Elements de la Theorie Des Fonctions Elliptiques. Tome 1-4

Table of contents :
Tome 1
Preface
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION
CHAPITRE I. DES SERIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS.
1-10. Series et produits infinis k simple entree
11-19. Series a double entree
20-22. Produits infinis double entree
CHAPITRE II. Des series et des produits infinis dont les termes dependent d’une variable.
23-28. Definitions et premieres propositions
29-36. Series entieres en x
37-50. Series de series entieres
51-60. Continuation des fonctions
61-64. Application aux Equations diffdrentielles lineaires
CHAPITRE III. Fonctions transcendantes entieres.
65-69. Fonctions exponentielles et circulaires
70-76. Theoremes de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler
CALCUL DIFFERENTIEL(1re partie)
CHAPITRE I. Considerations generales sur les fonctions periodiques.
77-85
CHAPITRE II. La fonction \sigma u et les fonctions qui en derivent.
86- 93. Les trois fonctions $\sigma u, \zeta u, \wp u$. L’argument augmente de 2 $\omega_\alpha$
94-103. Premieres relations entre les fonctions $\sigma u, \zeta u, \wp u, \wp' u$
104-109. Representation de $\sigma u$ par un produit infini a simple entree
110-122. Les cofonctions $\sigma_1 u, \sigma_2 u, \sigma_3 u$
123-129. Transformation lineaire des fonctions \sigma. — Substitution aux periodes primitives de periodes equivalentes.
130-150. Transformation d’ordre quelconque des fonctions \sigma. — Substitution aux periodes primitives de periodes nouvelles liees lineairement aux anciennes
Tome 2
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE III. Les fonctions $\vartheta$.
151-159. Developpements des fonctions $\sigma u, \sigma_\alpha u$
160-166. Relations entre les fonctions $\sigma$ et les fonctions $\vartheta$
167-175. Sur quelques fonctions du rapport des periodes. — Formules diverses
176-189. Transformation lineaire des fonctions $\vartheta$
190-215. Generalites sur les transformations lineaires. —Transformation lineaire des fonctions $\phi(\tau), \psi(\tau), \chi(\tau)$ de M. Hermite
216-241. Determination, en fonction des coefficients de la transformation lineaire, des racines huitiemes de l'unite qui figurent dans les formules de transformation des fonctions $\vartheta$ et de la racine vingtquatrieme de l'unite qui figure dans la formule de transformation de la fonction $h(\tau)$
242-253. Transformation quadratique des fonctions $\vartheta$. — Duplication de l’argument
254-271. Transformation d'ordre impair des fonctions $\vartheta$. — Multiplication de l'argument
272-286. Sur un theoreme de M. Hermite. — Relations entre les fonctions $\vartheta$. — Theoremes d’addition. — Identites de Jacobi. — Formule de Schroter.
CHAPITRE IV. Les quotients des fonctions $\sigma$ et des fonctions $\vartheta$.
287-300. Les fonctions $\xi$
301-319. Les fonctions sn, cn, dn. — Notations diverses
320-323. Transformation lineaire des fonctions elliptiques
324-334. Transformation quadratique des fonctions elliptiques. — Duplication de l'argument. — Application aux developpements des fonctions sn, cn, dn
335-350. Transformation d'ordre impair des fonctions elliptiques. — Multiplication de l'argument. — Apercu sur le probleme general de la transformation
Tableau des fomules du Calcul differentiel
FORMULES.
Transformation lineaire.
Transformation de Landen.
Transformation de Gauss.
Transformation d'ordre impair.
Multiplicalion.
Tome 3
TABLE DES MATIERES
THEOREMES GENERAUX.
CHAPITRE PREMIER. Applications du theoreme de Cauchy sur les integrales d'une fonction d'une variable imaginaire.
351-357. Premieres applications du theoreme de Cauchy
358-360. Decomposition des fonctions doublement periodiques en elements simples
361-374. Fonctions doublement periodiques de seconde espece. ― Decomposition de ces fonctions en elements simples
375-388. Fonctions doublement periodiques de troisieme espece
389-395. Autres expressions propres a representer les fonctions doublement periodiques
CHAPITRE II. Applications de la formule de decomposition en elements simples.
396-400. Les fonctions $\tau, \zeta, \wp$
401-406. Les fonctions $\xi, sn, cn, dn$
407-418. Developpement de $\wp u$ en serie entiere ― Expression des derivees de $\wp u$ et de $\wp(u-a)$ au moyen des puissances de $\wp u$. ― Expression lineaire des puissances $\wp u$ au moyen des derivees de $\wp u$.
419-428. Developpements en series entieres des fonctions $\xi, sn, cn, dn$. ― Expressions lineaires des derivees des fonctions $\xi, sn, cn, dn$ au moyen des puissances de ces fonctions. ― Expressions lineaires des puissances des fonctions $\xi, sn, cn, dn$ au moyen des derivees de ces fonctions
429. Application de la transformation de Landen au developpement en serie 'entiere de la fonction cn
430-432. Application aux fonctions de Jacobi de la methode de decomposition en Elements simples
CHAPITRE III. Suite des thoremes generaux.
433-448
CHAPITRE IV. Addition et Multiplication.
449-455. Theoremes d'addition pour la fonction $\wp u$
456-460. Multiplicalion pour la fonction $\wp u$
461-463. Theoremes d'addition pour les fonctions $\xi, sn, cn, dn$
CHAPITRE V. Developpements en series trigonometriques.
461-472. Developpement de $log\vartheta(\psi)$, de ses derivees et des fonctions doublement periodiques ordinaires.
473-488. Developpement des fonctions doublement periodiques de seconde espece.
489-492. Developpements des quantites $e_\sigma, \eta_\sigma, k, K, E,$ ... en series en $q$
CHAPITRE VI. Integrales des fonctions doublement periodiques.
493-500. Integrales rectilignes le long d'un segment joignant deux points congrus, modulis $2 \omega_1, 2\omega_3$
501-505. Integration le long d'un chemin quelconquc. ― Cas general
506-517. Seconde methode ne convenant qu'au cas normal.
INVERSION.
CHAPITRE VII. On donne $k^2$ ou $g_2, g_3$; trouver $\tau$ ou $\omega_1, \omega_3$
518-532. Le probleme pose admetune solution et de cette solution on peut deduire toutes les autres
533-550. Etude de l'integrale $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\chi \: \mathrm{sin}^2\phi}}$ consideree comme fonction de $\chi$
551-569. Calcul effectif de $\tau, \omega_1, \omega_3$
CHAPITRE VIII. Inversion des fonctions doublement periodiques du second ordre, en particulier de la fonction sn.
570-575. Representation de la fonction inverse de sn$u$ par une integrale definie
576-589. Evaluation de $u$ connaissant sn$u$ ou $\wp u$
Tome 4
TABLE DES MATIÈRES
ERRATA
INVERSION (suite).
CHAPITRE IX. Évaluation des intégrales de la forme \displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Az^4+4Bz^3+6Cz^2+4Dz+E}} prises le long d'un chemin quelconque, dans le cas où A, B, C, D, E sont réels.
590-593. Evaluation des intégrales de la forme \displaystyle\int\frac{d\gamma}{-\sqrt{4(\gamma-e_1)(\gamma-e_2)(\gamma-e_3)}} prises le long d'un chemin quelconque, dans le cas oû $e_1, e_2, e_3$ sont réels.
594-596. Évaluation des intégrales de la mèmc forme, prises le long d'un chemin quelconque, dans le cas ou $e_2$ est un nombre réel et où $e_1, e_3$ sont des nombres imaginaires conjugués.
597-599. Substitutions linéaires permettant de transformer $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Az^4+4Bz^3+6Cz^2+4Dz+E}}$
en $\displaystyle\int\frac{d\gamma}{\sqrt{4\gamma^3-g_2\gamma-g_3)}}$
600-602. Cas ou A est nul
603-606. Cas où A n'est pas nul
607-609. Réduction à la forme de Legendre
610-615. Substitution quadratique
CHAPITRE X. Intégrales elliptiques.
616-618. Évaluation des intégrales elliptiques.
619-620. Réduction de Legendre
621-626. Notations de Jacobi
627-630. Notations de Weierstrass
CHAPITRE XI. Substitutions birationnelles de Weierstrass. ― Intégration de l'équation différentielle $$\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = a_0z^4+4a_1z^3+6a_2z^2+4a_3z+a_4. $$
631-637
CHAPITRE XII. Équations aux dérivées partielles.
638-646.
TABLEAU DES FORMULES DU CALCUL INTÉGRAL
NOTE. Détermination de la fonction inverse de $\wp u$
PREMIÈRES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
CHAPITRE I. Premières applications à la Géométrie et à la Mécanique.
647-648. Longueur d'un arc d'ellipse
649. Longueur d'un arc de lemniscate
650-651. Aire de l'ellipsoïde
652-653. Pendule simple
654-668. Pendule sphérique
669-675. Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe dans le cas où il n'y a pas de force extérieure.
CHAPITRE Il. Premières applications à l'Algèbre et à l'Arithmétique.
676-686. Division des périodes par un nombre entier
687-692. Équations modulaires
693. Problème de la transformation
694-702. Division des périodes par 3. Équation modulaire correspondante.
703-711. Division des périodes par 5. Equation modulaire correspondante.
712-714. Division d'une boucle de lemniscate en 3, 4 ou 5 parties égales.
715-718. Division de l'argument.
719-727. Multiplication complexe
728. Décomposition d'un nombre entier en une somme de quatre carrés.
NOTE 1. Sur la fonction de $\chi$ définie par l'égalité $\tau = i \: \frac{X'(\chi)}{X \: (\chi)} $ et sur un théorème de M. Picard
NOTE 2. Sur les suites arithmético-géométriques de Gauss
NOTE 3. Sur les covariants H et T d'une forme biquadratique
NOTE 4. Sur une transformation du second ordre qui relie les deux cas où les invariants sont réels
NOTE 5. Sur le sens de la variation des fonctions \vartheta pour des valeurs réelles de l'argument dans le cas normal
Lettre de Ch. Hermite à M. Jules Tannery.
Lettre de Charles Hermite

