Lehrgang der Höheren Mathematik - Teil IV/2 [IV/2, 11 ed.] 3326003676

Table of contents :
Titelseite
Vorwort zur sechsten russischen Auflage
Inhaltsverzeichnis
I. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen
§ 1. Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 2. Differentialgleichungen höherer Ordnung
§ 3. Systeme partieller Differentialgleichungen
II. Randwertprobleme
§ 1. Randwertprobleme bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung
§ 2. Elliptische Differentialgleichungen
§ 3. Parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen
Literaturhinweise
Namen- und Sachverzeichnis

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Titel der Originalausgabe:

B. 11. Cl\HIPHOB, Hypc nucnreä MaTeMaTHRII TOM ~IeTBepThlfi, qacTb nropaa 11a;u;amre nrecroe Hayxa, MOCRBa 1981 Die Ausgabe in deutscher Sprache (nach der 3. russischen Auflage) besorgten: Christa Berg und Lot.har Berg (Übersetzer), Herbert Beckert, Günter Schmidt, Hans Schubert (Wissenschaft.liehe Reda.ktion). Die Übersetzung der Änderungen und Ergänzungen nach der 6. russischen Auflage besorgte Ehrhard Herbst (Wissenschaft.liehe Redaktion: G. Wildenhain).

ISBN 3-326-00367·6 ISSN 0073-2842 Verlagslektor : Erika Arndt Verlagshersteller : N orma Braun © der deutschsprachigen Ausgabe: 1958 und 1989 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, DDR - 1080 Berlin, Postfach 1216 Lizenzrrurnmer : 206 • 435/64/88 Gesamtherstellung: IV/2/14 VEB Druckerei "G. W. Leibniz", Gräfenhainichen . 6945 LSV 1034 Bestellnummer: 571 6854 03000

Vorwort zur sechsten russischen Auflage

Im Vorwort zur zweiten Auflage des fünften Bandes (1959) schrieb \VLADIl\fiR I WANOWITSCH Sl\fiRNOW: "Ein sechster Teil des ,Lehrganges der höheren Mathematik', der einige Fragen der modernen Theorie der Differentialoperatoren mit einer oder mit mehreren unabhängigen Veränderlichen behandeln soll, ist vorgesehen." Er wollte, daß ich als Koautor dieses neuen Bandes fungierte. Jedoch haben verschiedene Dinge und Umstände die Realisierung dieses Vorhabens verhindert; es wurde beschlossen, sich auf eine Erweiterung des vierten Bandes zu beschränken. Dazu wurde die Theorie des Lebesgueschen Integrals und des Raumes L 2 in den zweiten Band übernommen, während der vierte Band in zwei Teile zerlegt wurde. Im ersten Teil werden die Theorie der Integralgleichungen im Raum der stetigen Funktionen und im Raum L 2 , die Variationsrechnung, die Theorie der verallgemeinerten Ableitungen, die grundlegenden Eigenschaften der Räume W1 und W~ sowie das Problem der Bestimmung des Minimums eines quadratischen Funktionals in allgemeiner Form dargelegt. Dieser Teil wurde 1974 herausgegeben. Die Überarbeitung und Erweiterung des zweiten Teils des vierten Bandes erfolgte zu einer Zeit, als die Gesundheit von WLADIl\fiR IWANOWITSCH durch eine schwere Krankheit angegriffen war. Nichtsdestoweniger fand er die Kraft, die von mir geschriebenen Ergänzungen und Änderungen aufmerksam zu lesen und zu redigieren sowie Wünsche zur endgültigen Fassung dieses Buches auszusprechen. WLADIl\fiR I WANOWITSCH hatte vor, einen Teil des Stoffes der vorigen Ausgabe, der seiner Meinung nach im Licht der folgenden Untersuchungen etwas veraltet erschien, herauszunehmen. Im Ergebnis einer gemeinsamen Erörterung willigte er aber ein, ihn beizubehalten und nur einige, zur Koordinierung des alten und neuen Textes notwendige Korrekturen anzubringen. Wegen der zu vor in den vorangehenden Bänden vorgenommenen Veränderungen wurde eine Korrektur der Hinweisnummern erforderlich. Diese werden anhand der letzten Auflagen aller Bände gegeben, nämlich der 23. Auflage des ersten Bandes (1974), der 21. Auflage des zweiten Bandes (1974), der 10. Auflage des ersten Teils des dritten Bandes (1974), der 9. Auflage des zweiten Teils des dritten Bandes (1974), der ersten Auflage des ersten Teils des vierten Bandes (1974) und der zweiten Auflage des fünften Bandes (1959). Der Hinweis auf den ersten Teil des dritten Bandes erfolgt z. B. in der Form [IlIfl, 140], wobei die Zahl 140 die Nummer des Abschnitts angibt. Ist das vorliegende Buch gemeint, so wird die Nummer des Bandes nicht mitgeschrieben, sondern es wird nur die Nummer des entsprechenden Abschnitts (z. B. [150]) und manchmal auch die Seite angegeben. April 1979

