I grafi e le loro applicazioni

Table of contents :
Cover......Page 1
Indice......Page 10
Introduzione......Page 12
1.1 Tornei a squadre......Page 14
1.2 Grafi nulli e grafi completi......Page 16
1.3 Grafi isomorfi......Page 18
1.4 Grafi planari......Page 21
1.5 Problemi planari......Page 24
1.6 Numero degli spigoli di un grafo......Page 28
2.1 Le componenti......Page 32
2.2 Il problema dei ponti di Konigsberg......Page 34
2.3 Grafi di Eulero......Page 36
2.4 Ricerca di un itinerario......Page 40
2.5 Linee di Hamilton......Page 41
2.6 Indovinelli e grafi......Page 44
3.1 Alberi e foreste......Page 47
3.2 Circuiti e alberi......Page 49
3.3 Il problema del collegamento......Page 51
3.4 Strade e piazze......Page 54
4.1 I posti di lavoro e gli aspiranti......Page 58
4.2 Altre formulazioni......Page 61
4.3 Tornei circolari......Page 64
5.1 Nuovo esame degli incontri fra squadre......Page 69
5.2 Il problema del traffico a senso unico......Page 71
5.3 Gradi locali......Page 77
5.4 Grafi genetici......Page 79
6.1 Rompicapi e grafi orientati......Page 87
6.2 La teoria dei giochi......Page 90
6.3 Il paradosso del cronista sportivo......Page 96
7.1 Relazioni e grafi......Page 102
7.2 Condizioni speciali......Page 105
7.3 Relazioni di equivalenza......Page 109
7.4 Ordinamento parziale......Page 113
8.1 Condizioni per i grafi planari......Page 119
8.2 La formula di Eulero......Page 123
8.3 Relazioni tra grafi. Grafi duali......Page 126
8.4 I poliedri platonici......Page 128
8.5 Mosaici......Page 133
9.1 L'ipotesi dei quattro colori......Page 137
9.2 Il teorema dei cinque colori......Page 141
Soluzioni......Page 146
Bibliografia......Page 156
Glossario......Page 158

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OY

EIN ORE

IE LE GRAFI LORO APPLICAZIONI In questo libro il Professor Ore mostra come la teoria dei grafi possa essere adoperata per scopi molto diversi: per registrare le partite giocate dalle squadre partecipanti a un campionato in ogni momento della stagione; per rappresentare un esperimento biologico di incroci; per preparare nel modo piu efficiente il calendario per un torneo di scacchi; per determinare il modo meno costoso di costruire una rete ferroviaria; per illustrare la teoria matematica delle relazioni; per risolvere alcuni antichi indovinelli (per esempio, come «salvare capra e cavoli »); per analizzare le posizioni vincenti (o perdenti) in certi giochi. Ma nello studiare queste svariate applicazioni, il lettore comincerà a interessarsi alle proprietà dei grafi anche per se stesse e per le loro applicazioni a problemi matematici. Dopo aver introdotto alla terminologia dei grafi e alle loro fondamentali proprietà, viene esposta e dimostrata la formula di Eulero per i poliedri: il voi umetto si conclude con la çiimQstrazione che non occorrono piu di cinque colori per colorare qualsiasi carta geografica · in modo che tutti i paesi con qualche confine comune abbiano colori diversi tra loro e con l'accenno al celebre Problema dei Quattro Colori.

Lire. 800

ZANICH ELLI

Oystein Ore è nato a OsIo, in Norvegia, nel 1899. Dopo essersi laureato presso l'Università di OsIo nel 1922 continuò gli studi di matematica all'Università di Gottingen, Germania, poi come membro dell'Istituto Mittag-Leffier di Djursholm, Svezia; infine consegui il titolo di Philosophiae Doctor (Ph.D.) a OsIo nel 1924. Trascorse l'anno successivo a Parigi e Gottingen come membro del Comitato Internazionale per l'Istruzione, poi divenne ricercatore aggregato nell'Università di OsIo. La sua carriera negli Stati Uniti ebbe inizio nel 1927 con un invito presso l'Università di Vale dove divenne professore di matematica e dove, dal 1931 in poi, è stato professore titolare della cattedra Sterling. Il professor Ore è stato preside della Sezione Matematica dell'Università di Vale, dal 1939 al 1942 ed ha svolto attività nella Missione americana di soccorso alla Norvegia dopo il 1940. Il professor Ore ha pubblicato piu di 100 lavori di ricerca matematica, e inoltre vari volumi. Tra questi, alcuni dei piu elementari sono: Number Theory and /ts History (La Teoria dei Numeri e la sua storia), McGrawHill, 1948; Cardano, the Gambling Scholar (Cardano, scienziato giocatore), Princeton Press, 1953; e Niels Henrik Abel, Mathematician Extraordinary (N.H. Abel, matematico eccezionale), Minnesota University Press, 1957.

Matematica Moderna

I grafi e le loro applicazioni

2

Matematica Moderna

Questa serie, dedicata a tutti coloro che sentono interesse per la matematica, si comporrà di volumetti di mole limitata, ciascuno rivolto a un argomento specifico, monografico, assai circoscritto. Tra gli argomenti trattati primeggeranno quelli meno noti, il cui interesse è venuto in luce recentemente, attraverso ricerche di matematici moderni; non mancheranno però argomenti classici, e anche storici, ma si cercherà di vederli sempre in una prospettiva tipica della matematica moderna. L'edizione originale del presente volume fa parte di una analoga serie, la New Mathematical Library 1, scritta da matematici professionisti per contribuire a far si che certe importanti idee della matematica diventino interessanti e comprensibili per un largo pubblico di studenti delle scuole secondarie e di profani in genere. Per la maggior parte, i volumi della New Mathematical Library trattano argomenti che non sono di solito inclusi nei programmi di matematica delle scuole secondarie; sono di diversa difficoltà, e anche all'interno di un singolo libro certe parti richiederanno al lettore una concentrazione piu intensa. Si può dire in generale che, mentre poche conoscenze tecniche basteranno al lettore per capire la maggior parte di questi libri, gli sarà sempre richiesto un certo sforzo in tellettuale. Un lettore che, prima d'ora, abbia incontrato la matematica soltanto a scuola, dovrebbe tener presente che un libro di matematica non può essere letto in fretta. E non dovrebbe pretendere di capire tutte le parti del libro alla prima lettura; La New Mathematical Library è curata dallo School Mathematics Study Group (Gruppo per lo Studio della Matematica Scolastica), che raccoglie specialisti provenienti da ogni settore della ricerca matematica e da diverse Università, scuole e laboratori degli Stati Uniti. L'attività del gruppo ha per obiettivo il miglioramento dei corsi di matematica nelle scuole americane: crediamo però che la sua produzione possa interessare tutti. Chi desiderasse ulteriori informazioni su questa attività può rivolgersi a: School Mathematics Study Group, School of Education, Stanford University, Stanford, California.

1

Ma/ematica Moderna

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dovrebbe invece sentirsi libero di saltare le parti piu complicate, per ritornarvi in seguito: spesso ciò che da principio appariva oscuro viene chiarito da qualche osservazione successiva. D'altra parte, certi capitoli conterranno materiale ben familiare al lettore e potranno essere letti molto rapidamente. Il miglior modo di imparare la matematica è facendo della matematica, e perciò ogni libro conterrà dei problemi, alcuni dei quali esigono molta meditazione. Si raccomanda al lettore di prender l'abitudine di leggere con carta e matita alla mano: in questo modo la matematica acquisterà per lui un significato sempre piu profondo. L'editore desidera ringraziare il Professor Carlo Felice Manara per la collaborazione datagli con i suoi consigli e con la lettura dei testi italiani dei volumetti. Sarà estremamente importante per l'editore poter conoscere i giudizi dei lettori sui libri di questa serie: si spera perciò che molti lettori vorranno scrivere le loro impressioni e le loro critiche alla Direzione Editoriale della Casa Editrice Zanichelli. Via Irnerio 34, Bologna.

Titolo originale Graphs and Their Uses Copyright O 1963 Yale University L'edizione originale di quest'operaia parte della« New Mathematical Library» pubblicata dalla Random House, [ne., New York Traduzione di Luigi Muracchini Copyright ID 1965 Nicola Zanichelli S. p. A., Bologna

lllustrazioni di Ruth Kessler

Oystein Ore

I grafi e le loro applicazioni

Zanichelli

Bologna

Indice

p. 9 Il

Introduzione 1 Che cos'è un Grafo? 1.1 Tornei a squadre. 1.2 Grafi nulli e grafi completi. 1.3 Grafi isomorfi. 1.4 Grafi planari. 1.5 Problemi planari. 1.6 Numeri degli spigoli di un grafo.

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2 Grafi connessi 2.1 Le componenti. 2.2 Il problema dei ponti di Konigsberg. 2.3 Grafi di Eulero. 2.4 Ricerca di un itinerario. 2.5 Linee di Hamilton. 2.6 Indovinelli e grafi.

44

3 Alberi 3.1 Alberi e foreste. 3.2 Circuiti e alberi. del collegamento 3.4 Strade e piazze.

55

4 Accoppiamenti 4.1 I posti di lavoro e gli aspiranti. 4.3 Tornei circolari.

66

3.3 Il problema

4.2 Altre formulazioni.

5 Grafi orientati 5.2 Il problema 5.1 Nuovo esame degli incontri fra squadre. del traffico a senso unico. 5.3 Gradi locali. 5.4 Grafi genetici.

84

6 Questioni riguardanti giochi e rompicapi 6.1 Rompicapi e grafi orientati. 6.2 La teoria dei giochi. 6.3 Il paradosso del cronista sportivo.

99

7 Relazioni 7.1 Relazioni e grafi. 7.2 Condizioni speciali. di equivalenza. 7.4 Ordinamento parziale.

7.3 Relazioni

8

Indice

p. 116

8 Grafi planari 8.1 Condizioni per i grafi planari. 8.2 La formula di Eulero. 8.3 Relazioni tra grafi. Grafi duali. 8.4 I poliedri platonici.

8.5 Mosaici.

134

9 I colori delle carte geografiche 9.1 L'ipotesi dei quattro colori. colori.

143

Soluzioni

153

Bibliografia

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Glossario

9.2 Il teorema dei cinque

Introduzione

La parola « grafo» in questo libro indica qualche cosa di completamente diverso dai « grafici» che ci sono familiari e che si studiano nella geometria analitica o nella teoria delle funzioni 1: là, i « grafici» consistevano di solito nell'insieme dei punti di un piano le cui coordinate (x, y), rispetto ad un certo sistema di riferimento, soddisfacevano a un'equazione in x e y; invece i « grafi» che studieremo in questo libro sono semplici figure geometriche costituite da certi punti e dalle linee che congiungono alcuni di quei punti; talvolta vengono chiamati « grafi lineari» 2. Il fatto che due concetti diversi abbiano nomi cosi simili è increscioso ma quella terminologia è ormai cosi entrata nell'uso che sarebbe difficile cambiarla. Ambiguità dello stesso tipo nei nomi di certi enti si presentano anche in altri campi della matematica e, a meno che non vi sia pericolo di serie confusioni, i matematici sono restii ai cambiamenti di terminologia. Il primo lavoro sulla teoria dei grafi fu scritto dal celebre matematico svizzero Eulero e apparve nel 1736: dal punto di vista matematico la teoria dei grafi sembrava allora piuttosto futile, dato che si applicava in gran parte a indovinelli e giochi che servivano soltanto a divertirsi; ma recenti sviluppi della matematica, e in particolare delle sue applicazioni, hanno dato un forte impulso alla teoria dei grafi. Già nel secolo decimonono i grafi venivano adoperati in campi come la teoria dei circuiti elettrici e la teoria dei diagrammi molecolari. Attualmente vi sono argomenti di matematica pura, per esempio la teoria delle relazioni matematiche, per i quali la teoria dei grafi è lo strumento naturale, ma essa si applica anche a numerosi problemi di carattere molto pratico: a problemi di assegnazione, di trasporti, di flussi in una rete di tubazioni e 1 Si noti che in lingua inglese i due termini italiani «grafo» e « grafico» corrispondono entrambi alla parola graph (N.d.T.). I In italiano si usa anche il termine «singramma» (N.d.T.).

lO

IntroduzIOne

in generale ai cosiddetti problemi di « programmazione ». La teoria dei grafi interviene ora in campi molto diversi, come l'economia, la psicologia e la biologia. Per una piccola parte gli indovinelli sono ancora inclusi nella teoria dei grafi, in particolare se si comprende tra essi la famosa ipotesi delle carte geografiche a quattro colori che assilla i matematici oggi come sempre. In matematica la teoria dei grafi si suoI classificare come ramo della topologia; tuttavia è strettamente collegata anche all'algebra e alla teoria delle matrici. Nella esposizione che segue siamo stati costretti a trattare soltanto alcuni dei piu semplici problemi della teoria dei grafi; li abbiamo scelti con l'intento di dare un'idea, da un lato del tipo di ricerche che si possono compiere mediante i grafi, dall'altro di alcuni dei problemi che si possono affrontare con tali metodi. Una circostanza fortunata è che, per la trattazione che faremo, non avremo bisogno di un grosso apparato di algoritmi matematici.

1 Che cos'è un Grafo?

1.1 Tornei a squadre. Supponiamo che la squadra di calcio della vostra scuola faccia parte di un gruppo nell'ambito del quale debba incontrare le squadre di certe altre scuole. Chiamiamo A la vostra squadra e B, C, D, E ed F le rimanenti, supponendo cosi che vi siano in tutto sei squadre. Trascorse alcune settimane della stagione alcune delle squadre avranno giocato fra loro, per esempio: A ha giocato con C, B ha giocato con C, C ha giocato con A, D ha giocato con A, E ha giocato con B, F ha giocato con A,

D, E, B E, D, B,

F F F F D, E.

Per illustrare questa situazione si può adoperare un diagramma geometrico. Ciascuna squadra si può rappresentare con un punto o un circo letto e due punti cosiffatti si possono congiungere con un segmento quando rappresentano due squadre che si sono incontrate. In tal modo l'elenco degli incontri avvenuti si potrà rappresentare come nella figura 1.1.1. Una figura come la 1.1.1 si chiama grafo. È A

D

Fig. 1.1.1

12

Che cos'è un Grafo?

costituita di certi punti A, B, C, D, E, F, che si dicono i suoi vertici e di certi segmenti congiungenti vertici, come AC, EB, ecc., che si chiamano spigoli del grafo. Può accadere, come si vede nella figura 1.1.1, che gli spigoli di un grafo si incontrino in punti che non sono vertici; questa complicazione è dovuta al fatto che abbiamo disegnato il nostro grafo in un piano: sarebbe forse stato piu opportuno rappresentare gli spigoli mediante fili tesi l'uno sopra l'altro nello spazio. Comunque, i vertici vanno sempre indicati in modo da evitare ogni confusione. Qualunque insieme di partite giocate in un torneo a squadre si può raffigurare con un grafo nel modo descritto. D'altra parte, se si ha un grafo, cioè una figura formata da punti o vertici collegati da segmenti o spigoli, tale figura si può interpretare come il diagramma di un torneo di quel tipo. A titolo illustrativo prendiamo il grafo disegnato nella figura 1.1.2. Si può pensare che rappresenti un torneo fra 8 squadre: A ha giocato con le squadre B, E, D, mentre B ha giocato con A, F, G, C, e cosi via.

A

D~--------------------------~~C

Fig. 1.1.2

Problemi 1.1 1. Disegnare il grafo relativo alle partite giocate fino a metà stagione nel campionato di calcio del vostro paese o in altra competizione a squadre. 2. Scrivere l'elenco completo delle partite giocate secondo il grafo di figura 1.1.2. 3. Quanti spigoli e vertici vi sono nei grafi della figura 1.1.1 e della figura 1.1.2 rispettivamente?

Che cos' è un Grafo?