Citation preview

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES

~

1

(lNCTIONS ELLIPTIQlîESPAR

JULES

TAN~ERY,

.

~

Sous-Directeur dergente et

Les series

sa somnie est egale a S.

sont convergentes,

(i)

comme

toutes celles dont les

termes figurent, chacun line fois an plus, dans hii^

.

et leurs

. .

sommes

symboles

que

So,

^st

repr^sente la

done legitime

somme

Soient

p

S il

est clair

et

:

il

de tons les

double entree qui figurent dans ime

bole s^^q la

la suite

,

&2

•

* ?

•

sont, au plus, egales a S. L’emploi des

q deux entiers

meme

positifs.

est

commode

de dire

termes du tableau a ligne horizontale.

Designons par

le

sym-

somme

= que

—q “1" ^a, —^•+1 4"

les

mentant quand a

nombres reste fixe et

•

.

•

+

o

^ot.^

i

^a ,2 -H

.

•

.

h-

ctix,

q

tons infdrieurs a S, vont en aug-

que

le

nombre

positif q va en aug-

;

A TERMES CONSTANTS.

SERIES ET PRODUITS INFINIS

mentant; quand ce nombre augmente indefiniment

a

,

pour

limite

Designons par

symbole dp^g

le

somme

la

a=-hp ^1, (7“i“

5*

-

a^-p dp^q peut aussi 6tre regards

dans lesquels rieur on ^gal a

p

le

et

comme

premier indice

dont

inferieur ou egal a q.

le

somme

la

est,

les

nombres

en valeur absolue, infe-

second indice

Ce nombre,

de tous

en valeur absolue,

esfc,

ou mil,

dp^g^ est done que soient p et q, D’ailleurs, dp^q ne pent qii’aller en augmentant quand Fun des indices augmente lorsque, /) restant fixe, q augmente indefiniment, dp^q tend done

positif

aussi au plus egal a S, quels

vers

une limite au plus %ale

que

la

a S. Cette limite n’est autre chose

somme a=-i-p

a=-p par consequent,

chacun une

pris,

kS.

II

somme

la

en resulte que

Ton voudra,

d’autant de termes que

parmi

fois,

nombres

les

est

au plus egale

la serie

2 a

somme

est convergente, et

que

de voir

predsement ^gale

qii^elle est

nombre B

sa

inferieur a S.

On

au plus ^gale

est

peut prendre, en

bleau, assez de termes pour que leur

revient a dire qu’on peut prendre

dp^q depasse B; mais

la limite,

On

somme

et

p

pour p

etre inferieure kdp^q- cette limite est

a S. II est aise

k S, car elle d^passe tout

q

effet,

dans

assez grands

infini,

le ta-

depasse B, ce qui

pour que

de dp^ ne peat pas

done superieure

a B.

a done, en resume, Oi

s

=

=+

2

a=II est clair

00

OC rr-f" oo

/

[j

2( 2

a=— oo \p =—

que, au lieu de faire

la

\

oo

““’O' 00

somme

des termes conte-

«

INTRODUCTION.

