I gruppi e i loro grafi

Table of contents :
Cover......Page 1
Indice......Page 10
Prefazione......Page 11
1 Introduzione ai gruppi......Page 13
2 Gli assiomi dei gruppi......Page 20
3 Esempi di gruppi......Page 27
4 Tavola di moltiplicazione di un gruppo......Page 38
5 Generatori di un gruppo......Page 56
6 Grafo di un gruppo......Page 59
7 Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni......Page 74
8 Sottogruppi......Page 98
9 Rappresentazioni......Page 113
10 Gruppi di permutazioni......Page 133
11 Sottogruppi normali......Page 150
12 Il gruppo dei quaternioni......Page 169
13 Gruppi simmetrici e gruppi alterni......Page 174
14 Gruppi di traiettorie......Page 184
15 I gruppi e i disegni delle carte da parati......Page 196
Appendice......Page 205
Soluzioni......Page 207
Bibliografia......Page 228
Indice analitico......Page 230

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ISRAEL GROSSMAN WILHELM MAGNUS

I GRUPPI E I LORO GRAFI Questo libro introduce alla teoria dei gruppi, uno dei campi di studio fondamentali della matematica moderna. Dalle prime definizioni e assiomi sui gruppi si giunge a un'analisi delle proprietà fondamentali dei gruppi più importanti, tra cui i gruppi di permutazioni e i gruppi di movimenti. Un cenno al nesso fra la teoria dei gruppi, i cristalli e i disegni della carta da parati apre la prospettiva dei rapporti fra la teoria e argomenti diversi e lontani che sconfinano nel mondo dell'arte. L'uso dei grafi come rappresentazione pittorica dei gruppi permette di visualizzarne le proprietà strutturali e di superare cosÌ certe difficoltà dovute alla natura astratta della teoria.

MM ZANICHELLI

Israel Grossman è nato a New York nel 1909 e ivi ha studiato laureandosi in matematica. Ha insegnato per un certo numero di anni, poi ha lavorato nell'industria, occupandosi di strumenti ottici e di fotografia a colori. Attualmente è ritornato all'insegnamento della matematica. È preside del dipartimento di matematica alla Albert Leonard J unior High School di New Rochelle. Wilhelm Magnus è nato a Berlino nel 1907, ha studiato in Germania, si è laureato in matematica nel 1931 all'Università di Francoforte sul Meno dove successivamente è stato insegnante. Nel 1934-35 è stato all'I nstitute of Advanced Study di Princeton. Ha lavorato all'Università di Gottingen, poi al California Institute of Technology e dal 1950 all'Università di New York. Ha pubblicato lavori sulla teoria dci gruppI, la teoria elettromagnetica, le equazioni differenziali lineari.

Matematica Moderna Collana diretta da Delfino Insolera

6

I gruppi e i loro grafi

Matematica Moderna

Questa serie, dedicata a tutti coloro che sentono interesse per la matematica, si comporrà di voi umetti di mole limitata, ciascuno rivolto a un argomento specifico, monografico, assai circoscritto. Tra gli argomenti trattati primeggeranno quelli meno noti, il cui interesse è venuto in luce recentemente, attraverso ricerche di matematici moderni; non mancheranno però argomenti classici, e anche storici, ma si cercherà di vederli sempre in una prospettiva tipica della matematica moderna. L'edizione originale del presente volume fa parte di una analoga serie, la New Mathematical Library t, scritta da matematici professionisti per contribuire a far si che certe importanti idee della matematica diventino interessanti e comprensibili per un largo pubblico di studenti delle scuole secondarie e di profani in genere. Per la maggior parte, i volumi della New Mathematical Library trattano argomenti che non sono di solito inclusi nei programmi di matematica delle scuole secondarie; sono di diversa difficoltà, e anche all'interno di un singolo libro certe parti richiederanno al lettore una concentrazione piii intensa. Si può dire in generale che, mentre poche conoscenze tecniche basteranno al lettore per capire la maggior parte di questi libri, gli sarà sempre richiesto un certQ sforzo intellettuale. Un lettore che, prima d'ora, abbia incontrato la matematica soltanto a scuola, dovrebbe tener presente che un libro di matematica non può essere letto in fretta. E non dovrebbe pretendere di capire tutte le parti del libro alla prima lettura; l La New Mathematical Library è curata dallo School Mathematics Study Group (Gruppo per lo Studio della Matematica Scolastica). che raccoglie specialisti, provenienti da ogni settore della ricerca matematica e da diverse Università. scuole e laboratori degli Stati Uniti. L'attività del gruppo ha per obiettivo il miglioramento dei corsi di matematica nelle scuole americane: crediamo però che la sua produzione possa interessare tutti. Chi desiderasse ulteriori informazioni su questa attività può rivolgersi a: School Mathematics Study Group, School 01 Edllcation, Stanlord University, Stanford, California.

Matematica Moderna

3

dovrebbe invece sentirsi libero di saltare le parti piu complicate, per ritomarvi in seguito: spesso ciò che da principio appariva oscuro viene chiarito da qualche osservazione successiva. D'altra parte, certi capitoli conterranno materiale ben familiare al lettore e potranno essere letti molto rapidamente. Il miglior modo di imparare la matematica è facendo della matematica, e perciò ogni libro conterrà dei problemi, alcuni dei quali esigono molta meditazione. Si raccomanda al lettore di prender l'abitudine di leggere con carta e matita alla mano: in questo modo la matematica acquisterà per lui un significato sempre piu profondo. L'editore desidera ringraziare il Professor Carlo Felice Manara per la collaborazione datagli con i suoi consigli. Sarà estremamente importante per l'editore poter conoscere i giudizi dei lettori sui libri di questa serie: si spera perciò che molti lettori vorranno scrivere le loro impressioni e le loro critiche alla Direzione Editoriale della Casa Editrice Zanichelli, Via Imerio 34, Bologna.

Titolo originale Groups and Their Graphs Copyright 1.

= I.

Esercizio 14 Siano u e v elementi di un gruppo H e si supponga che u3 = I, uvu- 1 = v4 • Si mostri che v è un elemento di periodo finito. b) Supponendo che un gruppo H abbia elementi u e v tali che uvu- 1 = vi< um = I,

a)

dove m e k sono interi con k > 1 e m =1= O, si dimostri che v ha periodo finito. Esercizio 15 Si dimostri che esiste un gruppo d'ordine 16 generato da due elementi x e y soddisfacenti alle relazioni X2

= I,

xyx- 1

=

y3 •

Si prevede che la dimostrazione consisterà nel tracciare il grafo del gruppo. Esercizio 16 Si mostri che qualsiasi gruppo G con due generatori d'ordine finito se 8 e 1 soddisfano le relazioni 818- 1

=

8

e

t

è

Ik,

dove n e k sono interi tali che n =1= O e k > 1. Si dimostri anche che G non può avere piii di (k n - 1)n elementi diversi. (Suggerimento: si usi la tecnica applicata nella dimostrazione di pago 81), dove si dimostrava che tutte le parole di D3 si possono trasformare nella forma rafb in conseguenza dell'eguaglianza fr = r 21). Esercizio 17 Siano n = 3, k = 2 nell'esercizio precedente; si dimostri allora che effettivamente esiste un gruppo d'ordine 21 che ha due generatori 8 e t per cui 83

= I,

818- 1

=

12

•

Si tratti questo esercizio mediante la costruzione del grafo del gruppo.

86

Definizione di un gruppo medianle generalori e relazioni

Generatori e relazioni del gruppo diedrico Dno Abbiamo esposto una discussione particolareggiata delle relazioni di definizione di un gruppo diedrico e precisamente Da. Gli stessi metodi fondamentali si possono impiegare per mostrare che il gruppo diedrico generale Dn è completamente determinato dalle condizioni:

1) Dn è generato da due dei suoi elementi, indicati con r e f; 2) Tali generatori soddisfano alle tre relazioni di definizione rn

=

I,

f2

=

I,

(rf)2

=

I.

(In qual senso diciamo che un insieme di relazioni è di definizione è stato spiegato nella nostra discussione a p. 74). I casi particolari dei gruppi diedrici Dn con n piccolo sono particolarmente interessanti. Quando n = 1, le relazioni di definizione del gruppo diedrico diventano (rf)2 = I. r = I, f2 = I, Poiché r = I implica (rf)2 = f2 = I, rimangono solo f2 =1 e r = I come relazioni di definizione. Ma queste definiscono il gruppo ciclico C2 di ordine 2. Perciò DI = C 2 • Un altro modo di vedere ciò, è di pensare a DI come al gruppo dei moti di congruenza di un «poligono» con un solo lato, cioè di un segmento. Le due posizioni di coincidenza del segmento sono

2------- 1

1---2

e il grafo di DI è, in forma compatta (si veda p. 70) I -

-

-

Quando n

-

-

-

=

2, le relazioni di definizione (2) di D 2 sono

r = I,

/2=1, 2 cioè r = f2 = (rf)2

-

-

f.

-

(rf)2 = I,

2

=

I .

Costruiremo un grafo per D 2 interpretando un «2-gono» come una figura piana con due lati costituiti da archi. La figura 7.3 è una immagine grafica dei moti di congruenza del 2-gono. In questo caso r è una rotazione e f un ribaltamento. Se teniamo conto delle proprietà del grafo di un gruppo stabilite in precedenza (p. 62) vediamo che la nostra

Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni

87

..••• __ ._- f Fig. 7.3

rappresentazione dei moti di congruenza di un 2-gono è effettivamente il diagramma di Cayley del gruppo D 2 • Adoperando la rappresentazione compatta per i generatori di periodo 2 - e osservando che r e I sono entrambi di periodo 2 - possiamo semplificare il grafo di D2 ; si veda la figura 7.4. Si osservi che il vertice diagonalmente opposto a I è stato contrassegnato con rf. Ma il grafo mostra chiaramente che il cammino da I che corrisponde alla parola Ir

------.i rf ____

fr-!

··· •

':

: ,

.. I

,

____ . . . . . . . . . . .

Fig. 7.4

'

i ,

I conduce al medesimo vertice che il cammino corrispondente alla parola rf. Perciò rl = Ir e D 2 è un gruppo commutativo. Il gruppo D 2 di ordine 4 si incontra abbastanza spesso, tanto da meritare un nome: è il tetragruppo *. È stato anche chiamato gruppo quadratico a causa degli esponenti nelle sue relazioni. Incontreremo di nuovo questo gruppo quando studieremo i moti di congruenza di un tetraedro regolare. I gruppi diedrici commutativi. D1 e D2 sono commutativi, ma uno sguardo ai grafi di D3 e D 4 (p. 70) mostra che questi ultimi non lo sono. Si può fare qualche affermazione generale sulla commutatività dei gruppi diedrici Dn? Si può: mostreremo che i soli gruppi diedrici commutativi sono Dl e D 2 • • Inglesefour·group, tedesco Vierergruppe: in italiano è chiamato anche gruppo trirettangolo o gruppo quadrinomio (N.d.T.).

Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni

88

TEOREMA

=

rn

3. Le relazioni di definizione f2

I,

=

(rf)2 = I

I,

di un gruppo diedrico Dn con i generatori r e f implicano fr= rf soltanto se n = l oppure n = 2; o inversamente, se n> 2, i! gruppo diedrico Dn non è commutativo.

Per dimostrare questo teorema osserviamo dapprima che in ogni gruppo diedrico commutativo I

=

(rf)2

=

(rf) (rf)

=

(rf) (fr)

=

rf2 r

=

r2 .

Se n è pari, r2 = I implica rn = I sicché le nostre relazioni di definizione iniziali per Dn equivalgono alle r2

=

(rf)2 = I,

f2 = I,

I,

cioè alle relazioni di definizione per D 2 • Se n è dispari, poniamo n = 2k l; allora

+

r2

=

1= rn

=

rf2k+l

=

r2kr = Ir = r.

Dunque r = I e pertanto le relazioni di definizione iniziali per Dn sono equivalenti alle r

=

I,

f2 = I,

cioè alle relazioni di definizione per D 1 • Questo completa la dimostrazione. Il gruppo diedrico Doo. Esiste un gruppo diedrico Doo di ordine infinito? Mostreremo che esiste disegnandone il grafo. Il grafo di Dn consiste di due n-goni formati da segmenti r collegati da segmentif. Se ci ricordiamo ora che relazione c'è tra il grafo di Coo e il grafo di Cn (l'n-go no viene sostituito da una linea con infiniti segmenti) sembrerà naturale ottenere il grafo di un gruppo Doo da quello di Dn sostituendo i due n-goni con due linee parallele collegate tra loro: si veda la figura 7.5. Questa rete di segmenti orientati soddisfa a tutte le proprietà del grafo di un gruppo e indicheremo il gruppo associato con Doo. Esaminiamo ora Doo dal punto di vista dei generatori e

Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni

89

delle relazioni di definizione. Osserviamo che la prima delle relazioni di definizione

f2 =

= I,

rn

I,

(rf)2

= I

per Dn non è valida per il grafo di Dro. (Analogamente,

,

,

,

fr

•

•

fr·!

llll i

,

i

t

•

t

•

• ,

r

•

· i· •

••••..••••.• f

I Fig. 7.5 nel caso di ero la relazione an = I non è valida ed è stata omessa; si veda p. 59). Omettiamo la relazione r n = I e conserVIamo

f2= I,

(rf)2 = I

per definire Dro. La relazione f2 = I richiede un laccio ad ogni vertice del grafo di Dro; ossia, nella forma compatta, un f-segmento per ogni vertice. La relazione (rf)2 = I corrisponde a un quadrilatero per ciascun vertice con i lati costituiti alternativamente da segmenti r e segmenti f Il grafo della figura 7.5 ha appunto queste proprietà. Prodotti diretti. Tutti i diagrammi di Cayley dei gruppi diedrici danno l'impressione visiva di una specie di « raddoppio )) di un gruppo ciclico. Il gruppo Dn è rappresentato da due n-goni di segmenti r collegati fra loro da f-segmenti. Il gruppo Dro è rappresentato da due linee parallele di segmenti r collegate da f-segmenti. Questo fa pensare che nuovi gruppi ampliati si possano tavoIta formare « combinando)) gruppi piu piccoli. Si consideri un grafo di un gruppo diedrico nel quale si cambi il verso dei segmenti in uno solo dei poligoni, contrassegnando di nuovo in modo corrispondente i vertici. La figura 7.6 mostra il diagramma di Cayley di D3 dopo tale modifica. Nel gruppo rappresentato da questo nuovo grafo le relazioni r3 = f2 = I valgono, ma la (rf)2 = I non vale. Invece il diagramma modificato mostra che fr = rf

90

Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni

cioè frf-l,l = I (si segua il cammino chiuso da I al vertice f, al vertice fr, al vertice r, e poi di nuovo ad I). Il nuovo gruppo è Abeliano, cioè commutativo, con le relazioni r3 =

f2 = frf-l,l =

I.

Fig. 7.6

I Esso si indica con C2 x C3 dato che « combina» il gruppo ciclico C2 (f2 = /) col gruppo ciclico C3 (r = /). Esercizio 18 Adoperando il diagramma di Cayley di C 2 x Ca si determinino le potenze successive di Ir. Quale elemento deI gruppo corrisponde a (lr)6? Si dimostri che C 2 x Ca = CG• (Suggerimento: Si ponga g = Ir e si mostri che ogni elemento deI gruppo si può ottenere come potenza di g). Se si modifica il grafo di un gruppo diedrico Dn cambiando il verso dei segmenti in uno degli n-goni, si ottiene il grafo di un gruppo « doppiamente ciclico» C2 X Cn con le relazioni yn = f2 = frf-l,l = I. Dal grafo di Dro si ottiene quello del gruppo infinito « doppiamente ciclico» C2 X Cro (v. fig. 7.7). Questo dia-

fr2

• , •

,•

fr 1

··· .! i.: ·: l !

•

fr

i •

1 • • .. • • • • • • 1 r· r· 2

Fig.

7.7

I

fr 2

l i

r2

• .............

•

Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni 91

gramma di Cayley fa pensare a due strade a senso unico parallele collegate da strade trasversali a due sensi. Si consideri il diagramma della figura 7.8. Sembra una rete di strade a senso unico. che potrebbe essere la pianta

•

+

I

I

I

I I

I

•ar·

2

I I

•

I

•Ir'

2

I I I

• I

•

• •Itr'l •I r-I • • • I

I

I

I

• I

• ~

!

•

Fig. 7.8

I I I

•

I I I

:1"1(1

I I

I

I I

II

,

• •• •It •Itr • • •II •r •Ir • I

I

I

I

I

I

I

I

I

II

I

I

I I

I

I

I

I

1

I

4

l t -I r I I

I

I

I

I

, I I

I I

I

2

I

I

l t-I

I

I I

I

II

•

I

I

..

_......

_~-

.......

r f

:'-lr2 II • I

•11"2 • • • • • • I I

I

I

I

I

II ·

di una zona di una città. Nel gruppo rappresentato da questo grafo la relazione f2 = I non è valida, cioè I non ha il periodo 2. Abbiamo pertanto disegnato gli f-segmenti con una freccia. La sola relazione

Irl- l r I =

I

(ossia

Ir = rf),

che garantisce la commutatività, definisce tale gruppo ed è rispecchiata nel suo grafo dall'esistenza in ciascun vertice di un cammino chiuso rettangolare che corrisponde a Irl- l r l • Questo gruppo « delle strade di città» è il piu generale gruppo Abeliano con due generatori. (Per rendere il gruppo ancor piu generale si dovrebbero togliere alcune delle restrizioni dalla sua definizione, e qui la sola restrizione è Ir = rl). Il gruppo « delle strade di città », si indica con Ca:J X Ca:J oppure con C!. Il gruppo C 2 X Ca si chiama prodotto diretto dei gruppi ciclici C 2 e Ca; analogamente Ca:J X Ca:J è il prodotto diretto di Ca:J per se stesso. Il concetto di « prodotto diretto» nella sua forma piu astratta e generale è estremamente utile: per

92

Definizione di /In gruppo mediante generatori e relazioni

esempio, si può dimostrare che ogni gruppo Abeliano finito è un prodotto diretto di gruppi ciclici. La nostra discussione di un prodotto diretto sarà schematica e ci affideremo agli esempi per far assimilare i concetti fondamentali. Supponiamo che S sia un insieme con un'operazione binaria 0 e supponiamo che G e H siano sotto insiemi di S tali che G e H siano gruppi con l'operazione 0. G ha i generatori gl' g2, ••• , e H ha i generatori hl, h 2, •••• Facciamo l'ipotesi che G e H abbiano soltanto l'identità in comune, e che ogni elemento di G sia commutabile con ogni elemento di H. In queste condizioni possiamo costruire il prodotto diretto G X H formando l'insieme di tutti i prodotti aventi elementi di G e H quali fattori. Si può dimostrare che l'insieme G X H è un gruppo e che i suoi generatori sono gl' g2, ••• , hl, h2,··. *. Come esempio illustrativo di un prodotto diretto consideriamo il gruppo « delle strade di città» con i generatori r e I (figura 7.8). Vi è un gruppo ciclico infinito generato dal solo r, e vi è anche un gruppo ciclico infinito generato da I soltanto. (Si ricordi che in ciascuno di questi gruppi ciclici il generatore non soddisfa ad alcuna relazione). Questi due gruppi ciclici infiniti non hanno alcun elemento in comune eccettuato I. Se imponiamo che sia rl = Ir cioè rlrl/-l = I, allora ogni elemento del primo gruppo è commutabile con ogni elemento del secondo e l'insieme dei generatori r, I genera il prodotto diretto Cro X Cro = C!. Prodotti diretti e relazioni di definizione. In generale un insieme di relazioni di definizione per un prodotto diretto G X H si può ottenere aggiungendo alle relazioni di definizione dei gruppi costituenti G e H altre relazioni che equivalgono ad esprimere che ogni generatore di G è commutabile con ogni generatore di H. Le relazioni aggiunte assicurano che ogni elemento di G sia commutabile con ogni elemento di H come è richiesto nella nostra definizione di prodotto diretto. Considereremo ora alcuni gruppi che sono prodotti diretti ed esamineremo le loro relazioni di definizione. Per costruire G = C2 X C2 partiamo da un gruppo ciclico

* Nei nostri esempi di prodotti diretti, l'insieme S sarà un gruppo. Allora i gruppi G e H sono « gruppi dentro un gruppo ». Il Capitolo 8 conterrà una trattazione sistematica di tali « sotto gruppi ».

Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni 93

di ordine 2 generato da un elemento x con la relazione X2 = I e da un secondo gruppo ciclico d'ordine 2 generato da un elemento y con la relazione y2 = I. Il gruppo G = C2 X C2 ha x e y come generatori e questi soddisfano alle due relazioni X2 = y2 = I. L'imporre che x e y siano commutabili si può scrivere xyx-ly-l = I, che è ovviamente equivalente a xy = yx. Cosicché G = C2 X C2 è definito dalle relazioni dei gruppi costituenti cioè y2 = I

X2 = I,

con la relazione aggiuntiva xyx-1y-l

=

I.

Poiché X-l = x e y-l = Y possiamo riscrivere le relazioni di definizione di C2 X C2 nella forma y2 = I,

X2 = I,

xyxy = I

oppure X2

=

y2

=

(xy)2

= I.

Ma queste sono le relazioni di definizione di D 2 (il tetragruppo, p. 87). Pertanto C2 X C2 = D 2 • Ora si consideri il prodotto diretto H = C2 X D 2 • Supponiamo che C2 sia generato dall'elemento x con la relazione X2 = I, e che D 2 sia generato dagli elementi y e z, con le relazioni y2 = Z2 = (yZ)2 = l. Per ottenere le relazioni di definizione di C2 X D 2 aggiungiamo a quelle di C2 e D 2 le due relazioni xyx- 1y-l = I,

XZX- 1Z- 1 =

I;

la prima impone che x sia commutabile con y e la seconda che x sia commutabile con z. Poiché tutti i generatori sono di periodo 2, possiamo riscrivere le relazioni aggiunte nella forma (XZ)2 = I

(xy)2 = I,

e l'intero insieme delle relazioni di definizione per C2 nella forma X2

=

y2

=

Z2

=

(YZ)2

=

(xy)2

=

(XZ)2

= I.

X

D2

94

Definizione di un gruppo mediante generatori e relazioni

Si consideri la rappresentazione grafica di C2 X D 2 nella figura 7.9 e si osservi che alcune parti di quel grafo, prese indipendentemente dalle altre parti, si possono interpretare come grafi di gruppi. Per esempio, le parti che si vedono f

, ~ I YI, ,XYI I

, I

I

xy

II

I XI

I

~

---X

Fig. 7.9

-----Y ---l

X

nella figura 7.10 sono grafi del tetragruppo. Nel prossimo capitolo sui sottogruppi chiariremo il significato di « grafo dentro un grafo».

Yi I I I I

I

l'

,xy I I I I I

l

Xl

I~ X I

I

Fig. 7.10

X

Esercizio 19 Determinare gli IOslemi delle relazioni di definizione e i grafi dei prodotti diretti a) G = C2 X C4 e b) H = Ca X Ca. Esercizio 20 Adoperare i diagrammi di Cayley, le tavole di moltiplicazione oppure le relazioni fra generatori per mostrare che D6 = C2 X D3' (In generale è vero che D 2k = C2 X Dk, con k intero dispari). Esercizio 21 Disegnare un grafo del gruppo definito da a 2 = b 2 = (ab)2. (Suggerimento: Dapprima si mostri o anche, se occorre, si supponga che a 4 = b 4 = I).

Definizione di /In gr/lppo mediante generatori e relazioni 95

Esercizio 22 a) H è un gruppo con i generatori / e g e con le relazioni di definizione /2 = g2 = I. Tracciare il grafo di questo gruppo.

b) Si ricordi che il gruppo Doo con i generatori re/ ha le relazioni di definizione f" = (r1)2 = I (pag. 89). Mostrare che un altro insieme di relazioni di definizione per Doo è f" = g2 = I, dove g = rf.

8

Sottogruppi

Una conoscenza molto piu approfondita delle proprietà di un gruppo particolare si può conseguire da uno studio della sua struttura interna. Alcuni gruppi hanno una struttura interna che si può descrivere per mezzo di sottogruppi. La parola stessa «sottogruppo» significa un gruppo dentro un gruppo; cioè, si dice che un insieme H è un sottogruppo del gruppo G, se A) ogni elemento dell'insieme H è un elemento del gruppo G, B) H è un gruppo (rispetto all'operazione binaria di G limitata all'insieme H). II significato pieno di queste condizioni verrà sviluppato nel corso della nostra discussione. Incominciamo a determinare ed esaminare alcuni sotto gruppi di un gruppo dato. Consideriamo il gruppo ciclico d'ordine 4, C4 : I, a, a2 , a3 , e cerchiamo dei sottogruppi di ordine 2. Poiché un sottogruppo è un gruppo, dovrà contenere I, perciò soltanto i seguenti insiemi hanno le qualità di candidati ad essere sottogruppi d'ordine 2 entro il gruppo C 4 :

R = { I, a},

S = { I, a2

},

T = { I, a3

}.

Riconosciamo in primo luogo che tutti questi insiemi soddisfano alla condizione (A), dato che tutti gli elementi di questi insiemi stanno in C 4 • Per ciò che riguarda la condizione (B) osserviamo che l'insieme R contiene due elementi che costituirebbero un gruppo ciclico di ordine 2, purché fosse a2 = I; ma con l'operazione binaria di C 4 , a 2 =1= I: perciò R non è un sottogruppo di C 4 • Proseguendo cosi per tentativi, si giungerebbe a trovare che l'insieme S è il solo sottogruppo di C 4 d'ordine 2: ma introdurremo un criterio piu semplice e piu sistematico. Per dimostrare che un insieme costituisce un gruppo rispetto a una certa operazione, che indichiamo con @, dobbiamo assicurarci che valgono tutti gli assiomi di gruppo. Se si sa fin dal principio che l'insieme da esaminare è sotto-

Sottogruppi 97

insieme di un gruppo, il compito di verificare gli assiomi diventa pili semplice. Per vedere ciò esaminiamo le condizioni imposte da (B) nella definizione di sotto gruppo. Per incominciare dobbiamo mostrare che I) L'operazione di gruppo ® di G limitata agli elementi di H è un'operazione binaria in H. Ciò vuoI dire verificare che se hl, h2 è una coppia qualsiasi di elementi di H, allora hl ® h2 appartiene ad H. Quando un sottoinsieme H di un gruppo G ha questa proprietà diciamo che H è chiuso rispetto a 0. (Si veda la discussione sulla chiusura a p. 15). Per dimostrare che H è un gruppo bisogna mostrare anche che Il) l'operazione ® è associativa, III) l'inverso di ciascun elemento di H appartiene ad H, IV) l'identità di G appartiene ad H. La condizione II) è soddisfatta automaticamente, perché ®, che è l'operazione di gruppo in G, è associativa. Inoltre le condizioni I) e III) insieme implicano la condizione IV): perché se h è un elemento di H, allora, in virtli della III), h-l è elemento di H e in virtli della I) h ® h-l = I appartiene ad H. Perciò, un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo di G purché siano soddisfatte le due condizioni seguenti: I) hl ® h 2 appartiene ad H ogniqualvolta hl ed h 2 appartengono ad H (chiusura); e 2) h-l appartiene ad H ogniqualvolta h appartiene ad H (inversi). Esercizio 23 Si dimostri che l'affermazione in corsivo che precede equivale alla affermazione: un sottoinsieme H del gruppo G è un sottogruppo di G se ab- 1 appartiene ad H ogni volta che a e b appartengono ad H. (Questo enunciato comporta una sola condizione).

Adopereremo ora le condizioni l) e 2) per determinare se ciascuno dei sotto insiemi R, S, T di C 4 è o non è sottogruppo. Se un insieme non soddisfa a una delle due predette condizioni non può essere un sotto gruppo. Possiamo provare che c'è la chiusura esaminando le tavole di moltiplicazione degli insiemi considerati. (Dobbiamo ricordarci che a4 = I, a2 =1= I, a3 =1= I). Soltanto l'insieme S ha una tavola di moltiplicazione chiusa rispetto all'operazione binaria di gruppo, cioè una tavola

98

Sottogruppi

di moltiplicazione che contiene soltanto gli elementi di S. L'insieme S sarà un sotto gruppo se soddisferà la condizione 2) sugli inversi; uno sguardo alla tavola di moltiplicazione di S mostra che gli inversi di I e a 2 sono rispettivamente Insieme T

Insieme R

I

I

a

I

a

Insieme S

I I

I

I

a3

I

I I

a

Tavola 8.1 I e a2• Cosicché l'inverso di ciascun elemento di S appartiene ad S e perciò S è un sottogruppo di C 4 • Esiste un sotto gruppo di C4 d'ordine 3? Si consideri un qualsiasi insieme di elementi di C4 che contenga I ed altri due elementi qualsiansi, per esempio:

D={I, a, a3

}.

Poiché aa = a2 è un elemento della tavola di moltiplicazione di D, mentre a2 non è un elemento di D, questo insieme non è chiuso rispetto alla operazione binaria di C4 e perciò non è un gruppo. Il lettore potrà verificare facilmente che ogni altro insieme di tre elementi di C4 non soddisfa alla condizione l). Pertanto C 4 non ha sottogruppi d'ordine 3. Ogni gruppo ha due sotto gruppi particolari. L'insieme che consiste di tutti gli elementi di un gruppo G è un sottoinsieme di G ed è un gruppo rispetto all'operazione binaria di G. Cosi ogni gruppo è un sottogruppo di se stesso. Il sottoinsieme H consistente del solo elemento I soddisfa alle condizioni l) e 2) poiché I· I = I; perciò ogni gruppo contiene un sottogruppo che consiste del solo elemento I. Di solito ci interesseremo di sotto gruppi diversi da questi due particolari sotto gruppi : ogni sottogruppo che non sia uno di questi si chiama sottogruppo proprio.

Sottogruppi

99

Esercizio 24 Sia Da il gruppo diedrico di ordine 6 con gli elementi l, a, a', b, ba, ba" e le relazioni a 3 = b" = (ba)2 = l. a) Dimostrare che {I, ba} è un sottogruppo. b) Trovare un sotto gruppo d'ordine 3. c) Esiste un sottogruppo d'ordine 4? Esercizio 25 Sia Co il gruppo ciclico di ordine 5. Si determinino tutti i sottogruppi propri di Co.

Sottogruppi infiniti. Cerchiamo i sotto gruppi di Cm il gruppo ciclico infinito di generatore a avente gli elementi ... , a-2

,

a-l,

I,

a,

a2

,

•••

Ogni sotto gruppo di CX) è ciclico perché ogni elemento è una potenza di a. Ci domandiamo in primo luogo se vi sia qualche sottogruppo proprio finito. Consideriamo il sottoinsieme S4

= { I,

a, a2

,

a3

}.

A prima vista sembra che S4 non sia altro che il gruppo ciclico C4 esaminato a p. 58. Tuttavia, rispetto all'operazione definita in Cro , a4 #- I in S4 e perciò S4 non è il gruppo C 4 • n sottoinsieme S, non è chiuso rispetto all'operazione definita in Cro perché tutte le potenze di a sono distinte in Cro : per esempio a2a3 = a5 non appartiene ad S,. Pertanto S4 non è un sottogruppo di Cro • Lo stesso ragionamento mostra che il gruppo ciclico infinito Cro non ha alcun gruppo finito come sottogruppo proprio. Esistono sottogruppi infiniti di Cro ? n sottoinsieme D = { ... , a-4, a-2

,

I, a2

,

a4

, • • • }

consiste delle potenze pari del generatore a di Cro • La condizione l) sulla chiusura è soddisfatta poiché il prodotto di due potenze pari di a è una potenza pari di a. Per verificare la condizione 2) si osservi che l'inverso di a2k è a-2k e questo è un elemento dell'insieme D. Dunque, D è un

100

Sottogruppi

sottogruppo di ero. È a sua volta un gruppo ciclico di ordine infinito, generato da a2 • Vi sono sottogruppi di ero generati da a3 , da a4 , ecc. Pertanto ero ha un'infinità di sottogruppi propri, ciascuno dei quali è un gruppo ciclico infinito. Conosciamo bene il gruppo ciclico infinito N di tutti gli interi, con l'addizione come operazione binaria: Elementi del gruppo: gli interi (positivi, negativi, zero) Operazione di gruppo: l'addizione Elemento unità: lo zero Inverso: l'opposto di un elemento Generatore: l'intero l (oppure il suo inverso, - l).

Chiameremo questo gruppo gruppo ciclico additivo. L'insieme degli interi pari è un sottogruppo di N? Applichiamo le due condizioni del criterio. l) Chiusura: la somma di due interi pari è pari. 2) Inversi: l'inverso di un intero pari qualsiasi k è il suo

opposto - k che è anch'esso pari. Le condizioni per un sottogruppo sono soddisfatte: perciò gli interi pari costituiscono un sotto gruppo del gruppo ciclico additivo degli interi. L'insieme di tutti gli interi dispari è un sotto gruppo di N? Il fatto che la somma di due interi dispari qualsiansi sia pari mostra che tale insieme non è chiuso rispetto all'addizione. L'insieme degli interi dispari non forma un gruppo. Esercizio 26 Si dimostri che: a) l'insieme di tutti i multipli di 3 forma un sottogruppo del gruppo ciclico additivo degli interi; b) l'insieme di tutti i multipli di n (dove n è un intero qualsiasi) forma un sottogruppo del gruppo ciclico additivo degli interi. Esercizio 27 Si dimostri che se R ed S sono due sottogruppi di G, allora l'insieme degli elementi comuni a R ed S è un gruppo (e perciò un sottogruppo di G).

Sottogruppi

101

Esercizio 28 Si dimostri che: a) tutti i numeri complessi a + ib, con a e b interi, formano un gruppo rispetto all'operazione di addizione; b) l'insieme r + is, dove r ed s sono interi pari è un sottogruppo deI gruppo additivo di (a).

Ordini dei sottogruppi. Un numero primo, come sappiamo, è un intero maggiore di 1 che non ha fattori positivi oltre a se stesso e 1. È piuttosto interessante che vi siano gruppi con una proprietà analoga, cioè gruppi che non hanno sottogruppi oltre all'intero gruppo e al sottogruppo consistente soltanto dell'elemento unità I: un gruppo finito non ha sottogruppi propri se, e solo se, l'ordine del gruppo è un numero primo. Una parte (la parte del « se ») di questa affermazione è un corollario di un teorema piu generale che precisa la relazione numerica fra l'ordine di un gruppo finito e l'ordine di un suo qualsiasi sottogruppo. Presentiamo adesso questo teorema, dovuto a Lagrange * ed enunciato nel 1771. Lagrange fu uno dei grandi fondatori della fisica matematica nel campo della dinamica. Anche oggi il suo nome viene onorato indicando una funzione fondamentale della dinamica con la lettera « L » come riconoscimento dei suoi contributi. È ricordato anche per il ruolo che ha avuto nello sviluppo della teoria dei gruppi e la relativa applicazione alla teoria della risoluzione di equazioni algebriche. La « risolvente di Lagrange» fu sfruttata piu tardi da Galois nel suo metodo rivoluzionario di adoperare la teoria dei gruppi per le ricerche sulla risolubilità delle equazioni algebriche. Ora esponiamo il teorema di Lagrange sull'ordine dei sottogruppi di un gruppo finito. • Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) ha creato metodi matematici efficaci per affrontare problemi di meccanica ed era fiero della mancanza di figure nel suo trattato di Meccanica Analitica. Contribui all'astronomia con l'applicazione dei suoi metodi al Problema dei Tre Corpi riferito al moti della luna. Interessatosi alla ricerca di un metodo generale di risoluzione delle equazioni algebriche, Lagrange fu uno dei primi a scorgere un legame fra la nozione di gruppo e la risoluzione delle equazioni. 5

102

Sottogruppi

TEOREMA DI LAGRANGE. L'ordine di un gruppo finito è un multiplo dell' ordine di un suo qualsiasi sottogruppo.

Questo teorema afferma che se g è l'ordine di un gruppo G e h l'ordine di un sottogruppo H di G, allora g = nh, dove n è uno degli interi 1, 2, 3, ... , g. Nel caso dei sottogruppi particolari G e I, n = 1 e n = g. Se H è un sottogruppo proprio, allora n è uno degli interi 2, 3, ... , g - 1. Nel dimostrare questo teorema adopereremo certi insiemi di elementi del gruppo detti classi laterali. La nozione di classi laterali è uno strumento importante nella teoria dei gruppi e la breve presentazione che ne daremo conduce già direttamente alla dimostrazione del teorema di Lagrange. Classi laterali di un gruppo. Sia H un sotto gruppo di un gruppo G. Per comodità di notazione ammettiamo che H abbia quattro elementi (distinti), cioè sia H

= {

I, hl' h2

,

ha}.

Supponiamo che b sia un elemento di G che non sia elemento di H. Si consideri l'insieme

ottenuto moltiplicando gli elementi di H a sinistra per b. (Specifichiamo che la moltiplicazione è a sinistra per fissare le idee). Affermiamo che I) tutti gli elementi dell'insieme Hb sono distinti; II) H e Hb non hanno elementi comuni. Per dimostrare I) supponiamo per esempio che bhl = bha• Allora moltiplicando i due membri per b-l a sinistra, si otterrà ossia contro l'ipotesi che il gruppo H abbia quattro elementi distinti. Per dimostrare II) si consideri la possibilità che qualche elemento di H sia eguale a qualche elemento di Hb; per esempio, supponiamo che h 2 = bh1 • Allora, moltiplicando per h-l a destra si ha: h~ll =

bhlh1 l

=

b.

Sottogruppi

103

L'elemento h2h1 l appartiene ad H, dato che H è un gruppo, mentre b non appartiene ad H per ipotesi. In tal modo l'ipotesi che H e Hh abbiano un elemento comune porta a una contraddizione. Finora abbiamo preso in considerazione otto elementi di G, quattro in H = { [, hl' h 2 , ha} (un sottogruppo di G) e altri quattro in Hh = {b, bh l

,

bh 2

,

(un insieme di elementi di G)

bh a }

Diciamo che l'insieme Hh è una classe laterale sinistra del gruppo G rispetto al sottogruppo H e scriviamo: bH = { b, bhl

,

bh 2

,

bha }.

Il sottogruppo H è esso stesso una classe laterale di G rispetto ad H poiché H

=

[H

= { [, [hl'

[h 2

,

[ha}

= { [, hl'

h 2 , ha} .

Se c è un elemento di G non appartenente né all'una né all'altra delle due classi laterali H e bH, potremo adoperare c per formare un'altra classe laterale sinistra rispetto ad H: eH = { c, ChI' ch 2 , cha }.

Sappiamo che gli elementi della classe laterale eH sono distinti e che H e eH non hanno alcun elemento in comune. Affermiamo che gli elementi di eH sono distinti da quelli di bH. La dimostrazione di questa affermazione è parte della soluzione dell'Esercizio 29. Pertanto vi sono esattamente dodici elementi di G contenuti nelle tre classi laterali sinistre H = { [, hl' h 2 , ha}, bH = { b, bh l , bh 2 , bha } , eH

= { c,

ChI' ch 2

,

ch a }.

Se il gruppo G ha esattamente dodici elementi li abbiamo considerati tutti e abbiamo suddiviso G in insiemi non sovrapponentisi. Esprimiamo il fatto che G è l'unione * di quelle classi laterali scrivendo:

*

L'unione di due o pili insiemi è l'insieme che consiste di tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei dati insiemi.