13

1.2 Grafi nulli e grafi completi. Vi sono certi grafi speciali che intervengono in molte applicazioni della teoria dei grafi. Per il momento teniamoci alla nostra interpretazione del grafo come immagine di un torneo a squadre. Prima che la stagione abbia inizio, quando ancora non sono state giocate partite, non vi saranno spigoli nel grafo, cosicché il grafo consisterà soltanto di vertici isolati, cioè vertici che non posseggono spigoli: un grafo di questo tipo viene chiamato grafo nullo. Nella figura 1.2.1 abbiamo disegnato tali grafi per il caso di l, 2, 3, 4 e 5 squadre o vertici. Questi grafi nulli vengono indicati di solito con i simboli 0 1 , O2, 0 3 , e cosi via, sicché in generale On è il grafo nullo con n vertici e nessuno spigolo. o

o

o

o

o

o o

l

2

o

o

3

o

o

o

o

4

o

o

5

Fig. 1.2.1

Mettiamoci ora in un altro caso estremo. Quando la stagione è terminata, possiamo supporre che ogni squadra abbia giocato una volta sola con ciascuna delle altre; allora nel grafo del gioco ogni coppia di vertici è congiunta da uno spigolo: un grafo come questo si chiama grafo completo (talvolta anche grafo universale). Nella figura 1.2.2 si vedono i grafi completi con n = 1, 2, 3, 4, 5 vertici. Indicheremo questi grafi con Ub U2 , U 3 , U4 , Us, rispettivamente, e quindi in generale Un è costituito da n vertici e dagli spigoli che congiungono tutti quei vertici a coppie: si può disegnarlo come un poligono di n lati con tutte le sue diagonali.

o

1 2

Fig. 1.2.2

5

14

Che cos'è un Grafo?

Quando sia stato disegnato un grafo, per esempio il grafo G della figura 1.1.1, si può sempre farlo diventare un grafo completo con i medesimi vertici, aggiungendovi gli spigoli che mancano: cioè gli spigoli corrispondenti a partite ancora da giocare. Ciò è stato fatto nella figura 1.2.3 per il grafo G della figura 1.1.1. (Partite non ancora giocate sono rappresentate da segmenti tratteggiati).

A

--------

E D

.............-----

----

B

Fig. 1.2.3

Si può anche disegnare separatamente il grafo costituito soltanto delle partite non ancora giocate: nel caso del grafo G si ottiene il grafo illustrato nella figura 1.2.4.

Fig. 1.2.4 Questo nuovo grafo della figura 1.2.4 verrà chiamato il complementare del grafo G della figura 1.1.1, ed è di solito

Che cos'è un Grafo?

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indicato con G. Se si considera il complementare di G si è ricondotti a G; presi insieme, gli spigoli dei due grafi G e G formano il grafo completo che collega i loro vertici. Problemi 1.2 1. Disegnare il complementare del grafo di figura 1.1.2.

2. Esprimere in funzione di n il numero degli spigoli di un grafo completo Un. 1.3 Grafi isomorfi.

Si osservi che nel disegno del grafo della figura 1.1.1 vi è parecchia arbitrarietà. In primo luogo, non è necessario che gli spigoli siano dei segmenti: qualsiasi tipo di curva può andare bene purché congiunga i medesimi vertici di prima. Per esempio potremmo presentare il grafo di figura 1.1.1 nella forma seguente (figura 1.3.1): A

Fig. 1.3.1 In secondo luogo, i vertici "possono essere situati in posizioni arbitrarie nel piano. Il grafo della "figura 1.1.1, per esempio, può essere disegnato con i vertici collocati come nella figura 1.3.2.

16

Che cosO è un Grafo?

Se si considerano i tre grafi delle figure 1.1.1, 1.3.1 e 1.3.2 come grafi relativi a tornei, essi contengono tutti esattamente le stesse informazioni sulle squadre che si sono incontrate fra loro; cioè essi sono in un certo senso lo stesso grafo. Questo ci conduce a dire, in generale, che due grafi (possiamo chiamarli GI e G2) sono isomorfi se sono immagini di una medesima situazione. In altri termini se

A D

E

F

Fig. 1.3.2 GI e G2 sono isomorfi, essi hanno lo stesso numero di vertici e ogni volta che due vertici in Gl' per esempio (Hl' CJ, sono collegati da uno spigolo, vi sono corrispondentemente due vertici (H 2, C2) in G2 anch'essi collegati da uno spigolo, e viceversa. Secondo questa definizione i tre grafi delle figure 1.1.1, 1.3.1 e 1.3.2 sono isomorfi (cioè hanno la medesima struttura), nonostante siano disegnati in modi diversi. (Il termine «isomorfo» è molto spesso adoperato in matematica: esso deriva dalle due parole greche iso = medesimo, e morphé = aspetto o forma).

Fig. 1.3.3

Che cos'è un Grafo?

17

Spesso ci si trova di fronte al problema di decidere se due grafi sono isomorfi. Qualche volta si vede subito che non lo sono: per esempio i due grafi della figura 1.3.3 non possono essere isomorfi, perché non hanno lo stesso numero di vertici; né i due grafi della figura 1.3.4 possono essere isomorfi, perché non hanno lo stesso numero di spigoli.

Fig. 1.3.4

Occorre però un ragionamento un pochino pili sottile per dimostrare che i due grafi della figura 1.3.5 non sono isomorfi. Si può osservare tuttavia che nel primo grafo vi è una successione di 8 spigoli incidenti (spigoli che hanno un vertice in comune) (1,2), (2,3), (3,4), (4, 8), (8, 7), (7,6), (6, 5), (5, l)

che partono da un vertice e vi ritornano, mentre nel secondo grafo non si trova una cosiffatta successione. In altre parole, comunque si nominino i vertici del secondo grafo, non

'" Fig. 1.3.5

\

1g

Che cos' è un Grafo?

saremo in grado di associare coppie di vertici collegati da uno spigolo in uno dei grafi con corrispondenti coppie di vertici collegate da uno spigolo nell'altro grafo. (Verificatelo!) Quando non vi sia un modo evidente di mostrare che due grafi non sono isomorfi può anche essere molto difficile decidere se si possa dare un nome ai vertici in modo tale da ottenere un isomorfismo tra i due grafi. A titolo di esempio proponiamo di esaminare i due grafi della figura 1.3.6. (In realtà essi sono isomorfi).

Fig. 1.3.6

Problemi 1.3 l. Dimostrare che i grafi delle figure 1.1.1, 1.1.2 e 1.2.4 non

sono isomorfi -fra loro. 2. Dare un altro motivo perché i due grafi della figura 1.3.5 non possono essere isomorfi. 3. Nominare i vertici nei due grafi della figura 1.3.6 in modo che risulti evidente il loro isomorfismo.

1.4 Grafi planari. Per molti scopi non ha importanza come sia disegnato un grafo; cioè, grafi isomorfi si possono considerare eguali dato che forniscono le medesime informazioni. Questo accade sicuramente nel caso della nostra prima interpretazione dei grafi, come registrazioni di partite giocate fra

Che cos'è un Grafo?

19

squadre, Tuttavia, come faremo rilevare ora, per certi scopi è essenziale che un grafo si possa disegnare in un certo modo particolare. Confrontiamo i due grafi isomorfi delle figure 1.1.1 e 1.3.1: nel primo disegno gli spigoli si incontrano in 5 punti che non sono vertici del grafo; invece nella figura 1.3.1 gli spigoli si incontrano soltanto nei vertici. Un grafo che si possa disegnare in modo tale che gli spigoli non abbiano intersezioni o punti comuni all'infuori dei vertici si chiama grafo planare.

B

Fig. 1.4.1

Cosi il grafo della figura 1.1.1 è planare perché ne esiste una rappresentazione piana come quella della figura 1.3.1. Un grafo planare si può interpretare come una carta stradale che mostra i collegamenti fra vari crocicchi o villaggi: per esempio la pianta nella figura 1.4.1 indica che vi sono 7 nodi stradali, da A a G, alcuni dei quali sono direttamente collegati tra loro da strade, per esempio (A, G), (B, C), (F, E), e cosi via. Inversamente, una carta stradale si può considerare come un grafo planare. Analogamente, la pianta di una città, è un grafo planare con le strade come spigoli e le piazze o crocevia come vertici; si veda la figura 1.4.2. Però la tecnica moderna ha cambiato molte cose e per essere del tutto aggiornati dobbiamo riconoscere che ha modificato anche la precedente semplice concezione delle

~

~

L

-------~

~

Fig. 1.4.2 carte stradali come grafi planari: alle nostre reti stradali sono stati aggiunti dei cavalcavia cosicché spesso due strade si incrociano senza che si possa passare dall'una all'altra; in altre parole, gli spigoli del grafo corrispondente alla pianta si incontrano in punti che non sono crocevia.

Fig. 1.4.3

Che cos'è un Grafo? 21

Problemi 1.4 1. Adoperando una carta automobilistica disegnate un grafo stradale planare per una certa zona della vostra Provincia. 2. Si faccia lo stesso con la pianta di una città. 1.5 Problemi planari.

Considereremo ora due esempi di come si usano i grafi nel risolvere problemi. In entrambi i casi è essenziale decidere se un certo grafo può essere disegnato nel piano senza che gli spigoli si incontrino. Come primo esempio rivolgiamoci ad un enigma molto antico (qualche volta indicato col nome di Problema dei servizi). Tre case sono state costruite su un appezzamento di terreno e tre pozzi sono stati scavati per i bisogni dei loro abitanti. La natura del clima e del terreno sono tali che l'uno o l'altro dei tre pozzi è spesso asciutto: perciò è importante che le persone che stanno in ciascuna delle case possano accedere a ciascuno dei tre pozzi. Dopo un po' di tempo tra gli abitanti A, B, e C nascono forti antipatie, ed essi decidono di costruire sentieri verso i tre pozzi X, Y, Z in modo tale da evitare di doversi mai incontrare andando o ritornando dai pozzi. Nella figura 1.5.1 si vede il grafo della disposizione piu naturale, nella quale ciascun utente adopera il sentiero piu diretto verso i pozzi. Ma questi sentieri o spigoli si incon-

A

B

c

x

y

z

Fig. 1.5.1

22

Che cos'è un Grafo?

Fig. 1.5.2 trano in molti punti, oltre quelli che rappresentano le case A, B, C e i pozzi X, Y, Z. Il numero delle intersezioni può essere ridotto ad uno soltanto purché si traccino i sentieri come è indicato nella figura 1.5.2. La domanda a cui ci proponevamo di dare risposta è questa: si possono tracciare i sentieri in modo che il grafo sia planare, cioè senza alcuna intersezione fra gli spigoli? Provate finché volete, non ci riuscirete. Però la nostra incapacità di risolvere il problema per tentativi non costituisce una dimostrazione matematica che non esiste alcun modo di tracciare i sentieri come richiesto. Una dimostrazione matematica si può dare ed è fondata sul: Sia CfC una curva piana continua chiusa; potrà essere un poligono, una circonferenza, una ellisse o qualche altro tipo piit complicato di curva. Allora &C divide il piano in una parte interna ed una parte esterna in modo tale che ogni qua/volta si congiunga un punto P della parte interna con un punto Q della parte esterna mediante una curva continua .E questa interseca la curva &C. TEOREMA DELLE CURVE DI JORDAN.

(Si veda la figura 1.5.3. La cosa può sembrare del tutto ovvia e, da un punto di vista geometrico intuitivo, lo è. La difficoltà risiede nella definizione precisa di «curva », che qui omettiamo, come omettiamo la dimostrazione del teorema di Jordan. Si potrà considerare il teorema come un fatto evidente).

Che cosO è un Grafo? 23

Q

Fig. 1.5.3 Questo teorema implica un risultato intuitivamente evidente: se due punti qualsiansi della curva chiusa iIC, come A ed Y, sono collegati da una curva (A, Y) che non abbia altri punti in comune con iIC, allora la curva (A, Y) è situata interamente all'interno o interamente all'esterno di iIC, ad eccezione dei suoi punti estremi A, Y(si veda la figura 1.5.4). Supponiamo ora che vi siano 4 punti su iIC situati nell'ordine ABYZ e che vi siano due curve (A, Y) e (B, Z) che non si intersecano: ciò è possibile soltanto quando una delle due curve, per esempio (A, Y), giace internamente a iIC mentre l'altra (B, Z) è situata esternamente (figura 1.5.4).

__------~z~-~---­' .....

"

C"

\

\ I

I

-------------....

,-/ /

I

I

I

Fig. 1.5.4

Tutto ciò si può dimostrare per mezzo del Teorema di Jordan, ma possiamo (come si è detto) considerarlo un fatto che non richieda ulteriori giustificazioni. Supponiamo infine che vi siano su iIC 6 punti succedentisi nell'ordine (figura 1.5.4) A, X, B, Y, C, Z.

24

Che cosO è un Grafo?

In questo caso è impossibile che vi siano tre curve di collegamento (A, Y),

(B, Z),

(C, X)

prive di intersezioni. Per rendersene conto basta osservare che le tre curve debbono essere situate in due regioni, quella interna a éI{ e quella esterna a éI{; pertanto almeno due di quelle curve giaceranno in una medesima regione ed in virtu delle considerazioni fatte prima, questo porterebbe alla presenza di intersezioni. Questo ragionamento si applica subito al nostro problema dei tre vicini litigiosi e dei loro tre pozzi: supponiamo che il relativo grafo, cioè quello della figura 1.5. I, sia planare; nel disegno tracciato senza intersezioni di spigoli, gli spigoli (A, X),

(X, B),

(B, Y),

(Y, C),

(C, Z),

(Z, A)

formerebbero una curva chiusa nel piano; ma allora, per i motivi che abbiamo or ora spiegati, non possono darsi tre spigoli (A, Y),

(B, Z),

(C, X)

che siano privi di intersezioni. Questa esemplificazione dell'uso dei grafi planari potrà sembrare alquanto banale; tuttavia non bisogna mai disprezzare questi problemi, apparentemente semplici, ma che fanno pensare: essi sono stati in molti casi il seme da cui sono poi nate importanti idee matematiche. Ci si ricordi anche che la presenza di un pesante apparato di simboli e di formule non sempre è un buon criterio per giudicare della profondità di una teoria matematica. Segnaliamo ora una applicazione dei grafi planari a un problema eminentemente pratico. In aggiunta alle precedenti interpretazioni di un grafo possiamo anche ricordare che si può pensarlo come schema di una rete elettrica: gli spigoli rappresentano i fili conduttori che collegano i vari nodi. Uno dei modi piu efficaci per produrre in serie i circuiti base per apparecchi radio o televisori consiste nello stampare i fili in forme di lamine metalliche su un supporto di cartone o di materiale plastico; ma perché ciò

Che cosO ~ un Grafo? 25

si possa fare bisogna che il grafo della rete in questione abbia una rappresentazione planare; altrimenti l'intersezione di due spigoli produrrebbe un corto-circuito nel sistema. Problemi 1.5 Quattro vicini hanno collegato ciascuno la propria casa con le altre tre mediante sentieri che non si incrociano. Una quinta persona costruisce una casa nei paraggi. 1. Dimostrare che non si potrà collegare l'ultima casa con tutte le altre mediante sentieri non intersecantisi, fra loro e con gli altri. 2. Dimostrare che si può collegare la nuova casa nel modo voluto con tre delle altre.

1.6 Numero degli spigoli di un grafo.

Nell'introdurre un grafo come rappresentante una serie di partite giocate abbiamo ammesso che due squadre si fossero incontrate soltanto una volta. Ma può accadere evidentemente che due squadre giochino tra loro piu partite, come si fa ad esempio nei tornei di baseball l. Si può tener conto di ciò nel grafo tracciando piu spigoli (A, B) che colleghino due squadre o vertici (figura 1.6.1). Diciamo in tal caso che il grafo ha degli spigoli multipli. B

B

A Fig. 1.6.1 1

Anche nel campionato italiano di calcio (N.d.T.).

26

Che cos'è

1/11

Grafo?