20

nus dans ctaque ligne horizontale, puJs

la

somme

a=+oo

a=—

pu anssi bien faire la de touies ces sommes parlielles, on anrait ligne verticale, cbaque dans contemis somme de tons les termes obtenues, En ainsi partielles somme de toxites les sommes puis la

d’autres termes,

on

a aussi

/a = 4-co P =— 00

On

6crit souvent,

\a

=-00

\

/

d’une fagon plus abr^gee, S a, p

les sommaen n’indiquanl pas I’ordre dans lequel s’effecluent lions.

R^ciproqneraent,

les series

on nuls la serie

si,

2

^ai

^tant donn^ le tableau de termes positifs

sent convergentes, ainsi que

5^=2

I’on designe encore par

que

S

la

somme de

cette

a

entree est derniere sdrie, on voit de suite que la s^rie a double que 1 on termes conYcrgente parce que la somme d autant de ,

veut, pris dans le tableau,

ne peut d^passer S;

-f-

. .

.

-H

alors la s^rie

.

forc^ment convergente. Sa somme est done dgale th6or6me qui \ient d’etre d^montr^.

est le

a S, d’apres

15. Pla?ons-nous maintenant dans le cas gdndral on les noinbres ao!,p sont quelconques, r^els ou imaginaires. dira que la s^rie a double entree, dont les termes sont aa,p, absolument convergente, si la sdrie a termes positifs ou nuls,

On est

dont

les

termes sont

(aa,p |

[3

est convergente.

SfiRIES

Supposons

dont

les

en soil ainsi

qu’il

termes sont toujours

suite lin^aire,

encore

ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS.

la

est alors

somme

2

I

la serie

;

nombres

les

p

ranges dans ime

absolument convergente. D^signons-en

par S, et.soit

SMa somme

de

la

sme

a termes

positifs oil nuls I

On

a alors les

1°

^i| -h

-f-.

1

.

theoremes suivants

.-I1

;

Les series

p

sont absolument

comergentes.

Cela r^sulte imm^diatement de ce que Ton a demontr^, dans

le

niimero precedent, que les series

sont convergentes. a® Soit S(x

“2

La serie

est

absolument comer gente, et sa somme

Si

Ton

pose, en efFet,

p

est

q d^signant toujours des nombres

entiers positifs quelconques.

P=+7

=

^

11

P=-

l

/’

i ,

diverg'enle

quand on

a

1 5

la

Cm sera done convergente quand on aura up i >> i ou /> i divergente quand on aura /> $ II en sera de meme de la serie a double entree. serie

le

—

>

,

est

i

,

.

On

arriverait a la m^me conclusion en utilisant la represengeom^trique d^crite au 12 et le mode de correspondance obtenu en tournant successivement autour des cases on reunirait alors les termes qui se suivent dans un meme tour.

tation

;

Ceci pos6, designons par a,

conques, sorte que,

si

et

B

U

— a^b

des nombres r^els quelsoit different

de zero, de

Ton pose

A = a -h a'

A

6,

cependant que ab'

tels

^

f,

=b

deux nombres quelconques soumis a cette seule que leur rapport ne soit pas reel, et envisageons la double entrde dont le terme general est soient

restriction serie a

I

n

dtant

un

entier positif fixe

;

a et

valeurs enti^res positives, negatives

combinaison a

~ o, p = 0.

La valeur absolue de

la

(3

peuvent prendre toutes

ou nulles a Bexclusion de

quantile pr^cedenle sera I

2 (xap -h

ou Ton

a pos6,

pour abr^ger,

\

mais alors

la

\i.

= ab~ha'b\

forme -H 2 \i.xy H-

v

=

les la

,

A TERMES CONSTANTS.

SERIES ET PRODUITS INFINIS

27

est positive, car la quantity

—

Iv

est positive,

puisque ab^

nous sommes done, pour

(jl2

z='(^ab '

— a^b

— a'b)^ suppose different de zero;

est

des valeurs absolues des termes

la s^rie

de la serie a double entree consid^ree, dans le cas precedent serie des valeurs absolues est convergente si

Ton

;

la

a

divergente dans le cas contraire. Ainsi, sous les hypotheses prdeedentes, la s^rie a double entree

dont

le

terme general est I

est a

absolument convergente quand Ventier n

est egal

ou superienr

absolument convergente pour

trois ; elle n’est pas

les valeurs

de n egales a an ou a deux. 19. les

On

pourrait encore considerer des series a entree

dont

termes

dependraient de

p

indices a,

.

j5,

On

X.

. .

possible d’elablir entre les systemes de

p

montrerait qu’il est

nombres

entiers

(a, p,

et la suite des entiers positifs

2

i,

n,

,

.

.

.

une correspon-

dance univoque et r^ciproqiie, fondle par exemple sur

le fait

que

Tequation a 1

ou

-fI

1

p

!

+.

.

4- X

.-

1

1

=

m,

m est un entier positif, n’a qu’un nombreliinite de solutions

reste de la th^orie de ces series s’etablirait

a double entree. raliser la

Le

comme pour des

;

le

series

lecteur pourra, parexemple, s’exercer a g^ne-

premiere partie du th^or^me 6tabli dans

le

paragra’phe

pr6c6dent, en consid^rant a la place d’une forme qiiadratique positive a

riables.

deux variables une forme quadratique positive

a

p

va-

INTRODUCTION.

28

Ill,

20.

On

comme

double entree.

infinis i

pent considerer des produits

infinis a

double entree

des series a double entree.

Reprenons

2

,

...,

b,i, ....

Le produit

infini a

double entree

JJ(i+aa,p) a,p

sera dit ahsolumeiit

com^ergent

terme general

est

le

est

si la

serie a

double entree dont

absolument convergente

de ce produit infini est, par definition, celle

;

la

valeur

du produit absolu-

ment convergent n—oo

p

= 71

=

1

prouver que cette valeur peuL etre obtenue par des regies analogues a celles qui concernent les series a double entree.

Nous

allons

21. Supposons d’abord que toutes les quantiles

ou nulles. Le produit d’autant de facteurs que Ton vent,

p

soient

positives

quantiles facteurs

i

+

, q deux enliers positifs

p)“

I

:

posons

(l“t~ aoc^_y)(i -f-

x(n-r,

Ton

ail I

S

- S„ = I

ensemble;

le

si,

^

R«

,

I




/*,

les valeurs

consid^re 1

P

-

de

Pzz I

x

appartenant a I’enseinble

< £,

en d^signant par P la valeur du produit de ses n premiers facteurs. D’apres cette definition, on voit que

infini et

le

par P„

le

produit

precedent produit, sup-

convergent pose absolument convergent, est uniformement s6rie equivalente a ce produit I -+-

est

Ki

-t-

«» Pj-t"

•

si la

J^«P/i-l "P

uniformement convergente.

