Introducción a la Topología Diferencial
 9788472880115, 8472880117

Citation preview

Introducción a la Topología Difer~ncial

Theodor Brócker Klaus Janich

Universidad de Regerisburg

-l~)\>C.J o('' 1

i

(~)

Editorial AC, Madrid

i,·.:'

t ,.•

-

l~O

/'~.

INTRODUCCION A LA TOPOLOGIA DIFERE'NCIAL primera edición en castellano de la obra EINFUEHRUNG IN DIE DIFFERENTIALTOPOLOGIE publicada originalmente en alemán por Springer-Verlag.

Traducción: Juan Vázquez Universidad Complutense

Edjtorial AC Gutierre de Cetina, 61 - Madrid, 17 - España ~ 408 52 17

© 1973, Springer-Verlag © 1977, Editorial AC

Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de la obn sin permiso escrito de los editores ISBN: 84· 7288-011· 7 DL: M.· 10961 • 1977

Gráficas LORMO, Isabel Méndez, 15 - Madrid 'fl 477 56 07

Prólogo

El objeto de este ~bro es presentar los métodos geométricos realmente elementales. Está dirigido a estudiantes con conocimientos básicos de análisis y topología general. Demostramos teoremas de inmersión difeomórfica, isotopía y transversalidad y, como técnicas importantes, tratamos el teorema de Sard, particiones de la unidad, sistemas dinámicos y (siguiendo el modelo de Serge Lang) sprays, suma conexa, entornos tubulares, entornos collares y adjunción de variedades con borde a lo largo de éste. · Como cualquier topólogo de hoy día, hemos aprendido mucho de los artículos de Milrior [ 4, 5, 6], de los que se ·encuentran vestigios .en el texto. También, en ocasiones, hemos utilizado la excelente presentación [3) de Serge Lang: evitar a todo trance estas referencias no haría sino perjudicar a un libro de topología diferencial. · Los muchos ejercicios añadidos a cada capítulo no son siempre fáciles para el principiante; no se· utilizan sus resultados en el texto posterior. No se estudia en este libro análisis en variedades ( teorema de Stokes), ni teoría de Morse, topología algebraica o teoría de brodismo. Esperamos, sin embargo, que nuestro libró resulte una base sólida para un conocimiento más profundo de estos dominios de la topología diferencial. Regensburg, 197 3 T-heodor Brocker Klaus J iinich

Contenido

1 Variedades y estructuras diferencia bles 2 El espacio tangente 3 Fibrados vectoriales 4 Algebra lineal para fibrados vectoriales 5 Propiedades locales y tangenciales 6 Teorema de Sard 7 La inmersión difeomórfica 8 Sistemas dinámicos 9 lsotopías de inmersiones difeomórficas l O La suma conexa 11 Ecuaciones diferenciales de segundo orden y sprays 12 Aplicación exponencial y entornos tubulares • 13 Variedades con borde 14 Transversalidad Bibliografía Indice de símbolos Indice

1

13 22

34 45 58

64 76 90 101 113 121

136 153 1.63

164 165

1

Variedades y·estructuras diferenciables

Una variedad es un espacio topológico que localmente "se parece" a IRn, el e~paciu euclídeo de las n-tuplas reales x == (x 1 , ••• , Xn) con la topología usual. Tales cspaci(Js se originan en general, como veremos, corno variedades de soluciones de sistemas de ecuaciones no lineales; muchos conceptos de la topología general han surgido del estudio de estos espacios especiales. Darnos la definición exacta:

(1.1) Definición. Una variedad topológica n-dimensional Mn es un espacio topológico de Hausdorff con base numerable· de-su topología que es localmente horneo• morfo a IR.n. La última condición ,significa que para cada punto p E M existe un entorno abierto U de p y un horneornorfismo h: U ➔ U

·con un subcoajunto abierto u' e IR.n.

M

Ou

1

cRº

Fig. 1

La exigencia de que el espacio sea de Hausdorff no resulta, corno pudiera creerse, de esta condición local. Corno contraejemplo, tómese la recta real IR con un punlo l

adicional p y defínase la topología en M = IR U {p} de forma que IR CM sea abierto y

•P

-------·--------•R o Fig. 2 los entornos de p sean los conjuntos (U - {O}) U {p}, donde U es un entorno de O E IR. Ejemplos de variedades topológicas son: Todo subconjunto abierto de un espacio euclídeo. La n-esfera sn = {x E IR.n + 1 lxl = 1}. El toro, la superficie de un aro .

¡

,,...

' .. :\,1.:1 .....-,; ,.,.-,. \;·· -

·. . .i~·'.\' .·.--,.

---- ... -------........ . ,

Fig. 3

I{-;

(1.2) D~Íiniclón. Si Mn es una variedad topológica y h : U ➔ u' un homeomorfismo de'.un subconjunto abierto U CM con el subconunto abierto u' e IRn, h ·se denomina una carta de M, y U el dominio de carta correspondiente. Un conjunto de cartas {h.l~EA} con dominios Uap se llama atlas deM si .l;A u. =M. Para dos cartas h., h(J, están definidos en la intersección de sus dominios U11 (J : = = U. n U(J ambos homeomorfismos h. y h(J y de ellos se obtiene un cambio de cartas ha(J como homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de IR.11 mediante el diagrama conmutativo

por tanto h.,(J = h(J O h.- 1 , donde _esté definida la última aplicación. En ocasiones resulta cómodo incluir en la notación el dominio de definición de una aplicación, especialmente de una carta, y escribimos (h, U) para una aplicación h: U ➔ U'. 2

u,. Ua:;p

I \ □ U"«

hor.p

D u;a

Fig. 4

Si uno se figura la variedad entera compuesta a tiras a partir de los dominios de cartas, que la recubren, y de los que se sabe tanto como se puede saber de los subconjuntos abiertos del espacio euclídeo, entonces los cambios de cartas indican justamente cómo deben pegarse unos con otros íos dominios de cartas. Si se quieren · definir también sobre la variedad, con ayuda de un atlas apropiado, otras propiedades de los subconjuntos abiertos euclídeos que vayan más allá de lo topológico, se debe atender a que la definición sea independiente de la elección de la carta r•onc~pondiente en el atlas, o a que la propiedad considerada sea invariante ante el cambio de cartas del atlas. (1.3) Definición. Un atlas de una variedad se llama diferenciable si todos sus cambios de cartas son diferenciables. ' Enti:ndemos por aplicación diferenciable entre subconjuntos abiertos de JR'j aquí y en lo sucesivo, una aplicación C.., es decir, una aplicación cuyas derivadas parciales existen y son continuas todas ellas. Como para los cambios de cartas h.µ se cumple evidentemente que hoa = Id,

también los inversos de los cambios de cartas son diferencia bles, es decir, los ,·ambios de cartas sol\ difeomorfismos. Si~ es un atlas diferenciable sobre la variedad M, sea 'D = 1) ('ll) el atlas que clllitiene justamente aquellas cartas cuyo cambio de cartas con cada carta de ~.t es diferenciable. Entonces el atlas 1) es asimismo diferenciable pues, localmente, se puedl; escribir un cambio de cartas hp,y en ti como composicion hp,y = ha-y o h¡¡a de L: l. Demuéstrese que M no es subvariedad diferencia ble de IR". 1O. Seaf: IR" ➔ IR k una aplicación diferenciable tal que para cada número real I se cumpla: f(t · x) = t · f(x). Demuéstrese que fes lineal. 11. Sea f : IR'' ➔ IR k, f(O) = O una aplicación diferencia ble y sea f,(x) = t -• /(tx). Demuéstrese que f,(x) se puede extender diferenciablemente (dependiendo de t y x) a {t = O}mediante D/0. .

21

3

Fibrados vectoriales

Mediante la construcción del espacio tangente se coloca en cada punto de una variedad un espacio vectorial. En general, en topología diferencial y en topología sucede a menudo que se coloca un espacio vectorial e~ cada punto de una variedad o de un espacio topológico, respectivamente, de tal mcido que no se tiene un único espacio vectorial, sino todo un haz de espacios vectoriales •.

~ Espacios vectoriales Fig. 16

(3.1) Definición. Un fibrado vectorial (topológico real n-dimensional) es una terna (E, 'Ir, X) donde r,: E ➔ X es una aplicación sobreyectiva continua, estando provisto cada. f x : = 7r- 1 (x) de la estructura de espacio vectorial real n-dirnensinal y de forma que se cumple el Axioma de trivialidad local: Cada punto de X tiene un entorno U para el que existe un homeomorfismo

de forma que para cada ~ E U Íx :=flEx :Ex ➔ {x}xlR"

es un isomorfismo de espacios vectoriales.

• Vektorraumbündel, "haz de espacios vectoriales", es el nombre en alemán del librado vectorial. N. del T.

22

/ Fig. 17

Forma hablada y escrita: (E, 11', X) se llama fibrado vectorial "sobre X"; E se llama espacio total, X base y 11' la proyección del fibrado. En lugar de (E, 11', X) se escribe abreviadamente E. (3.2) Definición .. Un par (f, U) como en el axioma de trivialidad local se llama "carta vectorial". Un fibrado sobre X se llama trivial si posee una carta vectorial (f, X).

