Lehrbuch der Gruppentheorie

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MATHEMATIK UND IHRE ANWENDUNGEN IN'PHYSIK UND TECHNIK BEGRUNDET VON

E.HILB' HERAUSGEGE BEN VON '

H. BECKERT LEIPZIG

R. KOCHENDORFFER noswocx G. PICKERT GIESSEN BEIHE A

B-AND 32 LEHRBUCH DEB GRUPPENTHEORIE UNTEB BESONDEBER BERUCKSICHTIGUNG DER ENDLICHE'N GRUPPEN VON

R.K0CHENDORFFER

LEIPZIG 1966 AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT GEEST & PORTIG K.-G.

LEHRBUCH DER GRUPPENTHEORIE UNTER BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ENDLIC-HEN GRUPPEN VON

DR. BUDOLF KOCHENDORFFEB PROFESSOR AN DER UNIVERSITKT BOSTOCK

MIT EINER ABBILDUNG

. LEIPZIG 1966

AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT GEEST & PORTIG K.-G.

Alle Rechte, insbesondere die der Ubersetzung und den Nachdruckel, vorbehalten Copyright 1966 by Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig Printed in the German Democraflc Republic

VLN 276-105/49/66 ' ES 19 B 2 Geaamtherstellung: Druckerei Fortschritt Erfurt, Work IV

_ > Vorwort In den letzten drei Jahrzehnten sind in der Theorie der endlichen Gruppen erhebliche, zum Teil sogar sensationelle Fortschritte erzielt worden. Die Fiille der Einzelergebnisse und die Mannigfaltigkeit der angewandten Methoden bringen es mit sich, daB eine Gesamtdarstellung des bis jetzt Erreichten in der fiir ein Lehrbuch erwiinschten Ausfiihrlichkeit bei einem vernfinftigen Umfang unmfiglich erscheint. Als vor mehreren Jahren auf Vorschlag des Verlages der Plan ffir dieses Buch entstand und wélhrend der Arbeit daran, war denn auch eine der schwierigsten Fragen, welche Teile der Theorie der endlichen Gruppen fortgelassen werden konnten oder muBten. Ich habe mich dabei von folgender Uberlegung leiten lassen: Wenn alle Methoden hfitten besprochen werden sollen, so hitte die Darstellung der

erzielten Ergebnisse oft dort abgebrochen werden miissen, wo sie beginnt, interessant zu werden. Daher habe ich darauf verzichtet, in dieses Buch die auf der Theorie der Lie-Binge und der modularen Darstellungen beruhenden Methoden mit ihrem umfangreichen technischen Apparat aufzunehmen. Aber auch die mit den klassischen

Methoden erzielten Ergebnisse konnten nicht vollstéindig und nicht in der bisher erreichten Allgemeinheit gebracht werden. Ich hoffe jedoch, daB der Leser die wichtigsten Resultate finden wlird, die in den Originalarbeiten heute gemeinhin als bekannt vorausgesetzt werden. Es gibt bekanntlich eine Reihe gnter Lehrbiicher der allgemeinen Gruppentheorie, es sei nur an das ausgezeichnete Werk von A. G. Kunoscn erinnert. Trotzdem erschien es mir wiinschenswert,

auch das vorliegende Buch so zu gestalten, daB Teile daraus gleichzeitig als Einfiihrung in die allgemeine Gruppentheorie fiir ji‘mgere Studenten dienen kfinnen. Daher habe ich mich nicht von vornherein auf endliche Gruppen beschréinkt, was auch sachlich kaum zu vertreten gewesen wire, und babe in den auch ffir Anféinger gedachten

Abschnitten eine breite Darstellung gewé'lhlt. Vielleicht k6nnen einige Paragraphen sogar als Material ffir Schiilerarbeitsgemeinschaften dienen.

Einem Anffinger, der zuniicht nur in die Theorie der Gruppen .eingefiihrl; werden machte, wiirde ich folgende Abschnitte zum Studium empfehleni): ' 1. Kapitel vollstfindig, 2. Kapitel vollstéindig,

(3-1), (3-2), (3-4),

(4.1) bis (4.3), (4.4.1), (4.5), 5. Kapitel vollstfindig,

(6-1),

(7.1), (7.2), (7.4), (7.7). Im Text ist auf einige Aufgaben hingewiesen, die am SchluB des Buches zusammengestellt sind. Zahlreiche Aufgaben findet der Leser in den Lehrbiichern [29, 54, 143]2).

Der Akademischen Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. danke ich fiir ihr Entgegenkommen und die gute Zusammenarbeit bei der Entstehung des Buches. Meiner Frau danke ich fiirjhre unermiidliche

Hilfe bei der Herstellung des Manuskripts und Herrn Dr. L. PROHASKA fiir seine Unterstiitzung bei den Korrekturen.

.

Bostock, in September 1964 B. KOCHENDOBFFEH

1) (x.y) bedeutet: Kapitel 1:, Paragraph y; (Ly.z) bedeutet: Kapitel x, Paragraph y, Satz z. 2) Durch eckige Klammern wird auf das Literaturverzeichnis am SchluB des Buches verwiesen.

Inhalt 1. Kapitel. Gruppen und Untergruppen .................................

11

Definitionen und Beispiele .......................................

11

Untergruppen . . . . . ............................................

22

1. 1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Nebenklassen ................................................. . 25 Untergruppen der zyklischen Gruppen ............................ 28 Untergruppen mit endlichem Index ........ _ .......................

30

Doppelmodulzerlegungen ...................... . ..................

32

Homémorphismen ........................................... Homomorphe und isomorphe Abbildungen . . . . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . Innere Automorphismen und konjugierte Elemente ................ Der Homomorphiesatz .........................................

34 34 37 42

Die Isomorphi'esfitze ..................................... '...... Faktorgruppen freier Gruppen ............................I ....... Operatoren ...................................................

45 49 54

Unterg'ruppenreihen ............................................ Aufliisbare Gruppen ............................................

57 62

3. K a pit el. Sylowgruppen endlicher Gruppen ...........................

65

2. Kapitel. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

3. 1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. Kapitel.

4. 1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Permutationsdarstellungen endlicher Gruppen .....................

65

Der Satz von SYLOW ...........................................

66

Weitere Sfitze fiber Sylowgruppen ................................ Einfachste Eigenschaften der p-Gruppen ............ I..............

69 72

Direkte Produkte .. ..............

............... 75

Definition und grundlegende Eigenschaften ........................ Voflstfindig reduzible Gruppen . ......... . . ....................... Normale Endomorphismen und direkte Zerlegungen ................ Der Satz von REMAK-SCEMIDT ................................... Direkte Produkte unendlich vieler Faktoren .......................

75 78 82 87 92

95 5. Kafiitel. Abelsche Gruppen.............. ....... 5. 1. Periodische, torsionsfreie und gemischte abelsche Gruppen ......... . . 95 5.2. Freie abelsche Gruppen ......................................... 98 5.3. Abelsche Gruppen mit endlich vielen Erzeugenden .................. 103 5.4. EndlichezyklischeGruppen............................, ........ 108

Inhalt

8

6. Kapitel. Gruppenerweiterungen .. ..................... . . . . . . .,....... 111 -

6.1.

DerSatzvonScnREmn........................; ...........

6.2.

Zerfallende Erweiterungen .................... ' ............... . . 116

111

6.3.

Erweiterungen abelscher Gruppen ............................ . . '120

6.4.

Erweiterungen mit zyklischer Faktorgruppe ............. . ..... . . 124

6.5.

Zerspaltende Erweiterungen ......................... . ......... 126

7. Kapitel. Permutationsgruppen ...................................I. . . . 128 I

7. 1.

Grundbegriffe ................................................ 128

7.2. Darstellungen von Gruppen durch Permutationen ................ 7.3. Amalgame ........... . .......... . . . . . . . . . . .................. 7.4. Die symmetrischen und alternierenden Gruppen endlichen Grades . . 7.5. Das Kranzprodukt und die Sylowg'ruppen der symmetrischen Gruppeh 7.6. Eine Methode von I. Scrum ................................... 7.7. EndlicheDrehgruppen .......

135 138 142 147 154 161

8. Kapitel. Monomiale Gruppen und die Verlagerung .. .. .._ ............ 169 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Monomiale Darstellungen von Gruppen ......................... Die Verlagérung ............................................ . . AnwendungenderVerlagerung................................. Verlagerung in eine Sylowgruppe ................. . . . . . . ........

169 173 _177 184

9. Kapitel. Nilpotente und fiberauflfisbare Gruppen ................... 9.1. Héhere Kommutatoren '. ...................................... 9.2. Zentralreihen ................................................ 9.3. Die Frattinigruppe einer endlichen Gruppe ...................... 9.4. Uberauflfisbare Gruppen ...................................... 9.5. Maximale Untergruppen ......................................

189 189 194 201 205 207

10. Kapitel. Endliche p-Gruppen ......................................... 213

10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

Elementare Eigenschaften ..................................... Spezielle p-Gruppen .......................................... Eine Formel von P. HALL ..................................... Regulate p-Gruppen ...................... -...................

213 216 224 232

11. Kapitel. Endliche auflfisbare Grfippen .......... ..................... 238 11.1. 11.2.

Hallgruppen auflfisbarer Gruppen .............................. 238 Sylowsysteme ................................................ 243

11.3.

Sylowsystem-Normalisatoren .................................. 246

11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8.

Sylowsystem-Normalisatoren und Faktorgruppen ................. Ein Satz von 0. SCHMIDT ..................................... Ein Satz von FROBENIUS . . . . . . . . . l ............................ Gruppen mit lauter zyklischen Sylowgruppen .................... Ein Satz von WIELANDT .......................................

11.9.

n-auflésbare Gruppen ........................................ 262

249 253 255 258 261

11.10. Das Bunnsmnsche Problem ................................... 274

Inhalt

'

9‘

12. KapitelfAutomorphismen................................; ........... 277 12.1. Automorphismengruppe und Holomorph . ......................... 277 12.2. Die Ordnungen einiger Automorphismengruppen .................. 284

13. Kapitel. Untergruppenverbfinde . .. ................................... 287 13.1. Allgemeines iiber Untergruppenverbiinde ........................ 287 13.2. Subnormale Untergruppen ..................................... 293 14. Kapitel. Darstellungen .................................... ' ........... 300 14.1. Beduzible und irreduzible Darstellungen ......................... 300

14.2. Algebren ................................................... 311 14.3. Die regulate Darstellung ....................................... 325 14.4. Charaktere ................................................... 332 14.5. Weiteres fiber Darstellungen und Charaktere ...................... 342 14.6. Anwendungen der Darstellungstheorie ........................... 352

14.7. Die speziellen projektiven Gruppen ............................. 358 Aufgaben .................................................................. 363

Literatur. . . ._ ......................................................._ ........ 367 Namen— und Sachregister .................................................... 373

1. KA P I T E L

Gruppen und Untergruppen 1.1. Definitionen und Beispiele

Es sei S eine nicht leere Menge. Unter einer bim'iren Verkn-fipfung oder Rechenoperation in S versteht man eine Funktion f, die manchen geordneten Paaren w,y von Elementen aus S ein eindentig bestimmtes Element f(a:,y)

aus S zuordnet. DaB hierbei ein geordnetes Paar zu nehmen ist, muB betont werden, da f(a:,y)=|= f(y,a;) ausfallen kann, selbst wenn f(x,y) und fly, 9;)

beide definiert sind. Eine nicht leere Menge S samt einer darin definierten binfiren Verkm‘ipfung bezeichnet man als eine algebraische Struktur mit einer bindren Verknfipfung. Je nachdem welche zuséitzlichen Forderungen gestellt werden, haben solche Strukturen verschiedene Namen.

Im folgenden werden Wir nur solche algebraischen Strukturen S mit einer binfiren Verkniipfungf betrachten, in denen f(x,y) fiir jedes Paar x,y E S‘ definiert ist. Wir nennen dann f stets ausffihrbar. Statt f(w,y) werden wir einfacherxy schreiben und dieses Element das Produkt aus a; und y nennen.

Dementsprechend heiBen w und y die Faktoren, genauer a: der Links- und y der Rechtsfaktor. Gelegentlich werden wir statt der multiplikativen Schreibweise my auch die additive Bezeichnungsweise a: + y verwenden and von der Summe sprechen. Eine algebraische StrukturH mit einer stets ausffihrbaren biniiren Verkniipfung heiBt eine Halbgruppe, wenn das assoziative Gesetz gilt, niimlich (zy)z— a:(yz) fiir je drei Elemente m, y, z 6 H.‘

Infolge des assoziativen Gasetzes ist das Produkt von drei Elementen x, y, z bei gegebener Reihenfolge eindeutig bestimmt ; man kann daher die Klammern fiberhaupt fortlassen und wyz schreiben. Es sei nun n cine natfirliche Zahl ; 3, und $1, $2, . . . , ax" seien n Elemente der Halbgruppe H. Dann kann man in mannigfacher Weise durch mehr-

malige Multiplikation je zweier Elemente Produkte hilden, die genau die , Faktoren $1,$2, . . .,a;,. in dieser Reihenfolge enthalten; Wir werden zeigen,

daB alle diese Produkte einander gleich sind. Demnach ist ein Produkt durch

12

1. Kapitel. Gruppen und Untergruppen

seine Faktoren und ihre Reihenfolge bereits eindeutig bestimmt, ohne daB durch Klammern angegeben zu werden brancht, wie die Berechnung durch mehrmalige Multiplikation je zweier Elemente durchgefiihrt werden soll. Folglich kann man die Klammern fiberhaupt fortlassen und einfach amp; . . . 22,. schreiben.

Der Beweis erfolgt durch Induktion nach n. Fiir n = 3 ist unsere Behauptung mit dem assoziativen Gesetz identisch. Wir nehmen an, daB die Behauptung fiir Produkte ans weniger als n Faktoren bereits bewiesen ist. Dann sind also fiir jede natiirliche Zahl k mit 1 g k < n die Produkte an . . . wk = a1 und wk.“ . . . a2" = a2 eindeutig bestimmt. (Im Falle k = 1 hat man natiirlich an = a1 und im Falle k = n — 1 entsprechend wn = a2 zu setzen.) Eine

Mfiglichkeit, das Gesamtprodukt aus an, 922, . . .,a:n zu bilden, ist die Berech'nung von (1162 = (an . . . wk)(a;k+1 . . . at”). Fiir eine andere natiirliche Zahll

mit 1g l31 (0‘ E 3’)-

(3)

Ist z noch eine Permutation von .9 und fijhrt man die Permutationen :17, y, z

in dieser Reihenfolge hintereinander aus, so geht ein beliebiges Elementoc E .9 in ((ocx)y)z iiber. Nun ist nach (3)

((M)y)z= (M) (w) = «(me/3)) und andererseits

(z= (a A,_._B/'B 3 3/3.

Da A;B und A Normaltefler in G sind, gilt das gleiche ffir AiB n A = A;. _ In der Reihe G 3... DABDAlB 3... DA,_1B DB

bilden wir von AB an die Durchschnitte mit A und erhalten GDm DA 3A1 3... DA,_.1 DA n B= e.

Ersetzt_ man in dieser Reihe das Stiick zwisichen G und A durch 6361 Dn- DG,_1 DA,

so erhélt man eine Hauptreihe von G mit'der behaupteten Eigenschaft. 2.8. Aufliisbare Gruppen

Eine Gruppe heiBt auflb’sbari), Wénn sie eine Subnormalreihe besitzt, deren Faktoren sfimtlich abelsch sind. Im 11. Kapitel werden endliche auflfisbare Gruppen ausfiihrlich behandelt werden, hier sollen nur einige einfache Eigenschaften dieser wichtigen Gruppenklasse abgeleitet werden. Die Bedeutung der auflosbaren Gruppen lfiBt ein auBerordentlich tiefliegender Satz erkennen, der schon seit Jahrzehnten vermutet wurde, dessen

Beweis aber erst kfirzlich gelang. (2.8.1) Satz von FEIT nnd THOMPSON. Jade endliche Gruppe ungerader Ordnung ist auflb'sbar. Der Beweis wiirde den Rahmen dieses Buches bei weitem fiberschreiten

(vgl. [40]). Wir werden diesen Satz im folgenden aber auch kaum anwenden. Trivialerweise ist jede abelsche Gruppe aufltisbar. Verfeinert man eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren, so erhiilt

man wieder eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren. Daher ergibt sich aus (1.4.2).(2.8.2) Eine endliche Gruppe ist genau dann auflb‘sbar, wenn ihre Kompositionsindizes Primzahlen sind. Fiir beliebige Gruppen gilt: (2.8.3) Sind sowohl der Normalteiler A der Gruppe G als auch die Faktorgruppe G/A auflfisbar, so ist G auflb'sbar. 1) Die Bezeichnung rfihrt daher, daB genau die algebraischen Gleichungen mit auflés-

barer Galoisgruppe durch Radikale auflfisbar sind.

2.8. Aufwsbare Gruppen

I

63

Beweis. IIifolge der Aufliisbarkeit von G/A gibt es eine Subnormalreihe

G/A = 00/11 3 01/14 :>

3 G,_1/A 3 G,/A = A/A

mit abelschen Faktoren (Gi-ilA)/(Gi/A) E Gi—i/Gi'

Ferner besitzt A eine Subnormalreihe

K

'

A DA 3-- DA = e

mit abelschen Faktoren ALA/Alt. Daher ist

G = 00361 :)---DG,_1 :>A 3A1 3... 3A,: 8 eine Subnormalreihe von G, deren Faktoren sfimtlich abelsch sind. Wichtig 1st, daB die auflosbaren Gruppen auch auf eine andere Art charakterisiert werden kénnen. Die hiiheren Kommutatorgruppen einer beliebigen Gruppe werden folgender-

maBen definiert: G(°)= G, G“) = Kommutatorgruppe Von Gu")

(i = 1, 2, . . ..)

Man bezeichnet G“) auch als die i-te Ableitung von G. Da die Kommutatorgruppe eine vollinvariante Untergruppe ist und die Vollinvarianz transitiv ist, sind séimtliche Ableitungen vollinvariante Untergruppen. Als Kommutatorfolge bezeichnet man die Folge G= 6(0) 2 GM) 2 gm 2

(2.8.4) Dunn und nur dann ist G auflb’sbar, wenn die Kommutatorfolge nach endlich vielen Schriuen auf G0“) = e fu'hrt.

Beweis. Zuniichst sei G auflfisbar und G= G03 G13

D G;_1DG; = e

eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren. Wir werden zeigen, daB

G“) ; Gi

(i= 1,

l)

(1)

gilt, so daB spitestens G”) = e wird. Da G/G1 abelsch ist, muB G1 die Kom-

mutatorgruppe G“) von G enthalten. Daher ist (1) ffir i = 1 erfiillt. Es sei . schon 0“”; Gi_1 bewiesen. Da Gi_1/G.- abelsch ist, muB ffir die Kom-

mutatorgruppe GL1 von Gi_1 die Beziehung GL1; Gi bestehen. Aus GU“)

Q G;_1 folgt, indem maIi die Kommutatorgruppen bildet, G“) E GL1. Zusammen erhalten wir also G“) E GL1; Gi, so daB (1) bewiesen ist.

64

2. Kapitel. Homomorphisnwn

Fi'lhrt umgekehrt die Kommutatorfolge nach endlich vielen Schritten auf‘e, d. h. ' G 3 G“) 3 GM 3

3 CW = e,

so ist dies eine Subnormalreihe (sogar eine vollinvariante Reihe) mit abelschen Faktoren, d. h., Gist auflosbar (Aufgabe 29).

Auflosbare Gruppen werden auch metabelsche Gruppen genannt. Ist G‘k“) =|= e, aber G0“) = e, so nennt man G genauer k-stufig metabelsch.

(2.8.5) Ist G k-stufig metabelsch, so ist jade Faktorgruppe G/K und jede Untergruppe H van G ebenfalls metabelsch mit einer Stufenzahl, die It nicht fibersteigt.

Beweis. Die Kommutatorgruppe von G/K wird erzeugt von allen Nebenklassen a_1Kb‘1KaKbK = a‘ib‘iabK mit a, b E G. Daher ist (G/K)’= G’K/K und allgemein (G/K)“)= G("K/K.

Aus G0“) = e folgt also (G/K)(") = K/K. Ist weiter H; G, so gilt offenbar _ H(i) Q G“). Aus G(") = e folgt daher H(k) = e.

a. K A P 1 r E L

Sylowgruppen endlieher Gruppen 3.1. Permutationsdarstellungen endlieher Gruppen

Eine homomorphe Abbildung einer Gruppe G in eine Gruppe F bezeichnet man zuweilen als eine Darstellung von G durch I' oder eine Darstellung von G in F. Dem Wichtigen Fall, daB F eine Gruppe linearer Substitutionen ist, widmen Wir das 14. Kapitel. Ist P die symmetrische Gruppe des Grades m, so spricht man von einer Permutationsdarstellung des Gradesm von G. Im 7. Kapitel werden wir sfimtliche Permutationsdarstellungen der endlichen Gruppen bestimmen. Hier soll vorléiufig nur ein Satz fiber Permutationsdarstellungen bewiesen werden, den wir anschlieflend benutzen wollen. Liegt eine Permutationsdarstellung des Grades m der Gruppe G vor, so ist jedem Element :1: E G eine Permutation einer Menge .9 mit m Elementen zugeordnet. Ist 0c ein Element aus .9, so bezeichnen wir mit ax das Bild von (x bei der dem Element a: zugeordneten Permutation von .9. D33 es sich bei der Permutationsdarstellung um einen HomOmorphismus von G auf

eine Gruppe von Permutationen von .9 handelt, driickt sich durch die Gleichungen oc(:z:y)= (Away

(on E Q;

m, y E G)

aus, welche besagen, daB dem Produkt my diejenige Permutation von .9 entspricht, die man erhalt, indem man zuerst die dem Elemente: und danach

die dem Element y zugeordnete Permutation ausfiihrt.

U

Sind cc und ,3 zwei Elemente aus .9, so nennen wir a mit ,3 verbunden, in Zeichen oc~ fl, wenn es mindestens ein w E G gibt, fiir das ax = fl ist. Das

Verbundensein ist eine Aquivalenzrelation, d. h., es ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Dem Einselement 9 von G entspricht namlich, da es sich um einen Homomorphismus handelt, die identische Permutation von .9, also

one = on oder oc~ a fiir jedes a E Q. Ist oc~ [3, also out; = (I, so gilt fix‘1 = ac, also fl~zx. Aus oc~ ,6, fl~ y, also om: = [3, fly = y folgt schliefllich «($31) = (ax)y = .33; = y, also oc~y. Folgli'ch zerffillt .9 derart in paarweise ele-

mentefremde Teilmengen, daB zwei Elemente aus .Q genau dann mit'einander 5

Kochendfirfler,Grnppentheorle

66

3. Kapitel. Stgruppen endlicher Gruppen

verbunden sind, wenn sie der gleichen Teilmenge angehiiren. Diese Teilmengen

heiBen Transitivitdtsgebiete der Permutationsdarstellung. Wir bestimmen die Anzahl der Elemente in einem Transitivitfitsgebiet T.

Es sei 1' ein beliebiges Element aus T und G, die Menge derjenigen Elemente aus G, fiir welche die zugeordneten Permutationen 1 festlassen. Offenbar ist G, eine Untergljuppe von G. Man nennt G, die Fimgruppe von 1. Wir zerlegen G in Rechtsnebenklassen nach G,: G: 01+ Gfa+ Gfb+ "'-

Bei allen Permutationen, die den Gruppenelementen einer Nebenklasse G, c

zugeordnet sind, Wird 'r auf ein und dasselbe Element aus .9 abgebildet; denn fiir ein beliebiges u 6 G, Wird 1(uc) = (tu)c = 1:0. Besteht umgekehrt fiir zwei' Elemente any 6 G die Gleichung 17a: = 13/, so liegen a: und y in der gleichen Rechtsnebenklasse nach GT; denn es Wird dann 1(xy‘1) = 1:, also

my" 6 G, oder' a; E G,y. Daher enthfilt das Transitivitfitsgebiet T ebenso viele Elemente, wie es R'echtsnebenklassen von G nach G, gibt. (3.1.1) Die Gruppe G sei homomorph auf eine Gruppe von Permutationen der Menge .9 abgebildet. Die Anzahl der Elemente in einem Transitivitdtsgebiet T Ivan .9 ist dann gleich dem Index IG : G,| der Fixgruppe Gf eines beliebigen _

Elementes 1: 6 T.

Insbesondere ist also im Fall einer endlichen Gruppe G die Elementeanzahl in jedem Transitivitiitsgebiet ein Teiler der Gruppenordnung |G|. 3.2. Der Satz von SYLOW

Wit- betrachten in diesem Paragraphen nur endliche Gruppen.

Der Satz von LAGRANGE (1.3.2) lfifit sich nicht umkehren, d. h. in einer Gruppe G braucht nicht zu jedem Teilerd von IGI eine Untergruppe der Ordnungd zu existieren (Aufgabe 30). Von grfiBter Wichtigkeit fiir die Theorie der endlichen Gruppen ist nun folgender Satz, welcher besagt, daB der Satz von LAGRANGE umkehrbar ist, sofern man sich auf Untergruppen von Primzahlpotenzordnung beschrfinkt. (3.2.1) Ist p‘ cine in der Ordnungg der Gruppe G aufgehende Primzahlpotenz, so enthdlt G mindestens eine Untergruppe der Ordnung p‘. Beweis. Es sei g = p‘r. Man bilde alle aus je p‘ Elementen bestehenden Komplexe K1, . . . , Km aus G. Fiir deren Anzahl m gilt

_ g _p'r fache Gruppen oder direkte Produkte zueinander isomorpher einfacher Gruppen. Ist G fiberdies auflb’sbar, so sind alle Hauptfaktoren zyklische Gruppen van Primzahlordnung oder direkte Produkte zyklischer Gruppen der gleiclwn Primzahlordnung. Eine weitere wichtige Eigenschaft der vollstfindig reduziblen Gruppen enthalt folgender Satz: (4.2.3) In einer vollstiindig reduziblen Gruppe G ist jeder Normalteiler direkter Faktor; d. h., zu jedem Normalteiler H van G existiert sine direkte Zerlegung

G = H X B. Beweis.

G= 01 X- -X G" sei eine direkte Zerlegung 1n einfache Faktoren. Jedenfalls ist dann

.G= HG= HG1

G...

(1)

Wir werden zeigen, daB man auf der rechten Seite dieser Gleichung geeignete Faktoren Gi fortlassen kann und daB das Produkt der fibrigen Faktore'n direkt ist. Da G1 und H Normalteiler sind und 01 fiberdies einfach ist, muB G1 0 H

entweder G1 oder e sein. Im ersten Fall ist G1 in (1) fiberflfissig und kann fort-

gelassen werden. Im zweiten Fall ist HG1 = H X Gi. Analog verfahre man der Reihe nach mit jedem 0.: Von den Gruppen G1, . . ., Gi_1 seien l, . . ., Gkr

nicht als fiberfliissig fortgelass'en worden, so daB HG1

'

Gi_1= H X Gk1 X “‘ X G)".

Der Durchschnitt G; n H Gin- GL1 ist gleich G.- dder gleich e. Im ersten Fall

lasse man G‘ fort, im zweiten Fall hat man

HGi-u G,= HX Gk1 X

X Gk, X Gi-

4.2. Vollsu'indig reduzible Gruppen

.

>

,

81

SchlieBlich erhélt man G= HG1Gn= H x' Gk, x ---> aE') heiBen assoziiert, wenn es Elemente be 6 A gibt, mit denen die Beziehungen (12) und (13) bestehen. Der Ubergang zu einem aséoziierten Parametersystem und die Abz'inderung des Reprisentantensystems entsprechen sich gegenseitig. Daher zerfallen die Parametersysteme in Klassen einander assoziierter. st

116

6. Kapitel. Gruppenerweiterungen

Sind die as,» mit allen Elementen aus A vertauschbar, so folgt ans (4), daB '

die Abbildung

(14)

5—» (a—> a5) ein Homomorphismus von F in die Automorphismengruppe von A ist.

Wie friiher bezeichnen wir die Automorphismengruppe von A mit A(A) und die Gruppe der inneren Automorphismen mit .|(A). Ist a?» a0 ein 'beliebiger und a —> an, = b‘1ab ein innerer Automorphismus von A, so gilt

40—11,, a) = (b'1(aa—1) p) a= (ba)‘1a(ba) =a‘rbc. Daher ist .|(A) ein Normalteiler in A(A). Die Faktorgruppe A(A)/J (A) heiBt die Automorphismenklassengruppe von A. Wie (4) lehrt, ist in jedem Fall die Zuordnung (14) eine homomorphe Abbildung von I' in die Automorphismenklassengruppe von A. Diese homomorphe Abbildung ist infolge (13) unabhéingig von der Wahl des Reprfisentantensystems von G nach A. Ist umgekehrl: ein Homomorphismus von F in die.Automorphismenklassengruppe von A . gegeben und ist insbesondere A eine Gruppe ohne Zentrum, so existiert dazu

ein eindeutig bestimmter Erweiterungstypus von A mit I'. Wéihlt man nfimlich ‘ fiir jedes E E I' einen Automorphismus a —> (15 aus der entsprechenden Klasse, so unterscheiden sich a—> (ae)’1 und (1» a5" hfichstens um einen inneren Automorphismus, und mithin ist bei trivialem Zentrum von A das Element cm durch (4) eindeutig festgelegt. Indem man (015)”); unter Beachtung des assoziativen Gesetzes fiir die Automorphismen auf zwei Arteh berechnet, '-

bestfitigt man leicht, daB die so erhaltenen cm die Bedingungen (5) erfiillen. Ferner‘zeigt sich, daB eine andere Auswahl der A'utomorphismen in ihren ' Klassen auf assoziierte Faktorensysteme fiihrt. Eine Verallgemeinerung dieses _

Gedankens auf ,beliebige Gruppen A fiihrt nach R. BAER [2] zu einer Fest- \‘5 legung der Erweiterungstypen durch andere Bestimmungsstficke ads in der Theorie von 0. SCHREIER. 6.2. Zerfallende Erweiterungen

Wir behalten die Bezeichnungen des vorigen Paragraphen bei. . Sind alle 05," = 9, so bilden gemfiB (1) in (6.1) die re eine zu I' isomorphe Untergruppe R von G, ffir die

G=RA, RflA=e

'

(1)"

gilt. Man nennt R ein Komplement zu A in G. Jedes zu (e, a-> a5) assoziierte Parametersystem hat nach (12) und (13) in (6.1) die Gestalt ' (b5,1 12gb”, a—> a") .

6g2. Zerfallende Erweiterungen

.

-

117

Man nennt jedes Faktorensystem a”, das mit passenden Elementen be 6 A

in der Form

cg q = b- bg b

(2)

geschrieben werden kann, ein zerfallendes Faktorensystem. Zerfallende Faktorensysteme kommen also genau in denjenigen Parametersystemen'vor, die

zu (e, a—> a5) assoziiert sind. Gehort das zerfallende Faktorensystem (2) zu . 'de'm Repréisentantensystem r2, so bildet das Reprisentantensystem r5 = rébg‘ ein Komplement zu A in G, und es gilt (1). Man nennt G dann eine zerfallende Erweiterung von A mit F oder ein semidirektes oder normales Produkt von A

mit I'. Die zerfallende Erweiterung (1) ist eindeutig bestimmt durch die Automorphismen von A, die durch Transformation von A mit den Elementen aus R entstehen, und zwar handelt es sich dabei um eine homomorphe Abbildung von R in die Automorphismengruppe von A. Erzeugt fiberdies jedes Element nus R den identischen Automorphismus, so ist offenbar G: R XA. Man beachte, daB jede zu R In G konjugierte Untergruppe ebenfalls ein Komplement zu A 1n G ist. Da die Existenz eines Komplements eine wesentlich fibersichtlichere Be: schreibung von G durch A und F ermfiglicht, andrerseits aber die Priifung der ' Lfisbarkeit des Gleichungssystems (2) durch Elemente bE E A oft sehr schwierig

ist, so sind handlichere Kriterien fiir das Zerfallen einer Erweiterung'erwiinscht. Zwei derartige Kriterien fiir endliche Gruppen sollen in diesem und im néichsten Paragraphen abgeleitet werden. Ein Faktorensystem c” heiBt ein abelsches Faktorensystem, wenn alle 68 n miteinander vertauschbar sind.

(6.2.1) Es set Paine endliclw Gruppe, IF] = n, and cm sin abelsches Faktoren-

system. Dann ist cg” ein zerfallendes Faktorensystem. Beweis; .Wir setzen H cesfl=fl b

€61"

und bilden das Produkt der Relationen (5) aus (6.1) fiir alle E E I' bei festgehaltenen 1] und C. Das ergibt

bflccgc=b¢bg

(mcer).

Der Vergleich mit (2) lehrt, daB 0"mt ein zerfallendes Faktorensystem ist. Damit ist (6.2 1) bewiesen.

Ein sehr allgemeiner Satz iiber das Zerfallen gewisser Erweiterungen ist der (6.2.2) Satz von SCEUR-ZASSENHAUS. Die Ordnungen der endlichen Gruppen

A and I'seien zueinander teilerfremd. Dunn zerfiilltjede Erweiterung von A mit I'.

118

6. Kapitel. Gruppenerweiterungen

Beweis. Sei [AI = m, II'I = n und G eine beliehige Erweiterung von A mit 1". Zu zeigen ist, daB G eine Untergruppe der Ordnung n enthfilt.

Der Beweis wird durch Induktion nach der Ordnung von A gefiihrt. Fiir [AI = 1 ist nichts zu beweisen. Wir nehmen den Satz als richtig an fiir alle

Erweiterungen, in denen die Ordnung des Normalteilers kleiner als m ist. Es sei p ein Primteiler von m und S eine paSylowgrlippe von G. Offenbar ist

S in A enthalten. Die Anzahl der verschiedenen p-Sylowgruppen in Gist gleich' dem Index [0: NI des Normalisators N = N(S) von S in G. Da alle p-Sylowgruppen in A liegen und A 0 N der Normalisator von S in A ist, so folgt |A:(AnN)| = IGzNI. Daraus ergibt sich IN: (AflN)| = lAl =n. Nun ist (A H N)/S ein Normalteiler von N[S, und zwar, Wie wir soeben festgestellt haben, ' vom Indexn. Nach der Induktionsannahme enthfilt daher N/S eine Untergruppe

HIS der Ordnnng n. Das Zentrum Z von S besteht nicht nur aus dem Einselement, und als charakteristische Untergruppe von S ist Z Normalteiler in H. Demnach ist S/Z ein Normalteiler vom Index n in H/Z. Folglich enthéilt H/Z nach der Induktionsannahme eine Untergruppe U/Z der Ordnung n. Hierbei

ist U eine Erweiterung von Z. Bei irgendeiner Wahl des Reprfisentantensystems von U nach Z sei das zugehfirige Faktorensystem (10",(9, a E U/Z).

Da die Ordnung von Z teilerfremd zu n ist, besitzt die Kongruenz nnia 1 (mod IZI) eine Lésung n1, so daB wir d“ =_ (d;,)"1 schreiben k6nnen. Nach (6.2.1) zerféillt das Faktorensystem dz”, und folglich zerféillt auch d“. Daher enthfilt U ein Komplement der Ordnung n zu Z. Damit ist die Existenz einer Untergruppe der Ordnung n in G nachgewiesen. Zum Beweis eines Satzes fiber die Konjugiertheit von Kornplementen brauchen wir einen '

Hilfssatz. Es sei f' eine Gruppe der Ordnung n und A eine beliebige Gruppe. Jedem E 6 I’ sei ein Automorphismus a —> a5 van A zugeordnet. Ferner entspreche jedem E E I' ein Element bee A; die be seien untereinander ver-

tauschbar, und fiir jedes Paar E, 1] 6 F gelte (3)

.

be" = 62 b" .

Dan existiert in A ein Element d mit der Eigenschaft '\

b"= d(d’1)'1

fiir jedes 17 E I'.

'

(4)

Beweis. Bei festgehaltenem 17 bilde man das Produkt der Relationen (3) fiber alle E E I'. Man erhailt

. H en-(g e) a b

oder

b "b"

=(16] be)”; EGTb

6.2. Zerfallende Erweiterungen

119 -

Mit d = I] b; gilt daher (4). 561‘

(6.2.3) Satz von ZASSENHAUS. Es seien A und I' endliche Gruppen, deren Ordnungen zueinander teilerfremd sind. Ferner sei G eine [nach (6.2.2) zer-

faUende] Erweiterung von A mit 1".‘Ist wenigstens eine der beiden Gruppen A and f' auflfisbar, so sind je zwei Komplemente zu A in G konjugiert.

_

.Bemerkung.‘ Dieser Satz gilt auch, ohne daB die Auflfisbarkeit von A oder F besonders gefordert wird. Denn wegen der Teilerfremdheit von |A| und |I'| ist mindestens eine dieser beiden Ordnungen ungerade. Daher ist nach Satz (2.8.1) stets mindestens eine der beiden Gruppen A, F auflfisbar. I Beweis. Wir setz'en |A| = m, IFI = n.

I. Wir fiihren den Beweis zunfichst unter def Annahme, daB A sogar abelsch ist. Es seien R mit den Elementen re(E E I') und Q mit den Elementen r; = rabe (E 6 F, be 6 A) zwei Komplemente von A in G. Dann bestehen nach (12) in ' (6.1) die Gleichungen

be" = bgbfl. Nach dem Hilfssatz gibt es folglich ein Element d E A mit der Eigenschaft

b; = d(d'1)‘ 1. Da wegen (m, n) = 1 die Kongruenz nnis 1 (mod m) eine Lfisungm besitzt, haben wir mit d1 = d"1

b" = bgn1= «11(42)-1 und folglich wegen (2) aus (6.1) ré = re dfidfi‘)"1 = d‘fi r5 d1,

also Q = d;1 Rdi. II. A sei aufltisbar, und zwar k-stufig metabelsch. Da die Richtigkeit des Satzes fijr abelsche Gruppen nach dem erste‘n Teil des Beweises schon feststeht, kfinnen wir Induktion nach k anwenden und annehmen, daB der Satz fiir

(k — 1)-stufig metabelsche Gruppen bereits bewiesen ist. Es seien R und 0 zwei verschiedene Komplemente von A in G. Auf die Erweiterung G/A’ der Faktorgruppe A/A' nach der Kommutatorgruppe A’ von A kfinnen Wir den

ersten Teil des Beweises anwenden. Es ergibt sich die Existenz eines Elementes wA’ aus A/A’, fiir das also

(xA'ri (HA') (xA') = QA', r1 RxA’ = QA’

_

(5)

‘ 120

_6. Kapiwl. Gruppenerweiterungen

gilt. Da A’ nur (k — 1)-stufig metabelsch ist, gilt unser Satz nach der Induktionsannahme ffir die Gruppe QA’ als Erweiterung von A’ mit Q. Da nach (5) auch 50‘i ein Komplement von A’ in QA’ ist, so ergibt sich die Existenz eines Elementes y E A’ mit y'ix'i Racy = Q. Also sind R und Q in G konjugiert.

III. F sei auflosbar. Die Faktorgruppe G/A besitze eine Hauptreihe der Lfirige l, ferner seien R und Q wieder zwei Komplemente von A in G. Wil' wfihlen einen minimalen Normalteiler U von R. Wegen der Auflosbarkeit von R ist U nach (4.2.2) eine (elementare abelsche) p-Gruppe. Die Gruppe UA 1531‘. I » sich auch in der Form VA mit einem zu U isomorphen Normalteiler V von Q darstellen, und zwar ist V = Q n UA. I Im Falll = 1 ist U = R und V = Q. Folglich sind R und Q p-Sylowgruppenvon G und daher in G konjugiert. Nun sei l > 1. Wir k6nnen annehmen, daB der Satz fiir kleinere Hauptreihenlfingen als l schon bewiesen ist. Folglich existiert zunfichst ein Element :1; 6 A mit der Eigenschaft .771 U1; = V. Wir setzen Q = xQx‘i. Die beiden Gruppen R und Q1 liegen im Normalisator N von U in G. Demnach ist N eine Erweiterung von N n A mit P und daher N/ U

eine Erweiterung von (N H A) U/ U, in der R/ U und Q1] U Komplemente von (N n A) U/ U sind. Da R/U eine Hauptreihe der hinge l — 1 besitzt, ergibt' sich aus der Induktionsannahme die Existenz eines Elementes y E N mit der Eigenschaft y‘1Ry = Q1. Folglich ist Q = (yx)‘1R(ya:). ' 6.3. Erweiterungen abelseher Gruppen

‘

Wir behalten die bisherigen Bezeichnungen bei und setzen voraus, daB A abelsch ist. Dann ist, wie schon in (6.1) bemerkt wurde, die Zuordnung

£->(a->a‘)

(56F, aeA)

eine homomorphe Abbildung von I' in die Automorphismengruppe von A. Da A abelsch ist, so ist infolge (13) ans (6.1) das Automorphismensystem .

a —> a5 unabhéingig von der Wahl des Beprfisentantensystems. Demnach entsprechen bei vorgegebenem Automorphismensystem die verschiedenen Erweiterungstypen von A mit F umkehrhar eindeutig den Klassen assoziierter Faktorensysteme. Diese Klassen bilden bei elementweiser Multiplikation der_ Faktorensysteme eine abelsche Gruppe. Sind nfimlich as," and d5," zwei Faktorensysteme zum gleichen Automorphismensystem, so ist auch f6,» = CE.» d6.»

-

(1)

ein Faktorensystem zu demselben AutomOrphismensystem, denn aus den

Relationen (5) in (6.1) fiir die 05),] und die d5," folgt, daB die gleichen Relationen auch fiir die fem bestehen. Sind ferner cg.” zu Ce.» und d2," zu den assoziiert, so

6.3. Erweiterungen abelscher Gruppen

I

121

ist, wie man mI‘ihelos nachpriift, auch 0;," d2," zu as," d“ assoziiert. Daher wird durch (1) in der Tat eine Multiplikation der Faktorensystemklassen definiert. Das Einselement ist dabei die Klasse aller zerfallenden Faktorensysteme. Die Klasse, die das Faktorensystem c;,1 enthéilt, ist invers zu der Ce ,, enthaltenden

Klasse. Die Gruppe der Faktorensystemklassen hei festem Automorphismensystem wird mitH2(P, A) bezeichnet und heiBt die'zweite Kohomologiegruppefl) Sind I' und A endlich, so ist auch H2(1", A) endlich, da es fiberhaupt nur

‘ end-lich viele FnktorensySteme gibt. Ist t der Exponent von A, so ist stets 0‘” = e, also zerft'illt die t-te Potenz jedes Faktorensystems. Ferner zerféillt nach (6.2. 1) die IFI-te Potenz jedes Faktorensystems. Daraus folgt: (6.3.1) Es sei A eine endliche abelsche and I' eine beliebi'ge endliche Gruppe. Dann teilt der Exponent von H2 (F, A) den grfifiten gemeinsamen Teiler von IF] and dem Exponenten van A. Die verschiedenen Primteiler von |A| seien p1, p2, ., p,. Bezeichnet A“)

die pi-Sylowgruppe von A, so besteht die direkte Zerlegung A= A(1)XA(2)X

>
a7 = "iar von A eindeutig bestimmt. Der Ersetzung von r durch rb(b 6 A) entspricht der Ubergang von a—> a7 zu a—> (a7)b. Daher entsprechen die verschiedenen Erweiterungstypen

von A mit {y} umkehrbar eindeutig den verschiedenen Automorphismenklassen von A.

.

