Álgebras de Hopf fracas: teoremas de dualidade e de Maschke [version 6 Aug 2013 ed.]

Table of contents :
Introdução......Page 10
Definições e exemplos......Page 12
Propriedades......Page 23
Álgebras de Hopf fracas......Page 34
Integrais......Page 53
Módulos de Hopf fracos......Page 56
Teorema de Maschke......Page 68
Produto smash fraco......Page 71
Teorema de dualidade......Page 80
Apêndice......Page 88
Referências Bibliográficas......Page 90

Citation preview

Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

Álgebras de Hopf fracas: teoremas de dualidade e de Maschke

Deividi Ricardo Pansera Orientadora: Prof.ª Dra. Virgínia Silva Rodrigues Florianópolis Fevereiro de 2013

Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

Álgebras de Hopf fracas: teoremas de dualidade e de Maschke

Dissertação apresentada ao Curso de PósGraduação em Matemática Pura e Aplicada, do Centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática, com Área de concentração em Álgebra.

Deividi Ricardo Pansera Florianópolis Fevereiro de 2013

Álgebras de Hopf fracas: teoremas de dualidade e de Maschke

por Deividi Ricardo Pansera1 Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do Título de Mestre, Área de Concentração em Álgebra, e aprovada em sua forma nal pelo Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

Prof. Dr. Daniel Gonçalves Coordenador Comissão Examinadora

Prof.ª Dr.ª Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora - UFSC)

Prof. Dr. Antonio Paques (Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS)

Prof.ª Dr.ª Daiana Aparecida da Silva Flôres (Universidade Federal de Santa Maria - UFSM)

Prof. Dr. Licio Hernanes Bezerra (Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC)

Florianópolis, Fevereiro de 2013. 1 Bolsista do Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíco e Tecnológico CNPq

ii

A estrada avança sempre, sempre, A partir da porta onde começou. Agora a estrada chegou muito longe E tenho de segui-la, se puder. De percorrê-la com pés fatigados, Até se fundir noutro caminho maior, Onde se encontram muitos caminhos e missões. E depois, para onde? Não sei dizer. J. R. R. Tolkien

iii

Agradecimentos Primeiramente, agradeço à Santíssima Trindade, Pai, Filho e Espírito Santo, pela mera possibilidade da minha redenção. Aqui, houve a verdadeira mudança signicativa em minha vida, não apenas para sempre, mas para a eternidade. Parafraseando São Paulo em At

17, 28

'n'Ele sou, me movo e existo'. À minha família amada. Todos. Em especial ao meu Pai, minha mãe, meu irmão e meus queridos avós.

Muito melhores que as min-

has, para uma tentativa de expressão do que signica a família, são as palavras de G.K. Chesterton: Quando entramos numa família, pelo ato de nascermos, entramos realmente num mundo que é incalculável, num mundo que tem suas próprias e estranhas leis, num mundo que poderia passar sem nós, num mundo que não criamos.

Em outras palavras,

quando entramos numa família, entramos num conto de fadas. À minha orientadora, Prof.ª Virgínia Silva Rodrigues. Ela, certamente, é muito mais que uma orientadora no sentido acadêmico. uma orientadora no sentido amplo da vida e de suas relações. verdadeira amiga e companheira.

É

Uma

Aprendi e aprendo muito com ela.

Jamais esquecerei que, em determinado momento crítico da minha vida pessoal, ela ofereceu-me o céu com um ato singelo e, confessadamente, inesperado por mim.

O maravilhoso conforto de um abraço amigo e

consolador. Muito obrigado! Ao professor Christian Lomp por ter aceito, ainda que informalmente, orientar-me durante um possível futuro doutorado.