• Los fibrados vectoriales sobre Wl espacio fijo X forman de modo natural los obJdos de una categoría. Los "morfismos" correspondientes son los llamados homomorfismos de fibrados, que definimos a continuación.

(3.3) Definición. Sean E y E' fibrados vectoriales sobre X. Una aplicación continua /: E ➔ E' se llama homomorfismo de librados si

es conmutativo y cada fx : Ex ➔ E~ es lineal.

(3.4) Definición. Si E es un fibrado vectorial n-dimensional sobre X y si E' CE es un subconjunto, de forma que en torno a cada punto de X exist~ una carla (f, U) con

23

entonces (E', 1T Ir.:', X) es de forma canónica un fibrado vectorial sobre X y se denomina subfibrado k-dimensional de E.

X

Fig. 18

(3.S) Lema. Si f : E ➔ Fes un homomorfismo de librados vectoriales sobre X y si rg (n/p) - 1. Vamos a demostrar que f(W n Dk) es de medida nula. Como U es unión numerable de cubos, esto es. suficiente. La fórmula de Taylor nos da un estimación f(x

+ h) = f(x) + R(x, h),

IR(x, h) I= c. lhlk+ 1 ,

para x E Dk n W y x + h E W, siendo c una constante fija para f y W dados. Descompóngase ahora W en ,n cubos de lado a/r. Si W 1 es un cubo de la descomposición que contiene un punto x E Dx, todo punto de W1 se escribe como x + h con lhl ~

.J,í. ª

·,¡

,

H,

y,

seg'µn la estimación, hecha del resto, f(W 1 )

(../ñ· a)k+l 2c .

,k+ 1

está contenido en un cubo de lado b

= ,k + 1



con una constante b que sólo depende de W y f, no de la descomposición. Todos estos cubos tienen en conjunto un volumen total de s ~ rn • bp /rP(k+ 1 ) y, para p(k + 1) > n, esta expresión converge a cero al crecer r, con lo que el volumen total puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo una descomposición suficientemente fina. O La consecuencia más importante del teorema de Sard es un resultado anterior de Brown, que formulamos iparte: · · (6.6) Corolario. Los valores regulares de una aplicación diferenciable f: M forman un conjunto denso en N. □

62



N

· (6. 7) Ejercicios

l. Sea f: M ➔ N x IR.n una aplicación diferenciable; demuéstrese que para todo e> O existe un vector v E IR n con Ivi< e tal que la aplicación g : M ➔ N X IR n ,

x t--+ f (x)

+v

es transversal a la su bvariedad N x O C N x IR n. 2. Demuéstrese que si Mn C IR P es una subvariedad diferenciable exisle un hiperplano en IR.P que corta transversalmente aMn. 3. Demuéstrese que no existe ninguna aplicación diferenciable sobreyectiva IRn



IR.n+I.

4. Sean Mn una variedad compacta, f: Mn ➔ IRn+i diferenciable y O (f.f(M). De.muéstrese que existe una recta, que pasa por el origen de 1R 11 + 1 , que corte a f(Mn) en un número finito de puntos. 5. Sea f: M ➔ IRP una aplicación diferenciable y N C IRP una subvariedad diferenciable. Demuéstrese que para todo e > O existe un v E IRP, 1vi < e, tal que la aplicación M ➔ IR. P, x t--- f(x) + ves transversal a N. Indicación. Consider,ar la aplicación M x N ➔ IR P, (x, y) 6. Para una aplicación diferenciable f: M



t--

y -· f(x ).

N, sea

'J:,;(J) : = {p E M I rgpf =i}.

Sea f: IR m ➔ IR n diferencia ble y e> O. Demuéstrese que existe una aplicadón lineal ex : IR m ➔ IR n, de norma menor que e, tal que 'J:, 1(1 + ex) es una su bvariedad diferenciable de IRm. Indicación. Aplíquese el ejercicio S y utilícese el 16 del capítulo l. 7. Sea f: IRm ➔ IRn diferenciable y m ~ 2n. Demuéstrese que existe una aplicación lineal ex : IRm ➔ IRn de norma menor que e, tal que la aplicación f + + ex : IR m ➔ IRn es una inmersión. Indicación. Este es un resultado secundario de la solución del ejercicio 6. 8. Sea Mk C IR. 11 +1 una subvariedad compacta con n ~ 2k. Demuéstrese que la restricción de la proyección 7r : IR. n+I ➔ H 11 sobre un hiperplano apropiado il de IR~+ 1 , 1rlM: M ➔ Hes una inmersión. Indicación. Considérese la variedad PTM, de dimensión 2k - 1, cuyos elementos son los subespacios monodimensionales del espacio tangente a M y estúdiese la aplicación canónica PTM ➔ IRP11 • 9. Sea Mk C IR. n+t una subvariedad compacta y n ~ 2k + l. Demuéstrese que la restdcción de la proyección 7r : IR.n+I ➔ Hn sobre un hiperplano apropiado H de IRn+I, 1rlM: M ➔ Hes una inmersión difeomórfica.

7 La inmersión difeomórfica

Lo estudiado hasta ahora (hasta el fibrado tangente) es.esencialmente la estructura local de las variedades diferenciables y no resulta evidente por lo tanto que existan siempre aplicaciones diferenciahles no triviales entre variedades y que todo lo que como ilustración se pinta de alguna forma "liso" se pueda realizar con aplicaciones diferenciables. El medio técnico esencial en el paso de lo local a lo global son las particiones de la unidaéi, c;iue pasamos a construir. (7 .1) Lema. Sea M 1111a mriedad diferenciable y 11 = {Ux I A E 11} un recubrimien · 10 abierto de M; entonces existe un atlas,,: = {h 11 : V,, ➔ V~ 1 v E IN }de M con las si· guientes propiedades: (a) (b)

(c)

{ V11 1 v E IN } es u,¡ rejinamien to localmente finito de { U>.. 1 A E ,1}. V~= {x E I x 1 < 3}=: K(3), los conjuntos Wv : = hv-J {x E IRm¡ 1x 1 < l} = h,,- 1 K(l) recubren M.

JR"'l

Tal atlas se llama atlas subordiuado al recubrimiento U. Demostración. Como M es localmente compacta con base numerable, se encuentra fácilmente una sucesión de subconjuntos compactos A; tales que A¡ E Á;+ 1 y U A; = M (Schu bert [ 8], l. 7. 7, p:íg. 71 ). Para cada i se toma un número finito de ;~1 cartas h 11 : V,, ➔ K(3) tales que V,, C Á;+ 2 - A¡ _1 y V,, CU>.. para un cierto Ay tales que los conjuntos W,, = h; 1 (K(l)) forman aún un recubrimiento de A;+ 1 ·· Á¡; como este conjunto es compacto y Á;+ 2 - A¡ _1 es un entorno abierto, esto es posible. Todas estas cartas, para todo i E IN, forman el atlas requerido. O

-

.

Fig. 41

64

Ahora recordamos que la función

A:IR ➔ IR,t

para t ~ O f-- {

O

exp(-t -'l)

para t > O '

Fig. 42

es infinitamente diferenciable y se cumple O~ A~ 1, A(t) = O r;;,. f. En

K(r)={xEIR.nj lxlO 65

hallamos, pues, la función meseta ➔ IR

1/¡ : IR"

(7.2)

¡/l(x)

=1-

1/Je (lxl- r),

Fig. 44

con las propiedades O E;; 1/¡(x) E;; 1 para todo x E IR n 1/¡(x)

=1~ x

E K(r)

1/¡(x)=O~ lxl;;;i,,+e. En tornQ ax = O, donde lxl no es diferenciable, 1/¡ es localmente constante, luego diferencia•~le. Si esta función (7.2) se compone con una carta apropiada, se obtiene una función 1/¡ o h = U ➔ IR. en un dominio de carta de una variedad y, como esta función se anula fuera de h- 1 K(r + e) C U, se puede extender a una función diferencia ble en toda la variedad M (dándole valor O en M - U). (7.3):. Proposición. Para cada recubrimiento abierto de una variedad diferenciab/e exist'jj,una partición subordinada de la unidad. DeJ,'./:·t,ación. Tomamos un atl~~ 'Jl subordinado al recubrimiento de ll de M como e •·· (7 .1 ), así como una func1on meseta 1/¡ para la bola K( 1) tal que 1/¡ 1K( 1) = 1, 1 1/¡(x) O para I x 1;;;, 2. Sea la función 1/¡., definida en M por

V' V ={1/¡oh Q Entonces

l/1.,

es diferenciable y s =

'

L V "

en V., = h -t K(3) en otro caso .

1/¡., está bien definida y es diferenciable, ya 1

que la familia de soportes {Sop( l/1.,)} es localmente finita (y la diferenciabilidad es

66

una propiedad local). Además, s(p)

* O para todo

p E M, con lo que las funciones

1/1,, : == (l/s) 1/1,, forman la partición de la unidad buscada. D Un corolario fácil: (7.4) Observación. Si A 0 , A 1 son-subconjuntos disjuntos de una variedad dif1:1.:r1 ciable M, existe una función diferenciable (función separadora) ¡p: M ➔ IR, O¾.pº•·· 1 tal que iplA 0 = O, iplA 1 = l. Demostración. Sea {ip,, lv EN} una partición de la unidad subordinada al recubnmiento formado por == M = A; y tómese

u,

ip

=

E

v• K

'Pv

con v E K si y sólo si Sop(ipv) C U 1 • D A continua O ,

1/ · clx ..;; lflx · IKlx . Además, lflx ..;; 1¡1~. para K C L; pero naturalmente no puede suceder que lflK =O y f O (aunque f IK debe ser. O). En particular, esta· norma convierte a C U, IR") en un espacio topulogil'o C (U, IR")x; los E-entornos respecto a la norma lflK forman las bases de entornus correspondien t~s.

