L’elmo della mente

Table of contents :
Presentazione......Page 3
Frontespizio......Page 5
Pagina di copyright......Page 6
Prologo......Page 8
Prima parte. Come funziona......Page 12
1.1 Gira e raggira......Page 13
1.2 Ipnosi collettiva......Page 17
1.3 Ipnosi continua......Page 18
1.4 Ma che coincidenza!......Page 19
1.5 Acqua e vino......Page 21
1.6 Il nome famoso......Page 24
1.7 Il giusto mezzo......Page 27
1.8 La predizione cinese......Page 28
1.9 Una prova di telepatia......Page 32
1.10 Le carte trasparenti......Page 34
1.11 I mazzetti misteriosi......Page 38
1.12 Magie al quadrato......Page 40
2.1 Il magico «9»......Page 45
2.2 Un rinoceronte nero......Page 46
2.3 Il numero di telefono......Page 47
2.4 Un calcolo con i piedi......Page 48
2.5 La carta mancante......Page 49
2.6 La carta nascosta......Page 51
2.7 Attrazione fatale......Page 53
2.8 Più veloce della luce......Page 55
2.9 Il computer umano......Page 58
2.10 La carta parlante......Page 61
2.11 Divinazioni à gogo......Page 64
2.12 Magia ciclica......Page 71
3.1 I sette cartoncini magici......Page 75
3.2 L'ordine magico......Page 78
3.3 Le tracce significative......Page 83
3.4 L'incredibile previsione......Page 86
3.5 I simboli astrali......Page 88
3.6 Magia ternaria......Page 94
4.1 Una somma prodigiosa......Page 97
4.2 Lo scherzo dei tre bicchieri......Page 99
4.3 La moneta coperta......Page 102
4.4 Testa o croce......Page 105
4.5 Magia a gettone......Page 108
4.6 Eliminazione diretta......Page 110
4.7 L'enigma della scacchiera......Page 113
4.8 Il percorso contorto......Page 116
4.9 Le coppie omogenee......Page 119
5.1 A ciascuno il suo......Page 121
5.2 I primi imprimibili......Page 124
5.3 Le tre tazzine......Page 127
5.4 La formula latina......Page 131
5.5 Le tre palline......Page 135
6.1 La testa scomparsa......Page 137
6.2 I nanetti impertinenti......Page 140
6.3 Il paradosso della scacchiera......Page 142
6.4 Il quadrato dilatabile......Page 146
6.5 Il triangolo assurdo......Page 149
6.6 Un altro triangolo assurdo......Page 151
Seconda parte. Perché funziona......Page 155
1.1 Gira e raggira......Page 156
1.2 Ipnosi collettiva......Page 159
1.3 Ipnosi continua......Page 160
1.4 Ma che coincidenza!......Page 161
1.5 Acqua e vino......Page 162
1.6 Il nome famoso......Page 164
1.7 Il giusto mezzo......Page 167
1.8 La predizione cinese......Page 169
1.9 Una prova di telepatia......Page 171
1.10. Le carte trasparenti......Page 172
1.11 I mazzetti misteriosi......Page 173
1.12 Magie al quadrato......Page 175
2.1 Il magico «9»......Page 180
2.2 Un rinoceronte nero......Page 181
2.3 Il numero di telefono......Page 182
2.4 Un calcolo con i piedi......Page 183
2.5 La carta mancante......Page 185
2.6 La carta nascosta......Page 186
2.7 Attrazione fatale......Page 188
2.8 Più veloce della luce......Page 191
2.9 Il computer umano......Page 193
2.10 La carta parlante......Page 195
2.11 Divinazioni à gogo......Page 197
2.12 Magia ciclica......Page 199
3.1 I sette cartoncini magici......Page 201
3.2 L'ordine magico......Page 203
3.3 Le tracce significative......Page 205
3.4 L'incredibile previsione......Page 206
3.5 I simboli astrali......Page 210
3.6 Magia ternaria......Page 214
4.1 Una somma prodigiosa......Page 219
4.2 Lo scherzo dei tre bicchieri......Page 220
4.3 La moneta coperta......Page 222
4.4 Testa o croce......Page 223
4.5 Magia a gettone......Page 224
4.6 Eliminazione diretta......Page 225
4.7 L'enigma della scacchiera......Page 227
4.8 Il percorso contorto......Page 229
4.9 Le coppie omogenee......Page 231
5.1 A ciascuno il suo......Page 233
5.2 I primi imprimibili......Page 235
5.3 Le tre tazzine......Page 237
5.4 La formula latina......Page 239
5.5 Le tre palline......Page 240
6.1 Perdere la testa......Page 244
6.2 I nanetti impertinenti......Page 246
6.3 Il paradosso della scacchiera......Page 249
6.4 Il quadrato dilatabile......Page 251
6.5 Il triangolo assurdo......Page 253
6.6 Un altro triangolo assurdo......Page 255
Appendice......Page 257
Le incognite della matematica......Page 258
La relazione di uguaglianza......Page 261
L'addizione......Page 263
La sottrazione......Page 267
La moltiplicazione......Page 271
La divisione......Page 276
Elevazione a potenza......Page 279
Istruzioni per l'uso......Page 284
I passaggi algebrici......Page 287
Capitolo 2 – Numerazione in base 10......Page 294
Capitolo 3 – Numerazioni in altre basi......Page 300
Capitolo 4 – Pari e dispari......Page 308
Capitolo 5 – Corrispondenza biunivoca......Page 310
Capitolo 6 – Inganni geometrici......Page 313
Bibliografia e letture consigliate......Page 316
Dello stesso autore in ebook......Page 318
Note......Page 320
Indice......Page 321
Seguici su IlLibraio......Page 327

Citation preview

Presentazione

«Con la mente corazzata contro i rischi dell’ingenuità si parte per un viaggio nell’universo dei trucchi matematici». Il Venerdì di Repubblica «Cinquanta giochi degni del Mago Silvan ma fondati su regole matematiche. Divertimento garantito». La Stampa

La matematica non è soltanto quel complesso di regole e operazioni che ci aiutano nella vita pratica di tutti i giorni, e nemmeno soltanto un insieme astratto di concetti da imparare per non prendere un brutto voto a scuola. La matematica è anche un universo pieno di magia: sotto i più comuni ragionamenti matematici, che facciamo quotidianamente quasi senza pensarci, si nascondono proprietà dalle implicazioni sorprendenti. In questo libro sono raccolti cinquanta giochi di prestigio di facile esecuzione e di sicuro effetto, molti tratti dal repertorio tradizionale dei maghi, altri completamente originali, tutti basati sulle proprietà dei numeri e delle figure geometriche. Nella prima parte, adatta anche ai ragazzi, si spiega come eseguire il trucco. Nella seconda si svela il mistero del suo perché matematico, interpretando ogni singola azione ‘magica’ e collegando cosi i concetti teorici all'esperienza reale. L'innata attrazione verso tutto ciò che è magico, unita all'istintivo desiderio di voler svelare il mistero, spingerà il lettore, anche il meno esperto, alla scoperta dei ragionamenti matematici alla base dei trucchi proposti. Un

libro appassionante e utile per incantatori giovani e meno giovani, classi annoiate, insegnanti astuti e famiglie curiose. Ennio Peres è tra i più autorevoli divulgatori matematici in Italia. Ex professore di Informatica e di Matematica, è autore di libri di argomento ludico, ideatore di giochi in scatola e di giochi radiofonici e televisivi. Collabora con vari giornali e riviste. Per Salani ha pubblicato anche ‘Matematicaterapia’ (2011). Susanna Serafini è architetto e illustratrice. Per Ponte alle Grazie ha pubblicato ‘Matematica – Corso di sopravvivenza’ e ‘Fisica – Corso di sopravvivenza’.

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In copertina: illustrazione di Mimmo Paladino Grafica di copertina: GrafCo3

ISBN 978-88-6715-969-7 Copyright © 2006 Adriano Salani Editore s.u.r.l.

Gruppo editoriale Mauri Spagnol Milano

Prima edizione digitale 2015 Quest’opera è protetta dalla Legge sul diritto d’autore. È vietata ogni duplicazione, anche parziale, non autorizzata.

A Marco

Introduzione

La matematica è un gioco e comunica totale magia. (anagramma di Mister Aster) In questo manuale ho raccolto 50 giochi di prestigio basati su ragionamenti matematici, tutti di facile esecuzione e di sorprendente effetto. Molti sono tratti dal repertorio tradizionale dei maghi, altri sono completamente originali; ognuno di loro, comunque, è abbinato a una spiegazione dettagliata. Ritengo che un tale lavoro possa essere apprezzato sia dai cultori di matematica ricreativa, a cui potrà fornire diversi spunti interessanti e coinvolgenti, sia da coloro che conoscono poco la matematica e che, grazie a esso, avranno la possibilità di avvicinarsi in maniera piacevole e coinvolgente a una materia di fondamentale importanza, ingiustamente considerata arida e noiosa. L’innata attrazione verso tutto ciò che è magico, unita all’istintivo desiderio di voler svelare il mistero, dovrebbe spingere il lettore ad analizzare a fondo i ragionamenti matematici che servono a spiegare i vari trucchi proposti in questo libro, indipendentemente dal grado di conoscenza della materia. Nel compiere una simile operazione, tra l’altro, trovandosi di fronte alla necessità di interpretare in chiave matematica ogni singola azione compiuta, il lettore dovrebbe essere spontaneamente indotto a collegare i concetti teorici con l’esperienza reale. Dato che un salutare esercizio del genere non viene abitualmente svolto nelle

tradizionali lezioni scolastiche, questo libro si presta a essere utilizzato anche come valido e stimolante testo di supporto didattico. Per favorire un utilizzo più scorrevole del materiale proposto, ho diviso la trattazione in due parti e un’appendice, in base ai seguenti criteri. •La prima parte (Come funziona) contiene solo le indicazioni essenziali per poter eseguire i giochi proposti ed è fruibile anche da bambini di sette-otto anni, in grado di compiere le quattro operazioni elementari. •La seconda parte (Perché funziona) espone i concetti matematici su cui si basano i trucchi utilizzati e richiede la conoscenza di alcune semplici nozioni algebriche. •L’appendice presenta le basi necessarie alla comprensione della seconda parte. In questo modo può costituire per il lettore un agile strumento di ripasso o di scoperta di alcune regole e proprietà matematiche. Allo scopo di rendere più omogeneo e comprensibile il testo esplicativo, ho raggruppato i giochi in base al principio matematico che ognuno di loro prevalentemente utilizza, nel modo qui di seguito indicato: •proprietà algebriche: semplici regole di algebra elementare la cui applicazione consente di ricavare agevolmente delle informazioni che, ragionando solo a mente, sarebbe molto difficile ottenere; •numerazione in base 10: proprietà legate all’attuale rappresentazione numerica, che possono risultare piuttosto sorprendenti, perché abitualmente vengono applicate in forma meccanica; •numerazioni in altre basi: proprietà legate alla rappresentazione numerica in base 2 e in base 3, non di comune conoscenza (ma di facile e rapido apprendimento); •controllo di parità: potente strumento di indagine matematica, che si basa su semplici considerazioni relative

alla proprietà dei numeri interi di essere o pari o dispari; •corrispondenza biunivoca: possibilità di accoppiare gli elementi di due insiemi, facendo in modo che a ogni elemento del primo corrisponda un solo elemento del secondo e che a ogni elemento del secondo corrisponda un solo elemento del primo; •inganni geometrici: ingegnose costruzioni geometriche che consentono di simulare la sparizione o l’apparizione di un determinato elemento grafico. Un ultimo suggerimento: munitevi di carta e matita, nonché dell’attrezzatura di volta in volta richiesta (carte da gioco, monete, tazzine, ecc.), in modo da poter eseguire i giochi di pari passo con la lettura delle relative istruzioni. Solo così potrete evitare che la materia che andrò ad illustrarvi, invece che «semplice e magica», possa apparirvi molto presto «difficile e stregata»! Avvertenza 1 – Ho impostato la prima parte del libro in modo da consentire l’esecuzione di ogni gioco in forma spettacolare, davanti a un pubblico composto da diversi spettatori. Le istruzioni fornite, però, rimangono valide anche se ci si esibisce di fronte a poche persone (o a una sola). Ovviamente, in un caso del genere, tutte le operazioni necessarie possono essere svolte a distanza ravvicinata, sul piano di un tavolo; di conseguenza, non è necessario procurarsi una lavagna, ed è sufficiente effettuare delle semplici fotocopie (non ingrandite) delle varie immagini proposte. Avvertenza 2 – Nel seguito, adottando una terminologia piuttosto diffusa, chiamerò figura ogni carta da gioco il cui valore è indicato da un’immagine umana (re, regina e fante, oppure: re, cavaliere e fante); mentre chiamerò numerale ogni altra carta (dall’asso in su), il cui valore è indicato da una determinata quantità di simboli (cuori, quadri, fiori e

picche, oppure: coppe, denari, spade e bastoni).

Avvertenza 3 – Per comodità di esposizione, ricorrerò spesso all’espressione, non molto comune: «radice numerica di un numero intero N». Un termine del genere indica semplicemente il valore che si ottiene sommando le cifre del numero N, ripetendo eventualmente la stessa operazione sui risultati successivi, finché non rimane una sola cifra. Abitualmente, tale valore viene indicato con il simbolo: R[N]. Ad esempio, la radice numerica del numero: 456.789 (ovvero R[456.789]) è uguale a 3, dato che: 4+5+6+7+8+9=39 3+9=12 1+2=3 Un procedimento del genere dovrebbe essere piuttosto noto, se non altro perché viene utilizzato nella prova del nove, che si impara alle scuole elementari.

Nota – La categoria che raggruppa i giochi di magia matematica viene denominata dagli esperti Mathemagic (Matemagica). Questo termine, efficace contrazione della locuzione Mathematics magic (Matematica magica), è stato coniato nel 1933 dal mago statunitense Royal V. Heath, ma è stato reso popolare da Martin Gardner (il più autorevole e prolifico scrittore di matematica ricreativa di ogni epoca e paese), che lo ha utilizzato nel suo libro Mathematics, Magic and Mystery (pubblicato nel 1956 e tradotto in italiano nel 1985 da Sansoni Editore, con il titolo: I misteri della magia matematica).

Prima parte

COME FUNZIONA

Capitolo 1 – Proprietà algebriche

1.1 Gira e raggira Modalità di esecuzione 1. Scrivi su un foglio i valori di quattro diverse carte da gioco, senza mostrarli al pubblico; ripiega il foglio, inseriscilo in una busta e prendi un mazzo di carte. 2. Dopo aver mescolato più volte il mazzo, consegnalo a uno spettatore e impartiscigli le seguenti istruzioni: a) preleva un po’ di carte dalla cima del mazzo, rivoltale e mettile, a faccia in alto, di nuovo in cima al mazzo (fig. 1.1.1);

figura 1.1.1 b) preleva, sempre dalla cima del mazzo, un’altra quantità di carte, comprendente tutte quelle scoperte prima, più

qualcun’altra; c) rivolta anche queste carte e mettile in cima al mazzo (quelle prelevate precedentemente ora saranno quindi coperte); d) togli dalla cima del mazzo tutte le carte scoperte; rivoltale e mettile, coperte, in fondo al mazzo (fig. 1.1.2);

figura 1.1.2 e) preleva la carta che, a questo punto, si trova in cima al mazzo e ponila sul tavolo, senza scoprirla. 3. Fai eseguire altre tre volte questa stessa successione di mosse allo spettatore, in modo che arrivi a selezionare quattro carte in tutto. 4. Apri la busta contenente la tua previsione e mostra al pubblico i quattro valori da te pronosticati (ad esempio: 3 di cuori, 5 di quadri, 8 di picche, asso di fiori). 5. Chiedi allo spettatore di scoprire le quattro carte selezionate e fai notare che i loro valori coincidono esattamente con quelli che avevi predetto (fig. 1.1.3).

figura 1.1.3 Accorgimenti da seguire Poco prima di dare inizio al gioco, devi guardare i valori delle quattro carte che si trovano in cima al mazzo e tenerli a mente. Al momento di effettuare la tua previsione, devi trascrivere sul foglio proprio questi quattro valori. Nel mescolare più volte il mazzo, devi far attenzione a non spostare dalla loro posizione iniziale le quattro carte in questione. Infine, devi vigilare che lo spettatore esegua correttamente le istruzioni da te impartite... Possibili varianti Puoi eseguire questo stesso gioco, senza effettuare alcuna previsione, ma chiedendo all’inizio a quattro spettatori di scegliere una carta a testa. Dopo aver mostrato al pubblico le carte così selezionate, devi porle in cima al mazzo e procedere nello stesso modo prima esposto (dal punto 2. in poi). Alla fine, analogamente a quanto visto prima, le carte estratte saranno proprio queste.

Senza coinvolgere gli spettatori, puoi anche porre segretamente all’inizio, in cima al mazzo, un insieme di quattro carte particolari (ad esempio: quattro assi, oppure: fante, regina, re e asso di uno stesso colore). Con un’impostazione del genere, non è necessario che tu preannunci i valori che usciranno: il pubblico resterà molto sorpreso, comunque, nel vederli apparire, dopo l’esecuzione di una successione di mosse apparentemente casuale. Ovviamente, ai fini della riuscita, non è necessario che il gioco venga svolto proprio con quattro carte. Con una quantità inferiore, però, l’effetto può risultare meno incisivo; mentre, con una quantità maggiore, lo svolgimento diventa un po’ troppo lungo.

1.2 Ipnosi collettiva Modalità di esecuzione 1. Scrivi il numero 4 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta. 2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) pensate a un numero intero qualsiasi (ad esempio: 9); b) moltiplicate per 2 il numero pensato (9×2=18); c) aggiungete 8 al prodotto ottenuto (18+8=26); d) dividete per 2 il totale ottenuto (26:2=13); e) dal risultato così ottenuto, sottraete il numero a cui avevate pensato all’inizio (13−9=4). 3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dica ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto. 4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: «4». 5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva. Possibili varianti Invece del numero 8, puoi chiedere di aggiungere, al punto c), un altro numero pari qualsiasi P. Il risultato finale sarà sempre uguale alla metà di P.

1.3 Ipnosi continua Modalità di esecuzione 1. Scrivi il numero 1 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta. 2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) pensate a un numero intero qualsiasi (ad esempio: 7); b) aggiungete 3 al numero pensato (7+3=10); c) moltiplicate per 2 la somma ottenuta (10×2=20); d) dal prodotto ottenuto sottraete 4 (20−4=16); e) dividete a metà la differenza ottenuta (16:2=8); f) dal risultato così ottenuto, sottraete il numero a cui avevate pensato all’inizio (8−7=1). 3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dica ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto. 4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: «1». 5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva. Possibili varianti In questo gioco il valore finale dipende dalla scelta di due numeri e non di uno solo; quindi, la possibilità di generare delle varianti è leggermente più complessa della precedente. In ogni caso, tieni presente che, se al passo b), invece di 3, chiedi di aggiungere un generico numero A, e al passo d), invece di 4, chiedi di sottrarre un generico numero B, il risultato finale R sarà sempre dato dalla formula: R=(2A−B):2

1.4 Ma che coincidenza! Preparazione Procurati una certa quantità di foglietti bianchi di uguale formato e su ciascuno di essi svolgi le seguenti operazioni: •su una sua faccia, scrivi un numero intero maggiore di 3 (diverso da foglietto a foglietto); •piega il foglietto in quattro, in modo che il numero scritto rimanga nascosto all’interno; •se all’interno è riportato il numero X, scrivi all’esterno il numero X−3, come indicato, ad esempio, nel seguente schema. interno

4

5

6

...

19

20

esterno

1

2

3

...

16

17

Infine, poni tutti i foglietti così preparati all’interno di un sacchetto. N.B.: Non è necessario che i numeri scelti formino una progressione crescente, come qui sopra indicato. Ai fini della presentazione del gioco, è importante solo che i foglietti non contengano all’esterno numeri tutti uguali. Modalità di esecuzione 1. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) pensate a un numero intero qualsiasi (ad esempio: 8); b) aggiungete 7 al numero pensato (8+7=15); c) moltiplicate per 2 la somma ottenuta (15×2=30); d) togliete 5 dal prodotto risultante (30−5=25);

e) alla differenza così ottenuta, aggiungete il numero pensato all’inizio (25+8=33); f) dividete per 3 il risultato ottenuto (33:3=11). 2. Sottolinea che, se i calcoli precedenti sono stati svolti correttamente, il resto della divisione richiesta deve essere uguale a zero. 3. Fai rilevare, inoltre, che se gli spettatori hanno scelto all’inizio numeri diversi, devono aver ottenuto, fino a quel momento, risultati diversi. 4. Chiedi a uno spettatore di estrarre casualmente un foglietto dal sacchetto e di mostrare al pubblico il numero scritto al suo esterno (supponiamo che sia 12). 5. Fai notare che all’esterno degli altri foglietti sono riportati numeri diversi da quello estratto. 6. Fornisci al pubblico queste due ultime istruzioni: g) al risultato che avevate ottenuto in precedenza, aggiungete il numero che si trova all’esterno del foglietto estratto (nel nostro caso: 11+12=23); h) dalla somma così ottenuta, sottraete il numero pensato all’inizio (23−8=15). 7. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore pronunci ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto. 8. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro lo stesso numero, indipendentemente dal valore scelto all’inizio (nel nostro caso, diranno: «15»). 9. Apri il foglietto estratto in precedenza (nel nostro esempio, quello che reca all’esterno il numero 12) e fai notare che il numero riportato al suo interno coincide esattamente con quello ottenuto da ogni spettatore (nel nostro caso, infatti, al suo interno si trova il numero: 12+3=15).

1.5 Acqua e vino Modalità di esecuzione 1. Prendi un mazzo di 40 carte e, dopo averlo mescolato e fatto mescolare più volte, preleva le prime 20 carte. 2. Gira a faccia in alto queste 20 carte e inseriscile tra le altre 20 (fig. 1.5.1).

figura 1.5.1 3. Mescola e fai mescolare più volte il mazzo così composto in modo che le carte scoperte si distribuiscano casualmente tra le altre coperte. 4. Porgi il mazzo a uno spettatore e chiedigli di prelevare senza fartele vedere un insieme di 20 carte, a sua scelta (lasciando ciascuna carta nel verso in cui si trova). 5. Fatti consegnare il mazzetto di 20 carte così selezionato e sottolinea che tu non puoi assolutamente sapere quante carte scoperte questo contiene, né tanto meno puoi sapere quante ne contiene il mazzetto rimasto in mano allo spettatore. 6. Nascondi il tuo mazzetto (dietro la schiena o sotto il tavolo) e manipolalo per alcuni secondi.

7. Annuncia che, per effetto dell’operazione da te compiuta, nel tuo mazzetto ora ci sono tante carte scoperte, quante ce ne sono in quello dello spettatore. 8. Chiedi allo spettatore di contare quante carte scoperte sono presenti nel suo mazzetto e mostra che il tuo mazzetto ne contiene un numero identico. Accorgimenti da seguire Dopo aver nascosto il mazzetto che ti è stato consegnato (punto 6), invece di manipolarlo, devi semplicemente ribaltarlo (in modo che tutte le carte scoperte diventino coperte e viceversa). Nota – Questo gioco viene chiamato Acqua e vino, in quanto trae spunto da un celebre problema di Martin Gardner, che può essere esposto nel seguente modo. Si supponga di avere due bottiglie, una contenente un litro di acqua e l’altra contenente un litro di vino. Si immagini ora di prelevare un centimetro cubo di acqua, di travasarlo nel vino e, dopo aver mescolato completamente i due liquidi, di ripassare nell’acqua un centimetro cubo della miscela così ottenuta. Al termine di tale procedura, quindi, le due bottiglie tornano a contenere un litro di liquido ciascuna. A questo punto, la quantità di acqua presente nella bottiglia di vino è maggiore o minore della quantità di vino presente nella bottiglia di acqua? Se si pensa di affrontare la soluzione di questo problema cercando di interpretare matematicamente gli effetti di ogni operazione di travaso si rischia di impelagarsi in una sequenza di calcoli piuttosto complessa e insidiosa. La soluzione può essere trovata molto più rapidamente, ricorrendo a un ragionamento simile a quello visto per il precedente gioco di carte. Basta considerare, infatti, che le due bottiglie, alla fine, tornano a contenere un litro di liquido ciascuna; di conseguenza, la quantità di liquido originario che manca in ognuna di esse deve necessariamente essere

stata rimpiazzata con un’uguale quantità dell’altro tipo di liquido. In definitiva, ci deve essere tanta acqua nel vino quanto vino c’è nell’acqua... A onor del vero, bisogna precisare che il volume occupato da una miscela di acqua e vino è leggermente inferiore alla somma dei volumi dei due liquidi separati, ma è preferibile ignorare questa bizzarria della natura per non perdere l’occasione di applicare un ragionamento troppo bello per essere sprecato.

1.6 Il nome famoso Modalità di esecuzione 1. Porgi un mazzo di carte a uno spettatore e invitalo a mischiarlo più volte; poi, forniscigli le seguenti istruzioni: a) preleva dalla cima del mazzo una quantità di carte, non superiore a 10 (fig. 1.6.1);

figura 1.6.1 b) metti da parte queste carte, senza dirmi quante sono; c) osserva la carta che, nel mazzo restante, a partire dall’alto, occupa il posto corrispondente alla quantità di carte prelevate; in pratica, se hai preso 4 carte, devi memorizzare la carta che occupa il 4º posto; se ne hai prese 5, devi memorizzare quella che occupa il 5º posto, e così via (fig. 1.6.2);

figura 1.6.2 d) tieni a mente il valore di tale carta; e) comunicami il nome di un personaggio famoso che ti è simpatico; f) scandisci questo nome calando sul tavolo una carta per ogni lettera da cui è composto. 2. Prima che lo spettatore inizi a compiere l’operazione richiesta, eseguila tu a titolo dimostrativo, con il pretesto di volerti spiegare meglio. A tale scopo, preleva le carte, una alla volta dalla cima del mazzo, avendo l’accortezza di metterle sul tavolo, sempre una sopra l’altra (fig. 1.6.3).

figura 1.6.3 3. Riponi sul mazzo l’insieme di carte utilizzate per questa dimostrazione. 4. Fatti riconsegnare le carte che lo spettatore aveva messo da parte all’inizio e sistema anche queste sopra le altre. 5. Consegna il mazzo così ricomposto allo spettatore e chiedigli di ripetere l’operazione di scansione che hai appena illustrato. 6. Invitalo a girare la carta che ora risulta essere la prima del mazzo: con sua somma sorpresa, è proprio quella che aveva memorizzato all’inizio. Accorgimenti da seguire Prima di eseguire la tua scansione, devi verificare che il nome proposto dallo spettatore sia composto da almeno 10 lettere; in caso contrario, chiedigli di sceglierne un altro più lungo (adducendo, magari, la scusa che in questo modo il gioco sarebbe troppo facile...)

1.7 Il giusto mezzo Modalità di esecuzione 1. Chiama uno spettatore e porgigli un mazzo di carte. 2. Voltati, girando le spalle al tavolo, e fornisci allo spettatore le seguenti istruzioni: a) forma tre mazzetti, ognuno dei quali composto da una stessa quantità di carte, a tua scelta, ma non dirmi quante sono (ad esempio: 6 carte per ciascun mazzetto); b) sposta sopra il mazzetto centrale uno stesso numero di carte da ciascuno dei due mazzetti laterali e comunicami questo numero (ad esempio: 4); c) conta quante carte contiene ora il mazzetto di sinistra (nel nostro caso: 6−4=2); d) sposta dal mazzetto centrale a quello di destra una quantità di carte uguale al numero contato (nel nostro caso: 2). 3. Senza farti comunicare il valore di questo secondo numero, né chiedere altre informazioni, indovini il numero di carte che ora contiene il mazzetto centrale (nel nostro caso: 6+4+4−2=12). Accorgimenti da seguire Per ricavare il numero di carte che, alla fine, contiene il mazzetto centrale, devi semplicemente moltiplicare per 3 il numero che lo spettatore ti ha comunicato al passo b) (nel nostro caso: 4; quindi: 4×3=12):

1.8 La predizione cinese Preparazione Prendi un mazzo di carte e guarda quale carta occupa la 10a posizione a partire dall’alto. Lascia la carta al suo posto e trascrivi il suo valore sul lato di un foglietto. Gira il foglietto e sull’altro lato traccia alcuni scarabocchi simili a degli ideogrammi cinesi. Procurati una busta, inserisci al suo interno il foglietto e deponila chiusa sul tavolo. Modalità di esecuzione 1. Metti sul tavolo lo stesso mazzo di carte che hai utilizzato nella precedente fase di preparazione, senza mescolarlo. 2. Chiedi a uno spettatore di dirti un numero compreso tra 10 e 20 (estremi esclusi), a sua scelta (ad esempio: 15). 3. Togli dalla cima del mazzo, una alla volta, una quantità di carte uguale al numero che ti ha comunicato lo spettatore e ponile sul tavolo una sopra l’altra (fig. 1.8.1).

figura 1.8.1

4. Prendi in mano il mazzetto di carte così composto e metti da parte tutte le carte rimanenti. 5. Fai notare al pubblico che il numero è stato scelto dallo spettatore in piena libertà e che, quindi, tu non potevi assolutamente conoscerlo prima. Tanto meno potevi conoscere in anticipo la somma delle cifre che compongono questo numero. 6. Annuncia che, nonostante ciò, avevi previsto il valore della carta che, nel mazzetto determinato dallo spettatore, avrebbe occupato (a partire dall’alto) il posto corrispondente alla somma delle cifre del numero da lui scelto (nel nostro caso: 15; quindi, la tua predizione riguarderà la 6a carta, dato che: 1+5=6). 7. Porgi il mazzetto allo spettatore e chiedigli di prelevare la carta che occupa la posizione così individuata. 8. Poni la carta in bella vista sul tavolo; poi, apri la busta ed estrai il foglietto, mostrandolo al pubblico dalla parte che raffigura gli ideogrammi cinesi (fig. 1.8.2).

figura 1.8.2 9. Di fronte a un’inevitabile reazione di malumore del

pubblico, ti giustifichi dicendo che il gioco da te eseguito è di origine cinese e che, quindi, anche la predizione dovevi scriverla in cinese... 10. Prima che qualche spettatore possa darti del buffone, aggiungi: «Un momento, prego: c’è anche la traduzione in italiano!» 11. Gira il foglietto e mostra al pubblico che il valore in esso riportato coincide esattamente con quello della carta prima selezionata (fig. 1.8.3).

figura 1.8.3 Accorgimenti da seguire Quando esegui la manovra specificata al punto 3, devi stare attento a porre rigorosamente una carta sopra l’altra. Una possibile variante Questo gioco è molto divertente, ma richiede che tu conosca in anticipo il valore della carta da determinare e ciò, in particolare, ti impedisce di mescolare le carte prima di iniziare. Una variante che, invece, consente di poter compiere un’azione del genere (molto utile per aumentare l’alone di mistero), può essere effettuata nel modo qui di

seguito descritto, utilizzando un mazzo di carte francesi. 1. Mescola e fai mescolare più volte il mazzo, dopo di che aprilo a ventaglio e guarda il valore della carta che occupa la 10a posizione a partire dalla sua cima. 2. Togli dal mazzo la carta di uguale valore e colore di seme (per esempio, se la 10a carta è il 2 di picche, togli dal mazzo il 2 di fiori) e inseriscila nella busta. 3. Esegui il gioco in maniera analoga a quanto indicato prima, specificando che nella busta avevi in precedenza inserito la carta «gemella» di quella che sarebbe stata selezionata in base alla scelta dello spettatore. Nota – Se la carta che devi togliere è una delle prime 9 del mazzo (cosa che, in media, può succedere più o meno una volta su 5...), quella che hai determinato passerebbe, ovviamente, dal 10º al 9º posto e il gioco non riuscirebbe più. Per scongiurare una tale eventualità, puoi seguire due vie: o mescoli di nuovo il mazzo, sostenendo che non sei ancora sufficientemente concentrato; oppure sposti in cima al mazzo una carta, prelevandola dal fondo, in modo da riportare al 10º posto quella che ti interessa.

1.9 Una prova di telepatia Modalità di esecuzione 1. Volta le spalle al pubblico (resterai in questa posizione durante tutto lo svolgimento del gioco) e chiedi a uno spettatore di prendere e mescolare un mazzo composto da 32 carte. 2. Fornisci poi allo spettatore le seguenti istruzioni: a) dividi il mazzo in due parti più o meno uguali (fig. 1.9.1) e scegli uno dei mazzetti così ottenuti;

figura 1.9.1 b) conta le carte di questo mazzetto (ad esempio: 14) e somma le cifre che compongono tale numero, ma non mi comunicare il risultato (1+4=5); c) togli dalla cima del mazzetto una quantità di carte uguale al valore della somma ottenuta; d) guarda il valore della carta posta in cima al mazzetto che ti è rimasto in mano e tienilo a mente; e) lascia questa carta in cima al mazzetto, e poni sopra di

esso tutte le altre carte messe prima da parte, ricomponendo così l’originario mazzo di 32 carte; f) gira il mazzo a faccia in alto e preleva una carta alla volta, dichiarando ad alta voce il relativo valore. 3. Grazie alle tue virtù telepatiche sarai in grado di individuare la carta memorizzata in precedenza dallo spettatore, nel momento stesso in cui lui ne nominerà il valore. Accorgimenti da seguire Per riuscire in questa impresa, devi semplicemente indicare la carta che lo spettatore nominerà per 9a.