Nun sei {y} eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Ist r irgendein Element aus der y zugeordneten Nebenklasse von G nach A, so wird G= A+ r'A+ r2A+

+ rn—iA

und r" = c 6 A. Fiir den Automorphismus a -> a” = r‘iar gilt daher und

a1”= r‘”ar"= c‘1ac ' c7= r“r"r= 0.

Der Erweiterung G von A mit {y} entsprechen daher nach Festlegung des Nebenklassenrepriisentanten r eindeutig ein Automorphismus a—> a" van A '

und ein Element 0 6 A mit folgenden Eigenschaften a7": c‘iac,

07: c.

(1)

6.4. Erweiterungen mit zyklischer Faktorgruppe

.

125

Umgekehrt séien ein Automorphismus a -—> a” van A und ein Element 0 E A

mit den Eigenschaften (1) gegeben. Wir zeigen, daB dann eine Erweiterung G von A mit {y} existiert, zu der a» a7 und 0 in dem oben beschriebenen Sinn gehiiren. Fiir 03 i, j g n — 1 setzen wir

e,

wenn

i+j§n—1,

07"71— 0,

wenn

i+jg n.'

(2)

._ Fernei‘ ordnen 'w'i'r'jedem Element y" aus {y} einen Automorphismus a» a“ von A zu, und zwar folgendermafien a7'=a'=a,

a7‘=(a7’"‘)7 fin

i=1,2,...,n—1.‘

.

(3)

Man prfift ohne Miihe nach, daB fiir das Faktorensystem (2) und das Automorphismensystem (3) die Relationen (4) und (5) aus (6.1) erfiillt sind. Daher

existiert nach (6.1.1) eine Erweiterung G von A mit {y} mit dem gegebenen Parametersystem. Zu dieser gehéren in dem angegebenen Sinn der Automorphismus a ——> a7 und das Element 6 E A. Ersetzt man r durch rb (be A), so wird a -> a" ersetzt durch a —> (a7)", und an die Stelle von 0 tritt (rb)" = cb”"'1 b1"H

b7 6.

Im Fall einer Erweiterung mit zyklischer Faktorgruppe ist es leicht, einen etwas allgemeineren Aquivalenzbegriff zwischen Gruppenerweiterungen zu behandeln als den Erweiterungstypus. Zwei Erweiterungen G1 und 02 von A mit I' gehiiren zum gleichen Erweiterungstyp, wenn es zwischen ihnen einen .

Isomorphismus gibt, der A identisch auf sich abbildet und bei dem sich je zwei Nebenklassen von G1 nach A und G2 nach A entsprechen, die dem gleichen

Elemént aus I'zugeordnet sind. Nun kann man aber auch zwei Erweiterungen G und G von A mit F schon dann als nicht wesentlich verschieden ansehen, wenn

_ zwischen ihnen ein Isomorphismus besteht, bei dem A wieder elementweise ' sich selbst entspricht, Wfihrend die Faktorgruppen G1/A und G2/A invirgendeiner Weise isomorph aufeinander bezogen sind. Wir nennen G und G dann

_ A-isomorph. Dem Ubergang von der Erweiterung G von A mit {y} mit den Bestimmungsstiicken a -> a7 und 6 zu einer A-isomorphen Erweiterung entspricht die Ersetzung von r durch T- = r‘b mit b E A und (i, n) = 1. Dementsprechend erhéilt man statt a7 7'“ a7'= (aV')b, > und an die Stelle von c tritt 5 = (ri b)n = cib7("1" bv‘""" .. . 57' b_

'

126_

6. Kapitel. Gruppenerweiterungen

Man kann z. B. eine vollstfindige Ubersicht fiber alle Erweiterungen einer zyklischen Gruppe A: {a} der Ordnung m mit einer zyklischen Gruppe

I'= {y} der Ordnung n erhalten. In diesem Fall wird a7= a3,

c= a"

mit gewissen ganzen Zahlen g und k. Wegen 6‘ 1ac = a sind die Bedingungen (1) gleichbedeutend mit gn 5. 1 (mod m)

kg ..=. k (mod m).

(4,)

Daher ist jede Erweiterung einer zyklischen Gruppe {a} der Ordnung m mit einer zyklischen Gruppe {y} der Ordnung n durch zwei erzeugende Elemente a und r und die definierenden Relationen a'"=e,

r"=a",

r‘iar=a9

bestimmt, wobei die Zahlen k und g den Bedingungen (4) geniigen. Zu je zwei derartigen Zahlen k und g existiert umgekehrt eine Erweiterung. 6.5. Zerspaltende Erweiterungen Die Annahme, daB in G ein Komplement zu A existiert, reduziert zwar das

Faktorensystem auf den trivialen Fall cm = e, stellt aber eine sehr starke Einschréinkung dar. Wir wollen nun zeigen, daB schon cine weniger ein- _ schneidende Bedingung zu einer Reduktion des Faktorensystems fiihrt, die;

allerdings weniger stark ist. Wir setzen voraus, daB 1n der Erweiterung G von A mit I' eine echte Untergruppe S existiert, fiir die

G= SA, S C G gilt. Eine solche Untergruppe nennt man ein Supplement zu A in G, und man sagt, daB die Erweiterung G von A zerspaltet. Genau dann ist S sogar ein Kom- plement, wenn der Durchschnitt C = S n A nur ans 3 besteht. Es ist klar, daB C stets ein Normalteiler von S ist. Jedenfalls kann man ein System s5(E E F) von Bepréisentanten fiir die Nebenklassen von G nach A aus S wfihlen, aller-

dings ist diese Wahl im Fall C =I= e nicht eindeutig. Mit G= 2 Sell.

(85 6 S)

5 E 1"

wird analog zu (1) und (2) in (6.1)

s;s,,= 35,, c5,l

(cm 6 A),

are-1:135; a5 I

(a E A).

'

(1) (2)

6.5. Zerspaltende Erweiterungen

127

Aus (1) folgt age S n A = c.‘ Ferner gilt Pg G/A= SA/A g 5/(5 n A) = 5/0. Daher ist S eine Erweiterung von C mit I'. Das zugehfirige Faktorensystem ist a“, und das Automorphismensystem ist c —> 05 = ss‘icse ffir c 6 C. Es ist ein vernfinftiges Reduktionsprinzip anzunehmen, daB man die Fak-

torensystemé fiir Erweiterungen echter Untergruppen von A mit I' schon be' heri'scht. In dies'ern Sinn fiihrt also die Existenz eines Supplements in der Tat zu einer Reduktion hinsichtlich des Faktorensystems. Um bei bekannten S die Gruppe G zu konstruieren, hat man das Automorphismensystem c —> (:5 von C fortzusetzen zu einem Automorphismensystem a—> a5 von A, und zwar derart, daB a5=sg1ase,

falls

und>daB , (aE)n= (aE'l)¢5,,,_

a 6 C,

7. KA P I T E L

Permutationsgruppen 7.1. 'Gmndbegriue Unter einer Permutation einer nicht leeren Menge .Q versteht man eine eineindeutige Abbildung von .9 auf sich; Die Elemente von .9 werden Wir im folgenden als Ziffern bezeichnen, ohne damit etwas fiber die Machtigkeit von 9 auszusagen. Ist .Q eine endliche Menge von n Elementen, so nennt man jede

Permutation von 52 eine Permutation n-ten Grades. Das Bild der Ziffer E bei der Permutation :1; bezeichnen wir mit Ex, und die Permutation a; schreiben wir in der Form

5 z=(§x)

(sea).

(1)

' Eine Permutationsgruppe G ist eine Gruppe, deren Elemente Permutationen einer Menge .9. sind und in der die Gruppenverkm‘ipfung das Hintereinander-ausffihren der betreffenden Permutationen bedeutet, und zwar zuerst den linken und dann den rechten Faktor. Fiir .22, y E G und 5 6 .Q gilt also 5(wy) = (£x)y. Fiir das Einselement e von G und jedes E E .Q gilt Ea = E, and aus ' Ea: = 17 folgt 17:1;‘1 = E. ‘ " Die Gruppe sfimtlicher n! Permutationen des Grades n bezeichnen wir mit

«5'n und nennen sie die symmetrische Gruppe des Grades n. [VgL Beispiel 1 in ' (1.1).] Bei Permutationen einer endlichen Menge Q ist es hfiufig zweckmiifiiger, statt der Schreibweise (1) eine handlichere Bezeichnung zu verwenden. Es seien £1, £2, . . . , E, verschiedene Ziffern. Unter dem Zyklus

(£1, 52, - - - , 51) der Liinge l versteht man diejenige Permutation, die 51 in 52, 52 in Es, . . . , 51-1 in $1 und 5; in 51 fiberfiihrt, wahrend jede eventuell noch vorhandene weitere

Ziffer ans .9 auf sich selbst abgebildet wird. Natiirlich ist (£19 £2) ---9 £l)= (62’ 63: ---5 £1: £1): "° = (£1, £1, ---9 51-1)-

Z.1. Grundbegriffe

129

Weiter gilt offenliar (E1, 52, - - - , 51-1, §l)—1=(§l, 51—1, - . . , 52, $1) und (E19 - - - : El)l= 5.,

und keine friihere als die l-te Potenz dieses Zyklus ist die Identitfit. Es ist klar, . daB zwei ziffernfremde Zyklen miteinander vertauschbar sind. Ein Zyklus der Lfinge 2 heiBt eine Transposition. ' Man erkennt unmittelbar, daB sich jede Permutation einer endlichen Menge als Produkt von ziffernfremden Zyklen darstellen lfifit. Zum Beispiel (12345678 9101112

8495263110 71211)

“’12. -2,-4,5 ) H9,10,7,3)( 1,3)( (

Diese Schreihweise bezeichnet man als die Zyklenzerlegung der betreffenden

Permutation. Die Zyklenzerlegung ist offenbar bis -auf die Reihenfolge der Zyklen eindeutig. Zuweilen ist es zweckméiBig, auch die festbleibenden Ziffern zu notieren, in unserem Beispiel also 6. Man tut dies, indem man Zyklen der Liinge 1 einfiihrt und festsetzt, daB diese die identische Permutation bedeuten. Dann kann die obige Permutation auch in der Form

(9, 10, 7, 3) (2, 4, 5) (11, 12)_(1, 8) (6) geschrieben werden.

.

Treten in der Zyklenzerlegung der Permutation a: Zyklen der Léingen l1, l2, . . . , l,,l auf, so ist die Ordnungwon x wegen der Vertauschbarkeit ziffernfremder Zyklen gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von l1, l2, . . . , lm.

Unter dem Typus einer Permutation versteht man die Gesamtheit aller .Zyklenlfingen in ihrer Zyklenzerlegung, wobei Zyklen der Linge 1 mitzuschrei-

hen sind und die Zyklenléingen nach nicht abnehmender Reihenfolge geordnet ' werden. Unser obiges Beispiel ist demnach eine Permutation vom Typus (1, 2, 2, 3, 4). Besteht eine Permutation des Grades n ans [:1 Zyklen der Lange 1, k2 Zyklen der Lfinge 2, k3 Zyklen der Lfinge 3 usw., wobei k; = 0 zu setzen ist, falls fiberhaupt kein Zyklus der Linge l auftritt, so ist offenbar k1 + 2 k2

+ 3 k3 + . ., . = n. Daher ist die Anzahl der verschiedenen Typen, die bei Permutationen des Grades n auftreten, gleich der Anzahl der L6sungen dieser Gleichung in ganzen Zahlen k; g 0. Ffir zwei Permutationen

=12» =1) 9

Kochendbrfier,Gmppentheox-ie

130

7. Kapitel. Permldatlbnsgruppen

ergibtsich

“F (if). (L) (2,) = (2:?) (i) (find) = (ELM), also erhfilt man a'lxa aus x, indem man in dem Symbol (1) oben und unten die Permutation a ausfiihrt. Hat :1: die Zyklenzerlegung V

‘ x= (£1. -u.£k)(m. --°9nl) "~(4'1 ,.--,§m). so ist die Zyklenzerlegung von a‘iwa demnach a'ixa= (61a, ..., Eka) (ma, ...,ma)

(£1 a, ..., Cma).

Diese entsteht aus der Zyklenzerlegung von :5 einfach dadurch, daB man in allen Zyklen die Ziffern gema'iB der Permutation a abéindert. Insbesondere sind a: und a‘iwa vom gleichen Typus. Sind umgekehrta; und y zwei Permutationen vom gleichen Typus, so findet man auch ohne Miihe eine Permutation a mit der Eigenschaft y = a‘ixa. Man schreibe nfimlich y derart unter x, daB stets

' Zyklen gleicher Lfinge untereinander stehen. Als a kann man dann diejenige Permutation nehmen, die jede Ziffer aus a: in die darunter stehende aus y fiber- . ffihrt. Daraus folgt: (7.1.1) Dunn and nur dann sind zwei Permutationen der symmetrischen Gruppe ISn konjugiert, wenn sie vom gleichen Typus sind. Die Anzahl der Klassen konjugierter Elemente in Sn ist gleich der Anzahl der Lifsungen der Gleichung Iq+ 2k2+ 3k3+ ---= n in ganzen rationalen Zahlen k; g 0. Samtliche Permutationen a mit y = a" 1.1m erhéilt man offenbar, indem man

y auf alle moglichen Arten so unter x schreibt, daB immer Zyklen gleicher Lé'mge untereinander stehen, und dann a aus den untereinander'stehenden

Ziffern bestimmt. Mittels dieser Uherlegung kann man sofort die Anzahl def mit 11: vertauschbaren Permutationen aus Sn bestimmen. Dazu hat man' nur abzuzéihlen, wie oft man as so unter sich selbst schreiben kann, daB immer

Zyklen gleicher Lange untereinander stehen. Kommen in der Zyklenzerlegung von a: genau k; Zyklen der Lange l vor (l = 1, 2, 3, . . .), so kann man in a: vor dem Untereinanderschreiben erstens fiir ein festes l samtliche Zyklen der Léinge l beliebig untereinander permutieren; das ist auf k1! Arten mfiglich. , Zweitens kann man noch in jedem Zyklus der Lange l die Ziffern zyklisch ver-

tauschen; das ergibt im ganzen lk' Abanderungsmfiglichkeiten. Daraus folgt: (7.1.2) Treten in der Zyklenzerlegung der Permutation a: des Grades n k;

Zyklen der Liingel

-

(l= 1, 2, 3, . . .)

7.1. Grundbegriffe

-

131

auf, so ist die Ordnung des Normalisators van a; in Sn gleich k1! 1k1k2l 2k3k3! 3". . . .

Es sei .9 mm wieder eine beliebige nicht leere Menge und G eine Gruppe von Permutationen von .9. Dann zerfallt .Q, Wie wir in (3.1) erkannt hatten, in Transitivitatsgebiete von G. Existiert nur ein einziges Transitivitatsgebiet, d. h.,

p sind samtliche Ziffern von 52 durch G im Sinne von (3.1) verbunden, so nennt man G eine transitive Permutationsgruppe. Falls es mindestens zwei Transitivitiitsgebiete gibt, nennt man G intransitiv. Ist G intransitiv und I’ ein Transitivitatsgebiet, so kann man jeder Permutation a; E G die durch a; bewirkte Permutation $(I‘) der Ziffern aus P zuordnen. Durch diese Zuordnung erhalt man ein homomorphes Bild Gm von G. Man nennt Ga") den zu I' gehorigen transitiven- Konstituenten von G. Offenbar ist Gm auf f' transitiv. Diejenigen Permutationen aus G, die eine gegebene Ziffer 0c festlassen, bilden eine Untergruppe G“ von G, die unter Umstanden auch allein aus der identischen Permutation besteht. Ist nun G transitiv, so wahle man fiir jede Ziffer E 6 .Q eine Permutation a6, die (x in E fiberfiihrt. Diese ae bilden dann ein Reprfisentantensystem ffir die Rechtsn'ebenklassen von G nach Ga:

G= Z G.a;. 56-9

(2)

Die Nebenklasse Ga“: besteht genau aus allen Permutationen aus G, die on in E fiberfiihren. Fiir a: 6 G1 wird niimlich «(mag = (MW: = ocae = E. Ist

andrerseits ocy = 5, so wird ocyae‘1 = a, also ya;1 6 Ga. Wie man ohne Miihe erkennt, ergibt sich fiir die Untergruppe Gp' aller fl festlassenden Permutationen aus G G), = a;1 G. afl.

(3)

Aus (3.1.1) folgt, daB die Ordnung einer Permutationsgruppe endlichen Grades teilbar ist durch das kleinste gemeinsame Vielfache der Elementeanzahlen in allen Transitivitatsgebieten. Insbesondere ist die Ordnung einer transitiven Permutationsgruppe durch ihren Grad teilbar. Ist G transitiv und besteht Ga nur aus der identischen Permutation, so gilt .wegen (3) das gleiche fiir alle 0,9 ([3 6 Q). In diesem Fall nennt man G eine reguldre Permutationsgruppe.'Genau dann ist G regular, wenn es zu jedem

Ziffernpaar E, n E Q genau eine Permutation in G gibt, die 5 in 17 fiberfiihrt. Aus (2) folgt: (7.1.3) Eine transitive Permutationsgruppe endlichen Grades ist genau dann regular, wenn Grad und Ordnung fibereinstimmen. 9.

132

7. Kapitel. Permutationsgruppen

Ist G abelsch, so folgt aus (3) G. = 03 fiir jedes fl 6 .9. Folglich bleibt hei G, jede Ziffer fest, also G. = e. Das besagt: (7.1.4) Jede transitive abelsche Permutationsgruppe ist regular. .

Eine Permutation r des endlichen Grades n heiBt regulfir, wenn jede Potenz rk (k = 1, 2, . . .), soweit sie nicht die identische Permutation ist, samtliche n, Ziffem verfindert, d. h. keine festlafit. Ist r =|= e und regular, so miissen in der V

Zyklenzerlegung von r samtliche n Ziffem auftreten und alle Zyklen die gleiche Lange haben. Denn gabe es mindestens zwei verschiedene Zyklenléingen l und m, etwa mit l < m, so ware rl =|= e, lieBe aber mindestens l Ziffem fest. Besteht

umgekehrt die Zyklenzerlegung von r aus lauter Zyklen gleicher Lange und kommen darin sfimtliche n Ziffem vor, so ist r regular.

Jede regulare Permutationsgruppe besteht offenbar nur aus reguléiren Permutationen. Besteht eine Permutationsgruppe G des Grades n nur aus regu-

laren Permutationen, so kann G hfichstens eine einzige Permutation enthalten, die (x in eine beliebig vorgegebene Ziffer fl fiberfiihrt; denn fiihren die Permutationen a und b aus G beide (x in [3 fiber, so laBt ab‘1 die Ziffer on fest,

und da auch ab‘1 regular ist, so folgt ab‘1 = e. Folglich kann die Ordnung von G nicht grfiBer als n sein. Ist G fiberdies transitiv, so muB andrerseits n ein Teiler von G sein, also ist dann IGI = n. Ist G dagegen nicht transitiv, so sind die transitiven Kofistituenten regular und isomorph zu G. Daher ist IGI in diesem Fall ein echter Teiler von n. Wir konnen also feststellen: (7.1.5) Die Ordnung einer Permutationsgruppe des Grades n, die aus lautei' reguliiren Permutationen besteht, ist ein Teiler von n. Ist sie transitiv, so ist sie regular. , Weiter gilt: (7.1.6) Das Zentrum jeder transitiven Permutationsgruppe des Grades n besteht _ aus lauter regulc‘iren Permutationen. Daher ist die Ordnung des Zentrums ein Teiler van n. B eweis . Das Element z sei im Zentrum Z(G) der transitiven Permuta‘tions- ' gruppe G des Grades n enthalten. Wir nehmen an, daB 7;" die Ziffer 0c festlaBt,

also z" 6 0,. Da alle Ge zu G. konjugiert sind und wegen z" E Z(G), liegt z" auch in allen Ge, also z" = e.

Damit ist (7.1.6) bewiesen. Sei c eine beliebige Permutation, die mit der transitiven Gruppe G des Grades n elementweise vertauschbar ist. Dann ist 0 im Zentrum der Von G und 0

erzeugten transitiven Gruppe enthalten und folglich nach (7.1.6) regular. ' Daraus und aus (7.1.5) ergibt sich: 1 (7.1.7) Der Zentralisator C (G) der transitiven Permutationsgruppe G des,_ Grades n in irgendeiner G umfassenden Gruppe F desselben Grades besteht aus

lauter regula'ren Permutationen. Die Ordnung eon C (G) ist ein Teiler von n.

7.1. Grundbegriffe

-

I

133

Es sei jetzt G-eine beliebige transitive Gruppe von Permutationen der Menge .9 und G, diejenige Untergruppe, die die Ziffer on festléiBt. Wir nehmen an, daB es in G eine Untergruppe U gibt, fiir die G“ C U C G gilt, wobei Ga =l=' U und

U =|= G wesentlich ist. Die Zerlegung von U in Rechtsnebenklassen nach G, hat die Gestalt , ' U 0%:16, a“ Hierbei ist A eine echte Teilmenge von 9, bestehend aus allen Ziffern, in die at

bei den Permutationen aus U fibergefiihrt wird, und ac ist eine Permutation, die a in Q 6 A fiberfiihrt. Da G, eine echte Untergruppe von U ist, besteht A aus mehr als einer Ziffer. Bei den Permutationen aus U werden die Ziffern aus A nur untereinander permutiert, und zwar transitiv. Ist z eine beliebige Permutation aus G, so bezeichnen wir mit Az die Menge ' aller lz mit l E A. Fiir ein nicht in U enthaltenes Element 3: aus G sind A und Ax ziffernfremd. Denn ware etwa E E A und E 6 Am, so hatte man 5 = 9x mit einer Ziffer Q E A und daher E = acae = ocaex. Daraus folgt aeavag1 6 Ga,

also a: 6 a;1 GaaegU im Widerspruch zur Annahme :0 6T: U. Weiter’folgt: Sind Um und Uy zwei verschiedene Nebenklassen nach U, so sindAa; und Ay ziffernfremd; denn ware der Durchschnitt Act (1 Ag nicht leer, so wfirde das gleiche ' fiir A n Aym‘1 gelten, woraus yaz'fl E U folgt in Widerspruch zu unserer Annahme. Samtliche verschiedenen Teilmengen Ax erhéilt man demnach, Wenn man G in Rechtsnebenklassen nach U zerlegt, G= U+ Um+ Uy+ ...’

und A, Ax, Ay, . . . bildet. Diese Teilmengen sind séimtlich Bilder von A bei

gewissen Permutationen und enthalten daher ,alle die gleiche Anzahl von Ziffern. Die Vereinigungsmenge von A, Ax, Ay, . . . ist .9. Die Permutationen aus G weisen somit folgende Besonderheit auf: Die Menge .9 zerféillt in mindestens zwei paarweise ziffernfremde' Teilmengen A, Ax, Ay, . . . Alle diese Teilmengen enthalten die gleiche Anzahl von Ziffern,

und zwar mindestens zwei. Wird bei einer Permutation a 6 G eine Ziffer einer beliebigen Teilmenge Am in eine Ziffer derselben Teilmenge fibergefiihrt, so geht die gauze Teilmenge Ax bei a in sich fiber. Wird dagegen bei a eine Ziffer

aus Am in eine Ziffer einer anderen Teilmenge Ay fibergefiihrt, so fiihrt a die ganze Teilmenge Ax in Ay fiber. Man kann also kurz sagen, daB die Teilmengen A, Ax, Ay, . . . durch die Permutationen aus G nicht auseinandergerissen werden. Eine derartige transitive Permutationsgruppe G heiBt imprimitiv, und

A, Ax, Ay, . . . werden Imprimitivitdtssysteme genannt. Gibt es dagegen keine Einteilung'von Q in Teilmengen der beschriebenen Art, so nennt man G eine

primitive Permutationsgruppe.

134

7. Kapitel. Permutationsgruppen

Aus dem oben Gesagten folgt: Ist G primitiv, so ist jede Untergi-uppe G. maximaL Man erkennt leicht, daB hiervon auch die Umkehrung gilt: Ist die

transitive Permutationsgruppe G imprimitiv, so gibt es zu jedem Ga eine Untergruppe U mit GGC U C-G. Ist namlich A das on enthaltende Imprimitivitéits. system, so nehme man als U die umfassendste Untergruppe von G, die A als Ganzes auf sich abbildet. Da A aus mindestens zwei Ziffern besteht, ist G,

eine echte Untergruppe von U, und da mindestens zwei Imprimitivitatssysteme existieren, ist U eine echte Untergruppe von G. Damit haben wir folgenden Satz gewonnen: (7.1.8) Eine transitive Permutationsgruppe G ist dann und nur dann primitiv,_

wenn die eine Ziffer festlassenden Untergruppen G“ maximal sind (Afifgabe 40). Ist G imprimitiv, so werden die Imprimitivitatssysteme nur untereinander 'vertauscht. Ordnet man jeder Permutation aus G die durch sie bewirkte Per- ,

mutation der Imprimitivitéitssysteme zu, so erha'ailt man offenbar eine homomorphe Abbildung von G auf eine Gruppe von Permutationen der Imprimitivitatssysteme, Der Kern dieses Homomorphismus besteht aus allen Per-

mutationen aus G, die jedes einzelne Imprimitivitiitssystem als Ganzes auf sich abbilden. In unserer obigen Bezeichnung ist dieser Kern der Durchschnitt aller zu U konjugierten Untergruppen. (7.1.9) Ist G eine primitive Gruppe von Permutationen der Menge .9 and T ein von e verschiedener Normalteiler von G, so ist T auf .Q transitiv.

Beweis. Wir nehmen an, T sei nicht transitiv. Dann gibt es ein Transitivitatsgebiet A von T, das mehr als eine Ziffer enthe'ilt, aber eine echte Teilmenge von .9 ist. Sci 0; EA. Dann ist Ga eine echte Untergruppe von Ga T und

G¢T eine echte Untergruppe von G. Das widerspricht der Voraussetzung, daB G primitiv ist. ' Der folgende Satz stammt schon aus den Anffingen der Gruppentheorie.

(7.1.10) Satz von GALOIS. Der Grad einer primitiven auflb'sbaren Permutationsgruppe G ist eine Primzahlpotenz 19'". Die Gruppe G enthdlt nur einen einzigen

minimalen Normalteiler. Dieser hat die Ordnung p’". Ist der Grad von G insbesondere eine Primzahl, so ist G hfichstens zweistufig metabelsch. Beweis. Aus (4.2.2) folgt, daB jeder minimale Normalteiler von G eine

elementare abelsche Gruppe ist. Sei M ein minimaler Normalteiler und IMI = p’". Nach (7.1.9) ist M transitiv, also nach (7.1.4) regular. Daher hat G

den Grad p'". Gabe es einen von M verschiedenen minimalen Normalteiler M1, so ware wegen M n M1 = e das Produkt MM1 = M XM1 direkt, also abelsch

und folglich regular. Das ergéibe den Widerspruch [M XM1| = |MI Der Zen- \ ' tralisator von M in G stimmt nach (7.1.7) mit M fiberein. Daher ist G/M iso-

7.2. Darstellungen van Gruppen durch Permutationen

_ 135

morph zu einer Gruppe von Automorphismen von M. Im Fall |Ml = p ist daher G/M nach (5.4) abelsch, also' G hochstens zweistufig metabelsch. Eine Permutationsgruppe G heiBt k-faeh transitiv, wenn jedes geordnete k-Tupel (a1, . . .,o¢k) von Ziffern bei mindestens einer Permutation aus G in

jedes beliebige geordnete k-Tupel (I31, . . ., fik) fibergeht. Fiir k-fache Transitivitfit geniigt es offenbar zu wissen, daB ein festes geordnetes k-Tupel (0:1, . . . , on) In jedes beliebige geordnete k-T-upel fibergefiihrt wird. Die bisher betrach-

‘ teten schlechthin transitiven Gruppen sind also die einfach transitiven. Jede k-fach transitive Gruppe muB 1m Fall k> 1 primitiv sein. Ware die

Gruppe namlich imprimitiv, so konnte man zwei Ziffern oq, a2 aus dem gleichen Imprimitivitatssystem A wahlen und [3 aus einem von A verschiedenen Imprimitivitatssystem. Wegen k > 1 miiBte dann das Paar a1, a; dumb eine Permutation der Gruppe in das Paar (xi, [3 fibergefiihrt werden, wahrend doch die Imprimitivitéitssysteme nicht auseinandergerissen werden diirfen.

Ist G k-fach transitiv, so ist Ga offenbar (k — 1)-fach transitiv. Ist umgekehrt G transitiv und Ga (k — 1)-fach transitiv, so ist G k-fach transitiv. 7.2. Darstellungen von Gruppen dureh Permutationen Unter einer.Permutationsdarstellung des Grades n einer abstrakten Gruppe G

versteht man ein homomorphes Bild von- G in der symmetrischen Gruppe Sn des Grades n. Ist die Permutationsgruppe sogar isomorph zu G, so spricht man von einer treuen Darstellung. Wir wollen in diesem Paragraphen alle Permutationsdarstellungen einer gegebenen Gruppe G bestimmen. Dabei konnen wir uns offenbar auf Darstellungen von G durch transitive Permutationsgruppen beschranken. Zunachst erkennt man ohne Miihe: (7.2.1) Jade Gruppe G ist zu einer regulfiren Permutationsgruppe isomorph.

Beweis. Als zu permutierende Objekte nehme man die Elemente aus G selbst und ordne jedem Element a E G die Permutation

teal=("’) xa

(x66)

der Elemente aus G zu. Dann' gilt eagb: (:a) (:12) = (:a) (ffafl) = (:(ab)) =9“.

Da auBerdem die Zuordnung zwischen a und 9, umkehrbar eindeutig ist, bilden die 9,, eine zu G isomorphe Permutationsgruppe G*. Offensichtlich ist G* tran-

sitiv. Ferner ist 0* regular, denn aus ma = a: fiir irgendein a: E G folgt a = e.

' 136

7. Kapitel. Permutationsgruppen '

Damit ist (7.2.1) bewiesen. Man nennt G* die reguliire Permutationsdar-l ‘ stellung von G, genauer die rechts-reguliire Darstellung. Wir hestimmen den Zentralisator *G von G* in der Gruppe sfimtlicher Permutationen der Elemente aus G. Ffir eine Permutation

a=(x,) a:

(am/e G)

aus *G muB 09,, = 900' fiir alle 9,, E G* erfiillt sein, also

(2) (L) = (:2) (1') oder

(“’"W H“ H“) a;’

z’a

_ . wa

(xa)’ '

Das besagt aria = (ma)’ fiir alle a, a: E G. Setzt man in dieser Gleichung a = :5“, so hangt die rechte Seite (xx—1y = e’ = b nicht von :12 ab, und man erhfilt x’w‘1 = b Oder x’ = bar: fiir alle .22 6 G mit einem festen Element b. Die Gruppe *G besteht also‘nur aus Permutationen der Form

“(2;)Man bestiitigt ohne Miihe, daB umgekehrt alle Permutationen dieser Form mit ‘ allen Permutationen aus G* vertauschbar sind. Setzt man V

a:

6“ =(a‘1x)

(w E G),

so erhz'ilt man 646;. = cab. Daher ist *G eine regu'lfire, zu G isomorphe Gruppe

von Permutationen der Elemente aus G. Man nennt *G die links-regulz'ire Permutationsdarstellung von G. Wie man ohne Mfihe nachrechnet, ist der

Zentralisator von *G in der Gruppe aller Permutationen der Elemente aus G ' , wieder G*.

Man kann leicht weitere Darstellungen von G durch transitive Permutationsgruppen angeben. Sei H eine echte Untergruppe von G und G= 2' Hr rE R

die Zerlegung von G in Rechtsnebenklassen nach H. Dem Element (16- G ordne man die Permutation

ya=(Z:a)

(rem

_

7.2. Darstellungen van Gruppen durch Permutationen

_

137

der Nebenklassen von G nacli H zu. Es wird _(Hr )(Hr )_(Hr )(Hra )_ 7a7b— Hra Hrb — Hra Hrab _yab’

so daB die Permutationen ya(a E G) in der Tat eine GruppeI' von Permutationen bilden, die ein homomorphes Bild von G ist. Da die Nebenklasse H selbst in

salle Ha fibergeht, ist F transitiv. Man nennt 1" die durch H erzeugte Permutationsdarstellung. Fiir H = e erliéilt man die reguléire Darstellung G*. Wir bestimmen den Kern des Homomorphismus G 2; I'. 8011 Hra = Hr fiir jedes r6 R gelten, so muB r‘iHra = r'iHr oder a6 r'lHr fiir jedes r6 R erfiillt sein. Liegt umgekehrt a im Durchschnitt aller zu H konjugierten Untergruppen, so ist ya die identische Permutation. Daher ist D = n r‘iHr 76R

der gesuchte Kern. Offenbar ist D der umfassendste in H enthaltene Normalteiler von G.

Wir wollen nun zeigen, daB man auf die beschriebene Art bereits samtliche Darstellungen von G durch transitive Permutationsgruppen erhiilt. Sei also G homomorph auf eine transitive Gruppe F von Permutationen einer Menge .Q

abgebildet. Wir wahlen eine beliebige Zifferoc aus .Q und bezeichnen mit I: diejenige Untergruppe von P, die (x ungeiindert léiBt. Bei dem Homomorphismus G 2; I' Werde genau die Untergruppe H von G auf 11¢ abgebildet. Wir werden erkennen, daB F mit der durch H erzeugten Permutationsdarstellung fibereinstimmt, wenn man die Ziffern aus .Q und die Nebenklassen nach H einander passend zuordnet.

Da F transitiv ist, kann man fiir jedes £6 .9 eine Permutation at; aus I' wéihlen, die at in E fiberfiihrt. Ein vollstéindiges System solcher' “e fiir alle 56 .Q bilden ein Reprisentantensystem fiir die Rechtsnebenklassen von 17 naeh IL: F= Z Pafle.

€60

Wfihlt man in G ein System r5 von Urbildern der 71:5 bei dem Homomorphismus G 2: I', so erhéilt man G: E H 1'5.

5 E9

Es zeigt sich nun, daB die Ziffern aus .9 bei I' in der gleichen Weise permutiert werden Wie die ihnen mittels E —> Hr; zugeordneten Nebenklassen naeh H bei der von H erzeugten Permutationsdarstellung. Bei dem Homomorphismus

138

7. Kapitel. Permutationsgruppen

G 3 F entspreche 'dem Element g6 G das Element ye F. Bei der Permutation y werde E in n fibergefiihrt. In der durch'H erzeugten Permutationsdarstellung geht bei der 3 entsprechenden Permutation Hr: in Hreg fiber.

Die entsprechenden Nebenklassen in F sind I; are und Faraway. Die Permutationen aus I'd are); fiihren on in 9) fiber, und daher ist I", nay = I; 91:". Folglich ‘ . haben Wir Hreg = Hr".

Wir fassen unsere Feststellung zusammen: (7.232) Jade echte Untergruppe H van G erzeugt eine transitive Permutations-i darstellung van G, indem man jedem Element a 6 G die Permutation ' Hr

( Hra) der Nebenkhzssen van G nach H zuordnet. Sdmtliche transitiven Permutationsdarstellungen van G warden, abgesehen van der Bezeichnung der Ziffem, auf diese

Weise erzeugt.

.

'

Bei dem letzten Beweis hatten wir eine Ziffer ace .9 willkiirlich aus-

gezeichnet. Nimmt man statt ac eine andere Ziffer (3: so tritt an die Stelle von 1’“ eine konjugierte Untergruppe I}. Dieser entspricht in G eine zu H konjugierte Untergruppe K. Geht man umgekehrt von einer zu H konjugierten Untergruppe K aus, so erhfilt man bei dem Homomorphismus - '

G 2; I' eine zu I" konjugierte Untergruppe I'fl. Das besagt: Genau dann, wenn H und K in G konjugiert sind, kann man die Nebenklassen nach H

bzw. K den Ziffern aus .9 so zuordnen, daB sie in gleicher Weise permutiert werden. L531; man .9 aus dem Spiel, so kann man auch sagen: Genau dann, wenn H und K in G konjugiert sind, lassen sich die Rechtsnebenklassen nach H und K derart einander zuordnen, daB sie bei Rechtsmultiplikation mit

den Elementen aus G die gleichen Permutationen erfahren (Aufgabe 41). 7.3. Amalgame Gegeben seien drei Gruppen A, B und H derart, daB A eine zu H isomorphe

Untergruppe HA und B eine zu H isomorphe Untergruppe HB enthéilt, und zwar seien feste Isomorphismen von HA auf H und von HB auf H zugrunde gelegt. Ein solches System von drei Gruppen heiBt ein Amalgam. Es erhebt _ sich die Frage, ob sich ein Amalgam in eine Gruppe einbetten laflt, d. h., ob

es eine Gruppe G mit folgenden Eigenschaften gibt: I. G entha'ilt zu A bzw. B isomorphe Untergruppen Z und B und wird von diesen erzeugt. ‘ II. Es gibt einen Isomorphismus ac von A auf I4— und einen Isomorphismus [3 von B auf B mit der Eigenschaft, daB die Bilder von HA bei ac und von HB

7.3. Amalgame

139

bei fl zusammenfallen und genau den Durchschnitt A n B ausmachen. Etwas weniger genau ausgedrfickt sollen A und B derart als Untergruppen in eine

Gruppe G eingebettet werden, daB ihr Durchschnitt H ist. DaB A und B die Gruppe erzeugen, in die sie eingebettet werden, ist nicht wesentlich; denn

hat man A und B mit dem vorgegebenen Durchschnitt fiberhaupt in eine Gruppe eingebettet, so kann man in dieser nachtréiglich das Erzeugnis von A _ nnd B nehmen. _ V I Wir 'werden zeigen, daB die Einbettungsaufgabe stets mindestens eine ' L6sung-besitzt. Zur Vereinfachung der Bezeichnung fassen wir H als gemeinsame Untergruppe von A und B auf. In A wéihlen wir ein Repréisentantensystem S fiir die Linksnebenklassen nach H. Dann besitzt jedes Element a6 A eine ein-

deutig bestimmte Zerlegung a=sh

mit

865,

hEH.

Um s und h als Funktionen van a zu kennzeichnen, setzen wir s=a",

h=a""+1.

In B wfihlen wir ein Reprisentantensystem T fiir die Linksnebenklassen nach H und hahen dann fiir jedes Element b6 B cine eindeutige Darstellung b=th mit tET,

hEH,

fiir deren Faktoren.wir die Bezeichnungen t: b1”

h=b"!+1

einfiihren. (Man beachte, daB die Abbildungen a, —a' + 1, z, —1: + 1 im allgemeinen mcht homomorph sind.)

Die Menge aller Tripel (s,t,h),

865,

tET,

hEH,

bezeichnen wir mit Q. Wir definieren Abbildungen von .9 in sich, die sich alsbald als Permutationen von .9 erweisen werden. Jedem Element a6 A ordnen wir eine Abbildung 9(a) von .9 in sich zu, die folgendermaflen definiert ist: I

(s, t, h)““’ = (8’, t’, h’),

wobei s’h’ = sha, t’ = t. Diese AbBildung kann offenbar auch in der Form (8, t, h)9(“) = ((sha)”, t, (sha)"‘+1)

geschrieben werden. Diese Abbildung léiBt sich auch folgendermaBen beschreiben: Fiir ein festes t entsprechen die Tripel (s, t, h) umkehrbar eindeutig

den Elementen sh 3115 A. Das sh entsprechende Tripel wird bei 9(a) auf das

140

7. Kapitel. Permutationsgruppen

ska entsprechende abgebildet. Die Tripel (s, t, h) mit einem festen t werden also geméiB der rechts-reguléiren Pennutationsdarstellung von A permutiert. Analog ordnen wir jedem Element b6 B eine Abhildung 9(b) von .9 in sich zu, und zwar sei

(8: t, 10"” = (s. (thbr, (mm-1+1). Man erkennt wie oben, daB die Tripel mit einem fasten s gemfiB der rechtsregulfiren Permutationsdarstéllung von B permutiert werden. Fiir ein Element h*€ H haben wir (shh*)°= s,

(thh*)'= t

und daher (s, t, h)¢(’")= (s, t, hh*),

so daB es gleichgfiltig ist, ob wir h* als Element aus A oder aus B ansehen. Da offenbar (sha)"(slz¢z)"""1 = ska gilt, ergibt sich ffir a, (1'6 A ' (3: t: h)e(a)9(a’) = «Shay! t1 (Sha)—a+1)9(al) = ((3haa')”: t: (shaa’)‘“+‘)

= (8, t, h)a(aal)_

Da dies ffir jedes Tripel (s, t, h) E .Q gilt, erhalten wir

9(a)e(a’)= 9(aa’)-

,

Infolgedessen ist die Abbildung a—> 9(a) ein Homomorphismus von A auf '

die Menge 9(A) aller 9(a) mit a6 A. Da 9(A) eine Gruppe ist, so sind alle 9(a) v Permutationen von .9. Die Abbildung a—> 9(a) ist sogar ein Iso'morphismus von -A auf 9(A); denn 15131; 9(a) auch nur ein einziges Tripel (s, t, h) fest, so ist (sha)"= s,

(.9ha)“""1 = 71.,

also sha = sh, d. h. a = e. AnaIOg beweist man, daB die Menge 9(3) aller 9(b) mit be B eine zu B isomorphe Gruppe von Permutationen von .9 bildet. Eine Losung der Einbettungsaufgabe ist nun die Untergruppe G, die von 9(A) und 9(3) in der Gruppe aller Permutationen von .9 erzeugt wird. Forde-

rung I ist offensichtlich erfiillt, weil die Gruppe G von ihren zu A bzw. B isomorphen Untergruppen 9(A) und 9(3) erzeugt wird. Die Gruppe G erfiillt

aber auch Forderung II. Oben hatten wir schon festgestellt, daB fiir he H die Abbildung 9(h) sowohl in 9(A) als auch in 9(3) enthalten ist. Besteht andrerseits fiir ein a6 A die Beziehung 9(a)€ 9(3), so 1531; 9(a) die erste Komponente sin jedem Tripel (s, t, h) fest, also (sha)" = 3 11nd dahen (.sha)“’+1 = haE H, woraus aEH folgt. Daher gilt 9(A)n 9(3) = 9(H). Bei den Iso-

morphismen a—> 9(a) und b—> 9(b) wird also H auf den Durchschnitt. 9(A) n 9(3) abgebildet, wie in II gefordert wird. ,

7.3. Amalgam

.

.

141

(7.3.1) Jedes' Amalgam liifit sick in eine Gruppe einbetten. Man beachte, daB in die Konstruktion der Gruppe G die Reprfisentantensysteme S und T wesentlich eingegangen sind. Es zeigt sich, daB im allgemeinen die Struktiir von G ganz erhehlich von der Wahl~ dieser Bepréisen-

tantensysteme abhiingt (vgl. [93]). Wir wollen zwei F'allle betrachten,~ in denen G von der Wahl eines oder

beider Reprisenpantensysteme unabhéingig ist. - I Wir setzen voraus, daB H im Zentrum von A liegt, und zeigen, daB dann die Struktur von G von der Wahl des Repréisentantensystems T fiir B nach

H unabhé’mgig ist. Wenn H im Zentrum von A liegt, haben wir (sha)"= (sah)"= (3a)”,

(sha)“’+1= (sa)“+1h.