*

00

(

00

67

(7.6) Lema. Sea U C IRm abierto y K CU compacto; el conjunto de las aplicaciones diferenciables f: U ➔ IRn que tienen rango m en todos los puntos de K es abierto en c•(u, IRn)K y, en caso de que 2m ,i¡;;; n, es denso. Demostración. El hecho de que rgxf= m significa que la matriz jacobiana Dfx tiene rango m o que la aplicación K ➔ IRm · n, x t-+ Dfx va de K al conjunto abierto de las matrices de rango ~ m. Si 1/ - glK es suficientemente pequeño, en particular IDfx - Dgx I será tan pequeño como para que Dgx I¡; tome valores en este conjunto abierto (ver (7.5)). Sea ahora 2m ,i¡;;; n, E> O, y tómense vectores a¡¡ax;, para i = l, ... , s < m linealmente independientes en cada punto de U; después se halla una aplicación g que cumpla 1/ - glK < e, de forma que los vectores ag¡ax1, i = 1, ... , s + 1 sean linealmente µ¡dependientes en cada punto y así se demuestra la proposición por inducción. P;f:ía ello consideramos la aplicación ,p:IR'xU ➔ IRn, (}1. 1 ,

••• ,X,,x)t-+

,

ar

j=1

ax¡

:E X¡-(x)-

ar ax,+¡

(x).

Paras < m resulta dim(IR' x U)= s + m < 2m :i.;; n y hallamos por lo tanto un punto a= (a1, .• •, an) E IRn de la norma arbitrariamente pequeña tal que a (Í:IP{IR' x U) por el teorema de Sard. Ahora ponemos g(x) :

= f(x) + Xs+ 1

y resulta ag/ax; = a¡¡ax; para i ,i¡;;; s y ción lineal.del tipo

ag¡ax,+ 1

,

ag

¡~ 1

OX¡

=

·a,

a¡¡ax,+ 1 + a;

entonces una rela-

ag • ax,+¡

:E X¡-=--

no se verifica en ningún p·unto de U pues entonces.

,



E X-j=I J ax¡



--=a. □

OXs+l

En esta demostración se usa sólo el caso trivial (6.2) del teorema de Sard. Otra demostración se obtiene de (6.7, 7). A partir de este resultado local se puede obtener el correspondiente global pegando los resultados locales mediante un buen ·atlas. (7.7) Teorema de la inmersión (H. Whitney). Sean Mm una ~ariedad diferenciable, li : M ➔ IR una función positiva no nula en todo punto y f: M ➔ IR 11 una aplicación diferenciable, con 2m :i.;; n. Sea A C M un cerrado y rgpf ~ m para todo p E A. E'n· tonces existe una inmersión g : M ➔ IR n, con g I A. = f I A y lg(p) - f(_p )1 < li (p) para todo p E M. En otras palabras: no sólo se puede hallar siempre una inmersión M ➔ IR n sino que se puede siempre aproximar una aplicación dada mediante una inmersión; la bondad li de la aproximación se puede imponer que sea una función continua.

68

De un modo más elegante se pueden describir estas afirmaciones sobre aproximación mediante una topología en C (M, N). 00

(7 .8) Definición. Para la topologi'a eº én C (M, N) (la única considerada en este libro), los conjuntos Vu forman una base de abiertos, donde U es un abierto en M x N y V u es el conjunto de los g E c-(M, N) cuyo grafo { (p, g(p )) 1p E M} está en U. 00

u - - ~ Ulh) Grafq (f)

N

M

Fig. 45

Si se elige una métrica d en N, y una variedad diferencia ble 11s siempre metrizable (7.1'2), se construye facilmente para cada entorno Vu de/E C (M, N) una función li : M ➔ IR., li > O, tal que 00

U(li):

= {(p, q)

1d(/(p),

.

q)

< li(p)} C

U.

(Sea {v,n In EN} una partición de la unidad con soportes compactos en M, y li,,> O de forma que (p, q) E U para p E Sop(l/'n), d(J(p), q) < l>n; póngase después

..

li = l: linlfJn ). Es lícito pues restringirse, como en el teorema, a considerar los enn=

1

tornos especiales Vli : = V U(li) de una aplicación f; sin embargo, la topología C'° no depende de la métrica elegida; si Mes compacto se puede tomar naturalmente 6 constante (topología de la convergencia uniforme). Por medio de atlas finitos en M y N se pueden introducir topologías en C (M, N) que describen la convergencia de derivadas superiores, del mismo modo que la .topología eº describe la convergencia de los valores de la función; no entramos en este tema (ver Narasimhan (7)) .. El teorema de inmersión afirma pues que las inmersiones son densas en C (M, 1R 11 ) si 2m ~ n; además, no es necesario modificar la función/en un cerrado A en que tenga rango máximo. 00

00

Demostración del teorema de inmersión. Como el rango de/no puede decrecerlocalmente (5.3), existe un entorno abierto U de A tal que rgp(/) = m para todo p E U. Por (7 .1) elegimos un buen atlas {h., : V., ➔ K(3) 1 v E '/l. } subordinado

al recubrimiento {(M - _;4), U} de M; los conjuntos W" =iz;' K(l) recubren aún M 1 y ponemos U" = h; K(2) y numeramos de nuevo de forma que V" C U si y sólo si v < l. Sólo en los dominios de cartas V" con índice positivo se diferencian / y g. C.on~truimos inductivamente aplicaciones g" : M ➔ IR.n, 11;;.. O con las siguientes propie-dades: (a) Ko = /; (b) g"(x) = Ki>-1 (x) para x (E U"; (c) Si d = min {ó(x) 1 x E ü!'_}, entonces IK,,(x) - g,,_ 1 (x)I < e" : = d/2" para todo x EM. ( d) g" tiene el rango III en E W;. ; s. "

Efectuado esto, se pone g = lim g". Como el recubrimiento {U,,} es localmente finito, &> ➔ ...

por (b) Ki>+ 1 (x) =g"(x) para casi todo 11, luego la sucesión g11 converge a una aplica-• ción diferencia ble g, que por (a) y la forma de nuestro atlas coincide con f en A. En cada dominio de carta fijo W¡, coincide g con g" para II grande y por (d) tiene rango m(ximo m; finalmente, por (e) es

IK - /1 = lg Construyamos pues la sucesión g":

g o 1~ ó E

"

2-" = ó.

U¡ O y una aplicación difort:nl'.iabh: f: IR ➔ IR" para cada n E IN tal que ninguna inmersión difeomórfica g: IR -, lll 11 cumpla: ig - /1 < ó. Sugerencia: Utilícese el ejercicio 7. 9. Resulta fácil demostrar un teorema de inmersión difeomórfica para una varic· dad compacta Mm sin tener-en cuenta la dimensión: tómese un buen atlas fi· nito {h.,lv = 1, ... , r}, una función meseta 1/¡ para K( 1) con soporte en K(:il y póngase i/1.,: = 1/¡ 0 h., :M ➔ IR y k.,: = 1/¡., ·h.,: M ➔ IR 11~ (ambas aplicacion¡;s 11u las fuera de V.,). · Demuéstrese que la aplicación ' M

,.



11 IRm V

,q

r

X

II IR

V=l

p~(k, (p), ... , k,.(p), i/11(P), ... , i/1,.(p}),

es una inmersión difeomórfica, sin usar más información de este capítulo. 10. Sea Mm una variedad diferenciable conexa no compacta. Demuéstrese que c-xiste una sucesión de abiertos V., CM tales que V., ::: K( 1) C lRm, 11¡, n V.,+ 1 'f O 1·

e, e) x w ➔ n

=f(.p(I, x)) para todos los (t, x) E (-e,

e) x W.

Incorporación a la topologi'a diferencial. Sea. X un campo vectorial en M y (/J, l.f) una carta diferencia ble de M. Trasplantamos XI U por medio una carta vectorial 11 de TM asociada a (11, U) a una aplicación f: U' ➔ TU' = u' x IR ➔ IR II de U' a IR",

de

f(hlxl)

h(x)

Fig. 61

8l

a saber, f(h(x)) : = Txh(X(x)), donde T1i(x)U'::::: IR.n canónicamente. Entonces se cumple para curvas a : (a, b) ➔ U:

l

y ho« a

b

0

Fig. 63

ci:(t) = X(a(t)) = (h

o

a)' (t) = f(h

o

a(t)).

