbasına atılıyor.
8.
Şekilde A, B, C, D, E, F, G noktaları bir doğru üzerindedir. Ayrıca D ve E noktaları çembere aittir.
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? A)
368
B torbasındaki toplar karıştırıldıktan sonra rastgele bir top çekilip A torbasına atıldığında, başlangıçtaki ilk renk durumunu elde etme olasılığı kaçtır? A)
11 13 1 B) C) 24 24 3 D)
4 5 10 11 13 B) C) D) E) 7 7 21 21 21
1. C
2.D
3. A
4. E
5. D
6. D
7. C
17 2 E) 24 3
8. A
9. D
10. E
11. B
16.Ünite Olasılık
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
3 , 4 4 Zeynep'in aynı sınavı kazanma olasılığı 7
4. A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {0, 2, 4, 6, 8} kümelerinin elamanları kullanılarak oluşturulan tüm beş basamaklı saylılar bir torbaya konuluyor.
dir.
1. Aslı'nın bir sınavı kazanma olasılığı
Bilgi Köşesi
8. TEST
Aslı ve Zeynep'in bu sınavı kazanma olasılığı kaçtır? A)
1 2 1 B) C) 7 7 2 D)
Bu torbadan çekilen bir sayının tüm rakamlarının A kümesine ait olma olasılığı kaçtır? A)
3 37 E) 7 56
1 1 7 B) C) 72 48 144 D)
1 5 E) 36 144
Örnek Bir deney için a, b, c gibi üç ayrık sonuç mümkündür. Sonucun a 2 ya da b olma olasılığı ; b ya 5 3 da c olma olasılığı olduğuna 6 göre, a, b, c sonuçlarına ait olasılıkları bulalım. Çözüm:
P
2. 4 mektup, 5 ayrı posta kutusuna rastgele altılıyor.
5. Bir atıcının hedefi vurma olasılığı % 75 dir. Bu atıcı hedefa 3 atış yapıyor.
A)
24 1 21 B) C) 125 25 125 D)
4 13 E) 25 125
Palme Yayınevi
Mektupların her birinin farklı kutulara atılmış olma olasılığı kaçtır?
İki atışta hedefi vurması, bir atışta vuramama olasılığı kaçtır? A)
23 25 27 1 7 B) C) D) E) 64 64 64 2 16
Örnek Ali'nin üniversite sınavını ka2 zanma olasılığı , Burak'ın ise 5 4 dir. 7 Bu iki olay bağımsız olduğuna göre, a) En az birinin b) Yalnız Ali'nin üniversite sınavını kazanma olasılığı kaçtır?
3. Hileli bir parada tura gelme olasılığı. yazı gelme olasılığının üç katıdır.
Bu para üç kez atılırsa üçünün de tura gelme olasılığı kaçtır? A)
29 15 27 B) C) 64 32 64 D)
6. Birinci torbada 4 kırmızı ve 3 mavi; ikinci torbada 5 kırmızı ve 4 mavi bilye vardır. Birinci torbadan bir bilye alınıp ikinci torbaya atılıyor. Daha sonra ikinci torbadan bir bilye alanıp birinci torbaya atılıyor.
7 5 E) 16 16
P
Torbadaki bilyelerin ilk durumdaki ile aynı olma olasılığı kaçtır? A)
Çözüm:
17 1 37 B) C) 35 2 70 D)
19 39 E) 35 70
369
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Bilgi Köşesi
7.
10. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı erkektir.
Örnek
P
Erkeklerin % 20 si ve kızların % 25 i sarışındır.
Rastgele seçilen bir öğrencinin sarışın olduğu bilindiğine göre, bunun kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
Bir koşuda 3 at yarıştırılıyor. 1. atın yarışı kazanma olasılığı, 2. nin yarısı; 2. nin kazanma olasılığı ise, 3. nünün 4 katı kadardır.
Çözüm:
İkincinin yarışı kazanma olasılığı 4x ve birincinin yarışı kazanma olasılığı 2x dir.