Invece di tracciare effettivamente i vari spigoli che uniscono A e B si può anche disegnarne uno solo assegnandogli un numero, o molteplicità, per indicare quante volte questo spigolo va ripetuto (figura 1.6.1). Naturalmente su una carta stradale si è soliti invece tracciare separatamente le varie strade che uniscono due incroci. Per ogni vertice A non isolato di un grafo G vi saranno alcuni spigoli che hanno A come estremo; si dirà che quegli spigoli sono incidenti in A. Indicheremo di solito il numero di quegli spigoli con e(A) e lo chiameremo grado locale di A. Come esempio consideriamo il grafo della figura 1,1.1: esso ha i gradi locali e(A)

=

e(B)

=

e(D)

=

e(E)

=

3,

e(F)

=

4,

e(C)

=

2.

Spesso ha interesse trovare il numero degli spigoli di un grafo. Naturalmente si può contarli direttamente, ma spesso è pit'i comodo contare il numero di spigoli in ciascun vertice e poi sommarli: cosi, però, ogni spigolo sarà stato contato due volte, una per ciascuno dei suoi estremi, e pertanto il numero degli spigoli sarà la metà della somma ottenuta. Ad esempio, il numero degli spigoli del grafo della figura 1.1.1 è Ue(A)

+ e(B) + e(C) + e(D) + e(E) + e(F)] = 9,

come si vede anche direttamente. Per formulare il risultato in tutta generalità consideriamo un grafo G con gli n vertici

che abbiano come gradi locali i numeri

Allora il numero N degli spigoli di G è, per il ragionamento fatto, (1.6.1 )

Questa formula ha come conseguenza il fatto che in ogni grafo la somma dei gradi locali

Che cosO è un Grafo? 27 n

2

(1.6.2)

e(A i )

= e(A 1)

+ ... + e(A n )

i-l

è un numero pari, e precisamente il doppio del numero degli spigoli. In un grafo vi sono due tipi di vertici: i vertici dispari A', che hanno come grado locale un numero dispari, ed i vertici pari A", per i quali e(A") è un numero pari. Sempre nel caso del grafo di figura 1.1.1, i vertici A, B, D, E sono dispari mentre i vertici C ed F sono pari. Prendendo i vertici nell'ordine alfabetico la somma (1.6.2) diventa

3+3+2

+3+3+4=

18.

Questa somma è pari perché vi sono 4 termini che sono numeri dispari. In generale per sapere se una somma di numeri interi è pari o dispari si possono trascurare gli addendi pari; la somma è pari o dispari secondo che contenga un numero pari o dispari di addendi dispari. Applicando questa osservazione al fatto che la somma (1.6.2) è pari giungiamo al seguente: TEOREMA

1.1. Un grafo ha un'numero pari di vertici dispari.

In questo enunciato includiamo il caso in cui vi sono vertici dispari, poiché lo zero è un numero pari. Vi sono grafi particolari nei quali tutti i gradi locali sono eguali: e(A 1 ) = ... = e(A n ) = r.

Fig. 1.6.2

28

Che cos'è un Grafo?

In tal caso il grafo si chiama regolare di grado r ed in base alla formula (1.6.1) il numero dei suoi spigoli è

N= inr, dove n è il numero dei suoi vertici. I grafi della figura 1.6.2 sono regolari di grado 3 e 4 rispettivamente. In un grafo completo Un con n vertici vi sono n - l spigoli che congiungono ciascun vertice con i rimanenti, cosicché Un è regolare di grado n - l. Il grafo nullo On è anch'esso regolare in modo banale dato che e(A) = O per ogni vertice. Problemi 1.6 1. Verificare la formula (1.6.1) per il numero degli spigoli dei grafi di figura 1.1.2 e figura 1.2.4. 2. Verificare che per quei grafi il numero dei vertici dispari è pari.

2 Grafi connessi

2.1 Le componenti. Si supponga ancora di avere un grafo G, non necessariamente planare, che penseremo ora come carta stradale. Potremo iniziare un viaggio in G partendo da un certo vertice A, seguendo dapprima uno spigolo o strada (A, B) fino ad un incrocio B, proseguendo poi da B a C seguendo una seconda strada (B, C) e cosi via. Non porremo alcuna limitazione al nostro peregrinare per le strade; potremo passare per lo stesso luogo piu volte ed anche rifare una medesima strada piu volte. Se al termine del viaggio giungiamo al vertice T diremo che T è collegato o connesso ad A nel grafo. Ciò significa che vi sono strade che portano da A fino a T. Se siamo passati per lo stesso posto piu di una volta potremo eliminare un percorso ciclico e rendere il viaggio da A a T piu diretto. Un percorso in G che non passa due volte per alcun vertice si dice arco; il percorso nella figura 2.1.1 è un arco.

A

Fig. 2.1.1

Un itinerario che passi piu volte per i medesimi vertici ma non adoperi mai due volte un medesimo tratto di strada si chiama cammino (figura 2.1.2). Se un cammino ritorna al punto di partenza si dice che è ciclico; un arco che ritorni al punto di partenza si chiama circuito. Perciò in un cammino ciclico può accadere che si ripassi per alcuni vertici,

30

Grafi connessi

T A Fig. 2.1.2

mentre in un arco ciclico soltanto il vertice di partenza viene raggiunto una seconda volta, come vertice finale. Illustriamo questi concetti sul grafo della figura 1.1.1. La successione di spigoli ADFEB è un arco; la 'successione

AFDEFB è un cammino. Un cammmo ciclico è dato dalla successione

AFEDFBCA,

mentre invece ACBFEDA

è un circuito. Quando ciascun vertice di un grafo è collegato ad ogni altro vertice mediante un arco diciamo che il grafo è connesso. Tutti i grafi che abbiamo adoperato come esempi sono connessi ad eccezione dei grafi nulli. Se un grafo non è connesso non si possono raggiungere tutti i vertici con archi che partano da un certo vertice A. Quei vertici che si possono raggiungere con archi che partono da A, e gli spigoli che sono in essi incidenti, costituiscono ciò che si chiama la componente connessa di A. In tal modo l'intero grafo si divide in componenti connesse e non vi sono spigoli o archi che colleghino due diverse componenti.

Grafi connessi

31

o

Fig. 2.1.3

Nella figura 2.1.3 abbiamo rappresentato un grafo con 4 componenti connesse, una delle quali è un vertice isolato. Come carta geografica può essere considerato il grafo stradale di quattro isole: ciascuna isola ha il proprio sistema connesso di strade. Per molte considerazioni della teoria dei grafi si può supporre che il grafo sia connesso dal momento che si possono esaminare separatamente le proprietà di ciascuna delle componenti connesse. 2.2 II problema dei ponti di Konigsberg.

La teoria dei grafi è uno dei pochi campi della matematica che abbia una data di nascita precisa: il primo lavoro sui grafi fu scritto dal matematico svizzero Leonardo Eulero (1707-1783) ed apparve nel volume del 1736 delle pubblicazioni della Accademia delle Scienze di Pietroburgo (Leningrado). Eulero è una delle figure piu notevoli nella storia delle scienze. Nel 1727, quando aveva 20 anni, fu invitato alla Accademia di Russia. Aveva già studiato teologia, lingue orientali e medicina prima di dedicarsi pienamente ai suoi interessi per la matematica, la fisica e l'astronomia. La sua perizia in tutti questi campi era grande, ed enorme fu la sua produzione: all'epoca in cui scrisse il lavoro sui grafi aveva quasi perduto la vista da un occhio e piu avanti negli anni divenne completamente cieco; ma nemmeno questo ridusse la quantità dei suoi scritti. Parecchio tempo fa i matematici svizzeri e in particolare quelli della sua città natale Basilea incominciarono a curare una edizione delle Opere complete di Eulero e finora ne sono apparsi 50 volumi. Una prima stima del numero di volumi che i suoi scritti avrebbero riempito era di circa 100, ma attualmente sembra che 200 sia una stima piu probabile.

32

Grafi connessi

Eulero incominciò il suo lavoro sui grafi discutendo un indovinello, il cosiddetto Problema dei ponti di Konigsberg. La città di Konigsberg (ora chiamata Kaliningrad) nella Prussia Orientale è situata sulle rive e su due isole del fiume Pregel. Le varie parti della città erano collegate da sette ponti.

c

D

Fig. 2.2.1

La domenica i cittadini facevano la loro passeggiata per la città, come è d'uso nelle città tedesche. Ci si domandava allora: è possibile progettare questa « Spaziergang» (passeggio) in modo tale che partendo da casa si possa farvi ritorno dopo aver attraversato ciascun ponte una ed una sola volta?

c

A~--------------~~D

Fig. 2.2.2

Grafi connessi 33

I] na pianta schematica di K6nigsberg è riprodotta nella figura 2.2.1. Le quattro parti della città sono indicate con IL: lettere A, B, C e D. Poiché ci interessa soltanto l'attraversamento dei ponti possiamo pensare ad A, B, C, D come ai vertici di un grafo collegati da spigoli corrispondenti ai ponti. Questo grafo è disegnato nella figura 2.2.2. Eulero dimostrò che quel grafo non può essere percorso completamente in un solo cammino ciclico; in altri termini, da qualsiasi vertice si incominci non si potrà esaurire il grafo e ritornare al punto di partenza senza dover ritornare sui propri passi. Un tale cammino dovrebbe infatti entrare in ciascuno dei vertici tante volte quante volte ne esce; pertanto richiede che in ciascun vertice vi sia un numero pari di spigoli incidenti, ma questa condizione non è soddisfatta nel grafo che rappresenta la pianta di K6nigsberg.

2.3 Grafi di Eulero.

Dopo l'introduzione sui ponti di K6nigsberg, Eulero si volse nel suo lavoro al problema generale dei grafi: in quali grafi è possibile trovare un cammino ciclico fJ' che percorra ciascuno spigolo una ed una sola volta? Un tale cammino si chiama ora linea di Eulero ed un grafo che abbia una linea di Eulero è un grafo di Eulero. Per poter avere una linea di Eulero un grafo deve essere connesso. Come si è visto nella discussione del problema dei ponti di K6nigsberg, una linea di Eulero deve entrare e poi uscire lo stesso numero di volte da ciascun vertice, cioè tutti i gradi locali debbono essere pari. Cosicché due condizioni necessarie perché un grafo contenga una linea di Eulero sono: che sia connesso e che tutti i gradi locali siano pari. Eulero dimostrò che queste condizioni sono anche sufficienti. TEOREMA 2.1. Un grafo connesso con i gradi locali pari ha una linea di Eulero. DIMOSTRAZIONE. Supponiamo di iniziare un cammino e da un certo vertice A e di proseguire finché sia possibile, uscendo sempre da un vertice seguendo uno spigolo non percorso 2

34 Grafi connessi

prima. Il procedimento avrà certamente termine a un certo punto perché verranno a mancare nuovi spigoli. Ma dato che in ogni vertice sono incidenti spigoli in numero pari vi è sempre uno spigolo da cui uscire tranne che per il vertice iniziale A. Pertanto e dovrà terminare in A. (Si veda la figura 2.3.1). eCA,Bl

Fig. 2.3.1

eCB,Al

Se e passa per tutti gli spigoli si è già ottenuta una linea di Eulero come si richiedeva. In caso contrario vi sarà qualche vertice B appartenente a e nel quale sono incidenti spigoli non percorsi da e. E dato che e ha un numero pari di spigoli incidenti in B, dovrà esservi anche un numero pari di spigoli incidenti in B che non appartengono a e; lo stesso si potrà dire per tutti i vertici nei quali vi siano spigoli non percorsi. Diamo inizio ora a un cammino !il, partendo da B e adoperando soltanto spigoli che non appartengono a e. Anche questa volta il cammino dovrà terminare in B. Ma avremo cosi ottenuto un cammino ciclico piu ampio che parte da A, segue e percorrendo un cammino e(A, B) fino a B, poi segue il cammino ciclico !il fino a ritornare in B e finalmente segue ancora e nella parte rimanente e(B, A) e ritorna in A. (Si veda la figura 2.3.1). Se l'intero grafo non è stato ancora esaurito potremo ampliare ulteriormente il cammino come fatto prima, e cosi via fino ad ottenere una linea di Eulero. Il tracciamento di linee di Eulero è un passatempo ben noto agli appassionati dei rompicapo delle riviste per

Grafi connessi

35

ragazzi: i giovani vengono invitati a provare se un disegno di qualche sorta si possa tracciare con un tratto continuo senza ripetizioni e senza sollevare la matita dal foglio. Invece di limitarsi a considerare cammini ciclici, qualche volta si lascia cadere la condizione che il cammino ricoprente tutti gli spigoli debba ritornare al punto iniziale. Quando esiste un cammino e(A, B) che parte da A e termina in un altro vertice B percorrendo una volta sola tutti gli spigoli, allora e deve partire dal vertice A secondo un certo spigolo ed eventualmente rientrarvi e ripartirne un certo numero di volte. Se quel cammino non termina in A, allora il vertice A deve essere dispari. Per un motivo analogo B deve essere dispari mentre tutti gli altri vertici sono pari. Si ha cosi il 2.2. Un grafo connesso possiede, ,un cammino B) che ricopre :tutti gli spigoli una ed una sola volta se e solo se A e B sono i soli vertici dispari.

TEOREMA

~(A,

La dimostrazione segue dal fatto che si può aggiungere un nuovo spigolo (A, B) in modo che tutti i vertici diventino pari. Il nuovo grafo ha una linea di Eulero il in base al teorema precedente e se si sopprime lo spigolo (A, B) dal cammino ciclico il il rimanente cammino è proprio e(A, B). Come esempio prendiamo il grafo della figura 1.2.4, che ha soltanto due vertici dispari F e C, e il cammino che lo ricopre FCDBAEC.

I matematici cercano sempre di generalizzare i risultati

ottenuti: in tale spirito proviamo a calcolare per un grafo in generale il numero minimo di cammini tali che non vi siano spigoli comuni anche a due soli di essi e che tutti insieme ricoprano il grafo. Se esiste 'una~'famiglia cosiffatta di cammini in un grafo, osserviamo che ogni vertice dispari deve essere il punto di partenza o il punto terminale di almeno uno di quei cammini perché altrimenti il vertice dovrebbe essere pari. Come abbiamo visto nel paragrafo 1.6 il numero dei vertici dispari è pari: chiamiamolo 2k. Pertanto in base a quanto abbiamo appena affermato qualsiasi famiglia di cammini che ricoprano tutti gli spigoli dovrà contenere almeno k cammini. Dimostreremo ora che il numero 2k di vertici dispari è sufficiente per k cammini.

36

Grafi connessi

2.3. Un grafo connesso che abbia 2k vertici dispari contiene una famiglia di k cammini distinti che tutti insieme percorrono ogni spigolo del grafo una ed una sola volta. TEOREMA

DIMOSTRAZIONE.

Indichiamo i vertici dispari del grafo con

Al>

Ak ;

A 2,

••• ,

BI'

B2,

••• ,

Bk

prendendoli in un certo ordine. Se aggiungiamo al grafo i k spigoli

... , tutti i vertici diventano pari ed allora vi deve essere una linea di Eulero §'. Sopprimendo poi di nuovo quegli spigoli, la linea §' si divide in k cammini che ricoprono gli spigoli del grafo iniziale. Come esempio si può prendere il grafo della figura 1.1.1. Esso ha 4 vertici dispari, e precisamente A, B, D, E ed è ricoperto dai due cammini EBFA,

BCADFED.

Problemi 2.3 l. Determinare quanti cammini occorrono per ricoprire i grafi della figura 2.3.2.

Fig. 2.3.2 2. Stessa domanda per tutti i grafi che sono stati portati ad esempio nelle pagine che precedono. 3. Determinare dei cammini che ricoprano i grafi universali con 4 e 5 vertici. Provare a generalizzare.

