Formeln + Hilfen Höhere Mathematik [7 ed.] 3923923368, 9783923923366

Table of contents :
1.Arithmetik und Algebra
2.Geometrie
3.Elementare Funktionen
4.Vektorrechnung
5.Matrizen, Determinanten, Eigenwerte
6.Folgen, Reihen
7.Differentialrechnung
8.Integralrechnung
9.Differentialgeometrie
10.Funktionen mehrerer Veränderlicher
11.Anwendungen
12.Vektoranalysis und Integralsätze
13.Differentialgleichungen
14.Komplexe Zahlen und Funktionen
15.Numerische Verfahren
16.Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik
17.Finanzmathematik
18.Dual- und Hexadezimalsystem

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BINOMI VERLAG

FORMELN + HILFEN ¨ HOHERE MATHEMATIK

0

Z

∞

e −x dx

− eiπ

√n n

m∞ li→ n

cosh2 x−sinh2 x x sin x 0 lim → x

0 ∞ X

n=1

www.binomi.de

−n

2

Z

cos2 x + sin2 x π/

2

sin

xd

x

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dx

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Wir Autoren sind ehemalige Mitarbeiter des FB Mathematik der Uni Hannover und wissen aus langer Erfahrung wie wichtig ausführlich behandelte Beispiele sind, um Mathematik zu verstehen. Unsere kompakte Formelsammlung zur Höheren Mathematik mit Hilfen und Beispielen ist Bestseller in Deutschland und erhält von Studierenden und Dozenten hervorragende Bewertungen. ISBN 978-3-923 923-36-6, 247 Seiten, elastischer Umschlag, LP 15,80 €. Das Repetitorium Höhere Mathematik mit mehr als 1200 durchgerechnete Beispiele und Aufgaben ist eine wertvolle Ergänzung zu Vorlesungen und Übungen zur Analysis, lin. Algebra und Ingenieurmathematik. ISBN 978-3-923 923-34-2, 578 Seiten, LP 19,80 €. Das Scheitern von Studierenden in Mathematikklausuren beruht häufig auf mangelnder Sicherheit im Umgang mit der elementaren Mathematik: Brüche, Potenzen, Logarithmen, Differenzieren, Integrieren, lin. Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Matrizen, Determinanten, komplexe Zahlen, . . . Die Repetitorien Elementare Mathematik 1 und 2 helfen Defizite in den Grundkenntnissen abzubauen und bereiten mit zahlreichen durchgerechneten Beispielen auf alle Studien vor, die Grundkenntnisse in Mathematik voraussetzen. Über den Schulstoff hinaus werden auch im Studium stillschweigend vorausgesetzten Themen behandelt, die auch in Leistungskursen nicht immer vorkommen. Teil1: ISBN 978-3-923 923-37-3, 352 Seiten, LP 14,80 €. Teil2: ISBN 978-3-923 923-38-0, 400 Seiten, LP 14,80 €. Weitere Repetitorien auf www.binomi.de zu Algebra, lineare Algebra, Analysis, DGLn, Funktionentheorie, Topologie, Stochastik, numerische Mathematik, Wirtschaftsmathematik.

F1

FORMELSAMMLUNG Trigonometrische Funktionen 1 1 1 1 π 4π 3π 2π 6

0

2 π 3

3 π 4

5 π 6

π

7 π 6

5 π 4

4 π 3

3 π 2

5 π 3

7 π 4

11 π 2π 6

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600

√ √ √ √ √ √ √ √ 1 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 0 − − − −1 − − 2 2 2 2 2 2 √2 √ √ √2 √2 √2 √2 1 1 3 2 1 2 3 3 2 1 2 cos x 1 0 − 2 − 2 − 2 −1 − 2 − 2 − 2 0 2 2 2 2 √2 √ √ √ √ √ √ 3 3 3 tan x 0 1 3 ±∞ − 3 −1 − 3 0 1 3 ±∞ − 3 −1 3 3 √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 cot x ±∞ 3 1 3 0 − 3 −1 − 3 ±∞ 3 1 0 − 3 −1 3

sin x

Additionstheoreme

tan x±tan y

tan(x ± y) = 1∓tan x tan y

cos(−x) sin(−x) tan(−x) cot(−x)

doppelter Winkel cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1 sin 2x = 2 sin x cos x 2 tan x 1−tan2 x cot2 x−1 2 cot x

tan 2x = cot 2x =

halber Winkel q 1 x cos 2 =∗ ± 2 (1 + cos x) q x 1 sin 2 =∗ ± 2 (1 − cos x) x

= =∗

x

cot 2

= =∗

−2 √

3 2 √ 3 − 3

1−cos x sin x = 1+cos x sin qx 1−cos x ± 1+cos x 1+cos x sin x = 1−cos x sin qx 1+cos x ± 1−cos x ∗

0

− 3 ±∞

= cos x = − sin x = − tan x = − cot x

gerade ungerade ungerade ungerade

Funktion Funktion Funktion Funktion

cos2 x + sin2 x = 1 1

√ tan x ± 1+tan2 x 1 cos x =∗ √ ± 1+tan2 x π sin x cos x = sin( 2 ± x) tan x = cos x 1 cos x π cot x = sin x = tan x sin x = cos( 2 − x) x+y x−y sin x + sin y = 2 sin 2 cos 2 x−y x+y sin x − sin y = 2 cos 2 sin 2
1 sin x · sin y = 2 cos(x − y) − cos(x + y) x−y x+y cos x + cos y = 2 cos 2 cos 2 x−y x+y cos x − cos y = −2 sin 2 sin 2
1 cos x · cos y = 2 cos(x − y) + cos(x + y)
1 sin x · cos y = 2 sin(x − y) + sin(x + y)

cos2 x = 2 (1+cos 2x) 1 sin2 x = 2 (1−cos 2x)

sin x =∗

Vorzeichen je nach Quadranten!

1

tanh x = cosh x = e2x +1

sinh x

e2x −1

cosh 0 = 1, sinh 0 = 0, tanh 0 = 0

1

cosh x

e2x +1

cosh2 x − sinh2 x = 1

sinh x = 2 ( ex − e−x )

1

√

Hyperbelfunktionen cosh x = 2 ( ex + e−x )

0

Symmetrie

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y

tan 2

1

0

coth x = sinh x = e2x −1

cosh(−x) = cosh x , sinh(−x) = − sinh x , tanh(−x) = − tanh x , coth(−x) = − coth x q x 1 Additionstheoreme cosh 2 = 2 (cosh x + 1)  q cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y x≥0 1 x ur sinh 2 = ± 2 (cosh x − 1) , f¨ sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y x1

     r xn = 1+rx+ r x2 + r x3 + · · · = (1 + x)r , |x| ≤ 1, r > 0 n 2 3 |x| < 1, r < 0 = ∞

wichtige Grenzwerte

= ln 2 = e

1 1 1 + 2! − 3! + − · · · = 1! 1 1 1 + 4 + 8 + ··· = 2 1 1 1 + 5 − 7 + −··· = 3 1 1 1 + 32 + 42 + · · · = 22 1 1 1 + 32 − 42 + − · · · = 22 1 1 1 + 52 + 72 + · · · = 32

1 e

2 π 4 π2 6 π2 12 π2 8

√ n

n+1

a →1

( n )n → e

n →1

(1 + n )n → e

n! → ∞

(1 − n )n → e−1

√ n √ n

(n → ∞, a > 0)

√n → e n n!

1 √ 1 n n! → e n

  a n an

→ 0, a > −1

n!

→ 0

1

nn n!

→ ∞

1

an nk

→ ∞

x

an nk

→ 0

(1 + n )n → ex





a>1 k fest

|a| < 1 k fest

√ x (1 − n )n → e−x n( n a −1) → ln a, a > 0

FORMELSAMMLUNG

F4

Differentiations– und Integrationsregeln (u · v)′ = u′ · v + u · v ′

Produktregel: partielle Integration: Quotientenregel: Kettenregel: Substitutionsregel:

x

nx

1 xn √

x √ nx

ex ln x ax xx sin x cos x tan x cot x arcsin x arccos x arctan x arccot x sinh x cosh x tanh x coth x arsinh x arcosh x artanh x arcoth x R

g dx

R√

u
′ u′ ·v−u·v ′ v = v2
′ dy dx dy ′ ′ y(x(t)) = dt = dx · dt = y (x(t)) · x (t)

R

f (x) dx =

f′

f n

Vektorfunktionen
′ λ~ u = λ′ ~ u + λ~ u′
′ ~ u · ~v = ~ u ′ · ~v + ~ u · ~v ′
′ ~ u × ~v =~ u ′ × ~v + ~ u × ~v ′
′ ′ ~ u(λ(t)) = ~ u (λ(t)) · λ′ (t)

(uvw)′ = u′ vw + uv ′ w + uvw′ R ′ R u v dx = uv − uv ′ dx

n−1

−n xn+1 1 √ 2 x √1 n n xn−1

ex 1 xx

a ln a xx (1+ln x) cos x − sin x 1 cos2 x −1 sin2 x √ 1 1−x2 √ −1 1−x2 1 1+x2 −1 1+x2

R

g

dx

x R dx x+a R dx (x+a)2

R

tan x dx

, dabei ist

= ln |x| = ln |x + a| 1

= − x+a = − ln | cos x| 1

1

sin2 ax dx = 2 x − 4a sin 2ax 1 1 cos2 ax dx = 2 x + 4a sin 2ax

R

ln2 x dx

R

R

R

x = g(t) dx = g ′ (t) dt

1 xn+1 , (n 6= −1) n+1

R

R f′ f

√1 dx x R 1 √ 3 x dx

R

dx = ln |f |

√ =2 x 3√ 3 = 2 x2 1

= a eax R ax−1 x eax dx = a2 eax R ln x dx = x ln x − x R ln x 1 x ln x dx = x2 ( 2 − 4 ) R

eax dx

= x ln2 x − 2x ln x + 2x 1

sin ax cos ax dx = 2a sin2 ax 1 dx = a ln | tan ax| sin ax cos ax

R

eax sin bx dx

R

x sin ax dx

R

1 cosh2 x −1 sinh2 x √ 1 x2 +1 √ 1 , x>1 x2 −1 1 , |x| < 1 1−x2 1 , |x| > 1 1−x2

f (g(t)) g ′ (t) dt

xn dx =

R 1

R

cosh x sinh x

R

eax cos bx dx

x cos ax dx

eax

= a2 +b2 (a sin bx − b cos bx) eax = a2 +b2 (a cos bx + b sin bx) 1

x

= a2 sin ax − a cos ax x 1 = a2 cos ax + a sin ax

Bezeichnungen: X = ax2 + bx + c, ∆ = 4ac − b2 , a 6= 0   √2 arctan 2ax+b √  (∆ > 0)   ∆ ∆     −2 2ax+b     Z artanh √ √  dx −∆ −∆ √ = (∆ < 0) X 2ax+b−√−∆   1   √   ln   −∆ 2ax+b+ −∆      −2 (∆ = 0) 2ax+b Z Z dx 2ax+b 2a dx = + ∆ X2 ∆X X Z Z 1 b dx x dx = 2a ln |X| − 2a X X

√
1 √ x
1 √ x2 + a2 dx = 2 x x2 + a2 + a2 arsinh a = 2 x x2 + a2 + a2 ln(x + x2 + a2 ) √
R√ 1 √ 1 √ x
x2 − a2 dx = 2 x x2 − a2 − a2 arcosh a = 2 x x2 − a2 − a2 ln(x + x2 − a2 ) R√ x
1 √ a2 − x2 dx = 2 x a2 − x2 + a2 arcsin a

FORMELN + HILFEN ¨ HOHERE MATHEMATIK

7. Auflage Alle Rechte vorbehalten. Binomi Verlag

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978–3–923 923–36–6

Hannover 1/14

FORMELN + HILFEN ¨ HOHERE MATHEMATIK

Gerhard Merziger Gu ¨ nter Mu ¨ hlbach Detlef Wille Thomas Wirth

Griechisches Alphabet A α

alpha

I

ι

iota

P

ρ

rho

B β

beta

K

κ

kappa

Σ

σ

sigma

Γ γ

gamma

Λ

λ

lambda

T

τ

tau

∆ δ

delta

M

µ

m¨ u

Υ

υ

u ¨psilon

E

ǫ

epsilon

N

ν

n¨ u

Φ

ϕ

phi

Z

ζ

zeta

Ξ

ξ

xi

X

χ

chi

H η

eta

O

o

omicron

Ψ ψ

psi

Θ θ

theta

Π

π

pi

Ω

ω

omega

S

€

T

€t

U

€u

V

€v

W

€w

X

€x

Y

€y

Z

…z

Deutsches Alphabet A

€a

B

€b

C

€

D

€d

E

€e

F

€f

G

€g

H

€h

I

€i

a b c d e f g h i

J

€j

K

€k

L

€l

M

€m

N

€n

O

€o

P

€p

Q

€q

R

€r

j k l m n o p q r

s t u v w x y z

Vorwort Diese beliebte Formelsammlung enth¨ alt die wichtigen Formeln zur H¨ oheren Mathematik. Zahlreiche Beispiele erleichtern das Verst¨ andnis und sind so eine wesentliche Hilfe beim: •

¨ Anfertigen von Ubungen

•

Bew¨ altigen von Klausuren

•

Vorbereiten auf Pr¨ ufungen

Die Seiten von FORMELN + HILFEN sind kompakt gestaltet. Wir haben uns bem¨ uht, auf jeder Seite m¨ oglichst viele Informationen unterzubringen. Wesentliche Zusammenh¨ ange werden optisch herausgestellt und durch zahlreiche Beispiele und Skizzen verdeutlicht. Ein besonderes Problem bei Formelsammlungen ist das schnelle Auffinden des Gesuchten. Neben der Griffleiste wird vor allem der ausf¨ uhrlich angelegte Index n¨ utzlich sein. H¨ aufig ben¨ otigte Formeln stehen auch auf den Seiten F1 vorne und F2, F3, F4 hinten. Nat¨ urlich k¨ onnen wir bei aller verwendeten Sorgfalt Fehler nicht ausschließen. F¨ ur etwaige Hinweise und Anregungen sind wir dankbar. Fehlerverzeichnis auf www.binomi.de Wir sind u utzlicher und hilfreicher Begleiter auch u ¨ berzeugt, dass F+H ein n¨ ¨ ber Ihr Studium hinaus ist. ¨ F+H ist als Ubersetzung auch in Japan erh¨ altlich (ISBN 978-4-254-11138-5). Die Verfasser Zitierte Literatur: HM

Merziger/Wirth

Repetitorium H¨ ohere Mathematik

EM

Merziger/Holz Timmann/Wille

Repetitorium Elementare Mathematik 1, 2

LA

Holz/Wille

Repetitorium Lineare Algebra 1, 2

ANA

Timmann

Repetitorium Analysis 1, 2

DGL

Timmann

Repetitorium gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

FU

Timmann

Repetitorium Funktionentheorie

TOP

Timmann

Repetitorium Topologie und Funktionalanalysis

NU

Feldmann

Repetitorium Numerische Mathematik

STO

M¨ uhlbach

Repetitorium Stochastik

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6

1

1

ARITHMETIK UND ALGEBRA

Arithmetik und Algebra

1.1

Reelle Zahlen Potenzen, Wurzeln

F¨ ur beliebige u, v ∈ IR gelten (falls die entsprechenden Ausdr¨ ucke definiert sind, √ z.B. ist x in IR nur f¨ ur x ≥ 0 definiert) folgende Regeln (x0 = 1 f¨ ur x 6= 0): Zahlenbeispiele

Zahlenbeispiele

xu · xv = xu+v 23 · 25 = 23+5 = 28 xu xv

23 3−2 =2 22 = 2 1 1 2−3 = 3 = 2 8

= xu−v

x−v = x1v (xy)u = xu y u u x
u = xy u y Es ist

(2 · 3)4 = 24 · 34

3

2
−2 3

22 := 2(2

=

3)

2−2 3−2

=

9 4

(xu )v = xu·v √ v x = x1/v √ v u x = xu/v √ √ √ v xy = v x v y

(22 )3 = 22·3 = 26

qx

q

v

= 28 = 256,

√ vx √ = vy y

aber

√ 2

√ 9 = 9 = 91/2 = 3

√ 2

36 = 36/2 = 33

√ 3

√ 8π = 2 3 π

√ 39 3 3 9 = √ 33 38 =2√ 8

(22 )3 = 22·3 = 26 = 64.

Logarithmen a: allgemeine Basis, mit 0 < a 6= 1.

loga x ist def. f¨ ur x > 0.

e = 2, 718281 . . . : Basis der nat¨ url. Logarithmen.

ln x := loge x, f¨ ur x > 0.

⇐⇒

b = loga c loga xy = loga x + loga y x loga y = loga x − loga y

loga a = ln e = 1

ab = c

ab = eb ln a

loga xr = r loga x √ loga r x = 1r loga x

loga 1 = ln 1 = 0

loga

1 a

= ln

1 e

aloga x = x , f¨ ur x > 0 eln x = x

= −1

logan x =

1 n

loga x

Logarithmen zu verschiedenen Basen log x loga x = logb a b

speziell:

1 loga b = log a b

und

ln x loga x = ln a

1.1

Reelle Zahlen

7 Fakult¨ at n!

Das Produkt der nat¨ urlichen Zahlen von 1 bis n bezeichnet man mit n! Lies: n–Fakult¨ at. Aus Zweckm¨ aßigkeitsgr¨ unden setzt man zus¨atzlich 0! = 1. Beispiele

n–Fakult¨ at 0! 1! 2! 3! 4!

n! = 1 · 2 · 3 · · · n

(n + 1)! = n! · (n + 1) 0! = 1

= = = = =

1 1 2 6 24

5! 6! 7! 8! 9!

= 120 = 720 = 5 040 = 40 320 = 362 880

Stirlingsche Formel zur n¨ aherungsweisen Berechnung von n! n
n √ n! ≈ 2πn e 9! ≈ 359 537

  Binomialkoeffizienten n k Die als Faktoren der Potenzen des Binoms (a + b) auftretenden Koeffizienten  , lies: ”n u ber k ”. heißen Binomialkoeffizienten. Man schreibt f¨ ur sie: n ¨ k

F¨ ur n = 0, 1, 2, . . . und k = 0, . . . , n ist n u ¨ ber k

  n k   n 0   n 1   n 2

n! = (n−k)! · k!   n = 1 = n   n = n− n 1 =   n(n−1) n = n− 2 = 2

  n = n(n−1)···(n−k+1) k k!

      n+1 n n + k+1 = k+1 k   n k

n  X

k=0





n n−k

=

2n

  = (−1)k n k

0

k=0

n X

n k

=



   4 =   0         4 =    1        4 =      2 z.B.: 4 =  3         4    4 =        49 =    6    =

4! 4! · 0!

=

1

4! 3! · 1!

=

4

4! 2! · 2!

=

6

4! 1! · 3!

=

4

4! 0! · 4!

=

1

49! 43! · 6! 49·48·47·46·45·44 1·2·3·4·5·6

= 13 983 816

      4 + 4 = 5 Bildungsgesetz des 2 3 3 Pascalschen Dreiecks 6 + 4 = 10     5 = 5·4·3 = 5·4 = 5 Symmetrie des 1·2·3 1·2 3 2 Pascalschen Dreiecks

        3 + 3 + 3 + 3 =23 3 2 1 0 1 + 3 + 3 + 1 =8         3 − 3 + 3 − 3 =0 3 2 1 0 1 − 3 + 3 − 1 =0

Zeilensumme des Pascalschen Dreiecks alternierende Zeilensumme des Pascalschen Dreiecks

8

1

ARITHMETIK UND ALGEBRA   Pascalsches Dreieck zur Berechnung der Binomialkoeffizienten n k   Binomialkoeffizienten n k

n 0 1 2 3 4 5 6

Jede Zahl ist Summe der zwei links und rechts u ¨ber ihr 1 stehenden Zahlen.

1

z.B.: 6 + 4 = 10

1 1 1 ↑   6 0

6 ↑   6 1

1 3

6 10

15 ↑   6 2

ց

+

10

20 ↑   6 3

binomische Formel

21 = 2 22 = 4

1

3

5

20 = 1

1

2

4

1

ZeilenSumme

23 24 25 26

1 ւ

4

1 5

15 ↑   6 4

(a + b)n =

1 6 ↑   6 5

1 ↑   6 6

n   X n an−k bk , k

k=0

= 8 = 16 = 32 = 64 6   P 6 k k=0

26 =

n ∈ IN

          n an−1 b1 + n an−2 b2 + · · · + n an−k bk + · · · + n bn n (a + b)n = n a + n 0 1 2 k (a + b)2

=

(a + b)3

=

···

(a + b)

6

= =

      2 2 2 2 a2 + 2ab + b2 = 2 0 a + 1 ab + 2 b         3 3 a2 b + 3 ab2 + 3 b3 a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = 3 a + 0 1 2 3

· ··              6 a 6 + 6 a 5 b1 + 6 a 4 b2 + 6 a 3 b3 + 6 a 2 b4 + 6 a 1 b5 + 6 b6 0 4 1 3 5 2 6 1 a6 + 6 a5 b + 15 a4 b2 + 20 a3 b3 + 15 a2 b4 + 6 ab5 + 1 b6

Speziell:

=

            n−1 n x2 + @· · · + n xk + · · · + n n n + n x+ + n n x 2 n−1 x 1 0 k

= = = = =

1 + 2x + x2 1 + 3x + 3x2 + x3 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 1 + 6x + 15x2 + 20x3 + 15x4 + 6x5 + x6

(1 + x)n =

(1 + x)2 (1 + x)3 (1 + x)4 (1 + x)5 (1 + x)6

1 + nx +

n(n−1) 2 x +@ 2

···

+

nxn−1

+

xn

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2

Ersetzt man x durch −x, so alternieren die Vorzeichen, z.B.: (1 − x)6 = 1 − 6x + 15x2 − 20x3 + 15x4 − 6x5 + x6

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2 b + 3ab2 + 3a2 c + 3ac2 + 3b2 c + 3bc2 + 6abc

1.1 Reelle Zahlen 9   r achst nur f¨ ur r ∈ IN erkl¨ art – wird folgendermaßen f¨ ur alle r ∈ IR definiert: k – zun¨   r k

allgemeine Binomialkoeffizienten   5 3   1.4 3   −2 3   π 2 1/2

F¨ ur r ∈ IR und k = 1, 2, . . . ist ru ¨ ber k

  r(r−1)···(r−k+1) r k = k!     r r 0 =1 1 =r   (−1)n+1 (2n)! 1/2 = 22n (n!)2 (2n−1) n   (−1)n (2n)! −1/2 = n 22n (n!)2

z.B.:

= = = =

5·4·3 = 10 3! 1.4·0.4·(−0.6) = −0.056 3! (−2)·(−3)·(−4) = −4 3! π·(π−1) ≈ 3.364 2! 1 1 2 ·(− 2 )

1 =− 2! 8 −1/2 (− 1 )·(− 3 ) 3 2 2 = = 8 2 2! 2

=

allgemeine binomische Formel, binomische Reihe ∞           X r xk = r + r x+ r x2 + r x3 +· · · , r (1 + x) = f¨ ur |x| < 1 0 1 2 3 k k=0

= 1 + rx +

P∞ 1 = k=0 1+x √ P 1+x = ∞ k=0 √1 1+x

=

P∞

k=0

−1
k x k
1/2 k x k

r(r−1) 2 x 1·2

+

r(r−1)(r−2) 3 x 1·2·3

+ ···

= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + − · · · f¨ ur |x| < 1



= 1/2 + 1/2 x + 1/2 x2 + 1/2 x3 + · · · 0 1 2 3

1 3 5 4 x − 128 x + − ·f¨ ·u·r |x| < 1 = 1 + 21 x − 81 x2 + 16
−1/2

2 −1/2
3 −1/2
k x = −1/2 + 1 x+ −1/2 x + 3 x +· · · k 0 2

= 1 − 21 x + 83 x2 −

5 3 x 16

+

35 4 x 128

− + ·f¨ ·u·r |x| < 1

Siehe auch Potenzreihen, Seiten 79–83 und geometrische Reihe, Seite 80 .... ... .. ... .. . .. .. .. ... ...

Γ–Funktion Γ(x)

Γ(x) =

Z ∞   −t x−1  dt   0 e t

. .. ... .. ... ...... ........

, x>0

-4 -3........ -2 -1

x 6=  n! nx−1   lim x(x+1)(x+2)···(x+n−1) , 0,−1,−2, · · ·  n→∞

. ... .. .. .. ... .... .. ... .. .. ... .. .. ... .. .

(Polstellen)

π

Eigenschaften:

Γ(x+1) = x · Γ(x)

Γ(n) = (n − 1)!

, x ∈ IR

, n ∈ IN

Γ(x) · Γ(1 − x) = sin πx 1

3 2 1

√

π

Γ(x) · Γ(x+ 2 ) = 22x−1 Γ(2x)

... ... ... .. ...

1

y .. ✻ ..

... .. .. .. .. y = Γ(x) .... ... ... . ... . .... .... ...... ........ .........................

-1 -2 -3 -4

1

2

√

π √ 1 Γ(− 2 ) = −2 π √ 3 1 Γ( 2 ) = 2 π Γ( 2 )

=

✲

x

10

1

ARITHMETIK UND ALGEBRA

Rechnen mit Ungleichungen  a+c    a·c a < b =⇒   1  a

< < > >
< 0 1 , f¨ ur ab > < 0 b

a0 √ x1,2 = −1 ± 2

−1

✲

x

−2

y

✻

2

x + 2x + 1 = 0

eine doppelte L¨ osung

⇐⇒ D = 0

keine (reelle) L¨ osung zwei konjugiert komplexe L¨ osungen

⇐⇒ D < 0

D=0 x1,2 = −1

1 −1

x2 + 2x + 2 = 0 D = −1 < 0 x1,2 = −1 ± i

x

y

✻ 2 1

−1

Sind x1 , x2 die L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0, so gilt:

x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 Vietascher Wurzelsatz:

x1 + x2 = −p = Summe x1 · x2 = q = Produkt

der Nullstellen der Nullstellen

√ Heronsches Wurzelziehen: N¨ aherungsweise Berechnung von a f¨ ur a > 0: √ a 1 Die rekursive Folge a0 = 1, an+1 = 2 (an + a ) konvergiert gegen a . n
√ a Allgemein: a0 = 1, an+1 = k1 (k − 1)an + k−1 konvergiert gegen k a . an

✲

✲

x

12

1

ARITHMETIK UND ALGEBRA

kubische Gleichung x3 + ax2 + bx + c = 0 Subst.: x = y −

a 3

ergibt

Normalform

3

y + py + q = 0 reduzierte Form 3 2 2a ab 3b−a und q = 27 − 3 + c. dabei ist p = 3

Diskriminante: p
3 q
2 D= 3 + 2

D>0 D=0 D 0 (also 1 reelle, 2 konjugiert komplexe L¨ osungen) y1 = 1.8333 u = 3.5147 =⇒ y2 = −0.9167 − 4.5i v = −1.6814 y3 = −0.9167 + 4.5i

x1 = 0.0156 x2 = −2.7344 − 4.5i x3 = −2.7344 + 4.5i

=⇒

Man l¨ ose die kubische Gleichung 18x3 + 9x2 − 17x + 4 = 0.

Beispiel 2

0.5

x3 + 0.5x2 − 0.9444x + 0.2222 = 0 Normalform, Subst.: x = y − 3 = y − 0.1667 y 3 − 1.0278y + 0.3889 = 0 reduzierte Form Diskriminante D = −0.0024 < 0 (also drei verschiedene reelle L¨ os.) reelle Rechnung: q

r

=

=

0.2005

y1 = 0.6667 = −0.9697 =⇒ y2 = −1.1667 q y3 = 0.5 = arccos(− 2r ) = 2.8947

q cos ϕ = − 2r

ϕ

p

−( 3 )3

=⇒

x1 = 0.5 = 1/2 x2 = −1.3333 = −4/3 x3 = 0.3333 = 1/3

1.1

Reelle Zahlen

13

Gleichung vierten Grades

Subst.: x = y −

a 4

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0

Normalform

y 4 + py 2 + qy + r = 0

reduzierte Form

z 3 + 2pz 2 + (p2 − 4r)z − q 2 = 0 dabei ist p = b − 38 a2 ,

q =c−

ab 2

+

a3 , 8

r =d−

kubische Resolvente ac 4

+

a2 b 16

3a4 . 256

−

Das L¨ osungsverhalten der Gleichung vierten Grades h¨angt vom L¨ osungsverhalten ihrer kubischen Resolventen ab, deren L¨ osungen man zun¨ achst berechnet (siehe kubische Gleichung, Seite 12): Gleichung vierten Grades

kubische Resolvente alle L¨ osungen reell und positiv∗) alle L¨ osungen reell, eine positiv, zwei

vier reelle L¨ osungen negativ∗)

eine L¨ osung reell, zwei konjugiert komplex

zwei Paare konjugiert komplexer L¨ osungen zwei reelle, zwei konj. komplexe L¨ osungen

Sind z1 , z2 , z3 die L¨ osungen der kubischen Resolvente (Seite 12), berechnet man als eine L¨ osung von w2 = z1 als eine L¨ osung von w2 = z2 und setzt   dann ist w3 eine L¨osung von w2 = z3 . q w3 = − w ·w 1 2 w3 = 0, falls w1 · w2 = 0.  y1 = (+w1 + w2 + w3 )/2    y2 = (+w1 − w2 − w3 )/2 Die L¨ osungen der reduzierten Form erh¨alt man dann in der Form:  y3 = (−w1 + w2 − w3 )/2   y4 = (−w1 − w2 + w3 )/2 w1 w2

Die L¨ osungen der Normalform sind dann f¨ ur k = 1, 2, 3, 4: Beispiel

a xk = yk − 4

Man l¨ ose die Gleichung vierten Grades 4x4 + 15x3 + 32x2 + 31x − 10 = 0. 3.75

x4 + 3.75x3 + 8x2 + 7.75x − 2.5 = 0

Normalform, Subst.: x = y− 4 reduzierte Form

z 3 + 5.4531z 2 + 27.6414z − 0.4332 = 0

kubische Resolvente, (siehe vorige Seite!)

4

2

y + 2.7266y − 0.6582y − 5.0518 = 0

y1 = −1.0625 z1 = 0.0156 w1 = 0.125 y2 = −1.1875 z2 = −2.7344−4.5i =⇒ w2 = −1.125+2i =⇒ y3 = −0.0625+2i z3 = −2.7344+4.5i w3 = −1.125−2i y4 = −0.0625−2i ∗)

Nach Vieta ist das Produkt der L¨ osungen positiv:

=⇒

z1 z2 z3 = q 2 > 0.

F¨ ur Gleichungen h¨ oheren als vierten Grades gibt es keine allgemeinen Aufl¨ osungsformeln!

= y−0.9375

x1 = −2 x2 = 0.25 x3 = −1+2i x4 = −1−2i

14

1

ARITHMETIK UND ALGEBRA

Nullstellen von Polynomen mit ganzen Koeffizienten f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Ist f (x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten (alle ai ∈ ZZ), dann gilt: (1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von a0 . f (x0 ) = 0 und x0 ∈ ZZ =⇒ x0 | a0 . Ist außerdem der Hauptkoeffizient an = 1, so gilt: (2) Jede rationale Nullstelle ist eine ganze Zahl und zwar ein Teiler von a0 . f (x0 ) = 0 und x0 ∈ Q =⇒ x0 ∈ ZZ und x0 |a0 .

Ist f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ein Polynom mit ganzen Koeffizienten (alle ai ∈ ZZ, an = 1), so probiert man – z.B. mit HORNER – alle Teiler von a0 und findet so alle rationalen Nullstellen. Bleibt nach dem Abspalten der zugeh¨ origen Linearfaktoren (HORNER Seite 15, Schulmethode, Polynomdivision) ein Polynom h¨ oheren als 2–ten Grades, w¨ ahlt man N¨ aherungsverfahren, um evtl. weitere reelle (irrationale) Nullstellen zu bestimmen.

Ist f ein Polynom mit ganzen Koeffizienten, aber an 6= 1, siehe zweites Beispiel. Beispiel Man rate Nullstellen des Polynoms x3 − 3x2 + x − 3. Die Teiler von −3 sind: ±1, ±3.

Probieren (HORNER) zeigt: x1 = 3 ist eine Nullstelle von x3 − 3x2 + x − 3. Division (HORNER) liefert: (x3 − 3x2 + x − 3) : (x − 3) = x2 + 1. Da x2 + 1 keine reellen Nullstellen hat, ist x1 = 3 die einzige reelle Nullstelle von x3 − 3x2 + x − 3 und es gilt: x3 − 3x2 + x − 3 = (x − 3)(x2 + 1). Beispiel Man rate alle Nullstellen des Polynoms 6x4 + 7x3 − 13x2 − 4x + 4. Die Teiler von 4 sind: ±1, ±2, ±4. Die Teiler von 6 sind: ±1, ±2, ±3, ±6. p Ist die (gek¨ urzte!) rationale Zahl q eine Nullstelle des Polynoms f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , so muß p ein Teiler von a0 (= 4) und q ein Teiler von an (= 6) sein. p Es kommen also als rationale Nullstellen nur folgende Br¨ uche q in Frage: p = ±1, ± 12 , ± 13 , ± 16 , ±2, ± 32 , ±4, ± 43 . q 1 2 Einsetzen (HORNER) liefert alle Nullstellen: 1, , −2, − . 2 3 Es gilt

6x4 + 7x3 − 13x2 − 4x + 4 = 6(x − 1)(x − 12 )(x + 2)(x + 32 ) = (x − 1)(2x − 1)(x + 2)(3x + 2).

1.1

Reelle Zahlen

15

Das HORNER–Schema ist ein Rechenverfahren, mit dem man f¨ ur ein Polynom f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 an der Stelle x0 mit minimalem Rechenaufwand folgendes berechnet: (1)

Funktionswert f (x0 )

(2)

Division von f (x) durch den Linearfaktor x − x0 , also

(3)

Ableitungen f ′ (x0 ), f ′′ (x0 ), . . . , f (n) (x0 )

(4)

Taylorentwicklung von f an der Stelle x0

f (x) x−x0

Man schreibt die Koeffizienten des Polynoms f (x) in absteigender Reihenfolge an , an−1 , . . . , a0 hintereinander (ak = 0 nicht vergessen, falls die Potenz xk fehlt!), schreibt dann x0 vor die zweite Zeile, beginnt die dritte Zeile mit an und geht jeweils mit x0 multiplizierend in der durch die Pfeile (siehe Beispiel) angedeuteten Weise vor. Die u ¨ ber dem waagerechten Strich untereinanderstehenden Zahlen sind zu addieren, die Summe ist mit x0 zu multiplizieren, usw.

Beispiel

f (x) F¨ ur f (x) = x3 − x2 − 9x + 13 berechne man f (3) und x−3 . HORNER–Schema f (x) = x3 − x2 − 9x + 13, −1

1 x0 = 3

ր3

3·1

1ր

−9

ր6

3·2

13 + 9 +

ր−

3 · (−3)

2ր −3ր

Man liest ab:

x0 = 3

4

=

f (3)

(1) Schlußzahl der dritten Zeile ist der Funktionswert f (x0 )

hier:

f (3) = 4.

(2) Die u ¨brigen Zahlen der dritten Zeile sind die Koeffizienten des Polynoms g(x), das man bei Division von f (x) durch den Linearfaktor x − x0 erh¨alt f (x0 ) f (x) x−x0 = g(x) + x−x0

hier:

4 x3 −x2 −9x+13 = 1x2 + 2x−3 + . x−3 x−3

f (x) ist genau dann ohne Rest durch x − x0 teilbar, wenn f (x0 ) = 0 ist. Das HORNER–Schema l¨ aßt sich auch im Komplexen verwenden: Beispiel f (z) F¨ ur das Polynom f (z) = z 3 − (1 + i)z 2 − (2 − i)z + 2i berechne man f (i) und z−i . HORNER–Schema im Komplexen z0 = i

1 −1 − i −2 + i i −i 1 −1 −2

2i −2i 0 = f (i)

und

f (z) 2 z−i = z − z − 2.

16

1

ARITHMETIK UND ALGEBRA

Beispiel F¨ ur das Polynom f (x) = 2x4 − x3 − x − 18 berechne man f (x) f (2), f ′ (2), f ′′ (2), f (3) (2), f (4) (2), sowie x−2 und die Taylorentwicklung von f an der Stelle x0 = 2 (Umordnung von f nach Potenzen von x − 2). Vollst¨ andiges HORNER–Schema −1 ր4

2 x0 = 2

2·2

2ր

0 ր6

2·3

3ր 6 14 ր4

x0 = 2

−1 −18 + 12 22 + 11 40

2·2

2ր

7 4

x0 = 2 2

11 4

2

15

x0 = 2

20 22

42 = =

x0 = 2 2

=

51 =

4 =

f (2) 0!

f ′ (2) 1!

f ′′ (2) 2!

f (3) (2) 3!

f (4) (2) 4!

=⇒

f (2) = 4

=⇒

f ′ (2) = 51

=⇒

f ′′ (2) = 42 · 2! = 84

=⇒

f (3) (2) = 15 · 3! = 90

=⇒

f (4) (2) = 2 · 4! = 48

Man liest ab: (1) Schlußzahl der dritten Zeile ist der Funktionswert f (x0 )

hier

f (2) = 4.

(2) Die u ¨ brigen Zahlen der dritten Zeile sind die Koeffizienten des Polynoms g(x), das man bei Division von f (x) durch den Linearfakt. x − x0 erh¨alt:

f (x0 ) f (x) 2x4 −x3 −x−18 4 = g(x) + hier = 2x3 + 3x2 + 6x + 11 + x−2 . x−x0 x−x0 x−2 (3) Ableitungen: f ′ (2) = 51, f ′′ (2) = 84, f ′′′ (2) = 90, f ′′′′ (2) = 48. (4) Die Koeffizienten der Taylorentwicklung sind die umrahmten Zahlen des Horner–Schemas: f (x) = 2x4 −x3 −x−18 = 2 (x−2)4 + 15 (x−2)3 + 42 (x−2)2 + 51 (x−2)+ 4 | {z } | {z } f umgeordnet nach Taylorentwicklung f geordnet nach = Potenzen von (x − 2). von f an der Stelle 2. Potenzen von x.

(5) Alle Koeffizienten der Umordnung nach Potenzen von (x − 2) sind ≥ 0, also: Keine Nullstelle von f ist > 2. Beispiel (Euklidischer Algorithmus): Man bestimme den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler ggT (42, 9) von 42 und 9, und l¨ ose die diophantische Gleichung 42x+9y =ggT (42, 9). Division mit Rest: 42 = 4 · 9 + 6 9 = 1·6+3 6 = 2·3 ⇒ 3 = ggT(42, 9).

Einsetzen liefert: 3 = 9−1·6 3 = 9 − 1 · (42 − 4 · 9) 3 = −1 · 42 + 5 · 9 ggT als Vielfachsumme.

alle L¨ osungen der diophantischen Gleichung [EM 1, Seite 37 ff, 47 ff.] 42x + 9y = 3 bzw. 14x + 3y = 1 sind: (x, y) = (−1, 5) + m(3, −14), m ∈ ZZ.

17

2

Geometrie

2.1

Winkel, Dreieck, Viereck, n–Eck

Winkel Umrechnung: Gradmaß – Bogenmaß Es besteht folgender Zusammenhang zwischen dem • Winkel α in Grad und der • L¨ ange b des zugeh¨ origen Kreisbogens am Einheitskreis: ✻ 1 b 180◦ ◦ α = 180 , b = 1 =⇒ α = ≈ 57.296◦ b α π π = b 180◦ π 1◦ α α b = 180◦ π , α = 1◦ =⇒ b = 180◦ π ≈ 0.017 ✲ 1 Benutzt man einen Taschenrechner, vergewissere man sich, ob er auf Winkel im Gradmaß (DEG) oder im Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

Werden Parallelen von einer Geraden geschnitten, so sind je zwei der Winkel gleich oder erg¨ anzen sich zu 1800 .

Strahlensatz

α1 + β1 = 1800 α1 = α2 β1 = β3 α1 = α4

α1 β1 α2 β3 α4

D B

SA : SC = SB : SD = AB : CD

Dreieck

S

Kongruenzs¨ atze Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie u ¨ bereinstimmen in: (1) drei Seiten (2) zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (3) einer Seite und zwei Winkeln

Nebenwinkel Scheitelwinkel Stufenwinkel Wechselwinkel

A C

Symbol

Berechnung der fehlenden Seiten/Winkel

(sss)

Kosinussatz

(sws) (wsw) (sww)

Kosinussatz

(4) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der gr¨oßeren Seite (SsW)

Sinussatz Sinussatz

¨ Ahnlichkeitss¨ atze: Zwei (1) (2) (3) (4)

Dreiecke sind ¨ ahnlich, wenn sie u ¨bereinstimmen im Verh¨ altnis dreier Seiten, im Verh¨ altnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, in zwei Winkeln, im Verh¨ altnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der gr¨oßeren Seite.

18

2 GEOMETRIE

rechtwinkliges Dreieck ........ ........ ........ ........ ........ ........a b ........ h ........ .... p α q β ............

b2

a2 b

= ri =

1 2 a cot α 2 1 (a + b − c) 2

gleichseitiges Dreieck

a

h2

c2

c

a = c sin α, h = b sin α b = c cos α F = 21 a2 tan β = 12 ab

c

a2

b2 q

h

p

p

q

cq cp

pq

Pythagoras

H¨ ohensatz Euklid

Kathetensatz

a2 + b2 = c2

h2 = pq

a2 = cp , b2 = cq

..... ... ..... . . ... .. ... . ... a.... h ..r......i............ a ... . . .. . ...... ...... . . ......r ... .. .....u .. . ...... . . . ........ . .... ..

√

F = 43 a2   Inkreis

Fl¨ ache Radius



a

Umkreis

h=

H¨ ohe

ri = ru =

√

3 6 √ 3 3

√ 3 2

a

a , ri = 1 ru 2 a , ri + ru = h

allgemeines Dreieck b Kosinussatz c2 = a2 +b2 −2ab cos γ

Fl¨ ache

α

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... c ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....

γ

h

a

c

Sinussatz

b c a = = = 2ru sin α sin β sin γ

β

hc = H¨ ohe

abc F = 21 chc = 12 ab sin γ = ri s = 4ru p = s(s − a)(s − b)(s − c)

s = 12 (a + b + c)

sin β sin γ 2 sin α = 2ru sin α sin β sin γ = a2

Umfang

U = a + b + c = 2s = 8ru cos α2 cos

γ β 2

cos

b

γ 2

ru a

M• •

ri

W Winkelsumme α + β + γ = 1800 β ...... α ..............................  .............................c β γ α  Inkreis ri = 4ru sin 2 sin 2 sin 2 Radius b c  Umkreis ru = abc = a = 4F 2 sin α 2 sin β = 2 sin γ

.. y Schnittpunkt der ✻ ........ C ... ... H¨ ohen =H ... ... ... Seitenhalbierenden = S = Schwerpunkt 2 ....... ... Winkelhalbierenden = W = Mittelpkt. des Inkreises .. ... ......... ......... . . . . . . . ......... .... Mittelsenkrechten = M = Mittelpkt. des Umkreises . . . . . 1 ..... ..

H•

S teilt jede Seitenhalbierende im Verh¨ altnis 2 : 1. H, S, M liegen auf einer Geraden (Eulersche Gerade). Es ist HS : SM = 2 : 1. A

• ............ ......... • ... ............ ... ............. ......... .. ......... 2 ... ......... ......... ......... 1....... ......... ......... ... .......... .

S

M

✲

B x

2.1

Winkel, Dreieck, Viereck, n–Eck

19 C

L¨ ange der q
1 Wα = b+c bc (b + c)2 − a2 1p Sa = 2 2(b2 + c2 ) − a2

Winkelhalbierenden: Seitenhalbierenden:

..... .. .... .. ..... .. ..... .... .. .... .. .... .. .... .. .... 2 ... .... .. .. . . . • . ............ . .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .......................... . . . . . . ............................ ... . . . . . . .. ..... .. 1............• ................. .. .. ............... ................ .. ................ . . . . . . . . .. . . . . . . . ...... .. ...............

allgemeines Viereck

c

m

d

α

.. ............ ............ ............ ............ . . . . . . . . . . .... ....... .... ............ ... ..................... ............. ............ ...... . . . . 1 . . . . . . . .... 2 ............ .... ............ .... ............ .... ............ .... .

d

b

d

F

2

α + β = 1800

Winkel

β......

b

2

H¨ ohe h

h = b sin α = b sin β

Diagonalen

d21

Fl¨ ache a Ein Viereck ist ein Parallelogramm ⇐⇒ . ............

α

3600 1 d d sin α 2 1 2

= =

a + b + c + d2 = d21 + d22 + 4m2 L¨ ange der Verbindungslinie m: der Mittelpunkte der Diagonalen

b

a

.... .

B

c

....... ... .......... ....... ....... .... ..... ... ..... ... ...... ... ..... ............ ... ... . . . . . . . .. . ... ... ........... ... ... ...... ......... . . . . . . . ... ..... ...... ... . . . . ... . . . . . ..... ... . . .. ... . . . . . . . ..... ..... ... . .. . . . . . . . . ..... .. .......... . . . . . ..... ..... .. .......... . . ..... .. . ............ ....... . . .. .

2

a

Parallelogramm

a

.........

α

Winkelsumme Fl¨ ache

d

d

Wα.................................................. .. ............ ...... . ...... .............. . . . Sa ..... ........... ....... ...........

.. .............

A .......

THALES – Satz Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel.

Viereck

..... .......

b

+ d22 = 2(a2 + b2 ) F = ah = ab sin α

⇐⇒ je zwei gegen¨ uberliegende Seiten sind gleich lang ⇐⇒ je zwei gegen¨ uberliegende Seiten sind parallel ⇐⇒ je zwei gegen¨ uberliegende Winkel sind gleich ⇐⇒ zwei gegen¨ uberliegende Seiten sind parallel und gleich lang ⇐⇒ die Diagonalen halbieren sich. Rhombus (Raute)

H¨ ohe

a

.......... .......... .......... ........... .......... . . . ... . . . . . . ... ................. . ...... .......... ........... .... 1 .......... ... . . . . . . . . . ... 2 ........ . . . . . . . . . ... .......... ... .. ..

β...

a . .........

α

d

a

d

h = a sin α = a sin β

Diagonalen

d21

α

h

d1 = 2a cos 2 α d2 = 2a sin 2

a

1

F = ah = a2 sin α = 2 d1 d2

Fl¨ ache Ein Parallelogramm ist ein Rhombus ⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

+ d22 = 4a2

alle Seiten sind gleich lang die Diagonalen sind die Winkelhalbierenden die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. b

Trapez

m

c α

d

a+b

h

m= 2

β

a

Quadrat

Diagonale a

d a

Seite Fl¨ ache

Ein Viereck ist ein Trapez, wenn zwei Seiten parallel sind. H¨ ohe Fl¨ ache

h = c sin α = d sin β, 1 F = mh = 2 (a + b)h

√ d=a 2 √ 1√ a = 2 2d = F F = a2

20

2 GEOMETRIE

Sehnenviereck c ................................ ........................... d

... γ ................ ... .. ..... .. ..... .. δ .... . . . ... 2 . ... . ..... .. ..... .. u • ..... .. .. ..... ... ..... 1 .......α ................ ............... ................ ................ β ................ .......

d

r

d

Einem Viereck l¨ aßt sich ein Kreis umbeschreiben

b

Umkreisradius

ru

Fl¨ ache

F

⇐⇒ =

(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) 1 mit s = 2 (a + b + c + d)

=

a

Satz des Ptolem¨ aus: d1 d2 = ac + bd

Das Produkt der Diagonalen ist gleich der Summe aus den Produkten der Gegenseiten.

............. ............... ............... ............... . . . . . . . . . . . . . . .............. ............... ............... ............... ..............

Tangentenviereck

d

•

Einem Viereck l¨ aßt sich ein Kreis einbeschreiben ⇐⇒ a+c = b+d

c

b

ri

α+γ =β+δ 1 p (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) 4F p

Umfang

U = 2(a + c) = 2(b + d)

Inkreisradius

ri = U 1 F = 2 U ri

2F

Fl¨ ache a

Ein Vieleck heißt ein regelm¨ aßiges n–Eck, wenn seine n Seiten und seine n Winkel gleich sind.

regelm¨ aßiges n–Eck ..... .......... ................... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . . . . . . . . . .......... ..... ....... ........... ... ... . ... .. . ... .. . ... .. ... . u .. .. . .. ........ . . . ........ .... . . . .. . . . . . . . ... ...... . . . . .. . . . . . . . ... .......... ... ... .......... i ... .......... ... .......... .... . ... ... ... .. . . ... . . ... ... ... ... ... ... ... .. ... . ... ... ..... ... ... ............ ... .. ........... .......... ......... . . . . . . . . ........... . ...... . . . . ........... . . . . . ..... .......... .......... .......... .......... ................... ............

Außenwinkel

r

Innenwinkel

r

Innenw.–Summe

α

Seite

δ β

5 6 8 10 2n

2.2

α=β

δ = 1800 − α =

0

= (n − 2)180 p α α s = 2 ru2 − ri2 = 2ru sin 2 = 2ri tan 2 s

1800

Inkreisradius

ri = 2 cot n

Umkreisradius

ru =

1

n−2 1800 n

s 0 , 2 sin 180 n α

1800

= ru cos n

α

= ru cos 2 1

ru2 = ri2 + 4 s2 1

1

α

Fl¨ ache F = 2 nsri = nri2 tan 2 = 2 nru2 sin α = 4 ns2 cot 2

regelm¨ aßiges 8-Eck n

1

α = n 3600 1 β = n 3600

Zentriwinkel

s

Seitenl¨ ange s Umkreisradius r p p √ √ 1 1 10 − 2 50 + 10 5 s 5 r 2 10 rp sp √ √ 1 2− 2 r 4+2 2 s 2 √ √ 1 1 ( 5 − 1) r ( 5 + 1) s 2 2 p √ 2 2 s2n = 2r − r 4r − sn 2

Fl¨ ache F p √ 5 10 + 2 5 r 2 8 √ √ 3 3 r 2 = 23 √ 3 2√ 2 p2 r 2 = 2( 2 √ 5 10 − 2 5 r 2 4

p √ = 14 25 + 10 5 s2 s2 2 + 1) sp √ 5 = 2 5 + 2 5 s2

Goldener Schnitt

Goldener Schnitt (siehe auch Fibonaccifolge Seite 74) Eine Strecke ist im goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die ganze Strecke zum gr¨ oßeren Abschnitt wie dieser zum kleineren Abschnitt verh¨ alt: ganze Strecke gr¨ oßerer Abschnitt

=

Teilungsverh¨ altnis ≈

gr¨ oßerer Abschnitt kleinerer Abschnitt

61.8 % = 0.618

x

❲■

• • a−x a a x goldener Schnitt: x = a−x

x =

•

a 2

x

√ 5 −1 a 2

≈ 0.618 a

2.3

Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel

2.3

21

Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt) gleichen Abstand (Radius) haben.

Kreis

y b ✻ ........ . . . . . . γ .......... . .... .............. .. ............... s ..

Bezeichnungen: r d U α β γ b s M

Radius Durchmesser = 2r Umfang = 2πr Mittelpunktswinkel Umfangswinkel, 2β = α −r Tangentenwinkel, γ = β zu α geh¨ orender Bogen zu α geh¨ orende Sehne = (xm , ym ) Kreismittelpunkt Kreis r •

L¨ ange

Fl¨ ache

... ... ... .. ... . . ... . .. ... α .... ... . ... ... .. ... ... ... ... ... β ... ... ... ..

Kreisbogen ... .. r ....... h........s .............. .... b ..α..

d

..........

........ ............ ... ... ........ ... .... ........ ...... .. ... ...... .. .. ...... .. ... ...... .. ... ..... .. . .. .. ...... .. .... ... . . . .. .... . . . . .. ..... . . .. . .... .. .. .......... ... ..... ......

α

M•

a

γ

β α

0 ≤ t ≤ 2π

Mittelpunktsformel M = (xm , ym ) (x − xm )2 + (y − ym )2 = r 2 Kreisabschnitt b

α

r

r

r a

S

2 rs

a= 3 b

M

...... ...... ...... ........... . . . . . ..... .............. ... ...... ...... ...... ... ........ ..... ...... ... ...... ...... ... ...... ... ...... ... .....

.................. ................................... ...... ....................................... . .................................... . .... .. .... . . . . .. .... ... ... . . . . . .. ... ... .... ... .... .... ... . . . ... .... .... .... ... . . . .... ....

γ

s h α

F = 2 (br − sh)
r 2 πα F = 2 180 − sin α b 1 s3 S a = 12 F s a α 2 r3 r α = 3 F sin3 2 M C

γ

α

α

Sehnentangenten– winkel 1 γ = 2α

. ..... ...... ..... ...... ..... . . . . .. ...... ............ .................. ............ .... ............ .......... . ..... ..... ...... ...... ..... . . . . ......

α β

Sehnenwinkel Sekantentangenten– 1 winkel γ = 2 (α + β) 1 γ = 2 (α − β)

β

Sekantenwinkel 1 γ = 2 (α − β) ....

A

α

β

Tangentenwinkel 1 γ = 2 (α − β)

B

S m r

M

D

Sehnensatz SA · SB = SC · SD = r 2 − m2 T

γ...........

.. .... .... .... .... . . .. .... .... .... .... .... ... .... .... ... . . . .... ... .... ... ....

r

1

F = 2 br πα F = 360 r 2 s

γ

........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .......... .......

x

1

rs

a= b

γ

Umfangswinkel 1 γ = 2α

✲

r

r

b

der Winkelhalbierenden im Abstand a vom Mittelpunkt M :

y

x

b

F = πr 2 S•

Parameterdarst.   r cos t ~ x(t) = r sin t

.. .. .. ...

α s = 2r sin 2 α h = r cos 2 √ 1 h = 2 4r 2 − s2

Schwerpunkt S auf

P = (x, y)

•

r

Kreisausschnitt

πr b = 180 α

U = 2πr U = πd

Kreis x2 + y 2 = r 2

r ................................... B ...............................................................................................................................m ...... ............ ...... S A .......... .......... . . . ...... .. . . . . . . . . . . ....... C . . . . . . . . . . ....... ........... D .......

Sekantentangentensatz 2 SA · SB = SC · SD = ST 2 2 =m −r

22

2 GEOMETRIE

Kreis

(siehe auch Seite 21 )

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt) gleichen Abstand r (Radius) haben. y

P M

✻

|M P | = r

..... ...... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ..... m m ...... ...... ..... 2 ..... ...... ..... ..... ...... ..... ...... ............... .... ........................................ ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ................ . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ................... ..... ......................... ...... ........................ 1 ..... ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .....................

P

N (x0 , y0 ) ym

r

(x , y )

T

M

T

(x , y ) Pol

T

✲

x

xm

Die von einem Pol (x0 , y0 ) außerhalb eines Kreise an ihn gelegten beiden Tangenten ber¨ uhren ihn in den beiden Schnittpunkten der zu (x0 , y0 ) geh¨ orenden Polaren P . Ursprungsform

Verschiebungsform

Kreis mit M = (0, 0)

Kreis mit Mittelpunkt M = (xm , ym )

Kreis Kreisgleichung Tangente T Normale N Polare P

x2 + y 2

= r2

x 0 x + y0 y = r 2 −y0 x + x0 y = 0 x 0 x + y0 y = r 2

(x − xm )2

+

(y − ym )2

= r2

(x0 − xm )(x − xm ) + (y0 − ym )(y − ym ) = r 2 −(y0 − ym )(x − xm ) + (x0 − xm )(y − ym ) = 0 (x0 − xm )(x − xm ) + (y0 − ym )(y − ym ) = r 2

Tangente T und Normale N durch einen Punkt (x0 , y0 ), der auf dem Kreis liegt, Polare P von einem Pol (x0 , y0 ) aus, der außerhalb des Kreises liegt! Beispiel: x2 − 2x + y 2 + 4y − 20 = 0 ist die Gleichung eines Kreises. Man bestimme: (a) Die Mittelpunktsform, sowie den Mittelpunkt M und den Radius r des Kreises. (b) Die Tangente T mit Ber¨ uhrpunkt (−3, 1). y ✻ (c) Die beiden Tangenten vom Pol (8, −3). (a)

(b) (c)

quadratische Erg¨ anzung liefert: (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25, also M = (1, −2), r = 5. T : (−3 − 1)(x − 1) + (1 + 2)(y + 2) = 25, 4 also Tangente: y = 3 x + 5.

P : (8 − 1)(x − 1) + (−3 + 2)(y + 2) = 25, also Polare: y = 7x − 34.

T

(−3, 1)

1 −2

M

. .. ... ... .... . .. .. .. (5, 1) .. ... . .. .. .. 2 .. ... . .. ... .. ... .. 1 .. ... .. .. .. (4, −6) ..

