Observaciones Sobre Los Fundamentos De La Matematica

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Observaciones sobre los fundamentos de la matematica

Alianza Universidad

Ludwig Wittgenstein

Observaciones sobre los fundamentos de la matematica Edition de G. Henrik von Wright, R. Rhees y G. E. M. A nscom be Version espanola de Isidoro Reguera

Alianza Editorial

Tftulo ingles:

Remarks on the Foundations of Mathema/ics-3rd edition Edited by G. H . von Wright, R. Rhccs, G. E. M. Anscombe. Esta obra ha sido publicada en ingles por Basil Blackwell, Ltd. de Oxford, Inglaterra.

© Basil Blackwell Ltd. Oxford, 1978 © Ed. cast.: Alian7.a Editorial, S. A., Madrid, 7987 Callc M ilin, 38, 28043 Madrid; telef. 200 00 45 ISBN: 84-206-2496-9 Depdsito legal: M. 13.619-1987 Compuesto en Fernandez Ciudad, S. L. Impreso en Lavel. Los Llanos, nave 6. Humanes (M adrid) Printed in Spain

. INE>ICE

Prologo de los e d ito re s.......................................................... PARTE I. Circa 1937-1938 .................................................. Apendice I. 1933-1934 ............................................................ Apendice II ............................................................................... Apendice I I I ............................................................................. PARTE II. 1938 ...................................................................... PARTE III. 1939-1940............................................................ PARTE IV. 1942-1944............................................................ PARTE V. 1942-1944 ............................................................ PARTE VI. Circa 1943-1944 ................................................ PARTE VII. 1941 y 1944....................................................... Indice analitico........................................................................

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PROLOGO D E LOS EDITORES

Las notas de Wittgenstein publicadas postumamente en 1956 bajo el titulo de Observaciones sobre los fundamentos de la matematica, proceden casi todas de la epoca que va de septiembre de 1937 a abril de 1944. En sus ultimos anos de vida, Wittgenstein no volvid a estos temas. De 1929 a 1934 aproximadamente, en cambio, escribid mucho sobre ftlosqfia de la matematica y de la logica. Una parte considerable de ello —junto con otros materiales de esos anos— ha sido publicada bajo los titulos de Observaciones filosoficas (Philosophische Bemerkungen) (1964) y Gramatica filosofica (Philosophische Grammatik) (1969). Esta nueva edicion revisada de las Observaciones sobre los fundamentos de la matematica contiene el texto integro de la primera edicion (1956). Como editores, por tanto, no hemos dejado fuera nada de lo que ya estaba en la imprenta. Hemos incluido, en cambio, material adicional. Solo las Partes II y III de la primera edicion han vuelto a imprimir.se aqui. como Partes III v IV, practicamente inalteradas. El Apendice II de la Parte I de la primera edicion, ampliado con olgunas ahadiduras, pocas, tomadas de los manuscritos, lo publicam°s aqui independientemente como Parte II. Enteramente nueva es la Parte VI de la nueva edicion. El nianuscrito contiene. entre otras cosas. la exposition quizd mas 9

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satisfactoria del pensamiento de Wittgenstein respecto al problema de seguir una regia — uno de sus temas mas recurrentes. El manuscrito (164) fue escrito en los anos 1941-1944; hasta ahora no nos ha sido posihle fecharlo con mayor precision K El manuscrito, con excepcion de unas pocas ohservaciones del final, que no encajan del todo en el circulo tematico primordial, se ha imprimido aqui in extenso. La Parte I es la mas temprana de esta coleccion, y en cierto modo mantiene una position peculiar. Es la unica parte escrita a maquina y la mas elahorada de todas. El escrito a maquina se apoya, a su vez, en manuscritos, la mayor parte de los cuales fueron compuestos en el periodo que va desde septiembre de 1937 hasta aproximadamente el final de ese mismo aho (117, 118, 119). Una excepcion la forman, sin embargo, las ohservaciones sobre la negacion, que proceden de un manuscrito surgido en torno al cambio de aho 1933-1934 (115). En su forma original el escrito a maquina, base de la Parte I, formaba la segunda mitadde una temprana version de las Investigaciones filosoficas. Esa mitad de esa version Wittgenstein la dividid despues en recortes, introduciendo numerosos cambios y adiciones, y solo despues ordeno las ohservaciones aisladas tal como se reproducen aqui. Todavia en un cuaderno de notas manuscrito (124) de 1944 propuso algunos cambios —pocos— respecto a este manuscrito a maquina. (Vease infra, p. 57, nota.) La ultima section de la recopilacion reordenada consistia en papeles que no habian sido troceados, aunque si tenian numerosos ahadidos manuscritos, y no esta del todo claro si Wittgenstein la considero perteneciente al texto que precedia. Esta seccion trata del concepto de la negacion y, como ya hemos dicho, fue escrita tres o cuatro ahos antes que el resto de la Parte 1. Su contenido se encuentra en gran parte en las Investigations, §§ 547-568. Los editores la habian dejado fuera en la primera edicion, pero aqui la han incluido como Apendice I de la Parte I. A esta recopilacion se le han ahadido, ademas, otros dos 1 La numeration de los manuscritos y de los escritos a maquina de Wittgenstein sigue aqui la lista ofrecida en el articulo de G. V. von Wright, «The Wittgensteins Papers», publicado en The Philosophical Review, vol. LXXVII1, 1969.