104

Sottogruppi

G=HubHUcH.

Se G ha piu di dodici elementi, sia d uno qualsiasi degli elementi non inclusi in H U bH U eH e si formi un'altra classe laterale dH = { d, dh 1

,

dh 2

,

dh a }.

Tutti gli elementi di dH sono distinti e la soluzione dell'Esercizio 29 mostra che dH non ha alcun elemento in comune con alcuna delle classi laterali precedenti. In tal modo abbiamo preso in conto sedici elementi distinti di G appartenenti a quattro classi laterali sinistre di quattro elementi ciascuna. Se G ha esattamente sedici elementi, possiamo scrivere G=HubHUcHudH.

Il procedimento è ora chiaro. Partendo da un sottogruppo particolare H di ordine h si può formare una classe laterale sinistra moltiplicando per un elemento b non contenuto nel sottogruppo: si giunge alla classe laterale bH avente h elementi distinti; questa classe laterale e il sottogruppo H contengono insieme 2h elementi distinti di G. Se vi è ancora un elemento non preso in considerazione, e sia c, possiamo formare un'altra classe laterale sinistra eH e cosi prendere in conto 3h elementi in tutto, distinti e appartenenti a G. Ogni volta che vi sia un elemento singolo di G che sia stato omesso dall'insieme di tutte le classi laterali precedenti, si può formare una nuova classe laterale sinistra con altri h elementi distinti. Poiché G è un gruppo d'ordine finito, alla fine dovremo esaurire tutti gli elementi di G con questo procedimento, che aggiunge esattamente h elementi distinti a ogni passaggio. Se, dopo aver formato n classi laterali sinistre rispetto ad H, si sono presi tutti gli elementi di G, si avrà una scomposizione di G in n classi laterali sinistre di h elementi ciascuna: G

=

H

u

bH U eH U ... u kH

n classi laterali di

h elementi ciascuna.

Dunque, l'ordine di G è un multiplo del/'ordine di un sottogruppo H qualsiasi di G; in simboli, g = nh.

Sottogruppi

105

Nell'esporre la nozione di classi laterali di un gruppo rispetto ad un sottogruppo, il teorema di Lagrange è stato dimostrato come risultato accessorio. Esercizio 29 Suppongasi che rH e sH siano due classi laterali sinistre di un gruppo G rispetto a un sottogruppo H. Mostrare che rH e sH o non hanno elementi in comune oppure hanno tutti gli elementi in comune. Classi laterali sinistre e destre distinte. La precedente dimostrazione del teorema di Lagrange fa sempre uso delle classi laterali sinistre. Ma il ragionamento di fondo sarebbe rimasto immutato se si fossero adoperate sempre le classi laterali destre. Ora ci domandiamo se le classi laterali sinistre e destre, rispetto a un medesimo sotto gruppo, sono in generale le stesse classi; e, se cosi non è, possiamo almeno aspettarci che ogni classe laterale sinistra, diciamo bH, contenga precisamente gli stessi elementi di un' opportuna classe laterale destra, per esempio Hc?

-_-a

Fig. 8.1

----_--- b

Ia.:;...----:a a Si consideri il gruppo diedrico D3 d'ordine 6 (figura 8.1). Un sottogruppo di D3 è il gruppo ciclico di ordine 2,

H:

{I, b}.

Formiamo le classi laterali sinistre e destre di D3 rispetto ad H. (Si osservi che dal grafo risulta che a2b = ba e ba 2 = ab). Classi laterali sinistre

Classi laterali destre

H={I, b} aH={ a, ab} a2H = { a2 , a2b} =

H={I, b} Ha= {a, ba} Ha 2 = {a 2 , ba 2 } = {a 2 , ab}

{

a 2 , ba}

106

Sottogruppi

Si osserverà che, escluso H, nelle due precedenti scomposizioni non ci sono due classi laterali eguali. La classe laterale aH è diversa sia dalla Ha che dalla Ha 2 e lo stesso vale per a 2H. Abbiamo due scomposizioni diverse del gruppo diedrico D3 in classi laterali sinistre e classi laterali destre rispettivamente. Possiamo rappresentare D3 o come unione delle classi laterali sinistre rispetto ad H, D3

=

H U aH U a2H,

oppure come unione delle classi laterali destre rispetto ad H, D3

=

H U Ha U Ha 2

•

Questo esempio mostra che le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un gruppo G rispetto a un dato sottogruppo H possono fornire scomposizioni diverse di G. Classi laterali infinite. Abbiamo già visto che l'insieme N di tutti gli interi, con l'addizione come operazione binaria, costituisce un gruppo (il gruppo ciclico additivo) di cui l'insieme E di tutti i numeri pari è un sottogruppo (p. 1(0). Ci dobbiamo quindi aspettare che N si possa rappresentare come unione di classi laterali rispetto al sotto gruppo E. Seguendo lo schema dei precedenti esempi di classi laterali, sia a un elemento non appartenente ad E, cioè sia a un intero dispari, e si consideri l'insieme aE che si ottiene mediante moltiplicazione di gruppo a sinistra (addizione) degli elementi di E per l'intero dispari a. Se gli elementi di E sono e1 , e 2 , e3 , ••• , allora gli elementi dell'insieme aE sono a

+e

3 , ••••

Poiché la somma di un intero dispari con uno pari è dispari e poiché ogni intero dispari si può scrivere come somma dell'intero dispari particolare a e di un opportuno intero pari, la classe laterale aE è l'insieme O dei numeri interi dispari. Di piu, la classe laterale aE coincide con l'insieme O qualunque sia il particolare intero dispari che scegliamo per a. E chiaro che le classi laterali E ed O esauriscono l'insieme N. Cosicché possiamo scrivere N=EUaE

Sotlogruppi

107

ossia

N={ ... , -4, -2,0,2,4, ... }U { ... , -3, -1, 1,3, ... }. (Si osservi che, poiché il gruppo N è commutativo, le classi laterali sinistre e destre sono identiche, e cosi anche Ea è l'insieme O). Il sottogruppo E è l'insieme di tutti i multipli di 2 e la classe laterale aE è l'insieme di tutti gli interi che danno il resto l se divisi per 2. Uno schema simile di classi laterali di N si può trovare rispetto al sotto gruppo T di tutti i multipli di 3. Le classi laterali rispetto a T sono

T={ ... -6, -3,0,3,6, ... } = {

aT =

{ . .. -

= {

bT =

Interi che danno il resto

se divisi per 3 }

5, - 2, l, 4, 7, ... }

Interi che danno il resto l se divisi per 3 }

4, - l, 2, 5, 8, ... } Interi che danno il resto 2 se divisi per 3 } .

{ . ..

= {

°

-

(Qui a è del tipo 3n modo

+l

e b è della forma 3n

+ 2).

In tal

N=TUaTubT è una rappresentazione di N mediante classi laterali rispetto al sottogruppo T.

Esercizio 30 Si supponga che rJ e cJ siano classi laterali di un gruppo L rispetto a un sottogruppo J. Mostrare che: a) se c è un qualsiasi elemento della classe laterale rJ, allora: classe laterale cJ = classe laterale rJ, b) classe laterale cJ = classe laterale rJ se, e solo se, r-1c è un elemento di J. Esercizio 31 Si dimostri che se: L = J U rJ U sJ U ... U vJ

108

Sottogruppi

è una rappresentazione di un gruppo L come unione di classi laterali sinistre rispetto a un sottogruppo J, allora L = J U Jr- 1 U Js-I U ... U Jv- l

è una rappresentazione mediante classi laterali destre.

Esercizio 32 Si formino le classi laterali sinistre e destre di D 3 , il gruppo diedrico d'ordine 6, rispetto al sotto gruppo K = {I, a, a2 }. Alcune conseguenze del teorema di Lagrange. Ora esamineremo alcune conseguenze immediate del teorema di Lagrange sull'ordine dei sottogruppi. La prima è TEOREMA

4. Se l'ordine di un gruppo G è un numero primo,

allora

1) G non ha sottogruppi propri; 2) G è un gruppo ciclico. L'affermazione l) segue subito dal teorema di Lagrange e dalla definizione di numero primo. Per dimostrare 2) indichiamo con r un elemento qualsiasi diverso da l, del gruppo G avente come ordine un numero primo p. Se r è di periodo n, allora r n = I e n > 1. L'insieme H

= {

l, r, r2 , ... ., rn-l} ,

n-1>O

costituisce un gruppo ciclico d'ordine n entro G (si veda l'Esercizio 33): pertanto H è un sotto gruppo del gruppo dato G avente come ordine il numero primo p. Ma per il teorema di Lagrange l'ordine n di H è un divisore di p: poiché n =1= 1, necessariamente si avrà n = p. Perciò H è un sottogruppo d'ordine p e quindi H è il gruppo dato. Ciò dimostra la 2). Si deve osservare che il teorema di Lagrange dice soltanto che se il sotto gruppo H del gruppo G esiste, allora l'ordine di G è un multiplo dell'ordine di H. Per il momento è per noi un problema aperto se sia vero o no l'inverso del teorema di Lagrange. Un gruppo d'ordine n, dove n è un multiplo di k, deve necessariamente contenere un sottogruppo d'ordine k? A questa domanda si risponderà più avanti, quando si farà lo studio del gruppo tetraedrico di ordine 12. Vi è una conseguenza interessante del teorema di Lagrange

Sottogruppi

109

che viene sviluppata in diversi fra gli esercizi che seguono. Il lettore che farà questi esercizi e ne troverà le soluzioni avrà come premio una dimostrazione del teorema di Fermat ben noto nella teoria dei numeri. Esercizio 33 a) Mostrare che se un elemento a di un gruppo G ha il periodo n,

allora H = {I, a, a 2 ,

•••

an-l} è un sottogruppo ciclico di G.

b) Che relazione c'è fra il periodo di un elemento qualsiasi di

un gruppo finito e l'ordine del gruppo? Esercizio 34 Si consideri il 'gruppo «dei resti» di ordine p - l (pag. 33) con elementi 1, 2, ... , p-l, (p è un numero primo) e con l'operazione binaria «moltiplicazione modulo p ». Per ogni coppia di interi x, y del nostro insieme vi è qualche intero r nel nostro insieme tale che xy ed r diano lo stesso resto se divisi per p, cioè xy == r (mod. p). È chiaro che ogni elemento di tale gruppo finito «dei resti» è di periodo finito. Si supponga che g sia un elemento di periodo n. a) Mostrare che gn - 1 è un multiplo di p; cioè che gn - 1 O (mod. p). b) Si adoperi il teorema di Lagrange per far vedere che gp-l - 1 è un multiplo di p; ossia che gp-l - 1 = O (mod. p). (Si veda l'Esercizio 33).

=

Esercizio 35 Si supponga che a sia un multiplo del numero primo p; cioè a = O (mod. p). Allora aP e aP - a sono entrambi multipli di p; cioè aP = a P - a = O (mod. p). Si dimostri che aP - a è un multiplo di p anche se l'intero positivo a non è un multiplo di p, cioè anche se a =1= O (mod. p). [Suggerimento: Dobbiamo dimostrare che a P - a == O (mod. p), ossia a(aP - 1 - 1) = O (mod. p). Si applichi il risultato dell'Esercizio 34 a quest'ultima relazione]. La soluzione di questo esercizio è una dimostrazione del teorema di Fermat: Se p è un numero primo e se a è un qualsiasi intero positivo allora aP - a è un multiplo di p. Esercizio 36 Se a e b sono elementi di un gruppo G, mostrare che a) il periodo di ab è eguale al periodo di ba;

110

Sottogruppi

b) se ab = ba, allora il periodo di ab è un divisore del prodotto del periodo di a e del periodo di b; c) se ab = ba ed m è il periodo di a, n il periodo di b, allora il periodo di ab è proprio mn, purché n ed m siano primi fra loro (cioè m ed n non hanno divisori comuni escluso l).

9

Rappresentazioni

La nozione di gruppo è strettamente legata a quella di rappresentazione o meglio di insieme di rappresentazioni. Introdurremo ora questa nozione (fondamentale per gran parte della matematica moderna) attraverso la considerazione di alcuni semplici esempi. La parola «rappresentare» significa comunemente qualcosa di affine a «dare un'immagine» o «tracciare una mappa» di qualche cosa. Il senso tecnico in cui la parola « rappresentazione », o « applicazione », o anche « mappa », viene usata in matematica non si discosta molto da questo significato, contrariamente all'abitudine di dare a una parola presa in prestito un significato specialistico matematico, molto lontano da quello originario: per esempio, si pensi a nozioni come quelle di gruppo, campo, anello. Il concetto matematico di rappresentazione deriva in modo naturale dalla nozione comune di mappa di una città. Idealmente tale mappa consiste nella rappresentazione dell'oggetto originale (una città) su un foglio di carta in modo tale che ogni punto dell'originale (città) abbia come sua immagine un punto (e uno solo) sulla carta. In tutte le sue ramificazioni, il concetto matematico di rappresentazione non si allontana mai da questa nozione fondamentale di corrispondenza fra elementi dell'originale ed elementi della sua immagine o mappa. Iniziamo iI nostro studio sulle mappe considerando il semplice caso in cui si voglia fare una rappresentazione di un insieme costituito da un numero finito di elementi. Supponiamo di avere un insieme X = {a, b, c} formato da 3 elementi, e un insieme Y = {r, s, t} di 3 elementi anch'esso. Possiamo accoppiare gli elementi di questi due insiemi in vari modi, ad esempio b s Qui gli elementi corrispondenti sono rappresentati l'uno sull'altro, con l'elemento in basso «associato» a quello che

112

Rappresentazioni

gli sta sopra. Questa corrispondenza è un esempio di mappa o applicazione di un insieme X su di un insieme Y. In generale l'operazione di rappresentazione per cui da un insieme X si passa ad un insieme Y è definita in questo modo: Ad ogni elemento dell'insieme X è associato esattamente un elemento dell'insieme Y. La particolare rappresentazione di X su Y precedentemente indicata si può scrivere come una doppia fila tra parentesi in vari modi: b s

o

(~

c

!)

oppure

(!

c

~) .

Tutti indicano la medesima rappresentazione di X su Y, poiché ciascun elemento dell'insieme X è fatto corrispondere al medesimo ben determinato elemento di Y in ogni rappresentazione; a è sempre posto su r, b su s e c su t. Vi sono invece altre rappresentazioni di X su Y, che sono fondamentalmente diverse: ad esempio, b r

Tale rappresentazione si distingue dalla precedente perché, quantunque l'elemento c di X sia ancora rappresentato sull'elemento t dell'insieme Y, a è rappresentato su s anziché su r come nella mappa precedente. Nomenclature e simbolismi diversi si sono formati in relazione alla nozione di rappresentazione di un insieme su un altro. Avremo bisogno di alcuni di questi termini e simboli e li introduciamo ora supponendo che il lettore li assimilerà gradatamente, durante la lettura del capitolo. Abbiamo visto che una doppia fila tra parentesi è un modo di indicare una mappa. Altri modi sono già apparsi in questo libro. Ripensi il lettore alla nostra discussione iniziale sull'operazione binaria in un gruppo (p. 13); egli può vedere che un' operazione binaria di gruppo può essere considerata come una rappresentazione. Ad ogni coppia ordinata di elementi r e s di un gruppo corrisponde un unico elemento t del gruppo, tale che (r, s) ---+ t . In questo modo l'insieme delle coppie ordinate di elementi del gruppo è rappresentato sul gruppo. La tavola di moltiplicazione di un gruppo descrive questa rappresentazione. I

Rappresentazioni

113

primi elementi di tutte le coppie (r, s) sono scritti nella prima colonna, i secondi elementi nella riga superiore e l'immagine di (r, s) nel posto che le compete nella tabella. Quando si ha una mappa da un insieme X a un insieme Y scriviamo X ->- Y. Usiamo la freccia anche per indicare la corrispondenza tra singoli elementi: nel nostro primo esempio di mappa a ->- r, b ->- s, c ->- t. L'elemento r di Y attribuito dalla rappresentazione all'elemento a di X si chiama immagine di a; analogamente s è l'immagine di b e t è l'immagine di c. L'insieme X è chiamato insieme di definizione o dominio della rappresentazione e l'insieme di tutti gli elementi di Y, che sono immagini di elementi di X, è chiamato insieme dei valori o immagine di X. In questo libro tratteremo principalmente la classe speciale di rappresentazioni X ->- Y in cui ogni elemento di Y sia l'immagine di almeno un elemento di X; vale a dire, ci occuperemo di rappresentazioni nelle quali l'immagine di X coincide con l'insieme Y. Noi indichiamo tali mappe dicendo che X è rappresentato su Y. Gli esempi dati sopra erano entrambi di un insieme X rappresentato su un insieme Y. Consideriamo ora la mappa b r

da X ad Y. Vediamo che N è una mappa, dato che ad ogni elemento di X è associato un ben determinato elemento di Y. Tuttavia X non è rappresentato sopra Y perché l'elemento t di Y non è l'immagine di alcun elemento di X. L'operazione consistente nel fare una mappa di un insieme X in un insieme Y è spesso indicata con un simbolo, ad esempio J, scrivendo f:

X

->-

Y.

In questo caso f(a) = r significa a ->- r, ossia l'immagine di a è r. Analogamente le immagini di b e c sono f(b) = c e f(c) = t. La nozione di rappresentazione da un insieme ad un altro è implicita nella geometria analitica elementare, tutte le volte che costruiamo il grafico di un'equazione in 2 variabili. Ad esempio si consideri l'equazione y=2x+l

114

Rappresentazioni

e il suo grafico (fig. 9.1). Questa equazione descrive una rappresentazione dell'asse x sull'asse y, poiché l'asse x è l'insieme di definizione della mappa e l'intero asse y è l'insieme dei valori o immagine.

y

Fig. 9.1

----~--~~~-------x

La mappa può essere rappresentata da f:

x

->-

y

oppure

f(x) = y ;

questa scrittura significa che l'immagine di x è y, dove y = 2x l ossiaf(x) = 2x 1. Ad ogni punto dell'asse x, l'equazione y = 2x l associa esattamente un punto sull'asse y; vale a dire che ad ogni numero reale è associato un ben determinato numero reale come sua immagine. Ad esempio x = l è rappresentato su 2 . 1 l = 3. Oltre a rappresentare un insieme su di un altro, possiamo anche rappresentare un insieme su se stesso. Consideriamo l'insieme X: { a, b, c}. Un modo di rappresentare X su se stesso è

+

+

+

+

b a

c)c '.

questa rappresentazione attribuisce a ciascun elemento di X un ben determinato elemento di X e l'insieme di definizione della rappresentazione coincide con l'insieme dei valori. Indichiamo con M questa rappresentazione. Supponiamo ora che a, b, c siano i vertici di un triangolo

Rappresentazioni

115

equilatero. Allora la rappresentazione M può venire intesa come un ribaltamento di questo triangolo attorno all'altezza abbassata dal vertice c: si veda la figura 9.2. Mostreremo che se ribaltiamo di nuovo il triangolo attorno all'altezza

M

Fig. 9.2

per c, i due successivi ribaltamenti si possono immaginare come «la rappresentazione M seguita dalla rappresentazione M» e tale successione di rappresentazioni può venire indicata con una sola mappa. Per prima cosa chiediamo che cosa significa «la rappresentazione M seguita dalla rappresentazione M»: h a

h a

~) =

?

Si ricordi che una mappa può essere rappresentata in vari modi come doppia fila tra parentesi; ad esempio M può anche essere scritta

(!

a

h

c\

c)·

Si noti che la fila in alto in questa rappresentazione è la stessa che figura in basso nella primitiva rappresentazione di M. La nostra domanda può essere riscritta: h

a

~) (!

a h

~) =

?