O. A. LADYSHENSKAJA

Inhalt

J. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen § 1.

Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . .

1.

Quasilineare Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen . Das Cauchysche Problem und die Charakteristiken . . . . . . . . Quasilineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung Charakteristische Mannigfaltigkeiten Die Cauchysche Methode Das Cauchysche Problem Die Eindeutigkeit der Lösung Der singuläre Fall . . . . . Nichtlineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen . Vollständiges, allgemeines und singuläres Integral. . . Das vollständige Integral und das Cauchysche Problem Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen Der Satz von J ACOBI . . . . . . . . . . . . . . . Systeme zweier Differentialgleichungen erster Ordnung Die Methode von LAGRANGE und CHARPIT Systeme linearer Differentialgleichungen Vollständige und J acobische Systeme Die Integration vollständiger Systeme Die Poissonschen Klammern Die Methode von J ACOBI Kanonische Systeme . . Beispiele . . . . . . . Die Majorantenmethode Der Satz von S. KowALEWSKAJA Differentialgleichungen höherer Ordnung

2.

3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

23. 24. 25. 26.

27. 28. 29. § 2.

30. 31. 32. 33. 34.

35. 36.

11 11 14 18 22 23 27 30 31

33 35 37

39 41 43 45

48 50 51

53 55

57 59

60 63 64 65 66 69

74

Differentia.lgleichungen höherer Ordnung

76

Die Typen der Differentialgleichungen zweiter Ordnung Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Normalformen bei zwei unabhängigen Veränderlichen Das Cauchysche Problem Charakteristische Streifen . . . . . . Ableitungen höherer Ordnung Reelle und komplexe Charakteristiken .

76 78

80 83

85 87 89

8

Inhalt 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62.

§ 3. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73.

Die grundlegenden Sätze . . . . . . . . . Vorintegrale . . . . . . . . . . . . . . . Die Monge-Amperesche Differentialgleichung Charakteristiken bei beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen Bicharakteristiken . . . . . . . . . . . . . . Der Zusammenhang mit einem Variationsproblem Ausbreitung von Unstetigkeiten Starke Unstetigkeiten Die Riernannsche Integrationsmethode Charakteristische Anfangswerte Existenzsätze . . . . . . . . . . . Die Formel der partiellen Integration und die Greensehe Formel Die Methode von VOLTERRA . . . . . Die Formel von SOBOLEW . . . . . . Die Formel von SOBOLEW (Fortsetzung) Die Konstruktion der Funktion (J • • Allgemeine Anfangsbedingungen . . . Die verallgemeinerte Wellengleichung . Die Wellengleichung für beliebig viele unabhängige Veränderliche Die energetische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . Der Eindeutigkeitssatz und der Satz über die stetige Abhängigkeit der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Fall der Wellengleichung Der Satz über die Einbettung in den Raum stetiger Funktionen und einige seiner Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerte Lösungen von Gleichungen zweiter Ordnung Über die Existenz und Eindeutigkeit verallgemeinerter Lösungen des Cauchyschen Problems für die Wellengleichung Elliptische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . .