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endices. Estos proceden del mismo escrito a maquina de la a^eunda mitad de las (primitivas) Investigations, aunque estaban separados del resto de la coleccion de recortes. El primero trata de )o «sorprendente en la matematica». El segundo discute, entre otras cosas, lets teorias de Godel sobre la existencia de las proposiciones indemostrables, pero verdaderas, en el sistema de los Principia Mathematica. En la primera edicion solo incluimos el segundo apendice, pero en esta publicamos ambos (Apendices II y III). Con excepcion de unas pocas observaciones que el propio Wittgenstein dejo fuera al ordenar los recortes, la Parte I aqui publicada comprende, asi, el contenido entero de la segunda parte de la primitiva version de las Investigaciones filosoficas. Hubo de ser intencion de Wittgenstein anadir tambien apendi­ ces, sobre la teoria de Cantor de la infinitud y sobre la logica de Russell, a las contribuciones sobre problemas referentes a los fundamentos de la matematica, que habia pensado incluir en las Investigaciones filosoficas. Bajo el titulo de «Anexos», Wittgens­ tein escribio, probablemente a principios del ano 1938, algunas cosas sobre problemas referentes a la teoria de conjuntos: sobre el procedimiento de la diagonal v sobre las diferentes variedades del concepto de niunero. Desde abril de 1938 hasta enero de 1939 compuso un cuaderno manuscrito (121) en el que, junto a otras observaciones sobre la jilosofia de los conceptos psicologicos, incluyd bastantes sobre probabilidad y verdad (Godel), asi como sobre infinitudy variedades de numeros (Cantor). Estos apuntes los continuo inmediatamente en un block de notas ( 162a y comienzo de 162b). En los ultimos anos de la guerra volvio tambien ocasionalmente a estos temas. La confrontacion con Cantor, sin embargo, nunca llego a su termino. Lo que aparece aqui publicado como Parte II consiste en los «Anexos» anteriormente mencionados (117) y en una seleccion de observaciones de 121. Todo ello representa una ampliacion insignijicante del Apendice II de la Parte I de la antigua (1956) edicion. La ordenacion de las frases y paragrafos en observaciones numeradas se corresponde con el texto original (lo que no era en modo alguno el caso en la edicion de 1956). Las secciones ban sido numeradas por los editores. La confrontacion de Wittgenstein con Russell, es decir, con la idea de la derivabilidad de la matematica a partir del calculo logico.

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se encuentra en la Parte III de esta coleccion (Parte II de la edicion de 1956). Estos escritos proceden del periodo que va de octubre de 1939 a abril de 1940. El manuscrito (122, que continua en la segunda mitad de 117) era el mas extenso de todos las manuscritos que forman la base de esta coleccion. Ni en el estilo ni en el contenido ha sido perfeccionado. El autor intenta repetidamente elucidar sus ideas sobre la naturaleza de la demostracion matematica: que significa, por ejemplo, decir que una demostracion ha de ser controlable; que se nos presenta con una nueva imagen; que crea un nuevo concepto; y cosas semejantes. Con ello intenta explicar «lo variopinto de la matematica» y aclarar la conexion entre diferentes tecnicas de calculo. Con este esfuerzo se enfrenta simultaneamente a la idea de una «fundamentacion» de la matematica, sea en la forma de un calculo russelliano o en la de la concepcion hilbertiana de una metamatematica. Se discute pormenorizadamente la idea de contradict ion y la de una demostracion de consistencia. Los editores fueron de la opinion de que este manuscrito contenia un cumulo de valiosas ideas, tales como no se encuentran en ninguna otra parte en los escritos de Wittgenstein. Pero, por otro lado, tambien les resultaba claro que este manuscrito no podia ser publicado sin acortarlo. Por eso, una selection resultaba indispensa­ ble. La tarea fue dificil, y los editores no estan del todo satisfechos del resultado. En el otoho de 1940 Wittgenstein volvio a ocuparse de nuevo de la jilosojia de la matematica y escribio algunas cosas sobre la cuestion de seguir una regia. Estos escritos (manuscrito 123) no se publican aqui. En mayo de 1941 reemprendio el trabajo y ello le condujo pronto a investigaciones, de las que una considerable seleccion aparece publicada aqui como Parte VII. La primera parte de la Parte VII f§§ 1-23) fue escrita en su mayoria en junio de 1941. En ella se discute la relation entre proposiciones matemdticas y empiricas, entre calculo y experimento, vuelve a tratar del concepto de contradiction y de consistencia, y termina en las cercanias del problema de Godel. La segunda mitad Jue escrita en la primavera de 1944. Trata fundamentalmente del concepto de seguir una regia, de la demostracion matematica e inferencia logica, y de la conexion entre demostracion y for mac ion de conceptos en matematica. Hay aqui numerosos puntos de