Nella prima coppia di parentesi abbiamo a -->- h, e questo è seguito nella seconda da h -->- a. Il risultato finale è a -->- a, ossia a è rappresentato su se stesso. Analogamente h -->- a è seguito da a -->- h, col risultato h -->- h. Infine si ha c -->- c seguito da c -->- c col risultato c -->- c. Possiamo dunque scrivere: h h h = (: a a h ~) = I

~)

116

Rappresentazioni

e concludere che « M seguito da M» è una rappresentazione che associa ogni elemento a se stesso. Una mappa che gode di questa proprietà è chiamata identità e si indica con I. Tornando alla nostra interpretazione geometrica della rappresentazione M, vediamo che M2 significa due successivi ribaltamenti attorno all'altezza per c con il risultato che il triangolo torna nella sua posizione iniziale (fig. 9.3).

Fig. 9.3

L'equazione y = x o f(x) = x definisce un altro esempio di identità. Il grafico di questa equazione (fig. 9.4) mostra che ogni numero è rappresentato su se stesso.

y

Fig. 9.4 ----~~~----~--·x

Rappresentazioni come elementi di un gruppo. Una rappresentazione M può venire considerata come un elemento in un insieme di rappresentazioni, vi è un'identità I e vedremo che una successione di rappresentazioni è ancora una rappresentazione: questo fa pensare che le rappresentazioni possono essere elementi di un gruppo. Mostreremo infatti che alcuni insiemi di rappresentazioni soddisfano gli assiomi dei gruppi. La nostra discussione si limiterà alle rappresentazioni di un insieme su se stesso.

Rappresentazioni

117

Per mostrare che un insieme di rappresentazioni è un gruppo, non abbiamo altro da fare che controllare se sono soddisfatti gli assiomi dei gruppi. Lo abbiamo già fatto molte volte e il procedimento generale ci è familiare. Tuttavia, poiché la nostra esperienza con le mappe è limitata sono ancora insolite, strane entità capaci di rimescolare gli elementi di un insieme in modi complicati -, noi intraprenderemo il nostro controllo con prudenza e faremo particolare attenzione ai punti piu sottili. Un attento esame dei particolari ci permetterà nello stesso tempo di determinare con esattezza quegli insiemi di rappresentazioni di un insieme su se stesso che sono gruppi: non tutte le rappresentazioni possono essere elementi di un gruppo e noi scopriremo appunto attraverso un'accurata verifica degli assiomi dei gruppi quali limitazioni sono necessarie. Mostreremo innanzitutto che «seguito da », o successione, è un'operazione binaria nell'insieme delle rappresentazioni di un qualunque insieme S dato, su se stesso. 1) Operazione binaria: Dobbiamo mostrare che se MI e M 2 sono due rappresentazioni di S su se stesso, allora lo è anche il prodotto M 1M 2 • Possiamo rappresentare schematicamente MI e M 2 cosi: MI

=

(a ..... ) b .... .

M2

= ( .. .

b ... )

...c .. .

dove a, b, c sono elementi dell'insieme dato S. La prima rappresentazione, Mb associa all'elemento a un certo elemento b, cioè a ~ b. La rappresentazione M 2 associa all'elemento b un elemento c, cioè b ~ c. Segue che il risultato finale di M 1 M 2 è a ~ c e M 1M 2 è una rappresentazione di S. Il lettore può convincersi da solo che M 1M 2 è una rappresentazione su S dimostrando che, se y è un qualsiasi elemento di S, vi è un elemento x di S tale che x ~ y, secondo la rappresentazione M 1M 2 • 2) Associatività: A prima vista, potrebbe sembrare che la nostra operazione binaria, successione, fosse certamente associativa. Tuttavia, poiché l'insieme su cui si opera viene rimescolato ad ogni rappresentazione, non è affatto ovvio che una successione di rappresentazioni sia, in queste condizioni, associativa. Perciò a questo punto procederemo con attenzione.

118

Rappresentazioni

Vogliamo dimostrare per tre rappresentazioni qualsiasi MI' M 2 , Ma di un insieme S su se stesso che

Se x è un elemento qualunque di S, allora MI associa a x un qualche elemento y di S. Poiché le rappresentazioni M 2 ed Ma associano ad ogni elemento di S un solo elemento di S, vi sono elementi z e w di S, tali che

Cosi (MIMJMa significa x --+ z seguito da z --+ w, ovvero x --+ w; e M I (M2 M a) significa x --+ y seguito da y --+ w ovvero x --+ w. Dunque, sia (MIMJMa sia M I (M2M a) rappresentano x sullo stesso elemento w di S. L'associatività è dunque provata. 3) Identità: Nella rappresentazione identità ad ogni elemento del nostro insieme corrisponde l'elemento stesso; vale a dire

1= (:

b b

c ... ) . c .. .

È chiaro che tale rappresentazione è l'elemento identità rispetto all'operazione binaria« seguito da »: MI = 1M = M 4) Inversi: Consideriamo la rappresentazione

M=(~

v s

la sua inversa, indicata da M-l deve rappresentare ciascun elemento dell'insieme dei valori di M sull'elemento originario al quale esso è associato da M: in altri termini, M-l deve rinviare ogni immagine all'elemento da cui proviene. Sia M-l

s v

= (:

(Si noti che le file di M-l sono quelle di M scambiate). Allora MM-I =

(~

;

n(: : ~)

=

(~

:

:) =

I

Rappresentazioni

119

e analogamente M-l M = I, quindi M-l è l'inverso di M. Mostreremo ora che non tutte le rappresentazioni hanno una inversa. Consideriamo, per esempio, la rappresentazione N=

(~

v s

Se avesse un'inversa, detta X, allora X dovrebbe associare -->- u, S -->- v e r -->- w in modo che risulti XN = NX = l. Ma questa non è una rappresentazione dal momento che una rappresentazione associa a ciascun elemento dell'insieme di definizione uno e un solo elemento dell'insieme dei valori, mentre X associa all'elemento r due elementi, u e w. Dunque la rappresentazione N non ha un'inversa. Quale differenza fra M e N determina il fatto che mentre M ha un'inversa, N non l'ha? M rappresenta elementi distinti su immagini distinte, mentre due distinti elementi u e w dell'insieme di definizione di N sono rappresentati sulla stessa immagine, r. Una rappresentazione ha un'inversa quando, e solo quando, rappresenta elementi distinti su immagini distinte; cioè, quando a ciascun elemento del suo insieme dei valori corrisponde uno e un solo elemento del suo insieme di definizione. Una rappresentazione che goda di questa proprietà è chiamata biunivoca. Abbiamo mostrato che l'insieme di tutte le rappresentazioni biunivoche di un insieme su se stesso soddisfa agli assiomi dei gruppi rispetto all'operazione binaria di successione, o «seguito da ». Incontreremo esempi concreti di tali gruppi quando esamineremo i gruppi di permutazioni e i gruppi simmetrici nei capitoli seguenti. r

Ulteriori osservazioni sulle rappresentazioni inverse. Esaminiamo la rappresentazione M: x -->- Y definita da y=2x+l

o

f(x)

=

2x

+ 1.

Il grafico di Y = 2x + l è mostrato nella figura 9.1 (p. 114): è questa una rappresentazione biunivoca? Supponiamo che Xl e X 2 siano punti distinti: sono distinti anche i punti immagine f(x l ) = YI e f(x 2) = Y2? Sono distinti se la loro differenza YI - Y2 non è zero. Poiché YI -

Y2

= (2x I

+ l) -

(2x 2 + l) = 2(xI

-

x 2) ,

e poiché l'espressione a destra non è uguale a zero

(Xl

e

X2

120

Rappresentazioni

sono distinti per ipotesi), concludiamo che l'espressione a sinistra non è zero e quindi YI e Y2 sono distinti. La rappresentazione M-l esiste; affermiamo che è Y- 1

M -l..

X=---

2'

Per verificare questo, prima rappresentiamo x per mezzo di M sopra Y (= 2x + 1), e poi rappresentiamo questa immagine Y per mezzo di M-l. Otteniamo: MM-I:

(2x

+ 1) 2

1

=X'

'

vale a dire, MM-I rappresenta x su x; quindi MM-1 Analogamente, M-1M rappresenta Y su Y poiché:

=

I.

y-l

2-2-+ 1 =y;

quindi M-1M = I. Consideriamo ora la rappresentazione N: x -->- Y definita da

Y

= X2

o

f(x)

= X2

il cui grafico è mostrato nella figura 9.5. È una rappresentazione biunivoca? Supponiamo che Xl e X 2 siano punti distinti; vale a dire Xl - X 2 01=- O. Segue che YI - Y2 = = f(x l ) - f(x 2) 01=- O? La differenza fra le immagini è: YI -

Y2 =

xi -

x~ = (Xl -

x 2)

(Xl

+ x 2)· 1m

1m

Fig. 9.5

Fig. 9.6

Rappresentazioni

121

°

Per ipotesi è Xl - X 2 =1= 0, ma se Xl + X 2 = allora Y2 = O. Quindi anche se Xl e X 2 sono distinti, non è detto che YI ed Y2 siano distinti, poiché se Xl = - X 2, con Xl =1= 0, allora YI = Y2' Quindi N non è una rappresentazione biunivoca e perciò non è dotata di inversa. Se però, escludiamo tutto l'asse negativo delle X (o tutto l'asse positivo) dall'insieme di definizione di N, allora la nuova rappresentazione N definita da

YI -

Y = x2

X~O

,

è una rappresentazione biunivoca ed è dotata di inversa. (Si veda la figura 9.6). Nel suo insieme di definizione ristretto, Xl = - X 2 vale solo per Xl = X 2 = 0, e quindi elementi distinti sono rappresentati sopra elementi distinti. N è una rappresentazione biunivoca dell'insieme di tutti i numeri reali non negativi su se stesso. La sua inversa è:

N-l:

X =

v'y

Per vedere che espressa da F(x) =

e

v'X2 =

N-lN è

G(y) =

°.

Y~ NN-I = N-lN = I, X ,

X

~

si noti che

fiN-l

è

°

espressa da

(v'y)2

= Y

Omomorfismo. Passiamo ora a considerare un particolare tipo di rappresentazione di grande importanza nello sviluppo della teoria dei gruppi. Ci occuperemo del tipo di rappresentazione chiamata omomorfismo, e del suo caso particolare chiamato isomorfismo. I concetti legati a tali rappresentazioni sono di grande importanza non solo nello studio delle proprietà dei gruppi ma anche nello studio di altre strutture algebriche. I termini « omomorfismo » e « isomorfismo » si riferiscono appunto alla struttura, come indica la radice « morf». Prima di dare una definizione di omomorfismo esamineremo un esempio di rappresentazione omomorfa del gruppo additivo N dei numeri interi sul gruppo E degli interi pari.

122

Rappresentazioni

(Si veda a p. 104). La rappresentazione M che consideriamo associa a ciascun elemento n di N l'elemento 2n di E e si può scrivere: M = ( ... -2, -1, 0, l, 2 ... ) .

. .. -4, -2, 0, 2, 4 .. .

Si osservi che qualunque siano gli elementi n 1 , n 2 di N, n1 --+ 2nl> n 2 --+ 2n 2 , e (nl + n 2) --+ 2(n1 + n2 ); quindi l'immagine 2(n1 + nJ della somma di n1 e n2 è 2n1 + 2n 2 , cioè la somma delle immagini di n 1 e n 2 • Il lettore si ricordi di tener presente questa mappa M come esempio concreto di un omomorfismo di un gruppo su un altro. Supponiamo ora di avere due gruppi, G ed H, e una rappresentazione di G su H. Ciò significa che ciascun elemento di H è l'immagine di un certo elemento di G. Indichiamo le immagini degli elementi a e b di G con f(a) ed f(b), rispettivamente;f(a) ef(b) sono naturalmente elementi di H. Poiché G e H sono gruppi, ab è contenuto in G e f(a)f(b) in H. La proprietà caratteristica di una rappresentazione omomorfa di un gruppo G su un gruppo H è che, se a e b sono elementi di G, il prodotto ab è rappresentato sull'elemento f(a)f(b) di H, cioè: l'immagine del prodotto di due elementi è il prodotto delle loro immagini; in simboli f(ab) = f(a)f(b) .

Nell'esempio precedente, in cui il gruppo N è rappresentato omomorficamente sul gruppo E e in ciascun gruppo l'operazione è l'addizione,

Deve essere ben chiaro che, in generale, ciascuno dei gruppi G ed H ha il proprio elemento unità, la propria operazione binaria, ecc. Cosi, quando scriviamo f(ab) = f(a)f(b)

usiamo un'abbreviazione per la seguente scrittura piu particolareggiata: Se ® indica l'operazione binaria del gruppo G, I~ indica l'operazione binaria del gruppo H, e f è una

Rappresentazioni

123

rappresentazione omomorfa di G su H, allora qualunque siano i due elementi a e b di G, f(a 0 b)

=

f(a) [8]f(b) .

Noi non useremo in seguito questa elaborata scrittura, se non qualora portasse un effettivo guadagno di chiarezza; di solito, invece, scriveremo f(ab) = f(a)f(b). Mentre una rappresentazione stabilisce una corrispondenza fra singoli elementi di due insiemi, una rappresentazione omomorfa di un gruppo su di un altro tiene conto delle operazioni binarie dei due gruppi interessati e stabilisce una corrispondenza tanto fra gli elementi singoli quanto fra i prodotti di gruppo. Come altro esempio di rappresentazione omomorfa, esaminiamo la rappresentazione seguentef: C4 ->- C2 di C4 su C2 : (

I

a

1* b

Si noti che abbiamo indicato l'elemento unità di C2 con un asterisco: la precisione delle notazioni richiede che si distingua tra gli elementi unità dei due gruppi diversi. (Abbiamo già richiamato l'attenzione sulla distinzione tra le operazioni binarie dei due gruppi). In seguito lasceremo al lettore il compito di ricordare che tali distinzioni esistono anche se la scrittura non esprime chiaramente queste finezze. Si può verificare dalla tavola di moltiplicazione di C4 che f rappresenta ciascun prodotto di elementi di C 4 sul prodotto delle immagini di tali elementi in C2 ; cioè: f(rs)

=

f(r)f(s)

dove r ed s sono due elementi qualunque di C 4 • La tavola di moltiplicazione 9.1 per C4 mostra ciascun prodotto e, immediatamente sotto, la sua immagine in C2• Si noti che le immagini di tutti i prodotti in C4 formano la tavola di moltiplicazione di C2 quadruplicata. La rappresentazione omomorfa f rivela la «somiglianza» di struttura di C4 e C2 : anzi, tale rappresentazione esiste proprio perché vi è tale «somiglianza ». Se tentassimo di costruire una rappresentazione omomorfa di Ca su C2 , incontreremmo difficoltà insuperabili perché a questi due

124

Rappresentazioni

I

a

ai

al

I

a

aZ

al

1(1) = I

l(a) = b

l(a2 ) = l

l(a3) = b

a

a2

a3

I

l(a) = b

l(a2 ) = l

ai

a3

I

a

ai

l(a2) = I

al

l(a3) = b 1(1) = l

a3

I

l(a8) = b 1(I) = I

a

I

l(a3) = b 1(1) = I

Tavola 9.1

l(a) = b

a

al

f(a) = b

l(a2) = I

gruppi manca la « somiglianza» di struttura necessaria per permettere una rappresentazione omomorfa. Esercizio 37 Dimostrare che se una rappresentazione f di un gruppo G su un gruppo H non rappresenta l'elemento identità di G sull'elemento identità di H, allora la rappresentazione non è omomorfa; o, inversamente, se f è una rappresentazione omomorfa di G su H, allora f(I) = [. Esercizio 38 Sia un gruppo G rappresentato omomorficamente da f su un gruppo H. Mostrare che se x è un qualsiasi elemento di G e X-l il suo inverso, allora f(x- l ) = [f(X)]-l ;

cioè, in un omomorfismo l'immagine di un inverso è l'inverso dell'immagine. Esercizio 39 Sia G un gruppo rappresentato omomorficamente da f su un gruppo H, e sia la rappresentazione f tale che f(x) =f(y)

per due particolari elementi x e y di G. Dimostrare che: f(xy-l) = f(x-ly) = [.

Rappresentazioni

125

Esercizio 40 Sia f una rappresentazione omomorfa di un gruppo su un altro. Dimostrare che: a) se f(x) = I e f(y) = I, allora f(xy) = I b) se f(xy) = I, allora f(yx) = I.

Isomorfismo. La rappresentazione omomorfa di C 4 su C2 data sopra non è una rappresentazione biunivoca; i due elementi distinti a e a3 di C 4 sono entrambi rappresentati su b in C 2• (Una rappresentazione di un gruppo finito su di un altro non può essere biunivoca a meno che i gruppi non abbiano lo stesso ordine). Quando una rappresentazione omomorfa di un gruppo su un altro è anche biunivoca la chiamiamo: rappresentazione isomorfa, oppure isomorfismo di gruppi. Quindi un isomorfismo fra gruppi è una rappresentazione di un gruppo su un altro che soddisfa alle due condizioni: 1) f(ab) =f(a)f(b) per tutti gli a e i b (omomorfismo) 2) f(a) = f(b)

se, e solo se,

a= b

(biunivocità).

Le rappresentazioni isomorfe verranno illustrate da due esempi, uno riguardante i gruppi finiti, l'altro i gruppi infiniti. Il lettore osserverà che una rappresentazione isomorfa di un gruppo su un altro rivela 1'« uguaglianza» di struttura fra i due gruppi: è proprio perché i gruppi hanno «uguale» struttura che esiste una rappresentazione isomorfa di uno sull'altro. Si consideri il gruppo H i cui elementi sono le radici di x 4 - 1 = 0,

H:

l, i, - 1, - i

dove

i=

v-=t.

L'operazione binaria del gruppo è la moltiplicazione ordinaria. Si consideri poi il gruppo ciclico C 4 delle rotazioni di un quadrato in se stesso,

Con f: C 4 ->- H si indichi la rappresentazione di C 4 su H

126

Rappresentazioni

(~

a a2 a3 ) i -1 - i .

Vediamo immediatamente che f è biunivoca. Ma è omomorfa? Per rispondere a questa domanda esaminiamo la tavola di moltiplicazione 9.2 di C4 e confrontiamo ogni prodotto r con la sua immagine f(r) in H raffigurata sotto di esso. Il lettore verificherà facilmente (ricordando che i 2 = - l) che gli elementi immagine f(r) formano la tavola di moltiplicazione del gruppo H. Quindi f(rs)

= f(r)f(s)

e la. rappresentazione f è omomorfa oItre che biunivoca. Quindi f è una rappresentazione isomorfa. Diciamo che i gruppi C 4 e H sono isomorfi. Due gruppi sono isomorfi se esiste una rappresentazione isomorfa di un gruppo sull'altro. Da questo punto di vista l'isomorfismo è una pro-

I a I_~' I_~_ ---~------!--- --~~--'I--~r-------I

I ---

a

a i

a2 -1

a3 -i

I

a

---------a3 -i

I

-1

a2 a3

I

a

Tavola 9.2

i ----------i

1

a2 -1

prietà tanto dei due gruppi interessati quanto della rappresentazione che li lega: è questa la proprietà a cui ci siamo sempre riferiti con l'espressione « che hanno la stessa struttura ». I grafi dei due gruppi isomorfi sono mostrati nella figura 9.7: è chiaro che i grafi di questi due gruppi isomorfi sono identici, tranne la denominazione dei vertici e dei generatori.