90 92 93 94 97 100 103 104 108 112 113 117 119 122 125 127 131 133 134 137

Systeme partieller Different.ialgleichungen

160

Charakteristiken bei Systemen partieller Differentialgleichungen Die kinematischen Kompatibilitätsbedingungen Die dynamischen Kompatibilitätsbedingungen Die Differentialgleichungen der Hydrodynamik Die Gleichungen der Elastizitätstheorie Anisotrope elastische Körper. .. . . . . . . Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . Starke Unstetigkeiten in der Elastizitätstheorie Charakteristiken und große Frequenzen . . Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher Beispiele . . . . . . . . . . . . . . .

160 164 166 167 170 1 72 173 178 181 183 185

141 144 146 150 155 156

11. Randwertprobleme § 1.

74. 75. 76. 77. 78. 79.

Randwertprobleme bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung Die Greensche Funktion einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überführung in eine Integralgleichung Die Symmetrie der Greenschen Funktion . . . Eigenwer-te und Eigenfunktionen des Randwertproblems Über das Vorzeichen der Eigenwerte Beispiele...................

188 188 191 193 19 4 19 6 19 7

Inhalt

80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90.

91. 92. 93. § 2.

94. 95. 96. 97. 98. 99.

100. 101. 102. 103. 104. 105.

106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119.

120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127.

128. 129.

'9

Die verallgemeinerte Greensche Funktion Die Legendreschen Polynome . . . . . Die Hermiteschen und Laguerreschen Funktionen. Differentialgleichungen vierter Ordnung . . . . . Erweiterung des Entwicklungssatzes durch W. A. STEKLOW Rechtfertigung der Fouriermethode für die Wärmeleitungsgleichung Rechtfertigung der Fouriermethode für die Schwingungsgleichung Die Eindeutigkeitssätze . Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen Ein Satz von COURANT . Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenwerte Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenfunktionen Das Ri tzsche Verfahren Ein Beispiel von RITZ . . . . . . . . . . . . . .

199 204 207 208 210 213 215 218 219 223 224 228 230 231

Elliptische Differentialgleichungen

233

Das N ewtonsche Potential. . . . Das Potential einer Doppelschicht Eigenschaften des Potentials einer einfachen Schicht Die Normalableitung des Potentials einer einfachen Schicht Die Normalableitung des Potentials einer einfachen Schicht (Fortsetzung) Der direkte Wert der Normalableitung auf S . . . . . . . . . . . . Die Ableitung des Potentials einer einfachen Schicht nach einer beliebigen Richtung . . . . . . . . . Das logarithmische Potential Integralformeln und Parallelflächen . Folgen harmonischer Funktionen Formulierung der inneren Randwertprobleme für die Laplace-che Gleichung . Äußere Probleme im ebenen Fall . . . . . . . . . . . . Die Kelvintransformation . . . . . . . . . . . . . . Die Eindeutigkeit der Lösung des Neumannsehen Problems Lösung der Ranclwertprobleme im dreidimensionalen Fall Untersuchung der auftretenden Integralgleichungen. . . . . . . . . Übersicht über die Ergebnisse zur Lösbarkeit der betrachteten Randwertprobleme . Randwertprobleme in der Ebene . . . . . Die Integralgleichung der Kugelfunktionen Das Wärmegleichgewicht eines Wärme ausstrahlenden Körpers Das alternierende Verfahren von SCHWARZ . . . . . . Beweis des Hilfssatzes . Das alternierende Verfahren von SCHWARZ (Fortsetzung) Sub- und superharmonische Funktionen . . Einige Hilfssätze . . . . . . . . . . . . Die Methode der Unter- und Oberfunktionen Untersuchung der Randwerte . . . . . . Die Laplacesche Differentialgleichung im n-dimensionalen Raum Die Greensche Funktion des Laplaceschen Operators Die Eigenschaften der Greenschen Funktion Die Greensche Funktion für ebene Bereiche Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . Die Greensehe Funktion und die inhomogene Differentialgleichung Eigenwerte und Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . Die Normalableitung der Eigenfunktionen . . . . . . . . . . Die Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen

233 236 243 244 247 248 251 255 257 261 264 266 269 272 275 277

281 282 284 285 286 289 290

293 296 297 300 304 305

307 310

314 315 318 322 323

10

Inhalt

130. 131. 132. 133. 134. 135. 136.

325 327 328 330 335 337

148. 149. 150.