(1)

Es seien nun T und T’ zwei Beprfisentantensysteme fiir die Linksnebenklassen

von B nach H. Besitzt 126 B die beiden Zerlegungen

b= th= M; t e T, r e T’; h, h’ e H, so setzen wir in Ergiinzung zu den friiheren Bezeichnungen

t’= 6",. h’= b—*’+1 und verstehen unter [2’ die Menge der Tripel (s, t’, h) mit t’E T’. Die Permutationen 9(a) und 9(b) seien wie oben definiert; sie erzeugen in der Gruppe

aller Permutationen von .9 die Untergruppe G. Analog werden die Permutationen g’(a) und Q'(b) von 9’ definiert. Die von diesen in der Gruppe aller Permutationen van 9’ erzeugte Untergruppe sei G’. ' Mit (p bezeichnen wir folgende Abbildurig von [2 auf .Q’ :

(8: t, h)’— — (8: 0")" (”0"“)Das besagt: Genau dann gilt (s, t, h)’= (3’, t’, h’), wenn s = s’, th = t’h’. Daher 1st 1;) eine eineindeutige Abbildung von .9 auf .Q’, und es gilt (s, t’, h’)¢‘1= (s, (t’ h’)‘, (t’ h’)"+ 1).

Wir vergleichen nun nzg IH X H1] ist.

DaB die Theorie der Permutationsgruppen auch allgemeine Struktursfitze fiber endliche Gruppen liefert, zeigt folgendes Beispiel: (7.4.4.) Die Ordnung der Gruppe G babe die Form [G] = 2 u mit einer ungeraden Zahl u. Dunn enthiilt G einen Normalteiler der Ordnung u. Beweis. Nach (3.2.2) enthéilt G ein Elementa der Ordnung 2. In der

reguléiren Permutationsdarstellung G* von G ist daher die a entsprechende Permutation 9a ein Produkt von u. Transpositionen, also eine ungerade Per-

mutation. Folglich enthéilt G* nicht nur gerade Permutationen; und die in G* enthaltenen geraden Permutationen bilden einen Normalteiler T* van

G* vom Index 2. Die T* entsprechende Untergruppe T von G ist daher ein Normalteiler der Ordnung u. 7.5. Das Kranzprodukt und die Sylowgruppen der symmetrisehen Gruppen'

Die Aufgabe, die Sylowgruppen der symmetrischen Gruppen zu bestimmen,

gibt Gelegenheit, ein Verfahren zur Konstruktion von Gruppen kennenzulernen, das in neuerer Zeit auch vielfach in ganz anderem Zusammenhang eine Rolle spielt. Wir beschreiben dieses Konstruktionsverfahren zunfichst

'

fiir Permutationsgruppen.

Gegeben seien eine Gruppe A von Permutationen der Menge .91 und eine Gruppe B von Permutationen der Menge .92. Natiirlich sollen .91 und [)2 nicht leer sein. Das Bild der Ziffer £16 .91 bei der Permutation a6 A bezeichnen wir wie friiher mit 51a, und analog sei 52b das Bild von £26 93 bei be B.

Unter .91 X .92 verstehen Wir die Menge aller Paare (61, £2) mit £16 .91,

£26 92. Wir betrachten die Menge W aller Abbildungenw von .91 X .92 in sich, die folgende Form haben (51, 52 w: (5161(52), 52 5)

(11(52) 6 A, b E B).

(1)

Die Ziffer £2 Wird also unabhfingig von der mit ihr gepaarten Ziffer £1 gem'a'fi der Permutation be B abgebildet. Das Bild der Ziffer £1 ist dagegen davon

abhéingig, mit welcher Ziffer 52 sie gepaart ist, und zwar werden alle 51, die 10*

7. Kapitel. Permutationsgruppen

148

mit ein und derselben Ziffer £2 gepaart sind, gemiiB der Permutation a(£2) 6 A

abgebildet. Fiir E; =l= £2 kann 11(5) =|= (1(52) ausfallen. Demnach ist w bestimmt durch ein Element be B und eine auf 92 definierte Funktion (1(52) mit . Werten aus A.-

"

,

Haben A und B endliche Ordnung und ist die Anzahl |92| der. Ziffern in 92 endlich, so besteht W aus

lBl-IAIW

(2)

verschiedenen Abbildungen. Ist w’ eine weitere Abbildung aus W, (51, 5910' = (51 a'(§z) , 52 I"),

so ergibt sich, wenn man w und w’ hintereinander ausfiihrt ‘

(Eb 52) ww’= (510(52): 525) w’= ($1 a(§2) “'(Ezb)a 52b)

(3)

Genau dann ist ww’ die identische Abbildung Ivon 91 X 92 auf sich, wenn

_b= 5—1: a'(§2) = MEN-1)“-

Folglich existiert zu jeder Abbildung 106 W die inverse Abbildung w“. Daher ist W eine Gruppe von Permutationen von 91 X 92, die als das

Kranzprodukt‘) A oB von A mit B bezeichnet wird. Ans (2) folgt, daB AoB auBer in trivialen Fallen von der Reihenfolge der Gruppen A und B abhfingt.

Wir beweisen nun, daB bei der Bildung mehrfacher Kranzprodukte das assoziative Gesetz gilt. Ist C eine Gruppe von Permutationen der Menge 93, 'so besteht (AoB)oC aus allen Permutationen der Menge (91X 92) X 93' von folgender Gestalt: ' ((51, 52). 53)-> ((51, 52) 10(53), $3 0) = ((51 0(52, $3), 52 “53», $3 0)-

Dabei ist b(E3) eine beliebige, auf 93 definierte Funktion mit Werten aus B,.‘ und (1(52, £3) ist eine auf 92 X 93 definierte Funktion mit Werten aus A, Andrerseits kann man Ao(BoC) bilden. Diese Gruppe besteht aus allen Per-

mutationen von 91 X (92 X 93) von folgender Farm; (51, (E2, 53))9 (514(52, 53), (525(53), 53 0»Identifiziert man 94 X (92X 93) und (91 X 92) X 93, so wird Ao(BoC)

' = (AoB)oC, woffir man ohne Klammern AoBoC schreibt. Analog kann man ‘ das Kranzprodukt aus jeder endlichen Anzahl von Gruppen in gegebener

Reihenfolge bilden, wobei infolge des assoziativen Gesetzes die Klammern fortgelassen werden konnen. 1) Englisch:hwreath product; franzfisisch: produit complet.

7.5. Bus Kranzprodukt und die Sylowgruppen der symrrwh'ischen Gruppen

149

Ordnet main der Permutationw in (1) das Element b6 B zu, so ist diese Abbildung nach (3) ein Homomorphismus von AoB auf B. Der Kern K dieses Homomorphismus besteht aus allen Permutationen kGA o B der Form (£13 £2) k= (El “(52): £2) -

Die Struktur von K liiBt sich folgendermaBen beschreiben: Jedem Element

" k6 K entspricht umkehrbar eindeutig ein System 0(52)

(52 6 92)

(4)

- von Elementen aus A. Man nehme fiir jedes 526 92 eine zu A isomorphe ‘ Gruppe A5. und bilde deren cartesisches Produkt

D= 17 A5,. 526-0:

Dann entsprechen sich die Systeme (4) und die Elemente aus D umkehrbar eindeutig, indem man 11(52) als d_ie Agi-Komponente eines Elementes aus D auffaBt. Also entsprechen sich auch die Elemente aus K und D umkehrbar

eindeutig. Entspricht einem weiteren Element k’G K das Element aus D mit den Komponenten a’(52), so ist nach (3) mit b = b’ = e dem Produkt kk’ dasjenige Element aus D zugeordnet, dessen Komponenten die Produkte

a(£2)a’(£2) sind. Folglich sind K und D isomorph.

I

'

Diejenigen Elemente aus A o' B, bei denen die erste Ziffer jedes Paares

(£1, £2) ungefindert bleibt, fiir die also (1(52) fiir alle £26 .92 gleich dem Einselement von A5. ist, bilden nach (3) eine zu B isomoi‘phe Untergruppe B von A o B. Offensichtlich bildet B ein System von Représentanten fiir die

Nebenklassen von A o B nach dem Normalteiler K. Daher haben wir AoB= KB.

'Folglich ist A o B dem Gruppentypus nach eine zerfallende 'Erweiterung

" von K (oder D) mit B. Fiir 516 B, k6 K ergibt sich, wenn b1 das Tu entsprechende Element aus B ist, (£1. 52) 511651" = ($1; 52171) H71“ = (510(5251). 5: b1) 51“ = (5145251). £52)- (5)

Bisher haben wir das Kranzprodukt von Permutationsgruppen definiert.

Um es auch fiir abstrakte Gruppen A und B zu definieren, ersetze man A und B durch ihre rechts-reguléiren Permutationsdarstellungen. An die Stelle der Ziffern £16 91 treten dann die Elemente aus A, und statt der Permutation

(5‘ ) 514*

(51 e .91, a* e A)

150

7. Kapitel. Permutationsgruppen

von 91 haben wir die Permutation _ (:a*)

(a, a* E A)

der Elemente von A; analog fiir 522 und B. Nach dem oben Ausgefiihrten kann das Kranzprodukt A o B von zwei abstrakten Gruppen A und B

folgendermaBen beschrieben werden: Jedem be B ordne man eine zu A is_omorphe Gruppe Ab zu, und zwar entspreche dem Element a6 A das Element abE A1,. Es sei

”1161‘“ das cartesische Produkt der Ab. Dann ist A o B isomorph zur Gruppe aller formalen Produkte db(dE D, ()6 B) mit der Multiplika-tionsregel

1115101252 = 410151171172

(d1, dz 6 D; b1: 52 E B)

'

(6)

wobei 11—» d"1 ein Automorphismus von D ist, der entsprechend (5) (lurch

(ab)b1= dab,

(7)

(5, b1 6 B)

definiert ist. Da hierbeiulg1 formal dem lualzbf1 entspricht, muB die Zusammensetzung dieser Automorphismen durch _ do“), = (dbs) b1

'

(8)

erklfirt werden. DaB die db mit den Rechenregeln (6), (7), (8) eine Gruppe

bilden, kann man auch unabhéingig von dem bisher Gesagten direkt nachrechn‘en oder aus der allgemeinen Theorie der Gruppenerweiterungen im

6. Kapitel entnehmen. Wir hatten D als das cartesische oder uneingeschréinkte direkte Produkt der Ab erkléirt; daher nennt man A o B auch genauer das

uneingeschrankte Kranzprodukt. Ersetzt man D durch das eingeschréinkte direkte Produkt, so gelangt man auf die gleiche Weise zum eingeschrfinkten " Kranzprodukt. . Um die p-Sylowgruppen der symmetrischen Gruppe Sn zu bestimmen, stellen ,

wir zuerst deren Ordnung fest, d. h. die genaue in n! aufgehende Potenz von p. Um diese Potenz bequem schreiben zu k6nnen, fiihren wir folgende Bez’eichnung ein: Ffir irgendeine reelle Zahl g sei [9] die grtiBte gauze Zahl, die 9 nicht fibertrifft. Also ist [Q] ganz, rational mit [Q] s e< [Q] + 1. In

der Reihe 1, 2, . . ., n gibt es fiir k = 1, 2, . . . genau [£5] durch pk teilbare Zahlen, nfimlich xp" mit 1 g a: g [1k] . Jede durch p teilbare Zahl (ler Reihe P

1, 2, . . . , n enthz-‘ilt zunéichst einen Faktor p, auBerdem enthéilt jede durch p2

teilbare Zahl dieser Reihe einen weiteren Faktor p, weiter ist in jeder durch p3 >

7.5. Bus Kranzprodukt und die Sylowgruppen der symmetrischen Gruppen

151

teilbaren Zahlnuch noch- ein ‘dfitter Faktor p enthalten usw. Folglich ent-

hfilt n! im ganzen

m 0).

(10)

Offenbar gilt die Rekursionsformel

m(P’+1)= Pm(P') +1-

(11)

Die Darstellung der Zahl n im Ziffemsystem mit' der Basis p sei n=zo+x1p+x2p2+ ---+az.-.pt

(0_S_a:,-

a 21133:: 26a 976G

$60

x=( Z azz)a

I

(a ganz rational),

366'

(363““X gab”:)= 26 “‘”Wig; ($5, “”0" Es ist klar, daB G° mit diesen Rechenregeln ein Ring ist. Der ganzzahlige

Gruppenring H° von H ist in G° als Teilring enthalten. Die Elemente aus G° wollen wir Griifien nennen. Die Gréfien aus H° bezeichnen Wir mit kleinen griechischen Buchstaben. Unter einer einfachen Gr6/3e verstehen wir ein Element Zazx aus G°, in dem jeder Koeffizient ax gleich O oder 1 ist. Dem-

nach ist eine einfache GréBe die Summe aller Elemente eines Komplexes K aus G. Wir benutzen auch die Bezeichnung

I? = 2 a2. a: E K

' Gleichbedeutend mit G1 a” = Gihx ist in G° die Gleichung G1 "” = G1hx.

Die Elemente alis G, aufgefaBt als Permutationen der Elemente von H, 'erzeugen in naheliegender Weise Abbildungen von H° auf, sich, indem man fiir n= 2' chh€H° .

.

defimert

he H

= Z chh‘”.

heH

Entsprechend der Festlegung von hm durch Glh‘” = Giha: kann man 17” auch folgendermaBen erkla'iren: n“ ist dasjenige eindeutig bestimmte Element aus

H°, das der Gleichung ' Gm“ = GUM

(3)

156

7. Kapitel. Permutationsgruppen

geniigt. Es ist niimlich élflm= @1( Z chh)-'= (:1 Z Chh“ = Z chélh“

hGH.

hEH

'hGH

= Z chéihz = (3'1( 2 chh)w= 6mm. 1161i 1163 ' '

D33 17“ durch (3) eindeutig festgelegt ist, folgt aus der linearen Unabhfingig- . keit der GrfiBen éih(h E H) in G°. Die Elemente von H zerfallen bei den Permutationen der Gmippe 01 in Transitivitfitsgehiete T1, . . ., Th. Die entsprechenden einfachen GrfiBen 1'.- = T (i = 1,. .,k) erzeugen einen Teilmodul T° des Gruppenringes H°, ‘ na‘imlich die Gesamtheit der GroBen k Ea,- 1',-

i—i

(c; ganz i‘ational).-

V

‘

Wir nennen T° den Transitivitéitsmodul. Fiir eine GréBe 176 H° gilt demnach: Genau dann ist 17 6 T°, wenn 17!! = 17 fiir jedes y 6 01. Da Gr das Einselement

von H festléifit, besteht einer der Komplexe T;- nur aus dem Einselement, etwa 1: T1 = e. Ferner wird offenbar 21:,- = H. i=1

.

Dann und nur dann ist G zweifach transitiv, wenn G1 die von 9 verschie- '

denen Elemente aus H transitiv permutiert. Driickt man diesen Sachverhalt mittels des Transitivitiitsmoduls T° aus, so erhfilt man: Genau dann ist G zweifach transitiv, wenn T° den Bang 1: = 2 hat. Aus der Tatsache, daB T° eine aus einfachen GrfiBen bestehende Basis

hat, folgt unmittelbar: Ist f(c) eine fiir alle ganzen rationalen Zahlen c defi- nierte ganzwertige Funktlon, so liegt nebenhZ‘chh auch Zf(c,.)h 1n T°. Durch

hBEH

passende Wahl der Funktion f(c) erhiilt manehieraalus z. B.die folgenden Aus-
A’ d;

ein Homomorphismus der monoinialen Gruppe M in A/A’.

174

8. Kapitel. Mommiale Gruppen und die Verlagerung

Wir betrachten diesen Homomorphismus insbesondere fiir die im Sinne von ‘ (8.1) durch eine Untergruppe H der Gruppe G erzeugte monomiale Darstellung

von G, wobei wir die weitere Einschréinkung machen, daB H selbst Multiplikatorgruppe sei. Ist

G= Hr1+ .-.+ Hr"

die Zerlegung von G in Rechtsnebenklassen nach H, so wird fiir ein Element3 6 G in etwas ausfiihrlicherer Bezeichnungsweise als in (5) aus (8.1) rgs=hi,,ri,

(hmEH;

i=1,...,n).

' Diese~ Gleichungen besagen, daB die r,- selbst bei Rechtsmultililikation mit s eine monomiale Substitution mit Multiplikatoren aus H erfahren. Dem Ausdruck A’d; entspricht jetzt n

v(s)= H’ljihm,

wobei H’ die Kommutatorgruppe von H bedeutet. Die Abbildung s —> 22(3)

ist ein Homomorphismus von G in H/H’, der als die Verlagerung von G in die Untergruppe H bezeichnet wird. Zuweilen schreibt man ausfiihrlicher 22(3) = vG—>H(s)'

~

>

Geht man von dem Reprfisentantensystem r1, . . ., rn zu einem anderen ‘ fiber, so bedeutet das, wie wir in (8.1) erkannt hatten, den Ubergang zu einer

éiquivalenten monomialen Darstellung. Infolge (8) in (8.1) bleihen dahei die Determinanten ungeiindert. Das besagt in unserem Spezialfall, daB 12(8) von der Wahl des Repréisentantensystems unabhfingig ist. Die Verlagerung ist ein oft benutztes Hilfsmittel in der Theorie der endlichen Gruppen. Daher sollen die soeben festgestellten Tatsachen noch einmal ohne

Benutzung monomialer Darstellungen formuliert und bewiesen werden. Es sei H eine Untergruppe von G mit dem endlichen Index [0: HI = n; ferner sei H’ die Kommutatorgruppe von H und

1 ‘

G= Hr1+ ---+ Hr"

die Zerlegung von G in Rechtsnebenklassen nach H. Fiir ein Element 3 6 G bestehen dann Gleichungen der Form ris=h;,,r,-,

(i=1, ...,h),

wobei die h; . in H liegen und r1" . . . , rm eine Permutation von r1, . . . , r" ist.

8.2. Die Verlagerung

175

Als Verlagerung von G nach HIbezeichnet man die Abbildung

. v '—>

=.H’

g .

n hi '

von G in H/H’. (8.2.1) Die Verlagerung s—rv (s) ist ein Homorphismus von G in H/H’. Dabei ist 12(3) unabhiingig van der Wahl des Repriisentantensystems fiir die ' ‘Nebenklassen van G nach H.

Beweis. Der Beweis beruht auf einer einfachen Rechnung. Fiir s, t E Gist

.(.)= H' 11h..."

v= H'fih-zn

also

”(3) ”('3) =H’ 1.; (hi,.hi,t) -

Andrerseits gilt

V

"i 8‘ = ha: Ti: 1 = hi”: him rim and weil 1s, . . ., ns eine Permutation von 1, . . ., n ist, folgt daraus v(st) = H’ 11—71(hi’8hi3,¢)l= H, 1—71 (hi,,hi’;) = 0(8) v(t).

Legt man die Elemente q.- = ciri mit ci e H (i = 1, . . ., n) als Reprz'isentanten fiir die Nebenklassen von G nach H zugrunde, so erhi—ilt man is: ciri8= cihi,sru= cihiucgiqin

'und fiir die Verlagerung ergiht sich infolgedessen

H’fi (c,h,-,,c,.-,1) = H’ I? hm: v(s). Daher ist 0(3) in der Tat von der Wahl des Reprisentantensystems unabhfingig. Damit ist (8.2.1) bewiesen. Die Elemente s 6 G mit v(s) = H’ bilden einen Normalteiler 01 von G. Man

nennt G1 den Kern der Verlagerung von G nach H. Da GIG, isomorph in H/H’ abgebildet wird, ist G/G1 abelsch, und folglich enthfilt G1 die Kommutatorgruppe von G.

Es seien U und H Untergruppen von G mit U C H C G. Ferner seien sowohl IG : Hl = n als auch IH : U| = m endlich. Dann gilt die folgende Transitivitatsregel:

(3.2.2) Fiir jedes s e G ist 9G» [1(8) = vH—>U (”G—D1165» '

176

8. Kapitel. Mommial‘e Gruppen und die Verlagerung

B eweis . Die Nebenklassenzerlegungen seien G= Hr; + ---+ Hr”, H= U‘a1+ ...+ Uam.

Als Nebenklassenzerlegung von G nach U ergibtsich daraus G= Zm' Zn' Uairj. i—_1 j—1

Fiir s E G sei rjs=hj,,rj,

(113.6117;

j=1,'...,n),

a; hj’,= aid-J a;

(11“,, E U;

i= 1, . . ., m). -

Daraus folgt

-

a; rj 8 = am", a; 1’},

Also erhiilt man n

vm(s)= U'fi “1.13:i=1 1= 1 Ferner wird

vg_,3(s)= H’ 171 h-,,. J:

Bei der Bildung der Verlagerung von H nach U beachte man, daB fiir jedes

Element h’ e H’, wie wir oben bemerkt haben, vH9U(h’) = U’. gilt. Daher ergibt sich

’

vH—.U(va-»H(8)) = ”II-.U (H'jlj hm) = ”II-J] (11:71 h',:) n

n

m

=11? vH-rUU‘jJ) = U'jg [J ui,i,c=' ”640(8)-

Damit ist die Transitivitfitsregel bewiesen. Da die Verlagerung nicht von der Wahl des Reprisentantensystems abhéingt, so kann man zur Berechnung der Verlagerung fiir ein bestimmtes Element s E G mit Vorteil ein spezielles, von 3 abhéingiges Reprfisentantensystem

benutzen. . - . In der durch H erzeugten Permutationsdarstellung von G entspricht dem Element s E G die Permutation ~

His)

(i= 1, ...,n).

(1)

8.3. Anwendungen der Verlagerung

'

177

Diese zerfafle in t Zyklen der Langen l1, . . ., 1,, wobei auch die eventuell auf— tretenden Zyklen der Léinge 1 mitz'uzfihlen sind, so daB die Gleichung t (2) jZ1'lj=n=|G:H|

besteht. Die Zyklenlangen lj sind Tefler der Ordnung von .9, da die Ordnung der Permutation (1) gleich der Ordnung von 8 oder gleich einem echten Teiler

"Von ihr ist. " ' ' ’ Die Numerierung sei so gewahlt, daB (Hr1, Hr2, . . ., Hrl)

einer der Zyklen der Permutation (1) ist. Dann ist also H718: Hrz, Hrgs =Hr3, . . ., Hr;-1s= Hrl, Hr13= Hri.

Als neue Beprfisentanten fiir diese l Nebenklassen wahlen wir r1, 718, r182, . . ., 1'1 81—1.

Mit diesem Reprisentantensystem erhfilt man als Beitrag dieserl Nebenklassen zu v(s) wegen risl = rislrf1 r1 offenbar H’rislri‘ 1. Hierbei ist a1 die kleinste positive Potenz von .9, die in rf‘ Hri enthalten ist. Diese Rechnung fiihre man ffir jeden einzelnen Zyklus der Permutation (1) durch. Sind 91, . . . , q, Reprisentanten je einer Nebenklasse aus jedem Zyklus, so erhéilt man. 3

.

v(s) = H’ 17191-894?“ J=

.

(3)

3.3. Anwendungen der Verlagerung Unter einem Komplement eines Normalteilers D der Gruppe G versteht man

nach (6.2) eine Untergruppe H von G mit der Eigenschaft

G_= HD, HnD=e, so daB G eine zerfallende Erweiterung von D mit H ist. Es gibt eine Reihe wicht iger Satze von folgendem Typus: Falls eine endliche Gruppe G eine Unter-

gruppe H enthfilt, die gewissen Bedingungen geniigt, so existiert in G ein Normalteiler D, ffir den H ein Komplement ist. Einer der bekanntesten Sfitze

dieser Art ist folgender: (8.3.1) Satz von BURNSIDE. Liegt die p-Sylowgruppe P der endlichen Gruppe G .im Zentrum ihres Normalisators, so enthfilt G einen Normalteiler D mit der Eigen-

schaft G = PD, PnD = e. 12

Kochend6riler,Gruppentheorie

178

8. Kapitel. Mommi‘ale Gruppen und die Verlagerung

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt insbesondere, (1313 P abelsch ist, also P’ = e. Wir bilden die Verlagerung von G nach P. Fiir ein Elementa: 6 P

ergibt sich dabei nach (3) in (8.2) t

”(w)= I I qjxl’qJ":

j-i

wobei nach (2) in (8.2) 3

l= IG: P|= n. j=1

Jeder Faktor qjasl’qj'1 von v(a:) 'liegt in P und ist in G zu w" konjugiert. Nach _ (3.3.5) sind daher x“ und qjxl’qj‘i bereits im Normalisator N(P) von P kon- -

jugiert, und weil P im Zentrum von N(P) liegt, haben Wir gjztl’qj‘1 =22" (j = 1, . . ., t). Daher wird v(x) = a2" fiir jedes as E P. Da n zur Ordnung von P

teilerfremd ist, so folgt daraus, daB bei der Verlagerung von G nach P die Untergruppe P isomorph auf sich abgebildet wird. Ist D der Kern der Ver- ‘ Iagerung, so konnen infolgedessen die Elemente aus P als Reprfisentanten fiir die Nebenklassen von G nach D dienen, und auBerdem ist P n D = e. Damit

ist (8.3.1) bewiesen.

'

Aus (8.3.1) folgt: (8.3.2) Die Ordnung einer nichtabelschen endlichen einfaciwn Gruppe ist durch 12 oder durch die dritte Potenz ihres kleinsten Primfaktors teilbar. '

Beweis. Sei p der kleinste Primteiler der Ordnung der nichtabelschen einfachen Gruppe G. Wir nehmen an, daB die Ordnung einer p-Sylowgruppe P ' von G entweder p oder p2 ist. Jedenfalls ist dann P abelsch. Nach (8.3.1) darf P nicht im Zentrum seines Normalisators N(P) liegen. Hat P die Ordnung p,

so hat die Automorphismengruppe von P die Ordnung p —- 1; hat P die ' Ordnung p2, so ist die Ordnung der Automorphismengruppe p(p — 1) oder (p2 —- 1) (p2 — p) = p(p — 1)2 (p + 1), je nachdem, ob P zyklisch oder elementar abelsch ist [n (5.4) bzw. (12.2)]. Fiir eine imgerade Primzahl p ist keine der Ordnungen der 'Automorphismengruppen durch eine Primzahl >p teilbar, also kann durch Transformation mit einem Element aus N(P) in P kein nichttrivialer Automorphismus entstehen. Im Fall p = 2 ist von den) ' Ordnungen der 'Automorphismengruppen nur p(p — 1)2 (p + 1) durch eine Primzahl > 2 teilbar, nfimlich durch p + 1 = 3. Dann ist P zur Vierergruppe isomorph und IGI durch 12 teilbar.

Um (8.3.1) zu verallgemoinern, fiihren wir einige Begriffe und Bezeichnungen .~ em. '

8.3. Anwendungen der Verlagerung .

.

179

Fiir zwei Komfilexe A, B aus einer beliebigen Gruppe' G bezeichnen wir mit [A, B] die von alien Kommutatoren [a, b] = “lb—lab mit a 6 A, b E B

erzeugte Untergruppe von G. Die absteigende Zentralfolge

H= Z1(H) 2 2,01) 2 23(3) 2 ‘ einer Gruppe H wird definiert durch

Z,(H) = [Z,_1(H), H]

(i= 2, 3,

.).

Alle Z.-(H) sind offenbar vollinvariante Untergruppen von H. Man nennt H nilpotent, wenn es eine natiirliche Zahl k mit Zk(H) = e gibt. Dann heiBt

Hemmsmmsmammmohwne die absteigende Zentralreihe von H. Nilpotente endliche Gruppen werden im 9. Kapitel eingehend untersucht. Insbesondere wird dort bewiesen, daB jede

endliche p-Gruppe nilpotent ist. Si‘nd V und W Untergruppen von G init W C; V S G, so bezeichnen wir mit [W, V]* das Erzeugnis aller Kommutatoren [w, v] mit w 6 W,v 6 V, die in W enthalten sind. Offenbar ist die Kommutatorgruppe W’ = [W, W] in [W, V]* enthalten, so daB [W, V]* Normalteiler in Wist. Ffir eine Untergruppe U ; G wird die Fokalreihe

U= 0U21U22U2 .. definiert durch

U=udm0r

'

a=111 m

Offenbar sind alle U Normalteiler in U. Man nennt U hyperfokal, wenn”. U =e fiir eine natfirliche Zahl m.

Es gilt Z1(U)= U— = 0U. Steht schon fest, daB

(1)

Z4109 i-1U9 so folgl;

‘

‘

Zi+1(U)= [Z,-(U), U]= [Z.-(U), U]* 5: [,-_1U, U]* Q [.~_1U, G]*= ,-U Daher gilt (1) fiir i— = 1, 2, 3, . . . Daraus folgt, daB jede hyperfokale Untergruppe nilpotent ist.

Unter einer Hallgruppe der endlichen Gruppe G versteht man eine Untergruppe H van G, deren Ordnung IHI zu ihrem Index IG: HI teilerfremd ist.

Jede Sylowgruppe von Gist z. B. eine Hallgruppe. 12*

— 180

8. Kapitel. Mommiale Gruppen und die Verhzgerung

Mit diesen Begriffen formulieren wir folgende Verallgemeinerung von (8.3.1): (8.3.3) Satz von D. G. HIGMAN. Ist H cine hyperfokale Hallgruppe der endlichen Gruppe G, so enthiilt G einen Normalteiler Q mit G = HQ, H n Q = e. Zunéichst wollen wit zeigen, wie (8.3.1) aus (8.3.3) folg’c. Die Sylowgruppe P van G liege im Zentrum ihres Normalisators N(P). Soll fiir a 6 P und :1: 6 G

das Element (fix-1am in P liegen, so muB x‘iaa; in P enthalten sein. Wendet man (3.3.5) auf die beiden Elemente a und w‘iam der abelschen Gruppe P an, . so folgt, daB diese beiden Elemente bereits in N(P) konjugiert sind und daher nach Voraussetzung fibereinstimmen. Das ergibt a‘iw‘iaa: = e. Folglich haben wir 1P = [P, G]* = e, so daB P eine hyperfokale Hallgruppejst. ‘ Dem Beweié von (8.3.3) schicken wir einen Hilfssatz voraus, der eine Verlagerungsaussage enthfilt. Hilfssatz. Es sei U eine Untergruppe der endlichen Gruppe G und T ein Normalteiler von U. Die Primzahlmenge at enthalte sfimtliche Primteiler von IU : TI. Mit Q werde das Erzeugnis aller Elemente aus G bezeichnet, in deren Ordnungen keine Primzahl aus at aufgeht. Ferner sei A = Q 0 U, B = on T.

Dann gilt ffir jedes Element .1; 6 A

wlo’Al e [A, Q]*B.

.

,

(2)

Beweis. Die Verlagerung von Q nach A ist éin Homomorphismus 1: von Q in A/A’. Das Bild x’ eines Elementes a: E Q kann nach (3) in (8.2) folgendermaBen berechnet werden: . t x’= A’qx‘qi‘i. j=1

Hierbei sind die q,- geeignete Elemente aus Q, die l_,- natiirliche Zahlen, und es ist ' qJ-xliqj—‘E A,

l1+

+ l,= IQ. A].

Liegt x insbesondere in A, so gilt

q"qj“$“" 6 A und daher

q"qi“w“' e [A, 01* Oder anders geschrieben

‘

qJ-w'wr‘ a x" ‘ (mod [A, 01*). ’Im ganzen erhfilt man (laher fiir a; 6 A 2‘ _=. wll+"'+" = xl0=A|

(mod [A, Q]*).

8.3. Ambendungen der Verlagerung

181

Wegen A’ Q [A, Q]* gilt erst recht A’ Q [A, Q] *B. Daher existiert ein natiirlicher Homomorphismus 1! von A/A’ auf A/[A, Q] *B. Folglich ist 0' = t7 ein Homomorphismus von A in A/[A, Q]*B, fiir den

we 5 l =AI

(mod [A, 91*3).

(3)

Nun ist die Ordnung der Faktorgruppe A/ [A, Q] * B ein Teiler von IA : BI und V IA :_BI = IQ n U: Q n TI ein Teiler von |U: TI. Be at alle Primteiler von

' IU : TI enthéilt, liegen erst recht alle Primteiler der Ordnung von A/ [A, Q] * B in n. Andrerseits ist a: als Element aus Q darstellbar als Produkt von Elementen, in deren Ordnungen keine Primzahl aus at aufgeht. Daher muB :3" = e sein. \n Aus (3) folgt daher (2). Beweis von (8.3.3) Es sei H eine hyperfokale Hallgruppe von G und H=oH31HD-~-Dm_1HDmH=6

die Fokalreihe. Mit at bezeichnen wir die Menge der Primteiler von [HI und mit Q das Erzeugnis aller Elemente aus G, in deren Ordnungen keine Primzahl aus at aufgeht. Wir setzen

Ti=QniH

(i= 0,1,...,m),

insbesondere also

To'= Q n H, Tm: e. Da Q Normalteiler in Gist und wegen i+1H = [,-H, G]* gilt

[Th 01*; Ti+1 '

(i=0: ...,m—1).

,

(4)

Weil Ti+1 Normalteiler in T,- ist und weil n: insbesondere alle Primteiler von IT,- : Ti+1I enthéilt, lfiBt sich der Hilfssatz anwenden. Unter Beriicksichtigung

von (4) ergibt sich ffir jedes Element 1:: 6 T; {EIQ‘ T‘I 6 [T5, Q]* Ti+1= 71,-4.1.

(i= 0, ..., ”9—. 1).

(5)

_ Wir zeigen nun, daB jeder Primteiler von IQ: Til in IQ: ToI aufgeht. Das

' trifft sicher fiir i = 0 zu. Wir nehmen an, daB die Aussage fiir den Index i

richtig ist, und beweisen sie fiir i + 1. Es ist IQ: Ti+1I= IQ: TiI'ITi: Ti+1|Nach (5) geht jeder Primteiler von I T,- : TH'.1I auch in IQ: Til auf. Da demnach IQ: Ti+1I keine anderen Primteiler enthfilt als IQ : Til, so ist unsere Behaup-

tung bewiesen. Insbesondere ergibt sich fiir i = m: Jeder Primteiler von IQI teilt IQ: Q n HI. Also teilt erst recht jeder Primteiler von IQ n HI den Index

IQ=QNHL

182

8. Kapitel. Menomiale Gruppen und die Verlagerung

Da at keinen Primteiler von |G : HI enthz'ilt, hahen wir G = HQ. Ist nfimlich q eine nicht in 7: enthaltene Primzahl, so enthéilt Q die q-Sylowgruppen von G. Ist aber p E 91, so muB, da p nicht in |G: Hl aufgeht, die Ordnung von H

durch die gleiche Potenz von p teilbar sein wie die Ordnung von G. Daher hat HQ die gleiclie Ordnung wie G. In IQ [‘1 HI gehen nur Primteiler von IHI auf, .und IHI ist teilerfremd zu

|G:H|= |HQ:H|=‘|Q:QflH]. Andrerseits hatten wir oben festgestellt, daB IQ: QflHI durch jeden Primteiler von |Qn Hl teilbar ist. Daraus folgt Qfl H = e. Damit ist (8.3.3) bewiesen. Eine andere Verallgemeinerung von (8.3.1) beruht auf folgendem Begriff: Es sei H eine eigentliche Untergruppe von G und >G= 2' Hr rER

die Zerlegung von G in Rechtsnebenklassen nach H. Wir nennen das Re-

prfisentantensystem R fiir G nach H ausgezeichnet, wenn es folgende Eigenschaften besitzt: h‘iRh= R

fiir jedes

h E H.

Bei gegebenen G und H braucht durchaus nicht immer ein ausgezeichnetes Repréisentantensystem zu existieren, und falls ein solches existiert, ist im allgemeinen keineswegs jedes Bepréisentantensystem von 'G nach H aus-'

gezeichnet. Ein trivialer Fall, in dem ein ausgezeichnetes Repriisentantensystem existiert, ist der, daB H Komplement eines Normalteilers Q von G -ist; denn dann ist offenbar Q ein ausgezeichnetes Repréisentantensystem.

Ist das Element r des ausgezei'chneten Bepréisentantensystems R im Normalisator von H enthalten, 'so ist r elementweise mit H vertauschbar. Aus

r6 R folgt néimlich fiir jedes he H h‘irh= r’ E R.

Andrerseits haben wir, wenn r im Normalisator von H liegt, rhr‘1 = h’E H.

Daher wird rh = hr’ = h’r, also r’ = r, h’ = h. Es gilt nun folgender (8.3.4) Satz von ZAPPA. Gibt es in der endlichen Gruppe G ein ausgezeichnetes Reprdsentantensystem fu'r die Nebenklassen nach der nilpotenten Hallgruppe H, so enthiilt G einen Normalteiler Q mit G= HQ, H n Q = e. '

8.3. Anwe'ndungen der Verlagerung

183

Beweis. Wir’zeigen, daB die Existenz eines ausgezeichneten Reprisentantensystems von G nach H zur Folge hat, daB H hyperfokal lst. Dann folgt unser Satz ans (8.3.3). Das ausgezeichnete Reprfisentantensystem von G nach H sei R, ferner

bezeichne Z (H) das i-te Glied der absteigenden Zentralreihe von H. Fiir die Glieder der Fokalreihe von H gilt jedenfalls OH: 7(H) Es sei schon

, i-1H; ZJH.)

.

(6) bewiesen. Um ,-H zu bilden, haben wir die in i_1H gelegenen Kommutatoren

(hi—1"E i-1H’ g E G) Wig—mp1s heranzuziehen. Mit g = hr(h€ H, r6 R) ergibt sich, weil R ausgezeichnet ist, hi__1g_1hi_1g= Iii—£1 r—‘h‘1hi_1 hr= hfj‘ih‘ihi_lhr1'1r

mit einem gewissen HER. Soll dieser Kommutator in i_1H liegen, so muB

r1 = r sein. Dann gilt aber wegen (6)

h‘1g_1hi_1g= h.-_1 h- 1h,-_1h€Z,+1(H). Daher gilt (6) ffir l = 1, 2, . . .. Da H nilpotent ist, Wird etwa Zc+1(H) = e, also sicher CH = e. Folglich ist H hyperfokal. Damit ist (8.3.4) bewiesen. Wir wollen nun zeigen, daB (8.3.1) aus (8.3.4) folgt. Dazu nehmen Wir an,

daB die p-Sylowgruppe P von G im Zentrum ihres Normalisators N(P) liegt, und konstruieren ein ausgezeichnetes Reprz'isentantensystem fiir G nach P. Wir gehen aus von einem beliebigen Bepréisentantensystem qi, . . ., qn fi'u' G nach P und findern es so ab, daB es ausgezeichnet wird. Sofem eine Nebenklasse q in N(P) liegt, ist qj elementweise mit P vertauschbar. Daher braucht qj nicht abgez‘indert zu werden. Ordnet man jedem Elementh e P ' die Permutation Pqi (h‘qih)

._ (11, ...,n)

der Nebenklassen von G nach P zu, so erhfilt man eine homomorphe Abbi]dung von P auf eine Permutationsgruppe P*. Es s‘ei etwa Pqi eine nicht in N(P) enthaltene Nebenklasse, und die Numerierung sei so gewa'ihlt, . daB Pq1, . . ., q ein Transitivitfitsgebiet von P* bilden. Dann ist P homomorph auf eine Gruppe von Permutationen dieser k Nebenklassen abgebildet. Der Kern dieses Homomorphismus sei Po, so daB P/Po isomorph zu einer tran-

sitiven Permutationsgruppe des Gradesk ist. Diese ist nach (7.1.4) regular, weil P/Po abelsch ist. Die Nebenklassenzerlegung von' P nach Po sei P= Poh1+ ....|L Pohk:

184

8. Kapitel. Mommiale Gruppen and die Verlagerung

und zwar Sei hi-1 qhi = Pqi(i = 1, , _ .,k). Statt 91, _ . _, 4k fiihren wir

"1=91,

ri-ékriqihi

(i=2,...,k)

als neue Nebenklassenrepréisentanten ein. Wir werden zeigen, daB r1, . . ., r1,” bei Transformation mit den Elementen aus P nur untereinander vertauscht

werden. Fiir ein Element ho 6 Po gilt ho—1 qh0 = All, also h31q1h0= cqi,

. c E P.

Daraus folgt

91h09I1=hom Auf die Elemente ho und hoe treffen daher die Voraussetzungen des Satzes (3.3.5) zu. Da P im Zentrum von N(P) liegt, folgt ho= hoc, also 0 = e. Das besagt, daB die Elemente aus Po mit qi vertauschbar sind. Ist nun h = hohj

(ho 6 Po) ein beliebiges Element aus P, so erhéilt man

.

h“r,—h= hflhO—ihi—lqlhihohja (hihj)_-'1q1(hihj)

= ’11—‘91’11: r1,

wobei sich der Indexl aus hihj = 50h“ I}. 2 p0 erg'ibt. .

Fiihrt man die entsprechende Abinderung in siimtlichen Transitivitiitsgebieten von P* durch, so erhfilt man ein ausgezeichnetes Reprisentantensystem. ' Weitere Verallgemeinerungen des Satzes (8.3..1) finden sich In [146]. (Auf-

gaben 44, 45).

‘

8.4. Verlagerung in eine Sylowgruppe

In diesem Paragraphen soll die Verlagerung einer endlichen Gruppe 1n cine p-Sylowgruppe nfiher untersucht werden.

(8.4.1) Ist P cine p-Sylowgruppe und G’ die Kommutatorgruppe van G, so gilt fu'r das Bild 22(0) van G bei der Verlagerung nach P 22(0) a P/P n G’.

Beweis. Da die Verlagerung von G nach P einen Homomorphismus in eine p-Gruppe darstellt, so wird jedes Element aus G mit einer zu p teilerfremden _

Ordnung auf P’ abgebildet. Da G durch P und gewlsse, zu anderen Primzahlen gehorige Sylowgruppen erzeugt wird, ist folglich 11(G) = v(P). Ffir ein Element :1: E P erhéilt man nach (3) in (8.2) ' t

v(rv)= 1” Hqfll’qfi i=1

8.4. Verlagerung in eine Sylowgruppe

185

mit gewissenElementen q,- E G und l; +

+ l, =_|G: PI = n. Daraus folgt

9(2) 5 113'! = :5" J-

(mod 0’).

181; nun 11(3) = P’, so haben Wit :3" E G’, also wegen (n, p) = 1 auch a; E G'. Andrerseits wird, weil P/P’ abelsch ist, jedes Element aus G’ bei der Ver-

" lagerung auf- P’' abgebildet. Fiir a; 6 P wird daher genau dann v(a:) = P’, wenn a: E PflG’. Also haben Wir MP) a P/PflG’. Dies zusammen mit v(G) =, v(P) liefert die Behauptung. Die im letzten Satz aufgetretene Gruppe P n G’ 1531; sich nun auch noch in anderer Weise beschreiben, néimlich sozusagen von P aus. Wir behalten die bisherigen Bezeichnungen bei, auBerdem sei N = N(P) der Normalisator von P in G. (8.4.2) Satz von GRUN. v(G) E P/P1,'wobei

p1: (P n N'){EIE]G Png-ipg}. Beweis. Offensichtlich ist P1 das Erzeugnis von Untergmppen, die sfimtlich in Pn G’ enthalten sind. Daraus folgt P1 EPfl G’. Nach (8.4.1) bleibt

daher nachzuweisen, daB auch P n G’ g P1 gilt. Das geschieht dadurch, daB wir fiir ein beliebiges Element a: E P n G’ zeigen, daB es auch in P1 liegt. Da

trivialerweise 96 P1 gilt, kfinnen wir induktiv nach der Ordnung von :1: schlieBen und annehmen, daB jedes Element aus PnG’ mit kleinerer Ord-

nung 313 a: in P1 enthalten ist. Wir berechnen v(a2) nach (3) in (8.2): t

v(x) = P1? ql’qj“J-

.