24. S’il existe

une suite de nombres positifs ou nuls

tels

que la serie

soit

convergente, et que

(‘)

Von

ait,

quel que

soit

rt^

et quelle

que

consider^. Plus brievementj uniformement convergente dans I’ensemble

SfiUIES

soil la

DONT LES TERMES DEPENDENT D'lWE VARIABLE.

x appurtenant d V ensemble

valeur de

35

considered

la serie ^Tl " “

III

absolument

est

et

1

’

•

*

uniformement con^ergente pour

valeurs de x appar tenant d V ensemble consider e

mime du produit

toutes les

en est de

et il

infini (^)

£t„). rt

Que

la

serie soil

puisque chacun de

=1

absolument convergente, cela est Evident, termes est moindre en valeur absolue que

ses

terme correspondant d’une s^rie convergente a termes

le

positifs.

Ton se donne un nombre positif e, on pourra determiner un nombre positif r tel que Ton ait

D’lin autre cote,

si

g on aura done, quel que I

par

et,

‘U'ri-^i

H-

^ /’+3 -i-

g

soit jo,

-i- W/i-i-2

•

sous la seule condition -f-

Uii^p

£, I

suite,

et cela quelle

que

soit la

valeur de

x

appartenant a Tensemble

consid^r^.

Pour

ces

memes

valeurs, le produit infini n

= 00

7Z

=1

££„)

est

absolument et uniformement convergent,

vainc de suite en comparant s^rie ^quivalente

la serie

comme on

au produit convergent n—co

72

(*)

=

s’en

con-

^quivalente a ce produit a

1

Weierstrass, Abhandlungen aus der FuncUonenlehre,

p. 70.

la

INTRODUCTION.

36

importe de remarquer plus generalement que sij pour la serie d termes positifs ensemble de valeurs de

Mais

iin

il

1

Ml

HI

!

"1“

1^2

•

•

•

•

[

1

1

uniformement cowergente^ et si sa somme d un nombre fixe A, le produit infini

reste inferieure

est

»

«

=»

n

=1

pour cet ensera absolument et uniformement convergent iquivalente semble de valeurs de x, ainsi que la serie 1-4- Ml

En

effet, les

rieiires

-H M 2 P 1

P27

quantiles

'

*

•

;

5

P

sont toutes infe-

en valeur absolue a

B or, a

•

1

cbaque nombre

M,i

on aura done, sous I

Un'Pn.-l

et cela quelle

que

4I

les

I

4-

e,

4I

J

m^mes W/i+iP/i I

e?A:

on peut faire correspondre un condition n 3> r^ on ait

positif

entier r tel quo, sous la

I

=

1

Un-i-2

4- *

.

.

1


?

2 0)i /10)3 0)1

11

reste a effectuer le produit des facteurs primaires

Ce produit

ou

/?

= o.

LA FONCTION 0'« ET LES POIfCTIONg QUI EN D^RIVENT.

l8l

deux produits coDvergents

est 6gal au produit des

sinTc-

2 b>i

^2/nCi>|

2

W

1

et 7 i, Xtos) I

done (XVIII.)

Tr ~x

v'4-°^- >Vw..'»

C6 qui s’accorde d’ailleura avec lea resullats anterieurs.

Ainsi les quantitds

Tia,

s/ca—e^ sont des fonctions homogenes

LA FONCTION O'w ET LES F0NGTI0N8 QUI EN D^RITENT.

de

et

ii)|, 0)3

du degr^

—

1

;

le

201

rapport de deux de ces quantiles

ne depend que de

120

.

Nous terminerons ce paragraphe en

disant quelques mots

d’un cas particuUer, tr^s important d’ailleurs, de fagon a permettre au lecteur, au moins dans ce cas, de se repr^senter I’en-

semble des rdsultats acquis d’une fa^on moins abstraite.

Supposons que

et

lOt

la variable

^

r^els et positifs.

soil r^elle,

Cela resulte ais^ment de

la

on voit que

Si

Ton suppose en outre

la

fonclion (ju est r^elle.

premiere definition de

c^u,

en grou-

pant ensemble les facteurs pour lesquels les valeurs de s sont

conjugates, c’est-a-dire sont tgales a 2n(x)3

d’ailleurs la chose apparait

mule (Xj) montre que

pu

rj,

et

2/Ma>i

nettement sur

—

la

a/kjOj

;

formule (X3

qui est egal

done un iiombre

tOg,

comme

compris entre z^ro

O'Wl

redles et positives 5 au contraire,

tiles

r^elles;

aux formules (Xle)

se reporte

voit par ce qui pr^c^de

est

impairs de

u' est

O'tOi

on

adniet

~ et 3 compris entre -r

est

— Ci =

quand

w sont

purement imaginaires,

an contraire,

les multiples

cette fonction est positive

121

soient

qiii

o'a

fonctions sont positives;

les trois

de z^ros

w, n’ayant pas

negative quand

fonctions paires

de z6ro,

u! est positif et voisin

a

— fy^eg — eg (XIII4),

dediiit de la d’abord

que

les

quantites rdelles ej, eg, eg sont rang^es par ordre de grandeur decroissante; leur

somme

etant mille, la premiere est positive,

la

derniere negative. EniGn, des trois radicaux a valeurredle /ei le$

que

— eg,

deux premiers ont le

(i>,

w'rs

u),,

eg,

la signification arithmetique,

tandis

rinconv^nient du syst^me de notations que nous avons adopts et

(*) C’est

tit^s

— eiy

troisi^me est negatif (*).

sur lequel nous nous cela par

\/ei

sommes expliqu^s dans

M. Schwarz, au ',

(*

=

facteur

b est un multiple de

effet

^taient les quantiles

tt*

6 t)ar2(aH-60

ne pent etre reelle que

en est ainsi, p(a-t- bi) est en

(0

—

une quantite

donnas.

reelle.

et,

LA FONCTION O'W ET LES F0NCT10N8 QUI EN DfiRITENT.

V.

— Transformation lin^aire des fonctions

.

2o5

— Substitution

aux p^riodes primitives de p6riodes ^quivalentes. 123.