T

P

T

✲

x

(8, −3) Pol

Die Schnittpunkte der Polaren mit dem Kreis sind die Ber¨ uhrpunkte der beiden Tangenten: uhrt auf die quadratische Gleichung x2 −9x+20 = 0 x2 −2x+y 2 +4y−20 = 0 und y = 7x−34 f¨ mit den beiden L¨ osungen x1 = 4, x2 = 5 und zugeh¨ origen y1 = −6, y2 = 1. Die beiden Ber¨ uhrpunkte (4, −6) und (5, 1) ergeben wie unter (b) oder mittels Zweipunkte23 3 4 Form die beiden Tangenten T1 : y = 4 x − 9 und T2 : y = − 3 x + 3 .

2.3

Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel

Ellipse

23 P

(siehe auch Seite 28 ) F1

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die von zwei gegebenen Punkten F1 , F2 (Brennpunkte) eine konstante Abstandssumme (= 2a) haben.

F2

|F1 P | + |F2 P | = 2a

Der Abstand der Brennpunkte betr¨ agt 2e.

a

Eine Ellipse ist das orthogonal–affine Bild eines Kreises vom Radius a. Die Ordinaten des Kreises b werden im Verh¨ altnis a gestreckt bzw. gestaucht. Halbmesser in x-Richtung: a Halbmesser in y-Richtung: b

b

C B

Es gilt

A

a |AB| =

a 2 = e 2 + b2

Scheitel der Ellipse: (±a, 0) und (0, ±b). Brennpunkte der Ellipse: (−e, √ 0) und (e, 0). 2 lineare Exzentrizit¨ at: e = a2 − √b a2 −b2

y

a

b

e

= a < 1. Ein von einem Brennpunkt der Ellipse ausgehender Strahl wird an der Ellipse derart reflektiert, dass er durch den anderen Brennpunkt verl¨ auft. (Normale N senkrecht zur Tangente) numerische Exzentrizit¨ at: ε =

F

e

a

b |AC| a

N

N

T F1

F2

(x0 , y0 ) P M

ym

T1

(xm , ym )

T2

(x0 , y0 )

Pol x

xm

Ursprungsform

Verschiebungsform

Ellipse mit M = (0, 0)

Ellipse mit Mittelpunkt M = (xm , ym )

Ellipse Ellipsengleichung Tangente

T

Polare

P

y2 x2 + b2 = 1 a2 y y x0 x + b02 = 1 a2 y y x0 x + b02 = 1 a2

(y−ym )2 (x−xm )2 + = 1 a2 b2 (x0 −xm )(x−xm ) (y0 −ym )(y−ym ) + = 1 a2 b2 (x0 −xm )(x−xm ) (y0 −ym )(y−ym ) + = 1 a2 b2

Tangente T durch einen Punkt (x0 , y0 ), der auf der Ellipse liegt, Polare P von einem Pol (x0 , y0 ) aus, der außerhalb der Ellipse liegt!

24

2 GEOMETRIE

Hyperbel nach rechts/links ge¨ offnet

(siehe auch Seite 29 ) y ✻

.... ... .... .... .... ....... P .... ............. ... ........ .......... . . . . . . . . ... ....... . ........... ... .. ..... .. ............ ... . .. ... . . F1 .... ... F2 .... ... .... ... .... ...

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die zu zwei gegebenen Punkten F1 , F2 (Brennpunkte) eine konstante Abstandsdifferenz (= 2a) haben: |P F1 | − |P F2 | = 2a.

✲

x

Der Abstand der Brennpunkte betr¨ agt 2e.

.... .... .... ... ... ... ... −e ...... . .. F1..... . . ... ... .... ... ....

e 2 = a 2 + b2

Es gilt

Scheitel der Hyperbel: (±a, √0). 2 lineare Exzentrizit¨ at: e = a2 + √b

numerische Exzentrizit¨ at: ε =

a2 +b2 a

> 1.

y ✻

... ... ... ... .. . . e ... b ..... e ... a ...... F ... 2 ... ... ... .... .... ...

b

y

.... .... .... .... ... ... ... ... ... F1....... . . .... .... ...

Ein von F2 ausgehender Strahl wird an der Hyperbel derart reflektiert, dass der r¨ uckw¨ arts verl¨ angerte reflektierte Strahl durch F1 verl¨ auft. y

✻ .

Pol .................. .. (x0 , y0 ) .................. T

F

x

✻..........

... . .... ......... ......................... ..... . . . . . .... .... ... .. ...... ... ... ... . .... ... ... ... ... F2 .... .... .... ...

✲

x

✻

.... .... .. .. ..... .... ...... ... ......... ... ..... ......... ... .... ..... .......... .. . ... . . . . .... . .. .... ..... ... ...... .... .... ...... .... 2 .... 1 ..... .... .... .... 0 0 .. .... ..... . . . . . . . . . . .... .... ....... .... ... .... .......... ... . .. . . . . . . .... ... ..... . .... ... .... .... .... ... .. .... ... ..... .... .. ...... ....... .... ....... m 1...................................................................m 2 .... ............................................................ .. ................................................. ....... . .... . ..... .... . . . .... .... .. ......... .... . ......... .... .. ......... .... .... .... . . . ..... . ... . ..... . . . . ...... ......

ym

✲

T (x , y )

T

M (x , y )

F

✲

P

✲

x

xm

Hyperbel nach rechts/links ge¨ offnet Hyperbelgleichung Tangente

T

Polare

P

Asymptoten

Ursprungsform

Verschiebungsform

Hyperbel mit M = (0, 0)

Hyperbel mit Mittelpunkt M = (xm , ym )

y2 x2 − b2 = 1 a2 y y x0 x − b02 = 1 a2 y y x0 x − b02 = 1 a2 b y = ±ax

(y−ym )2 (x−xm )2 − = 1 a2 b2 (x0 −xm )(x−xm ) (y0 −ym )(y−ym ) − = 1 a2 b2 (x0 −xm )(x−xm ) (y0 −ym )(y−ym ) − = 1 a2 b2 b y − ym = ± a (x − xm )

Tangente T durch einen Punkt (x0 , y0 ), der auf der Hyperbel liegt, Polare P von einem Pol (x0 , y0 ) aus, der zwischen den Hyperbel¨ asten liegt!

2.3

Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel

25

Hyperbel nach oben/unten ge¨ offnet

(siehe auch Seite 29 ) y

✻

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die zu zwei gegebenen Punkten F1 , F2 (Brennpunkte) eine konstante Abstandsdifferenz (= 2a) haben: |P F1 | − |P F2 | = 2a. Der Abstand der Brennpunkte betr¨ agt 2e. e 2 = a 2 + b2

Es gilt

.... .... .... ..... .... F ..... 2 .................................... P . ...... ....................... ... ... ... ... .. . ... ................ ...... .... ........... ..... ..... .... .... F .... 1 .

y ✻

a

e

✲

x

............. ............ .................. ....... ...... F −e ................ .... . 1 . . . .... ..... . ... .. .. ..... .... . .... .... ......... .... ............ ..... .... F2 ....................................... ..... . .... . . . ........ ........ . .... ..........

a2 +b2 > 1. a

numerische Exzentrizit¨ at: ε =

x

..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... F2 e ..... ....... . . . . . . ...................................

b

Scheitel der Hyperbel: (0, √ ±b). 2 lineare Exzentrizit¨ at: e = a2 + √b

✲

y ✻

Ein von F2 ausgehender Strahl wird an der Hyperbel derart reflektiert, dass der r¨ uckw¨ arts verl¨ angerte reflektierte Strahl durch F1 verl¨ auft.

✲

..... ......... .............. ..... ..... .... ..... .... F1 . .... . . . .... .... ..... .. .....

✻

F2

y ✻

...... ............................ ................... ................... .. ..................... ............ .. .................. ........... .. .................... ............ . . . ........... 0 ............. ............. 0 ............. ............. .............. ... ............. . ................ ................................. .. ............ ............................................................................................................. . . . ............ ... .... ............ ... ............ ... ........... ............ ... ............ . . . . . . . . . . . . . . 1............. .. ... ............ ... ............ .. ............ .. ........... . . . . . . . . . . . . . ... .................. ..................................... ... m m ... ........... ................................ .................. ............ ... .................. ............ .. .................. . .................. ... 0 0 .................. .................. ... ........... 2 .. ............................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ .... ......................... ............... ... ................................ ............ ... .......... .................. ............ .......... ............ ........... ... ......... ......... . . . . . . . . ........... . ........ . . ......... . . . . . . ........ ..... . . . . . . ...... . .....

(x , y )

T

P

T

M (x , y )

ym

x

(x , y ) Pol

✲

T

F1

✲

x

xm Hyperbel nach oben/unten ge¨ offnet Hyperbelgleichung Tangente

T

Polare

P

Asymptoten

Ursprungsform

Verschiebungsform

Hyperbel mit M = (0, 0)

Hyperbel mit Mittelpunkt M = (xm , ym )

y2

(y−ym )2 (x−xm )2 + = 1 a2 b2 (y0 −ym )(y−ym ) (x0 −xm )(x−xm ) + = 1 − a2 b2 (x0 −xm )(x−xm ) (y0 −ym )(y−ym ) − + = 1 a2 b2 b y − ym = ± a (x − xm )

x2

− a2 + b2 x x

= 1

y y

− a02 + b02 = 1 y y x x − a02 + b02 = 1 b

y = ±ax

−

Tangente T durch einen Punkt (x0 , y0 ), der auf der Hyperbel liegt, Polare P von einem Pol (x0 , y0 ) aus, der zwischen den Hyperbel¨ asten liegt!

26

2 GEOMETRIE

Parabel nach oben/unten ge¨ offnet

(siehe auch Seite 30 )

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die zu einer gegebenen Geraden L (Leitlinie) und einem im Abstand p > 0 (Halbparameter) zu ihr liegenden Punkt F (Brennpunkt) gleichen Abstand haben.

.... .. .... |P A| = |P F | ...... .... . . .... .......... ........................... P .... .................. . . .................. ..... .... ....... . F ................. ..... . . . ... p ........ ...... ... ........ .. ........ . .............. .............................. p ....

L

.. ... ... ... ... ..

S

A ... ... ... ✻ ... .. . . . . ... Zur Symmetrieachse parallele Strahlen .. .... ... .... .... werden an der Parabel derart reflektiert, . .... . . ......... .... ....................... .................. .... .. dass sie durch den Brennpunkt F verlaufen. ................. ....................................................F ................................. .... . . . . . . . . . . . ...... ..... ... ..... ... ....... ..... ........ y ..... .... ✻ ... .. . .......... ...... ✻ ... .. ............................................ ... ... .. . . ... .. ... . ... S ... .. .. ... .. . . ..... ..... ... ..... ..... . ... .... T .......... ..... ... ....... ..... . . . ..... ..... ... .... ..... .......... ..... . . ..... . .. .... ...... ........ ....... ......... . .... ... ...... (x0 , y0 ) ...... ........ ..... ....... . .. . . ........ ..... ... .... ....... ...... ............. .... ... .............. ...... . . ................ . ..... . . ..... ...... ........... ..... ....... .... ..... ........ ...... ..... ....... . . . . . . . . . . .... .... ... ... ...... .. P..................... .... .. ....... .... .. ........ ........ ...... ........ . . . . . ....... . . . . .. ...... .. . ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............... p ................ .......... . . . F ........ ............. .... ... T2 ....... ........ ........ ....... ...... ........... ....... .... ............................... ........ ✲ ... y ... ........ s

........ .......

.... . .... ... .... ... .... .... ... .... .. . .... . .... ... .... ... ..... 0 .. ...... . .. ...... .. .... ...

T1

S

(x , y0 ) Pol

✲

x

xs Parabel nach oben ge¨ offnet Parabelgleichung Tangente T Polare P Brennpunkt F

Ursprungsform Parabel mit S = (0, 0) x2 = 2py x0 x − py = py0 x0 x − py = py0 1

F = (0, 2 p)

Verschiebungsform Parabel mit Scheitelpunkt S = (xs , ys ) (x − xs )2 = 2p(y − ys )

(x0 − xs )(x − xs ) − p(y − ys ) = p(y0 − ys ) (x0 − xs )(x − xs ) − p(y − ys ) = p(y0 − ys ) 1

F = (xs , 2 p + ys )

Tangente T durch einen Punkt (x0 , y0 ), der auf der Parabel liegt, Polare P von einem Pol (x0 , y0 ) aus, der außerhalb der Parabel liegt! Die entsprechenden Formeln einer nach unten ge¨ offneten Parabel erh¨ alt man, indem man p durch −p ersetzt!

2.3

Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel

27

Parabel nach rechts/links ge¨ offnet

(siehe auch Seite 30 ) A

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die zu einer gegebenen Geraden L (Leitlinie) und einem im Abstand p > 0 (Halbparameter) zu ihr liegenden Punkt F (Brennpunkt) gleichen Abstand haben.

p

p

|P F |

.. S ..... F .... ...... ........ ........ L ........... ............ ...........

p ist die Ordinate im Brennpunkt.

Zur Symmetrieachse parallele Strahlen werden an der Parabel derart reflektiert, dass sie durch den Brennpunkt F verlaufen. y

✻ ✻

.... ............... P ...............

....................................................................................................................... . .................... ....................... . . . . . . . . ....... ........ ....... ....... |P A| = ..... ............... . . .. . .. ......... .... ........

.. ............ ............ ....................... ......................... . . . . . . . . . . . . . . . .......... ..................... ... ..................... ... .................... ................... ... .......................... . . ... . . . . 0 0 ... ........................ .. ............. ............ ........... .... . . . . . . . . ... . ......... ... ......... ... ...... .. .. 2............. ... .......... ... . .......... . . . ... ........... .... . . . . . . .......... ...... ... ... .............. ... . ........... . . S F . . . .. . . .......... . .... ... . . . . . . . . . . . . .......... . ... . ... . . . . . . . . . . . . .......... ... ... .... . . . . . . . . . 0 0 . . . . . .......... .... .. ... P .............. . ............... ................ .... ................. .. ................. 1 .................. ... ..................... ................... ... ................... ... ................... .................... .. .......... ......... . ..........

T

....... ............... ................ . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . ........... ....... .......... ....... .................. ............... . . . . . . ... .. .. ...... ..... ......... ..... ...... ........ .... ........................ ✲ ..... .................. . .. .... S ..... ...... .F .... ....... ....... ...... ...... ........ ....... ......... ...... ................. .............. ............. ............... ............... ...........

(x , y )

T

ys

p

(x , y ) Pol

✲

T

✲

x

xs

Parabel nach rechts ge¨ offnet Parabelgleichung Tangente T Polare P Brennpunkt F

Ursprungsform Parabel mit S = (0, 0)

Verschiebungsform Parabel mit Scheitelpunkt S = (xs , ys ) (y − ys )2 = 2p(x − xs )

y 2 = 2px −px + y0 y = px0 −px + y0 y = px0 1

F = ( 2 p, 0)

−p(x − xs ) + (y0 − ys )(y − ys ) = p(x0 − xs ) −p(x − xs ) + (y0 − ys )(y − ys ) = p(x0 − xs ) 1

F = ( 2 p + x s , ys )

Tangente T durch einen Punkt (x0 , y0 ), der auf der Parabel liegt, Polare P von einem Pol (x0 , y0 ) aus, der außerhalb der Parabel liegt! Die entsprechenden Formeln einer nach links ge¨ offneten Parabel erh¨ alt man, indem man p durch −p ersetzt!

28

2 GEOMETRIE

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, f¨ ur die die Summe der Abst¨ ande von zwei festen Punkten (Brennpunkten F1 , F2 ) konstant (= 2a) ist. y ✻ ............ Bezeichnungen: a große Halbachse (a ≥ b) . . . . . ...... ..... ..... ...... ..... b kleine Halbachse ...... a a................. b ...... .....   lineare ... ...... √ ..... p ...... ...... . . . . . . ..... .. e = a2 − b2 = εa e e .... ✲ ..... Exzentrizit¨ at x F2 = (−e, 0) F1 a F1,2 = (±e, 0) Brennpunkte b Ordinate im  b2 p = a Halbparameter Brennpunkt √ numerische  2 2 2 2 a −b e y x = a 1 numerische Exzentrizit¨ at a a b y y = ± a x Asymptoten y(t) ε=

y2 x2 − b2 = 1 a2

Hyperbel

S1,2 √ = (±a, 0) Scheitelpunkte at e = a2 + b2 = εa lineare Exzentrizit¨ F1,2 = (±e, 0) Brennpunkte Ordinate im
b2 p = a Halbparameter Brennpunkt √

b F

Darstellungen der Hyperbel (Mittelpunkt im Ursprung) − b2 = 1   a cosh t , −∞ < t < ∞ ~x(t) = b sinh t

kartesische Darstellung: Parameterdarstellung: (nur der rechte Ast)

...... ...... ....... ....

Polarkoordinaten

√

b ε2 cos2 ϕ−1

Fl¨ achen

y

r=

y ✻

. ..... ......• .................. ............... ....... ...... ............... .......... . . . . ...... . . . . . . . . . .. .... .......... .... ... ............... ... . .................... 2• .................. ..... • 1 . ... . . . .... .... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....

b

F −e

✲

F a e

x

y ✻

...... ..... ..... ... .. • ... .. .... . 2 . . . .... ......

...... ....• ........ .......... ............ . . . . .. . .... .... ... ...... .. ..... • ... .... 1 ...... ...... ...... ...... ....

r ϕ❪ ✲ a F x

b

F

Pol im rechten Brennpunkt p r = 1−ε cos ϕ y y

(x, y)

Abschnitt

(x, y)

b x

F

a

x

Tangente, Normale

.... ...

N .......... ...........................

✻

................... .. ............• .......................... ..... ............... ....... ... .. ............... .......................... . . . . . . . . . . . . . . .......... .......... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . 2• . . . . .. ... • ....... . ....... ... ...... .... ...... ..... 1 ...... ...... ...... .

F Die Gerade −e Ax + By = C ist Tangente an die Hyperbel A 2 a 2 − B 2 b2 = C 2 y

✻

. ...... ...... r2 ....................................................... ...... ...... ............... ................. . . . . . . . . ..... . . . . . . . . .. .... .............. .... ..... r1 ............... ... .... 2•............................... .............• . .............. ..... ... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 r2.................... ........................................ ...... ...... ...... ......... .............. r . 1 ............................. ..........

a F

F = xy − ab arcosh a y x = xy − ab ln( a + b )

x

y

yy xx0 − b20 = 1 a2

F

ϕ▼

F Parameter t : |t| = ab F ist die skizzierte Fl¨ ache.

y

Sektor x F = ab arcosh a

⇐⇒

r

Pol im linken Brennpunkt p r = ε cos ϕ−1

b

T :

x(t) x

a2

polare Darstellungen: y . ..... ✻ .....• ......... ............. ...... ................... r . . ...... . . . . . . .... b ....................... ........ . .... F2 •........ ✲ .......... ϕ ▼.... •F1 . . . a ......e.... x .... . . . .. .. .. ......

a

y2

x2

✲

x

Brennpunkteigenschaft linker Ast: r1 − r2 = 2a rechter Ast: r2 − r1 = 2a

✲

x

F

T

....... ...... d2 ...... ........ ......... ........... .... .... r2 .......... • .. ... 2...... .... . . . . . .. ......

x x

Tangente bzw. Normale ist Winkelhalbierende des inneren bzw. ¨ außeren Winkels zwischen den Brennpunkt– Radiusvektoren des Ber¨ uhrpunktes. y ✻

........ ...... ....... ........ .......... ......... .... ............ .... ........... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ...................................... .... .... .... . .... .... . . . . . .... α−β..... ... ... ... ... ... ... ... .. . . β ....... . . ... . ... . .. ... .. .. ... ... ... ... 1 .... .... ... . . .... .. . . .... . . . 2b......1............................................................ ..... .... . . ........... .... ..... . . . . . . ..... . . . . . ......... . ... ..........

b

y ✻

α

d1

F

L2

F

a

...... ...... ......... .......... ........... . . . . .. . .... .... r1 .. ...... ... .• ... .... ..... 1 ...... ....... .... 1

F

L

✲

x

a

2a

✲

x

konjugierte Hyperbeln Leitlinieneigenschaft a Leitlinien L1,2 : x = ± ε (di = Abstand P zu Li ) r r1 = d2 = ε d1 2

y2 x2 − b2 = ±1 a2

Steigung konjug. Durchmesser: b2

m1 · m2 = a2 a21 −b21 = a2 −b2 , ab = a1 b1 sin(α−β)

30

2 GEOMETRIE Eine Parabel ist die Menge aller festen Punkt (Brennpunkt F =

Parabel

p

y

✻

....... p ........... ........... ........... 2 .........•....................... ....... ...... ... ...... ... ...... ... ..... ....... p . . . . .... .... .... .... 2 ... .... .... ...... .. .... .... • . ... ... ... .... .... ..... ...... ...... ...... ...

x+

(x, y)

p

x+

✲

x

F

L

Parabel

Punkte P = (x, y), die von einem p ( 2 , 0)) und einer festen Geraden p

(Leitlinie L : x = − 2 ) gleichen Abstand (= x + 2 ) haben. Bezeichnungen: S = (0, 0) Scheitelpunkt p F = ( 2 , 0) Brennpunkt   Ordinate im Brennpunkt   p Halbparameter Entfernung  Brennpunkt zur Leitlinie y 2 = 2px ε = 1 numerische Exzentrizit¨ at

Darstellungen der Parabel (Scheitelpunkt im Ursprung, nach rechts ge¨ offnet) y y ...... ....... ✻ ✻ .............. .............. ............ ........... y ........• .........• ........ ............... . . . . . . . . . . . . (x, y) .... .... . ...... ...... .... ...... ...... ....... . ...... ..... .... .... r....... . ... ... . . . . . ... ϕ■ .. ✲ ✲ ..... .... .... • ... ... ... x x .... F x ... .. ..... ...... ..

..... ...... ..

Pol im Brennpunkt p r = 1−cos ϕ

kartesische Darstellung y 2 = 2px y F Fl¨ ache F des Parabelabschnitts 4 4p F = 3 xy = 3 2px3

T : yy0 = p(x + x0 )

... ... ... ... ................... ... .................... ... ..................... ... ......................... ....... 0 .......• .......... .. 0 0 .......... ... .. ............ .... .... ..................... ...... . ... . . . . . . . . .... . ... .......... ..... ....... ... ........ ...... . . . ... ... ... .... ... .. ...... .... .• ... ... 0 .... .... .... .... ..... ...... ...... ....

y

N

y

Die Gerade y = mx + n ist Tangente an die Parabel ⇐⇒ p = 2mn

T

P = (x , y )

F

x

✲

x

Tangente T und Normale N im Parabelpunkt P = (x0 , y0 ) sind Winkelhalbierende der Winkel zwischen dem Brennpunktradiusvektor und der Geraden y = y0 . y .. ... ... .

✻

..... ........... ........... ........... ........... . . . . . . . . . . .... .........• ...... ... ...... .... ...... ... ...... ...... . . . .. ... .... .... .... .... .. .... .. ... . . . . . .. ...... .... • .. p ... ... .... 2 .... ..... ...... ....... ...... ...

p −2

x

F = ( , 0)

L

✲

x

Leitlinieneigenschaft p Leitlinie L : x = − 2 Abstand P zu L = Abstand P zu F

... ... ... ... ... ... .. ... .. .. ... ... ... . . . ... s .. ... .... ... .... . .... 2 ........ 1 .... . .... . .. ..... ..... ...... ................................... •

x

P = (x, y)

p

✻

c ........

y

L

✲

.

.. x x L¨ ange L O ......... .... des Parabelbogens OP r r  r p 2x 2x
2x 2x L= 2 (1 + ) + ln + 1 + p p p p r q p p 2x = x(x + 2 ) + 2 arsinh p

x

✻

y

... ........... ...........

P...................................... .. .............• . . . . . . . . . . (x, y) ....... ..................

. .......... ......... ........ ..... L . . . . ..... ... ......

(x, y)

Tangente T , Normale N

y

✻

x

ys

x

✲

x

S

Parabel y = ax2 + bx + c,

a 6= 0

−b 4ac−b2 Scheitel S = (xs , ys ) = ( 2a , 4a ) x +x 1 p = 2|a| und xs = 1 2 2 √ −b± b2 −4ac Nullstellen x1,2 = 2a

2.4

2.4

Die 5 regul¨aren Polyeder (Platonische K¨orper)

31

Die 5 regul¨ aren Polyeder (Platonische K¨ orper)

Platonische K¨ orper werden durch kongruente regelm¨ aßige Vielecke begrenzt so, daß in jedem Eckpunkt dieselbe Kantenzahl auftritt. Es gibt nur 5 Platonische K¨ orper: ...... ......... ... ...... ... ..... ..... .... ... . . . . ... .. ... ...... ... .. ...... ... .. ..... . ... . . . . . . ... .. ........ . ... ... .. . ... ... .. ... . . ... ... . . ... .. .... ... ...... . . . . ... . .... . . . ... . . ... ... ....... ... ...... ... ............. .......

........ ....... ..... .... .. ....... ... .... .... . . . . . .... .... .... ... .... . .... .... .. .... . . . .... . .. .... . . . .. ... ... ... .. .. . .. .. ..

Tetraeder

W¨ urfel

............. ...... ... ........... . . ...... ............................................................................ . . . . . .............. . ................ ... ..... .... .. .. ... . ....... ..... ... .. .. ... ... ... .. .... ... . ... .... .... . ... .. .. ... ... ... ... ... ... .... .. ... ....... ..... . .. ........ .... ......... . ............. ...... . .. .......... . ...... .... . . ...... ... .. ........ . . . . . ......... ... ..... ......... ......... ......

...................................... ............... ...... ...... ... ... ... ...... . . ....................................... ..... . ... ... ... ... .. .. . . .... ... ... .. ... .. ... ... .... .... ... .. ... ... ....... ... . ........................ . ... ............ . ..... . .... . . ..... .. .... .... . . . . . . . . ..... ..... . .... ....... .... .... . .... .......... ........... .... .................... .................

Oktaeder

Dodekaeder

Ikosaeder

Elemente der 5 regul¨ aren Polyeder (a = Kantenl¨ ange ) Tetraeder Anzahl/Form Seitenfl¨ achen Ecken e Anzahl Kanten k Fl¨ achen f

8 12 6

3 a2

6a2

2 3 a 12 √ 6 a 12

a3

√

Volumen V einbe– schriebene Kugel ri umbe– schriebene Kugel ru

√

6 a 4

Oktaeder

6 Quadrate 8 Dreiecke

4 6 4 √

Oberfl¨ ache F

Radius

4 Dreiecke

W¨ urfel

1 a 2 √

3 a 2

6 12 8 √ 2 2 3a √

2 3 a 3 √ 6 a 6 √

2 a 2

Dodekaeder

Ikosaeder

12 F¨ unfecke

20 Dreiecke

20 30 12 q √ 3 5(5+2 5 ) a2

12 30 20 √ 2 5 3a

√ √ 5(3+ 5 ) 3 15+7 5 3 a a 4 12 √ √ √ √ 10+22 0.2 3 (5+ 5 ) a a 4 12 √ √ 3 (1+ 5 ) a 4

√

√ 2(5+ 5 ) a 4

Eulerscher Polyedersatz Ist e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Fl¨ achen eines konvexen Polyeders (oder eines Polyeders, das sich durch stetige Deformation in ein konvexes Polyeder u uhren l¨ asst), so ist e−k+f =2 ¨ berf¨ W¨ urfels Oktaeder Verbindet man die Fl¨ achenmittelpunkte eines Dodekaeders , so erh¨ alt man ein Ikosaeder Tetraeders Tetraeder Fl¨ achen). und umgekehrt (vgl. oben: Ecken W¨ urfel und Oktaeder sind dual, ebenso Dodekaeder und Ikosaeder. Tetraeder sind selbstdual. Faltpl¨ ane ... ...... ... ... ..... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... .... .. .... . . .. .... ... . ... ... .. .. .... .. ..... . . ... ... ... .... .. . ... .. ... .. ... ...... ...... .. ... .. ... .. ... ... .. ..... . . ... . ... ... .... ... ... .. ... ..... ..

.. ... .... ... ..... .. ... . ... ... ... ... ... ... . . ..... . ..... .. ... . ... ... .. .... .. .... . . ... ... .. .. . . ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ...

Tetraeder

W¨ urfel

Oktaeder

...... ...... ... ... ... ... .... ... ... ..... ..... .... .... .. ..... ..... . ..................... ..................... . . ... ... ... ... .. ...... ..... ..... ... ... ... ..... .... ..... .... ...... ... ... ... ... .. ... ..... ........ ......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . ...................... .. . . .. .. ... ....... ... ....................... .. ...... ..... .......... ... .. .. ... ....... ... .. .. ... ... ... .. .. . .. .. ..... .... ..... ... . .. ..... .. .. ........... ...... ... . . ..... ................................... ..................... . . . . . . . . . . ..... . . .......... .. ..... . ... ........... ...... .. . ... ...... ....... ....................... ... ... ... .. ....... ... ..... .... ..... .... .. .. ..... ......... .... .. .. ... ... ... ... .. ....... .. ...................... ......................... . . . . . . . . . . . . . . . ..... .................. .......... ... ...... ...... . ...... .. .. .. ... .. .. .. ...... .. ..... .... ..... .... .. ... .. . ..... ..... ... .. ....................... .... . . . . . . .................

Dodekaeder

Ikosaeder

32

2 GEOMETRIE

2.5

K¨ orper Satz von Cavalieri

K¨ orper, deren Querschnittsfl¨ achen in jeweils gleicher H¨ ohe den gleichen Fl¨ acheninhalt besitzen, haben das gleiche Volumen und die gleiche Schwerpunkth¨ ohe. Bezeichnungen: Volumen V , Oberfl¨ ache F , Mantelfl¨ ache M , Grundfl¨ ache G, H¨ ohe h, Radius r, Mantellinie s

h

c

h

G2.............................

. ... ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... .. ..

G

b

G

... ..... .. .. ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. ... .. ... ... ... ... ..

a

..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

h

G1

Prisma

Quader

Pyramide

Pyramidenstumpf

V

G·h

a·b·c

1 G·h 3

√ h (G + G1 G2 + G2 ) 3 1

F

2G + M

2(ab + ac + bc)

G+M

G1 + G2 + M

(Ein allgemeines Prisma wird von 2 kongruenten n-Ecken, die in parallelen Ebenen liegen, und von n Parallelogrammen begrenzt.)

............. ............. ........ ........ .. ....... .. ..... . . . ... .. ... .... ..... . . . .... . .. ... ....... ........................................

h

s1

h

r

s2

r

gerader Kreiszylinder

schiefabgeschn. Kreiszylinder

V

πr 2 h

F M

r

r2 h

h s

h

s r1

r

Zylinderhuf

gerader Kreiskegel

gerader Kreiskegelstumpf

πr 2 h = 2 r 2 (s1 +s2 )

π

2 2 r h 3

1 2 πr h 3

1 πh(r12 + r1 r2 + r22 ) 3

2πr(r + h)

(*)

(**)

πr(r + s)

π(r12 +r22 +s(r1 +r2 ))

2πrh

πr(s1 + s2 )

2rh

πrs

πs(r1 + r2 )

√

s (*)

............... ..................................... ................ . .......... ....... ..... ..... .. .... .. ... . ..... ... .. .... ... . . .. .... . . . . .. . ..... ..... ..... ....... ....... ........... ..........................

  q s −s πr s1 + s2 + r + r 2 + ( 1 2 2 )2

r 2 + h2

(**)

π

p

h2 + (r1 − r2 )2

2rh + 2 r(r +

√

r 2 + h2 )

2.5

K¨orper

33

r

a r

h

h

r

r

Kugel

a

Kugelausschnitt

b a

r

Kugelabschnitt

h r

Kugelschicht

V

4 3 πr 3

2 2 πr h 3

1 πh2 (3r − h) 3 1 πh(3a2 + h2 ) 6

1 πh(3a2 + 3b2 + h2 ) 6

F

4πr 2

πr(2h + a)

π(4rh − h2 )

π(2rh + a2 + b2 )

2πrh

2πrh

π(2rh + a2 )

M

2

2

π(h + a )

Spat (Parallelepiped)

ist ein Prisma, dessen Grundfl¨ achen Parallelogramme sind.

V = Gh ~c

V = |h~a, ~b, ~ci| G = |~a × ~b|

h ~b

G

(Spatprodukt siehe Seite 53) (Vektorprodukt siehe Seite 52)

~a Tetraeder ~c

h

ist eine dreiseitige Pyramide. ~b

1

V = 3 Gh 1 V = 6 |h~a, ~b, ~ci| 1 G = 2 |~a × ~b|

G

(Spatprodukt siehe Seite 53) (Vektorprodukt siehe Seite 52)

~a Torus

ist der Rotationsk¨ orper, der bei Rotation eines Kreises um eine in der Kreisebene außerhalb des Kreises liegende Achse entsteht. R Radius des großen Kreises z y r Radius des kleinen Kreises

r R

x

Oberfl¨ ache

F = 4π 2 Rr = (2πR)(2πr)

Volumen

V = 2π 2 Rr2 = (2πR)(πr 2 )

(siehe Guldinsche Regel, Seite 152)

34

2 GEOMETRIE

2.6

Fl¨ achen zweiter Ordnung

gerader Kreiskegel Volumen Mantelfl¨ ache Oberfl¨ ache Mantellinie ¨ Offnungswinkel

gerader Kreiszylinder

α

1 V = 3 πr 2 h

h

FM = πrs F =√ πr(r + s) s = r 2 + h2 r α = 2 arctan h

V = πr 2 h FM = 2πrh F = 2πr(h + r)

Volumen Mantelfl¨ ache Oberfl¨ ache

s

S

r

r h

auf der Symmetrieachse h von der Grundfl¨ ache im Abstand 4

Schwerpunkt S

r

z

✻ r

Ellipsoid

x2 + y 2 + z 2 = r 2

x2 y 2 z 2 a 2 + b 2 + c2 = 1

✲

r

4

V = 3 πr 3 F = 4πr 2

x

1

a

✯ y

✲

x

elliptisches Paraboloid y2 x2 z = a2 + b2 1 V = 2 πabh2

Rotationsparaboloid (a = b) y2 x2 z = a2 + a2 1 V = 2 πa2 h2

z

............ ✻ ............... ... ....................................................................... .... . 1 ... .... .. . .. .. .. .................................. ... . . . ............................. ... ....................................... .. .. .. .. ... ... ... ... .... . ... .. . . .. ... ... −a .. −b .. .. b ... . . .. . .. .✲ ................................... ... . . . .. . . . . ... . . ...... .... . .. ..... .. y ..... .. . ... .... ........ a . .... .. ... ... ..... ....... .... ..... .. ... ...... x ✠ ... ..... ........ ... −1 ....... .......

hyperbolisches Paraboloid Sattelfl¨ ache x2

y2

z = a2 − b2

✲

a

x

z

√ b h

b

b

✒y

Hyperboloid

✻

h

c

4 V = 3 πabc

Paraboloid z . .. √ .. .. ... a h ..... ... ... .... ... .. ... ... ... ....... ....... . . ... . . . . . . . . ... .. ... ... .... .... .... .... .... ... . . .... ... ..... ......................

z

✻

Kugel

✒y

r

.... .... .... ... .... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. ... ... .. ... ... .. . ... ... ... .... ....

✻ h c b ......... .........

z

✻

.... .... .... ... . . ..... . . .... ... .... ... .... .. .... . ... .... ... .. ... .. .................. .... ... ...... . .. . . . .............. ...... .. ............................... ... . . . .. . .. ... ... .... ... .... ... ... . . ... . .... ... ... ... .... .... h .... ...

y

c

✯ ✲

b

a x

a

✛✲

−h

✯y

a+h

✲

x

✛h✲

einschalig

zweischalig

y z x a 2 + b 2 − c2 = 1

y2 z 2 x − 2 − 2 =1 2 a b c

Volumen (−h ≤ z ≤ h)

Volumen (a ≤ x ≤ a + h)

2

2

... ..... .... ... . . . . .... .. .. ... ............... ........................................... ......... ................ ... ... .... .... .... .... ..... ..

2

2

π bch2

2π abh V = 3 c2 (3c2 + h2 )

V = 3 a2 (3a + h)

Mantelfl¨ achen von Rotationsk¨ orpern

x2

y2

z2

x2

y2

Rotationsellipsoid a 2 + a 2 + c2 = 1 √   2 a2 −c2 c FM = 2πa a + √ 2 2 arcsin f¨ ur a > c c a −c √   2 2 2 c −a c f¨ ur a < c FM = 2πa a + √ 2 2 arsinh c c −a

Rotationparaboloid z= 2 + 2 ,0≤z≤h a  a 4πa a3 a2
3/2 FM = 3 − 8 h+ 4

2.7

Klassifizierung der Kurven und Fl¨achen zweiter Ord. nach ihren Invarianten 35

2.7

Klassifizierung der Kurven und Fl¨ achen zweiter Ordnung nach ihren Invarianten

Invarianten der allgemeinen Gleichung der Kurven zweiter Ordnung: ax2 + by 2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0 a ∆ = c d

c b e

,

d e f

a δ = c

c = ab − c2 , b

S =a+b T = d2 − af

Diese vier Gr¨ oßen heißen Invarianten der Kurve, weil sie sich bei Verschiebung oder Drehung des Koordinatensystems nicht ¨ andern. Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte) δ 6= 0 δ

δ>0

δ0   T =0   T 0

∆=0

∆ 0 und T < 0

Sδ < 0 oder T > 0

Imagin¨ ares Ellipsoid

einschaliges Hyperboloid

y2 x2 z2 + B 2 + C 2 = −1 A2

y2 x2 z2 + B2 − C 2 = 1 A2

Imagin¨ arer Kegel mit reeller Spitze

Doppelkegel

y2 x2 z2 + B2 + C 2 = 0 A2

y2 x2 z2 + B2 − C 2 = 0 A2

Ellipsoid

zweischaliges Hyperboloid

y2 z2 x2 + B2 + C 2 = 1 A2

y2 z2 x2 + B 2 − C 2 = −1 A2

Paraboloide, Zylinder, Ebenenpaare ∆ < 0 (T < 0)

∆ > 0 (T > 0)

Elliptisches Paraboloid

Hyperbolisches Paraboloid

y2 x2 + B 2 = ±z A2

y2 x2 − B 2 = ±z A2

   T >0 T =0   T 0 ist: λ1

λ2

g

+ + +

+ + +

+ +

− −

+ 0 −

+ + +

0 0 0

Typ der Kurve

λ1

λ2

λ3

g

leere Menge, ∅ Nullpunkt Ellipse ∗)

+ + +

+ + +

+ + +

± 0

Hyperbel ∗) zwei Geraden durch O ∗)

+ +

+ +

− −

+ 0 −

+ 0 −

leere Menge, ∅ Doppelgerade, v–Achse zwei Geraden parallel zur v–Achse

+

+

+ + +

+ + +

−

−

+ +

− −

0 0

+ + +

0 0 0

0 0 0

Symbolik: + − ± 0 ∗)

bedeutet bedeutet bedeutet bedeutet

>0 0

A, B > 0 A, B < 0

Ellipse, (Kreis, falls A = B ist) leere Menge

AB < 0 AB = 0 Au2 + Bv 2 = 0

Hyperbel A2 + B 2 = 0 A2 + B 2 6= 0

die ganze Ebene eine Gerade

AB > 0

ein Punkt

AB < 0

zwei sich schneidende Geraden

Au2 + Bv = 0

A, B 6= 0

Parabel

Allgemeine Kegelschnitte Durch eine Gleichung der Form

ax2 + by 2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0

wird in der x, y–Ebene ein gedrehter Kegelschnitt (z.B. eine gedrehte Ellipse, gekennzeichnet durch das Auftreten ”gemischter Glieder” xy, falls c 6= 0 ist) dargestellt. Systematisch wird das im Abschnitt 2.7 und 2.8 behandelt. F¨ ur den Drehwinkel ϕ gilt: Die Hauptachsen sind dann:

2c

Die Transformationsformeln f¨ ur die Drehung des (x, y)–Systems um den Winkel ϕ lauten: x = cos ϕ · ξ − sin ϕ · η

y = sin ϕ · ξ + cos ϕ · η

ξ =

π

tan 2ϕ = a−b , f¨ ur a 6= b und ϕ = 4 , f¨ ur a = b.     − sin ϕ cos ϕ . und ~a2 = ~a1 = cos ϕ sin ϕ y ✻

η

❪

❪ ~a2

cos ϕ · x + sin ϕ · y

η = − sin ϕ · x + cos ϕ · y

In dem gedrehten (ξ, η)–System liegt der Kegelschnitt nun in achsenparalleler Lage (siehe oben)!

........................✸ ........ . ❪ ....... . ... . . . ... ... . . ..... . .... ..... ...... ................................ ✸ξ

~a1 ✸

sin ϕ cos ϕ −sin ϕ

ϕ❪ cos ϕ

✲

x

40

2 GEOMETRIE

2.10

Sph¨ arische Trigonometrie

Kugelzweieck gebildet von den Bogenst¨ucken zweier Großkreise, Kugelradius = r.

❲✻A

Kugeldreieck Sind a, b, c die Seiten und A, B, C die Winkel eines Kugeldreiecks (Kugelradius r = 1 und a, b, c, A, B, C < π), so gilt: C ....... Seitensumme Winkelsumme sph¨ arischer Exzeß Fl¨ ache (Radius = r)

a + b + c < 2π A+B+C >π ε=A+B+C−π F = r2 ε

Rechtwinkliges Kugeldreieck (C = 900 )

....... ..... ... .. .. ... .. .. ... ... • ... .. .. ... .. ... ... .... ........

r

F = 2r2 A

... ... .. ... .. ... .. .. .. .................................... ......... .. . ....... .. ...... . ..... ... ... .. . ... .. ... . .. ... . . ..

a

b

A

O

c

B

Sind von den 5 Gr¨ oßen (a, b, c, A, B) eines rechtwinkligen Kugeldreiecks (C = 900 ) 2 Gr¨ oßen bekannt, so berechnet man die u ¨ brigen Gr¨oßen mittels folgender Formeln: Nepersche Gleichungen

sin a sin b tan a tan b cos c

= sin c sin A = sin c sin B = sin b tan A = sin a tan B = cos a cos b

tan a tan b cos B cos A cos c

= tan c cos B = tan c cos A = cos b sin A = cos a sin B = cot A cot B

900 − b 900 − a

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ................................. .... . . .. .. .... ...... ... .... ... ... ... ... . . .... .... .... ... ... . . ... .. . . ... ..

A

B

c

Merke: Die Gleichungen liest man (siehe Kreis) folgendermaßen ab: Der Kosinus jeder Gr¨ oße ist Produkt der 1. Kotangens der beiden anliegenden Gr¨ oßen. 1 0 z.B.: cos A = cot(90 − b) · cot c = tan b · tan c , also tan b = tan c cos A. 2.

Sinus der beiden nicht anliegenden Gr¨ oßen. z.B.: cos(900 − b) = sin c · sin B, also sin b = sin c sin B

Schiefwinklige Kugeldreiecke (A, B, C Winkel: a, b, c gegen¨uberliegende Seiten) Ein Kugeldreieck ist bei gegebenem Radius bestimmt durch a, b, c drei Seiten A, B, C drei Winkel a, b, C zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel A, B, c zwei Winkel und die eingeschlossene Seite a, b, A zwei Seiten und den der einen Seite gegen¨ uberliegenden Winkel A, B, a zwei Winkel und der dem einen Winkel gegen¨ uberliegenden Seite

Die u oßen berechnet man mit folgenden Formeln: ¨ brigen Gr¨ sin a sin b sin c Sinussatz sin A = sin B = sin C  cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A Kosinussatz cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a sin a cot b = cot B sin C + cos a cos C sin A cot B = cot b sin c − cos A cos c

A

C

..................... .... ...... .... ..... .... .... .... ... . . .... ... . .... .. ... . .. .. . ............. .. . . . . . . . ......... . . .. . . . . . . .... . . . .. . . . . . ....... ... ..... ..... ... .. ..... ..... ... . . . . . . .. .... .... ... .. ..... .. .... .......... .....

a

b

c

B

41

3

Elementare Funktionen

3.1

Grundbegriffe

Funktionen (Abbildungen): f, g, h, . . .

genauer:

f :

D(f ) := A ist der Definitionsbereich von f W (f ) := {f (a) | a ∈ A} ⊆ B ist der Wertebereich von f .



A −→ B x 7−→ f (x)

Funktionsgleichung: y = f (x) Funktionsterm: f (x) Graph von f : Menge der Punkte (x, f (x)) in der x, y−Ebene. Reelle Funktionen:

f : A −→ B

Nur solche werden hier betrachtet.

mit A, B ⊆ IR

Eigenschaften von Funktionen f monoton wachsend ⇐⇒ f streng mon. wachs. ⇐⇒

Monotonie auf Intervall

f monoton fallend ⇐⇒ f streng mon. fallend ⇐⇒


x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )

(Monotonie und Kr¨ ummung siehe auch Seite 94.)

f (x + p) = f (x) f¨ ur ein p ∈ IR \ {0} und alle x ∈ IR Das kleinste positive solche p (falls vorhanden) heißt Periode von f . Siehe auch Fourierreihen, Seite 84, 86 ff.

Periodizit¨ at

y ... ✻ .. ... ... f (x) ..•. ..•.. ... .. ... .. ... .. . . ... . .. ... −x ....... ... x . . .... ... ...... .........................

Symmetrie des Graphen

y

✻

........... ........•. ....... . . . . . .... ... .... .. −x x .... . . . . . ...... . . . . . . . ........ f (−x) ...........•

f (x)

✲

x

f gerade Funktion f (−x) = f (x) Symmetrie zur y–Achse

✲

x

f ungerade Funktion f (−x) = −f (x) Symmetrie zum Nullpunkt

Umkehrbarkeit y ✻

Ist f streng monoton, so existiert die Umkehrfunktion g (auch f −1 genannt). Die Umkehrfunktion g von f ergibt sich durch: 1.) Aufl¨osung von y = f (x) nach x, also x = g(y), y=x 2.) Vertauschen der Variablen x und y, also y = g(x). Umkehrfunktion, siehe auch Seite 92. ..... .............

.. .. . (y, x)..•...... . ... ......... f ................. .....•.... Das Vertauschen von x und y bewirkt, dass der Graph von . ... (x, y) g sich aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der ..... ✲

g.....

x

Winkelhalbierenden y = x ergibt.

42

3 ELEMENTARE FUNKTIONEN Grenzwert und Stetigkeit lim f (x) = g

x→a

f stetig in x0

F¨ ur jedes ǫ > 0 gibt es ein δ > 0, so dass f¨ ur alle x ∈ D(f ) \ {a} mit |x − a| < δ gilt: |f (x) − g| < ǫ  (1) f (x0 ) existiert    kurz: (2) lim f (x) existiert ⇐⇒ ⇐⇒ x→x lim f (x) = f (x0 ) 0   x→x0 (3) lim f (x) = f (x0 )

⇐⇒

x→x0

f stetig in x0 wird h¨ aufig nachgewiesen durch:

(

⇐⇒

(1)

lim f (x) = f (x0 ) (rechtsseitige Stetigkeit) und

x→x0 +

(2)

lim f (x) = f (x0 ) (linksseitige Stetigkeit)

x→x0 −

S¨ atze u ¨ber stetige Funktionen Eine auf [a, b] stetige Funktion f nimmt jede reelle Zahl r zwischen f (a) und f (b) als Funktionswert an. Satz von Weierstraß Eine auf [a, b] stetige Funktion f besitzt auf [a, b] ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum.

Zwischenwertsatz

3.2

Algebraische Funktionen Ganzrationale Funktionen

Funktionsterm ist ein f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , an 6= 0 Polynom: Verh¨ alt sich f¨ ur betragsm¨aßig große x wie an xn . Spezialf¨ alle affine Funktionen: f (x) = ax + b Graph: Gerade mit Steigung a und Schnittpunkt mit der y−Achse bei b. quadratische Funktionen:

2 f (x)  = ax + bx + c, a6= 0

Graph: Parabel (Seite 26) mit

  Nullstellen

f (x) = xn

Potenzfunktionen: Graph: Symmetrisch zur y–Achse, falls n gerade ist. f gerade Funktion f (−x) = f (x) (−x)2 = x2

  Scheitelpunkt S =

x1,2 =

f (x) = x2

f (x) = x3

1

Graph: Symmetrisch zum Nullpunkt, falls n ungerade ist.

✻

... ... ... ... ...• 1 .•. ... . ... ... .... .... . ..... . . ....................... ✲

x



(n ∈ IN)

. .•.. .. . . .. −1 ............................. . . ... ... 1 .. .... . . • −1 ..

1

b2

√ −b± b2 −4ac 2a

y

y

✻

−1

b

− 2a , c − 4a

✲

x

f ungerade Funktion f (−x) = −f (x) (−x)3 = −x3

3.3

Exponential– und Logarithmusfunktionen

43

Gebrochen rationale Funktionen Funktionsterm:

f (x) =

echt gebrochen:

n 1 ; mit D(f ) = W (f ) = IR≥0 √ y = n x ist Umkehrfunktion von y = xn , x ≥ 0.

3.3

√ 2

y

Wurzelfunktionen

1

x x

Exponential– und Logarithmusfunktionen Exponential– und Logarithmusfunktionen y

. ...... x ... ... ... . . . . ... .... .... . .. . ...... .... −x ...... ...... ..... ..... x .... .. ......... .... ... . . ...... .... .. ......... .............. ....... .......... . ................... . . . . . . . . . ............... .... ................ .................... ....................... ............................ ................................. ......................... ................ .. .. ..................................................................... .

Exponentialfunktionen: f (x) = ax = ex ln a (a > 0, a 6= 1) D(f ) = IR W (f ) = IR>0 monoton steigend f¨ ur 1 < a monoton fallend f¨ ur 0 < a < 1 ax+y = ax · ay , a0 = 1

e−x .........

e

2

2

✻

e

2

1

y

Logarithmusfunktionen: f (x) = loga x (a > 0, a 6= 1) D(f ) = IR>0 W (f ) = IR monoton steigend f¨ ur 1 < a monoton fallend f¨ ur 0 < a < 1 loga (x · y) = loga x + loga y, loga 1 = 0

✻ 1

−1

1

log2 x ....... ....... ................. ...... . ...... .......... .................. . . ln x . . . ..........

........ ....... ....... ...... . ... . . 2 ...... 1 ........ ........ ..

e

✲

x

✲

x

Exponential– und Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen voneinander. f (x) = ex und f (x) = loge x = ln x

Speziell f¨ ur die Basis e= 2, 71828 . . . : log1/a x = − loga x

loga x =

1 ln a

ln x

eln x = x

ln ex = x

44

3 ELEMENTARE FUNKTIONEN

3.4

Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen) Umrechnung:

Gradmaß – Bogenmaß

Es besteht folgender Zusammenhang zwischen dem • Winkel α in Grad und der • L¨ ange b des zugeh¨origen Kreisbogens am Einheitskreis: ✻ 1 180◦ b ≈ 57.296◦ α = π 180◦ , b = 1 =⇒ α = π b α = b 180◦ π α 1◦ α b = 180◦ π , α = 1◦ =⇒ b = 180◦ π ≈ 0.017 ✲ 1

Definitionen G sin α@ = Gegenkathete Hypotenuse = H

A α

Ankathete = A cos α@ = Hypotenuse H

G H

1

sin α 1 G tan α@ = Gegenkathete Ankathete = A = cos α = cot α A G

Ankathete = cot α@ = Gegenkathete

cot α

1

•

tan α sin α

α

cos α 1 = sin α = tan α

cos α

y ✻ ...

1

... . . y ... .. .. tan x .. ✻ .. ... .... . . . 1 . .. .. ...... ...... ... .. ........... ........... ... .. ...... ................... .......... ..... ............... . ... ... ... sin x cos x...... ...... ... ..... ...... ...... . . . . . . . . ... . . . . ... ... ... . . 1 . . . . . . π . . ... . . . . . . . .......... cot x ..... . ... . ... . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . ... ...... .. ✲ ...... ... ...... . .. . . . .. .. . .. . .. ..... . ... ..... .. .. .. ..... 3π .......... ........ 2π -π ...... ....- π .... 0 π..... π...... .... 3π .... 2π 5π x - π .......... ........ 0 π π .......... ........ π . . . . . . . . . . . . ... .. 2 .. ... .. 2 .. .... 2 .... 2 2 ...... -1 4 2 2 .... .... .... . .... . . .. ... ... .. ... ...... .... .. .... .. .... .. .... ........ .................... .......... . . . . ........ ................. . ... .. . . . −1 .. .... .. ..... ... .... .. ... .. ... .. ... .. Kreisfunktionen . .. .. . ..

✲

x

Kreisfunktionen tan x, cot x

sin x, cos x

Grundformeln cos x = sin(x + π2 )

1 1 + tan2 x = cos2 x 1 1 + cot2 x = sin2 x

2

2

cos x + sin x = 1

sin x = cos(x − π2 )

Wichtige Werte der Kreisfunktionen 0 0

1 1 1 π π π 12 π 6 4 3

cos x tan x cot x

0

0

0

0

3 π 4

5 π 6

0

7 π 6

π

√ √ √ √ 2 3 3 2 1 1 2 2 √2 √2 2 √ 1 23 22 12 0 − 12 − 22 √ √ √ 0 33 1 3 ±∞ − 3 −1 √ √ √ ±∞ 3 1 33 0 − 33 −1

0

0

1 2 √

− 23 √ − 33

0

5 π 4

0 −1

0

4 π 3

0

3 π 2

√ 2 √ √2 − 23 − 22 √ 3 1 3

− 12 −

0 √ √ − 3 ±∞ 3

1

0

5 π 3

√

3 2 − 12

−

0

7 π 4

0

11 π 6

−1 −

√ 3 2 1 2

0

2π

0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 3600

sin x

0

2 π 3

√ 2 √2 2 2

−

0 √ √ 3 ±∞ − 3 −1 √ 3 3

0

√ − 33

0

− 12 √

3 2 √ − 33

0 1

0 √ −1 − 3 ±∞

3.4

Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen)

Beziehungen zwischen den Kreisfunktionen

sin x = cos x = tan x =

cot x =

±

(±

√

cos x

tan x

cot x

sin x

√ ± 1 − cos2 x

√ tan x ± 1+tan2 x √ 1 ± 1+tan2 x

√ 1 ± 1+cot2 x √ cot x ± 1+cot2 x

cos x √ ± 1−cos2 x cos x

√sin x 2 ± 1−sin x √ 2 1−sin x sin x

√ cos x ± 1−cos2 x

Periodizit¨ at (k ∈ ZZ): sin x, cos x (Periode 2π): sin(x + k · 2π) = sin x tan x, cot x (Periode π): tan(x + k · π) = tan x

tan x

1 cot x

1 tan x

cot x

cos(x + k · 2π) = cos x cot(x + k · π) = cot x

Symmetrie

Komplementbeziehungen

gerade Funktion

ungerade Funktionen

cos(−x) = cos x

sin(−x) = − sin x tan(−x) = − tan x cot(−x) = − cot x

sin( π2 ± x) = cos x

cos( π2 − x) = sin x

tan( π2 − x) = cot x

cot( π2 − x) = tan x

Additionstheoreme sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y

tan(x ± y) =

Mehrfache Winkel sin 2x = 2 sin x cos x =

tan 2x =

cos 2x =

cot 2x =

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y 2 tan x 1+tan2 x 1−tan2 x cos2 x − sin2 x = 1+tan 2x

sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x

cos 3x = 4 cos x − 3 cos x 3

cot(x ± y) =

tan 3x =

3

cot 3x =

sin 4x = 8 cos x sin x − 4 cos x sin x 4

je nach Quadranten)

sin x

p 1 − sin2 x

±

45

tan 4x =

2

tan x±tan y 1∓tan x tan y cot x cot y∓1 cot y±cot x

2 tan x 1−tan2 x cot2 x−1 2 cot x 3 tan x−tan3 x 1−3 tan2 x cot3 x−3 cot x 3 cot2 x−1 4 tan x−4 tan3 x 1−6 tan2 x+tan4 x cot4 x−6 cot2 x+1 4 cot3 x−4 cot x

cos 4x = 8 cos x − 8 cos x + 1 cot 4x =

sin nx = n cosn−1 x sin x − n3 cosn−3 x sin3 x + n5 cosn−5 x sin5 x ∓ · · ·


cos nx = cosn x− n2 cosn−2 x sin2 x+ n4 cosn−4 x sin4 x− n6 cosn−6 x sin6 x ± · · · √

(± Halber Winkel q sin x2 = ± 12 (1 − cos x) q cos x2 = ± 12 (1 + cos x)

je nach Quadranten)

tan x2 = ± cot x2 = ±

q q

1−cos x 1+cos x

=

1−cos x sin x

=

sin x 1+cos x

1+cos x 1−cos x

=

1+cos x sin x

=

sin x 1−cos x

46

3 ELEMENTARE FUNKTIONEN Summe und Differenz zweier Funktionen x+y cos 2 x+y 2 cos 2 sin x+y 2 cos 2 cos x+y −2 sin 2 sin

sin x + sin y = 2 sin sin x − sin y = cos x + cos y = cos x − cos y =

x−y 2 x−y 2 x−y 2 x−y 2

tan x ± tan y = cot x ± cot y = tan x + cot y = cot x − tan y =

sin(x±y) cos x cos y sin(x±y) ± sin x sin y cos(x−y) cos x sin y cos(x+y) sin x cos y

Produkte von Funktionen

sin x sin y = 12 cos(x − y) − cos(x + y) sin x cos y = 21 sin(x − y) + sin(x + y)
cos x cos y = 21 cos(x − y) + cos(x + y) Potenzen von Funktionen sin2 x = 21 (1−cos 2x) sin3 x @ = 41 (3 sin x−sin 3x) sin4 x = 18 (cos 4x−4 cos 2x + 3) cos2 x = 12 (1+cos 2x)

cos3 x@ = 41 (cos 3x+3 cos x)

Trigonometrische Summen n X sin kx = sin x + sin 2x + · · · + sin nx k=1

1 2

+

n X

k=1

n X

cos kx =

k=1

1 2

cos4 x = 18 (cos 4x+4 cos 2x + 3)

=

+ cos x + cos 2x + · · · + cos nx =

(n+1)x sin nx 2 sin 2 x sin 2

sin(n+ 21 )x 2 sin x2

sin2 nx sin(2k−1)x = sin x + sin 3x + · · · + sin(2n−1)x = sin x

arccos x, −1 ≤ x ≤ 1

arctan x, arccot x,

x ∈ IR x ∈ IR π 2 π 2 π 2 π 2

Umk–fkt. von cos x,

Umk–fkt. von tan x, − π2 < x < Umk–fkt. von cot x, 0 < x
arctan x + arctan x1 = ± π2 , f¨ < 0

arcsin x =

0 ≤x≤

− arccos x = arctan √

sin(arcsin x) = x , −1 ≤ x ≤ 1   x , − π2 ≤ x ≤ π2  arcsin(sin x) = π − x , π ≤ x ≤ 3π  2π – periodisch2 fortgesetzt2

y π ✻ 2

. ... .. . . .. .... .... . . . . π -1 .... ✲ .... ..... π . 1 x . . . . . 2 .. ... arcsin x π .... π .. − 2

Arcusfunktionen (Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen) arcsin x, −1 ≤ x ≤ 1 Umk–fkt. von sin x, − π2 ≤ x ≤ π2

y

y

✻ ... π ... ... .... ..... ..... ..... π ..... .....2 ..... .... arccos x ....... ... .. ✲ −1 1 x

.............................................................. ............. π ✻ ....... arccot x ..... π ..... ..2 ...................................................... π ................................... . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................... 4 ...... ✲ . ..... 1 . x . . . . . arctan x ................................ π ........................................... − 2

cos(arccos x) = x , −1 ≤ x ≤ 1  x , 0≤x≤π  arccos(cos x) = 2π − x , π ≤ x ≤ 2π 

2π – periodisch fortgesetzt

Darstellungen durch Exp–Funktion bzw. Log–Funktion siehe Seite 182, 183.