Şekilde P ve Q düzlemleri paralel olup herhangi üç doğrusal olmayan P düzleminde 4 farklı nokta, Q düzleminde 5 farklı nokta verilmiştir. Köşeleri bu noktalar olan üçgen piramitler oluşturuluyor.
Rastgele bir piramit seçildiğinde tepe noktasının P düzleminde olma olasılığı kaçtır? A)
o
Örnek Birinci torbada 2 beyaz 1 siyah, ikinci bir torbada 3 beyaz 2 siyah bilye vardır. Birinci torbadan bir bilye alınıp ikinci torbaya konuluyor. Tekrar ikinci torbadan bir bilye alınıp birinci torbaya konuluyor.
Renk bakımından değişme olmaması için birinci torbadan hangi renk çekilmiş ise ikinci torbadan aynı renk geri verilmelidir. (II. torbadaki renk ve miktarının ilk çekilişte değiştiğine dikkat ediniz.)
8. x, y, z ve t gibi dört yarışmacının bulunduğu bir yarışmada x in kazanma şansı, z nin kazanma şansının iki katı y nin kazanma şansı, z nin kazanma şansının 3 katı ve z nin kazanma şansı t nin kazanma şansının 2 katı olduğu biliniyor.
11. Bir koşuda 4 at yarışıyor. 1. nin kazanma olasılığı 2.nin yarısı, 3. nün kazanma olasılığı 2. nin iki katı ve 4. nün kazanma olasılığı 3. nün yarısı olduğuna göre, 3. atın kazanma olasılığı kaçtır? A)
Buna göre, x in kazanma olasılığı kaçtır? A)
4 2 3 B) C) 7 3 13 D)
4 5 E) 13 13
9. İki atıcıdan birincinin hedefi vurma olasılığı 3 1 , ikincisinin hedefi vurma olasılığı ol5 3 duğuna göre, bu atıcılardan en az birinin hedefi vurma olasılığı kaçtır? A)
2 5 2 4 5 B) C) D) E) 5 7 3 9 9
4 11 7 B) C) 5 15 15 D)
12. Birinci kutuda 4 sarı 5 kırmızı, ikinci kutuda 3 sarı 6 kırmızı bilye vardır. Aynı anda birinci ve ikinci kutulardan birer bilye çekiliyor. Birinci kutudan çekilen bilye ikinci kutuya, ikinci kutudan çekilen bilye birinci kutuya atılıyor.
3 13 E) 5 15
Bu işlemin sonucunda ilk durumun elde edilme olasılığı kaçtır? A)
14 8 8 B) C) 27 27 9
Aranılan olasılık
D)
370
4 5 E) 11 11
4 6 2 3 5 B) C) D) E) 5 7 3 4 6
Sonuçta renk bakımından ilk durumun elde edilme olasılığı kaçtır? Çözüm:
D)
Bir deneyde tüm olasılıkların toplamı 1 dir. Üçüncünün yarışı kazanma olasılığı x ise,
3 2 3 B) C) 10 11 11
Q
Palme Yayınevi
2. atın bu yarışı kazanma olasılığı kaçtır?
A)
1. D
2. A
3. C
4. E
5. C
6. E
7. A
8. D
25 26 E) 81 81
9. C
10. E
11. B
12. A
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
Olasılık
1. Ali, Bora, Ceren, Deniz ve Elif birlikte bir sınava giriyorlar.
4. Bir lokantanın yemek listesi
B) 42
C) 36
D) 32
Örnek
MENÜ
Buna göre, bu sınav başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir? A) 64
Bilgi Köşesi
9. TEST
E) 16
Yemek
Çorba
Döner: 18 TL İskender: 24 TL Sac kavurma: 30 TL
Mercimek: 7 TL Ezogelin: 10 TL İşkembe: 12 TL
10 sorunun bulunduğu bir ankette her sorunun 3 seçeneği vardır. Bu anketteki tüm sorular bir kişi tarafından kaç farklı şekilde cevaplandırılabilir?