Die Helmholtzache Gleichung und das Ausstrahlungsprinzip Der Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . Die Prinzipien der Grenzamplitude und der Grenzabsorption Randwertprobleme für die Heimholtzsehe Differentialgleichung Die Beugung einer elektromagnetischen Welle . . . . . . . Der Vektor der magnetischen Feldstärke. . . . . . . . . . Der Eindeutigkeitssatz über die Lösung des Dirichletschen Problems für elliptische Differentialgleichungen . . . . . . Die Differentialgleichung L1v - AV = 0 . . . . . Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenwerte Der Beweis des Satzes aus [138] . . . . . . . Lineare Differentialgleichungen allgemeinerer Gestalt Der Greensehe Tensor. . . . . . . . . . . . . Das ebene statische Problem der Elastizitätstheorie Über die Ergebnisse von SCHAUDER. . . . . . . Die verallgemeinerten Lösungen der Klasse W~(D) Die erste grundlegende (energetische) Ungleichung Der Raum W~.o(D) und die zweite grundlegende Ungleichung Einige Ausführungen über Hilber-teehe Räume und über Operatoren in Hil bertschen Räumen . 9ber die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems im Raum W~(D) "lIbeI' die Fredholmsche Lösbarkeit des Dirichletschen Problems Über das Spektrum symmetrischer Operatoren . . . .

§ 3.

Parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen

395

151.

Die Abhängigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung von der Anfangs- und Randbedingungsowie von der Störfunktion Die Potentiale der Wärmeleitungsgleichung im eindimensionalen Fall Wärmequellen im mehrdimensionalen Fall Die Greensehe Funktion der Wärmeleitungsgleichung Anwendung der Laplacetransforrnation . . . . . . Anwendung des Differenzenverfahrens . . . . . . Die Fouriermethode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung Die inhomogene Differentialgleichung . . . . . . . . . . Die Eigenschaften der Lösungen der Wärmeleitungsgleichung Die verallgemeinerten Potentiale einer einfachen Schicht und einer Doppelschicht im eindimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . . . Sub- und superparabolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . Parabolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Fouriermethode für parabolische Differentialgleichungen Die zweite grundlegende Ungleichung und die Lösbarkeit des ersten Anfangs-Randwertproblems . Hyperbolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung für das erste Anfangs-Randwertproblem . Die Fouriermethode für Gleichungen vom hyperbolischen Typus Ein Randwertproblem für die Kugel ..... Die Schwingungen des Innengebietes einer Kugel Untersuchung der Lösung . . . . . . . . . . Das Randwertproblem der Telegraphengleichung

137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. 145. 146. 147.

152. 153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170.

338 341 345 350 357 358 360 362 365 369 371 378 381 385 390

395 397

400 401 402 406

409 411 414 416 421 422 426 430 433

436 440 444 447 449

Uteraturhinweise. . . . .