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contacto, por una parte, con los manuscritos del periodo intermedio (Partes IV v V) v, por otra, con ideas de las Investigaciones filosoficas. §§ 47-60 esencialmente Jorman una version primitiva de lo que ahora puede encontrarse en Investigaciones §§ 209 a 237. La secuencia de las observaciones es aqui diferente; y algunas no han sido recogidas en la version posterior. Ambas mitades de esta Parte VII estaban en el mismo manuscrito (124), lo que es un indicio de que el autor las consideraba afines. La Parte V esta tomada de dos manuscritos (126 y 127) pertenecientes a los anos 1942 y 1943 — mientras que la Parte IV deriva principalmente de un manuscrito (125) del ano 1942 con algunos anadidos sacados de los dos manuscritos en los que se basa la Parte V. Mucho de esas dos partes tiene el caracter de «estudios preliminares» para la segunda mitad de la Parte VII; pero contienen tambien un ciimulo de materiales que el autor no uso alii. En la Parte V Wittgenstein discute temas conectados con Brouwer y el intuicionismo: la ley del tercio excluso y la existencia matematica; el corte de Dedekind y el modo extensional e intensional de ver las cosas en !a matematica. En la segunda mitad de esa parte hay observaciones sobre el concepto de generalidad en matematica y especialmente sobre un tema que aparece con mayor fuerza en la Parte VII: el papel de la formacion de conceptos y la relacion entre concepto y verdad en matematicas. El ordenamiento cronologico del material tuvo como consecuencia el que un mismo tema se trate a veces en diferentes lugares. Si Wittgenstein hubiera hecho con sus observaciones un libro, probablemente hubiera evitado algunas de estas repeticiones. Hay que recalcarlo una vez mas: la Parte I, y practicamente tambien la Parte VI, pero solo ellas, son reproducciones completas de textos de Wittgenstein. Por tanto, lo que aqui aparece publicado como Parte II, III, IV, V y VII es una seleccion de manuscritos cxtensos. En su prefacio a la primera edicion, los editores manifestaron su suposicion de que quiza mas tarde seria deseable imprimir tambien lo que habian omitido. Siguen siendo -aim de la misma opinion —pero tambien de la opinion de que todavia no ha llegado el momento de imprimir todos los manuscritos de Wittgenstein sobre estos y otros temas. Como editores, solo nosotros somos responsables de la numeracion de los paragrafos elegidos (tambien en la Parte I). Pero la

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articulat ion de los escritos en «observaciones» —separados aquipor amplios espacios vacios— pertenece a Wittgenstein mismo. Con algunas pocas excepciones, no hemos querido interferir en el orden de las secciones. Algunas veces, sin embargo (especialmente alfinal de la Parte IV y V), hemos reunido material sobre el mismo tema tomandolo de lugares diversos. El indice de contenidos y el indice analitico estan pensados para ayudar al lector a obtener una perspectiva de conjunto y para hacerle mas comodo encontrar las cosas. Solo nosotros somos responsables de la articulacion tematica del material, indicada en la lista de contenidos.