On

vu

a

nombreux exemples,

dej^, siir de

le parti

que

du de ce th^or^me absolument convergent, on pent intervertir I’ordre des facteurs et grouper ces facteurs comme Ton veut; pent

I’on

lirer

de I’application k

dansun produit

U

c’est

le

la

fonction

:

infini,

grand avantage des notations de M. Weierstrass sur

consequences essentielles de cette proposition vont apparaitre dans ce qui suit; elles se rapportent celles d’Eisenstein. D’autres

aux elements de

theorie de la transformation.

la

Nous avons montre comment on pouvait construire une fonction o'w au mojen d’un couple de deux nombres a rapport imaginaire 2(1)^, 20)3 et engendrer, au moyen de cette fonction, une fonction doublement periodique admettant 20)^, 20)3 pour periodes primitives; nous allons montrer (n” 125)

une

infinite

de nombres

2fli
3,

t/coa

determinant

ad — soit pas

= ctu,

sont des nombres entiers assujettis seulement a cette

condition que

ne

Ua

effet,

d’ailleurs etre

dans

le

numero

notablement simplifie. Nous suivant, que, si Ton suppose

Q|, Q3 lies par les relations qui precedent,

il

existe,

d’une

un systeme (a)^, (o,) proprement equivalent a (o>j, 0)3), de I’autre, un systeme (o', Qj) proprement equivalent k (QijQg), tels que Ton ait

part,

X,

p.

etant des

conditions

mun

:

1®

nombres

leur produit est egal k

diviseur est le

Des

lors

entiers assujettis seulement e ces

meme que

on voit que

le

(S>;

celui des

2® leur plus

nombres

deux

grand com-

a, 6, c, d.

probieme pose sera resolu

si

I’on sail

U

FONCTION àu BT LBS FONCTIONS QUI B.S DtRIVBNT.

:117

quel lien existe entre les fonctions a'( u I w'1 , w~ ),

et les fonctions

et ce dernier problème se décompose lui-même en deux : passer des fonctions a, d 2 , d 3 , formées avec un système de demi-périodes w1 , w3 , aux. mêmes fonctions formées avec les mêmes demipériodes dont l'une ou l'autre est multipliée par un nombre entie1· ou divisée par un nombre entier. Comme le système ( w 1 , w 3 ) est improprement équivalent au système ( - i

0)3,

au produit de / a'f

WH

O'f

—

2r-i-\

ar-l-i

I

\

—n

O'f

eui-f-eoaj

lOi

—

0)1

ar-H

/

= e-inaw (

2r

—

—0 I

)

\

cdj

1

)

2

—n

\

—“)

i

—n

\

^

par une puissance de e dont I’exposant est

—

—

0)1

-h

H-

0)3

j

On

~p

(

——

u)i

+•

0)3

I

a d’ailleurs

(/•)

/

2 /'-4-

I—

n

\

(/•)

(r

et

Ton

=

ro,ri, ...,r«-i),

trouve, toujours par le mfime

2

^V(

n

mode de

raisonneinent,

’ -iji

=o

premier membre ne depend manifestement pas du incongras (^modulo n) choisis pour /"o, r^^ nombres time de

en

efifet, le

sys.

.

.,

.

LA FONCTION O'w ET LES FONCTIONS QUI EN DfiElVENT.

229

de suite que les deux sommes soul nulles, composant de termes ^gaux et de sigues contraires

et I’on v^riGe

comme

se

quand on prend pour ces nombres On a done Gnalement

o, i, 2,

.

/i

.

—

1

+ — n Wi \ n TT _1_ —i AA ^ 2r H- — n \ ar

/

i

1

c'sf

(r)

"

\

I

(XXIs)

»

^

/

(Cl

n

1

{r

Enfin on trouve de

— n

tOj

>

/’o,

j

/

ri,

m^me

to,

(“

(XXI,)

=

0)1

n-

)"' ”

(/•)

(

r

—

f'ii

• • • 1

f'

n~i

)•

139 Les formules qul precedent peiivent etre transform^es de .

diverses mani^res; mais, pour ces transformations,

distinguer le cas II

celui

o{i

n

est pair de celui

ou n

=

2.

En

effet, si

n

p^riodes 2

140 garde

.

to,,

20)3

Soil d’abord

les fonctions

leurs 2p, =: e,

;

Ton ^it exprimer les

20)3 au

moyen

dans ces deux

/?

= 2.

cas,

=

=

(XXIIj)

(XXIIj)

r,

saura toujours.

=

ce qui re-

on aura

d’ail-

e*

toj)

e

*

oTwa'i

w

a'w.

o'^

wy/p w

—

+

= pM + p(u-(- to,) — e, = pu +

P

i ;

Cjll*

-4-

e

2

(xxno

le

done

u

(

on

Nous supposerons, pour

e|//»

o'

impair (^) et fonctions form^es est

des fonctions fornixes avec

p, que I’on prenne

o’,

convient de

il

est impair.

il

sufGl d’ailleurs de considerer le cas ou

avec les p^riodes les

ou

(e»— gi)(g»—

e\)

pu — e,

j

m6me manifestement de ne considerer que le cas oii n eslprcmais les formules qui suivent imm^diatement ne seraient en ricn nous faisions cette restriction.

(*) Il suffirait

tnier impair, simplifi^es

si

}

b3o

)

CILCUL DIFFiBBHTIBL.

Ges deux derni^res formules donnent Ton trouve successivement

le

mojen de

calculer h,,

B$, E|, Es et

^

B

11

Wl — —2 a

W3\

toi

h,=!:(

E,=

(XXII,)

—a (0,

a>8

pa),

-I-

d’oii,

1

l

to,)

— ei =

Ej

Enfin, puisque

=

-h E 2

.

-{-

ei

2

““

(XIV 3 )

de

— ^3

^

^

p— 2 lOi

•

doil ^tre mil, on aura

-f-

E2=

(XXIIs)

(e,— Cl) («s—— Cl). —

,

P-;^

en se reportant a I’expression

(XXII,)

2

= 2rj3-4- 610)3;

to,^

p ( u) s - -

E|=P—

’Qi"*

/

(xxiio r

==

,

>

— 2[/ej^e2 /ej — es,

formule qu’il serait d’ailleurs aise d’obtenlr directement.

La fonctiony

= pu verifie I’^qiiation

difTdrentielle

—

4(jK--^i)(r la

o>s)

= e’ =

(XXJIlj)

6

^ *

(o'?

\/ei

M

— e, y/e, — ejO'^w)

-+-

— en(i\u -h s/et —— etislu !-

'

v/ei—

'

/ei— ej

-+-

63

p,y/»

=

^

e

cf^u(pu

_________

— ex-^

\l ei

— e^s! — Ci

.

Enfin on aura

=e

.r

——

^2

r)

2r

2r

/

1

V

/

^

^

j

^>

•

•

•

^

j

^

4»

(XXVIi) on prend pour

les

^

•

nombres

la suite

— elles

Tl -f- I

,

—

TX -+-

3,

.