Esse ato,

motivou-me a continuar e prosseguir com os estudos, no âmbito acadêmico. Aos professores Antonio Paques, Daiana Aparecida da Silva Flôres e Licio Hernanes Bezerra. Expresso minha profunda gratidão por todas as sugestões, correções e, principalmente, por terem dedicado um período de seus preciosos tempos para a leitura deste trabalho. Aos meus irmãos algebristas. Luis Augusto Uliana e Sara Pinter. O ritual de um café, o qual ultrapassou protocolos sociais, antes de

iv

nossas costumeiras aulas algébricas, jamais será esquecido. Aos meus colegas de turma e matemática.

Em especial, Camila

Fabre Sehnem e Soyara Biazotto. Boas risadas, cafés, almoços e ans. Aos meus eternos amigos, dos quais se incluem os já citados nos parágrafos anteriores à este. Em especial Denis Dalzotto, Fábio Campos, Lucas Betega, Rafael do Nascimento e Tcharles Roberto Bagatoli. Mostraram-me e ainda mostram o que é, de fato, vislumbrar o que está para além de uma janela. Nada mais apropriado para este parágrafo do que citar C.S. Lewis: A Amizade é desnecessária - como a losoa, como a arte, como o próprio universo (pois Deus não precisava criar). Ela não tem valor de sobrevivência; ela é, antes, uma das coisas que dão valor à sobrevivência. À Elisa, secretária da pós, que, em sua extrema competência, sempre apresentou prontidão. Finalmente, mas não menos importante, agradeço ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíco e Tecnológico) pela bolsa de mestrado fornecida, sem a qual não seria possível escrever esta dissertação.

v

Resumo O conceito de álgebra de Hopf fraca surge como uma generalização de álgebra de Hopf no sentido clássico, (veja [3]). Nosso objetivo neste trabalho é apresentar, embasados em [10], uma versão fraca do teorema de Maschke que caracteriza álgebras de Hopf fracas semissimples em termos de separabilidade e integrais normalizadas. Além disso, usando [9], denimos a noção de ação de uma álgebra de Hopf fraca álgebra

A

e apresentamos um produto smash

A#H

H

em uma

nesse contexto.

Finalmente, mostramos uma generalização do teorema de dualidade de Blattner-Montgomery (veja [1]), isto é, se uma álgebra de Hopf fraca

A então existe Endk (A#H)A .

agir em uma álgebra

(A#H)#H ∗

e

vi

H

um isomorsmo entre as álgebras

Abstract The concept of weak Hopf algebra arises as a generalization of ordinary Hopf algebra, see [3]. Our goal in this work is to present, based on [10], a weak version of Maschke's theorem which characterizes semisimple weak Hopf algebras in terms of separability and normalized integrals. Also, based on [9], it is dened a notion of a weak Hopf algebra

H which A#H in

acts on an algebra this context.

A,

and it is presented a smash product

Finally, we shaw a generalization Blattner-

Montgomery's duality theorem (see [1]), i.e., if we have a weak Hopf

H on an algebra A then there is an algebra isomorphism (A#H)#H ∗ and Endk (A#H)A .

algebra action between

vii

Índice Introdução

3

1 Álgebras de Hopf fracas 1.1

1.2

Biálgebras fracas

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1

Denições e exemplos

1.1.2

Propriedades

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Álgebras de Hopf fracas

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Módulos de Hopf fracos e um teorema de Maschke

4 4 15 26

45

2.1

Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2

Módulos de Hopf fracos

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3

Teorema de Maschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3 Produto smash fraco e um teorema de dualidade

63

3.1

Produto smash fraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.2

Teorema de dualidade

72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Apêndice

80

Referências Bibliográcas

82

1

Introdução Álgebras de Hopf e biálgebras surgem em muitos contextos matemáticos distintos como estruturas fundamentais.

A teoria de álgebras de

Hopf, atualmente, está muito desenvolvida e possui aplicações em diversas áreas.

Tais objetos surgiram, pela primeira vez, em topologia

algébrica, mais precisamente no estudo de anéis de cohomologia de grupos de Lie, posteriormente generalizado para

H -espaços.