Grafi connessi

37

2.4 Ricerca di un itinerario. Un grafo di Eulero sarebbe una pianta adatta per una esposizione, perché cosi si potrebbe indicare mediante segnali lungo il percorso in che modo il pubblico debba muoversi per passare davanti a ogni cosa esposta una volta ed una sola. Ma si può supporre che, come accade di solito, l'esposizione~sia fatta in modo che vi siano oggetti esposti ad entrambi i lati delle vie: allora è possibile senza alcuna condizione imposta al grafo (tranne naturalmente la connessione) guidare i visitatori in modo tale che ogni via sia percorsa due volte, una in ciascuna direzione. Per verificarlo daremo ora una regola generale per costruire un percorso che passi per tutti gli spigoli di un grafo una ed una sola volta in ciascuna direzione. Incominciamo l'itinerario lungo un certo spigolo go = (A o, Al) a partire da un vertice scelto ad arbitrio Ao. Indichiamo con una piccola freccia in Ao la direzione presa. Procediamo poi verso altri vertici; uno stesso vertice potrà essere raggiunto pio volte. In Al' e poi ogni volta che un vertice viene raggiunto, mettiamo una freccia vicino allo spigolo per indicare la direzione di arrivo. Inoltre la prima volta che giungiamo a un nuovo vertice mettiamo sullo spigolo di entrata un segno speciale in modo da poterlo riconoscere in seguito. Da ciascun vertice si esca sempre lungo direzioni non ancora adoperate, o lungo spigoli che non erano stati percorsi prima oppure lungo spigoli che erano stati segnati come spigoli di arrivo; soltanto quando non vi sia altra possibilità sarà permesso adoperare il primo spigolo di entrata come uscita. Continuiamo a seguire questa via sinuosa finché sia possibile. A ogni vertice vi sono tante possibilità di entrata quante di uscita. Di conseguenza il procedimento può aver termine soltanto al vertice di partenza Ao. Rimane da stabilire se ad ogni vertice tutti gli spigoli sono stati percorsi in entrambe le direzioni. Per Ao è semplice, perché tutti gli spigoli di uscita debbono essere stati adoperati (altrimenti si sarebbe potuto continuare ancora), e allora anche tutti gli spigoli di entrata sono stati adoperati dato che sono tanti quanti i precedenti. In particolare lo spigolo go = (A o, Al) sarà stato percorso in tutte e due le direzioni. Ma ciò significa che anche tutti

38

Grafi connessi

gli spigoli di uscita da Al sono stati adoperati, dato che il primo spigolo di entrata doveva essere adoperato soltanto per ultimo come uscita. Lo stesso ragionamento si applica al successivo spigolo SI = (Al> A 2) e al successivo vertice A 2 e cosi via. In questo modo troviamo che in tutti i vertici raggiunti tutti gli spigoli devono essere stati percorsi nei due sensi. Poiché il nostro grafo è connesso ciò significa che l'intero grafo è stato ricoperto. Questo metodo per attraversare tutti gli spigoli di un grafo può essere adoperato per vari scopi: si può adoperare per trovare un itinerario per uscire da un labirinto e se per caso vi capiterà di perdervi in una grotta potrete saggiarlo. Problemi 2.4 1. Applicare il metodo precedente ai grafi illustrati nel paragrafo 1.1.

2.5 Linee di Hamilton. Nell'anno 1859 il famoso matematico irlandese Sir William Rowan Hamilton mise in circolazione un nuovo tipo di rompicapo, il cui elemento principale era un dodecaedro regolare di legno (figura 2.5.1). Si tratta di uno dei cosiddetti poliedri regolari platonici, un poliedro che ha 12 facce pentagonali regolari; tre lati di quei pentagoni si incontrano in ciascuno dei venti vertici.

Fig. 2.5.1

Grafi connessi

39

Ciascun vertice del dodecaedro di Hamilton era contrassegnato col nome di una importante città: Bruxelles, Canton, Delhi, Francoforte e cosi via. Il problema consisteva nel trovare un itinerario lungo gli spigoli del dodecaedro che toccasse ciascuna città una ed una sola volta; per rendere il compito piu difficile si potevano fissare in anticipo alcune delle città da toccarsi per prime. Per poter ricordare piu agevolmente quali passaggi si erano già compiuti ogni vertice del dodecaedro era munito di un chiodo in modo che si poteva avvolgere uno spago intorno ai chiodi man mano che il viaggio procedeva. Poiché il dodecaedro era poco agevole da manipolare, Hamilton produsse anche un'altra versione del suo giuoco in cui il poliedro era sostituito da un grafo planare isomorfo col grafo costituito dagli spigoli del dodecaedro (figura 2.5.2). Non si ha notizia che il Dodecaedro del Viaggiatore abbia avuto un gran successo presso il pubblico, ma i matematici hanno conservato buona memoria del problema: una linea di Hamilton in un grafo è un circuito che passa per ciascun vertice una ed una sola volta. In generale non ricopre tutti gli spigoli; in realtà ricopre soltanto due spigoli per ogni vertice. Il circuito disegnato nella figura 2.5.2 è una linea di Hamilton per il dodecaedro. Vi è, come si vede, una certa analogia fra le linee di Eulero e le linee di Hamilton: nelle prime si deve percorrere ogni

Fig. 2.5.2

40

Grafi connessi

spigolo una volta sola, nelle altre si deve toccare ogni vertice una volta sola. Malgrado questa somiglianza i due problemi presentano gradi di difficoltà completamente diversi: per decidere se un grafo è un grafo di Eulero è sufficiente esaminare se tutti i vertici sono pari; per individuare le linee di Hamilton i matematici non hanno finora trovato un criterio cosi generale. È da rammaricarsi che sia cosi perché vi sono molte importanti questioni nella teoria dei grafi che dipendono dalla esistenza o meno di linee di Hamilton. Il Problema del commesso viaggiatore è un problema nel campo della ricerca operativa che ha qualche punto di contatto con le linee di Hamilton; anche in questo caso non si conosce una soluzione generale. Supponiamo che un commesso viaggiatore debba visitare un certo numero di città prima di tornare a casa. Naturalmente ha interesse a fare ciò nel pi6'breve tempo possibile, oppure può avere interesse a farI o nel modo pi6 economico possibile. Si può sempre,':naturalmente, risolvere il problema per tentativi, cercando il tempo, la distanza o il costo del viaggio in corrispondenza ai vari modi possibili di ordinare le città, ma per un numero di fermate molto grande il procedimento diventa impraticabile. Tuttavia sono stati fatti i calcoli per alcuni problemi con dati molto grandi: fra l'altro è stato calcolato il pi6 breve percorso in linea aerea per un circuito che tocchi tutte le capitali di stato degli Stati Uniti d'America. Problemi 2.5 1. Esaminare se i grafi delle figure 1.1.1 e 1.1.2 hanno linee di Hamilton. 2. Un commesso viaggiatore parte dalla città Al e si suppone che visiti le città A 2, A a, A,. Le distanze fra quelle città sono: =

120,

A2Aa =

70,

AIA2

AIAa = 140,

A 2 A,

=

100,

AIA, = 180

AaA,

=

110.

Trovare il giro pi6 corto che parte da Al e tocca tutte le altre città.

Grafi connessi 41

2.6 Indovinelli e grafi.

Abbiamo discusso prima in che modo si possa trovare un cammino da un posto a un altro in un grafo. Questo problema può essere considerato come una specie di gioco e sebbene possa sembrare un facile passatempo esso costituisce il principale contenuto di molti indovinelli e solitari. Per illustrare la nostra idea adoperiamo il vecchio Problema del traghetto. Un traghettatore (t) è stato incaricato di far attraversare un fiume a un cane (a), una capra (b) e una sporta di cavoli (c). La sua barchetta a remi può trasportare soltanto uno di quei carichi alla volta; inoltre non può lasciare il cane solo con la capra, né la capra con i cavoli. Come dovrà procedere? Analizziamo le varie possibilità. L'unica prima mossa possibile è trasportare la capra; questo muta il gruppo al punto di partenza da I, a, b, c in a, c. Il traghettato re torna poi indietro da solo, cosicché il gruppo diventa, I, a, c. Successivamente può trasportare a oppure c, lasciando c oppure a. In entrambi i casi dovrà portare indietro b, sicché al punto di partenza avremo I, b, a oppure I, b, c secondo i casi. Nel viaggio seguente porterà a (oppure c), lasciando solo b. Finalmente torna indietro da solo e trasporta b. Cosi in questo caso estremamente semplice si hanno soltanto le mosse possibili indicate nel grafo di figura 2.6.1. Questo mostra che la soluzione si può ottenere in due modi, ciascuno con un arco che va dalla posizione iniziale t, a, b, c alla posizione finale « nulla ». c

tabc

Fig. 2.6.1

tbc

ac

tb

a

nulla

fab

Un problema di tipo del tutto simile è il Problema dei tre mariti gelosi: tre coppie di sposi durante un viaggio giungono ad un fiume e vi trovano una piccola imbarcazione

42

Grafi connessi

che non può portare piu di due persone alla volta. L'attraversamento è reso complicato dal fatto che i mariti sono molto gelosi e non permettono alle loro mogli di rimanere sole in una compagnia nella quale siano presenti altri uomini. Lasciamo al lettore il compito di tracciare il grafo delle mosse possibili e di mostrare come può essere effettuato il trasporto. Dopo quanto si è visto negli esempi precedenti, un grafo può essere pensato come un gioco: i vertici sono le varie posizioni del gioco e gli spigoli rappresentano le mosse permesse dalle regole. Un problema comune consiste nel decidere se si può o no passare da una data posizione a un'altra attraverso gli spigoli del~grafo. Nel linguaggio della teoria dei grafi tutto ciò diventa: le due posizioni sono o no in una medesima componente connessa del grafo? Come ulteriore esempio consideriamo per un momento un gioco che consista nel muovere il cavallo degli scacchi sulla scacchiera con la regola solita: dato che vi sono 64 caselle sulla scacchiera il corrispondente grafo ha 64 vertici. Non è difficile vedere che il cavallo può raggiungere qualsiasi casella partendo dalla sua posizione iniziale: il grafo del gioco è connesso. In alcuni dei primi manoscritti sugli scacchi si incontra

Il

D

11

411

l

4Z

M

Il

14

21

14

21

te

11

2

43

37

12

23

Il

41

4

Il

51

24

13

21

.

20

SI

44

3

11

21

25

12

21

41

I

•

21

Il

12

33

I

15

311

41

21

IO

•

21

13

32

47

•

'l1

34

I

•

1

14

31

..

Fig. 2.6.2

Grafi connessi 43

questo problema: è possibile muovere il cavallo da una posizione iniziale arbitraria sulla scacchiera e tornare alla casella di partenza in modo da occupare ogni casella una ed una sola volta? Si tratta come si vede di trovare una linea di Hamilton per il grafo. Vi sono in realtà parecchie soluzioni, una delle quali è data nella figura 2.6.2. C'è un gran numero di mosse diverse che il cavallo può fare per passare da una casella a un'altra. Ci si può chiedere se sia possibile trovare un cammino ciclico che le comprenda tutte una ed una sola volta. Questo corrisponde a costruire una linea di Eulero nel grafo e pertanto, in base al nostro risultato generale, occorre esaminare se i gradi locali sono tutti pari. Nella figura 2.6.3 abbiamo indicato per ciascuna casella quante mosse di cavallo possibili vi sono, cioè i gradi locali dei vertici del grafo. Vi sono, come si vede, 8 caselle di grado dispari eguale a 3, perciò il grafo non ha una linea di Eulero. 2

3

4

3

2

3

4

•

4

3

4

&

•

•

4

3

4

•

4

3

2

3

4

3

2

Fig. 2.6.3

Problemi 2.6 1. Dimostrare che il problema dei mariti gelosi non si può risolvere per 4 coppie. 2. Dimostrare che si può risolvere per 4 coppie se il traghetto può portare 3 persone. 3. Quante mosse di cavallo vi sono sulla scacchiera? 4. Risolvere i problemi analoghi per le mosse del re. 5. Verificare che i numeri di ciascuna riga o di ciascuna colonna nella figura 2.6.2 hanno la medesima somma 260.

3 Alberi

3.1 Alberi e foreste. Un albero è un grafo connesso privo di circuiti. Ciò significa in particolare che non vi sono spigoli multipli. Implica anche che in un albero vi è un solo arco congiungente qualunque coppia di vertici. I grafi privi di circuiti hanno componenti connesse che sono alberi; ciò rende naturale estendere questa terminologia botanica e chiamare questi grafi foreste. Per costruire un albero si sceglie un particolare vertice Ao. Da Ao si tracciano spigoli verso i vertici adiacenti Al' A 2 , ••• ; da questi ultimi si tracciano spigoli verso i loro adiacenti Aw A 12 , ••• , A 21 , A 22 , ••• e cosi via come è indicato nella figura 3.1.1. Il vertice particolare Ao che abbiamo scelto nella figura 3.1.1 si chiama radice dell'albero; ma qualsiasi vertice si sarebbe potuto adoperare come radice.

Fig. 3.1.1

Dato che non vi sono circuiti nell'albero i vari archi (o rami) uscenti da Ao debbono rimanere separati non appena si biforcano, proprio come i rami dei veri alberi. Ogni ramo del grafo deve avere un ultimo spigolo terminale con un vertice terminale dal quale non escono ulteriori spigoli.

Alberi 45

In base a questa osservazione si può anche costruire l'albero attaccando successivamente spigoli ai vertici. Questo permette di dire quanti spigoli vi sono in un albero. L'albero piti semplice ha un solo spigolo; esso ha due vertici ed uno spigolo. Ogni volta che si aggiunge uno spigolo in fondo a un ramo si aggiunge anche un vertice; pertanto si può concludere: TEOREMA

3.1. Un albero con n vertici ha n - l spigoli.

Fig. 3.1.2 Invece di un albero, possiamo considerare una foresta, con k componenti connesse, tutte alberi (figura 3.1.2). In ciascuna componente albero vi è uno spigolo in meno rispetto al numero dei vertici; perciò possiamo affermare: 3.2. Una foresta con k componenti ed n vertici ha n - k spigoli.

TEOREMA

Gli alberi hanno numerose applicazioni. Per il momento osserviamo soltanto che qualsiasi procedimento di classificazione si può rappresentare con un albero. Per esempio, si può considerare la figura 3.1.1 come l'immagine di una classificazione della posta: un mazzo di lettere è collocato in A o, la posta interna si può assegnare ad Al' la posta diretta in paesi d'Europa ad A 2, quella per l'Estremo Oriente ad Aa e cosi via. La posta interna in Al si può suddividere poi a seconda che sia diretta al Nord, al centro o a Sud; la posta europea in A 2 si può suddividere secondo le nazioni e cosi via. Il procedimento di selezione delle schede perforate si può rappresentare con un grafo in modo analogo, soltanto che

46

Alberi

in questo caso l'albero di solito assumerebbe una forma del tutto regolare: ciò è dovuto al fatto che le posizioni delle perforazioni su una scheda sono disposte in colonne regolari, solitamente con lO posizioni per ogni colonna. A

o

A.,

Aol' .. Aot

AIO

Ali'" Ali

Fig. 3.1.3 Pertanto se si fa la cernita secondo i fori della prima colonna vi sono lO possibilità A o, Al' A 2 , ••• , AD; per ciascuna di queste vi saranno ancora lO possibilità, ad esempio A oo , A 01 ' ••• , A09 e cosi via (si veda la figura 3.1.3). In realtà l'intero procedimento si può considerare come una cernita di numeri secondo la prima, seconda, ecc., cifra. In effetti si può considerare qualsiasi albero come un sistema di numerazione assai generale. 3.2 Circuiti e alberi. Il nostro prossimo problema sarà tratto dall'agricoltura. Nella figura 3.2.1 abbiamo disegnato la pianta di una tenuta agricola. Supponiamo che quella pianta raffiguri dei campi di riso su un'isola; i campi sono circondati da,argini di terra e questi a loro volta sono circondati dalle acque di un lago. Come si fa di solito nelle coltivazioni di riso, vogliamo allagare i campi aprendo alcuni argini. Per sommergere tutti i campi è chiaro che occorre rompere un argine almeno in ogni circuito della pianta: cioè i rimanenti argini intatti

Alberi 47

debbono formare un grafo privo di circuiti. Il problema è allora questo: quante pareti è necessario perforare? Tutto ciò ci conduce a un problema generale riguardante i grafi: in un grafo connesso, qual è il mInImO numero di spigoli che occorre togliere affinché non rimangano circuiti?