•

•

2

)

J

2

j

4

?

’

•

•

>

^

^

5

deviennent 0^(12-+-

(XXVI3)

W3]

=

COJ^

=

—a)i)a'(w- ~o)i)

—

r

>

'

o-jt/tt

J'awjj (/*)

“-?)• II

n’est pas

m6me nbcessaire de sp^cialiser autant les valeurs de r.

—

.

1

,

d 36

GILGUL BiPP^BBNTIBL.

Choisissons, enefiet,

^

Bombres

-

Tj, r2,

• •

d’eux ne soit divisible par n, non plus que

somme de deux d^entre eux; nombres 1,2, parmi

les

n

.

.

—

.

telsqu’aucun

• ,

la difference

salisfont k ces conditions;

,

1

^1

)

^2

)

^

•••»

)

sera divisible par

,

. .

2,

.

-

.

;

non plus que

la difference de deux n i nombres pour evidemment aux m^mes formules que

/?,

En prenant

on arrive seulement

.,

precedemment

r,

—

ces

au lieu de prendre

doit prendre les valeurs ri, ^2,

,

,

2

quelconques d’entre eux, ^2,

est clair que,

il

2

/'
a"'Mjq

j^p«

—

(/•)

on voit que la

la solution

recherche de

Pi

la

quantile

=p

et des fonctions

svm^triques des quantiles dont Pj est

fonctions sjm^triques le

da probl^me pos^ ne depend plus que de

qiii

second membre. C’est

enlrent dans Ja

le

la

somme,

produit qui figure dans

un probl^me d’Algebre, sur

nous aurons a revenir plus tard,

et

dont

la solution,

premier, depend d’une Equation de degr^

lequel

lorsque n esl

n-h

146, Les pages qul pr^c^denl meltent en Evidence Plmportance

de reparation qui consiste k subslituer au couple de demi-p^riodes

0) 3

)

le

couple

(ati>


sont determines par les qualre equations

=

o,

y'P + o'o ==

I,

a'p-h|i'o Y'a

En

o'y

=0,

resolvant les deux premieres par rapport a

a',

et les

deux

(') En conservant les m^mes notations, Toperation pr6c6dente S"S'S, par exemple, peut 6tre definie d’une fa9on un peu differente on suppose que les operations partielles que Ton va d^crire s’effectuent non plus de droite k gauche, mais bien de gauche d droite. Partons des formes lin^aires cl x dont les coefficients sont les ^l^ments du premier symbole (en partant de la gauche) S"; rempla^ons-y les variables a?, y par les expressions lin^aires a'a? -h ^'y, y'a? 6'y, dont les coefficients sont les 61 ^ments du second symbole S' ; puis, dans les formes transform6es, mettons encore, A la place de x, y^ les expressions lin^aires aa7-+- ^y, 70?+ 6^ dont les coefficients sont les ^Idments du troisieme symbole S; les coefficients des formes finales seront les ^l^ments du symbole compost S"S'S. :

+

T. et M.

~

I.

16

;

:

GAtCUL BlFFfi&BNTISL.

34a autres par rapport k y,

8^

en d^signant par

et

cD il

(3&

le d^ternainant

= aS — Py,

vient

II

importe de remarquer que

/

= SS-*=

d^signe par S®

la

^

I

o

(

\ o

On

S

on a

est S; en d’autres termes,

S-iS

substitution inverse de

la

'

qui n’al-

substitution identique ^

^ t6re pas les variables.

Le symbole

pour n entier

a ^t^ d^fini

S'*

convient de donner au symbole S’'" est ais^ de voir que, quels n^gatifs,

m et n,

on

le

que soient

m^me

positif

ounul; on

sens qu’^ (S”^)".

les entiers positifs, nuls

II

ou

a

Cette ^galit^ est 6vidente quand

m, n sont

positifs

ou nuls; bor-

nons-nous done k ^tablir F^galit^

5.s-.=s.-(; d’oili il

est ais^

par exemple n

de d^duire ensuite

=

3,

s* S~*

comme SS"* ment

la

=

les autres cas.

SSSS-i

= S® est

S-*

=

SS ( SS-» )

S“1

la substitution identique,

on pent ^videm-

supprimer et Ton a ensuite

raisonnement

En supposant

on aura

SSS“*S~1 le

ly

==

S(SS-*)S-»

est g^n^ral.

Observons encore que T^galit^ S'S'S

= T,

= SS-* =

so

U

LA FONCTION oix

T

S, S', S",

LES FONCTIONS QUI EN DfiRITENT*

ILT

243

sont des symboles de substitution, entraine I’^ga-

lit^

= TS-iS'-i

S"

on

en

tire,

de

effet,

la

premiere ^galit^

S'^S'SS-IS'-I et le

membre peut

premier

= TS-1S'-S

sMcrire successivement

=

S^S'(SS-i)S'-i

La m6me

:

S^S'S'-i

=

^galit^ entraine la suivante

S

=

S"(S'S'-1)

=

s^

:

S'-iS''-iT.

148. Les substitutions de cetle nature, a coefficients entiers, a

determinant vants,

un

+

i,

jouent,

arr^ter quelque peu. elles

deux

I’a

deja vu aux n°* 124 et sui-

m^me

:

elles

meritent de nous

D’abord, on voit qu’en composant entre

pareilles substitutions,

appartient au entiers et

commeon

r6le particuiierement important

on trouve une substitution qui

type, puisque les coefficients en sont encore

que son determinant e^ egal

a

un com me produit des

determinants des substitutions proposees.

Parmi vantes

II

les substitutions

de ce type, on peut signaler

les

sui-

;

est tr^s

remarquable qu’on puisse

les

obtenir toutes en

com-

binant deux de celles-la, les deux premieres, par exemple, etleurs puissances positives et negatives.

Que

la

derniere se ramene aux deux premieres, c’est ce qui

resulte de Tidentite, bien facile k verifier,

V = TUT.

On

tire

Par

suite, toute

de

la

en composant

puissance positive ou negative de

les substitutions

Avant de demontrer

la

T,

U

V

s’exprimera

et leurs puissances.

proposition enoncee, observons tout

a44

(ULCUL DtFFfiaXNTIBL.

d’abord que I’oq a

u«

-(7

—(:7).

:,)

-a -p\ -Y -8

«.=

;)•

(

puis

/a+p p\ Vt + 8 8/’ On

et,

tire

/«

r)v.('a

p -H a \

\ Y

^

8

y

.