(1)

Aus der Doppelmodulzerlegung

G= P+ P32P+ .--+ PsmP

(2)

greifen wir einen beliebigen Komplex PsP heraus und berechnen dasjenige Teilprodukt ans (1) gesondert. welches zu den q.- mit qi E PsP gehfirt. Diese q.- 1 haben die Form qi= aisb;

(a;, 17,- 6 P).

Wie aus der Herleitung der Regel (3) in (8.2) hervorgeht, kann man sich d_ie q,in (1) von vornherein so gewéihlt denken, daB unter den in PsP enthaltenen q.-

186

8. Kapitel. Mommiale Gruppen und die Verlagerung

das Element 8 selbst vorkommt. Man erhfilt fiir das 1n Bede stehende Teil-7

produkt

mJtA

P’Haisbixl'bi‘is‘iafl: p’ Hsbixl‘br‘s‘1= P’w

i i w= I] sbixl‘bi'is'1= 8(Hbiml‘bi")8“

Hierbei ist El.- die Anzahl der PsP enthaltenen Rechtsnebenklassen nach P. Diese Anzahl ist nach (1.6) eine Potenz von p, etwa El,- = pk. Wir unterscheiden nun zwei Ffille, je nachdem k> 0 Oder k = O ist. Zu- _

nfichst sei k > 0. Es wird 3'1ws= H biml‘bi'i E ”as“ = 2P” also i ‘

(mod P’),

(8‘1w3)‘1xP"€ P’.

I

(3)

Wie wir oben bemerkt haben, kann man annehmen, daB unter den qi mit q,- 6 P8P das Element 3 selbst vorkommt, etwa q1 = s. Dann ist .tmflls'1 in P

enthalten, und l1 ist als Teiler der Ordnung von :1; eine Potenz von p, etwa 11 = pf. Da li- In El = pk vorkommt, ist. f S k, und folglich ist auch swl’ts ‘ in P enthalten, also

xl’" E 3‘1 Ps. Ans w E P folgt daher weiter (s‘iwsrixp‘e s'iPs. Daraus und ans (3) ergibt sich (84103)”f 3'1Ps HP’ oder

w‘1sxP's'1 6 P n sP’s“.

Daraus folgt w‘1.sa;1"'.~z‘1 6 P1 Oder w —=_ savl”'.::"1

‘

(mod P1).

(4)

Ba x in P n G’ liegt, haben wir v(a:) = P’ und daher auch

12032:?t s“) — Nach (8.4.1) folgt daraus Kent’s“ E P n 0’. Da smPks“ wegenk > O eine kleinere

Ordnung besitzt als at, so ergibt die Induktionsannahme sxP's"1 6 P1

und folglich a2!” 6 P1. Daher liefert (4) w E szP’s‘f‘ E e 5 mp”

(mod P1).

8.4. Verla‘gerung in cine Sylowgruppe

187

Sei zweiténs IE = O. Dann haben wir PsP = P8, also liegt 8 im Normalisator N von P. Wir erhalten jetzt w = sxs'i. Daher ist wx‘i = sxs“1m‘1 in

N’ enthalten. AuBerdem liegt natiirlich was’1 in P, also wan—1 6 PH N’ und folglich , w E a:

(mod P1).

In jedem Fall haben wir also

- w a wPN -

(mod P1)

erhalten, wobei p" die Anzahl der Rechtsnebenklassen nach P in dem be. treffenden Doppelmodulkomplex bedeutet. Folglich erhfilt man im ganzen v(a:) _=_' 3;"

(mod P1)

mit n = |G: PI. Aus a; 6 P06" folgt andrerseits v(a:) = P’ und daher infolge P’ 9 P1

v(x) E e

.

(mod P1).

Zusammengenommen haben wir also 3" E 3

(mod P1)

und wegen (n, p) = 1 schlieBlich a: 6 P1, was zu beweisen war. Eine Gruppe G heiBt p-normal, wenn es in G eine p-Sylowgruppe P gibt, deren ZentrumZ das Zentrum jeder Sylowgruppe ist, die Z fiberhaupt enthiilt. Zum Beispiel ist jedeGruppep-normal, deren p-Sylowgruppen abelsch sind. Selbstverstéindlich liegt P im Normalisator N(Z) von Z in G. Man erkennt leicht, daB in einer beliebigen Gruppe G genau diejenigen zu P konjugierten

Sylowgruppen in N(Z) enthalten sind, deren ZentrumZ ist. Ist nfimlich die p-Sylowgruppe P1 von G in N(Z) enthalten, so wird P1 = a‘1 Pa mit a€N(Z). Daher ist a'1Za =-Z das Zentrum von P1. Sei umgekehrt Z das Zentrum von P2 = g‘1 Pg mit gEG. Dann gilt g‘1Zg = Z, also g €N(Z) und folglich

P2 Q N(Z). Die p-normalen Gruppen laSsen sich daher auch folgendermaBen kennzeichnen: Gist genau dann p-normal, wenn jede Z enthaltende p-Sylow-

gruppe von G in N(Z) liegt. (8.4.3) Satz von GRUN. Die Gruppe G sei p-noimal, und zwar sei das Zentrum Z der p-Sylowgruppe P van G auch das Zentrum jeder Sylmvgruppe, die Z entha'lt. Dann ist die maximale abelsche p-Faktorgruppe van G isomorph zur maximalen abelschen p-Faktorgruppe des Normalisators N(Z) van Z. Beweis. Mit G; bezeichnen wir den kleinsten Normalteiler von G mit der Eigenschaft, daB G/G; eine abelsche p-Gruppe ist. Natiirlich gilt G’; G} Da |G: Ggl eine Potenz von p ist, haben wir G",P = G. Mit G* = G’P wird

ebenfalls GI',G* = G. Ferner ist G*fl Gl'J = G’, denn G*/G’ enthiflt nur

188

8. Kapitel. Monomiale Gruppen und die Varlagerung' _

Elemente, deren Ordnungen Potenzen von p sind, wéihrend G12]G’ nur Elemente mit zu p teilerfremden Ordnungen enthfilt. Daraus folgt und also

,

G/G;= G;G*/G;, a, G*/G* n G§= G*/G’ G*/G’= G’P/G’ s'P/P n G’, G/Gg, 2.2 P/P n G’.

Da Z charakteristische Untergruppe von P ist, besteht fiir den Normalisator N(P) von P in G die Beziehung N(P); N(Z). Bedeutet N;(Z) den kleinsten Normalteiler von N(Z), fiir den die Faktorgruppe eine abelsche p-Gruppe ist, so Iehren die gleichen Uberlegungen, die soeben fiir G angestellt . ‘ worden sind,

I

N(Z)/N;(Z) 2—; P/P n N’(Z). Zum Beweis unseres Satzes ist also

P n G’ = P n N’(Z) nachzuweisen. Aus N’(Z) E G’ folgt P n G' 2 P n N’(Z). Daher bleibt P n G’ C; PD N’(Z) zu beweisen. Nach (8.4.1) und (8.4.2) ist

P n 0'= (P n N’(P)) { 1] P n g-ip'g}. ' .

EGG

Aus N(P) ; N (Z) folgt Pr] N’(P) C; Pn N’(Z). Folglich bleibt zu beweiSen, dafl

Png-ip'gc; Pn N’(Z)

‘

fi_ir jedes g 6 G erfiillt ist. Wir setzen zur Abkl'irzung

D= P n g-ip'g. Dann gilt selbstverstéindlich Z 3031,19 ' ~ '9 xk,w.)=f(¢1(x1,b - - '9 371,101)! - - -: ¢k(xk,19 - - -: $1510.,»

vom Gewicht 101 + AU

.

+ wk. Dann gilt fiir Normalteiler (i=1!¢--sk;

j=1,...,w,-)

einer Gruppe G 8(A1,1, - - u Alma.) = “Bi: ---, Bk), wobei Bi= 97414;,” . . ., Atw.)

(l= 1, . . ., ’6).

A13 Beispiele erwéihnen wir: Aus der Kommutatorform [[x1,:1:2], [35344]]

entsteht mit A1 = A2 = A3 = A4 = G der Normalteiler [[G, G], [G, G]] von G. Dieser wird nach (9.1.1) erzeugt von allen Kommutatoren [[a1,a2], [a3,'a4]] mit a,- E G. Da aber [G, G] = G' die Kommutatorgruppe von Gist, so wird nach (9.1.2)

[[G, G], [Ga G1] = [G3 G'] = G”-

Fiir zwei Komplexe A, B van G ist wegen (1) [A, B]: [B, A].

Sind nun A1, A2, A5 Normalteiler von G, so ist nach (9.1.2)

[A1, A2, A31= “Al: A2]. A3] = [[A2, A1], A3] = [A2, A1, A3]Spisiter~ werden wir folgenden Satz brauchen: (9.1.3) Sind A, B, C drei Normalteiler der Gruppe G, so ist von den drei Normalteilern [A, B, C], [B, C, A], [G, A, B] jeder \im Produkt der beiden andern enthalten. .

Beweis. Wir setzen zur Abkiirzung

[A, 3: C]= P: [3, 0. A]= Q. [0. A. B]= R

9.1. Hiiheie Kommutatoren .

-

'

193'

sowie D = PQ. Ans Symmetriegriinden geniigt es, R; D zu beweisen. Nun wird R erzeugt durch die Elemente der Form

[0, a, b]= [[c, a], b] = [b, [c, a]]-1

(a e A, b e B,c e C).

Daher ist zu zeigen, daB jedes Element der Gestalt [b, [0, a]] = [b, 0'1 a‘1 ca]

‘ ' in' D enthalteh ist; Aus (4) folgt

Wwd=flmnhdmed

und

[b, ca] = [b, an“ ca] = [b, a“1 ca] [b, a] [b, a, of1 ca]. Nun liegt [b, c, a] in Q, und weil C Normalteiler ist, haben wir [b, a, a‘10a] = [b, a, c1] mit 016 C und folglich [b, a, a‘ica] E [3, A, C]= [A, B, C] = P. Infolgedwsen liegen [b, c, a] und [b, a, a“ca] in D, und Wir haben [b, ca] E [b, a] [b, c] a [b, (1“ ca] [b, a]

-(mod D)

oder [b, a"1 ca] 5 [b, a] [b, c] [b, a]_1

(mod D).

Nach (1) und (2) wird

Mdmfld=m4wudmm. Da A Normalteiler ist, haben wir'

\ [a, b] = rib-tab: a1 6 A, und folglich liegt

.

[[b, c], [a, b]] = [[b, 0], a1] = [b, c, a1]

in Q und daher in D. Das ergibt

[b, a-ica] a [b, 0]

(mod 0)..

Da B Normalteiler ist, erhalten wir I

(7) '

' [b, 0‘1]= b‘1cbc'1 6 B

und, eil (7) fiir jedes be B gilt, [[b, 0—1], a'1ca] = [b, 0‘1, afica] a [b, c-l, 0]

Aus (4) folgt

'

[b, c‘ia‘ica] = [b, a’ica] [b,.c‘1][b,c‘1, a‘lca]. 13

Kochendfirfler,Gruppenthoorie

(mod D).

(8)

19/1

9. Kapitel. Nilpotente und iiberaufliisbare Gruppen

Also erhalt man mit Hilfe von (7) und (8)

'

[b, 0—1a_1ca] a [b,c][b,c"1][b,c-1,c]

(mod D).

Nach (4) ergibt sich fiir die rechte Seite der letzten Kongruenz [b,'c] [b, (1—1] [b, 0‘1, 0] = [b, c‘1c]= [b, e] = e. Das liefert [b, c 1a'1ca]s e

»

(modD).

Damit 181: (9.1.3) bewiesen. 9.2. Zentralreihen

Setzt man in einer beliébigen Gruppe G Z0(G) = e,

Z1(G) = 2(0) = Zentrum von G

umi definiert allgemein Zi(G_) durch _Zi(G)/Zi'1(G) = Zentrum von Gui-1(0)

(i= 1, 2, .._.),

so erhfilt man die aufsteigende Zentralfolge

e= 20(0) g Z1(G) ; 22(6) ; von G. Wenn keine Verwechslung mfiglich ist, schreiben wir einfach Zi statt . Z‘(G). Da das Zentrum eine charakteristische Untergruppe ist, so sind alle Glieder der aufsteigenden Zentralfolge charakteristische Untergruppen yon G. '

Wird fiir eine natiirliche Zahl k

'

zk((;) = ZH1(G) = ..., so nennt man Z"(G) das Hyperzentrum von G. Die Gruppe G heiBt nilpotent, wenn die aufsteigende Zentralfolge nach

endlich vielen Schritten bis zur ganzen Gruppe G aufsteigt. Genauer heiBt G nilpotent von der Klasse c, wenn die .aufsteigende Zentralfolge genau nach .c I Schritten G erreicht. Die charakteristische Reihe I

e= 20(0) c Z1(G) c Z2(G) c

c zc—1(G) c 2cm) = G

. (1)

heiBt dann die aufsteigende Zentralreihe von G. Da die Faktorgruppen der aufsteigenden Zentralreihe abelsch sind, so ist _ jede nilpotente Gruppe erst recht auflosbar. Jede Untergruppe U/Zi‘1 do:

Zentrums Zi/Zi‘1 von G/Z‘"1 ist Normalteiler in G/Zi_1. Also ist jede Unter-

9.2. Zentralréihen

‘

195

gruppe U mit Zi—ig U E Z‘ Normalteiler in G. Verfeinert man die aufsteigende Zentralreihe einer endlichen nilpotenten Gruppe zu einer Kompositionsreihe, so entsteht folglich eine Hauptreihe. Daher sind die Hauptindizes jeder

. endlichen nilpotenten Gruppe Primzahlen. Unter einer Zentralreihe von G schlechthin versteht man eine endliche Reihe ‘ ~8= GogGIQG-zg'--§Gm_1g.0m=G

(2)

von Normalteilern G; von G die der Bedingung Gila--1. ~im Zentrum von

GIG--1

(i = 1, . . ., m)

(3)

geniigen. Offenbar ist (3) gleichbedeutend mit der Bedingung [6.3 G];Gi_1

(i=1, ...,m).

Wir wollen beweisen, daB keine Zentralreihe stéirker ansteigen kann als die gufsteigende Zentralreihe, nfimlich

Gigzqa)

(i=0,1, ...,m).

.

-

(4)

Trivialerweise ist (4) fiir i = O richtig. Wir nehmen an, daB

G,-_1 ; Zi-1(G) = Zi-1 bereits bewiesen ist. Dann wird

0/ ‘" ’é (GIGi-1)/(ZH/ Gi-1)Also ist G/G;_1 homomorph auf G/Z“1 abgebildet. Bei diesem Homomorphismus wird die im Zentrum von G/G-_1 gelegene Gruppe GiIG-_1 in das

Zentrum Zi/Zi‘1 der Bildgruppe G/Z“1 abgebildet. Das Bild von G;/0-1 ist GiZ“1/Z“1. Also haben wir G,-Z"'1; Z" und daher G; E Z‘, wie behauptet.

Damit hat sich folgender Satz ergeben: (9.2.1) Dann and nur dann ist G nilpotent, wenn G eine endliche Zentralreihe besitzt. Ist G nilpotent von der Klasse 0, so hat jade Zentralreihe van G mindestens die Liinge c. . Es sei U eine beliebige Untergruppe der nilpotenten Gruppe G. Wir wollen zeigen: Liegt Z"'1 in U, so liegt Z‘ im Normalisator von U in G. In der Tat:

Die Faktorgruppe U/Zi_1 ist elementweise mit dem Zentrum Z‘IZ“1 von G/ i“ vertauschbar. Folglich liegt Zi/Zi‘1 im Normalisator von UIZ‘"1 in bezug auf G/Zi‘i, und folglich ist Zi im Nofmalisator von U in bezug auf G 13*

196

9. Kapitel. Nilpotente und fiberaufliisbare Gruppen

enthalten. Da jede Untergruppe U zumindest Z0 = e entha'ilt, so gilt folgender Satz: (9.2.2) Die Gruppe G set nilpotent von der Klasse c. Dann kann man van jeder. Untergruppe van G durch hochstens c-malige Normalisatorbildung zur ganzen

Gruppe G aufsteigen. Insbesondere ist in jeder nilpotenten Gruppe der Normalisator jeder echten Untergruppe umfassender als diese.

Aus (3.4.2) batten wir gefolgert, daB in jeder endlichen p-Gruppe dle aufsteigende Zentralfolge bis zur ganzen Gruppe aufsteigt. Also ist jede endliche p-Gruppe nilpotent. Aus (4.1.2) folgt, daB auch jedes endliche direkte Produkt von endlichen p-Gruppen nilpotent ist. Aus (3.3.2) und (9.2.2) folgt andrer- . seits, daB jede Sylowgruppe einer endlichen nilpotenten 'Gruppe Normal-

teiler ist. Also gibt es zu jedem Primteiler der Gruppenordnung nur eine einzige Sylowgruppe. Als Normalteiler mit dem Durchschnitt e sind je zwei zu verschiedenen Primzahlen gehorige Sylowgruppen elementweise vertausch-

bar, also ist ihr Produkt direkt. Das liefert folgende Kennzeichnung der endlichen nilpotenten Gruppen:

1

(9.2.3) Eine endliche Gruppe ist dann und nur dann nilpotent, wenn sie do: direkte Produkt ihrer Sylowgruppen ist. In einer beliebigen Gruppe G wird die absteigende Zentralfolge G= Z1(G) 2 Z2(G) 2 Z3(G) 2 no

.

definierl; durch

Zi(G) = [Zi-1(G). G]

(5)

(i= 2, 3, . . .).

Sfimtliche Glieder der absteigenden Zentralfolge sind offenbar vollinvariante Untergruppen von G. Wenn keine Verwechslung zu befi'u'chten ist, schreiben wir oft einfacher Z.- statt Z;(G)._ Aus (5) folgt, daB Zi-1(G)/Z.~(G)

im Zentrum von

G/Z,-(G)

‘

enthalten ist. Falls also die absteigende Zentralfolge nach endlich Vielen Schritten auf e ffihrt, so ist sie eine Zentralreihe, die sogenannte absteigendg Zentralreihe, und Gist dann nilpotent.

Ist umgekehrt G nilpotent und (2) eine Zentralreihe, so gilt

z,.( 1, weil andernfalls

G selbst iiberauflfisbar ware. AuBerdem ist F[e der einzige nichtzyklische Hauptfaktor von G. Daraus folgt, daB F iiberhaupt der einzige minimale Normalteiler von G ist. Denn wire F1 ein anderer minimaler Normalteiler,

so mfiBte G/F1 fiberauflosbar sein und wiirde doch im Widerspruch dazu einen ' zu F isomorphen, also nichtzyklischen Hauptfaktor enthalten. Sei H/F ein minimaler Normalteiler von G/F. Wegen der Uberauflfisbarkeit

von G/F ist die Ordnung von H/F eine Primzahl. Wir unterscheiden zwei Fille, némlich (a)

|H:F|=q=|=P,

(b)

1H: Fl =

Fall (3). Mit ‘Q bezeichnen Wir eine q-Sylowgruppe von H. Darin wird H= QF. Da H Normalteiler ist, gilt fiir jedes Element g E G g‘iqg C H,

und daher ist 3"n = x‘iQa: durch ein Element :1: E F losbar. Folglich liegt 350“ im Normalisator N(Q) von Q in G, und weil g beliebig in G war, gilt

G= FN(Q).

(3)

Nun ist F n N(Q) gewiB Normalteiler in N(Q). Dieser Durchschnitt ist aber ' auch Normalteiler in F, weil F abelsch ist. Wegen (3) ist daher F n N(Q)-

Normalteiler in G. Weil F minimaler Normalteiler ist, muB entweder F n N(Q) = F oder F 0 N(Q) = e sein. Die erste Moglichkeit ergéibe F E N(Q) und daher wegen (3) G = N(Q). Also wire Q ein von F verschiedener minimaler

Normalteiler von G, was nach dem oben Gesagten nicht méglich ist. Es bleibt also nur die Moglichkeit F n N(Q) = e und daher wegen (3) IG: N(Q)| = p".

9.5. Maxinwk Untergruppen

211

Andrerseits muB aber N(Q) eine maximale Untergruppe von G sein. Denn aus

N(Q) C U C G wiirde folgen eC U 0 F C F, und wie oben wiirde man schlie- _ Ben, daB U n F Normalteiler in G ist, was nicht eintreten kann, weil F

minimal ist. Damit hatte man in N(Q) eine maximale Untergruppe von G gefunden, deren Index pk im Widerspruch zur Voraussetzung keine Primzahl ‘ ‘

ist. Fall (b). In diesem Fall muB H abelsch sein. Andernfalls ware namlich die

I KiommI—ltatorgruppe' H’ in F enthalten, und zwar als eigentliche Untergruppe, weil der Index IH : H’| nach (3.4.10) mindestens p2 ist. Das ist aber unmfiglich, da H’ als charakteristische Untergruppe von H Normalteiler in G ist. Ferner kann H kein Element der Ordnung p2'enthalten. Denn die p-ten Potenzen der Elemente aus H wiirden sonst eine in F enthaltene charakteristische Untergruppe der Ordnung p von H ausmachen. Also ware eine Untergruppe

der Ordnung p von F Normalteiler in G, was unmiiglich ist, weil k> 1 und F minimal ist. Mithin ist H eine elementare abelsche Gruppe der Ordnung pk“. Indem man H mit den Elementen aus G transformiert, entsteht eine zu G homomorphe Gruppe von Automorphismen von H. Legt man eine Basis von

H zugrunde, so erhéilt man eine Darstellung F von G durch (k + 1, k + 1)Matrizen mit Koeffizienten aus dem Galoisfeld GF(p) mit p Elementen. Mit S bezeichnen wir denjenigen Normalteiler von G, dessen Elemente bei I' durch

Skalarmatrizen, d. h. durch skalare Vielfache der Einlieitsmatrix, dargestellt werden. Offenbar kann S auch folgendermaBen charakterisiert werden: Genau dann gilt a E S, wenn fiir jedes Element h 6 H eine Gleichung a'1M = h’"

besteht, wohei m = m(a) zwar van a, aber nicht von h abhangt. Weiter sei C = C(H) der Zentralisator von H in G, so daB F eine treue Darstellung von G/C ist. Offenbar ist SIC im Zentrum von G/C enthalten. Ferner ist S eine

echte Untergruppe von G; denn jede Untergruppe von H ist Normalteiler in S, also ware im Fall S = G schon eine echte Untergruppe von F Normalteiler in G. Es sei nun R/S ein minimaler Normalteiler von G/S. Da G/S fiberauflfisbar ist, muB IR : SI .eine Primzahl sein. Wir unterscheiden zwei Falle:

(I) |R=SI=P,

(II) lR:Sl=q=l=p.

(I) Die Faktorgruppe S/C hat eine zu p teilerfremde Ordnung, weil die Ordnung jedes Elementes aus GF(p) ein Teiler von p — 1 ist. AuBerdem liegt S/C

im Zentrum von G/C. Folglich ist

RIC= (SIC) X(R1/C): wobei Ri/C eine zyklische Gruppe der Ordnung p ist, Aetwa R1 = {C, a}. Als charakteristische Untergruppe von RIC ist Ri/C Normalteiler in G/C, also ist R1 Normalteiler in G. Transformiert man F mit den Elementen aus R1, so 14*

212

9. Kapitel. Nilpotente und fiberaufliisbare Gruppen

entsteht eine Darstellung von Ri/C durch (k, k)-Matrizen mit Koeffizienten aus ‘GF(p) Dem Element a E R, entspricht dabei eine Matrix ((1), deren p-te' i Potenz die Einheitsmatrix ist. Daraus folgt, daB sfimtliche charakteristischen

Wurzeln von ((1) gleich 1 sind. Folglich gibt es eine zu (a) éihnliche Dreiecks- ' matrix mit Koeffizienten aus GF(p), in deren Hauptdiagonale lauter Einsen stehen. Denkt man sich in F eine dieser Dreiecksmatrix entsprechende Basis " zugrunde gelegt, so erkennt man, daB mindestens ein Basiselement mit a ' vertauschbar ist. Da F fiberdies mit C elementweise vertauschbar ist, so ent-

héilt F mindestens ein von e verschiedenes Element aus dem Zentrum 20%,) von R1. Als charakteristische Untergruppe von R1 ist Z(R1) Normalteiler von G. Weil F minimalist, gilt F; Z(R1). Ist H = {F, b}, so wird daher [H, R1]: [{F,b}, {Gaul}: {[11,11]}.

Hierbei gilt [a, b] 6 H und [(1, b] =|= e, weil a nicht im Zentralisator C van H

liegt. Folglich hat [a, 12] die Ordnung p. Da H und R, Normalteiler in G sind, gilt das gleiche von [H, R1] = {[a, 17]}. Also ist {[a, b]} ein von F verschiedener. minimaler Normalteiler von G, was auf einen Widerspruch fiihrt. Folgm lich scheidet Fall (I) aus. (II) Da, wie schon bei Fall (I) bemerkt wurde, SIC eine zu p teilerfremtie Ordnung besitzt, so ist jetzt die Ordnung von R/C zu p teilerfremd. Aus

(14.1.2) folgt daher H = F X P, wobei P = {b} ein Normalteiler in R van der Ordnung p ist. Die zu P unter G konjugierten Untergruppen liegen alle in H, und ihr Erzeugnis T ist Normalteiler in G. Da T =I= F und F einziger minimaler

Normalteiler von Gist, folgt T = H. Da P nicht in F liegt, kann auch keine zu P unter G konjugierte Untergruppe in F enthalten sein. Ist P1 zu P kon—

jugiert und P1 =|= P, so hat der Durchschnitt D = P1P n F die Ordnung p, weil P1 PC H, |P1P| = p“, IH: F | = p. Man kann das' erzeugende Element 0 von P1 so wfihlen, daB D = {ob}. Da P, P, und D sfimtlich Normalteiler in R sind, so wird fiir ein Element (1 E R a"ba= b’",

(1'1 ca= c’,

a‘1(cb)a= (cb)’.

Daher ist (cb)‘— - c’b’" und folglich m = s = t, denn b und c sind vertauschbar, weil P und P1 Nor-

.malteiler mit dem Durchschnitt e sind. Da P1 eine beliebige z_u P konjugierte', Untergruppe war und alle zu P konjugierten Untergruppen H erzeugen, so folgt fiir jedes Element h 6 H und jedes a E R a'iha= h’",

wobei m = m(a) unabhfingig von h ist. Daher wird R C S 1m Widerspruch zu

IR 5| = q-

10. KA P I T E L

Endliehe p-Gruppen 10.1. Elementare'Eigensehaften

Zuniichst stellen wir die bisherigen Sfitze iiber endliche'p-Gruppen zusammen: (3.4.2) Jede endliche p-Gruppe besitzt ein nichttriviales Zentrum. (3.4.5) Alle Hauptindizes einer endlichen p-Gruppe haben den Wert p. Insbesondere ist jede endliche p-Gruppe auflosbar.

(3.4.6) Der Normalisator jeder echten Untergruppe U ist umfassender als U. (3.4.7) Jede maximale Untergru'ppe ist Normalteiler und hat den Index p.

(3.4.8) Jeder Normalteiler der Ordnung p liegt im Zentrum. (3.4.9) Der Index des Zentrums jeder nichtabelschen endlichen p-Gruppe ist durch p2 teilbar. (3.4.10) Jede Gruppe der Ordnung p2 ist abelsch. Jeder Normalteiler vom

Index p 2enthéilt die Kommutatorgruppe. (9.2.1) Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent. ‘ Diese Eigenschaften der endlichen p-Gruppen werden wir im folgenden benutzen, ohne uns im einzelnen auf sie zu berufen.

Es sei G eine endliche p-Gruppe und M eine beliehige maximale Untergruppe von G. Dann enthéilt M die Kommu’catorgruppe G’. Ist ferner a: ein beliebiges Element aus G, so liegt xP in M. Daraus folgt: Die Frattinigruppe 45(0) enthéilt

als Durchschnitt aller maximalen Untergruppen die Kommutatorgruppe, und jedes Element =|= e der Faktorgruppe G/¢(G) hat die Ordnung p. Folglich ist G/¢(G) eine elementare abelsche Gruppe, deren Ordnung wir mit pd bezeichnen wollen. Ist a1, . . ., a, ein System erzeugender Elemente von G, so erzeugen ihre Bilder @(G)a1, . . . , @(G)a, bei dem natiirlichen Homomorphismus von‘ G auf

G/(D(G) die ganze Faktorgruppe G/¢(G). Folglich kann man aus ihnen eine Basis der elementaren abelschen Gruppe G/(D(G) auswfihlen, etwa (D(G)a1, . .

214

10. Kapitel. Endliche p-Gruppen

@(G)ad. Dann erzeugen die Elemente a1, . . ., ad bereits die ganze Gruppe G. Denn andernfalls gfibe es eine maximale Untergruppe M C G mit {(11, . . ., 0,] E M. Wegen @(G) E M folgt daraus {@(G)a1, ..., @(G)ad} Q M/¢(G) im . Widerspruch zur Auswahl der a1, . . ., ad. Kein System von weniger als d

Elementen kann G erzeugen. Denn bei dem natiirlichen Homomorphismus von G auf G/QD(G) muB jedes System erzeugender Elemente von G auf ein System " erzeugender Elemente von G/d5(G) abgebildet werden, und G/¢(G) kann als elementare abelsche Gruppe der Ordnung p"l nicht durch weniger als d Elemente erzeugt werden. Jedes System von d Elementen, die G erzeugen, heiBt eine Minimalbasis von G. Wir fassen die letzten Uberlegungen zu folgendem Satz zusammen: (10.1.1) Satz von BUBNSIDE. Es sei G eine endliche p-Gruppe und {15(0) die. Frattinigruppe von G. Dann ist G/¢(G) eine elementare abelsche Gruppe. Ist

- IG:¢(G)| = p“, so besitzt G Erzeugendensysteme aus d, aber nicht aus weniger als d Elementen. Jedes Erzeugendensystem aus d Elementen heifit eine Minimal-

basis. Aus jedem Erzeugendensystem kann eine Minimalbasis ausgewa'hlt werden. Ein System aus d Elementen ist genau dann eine Minimalbasis, wenn es bei dem natiirliclwn Homomorphismus von G auf G/¢(G) auf cine Basis van G/¢(G) abgebildet wird.

Es sei A, eine elementare abelsche Gruppe der Ordnung p'. Es ist klar, daB jede eigentliche Untergruppe von A, ebenfalls elementar abelsch ist. Die An— zahl der verschiedenen Basen von'A, ist

(p’- 1)(p'- P)

(P’- P"1)-

. (1)

$011 niimlich x1, . . .,a:, eine Basis von A, werden, so kann man fiir x1 ein.

Beliebiges von e verschiedenes Element wfihlen. Das ergibt p'— 1 M6glichkeiten. Als x2 kann man ein beliebiges Element wéihlen, das nicht in {.721} enthalten ist. Ffir die Wahl von :22 bestehen daher p’-— p Mfiglichkeiten. Als x,kann man jedes Element 'wéihlen, das nicht in {$1, ”wan--1} = {x1}X---

X { xi- 1} enthalten ist. Daher gibt es p’ -— p"—1 Mbglichkeiten, m,- zu wfihlen. Daraus folgt unmittelbar, daB (1) die Anzahl der verschiedenen Basen von A, angibt. Ferner erkennt man, daB es

=(p'- 1)(p'- P)

(P'- P“)

Mfigfichkeiten gibt, die ersten k Elemente einer Basis von A, auszuwéhlen. Sind x1, . . . , an, die ersten k Elemente einer Basis von A,, so bilden sie eine “ Basis einer Untergruppe der Ordnung pk. Umgekehrt kann nach (4.2.3) jede '1

Basis einer Untergruppe der Ordnung p" zu einer Basis von A, ergfinzt werden.

10.1. Ekmentare Eigenschaften

215

Fiir die Anzahl lib-,1: der Untergruppen der Ordnung p" von A, ergibt sich daher 0”" 1)(P'-- p) (p r,k = (pk0(1)". p)

(pr_ pk'i)

(Pk.— phi)

=(pr- 1>"= wnyn-ity,mJ"-1y[y,w12‘” 1“" ” = awe/"[21, $12 "‘” ".

’

'Damjt is; (5) bewiesen. Es sei nun H eine Hamiltonsche Gruppe. Da H nicht abelsch ist, gibt es in H zwei nicht miteinander vertauschbare Elemente a und b. Da {a} und {b} Normalteiler in H sind, haben Wir

c= [a, b] e {a} n {b},

(6)

und folglich liegt c im Zentrum von Q = (a, b}. Die Kommutatorgruppe 0’ von Q wird von c erzeugt und ist echte Untergruppe sowohl von {a} als auch

von {b}. Aus (6) folgt c = a" = b3 mit rs =|= 0, weil c =|= e. Da 0 im Zentrum von {(1, b}

liegt, folgt ans (4) in (9.1)

c’= [a,b]‘= [4,b«]= e. Daher haben sowohl a als auch b endliche Ordnung. Also hat jedes Element, das nicht im Zentrum von H liegt, endliche Ordnung. Ist das Element h E H mit 11 und mit b vertauschbar, so ist ah nicht mit b ver- '

tauschbar, und folglich hat ah endliche Ordnung. Da h mit 41 vertauschbar ist, so muB auch die Ordnung von h endlich sein. Daraus folgt, daB jedes Element aus H endliche Ordnung besitzt. Die Elemente a und b waren nur der Bedingung unterworfen, daB sie nicht vertauschbar sind. Wir denken uns nun a und b unter Beriicksichtigung dieser

Bedingung so gewéihlt, daB ihre Ordnungen m bzw. n moglichst klein sind. Ffir einen Primteiler p von m folgt dann [aP, b] = e und daher 01’ = [a, b]P = [aP, b] = e. Ebenso erhz'ilt man fiir einen Primteiler q von n die Gleichung c! = e. Wegen c=|= e muB daher p = q sein. Die Ordnungen von (1 und b sind infolgedessen Potenzen ein und derselben Primzahl p, und zwar sind beide

Ordnungen durch p2 teilbar, weil {c} eine echte Untergruppe von {a} und von {b} ist. Ferner liegen aP und bP im Zentrum von 0.

10.2. Spezielle p- Gruppen

223

Ist etwa a!" = c‘; bP' = c", wobei t und u nicht durch p teilbar sind, so kann man a durch a‘ und b durch b" ersetzen. Wir konnen daher ohne Beschréinknng

der Allgemeinheit annehmen, daB aP"= bP‘= [a, b] = c ‘

und auBerdem k 2 l > 0 gilt. Die Elemente a und bl = a‘PH b erzeugen Q. Daher kann die Ordnung von

1b} nicht'kleiner als die’von b sein. Aus (5) folgt 1. (p_1)pr-x+1

bi): a_pl:-:+1 bp[b, a]2

1

= a—pt-Hlbp 0 —f(P

—. 1)?t —+ 1.1

und weiter ;

bi = C

_L _ : 2 (P ”P _

Da bf'=|= e aber cl’ = e ist, so folgt p = 2 und k = 1. Dann ist auch l = 1. Folglich haben wit a2 = b2 = c, c2 = e. Wie man ohne Mfihe nachpriift, wird auch durch diese Relationen die Quaternionengruppe definiert. Folglich ist Q = {a, b} eine Qnaternionengruppe (Aufgabe 50). Wir zeigen weiter, daB H = QC, wobei C den Zentralisator von Q in H I bedeutet. Ist ein Element 9: E H nicht in C enthalten, weil es etwa mit a nicht

vertauschbar ist, so gilt x‘iax = a“, und folglich ist xb mit a vertauschbar.

Analog erkennt man: Wenn a: nicht mit b vertauschbar ist, so ist ma mit b vertauschbar. Ist a: weder mit a noch mit b vertauschbar, so ist xab sowohl mit a als auch mit b vertauschbar. Von den Elementenx, ma, xb, mab liegt daher eins in C. Das besagt H = QC.

Wir zeigen weiter, dafl C kein Element der Ordnung 4 enthfilt. Fiir ein Elementa: E C ist némlich [a, bx] =1: e. Aus (bx)4 = e folgt daher a‘1(ba:)a = (b$)‘1, also a‘ibax = b‘ix‘i und demnach x2 = e. Da demnach C kein Element der

Ordnung 4 enthiilt, kann C keine Quaternionengruppe enthalten. Nach dem oben Gesagten darf daher C keine zwei nicht miteinander vertauschbaren Elemente enthalten, also ist C abelsch.

Demnach ist C das direkte Produkt' der Untergruppe U aller Elemente ungerader Ordnung und der Untergruppe Z1 aller Elemente, deren Quadrat e ist. Das Element 0 = [a, b] liegt in Zi. Von allen Untergruppen von Z1, die 0 nicht enthalten, sei Z die umfassendste. Fiir jedes Element a: E Z1, das nicht

in Z liegt, gilt c 6 {Z,x}. Aus m2 = e folgt l{Z,a;} : Z] = 2. Ferner haben Wir [{Z,c} :ZI = 2. Daraus folgt {Z,x} = {Z,c} und weiter {Z,c} = Z1, Z n {c}

= e. Also erhéilt man C = UXZX{c}. Wegen Q n C = {c} ergibt sich Q n (UXZ) = e und Q(UXZ) = H, also H = QX UXZ, Wie behauptet. Umgekehrt ist jede Gruppe der in (10.2.5) angegebenen Struktur eine Hamiltonsche Gruppe. Erstens ist sie nicht abelsch, weil Q nicht abelsch ist. Es geniigt

224

10. Kapitel. Endliche p-Gruppen

weiter zu zeigen, daB jede zyklische Untergruppe {quz} mit q E Q, u E U, z E Z Normalteiler ist. Da U und Z im Zentrum liegen, braucht nur gezeigt zu werden,

daB a und b die Untergruppe {quz} inisich transformieren. Man erha'ilt a‘1quza = q" uz mit k = 1 oder 3. Die Ordnung von u ist eine ungerade Zahl n, die Ordnung von z ist 1 oder 2. Die Kongruenzen x= k (mod 4), x= 1 (mod n) haben eine Lfisung x, und man erhfilt a‘iquza= (quz)~”. Analog weist man nach, daB auch 11 die Untergruppe {quz} 1n sich transformiert. 10.3. Eine Formel von P. HALL Mit einer Variablen E setzen wir

VFW r

r.

(r=1,2,...).

Jedes Polynom f(£) mit rationalen Koeffizienten und einem Grads w kann offenbar auf genau eine Weise in der Form

f(§)=ao+a1(i)+a2(:)+m +a,,,(:)

(1)

mit rationalen Zahlen a0, a1, . . ., aw geschrieben werden. Das Polynom‘fflE) heiBt ganzwertig, wenn ffir jede ganze rationale Zahl 50 der Wert f(£o) ganz

rational iét. Wenn f(£) ganzwertig ist, so sind die a; in (1) ganz rational. Es ergibt sich néimlich f(0)=ao,

1 f(1)=ao+a1( 1) ’

_f(2)= a0+ 01(i)+ 11: (3), ...........................

Sind f(0), f(1), . . . , f(w) ganze rationale Zahlen, so erhéilt man aus diesen Gleichungen a0, a1, . ., aw als ganze rationale'Zahlen. Wegen der Ganzzahligkeit der Binomialkoeffizienten ist umgekehrt die rechte Seite von (1) mit

ganzen rationalen ai ein ganzwertiges Polynom. ~ ~ Fur natfirliche Zahlen w betrachten wir geordnete w-Tupel (1.1, . . . , 1",) von natiirlichen Zahlen 1i. Die 1- werden gewissen Bedingungen unterworfen werden. Unter einer elementaren Bedingung verstehen wir entweder eine Bedingung der Form

1.: 2,-

10.3. Eine Formal van P. HALL

'

'

225

oder eine Bedingufig der Form \ li< 11'.

Zuliz'ssige Bedingungen sind solche, die durch die logischen Verkm'ipfungen und und oder aus endlich vielen elementaren Bedingungen entstehen. Wir _ werden folgenden zahlentheoretischen Satz beweisen:

.

(10.3.1) Es sei B eine zuliissige Bedingung fu'r die w- Tupel (24,-

2",) und

' n cine naturliche Zahl. Dann ist die Anzahl der w- Tupel (21, --, 2...), die der Bedingung B genu'gen und fu’r die die Ungleichungen

‘2.;§n

(i= 1,.. .,w)

'

(2)

erfu'llt sind, durch einen Ausdruck der Form

.,(;)+.,(;)+... +.,,,(;) gegeben. Hierin sind die a; nichtnegative ganze rationale Zahlen, die nur van I der Bedingung B, aber nicht van n abhiingen.

Beweis. Zwei w-Tupel (21, . . ., 2w) und (2;, . . ., 2;) heiBen aquivalent, wenn fiir je zwei Indizes i,j aus der Reihe 1,

. ., w die Ungleichung 2.- < 2-

genau dann erfiillt lSt, wenn 2' < 2;- gilt, und wenn 2. = 2- genau dann erfiillt ist, wenn 2; = 2; gilt. Es ist lJklar, daB es sich hierbei um eine Aquivalenzrelation handelt. Die Anzahl der voneinander verschiedenen 2.; ist bei alien

w-Tupeln einer Aquivalenzklasse die gleiche. Fiir eine feste Aquivalenzklasse sei diese Anzahl gleich It. Die Anzahl der verschiedenen w-Tupel in dieser

- Klasse mit der Eigenschaft (2) ist gleich der Anzahl der Lfisungen einer Reihe von Ungleichungen der Form 191< 193< n. < ADI:

mit der Nebenbedingung 2mg n (i = 1, . . .,k). Die Anzahl der L6sungen . n

mm.

Erfiillt ein w-Tupel einer Aquivalenzklasse die Bedingung B, so wird B von séimtlichen w-Tupeln dieser Klasse erffillt. Ist nun ak die Anzahl der Aqui- . valenzklassen, deren w-Tupel erstens die Bedingung B erfiillen und zweitens genau k verschiedene 2,- enthalten, so erhéilt man demnach fiir die Gesamtanzahl der w-Tupel, die die Bedingungen B und (2) erfiillen,

«(9+ a2(3‘)+ +Mil), wie behauptet. 15

Kochendfirffer, Gruppentheorie

226

10. Kapitel. Endliche p-Gruppen

Es sei nun F = {53, y} die von den Elementen a; und y erzeugte freie Gruppe. Unser Ziel ist es, einen fibersichtlicheq Ausdruck fiir die Potenzen (2:31)" zu

gewinnen. Wir bilden der Reihe nach sfimtliche'verschiedenen Kommutatoren aus a: und

y, beginnend mit den Kommutatoren vom Gewicht 1, also mit a: und y selbst. Diejenigen Kommutatoren, die gleich dem Einselement sind, z. B. [32, z], werden fortgelassen. Diese Kommutatoren ordnen wir nach nicht abnehmendeh Gewichten. Die Reihenfolge der Kommutatoren gleichen Gewichts ist dabei gleichgiiltig, wird aber im folgenden festgehalten. So entstehe die Folge ,

Z1,ZZ,Z3, 0-0

(3)

Bezeichnet w,- das Gewicht von zi, so gilt wig 102$ 103$ n.