Álgebras

de Hopf possuem uma teoria de representação rica e uma das razões disso é que uma álgebra de Hopf

H

concede, naturalmente, uma estru-

tura de módulo no produto tensorial de dimensão nita, os ideais de

H,

H -módulos.

Quando

H

possui

que são chamados espaços integrais,

são unidimensionais e são fundamentais na teoria de representação. Em meados de 1980, foram descobertas algumas conexões, em determinados aspectos, entre álgebras de Hopf, topologia e física teórica, que desenvolveram-se no que pode ser chamado de matemática quântica (quantum mathematics). Nesse âmbito, incluem-se os grupos quânticos, a topologia quântica, a geometria não-comutativa e algumas categorias com estruturas adicionais.

As álgebras de Hopf encontradas

nesses contextos são, em sua maioria, simultaneamente não-comutativas e não-cocomutativas. Um número considerável de generalizações de álgebras de Hopf e objetos relacionados surgiram nos últimos anos.

Dentre essas gener-

alizações, uma, em especíco, é o objeto de estudo desta dissertação: álgebras de Hopf fracas ou grupóides quânticos nitos. Álgebras de Hopf fracas foram introduzidas em [2, 11, 12]. As álgebras de Kac generalizadas (nito dimensionais), em [14], são também álgebras de Hopf fracas no sentido de [3, 11], embora com uma antípoda involutiva. Uma álgebra de Hopf fraca

H

é um espaço vetorial

nito dimensional que possui uma estrutura de álgebra e de coálgebra simultaneamente, com uma certa relação de compatibilidade entre essas estruturas, juntamente com um anti-homomorsmo de álgebras e

2

de coálgebras chamado antípoda. A principal diferença entre álgebra de Hopf clássica e álgebra de Hopf fraca é que, em fracas, não é mais exigido que a comultiplicação preserve a unidade (equivalentemente, não é mais requerido que a counidade seja um homomorsmo de álgebras) e isso resulta na existência de duas aplicações lineares geram subálgebras canônicas que contêm a unidade de por

Ht

Hs ,

e

H,

εt

e

εs , que

denotadas

respectivamente.

Neste trabalho, embasados em [3], apresentamos os axiomas de biálgebras fracas e álgebras de Hopf fracas sobre um corpo com uma atenção minuciosa, as subálgebras canônicas

k . Discutimos, Ht e Hs men-

cionadas no parágrafo anterior, onde mostramos, além de diversas propriedades relacionadas às mesmas, que tais subálgebras são álgebras separáveis (Proposição 1.34, p. 41) e que a álgebra de Hopf fraca dual

H∗

possui suas subálgebras

álgebras

Hs

e

Ht ,

Ht∗

e

Hs∗

e que essas são isomorfas às sub-

respectivamente.

Em seguida, utilizando [10], apresentamos um estudo de integrais para álgebras de Hopf fracas.

Usando a noção de módulos de Hopf

fracos, que é uma generalização de módulos de Hopf, mostramos uma extensão do teorema fundamental de módulos de Hopf neste contexto fraco (Teorema 2.14, p. 56) e, como consequência, a existência de uma integral não-nula. Ainda no contexto de integrais, apresentamos uma versão fraca do teorema de Maschke (Teorema 2.18, p. 60), que caracteriza álgebras de Hopf fracas semissimples em termos de separabilidade e integrais normalizadas. Finalmente, embasados em [9] e [10], denimos a noção de ação e coação de uma álgebra de Hopf fraca a sua relação de dualidade. smash

A#H

H

em uma álgebra

A e mostramos

Apresentamos uma noção de produto

nesse contexto, e generalizamos o conhecido teorema de

Blattner-Montgomery (Teorema 3.16, p. 76), isto é, se uma álgebra de

H age em uma álgebra A então as álgebras (A#H)#H ∗ e Endk (A#H)A são isomorfas. Sendo esse um dos principais resultados

Hopf fraca

deste trabalho. Consideramos, como pré-requisitos para a leitura deste trabalho, a teoria de coálgebras, de comódulos e de álgebras de Hopf (no sentido clássico).