Tatlı Tulumba: 6 TL Künefe: 8 TL Baklava: 10 TL
(Tüm sorular cevaplandırılacaktır.)
şeklindedir.
Çözüm:
Bu lokantada yemek yiyen Ahmet Bey 1 yemek, 1 çorba, ve 1 tatlıdan en az ikisini yemiştir.
1. soru için 3 2. soru için 3
h
Ahmet Bey 36 TL hesap ödediğine göre, kaç farklı çeşit yemek yemiştir?
10. soru için 3
A) 3
O halde 10 sorunun tamamı
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
farklı seçenek vardır. 10
2. 16 kişilik bir futbol takımında 9 yabancı 7 yerli futbolcu vardır.
3 . 3. 3. 3 = 3 1444444442444444443
şekilde cevaplandırılabilir.
tan seçilecektir.
• Kaptan yerli futbolcu
• İkinci kaptan yabancı futbolcu.
Palme Yayınevi
• Bu takımda bir kaptan birde ikinci kap-
10 tan e
Örnek
Buna göre, kaç farklı seçim yapılabilir? A) 42
B) 48
C) 54
D) 56
Tersten okunuşu kendisine eşit olan sayılara palindrom sayılar adı verilir.
E) 63
Örneğin 767, 1221, 56765 birer palindrom sayıdır. Buna göre, 6 basamaklı kaç palindrom sayı olduğunu bulalım.
3. 9 katlı bir binanın girişinden asansöre binen 3 kişi her katta en fazla 1 kişi inmek şartıyla kaç farklı şekilde inebilirler? A) 504
B) 480 C) 360
D) 336 E) 320
5. Üniversite sınavına hazırlanan Beyza'ya öğretmenleri yıl boyunca çözmesi için 6 farklı matematik, 5 farklı fizik ve 4 farklı kimya kitabı almaları için bir liste vermişlerdir. Beyza bu listeden 1 fizik, 1 matematik ve bir kimya kitabı alarak çözmeye başlıyor.
Buna göre, Beyza bu kitapları kaç farklı şekilde seçebilir? A) 15
B) 60
C) 120
D) 240 E) 360
Çözüm: Altı basamaklı bir palindrom sayı abccba şeklindedir. Burada abc yi belirlemek yeterlidir. a yerinde 0 gelemez. a = 1, 2, ..., 9 şeklinde 9 rakam olabilir b ve c yerine 0, 1, ..., 9 şeklinde 10'ar rakam gelebileceğinden abc şeklindeki sayılar 9. 10.10 = 900 tanedir. O halde abccba şeklinde 900 tane palindrom sayı vardır.
371
16.Ünite
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik 9. Aralarında Emre ve Bilge'ninde bulunduğu 6 kişi yan yana sıralanacaktır.
6. Ayşe {3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını aşağıdaki kutuların içerisine her kutuya bir sayı gelecek şekilde dağıtıyor.
Bilgi Köşesi
Örnek 4 evli çift eşler yanyana olmak üzere düz bir sıraya kaç farklı şeklinde oturabilirler?
A) 108
Kutuların içinde bulunan sayılarla soldan sağa ve sağdan sola doğru okunuşu aynı olan beş basamaklı sayılar yazılıyor.
Buna göre, bu sayılar kutulara kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
Çözüm: E K 1
1
E K 2
2
2
2
E K 3
3
E K
2
4
5
4!
B) 144 C) 156
D) 180 E) 210
2
A) 6
4! . 2! . 2! . 2! . 2! = 24 . 16
Emre ve Bilge'nin arasında iki kişi olduğu kaç farklı sıralama vardır?
B) 24 D) 256
= 384
C) 64 E) 1024
biçiminde oturabilirler.
Örnek
10. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 7. Palme Yayınevi
Farklı renklerdeki 3 kalem 5 öğrenciye dağıtılacaktır. Her öğrenciye en çok 1 kalem verilmesi koşuluyla dağıtım işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir? Çözüm:
Herkes en çok 1 kalem alacağından 5 öğrenciden 3 tanesi 1 er kalem alacaktır.