Llamaremos a una curva a : (a, b) ➔ M curva integral de X si se cumple siempre á(t) = X(a(t)). La reflexión anterior muestra entonces que para cada x E M existe una .curva integral maximal ªx : (ax, bx) ➔ M con a,x(O) = x. La existencia de una curva integral con a(O) = x se obtiene, mediante una _carta en torno ax, del teorema de existencia para ecuaciones diferenciales orcJinarias. Dos de estas curvas integrales coinciden en la intersección de sus intervalos de definición, pues el conjunto de las t Pal'.ª las que ambas soluciones coinciden es, por razones de continuidad, cerrado; pero también es abierto, como se deduce del teorema de unicidad mediante una carta en torno a un y E M apropiado:

----a Fig. 64

Así queda definida, en la unión de todos los intervalos de definición de las curvas integrales que cumplen a:(0) =x, una curva integral maximal unívocamente determinada. 84

Demustradón del teurema propiamente dicha: Primero demostraremos la siguit:nlc afirmación:

(8.11) Aserto. Hl cu11j1111to determinado por los dominios de definiciún de las cur-

vas integrales maximules_ A :

= xeX U (ax,

b x) x x

es abiertu en IR x M, y la aplicación dada mediante las curvas integrales

u

flujo local maximal con el campo vectorial dado coino campo de ve/ut'iilaJcs. Para ello: basta demostrar que A es abierto y es diferenciable, pues las condiciones 4:i(O, x) = x y (t, (s, x)) =(t + s, x) se deducen del hecho de que las 1111

«til(ax, bx) x x son curvas integrales: tanto

tt---(t+s,x) como

t

t---

(t, cf>(s, X))

representan curvas integrales maximales con valor inicial (s, x) (si se consideran aquellas t en las que ambas expresiones están definidas), luego ambas debt:n coincidir. El que el flujo sea maximal se deduce inmediatamente de la maximalidad de las curvas integrales. Considérese ahora para cada x E M el intervalo J x C IR+ que consta 1k aquellas t ;;;i, O para las que A contiene un entorno de [O, t] x x en el que 1Ii es diferendable. Entonces se ha de demostrar que lx = [O, hx) y la afirmación correspondiente para t ,.;; O. Por definición es J x abierto y es suficiente demostrar que J x no es vacío y que es cerrado en [O, b x>- Ambas cosas se deducen del teorema de existencia local: En efecto, para un punto p E M encontramos un entorno W de p en M, un e> O y una aplicación diferenciable i.p:(-2e,2e)xW ➔ M

tal que i.pl(-2e, 2e) x q es una curva integral con valor inicial q E W. De ello se deduce en primer lugar que A contiene un entorno de O x M en el que

85

w M

p

Fig. 65

Si se define ahora el entorno

u' de x en M mediante u'= ;~E 'P-eOV),

con el entor_no W de p antes elegido, entonces está definida y es diferenciable en un entorno de (O, r + e] x U' y por lo tanto, en particular, en un entorno de· [O, r] x x, por lo cual la aplicación diferenciable (T - 2e, r

+ 2e) x u' ➔ M (t, u) ...... ,p(t - T, «l>(r, u))

prolonga correctamente, debido al teorema de unicidad, las curvas integrales expresadas mediante «l>en U' x [O, r - e].

M

~

-

R

Fig. 6 6

~uego r Elx, como queríamos demostrar.

86

Así hemos hallado, para un campo de velocidades dado, un 11ujo 101.:al max1mal •1•. Se sigue de (8.11) que éste es también el único maximal, pues cada flujo con el mismo campo de velocidades debe ser una restricción de 4>, ya que sus líneas de tlu.10 ·son curvas integrales del campo y 4> tiene como lineas de flujo las curvas integrales maximales. Así queda demostrada también la afirmación de unicidad del twrcma Jt; integración de campos vectoriales y sólo queda por demostrar que el flujo 11111x111Jal de un campo de velocidades dado en una variedad compacta es 11n J111jo global Si M es compacta, A contiene naturalmente un subconjunto (-e, e) x M parn un cierto € > O:

Fig. 67 Entonces también (-2€, 2e) x M, CA pues se puede prolongar el flujo definido en (.e, e) x M a (-2e, 2e) x M mediante •

(t, X) : = ..

apropiada.

2

12. Demuéstrese que si X es un campo vectorial en S , no tangente al "ecuaclur" S 1 = S 2 n (IR 2 x O) C IR 3 en ningún punto, cada línea de flujo pasa por el ecuador como máximo una vez. 13. Demuéstrese que existe un campo vectorial en el toro S 1 x S 1 de cuyo flujo ninguna órbita es subvariedad de S 1 x S 1 • Sugerencia: S 1 x S 1 constante apropiado.

= IR x IR/Z x Z.

considérese en IR 2 un campo vectorial

14. Demuéstrese que existe en toda variedad conexa no compacta un campo vcl:tori.al no globalmente integrable. Sugerencia: Utilícese el ejercicio 11 del capítulo 7.

9

Isotopías de inmersiones difeomórficas

Para la comprensión tanto intuitiva como formal ele la teoría de las variedades diferenciables es importante saber que se pueden mover las subvariedades y cómo se pued~n mover. (9.1) Definición. Sea f: M renciable

➔ N

una inmersión difeomórfica. Una aplicación dife-

h : (O, 1] x M ➔ N se llama isotopi'a o movimiento de f si cada una de las aplicaciones h,:M ➔ N,

x1-->h(t, x)

es una inmersión difeomórfica y h 0 = f h recibe el nombre. de isotopía entre h 0 y h 1 , y de 11 0 y h I se dice que son inmersiones difeomórficas isótopas. h0 (M)

{IIIIIIJ h

cN

[O, 11

Fig. 70

"Diferenciable" significa, en los "puntos del borde" (por ejemplo (O, x)), que existe ~ de (O, x) en IRx M y una aplicación diferenciable ~ ~e+ N que coinun entorno U h : U cide con h en U n.([O, 1] x M):

M

___....__________.____•R O

1· Fig. 71

90

Aunque se piensa y habla de isotopías de esta forma, es a veces más có111uda otra dcfinici_ón algo modificada pero equivalente. Por ejemplo, no rcsulla sin más de la 1kfinición anterior el que la isotopía entre inmersiones difcomórficas es una relación transitiva, pues si juntamos las isotopías h entre f y f' y k entre / y / ' ingi.:nuamcnte:

(t, x)

para O . Nota 1 a la demostración. Si es un flujo global en IR x N, los requisitos (i) -- (iii) son equivalentes a los (i') - (íii') sobre X: = :

9S

(i'): La corr¡ponente IR de X, es decir, la imagen de X mediante la diferencial de la proyección IR x N ➔ IR es igual al "vector tangente unidad" a¡at en todo punto. (ü'): X viene dada en F( IR x M) por

T(t,x)F(;) =X(F(t,x)).

·I · ..

lmo,oo ,. F R• M - " ' N (t,x) ....,(t,h1Ixl)

Fig. 80

Esto quiere decir que las curvas dadas por la isotopía IR ➔ IRxN



t



(t, h,(x))

son curvas integrales de X, y por lo tanto líneas de flujo de 4>; esto a su vez significa que la isotopía "es llevada" tal corno se describió en (ii). (iii'): Fuera de [e, l - e] x N 0 debe ser X igual a a/at .

• Nota 2 a la demostración. Si un campo vectorial en IR x N tiene las propiedades (i') - (iii'), es un campo de velocidades de un flujo gÍobal , pues [O, 1) x No es compacto y las curvas integrales maximales con punto inicial fuera de [O, 1] x N 0 tienen por lo menos (-e, e) en el dominio de definición, luego (-5, 5) x ( IR x N) C A para un cierto li > O y, por consiguiente, también ( - 25, 25) x ( ~ x N) C A, etc.

Obtenemos, pues, como resultado intermedio que el teorema qÚedaría demostrado si pudiéramos hallar un campo vectorial X en IR x N con las propiedades (i') - (iii').

* 1

En primer lugar, observamos que los requisitos (i ) - (iii') sobre la sección X : IR x x N ➔ T ( IR x N) son i:equisitos sobre los vectores particulares X(t, x) y que, si v y w en T(t, x) IR x N cumplen los requisitos, también los cumplen todos los de la forma Av + (1 - A)w. Por lo tanto, es suficiente demostrar que existe localmente en torno a cada punto tal campo vectorial, pues podemos construir después el campo vectorial en todo IR x N mediante una partición de la unidad.

* Si se define X como a¡at para cada punto fuera del subconjunto compacto, y por lo tanto cerrado, F([e, 1 - e] x M 0 ) C IR x N

96

Fig. 81

se ha resuelto así el problema de construcción local para todos los puntos de IR

x N - F([ E, l - f) x Mo ).

Consideremos ahora un punto Qo :::; F(to, Po) con (to, Po) E [E, l - E] x Mo. Se trata de hallar un entorno U de q 0 en IR x N y un campo vectorial X 0 en U con las _propiedades (i') - (iii'). Primero tomamos coordenadas locales en t 0 x Nen torno al punto Po, en las ,1ui: 11 10 (M) viene dado por xk + 1 :::; ••• :::; x 11 :::; O. Esto es posible pues h 10 es una inm~rsión difeomórfica.