3.4

Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen)

47

Arkusfunktionen Spezielle Werte x −1 √ − 3 /2 √ − 2 /2 −1/2 0 1/2 √ 2 /2 √ 3 /2 1

arcsin x −π/2 −π/3 −π/4 −π/6 0 π/6 π/4 π/3 π/2

arccos x π 5π/6 3π/4 2π/3 π/2 π/3 π/4 π/6 0

x √ − 3 −1 √ − 3 /3 0 √ 3 /3 1 √ 3

arctan x

arccot x

−π/3 −π/4 −π/6 0 π/6 π/4 π/3

5π/6 3π/4 2π/3 π/2 π/3 π/4 π/6

y

y π 2

π

−1 1

π 2

x

π

−2

−1

1

y = arccos x

y = arcsin x

y

y π 2

π π 2

x π

−2

x

y = arctan x

y = arccot x

Vorzeichenverhalten in den 4 Quadranten (0 ≤ ϕ ≤ 2π) ✻y

2. Quadrant

1. Quadrant

sin ϕ > 0 cos ϕ < 0

sin ϕ > 0 cos ϕ > 0

tan ϕ < 0

tan ϕ > 0

cot ϕ < 0 ϕ = π + arctan

cot ϕ > 0 y x

y

ϕ = arctan x

sin ϕ < 0

sin ϕ < 0

cos ϕ < 0 tan ϕ > 0

cos ϕ > 0 tan ϕ < 0

cot ϕ > 0 ϕ = π + arctan 3. Quadrant

x

✲ x

cot ϕ < 0 y x

y

ϕ = 2π + arctan x 4. Quadrant

48

3.5

3 ELEMENTARE FUNKTIONEN

Hyperbelfunktionen

Definitionen ex + e−x , cosh x = 2 ex − e−x tanh x = ex + e−x = ex + e−x coth x = x −x = e −e Grundformeln

2 2 .... x − y = 1 .... . . ... sinh x .... C .......• ......... . . . . D . ..... ... tanh x ....• ..... ... sinh x ..... . ..... . . . . . . ..... ..A B . ..... . . . . . ✲ ...... ... ..... ..... ..... x ...1 cosh x ..... ... ..... ..... ..... ... ..... .. ..... .. ....... ....... ..... ache! .... x = Sektorfl¨ .... .... ....

✻

ex − e−x sinh x = 2 1− e−2x sinh x 1+ e−2x = cosh x 1+ e−2x cosh x = 1− e−2x sinh x

cosh2 x − sinh2 x = 1

Definition von sinh und cosh an der Einheitshyperbel x2 − y 2 = 1

tanh x · coth x = 1

cosh x ± sinh x = e±x

Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen sinh x sinh x = cosh x = tanh x = coth x =

sinh x p sinh2 x + 1

√ sinh2 x √sinh2 x+1 sinh x+1 sinh x

cosh x p ± cosh2 x − 1 cosh x ±

±

√

cosh2 x−1 cosh x

√cosh2x

cosh x−1

(±

√

√ tanh x 2

1−tanh x √ 1 1−tanh2 x

± ±

√

1

coth2 x−1 √coth x coth2 x−1

1 coth x

1 tanh x

coth x

cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y

coth(x ± y) =

Mehrfache Winkel sinh 2x = 2 sinh x cosh x =

tanh 2x =

cosh 2x =

coth 2x =

cosh nx =

coth x

tanh x

tanh(x ± y) =

sinh nx =

f¨ ur x > < 0)

tanh x

Additionstheoreme sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y

2 tanh x 1−tanh2 x 2 x cosh2 x + sinh2 x = 1+tanh 1−tanh2 x

sinh x = BC cosh x = OB tanh x = AD

tanh x±tanh y 1±tanh x tanh y 1±coth x coth y coth x±coth y

2 tanh x 1+tanh2 x coth2 x+1 2 coth x



n
coshn−1 x sinh x+ n3 coshn−3 x sinh3 x+ n5 coshn−5 x sinh5 x + · · · 1

coshn x+ n2 coshn−2 x sinh2 x+ n4 coshn−4 x sinh4 x + · · ·

(±√ je nachdem, ob x > Halber Winkel < 0) q q sinh x x−1 x−1 = cosh = cosh sinh x2 = ± 12 (cosh x − 1) tanh x2 = ± cosh cosh x+1 x+1 sinh x q q sinh x x+1 x 1 cosh x+1 cosh x2 = (cosh x + 1) = ± = cosh = cosh coth 2 2 cosh x−1 x−1 sinh x

3.5

Hyperbelfunktionen

49

y

y.

... ✻ e−x ✻ e.. x .. ... ....... . .. .. . . .. coth x .. ... .... x + e−x ..... .. . e ... . . . . . ... .... . . . . cosh x = ... . . . ... .... . . . . 2 .... . . . cosh x ...... ....... ...... ........ ..... x − e−x ...... ..... ...... ....... .. e ....... ................................ ... sinh x = .............................. 1 2 ... ........ .... . 1 . . .................. . . ........ . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . ..... . . tanh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ ................ .... .... ✲ ✲ ..... .... .... . . ................. . . . . . . . . x x . . . . . . . ..... ..... .... ...... −x ...−1...........− ........... . . . . . . . . . . . . . . tanh x = . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... −1 . .. ..... sinh x..... ......... .... . . . coth x = . . coth x ..... .. ....

Symmetrie gerade Funktion

cosh(−x) = cosh x ungerade Funktionen ex − e−x ex + e−x ex + e−x ex − e−x

sinh(−x) = − sinh x tanh(−x) = − tanh x coth(−x) = − coth x

Summe und Differenz zweier Funktionen x−y x+y cosh 2 2 x+y x−y 2 cosh 2 sinh 2 x−y x+y 2 cosh 2 cosh 2 x+y x−y 2 sinh 2 sinh 2

sinh x + sinh y = 2 sinh

tanh x ± tanh y =

sinh x − sinh y =

coth x ± coth y =

cosh x + cosh y = cosh x − cosh y =

tanh x + coth y = coth x − tanh y =

Produkte von Funktionen
sinh x sinh y = 21 cosh(x+y)−cosh(x−y)
cosh x cosh y = 21 cosh(x+y)+cosh(x−y)
sinh x cosh y = 21 sinh(x+y) + sinh(x−y)

sinh(x±y) cosh x cosh y sinh(x±y) ± sinh x sinh y cosh(x+y) cosh x sinh y cosh(x−y) sinh x cosh y

tanh x+tanh y coth x+coth y coth x+coth y coth x coth y = tanh x+tanh y tanh x tanh y =

Quadrate von Funktionen sinh2 x = 21 (cosh 2x−1)

cosh2 x = 12 (cosh 2x+1)

Formel von Moivre

cosh2 x−sinh2 x = 1

(cosh x ± sinh x)n = cosh nx ± sinh nx

Areafunktionen (Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen) √ arsinh x = ln(x + x2 + 1 ) artanh x = 21 ln 1+x , |x| < 1 1−x √ x+1 1 arcoth x = 2 ln x−1 , |x| > 1 arcosh x = ln(x + x2 − 1 ), x ≥ 1 y

✻

.. ... .... ... ...... .. ...... ... ..... ... . . ... ...... ... ......... ....... .... ..... .............. . .... .. .... ..... ................... ....... . . . . . . .................... .. .... ... . . . . . . ........ .. ........ ... ...... . ...... ..... .. . . . . ....... . .... . . . . . . ........ ............ ............... . . . . . . . . ...... .... .. .. ..

cosh x

arcosh x, x ≥ 1

1

arsinh x

sinh x

y

sinh x arsinh x

1

✲

x

Areafunktionen arsinh x, arcosh x

✻

.. .. .. .... ........ .... .... .. .. .. .. .. .... .... ....... ..... .. ..... .. ........ .. ....................... ... .......... ... . . .. . . . .. . . . . .. ............................ .... .......... . ...... ... ..... ... .... .... ... ... .. . ... . .. ... ..... .... ..... ..... ... ...

artanh x

−1

arcoth x

arcoth x

1

✲

x

Areafunktionen artanh x, arcoth x

trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen Jede Formel, die Hyperbelfunktionen von x oder ax (nicht von ax + b) verkn¨ upft, gewinnt man aus der entsprechenden Formel f¨ ur die trigonometrischen Funktionen, indem man sin x durch i sinh x, cos x durch cosh x und in Pot–Reihen x durch ix ersetzt. • Beziehungen im Komplexen zwischen Kreis– und Hyperbelfunktionen siehe Seite 182.

50

3 ELEMENTARE FUNKTIONEN ✻y

Schwingung A sin(ωt + ϕ)

......... |A| ..........................✛ ..... .... .... .... A sin ϕ......... ..

✲ ...... ........... ................. ...... ..... . . . . .... A sin(ωt + ϕ) .... .... . . .... . .... ... ... . .... . . ... . . ... . .... . . .... . . .... . ✲ . .... . ϕ . .... . .... . . .... t . . − + T . . . .... .... ω ... .... .... .. .... . . ..... . . . . . . ..... . ..... .... .... ...... ........ ..... ........... ................ ..................✛ ......... ......... ✲ T

.... ... . . . .. .... ... ϕ . . ... − ω ... .... . . . . .... .....

−|A|

T

Die charakteristischen Gr¨ oßen der Schwingung A sin(ωt + ϕ): |A| Amplitude (halber Wert der Schwingungsweite), 2π Periode (Schwingungsdauer), T = ω 2π Kreisfrequenz (Zahl der Schwingungen in 2π Sekunden), ω= T 1 ω T = 2π Frequenz (Zahl der Schwingungen in 1 Sekunde), ϕ Phasenwinkel (Phasenverschiebung). Umschreiben von Cosinusschwingungen in Sinusschwingungen: A cos(ωt + ϕ) = A sin(ωt + ϕ + π2 ) ¨ Uberlagerung von Schwingungen A1 sin(ωt + ϕ1 ) + A2 sin(ωt + ϕ2 ) = A sin(ωt + ϕ) p A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 )

A sin ϕ +A sin ϕ tan ϕ = A 1 cos ϕ1 +A2 cos ϕ2 1 1 2 2 Spezialfall: B = A sin ϕ C = A cos ϕ

✻ ✗ iϕ1 A 1 A1 e

Quadranten beachten!

B cos ωt + C sin ωt = A sin(ωt + ϕ) √ (C, B) ✻ A = B2 + C 2 .... A........................ B ........ B ......... tan ϕ = C Quadranten ........ ......... ϕ beachten! ✲ .........

A eiϕ A

ϕ

ϕ1

✲

x

A eiϕ = A1 eiϕ1 + A2 eiϕ2 Addition der komplexen Amplituden

Komplexe Darstellung   = A cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ) = Aei ϕ · ei ωt = Aei ϕ (cos ωt + i sin ωt)

Aei ϕ heißt komplexe Amplitude, siehe auch Zeigerdiagramm, sie ”enth¨ alt” die (reelle) Amplitude A und die Phase ϕ.

✒

A2 ϕ2

C

A · ei (ωt+ϕ)

A2 eiϕ2

y

Zeigerdiagramm y ✻

A eiϕ A ϕ

✒

✲

x

51

4

Vektorrechnung

4.1

Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt

Skalarprodukt

~b

✒

     a1 b1  a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 ~a · ~b = a2  · b2  =  |~a| · |~b| · cos < )(~a, ~b) a3 b3

ϕ ~ |b| cos ϕ

✲ ~a

Eigenschaften des Skalarproduktes:  ~a · ~a ≥ 0 (1) positive Definitheit (2) ~a · ~a = 0 ⇐⇒ ~a = ~0 (3) ~a · ~b = ~b · ~a Kommutativgesetz (4)

~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c

Distributivgesetz

(λ ~a) · ~b = λ (~a · ~b) √ √ p L¨ ange von ~a : |~a| = ~a2 = ~a · ~a = a21 + a22 + a23 es ist |~a|2 = ~a2 und |λ~a| = |λ| |~a| a b +a b2 +a3 b3 ~a·~b = √ 2 1 21 22 √ Winkel∗) zwischen ~a, ~b : cos < )(~a, ~b) = |~a|·|~b| a +a +a · b2 +b2 +b2 (5)

1

Senkrechtstehen∗) : ∗)

2

3

1

2

3

~a ⊥ ~b ⇐⇒ ~a · ~b = 0

Winkel und Senkrechtstehen nur sinnvoll f¨ ur ~a, ~b 6= ~0.

Cauchy–Schwarzsche Ungleichung: Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn ~a, ~b linear abh¨ angig sind!

Kosinussatz < )(~ a, ~b)

✙

~a

~a − ~b

Pythagoras < )(~a, ~b) = 900

~a ✒ ~b

|~a + ~b| ≤ |~a| + |~b|

Dreiecksungleichung:

~b

|~a · ~b| ≤ |~a| · |~b|

❘ ✲




~a + ~b

✲❯

(~a − ~b)2 = ~a2 − 2~a~b + ~b2 |~a − ~b|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2|~a| · |~b| · cos < ) (~a, ~b) (Kosinussatz siehe auch Seite 18)

|~a − ~b|2 = |~a|2 + |~b|2 n

~b

~a

✢

✲ s ~a − ~b

Das Skalarprodukt kann entsprechend in jedem IR definiert werden!

52

4

Vektorprodukt

VEKTORRECHNUNG

~a × ~b

✻

      a1 b1 a2 b 3 − a3 b 2 ~a × ~b = a2  × b2  = a3 b1 − a1 b3  a3 b3 a1 b 2 − a2 b 1

~b

✒

........ ...... ..

F

ϕ

✲

|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin < )(~a, ~b)

~a

Eigenschaften des Vektorproduktes: (1) ~a × ~b steht senkrecht auf ~a und ~b. |~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin < )(~a, ~b) =

(2)

Fl¨ acheninhalt F des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms.

~a, ~b, ~a × ~b bilden in dieser ein Rechtssystem. Reihenfolge ! ~b ~ ~ a ~ a ~ a ~ a ~ a ~ a b |~a × ~b|2 = (~a × ~b)2 = ~ ~~ = det ~ab bb ~a~b ~b~b

(3) (4)

Rechenregeln

(5) ~a × ~b = −(~b × ~a)

(7) ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c

(8) ~a × ~b = ~0

⇐⇒

(6) (λ~a) × ~b = ~a × (λ~b) = λ(~a × ~b)

~a, ~b sind linear abh¨angig.

mehrfache Produkte (9) ~a · (~b × ~c) = (~a × ~b) · ~c = h~a, ~b, ~c i ) ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c) ~b − (~a · ~b) ~c (10) (~a × ~b) × ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a (11)

Spatprodukt (Determinante) Entwicklungssatz

~a × (~b × ~c) + ~b × (~c × ~a) + ~c × (~a × ~b) = ~0

Jacobi–Identit¨ at

Skalarprodukt aus 2 Vektorprodukten

(12)

~ = (~a · ~c)(~b · d) ~ − (~a · d)( ~ ~b · ~c) (~a × ~b) · (~c × d) 2 2~ 2 2 ~ ~ speziell: (~a × b) = ~a b − (~a · b)

Lagrange–Identit¨ at

Vektorprodukt aus 2 Vektorprodukten

(13)

~ = h~a, ~c, d~ i~b − h~b, ~c, d~ i~a = h~a, ~b, d~ i~c − h~a, ~b, ~c id~ (~a × ~b) × (~c × d) speziell: (~a × ~b) × (~b × ~c) = h~a, ~b, ~c i~b

Beispiel Man berechne Fl¨ ache F und Winkel ϕ des von ~a = (2, −1, 1) und ~b = (−1, 3, 2) aufgespannten Parallelogramms.      −5 −1 2 ~a × ~b = −1 ×  3 = −5 5 2 1 

√ F = |~a × ~b| = 5 3

~b ϕ

✒

F ✲ ~a

√ |~a×~b| √5 √3 ≈ 70.90 = arcsin ϕ =< )(~a, ~b) = arcsin 6 14 |~a|·|~b|

4.1

Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt

53

Spatprodukt h~a, ~b, ~c i =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

= det(~a, ~b, ~c)

~c ✍ ~b

✒

= ~a · (~b × ~c) = ~c · (~a × ~b) = ~b · (~c × ~a) =

h~a, ~b, ~c i

= h~c, ~a, ~b i

✲ ~a

= h~b, ~c, ~a i

zyklische Vertauschungen ¨ andern das Spatprodukt nicht!

=

a 1 b 2 c3 + a 2 b 3 c1 + a 3 b 1 c2 − a 3 b 2 c1 − a 2 b 1 c3 − a 1 b 3 c2 Regel von Sarrus, siehe Seite 63.

Eigenschaften des Spatproduktes:   > 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c bilden ein Rechtssystem. ~ = 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c sind lin. abh¨ (1) h~a, b, ~c i angig (liegen in einer Ebene).  < 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c bilden ein Linkssystem. (2)

h~a, ~b, ~c i

=

(3)

h~a, ~b, ~c i

=

(4)

|h~a, ~b, ~c i |

=

(5)

1 |h~a, ~b, ~c i | 6

=

(6)

h~a, ~b, ~c i2

=

−h~b, ~a, ~c i = −h~a, ~c, ~b i = −h~c, ~b, ~a i

orientiertes Volumen (= Volumen mit Vorzeichen) des von den drei Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats. Volumen des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats. Volumen ~a ~a ~a ~b ~ ~~ ~a b b b ~a ~c ~b ~c

~a, ~b, ~c linear abh¨ angig ⇐⇒

des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Tetraeders.   ~a ~a ~a ~b ~a ~c ~a ~c  ~b ~c = det   ~a ~b ~b ~b ~b ~c  ~a ~c ~b ~c ~c ~c ~c ~c

h~ a, ~b, ~ ci = 0

⇐⇒

~a, ~b, ~c liegen in einer Ebene.

Die Geraden ~ x = ~a1 + t~b1 und ~x = ~a2 + t~b2 sind windschief ⇐⇒ h~a1 − ~a2 , ~b1 , ~b2 i = 6 0.      1 1 2 Beispiel Es seien ~a =  2 , ~b =  0 , ~c = 1 . −1 2 −2 Man berechne das Volumen VS des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats, sowie das Volumen VT des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Tetraeders. 1 2 1 0 1 h~a, ~b, ~ci = det(~a, ~b, ~c) = 2 −1 −2 2 = 1 · 0 · 2 + 2 · (−2) · 1 + (−1) · 2 · 1 − 1 · 0 · (−1) − 1 · (−2) · 1 − 2 · 2 · 2 = −12 Die Determinante ist negativ, die Vektoren ~a, ~b, ~c bilden also ein Linkssystem! 

1

F¨ ur die Volumina erh¨ alt man (Tetraedervolumen = 6 Spatvolumen): 1 Vol. des Spats: VS = |h~a, ~b, ~ci| = | det(~a, ~b, ~c)| = 12, Vol. des Tetraeders: VT = 6 VS = 2.

54

4

4.2

VEKTORRECHNUNG

Geraden in der Ebene, Geraden und Ebenen im Raum Geraden im IR2

kartesische Darstellung

vektorielle Darstellung y

Koordinatenform

✻

~ x0❑

(Punkt–) Normalform

✕~n ✯~x

ax + by = c

~n · ~x =~n  · ~x0 a ~n = b

✲

x

Punktrichtungsform

y ✻

y−y1 =m x−x1

α

Parameterdarstellung

y ✻ m = tan α

✒ ~a

✲

1

~b ✶

✲

x

y

Zwei–Punkte–Form

y−y1 y2 −y1 x−x1 = x2 −x1

✻

(x1,y1 )

✲

y

Zwei–Punkte–Form

✻ p ~1■

✸~x

✣p~2

G : ~x = p~1 + t (~ p2 −~p1 ) t ∈ IR x

✲

x

Achsenabschnittsform

y

ay

y x ax + ay = 1

t ∈ IR

x

(x,y)

(x2,y2 )

G : ~x = ~a + t ~b

✻ ✲

x

ax Hessesche Normalform

Hessesche Normalform

b √ a x + √ 2 2 y = d, d ≥ 0 a2 +b2 a +b

~n · ~x = d, |~n| = 1, d ≥ 0

(d : ist der Abstand der Geraden vom Ursprung.) Geraden im IR3

G

Punkt–Richtungs–Form

✼

~b ✶

G:

durch den Endpunkt von ~a und mit dem Richtungsvektor ~b

G:

~x = ~a + t~b, t ∈ IR

~ x

❦ ~a O G

Zwei–Punkte–Form G:

durch zwei verschiedene Punkte P1 , P2 mit

G:

−→ p ~1 =OP1 ,

−→ ~ p2 =OP2 ,

−→ ~ p2 −~ p1 =P1 P2 :

~x = ~ p1 + t(~ p2 − p~1 ), t ∈ IR

P1

p ~2 −~ p1

❦

P2

✶ ✻

~ p2

p ~1 O

✼

~ x

4.2

Geraden in der Ebene, Geraden und Ebenen im Raum

55

Ebenen im IR3

~n

✻

Parameterdarstellung (1)

E

✒

❃

✕

Normalenvektor: ~n = ~b × ~c

E : ~x = ~a + r~b + s~c (2)

...... .... ... ... ... .. .

durch den Endpunkt von ~a und mit den Richtungsvektoren ~b, ~c

~c ~ x ~b

q

~a

E

E durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte P1 , P2 , P3 Normalenvektor: E : ~x = p~1 + r(~ p2 − p~1 ) + s(~ p3 − p~1 ) ~ n = (~ p2 − p ~1 ) × (~ p3 − ~ p1 )

Koordinatenform ax + by + cz = d E: ~n · ~x =d (3)

~n

Normalenvektor: ~ n = (a, b, c)

✻ ~ x −~a ✶ ❃

E durch den Endpunkt von ~a mit Normalenvektor ~n

~ x

✕

E : ~n · ~x = ~n · ~a oder ~n · (~x − ~a) = 0

E

~a

Hessesche Normalform E : ~n · ~x = d , mit (4)

|~n| = 1 d≥0

~n d

ist ein Normaleneinheitsvektor und zeigt vom Nullpunkt zur Ebene. ist Abstand von E zum Nullpunkt.

E senkrecht zu ~n mit Abstand d zum Nullpunkt Es gibt zwei derartige Ebenen E1,2 , falls d > 0 ist:

E1,2 : ±~n · ~x = d

❨

Achsenabschnittsform (5)

~ x

2

E mit Achsenabschnitten a′ , b′ , c′

y x z E : a ′ + b ′ + c′ = 1 (6)

E d

1

■~n

Normalenvektor: 1 1 1 ~n = ( a′ , b′ , c′ )

−1

z

✻

E parallel zur z–Achse mit Achsenabschnitten a′ , b′

y x E : a′ + b ′ = 1

Normalenvektor: 1 1 ~ n = ( a′ , b′ , 0)

0

✒ b

y

′

c′

E (7)

E parallel zur y, z–Ebene mit Achsenabschnitt a′

x E : a′ = 1

Normalenvektor: 1 ~n = ( a′ , 0, 0)

✲ a′

x

56

4

VEKTORRECHNUNG

Umformung von Ebenengleichungen Parameterdarstellung in Koordinatenform Parameterdarstellung E : ~x = ~a + r~b + s~c

≻

Multiplikation mit ~n = ~b × ~c = (a, b, c)

Koordinatenform ~n · ~x = ~n · ~a E: ax + by + cz = d

Man multipliziert die Parameterdarstellung mit einem Vektor ~n, der auf den Richtungsvektoren ~b und ~c senkrecht steht (Normalenvektor), z.B. mit ~n = ~b × ~c.

Koordinatenform in Parameterdarstellung Koordinatenform E : ax + by + cz = d

L¨ osen des LGS

≻

Parameterdarstellung E : ~x = ~a + r~b + s~c

Man l¨ ost das LGS ax + by + cz = d :   d  b  c Ist a 6= 0, so setzt man x −a −a a y = r , z = s und l¨ ost nach x auf. E: ~ x = y =  0  + r  1  + s  0  z 1 0 0 Das Ergebnis schreibt man vektoriell: Ist a = 0, so ist b 6= 0 oder c 6= 0, und man geht entsprechend vor !

Koordinatenform in Hessesche Normalform

√ Man dividiert die Koordinatenform ax + by + cz = d durch den Betrag a2 + b2 + c2 des Normalenvektors ~n = (a, b, c) und macht ggf. die rechte Seite durch Multiplikation der Gleichung mit −1 positiv. Parameterdarstellung in Hessesche Normalform 1. 2. Beispiel

Parameterdarstellung in Koordinatenform umformen. Koordinatenform in Hessesche Normalform umformen.

Umformungen von Ebenengleichungen

     1 1 1 1.) Parameterdarstellung in Koordinatenform: E: ~ x = −2 +r 2 +s  0 1 0 −1           1 x −2 1 1 n ·  −2 =⇒ E : −2x + y − 2z = −6. ~n = 2 ×  0 =  1, also E : ~n ·  y  = ~ 1 z −2 −1 0 

2.) Koordinatenform in Parameterdarstellung: E : −2x + y − 2z = −6 L¨ osen des LGS −2x + y − 2z = −6: z.B.: x = r, z = s =⇒ y = −6  + 2r  + 2s     0 1 0 x=r =⇒ y = −6 + 2r + 2s , also (vektorielle Schreibweise) E: ~ x = −6 + r 2 + s 2. 1 0 0 z=s

4.3

4.3

Abst¨ande, Winkel, Lote

57

Abst¨ ande, Winkel, Lote

Bezeichnungen: Punkte bzw. Vektoren P = (p1 , p2 , p3 ) Q = (q1 , q2 , q3 ) −→

−→

p ~ = OP , ~ q =OQ −→ ~ n = (a, b, c), ~ x0 =OX 0

Geraden

Ebenen

G : ~ x = ~a + t~b G1 : ~ x = ~a1 + t~b1 G2 : ~ x = ~a2 + t~b2

E E E1 E2

: : : :

ax + by + cz = d ~n · ~ x=d ~n1 · ~ x = d1 ~n2 · ~ x = d2

Abstand d Punkt – Punkt

d(P, Q)

= |~ q − ~p| =

p (q1 −p1 )2 + (q2 −p2 )2 + (q3 −p3 )2

G

~

b✶ d |~b×(~ p−~a)| Punkt – Gerade d(P, G) = ✕ ~ |b| ~a p ~ −~a ✲ ❥ |~n·~ p−d| |ap1 +bp2 +cp3 −d| √ p ~ P Punkt – Ebene d(P, E) = |~n| = a2 +b2 +c2 G1 ~b1 ✶ ~ ~ |(~a1 −~a2 )·(b1 ×b2 )| Gerade – Gerade d(G1 , G2 ) = ✒■ q |~b1 ×~b2 | ~a1 ~a1−~a2 ✶ d ~ ~ ✿ ~ G1 , G2 nicht parallel, also b1 × b2 6= 0 ~a2 ~b q 2

G2

Schnittwinkel ϕ Gerade – Gerade

~b ·~b ϕ =< )(G1 , G2 ) =< )(~b1 , ~b2 ) = arccos ~ 1 ~2 |b1 | |b2 |

ϕ

~b1✶ G1

~b2q G2

▼ ~n

Gerade – Ebene

~b·~n ϕ =< )(G, E) = 900− < )(~b, ~n) = 900 −arccos ~ |b| |~n|

Ebene – Ebene

ϕ =< )(E1 , E2 ) =< )(~n1 , ~n2 ) = arccos

~b

j.

a11 · · · am1  ..  A⋆ =  ... .  a1n · · · amn

Zeilenstufenmatrix  ∗   0∗     0 ∗   .   . .     0 ∗ 

0 0 Stufenr¨ ander ⋆ sind Zahlen 6= 0, unter den Stufen nur Nullen, sonst beliebige Zahlen.

Spezielle quadratische Matrizen (m = n) Diagonalmatrix

Einheitsmatrix

D = diag (d1 , . . . , dn ) =  d1 0 · · · 0  0 d2 · · · 0     . . ..  = (di · δij )  .. .. .  0 0 · · · dn

E = diag (1, . . . , 1) =   1 0 ··· 0  0 1 ··· 0    . . ..  = (δij )  .. .. . 0 0 ··· 1



Matrix symmetrisch

schiefsymmetrisch hermitesch

= A⊤

A

⊤

= −A

A A

=

⋆

A

orthogonal

A−1 = A⊤

unit¨ ar

A−1 =

normal

⋆

A⋆

A · A = A⋆ · A

Kronecker–Symbol

δij =

(

1

,

i=j

0

,

sonst

aij = aji aij = −aji

aij = aji , (aji konj. komplex zu aji ) Spalten ~aj von A sind orthonormal (orthogonal und normiert): ~a⊤ aj = δij . i ·~

60

5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE Rechnen mit Matrizen

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar (reell oder komplex)

λA = λ(aij ) = (λaij ) A wird komponentenweise mit λ multipliziert

A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij )

Addition zweier Matrizen

Zwei (m, n)–Matrizen werden komponentenweise addiert (m, n)–Matrix A = (aij ) multipliziert mit (n, l)–Matrix B = (bjk ) ergibt die (m, l)–Matrix C = (cik ):

Multiplikation zweier Matrizen

A · B = (aij ) · (bjk ) = (cik ) mit cik =

n P

aij · bjk

cik ist

j=1

Skalarprodukt der i–ten Zeile von A mit der j–ten Spalte von B

Berechnung der Produktmatrix A · B 1.)

2.)

(Im Allgemeinen ist A · B 6= B · A)

Schreibe die 2. Matrix B nach oben versetzt neben die 1. Matrix A.

B A

AB

Berechne das Skalarprodukt (i–te Zeile von A) · (k–te Spalte von B) = cik f¨ ur i = 1, . . . , m und k = 1, . . . , l und notiere das Ergebnis cik im Schnittpunkt der Verl¨ angerungen der i–ten Zeile von A und der k–ten Spalte von B.

Beispiel

A=

2 2

A=

2 1

4 1



2 2

2 1

6 1 4 −1 7 2 48 8 23 3

   6 1 4 , B =  4 −1. 1 7 2

Berechne AB und BA.

=B B=

= AB

z.B. ist c21 = 2 · 6 + 1 · 4 + 1 · 7 = 23

6 1 4 −1 7 2

2 2 14 6 18

2 1 13 7 16

4 1 25 15 30

=A = BA

z.B. ist c32 = 7 · 2 + 2 · 1 = 16

Rechenregeln A+B

= B+A

λ(A + B) = λA + λB A(B + C) = AB + AC

A(BC) (A + B)⊤

= (AB)C

= A⊤ + B ⊤
⋆ λ(A + B) = λ(A⋆ + B ⋆ )

(AB)⊤ = B ⊤ A⊤ (AB)−1 = B −1 A−1 (AB)⋆ = B ⋆ A⋆

5.1

Matrizen

61 Rang einer Matrix

Der Zeilenrang (Spaltenrang) der Matrix A ist die Dimension des von den Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) aufgespannten Raumes. F¨ ur jede Matrix A gilt: Zeilenrang von A = Spaltenrang von A = Rang von A = rg A Der Rang einer Matrix A ¨ andert sich nicht bei elementaren Umformungen: (1) Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit einer Zahl 6= 0 Addition eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen

(2) (3)

Bestimmung des Ranges einer Matrix Mit elementaren Umformungen bringt man die Matrix auf Zeilenstufenform und liest ihren Rang ab: rg A = Anzahl der Stufen Eine (m, n)–Matrix hat vollen Rang ⇐⇒ rg A = min (m, n) Eine quadratische (n, n)–Matrix hat vollen Rang ⇐⇒ rg A = n ⇐⇒ det A 6= 0. Inverse einer quadratischen Matrix Sind A, B quadratische (n, n)–Matrizen und ist A · B = E, so heißen A und B invers zueinander. Man schreibt B = A−1 und es gilt: A · A−1 = A−1 · A = E

−1

Existiert A , heißt A invertierbar (regul¨ ar), sonst singul¨ ar. −1 A existiert ⇐⇒ det A = |A| = 6 0 ⇐⇒ A hat vollen Rang n, ⇐⇒ die Zeilenvektoren von A sind linear unabh¨angig, ⇐⇒ die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis des IRn . Rechenregeln (A · B)−1 = B −1 · A−1 (A−1 )−1 = A

(A⊤ )−1 = (A−1 )⊤

1 det A−1 = (det A)−1 = det A

Spur einer quadratischen Matrix 

a11  .. A= . an1

 a1n ..  .  · · · ann

···

=⇒

spur A =

n P

aii = a11 + · · · + ann

i=1

=

Summe der Diagonalelemente

spur (AB) = spur (BA) , −1 spur (A BA) = spur B (¨ahnliche Matrizen haben gleiche Spur).

62

5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE Berechnung der inversen Matrix

(a) mit Determinantenformel: n=2 allgemein  
⊤ a b A−1 = det1 A Aadj A = c d     d −b dabei ist Aadj = (−1)i+j det Aij und (−1)i+j det Aij 1 −1 A = det A −c a das algebraische Komplement von aij :

Die Matrix Aij entsteht aus A = (aij ) durch Streichen der i–ten Zeile und der j–ten Spalte.

(b) mit Gaußschem Algorithmus (elementare Umformungen): Beispiele (A−1 mittels ele. Umformungen)

 3 A= 5 3 0 3 0  1 E= 0

5.2

1 2 1 1 0 1 0 1

3 1 A= 5 2 3 1

1 1 2

1 0 0

0 1 0

0! 0 =E 1

1 0  =E 0 1 Mittels elementarer Zeilenumformungen formt man 1 0 so lange um, bis ”links” die Einheitsmatrix steht. −5 3 ”Rechts” steht dann die gesuchte Matrix A−1 . 6 −3 3 −1 −1 ! −5 3 1 0 0  2 −1 −7 3 2 = A−1 E= 0 1 0 = A−1 −5 3 −1 0 1 0 0 1

Determinanten Determinanten

Jeder quadratischen (n, n)–Matrix A ist eine Zahl det A, die Determinante von A, zugeordnet. Statt det A schreibt man auch |A|. X sign (σ ) · a1σ(1) · · · anσ(n) Leibniz–Formel det A = σ

=




durchl¨  auft dabei alle Permutationen von (1, 2, . . . , n). 1 falls σ gerade Permutation sign (σ ) = −1 falls σ ungerade Permutation
Eine Permutation σ = σ (1), σ(2), . . . , σ (n) von (1, 2, . . . , n) heißt gerade bzw. un
gerade, wenn die Anzahl der Inversionen von σ d.h. i < j aber σ(i) > σ (j) gerade bzw. ungerade ist.

σ

σ (1), σ (2), . . . , σ (n)

Beispiel

σ = (2, 3, 1) ist eine gerade Permutation. Sie hat 2 Inversionen:

1 < 3, aber 2 = σ(1) > σ(3) = 1 und 2 < 3, aber 3 = σ(2) > σ(3) = 1, also sign (2, 3, 1) = 1. σ = (2, 1, 3) ist eine ungerade Permutation. Sie hat 1 Inversion: 1 < 2, aber σ(1) > σ(2), also ist sign (2, 1, 3) = −1.

5.2

Determinanten

63

Determinante einer (2,2)–Matrix   a b a b = ad − bc A= =⇒ det A = |A| = c d c d

Determinante einer (3,3)–Matrix, Regel von SARRUS a 1 b 1 c1 det A = a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − c1 b2 a3 − c2 b3 a1 − c3 b1 a2 . a 3 b 3 c3 − − −

a1 a2 a3 a1 a2

b1 b2 b3 b1 b2

c1 c2 c3 c1 c2

Merkregel:

Man schreibt die ersten beiden Zeilen unter die Determinante und addiert die drei Dreierprodukte l¨ angs der durchgezogenen Linien und subtrahiert die drei Dreierprodukte l¨ angs der gestrichelten Linien.

+ + +

Determinante einer (n,n)–Matrix, LAPLACE scher Entwicklungssatz det A = det(aij ) =

n P

(−1)i+j aij det Aij =

(−1)i+j aij det Aij

i=1

j=1

|

n P

{z

}

Entwicklung nach der i–ten Zeile

|

{z

}

Entwicklung nach der j–ten Spalte

Dabei ist Aij die (n−1, n−1) –Matrix, die aus A durch Streichen der i–ten Zeile und j–ten Spalte hervorgeht. + − ··· Die mit dem schachbrettartig − + · · · .. .. . . verteilten Vorzeichen (−1)i+j versehene Determinante (−1)i+j det Aij heißt das algebraische Komplement von aij .

Beispiel 3 1 0

0 2 1 −1 1 0



Entwicklung nach der 1. Zeile: 1 −1 − 0 · 1 −1 = 3 · 0 0 1 0

+2· 1 0

1 = 3·1−0+2·1 = 5 1

einfacher ist die Entwicklung nach der 3. Zeile (zweimal 0 in der Zeile!): 3 0 3 0 2 2 = (−1) · (−5) = 5 + 0 · −1· =0· 1 1 1 −1 1 −1

Beispiel (Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente) Ist R = (rij ) eine (n, n)–Dreiecksmatrix, so gilt: det R = r11 · r22 · · · rnn

64

5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE Rechenregeln f¨ ur Determinanten
A, B sind n–reihige quadratische Matrizen.

Die elementaren Umformungen einer Matrix (siehe Seite 61) wirken sich folgendermaßen auf ihre Determinante aus: (1) Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten), so ¨ andert sich das Vorzeichen der Determinante. (2)

Multipliziert man eine Zeile (Spalte) mit der Zahl λ, so multipliziert sich die Determinante mit λ.

(3)

Addiert man das Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen, so ¨ andert sich der Wert der Determinante nicht. det A · B = det A · det B Produktsatz det A⊤ = det A

det A 6= 0

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

det A−1 =

1 det A

det(α · A) = αn · det A

die Zeilen (Spalten) von A sind linear unabh¨angig. die Zeilen (Spalten) von A sind eine Basis des IRn . rg A = n. A hat vollen Rang n. A−1 existiert, A ist invertierbar, regul¨ar. A~x = ~b ist eindeutig l¨osbar durch: ~x = A−1~b.

Praktische Berechnung der Determinanten Man w¨ ahlt ein von 0 verschiedenes Element. Durch Addition geeigneter Vielfache der zugeh¨ origen Zeile (Spalte) zu anderen Zeilen (Spalten) erzeugt man in der zugeh¨ origen Spalte (Zeile) m¨ oglichst viele Nullen. Dann entwickelt man nach dieser Spalte (Zeile). Beispiel 1 1 3 1 1 3 = (−1) −3 −4 = (−1) · 18 = −18. −1 2 2 = −3 0 −4 3 −2 4 1 1 3 0 −2 Das (−2)–fache der 1.Zeile wurde zur 2.Zeile und das (−1)–fache der 1.Zeile wurde zur 3.Zeile addiert. Dann wurde nach der 2.Spalte entwickelt.

Cramersche Regel zur L¨ osung quadratischer linearer Gleichungssysteme A~x = ~b Ist A eine quadratische (n, n)–Matrix mit det A 6= 0 und ~b ein gegebener Spaltenvektor, so ist das LGS A~x = ~b eindeutig l¨osbar.   x1 det A   Die Komponenten des L¨osungsvektors ~x =  ...  sind xi = det Ai xn Ai entsteht aus A, indem die i–te Spalte von A durch den Vektor ~b ersetzt wird.

5.3

5.3

Eigenwerte

65

Eigenwerte Eigenwerte und Eigenvektoren einer (n, n)– Matrix A (λ, ~x) Eigenpaar von A

⇐⇒

A · ~x = λ~x, ~x 6= ~o

Ist (λ, ~x) ein Eigenpaar von A, so heißt λ ein Eigenwert von A und ~x 6= ~o ein zugeh¨origer Eigenvektor von A.

Lλ = {~x | A~x = λ~x} heißt der zu λ geh¨orige Eigenraum von A. gλ = dim Lλ heißt geometrische Vielfachheit von λ. Die Vielfachheit von λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A heißt algebraische Vielfachheit kλ . Es gilt 1 ≤ gλ ≤ kλ ≤ n λ Eigenwert von A

⇐⇒

det(λE − A) = 0

charakteristische Gleichung von A

λi Eigenwert von A ⇐⇒ λi ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms pA von A. pA (λ) = det(λE − A) = λn + cn−1 λn−1 + · · · + c1 λ + c0 Jede (n, n)–Matrix besitzt n (im allgemeinen komplexe) Eigenwerte λ1 , . . . , λn , gez¨ahlt entsprechend ihren algebraischen Vielfachheiten. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabh¨angig. σ(A) = {λ1 , . . . , λn } heißt das Spektrum von A. ρ(A) = max{|λ| : λ Eigenwert von A} heißt der Spektralradius von A. |λ| ≤ ρ(A)

f¨ ur jeden Eigenwert λ von A.

ρ(A) ≤ ||A||

f¨ ur jede zugeordnete Matrixnorm. (siehe Seite 187)

Die Koeffizienten c0 , . . . , cn des charakteristischen Polynoms pA heißen c = (−1)n λ1 · · · λn = (−1)n det A Invarianten von A. 0 cn−1 = −(λ1 + · · · + λn ) = − spur A = −(a11 + · · · + ann )  1 1 , so gilt: 0 1 λ − 1 −1 = (λ − 1)2 = λ2 − 2λ + 1. charakteristisches Polynom: pA (λ) = 0 λ − 1 Eigenwerte von A: λ1,2 = 1, algebraische  Vielfachheit k1 = 2.  x1 Zu λ1,2 = 1 geh¨ origer Eigenraum: L1 = { | x1 ∈ IR}, g1 = dim L1 = 1. 0 Invarianten von A: c0 = (−1)2 λ1 λ2 = (−1)2 det A = 1, c1 = −(λ1 + λ2 ) = − spur A = −2. A ist nicht diagonal¨ ahnlich (da g1 6= k1 , siehe n¨ achste Seite). Beispiel

Ist

A=



66

5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE ¨ Ahnliche Matrizen Zwei (n, n)– Matrizen A, B sind ¨ ahnlich ⇐⇒ es gibt eine invertierbare Matrix C mit B = C −1 AC.

ˇ A 7→ C −1 AC heißt Zhnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix C. A, B ¨ ahnlich =⇒ pA = pB

ˇ Zhnliche Matrizen haben dasselbe char. Polynom, und damit dieselben Invarianten. (Umkehrung gilt nicht!)

(λ, ~ x) Eigenpaar von A ⇐⇒ (λ, C −1 ~ x) Eigenpaar von C −1 AC.

Geometrische Deutung Die lineare Abbildung ~x 7→ A · ~x bildet einen Eigenvektor ~x zum Eigenwert λ von A in das λ–fache dieses Eigenvektors ab: A~x = λ~x. Jeder Eigenraum Lλ wird auf sich abgebildet: ~x ∈ Lλ =⇒ A~x = λ~x ∈ Lλ . Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: Die (n, n)–Matrix A besitzt n linear unabh¨angige Eigenvektoren ~x1 , . . . , ~xn zu den (nicht notwendig verschiedenen) Eigenwerten λ1 , . . . , λn . ⇐⇒ X −1 AX = D

D = diag (λ1 , . . . , λn ) und X = (~x1 , . . . , ~xn )

⇐⇒ alle geometrischen Vielfachheiten sind gleich den algebraischen Vielfachh. ⇐⇒ A ist diagonalisierbar oder diagonal¨ahnlich ⇐⇒ A ist ¨ ahnlich zur Diagonalmatrix D mit der Transformationsmatrix X Normale Matrizen A normal ⇐⇒

es gibt eine unit¨are Matrix U (⇔ U −1 = U ⋆ ) und eine Diagonalmatrix D = diag(λ1 , . . . , λn ), mit U ⋆ AU = D

Genau die normalen Matrizen (⇔ AA⋆ = A⋆ A) sind unit¨ar diagonalisierbar. Hermitesche Matrizen (⇔ A = A⋆ ) sind unit¨ar diagonalisierbar, alle Eigenw. reell! Reelle symmetrische Matrizen es gibt eine reelle orthogonale Matrix U (⇔ U −1 = U ⊤ ) A symmetrisch ⇐⇒ aus Eigenvektoren und eine reelle Diagonalmatrix D = diag(λ1 , . . . , λn ), mit U ⊤AU = D Ist A symmetrisch (⇔ A = A⊤ ), so gilt: 1. Alle Eigenwerte sind reell und pA (λ) zerf¨allt in Linearfaktoren. 2. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind nicht nur linear unabh¨ angig, sondern sogar orthogonal !

5.4

5.4

Lineare Abbildungen und Matrizen

67

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen ϕ : IRn −→ IRm heißt linear, wenn f¨ ur alle ~x, ~y ∈ IRn und alle r ∈ IR gilt: ϕ(~x + ~ y ) = ϕ(~x) + ϕ(~y ) und ϕ(r · ~x) = r · ϕ(~x) Kern ϕ : = ϕ−1 ({~0}) = {~x ∈ IRn | ϕ(~x) = ~0} Bild ϕ : = ϕ(IRn ) = {~y ∈ IRm | ∃ ~x ∈ IRn , ϕ(~x) = ~y } n = dim Kern ϕ + dim Bild ϕ

Kern–Bild–Satz

Lineare Abbildungen und Matrizen Ist M (m, n)–Matrix, so ist ϕM :

IRn −→ IRm , ~x 7−→ M ~x

also ϕM (~x) = M ~x, eine lineare Abbildung.

Jede Matrix bestimmt auf diese Art eine lineare Abbildung. Umgekehrt geh¨ ort zu jeder linearen Abbildung eine Matrix.
Ist ϕ : IRn → IRm linear und ist M = M (ϕ) = ϕ(~e1 )E , · · · , ϕ(~en )E die (m, n)–Matrix, deren n Spalten aus den E–Koordinatenvektoren ϕ(~ei )E der Bilder der n kanonischen Basisvektoren ~ei des IRn bestehen, so ist ϕ = ϕM , d.h. ϕ(~x) = ϕM (~x) = M ~x. Die zu ϕ geh¨ orenden Matrizen h¨ angen von den Basen A des IRn und B des IRm ab A und werden mit MB (ϕ) bezeichnet (siehe n¨ achste Seite).

ˇ Zquivalente Matrizen Die (m, n)–Matrizen A, B heißen ¨ aquivalent, wenn sie gleichen Rang haben. es gibt invertierbare Matrizen Z, S mit ZAS = B. ⇐⇒ A, B beschreiben diesselbe lin. Abb. bzgl. verschiedener Basen. ! 1 2 1 0 1 1 Die Matrix A = hat den Rang 2. ! 0 2 2 1 0 0 Man bestimme invertierbare Matrizen Z, S, so dass ZAS = 0 1 0 ist. 0 0 0

A¨ aquivalent B Beispiel

⇐⇒

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 1 2 2 1 0 0 1 0

1 −2

1

A

ZAS 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 1 −1 0 0 1 S

1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 −2 −1 0 1 0 0 0 1 −1

rg A = rg B ⇐⇒

−1

1 1 2 1 1 0 0 0 1

1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 −2

E

0 0 1 0 0 1

E

−2 1

Z

Schema:

A

E

ZAS

ZA

Z

S

E

Au uhrt man ¨berf¨ durch Zeilenumformungen (Matrix Z) in ZA und Spaltenumformungen (Matrix S) ! 1 0 0 in die Normalform ZAS = 0 1 0 . 0 0 0

68

5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE Orthogonale Abbildungen Die zu einer orthogonalen (n, n)–Matrix M geh¨orende lineare Abbildung ϕ : IRn → IRn mit ϕ(~x) = M ~x heißt orthogonal.

Die Spalten von M bilden eine Basis des IRn M orthogonale Matrix ⇐⇒ aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren.

Eine solche Basis heißt orthonormale Basis (ONB).

⇐⇒ M ⊤ = M −1 ⇐⇒ M M ⊤ = E ⇐⇒ M orthonormale Basis (ONB). Eigenschaften orthogonaler Abbildungen Die orthogonale Abbildung ϕ |ϕ(~x)| = |~x|,

(1)

ist l¨ angentreu, d.h.

(2)

ist winkeltreu, d.h.

(3)

u uhrt ONB (⇔ A⊤ = A−1 ) in ONB. ¨berf¨ Genauer:

Ist A = ~a1 , . . . , ~an orthonormale Basis, so ist ϕ(A) = ϕ(~a1 ), . . . , ϕ(~an ) genau dann orthonormale Basis, wenn ϕ orthogonal ist.


< ) ϕ(~x), ϕ(~y ) =< )(~x, ~y ),

Abbildungsmatrix

A MB (ϕ)

Ist ϕ eine lineare Abbildung des IRn mit der Basis A = (~a1 , . . . , ~an ) in den IRm mit der Basis B = (~b1 , . . . , ~bm ), kurz: Ist ϕ : IRnA −→ IRm B linear, so gilt

ϕ(~x)B MBA (ϕ)

= MBA (ϕ) · ~xA , mit =

ϕ(~a1 )B , . . . , ϕ(~an )B




Man erh¨ alt den B–Koordinatenvektor ϕ(~x)B des Bildes ϕ(~x), indem man den A–Koordinatenvektor ~xA von ~x von links mit der Matrix MBA (ϕ) multipliziert. MBA (ϕ) ist die (m, n)–Matrix, deren n Spalten die B–Koordinatenvektoren der Bilder der n Basisvektoren von A sind. Merke:

A Die Spalten von MB (ϕ) sind die durch ϕ abgebildeten und durch B ausgedr¨ uckten Basisvektoren von A !

Ist ϕ invertierbar, so gilt:

MBA ( ϕ )


−1 MAB (ϕ−1 ) = MBA (ϕ)

Bemerkung: Ist E die kanonische Basis, so schreibt man f¨ ur MEE (ϕ) kurz M (ϕ).         −1 0 −1 1 , ϕ : Drehung um 900 . , ~b2 = und ~b1 = , ~a2 = Beispiel ~a1 = 0 1 1 1       1 −1 −1 −1 A = −1~b1 + 1~b2 =⇒ MB (ϕ) = = 1~b1 + 1~b2 , ϕ(~a2 ) = ϕ(~a1 ) = 1 1 −1 1

5.4

Lineare Abbildungen und Matrizen

69

Koordinatentransformationsmatrix

A MB (id)

Sind A, B Basen des IRn , so gilt f¨ ur die Koordinatenvektoren: ~xB = MBA (id) · ~xA

A Die Spalten von MB (id) sind die Koordinatenvektoren ~aiB der Basis A = (~a1 , . . . , ~an ) bzgl. der Basis B.

MBA (id) = (~a1B , . . . , ~anB )
−1 MAB (id) = MBA (id)

A A–Koordinaten gehen durch Multiplikation mit MB (id) in B–Koordinaten u ¨ ber!

MEA (id) = A

Ist speziell B = E, so ist:


−1 MEA (id) = MAE (id) = A−1

und

~xE = A~xA ~xA = A−1 ~xE

A–Koordinaten gehen durch Multiplikation mit A in E–Koordinaten u ¨ber! E–Koordinaten gehen durch Multiplikation mit A−1 in A–Koordinaten u ¨ ber!

Nacheinanderausf¨ uhren linearer Abbildungen Das Nacheinanderausf¨ uhren linearer Abbildungen ϕ und ψ ergibt wieder eine lineare Abbildung ψ ◦ ϕ, deren Matrix das Produkt der Matrizen von ψ und von ϕ ist. Die Reihenfolge ist zu beachten: ϕ, ψ linear =⇒ ψ ◦ ϕ linear

IRm B ϕ✒ IRn A

ψ

ψ◦ϕ

❘ ✲ IRkC

(ψ ◦ ϕ)(~x)

=

ψ(ϕ(~x))

MCA (ψ ◦ ϕ)

=

MCB (ψ) MBA (ϕ)

(ψ ◦ ϕ)(~x)C

=

MCB (ψ) MBA (ϕ) ~xA

Abbildungsmatrix bei Basiswechsel

′

A MB ′ (ϕ)

Ist ϕ eine lineare Abbildung des IRn mit den Basen A und A′ in den IRm mit den Basen B und B ′ , kurz: Ist ϕ : IRnA,A′ −→ IRm B,B ′ dann gilt f¨ ur die Matrix

′ MBA′ (ϕ),

linear,

die ϕ bzgl. der Basen A′ , B ′ beschreibt: ′

′

MBA′ (ϕ) = MBB′ (id) MBA (ϕ) MAA (id) ′

IRnA ↑ IRnA′

id

ϕ

−→

IRm B

↓ id −→ IRm B′ ϕ

′

ϕ(~x)B ′ = MBA′ (ϕ) ~xA′ = MBB′ (id) MBA (ϕ) MAA (id) ~xA′ | {z } = ~xA {z } | = ϕ(~x)B | {z } = ϕ(~x)B ′

70

5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE Drehungen des Raumes und Drehmatrizen Berechnung der Drehmatrix M (δ) bei gegebener Drehung δ (Drehachse ~ a und Drehwinkel α)

Ist δ : IR3 → IR3 die Drehung des Raumes um den Winkel α (−π < α ≤ π) bzgl. der Achse ~a (|~a| = 1), so berechnet man die Drehmatrix M (δ) wie folgt: 1.)

2.)

Man w¨ ahle einen Einheitsvektor ~b senkrecht zu ~a (|~b| = 1, ~a · ~b = 0), dann ist A := (~a, ~b, ~a × ~b) orthogonal (kartes. Basis), also A−1 = A⊤ und   1 0 0 die Drehmatrix MAA (δ) =  0 cos α − sin α  von δ bzgl. A. 0 sin α cos α Die gesuchte Drehmatrix M (δ) ist:

M (δ) = MEE (δ) = A MAA (δ) A−1 = A MAA (δ) A⊤ , also M (δ) = A MAA (δ) A⊤

Eine andere M¨ oglichkeit, siehe n¨ achste Seite!

Berechnung von Drehachse ~ a und Drehwinkel α bei gegebener Drehmatrix M M Drehmatrix ⇐⇒

det M = 1 det M = 1 ⇐⇒ Die Spalten von M sind paarweise ⊤ MM = E orthonormale Einheitsvektoren.

1.)

Die Drehachse ~a ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

2.)

F¨ ur den zu ~a geh¨origen Drehwinkel α gilt 1 + 2 cos α = spur M , also cos α = 12 ( spur M − 1).

Da cos α = cos(−α) ist, erh¨alt man so ±α und muss sich f¨ ur α oder −α entscheiden. Zun¨achst die Sonderf¨alle:

cos α = 1 =⇒ α = 0; dies ergibt sich nur, falls M = E ist. cos α = −1 =⇒ α = π.