In der Folge (3) ist also entweder 2.1 = m, z; = y oder 2.1 = y, z; = x. Weiter

gilt z3 = [:v,y], 7.4 = [y,a2] oder umgekehrt. Mit Z5 beginnen die Kommutatoren des Gewichts 3 usw. Die Folge der Gewichte beginnt also stets 1, 1, 1 2, 2, 3, . . . Wir beweisen nun die (10.3.2) Formel von P. HALL. Es gibt eine F0d

[1(5),f2(5):f3(5)’ ganzwertiger Polynome mit fi(0) = 0 (i = 1, 2, . . .), f1(§) = f2(§) = 5, wobei Her Grad von fi(E) nicht grb'fier als w,- ist, mit folgender Eigenschaft: Fiir jade natiirliche Zahl n gilt ‘ (mg n: zinc» 1&0.) zgam)

(4)

Diese Formal ist dabei folgendermafien zu verstehen: Ist m cine beliebige Zahl der Reihe 2, 3, . . . and 7.", M = ”(m), das letzte Glied der Folge (3) mit w” < m,

so gilt

' ($301.; 410»)

7'2“")

(mod Zm(F)):

wobei Z,,,(F) das m-te Glied der absteigenden Zentralfolge van F bedeutet.

Man beachte, daB die Polynome fi(§) nicht von n, wohl aber von der Folge (3) abhfingen. Andert man die Reihenfolge der Kommutatoren gegeniiber (3) ab, jedoch so, daB die'Gewichte nach Wie vor nicht abnehmen, so tritt an die Stelle der fi(5) ein neues System ganzwertiger Polynome. Zur Deutung von (4) als Kongruenz nach beliebig spiten Gliedern der ab- . steigenden Zentralfolge von F beachte man, daB die zi nach nicht abnehmenden Gewichten geordnet sind und daB nach (9.2.6) alle Kommutatoren vom Gewicht w in Zw(F) enthalten sind.

10.3. Eine Fornwl von P. HALL

227

Beweis. Wir fiihren den Beweis, indem wir

(zy"=wyxy-xy

u

(5)

schrittweise umformen. Jeder Schritt besteht darin, daB ein Ausdruck der Form '

n. uv n.

. ._erset_zt wird durch

.

WW: ”1...,

wéihrend alle fibrigen Faktoren ungeéindert bleiben. Die einzelnen Schritte fassen wir zu verschiedenen Etappen zusammen, so daB die Schritte der i-ten Etappe auf die Schritte der (i -— 1)-ten Etappe folgen. Wir wollen annehmen, daB am Ende der (i — 1)-ten Etappe aus (5) ein Ausdruck der Form

22%» zit-m a.

(6)

entstanden ist. Hierbei sind die tgewisse Zj mit j g i. Um eine kurze Ausdrucksweise zu haben, nennen wir

z'1" xi"

4'3}

den geordneten und t1t2

t...

den ungeordneten Teil des Ausdrucks (6). Die Schritte der i-ten Etappe bestehen nun darin, daB alle eventuell unter den t vorkommenden z.- an das linke

Ende des ungeordneten Teiles geschoben oder, wie wir kurz sagen wollen, zusammengefaBt werden. Sollte unter den t fiberhaupt kein zi vorkommen, so ffillt die i-te Etappe aus, und es beginnt gleich die (i + 1)-te Etappe. Wenn die 7.,- zusammengefaBt werden, treten neue Faktoren der Form [zj, zi] auf. Die Gewichte dieser neuen Faktoren sind wj + wi> wi, so daB es sich also um z].

mit k > i handelt. Hat man alle zi zusammengefafit, so ist ein Ausdruck der Form

2'1"

4'11“?“ “1 "2

um,

(7)

entstanden, in dem die u gewisse zj mit j g i + 1 sind. ' Da (5) ein Ausdruck der Gestalt (6) mit i = 1 ist, so gelangt man also in der Tat fiir i = 1, 2, 3, . . . am Ende der i-ten Etappe zu einem Ausdruck der ‘ Form (7). .

Der Exponent n,- in (7) ist gleich der Anzahl der zi im ungeordneten Teil von (6). Um n.- zu berechnen, miissen wir die Schritte der i-ten Etappe nfiher betrachten. 15‘

228

10. Kapital. Endliche p-Gruppen

Zur Vereinfachung der Bezeichnung setzen wir n.- = m. Die m der t in (6), die gleich z.- sind, seien etwa tiz’ ti“ . . . , ti”,

and zwar sei dabei i; < £2 < < im. Die i-te Etappe beginnt damit, dafl t5: an das linke Ende des ungeordneten Teiles gebracht wird. Das erfordert i1— 1 Schritte. Alsdann beginnt der Zusammenfassungsprozefl fiir ti'. Dieser Prozefl umfaBt i1+ i2 — 3 Schritte, da durch das Verschieben vont;1 im ganzen

i1 — 1 neue Faktoren entstanden sind, die alle links von ti. stehen. Nachdem

at,- an seinem richtigen Platz steht, wird ti. nach links geschoben usw. Es ist klar, dafl die Exponenten n1, n2, . . . in (7) durch den Exponenten n

in (4) und die Reihenfolge der Kommutatoren in (3) eindeutig bestimmt sind. Wir werden zeigen, daB die ni durch Polynome in der angegebenen Form aus- I gedriickt werden. Zunéichst erkennt man unmittelbar, daB n1 = n; = n seiJi

muB, weil in (5) genau n Faktoren a: und n Faktoren y auftreten, wfihrend die beim Zusammenfassen neu auftretenden Faktoren Kommutatoren von einem

Gewicht 2 2 sind. Wir werden nun jedes zi, wenn es beim ZusammenfassungsprozeB auftritt, mit einem geordneten w-Tupel (11,... ., 1w) als Kennzeichen versehen, wobei w = 10,- das Gewicht von z,- bedeutet und 2.1, . . . , 2w natiirliche Zahlen g n

sind. Uberdies werden wir die Kennzeichnung so vornehmen, daB keine zwei zi das gleiche Kennzeichen erhalten. Wir werden 1m folgenden ein Verfahi'en angeben, durch das eine solche Kennzeichnung geleistet wird. Zunéichst ordnen wir den a: und y selbst Kennzeichen zu, indem wir (5) in

der Form

(xy)n_w(1)y(1)w(2)y(2)$003,“)

(8)"

schreiben. Hierbei solllxm das a: mit dem Kennzeichen (1) bedeuten, analog

fiir y. Offenbar sind alle Bedingungen fiir die Kennzeichnung erfiillt. Wir nehmen an, daB bis zu einem bestimmten Schritt des Zusammenfassungsprozesses die Kennzeichnung der z,- bereits in der gewiinschten Form

durchgefiihrt worden sei. Der nachste Schritt bestehe im Ubergang von u. up ...

zu .. vu[u, 1)] no

Das Kennzeichen von u = z.- sei (11, . . . , lw‘), das Kennzeichen von 12 = zj sci -.

(1;, . . ., 1:”). Das Gewicht von [u, v] = zk ist wk = wi+ wj. Als Kennzeichen von [u, v] nehmen Wir

~

'

(11, ...,1.,,,,/1;, ...,2;,,,).

I

10.3. Eine Formal van P. HALL

-

-

229

Aus den Regelnfiir den ZusammenfassungsprozeB und der Annahme iiber die

. bisher schon durchgeffihrte Kennzeichnung folgt, daB in jedem anderen zk = [u*, v*] nicht u* das gleiche Kennzeichen wie u und auBerdem v* das

gleiche Kennzeichen wie v haben kann. Folglich ist das Kennzeichen von zk = [u,'v] verschieden von den Kennzeichen aller etwa schon vorher aufgetretenen zk. Daraus folgt, daB es in der Tat moglich ist, die z,- in der gewiinschV ' ten Form zu kennzeichnen.

H

Der Beweis von (10.3.2) wird nun folgendermaBen beendet: Wir werden die Bedingung E; dafiir aufstellen, daB ein geordnetes wi-Tupel ()4, . . ., lw‘)

natiirlicher Zahlen 2,- g n tatséichlich als Kennzeichen eines z.- wiihrend des Zusammenfassungsprozesses auftritt. Da niemals zwei zi das gleiche Kennzeichen erhalten, so ist der Exponent ni in (7) gleich der Anzahl der'geordneten wg-Tupel (l1, . . . , 1w“) mit lj g n, die der Bedingung E,- gem'igen. Es wird sich

herausstellen, daB E; fiir jedes i eine znlfissige Bedingung ist. Aus (10.3.1) folgt dann, daB sich die ni in der behaupteten Weise durch Polynome ausdriicken lassen.

Um die Bedingung E; formulieren zu k6nnen, ziehen wir gewisse Hilfsbedingungen Rij heran, die mit der Reihenfolge zweier Kommutatoren z,- und 7.; wiihrend des Zusammenfassungsprozesses zu tun haben. Die Bedingungen Rij spielen nur dann eine Rollo, wenn am Ende einer Etappe des Zusammenfassungsprozesses sowohl Kommutatoren zi als auch Kommutatoren Zj im

ungeordneten Teil des Ausdrucks auftreten. Sind (11, . . ., Aw.) und (2;, . . . , 1:0,) die Kennzeichen von u = z,- bzw. v = Zj, so soll Rij diejenige Bedingung bedeuten, der die wi+ wj Zahlen 11, . . .lw‘, M, . . ., 1:”, fiber die Existenz-

bedingungen Ei fiir die 29 und EJ- fiir die A; hinaus geniigen mfissen, damit am Ende einer Etappe u und 1) beide im ungeordneten Teil vorkommen, und zwar

u links von 1). Da sich die gegenseitige Stellung von u und 1) nicht findert, . bis eins von ihnen beim Zusammenfassungsprozefl an die Reihe kommt, so ist ~die Bedingung Rij unabhéingig davon, das Ende welcher Etappe man , ins Auge faBt, sofern u und 1.), wie gefordert, im ungeordneten Teil verbleiben. Um zu beweisen, daB die Bedingungen Ei zulfissig sind, werden wir gleichzeitig nachweisen, daB auch die Rij zulfissig sind. Den Nachweis werden wir (lurch Induktion fiber die Etappen fiihren.

Wir beginnen mit dem Anfangsausdruck (8). Die Bedingungen E1 und E2 sind offenbar leer und damit zuléissig, da jede Zahl l mit 0 < lg n als Kennzeichen eines a: und eines y auftritt. Ferner steht as”) genau dann links von 3/“), wenn lg M- Und as“) steht links von $0“) oder y“) links von yV‘) oder y“) links von 12‘") genau dann, wenn A 1, in dem das Element a vorkommt, ist nicht grafier als die Ordnung van a in bezug auf das Zentrum van G. Aus (II) falgt durch Induktion:

(VI) Die Ordnung eines Produktes ist nicht grbfier als das Maximum der Ordnungen seiner Faktoren.

Beweis von (10.4.4). Der Satz ist trivialerweise richtig, wenn G abelsch ist. Wir k6nnen den Beweis daher durch Induktion nach der Gruppenordnung fiihren. Wir nehmen also an, daB (10.4.4) samt allen Folgerungen

fiir jede echte Untergruppe von G richtig ist. AuBerdem k6nnen wir voraussetzen, daB G nicht abelsch ist.

Nach (10.4.2) Wild

[0"5 bl= cp'gi"

85’"-

(6)

Hierbei ist c = [a, b], und g1, . . ., g, liegen in der Kommutatorgruppe H’

der Untergruppe H = (a, C}. Wei] G nicht abelsch ist, muB H nach (10.1.1) eine echte Untergruppe von G sein. Folglich gilt (V) nach der Induktionsannahme ffir H. De in allen Erzeugenden van H’ das Element 0 vorkommt,

so folgt, daB die Ordnungen der erzeugenden Elemente von H’ nicht grfiBer als die Ordnung van a sind. Aus (VI) folgt dann weiter, daB die Ordnung keines Elementes aus H’ die Ordnung von 0 fibersteigen kann. Ist a?” = e, so folgt ans (6) demnach [aP, b] = e.

Umgekehrt sei [111”, b] = e. Dann liegt up im Zentrum von {11, b} also erst recht 1m Zentrum van H: {a, 0.} Da 1n allen Erzeugenden van H’ das Elementa vorkommt und weil (V) fiir H als richtig angenommen werden kann, so kann kein erzeugendes Element von H’ eine grbBere Ordnung als pk haben. Nach (VI) haben dann auch die 3.- in (6) h6chstens die Ordnung p". Daraus folgt = [(1, b]P* = e. ‘ Um (II) zu beweisen, benutzen wir (1), néimlich

(ab)l"’= afbfcr- -c"" r

9

236

10. Kapitel. Endliche p-Gruppen

wobei c1, . . ., c, in der Kommutatorgruppe Zg(a, b) von {a,. b} liegen. Wir setzen voraus, daB

-

apt=bpk=e

gilt. Da (V) allein aus (I) folgt und (1) bereits fiir die Gruppe G bewiesen ist,

so ergibt sich, daB die erzeugenden Elemente von Zz(a, b) keine grfiBere Ordnung als pk haben. Da Zz(a, b) eine echte Untergruppe von Gist, so folgt aus der Induktionsannahme, daB kein Element aus Z2(a, b) eine grfiBereOrdnung als p" besitzt. Daher wird . or: .n

=C£h=e

und infolgedessen (ab)P' = e, wie behauptet. Damit ist (10.4.4) bewiesen. Aus (II) folgt, daB alle Elemente einer regulfiren p-Gruppe G, deren Ord-

nungen Teiler einer gegebenen Potenz p" sind, eine vollinvariante Untergruppe von G bilden. Mittels (VI) erkennt man leicht, daB es fiir jede Primzahl p eine Gruppe

der Ordnungpt"+1 gibt, die nicht regular ist. Eine p-Sylowgruppe der sym-I metrischen Gruppe Sp. des Grades p2 hat nach (7.5) die Ordnung pl"+1 und wird von zwei Elementen der Ordnung p erzeugt, nfimlich von (11 und b in

der Bezeichnung von (7.5). Wenn die Gruppe regulz'ir wire, so diirfte es nach (VI) kein Element mit grijBe'rer Ordnung als p geben. Wie man ohne Miihe nachprfift, hat aber aib die Ordnung p2. SchlieBlich beweisen wir folgenden Satz fiber regulfire p-Gruppen:

(10.4.5) Es seien a and bi zwei beliebige Elemnte einer reguliiren p-Gruppe. Aus I at}: bP’

folgt dann (aI)"1)l”t = e ' und umgekehrt.

Beweis. Es sei a?” = N". Dann folgt aus (1) (ab—1)P’= (if:

df",

r

I 1

,

(7)

wobei die d; in der Kommutatorgruppe Z2(a, b) der Untergruppe {a, bd} ‘

- = {a, b} liegen. Da bPk sowohl eine Potenz von b als auch eine Potenz von a ist, so liegt b1"t im Zentrum von {(1, b}. Folglich kann nach (V) kein Kommutator von einem GeWicht > 1 in a und b—1 eine hfihere Ordnung als p" haben. Daher hat nach (VI) kein Element aus Z2(a, b) eine hfihere Ordnung

als pk. Aus (7) ergibt sich also (ab—1)?“ = e.

'

10.4. Reguliire p-Gruppen

237

Sei umgekehrt' (ab—1)?t = e. Dann folgt ans (1)

hf”,

aP"= (ab—1b)p*= (ab—1);:I 512*t

wobei hi, . . . , ht in der Kommutatorgruppe Z2(a, b) der Untergruppe {ab‘ 1,b}

= {a, b} liegen. Aus (ab—1)” = e folgt wie friiher, daB kein Element aus Z2(a, b) eine hfihere Ordnung als p" haben kann. Das ergibt _

1hr=-...=‘h‘Pt=e,

also a” = b1" , wie behauptet. ‘ Die reguliiren p-Gruppen besitzen noch eine Fiille weiterer interessanter Eigenschaften. Ins’besondere lassen sich weitgehende Aussagen fiber die oben erwéihnten beiden Folgen vollinvarianter Untergruppen machen. Hierfiir sei auf [57] verwiesen.

‘

1 1. KA P I T E L

Endliche aufliisbare Gruppen 11.1. Hallgruppen auflfisbarer Gruppen

Unter einer Hallgruppe der endlichen Gruppe G versteht man eine Untergruppe H von G, deren Ordnung IHI zu ihrem Index IG: HI teilerfremd ist. Die Sylowgruppen von G bilden Beispiele fiir Hallgruppen. Es trifft aber

nicht zu, daB sich der Satz von SYLOW auf Hallgruppen beliebiger Gruppen ausdehnen léiBt. Man verdankt P. HALL die Erkenntnis, daB jedoch fiir die

Hallgruppen auflfisbarer Gruppen ein ganz entsprechender Satz gilt wie' fiir die Sylowgruppen beliebiger endlicher' Gruppen. (11.1.1) Satz von P, HALL. Es sei G sine auflb‘sbare Gruppe. Dann gelten fiber die Hallgruppen von G die folgenden Aussagen.° (a) Zn jeder Zerlegung IGI = mn mit (m, n)— — 1 gibt es in G mindestens sine Hallgruppe der Ordnung m. (b) J6 zwei Hallgruppen der Ordnung m sind konjugiert. (c) Jade Untergruppe von G, deren Ordnung ein Teiler von m ist, liegt in einer Hallgruppe der Ordnung m. i (d) Die Anzahl hm der Hallgruppen der Ordnung m Iii/3t sich darstellen als Produkt van Faktoren a,- mit folgenden Eigqnschaften : (1) a,- E 1 (mod pi) fiir einen Primteiler p; von m. (2) a; ist eine Primzahlpotenz urid geht in einem Hauptindex van G auf. Die Aussagen (a), (b), (c) entsprechen genau denen des Satzes (3.2.5) fiber

Sylowgruppen, wfihrend (d) eine Verschfirfung des analogen Satzes fiber Sylowgruppen ist. ‘ Beweis. Im Fall |G| = 1 ist nichts zu beweisen. Wir fiihren den Beweis

durch Induktion nach der Gruppenordnung und nehmen an, daB der Satz richtig ist fiir alle Gruppen von kleinerer Ordnung als |G|. (I) Zuerst behandeln wir den Fall, daB G einen eigentlichen Normalteiler T. enthiilt, dessen Ordnung nicht durch n teilbar ist. Setzt man |T| = mini und IG: T] = mznz, wobei mimz = m und ninz = n ist, so Wird n1 < n.

11.1 . Hallgruppen aufliisbarer Gruppen

239

Nach der Ihduktionsannahme enthéilt G/T eine Untergruppe D/T der Ordnung m2, Die Gruppe D hat dann die Ordnung mni, und da diese kleiner als |G| ist, so enthfilt D eine Untergruppe H der Ordnung m. Damit ist (a)

bewiesen. Es seien H und H* zwei Untergruppen der Ordnung m. Die Ordnung von D = TH ist ein Teiler von ITI-IHI = m1n1m1m2. Da diese Ordnung aber ein Teiler von |G| = mn sein muB, so ist sie ein Teiler von mni. Andrerseits ' 'muB die Ordnun'g 'von TH sowohl durch |T| = 7mm als auch durch |H| = m teilbar sein. Folglich wird |D| = ITHI = mn1. Ebenso ergibt sich, daB auch

D* = TH* die Ordnung mm besitzt. Folglich sind D/ T und D*/ T zwei Untergruppen der Ordnung m2 von G/ T. Nach der Induktionsannahme sind D/T und D*/ T in G/ T konjugiert. Daher wird D = m‘1D*a; mit einem Element x6 G. Folglich haben Wir x‘1H*xCD. Da (b) nach der Induktions-

annahme fiir' D richtig ist, so sind H und x“1H*a: in D konjugiert, also sind H und H* in G konjugiert. Damit ist (b) bewiesen. ' Nun sei U eine Untergruppe von G, deren Ordnung in m aufgeht. Da (c)

fiir G/T richtig ist, liegt UT/T in einer Untergruppe D/T der Ordnung m2. Daraus folgt UT; D, also U C D. Da (c) fiir D richtig ist, liegt U in einer Untergruppe der Ordnung m von D, also gilt (c) fiir G. Nach (b) ist hm gleich der Anzahl der verschiedenen zu einer Untergruppe H der Ordnung m konjugierten Untergruppen. Diese Anzahl ist gleich der Anzahl der verschiedenen zu H konjugierten Untergruppen in D = TH, multipliziert mit der Anzahl hmg der Untergruppen der Ordnung m2 von GIT. Nun sind die Hauptindizes von D Teiler gewisser Hauptindizes von G, und die Hauptindizes von GIT bilden eine Teilmenge der Hauptindizes von G. Daher ist hm

das Produkt aus zwei Faktoren, deren jeder die Bedingungen (1) und (2) von ((1) erfiillt. Folglich erfiillt hm selbst diese Bedingungen. ~

(II) Nun haben wir den Fall zu behandeln, daB die Ordnung jedes Normalteilers von G durch n teilbar ist. Da G auflosbar ist, enthfilt G einen mini-

malen Normalteiler K, dessen Ordnung eine Primzahlpotenz p“> 1 ist. Um nicht auf den bereits erledigten FallI zu kommen, k6nnen Wir annehmen,

daB n = p“ ist und daB jeder minimale Normalteiler von G die Ordnung p“ besitzt. Da die minimalen Normalteiler dann p-Sylowgruppen von G sind, so kann es auBer K keinon anderen minimalen Normalteiler von G geben. Als minimaler Normalteiler einer auflfisbaren Gruppe ist K eine elementare abelsche Gruppe. Um (a) zu beweisen, wfihlen wir unter den Normalteilern von G, die K als echte Untergruppe enthalten, einen minimalen aus, etwa L. Dann ist die Ordnung von L/K eine Potenz q” einer Primzahl q=|= p. Sei Q eine q-Sylow-

gruppe von L. Dann ist IQ] = q" und L = OK. Den Normalisator von Q in G

240

11. Kapitel. Endliche auflfisbare Gruppen

bezeichnen wir mit N(Q) und betrachten den Durciischnitt R = N(Q) nK. Als Untergruppe von K ist R elementar abelsch und auBerdem Normalteiler in N(Q). Da R und Q Normalteiler in N(Q) mit dem Durchschnitt e sind, so sind R und Q elementweise vertauschbar, und folglich liegt R im Zentrum C

von L. Als charakteristische Untergruppe von L ist C Normalteiler in G. Da K minimal ist, stimmt der Durchschnitt K n C entweder mit K fiberein oder besteht nur aus dem Einselement. Wie man leicht erkennt, scheidet

K NC = K aus;'denn dann ware L = Q X K und daher Q als charakteristische Untergruppe von L Normalteiler in G, was unserer Annahme widerspricht. Daher wird K 00 = e und wegen R E K 00, also R = e. Dann ist die Untergruppe Q ihr eigener Normalisator in L und besitzt somit |L : Q] =

verschiedene Konjugierte in L. De L Normalteiler in G ist, liegt jede zu Q in G konjugierte Untergruppe bereits in L. Folglich gibt es im ganzen p“ ver-

schiedene zu Q in G konjugierte Untergruppen. Daraus folgt IG: N(Q)| = p“ = n. Daher hat N(Q) die Ordnung m, womit (a) bewiesen ist.

Die Normalisatoren der p“ zu Q konjugierten Untergruppen sind alle verschieden und bilden ein vollstfindiges System in G konjugierter Unter-

gruppen; denn als q-Sylowgruppe von L ist Q der Durchschnitt von L mit einer q-Sylowgruppe Q von G, so daB der Normalisator von Q beziiglich G

in N(Q) enthalten ist und folglich N(Q) nach (3.2.2) mit seinem Normalisator in G fibereinstimmt. Also enthiilt G genau pa zu N(Q) konjugierte Untergruppen der Ordnung m. AuBerdem ist p“ E 1 (mod q), denn p“ ist die Anzahl _ der q-Sylowgruppen von L. Ist M irgendeine Untergruppe der Ordnung m, ,

so ist die Ordnung von ML sowohl durch m als auch durch n = p“ teilbar, also ML = G. Aus'

G/L= ML/L g M/M n L folgt, daB Mn L die Ordnung q" 'hat und daher in L'zu Q konjugiert ist. ‘ Weiter ist Mf] L Normalteiler in M, also M der Normalisator einer zu Q ‘

konjugierten Untergruppe. Daher machen die zu N(Q) in G konjugierten Untergruppen schon séimtliche Untergruppen der Ordnungm aus. Damit

_ sind (b) und (d). gleichzeitig bewiesen. SchlieBlich sei U eine Untergruppe von G, deren Ordnung ein Teiler von m ist. Ferner sei M eine beliebige Untergruppe der Ordnung m. Wir setzen U* = Mn UK. Es ist {M, UK} = G. Aus (1.5.4) folgt |U*| = IUI. Aus (b), angewandt auf UK, folgt, daB U* zu U konjugiert ist. Daher liegt_ U in einer zu M konjugierten Untergruppe. Das ergibt (c). Damit ist (11.1.1) bewiesen. (Aufgaben 51 bis 54) Auch weitere Séitze fiber Sylowgruppen lassen sich auf Hallgruppen auflfisbarer Gruppen iibertragen. -

11.1 . Hallgruppen auflo'sbarer Gruppen

-

241

(11.1.2) Es sei G eine aufliisbare Gruppe der Ordnung mn mit (m, n) = 1 and U eine Untergruppe der Ordnung u. Es werde (u, m) = 11.1 gesetzt. Sind damn H1 und H2 zwei verschiedene Hallgruppen der Ordnung u1 von U, so sind H1 and H3 nicht beide in der gleichen Hallgruppe der Ordnung m von G enthalten.

Beweis. Sind H1 und H2 beide in der Hallgruppe H der Ordnung m enthalten, so ist {H1, H2} eine Untergruppe von H und daher |{H1, H2}| ein .. Teiler von m. Da aber {Hb H2} in U liegt, so muB [{H1, H2}| auch in u aufgehen. Also ist [{H1, H2}! ein Teiler von (u, m) = ui, was nur im Fall {H1,H2} = H1 = H2 moglich ist.

(11.1.3) Entha'lt die Untergruppe A der auflb'sbaren Gruppe G den Normali-

sator N(H) einerf Hallgruppe H van G, so ist die Untergruppe A ihr eigener Normalisator in G. 'Beweis. Sei w‘iAa; = A. Dann sind H und x‘iHa; zwei Hallgruppen von A. Nach (11.1.1) existiert daher'ein Element ye A mit y‘ix‘iy = H.

Das besagt xye N(H), also erst recht my 6 A und folglich a: 6 A. (11.1.4) Die beiden Komplexe K and L der aufliisbaren Gruppe G seien in G konjugiert. Ferner gelte ftir jedes Element (1 einer Hallgruppe H van G a‘iKa= K,

ahiLa= L.

Dann enthiilt bereits der Normalisator N(H) van H ein Elements mit s‘iKs = L. Beweis. Sei N(K) der Normalisator von K in G. Dann ist nach Voraus-

setzung H C; N(K). Wegen w‘iKa: = L ist N(L) = x‘1N(K)a; der Normalisator von L. Folglich wird x'1Hx; N(L). AuBerdem ist. H nach Voraussetzung in N(L) enthalten. Also sind H und a: 1Ha: zwei Hallgfuppen von N(L). Aus (11.1.1) folgt daher H: y 1x'1Hwy mit einemy E N(L). Demnacll ist s = my in N(H) enthalten, und es wird 8'1Ks= y‘1x‘1Kazy = y“Ly= L. Nun wollen wir einen sehr bemerkenswerten Satz beweisen, der besagt, daB fiir (11.1.1), genauer sogar schon fiir die Aussage (a) dieses Satzes, die

Voraussetzuhg der Auflosbarkeit auch notwendig ist. (11.1.5) Satz von P. HALL. Die Gruppe G ist auflb'sbar, wennzu jederZerlegung [G] = mn mit (m, n) = 1 in G mindestens eine Untergruppe der Ordnung m existiert.

Ist p“ die hochste in IGI aufgehende Potenz der Primzahl p, so heiBt jede Untergruppe von G mit dem Index p“ ein p-Sylowkomplement. 16

Kochendorfler,Gruppentheorie

242

11. Kapitel. Endliche aufliisbare Gruppen

Offenbar folgt (11.1.5) aus:

(11.1.5’) Enthiilt G fiir jede in IGI aufgehende Primzahl p mindestens ein p-Sylowkomplement, so ist G aufliisbar'. Dem Beweis dieses Satzes schicken wir einen Hilfssatz voraus, dessen

Kernstiick jedoch erst spiter bewiesen werden kann. Hilfssatz. Die Gruppe G habe die Ordnung p‘fq, wobei p und q verschiedene Primzahlen sind, a> O, b > 0 und (p, m) = (q, m) = 1. Ferner ent-

halte G eine Untergruppe H der Ordnung paq" sowie zwei echte Untergruppen, deren Indizes eine Potenz von p bzw. eine Potenz von q sind. Dann ist G nicht einfach. Beweis des Hilfssatzes. Als Satz (14.6.2) wird bewiesen, daB H auflfisbar

ist. Daher enthéilt H einen minimalen Normalteiler A von Primzahlpotenzordnung. Die Bezeichnung sei so gewéhlt, daB |A| eine Potenz von p ist.-

Nach Voraussetzung enthiilt G eine echte Untergruppe B, deren Index eine Potenz von q ist. Daher enthéilt B eine p-Sylowgruppe von G, und anderer- , seits ist A in einer p-Sylowgruppe von G enthalten. Folglich kann man A; B annehmen. Denn sollte das nicht schon der Fall sein, so braucht man B nu:

durch eine konjugierte Untergruppe zu ersetzen. Da IG: HI und [G : Bl zueinander teilerfremd sind, wird G = BH. Folglich erhéilt man alle zu B in G konjugierten Untergruppen, indem man B mit allen Elementen aus H trans-

formiert. Wegen A QB und weil A Normalteiler in H ist, liegt A in allen zu B konjugierten Untergruppen und folglich auch in ihrem Durchschnitt D.

Demnach gilt Ag D; B, und wegen A=|= e, B=|= G haben wir in D einen eigentlichen Normalteiler von G gefunden. Beweis von (11.1.5’). Nach (14.6.2) ist jede Gruppe, in deren Ordnung V

nur zwei verschiedene Primzahlen aufgehen, auflfisbar. Daher kfinnen wir

annehmen, daB in der Primzahlzei'legung IGh=p?p?-~P% r> 2 ist. Ferner nehmen wir an, daB der Satz bereits bewiesen ist fiir alle

Gruppen, deren Ordnung kleiner als [Gl ist. Mit Ki bezeichnen wir ein p;Sylowkomplement von G (i = 1, . . ;, r). Aus (1.5.5) folgt, daB der Durchschnitt

H=mnmnm die Ordnung 10:1n hat. AuBerdem enthiilt G Untergruppen K1 und K2 mit den Indizes P1111 bzw. pg'. Daher lfifit sich der Hilfssatz anwenden. Er liefert

die Existenz eines eigentlichen Normalteilers D von G. Genau wie beim Beweis von (3.2.3) erkennt man, daB D {1 K,- ein pi-Sylowkomplement von D und KiD/D ein pi-Sylowkomplement von G/D ist. Daher besitzen

11.2. Sylowsysteme

'

243

sowohl D als auch’G/D fiir alle Primteiler ihrer Ordnungen Sylowkomplemente und sind folglich nach der Induktionsannahme auflbsbar. Also ist auch G auflésbar. 11.2. Sylowsysteme

Es sei G eine auflfisbare Gruppe und

‘ 'IGI = pi‘lp‘z‘"

P?’

die Primzahlzerlegung ihrer Ordnung. Nach (11.1.1) existiert zu jedem Primteiler pi von IGI mindestens ein pg-Sylowkomplement K;. Jedes System

K1, K2, ...,K

.

(1)

von pi-Sylowkomplementen fiir die r Primteiler p,- von IGI. heiBt ein vollstdndiges System von Sylowkomplementen.

Fiir irgendeine nicht leere Teflmenge oc der Zahlen 1, 2, . . . , r setzen Wir Ka = n KiiEa

(2)

Ist an die leere Menge, so sei K“ = G. Auf diese Weise entsteht ein System von 2" Untergruppen K“, das wir als ein Sylowsystem von G bezeichnen, genauer als das durch die Sylowkomplemente (1) erzeugte Sylowsystem. Die Sylowsysteme und einige damit zusammenhéingende Begriffe ermfiglichen einen tiefen Einblick in die Struktur der endlichen auflfisbaren Gruppen. Nach (1.5.5) gilt IG: K,|=ig IG: Kg| =i167 p154.

Bezeichnet oc’ die Komplementéirmenge von 0; in bezug auf 1, 2, . . ., r, so wird demnach

IK.I=_IZp;"-

(3)

J6a

Daher sind alle K, Hallgruppen von G. Umgekehrt machen die 2' Ordnungen der K“ siimtliche mfiglichen Ordnungen von Hallgruppen von G aus. Nach ' (11.1.1) kommt eine passende Konjugierte jeder Hallgruppe von G unter den K, vor. ' Ist fleine weitere Teilmenge der Zahlen 1, 2, . . ., r, so folgt unmittelbar ans (2) KaUfl= K, n K3.

(4)

Andrerseits gilt

KN”: K,Kp'. 16*

-

'

(5)

244

11. Kapitel. Endliche auflb'sbare Gruppen

Zuniichst sind niimlich sicher K1 und K5 in K1 n 5 enthalten. Zum Beweis von

(5) muB also noch nachgewiesen werden, daB das Produkt KEK’9 bereits IK. n pl verschiedene Elemente enthéilt. Nach (1.3.5) ist die Anzahl der ver-

schiedenen Elemente in KaKfi gleich

IKal'lKfil'lKa n Kai—1, also nach (4) auch gleich

IKII'IKflI'IKaUfll_1Aus (3) folgt nun

17P%*( [7 17‘1“)“ cl'll' lKa'unl"=jIZP5-" Ea- kea' 16(aufi)’ _

'

=17P‘-"HP%*( 17 Pi“)“= 17.1)" jéa' JkEfl’ lEa’nfi’ tea'up' ‘ = H P?'=lKunpl-

i6(¢nfl)’

Damit ist (5) bewiesen. Es ergibt sich insbesondere

K,K,,= K,,K,.

'

I

‘

(6)

Unter einem vollstdndigen System van Sylowgruppen versteht man ~irgendein System von r Sylowgruppen der Ordnungen p‘i‘l, pgi, .. ., pf. Jedes Sylowsystem enthéilt insbesondere ein vollsténdiges System von Sylowgruppen. Diese sind wegen (6) sogar paarweise vertauschbar, was im allgemeinen keineswegs ffir jedes vollstfindige System von Sylowgruppen zutrifft. Ist P19P2)---’Pr

das in unserem Sylowsystem enthaltene vollstfindige System von Sylowgruppen, so wird offenbar

«

K,= ta P-.., Enthfilt umgekehrt cine Gruppe ein vollstfindiges System paarweise verf tauschharer Sylowgruppen, so ist sie nach (11.1.5) auflosbar. Also gilt: (11.2.1) Eine endliche Gruppe ist dann und nur damn aufliisbar, wenn sic U sich darstellen liifit als Produkt von paarweise vertauschbaren Untergruppen van

Primzahlpotenzordnung.

I

Dieser Satz léiBt sich erheblich verallgemeinern. Die weitestgehende be-

kannte Aussage lautet: Eine endliche Gruppe ist genau dann auflosbar, wenn sie das Produkt von paarweise als Ganze vertauschbaren nilpotenten Untergruppen ist. F111' den Beweis sei auf [125] und [80] verwiesen. '

11.2. Sylowsysteme

245

Uber Sylowsysteme beweisen wir zunfichst: (11.2.2) Jedes System 1 paatweise vertauschbarer Hallgruppen der auflb‘sbaren Gruppe G ist in einem Sylowsystem G van G enthalten.

Beweis. Mit V; bezeichnen wir das Erzeugnis aller Hallgruppen ans 1, deren Ordnungen zu pi'teilerfremd sind. Enthfilt 1 fiberhaupt keine solche Hallgruppe, so sei V,- = e. Da die Gruppen ans 3 paarweise vertauschbar

~sind, so ist V,- dns Produkt der betreffenden Hallgruppen, und folglich ist auch [Vi] zu pi teilerfremd. Nach (11.1.1) kann man daher fiiri = 1, 2, . . ., r

'je ein pi-Sylowkomplement K.- von G bestimmen, welches V.- enthfilt. Sci 6 das von diesen Sylowkomplementen erzeugte Sylowsystem von G.

Nun sei H eine beliebige‘ Hallgruppe ans 1. Im Index IG: HI mfigen genau ' die Primzahlen Pix, . . ., pi: aufgehen.‘ Die Teilmenge i1, . . ., i, von 1, . . ., r

bezeichnen wir mit 1. Es wird sich zeigen, daB H = K, wird. Da H eine Hallgruppe ist, muB |H| zu Pi; pi: teilerfremd sein. Daher gilt

HQVi,

_(j=1,...,t),

also erst recht

HEX,-

(j=1,...,t)

’ und folglich H C K. Als Hallgruppe hat H aber die gleiche Ordnung wie K, also H: K. Damit ist (11.2.2) bewiesen. Ein Analogon zu (11.1.1(b)) ist: (11.2.3) 'Je zwei Sylowsysferrw der auflb’sbaren Gruppe G sind konjugiert.

. Beweis. Es seien G und 6* zwei Sylowsysteme von G. Sie werden erzeugt durch zwei vollstéindige Systeme von Sylowkomplementen RiKl, ...,K,-

und 3*:Kf, ...,K;".

Die beiden Systeme R und 3* mfigen genau s gemeinsame Gruppen enthalten. Im Fall .9 = r ist sogar 6 = 5*. Sci weiterhin s< r. Offenbar geniigt es, folgende Aussage zu beweisen: Es gibt ein Element :1: E G mit der Eigenschaft, daB x‘ifix und R* genau s + 1 gemeinsame Gruppen enthalten. Man erhfilt dann nach r — s Schritten ein zu R konjugiertes System, das mit R“ fibereinstimmt. Sei Kg=l= KT. Mit P.- bezeichnen wir die in G enthaltene pi-Sylowgruppe von G. Dann ist G = Ki, und folglich erhéilt man sfimtliche zu K,- kon-

jugierten Untergruppen schon durch Transformation von K,- mit den Ele-

menten aus Pi. Da K.- und K? nach (11.1.1) konjugiert sind, gibt es daher

246

11. Kapiwl. Endliche aufliisbare Gruppen

ein Element :1: e P,- mit afiKix = K?. Nach dem oben Gesagten'ist P.- der

Durchschnitt aller von K,- verschiedenen Gruppen des Systems R. Folglich

haben wir a; E K,- fiir alle j =|= i und demnach m‘iK1'55 = K,- fiir j =|= i. Daraus folgt, daB 3—131; und 3* genau s + 1 gemeinsame Gruppen enthalten, nfim-

lich die bereits in R und R* gemeinsam enthaltenen 8 Gruppen und KT. Der nachste Satz stellt einen einfachen Zusammenhang fest zwischen den Sylowsystemen von G und denen der Untergruppen von G. (11.2.4) Jedes Sylowsystem einer Untergruppe U 'uon G ist der Durchschnitt von U mit einem Sylowsystem von G. , 'Beweis. Sci 18 ein Sylowsystem von U. Wir denken uns die Primteiler p1, . . . , p, von IGI so numeriert, daB p1, . . ., p, in [U] aufgehen, wobei natiir- '

lich auch s = r sein darf. Die 18 erzeugenden Sylowkomplemente von U seien L1 , . . . , L“ und zwar sei lU:L,-| eine Potenz von p,- (i = 1, .. ., s). Nach (11.1;1) gibt es fiir i = 1, . . ., s je ein pi-Sylowkomplement K.- von G, 'das L,- enthfilt. Fiir j = s + 1, . . ., r kann man ferner ein pj-Sylowkomplement K,- von G bestimmen, das U enthéilt. Das so bestimmte vollstéindige System Kiwo -’ Kn Kali-1: ---! Kr

von Sylowkomplementen von G erzeuge das Sylowsystem G von G. Sei nun o‘ eine Teilmenge der Zahlen 1, ...,-s und 9 eine Teilmenge der Zahlen s + 1, . . . , r. Wir werden nachweisen, daB

La: U n Kw,

(7)

gilt. Damit wird unser Satz bewiesen sein. Nach der Auswahl der K,- enthéilt die rechte Seite von (7) jedenfalls L,. V Andrerseits ist die Ordnung der rechten Seite von (7) ein gemeinsamer Teiler _ von IUI und qUal' Da nun |L¢| der gréBte gemeinsame Teiler von |U| und

lKoUQI ist, so kann die Ordnung der rechten Seite von (7) nicht grtiBer als ILUI sein. Das beweist (7). 11.3. .Sylowsystem-Normalisatoren

D33 .SYIOWSYStem G der auflfisharen Gruppe G werde erzeugt durch die pg-Sylowkomplemente K1, 0 ~ - 9 Kr,

‘ '

und die in 6 enthaltenen pi-Sylowgruppen seien ' P1, . . . , Pr.

11.3. Sylowsystem-Normalisatoren

247

Als den Noi'malisator N(6) von 6 bezeichnen wir die umfassendste Untergruppe' von G, in der jede einzelne Gruppe des Systems 6 Normalteiler ist. Da sfimtliche Gruppen von 6 durch Bildung von Durchschnitten aus K1,...,K, _

entstehen, liegt ein Element .2: E G genau dann in N(G), wenn x“K,~x=Ki

fiir

i=1,...,r.

~ Andrerseits kann— nian alle Gruppen aus G auch durch Produktbildung aus P1, . . ., P, erhalten. Also gilt genau dann a: E N(G), wenn x‘iPix= P,-

fiir

i=1, ...,r.

Daher haben wir

N(6) =tfr'11N(Ki) = .61 N(Pi). Aus (11.2.3) folgt, daB sfimtliche Sylowsystem-Normalisaitoren von G in G konjugiert sind. Bei irgendeinem Automorphismus von G werden die Sylowsystem-Normalisatoren nur untereinander vertauscht. (11.3.1) Der} Sylowsystem-Normalisator N(6) ist das direkte Produkt seiner Sylowgruppen Ni. Dabei ist Ni: P;- n N(Ki).

'

(1)

Beweis. Wir definieren N- durch (1-) und zeigen, daB N- eine pi-Sylowgruppe von N(G) ist, und zwar die einzige. '

Aus N.- ;P folgt N- QK- fiir 8.116] =|= i. Folglich liegt N.- 1m Normalisator jedes Kj mit j =|= i. Nach Definition liegt N,- aber auch im Normalisator von Ki. Daraus folgt N,- Q N(6). Sei Nf eine pi-Sylowgruppe von N(6). Dann liegt N2“ insbesondere in N(P.-). Da aber P.- die einzige pi-Sylowgruppe von N(Pi) ist und INfl eine

Potenz von p,- ist, so folgt NE" '; Pi. Weiter liegt Ni.“ auch in N(K,-). Also gilt Nf Q Ni. Wegen N,- E N(G) und weil |N,-| eine Potenz von p; ist, folgt N2“ = N;. Daher ist N; in der Tat die einzige pi-Sylowgruppe von N(6). (11.3.2) Das Erzeugnis aller Sylowsystem-Normalisatoren van G ist die ganze Gruppe G. Kein echter Normalteiler von G enthiilt einen Sylowsystefn-Normali-

sator. Beweis. Da alle Sylowsystem-Normalisatoren zueinander konjugiert sind, ist ihr Erzefignis ein Normalteiler von G. Daher genfigt es zu beweisen, daB ein gegebener Sylowsystem-Normalisator N(G) nicht in einem gegebenen

maximalen Normalteiler M von G enthalten sein kann.

248

11. Kapitel. Endliche aufliisbare Gruppen

Der Index von M in Gist eine Primzahl, etwa |G: M| = pi. Dann liegen K,-

und alle zu K,- konjugierten Untergruppen in M. Daraus folgt G = MN(K,-). Wegen G/M= MN(K,-)/M= N(K,-)/M n N(K,-) gibt es Nebenklassen von N(K.-) nach Ki, die kein Element aus’M enthalten.