Rappresentazioni

127

Fig. 9.7

Come secondo esempio di gruppi isomorfi, consideriamo l'insieme P dei numeri reali positivi e l'insieme L dei loro logaritmi. (La particolare base dei logaritmi non ha importanza, ma per fissare le idee supponiamo che la base sia lO). Cominciamo con l'osservare che ciascuno di questi insiemi di numeri è un gruppo la cui operazione binaria è indicata dalla tavola seguente: Gruppo P

Gruppo L

Elementi:

Numeri positivi

Operazione binaria: Identità: Inverso:

Moltiplicazione ordinaria (x > O e y> O implica xy > O)

Logaritmi dei numeri positivi (tutti i numeri reali) Addizione ordinaria [log x + log y = log (xy») O Opposto

I

Reciproco

Affermiamo che questi due gruppi sono isomorfi e che la rappresentazione f: P -+ L di P su L espressa da

=

logx è un isomorfismo. Ciascun elemento di L è, attraverso la rappresentazione, immagine di un elemento x di P, e quindi la rappresentazione ha come insieme di definizione l'insieme di tutti i numeri positivi e come insieme dei valori l'insieme di tutti i numeri reali (figura 9.8). Rimane da verificare che

f(x)

f!Xl=log x --------~-------------------------------------

----~r7~------------------------------~-x lO

Fig. 9.8

128

Rappresentazioni

per tutti gli x e y di P 2) la rappresentazione è biunivoca. Dobbiamo fare attenzione nel distinguere tra le operazioni dei gruppi P e L: con 0 indichiamo l'operazione binaria del gruppo P, e con ~ l'operazione binaria di L. Allora per due elementi qualunque x, y in P l) f(xy) = f(x)f(y),

x 0 Y

=

(moltiplicazione di numeri reali positivi);

xy

e per le loro immagini f(x), f(y) in L, f(x) IEIf(Y) = log x

+ log y

(addizione di numeri reali).

Quindi la condizione l) dell'omomorfismo richiede che per tutti gli elementi x e y di P, f(x 0 y) = f(x) i29f(y)

ossia

log (xy)

=

log x

+ log y .

Ma questa relazione è la regola consueta del logaritmo di un prodotto; perciò la rappresentazione è un omomorfismo del gruppo di tutti i numeri positivi sul gruppo dei numeri reali. Per vedere che la rappresentazione è biunivoca è sufficiente considerare il grafico dif(x) = log x. Possiamo anche dimostrare che la rappresentazione è biunivoca mostrando che due elementi distinti sono sempre raffigurati su due elementi distinti. Supponiamo che f(x) = f(y), vale a dire: log x = log y. Allora log x - log y

x

log .~ = O . Y Ma log (x/y) = O comporta x/y = I, ossia x = y. Quindi la rappresentazione è biunivoca e dunque isomorfa. =

O

ossia

Gruppi astratti. Diremo che due gruppi isomorfi sono uguali in senso astratto, e che tutti i gruppi uguali in senso astratto sono uno stesso gruppo astratto. Cosi in seguito possiamo parlare del gruppo diedrico di ordine 6, o del gruppo ciclico di ordine 6. Dire che due gruppi isomorfi sono uguali in senso astratto non significa che due gruppi isomorfi siano

Rappresentazioni

129

identici in tutti i particolari, ma solo che due gruppi come questi godono delle medesime proprietà di struttura. Vedremo nell'esercizio 41 a pago 130 che un gruppo può essere isomorfo con uno dei suoi sottogruppi propri: un gruppo ed un suo sottogruppo proprio non sono certamente la stessa cosa, eppure possono avere la stessa struttura. Si può mostrare che esiste solo un numero finito di gruppi «diversi in senso astratto» di un dato ordine n. Indipendentemente dal modo di contrassegnare gli elementi, esiste solo un numero finito di tavole di moltiplicazione (o tabelle quadrate) che si riferiscano al medesimo insieme di n simboli diversi (e con n2 valori nella tabella). Si noti che il gruppo diedrico di ordine 6 e il gruppo ciclico di ordine 6 non sono isomorfi (e sono quindi diversi in senso astratto) perché l'uno è non commutativo e l'altro è Abeliano. Oltre questi due gruppi non esistono altri gruppi di ordine 6, diversi in senso astratto. Analogamente, se p è un numero primo qualunque, esiste un solo gruppo astratto di ordine p, che è naturalmente il gruppo ciclico Cp • Il lettore non deve dedurre da questi esempi che sia facile enumerare i gruppi diversi in senso astratto di un ordine dato: ci sono 267 gruppi astratti di ordine 64, ma nessuno ha mai contato i gruppi diversi in senso astratto di ordine 256. L'identificazione astratta dei gruppi isomorfi è simile a ciò che facciamo quando ricaviamo la nozione di numero cardinale da particolari suoi esempi: noi pensiamo al numero cinque come a un'astrazione che può essere illustrata da particolari insiemi che contengono cinque elementi: cinque dita, cinque lire, cinque oceani, cinque vocali, ecc. In questo senso pensiamo a un gruppo astratto che può essere illustrato attraverso particolari esempi: vi è un solo gruppo ciclico astratto di ordine 4 ma molte raffigurazioni concrete di esso. La nozione di gruppi isomorfi, o gruppi uguali in senso astratto, è importante perché talvolta si trova piu facile dimostrare un teorema sui gruppi usando una rappresentazione concreta al posto di un'altra (isomorfa): poiché i gruppi isomorfi hanno la medesima struttura di gruppo, il teorema può venire esteso a tutti i gruppi isomorfi a quello usato per la dimostrazione.

130

Rappresentazioni

Esercizio 41 Può un gruppo essere isomorfo a un sottogruppo proprio? Sia G il gruppo additivo dei numeri interi (si veda a pago 24). Sia H il sottogruppo (proprio) di G formato da tutti i numeri interi pari. Dimostrare che G può essere rappresentato isomorficamente su H; vale a dire se x e y sono due qualunque elementi di G, allora vi è una rappresentazione f di G su H tale che f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x) = f(y) se, e solo se, x = y.

Esercizio 42 Si estenda il risultato dell'esercizio 41 al gruppo astratto Gr., (si veda a pago 60). Sia G il gruppo ciclico infinito generato da r, e sia H il gruppo cilico infinito generato da r n, n > l. (Si vede che H è un sotto gruppo proprio di G). Si dimostri che G può essere rappresentato isomorficamente su H.

Esercizio 43 Sia G il gruppo infinito generato da r e sia H il gruppo ciclico di ordine 2, avente come elementi I, b, per cui b2 = I. Dimostrare che G può essere rappresentato su H omomorficamente, ma non isomorficamente.

Esercizio 44 Sia G un gruppo, e sia r un elemento arbitrario, ma ben determinato, di G. Se x indica un elemento qualunque di G, allora r- 1xr è anch'esso un elemento di G. Definiamo f: G ~ G con f: x~ r- 1xr cioè f(x) = r- 1xr. Dimostrare che f è una rappresentazione isomorfa di G su se stesso.

Esercizio 45 Sia G un gruppo, e sia f una rappresentazione che associa a ciascun elemento di G il suo quadrato, cioè f: x~ X2 o f(x) = X2. Quand'è che f è una rappresentazione isomorfa, se mai può esserlo?

lO

Gruppi di permutazioni

Gran parte di quanto è stato scritto sulla teoria dei gruppi si occupa della classe di gruppi noti come gruppi di permutazioni, o di sostituzioni. I gruppi di permutazioni sono particolarmente interessanti perché ci forniscono modelli concreti per tutti i gruppi finiti: vedremo in questo capitolo che ogni gruppo finito è isomorfo a qualche gruppo di permutazioni. Abbiamo dato numerosi esempi di rappresentazioni scritte in forma di « doppia riga tra parentesi », con gli elementi dell'insieme dato nella riga in alto e gli elementi immagine nella riga in basso. Inoltre abbiamo dimostrato che l'insieme di tutte le rappresentazioni biunivoche di un insieme di n elementi su se stesso costituisce un gruppo di rappresentazioni. Tali rappresentazioni si chiamano permutazioni e i gruppi i cui elementi sono permutazioni sono chiamati gruppi di permutazioni. Supponiamo che i tre elementi di un insieme siano disposti in un ordine arbitrario, ma ben definito al> a2 , aa. Converrà fare attenzione solo agli indici e pensare l'insieme cosi ordinato come se fosse scritto l, 2, 3; ad esempio, il terzo elemento, aa, è indicato semplicemente da 3. Supponiamo ora che M sia una rappresentazione biunivoca di tale insieme su se stesso. M:

(:: :: ::)

ossia

l 2 3) (231

ossia

Interpretiamo la rappresentazione M come il riordinamento o permutazione della successione l, 2, 3 che dà luogo alla successione 2, 3, l. Questa interpretazione è la base per considerare un gruppo di rappresentazioni di un insieme finito su se stesso, come un gruppo di permutazioni. Possiamo anche pensare che M consista della sostituzione di ciascun elemento dell'insieme con qualche elemento dell'insieme stesso: 1 è sostituito da 2, 2 da 3 e 3 da l; per

132

Gruppi di permutazioni

questa ragione un gruppo di rappresentazioni di un insieme finito su se stesso è stato spesso chiamato, in passato, gruppo di sostituzioni. Permutazioni rappresentate come cicli. La rappresentazione o permutazione M definisce le corrispondenze

cioè

cioe

Questo schema ciclico suggerisce di scrivere M come singola riga tra parentesi (1

M:

2 3),

interpretando tale simbolo in questo modo: M rappresenta ciascuna cifra sulla sua vicina a destra e completa il ciclo rappresentando l'ultima cifra a destra sulla prima cifra. M può scriversi come ciclo in 3 modi: (1

2 3),

(2 3

l),

(3

l

2)

poiché non ha importanza quale elemento del ciclo scriviamo per primo. Supponiamo di avere una rappresentazione N di un insieme di quattro elementi al' a2 , a3 , a 4 , N:

( 1 2 3 4) ,2 3 l 4 .

Possiamo esprimere anche questa rappresentazione N con un ciclo? Poiché 4 è rappresentato su 4 possiamo esprimere N con (1

2

3),

intendendo che ciascun elemento non presente nel ciclo è rappresentato su se stesso. Analogamente 2 3 4) 432

=

(2 4)

Gruppi di permutazioni

133

perché la rappresentazione a sinistra è completamente definita dal ciclo a due elementi (2 4) che va letto: 2 -.. 4, 4 -.. 2, 1-..1 e 3 -.. 3. Potrà una rappresentazione qualsiasi di un insieme finito su se stesso essere scritta in forma ciclica? Ad esempio, come scriveremo la rappresentazione: A:

( 1 2 3 4 5) 245 l 3

in cui, a differenza della N scritta in precedenza, l'insieme delle singole corrispondenze non costituisce un unico schema ciclico? Cominciamo con la cifra l e scriviamo la sua immagine 2 alla sua destra:

2.

(1

Per estendere il ciclo oltre la cifra 2, esaminiamo le corrispondenze della rappresentazione A: vediamo che l'immagine di 2 è 4. Il ciclo esteso è ora

2 4.

(1

Se cerchiamo di applicare ulteriormente il ciclo, vediamo che A rappresenta 4 su l, ed il ciclo completo è 2 4).

(l

Ma questo ciclo non è A, perché non specifica la rappresentazione di 3 su 5 e di 5 su 3 come A richiede. Il ciclo (3 5) fa proprio questo, mentre rappresenta ciascuno degli altri elementi su se stesso. È quindi chiaro che se eseguiamo la rappresentazione 2 4)

(l

=

5)

(1 2 3 4 243 l 5

seguita dalla rappresentazione (3

5)

=

( 1l 22 53 44 35) '

il prodotto è la rappresentazione A, cioè:

(l 2 4) (3 5) = (1 2 3 4 5) (1 2 3 4 5) (1 2 3 4 5) 2431512543=24513· 6

134

Gruppi di permutazioni

Si noti che, poiché questi due cicli non hanno cifre in comune, nessuno dei due influisce sull'altro e non ha importanza quale delle due rappresentazioni si esegue per prima; quindi (1

2 4)(3

5)

=

(3

5)(1

2 4).

Il procedimento da noi usato per giungere a scrivere A in forma ciclica può essere applicato a qualunque rappresentazione di un insieme finito su se stesso. Segue che ogni permutazione di un insieme finito può essere scritta come un prodotto di cicli senza cifre in comune. Consideriamo le rappresentazioni (1

2) (2 3)

(2 3) (1

e

2)

per vedere se i cicli (1 2) e (2 3), che hanno in comune la cifra 2, godono della proprietà commutativa. (1 2) (2 3) significa l -- 2 seguito da 2 -- 3 col risultato l -- 3 3 -- 3 seguito da 3 -- 2 col risultato 3 -- 2 2 -- l seguito da l -- l col risultato 2 -- l . Quindi (1

2)(2 3)

=

(1

Invece (2 3) (1

3 2). 2) significa

seguito da 1--2 col risultato 1--2 2--3 seguito da 3--3 col risultato 2--3 3--2 seguito da 2--1 col risultato 3 -- l. Quindi l -- l

(2 3)(1

2)

=

(1

2 3),

e questi cicli non sono commutabili. Quando i cicli non hanno cifre in comune, sono commutabili; se hanno una cifra in comune possono non esserlo.

Gruppi di permutazioni

135

Un gruppo finito è isomorfo con un gruppo di permutazioni. Quanto abbiamo detto nei paragrafi precedenti ci fornisce la base per un fondamentale teorema riguardante le costruzioni di modelli per gruppi finiti. Nel Cap. 9 abbiamo detto che qualunque particolare gruppo può essere considerato come uno dei molti possibili esempi concreti di un gruppo astratto isomorfo a ciascun esempio. Il teorema che stabiliremo ci garantisce che qualunque gruppo astratto finito può essere esemplificato concretamente mediante un gruppo di permutazioni. (Ricordiamo che una permutazione di n elementi è una rappresentazione biunivoca di un insieme di n elementi su se stesso). 5. Dato un gruppo finito qualsiasi di ordine n, esiste un gruppo di permutazioni di n elementi isomorfo col gruppo dato.

TEOREMA

La dimostrazione di questo teorema si trova in tutti i trattati sulla teoria dei gruppi finiti. La trascrizione della dimostrazione classica, a questo punto, non approfondirebbe le conoscenze del lettore quanto invece l'applicazione

1

________

a

I

._------

____ o_o

gl

=-=-=---=--- ==::......--= I

g2 =_-:::=-~-'

a2

a3

._._. __________ _

g3 g. ==. ==

I a ~ ~ "------- -------- -------- ------gl g2 g3 g,

( 11 22 33 4) 4

= 1111

a ._-----a ._-----~ ~ I 1 2 3 4) --------------- -------- ( 2 3 4 1 g2 1:' !i3 g. gl --- --- --- -----

= m2

--.-._--

gl

--- --- --- ---"--

-

~

-- -

-

g3

__ o

-

-

-

~

___ ••

g3

----- - - ~ ~

------- -------g.

-

-

~

g.

I gl

I

a

______

•• ______

-

a !i2

( 31 42 31 4) 2 = m3

~

( 41 21 32 34)

______ _

--- --- -----._-- -------- --------

=

m.

Tavola 10.1. Tavola di moltiplicazione di C4

del teorema a un gruppo particolare. Il procedimento che esponiamo può essere generalizzato fino a diventare una dimostrazione formale del teorema. Troveremo un modo di presentare il gruppo ciclico C 4 , di

136

Gruppi di permutazioni

ordine 4, come gruppo di permutazioni. Prima di tutto costruiamo la tavola di moltiplicazione di C" indicando gli elementi I, a, a2, a3 anche con gl' g2' g3' g4 rispettivamente. Ogni riga della tavola 10.1 è una permutazione della riga in alto (si veda il Teorema 1, pago 49); ad esempio, l'insieme ordinato g2' g3' g4' gI (o semplicemente 2, 3, 4, 1) nella seconda riga è una permutazione dell'insieme ordinato 1, 2, 3, 4 della prima riga. Le quattro permutazioni, o rappresentazioni biunivoche, si vedono a destra della tavola. Sotto forma di cicli, possiamo scrivere

=

mI = (1) (2) (3) (4) = I,

m3

(1

3)(2 4),

m 2 = (1

m4 = (1

4 3 2).

2 3 4),

(Per scrivere mI = I come prodotto di cicli abbiamo introdotto cicli con una cifra). Esercizio 46 Verificare direttamente dai cicli che: a) m~

= ma,

b)

m: = I

e che le rappresentazioni mh m 2 , ma, m, formano un gruppo M.

Per vedere che il gruppo M delle permutazioni mIo m2 , ma, m 4 è isomorfo a C 4 , si considerino i vertici di un quadrato

'O' 'D' 'O' 'D' 1

4

2

1

3..

2

4

3

Fig. 10.1

come i quattro oggetti che devono essere riordinati secondo le rappresentazioni mb m 2, ma, m4 (si veda la figura 10.1). È chiaro che mI è l'identità del gruppo di permutazioni M: si associ mI all'elemento I di C 4 • La permutazione m 2 è

Gruppi di permutazioni

137

equivalente a una rotazione di 90° in senso antiorario *: si associ m 2 all'elemento generatore a di C 4 • Esercizio 47 Rappresentare i restanti elementi m 3 ed m4 di M sugli elementi di C4 in modo tale che M sia rappresentato su C4 isomorficamente. Il lettore potrebbe chiedersi perché le rappresentazioni definite nella tavola 10.1 formano un gruppo isomorfo a quello iniziale. Quanto segue è un breve cenno delle idee su cui ci si fonda. Le quattro rappresentazioni mj (j = l, 2, 3, 4) possono scriversi

cioè

mj

è la rappresentazione (i = l, 2, 3, 4).

La rappresentazione mjmk è la mj seguita dalla mk, quindi è la rappresentazione

mjmk

seguito da Perciò mjmk è la rappresentazione

Vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra i prodotti del gruppo delle permutazioni e i prodotti gjgk del gruppo C 4 • (Confrontare col Teorema l, a p. 49). mjmk

* Per vedere che m. = (I 2 3 4) corrisponde a una rotazione di 90° in senso antiorario per questo particolare quadrato, si ricordi la discussione sui movimenti di congruenza alle pagg. 25-31; avevamo visto là che la figura ruotando veniva a sovrapporsi alla figura nella posizione iniziale (figura 3.2); e la freccia che indicava la corrispondenza dei vertici si traduceva con « è sostituito da» (vedere a p. 26). Cosi, m, = (1 2 3 4) significa l ---+ 2 (1 è sostituito da 2), 2 ---+ 3 (2 è sostituito da 3), ecc. Il risultato finale dell'operazione, sulla posizione di un quadrato con questa particolare denominazione dei vertici, è una rotazione in senso antiorario di 90°.

Gruppi di permutazioni

138

Cercheremo ora una rappresentazione del tetragruppo D 2 come gruppo di permutazioni. Si vedano la figura 10.2 e la Tavola 10.2.

bi Elementi :

I

:ab

I I I I I I I

a b ab

gl g2 g3 g4

I I I

, I I

l' a2 :

---a -------- b

,I

a b2 : (ab)2: I

Fig. 10.2 Gli elementi del gruppo di permutazioni N sono scritti in forma di doppia riga tra parentesi. Espressi mediante cicli sono:

mI = (1) (2) (3) (4) = I, m3

=

3)(2 4),

(1

~

= (1 2)(3 4),

m4

=

(1

4) (2

3 4) ( 11 22 ,,4

=

nl,

1 2 :\ 4) (2 14 3

=

1/12

a --------

--------

I --------

-------- ---._---

b ._------

------.-

b

ab --------

-.-----.

I

a -------( 31 42 31 4) 2 g,

ab

b

a

I -------( 41 3234) 2 l = m•

cb g.

a

m2

. ------- -------- --------

b

3).

= m3

Tavola 10.2. Tavola di moltiplicazione di D 2 Esercizio 48 a) b)

Per il gruppo M, verificare che m~ = m: = (m 2ms)2 = I. Scrivere, in forma di doppia riga tra parentesi, la rappresentazione isomorfa del gruppo di permutazioni M sul tetragruppo di elementi I, a, b, ab, per cui è: a 2 = b 2 = (ab)2 = I.