¨ Im Ubrigen entscheidet man sich durch (geschicktes) Probieren: Man w¨ ahle einen Vektor ~b senkrecht zu ~a, also mit ~a · ~b = 0, und berechne M~b. Dann gilt: det(~a, ~b, M~b) > 0 =⇒ 0 < α < π =⇒ α = arccos 12 ( spur M − 1) det(~a, ~b, M~b) < 0 =⇒ −π < α < 0 =⇒ α = − arccos 21 ( spur M − 1) Damit ist der zur Drehachse ~a geh¨orige Drehwinkel α bestimmt. 0 Achse ~a = (1, 1, 1), Winkel α1 = 600 , α2 = Drehmatrix M (α √ 45 , √ √ √i ) ? √     2+ 2 2 2−2 2 − 6 2−2 2 −1 2 √ √ √ √ 2 + √6 1 1 M (450 ) = 6 2−2√2 + √6 M (600 ) = 3  2 2 −1 , 2+ − 6 √ 2 2√ 2−2 2 √ −1 2 2 2−2 2 − 6 2−2 2 + 6 2+2 2

Beispiel

5.4

Lineare Abbildungen und Matrizen

71

Drehung des Raumes um den Winkel α um die Achse ~ a Ist ~a Einheitsvektor, also |~a| = 1 und δ : IR3 → IR3 die Drehung um den Winkel α um die Achse ~a, so l¨ asst sich δ(~x) folgendermaßen aus ~a, ~x und ~a × ~x linear kombinieren: δ(~x) = (1 − cos α)~a~x · ~a + cos α · ~x + sin α · (~a × ~x) Berechnung der Drehmatrix M (δ) bei gegebener Drehung δ. Ist δ : IR3 → IR3 die Drehung des Raumes um den Winkel α (−π < α ≤ π) und die Achse ~a (|~a| = 1), so l¨ asst sich M (δ) folgendermaßen aus dem Winkel α und den Koordinaten des Einheitsvektors ~a = (a, b, c) berechnen:  2      a ab ac 1 0 0 0 −c b 0 −a M (δ) = (1−cos α) ab b2 bc  + cos α 0 1 0 + sin α  c 2 ac bc c 0 0 1 −b a 0

Beispiel Es sei δ die Drehung des Raumes um 600 um die Achse (1, 1, 1). Man bestimme die Drehmatrix M (δ) (siehe Beispiel M (600 ) vorige Seite). 1√ 1 1 Es ist α = 600 , cos α = 2 , sin α = 2 3 , ~a = √ (1, 1, 1), also: 3       1 1 1 1 0 0 0 −1 1 √ 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 0 1 0 + 2 3√  1 0 −1  M (δ) = (1 − 2 ) 3 3 1 1 1 0 0 1 −1 1 0   2 −1 2 1 2 −1  = 3 2 −1 2 2

Andere M¨ oglichkeit, die Drehmatrix zu berechnen: vorige Seite Bestimmung von Drehwinkel und Drehachse einer Drehmatrix: vorige Seite. Orthogonale Abbildungen der Ebene (Drehung, Spiegelung)

F¨ ur die orthogonale Abbildung ϕ mit ϕ(~x) = M · ~x und M −1 = M ⊤



ϕ(~e2 ) =

 − sin α cos α

cos α

(2)

det M = 1. Dann ist ϕ eine Drehung um den Ursprung um einen Winkel α und   cos α − sin α Abbildungsmatrix M = . sin α cos α det M = −1. Dann ist ϕ eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden G mit Steigungswinkel α/2 und der   cos α sin α Abbildungsmatrix M = . sin α − cos α

✻ ϕ(~e1 ) =

❪

besteht die Alternative (1)

~e2

✸

α α cos α

−sin α



 cos α sin α

sin α

✲ ~e1

~e2

✻

ϕ(~e1 ) =

✸ α/2

❫



 cos α sin α

G

✲ ~e1

ϕ(~e2 ) =



sin α − cos α



72

5 MATRIZEN, DETERMINANTEN, EIGENWERTE Projektion des Raumes auf eine Ebene/Gerade

Es sei S eine Ebene bzw. G eine Gerade des IR3 durch den Nullpunkt und πS bzw. πG die Projektion des IR3 auf S bzw. G (siehe Lotfußpunkt Seite 57). E ist die Einheitsmatrix! Projektion auf S bzw. G Abbildungsmatrix πS

Ebene S : ~n · ~x = 0 mit |~n| = 1

πG

Gerade G : ~x = r~b, r ∈ IR mit |~b| = 1

M (πS ) = E − ~n ~n⊤ ⊤ M (πG ) = ~b ~b

Spiegelung des Raumes an einer Ebene/Geraden Es sei S eine Ebene bzw. G eine Gerade des IR3 durch den Nullpunkt und σS bzw. σG die Spiegelung des IR3 an S bzw. G (siehe Spiegelpunkt Seite 57). Spiegelung

an S bzw. G

Abbildungsmatrix

σS

Ebene S : ~n · ~x = 0 mit |~n| = 1

M (σS ) = E − 2~n ~n⊤

σG

Gerade G : ~x = r~b, r ∈ IR mit |~b| = 1

M (σG ) = 2~b ~b

⊤

−E

Es sei σS die Spiegelung des Raumes an der Ebene S : 2x − y + 2z = 0. Man bestimme die Abbildungsmatrix M (σS ).     2 2 1 | −1 | = 3. Setze ~n := 3 −1, so ist S : ~n · ~ x = 0 mit |~n| = 1. 2 2     2 1 0 0 1 1 M (σS ) = E − 2~n ~n⊤ =  0 1 0  − 2 · 3 −1 3 (2, −1, 2) 2  0 0 1      1 0 0 4 −2 4 1 4 −8 2 1 =  0 1 0  − 9  −2 1 −2  = 9  4 7 4  0 0 1 4 −2 4 −8 4 1 Beachte: ~n ist Spaltenvektor und ~n⊤ Zeilenvektor, ~n · ~ x ist das Skalarprodukt, also eine Zahl, und ~n ~n⊤ ist das Matrizenprodukt, also eine 3 × 3–Matrix.

Beispiel

Spezielle Abbildungen der Ebene

(Die Abbildungsmatrizen beziehen sich auf die kanonische Basis E.) Spiegelung an x–Achse



1 0

y–Achse



−1 0



Gerade y=x Gerade y = ax

1 1+a2



0 1

0 −1



0 1



1 0



1−a2 2a 2a a2−1



Drehung um   cos α − sin α α0 sin α cos α   1 −1 1√ 450 2 2 1 1 √   1 √1 − 3 600 2 3 1   0 −1 900 1 0

Projektion auf   1 0 x–Achse 0 0   0 0 y–Achse 0 1   Gerade 1 1 1 2 y=x 1 1   Gerade 1 a 1 2 2 1+a y = ax a a

73

6 6.1

Folgen, Reihen Endliche Summen

n S. 7 , Bernoullische Zahlen Bk S. 80. Binomialkoeff. Endliche Summen k Pn n(n+1) = 1 + 2 + 3 +···+ n = k=1 k 2 Pn 2 2k − 1 = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) =n Pk=1 n 2k = 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1) k=1 Pn n(n+1)(2n+1) 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 = k=1 k 6 Pn n(4n2 −1) 2 2 2 2 2 k=1 (2k−1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = 3 Pn n2 (n+1)2 n(n+1)
2 3 3 3 3 3 = 1 + 2 + 3 + ··· + n = = k=1 k 4 2 Pn 1 1 1 1 1 n 1 k=1 k(k+1) = 1·2 + 2·3 + 3·4 + · · · + n(n+1) = 1 − n+1 = n+1 m + 1 Pn 1 Pm m m m m m k = 1 + 2 + 3 + · · · + n = Bk (n + 1)m+1−k k=1 k=0 m+1 k




Binomische Formel n         X n an−k bk = n an + n an−1 b + · · · + n bn , (a + b)n = n 0 1 k k=0

Pn

n

siehe auch Seite 8.

n

n

n

= = 0 + 1 x + · · · + n xn       Pn n n n = = 0 + 1 + ··· + n k=0 k         Pn n n n n = 1· 1 + 2 · 2 + ··· + n· n = k=0 k k     n n Pn n n k n = + · · · + (−1) − = (−1) k=0 n 1 0 k k=0

n X

(1 + x)n 2n n 2n−1 0

Geometrische Summe (endliche geom. Reihe) n X an+1 −1 ak = 1 + a + a2 + · · · + an = a−1 , f¨ ur a 6= 1 k=0

a

k=m n X k=0

k k x n

n ∈ IN

k

= am + am+1 + am+2 + · · · + an =

ak bn−k = bn + abn−1 + a2 bn−2 + · · · + an =

ak = a1 + (k − 1)d = ak−1 + d

an+1 −am a−1

, f¨ ur a 6= 1

an+1 −bn+1 a−b

, f¨ ur a 6= b

Arithmetische Summe n X ak = a1 +(a1 +d)+(a1 +2d)+· · ·+(a1 +(n−1)d) k=1

= na1 +

n(n−1) d 2

=

n(a1 +an ) 2

74

6 FOLGEN, REIHEN

6.2

Zahlenfolgen und Reihen Folgen

h ist H¨ aufungspunkt der Folge (an ) ⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 und jedem n0 ∈ IN gibt es ein n ≥ n0 mit |an − h| < ǫ. ⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∀n0 ∈ IN ∃n ∈ IN : n ≥ n0 ∧ |an − h| < ǫ. ⇐⇒ an liegt immer wieder in jeder Umgebung von h.

a ist Grenzwert der Folge (an ) ⇐⇒ zu jedem ǫ > 0 gibt es ein n0 ∈ IN mit |an − a| < ǫ f¨ ur alle n ≥ n0 . ⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∃n0 ∈ IN ∀n ∈ IN : n ≥ n0 =⇒ |an − a| < ǫ. ⇐⇒ an liegt schließlich in jeder Umgebung von a. Bezeichnungen: lim an = a oder an −→ a oder (an ) konvergiert gegen a. n→∞

(an ) ist beschr¨ ankt ⇐⇒ es gibt S ∈ IR mit |an | ≤ S f¨ ur alle n ∈ IN. wachsend ⇐⇒ fallend

Die reelle Folge (an ) ist monoton

f¨ ur alle n ∈ IN gilt an+1

≥ ≤

an .

Satz von Weierstraß: Jede beschr¨ankte Folge besitzt einen H¨aufungspunkt. zu jedem ǫ > 0 gibt es ein n0 mit Cauchy–Kriterium: (an ) ist konvergent ⇐⇒ |an − am | < ǫ f¨ ur alle n, m ≥ n0 . Monotonie–Krit.: Jede monotone und beschr¨ankte reelle Folge ist konvergent. Rechenregeln an −→ a Aus bn −→ b , folgt:

an bn

an ± bn −→ a ± b an · bn −→ a · b a −→ b , f¨ur bn , b 6= 0

abnn −→ ab

acn −→ ac an an

, f¨ ur

an , a > 0

, f¨ ur

an , a > 0

spezielle Grenzwerte f¨ ur n −→ ∞
√ n n+1 n a −→ 1 −→ e n √ 1
n n n −→ 1 1+ −→ e n √ n
n x n! −→ ∞ −→ ex 1+ n n 1 √ 1
x n n! −→ e n 1− n −→ e−x n √ a n 1) −→ ln x, f¨ur x > 0 n! −→ 0 n( x −  n a n −→ 0, f¨ur a > −1 n −→ ∞ n!

geometrische Folge  0 , f¨ur |a| < 1 −→ 1 , f¨ur a = 1

an nk

divergent f¨ ur a ≤ −1 oder a > 1

k feste nat¨ urliche Zahl ( 0 , f¨ur |a| ≤ 1 −→ ∞ , f¨ur a > 1

Fibonaccifolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . rekursiv: a1 = a2 = 1, und an+2 = an + an+1 √
 √  n 1+ 5
n explizit: an = √1 − 1−2 5 2 5

von Quotienten konvergiert gegen a =

√ 5 −1 2

siehe [HM, Seite 335]

1 1 2 3 5 8 , , , , , , . . . −→ 1 2 3 5 8 13 √ 5 −1 an −→ , diese an+1 2

√ 5 −1 2

Folge

≈ 0.618, goldener Schnitt, S. 20.

6.2

Zahlenfolgen und Reihen

75

Konvergenz von Reihen Die Reihe

P∞

k=0

P ak wird als Folge der Partialsummen ( nk=0 ak ) definiert. ∞ X

ak := lim

k=0

Konvergenz–Kriterium P∞ P∞ k=0 ak ist konvergent, k=0 ak = s Cauchy–Kriterium P∞ k=0 ak ist konvergent

⇐⇒

n→∞

⇐⇒

n X

ak

k=0

zu Pjedem ǫ > 0 gibt es ein n0 mit | nk=0 ak − s| < ǫ f¨ ur alle n ≥ n0 .

zu Pjedem ǫ > 0 gibt es ein n0 mit ur alle n0 ≤ n < m. | m k=n ak | < ǫ f¨

Notwendiges Kriterium P∞ Ist k=0 ak konvergent , so ist notwendigerweise lim ak = 0. k→∞

Absolute Konvergenz und bedingte Konvergenz Die Reihe

P∞

k=0

ak heißt

absolut konvergent,

falls die Reihe der Betr¨age

P∞

k=0

|ak | konvergiert.

unbedingt konvergent, falls jede Umordnung der Reihe gegen denselben Wert konvergiert. bedingt konvergent, falls sie konvergiert, aber nicht unbedingt konvergiert. P∞ P∞ ⇐⇒ k=0 ak ist absolut konvergent k=0 ak ist unbedingt konvergent. Rechenregeln f¨ ur konvergente Reihen P∞ Sind k=0 ak = a und k=0 bk = b konvergente Reihen und ist rǫIR, so gilt : P∞ P∞ P∞ k=0 bk = a + b (Addition konvergenter Reihen) k=0 ak + k=0 (ak + bk ) = P∞ P∞ = r · k=0 ak = r · a (Multiplikation mit r ∈ IR) k=0 r · ak P∞

Rechenregeln f¨ ur absolut konvergente Reihen P∞ P∞ Zwei absolut konvergente Reihen k=0 ak = a und k=0 bk = b d¨ urfen beliebig multipliziert werden. Jede Produktreihe ist absolut konvergent mit stets gleichem Grenzwert:
P∞
P∞ P∞ k=0 ak · n=0 bn = k,n=0 ak · bn = a · b

Bei absolut konvergenten Reihen gilt f¨ ur das Cauchyprodukt:
P∞ Pn n=0 k=0 ak bn−k = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) + · · · = a · b

76

6 FOLGEN, REIHEN

Konvergenzkriterien fu ¨r Reihen Majorantenkriterium P∞ k=0 ak ist absolut konvergent, wenn es eine P∞ ur alle k ≥ n0 . konvergente Reihe k=0 bk und ein n0 gibt mit |ak | ≤ bk f¨

Minorantenkriterium P∞ k=0 ak ist divergent, wenn es eine P divergente Reihe ∞ ur alle k ≥ n0 . k=0 bk und ein n0 gibt mit 0 ≤ bk ≤ ak f¨

Quotientenkriterium

|ak+1 | , k→∞ |ak |

Existiert q := lim

Wurzelkriterium : p Existiert q := lim k |ak | , k→∞

so ist

so ist

P∞

k=0 ak

P∞

k=0

ak



absolut konvergent divergent

f¨ ur q < 1 f¨ ur q > 1



absolut konvergent divergent

f¨ ur q < 1 f¨ ur q > 1

Wenn die Grenzwerte nicht existieren, betrachte man ggf. q = lim sup. Ist q = 1, so sagen Wurzel– und Quotientenkriterium nichts aus! Ist das Quotientenkriterium anwendbar, so auch das Wurzelkriterium, aber i.A. nicht umgekehrt! Vergleichskriterium a

Sind (ak ) und (bk ) Folgen mit bk > 0 und lim b k = r 6= 0, so gilt : k→∞ k P∞ P∞ ⇐⇒ k=0 ak ist konvergent k=0 bk ist konvergent

Integralkriterium

Ist f : [1, ∞) −→ IR monoton fallend , so gilt : R∞ P∞ ⇐⇒ f (x)dx ist konvergent k=1 f (k) ist konvergent 1 Alternierende Reihen

Leibniz–Kriterium P∞ Eine alternierende Reihe k=0 (−1)k ak mit ak > 0 ist konvergent, wenn die Folge (ak ) eine monotone Nullfolge ist. Fehlerabsch¨ atzung: Pn P k Ist Sn = k=0 (−1)k ak und S = ∞ k=0 (−1) ak , so gilt |S − Sn | ≤ an+1

Beispiel 1 1 1 1 − 2 + 3 − 4 ± ···

(−1)n−1
1 1 1 | | ln 2 − 1 − 2 + 3 − 4 ± · · · + n

=

ln 2

(siehe auch n¨ achste Seite)

=

|S − Sn | ≤ n+1

1

(Fehlerabsch¨ atzung)

6.3

Funktionenfolgen

77 Spezielle Reihen

P∞

k=0

P∞

ak = 1 +a+a2 +· · · = k

k=n a = a

P∞

n

1

P∞

k=0 a

= 1+

k=1 k

P∞

1 k=1 k α

P∞

1 2

= 1+ k−1 1

k=1 (−1)

P∞

k

k

= 1−

1

k=1 k2k P∞ k−1 k=2 P∞ 1k! k=0 k P∞ 21 k=0 P∞ k! k 1 k=0 (−1) k! P∞ k 1 k=0 (−1) 2k+1 P∞ 1 k=1 k 2 P∞ k+1 1 k=1 (−1) k2 P∞ 1 k=0 (2k+1)2

= = = = = = = = =

1 2

+ 1 2α

+

(

=

(

1 3

+

1 1−a

Geometrische Reihe

an 1−a

Geometrische Reihe

f¨ ur |a| < 1 divergent f¨ ur |a| ≥ 1 f¨ ur |a| < 1 divergent f¨ ur |a| ≥ 1

1 4

+ ···

+ 31α + 41α + · · · 1 − 14 ± · · · 3

1 1 1 + 2·2 2 + 3·23 + · · · 1·21 1 2 3 4 + 3! + 4! + 5! + ··· 2! 1 1 1 1 + 2 + 22 + 23 + 214 + · · · 1 1 1 1 1 + 1! + 2! + 3! + 4! + ··· 1 1 1 1 1 − 1! + 2! − 3! + 4! ± · · · 1 − 13 + 51 − 71 ± · · · 1 + 212 + 312 + 412 + · · · 1 − 212 + 312 − 412 ± · · · 1 + 312 + 512 + 712 + · · ·

= ∞ (harmonische Reihe)

konvergent ⇐⇒ α > 1 = ln 2

= ln 2 =1 =2 =e = = = = =

1 e π 4 π2 6 π2 12 π2 8

Bernoulli–Zahlen B2n und Euler–Zahlen E2n siehe Seite 80. P∞ 1 (−1)n−1 π 2n 22n−1 1 1 1 = 1 + 22n + 32n + 42n + ··· = B2n , f¨ ur n ≥ 1 k=1 k 2n (2n)! k+1 n 2n+1 P∞ (−1) (−1) π 1 1 1 ur n ≥ 0 k=1 (2k−1)2n+1 = 1 − 32n+1 + 52n+1 − 72n+1 ± · · · = 22n+2 (2n)! E2n , f¨

6.3

Funktionenfolgen Konvergenz von Funktionenfolgen

Eine Folge (fn ) von Funktionen fn : D −→ IR heißt punktweise konvergent gegen die Funktion f (Bez.: lim fn (x) = f (x)) n→∞
⇐⇒ f¨ ur jedes x ∈ D konvergiert die Zahlenfolge fn (x) gegen f (x). ⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∀x ∈ D ∃n0 ∈ IN ∀n ≥ n0 : |fn (x) − f (x)| < ǫ . gleichm¨ aßig konvergent gegen die Funktion f zu jedem ǫ > 0 existiert ein n0 mit |fn (x) − f (x)| < ǫ ⇐⇒ f¨ ur alle n ≥ n0 und alle x ∈ D. ⇐⇒

∀ǫ > 0 ∃n0 ∈ IN ∀x ∈ D ∀n ≥ n0 : |fn (x) − f (x)| < ǫ .

Konvergiert (fn ) gleichm¨aßig gegen f , so auch punktweise!

78

6 FOLGEN, REIHEN Gleichm¨ aßige Konvergenz von Funktionenfolgen Cauchy–Kriterium f¨ ur gleichm¨ aßige Konvergenz Eine Folge (fn ) von Funktionen fn : D −→ IR ist auf D genau dann gleichm¨ aßig konvergent, wenn es zu jedem ǫ > 0 ein n0 ∈ IN gibt, so dass f¨ ur alle x ∈ D und alle n, m ≥ n0 gilt |fn (x) − fm (x)| < ǫ.

Gleichm¨ aßige Konvergenz und • Stetigkeit Sind die Funktionen fn auf dem Intervall I = [a, b] stetig und ist die Folge (fn ) auf I gleichm¨ aßig konvergent, so ist auch die Grenzfunktion f stetig. • Integrierbarkeit Sind die Funktionen fn auf dem Intervall I = [a, b] integrierbar und ist die Folge (fn ) auf I gleichm¨aßig konvergent, so ist auch die Grenzfunktion f integrierbar und es gilt Z b Z b Z b f (x) dx. ( lim fn (x)) dx = fn (x) dx = lim n→∞

a

a

n→∞

a

• Differenzierbarkeit Sind die Funktionen fn auf dem Intervall I = [a, b] differenzierbar, ist f¨ ur ein x0 ∈ I die Folge (fn (x0 )) konvergent und ist die Ableitungsfolge (fn′ ) auf I gleichm¨ aßig konvergent, so ist auch die Folge (fn ) auf I gleichm¨aßig konvergent, die Grenzfunktion f differenzierbar und es gilt lim f ′ (x) n→∞ n

= ( lim fn (x))′ = f ′ (x). n→∞

Gleichm¨ aßige Konvergenz von Funktionenreihen • Notwendige Bedingung P∞ Ist die Reihe k=0 fk (x) auf D gleichm¨aßig konvergent, so konvergiert die Summandenfolge (fk (x)) auf D gleichm¨aßig gegen die Nullfunktion.

• Hinreichende Bedingung: Weierstraß–Kriterium P P∞ Gilt sup{|fk (x)| : x ∈ D} ≤ ck und ist ∞ k=0 ck konvergent, so ist k=0 fk (x) auf D gleichm¨ aßig konvergent. Beispiel Man untersuche (fn ) mit fn (x) :=

nx 1+n2 x2

auf gleichm¨aßige Konvergenz.

Es gilt limn→∞ fn (x) = 0 f¨ ur jedes x ∈ IR. Also ist (fn ) auf IR punktweise konvergent gegen die Nullfunktion. Weiter gilt: fn′ (x) =

n (1 + n2 x2 (1+n2 x2 )2

− x2n2 x) = 0 ⇐⇒ x = ± n1 , f (0) = 0, f ( n1 ) = 21 .

Man sieht, daß die Funkt. fn bei 1 4

1 n

ihr Maximum mit dem Funktionswert

1 2

haben.

1 –Streifen 4

Zu z.B. ǫ = gibt es also kein n0 , so daß von n0 an alle fn in dem um die Nullfunktion liegen. (fn ) ist also auf IR nicht gleichm¨ aßig konvergent.

6.4

6.4

Potenzreihen

79

Potenzreihen Potenzreihen ∞ X

n=0

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + · · ·

heißt Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x0 mit Koeffizienten an . Die Reihe konvergiert in einem zu x0 symmetrischen Intervall vom Radius r. Eine Potenzreihe konvergiert in jedem kompakten (d.h. abgeschlossenen und beschr¨ ankten) Teil ihres Konvergenzbereiches absolut und gleichm¨ aßig. Die Grenzfunktion ist beliebig oft differenzierbar. 1

1

Mit den Festlegungen 0 = ∞ und ∞ = 0 gilt f¨ ur den Konvergenzradius r : Cauchy–Hadamard

p 1 n r = lim sup |an |

|an+1 | 1 lim |a | r = n→∞ n

und

wenn alle an 6= 0 sind und dieser Grenzwert existiert.

Konvergenz in den Randpunkten ist gesondert zu untersuchen, ANA S. 210 ff. Abelscher Grenzwertsatz P∞

n Die Potenzreihe P∞ n=0 nan x habe den Konvergenzradius r mit 0 < r < ∞ und es gelte f (x) = n=0 an x in (−r, r).

Konvergiert die Reihe auch f¨ ur x = r, so ist f in (−r, r] stetig. Es gilt : lim− f (x) =

x→r

∞ X

an r n

n=0

Rechnen mit Potenzreihen P∞ F¨ ur f (x) = n=0 an xn , g(x) = n=0 bn xn und s ∈ IR gilt : P∞ P∞ f (x) + g(x) = n=0 (an + bn )xn s · f (x) = n=0 s · an xn und Pn P∞ (Cauchyprodukt, Seite 75) f (x) · g(x) = n=0 cn xn mit cn = k=0 ak bn−k P∞ P P P∞ f (x) ∞ ∞ n n n = n=0 cn xn mit k=0 an x = ( n=0 bn x ) · ( n=0 cn x ) g(x) P∞

f ′ (x)

Summandenweises Differenzieren und Integrieren P∞ P∞ = n=1 nan xn−1 = n=0 (n + 1)an+1 xn Potenzreihen d¨urfen im In-

f n (0) = n! · an R P∞ an n+1 x +c f (x)dx = n=0 n+1 f f

ist gerade ist ungerade

nern ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziert und integriert werden!

Symmetrie ⇐⇒ ⇐⇒

a2n+1 = 0 a2n = 0

f¨ ur jedes n ∈ IN f¨ ur jedes n ∈ IN

80

6 FOLGEN, REIHEN Bernoullische Zahlen

Eulersche Zahlen

Die Bernoullischen Zahlen Bn erkl¨ aren sich durch die Potenzreihenentwicklung

Die Eulerschen Zahlen En k¨ onnen durch folg. Potenzreihenentwicklung erkl¨ art werden:

∞ X Bn n x = ex −1 n! x

∞ X En n 2 1 = = cosh x ex + e−x n! x

n=0

n=0

Man erh¨ alt B3 = B5 = B7 = · · · = 0.

B0 @ =

B8 =

1

B1 @ = − 12 1 B2 @ = 6 1 B4 @ = − 30 1 B6 @ = 42

B10 B12 B14 B16

n−1 X k=0

1 − 30

19 391 512 145 −2 404 879 675 441

E20 = 370 371 188 237 525 E22 = −69 348 874 393 137 901

+

1 32n

+

1 42n

+

1 52n

+ ···+

1−

1 22n

+

1 32n

−

1 42n

+

1 52n

+ ···+

1+

1 32n

+

1 52n

+

1 72n

+ ···+

1−

1 32n+1

−

E8 = 1 385 E10 = −50 521

2 702 765 −199 360 981

E16 = E18 =

 n B =0 k k

1 52n+1

E4 = 5 E6 = −61

E12 = E14 =

1 22n

6.5

E0 = 1 E2 = −1

5 = 66 = − 2691 730 7 = 6 3 617 = − 510

1+

+

Man erh¨ alt E1 = E3 = E5 = E7 = · · · = 0.

1 72n+1

1 k 2n

(−1)k+1 k 2n

1 (2k−1)2n

+ ···+

+ ··· + ···

+ ···

(−1)k+1 (2k−1)2n+1

@ =

π 2n 22n−1 (−1)n−1 B2n (2n)!

@ =

π 2n (22n−1 −1) (−1)n−1 B2n (2n)!

@ =

π 2n (22n −1) (−1)n−1 B2n 2(2n)!

+ · · ·@ =

π 2n+1 (−1)n E2n 22n+2 (2n)!

Tabelle Reihenentwicklungen Geometrische Reihe

1 1−x

=

1 1+x

=

1 1−x2

=

1 1+x2 1 a±x

∞ P

xn

= 1 + x + x2 + x3 + · · ·

f¨ ur

−1 < x < 1

= 1 − x + x2 − x3 ± · · ·

f¨ ur

−1 < x < 1

= 1 + x2 + x4 + x6 + · · ·

f¨ ur

−1 < x < 1

(−1)n x2n = 1 − x2 + x4 − x6 ± · · ·

f¨ ur

−1 < x < 1

n=0

=

∞ P

(−1)n xn

n=0 ∞ P

x2n

n=0 ∞ P

n=0

1 1 = a 1± xa

1 = a (1 ∓

x a

+

x2 a2

∓

x3 a3

∓ ···)

f¨ ur −|a| < x < |a|

Durch Differentiation bzw. Integration der geometrischen Reihe erh¨ alt man:

1 (1−x)2

=

∞ P

(n + 1)xn = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · ·

n=0 ∞ P

ln(1−x) = −

xn n n=1

= −(x +

x2 2

+

x3 3

+

x4 4

+ ···)

f¨ ur

−1 < x < 1

f¨ ur

−1 ≤ x < 1

6.5

Tabelle Reihenentwicklungen

81   a Binomialkoeffizienten n siehe Seite 9

Binomische Reihe

(1 + x)a

      1 + ax + a x2 + a x3 + · · · 2 3 =  1 + ax + a(a−1) x2 + a(a−1)(a−2) x3 + · · · 2 3!

∞   X a n = n x n=0

f¨ ur

−1 ≤ x ≤ 1 −1 < x ≤ 1 , falls −1 < x < 1

0 0 k=1 bk k

Fourierreihe in komplexer Darstellung ( 1 (a − ibk ) f¨ ur k > 0 a0 2 k c0 = 2 , ck = ∞ 1 X 2π (a−k + ib−k ) f¨ ur k < 0 S(x) = ck ei p kx Z2 p 2π k=−∞ ck = 1p f (x) e−i p kx dx 0

6.6

Fourierreihen

85

Dirichlet– und Fej´ er–Kern, p = 2π  1   sin(n+ 2 )t f¨ ur t 6= 0, ±2π, ±4π, . . . t Dirichlet–Kern Dn (t) = sin 2   2n + 1 f¨ ur t = 0, ±2π, ±4π, . . . Dirichlet–Integral

Sn (x) =

1 π

Z π f (x+t)+f (x−t) Dn (t) dt 2 0

  n   1 sin 2 t 2 n sin t Fn (t) = 2  n

Fej´ er–Kern

n−1

Fej´ er–Integral

1X 1 Sk (x) = π n k=0

f¨ ur t 6= 0, ±2π, ±4π, . . . f¨ ur t = 0, ±2π, ±4π, . . .

Z π f (x+t)+f (x−t) Fn (t) dt 2 0

Darstellungssatz Eine st¨ uckweise glatte (d.h. st¨ uckweise stetig differenzierbare) Funktion f wird in den Stetigkeitsstellen durch ihre Fourierreihe dargestellt. In einer Unstetigkeitsstelle a konvergiert die Fourierreihe gegen das arithmetische Mittel von links– und rechtsseitigem Grenzwert:   1 lim f (x) + lim f (x) . 2 x→a− x→a+ Minimaleigenschaft des Fourierpolynoms : Pn Bezeichnet Tn (x) = α20 + k=1 (αk cos 2π kx + βk sin 2π kx) p p ein beliebiges trigonometrisches Polynom n-ten Grades, so ist Z p (f (x) − Tn (x))2 dx minimal, falls Tn (x) = Sn (x) (Fourier–Polynom) ist. 0

n

a20 X 2 2 (ak + b2k ) ≤ p 2 + k=1 ∞

a20 X 2 2 (ak + b2k ) = p 2 + k=1

Z p

f 2 (x) dx

Besselsche Ungleichung

Z p

f 2 (x) dx

Parsevalsche Gleichung

0

0

Riemannsches Lemma: Ist f auf I = [a, b] integrierbar, so gilt: Z b Z b f (x) cos nx dx = 0 f (x) sin nx dx = 0 und lim lim

n→∞

a

n→∞

a

86

6 FOLGEN, REIHEN

6.7

Tabelle einiger Fourierentwicklungen

Die Funktion y = f (x) sei periodisch. Alle folgenden Beispiele sind 2π–periodisch. y

✻2π

.... .... ..... ... ... ... .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .... .. .... .. .... . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ............ ............ ............ .. .. .. ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . . . . . . .. .. . • • ... ....... ....... ....... . . . . . . ..... . . . . .. . .. .. . . .. . . . .. .. . .. . .. . . . . .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . .. .. . .. .... .. .... ... .. .. .. .. .. .. ... ... .. ... . .... ...

In der Sprungstelle x0 von y = f (x) konvergiert die Fourierreihe gegen das arithmetische Mittel von links– und rechtsseitigem Grenzwert:   1 lim f (x) + lim f (x) . 2 x→x− x→x+ 0

π

y = π − 2(sin x + sin22x + sin33x + · · · ) ∞ X sin kx = π−2 , x 6= 0, ±2π, ±4π, . . . k

y ✻ 2π

-4π

k=1

✲

-2π

2π

Obige Skizze zeigt die Fourierentwicklung f¨ ur k = 4, also sin 2x sin 3x sin 4x y ≈ π − 2(sin x + 2 + 3 + 4 )

x

4π

ur 0 < x < 2π 1 y = x , f¨

y = 2( sin1 x − sin22x + sin33x ± · · · ) ∞ X =2 (−1)k+1 sinkkx , x 6= ±π, ±3π, . . .

y ✻ π

-3π

✲

-π

π -π

✲

2π x

-2π

0

k=1

x

3π

2 y = x , f¨ ur −π < x < π y ✻

y=

π

-3π

✲

-π

π

=

x

3π

π 2 π 2

− π4 (cos x+ cos323x + cos525x + cos727x + · · · ) ∞ X cos(2k+1)x − π4 (2k+1)2 k=0

3 y = |x| , f¨ ur −π ≤ x ≤ π π 2

-2π 4 y=

-π (

y ✻

y= ✲

- π2 x

f¨ ur

π−x

f¨ ur

π

2π

− π2 ≤ x ≤ π 2

0 ∆c c X + ∆c Z ∆+2aY √ ∆2 √dx XY − [siehe Nr. 98] 4ac 8ac XY Z ∆ 1√ √dx XY − [siehe Nr. 98] a 2a XY √ Z 2 X ∆ √dx [siehe Nr. 101] + c c XY

√ a2 − x2 105.

109

f¨ ur ac < 0 f¨ ur ac > 0

Bezeichnungen (a > 0) X = a2 − x2

  1 √ x 2 x X + a arcsin a 2 √ 1 − 3 X3   x√ a2 √ − 4 X 3 + 8 x X + a2 arcsin xa √ √ a+ X √ X −a ln Z x 1 a+ X dx √ √ = − a ln 112. x x X X − −arcsin xa x Z 2 x√ x√ dx a2 = − 2 X + 2 arcsin xa 113. x X arcsin a √ Z √ dx √ = − 2X − X 114. a x x2 X

110

8

√ Z √ X dx 115. 116. 117.

Z

Z

√ x X dx

= =

√ x2 X dx =

Z

√ x3 X dx = Z √ X dx = 119. x

118.

Z √ X dx 120. x2 Z √ X dx 121. x3 Z √dx 122. X Z x dx √ 123. X

=

=

x2 + a2

Bezeichnungen (a > 0) X = x2 + a2

 √  1 x X + a2 arsinh x
2 a  1 x√X + a2 ln |x + √X |
2 1√ 3 3 X  √ 2 √  x X 3 − a x X + a2 arsinh x
4 8 a √
a2 √  x√ 3 X − x X + a2 ln |x + X | 4 8 √ √ 2 5 a X3 X 5 − 3 √ √ a+ X X − a ln x  √   − X + arsinh x a √x   − X + ln |x + √X | x √ √ X 1 a+ X − 2x2 − 2a ln x

=

(

=

√ X

x arsinh a √ ln |x + X |

124.

Z

x√ dx X

125.

Z

x√3 dx X

 √ 2  x X − a arsinh x 2 2 a = √ a2  x√ X − ln |x + X | 2 2 √ √ X3 = − a2 X 3

126.

Z

dx √ x X

√ 1 a+ X = − a ln x

127.

Z

dx √ x2 X

√ X = − a2 x

128.

Z

dx √ x3 X

√ √ X 1 a+ X = − 2 2 + 3 ln 2a x 2a x

2

INTEGRALRECHNUNG

8.3

Tabelle Unbestimmter Integrale

√ 2 x − a2

111 Bezeichnungen (a > 0) X = x2 − a2

Die Formeln mit der arcosh –Funktion gelten f¨ ur x ≥ a. x −x Im Falle x ≤ −a ist arcosh a durch − arcosh a zu ersetzen!  √  1 x X − a2 arcosh x
2 a =  1 x√X −a2 ln |x+ √X |
2 Z √ 1√ 130. x X dx = 3 X 3  √ 2 √ Z  x X 3 + a x X − a2 arcosh x
√ 2 4 8 a 131. x X dx = √
 x√ 3 a2 √ 2 4 X + 8 x X − a ln |x + X | √ √ Z √ X5 a2 X 3 132. x3 X dx = 5 + 3 Z √ 129. X dx

Z √ X dx 133. x Z √ X dx 134. x2

Z √ X dx 135. x3 Z √dx 136. X Z x dx √ 137. X 138.

Z

x√2 dx X

139.

Z

x√3 dx X

140. 141. 142.

Z

Z

Z

dx √ x X dx √ x2 X dx √ x3 X

=

√

a X − a arccos x

 √   − X + arcosh x a = √x   − X + ln |x + √X | x √ X 1 a = − 2x2 + 2a arccos x ( x arcosh a √ = ln |x + X | =

√

X  2 √   x X + a arcosh x 2 2 a = 2   x √X + a ln |x + √X | 2 2 √ √ X3 = 3 + a2 X 1 a = a arccos x √ X = a2 x √ X 1 a = 2a2 x2 + 2a3 arccos x

112

8

√ ax2 + bx + c

143.

144.

145. 146. 147. 148. 149. 150. 151. 152. 153. 154. 155. 156.

Z

Z

√dx X

dx √ x X

=

         

=

Z √ X dx = Z √ X dx = x Z √ X dx = x2 Z x dx √ = Z 2X x√ dx = X Z √ x X dx = Z √ x2 X dx = Z dx √ = X X Z x√ dx = X X Z x2√dx = X X Z √ X X dx = Z

dx √ x2 X

          

INTEGRALRECHNUNG

Bezeichnungen X = ax2 + bx + c ∆ = 4ac − b2

√ √1 ln |2 aX + 2ax + b| a √1 arsinh 2ax+b √ a ∆ √1 ln |2ax + b| a |2ax+b| √1 arcosh √ a −∆ √−1 arcsin 2ax+b √ −a −∆ √ − √1c ln 2 xcX + 2c + b x

f¨ ur a > 0 f¨ ur a > 0, ∆ > 0 f¨ ur a > 0, ∆ = 0 f¨ ur a > 0, ∆ < 0

f¨ ur a < 0, ∆ < 0    f¨ ur c > 0       √  f¨ ur c > 0, ∆ > 0 − √1c arsinh bx+2c   x ∆  − √1c ln bx+2c f¨ ur c > 0, ∆ = 0 x       √ √1 arcsin bx+2c f¨ ur c < 0, ∆ < 0   −c x −∆   √   − 2 ax2 + bx f¨ ur c = 0 bx √ Z (2ax+b) X ∆ √dx [siehe Nr. 143] + 4a 8a Z Z X √ dx b dx √ [siehe Nr. 143, 144] X + 2 √ +c X x X √ Z Z dx dx X b √ − x +a √ + 2 [siehe Nr. 143, 144] X x X √ Z X b √dx [siehe Nr. 143] − a 2a X Z √  3b2 −4ac √dx 3b x X + 8a2 [siehe Nr. 143] 2a − 4a2 X √ √ Z b(2ax+b) X X X dx b∆ [siehe Nr. 143] − 16a2 √ 3a − 8a2 X √ Z   5b X X 5b2 −4ac √ X dx [siehe Nr. 145] x − 6a + 4a 16a2

2(2ax+b) √ F¨ ur ∆ = 0 ist notwendig a > 0 und ∆ X  √ 1 Integrale  √ 2(bx+2c) X = |2ax+b| √ 2 a − siehe ∆ X 1 Z X = 4a (2ax + b)2  Seite 104. 2 (2b −4ac)x+2bc 1 √dx √ + a a∆ √X X Z  (2ax+b) X  3∆ 3∆2 dx [siehe Nr. 143] X + 8a + 128a2 √ 8a X  √ Z  dx  − X − b √ [c 6= 0] [siehe Nr. 144] cx 2c x X =
√   2 − 1 + 2a ax2 + bx [c = 0] 3 bx2 b2 x

8.3

Tabelle Unbestimmter Integrale

Spezialf¨ alle: Z √ dx 157. x ax2 +bx Z √ dx 158. 2ax−x2 Z √ x dx 159. 2 Z p2ax−x 160. 2ax − x2 dx

113

2√ = − bx ax2 + bx x−a = arcsin a √ x−a = − 2ax − x2 + a arcsin a =

a2 x−a √ x−a 2ax − x2 + 2 arcsin a 2

Integrale, die andere irrationale Ausdr¨ ucke enthalten: Z √ n(ax+b) √ n ax + b dx = (n+1)a n ax + b 161. Z n(ax+b) √ 1 dx √ = 162. n (n−1)a n ax+b ax+b √ Z a+ √xn +a2 dx 2 √ 163. = − na ln n 2 xn Z x x +a dx 2 a √ 164. = na arccos √ n x x√ xn −a2 Z q
x dx 2 x 3 √ = 3 arcsin 165. a a3 −x3 8.3.3

Integrale mit trigonometrischen Funktionen

166.

Z

tan ax

167. 168. 169. 170. 171. 172. 173.

1 tan ax dx = − a ln cos ax

Z

tan2 ax dx =

Z

tann ax dx

Z

cot2 ax dx

Z

cotn ax dx

Z

Z Z

Z

cot ax

tan3 ax dx

cot ax dx

cot3 ax dx

tan ax a −x 1 1 = 2a tan2 ax + a ln cos ax Z 1 n−1 = a(n−1) tan ax − tann−2 ax dx [n 6= 1] 1 = a ln sin ax cot ax = − a −x 1 1 = − 2a cot2 ax − a ln sin ax Z −1 = a(n−1) cotn−1 ax − cotn−2 ax dx [n 6= 1]

dx x 1 tan ax ± 1 = ± 2 + 2a ln | sin ax ± cos ax| Z 1 cotn ax dx = − a(n+1) cotn+1 ax [n 6= −1] 175. sin2 ax

174.

114 176. 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183. 184. 185. 186. 187. 188. 189. 190.

191. 192.

193.

194. 195.

8 Z

sin ax dx

Z

sin2 ax dx

Z

sin4 ax dx

Z

x sin ax dx

Z

x3 sin ax dx

Z Z

3

sin ax dx

sinn ax dx

Z

x2 sin ax dx

Z

xn sin ax dx

Z

INTEGRALRECHNUNG

1 = − a cos ax 1 1 sin 2ax = x− 2 4a 1 1 = − a cos ax + 3a cos3 ax 1 1 3 sin 2ax + sin 4ax = x− 8 4a 32a Z n−1 sin ax cos ax n−1 =− + n sinn−2 ax dx na sin ax x cos ax = a2 − a 2
2x x2 = a2 sin ax − a − a3 cos ax 3x2 x3 6
6x
= a2 − a4 sin ax − a − a3 cos ax Z xn n = − a cos ax + a xn−1 cos ax dx

sin ax

1 ax = a ln tan 2 Z 1 = − cot ax a Z cos ax 1 ax =− + 2a ln tan 2 2 2a sin ax Z 1 x = − cot ax + 2 ln sin ax a a Z −2 1 π ax
= ∓ a tan 4 ∓ 2 = ax )±1 tan( Z 2
2 π x π ax ax
+ 2 ln cos = − tan − − a 4 2 a 4 2 Z

x dx 2 π x π ax ax + 2 ln sin = cot − − 1−sin ax a 4 2 a 4 2 Z   ax cos ax 1 x dx = a2 ln(1 ± sin ax) ∓ 1±sin ax 1±sin ax Z   sin ax dx π ax
1 1 2 = ± = ±x + tan ∓ ax + ax 1±sin ax a 4 2 a tan( 2 )±1  c+b tan ax/2 2   f¨ ur b2 > c2 Z  a√b2 −c2 arctan √b2 −c2 dx √ =∗) 2 2 b+c sin ax  c− 1   √ √c −b +b tan ax/2 f¨ ln ur b2 < c2 2 2 2 a c −b c+ c −b2 +b tan ax/2 Z Z sin ax dx dx x b = c−c [siehe Nr. 193] b+c sin ax b+c sin ax Z i sin(a−b)x sin(a+b)x h |a| 6= |b| − sin ax sin bx dx = 2(a−b) 2(a+b) |a| = |b|, siehe Nr. 177 Z Z Z Z nicht elementar sin ax x cos ax x dx , dx , dx , dx integrierbar, x sin ax x cos ax dx sin ax dx sin2 ax dx sin3 ax x dx sin2 ax dx 1±sin ax x dx 1+sin ax

siehe aber Nr. 304–307.

∗)

richtig f¨ ur

− π2

≤x≤

π . 2

Sonst +C (h¨angt vom Intervall ab).

8.3

Tabelle Unbestimmter Integrale 115 Z 1 196. cos ax dx = a sin ax Z 1 1 197. cos2 ax dx = 2 x + 4a sin 2ax cos ax Z 1 1 198. cos3 ax dx = a sin ax − 3a sin3 ax Z 1 1 3 199. cos4 ax dx = 8 x + 4a sin 2ax + 32a sin 4ax Z Z cosn−1 ax sin ax n−1 200. cosn ax dx = + cosn−2 ax dx na n Z cos ax x sin ax + 201. x cos ax dx = a2 a Z 2x x2 2
2 202. x cos ax dx = a2 cos ax + a − a3 sin ax Z x3 6
6x
3x2 203. x3 cos ax dx = a2 − a4 cos ax + a − a3 sin ax Z Z xn n 204. xn cos ax dx = a sin ax − a xn−1 sin ax dx Z
dx ax 1 = a ln tan 2 + π4 205. cos ax Z dx 1 206. = a tan ax 2 Z cos ax
dx ax sin ax 1 207. = 2a cos2 ax + 2a ln tan 2 + π4 3 ax cos Z x dx x 1 208. = a tan ax + a2 ln cos ax 2 ax Z Z cos √ √ Z 1 − cos x dx = 2 | sin x2 |dx dx 1 ax 209. = tan Z Z a 2 Z 1+cos ax √ √ 1 ax dx 1 + cos x dx = 2 | cos x2 |dx = − cot 210. a 2 Z 1−cos ax x dx x ax 2 ax 211. = a tan 2 + a2 ln cos 2 1+cos ax Z x dx x ax 2 ax = − a cot 2 + a2 ln sin 2 212. 1−cos ax Z 1 ax cos ax dx = x − a tan 2 213. 1+cos ax Z cos ax dx 1 ax 214. 1−cos ax = −x −a cot 2 (b−c) tan ax/2  2  Z √ f¨ ur b2 > c2  √ 2 2 arctan dx b b2 −c2 √ −c a ∗) = 215. b+c cos ax (c−b) tan ax/2+√c2 −b2 1   f¨ ur b2 < c2  √ 2 2 ln a c −b (c−b) tan ax/2− c2 −b2 Z Z cos ax dx dx x b 216. = − [siehe Nr. 215] b+c cos ax c c b+c cos ax Z i sin(a−b)x sin(a+b)x h |a| 6= |b| 217. cos ax cos bx dx = 2(a−b) + 2(a+b) Z

∗)

cos ax dx , x

Z

x dx , cos ax

richtig f¨ ur − π2 ≤ x ≤

π . 2

Z

sin ax dx , x

Z

|a| = |b|, siehe Nr. 197

nicht elementar x dx integrierbar, sin ax

siehe aber Nr. 304–307.

Sonst +C (h¨angt vom Intervall ab).

116

8

sin ax 218.

Z

sin ax cos ax dx

Z

sin2 ax cos2 ax dx

Z

sin ax cosn ax dx

224.

Z

dx sin ax cos2 ax

225.

Z

dx sin2 ax cos2 ax sin ax dx cos2 ax sin ax dx cos3 ax sin2 ax dx cos ax cos ax dx sin2 ax cos ax dx sin3 ax cos2 ax dx sin ax sin ax dx b+c cos ax cos ax dx b+c sin ax sin ax dx sin ax±cos ax cos ax dx sin ax±cos ax dx sin ax±cos ax dx 1+cos ax±sin ax dx b sin ax+c cos ax

219. 220. 221.

Z

sinn ax cos ax dx

Z

dx sin ax cos ax Z dx 223. sin2 ax cos ax 222.

226. 227. 228. 229. 230. 231. 232. 233. 234. 235. 236. 237. 238. 239.

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

sin ax cos bx dx

INTEGRALRECHNUNG

cos ax

1 = 2a sin2 ax x sin 4ax = 8 − 32a 1 = a(n+1) sinn+1 ax [n 6= −1] −1 = a(n+1) cosn+1 ax [n 6= −1] 1 = a ln | tan ax|   1 π ax
1 = a ln | tan 4 + 2 | − sin ax   1 1 1 = a ln | cos ax + tan ax| − sin ax   ax 1 1 ln | tan = |+ a  2 cos ax  1 1 1 + cot ax| − = − ln | a sin ax cos ax 2 = − cot 2ax a 1 = a cos ax 1 1 1 = = tan2 ax + 2a cos2 ax 2a 2a 1 1 ax π
= − sin ax + ln tan + a a 2 4 1 = − a sin ax 1 1 1 =− = − cot2 ax − 2a 2a 2a sin2 ax ax
1 = a cos ax + ln tan 2 1 = − ac ln |b + c cos ax| 1 = ac ln |b + c sin ax| x 1 = 2 ∓ 2a ln | sin ax ± cos ax| x 1 = ± 2 + 2a ln | sin ax ± cos ax| ax π
1 = √ ln | tan 2 ± 8 | a 2 1 ax = ± a ln 1 ± tan 2 i h sin ϕ = √ c ax+ϕ 1 b2 +c2 = √ 2 2 ln tan 2 mit c a b +c tan ϕ = b h i cos(a+b)x cos(a−b)x |a| 6= |b| = − 2(a+b) − 2(a−b) |a| = |b|, Nr. 218

8.3

Tabelle Unbestimmter Integrale

8.3.4

117

Integrale mit Exponential– und Logarithmusfuktionen

eax 240. 241. 242. 243. 244. 245. 246. 247. 248.

Z

e

Z

ax

e = a2 (ax − 1) eax x2 eax dx = a3 (a2 x2 − 2ax + 2) Z 1 n ax n n ax x e dx = a x e − a xn−1 eax dx dx 1 eax = a ln 1+ eax 1+ eax dx x 1 = b − ab ln |b + c eax | b+c eax eax dx 1 = ac ln |b + c eax | b+c eax eax eax sin bx dx = a2 +b2 (a sin bx − b cos bx) eax eax cos bx dx = a2 +b2 (a cos bx + b sin bx)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

1 dx = a eax

x eax dx

Z

Z

ax

Z

ax ax dx = ln a

[ 0 < a 6= 1]

 (a2 −b2 ) sin bx−2ab cos bx Z   ax ax 250. x eax cos bx dx = ax2 e+b2 (a cos bx+b sin bx)− (a2e+b2 )2 (a2 −b2 ) cos bx+2ab sin bx

249.

x eax sin bx dx =

ax x eax (a sin bx−b cos bx)− (a2e+b2 )2 a2 +b2



ln x 251. 252. 253. 254. 255. 256. 257. 258. 259.

Z

ln x dx = x ln x − x

Z

ln3 x dx

Z

ln2 x dx

Z

loga x dx =

1 (x ln x − x) ln a

[ 0 < a 6= 1]

= x ln2 x − 2x ln x + 2x

= x ln3 x − 3x ln2 x + 6x ln x − 6x Z n n ln x dx = x ln x − n lnn−1 x dx Z Z dx −x 1 dx = + [n 6= 1, n = 1 Nr. 309] n (n−1) lnn−1 x n−1 lnn−1 x Z ln x ln x 1
[n 6= −1] xn ln x dx = xn+1 − 2 n+1 (n+1) Z n+1 n ln x ln x dx = [n 6= −1] x n+1 Z − ln x 1 ln x = (n−1)xn−1 − (n−1)2 xn−1 [n 6= 1] n dx Z x dx dx = ln ln x x ln x Z x Z Z e 1 x sind nicht elementar integrierbar, dx , dx , dx x ln x ln x siehe aber Nr. 308–310. Z

118

8

8.3.5

INTEGRALRECHNUNG

Integrale mit Hyperbelfunktionen

sinh ax cosh ax tanh ax coth ax 260. 261. 262.

Z

sinh ax dx =

Z

Z

Z

1 a

cosh ax

cosh ax dx =

1 a

sinh ax

265.

tanh ax dx =

1 a

ln cosh ax

266.

264.

Z

sinh2 ax dx =

1 2a

sinh ax cosh ax − 12 x

cosh2 ax dx =

Z

1 2a

sinh ax cosh ax + 12 x

tanh2 ax dx = x −

Z Z

tanh ax a

coth2 ax dx = x − cotha ax Z  1  Z  an sinhn−1 ax cosh ax − n−1 sinhn−2 ax dx n n Z 268. sinh ax dx =   1 sinhn+1 ax cosh ax − n+2 sinhn+2 ax dx n+1  a(n+1) Z   Z  1 sinh ax coshn−1 ax + n−1 coshn−2 ax dx n Z 269. coshn ax dx = an  −1 n+2 n+1   a(n+1) sinh ax cosh ax + n+1 coshn+2 ax dx Z dx ax = a1 ln tanh 2 270. sinh ax Z dx 2 271. = arctan eax cosh ax a Z dx = a1 ln tanh ax 272. sinh ax cosh ax Z 273. x sinh ax dx = a1 x cosh ax − a12 sinh ax Z 274. x cosh ax dx = a1 x sinh ax − a12 cosh ax

263.

275. 276. 277. 278. 279. 280. 281. 282. 283.

coth ax dx =

1 a

ln sinh ax

Z

sinh ax sinh bx dx

Z

267.

[n > 0] i h n 0] i h n 1 dx k−1 (k−1)a [a > 0] 312. = k x a ∞ , f¨ ur k ≤ 1 ( Z a ∞ , f¨ ur k ≥ 1 dx 313. [a > 0] −1 k = x , f¨ ur k < 1 0 (k−1)ak−1 Z ∞ π dx [a, b > 0] = √ 314. 2 a+bx ab 2 0 Z 1 √x dx =1 315. 1−x2 0 Z 1 π √ dx 316. = 2 2 1−x 0 Z 1 2n 1·3·5··· (2n−1) π x dx √ = · [vergleiche Nr. 343, Subst.: x = sin z] 317. 2 2·4·6··· 2n 2 1−x 0 Z 1 Z 1 Γ(a+1)Γ(b+1) a b x2a+1 (1 − x2 )b dx = x (1−x) dx = 2 318. Γ(a+b+2) 0 0 Z ∞ dx π 319. = sin aπ [a < 1] (1+x)xa 0

320. 321.

Z ∞

dx (1−x)xa

0 Z ∞ x dx 0

ex −1

Z ∞ dx 322. eax 0 Z ∞ x dx 323. x +1 e 0 Z ∞ dx 324. ax2 e 0 Z ∞ 2 x dx 325. eax2 0 326.

Z ∞ k x eax dx 0

= −π cot aπ π2 = 6 1 = a =

[a < 1]

1 [vergleiche Nr. 331, Subst.: ex = z ] [a > 0]

π2 12

√ π dx [a > 0] = = √ ax2 a 2 e −∞ √ π [a > 0] = √ 4a a   Γ(k+1) [a > 0, k > −1] ak+1 = k!  [a > 0, k ∈ IN] ak+1 Z 0

Z ∞

−∞

2

e−x dx =

√ π

122

8

Z ∞ sin ax ebx dx = 0 Z ∞ sin x 328. x eax dx = 0 Z ∞ cos bx dx = 329. eax2 0 327.

INTEGRALRECHNUNG

Z ∞ cos bx a eax dx = a2 +b2 [a, b > 0] 0 1 arccot a = arctan a [a > 0] √ π √ b2 /4a [a > 0] 2 ae

  Z 1 Z ∞ CE : Eulersche Konstante   ln x n 1 P   330. CE = lim − ln n ex dx = 0 ln | ln x| dx = −CE ≈ −0.5772 0 n→∞ k = 1 k   = − lim (1 + 12 + 31 + · · · + n1 ) − ln n = −CE n→∞

331. 332. 333. 334. 335. 336. 337. 338. 339. 340. 341. 342. 343. 344. 345.