Y

+y

/

ais^ment de ces derni^res dgalit^s (x-h

P \

7-f-n8

(T

/’

/“ Vy

v«

=

)

(

7"“)

en particulier,

-=(::)•

-=(;:)

Ces diverses relations sont d’ailleurs

vraies,

que n

soil positif

ou

n^gatif.

149. Ceci pos^, nous ^tablirons la proposition que nous avons

en vue dans un cas particulier auquel nous ram^nerons tons

ou Tun des nombres a, [3 est nul. Puisque ao un, on doit avoir, si a est nul, soil

autres, celui est egal k

les

—

soil

y=:i; et si

p est nul, on doit avoir, soit «

soit

a= —

On

Y

§

I,

=

8= —

i.

a done k consid^rer les quatre substitutions

(7 oii

= i,

O'

cv). (;:)-(7-.).

et 6 d^signent des entiers positifs

ou

n^gatifs quelconques.

LA FONCTION tfw ET LES FONCHON8 QUI BN BfiElTBNT.

La deuxi^me

et la

troisi^me, puisque

on

D’ailleurs,

quatri^me se ram^nent

Ton

Si

la

premiere et

Si

la

a

a

d’un autre c6te,

et,

par consequent

Par

suite, le

nombres

a,

[3

th^oreme

demontr^, dans ^

est

le cas

ou Tun des

est nul.

150. Pla9ons-nous maintenanl dans

le

cas general.

L’identite P 8

monlre que Ton pent mettre

oil

est,

en valeur absolue,

T“'* sous la

le reste

ce reste est nul, on s’arrStera

iSi;

de

en multipliant

Si

droite par

de a par p. Si

sinon, on emploiera la relation

-P -S et,

la division

forme

ai\ Yi/’

une puissance convenable

on

a46

mettra

06

—

CALGUL DlFPfiBBNTlBL. le

Pi est,

second membre sous

la

LA POBCTION 3'w ETC.

forme

/Pi

«i

Ui

Ti/’

en valeur absolue,

\

le reste

de

la

division de

—

3

par

j

,

en sorle que Ton aura

d’ou

( Si ^4 est nul, le

5

)-

th^orSme

s’obtient en

est verili^,

puisque alors

composant

les substitutions

la substitu-

T,

U

et

on conlinuera de la mtoe que on parviendra toiijours a

leurs puissances. Si pi n’est pas nui,

faQon,

et,

comme

est plus petit

meltre la substitution proposee sous

nombre

fini

la

forme annonc^e, apr^s un

d’op^rations.

FIN DU TOME PREMIEU.

17818

Ptrli.

—

Imprimwie GAUTHIEa-VILLARS ET FILS, qual det

Gri«4§-Aiiftittliii. ss.

fiLfiMENTS DE LA THEORIE DES

FONCTIONS ELLIPTIQUES P\K

Jules

TANNERY,

Jules

Sous-Dlrecteur des I^tudes scientinquao

Profosseur

A

a I’fscole Norniale »up6rleure.

In

MOLE, Faculty

des Scieiicos

de Nancy.

TOME

II.

CALCUL DJFFfiRENTIEL

(11''

Partik).

PARIS, GAUTHIER-VILURS ET

FILS,

IMPRIMEURS-LIBRAIRES

DE L^ECOLE POLYTEGIINIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES* Quai des Grands-Aiiguatiiis.

1896 (Tool

droits reserreg.)

55.

TABLE DES MATIERES DU TOME

II.

CALGUL DIFF£RENTIEL (2“ PARTIE).

CHAPITRE

III.

Les fonctions

2r. t'AKClt.

tw,

151-159. D^veloppements des fonctions

160-166. Relations entre les fonctions

o'

i

et les fonctions

&

i4

16T-175. Sur quelques fonctions du rapport des p6riodes.

—

Formules

di-

verses

25

176-189. Transformation lin^aire des fonctions

38

2r

190-215. G^n^raliUs sur les transformations lin^aires.

— Transformation

li-

Hermite

n^aire des fonctions cp(T),

216-241. Determination, en fonction des •oefficients de

la

54

transformation

li-

n^aire, des racines huitiemes de Tunite qui figurent dans les for-

mules de transformation des fonctions & et de la racine vingtquatrieme de Tunite qui figure dans la formula de transformation de la fonction h(T) 242-253. Transformation quadratique des fonctions

2r.

—

Duplication de

gument

ir/l

254-271. Transformation d'ordre impair des fonctions

2r.

—

Multiplication

de Targument

i25

272-286, Sur un thdoreme de M. Hermite.

—

Theoremes

d’addition.

—

~ Relations entre les fonctions &.

Ideotites de Jacobi.

—

FormuJe de

Schr6ier

i5o

CHAPITRE Les quotients des fonctions 287-300. Les fonctions

89

I’ar-

IV. o'

et des fonctions 168

1

301-319. Les fonctions sn, cn, dn.

— Notations divcrses

1^8

320-323. Transformation lindaire des fonctions elliptiques

324-334. Transformation quadratique des fonctions elliptiques. tion de ^argument. tions sn, cn, dn

—

195

—

Duplica-

Application aux ddveloppements des fonc300

3

|

n

TABLE DEg MATlI^EBS.

dWdre

335*350. Transformation

impair des fonctions elliptiqaes.

—

plication de Targument.

Aper^u sur

Ic

»

Multi-

probldme g6n6ral do

la

transformation

3

Tableau des fomules du Calcul diff6rentiel

FIN DE LA TABLE DES MATI^BES

DU TOME

1

a 33

II.

ERRATA DU TOME PREMIER.

Page no, ligne

17,

Page n4, ligne

5,

au

au

lieu

(

-

1 )^

de /( w),

Page

142, ligne 21,

Page

164, lignes 17 et 19, multiplier les

Page

164, ligne a5,

Page

167, ligne

lieu

au

de

lieu

lire

lire

f(u^)>

Page

i83, ligne i4.

au

lieu

de

Page ®

186, ligne i4,

au

lieu

de

Page

188, ligne a5,

Page Page

201, ligne i4,

Page

ao4,

a

est

au

lieu

de

au lieu de au lieu de

— lire e^^^

lire

-- -

•

u), i

a>,

“ [

>

lire

•

r^el et positif, lire reel. r^el et n^gatif, lire r^el.

de Vavant-derniere ligne du

un multiple de

Page 22

Page

,

texte^ lire est nul ou

et,

b>,,

si

h est

si

un multiple de

le fac-

y

ou

^

derni^rc ligne, ajouter sous le signe

I

Hndice

s.

jj^J

au

225, derni^re ligne,

Le lecteur qui voudrait

lieu

de

se bonier

lire

—

•

a un apergu de

la Theorie des fonctions

elliptiques et acquerir seulement les rmtions indispensables

Mecanique pourra num^ros 320 d 350.

des fonctions elliptiques

m^ros 176 d 271

factcur ru.