Come nel caso dell'esempio precedente per C 4 , la rappresentazione del tetragruppo mediante permutazioni sugge-

Gruppi di permutazioni

139

risce un'interpretazione concreta basata sul riordinamento di quattro oggetti. Questa volta sono i quattro vertici di un tetraedro regolare; si veda la figura 10.3. La permutazione mI' che è l'identità, lascia i vertici nelle loro posizioni 4

Fig. 10.3

3

ongmarie. Per eseguire la permutazione m2 = (l 2) (3 4) scambiamo i vertici 1 e 2 e i vertici 3 e 4; si veda la figura 10.4. Il tetraedro regolare può portarsi dalla posizione iniziale alla posizione risultante dalla m2 mediante una rotazione 3

4

4

3

2

mI:

I

Fig. 10.4

di 180 intorno all'asse AB indicato nella figura 10.4. L'asse AB passa per i punti medi dei due spigoli «opposti}) 1-2 e 3-4. Chiameremo AB una mediana del tetraedro. Analogamente, ma ed m4 possono essere interpretate come rotazione di 180 attorno alle mediane CD, EF rispettivamente (fig. 10.5). Quindi, il tetragruppo può essere raffigurato come un particolare insieme di movimenti che portano il tetraedro regolare a coincidere con se stesso: le rotazioni di 180 intorno 0

0

0

140

Gruppi di permutazioni

alle mediane. Si può mostrare che le tre mediane di un tetraedro regolare si incontrano in un punto ad esse comune e sono perpendicolari tra loro: quindi si può considerare il tetragruppo come un insieme di rotazioni in se stesso di 2

4

3

2

3

m3 =(lJ) (24) Fig. 10.5

un insieme di assi mutuamente perpendicolari (per questo è chiamato gruppo trirettangolo). Nel prossimo paragrafo esamineremo la totalità dei movimenti di congruenza di un tetraedro regolare - il gruppo tetraedrico - e vedremo che il tetragruppo costituisce un sottogruppo del gruppo tetraedrico. Esercizio 49 a) Costruire un gruppo di permutazioni di sei simboli isomorfo

al gruppo diedrico Da di ordine 6. b) Rappresentare ciascun elemento di questo gruppo di permu-

tazioni mediante cicli. Esercizio 50 Dati sei elementi I, a = (1 2 3), b = (l 3 2), c = (l 2), d = (l 3), e = (2 3), mostrare che costituiscono il gruppo diedrico Da di ordine 6. (Osservazione: Gli elementi del gruppo sono qui espressi mediante permutazioni su tre cifre, mentre nell'esercizio precedente erano espressi mediante permutazioni su sei cifre).

n gruppo

tetraedrico.

Un importante e interessante insieme di gruppi è associato ai movimenti di congruenza dei cinque poliedri regolari.

Gruppi di permutazioni

141

Questi cinque poliedri sono il tetraedro, il cubo (o esaedro), l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. Va al di là delle intenzioni di questo libro trattare tutti questi gruppi nei particolari. Ci limiteremo a una breve discussione del

4

Fig. 10.6 2

3

gruppo del tetraedro. Va tenuto presente che l'operazione binaria di gruppo è la successione, o « seguito da », come in tutti i gruppi di movimenti. (Si consiglia al lettore di usare un modello fisico di tetraedro per aiutarsi a vedere i movimenti descritti in seguito). Cominciamo la nostra discussione sul gruppo di movimenti di congruenza di un tetraedro regolare contando gli elementi distinti del gruppo e poi isolando certi movimenti fondamentali che generano l'intero gruppo. Il nostro procedimento sarà un'estensione di quello precedentemente usato nello studio del gruppo diedrico Da dei movimenti di congruenza di un triangolo equilatero (p. 39). Scegliamo come asse di rotazione l'altezza del tetraedro tracciata dal vertice 4 al triangolo di vertici 1, 2 e 3 e gli diamo la direzione indicata nella figura 10.6. Supponiamo che la punta della freccia dell'asse sia la punta filettata di una vite destrogira e indichiamo con r la rotazione di 120° nella direzione di avvitamento della vite. Se ruotiamo il tetraedro attorno a questo asse, il vertice 4 rimane fisso e possiamo ottenere le tre posizioni distinte indicate con I, r, r2 nella figura 10.7. Per giungere alle altre posizioni in cui il tetraedro coincide con se stesso abbiamo bisogno di movimenti che sostituiscano il vertice 4 con gli altri tre vertici. Poiché con ciascuno dei quattro vertici messo al-

142

Gruppi di permutazioni

l'apice vi sono tre posizioni del tetraedro, in tutto vi sono dodici distinti movimenti di congruenza di un tetraedro regolare. Il gruppo tetraedrico è di ordine 12. Un movimento di congruenza che sostituisca un vertice 4

4

l l

3 3

2

r

Fig. 10.7

all'apice con un altro vertice è una rotazione di 180° intorno alla mediana del tetraedro. Indichiamo con fil ribaltamento (o rotazione di 180°) attorno alla mediana AB: con questo movimento arriviamo alla nuova posizione mostrata nella figura 10.8. (Si noti che f scambia le coppie di vertici 2, 4 e I, 3). La posizione che risulta quando il movimento r è 4

2

ribaltamento 2

4 3

Fig. 10.8

seguito da f è mostrata nella figura 10.9, e la figura 10.10 mostra f seguito da r. Il lettore verifichi che tutti i dodici movimenti di congruenza del tetraedro possono ottenersi combinando delle r e delle J, cioè, r e f generano il gruppo tetraedrico. Si noti, in particolare, che le posizioni risultanti da ribaltamenti

Gruppi di permutazioni

143

attorno a ciascuna delle tre mediane possono esprimersi con parole in r ed f. Ma abbiamo già visto che questi movimenti costituiscono un'interpretazione concreta del tetragruppo (p. 140). Quindi il tetragruppo è un sotto4

2

3

3 2

Fig. 10.9

gruppo del gruppo tetraedrico. Gli elementi generatori r e f espressi come rappresentazioni dell'insieme dei quattro vertici su se stesso sono: r

=

f

=

G ~ i :) = G~ i ~) =

(l

2 3) = (l

(1

3) (2 4).

2) (1

3)

3

2

2

3

Fig. 10.10

Osserviamo che sia r che f sono prodotti di due cicli con due simboli in ciascun ciclo. Il significato completo di questa osservazione non può essere indicato ora, ma nella discussione sui gruppi simmetrici e alterni in uno dei paragrafi

144 Gruppi di permutazioni

seguenti (p. 177) svilupperemo le implicazioni di questa osservazione. Per ora notiamo che il gruppo tetraedrico viene spesso indicato con A 4 , che indica il gruppo alterno relativo a quattro simboli. Grafo del gruppo tetraedrico A4. Costruiremo un grafo di A4 con un procedimento analogo a quello usato per tracciare il grafo dei gruppi diedrici (p. 69). I

I

I

I

I

'v·

I

I

I

I

•

\

,

I I

,

I

\

I I

I

, ,

I

•

I

I

, ,

I

I

\.

f>-------1------- O. Da x'(x'-' - 1) == O e x' # O concludiamo che x·-, - 1 = O (mod p). (Qui ci siamo serviti del fatto che, modulo un numero primo p, ab = O se e solo se a O oppure b O; il lettore verifichi questa affermazione e la interpreti in termini di «multipli di p »). Ora sia y il resto della divisione di X·-,-l per p. Allora X·-,-l p (mod p) e, se moltiplichiamo ambedue i membri per x, otteniamo x·-, xy (mod p). [Verificare che se a = b (mod p) allora xa = xb (mod p)]. D'altra parte, abbiamo dimostrato che 1 O; ne consegue che = 1 (mod p). Perciò xy 1 (mod p).

=

=

=

= =

x·-,

=

x·-, -

=

Esercizio 5 a) Moltiplicando a sinistra per a-l abbiamo bx = a-le. Allora moltiplicando a sinistra per b-l arriviamo alla x = b-Ia-lc. b) x = a-lcb- l . c) x = cb-la-l.

206

Soluzioni

d) Moltiplicare a destra per x nella prima relazione; allora

ax = bx 3 = bI = b, oppure ax = b, perciò x = a-lb. e) 1= x 4 = ax, perciò x = a-l. I) Moltiplicando a sinistra per x abbiamo I = xabc. Con ripetute, opportune moItiplicazioni a destra, abbiamo, successivamente, C-l = xab, c-lb- l = xa, x = c-lb-la- l . Esercizio 6 Dalle proprietà fondamentali di una tavola di moltiplicazione (e dagli assiomi di gruppo) abbiamo uw = s, o u = sw- l = sv; a) vw = I, o W-l = v; vz = r, o z = v-1r; perciò x = uz = (sv) (v-lr) = sr uz = r, o z = u-lr = wr; b) uw = I, o u- l = W; perciò x = vz = (sw- l ) (wr) = sr vw = s, o v = sw- l ; uw = s, o W = u-ls = zs; c) uz = I, o u- l = z; perciò x = vw = (rz- 1) (zs) = rs. v = rz- l ; vz = r, o w u

v

w

s---------x ,

,

,, }---------~

u

I ---------T

v

s---------x

(a)

(b)

u

s---------I X---------T

(c)

Esercizio 7 1

2

1

2

3

4

---l

3

4

---I 2

2

4

1

3

- -- 3

3

1

4

2

- -- 4

4

3

2

1

Esercizio 8 a) Gruppo ciclico.

b) Gruppo ciclico. c) Non è un gruppo poiché l'insieme non contiene l'elemento unità di un gruppo additivo, cioè lo zero. d) Gruppo ciclico.

Soluzioni 207

Esercizio 9

f

---1

fr &...._ _ _ _---.;a fr 2 Esercizio lO I

- - t=='

r

,2

ir

i

ir2

----------

I I r r2 ir i i" - - I--- - - - - - -- - - -

r

,2

r

,2

" I

I

i'

----

,

i,2

i"

i

i

ir

,

,2

- -- -

------ -

i

i

i'

i'

f'

f,2

i,2

f,2

i

f,2

I

-------

f

,

,2

I

- - --- - -- -

f'

,2

I

,

---f

I&-------------~

208 Soluzioni

La tavola di moltiplicazione mostra che si ha un gruppo. (Per esempio, ciascun elemento ha un unico inverso). Si noti che il gruppo è commutativo. Esercizio Il La parola rsr corrisponde ai seguenti percorsi, con i punti iniziali presi successivamente in A, B, C:

A a B a C a A chiuso C a A a A a B Non chiuso.

B a C a B a C Non chiuso

Esercizio 12 Come conseguenza di frfr- 2 = I abbiamo r 2 = Ir 2 = (frfr- 2)r2 = = frf. Questo implica fr 2f = f(frf)1. oppure, poiché f2 = I, fr2f = r; e cosi r 2 = (fr 2f) (fr 2f) = fr 4f. Da ciò segue fr4f = frl. e questo implica r 4 = r e r 3 = I. Infine I = r 3 = r(r 2) = r(frf) stabilisce l'ultima relazione dell'insieme A. Esercizio 13 a) Possiamo scrivere (y3)2 = (xyx-l) (xyx-l) = xy(x-IX)yx-1 = xy2x-1 , (y3)3 = (xy2x-l) (xyx- l ) = xy3x-1 . Ponendo xyx- l al posto di y3 a destra nella seconda equa-

zione, abbiamo x(x)'X-I)X- 1

=

y9, oppure x2yx-2

=

y9.

Poiché X2 = I implica x- = I, possiamo concludere che y = y9, oppure y8 = I, come abbiamo asserito. (y è di pe2

riodo al massimo 8). b) Abbiamo y2n = (yn)2 = (xyx- l ) (xyx- l ) = xy2x-l. Similmente, y3 n = (yn)3 = xy3x-l. Continuando in questo modo, arriviamo a (yn)n = yn2 = xynx-l = x(xyx-I)X- 1 = x2yx-2 = y (poiché X2

= I).

Perciò, ynl = y, e yn'-l = I. (Cosi y è di periodo al massimo n2 - 1). Esercizio 14 a) Usiamo lo stesso metodo dell'esercizio 13. Abbiamo (uvu- l ) (uvu- l ) = (V 4)2, oppure UV2U- 1 = (V 4)2. Continuando cosi, arriviamo successivamente a UV 3U- 1 = (V 4)3 e UV 4U- 1 = (V 4)4. Mettendo uvu- l al posto di v., abbiamo u(uvU-I)U- 1 = VIS, oppure U2VU- 2 = vlS • Poiché sappiamo che u3 = I, ma non abbiamo una conoscenza particolare

Soluzioni 209

di u2 , possiamo continuare a moltiplicare successivamente, fino ad arrivare a u 3 nel membro di sinistra. Perciò abbiamo (U 2VU- 2) (U 2VU- 2) = (V I6 )2, oppure, U2V2U- 2 = (V I6 )2. Continuando, arriviamo successivamente a U2V 3U- 2 = (V I8 )3 e U2V'U- 2 = (V I8 )'. Questo implica u 2(uvU- I )U- 2 = (V18 )' oppure U 3VU- 3 = v 8'. Da u3 = l, ora possiamo concludere che v = v8 'o oppure V 63 = J. Cosi, v è di periodo al massimo 63. b) Procediamo come sopra: (Vk )2 = (uvu- I ) (uvu- 1) = UV 2U- 1 ; (vk)k = UV k U- 1 = U (uvU- 1)U- 1 = U2VU- 2 allora (vk')k = (U 2vu- 2)k = U2Vk U- 2 = u 2(uvU- I )U- 2 = U 3YU- 3 cioè, v k ' = U 3VU- 3• Continuando cosi, arriviamo a v km = umvu- m = v (poiché u m = l), cosi v km - I = l; v è di periodo al massimo k m - 1. [Nota: gli Esercizi 13 e 14 illustrano la relazione generale di gruppo (UYU- 1)n = = uvnu- I ]. V2k vk'

= =

Esercizio 15 Dall'Esercizio 13 sappiamo che y è di periodo finito e che y8 = l. Questo suggerisce di servirsi di un ottagono come figura fondamentale nel grafo. Il metodo per la soluzione ora diviene poco evidente, e infine arriviamo al seguente grafo.

y ---------

X

Esercizio 16 Sappiamo dall'Esercizio 14 che il periodo di t è al massimo k n - 1. r indichi il periodo di t. (Supponiamo r > 1, poiché altrimenti abbiamo il caso particolare in cui t = l). Da t' = l deduciamo t-l = t,-l. Similmente, sn = I implica S-I = sn- 1. (Qui, inoltre, supponiamo n > 1 per evitare il caso senza impor-

210

Soluzioni

tanza in cui s = I). Perciò in una parola qualsiasi W possiamo mettere sn-1 al posto di S-l e t r - 1 al posto di t-l, e cosi ogni possibile parola che rappresenti elementi del gruppo può essere espressa attraverso potenze positive di s e t. Ora, partendo dalla relazione assegnata sts- 1 = tk, possiamo moltiplicare per s a destra fino ad arrivare a st = tks. Cosi, in una parola, possiamo sostituire la successione st con tks. Se viene ripetuto questo procedimento in una data parola contenente la successione st, arriviamo alla fine a una parola in cui tutte le potenze di t sono alla sinistra di tutte le potenze di s. Perciò, una parola del gruppo e uguale a una parola della forma tXsY. Inoltre, abbiamo soltanto r scelte per x (poiché t r = I) e soltanto n scelte per y; da ciò segue che ci sono al piii rn elementi distinti nel gruppo. Poiché r < k n - 1, concludiamo che il gruppo è dell'ordine al massimo (k n - l)n. Esercizio 17 L'Esercizio 14 ci dice che t 7 = I. Ma poiché 7 è primo, il periodo di t è esattamente 7. L'Esercizio 16 ci permette di concludere che il gruppo è di ordine 21. Un grafo del gruppo potrebbe essere basato o su tre ettagoni o su sette triangoli (corrispondenti a S3 = I e t 7 = I). Ecco un grafo del gruppo di ordine 21 basato su sette triangoli.

Soluzioni 211

r a = I) per arrivare alle seguenti potenze di g = Ir. g = Ir; g4 = (/r)4 = (r 2)2 = r; g2 = (fr)2 = r2; g6 = (Ir)6 = (fr)r = Ir 2; ga = gg2 = (fr)r 2 = I ; gS = (g3)2 = f2 = I. Cosi, g genera il gruppo ciclico Cs. Esercizio 19 a) C2 X C, ha origine da C2 : generatore a, relazione di definizione a2 = I; e C,: generatore b, relazione di definizione b 4 = I. La definizione di C2 x C, richiede che a e b siano commutabili, cioè, ab = ba, oppure aba- 1b- 1 = I. Cosi C2 x C, ha come generatori a e b con le relazioni a2 = b 4 = aba- 1b- 1 = I. Tali relazioni corrispondono al seguente grafo di un gruppo commutativo di ordine 8.

b a

b) Cs X Ca ha origine da un gruppo generato da a, con la relazione aa = I, e da un gruppo generato da·b,'con la relazione ba = I. Poiché a e b sono commutabili in Ca X Ca, aba- 1b- 1 = I.

Allora Ca X Ca è generato da a e b con le relazioni aa = ba = aba- 1b- 1 = I. Abbiamo questi due grafi per questo gruppo di ordine 9. (Sono essi topologicamente equivalenti ?).

--

.... , , .-",.~---- -....... " " , /' "

/ / ,

,

I

I

"

,.,-

-....

\.

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\ , \ : :

I ;Z , \ ' ,/ k

\

\

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,

/U\

---- b \

,

1

/

lf\.\

a I

',,'

\', ~',

__ .... _-,

/,',' ,

~ .,,' / " ........ - .... -........ // ", .- , ............ _- .... --'

1

II

' ' ')A,' \ \ I

r "

"

..

\

'~' ~ / ----.::;--- \ I

I

/1 ... ;-f. "

-_\-

,

:\

----~----

Esercizio 20 C2 : a2 = I. Da: r a = f2 = (rl)2 = I. Poiché a è commutabile sia con r che con I in C2 x Da, ara- 1r- 1 = I e ala-y-l = I.