F (RxM)

_ _ _J , ,

... -"

------'------• R lo

Fig. !12

Después se define en un entorno suficientemente pequeño .de (tu, Pu, O) en IR x M x IR 11 -k una aplicación diferenciable con valores en IR xN mediante (t, p, xk

+ 1 , •.• ,

x 11 )

1--+

F(t, p) +(O, ... , O, xk + 1 ,

.•• ,

x 11

)

la cual tiene rango máximo en el· punto (to, Po, O) y es por lo tanto un difeomorfismo local. Tomamos un 6 > O y un entorno V de p 0 _eri M.tan pequeño que en W: =(tu

-o,

t 0 +6)x Vx {xEIR 11

·A¡ lxl 1 (K) CU. · 5. Demuéstrese que en un fibrado vectorial diferenciable toda sección diferenciable es una inmersión difeomórfica isótopa a la sección nula. 6. Considérese la inmersión difeomórfica S 1 + S 1 ➔ (l.', que viene dada por la inclusión canónica en el primer sumando y por x f'-+ 2x en el segundo:

o Fig. 1!4

Mediante hr : S

1

+ S1

➔ Q''

,_:· ~lrri(t + r)

e2 rrir

elrris f'-+ elrri(s - r)

para O ~ T ~ 1, se define una isotopía de esta inmersión. Inmérjascla difeomórficamente en una difeotopía. 7. · Demuéstrese que la aplicación antípoda · S 11 ➔ S" X 1-'-+ ·-X

es isótopa a la identidad si y sólo sin es impar.!!. Constrúyase una inmersión difeomórficaf: IR•• IR, con /(IR)= (O, 1).

9. Propóngase una isotopía de la inmersión difeomórfica

(O, 1) ➔ IR 2 t f'-+ (t, O)

que no pueu~ ser inmersa en una uifeotopía lle IR 2 • 1O. Dcmuésttese que todo par de inmersiones difeomórficas 11 m.

Demuéstrnse que tod9 par de inmersiont:s difcomórficas IR 111 son isótopas.

11. Sl!a n

·>

IR"

12. Propóngase dos inmersiones difeomórficas IR • IR que conserven la orientac1iin pero no sean difeé,>topas.

99

13. Demuéstrese que las inmersiones difeomórficas S1

e IR 2

-

{O}

S1 ➔ IR.2

-

{O}

y

x no son isótopas en IR

1

-

¡......

x

+ (2, O)

{O}

Fig. 85

Sugerencia: Teoría de funciones l. 14. Hállese una iaotopía h : IR x M ➔ N de forma que la aplicación RxM ➔ R.xN

(t, x)

¡......

no sea una inmersión difeomórfica.

Sugerencia: Tomar M = IR., N = IR.2

100

(t, h(t, x))

1O

La suma conexa

Es intuitivamente obvio cómo se pueden unir dos variedades conexas M 1 y M 2 para dar una tercera variedad conexa M 1 # M2 :

Fig. 86

En este capítulo nos ocupamos de esta composición como aplicación del teorema de isotopía (9.5), pues es éste el que muestra por qué el resultado M 1 # M 2 está esencialmente bien definido y que es por lo tanto i_ndependiente de las mod-alíclacles de la unión.

... (10.1) Definiciori. Sea Mn una variedad n-dímensional conexa y[, g : IR" -• M11 dos inmersiones difeomórficas. Decimos que f y g tienen el mismo compurtamiento de orientadón si M" no es orientable o si, con respecto a orientaciones fijas de IR" y Mn; f y g conser.vun ambas la·orientación o ambas la invierten. (10.2) Nota. Sir: IR" ➔ IR" viene dado por (x 1 , ••• , Xn) = (-x 1 , x 2 , .. . , x 11 ) y si/, g : _IR·" ➔ Mn tienen distinto comportamiento de orientación,/ y g O T tienen el mismo. 0

... (10.3). Lema. Si dos inmersiones difeomórficas de IR" en la variedad n·dimensional conexa Mn tienen el mismo comportameinto de orientación, son conexas.

Demo-stración. Sean /, g : IR" ➔ M 11 las dos inmersiones. En .primer lugar, vamos a convencernos de que podemos tomar [(O) =g(O) sin pérdida de generalidad.

1O1

En una variedad conexa existe siempre para cada par de pwitos p, q una difeotopía H que traslada p a q, H 1 (p) = q; sólo se necesita inrnergir una isotopía entre las inmersiones difeornórficas

{p} {p}

y





{p} CM {q} CM

por medio de (9.5} en una difeotopía. Tal isotopía nos la proporciona cualquier camino diferencia ble de p a q. · · ·

Fig. 87

P= HolPl

Así pues, siH es una difeotopia con H 1 (f(O)) =g(O), basta cornpro~ar que H 1 o f y g son isótopas, pues la isotopia es una relación de equivalencia. Corno naturalmente todas las H, 0 f tienen el mismo comportamiento de orientación, también lo tienen n 1' o f y g, de modo que el problema queda reducido al caso f(O) = g(O). Supongamos; pues, que f(O) = g(O).

El siguiente paso de la. demostración será "contraer" f y,g. Pero antes de esto vamos a hacer notar una pequeña observación que en ocasiones nos será útil. . / Para valores prescritos r0 >-i>, e> O tornarnos una función C"', definida en [O, oo}, con· derivada· positiva en todo punto, que viene dada por ip(r) = r en el intervalo [O, r 0 ] y cuyo límite cuando r tiende a infinito es r0 + e:

r0• e ro _ _ _ __,

'P

Fig. 88

102

.Entonces la función i/J dada por i/J(r) :

= ( 1/r) '{) (r) en [O,

00)

es también C~

Fig. 89

y mediante a,(x) : = i/J (tlxl) · x

definimos una isotopía a de inmersiones difeomórficas 1R n ➔ IR 11 ( ¡ calcúlese en coordenadas polares!), algunas propiedades de la cual son dignas de menci6n. (10.4) Nota. Para valores prescritos r 0 > O y€> O existe una isotopía a ("contracción") entre la identidad en IR. 11 y una inmersión difeomórfica R n ➔ IRn, cuya imagen es (r 0 + €) JJn : = {x E IR.ni lxl < r 0 + .€} y tal que todos los puntos de r0 Dn = {x E IR n¡ lx 1< r0 }permanecen fijos en,la isotopía.

· permanece puntualmente fijo

Fig. 90

En particular, a 1 es un difeomorfismo entre IR 11 y (r 0 ro!Jn, de donde se deduce por ejemplo:

+ €) /J 11

que es la identidad en

'(10.5). Corolario. Si un entorno abierto de r 0 D11 C IR11 está inmerso difeomórfica· mente en una variedad M, existe también una inmersión difeomórfica IR 11 ....,. 111 {/lle coincide en r 0_Dn cpn la inmersión dada.

103

Proseguimos ahora la demostración del lema ( l 0.3 ). Tomamos una carta de M en torno al punto /(O)= g(O) tal que la imagen del dominio de la carta U sea todo IR.'1 •

'=

l

Carta h: u-Rn Rn Fig. 91

Una carta así es fácil de hallar, pues e!Jn °" IRn. Ahora tomamos una contracción (10.4) tan fuerte que / go a 1 (1Rn) CU.

0

a 1 (IR,.) C U y

Fig. 92 Como/ o ~ 1 es isótopa a f (la isotopía viene dada por h, : = / sólo hace falta demostrar que/ o a 1 y g O a 1 son isótopos .

0

a,) y g

O

a 1 lo es a g,

• Lo anterior nos induce a trabajar con inmersiones difeomórficas IRn ➔ IR 11 • Consideremos una inmersión tal,

104

con ip(0) = O.Entonces (y esto es verdaderamente el núcleo de toda la llcmoslra.:ión) ip es isótopa a la inmersión difeom6rfica lineal dada por la matriz jacobiana en el origen Di,oo : IR. n ➔ IR n .

Según el lema (2.3) existen aplicaciones diferenciables 1·,· •• •y,



IRn

con ip(x) .

IRn,

= i=:f1

1. --

l,

••• ,

n

X¡ t/J;(x)

y entonces la matriz jacobiana Dip 0 consta precisamente de las columnas iµ¡(O): Di,oo

= (t/11 (O), ... , t/Jn,(O)).