Z 1 ln x π2 dx = [vergleiche Nr. 321, Subst.: ln x = −z] x−1 6 Z01 ln x π2 dx = 2 x −1 8 Z01 p 1 − x2 ln x dx = − π8 + π4 ln 2 Z01 (ln x)n dx = (−1)n n! Z01 ln x π2 dx = − 12 x+1 Z01 ln(1+x) π = 8 ln 2 x2 +1 dx 0 Z 1 1 x ln(1 + x) dx = 4  Z01 Γ(k + 1) , falls (−1 < k < ∞) 1
k ln x dx = k! , falls k ∈ IN 0 Z π Z π 2 2 sin x dx = cos x dx = 1 0 0 Z π Z π cos x dx = 0 sin x dx =2 und 0 Z0 π Z π π 2 2 sin2 x dx = cos2 x dx = 4 0

Z

0

Z

0

Z

π ·n 2

π 2 π 2

0

Z ∞

0

2

sin (ax) dx =

sin2n x dx 2n+1

sin

−∞

x dx

sin x2 dx

=

Z

0

Z

0

Z

π ·n 2 π 2 π 2

π cos2 (ax) dx = 4 · n

cos2n x dx =

[ f¨ ur a ∈ ZZ , n ∈ IN ]

1·3·5··· (2n−1) π 2·4·6··· 2n · 2

h

vergleiche Nr. 317 Subst.: sin x = z

22n (n!)2 2·4·6··· 2n cos2n+1 x dx = 3·5·7··· (2n+1) = (2n+1)! 0 Z ∞ q π cos x2 dx = = 2 −∞

=

i

8.4

Tabelle bestimmter (auch uneigentlicher) Integrale  Z 2π  π , f¨ ur m = n   sin mx sin nx dx = 346.  0 , f¨ ur m 6= n   0   Z 2π  ats– π , f¨ ur m = n  Orthogonalit¨ cos mx cos nx dx = 347. Relationen 0 , f¨ ur m 6= n  0  m, n ∈ ZZ   Z 2π     sin mx cos nx dx = 0 348.

123

0

( π Z ∞ sin ax 2 349. x dx = − π2 0

, f¨ ur a > 0 , f¨ ur a < 0

Z α cos ax x dx = ∞ [ α beliebig] 0 ( π Z ∞ , f¨ ur a > 0 tan ax 2 351. dx = π x , f¨ ur a < 0 − 0 2

350.

352.

353.

354. 355. 356. 357. 358.

Z ∞ cos ax−cos bx b dx = ln a x 0  π ur |a| < 1  Z ∞  2 , f¨ sin x cos ax π dx = , f¨ ur |a| = 1 4 x  0  0 , f¨ ur |a| > 1 Z ∞ Z ∞ q cos sin √ x dx = √ x dx = π 2 x x 0 0 Z ∞ cos ax π 2 dx = 2 e|a| 1+x 0 Z ∞ sin2 ax π x2 dx = 2 |a| 0

Z

0 Z π 0

359.

Z

360.

Z

361.

Z

362.

π 2

ln sin x dx =

π 2

Z

0

x ln sin x dx = −

π 2

0 π 4

0 π 2

0

Z ∞

π ln cos x dx = − 2 ln 2

π 2 ln 2 2

ln tan x dx = 0 ln(1 + tan x) dx =

Z 1 ln(1+x) π 2 +1 dx = 8 ln 2 x 0

sin x ln sin x dx = ln 2 − 1

−∞

e

−ax2

dx =

q

π a

363.

Z ∞

−∞

e

−

1 (x−a)2 2 σ2 dx

=

√ 2π σ

124

8.5

8

INTEGRALRECHNUNG

Elliptische Integrale

√ R 3 2 elliptische Integrale lassen sich i.A. nicht R R(x, √ax + bx + cx + d ) dx 4 R(x, ax + bx3 + cx2 + dx + e ) dx durch elementare Funktionen ausdr¨ucken. Durch Umformungen erh¨alt man die Legendreschen Normalformen. Die entsprechenden bestimmten Integrale (untere Grenze = 0) sind: Z ϕ Z sin ϕ dt √ √ √ dψ 2 F (k, ϕ) = = ellipt. Int. 1. Art 2 2 2 1−k 2 sin ψ

0

E(k, ϕ)

0

1−t

1−k t

Z sin ϕ q Z ϕp 1−k 2 t2 2 2 1 − k sin ψ dψ = dt = 1−t2

Π(h, k, ϕ) =

0

0 Z ϕ

dψ √

2 0 (1+h sin ψ)

ellipt. Int. 2. Art ellipt. Int. 3. Art

1−k 2 sin2 ψ

elliptische Integrale 1. Art F (k, ϕ), k = sin α : α ϕk

00 sin 00

100 sin 100

200 sin 200

300 sin 300

400 sin 400

500 sin 500

600 sin 600

700 sin 700

800 sin 800

900 sin 900

00 100 200 300 400 500 600 700 800 900

0, 0000 0, 1745 0, 3491 0, 5236 0, 6981 0, 8727 1, 0472 1, 2217 1, 3963 1, 5708

0, 0000 0, 1746 0, 3493 0, 5243 0, 6997 0, 8756 1, 0519 1, 2286 1, 4056 1, 5828

0, 0000 0, 1746 0, 3499 0, 5263 0, 7043 0, 8842 1, 0660 1, 2495 1, 4344 1, 6200

0, 0000 0, 1748 0, 3508 0, 5294 0, 7116 0, 8982 1, 0896 1, 2853 1, 4846 1, 6858

0, 0000 0, 1749 0, 3520 0, 5334 0, 7213 0, 9173 1, 1226 1, 3372 1, 5597 1, 7868

0, 0000 0, 1751 0, 3533 0, 5379 0, 7323 0, 9401 1, 1643 1, 4068 1, 6660 1, 9356

0, 0000 0, 1752 0, 3545 0, 5422 0, 7436 0, 9647 1, 2126 1, 4944 1, 8125 2, 1565

0, 0000 0, 1753 0, 3555 0, 5459 0, 7535 0, 9876 1, 2619 1, 5959 1, 0119 2, 5046

0, 0000 0, 1754 0, 3561 0, 5484 0, 7604 1, 0044 1, 3014 1, 6918 1, 2653 3, 1534

0, 0000 0, 1754 0, 3564 0, 5493 0, 7629 1, 0107 1, 3170 1, 7354 2, 4362 ∞

elliptische Integrale 2. Art E(k, ϕ), k = sin α : α ϕk

00 sin 00

100 sin 100

200 sin 200

300 sin 300

400 sin 400

500 sin 500

600 sin 600

700 sin 700

800 sin 800

900 sin 900

00 100 200 300 400 500 600 700 800 900

0, 0000 0, 1745 0, 3491 0, 5236 0, 6981 0, 8727 1, 0472 1, 2217 1, 3963 1, 5708

0, 0000 0, 1745 0, 3489 0, 5229 0, 3966 0, 8698 1, 0426 1, 2149 1, 3870 1, 5589

0, 0000 0, 1744 0, 3483 0, 5209 0, 6921 0, 8614 1, 0290 1, 1949 1, 3597 1, 5283

0, 0000 0, 1743 0, 3473 0, 5179 0, 6851 0, 8483 1, 0076 1, 1632 1, 3161 1, 4675

0, 0000 0, 1742 0, 3462 0, 5141 0, 6763 0, 8317 0, 9801 1, 1221 1, 2590 1, 3931

0, 0000 0, 1740 0, 3450 0, 5100 0, 6667 0, 8134 0, 9493 1, 0750 1, 1926 1, 3055

0, 0000 0, 1739 0, 3438 0, 5061 0, 6575 0, 7954 0, 9184 1, 0266 1, 1225 1, 2111

0, 0000 0, 1738 0, 3429 0, 5029 0, 6497 0, 7801 0, 8914 0, 9830 1, 0565 1, 1184

0, 0000 0, 1737 0, 3422 0, 5007 0, 6446 0, 7697 0, 8728 0, 9514 1, 0054 1, 0401

0, 0000 0, 1736 0, 3420 0, 5000 0, 6428 0, 7660 0, 8660 0, 9397 0, 9848 1, 0000

Beispiel:

Umfang einer Ellipse (ellipt. Int. 2. Art mit k = num. √ Exzentr. der Ellipse): x2

y2

at k = sin α = Die Ellipse a2 + b2 = 1 mit der num. Exzentrizit¨ Z πp 2 1 − k 2 sin2 ψ dψ = 4aE(k, π ) hat den Umfang U = 4a 2 0

a2 −b2 (= ε, s. Seite 28). a

x2 1√ F¨ ur die Ellipse 4 + y 2 = 1 ergibt sich speziell (a = 2, b = 1 ⇒ k = sin α = 2 3 , α = 600 ) : Z πq 2 1 − 3 sin2 ψ dψ = 8E( 1 √3 , π ) = 8E(sin 600 , 900 ) = 8 · 1, 2111 = 9, 6888. U =8 4 2 2 0 √ √ 2+1 a+b Mit der N¨ aherungsformel von Seite 28: U ≈ π(3 2 − ab ) = π(3 2 − 2 ) = 9, 6943.

8.6

Laplace–Transformation

8.6

125

Laplace–Transformation Laplace–Transformation f (t) ◦−−• F (s)

⇐⇒

F (s) =

Z ∞ 0

e−st f (t) dt

αf (t) + βg(t) ◦−−• αF (s) + βG(s)

Linearit¨ at Faltung Integration

Z t (f ∗ g)(t) ◦−−• F (s) · G(s), mit (f ∗ g)(t) := f (t−τ )g(τ ) dτ 0 Z t 1 f (τ ) dτ ◦−−• s F (s) 0

Differentiation

f ′ (t)

f ′′ (t) f (n) (t)

◦−−• sF (s) − f (0+ )


◦−−• s2 F (s) − sf (0+ ) + f ′ (0+ ) n X ◦−−• sn F (s) − sn−k f (k−1) (0+ ) k=1

e−as F (s), a > 0 Z a
e−st f (t) dt , a > 0 eas F (s) −

f (t − a)

◦−−•

f (t + a)

◦−−•

D¨ ampfung

f (at) e−at f (t)

Multiplikation

tn f (t)

◦−−• a1 F ( as ), a > 0 ◦−−• F (s + a)

Division

1 f (t) t

Verschiebung

ˇ Zhnlichkeit

f (t)

0

◦−−• (−1)n F (n) (s) Z ∞ F (u) du ◦−−•

◦−−• F (s)

s

f (t)

◦−−• F (s)

1

1 s

1 a

e−at

1 s+a

cos at

s s2 +a2

t

1 s2

1 −bt e sin at a

1 (s+b)2 +a2

1 s(s+a)

e−bt cos at −

1 (s+a)(s+b)

1 2 t 2

s (s+a)(s+b)

1 ( e−at a2

+ at − 1)

t e−at

1 (s+a)2

1 ab(a−b)

(a − b) + b e−at − a e−bt

e−at (1 − at)

s (s+a)2

1 (1 − a2

1 a

1 s2 −a2

1 (1 − a

e−at )

1 ( e−at b−a

− e−bt )

1 (a e−at a−b

sinh(at)

cosh(at)

− b e−bt )

s s2 −a2

1 s2 +a2

sin at

t2 −at e 2

b a


sin at

e−at − at e−at )

e−at t 1 − a2 t

s (s+b)2 +a2 1 s3 1 s2 (s+a)




1 s(s+a)(s+b) 1 s(s+a)2 1 (s+a)3




s (s+a)3

126

8.7

8

INTEGRALRECHNUNG

Distributionen

Distributionen sind verallgemeinerte Funktionen. Ein wichtiges Beispiel ist die Delta– Distribution δ(x), auch Dirac–Funktion genannt. 8.7.1

δ–Distribution (δ–Funktion)

Die δ–Distribution ist Grenzwert (im Distributionensinn) z.B. der Folgen: q n −nx2 e = lim sinπxnx . δ(x) = lim π n→∞

n→∞

y

y

y

1

−1

1

n = 3π

x

1

1

n = 2, 8, 15, 30 −1

1

δ(x) = lim

n→∞

δ(x) =



q

−1

x

n −nx2 e π

0 x 6= 0 ∞ x=0

q 2 δ ′ (x) = lim −2nx n e−nx π

δ(x) = lim

n→∞

n→∞

sin nx πx

Definierende Eigenschaften Z ∞ Z ∞ ; δ(x) dx = 1 ; f (x) δ(x) dx = f (0). −∞

−∞

Rechenregeln δ(−x) = δ(x) ,

f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 ) δ(x − x0 ) ,

Laplace δ(t − t0 ) ◦ Transformierte:

Fourier Entwicklung:

• F (s) =


F T δ(t − t0 ) (s) =
F T eis0 t (s) δ(t − t0 ) =

=

1 2π

R∞

g(xn )=0

√1 2π √1 2π

∞ X

n=−∞

Z

∞

Z−∞ ∞

1

−1



ei(s−s0 )t dt =

−∞

1 2π

+

1 π

√

x

1

e−st0 falls t0 ≥ 0 0 sonst.

δ(t − t0 ) e−ist dt =

ein(t−t0 ) =

δ(x − xn ) . |g ′ (xn )| y

δ(t − t0 ) e−st dt =

0

X

δ(g(x)) =

Im Distributionensinn gilt: Die δ–Distribution ist die Ableitung  0 , x 0 x und r

cos ϕ =

y r

sin ϕ =

Darstellung eines Punktes im Raum x, y, z heißen kartesische Koordinaten

z

z

r, ϕ, z heißen Zylinderkoordinaten x = r cos ϕ 0≤r y = r sin ϕ 0 ≤ ϕ < 2π z=z ρ, θ, ϕ heißen Kugelkoordinaten θ Polabstand, siehe F 2 x = ρ sin θ cos ϕ 0≤ρ y = ρ sin θ sin ϕ 0≤θ≤π z = ρ cos θ 0 ≤ ϕ < 2π

9.2

✲

✻ •

y y ✶ r ϕ❃ y x qx z

z

(x, y, z) z

✻

•

θ❘

ρ y y ✶

(x, y, z) ρ cos θ

ρ sin θ

x

ϕ ❃

y

qx

Kurven in der Ebene Darstellung von Kurven in der Ebene

1

explizite (kartesische) Darstellung

y = f (x) , a ≤ x ≤ b

2

implizite (kartesische) Darstellung

F (x, y) = 0

3

Polarkoordinatendarstellung

4

Parameterdarstellung

r = r(ϕ) , ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ1   x(t) ~x = ~x(t) = , t0 ≤ t ≤ t 1 y(t)

9.2

Kurven in der Ebene

129

Kurven in der Ebene Tangenten– und Normalenvektoren, Bogenl nge und Kr¨ ummung ” explizite Darstellung Kurve Punkt auf der Kurve

~x

TangentenVektor

~t

NormalenVektor

~n

L nge ”

L

Kr¨ ummung

κ

y = f (x)

r = r(ϕ)

a≤x≤b   x f (x)   1 f ′ (x)  ′  −f (x) 1

ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ1   r(ϕ) cos ϕ r(ϕ) sin ϕ

Z q b a

Polarkoordinaten

1 + f ′ (x)

 r(ϕ) ˙ cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ r(ϕ) ˙ sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ   −r cos ϕ − r˙ sin ϕ −r sin ϕ + r˙ cos ϕ Z Z ϕ1p t1p 2 dϕ r(ϕ)2 + r(ϕ) x(t) ˙ 2 + y(t) ˙ 2 dt ˙ ϕ0 t0




2

dx

f ′′ (x) (1+(f ′ (x))2 )3/2

Parameter   x(t) ~ x=~ x(t) = y(t) t0 ≤ t ≤ t1   x(t) y(t)   x(t) ˙ y(t) ˙   −y(t) ˙ x(t) ˙

r2 +2r˙ 2 −r¨ r (r2 +r˙ 2 )3/2

x¨ ˙ y −¨ xy˙ (x˙ 2 +y˙ 2 )3/2

~ ~x = ~x0 + s~t0 , s ∈ IR t.0....✒ .............................. ...............✿ ..... . .... . . 1 .. ρ ... Radius ρ des Kr¨ ummungskreises: ρ = ... ✻ ... |κ| ~ x .. 0 . .. ~n .. ✍ ~xM .. Mittelpunkt ~ xM des Kr¨ ummungskreises: ~xM = ~x0 + κ1 |~n| ..✗ ... ... Die Kurve aller Kr¨ ummungsmittelpunkte einer gegebenen Kurve (Evolvente) heißt ihre Evolute.

Tangente im Kurvenpunkt ~x0 :

•

Beispiel: Evolute der Parabel y = x2   √ −2x 2 , |~n| = 1 + 4x2 , ~ n = κ= (1+4x2 )3/2 1 !     −4x3 (1+4x2 )3/2 −2x x = 1 + ~ xM = 2(1+4x2 )1/2 1 x2 + 3x2 2
x 2/3 1 , Neilsche Parabel =⇒ Evolute: y = 2 + 3 4

y 2

✻

....... .. . ..... ...... .. .. ...... ...... ........ Evolute ...... ....... ........ . . . ... ....... .... .. ..... .. ... ....... ..... ... ..... ... ..... ..... .. ... .... . M . . . . . ... . ...... ... .. .... ... .......... ... .. . . . ... . . ........ .... ... .. Evolvente .. ... .. ..... ..... ... ... 1 .... ... ... .. . .... . .... 2.. ... ... 0 ..... . ....... .. ............ ...............

~ x

❑

√ − 2

1 ρ

✯ ~x

−1

1

√ 2

✲

x

Bogenl¨ ange als Parameter Ist ~x = ~x(s) eine Parameterdarstellung einer ebenen Kurve mit der Bogenl¨ange s als Parameter und bezeichnet () ′ die Ableitung nach s, so ist speziell: ................. ~ x..′...✒ ........✿ . .. . . . ′ . . .. ~x (s) Tangenteneinheitsvektor im Kurvenpunkt ~x(s). ..... .... ✻ ~ . x ′′ . . ρ ~x ′′ (s) Normalenvektor in ~x(s) der L nge |~x ′′ (s)| = |κ| = 1ρ ..... ❘ x ” ... ~ . . er zeigt vom Kurvenpunkt in Richtung ✯ ...✗ ~ xM .... des Kr¨ ummungskreismittelpunktes ~xM (s). • ~xM

Mittelpunkt des Kr¨ ummungskreises:

~xM (s) = ~x(s) + ρ2 ~x ′′ (s).

Fl cheninhalte siehe Seite 149 ”

130

9.3

9 DIFFERENTIALGEOMETRIE

Spezielle ebene Kurven Name

Zykloide

Ortslinie

Skizze

Kurve, die ein Punkt auf der Peripherie eines Kreises mit dem Radius r beschreibt, wenn dieser Kreis auf einer Geraden abrollt.

Epizykloide

Kurve, die ein Punkt auf der Peripherie eines Kreises mit dem Radius r beschreibt, wenn dieser Kreis auf einem anderen Kreis mit dem Radius R abrollt. Das Aussehen der Kurve h¨ angt vom Verh¨ altnis m=R:r der Radien ab.

Kardioide

Spezielle Epizykloide mit m = 1, d. h. r = R = a2 . Mittelpunkt des Kreises bei ( a2 , 0).

festen

Hypozykloide

Kurve, die ein Punkt auf der Peripherie eines Kreises mit dem Radius r beschreibt, wenn dieser Kreis innen auf einem anderen Kreis mit dem Radius R abrollt. Das Aussehen h¨ angt vom Verh¨ altnis m = R : r ab.

Astroide

Hypozykloide mit m = 4, d. h. R = 4r. F¨ ur jede Tangente an die Kurve ist die L¨ange der Strecke AB gleich R.

2r

y ✻

A = (πr, 2r)

.................•............................. ............ ........ ....... .. ..... ........ . . ...... . ...... . ..... ....r .•............................... ..... . . . . . . . ... .. t ... .. .... .... ✲ . . •

tr

πr

x

2πr

y R ✻ m= r =3 .............. .......... ................ . . . . .... t = mϕ = 3ϕ .. ... ... .•.. ...................... . . . . ... . . .. t . . . ... ... ... .. . . .... . ϕ •........ ✲ ... .. x ... R ...... ... .. .... . . ...... . ........................ ... ... .. . . .... . ....... .... .................................. y

✻..............A ..•.................

•...... .... ..... a......... .... .... ... ... ... ... ... ... .... ϕ .. ...•. . • .. .... a .. 2a .... .... ... ... ... .... −a............. B ............. ..............•................

✲

x

y

✻ R m= r =3 ..... ........ t = mϕ = 3ϕ ... ...... .. ......... ........ t .. ...... .. .. ϕ ......•..........................• ✲ .......... .... x ........... R ... ............... . = 3r ..... .......... ........ .... y

.✻ .... R ... ..... m= r =4 . . . .... . . .... .. ..... .... ...... ..... . . ........ . . . . . . . . . ....... . A . . . . ✲ ...............•. .............•. ....... x ....... ...... R . . . . . . ..... . . . . . = 4r .... . .... ..... ...•... ...... B ..

9.3

Spezielle ebene Kurven

131

Gleichungen x = r(t − sin t)

y = r(1 − cos t)

(t ist der W¨ alzwinkel)

ϕ) x = (R + r) cos ϕ − r cos( R+r r ϕ) y = (R + r) sin ϕ − r sin( R+r r

Formeln Bogenl¨ ange

L = 8r

Fl¨ ache

F = 3πr2

unter der Zykloide

Kr¨ ummungsradius

ρ = 4r sin 2t

Bogenl¨ ange (bei rationalem m)

L = 8(R + r)

Fl¨ ache

ϕ als Bezeichnung f¨ ur den Parameter wird gew¨ ahlt, wenn der Parameter der bei Polarkoordinaten benutzte Drehwinkel ist. Nimmt man als Parameter den r W¨alzwinkel t, so ist ϕ = R t.

zwischen Kreis und Epizykloide (f¨ ur ganzzahliges m)

m F = πr2 3R+2r R

Kr¨ ummungsradius

ρ =

x = a cos ϕ(1 + cos ϕ)

Bogenl nge ” Fl¨ ache

L = 8a F = 23 πa2

Kr¨ ummungsradius

ρ = 34 a cos

y = a sin ϕ(1 + cos ϕ) In Polarkoordinaten: r = a(1 + cos ϕ) kartesisch: (a > 0) (x2 + y 2 )(x2 + y 2 − 2ax) − a2 y 2 = 0

x = (R−r) cos ϕ+ rcos( R−r ϕ) r ϕ) y = (R−r) sin ϕ−r sin( R−r r (Zum W¨ alzwinkel t besteht der gleiche Zusammenhang wie bei der Epizykloide.)

4r(R+r) 2r+R

(in Abh¨ angigkeit von ϕ, f¨ ur ϕ 6= π)

√ A = ( 43 a , 3 · 34 a) f¨ ur ϕ = π3

Bogenl¨ ange (bei rationalem m)

Fl che ”

Rϕ 2r

ϕ 2

√ B = ( 34 a , − 3 · 34 a) f¨ ur ϕ = 53 π L = 8(R − r) F = r2 π

zwischen Kreis u. Kurve f¨ ur ganzzahliges m

3R−2r
m R

F¨ ur m = 3 (Skizze) L = 16r , F = 7πr2 Eingeschlossene Fl¨ache Fe = 2πr2

x2/3 + y 2/3 = R2/3

Bogenl¨ ange

L = 6R

Parameterdarstellung:

Eingeschlossene Fl¨ ache

F = 38 πR2

x = R cos3 ϕ , y = R sin3 ϕ

sin

132

9 DIFFERENTIALGEOMETRIE Name

Lemniskate

Ortslinie

Skizze

Ortslinie aller Punkte, deren Abst¨ ande r1 und r2 von zwei festen Punkten (−c, 0) und (c, 0) das konstante Produkt r1 r2 = c2 ergeben.

y B r1

•

r2

-c

c c

-2

•

D

Archimedische Spirale

A

c 2•

•

x

•

C

y Ortslinie aller Punkte, deren Abstand vom Ursprung (Pol) proportional zum Drehwinkel ist. x

Hyperbolische Spirale

y

Ortslinie aller Punkte, deren Abstand vom Ursprung (Pol) umgekehrt proportional zum Drehwinkel ist.

a

x

Logarithmische Spirale

Kurve, die alle vom Ursprung ausgehenden Strahlen unter dem gleichen Winkel α schneidet.

y α

α α α

α x

α

Kettenlinie

Ein biegsames, nicht dehnbares Seil, das in zwei Punkten aufgeh¨ angt ist, nimmt die Gestalt einer Kettenlinie an.

y •

•

a x

9.3

Spezielle ebene Kurven

133

Gleichungen (x2 + y 2 )2 − 2c2 (x2 − y 2 ) = 0 In Polarkoordinaten (c > 0): π π −4@≤ ϕ ≤ 4 3π 5π @≤ ϕ ≤ 4 4

√ r = c 2 cos 2ϕ,

x = aϕ cos ϕ y = aϕ sin ϕ In Polarkoord.: r = aϕ

x= y=

a ϕ a ϕ

cos ϕ sin ϕ

     

In Polarkoord.:      a  r= ϕ

Asymptote:

x = eaϕ cos ϕ y = eaϕ sin ϕ

In Polarkoord.:     aϕ r= e

Es ist

x/a + e−x/a

=ae

2

  

2c2 3r

√ c 3 , 2 ) , ϕ = π6 , 65 π √ Minima C, D : (± 2c · 3 , − 2c ) , ϕ = 76 π , − π6 Maxima A, B : (± 2c ·

a 2

Fl¨ ache

Kr¨ ummungsradius

Bogenl¨ ange

h p iϕ2 · ϕ 1+ϕ2 +arsinh ϕ ϕ1

F =

a2 (ϕ32 6

ρ =a

− ϕ31 )

(1+ϕ2 )3/2 2+ϕ2

h L = a · arsinh ϕ −

√

zwischen ϕ1 und ϕ2

a>0

Fl¨ ache

a>0

a2 1 2 ϕ1

Kr¨ ummungsradius

ρ =

a (1 + ϕ2 )3/2 ϕ4

Bogenl¨ ange zwischen ϕ1 und ϕ2

L =

zwischen −∞ und 0

Fl¨ ache des Sektors zwischen ϕ1 und ϕ2

Kr¨ ummungsradius Bogenl¨ ange

a>0

i 1+ϕ2 ϕ2 ϕ ϕ1

F =

des Sektors zwischen ϕ1 und ϕ2

α@ = arccot a, tan α@ = a1 .

y = a cosh xa

ρ =

des Sektors zwischen ϕ1 und ϕ2

y=a     

Kr¨ ummungsradius ρ zum Kurvenpunkt mit Radius r 6= 0

zwischen ϕ1 und ϕ2

a>0

F = c2

Fl¨ ache jeder Schleife

Bogenl¨ ange L =

    

      

Formeln

von (0, a) bis (x, y)

Fl¨ ache unter der Kurve im Intervall [0, x]

Kr¨ ummungsradius

L∞ = F =

h√

√

−

1
ϕ2

1+a2 a

eaϕ

iϕ2 ϕ1

1+a2 (endlich!) a

1 ( e2aϕ2 4a

− e2aϕ1 )

√ ρ = eaϕ 1 + a2 L = a sinh xa F = a2 sinh xa ρ = a cosh2

x a

134

9 DIFFERENTIALGEOMETRIE

9.4

Kurven im Raum

z  ✻ x(t) ........................................... ......... ❥ ...... ...... ✗ ~x = ~x(t) = y(t) , t0 ≤ t ≤ t1 .... .... .... ... z(t) .. ~ x(t0 ) ~ x(t) ✸.....



Parameterdarstellung:

Bogenl¨ ange:

L =

y z



 x(t) ˙ ˙  ~x˙ = ~x˙ (t) = y(t) z(t) ˙

Tangentenvektor:

Z t 1 t0

✶

Z 2π p 0

y

x

~ x˙

❯ ❄

qx

Z t p 1 |~x˙ (t)| dt = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt

~ x(t1 ) ⑦

t0

Beispiel: ~ x = (R cos t, R sin t, at) ist eine Schraubenlinie auf einem Zylindermantel vom Radius R und mit konstanter Gangh¨ ohe 2πa. Bogenl¨ ange L dieser Raumkurve (eine Windung): L=

.. .. .. ... .. .. .. .. .. .. . .. .. ... ... .. ... ... .. . ... ... ... .. . . ... ... ...

z ✻ R

... . ... . . .... 2πa . . . . . .. .........✒ ....................................................................................... ~ ✸y ....x ......(t) .. ✕ ........... ... . ✲x ..

2πa

√ R2 sin2 t + R2 cos2 t + a2 dt = 2π R2 + a2

R

Begleitendes Dreibein, Kru ¨mmung, Torsion Tangentenvektor Einheitsvektor

~t =

~x˙ |~x˙ |

= ~n × ~b

¨)×~x˙ (~x˙ ×~x Hauptnormalenvektor ~n = = ~b × ~t ˙ ¨)×~x˙ | Einheitsvektor |(~x×~x Binormalenvektor Einheitsvektor

Kr¨ ummung

κ =

~b =

¨| |~x˙ ×~x |~x˙ |3 ...

Torsion

τ =

¨, ~x i h~x˙ ,~x ¨|2 |~x˙ ×~x

Frenetsche Formeln:

¨ ~x˙ ×~x ¨| |~x˙ ×~x

= ~t × ~n

~b ✍ ~

.................... ................✛ .......•....... ..........

t .......... ✮ ..... ...... . . . . . . . . . .✰ ......

~n

❘

..

Begleitendes Dreibein (~t, ~n, ~b ) ist ein rechtsorientiertes Orthonormalsystem.

(κ = 0 ⇐⇒ Kurve ist eine Gerade.) (τ = 0 ⇐⇒ Kurve verl¨auft in einer Ebene.) h · · · i bezeichnet das Spatprodukt, Seite 53) ~t ′ = κ · ~n ~n ′ = −κ · ~t +τ · ~b ~b ′ = −τ · ~n

′ κ = ~t · ~n ′ τ = −~b · ~n

9.5

Fl¨achen im Raum

135

Ist ~x = ~x(s) eine Parameterdarstellung einer Raumkurve mit der Bogenl¨ange s als Parameter, so berechnen sich die Vektoren ~t, ~n, ~b sowie Kr¨ ummung und Torsion besonders einfach:

Bogenl¨ ange als Parameter ~t(s) = ~x ′ (s)

Tangenteneinheitsvektor.

′′

~x (s) zum Kr¨ ummungsmittelpunkt weisender Normalenvektor. κ(s) = |~x ′′ (s)|

1 ρ(s) = κ(s)

~x′′ (s) |~x′′ (s)|

..................... ...........✛ ........... . . . ✮ ...... . ~ x ′′ (s) .... ~ x(s) ❘ .... . . ✢ . ... ...

Kr¨ ummungsradius.

τ (s) = ρ2 hx′ , x′′ , x′′′ i ~n(s) =

~b(s) ✍

Kr¨ ummung.

............... ~ x ′ (s) = ~t............✕

Torsion.

Hauptnormalenvektor.

′ ′′ ~b(s) = ~x′ (s)×~x′′ (s) |~x (s)×~x (s)|

•

(~ x ,~ x ′′ , ~b ) bilden ein orthogonales Rechtssystem. ′

Binormalenvektor.

Masse, Schwerpunkt, Tr¨ agheitsmoment von Kurven
Das Kurvenst¨ uck ~x(t) = x1 (t), x2 (t), x3 (t) , a ≤ t ≤ b sei mit Masse belegt und die Massendichte sei δ = δ(t). Z b δ(t) |~x˙ (t)| dt Masse der Kurve: M= a

Schwerpunkt der Kurve:

1 si = M

S = (s1 , s2 , s3 ), wobei Tr¨ agheitsmoment:

TA =

Z b a

Z b a

xi (t) δ(t) |~x˙ (t)| dt

a2 (t) δ(t) |~x˙ (t)| dt

wobei a = a(t) der Abstand des Kurvenpunktes ~x(t) von einer Achse A ist.

9.5

Fl¨ achen im Raum Fl¨ achen im Raum 

 x(u, v) ~x(u, v) = y(u, v) , (u, v) ∈ B ⊆ IR2 z(u, v)

1

Parameterdarstellung: u, v sind die Parameter, B ist der Parameterbereich.

2

explizite Darstellung als Graph einer Funktion:

3

implizite Darstellung als Niveaufl¨ache einer Funktion:

z = f (x, y) , (x, y) ∈ B ⊆ IR2

F (x, y, z) = 0

136

9 DIFFERENTIALGEOMETRIE Tangentialebene an eine Fl¨ ache im Punkt ~ x0 Gleichung der Tangentialebene Koordinatenform ~n · ~x = ~n · ~x0

Fl che ”

Parameterdarstellung

~n = ~xu (u0 , v0 ) × ~xv (u0 , v0 )

1 ~x = ~x(u, v)

~x = ~x0 + s~xu + t~xv     1 0 ~n = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ), −1) ~x = ~x0 + s  0  + t  1  2 z = f (x, y) fx fy     0 Fz
~x = ~x0 +s  0  +t  Fz  3 F (x, y, z) = 0 ~n = Fx (~x0 ), Fy (~x0 ), Fz (~x0 ) −Fy −Fx (Fz 6= 0)

9.6

Spezielle Fl¨ achen im Raum Volumen: V

z

Darstellungen  1

Gesamtoberfl che: F ”

Zylinder

✻

 r cos ϕ ~x(ϕ, z) =  r sin ϕ  z Zylindermantel, r gegeben.

r

h

✣

z

(ϕ, z) ∈ [0, 2π] × [0, h]

siehe Zylinderkoordinaten.

3

~ x(ϕ, z) z ✸y

r

ϕ

x2 + y 2 = r2 , z ∈ [0, h]

1

 ~x(ϕ, z) = 

Kegelmantel,

r z cos ϕ h r z sin ϕ h r h

  

z gegeben

(ϕ, z) ∈ [0, 2π] × [0, h]

siehe Zylinderkoordinaten

3

2

x +y =

r
2 z , h

T : x0 x + y0 y = r2

Kegel

z

✻ . .. ... .. .. ... .... .... ..... . .. ..... ... . .. ... ..... ... ... ... ... ...... .. .... ... ...... ... ... ... . . . . . . . ... .. . ... .. .. .. ... ...... .... ... .... ... . ... .. . .. ... .............. ...... ... .. . ... ... .. ... ... .......... .... ... ....... .. ... .......... ..... ... . . . . . ... ... .. .... ........ .... .... ............... ... ............ ......... ....

r

h

z

✕

~ x(ϕ, z) ✸y z

ϕ

2

Zylinder V = πr2 h F = 2πr(h + r) FM = 2πrh

❘x

Tangentialebene T an den Zylinder im Punkt ~x0 ~x0 = ~x(ϕ0 , z0 ) = (x0 , y0 , z0 ) Darstellungen 

Mantelfl¨ache: FM

z ∈ [0, h]

Kegel 1 2 πr h √ 3

V = F = πr(r+ r2 +h2 ) √ 2 FM = πr r + h2

❘x

Tangentialebene T an den Kegel im Punkt ~x0 ~x0 = ~x(ϕ0 , z0 ) = (x0 , y0 , z0 )

T :

x0 x + y0 y =

r2 z z h2 0

9.6

Spezielle Fl¨achen im Raum

137 Kugel

Kugelausschnitt, Kugelabschnitt, Kugelschicht siehe Seite 33. Darstellungen der Kugel mit dem Radius r   r sin θ cos ϕ (θ, ϕ) ∈ [0, π] × [0, 2π] 1 ~x(θ, ϕ) =  r sin θ sin ϕ  siehe Kugelkoordinaten r cos θ   x (x, y) ∈ {(x, y) | x2 + y 2 ≤ r2 }  y 1 ~x(x, y) =  p ±: obere bzw. untere Halbkugel ± r2 − x2 − y 2 2

3

p z = ± r2 − x2 − y 2 x2 + y 2 + z 2 = r2

r sin θ r

✣

r

(x, y) ∈ {(x, y) | x2 + y 2 ≤ r2 } z ±: obere bzw. untere Halbkugel ✻

~ x(θ, ϕ)

θ z = r cos θ

θ

✣

✒y ~ x(θ, ϕ)

ϕ r

✲ x

.. .... θ ..... . . . . ... y = r sin θ sin ϕ ϕ ........

Kugel

x = r sin θ cos ϕ

V = 34 πr3 F = 4πr2

T : x0 x + y0 y + z0 z = r2

Tangentialebene T an die Kugel in ~x0 ~x0 = ~x(θ0 , ϕ0 ) = (x0 , y0 , z0 ) ~n = Normalenvektor

~n~x = r2 ,

 x0 ~n = ~x0 =  y0  z0

Torus z Darstellungen des Torus mit den Radien r und R ✻   ............................................... ✒ y .............. (R + r cos θ) cos ϕ ......... . . . . . .................R ....• ... ........... 1 ~x(ϕ, θ) =  (R + r cos θ) sin ϕ  ........ .... ~ x(ϕ, θ) ....... .. .... . .......... . . . . . . . .. ..................... ................................✿ . . . . . . . r sin θ . . . . . . . . . ... . ..r ....... ..........

(ϕ, θ) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] keine Kugelkoordinaten!

3

p ( x2 + y 2 − R)2 + z 2 = r2

Tangentialebene T an den Torus in ~x0 ~x0 = ~x(ϕ0 , θ0 ) = (x0 , y0 , z0 ) ~n = Normalenvektor

... θ . .................. ................ .... • .. ............. ... r ϕ ... R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... . ... . . . .. .... ....... R ........ ..... ........... .....................• ....... .......... .............. ................................................ ❘x

V = 2π 2 Rr2 F = 4π 2 Rr   cos θ0 cos ϕ0 ~n =  cos θ0 sin ϕ0  sin θ0

Torus

T : ~n~x = ~n~x0 ,

¨ 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER

138

10 10.1

Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher z = f (x, y) Grenzwert, Stetigkeit von z = f (x, y) bei (x0 , y0 )

Die Funktion f : IR2 → IR, z = f (x, y) •

hat in x~0 = (x0 , y0 ) den Grenzwert a lim

f (x, y) = a,

(x,y)→(x0 ,y0 )

•

ist in (x0 , y0 ) stetig,

wenn f¨ ur jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass 0 < |(x, y) − (x0 , y0 )| < δ =⇒ |f (x, y) − a| < ε.

wenn

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = f (x0 , y0 )

ist.

f hat bei ~ x0 keinen Grenzwert, wenn sich bei Ann¨ aherung an ~ x0 auf verschiedenen Kurven (z.B. Geraden) verschiedene Grenzwerte ergeben! f ist bei ~ x0 unstetig (genau: nicht stetig erg¨ anzbar), wenn sich bei Ann¨ aherung an ~ x0 auf verschiedenen Kurven (z.B. Geraden) verschiedene oder keine Grenzwerte ergeben!

Der Grenzwert

Beispiel (a)

lim

xy

2 2 (x,y)→(0,0) x +y

existiert nicht.

Ann¨ aherung an (0, 0) auf der Geraden y = 0 Ann¨ aherung an (0, 0) auf der Geraden y = x

(b)

lim f (x, 0) = 0

x→0

1

lim f (x, x) = 2

x→0

Polarkoordinaten: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ : lim

(x,y)→(0,0) x

xy 2 +y 2

= lim

r→0

r 2 cos ϕ sin ϕ = lim cos ϕ sin ϕ existiert nicht! r2 r→0

xy

Die Funktion f (x, y) = x2 +y2 , (x, y) 6= 0 ist in (0, 0) nicht stetig erg¨ anzbar.

Vertauschung von Grenzprozessen

A=

Achtung: Man muss sorgf¨altig folgende Grenzwerte unterscheiden:

lim f (x, y), B = lim lim f (x, y) , C = lim lim f (x, y) .

(x,y)→(x0 ,y0 )

x→x0 y→y0

y→y0 x→x0

Existiert A, so gilt A = B = C; ist B = C, so braucht A nicht zu existieren! Partielle Ableitungen, Gradient ∂f ∂f f (x+h,y)−f (x,y) f (x,y+h)−f (x,y) , = fx = lim = fy = lim h h ∂x ∂y h→0 h→0 fx , fy heißen partielle Ableitungen der Funktion f . ∂f ∂f
Der Vektor grad f = ∂x , ∂y = (fx , fy ) heißt Gradient von f .

y

✻grad f (x ■ y0

. ... ..

·.......... ....•

.... ...... ........

f (x,y) = f (x0 ,y0 )

grad f (x0 , y0 ) steht senkrecht auf der Niveaulinie f (x, y) = f (x0 , y0 ). Vertauschbarkeit bei partiellen Ableitungen h¨ oherer Ordnung

Sind f, fx , fy , fxy , fyx stetig, so ist fxy = fyx .

0 , y0 )

x0

✲

x

10.1 z = f (x, y)

139 Differenzierbarkeit

Es sei D ⊆ IR2 eine offene Menge und (x0 , y0 ) ∈ D. Die Funktion f : D → IR heißt im Punkt (x0 , y0 ) (vollst¨ andig) differenzierbar, wenn f in (x0 , y0 ) partiell differenzierbar ist – also fx (x0 , y0 ) und fy (x0 , y0 ) existieren – und wenn gilt: Differenzierbarkeitsbedingung




f (x,y)− f (x0 ,y0 )+fx (x0 ,y0 )(x−x0 )+fy (x0 ,y0 )(y−y0 ) lim |(x−x0 , y−y0 )| (x,y)→(x0 ,y0 ) Dabei ist z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )

= 0.

die Tangentialebene (n¨ achste Seite) an f im Punkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

Ist f differenzierbar in ~x0 , dann ist f ′ (~x0 ) = grad f (~x0 ). f in ~x0 differenzierbar

=⇒

(1) (2)

f ist in ~x0 partiell differenzierbar. f ist in ~x0 stetig.

Die Umkehrungen sind im allgemeinen falsch, siehe Beispiel. Dagegen gilt:

Sind fx , fy in ~x0 stetig, so ist f in ~x0 differenzierbar. Entsteht f durch Einsetzen differenzierbarer Funktionen einer Ver¨ anderlichen ineinander, so ist f im allgemeinen u ¨ berall dort differenzierbar, wo f definiert ist. ( xy ,~ x 6= ~o ist in ~o partiell diff–bar mit grad f (~o) = ~o; x2 +y 2 Beispiel f (x, y) = aber in ~o nicht (vollst¨ andig) differenzierbar. 0 ,~ x = ~o f (h,0)−f (0,0) f (0,h)−f (0,0) = 0, fy (~o) = lim = 0 =⇒ grad f (~o) = ~o. h h h→0 f (x,y) r 2 cos ϕ sin ϕ xy f ist in (0, 0) nicht diff–bar, da lim |(x,y)| = lim 2 2 3/2 = lim 6= 0 ist. r3 r→0 ~ x→~ o ~ x→~ o (x +y )

fx (~o) = lim

h→0

Oder: f ist nicht differenzierbar in (0, 0), da f dort nicht stetig ist (voriges Beispiel).

Untersuchung auf Differenzierbarkeit Bei der Untersuchung, ob die Funktion f : D → IR in ~x0 = (x0 , y0 ) ∈ D ⊂ IR2 differenzierbar ist, kann man folgendermaßen vorgehen: Ist f in ~x0 stetig ? ↓

JA

NEIN

−→

f nicht diff–bar.

Ist f in ~x0 partiell differenzierbar ? ↓ JA

NEIN

−→

f nicht diff–bar.

Existieren die partiellen Ableitungen von f in einer Umgebung von ~x0 und sind sie in ~x0 stetig ? ↓

Ist

JA

−→ f diff–bar.

NEIN

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

↓

f (x,y)−f (x0 ,y0 )−fx (x0 ,y0 )(x−x0 )−fy (x0 ,y0 )(y−y0 ) =0? |(x−x0 ,y−y0 )|

JA

f diff–bar.

↓

NEIN

f nicht diff–bar.

¨ 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER

140

Tangentialebene an den Graphen von z = f (x, y) Sind die partiellen Ableitungen fx und fy bei ~x0 = (x0 , y0 ) stetig, so hat f bei ~x0 = (x0 , y0 ), d.h. im Punkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 )), eine Tangentialebene E. Normalenvektor der Tangentialebene ~nE = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ), −1) = (grad f (x0 , y0 ), −1) Gleichung der Tangentialebene E: E:

z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) (Koordinatenform)       x0 1 0  + s  (Parameterdarstellung) 0 1 ~x =  y0  + r  f (x0 , y0 ) fx (x0 , y0 ) fy (x0 , y0 )

Beispiel

Man bestimme die Tangentialebene an f (x, y) = x2 y − 3y bei ~x0 = (1, 2).

fx = 2xy, fy = x2 − 3 =⇒ fx (1, 2) = 4, fy (1, 2) = −2, grad f (1, 2) = (4, −2)

E : z = −4 + 4(x − 1) + (−2)(y − 2), also E : 4x − 2y − z = 4 (Koordinatenform) E : ~x = (1, 2, −4) + r (1, 0, 4) + s (0, 1, −2) (Parameterdarstellung) Richtungsableitung ∂f ∂~a (~x0 )

bezeichnet die Richtungsableitung von f an der Stelle ~x0 in Richtung des Vektors ~a 6= ~o. Berechnung (bei diff–barer Fkt. f )

Definition ~ a

f (~x0 +t |~a| )−f (~x0 ) ∂f lim ∂~a (~x0 ) = t→0 t f (~x0 +t~a)−f (~x0 ) = lim t·|~a| t→0 ∗)

Man definiert auch

∂f ~a ∂~a (~x0 ) = grad f (~x0 ) · |~a|

∗)

Skalarprodukt des Gradienten von f bei ~ x0 mit dem Einheitsvektor∗) in Richtung von ~a, wenn f in ~ x0 differenzierbar ist.

∂f ∂~a (~x0 ) = grad f (~x0 ) · ~a, vgl. Vektorgradient, Seite 154.

Eigenschaften ∂f mit ϕ =< ) (grad f (~x0 ), ~a) ∂~a (~x0 ) = | grad f (~x0 )| · cos ϕ
∂f f¨ ur ~a k grad f (~x0 ) ∂~a (~x0 ) ist maximal = | grad f (~x0 )| ∂f (~x ) = 0 f¨ ur ~a ⊥ grad f (~x0 ) ∂~a 0 Beispiel

∂f

Man bestimme die Richtungsableitung ∂~a (~ x0 ) von f (x, y) = x2 y − 3y bei ~x0 = (1, 2) in Richtung ~a = (1, 1).

√ ∂f 2 1 x0 ) = (4, −2) · √ (1, 1) = √ = 2 grad f (1, 2) = (4, −2) (siehe letztes Beisp.) =⇒ ∂~a (~ 2 2

10.1 z = f (x, y)

141 Kettenregel

f = f (x, y)



x = x(t) y = y(t)

=⇒

f = f (x, y)



x = x(u, v) y = y(u, v)

=⇒

df ∂f dx ∂f dy f ′ = dt = fx x′ + fy y ′ = ∂x dt + ∂y dt fu = fv =

∂f ∂u ∂f ∂v

= fx xu + fy yu = = fx xv + fy yv =

∂f ∂x ∂f ∂x

∂x ∂u ∂x ∂v

+ +

∂f ∂y ∂f ∂y

∂y ∂u ∂y ∂v

H¨ aufig einfacher: Erst einsetzen und dann differenzieren ! Beispiel

1

Man differenziere f (x, y) = x2 +y2



x = r cos ϕ y = r sin ϕ

nach r und ϕ.

ϕ−2r sin2 ϕ 2 = − r3 , fϕ = · · · = 0. r4
1 2 f x(r, ϕ), y(r, ϕ) = r2 =⇒ fr = − r3 und fϕ = 0. −2y

−2x

fr = fx xr +fy yr = (x2+y2 )2 cos ϕ+ (x2+y2 )2 sin ϕ = Erst einsetzen ist hier einfacher:

−2r cos2

Implizites Differenzieren Ist durch f (x, y) = 0 mit f (x0 , y0 ) = 0 und fy (x0 , y0 ) 6= 0 implizit eine Funktion y = h(x) gegeben , so erh¨ alt man mittels der Kettenregel:  x=x ∂f ∂y ∂f ∂x + ∂y ∂x = 0 =⇒ fx + fy y ′ = 0 =⇒ f (x, y) = 0 =⇒ ∂x ∂x y = y(x) f y ′ = − fx y



y ′′ = −

fy2 fxx −2fx fy fxy +fx2 fyy fy3

Durch y + x ey − 2 = 0 ist in (0, 2) implizit eine Funktion y = h(x) gegeben. Man berechne y ′ (0) und y ′′ (0): F¨ ur f (x, y) = y + x ey − 2 ist fy (0, 2) = 1 6= 0, also ist f (x, y) = 0 bei (0, 2) lokal nach y aufl¨ osbar. Diese Aufl¨ osungsfunktion y = h(x) kann man i.A. nicht explizit angeben. Jedoch lassen sich die Ableitungen y ′ (0) und y ′′ (0) berechnen: F¨ ur f (x, y) = y + x ey − 2 gilt: Beispiel

fx = ey , fy = 1 + x ey , fxx = 0, fxy = fyx = ey , fyy = x ey =⇒ fx (0, 2) = e2 , fy (0, 2) = 1, fxy (0, 2) = e2 , fyy (0, 2) = 0 =⇒ y ′ (0) = − e2 , y ′′ (0) = e4 .

Extrema impliziter Funktionen Ist durch f (x, y) = 0 mit f (x0 , y0 ) = 0 und fy (x0 , y0 ) 6= 0 implizit eine diff–bare Funktion y = h(x) gegeben, so ist daf¨ ur, daß y = h(x) bei x0 ein Extremum hat, notwendig: fx (x0 , y0 ) = 0 hinreichend: Beispiel

fxx (x0 ,y0 ) fy (x0 ,y0 )

> 0
0 und fxx < 0 (bzw. fyy < 0) =⇒ rel. Maximum D > 0 und fxx > 0 (bzw. fyy > 0) =⇒ rel. Minimum D 0 und fxx (P1 ) = 2 > 0, P1 ist rel. Min. −6 −6y

10.1 z = f (x, y)

143 Extrema mit Nebenbedingungen

Gesucht: Extrema von z = f (x, y) f¨ ur jene (x, y) ∈ IR2 , f¨ ur die G(x, y) = 0 ist. 1. Verfahren: Einsetzen Kann man die Nebenbedingung G(x, y) = 0 so in f einsetzen, dass eine Variable wegf¨allt (z.B., wenn sich G(x, y) = 0 nach x oder y aufl¨osen l¨asst), so erh¨alt man eine Funktion einer Ver¨ anderlichen, die mit dem Verfahren von Seite 94 auf Extremwerte untersucht wird. 2. Verfahren: Verfahren von Lagrange Man betrachtet die Lagrange Hilfsfunktion L(x, y, λ) = f (x, y) + λG(x, y), und bestimmt die (x, y), f¨ ur die gilt: Lx = Ly = Lλ = 0

(notwendige Bedingung)

Unter den so erhaltenen Punkten (x, y) werden die Extrema bestimmt. Taylorentwicklung von z=f(x,y) bei (x0 ,y0 ) mit Restglied Taylorreihe von f bei (x0 , y0 ) ist die Potenzreihe: T (x, y) =

∞ X
k 1 ∂ ∂ ∆x + ∆y (f ) (x0 , y0 ) k! ∂x ∂y k=0

Taylorpolynom n–ten Grades von f bei (x0 , y0 ) ist das Polynom: Tn (x, y) =

n X
k 1 ∂ ∂ ∆x + ∆y (f ) (x0 , y0 ) k! ∂x ∂y

k=0

Dabei ist ∆x = x − x0 und ∆y = y − y0 . Speziell f¨ ur n = 0, 1, 2: T0 (x, y) =

f (x0 , y0 )

T1 (x, y) =

f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )

T2 (x, y) =

f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
+ 21 fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y)2

Restglied:

Tangentialebene an f in (x0 , y0 ).

Rn (x, y) := f (x, y) − Tn (x, y) ist der Unterschied zwischen der Funktion f (x, y) und dem n–ten Taylorpolynom Tn (x, y).

Es gibt ein p mit 0 < p < 1, so dass gilt: Rn (x, y) =


n+1 ∂ ∂ 1 ∆x + ∆y (f ) (x0 + p∆x, y0 + p∆y) (n + 1)! ∂x ∂y

f wird bei (x0 , y0 ) durch die Taylorreihe dargestellt, wenn in einer Umgebung von (x0 , y0 ) das Restglied Rn f¨ ur n → ∞ gegen Null geht. Ausf¨ uhrliche Erl¨ auterungen HM, 396–399.

¨ 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER

144

10.2

Funktionen z = f (x1 , . . . , xn).

Grenzwert, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, sowie die folgenden Begriffe, Regeln und Verfahren u ¨ bertragen sich direkt von Funktionen z = f (x, y) mit zwei Variablen (Seite 138, 139) auf Funktionen mit n Variablen z = f (x1 , . . . , xn ): z = f (x1 , . . . , xn ) Partielle Ableitungen Gradient Richtungsableitung

∂f ∂f ∂f oder auch fx1 , fx2 , . . . , fxn , , . . . , ∂x ∂x1 ∂x2 n ∂f
∂f ∂f grad f = ∂x , ∂x , . . . , ∂x = (fx1 , fx2 , . . . , fxn ) n 1 2

in ~x0 in Richtung ~a:

grad f (~x0 ) ·

~a |~a|

 f = f (x1 , . . . , xn )   n ∂f  P ∂xi  ∂f · fuj = ∂u = x1 = x1 (u1 , . . . , um ) ∂x ∂u j =⇒ i j i=1 ..   .  (j = 1, . . . , m)  xn = xn (u1 , . . . , um )

Kettenregel

Kettenregel in Matrizenschreibweise (Jacobi–Matrix Jx siehe Seite 147): f = f (~x), ~x = x(~u) =⇒ f¨ ur g(~u) = f (~x(~u)) gilt:

grad g = grad f · Jx

Ist durch f (~x, y) = 0 implizit eine Funktion y = y(~x) gegeben, so gilt: 1 y ′ = grad y = (yx1 , . . . , yxn ) = − (fx1 , . . . , fxn ) fy Extrema von z = f (x1 , . . . , xn ) unter den Nebenbedingungen Gi (x1 , . . . , xn ) = 0, (i = 1, . . . , m): Man betrachtet die Lagrange Hilfsfunktion m P λi Gi (x1 , . . . , xn ) L(x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λm ) = f (x1 , . . . , xn ) + i=1

und bestimmt die (x1 , . . . , xn ), f¨ ur die gilt: ∂L ∂xk ∂L ∂λk

= Lxk = 0,

(k = 1, . . . , n)

= Lλk = 0, (k = 1, . . . , m)

(notwendige Bedingungen)

H¨ aufig einfacher: NBen so in z = f (x1 , . . . , xn ) einsetzen, dass m Variable wegfallen!

Unter den so erhaltenen Punkten (x1 , . . . , xn ) werden die Extrema bestimmt. Beispiel

Durch f (x, y, z, w) = w3 − xy 2 + w ez = 0 ist implizit eine Funktion w = w(x, y, z) gegeben. Man berechne grad w.

fx = −y 2 , fy = −2xy, fz = w ez , fw = 3w2 + ez 1 =⇒ grad w(x, y, z) = (wx , wy , wz ) = − 3w 2 + ez (−y 2 , −2xy, w ez ).

10.2 Funktionen z = f (x1 , . . . , xn ).

145

Notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur relative Extrema von z = f (x1 , . . . , xn ) • Notwendige Bedingung:

Hat f bei ~x0 ein relatives Extremum, so ist ~x0 ein station¨ arer Punkt, d.h. alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f sind bei ~x0 gleich 0: grad f (~x0 ) = ~o

• Hinreichende Bedingung: ~x0 sei ein station¨ arer Punkt und f besitze in einer Umgebung U (~x0 ) stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung nach allen Variablen. Die Matrix   f x x . . . fx x fx x  2   f 1 1 f 1 2 ... f 1 n  x2 xn  x2 x2 ∂ f  x2 x1 = H = ∂x ∂x  heißt HESSE–Matrix von f . .. .. i j   . . fxn x1 fxn x2 )

F¨ ur alle ~o 6= ~ x ∈ IRn gilt

~x⊤ · H(~x0 ) · ~x > 0

F¨ ur alle ~o 6= ~ x ∈ IRn gilt

~x⊤ · H(~x0 ) · ~x < 0

Es gibt ~ x, ~ y ∈ IRn

mit

~x⊤ · H(~x0 ) · ~x < 0 ~y ⊤ · H(~x0 ) · ~y > 0

. . . fx n x n

⇐⇒ H(~x0 ) positiv definit =⇒ ~x0 rel. Minimum

)   

⇐⇒ H(~x0 ) negativ definit =⇒ ~x0 rel. Maximum ⇐⇒ H(~x0 ) indefinit

=⇒ ~x0 Sattelpunkt

Speziell f¨ ur Funktionen z = f (x, y) von 2 Ver¨anderlichen steht die hinreichende Bedingung auf Seite 142 einfacher formuliert ! F¨ ur symmetrische Matrizen gilt: ⇐⇒ ⇐⇒ Beispiel •

•

A = (aij ) ist positiv definit

alle Hauptunterabschnittsdeterminanten sind positiv alle Eigenwerte sind positiv.

Untersuche f (x, y, z) = x2 − 2xz + 2z 2 + y 2 − 2y + 2z + 2 auf Extremwerte!