452

Namen- und Sachverzeichnis

467

Literaturhinweise

Zusammenfassende Berichte und Bücher, die mehrere Teilgebiete enthalten. Die zum Gebiet der partiellen Differentialgleichungen recht große Zahl von Kongreßberichten kann dabei keine Berücksichtigung finden: ACHlESER, N. 1.; GLASMANN, 1. M.: Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum, 8. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt - Thun 1981 (Übersetzung aus dem Russischen). ADAMS, R. A.: Sobolev spaces, Academic Press, New York 1975. ANDRONOV, A. A.; WITT, A. A.; CHAIKIN, S. E.: Theorie der Schwingungen, AkademieVerlag, Berlin 1969 (Übersetzung aus dem Russischen). ANDRONOV, A. A.; WITT, A. A.; CHAIKIN, S. E.: Theory of oseillations, 2nd printing, Princeton University Press, Princeton 1953 (Übersetzung aus dem Russischen). ANGER, G.: Funktionalanalytische Betrachtungen bei Differentialgleichungen unter Verwendung von Methoden der Potentialtheorie I, Akademie-Verlag, Berlin 1967. ARFKEN, G.: Mathematical methods for physicists, 2nd ed., Academic Press, New York 1970. ARNOLD, V. I.: Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg - New York 1978 (Übersetzung aus dem Russischen). ARNOL'D, V. I.: Mathematische Methoden der klassischen Mechanik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin/Birkhäuser, Basel - Boston - N ew Y ork - Tokyo 1988 (Übersetzung aus dem Russischen). ARNOLD, V. I.: Singularity theory, Cambridge University Press, Cambridge 1981 (Übersetzung aus dem Russischen). BAUMGÄRTEL, H.; WOLLENBERG, M.: Mathematical scattering theory, Akademie-Verlag, Berlin/Birkhäuser, Basel - Boston 1984. BELLMAN, R.; COOKE, K. L.: Differential-difference equations, Academic Press, New York 1963. BELLMAN, R.; KALABA, R.: Dynamic programming and modern control theory, Academic Press, New York 1966. BELLMAN, R.: Introduction to the mathematical theory of control processes, Vol. 1, 2, Academic-Press, New York 1967 bzw. 1971. BELLMAN, R.: Methods of nonlinear analysis, Vol. 1, 2, Academic Press, New York 1970 bzw. 1973. BERG, L. : Differenzengleichungen zweiter Ordnung mit Anwendungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979. BHARUCHA-REID, A. T. (ed.): Probabilistic analysis and related topics, Vol. 1, 2, 3, Academic Press, New York 1978, 1979 bzw. 1983. BHARUCHA-REID, A. T. (ed.): Probabilistic methods in applied mathematics, Vol. 1,2,3, Academic Press, New York 1968, 1970 bzw. 1973. BICADZE, A. V.: Equations of mathematical physics, Mir Publ., Moscow 1980 (Übersetzung aus dem Russischen). BIEBERBACH,L. : Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen im reellen Gebiet, Springer-Verlag, Berlin - Göttingen - Heidelberg 1956. BIEBERBACH, L.: Theorie der Differentialgleichungen. Vorlesungen aus dem Gesamt-

Literaturhinweise

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Verlag, Braunschweig 1976, 1979 bzw. 1981 (Übersetzung aus dem Französischen). DODD, R. K.; EILBECX, J. C.; GIBBON, J. D.; MORRIS, H. C.: Solitons and nonlinear wave equations, Academic Press, New York 1982. DOETSCH, G.: Handbuch der Laplace-Transformation, Bd. 1, 1. Aufl.; Bd. 2,3,2. Aufl., Birkhäuser, Basel 1971 bzw. 1973. DOETSCH, G.: Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Ein Lehrbuch für Studierende der Mathematik, .Physik und Ingenieurwissenschaft, 3. Aufl., Birkhäuser, Basel 1976. DUFF, G. F. D.,; NAYLOR, D.: Differential equations of applied mathematics, Wiley, N ew York - London - Sydney 1966. DUNFORD, N.; SCHWARTZ, J. T.: Linear operators, I, II; Interscience Publ., New York 1958 bzw. 1963. DUSCHEX, A.: Vorlesungen über höhere Mathematik, Bd. 3, 2. Aufl.; Bd. 4, SpringerVerlag, Wien - New York 1960 bzw, 1961. ECKHAUS, W.; VAN HARTEN, A.: The inverse scattering transformations and the theory of solitons, North-Holland, Amsterdam 1981; 1st repr. 1983. EKELAND,

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TEMAM,

R.: Convex analysis and variational problems, North-Holland,

Amsterdam 1976. FENYÖ,1. S.; FREY, T.: Modern mathematical methods in technology, North-Holland, Amsterdam 1969/Interscience Publ., London 1970. FENYÖ, I. S.; FREY, T.: Moderne mathematische Methoden in der Technik, Bd. 1, 2, 3, Birkhäuser, Basel 1980.