1.10 Le carte trasparenti Modalità di esecuzione 1. Prendi un mazzo di 40 carte, mescolalo e fallo mescolare più volte; poi togli dalla sua cima, una alla volta, 20 carte mettendole a faccia in alto, una sopra l’altra, sul tavolo (fig. 1.10.1).

figura 1.10.1 2. Raccogli queste 20 carte in un mazzetto, senza alterarne l’ordine, e mettile da parte, a faccia in giù, sul tavolo. 3. Disponi le prime tre carte che si trovano in cima al mazzetto rimanente, una accanto all’altra a faccia in alto (fig. 1.10.2).

figura 1.10.2 4. Riprendi le carte che avevi messo da parte e ponile sotto quelle che hai in mano; dopo di che, poni su ognuna delle 3 carte poste sul tavolo tante altre carte quante ne servono per arrivare a 10, cominciando a contare dal valore successivo a quello che mostra ogni carta (ad esempio, se hai scoperto un 4, un fante e un re, devi porre 6 carte sul 4 (contando: «5, 6, 7, 8, 9 e 10»), 2 carte sul fante che vale 8 (contando: «9 e 10») e nessuna sul re, perché vale già 10 (fig. 1.10.3).

figura 1.10.3 5. Esegui la somma dei valori delle 3 carte estratte prima (nel nostro caso: 4+8 [fante]+10 [re]=22) e annuncia che, siccome le carte sono trasparenti al tuo sguardo di mago, sei in grado di vedere nel mazzo quale carta occupa il posto corrispondente al valore di questa somma (fig. 1.10.4).

figura 1.10.4 6. Concentrati qualche istante, dichiara il valore di una carta e poi, girando lentamente una carta alla volta, verifica che al posto stabilito (nel caso del nostro esempio, al 22º posto) c’è proprio quella carta! Accorgimenti da seguire Questo gioco riesce con estrema facilità se all’inizio, quando giri (a faccia in alto...) le 20 carte, tieni a mente il valore della 13a carta girata. Incredibilmente sarà proprio questa la carta che, dopo tutte le manipolazioni indicate, dovrai indovinare.

1.11 I mazzetti misteriosi Modalità di esecuzione 1. Consegna un mazzo di 40 carte a uno spettatore e invitalo a mescolarlo più volte. 2. Girati, dando le spalle al tavolo, e chiedigli di formare alcuni mazzetti, seguendo le seguenti istruzioni: a) prendi una carta qualsiasi, guarda il suo valore e ponila coperta sul tavolo; b) sopra questa carta mettine tante altre quante ne servono per arrivare a 10, cominciando a contare dal valore successivo al suo (ad esempio, se la carta scelta è un 7, devi mettere sopra di essa altre 3 carte, contando: «8, 9 e 10») (fig. 1.11.1).

figura 1.11.1 3. Fai presente allo spettatore che può formare una quantità a sua scelta di mazzetti, ma che deve fermarsi quando non possiede carte sufficienti per continuare a adottare il criterio di composizione prima descritto.

4. Quando lo spettatore ha terminato, girati verso il tavolo, fatti consegnare le eventuali carte avanzate e annuncia che sei in grado di indovinare la somma dei valori di tutte le carte che si trovano in fondo ai mazzetti. 5. Comunica la tua previsione; scopri tutte le carte che si trovano in fondo ai mazzetti e fai notare che hai indovinato in pieno. Accorgimenti da seguire Per riuscire in tale impresa, devi applicare mentalmente la seguente formula: N=11M+R−40, dove: •N=numero che devi indovinare, •M=numero di mazzetti posti sul tavolo, •R=numero delle carte che ti ha consegnato lo spettatore. Ad esempio, se ti sono state consegnate 7 carte e a tavola ci sono 5 mazzetti, devi calcolare: 11×5+7−40=22 (figg. 1.11.2 e 1.11.3).

figura 1.11.2

figura 1.11.3

1.12 Magie al quadrato Modalità di esecuzione 1. Disegna su una lavagna (o su un foglio grande) lo schema vuoto di una matrice quadrata, di dimensioni 4×4, come il seguente.

2. Chiedi a uno spettatore di scegliere un numero intero di 2 cifre, maggiore di 30, e di scriverlo su un foglietto, senza farlo vedere agli altri. 3. Guarda il numero scritto dallo spettatore, ripiega il foglietto e chiudilo in una busta. 4. In ciascuna delle sedici caselle della matrice scrivi un diverso numero intero, a tuo completo arbitrio. Supponiamo, ad esempio, che lo spettatore abbia scelto il numero 50 e che tu abbia riempito la matrice nel seguente modo. 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

5. Invita gli altri spettatori a scegliere, di comune accordo,

uno qualsiasi dei sedici numeri contenuti nella matrice. 6. Evidenzia il numero che ti viene comunicato e cancella tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio, il numero 6, devi generare una configurazione analoga alla seguente. 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

7. Continua, invitando il pubblico a scegliere uno dei numeri che non hai cancellato (nel caso in esame: 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20). 8. Come prima, evidenzia il numero che ti viene comunicato e cancella tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio, il numero 15, devi generare una configurazione analoga alla seguente. 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

9. Invita di nuovo il pubblico a scegliere uno dei numeri che non hai ancora cancellato (nel caso in esame: 9, 12, 17, 20). 10. Ancora una volta, evidenzia il numero che ti viene comunicato e cancella tutti quelli che si trovano lungo la sua

stessa riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio, il numero 12, devi generare una configurazione analoga alla seguente. 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11. Essendo rimasto un numero solo (nel caso in esame: 17), evidenzialo direttamente, in quanto la scelta sarebbe obbligata. 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

12. Esegui la somma dei quattro numeri scelti (nel caso in esame: 6+15+12+17=50), apri la busta e mostra al pubblico che, prodigiosamente, il valore così ottenuto coincide con quello che lo spettatore aveva scelto all’inizio (nel caso in esame: 50, appunto...) Accorgimenti da seguire Dopo aver conosciuto il valore N scelto dallo spettatore devi eseguire le seguenti operazioni. a) Calcola (possibilmente a mente) il quoziente intero della divisione: (N−30):4. b) Poni il valore ottenuto nella prima casella in alto a

sinistra della matrice e riempi le altre caselle, in base alle seguenti indicazioni. b1) Se il resto della divisione che hai eseguito è uguale a 0, devi scrivere i numeri nelle caselle, procedendo da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso, aumentando ogni volta di un’unità il valore precedente (in maniera rigorosa, senza alcuna discontinuità). Se, ad esempio, venisse scelto: N=34, il risultato della divisione sarebbe: (34−30):4=1, con il resto di 0; quindi, dovresti riempire la matrice nel seguente modo. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

b2) Se il resto della divisione che hai eseguito è diverso da 0, devi scrivere i numeri in maniera analoga alla precedente, badando a saltare, però, un’unità all’inizio della riga il cui numero di posizione, a contare dal basso, è uguale al resto ottenuto. Ad esempio, se venisse scelto: N=35, il risultato della divisione sarebbe: (35−30):4=1, con il resto di 1; quindi, dovresti saltare un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal basso, come indicato nello schema seguente. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

→

14

15

16

17

Se, invece, venisse scelto: N=36, il risultato della divisione sarebbe: (36−30):4=1, con il resto di 2; quindi, dovresti saltare un’unità all’inizio della 2a riga a contare dal basso, come indicato nello schema seguente.

→

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12

13

14

15

16

17

Se, infine, venisse scelto: N=37, il risultato della divisione sarebbe: (37−30):4=1, con il resto di 3; quindi, dovresti saltare un’unità all’inizio della 3a riga a contare dal basso, come indicato nello schema seguente:

→

1

2

3

4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

N.B.: Se qualche spettatore ti dovesse chiedere come mai hai saltato un’unità nel riempire la matrice, potresti candidamente rispondere che ti sei distratto, ma che cercherai di far riuscire il gioco ugualmente...

Capitolo 2 – Numerazione in base 10

2.1 Il magico «9» Modalità di esecuzione 1. Scrivi il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta. 2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre (ad esempio: 85); b) eseguite la somma di queste due cifre (85→ 8+5=13); c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima (85−13=72); d) se come risultato avrete ottenuto un numero composto da una sola cifra fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre (72→7+2=9): 3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto. 4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: «9». 5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.

2.2 Un rinoceronte nero Modalità di esecuzione 1. Scrivi su un foglio la frase: «Un rinoceronte nero in Danimarca», senza mostrarla al pubblico; ripiega il foglio e inseriscilo in una busta. 2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) pensate a un numero intero compreso tra 1 e 10 (ad esempio: 5); b) moltiplicate questo numero per 9 (5×9=45); c) se il risultato è composto da due cifre, sommatele (4+5 = 9); d) in ogni caso, sottraete 5 dal risultato ottenuto (9−5 = 4); e) individuate la lettera che nell’alfabeto occupa la posizione corrispondente al valore così ottenuto (4→ D); f) pensate al nome di una nazione europea che inizi con tale lettera (D→ Danimarca); g) osservate la terza lettera della parola precedente (Danimarca→ n) e pensate al nome di un colore che inizi con tale lettera (n→ nero); h) osservate la terza lettera di quest’ultima parola (nero→ r) e pensate al nome di un grosso mammifero che inizi con tale lettera (r→ rinoceronte). 3. A questo punto, apri il foglio che avevi scritto in precedenza e mostralo al pubblico, chiedendo provocatoriamente: «Secondo voi, come ci è finito... un rinoceronte nero in Danimarca?» 4. I tuoi spettatori resteranno molto sorpresi, perché ognuno di loro, pur essendo partito da un numero diverso, avrà ricavato proprio quelle tre parole.

2.3 Il numero di telefono Modalità di esecuzione 1. Scrivi il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta. 2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) scrivete su un foglio di carta il vostro numero di telefono o un qualsiasi altro numero composto da una certa quantità di cifre (ad esempio: 730.553); b) scrivete un altro numero composto dalle stesse cifre di quello precedente, disposte però in ordine diverso (730.553→ 303.557); c) eseguite la differenza tra il più grande e il più piccolo di questi due numeri(730.553-303:557=426:996) d) calcolate la radice numerica del numero così ottenuto (4+2+6+9+9+6=36; 3+6=9). 3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto. 4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: «9». 5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore non solo di scegliere il numero che preferiva, ma anche di permutarne le cifre a suo piacimento.

2.4 Un calcolo con i piedi Modalità di esecuzione 1. Impartisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) scrivete il vostro numero di scarpe, senza prendere in considerazione eventuali mezze misure (ad esempio: 39); b) moltiplicate per 100 questo numero (39×100=3900); c) sottraete dal numero così ottenuto il vostro anno di nascita (ad esempio: 1975 e, quindi: 3900−1975=1925). 2. A questo punto, chiedi a uno spettatore di comunicarti il risultato che ha ottenuto e, dopo pochi secondi, sei in grado di indovinare il numero di scarpe che porta e l’età che ha compiuto (o che compirà nell’anno in corso). 3. Replica questa stessa performance con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire Per riuscire in tale impresa, devi sommare mentalmente il valore dell’anno in corso al numero che ti viene, di volta in volta, comunicato. Se tutti i calcoli sono stati eseguiti correttamente, ogni risultato sarà costituito da quattro cifre: le prime due indicheranno il numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno l’età. Nell’esempio precedente, supponendo che l’anno in corso sia il 2005, si ottiene: 1925+2005=3930→39|30 (scarpe=39, età=30). Il trucco funziona sempre, purché il gioco non venga proposto a una persona che ha più di 99 anni...

2.5 La carta mancante Modalità di esecuzione 1. Porgi un mazzo di 40 carte a uno spettatore e chiedigli di toglierne una a sua scelta, senza fartela vedere. 2. Fatti riconsegnare il mazzo e analizza velocemente il suo contenuto, un paio di volte al massimo. 3. Al termine di questa operazione, comunica con sicurezza quale carta era stata tolta dal mazzo. Accorgimenti da seguire Devi attribuire a ciascuna carta il valore di presa che tradizionalmente essa ha in giochi come la Scopa (asso=1, due=2, ... fante=8, cavallo=9) a eccezione del re, al quale devi assegnare il valore 0. Mentre sfogli per la prima volta il mazzo, devi effettuare mentalmente la somma progressiva dei valori delle carte che, di volta in volta, ti capitano sotto gli occhi, usando l’accortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto. Ad esempio, eseguendo: 7+8=15, devi tenere a mente solo: 5. Al termine, otterrai un risultato compreso tra 0 e 9. Sottraendo questo numero da 10, ricaverai il valore della carta che è stata messa da parte (in questo caso, però, il valore 10 deve corrispondere al re). Quando sfogli di nuovo il mazzo, devi osservare quali sono i semi con i quali il valore individuato è presente nel mazzo e, per esclusione, ricavare quello della carta mancante. Una tale operazione serve anche a controllare l’esattezza dell’operazione compiuta in precedenza; infatti, se vedi che nel mazzo sono presenti quattro carte del valore da te determinato (e non solo tre...), vuol dire che hai sbagliato a fare le somme.

Nota – L’esecuzione di questo gioco risulta tanto più sorprendente, quanto più rapidamente riesci a effettuare le somme a mente. D’altra parte, quanto più ti eserciterai con questo gioco, tanto più rapidamente sarai in grado di effettuare le somme a mente...

2.6 La carta nascosta Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Modalità di esecuzione 1. Porgi a uno spettatore un mazzetto di nove carte, i cui valori vadano in progressione dall’1 al 9 e impartiscigli le seguenti istruzioni: a) scegli una di queste carte (ad esempio: l’8), falla vedere al pubblico, ma non a me, e poi nascondila in una tasca; b) componi due o più numeri utilizzando tutte le 8 cifre relative ai valori delle carte rimanenti, senza ripetizioni (ad esempio, nel nostro caso: 512, 39, 4, 7, 6); c) scrivi in colonna sulla lavagna i numeri così composti ed esegui la loro somma (512+39+4+7+6=568). 2. Fatti comunicare il risultato ottenuto e, dopo un solo attimo di concentrazione, indovini il valore della carta nascosta. Accorgimenti da seguire Per ottenere il valore della carta nascosta, devi calcolare mentalmente la radice numerica del risultato che ti è stato comunicato e sottrarla da 9. Ammettiamo che, come nell’esempio precedente, ti venga comunicato il numero 568. Siccome la radice numerica di questo numero è uguale a 1 (dato che: 5+6+8=19; 1+9=10; 1+0=1), il valore della carta nascosta è uguale a: 9−1 = 8 (fig. 2.6.1).

figura 2.6.1

2.7 Attrazione fatale Modalità di esecuzione 1. Scrivi il numero 6174 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta. 2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) scegliete un qualsiasi numero intero di quattro cifre, non tutte uguali tra loro; b) disponete le quattro cifre del numero in questione, una volta in ordine decrescente e un’altra in ordine crescente; c) eseguite la sottrazione tra i due numeri così ottenuti; d) se il risultato contiene le stesse quattro cifre del numero precedente, fermatevi; altrimenti, eseguite di nuovo le due precedenti operazioni, prendendo come nuovo numero di riferimento quello appena ottenuto. Ad esempio, se uno spettatore sceglie il numero 4573, deve eseguire i seguenti passaggi. 7543−3457=4086 8640−0468=8172 8721−1278=7443 7443−3447=3996 9963−3699=6264 6642−2466=4176 7641−1467=6174 A questo punto, non può più proseguire, perché l’ultimo risultato ottenuto (6174) contiene le stesse cifre (1, 4, 6, 7) di quello precedente (4176).

3. Quando tutti gli spettatori si saranno fermati, chiedi che, al tuo via, ognuno di loro dichiari ad alta voce, insieme agli altri, l’ultimo risultato ottenuto. 4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: «6174». 5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.

2.8 Più veloce della luce Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Predisponi otto cartoncini rettangolari, scrivendo su ognuno di essi cinque cifre in colonna, come indicato nello schema seguente. 8 1 6 0 5

7 5 0 1 8

4 6 7 2 3

1 7 8 3 4

5 0 9 4 6

3 9 8 5 0

9 8 1 6 2

2 4 5 7 9

Dietro ognuno di questi cartoncini, applica una striscia di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna, mediante una semplice pressione delle mani. Modalità di esecuzione 1. Consegna a uno spettatore gli otto cartoncini preparati in base alle indicazioni precedenti. 2. Girati di spalle e pregalo di fissare sulla lavagna una certa quantità di questi cartoncini (anche tutti), disponendoli in verticale uno accanto all’altro. 3. Fagli notare che, in questo modo, si sono formati cinque numeri, incolonnati uno sotto l’altro, ognuno dei quali è composto da tante cifre quanti sono i cartoncini utilizzati. Ad esempio, se sono stati disposti cinque cartoncini nel seguente modo:

2 4 5 7 9

4 6 7 2 3

5 0 9 4 6

7 5 0 1 8

9 8 1 6 2

si sono formati nell’ordine i seguenti cinque numeri di cinque cifre: 24579 - 46058 - 57901 - 72416 - 93682. 4. Annuncia che sei in grado di eseguire la somma di questi cinque numeri, a velocità istantanea (più veloce della luce...) 5. Voltati verso la lavagna e scrivi rapidamente sotto i cartoncini il risultato di tale somma. Nel caso in esame, scriverai:

2

2 4 5 7 9

4 6 7 2 3

5 0 9 4 6

7 5 0 1 8

9 8 1 6 2

9

4

6

3

6

6. Invita tutti i tuoi spettatori a verificare, utilizzando eventualmente una calcolatrice tascabile, che il valore da te trascritto è esatto. Ovvero che, effettivamente, si ha: 24.579+ 46.058+ 57.901+ 72.416+ 93.682= 294.636 Accorgimenti da seguire Invece di calcolare realmente la somma dei cinque numeri, devi effettuare le seguenti semplici operazioni:

•scrivere un 2 nella posizione che precede quella occupata dal primo cartoncino a sinistra; •sotto ciascuno dei cartoncini seguenti, tranne l’ultimo, scrivere la somma tra il numero 2 e la cifra che, nel relativo cartoncino, occupa il 4º posto dall’alto; •sotto l’ultimo cartoncino trascrivere inalterata la cifra che, in esso, occupa il 4º posto dall’alto. Il seguente schema (dove sono state evidenziate in neretto le cifre che, nei vari cartoncini, occupano il 4º posto dall’alto) dovrebbe chiarire le operazioni da svolgere, nel caso in esame.

2.9 Il computer umano Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Modalità di esecuzione 1. Chiedi a uno spettatore di scrivere sulla lavagna un numero intero composto da molte cifre (ad esempio: 852.263). 2. Scrivi velocemente su un foglio un altro numero (ad esempio: 3.074.483); ripiega il foglio e inseriscilo in una busta. 3. Preannuncia che il numero da te scritto corrisponderà alla somma di quello già indicato dallo spettatore e di altri quattro, che verranno scelti metà dallo spettatore e metà da te. 4. Chiedi allo spettatore di scrivere in colonna, sotto il numero già scritto, un altro numero composto dalla stessa quantità di cifre (ad esempio: 358.244). 5. Velocemente, scrivi in colonna sotto questo un altro numero della stessa lunghezza (ad esempio: 752.866). 6. Di nuovo, chiedi allo spettatore di scrivere in colonna un nuovo numero composto dalla stessa quantità di cifre (ad esempio: 965.326). 7. Velocemente, scrivi in colonna sotto questo un altro numero della stessa lunghezza (ad esempio: 145.784). 8. Invita lo spettatore a effettuare la somma dei cinque numeri così scritti, utilizzando eventualmente una calcolatrice tascabile (852.263+358.244+752.866+965.326+ 145.784=3.074.483).

9. Apri la busta con la tua previsione e mostra al pubblico che era completamente esatta. Accorgimenti da seguire Per semplicità di esposizione, poniamo: A = primo numero dello spettatore; B = secondo numero dello spettatore; C = primo numero scritto da te; D = terzo numero dello spettatore; E = secondo numero scritto da te; P = numero oggetto della tua previsione. In riferimento a tali attribuzioni, se A è composto da n cifre, devi svolgere le seguenti operazioni. •Individua il valore della tua previsione P, sommando ad A un numero composto da una sequenza di n cifre «2» e terminante con uno «0». Nell’esempio precedente (dove A=852.263), quindi, devi calcolare: 852.263+ 2.222.220= 3.074.483 •Ricava ogni cifra del numero C, sottraendo dal valore 10 la cifra che nel numero B occupa la stessa posizione. Nell’esempio precedente (dove B=358.244), quindi, devi ricavare C=752.866, calcolando: 10−

10−

10−

10−

10−

10−

3=

5=

8=

2=

4=

4=

7

5

2

8

6

6

•Ricava, nello stesso modo, ogni cifra del numero E, sottraendo dal valore 10 la cifra che nel numero D occupa la stessa posizione. Nell’esempio precedente (dove D=965.326), quindi, devi ricavare E=145.784, calcolando: 10−

10−

10−

10−

10−

10−

9=

6=

5=

3=

2=

6=

1

4

5

7

8

4

Nota – L’operazione che ti permette di ottenere velocemente P da A è simile a quella analizzata nel gioco precedente (Più veloce della luce). Nel caso in esame, però, non potendo influire nelle scelte dello spettatore, è possibile che qualche cifra di A sia maggiore di 7 e che, quindi, sommandola a 2, generi un riporto. Questa volta, quindi, per tenere conto di tutti gli eventuali riporti, devi effettuare la somma normalmente, procedendo da destra verso sinistra.

2.10 La carta parlante Preparazione Prendi dieci carte numerali, di valore progressivo dall’1 al 10, e disponile sul tavolo, coperte, una accanto all’altra, nel seguente ordine (noto solo a te). 2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

Modalità di esecuzione 1. Chiama uno spettatore e, dopo esserti girato con le spalle al tavolo, forniscigli le seguenti istruzioni: a) preleva dall’inizio della fila un gruppo di carte a tua scelta e spostalo in fondo alla fila, senza alterarne l’ordine (fig. 2.10.1);

figura 2.10.1 b) fai slittare l’intera fila di carte verso sinistra, in modo da farle occupare, più meno, la stessa posizione iniziale (fig. 2.10.2).

figura 2.10.2 2. Rigirati verso il tavolo, scopri una delle dieci carte e mostrala al pubblico: incredibilmente, il suo valore sarà uguale proprio alla quantità di carte spostate dallo spettatore! (fig. 2.10.3)

figura 2.10.3 Puoi ripetere questo procedimento quante volte vuoi (coinvolgendo eventualmente altri spettatori), se avrai cura, dopo ogni esibizione, di rimettere al suo posto la carta scoperta, rigirandola a faccia in giù.

Accorgimenti da seguire La prima volta devi scoprire la 2a carta a partire da destra (nell’esempio precedente, in cui sono state spostate 3 carte, questa carta risulterà essere proprio un 3). In seguito, devi scoprire ogni volta la carta la cui posizione (contando sempre da destra verso sinistra) corrisponde alla somma del valore scoperto in precedenza e di quello della posizione che la relativa carta occupava (scartando da tale risultato l’eventuale cifra delle decine). Per chiarire meglio queste indicazioni, supponiamo che, come nell’esempio illustrato, la prima volta, girando la 2a carta, tu abbia scoperto un 3. Siccome il valore della carta scoperta è 3 e quello corrispondente alla posizione da essa occupata è 2, devi calcolare: 3+2=5; quindi, la seconda volta devi scoprire la 5a carta. Supponiamo ora che tu abbia scoperto un 6, girando la 5a carta. Siccome il valore della carta scoperta è 6 e quello corrispondente alla posizione da essa occupata è 5, devi calcolare: 6+5=11; quindi (considerando che la cifra delle decine va trascurata), la volta successiva devi scoprire la 1a carta. E così via...

2.11 Divinazioni à gogo Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Utilizzando solo le nove cifre da 1 a 9 senza ripetizioni, componi tre numeri di tre cifre e incolonnali uno sotto l’altro. Effettua la loro somma e tienila a mente. Prendi nove carte da gioco, contenenti tutti i diversi valori dall’asso (1) al 9. Osserva l’incolonnamento dei tre numeri da te scelti e componi un mazzetto con queste nove carte, secondo il seguente criterio: •in cima, poni le tre carte corrispondenti alle cifre delle centinaia; •al centro, poni le tre carte corrispondenti alle cifre delle decine; •in fondo, poni le tre carte corrispondenti alle cifre delle unità. Ad esempio, ipotizzando che tu abbia ottenuto 1296, come somma dei seguenti numeri: 8

4

3

1

9

7

2

5

6

devi mettere in cima al mazzetto le carte di valore 8 - 1 - 2, al centro quelle di valore 4 - 9 - 5 e in fondo quelle di valore 3 - 7 - 6 (non ha importanza l’ordine delle carte all’interno di

ciascun terzetto). Modalità di esecuzione 1. Apri a ventaglio il mazzetto così composto e mostralo al pubblico sottolineando che i potenziali modi di permutare le sue nove carte sono: 1×2×3×4×5×6×7×8×9=362.880. Dichiara, però, che nonostante una così elevata gamma di possibilità, sei in grado di predire esattamente la somma di tre numeri che alcuni spettatori ti indicheranno, in maniera del tutto autonoma. 2. Scrivi su un foglio il numero relativo alla tua previsione, senza farlo vedere al pubblico. 3. Preleva le prime tre carte del tuo mazzetto, mescolale più volte e consegnale a uno spettatore (che chiameremo A). 4. Preleva le prime tre carte del mazzetto rimanente, mescolale più volte e consegnale a un altro spettatore (che chiameremo B). 5. Prendi le tre carte rimaste, mescolale più volte e consegnale a un terzo spettatore (che chiameremo C). 6. Chiedi ad A di scegliere una delle sue tre carte; fattela consegnare, ponila coperta sul tavolo e trascrivi il suo valore sulla lavagna, in alto a sinistra. 7. Chiedi a B di scegliere una delle sue tre carte; fattela consegnare, ponila coperta sopra quella precedente e riporta il suo valore a destra di quello che hai appena scritto. Ad esempio, se la carta di A era il 2 e quella di B è il 4, scrivi: 2

4

8. Chiedi a C di scegliere una delle sue tre carte; fattela consegnare, ponila coperta sopra quella precedente e riporta il suo valore a destra di quello che hai appena scritto, completando così un primo numero di tre cifre.

Ad esempio, se C ti consegna il 7, scrivi: 2

4

7

9. Chiedi ad A di scegliere una delle due carte che gli sono rimaste; fattela consegnare, ponila coperta sopra quella precedente e trascrivi il suo valore, sotto la prima cifra del numero che hai appena composto. Ad esempio, se A ti consegna l’asso (1), scrivi: 2

4

7

1

10. Chiedi a B di scegliere una delle sue due carte; fattela consegnare, ponila coperta sopra quella precedente e riporta il suo valore a destra di quello che hai appena scritto. Ad esempio, se B ti consegna il 5, scrivi: 2

4

1

5

7

11. Chiedi a C di scegliere una delle sue due carte; fattela consegnare, ponila coperta sopra quella precedente e riporta il suo valore a destra di quello che hai appena scritto, completando così un secondo numero di tre cifre. Ad esempio, se C ti consegna il 6, scrivi: 2

4

7

1

5

6

12. Chiedi ad A di consegnarti l’ultima carta che gli è rimasta, ponila coperta sopra quella precedente e trascrivi il suo valore, sotto la prima cifra del nuovo numero composto. Ad esempio, se A ti consegna l’8, scrivi: 2

4

7

1

5

6

8

13. Chiedi a B di consegnarti l’ultima carta che gli è rimasta, ponila coperta sopra quella precedente e riporta il suo valore a destra di quello che hai appena scritto. Ad esempio, se A ti consegna il 9, scrivi: 2

4

7

1

5

6

8

9

14. Chiedi a C di consegnarti l’ultima carta che gli è rimasta, ponila coperta sopra quella precedente e riporta il suo valore a destra di quello che hai appena scritto, completando così un terzo numero di tre cifre. Dato che a C può essere rimasto solo il 3, scrivi: 2

4

7

1

5

6

8

9

3

15. Esegui la somma dei tre numeri così composti (nel nostro caso: 247+156+893=1296); apri il foglio con la tua predizione e fai notare che avevi previsto esattamente il risultato. 16. Annuncia al pubblico che (come se non bastasse...), sei in grado di ripetere il gioco un’altra volta, basandoti su un valore di predizione diverso da quello precedente. 17. Cancella dalla lavagna tutti i numeri che hai scritto; esegui dei calcoli veloci con carta e penna (o anche a mente, se ce la fai...) e su un nuovo foglio trascrivi la tua nuova predizione. 18. Prendi il mazzetto di nove carte, senza alterare l’ordine con cui è andato a comporsi sul tavolo e ripeti tutte le operazioni precedentemente descritte (dal punto 3. al punto 15.). 19. Volendo, puoi ripetere la stessa performance un numero qualsiasi di volte, tra il crescente sbigottimento generale... Accorgimenti da seguire Come valore di predizione, la prima volta devi scrivere il risultato che hai ottenuto sommando i tre numeri da te scelti nella fase di preparazione (e che avevi tenuto a mente). Per ricavare un nuovo valore di predizione, partendo dall’ultima somma impostata sulla lavagna, il metodo più rapido da adottare è quello qui di seguito descritto. Ammettiamo che i tre numeri composti dagli spettatori siano i seguenti (come nell’esempio analizzato prima). 2

4

7

1

5

6

8

9

3

•Nella colonna delle centinaia, devi porre le cifre del numero

che, in precedenza, si trovava in basso. Ovvero, nel caso in esame: 8 9 3

•Nella colonna delle decine, devi porre le cifre del numero che, in precedenza, si trovava al centro. Ovvero, nel caso in esame: 8

1

9

5

3

6

•Nella colonna delle unità, devi porre le cifre del numero che, in precedenza era posto in alto. Ovvero, nel caso in esame: 8

1

2

9

5

4

3

6

7

A questo punto, devi solo effettuare la somma di questi numeri, per ricavare il valore della nuova previsione (nel caso in esame: 2133, dato che: 812+954+367=2133). Infatti, se hai badato a disporre rigorosamente una sopra l’altra le carte, man mano che ti sono state consegnate, il mazzetto è venuto ad assumere automaticamente la

configurazione che ti occorre.

2.12 Magia ciclica Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Procurati un mazzo di carte francesi (composto da cinquantadue carte) ed effettua le seguenti operazioni: •poni sul tavolo, a faccia in giù, un gruppetto di sei carte che presentino, dal basso verso l’alto, i seguenti valori: 1, 4, 2, 8, 5, 7 (il loro seme è indifferente); •sopra queste metti, a faccia in giù, venti carte numerali qualsiasi; •raggruppa (in un ordine qualsiasi) tutte le dodici figure contenute nel mazzo e mettile a faccia in giù, sopra il mazzetto così costituito; •metti sopra di esso, sempre a faccia in giù, anche le quattordici carte rimanenti, in modo da ricostituire l’intero mazzo. Scrivi su una striscia di carta il numero 142.857, facendo in modo che lo spazio tra ogni coppia di cifre contigue sia più o meno uguale a quello tra il margine sinistro e la prima cifra; lascia, invece, uno spazio uguale a circa la metà di questo, tra l’ultima cifra e il margine destro (fig. 2.12.1).

figura 2.12.1 Piega in due la striscia, in modo che il numero scritto si trovi al suo interno (fig. 2.12.2).

figura 2.12.2 Incolla i due margini, in maniera tale che all’interno dell’anello così formato, tra ogni coppia di cifre contigue (anche tra 7 e 1) ci sia sempre la stessa spaziatura. Infine, appiattisci l’anello e inseriscilo all’interno di una busta.

Modalità di esecuzione 1. Prendi il mazzo di carte composto in base alle indicazioni precedenti, dividilo approssimativamente in due parti uguali e mescolale una volta sola, usando la tecnica nota come sfogliata all’americana (che, però, gli americani chiamano alla francese...), indicata in figura 2.12.3.

figura 2.12.3 2. Consegna il mazzo di carte a uno spettatore e chiedigli di scrivere sulla lavagna, una dietro l’altra, da sinistra verso destra, le cifre corrispondenti alle prime sei carte numerali che incontra, prelevandole una alla volta dal fondo del mazzo e attribuendo il valore 1 a ogni eventuale asso (siccome l’operazione di mescolamento che hai eseguito può aver avuto solo l’effetto di frapporre alcune figure tra le sei carte da te poste in fondo al mazzo, lo spettatore sarà indotto a scrivere le sei cifre che formano il numero: 142.857). 3. Porgi allo spettatore un comune dado a sei facce e chiedigli di lanciarlo. 4. Invitalo a moltiplicare il valore del punto così ottenuto per il numero scritto alla lavagna. 5. Estrai dalla busta l’anello di carta e strappalo in un punto. 6. Mostra al pubblico il numero che appare sulla striscia così

ottenuta e fai notare che coincide esattamente con il risultato della moltiplicazione che lo spettatore ha eseguito su due numeri determinati in maniera del tutto casuale (o quasi...) Accorgimenti da seguire Mentre lo spettatore esegue la moltiplicazione, devi osservare il valore della prima cifra che ottiene come risultato (quella delle unità). Se tutte le operazioni sono state svolte correttamente, questa cifra si trova sicuramente all’interno del tuo anello. Quando strapperai l’anello dovrai farlo nel punto che separa questa cifra da quella posta alla sua destra.

Capitolo 3 – Numerazioni in altre basi

3.1 I sette cartoncini magici Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Effettua delle fotocopie opportunamente ingrandite delle sette tabelline riprodotte qui sotto; incollale su un cartoncino rigido e ritagliale lungo i bordi.

A

B

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

77

79

81

83

85

87

89

91

93

95

97

99

2

3

6

7

10

11

14

15

18

19

22

23

26

27

30

31

34

35

38

39

42

43

46

47

50

51

54

55

58

59

62

63

66

67

70

71

74

75

78

79

82

83

86

87

90

91

94

95

98

99

C

D

E

4

5

6

7

12

13

14

15

20

21

22

23

28

29

30

31

36

37

38

39

44

45

46

47

52

53

54

55

60

61

62

63

68

69

70

71

76

77

78

79

84

85

86

87

92

93

94

95

8

9

10

11

12

13

14

15

24

25

26

27

28

29

30

31

40

41

42

43

44

45

46

47

56

57

58

59

60

61

62

63

72

73

74

75

76

77

78

79

88

89

90

91

92

93

94

95

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

96

97

98

99

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

F

84

85

86

87

88

89

94

95

96

97

98

99

90

91

92

93

G

Dietro ognuno dei sette cartoncini così realizzati applica una striscia di nastro biadesivo in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna mediante una semplice pressione delle mani. Modalità di esecuzione 1. Fissa sulla lavagna i sette cartoncini così ottenuti e invita uno spettatore a pensare un numero compreso tra 1 e 99. 2. Chiedi allo spettatore di indicarti quali cartoncini contengono il suo numero. 3. Dai una rapida occhiata ai cartoncini che ti ha indicato e, senza alcuna esitazione, indovina il numero a cui ha pensato. 4. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire Per individuare il numero scelto dallo spettatore, devi semplicemente fare la somma dei valori che compaiono al primo posto (in alto a sinistra) su ciascuno dei cartoncini indicati. Se, ad esempio, il suo numero compare nei cartoncini: •B (dove al primo posto c’è il 2), •D (dove al primo posto c’è 1’8), •G (dove al primo posto c’è il 64), il numero da lui pensato è: 74, dato che: 2+8+64=74.