In einer solchen Nebenklasse liegt, wie in jeder Nebenklasse von G nach Ki, genau ein Element .7; 6 Pi. Aus a; E P,- 0 N(K,~) folgt nech (11.3.1) :1: 6 Ni, '

wobei N,- die pg-Sylowgruppe von N(G) bedeutet. Wegen a; QM kann also N(G) nicht in M enthalten sein. Im Gegensatz zu (11.3.2) gilt aber:

(11.3.3) Jede maximale Untergruppe H van G, die nicht Normalteiler ist, enthiilt mindestens einen Sylowsystem-Normalisator. . Beweis. Wir betrachten die durch H 1m Sinne von (7.2) erzeugte transitive -

Permutationsdarstellung von G. Da H maximal ist, erhéilt man eine primitive auflijsbare Permutationsgruppe. Ihr Grad, der mit |G : H| fibereinstimmt, ist I

nach (7.1.10) eine Primzahlpotenz, etwa pf. Aus |G: H| = p? folgt, daB jedes péSylowkomplement K,; von.H gleichzeitig pi-Sylowkomplement von G ist.

Es geniigt nachzuweisen, daB H den Normalisator N(K,) von K,- in G enthalt. Den Durchschnitt aller zu H. konjugierten Untergruppen bezeichnen wir mit D. Die von H erzeugte Permutationsdarstellung von G ist dann isomorph

zu G/D. Nach (7.1.10) enthfilt G/D genau einen minimalen Normalteiler RID, und die Ordnung von R/D ist pf}. Als Untergruppe der Permutationsgruppe

G/D aufgefaBt ist R/D reguliir. Wir zeigen nun zunéichst, daB die Ordnung eines beliebigen minimalen Normalteilers Q/R von G/R eine Potenz einer von p,- verschiedenen Primzahl ist. J'edenfalls ist |Q/R | wegen der Auflfisbarkeit von G/R eine Primzahlpotenz. Wir nehmen an, daB |Q/R| eine Potenz von p,- ist. Dann ist QID eine pi-Gruppe und besitzt infolgedessen ein nichttriviales Zentrum Z/D. Als charakteristische Untergruppe des Normalteilers Q/D von G/D ist Z/D Normal-

teiler in G/D. Da G/D nur einen einzigen minimalen Normalteiler R/D enthéilt, folgt RID; ZID. Also liegt RID im Zentrum von Q/D. Das ist aber unmfiglich, da R/D als reg'uléire abelsche Gruppe nach (7.2) mit ihrem Zentralisator fiber-

einstimmt. Folglich haben Wir |Q/R| = p? mit pj=l= pi. Wir setzen M = Hfl Q. Dann ist HQ = G, und aus (1.5.4) folgt IM/DI = pf Da jede pj-Untergruppe von H/D in einer pj-Sylowgruppe von H/D enthalten ist, so folgt weiter M = K,Dn Q. Da D und Q Normalteiler in G sind, fol'gt daraus, daB N(K.-) im Normalisator von M liegt, und der Normalisator von M ist H. Damit ist (11.3.3) bewiesen.

11.4. Sybwsystem-Normalisatoren und Faktorgruppen

249

11.4. Sylowsystem-Normalisatoren und Faktorgruppen In diesem Paragraphen werden wir zwei Sfitze beweisen, die einen Zusammenhang zwischen den Faktorgruppen einer auflfisbaren Gruppe und ihren Sylowsystem-Normalisatoren zum Ausdruck bringen.

"Es seien A und B Normalteiler der auflésbaren Gruppe G mit AC B. Die Faktorgruppe B/A heiBt dann ein Faktor von G. Gibt es keinen Normalteiler D . .von G mit ACDC B, so heiBt B/A ein Hauptfaktor; im entgegengesetzten ' Fall nennt man den Faktor B/A zusammengesetzt. Ist B/A zusammengesetzt und B= BODBiD---DB;=A

eine Folge von Normalteilern B.- von G, so sagt man, daB der Faktor B/A in die Komponenten B,_1/B (i = 1,. ..,l) zerlegt werden kann. Jeder zusammengesetzte Faktor kann demnach 1n Komponenten zerlegt werden, die Hauptfaktoren sind.

In der Faktorgruppe G/A sei CIA der Zentralisator von BIA. Dann nennt man C kurz den Zentralisator von B/A. Offenbar kann C auch beschrieben

werden als die Untergruppe aller derjenigen Elemente aus G, durch die jede Nebenklasse von B nach A in sich transformiert wird, oder auch als die umfassendste Untergruppe von G, die A enthfilt und fiir die [C, B] EA gilt. Ist der Zentralisator von B/A die volle Gruppe G, so heiBt BIA ein zentraler Faktor Jeder Faktor von G, der 1n Komponenten zerlegt werden kann, die siimtlich zentral sind, heiBt hyperzentml (Aufgabe 55). Ein Hauptfaktor von G, der nicht zentral ist, heiBt emzentrisch. Ein Faktor

von G, der in Hauptfaktoren zerlegt Wei-den kann, die sfimtlich exzentrisch sind, heiBt hyperexzentrisch. Die Eigenschaft, hyperzentral oder hyperexzentrisch zu sein, ist unabhfingig ' von der Art der Zerlegung 1n Hauptfaktoren. Das folgt aus (2.7 3), wenn man

als Operatorenbereich .9 die Gesamtheit aller inneren Automorphismen von G nimmt. Man sagt, eine Untergruppe U von G fiberdeckt den Faktor B/A, wenn U

mindestens ein Element aus jeder Nebenklasse von B nach A enthiilt. Gleichbedeutend damit ist offenbar A(U n B) = B. Die Untergruppe U von G meidet den Faktor B/A, wenn alle Elemente aus U n B in A liegen oder, was daselbe ist, wenn B n UA = A. Ist G= G03 013-” DG;_1DG;=€

eine Normalreihe'und U eine Untergruppe von G und setzt man

Ui=UnGi

(i=0,...,l),

(1)

250

11. Kapitel. Endliche auflb'sbare Gruppen

so sind alle U,- Normalteiler in U und

1—1 |U|=ilz lUi/Ui+1|Wenn U den Faktor Gil Gi+1 fiberdeckt, haben Wir

Gi+1(U n Gi)= G;-+1 Ui= 0.. und daher Gi/G.-+1= G¢+1Ui/G;+1 “=' Ui/Ug n Gi+1= Ui/Ui+1.

Meidet U dagegen den Faktor Gi/Gi+1, so wird GinUGg+1 = Gi+1 und Ui =

i+1-

Hat also die Untergruppe U die Eigenschaft, daB sie jeden Faktor der Reihe (1) entweder fiberdeckt oder meidet, so ist |U| gleich dem Produkt der

Ordnungen derjenigen Faktoren, die U fiberdeckt. Diejenigen Faktoren einer auflosbaren Gruppe, die von einem Sylowsystem Normalisator fiberdeckt Oder gemieden werden, lassen sich nun uber-

raschend genau angeben. (11.4.1) Jeder Sylowsystem-Normalisator einer auflc'isbaren Gruppe G meidet jeden hyperemzentrisciwn Faktor von G, also insbesondere jeden exzenm'schen

Hauptfaktor van G.

-

_ Beweis. Sci 6 ein Sylowsystem von G und N= N(6). Es geniigt zu zeigen, daB N jeden exzentrischen Hauptfaktor B/A meidet. Denn ist, B/A hyperexzentrisch, so kann B/A in Hauptfaktoren zerlegt werden, von den'en jeder exzentrisch ist. Wenn N jede dieser Komponenten meidet, so meidet N ‘ auch BIA.

Wir nehmen also an, daB B/A ein exzentrischer Hauptfaktqr von G ist. Der Zentralisator C von B/A ist dann eine echte Untergruppe von G. Folglich kann man einen C umfassenden Normalteiler C* von G derart wfihlen, daB C */C ein Hauptfaktor von G ist. Wegen der Auflijsbarkeit von G sind

sowohl |B/A| als auch |C*/Cl Primzahlpotenzen. Zunéichst zeigen wir, daB IB/Al und |C*/C| Potenzen verschiedener Prim-

zahlen sind. Zu diesem Zweck nehmen wir an, daB diese beiden Ordnungen im Gegenteil beide Potenzen ein und derselben Primzahl p sind. Da B/A abelsch ist, gilt ACBQ C C C *. Mit P*IA bezeichnen wir eine p-Sylowgruppe von C*/A und mit Z*/A das Zentrum von P*/A. Der elementare ' abelsche Normalteiler B/A ist in P*/A enthalten. Daher gibt es eine Haupt-. reihe von P*IA, in der B/A vorkommt. Diese moge mit

A/AC Ai/AC

11.4. Sylowsystem-Nornwlisatoren und Fqktorgruppen

251

beginnen. Dann ist A1/A ein in B/A enthaltener Normalteiler von P*/A, der

als Normalteiler der Ordnung p in Z*IA liegt. Folglich besitzen B/A und Z */A einen nichttrivialen Durchschnitt. Andrerseits ist B/A nicht. ganz in Z*/A enthalten, weil sonst der Zentralisator von B/A umfassender als C

wfire. Daher wird

(Z*/A> n (B/A>= Bo/A ‘ ‘ ‘m‘it A C Bo C B, ‘Offenbar ist‘C* = CP*. Da C der Zentralisator von B/A ist, kann Bo/A charakterisiert werden als die grfiBte Untergruppe von B/A, die mit C*/A elementweise vertauschbar ist. Bei jedem inneren Automorphismus von G gehen B/A und C */A in sich fiber, also muB auch Bo/A bei jedem

inneren Automorphismus von G in sich fibergehen, d. h. Bo ist Normalteiler von G. Das ist aber unmfiglich, weil B/A ein Hauptfaktor von G ist. Folglich haben wir

lB/Al=pi» |C*/C|=p}": Pi=1=Pj-

_

Mit N_,- bezeichnen wir den Normalisator in G der zu G gehfirenden pj-Sylow-

gruppe PJ- von G. Wegen N g N,- geniigt es zu zeigen, daB N,- den Hauptfaktor B/A meidet. Wir nehmen an, N,- meide B/A nicht. Dann gibt es ein

Element a: 6 Ni mit a; E B, a; 65 A. Da |C*/C| eine Potenz von p,- ist, so hat jedes Element aus C * die Form yo mit y E Pj, c E C. Ffir den Kommutator van a: und y ergibt sich {fly—1mg] E Pj, weil a: 6 Nj, und w‘iy“ my 6 B, weil x E B. Da IPj| und |B/A| teilerfremd sind, folgt daraus x‘1y‘1xy 6 A.

Ferner gilt 22—10-1320 6 A, weil c 6 C, x G B. Folglich liegt der Kommutator von 9: mit jedem Element aus C* in A. Die Elemente aus B, deren Kommutatoren mit jedem Element aus C * in A liegen, bilden einen Normalteiler B1 von

G, der A enthéilt. Dieser ist umfassender als A, weil a; 6 B, a: GE A. Folglich

muB 31 mit B fibereinstimmen. Dann gehért aber C * entgegen seiner Definition zum Zentralisator von B/A-.

Damit ist (11.4.1) bewiesen. Als Gegenstiick zu diesem Setz gilt der folgende: (11.4.2) Jeder Sylowsystem-Normalisator der aufltisbaren Gruppe G fiberdeckt jeden hyperzentralen Faktor van G, also insbesonderejeden zentralen Faktor von G.

Der Beweis dieses Satzes beruht im wesentlichen auf einer Aussage fiber das Verhalten der Sylowsystem-Normalisatoren von G bei homomorphen Abbi], dungen von G.

Sei G allgemeiner als bisher ein beliebiges System paarweise vertauschbarer Hallgruppen der auflésbaren Gruppe G und 0 ein beliebiger Homomorphismus von G. Das Bild eines Elementes a; E G bezeichnen wir wie friiher mit we, die Bildgruppe mit Go' und das Bild von 6 mit 66. Offenbar ist Ga ein System

paarweise vertauschbarer Hallgruppen von Go‘.

252

11. Kapitel. Endliche auflb'sbare Gruppen

(11.4.3) Ist N der Normalisator von 6 in G, so ist No' der Normalisator von 60 in Ga. Beweis. Der Kern von 0‘ sei Go. Wir betrachten zunachst den Spezialfall, daB |Go| eine Potenz der Primzahl p ist. Mit S bezeichnen wir das Produkt aller

Gruppen aus G, deren Ordnungen in p teilerfremd sind; eventuell ist S = e. Unter Go 6 verstehe man dasjenige Untergruppensystem von G, welches entsteht, indem man die Produkte von Go mit allen Gruppen aus G bildet. Es sei nun :1: ein Element aus G, das jede Gruppe aus GOG in sich transformiert;

gleichbedeutend damit ist, daB x0 zum Normalisator von 60' gehort. Jede Gruppe aus 6, deren Ordnung durch p teilbar ist, enthz'ailt als Hallgruppe den ganzen Normalteiler Go und wird folglich durch a; in sich transformiert. Ist andrerseits x"1Sx = S *, so gilt'GoS = G0S*. Offenbar sind S und S * Hall-

gruppen der gleichen Ordnung von GoS. Nach (11.1.1) sind also S und S* in GoS konjugiert. Daher gibt es einy 6 Go mit y‘iSy = S*. Dann trausformiert

.m'y‘1 sowohl G06 als auch S in sich. Also wird auch das System aller Durch- _ schnitte G06 0 5' von my“ in sich transformiert. Nun besteht G06 {‘1 S aber

genau aus denjenigen Gruppen von 6, deren Ordnungen 211 p teilerfremd sind. ' Da y offenbar alle Gfuppen aus G in sich transformiert, die Go enthalten, so ergibt sich, daB nay—1 jede Gruppe aus G in sich transformiert, also any—1 6 N. Daraus folgt a: 6 Go N, also and E No. Der Normalisator von 60' Reg daher in No“. Andrerseits transformiert jedes Element aus No‘ offenbar 60' in sich. Damit ist unser Satz in dem Spezialfall bewiesen, daB der Kern von 0' eine p-Gruppe ist.

Um von diesem Spezialfall auf den allgemeinen Fall zu kommen, bilden wir eine charakteristische Reihe G03 G13 --- D Gin—13 Gm=e

fiir den Kern Go des Homomorphismus a, in der die Faktorgruppen G;IG.-+1

'Primzahlpotenzordnung haben. Das ist wegen der Auflosbarkeit von ~G moglich. Der natiirliche Homomorphismus von G auf G/ Go kann zerlegt werden ' ih eine Folge natiirlicher Homomorphismen, und zwar von G auf G/Gm_1, von G/Gm_1 auf G/Gm_2, . . . , schlieBlich von G/G1 auf G/Go, und die Kerne dieser . Homomorphismen haben séimtlich Primzahlpotenzordnungen.

Damit ist (11.4.3) bewiesen. Beweis vo‘n (11.4.2). Es geniigt zu beweisen, daB jeder zentrale Faktor BIA von_ G vom Normalisator N des Sylowsystems 6 fiberdeckt wird. Wir betrachten den natiirlichen Homomorphismus 0 von G auf G/A. Nach (11.4.3)‘ ist Na der Normalisator von 60 in G0 = G/A. Nach Voraussetzung liegt B/A im Zentrum von G/A, also ist 30' = B/A enthalten im Normalisator jedes

11.5. Ein Satz van 0. Sonmp'r

'

_

253

Sylowsystems Von Ga“, insbesondere gilt Bo“; No‘. Nun ist abet N0 = NA/A. Folglich ist B in NA.enthalten, mit anderen Worten: N fiberdeckt B/A. 11.5. Ein Satz von 0. SCHMIDT

Gemeint ist bin Satz, der aussagt, daB eine gewisse Klasse von Gruppen ' auflosbar ist.

I ' ' (11.5.1) Satz Von. 0. SCHMIDT. Es sei G eine nichtnilpotente endliche Gruppe, deren sfimtliche echten Untergruppen. nilpotent sind. Dunn ist G auflfisbar, and I0 I hat nur zwei Primteilen._ Dem Beweis dieses Satzes schicken wir einen Hilfssatz voraus.

Hilfssatz. Jede echte Untergruppe der endlichen Gruppe G sei nilpotent. M sei eine maximale Untergruppe _von G. Enthéilt G eine echte Untergrgppe U, deren Durchschnitt mit M von 9 und U verschieden ist, so ist G nicht einfach. Beweis. Wir denken uns eine Untergruppe U mit den angegebenen Eigenschaften derart gewéihlt, daB der Durchschnitt D = M n U eine mfiglichst

groBe Ordnung besitzt. Es wird sich herausstellen, daB D dann Normalteiler in G ist. Wegen der Bedingungen fiir U ist D sowohl in M als auch in U als echte Untergruppe enthalten. Nach Voraussetzung sind U und M nilpotent.

Folglich sind die Normalisatoren von D in U und M echte Obergruppen von D. Bezeichnet N(D) den Normalisator _von D in G, so haben wir also

Dc‘l'Ua), DCMnN(D).

(1)

Wir werden sehen, daB N(D) = G sein muB. Jedenfalls ist N(D) nicht in M enthalten, denn sonst wfire UflN(D)S_:.UflM=D

im Widerspruch zu (1). Wfire nun N(D)=|= G, so hitte man in. N(D) eine Untergruppe gefunden, die die an U gestellten Forderungen erfiillt, fiir die aber M n N(D) eine groflere Ordnung als ID] besitzt. Das widerspricht der Auswahl von U. Damit ist dor Hilfssatz bewiesen. , Beweis von (11.5.1). Zunéichst zeigen wir, daB G auflosbar ist. Da fiir Gruppen der Ordnung 1 nichts zu beweisen ist, schlieBen wir induktiv nach der Gruppenordnung und nehmen an, der Satz sei richtig ffir alle Gruppen von kleinerer Ordnung als g = |G|. Besitzt G einen nichttrivialen Normalteiler T, so sind nach der Induktions-

annahme sowohl G/T als auch T auflosbar, und folglich ist G auflosbar. Es geniigt also nachzuweisen, daB G nicht einfach ist.

254

11. Kapitel. Endliche aufliisbare Gruppen

Wir fiihren den Beweis indirekt und nehmen an, daB G einfach ist. Eine maximale Untergruppe 1M ist demnach ihr eigener Normalisator. Der Hilfssatz ergibt ferner: M hat mit jeder echten Untergruppe von G, die nicht ganz

in M liegt, den Durchschnitt e. Daraus folgt erstens : Je zwei verschiedene zu M konjugierte Untergruppen haben den Durchschnitt e. Zweitens folgt: M ent- . halt eine Sylowgruppe von G entweder vollstfindig oder hat mit ihr den Durchschnitt e. Demnach enthalten alle zu M konjugierten Untergruppen s'émtliche

p-Sylowgruppen fiir alle Primteiler p der Ordnung m von M. Da aber nach (2.2.3) die zu M konjugierten Untergruppen nicht sfimtliche Elemente aus G enthalten kfinnen, so muB es mindestens einen Primteiler q von g geben, der

nicht in m aufgeht. Eine q-Sylowgruppe von G ist in einer maximalen Unter- ‘ gruppe M1 enthalten, deren Ordnung m1 nach dem oben Gesagten zu m teilerfremd ist. Auch die Untergruppe M1 ist ihr eigener Normalisator in G. Die sfimtlichen gm—1 zu 1W konjugierten Untergruppen enthalten insgesamt

(m — 1)gm‘1 untereinander und von e verschiedene Elemente. Analog enthalten séimtliche gm;1 zu 1M1 konjugierten Untergruppen (m1 — 1)gm1‘1 untereinander und von e verschiedene Elemente. Wegen (m, m1) = 1 hat ferner jede

zu M konjugierte Untergruppe mit jeder zu M1 konjugierten den Durchschnitt e. Daraus folgt

(m— 1)%+(mi—1)mi1 gg— 1 oder .

1s i+ i—i. m,

m1

g

.

Die letzte Ungleichung ist 'wegen m > 1, m1 > 1 offenbar falsch. Damit ist die Auflfisbarkeit von G nachgewiesen. V Die Primzahlzerlegung von g sei

g=P“q” ---r°Wir zeigen, daB hinter p“ q” keine weiteren Faktoren mehr auftreten. Da wir schon wissen, daB G auflésbar ist, enthiilt G einen Normalteiler T von Prim- -

zahlindex. Wir denken uns die Bezeichnung so 'gewéihlt, daB IG: T] = p. Da T nilpotent ist, besteht die direkte Zerlegung ' T=P1x Qx

XR,

wobei IP1I = V”, IQ[ = q”, . . ., [HI = r”. Nun ist P1 in einer p-Sylowgruppe

P von G enthalten. Ist a; ein nicht in P1 liegendes Element aus P, so Wil‘d' G= T+xT+

-+-xP‘1T.

11.6. Ein Satz van Fnonzmus

_

.

255

Als charakteristische Untergruppen von T sind Q, . . ., R Normalteiler in G. Insbesondere ist a; mit Q,. . . , R als Ganzes vertauschbar. Diese Vertauschbar-

keit kann aber nicht mit allen Gruppen Q, . . ., R elementweise gelten, weil sonst G selbst nilpotent wire. Sei a: etwa mit Q als Ganzes, aber nicht element-

Weise vertauschbar. Dann ist {a}, Q} nicht nilpotent und folglich {32, Q} = G. Mithin hat G die Ordnung paq". Uberdies hat sich ergeben, daB die q-Sylowgruppe Q Normalteiler in G ist und daB die p-Sylowgruppe P = {x} zyklisch ” 'ist. Ferner liegt an? im Zentrum von G. 11.6. Ein Satz von FROBENIUS

Der nachstehend bewiesene Satz von FROBENIUS hat an sich nichts mit auflosbaren Gruppen zu tun, er steht fiberhaupt kaum im Zusammenhang mit

weiterfiihrenden Theorien. Wir bringen ihn trotzdem, weil er auch fiir sich genommen interessant ist. AuBerdem werden Wir ihn im nachsten Paragraphen benutzen. (11.6.1) Es sei G eine Gruppe der Ordnung g und K cine Klasse konjugierter Elemente van G, bestehend aus k Elementen. Ferner sei n cine natiirliclw Zahl. Dunn ist die Anzahl der Elemente a: E G mit der Eigenschaft a)” E K durch (kn, g) teilbar. Beweis. Den Komplex aller derjenigen Elemente aus G, deren n-te Po-

tenzen in einem gegebenen Komplex C liegen, hezeichnen wir mit F(C, n) und die Anzahl der Elemente in F(C, n) mit f(C, n). Im Fall g = 1 ist der Satz trivial. Weiterhin sei g > 1 und der Satz schon fiir alle Gruppen von kleinerer Ordnung als g bewiesen. Fiir n = 1 Wird f(K, n)= k, und unser Satz ist richtig. Wir konnen daher annehmen, daB n > 1 und unser Satz fiir alle Exponenten < n schon bewiesen ist. Liegen a und b beide 1n K, so Wird b = 1) 1av. Ist nun a2" = a, so Wird

(av-1.221))" = b. Daher ist f(a, n) = f(b, n) und infolgedessen f(K, n) = kf(a,n).

Aus 50" = a folgt x'iax = a. Daher liegen sfimtliche Losungen :1: von 11:" = a im Normalisator N(a) von a. Die Ordnung von N(a) ist gk‘i. Ist k> 1, so ist demnach lN(a)| kleiner als g. Nach der Induktionsannahme ist folglich

f(a, n) teilbar durch (n, git—1), und daher ist f(K, n) = kf(a, n) durch k(n, git“) = (kn, g) teilbar. Folglich ist unser Satz im Fall k > 1 bewiesen. Wir konnen also weiterhin k = 1 annehmen. Dann besteht K also nur aus einem einzigen Element a,

das 1m Zentrum von G liegt. Ist n = ning mit natiirlichen Zahlen n1> 1, n2> 1 und (n1, n;). = 1, so

setzen wir D: F(a, n2). Dann 1st F(a, n)= F(D n1). Offensichtlich besteht D aus vollen Klassen konjugierter Elemente. Daher ist nach der Induktions-

256 g

11. Kapitel. Endliche aufliisbare Gruppen

annahme f(D, n1) durch (n1, g) teilbar. Also ist f(a, n) durch (n1, g) teilbar. Analog erkennt man, daB f(a, n) durch (n2, g) teilbar ist. Wegen (n1, 71;) = 1 . sind (n1, g) und (n;, g) teilerfremd, und folglich ist (n1, g) (n2, g) = (n, g) ein Teiler von f(a, n). Damit ist der Beweis auf den Fall zuriickgefiihrt, daB n

eine Primzahlpotenz ist. Sei nun n = p’" eine Potenz der Primzahl p. Die Ordnung von a bezeichn‘en~ wir mit oc und unterscheiden zwei Fille, je nachdem, ob p ein Teiler von 0; ist

oder nicht. Im Fall p/oc haben die Elemente aus F(a, pm) sfimtlich die Ordnung pmtx. Wir wéihlen ein Element :1: E F(a, pm) und zéihlen ab, wieviele Elemente der zyklischen Gruppe {x} zu F(a, pm) gehéren. Es sind dies genau die Elemente

my mit y E {at}, y?” = e. Nach (5.4.4) ist deren Anzahl p'". Ferner haben wir' {my} = {w} Jede der verschiedenen zyklischen Gruppen, die durch die Elemente aus F(a, pm) erzeugt werden, liefert also zu f(a, p'") den Beitrag p'".

Folglich ist f(a, pm) durch p'" teilbar. SchlieBlich sei (p,oc) = 1. Wir nutzen jetzt den Umstand aus, daB a im Zentrum von G liegt. Alle Zentrumselemente aus G mit einer zu p teilerfremden

Ordnung bilden eine abelsche Gruppe Z, deren Ordnung zu p teilerfremd ist. Fiir jedes Paar Z1, 7.2 6 Z ist die Gleichung 21 = 7.231?" mit ye Z eindeutig lésbar.

Ist a)?" = zz, so Wird (xy)P" = 7.1. Folglich haben die Zahlen f(z, p'") fiir alle z E Z den gleichen Wert f(a, pm). Wir za'ihlen nun die Elemente aus G ab nach den Klassen, in denen ihre pm-ten Potenzen liegen.

3=cgz 2' f(C:P'")+ IZlf(a,P'”)In dieser Gleichung sind g und nach dem bisher Bewiesenen alle f(C, p’") mil;

C 9:; Z durch (pm, g) teilbar. Folglich ist auch |Z| f(a, pm) durch (p"‘, g) teilbar. Da |Z| zu p teilerfremd ist, muB also f(a, pm) durch (pm, g) teilbar sein. Damit ist (11.6.1) bewiesen. Nimmt man als K die nur aus e bestehende Klasse, so erhfilt man den (11.6.2) Satz von FROBENIUS. Ist n ein Teiler der Ordnung van G, so ist die Anzahl der Lb‘sungen van x" = e durch n teilbar. -

Man beachte, daB in diesem Fall die Anzahl der L6sungen mindestens n ist, da x = e stets eine Lbsung ist. Hier erhebt sich die folgende, bisher ungelfiste Frage: Es sei n ein Teiler von IGI, und die Gleichung x" = e habe genau n L6sungen. Bilden die Lfisungen ‘ dann eine charakteristische Untergruppe von G.9 Wesentlich ist nur zu zeigen, daB die Lfisungen eine Untergruppe bilden; daB diese dann charakteristisch ist, versteht sich von selbst. Die Voraussetzung, daB n ein Teiler von |G| ist,

ist fibrigens notwendig; denn in der symmetrischen Gruppe 53 besitzt die

.

11.6. Ein Satz von Fnomzmus

.

-

257

Gleichung m4— — e genau 4 L6sungen, die aber keine Gruppe bilden. Im Fall einer auflbsbaren Gruppe ist unsere Frage zu bejahen. (11.6.3) Es sei G cine aufl6sbare Gruppe und n ein Teiler von IGI. Die Glei¥ Chung x": e habe'in G genau n Lb'sungen. Dunn bilden die Msungen cine cha-

rakteristische Untergruppe van G. Beweis. Der Satz ist trivial fiir Gruppen von Primzahlordming. Daher ~ k6nnen Wir annelimen, daB der Satz schon‘bewiesen ist ffir alle Gruppen von kleinerer Ordnung ails |Gl. Es geniigt, Wie schon bemerkt, nachzuweisen, daB die L6sungen fiberhaupt eine Untergruppe bilden.

’ Als aufl6sbare Gruppe enthailt G einen minimalen N6rmalteiler P, und P ist eme elementare abelsche Gruppe von Primzahlpotenzordnung pk. Wir .unterscheiden zwei Falle, je nachdem, ob p ein Teiler von n ist Oder nicht. I. pln. Da jedes Element aus P die Ordnung p hat, gehbrt es zu den L6$ungen , von :5” = e. Wir setzen

n=P”‘nn g=p’gi. ,_(ni.p)=(gi.p)=1 Ferner sei u=pm""n1, livenn' m 21:, u=n1,

wenn

m 1, so wissen wir nach der lnduktionsannahme, daB jede echte Untergruppe

U von M auflfisbar ist. Aus (1) folgt dann, daB U in einer zu H konjugierten Untergruppe enthalten und daher nilpotent ist. Folglich ist jede echte Untergruppe von M nilpotent. Aus (11.5.1) folgt, daB M dann auflfisbar ist. Damit ist (11.8.1) bewiesen. Eine Verschéirfung dieses Satzes findet sich in [134]. 11.9. a-auflfisbare Gruppen

(11.1.5) besagt, daB allein schon fiir die Existenzaussage (a) von (11.1.1) die Voraussetzung der Auflfisbarkeit nicht abgeschwéicht werden kann. Wie S. A. CUNICHIN erkannt hat, kann man aber (11.1.1) — abgesehen von der ' Aussage (d) — sinnvoll verallgemeinern, indem man nur solche Hallgruppen

in Betracht zieht, deren Ordnungen nur Primteiler aus einer gegebenen Primzahlmenge at enthalten. Dafiir braucht man nicht vorauszusetzen, daB die

Gruppe auflfisbar ist, d. h., daB alle Kompositionsindizes Primzahlen sind,

11.9. n—aufliisbare Gruppen

263

sondern es geiliigt die sogenannte n-Auflfisbarkeit, die besagt, daB die Kompositionsindizes entweder Primzahlen aus 72: oder durch keine Primzahl ans :7:

teilbar sind. Es sei 7r eine nicht leere Menge von Primzahlen. Unter einer az-Zahl versteht man cine natiirliche Zahl, deren sfimtliche Primteiler in at enthalten sind.

AuBerdem wird die Zahl 1 fiir jede Menge n zu den n-Zahlen gerechnet. Ein. az-Teiler einer natiirlichen Zahl n ist ein Teiler von n, der eine n-Zahl ist. .

‘ Dei‘ grfiBte ar-Teiler d von n ist derjenige, offenbar eindeutig bestimmte, n—Teiler von n, der durch jeden ar-Teiler von n teilbar ist. Offenbar gilt (d, nd‘ 1) = 1. V Eine endliche Gruppe H wird als eine n-Gruppe bezeichnet, wenn die Ord-

nung von H eine :Iz-Zahl ist. Eine ar-Untérgruppe einer Gruppe G ist eine Untergruppe von G, die eine n-Gruppe ist. Es ist nun klar, was unter einer n-Hallgruppe H einer Gruppe G zu verstehen

ist, nfimlich eine Hallgruppe von G,‘ die eine az-Untergruppe ist. Die Ordnung von H ist dann delf grfifite n-Teiler von IGI. Ist |G| durch keine Primzahl ans 7: teilbar, so sehen wir sinngemé'tB e als einzige n—Hallgruppe an. . Indem Wir zunfichst nur die Aussagen (a) und (b) des Satzes (3.2.5) in Betracht ziehen, definieren wir: Eine Gruppe A besitzt die az-Syloweigenschaft, wenn A'mindestens eine auflijsbare az-Hallgruppe enthfilt und wenn sfimtliche n-Hallgruppen konjugiert sind. Besteht die Menge 7t nur aus einer einzigen Primzahl p, so besitzt jede Gruppe A die n-Syloweigenschaft. Denn wenn p nicht in [Al aufgeht, ist dies trivial,

und im Fall p| |A| ist es der Inhalt der Aussagen (a) und (1)) von (3.2.5). Aus (11.1.1) folgt, daB jede aufl6sbare Gruppe fiir jede Primzahlmenge 7: die n—Sy— loweigenschaft besitzt. (11.9.1) Besitzt die Gruppe G eine Subnormalreihe, in der jeder Faktor die n—Syloweigenschaft besitzt, so besitzt G selbst die n-Syloweigenschaft. B eweis . Fiir eine Gruppe der Ordnung 1 ist nichts zu beweisen. Wir nehmen

an, daB der Satz richtig ist fiir alle Gruppen von kleinerer Ordnung als IGI. S ei |Gl = g und m der gréBte az-Teiler von g. Um einen trivialen Fall gleich _ aus zuschlieBen, nehmen wir m > 1 an. Wir setzeng = mn, wobei dann (m,n) = 1

gil t. G= Go: G13 023 --- D G1_13 Gl= e

sei eine Subnormalreihe von G, in dei' jeder Faktor Gi-1/Gi die ar-Syloweigenschaft besitzt. Wir setzen IQ] = g und bezeichnen mit

m’ den grfiflten n—Teiler von ggf1

264

11 . Kapitel. Endliche auflb'sbare Gruppen

sowie mit m1 den grofiten ‘n-T'eilér von g1; Dann wird ggf1 = m’s,

gf= mit

mit m= m’ml,

(m, s)= (m, t)= 1.

Beim Beweis unterscheideri wir vier Ffillé.

I. m’ = 1, also m1 = m. In diesem Fall 1st m auch der groBte ar-Teiler von g. In der Subnormalreihe 01:) GzD‘H'VD 01-1,: Gl= e

von G1 hat nach Voraussetzung jeder Faktor die az-Syloweigenschaft. Wegen g1 < g besitzt daher G1 nach der Induktionsannahme selbst die az-Syloweigen-

schaft. Folglich enthéilt 01 mindestens einé auflosbai'e n-Hallgruppe'der Ordnung m. AuBerdem sind' sfimtliche Untergruppen der Ordnung m v'on G1 1n

G1 konjugiert. Ist nun 1M eine beliebige Untergruppe der Ordnung m von G, St) ist die Faktorgruppe MG1/G1 eine az-Untergruppe von G/G1Wegen m’ = 1 ist daher

MG1= G1, also M__ C G1. Folglich enthéilt G1 bereits séimtliche Untergruppen I der Ordnung m, so daB diese alle zueinander konjugiert sind. Damit ist der Beweis 1m Fall I erbracht.

II. m1 = 1, m < ggf 1. Dann ist m’ = m und somit m der grijfite n-Teiler der Ordnung voh G/Gi. Da G/G1 nach Vorausset'zung die n—Syloweigenschait

besitzt, so enthfilt G/01 mindestens eine auflosbare Untergruppe H/G1 der Ordnung m,u und alle Untergruppen der Ordnung m von G/G1 sind 1n G/G1 konjugiert. Die beiden Faktoren der Normalreihe

I

H36136

von H besitzen die n—Syloweigenschaft, denn H/ G1 ist eine auflosbare n—Gruppe, und |G1| ist durch keine Primzahl ans 7:: teilbar; Da die Ordnung mgi von 'H ‘

kleinei‘ als gist, so besitzt H nach der Induktionsannahme selbst die n—Syloweigenschaft. Es sei M eine in H enthaltene aufloshare Untergruppe der Ordnung m und M * sine beliebige Untergruppe der Ordnung m Von G. Wegen (m, g) = 1 sind dann MG1/ G1 und M* G1/01 zwei Untergruppen der Ordnung m von_

G/G1. Auf Grund der n-Syloweigenschaft von G/G1 sind diese beiden Unter-

gruppen in G/G1 konjugiert. Daraus folgt x'1M*G1a:= 3—1M*$G1= MG1

11.9. n—aufliisbare Gruppen

.

265

mit einem passenden Element :1: 6 G. Daher ist x‘1M*x in MG1 enthalten. Wegen (m, g1) = 1 wird MG1

H. Da H die n—Syloweigensehaft besitzt, sind

die beiden ar-Hallgruppen x‘1M*a; und M van H In H konjugiert. Folglich besitzt G die n—Syloweigenschaft.

III. m1 = 1, m = ggfi. Die Faktorgruppe G/ G1 ist jetzt eine u—Gruppe und daher auflfisbar, ferner ist |G1| zu |G/G1| teilerfremd. Aus (6.2.2) und (6.2.3) _ ._ folgt daher, daB G eine Untergruppe M der Ordnung m enthfilt und daB je

zwei Untergruppen der Ordnung m von G konjugiert sind. Wegen M= ~ G/ G1 . ist M uberdies auflfisbar. Folglich besitzt G die n-Syloweigenschaft. IV. m’ > 1, m1> 1. Nach der Induktionsannahme besitzt G1 die n-Syloweigenschaft. Sfimtliche Untergruppen der Ordnung m1 von G1 seien

L1,

,L,..

(1)

Ist hierbei k = 1, so ist L1 charakteristische Untergruppe von G1 und daher Normalteiler In G. Die Faktoren der Normalreihe G/L1 3 01/111 3 Ill/Li

besitzen die az-Syloweigenschaft. Der erste dieser beiden Faktoren ist nimlich isomorph zur Faktorgruppe G/ G1, die nach Voraussetzung die n-Syloweigens'chaft besitzt, und die Ordnung des zweiten Faktors ist durch keine Prim'zahl aus 71: teilbar. Wegen m1 > 1 ist die Ordnung von G/L1 kleiner als g, und ‘daher

besitzt G/L1 nach der Induktionsannahme die ar-Syloweigenschaft. Der griiBte n—Teiler von |G/L1| ist m’. Sei [VI/L1 eine Untergruppe der Ordnung m’ von G/L1. Da sowohl M/L1 als auch L1 auflosbar sind, gilt das gleiche von M. ' Ferner hat M die Ordnung m’ m1 = m.

Sei M* eine etwa vorhandene weitere Untergruppe der Ordnung m von G.

Das Produkt M*L1 ist eine at-Gruppe, also von der Ordnung m. Also gilt L1C M*. Folglich ist M*/L1 eine Untergruppe der Ordnung m’ von G/L1. Da G/L1 die n—Syloweigenschaft besitzt, sind M/L1 und M*/L1 in G/L1 konju-

giert, und folglich sind M und M* in G konjugiert. Daher besitzt G die n-Syloweigenschaft. Schliefllich bleibt der Fall k> 1 1n (1) zu erledigen. Wir bezeichnen mit N(L1) den Normalisator von L1 In G und mit N1(L1‘) = N(L1) n G1 den Nor-

malisator von L1 in G1. Da L1, . . ., L1. sfimtliche Untergruppen der Ordnung m1 von G1 ausmachen und G1 Normalteiler in G ist, bilden L1, . . ., Lk ein volles System konjugierter Untergruppen von G. Daraus folgt

= lG1zN1(L1)l= |G=N(L1_)l-

.

Aus der ersten Gleichung (2) folgt (k, m) = 1. Der Isomorphismus

N(L1) 01/01 ’-—“ N(L1)/(N(L1) 0 G1) = N(L1)/N1(L1)

(2)

266

11. Kapitel. Endliche auflb'sbare Gruppen

lehrt, daB N(L1) G1 = Gist und folglich

0/ G1 N(L1)/N1(L1) gilt. Daher besitzt N(L1)/N1(L1) die n—Syloweigenschaft. In der Normalreihé

N(L,) 3 N1(L1) 3 L1 3 e

‘

besitzt folglich der erste Faktor die az-Syloweigenschaft. Das gleiche gilt fiir die beiden anderen Faktoren, und zwar deswegen, weil in der Ordnung des

zweiten Faktors keine Primzahl ans 3 aufgeht, wéihrend der dritte Faktor eine auflésbare n—Gruppe ist. Da wegen k > 1 die Ordnung von N(L1) kleiner als 'g ist, besitzt N(L1) nach der Induktionsannahme die n-Syloweigenschaft. Aus (k, m) = 1 folgt demnach, daB N(L1) mindestens eine auflfishare Untergruppe '

M der Ordnung m enthélt. Es sei nun M* eine beliebige andere Untergruppe der Ordnung m von G. Das Produkt M* G1 besitzt die Ordnung h— — mgid' 1, wobei d die Ordnung von M* Fl 01 bezeichnet. Wegen hlg muB gdm'1gf‘ = salmf1 eine ganze Zahl sein, und infolge (s, m) — 1 muB daher d durch m1 teilbar sein. Da andrerseits d = IM* n Gd ein gemeinsamer Teiler von m, und g1 sein muB, so folgt d = m1. Ebenso erkennt man, daB auch M n 01 die Ordnung m1 hat. Also sind M (1 G1

und M* n 01 zwei Untergruppen der Ordnung m1 von G1 und kommen daher in der Réihe (1) vor, etwa

Mn G.=L.~, M* n G.=L, mit zwei gleichen Oder verschiedenen Indizes i, j. Da G1 Normalteiler in Gist, sind L,- und L- Normalteiler in M bzw. M*, also MC N(L,-),

M* C N(Lj),

wenn N(L,-), N(L,-) die Normalisatoren von L- und L] in G bezeichnen Da L und L,- in G1 konjugiert sind, gilt das gleiche fiir die Normalisatoren; also wird mit einem Element 1116 01 N(Lj) == x'1N(L.-) x.

Folglich haben wir w'1Mw C N(Lj),

M* Q N(Lj).

Da Lj zu L1 konjugiert ist, muB auch N(Lj) zu N(L1) konjugiert sein. Da wir oben erkannt hatten, daB N(L1) die :r-Syloweigenschaft besitzt, so gilt das gleiche ffir N(Lj). Folglich sind die b_eiden Untergruppen x'iMx und M* der

Ordnung m in N(L,-) konjugiert. Mithin sind M und M* in G konjugiert. Damit ist in allen Féillen nachgewiesen, daB G die az-Syloweigenschaft besitzt, wie in (11.9.1) behauptet wurde.

11.9. n-auflfisbare Gruppen

,

267

Mit 71." bezeichnen wir die Menge aller nicht in 71: enthaltenen Primzahlen und definieren:

Die Gruppe A besitzt die (7:, n’)-Syloweigenschaft, wenn sie folgende Bedingungen erfiillt: (a) A enthfilt mindestens eine auflfisbare n—Hallgruppe, und sfimtliche n-Hallgruppen von A sind konjugiert. ' (b) A enthfilt mindestens eine n’-Hall.gruppe, und siimtliche n’-Hallgruppen sind konjugiert. I (Man beachte, daB die Auflfisbarkeit der n’-Hallgruppe nicht gefordert wird.) Analog zu (11.9.1) gilt: (11.9.2) Hat die Gruppe G eine Subnormalreihe, in der jeder Faktor die (n, n')-Syloweigenschaft besitzt, so besitzt G selbst die (at, n’)-Syloweigenschaft.