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Namen- und Sachverzeichnis

Adjungierter Operator 108, 119 adjungiertes Problem 155 allgemeines Integral 42 alternierendes Verfahren von SCHWARZ 286, 290 Anfangsbedingungen, spezielle Cauchysehe 83 Anfangswertpro blem, charakteristisches 113 -, sachgemäßes 33 anisot.rope elastische Körper 172 Ausstrahlungsbedingung, Sommerfeldsche 325 Ausstrahlungsprinzip 325 BERNSTEIN, S. N. 158, 378 Beugung elektromagnetischer Wellen 335 Bicharakteristiken 98 CACCIOPPOLI, R. 363, 378 CARLEMAN, T. 349, 389 Cauchysche Anfangsbedingungen, spezielle 83 - Methode 31, 55 -s Problem 14, 33 Charakteristik einer Differentialgleichung 12, 90, 95 -, komplexe 89 -, reelle 89 charakteristische Ebene 161 - Fläche 95, 161, 163 - Kurve 12, 30, 90 - Mannigfaltigkeit 22 -r Streifen 30, 85 -s Anfangswertproblem 113 -s Differentialgleichungssystem 29 - 8 Konoid 99 CHRISTIANOWITSCH, S. A. 137 COURANT, R. 122, 146, 350 COURANTS Maximum-Minimum-Prinzip 224 Deformationstensor 172 Differentialgleichung; Charakteristik 12, 90,95

Differentialgleichung, elliptische 156 -, Helmholtzsche 325, 330 - mit konstanten Koeffizienten 78 -, Laplacesche 77, 156 -, Monge-Amperesche 94 -, nichtlineare, erster Ordnung 27, 39 - erster Ordnung 11 - höherer Ordnung 76 -, quasilineare 11, 18 -, Riccatische 88 - der schwingenden Saite 222 -, totale 52 - vom elliptischen Typus 76 - vom hyperbolischen Typus 76 - vom parabolischen Typus 77 - vom ultrahyperbolischen Typus 77 -en der Elastizit.ätetheorie 170, 178 -en der Hydrodynamik 167 -en; Klassifikation 76 Differentialgleichungssystem, charakteristisches 29 -, elliptisches 163 -, hyperbolisches 184 -, J aco bisches 58 -, kanonisches 50, 64 -, parabolisch ausgeartetes 164 -, quasilineares 164 -, vollständig integrierbares 51 -, -es 57 -e, äquivalente 58 Dirichletsches Problem für das Außengebiet 267, 271 - - für das Innengebiet 264 - -; verallgemeinerte Lösung 299 DOBROTIN, D. A. 451 DOETSCH, G. 406 Drittes Randwertproblem für die Laplacesche Gleichung 265 dynamische Kompati bilitätsbedingung 106, 167 Ebene, charakteristisohe 161 EIDELMAN, S. D. 423 EIDUS, D. M. 330, 358

Namen- und Sachverzeichnis Eigenfunktionen 188 - eines Operators 386 - - - unter den ersten Randbedingungen 364 Eigenwert 188 - des Dir'ichletschen Problems für das Innengebiet 331 - eines Operators 386 Einbettungssatz von SOBOLEW 146 Elastizitätstheorie ; Differentialgleichungen 170, 178, 359, 360 elektromagnetische Wellen 173 elliptische Differentialgleichung 76, 156 energetische Ungleichung 141, 370, 425 Entwicklung nach den Eigenfunktionen 195 Entwicklungssatz ; Erweiterung von STEKLOW 210 erste energetische Ungleichung 370 Fläche 18 -, charakteristische 95, 161, 163 -, glatte 12 -, Liapounoffsche 234 -; Parameterdarstellung 31 -, raumartig orientierte 133, 138 -n, parallele 259 FOCK, V. 362 Folgen harmonischer Funktionen 261 Fouriermethode für die Schwingungsgleichung 215 - für die Wärmeleitungsgleichung 213, 409 Fredholmsche Lösbarkeit des Dirichletsehen Problems 389 - Sätze 366 FREuDENTHAL, H. 338 FRIEDRICHS, K. O. 141, 368 Funktion, Greensche 189 -, harmonische 261, 304 -, im unendlich fernen Punkt reguläre 266 -, im UnendJichen reguläre 271 -, Riemannsche 111 -, subharmonische 294 -, subparabolische 421 -, superharmonische 294 -, superparabolische 421 -en in Involution 55 GEVREY, M. 401 glatte Fläche 12 GOGOLADSE, W. G. 133 GOLUSIN, G. M. 293, 314 GOURSAT, E. 74