3.2 L’ordine magico Preparazione Procurati 26 schede rettangolari bianche, tutte dello stesso formato; disponile in orizzontale e, a ciascuna di esse, taglia l’angolo in alto a destra (fig. 3.2.1).

figura 3.2.1 In prossimità del margine superiore destro di ogni scheda pratica cinque fori circolari, equidistanti uno dall’altro (fig. 3.2.2), di diametro leggermente superiore a quello della sezione di una matita. Nel compiere questa operazione devi controllare che, facendo combaciare i margini di più schede, i rispettivi fori risultino perfettamente sovrapposti.

figura 3.2.2 Dopo aver contrassegnato ogni scheda con una diversa lettera dell’alfabeto inglese, prendi in considerazione il sistema di codifica riportato nella seguente tabella. A

00001

H

01000

O

01111

V

10110

B

00010

I

01001

P

10000

W

10111

C

00011

J

01010

Q

10001

X

11000

D

00100

K

01011

R

10010

Y

11001

E

00101

L

01100

S

10011

Z

11010

F

00110

M

01101

T

10100

G

00111

N

01110

U

10101

Su ciascuna scheda, in base alla codifica della lettera su di essa riportata, intacca il bordo superiore di ogni foro che occupa la stessa posizione di uno «0»; lascia, invece, intatti i fori che occupano la stessa posizione di un «1».

Ad esempio, nella scheda contrassegnata con la lettera Y, la cui codifica è 11001, la perforazione deve assumere la seguente configurazione (fig. 3.2.3).

1→ 0→

figura 3.2.3 Sovrapponi le 26 schede, disponendole tutte nello stesso verso (per essere sicuro di non sbagliarti, devi controllare che tutti gli angoli tagliati risultino allineati). Modalità di esecuzione 1. Mostra al pubblico il pacchetto di schede approntato in base alle indicazioni precedenti e fai notare che su ognuna di esse è riportata una diversa lettera dell’alfabeto. 2. Porgi le schede a uno spettatore e invitalo a mescolarle quante volte vuole (senza però girarle o rovesciarle). 3. Dichiara che, grazie alla tua bacchetta magica, riuscirai a disporre le schede in ordine alfabetico, in pochi secondi.

4. Prendi la tua personale bacchetta magica (o una semplice matita a sezione rotonda...) ed esegui quanto preannunciato. Accorgimenti da seguire Per riuscire in tale impresa, devi seguire il seguente procedimento. a) Compatta il pacchetto di schede, facendo combaciare i loro margini e controllando che tutti gli angoli tagliati risultino allineati. b) Reggi le schede con una mano, tenendole in posizione orizzontale. c) Con l’altra mano, inserisci la bacchetta nel primo foro da destra, in modo da attraversare l’intero pacchetto di schede (fig. 3.2.4).

figura 3.2.4 d) Sposta la bacchetta di qualche centimetro verso l’alto. Alcune schede rimarranno impigliate nella bacchetta; tutte le altre resteranno nel palmo della tua mano. e) Prendi tutte le schede che si sono così liberate, ricompattale senza modificarne l’ordine e posizionale davanti alle altre.

f) Reggi con una mano il pacchetto così ricostituito; sfila la bacchetta e inseriscila nel secondo foro da destra, ripetendo le istruzioni precedenti, dal punto d) al punto e). g) Ripeti queste stesse operazioni, dopo aver infilato la bacchetta, nell’ordine, anche nel terzo, nel quarto e nel quinto foro da destra. Al termine di queste semplici operazioni, le schede risulteranno magicamente disposte in ordine alfabetico.

3.3 Le tracce significative Modalità di esecuzione 1. Traccia sul tavolo sei lineette parallele, a una distanza di circa 10 cm una dall’altra. 2. Consegna un mazzo di 52 carte a uno spettatore; girati con le spalle al tavolo e impartiscigli le seguenti istruzioni: a) colloca sulla prima lineetta a partire da destra un mazzetto composto da una quantità di carte a tuo piacere; b) preleva due carte da questo mazzetto; c) scarta una delle due carte che hai preso e metti l’altra sopra la prima lineetta successiva, a sinistra; d) esegui la coppia di istruzioni b) e c) finché non ti è più possibile prelevare due carte; e) se ti è rimasta una sola carta, lasciala sulla lineetta su cui si trovava; f) prendi il mazzetto di carte che si è così formato sulla lineetta successiva; g) esegui l’intero ciclo di istruzioni da b) a f) finché non hai più carte per proseguire. 3. Al termine, deve essere rimasta nessuna o una sola carta sopra ogni lineetta. Ad esempio, se lo spettatore è partito con 25 carte, sul tavolo si devono essere succedute le seguenti situazioni: lineette (da destra)

6a

5a

4a

3a

2a

disposizione delle carte all’inizio

25

disposizione delle carte dopo il primo ciclo di operazioni disposizione delle carte dopo il secondo ciclo

1a

6

12

1

0

1

di operazioni disposizione delle carte dopo il terzo ciclo di operazioni disposizione delle carte dopo il quarto ciclo di operazioni

1

3

0

0

1

1

0

0

1

4. Quando lo spettatore ha finito di eseguire tutte le tue istruzioni, voltati verso il tavolo; dai una rapida occhiata alla situazione e, dopo qualche attimo di riflessione, determina da quante carte era composto il mazzetto iniziale. Accorgimenti da seguire Per riuscire in questa impresa devi assegnare mentalmente alle varie lineette, da destra verso sinistra, i seguenti valori. 1a→ 1

2a→ 2

3a→ 4

4a→ 8

5a→ 16

6a→ 32

Una volta osservata la configurazione presente sul tavolo, devi sommare solo i valori associati alle lineette su cui è rimasta una carta. Nell’esempio precedente, dove la situazione finale era la seguente: 6a

5a

4a

3a

2a

1a

1

1

0

0

1

tenendo conto delle assegnazioni prima indicate: 32

16

8

4

2

1

1

1

0

0

1

avresti dovuto ricavare: 16+8+1=25. E, in effetti, questo è il numero di carte con cui lo spettatore era partito.

3.4 L’incredibile previsione Modalità di esecuzione 1. Prendi un mazzo di carte e, dopo averlo mescolato più volte, chiedi a uno spettatore di dirti quante carte devi prelevare. 2. Cala sul tavolo una carta sopra l’altra, a faccia in alto, finché non arrivi a contarne una quantità uguale a quella che ti ha indicato lo spettatore. 3. Ricomponi in un mazzetto le carte così selezionate (senza mescolarle) e ponile a faccia in basso. 4. Dichiara di essere in grado di prevedere quale carta verrà selezionata al termine di un complesso procedimento che andrai a eseguire. 5. Rendi nota la tua previsione e comincia a effettuare la seguente manovra: •sposta una carta da sopra a sotto il mazzetto; •scarta la carta successiva; •prosegui nello stesso modo finché non ti resta in mano una sola carta. 6. Mostra al pubblico la carta così selezionata e fai notare che è proprio quella che avevi previsto. Accorgimenti da seguire Appena ti è stato comunicato il numero N di carte da prelevare (ad esempio: 22), devi effettuare la seguente successione di operazioni (anche su un foglietto di carta, se non riesci a svolgerle a mente): a) individua la più grande potenza di 2 che non supera il numero N (nel nostro caso: 16); b) sottrai da N il valore così individuato (22−16=6); c) moltiplica per 2 il risultato (2×6=12); d) aggiungi 1 al prodotto ottenuto (12+1=13); Poi, mentre conti le carte sul tavolo ponendole una sopra

l’altra, a faccia in alto, devi osservare e tenere a mente quella che occupa la posizione corrispondente al valore ottenuto prima (nel nostro caso, la: 13a posizione). Sarà questa che (incredibilmente...) verrà selezionata con il procedimento descritto in precedenza. Nota – Se il numero N è uguale proprio a una potenza di 2, non c’è bisogno che compi tutte queste operazioni, perché il risultato finale sarà comunque uguale a 1 (e quindi la carta che dovrai tenere a mente sarà direttamente la prima). Infatti, se N è uguale a una potenza di 2, eseguendo la serie di operazioni precedente otterresti: b) N−N=0 c) 2×0=0 d) 0+1=1

3.5 I simboli astrali Preparazione Effettua delle fotocopie opportunamente ingrandite delle dieci immagini riprodotte nella figura 3.5.1; incollale su un cartoncino rigido e ritagliale lungo i bordi.

faccia carta 1

faccia carta 2

faccia carta 3

faccia carta 4

faccia carta 5

dorso carta 1

dorso carta 2

dorso carta 3

dorso carta 4

dorso carta 5

figura 3.5.1 Dietro ogni figura di faccia incolla la corrispondente figura di dorso, in modo da ottenere cinque carte speciali (facendo attenzione a non sbagliarti in questa fase). Effettua una fotocopia opportunamente ingrandita anche della figura 3.5.2 (che chiameremo schema riassuntivo) e appendila a una parete.

figura 3.5.2 Modalità di esecuzione

1. Mostra le carte al pubblico e fai notare che su ognuna di esse sono riportati sei dei dieci simboli presenti nello schema riassuntivo. 2. Precisa che la loro disposizione è stata studiata in modo tale che, per ogni possibile combinazione di tre carte, uno e un solo simbolo è presente su tutte e tre le carte. 3. Porgi le cinque carte a uno spettatore (tenendole in modo che i loro dorsi siano rivolti dalla tua parte) e chiedigli di prenderne tre a sua scelta, senza fartele vedere. 4. Chiedigli di guardare quale simbolo compare su tutte e tre le carte da lui scelte. Ad esempio, se avesse scelto le tre carte riprodotte nella figura 3.5.3, il simbolo presente su ciascuna di loro sarebbe quello composto da quattro stelline.

figura 3.5.3 5. Prendi la tua bacchetta magica e passala lentamente su ognuno dei dieci simboli presenti nello schema riassuntivo. Incredibilmente, comincerà a vibrare quando passerà proprio sopra il simbolo presente sulle tre carte scelte dallo spettatore. Accorgimenti da seguire Prima di poter svolgere questo gioco, devi associare mnemonicamente un particolare numero intero a ciascuno

dei dieci simboli in questione, in base ai seguenti criteri. simbolo

num.

criterio associativo

3

Il triangolo ha 3 lati

5

La mano ha 5 dita

6

Questa stella ha 6 punte

9

La forma di questa chiocciola ricorda quella di un 9

10

Questa figura ricorda un 1, rovesciato e sovrapposto a uno 0

12

Il sole splendente ricorda mezzogiorno, ovvero le ore 12

17

Questa figura è composta dall’accostamento di un 1 e di un 7 stilizzati

18

Le facce di quei tre cubetti sono in tutto 18

20

Questo simbolo corrisponde al numero 20 scritto in cifre romane

24

Le punte di queste quattro stelle sono in tutto 24

Inoltre, devi tener presente che sul dorso di ciascuna carta è riportato un minuscolo puntino, nella guarnizione della spallina che si trova sul margine destro della figura riprodotta (se questo puntino non dovesse risultare nella fotocopia, aggiungilo tu). In ogni dorso, questo puntino si trova in una posizione diversa. Ebbene, devi associare

mnemonicamente ognuna di queste cinque posizioni a un diverso numero seguendo le indicazioni riportate nella figura 3.5.4. Posizione del puntino sul dorso della carta

Numero associato

1

2

4

8

16

figura 3.5.4 Per far riuscire il gioco, dopo che lo spettatore ha preso le sue tre carte, devi guardare attentamente i dorsi delle due che ti rimangono in mano. Una volta che hai individuato le posizioni dei rispettivi puntini, devi semplicemente sommare i valori dei numeri a essi abbinati. Il risultato sarà uguale (incredibilmente...) al numero associato al simbolo presente sulle tre carte scelte dallo spettatore. Supponiamo, ad esempio, che le posizioni dei puntini presenti sui dorsi delle due carte che ti restano in mano siano quelle indicate nella figura 3.5.5.

8

16

figura 3.5.5

Siccome queste posizioni sono state abbinate rispettivamente ai valori 8 e 16, devi calcolare: 8+16=24. Di conseguenza, il simbolo presente sulle tre carte scelte dallo spettatore è quello associato al numero 24, raffigurante quattro stelline a sei punte (fig. 3.5.6).

figura 3.5.6

3.6 Magia ternaria Modalità di esecuzione 1. Mescola un mazzo composto solo da 27 carte; consegnalo a uno spettatore e forniscigli le seguenti istruzioni: a) scegli mentalmente una di queste carte e tieni a mente il suo valore, senza comunicarmelo; b) prendi in mano queste carte, tenendole con le facce rivolte verso il basso e (procedendo da sinistra verso destra) distribuiscile una alla volta, a faccia in alto, su righe di 3 carte, fino a formare 3 colonne di 9 carte (fig. 3.6.1);

figura 3.6.1

c) indicami in quale colonna si trova la carta da te scelta; d) raccogli in un mazzetto le 9 carte di ciascuna colonna (senza alterare l’ordine con cui le carte sono state distribuite) e ricomponi il mazzo, disponendo in un ordine a tuo piacere i 3 mazzetti così formati; e) esegui altre due volte la sequenza di istruzioni b), c) e d); f) distribuisci ancora una volta le carte, nel modo indicato al punto b). 2. Al termine di questa serie di operazioni, sei in grado di individuare, senza alcuna esitazione, la carta scelta dallo spettatore. Accorgimenti da seguire Per riuscire in questa impresa, devi tener conto delle seguenti indicazioni. •Ogni volta che lo spettatore ricompone il mazzo (punto d), guarda in quale posizione: superiore, centrale o inferiore (considerando il mazzo rivolto a facce in basso), colloca il mazzetto contenente la carta scelta. •Attribuisci a ciascuna delle tre possibili posizioni un valore uguale al numero di mazzetti che vengono posti sopra quello interessato. In sintesi, devi porre: superiore→ 0

centrale→ 1

inferiore→ 2

•La prima volta che il mazzo viene ricomposto, devi moltiplicare questo valore per 1 (in pratica devi lasciarlo immutato); la seconda volta devi moltiplicarlo per 3; la terza volta devi moltiplicarlo per 9. •Al termine delle operazioni, esegui la somma dei tre valori così determinati. •Il risultato ottenuto indicherà quante carte, nell’ultima configurazione composta dallo spettatore (punto f),

precederanno quella da indovinare (contando da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso). Ammettiamo, ad esempio, che il mazzetto sia stato collocato: •la 1a volta (1), nella posizione inferiore (2)→ 1×2=2; •la 2a volta (3), nella posizione centrale (1)→ 3×1=3; •la 3a volta (9), nella posizione centrale (1)→ 9×1=9. La somma di questi valori è uguale a: 2+3+9=14. La carta che devi indovinare, quindi, è preceduta da altre 14; di conseguenza, occupa la 15a posizione. In particolare, se la configurazione finale fosse quella riportata nella figura 3.6.1, la carta da indovinare sarebbe il 3 di picche (ovvero la 5a della 3a colonna). Una possibile variante Invece di lasciare lo spettatore libero di collocare nella posizione che desidera il mazzetto interessato, puoi chiedergli di metterlo sempre al centro. Sotto tali condizioni, la quantità di carte che precederà quella scelta dallo spettatore sarà sempre uguale a: 1×1+3×1+9×1=13. Di conseguenza, la carta che dovrai indovinare sarà sempre la 14a (ovvero la 5a della 2a colonna). In particolare, se la configurazione finale fosse quella riportata nella figura 3.6.1, la carta da indovinare sarebbe la regina di picche. In questa versione semplificata, visto che lo spettatore deve limitarsi a scegliere la carta e a indicare in quali colonne si trova, è preferibile che sia direttamente tu a maneggiare le carte (anche per essere più sicuro che non vengano commessi errori...)

Capitolo 4 – Pari e dispari

4.1 Una somma prodigiosa Modalità di esecuzione 1. Impartisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri): a) scrivete un primo numero, scegliendolo tra 0 e 1 (ad esempio: 1); b) scrivete un secondo numero, scegliendolo tra 2 e 3 (ad esempio: 2); c) scrivete un terzo numero, scegliendolo tra 4 e 5 (ad esempio: 4); d) scrivete un quarto numero, scegliendolo tra 6 e 7 (ad esempio: 7); e) scrivete un quinto numero, scegliendolo tra 8 e 9 (ad esempio: 8); f) scrivete un sesto numero, scegliendolo tra 10 e 11 (ad esempio: 11); g) scrivete un settimo numero, scegliendolo tra 12 e 13 (ad esempio: 12); h) calcolate la somma dei numeri così scritti (nel nostro caso: 1+2+4+7+8+11+12=45). 2. Chiedi a uno spettatore di dirti solo quanti numeri dispari ha scelto (nel nostro caso: 3, ovvero: 1, 7 e 11) e, istantaneamente, sei in grado di indovinare il valore della somma da lui ottenuta (nel nostro caso: 45). 3. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere...

Accorgimenti da seguire Per riuscire in questa impresa, devi semplicemente fare la somma tra il numero fisso 42 e il valore che ti comunica lo spettatore (nel nostro caso: 42+3=45).

4.2 Lo scherzo dei tre bicchieri Modalità di esecuzione 1. Disponi sul tavolo tre bicchieri, in modo che il primo e il terzo siano capovolti e il secondo sia dritto (fig. 4.2.1).

Situazione iniziale

figura 4.2.1 2. Esegui velocemente le seguenti tre mosse: a) ribalta contemporaneamente il primo e il secondo bicchiere (fig. 4.2.2);

1a mossa

figura 4.2.2 b) ribalta contemporaneamente il primo e il terzo bicchiere (fig. 4.2.3);

2a mossa

figura 4.2.3 c) ribalta contemporaneamente il primo e il secondo bicchiere (fig. 4.2.4).

3a mossa

figura 4.2.4 3. Al termine di questa manovra, tutti e tre i bicchieri si trovano dritti. 4. Capovolgi il bicchiere centrale (fig. 4.2.5) e chiedi a uno spettatore di riportare tutti e tre i bicchieri dritti, eseguendo la stessa identica sequenza di mosse da te prima eseguita. Per quanti tentativi effettuerà, non potrà mai riuscirvi (fig. 4.2.6).

Nuova partenza

figura 4.2.5

1a mossa

2a mossa

3a mossa

figura 4.2.6

4.3 La moneta coperta Modalità di esecuzione 1. Consegna a uno spettatore alcune monete e chiedigli di farle cadere, in maniera casuale, sul tavolo, dopo averle agitate energicamente tra le mani. 2. Dai una rapida occhiata alla situazione che si è così creata; poi voltati con le spalle al tavolo. 3. Chiedi allo spettatore di capovolgere due monete alla volta, quante volte vuole, intervenendo eventualmente anche più volte sulle stesse monete (fig. 4.3.1).

figura 4.3.1 4. Terminata questa serie di ribaltamenti, prega lo spettatore di coprire con la mano una moneta a sua scelta (fig. 4.3.2).

figura 4.3.2 5. Voltati verso il tavolo, dai una rapida occhiata alla disposizione delle monete e, dopo pochi istanti, dichiara con sicurezza quale faccia (testa o croce) è stata coperta con la mano. 6. Chiedi allo spettatore di scoprire la moneta e fai notare che mostra proprio la faccia da noi annunciata. 7. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire Appena lo spettatore ha fatto cadere le monete sul tavolo, devi scegliere mentalmente una delle due possibili facce (preferibilmente, quella che appare in quantità minore) e osservare quale parità possiede l’insieme delle monete che mostrano quella faccia. Al termine dei ribaltamenti, devi verificare quale parità presenta ora l’insieme relativo alla faccia da te scelta e applicare il seguente criterio: •se la parità attuale è la stessa di quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia diversa da quella da te scelta;

•se la parità attuale è diversa da quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia uguale a quella da te scelta. Ad esempio, se prima di voltarti avevi contato sul tavolo 5 teste (dispari) e alla fine ne vedi 3 (sempre dispari), la faccia coperta deve essere necessariamente una croce, dato che i due insiemi presentano la stessa parità. Se, invece, dopo aver visto all’inizio 5 teste, alla fine ne vedi 2 (pari), la faccia coperta deve essere una testa, dato che i due insiemi mostrano diversa parità.

4.4 Testa o croce Modalità di svolgimento 1. Consegna a uno spettatore un sacchetto pieno di monete, voltati di spalle e (dopo averlo pregato di non scappare con i soldi...), impartiscigli le seguenti istruzioni: a) preleva dal sacchetto un numero pari di monete a tua scelta e disponile sul tavolo in modo che una metà di loro mostri testa e l’altra metà mostri croce (fig. 4.4.1);

figura 4.4.1 b) modifica questa situazione iniziale di perfetto equilibrio, ribaltando tutte le monete che vuoi, quante volte vuoi, intervenendo eventualmente anche più volte sulle stesse monete; c) prendi una di queste monete e lanciala in aria, facendola ricadere sul tavolo (fig. 4.4.2);

figura 4.4.2 d) guarda quale faccia è uscita e conta quante monete, compresa quella che hai lanciato, mostrano quel tipo di faccia; non mi comunicare, però, nessuno di questi due dati; e) effettua ancora un numero di ribaltamenti uguale al valore che hai contato (fig. 4.4.3);

figura 4.4.3 f) al termine, copri con una mano una moneta qualsiasi. 2. Fai notare al pubblico che, mentre lo spettatore effettuava

i ribaltamenti, sei rimasto sempre voltato e che, inoltre, non hai ricevuto alcun tipo di informazione su quanto è avvenuto. 3. Girati verso il tavolo e, dopo aver dato una rapida occhiata alle monete, indovini se è stata coperta una testa o una croce. 4. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire Per riuscire in questa impresa, devi semplicemente guardare quale faccia, alla fine, compare in quantità dispari sul tavolo e dichiarare proprio quella. Ad esempio, se ci sono: 7 croci e 10 teste, devi dire che è stata coperta una croce (perché 7 è dispari, mentre 10 è pari).

4.5 Magia a gettone Preparazione Devi cercare di procurarti almeno una quindicina di quei vecchi gettoni telefonici che possiedono una scanalatura da un lato (fig. 4.5.1) e due dall’altro (fig. 4.5.2).

figura 4.5.1

figura 4.5.2

Se non dovessi riuscire a trovarli (ormai, sono oggetti da antiquariato...), puoi sostituirli con dei dischetti di cartone bianco su ciascuno dei quali devi tracciare una linea nera su un lato e due su quello opposto. Modalità di esecuzione 1. Poni su un tavolo un sacchetto contenente i tuoi gettoni; poi, girati e, rimanendo sempre voltato, impartisci a uno spettatore le seguenti istruzioni: a) preleva dal sacchetto un numero di gettoni a tua scelta e disponili sul tavolo, nel modo che preferisci; b) conta mentalmente quante scanalature compaiono complessivamente sulle facce superiori dei gettoni così sistemati; c) ribalta tanti gettoni quant’è il valore del numero che hai

contato, intervenendo eventualmente più volte su uno stesso gettone (fig. 4.5.3);

figura 4.5.3 d) al termine di queste operazioni, copri un gettone a tua scelta con una mano. 2. A questo punto, ti volti verso il tavolo e, senza alcun indugio, indovini quante scanalature (una o due) compaiono sulla faccia superiore del gettone coperto. 3. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire Per riuscire in tale impresa, quando ti volti verso il tavolo, devi contare il numero N di scanalature che compare sulle facce superiori dei gettoni visibili e applicare questa semplice regola: •se N è pari, sono state coperte due scanalature; •se N è dispari, è stata coperta una scanalatura.

4.6 Eliminazione diretta Modalità di esecuzione 1. Disponi sul tavolo quattro bicchierini uguali, uno accanto all’altro, e chiedi a uno spettatore di mettere una moneta dentro uno di questi, a sua scelta (fig. 4.6.1).

figura 4.6.1 2. Voltati con le spalle al tavolo e chiedi allo spettatore di spostare la posizione della moneta, una quantità di volte a sua scelta, travasandola ogni volta da un bicchierino in un altro adiacente a questo, seguendo il percorso che preferisce (fig. 4.6.2).

figura 4.6.2 3. Al termine, rimanendo con le spalle voltate, fatti dire quanti spostamenti ha effettuato. 4. Comunica al pubblico che, pur non avendo la possibilità di vedere la situazione che si è generata, sei in grado di individuare il bicchierino che contiene la moneta. 5. A tale scopo, chiedi allo spettatore di togliere dal tavolo un determinato bicchierino e, poi, forniscigli le seguenti due istruzioni: a) sposta ancora una volta la moneta dal bicchierino in cui si trova in un altro adiacente; b) togli dal tavolo i due bicchierini laterali e lascia solo quello centrale. 6. Chiedi allo spettatore di mostrare al pubblico che la moneta si trova proprio dentro l’unico bicchierino rimasto sul tavolo. Accorgimenti da seguire All’inizio (punto 1.) devi osservare in quale bicchierino lo spettatore mette la moneta e tenere a mente il valore P della sua posizione (contando da sinistra verso destra). Per individuare quale bicchierino devi chiedere di togliere

(punto 5.), devi eseguire la somma tra P e il numero degli spostamenti effettuati dallo spettatore; se il risultato è: •pari, devi chiedergli di togliere il 1º bicchierino; •dispari, devi chiedergli di togliere il 4º bicchierino. Ad esempio, se lo spettatore ha messo la moneta nel 3º bicchierino e ha effettuato 7 spostamenti, dato che 3+7=10 (pari), il bicchierino da togliere è il 1º. Se, invece, lo spettatore ha messo la moneta nel 3º bicchierino e ha effettuato 8 spostamenti, dato che 3+8=11 (dispari), il bicchierino da togliere è il 4º. Il resto funziona da solo.

4.7 L’enigma della scacchiera Modalità di esecuzione 1. Poni sul tavolo una scacchiera vuota di 8×8 caselle e consegna tre pedine a uno spettatore. 2. Voltati con le spalle al tavolo e impartisci allo spettatore le seguenti istruzioni: a) posiziona le tre pedine, a tua scelta: o nella fila di tre caselle bianche posta verso l’angolo in alto a sinistra (fig. 4.7.1) o in quella posta verso l’angolo in basso a destra (fig. 4.7.2); ● ● ●

1

2

3

4

5

figura 4.7.1

6

7

8

● ● ● 1

2

3

4

5

6

7

8

figura 4.7.2 b) pensa a un numero intero qualsiasi, ma non comunicarmi il suo valore; c) esegui una quantità di spostamenti uguale al numero che hai pensato, muovendo ogni volta, a tua scelta, una qualsiasi delle tre pedine in una casella bianca confinante per un vertice con quella in cui si trova (ad esempio, se lo spettatore scegliesse di partire dalla posizione della figura 4.7.1, potrebbe spostare la pedina posta inizialmente nella colonna n. 3, secondo la sequenza indicata nella figura 4.7.3 e, con analoghe modalità, potrebbe spostare ognuna delle altre due pedine); ↘ ● ●

↘

↘ ↗

↙ ●

1

2

3

4

5

6

7

8

figura 4.7.3 d) esegui di nuovo, con gli stessi criteri, una quantità di spostamenti uguale al numero che hai pensato prima. 3. Al termine di tutti questi spostamenti, ti giri verso il tavolo e, dopo aver dato un rapido sguardo alla scacchiera, sei in grado di determinare se all’inizio lo spettatore aveva posto le tre pedine nell’angolo in alto a sinistra (fig. 4.7.1) o in quello in basso a destra (fig. 4.7.2). Accorgimenti da seguire Quando ti volti verso la scacchiera, devi osservare quante pedine si trovano complessivamente nelle colonne di posizione pari (2 - 4 - 6 - 8); se la quantità di queste pedine è: •dispari (1 o 3), lo spettatore ha posto inizialmente le tre pedine vicino all’angolo in alto a sinistra; •pari (0 o 2), lo spettatore ha posto inizialmente le tre pedine vicino all’angolo in basso a destra.

4.8 Il percorso contorto Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Modalità di esecuzione 1. Chiama uno spettatore e, dopo esserti voltato con le spalle alla lavagna, impartiscigli le seguenti istruzioni: a) disegna sulla lavagna una curva chiusa che si intersechi più volte (senza ripassare mai, però, per una stessa intersezione); b) contrassegna ogni punto di incrocio con un diverso numero intero (ottenendo, ad esempio, una situazione analoga a quella indicata in figura 4.8.1);

figura 4.8.1 c) percorri visivamente la curva chiusa così ottenuta, iniziando da un punto qualsiasi, e comunicami, ogni volta che arrivi a un incrocio, il numero a esso assegnato; d) esegui con attenzione questa operazione, finché non torni al punto di partenza dopo aver percorso l’intera curva, ma inverti segretamente due numeri a tua scelta, corrispondenti a una coppia di successive intersezioni (ad esempio, in riferimento alla situazione rappresentata in fig. 4.8.1, lo spettatore potrebbe nominare nell’ordine: 3 - 7 - 6 4 - 2 - 1 (invece di 1 - 2)- 4 - 5 - 5 - 1 - 2 - 3 - 7 - 6 - 3). 2. Appuntati su un foglietto la successione che ti viene riferita e, al termine, rimanendo sempre voltato, dichiari quale coppia di numeri è stata invertita. Accorgimenti da seguire Devi tracciare sul tuo foglietto una riga orizzontale e trascrivere, alternativamente sopra e sotto di questa, i

numeri nello stesso ordine in cui ti vengono dettati (tranne l’ultimo). Nell’esempio precedente, quindi, avresti dovuto ottenere una situazione del genere: 3

6

2

4

5

2

7

7

4

1

5

1

3

6

Al termine di questa operazione (se non sono stati commessi errori...), due soli numeri compariranno entrambe le volte da una stessa parte; ebbene: saranno proprio quelli i due numeri da individuare. Nell’esempio in questione (dove sono stati invertiti i numeri 1 e 2) il 2 compare due volte in alto e l’1 due volte in basso (tutti gli altri numeri, invece, compaiono una volta in alto e una volta in basso).

4.9 Le coppie omogenee Modalità di esecuzione 1. Sotto gli occhi del tuo pubblico, prepara un mazzo composto da un numero pari di carte, alternando rigorosamente un certo numero di carte rosse (cuori e quadri) a un uguale numero di carte nere (picche e fiori), nel modo qui di seguito schematizzato (N=carta nera; R=carta rossa): ... N R N R N R N R N R N R ... 2. Mescola una sola volta le carte del mazzo così formato, eseguendo la nota tecnica della sfogliata all’americana, indicata in figura 4.9.1.

figura 4.9.1 3. Fai notare che, in questo modo, all’interno del mazzo si sono venute a formare delle coppie di carte contigue dello stesso colore (che, nel seguito, per brevità chiameremo coppie omogenee) come, ad esempio, nella seguente

situazione:

4. Dividi il mazzo in due parti, avendo cura di spezzare una qualsiasi coppia omogenea e ricomponi il mazzo, invertendo la posizione dei due mazzetti. Ad esempio, nella situazione precedentemente illustrata:

potresti spezzare il mazzo nel punto indicato dalla barra verticale e ricomporlo nel modo seguente:

5. Mostra che nel mazzo continuano a esistere delle coppie omogenee; poi, passaci una mano sopra, pronunciando qualche formula magica, e annuncia che tutte le coppie omogenee si sono misteriosamente dileguate... 6. Prendi le prime due carte dalla cima del mazzo e, senza guardarle, mostra al pubblico che sono di colore differente. 7. Fai cadere sul tavolo le carte appena prelevate e prendi (sempre dalla cima del mazzo) le successive due, mostrando che anche queste sono di colore differente. 8. Ripeti queste operazioni fino alla fine, mostrando ogni volta, fra lo stupore generale (e anche tuo...), due carte di colore differente.

Capitolo 5 – Corrispondenza biunivoca

5.1 A ciascuno il suo Modalità di esecuzione 1. Componi un mazzo con solo 16 carte e mescolalo più volte. 2. Preleva 4 carte da questo mazzo e (tenendole con i dorsi rivolti dalla tua parte) mostrale a uno spettatore (che chiameremo A), chiedendogli di sceglierne una e di memorizzarne il valore. 3. Metti a faccia in giù, sul tavolo, le 4 carte mostrate. 4. Preleva altre 4 carte e mostrale a un secondo spettatore (che chiameremo B), chiedendo anche a lui di sceglierne una e di memorizzarne il valore. 5. Metti a faccia in giù, sopra le precedenti, anche queste altre 4 carte. 6. Ripeti altre due volte queste operazioni, coinvolgendo altri due spettatori (che chiameremo, nell’ordine, C e D) e mettendo ogni volta le carte mostrate a faccia in giù sopra le precedenti. 7. Prendi dal tavolo il mazzo così composto e suddividilo in 4 mazzetti uguali, prelevando le carte una alla volta dalla cima del mazzo e distribuendole ordinatamente da sinistra verso destra (fig. 5.1.1).

figura 5.1.1 8. Mostra, uno dopo l’altro, il contenuto di questi mazzetti ai 4 spettatori A, B, C e D, e ogni volta chiedi se qualcuno di loro vede la carta che aveva scelto prima. 9. Ogni volta che uno spettatore risponde affermativamente, tu indovini, senza alcuna esitazione, quale delle 4 carte che gli stai mostrando è quella da lui pensata. 10. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire

Mentre mostri le carte ai 4 spettatori devi tenere a mente l’ordine con il quale li stai coinvolgendo (A=1º, B=2º, C=3º, D=4º). Al termine, ogni volta che uno spettatore dichiara di vedere la propria carta, devi indicare quella che, nel mazzetto mostrato, occupa (procedendo da destra verso sinistra) la posizione corrispondente al numero d’ordine di quello spettatore (fig. 5.1.2).

figura 5.1.2 Ovviamente, se nessuno spettatore riconosce la propria carta in un mazzetto, non devi indicare alcuna carta di quel mazzetto. Mentre, se più di uno spettatore vede la propria carta in uno stesso mazzetto, devi indicare (adottando lo stesso criterio precedente), più di una carta di quel mazzetto.