Ahora se define la isotopía entre ip y Dip0 mediante .p(tx) n (t, x) 1--o ~ x;t/J;(tx) ; =1

=

t

para t > O

D'{)o ·x para t = O claramente diferencia ble

claramente inmersión difeomórfica !Rn ➔ IR" para cada t

• Además, si dos inmersiones difeomórficas lineales (por lo tanto, isomorfismos) ·IR.n ➔ IR': tienen el mismo comportamiento de orientación, están en la misma coJnponente conexa de GL(n, IR) y son, por consiguiente: isótopas (las transformaciones elementales de una matriz, como son añadir múltiplos de una fila o columna a otra o multiplicar una fila o columna por un número a-:/= O, no cambian la componente por arcos si a> O). Con esto podemos ya completar la demostración del lema para el caso de una variedad orientable M: en este caso tienen el mismo comportamiento de orientación juntamente con f y g también f O a I y g O a 1 , y no sólo con relación a M, sino también con relación a U:::: IR. 11 , de modo que obtenemos matrices jacobianas de la misma orientación y por lo tanto isótopas. Si, por el contrario, M no es orientable, no existe ninguna condición de orientación sobre f y g y podría suceder que/ 0 a 1 y g O a 1 t·uvieran comportamientos d;: orientación opuestos respecto a U:::: IR.n de modo que el paso a las matrices jacobianas no funciona. Obviamente esta dificultad quedaría superada si lográsemos demostrar la siguiente afirmación. 105

Aserto. Si M es una variedad conexa no orienta ble y p E M, existe una difeotop(a JI de M con H 1 (p) = p y tal que TpH 1 : TpM ➔ TpM invierte la orientación. Supongamos que fuera falso. Tomemos enton·ces una orientación en Tp .M y orientemos los demás espacios tangentes del modo siguiente: se toma un camino diferenciable OI: [ O, l] ➔ M, Ol(O) "'p, a( l) "'q; se inmerge difeomórficamente en una difeotopía Hª y :ie orienta TqM mediante

TpHr : TpM ::::: TqM,

p

Fig. 93

Esta orientación de TqM es realmente independiente de la elección de OI y- Hª pues si otra difeotopía H(J proporcionara la orientacióri opuesta, la composición de Hª con la difeotopía nfJ recorrida en sentido inverso (cf. 9,2) tendría la propiedad deseada en el aserto. De este modo hemos obtenido de hecho una orientación de M mientras que M se suponía no orientable: contradicción. Con ello queda demostrado el aserto y al mismo tiempo el lema ( 10.3 ). O

* (10.6), Definiciones. Sean M I y M 2 variedades conexas n-dimensionales, orientadas si son orienta bles. Sean ' ➔ M1 IRn ➔ M2

/1 : IRn

12:

inmersiones difeomórficas, conservando la orientación si M1 es orienta ble. Entonces la variedad diferenciable n-dimensional que resulta de la suma disjunta

[M1 -/1 (½Dn)]+[M:2

-12

(~Dn)]

identificando [¡ (tx) con

i"

h ((1

- t)x)

para toda < t < -½, x E s1- 1 , recib~ el nombre de suma conexa de M 1 y M 2 relativa a las inmersiones / 1 y 12 y se designa por M 1 # M 2 • 106

Fig. 94 Antes, de ocuparnos más de cerca de la suma conexa, es quizá el momento de hacer algunas observaciones generales S(! bre la "identificación". (1 O. 7) Nota sobre la identificación.· Sean X e Y espacios topológicos, X O C X e

Yo C Y subespacios

y o::

X0



Yo un homeomorfismo. Podemos pegar.\' l'

r me-

diante o: a lo largo de X 0 e Y O para formar un nuevo espacio topológico X U Y, y esa t,J suceue así: Se introduce una relación de equivalencia en X

+Y

haciendo equivalente cada

x E X O a su imagen a{x) E YO de modo que las clases de equivalencia son de la

forma: ·{x} paraxEX-- X 0

,

{y} para y E Y - Y o, {x,o:(x)} paraxEX 0 • El conjunto X+ Y/~ --- 11 ° 4>(1, v). Vamos a determinar ahora la diferencial

t

expt

de expt en los puntos de la sección nula M C TM. (Como ft es_ abierto en TM, se tiene que Tp (! t = Tp TM). Hagamos un convenio de notación. Si E es un fibrado vectorial diferencia ble so- . bre M y si p E Mes un punto de la sección nula, TpE tiene dos subespacios distinguidos, TpEp y TpM, .

Fig. 108

pues Ep y M (= sección nula) son subvariedades de E que pasan por p. Una carta cualquiera nos informa de que TpE es de hecho la suma directa de TpEp y TpM y, como TpEp es canónicamente isomorfo a Ep, tenemos que TpE = Ep e TpM para cada p EM y que globalmente TEIM = E al TM. '

(12.3) Notación. Si E es un fibrado vectorial diferenciable sobre M, escribiremos siempre la isomorfía canónica TEIM=EalTM

en este orden de sumandos, de forma que en el caso TTMIM = TM

al

TM

no haya ninguna duda sobre el significado de los sumandos.

(12.4) Observación. La diferencial Texpt : TTM = TMe TM, es (Id, Id) : TM

la diferencial de la proyección 1r : TM

al

➔ M,

TM





TM;

restringida del mismo modo, es

(O, Id) : TM e TM· ➔ TM.

122

TM, restringida a TTMIM =

Demostración. Ambas aplicaciones, expe y 1T, son la identidad sobre la sección nula M, de donde resulta que sus diferenciales son la identidad en el segundo sumando de TMeTM. Si ahra v es un vector del primer sumando, v es el vector velocidad de la curva t ➔ tv en TM o piel! en (' e, en el momento t = O.

p

V

Fig. 109

La curva imagen por la proyección es constante, luego T1r(v) = O. La curva imagen por la aplicación exponencial es, sin embargo, t ➔ expe(tv) = 'YrvO) =-yv(t), luego Texpe(v) = i'v(O) = v. D

(12.S) Corolario. La diferencialde la aplicación (1r, expe): l''e



M xM

M

1

!

1 1

M

1

Fig. 110

viene dada en la sección nula por

o

Id

Id

Id

en particular tiene la aplicación rango máximo en la sección n11la. IJ 123

Nos ocupamos en este capítulo de otras aplicaciones de esta clase. Una impor• tante conseTMI X; T : = exp O T nos prestará estonces el servicio deseado. 1

o

La condición de que T transcurra en e DTM IX podemos dejarla de lado pues, si se consigue en TMIX, también se consigue (argumento de contracción) en e bTMI X. Una vez que podemos así disponer de TMIX entero, podemos también sustituir 1 T~ y T 1 por las aplicaciones de fibrados dadas por sus diferenciales en la sección nula 11 Tu: !X ➔ TM 1X

T 111 : !X ➔

TM 1X.

133

Esta "linealización" se realiza exactamente en la demostración de (10.3) por medio del lema (2.3): [O,

l]xlX ➔ TMIX

1~(tv) (t, v)

para t ':# O

t

f--

Tp1~(v) para t = O 1

es la isotopía entre T~ y T~ que necesitamos; análogamente para T 1 • y T "1 no son necesariamente iguales, pero ambas dan por composición la proyección " lX 2i_. TMIX proy.(7MIX)/TX=1X, i=O, 1,

,,

To

la identidad en lX, y por lo tanto sucede esto mismo para cada (1 - t ) To"

+ tT"1

y así

T": [O, l] x lX ➔ TMIX (t, v)

f--

(1 - t)T~(v)

+ t1 {(v) 1

nos proporciona finalmente la isotopía que aún faltaba, con las propiedades deseadas. O

(12.14) Ejercicios. 1. Sea XC Muna subvariedad cuyo fibrado normal 1X posee una sección no nula en todo punto. Demuéstrese que la inclusión XC Mes isbtopa a una inmersión d.ifeom6rfica disjunta de X. 2. Demuéstrese que dos subvariedades cerradas' disjuntas de M poseen entornos tubulares disjuntos. 3. Sea X una subvariedad de M. Demuéstrese que si M - X es conexo también lo es el complemento de cada entorno tubular de X en M. 4. Sea M una variedad conexa y X CM una subvariedad conexa de codimensión 1. Suponiendo que el fibrado normal lX no es trivial, demuéstrese que M - X es conexo. 5. Sea M una variedad. Demuéstrese que un subconjunto conexo XC Mes una subvariedad si y sólo si existe un entorno abierto U de X y una aplicación diferenciable /: U ➔ U con/ 0 f= f y /(U)= X. 134

6. Sea X una subvariedad cerrada de M de codimensión k y con fibrado normal trivial. Demuéstrese que existe una aplicación diferenciable f: M ➔ Sk tal que X sea la imagen inversa de un valor regular de/.

7. Sea (E, 1'1, M) un fibrado vectorial diferenciable. Entonces el conjunto"P(E) de los subespacios unidimensionales de las fibras es de forma canónica una variedad y tenemos en P(E) un fibrado de líneas diferenciable canónico. r¡(E)



P(E)

cuya fibra en un punto p = V CEx de P(E) es precisamente. {p} x V; obviamente tenemos una aplicación lineal canónica de fibrados vectoriales r¡(E) ➔E (se dice que r¡(E) se origina a partir de E "hinchando" la sección nula). Demuéstrese que mediante la aplicación canónica r¡ (E) ➔ E se obtiene un difoomorfismo r¡(E) - sección nula ----=-. E - sección nula. 8. Sea X CM una subvariedad compacta y T una aplicación tubular para X. Demuéstrese que existe una única estructura diferencia ble en (M - X) U P(lX) -= M x para la que las dos aplicaciones siguientes, (i) y (ii), son inmersiones difeomórficas:

=:

(i) (ii)

M-XCMx r¡(l.X) ➔ Mx V V ,-.

{ T(,p(v))

para v E P(l.X) = sección nula de r¡ (lX) para v E 77(1X) - sección nula,

donde I{): r¡(lX) ➔ lX es la aplicación canónica. Demuéstrese que la estructura diferenciable de Mx no depende de la elección de la aplicación tubular (se dice que la variedad diferencia ble Mx se origina a partir de M "hinchando" X). 9. Demuéstrese que hinchar subvariedades de codimensión 1 no tiene ningún efecto. ¡ O. Demuéstrese que si se hincha un punto en sn se origina el espacio proycdivo IR pn. (En general: hinchar un punto de Mn es, salvo difeomorfía, lo mismo que pasar a M #IRPn). 11. Constrúyase una variedad· M no vacía de dimensión n, n ;;¡, 2, en la que si se hincha un punto no cambia el tipo de difeomorfía.