3

Capítulo 1

Álgebras de Hopf fracas Neste capítulo, nossa principal referência é [3], muito embora apareçam alguns resultados de [9]. Uma interessante referência é [5]. Apresentamos as noções preliminares de álgebras de Hopf fracas, bem como diversas propriedades que são de fundamental importância para os capítulos subsequentes. Começamos enunciando os axiomas de biálgebras fracas e álgebras de Hopf fracas. Apresentamos duas subálgebras canônicas e diversas propriedades que envolvem as mesmas. Primeiramente, xamos notações que são utilizadas ao longo do trabalho. Denotamos por

k um corpo e, a menos que se diga o contrário, k e assim, escrevemos

todos os produtos tensoriais são tomados sobre

⊗

ao invés de

⊗k .

Ao longo do trabalho, expomos em lemas, identidades que são utilizadas com devida frequência.

Além disso, à medida que tais iden-

tidades são obtidas, optamos por colocá-las no Apêndice. Assim, em sua grande maioria, fazemos referências às identidades que estão no Apêndice. Acreditamos que, dessa forma, estamos proporcionando ao leitor uma maior praticidade.

1.1

Biálgebras fracas

1.1.1 Denições e exemplos Lembremos que, em uma biálgebra no sentido clássico, as funções que fornecem a estrutura de coálgebra,

∆

e

ε,

são homomorsmos de

álgebras (veja [6]). Porém, em biálgebras fracas tal condição já não é mais exigida. Enfraquece-se a propriedade de

4

∆

preservar a unidade

ou, equivalentemente, conforme vemos em resultados posteriores,

ε

já

não é mais multiplicativa.

Denição 1.1 Uma k-biálgebra fraca é uma quíntupla satisfazendo

(H, µ, u, ∆, ε)

(1) H é uma álgebra associativa de dimensão nita sobre k com multiplicação µ : H ⊗ H → H e unidade u : k → H , isto é, µ e u são aplicações k-lineares que satisfazem (i)

Associatividade: µ ◦ (µ ⊗ id) = µ ◦ (id ⊗ µ); Propriedade da unidade: µ ◦ (u ⊗ id) = id = µ ◦ (id ⊗ u).

(ii)

Escrevemos xy = µ(x ⊗ y) e 1H = u(1k ). H é uma coálgebra sobre k com comultiplicação ∆ : H → H ⊗ H e counidade ε : H → k, isto é, ∆ e ε são aplicações k-lineares que satisfazem

(2)

(i)

Coassociatividade: (∆ ⊗ id) ◦ ∆ = ∆2 = (id ⊗ ∆) ◦ ∆; Propriedade da counidade: (ε ⊗ id) ◦ ∆ = id = (id ⊗ ε) ◦ ∆.

(ii)

Utilizamos a notação de Sweedler para coálgebras, conforme apresentada em X[6], com uma pequena ressalva, ao invés de escrevermos ∆(x) = x1 ⊗ x2 , omitimos a soma e escrevemos simplesmente ∆(x) = x1 ⊗ x2 . Para quaisquer x, y, z ∈ H e para 1H ∈ H

(3) (i)

∆ é multiplicativa, isto é, ∆(xy) = ∆(x)∆(y);

(ii)

Multiplicatividade fraca para a counidade, isto é, ε(xy2 )ε(y1 z) =

(iii)

Propriedade comultiplicativa fraca para a unidade, isto é, (1H ⊗

ε(xyz) = ε(xy1 )ε(y2 z);

∆(1H ))(∆(1H ) ⊗ 1H ) = ∆2 (1H ) = (∆(1H ) ⊗ 1H )(1H ⊗ ∆(1H )). Quando nos referimos a uma

k -biálgebra fraca (H, µ, u, ∆, ε), omitik . Escrevemos simplesmente H .