5.2 I primi imprimibili Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Predisponi otto cartoncini quadrati, scrivendo su ognuno di essi un diverso numero di due cifre, come indicato nella figura 5.2.1. 11

13

23

29

47

53

73

83

figura 5.2.1 Su ciascun lato di questi cartoncini, applica una striscia di nastro biadesivo in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna mediante una semplice pressione delle mani, sia di faccia che di dorso. Modalità di esecuzione 1. Fissa alla lavagna gli otto cartoncini così preparati, disponendoli come nello schema precedente (ovvero, in ordine crescente di valore, da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso). 2. Mostra al pubblico che su ogni cartoncino è riportato un numero primo (divisibile, cioè, solo per se stesso e per 1). 3. Spiega, però, che quelli da te selezionati sono dei particolari numeri primi, che vengono detti imprimibili,

perché godono della proprietà di rimanere talmente impressi nella mente delle persone da poter essere individuati facilmente con la forza del pensiero... 4. Girati con le spalle alla lavagna, e chiedi a uno spettatore di scegliere uno di questi otto numeri e di indicarlo al pubblico. 5. Voltati di nuovo verso la lavagna e gira tutti i cartoncini dalla parte del dorso (badando a lasciarli nello stesso ordine precedente). 6. Prendi la tua personale bacchetta magica (o una comune matita...) e impartisci allo spettatore le seguenti istruzioni: a) pensa intensamente al nome del numero che hai scelto (ad esempio, se questo è: «53», deve pensare: «Cinquantatré»); b) adesso io darò con la bacchetta una serie di colpetti sui dorsi di alcuni di questi cartoncini; a ogni colpetto, tu devi scandire una diversa lettera del nome a cui stai pensando (nel nostro caso, deve scandire, nell’ordine, le lettere: «C-i-nq-u-a-n-t-a-t-r-é»); c) quando termini questa scansione, dimmi subito: «Stop». 7. Fai eseguire questa operazione allo spettatore; quando ti comunica di aver finito, gira l’ultimo cartoncino che hai toccato con la bacchetta e mostra al pubblico che il numero su di esso riportato è proprio quello pensato dallo spettatore. 8. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire Quando impartisci la serie di colpetti sui cartoncini, i primi cinque puoi darli in un ordine qualsiasi; dal sesto in poi, invece, devi seguire rigorosamente la successione indicata in fig. 5.2.2. 6º

→

7º

→

8º

→

9º ↓

13º

←

12º

←

11º

←

10º

figura 5.2.2 Appena lo spettatore dice: «Stop», devi interrompere la successione di colpetti e girare l’ultimo cartoncino toccato con la bacchetta.

5.3 Le tre tazzine Modalità d’esecuzione 1. Disponi sul tavolo un tappo di sughero e tre tazzine uguali, capovolte, contrassegnando con i numeri 1, 2 e 3 le posizioni da loro occupate (fig. 5.3.1).

figura 5.3.1 2. Chiama uno spettatore e, dopo esserti voltato con le spalle al tavolo, forniscigli le seguenti istruzioni: a) poni il tappo di sughero sotto una delle tre tazzine, a tua scelta, e scambia di posto le altre due (fig. 5.3.2), ma non mi fornire alcuna informazione in merito a queste due operazioni;

figura 5.3.2 b) continua a effettuare altri scambi di tazzine, comunicandomi di volta in volta le posizioni delle due tazzine coinvolte; naturalmente, ogni volta il tappo deve spostarsi insieme alla tazzina che lo contiene (fig. 5.3.3);

figura 5.3.3 c) prosegui in questo modo, finché ritieni di aver effettuato un numero sufficiente di scambi. 3. Quando lo spettatore ti comunica di aver terminato, ti

volti e, senza molti indugi, sollevi proprio la tazzina che contiene il tappo. 4. Puoi replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a tuo piacere... Accorgimenti da seguire Prima di iniziare il gioco devi osservare attentamente le tre tazzine: anche se apparentemente sono uguali, puoi individuare sicuramente un piccolo particolare (un graffietto, una macchietta, una piccola screpolatura, e così via) che ne renda distinguibile almeno una dalle altre. Quando ti volti con le spalle al tavolo, devi seguire con le dita delle mani il percorso di una tazzina. A tale scopo, devi assegnare al pollice, all’indice e al medio della mano sinistra, rispettivamente, le posizioni 1, 2 e 3. All’inizio devi indicare con l’indice della mano destra la posizione che occupa in quel momento la tazzina diversa (quella che sai distinguere dalle altre due), che chiameremo tazzina X. Poi con lo stesso dito devi seguire la posizione che la tazzina da te indicata va a occupare, di volta in volta, in seguito agli spostamenti. Ad esempio, se stai indicando la posizione 3 e ti viene comunicato lo scambio: 2 - 3, devi spostare l’indice sulla posizione 2 (fig. 5.3.4); se invece stai indicando la posizione 1 quando ti viene comunicato questo stesso cambio devi restare nella stessa posizione, perché la tazzina che stai indicando non è stata coinvolta.

figura 5.3.4 Al termine degli scambi, quando ti volti per guardare la situazione sul tavolo, devi osservare se la posizione che stai indicando con le mani è la stessa nella quale si trova la tazzina X. Se le due posizioni coincidono, allora devi sollevare proprio la tazzina X; se invece le due posizioni sono diverse, la tazzina che devi sollevare non è né la X, né quella che stai indicando, ma la terza.

5.4 La formula latina Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Sulla lavagna devi tracciare una griglia di 4×5 caselle uguali, di dimensioni leggermente più grandi di quelle di una carta da gioco, come indicato in figura 5.4.1.

figura 5.4.1 Al centro di ogni casella devi porre un quadratino di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarvi una carta da gioco mediante una semplice pressione delle mani. Modalità di esecuzione 1. Prendi 20 carte, mescolale più volte e forma con esse 10 coppie. 2. Mostra ai tuoi spettatori una coppia di carte dietro l’altra e chiedi che ciascuno di loro scelga e tenga a mente una sola di queste coppie. 3. Deponi sul tavolo, a faccia in giù, sopra quelle precedenti, ogni coppia di carte che hai fatto vedere. 4. Al termine, quando ogni spettatore ha scelto la propria coppia, prendi le 20 carte e, senza mescolarle prima,

disponile sulla lavagna (in maniera apparentemente casuale), mettendone una in ciascuna delle 20 caselle della griglia. 5. Chiedi a uno spettatore di indicarti in quale coppia di righe (o in quale unica riga) si trovano le sue due carte. 6. Ricevuta la risposta, indovini subito le due carte da lui scelte. 7. Ripeti la stessa procedura con ognuno degli altri spettatori, indovinando ogni volta la relativa coppia di carte scelta. Accorgimenti da seguire Prima di poterti esibire, devi imparare a memoria la seguente iscrizione latina: MUTUS DEDIT NOMEN COCIS e attribuire mentalmente ogni sua lettera a ogni casella della griglia, come indicato in figura 5.4.2. M

U

T

U

S

D

E

D

I

T

N

O

M

E

N

C

O

C

I

S

figura 5.4.2 Come puoi notare, questa frase (che potrebbe significare: il muto diede il nome al cuoco) contiene dieci coppie di lettere uguali (2M, 2U, 2T, 2S, 2D, 2E, 2I, 2N, 2O, 2C). Ebbene, mentre disponi le carte sulla lavagna devi avere cura di collocare ciascuna coppia di carte in una coppia di posizioni che, nell’iscrizione magica, corrisponde a due lettere uguali. Immaginiamo, ad esempio, che le 10 coppie di carte siano, nell’ordine, quelle indicate in figura 5.4.3.

1a

K♦

J♥

6a

10♥

K♣

2a

Q♣

A♥

7a

J♦

10♠

3a

10♦

10♣

8a

Q♠

Q♦

4a

K♥

A♣

9a

A♦

K♠

5a

J♠

J♣

10a

Q♥

A♠

figura 5.4.3 Le due carte della prima coppia (K♦ e J♥) le puoi porre nelle due caselle corrispondenti alla coppia di lettere M (fig. 5.4.4); le successive due carte (Q♣ e A♥) le puoi porre nelle due caselle corrispondenti alla coppia di lettere U (fig. 5.4.5). M K♦

U

T

U

S

D

E

D

I

T

N

O

M J♥

E

N

C

O

C

I

S

figura 5.4.4 M K♦

U Q♣

T

U A♥

S

D

E

D

I

T

N

O

M J♥

E

N

C

O

C

I

S

figura 5.4.5 Procedendo con la stessa logica, puoi collocare le altre carte nel modo indicato in figura 5.4.6 (dove in ogni coppia di caselle corrispondenti alla stessa lettera ci sono due carte provenienti da una stessa coppia). M K♦

U Q♣

T 10♦

U A♥

S K♥

D J♥

E 10♥

D J♣

I J♦

T 10♣

N Q♠

O A♦

M J♥

E K♣

N Q♦

C Q♥

O K♠

C A♠

I 10♠

S A♣

figura 5.4.6 Terminata la composizione del rettangolo, per indovinare la coppia di carte scelta da un determinato spettatore, devi semplicemente individuare quale coppia di lettere uguali occupa le due posizioni corrispondenti alla coppia di righe (o all’unica riga) da lui indicata. Ad esempio (facendo riferimento alla situazione indicata in figura), se ti vengono indicate la prima e la terza riga, dato che nell’iscrizione magica l’unica lettera presente in entrambe queste righe è la M, le due carte da indovinare sono: K♦ e J♥; se, invece, ti viene indicata solamente la terza riga, dato che nell’iscrizione magica l’unica lettera presente due volte in questa riga è la N, le due carte sono: Q♠ e Q♦.

5.5 Le tre palline Modalità di esecuzione 1. Disponi sul tavolo una pallina nera (N), una verde (V) e una gialla (G) (o, in alternativa, tre piccoli oggetti qualsiasi, purché ben distinguibili l’uno dall’altro). 2. Chiedi a tre spettatori (A, B e C) di avvicinarsi al tavolo. 3. Consegna 18 carte da gioco ad A, 12 a B e 6 a C. 4. Voltati con le spalle al tavolo, e impartisci le seguenti istruzioni ai tre spettatori: a) ognuno di voi prenda una di queste tre palline e se la metta in tasca (ad esempio: A prende G, B prende N e C prende V); b) chi ha preso la pallina V deve mettere sul tavolo un terzo delle carte che gli ho consegnato prima (C→ 6:3=2 carte); c) chi di voi ha preso la pallina G deve mettere sul tavolo la metà delle carte che gli ho consegnato prima (A→ 18:2=9 carte). 5. Senza chiedere nulla allo spettatore che ha preso la pallina N, girati di nuovo e conta quante carte ci sono sul tavolo (9+2=11). 6. Dopo alcuni secondi di riflessione, indovini chi ha preso la pallina N, chi la V e chi la G. Accorgimenti da seguire Per riuscire in tale impresa devi imparare a memoria (o tenere segretamente a portata di mano) il seguente schema nel quale, in corrispondenza di ognuno dei sei valori che la quantità di carte sul tavolo può assumere, è riportata la corrispondente ripartizione delle tre palline. totale carte

distribuzione palline

A

B

C

7

N

V

G

8

N

G

V

9

V

N

G

11

G

N

V

12

V

G

N

13

G

V

N

Nell’esempio precedente, dato che le carte sul tavolo sono 11, da tale schema puoi dedurre che: A ha preso la G, B la N e C la V. Se preferisci, puoi arrivare allo stesso risultato senza consultare questa tabella, ma seguendo queste indicazioni: •associa a ogni spettatore il numero corrispondente all’ordine con cui gli hai consegnato le carte (A→ 1; B→ 2; C→ 3); •dividi per 3 il numero totale T di carte che hai contato, prendendo in considerazione sia il quoziente Q(T) che il resto R(T) così ottenuti (nell’esempio precedente, essendo T=11, ricaviamo: Q(T)=3, R(T)=2); •ricava il numero SN corrispondente allo spettatore che ha preso la pallina N, calcolando: SV=Q(T)−1 (nel nostro caso, abbiamo: SN=3−1=2; quindi, la pallina N è stata presa dallo spettatore numero 2, cioè da B); •ricava il numero SV corrispondente allo spettatore che ha preso la pallina V, calcolando: SV=R(T)+1 (nel nostro caso, abbiamo: SV= 2+1=3; quindi, la pallina V è stata presa dallo spettatore numero 3, cioè da C); •per esclusione, deduci che la pallina G è stata presa dallo spettatore rimanente (nel nostro caso: il numero 1, cioè A).

Capitolo 6 – Inganni geometrici

6.1 La testa scomparsa Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Effettua una fotocopia opportunamente ingrandita delle due immagini rettangolari riprodotte in figura 6.1.1 e in figura 6.1.2; incollala su un cartoncino rigido e ritagliala lungo i bordi.

figura 6.1.1

figura 6.1.2

Dietro ognuno dei due cartoncini così realizzati applica una striscia di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna mediante una semplice pressione delle mani. Modalità di esecuzione 1. Fissa sulla lavagna i due cartoncini, in modo da ricostruire l’immagine di figura 6.1.3.

figura 6.1.3 2. Fai notare al pubblico che, in questo modo, compaiono 6 facce, ognuna con in testa un cappello. 3. Sposta il cartoncino inferiore di uno spazio verso sinistra, in modo da far combaciare tutte le porzioni di facce (fig. 6.1.4).

figura 6.1.4 4. Fai notare che (misteriosamente...) una delle sei facce è scomparsa e che, al suo posto, è rimasto solo il cappello.

6.2 I nanetti impertinenti Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Effettua una fotocopia opportunamente ingrandita delle tre immagini rettangolari riprodotte nelle figure 6.2.1-6.2.3; incollala su un cartoncino rigido e ritagliala lungo i bordi. Dietro ognuno dei tre cartoncini così realizzati applica una striscia di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna mediante una semplice pressione delle mani.

figura 6.2.1

figura 6.2.2

figura 6.2.3 Modalità di esecuzione 1. Fissa sulla lavagna i tre cartoncini ottenuti in base alle precedenti istruzioni, accostandoli nel modo indicato in

figura 6.2.4.

figura 6.2.4 2. Fai notare al pubblico che in questo modo l’immagine risultante raffigura 15 nanetti. 3. Scambia di posto i due cartoncini superiori (fig. 6.2.5) e fai notare al pubblico che (misteriosamente...) ora i nanetti sono solo 14: uno di loro è scomparso.

figura 6.2.5

6.3 Il paradosso della scacchiera Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Effettua una fotocopia opportunamente ingrandita della scacchiera riprodotta in figura 6.3.1; incollala su un cartoncino rigido e ritagliala lungo i bordi.

figura 6.3.1 Dietro il cartoncino così realizzato applica tre strisce di nastro biadesivo: una lungo il bordo in alto, un’altra lungo il bordo in basso e una terza, in diagonale, dal vertice in alto a sinistra a quello in basso a destra. In questo modo, ti sarà possibile fissare sulla lavagna, mediante una semplice pressione delle mani, sia il cartoncino integro, sia le due porzioni che otterrai nel corso del gioco.

Modalità di esecuzione 1. Fissa la scacchiera sulla lavagna e fai notare al pubblico che è composta da 8×8=64 quadretti. 2. Appoggia una riga sulla scacchiera e, con un pennarello, traccia una linea obliqua, nel modo indicato in figura 6.3.2.

figura 6.3.2 3. Stacca la scacchiera dalla lavagna e, con un paio di forbici, tagliala in due parti lungo la linea che hai tracciato. 4. Fissa alla lavagna i due pezzi così ottenuti, spostando il pezzo inferiore di una colonna verso sinistra e di una riga verso il basso (fig. 6.3.3).

figura 6.3.3 5. Taglia con le forbici il triangolino sporgente in alto a destra e inseriscilo nello spazio triangolare vuoto che si trova in basso a sinistra (fig. 6.3.4).

figura 6.3.4

6. Fai notare al pubblico che il rettangolo così ottenuto contiene solo 7×9=63 quadretti: uno è misteriosamente scomparso...

6.4 Il quadrato dilatabile Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Effettua una fotocopia, opportunamente ingrandita, delle quattro sagome geometriche riprodotte nelle seguenti figure; incollala su un cartoncino rigido e ritagliala lungo i bordi.

figura 6.4.1

figura 6.4.3

figura 6.4.2

figura 6.4.4

Dietro ognuno dei quattro cartoncini così realizzati applica

una striscia di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna mediante una semplice pressione delle mani. Modalità di esecuzione 1. Fissa sulla lavagna i quattro cartoncini disponendoli nel modo indicato dalla figura 6.4.5.

figura 6.4.5 2. Fai notare al pubblico che la figura così composta è un quadrato contenente 8×8=64 quadretti. 3. Scomponi questo quadrato e disponi i quattro cartoncini nel modo indicato dalla figura 6.4.6.

figura 6.4.6 6. Fai notare al pubblico che il rettangolo così ottenuto contiene 5×13=65 quadretti: misteriosamente, se ne è materializzato uno in più...

6.5 Il triangolo assurdo Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Effettua una fotocopia, opportunamente ingrandita, delle quattro sagome geometriche riprodotte nelle seguenti figure; incollala su un cartoncino rigido e ritagliala lungo i bordi.

figura 6.5.1

figura 6.5.3

figura 6.5.2

figura 6.5.4

Dietro ognuno dei quattro cartoncini così realizzati, applica una striscia di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna, mediante una semplice pressione delle mani.

Modalità di esecuzione 1. Fissa sulla lavagna i quattro cartoncini disponendoli nel modo indicato dalla figura 6.5.5.

figura 6.5.5 2. Fai notare al pubblico che la figura così composta è un triangolo rettangolo, con un’altezza pari a 5 lati di un quadretto e una base uguale a 13 di questi lati. 3. Disfa questo triangolo e disponi i quattro cartoncini nel modo indicato dalla figura 6.5.6.

figura 6.5.6 4. Fai notare al pubblico che la figura così composta è un triangolo rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza di quello precedente, ma anche un vistoso buco al centro...

6.6 Un altro triangolo assurdo Preparazione Per consentire a tutto il tuo pubblico di seguire lo svolgimento di questo gioco, devi avere a disposizione una lavagna (o, in alternativa, devi appendere un grande foglio bianco a una parete). Effettua una fotocopia, opportunamente ingrandita, delle sei sagome geometriche riprodotte nelle seguenti figure; incollala su un cartoncino rigido e ritagliala lungo i bordi.

figura 6.6.1

figura 6.6.2

figura 6.6.3

figura 6.6.4

figura 6.6.5

figura 6.6.6

Dietro ognuno dei sei cartoncini così realizzati applica una striscia di nastro biadesivo, in modo che sia possibile fissarli sulla lavagna mediante una semplice pressione delle mani. Modalità di esecuzione 1. Fissa sulla lavagna i sei cartoncini disponendoli nel modo indicato dalla figura 6.6.7.

figura 6.6.7 2. Fai notare al pubblico che la figura così composta è un triangolo isoscele, con un’altezza pari a 12 lati di un quadretto e una base uguale a 10 di questi lati. 3. Scomponi questo triangolo e disponi i sei cartoncini nel modo indicato dalla fig. 6.6.8.

figura 6.6.8 4. Fai notare al pubblico che la figura così composta è un triangolo isoscele che ha la stessa base e la stessa altezza di quello precedente, ma anche un vistoso buco al centro...

Seconda parte

PERCHÉ FUNZIONA

Capitolo 1 – Proprietà algebriche

1.1 Gira e raggira Questo gioco è un ottimo esempio di come, osservando una situazione pratica, sia piuttosto difficile riuscire a individuare i criteri matematici che la regolano, anche nel caso in cui siano estremamente banali da un punto di vista teorico. Nello specifico, non è facile notare che ogni singolo ciclo di mosse eseguito dallo spettatore riporta sempre il mazzo nella situazione iniziale e che, di conseguenza, dalla sua cima vengono tolte, una alla volta, le stesse carte che, all’inizio, si trovavano in tale posizione. Per capire meglio questo meccanismo, supponiamo di aver impartito allo spettatore le seguenti semplici istruzioni: a) preleva dalla cima del mazzo una piccola quantità di carte; b) rivolta le carte che hai preso e mettile, a faccia in alto, in cima al mazzo; c) rivolta di nuovo queste carte e rimettile in cima al mazzo. In un caso del genere, è evidente che, al termine di questa manovra, il mazzo è tornato nella stessa situazione iniziale. Infatti, girare e rigirare uno stesso mazzetto di carte equivale a non girarlo affatto (per questo motivo, il gioco si chiama Gira e raggira...) La successione di mosse che abbiamo fatto effettuare allo spettatore è del tutto equivalente a questa, anche se può sembrare più elaborata. Invece di chiedergli di rigirare lo stesso mazzetto di carte che aveva appena girato, gli

abbiamo chiesto di farlo prelevando una generica quantità N di carte in più. Siccome, però, subito dopo gli abbiamo chiesto di togliere tutte queste N carte, è come se avesse rigirato il proprio mazzetto senza prelevare alcuna carta in più (infatti N−N=0). La regola dei segni L’operazione di girare più volte un mazzetto di carte (o anche una sola carta) consente di visualizzare un concetto astratto come quello della regola dei segni (esposto nell’appendice) che, se viene appreso solo a memoria, rischia di essere ricordato male. Per simulare l’applicazione di tale regola, basta prendere in mano una carta, tenendola inizialmente a faccia in basso, e ricordare le seguenti due associazioni: «+»→ non girare la carta; «−»→ girare la carta. Il sistema da adottare (che funziona, in generale, con prodotti formati da un numero qualsiasi di fattori) consiste semplicemente nell’effettuare le operazioni sopra indicate, in funzione del valore dei segni da analizzare. Al termine, se la carta si trova a faccia in basso, il segno risultante è «+»; altrimenti, se la carta si trova a faccia in alto, è «−». Analizziamo i quattro casi possibili. (+×+=+) +

→ la carta non viene girata

× +

→ la carta non viene girata

= +

→ la carta rimane a faccia in basso

(+×−=−) +

→ la carta non viene girata

× −

→ la carta viene girata

= −

→ la carta si trova a faccia in alto

−

→ la carta viene girata

(−×+=−)

× +

→ la carta non viene girata

= −

→ la carta si trova a faccia in alto

(−×−=+) −

→ la carta viene girata

× −

→ la carta viene girata

= +

→ la carta ritorna a faccia in basso

Se consideriamo il segno «−» come un operatore che genera l’opposto di una data situazione, l’ultimo risultato evidenzia in particolare che l’opposto dell’opposto di una data situazione corrisponde alla situazione stessa (o, più sinteticamente, che due negazioni affermano).

1.2 Ipnosi collettiva Se indichiamo con N il numero scelto da un generico spettatore e con P il numero pari che abbiamo chiesto di aggiungere al punto c), in base alle serie di operazioni richieste, il risultato finale R sarà dato dalla seguente espressione: R=(2N+P):2−N Se svolgiamo i calcoli, otteniamo: R=2N:2+P:2−N R=N+P:2−N R=P:2 Per questo motivo, indipendentemente dal numero N pensato, il risultato sarà sempre uguale alla metà del numero pari che abbiamo chiesto di aggiungere al punto c). In particolare, sarà uguale a 4, se abbiamo chiesto di aggiungere il numero 8.

1.3 Ipnosi continua Se indichiamo con N il numero scelto da un generico spettatore, in base alle serie di operazioni richieste, il risultato finale R sarà dato dalla seguente espressione: R=[2(N+3)−4]:2−N Se svolgiamo i calcoli, otteniamo: R=[2N+6−4]:2−N R=[2N+2]:2−N R=N+1−N R=1 Per questo motivo, indipendentemente dal pensato, il risultato sarà sempre uguale a 1.

numero

N

1.4 Ma che coincidenza! Se indichiamo con N il numero scelto all’inizio e con M il valore riportato all’esterno del foglietto estratto, il risultato R delle operazioni richieste è dato dalla seguente relazione: R=[2(N+7)−5+N]:3+M−N Svolgendo i calcoli, si ottiene: R=[2N+14−5+N]:3+M−N R=[3N+9]:3+M−N R=N+3+M−N R=M+3 Quindi, indipendentemente dal valore N del numero scelto all’inizio, il risultato finale sarà sempre uguale al valore riportato all’esterno del foglietto estratto, incrementato di 3 unità (ovvero, al valore riportato all’interno dello stesso foglietto).

1.5 Acqua e vino Se nel mazzetto dello spettatore ci sono X carte scoperte, le rimanenti 20−X saranno coperte. Siccome ci sono in totale 20 carte scoperte e 20 coperte, il nostro mazzetto deve contenere: 20−X carte scoperte e: 20−(20−X)=X carte coperte. Quindi, nel nostro mazzetto ci sono tante carte coperte quante sono quelle scoperte contenute nel mazzetto dello spettatore. Per questo motivo, ribaltando il nostro mazzetto, tutte le carte coperte diventeranno scoperte e queste, quindi, saranno esattamente tante quante quelle presenti nel mazzetto dello spettatore. La seguente tabellina dovrebbe chiarire il senso di quanto esposto. Prima del ribaltamento

Dopo il ribaltamento

coperte

scoperte

coperte

scoperte

spettatore

20−X

X

20−X

X

noi

X

20−X

20−X

X

Come si può osservare, ai fini del risultato, è essenziale solo che nel nostro mazzetto ci siano tante carte coperte quante sono quelle scoperte contenute nel mazzetto dello spettatore. Non è importante che vengano ribaltate proprio 20 carte e, tra l’altro, non ha alcuna influenza il numero di carte contenuto dall’intero mazzo. Di conseguenza, affinché il gioco riesca, basta che ci facciamo consegnare un mazzetto composto da tante carte quante ne sono state girate all’inizio. Ammettiamo, infatti, che vengano ribaltate in tutto Y carte

(appartenenti a un mazzo contenente un numero N di carte) e che, quindi, ci facciamo consegnare un mazzetto composto proprio da Y carte. Se il mazzetto dello spettatore contiene X carte scoperte, in mano nostra ci saranno le rimanenti Y−X. Il nostro mazzo di Y carte, di conseguenza, sarà suddiviso in: Y−X carte scoperte e in: Y−(Y−X)=X carte coperte. Di conseguenza, possederemo tante carte coperte quante sono quelle scoperte dello spettatore. La seguente tabellina dovrebbe chiarire il senso di questo ragionamento. Prima del ribaltamento

Dopo il ribaltamento

coperte

scoperte

coperte

scoperte

spettatore

N−Y−X

X

N−Y−X

X

noi

X

Y−X

Y−X

X

Il gioco, quindi, può essere eseguito una prima volta, ribaltando la metà esatta delle carte contenute nel mazzo utilizzato, in modo da dirottare l’attenzione del pubblico su tale particolare inessenziale. Poi, può essere ripetuto altre volte, ribaltando ogni volta un numero di carte scelto dallo spettatore di turno. Adottando questa seconda procedura, dopo il ribaltamento del vostro mazzetto, il numero delle vostre carte scoperte coinciderà sempre con quello dello spettatore; non saranno uguali, però, le quantità di carte coperte (come avveniva nell’altro caso).

1.6 Il nome famoso Supponiamo che lo spettatore abbia prelevato X carte e che, quindi, quella da lui memorizzata occupi, all’inizio, la posizione X. Se il nome scelto è composto da Y lettere, quando noi eseguiamo la scansione di prova in pratica andiamo a invertire l’ordine delle prime Y carte (ma ciò non è affatto evidente...) Per effetto di tale manovra, la carta memorizzata dallo spettatore, che prima era seguita da Y−X carte, nel mazzetto prelevato, ora è preceduta da queste e, quindi, occupa la posizione: P=Y−X+1 Quando riponiamo sul mazzo le X carte messe da parte all’inizio, la nuova posizione P1 della carta diventa: P1 = P+X=Y−X+1+X=Y+1 Infine, quando lo spettatore toglie le Y carte necessarie a effettuare la scansione definitiva, la posizione finale P2 della stessa carta diventa: P2=P1−Y=Y+1−Y=1 (ovvero, quella relativa alla prima carta del mazzo). Per chiarire meglio questo ragionamento analizziamo un esempio concreto. Supponiamo che lo spettatore abbia prelevato all’inizio 5 carte, memorizzando, quindi, la 5a, contando dalla cima del mazzo restante. ...

...

11

10

9

8

7

6

5 5a

4

3

2

1 ←

Supponiamo anche che il nome scelto sia HARRY POTTER, composto da 11 lettere. Dopo aver effettuato la prima scansione, la carta memorizzata dallo spettatore non è più la 5a dall’alto del mazzo, ma la 5a dal basso; di conseguenza, nell’insieme di 11 carte così utilizzato, occupa la 7a posizione partendo dall’inizio (11−5+1=7). H

A

R

R

Y

P

O

T

T

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

E

R

11 ←

7a

Quando, dopo aver rimesso sopra il mazzo queste 11 carte, ponete su di esse anche le 5 che erano state tolte all’inizio, la carta memorizzata dallo spettatore va a occupare la 12a posizione (7+5=12). ...

...

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

*

*

*

*

*

12a

←

Di conseguenza, quando lo spettatore toglie le 11 carte per ripetere nuovamente l’operazione di scansione del nome, la carta da lui memorizzata diventa la prima del mazzo rimanente. H

A

R

R

Y

P

O

T

T

E

*

*

*

*

*

11

10

9

8

7

→

R 6

5 1a

4

3

2

1

...

Nota – Tutte queste considerazioni sono valide solo se il numero X di carte scelte all’inizio non è superiore al numero Y di lettere componenti il nome famoso; ovvero, se si ha: X≤ Y. In caso contrario, la carta memorizzata dallo spettatore non farebbe parte del mazzetto di Y carte che va ribaltato nella prima scansione del nome; di conseguenza, invece di spostarsi nella posizione Y−X+1, resterebbe in quella iniziale, X. Per questo motivo, è fondamentale chiedere allo spettatore di non prelevare più di 10 carte e controllare che il nome scelto non sia composto da meno di 10 lettere. In questo modo, infatti, essendo: X≤ 10 e 10≤ Y, si avrebbe anche: X≤ Y. Ovviamente, si può adottare anche un parametro di riferimento diverso da 10; per esperienza, però, questo particolare valore risulta molto funzionale.

1.7 Il giusto mezzo Chiamiamo N il numero di carte che ogni mazzetto conteneva all’inizio e M quello relativo alla quantità di carte spostate da ciascun mazzetto laterale sopra quello centrale. Possiamo quindi scrivere che, dopo aver effettuato il primo spostamento di carte, il mazzetto centrale contiene: N+2M carte, mentre quello di sinistra: N−M. Quando lo spettatore toglie dal mazzetto centrale un numero di carte uguale a quello contenuto nel mazzetto di sinistra, il numero C di carte contenuto nel mazzet-to centrale, sarà uguale a: C=N+2M−(N−M) C=N+2M−N+M C=3M Ciò vuol dire che il numero di carte che, alla fine, contiene il mazzetto centrale, è sempre uguale al triplo del numero di carte spostate da ciascun mazzetto laterale sopra quello centrale. Il seguente specchietto indica la situazione dei tre mazzetti dopo l’effettuazione di ciascuna delle due mosse previste.

situazione iniziale spostare sopra il mazzetto centrale M carte da ciascuno dei due mazzetti laterali

sinistra

centro

destra

N

N

N

N−M

N+2M

N−M

sinistra

centro

destra

spostare dal mazzetto centrale a quello di destra tante carte quante ne contiene quello di sinistra (M−N)

N−M

N+2M+ −(N −M)

N −M+ +N −M

situazione finale

N−M

3M

2N −2M

1.8 La predizione cinese Abbiamo già visto nel paragrafo 1.6 (Il nome famoso) che l’operazione di mettere sul tavolo una carta sopra l’altra ha l’effetto di invertire le loro posizioni. Abbiamo pure visto che, se una carta occupa all’inizio la posizione X, dopo l’inversione di Y carte occuperà la posizione: P=Y−X+1 Nel nostro caso, siccome Y è un numero compreso tra 11 e 19, possiamo considerarlo composto dalla somma di 10 e di un altro numero compreso tra 1 e 9 e quindi possiamo porre: Y=10+A (dove A è compreso tra 1 e 9) Di conseguenza possiamo indicare la somma S delle cifre che compongono Y con: S=1+A Siccome quest’ultimo è il valore della posizione in cui deve trovarsi alla fine la carta oggetto della nostra predizione, nella precedente formula P=Y−X+1 possiamo porre: P=A+1 e Y=10+A, ottenendo quindi: A+1=10+A−X+1 Da questa relazione, se spostiamo−X al primo membro e A+1 al secondo, ricaviamo: X=10+A+1−A−1 X=10 Quindi, perché una carta vada a occupare la posizione A+1 dopo l’inversione di 10+A carte (con A compreso tra 1 e 9) deve trovarsi all’inizio al 10º posto.

Nota – L’operazione consistente nel sommare le cifre di un numero viene utilizzata in molti trucchi di magia matematica. Questo particolare argomento verrà trattato in dettaglio nel secondo capitolo dell’appendice, dedicato alla numerazione in base 10.

1.9 Una prova di telepatia Il mazzo utilizzato in questo gioco è composto solo da 32 carte; per cui, dividendolo in due parti quasi uguali, si ottengono due mazzetti che non possono essere composti né da 20 o più carte, né da 10 o meno. Analogamente al gioco del paragrafo precedente (La predizione cinese), quindi, il numero Y di carte che compone il mazzetto prescelto può essere rappresentato come Y=10+A (con A compreso tra 1 e 9); di conseguenza, anche in questo caso, la somma S delle cifre che compongono questo numero sarà uguale a S=A+1. Siccome noi chiediamo allo spettatore di togliere S carte dalle Y che compongono il suo mazzetto, il numero X di carte che gli resta in mano sarà dato da: X=Y−S=10+A−(A+1) X=10+A−A−1 X=10−1 X=9 In definitiva, in mano allo spettatore resteranno sempre 9 carte, indipendentemente da quante ne conteneva il mazzetto da lui scelto. Dato che gli chiediamo di tenere a mente la prima di queste 9 carte (cioè la 9a a contare dal basso), è evidente che questa diventerà la 9a dall’alto quando il mazzo completo verrà ribaltato a faccia in alto. Nota – Come possiamo constatare, non è essenziale che le carte tolte durante il primo conteggio vengano disposte sul tavolo una sopra l’altra. È invece indispensabile che quelle aggiunte alla fine, per ricomporre l’intero mazzo, siano poste sopra le 9 carte residue, e non sotto (altrimenti la carta da indovinare andrà a finire in chissà quale posizione...)