135

13

Variedades con borde



Las variedades modeladas localmente según el espacio euclídeo no son los únicos objetos geométricos interesantes que se pueden imaginar. Sin embargo no se puede basar sin más la teoría hasta aquí desarrollada en otros modelos locales difereqtes del espacio euclídeo, si se desea al mismo tiempo r;lefinir fácilmente una generalización correspondiente del concepto de variedad, pues los métodos básicos que hemos aprendido se apoyan en la posibilidad de hacer análisis en variedades (cálculo diferencial; función inversa, ... ) y los hechos locales; esenciales para ello, se basan en propiedades del espacio euclídeo.

• No obstante se pueden ampliar muchos méto4os de la teoría de variedades también a espacios construidos a partir de otros modelos locales distintos del espacio euclídeo, siempre que estos espacios o modelos locales se formen de un modo razonable a partir de variedades. Este es aún un terreno apenas explorado del cual no hablaremos; consideramos sólo el caso más sencillo y clásico de las variedades con borde que son localmente como el semiespacio euclídeo cerrado

> Oy ,p1(x) · A¡(x) > O y por consiguiente A(x) > O. D (14.2) Observación. Si ponemos a(x): bamos de construir, entonces

= exp(- X(x) -:2) con la función A que aca-

y en A todas las derivadas de a se anulan (con respecto a cualquier carta) pues · exp (- t- 2 ) se anula precisamente para t = O y tiene en el origen una serie de Taylor nula. Tales funciones son un instrumento técnico util. Todo subconjunto cerrado A C M es pues imagen inversa de la subvariedad { O} C IR por una aplicación diferenciable apropiada. Completamente distinta es la situación con funciones analíticas o algebraicas: existe una extensa e interesante teoría sobre las lugares de ceros de las correspondientes funciones. Sin embargo, no se termina aquí la teoría de las imágenes inversas de subvariedades por aplicaciones diferenciables, pues aplicaciones tan patológicas como las aquí construidas son en cierta modo una excepción improbable, siendo el estado probable de una aplicación la transversalidad. Demostraremos aquí, como en el teorema de inmersión, que siempre se puede aproximar una aplicación tanta como se quiera por otra aplicación transversal. En primer lugar, algunos preparativas: (14.3) Definición. Decimos que un fibrado vectorial E tiene· tipo finito si E es subfibrado de un fibrado trivial 1r : B x IR k ➔ B. La que, dicho en otras palabras, significa que existe un fibrado vectorial F sobre B tal que E m Fes trivial (4.11). (14.4) Lema. Un fibrado vectorifZI diferenciable sobre una variedad diferenciable tiene tipo finito. Demostración. El verdadero fundamento es el hecho de que la base es finito~dimensianal. Pero, para no cargar con d_emasiada topología, nos permiHmos el siguiente argumenta: si un fibrado tiene tipo finita, la mismo sucede evidentemente a todo subfibrado, así como a la restricción del fibrado a un subespacio de la base.

154

Además, el fibrado tangente TM de una variedad diferenciable tiene tipo finito, pues una inmersión difeomórfica M C IR II induce por (7 .1 O) una inclusión TM C TIR. 11 IM y el fibrado tangente a !Rn es trivial. Entonces, si E ➔ N es un fibrado vectorial diferenciable cualquiera, el espacio total E es una variedad diforenciable y el fibrado tangente TE tiene, como se acaba de decir, tipo finito, luego también lo tiene la restricción de este fibrado THIN - ► N a la sección- nula N--:: H. Pero este fibrado contiene a E como subfibrado, pues Hes el fibrado normal de la sección nula ( 12.3). D Nos basaremos, para los teoremas de transversalidad generales, en el s1gu1enll! caso especial:

(14.S) Teorema auxiliar. Sea (E, 1T, M) un fibrado vectorial diferenciab/e provisto de una métrica riemanniana. Sea N C E una sub variedad diferenciable y f una J1111· ción continua positiva en todo punto en M. Entonces existe una sección dife1e11·· ciable s : M ➔ E, is(p) 1< €(p) para todo p E M, tal que s es transversal a N SI A CM es,cerrado y la sección nula cumple la condición de transversalidad (S .11) rn-· ¡.:ecto a N para todos los puntos de A, se puede tomar la sección s tal que J'IA "'O.

1

\\\

E

\ \

\\\ 1

A'

i '

\

N

1i

·\

\\

1 1

Fig. 146

Demostración. Tomamos un complemento u,;', n', M) del fibrado vectorial (E, n, Jv[) tal que E m E' sea el fibrado trivial M x IRk. Si f: E e E' ➔ E es la proyección sobre el primer sumando, la aplicación f: M

X

IR/( ➔ E'

155

es una submersión, luego ¡- 1 (n) CM x IR k es una su bvariedad (pues una submersión e'S siempre transversal) y las fibras del fibrado normal a ¡- 1 (N) en M x IR k se aplican isomótficamente a Nen E. Por consiguiente, una sección s del fibrado trivial M x IR k ➔ Mes transversal a ¡- (N) si y sólo si la sección/ o s es transversal a N. El sentido de este largo discurso es, en pocas palabras, que podemos suponer sin pérdida.de generalidad que E es el fibrado trivial M x IR k ➔ M. Por lo demás, ¡- 1 (N) es el espacio total del fibrado 1 rr • E IN sobre N. · 1

Sea pues E= M- x IRk y a la función de (14.2) para el conjunto cerrado dado A CM, sea U = M - A y li = e · a : M ➔ IR; entonces O < li(p) < e(p) para todo p E U y li se anula junto con todas sus derivadas en A. Tenemos una aplicación de fibrados g: EIU

= U x IRk ➔ U x

tomamos. un valor regular w E IR k,

IRk_,

(p, v)

1wl
< O

Fig. 15~

Por hipótesis, fo y / 1 son transversales de L y, si tomamos la homotopía de forma que sea estacionaria durante los períodos O¾ t ¾ y ¾ t ¾ 1 respectivamente, se sigue que FIM x (O, y FIM x[ 1) son también transversale_s al y se puede sustituir, por (14.7), la homotopía FIM x (O, 1) por una aplicación transversal a L sin modificarla en el cerrado M x ([O, U [ 1]). Si se considera ahora la imagen inversa F- 1 (L) CM x [O, 1), F- 1 (L) n M x (O, 1) es una subvariedad de la misma codimensi6n que L S.: N y

½l

½½

½,

½]

!,

En suma, se ve que F -l (L) es una variedad, con borde fo- 1(L) + ft 1 (L ), luego: las aplicaciones homótopas transversales a L tienen imágenes inversas bordantes, la clase de bordismo de ¡- 1 (L) no depende de qué aproximación de f transversal a L se tome. De hecho basta que la aplicación f de la que se parte sea continua, pi.les una aplicación continua se puede aproximar diferenciablemente. ➔ N es una aplicación continua diferenciable en un entorno abierto U del cerrado·· A C M. existe arbitrariamente próxima a f una aplicación diferenciable g : M ➔ N tal que clA =flA.

(14.8) Proposicion. Si f : M

Demostración. Tomamos una inmersión difeómórfica cerrada N C IRn y un entorno tubular V de Nen IR" con proyección 7T : V ➔ N; ver (7.1 Ó), (12.11).

Si W es un entorno del gráfico de f en M x N, Q : = {(p, q) EM 160

X

Vl1r(q) E W}

es un entorno del gráfico de. f e.n M x V, y si el gráfico de una aplicación difcrcnciable g : M ➔ IR 11 está contenido en Q, el gráfico de 7T o g lo está en 11'; podemos por lo tanto suponer N = IR 11 • En este caso consideramos un e-entorno de/, donde e : M ➔ IR es una función positiva (sin ceros); tomamos un recubrimiento { Uvlv Ell} de M con una partición diferenciable de la unidad subordinada {ipv} así como constantes /~.• tales que 1/(p)..,.- fvl < e(p) para todo p E Uv, y tales que Uv CU para v < O y U11 CM ,1 para v ;;;¡, O; póngase entonces g(p)

= V·'k O /(p) ·ipv(p) + V ~,' 0 /~ 'Pv(P),

(14. 9) Ejercicios

l. Sean A 0 , Á I subconjuntos cerrados disjuntos de la variedad diforenL:iable M. Demuéstrese que existe una función diferenciable o: : M ➔ IR tal que O,;;;; n ~ 1, u- 1 {O}=A 0 ,o:-• {l}=A1, 2. Sea M una variedad diferenciable compacta y conexa y A CM un subconJunto cerrado no vacío. l)emuéstrese que existe un campo vectorial en M q u..: se anula precisamente en A.