(On

teur cr(2a) est nul; ceci ne peut avoir lieu que si

le

lire .

lieu

cosXA’it.

cota^.

seconds membres par

C017U/7

au

—2

i)*"

n,, lire n.

!i4)

201, ligne 16,

2(—

cosX/:it, lire

— cot2;r^

de

lieu

aw

de

et les

d.

la

aux

se dispenser

de

applications lire les

nu-

Elements DE L4 THEORIE DES

FONCTIONS ELLIPTIQUES.

CALCIL DIFFMENTIEL. (2*

PARTIE.)

CHAPITRE

III.

LES FONGTIONS

I.

—

D^yeloppements des fonctions

151. Les fonctions

cfUy c^a^u,

de M. Weierslrass, que nous avons

etudi|+,:*

271it»i

”

n=: «

4^*"

I

+

-

’

+ n=:t

(XXX)

(

=-2e,u)?+ir*2-

2 yi, 0),

2)

I

n

=1

n

=»

271,(0,

(3)

/tz=l

Joignons a ces formules

celle-ci

:

“ /r=:oe

(XXX 4 )

=r

2r^iU)i

_

I

j

le nouveau qui n’est autre chose que la relation (X4) ecrite avec

En

systcme de notations. se rappelant

que

e,

+ ej

est nul, et

-t-

on trouve

a la derniere 6galite, les

ajoutant les trois premieres egalitds, en

en comparant

le r6sultat

la relation lineaire qui suit, entre

membres des formules

quatre series qui figurent aux seconds

(XXX,..,), n

— 00

2

n-l

"

nssx

^ “

g2n ^

—

^(f— ^2/^-1)*

y iL(i

«

n

gin-l

=!

=

154. Revenons maintenant aux ^galites les

consequences

el les

4- 9=^"“^

y_ )*

4-

9*'* )*

«-*!

l

(XXIX) du

transformations font

n° 152 dont

objet principal de ce

1

paragraphe.

Tout d’abord, nous remplacerons, dans vemeiit par w,,

toj,

0)3

ces formules, u successi-

de maniere a avoir les developpements en

produits infinis de c'Wa, o'pWa.

Remplacer u par ^

tOo, (O3

to,

revient a remplacer v par -

^

?

,

>

et 5 par -(l + T)

llL

e

On tions

T7Ct

tU 2

e

2

1

= 92.

observera que, en vertu de ces egalites

mSme,

les

nous remplacerons k Toccasion par

nota-

6

CILCUL DIPFtfiENTlBL*

ne component aucune ambiguity. Nous serons aussi amends

k

d^signant un cntier quelconque et

n

^crire

i",

un entier positif quelconque, et nous entendrons par

Ik

rrnti

(XXVIII,)

mvj:/

e

de sorle que

les

Comme

,

g'"

symboles

mais aucune ambiguity

nous disons cela

;

ne comporleront ja-

line fois

les prodiiits infinis qui flgurent

(XXIX, _4)

formules

"

pour

toutes.

aux denominalcurs des

un grand nombre de

s’introduisent dans

for-

mules, nous poserons aussi, pour abreger, « = oo

n=oe I

— 9”"),

9o

(xxviii*)

=

"zl

I

I \

?1

+ „"ri

=

~ n^'

IT^' n=

n:^i

“

i

Les quantiles go, g^, g^, g% sonl liees par une relation alg^> brique qu’on oblient imm^dialement en remarquant que les produits infinis «

=«

n— )

2r,(p)

-f-

^

I

Quand on voudra

29 *

TU(^

71

=

*

.

sinSirt^

—

11 008

371^^

-h 2 5r

*

COS 5 71 P

-h 2^*C0S4'I^V -H 2 ^® cos 6 TIP 4-...,

P 4-

2^^ cos 411

— 2^’ COSGtTP 4-....

mettre en Evidence, soil

Faide duquel les qualre fonctions

q

2J6

3

le

rapport t

sont form^es, soit

on 6crira 2r,(plT),

le

:.r:

a

nombre

LES FOMCTIONS

*7

ou

a la place de

%(f'h

^t(f’),

Avec ces notations, la

les r^sultats

du n® 159 peuvent

^ire

mis sons

forme suivante

^ 9o

j)= 2 ^ 0 ^*

(7)

S,(p)=

n

(14- 25r2«

cos2(’'r:

4-

/

I

?0

-4-

= n=»

I

(8)

1

^4(^>)= ^0

est quelquefois

ind^pendanle

l

—

C 0 S 2 VTT

4-

commode de prendre

z

J J[ (l n=l

\

II

J[pn- 2gp»«-‘ C0S2»>Tt n

I

163.

80

et

comme

variable

de consid^rer, au lieu des fonctions 2r(p),

les

LE8 F0NCT10N8

>9

nom

fonctions suivantes qui n’en difT^renl au fond que par le

de

la variable.

Si I’on pose

(i

bis)

pi(^)= n

profond^ment de ces fonctions par

dont y sonl engag^es n’eiitrent plus que par leur

la fa),

(XXXIV4) -

-

4

s'obtiennent de tions

o',

la

fagon

-^

=

^ 4(*

2r*(o)

S*(o)

173. Signalons encore les resultats suivants, dont nous ferons

usage par Si,

la suite.

dans

les

formules

n

T. et M.

-

II.

3

.

CALCUL DlITfiEBNTiSL«

34

aa consid^re, dans les seconds membres^ les termes pour lesquels n est pair, on voit que leur ensemble n’est autre chose que les termes oh n est impair sont, d’ailleurs, ^gaux et de signes contraires; on a done (XLi)

On

a&sCat'

aura de

r*(p

1

2^s(2Pl4'C)=;2r3(p

Quand on

et

4 'c)=

t). |

m^me

XLO

sion,

1

fait,

(t)—

dans ces formules, p

3^4

= o, on

en tenant compte des formules (XXXVIl2,5),

s

*

/>

—

IH- /IP

Comme, en

/ei

— ^3 H- /ei— 62

_ on doit avoir par

_

2y

les relations

-h 2y«-h2grgg-f...

.

^

IH- 2g^^4- 25^164-.

.

vertu de la relation (XXXIlIo), on a

S^8(^h)

suite,

obtient par divi-

en posant

aussi,

/T a^i(^|toi, 0)3)

^

a'2(ala)i,o>3)^

en remplagant

toj

par 4^3? ^ par4T,

et,

par

6,

^

g^i(i4|u>i,4aj3)