1.10. Le carte trasparenti Il mazzo utilizzato in questo gioco è composto da 40 carte; per cui, dopo aver tolto le prime 20 e averne messe in tavola altre 3, ce ne restano in mano 17. Siccome queste 17 carte le mettiamo sopra le 20 tolte all’inizio, la carta che in quel mazzetto occupava il 13º posto va ora a occupare il 30º posto (17+13=30) nel mazzo riunito. Se indichiamo con X, Y, Z i valori delle 3 carte girate sul tavolo, dobbiamo mettere: •10−X carte sulla prima; •10−Y carte sulla seconda; •10−Z carte sulla terza. Quindi, il numero N di carte che togliamo in tutto dal nostro mazzo (dove al 30º posto si trovava, all’inizio, la carta memorizzata) è dato da: N=10−X+10−Y+10−Z N=30−X−Y−Z N=30−(X+Y+Z) A questo punto, la carta memorizzata sarà scesa dal 30º posto a quello di valore P che si ottiene sottraendo da 30 il numero N di carte tolte, ovvero: P=30−N P=30−30+(X+Y+Z) P=X+Y+Z In definitiva, la nuova posizione occupata dalla nostra carta coinciderà proprio con la somma dei valori delle tre carte girate sul tavolo.

1.11 I mazzetti misteriosi Se chiamiamo X il valore della carta posta in fondo a un generico mazzetto, in base al criterio di composizione adottato, sopra di questa ce ne devono essere altre 10−X. Quindi, il numero totale C delle carte contenute in ciascun mazzetto è dato da: C=1+10−X=11−X Questo vuol dire che, in relazione a ciascun mazzetto, la somma tra il numero C delle sue carte e il valore X di quella posta in fondo sarà sempre uguale a 11, in quanto: C+X=X+11−X=11 Se il numero di mazzetti formati è uguale a M, possiamo chiamare: C1, C2,..., CM le diverse quantità di carte che compongono i mazzetti; X1, X2,..., XM i diversi valori delle carte poste in fondo. Di conseguenza, analogamente a quanto possiamo impostare le seguenti M equazioni:

visto

prima,

C1+X1 =11 C2+X2 =11 ......................... CM+XM=11 Sommando membro a membro questa serie di equazioni, otteniamo:

C1+X1+C2+X2+...+CM+XM= 11M C1+C2+...+CM+X1+X2+...+XM=11M Se indichiamo con S il numero totale di carte utilizzate nel comporre i mazzetti e con N la somma dei valori delle carte che si trovano in fondo ai mazzetti, la precedente equazione può essere scritta più sinteticamente in questo modo: S+N=11M (in quanto S=C1+C2+...+CM e N=X1+X2+...+XM) Poiché il valore di S si può ricavare anche sottraendo il numero R di carte avanzate dal totale di quelle contenute nel mazzo completo (40), possiamo porre S=40−R e, quindi, l’equazione precedente diventa: 40−R+N=11M da cui, portando al secondo membro 40−R, ricaviamo la magica formula che abbiamo utilizzato per indovinare: N=11M+R−40

1.12 Magie al quadrato Perché il gioco riesca sempre dobbiamo riuscire a riempire le caselle della matrice in maniera tale che ogni possibile insieme di quattro numeri, scelti in modo da averne uno solo in ogni riga e in ogni colonna, generi sempre la stessa somma. Per ottenere un simile risultato è necessario inserire in ogni casella della matrice un valore uguale alla somma di due costanti, una relativa alla sua riga e l’altra alla sua colonna, come qui di seguito indicato. x

y

z

w

a

a+x

a+y

a+z

a+w

b

b+x

b+y

b+z

b+w

c

c+x

c+y

c+z

c+w

d

d+x

d+y

d+z

d+w

Con tale impostazione, ogni possibile insieme di quattro numeri, scelti in modo da non averne più di uno in ogni riga e in ogni colonna, genererà una somma uguale a quella di tutte le costanti assegnate alle righe e alle colonne, come qui di seguito esplicitato. x

y

z

w

a

a+x

a+y

a+z

a+w

b

b+x

b+y

b+z

b+w

c

c+x

c+y

c+z

c+w

d

d+x

d+y

d+z

d+w

S1 = a+x+b+y+c+z+d+w= = a+b+c+d+x+y+z+w x

y

z

w

a

a+x

a+y

a+z

a+w

b

b+x

b+y

b+z

b+w

c

c+x

c+y

c+z

c+w

d

d+x

d+y

d+z

d+w

S2 = a+y+b+w+c+x+d+z = = a+b+c+d+x+y+z+w Il trucco, quindi, consiste nel riuscire a costruire una matrice del genere, facendo in modo che la somma delle costanti assegnate alle righe e alle colonne sia uguale al numero N, scelto dallo spettatore all’inizio. In teoria, è possibile raggiungere un simile obiettivo adottando vari sistemi. Il metodo più semplice e veloce, però, consiste nel porre un valore nella casella in alto a sinistra e riempire poi le altre caselle con valori incrementati di un’unità alla volta. In questo modo, si attribuiscono automaticamente le costanti: 0, 1, 2, 3 alle colonne e le costanti: a, a+4, a+8, a+12 alle righe, come indicato nel seguente schema. 0

1

2

3

a

a+1

a+2

a+3

a+4

a+4

a+5

a+6

a+7

a+8

a+8

a+9

a+10

a+11

a+12

a+13

a+14

a+15

a

a+12

Sommando tutte le costanti di questa matrice, si ottiene:

S=0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+12 S=4a+30 Quindi, una volta conosciuto il numero N scelto dallo spettatore, possiamo ricavare il valore da inserire nella prima casella in alto a sinistra, ponendo: N=4a+30 e ricavando: a=(N−30):4 Questo ragionamento è valido, però, solo se la divisione effettuata dà come resto 0. In caso contrario, dobbiamo modificare opportunamente i valori di alcune costanti, per compensare la differenza mancante. Un modo piuttosto semplice per raggiungere uno scopo del genere può essere quello qui di seguito indicato.

•Se il resto è uguale a 1 (ovvero, se N=4a+31), incrementiamo di un’unità la costante relativa all’ultima riga (in pratica, dobbiamo saltare un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal basso), portandola ad assumere il valore a+13: 0

1

2

3

a

a+1

a+2

a+3

a+4

a+4

a+5

a+6

a+7

a+8

a+8

a+9

a+10

a+11

a+13

a+14

a+15

a+16

a

a+13

In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice diventa: S=0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+13 S=4a+31=N

•Se il resto è uguale a 2 (ovvero, se N=4a+32), incrementiamo di un’unità le costanti relative all’ultima e alla penultima riga (in pratica, dobbiamo saltare un’unità all’inizio della 2a riga a contare dal basso) portandole ad assumere rispettivamente i valori a+9 e a+13: 0

1

2

3

a

a+1

a+2

a+3

a+4

a+4

a+5

a+6

a+7

a+9

a+9

a+10

a+11

a+12

a+13

a+14

a+15

a+16

a

a+13

In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice diventa: S= 0+1+2+3+a+a+4+a+9+a+13 S=4a+32=N •Se il resto è uguale a 3 (ovvero, se N=4a+33), incrementiamo di un’unità le costanti relative all’ultima, alla penultima e alla terzultima riga (in pratica, dobbiamo saltare un’unità all’inizio della 3a riga a contare dal basso), portandole ad assumere rispettivamente i valori a+5, a+9 e a+13: 0

1

2

3

a

a+1

a+2

a+3

a+5

a+5

a+6

a+7

a+8

a+9

a+9

a+10

a+11

a+12

a+13

a+14

a+15

a+16

a

a+13

In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice diventa: S=0+1+2+3+a+a+5+a+9+a+13 S=4a+33=N Nota – Se il numero N scelto dallo spettatore fosse minore di 30, il risultato della differenza: N−30 sarebbe negativo. Il gioco potrebbe essere eseguito ugualmente, ma sarebbe molto più scomodo da gestire.

Capitolo 2 – Numerazione in base 10

2.1 Il magico «9» Come è messo in evidenza nell’appendice, la differenza tra un qualsiasi numero intero N e la somma delle sue cifre è sempre uguale a un multiplo di 9, indipendentemente dal numero di cifre da cui è composto N. E, come sappiamo, la radice numerica di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9.

Nota – Nel gioco in questione, abbiamo chiesto di scegliere un numero intero composto da due sole cifre solo per renderne più scorrevole l’esecuzione. Il trucco, però, funzionerebbe ugualmente anche partendo da un numero intero composto da una quantità maggiore di cifre.

2.2 Un rinoceronte nero Se moltiplichiamo un numero intero qualsiasi per 9 otteniamo un multiplo di 9 (per definizione...) E, come ben sappiamo, la radice numerica di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9... Di conseguenza: •sottraendo 5 dal risultato della prima operazione richiesta (che è 9, in ogni caso), otteniamo: 9−5=4; •la quarta lettera dell’alfabeto è la «D»; •l’unica nazione europea il cui nome (italiano) inizia con «D» è la «Danimarca»; •la terza lettera di tale parola è «N» e il colore più comune il cui nome inizia in questo modo è il «nero»; •la terza lettera di tale parola è «R» e il più comune, grosso mammifero il cui nome inizia in questo modo è il «rinoceronte». Nota – Nel gioco in questione, abbiamo chiesto di scegliere un numero intero composto da una sola cifra solo per renderne più scorrevole l’esecuzione. Il trucco, però, funzionerebbe ugualmente anche partendo da un numero intero composto da più di una cifra.

2.3 Il numero di telefono Come è messo in evidenza nell’appendice, ogni numero intero N è sempre uguale a un multiplo di 9 più la radice numerica di N. Quindi, se chiamiamo N il numero di telefono scelto all’inizio, possiamo scrivere: N=9K+S, dove S=R[N] Se componiamo un altro numero intero M, disponendo in un diverso modo le stesse cifre di N, la radice numerica di M deve necessariamente essere uguale a quella di N. Quindi, possiamo scrivere: M=9H+R[M]=9H+S Di conseguenza, il valore D della differenza tra N e M (supponendo N > M) è dato da: D=N−M=9K+S−(9H+S)=9K−9H+S−S D=9K−9H D=9(K−H) In conclusione, indipendentemente dal valore di N e dal modo in cui vengono permutate le sue cifre per ottenere il numero M, la differenza tra questi due numeri è sempre uguale a un multiplo di 9. E, come sappiamo, la radice numerica di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9.

2.4 Un calcolo con i piedi Per comodità di esposizione, poniamo: S=numero di scarpe dello spettatore; A=anno di nascita dello spettatore; N=risultato che ci viene comunicato. In base a tali attribuzioni, la sequenza di istruzioni fornita genera la seguente equazione: N=S×100−A Se, inoltre, chiamiamo C l’anno in corso e aggiungiamo questo valore a quello di N, otteniamo: R=N+C R=S×100−A+C R=S×100+(C−A) Considerando che l’età E di una persona è uguale alla differenza tra l’anno in corso e quello di nascita, possiamo porre E=C−A e, quindi, l’equazione precedente diventa: R=S×100+E Siccome sia S che E possono essere composti al massimo da due cifre (se si evita di proporre il gioco a un centenario...), possiamo porre S=«ab» ed E=«cd». In definitiva, il valore R della somma indicata nella relazione precedente si ricava nel seguente modo, impostando l’addizione in colonna: ab00 + cd = abcd

A questo punto, appare evidente che: •il numero composto dalle prime due cifre di questo risultato («ab») coincide con S (numero di scarpe dello spettatore); •il numero composto dalle ultime due cifre di questo risultato («cd») coincide con E (età dello spettatore).

2.5 La carta mancante La somma S di tutti i valori attribuibili alle 40 carte di un mazzo completo, in base alla convenzione adottata, è uguale a 180. Infatti: S=4×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4×45=180 Di conseguenza, se non venisse tolta alcuna carta, l’operazione descritta in precedenza darebbe come risultato 0 (scartando, una alla volta, tutte le decine che compongono il numero 180). Per questo motivo, il valore della carta mancante coincide con quello che bisogna aggiungere al risultato ottenuto per ottenere 10 (ovvero: 0, scartando la decina).

2.6 La carta nascosta La somma T di tutte le nove cifre da 1 a 9 è uguale a: T=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 Se indichiamo con X il valore della cifra messa da parte, la somma S delle otto cifre rimanenti è data da: S=45−X Di conseguenza, come esplicitato nell’appendice, la sua radice numerica è uguale a: R[S]=R[45−X] R[S]=R[36+(9−X)] R[S]=R[4×9+(9−X)] R[S]=R[4×9]+R[(9−X)] R[S]=9−X In qualunque modo possiamo comporre dei numeri, aggregando le otto cifre a disposizione la radice numerica della loro somma deve essere necessariamente uguale a quella di S (dato che coinvolge le stesse otto cifre). Quindi, indicando con N il valore che ci viene comunicato, avremo: R[N]=R[S]=9−X Dalla relazione: R[N]=9−X possiamo ricavare:

X=9−R[N] Ciò conferma che, per ottenere il valore della carta nascosta, dobbiamo calcolare la radice numerica del risultato che ci è stato comunicato e sottrarla da 9.

2.7 Attrazione fatale Indichiamo con N=«abcd» un generico numero intero composto da quattro cifre non tutte uguali tra loro, disposte in ordine decrescente (ovvero: a≥ b≥ c≥ d) e con M=«dcba» il numero che si ottiene disponendo le stesse cifre in ordine crescente. La loro differenza può essere impostata nel seguente modo: D=N−M=«abcd»−«dcba» Tenendo presente la struttura della notazione posizionale in base 10, possiamo scrivere: D=(1000a+100b+10c+d)−(1000d+100c+10b+a) Da qui, con semplici passaggi, possiamo ricavare: D=(1000−1)a+(100−10)b+(10−100)c+(1−1000)d D=999(a−d)+90(b−c) Questo vuol dire che, se eseguiamo la sottrazione tra un numero di tipo «abcd» e un altro di tipo «dcba», il risultato non può essere uno dei qualsiasi 10.000 numeri composti da quattro cifre, ma deve rispettare la formula sopra indicata. I numeri ricavabili in questo modo sono, comunque, diverse centinaia, ma possono essere suddivisi in soli trenta gruppi, considerando che l’assetto delle loro cifre è ininfluente (dovendo essere, in ogni caso, disposte in ordine crescente e decrescente). Di conseguenza, è possibile impostare un prospetto generale che indichi ogni potenziale percorso ottenibile a partire da un qualsiasi numero di quattro cifre. Nella seguente tabella sono evidenziate le connessioni tra

tutti i possibili numeri D generabili dalla formula D=999(a −d)+90(b−c), ognuno dei quali è rappresentato dall’insieme delle sue quattro cifre disposte in ordine crescente. Scorrendo lo schema da sinistra verso destra, ogni numero posto in una determinata colonna è collegato al primo numero che si incontra, nella colonna successiva, procedendo nel senso della relativa freccia. ---

---

0999↘

2448→

4599→

3555→

1899↘

1557↗

---

4446↗

---

0288↘

---

---

1377↘

---

1179↘

---

---

2268→

3456→

0378→

---

---

4455→

0189→

1269↗

---

---

2367→

2556↘

---

3357↗

---

0468→

1278→

3447→

3699→

2466↗

---

1359↗

0558→

2779↗

---

---

1449↗

2358↘ 1467⇌

Come si può vedere, la diramazione di tutti i possibili percorsi non genera dei cicli e l’unico insieme di cifre che rimanda a se stesso è 1467 (le cifre di 6174, disposte in ordine crescente). Nota – Il meccanismo su cui si basa questo problema è noto come procedimento di Kaprekar, essendo stato ideato nel 1946 dal matematico indiano Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar. Si può verificare facilmente che lo stesso procedimento: •applicato a numeri di due cifre, genera il ciclo: 63 - 27 - 45 09 - 81 - 63;

•applicato a numeri di tre cifre, converge verso il valore costante: 495; •applicato a numeri di cinque cifre, sfocia in uno dei seguenti tre cicli: a) 99954 - 95553; b) 98532 - 97443 - 96642 - 97731; c) 98622 - 97533 - 96543 - 97641. Non è stato, però, ancora trovato un metodo generale per determinare i risultati del procedimento di Kaprekar applicato a numeri composti da una quantità qualsiasi di cifre.

2.8 Più veloce della luce Gli otto cartoncini sono impostati in modo tale che la somma delle cinque cifre riportate su ognuno di essi sia sempre uguale al valore della somma tra il numero fisso 20 e la cifra che si trova al quarto posto dall’alto. Qui di seguito, è mostrata in dettaglio tale corrispondenza. 8 1 6 0 5

7 5 0 1 8

4 6 7 2 3

1 7 8 3 4

5 0 9 4 6

3 9 8 5 0

9 8 1 6 2

2 4 5 7 9

20

21

22

23

24

25

26

27

Una tale struttura garantisce che, in qualsiasi modo vengano composti i numeri, accostando i vari cartoncini la somma delle cifre appartenenti a una stessa colonna dia sempre come risultato la cifra che occupa il quarto posto dall’alto con il riporto di 2. Nel seguente esempio: 2 4 5 7 9

4 6 7 2 3

5 0 9 4 6

7 5 0 1 8

9 8 1 6 2

la somma dei relativi cinque numeri può esser così schematizzata: 2

6

+

2 2 2 2

7

2

9

1

+

4

+

2

+ =

4

6

3

6

Nota – Ogni cifra posta in quarta posizione ha un valore minore di 8. Di conseguenza, indipendentemente dalla disposizione dei cartoncini, sommando a essa il numero fisso 2 non viene mai a generarsi un ulteriore riporto. Questo particolare non solo ci consente di eseguire molto velocemente le operazioni richieste, senza preoccuparci di controllare le posizioni reciproche dei cartoncini, ma ci permette anche di scrivere il risultato direttamente da sinistra verso destra, dando l’impressione di essere riusciti a calcolarlo a mente già qualche attimo prima.

2.9 Il computer umano Se chiamiamo n la quantità di cifre che compone ognuno dei cinque numeri, possiamo scrivere: A=«an,an−1...a2a1a0» (primo numero dello spettatore); B=«bn,bn−1...b2b1b0» (secondo numero dello spettatore); C=«cn,cn−1...c2c1c0» (nostro primo numero); D=«dn,dn−1...d2d1d0» (terzo numero dello spettatore); E=«en,en−1...e2e1e0» (nostro secondo numero). Quindi, se incolonniamo questi cinque numeri, per eseguire la loro somma, otteniamo una configurazione del genere: an

an−1

...

a2

a1

a0

+

bn

bn−1

...

b2

b1

b0

+

cn

cn−1

...

c2

c1

c0

+

dn

dn−1

...

d2

d1

d0

+

en

en−1

...

e2

e1

e0

=

Siccome in ciascuna delle due coppie di numeri B - C e D - E la somma delle cifre corrispondenti è sempre uguale a 10, la notazione precedente è analoga a questa: an

an−1

...

a2

a1

a0

+

10

10

...

10

10

10

+

10

10

...

10

10

10

=

ovvero, a:

Incolonnando otteniamo:

an

an−1

...

a2

a1

a0

+

20

20

...

20

20

20

=

in

maniera

an

an−1

più

...

rigorosa

a2

...

2 2

0

2

2+an

0

...

2

...

0

tutte

a1

a0

+

2

0

+

0

le

cifre,

+ +

...

+ =

2+an−1

...

2+a2

2+a1

a0

Come si può notare, tutto ciò equivale a sommare al numero A un numero composto da una serie di 2 (tanti quanti sono le cifre di A), terminante con uno 0.

2.10 La carta parlante Le modalità di svolgimento di questo gioco sono analoghe a quelle che si avrebbero se la sequenza di dieci carte si muovesse intorno a un anello. Di conseguenza, dopo ogni spostamento, ciascuna posizione viene a essere occupata da una carta il cui valore (a meno di un’eventuale decina), è più alto del precedente di una quantità uguale a quella delle carte spostate. Per verificare tale affermazione, supponiamo che a un certo punto del gioco la situazione sia la seguente: 5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

Se, successivamente, effettuiamo uno spostamento, ad esempio, di tre carte: >

| |

| 5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

6

7

generiamo la seguente configurazione: 8

9

10

1

2

3

4

5

Come possiamo facilmente verificare, nella nuova situazione (trascurando il riporto di un’eventuale decina) ogni posizione è occupata da un valore uguale a quello precedente, più 3 (il numero di carte spostate): 8=5+3; 9=6+3; 10=7+3;

[1]1=8+3, e così via. In particolare, la carta che si trova nella posizione che, in precedenza, era occupata dal 10, ha lo stesso valore della quantità di carte spostate; in questo caso: 10+3=[1]3. 5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

Questa corrispondenza vale in generale e, quindi, per far funzionare il gioco, dobbiamo riuscire a individuare, ogni volta, la posizione che, al passo precedente, era occupata dal 10. A tale scopo, dobbiamo considerare che il valore di ogni nuova carta scoperta coincide con la quantità di carte spostate e, quindi, indica anche di quante posizioni il 10 si è spostato circolarmente verso sinistra. Per tale motivo, quindi, se al valore corrispondente alla posizione della carta appena scoperta sommiamo quello da essa mostrato (trascurando l’eventuale cifra delle decine), otteniamo il valore corrispondente alla posizione che in quel momento è occupata dal 10. Ovviamente, non è necessario partire da una configurazione nella quale il 10 occupa la seconda posizione da destra (come quella mostrata all’inizio). È consigliabile, comunque, adottare quest’ultima, in quanto è facile da tenere a mente e si individua rapidamente.

2.11 Divinazioni à gogo Osserviamo la struttura di queste due somme generiche:

?

A

B

C

+

G

B

I

+

D

E

F

+

D

H

C

+

G

H

I

=

A

E

F

=

?

?

?

?

?

?

?

Indipendentemente dai valori assegnabili alle lettere incognite, i loro risultati sono sicuramente coincidenti. Infatti, la prima somma contiene in ciascuna colonna le stesse cifre (pur se disposte in un modo diverso) della corrispondente colonna dell’altra e, per la proprietà commutativa dell’addizione, modificando l’ordine degli addendi il risultato non cambia. Ovviamente, otterremmo lo stesso valore se, all’interno delle varie colonne, permutassimo le cifre in altri modi possibili. Il gioco in questione funziona perché i tre spettatori sono inconsapevolmente indotti a comporre una terna di numeri la cui somma coincide con quella da noi impostata. Infatti, per effetto delle operazioni descritte dal punto 3. al punto 14., ognuno di loro riceve le carte relative alle cifre di una determinata colonna della nostra terna e viene, poi, forzato a ridistribuirle (in un ordine qualsiasi) nella corrispondente colonna della terna da comporre. In particolare, nell’esempio precedente, dove la somma relativa alla nostra previsione era generata dai seguenti tre numeri: 8

4

3

1

9

7

2

5

6

lo spettatore A ha ricevuto le carte di valore 8 - 1 - 2, (contenute nella colonna delle centinaia), B quelle di valore 4 - 9 - 5 (contenute nella colonna delle decine), e C quelle di valore 3 - 7 - 6 (contenute nella colonna delle unità). Come possiamo verificare, nella terna di numeri composta liberamente dai tre spettatori, le carte di A si ritrovano tutte nella colonna delle centinaia, quelle di B nella colonna delle decine e quelle di C nella colonna delle unità: 2

4

7

1

5

6

8

9

3

In pratica, ai tre spettatori viene concessa una sorta di libertà limitata. Anche se sono convinti di poter scegliere i tre numeri in completa autonomia, in realtà hanno la possibilità di farlo solo nell’ambito di un ristretto insieme di terne a somma costante.

2.12 Magia ciclica Il numero 142.857 è molto noto tra i cultori di matematica ricreativa per le sue proprietà magiche. In particolare, se viene moltiplicato per un valore compreso tra 1 e 6, si ottiene come risultato un numero composto dalle stesse cifre, disposte ciclicamente nel medesimo ordine, come qui di seguito mostrato: 1×142857=142857 2×142857=285714 3×142857=428571 4×142857=571428 5×142857=714285 6×142857=857142 Considerando che i punti di un normale dado sono compresi tra 1 e 6, il risultato della moltiplicazione eseguita dallo spettatore sarà composto sicuramente dalle cifre 1, 4, 2, 8, 5, 7, disposte in maniera ciclica (indipendentemente dal valore ottenuto lanciando il dado). Siccome il nostro anello contiene questa stessa sequenza ciclica, dobbiamo solo avere l’accortezza di strapparla in modo da far coincidere la cifra delle unità del risultato ottenuto dallo spettatore con quella del numero che otterremo aprendo la striscia. Nota – Il numero 142.857 è il più piccolo tra quelli che godono di analoghe proprietà e che, per tale motivo, vengono detti ciclici. Tutti i numeri ciclici si ottengono isolando il periodo del valore decimale generato dall’inverso di determinati numeri primi. In particolare, 142857 è il periodo generato dall’inverso del numero primo 7; infatti:

1/7=0,142857

Capitolo 3 – Numerazioni in altre basi

3.1 I sette cartoncini magici La particolare composizione dei sette cartoncini consente di risalire, dalla conoscenza di quelli che contengono un determinato numero, alla codifica binaria del numero stesso. Per ottenere un tale risultato, ciascuno dei sette cartoncini è stato associato a una particolare potenza di 2, nel modo qui di seguito esposto. Cartoncino

Potenza

A

20=1

B

21=2

C

22=4

D

23=8

E

24=16

F

25=32

G

26=64

Su ciascun cartoncino sono stati riportati solo quei numeri (compresi tra 1 e 99) la cui codifica in binario contiene una cifra «1» nella colonna relativa alla potenza di 2 a esso associata. Come si può verificare, infatti:

•nel cartoncino A sono presenti: 1, 3, 5, ... 99, tutti numeri la cui codifica in binario contiene un 1 nell’ultima colonna (quella associata a 20): 1, 11, 101,... 1100011; •nel cartoncino B sono presenti: 2, 3, 6, ... 99, tutti numeri la cui codifica in binario contiene un 1 nella penultima colonna (quella associata a 21): 10, 11, 110,... 1100011, e così via. In questo modo, conoscendo quali cartoncini contengono un determinato numero, si viene a sapere anche quali colonne della sua codifica binaria contengono la cifra «1» (e quali, per esclusione, la cifra «0»). Per risalire al valore del numero da indovinare, però, non c’è bisogno di effettuare esplicitamente l’operazione di decodifica dal binario. Infatti, dato che, per rendere più rapida la loro consultazione, i numeri sono stati disposti in ordine crescente per colonne, ogni cartoncino riporta al primo posto, in alto a sinistra, proprio il valore della potenza di 2 a esso associato. Di conseguenza, la decodifica dal binario si compie automaticamente sommando i numeri che compaiono in testa ai cartoncini interessati. Se, ad esempio, il numero da indovinare compare nei cartoncini B, D e G, la sua codifica in binario deve contenere la cifra «1» nelle posizioni: 2a, 4a e 7a (contando da destra) e, di conseguenza, corrisponde a: 1001010; di conseguenza il suo valore decimale è uguale a: 21+23+26 = 2+8+64=74. Come abbiamo visto, questo stesso valore si ottiene sommando i numeri che compaiono in alto a sinistra nei cartoncini interessati (B, D e G).

3.2 L’ordine magico Su ogni scheda abbiamo riportato una successione di fori corrispondente alla codifica adottata per la lettera assegnata a quella scheda. La codifica in questione è stata impostata associando a ciascuna lettera il numero binario corrispondente alla posizione che questa occupa nel consueto ordinamento alfabetico, come indicato in dettaglio, nella seguente tabella: A

1º→ 00001

H

8º→ 01000

O

15º→ 01111

V

22º→ 10110

B

2º→ 00010

I

9º→ 01001

P

16º→ 10000

W

23º→ 10111

C

3º→ 00011

J

10º→ 01010

Q

17º→ 10001

X

24º→ 11000

D

4º→ 00100

K

11º→ 01011

R

18º→ 10010

Y

25º→ 11001

E

5º→ 00101

L

12º→ 01100

S

19º→ 10011

Z

26º→ 11010

F

6º→ 00110

M

13º→ 01101

T

20º→ 10100

G

7º→ 00111

N

14º→ 01110

U

21º→ 10101

Di conseguenza, se disponiamo le schede secondo l’ordine crescente dei numeri rappresentati dalle loro perforazioni, mettiamo automaticamente in ordine anche le relative lettere. Ebbene, anche se non è molto immediato rendersene conto, la manovra effettuata nello svolgimento di questo gioco ha proprio l’effetto di disporre tutte le schede secondo l’ordine crescente dei numeri a esse associati. Possiamo intuire il motivo per cui ciò accade notando che, quando solleviamo la bacchetta dopo averla infilata in un determinato foro, lasciamo indietro tutte le schede associate a dei numeri che contengono un «1» nella corrispondente posizione binaria, mentre portiamo in avanti tutte le altre

che, in quella stessa posizione, contengono il valore inferiore «0». Per avere una visione più completa del funzionamento di questo meccanismo, però, preferiamo ricorrere a un esempio concreto. Ammettiamo di avere solo sette schede le cui perforazioni corrispondono ai seguenti numeri: 001 - 010 - 011 - 100 - 101 - 110 - 111 Supponiamo che all’inizio questi numeri siano disposti nel seguente ordine casuale: 011 - 010 - 101 - 111 - 110 - 001- 100 Se spostiamo in avanti tutti i numeri che contengono uno 0 nella prima posizione da destra (corrispondente a 20), otteniamo: 010 - 110 - 100 - 011 - 101 - 111 - 001 Se adesso spostiamo in avanti tutti i numeri che possiedono uno 0 nella seconda posizione da destra (corrispondente a 21), otteniamo: 100 - 101 - 001 - 010 - 110 - 011 - 111 Se infine spostiamo in avanti tutti i numeri che possiedono uno 0 nella terza posizione da destra (corrispondente a 22), otteniamo: 001 - 010 - 011 - 100 - 101 - 110 - 111 ovvero, proprio la sequenza crescente dei nostri sette numeri.

3.3 Le tracce significative Ogni operazione di ridistribuzione delle carte su cui si basa questo gioco equivale a dividere per 2 il loro numero: il quoziente della divisione è dato dal numero di carte che vengono poste sulla lineetta successiva, mentre il resto è dato dal numero di carte (0 o 1) che rimane su quella di partenza. In definitiva, l’intero procedimento è un’applicazione pratica del metodo che consente di ottenere la codifica in binario di un numero decimale. Per questo motivo, per risalire al numero di partenza basta riconvertire in decimale il numero binario individuato dalla successione di carte e spazi vuoti presenti sulle varie lineette.

3.4 L’incredibile previsione La serie di operazioni che dobbiamo eseguire per individuare la posizione P della carta da tenere a mente, in un mazzetto di N carte, può essere rappresentata in maniera sintetica nel seguente modo: P=2(N−2K)+1 (con: 2K ≤ N< 2K+1) Per verificare come, effettivamente, la carta che all’inizio si trova nella posizione corrispondente a tale valore di P è proprio quella che resterà da sola alla fine, ci conviene ricostruire a ritroso il procedimento sopra descritto (come se l’avessimo registrato e facessimo scorrere la videocassetta in senso opposto). A tale scopo, partiamo dalla situazione finale (con una sola carta in mano) ed eseguiamo tutte le mosse al contrario (in particolare, ogni volta, spostiamo le carte da sotto a sopra). In dettaglio, dobbiamo effettuare, quindi, le seguenti azioni. a) Collochiamo sul tavolo il mazzo di 22 carte e prendiamo in mano quella di cui vogliamo ricostruire il percorso (segnandola o girandola a faccia in alto, per poterla distinguere dalle altre). b) Prendiamo un’altra carta dal tavolo e poniamola, coperta, in cima al mazzetto che stiamo costituendo. c) Spostiamo sopra il mazzetto che stiamo costituendo la carta che si trova in fondo a esso. d) Annotiamo su un foglio il numero N di carte che abbiamo in mano in questo momento e riportiamo sotto di esso il valore P, relativo alla posizione occupata dalla carta in oggetto (contando a partire dalla cima del mazzo). e) Se sul tavolo non ci sono più carte da prendere, abbiamo terminato; altrimenti eseguiamo di nuovo tutte le

precedenti operazioni, da b) a d). Compiuto tale procedimento, otterremo uno schema analogo al seguente, dove in relazione a ogni possibile quantità N di carte è indicato il valore P della posizione occupata all’inizio da quella che rimarrà da sola alla fine. N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P

1

3

1

3

5

7

1

3

5

7

9

11

13

15

1

...

Osservando attentamente questi valori, possiamo notare che P vale 1 quando N è uguale a una potenza di 2 (ovvero: 2, 4, 8, 16...) e che, a ogni successivo incremento di N, aumenta sempre di 2 unità fino a ritornare a 1 quando N è di nuovo uguale a una potenza di 2. In termini matematici, quindi, possiamo scrivere: •se N è uguale a una potenza di 2, ovvero, se: N=2K (con: K=0, 1, 2, 3...), abbiamo: P=1 •se N è diverso da una potenza di 2, abbiamo: P=1+2A dove A è uguale alla differenza tra N e la potenza 2K di valore immediatamente precedente a N; ovvero dove: A = N −2K (con: 2K< N< 2K+1). In sintesi, quindi, possiamo scrivere: P=1+2(N−2K) (con: 2K < N< 2K+1) Considerando che, quando N è uguale a una potenza di 2, quest’ultima formula diventa:

P=1+2(N−N)=1+0; P=1 Possiamo fondere i due possibili casi, scrivendo che, per ogni valore di N, abbiamo: P=2(N−2K)+1 (con: 2K≤ N< 2K+1) Nota – Una volta presa maggiore confidenza con la numerazione binaria, possiamo determinare in maniera più veloce la posizione P della carta da tenere a mente, dato un numero N di carte, mediante il seguente sistema ideato dallo statunitense Mel Stover. a) Convertiamo in binario il valore di N (ad esempio, se N=22, dobbiamo ottenere: 10110). b) Togliamo la prima cifra 1 da sinistra di questo numero e trasferiamola in fondo a esso (10110→ 01101). c) Convertiamo in decimale questo nuovo numero binario (01101→ 13). Il valore ottenuto in maniera così immediata sarà proprio quello della posizione P che dovremo tenere a mente. Possiamo verificare che questo procedimento equivale al precedente compiendo i seguenti ragionamenti. •Togliere il primo 1 da un numero binario N equivale a sottrarre da N la maggiore potenza di 2 non superiore a N; ovvero equivale a calcolare: N−2K (con 2K≤ N< 2K+1). •Spostare di una posizione verso sinistra tutte le cifre del numero risultante (per fare spazio a quella da inserire in fondo) equivale a moltiplicare per 2 il valore precedente; ovvero, equivale a calcolare: 2(N−2K). •Aggiungere un 1 in fondo al numero equivale a sommare un 1 al valore precedente; ovvero, equivale a calcolare: 2(N −2K)+1. In sintesi, quindi, il risultato finale ottenuto con questo procedimento è, come nel caso precedente, uguale a:

P=2(N−2K)+1 (con: 2K≤ N< 2K+1)

3.5 I simboli astrali Come mostrato in figura 3.5.7, ognuno dei dieci simboli proposti è associato a un numero intero la cui codifica in binario contiene due sole cifre «1». In pratica, il valore di ciascuno di questi numeri è sempre uguale alla somma di due sole potenze di 2. simbolo

numero

codifica in binario

3

00011

5

00101

6

00110

9

01001

10

01010

12

01100

17

10001

18

10010

20

10100

24

11000

figura 3.5.7 I numeri ai quali le carte sono state associate, mediante la posizione del puntino sul dorso, costituiscono la successione crescente delle prime cinque potenze di 2 (ovvero: 20=1; 21=2; 22 = 4; 23=8; 24 = 16). In ciascuna carta sono stati inseriti solamente i simboli corrispondenti a quei numeri la cui codifica in binario non contiene la potenza di 2 relativa alla carta stessa. In questo modo, quando si scelgono tre carte, il numero corrispondente all’unico simbolo che compare su ognuna di esse è uguale alla somma delle potenze di 2 associate alle due carte rimanenti. Siccome il valore della potenza di 2 associata a ogni carta è indicato (in maniera non palese...) sul dorso della stessa carta, basta fare la somma di questi due valori per risalire al numero associato al simbolo da indovinare. Questa situazione dovrebbe essere esplicitata dalla figura 3.5.8 che riassume la distribuzione dei dieci simboli sulle cinque carte. Su ogni riga è riportata la codifica in binario dei numeri corrispondenti ai dieci simboli utilizzati, mentre ogni colonna corrisponde a una determinata carta. Se all’incontro tra una riga e una colonna c’è uno «0»,

vuol dire che il simbolo relativo a quella riga è presente nella carta corrispondente a quella colonna. Se, invece, all’incontro tra una riga e una colonna c’è un «1», vuol dire che il simbolo relativo a quella riga non è presente nella carta corrispondente a quella colonna.