467

Greensehe Formel 118 - Funktion 189 - - des Kreises 314 - - des Laplace-Operators 306, 312 - - des Rechtecks 314 - -, verallgemeinerte 199 -r Tensor 358 Grenzabsorption 329 Grenzamplitude 329 GÜNTER, N. M. 152, 280, 282, 317 HAAR, A. 37 HADAMARD, J. 122, 154 Hadamardsche Methode 122 HARDY, G. H. 357 harmonische Funktionen 261, 304 Harnacksche Ungleichung 263 Helmholtzache Differentialgleichung 325, 330 Hermitesche Funktionen 207 HILBERT, D. 122, 146, 350, 368 Hilbertraum, komplexer 378 -, reeller 379 Hölderbedingung 249 HOLl\IGREN, E. 154 Hookesches Gesetz 178 Hydrodynamik; Differentialgleichungen 167 hyperbolische Differentialgleichung 77 -s Differentialgleichungssystem 184 Huygenssche Konstruktion 101 IGNATOWSKY, W. S. 329 Integral, allgemeines 42 -, singuläres 42 -, vollständiges 42, 48 Integralfläche 12 Integralkonoid 39 irregulärer Randpunkt 301 Jacobische Identität 62 - Klammer 54 - Methode 63 -1' Satz 51 -s Differentialgleichungssystem 58 KAMKE, E. 21,41 kanonisches Differentialgleichungssystem 50,64 KANTOROWITSCH, L. W. 291 KELDYSCH, M. W. 274, 300, 303, 304 Kelvintransformation 270 kinematische Kompatibilitätsbedingung 105, 166 Kirchhoffsche Formel ; Verallgemeinerung 123

468

Namen- und Sachverzeichnis

Klammer, J acobische 54 -, Mayersche 54 -, Poissonsche 54, 62 klassische Lösung 151 Kompati bilitätsbedingung, dynamische 106, 167 -, kinematische 105, 166 komplexe Charakteristik 89 Konoid, charakteristisches 99 Konormale 119 Konvergenz im Hilberbraum 379 Koordinatensystem, lokales 234 Kurve 18 -, charakteristische 12, 30, 90 KUPRADsE, W. D. 332, 338 KRYLOFF, N. 231 KRYLow, W. 1.360 LADYSHENSKAJA, O. A. 152, 154,329,330, 365, 369, 378, 394, 409, 423, 440 LAGRANGE, J.L. 119, 151 Lagrange-Charpitsche Methode 53 Laguerresehe Funktionen 208 Laplacesche Differentialgleichung 77, 156 LAVRENTIEFF, M. A. 274 LEBESGUE, H. 303 Legendresche Polynome 204 LERAY, J. 152 LEVI, E. E. 401 LEVI-CIVITA, T. 161 LEWY, H. 92, 141 LIAPOUNOFF, A. M. 234, 248, 255, 282, 310 Liapounoffsche Fläche 234 LICHTENSTEIN, L. 255 Lipschitzbedingung 249 LITTLEWOOD, J. E. 357 logarithmisches Potential 255 lokales Koordinatensystem 234 Lorentzoperator 105 Lösung, klassische 151 -, verallgemeinerte, einer Differentialgleichung 413 -, -, der Klasse L 2 151, 153 Lösungsverfahren siehe Methode LOVE, A. E. H. 359 Majorante einer Reihe 67 Majorantenmethode 66 Mannigfaltigkeit, charakteristische 22 -, n-dimensionale 18 Mayersche Klammer 54 Methode von CAUCHY 31, 55 - von HADAMARD 122 - von J ACOBI 63

Methode von LAGRANGE-CHARPIT 53 - - - ; Verallgemeinerung 55 - von KORN 365 - von RIEMANN 108 - von SCHWARZ 286, 290 - der Unter- und Oberfunktionen 297 - von VOLTERRA 119 MICHLIN, S. G. 231, 369 Monge-Amperesche Differentialgleichung 94 Mongescher Kegel 27 MÜNTZ, G. M. 401 MUSCHELISCHWILI, N. I. 360~ 361 MYSCHKIS, A. D. 37 Näherungsweise Berechnung der Eigenwerte und Eigenfunktionen ; Beispiel von RITZ 231 Neumannsches Problem für das Außengebiet 272 - - für das Innengebiet 264 Norm eines Operators 380, 381 Normalableitung, reguläre 248 Oberfunktion 297 Operator, adjungierter 108, 119, 386 -, linearer beschränkter 380, 381 -, selbstadjungierter 113 -, symmetrischer 119 orthonormierte Basis 379 Parabolisch ausgeartetes Differentialgleichungssystem 164 -e Differentialgleichung 77 Parallelflächen 259 PERRON, O. 23, 185, 293 PETRASCHEN, G. 1.447 PETROWSKI, I. G. 161, 185, 293, 303, 422 POINCARE, H. 293 Poissonsche Klammer 54, 62 Pol einer Greenschen Funktion 306 POWSNER,A.J. 329,330 Quadratische Form 76 quasilineare Differentialgleichung 11, 18 -s Differentialgleichungssystem 164 Randpunkt, irregulärer 301 -, regulärer 301 Raum L 2(D) 144