mos as funções estruturais e o corpo

Observação 1.2

Na Denição 1.1, cometemos um certo abuso de no-

µ ◦ (u ⊗ id) = id = µ ◦ (id ⊗ u) e (ε ⊗ id) ◦ ∆ = id = (id ⊗ ε) ◦ ∆. Na verdade, omitimos os isomorsmos canônicos H ⊗k ∼ =H∼ = k ⊗ H. tação ao escrevermos

5

Alertamos o leitor de que, ao longo do trabalho, denotamos a composição de funções

Observação 1.3

f

e

g

por

fg

ao invés de

f ◦ g.

Em (3), na Denição 1.1, escreveremos

11 ⊗ 12 110 ⊗ 120 = 11 ⊗ 12 ⊗ 13 = 110 ⊗ 11 120 ⊗ 12 . Além disso, direto da multiplicatividade da

∆,

podemos concluir

que

x1 ⊗ x2 = ∆(x) = ∆(1H x) = ∆(1H )∆(x) = 11 x1 ⊗ 12 x2 e

x1 ⊗ x2 = ∆(x) = ∆(x1H ) = ∆(x)∆(1H ) = x1 11 ⊗ x2 12 . Seja agora sobre

k.

H

uma biálgebra (no sentido clássico) de dimensão nita

Então, para quaisquer

ε(xy1 )ε(y2 z)

x, y, z ∈ H ,

temos

= ε(x)ε(y1 )ε(y2 )ε(z) = ε(x)ε(ε(y1 )y2 )ε(z) = ε(x)ε(y)ε(z) = ε(xyz).

ε(xyz) = ε(xy2 )ε(y1 z). ∆2 (1H ) = 1H ⊗ 1H ⊗ 1H , é evidente que

Analogamente, podemos concluir que

∆(1H ) = 1H ⊗ 1H

e

Como

(1H ⊗ ∆(1H ))(∆(1H ) ⊗ 1H ) = ∆2 (1H ) = (∆(1H ) ⊗ 1H )(1H ⊗ ∆(1H )). Pelo que zemos acima, concluímos que toda biálgebra (no sentido clássico) nito dimensional sobre

k

é uma biálgebra fraca.

Com o objetivo de construirmos um exemplo de biálgebra fraca, introduzimos a seguinte denição.

Denição 1.4 Seja G um conjunto não-vazio equipado com uma oper-

ação binária, denotada pela concatenação, denida parcialmente. Dados g, h ∈ G escrevemos ∃gh sempre que a operação entre g e h está denida. Um elemento f ∈ G é chamado uma identidade se ∃f x implicar f x = x e ∃xf implicar xf = x. O conjunto G é chamado grupóide se (G1)

Para quaisquer g, h, l ∈ G, ∃g(hl) se, e somente se, ∃gh e ∃hl;

(G2) Para quaisquer g, h, l ∈ G, ∃g(hl) se, e somente se, ∃(gh)l e nesse caso g(hl) = (gh)l;

6

(G3) Para cada g ∈ G existem identidades d(g), r(g) ∈ G tais que ∃gd(g), ∃r(g)g e gd(g) = g = r(g)g ; (G4)

gg

−1

.

Para cada g ∈ G existe g −1 ∈ G tal que d(g) = g −1 g e r(g) =

O próximo lema apresenta algumas propriedades de grupóides.

Lema 1.5 Seja G um grupóide. Então são válidas as propriedades. (i)

Seja g ∈ G. Então d(g) e r(g), dadas como em

(G3)

, são únicas.

Para quaisquer g, h ∈ G, ∃gh se, e somente se, d(g) = r(h). Nesse caso, d(gh) = d(h) e r(gh) = r(g).