Bemerkung. Der Beweis von (11.9.1) zeigt, daB die Auflfisbarkeit der n—Hallgruppen nur im Fall III ausgenutzt worden ist, um Satz (6.2.3) anwenden zu kénnen. Aus Satz (2.8.1) folgt, daB (6.2.3) giiltig bleibt, wenn man

die Voraussetzung der Auflfisbarkeit fortléiBt. Daher bleibt Satz (11.9.1) richtig, wenn man in der Definition der az-Syloweigenschaft die Forderung streicht, daB die n—Hallgruppen aufléisbar sein miissen. Demnach ist (11.9.2) eine unmittelbare Folgerung aus (11.9.1). Da aber Satz (2.8.1) in diesem Buch nicht

bewiesen wird und Wesentlich tiefer liegt als alle fibrigen Satze dieses Buches, so bringen wir fiir (11.9.2) einen besonderen Beweis, bei dem (2.8.1) nicht

henutzt wird. Beweis von (11.9.2). Wir setzen [G] = g = mn, wobei m den gréflten u-Teiler von g bezeichnet. Dann ist n der gréfite n’-Teiler von g. Da die (72:, az’)-Syloweigenschaft die n—Syloweigenschaft zur Folge hat,

erfiillt G insbesondere die Voraussetzung des Satzes (11.9.1). Daher enthéilt G nach diesem Satz mindestens eine auflfisbare Untergruppe der Ordnung m, und

samtliche Untergruppen der Ordnung m sind konjugiert. Es bleibt also noch die auf die n’-Hallgruppen beziigliche Aussage unseres Satzes zu beweisen. Da die Aussage ffir g = 1 trivial ist, k6nnen wir‘Induktion nach der Gruppenordnung anwenden und annehmen, daB unser Satz richtig ist fiir alle Gruppen

von kleinerer Ordnung als g. Sei G= 003 613 G2: --- D G1_1D Gl=e

* eine Subnormalreihe von G, in der jeiler Faktor die (7!, n’)-Syloweigenschaft besitzt. Wir setzen ' IG1I= gn

88I1= "3'8,

31: "Ht,

268

11 . Kapitel. Endliche auflb'sbare Gruppen

wobei m’ und m1 die graflten n—Teiler von ggf1 bzw. g1 bezeichnen. Dann wird m= m’ m1,

n= st.

I

Wir kfinnen sogleich l > 1, m > 1, n > 1 annehmen, da unserSatz sonst trivialer-

weise richtig ist. Beim Beweis unterscheiden Wir drei Falle. I. m’ > 1, also §< ggft. Da G/G1 die (n, n’)-Syloweigenschaft besitzt, ent-

héilt G/G1 eine Untergruppe S/G1 der Ordnung s, und jelde Untergruppe der ‘ Ordnung .9 von G/G; lst zu S/ G1 ko’njugiert. Dabei ist S eine Untergruppe der Ordnung sgi von G. Wir betrachten die Subnorinalreihe 193013023 .--DG1_1DGl=e.

Die Ordnung s des 'ersten Faktors ist durch keine Primzahl [ans 7: teilbar,

folglich besitzt dieser Faktor trivialerweise die (7:, n’)-Syloweigenschaft. Die fibrigen Faktoren besitzen nach Voraussetzung die (71:, n’)-Syloweigenschaft. Wegen s < g besitzt S nach der Induktionsannahme dié (at, 7t’)-Syloweigenschaft. Der griifite ar’-Teiler der Ordnung sgi von S ist st = n, und folglich enthéilt S mindestens eine Untergruppe N der'Ordnung n.

S'ei N* eine beliebige andei‘e Unterg’ruppe der Ordnung n von G. Die 0rdnung von N * G1 muB einerseits durch ”n = st urid g. = mlt teilbar sein und

andrerseits in g = m’mist aufgehen. Daher hat N* G1 die Ordnung sgl und demnach N* G1] G1 die Ordnung 3. Da G/G1 die (at, n’)-Syloweigenschaft be-

sitzt, sind die beiden Untergruppen SIG1 und N* G1/ G1 in G/G1 konjugiert. Daraus folgt, daB S und N* G1 in G konjugiert sind, etwa x‘1N*G1x=x‘.1N*zG1= S.

Das hesagt: Die beiden Untergruppen 33—1 N*a: und N sind ar’-Hal]gruppen von 5 und daher wegen der (7:, n’)-Syloweigenschaft von_ S in S konjugiert. Folglich

sind N* und N in G konjugiert. Daher besitzt G die (it, n’)—Syloweigenschaft. II. m’ = 1,t = 1. In diesem Fall sind alle Faktoren der Subnormalreihe’ 013 G23 H-ID 01—1:

Gl=e

auflésbar, weil sie die (n, n’).-Syloweigenschaft besitzen und, ihre Ordnungen' n—Zahlen sind. Folglich ist auch G1 auflfisbar. Nach (6.2.2) und (6.2.3) besitzt folglich G1 in G ein Komplement der Ordnung n, und je zwei Komplemente von G1 in G sind konjugiert. Da auBerdem jede Untergruppe der Ordnung n von G als Komplement von G1 dienen kann, so besitzt G die (7:, n1)-Sylow-i eigenschaft. III. m’ — —1,t> 1. Nach der Induktionsannahme besitzt G1 die (3,9: 92')Syloweigenschaft. -

T1,...” T,

(3)

11.9. n—aufliisbare Gruppen

.

'

-

269

seien séimtlicheaz af-Hallgruppen der- Ordnung t, und M sei eine auflbsbare n-Hallgruppe der Ordnung m von G1. Offenbar ist 01: M T1

Zuerst nehmen wir r = 1 an. Dann 1st T1 als charakteristische Untergruppe von G1 auch Normalteiler in G. Die Faktorgruppe G/ T1 besitzt die Normal-

reihe G/T1 D G1/T1 D T1/T1.

. Darin ist der erste Faktor isomorph zu' G/ G1 und besitzt folglich die (71!, 71’)Syloweigenschaft. Der z'weite Faktor ist wegen M n T1 = .e isomorph zu G1/T1= MT1/T1E M

und daher eine auflosbare n—Gruppe; also besitzt er ebénfalls die (7!, n’)-Syloweigenschaft. Auf Grund der‘ Induktionsannahme besitzt folglich G/ T1 die (at, n’)-Syloweigenschaft. Die Ordnung von G/ T1 ist m1s. Folglich enthfilt G/ T1 mindestens eine Untergruppe N/ T1 der Ordnung s, und alle Untergruppen

der Ordnung 8 von 0/ T1 sind zu N/ T1 konjugiert. Die Untergruppe N von G hat die Ordnung st— — n und ist eine 71’-Hallgruppe von G. Sei N* eine beliebige andere Untergruppe der Ordnung n von G.‘ Da T1 ein

af-Normalteiler und N* eine at’-Hallgruppe von G 1st, haben Wir N*1 T1

N*

also T1 CN*. Daherist N*/ T1 eine Untergruppe der Ordnung 8 von 0/ T1.

Folglich sind N/ T1 und N*/ T1 in G/ T1 konjugiert. Also sind N und N* in G konjugiert. Daher besitzt G die (71, :t’)-Syloweigenschaft. Zweitens haben wir den Fall r> 1_in (3) zu behandeln. Da G1 Normalteiler in Gist, bilden T1, . . . , T, ein volles System konjugierter Untergruppen von G. Mit N(T1) bezeichnen wir den Normalisator von T1 in G und mit N1(T1)

j—- N(T1) n G1 den Normalisator von T1 in G1. Dann haben wir

A -

r= lG: N(T1)|= 101: N1(T1)|. us

. N(T1)G1/Gi a N(T1)/(N(T1) n G1)=.N(T1)/N1(T4)

folgt daher N(T1) G1 = G und G/G1= N(T1)/N1(T1)In der Normalreihe

N(T1) 3 N1(T1) :3 T13 a"

>_

,

. (4)

besitzt der erste Faktor wegen der soeben‘festgestellten Isomorphie die (at, 71’)-

Syloweigenschaft. DaB auch der zweite Faktor die (71,]:')-Syloweigenschaft besitzt, erkennt man folgendermaBen: Nach der Induktionsannahme enthéilt G1 eine auflosbare Untergruppé M1 der Ordnung m1. Offenbar ist G1 = M1 T1, also erst recht G1 = M1 N1(T1).

270

11. Kapitel. Endliche aufliisbare Gruppen

Die Ordnung von N1(T1) hat die Form 77m: mit milml. Wegen g = mit hat

M1 = N1(T1) n M1 die Ordnung 7n]. Daraus folgt N1(T1) = M1 T1. Uberdies ist M1 als Untergruppe von M, ebenfalls auflésbar. Fiir den zweiten Faktor

in (4) gilt nun N1(T1)/T1 = M1 T1/T1 '=' M1 Also ist dieser Faktor eine auflosbare n—Gruppe oder von der Ordnung 1.. Jedenfalls besitzt er die (at, at’)-Syloweigenschaft.

Der dritte Faktor 1n (4) besitzt als n—Gruppe ebenfalls die (it, at’)-Sy'loweigenschaft.

Da die Ordnung von N (T1) wegen r > 1 kleiner als g ist, besitzt N(T1) nach der Induktionsannahme die (at, n’)-Syloweigenschaft. Wegen

r=161 N1(T1)| =—‘7t ist r eine n-Zahl. Da auch r = IG: N(T1)| und 3 = mn ist, muB die Ordnung

von N(T1) durch n teilbar sein. Folglich enthéilt N(T1) mindestens eine Untelfgruppe N der Ordnung n.

Sei nun N* eine beliebige andere Untergruppe der Ordnung n- von G. Dann wird G = G1 N* und

0/01 2 N*/N* n Gl.

_

Wegen |N*| = st und IG: G1] =Is gilt |N* n G1] = t. Ebenso erkennt man, daB auch N n 01 die Ordnung t hat.

Da T1, . . .,‘T, sfimtliche Untergruppen der Ordnung t von G1 ausmachen, muB NnGi= Ti,

N*nG1=

gelten mit zwei gleichen cider verschiedenen Indizes i, j aus der Reihe ‘ 1,. ., r. Aus der Normalteilereigenschaft von 01 folgt, daB T Normalteiler in N und

T- Normalteiler in N* ist, also

N; N(T,~), N* c; N(T,-), wobei N(T,-) und N (Tj) die Normalisatoren von Ti bzw. Tj in G bedeuten. Da T; und Tj in 01 konjugiert sind, erhfilt man mit einem a; E G;

N(Tj) = x‘1N(T.-)a:. Folglich gilt

x-iNx; N(Tj), N* ; N(T,-).

11.9. n—aufwsbare Gruppen

_

. 271

Da Tj und T1 kbnjugiert sind, gilt das gleiche fiir N(Tj) und N(T1). Folglich besitzt N(TJ-) ebenso wie N(T1) die (at, ar’)-Syloweigenschaft. Daher sind die beiden a’-Hallgruppen x‘iNa: und N* von N(Tj) konjugiert. Infolgedessen

sind N und N* in G konjugiert, und G besitzt daher die (at, n’)-Syloweigen. schaft. Damit ist (11.9.2) bewiesen.

Wir kommen nun zu der eingangs erwéihnten Verallgemeiherung des Satzes I _(11.1.1). Von der Aussage (d) dieses Satzes sehen wir ganz ab und formulieren folgenden ’ n-Sylowsatz.

.

(a) Die Gruppe G enthfilt mindestens eine ar-Hallgruppe. (b) Je zwei n—Hallgruppen von G sind konjugiert. (c) Jede n-Untergruppe von Gist in einer n-Hallgruppe enthalten. Besteht n nur aus einer einzigen Primzahl, so gilt in jeder endlichen Gruppe der n-Sylowsatz. In einer auflfisbaren Gruppe gilt zufolge (11.1.1) fiir jede

Primzahlmenge in der n-Sylowsatz.

I

Fiir eine nicht leere Primzahlmenge 7r heiBt eine endliche Gruppe G n-aufliisbar, wenn G eine Kompositionsreihe besitzt, in der jeder Index entweder eine Primzahl aus n Oder durch keine Primzahl aus 7t teilbar ist. Nach dem Satz

von JORDAN-HéLDER hat in einer fi-auflfisbaren Gruppe jede Kompositionsreihe die genannte Eigenschaft. Ist G n—auflésbar, so gilt das gleiche fiir jede Untergruppe und jede Faktorgruppe von G. Jede n—Untergruppe einer n—auflésbaren Gruppe ist schlechthin auflfisbar. In Verallgemeinerung von (11.1.1) gilt nun der (11.9.3) Satz von CUNICEJN. Es sei n eine nicht leere Mange van Primzahlen and n’ die Menge aller nicht in at enthaltenen Primzahlen. Ist die Gruppe G

n—auflb’sbar, so gelten in G .90t der n-Sylowsatz als auch der u’-Sylowsatz. Beweis. Wir betrachten eine Kompositionsreihe von' G. Offensichtlich besitzt darin jeder Faktor die (7!, n’)-Syloweigenschaft. Nach (11.9.2) besitzt daher G selbst die (7:, az’)-Syloweigenschaft. Damit sind bereits die Aussagen (a) und (b) des n— und des n’-Sylowsatzes bewiesen.

Es bleiben noch die Aussagen (c) beider Sfitze zu beweisen. Wir verwenden vollstfindige Induktion nach der Gruppenordnung und nehmen an, (1113 beide Aussagen (c) fiir alle Gruppen mit kleinerer Ordnung als |G| richtig sind. Der grfifite az-Teiler von |GI = g 'sei m, und g = mn. Um triviale Fille auszuschlieBen, k6nnen wir sogleich m > 1, n > 1 annehmen. Zunfichst beweisen

wir Aussage (c) des n’-Sylowsatzes fiir G.

272 .

11. Kapitel. Endliche auflb'sbare Gruppen

Sei N1 eine Untergruppe von G, deren Ordnung n1 ein Teiler von 71 ist. Mit L bezeichnen wir einen minimalen Normalteiler von G. Da L das direkte Produkt zueinander isomorpher Gruppen ist, so muB L- entweder eine n-Gruppe oder eine n’-Gruppe sein.

Im. ersten Fall haben wir |L| = l = p“ mit p e 1:. Es sei m = lm1. Fiir die Faktorgruppe G/L ist die Aussage (c) des az’-Sylowsatzes nach der Induktions- , annahme richtig. Daher ist die Untergruppe N1L/,L der Ordnung 71; von G/L in einer n’-Hallgruppe H/L von G/L der Ordnung'n enthalten, also N1L E H. Die Ordnung von H ist pan. Ist diese kleiner als g, so gilt fiir H die Aussage (c) des az’-Sylowsatzes, und folglich ist N1 in einer at’-Hallgruppe von H der Ordnung'n enthalten. DieSe n’-Hallgruppe von H ist zugleich eine ar’-Hallgruppe von G. 151; dagegen H = G, so schlieBen wir folgendermaBen: ' Auf Grund der fiir G giiltigen Aussage (a) des n’-Sylowsatzes enthiilt G eine n’-Hallgruppe N der-Ordnung n, und es wird G =- NL. Als Untergruppe von

G/L = NL/L hat dann NiL/L die Form -N"?L/L mit einer gewissen Untergruppe N* der Ordnung n1 von N. Also wird N1L.= N*L Aus. Teil (1)) des

at’-Sylowsatzes fiir N1L folgt, daB N1 und N* 1n N1L konjugiert sind:

‘

$_1N*.’t= N1.

' Daher ist N1 in der.7z’-Hallgruppex_1Nx won G enthalten. Zweitens haben wir den Fall zu behandeln, daB l cine ar’-Zahl ist. Dann .

haben Wir l/n, etwa n = ln’. Die Ordnung von G/L.ist dann mn’, Die Ordnung von NiL/L ist eine n’-Zahl, und daher ist NiL/L eine Untergruppe von G/L, deren Ordnung ein Teiler von n’ ist. Auf Grund der Induktionsannahme ist Aussage (c) des ai’-Sylowsatzes fiir G/L richtig. Also ist NiL/L in einer.

fi-Hallgruppe R/L der Ordnung 71’ von G/L enthalten. Daher ist R eine af-Hallgruppe der Ordnung n von G, die N1 enthfilt.

'

Damit ist Teil (c) des n’-Sylowsatzes fiir G bewiesen. Ganz ontsprecheiid . verlfiuft der Beweis fiir die Aussage (c) des éz-Sylowsatzes. Damit ist (11.9.3) bewiesen. Weitere Verallgemeinerungen des Satzes von SYLow sowie eine Ubersicht

fiber die verschiedenen Verallgemeinerungen dieses Satzes finden sich 1n einer sehr inhaltsreichen Arbeit von P. 'HALL [64]. -, Besteht die Primzahlmenge 7t nur aus einer einzigen Primzahl p, so gelangt man zu den p-auflosbaren Gruppen. Beachtet man das friiher fiber die Faktor-. gruppen in Hauptreihen Gesagte, so erkennt man, daB sich die p-auflosbaren Gruppen auch folgendermaBen kennzeichnen lassen: G ist genau dann

p--auflosbar, wenn G eine Normalreihe besitzt, in der jeder Faktor eine p-Gruppe oder eine p'-Gruppe ist. Dabei bedeutet eine p’-Gruppe eine solche, ,

deren Ordnung zu p teilerfremd ist.

11.9. n-aufliisbare Gruppen

'

273

In einer p-auflfisbaren Gruppe G kann man in‘folgender Weise die sogenannte aufsteigende p-Reihe

e=H§MCHCMCmCH4CM4CHQM=G definieren:

V

P0 = e,

,I P

groBter p’-Normalteiler von G/Pi,

Pi+1/Ni= grbflter p-Normalteiler von G/Ni.

Die Untergruppen P.- und N,- sind offenbar charakteristische Untergruppen von G. Die Zahl l = l‘D = lp(G) wird als die p-Liinge von G bezeichnet. Die p-Lfinge einer p-auflfisbaren Gruppe hat sich in neuerer Zeit als ein sehr Wichtiger Parameter erwiesen. Es bestehen enge Zusammenhéinge zwischen der Struktur der p-Sylowgruppen von G und lP(G), von denen wir hier nur den allereinfachsten betrachten kfinnen. Zunéichst beweisen wir einen Hilfssatz. Die Faktorgruppe Pi/Ni_1 enthéilt ihren Zentralisator in

G/N~_1. Beweis. Wir bezeichnen mit Z/Ni_1 den Zentralisator von P.-/N.-_1 in GIN--1 und nehmen an, daB dieser nicht in Pi/N-_1 enthalten ist. Dann ist

also PiZ eine echte Obergruppe von Pi. Wir wéihlen einen Normalteiler M

von G, der_die Enthaltenseinsbedingung

HCMEHZ erfifllt und eine mfiglichst kleine Ordnung hat. Nach der Definition von P,-

ist M/Pi eine p’-Gruppe. Nach (6.2.2) besitzt daher Pi/N'-_1 in MIN-_1 ein Komplement Q/N-_1. Wegen 0; El induziert jedes Element aus Q in

Pi/Ni_1 einen inneren Automorphismus. Weil Q/Ni_1 eine p’-Gruppe ist, hat dieser Automorphismus eine zu p teilerfremde Ordnung und muB daher als innerer Automorphismus von Pi/Ni_1 der identische Automorphismus sein. Also sind Pi/N-_1 und 0/Ni_1 elementweise vertauschbar, und folglich besteht

die direkte Zerlegung M/Ni-1= Pi/Ni-i X Q/Ni-iDaher ist Q Normalteiler in G, was der Definition von Ni_1 widerspricht.

Aus dem Hflfssatz folgt, daB P1 das Zentrum einer beliebigen ,p-Sylow:

gruppe S von G enthfilt. Da nfimlich P1/No eine p-Gruppe ist, gilt P1 C;— SN0Also k6nnen Elemente aus S als Nebenklassenreprfisentanten von P1 nach No

genommen werden. Da die Elemente des Zentrums Z(S) von S 1nit diesen 18

Kochend6rfler,Grnppentheorie

2711

11. Kapii‘el. Endlidw auflb'sbare Gruppen

Nebenklassenrepréisentanten vertauschbar sind, so liegt Z(S)No/No im‘ Zentralisator von PilNo. Daraus folgt nach dem Hilfssatz Z(S)No Q P1, also 2(5) C; P1.

.

Nun kfinnen wir einen Zusammenhang zwischen der Nilpotenzklasse der p-Sylowgruppen und der p-Lfinge feststellen. (11.9.4) Haben die p-Sylowgruppen van G die Nilpotenzklasse 1:, so gilt lp(G') g c. Beweis. Da der Satz fiir Z? = 1 trivial ist, konnen wir Induktion nach der p-Lfinge anwenden.

Die Faktorgruppe G/P1 hat die p-Lfinge lp — 1, und ihre p-Sylowgruppen sind isomorph zu 5/5 0 P1, wobei S eine p-Sylowgruppe von G bedeutet. Da das Zentrum von S, wie oben bemerkt wurde, in S n P1 enthalten ist, so hat S/S n P1 hochstens die Klasse c — 1. Aus der Induktionsannahme folgt

daher lp — 1 g c — 1, wie behauptet. Weiteres fiber die p-Léinge und ihre Bedeutung findet man in [65]. 11.10. Das BURNSIDEselle Problem

Eine Gruppe G vom Exponenten n ist eine periodische Gruppe, in der die

Ordnungen sfimtlicher Elemente Teiler der natiirlichen Zahln sind. Als das BURNSIDESche Problem bezeichnet man die Frage, ob eine Gruppe vom Exponenten n mit endlich vielen erzeugenden Elementen notwendig endlich ist. . Unter der Burnsidegruppe B(n, r) vom Exponentenn mit r Erzeugenden versteht man diejenige Gruppe, die durch r Elemente erzeugt wird und in der fiir jedes Elementa: die Gleichung w" = e erfiillt ist. Nach Satz (2.5.2) ist jede Gruppe vom Exponentenn mit r Erzeugenden ein homomor_phes Bild von B(n, r).

Erst fi'u‘ wenige n ist bekannt, ob die Gruppen B(n, r) endlich sind, und die Ordnungen der endlichen B(n, r) sind erst fiir ganz wenige Werte von n bestimmt worden. Der Fall n = 2 ist trivial, weil jede Gruppe vom Exponenten 2 abelsch ist. Folglich ist B(2, r) eine elementare abelsche Gruppe der Ordnung 2'. Wir zeigen nun, daB alle Gruppen B(3, r) endlich sind. Ffir B(3, 1) als

zyklische Gruppe der Ordnung 3 trifft das sicher zu. Wir nehmen an, daB B(3, r) endlich ist, und zwar von der Ordnung 3m(r), und heweisen, daB dann auch B(3, r + 1) endlich ist. Aus (wy)3 = e folgt

ywy= w‘1y“$"-

.(1)

11.10. Das Bunnsmnsche Problem

275

Die Gruppe B(3, r + 1) kann aus‘ B(3, r) durch Hinzunahme eines weiteren erzeugenden Elementes z gewonnen werden. Daher lassen sich alle Elemente aus B(3, r + 1) in der Form b = uiz‘lugz‘a u3

uk_1z‘t-1uk

(2)

schreiben, wobei die u,- in B(3, r) liegen und die a.- gleich +1 oder F1 sind. ”Wir‘werden zeigon, daB man den Ausdruck auf der rechten Seite von (2) so umformen kann, daB z hoolistens zWeimal auftritt. Haben ei_1 und a: den

gleichen Wert, so kann man die entsprechenden Teilprodukte aus (2) mit Hilfe von (1) folgendermafien umformen:

zuiz= ui‘iz‘lui'1 oder z‘1ugz‘1= uf‘zui“. In beiden Fallen Wird die Anzahl d'er z in (2) um eins vermindert. Durch wiederholte Anwendung dieser Umformungen gelangen Wir zu einem Aus-

druck fiir b, in dem die Exponenten von z abwechseln. Sind in diesem noch mehr als zwei z vorhanden, so hat er die Gestalt b= vizvgz‘1v3z

oder

' b= viz‘1v2z03z'1

(v,- 6 B(3, r)).

Auf Grund von (1) erhalten wir im ersten Fall b= 2212112274232

= I); vfiz“1v2‘10§12—1v3‘1 m,

wodurch die Anzahl der z um eins vermindert ist. Analog kann man im zweiten Fall verfahren. Folglich 15131: sich b als ein Produkt darstellen, in dem hochstens

zwei z vorkommen. Indem man notigenfalls noch die Umformung viz-192593: viz—1925_1Z_193= vivz-izugiz-ivs

anwendet, erhfilt man ffir jedes, Element aus B(3, r + 1) eine Darstellung in einer der Formen w1, w1 zwz, wi z.‘1 102, wi zwg z" 103

mit w; E B(3, r). Folglich enthfilt B(3, r + 1) h6chstens 3m(r) + 2,32m(r) + 33m(r)

Elemente. Diese Anzahl ist kleiner als. 33mm“, also m(r + 1) g 3 m(r) und

folglich m(r) g 3"“ 1. Also hat B(3, r) hochstens die Ordnung 33''1. 18*

276

11. Kapitel. Endliche aufliisbare Gruppen

Durch wesentlich kompliziertere Uberlegungen kann man sogar den genauen Wert von m(r) bestimmen, nfimlich

m

unfi=fina

A (a) ein Isomorphismus von G in GL(n, Q)

ist. ‘ . Fiir die Untersuchung der Darstellungen empfielllt es Isich, den Begriff des Darstellungsmoduls einzufiihren. Dies soll zunfichstgeschehen. ' _ Unter einem Q-Modu} Q3 des Ranges n fiber einem Kfirper Q versteht man

bekanntlich eine algebralsche Struktur mit folgenden Eigenschaften: I. II.

23 ist eine additiv geschriebene abelsche Gruppe. Fiir jedes Element 2) E 23 und jedes Element 0; E 9 ist ow ein wohl-_

bestimmtes Element aus Q3. Es gelten die Relationen oc(v+w)=txv+ocw

(a69;v,wۤ3)

(1)

(oc+fi)v=ow+fiv

(a,fi69;v€58)

(2)

(afi)v=a(fiv)

'

1 v= v fiir das Einselement 1 von [2.

-

(3) (4)

14.1. Reduzible und irreduzible Darstellungen

III.

.

301

In Q3 igibt es n Elemente v1, . . .,v,., durch die sich jedes Element \ v e 23 auf genau eine Weise in der Form v=oqvi+

+«xnvn

(a,- 6 Q)

darstellen lfiBt. Man nennt v1, . . . , 1),. eine Basis von 23 und schreibt 58= 9124+

+ [21)".

Wir haben die Elemente aus .9 links von denen aus EB geschrieben. Zuweilen ist es giinstig, an dieser Schreibweise festzuhalten und dann genauer von einem .Q-Linksmodul zu sprechen. Fiir unsere Zwecke empfiehlt es sich jedoch, die Elemente ans .9 und 23 als vertauschbar anzusehen, so daB stets ow = vac gilt. Einen .Q-Moduldes Ranges n nennt man auch einen Vektorraum der Dimension n fiber .9. Gleichung (1) besagt, daB .Q ein Operatorenbereich der additiven abelschen Gruppe SB ist. Im folgenden werden wir nur solche Untergruppen von 23 in Betracht ziehen und als Teilmoduln bezeichnen, die 1n bezug auf .Q als Opera— I torenbereich zulassig sind. Folgende Tatsachen uber die Teilmoduln von 58 setzen wir als bekannt voraus.‘) Jeder Teilmodul 3 von fl! ist ein Q—Modul eines Ranges m g Ii, also 5: Qt1+

+~t.

Genau dann ist I ein echter Teilmodiil, v'v‘enn mi< n. Jede Baéis ltl, . . . , tm von

Z 1513!; sich durch Hin‘zufiigen geeigneter Elemente aus Q3 zu einer Basis von EB ergz'inzen.

Aus einer Basis v1, . . ., 1),, von 23 erhalt man eine beliebige andere Basis w1,...,w,.inderForm

wi=§aikv,;

‘

(i=1,...,n),

k—l

-

(5)

'

wobei S = (on-k) eine nichtsinguliire Matrix mit Koeffizienten a", E .Q ist. Indem wir mit 13 die Spalte der v1, . . ., vn und mit 11) die Spalte der wi, . . . , wfl

bezeichnen, schreiben wir statt (5) kiirzer mé—— Sn.

Unter Automorphismen .und Endomorphismen von $ verstehen wir stets ' Operatorautomorphismen und Operatorendomorphismen von 23 in bezug auf

Q als Operatorenbereich. Ein Endomorphismus 3/ von 1; ist bereits festgelegt, wenn man die Bilder 113’, . . . , v}; einer Basis kennt. Denn weil es sich um einen 1) Beweise finden sich z. B. in [83].

302

'\

.

14. Kapitel. Darstellungen

Q—Endomorphismus handelt, wird dann («1121+

+ anvn 7 = (a1 vi)7+

+ (anvn)7= “1011+

+ and);

Bedeutet n7 die Spalte der vf, . . . , v31, so haben wir n7 = Cu

V

mit einer gewissen (n, n)-Matrix C mit Koeffizienten ans .9. Genau' dann ist y ' ein Automorphismus, wenn die Determinante |C| =|= 0 ist. Bei Zugrundelegung einer festen Basis n entsprechen sich also die Automorphismen von Q und die regulfiren (n, n)-Ma1;rizen mit Koeffizienten aus .9 umkehrbar eindeutig. Die Zuordnung 31—» C ist ein Isomorphismus der Automorphismengruppe von Q auf die Gruppe GL(n, .9); denn entspricht dem Automorphismus 6 die Matrix D, so ergibt sich 370: (p?)0= (Cn)"= Cn"= CD1).

Da Q abelsch ist, sind je zwei Endomorphismen von Q im Sinne von;(4.3) addierbar. Folglich bilden die Endomorphismen von Q einen Bing. Bei Zugrundelegung einer fasten Basis 1) von Q liefert die Zuordnung y —> C einen Isomorphismus des Endomorphismenringes von Q auf den Bing aller (n, n)Matrizen mit Koeffizienten aus [2. Wir setzen jetzt voraus, daB eine gegebene Gruppe G Rechtsoperatorenbereich des Q—Moduls Q ist. Dann ist also jedem Element 2) E Q und jedem Element a 6 G ein wohlbestimmtes Element va 6 Q zugeordnet, und es gilt (v+w)a=va+wa

(v,w€Q; aEG).

(7)

Man nennt Q einen Darstellungsmodul fiir G in .9, wenn Q ein .Q-Modul mit G

als Rechtsoperatorenbereich ist und folgende Rechenregeln gelten: v(ab)=(va)b

(vEQ;a,b€ G),

.

ve= v ffir das Einselement e E G, (ow)a=oc(va)

(ix 6 .9, v E Q, a E G).

(8) (9) (10)

Aus (8) und (9) folgt, daB a and a‘1 als Operatoren fiir Q zueinander invers sind. Daher liefern die Operatoren aus G sogar Automorphismen von Q.

Jeder Darstellungsmodul Q (165 Ranges n liefert eine Darstellung des Grades n von G. Denn bezeichnet man fiir eine Basis v1, . . . , 2),. von Q die Spalte der

via, . . . , vna mit na, so erhalt man, da (1 einen Automorphismus von Q bewirkt, .zuniichst na= A(a) n

14.1.. Reduzible and irreduzible Darstellungen

303

mit einer regulfiren (n, n)-Matrix A(a) mit Koeffizienten aus .9. Ferner gilt

wegen (7) bis (10) fiir b E G

n(ab)= (va)b= (A(a)n)b=A(a)nb=A(a)A(b)n

(11)

und andrerseits

also .

0(ab) = A(ab) n A(a) 41(5) = A(ab).

(12) (13)

Ist umgekehrt eine Darstellung A des Grades n von G gegeben, so 1531; sich . jeder Q-Modul 23 des Ranges n zu einem Darstellungsmodul fiir G machen, der die Darstellung A in dem soeben beschriebenen Sinn liefert. Man definiere dazu zunachst fiir eine Basisspalte )3 von 23 ' na=A(a)v. Fordert man die Giiltigkeit von (7) und (10), so wird dadurch G zu einem

Rechtsoperaiorenbereich fiir Q3. Aus (13) folgen dann (11) und (12), so daB (8) gilt. Ferner ist (9) wegen A(e) = E" erfiillt. Ffihrt man durch m = Sn eine neue Basis von SB ein, so erhéilt man

ma= Sna= SA(a) n= SA(a)S‘1m= @(a)m. Die Matrizen @(a) = SA (a)S‘1 bilden offenbar eine Darstellung (Z5 = SAS—1 von G; Man nennt die Darstellungen A und Q5 zueinander dquivalent Oder dhnlich. Wir werden fiquivalente Darstellungen als nicht wesentlich verschieden ansehen, denn sie entsprechen den gleichen Automorphismen des Darstellungsmoduls, die nur mit Hilfe verschiedener Basen beschrieben werden. Zwei

Darstellungsmoduln, die in'bezug auf G 315 Rechtsoperatorenbereich operatorisomorph sind, liefern offenbar aquivalente Darstellungen und umgekehrt.

Es kann eintreten, daB der Darstellungsmodul Q3 einen eigentlichen Q-Teilmodul Z enthalt, der in bezug auf G als Operatorenbereich zulassig ist. Ein

solcher Teilmodul sei etwa

z= 9t1+ ---+ mm

(m 1. Ben dann gibt es in der Aquivalenzklasse von‘A eine Darstellung der Form

A’ 0

(o A»)

14.3. Die reguh'ire Darstellung

’

331

mit Darstellurigen A’, A” der Grade l und m — l. Mit dieser Darstellung sind zumindest die Matrizen der Gestalt (OLE;

0

0

)

fiEm—z

vertauschbar. Ist also A nicht absolut irreduzibel, so gibt es eine Matrix M aus Am, die keine Skalarmatrix ist,und mit allen Matrizen A(a), a E G, ver-

‘ tauschbar ist. Ist p eine charakteristische Wurzel von M, so ist auch die Matrix M — ME,” = W mit allen A(a) vertauschbar, und auBerdem ist der Rang w von W grfiBer als 0 und kleiner als m. Der Korper A(_u) ist eine endliche alge- '

braische Erweiterung von A oder stimmt im Fall .1; E A mit A fiberein. Bekanntlichi) kann man zwei regulfire Matrizen P und Q mit Koeffizienten aus A(,u) derart bestimmen, daB

Pwo== Z emf—"waxaa. f:

as 1

f:

f:

-

(20)

Diese Gleichung kann niitzlieh sein, um die Charaktere zu berechnen. (Aufgabe 60) 14.5. Weiteres fiber Darstellungen und Charaktere

In einer abelschen Gruppe bildet jedes Element eine Klasse fiir sich allein. Eine endliche abelsche Gruppe G besitzt daher |GI verschiedene, absolut irreduzible Darstellungen. Aus (14.3.3) folgt, daB diese alle den Grad 1 haben. Daher stimmen die absolut irreduziblen Darstellungen abelscher Gruppen mit I ihren Charakteren fiberein, d. h., es gilt fiir jeden einfachen Charakter

x(a)x(b) = x(ab)

(a, b E G)-

(1)

Ist a ein Element der Ordnung n, so ist x(a) demnach eine n-te Einheits-

wurzel. Umgekehrt erha'ilt man offenbar eine Darstellung der zyklischen Gruppe {a} der Ordnung n, wenn man dem Element a eine beliebige n-te -

Einheitswurzel zuordnet.

Die abelsche Gruppe G sei das direkte Produkt

G= Cix Cg x

x C;

(2)

der zyklischen Gruppen C,- der Ordnungen n.- (i = 1, . . . , s). Ein erzeugendes Element von C.- sei ai. Ein einfacher Charakter x von G ist wegen (1) festgelegt, sobald die Werte x(ai) bekannt sind; denn jedes Element a 6 G hesitzt

gemfiB (2) eine eindeutige Komponentenzerlegung a: a’flalii ... a]:-

(’9; mod ni)!

und folglich wird N) = x(a1)"1x(a2)"'

(13)

x(a.)"'-

Als x(a,-) kann man eine beliebige ni-te Einheitswurzel vorschreiben. Daher gibt es n,- Mfiglichkeiten ffir die Wahl von x(a,~), und weil die Festlegungen der x(ai) fiir i = 1, . . . , s voneinander unabhfingig sind, so erhéilt man im ganzen n1n2

n, = [G], also sfimtliche einfachen Charaktere. Bezeichnet e.- eine

primitive ni-te Einheitswurzel, so sei etwa x(a,-) = 8?“. Der Charakter x lfiBt sich daher kennzeichnen durch den Vektor (m1, m2, . . ., m,) , wobei m.- mod ni zu nehmen ist.

(4)

.

14.5. Weiteres fiber Darstellungen und Charaktere

343

Das Produlit xx’ aus zwei einfachen Charakteren x und x’ der abelschen Gruppe G ist wieder ein einfacher Charakter, und das gleiche gilt fiir 95—1 Folglich bilden die einfachen Charaktere von G ihrerseits eine abelsche Gruppe, die Charaktergruppe von G. Diese besitzt die Ordnung |G|. Ist x durch den

Vektor (4) festgelegt und x’ durch den Vektor (m1, mg, . . . , mfi), so entspricht dem Produkt xx’ offenbar der Vektor

(m1+ mg, m2+ mg, ...,m,+ m;),

wobei mit der i-ten Komponente mod ni zu rechnen ist. Jedes Element a 6 G léiBt sich nach Festlegung der erzeugenden Elemente a.- der C.- eindeutig in der Form (3) schreiben, so daB a durch den Vektor

(k1, k2, ..., k.)

(1:,- mod n.)

eindeutig gekennzeichnet ist. Der Multiplikation zweier Gruppenelemente ent-

spricht die Addition der zugeordneten Vektoren, wobei mit der i-ten Komponente mod n,- zu rechnen ist. Das ergibt: (14.5.1) Die Charaktergruppe einer endlichen abelschen Gruppe G ist isomorph zu G. (Aufgabe 61).

Nun sei G eine beliebige endliche Gruppe und N ein Normalteiler von G. Jede Darstellung der Faktorgruppe G/N liefert offenbar eine Darstellung von G, indem man allen Elementen einer Nebenklasse Na diejenige Matrix zuordnet,

die bei der Darstellung von G/N dieser Nebenklasse entspricht. Aus einer irreduziblen Darstellung von G/N entsteht so eine irreduzible Darstellung von G. In einer Tabelle der Charaktere von G kann man einen Charakter x einer Darstellung von 0/N daran erkennen, daB 'fiir jedes Element :1; aus einer in N

gelegenen Klasse konjugierter Elemente von G die Gleichung x(a:) = x(e) besteht; denn diese Gleichung kann nur dann gelten, wenn alle charakteristischen Wurzeln der .2; zugeordneten Matrix gleich 1 sind. Ist speziell G’ die Kommutatorgruppe von G, so erhalt man aus den |G: G’I Darstellungen ersten Grades der abelschen Gruppe G/G’ ebenso viele Dar-

stellungen von G. Andrerseits stimmt jede Darstellung ersten Grades von G mit ihrem Charakter x fiberein, d. h., es gilt x(ab) = x(a) 91(5). Folglich erhalt

man

it (a"b"ab) = x(a)'1x(b)“x(a)x(b) = 1Daher ist jede Darstellung ersten Grades von G eine Darstellung der Faktorgruppe G/G Daher gilt folgender Satz:

(14.5.2) Die Anzahl der Darstellungen ersten Grades einer endlichen Gruppe G ist gleich dem Index |G: G’I der Kommutatorgruppe G’.

344

14. Kapitel. Darsteuungen

Fijr das Kronecker-Produkt A X B zweier Matrizen A und B gilt bekanntlich‘) die Rechenregel

(A x B)(C>< D)= ACX BD. Folglich erhalt man aus zwei Darstellungen A und {D einer Gruppe G die sogenannte Kroneckersche Produktdarstellung A X 915, indem man dem Element . a E G das Kronecker-Produkt A(a) X¢(a) zuordnet. Offenbar gilt Spur (AXB) = (Spur A)-(Spur B).

Sind x und 1/: die Charakte‘re von A bzw. 0, so hat demnach A X¢ den Charakter xtp. Selbst' wenn A und £15 irreduzibel sind, wird A X ¢ im allgemeinen reduzibel sein. Sind wieder A“), . . . , A“) die absolut irreduziblen Darstel-

lungen der endlichen Gruppe G und 75(1),. . . , x“) ihre Charaktere, so entspricht .

der Zerlegung der Kroneckerschen Produktdarstellungen t

40') x 4100 ~ 2' giklA”) 1-1

das Relatiomsystem ,

.

' x("x(’"= 2 8:11:11”)

z=1

_

(5)

mit gewissen nichtnegativen ganzen rationalen Zahlen gm. Die einfachen Charaktere bilden also eine kommutative Algebra, die sogenannte Charakterr algebra. Jeder Permutationsdarstellung einer endlichen Gruppe G 1m Sinn von (7.2) entspricht eine Darstellung durch Permutationsmatrizen, wie wir sie schon in

(8.1) betrachtet haben. Es sei A1 eine transitive Permutationsdarstellung von G und H die 1m Sinne

von (7.2.2) zu A1 gehorige Untergruppe von G. Mit A (a), a E G, bezeichnen wir die zugehorigen Permutationsmatrizen. Die Nebenklassenzerlegung von G nach H sei

G= 2'" Hr;

(Hr1= 11)..

i=1

Der Wert x1(a) des Charakters x1 v0n A1 fiir ein Element a 6 Gist gleich der Anzahl der Nebenklassen Hr,- mit der Eigenschaft Hria = Hri; denn x1(a) ist gleich der Anzahl der Einsen in der Hauptdiagonale von A1(a), also gleich

der Anzahl derjenigen Nebenklassen, die bei der a zugeordneten Permutation festbleiben. Um

2' 261(0)

aGG

1) V3]. 2. B. [84].

14.5. Weitcres fiber Darstellungen und Charaktere

.

345

zu berechnen, iiihlen wir ffir jede Nebenklasse Hri einzeln ab, bei wie vielen a 6 G die Beziehung Hr,- a = Hri besteht. Diese Beziehung ist gleichbedeutend mit. rf‘Hria= ri—iHr;

und ist demnach genau ffir die IHI Elemente a aus r71 Hr; erfiillt. Da es im

ganzen n = lG: HI Nebenklassen gibt, erhalten wir

Zx1(a)=lG= HI |H|= WI .

«:66

Bei einer intransitiven Permutationsdarstellung von G kann man diese Uberlegung fiir jeden einzelnen transitiven Konstituenten anstellen und erhéilt fiir den Charakter x einer Permutationsdarstellung A von G mit k transitiven Konstituenten

“g; x(a)= k-IGIJ

-

(6')

Diese Gleichung lfiBt sich auffassen als (14) ans (14.4) fiir den Hauptcharakter

x“) = 1. Folglich enthéilt A die identische Darstellung k-mal. o Wir kehren nun wieder zu der oben betrachteten transitiven Permutationsdarstellung A1 zuriick. Bei den Permutationen, die den Elementen a: 6 H entsprechen, zerfallen Hn ,. . . , Hr" in gewisse Transitivitiitsgebiete, von

denen eins nur aus Hri = H besteht. Die Anzahl s dieser Transitivita'itsgebiete ist mindestens 2. Aus (6) folgt

Z x1($)=s-IH|-

36H

Wegen x1(r;"a;r.-) = x1(a:) erha'ilt man dareué '

.

x1(x),=ns-|H|=s-[G|.

1-1 aErT‘Hn

.

.