16

8

4

2

1

3

0

0

0

1

1

5

0

0

1

0

1

6

0

0

1

1

0

9

0

1

0

0

1

10

0

1

0

1

0

12

0

1

1

0

0

17

1

0

0

0

1

18

1

0

0

1

0

20

1

0

1

0

0

24

1

1

0

0

0

figura 3.5.8

3.6 Magia ternaria Possiamo per prima cosa notare che, per effetto delle operazioni previste, ogni volta le 9 carte di una colonna, dopo essere state raccolte in un mazzetto, vengono ridistribuite una dopo l’altra su 3 righe contigue. Alla luce di questa considerazione, dovrebbe essere evidente che, se il mazzetto interessato venisse collocato ogni volta in cima al mazzo, alla fine la carta da indovinare andrebbe a occupare la prima posizione in alto a sinistra. Per estrema chiarezza, però, cerchiamo di verificare questo risultato analizzando il seguente prospetto, dove abbiamo indicato con un asterisco la posizione finale della carta da indovinare e abbiamo sottolineato tutti i punti nei quali questa poteva trovarsi in precedenza, in base alle indicazioni fornite dallo spettatore. N.B.: Per semplicità di rappresentazione, abbiamo supposto che la colonna indicata sia sempre la prima, dato che, nell’ipotesi che stiamo analizzando, il relativo mazzetto deve essere collocato ogni volta in cima al mazzo. 1a situazione

2a situazione

3a situazione

4a situazione

A

B

C

A

A

A

A

A

A

*

B

C

A

B

C

A

A

A

B

B

B

A

B

C

A

B

C

A

A

A

C

C

C

A

B

C

A

B

C

B

B

B

A

A

A

A

B

C

A

B

C

B

B

B

B

B

B

A

B

C

A

B

C

B

B

B

C

C

C

A

B

C

A

B

C

C

C

C

A

A

A

A

B

C

A

B

C

C

C

C

B

B

B

A

B

C

A

B

C

C

C

C

C

C

C

A

B

C

Questo prospetto mostra anche che, per effetto di ogni operazione di ridistribuzione: •in ogni colonna vanno a sistemarsi solo 3 carte delle 9 che erano presenti in quella stessa colonna al passo precedente; •in ogni riga va a sistemarsi solo 1 carta delle 3 che erano presenti in quella stessa riga al passo precedente. Fatte queste premesse, possiamo analizzare la situazione generale, nella quale i mazzetti interessati non vengono posti sistematicamente in cima al mazzo. In questo caso, alla fine delle operazioni, la carta da indovinare sarà preceduta da un certo numero di altre carte, la cui composizione può essere determinata in base alle seguenti considerazioni. •Se nella terza ricomposizione del mazzo sono stati collocati X mazzetti sopra quello interessato (con X=0, 1, 2), la quantità K di carte che verrà a disporsi nelle prime posizioni della configurazione finale sarà composta da 9 carte per ciascuno di questi mazzetti; ovvero, sarà: K=X×9. •Se nella seconda ricomposizione del mazzo sono stati collocati Y mazzetti sopra quello interessato (con Y=0, 1, 2), la quantità L di carte che verrà a disporsi nella configurazione finale, dopo quelle riempite in precedenza, sarà composta da 3 carte per ognuno di questi mazzetti; ovvero, sarà: L=Y×3. •Se nella prima ricomposizione del mazzo sono stati collocati Z mazzetti sopra quello interessato (con Z=0, 1, 2), la quantità M di carte che verrà a disporsi nella configurazione finale, dopo quelle riempite in precedenza, sarà composta da

1 carta per ognuno di questi mazzetti; ovvero, sarà: M=Z×1. In definitiva, il numero N totale delle carte precederanno quella da indovinare sarà dato da:

che

N=K+L+M N=Z×1+Y×3+X×9 (con X, Y, Z=0, 1, 2) Supponiamo, ad esempio, che il mazzetto corrispondente alla colonna indicata dallo spettatore sia stato collocato: •la prima volta in basso (Z=2); •la seconda volta al centro (Y =1); •le terza volta ancora al centro (X=1). In base a quanto appena visto, la carta da indovinare dovrebbe essere preceduta da: N=2×1+1×3+1×9=2+3+9=14 carte. Il seguente prospetto, conferma tale risultato.

analogo

a

quello

precedente,

1a situazione

2a situazione

3a situazione

4a situazione

A

B

C

A

A

A

A

A

A

A

B

C

A

B

C

A

A

A

B

B

B

A

B

C

A

B

C

A

A

A

C

C

C

A

B

C

A

B

C

B

B

B

A

A

A

A

B

C

A

B

C

B

B

B

B

B

B

A

B

*

A

B

C

B

B

B

C

C

C

A

B

C

A

B

C

C

C

C

A

A

A

A

B

C

A

B

C

C

C

C

B

B

B

A

B

C

A

B

C

C

C

C

C

C

C

A

B

C

(Per semplicità di rappresentazione, abbiamo supposto che la colonna indicata dallo spettatore sia ogni volta quella corrispondente alla posizione che, comunque, andrà a occupare il relativo mazzetto). Da questo prospetto, si può verificare che nell’ultima situazione, prima della carta da indovinare possiamo contare, nell’ordine (da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso): •1 gruppo di 9 carte (nelle prime tre righe), provenienti dall’unico mazzetto posto sopra quello interessato, nella terza ricomposizione; •1 gruppo di 3 carte (nella quarta riga), provenienti dall’unico mazzetto posto sopra quello interessato, nella seconda ricomposizione del mazzo; •2 gruppi di 1 carta (nella quinta riga), provenienti dai due mazzetti posti sopra quello interessato, nella prima ricomposizione del mazzo. N.B.: La formula: N=Z×1+Y×3+X×9 può essere vista come la codifica in decimale di un numero «XYZ» scritto in base 3, dato che i valori di X, Y e Z sono compresi tra 0 e 2. Quindi, il gioco precedente può essere svolto anche scrivendo nell’ordine, da destra verso sinistra, le cifre attribuite alle tre posizioni osservate e considerare il numero risultante come se fosse scritto in base 3. Ad esempio, se la prima volta il mazzetto viene posto nella posizione inferiore (2), la seconda volta nella posizione centrale (1) e la terza volta ancora nella posizione centrale (1), scrivendo le relative cifre, da destra verso sinistra, otteniamo il numero ternario: 112. Da questo, possiamo risalire al numero decimale 14, tenendo conto che: 2×30+1×31+1×32=2×1+1×3+1×9=2+3=14. Se riusciamo a imparare a memoria la rappresentazione

ternaria dei numeri interi compresi tra 1 e 27, possiamo eseguire questo gioco in forma estremamente rapida. Nota – Questo gioco viene chiamato anche Pile di Gergonne, in quanto è stato analizzato a fondo per la prima volta, nel 1813, dal matematico francese Joseph Diez Gergonne.

Capitolo 4 – Pari e dispari

4.1 Una somma prodigiosa Ogni volta, lo spettatore deve scegliere tra un numero pari e quello dispari immediatamente successivo; ovvero, tra: 2K e 2K+1 (con: 0≤ K≤ 6). Siccome la somma di tutti i numeri pari previsti è uguale a: 0+2+4+6+8+10+12=42, se lo spettatore sceglie una quantità N di numeri dispari, incrementa questo valore di N unità. La somma totale S di tutti i numeri da lui scelti, quindi, sarà uguale a: S=42+N.

4.2 Lo scherzo dei tre bicchieri Per comodità di esposizione, poniamo: C=quantità di bicchieri capovolti prima di una mossa; C1 = quantità di bicchieri capovolti dopo una mossa; R=quantità di bicchieri dritti prima di una mossa; R1 = quantità di bicchieri dritti dopo una mossa. In linea generale, il ribaltamento di un bicchiere che si trova in una determinata posizione fa diminuire di una unità la quantità di bicchieri che si trovano in quella stessa posizione e fa aumentare di un’unità l’altra. Di conseguenza, se ribaltiamo contemporaneamente due bicchieri, questi possono essere solo: •entrambi dritti; in questo caso, otteniamo: R1=R−2 C1=C+2 •entrambi capovolti; in questo caso, otteniamo: C1=C−2 R1=R+2 •uno dritto e uno capovolto; in questo caso, otteniamo: C1=C+1−1=C R1 = R−1+1 =R In base a quanto esplicitato nell’appendice possiamo affermare, quindi, che il ribaltamento contemporaneo di 2

bicchieri mantiene inalterata sia la parità dei bicchieri dritti sia quella dei bicchieri capovolti (pari± pari=pari; dispari± pari=dispari). Siccome nella configurazione di partenza proposta allo spettatore (fig. 4.2.5), l’insieme dei bicchieri dritti è pari (R=2), dopo ciascuna delle tre mosse previste questo insieme resta comunque pari (R1 = 0 o R1=2) e, quindi, procedendo nello stesso modo, non potrà mai arrivare a contenere 3 elementi (perché 3 è un numero dispari). Nella manovra esplicativa che abbiamo effettuato all’inizio del gioco, siamo riusciti a ottenere una quantità di bicchieri dritti uguale a 3 (dispari), semplicemente perché eravamo partiti da una situazione (fig. 4.2.1) che presentava una quantità di bicchieri dritti uguale a 1 (dispari). Nota – La differenza tra le due configurazioni iniziali, in genere, non viene notata dagli spettatori, in quanto la loro attenzione è portata spontaneamente a concentrarsi sulla successione di mosse da effettuare.

4.3 La moneta coperta Il ribaltamento di una moneta che mostra una determinata faccia ha l’effetto concreto di diminuire di un’unità la quantità di monete che mostrano quella stessa faccia e di aumentare di un’unità l’altra. Ad esempio, se ribaltiamo una moneta che mostra testa (facendole, così, mostrare croce) la quantità delle teste diminuisce di un’unità, mentre quella delle croci aumenta di una. Quindi, analogamente a quanto visto nel gioco precedente, capovolgendo due monete alla volta rimane inalterata sia la parità delle teste sia quella delle croci, indipendentemente dalle loro rispettive numerosità (pari± pari=pari; dispari± pari=dispari). Questo vuol dire che, se non fosse stata coperta alcuna moneta, al termine dei ribaltamenti dovremmo osservare la stessa parità di partenza. Per cui, se la parità osservata è diversa da quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia uguale a quella da noi scelta (quella che manca all’appello...); se, invece, è la stessa di quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia diversa da quella da noi scelta.

4.4 Testa o croce Siccome il numero totale delle monete in gioco è pari, in qualsiasi momento la quantità delle teste e quella delle croci sono o entrambe pari o entrambe dispari (come si può vedere nell’appendice: pari+pari=pari, dispari+dispari=pari). Quindi, al termine dei ribaltamenti effettuati dallo spettatore in base all’esito del lancio della moneta, la quantità delle teste e quella delle croci: •se erano entrambe pari, dopo un numero di ribaltamenti pari sono rimaste entrambe pari (pari± pari=pari); •se erano entrambe dispari, dopo un numero di ribaltamenti dispari sono diventate entrambe pari (dispari± dispari=pari); In definitiva, l’insieme di istruzioni che abbiamo fornito allo spettatore ha avuto l’effetto di rendere pari, in ogni caso, sia il numero delle teste sia quello delle croci. Questo vuol dire che, se non fosse stata coperta alcuna moneta, al termine dei ribaltamenti dovremmo osservare questo tipo di situazione sul tavolo. Per questo motivo, la faccia che, invece, appare in quantità dispari corrisponde a quella della moneta coperta.

4.5 Magia a gettone Data la caratteristica conformazione dei gettoni, se si effettua un unico ribaltamento, l’insieme globale delle scanalature presenti sulle facce superiori dei gettoni può solo: •aumentare di una quantità uguale a 1, se viene ribaltato un gettone che mostrava una sola scanalatura; •diminuire di una quantità uguale a 1, se viene ribaltato un gettone che mostrava due scanalature. Di conseguenza, ogni volta che viene ribaltato un gettone, l’insieme delle scanalature cambia parità (pari± 1=dispari; dispari± 1=pari). Siccome abbiamo chiesto allo spettatore di effettuare una quantità di ribaltamenti uguale al numero iniziale di scanalature, al termine di queste mosse, si verifica che: •se l’insieme iniziale di scanalature era pari, l’insieme finale resta pari (pari± pari=pari); •se l’insieme iniziale di scanalature era dispari, l’insieme finale diventa pari (dispari± dispari=pari). In definitiva, l’insieme di istruzioni che abbiamo fornito allo spettatore ha l’effetto di rendere pari, in ogni caso, il numero di scanalature. Per cui: •se il numero delle scanalature visibili è pari, vuol dire che sono state coperte due scanalature (pari− 2=pari); •se il numero delle scanalature visibili è dispari, vuol dire che è stata coperta una scanalatura (pari− 1=dispari).

4.6 Eliminazione diretta Quando lo spettatore travasa la moneta da un bicchierino posto in una determinata posizione in uno adiacente, il valore della nuova posizione occupata dalla moneta aumenta o diminuisce di 1 rispetto a quello precedente; quindi, cambia parità (pari± 1=dispari; dispari± 1=pari). In base alle scelte dello spettatore, quindi, si possono verificare le seguenti due situazioni. •Se la parità relativa al numero di spostamenti effettuati è uguale a quella della posizione che la moneta occupava all’inizio, alla fine la moneta si troverà in un bicchierino di posizione pari (pari± pari=pari; dispari± dispari=pari), ovvero: nel 2º o nel 4º. Possiamo, quindi, chiedere allo spettatore di togliere il 1º bicchierino, sicuramente vuoto. Inoltre, abbiamo la certezza che la moneta non si trova neanche nel 3º bicchierino, che a questo punto occupa la posizione centrale (fig. 4.6.3).

figura 4.6.3 •Se la parità relativa al numero di spostamenti effettuati è diversa da quella della posizione che la moneta occupava all’inizio, alla fine la moneta si troverà in un bicchierino di posizione dispari (pari± dispari=dispari; dispari±

pari=dispari), ovvero: nel 1º o nel 3º. Possiamo, quindi, chiedere allo spettatore di togliere il 4º bicchierino, sicuramente vuoto. Inoltre, abbiamo la certezza che la moneta non si trova neanche nel 2º bicchierino, che a questo punto occupa la posizione centrale (fig. 4.6.4).

figura 4.6.4 In definitiva, l’insieme di istruzioni che abbiamo fornito allo spettatore ha l’effetto di posizionare la moneta in uno dei due bicchierini laterali dei tre che si trovano alla fine sul tavolo. Per questo motivo, quando chiediamo allo spettatore di spostare ancora una volta la moneta dal bicchierino in cui si trova in un altro adiacente (punto 5a), la moneta finirà sicuramente nel bicchierino centrale.

4.7 L’enigma della scacchiera Dato che gli spostamenti non possono essere effettuati verticalmente, ognuno di loro produce l’effetto di spostare una pedina da una determinata colonna a una adiacente. Di conseguenza, ogni volta, il nuovo valore della colonna occupata dalla pedina aumenta o diminuisce di 1 rispetto a quello precedente e, quindi, cambia parità (pari± 1=dispari; dispari± 1=pari). Siccome abbiamo fatto eseguire allo spettatore, in tutto, un numero pari di spostamenti (il doppio del numero da lui pensato), la somma dei valori relativi alle colonne nelle quali alla fine si trovano le tre pedine deve avere la stessa parità di quelli iniziali. Nella posizione in alto a sinistra (fig. 4.7.1), la somma dei valori relativi alle colonne occupate dalle tre pedine è pari (1+2+3=6); quindi, se lo spettatore è partito da questa posizione, la somma dei valori delle tre colonne finali deve essere pari. Questo può avvenire solo nei seguenti modi: •una sola pedina si trova in una colonna pari (pari + dispari + dispari=pari); •tre pedine si trovano in tre diverse colonne pari o in un’unica colonna pari (pari + pari + pari=pari). In ognuno di questi due casi, il numero delle pedine poste in colonne pari è dispari (1 o 3). Nella posizione in basso a destra (fig. 4.7.2), la somma dei valori relativi alle colonne occupate dalle tre pedine è dispari (6+7+8=21); quindi, se lo spettatore è partito da questa posizione, la somma dei valori delle tre colonne finali deve essere dispari. Questo può avvenire solo nei seguenti modi: •nessuna pedina si trova in colonne pari (dispari + dispari + dispari=dispari);

•due sole pedine si trovano in due diverse colonne pari o in un’unica colonna pari (pari + pari + dispari=dispari). In ognuno di questi due casi, il numero delle pedine poste in colonne pari è pari (0 o 2). Nota – Questo gioco è stato ideato, negli anni ’40, dal prestigiatore statunitense Bob Hummer, utilizzando una scacchiera di dimensioni 6×6. Il principio su cui si basava il suo trucco, però, può essere applicato a una qualsiasi scacchiera quadrata, composta da un numero pari di caselle per lato.

4.8 Il percorso contorto Analizziamo che cosa succede intorno a una intersezione quando la curva forma una sorta di cappio analogo al seguente:

figura 4.8.2 Percorrendo questo tratto di curva, in un verso o nell’altro, il numero corrispondente alla relativa intersezione verrà nominato due volte di seguito. Nella successione risultante, questo numero occuperà, quindi, due posti di diversa parità (uno pari e l’altro dispari, o viceversa). E la stessa cosa accadrà anche nel caso in cui la curva dovesse intersecare il cappio in più punti, perché questi saranno sicuramente in quantità pari. Infatti, siccome la curva da tracciare deve essere chiusa, ogni volta che un suo tratto entra all’interno di un cappio, formando un’intersezione, deve anche uscirne, formandone un’altra (come evidenziato in figura 4.8.3).

figura 4.8.3 Quando disponiamo i numeri attorno alla linea orizzontale, in pratica separiamo le posizioni di valore dispari da quelle di valore pari. Se non fosse stato effettuato alcuno scambio, tutti questi numeri si andrebbero a disporre in modo da figurare una sola volta sopra e una sola volta sotto la linea. Di conseguenza, i numeri che non rispettano questa regolarità sono proprio quelli che sono stati scambiati di posto. Nota – Questo gioco è stato ideato dall’ingegnere elettronico statunitense Victor Eigen, autorevole esperto di matemagica, traendo spunto da un complesso teorema di topologia.

4.9 Le coppie omogenee Il gioco si basa sul fatto che, per effetto delle operazioni effettuate all’inizio, la prima carta di ogni coppia omogenea va a occupare una posizione pari e, di conseguenza, ogni coppia omogenea si trova sempre a cavallo di due successive coppie di carte estratte, come evidenziato nel seguente schema. | N

|

| |

| R

| |

N

| R

|

R

N

|

||

...

R

| |

N

| N

| |

R

R

N

| |

R

N

|

Ma come possiamo spiegare un fatto del genere? Cominciamo a osservare che le varie coppie omogenee si susseguono a colori alterni; ovvero: una coppia RR è seguita da una NN e una coppia NN è seguita da una RR. Possiamo giustificare questa (inattesa...) regolarità, riflettendo sul fatto che, nell’operazione di mescolamento (illustrata in figura 4.9.1), viene a formarsi una generica coppia omogenea XX (dove X può essere N o R), quando in uno dei due mazzetti va a inserirsi una singola carta X (o un insieme di carte terminanti con una carta X) proveniente dall’altro mazzetto. Anche la prossima coppia omogenea potrebbe essere di tipo XX, se subito dopo, nello stesso mazzetto, si andasse a inserire un’altra singola carta X (o un insieme di carte inizianti con X), ma questo è impossibile, in quanto, nei due mazzetti, i colori delle carte si alternano rigorosamente. L’eventuale successiva coppia omogenea, quindi, non può essere dello stesso colore di XX. Il fatto che due consecutive coppie omogenee debbano essere necessariamente di colore

diverso comporta che due successive coppie omogenee siano separate da un numero pari di carte (o da nessuna carta). Di conseguenza, quando si taglia il mazzo, spezzando in due una coppia omogenea (punto 4.), la seconda carta di quella coppia omogenea diventa la prima del nuovo mazzo, andando a occupare una posizione dispari. A questo punto (siccome tra ogni coppia omogenea e la successiva si trova sempre una quantità pari di carte), tutte le seconde carte delle altre coppie omogenee si vanno a disporre in una posizione dispari; di conseguenza, tutte le prime carte delle altre coppie omogenee vanno a occupare una posizione pari. Nota – Il principio su cui si basa questo gioco è stato ideato dal prestigiatore statunitense Norman Gilbreath e trova numerose applicazioni magiche.

Capitolo 5 – Corrispondenza biunivoca

5.1 A ciascuno il suo Poniamo uno sopra l’altro i mazzetti che mostriamo all’inizio ai 4 spettatori. Al termine, quindi, il loro ordine, procedendo dall’alto verso il basso, è quello indicato nel seguente schema (dove a ogni mazzetto è stato attribuito il nome dello spettatore a cui è stato mostrato). Posizione

Mazzetto

1a

D

2a

C

3a

B

4a

A

Quando (fig. 5.1.1) preleviamo le carte, una alla volta, dalla cima del mazzo e le distribuiamo ordinatamente da sinistra verso destra, di fatto poniamo sul tavolo prima le 4 carte del mazzetto D; poi, sopra ognuna di queste, nell’ordine, le carte dei mazzetti C, B e A. Se attribuiamo a ogni carta il nome del mazzetto di provenienza, la composizione dei nuovi quattro mazzetti sarà quella evidenziata nelle colonne verticali dello schema seguente (procedendo sempre dall’alto verso il basso).

Posizione carta

Composizione dei nuovi mazzetti 1º

2º

3º

4º

1a

A

A

A

A

2a

B

B

B

B

3a

C

C

C

C

4a

D

D

D

D

In questo modo, in pratica, abbiamo posto in corrispondenza biunivoca l’insieme dei quattro spettatori con quello delle posizioni che ogni carta può assumere all’interno di ogni nuovo mazzetto, come indicato nello schema seguente. Posizione carta

Spettatore

1a

↔

A

2a

↔

B

3a

↔

C

4a

↔

D

Di conseguenza, ogni volta che veniamo a sapere quale spettatore ha riconosciuto la propria carta, siamo in grado di risalire alla posizione che questa occupa nel mazzetto che stiamo mostrando. Nota – Con analoghe modalità, possiamo anche proporre questo gioco a un numero N di giocatori, maggiore di 4, utilizzando un mazzo composto da N×N carte.

5.2 I primi imprimibili Ciascuno degli otto numeri utilizzati in questo gioco possiede un nome composto da una quantità di lettere diversa da quella di tutti gli altri. Inoltre, i valori di queste quantità di lettere possono essere disposti in modo da formare una successione crescente da 6 a 13, come evidenziato nel seguente schema: numero

nome

lettere

11

undici

6

13

tredici

7

23

ventitré

8

29

ventinove

9

83

ottantatré

10

73

settantatré

11

53

cinquantatré

12

47

quarantasette

13

Possiamo, quindi, stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme degli otto numeri in gioco e quello delle lettere contenute nei loro nomi, come evidenziato nel seguente schema: numero

lettere

numero

lettere

11

↔

6

83

↔

10

13

↔

7

73

↔

11

23

↔

8

53

↔

12

29

↔

9

47

↔

13

La disposizione iniziale dei numeri in gioco è stata scelta in maniera tale che, effettuando la successione dei colpetti (dal sesto in poi) indicato in figura 5.2.3, il numero d’ordine di ciascun colpetto coincida con la quantità di lettere corrispondente al cartoncino che stiamo toccando in quel momento. 11

→

13

→

23

→

29 ↓

47

←

53

←

73

figura 5.2.3

←

83

5.3 Le tre tazzine Dopo che lo spettatore ha effettuato le prime due operazioni (mettere il tappo sotto una tazzina e scambiare di posto le altre due), possiamo affermare che: •la tazzina che nasconde il tappo è l’unica che non è stata spostata; •viceversa, l’unica tazzina che non è stata spostata è quella che nasconde il tappo. In questo modo, in pratica, l’insieme (contenente un solo elemento) delle tazzine che nascondono il tappo è stato messo in corrispondenza biunivoca con quello (contenente un solo elemento) delle tazzine che non sono state spostate, come indicato nel seguente schema. tazzina che non è stata spostata

↔

tazzina che nasconde il tappo

Quindi, se alla fine la posizione che indichiamo con le mani coincide proprio con quella occupata dalla tazzina X, vuol dire che questa (il cui tragitto abbiamo potuto seguire fin dall’inizio) non è stata spostata con il primo scambio e, di conseguenza, è quella che nasconde il tappo. Altrimenti, se ci troviamo a indicare un’altra tazzina, vuol dire che la tazzina X è stata coinvolta nel primo scambio e, quindi, non può essere lei a nascondere il tappo. Inoltre, siccome il posto della tazzina X è stato preso da quella che stiamo indicando con le mani (il cui tragitto abbiamo seguito fin dall’inizio), neanche questa può nascondere il tappo, essendo stata anche lei coinvolta nel primo scambio. Di conseguenza, la tazzina da individuare non può essere né la X né quella che occupa la posizione che stiamo indicando; ma, per

esclusione, deve essere la terza.

5.4 La formula latina L’iscrizione latina è stata costruita in modo che, trasferita opportunamente nella griglia 4×5 (come indicato in figura 5.4.2), l’insieme delle dieci coppie di lettere uguali da cui è composta si trovi in corrispondenza biunivoca con l’insieme di tutti i possibili accoppiamenti delle righe di tale griglia (compresa la ripetizione di una medesima riga), come indicato nel seguente schema. coppie di righe

coppie di lettere

coppie di righe

coppie di lettere

1a - 1a

↔

U-U

2a - 3a

↔

E-E

1a - 2a

↔

T-T

2a - 4a

↔

I-I

1a - 3a

↔

M-M

3a - 3a

↔

N-N

1a - 4a

↔

S-S

3a - 4a

↔

O-O

2a - 2a

↔

D-D

4a - 4a

↔

C-C

Mentre componiamo il rettangolo di carte, in base alle modalità previste, mettiamo in corrispondenza biunivoca l’insieme delle 10 coppie di carte con quello delle coppie di lettere uguali dell’iscrizione; di conseguenza, per quanto appena visto, lo mettiamo in corrispondenza biunivoca anche con l’insieme di tutte le possibili coppie di righe del rettangolo. Per questo motivo, per indovinare la coppia di carte scelte da uno spettatore ci basta individuare la coppia di lettere uguali che si trova nella coppia di righe (o nell’unica riga) da lui indicata.

5.5 Le tre palline I diversi modi nei quali le tre palline N, V e G possono essere prese dai tre spettatori A, B e C sono solo quelli indicati nella seguente tabella: A

B

C

N

V

G

N

G

V

V

N

G

G

N

V

V

G

N

G

V

N

Il numero di carte che ogni spettatore deve mettere sul tavolo, in funzione della quantità K ricevuta all’inizio, è uguale a: •K/2 per chi possiede la pallina G; •K/3 per chi possiede la pallina V; •0 per chi possiede la pallina N. Tenendo conto di queste condizioni, possiamo calcolare il valore della quantità totale di carte che si troverà sul tavolo, in corrispondenza di ogni possibile distribuzione di palline, tramite il seguente schema (dove abbiamo evidenziato, tra parentesi, accanto al nome di ogni spettatore, quante carte gli abbiamo dato all’inizio). Carte messe sul tavolo da ogni spettatore

Totale carte

A (18)

B (12)

C (6)

N→ 0

V→ 12/3=4

G→ 6/2=3

0+4+3=7

N→ 0

G→ 12/2=6

V→ 6/3=2

0+6+2=8

V→ 18/3=6

N→ 0

G→ 6/2=3

6+0+3=9

G→ 18/2=9

N→ 0

V→ 6/3=2

9+0+2=11

V→ 18/3=6

G→ 12/2=6

N→ 0

6+6+0=12

G→ 18/2=9

V→ 12/3=4

N→ 0

9+4+0=13

Siccome, in questo modo, otteniamo sei risultati diversi, possiamo mettere in corrispondenza biunivoca il loro insieme con quello delle possibili distribuzioni delle tre palline, come indicato nel seguente schema. totale carte

distribuzione palline A

B

C

7

↔

N

V

G

8

↔

N

G

V

9

↔

V

N

G

11

↔

G

N

V

12

↔

V

G

N

13

↔

G

V

N

Consultando tale prospetto, possiamo rapidamente risalire dal numero totale di carte presenti sul tavolo alla corrispondente distribuzione delle palline. Siccome una tabella del genere non è molto semplice da imparare a memoria, possiamo tentare di individuare degli insiemi di risultati che possano essere messi in corrispondenza non con le varie distribuzioni delle tre palline, ma con le possibili collocazioni di ciascuna di esse.

Fra i vari possibili tentativi, proviamo anche a dividere per 3 il totale T delle carte sul tavolo e analizziamo i comportamenti del quoziente intero Q(T) e del resto R(T) di tale divisione. Procedendo in questo modo, possiamo accorgerci che: •in corrispondenza di qualsiasi potenziale posizione della pallina N, il valore di Q(T)−1 è sempre uguale al numero d’ordine dello spettatore che la possiede; •in corrispondenza di qualsiasi potenziale posizione della pallina V, il valore di R(T)+1 è uguale al numero d’ordine dello spettatore che la possiede. Tali risultati sono evidenziati dal primo schema nella pagina seguente. Non riusciamo a trovare analoghe corrispondenze per la pallina G, ma questo non ci preoccupa molto perché possiamo ricavarne la posizione, per esclusione, una volta individuata quella delle altre due palline. Sulla base di tali osservazioni, possiamo stabilire due corrispondenze biunivoche più semplici: una tra l’insieme delle possibili collocazioni della pallina N e quello dei valori di Q(T)−1; un’altra tra l’insieme delle possibili collocazioni della pallina V e quello dei valori di R(T)+1, come indicato nel secondo schema. Numero d’ordine degli spettatori T

Q(T)

R(T)

1→ A

2→ B

3→ C

7

2

1

N→ Q(T)−1= = 2−1=1

V→ R(T)+1= = 1+1=2

G−

8

2

2

N→ Q(T)−1= = 2−1=1

G−

V→ R(T)+1= = 2+1=3

9

3

0

V→ R(T)+1= = 0+1=1

N→ Q(T)−1= = 3−1=2

G−

11

3

2

G−

N→ Q(T)−1= = 3−1=2

V→ R(T)+1= = 2+1=3

12

4

0

V→ R(T)+1= = 0+1=1

G−

N→ Q(T)−1= = 4−1=3

13

4

1

G−

V→ R(T)+1= = 1+1=2

N→ Q(T)−1= = 4−1=3

Collocazione della pallina N Q(T)–1

Collocazione della pallina V

Spettatore

R(T)+1

Spettatore

1

↔

A

1

↔

A

2

↔

B

2

↔

B

3

↔

C

3

↔

C

Capitolo 6 – Inganni geometrici

6.1 Perdere la testa Il meccanismo alla base di questo gioco è leggermente diverso da quello esposto nell’appendice. Per poterlo analizzare in dettaglio, sostituiamo nella fig. 6.1.3 ognuna delle 6 facce con una lineetta verticale, ottenendo uno schema analogo a quello in figura 6.1.5.

figura 6.1.5 Se tagliamo queste 6 lineette verticali, secondo la riga orizzontale indicata, generiamo 11 segmenti verticali di varia misura: 6 nella metà superiore e 5 in quella inferiore. In questa particolare situazione, il primo segmento superiore è isolato, mentre ognuno degli altri 5 è abbinato a uno di quelli inferiori; di conseguenza, si formano in tutto 1+5=6 lineette verticali. Se facciamo slittare la metà inferiore del foglio verso

sinistra di uno spazio uguale alla distanza tra una lineetta e l’altra, notiamo che questa volta rimane isolato l’ultimo segmento superiore, mentre ognuno degli altri 5 si abbina a uno di quelli inferiori. Di conseguenza, anche in questo caso si formano in tutto 1+5=6 lineette verticali (fig. 6.1.6); questa versione schematica del gioco, quindi, non produce un effetto particolarmente sorprendente (tranne il fatto che le nuove lineette hanno dimensioni diverse da quelle precedenti...)

figura 6.1.6 Nella versione figurata, tuttavia, il primo segmento superiore è sostituito da una faccia con cappello, mentre l’ultimo segmento superiore è sostituito solo da un cappello. Per questo motivo, anche se in entrambe le configurazioni (figg. 6.1.3 e 6.1.4) compaiono 6 immagini in tutto, nella prima queste corrispondono ad altrettante facce, mentre nell’altra corrispondono a 5 facce e un cappello. Nota – Questo paradosso geometrico è basato su un principio elaborato dallo statunitense Sam Loyd, il più grande creatore di enigmi e rompicapo del XIX secolo. Il disegno utilizzato in questa versione è attribuito a Martin Gardner.