Fig. 3.2.1

Supponiamo di sopprimere in primo luogo uno spigolo S = (A, B) appartenente a qualche circuito del grafo. Allora il grafo rimane connesso perché invece di andare,da A a B passando per S, potremo seguire la parte rimasta del circuito. Se vi sono altri circuiti rimasti dopo aver soppresso S, elimineremo un altro spigolo nello stesso modo. Continuando in questo modo dovremo finalmente giungere ad un grafo connesso privo di circuiti, cioè ad un albero [. Arrivati a questo punto è facile determinare il numero di spigoli che sono stati soppressi. L'albero [ ha il medesimo numero di vertici n che aveva il grafo di partenza G. In base al Teorema 3.1 vi sono in [ n - l spigoli. Pertanto se G aveva inizialmente N spigoli ne avremo soppressi esattamente

y=N-n+1. Questo numero si chiama rango dei circuiti del grafo; per esso si usano anche altri nomi, per esempio numero ciclomatico. È dato dalla differenza fra il numero degli spigoli e il numero dei vertici aumentata di una unità.

48

Alberi

Abbiamo dimostrato che, per ridurre un grafo G ad un albero, occorre sempre sopprimere almeno y spigoli. Per ridurre G ad una foresta costituita di piu alberi, si dovranno sempre sopprimere piu di y spigoli, dato che (per il Teorema 3.2) una foresta di n vertici ha meno spigoli che un albero di n vertici.

D

Fig. 3.2.2

Illustriamo questa riduzione nel grafo della figura 1.1.1. Qui lo spigolo ED appartiene al circuito EFD e lo sopprimiamo per primo. Lo spigolo AD appartiene al circuito DFA e viene rimosso. Infine AC e BE vengono eliminati. Rimane cosi l'albero della figura 3.2.2. Abbiamo soppresso

y=4=9-6+1 spigoli. Problemi 3.2 1. Si verifichino

risultati ottenuti sui grafi delle figure 1.1.2

e 3.2.1.

2. Quanto vale il rango dei circuiti per un grafo completo? 3.3 Il problema del ..collegamento.

Ci occupiamo ora di un problema di comunicazioni che ha alcune applicazioni di interesse molto pratico e lo presentiamo dapprima come un problema di costruzioni stradali:

Alberi 49

si ha un certo numero di città A, B, C, ... e si vuoI costruire una strada oppure una ferrovia che le colleghi tutte. Per ogni coppia di città si conosce il costo c(A, B) della costruzione di una linea che le colleghi. Si tratta di costruire l'intera rete nel modo piu economico possibile. Invece di ferrovie, si può parlare di cavi elettrici, 0:-di condutture d'acqua, oppure di oleodotti o metanodotti: Nel caso particolare in cui vi siano soltanto tre città, A, B, C basterà costruire una delle linee di collegamento ABC,

ACB,

BAC.

Se BC è il tratto piu dispendioso bisognerà lasciarlo da parte e costruire il collegamento BAC. Consideriamo ora il caso generale. Il grafo della rete piu economica dovrà essere un albero perché in caso contrario potremmo togliere un collegamento da un circuito e le città sarebbero ancora collegate fra loro. Pertanto se vi sono n città dovranno esservi n-l collegamenti. Dimostreremo che una rete di costo minimo si può costruire applicando la seguente semplice regola di economia: dapprima si collegheranno le due città che hanno il collegamento di costo minimo &1. In ciascuno dei successivi passi si aggiungerà il collegamento di costo minimo possibile &i che, insieme con i collegamenti già effettuati, dia luogo a un albero; se vi sono piu collegamenti di egual costo non importa quale di essi viene adoperato. Qualsiasi albero ([ costruito in questo modo si dirà albero di economia. Il suo costo c«([) è la somma dei costi dei vari spigoli: c«([) = C(&1)

+ C(&2) + ... + C(&n-l).

Fig. 3.3.1

50

Alberi

Rimane da trattare il punto essenziale: dimostrare che nessun altro albero di collegamenti ~ può avere un costo c( c5) inferiore a quello di un albero di economia. Sia ~ un albero di collegamenti con un costo minimo e [, un albero di economia qualsiasi. Supponiamo che gli spigoli Sl' S2' ... dell'albero di economia [, siano stati numerati nell'ordine in cui sono stati aggiunti successivamente durante la costruzione di [,. Se l'albero ~ di minimo costo non è identico a [" allora [, ha almeno uno spigolo che non sta in ~; sia Si = (A, B) il primo spigolo di [, che non sta in ~, e sia ff(A, B) il cammino di ~ congiungente i vertici A e B. Se si aggiunge lo spigolo Si a ~, il grafo ~ + Si avrà un circuito e = Si + ff(A, B) e poiché [, non ha circuiti, e dovrà contenere almeno uno spigolo, e sia S'i, non contenuto in [,. Sopprimendo questo spigolo otterremo l'albero

che ha gli stessi vertici di

Poiché

~

~

e il cui costo è

è di costo minimo dovrà essere

Ma Si è il collegamento di mInImO costo tra quelli che aggiunti ad S1> S2' ... , Si-1 non creano circuiti. Dato che S'i aggiunto a quegli spigoli non dà luogo neppure esso a circuiti dovremo concludere che

e pertanto anche

~'

ha costo minimo

c(~ = c(~').

Abbiamo cosi trovato un altro albero ~' di costo mInImO e con uno spigolo in piu, precisamente Si, in comune con l'albero di economia [,. Ma allora possiamo ripetere l'operazione fino ad ottenere un albero di costo minimo che coincide con [,. Pertanto [, e tutti gli altri alberi di economia hanno costo minimo.

Alberi 51

Problemi 3.3 1. Si segnino sei punti in un piano. Si trovi poi l'albero di lunghezza totale minima i cui spigoli congiungono quei vertici.

3.4 Strade e piazze. Cambiare i nomi alle strade e alle pubbliche piazze è sempre stato uno dei passatempi favoriti delle amministrazioni cittadine in tutto il mondo, in qualche luogo forse pili che in altri. Si supponga ora che i responsabili della città desiderino essere molto sistematici circa i nomi delle loro strade: ogni strada dovrà essere lunga quanto un isolato e dovrà avere lo stesso nome di uno degli incroci adiacenti; cosi ad esempio Viale Risorgimento dovrà avere una delle sue estremità in Piazza Risorgimento. Ora naturalmente desideriamo porre il problema in forma generale, secondo la teoria dei grafi. È dato un grafo connesso: quando è possibile far corrispondere in modo univoco ad ogni spigolo uno dei vertici ai suoi estremi? Per incominciare rileviamo che ciò è sempre possibile quando il grafo è un albero. Dopo aver scelto una radice Ao ad arbitrio nell'albero, come nella figura 3.1.1, facciamo corrispondere allo spigolo AoAI il vertice Al' analogamente ad AoA2' il vertice A 2 e ad AoA3 il vertice A3' Successivamente ad AIAll si fa corrispondere An e cosi via; in generale, uno spigolo qualsiasi corrisponde al vertice che è nel suo estremo pili lontano da Ao. Supponiamo ora che il grafo abbia un circuito e (figura 3.4.1): ogni spigolo di e corrisponderà a uno dei suoi vertici terminali, cioè ad un vertice che appartiene a e. Se ad esempio lo spigolo AIA2 corrisponde ad A 2, allora lo spigolo A2A3 dovrà corrispondere ad A 3, e cosi via. Pertanto nessuno spigolo che non sia contenuto in e può corrispondere a un vertice appartenente a e. Di conseguenza ogni spigolo che, come AlBI' tocchi e in Ab dovrà corrispondere a BI' ed ogni spigolo BIB2 corrisponderà a B 2 e cosi via. Ma allora un arco come AIBIB2B3 ... non può ritornare a e perché i vertici di quel circuito sono già stati accoppiati con spigoli del circuito stesso. Né, per lo stesso motivo, l'arco può richiudersi su se stesso.

52

Alberi

Dunque, la parte del grafo che si può raggiungere da Al e che inizia con un spigolo AlBI attaccato a 8 deve essere un albero (il di radice Al; e analogamente per ogni altro vertice Ai di 8. Ma abbiamo già osservato che in un albero (il si può far corrispondere ad ogni spigolo l'estremo che è pili lontano dalla radice Al. Poiché gli spigoli di e corrispondono agli Ai possiamo concludere questa analisi col risultato che segue: In un grafo connesso si può far corrispondere univocamente ogni spigolo a uno dei suoi vertici estremi se e solo se il grafo è un albero oppure è costituito da un solo circuito 8 e da alberi attaccati ai vertici del circuito. (Si veda la figura 3.4.2).

Fig. 3.4.1

In base al Teorema 2.1 un albero ha un vertice in piu degli spigoli; un circuito, oppure un circuito con alberi attaccati ai vertici, ha lo stesso numero di vertici e di spigoli. Pertanto in tali casi esiste la possibilità di accoppiare gli spigoli con i vertici.

Fig. 3.4.2

Alberi 53

Un albero come quello della figura 3.1.1, oppure un grafo come quello della figura 3.4.2, possono rappresentare piante stradali di città molto piccole nelle quali non vi sono veri isolati interni alla città, oppure in cui vi è un solo isolato centrale al quale conducono le strade provenienti dalla campagna. Dopo aver un po' riflettuto sulla situazione le autorità cittadine si rendono conto con orgoglio che la loro città è troppo grande per adoperare quel metodo. Allora convengono di sostituirlo con il principio seguente: le strade e le piazze dovranno essere denominate in modo che ciascuna piazza abbia una via dello stesso nome che vi conduce cosi ad esempio per Piazza Risorgimento deve esservi sempre una Via Risorgimento che vi termina. Con il linguaggio della teoria dei grafi ciò significa accoppiare ogni vertice ad un unico spigolo in esso incidente. Vi sono casi in cui ciò non si può fare; per esempio un albero ha un vertice in piu dei suoi spigoli, come si è visto nel Teorema 3.1. Ma in questo caso si può quasi fare. Osserviamo l'albero della figura 3.1.1. Si può associare ad ogni vertice quello spigolo che da esso porta verso la radice Ao. Ciò permette di accoppiare ciascun vertice a uno spigolo come si voleva, ad eccezione della radice Ao. Gli alberi costituiscono una eccezione, da questo punto di vista, perché sussiste il seguente risultato generale: In un grafo connesso che non sia un albero si può sempre accoppiare ogni vertice a uno spigolo incidente.

DIMOSTRAZIONE. Un grafo connesso che colleghi un insieme di n vertici ha almeno n --l spigoli; se non è un albero ha piu di n - l spigoli e può essere ridotto a un albero mediante soppressione di alcuni spigoli, come sappiamo dal paragrafo 3.2. Sia &0 = (A o, Bo) uno degli spigoli soppressi per ridurre il grafo ad un albero li e scegliamo Ao come relativa radice. In li, ogni vertice ad eccezione di Ao si può far corrispondere a uno spigolo incidente; l'ulteriore spigolo &0 del nostro grafo si potrà assegnare ad Ao e cosi ogni vertice del grafo risulterà accoppiato ad uno spigolo incidente. È interessante osservare che in base alla discussione precedente si può sempre far si che tutti i vertici di un grafo corrispondano a spigoli incidenti, oppure che gli spigoli

54

Alberi

corrispondano a vertici estremi. Quando è possibile far si che entrambe le cose si verifichino? Quando il numero dei vertici è eguale al numero degli spigoli. Un grafo del genere non può essere un albero e pertanto concludiamo che deve avere la forma indicata nella figura 3.4.2, che contiene un solo circuito 8. Qui vi è effettivamente una corrispondenza in entrambi i sensi, cioè spigoli a vertici e vertici a spigoli: basta far corrispondere spigoli in 8 a vertici di 8, mentre ogni vertice che non appartiene a 8 corrisponderà a quello dei propri spigoli che è piu prossimo a 8. Problemi 3.4 1. Mettere in corrispondenza i vertici con gli spigoli incidenti nei grafi delle figure 1.1.1 e 1.1.2.

4 Accoppiamenti

4.1 I posti di lavoro e gli aspiranti. Una ditta ha un certo numero di posti di lavoro vacanti di vario tipo e vi è anche un gruppo di aspiranti a ricoprirli. Ciascuna persona è qualificata per alcuni dei posti ed allora si pone il problema: è possibile assegnare ciascuna persona a un posto per cui è adatta?

Fig. 4.1.1

Possiamo anche in questo caso illustrare la situazione mediante un grafo, adesso di un tipo un po' particolare. Come abbiamo appena spiegato vi è un gruppo di persone disponibili che indicheremo con P e un insieme di posti di lavoro L. Costruiremo il nostro grafo tracciando spigoli (p, I) congiungenti ciascuna persona p di P con i posti di lavoro 1 di L per i quali è qualificata. Pertanto non vi sono spigoli congiungenti tra loro due vertici che corrispondono entrambi a persone, né vi sono spigoli congiungenti due posti di lavoro: il grafo ha la forma che abbiamo indicato nella figura 4.1.1. Un grafo di questo tipo nel quale l'insieme dei vertici si decompone in due parti distinte P ed L tali che vi siano spigoli soltanto fra P ed L si chiama grafo bipartito (figura 4.1.1). È chiaro che non si può sempre pensare di poter avere un posto adatto per ciascuna persona. Intanto bisogna che

56

Accoppiamenti

vi siano almeno tanti posti quante sono le persone. Ma non basta: si pensi ad esempio che gli aspiranti siano due falegnami e un uomo capace di lavorare sia il legno che la latta e che vi siano quattro posti disponibili per questi tre uomini, uno di falegname e tre di lattoniere. Allora evidentemente uno dei falegnami rimarrà senza posto benché vi siano piu posti che aspiranti e nonostante che i tre uomini nell'insieme siano qualificati per entrambi i tipi di lavoro disponibili. Supponiamo che vi siano in tutto N persone aspiranti ai posti di lavoro. Allora per poter risolvere il nostro problema di assegnazione occorre che siano soddisfatte le condizioni seguenti: Se si sceglie comunque un gruppo di k persone, per tutti i valori di k = 1, 2, ... , N, debbono esservi almeno k posti per i quali, nell'insieme, le k persone sono qualificate.

Per esempio, se una persona fosse un falegname ed un'altra un falegname che può anche fare il lattoniere e vi fossero due posti di lattoniere, questa condizione non sarebbe soddisfatta per k = 1, pur essendo verificata per k = 2 e non si potrebbe pertanto collocare gli uomini. La condizione scritta in corsivo verrà chiamata per brevità condizione di diversità. Nostro obiettivo principale è ora dimostrare che la condizione è anche sufficiente, cioè dimostrare che vale il TEOREMA 4.1. È sempre possibile assegnare un posto adatto ad ogni persona quando sia soddisfatta la condizione di diversità.