(ii)

Para todo g ∈ G, temos que d(g) = r(g −1 ), d(g −1 ) = r(g), g −1 é único e (g −1 )−1 = g . (iii)

Para quaisquer g, h ∈ G, ∃gh se, e somente se, ∃h−1 g −1 e, nesse caso, (gh)−1 = h−1 g −1 .

(iv)

Demonstração:

(i) Seja f ∈ G uma identidade tal que ∃gf e gd(g) = g = gf . Assim, g = gd(g) = (gf )d(g) e por (G2) e (G1) ∃f d(g). Como f e d(g) são identidades, concluímos que f = f d(g) = d(g). Analogamente, seja t ∈ G uma identidade tal que ∃tg e r(g)g = g = tg . Então, g = r(g)g = r(g)(tg) e por (G1) ∃r(g)t. Como t e r(g) são identidades, concluímos que r(g) = r(g)t = t.

gh em G. Por (G3), temos que ∃gd(g), ∃r(h)h, gd(g) = g e r(h)h = h. Assim, gh = (gd(g))(r(h)h) e, por (G1), ∃(gd(g))r(h). Por (G2) e (G1), ∃d(g)r(h). Como d(g) e r(h) são identidades em G, segue que d(g) = d(g)r(h) = r(h). Reciprocamente, se d(g) = r(h) então ∃gr(h), pois ∃gd(g). Por −1 (G4), ∃h ∈ G tal que r(h) = hh−1 . Por conseguinte, gr(h) = −1 g(hh ) e (G1) garante que ∃gh. Nesse caso, notemos que gh = g(hd(h)) = (gh)d(h), em que a última

(ii) Suponhamos que exista

igualdade é justicada por (G2). Novamente, por (G2), concluímos que

gh = (r(g)g)h = r(g)(gh). Portanto, por (i) aplicado ao elemento

d(h)

e

gh,

obtemos que

d(gh) =

r(gh) = r(g).

∃gh se, e somente se, d(g) = r(h). Para todo g ∈ G, temos por (G4) que existem r(g) e d(g) tais que r(g) = gg −1 −1 e d(g) = g g . Portanto, ∃gg −1 e ∃g −1 g . Por (ii), d(g) = r(g −1 ) e −1 d(g ) = r(g). (iii) Sabemos, por (ii), que

7

z∈G

zg = d(g) e gz = r(g). Então, pelo que g −1 = g −1 d(g −1 ) = g −1 r(g), mas r(g) = gz e, por (G1) e (G4), segue que g −1 = g −1 (gz) = (g −1 g)z = d(g)z . −1 Como ∃gz , por (ii), d(g) = r(z). Logo, g = d(g)z = r(z)z = z . −1 −1 −1 Por (G4), para todo g ∈ G, temos (g ) g = d(g −1 ) e g −1 (g −1 )−1 −1 −1 = r(g ). Pelo que zemos acima, d(g ) = r(g) e r(g −1 ) = d(g) e −1 −1 −1 assim, (g ) g = d(g −1 ) = r(g) e g −1 (g −1 )−1 = r(g −1 ) = d(g). −1 Mas d(g) = g g e r(g) = gg −1 , pela unicidade de g −1 demonstrada −1 −1 acima, obrigatoriamente devemos ter (g ) = g. Suponhamos

tal que

zemos acima, concluímos que

∃gh. Por (ii), d(g) = r(h). Mas, por (iii), r(h) = d(g) = r(g −1 ). Logo, r(g −1 ) = d(h−1 ) que é equivalente, −1 −1 por (ii), ∃h g . Por (iii), d(g) = r(g −1 ) e d(h−1 ) = r(h). Assim, r(h) = d(g) e, por (ii), ∃gh. −1 A prova de que (gh) = h−1 g −1 é análoga à feita em (iii). 

(iv) Suponhamos que

d(h−1 )

e

Seja G um grupóide nito. A álgebra de grupóide é o k -módulo livre kG com base {ug : g ∈ G}, munida de uma multiplicação denida, para quaisquer g, h ∈ G, da seguinte forma

 ug uh =

ugh , 0,

se

d(g) = r(h)

caso contrário.