PARTE I

Circa 1937-1938

1. Usamos la expresion: «Los pasos vienen determinados por la formula...». Pero i,como se usa? Podemos referimos, por ejemplo, a que a los seres humanos la education (adiestramiento) los lleva a usar la formula y = x2 de tal modo que siempre que atribuyen el mismo valor a x, obtienen el mismo valor para y. O bien podemos detir: «Esas personas estan de tal modo adiestradas que todas ellas, ante la orden ‘ + 3’, dan el mismo paso en el mismo punto». Podemos expresar esto del siguiente modo: «La orden ‘ + 3’ determina completamente para estas personas cualquier transition de un numero al siguiente». (A1 contrario que otras personas, que ante esa orden no saben que tienen que hacer, o que, si bien reactionan con seguridad ante ella, lo hacen, sin embargo, cada una de un modo diferente.) Por otra parte, podemos contrastar diferentes tipos de formu­ las y diferentes tipos de uso (diferentes tipos de adiestramiento) apropiados a ellas. Entonces llamamos formulas de un tipo determinado (y de un modo apropiado de uso) a «formulas que determinan un numero y para un valor dado de x», y formulas de otro tipo a aquellas «que no determinan el numero >• para un valor dado de x». (>■= x2 +1 seria del primer tipo, y > x 2+ 1, y = x2 + l, y = x 2 + z, del segundo.) La proposition: «la formula... determina un numero y» es, pues, un enunciado sobre la forma de 15

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las formulas -de modo que hay que distinguir una proposition como «La formula que he escrito determina y», o como «He aqui una formula que determina y», de otras como: «La formula y ~ x 2 determina que el numero y para un x dado». La pregunta «^Es esa una formula que determina y?» significa entonces lo mismo que: «n- z> •b? cNo se observan composiciones de color, por ejemplo r a n b\ y se deduce entonces esa proposition? Pero, al contemplar una superficie ^no puede interesar la cuestion de si se pintara de verde o no de verde: y si ve ahora: ~ v. ha de prestar atencion al color concreto de la superficie? Y £no podria interesar a alguien esta combination de colores: r •a -=>n • ■b? Si el, por ejemplo, estuviera ensenado, olvidando todo lo demas, a contemplar la superficie solo bajo ese punto de vista. (Bajo determinadas circunstancias podria resultar indiferente a los seres humanos que ciertos objetos sean rojos o verdes; pero importante, que tengan uno de esos colores, o un tercero. Y en ese caso podria haber una palabra de color para «rojo o verde».)

Pero si puede observarse que r a=>n- => b

entonces se puede observar tambien, y no simplemente inferir, que ~ u =>r •a • ~ ti.

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Si estas son tres observaciones, entonces ha de ser p o s ib ie tambien que la tercera no coincida con la conclusion logica de las dos primeras. i,Puede imaginarse, por tanto, que alguien, al observar una superficie, vea (como bandera, por ejemplo) la combination rojonegro, pero que, si intenta ver una de ambas mitades, en vez de rojo vea azul? Bien, tu lo has descrito, precisamente.—Seria como si alguien mirara un grupo de manzanas y le pareciera siempre como dos grupos de dos manzanas cada uno, pero, en cuanto intentara reunirlas con la mirada, le parecieran 5. Se trataria de un fenomero muy curioso. Y no es ninguno de cuya posibilidad tengamos noticia.

Recuerda que un rombo, visto como losange, no parece un paralelogramo. Pero no porque sus lados opuestos no parezcan paralelos, sino porque no reparamos en ese paralelismo.

65. Podria imaginarme que alguien dice que ve una estrella roja y amarilla, pero que no ve nada amarillo, porque ve la estrella, por asi decirlo, como una combinacidn de partes coloreadas, que no consigue separar. El tiene ante si figuras como estas, por ejemplo

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Preguntado si ve un pentagono rojo, diria «si»; preguntado si ve uno amarillo: «no». Igualmente dice que ve un triangulo azul, pero no uno rojo.— Habiendo llamado su atencion, diria quiza: «Si, ahora me doy cuenta; no habia visto asi la estrella.» Y, asi, podria ser que le pareciera que no pueden separarse los colores de la estrella, porque no pueden separarse sus formas. No puede aprender a abarcar con la mirada la geografia de un paisaje quien se mueve por ella tan despacio que cuando avanza un trecho ya ha olvidado el otro.

66. ^Por que hablo siempre de que la regia me obliga; por que no de que puedo querer seguirla? Ya que esto es tan importante. Pero tampoco quiero decir que la regia me obligue a actuar asi, sino que me posibilita atenerme a ella y dejar que me obligue. Y quien juega un juego, por ejemplo, se atiene a sus reglas. Y resulta interesante el hecho de que los seres humanos establezcan reglas por diversion y se atengan luego a ellas. Mi pregunta era propiamente: «