212

Soluzioni

Se ci sono elementi x e y di C 2 x Da tali che x a = y2 = (xy)2 = I (relazioni di definizione di D6), allora Da è contenuto in C2 X Da. Poiché ar = ra implica (ar)2 = a 2r 2 = r 2 , e r 2 è di periodo 3, ar = x è di periodo 6. Supponete di prendere y = I e di provare a vedere se (xy)2 = = (arf)2 = l. Abbiamo (arf)2 = a2(rf)2 = I· I = l. Cosi, gli elementi x = ar e y = I soddisfano le relazioni di definizione di Da, e Da è contenuto in Cs X Da. Per provare che D6 = C2 X Da basta dimostrare che C2 x Da ha lo stesso numero di elementi di D 6 , cioè 12. Poiché a è commutabile sia con r che con J, qualsiasi parola in questi tre generatori è equivalente alla parola ricavata portando a sinistra tutte le potenze di a, mentre viene lasciato invariato l'ordine di tutte le potenze di r e I; per esempio, larlr 2a21 = aalrl r 2/. Cosi il numero degli elementi distinti in C2 X Da è il prodotto del numero di elementi di Cs (2) e del numero di elementi di Da (6). Esercizio 21 Da a2 = b2 concludiamo che a = a- 1b", a = b"a- 1 e ab- 1 = = a- 1b. Da a2 = abab, concludiamo che a = bab e ab- 1 = ba. Cosi, a- 1b = ba. Perciò, (ab)2 = abab = (a-W)b(b 2a- 1 )b = = a- 1b 6(a- 1b) = a- 1b 6(ba) = a- 1(a 6 )a = a 6 , (poiché a 2 = b 2), e cosi a" = (ab)2 = a 6 • Ne consegue che a' = I, e b' = l. Cosi il grafo ha dei quadrilateri allacciati, corrispondenti a a' = = b' = l. Questo è il grafo di un gruppo non commutativo di ordine 8, il cosiddetto gruppo quaternione, che esaminiamo nel Capitolo 12.

a ----_- b

Esercizio 22 a)

DCII

-------- g - ...---... -----...- - -...------...- - -...'----

Soluzioni

b) Indichiamo con gl'elemento rf. Possiamo scrivere

213

f2 =

g2 = I, r = gl-l = g/, e r- l = Ig. Cosi ogni parola in r e 1 può essere espressa in termini di 1 e g. Inversamente, da 1 2 = g2 = I, deduciamo 1 2 = (rl)2 = I, e in una qualsiasi parola in 1 e g possiamo mettere rl al posto di g e arrivare soltanto a una parola in r e f. =

Esercizio 23 Identità: Se a è in H, allora aa- l = I è in H. Inversi: Se b è in H, allora anche Ib- l = b-l è in H. Chiusura: Se a e b sono in H allora b-l è in H e da ciò segue che a(b-l)-l = ab è in H. Esercizio 24 a) Chiusura: I(ba) = (ba)I = ba, (ba)2 = I. Inversi: (ba)-l = ba poiché (ba)2 = I. b) I, a, a2 (questi formano il gruppo ciclico Ca). c) Non c'è un sottogruppo di ordine 4. Un sottogruppo siffatto dovrebbe contenere almeno un elemento di ciascuno di questi due insiemi: {a, a2 } e {b, ba, ba 2 }. Ma ogni coppia di elementi formata di un elemento di ciascuno di questi due insiemi genererebbe tutti i sei elementi del gruppo. Esercizio 25 Gli elementi di Cs sono a, a2, a 3 , a4, a S = I. Il periodo di a è 5, e quello di ogni altro elemento ak =1= I di Cs è al massimo 5 poiché, per k = 2, 3 o 4, (ak)5 = (a 5 )k = I. Se assumiamo il periodo di alcuni elementi ak(l < k < 5) uguale a n < 5, allora arriviamo alla contraddizione (ak)n = a kn = I, dove kn non è un multiplo di 5. Cosi ogni elemento di Cs (oltre I) è di periodo 5. Da ciò segue che ogni sottogruppo di Cs contenente x =1= I avrebbe cinque elementi distinti e non sarebbe un sottogruppo proprio. Esercizio 26 a) Chiusura: 3m + 3n = 3 (m + n). Inversi: 3m + (- 3m) = O. b) Chiusura: jn + kn = (j + k) n. Inversi: kn

+ (- kn) = O.

Esercizio 27 Indicare l'insieme di tutti gli elementi comuni a R e S con

Rns.

Chiusura:

tI

e

t2

siano in R n S. Ciò significa che

tI

e 12 sono

214

Soluzioni

in R, e che tI e t 2 sono in S. Poiché R ed S sono gruppi, t l t 2 sono in R ed anche in S, perciò in R n S. Inversi: Se t è in R n S, allora t e quindi t-l, è nel gruppo R; t e quindi t-l, è anche in S, cosi t-l è in R n S. Esercizio 28 a) L'addizione è un'operazione binaria additiva nell'insieme, poiché (a + ib) + (x + iy) = (a + x) + i (b + y), e a + x e b + y sono interi se lo sono a, b, x, y. Identità: (a + ib) + O = a + ib = O + (a + ib). Inversi: (a + ib) + (- a - ib) = O. b) Chiusura: (r + is) + (x + iy) = (r + x) + i (s + y), e r + x e s + y sono ambedue pari se lo sono r, s, x, y. Inversi: (r + is) = (- r - is) = O. Esercizio 29 Supponiamo che le classi laterali rH e sH abbiano almeno un elemento in comune, per esempio rh l = sh 2 • Allora s-lr = h2hl - l è un elemento di H, e s-lrh = h2hl - lh esprimerà tutti gli elementi di H via via che h esprime successivamente ogni elemento di H. Da ciò segue che s (s-lrh) = s (h 2hl - lh), oppure rh = = s (h 2hl - l h), ed anche rH = sH. Cosi, le due classi laterali sono identiche se hanno almeno un elemento in comune. Esercizio 30 a) Classe laterale rJ = {rA, rj2' ... }. Poniamo c = rjk (cioè, c è un elemento della classe laterale rJ). Allora la classe laterale cJ = (rA)J = {r(jkjl), r(jkj2), ... }. Ma gli elementi jkjh Aj2' ... costituiscono una nuova disposizione del gruppo J. Allora, cJ = rJ come affermato. b) Se r-lc è in J possiamo scrivere r-lc = jk, dove jk è un elemento di J. Moltiplicando a sinistra per r si ha c = rjk, che dimostra che c è in rJ, ed anche che classe laterale cJ = classe laterale rJ. Supponete poi che: classe laterale cJ = classe laterale rJ. Allora ogni elemento cjk in cJ è uguale ad alcuni elementi rjn in rJ; cioè, Cjk = rjn, dove jk e jn sono elementi di J. Moltiplicando a sinistra per r- l e poi a destra per A- l otteniamo r-lcjk = jn, r-lc = jnA - l . Poiché jk e jn fanno parte del sottogruppo J, che fanno parte anche A-l ejnA- l = r-lc. Esercizio 31 Una dimostrazione può essere basata su quest'idea: Se xJ e yJ sono due qualunque classi laterali sinistre distinte di L, allora Jx- l e Jy-l sono due classi laterali destre distinte. Oppure, inversamente: Se Jx- l e Jy-l non sono distinti, allora non lo

Soluzioni

215

sono né xJ né yJ. Per vedere che ciò è vero, supponiamo che un elemento di Jx- l sia uguale ad alcuni elementi di Jy-l; sia jlX- l = j2Y- l . Allora X-l = A-lj2Y-l, e x = yj2 -lA = = y(j2- 1jl) è un elemento di yJ. Cosi se Jx- l e Jy-l non sono distinti, allora xJ e yJ hanno l'elemento x in comune e non sono distinti. Poiché è stabilito che tutte le classi laterali sinistre sono distinte, sono distinte anche le classi laterali destre considerate. Esercizio 32 Classi laterali sinistre: K = {I, a, a 2 } e bK = {b, ba, ba 2 }. Classi laterali destre: K = {I, a, a 2 } e Kb = {b, ab, a 2b}. Poiché (ba)2 = baba = I, vediamo che ba = a- 1b- 1 = a 2b. Similmente, ab = ba2 • Cosi, le classi laterali sinistre e destre sono uguali. Esercizio 33 a) Chiusura: Per due qualunque elementi di H abbiamo aja k = = a j + k. Poiché j + k = nq + r, dove q e r sono interi con O .;;; r < n, a j + k = (an)qa r = a r è un elemento di H; Inversi: Se aj è in H, allora anche a n - j è in H, e ajan - j =

=an=I. b) Se g è l'ordine di G e n è il periodo di un elemento di G,

allora g è un multiplo di n, per il teorema di Lagrange. In altre parole, il periodo di un qualsiasi elemento di un gruppo finito è un divisore dell'ordine del gruppo. Esercizio 34 a) Poiché g è di periodo n, e 1 è l'elemento identità del gruppo «dei resti », abbiamo gn == 1 (mod p), ossia gn - 1 = O (mod p). b) Poiché n è il periodo di g, p - l deve essere un multiplo di n (Esercizio 33 b); sia p - l = kn. Allora, poiché gn 1 (mod p), certamente (gn)k == 1 (mod p), cioè, gP-1 - 1 == O (mod p), oppure gp-l - 1 è un multiplo di p.

=

Esercizio 35 Poiché a non è un multiplo di p, abbiamo a =le O (mod p); di conseguenza, a = r (mod p), dove r è uno dei numeri 1, 2 ,... , p-l, e anche a - r= O (mod p). Ora considerate

rP- 1 = (a - r) (a p - 2 + aP- 3 r + ... + rP- 2). Poiché a - r == O (mod p) abbiamo aP - 1 - rP - 1 == O (mod p) (modulo un numero primo, ab == O se, e solo se, a == O oppure b O). cioè, (a p - l - 1) - (rP - 1 - 1) O (mod p). aP-

1 -

=

=

216

Soluzioni

Dall'Esercizio 34 b, sappiamo che rP-l - 1 = O (mod p), cosi possiamo concludere che a P- l - 1 = O(modp). Di qui a P - a = = a(aP - l - 1) = O (mod p). Ciò dimostra il teorema di Fermat. Esercizio 36 a) x sia il periodo di ab, e y il periodo di ba; possiamo scrivere (ab)x = a(ba)x-lb = I e moltiplicando per a-l a sinistra e per b-l a destra si ha (ba)x- l = a-lb- l = (ba)-l. D'altra parte, (ba)x- l = (ba)x (ba)-l; ne consegue che (ba)x = I. Poiché y è il periodo di ba, x è un multiplo positivo di y. Lo stesso procedimento applicato a (ba)Y ci porterebbe a concludere che y è un multiplo positivo di x. Di qui x = y. b) m sia il periodo di a e n il periodo di b. Dobbiamo dimostrare che (ab)mn = I, perché ciò implica che mn è un multiplo del periodo di ab. Poiché ab = ba, possiamo cambiare liberamente l'ordine di a e b in qualunque prodotto (ab)k. Perciò (ab)mn = amnbmn = (am)n . (bn)m = I· I = I. c) Supponete che ab sia di periodo r. Dalla sezione precedente, (b), sappiamo che r è un divisore di mn, e perciò r deve essere della forma mInI> dove mI è un divisore di m, e nl è un divisore di n (includendo la possibilità che mI = 1, oppure mI = m). Allora 1= (ab)r = (ab)'(m/m,) = (ab)m(r/m,) = (ab)mn, = = amn ,. bmn , = bmn" poiché am = I. Da bmn , = I concludiamo che mnl è un multiplo di n, sia mnl = kn. Allora m = k(n/nl)' cosi tutti i fattori primi di m devono essere tra i fattori primi degli interi k e n/nl' Ma poiché m e n sono primi fra loro, m e n/nl sono primi fra loro, e perciò la scomposizione in fattori primi di m è precisamente quella di k. Cosi n/nl = 1, oppure n = nl' Similmente, da I = (ab)r(n!n,) = am,n, concludiamo che m = mI' Cosi, r = mInI = mn, come asserito.

Esercizio 37 Proviamo l'inverso: Se una rappresentazione f è omomorfa, allora f(l) = I. Per qualunque elemento r di G, f(r) = f(lr) = = f(l)f(r). Moltiplicando a destra per [f(r)]-\ abbiamo I =f(l) in H. Esercizio 38 Abbiamo I = f(l) = f(xx- l ) = f(x)f(x- 1 ), oppure 1= f(x)f(x- 1). Moltiplicando a sinistra per [f(x)]-\ abbiamo [f(X)]-l =f(x- l ).

Soluzioni 217

Esercizio 39

= f(x)f(y-l) = f(x)[f(y)]-l (per l'Esercizio 38) = f(y)[f(y)]-l [poiché f(x) = f(y)] =1 Similmente, f(x- 1y) = I.

f(Xy-l)

Esercizio 40 a) f(xy) = f(x)f(y) = I· I = I. b) f(xy) = f(x)f(y) = I, per ipotesi. Allora f(y) = [f(x)]-l, e perciò f(yx) = f(y)f(x) = [f(x)]-lf(x) = I.

Esercizio 41 Dimostreremo che la rappresentazione f che assegna a ogni intero n in G il suo doppio 2n gode di tutte le proprietà richieste. Per la rappresentazione f(n) = 2n, oppure n ..... 2n, f(m + n) = = 2(m + n) = 2m + 2n =f(m) + f(n). Inoltre, f(m) = f(n) significa 2m = 2n, che è vero se, e solo se, m = n (Potrebbe esserci una rappresentazione isomorfa di un gruppo finito su un sottogruppo proprio ?). Esercizio 42 Qualsiasi elemento di G può essere rappresentato da rk , con k = 0, ± 1, ± 2, ... , e qualunque elemento di H è della forma r kn , k = O, ± 1, ± 2, .... Se x è un elemento di G, sia f la rappresentazione f(x) = xn, cioè x ..... xn. Allora, per due elementi qualunque x e y di G,

G

H

x ..... xn y ..... yn xy ..... (xy)n cioè f(xy)

= xnyn (poiché G è Abeliano)

= f(x)f(y).

Perciò, la rappresentazione f è omomorfismo di G su H. Dimostriamo poi che f(x) = f(y) implica x = y. Poiché x e y sono elementi di G, essi sono delle forme x = r a , y = r b, cosi xn = r an , yn = r bn . Perciò, f(x) = f(y) se, e solo se, ran = rbn , e ciò è vero in un gruppo ciclico infinito se, e solo se, an = bn, oppure a = b. Cosi x = y, e f è un isomorfismo. Esercizio 43 Se x è un elemento di G, esso può essere indicato con rk , k = 0, ± 1, ± 2, .... Definite f: G ..... H mediante la rk ..... I se k è pari, rk ..... b se k è dispari.

218

Se

Soluzioni

=

e y =

allora I se k l + k 2 è pari xy = r 'r • = r ,+ • ~ b se k l + k 2 è dispari. k l + k 2 è pari se, e solo se, k l e k 2 sono o ambedue pari o ambedue dispari, cioè se f(x) = f(y) = I o f(x) = f(y) = b. In ambedue i casi, f(xy) = f(x)f(y) = I. Se è dispari soltanto k l o k 2, per esempio kb mentre l'altro è pari, allora f(xy) = b e f(x)f(y) = bI = b, cosi f(xy) = f(x)f(y). La rappresentazione f è omomorfa. Poiché una rappresentazione di un insieme infinito G su un insieme finito H non può essere mai biunivoca, essa non può essere un isomorfismo. x

k

r k, k

k

rk.,

k

l

~

Esercizio 44 Se x e y sono due elementi qualsiasi di G, la rappresentazione f significa x ~ r-lxr y ~ r-lyr xy ~ r-l(xy)r = r-lx(rr-l)yr f(xy) = f(x)f(y).

= (r-lxr) (r-lyr)

Cosi f è una rappresentazione omomorfa. Per verificare l'isomorfismo, osserviamo che f(x) = r-lxr = r-lyr = f(y) se, e solo se, x = y. Cosi f è una rappresentazione isomorfa. Esercizio 45 Una condizione necessaria perché f sia un omomorfismo è che G sia un gruppo Abeliano. Per vedere ciò, osservate chef(xy) = = (xy)2, f(x)f(y) = x2y2, e (xy)2 = x2y2 implica yx = xy. Però, il fatto che G debba essere Abeliano non è sufficiente ad assicurare che la rappresentazione f(x) = X2 sia un isomorfismo perché nel gruppo Abeliano C 2 , per esempio, con gli elementi I e b, f rappresenta ogni elemento sull'identità, poiché X2 = I per tutti gli elementi x. Pili in generale, se G ha un elemento x#- I di periodo pari,f(x) = X2 non può essere un isomorfismo; perché, se 2n è il periodo di un elemento x, allora i due elementi distinti I e xn #- I sono rappresentati ambedue su I : I ~ 12 = I e xn ~ (xn)2 = x 2n = I. In realtà, il requisito che G sia Abeliano e non contenga elementi di periodo pari è sufficiente ad assicurare che f(x) = X2 sia un isomorfismo. Perché, se x#- y, allora c'è un elemento r = xy-l in G(r #- I) tale che x = ry, cosi X2 = xry. Ora, supponete X2 = y2; allora xry = y2, e xr = y, cosi r = x-ly = (xy-l)-l = = r- l • Ma se r = r-\ allora r 2 = I, contrariamente a quanto

Soluzioni 219

noi chiediamo, che G non abbia elementi di periodo pari. Cosi, l'ipotesi che sia x # y e X2 = y2 porta a una contraddizione e la rappresentazione x -- X2 è un isomorfismo. (II lettore dovrebbe verificare che esistono effettivamente gruppi finiti e infiniti che non hanno elementi di periodo pari. Ciò significa che o ciascun elemento x # I è di periodo dispari, oppure xn # l per tutti gli n). Esercizio 46 a) Vogliamo dimostrare che (1234)2

= (13) (24). (1234) (1234) rappresenta l e 3 come segue: 1-- 2, 2-- 3, cioè 1--+-3; 3 -- 4, 4 -- l, cioè 3 -- 1. Cosi abbiamo un ciclo chiuso (13). La rappresentazione di 2 e 4 è 2 --+- 3, 3 --+- 4, cioè 2 --+- 4; e 4 -- 1, l --+- 2, cioè 4 -- 2. Cosi, (1234)2 = = (13)(24).

b) (13) (24) (13) (24): l --+- 3,3

--+ 1, cioè l --+ 1; 2 --+- 4, 4 --+ 2, cioè 2 --+- 2. Similmente, 3 --+ 3 e 4 --+ 4. Cosi mi = I. e) m~ = m: m2 = mam2 = (13) (24) (1234) : 1 --+- 3, 3 --+- 4, cioè 1 --+ 4; 4 --+- 2, 2 --+ 3, cioè 4 --+ 3; 3 --+- l,l--+- 2, cioè 3 --+- 2; 2 --+- 4, 4 --+ 1, cioè 2 -- 1. Cosi il risultato è (1432) = m4' d) (1234) (1432) : 1 -- 2, 2 --+- 1, cioè 1 --+- 1. Similmente, 2 -- 2, 3 --+ 3 e 4 --+ 4. Cosi m2m4 = I. Le relazioni che abbiamo stabilito ci mettono in grado di costruire la tavola di moltiplicazione di un gruppo M con gli elementi mI> m2' ma e m4'

Esercizio 47

Esercizio 48 a) m~ m~

= (12) (34) (12) (34) = l,

= (13) (24) (13) (24) =

l,

(m2ma)2 = (12) (34) (13) (24) (12) (34) (13) (24) = I. b) Poiché mzma = (12) (34) (13) (24) = (14) (24) = m4, la rap-

presentazione isomorfa è

(~1

:2

~a

:;4)

220

Soluzioni

Esercizio 49 I

r

---- ----

g.

g.

-~-'-!.g. g.

rf

f,

---- ----

g.

g.

------

-I

g.

I g.

g.

g.

g.

g.

(123456) 1 2 345 6

= g.

,

g.

g.

g.

g.

g,

g.

e

= (123)(456) = g.

g.

g.

(123456) 3 1 2 64 5

= (132)(465)

g.

g.

(123456) 4 6 5 1 3 2 -= (14)(26)(35)

-- ---t4

g.

g.

-:-1-:-

2 32 3456) 15 6 4

-= g.

----

f

g.

g.

g.

g.

-- --------

= g.

(1

g, ,f g. g. g. g. g. 5 42 63 42 51 6) 3 = (15)(24»(36 = g, -- -----------f, g. g. g. g. g. g. (123456) 6 5 4 3 2 1 = (16)(25)(34) = g. I I

Esercizio 50 Mostriamo che i cicli dati soddisfano alle relazioni di definizione a3 = c2 = (ac)2 = I di D3 con i generatori a = (123) e c = (12). a 2 = (123) (123) = (132) = b; ac = (123) (12) = (1) (23) = (23) = e; a 3 = a 2a = (132) (123) = (1) (2) (3) = I; ca = (12) (123) = (13) (2) = (13) = d. Cosicché a = a, a 2 = b, a 3 = I, c = c, ac = e, ca = d; ed anche a 3 = I, c2 = I, (ac)2 = I.

Esercizio 51 rfr 2 . r 2fr = rfr 4fr = rf(r 3)rfr = rfrfr (poiché r 3 = I) = rfrfr(f2) (poiché f2 = I) = (rfrfrf)f = f (poiché (rf)3 = I).