6.2 I nanetti impertinenti Possiamo evidenziare la costruzione grafica di questo gioco, sensibilmente più sofisticata di quella analizzata in precedenza, mediante degli schemi nei quali ogni nanetto è sostituito da una lineetta verticale. Come possiamo notare, il taglio orizzontale divide le lineette in 28 segmenti di varie misure: 14 disposti nell’insieme dei due rettangoli superiori e 14 in quello inferiore. Nella situazione indicata in figura 6.2.6, si abbinano solo 13 coppie di segmenti, mentre ne rimangono isolati due più lunghi degli altri (FF sotto e OO sopra). In questa configurazione, quindi, le lineette che compaiono sono: 13+1+1=15.

figura 6.2.6 Se invertiamo la posizione dei due cartoncini superiori (fig. 6.2.7), ciascuno dei 14 segmenti superiori combacia perfettamente con uno di quelli inferiori. In questa configurazione, quindi, si formano solo 14 lineette verticali (una scompare...)

figura 6.2.7 Ovviamente, i 15 segmenti che appaiono nella figura 6.2.6 sono tutti mediamente un po’ più piccoli dei 14 che si vedono nella figura 6.2.7. Sulla traccia di questi schemi, è possibile realizzare delle versioni personalizzate di questo gioco, sostituendo ogni lineetta verticale con un’immagine di forma adeguata, anche molto semplice (lapis, albero, torre, ecc.) Nella versione con cui abbiamo giocato prima, l’insieme dei tre cartoncini contiene in tutto 28 porzioni di nanetti, di varia misura: 14 nell’insieme dei due cartoncini superiori e 14 in quello inferiore. Se posizioniamo i cartoncini come indicato in figura 6.2.4, si accoppiano solo 13 coppie di porzioni, mentre ne rimangono isolate due molto grandi (una sopra e una sotto), che corrispondono praticamente a due nanetti interi (precisamente il 6º e il 13º da sinistra). In questa configurazione, quindi, i nanetti che si vedono sono: 13+1+1=15. Se invertiamo la posizione dei due cartoncini superiori (fig. 6.2.5), ciascuna delle 14 porzioni inferiori combacia perfettamente con una delle 14 superiori. In questa configurazione, quindi, appaiono solo 14 nanetti. Ovviamente, siccome negli spostamenti dei due cartoncini

nulla si crea e nulla si distrugge, i 15 nanetti che appaiono nella figura 6.2.4 sono tutti mediamente un po’ più piccoli dei 14 che si vedono nella figura 6.2.5.

Nota – Questo gioco si basa su un principio ideato nel 1907 dal mago statunitense Theodore L. DeLand. Una sua versione a colori è stata realizzata nel 1985 da Susanna Serafini, per la Clementoni.

6.3 Il paradosso della scacchiera Se osserviamo con attenzione la figura 6.3.2, possiamo notare che la linea obliqua non taglia in parti uguali i vari quadratini che attraversa, in quanto non passa per i loro vertici. Di conseguenza, quando accostiamo i due pezzi della scacchiera nel modo indicato nella figura 6.3.3, le porzioni di quadratini tagliati sembrano combaciare, ma in realtà sono sfalsati in verticale di una lunghezza pari a 1/7 del lato di un quadretto (fig. 6.3.5).

figura 6.3.5 Questo leggero sfalsamento è impercettibile alla vista (soprattutto, guardando da lontano), ma è significativo in termini matematici. Infatti, se chiamiamo L la lunghezza in centimetri del lato di un quadretto, il valore H dell’altezza del rettangolo di figura 6.3.4 non è: H=9L, come potrebbe sembrare, ma: H=9L+L/7

Per trovare l’area S, in centimetri quadrati, di questo rettangolo, quindi, dobbiamo calcolare: S=7L×(9L+L/7) S=7×9L2+7×1/7L2 S=(63+1)L2=64L2 In definitiva, otteniamo lo stesso valore dell’area del quadrato di partenza di dimensioni 8×8 quadretti (d’altra parte, anche con un semplice taglio, nulla si crea e nulla si distrugge...) N.B.: Per evitare che qualche spettatore particolarmente attento possa notare il leggero sfalsamento tra le porzioni dei quadratini tagliati, dobbiamo avere l’accortezza di non accostare con precisione millimetrica i due pezzi della scacchiera. In questo modo, la non perfetta aderenza tra i loro margini sarà attribuita a una nostra imprecisione e non al meccanismo del trucco. Nota – Questo paradosso geometrico viene descritto nel libro Rational Recreations («Svaghi razionali») di William Hooper, pubblicato nel 1774.

6.4 Il quadrato dilatabile L’ipotenusa di ognuna delle due sagome triangolari e il lato obliquo di ognuna delle due sagome trapezoidali non sono perfettamente paralleli, come potrebbe sembrare a prima vista (fig. 6.4.7).

figura 6.4.7 Di conseguenza, lungo la diagonale del rettangolo di figura 6.4.6, viene a crearsi uno spazio vuoto, di area uguale a un quadretto, ma con una forma di losanga molto allungata (difficilmente percettibile). Se sottraiamo il valore di questa area da quella formata dai 65 quadretti potenzialmente contenuti nel rettangolo, possiamo verificare che l’area della figura risultante (rettangolo meno losanga) è esattamente uguale a 64 quadretti. N.B.: Come nel gioco precedente, per evitare che qualche spettatore possa notare la non perfetta coincidenza dei margini delle sagome ritagliate, dobbiamo avere l’accortezza di non accostare con precisione millimetrica i quattro cartoncini sulla lavagna. Nota – Questo gioco è stato ideato nel 1868 da Sam Loyd e

approfondito successivamente da suo figlio, Sam Loyd jr.

6.5 Il triangolo assurdo Le due sagome triangolari (figg. 6.5.1 e 6.5.2) non sono simili, come potrebbe sembrare a prima vista. In quella più piccola, l’angolo formato dall’ipotenusa e dal cateto maggiore è leggermente più grande del corrispondente angolo dell’altra (fig. 6.5.7).

figura 6.5.7 Di conseguenza, la composizione che appare in figura 6.5.5 non corrisponde a un triangolo rettangolo, ma a un quadrilatero, i cui due lati apparentemente paralleli formano, in realtà, un angolo leggermente maggiore di 180º all’interno. Per gli stessi motivi, neanche la composizione che appare in figura 6.5.6 corrisponde a un triangolo rettangolo, ma a un quadrilatero, i cui due lati apparentemente paralleli formano, in realtà, un angolo leggermente maggiore di 180º all’esterno. Analogamente al gioco precedente, l’area della figura romboidale (impercettibile...), compresa tra la concavità e la convessità di questi due quadrilateri, è uguale a quella di un quadretto; di conseguenza, va a compensare esattamente lo spazio vuoto che si è creato nella figura 6.5.6. N.B.: Contrariamente ai due giochi precedenti, in questo caso è possibile accostare le sagome sulla lavagna con estrema precisione; i loro margini, infatti, coincidono

perfettamente nella zona interna riprodotte nelle figure 6.5.5 e 6.5.6.

delle

composizioni

Nota – Questo gioco è stato ideato nel 1953 dal prestigiatore statunitense Paul Curry.

6.6 Un altro triangolo assurdo Analogamente al gioco del paragrafo precedente, le due coppie di sagome triangolari (figg. 6.6.1 e 6.6.2; figg. 6.6.5 e 6.6.6) non sono simili, come potrebbe sembrare a prima vista. In ognuna di quelle più piccole, l’angolo formato dall’ipotenusa e dal cateto maggiore è leggermente più piccolo del corrispondente angolo di ognuna delle altre due (fig. 6.6.9).

figura 6.6.9 Di conseguenza, la composizione che appare in figura 6.6.7 non corrisponde a un triangolo isoscele, ma a un pentagono irregolare, le cui coppie di due lati apparentemente paralleli formano, in realtà, un angolo leggermente maggiore di 180º all’interno. Per gli stessi motivi, la composizione che appare in figura 6.6.8 non corrisponde a un triangolo isoscele, ma a un pentagono irregolare, le cui coppie di due lati apparentemente paralleli formano, in realtà, un angolo leggermente maggiore di 180º all’esterno. Analogamente ai due giochi precedenti, l’area delle due figure romboidali (impercettibili...), virtualmente compresa tra le concavità e le convessità di questi due pentagoni, è uguale a quella di due quadretti; di conseguenza, va a compensare esattamente lo spazio vuoto che si è creato nella figura 6.6.8.

N.B.: Anche in questo caso è possibile accostare le sagome sulla lavagna con estrema precisione; i loro margini, infatti, coincidono perfettamente nella zona interna delle composizioni delle figure 6.6.7. e 6.6.8. Nota – Questo gioco, come quello del paragrafo precedente, è stato ideato nel 1953 dal prestigiatore statunitense Paul Curry.

APPENDICE

Capitolo 1 – Proprietà algebriche

Le incognite della matematica Uno dei momenti della vita scolastica in cui uno studente rischia maggiormente di convincersi di essere negato per la matematica è sicuramente quello in cui si imbatte nelle prime nozioni di algebra e in particolare nel calcolo letterale. Un nostro caro amico, persona colta e intelligente, nonché artista affermato e poliedrico, ci confessò un giorno che non aveva mai capito perché in matematica possiamo affermare che «A=B». «Com’è possibile sostenere una cosa del genere? A è A, B è B: sono due lettere diverse, non potranno mai essere uguali...» argomentava concitato il nostro amico che chiameremo qui e nel seguito Mister X, per non svelarne l’identità. Interpretando a modo suo la paradossale definizione, secondo la quale: «La matematica è la scienza nella quale non si sa di che cosa si parla e non si sa se le cose che si dicono sono vere o false», Mister X rinunciò a sciogliere l’angoscioso enigma decidendo che la sua vita poteva scorrere ugualmente lieta, anche ignorando totalmente i fondamenti di una materia che, in fondo, altro non è che una discutibile opinione... Fu un peccato, perché l’inestricabile mistero di Mister X (come tanti altri analoghi) era dovuto solo a un malinteso dovuto a un’errata interpretazione del significato dei simboli matematici. In generale non è assolutamente vero che chi si dichiara «negato» per questa materia sia effettivamente incapace di seguire un ragionamento logico; molto spesso,

ciò che non riesce ad afferrare è semplicemente il linguaggio con cui il ragionamento viene espresso. Effettivamente, il simbolismo matematico per la sua forma volutamente sintetica non aiuta a mettere a fuoco facilmente ciò che dovrebbe rappresentare. E, analogamente a quanto avviene per una frase scritta in una lingua straniera, non è possibile recepire il messaggio contenuto in una formula matematica se non si hanno chiari i significati di tutti i termini che la compongono. Eppure la compattezza e la brevità, la sinteticità dei simboli costituiscono una conquista importantissima del progresso scientifico, perché riducono all’essenziale il linguaggio matematico, rendendolo universale. A tale riguardo, è interessante notare che, ad esempio, nel 1556 il matematico Niccolò Tartaglia (1500-1557), per rappresentare una semplice notazione di questo tipo: X+X3 = 36 scriveva: «Trouame uno numero che azontoli la sua radice cuba uenghi ste, cioè 36» (Trovami un numero che si aggiunga al suo cubo facendo venire questo, cioè 36). Formulazioni così discorsive possono apparire a un profano molto più comprensibili di quelle simboliche; tuttavia, risultano estremamente scomode per lo svolgimento delle operazioni e sono, comunque, eccessivamente ingombranti. Per questo motivo, nel corso del tempo, sono state abbandonate. Rimane il fatto che molte persone, analogamente a Mister X, cominciano a smarrirsi non appena vedono una lettera all’interno di un’espressione aritmetica. Non riescono a capire come possano mescolarsi caratteri alfabetici con cifre numeriche. Una tale reazione è da imputare sicuramente a un cattivo insegnamento scolastico; in fondo, non sono queste le vere incognite della vita...

In precedenza, siamo ricorsi al sotterfugio di chiamare Mister X quel nostro amico di cui non volevamo svelare l’identità. In questo modo siamo riusciti a costruire delle frasi e a esprimere dei concetti che lo riguardavano, senza mai dover usare il suo vero nome. Ai fini della comprensione del testo non è stato necessario specificare chi fosse in realtà quella persona: poteva essere un personaggio di fantasia, o addirittura rappresentare un’intera categoria di individui con le stesse caratteristiche. Il discorso costruito intorno a quel nome simbolico non avrebbe mutato il suo senso. Ebbene, è possibile compiere un’operazione analoga anche in matematica; quando si vogliono impostare dei calcoli e non si conosce il valore di una certa quantità, questa può essere indicata con un nome fittizio, in genere con una lettera dell’alfabeto, maiuscola o minuscola. La quantità così rappresentata viene chiamata incognita e, nell’espressione di cui fa parte, potrà essere coinvolta in tutte le operazioni la cui esecuzione non richiede la conoscenza del suo effettivo valore. Ma le difficoltà nella comprensione del linguaggio matematico non si fermano al solo riconoscimento dei vari simboli. Infatti, per riuscire a manipolare correttamente le formule è necessario aver presente le proprietà che i simboli possiedono e le relazioni che tra essi intercorrono. Qui di seguito riassumeremo le principali proprietà aritmetiche e algebriche, allo scopo di stimolare un proficuo ripasso dei concetti basilari della matematica.

La relazione di uguaglianza La relazione di uguaglianza, che viene rappresentata mediante l’impiego del simbolo «=», assume sempre una forma di questo tipo: A=B e indica che il valore di A (primo membro) è uguale a quello di B (secondo membro). In generale, sia il primo che il secondo membro possono corrispondere o a un solo numero, o a una sola incognita, o a un’espressione (ovvero a un insieme di numeri e di incognite, legati tra loro da operazioni matematiche). Alcuni esempi di relazioni di uguaglianza possono essere, quindi, i seguenti: 4=2+2 X=5 2X/4+3=3Y/5−6 Una relazione di uguaglianza gode, per definizione, delle seguenti tre proprietà: 1. A=A (riflessiva); 2. se A=B, allora anche: B=A (simmetrica); 3. se A=B e B=C, allora anche: A=C (transitiva). •La proprietà riflessiva afferma semplicemente che ogni membro è uguale a se stesso. Una precisazione di questo tipo potrebbe apparire scontata; ci sono, però, altri tipi di relazioni matematiche che non godono della stessa proprietà. Due di queste sono, ad esempio, le relazioni di

maggioranza e di minoranza, che assumono rispettivamente le seguenti forme: A> B (il valore di A è maggiore di quello di B) A< B (il valore di A è minore di quello di B) Nel rispetto di tali convenzioni, è ovvio che non si potrà mai scrivere: A> A o A< A, in quanto un determinato valore non può, in alcun modo, essere maggiore o minore di se stesso. •La proprietà simmetrica assicura che, se il primo membro è uguale al secondo, allora anche il secondo è uguale al primo. Alcune semplici esempi al riguardo possono essere i seguenti: 2+2=4→ 4=2+2 3X+3=Y→ Y=3X+3 •La proprietà transitiva indica che, se due membri sono entrambi uguali a un terzo membro, allora sono anche uguali tra loro. Alcuni semplici esempi al riguardo possono essere i seguenti: X=3+4; 3+4=7→ X=7 X=Y+2; Y+2=4→ X=4 È interessante notare che quest’ultima proprietà, se viene utilizzata a sproposito, può generare delle affermazioni paradossali, come ad esempio: «Mia nonna ha 4 denti; la forchetta ha 4 denti→ mia nonna è una forchetta».

L’addizione L’addizione è l’operazione che consente di determinare il valore (somma) che si ottiene dall’unione di due o più quantità omogenee (addendi). Ad esempio, eseguire l’addizione tra i numeri 3 e 5 equivale a svolgere le seguenti operazioni: •si prende una quantità di elementi uguale al primo numero:

•si prende un’altra quantità di elementi uguale al secondo numero:

•si uniscono i due gruppi:

•si conta la quantità di elementi presente nel gruppo così composto:

Il valore ottenuto, 8, rappresenta la somma dei due addendi; quindi, possiamo scrivere, più sinteticamente: 3+5=8 È ovvio che, se le quantità da sommare fossero molto più grandi, un procedimento come quello illustrato sarebbe inapplicabile. Per fortuna, grazie alle potenzialità del calcolo aritmetico, è possibile ottenere i risultati desiderati in maniera molto più veloce e affidabile. L’analisi del significato primitivo dell’addizione consente, però, di mettere in maggior risalto le principali proprietà di cui questa operazione gode. In primo luogo, riprendendo l’esempio precedente, possiamo verificare che, scambiando di posto i due addendi, il valore della somma non cambia:

In termini simbolici, quindi, possiamo scrivere: 3+5=5+3 Dato che un tale risultato è indipendente dal valore degli addendi, indicando con A e B due numeri qualsiasi, possiamo scrivere, in generale: A + B=B + A

Questa peculiarità dell’addizione chiamata proprietà commutativa.

viene

comunemente

Tornando ancora all’esempio precedente, possiamo notare come il valore della somma non cambi se uno dei due addendi viene scomposto nella somma di altri due addendi più piccoli:

In termini simbolici, quindi, possiamo scrivere: (1+2)+5=1+2+5

(le parentesi indicano che l’operazione da loro racchiusa deve essere eseguita per prima). Siccome un tale risultato è indipendente dal valore degli addendi, indicando con A, B e C tre numeri qualsiasi, possiamo scrivere: (A+B)+C=A+B+C Questa peculiarità dell’addizione, detta comunemente proprietà dissociativa, è fondamentale nel calcolo in colonna, in quanto consente di scomporre ciascun addendo nella somma di unità, decine, centinaia, ecc.

Se si invertono i membri dell’uguaglianza precedente nel seguente modo: A+B+C=(A+B)+C si ricava una relazione che descrive un’ulteriore peculiarità dell’addizione (inversa alla precedente) che viene comunemente detta proprietà associativa.

La sottrazione La sottrazione è l’operazione che consente di determinare il valore (differenza) che si ottiene dopo aver tolto da una quantità di partenza (minuendo) un’altra quantità (sottraendo) a essa omogenea. Ad esempio, sottrarre 5 da 8 equivale a svolgere le seguenti operazioni: •si prende una quantità di elementi uguale al primo numero:

•si toglie da questa una quantità di elementi uguale al secondo numero:

•si conta la quantità di oggetti presente nel gruppo così ottenuto:

Il valore ottenuto, 3, rappresenta la differenza dei due numeri; possiamo quindi scrivere, più sinteticamente:

8−5=3 Tale primitivo modo di eseguire la sottrazione non reca una grande utilità nel calcolo pratico, ma consente di mettere in maggior risalto le principali proprietà di cui questa operazione gode. In primo luogo, possiamo verificare che la sottrazione non può essere effettuata se il sottraendo è maggiore del minuendo. In un caso del genere, infatti, non ci sono elementi sufficienti da togliere per completare l’operazione. Ad esempio, una sottrazione come 5–8 genererebbe la seguente situazione assurda:

Questo limite naturale della sottrazione comporta che, per questa operazione, non vale la proprietà commutativa. Infatti, se è possibile effettuare una sottrazione A–B , se A è maggiore di B, non è possibile effettuare la sottrazione B–A, dato che B risulta minore di A. Riprendendo, invece, l’esempio precedente possiamo verificare che il valore della differenza non cambia, se il sottraendo viene scomposto nella somma di due numeri più piccoli:

In termini simbolici, quindi, possiamo scrivere: 8−(3+2)=8−3−2 Dato che un tale risultato è indipendente dal valore degli addendi, indicando con A, B e C tre numeri qualsiasi, possiamo scrivere: A–(B+C)=A–B–C Questo significa che la proprietà dissociativa vale anche per la sottrazione, ma unicamente sotto la forma analoga a quella sopra indicata. Infatti, una scrittura del genere: A–(B– C)=A–B–C, sarebbe errata, come possiamo dimostrare facilmente, ricorrendo al seguente esempio pratico (dove A=8, B=3, C=2):

Se si invertono i membri dell’uguaglianza precedente, nel seguente modo: A–B–C=A–(B+C) si ricava una relazione che descrive un’ulteriore peculiarità della sottrazione (inversa alla precedente) che viene detta proprietà associativa. Anche in questo caso, è bene sottolineare che una tale proprietà non vale sotto la forma: A–B–C=A–(B–C). Per rendere possibili tutte le sottrazioni, i matematici del passato hanno convenuto di proseguire la serie dei numeri naturali anche al di sotto dello zero, nel modo qui di seguito indicato:

Questi nuovi numeri, dotati di segno, vengono definiti relativi e precisamente si definiscono positivi se sono preceduti dal segno «+» e negativi se sono preceduti dal segno «−». Se due numeri relativi hanno lo stesso segno (entrambi «+» o entrambi «−») si dicono concordi; se invece hanno segno diverso (uno «+» e l’altro «−», o viceversa), si dicono discordi. Con tale convenzione, l’addizione e la sottrazione costituiscono un’operazione unica, che viene detta somma algebrica.

La moltiplicazione L’operazione di moltiplicazione viene comunemente definita come l’addizione ripetuta di un certo numero di quantità, uguali tra loro. Ad esempio, il seguente calcolo:

può essere indicato, più sinteticamente, come: 3×7=21 Siccome, come possiamo facilmente verificare: 3+3+3+3+3+3+3=7+7+7=21 possiamo scrivere: 3×7=7×3=21 Questo risultato ci porta a pensare che la proprietà commutativa (ovvero la possibilità di scambiare i termini dell’operazione), oltre che per l’addizione, vale anche per la moltiplicazione. È bene specificare che, mentre il simbolo usato per l’addizione è sempre «+» e quello per la sottrazione è sempre «–», nel caso della moltiplicazione possiamo usare, oltre al consueto simbolo «×», un semplice puntino posto tra i due fattori. Quindi, ad esempio, possiamo scrivere sia 2×5, che 2⋅5.

Questa convenzione si usa, soprattutto, per evitare di confondere il simbolo «×» con la lettera «x», che spesso viene usata per indicare un valore incognito. A volte poi, quando non possono esserci ambiguità, possiamo tralasciare addirittura di utilizzare il puntino. Ad esempio: invece di 2×(5+7) possiamo scrivere 2⋅(5+7), ma anche 2(5+7). Ovviamente, però, non possiamo scrivere 25+7 al posto di 2×5+7, perché la concatenazione delle cifre 2 e 5 verrebbe interpretata come rappresentazione del numero 25 e non come l’indicazione della moltiplicazione tra 2 e 5. Osserviamo ora il rettangolo riportato in figura 1, di area 150=10×15 (in questo caso, per comodità espositiva, abbiamo omesso di indicare le relative misure di grandezza).

figura 1 La sua area evidentemente non cambia se si sposta la linea verticale di separazione al suo interno, come indicato in figura 2:

figura 2 L’area A del rettangolo è uguale, in entrambi i casi, alla somma delle aree dei due rettangolini interni; quindi possiamo scrivere: •in riferimento alla figura 1: A=10×6+10×9 A=60+90 A=150 •in riferimento alla figura 2: A=10×12+10×3 A=120+30 A=150 In entrambi i casi, l’area del rettangolo è uguale a: A=10×15=150 Nel primo caso, però, abbiamo: A=10×15=10(6+9)=10×6+10×9=60+90=150

mentre nel secondo: A=10×15=10(12+3)=10×12+10×3=120+30=150 In generale, comunque si divida ciascuno dei lati orizzontali in due parti (che potremo chiamare genericamente X e Y), otteniamo sempre la stessa area (purché la somma di X e di Y continui a essere uguale a 15). In pratica, possiamo scrivere: 10(X+Y)=10X+10Y=150 In generale, possiamo affermare che, se il secondo fattore di una moltiplicazione corrisponde a una somma indicata tra parentesi, il risultato non cambia se si moltiplica il primo fattore per ciascuno degli addendi racchiusi tra parentesi. Questa importante prerogativa della moltiplicazione viene chiamata proprietà distributiva e possiamo esprimerla, in termini generici, nel seguente modo: A(X+Y)=AX+AY Tale proprietà vale, ovviamente, anche se gli addendi sono più di uno e se sono costituiti da numeri relativi, come nel seguente esempio: 2(3+5−6+7−1)=2×3+2×5−2×6+2×7−2×1 Quando si effettua la moltiplicazione tra due numeri relativi, il segno del prodotto viene determinato in base alla regola indicata nel seguente schema, detta regola dei segni. Segno di A

Segno di B

Segno di A×B

+

+

+

+

–

–

–

+

–

–

–

+

In pratica, questa regola afferma che, se i due fattori sono concordi, allora il segno del loro prodotto è «+», se invece sono discordi il segno del loro prodotto è «−». I seguenti esempi dovrebbero chiarire tale concetto: (+3)×(+5)=+15 (+3)×(−5)=−15 (−3)×(+5)=−15 (−3)×(−5)=+15 La proprietà distributiva si rivela molto utile anche quando viene usata nel verso opposto a quello precedentemente indicato, come nel seguente esempio: 2×3+2×5−2×6+2×7−2×1=2(3+5−6+7−1) Questa particolare applicazione della proprietà distributiva viene comunemente chiamata raccoglimento a fattor comune; in termini generici, nel caso di due soli addendi, può essere così indicato: AX+AY=A(X+Y) È importante sottolineare che, proprio grazie alla proprietà distributiva, siamo in grado di eseguire piuttosto velocemente, con carta e penna, qualsiasi tipo di moltiplicazione, potendo tenere a mente solo i prodotti delle possibili coppie di singole cifre (da 0 a 9).

La divisione Così come la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione, la divisione può essere considerata l’operazione inversa della moltiplicazione; ma essendo la moltiplicazione un’addizione ripetuta, la divisione può essere interpretata anche come una sottrazione ripetuta. In linea di massima, è bene precisare che esistono due diversi tipi di divisioni: •la prima, detta divisione intera, fornisce due risultati (il quoziente e il resto), come nel seguente esempio: 44:6=7 con resto di 2 •la seconda, detta divisione decimale, fornisce un solo risultato (quoziente), come nel seguente esempio: 44:6=7,33333... La divisione intera non deve essere considerata un caso particolare di quella decimale, perché le due operazioni rispondono, concettualmente, a quesiti di diversa natura. Mentre la divisione intera può essere considerata una sottrazione ripetuta, la divisione decimale deve essere considerata semplicemente l’operazione inversa della moltiplicazione. Ad esempio, se vogliamo sapere quale numero deve essere moltiplicato per 2, per ottenere 7, eseguendo la divisione decimale ricaviamo: 7:2=3,5 dato che:

2×3,5=7 Se avessimo, invece, eseguito la divisione intera: 7:3=2 con resto di 1 in pratica, avremmo verificato che, partendo da una quantità uguale a 7, possiamo prelevare 3 volte una quantità uguale a 2, finché non ce ne resta una di valore 1, inferiore a 2:

È bene precisare che la differenza concettuale tra le due operazioni persiste anche nel caso in cui il resto di una divisione intera sia uguale a 0. Questa differenza viene sottolineata a livello simbolico. Infatti, mentre per indicare la moltiplicazione si possono utilizzare simboli diversi, tutti inerenti a uno stesso significato, per la divisione intera si usa prevalentemente il simbolo «:», mentre per quella decimale si usa, più propriamente, il simbolo «/» (che può essere disposto anche orizzontalmente). Per cui, ad esempio: 13:5=2 con il resto di 3 (divisione intera) 13/5=2,6 (divisione decimale) Il secondo simbolo viene usato anche per rappresentare le frazioni; ma ciò non crea alcuna confusione, perché una frazione non è altro che una divisione decimale tra il numero indicato sopra e quello indicato sotto la linea di frazione (in termini matematici, tra il numeratore e il denominatore).

Per calcolare il risultato di una divisione decimale, come è noto, si prosegue il procedimento fino a ottenere un risultato determinato (non potendo arrotondarlo con l’aggiunta di un resto). È importante notare che, sia nella divisione intera che in quella decimale, dividendo un numero per se stesso si ottiene come risultato 1. Infatti: N/N=1 in quanto: 1×N=N D’altra parte: N:N=1 (col resto di 0) in quanto:

Elevazione a potenza La moltiplicazione di un insieme di fattori, tutti uguali tra loro, viene definita elevazione a potenza. Ad esempio, la seguente operazione:

viene indicata, più sinteticamente, come: 73=343. In riferimento a tale notazione: •il fattore ripetuto (nel nostro esempio: 7) viene chiamato base; •il numero di volte con cui il fattore compare nella moltiplicazione (nel nostro esempio: 3) viene chiamato esponente; •il risultato dell’operazione (nel nostro esempio: 343) viene chiamato potenza. È importante sottolineare che, siccome: 37=3×3×3×3×3×3×3=2187, non possiamo scrivere: 37= 73, in quanto: 73 =7×7×7=343 (e non 2187). Da ciò, possiamo dedurre che la proprietà commutativa, valida per l’addizione e per la moltiplicazione, non vale anche per l’elevazione a potenza. Tenendo presente che l’elevazione a potenza è una moltiplicazione ripetuta, possiamo ricavare le seguenti interessanti regole, valide per quelle potenze che hanno per base la stessa base. 1. Il prodotto di due potenze che hanno per base la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e

per esponente la somma degli esponenti: Na×Nb=Na+b Infatti, possiamo scrivere:

Ad esempio: 33×35=33+5 = 38, in quanto:

2. La divisione tra due potenze che hanno per base la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. In questo caso, però, è bene distinguere tre diverse situazioni. •Se a è maggiore di b (a> b), abbiamo: Na/Nb=Na–b

Infatti possiamo scrivere:

Ad esempio: 35/33=35−3=32, in quanto:

•Se a è minore di b (a< b), abbiamo: Na/Nb=1/Nb−a Infatti, possiamo scrivere:

Ad esempio: 33/35=33−5 = 3−2=1/32

•Se a e b sono uguali (a=b), abbiamo: Na/Na=Na−a=N0 = 1 Infatti, possiamo scrivere:

Ad esempio: 35/35=35−5 = 30=1

Istruzioni per l’uso Per utilizzare con profitto gli strumenti matematici è essenziale applicarli sempre in maniera corretta. Per quanto riguarda il simbolo «=», ad esempio, è necessario controllare sempre che ciò che si trova alla sua destra sia effettivamente uguale a ciò che si trova alla sua sinistra. Questa raccomandazione sembra superflua, ma molto spesso capita di vedere svolgere una serie di operazioni aritmetiche successive, come per esempio 1+2+3+4, in un modo erroneamente sintetico: 1+2=3+3=6+4=10 Il risultato finale è giusto, i calcoli intermedi sono corretti, ma il simbolismo è usato male perché da quanto scritto si potrebbe dedurre che: 1+2=10, o che 1+2=3+3, e così via. Scorrettezze formali di questo tipo sono innocue quando si ha comunque sotto controllo la situazione, ma sono estremamente diseducative se usate abitualmente perché rischiano di diventare un altro ostacolo alla comprensione della matematica. Quando si svolgono i calcoli di un’espressione contenente diverse operazioni, è importante l’ordine con il quale queste vengono eseguite. Modi diversi di procedere possono portare infatti a risultati diversi. Ad esempio: X=3+4×5

può diventare: X=35 se viene eseguita prima l’addizione (3+4=7) e poi la moltiplicazione (7×5=35); mentre diventa: X=23 se, come è corretto fare, si esegue prima la moltiplicazione (4×5=20) e poi l’addizione (3+20=23). L’ordine corretto con cui devono essere svolte le operazioni indicate in un’espressione è fissato dalle seguenti regole: •si eseguono prima tutte le elevazioni a potenza; •quindi si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni; •infine si eseguono le addizioni e le sottrazioni. Se non si vuole rispettare quest’ordine implicito (o se si sente il bisogno di essere estremamente chiari), è possibile raggruppare alcune operazioni all’interno di una coppia di parentesi. In questo caso,valgono le seguenti convenzioni: •devono prima essere eseguite le operazioni indicate all’interno delle parentesi; •all’interno della stessa parentesi le operazioni rispettano la solita gerarchia; •se si hanno più parentesi, una dentro l’altra, devono essere svolte prima le parentesi più interne e poi, procedendo verso l’esterno, le altre. Ad esempio, i passaggi per calcolare il valore dell’espressione: E=4+2(6−3/(2+1)−2) sono i seguenti (dove abbiamo sottolineato, volta per volta,

l’operazione che ha la precedenza sulle altre): E=4+2(6−3/(2+1)−2) E=4+2(6−3/3−2) E=4+2(6−1−2) E=4+2.3 E=4+6 E=10

I passaggi algebrici Quando una relazione di uguaglianza contiene una o più incognite viene chiamata più propriamente equazione. Se questa contiene una sola incognita, è possibile trovare uno o più valori numerici, detti soluzioni dell’equazione, che mantengono la relazione di uguaglianza se vengono sostituiti all’incognita. Ad esempio, l’equazione: X+3=3X−7 ammette come soluzione il valore 5, in quanto, sostituendolo alla X, si ottiene: 5+3=3⋅5−7 8=15−7 8=8 Se, invece, in un’equazione compaiono più incognite, non è possibile trovare delle soluzioni determinate, ma solo degli infiniti gruppi di potenziali soluzioni. Se una o più incognite appaiono sotto forma di potenza (ad esempio: X5, Y3, ecc.), alla relativa equazione viene attribuito un grado, determinato dal valore del più alto tra gli esponenti di tali potenze. Ad esempio, se tra tutti gli esponenti delle incognite, il valore più alto è 5, la relativa equazione viene detta di quinto grado; se invece l’esponente più alto è 2, la relativa equazione viene detta di secondo grado. Se nessuna incognita appare sotto forma di potenza, l’equazione viene detta di primo grado. In questo contesto, ci occuperemo solo di equazioni di primo grado.

Bisogna tener presente che non sempre l’analisi di un problema consente di impostare direttamente un’equazione (a una o più incognite), in modo da avere al primo membro un’incognita isolata. Questa forma (detta normale) è estremamente comoda nel caso in cui compaia una sola incognita, come nel seguente esempio: X=3×4+2 in quanto permette di ricavare direttamente il valore risolvente dell’incognita, svolgendo semplicemente i calcoli indicati al secondo membro. In particolare, nel caso in esame, dato che: 3×4+2=14 se si sostituisce al secondo membro (grazie alla proprietà transitiva dell’uguaglianza) il valore ottenuto, si ottiene direttamente: X=14 Due equazioni che sono soddisfatte dagli stessi valori delle incognite vengono dette equazioni equivalenti. È sempre possibile, usando opportuni accorgimenti, passare da un’equazione espressa sotto una qualsiasi forma a un’altra, a essa equivalente, espressa in forma normale. In generale, per ottenere un risultato del genere, non basta ricorrere solo alle proprietà della relazione di uguaglianza, ma bisogna applicare anche le cosiddette regole dei passaggi algebrici. Queste regole derivano tutte dal presupposto che, se si esegue la stessa operazione su quantità uguali tra loro, i risultati ottenuti corrispondono, necessariamente, ancora a due quantità uguali tra loro.