Non è semplice dimostrare questo risultato. È del tutto semplice per N = 1: se una persona è qualificata per un lavoro allora si può collocarvela. Se N = 2, la condizione di diversità assicura che vi sono almeno due lavori per cui i due uomini sono qualificati e che inoltre non si verifica l'inconveniente falegnami-lattonieri cioè che ogni uomo è qualificato per un lavoro almeno. Anche in questo caso gli uomini possono venir collocati. Queste osservazioni mostrano che il teorema è vero per N = 1 e per N = 2. È quindi ragionevole tentare di dimostrare il teorema in generale col procedimento di induzione matematica: ammetteremo che l'affermazione sia vera

Accoppiamenti 57

quando vi siano N-l uomml, o meno di questi, e dimostreremo che è vera quando ve ne sono N. Se la condizione di diversità vale, potrà essere verificata in senso lato oppure proprio esattamente, cioè in senso stretto: potrà accadere che ogni gruppo possibile di k persone (k = 1, 2, ... , N-l) si qualifichi per pili di k lavori (verifica con larghezza) oppure potrà accadere che per qualche ko (k o = 1, 2, ... , N-l) vi sia un gruppo di ko uomini che si qualificano esattamente per ko lavori (verifica esatta). Dimostreremo ora che in entrambi i casi potremo assegnare un posto adatto a ciascuno degli N uomini. Se la condizione di diversità vale in senso lato, si scelga uno qualunque degli N uomini e lo si collochi in uno dei posti per i quali è adatto. Fra i rimanenti N-l uomini nessun gruppo di k (per qualsiasi k) può essere qualificato per meno di k lavori, perché fra i lavori inizialmente disponibili ve n'erano almeno k + l per i quali questi uomini erano qualificati e l'assegnazione già fatta ha tolto al pili un tipo di lavoro dalla disponibilità. Per l'ipotesi induttiva fatta gli N-l uomini possono dunque essere collocati in posti adatti. Se la condizione di diversità vale soltanto in senso stretto, consideriamo un insieme Ao di ko uomini (ko < N) che siano qualificati esattamente per ko lavori. Per la condizione di diversità, k di quegli uomini (per k = 1, 2, ... , k o) non possono mai essere qualificati per meno di k lavori; segue per l'ipotesi di induzione che i ko uomini di Ao si possono collocare. Rimangono da considerare gli N - ko uomini che restano. Dobbiamo dimostrare che la condizione di diversità è ancora soddisfatta per essi e per i posti non ancora occupati, cioè dobbiamo dimostrare che per ogni gruppo B di k di quegli uomini (k = l, 2, ... , N - k o) vi sono ancora almeno k lavori non occupati. Per vederlo supponiamo che gli uomini del gruppo B si qualifichino per k' lavori soltanto, dove k' è minore di k. Allora l'insieme Ao + B che consiste dei ko + k uomini di Ao e di B sarebbe stato inizialmente qualificato per ko + k' lavori soltanto; e ciò contrasta con l'ipotesi della validità della condizione di diversità. Concludiamo che la condizione di diversità è valida per i rimanenti N - ko uomini che pertanto si possono collocare in posti adatti in virtli della ipotesi induttiva; e ciò completa la dimostrazione.

58

Accoppiamenti

La figura 4.1.2 mostra il caso N = 6. I primi tre vertici della riga inferiore rappresentano un gruppo Ao di ko = 3 uomini qualificati rispettivamente come lattoniere (I), lattoniere e falegname (lf), e falegname (f); gli spigoli conducono a posti (vertici della riga superiore) occupati da questi uomini. m y

f

t

t

Ak- l ), (AHI' Ak- 2), ••• , (AHI' Ai+l), (Ai, AHI)' Allora è chiaro che vi sarà una coppia di spigoli consecutivi (6.3.3) il primo dei quali orientato da Ai ad Ak+! e il secondo orientato da Ak+l verso Ai+!. In questo caso esiste l'arco orientato

Questioni riguardanti giochi e rompicapi 95

Rimane il caso in cui tutti gli spigoli sono orientati da AHi verso ii'. Allora si può incominciare un arco collo spigolo (AHi' Al) e proseguire poi lungo ii'. È questo l'unico

caso in cui si debba cambiare il vertice iniziale dell'arco. Questo risultato mostra che, dopo che il torneo sia stato completato, si possono sempre ordinare i concorrenti

Fig. 6.3.2

secondo un cammino orientato verso le vittorie. Tuttavia il teorema non risolve completamente quello che avevamo in mente riguardo al paradosso del cronista sportivo. Li si richiedeva di prendere un certo vertice prefissato Al e di tracciare poi un cammino orientato che parta da esso e attraversi tutti i vertici rimanenti. Ciò non segue dalla proposizione precedente, dato che nell'ampliare l'arco ti' potremmo essere costretti a cambiarne il vertice iniziale. Di fatto non sempre è possibile trovare un arco come richiesto. Ciò è ovvio se Al è un individuo surclassato, cioè uno che non ha avuto altro che sconfitte nel torneo. Pili in generale non si potrà trovare l'arco richiesto se Al appartiene ad un gruppo O surclassato i cui componenti hanno, per cosi dire, gareggiato solo fra loro perché nessuno di essi è stato capace di ottenere una vittoria su di un concorrente esterno (figura 6.3.2). Nella rappresentazione col grafo ciò significa che vi sono spigoli orientati soltanto verso O e non ve n'è alcuno uscente da O. Ma possiamo dimostrare il: 6.2. Se Al non appartiene a un gruppo surclassato vi è sempre un cammino orientato che parte da Al e attraversa tutti i vertici.

TEOREMA

96

Questioni riguardanti giochi e rompicapi

DIMOSTRAZIONE. Si costruisca un arco ti' uscente da A come in (6.3.2), prolungando lo il piti possibile. La dimostrazione del Teorema 6.1 mostra che se vi è qualche vertice Ak+l al quale sia diretto uno spigolo proveniente da ti' allora ti' si può ampliare senza cambiare il vertice iniziale Al' Cosicché se ti' non può venir ampliato vuoI dire che i suoi vertici costituiscono un gruppo surclassato; ma siccome per ipotesi Al non appartiene ad un gruppo surclassato allora ti' dovrà percorrere tutti i vertici. Il nostro teorema mostra che quando non vi sono gruppi surclassati vi sono archi orientati attraverso tutti i vertici partendo da qualsiasi vertice iniziale. Il seguente teorema è piti preciso: TEOREMA 6.3. Se un grafo completo orientato non ha gruppi surclassati allora esiste un circuito orientato che passa per tutti i vertici. DIMOSTRAZIONE. Se ti' è un arco passante per tutti i vertici e terminante in An vi debbono essere anche spigoli uscenti da An dato che non può essere un vertice surclassato. Uno

Fig. 6.3.4

Fig. 6.3.3

spigolo cosiffatto (An, Ai) deve entrare in un vertice precedente Ai di ti' cosicché è certo che vi è qualche circuito orientato (figura 6.3.3). Sia 8 = (Al> A 2)

•••

(Ak-l' Ak) (A k, Al)

uno di questi circuiti orientati che non contenga tutti i vertici. Supponiamo che vi sia un qualche vertice Ak+l

Questioni riguardanti giochi e rompicapi 97

tale che vi siano spigoli da e ad AUI in entrambi i versi. Allora come nella (6.3.3) vi saranno spigoli adiacenti a e in entrambi i versi e si potrà ampliare e sostituendo lo spigolo (Ai, AHI) con (Ai, AUI) e (A uI , AHI)' (Si veda la figura 6.3.4).

Fig. 6.3.5

Rimaniamo cosi di fronte al caso in cui i vertici fuori di e sono di due tipi: vertici M dai quali tutti gli spigoli escono verso e e vertici N nei quali tutti gli spigoli sono entranti da e. Vi debbono essere vertici di entrambi i tipi perché se non vi fossero vertici M l'insieme {N} di tutti i vertici N costituirebbe un gruppo surclassato, mentre se non vi fossero vertici N i vertici di e costituirebbero un gruppo di quel tipo. (Si veda la figura 6.3.5). I vertici dell'insieme {M} saranno poi collegati con certi spigoli all'insieme {N}. Vi deve essere almeno uno spigolo (Nh MI) da un vertice N I di {N} verso un vertice MI di {M}, perché in caso contrario l'insieme {N} sarebbe surclassato. Ma allora si può di nuovo ampliare e sostituendo lo spigolo (Ai, AHI) con i tre spigoli

In questo modo possiamo via via ampliare contenga tutti i vertici. 4

e fino a quando

98

Questioni riguardanti giochi e rompicapi

Problemi 6.3 1. Considerare la tabella dei risultati di qualche torneo circolare di scacchi. Trovare poi un arco orientato passante per tutti i vertici del relativo grafo. Esaminare se vi è qualche insieme surc1assato; in caso negativo, cercare un circuito passante per tutti i vertici e orientato. 2. Come si deve modificare la discussione precedente se è consentito avere dei pareggi?

7 Relazioni

7.1 Relazioni e grafi. Abbiamo parlato finora di svariate applicazioni dei grafi: applicazioni a problemi quotidiani, a giochi e indovinelli. Gli argomenti scelti avevano il vantaggio di consentirci l'uso di concetti semplici e ben noti. In questo capitolo tenteremo di render chiaro come i grafi siano strettamente collegati con alcuni dei concetti piu fondamentali della matematica in generale: anzi sono soltanto un modo diverso di formularli. Un sistema matematico, come lo troviamo di solito, è costituito da un insieme di enti o elementi. Per esempio, trattiamo comunemente con numeri e questi appartengono a classi piu o meno generali; possiamo occuparci dell'insieme degli interi, dei numeri positivi, dei numeri razionali, reali, immaginari, complessi. Nell'algebra ci occupiamo di elementi che si possono aggiungere, sottrarre, moltiplicare e cosi via; nella geometria di solito siamo di fronte a un insieme di punti o a particolari classi di punti come le rette, le circonferenze, i piani, ecc.; nella logica discutiamo le proprietà di affermazioni di vario tipo. Ma per costruire una teoria matematica occorre qualcosa di piu, oltre quegli elementi: occorrono relazioni fra essi. Eccone qualche esempio. Nel caso dei numeri, possiamo avere numeri eguali a e b: con le notazioni formali matematiche scriviamo a = b. Oppure si tratta di numeri diversi a e b e scriviamo a #- b. Il simbolo a > b indica che a è maggiore di b; analogamente a ?: b significa che a è maggiore oppure eguale a b. Quando si tratta di interi, se a divide esattamente b scriviamo a I b. In geometria due enti, per esempio triangoli, possono essere congruenti: indicandoli con A e B, scriveremo allora A B; oppure uno può contenere l'altro e scriveremo allora A :J B. Due rette possono essere parallele, A Il B, oppure perpendicolari, A ~ B. In logica una affermazione può implicarne un'altra, A -+ B. r-.J

100

Relazioni

Nella teoria degli insiemi la relazione a E S fra un elemento a ed un insieme S significa che a appartiene ad S.

Tutte queste relazioni riguardano due enti e pertanto vengono spesso chiamate relazioni binarie, o semplicemente relazioni (per brevità). Vi sono però altre relazioni; per esempio, una relazione ternaria riguarda tre enti e come esempio di una relazione di questo tipo possiamo prendere: A è situato fra B e C. L'importanza delle relazioni in matematica rende necessario che se ne dia una definizione generale. Per indicare una relazione (binaria) generale, rappresentata dal simbolo R, scriviamo (7.1.1)

aRb

e leggiamo b è nella relazione R con a. Ciò significa che b appartiene a un certo particolare insieme Ra che è determinato per ciascun a dalla relazione. Cosi, ad esempio, la relazione a > b significa che b appartiene all'insieme dei numeri che sono inferiori ad a. Per due interi a e b la relazione a I b, ossia a divide b, significa che b appartiene all'insieme di tutti gli interi che sono multipli di a. Pertanto in generale (7.1.1) è un'altra maniera di esprimere che b appartiene all'insieme Ra che R associa ad a. Torniamo ai nostri grafi. Ogni grafo orientato definisce in realtà una relazione nell'insieme dei suoi vertici. Possiamo scrivere questa relazione: (7.1.2)

aGb

ed essa significa che vi è uno spigolo orientato uscente da a verso b in G. In questo caso l'insieme Ra = Ga associato ad a dalla relazione è dunque l'insieme di tutti i vertici b di G nei quali entra uno spigolo uscente da a. Cosi per affermare che vi è uno spigolo (a, b) in G basta dire che vale la relazione (7.1.2). Come conseguenza dovremmo propendere a ritenere che la teoria dei grafi sia una parte speciale della teoria delle relazioni: di fatto le due teorie ricoprono il medesimo campo. Supponiamo che in un insieme S sia definita una relazione R, cosicché vi è un insieme Ra associato ad ogni a di S. Allora si può costruire un grafo G di R semplice-

Relazioni

101

mente tracciando uno spigolo da a verso ciascuno dei vertici di Ra (figura 7.1.1). Poiché la teoria delle relazioni e la teoria dei grafi sono soltanto aspetti diversi degli stessi concetti, ci si può chiedere perché i matematici mantengano fra di esse una distinzione. Ciò in parte è dovuto alle abitudini e alle tradizioni, proprio come in geometria analitica si parla di retta

a Fig. 7.1.1

mentre in algebra lo stesso concetto è l'equazione lineare in due incognite. Tuttavia c'è una diversità reale nei metodi delle due discipline, benché naturalmente non molto netta: nella teoria delle relazioni per lo piti si deve trattare con insiemi Ra infiniti: per esempio si consideri la relazione a > b per tutti i numeri reali. Ciò significa che nella corrispondente rappresentazione in forma di grafo ci dovrebbero essere infiniti vertici e infiniti spigoli per ciascun vertice. È estremamente difficile avere qualche percezione intuitiva delle proprietà di un grafo del genere: quando, nelle pagine precedenti, ci siamo occupati di problemi sui grafi, era un gran vantaggio il poter ragionare geometricamente sui vertici e sugli spigoli che li congiungono. Per molti tipi di relazioni questi ragionamenti perdono il loro carattere di evidenza e di lucidità; e anzi, potrebbero anche non essere piti validi per un numero infinito di elementi: cosi si è costretti a introdurre altri tipi di ragionamento e di dimostrazioni per le relazioni negli insiemi infiniti. Problemi 7.1 1. Elencare alcune relazioni diverse da quelle menzionate sopra. Tentare di inventarne alcune nuove per conto proprio. 2. Per l'insieme di numeri 2, 3, 4, 5, 6 tracciare i grafi ed elencare gli insiemi R", per ciascuna delle seguenti relazioni: a) x > y, b) x -=1= y, c) x I y.

102

Relazioni

7.2 Condizioni speciali. Nuovi punti di vista dànno di solito luogo a nuove osservazioni. Vi sono alcuni aspetti della teoria delle relazioni che è opportuno introdurre anche nella teoria dei grafi per rendere il parallelismo piu completo. Per qualsiasi relazione R può accadere che un elemento sia in quella relazione con se stesso: (7.2.1)

aRa.

Per esempio, di una retta A si dice che è parallela a se stessa: A Il A; un numero qualsiasi soddisfa alla a ~ a; e cosi via. Nei grafi non abbiamo finora mai previsto questo caso particolare, che corrisponde a uno spigolo (a, a) che abbia i due estremi coincidenti. Introduciamo cosi i cappi o lacci (a, a) nelle rappresentazioni dei grafi; si tratta di uno spigolo che ritorna su se stesso nel vertice a (figura 7.2.1).

Fig. 7.2.1

Una relazione R tale che la (7.2.1) valga per ogni a si dice riflessiva. Nella rappresentazione col grafo ciò significa che vi è un cappio ad ogni vertice. Come esempi abbiamo come prima la relazione di parallelismo fra rette: A Il B; oppure la relazione fra numeri: a ~ b. Se la (7.2.1) non vale per nessun elemento si dice che R è una relazione antiriflessiva. Ciò equivale alla proprietà che il grafo corrispondente non abbia cappi in nessun vertice. Come esempio si può prendere la perpendicolarità fra rette: A ..L B, cioè A e B si incontrano sotto un angolo di 90°. Per ogni relazione si può definire una relazione reciproca R* scrivendo bR*a ogni volta che valga aRb. Cosi ad esempio la relazione a I b, cioè a divide b, ha come relazione reciproca

bi *a, ossia b è un multiplo di a. Spesso vi è un simbolo speciale

Relazioni

103

per indicare R*. Ad esempio, la relazione a è maggiore di b, a > b, ha la reciproca b < a, cioè b è minore di a. La relazione a-E"A, a è un elemento di A, ha come reciproca A 3 a ossia A contiene a. La definizione di relazione reciproca mostra che se nel grafo G corrispondente ad R vi è uno spigolo (a, b), allora nel grafo G* corrispondente ad R* vi è lo spigolo (b, a). In altre parole G* è il grafo reciproco od opposto di G cioè è il medesimo grafo ma con gli spigoli orientati nel verso opposto. Può accadere che per una relazione R si abbia in pari tempo (7.2.2)

aRb

e anche

bRa

per una coppia di elt:menti a e b. Nella rappresentazione mediante il grafo dovrebbero allora esserci due spigoli (a, b)

e anche

(b, a),

uno per ciascun verso. Ma nei grafi si può sostituire una coppia come questa con un solo spigolo non orientato, come nel caso delle vie a doppio senso di traffico. Alcune relazioni hanno la proprietà che una delle due relazioni (7.2.2) implica sempre anche l'altra: una relazione di questo tipo si dice simmetrica. Come esempi ricordiamo: la relazione di parallelismo, A Il B; la relazione di perpendicolarità, A 1. B; e la relazione di eguaglianza, A = B. In base alle osservazioni fatte prima possiamo dire che: Una relazione simmetrica ha un grafo con gli spigoli non orientati; inversamente un grafo con gli spigoli non orientati definisce una relazione simmetrica.