Yukarıda verilen şeklin her satırında en az bir üçgen mavi renkli boyanarak farklı desenler oluşturuluyor.
Buna göre, kaç farklı desen oluşur?
O halde dağıtım işlemi P(5, 3) = 5 . 4 . 3 = 60 şeklinde yapılabilir.
A) 3125
B) 3325
D) 3825
kümesinden çarpımları pozitif olacak şekilde 3 sayı kaç farklı şekilde seçilebilir?
2 negatif , 1 pozitif y ada 3 pozitif sayı seçerek istenen elde edilir.
c m . c m = 3.4 = 12 3
4
2
1
a4 3k = 4
Üç tane 5 rakamı kullanılarak kaç farklı beş basamaklı sayı yazılabilir? A) 120
B) 180 C) 240
D) 300 E) 360
E) 4125
8. Ömer 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarını aşağıdaki tabloya yerleştirecektir.
Çözüm:
rakamları kullanılarak, beş basamaklı sayılar yazılacaktır.
C) 3525
Örnek A = {–4, –3, –2, 1, 2, 3, 4}
4
6
9
5
7
8
11. 5 evli çift arasından aralarında sadece 1 evli çift bulunan 4 kişilik bir grup kaç farklı biçimde seçilebilir? A) 240
B) 180 C) 120
7. D
8. B
D) 140 E) 90
Her sütundaki rakamların toplamı tek sayı olacak şekilde kaç farklı tablo oluşturulur? A) 144
B) 288 C) 360
D) 480 E) 720
12 + 4=16 tanedir.
372
1. D
2. E
3. A
4. B
5. C
6. C
9. B
10. E
11. C
16.Ünite Olasılık
/Permütasyon – Kombinasyon - Binom Açılımı – Olasılık – İstatistik
4. Yedi öğrencinin matematik sınavından aldığı notlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.
1. Ahmet,
A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
kümesinden üç farklı sayı seçiyor.
Ahmet çarpımları negatif olacak şekilde kaç seçim yapabilir? A) 3
B) 18
Bilgi Köşesi
10. TEST
C) 19
D) 45
E) 90
Kişi
A
B
C
D
E
F
Notu
85
79
68
95
100
73
Bu yedi kişi arasından üç kişilik bir ekip oluşturuluyor.
Buna göre, bu ekiplerden kaçında A nın notu en yüksek ikinci nottur? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 15
Örnek A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin 4 elemanlı alt kümeleri yazılıyor. Bu alt kümelerden kaç tanesinde 5 rakamı ait olduğu kümenin en küçük ikinci elemanıdır?
Çözüm: 5 rakamı ait olduğu kümenin en küçük ikinci elemanı ise küme içinde 5 ten küçük bir tane, 5 ten büyük iki tane eleman olmalıdır.
TV de bu maçlardan 4 ünü naklen izlemek isteyen Ömer kaç farklı şekilde bu maçları izleyebilir? A) 15
B) 30
C) 60
D) 75
E) 105
Palme Yayınevi
2. Türkiye Süper Liginde oynanan 9 maçtan 3 ü aynı gün ve aynı saatte oynanıyor.
A1 = {1, 2, 3, 4}
s(A1) = 4
5. 9 kişiden oluşan bir voleybolcu topluluğunda seçilecek takımla ilgili
A2 = {6, 7, 8}
s(A2) = 3
• Takım 6 kişiden oluşuyor.
• 9 kişi içerisinde Canan ve Elif vardır.
c m . c m = 4.3 = 12 küme yazı1 2
• Takımda Canan ve Elif aynı anda olma-
olup istenen koşula uygun 4
3
labilir.
yacak.
Buna göre, kaç farklı takım oluşturulabilir? A) 21
B) 28
C) 35
D) 42
Örnek
E) 49
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak c < b < a koşulunu sağlayan üç basamaklı kaç farklı abc sayısı yazılabilir?
3. Elif üç basamaklı abc sayıları yazacaktır.
•a