Notemos que esse produto está bem denido, pois pelo Lema 1.5

∃gh ⇔ d(g) = r(h). G0 o conjunto de todos G. Claramente, G0 é um conjunto nito. (ii),

Denotemos por

os elementos identidade em O elemento

1kG =

X

ue

e∈G0 é a unidade relativa ao produto denido acima. De fato, seja Então

uh 1kG = uh

X e∈G0

ue =

X

h ∈ G.

uh ue

e∈G0

t ∈ G0 tal que X ∃ht. Assim, ht = h = hd(h) e pelo Lema d(h) = t. Portanto, uh ue = uh ud(h) = uhd(h) = uh . De

e suponhamos 1.5 (i)

e∈G0 maneira análoga, é possível mostrarmos que

1kG uh = uh .

g, h, l ∈ G. (ug uh )ul = ughl se, e somente se, d(g) = r(h) e d(h) = d(gh) = r(l). Porém, ug (uh ul ) = ughl se, e somente se, d(h) = r(l) e d(g) = r(hl) = r(h). Logo, (ug uh )ul = ug (uh ul ), para quaisquer g, h, l ∈ G. Veriquemos a associatividade dessa operação. Sejam

Notemos que,

8

Com essa operação,

kG

torna-se uma álgebra, chamada álgebra de

grupóide. Além disso, denimos

∆ : kG ug

→ kG ⊗ kG 7 → ug ⊗ ug

tais aplicações fornecem a todo

g ∈ G,

kG

ε : kG ug

e

→ k 7 → 1k ,

uma estrutura de coálgebra, pois, para

temos

((∆ ⊗ id) ◦ ∆)(ug ) = ug ⊗ ug ⊗ ug = ((id ⊗ ∆) ◦ ∆)(ug ) e

ug = 1k ug = ε(ug )ug . Agora, estamos aptos a apresentar um exemplo de uma biálgebra fraca que não é uma biálgebra.

Exemplo 1.6

kG é uma biálgebra fraca que ε não é um homomorsmo de álgebras. Dados g, h ∈ G tais que d(g) 6= r(h), temos ug uh = 0 e portanto ε(ug uh ) = 0. Por outro lado, ε(ug )ε(uh ) = 1k 1k = 1k , o que implica que ε(ug uh ) 6= ε(ug )ε(uh ). Dessa forma, kG não é uma biálgebra. Mostremos que kG é uma biálgebra fraca. Sejam g, h ∈ G. Então Com a notação acima,

não é uma biálgebra. De fato,

∆(ug )∆(uh ) = (ug ⊗ ug )(uh ⊗ uh ) = ug uh ⊗ ug uh e se

d(g) = r(h),

segue que

ug uh = ugh

e portanto,

∆(ug )∆(uh ) = ugh ⊗ ugh = ∆(ugh ) = ∆(ug uh ). Se

d(g) 6= r(h) então ug uh = 0. ∆ é multiplicativa.

Logo,

∆(ug )∆(uh ) = 0 = ∆(ug uh )

e assim,

g, h, l ∈ G, ug uh ul = ughl d(h) = d(gh) = r(l). Logo,

Agora notemos que, para quaisquer somente se,

d(g) = r(h)

e

( ε(ug uh ul ) =

1k , 0,

se

d(g) = r(h)

e

d(h) = r(l)

caso contrário.

Por outro lado,

( 1k , ε(ug uh ) = 0,

se

d(g) = r(h)

caso contrário

9

se, e

e

( 1k , ε(uh ul ) = 0,

se

d(h) = r(l)

caso contrário.

Assim,

( ε(ug uh )ε(uh ul ) =

Portanto,

1k , 0,

se

d(g) = r(h)

e

d(h) = r(l)

caso contrário.