Vi sono alcune relazioni R nelle quali una delle due relazioni (7.2.2) non può mai valere se vale l'altra. Come esempio prendiamo a > b. Relazioni di questo tipo si chiamano antisimmetriche o asimmetriche. I relativi grafi non hanno mai spigoli non orientati, né coppie di spigoli di versi opposti fra due qualsiasi coppie di vertici; inoltre non hanno cappi, ossia queste relazioni sono antiriflessive. Vi è un'altra proprietà che occupa un posto importante

104

Relazioni

nella teoria delle relazioni. Diciamo che è una relazione R è transitiva se le due condizioni aRb

e

bRe

implicano aRe. Fra gli esempi vogliamo ricordare le relazioni: A è parallela a B, A Il B; a è eguale a b, a = b; a è piu grande di b, a > b; a divide b, a I b. D'altra parte le relazioni a..l B e a =I=- b non sono transitive. Una relazione transitiva possiede, come grafo, la seguente proprietà caratteristica: per ogni coppia di spigoli (7.2.3)

(a, b),

(b, c)

vi è uno spigolo risultante (a, c) (figura 7.2.2).

a------------__-l c Fig. 7.2.2 Sfruttando ripetuta mente questa proprietà si conclude che ogniqualvolta vi sia un cammino orientato da un vertice x fino ad un vertice y, c'è anche lo spigolo (x, y). Supponiamo infine di avere un grafo G, con gli spigoli orientati, che non sia transitivo. Per esempio, il grafo della figura 7.2.3 non ha uno spigolo fra i vertici a e e. Il grafo della figura 7.2.4 ha lo spigolo (c, a), mentre lo spigolo risultante di (a, b) e (b, c) dovrebbe essere lo spigolo (a, c). Ma in ogni caso si può sempre rendere transitivo un grafo orientato aggiungendo spigoli orientati fino a quando ogni coppia di spigoli consecutivi abbia nel grafo il proprio risultante. Il nuovo grafo G T cosi ottenuto si chiama la

Relazioni 105

chiusura transitiva di G. Le figure 7.2.5 e 7.2.6 mostrano rispettivamente le chiusure transitive dei grafi delle figure 7.2.3 e 7.2.4. Si osservi che aggiungendo al grafo della

a Fig. 7.2.3

Fig. 7.2.4

figura 7.2.4 i risultanti: (a, c) di (a, b) e (b, c); (c, b) di (c, a) ed (a, b); (b, a) di (b, c) e (c, a), la chiusura transitiva cosi ottenuta è il grafo di una relazione simmetrica.

b

c Fig. 7.2.5

Fig. 7.2.6

Problemi 7.2 1. Esaminare alcune altre relazioni considerando le proprietà ricordate sopra. 2. Esaminare le relazioni di parentela: a) A è un discendente di B. b) A e B hanno un antenato in comune. 3. Formare le chiusure transitive dei grafi in figura 5.1.1 e figura 5.1.2.

106 Relazioni

7.3 Relazioni di equivalenza. Fra i vari tipi di relazioni matematiche le relazioni di equivalenza hanno un posto preminente. Una relazione di equivalenza, che si indica col simbolo ,....", è caratterizzata dalle tre proprietà: 1. Riflessività: a,...." a.

2. Simmetria: a,...." b implica b,...." a. 3. Transitività: a,...." b e b,...." c implicano a,...." c. L'esempio che viene subito in mente è l'eguaglianza: a = b. Invero le relazioni di equivalenza hanno proprietà simili a quelle della eguaglianza e accade spesso di considerare una equivalenza come nuovo tipo di eguaglianza: un buon esempio è la congruenza geometrica A "-' B di due figure. Nella teoria dei numeri si adopera un altro tipo di relazione di equivalenza che si chiama anch'esso congruenza. Se a, b ed m sono tre interi si scrive: (7.3.1)

a

== b

(mod m)

quando la differenza a - b è divisibile per m, o in altri termini quando: (7.3.2)

a=b+km

dove k è un numero intero. Nella teoria dei numeri la relazione (7.3.1) viene espressa in parole dicendo: il numero a è congruo a b secondo il modulo m ( b che soddisfi alle condizioni: l. a > a è impossibile. 2. a> b e b > c implicano a> c.

Come prima, si verifica che si ha a > b se e solo se VI e una relazione di inclusione in senso stretto di insiemi Ra ~ Rb tra i rispettivi insiemi di relazione. Il simbolo > viene qui adoperato in un senso piu generale che quello solito di «maggiore di », valido per i numeri. E ora consideriamo l'immagine che un grafo G può dare di un ordinamento parziale, in particolare nel caso in cui vi sia un numero finito di vertici. Non occorre fare distinzioni speciali fra un ordine parziale e un ordine parziale in senso stretto: l'unica differenza è che il primo ha dei lacci e il secondo non ne ha. Ogniqualvolta a > b vi è uno spigolo orientato (a, b) in G. Nella figura 7.4.1 abbiamo disegnato un ordinamento parziale in senso stretto per otto vertici. Affrettiamoci a dire che questo non è .. il modo consueto di presentare un ordinamento parziale. Nel grafo in questione, tutte le volte che vi sono due spigoli (a, b) e (b, c) vi è anche lo spigolo (a, c): si può semplificare il diagramma sopprimendo tutti gli·spigoli risultanti di queUipo. In generale, ogniqualvolta VI sia un arco orientato A(a, b) da a fino a b, dovrebbe esservi a rigore anche lo spigolo (a, b); ma poiché tutti questi spigoli risultanti sono conseguenza

Relazioni 113

diretta dell'esistenza degli archi orientati, essi possono essere considerati superflui e pertanto si possono omettere. Facendo queste riduzioni nel grafo della figura 7.4.1 si rimane col grafo molto piu semplice della figura 7.4.2.

Fig. 7.4.1

Fig. 7.4.2

Il grafo di un ordinamento parziale dal quale siano stati rimossi tutti i lacci e gli spigoli superflui si dice grafo base. Se A(a, b) è un arco orientato nel grafo base, non vi può essere uno spigolo orientato (a, b) perché sarebbe superfluo. Né vi può essere uno spigolo orientato (b, a) nel verso opposto, perché insieme con A(a, b) darebbe luogo ad un circuito orientato che ritorna ad a e ciò darebbe a > a contrariamente alle ipotesi (figura 7.4.3). D'altra parte un

b

Fig. 7.4.3

114 Relazioni

grafo aciclico orientato, cioè un grafo orientato privo di circuiti orientati, dà luogo a un ordinamento parziale se si scrive a > b ogni qualvolta vi sia un arco orientato da a fino a b. Una relazione d'ordine (in senso stretto) è un ordinamento parziale (in senso stretto) a > b che oltre alle precedenti condizioni soddisfa anche alla condizione di: Completezza: Per una coppia qualsiasi di elementi diversi a e b una delle due relazioni a > b, b > a è sempre verificata. In altri termini, tutti gli elementi dell'insieme si possono « confrontare» in una relazione d'ordine. Qualche volta viene chiamata ordinamento completo in contrapposto agli ordinamenti parziali. Analogamente la relazione d'ordine a ~ b si definisce aggiungendo la medesima condizione di completezza alle condizioni per l'ordine parziale. In una relazione d'ordine, per gli insiemi di relazione Ra ed R/, di due elementi deve valere una delle due: Ra:::J Rb oppure Rb :::J Ra. In matematica, come del resto nella vita comune, si incontrano sovente insiemi ordinati; per esempio: i nomi vengono ordinati alfabeticamente; i ragazzi si possono ordinare o classificare secondo l'altezza, i voti scolastici o parecchi altri criteri. Ben noto in matematica è l'ordinamento dei numeri sulla retta reale: in questo caso l'insieme di relazione Ra consiste di tutti i numeri b soddisfacenti ad a > b; cioè, con la solita rappresentazione, Ra consiste di tutti i numeri a sinistra di a sull'asse dei numeri (figura 7.4.4). Ra________________ --A

~

"aI

+

Fig. 7.4.4

Spesso abbiamo a che fare con insiemi ordinati di un numero finito di elementi. Un tale insieme contiene un elemento al piu piccolo degli altri, un secondo elemento a 2 maggiore di al ma minore di tutti gli altri, e cosi via fino al piu grande ano Ciò significa che si possono ordinare gli elementi esattamente come si ordinano gli interi 1,2,3, ... , n

Relazioni 115

secondo la solenne ciò nato con n degli interi

grandezza. Con terminologia matematica plU verrebbe espresso dicendo: ogni insieme ordielementi è ordinatamente isomorfo all'insieme 1, 2, ... , n.

Problemi 7.4 l. Tracciare il grafo completo e il grafo base per l'ordinamento

dei quattro numeri 1, 2, 3, 4. 2. Qual è il grafo base per l'ordinamento degli n numeri 1, 2, ... , n? 3. Dimostrare che la relazione di divisibilità a I b per interi è un ordinamento parziale. Qual è nel caso attuale la distinzione fra l'ordinamento parziale e l'ordinamento parziale in senso stretto? 4. Si prendano tutti i sottoinsiemi di un insieme S con tre elementi a, b, c. Quanti sono i sottoinsiemi? Costruire il grafo e il grafo base per il relativo ordinamento parziale. Perché è opportuno introdurre anche un sottoinsieme vuoto 0 privo di elementi?

8 Grafi planari

8.1 Condizioni per i grafi planari.

Come abbiamo già spiegato (rileggere il Paragrafo lA) un grafo planare è un grafo che può essere tracciato nel piano in modo tale che gli spigoli si incontrino soltanto nei vertici. Abbiamo anche dato vari esempi di grafi planari. Nel paragrafo 1.5 abbiamo analizzato il problema delle tre case e dei tre pozzi e spiegato perché il corrispondente grafo non possa essere planare. Il grafo del problema (figura 1.5.1) può essere tracciato in vari modi, come è possibile del resto per tutti i grafi. Quando diciamo « il» grafo intendiamo qualsiasi grafo isomorfo a un particolare grafo che descriva la situazione. Pertanto l'affermazione « il grafo della figura 1.5.1 non è planare» significa che non possiede alcun isomorfo planare. Per esempio i vertici si potrebbero collocare a esagono come nella figura 8.1.1. L'intersezione al centro non è un vertice: si deve pensare che gli spigoli si scavalchino l'un l'altro in quel punto. Vi è addirittura un grafo con soli 5 vertici che non è planare, e precisamente il grafo completo con 5 vertici (figura 8.1.2). Perché questo grafo non possa essere planare può essere messo in evidenza da un ragionamento simile a quello adoperato nel Paragrafo 1.5 per mostrare che il grafo della figura 8.1.1 (oppure della figura 1.5.1) non è planare. I vertici del grafo in una rappresentazione qualsiasi debbono appartenere a un circuito ii' in un certo ordine, per esempio ABCDEA. Vi è uno spigolo (E, B) che nel nostro grafo planare possiamo collocare a scelta internamente o esternamente a ii': il ragionamento è analogo in entrambi i casi. Se lo collochiamo internamente, come nella figura 8.1.3, allora da A escono spigoli verso D e C: dato che lo spigolo (E, B) impedisce che siano interni a~ii'dovranno entrambi essere esterni. Lo spigolo (D, B) può allora essere tracciato soltanto internamente a ii' dato che lo spigolo (A, C) impedisce di accedere al vertice B dall'esterno; ma allora non vi è piu alcuna possibilità di tracciare l'ultimo

Grafi planari

117

spigolo (C, E) nel piano: non possiamo collocarlo internamente a causa dello spigolo (D, B), né esternamente a causa di (A, D). Abbiamo discusso un po' a lungo di grafi particolari, come quello che rappresenta le tre case e i tre pozzi (figura 8.1.1),

A

A

Z

X

E

B

B

C

D

Y

Fig. 8.1.2

Fig. 8.1.1

e il grafo completo con 5 vertici (figura 8.1.2), perché svolgono una funzione speciale nello stabilire, in generale, se un dato grafo sia planare o no. L'aver dato un criterio per riconoscere i grafi planari è merito del matematico polacco A

D

C

Fig. 8.1.3

Kuratowski (1930), e per enunciarlo dobbiamo spiegare ciò che si intende per espandere e contrarre un grafo. Supponiamo di aggiungere nuovi vertici su certi spigoli di un grafo, sicché questi spigoli diventino archi costituiti

118

Grafi planar;

da piu spigoli: chiamiamo questa operazione espandere il grafo. Nella figura 8.1.4 abbiamo raffigurato l'espansione di un grafo (a), con quattro vertici, al grafo (b). Inversamente, supponiamo di avere un grafo come quello in (b) comprendente archi divisi da vertici intermedi da cui non escono spigoli: con l'operazione inversa possiamo contrarlo a un grafo in cui gli archi iniziali sono diventati

(a)

(b)

Fig. 8.104

spigoli. Cosi nella figura 8.1.4 il grafo (b) si può contrarre al grafo (a) sopprimendo i vertici divisori interni degli archi. Possiamo ora enunciare il teorema di Kuratowski: Un grafo è planare se e solo se non contiene alcun grafo che possa venir contratto al grafo pentagonale (figura 8.1.2) oppure al grafo esagonale (figura 8.1.1).

La dimostrazione non è molto difficile, ma è piuttosto laboriosa e richiederebbe piu spazio di quanto disponibile qui. Aggiungiamo alcune altre osservazioni sui grafi planari. Abbiamo tentato in precedenza, per esempio nella figura 1.5.2 oppure nella figura 8.1.3, di trovare una rappresentazione planare di un grafo tracciando ne gli spigoli come curve piu o meno ingegnosamente contorte: di fatto ciò non è essenziale. Si può dimostrare che ogni grafo planare può essere disegnato nel piano in modo che tutti gli spigoli siano segmenti di rette, purché naturalmente non vi siano coppie di vertici collegate da piu di uno spigolo. Ad esempio

Grafi planari

119

il grafo della figura 8.1.3 può essere rappresentato come nella figura 8.1.5. Un altro fatto che conviene ricordare è che ogni grafo planare può anche essere tracciato con i vertici e gli spigoli sulla superficie di una sfera. Vi sono vari modi di ottenere tale rappresentazione, ad esempio la proiezione stereografica: si tratta di un metodo adoperato spesso dai cartografi, A

D~----------------~~C

Fig. 8.1.5

specialmente per le carte di regioni della terra vicine ai poli. Sia P il piano sul quale è situato il nostro grafo. Collochiamo una sfera S in modo che tocchi P, per cosi dire, nel suo Polo Antartico A (figura 8.1.6). Il Polo Nord N viene assunto come centro di proiezione. Da ogni punto p del piano P facciamo uscire una retta che lo congiunga a N. N

Fig. 8.1.6

120

Grafi planari

Tale retta incontrerà S in un punto s. Allora a ogni punto p facciamo corrispondere il punto s di S. Con il procedimento inverso si può proiettare sul piano P tangente alla

sfera qualsiasi grafo tracciato sulla sfera S; l'unico punto di S che non ha una immagine su P è il centro di proiezione N. Problemi 8.1 1. Sopprimere lo spigolo A Y nel grafo della figura 8.1.1. Tracciare il grafo rimanente nel piano, con spigoli rettilinei non intersecantisi. 2. Cercare tutti i grafi con 6 vertici che non sono planari. 8.2 La formula di Eulero.