Esercizio 52 Se a è un elemento qualunque di G non appartenente ad H, allora, poiché G è d'ordine 2n e H è d'ordine n, le classi laterali

Soluzioni 221

sinistre rispetto ad H sono H e aH e le classi laterali destre rispetto ad H sono H e Ha. È chiaro che aH ed Ha indicano il medesimo insieme di n elementi di G che non appartengono ad H, cioè aH = Ha e perciò H è un sottogruppo normale. Esercizio 53 Per il Teorema 1 (p. 38) sappiamo che xgh xg2' ... , sono tutti elementi di G e pertanto, per lo stesso teorema, (Xg1)X- 1, (Xg2)X-I, ... sono tutti elementi di G. Esercizio 54 Se x = yxy-1 allora la moltiplicazione a destra per y dà xy = yx; inversamente se x ed y sono commutabili allora x = yxy-1. Perciò x è autoconiugato rispetto ad y se, e solo se, x ed y sono commutabili. (Se x è autoconiugato rispetto ad y, allora x(yx- 1) = yxy-1(yX- 1) = y e cosi y è autoconiugato rispetto ad x). Esercizio 55 Poiché K è un sottogruppo normale di G, per ogni elemento g di G si ha gK = Kg, cioè {gk h gk2 , ••• } e {k 1g, k 2g, ... } contengono gli stessi elementi. Segue che l'insieme ottenuto moltiplicando ogni elemento di gK a destra per g-l è proprio l'insieme K ottenuto moltiplicando ogni elemento di Kg a destra per g-l. Inversamente supponiamo che un sottogruppo K di G abbia la proprietà che gKg-1 = K per ogni g di G: è facile vedere che gK = Kg cioè che K è un sottogruppo normale di G. Esercizio 56 a) l. In primo luogo, poniamo che R· S mone che R· S è un sottogruppo.

= S . R e deducia-

Chiusura: Si consideri il prodotto di due elementi qualunque cioè rIsI ed r 2s2 dell'insieme R· S : (rIsI) (r2S2) = = r1(slr2)S2. Poiché R· S = S· R, l'elemento Slr2 dell'insieme S· R è uguale a qualche elemento di R· S, per esempio Slr2 = r3s3; cosicché (rIsI) (r2S2) = r1(r3S3)S2 = = (r 1r3) (S3S2) è un elemento di R . S. Inversi: Si consideri rIsI come elemento rappresentante di R· S. È chiaro che il suo inverso (r 1s1)-1 = Sl-lr1-1 è un elemento di S· R e perciò in base all'assunto che sia R . S = S . R, (r 1s1)-1 appartiene anche ad R· S.

222

Soluzioni

2. Ora supponiamo che R· S sia un sottogruppo e deduciamone che R . S = S . R. Indichiamo un elemento qualunque di R· S con risI e un elemento qualunque di S· R con S2r2. Mostreremo che risI appartiene ad S· R ed S2r2 a R· S. Osserviamo che (rlsl)-1 appartiene al sottogruppo R· S, pertanto (rlsl)-1 = qualche elemento di R· S = rjSk, e risI = (rjSk)-1 = Sk-lrj- l è un elemento di S· R. Inoltre S2r2 = (r 2- 1s2- 1)-1 appartiene ad R· S poiché R· S è un sottogruppo. Perciò R· S = S . R. b) Ora supponiamo che R sia un sottogruppo normale. Vogliamo mostrare che R· S = S . R è un sottogruppo. Sia S sia un elemento qualunque di S. Dal fatto che R è normale, sR = Rs per ogni S appartenente ad S. Poiché S . R è proprio l'unione di tutti gli insiemi sR, dove s appartiene ad S, ed R . S è l'insieme degli insiemi Rs, segue che R· S = S . R. Dalla a) concludiamo che R· S = S . R è un gruppo.

Esercizio 57 G è commutativo se, e solo se, due generatori qualsiasi ri ed rj soddisfano alla relazione rirjri-lrrl = I (ossia rirj = rjri) (1) Se la (1) è vera per i generatori di G, è sicuramente vera per quelli di G/K poiché ogni relazione di G è una relazione di G/K; ma non è detto che sia vero l'inverso. a) Se G è commutativo, la (1) vale in G e perciò anche in G/K. Cosicchè anche G/K è commutativo. b) Se G non è commutativo, la (1) non è vera per G. G/K è commutativo solo se la (1) è conseguenza delle relazioni aggiunte, altrimenti no. c) Se G/K è commutativo, la (1) è vera per G/K, ma non necessariamente per G. d) Se G/K non è commutativo, la (1) non è vera per G/K e non può essere vera per G poiché le relazioni di G sono un sottoinsieme delle relazioni di G/K. Cosicché anche G non è commutativo.

Esercizio 58 x2y-3 = l implica

X2 = y3. Si aggiungano le relazioni X2 = l e (xy)2 = I per formare un gruppo fattoriale G/K. L'insieme ampliato di relazioni per i generatori x ed y definisce il gruppo non commutativo D 3 , cosicché G/K è non commutativo. Allora, per l'Esercizio 57, concludiamo che G è anch'esso non commutativo.

Soluzioni 223

Esercizio 59 Indichiamo con nl il numero di simboli distinti nel primo ciclo, con n2 il numero di simboli distinti nel secondo, e cosi via; pertanto il numero totale di simboli negli r cicli è nl + n 2 + ... + + nr = n. Il primo ciclo si può esprimere come (nl - 1) trasposizioni, il secondo ciclo come (n2 - 1) trasposizioni, ... , e l'r-esimo ciclo come (nr - 1) trasposizioni. Il numero totale di trasportazioni è (nl - 1) + (n2 - 1) + ... + (nr - 1) = = (nl + n2 + ... + nr) - r = n - r.

Esercizio 60 Ogni permutazione si può esprimere come prodotto di cicli e questi, a loro volta, si possono esprimere come prodotto di trasposizioni. Supponiamo che (ajak) sia una qualsiasi trasposizione diversa da (ala2), (alaa), ... , (alan), cioè aj -=1= al ed ak -=1= al. Si osservi che (ajak) = (alaj) (alak) (alaj), dato che il secondo membro di questa equazione significa che al ->- aj, aj ->- aj, aj, ->- al cioè al ->- al; aj->- ah al ->- ak, ak ->- ak cioè aj, ->- ak; ak ->- ak, ak ->- ah al -+ aj cioè ak -+ aj. Segue che ogni prodotto di trasposizioni, e pertanto ogni permutazione, si può esprimere come un prodotto in cui figurano soltanto le n - l trasposizioni (a l a2), (alaa), ... , (alan).

Esercizio 61 Se A4 avesse un sottogruppo di ordine 6, questo sarebbe un sottogruppo normale poiché il suo ordine sarebbe la metà dell'ordine di A4. (Si veda l'Esercizio 52). Ma l'affermazione (4) del testo stabilisce che il massimo ordine possibile per un sottogruppo normale di A4 è quattro. Perciò A4 non può avere un sottogruppo d'ordine 6.

Esercizio 62 a) x a = (abe) (abe) (abe) significa a -+ b, b -+ c, c -+ a cioè a ->- a; b ->- c, c -+ a, a -+ b, cioè b -+ b; c -+ a, a -+ b, b -+ c,

cioè c -+ e. b)

X2

=

(ab) (cd) (ab) (cd) significa a ....... b, b -+ b, b ....... a, a ....... a

ossia a -+ a, ecc.

224 Soluzioni

Esercizio 63 Un n-gono regolare ha n angoli eguali ed n lati eguali. Poiché la somma dei suoi angoli è (n - 2) 180°, ogni angolo interno è di (n - 2) 1800/n. Suppongasi che k di tali n-goni si incontrino in un vertice V: poiché il piano ne è ricoperto, la somma dei k angoli interni intorno a V deve essere 360°, sicché

n-

n-= 2 oSSIa. k =

. k n- 2 k n - 2 1800 = 3600,OSSIa

2n n-2'

Le soluzioni (n, k) intere con n ;;:. 3, k ;;:. 1 sono n = 3, k = 6; n = 4, k = 4; n = 6, k = 3. Per vedere che non vi sono altre soluzioni si scriva

k=~=

2 1 - 2/n n- 2 e si osservi che per n > 6 si ha 2 < k < 3. Esercizio 64 Il triangolo « a linee continue» mostra che r 3 = l e dal triangolo « a trattini» si vede che S3 = l. L'esagono con lati alternativamente a linee continue e a trattini indica che (rs)3 = l. Cosicché si hanno le relazioni r 3 = S3 = (rs)3 = l. Esercizio 65 Ogni simmetria per riflessione ha il periodo 2, sicché a2 = b2 = = c2 = l. Queste simmetrie vengono appaiate e forniscono un quadrato: (bC)2 = l, un esagono (ac)3 = l; un dodecagono: (ab)8 = l. Perciò a2 = b2 = c2 = (bC)2 = (ac)3 = (ab)6 = l.

Bibliografia

Benché la letteratura sulla teoria dei gruppi sia enorme (nel 1940 esistevano circa lO 000 pubblicazioni sull'argomento; non sono disponibili statistiche aggiornate), vi sono pochissimi libri che possano essere assimilati da lettori a uno stadio iniziale del loro sviluppo matematico. Come uno dei pochi testi introduttivi citiamo:

W. LEDERMANN, Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver and Boyd, 1949 (pp. 170). Questo breve libro fornirà al lettore dimostrazioni semplici e brillanti dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti. Si può adoperarlo per ottenere informazioni sui sottogruppi normali, sui gruppi fattoriali, sui teoremi di Lagrange e Cauchy e risultati collegati. In particolare il libro di Ledermann espone i risultati della teoria dei gruppi necessari per capire l'applicazione fattane da Galois alla teoria delle equazioni algebriche. Un lettore che si sia fatto strada attraverso il presente libro non dovrebbe avere serie difficoltà col libro di Ledermann. Esso non contiene però una discussione degli aspetti geometrici della teoria dei gruppi. Lettori piu evoluti ed ambiziosi possono consultare i due libri seguenti:

W. BURNSIDE, Theory of Groups of Finite Order, Dover, 1955, ristampa della edizione del 1911 (pp. 512). Questo libro è un classico nel suo campo. Benché una parte del suo simbolismo e della sua terminologia siano considerati ora « superati », con esso il lettore può sempre estendere la sua conoscenza dei gruppi di permutazioni e dei teoremi di Sylow.

H. S. M. COXETER e W. O. J. MOSER, Generators and Relations for Discrete Groups, Springer Verlag, 1957 (pp. 155). Questo libro è difficile ma può fornire al lettore ulteriore materiale su argomenti speciali: I) Capitolo 3, « Grafi, Rappresentazioni e Diagrammi di Cayley». II) Capitolo 4, « Cristallografia astratta »; tratta dei gruppi che abbiamo chiamato gruppi « delle carte da parati ». Vengono discussi tutti i 17 gruppi infiniti « delle carte da parati ». III) Le tavole in fondo al libro danno le relazioni di definizione per tutti i gruppi d'ordine 30 o d'ordine minore, per tutti i gruppi « delle carte da parati» e per altre classi di gruppi.

226 Bibliografia Per i concetti geometrici adoperati in questo libro e per alcuni aspetti geometrici della teoria dei gruppi il lettore può consultare i seguenti testi di geometria.

O. ORE, I grafi e le loro applicazioni, (trad. dall'ingl.) in questa stessa serie, Bologna, Zanichelli, 1965). Il grafo di un gruppo non viene trattato in questo libro, ma il lettore ne può ottenere una veduta piu ampia delle applicazioni matematiche dei grafi. Il Capitolo 8 sui «Grafi planari» tratta dei grafi duali, dei «poliedri platonici» (i poliedri regolari), dei «mosaici» (i disegni delle «carte da parati»).

H. S. M. COXETER, Introduction to Geometry, New York, John

Wiley and Sons, 1961 (pp. 443). Questo è un libro piuttosto voluminoso, gran parte del quale dovrebbe essere accessibile a un lettore con modeste conoscenze dell'algebra. Gli aspetti delle simmetrie e dei disegni ornamentali studiati dalla teoria dei gruppi vengono discussi nei Paragrafi 2.4, 2.5, 3.7, 4.2, 4.5, 4.6; alcuni gruppi di movimenti sono studiati nei Paragrafi 15.4, 15.5, 15.6, e i poliedri regolari vengono descritti con cura nel Capitolo lO. Alcune delle illustrazioni sono molto interessanti e insolite.

H. STEINHAUS, Malhemalical Snapshots, Londra e New York,

Oxford Univo Press, II ed., 1960 (pp. 328). Questo è un libro di geometria, compresa la geometria dei disegni ornamentali, molto piu elementare che la Introduction to Geometry di Coxeter. Le illustrazioni sono particolarmente interessanti.

R. H. CROWELL e R. H. Fox, lntroduction lo Knot Theory, Ginn and Co., 1963 (pp. 182). Questo è un libro piuttosto elevato che presenta una trattazione rigorosa dei concetti topologici adoperati nel nostro capitolo sui gruppi di traiettorie. Tuttavia le pagg. 1-14 e il principio del Capitolo 6 (pagg. 72-78) daranno al non iniziato un'idea di ciò che dovrà affrontare. Inoltre alcuni degli esercizi di pagg. 11, 12 si possono affrontare in modo intuitivo e non richiedono conoscenze tecniche per essere apprezzati.

Indice analitico

Abel, N. H., Il, 38. Applicazione, v. Rappresentazione. Assiomi (della teoria dei gruppi), 18-22 Associatività, 18-20 assioma, 20 operazione, 18, 117 Autoconiugato elemento, 154 sottogruppo, 147, 154

Equazione (in un gruppo), 46. Equivalenti interi modulo n, 32 parole, 76 rotazioni, 27, 39 Estensione (di una rappresentazione), 113

Binaria, operazione classi laterali, 155, 156 gruppi, 23, 112, 117 insieme, 12 traiettorie, 182

Disegni delle carte da parati, 193 gruppi corrispondenti ai, 193 rappresentazione di una regione fondamentale, 193 Dodecaedro (moti di congruenza), 202 Dominio (di una rappresentazione), 113 Duale, schema, 193 Duali, poliedri, 172, 202

Galois, E., II, 147, 155, 202 Generatori di un gruppo, 38, 53, 60, 62 relazione di, 73, 91-92, 157, 160, 704 Gioco di prestigio, 192 Grafo di un gruppo, 56-70 gruppi ciclici, 56, 59 gruppi delle carte da parati, 193-201 gruppi diedrici, 69, 88 gruppi fattoriali, 159 gruppi poliedrici, 141, 202-203 gruppo dei quaternioni, 168-169 Gruppi cristallografici, 193 Gruppi di permutazioni, 131 traiettorie, 181 Gruppi diedrici, 69 commutativi, 87 infiniti, 88 relazioni di definizione, 69, 80, 86, 89 Gruppi infiniti, additivo, 24, 59 ciclico, 59 diedrico, 88 Gruppi isomorfi, 125-128 Gruppo abeliano, 38, 90, 153 additivo, 24, 59, 106, 159 alterno, 176 astratto, 128 ciclico, 54, 79, 99-100, 105 colorato, 60 fattoriale, 156 finito, 25 hamiltoniano, 170 libero, 73 modello di, 129, 136-139, 177 non commutativo, 38, 166, 170 poliedrico, 140, 144, 167, 172,202 quadratico, 87 semplice, 202, 204 simmetrico, 171 tetraedrico, 140-146 trirettangolo (v. tetragruppo) Gruppo dei quaternioni, 167-170 Gruppo « delle strade di città », 92, 191

Elementi commutabili, 16, 92 Elementi coniugati, 154

Hamilton W. R., 167

Cammino, v. Traiettoria Cauchy, A. L., 22, 179 Cayley, A., 23, 35, 57 Cayley, diagramma di,57 Chiusura sottogruppo, 97 sottoinsieme, 15 Cicli (permutazioni), 132-134 Classi di equivalenza modulo 2, 32 moti di congruenza, 27 parole equivalenti, 76 traiettorie omotope, lSI Classi laterali, 102 destre e sinistre, 103-106, 149-150 gruppo delle, 155-165 prodotto di, 155, 156 unione di, 103-104 Commutativi gruppi, 37, 87, 88, 91, 153 sottogruppi, 153 Congruenza, moti di cubo, 172 icosaedro, 202-203 poligono regolare, 59, 69 quadrato, 68 terna ortogonale, 202 tetraedro, 140-142 triangolo 25, 39, 68 Coppia ordinata, 16, 112 Cubo (moti di congruenza), 172

Fermat, teorema di, 109

228

Indice analitico

Icosaedro (gruppo dell'), 167, 202 Identità, 20-21, 116, 118, 123 Immagine (di una rappresentazione), 113, 118-119, 122 Insieme di definizione, di una rappresentazione, 113. Inverso di un prodotto, 48 elemento, 21 rappresentazione, 117-121 traiettoria, 184 Isomorfismo, 121, 125-128 Lagrange, J. L., 22, 101 Lagrange (teorema di), 102-109, 179 Logaritmo (come rappresentazione), 127, 128 Modulo addizione modulo n, 31-33 moltiplicazione modulo p, 34, 109 Moltiplicazione v. Prodotto di Moltiplicazione modulo p, 34, 109 Moltiplicazione, tavola di, 35, 49, 97-98, 126 diagonale principale, 37 Non commutabili (coppia di elementi), 16 Numeri ipercomplessi, 167-168 Numero primo Fermat, teorema di, 109 moltiplicazione modulo p, 34, 109 ordine di un gruppo, 25, 101, 108 Sylow, teorema di, 179 Omogeneità (del grafo di un gruppo), 63 Omomorfismo, 121-125 Operazioni di gruppo, 11-13, 16-17, 96, 112, 122 Ordine (di un gruppo), 25,54, 101,173, 177, 202 Ottaedro (gruppo dell'), 172 Parola, 56, 61 corrispondente a l, 63-66 equivalente, 76 vuota, 66, 73 Partizione di un insieme in classi, 77 Periodo di un elemento di gruppo, 54, 84-85, 204 Permutazioni, 131 cicli, 132-135 dispari, 176 gruppo di, 135-138 pari, 176 trasposizioni, 173-176 Poliedri duali, 172, 202

Polinomio alterno, 178 Polinomio simmetrico, 173 Prodotto di classi laterali, 155, 156 elementi di gruppo, 23 traiettorie, 182 Prodotto diretto, 89-94 Quaternioni, v. Gruppo dei quaternioni Rappresentante di una classe, 27, 78, 81, 183 di un insieme, 27 Rappresentazione, 111-130 biunivoca, 119 di una regione fondamentale, 194 equazione in due variabili, 113-114 119-121 inversa, 118-121 notazione, 112, 113 permutazioni, 119 Regione fondamentale, 194 Rete connessa, 64 Schema a scacchiera, 195-196 Schema duale, 193 Segmento orientato, 62 Sostituzioni, 131 Sottogruppo, 96-110 autoconiugato, 147 invariante, 147, 151 normale, 147 proprio, 98 Sottoinsieme, 14-15 Sylow, L., 179 Sylow, teorema di, 179-180 Terna, ortogonale, 202-203 Tetraedro, 139 mediana, 139 moti di congruenza, 141 Tetragruppo, 87, 138-139, 140, 165 Topologia, 65 Topologicamente equivalente, 66, 181 Traiettoria annodata, 191-192 chiusa, 63 corrispondente a I, 63-66 gruppi di, 181-192 inversa, 184 omotope, 181 su un grafo, 56-57, 61-66 Trasposizione, 173-174 dispari, 175-176 pari, 175-176 Unione di classi laterali, 103-104 Unità, elemento, 20-21 Varietà, 183, 187, 190

Finito di stampare il 30 dicembre 1970 in Torino presso la Stamperia Artistica Nazionale

Matematica Moderna

1J1M 1.

Philip J. Davis, Il mondo dei grandi numeri.

MM 2.

Oystein Ore, I grafi e le loro applicazioni.

MM 3.

Ivan Niven, Numeri razionali e numeri irrazionali.

MM 4.

W. W. Sawyer, Che cos'è il calcolo infinitesimale.

MM 5.

C. D. Olds, Frazioni continue.

MM 6.

Israel Grossman - Wilhelm Magnus, I gruppi e i loro grafi.

MM 7.

Edwin Beckenbach - Richard Bellman, Introduzione alle disuguaglianze.

MM 8.

Francesco Speranza, Relazioni e strutture.

MM 9.

Ettore Carruccio, Mondi della logica.