Sugerencia: Construir primero un campo vectorial cuyo conjunto de ceros sea finito. 3. En el teorema de transversalidad ( 14.6) se ha supuesto que Ne_ E es una subvariedad. Demuéstrese que el teorema es aún válido sustituyendo esta inclusión por una aplicación diferenciable cualquiera g : N ➔ E. La condición de transversalidad (para s : M ➔ E) de be formularsl. en este caso así: si p E M, e¡ EN y s(p) = g(q) = x E E, entonci:s Tµs(TpM) g(T"N) = TxE. 1

+,

4, Fórmúlese y demuéstrese una generalización del teorema de transversalidad para aplicaciones (14.7) análoga a la del ejercici, 3 para (14.6). S. Sea B. una variedad con borde, L CM una subvariedad diferenciablc. Demuéstrese· que toda aplicación continúa f : B ➔ M es homótopa a una aplicación g : B ➔ M tal que g _, (L) C Bes una subvariedad diferenciable con borde y 3(g-l L)=g- 1 (L)n3B. 6. Sea M una variedad diferenciable orientada y sean fv : Nv ➔ M, v = 1, 2 aplicaciones diferenciables de variedades orientadas cerradas de dimensiones complementarias, es d~cir, dim(N 1) + dim(N 2 ) = dim(M). El número de interJección [f 1] 0 [h] E '/l. se define entonces del siguiente modo: se toma una aplicación g homótopa a [ 1 y transversal a [ 2 en el sentido del ejercicio 3. Entonces el producto fibrado F : = {(p, q) E N 1 x N 2 lg(p) = fi(q)} es finito (5.14, 11) y para cada (p, q) E F se tiene un isomorfismo de espacios vectoriales orientados

161

y se pone e(p, q) = ± 1 según que este isomorfismo conserve o invierta la orientación. Entonces

hg. 151

Demuéstrese que el número de intersección está bien definido y que sólo depende de las clases de homotopía de las aplicaciones fv (clases respecto a la relación "ser homótopo"). Se cumple [f 1 ] 0 [h ] = ( -1) 111 • n 2 [!2 ] 0 [/1 ], nv: = dim Nv, 7. En una variedad conexa M sea rrn(M) el conjunto de las clases de homotopía de aplicaciones continuas S 11 ➔ M. Demuéstrese que Trn(Sk) = O sin< k.

Sugerencia: (14.8), (6.1). 8. Sea i : {p} ➔ S" la inclusión de un punto. Demuéstrese que la- aplicación s : rr,1 (S") ➔ Z , n > O es sobreyectiva; si a:: E rrn(S 11 ) está representado por una aplicación a : S" ➔ S'I, .s(a::) : = [a] 0 [ i]; ver ejercicios 6 y 7. 9. Generalizando lo expuesto en el ejercicio 8, sea M una variedad diférenciable n-dimensional orientada, cer ada y conexa, y sea íl el conjunto de clases de·homotopía de aplicaciones cor ;inuas f: M ➔ 1 1 • Si i : {p} ➔ S 11 sigue siendo la inclusión de un punto, f ➔ [f O [i) define una sobreyección íl ➔ 7/.. 1O. Demuéstrese que la aplica ;ión íl en particular, rrn(S 11 ) = 'll.

➔ 'll

de 9 es biyectiva y que por consiguiente,

Sugerencia: Utilícese (10.3) 11. Seas : M ➔ TM un campo vectorial en una variedad orientada cerrada (TM posee una orientación canónica (4.22,5), (11.7,.2)). El número x(M): = [s) o [s) se llama característica de Euler de M. Demuéstrese que x(M) sólo depende de M (ejercicio 6). Si J1f I es bordan te a M 2 , se tiene que x(M 1 ) = x(M2 ) mod 2, Si existe en M un campo vectorial que no se anula en ningún punto, x(M) = O. 12. Demuéstrese 9ue x(S 211

•·

1

)

= O, x(S211 ) = 2 (ver ejercicio

11).

Sugerencia: Si S 2 " + 1 es la esfera unidad en lfn + 1 , constrúyase un campo vectorial que no se anule en ningún punto. Para S 211 considérese el campo vectorial inducido por rotación en torno a un eje.

162

Bibliografía

l. R.. Godement, Topologie algébtique et théorie des faisceaux (Herrnann, l'arís, J964). 2. H. Grauert y W. Fischer, Differential- und Integralrechnung II, Heiddbcrg Taschenbücher, Bd. 36 (Springer Verlag, Berlín-Heidelberg-New York, 1968). 3. S. Lang, Differentíal Manifolds (Addison Wesley Publishing Co., Reading, Mass., 1972). 4. J. Milnor, Differential Topology (manuscrito multicopiado, Princeton, 1958). 5. J. Milnor, Difieren tia ble Structures (manuscrito multicopiado, Princeton, 1961 ). 6. J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint (The University Prcss of Virginia, Charlottesville, 1965). 7. R. Narasimhan, Analysis on Real and Complex Manifolds (North-Holland Publushing Co., Arnsterdam, 1968). 8. H. Schubert, Topologie (Teubner, Stuttgart, 1964). Traducción inglesa: Topology (McDonald, London, 1968). 9. S. Sternberg,lectures on Differential Geometry (Prentice Hall, lnc., New Jersey, 1964).

163

Indice de símbolos

Símbolo

Significado

Página

Mn

variedad n-dirnensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

1

(h, U) 1x I

carta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

2

norma euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 [x] clase de eq ui~alencia, en especial coordenadas homogéneas . . . 5 [O, 1 ), [O, l], (O, 1) intervalo (cerrado, semiabierto, abierto) · 7 8 + swna düerenciable . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . x producto düerenciable (cartesiano) . . . . . • . . . . • . . . . . . . 9 aplicación inducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 14 (,) producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ~ · alencia · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, l 07 re lac1·0· n d e eq u1v [:(M,p) ➔ (N,q) gérmen . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 .O fin de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . • . . . . . . . 15 (E, 7r, X) fibrado vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 Ex fibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fx aplicación restringida a la fibra . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

r

el EIX

t•E E9 ®

E• Y(E)

lX

{}, w

lflK Q

#

u



'Y

M/T

164

complemento ortogonal . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 restricción de un, fibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 fibrado inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 suma de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 35 producto t~nsorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 fibrado dual ..... ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 recubridor de orientaciones . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . 39 fibrado normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cierre o cla:usura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . 42 seu!,ionorma en Cª(M, N) . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 vectf! velocidad ( curva, campo) . . . . . . ; ...... ·. . . . . . . 78, 82 sum·i''conexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 adjunción o pegadura por medio de o: •••••....•••.. • ••• 107 •





















variedad cociente





























.•











1





















114 143

Indice

O!x curva integral 77

cP'1 espacio proyectivo complejo 11

Altk fibrado de las k-formas alterna-

e:°, topología 69

nadas 35 ángulo, aplanamiento del 148 antípoda, aplicación 99 aplicación collar 139, 148 - -, teorema de 140 aplicación diferencia ble 3 ,6 aplicación tubular 129, 15 8 - -, existencia 130 aproximación diferenciable 160 - inmersiva 68 - transversal 157, 161 armazón 56 atlas 2 - vectorial 28 - diferenciable 3, 13 7 - maximal 4

camino 77 caminos, gérm~nes de 19 canónico, fibrado 3 2 carta 2 -, dominio de 2 - , cambio de 2 - de un fibrado 23 categoría diferenciable 7 cerrado 139 circunferencias máximas 120 cociente, fibrado 35 -, espacio 107, 143 codimensión 9 collar, aplicación 139, 148 -, -, teorema de 140 compactificación 73 conexa, suma 101, 106 contracción 103 convexo 41 coordenadas 8 - homogéneas 12 - polares 147 crítico 49 -,valor 49 cuadrante 147 cubo 11 curva integral 84 - - de una ecuación de segundo orden 115

balística 116 base 23 bola (disco) 65, 138 bordante 149 borde 138 - de un producto 148 -,variedadescon 136 bordismo 149, 150 -, clase de 149 Brieskorn, variedad de 56 Brown, teorema de 63 buen entorno 127

e números complejos 11

en

espacio vectorial complejo 11

C"" categoría diferenciable. 7 C""(M) álgebra de funciones diferencia-

bles 7 C""(M, N) aplicaciones diferenciables 7

Dn bolallena(bola,disco) 4,138 3M borde de una variedad 139 AM diagonal 44, 128

D,,, 3/3x., derivada parcial 15 derivación 15 derivada parcial 16 165

Df, Dfp matriz jacobiana (en el punto

p) 17

det ( ) determiante 12 · diagonal 44, 128 Dif( ) 77 difeomorfismo 3, 7 difeotopía 92 diferenciable 3, 90, 13 7 -, categoría 7 - , estructura 4 -, - de M/T 144 diferencial, ecuación 83 -, -, de segundo orden 113 dun( ) 9 diJnensión 9, 16 - de un fibrado vectorial 22, 29 dinámico, sistema 76 dirigido hacia el centro 140 discel ( bola llena) 4, 13 8 -, dibrado de 131 dual, fibrado 3 5 tS(p), cfn anillo de gérmenes 14 eDE fibrado de disco de longitud e 127

ecuación diferencial 83 - - de segundo orden 113 entorno tubular 129 - - , unicidad 131 escalar, producto 38 esfera 2, 4 espacio proyectivo, complejo 11 - -, real S espacio tangente 13 - - del algebrista 14 - - del físico 18 - - del geómetra 19 espacio total 23 establemente 44 estructura diferenciable 4, 7 Euler, característica de 162 existencia, teorema de --, - aplicación collar 140· -, - aplicación tubular 130 -, - ecuaciones diferenciales 83 -, - métrica riemanniana 42 166

-, - sprays 117 exp( ) función exponencial 6 exponencial, aplicación 121 exterior, potencia 3S