- W~ o(D) 371 raum~rtig orientierte Fläche 133, 138

räumliche Veränderliche 77 reguläre 'Normalableitung 248

Namen- und Sachverzeichnis regulärer Randpunkt 301 Relativgeschwindigkeit einer Welle 168 RELLICH, F. 329 Riccatische Differentialgleichung 88 Richtungsfeld 11 Riemannsche Funktion 111 - Integrationsmethode 108 RITZ, W. 231 Ritzsches Verfahren 230 ROTHE, R. 408 Sachgemäßes Anfangswertprobl em 33 Satz von COURANT 223 - von JACOBI 51 - von S. KOWALEWSKAJA 74, 75 - von LIAPOUNOFF 255 Sätze von FREDHoLM 366 SCHAUDER, J. 141, 154, 255, 362, 363, 364 Schaudersehe Ungleichung 364 SCHERMAN, D. I. 361, 362 schwache Unstetigkeit 103, 105 Schwarzsches alternierendes Verfahren 286, 290 Schwingungen des Innengebiets einer Kugel 444 - einer Membran 198 - eines Stabes 208 Schwingungsgleichung 215 selbstadjungierter Operator 113 separabler Hilbertraum 379 singuläres Integral 42 SMIRNOW, W. 1. 444 SMOLIZKI, CH. L. 282 SOBOLEW, S. L. 126, 133, 135, 146, 152, 160 So bolewsche Formel 122, 125 SOLONNIKOW, W. A. 423 Spektrum eines Operators unter den ersten Rand bedingungen 364 - symmetrischer Operatoren 390 starke Unstetigkeit 105 STEKLOW, W. A. 210, 212 STERNBERG, W. 328 Streifen 84 -, charakteristischer 30, 85 - erster Ordnung 84 subharrnonische Funktion 294 subparabolische Funktion 421 s uperhar-morriache Funktion 294 superparabolische Funktion 421

469

SWESCHNIKOW, A. G. 329 symmetrischer Operator 119 SZEGÖ, G. 122 Telegraphengleichung 449 T-Kegel27 totale Differentialgleichung 52 Transformation mittels reziproker Radien 270 TYCHONOFF, A. N. 401, 402 Typus der Differentialgleichung für eine gegebene Lösung 78 Ultrahyperbolische Differentialgleichungen 77 Unstetigkeit, schwache 103, 105 -, starke 105 Unterfunktion 297 URALZEWA, N. N. 365, 369, 378, 423 URYSOHN, P. 303 VEKUA, 1. N. 82 verallgemeinerte Greensehe Funktion 199 - Lösung einer. Differentialgleichung 413 - - der Klasse L 2 151, 153 - - der Klasse W~(D) 366, 367 vollständig integrierbares Differentialgleichungssytem 51 -er Hilbertraum 379 -es Differentialgleichungssystem 57 -es Integral 42, 48 VOLTERRA, V. 122, 178 Volterrasche Methode 119 Vorintegral einer Differentialgleichung 93 WAINBERG, B. R. 330 Wärmeausbreitung in einem Stab 213 Wärmegleichgewicht 285 Wärmeleitungsgleichung 77, 395 WEBSTEB, A. G. 1'22 Wellengleichung 77, 104, 120, 144, 440 WEYL, H. 360 WIENER, N. 152 WISCHIK, M. 1. 369, 440 ZAREMBA, S. 275 zeitliche Veränderliche 77 zweite grundlegende Ungleichung elliptische Operatoren 373

für