Notw. Bed.:

grad f (x, y, z) = (2x − 2z, 2y − 2, −2x + 4z + 2) = (0, 0, 0)

=⇒ (−1, 1, −1) ist einziger station¨ arer Punkt (nachrechnen!).

 2 0 −2 Hinr. Bed.: Hesse–Matrix bei (−1, 1, −1): H(−1, 1, −1) =  0 2 0  . −2 0 4 (a) Die drei Hauptunterabschnittsdeterminanten sind 2 0 −2 2 0 = 4, |2| = 2 , also alle positiv. 0 2 0 = 8, 0 2 −2 0 4 √ √ (b) Die Eigenwerte sind 2, 3+ 5 , 3− 5 (nachrechnen), also alle positiv. =⇒



H(−1, 1, −1) ist positiv definit, bei (−1, 1, −1) liegt ein rel. Minimum.

¨ 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER

146

10.3

z = f (~ ~ x) allgemeine Kettenregel

Jacobi–Matrix siehe n¨ achste Seite!

n

IR g ✒ IRm

~x = g(~t ) ❘ y = f (~x) ✲ IRk ~ f

h=f ◦g

)

h′ (~t ) = f ′ (g(~t )) · g ′ (~t )

h(~t ) = f (g(~t )) =⇒

Jh (~t ) = Jf (g(~t )) · Jg (~t )

Die Ableitung nacheinander ausgef¨ uhrter differenzierbarer Funktionen ist das Produkt der entsprechenden Jacobi–Matrizen, so wie sich die Matrix nacheinander ausgef¨ uhrter linearer Abbildungen als Matrizenprodukt ergibt (Seite 60, 69). H¨ aufig einfacher: Erst einsetzen und dann differenzieren ! IR1

Beispiel

g✒ IR3

f

❘ ✲ IR2

h=f ◦g

~t = (r, s, t) ∈ IR3 ~ x = g(  t ) =2r − 3s + r ln t ∈ IR cos x π π f (x) = ∈ IR2 , ~t0 = ( 6 , 0, 1), x0 = 3 . sin x

allgemeine Kettenregel, Einsetzen.   − sin x ′ r , f (x) = J ′ ~ f (x) = g (t ) = grad g(r, s, t) = (2 + ln t, −3, t ) cos x  √  und π π π π 1 − 3 g ′ (~t0 ) = grad g( 6 , 0, 1) = (2, −3, 6 ) . f ′ ( 3 ) = Jf ( 3 ) = 2 1 π π ′ π ′ π ′ π h ( 6 , 0, 1) = f ( 3 ) · g ( 6 , 0, 1) = Jf ( 3 ) · grad g( 6 , 0, 1) √ √ π ! √  √  −2 3 3 3 − 3 6 1 π 1 − 3 · (2, −3, 6 ) = . = 2 π 2 1 2 −3 6 F¨ ur h(~t ) = f (g(~t )) berechne man h′ (~t0 ):

(a)

(b)

(a) (b)

Nat¨ urlich kann man auch erst Einsetzen und dann Differenzieren:       grad h1 (~t0 ) h1 (~t ) cos(2r − 3s + r ln t) ′ π = ··· , 0, 1) = =⇒ h ( = h(~t ) = 6 sin(2r − 3s + r ln t) grad h2 (~t0 ) h2 (~t )

Ableitung (Jacobi–Matrix) impliziter Funktionen f = (f1 , . . . , fm ) : IRn+m → IRm , f (~x, ~y ) = ~0   f1y1 · · · f1ym ∂(f1 ...fm )   .. Ist die (m, m)–Matrix fy~ = ∂(y ...y ) =  ...  . 1 m fmy1 · · · fmym

invertierbar und ist h : IRn → IRm , ~y = h(~x) die (lokale) Aufl¨osung der durch f (~x, ~y ) = ~0 implizit gegebenen Funktion ~y, so gilt: ∂(h ...h )

h′ = Jh = ∂(x1 ...xm) = −(fy~ )−1 f~x . 1 n

(Ausf¨ uhrliche Beispiele HM, 391–395)

10.3 z ~ = f (~ x)

147 Jacobi–Matrix Jf (~ x0 )

  f1 (x1 , . . . , xn )  ist im Die Funktion f : IRn → IRm mit f (~x) = f (x1 , . . . , xn ) =  ... fm (x1 , . . . , xn ) Punkt ~x0 ∈ IRn genau dann stetig bzw. differenzierbar, wenn die Komponentenfunktionen f1 , . . . , fm in ~x0 ∈ IRn stetig bzw. differenzierbar sind (S. 138/9, 144). Die Ableitung f ′ (~x0 ) ist eine lineare Abbildung des IRn in den IRm , die durch die Jacobi–Matrix Jf (~x0 ) dargestellt wird:    grad f1 (~x0 ) f1 x1 · · · f1 xn
  ..  .. Jf (~x0 ) =  ... =  = fx1 (~x0 ), . . . , fxn (~x0 ) . . fm x1 · · ·fm xn (~x0 ) grad fm (~x0 )

Die Jacobi–Matrix Jf (~x0 ) ist eine (m, n)–Matrix: •

Ihre Zeilen sind die Gradienten der m Komponentenfunktionen.

•

Ihre Spalten sind n Tangentenvektoren an die n Kurven, die man erh¨ alt, wenn man alle Variablen bis auf eine konstant setzt.     Spezialf¨ alle x(t) x˙ Kurve 1 3 Jf = ~x˙ = y˙  f : IR →IR ~x = f (t) = y(t)  3 , im IR z(t) z˙   x(t ˙ 0) ist Tangentenvektor im ˙ 0 ) ~x˙ (t0 ) = y(t Kurvenpunkt ~ x(t0 ). z(t ˙ 0)     x(u, v) xu xv Fl¨ a che f : IR2 →IR3 ~x = f (u, v) = y(u, v) , Jf =  yu yv  = (~xu , ~xv ) im IR3 z(u, v) zu zv     xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )  yu (u0 , v0 )  ,  yv (u0 , v0 )  spannen die Tangentialebene im Punkt ~ x(u0 , v0 ) auf. zu (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) f : IR3 →IR1

w = f (x, y, z) Skalarfeld,

Jf = grad w = (wx , wy , wz )

ist Normalenvektor der Niveau-

grad w(~x0 ) = (wx (~x0 ), wy (~x0 ), wz (~x0 )) fl¨ ache w(~ x) = w(~ x0 ) im Punkt ~ x0 .     x(~u) xu xv xw Vektorf : IR3 →IR3 ~x = f (u, v, w) = y(~u) Jf =  yu yv yw  = (~xu , ~xv , ~xw ) feld z(~u) zu zv zw

~ xu (u0 , v0 , w0 ) ist Tangentenvektor an die Kurve ~ x(t) = f (t, v0 , w0 ), ~ xv (u0 , v0 , w0 ) ist Tangentenvektor an die Kurve ~ x(t) = f (u0 , t, w0 ), ~ xw (u0 , v0 , w0 ) ist Tangentenvektor an die Kurve ~ x(t) = f (u0 , v0 , t).   ist eine Parameterdarstellung des Beispiel 3 sin u cos v y2 z2 x2 sin u sin v  ~ x = f (u, v) =  2√ Ellipsoids 9 + 4 + 2 = 1 mit √ 2 cos u den Halbachsen a = 3, b = 2, c = 2 . √    √  3 cos u cos v −3 sin u sin v 3 3 −3 3  =⇒ f ′ ( π , π ) = 1  6 u sin v 2 sin u cos v f ′ = Jf =  2 cos 2  √ √ 6 3 4 − 2 sin u 0 −2 2 0 √ √ √ xv ( π6 , π3 ) = (−3 3 , 2, 0) spannen die Die Vektoren 4~ xu ( π6 , π3 ) = (3 3 , 6, −2 2 ) und 4~ √ √ Tangentialebene an das Ellipsoid im Punkt ~ x( π6 , π3 ) = 14 (3, 2 3 , 2 6 ) auf.

148

11 ANWENDUNGEN

11

Anwendungen

11.1

Kurven, Fl¨ achen, Ko ¨rper Kurven in der Ebene Darstellung

kartesisch

, a≤x≤b

y = f (x)

a

Z β p L= r(ϕ)2 + r(ϕ) ˙ 2 dϕ

, α≤ϕ≤β

Polarkoord. r = r(ϕ) Parameter

L¨ ange Z bq
2 L= 1 + f ′ (x) dx α

  x(t) ~x = , a≤t≤b y(t)

L=

Z b a

|~x˙ (t)| dt =

Z b p x(t) ˙ 2 + y(t) ˙ 2 dt a

Masse, Schwerpunkt, Tr¨ agheitsmoment siehe bei Kurven im Raum: Setze z(t) = 0.

Kurven im Raum 



  x(t) x(t) ˙ ˙  Kurve K : ~x(t) = y(t) , a ≤ t ≤ b mit Tangentenvektor ~x˙ (t) = y(t) z(t) z(t) ˙ p Bogenelement ds = |~x˙ (t)| dt = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt ~x˙ (t) ✒ L¨ ange

L=

Z

K

ds =

Z b a

|~x˙ (t)| dt =

Z bp x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt a


Ist das Kurvenst¨ uck ~ x(t) = x(t), y(t), z(t) , a ≤ t ≤ b mit Masse belegt und ist die Massendichte δ = δ(t), so gilt:

1)

Z b

Masse

M =

Schwerpunkt1) S = (sx , sy , sz )

1 sx = M

Tr¨ agheits– moment 1)

TA =

a

Z b

Z b a

δ(t) |~x˙ (t)| dt = a

Z b a

δ(t)

p

.............................. ........ ✕ ~x(b) ..... . . . K.... ✻ .... ~ x(t) .. .. .... ..✗. .. ...

~ x(a)■

x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt

x(t) δ(t) |~x˙ (t)| dt, sy und sz analog!

a2 (t) δ(t) |~x˙ (t)| dt

a = a(t) ist der Abstand des Kurvenpunktes ~ x(t) von der Achse A (Seite 151).

Ist δ ≡ 1, so ist M die Kurvenl¨ ange und S der geometrische Schwerpunkt der Kurve!

11.1

Kurven, Fl¨achen, K¨orper

149

y

f (x)

sy

•

~ x(b)

S

~ x(a)

F sx

F =

Z b a

F

F b

x

~ x(a) x


f (x) − g(x) dx

F =

Schwerpunkt1) S = (sx , sy ) Z
1 b sx = x f (x) − g(x) dx , F a

Z b a

Parameterdarst.   x(t) ~x = ~x(t) = y(t) a≤t≤b Polarkoordinaten r = r(ϕ)

1 F =2

sy =

F =

α≤ϕ≤β

1 2

Z b a

Z β α

a

x(t) · y(t) ˙ dt

y

~ x(b)

F

r(β)

(xy˙ − xy) ˙ dt

~x(t)

r(ϕ) ~ x(a) β

r2 (ϕ) dϕ

α

r(α) x

”Fl¨ache zur Linken! ”

F

F

M =

Z

F

1 sy = M

1)

Z b

Fl¨ achen in der Ebene, allgemeiner Fall Z Z d(x, y) dF = F =

Schwerpunkt1) 1 sx = M S = (sx , sy )

Tr¨ agheits– moment

F =

Z b
1 f 2 (x) − g 2 (x) dx 2F a

Ist das Fl¨ achenst¨ uck mit Masse der Dichte δ(x, y) belegt, so gilt:

Masse1)

x

− y(t) · x(t) ˙ dt

Sektorformel

Fl¨ ache

~x(t)

~ x(b)

~x(t)

g(x)

a

y

Fl¨ achen in der Ebene

y

TA =

Z

F

δ(x, y) d(x, y) Z Z

F F

y

F

x δ(x, y) d(x, y) x

y δ(x, y) d(x, y)

a2 (x, y) δ(x, y) d(x, y)

a = a(x, y) ist der Abstand des Punktes (x, y) von der Achse A (Seite 151).

Ist δ ≡ 1, so ist M der Fl¨ acheninhalt und S der geometrische Schwerpunkt der Fl¨ ache!

150

11 ANWENDUNGEN Fl¨ achen im Raum

Fl¨ ache F : Gegeben explizit als Graph einer Funktion z = f (x, y) , (x, y) ∈ B; Normalenvektor: ~n = (−fx (x, y), −fy (x, y), 1) q Fl¨ achenelement: dF = 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) d(x, y) Z q Z 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) d(x, y) dF = Fl¨ ache F = B

F

Ist das Fl¨ achenst¨ uck mit Masse der Dichte δ = δ(x, y) belegt, so gilt: 1)

Masse

q δ(x, y) 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) d(x, y) B Z q 1 = M xδ(x, y) 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) d(x, y),

M =

Schwerpunkt1) sx S = (sx , sy , sz ) Tr¨ agheits– moment

Z

sy , sz analog!

B

TA =

Z

q a2 (x, y)δ(x, y) 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) d(x, y)

B a = a(x, y) ist der Abstand des Fl¨ achenpunktes (x, y, f (x, y)) von der Achse A (S. 151).

Fl¨ achen im Raum, allgemeiner Fall   Fl¨ ache F : Gegeben durch Parameterdarstellung xu xv   Jacobische: J = yu yv  = (~xu , ~xv ) x(u, v)   zu zv ~x(u, v) = y(u, v) , (u, v) ∈ B; Normalenvektor: ~n = ~xu × ~xv z(u, v)

skalares dF = |~ xu × ~ xv | d(u, v) = |(yu zv −yv zu , xv zu −xu zv , xu yv −xv yu )|d(u, v) Fl¨ achenelement

Metrische Fundamentalgr¨oßen der Fl¨ache F (abh¨angig von der Parameterdarst.): E = ~x2u = |~xu |2 , F = ~xu ·~xv , G = ~x2v = |~xv |2 , g = EG−F 2 = (~xu ×~xv )2 = ~n2 = |~n|2 . Die Parameterdarstellung von F ist

Fl¨ ache

F =

Z

F

winkeltreu fl¨ achentreu

⇐⇒ E = G, F = 0, ⇐⇒ g ≡ 1. ~n = ~ xu ×~ xv

Z Z dF = |~n| d(u, v) = |~xu × ~xv | d(u, v) B

xv ~

B

xu ~

Ist das Fl¨ achenst¨ uck
~ x(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , (u, v) ∈ B mit Masse belegt und ist die Massendichte δ = δ(u, v), so gilt: 1)

Masse

Z

~ x(u, v) •

Tangentialebene δ(u, v) |~xu × ~xv | d(u, v) im Punkt ~ x(u, v) Z 1 x(u, v) δ(u, v) |~xu × ~xv | d(u, v), sy , sz analog! = M B Z a = a(u, v): Abstand des a2 (u, v) δ(u, v) |~xu × ~xv | d(u, v) Fl¨achenpunktes ~x(u, v) =

M =

B

Schwerpunkt1) sx S = (sx , sy , sz ) Tr¨ agheits– moment 1)

TA

B

von der Achse A (S. 151).

Ist δ ≡ 1, so ist M der Fl¨ acheninhalt und S der geometrische Schwerpunkt der Fl¨ ache!

11.1

Kurven, Fl¨achen, K¨orper

151 K¨ orper im Raum

K¨orper K :

~x

Jacobische Matrix: Jx Volumenelement:

Volumen

dV

V =

  x(u, v, w) = y(u, v, w)  , (u, v, w) ∈ B z(u, v, w)   xu xv xw dB = d(u, v, w) = yu yv yw  = (~xu , ~xv , ~xw ), zu zv zw xu xv xw Determinante = | yu yv yw | dB = | ~xu , ~xv , ~xw | dB, der Jacobischen, zu zv zw siehe Seite 147 Z Z Z | ~xu , ~xv , ~xw | d(u, v, w) dV = | ~xu , ~xv , ~xw | dB = K

B

B


Ist der K¨ orper ~ x(u, v, w) = x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) , (u, v, w) ∈ B mit Masse belegt und ist die Massendichte δ = δ(u, v, w), so gilt:

Masse1) Schwerpunkt1) S = (sx , sy , sz ) Tr¨ agheits– moment 1)

Z δ | ~xu , ~xv , ~xw | dB, dB = d(u, v, w) δ dV = B K Z Z 1 1 sx = M xδ dV = M x δ | ~xu , ~xv , ~xw | dB, sy , sz analog! K B a = a(u, v, w): AbZ Z stand des K¨ orperpunk2 2 TA = a δ dV = a δ | ~xu , ~xv , ~xw | dB tes ~x(u, v, w) von der M =

Z

B

K

Achse A (siehe unten).

Ist δ ≡ 1, so ist M das Volumen und S der geometrische Schwerpunkt des K¨ orpers!

Berechnung von a2 bei Rotation um x–Achse y–Achse z–Achse Ursprung

ebene Kurven/Fl¨ achen

r¨ aumliche Kurven/Fl¨ achen/K¨ orper

a2 = y 2 a2 = x2 a2 = x2 + y 2

a2 a2 a2 a2

= y2 + z2 = x2 + z 2 = x2 + y 2 = x2 + y 2 + z 2

Prinzip von Cavalieri Ist M ein r¨ aumlicher Bereich mit Volumen V (M ), sind z0 bzw. z1 minimaler bzw. maximaler z–Wert in M und ist c eine Konstante zwischen z0 und z1 und F (c) der Fl¨ acheninhalt der Schnittfl¨ache von M mit der Ebene z = c, so gilt: Beispiel Volumen der Rotationsparaboloidkappe M = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z ≤ h} F (z) = πz, z0 = 0, z1 = h Z h ih h π 1 V (M ) = πz dz = π 2 z 2 = 2 h2 0 0

V (M ) =

Z z 1 z0

F (z) dz

z h F (c)

c

y √

c

x

152

11 ANWENDUNGEN y

Mantelfl¨ ache eines Rotationsk¨ orpers In der x, y–Ebene sei ein Kurvenst¨ uck gegeben. Die durch Rotation dieser Kurve um die x– bzw. y–Achse entstehende Rotationsfl¨ ache (ohne Boden– und Deckelkreis) hat den Fl¨ acheninhalt F :

Kurve

Rotationsachse

y = f (x) ≥ 0 a≤x≤b   x(t) ~x = y(t) a≤t≤b

x–Achse y(t) ≥ 0

x–Achse

x(t) ≥ 0

y–Achse

y = f (x)

a

x

b

Rotation um x–Achse

Mantelfl¨ ache F = 2π

Z b

F = 2π

Z b

F = 2π

a

a

Z b a

p f (x) 1 + f ′2 (x) dx p y(t) x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) dt

p x(t) x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) dt

1. Guldinsche Regel

L

Ein ebenes Kurvenst¨ uck der L¨ ange L rotiere um eine in dieser Ebene liegende Achse, die das Kurvenst¨ uck nicht schneidet. Ist d der Abstand des Schwerpunkts S des Kurvenst¨ ucks von der Drehachse, dann gilt f¨ ur den Fl¨ acheninhalt F der Rotationsfl¨ ache: (ohne Boden– und Deckelkreis) F = 2πd · L

S d

a

b

Rotationsfl¨ ache = L¨ ange des Weges des Schwerpkts. × L¨ ange der erzeugenden Kurve.

Volumen eines Rotationsk¨ orpers In der x, y–Ebene sei ein Kurvenst¨ uck gegeben. Der durch Rotation der Fl¨ ache F , die zwischen dieser Kurve und der x–Achse liegt, um die x–Achse bzw. y–Achse entstehende K¨ orper hat das Volumen V :

Kurve y = f (x) ≥ 0 a≤x≤b

y

y = f (x) F a

b

x

Volumen

Volumen

Rotation um y–Achse

Rotation um x–Achse

V = 2π

Z b a

xf (x) dx

V =π

2. Guldinsche Regel Ein ebenes Fl¨ achenst¨ uck vom Fl¨ acheninhalt F rotiere um eine in dieser Ebene liegende Achse, die das Fl¨ achenst¨ uck nicht schneidet. Ist d der Abstand des Schwerpunkts S des Fl¨ achenst¨ ucks von der Drehachse, dann gilt f¨ ur das Volumen V des Rotationsk¨ orpers:

F

Z b a

f 2 (x) dx

S d

V = 2πd · F

Rotationsvolumen = L¨ ange des Weges des Schwerpkts. × Inhalt der erzeugenden Fl¨ ache.

153

12

Vektoranalysis und Integrals¨ atze

12.1

Vektoranalysis Koordinatensysteme y

✻

ebene Polarkoordinaten

❖

x = r cos ϕ y = r sin ϕ

y

~ x ✿

r ϕ

~v

............ ................ .... .. .. ... ... ... ... .

vϕ ..................... ~eϕ

✣

Basisvektoren:

✿ vr ~er

✲

x

x

~er = (cos ϕ, sin ϕ) ~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ)

Ist ~v = vr e~r + vϕ e~ϕ , so heißen vr , vϕ Polarkoordinaten des Vektors ~ v. Umrechnung: kartesische Koordinaten vx , vy ←→ Polarkoordinaten vr , vϕ           cos ϕ sin ϕ cos ϕ − sin ϕ vr vx vx vr = = , − sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ vϕ vy vy vϕ Zylinderkoordinaten x = r cos ϕ y = r sin ϕ z =z x x✙

....................... .......... ........ ........... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .... ........ ........ϕ ..................................... . . . . . . . . . . . ........ . . z . . . . . . . . . . . . . . ....... ............... ............. ........ ϕ.. . . . ........ . . . . . . ........ .. .......... ............................... ........ .................................. ......... ................................ .... ............. . . . . ............r... .... ....... ........ .... ........ ........... .... ........ .......... .... .......... ........ .... ........ .................... ........... ...... ........ ........ r ........ ....

z ... ........... ✻ vz ............................... .

v ~e z ✻~e ✶ ϕ r ✒ ❥~e ~ x y✲ y ϕ r

~v

v

✲

Basisvektoren: ~er = (cos ϕ, sin ϕ, 0) ~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) ~ez = (0, 0, 1)

v. Ist ~v = vr e~r + vϕ e~ϕ + vz e~z , heißen vr , vϕ , vz Zylinderkoord. des Vektors ~ Umrechnung: kartesische    vx cos ϕ − sin ϕ vy = sin ϕ cos ϕ vz 0 0 Kugelkoordinaten θ Polabstand, F 2

Koordinaten vx , vy , vz ←→ Zylinderkoordinaten vr , vϕ , z        cos ϕ sin ϕ 0 0 vr vr vx 0vϕ  , vϕ =− sin ϕ cos ϕ 0vy  0 0 1 1 vz vz vz vρ z

.......... ✻ ~eρ vϕ ..............~v.....✶ ~eϕ .......................... . ✣✯ Basisvektoren: x = ρ sin θ cos ϕ .............. ............ ................. ........................... ϕ y = ρ sin θ sin ϕ θ ✣~ x ~eθ ~eρ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ρ ❯ z = ρ cos θ ✲ .......... .......... .................... . . . . . . . . ~ . . ... ϕ ....... y eθ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ) .......... ........... ........... vθ ........... ..✙ ~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) x

Ist ~v = vρ e~ρ + vθ e~θ + vϕ e~ϕ , heißen vρ , vθ , vϕ Kugelkoordinaten des Vektors ~ v. Umrechnung: kartesische Koordinaten vx , vy , vz ←→ Kugelkoordinaten vρ , vθ , vϕ



         vx vρ sinθ cosϕ cosθ cosϕ − sinϕ vρ vx sinθ cosϕ sinθ sinϕ cosθ  vy = sinθ sinϕ cosθ sinϕ cosϕ vθ  ,  vθ =cosθ cosϕ cosθ sinϕ − sinθ  vy  cos θ − sin θ 0 vz − sin ϕ cos ϕ 0 vϕ vϕ vz

¨ 12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSATZE

154

Gradient eines Skalarfeldes, Richtungsableitung Ist f : IR3 → IR ein Skalarfeld, so ist grad f : IR3 → IR3 ein Vektorfeld.  ∂f ∂f ∂f  = ∇f , , grad f = Gradient von f ∂x ∂y ∂z Darstellung des Gradienten in

kartesischen Koordinaten: grad f = Zylinderkoordinaten:

grad f =

Kugelkoordinaten:

grad f = ~a

f (~x+t |~a| )−f (~x) ∂f (~ x ) = lim ∂~a t t→0

∂f e~ + ∂x x ∂f e~ + ∂r r ∂f e~ + ∂ρ ρ

∂f ∂f e~ + ∂z e~z ∂y y ∂f 1 ∂f e~ + ∂z e~z r ∂ϕ ϕ 1 ∂f 1 e~ + ρ sin ρ ∂θ θ θ

∂f ∂ϕ e~ϕ

Richtungsableitung von f an der Stelle ~ x in Richtung des Vektors ~a 6= ~o. Zur Normierung siehe auch Seite 140.

Ist f in ~x differenzierbar, gilt f¨ ur die Richtungsableitung
∂f ~a (~ x ) = grad f (~ x ) · = | grad f (~ x )| · cos ϕ mit ϕ =< ) grad f (~ x ), ~ a . ∂~a |~a| Richtungsableitung = Gradient mal Einheitsvektor Geometrische Eigenschaften von Gradient und Richtungsableitung:
Ist ϕ =< ) grad f (~ x), ~a der Winkel zwischen grad f (~ x) und ~a, so gilt: • Die Richtungsableitung ist maximal f¨ ur ϕ = 00 : Der Gradient zeigt in Richtung maximalen Anstiegs!

• Die Richtungsableitung ist 0 f¨ ur ϕ = 900 : Der Gradient steht senkrecht auf der zu ~ x geh¨ orenden Niveaulinie/Niveaufl¨ ache.

Jacobi–Matrix eines Vektorfeldes, Vektorgradient
Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v (~x) = vx (~x) , vy (~x) , vz (~x) ein Vektorfeld, so heißt   ∂v ∂v ∂v  J~v =  

x

x

x

∂x ∂vy ∂x ∂vz ∂x

∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y

∂z ∂vy ∂z ∂vz ∂z

(~a grad) ~v = lim

t→0

  

~ v (~ x+t~a)−~ v (~ x) t

Jacobi–Matrix von ~ v

Vektorgradient von ~v an der Stelle ~ x nach dem Vektor ~a

Ist ~v in ~x differenzierbar, d.h. sind vx , vy , vz in ~x differenzierbar, so gilt:
(~a grad) ~v (~x) = J~v (~x) · ~a = grad vx (~x) · ~a , grad vy (~x) · ~a , grad vz (~x) · ~a Vektorgradient = Jacobi–Matrix mal Vektor

(~a grad) ~v =

1 rot(~v ×~a) + grad(~v ·~a) + ~a div ~v 2

− ~v div ~a − ~a ×rot ~v − ~v ×rot~a



12.1 Vektoranalysis

155 Divergenz eines Vektorfeldes


Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v = vx (~x) , vy (~x) , vz (~x) ein Vektorfeld, so ist div ~v : IR3 → IR ein Skalarfeld. ∂vy ∂v ∂v div ~v = ∂xx + ∂y + ∂zz = ∇ · ~v Divergenz von ~v  Quelle div ~v (~x) > 0 Eine Stelle ~x heißt , falls ist. Senke div ~v (~x) < 0

~v heißt in G quellenfrei, wenn div ~v (~x) = 0 ist f¨ ur alle ~x ∈ G. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten: div ~v = Zylinderkoordinaten:

div ~v =

Kugelkoordinaten:

div ~v =

∂v ∂vx z + ∂yy + ∂v ∂x ∂z ∂v 1 ∂(rvr ) z + 1r ∂ϕϕ + ∂v r ∂r ∂z 2 1 ∂(sin θ vθ ) 1 ∂(ρ vρ ) + ρ sin ρ2 ∂ρ θ ∂θ

+

1 ∂vϕ ρ sin θ ∂ϕ

Rotation eines Vektorfeldes
Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v = vx (~x) , vy (~x) , vz (~x) ein Vektorfeld, so ist rot ~v : IR3 → IR3 ein Vektorfeld.   ∂vy ∂v ∂vy ∂v ∂v ∂v rot ~v = ∂yz − ∂z , ∂zx − ∂xz , ∂x − ∂yx = ∇ × ~v Rotation von ~v Entsprechend zum Kreuzprodukt von Vektoren merkt man sich rot ~v als: e~x e~y e~z   ∂vy ∂vy ∂vx ∂vz ∂vx z . − , − , − rot ~v = ∂∂x ∂∂y ∂∂z = ∂v ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y vx vy vz

~v heißt wirbelfrei in G, wenn rot ~v = ~0 ist f¨ ur alle ~x ∈ G.

rot ~v = ~0 ist die vektorielle Schreibweise der Integrabilit¨atsbedingung (Seite 158). Ein in einem einfach zusammenh¨ angenden Gebiet G wirbelfreies Feld ist dort notwendigerweise konservativ! Darstellung der Rotation in

∂v
∂v ∂vz z x x − ∂zy e~x + ∂v − ∂v e~y + ∂xy − ∂v e~z ∂y ∂z ∂x ∂y


∂v ∂(rv ) 1 ∂vz z r r − ∂zϕ e~r + ∂v − ∂v e~ϕ + 1r ∂rϕ − 1r ∂v e~ r ∂ϕ ∂z ∂r ∂ϕ z

kartesischen Koordinaten: rot ~v = Zylinderkoordinaten: rot ~v = Kugelkoordinaten: rot ~v =

∂(vϕ sin θ) ∂vθ
1 − ∂ϕ e~ρ ρ sin θ ∂θ

+

1 ∂vρ 1 ∂(ρ·vϕ )
− ρ ∂ρ e~θ ρ sin θ ∂ϕ

+

1 ∂(ρvθ ) 1 ∂vρ
− ρ ∂θ e~ϕ ρ ∂ρ

¨ 12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSATZE

156

Nabla–Operator ∇ Der Nabla–Operaror ∇ ist ein formaler (Differential–) Operator, mit dem sich die Operationen grad, div, rot in einheitlicher Form schreiben: ∂ ∂
∂ , , ∂x ∂y ∂z

∇=

Nabla

f = f (x, y, z) sei Skalarfeld und ~v = ~v (x, y, z) = (vx , vy , vz ) Vektorfeld: ∂f ∂f ∂f
∇f = ∂x , ∂y , ∂z = grad f Produkt aus ∇ und f, ∂v

∂vx z + ∂yy + ∂v = div ~v ∂z ∂x e~x e~y e~z ∂ ∂ ∂ ∇ × ~v = ∂x v ∂y ∂z = rot ~ vx vy vz

∇ · ~v =

Skalarprodukt

aus ∇ und ~v ,

Vektorprodukt

aus ∇ und ~v .

Der Operator ∇ ist als Vektor aufzufassen, so erkl¨aren sich folg. Regeln (λ, µ ∈ IR): grad(λf + µg) = ∇(λf + µg)

= λ∇f + µ∇g = λ grad f + µ grad g

div(λ~u + µ~v ) = ∇ · (λ~u + µ~v ) = λ∇ · ~u + µ∇ · ~v = λ div ~u + µ div ~v rot(λ~u + µ~v ) = ∇ × (λ~u + µ~v ) = λ∇×~u + µ∇×~v = λ rot ~u + µ rot ~v Laplace–Operator ∆ Ist f : IR3 → IR ein Skalarfeld, kann man div(grad f ) bilden: ∆f = div(grad f ) =

∂2f ∂x2

+

∂2f ∂y 2

+

∂2f ∂z 2

Laplace–Operator

L¨ osungen der Laplace–Gleichung ∆f = 0 heißen harmonische Funktionen. Skalarfelder f (x, y, z), die der Laplace–Gleichung ∆f = 0 gen¨ ugen, sind interessant, da ihre Gradientenfelder F~ = grad f (1) wegen div F~ = div(grad f ) = ∆f = 0 quellenfrei sind (2) wegen rot F~ = rot(grad f ) = ~o wirbelfrei sind Darstellung des Laplace–Operators in kartesische Koordinaten: ∆f =

∂2f ∂x2

Polarkoordinaten:

∆f =

1 ∂f r ∂r

+

∂2f ∂r 2

+

1 ∂2f r 2 ∂ϕ2

Zylinderkoordinaten:

∆f =

1 ∂f r ∂r

+

∂2f ∂r 2

+

1 ∂2f r 2 ∂ϕ2

+

∂2f ∂z 2

Kugelkoordinaten

∆f =

2 ∂f ρ ∂ρ

+

∂2f ∂ρ2

+

1 ∂2f ρ2 ∂θ2

+

∂f 1 ρ2 tan θ ∂θ

+

∂2f ∂y 2

+

∂2f ∂z 2

+

∂2f 1 ρ2 sin2 θ ∂ϕ2

12.1 Vektoranalysis

157 Rechenregeln f¨ ur grad, div, rot f, g ~u, ~v

Die Operatoren sind linear: grad(f + g) = grad f + grad g div(~u + ~v ) = div ~u + div ~v rot(~u + ~v ) = rot ~u + rot ~v

und und und

Skalarfelder Vektorfelder grad(λf ) = λ grad f mit λ ∈ IR div(λ~v ) = λ div ~v mit λ ∈ IR rot(λ~v )

= λ rot ~v mit λ ∈ IR

Produktregeln: grad(f g) = f grad g + g grad f grad(~u · ~v ) = (~u grad)~v + (~v grad)~u + ~u × rot ~v + ~v × rot ~u = Ju~ ~v + J~v ~u + ~u × rot ~v + ~v × rot ~u div(f~v ) = f div ~v + (grad f ) · ~v rot(f~v ) = f rot ~v + (grad f ) × ~v div(~u × ~v ) = −~u · rot ~v + ~v · rot ~u rot(~u × ~v ) = (~v grad)~u − (~u grad)~v + ~u div ~v − ~v div ~u = Ju~ ~v − J~v ~u + ~u div ~v − ~v div ~u

Vektorgradient (~a grad) ~v siehe Seite 154

Wiederholte Anwendung: div(grad f ) = ∆f (Laplace–Operator) rot(grad f ) = ~o (Potentialfelder sind wirbelfrei) div(rot ~v ) = 0 (Wirbelfelder sind quellenfrei) rot(rot ~v ) = grad(div ~v ) − (∆vx , ∆vy , ∆vz )

Maxwellsche Gleichungen ρ ~ B ~ H ~ J ~ D ~ E

1 2 3 4

Ladungsdichte magn. Flußdichte magn. Erregung elektr. Stromdichte elektr. Flußdichte elektr. Feldst¨ arke

Amp`eresches Verkettungsgesetz Faradaysches Induktionsgesetz elektr. Ladungen als ~ Quellen des D–Feldes Fehlen magnetischer Ladung

~ D ~ = εE, ~ B ~ = µH, ~ J~ = σ E,

σ, ε, µ Materialkonstante:

σ ε µ

Leitf¨ ahigkeit Dielektrizit¨ atskonstante Permeabilit¨ atskonstante

V F

r¨ aumlicher Bereich mit Randfl¨ ache A, Fl¨ ache im Raum mit Randkurve C.

Integralform Z ~˙ dF~ ~ d~x = (J~ + D) H FZ ZC ~˙ dF~ ~ B E d~x = − ZC Z F ~ ~ ρ dV (= Q) D dA = V ZA ~ dA ~ = 0 B Z

Differentielle Form ~ = J~ + D ~˙ rot H ~ = −B ~˙ rot E ~ =ρ div D ~ =0 div B

A

Die differentielle Form ergibt sich aus der Integralform durch • Anwendung des Stokeschen Integralsatzes bei Regel 1 und 2, • Anwendung des Gaußschen Integralsatzes bei Regel 3 und 4.

¨ 12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSATZE

158

Potentialfelder , Potentialfunktion
Ein Vektorfeld ~v : IR3 → IR3 mit ~v (~x) = vx (~x) , vy (~x) , vz (~x) heißt

Potentialfeld oder Gradientenfeld oder konservativ, wenn ein Skalarfeld f : IR3 → IR existiert mit

~v (~x) = grad f (~x).

f heißt dann Potentialfunktion oder Stammfunktion von ~v . Ist ~v ein Vektorfeld, so sind ¨aquivalent : • ~v ist Potentialfeld R • das Kurvenintegral H K ~v d~x ist wegunabh¨angig • Kurvenintegrale ~v d~x u ¨ ber geschlossene Wege sind 0 ∂vy ∂vy ∂vx ∂vz ∂vx ∂vz ∂z = ∂y , ∂y = ∂x , ∂z = ∂x

Integrabilit¨ atsbedingung f¨ ur ~v

~v gen¨ ugt der Integrabilit¨atsbedingung ⇐⇒ rot ~v = ~o (~v ist wirbelfrei) ⇐⇒ J~v = J~v⊤ (Jacobi–Matrix von ~v ist symmetrisch) Ist G ein Gebiet (offen, zusammenh¨angend) im IR3 , so gilt: ~v ist Potentialfeld in G =⇒ ~v gen¨ ugt der Integrabilit¨atsbedingung in G. Ist G ein einfach zusammenh¨ angendes Gebiet, so gilt: ~v ist Potentialfeld in G ⇐⇒ ~v gen¨ ugt der Integrabilit¨ atsbedingung in G.

Ist ~v Potentialfeld mit Potentialfunktion f , ist also ~v = grad f , und ist K eine die Punkte P , Q verbindende Kurve, so gilt (vgl. Hauptsatz, Seite 96): Z ~v d~x = f (Q) − f (P ) ( Potentialdifferenz) K

Ist ~v = (vx , vy , vz ) Potentialfeld und K eine Kurve in G, die den festen Anfangspunkt x~0 = (x0 , y0 , z0 ) mit dem variablen Punkt ~x = (x, y, z) verbindet, so ist Z z Z y Z x Z ~x vz (x, y, t) dt vy (x, t, z0 ) dt + vx (t, y0 , z0 ) dt + ~v (~x) d~x = f (~x) = z0

y0

x0

x~0

eine Potentialfunktion von ~v .

−y x
ullt die Int–bed. in der gelochten ~v (x, y) = x2 +y2 , x2 +y2 erf¨ Ebene IR2 \ {(0, 0)} (nicht einfach zusammenhgd!); ist aber dort kein Potentialfeld.

Beispiel: Magnetfeld

∂vy

∂v

y 2 −x2

∂v

∂vy

Die Int–bed. f¨ ur die Ebene ist ∂yx = ∂x . Man berechnet: ∂yx = (x2 +y2 )2 = ∂x .   ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π: Integration von ~v l¨ angs des geschloss. Einkeitskreises EK: ~ x(ϕ) = cos sin ϕ    R 2π R  R R ˙ (ϕ) dϕ = 2π − sin ϕ · − sin ϕ dϕ = 2π dϕ = 2π 6= 0. ~ v d~ x = ~ v (~ x (ϕ)) · ~ x EK 0 0 0 cos ϕ cos ϕ Beispiel: Gravitationsfeld

~v (x, y, z) =

(x,y,z) erf¨ ullt die Int–bed. in dem (x2 +y 2 +z 2 )3/2

gelochten Raum IR3 \ {(0, 0, 0)} (einfach zhgd!). Man berechne eine Potentialfunktion. ∂f

1

∂f

1

∂f

1

Kugelkoordinaten: grad f = ∂ρ e~ρ + ρ ∂θ e~θ + ρ sin θ ∂ϕ e~ϕ = ~v = ρ2 e~ρ + 0e~θ + 0e~ϕ ∂f

1

∂f

∂f

1

−1

ist Potentialfkt. Koordinatenvergleich: ∂ρ = ρ2 , ∂θ = ∂ϕ = 0 =⇒ f = − ρ = √ x2 +y 2 +z 2

12.1 Vektoranalysis

159 Kurvenintegrale Das Kurvenintegral

Z

f ds

K

Ist f : IR3 → IR Skalarfeld und ~x = (x, y, z) und K = {~x(t) | a ≤ t ≤ b} eine Kurve im IR3 , so ist Z b Z b Z p ˙ f (~x(t)) x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) + z˙ 2 (t) dt. f (~x(t)) · |~x(t)| dt = f ds = K

a

a

p ds = |~x˙ (t)| dt = x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) + z˙ 2 (t) dt heißt skalares Bogenelement. Z b |~x˙ (t)| dt. F¨ ur f ≡ 1 ergibt sich die Bogenl¨ ange L des Kurvenst¨ ucks K: L = a

Das Kurvenintegral

Z

~ v d~ x

(Arbeitsintegral)

K

Ist ~v = (vx , vy , vz ) : IR3 → IR3 Vektorfeld und ~x = (x, y, z) und K = {~x(t) | a ≤ t ≤ b} eine Kurve im IR3 , so ist     Z b vx (~x(t)) Z Z b x(t) ˙ vy (~x(t)) · y(t) ˙  dt. ~v (~x(t)) · ~x˙ (t) dt = ~v d~x = a a K vz (~x(t)) z(t) ˙

d~x = ~x˙ (t) dt heißt vektorielles Bogenelement. H Ist K geschlossene Kurve, ist K ~v d~x die Zirkulation des Vektorfeldes ~v l¨angs K.

Sind ~v = (vx , vy , vz ) und ~x = (x, y, z) in kartesischen Koordinaten gegeben, so ist dx = x˙ dt, dy = y˙ dt, dz = z˙ dt und das Kurvenintegral schreibt sich parameterfrei: Z Z vx dx + vy dy + vz dz. ~v d~x = K

K

Bezeichnet ~t das Feld der Tangenteneinheitsvektoren von K, so besteht zwischen den Integraltypen folgender Zusammenhang: Z Z ~v d~x = (~v · ~t ) ds. K

K

Um Kurvenintegrale f¨ ur ebene Kurven zu berechnen, setzt man z(t) ≡ 0.

−y x
Man berechne die Zirkulation des Feldes ~v (x, y) = x2 +y2 , x2 +y2 l¨ angs des Einheitskreises K. I I    x dy
−y dx cos t , t ∈ [0, 2π] Einheitskreis + und K = ~ x ∈ IR2 | ~ x= ~v d~ x= x2 +y 2 x2 +y 2 sin t K K     − sin t cos t ist x2 +y 2 = 1 , und es ergibt sich: und ~ x˙ (t) = mit ~ x(t) = cos t sin t Z 2π Z 2π
= (− sin t)(− sin t) + cos t · cos t dt = dt = 2π. 0 0

Beispiel

¨ 12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSATZE

160

Oberfl¨ achenintegrale Das Oberfl¨ achenintegral

Z

f dF

F

Ist f : IR3 → IR Skalarfeld und F = {~x(u, v) | (u, v) ∈ B} Fl¨ache im IR3 , so ist Z Z
f dF = f ~x(u, v) |~xu (u, v) × ~xv (u, v)| d(u, v). F B    ∂x     ∂x  xu xv  ∂u   ∂v  sind Tangentenvektoren an ~xu =  yu  =  ∂y  , ~xv =  yv  =  ∂y  ∂u ∂v die Koordinatenlinien auf F . ∂z ∂z zu zv ∂u

∂v

~n = ~xu × ~xv

ist Normalenvektor an F .

dF = |~xu × ~xv | d(u, v) heißt skalares Fl¨ achenelement. Z |~xu (u, v) × ~xv (u, v)| d(u, v). F¨ ur f ≡ 1 ergibt sich der Fl¨ acheninhalt: A = B

Das Oberfl¨ achenintegral

Z

~ ~ v dF

(Flußintegral)

F

Ist ~v : IR3 → IR3 Vektorfeld und F = {~x(u, v) | (u, v) ∈ B} Fl¨ache im IR3 , so ist Z Z

~v ~x(u, v) · ~xu (u, v) × ~xv (u, v) d(u, v). ~v dF~ = F

B




dF~ = ~xu × ~xv d(u, v) heißt vektorielles Fl¨ achenelement.

Das Vorzeichen ist ggf. der vorgegebenen Normalenrichtung anzupassen! Bezeichnet ~n das Feld der a¨ußeren Normaleneinheitsvektoren von F , so besteht zwischen den Integraltypen folgender Zusammenhang : Z Z ~v dF~ = (~v · ~n) dF . F

F


−x Man berechne den Fluß des Feldes ~v (x, y, z) = 2 , −y, −z 2 2 2 durch die Paraboloidkappe F = {(x, y, z) | z = x + y , x + y 2 ≤ 1}.         −2x 0 1 x xx × ~ xy =  0  ×  1  =  −2y . ~ x =  y  =⇒ ~ 2 2 1 2y 2x x +y     −2x −x/2 ~ = y 2 d(x, y). ~v (~ x) · (~ xx × ~ xy ) =  −y  ·  −2y  = y 2 =⇒ ~v · dF 2 2 1 −x −y Z Z Z 2π Z 1
1 ~ = ~v dF y 2 d(x, y) = r 2 · sin2 ϕ · r dr dϕ = 4 π. 2 2 F x +y ≤ 1 0 0 Beispiel

12.2 Wichtige Felder

12.2

161

Wichtige Felder

Kugelsymmetrische Felder p ρ=

Coulombfeld Gravitationsfeld

x2 + y 2 + z 2

~v (x, y, z)

√ (x,y,z) 2 2

(x, y, z)

x +y ~x ||~x||

(x,y,z) (x2 +y 2 +z 2 )3/2 ~x 1 · ||~x||2 ||~x|| 1 ( ρ2 , 0, 0) IR3 \ {~o} ja

(ρ, 0, 0)

(1, 0, 0)

IR3 ja

IR3 \ {~o} ja

IR3 \ {~o} ja

~x

Kugelkoord.

(x,y,z) x2 +y 2 +z 2 ~x 1 · ||~x|| ||~x|| 1 ( ρ , 0, 0)

~v (~x) ~v (ρ, θ, ϕ)

+z 2

Def.bereich einf. zushg.

(Newton–Potential)

= 12 ||~x||2 = 21 ρ2

= ||~x|| = ρ

= ln ||~x|| = ln ρ

Kurvenintegral wegunabh¨ angig

−1 x2 +y 2 +z 2 −1 −1 = ||~x|| = ρ

ja

ja

ja

ja

div ~v

3

2

2 2 = ||~x|| = ρ

1 x2 +y 2 +z 2 1 1 = ||~x||2 = ρ2

~o

~o

Potential

p p 1 2 2 2 2 +y 2 +z 2 ln (x +y +z ) x x2 +y 2 +z 2 2

Φ(x, y, z)

rot ~v

√

x2 +y 2 +z 2

~o

Achsialsymmetrische Felder p r=

~v (x, y, z)

Zylinderkoord.

~v (r, ϕ, z) Def.bereich einf. zushg.

x2 + y 2

~o

(x, y, 0)

√(x,y,0) 2 2 x +y

(x,y,0) x2 +y 2

(−y,x,0) x2 +y 2

(r, 0, 0)

(1, 0, 0)

1 ( r , 0, 0)

(0, 1r , 0)

IR3 ja

IR3 \ {(0, 0, z)} IR3 \ {(0, 0, z)} nein nein

= 12 r2

p x2 + y 2

Kurvenintegral wegunabh¨ angig

ja

div ~v rot ~v

Φ(x, y, z)

0

elektr. Feld Magnetfeld geladener Draht stromdurchfl. Leiter

log. Potential Potential

√

1 2 (x 2

2

+y )

ln

p x2 + y 2

IR3 \ {(0, 0, z)} nein lokal: y

arctan x , x 6= 0

= ln r

− arctan xy , y 6= 0

ja

ja

nein

2

1 r

0

0

~o

~o

~o

~o

=r

¨ 12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSATZE

162

12.3

Integrals¨ atze GAUSSscher Integralsatz in der Ebene IR2 y

~n

B K

x

B ⊆ IR2 sei ein ebener Bereich mit st¨ uckweise glatter Randkurve K. K wird so durchlaufen, daß B stets links liegt.
Ist das Vektorfeld ~v : IR2 → IR2 mit ~v (x, y) = P (x, y), Q(x, y) stetig differenzierbar, so gilt: Z  I I ∂Q ∂P  1. Fassung dB = (P dx + Q dy) = ~v d~x − ∂x ∂y B K K Integral der Wirbeldichte ist gleich der Zirkulation l¨ angs des Randes.

2. Fassung

Z

B

div ~v dB =

~n =

I

K

(~v · ~n) ds

(y,− ˙ x) ˙ |(x, ˙ y)| ˙

ist

außerer Normalen– ¨ Einheitsvektor an K.

Integral der Quelldichte ist gleich dem Fluß durch den Rand.

GAUSSscher Integralsatz im Raum IR3 B ⊆ IR3 sei ein r¨ aumlicher Bereich mit st¨ u ckweise glatter Randfl¨ache F . Ist das Vektorfeld ~v : IR3 → IR3 stetig differenzierbar, so gilt: Z

B

div ~v dB =

Z

F

~v dF~ =

Z

F

~n = (~v · ~n) dF

±(~ xu ×~ xv ) ist |~ xu ×~ xv |

a ¨ußerer Normalen– Einheitsvektor an F .

Integral der Quelldichte ist gleich dem Fluß durch die Randfl¨ ache. Physikalische Deutung ~v sei das Geschwindigkeitsfeld einer station¨ aren Fl¨ u ssigkeitsstr¨ omung. div ~v (~ x0 ) ist ein Maß f¨ ur die im Punkte ~ x0 entstehende Fl¨ u ssigkeitsmenge: (div ~v (~ x0 ) > 0 : Quelle und div ~v (~ x0 ) < 0 : Senke) R ~ gibt die durch die Fl¨ Das Flußintegral ~v dF ache F pro Zeiteinheit hindurchtretende F

Fl¨ u ssigkeitsmenge an.

Der durch alle Quellen und Senken im Innern von B entstehende Fl¨ u ssigkeits¨ u berschuß (Bereichsintegral ) ist gleich dem Unterschied zwischen der durch F herein– bzw. hinausstr¨ omenden Fl¨ u ssigkeitsmenge (Oberfl¨ achenintegral ).

12.3 Integrals¨atze

163

Integralsatz von STOKES Es sei F eine st¨ u ckweise glatte, orientierte Fl¨ache mit st¨ u ckweise glatter, bez¨ u glich F positiv orientierter Randkurve K. ~n Ist ~v : IR3 → IR3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, Z I so gilt: rot ~v dF~ = ~v d~x. dabei ist

F K vektorielles Fl¨ achenelement Seite 160 , vektorielles Bogenelement Seite 159.

~ dF d~ x

Z

Oder:

(rot ~v · ~n) dF =

I

(~v · ~t ) ds.

F K Einheitsnormalenvektor von F Tangenteneinheitsvektor von K

dabei ist ~n ~t

F

K ~t

Der Fluß des Rotors durch die Fl¨ ache ist gleich der Zirkulation l¨ angs des Randes.

GREENsche Formeln Es sei V ⊆ IR3 ein r¨ aumlicher Bereich, der von einer st¨ u ckweise glatten, nach außen orientierten Fl¨ ache F berandet wird. Sind die reellen Funktionen f, g : IR3 → IR gen¨ u gend differenzierbar, so gilt: Z Z 1 (grad f · grad g + f div grad g) dV . (f grad g) dF~ = V

F

Mit Nablaoperator ∇ und Laplaceoperator ∆ lautet diese Formel: Z Z (∇f ∇g + f ∆g) dV . f ∇g dF~ = 1∗ F

V

Vertauschen von f und g und Differenzbildung ergibt: Z Z ~ 2 (f ∆g − g∆f ) dV . (f ∇g − g∇f ) dF = V

F

Bezeichnet ~n das a ¨ußere Einheitsnormalenfeld, so ist d F~ = ~n dF und ∂g ∂f = grad f · ~n, ∇g ~n = = grad g · ~n (Richtungsableitungen), also ∇f ~n = ∂~n ∂~n Z Z ∂f
∂g ∗ (f ∆g − g∆f ) dV . f ∂~n − g ∂~n dF = 2 V

F

F¨ ur f = 1 folgt aus 2 Z Z 3 ∆g dV . grad g · dF~ = F

V

164

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

13 13.1

Differentialgleichungen Kurvenschar, Existenz– und Eindeutigkeitssatz Differentialgleichungen und Kurvenscharen

Die L¨ osungsgesamtheit einer DGL ist im allgemeinen eine Kurvenschar. Umgekehrt l¨ asst sich zu gegebener Kurvenschar m¨oglicherweise eine DGL angeben, deren L¨ osungsgesamtheit die Schar enth¨alt. DGL einer Kurvenschar (1) Die Kurvenschar wird mittels eines Scharparameters c beschrieben, z.B. in der Form: F (x, y, c) = 0. (2) Differentiation nach x liefert eine zweite Gleichung. (3)

Elimination von c ergibt eine DGL f¨ ur die Kurvenschar. (Die L¨ osungsgesamtheit der DGL ist im allgemeinen umfassender als die gegebene Kurvenschar.) H¨ angt die Schar von mehreren Parametern ab, wird entsprechend oft differenziert. Orthogonale Trajektorien einer Kurvenschar F (x, y, c) = 0 (1) Man bestimmt die DGL der Kurvenschar, 1 (2) y ′ wird durch − y ′ ersetzt, (3) L¨ osungen dieser neuen DGL sind die orthogonalen Trajektorien. Isogonale Trajektorien zu F (x, y, c) = 0 mit Schnittwinkel α (1) Man bestimmt die DGL der Kurvenschar, y ′ −tan α (2) y ′ wird durch 1+y ′ tan α ersetzt, (3) L¨ osungen dieser neuen DGL sind die isogonalen Trajektorien. Beispiele • Man bestimme die DGL der Kurvenschar der Ursprungsgeraden. (1) Gleichung der Kurvenschar (Geraden durch den Ursprung): y = cx, c ∈ IR. (2) Differentiation liefert y ′ = c. (3)

Elimination von c, DGL der Kurvenschar: y = y ′ x (hom. lin. DGL 1.Ordnung) π

• Man bestimme die isogonalen Trajektorien (α = 4 ) zur Schar der Ursprungsgeraden. (1) DGL der Kurvenschar: y = y ′ x. (2) (3)

y ′ −1

y ′ −1

x+y

y ′ durch 1+y′ ersetzt: y = 1+y′ x , DGL der Trajektorien: y ′ = x−y 1+y/x x+y ¨ y ′ = 1−y/x ). L¨ osung der DGL y ′ = x−y (z.B. Seite 166 als Ahnlichkeits–DGL Vorteilhaft benutzt man hier Polarkoordinaten (siehe Seite 90, 128): x = r cos ϕ y˙ r˙ sin ϕ+r cos ϕ und y ′ = x˙ = r˙ cos ϕ−r sin ϕ . y = r sin ϕ

Einsetzen f¨ uhrt auf die hom. lineare DGL 1.Ord. r˙ = r mit den L¨ osungen r = c eϕ , c ∈ IR (logarithmische Spiralen, Seite 132).

13.2 Spezielle Typen von DGLn 1. Ordnung

165

Die Anfangswertaufgabe (AWA) y ′ = f (x, y), y(x0 ) = y0 f (x, y) sei stetig auf dem Rechteck R = {(x, y) |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}. Es sei M := max{|f (x, y)| (x, y) ∈ R} (Maximum von |f | auf R). Existenzsatz von Peano Dann existiert eine L¨ osung der AWA mindestens im Intervall

b I = [x0 − α, x0 + α], wenn α := min{a, M } ist.

Eindeutigkeitssatz Gen¨ ugt f in R einer Lipschitzbedingung |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | f¨ ur (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ R,

so ist die L¨ osung y(x) der AWA eindeutig bestimmt und lasst sich iterativ mit folgendem Verfahren gewinnen: Iterationsverfahren von Picard–Lindel¨ off y = u0 (x) verlaufe in R (z.B. u0 (x) = y0 ) Z x f (t, un (t)) dt , f¨ ur n ∈ IN. un+1 (x) := y0 + x0

Fehlerabsch¨ atzung |y(x) − un (x)| ≤

13.2

(αL)n n!

eαL · maxx∈I |u1 (x) − u0 (x)|.

Spezielle Typen von DGLn 1. Ordnung

p(x, y)+q(x, y) · y ′ = 0 bzw. p(x, y) dx+q(x, y) dy = 0

Exakte DGL

Diese DGL heißt exakt, falls es eine stetig diff-bare Funktion F (x, y) gibt mit Fx (x, y) = p(x, y) und Fy (x, y) = q(x, y). F heißt Stammfunktion. Die L¨ osungen der DGL sind dann implizit durch F (x, y) = c, c ∈ IR gegeben (Niveaulinien von F ). Sind p = p(x, y) und q = q(x, y) in dem einfach zusammenh¨angenden Gebiet G stetig differenzierbare Funktionen, so gilt: p(x, y) dx + q(x, y) dy = 0 ist exakt ⇐⇒ py = qx . Eine Stammfunktion F gewinnt man z.B. durch Integration aus

Fx = p . Fy = q

Die durch den Punkt (x0 , y0 ) verlaufende L¨osung ist gegeben durch: Z y Z x q(x0 , t) dt = 0 p(t, y) dt + F (x, y) = x0

y0

166

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator)

µ = µ(x, y) heißt integrierender Faktor der DGL p(x, y) dx + q(x, y) dy = 0 , falls (p · µ) dx + (q · µ) dy = 0 eine exakte DGL ist. Bedingung f¨ ur µ: py · µ + p · µy = qx · µ + q · µx . Ansatz µ = µ(x) µ = µ(y) µ = µ(x · y) µ = µ(x + y) y ′ = f (x)g(y)

µ′ µ µ′ µ µ′ µ µ′ µ

= = = =

Bedingung f¨ ur µ py −qx h¨angt nur von q qx −py h¨angt nur von p qx −py h¨angt nur von xp−yq qx −py h¨angt nur von p−q

x ab! y ab! xy ab! x + y ab!