(7)

p

Fiir ein festes a: aus einer zu H konjugierten Untergruppe tritt 751(a2) auf der

linken Seite von (7) so oft als Summand auf, wie die Anzahl der zu H konju— gierten Untergruppen betréigt, die a: enthalten. Diese Anzahl ist gleich der Anzahl der Indizes i aus der Reihe 1, . . ., n, fiir die rfiHria; = ri‘1 Hr,» gilt, also nach dem oben Gesagten gleich x1(a:). Fiir ein Element a 6 G, das in keiner zuH konjugierten Untergruppe liegt, wird x1(a) = 0. Folglich ergibt sich ans (7)

Z x1(a)’= 8'IGI-

4160

Da 951 (a) reell ist, kénnen wir hierfiir auch schreiben

Z n2m= s-IGI.

aEG

346

'14. Kapitel. Darstellungen

Ans dieser Gleichung folgt nach (13) in (14.4) s = 2" m2, r=1

'

wobei m, angibt, mit welcher Vielfachheit die absolut irreduzible Darstellung A") von G in A1 enthalten ist. Ist s = 2, also die Permutationsdarstellung A1 zweifach transitiv, so zerffillt A1 in die identische Darstellung und genau einen weiteren absolut irreduziblen Bestandteil. Nachstehend geben’ wir als Beispiel die Charaktertafel der symmetrischen Gruppe 55 des Grades 5 an. In jeder Zeile stehen die Werte eines Charakters fiir die verschiedenen Klassen konjugierter Elemente. Jeder Klasse entspricht .

also eine Spalte. Diese trfigt als Uberschrift einen Beprfisentanten der betrefr fenden Klasse und darunter die Anzahl der Elemente in dieser Klasse.

fl» 1m la) ”0 1m xm fl”

e 1 1 1 4 4 6 5 5

um)(1mwfi)(113 ufifiugm 20 20 15 10 1 1 1 1 _1 1 1 —1 2 o 1. —1 —2 o 1 1 0 4 o o 1 1 —1 1 _1 1 —1 —1

ufifi$)(gzagm 24 _ 30 1 1 —1 1 o —1 -o_ _1 0 1 —1 0 1 o

x“) ist der Hauptcharakter, 75(2) der sogenannte alternierende Charakter, niimlich der Charakter der nichtidentischen Darstellung der Faktorgruppe Ss/As nach der altemierenden Gruppe A5. Die Darstellung von 55 als Per-

mutationsgruppe des Grades 5 zerffillt, wie oben festgestellt wurde, in die identische und eine weitere absolut irreduzible Darstellung. Der Charakter der letzteren ist 95“). Da 95(2) vom Grade 1 ist, so ist auch x“) = x“) x‘a) ein einfacher Charakter. Die drei restlichen einfachen Charaktere kann man z. B. folgender' mgBen erhalten. Aus (d) von (14.3.3) folgt

fi+fi+fi=%. Da fiir die f; nur Teiler v-on 5! in Frage kpmmen, ergibt sich bei passender Numerierung f5= 6,

f3= 5,

f7= 5.

Aus den Relationen (10) in (14.4) mit r = 1, s > 1 erhfilt man die Werte von 6 x(5)'+ 5 25“” + 5 x(7).

14.5. Waiters: fiber Darstellungen und Charaktere

347

Das Produkt 2(3) 95(3) ist der Charakter einer Darstellung, die A“), AG” and noch zwei weitere absolut irredizible Darstellungen der Grade 5 und 6 enthalt,

Wie man mittels (13) in (14.4) bestatigt. Daher wird, wenn man den in 75(3) 75(3) enthaltenen Charakter des Grades 5 mit 35“” bezeichnet, 1(3) 1(3) — x“) — x(3) = x(5).+ x(6)_

Analog bestatigt man

xw) xu) 1 x“) _ 55(4) = 1(5) + xvi), Da man also 6 95(5) + 5 1(6) + 5 75(7), 95(5) + 95(6) und jg“) + 1(7)kennt, kann man jeden dieser drei Charaktere einzeln berechnen.

Es leuchtet ein, daB die Berechnung der Charaktere unter Umstiinden sehr kompliziert sein kann. Fiir die Charaktere der symmetrischen Gruppen kennt man explizite Formeln. Naheres fiber Charaktere, Darstellungen und ihre

Berechnungfindet man z. B. in [18, 89, 102]. Ball die Charakterwerte von 55 ganze rationale Zahlen sind, ist kein Zufall, sondem die Werte samtlicher Charaktere aller symmetrischen Gruppen sind

ganzrational. Es sei namlich a ein Element der Ordnung m einer symmetrischen Gruppe. Fiir irgendeinen Charakter x des Grades 1" wird dann 76(0) = 81 + 82 +

+ 3f:

wobei die a,- irgendwelche m-ten Einheitswurzeln sind. Ffir jede gauze rationale Zahl k erhalt man

x(a")=s’:+e’£+

+ 6’;-

Ist k zu m teilerfremd, so liegen a und a" in der gleichen Klasse konjugierter Elemente, weil a und a" Permutationen vom gleichen Typ sind (vgl. (7.1.1)). Daraus folgt x(a) = x(a") fiir (k, m) = 1. Andrerseits machen die Zahlen

e’f+e’2‘+m+e’f

(h=1,...,m; (k,m)-=1)

siimtliche zu x(a) konjugiert algebraische Zahlen aus. Folglich ist x(a) cine

ganze algebraische Zahl, die mit ihren samtlichen konjugierten iibereinstinimt, also eine ganze rationale Zahl. Wir wollen nun ein Verfahren kennenlernen, mit dessen Hilfe man aus einer

Darstellung einer Untergruppe U von G eine Darstellung der ganzen Gruppe G konstruieren kann. Die Zerlegung von G in Rechtsnebenklassen nach U sei G= Ucl+ U02+ ---+ Ucm. Gegeben sei eine Darstellung F des Grades n von U, die jedem Element :1; 6 U

die Matrix I'(a;) zuordnet. Fiir ein nicht in U enthaltenes Element b aus G

348

14. Kapitel. Darstellungen

verstehe man unter I‘(b) die n-reihige quadratische Nullmatrix.F1°ir ein beliebig‘es Element a 6 G definieren wir

A(a)=(1"(c,ac,: )) '

(i,k= 1, ...,m).

A(a) ist also eine quadratische Matrix des Grades mn, die in m2 quadratische Kfistchen mit je n Zeilen und Spalten eingeteilt ist. Bei festem a 6 G gibt es zu jedem Index i der Reihe 1, . . ., m genau einen Index I: aus dieser Reihe,f1'ir

den 0iack1 in U liegt; und zu jedem Index k gibt es genau einen Index 1' mit ciack1€ U. In jeder der m aus (n, n-)-K§stchen bestehenden Zeilen und Spalten

von A(a) steht folglich .genau ein von 0 verschiedenes Kéistchen. Zunéichst rechnen wir nach, daB die Matrizen A(a) eine Darstellung A von G bilden. Man erhéilt

A(a) A(b) = (g 1"(c,-acJ-‘1)F(cjbc,:1)).

(8)

Ein Produkt 11(ctac-1) F(c,- bck 1) ist genau dann von 0 verschieden, wenn ciacj’1 6 U und 01-116,:1 6 U.

\

.

h

.

(9)

Fiir ein festes i gibt es genau einen Index 1', fiir den ciacli'1 in U Iiegt, und fiir ein festes j gibt es genau einen Index k mit Cj bc;1 6 U. Fiir einen festen Index i gibt es daher auf der rechten— Seite von (8) genau eine Summe, die von 0 verschieden 1st, und auch m dieser Summe sind alle Summanden gleich 0 bis auf das Produkt 1"(ciacj-1) I'(c,- be]: 1) ,

fiir das (9) erfiillt ist. Da ciao;1 und cjbc;1 beide in U liegen, haben wii' weiter [Kauai-‘1) 1"(cjbc; 1) = I1(c,-a'bc,:1)

und folglich

-

A(a) A('b)= A(ab). Man nennt A die von der Darstellung 1" von U induzierte Darstellung von G. Ein zu A gehfirigei' Darstellungsmodul zerffillt in die direkte Summe von m Teilmoduln des Ranges n, von denen jeder entweder nur auf sich selbst oder ganz auf einen anderen abgebildet wird. Es liegt also eine fihnliche Einteilung vor wie bei imprimitiven Permutationsgruppen. Daher nennt man A einev imprimitive Darstellung.

Wéihlt man fiir P insbesondere die identische Darstellung des Grades 1 von U, so ist A die von U in Sinne von (7.2.2) erzeugte transitive Permutations-

darstellung in Matrixschreibweise; denn Ucia = Uck ist gleichbedeutend mit ciao;1 6 U. Ist F eine' beliebige Darstellung ersten Grades, so wird A eine

14.5. Weiteres fiber Darstellungen und Charaktere

349

monomiale Dérstellung .von G (vgl. (8.1)). Die reguliire Darstellung von U liefert als induzierte Darstellung die reguliire Darstellungvon G, wovon man sich z. B. durch Vergleich der Charaktere fiberzeugen kann. _

Mit 1p bezeichnen wir den Charakter von F. Ffir ein nicht in U gelegenes Element b aus G setzen wir entsprechend der obigen Definition

1p(b) = Spur 1"(b) = o

(b e U).

.

(10)

Fiir (len Charakter x von A erhalten wir- dann

x(a)= SpurA(a>=§ Mower)

(a6 6)..

Da 1p ein Charakter von U ist, gilt fiir jedes Element :1: E U v(a)= Mum“): und zwar wegen (10) unabhiingig davon, ob a in U liegt Oder nicht. Folglich ergibt sich fiir jedes Element :1: E U m

25(0)= Z" MHz-1103191”)Indem wir fiber alle a: 6 U summieren, erhalten Wir

IUIx=§ Z w(wc.-ac.-“$‘1)= z may-1). [=5 1 EU

yEG

(11)

wobei die letzte Summe fiber alle Elemente y aus G zu erstrecken ist.

Bezeichnet K(a) die Klasse von (1 in G und N(a) den Normalisator von a in G, so léiBt sich die rechte Seite von (11) offenbar folgendermaBen schreiben:

”a Nady-1F IN(a)|‘€Zl'{(a)W(Z)F Da fiir z e U ohnehin w(z) = 0 ist, erhalten wir schlieBlich

x(a)= '73” z€K(a)Zn U W).

(12)

Dabei ist der Summe der Wert O beizulegen, wenn K(a) 0 U leer ist. Man nennt x den von 1/) induzierten Charaktei' von G.

Wir wollen nun einen bemerkenswerten Satz fiber die absolut irreduziblen Bestandteile derjenigen imprimitiven Darstellungen von G herleiten, die von

den absolut irreduziblen Darstellungen von U induziert werden. Die absolut irreduziblen Darstellungen von U seien 1‘“), .. ., 11(4),

350

14. Kapitel. Darmllungen

der Charakter von I'U‘) sei 1pm. Ferner bedeuten wie bisher A“), . . .,A(‘) die absolut irreduziblen Darstellungen von G und )5“), . . . , x“) ihre Charaktere.

Die Darstellung A von G werde durch die Darstellung F") von U induziert, ihre Zerlegung in absolut irreduzible Bestandteile sei t

A ~ 2 mm». 3—1

Dementsprechend gilt fiir den Charakter x von A t

.

x= 8-1 2’ ma").

.

(13)

Beschréinkt man die absolut irreduzible Darstellung A") von G auf die Unteigruppe U, so erhéilt man im allgemeinen eine reduzible Darstellung von U. Es ergibt sich also eine Zerlegung

q A(r) ~ 2' nrkl‘u"

.

(14)

k=1

von'A("), als Darstellung von U eingeschrfinkt, in ihre absolut irreduziblen Bestandteile. Aus (12) folgt 1

1

(I) (z). IN(a)I"‘“)‘ TU: zexgnv "’

(15)

Mit den Bezeichnungien aus (14.4) 1531; sich (15) folgendermaBen schreiben:

$224 .-)= —,62 WI we». KgnU

Hierbei hedeutet g,- die Anzahl der Elemente in der Klasse K v_on G und (1.;

ein Element aus K. Die letzte Gleichung multiplizieren wir mit x——(')(a ) und summieren fiber ein Vertretersystem a1, . . ,a, fiir die Klassen von G. Dann ergibt sich infolge (14) in (14.4) und der obigen Gleichung (14)

m, = 1—2,“: WNW)“e 1;?“ U 1"” (I) ' ‘

-I—Ul 1'22]:s; ”Th w(__k)(a'i)‘ EZK'FI 7P”) (z)

= i n". Wn—wwzwww ' l

TM:

k=1

1

nrk 5k1= ”fl-

14.5. Weiteres fiber Darstellungen und Charaktere

351

Damit haben fir fol'genden Satz erhalten: (14.5.3) Die imprimitive DarstellungA von G wefde durch die absolut irreduzible Darstellung 11(1) der Untergruppe U induziert. Enthiilt cine absolut

irreduzible Darstellung A“) van G als Darstellung von U eingeschriinkt 1"") m-mal als irreduziblen Bestandteil, so tritt A") ebenfalls m-mal als Bestandteil von A auf.

Von den induzierten imprimitiven Darstellungen werdeh Wir Gebrauch machen, wenn wir jetzt die Charaktere der alternierenden Gruppe As hestimmen. Zuvor jedoch eine allgemeine Bemerkung fiber Charaktere der symmetrischen und altemierenden Gruppen. Mit oc werde der alternierende Charakter der symmetrischen Gruppe Sn bezeichnet. Ist «p ein beliebiger einfacher Charakter von Sn, so ist auch octp ein einfachor Charakter; man nennt cup den zu 1p assoziierten Charakter. Da (p einfach ist, so gilt, weil (p reell ist, nach (13) in

(14.4) 2' ¢p(a 2 = 71!. 065..

Ist mp von (p nerschieden, so erhfilt man aus der gleichen Formel

Z “(a)¢(a)¢(a)= 0-

aGS

Durch Addition der beiden letzten Gleichungen entstehf 2 Z ¢p(a2=nl. .

«GA.

Diese Gleichung hesagt nach (13) in (14.4), daB (p auch ein einfacher Charakter der alternierenden Gruppe An ist. Ein nicht zu sich selbst assoziierter Charakter von Sn ist also als Charakter von An eingeschriinkt ebenfalls einfach.

Zur Klasseneinteilung von A5 ist noch zu bemerken, daB sfimtliche Klass'en von 55, die in A5 liegen, auch darin wieder Klassen sind bis anf die Klasse der

Zyklen der Linge 5, die in A5 in zwei Klassen zerffillt. Die Charaktertafel von A5 ist:

.pa) .pa) 93(3)

a 1 1 4 5

(1,2) (3, 4) 15 1 o 1

(1,2,3) 2o 1 1 —1

(1, 2, 3, 4, 5) 12 1 _1 o

,m

a

—1

o

gmfi)

éu— v3)

¢(5)

3'

—1

o

%(1_)IE)

.:_(1+}/§)

-

(1, 3, 5, 2, 4) 12 , 1 _1 o

352

14. Kapitel. Daratellungen

Die Charaktere (pa) und (#3) entstehen aus den beiden nicht zu sich selbst assoziierten Charakteren 75(3) und 75(6) von 5'5. Die Darstellung A“) von Ss ist dagegen als Darstellung von A5 eingeschréinkt reduzibel. Um einen weiteren

einfachen Charakter von A5 zu erhalten, bilden wir eine durch eine 5-Sylowgruppe U von A5 induzierte imprimitive Darstellung. Als U nehmen wir die iron u = (1, 2, 3, 4, 5) erzeugte zyklische Gruppe und als Darstellung vOn U diejenige Darstellung ersten Grades, die dem Element u eine primitive 5-te Einheitswurzel e zuordnet. Fiir den Charakter 1p dieser Darstellung wird also ip(u) = a. Aus (12) erhéilt man fiir die Werte des Charakters x der induzierten imprimitiven Darstellung A von A5 bei der gleichen Reihenfolge der Klassen wie in der obigen Tabelle

12

o

0

e

e”

wobei e = e + a“, 9’ = 32+ 8—2. Man beachte bei der-Rechnung, 'daB u mit u‘1 in einer Klasse und u2 zusammen mit u‘2 in der anderen Klasse der

Ordnung 5 liegen. Die Darstellung A ist reduzibel und enthéilt die Darstellungen mit den Charakteren (pa) und (pa) je- einmal als Bestandteile. AuBerdem enthalt sie eine weitere absolut irreduzible Darstellung, fiir deren Charakter (pm man die in der Tabelle verzeichneten Werte erhiilt. Ffir die beiden Klassen der Ordnung 5 ergeben sich als Werte von 1p“) zuna'ichst Q + 1 and Q’+ 1. . Nun ist

e€+ s3+-s“+ 8+ 1= e-1+ e—2+ e2+‘s+ 1= 9+ g’+ 1= 0. Femer haben wir

92= 32+ e'3+ 2= 9’+ 2-, so daB 9 eine Wurzel der Gleichung x2+x — 1 = O ist. Nehmen Wir etwa 1 1 Q = _,§+ 7 V3 ,

was auf eine Festlegung der 5-ten Einheitswurzel s hinauslfiuft, so erhalten wir die angegebenen Werte von tp“). Den Charakter ¢p(5) erhalt man, indem man u durch die primitive 5-te Einheitswurzel a“ darstellt, was auf eine Vertauschung von 9 und 9’ hinausliiuft. 14.6. Anwendungen der Darsfellungstheorie

Wir wollen in diesem Paragraphen zwei wichtige Sétze fiber die Struktur endlicher Gruppenv kennenlernen, die bisher nur mit Hilfe der Darstellungs-

theorie bewiesen werden kénnen. Wir behalten die Bezeichnungen der vorigen Paragraphen bei und beginnen mit einem

14.6. Anwendungen der Durstellungstheorie

353

Hilfssati. Ist in einer nichtabelschen einfachen endlichen Gruppe G der Grad f‘ einer absolut irreduziblen nicht identischen Darstellung teilerfremd zu der Anzahl g; der Elemente in der Klasse des von 6 verschiedenen Elementes at, so ist )5“) (a1) = O.

Beweis. Da G einfach und 7;") nicht der Hauptcharakter ist, so ist die zu x") gehorige Darstellung treu. Wir fiberzeugen uns zuniichst, daB fiir jedes Element a.=|= e.die Ungleichung

lx"’(a)l < fa besteht. x“) (a) ist eine Summe von f, Einheitswurzeln: x(’)(a)= 81+ 82+ "'+ an. '

Der zu x“) (a) gehorige Vektor in derGauBschen Zahlenebene ist also die Summe

von f, Vektoren der Léinge 1; daher ist stets [ x(s)(a)| g f3, und das Gleichheitszeichen kann nur dann gelten, wenn alle s,- einander gleich sind. Im letzteren

- Fall ist A“) (a) eine Skalarmatrix. Folglich liegt a im Zentrum, was wegen der Einfachheit von G nur fiir a = e mfiglich ist.

In (20) in (14.4) denke man sich den Index I festgehalten und fiir m der Reihe . nach die Zahlen 1, . . ., t eingesetzt. Die so entstehenden t Gleichungen lassen

sich folgendermaBen scln-eiben: t

g: (cgm— 6mg} x“)(al)) i—n 7;“) (an) = O

(m, = 1, . . ., t).

Das ist ein System von t linearen homogenen Gleichungen fiir die It Zahlen

%x(‘)(an)

(n= 1, ..., t).

Da diese Zahlen gewiB nicht alle verschwinden, so muB die Determinante des Gleichungssystems verschwinden. Daher ist '

a = i[a x“)(at) eine charakteristische Wurzel der Matrix (chm)

(l fest;

m, n= 1, . . ., 6).

Da die cum, ganze rationale Zahlen sind, so ist on eine ganze algebraische Zahl..

Ist nun g; zu f, teilerfremd, so gibt es zwei ganze rationale Zahlen x und y mit V g, a: + f, y = 1 . 23

Kochendorfler,Gruppentheol-ie

14. Kapitel. Darstellungen

354

Daraus folgt -'

l

-

(a)

% x“?(az) «’9 + x“’(az) y =xf—Eal) Der erste Summand auf der linken Seite dieser Gleichung ist, Wie wir soehen

festgestellt haben, eine ganze algebraische Zahl. Auch der zweite Summand ist ganz algebraisch, weil x")(al) eine Summe von Einheitswurzeln, also ganz algebraisch ist. Folglich ist f;1 x“)(al) eine ganze algebraische Zahl. Wie wir oben erkannt hatten, istf;1[x(’)(al)| < 1. Da x“)(al) eine Summe von Einheitswurzeln ist, so sind auch alle zu f;1 x“) ((11) konjugiert algebraischen Zahlen absolut genommen kleiner als 1. Folglich ist f;1x(‘)(al) eine ganze algebraische Zahl, deren Norm absolut genommen kleiner als 1 ist. Das ist aber nur fiir f;1 x(‘)(a;) = O moglich. Damit ist der Hilfssatz bewiesen. Der Hilfssatz bildet die Grundlage fiir den Beweis des folgenden Satzes: (14.6.1) Ist in einer endliclwn Gruppe G die Anzahl der Elemente in einer 'von e verschiedenen Klasse eine Primzahlpotenz, so ist G nicht einfach. Beweis. Da G sicher nicht einfach ist, wenn es auBer e eine weitere Klasse

mit nur einem Element gibt, so brauchen wir nur den Fall zu behandeln, daB die Elementeanzahl in einer Klasse von G eine Primzahlpotenz p" > 1 ist. Wir nehmen an, daB G einfach ist. _In (12) in (14.4) setze man a," = e und nehme ffir a; ein Element aus der Klasse mit p" Elementen. Dann ergibl: sich

- (1)

=2: rix

(14.6.3’) Wenn alle t‘on e verschiedenen Permutationen einer transitiven Permutationsgruppe G des Grades n hijchstens eine Ziffer festlassen, so bilden diejenigen Permutationen, die keine Ziffer festlassen, zusammen mite einen Normal' teiler der Ordnung n.

Beweis. Wir beweisen den Satz in der zweiten Formulierung. Die Untergruppe aller derjenigen Permutationen aus G, die die Ziffer :l festlassen, sci H. Dann ist |G: H| = n. Zur Abkfirzung setzen wir |H| = h. Die Voraussetzung besagt, daB die n — '1 von H verschiedenen, zu H konjugierten Untergruppen mit H nur das Einselement gemeinsam haben. Folglich gibt es hn— 1—n(h— 1)=n— 1

von e verschiedene Elemente in G, die weder in H noch in einer zu H kon-

jugierten Untergruppe liegen. Genau diese Elemente lassen keine Ziffer fest.

Mit a; bezeichnen wir im folgenden ein beliebiges von e verschiedenes Element aus H Oder einer zu H konjugierten Untergruppe. Bei der Permutation a: bleibt also genau eine Ziffer fest. Mir. y bezeiehnen wir ein beliebigcs Element aus G, das keine Ziffer festléiBt. Der Charakter 7:, der den Permutationen von G in Matrixschreibweise entspricht, hat dann folgende Wcrlze: n(e)= n,

az(x)= 1,

n(y)= 0.

Da G transitiv ist, enthfilt 7r nach (14.5) den Hauptcharakter genau einmal.

Subtrahiert man den Hauptcharakter von 9:, so erhéilt man einen Charakter m von G mit folgenden Werten

m(e)='n— 1, m(a:)=0, m(;,)=—1. 23*

‘

(2)

356

14. Kapitel. Daratellungen

Mit QG bezeichnen wir den Charakter der reguléiren Darstellung von G. Seine

Werte sind

ec(e)= "h: 96GB) = 0, 96(y)= 0Der Beweis unseres Satzes ist erbracht, wenn gezeigt ist, daB a) = 96— km ein Charakter von Gist. Fiir die Werte von (1) erhiilt man w(e)= h,

w(x)= 0,

w(y)= h.

Wenn man weiB, daB w ein Charakter von Gist, so gehfirt er wegen 60(8) = h zu einer Darstellung P des Grades h. Da w(y) eine Summe von h Einheitswurzeln ist, so kann sich nur dann w(y) = h ergeben, wenn diese Einheitswurzeln alle gleich 1 sind. Das besagt, daB I‘(y) die Einheitsmatrix des Grades h

ist. Daher werden bei I' genau e und die Elemente y durch Einheitsmatrizen dargestellt. Folglich bilden diese Elemente den Kern des Homomorphismus

von G auf die Gruppen aller verschiedenen Matrizen F(z), z E G. Wir werden also nachweisen, daB w ein Charakter' von Gist. Die Anzahl der Klassen konjugierter Elemente in H sei .9. Die Charaktere der absolut

irreduziblen Darstellungen von H seien 1p“), . . ., 1pm und ihre Grade m1, . . ., m,. Fiir den Charakter 9H der reguliiren Darstellung von H gilt dann I

911= 2 MW“): i=1 ferner ist I

h: 2 mg.

i=1

Fiir jeden Charakter 1/: von H wollen wir mit 1p*‘ den induzierten Charakter

von G bezeichnen. Dann ist zuniichst (9”)* = 90. Daraus folgt , ,, w= 96—— hm= Z Ini(1p(")*— mini).

1 Es geniigt also nachzuweisen, daB fiir jeden einfachen Charakter 1p“) von H des Grades m.-

‘l’m * — mi“:

ein Charakter von Gist. Zur Vereinfachung der Beziehung setzen wir 1/)“7 = 1p, m,- = m; ferner sei |G| = g. Man erhiilt

ig 4166 2: (Wu) — mama» '(_w* 1 einfach aufler in den Flillen n =2, [2 = GF(2) undn = 2, .9 = GF(3).

Beweis. Es geniigt zu zeigen, daB die zu PSL(n, Q) isomorphe Permutationsgruppe T der Punkte des Rn_1(.Q) einfach ist. Wir nehmen an, daB N ein von der Identitfit verschiedener Nonnalteiler von T ist. Da T nach Hilfssatz 2 zweifach transitiv, also primitiv ist, so ist N nach (7.1.9) transitiv. Daher wird T = NH. Offenbar ist To = NH0 ein Normalteiler von T. Wie man leicht fiachweist, sind sfimtliche Matrizen Bum in

SL(n, .9) zu 332,1 Oder ELL—FA konjugiert. Da alle 31.2.1 auf Permutationen 24

Kochendarffer, Gmppentheorie

362

14. Kapitel. Darstellungen

aus Ho fiihren, so gehfiren zu allen BM; Permutationen aus To. Aus (14.7.1) folg'l; daher To = T. Daher haben wir

T/N a Ho/N n Ho. und folglich ist N ein Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe. Demnach enthéilt N die Kommutatorgruppe von T, und nach Hilfssatz 2 wird daher

N = T, wenn nicht einer der beiden Ausnahmefiille vorliegt. Damit ist (14.7.2) bewiesen.

In den beiden Ausnahmeffillen sind die Gruppen PSL(2, Q) zusammengesetzt. Es ist nfimlich PSL(2, GF(2)) isomorph zur symmetrischen Gruppe des Grades 3 und PSL(2, GF(3)) isomorph zur Tetraedergruppe.

Aufgeben . Man zeige an einem Beispiel, daB in (1.1.3) die Voraussetzung der Endlichkeit nicht' fortgelassen werden darf.

. Man bilde ein Beispiel fiir eine Quasigruppe ans 3 Elementen, die keine Loop ist. Man. hilde ein Beispiel {fir- eine Loop ans 5 Elementen, die keine Gruppe ist. . Wie erhiilt man aus einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraumes fiber einen Kfirper simtliche Basen P

CDMflO'aO‘h

. Eine unendliche zyklische Gruppe enthilt keine minimale Untergmppe.

. Eine Gruppe vom Typ p°° enthfilt keine maximale Untergruppe. . Man bestimme das Zentrum der Gruppe GL(n, K). Man bestimme den Normalisator einer Diagonalmatrix in der Gruppe GL(n, K).

. Eine Gruppe vom Typ p°° ist nicht endlich erzeughar.

. Man gebe Beispiele fiir unendliche Gruppen, die a) torsionsfrei sind, b) periodisch sind, c) sowohl Elemente unendlicher Ordnung als auch Elemente =|= 6 von endlicher Ordnung enthalten.

10. Eine Gruppe, in der jedes Element =|= e die Ordnung 2 hat, ist. abelsch. 11. Man hestimme sfimtliche Gruppen der Ordnungen 4 und 6. 12. Ist n zum Exponenten der Gruppe G teilerfremd, so kann fiir zwei Elemente x, y E G , nur dann die Gleichung x" = y" bestehen, wenn w = y ist. Is_t G endlich and a ein gegebenes Element aus G, so gibt es genau ein Element :1: 6 G, fiir das x" ; a gilt. . Man kennzeichne den Normalisator einer Untergruppe U mittels der Zerlegung nach

dem Doppelmodul U, U. 14.‘ Man bestimme sfimtliche Isomorphismen der Gruppe des Beispiels 6 an! die Gruppe im Beispiel 7. ~

15. Man bestimme die Automorphismengruppen der zyklischen Gruppen. 16. Man bestimme die Automorphismengruppe eines n-dimensionalen Vektorraumes iiber ' einem Korper. 17. Man bestimme die Automorplfismengruppe der Vierergruppe. . Die symmetrische Gruppe S3 besitzt nur innere Automorphismen und ist. zu ihrer

Automorphismengruppe isomorph. 24*

364

Aufgaben

19. Man bestimme die Klassen konjugierter Elemente in den beiden Typen nichtabelscher

Gruppen der Ordnung p3 (p Primzahl); vgl. hierzu (10.2.2). 20. Jede Rechtsnebenklasse‘nach der Untergruppe U sei gleichzeitig Linksnebenklasse. Dann ist U Normalteiler.

21. An der Gruppe S4 zeige man, daB die Eigenschaft,Normaltei1er zu sein, nicht transitiv ist. 22. Man bestimme sfimtliche Homomorphismen der Vierergruppe auf cine Gruppe der Ordnung2. 23. Jede Untergruppe von G, die die Kommutatorgruppe enthfilt, int Normalteiler in G. 24. Man stelle die Vierergruppe als Faktorgruppe einer freien Gruppe dar. 25.‘ Am Beispiel der Vierergruppe zeige man, daB ein Normalteiler keine charakteristische Untergruppe zu sein braucht.

26. Man beweise: Die Permutationen

123456 =234156’

b

12345

12345

=143256’

'

0:123465

enfiiflen die Relationen

a4=e,

b3=cz=e,

ab=ba'1, ac=ca,

bc=ob

und erzeugen cine Untergruppe U der Ordnung 16 der sy'mmetrischen Gruppe S3. Das Zentrum Z von U wird von (12 und 0 erzeugt. Die Abbfldung a —> b, b —> b, c —> b ist ein Endomorphismus von U. Bei diesem Endomorphismus wird Z nit in sich abgebildet, ist also keine vollinvariante Untergruppe.

27. Man bilde siimtliche Normalreihen einer endlichen zyklischen Gruppe. 28. Man bestimme alle Kompositionsreihen und Hauptreihen der Gruppe S4. 29. Man bilde die Kommutatorfolge der Gruppe SA. — b3= (ab)3= e definieren eine Gruppe der 30. Die Elemente a, b mit den Relationen 412— Ordnung 12. Man zeige, daB diese Gruppe keine Untergruppe der Ordnung 6 enthiilt.

31. Man verifiziere den Satz von SYLOW fiir die Gruppe S4. 32. Ein direktes Produkt zueinander isomorpher einfacher Gruppen ist charakteristisch einfach. 33. Die Endomorphismen abelscher Gruppen bilden einen Bing. Man bestimme die Endo' morphismenringe einer endlichen zykJischen Gruppe und eines Vektorraumes. 34. Man gebe ein Beispiel fiir die Sfitze (4.3.4) und (4.3.5), falls G eine endliche zyklische Gruppe ist, in deren Ordnung mindestens zwei verschiedene Primzahlen aufgehen. 35. Was besagen die Sfitze (4.3.4) und (4.3.5), falls G ein Vektorraum ist? 36. Welches ist die maximale periodische Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen mod 1? (V31. Beispiel 9 in (1.1).) 37. Es seien 1,1, . . . , 17m eine Basis der freien abelschen Gruppe M und _

m

I

C: = Z “we '71:k=1

Man gebe eine notwendige und hinreichende Bedingung an, der die Matrix (am) geniigen muB, damit C1, . . . , Cm cine Basis von M bilden.

Aufgaben

,

365

38. Die abelsche Gruppe A babe die erzeugenden Elementeal , . . . , a4 und die definierenden Relationen

5a1+4a2+ «3+ 50¢4=0 7a1+6a2+ 5wa+11a4=0 2a1+2oc2+100c3+12a4=0 100:1+Sot2— 4a3+ 40c4=0. ' Man stelle A $113 direkte Summe zyklischer Gruppen dar. 39. Man beweise: Sind die naturlichen Zahlen m1 und mg zueinander teilerfremd, so wird

¢(m1m2) = ¢(ms)¢(m2) 40. Eine Gruppe kann 1n mehrfacher Weise imprimitiv sein. Sind A und M zwei Imprimi-

tivitiitssysteme und besteht der Durchschnitt Afl M aus mehr als einer Ziffer, so ist er ebenfalls ein Imprimitivitiitssystem. 41. Die'Gruppe S4 hat zwei transitive Permutationsdarstellungen des Grades 6, die sich

nicht nur dutch die Bezeichnung der Ziffern voneinander unterscheiden. 42. Wenn eine transitive Permutationsgruppe eine einzelne Transposition enthfilt, so ist sie entweder die symmetrische Gruppe oder imprimitiv.

43. Sechs passende Fléchendiagonalen eines Wiirfels bilden die Kanten eines regulfiren Tetraeders. Wie spiegelt sich dieser Sachverhalt in den entsprechenden Drehgruppen wider? 44. Eine endliche Gruppe ist genau dann nilpotent, wenn jede. Sylowg'ruppe ein ausgezeichnetes Représentantensystem besitzt. 45. Eine endliche Gruppe lst genau danil abelsch, wenn jede Untergruppe ein ausgezeichnetes Heprésentantensystem besitzt.

46. Zwischen der Stufe s und dem Gewicht w eines Kommutators bestehen die Ungleichungens+ 1§w§2‘.

47. Die alternierende Gruppe A4 ist zwar auflosbar, aber nicht fiberauflfisbar. 48. Jede endliche nilpotente Gruppe is: fiberauflbsbar. Man gebe ein Beispiel ffir eine fiberauflfishare, aber nicht nilpotente Gruppe. 49. Man verifiziere die Sfitze des Paragraphen (10.1) fiir sfiintliche Gruppentypen der Ordnung p3. = b3= (ab)3 die50. Man beweise, daB durch zwei Elemente a, b mit den Relationen a3— Quaternionengruppe definiert wird.

51. Die alternierende Gruppe A5 enthfilt keine Untergruppe der Ordnung 15. Daher ist (a) in (11.1.1) nicht fiir jede endliche Gruppe richtig. 52. Die Permutationen (1, 2, 3) and ( 1, 2) (4, 5) erzeugen in der alternierenden Gruppe A5 eine Untergruppe der Ordnung 6. Diese ist in keiner Untergruppe der Ordnung 12 ent-

halten. Daher gilt (c) in (11.1.1) nicht fiir jede beliebige endliche Gruppe. . Die Anzahl der 5--Sylowg'ruppen von A5 ist 6 = 2- 3. Daher ist (d) von (11.1.1) fiir A5 falsch.

366

Aufgaben

54. Die Automorphismengruppe A( G) der elementaren abelschen Gruppe G der Ordnung 8 hat nach (12.2) die Ordnung 168 und ist nach (14.7.2) einfach. Man zeige, daB A( G) zwei verschiedene Systeme von konjugierten Untergruppen der Ordnung 24 enthe'ilt, so daB

(b) von (11.1.1) nicht erfiillt ist. [Man beachte, daB bei A( G) sowohl die 7 Untergruppen der Ordnung 2 als auch die 7 Untergruppen der Ordnung 4 von G transitiv permutiert werden.]

55. Fflr einen Normalteiler H von G ist H[e dann und nur dann ein hyperzentraler Faktor von G, wenn H im Hyperzentrum von G liegt.

56. Der Verband sfimtlicher Untergruppen der alternierenden Gruppe A4 ist nicht modular. 57. Man gebe eine Darstellung zweiten Grades einer zyklischen Gruppe der Ordnung p mit Koeffizienten aus GF(p) an, die reduzibel, abet nicht vollstfindig reduzibel ist. 58. Jeder volle Matrixring fiber einem Schiefkfirper von endlichem Bang fiber seinem Zentrum Z ist eine einfache Algebra iiber Z.

59.

Welches Idempotent eines Gruppenringes erzeugt dasjenige Rechtsideal, das die identische Darstellung liefert ?

. Fiir den Gruppenring einer zyklischen Gruppe der Ordnung m iiber dem Kfirper der m-ten Einheitswurzeln gebe man eine Basis an, bei der die regulfire Darstellung vollstiindig in m Bestandteile des Grades 1 zerffillt.

61. Es sei G eine endliche abelsche Gruppe und X die Charaktergruppe von G. Man beweise: a) Ist U eine Untergruppe von G, so bilden die Charaktere x mit der Eigenschaft

1(a) = 1 ffirjedes

uE U

Veine Untergruppe X( U) von X. b) 131: A eine Untergruppe von X, so bilden die Elemente c 6 G mit der Eigenschaft x(c) = 1 - fiir jeden Charakter x 6 A eine Untergruppe G(A) von G.

c)

U = G(X(U)), A = X(G(/1))-

d) Dann 11nd nur dam: ist ein Element (1 E G eine k-te Potenz, wenn 1(a) = 1 ifir jeden Charakter x, dessen k-te Potenz der Hauptcharakter ist.

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Namgnf und Sachregister Abelsche Gruppe 16, 95 Ableitung 63 absolut irreduzibel 328 Algebra 311 alternierende Gruppe 144 Amalgam 138 fiquivalente Darstellung

‘ .

’ '

303

Assoziativitfitsrelationen 112 assoziierte Parametersysteme 115 ' , auflfisbare Gruppe 62, 238 ausgezeichnetes Reprfisentantensystem 182 fiuBerer Automorphismus 37 Automorphismen-gruppe 37 — -system einer Erweiterung 112 Automorphismus

distributiver Verband 289 Doppelmodulzerlegung 33 Drehgruppe 161 ‘ DYCK 53 Echte Untergmppe 22 eigentlich nilpotentes Element

314

eigentliche Untergruppe 22 einfache Gruppe 45 einfacher Charakter 336 einfaches Rechtsideal 314 eingeschriinktes direkte’s Produkt 94 Einselement 12 elementare abelsche Gruppe 108 Endomorphismus 36 Epimorphismus 34

36

Bum 116 Basis 98, 107

Erweiterung 111 Erweiterungstypus

111

Bunnsmn

.Erzeugendensystem

24

70, 177, 214, 274, 354

Exponent einer Gruppe 27 Cartesisches Produkt 94 CAUCEY 67 Charakter einer Darstellung 336 — — Permutation 144 '

Faktoren einer Subfiormalreihe 57 Faktorensystem einer Erweiterung 112 Faktorgruppe 43

Charaktergruppe einer abelschen Gruppe

FErr' 62

343 charakteristisch einfach 61 charakteristische Reihe 58

FERMAT 27 Fitting-Untergruppe Fokalreihe 179

201

Frattiniuntergruppe

201

— Untergruppe

54

‘ '

Charaktermatrix 338 CUNIcnIN 271

freie Gruppe 51 freie abelsche Gruppe 98

x Darstellung 65, 300 Darstellungsmodul 302 Diedergruppe 164 direkter Faktor 75 direktes Produkt 75 direkte Summe 95

FnonEruus 255, 355 , GALOIS 134 GAscnfi'rz 124 gemischte abelsche Gruppe 95 gerade Permutation 144 _ Gewicht eines Kommutators 189

— Zerlegung 75

'

gewfihnliche Darstellung 328 ‘

Namen- and Sachregister

374

Grad einer Darstellung GnfiN

Komplement 116 Komplex 22 Kompositions-faktor — -index 60

300

-— — Permutationsgruppe

128

185, 187

Gruppe 13 Gruppen-ring 312 — -tafel

— -reihe 60 konjugiert 37, 38' Kranzprodukt 148

17

Halbeinfach 316 Halbgruppe 11 HALL

LAGRANGE 27 Linge einer Subnormalreihe 57 Linksnebenklasse 26 lokal zyklisch 291 Loop 17

226, 238,241

Hallgruppe 238 hamiltonsche Gruppe 22 Haupt-charakter 336 —' -faktor 61, 249 -— -index

Maximale Untergruppe 22 meiden 249

61

— -reihe 60 HIGMIAN H6LDER

60

Meromorphismus

180 60

Holomorph 280 '-" Homomorphiesatz 44 Homomorphismus

36

metabelsche Gruppe 64 minimale Untergruppe 22. Modul 19 . ' modulare Darstellung 328 modularer Verband 293

34

HUPPERT 210 Hyperzentrum 194.

monomiale Darstellung Monomorphismus 35

171

Idempotentes Element 314 Ikosaedergruppe

Natiirlicher Homomorphismus Nebenklasse 25 neutrales Element 16

168

imprimitive Darstellung 348 ’ — Permutationsgruppe 133 Imprimitivititssystem 133 Index 27 induzierte Darstellung

nilpotente Gruppe

194

nilpotentes Element

314

normaler Endomorphismus

348

innerer Automorphismus 37 Invarianten einer abelschen Gruppe invarianter Komplex 40 inverses Element 12 Inversion 144 irreduzible Darstellung 304 Isomorphiesfitze 46'

107

Oktaedergruppe Operator 54

JORDAN

— -homomorphismus 55 Ordnung einer Gruppe 15

Kern eines Homomorphismus

42

Klasse konjugierter Elemente

38

Kohomologiegruppe Kommutator 24 —- -folge

63

-— -gruppe 24

121

84

normales Produkt 117 Normalisator 23, 38 Normal-reihe 58 — -teiler 40 Novmov 53 Nullelement 16

Isomorphismus 35 60

44

165

— eine's Gruppenelementes 24 p-Gruppe 69, 72, 213 -— -L§nge 273‘

— -normale Gruppe 187 Parametersystem einer Erweiterung

.

112

375

Namen- and Sachregimr periodisch 24 Permutation 18 Permutationsdarstellung 65, 135 — -gruppe 128 Pomcnué 31 primare abelsche Gruppe 95

primitive Permutationsgruppe

Torsions-untergruppe 96 Transformation 37 transitive Konstituenten 131

— Permutationsgruppe Transitivitatsgebiet

Transposition

133

129

treue Darstellung

135

triviale Untergruppe Quasigruppe 17 Quaternionengruppe’ 216 Bang einer abelschen Gruppe Rechts-ideal 314 — -nebenklasse 26 reduzible Darstellung

105

131

66, 131

22

Uheraufliisbar 205 fiberdecken 249 uneingeschrfinktes direktes Produkt 94 ungerade Permutation unitiire Matrix 310

144

unitfirer Modul 20 Untergruppe 22

304

reguliire Darstellung 326 — p-Gruppe 232 — Permutation 132

Verband

—- Permutations-darstellung

136

287

Verfeinerung einer Subnormalreihe Verlagerung 174

— — -gruppe 131 reiner Kommutator 190

Vertreter einer Nebenklasse 26

Relation in einer Gruppe 52' 1’11:q 88 Reprisentant einer Nebenklasse

Vierergruppe 21 vollinvariante Heihe 58 — Untergruppe 55

26

59

vollstiindige Gruppe 278 vollstiindig reduzible Darstellung — — Gruppe 78

Scnmm' 88, 253 Scam-:12}: 59, 115 Scnun 117, 154, 333 semidirektes Produkt 117 Sockel 81

WIELANDT Wort 49‘

spezielle projektive Gruppe 360 Stufe eines Kommutators

— -problem

sulmormale Untergruppe 57, 293

ZAPPA

ZASSENHAUS

SYLOW

57

126

— -sruppe 67 symmetrische Gruppe

182 47,117,119

zentraler Automorphismus

68

— -system 243 — — -Normalisator

53

189

Subnormalreihe

Supplement

159, 204, 261

247

18, 128, 142

Tetraedergruppe 164 Tnonpson 62 torsionsfrei 24 Torsionskoeffizient 105

Zentralisator 39 Zentralreihe, absteigende —, aufsteigende 194 Zentrum 23

84 196

zerfallende Erweiterung 117 zerspaltende Erweiterung 126 zulassig 54 ~ zweiseitiges Ideal

314‘

zyklische Gruppe

24, 108

Zyklenzerlegung

129

306