Esamineremo ora i grafi planari che formano una rete poligonale nel piano. Intendiamo con ciò che gli spigoli del grafo planare G formino un insieme di poligoni adiacenti nel piano, e lo dividano cosi in parti poligonali, come abbiamo indicato nella figura 8.2.1.

Fig. 8.2.1

Grafi planari

121

Per evitare equivoci insistiamo sul punto che, contrariamente a quanto si intende di solito, quando parliamo di poligoni non intendiamo necessariamente che gli spigoli siano segmenti di retta: potranno essere curve continue di qualsiasi tipo ciascuna non intersecante se stessa, capaci di dividere il piano in regioni. Un ottimo esempio di grafo poligonale può essere la carta degli Stati Uniti con la sua divisione nei vari stati. In verità, qualsiasi carta dei confini tra paesi diversi può andar bene: i confini fra i vari paesi sono gli spigoli del grafo e gli stati o paesi compresi in essi sono i poligoni. Torniamo ora ai nostri grafi poligonali. Come abbiamo indicato, essi sono connessi; inoltre, richiediamo che nessun poligono circondi completamente un altro poligono. Gli spigoli del contorno di un poligono formano un circuito, qualche volta detto circuito minimale. La parte di piano che esso delimita si dice faccia del grafo. Vi è anche un circuito massimale Cl che circonda l'intero grafo con tutte le sue facce. Un ottimo principio da seguire in matematica consiste nell'introdurre convenzioni tali che le formule diventino le piti semplici possibili: nel nostro caso si dimostra vantaggioso considerare la parte di piano esterna a Cl come una faccia del grafo, che abbia Cl come contorno; la chiameremo la faccia infinita. Si può vedere che se si proietta l'intero grafo su una sfera, come indicato nel Paragrafo 8.1, non vi è in realtà alcuna distinzione tra la faccia infinita e le altre. Vediamo un esempio di tutto questo nel grafo della figura 8.2.1. Qui abbiamo un grafo con dieci facce segnate da I a X. Per esempio, la faccia I ha un contorno che è il circuito costituito dagli spigoli (1, 2),

(2, 11),

(11, lO),

(lO, l)

mentre la faccia VIII è contornata soltanto da due spigoli che congiungono i vertici lO e 12. Il circuito massimale Cl ha spigoli che attraversano i vertici da 1 a lO ordinatamente, per tornare poi di nuovo a 1. La faccia infinita X è l'insieme dei punti fuori di Cl' Per i poliedri nello spazio esiste una relazione interessante ottenuta per la prima volta da Eulero e generalmente nota come formula di Eulero per i poliedri. Essa vale anche per

122

Grafi planari

i nostri grafi poligonali. In uno di questi grafi G indichiamo con

i numeri dei vertici, degli spigoli e delle facce, rispettivamente, di G.

Fig. 8.2.2 La formula di Eulero afferma allora che: (8.2.1)

Vv -

V8

+ v/ =

2.

DIMOSTRAZIONE. La formula vale nel caso piu semplice in cui vi sia un solo poligono con n lati o spigoli (figura 8.2.2). In tale caso Vv

=

V8

= n,

Fig. 8.2.3

v/

= 2,

Grafi planari

123

e perciò la (8.2.1) è valida. Procederemo ora per induzione matematica a dimostrare la relazione in generale. Dimostreremo che se vale per grafi con VI facce, allora vale anche per grafi con VI + 1 facce. I grafi poligonali si possono costruire a passo a passo: in ogni passo si aggiunge una faccia all'« esterno ». Supponiamo che G (la parte non tratteggiata nella figura 8.2.3) sia un grafo poligonale con Vv vertici, Vs spigoli e VI facce, e che i numeri v v , Vs e VI soddisfino alla formula di Eulero. Aggiungiamo una nuova faccia nel modo indicato (si veda la parte tratteggiata nella figura 8.2.3) tracciando un arco di spigoli contenuti in Fao e congiungente due vertici del circuito massimale di G. Se questo arco ha r spigoli avremo aggiunto r - 1 nuovi vertici e una nuova faccia. Ma allora è chiaro che la relazione di Eulero rimane valida per il grafo aumentato, dato che: Vv -

Vs

+ VI =

(vv

+r -

1) - (vs

+ r) + (vI + 1).

Problemi 8.2 1. Si verifichi la formula di Eulero per il grafo della figura 1.4.1. 2. Fare lo stesso per il grafo formato dagli 8 x 8 quadrati di una scacchiera. Generalizzare il caso di n x n quadrati.

8.3 Relazioni tra grafi. Grafi duali. D'ora in poi supporremo di considerare sempre grafi poligonali. Scriviamo la formula di Eulero (8.2.1) nella forma (8.3.1)

Vv

+ VI =

Vs

+ 2.

Il numero degli spigoli di un grafo può essere calcolato contando gli spigoli in ciascun vertice. Dato che, in questo modo, ogni spigolo viene contato due volte troviamo 1'espressione (8.3.2) come nella (1.6.1); qui e(A i ) è il grado locale, cioè il numero degli spigoli, nel vertice Ai. Per il grafo di figura 8.2.1 si ha V s = 22.

124

Grafi planari

C'è un altro modo di contare gli spigoli di un grafo poligonale. Per un dato grafo G, indichiamo con rpk il numero delle facce di G contornate da k spigoli. Per esempio, il grafo di figura 8.2.1 ha:

In altri termini, fra le sue dieci facce ve n'è una contornata da due spigoli, ve ne sono tre contornate da tre spigoli, e cosi via. Poiché non vi sono lacci in queste reti poligonali, non vi sono facce contornate da un solo spigolo. Abbiamo dunque la relazione (8.3.3) Ora contiamo gli spigoli del grafo osservando che ogni spigolo sta sempre sul confine tra due facce; giungiamo cosi alla formula (8.3.4)

Nell'esempio della figura 8.2.1 si ottiene V s = 22 come prima. Per un qualsiasi grafo poligonale G si può costruire un nuovo grafo poligonale G*, il grafo duale di G, col seguente metodo: dentro a ciascuna faccia, compresa la faccia infinita, si scelga un punto; due di questi punti A e B si congiungano con uno spigolo se appartengono a facce adiacenti aventi uno spigolo in comune E; il nuovo spigolo congiungente A con B attraversi E e non attraversi nessun altro spigolo del grafo. Se vi sono piu spigoli comuni a due facce si traccerà un nuovo spigolo per ciascuno di essi. Abbiamo illustrato 1'operazione nella figura 8.3.1, dove G è costituito dalle linee continue e G* dalle linee a tratti. Il grafo duale è importante nello studio dei grafi planari; anzi, solo per i grafi planari, può essere definito il grafo duale. Il grafo duale di un grafo poligonale è anch'esso un grafo poligonale. Si vede dalla figura 8.3.1 che ad ogni faccia F del grafo G corrisponde precisamente un vertice V* del grafo G* e che il numero di spigoli in un vertice V* di G*

Grafi planari

125

è uguale al numero degli spigoli sul contorno della corrispondente faccia F di G. Ciò dimostra che il grado locale di V* in G* è il numero degli spigoli di contorno della corrispondente faccia F in G. Ogni spigolo E di G corrisponde a un unico spigolo E*, che lo attraversa, di G*.

If:.---/I I I

.....

I I I I I

,

Fig. 8.3.1 A ogni vertice V di G vi sono e( V) spigoli: ciascuno di questi è attraversato da uno spigolo di G* e questi ultimi spigoli formano una faccia F* di G*; pertanto vi sono e(V) spigoli di G* nel contorno di F*. Dalla figura si vede anche che G è il duale di G*. I due grafi hanno lo stesso numero di spigoli; il numero dei vertici di G* è eguale al numero delle facce di G ed il numero delle facce di G* è eguale al numero dei vertici di G.

8.4 I poliedri platonici. Abbiamo detto che un grafo è regolare (Paragrafo 1.6) se il numero e degli spigoli è il medesimo a ogni vertice. Di un grafo poligonale G diremo che è completamente regolare se è regolare anche il relativo grafo duale G*. Ciò significa (vedasi il Paragrafo precedente) che ogni faccia

126

Grafi planari

di G deve avere il medesimo numero di spigoli al contorno: numero che chiameremo e*. Vi sono, come ora dimostreremo, ben pochi grafi completamente regolari. Se si conta il numero degli spigoli di G come nella (8.3.2) e nella (8.3.4) si trova, nel caso di grafi completamente regolari, che quelle espressioni si riducono a (8.4.1) Dalla (8.4.1) prendiamo i valori vs

l

=

T

e 'l'v,

v,

=

e - v·v

.--

e*

e sostituiamoli nella formula di Eulero (8.3.l). Si ottiene cosi il risultato 'l'v

(1 + ~ - -~2 e) = 2 e*

che possiamo scrivere nella forma (8.4.2)

vv(2e

+ 2/?* -

ee*) = 4e*·

Dato che 'l'v e e* sono interi positivi, anche l'espressione fra parentesi deve essere un intero positivo

2e

+ 2e* -

ee* > O.

Quest'ultima condizione si scrive piu opportunamente come

QQ* - 2e - 2e* < 0, oppure (8.4.3)

(e - 2) (e* - 2) < 4.

Risolveremo la diseguaglianza (8.4.3) in due riprese. Dapprima consideriamo il caso in cui entrambi i fattori e - 2 e e* - 2 sono positivi; cioè e e e* sono maggiori di 2. Dato che le sole coppie di interi positivi il cui prodotto è minore di 4 sono: l e l, l e 2, l e 3, è chiaro che deve essere e - 2 ~ 3 e e* - 2 :S;: 3. In questo caso i soli possibili valori di e e e* sono i 5 elencati nella tabella di figura 8.4.1.

Grafi planari

127

I numeri degli spigoli, vertici e facce della tabella sono stati calcolati per mezzo delle espressioni (8.4.1) e (8.4.2). Nel costruire i grafi completamente regolari, elencati nella tabella, si dovrebbe incominciare con un triangolo, quadrangolo o pentagono secondo che il valore di e* è 3 o 4 o 5. Facendo combaciare i poligoni in modo che ad ogni vertice si incontrino facce in numero adeguato, si vede che vi è proprio un solo tipo (disegnato nella figura 8.4.2) di grafo completamente regolare, a meno di isomorfismi, per ciascuno dei cinque insiemi di valori della tabella. Grafi completamente regolari

e e*

v.

3

3

4

6

4

tetraedro

3

4

8

12

6

cubo

3

5

20

30

12

4

3

6

12

8

ottaedro

5

3

12

30

20

icosaedro

v.

vi

tipo

dodecaedro

Fig. 8.4.1 Il duale di un grafo completamente regolare è per definizione anch'esso completamente regolare. Dalla nostra tabella si vede che l'ottaedro è duale del cubo, l'icosaedro è duale del dodecaedro, mentre il tetraedro è duale di se stesso. Nel cercare valori positivi degli interi e e (2* che soddisfino la condizione (8.4.3) abbiamo dapprima considerato i valori e > 2 e e* > 2 e siamo stati condotti ai risultati della tabella. Ma quella diseguaglianza ha soluzioni anche quando e (oppure e*) assume il valore 2 o 1. Ma i corrispondenti grafi risultano essere del tutto banali. Per e = 2 si ha un grafo connesso con due spigoli a ogni vertice: in breve, un circuito (figura 8.4.3). Se e* = 2, allora (8.4.2) diventa vv(2e

+4 -

2e) = 4vv = 8

Tetraedro

I

I

I I

Cubo

Dodecaedro

Ottaedro

Icosaedro

Fig. 8.4.2

I __ _

~.l-

~~

Grafi planari 129

cosicché V v = 2; il grafo pertanto consiste di due vertici collegati da piii. spigoli (figura 8.4.4). Si osservi che il duale di un circuito con due facce, n vertici ed n spigoli ha due vertici, n facce ed n spigoli. In altri termini il duale di un grafo del tipo disegnato nella figura 8.4.3 è del tipo disegnato nella figura 8.4.4.

Fig. 8.4.3

Fig. 8.4.4

Se e = 1 la diseguaglianza (8.4.3) è valida per qualsiasi valore positivo di e*. (Lo si verifichi). Ma un grafo connesso con un solo spigolo ad ogni vertice non può che consistere di un solo spigolo; deve cioè avere Vv

= 2,

Vs

=

vI

= l, e = l, e* = 2

Si può verificare che, quando e* = l, il grafo è un unico laccio avente l'insieme di valori duali del precedente Vv

=

Vs

= l,

VI

= 2,

e=

2,

e *=

1.

Nel 13° libro degli Elementi di Euclide si trova una discussione sui poliedri regolari: questi corpi sono iscritti in una sfera, tutte le facce al contorno sono poligoni regolari congruenti e ad ogni vertice si trova il medesimo numero di spigoli e facce adiacenti. Il grafo di uno di questi poliedri definito dai suoi vertici e spigoli, è completamente regolare; esso è planare perché si può proiettare sulla sfera dal proprio centro. 5

130

Grafi planari

Platone ha ricordato i poliedri regolari nel Timeo e tale era il suo prestigio che da allora essi sono sempre stati conosciuti come i poliedri platonici. Né è stato Euclide lo scopritore di questi poliedri: essi erano noti a qualcuno dei suoi predecessori, alcuni persino ai Pitagorici. Per tutta l'antichità e il Medio Evo i poliedri platonici furono considerati come simboli dell'armonia dell'Universo. Dalla nostra discussione dei grafi completamente regolari segue che non vi possono essere altri poliedri platonici diversi dai cinque disegnati nella figura 8.4.2. Problemi 8.4 1. Disegnare i duali del tetraedro, del;. cubo e dell'ottaedro.

2. I poliedri regolari hanno linee di Hamilton? 8.5 ,Mosaici. Se si guarda il pavimento di una stanza da bagno si può vedere di solito un motivo di poligoni regolari che si ripete. La forma dei poligoni è varia: vi possono essere quadrati, triangoli o esagoni (figura 8.5.1). Questi disegni per pavimenti di mosaico sono stati usati diffusamente fin dalla piu remota antichità. In natura si trovano parecchi esempi di tali motivi ripetuti con unità simili, se non proprio congruenti. In botanica essi vengono studiati col nome di fillotassi, lo studio della disposizione dei germogli e dei semi sulle piante: tali regolarità sono ben visibili nel motivo di una pigna o nella disposizione dei semi in un girasole. Da un punto di vista generale possiamo dire che siamo di fronte a un grafo planare nel quale le facce hanno tutte lo stesso numero di spigoli e si ripetono un gran numero di volte. Dimostreremo anche in questo caso che vi è soltanto un numero ristretto di disegni effettivamente possibili. Adoperiamo le medesime notazioni di prima: vi sono e spigoli per ciascun vertice e ogni faccia ha e* spigoli al contorno. Incominciamo a costruire il nostro mosaico con una di tali facce e ne aggiungiamo altre fino ad aver rico-

Grafi planari

131

perto una certa parte del piano, proprio come si fa di solito per piastrellare un pavimento. Abbiamo ora un grafo poli go naIe G nel quale tutte le facce, esclusa la faccia infinita, sono contornate da (2* spigoli e vi sono (2 spigoli per ciascun vertice, esclusi soltanto quelli che sono sul contorno di FOCi.

Fig. 8.5.1

Supponiamo di costruire il nostro mosaico in modo tale che al crescere del numero dei pezzi il rapporto fra il numero Ve di vertici sul contorno e quello totale Vv di vertici diventi sempre pi6 piccolo. Con la solita terminologia dei limiti ciò si esprime con i simboli: (8.5.1)

quando

V v ->- CIJ ;

in parole: il rapporto vejvv tende a zero al tendere di all'infinito.

Vv

132

Grafi planari

Calcoliamo il numero degli spigoli di G contandoli per ciascun vertice come nella formula (8.3.2). Se si è generosi e si contano e spigoli per ogni vertice si ottiene il numero totale di evv. D'altra parte se omettiamo tutti gli spigoli per tutti i Ve vertici del contorno otterremo e(vv - ve) spigoli. Pertanto sapremo che eVv -

eVe