Trennung der Ver¨ anderlichen (TdV)

Die L¨ osungsgesamtheit besteht aus allen (1)

Geraden y = y0 , falls y0 eine Nullstelle der Funktion g(y) ist.

(2)

Funktionen y = y(x), die sich aus Z Z dy = f (x) dx, g(y) 6= 0 in impliziter Form ergeben. g(y)

Die durch den Punkt (x0 , y0 ) verlaufende L¨ osung ist gegeben durch:

Z x Z y dt f (t) dt = x y g(t) 0

0

Auf eine DGL vom Typ y ′ = f (x)g(y) (TdV) lassen sich zur¨ uckf¨ uhren: y
y′ = f x

¨ Ahnlichkeits–DGL oder homogene DGL y(x) , dann ist y = zx und y ′ = z ′ x + z. Ansatz: z(x) = x

y ′ = f (ax + by + c) y′ = f

ax+by+c
a′ x+b′ y+c′

Ansatz: z(x) = ax + b y(x) + c, z ′ = a + by ′ . Man betrachte die Geraden G1 : ax + by + c = 0 und G2 : a′ x + b′ y + c′ = 0.

Fall 1: G1 und G2 haben den Schnittpunkt (x0 , y0 ):
dη dη ˜ η ¨ Transformation ξ = x−x0 , η = y−y0 , y ′ = dξ ergibt Ahnlichkeits–DGL: dξ = f ξ . Fall 2: G1 und G2 sind parallel. Division f¨ uhrt auf den Typ y ′ = f (ax + by + c). H¨ aufig benutzt man vorteilhaft Polarkoordinaten (Seite 90, 128): r˙ sin ϕ+r cos ϕ y˙ x = r cos ϕ siehe Beispiel Seite 164. y ′ = x˙ = r˙ cos ϕ−r sin ϕ y = r sin ϕ

13.3 Die lineare DGL 1.Ordnung

13.3

167

Die lineare DGL 1.Ordnung y ′ + a(x)y = r(x)

Die Gesamtl¨ osung ist

Lineare DGL 1.Ordnung

y = yS + yH . Dabei ist

yH

die Gesamtl¨ osung der homogenen DGL

y ′ + a(x)y = 0

yS

eine (spezielle) L¨ osung der inhomogenen DGL

y ′ + a(x)y = r(x)

H

Berechnung von yH (1) (2) (3) Stets

Raten einer L¨ osung y1 6≡ 0 oder R Formel: yH = c e−A(x) , wobei A(x) = a(x) dx oder Berechnung einer L¨ osung y1 mittels T.d.V. hat yH die Form yH = c · y1 , c ∈ IR

Berechnung von yS

I

(1) (2) (3)

Raten einer L¨ osung. R R Formel: yS = e−A(x) · r(x) eA(x) dx, wobei A(x) = a(x) dx Berechnung mittels ”Variation der Konstanten”: Der Ansatz y(x) = c(x) · y1 f¨ uhrt auf c′ (x) = r(x) eA(x) , wobei y1 eine L¨ osung der hom. DGL ist. c(x) ergibt sich dann durch Integration.

Um die AWA y ′ + a(x)y = r(x), y(x0 ) = y0 zu l¨osen, wird die Integrationskonstante c durch Einsetzen der Anfangsbedingung angepasst oder man benutzt die Formel Z x Z x a(t) dt. r(t) eA(t) dt + y0 e−A(x) mit A(x) = y(x) = e−A(x) x0

x0

13.4

Spezielle Typen Auf eine lineare DGL 1.Ordung lassen sich zur¨ uckf¨ uhren: y ′ + f (x)y = r(x) · y a , (a 6= 0, 1)

u = y 1−a u′ = (1 − a)y −a y ′

Bernoulli–DGL

ergibt lin. DGL

u′ + (1 − a)f (x)u = (1 − a)r(x)

y ′ + f (x)y = r(x) + g(x)y 2 Riccati–DGL

Voraussetzung: Eine L¨osung v(x) ist bekannt!

Subst.:

Subst.:

1 y =v+ u u′ y ′ = v ′ − u2

ergibt lin. DGL

u′ + (2vg − f )u = −g

168

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y = xy ′ + g(y ′ )

L¨ osung:

(a) (b)

y = cx + g(c)     x −g ′ (t) = y −tg ′ (t) + g(t) y = xf (y ′ ) + g(y ′ )

L¨ osung:

Clairautsche DGL

(a) (b)

Geradenschar Einh¨ ullende der Geradenschar.

d’Alembertsche DGL

f¨ ur f (c) = c erh¨alt man die Geraden y = f (c)x + g(c). dt Differenzieren und y ′ = t, y ′′ = dx ergibt: f ′ (t) g ′ (t) dx + x = − ur x(t). dt f (t)−t f (t)−t , eine lin. DGL 1.Ord. f¨ Dann ist y(t) = f (t)x(t) + g(t). spezielle Typen

x = g(y ′ ) Typ ”ohne ” y

Subst.: y ′ = t =⇒

y = g(y ′ )

Subst.: y ′ = t =⇒

Typ ”ohne ” x

L¨osung in Parameterform: Z x = g(t) und y = tg ′ (t) dt L¨osung in Parameterform: Z ′ g (t) x= t dt und y = g(t)

ggf. ist y = g(0) eine spez. Lsg.

y ′′ = f (x, y ′ ) Typ ”ohne ” y

Subst.: z = y ′ , z ′ = y ′′

y ′′ = f (y, y ′ )

Subst. y ′ = t liefert die L¨osung in Parameterdarstellung:

Typ ”ohne ” x

x = ϕ(t) , dabei ist y = ψ(t)

Multiplikation mit 2y ′ und Integration:

y ′′ = f (y) Typ ”ohne ” x, y ′

13.5

t DGL f¨ ur ψ(t) f (ψ(t),t) Z dt (2) ϕ(t) = f (ψ(t),t) ˙ (1) ψ(t) =

(y ′ )2 = 2F (y), wobei F ′ = f ist.

Die lineare DGL n–ter Ordnung Lineare Unabh¨ angigkeit von Funktionen

Die Funktionen f1 , . . . , fn heißen linear unabh¨angig auf I, wenn sich die Nullfunktion nur ”trivial” als Linearkombination von ihnen darstellen l¨asst, wenn c1 f1 (x) + · · · + cn fn (x) ≡ 0 auf I =⇒ c1 = · · · = cn = 0.

13.5 Die lineare DGL n–ter Ordnung

169

Lineare DGL n–ter Ordnung y

(n)

+ an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = r(x)

Die Gesamtl¨ osung ist yH

y = yS + yH . Dabei ist

die Gesamtl¨ osung der homogenen DGL y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0

yS

eine (spezielle) L¨ osung der inhomogenen DGL y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = r(x)

H

Die Berechnung von yH ist in Spezialf¨allen m¨oglich: (1) (2) (3) (4) (5)

n = 1 (Seite 167) oder konstante Koeffizienten ak (x) = ak ∈ IR (Seite 171) oder Eulersche DGL: ak (x) = ak xk mit ak ∈ IR andernfalls: Spezielle Ans¨atze (z.B. Potenzreihen (Seite 174) ) oder d’Alembertsches Reduktionsverfahren (Seite 170)

Stets hat yH die Form yH = c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn , ck ∈ IR, wobei {y1 , y2 , . . . , yn } ein Fundamentalsystem der homogenen DGL ist.

Die L¨ osungsgesamtheit der hom. DGL ist ein n– dimensionaler Vektorraum. I

Berechnung von yS (1) Variation der Konstanten (VDK) (geht immer!) (2)

evtl. spezieller Ansatz bei konstanten Koeffizienten (Seite 172) Inhomogene DGL: Variation der Konstanten

Ist yH = c1 y1 + · · · + cn yn Gesamtl¨osung der homogenen DGL, dann besitzt die inhomogene DGL eine spezielle L¨ osung der Form yS = c1 (x)y1 + · · · + cn (x)yn Die Ableitungen der Koeffizienten– funktionen c′1 (x), . . . , c′n (x) bestimmt man aus dem LGS:

c′1 y1 .. .

c′2 y2 .. .

· · · c′n · · · yn .. .

r. S. 0 .. .

y1

y2

· · · yn

r(x)

(n−1)

(n−1)

(n−1)

c1 , . . . , cn erh¨ alt man anschließend durch Integration. Formelm¨aßige Darstellung: n  Z x X Wk (t)  dt yk (x) yS (x) = x W (t) k=1

0

Dabei ist W (t) die Wronski–Determinante von y1 , . . . , yn und Wk (t) entsteht aus W (t), indem die k–te Spalte durch (0, 0, . . . , 0, r(t))⊤ ersetzt wird. Speziell f¨ ur n = 2 gilt mit W (t) = y1 · y2′ − y2 · y1′ Z x Z x r(t)y1 (t) r(t)y2 (t) yS (x) = − dt · y (x) + 1 W (t) W (t) dt · y2 (x) x x 0

0

170

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN d’Alembertsches Reduktionsverfahren

y1 sei eine L¨ osung der homogenen linearen DGL n–ter Ordnung y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0 Der Produktansatz y(x) = y1 (x) · u(x) f¨ uhrt nach der Substitution z = u′ auf eine reduzierte homogene lineare DGL (n − 1)–ter Ordnung f¨ ur z. R Ist z eine L¨ osung der reduzierten DGL, so ist y2 (x) = y1 (x) z(x) dx, also y2 = y1 u eine von y1 linear unabh¨angige L¨osung der urspr¨ unglichen DGL. Speziell f¨ ur n = 2:

Ist y1 eine L¨osung von y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0, dann ist Z R 1 y2 (x) = y1 (x) e− a1 (x) dx dx und 2 y1 (x)

y = c1 y1 + c2 y2 die Gesamtl¨osung der DGL. Wronski–Determinante

Sind f1 , . . . , fn auf dem Intervall I (n − 1)–mal differenzierbar, so heißt f1 (x) ··· fn (x) f1′ (x) ··· fn′ (x) die Wronski–Determinante W (x) := .. .. . . von f1 , . . . , fn . (n−1) (n−1) f (x) · · · fn (x) 1

Ist W (x1 ) 6= 0 f¨ ur eine Stelle x1 ∈ I, so sind f1 , . . . , fn lin. unabh¨ angig auf I

Die Umkehrung ist i. allg. falsch! Die Umkehrung gilt jedoch, wenn die n Funktionen L¨ osungen einer hom. lin. DGL n–ter Ordnung sind: Wronski–Determinante der L¨ osungen einer hom. linearen DGL Sind y1 , . . . , yn auf I L¨osungen der homogenen linearen DGL (H) y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0, so sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (1) y1 , . . . , yn sind auf I linear unabh¨angig, das heißt, sie bilden auf I ein Fundamentalsystem (eine L¨osungsbasis) von (H). (2)

Es ist W (x) 6= 0 f¨ ur ein (und damit f¨ ur jedes ) x ∈ I.

Die Wronski–Determinante W (x) gen¨ ugt der DGL ′ W (x) = −an−1 · W (x) , so daß (Liouvillesche Gleichung) Z x  W (x) = W (x0 ) · exp − an−1 (t) dt ist f¨ ur ein x0 ∈ I. x0

13.6 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten

13.6

171

Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten

Homogene lineare DGL n–ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0, ak ∈ IR H

Gesamtl¨ osung:

yH = c1 y1 + · · · + cn yn , ck ∈ IR

Dabei sind y1 , . . . , yn n linear unabh¨angige Funktionen, man nennt sie ein Fundamentalsystem oder Basisl¨ osungen. Der Ansatz y = eλx f¨ uhrt auf die charakteristische Gleichung λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0.

Jede k–fache L¨ osung der char. Gleich. liefert k lin. unabh. L¨osungen der DGL: L¨ osungen der char. Gleich.

Basisl¨osungen der DGL

1–fach reell k–fach reell

eλx eλx , x eλx , . . . , xk−1 eλx ,

λ = a ± bi

1–fach kompl.

eax cos bx eax sin bx

λ = a ± bi

k–fach kompl.

eax cos bx, x eax cos bx, . . . xk−1 eax cos bx eax sin bx, x eax sin bx, . . . xk−1 eax sin bx

λ λ

Beispiele L¨osungen der charakteristischen Gleichung und Basisl¨osungen: L¨ osungen der char. Gleichung

Basisl¨ osungen der homogenen DGL

1, −2, 3 √ √ 0, 3 , 1 + 2 0, 0, 2, 2, 2,

ex , √e−2x , e3x√ 1, e 3 x , e(1+ 2 )x 1, x, e2x , x e2x , x2 e2x

1, 2 ± 3i 1 ± 2i, 1 ± 2i 0, 0, 0, ±i, ±i, ±i

ex , e2x cos 3x, e2x sin 3x ex cos 2x, ex sin 2x, x ex cos 2x, x ex sin 2x 1, x, x2 , cos x, sin x, x cos x, x sin x, x2 cos x, x2 sin x Homogene Eulersche DGL

n (n)

x y

+ an−1 x

n−1 (n−1)

y

+ · · · + a1 xy ′ + a0 y = 0 mit x > 0, ak ∈ IR

Die Subst.: x = et , u(t) = y( et ) f¨ uhrt die DGL in eine homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten u ¨ ber. Mit der Kettenregel berechnet man z.B. x · y ′ = u˙ x3 · y ′′′ = u ¨˙ − 3¨ u + 2u˙ 2 ′′ 4 ′′′′ ¨¨ − 6u x ·y = u ¨ − u˙ x ·y = u ¨˙ + 11¨ u − 6u˙ Ein weiterer L¨ osungsweg wird im HM Seite 457 beschrieben.

172

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Inhomogene lineare DGL n–ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = r(x), ak ∈ IR Gesamtl¨ osung: y = yS + yH

r(x) heißt St¨ orfunktion.

H

Gesamtl¨ osung yH der hom. DGL siehe vorige Seite.

I

Berechnung einer speziellen L¨osung yS der inhom. DGL: (1) Variation der Konstanten (Seite 169) (2) Spezieller Ansatz bei bestimmten St¨orfunktionen (ist einfacher) evtl. Superposition. spezieller Ansatz

Ist die St¨ orfunktion vom Typ

r(x) = P (x) eax cos bx + Q(x) eax sin bx

wobei a, b reelle Zahlen und P, Q Polynome sind, macht man den Ansatz: (a)

Normalfall (keine Resonanz: a ± bi nicht L¨osungen der char. Gleichung): yS = P1 (x) eax cos bx + Q1 (x) eax sin bx

Normalansatz

Dabei sind P1 (x), Q1 (x) Polynome mit unbestimmten Koeffizienten mit Grad P1 = Grad Q1 = max{Grad P, Grad Q}; P, Q Polynome der St¨ orfunktion!

(b)

Resonanzfall (a ± bi sind k–fache L¨osungen der char. Gleichung):

Man multipliziert den Normalansatz mit xk . Superposition

Ist r(x) Summe von Funktionen, f¨ ur die man spezielle Ans¨atze hat, ist der Ansatz die Summe der speziellen Ans¨atze (ggf. Resonanz beachten!). Beispiele Spezielle St¨orfunktionen und Ans¨atze, Normalfall: St¨ orfunktion a + bi Normalansatz yS (wenn keine Resonanz vorliegt) x2 + 1 0 Ax2 + Bx + C 3x e2x 2 (Ax + B) e2x 4 sin 2x 2i A sin 2x + B cos 2x 2 + 3i (Ax + B) e2x cos 3x + (Cx + D) e2x sin 3x x e2x sin 3x Beispiele Spezielle St¨orfunktionen und Ans¨atze, Resonanzfall: St¨ orfunktion

a + bi

L¨ osungen char. Gl.

x2 + 1 0 0, 0, 1 3x e2x 2 0, 1, 2 4 sin 2x 2i ±2i x e2x sin 3x 2 + 3i 0, 3, 2 ± 3i Beispiele Superposition: a1 + b 1 i St¨ orfunktion r(x) r(x) = r1 (x) + r2 (x) a2 + b 2 i  0 x + sin x i ±1 cosh x = 12 ( ex + e−x )

Ansatz yS (Normalansatz × xk )

x2 (Ax2 + Bx + C) x(Ax + B) e2x x(A sin 2x + B cos 2x) x(Ax + B) e2x cos 3x + x(Cx + D) e2x sin 3x L¨ osungen char. Gl.

0, 0, 1 1, 2, 3

Ansatz yS = y1 + y2 x2 (Ax + B) + D sin x + E cos x Ax ex + B e−x

13.6 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten Schwingungs–DGL

173

(lin. DGL 2. Ord. mit konst. Koeffizienten)

y + 2ky + ω02 y = r(x) mit k ≥ 0, ω0 > 0 ′′

′

Die Gesamtl¨ osung ist yH

y = yS + yH . Dabei ist y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = 0

die Gesamtl¨ osung der homogenen DGL

eine (spezielle) L¨ osung der inhomogenen DGL y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = r(x) p Charakterist. Gleichung: λ2 + 2kλ + ω02 = 0 =⇒ L¨osungen λ1,2 = −k ± k 2 −ω02 yS

H

Gesamtl¨ osung yH der homogenen DGL y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = 0

k > ω0

Starke D¨ ampfung (Kriechfall) λ1,2 reell, verschieden. yH = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x mit c1,2 ∈ IR

k = ω0

Aperiodischer Grenzfall, λ1 = λ2 = −k. yH = (c1 + c2 x) e−kx mit c1,2 ∈ IR

k < ω0

Schwache D¨ ampfung, λ1,2 konjugiert komplexe L¨osungen: p p λ1,2 = −k ± i ω02 − k 2 . Abk¨ urzung ω1 := ω02 − k 2 yH = (c1 cos ω1 x + c2 sin ω1 x) e−kx mit p c1,2 ∈ IR = A e−kx sin(ω1 x + ϕ) mit A = c21 + c22 , tan ϕ =

c1 c2

Eine spezielle L¨ osung yS der inhomogenen DGL y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = r(x) p k > ω0 Starke D¨ ampfung (Kriechfall), Abk¨ urzung a := k 2 − ω02 Z 1 x −k(x−t) yS = a e sinh a(x − t)r(t) dt

I

x0

k = ω0

Aperiodischer Grenzfall. Z x (x − t) e−k(x−t) r(t) dt yS = x0

k < ω0

Schwache D¨ ampfung, Abk¨ urzung ω1 := Z x 1 yS = ω e−k(x−t) sinh ω1 (x − t)r(t) dt 1

p ω02 − k 2

x0

Kosinuserregte Schwingung y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = F cos ωx, F ∈ IR k = 0 unged¨ ampfter harmonischer Oszillator F ω 6= ω0 keine Resonanz y = c1 cos ω0 x + c2 sin ω0 x + ω2 −ω 2 cos ωx 0

ω = ω0 k>0

Resonanzfall

y = c1 cos ω0 x + c2 sin ω0 x +

ged¨ ampfter harmonischer Oszillator y = e−kt (c1 cos ω1 x + c2 sin ω1 x) +

√

F x sin ω0 x 2ω0

F (ω02 −ω 2 )2 +4k 2 ω 2

sin(ωx + ϕ)

174

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Potenzreihenansatz

Ist eine L¨ osung einer DGL (AWA) in eine Potenzreihe entwickelbar, erh¨alt man die Koeffizienten auf folgende beiden Arten (ausf¨ uhrliche Beispiele HM, 458 ff.): (1) Einsetzen von y =

∞ P

∞ P

ak (x − x0 )k , y ′ =

kak (x − x0 )k−1 usw.

k=1

k=0

in die DGL, Zusammenfassen und Koeffizientenvergleich. 1 (2) Wiederholtes Differenzieren der DGL und Benutzung von ak = k! y (k) (x0 ). Spezielle DGLn 2.Ordnung (1)

Mit dem Potenzreihenansatz

∞ P

ck xk behandelt man z.B. die folg. DGLn

k=0

y ′′ − xy = 0 y ′′ − 2xy ′ + λy = 0

Airysche Dgl. Hermitesche Dgl.

(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + λ(λ + 1)y = 0 2

′′

′

2

(1 − x )y − xy + λ y = 0 xy ′′ + (1 − x)y ′ + λy = 0

Legendresche Dgl. Tschebyscheffsche Dgl. Laguerresche Dgl.

(2) Methode von Frobenius: Mit einem Reihenansatz der Form

∞ P

ck xr+k = xr

DGL: 

′

x y + xa(x)y + b(x)y = 0

ck xk behandelt man die

k=0 ∞ P

k=0 2 ′′

∞ P

mit a(x) =

∞ P bk xk . ak xk , b(x) = k=0 k=0 

Beispiel: x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − n2 )y = 0 Besselsche DGL der Ordnung n

r ergibt sich aus der Indexgleichung r(r − 1) + a0 r + b0 = 0, L¨osungen: r1 , r2 Rekursionsformel f¨ ur die Koeffizienten cn : nP − 1    an−k (r + k) + bn−k ck (r + n)(r + n − 1) + a0 (r + n) + b0 cn = − k=0

r1 − r2

keine ganze Zahl

r1 − r2

ganze Zahl 6= 0

r1 = r2

Basisl¨osung:

y1 = xr1

∞ P

ck xk und y2 = xr2

Basisl¨osung:

dk xk .

k=0

k=0

Basisl¨osung:

∞ P

 ∞ P   r  ck xk  y1 = x 1

c0 6= 0

k=0

∞ P   r  dk xk  y2 = ay1 (x) ln x + x 2 k=0  ∞ P   r  ck xk  y1 = x 1 k=0

∞ P   r  dk xk  y2 = y1 (x) ln x + x 1 k=0

d0 6= 0, a ∈ IR c0 6= 0

13.7 Systeme von DGLn

13.7

175

Systeme von DGLn Systeme von DGLn

aquivalenz einer DGL n–ter Ordnung mit einem System 1–ter Ordnung ¨

Die DGL n–ter Ordnung y (n) = f (x, y ′ , . . . , y (n−1) )

y(x0 ) = η0 , y ′ (x0 ) = η1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = ηn−1

ist ¨aquivalent zum System von n DGLn 1–ter Ordnung: ~y ′ = f~(x, ~y ) mit    y1  y2      y= . = ~  ..   yn

y (x0 ) = ~y0 . Dabei ist: ~      y η0 y2   η1   y′  y3     ~  , ~ y = , f (x, ~ y ) =   ..   ..  .. 0     . .  . (n−1) ηn−1 f (x, y1 , . . . , yn ) y

Picard–Lindel¨ offsches Iterationsverfahren f¨ ur Systeme ~y = f~(x, ~y ) mit ~ y (x0 ) = ~y0 ′

~yn+1 (x) = ~y0 +

Z x x0


f~ t, ~yn (t) dt

Beispiel Zu der AWA y ′′′ = y ′′ · y ′ − (y − x)2 mit y(0) = 1, y ′ (0) = 2, y ′′ (0) = 1 stelle man ein ¨ aquivalentes System von 3 DGLn 1–ter Ordnung auf und f¨ uhre die ersten drei Schritte des Iterationsverfahrens durch.   y1 = y y1′ = y2 y2 ′ ′  y2 = y =⇒ y2 = y3 y3 =⇒ f~(x, y1 , y2 , y3 ) =  y3 = y ′′ y3′ = y3 · y2 − (y1 − x)2 y3 y2 − (y1 −x)2   1 Das ¨ aquivalente System ist ~ y ′ = f~(x, ~ y) mit ~ y (0) =  2. 1 Das Picard–Lindel¨ offsche Iterationsverfahren ergibt:         1 + 2x Z x 1 1 2   dt =   2+x 1 ~ y0 =  2  , ~ y1 =  2  + ,  1 3 2 2 0 1 1 2 − (1 − t) 1 + x + x − 3x

      1 2+t 1 + 2x + 2 x2 Z 1 x   1 3  2 1 1 1  ~ y2 =  2  + 2 + x + 2 x2 + 3 x3 − 12 x4  1 + t + t − 3 t  dt =    0 1 3 1 4 2 1 2 1 1 2 3 4 5 1 1+t+2t + 3 t − 3 t 1 + x + 2 x + 3 x + 12 x − 15 x

Bezeichnet ϕi (x) die 1. Koordinate von ~ yi , so konvergiert die Folge (ϕi ) gegen die L¨ osung 1 aherungsl¨ osung. der gegebenen AWA. Hier ergibt sich ϕ2 (x) = 1 + 2x + 2 x2 als N¨ (Dass die Potenzreihenentwicklung der L¨ osung so beginnt, folgt unmittelbar aus den Anfangsbedingungen!) L¨ osung ist hier y = x + ex .

176

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y ~ ′ + A(x)~ y=~ r(x)

Die Gesamtl¨ osung ist

Lineares DGL–System 1.Ordnung

~y = ~yS + ~yH . Dabei ist

yH ~

die Gesamtl¨ osung der homogenen DGL

~y ′ + A(x)~y = ~o

yS ~

eine (spezielle) L¨osung der inhomogenen DGL

~y ′ + A(x)~y = ~r(x)

H

Berechnung von ~yH in Spezialf¨allen m¨oglich: (1) konstante Koeffizientenmatrix A(x) = A (Seite 178) (2) Spezielle Ans¨atze (3) formale Darstellung mittels Z der Matrixexponentialfunktion: ~yH = e−B(x)~c mit B(x) =

A(x) dx , falls A · A′ = A′ · A.

(4) d’Alembertsches Reduktionsverfahren (Seite 177) Stets hat ~ yH die Form ~yH = c1 ~y1 + c2 ~y2 + · · · + cn ~yn , ck ∈ IR, wobei {~y1 , ~y2 , . . . , ~yn } ein Fundamentalsystem der homogenen DGL ist. Die L¨ osungsgesamtheit der hom. DGL ist ein n– dimensionaler Vektorraum. Matrizenschreibweise: Man fasst o sungen zu einer L¨osungsmatrix Y= (~y1  , . . . , ~yn ) zusammen.  n L¨ c1 c1 Mit ~c =  ...  gilt dann: ~yH = (~y1 , . . . , ~yn ) ·  ...  = Y · ~c. cn cn Y gen¨ ugt der Matrix–DGL

I

Y ′ + AY = O

Berechnung von ~yS (1) (2) (3)

Variation der Konstanten (Seite 177) evtl. spezieller Ansatz bei konstanten Koeffizienten (S. 178) formale Darstellung mittels der Matrixexponentialfunktion: Z x Z x A(t) dt eB(t) · ~r(t) dt mit B(x) = ~yS = e−B(x) · x0

x0

Wronski–Determinante der L¨ osungen eines hom. linearen Systems Sind ~y1 , . . . , ~yn L¨ osungen des hom. DGL–Systems ~y ′ + A(x) ~y = ~o , so heißt die Determinante der L¨osungsmatrix Y = (~y1 , . . . , ~yn ) Wronski–Determinante: W (x) = det Y (x) Die beiden folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: (1) ~ y1 , . . . , ~yn sind linear unabh¨angig, also Basisl¨osung der hom. DGL (2) Es ist W (x) 6= 0 f¨ ur ein (und damit f¨ ur jedes) x ∈ I. Die Wronski–Determinante W (x) gen¨ ugt der DGL
′ W (x) = spur A(x) · W (x) , so daß (Liouvillesche Gleichung) Z x

spur A(t) dt ist f¨ ur ein x0 ∈ I. W (x) = W (x0 ) · exp x0

13.7 Systeme von DGLn

177

d’Alembertsches Reduktionsverfahren f¨ ur Systeme ′

y ~ = A(x)~ y

homogenes lineares DGL–System 1.Ordnung

(1)

~y1 sei eine L¨ osung.

(2)

Ansatz ~ y (x) = s(x)~y1 (x) + ~z(x) mit s(x) : reelle Funktion,
~z(x) := z1 (x), z2 (x), . . . , zn (x) . In ~z ist eine Koordinate als 0 zu w¨ahlen, f¨ ur die die entsprechende Koordinate bei ~y1 nicht verschwindet, also z.B. ~z = (0, z2 , . . . , zn ), falls y11 (x) 6≡ 0 ist.

(3)

Einsetzen von ~y in die DGL ergibt s′ ~y1 + ~z ′ = A~z. Mittels der 1. Koordinate wird s′ in den u ¨brigen eliminiert und es bleibt ein reduziertes DGL–System 1.Ordnung f¨ ur (z2 , . . . , zn ). Findet man eine L¨ osung, bestimmt man s(x) durch Integration und erh¨ alt schließlich ~ y2 = s~y1 + ~z, eine von ~y1 linear unabh¨angige L¨osung.

Inhomogenes lineares DGL–System : Variation der Konstanten y~ ′ = A(x)~y + ~r(x) Ist die Gesamtl¨ osung des homogenen  Systems  gegeben durch c1 mit L¨osungsmatrix ~yH = c1 ~y1 + · · · + cn ~yn = Y ·  ...  , Y = (~y1 , . . . , ~yn ) cn so gibt es eine spezielle L¨ osung des  inhom.DGL–Systems von der Form c1 (x)  ..  ~yS = c1 (x)~y1 + · · · + cn (x)~yn = Y ·  .  cn (x)

Man ersetzt also die Konstanten c1 , . . . , cn in ~ yH durch Funktionen c1 (x), . . . , cn (x).

Die Ableitungen der Koeff–funktionen c′1 (x), . . . , c′n (x) bestimmt man aus dem LGS:

 ′ c1  ..  Y ·  .  = ~r(x). c′n

c1 (x), . . . , cn (x) erh¨ alt man dann durch Integration. Z x wobei das Integral Y −1 (t) · ~r(t) dt Formal: ~yS = Y (x) · komponentenweise zu nehmen ist. x0 Z x n X Wk (t)
Aus der Cramerschen Regel folgt die Formel: ~yS = W (t) dt ~yk k=1

x0

dabei ist W (x) die Wronski–Determinante und Wk (x) entsteht aus W (x), indem die k-te Spalte der Wronski–Matrix durch den Spaltenvektor ~r(x) ersetzt wird.

178

13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Lineares DGL–System mit konstanten Koeffizienten y ~′ = A·y ~+~ r (x), A = (aij ) konstante (n, n)–Matrix

Gesamtl¨ osung:

~y = ~yS + ~yH . Dabei ist

~yH

Gesamtl¨ osung der homogenen DGL

~y ′ = A~y

~yS

eine (spezielle) L¨osung der inhomogenen DGL

~y ′ = A~y + ~r(x)

Berechnung von yH = c1 ~y1 + · · · + cn ~yn : Ansatz: ~y = ~c eλx f¨ uhrt auf (A − λE)~c = ~0, char. Gleichung: |A − λE| = 0. Ist λ ein k–facher Eigenwert von A, gibt es k zugeh¨orige Basisl¨osungen . Fall 1: Der zu λ geh¨orige Eigenraum ist k–dimensional mit Basisvektoren ~c1 , . . . , ~ck . H

Basisl¨ osungen der hom. DGL sind Fall 2:

~c1 eλx , . . . , ~ck eλx .

Der zu λ geh¨orige Eigenraum ist nur ℓ–dimensional (ℓ < k) mit Basisvektoren ~c1 , . . . , ~cℓ . Die fehlenden  k − ℓ Basisl¨osungen erh¨alt man durch den Ansatz  p1 (x)   y =  ...  eλx , dabei sind p1 , . . . , pn Polynome vom Grad k − ℓ. ~

pn (x) Bei komplexem Eigenwert λ = a+bi rechnet man komplex und bestimmt schließlich Real– und Imagin¨ arteil der komplexen Basisl¨osungen. I

Berechnung von ~yS : (1) (2)

Variation der Konst.: Ansatz ~yS = c1 (x)~y1 + c2 (x)~y2 + · · · + cn (x)~yn spezieller Ansatz bei einer St¨orfunktion von der Form ~ ~r(x) = P~ (x) eax cos bx + Q(x) eax sin bx Eliminationsmethode f¨ ur lineare DGL–Systeme

Mit dem Differentialoperator Df = f ′ schreibt sich das DGL–System ~y ′ = A · ~y + ~r(x) (A konstante Matrix) als ein lineares Gleichungssystem (D · E − A)~y = ~r(x) (E Einheitsmatrix).

Auf dieses LGS wird der Gaußsche Algorithmus angewendet, wobei D als konstanter Parameter behandelt wird. Schlußzeile ist eine Gleichung der Form P (D)yk = F (x) , P ist ein Polynom in D. Dies ist eine lineare DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeff. f¨ ur yk . 2 ′′ Beispiel: (2D − 3D + 5)y1 = x cos x bedeutet 2y1 − 3y1′ + 5y1 = x cos x Nach L¨ osen dieser DGL werden sukzessive die anderen Koordinatenfunktionen yi berechnet. Man beachte, dass nicht mehr als n Integrationskonstanten entstehen. Die Eliminationsmethode ist bei kleineren Systemen (n = 2, 3) schneller als die Eigenwertmethode. Auch ist sie auf allgemeinere lineare Systeme anwendbar!

179

14

Komplexe Zahlen und Funktionen

14.1

Komplexe Zahlen Darstellungen komplexer Zahlen y

✻

i ist die Imagin¨ are Einheit. Es gilt i2 = −1 z = x + iy z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

kartesische Darstellung polare Darstellung

z = rei ϕ

Eulersche Darstellung

iy

❃

i

r

z y

ϕ♦

✲

x 1 x ahnlich wie die reellen Zahlen durch Punkte auf der Zahlengeraden darstellbar sind, ¨ lassen sich die komplexen Zahlen durch Punkte (Vektoren) der x, y–Ebene darstellen. Der komplexen Zahl x + iy entspricht dabei der Vektor (x, y). Der Addition komplexer Zahlen entspricht die Vektoraddition. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl entspricht einer Drehstreckung.  x Realteil x, y heißen kartesische Koordinaten von z. i✻ y Imagin¨ arteil ei ϕ  i sin ϕ r Betrag 1✒ r, ϕ heißen Polarkoordinaten von z. ϕ Argument ϕ ✲ cos ϕ 1 Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

ei·0 = ei·2π = 1 ,

ei·π/2 = i ,

ei·π = −1 ,

ei·3π/2 = −i

|

eiϕ = ei(ϕ+2π)

Umformung

←→

kartesische Koordinaten x, y x = r cos ϕ y = r sin ϕ

r

Polarkoordinaten r, ϕ

y

ϕ ❑ x

p r = |z| = x2 + y 2 y tan ϕ = x Quadranten beachten!

z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ) = rei ϕ y

✻

konjugiert komplexe Zahl z iy

z = x + iy

⇐⇒ z = x − iy

ϕ ❑ −ϕ

z = rei ϕ ⇐⇒ z = r e−iϕ z geht aus z durch Spiegelung an der x–Achse hervor. z+w = z+w z·w = z·w z
z w = w

Rechenregeln z + z = 2x z − z = 2iy

✯z

☛

−iy

z · z = r2 = x2 + y 2 = |z|2 p √ z · z = r = x2 + y 2 = |z|

r

x

❥ z¯

✲

x

180

14 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN Rechnen mit komplexen Zahlen

Klammern aufl¨ osen, i2 = −1 beachten!

Multiplikation (kartesische Koordinaten) z · w = (x + iy)(u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu) Division (kartesische Koordinaten) (x+iy)(u−iv) xu+yv+i(yu−xv) x+iy z z·w = w = u+iv = w·w = |w|2 u2 +v 2 Multiplikation iϕ

(Polarform)

z · w = re · se = rsei (ϕ+ψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i
sin ψ) = rs cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) Division

Erweitern mit Konjugierter des Nenners!

iψ

Betr¨ age multiplizieren, Winkel addieren!

(Polarform)

z rei ϕ r i (ϕ−ψ) w = sei ψ = s e
r(cos ϕ+i sin ϕ) r = cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ) = s(cos ψ+i sin ψ) s Potenzieren (Polarform), (n ∈ IR)
n iϕ n = rn ei nϕ z = re
n = r(cos ϕ + i sin ϕ) = rn (cos nϕ + i sin nϕ)

Betr¨ age dividieren, Winkel subtrahieren!

Betrag mit n potenzieren, Winkel mit n multiplizieren!

Radizieren (Polarform), (n = 2, 3, . . .) √ √ √ ϕ+k·2π n nz = rei ϕ = n r ei n  (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1)  p √ ϕ+k·2π ϕ+k·2π n n + i sin n = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r cos n

speziell f¨ ur n = 2:

√ √ √ √ ϕ ϕ ϕ z = rei ϕ = ± r ei 2 = ± r (cos 2 + i sin 2 )

n–te Einheitswurzeln den in der Gaußschen Zahlenebene ein

z0 =

regelm¨ aßiges n–Eck im Einheitskreis.

z1 =

√ n 1=

k·2π i e n ,

k = 0, . . . , n − 1

+ i sin k·2π = cos k·2π n n

(ergibt n Wurzeln f¨ ur k = 0, . . . , n − 1)

z2 = z3 = z4 = z5 =

Wurzel aus Betrag, halber Winkel!

i z2 .... ... z1 . . ❑.... ....✕. . . 1 ... .. ...... −1 ✛ √ ✲1 . 1 ........ 3 i) ( 1 + z z0 3 . . 2 .. ..... √ 1 ... ... 3 i) (−1 + . . 2 ❯... z5 z4 .☛ −1 −i √ 1 (−1 − 3 i) 2 6–te Einheitswurzeln √ 1 ( 1 − 3 i) L¨osungen von z 6 − 1 = 0. 2 n=6

sind die n L¨ osungen von z n = 1. Sie bil–

Formel von Moivre

14.1 Komplexe Zahlen

181

quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten az 2 + bz + c = 0 z 2 + pz + q = 0 √ q 2 p p −b± b2 −4ac −q z1,2 = − 2 ± z1,2 = 4 2a √ · · · eine 2-te Wurzel der komplexen Diskriminante wobei p2 D = b2 − 4ac bzw. D= −q ist. 4 Polarkoordinaten: Berechnung des Arguments ϕ F¨ ur z = x + iy 6= 0 hat man folgende M¨oglichkeiten, ϕ zwischen 0 und 2π eindeutig festzulegen: (1)

(2)

(3)

x 6= 0

=⇒

x=0

=⇒

x 6= 0

=⇒

x=0

=⇒

f¨ ur alle x

=⇒

y

Quadranten

 

arctan y/x 2π + arctan y/x  π + arctan y/x  π/2 f¨ ur y > 0 ϕ= 3π/2 f¨ ur y < 0.

ϕ=

cos ϕ = x/r und

∗)

−4+i±

√

z= x+iy

iy

tan ϕ = x und beachten.  π/2 f¨ ur y > 0 ϕ= 3π/2 f¨ ur y < 0.

Beispiel Man l¨ ose die quadratische Gleichung z1,2 =

y ✻ r

✒ y

ϕ■

✲

x

x

f¨ ur x > 0 und y > 0 f¨ ur x > 0 und y < 0 f¨ ur x < 0.

sin ϕ = y/r. iz 2 + (4 − i)z − 5 − 5i = 0.

√ (4−i)2 −4i(−5−5i) −4+i± −5+12i ∗) −4+i±(2+3i) = = 2i 2i 2i

⇒

z1 = 2 + i z2 = −1 + 3i

√ 5 12 Berechnung von ± −5 + 12i nach Moivre: Es ist −5 + 12i = 13(− 13 + 13 i). p √ √ ϕ ϕ ϕ ϕ ± −5 + 12i = ± | − 5 + 12i| (cos 2 + i sin 2 ) = ± 13 (cos 2 + i sin 2 ) ϕ

12

ϕ

(i) Taschenrechner: Berechnung von ϕ aus tan ϕ = −5 , dann cos 2 und sin 2 : 12 tan ϕ = −5 =⇒ ϕ = −67.380 + 1800 = 112.620 (2. Quadrant !) √ √ 112.620
112.620 =⇒ ± −5 + 12i = ± 13 cos + i sin = ±(2 + 3i). 2 2

q q ϕ ϕ 1 1 cos 2 = ± 2 (1 + cos ϕ) und sin 2 = ± 2 (1 − cos ϕ) q ϕ 5 12
5 12 5
2 1 −5 + 12i = 13 − 13 + 13 i ⇒ cos ϕ = − 13 , sin ϕ = 13 ⇒ cos 2 = + 2 1 − 13 = √ 13 q √
√ ϕ 3 1 5
3 2 √ √ √ =⇒ ± −5 + 12i = ± 13 + i = ±(2 + 3i) sin 2 = + 2 1 + 13 = (ii) Berechnung von

13

13

13

182

14 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN

14.2

Komplexe Funktionen Elementare komplexe Funktionen

Es gelten die aus dem Reellen bekannten Potenzreihendarstellungen ∞ X 1 n 1 1 1 z e = = 1 + 1! z + 2! z 2 + 3! z 3 + · · · n! z n=0 ∞ X (−1)n 2n+1 1 1 1 = z − 3! z 3 + 5! z 5 − 7! z 7 ± · · · sin z = (2n+1)! z n=0 ∞ X (−1)n 2n 1 1 1 z = 1 − z2 + z4 − z6 ± · · · cos z = (2n)! 2! 4! 6! n=0 ∞ X 1 1 1 1 2n+1 = z + 3! z 3 + 5! z 5 + 7! z 7 · · · sinh z = (2n+1)! z n=0 ∞ X 1 2n 1 1 1 cosh z = z = 1 + z2 + z4 + z6 · · · (2n)! 2! 4! 6!

:

n=0

trigonometrische Funktionen sin z 1 tan z = cos z cot z = tan z

cos2 z + sin2 z = 1 sin z = −i sinh iz sin iz = i sinh z cos z = cosh iz

cos iz = cosh z

z∈C z∈C z∈C z∈C z∈C

Hyperbelfunktionen sinh z 1 tanh z = cosh z coth z = tanh z cosh2 z − sinh2 z = 1 sinh z = −i sin iz sinh iz = i sin z

cosh z = cos iz

cosh iz = cos z

Additionstheoreme sin(z +w) = sin z cos w+cos z sin w cos(z +w) = cos z cos w−sin z sin w

sinh(z +w) = sinh z cosh w+cosh z sinh w cosh(z +w) = cosh z cosh w+sinh z sinh w

Darstellungen durch die Exponentialfunktion eiz − e−iz 2i eiz + e−iz cos z = 2 eiz − e−iz tan z = −i eiz + e−iz

sin z =

ez − e−z 2 ez + e−z cosh z = 2 ez − e−z tanh z = ez + e−z sinh z =

Zerlegung in Real– und Imagin¨ arteil ex+iy = ex (cos y + i sin y) sin(x+iy) = sin x cosh y +i cos x sinh y sinh(x+iy) = sinh x cos y +i cosh x sin y cos(x+iy) = cos x cosh y −i sin x sinh y cosh(x+iy) = cosh x cos y +i sinh x sin y tan(x+iy) =

sin 2x+i sinh 2y cos 2x+cosh 2y

tanh(x+iy) =

sinh 2x+i sin 2y cosh 2x+cos 2y

14.2 Komplexe Funktionen

183

Logarithmus , Arcus– und Areafunktionen Die komplexe e–Funktion hat die Periode 2πi. Zur Definition der Umkehrfunktion ln beschr¨ankt man die Argumente auf einen Periodenstreifen −π ≤ Im(z) < π (siehe auch HM Seite 112, 113). Ist z = r eiϕ mit −π ≤ Im(z) < π, so ist ln z := ln r + ϕi. Definitionsbereich von ln ist die ”gelochte Ebene” C \ {0} Wertebereich von ln ist der Streifen −π ≤ Im(z) < π. √ √ arsinh z = ln(z + z 2 + 1 ) arcsin z = −i ln(iz + 1 − z 2 ) √ √ arccos z = −i ln(z + z 2 − 1 ) arcosh z = ln(z + z 2 − 1 ) 1 1 1+z 1+iz arctan z = 2i ln 1−iz artanh z = 2 ln 1−z 1 1 z+1 iz+1 arccot z = − 2i ln iz−1 arcoth z = 2 ln z−1 Komplexe Differenzierbarkeit f (z)−f (a) = f ′ (a) existiert. z−a z→a

f ist in a differenzierbar, wenn lim

f ist in a holomorph, wenn f in einer Umgebung von a differenzierbar ist. f ist in a analytisch, wenn f um a in eine Potenzreihe

∞ P

an (z − a)n mit

n=0

positivem Konvergenzradius entwickelbar ist. Es gilt dann : f (n) (a) n!

an =

⇐⇒

f ist in a holomorph

f ist in a analytisch

Es sei z = x + iy und f (z) = u(x, y) + iv(x, y). f ist genau dann differenzierbar, wenn u und v stetige partielle Ableitungen besitzen, die den Cauchy–Riemannschen–DGLn gen¨ ugen: ∂u ∂v ∂u ∂v ∂x = ∂y , ∂y = − ∂x

Cauchy–Riemannsche–DGLn Beispiel

f:



IR2 −→ IR2 (x, y) −→ (x, −y)

Bei Deutung als komplexe Funktion

f:

ist u ¨ berall differenzierbar! 

C −→ C z −→ z

∂u

,

also f (z) = z ∂v

∂u

∂v

ist u(x, y) = x und v(x, y) = −y und folglich ∂x = 1 6= −1 = ∂y , ∂y = 0 = − ∂x . Die Cauchy–R–DGLn sind nirgends erf¨ ullt, f ist also nirgends komplex differenzierbar.

184

14 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN Kurvenintegrale

Es sei z = x + iy und f (z) = u(x, y) + i v(x, y). C : γ(t) = a(t) + i b(t), t ∈ [t0 , t1 ] sei eine st¨ uckweise glatte Kurve in C. Dann ist: Z Z (u(x, y) + i v(x, y))(dx + idy) f (z) dz = C

C

= =

Z

C


u(x, y) dx − v(x, y) dy + i

Z t 1 t0

Z

C

v(x, y) dx + u(x, y) dy






 u a(t), b(t) a′ (t) − v a(t), b(t) b′ (t) dt Z t 1

 +i v a(t), b(t) a′ (t) + u a(t), b(t) b′ (t) dt t0

Beispiel: Man berechne Z

C1

f (z) dz = =

Z

C2

f (z) dz = =

Z

z dz

f¨ ur die Kurven

C1 : γ(t) = t + it2 ,

0≤t≤1

C2 : γ(t) = t + it, 0≤t≤1 Z Z Z (−y dx + x dy) (x dx + y dy) + i (x − iy)(dx + idy) = C1 C1 C1 Z 1 Z 1 1 1 1 1 3 (t + 2t ) dt + i (−t2 + 2t2 ) dt = 2 + 2 + i 3 = 1 + 3 i. 0 0 Z Z Z (x − iy)(dx + idy) = (x dx + y dy) + i (−y dx + x dy) C2 C2 C2 Z 1 Z 1 (t + t) dt + i (−t + t) dt = 1 + i0 = 1. 0 0 C

Cauchyscher Integralsatz und Satz von Morera Ist G ein einfach zusammenh¨angendes beschr¨anktes Gebiet, C eine st¨ uckweise glatte geschlossene Kurve in G und ist f in G holomorph , so gilt I f (z) dz = 0. C

Der Satz von Morera besagt die Umkehrung: Ist Hf in einem einfach zusamur jede st¨ uckmenh¨ angenden beschr¨ankten Gebiet G stetig und gilt C f (z) dz =0 f¨ weise glatte geschlossene Kurve C in G, so ist f holomorph in G. Cauchysche Integralformel

Ist G ein einfach zusammenh¨angendes beschr¨anktes Gebiet, C eine st¨ uckweise glatte geschlossene doppelpunktfreie Kurve in G und ist f in G holomorph, I f (w) 1 dw. so gilt f¨ ur jeden Punkt z aus dem Innern von C f (z) = 2πi C w−z I f (w) n! f ist in z beliebig oft differenzierbar und es gilt: f (n) (z) = 2πi n+1 dw. (w−z) C

14.2 Komplexe Funktionen

185

Laurentreihen und Singularit¨ aten Die Funktion f sei analytisch im Kreisring 0 ≤ r1 < |z − a| < r2 . Dann ist f um a in eine Laurentreihe entwickelbar : ∞ ∞ ∞ X X X a−k + ak (z − a)k f (z) = ak (z − a)k = (z−a)k k=−∞

k=1

k=0

Hauptteil

regul¨ arer Teil (Potenzreihe)

F¨ ur die Koeffizienten der Laurentreihe gilt

ak =

1 2πi

I

f (z) dz. (z−a)k+1

a heißt isolierte Singularit¨ at von f , wenn f in einem Gebiet 0 < |z − a| < ǫ differenzierbar ist. Die isolierte Singularit¨ at a der Funktion f heißt: • hebbare Singularit¨ at, falls der Hauptteil verschwindet (ak = 0 f¨ur alle k < 0). • n–facher Pol, falls der Hauptteil endlich ist, also ak = 0 f¨ ur alle k < −n. • wesentliche Singularit¨ at , falls der Hauptteil unendlich ist, also ak 6= 0 ist f¨ ur unendlich viele k < 0. Residuen a sei eine isolierte Singularit¨ at von f und f (z) =

∞ X

k=−∞

Das Residuum von f im Punkt a ist der Koeffizient a−1 der Laurententwicklung von f um a:

ak (z − a)k .

Res(f, a) = a−1 =

1 2πi

I

f (z) dz

|z−a|=ε

Residuensatz Es sei K eine st¨ uckweise glatte geschlossene Kurve in C und f sei analytisch innerhalb von K mit Ausnahme der isolierten Singularit¨aten a1 , a2 , . . . , an . Dann gilt: I n X f (z) dz = 2πi Res(f, ak ) K

k=1

Berechnung des Residuums in Spezialf¨ allen (1) (2) (3)

a Polstelle 1.Ordnung =⇒ Res(f, a) = lim (z − a)f (z) z→a g(z) g(a) ′ f (z) = h(z) mit g(a) 6= 0, h(a) = 0, h (a) 6= 0 =⇒ Res(f, a) = h′ (a)  dn−1  1 a Polstelle n.Ordnung =⇒ Res(f, a) = (n−1)! lim dz n−1 (z − a)n f (z) z→a

Beispiel

π

Man berechne das Residuum von f (z) = tan z bei a = 2 1 und von g(z) = z 2 (z+1) bei b = 0.

sin π/2 π sin z π (2) sin z
Res(f, a) = Res(tan z, 2 ) = Res( cos z , 2 ) = (cos z)′ z=π/2 = − sin π/2 = −1, siehe (2). (3) 1 1 −1 1
′ Res(g, b) = Res( z 2 (z+1) , 0) = 1! lim 1+z = lim (1+z)2 = −1, siehe (3). z→0

z→0

186

15 15.1

15 NUMERISCHE VERFAHREN

Numerische Verfahren Normierte R¨ aume Normierte R¨ aume

Wenn jedem Vektor ~x eines reellen Vektorraums V eine reelle Zahl ||~x|| zugeordnet ist, so dass f¨ ur alle ~x, ~y ∈ V und alle α ∈ IR gelten
(1) ||~x|| ≥ 0 und ||~x|| = 0 ⇐⇒ ~x = ~o Definitheit (2)

(3)

||α · ~x|| = |α| · ||~x||

Homogenit¨ at

||~x + ~y|| ≤ ||~x|| + ||~y ||

Dreiecksungleichung

so heißt || · || eine Norm auf V und (V, || · ||) ein normierter Raum. Mit einer Norm wird der Abstand zweier Vektoren ~x, ~y definiert als d (~x, ~y) := ||~x − ~y||. Pr¨ a–Hilbertr¨ aume Wenn je zwei Vektoren ~x, ~y eines reellen Vektorraums V eine reelle Zahl h~x, ~y i zugeordnet ist, so dass f¨ ur alle ~x, ~y , ~z ∈ V und alle α ∈ IR gelten
(1) h~x, ~x i ≥ 0 und h~x, ~x i = 0 ⇐⇒ ~x = ~o Definitheit (2)

(3)

h~x, ~y i = h~y , ~x i

Symmetrie

h~x + α · ~z, ~y i = h~x, ~y i + α · h~z, ~y i

Linearit¨ at

so heißt h·, · i ein Skalarprodukt auf V und (V, h·, · i) ein Pr¨ a–Hilbertraum. Ein Skalarprodukt erzeugt eine Norm gem¨aß p ||~x|| := h~x, ~x i .

Zwei Vektoren ~x, ~y heißen orthogonal

⇐⇒

h~x, ~y i = 0.

Konvergenz Eine Folge (~x(k) ) von Elementen des normierten Raumes (V, ||·||) konvergiert gegen ein Element ~x ∈ V , falls die Folge reeller Zahlen (||~x(k) − ~x||) gegen Null konvergiert: lim ~x(k) = ~x

k→∞

⇐⇒

lim ||~x(k) − ~x|| = 0.

k→∞

15.1 Normierte R¨aume

187

Beispiele f¨ ur Vektornormen auf V = IRn p ||~x||p = p |x1 |p +· · ·+|xn |p ℓp – Norm, p ≥ 1 p Euklidische Norm (Betrag) ||~x||2 = |x1 |2 +· · ·+|xn |2 ||~x||1 = |x1 | + · · · + |xn | ℓ1 – oder Summennorm ||~x||∞ = max |xi | = lim ||~x||p ℓ∞ – oder Maximumnorm p→∞

1≤i≤n

Beispiele f¨ ur Integralnormen auf Rb V = Lp (a, b) := {f : (a, b) → IR |f (x)|p dx < ∞} a

||f ||p =

Rb a


1/p |f (x)|p dx

Lp –Norm (1 ≤ p < ∞)

Beispiele f¨ ur Skalarprodukte (a)

auf V = IRn :

Beispiel

= (1, −2, 2)⊤ √ ||~x||2 = 1+4+4 = 3 ||~x||1 = 5 ||~x||∞ = 2 ~x

Beispiel

[a, b] = [−1, 1], f (x) = x qR q 1 2 2 dx = ||f ||2 = x −1 3

h~x, ~y i = x1 y1 + · · · + xn yn

euklidisches Skalarprodukt,

(b)

erzeugt die euklidische Norm. Rb hf, g i = a f (x)g(x) dx

auf L2 (a, b) :

L2 –Skalarprodukt, erzeugt die L2 –Norm Beispiel

Beispiele f¨ ur Matrixnormen auf IRm×n r q ~x⊤ A⊤ A ~x = λmax (A⊤ A) Spektralnorm ||A||2 = max ⊤ ~x ·~x x ~ 6=~ o m P Spalten– |aij | ||A||1 = max Summennorm 1≤j≤n i = 1 ||A||∞ = max

n P

Zeilen– Summennorm

|aij |

1≤i≤m j = 1

Maximum der Betr¨ age Spektralradius der Eigenwerte von A Bemerkung: Ist A symmetrisch, so ist ρ(A) = ||A||2

ρ(A) =

A=



||A||2 = 2.92 ||A||1 = 3 ||A||∞ = 4 ρ(A) = 2

F¨ ur jede Matrixnorm gilt: ||A · B|| ≤ ||A|| · ||B||

Submultiplikativit¨at

||A · ~x|| ≤ ||A|| · ||~x||

Vertr¨ aglichkeit mit der zugeh¨origen gleichbezeichneten Vektornorm

1 0 −2 2

Ist || · || eine Vektornorm auf IRn , so ist die zugeordnete Matrixnorm ||A~x|| ||A|| := max ||~x|| = max ||A~x|| ~ x6=~ o ||~ x||=1 Zugeordnete Normen werden u ¨ blicherweise gleich bezeichnet.



188

15 NUMERISCHE VERFAHREN

15.2

y ✻

Interpolation

Gegeben:

Gesucht:

7

xi x0 x1 · · · xn Wertetabelle yi y0 y1 · · · yn mit (xi , yi ) ∈ IR2 und xi paarw. verschieden. Ein Polynom p h¨ochstens n–ten Grades, das den Interpolationsbedingungen

2

-1

ugt, d.h. das p(xi ) = yi (i = 0, . . . , n) gen¨ durch die gegebenen Punkte (xi , yi ) geht. LAGRANGEsche Interpolationsformel n n Y X x−xj yi ·ℓi (x), ℓi (x) = p(x) = x −x i=0

... ... ... • .. Beispiel Seite 189 .. .. .. .. Parabel durch 3 Punkte: .. .. .. (−1, 7), (0, 2), (3, −1) ... ... ... .. y = x2 − 4x + 2 .. .. ... ... ... .. . • .. ... .. .. .. ... .. .. ... . . ... .. ... .. .. ... ... ... .. . ... .. • ... .. ... .... ....... ...........

j=0 j 6= i

i

j

2 3

-1 -2

✲

x

NEWTONsche Interpolationsformel n X [x0 , . . . , xi ]p·(x−x0 ) · · · (x−xi−1 ) p(x) = i=0

Die NEWTON–Koeffizienten [x0 , . . . , xi ] p (dividierte Differenzen) werden rekursiv berechnet: [xi+1 ,...,xi+k ] p−[xi ,...,xi+k−1 ] p [xi ] p := p(xi ) = yi , [xi , . . . , xi+k ] p = xi+k −xi Tafel der dividierten Differenzen: xi x0

[xi ] p = yi [x0 ] p = y0

[xi , xi+1 ] p [x0 , x1 ] p =

x1 x2 .. .