Immaginiamo di avere, ad esempio: a) Y+3=6 b) Y−4=5 c) 2Y=8 d) Y/5=1 •Nel caso a), se sottraiamo il valore 3 sia al primo che al secondo membro, otteniamo: Y+3−3=6−3 e quindi, dato che: 3−3=0 in definitiva, ricaviamo: Y=6−3 In pratica, per effetto di queste operazioni, il valore 3 che compariva al primo membro, come elemento di un’addizione, ora compare al secondo membro, come elemento di una sottrazione (operazione inversa dell’addizione). Quindi, in generale, se: Y+A=B possiamo scrivere: Y=B−A •Nel caso b), se sommiamo il valore 4 sia al primo che al secondo membro, otteniamo: Y−4+4=5+4

e quindi, dato che: −4+4=0 in definitiva, ricaviamo: Y=5+4 In pratica, per effetto di queste operazioni, il valore 4 che compariva al primo membro, come elemento di una sottrazione, ora compare al secondo membro, come elemento di un’addizione (operazione inversa della sottrazione). Quindi, in generale, se: Y−A=B possiamo scrivere: Y=A+B •Nel caso c), se dividiamo per 2 sia il primo che il secondo membro, otteniamo: 2Y/2=8/2 e quindi, dato che: 2/2=1 in definitiva, ricaviamo: Y=8/2 In pratica, per effetto di queste operazioni, il valore 2 che

compariva al primo membro, come elemento di una moltiplicazione, ora compare al secondo membro, come elemento di una divisione (operazione inversa della moltiplicazione). Quindi, in generale, se: Y×A=B possiamo scrivere: Y=B/A •Nel caso d), se moltiplichiamo per 5 sia il primo che il secondo membro, otteniamo: 5Y/5=1×5 e quindi, dato che: 5/5=1 in definitiva, ricaviamo: Y=1×5 In pratica, per effetto di queste operazioni, il valore 5 che compariva al primo membro, come elemento di una divisione, ora compare al secondo membro, come elemento di una moltiplicazione (operazione inversa della divisione). Quindi, in generale, se: Y/A=B possiamo scrivere:

Y=A×B In sintesi, come si è visto, tutte queste regole si applicano trasferendo semplicemente un determinato elemento dal primo al secondo membro, dopo averlo sottoposto all’operazione inversa di quella alla quale era sottoposto prima. Ovviamente, in base alla proprietà simmetrica dell’uguaglianza, è possibile applicare queste stesse regole per trasferire un elemento anche nel verso opposto (ovvero dal secondo al primo membro). In generale, per isolare un’incognita in un’equazione è necessario effettuare più passaggi successivi, come indicato nel seguente esempio: 4X/3+2=10 In questo caso, conviene procedere nel seguente modo. Per prima cosa, spostiamo il valore 2 al secondo membro, mutando l’operazione di addizione in quella di sottrazione: 4X/3=10−2 Calcoliamo subito, per maggiore comodità, 10−2=8 4X/3=8 Spostiamo il 4 al secondo membro, cambiando l’operazione di moltiplicazione con quella di divisione: X/3=8/4 Calcoliamo subito, per maggiore comodità, 8/4=2 X/3=2

Infine, spostiamo il 3 al secondo membro, cambiando l’operazione di divisione con quella di moltiplicazione: X=2×3 A questo punto, calcolando 2×3=6, siamo in grado di ottenere il valore della X che soddisfa l’equazione data: X=6 Per controllare l’esattezza dei calcoli svolti, nell’equazione di partenza: 4X/3+2=10 sostituiamo il valore 6 all’incognita X ottenendo: 4×6/3+2=10 Svolgendo i calcoli, abbiamo: 4×2+2=10 8+2=10 10=10 Essendo soddisfatta la relazione di uguaglianza finale, vuol dire che il valore della X da noi trovato è quello corretto.

Capitolo 2 – Numerazione in base 10

Fin da bambini veniamo abituati a riconoscere il valore dei numeri, imparando molto presto che, ad esempio, nella notazione: 555, il primo 5 a partire da sinistra vale 500 (5 centinaia), il secondo vale 50 (5 decine) e il terzo semplicemente 5 (5 unità). Questo criterio di rappresentazione dei numeri viene detto posizionale, in quanto ogni cifra assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa. Il sistema che, attualmente, viene adottato in tutto il mondo è denominato più precisamente posizionale in base 10, in quanto utilizza le dieci cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e si basa sulla scomposizione di un determinato numero in vari insiemi di unità, decine (dieci unità), centinaia (dieci decine), ecc. In particolare, l’ultima posizione a destra è associata alle unità, quella immediatamente precedente è associata alle decine e, proseguendo così verso sinistra, le posizioni che si incontrano sono rispettivamente associate alle centinaia, alle migliaia e così via. Per cui scrivere, ad esempio, 3857 vuol dire rappresentare un numero composto da 3 migliaia 8 centinaia 5 decine e 7 unità; infatti: 3×1000+8×100+5×10+7×1= = 3000+800+50+7=3857 Essendo,

come

sappiamo:

1=100,

10=101,

100=102,

1000=103 (e così via...), possiamo scrivere anche: 3857=3×103+8×102+5×101+7×100 In generale, se N è un numero intero composto da una quantità n di cifre, possiamo porre: N=an×10n+an−1×10n−1+...+a2×102+ +a1×101+a0×100 indicando con an, an−1...a2, a1, a0 le cifre che disposte in quest’ordine (da sinistra verso destra) compongono la notazione del numero. Nel seguito converremo di indicare la notazione generica di un numero racchiudendo tra virgolette le variabili che indicano la successione delle cifre. Nel caso precedente potremo scrivere: N=«an, an−1...a2, a1, a0». Questa convenzione è resa necessaria dall’esigenza di distinguere la successione delle cifre nella notazione posizionale dal prodotto delle cifre stesse. In base a quanto abbiamo appena visto, se prendiamo in considerazione un numero N formato, ad esempio, dalle cifre a, b, c, possiamo porre: N=a×100+b×10+c Siccome 100=99+1 e 10=9+1, possiamo scrivere anche: N=a(99+1)+b(9+1)+c Svolgendo i calcoli, abbiamo: N=99a+a+9b+b+c

ovvero: N=9(11a+b)+(a+b+c) Quindi, ponendo 11a+b=K, otteniamo: N=9K+(a+b+c) Da questo risultato, per prima cosa possiamo dedurre che ogni numero N è uguale a un multiplo di 9 più la somma delle cifre che lo compongono. Ciò vuol dire che la differenza tra un qualsiasi numero intero N e la somma delle sue cifre è sempre uguale a un multiplo di 9. Infatti, se poniamo N=9K+S, dove S è uguale alla somma delle cifre di N, abbiamo: N=9K+S−S N=9K In merito al valore S della somma delle cifre di un numero intero N, si possono verificare due soli casi: •S è divisibile per 9; in questo caso anche N è divisibile per 9 (il resto della divisione N:9 è uguale a 0); •S non è divisibile per 9; in questo caso N non è divisibile per 9 (il resto della divisione N:90 ). In questa seconda ipotesi, se S< 9, allora S è uguale al resto della divisione N:9; altrimenti, possiamo ripetere su S l’operazione effettuata prima su N, ponendo: S = 9K1+S1, dove S1 è la somma delle cifre che compongono S. Con queste impostazioni, possiamo scrivere: N=9K+S

N=9K+9K1+S1 N=9(K+K1)+S1=9H1+S1 (con H1= K+K1) Anche in questo caso, se S1< 9, allora della divisione N:9. Altrimenti, possiamo procedere in prima, tante volte, finché non riusciamo

S1 è uguale al resto maniera analoga a a ottenere:

N=9Hn+Sn, con Sn< 9 In definitiva, per ottenere il resto della divisione per 9 di un numero N basta sommare le cifre di questo numero e ripetere l’operazione sulle cifre del risultato, finché non si ottiene un numero composto da una sola cifra. Il valore di questa cifra viene chiamato radice numerica di N. Se la radice numerica di N è uguale a 9, allora N è divisibile per 9; altrimenti, il suo valore coincide con il resto della divisione N:9. Ad esempio, per ottenere la radice numerica di 3857 dobbiamo calcolare: 3+8+5+7=23 siccome 23> 9, ripetiamo il procedimento: 2+3=5 Dato che 5< 9, la radice numerica di 3587 (cioè il resto della divisione 3587:9) è uguale a 5. In alcune situazioni conviene adottare la notazione R[N] per indicare sinteticamente la radice numerica di un numero intero N. In relazione all’esempio precedente, quindi, possiamo

scrivere: R[3587]=5 Le proprietà della radice numerica sono numerose. In questo contesto, ci limiteremo a dimostrare che, dati due numeri interi N e M, si ha: R[N+M]=R[R[N] +R[M> ovvero, che la radice numerica della somma di due numeri interi è uguale alla radice numerica della somma delle radici numeriche dei due numeri. Se poniamo, ad esempio: N=321 e M=85 (e quindi: N+M=321+85=406), abbiamo: R[M+N]=R[406]=1 (dato che: 4+0+6=10; 1+0=1) Possiamo verificare che, essendo: R[N]=R[321]=6 (dato che: 3+2+1=6) R[M]=R[85]=4 (dato che: 8+5=13; 1+3=4) abbiamo: R[R[N]+R[M>=R[6+4]=R[10]=1 (dato che: 1+0=1) Questo risultato si può giustificare considerando che, come abbiamo visto prima, ogni numero intero può essere posto come la somma di un multiplo di 9 e la sua radice numerica. Quindi, dati due numeri interi N e M, se poniamo, per comodità: P=R[N] e Q=R[M], possiamo scrivere: N=9K+P

M=9H+Q quindi, avremo: N+M=(9K+P)+(9H+Q) N+M=9K+P+9H+Q N+M=9(K+H)+P+Q ovvero, ponendo: K+H=Z N+M=9Z+P+Q e di conseguenza: R[N+M]=R[9(K+H)+(P+Q)] Ma siccome la radice numerica di un numero coincide con il resto che si ottiene dividendo il numero per 9, possiamo scrivere: R[N+M]=R[P+Q] ovvero, avendo posto: P=R[N] e Q=R[M]: R[N+M]=R[R[N]+R[M> Come volevasi dimostrare.

Capitolo 3 – Numerazioni in altre basi

Quasi tutte le antiche civiltà, anche senza aver avuto contatto tra loro, hanno messo a punto una numerazione impostata sul numero 10 (indipendentemente dal criterio di rappresentazione adottato). Molto probabilmente, ciò è avvenuto perché i nostri progenitori hanno spontaneamente utilizzato, come base numerica, la prima cosa che gli è capitata sottomano, ovvero: il numero di dita delle loro due mani. Esistono, tuttavia, alcune eccezioni. I Babilonesi, in particolare, avevano ideato un tipo di numerazione basato sul numero 60, che utilizziamo ancora oggi per misurare gli angoli e il tempo. Un sistema di questo genere è molto comodo per eseguire le divisioni, in quanto 60 possiede molti divisori propri: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30. Il numero 10, attualmente utilizzato come base numerica in tutto il mondo, invece, possiede solo due divisori propri: 2 e 5. Per questo motivo, molto frequentemente le nostre divisioni forniscono dei risultati non interi o generano addirittura dei numeri periodici. Come abbiamo visto, un numero intero N scritto nella numerazione posizionale in base 10 può essere rappresentato genericamente come una somma di fattori di potenze di 10, nel seguente modo: N=an×10n+an−1×10n−1+...+ +a2×102+a1×101+a0×100

dove a0, a1, a2...an−1, an sono dei valori compresi tra 0 e 9, chiamati cifre del numero. Possiamo estendere il concetto di numerazione posizionale scegliendo come base un qualsiasi numero intero positivo B maggiore di 0. Un numero intero N, espresso tramite una numerazione di questo tipo, assume la forma generale: N=bn×Bn+bn−1×Bn−1+...+b2×B2+b1×B1+b0×B0 dove b0, b1, b2...bn−1, bn sono dei valori compresi tra 0 e B −1, che rappresentano le cifre di tale numerazione. Se la base B di una numerazione posizionale generica è minore di 10, possiamo utilizzare come cifre una parte di quelle decimali, disposte nel medesimo ordine crescente. Se invece B è maggiore di 10, alle dieci cifre decimali, da 0 a 9, dobbiamo necessariamente aggiungere altri simboli. Quando rappresentiamo un numero in una base diversa da 10, in assenza di esplicite dichiarazioni, dobbiamo adottare la convenzione di apporre in basso, in fondo a esso, un piccolo indice corrispondente al valore della base utilizzata. Ad esempio: •la notazione: N=101112 indica che il numero N è scritto in base 2; •la notazione: N=278 indica che il numero N è scritto in base 8. Se la base che utilizziamo è molto grande, non solo abbiamo bisogno di una maggiore quantità di cifre diverse una dall’altra, ma diventano molto grandi anche le relative tavole di moltiplicazione. Quella che normalmente usiamo nella numerazione in base 10 (nota come tavola pitagorica) possiede 10×10=100 caselle. Un’analoga tavola, nella

numerazione babilonese in base 60, necessiterebbe di ben 60×60=3600 caselle. Al contrario, diminuendo il valore della base, otteniamo tavole di dimensioni sempre più piccole. Al limite, nella numerazione in base 2, possiamo avere solo quattro prodotti tra le uniche due cifre utilizzate, «0» e «1»; ovvero: 0×0=0; 0×1=0; 1×0=0; 1×1=1 La relativa tavola pitagorica, quindi, possiede due sole caselle per lato, come qui di seguito indicato: ×

0

1

0

0

0

1

0

1

I bambini dell’immaginario mondo di Binaria, dove i numeri vengono scritti solo in base 2, non devono dannarsi molto per imparare a memoria le tabelline... Per quanto abbiamo visto prima, un numero N scritto in base 2 assume la forma: N=an×2n+an−1×2n−1+...+a2×22+ +a1×21+a0×20 dove le cifre a0, a1, a2...an−1, possono assumere solo i valori «0» e «1». Come possiamo osservare, le notazioni: 10, 100, 1000, 10.000..., che nella nostra base decimale indicano le potenze di 10, in questo caso indicano le potenze di 2; in particolare:

102=21=2, 1002=22=4, 10002=23=8, 10.0002=24=16, e così via. Possiamo, quindi, affermare che: aggiungere uno 0 in fondo a un numero binario N equivale a moltiplicare N per 2; aggiungergli due 0 equivale a moltiplicare N per 4; aggiungergli tre 0 equivale a moltiplicare N per 8 e così via... Altrettanto semplici sono anche le altre operazioni che possono essere svolte con i numeri binari. In particolare, ci possono essere solo quattro possibilità di sommare le sue due cifre, ovvero: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10 Anche la relativa tavola di addizione, quindi, possiede due sole caselle per lato, come qui di seguito indicato: +

0

1

0

0

1

1

1

10

Questa estrema sinteticità nell’impostazione dei calcoli è una delle ragioni per cui la numerazione binaria è stata adottata nella realizzazione dei calcolatori elettronici. Codifica in base 2 dei primi numeri interi da 0 a 31

0

24

23

22

21

20

24

23

22

21

20

16

8

4

2

1

16

8

4

2

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

16

1

0

0

0

0

1

17

1

0

0

0

1

2

0

0

0

1

0

18

1

0

0

1

0

3

0

0

0

1

1

19

1

0

0

1

1

4

0

0

1

0

0

20

1

0

1

0

0

5

0

0

1

0

1

21

1

0

1

0

1

6

0

0

1

1

0

22

1

0

1

1

0

7

0

0

1

1

1

23

1

0

1

1

1

8

0

1

0

0

0

24

1

1

0

0

0

9

0

1

0

0

1

25

1

1

0

0

1

10

0

1

0

1

0

26

1

1

0

1

0

11

0

1

0

1

1

27

1

1

0

1

1

12

0

1

1

0

0

28

1

1

1

0

0

13

0

1

1

0

1

29

1

1

1

0

1

14

0

1

1

1

0

30

1

1

1

1

0

15

0

1

1

1

1

31

1

1

1

1

1

Per convertire nella consueta base 10 un numero scritto in binario, dobbiamo solo tener presente che (scorrendo le cifre del numero da destra verso sinistra) la prima posizione è associata a 20, la seconda a 21, la terza a 22, la quarta a 23, e così via (procedendo con successive potenze di 2). Ad esempio, il numero binario 1101 corrisponde a 13 in base 10, dato che: 1×20+0×21+1×22+1×23 = = 1×1+0×2+1×4+1×8=1+0+4+8=13 Se vogliamo convertire in binario un numero N scritto in base 10, il procedimento è un po’ più complesso, in quanto dobbiamo riuscire a scomporre il valore di N in tanti addendi

corrispondenti alle varie potenze di 2. Un modo abbastanza pratico per procedere è il seguente: a) tracciamo su un foglio uno schema di questo tipo:

b) nella prima posizione, a partire da destra, riportiamo il valore del numero N; supponiamo, ad esempio, di porre N=46: 46

c) dividiamo N per 2; poniamo alla sua sinistra il quoziente ottenuto e sotto di esso il resto (che può essere solo «0» o «1»); nel caso in esame, abbiamo 46:2=23 col resto di 0 e quindi: 23

46 0

d) procediamo nello stesso modo, dividendo per 2 ogni quoziente Q ottenuto e ponendo, ogni volta, alla sua sinistra il nuovo quoziente e sotto di esso il resto; e) quando otteniamo come quoziente 0, il procedimento termina e la successione dei resti che abbiamo così scritto, letti da sinistra verso destra, ci fornisce la notazione binaria del numero N. Nel caso in esame, al termine avremo riempito uno

schema del genere: 0

1

2

5

11

23

46

1

0

1

1

1

0

dal quale ricaveremo: 4610 = 1011102. Possiamo verificare che questo risultato è esatto, in quanto: 0×20+1×21+1×22+1×23+0×24+1×25= = 2+4+8+32=46 Come possiamo notare, ogni numero binario (tranne 0 e 1) è composto da una quantità di cifre maggiore dell’equivalente numero in base 10. Questo comporta che, anche per numeri piuttosto bassi, è alquanto difficile riuscire a cogliere, in tempi rapidi, il relativo valore (solo i computer ci riescono senza problemi...) In generale, più il valore di una base diminuisce, maggiore è la quantità di cifre che devono essere utilizzate nella scrittura dei numeri. Per questo motivo, in tutto il mondo si continua a adottare la numerazione in base 10, nonostante la minore praticità nell’esecuzione dei calcoli. Al di là delle applicazioni tecniche, la numerazione binaria fornisce numerosi spunti per impostare dei giochi matematici, come quelli mostrati in questo libro. Un’altra numerazione interessante a tali scopi è quella in base 3 (detta anche ternaria), i cui primi valori interi da 0 a 35 sono riportati nella seguente tabella. Codifica in base 3 dei primi numeri interi da 0 a 35 33

32

31

30

33

32

31

30

27

9

3

1

27

9

3

1

0

0

0

0

0

18

0

2

0

0

1

0

0

0

1

19

0

2

0

1

2

0

0

0

2

20

0

2

0

2

3

0

0

1

0

21

0

2

1

0

4

0

0

1

1

22

0

2

1

1

5

0

0

1

2

23

0

2

1

2

6

0

0

2

0

24

0

2

2

0

7

0

0

2

1

25

0

2

2

1

8

0

0

2

2

26

0

2

2

2

9

0

1

0

0

27

1

0

0

0

10

0

1

0

1

28

1

0

0

1

11

0

1

0

2

29

1

0

0

2

12

0

1

1

0

30

1

0

1

0

13

0

1

1

1

31

1

0

1

1

14

0

1

1

2

32

1

0

1

2

15

0

1

2

0

33

1

0

2

0

16

0

1

2

1

34

1

0

2

1

17

0

1

2

2

35

1

0

2

2

Capitolo 4 – Pari e dispari

Uno strumento matematico poco studiato a livello scolastico, ma di grande potenza applicativa, detto controllo di parità, si basa sulla semplice constatazione che, nella successione dei numeri interi,1 un elemento adiacente a un numero pari è sempre un numero dispari e, viceversa, un elemento adiacente a un numero dispari è sempre un numero pari, come qui di seguito evidenziato: pari

↓

interi

0

dispari

↓ 1 ↑

2

↓ 3 ↑

4

↓ 5 ↑

6

↓ 7 ↑

8

↓ 9 ↑

10

... 11

...

↑

...

A livello formale, possiamo definire una proprietà del genere nel seguente modo: •0 è pari; •se N> 0 è pari, allora N±1 è dispari; •se N> 0 è dispari, allora N±1 è pari. Per semplicità di esposizione, diremo che due numeri hanno: •stessa parità, quando sono o entrambi pari o entrambi dispari; •diversa parità, quando sono o uno pari e l’altro dispari o uno dispari e l’altro pari. In generale, quando il numero degli elementi di un dato

insieme subisce delle modifiche, diremo che tale insieme: •ha cambiato parità, se il numero finale degli elementi presenta una parità diversa da quella iniziale; •ha mantenuto la parità, se il numero finale degli elementi presenta la stessa parità di quella iniziale. Applicando più volte di seguito la definizione di parità prima enunciata, possiamo verificare facilmente che, dati due numeri interi positivi qualsiasi, N e M≤ N: •se M è pari, allora N±M ha la stessa parità di N; •se M è dispari, allora N±M ha parità diversa da N. Questa stessa regola può essere espressa in termini più discorsivi, nel seguente modo: •pari± pari=pari; •dispari± pari=dispari; •pari± dispari=dispari; •dispari± dispari=pari.

Capitolo 5 – Corrispondenza biunivoca

In matematica viene detta corrispondenza biunivoca ogni relazione fra due insiemi A e B (non vuoti), che associ a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e, viceversa, a ogni elemento di B uno e un solo elemento di A. Se, ad esempio, gli insiemi A e B contenessero entrambi 5 elementi (rispettivamente: a1, a2, a3, a4, a5 e b1, b2, b3, b4, b5), potremmo porli in corrispondenza biunivoca impostando una serie di associazioni come quelle indicate nel seguente schema. A

B

a1

↔

b1

a2

↔

b2

a3

↔

b3

a4

↔

b4

a5

↔

b5

Su questo concetto, che ha un’importanza fondamentale in matematica, si basa in particolare la geometria analitica, dove viene posta una corrispondenza biunivoca tra enti geometrici ed enti algebrici. In questo modo, tale disciplina consente di studiare le proprietà delle figure geometriche attraverso gli strumenti algebrici e, viceversa, di risolvere

problemi algebrici mediante opportune costruzioni geometriche. A livello di semplice matematica magica, se si riesce a instaurare, in maniera nascosta, una corrispondenza biunivoca tra due determinati insiemi, è possibile ricavare delle informazioni determinanti in merito a uno di questi conoscendo solo la composizione dell’altro. Un classico esempio di corrispondenza biunivoca è quello che lega l’insieme dei numeri interi positivi all’insieme dei numeri pari. Ogni numero intero K≥ 0, infatti, può essere associato al numero pari 2K≥ 0 e, viceversa, ogni numero pari 2K≥ 0 può essere associato al numero intero K≥ 0. Con lo stesso ragionamento, si può verificare che è biunivoca anche la relazione fra l’insieme dei numeri interi positivi e l’insieme dei numeri dispari, in quanto ogni numero intero K≥ 0 può essere associato al numero dispari 2K+1> 0 e, viceversa, ogni numero dispari 2K+1> 0 può essere associato al numero intero K≥ 0. Il seguente prospetto evidenzia tali corrispondenze. Pari

Interi

Dispari

2K≥ 0

K≥ 0

2K+1> 0

0

↔

0

↔

1

2

↔

1

↔

3

4

↔

2

↔

5

6

↔

3

↔

7

8

↔

4

↔

9

10

↔

5

↔

11

12

↔

6

↔

13

14

↔

7

↔

15

...

↔

...

↔

...

È interessante notare che queste due relazioni, ineccepibili da un punto di vista teorico, creano un evidente paradosso logico. Infatti, è sottinteso che, se due insiemi sono posti in corrispondenza biunivoca, allora sono composti dalla stessa quantità di elementi. L’insieme dei numeri interi positivi, però, è formato dall’insieme dei numeri pari più quello dei numeri dispari; quindi, sia l’insieme dei numeri pari sia quello dei numeri dispari non dovrebbero contenere la stessa quantità di elementi che contiene l’insieme dei numeri interi positivi, ma solo la metà... A livello teorico, un tale paradosso si risolve considerando che i tre insiemi in questione sono tutti composti da un numero infinito di elementi e che (ricorrendo a una notazione discorsiva): infinito + infinito=infinito. A livello intuitivo, però, la questione continua a rimanere inspiegabile...

Capitolo 6 – Inganni geometrici

Alcuni sorprendenti effetti di magia matematica possono essere ottenuti non ricorrendo direttamente a degli strumenti algebrici, come nei capitoli precedenti, ma sfruttando alcuni paradossi geometrici, accentuati dal meccanismo illusorio della nostra percezione visiva. Un semplice esempio al riguardo può essere il seguente.

1. Tracciamo su un foglio 8 lineette verticali, tutte alla stessa distanza l’una dall’altra e tutte della medesima lunghezza. 2. Tagliamo il foglio obliquamente, in modo da lasciare intatte la prima e l’ultima lineetta (fig. 1).

figura 1

3. Facciamo slittare la metà inferiore del foglio verso sinistra di uno spazio uguale alla distanza tra una lineetta e l’altra (fig. 2).

figura 2 4. Contiamo quante lineette compaiono ora: sono 7 invece di 8... Una è scomparsa. In questo caso così schematico, non è difficile verificare che, in realtà, non è scomparsa alcuna lineetta, ma che ognuna di quelle nuove si è accresciuta di un piccolo tratto rispetto alle precedenti. Infatti, il taglio obliquo genera 14 segmenti di varia misura: 7 nella metà superiore del foglio e 7 in quella inferiore. Nella situazione iniziale di figura 1, si abbinano solo 6 coppie di segmenti, mentre ne rimangono isolati due (AA sopra e HH sotto). In questa configurazione, quindi, si contano 6+1+1=8 lineette verticali. Se si fa slittare la metà inferiore del foglio (fig. 2),

ciascuno dei 7 segmenti superiori combacia perfettamente con uno di quelli inferiori. In questa configurazione, quindi, appaiono solo 7 lineette verticali.

Bibliografia e letture consigliate

• Adrion A., L’arte della magia, Mazzotta, Milano 1979. • Agostini F., Giochi logici e matematici, Arnoldo Mondadori, Milano 1982. • Alberti G.A. «Bolognese», I giuochi numerici (Fatti arcani palesati da), Venezia 1795. Copia anastatica, Arnaud, Firenze 1979. • Bersani R. e Peres E., Matematica - Corso di sopravvivenza, Ponte alle Grazie, Milano 1988 e TEA Pratica, Milano 2002. • De Frank P., Le carte magiche, Hoepli, Milano 1921 (Copia anastatica, Cisalpino-Goliardica, Milano 1975). • Faggi C. (Mago Fax), Stupire - L’arte del prestigiatore (2 volumi), Forbes & Huges, Milano 1983. • Gardner M., Carnevale matematico, Zanichelli, Bologna 1978. • Gardner M., Circo matematico, Sansoni, Firenze 1981. • Gardner M., Enigmi e giochi matematici - volumi I - V, Sansoni, Firenze 19671976. • Gardner M., I misteri della magia matematica, Sansoni, Firenze 1985. • Gardner M., Show di magia matematica, Zanichelli, Bologna 1980. • Ghersi I., Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, Milano 1967. • Glenn W.H. e Johnson D.A., Topologia, Zanichelli, Bologna 1982. • Peres E., Dalla matemagica alla matematica, dagli «Atti del Convegno Nazionale sui giochi creativi tenutosi a Siena dall’11 al 14 Giugno 1981», Tipografia Senese, Siena 1981. • Peres E., Giochi matematici, Editori Riuniti, Roma 1986. • Rossetti C., Magia delle carte, Hoepli, Milano 1958. Copia anastatica, Cisalpino-Goliardica, Milano 1984. • Sarcone Gianni A. e Waeber Marie-Jo, Matemagica - Giochi d’ingegno con la matematica, La Meridiana, Barletta 2005. • Sintini C., Matemagica e giochi matematici, Arnoldo Mondadori, Milano 1982. • Tosatti di Sorbara P., L’amico delle conversazioni, Modena, 1878. Copia anastatica, Malvarosa, Roma 1986.

Indirizzi Internet raccomandati • http://digilander.libero.it/basecinque Sito dedicato alla matematica ricreativa, ricco di spunti giocosi e didattici, curato dal professor Gianfranco Bo. • http://www.marianotomatis.it Sito personale dell’informatico Mariano Tomatis Antoniono, uno dei massimi esperti italiani di giochi logico-matematici e di trucchi di falso mentalismo. • http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Archivio/Mappa/Problemiegiochi/mathemag

Sito del Progetto Polymath di didattica matematica, curato dal professor Federico Peiretti, per conto del Politecnico di Torino. Ospita la rubrica MATHeMAGICA di Ennio Peres, nella quale sono apparsi in anteprima alcuni dei giochi raccolti in questo libro. • http://www.rudimathematici.com Archivio dell’omonima rivista telematica gratuita di matematica, giochi matematici, problemi, indovinelli e farneticazioni, i cui curatori si nascondono dietro gli pseudonimi di Rudy d’Alembert, Alice Riddle e Piotr R. Silverbrahmas.

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Note

1. Nel presente contesto, per praticità, analizziamo solo i numeri interi maggiori o uguali a 0.

Indice

Presentazione Frontespizio Pagina di copyright Prologo Prima parte. Come funziona Capitolo 1 – Proprietà algebriche 1.1 Gira e raggira 1.2 Ipnosi collettiva 1.3 Ipnosi continua 1.4 Ma che coincidenza! 1.5 Acqua e vino 1.6 Il nome famoso 1.7 Il giusto mezzo 1.8 La predizione cinese 1.9 Una prova di telepatia 1.10 Le carte trasparenti 1.11 I mazzetti misteriosi 1.12 Magie al quadrato Capitolo 2 – Numerazione in base 10 2.1 Il magico «9»

2.2 Un rinoceronte nero 2.3 Il numero di telefono 2.4 Un calcolo con i piedi 2.5 La carta mancante 2.6 La carta nascosta 2.7 Attrazione fatale 2.8 Più veloce della luce 2.9 Il computer umano 2.10 La carta parlante 2.11 Divinazioni à gogo 2.12 Magia ciclica Capitolo 3 – Numerazioni in altre basi 3.1 I sette cartoncini magici 3.2 L’ordine magico 3.3 Le tracce significative 3.4 L’incredibile previsione 3.5 I simboli astrali 3.6 Magia ternaria Capitolo 4 – Pari e dispari 4.1 Una somma prodigiosa 4.2 Lo scherzo dei tre bicchieri 4.3 La moneta coperta 4.4 Testa o croce 4.5 Magia a gettone 4.6 Eliminazione diretta 4.7 L’enigma della scacchiera 4.8 Il percorso contorto

4.9 Le coppie omogenee Capitolo 5 – Corrispondenza biunivoca 5.1 A ciascuno il suo 5.2 I primi imprimibili 5.3 Le tre tazzine 5.4 La formula latina 5.5 Le tre palline Capitolo 6 – Inganni geometrici 6.1 La testa scomparsa 6.2 I nanetti impertinenti 6.3 Il paradosso della scacchiera 6.4 Il quadrato dilatabile 6.5 Il triangolo assurdo 6.6 Un altro triangolo assurdo

Seconda parte. Perché funziona Capitolo 1 – Proprietà algebriche 1.1 Gira e raggira 1.2 Ipnosi collettiva 1.3 Ipnosi continua 1.4 Ma che coincidenza! 1.5 Acqua e vino 1.6 Il nome famoso 1.7 Il giusto mezzo 1.8 La predizione cinese 1.9 Una prova di telepatia 1.10. Le carte trasparenti

1.11 I mazzetti misteriosi 1.12 Magie al quadrato Capitolo 2 – Numerazione in base 10 2.1 Il magico «9» 2.2 Un rinoceronte nero 2.3 Il numero di telefono 2.4 Un calcolo con i piedi 2.5 La carta mancante 2.6 La carta nascosta 2.7 Attrazione fatale 2.8 Più veloce della luce 2.9 Il computer umano 2.10 La carta parlante 2.11 Divinazioni à gogo 2.12 Magia ciclica Capitolo 3 – Numerazioni in altre basi 3.1 I sette cartoncini magici 3.2 L’ordine magico 3.3 Le tracce significative 3.4 L’incredibile previsione 3.5 I simboli astrali 3.6 Magia ternaria Capitolo 4 – Pari e dispari 4.1 Una somma prodigiosa 4.2 Lo scherzo dei tre bicchieri 4.3 La moneta coperta 4.4 Testa o croce

4.5 Magia a gettone 4.6 Eliminazione diretta 4.7 L’enigma della scacchiera 4.8 Il percorso contorto 4.9 Le coppie omogenee Capitolo 5 – Corrispondenza biunivoca 5.1 A ciascuno il suo 5.2 I primi imprimibili 5.3 Le tre tazzine 5.4 La formula latina 5.5 Le tre palline Capitolo 6 – Inganni geometrici 6.1 Perdere la testa 6.2 I nanetti impertinenti 6.3 Il paradosso della scacchiera 6.4 Il quadrato dilatabile 6.5 Il triangolo assurdo 6.6 Un altro triangolo assurdo

Appendice Capitolo 1 – Proprietà algebriche Le incognite della matematica La relazione di uguaglianza L’addizione La sottrazione La moltiplicazione La divisione

Elevazione a potenza Istruzioni per l’uso I passaggi algebrici Capitolo 2 – Numerazione in base 10 Capitolo 3 – Numerazioni in altre basi Capitolo 4 – Pari e dispari Capitolo 5 – Corrispondenza biunivoca Capitolo 6 – Inganni geometrici Bibliografia e letture consigliate Dello stesso autore in ebook

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