[x1 ] p = y1 [x2 ] p = y2 .. .

[xi , xi+1 , xi+2 ] p [x1 ] p−[x0 ] p x1 −x0

[x1 ,x2 ] p−[x0 ,x1 ] p x2 −x0

[x0 , x1 , x2 ] p =

[x2 ] p−[x1 ] p [x1 , x2 ] p = x2 −x1 .. .

...

...

.. .

CAUCHYsche Restgliedformel f (n+1) (ξ) f (x) − p(x) = (n+1)! (x − x0 ) . . . (x − xn ) f¨ ur ein ξ ∈ [a, b], wenn f ∈ C n+1 [a, b], yi = f (xi ), x, xi ∈ [a, b] (i = 0, . . . , n) Vorteile der NEWTONschen Interpolationsformel: 1.)

nachtr¨ agliches Hinzuf¨ ugen von Interpolationsbedingungen p(xn+1 ) = yn+1 , . . . : a) b)

2.) 3.)

berechne [x0 , . . . , xn+1 ] p aus einer weiteren Zeile der Tafel der dividierten Differenzen und pn+1 (x) = p(x) + [x0 , . . . , xn+1 ] p · (x − x0 ) · · · (x − xn ).

Sie gilt unver¨ andert bei HERMITE–Interpolation. Sie ist numerisch leicht auszuwerten.

15.3 Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben Beispiel

•

189

Man bestimme ein Polynom p h¨ochstens 2–ten Grades, das durch die drei Punkte (−1, 7), (0, 2), (3, −1) geht (siehe Skizze vorige Seite). Zusatzaufgabe: Bestimme ein Polynom q h¨ochstens 3–ten Grades, das zus¨atzlich durch den Punkt (2, −14) geht.

LAGRANGEsche Interpolationsformel: (x−(−1))(x−3)

( x−0)( x−3)

(x−(−1))(x−0)

p(x) = 7 (−1−0)(−1−3) + 2 (0−(−1))(0−3) − 1 (3−(−1))(3−0) = · · · = x2 − 4x + 2. •

NEWTONsche Interpolationsformel: xi

[xi ]p = yi

−1

7

0

2

[xi , xi+1 ]p 2−7 0−(−1)

=

−1−2 3−0

3 2 =⇒

−1 −14

=

−14−(−1) 2−3

=

[xi , xi+1 , xi+2 ]p −5 −1

−1−(−5) 3−(−1) 13−(−1) 2−0

=

[x0 , x1 , x2 , x3 ]p

1 7−1 2−(−1)

=

=

2

7

13

p(x) = 7 + −5 · (x − (−1)) + 1 · (x − (−1))(x − 0) = x2 − 4x + 2.

Die Zusatzaufgabe l¨ ost man vorteilhaft mit NEWTON (mit LAGRANGE m¨ usste q v¨ollig neu berechnet werden!): Man erg¨anzt nur die f¨ ur p erstellte Tabelle und erh¨alt: =⇒

15.3

q(x) = p(x) + 2 · (x − (−1))(x − 0)(x − 3) = 2x3 − 3x2 − 10x + 2.

Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben Anfangswertaufgabe (AWA)

Gesucht ist eine L¨ osung der Gleichung DGL y ′ = f (x, y) mit der Anfangsbedingung AB y(x0 ) = y0 x reelle Variable, y = y(x) reell– oder vektorwertige Funktion. Im zweiten Fall liegt ein System von DGLn 1. Ordnung vor, das ausgeschrieben lautet: DGL

y1′ = f1 (x, y1 , . . . , yn ) .. .. . . yn′ = fn (x, y1 , . . . , yn )

AB

y1 (x0 ) = y01 .. .. . . yn (x0 ) = y0n

Voraussetzungen, die Existenz, Eindeutigkeit und numerische Berechenbarkeit (bei gen¨ ugend kleiner Schrittweite) sichern, sind: (1) (2) (3)

f ist eine in einem Gebiet G des (x, y)–Raumes stetige Funktion, die in G bzgl. y einer Lipschitzbedingung gen¨ ugt: |f (x, y1 )−f (x, y2 )| ≤ L|y1 −y2 | f¨ ur eine Konstante L und alle (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ G. (x0 , y0 ) ∈ G.

190

15 NUMERISCHE VERFAHREN

Die numerische L¨ osung der AWA erfolgt mit Diskretisierungsverfahren: Durch Fortschreiten auf einem Gitter {x0 , x1 , . . . , xn } mit xn = x berechnet man N¨ aherungswerte yi ≈ y(xi ) (i = 1, . . . , n), die f¨ ur h → 0 (h := max hi ) mit der Konvergenzordnung p konvergieren: max |yi − y(xi )| ≤ const hp .

i

i

Diskretisierungsverfahren zur numerischen L¨ osung der AWA y ′ = f (x, y), y(x0 ) = y0 k–Schrittverfahren, k ≥ 2

Einschrittverfahren explizite

implizite

explizite ω=0

implizite ω=1

verwenden zur Berechnung von yi+k eine Differenzengleichung k–ter Ordnung

αk yi+k + αk−1 yi+k−1 + · · · + α0 yi = hΦf (xi , yi , . . . , yi+k−1 , ω · yi+k , h)

yi+1 = yi + hi Φf (xi , yi , hi ) hi = ∆xi Schrittweite (variabel) Φf Verfahrensfunktion Vorteil expliziter Verfahren:

h = Schrittweite (konstant), αk 6= 0

Einfachheit

Vorteil impliziter Verfahren: Gr¨ oßere Stabilit¨ at bei gleicher Genauigkeit Nachteil: die n¨ aherungsweise Berechnung von yi+k muss iterativ erfolgen.

Einige Einschrittverfahren der Konvergenzordnung p explizite EULER–Verfahren (p = 1) Φf (x, y, h) = f (x, y) EULER–CAUCHY–Verf. (p = 2) Φf (x, y, h) = 12 k1 + 12 k2

implizite EULER–Verfahren (p = 1) Φf (x, y, h) = k1

k1 = f (x + h, y + hk1 )

BUTCHER–Verfahren (p = 2) Φf (x, y, h) = k1

k1 = f (x + 21 h, y + 12 hk1 )

k1 = f (x, y), k2 = f (x+h, y+hk1 ) RUNGE–KUTTA–Verf. RK4 (p = 4) BUTCHER–Verfahren (p = 4) Φf (x, y, h) = 16 k1 + 13 k2 + 31 k3 + 16 k4

Φf (x, y, h) = 21 k1 + 21 k2

k1 = f (x, y) k2 = f (x+ 21 h, y+ 21 hk1 )

k3 = f (x+ 21 h, y+ 21 hk2 ) k4 = f (x+h, y+hk3 )

√

+( 14 − k1 = f x+( 12 − √63 )h, y+ 41 hk1√

k2 = f x+( 12 +

3 6

)h, y+( 41 +

3 6

√

3 6

)hk2

)hk1 + 14 hk2







15.3 Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben

191

Einige lineare Mehrschrittverfahren der Konvergenzordnung p explizites A–B–Verfahren von ADAMS–BASHFORTH (p = 4)  h 55f (xi +3h, yi+3 )−59f (xi +2h, yi+2 )+37f (xi +h, yi+1 )−9f (xi , yi ) yi+4 = yi+3 + 24 implizites M–Verfahren von MOULTON (p = 5) (j) (j+1) h  251f (xi +4h, yi+4 )+646f (xi +3h, yi+3 )−264f (xi +2h, yi+2 ) yi+4 = yi+3 + 720  +106f (xi +h, yi+1 )−19f (xi , yi ) Pr¨adiktor–Korrektor–Verfahren (p = 5) 1. 2. 3.

(0)

berechne Startn¨ aherung yi+4 mit dem A–B–Verfahren (Pr¨adiktor), (0)
berechne f xi + 4h, yi+4 , (1)

(2)

berechne yi+4 , yi+4 (2 Iterationen) mit dem M–Verfahren (Korrektor).

Nachteile linearer Mehrschrittverfahren: (1)

Zur Berechnung der Startwerte y0 , . . . , yk−1 Anlaufrechnung n¨ otig z.B. mit RK4,

(2)

Schrittweiten¨ anderung komplizierter.

Vorteile: h¨ ohere Genauigkeit bei weniger Funktionsauswertungen.

Beispiel

Es sei y ′ = 1 − 2xy, y(0) = 0. Mit dem expliziten EULER–Verfahren bestimme man n¨aherungsweise y(1). Z x 2 −x2 et dt. Die exakte L¨osung ist y(x) = e 0

Eingabe: x0 = 0, y0 = 0, h =

1 n

(n = 10, 100, 1000)

−→ f¨ ur j = 0, 1, . . . , n − 1 berechne yj+1 = yj + h(1 − 2xj yj ) xj+1 = xj + h 1

1

1

Ausgabe

n = 10 (h = 10 )

n = 100 (h = 100 )

n = 1000 (h = 1000 )

EULER-N¨ ah. yn ≈ y(1)

0.570 016

0.541 116

0.538 382

+3.2 · 10−2

+3 · 10−3

+3 · 10−4

Fehler: yn − y(1)

192

15 NUMERISCHE VERFAHREN

15.4

Numerische Integration

Wenn m¨ oglich, berechnet man ein bestimmtes Integral mit dem Hauptsatz: Z b Beispiel (Sehnen–Trapez–Verf. siehe unten!) h ib h iπ/2 R π/2 sin x f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a) I=

a

a

′

F = f , also F Stammfunktion von f .

0

cos x+2

dx =

− ln | cos x + 2|

0

= − ln 2 + ln 3 ≈ 0.405465

Quadraturverfahren Ist f auf dem Intervall [a, b] stetig, also f ∈ C[a, b], so setzt man

Q(f ) =

n P

αi · f (xi )

i=1

a

✛ h✲ x1 α1

x2

...

α2

...

Restglied := Z b f (x) dx − Q(f )

b−a h = n

a

xn ✛ b αn ✛

es gibt ein ξ ∈ [a, b] mit

St¨ utzstellen

Restglied =

Gewichte

QMi (f ) = h[f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )] ... x1 x2 xn a b xi = a + (i − 21 )h . . . h h h  1 ST Q = h 2 f (x0 ) + f (x1 ) + · · · + f (xn−1 ) + 21 f (xn ) ... x0 x1 x2 xn−1 xn a b xi = a + ih 1 1 . . . h h h 2h 2h QSi (f ) =

n P

h f (x0 ) + 4 6

i=1

f (x2i−1 ) + 2

nP −1 i=1

x0

x1

x2

x3

x4

...

1 6h

4 6h

2 6h

4 6h

2 6h

...

a

 f (x2i ) + f (x2n )

x2n−2 x2n−1 x2n b 2 4 1 h h h 6 6 6

x2i−1 = a + (i − 12 )h , x2i = a + ih   QGL (f ) = h2 f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (x2n−1 ) + f (x2n ) a

x1

x2

x3

x4

...

1 h 2

1 h 2

1 h 2 √ 1 3 )h 6

1 h 2

...

x2i−1 = a + (i −

1 2

−

,

x2i =

x2n−1

x2n

1 1 h h 2 2 √ a + (i − 12 + 16 3 )h

b−a 2 ′′ h f (ξ) 24

Mittelpunkts– Verfahren

h2 f ′′ (ξ) − b−a 12 Sehnen–Trapez– Verfahren b−a 4 (4) h f (ξ) − 2880

SIMPSON– Verfahren b−a 4 (4) h f (ξ) 4320

b

GAUSS– LEGENDRE– Verfahren

sin x dx mit dem Sehnen–Trapez–Verf. (n = 4). cos x+2 sin x π 1 π π 3π 1 π ST f (x) = cos x+2 =⇒ Q (f ) = 8 [ 2 f (0) + f ( 8 ) + f ( 4 ) + f ( 8 ) + 2 f ( 2 )] = 0.404415 ≈ I. 5 π π π 5 und | Restglied | ≤ 24 ( 8 )2 4 ≤ 0.025, weil max |f ′′ (x)| ≤ 4 auf [0, 2 ].

Beispiel

Man berechne I =

R π/2 0

15.5 Lineare Gleichungssysteme

15.5

193

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme: Aufgabenstellung

Ein lineares Gleichungssystem LGS besteht aus m linearen Gleichungen f¨ ur n Unbekannte, in Matrizenschreibweise: A = (aij ) ~b = (bi ) ~x = (xi ) (A, ~b )

A·~ x = ~b

Dabei heißen

∈ IRm×n

Koeffizientenmatrix, eine (m, n)–Matrix,

∈ IRm×(n+1)

Systemmatrix.

m

∈ IR ∈ IRn

Zielvektor oder Vektor der rechten Seite, L¨ osung oder L¨ osungsvektor,

A~x = ~b heißt ein inhomogenes LGS, wenn ~b 6= ~0 ist.

A~x = ~o heißt das zugeh¨ orige homogene LGS. Ausgeschrieben:

A~x = ~b

⇐⇒

a11 · x1 + · · · + .. .

a1n · xn = b1 .. .. . . am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm

ein System von m linearen Gleichungen f¨ ur n Unbekannte x1 , . . . , xn .

Geometrische Interpretation eines LGSs Jede Gleichung ~ai · ~x = bi (~ai = i–ter Zeilenvektor von A, i = 1, . . . , m) stellt eine Hyperebene des IRn dar. Gesucht sind alle Punkte ~x ∈ IRn , die in allen Hyperebenen zugleich liegen (= Durchschnittsmenge der Hyperebenen). L¨ osbarkeit linearer Gleichungssysteme A·~ x = ~b ist l¨ osbar ⇐⇒ rg A = rg (A, ~b ) rg A = rg (A, ~b ) = n =⇒ es existiert genau eine L¨osung, rg A = rg (A, ~b ) = r < n =⇒ es existiert eine (n−r)–parametrige L¨osungsschar. L¨ osbarkeit quadratischer LGSe A quadratische (n × n)–Matrix Homogenes LGS : A~ x=~ o det A 6= 0 ⇐⇒ A~x = ~o hat nur die triviale L¨osung ~x = ~o.

Inhomogenes LGS : A~ x = ~b, ~b 6= ~ o det A 6= 0 ⇐⇒ A~x = ~b hat genau eine L¨osung: ~x = A−1~b. ( rg A < rg (A, ~b) ⇐⇒ A~x = ~b ist unl¨osbar. det A = 0 rg A = rg (A, ~b) ⇐⇒ A~x = ~b hat unendlich viele L¨osungen. Ausf¨ uhrliche Beispiele im HM Seite 244–259

194

15 NUMERISCHE VERFAHREN GAUSSscher Algorithmus zur L¨ osung LGSe

Durch sukzessive Elimination von Unbekannten leitet man eine Folge von linearen Gleichungssystemen her, die alle dieselben L¨osungen haben, mit dem Ziel, zuletzt ein LGS in Zeilenstufenform zu erhalten. Am Anfang ist das gegebene LGS das aktuelle Restsystem. Sind die Unbekannten x1 , . . . , xk−1 aus den Gleichungen des aktuellen Restsystems bereits eliminiert, nicht jedoch xk , so w¨ahlt man eine dieser Gleichungen, in der xk vorkommt (d.h. in der der Koeffizient von xk ungleich 0 ist). Sie heißt aktuelle Pivotgleichung. Man addiert zu jeder weiteren Gleichung des aktuellen Restsystems, in der xk vorkommt, ein geeignetes Vielfaches der aktuellen Pivotgleichung, so daß in der Summe xk nicht mehr vorkommt. Das neue Restsystem entsteht durch Weglassen der Pivotgleichung. Nach Durchlaufen des Eliminationsprozesses ist das Endsystem erreicht. Es besteht aus allen im Eliminationsprozess verwendeten Pivotgleichungen und eventuell weiteren Gleichungen der Form 0 = b, die im Falle b 6= 0 anzeigen, dass das geg. LGS keine L¨osung besitzt, und die f¨ ur b = 0 wegzulassen sind. Nach geeigneter Vertauschung der Gleichungen hat das Endsystem Zeilenstufenform. Aus ihm lassen sich r¨ uckw¨arts alle L¨osungen des gegebenen LGS einfach ermitteln. Bemerkung: F¨ ur Handrechnung ist es bequem, nur das Koeffizientenschema hinzuschreiben und darin die Eliminationen durchzuf¨ uhren. Der Koeffizient 6= 0 von xk wird markiert und mit ihm werden in der entsprechenden Spalte Nullen erzeugt. Die markierten Gleichungen (Pivotgleichungen) ergeben das Endsystem. Beispiel: Man l¨ose das LGS x1 x1 Eliminationsverfahren: x1 x2 x3 0 3 1 3 1 −1 1 0 1 2 2 3 0 3 1 3 0 3 1 3 0 0 0 0

Endsystem: x1 x2 x3 1 −1 1 0 3 1

0 3

− +

3x2 x2 2x2

+ x3 = 3 + x3 = 0 + 2x3 = 3

L¨osung (”R¨ uckw¨arts Einsetzen”): x2 = t x3 = 3 − 3t x1 = x2 − x3 = −3 + 4t

L¨osung in vektorieller Schreibweise:       x1 −3 4 ~x = x2  =  0 + t  1 x3 3 −3

Ausf¨ uhrliche Beispiele und Erkl¨ arungen (auch f¨ ur LGSe mit Parameter) siehe HM, Seite 244–259.

15.6 Nichtlineare Gleichungen

15.6

195

Nichtlineare Gleichungen Nichtlineare Gleichungen: Fixpunktproblem y ✻

... ... ... .... .... .... .... ..... ..... ...... ...... ...... ........ ......... −x .......... ............ .............. ............... .................. ..................... .......

y=x

1

Es sei B ⊂ IR und g : B → IR eine reelle Funktion. Gesucht ist eine L¨osung der Gleichung x = g(x)

g(x) = e

x∗

Beispiel 1 (Seite 196): ✲

x = e−x

x

1

Nichtlineare Gleichungen: Nullstellenproblem y

✻

Es sei B ⊂ IR und f : B → IR eine reelle Funktion.

. ... .... .... ... . . . .... .... .... ... . . ... ... ... ... ... . . .. ... ... ... ... . .. ... ... ∗ ... ... . ... ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... .. ..

y=x

1

Gesucht ist eine L¨osung der Gleichung f (x) = 0

f (x) = x − e−x

x

✲

Beispiel 2 (Seite 196):

x

1

x − e−x = 0

−1

Das Iterationsverfahren zur L¨ osung des Fixpunktproblems Ist B ⊂ IR abgeschlossen und ist g : B → B eine Kontraktion, d.h. g gen¨ ugt auf B einer Lipschitzbedingung mit einer Lipschitzkonstanten α < 1: |g(x) − g(y)| ≤ α · |x − y| , f¨ ur alle x, y ∈ B, so besitzt g in B genau einen Fixpunkt

x∗ = g(x∗ ) .

F¨ ur jede Wahl eines Startpunktes x(0) ∈ B konvergiert die Folge der ”Iterierten” x(k+1) = g(xk ),

k = 0, 1, . . .

∗

gegen x , wobei folgende Fehlerabsch¨ atzung gilt: |x(k) − x∗ | ≤

α 1−α

· |x(k) − x(k−1) | ≤

αk (1) 1−α |x

− x(0) |.

Bemerkung: Wenn g auf B differenzierbar ist und wenn mit einer Konstanten α f¨ ur ′ alle x ∈ B |g (x)| ≤ α ist, gen¨ ugt g auf B einer Lipschitzbedingung mit der Konstanten α (nach dem Mittelwertsatz, Seite 91).

196

15 NUMERISCHE VERFAHREN Das Intervall B = [0.4; 0.7] ist abgeschlossen und g : B → B mit g(x) = e−x ist eine Kontraktion mit der Lipschitzkonstanten α = 0.68, weil g ′ (x) = −e−x ist und auf B gilt |g ′ (x)| ≤ e−0.4 ≤ 0.68. Die Funktion g besitzt also in B genau einen Fixpunkt x∗ , der mit dem Iterationsverfahren berechnet werden kann.

Beispiel 1

Startwert x(0) = 0.4 ergibt: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

y ✻

... ... .... .... .... .... ..... ..... ...... ...... ....... ....... ........ −x ......... .......... ............. .............. ................ .................. ...................... (1)

y=x

1

g(x) = e

x

✲

x

1

x(0)x∗

x(k) 0.4 0.670 320 0.511 545 0.599 569 0.549 048 0.577 499 0.561 300 0.570 467 0.565 262 0.568 212 0.566 538 0.567 487 0.566 949 0.567 254

k 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

x(k) 0.567 081 0.567 179 0.567 123 0.567 155 0.567 137 0.567 147 0.567 141 0.567 144 0.567 143 0.567 144 0.567 143 0.567 143 0.567 143

Fehlerabsch¨ atzung: |x(13) − x∗ | ≤

0.68 (13) |x 0.32

− x(12) | =

0.68 0.32

· 0.000 305 ≤ 0.000 65.

Newtonsches Verfahren zur L¨ osung des Nullstellenproblems W¨ ahle eine Startn¨ aherung x(0) und berechne f¨ ur k = 0, 1, . . . (bis ein Abbruchkriterium erf¨ ullt ist) x(k+1) = x(k) −

f (x(k) ) f ′ (x(k) )

Beim vereinfachten Newtonschen Verfahren wird das Argument der Ableitung in allen Iterationsschritten festgehalten: x(k+1) = x(k) − Beispiel 2

Man bestimme eine Nullstelle von f (x) = x − e−x = x − exp(−x).

f (x) = x − exp(−x), Startwert:

f (x(k) ) f ′ (x(0) )

f ′ (x) = 1 + exp(−x),

x(0) = 0.4 ergibt: k 0 1 2 3 4

x(k) 0.4 0.561 865 0.567 138 0.567 143 0.567 143

exp(−x(k) ) 0.670 320 0.570 145 0.567 146 0.567 143

x(k+1) = x(k) −

x(k) − exp(−x(k) ) −0.270 320 −0.009 280 −0.008 323 −0.000 000

x(k) −exp(−x(k) ) . 1+exp(−x(k) )

1 + exp(−x(k) ) 1.670 320 1.570 145 1.570 161 1.567 146

15.7 Nichtlineare Gleichungssysteme

15.7

197

Nichtlineare Gleichungssysteme Nichtlineare Gleichungssysteme: Fixpunktproblem

Es sei B ⊂ IRn und ~g : B → IRn .

Gesucht sind L¨ osungen von ~x = ~g (~x)

~x = ~g(~x) ist ein System von n nichtlinearen Gleich. f¨ ur n Unbekannte x1 , . . . , xn : x1 x2 .. .

= =

g1 (x1 , . . . , xn ) g2 (x1 , . . . , xn ) .. .

xn

= gn (x1 , . . . , xn )

Beispiel 3 (n = 2), L¨osung Seite 198 x1 = 0.1x21 + 0.1x22 + 0.8 x2 = 0.1x1 + 0.1x1 x2 + 0.8

Nichtlineare Gleichungssysteme: Nullstellenproblem Es sei B ⊂ IRn und f~ : B → IRn .

Gesucht sind L¨ osungen von f~(~x) = ~o f~(~x) = ~o ist ein System von n nichtlinearen Gleich. f¨ ur n Unbekannte x1 , . . . , xn : f1 (x1 , . . . , xn ) f2 (x1 , . . . , xn ) .. .

= =

fn (x1 , . . . , xn ) =

0 0 .. . 0

Beispiel 4 (n = 2), L¨osung Seite 199 0.1x21 − x1 + 0.1x22 + 0.8 = 0 0.1x1 + 0.1x1 x2 − x2 + 0.8 = 0

198

15 NUMERISCHE VERFAHREN Nichtlineare Gleichungssysteme Das Iterationsverfahren zur L¨ osung des Fixpunktproblems

Ist B ⊂ IRn abgeschlossen und ist ~g : B → B eine Kontraktion, d.h. gen¨ ugt ~g auf B einer Lipschitzbedingung mit einer Lipschitzkonstanten α < 1 bzgl. einer beliebigen Vektornorm || · || : ||~g (~x) − ~g(~y )|| ≤ α · ||~x − ~y || f¨ ur alle ~x, ~y ∈ B, so besitzt ~g in B genau einen Fixpunkt ~x∗

~x∗ = ~g (~x∗ )

F¨ ur jede Wahl eines Startvektors ~x(0) ∈ B konvergiert die Folge der ”Iterierten” ~x(k+1) = ~g (~x(k) ),

k = 0, 1, . . .

gegen ~x∗ , wobei folgende Fehlerabsch¨ atzung gilt: ||~x(k) − ~x∗ || ≤

α 1−α

· ||~x(k) − ~x(k−1) || ≤

αk x(1) 1−α ||~

− ~x(0) ||





∈ IR2 | ||~x − 11 ||∞ ≤ 0.5} ist abgeschlossen und     g1 (x, y) 0.1x2 + 0.1y 2 + 0.8 ~g : B → B, ~g = ~g(~x) = = eine g2 (x, y) 0.1x + 0.1xy + 0.8 Kontraktion mit einer Lipschitzkonstanten α = 0.6 bzgl. ||·||∞ . Also besitzt ~g in B genau einen Fixpunkt ~x∗ , der mit dem Iterationsverfahren berechnet werden kann.   0.5 Startvektor: ~x(0) = ∈ B. 0.5

Beispiel 3

B = {~x =

x y

k 0 1 2 3 4 .. .

x(k) 0.5 0.85 0.946 64 0.979 53 0.991 82 .. .

y (k) 0.5 Startn¨aherung 0.862 5 0.948 23 0.979 78 0.991 96 .. .

∞

1

1

exakte L¨osung

Fehlerabsch¨ atzung: ||~x(4) − ~x∗ ||∞ ≤

0.6 0.4

· ||~x(4) − ~x(3) ||∞ =

0.6 0.4

max

  0.012 29 = 0.018 5 0.012 18

15.7 Nichtlineare Gleichungssysteme

199

Nichtlineare Gleichungssysteme Newtonsches Verfahren zur L¨ osung des Nullstellenproblems W¨ahle eine Startn¨ aherung ~x(0) und berechne f¨ ur k = 0, 1, . . . (bis ein Abbruchkriterium erf¨ ullt ist)
(k+1) (k) ′ (k) −1 ~ (k) ~ ~x = ~x − f (~x ) · f (~x ) 

 ∂(f1 ,...,fn ) = wobei f~′ (~x(k) ) = ∂(x1 ,...,xn ) 

∂f1 ∂x1

···

∂f1 ∂xn

∂fn ∂x1

···

∂fn ∂xn

.. .

.. .

   

die Jacobi–Matrix (siehe Seite 147) von f~ an der Stelle ~x(k) ist. Vereinfachtes Newton–Verfahren

Beim vereinfachten Newtonschen Verfahren wird das Argument der Jacobi–Matrix in allen Iterationsschritten festgehalten: ~x(k+1) = ~x(k) − [f~′ (~x(0) )]−1 · f~(~x(k) ) Bemerkungen: • Wenn n ≥ 2 ist, l¨ ost man bei der praktischen Durchf¨ uhrung eines Newton– Schrittes das LGS f~′ (~x(k) ) · d~(k) = f~(x(k) ) und setzt ~x(k+1) = ~x(k) − d~(k) •

Wenn f~ nach allen Variablen zweimal stetig differenzierbar ist und wenn eine Startn¨ aherung ~x(0) gen¨ ugend nahe bei einer ”einfachen Nullstelle” ∗ ~x von f~ (:⇔ f~′ (~x∗ ) ist invertierbar) gew¨ahlt wird, konvergieren das Newtonsche Verfahren und seine vereinfachte Version: lim ~x(k) = ~x∗ . k→∞

Beispiel 4

Mit dem Newtonschen Verfahren l¨ose man das nichtlineare f1 (x1 , x2 ) = 0.1x21 − x1 + 0.1x22 + 0.8 = 0 Gleichungssystem f2 (x1 , x2 ) = 0.1x1 + 0.1x1 x2 − x2 + 0.8 = 0

Startvektor: Jacobi–Matrix:

~x(0) = (0.5, 0.5)   0.2x1 − 1 0.2x2 f~′ (~x) = 0.1(1 + x2 ) 0.1x1 − 1 k 0 1 2 3 4 5

(k)

x1 0.5 0.940 476 0.992 911 0.999 172 0.999 902 1.0

(k)

x2 0.5 Startn¨aherung 0.964 286 0.998 228 0.999 815 0.999 977 1.0 exakte L¨osung

200

16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, STATISTIK

16 16.1

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

Anzahl der

ohne Wiederholung

Permutationen

mit Wiederholung

bijektive Abbildungen bzw. Anordnungen einer k–elementigen Menge.

1

k–tupel, unter deren Komponenten ℓ verschiedene sind mit H¨ aufigkeiten k1 , . . . , kℓ und k1 + · · · + k ℓ = k

Bsp:

Anordnungen einer 3–elementigen Menge:

Es gibt 3! = 6 Anordnungen k–Permutationen (Variationen) (x1 , . . . , xk )

k! k1 ! ··· kℓ !

2

k!

Bsp:

5–stellige Zahlen aus den Ziffern 2,2,3,3,3: 5!

k = 5, k1 = 2, k2 = 3, 2!3! = 10

k–tupel aus einer n–elementigen Menge 3

  n ·k! = n · · · (n−k+1) k

4

nk

W¨ orter mit 4 Buchstaben aus einem Alphabet mit 26 Buchstaben, keine gleichen Buchstaben: gleiche Buchstaben erlaubt:   26 · 4! = 26! = 358 800 W¨ orter 264 = 456 976 W¨ orter 4 22! Bsp:

k–Kombinationen (x1 , . . . , xk ) x1 ≤ · · · ≤ xk

wie k–Permutationen, ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordnung     n! n = n+k−1 5 6 k (n−k)!k! k

Bsp: Zahlenlotto: 6 aus 49 : (ohne Zur¨ ucklegen)   49 = 49·48·47·46·45·44 6 1·2·3·4·5·6 = 13 983 816

Beispiel

Bsp: Zahlenlotto: 6 aus 49 : (mit Zur¨ ucklegen)     49+6−1 = 54 = 25 827 165 6 6

M = {1, 2, 3}, n = 3, k = 2

Menge aller

4 2–Perm. mit Wiederhol. 3 2–Perm. ohne Wiederh.

Anzahl der 32 = 9

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) (1,2) (1,3) (2,1)

(2,3) (3,1) (3,2)

3·2= 6

(1,3)

(3,1)

2! =2 1!0!1!

2 2–Perm. mit k1 = 1 fach. Wiederh. von 1 k2 = 0 fach. Wiederh. von 2 k3 = 1 fach. Wiederh. von 3

6 2–Komb. mit Wiederh. 5 2–Komb. ohne Wiederh.

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,2) (2,3)

(1,2) (1,3)

(2,3)

(3,3)



 3+2−1 = 6 2   3 =3 2

16.1 Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit k–Permutation von {1, . . . , n}

n–Partition von {1, . . . , k}

k–Tupel aus {1, . . . , n} mit ki –facher Wiederhlg. von i ∈ {1, . . . , n} mit 0 ≤ ki ≤ k k1 + · · · + k n = k

←→1)

4

Einteilung von {1, . . . , k} in n Teilmengen Bi i = 1, . . . , n mit2) #Bi = ki , 0 ≤ ki ≤ k k1 + · · · + k n = k

xj = i ∈ {1, . . . , n} tritt ki –fach auf, ki fest vorgegeben.

←→

1)

2)

2

k! k1 !···kn !

lies #: Anzahl der Elemente von

Anzahl

Beispiele Verteilung von 32 Spielkarten (Skatkarten) auf 3 Spieler und den Skat: k = 32, k1 = 10, k2 = 10, k3 = 10, k4 = 2 Verteilung von 32 Spielkarten (Skatkarten), Spieler A erh¨ alt 4 Asse: k = 28, k1 = 6, k2 = 10, k3 = 10, k4 = 2

+

3! 1!2!

3!

32! 10!10!10!2!

2 28! 6!10!10!2!

25 = 32

Additive Zerlegung der Zahl 10 in 3 ganzzahlige positive Summanden ≤ 6: 10 = 6+3+1 = 6+2+2 = 5+4+1 = 5+3+2 = 4+4+2 = 4+3+3 3! 1!1!1!

2

4

Verteilung von 5 Personen auf 2 Autos: 2–Partition von {1, 2, 3, 4, 5}

Anzahl =

k! k1 !···kn !

= nk

B1 ∪ · · · ∪ Bn = {1, . . . , k} Bi ∩ Bj = ∅ f¨ ur i 6= j #Bi = ki fest vorgegeben.

umkehrbar eindeutige Zuordnung

X

0 ≤ ki ≤ k k1 +· · ·+kn = k

(B1 , . . . , Bn )

(x1 , . . . , xk )

1)

201

3!

+ 1!1!1! + 1!1!1! +

3! 2!1!

+

3! 1!2!

2 27

Wahrscheinlichkeitsr¨ aume Es sei Ω eine nichtleere Menge, die Ergebnisraum (Stichprobenraum) genannt wird. PΩ := {A | A ⊆ Ω} sei die Potenzmenge von Ω.

Ein System A ⊆ PΩ von Teilmengen von Ω heißt Ereignisfeld u ¨ber Ω und die Elemente A ∈ A heißen Ereignisse, wenn (1) (2) (3)

Ø,Ω ∈ A ¯ A ∈ A =⇒ A \A∈A T = ΩS Ai ∈ A =⇒ Ai , Ai ∈ A

Ø unm¨ ogliches, Ω sicheres Ereignis. A¯ ist das zu A komplement¨ are Ereignis. Ω abgeschlossen bzgl. abz¨ahlbarer Durchschnitts– und Vereinigungsbildung.

Eine Funktion P : Ω → [0, 1] heißt eine Wahrscheinlichkeitsbelegung von A, und P (A) die Wahrscheinlichkeit (W) des Ereignisses A, wenn (1) (2)

P (Ø) = 0 und P (Ω) = 1 σ–Additivit¨ at: Aus Ai ∈ A (i = 1, 2, . . .) und Ai ∩ Aj = ∅ f¨ ur i 6= j folgt X S P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · kurz: P ( Ai ) = P (Ai )

(Ω, A, P )

heißt ein Wahrscheinlichkeitsraum (WR), er beschreibt idealisiert ein (reales oder gedachtes) Zufallsexperiment.

202

16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, STATISTIK

Bezeichnungen

Sprechweisen

A1 ∪ A2 = A1 + A2

Summe der Ereignisse A1 , A2

A1 oder A2

A1 ∩ A2 = A1 · A2 A1 ∩ A2 = Ø

Produkt der Ereignisse A1 , A2

A1 und A2 A1 , A2 unvereinbar

A1 ∪ · · · ∪ An = Ω

A1 , . . . , An vollst¨andige Fallunterscheidung

Partition von Ω

Ai ∩ Aj = ∅ f¨ ur i 6= j

Elementare Wahrscheinlichkeitsr¨ aume Ist Ω = {w1 , w2 , . . .} endlich oder abz¨ahlbar unendlich und ist p1 , p2 , . . . eine Folge nicht negativer reeller Zahlen mit p1 + p2 + · · · = 1, so heißt (Ω, A, P ) {wi }

P (A) :=

elementarer Wahrscheinlichkeitsraum (WR), i–tes Elementarereignis, X

pi

Wahrscheinlichkeit (W) des Ereignisses A.

wi ∈A

Speziell f¨ ur Ω = {w1 , . . . , wn } und p1 = · · · = pn = (Ω, PΩ, P ) Laplacescher WR.

1 n

heißt

In einem Laplaceschen (WR) gilt f¨ ur jedes Ereignis A ⊆ Ω : Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum P (A) =

#A Anzahl der f¨ ur A g¨ unstigen F¨ alle = #Ω Anzahl der gleichm¨ oglichen F¨ alle

Beispiele (siehe Beispiele auf Seite 201) Zufallsexperiment

Verteilung von Skatkarten

Ereignis

Wahrscheinlichkeit

Spieler A erh¨alt 4 Asse

28! 6!10!10!2! 32! 10!10!10!2!

3 Sechsen

1 63

10·9·8·7 32·31·30·29

=

= 0.0058 Werfen von 3 W¨ urfeln

Augensumme = 10

= 27 63

1 216

=

1 8

= 0.0046 = 0.125

16.1 Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

203

Urnenmodelle Urne:

enthalte n Kugeln 1 , 2 , . . . , n

Zufallsexperiment:

Zuf¨ allige Ziehung von k Kugeln unter den folgenden Bedingungskombinationen:

Ω = Menge der Elementarereignisse

Ziehung von k aus n Kugeln ohne Zur¨ ucklegen

mit Zur¨ ucklegen

Ziehung der Kugel xj im j–ten Zug: ( x1 , . . . , xk ): k–Permutation von n Elementen mit Ber¨ ucksichtigung der Anordnung (Ziehungsreihenfolge)

ohne Wiederholung 3 #Ω = n · · · (n−k+1)

mit Wiederholung 4

#Ω = nk

Ziehung der Kugeln ( x1 ,. . . , xk ) nach wachsender Nummer geordnet: x1 ≤ · · · ≤ xk :

k–Kombination von n Elementen ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordnung (Ziehungsreihenfolge)

ohne Wiederholung   #Ω = n 5 k Lotto k aus n

mit Wiederholung   6 #Ω = n+k−1 k

Beispiele Zufallsexperiment

6 richtige

Lotto 6 aus 49

keine Zahl richtig mind. eine Zahl richtig

Ziehung von k aus n Kugeln mit Zur¨ ucklegen und mit Ber¨ ucksicht. der Anord. 3–maliges W¨ urfeln, d.h. Ziehung von 3 Kugeln aus 6 mit Zur¨ ucklegen und mit Ber¨ ucksicht. der Anordnung

Wahrschein– lichkeit

Ereignis

Kugel i wird ki –mal gezogen, k1 +· · ·+kn = k k–Permutation von n Elementen mit ki –facher Wiederhlg. von i ∈ {1, . . . , n}. 3 Sechsen 2 Sechsen 1 Eins Augensumme = 10 (siehe Bsp S. 201)



7 1 49 = 108 6

43 6  49 = 0.44 6 



1 − 0.44 = 0.56

k! k1 !···kn ! nk 1 = 0.0046 63 3! 1 = 0.014 2!1! 63 27 = 0.125 63

204

16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, STATISTIK Zuordnungsmodelle: Kugeln in F¨ acher Zufallsexperiment: Zuf¨allige Verteilung von k Kugeln in n numerierte F¨acher unter den folgenden Bedingungskomb.:

Ω = Menge der Elementarereignisse

Jedes Fach fasst h¨ ochstens eine Kugel

beliebig viele Kugeln

Verteilungsliste (x1 , . . . , xk ), dabei ist xj die Nr. des Faches, in das die j–te Kugel kommt: k–Permutation von n Elementen Kugeln sind unterscheidbar

ohne Wiederholung 3 #Ω = n · · · (n−k+1)

mit Wiederholung 4

#Ω = nk

Besetzungszahlenliste der L¨ange n vom Gewicht k: (k1 , . . . , kn ), dabei sind ki Kugeln im Fach Nr. i mit k1 + · · · + kn = k. k–Kombination von n Elementen Kugeln sind nicht unterscheidbar

ki = 0 oder 1 5

  #Ω = n k

0 ≤ ki ≤ k

  6 #Ω = n+k−1 k 6

Besetzungszahlenliste

k–Kombination von n Elementen mit ki –facher Wiederholung von i ∈ {1, . . . , n}

←→1)

(k1 , . . . , kn ) der L¨ange n vom Gewicht k

(x1 , . . . , xk )

(k1 , . . . , kn )

x1 ≤ · · · ≤ xk ←→1) xj = i ∈ {1, . . . , n} tritt ki –fach auf, ki fest vorgegeben.

ki ∈ {0, 1, . . . , k} k1 + · · · + kn = k ki fest vorgegeben.

1)

umkehrbar eindeutige Zuordnung

X

1

0 ≤ ki ≤ k k1 +· · ·+kn = k

  = n + kk − 1

1

16.1 Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

205

Beispiele Wahrschein– lichkeit

Zufallsexperiment

Ereignis

Zuf¨ allige Verteilung von k unterscheidbaren Kugeln in n F¨ acher1)

Besetzungszahlenliste = (k1 , . . . , kn ) 0 ≤ ki ≤ k und k1 + · · · + kn = k

k! k1 !···kn ! nk

Zuf¨ allige Verteilung von k nicht unterscheidb. Kugeln in n F¨ acher2)

Besetzungszahlenliste = (k1 , . . . , kn ) 0 ≤ ki ≤ k und k1 + · · · + kn = k

1
n+k−1 k

A: k = 8 Unf¨ alle ereignen sich an n = 7 Kreuzungen: Kreuzungen Unf¨ alle

7–Partitionen von 8 Kugeln mit k1 = 2, k2 , . . . , k7 = 1

= F¨ acher = Kugeln

Annahme: Unf¨ alle unterscheidbar alle Kreuz. gleichwahrsch.

an der Kreuzung 1 passieren 2 Unf¨ alle und an andereren je einer.

B:

an der Kreuzung 1 passieren 3 Unf¨ alle Kreuzung 2 passieren 3 Unf¨ alle Kreuzung 3 passieren 2 Unf¨ alle 7–Partitionen von 8 Kugeln mit k1 = 3, k2 = 3, k3 = 2, k4 = · · · = k 7 = 0

C:

es gibt eine Kreuzung mit 3 Unf¨ allen andere Kreuz. mit 3 Unf¨ allen andere Kreuz. mit 2 Unf¨ allen

8! 2!1!···1! 78 = 0.003

8! 3!3!2!0!···0! 78 = 0.0001

8! 7! 3!3!2! 2!1!4! 78 = 0.01

3–Partitionen von 7 Kugeln mit k1 = 2, k2 = 1, k3 = 4

1) 2)

Geburtstag eines Menschen 365 Tage d. Jahres= F¨ acher Menschen = Kugeln

A:

Annahme: Menschen unterscheidbar alle Tage gleichwahrscheinl.

B:

k Menschen haben alle an ver– schiedenen Tagen Geburtstag speziell: 22 / 23 Menschen

365·364···(365−k+1) 365k

von k Menschen haben mind. 2 an demselben Tag Geburtstag speziell: 22 / 23 Menschen

1−

Maxwell–Boltzmann–Statistik der statistischen Thermodynamik Bose–Einstein–Statistik der statistischen Mechanik

0.52 / 0.49 365···(365−k+1) 365k

0.48 / 0.51

206

16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, STATISTIK Elementare Formeln zur Wahrscheinlichkeit

P (A ∪ B)

= P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Additionsformel

P (A∪B ∪C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A∩B) − P (A∩C) − P (B ∩C) + P (A∩B ∩C) P

S n

Ai

i=1



=

n X

(−1)k+1

X

P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )

1≤i1 0 n X P (B|Ai ) · P (Ai ) i=1

Formel von der totalen W Formel von Bayes

16.2 Verteilungen

16.2

207

Verteilungen Das Bernoullische Versuchsschema

In einem Zufallsexperiment werde ein Ereignis A (Treffer) mit der W P (A) = p ¯ = 1 − p. N sei die Anzahl der Treffer bei n–maliger realisiert und A¯ mit P (A) unabh¨ angiger Wiederholung des Experimentes. Dann ist   Bernoulli– oder k n−k , f¨ ur 0 ≤ k ≤ n P (N = k) = n k p (1 − p) Binomialverteilung

Es sei A1 ∪ · · · ∪ As = Ω eine Partition mit P (A1 ) = p1 , . . . , P (As ) = ps . Ai heiße ”Treffer i–ter Art”. Es bezeichne Ni die Anzahl der Treffer i–ter Art bei n–maliger, unabh¨ angiger Wiederholung des Experimentes. Dann ist Multinomial– oder Polynomialverteilung n! ur P (N1 = k1 , . . . , Ns = ks ) = k ! ··· k ! pk11 · · · pks s f¨ 1 s Beispiel

0 ≤ k1 , . . . , ks ≤ n k1 + · · · + ks = n

Ein regelm¨aßiger W¨ urfel werde 12 mal geworfen. Wie groß ist die W f¨ ur das Ereignis A: jede Augenzahl erscheint zweimal?

12! 1 P (A) = P (N1 = 2, . . . , N6 = 2) = 2!6 ( 6 )2+2+2+2+2+2 = 0.00344. Zufallsvariable Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum (WR). Eine Zufallsvariable (ZV) ist eine Abbildung X : Ω
→ IR, so dass f¨ ur jedes x ∈ IR gilt X −1 (−∞, x) ∈ A ⇔: X < x ist ein Ereignis . kumulative Verteilungsfunktion F (x) := FX (x) := P (X < x) := P (X −1 (−∞, x)) diskrete Zufallsvariable:

stetige Zufallsvariable:

nimmt nur endlich oder abz¨ahlbar unendlich viele Werte x1 , x2 , . . . mit Wen W (X = xi ) = pi an, p1 + p2 + · · · = 1. Verteilung:  pi , wenn x = xi , i = 1, 2, . . . f (x) = 0 , sonst

besitzt eine integrierbare Dichtefunktion f (f (x) := F ′ (x), wenn F differenzierbar ist)

 P , X diskrete ZV   xi 1 und V (X) =

n , n−2

F –Verteilung Fm,n mit

Dichte =

n ur n > 2 E[X] = n−2 , f¨ 2n2 (m+n−2) V [X] = m(n−2)2 (n−4) , f¨ ur n > 4

n=1

✲

x 1 Diagramm der Dichte

f¨ ur n > 2

m Z¨ ahler–Freiheitsgraden n Nenner–Freiheitsgraden

Wertmenge: (0, ∞)

Γ( m+n ) 2 m
m/2 n
n/2 n m 2 2 Γ( 2 )Γ( 2 )

... ........ ... ........... ... ..... ........ ... .... ........ ... ...... ............ ......... .... .... ..... .................... ................... ........... ..............

.................. ...................... ......... ..... .... .... ...... ..... .... . . . . . .... ..... ......... ....... .... .... . .... .... .... ......... ..... .... .... .... .... ..... ......... .... .... .... .......... .... ..... .... ...... ..... ...... ....... ...... ...... ..... ....... ......... ...... ..... ...... ...... ..... ........ ....... ....... ............ ..................... .............. ......... .................... ....... ...... ..... ....... ... .

✻..............................

xm/2−1 x+ n2 )(m+n)/2 (m 2 0.1

n=∞ n = 10 n= 2

✲

x 1 Diagramm der Dichte

16.3 Mehrdimensionale Zufallsvariable

16.3

211

Mehrdimensionale Zufallsvariable Mehrdimensionale Zufallsvariable

Sei (Ω, A, P) ein WR und n ∈ IN. Eine n–dimensionale Zufallsvariable oder ein n–dimensionaler Zufallsvektor ist eine Abbildung X : Ω → IRn , so dass f¨ ur jedes x ∈ IRn gilt X −1 (−∞, x) ∈ A. Gemeinsame Verteilungsfunktion des Zufallsvektors X X = (X1 , . . . , Xn ), X stetig mit der Dichte f
F (x1 , . . . , xn ) = FX (x) = P (X1 < x1 , . . . , Xn < xn ) = P X −1 (−∞, x) . Z x Z x 1 n = ··· f (t1 , . . . , tn ) dt1 · · · dtn −∞

−∞

Randverteilungen: FXi (xi ) = P (Xi < xi ) = FX (∞, . . . , ∞, xi , ∞, . . . , ∞). Unabh¨ angigkeit von Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn : F¨ ur alle x1 , . . . , xn ∈ IR sind die Ereignisse X1 < x1 , . . . , Xn < xn unabh¨angig. X1 , . . . , Xn unabh¨ angig ⇐⇒ ⇐⇒

F(X1 ,...,Xn ) (x1 , . . . , xn ) = FX1 (x1 ) · · · FXn (xn ) f(X1 ,...,Xn ) (x1 , . . . , xn ) = fX1 (x1 ) · · · fXn (xn ) (bei Existenz von Dichten)

Parameter zweidimensionaler Zufallsvariablen (X, Y ) E[(X, Y )] = (E[X], E[Y ]) E[g(X, Y )] =

PP i k

=

g(xi , yk ) · pi,k

Z ∞ Z ∞ −∞

−∞

g(x, y) · f (x, y) dx dy

cov (X, Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY ] − E[X] · E[Y ] ρ(X, Y )

=

√cov (X,Y )

V [X]·V [Y ]

−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 ρ(X, Y )

=0

|ρ(X, Y )|

= 1 ⇐⇒ P (Y = aX +b) = 1

Vektor des Erwartungswertes der Randverteilungen (X, Y ) diskret, pi,k = P (X = xi , Y = yk ) (X, Y ) stetig mit Dichte f , absolute Konvergenz der Reihen/Integrale vorausgesetzt. Kovarianz von X, Y Korrelationskoeffizient von X, Y Cauchy–Schwarzsche Ungleichung X, Y ”unkorreliert”, wenn X, Y unabh¨angig ρ2 : ein Maß f¨ ur die lineare Abh¨angigkeit von Y und X

212

16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, STATISTIK Summen von unabh¨ angigen Zufallsvariablen X1 ∼

X2 ∼

S = X1 + X2 ∼

P (λ1 ) neg. Bin. r1 , p

P (λ2 ) neg. Bin. r2 , p

P (λ1 + λ2 ) neg. Bin. r1 + r2 , p

N (µ1 , σ12 ) Γ(k1 , λ)

N (µ2 , σ22 ) Γ(k2 , λ)

N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ) Γ(k1 + k2 , λ)

B(n1 , p)

B(n2 , p)

B(n1 + n2 , p)

X1 ∼ B(n1 , p) :⇐⇒ X1 besitzt eine B(n1 , p) –Verteilung Zentraler Grenzwertsatz Es seien X1 , X2 , . . . unabh¨angige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit E[Xi ] = µ, V [Xi ] = σ 2 f¨ ur alle i = 1, 2, . . .. Dann gilt: (1)

2 ¯ n := X1 +···+Xn ∼ N (µ, σ ) X n n

¯ X−µ

asymptotisch f¨ ur n → ∞

∼ N (0, 1),

asymptotisch f¨ ur n → ∞ d.h.

(2)

Zn :=

(3)

P (Zn < z)

(4)

P (Zn < z) = Φ(z), wenn Xi ∼ N (µ, σ2 )

√σ n

−→ √1 n → ∞ Φ(z) =

2π

Z z

−∞

e

−

t2 2

dt √ n–Gesetz

Grenzwertsatz von Moivre–Laplace Xn ∼ B(n, p) =⇒ Xn ∼ N (np, np(1 − p)) =⇒

Zn =

√Xn −np

np(1−p)

∼ N (0, 1)

asymptotisch f¨ ur n → ∞ asymptotisch f¨ ur n → ∞

P (Zn < z) ≈ Φ(z)

Faustregel

gute >9 brauchbare N¨aherung, wenn n · p(1−p) > 4 ist. Gesetz seltener Ereignisse Xn ∼ B(n, pn ) mit lim n · pn = λ n→∞

=⇒

k

lim P (Xn = k) = e−λ λk! , k ∈ IN0

n→∞

16.4 Stichproben

16.4

213

Stichproben Stichproben

Wird ein Zufallsexperiment, das durch eine Zufallsvariable X mit unbekannter Verteilung F beschrieben wird, unter identischen Bedingungen n–mal unabh¨angig durchgef¨ uhrt, und nimmt X dabei die Werte x1 , . . . , xn (Urliste) an, so heißt (x1 , . . . , xn ) eine konkrete Stichprobe vom Umfang n f¨ ur X bzw. f¨ ur F . Sie ist eine Realisierung des Zufallsvektors (X1 , . . . , Xn ), der mathematische Stichprobe vom Umfang n f¨ ur X heißt, und dessen Komponenten unabh¨angig und identisch verteilt sind mit der Verteilung F von X. mn (x) = Anzahl der Stichprobenwerte < x empirische Verteilungsfunktion zur Urliste Fn∗ (x) = P



lim



sup

n→∞ −∞ Θ0 Θ < Θ0 Θ 6= Θ0

einseitig einseitig zweiseitig

f Dichte der Pr¨ ufgr¨oße, α1 + α2 = α f

✻

...... ....... .......... .... ..... .... ..... . .... . . . .. . . . ... . . . ... . . . . . ... ....... ......... ............ ...................

α

f ✻

................... ...... ..... ..... ..... .... .... .... .... . . .... ... . . .... . ..... ...... ...... ....... .......... ............... .

✲

α

K z z K einseitige Verwerfungsbereiche

2.)

3.)

4.)

✲

f ✻

...... ....... ........... ..... ..... .... ..... .... .... . . . .... .. . .... . . ..... ... . . . ..... ... . ...... . . . ....... .... . . . . . ........ .... . . . . . . ............ . . . . ........ .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . .

α1

α2

−

✲

+

K z K z zweiseit. Verwerfungsber.

Konstruktion einer Pr¨ ufgr¨ oße T = T (X1 , . . . , Xn , H0 ) (Stichprobenfunktion), deren Verteilungsfunktion unter der Annahme, dass H0 wahr ist, zumindest (f¨ ur große n) n¨ aherungsweise bekannt ist. Wahl von α und Wahl eines kritischen Bereiches (Verwerfungsbereiches) K (abh¨ angig von H1 , einseitiger oder zweiseitiger, m¨oglichst großer Teil des Wertebereiches von T ), so dass und P (T ∈ K|H1 ist wahr ) = max P (T ∈ K|H0 ist wahr ) ≤ α W f¨ ur Fehler 1. Art

G¨ ute des Tests

Entscheidungsregel: F¨ allt f¨ ur eine konkrete Stichprobe (x1 , . . . , xn ) der beobachtete Wert t der Pr¨ ufgr¨ oße in den Verwerfungsbereich K, so wird H0 abgelehnt, andernfalls ist H0 mit der Stichprobe vertr¨ aglich und es wird H0 angenommen.

218

16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG, STATISTIK Einige Parametertests zum Signifikanzniveau α

Verteilung

FΘ

Pr¨ ufgr¨ oße

H0

H1

Vorraussetzung B(1, p)

p > p0

n groß

p ≥ p0

∗ p < p0 P =

p = p0

p 6= p0

µ ≤ µ0

µ > µ0

µ ≥ µ0

µ < µ0

µ = µ0

µ 6= µ0

µ ≤ µ0

µ > µ0

µ ≥ µ0

µ < µ0

µ = µ0

µ 6= µ0

σ 2 = σ02

σ 2 6= σ02

2

σ bekannt

N (µ, σ 2 )

N (µ, σ 2 )

N (µ, σ 2 ) µ bekannt 1) X1 ∼ 2 N (µ1 , σ1 ), n1

Y1 ∼ N (µ2 , σ12 ), n2

σ 2 > σ02

σ ≥ σ02

σ 2 < σ02

σ 2 = σ02

σ 2 6= σ02

σ ≤ σ02

σ 2 > σ02

σ ≥ σ02

σ 2 < σ02

σ12 = σ22

p0 (1−p0 ) n

z

1−α

z

α 1− 2

z

1−α

z

α 1− 2

t

1−α

t

1− 2

χ2−

α 2

χ2+

1− 2

c ≤ χ2

χ2

1−α

c ≥ χ2

χ2

α

χ2−

α 2

χ2+

1− 2

c˜ ≤ χ2

χ2

1−α

c˜ ≥ χ2

χ2

α

σ12 6= σ22

Q≤f

f

1− 2

|D| ≤ t

t

1− 2

p∗ ≥ −z |p∗ | ≤ z z¯ ≤ z

¯ X−µ

Z¯ = √σ

z¯ ≥ −z |¯ z| ≤ z t¯ ≤ t

¯ X−µ

T¯ =

t¯ ≥ −t

√S n

|t¯| ≤ t χ2− ≤ c ≤ χ2+

(n−1)S 2 C= σ02

χ2− ≤ c˜ ≤ χ2+

˜2 ˜ = nS2 C σ0 2 SX,n Q= 2 1 SY,n2 2 (SX,n 1

≥

2 SY,n ) 2

D= µ1 = µ2

µ1 6= µ2

¯ − Y¯ ) √ D = (X 1)

W

p∗ ≤ z

¯ qX−p0

n

σ ≤ σ02

Y1 ∼ N (µ2 , σ22 ), n2 1) X1 ∼ 2 N (µ1 , σ1 ), n1

Q

T (X1 , .., Xn , H0 ) p ≤ p0

N (µ, σ 2 )

Annahme wenn

T =

siehe unten

q

n1 n2 (n1 +n2 −2) n1 +n2

2 2 (n1 −1)SX,n +(n2 −1)SY,n

unabh¨ angige Stichproben vom Umfang n1 bzw. n2

1

2

V

N (0, 1)

N (0, 1)

tn−1

α

α

χ2n−1

α

α

α

χ2n

Fn1−1,n2−1

tn1+n2−2

16.5 Konfidenzintervalle

219 Kolmogorov–Test

Voraussetzung: X ist eine stetige Zufallsvariable Nullhypothese: X besitzt die Verteilungsfunktion F0

1.)

Ermittle die empirische Verteilungsfunktion Fn∗ der Stichprobe.

2.)

Berechne Dn := d1 =

3.) 4.) 5.) n α 0.05 0.01

sup

|Fn∗ (x) − F0 (x)| = max{d1 , d2 }

−∞