ε(ug uh ul ) = ε(ug uh )ε(uh ul )

e, dessa forma, segue o item

(3)(ii) da Denição 1.1. A m de vericarmos o item (3)(iii) da mesma denição, notemos que

! 2

X

2

∆ (1kG ) = ∆

ue

e∈G0

!! X

= (∆ ⊗ Id) ∆

ue

e∈G0

! = (∆ ⊗ Id)

X

ue ⊗ ue

e∈G0

=

X

∆(ue ) ⊗ ue

e∈G0

=

X

ue ⊗ ue ⊗ ue .

e∈G0 Por outro lado,

 (1kG ⊗ ∆(1kG ))(∆(1kG ) ⊗ 1kG ) = 

! X

ue

 ⊗

 X

uf ⊗ uf 

f ∈G0

e∈G0



! X

ue0 ⊗ ue0



 ⊗

e0 ∈G0

 =

e,f ∈G0

10

f 0 ∈G0

 X

 X

ue ⊗ uf ⊗ uf 

uf 0 



 X



ue0 ⊗ ue0 ⊗ uf 0 

e0 ,f 0 ∈G0

X

=

ue ue0 ⊗ uf ue0 ⊗ uf uf 0 ,

e,f,e0 ,f 0 ∈G0 entretanto

ue ue0 6= 0 ⇔ d(e) = r(e0 ) uf ue0 6= 0 ⇔ d(f ) = r(e0 ) uf uf 0 6= 0 ⇔ d(f ) = r(f 0 ).

e, e0 , f, f 0 ∈ G0 então d(e) = e = r(e), d(e0 ) = e0 = r(e0 ), d(f ) = f = r(f ) e d(f 0 ) = f 0 = r(f 0 ). Portanto, X (1kG ⊗ ∆(1kG ))(∆(1kG ) ⊗ 1kG ) = ue ue0 ⊗ uf ue0 ⊗ uf uf 0 Como

0 0 e,f,e X ,f ∈G0

ue ⊗ ue ⊗ ue .

=

e∈G0 Logo,

kG

é uma biálgebra fraca.

O próximo exemplo é uma generalização de um exemplo apresentado em [13].

Exemplo 1.7

Seja

H

uma álgebra nito dimensional com base

{ei }ni=1 ,

em que

ei ej = δij ei ,

P

É fácil vermos que

∆: H ei

para quaisquer

→ 7→

i ei

= 1H .

Além disso, denimos

H ⊗H ei ⊗ ei

e

P

l

γl el ,

em que

ε: H ei

→ k 7 → 1k .

H é uma coálgebra. Mostremos que H é uma P P x, y, z ∈ H . Então x = i αi ei , y = j βj ej e αi0 s , βj 0 s , γl0 s ∈ k . Assim, P ∆(xy) = i,j αi βj ∆(ei ej ) P = i,j αi βj ∆(δij ei ) P = i αi βi ∆(ei ) P = i αi βi (ei ⊗ ei ).

Não é difícil ver que biálgebra fraca. Sejam

z=

i, j ∈ {1, 2, · · · , n}.

11

Por outro lado,

Portanto,

∆(x)∆(y) =

P

=

P

=

P

⊗ ei ej )

=

P

⊗ δij ei )

=

P

i,j αi βj ∆(ei )∆(ej ) i,j αi βj (ei

⊗ ei )(ej ⊗ ej )

i,j αi βi (ei ej i,j αi βi (δij ei

i αi βi (ei

∆(xy) = ∆(x)∆(y).

⊗ ei ).

Agora, como

∆(y) =

P

j

βj (ej ⊗ ej ),

temos

ε(xy1 )ε(y2 z) =

P

i,j,l αi βj γl ε(ei ej )ε(ej el )

=

P

i,j,l αi βj γl ε(δij ei )ε(δjl ej )

=

P

=

Pi

αi βi γi ε(ei )ε(ei )

i αi βi γi .

Analogamente, mostra-se que

ε(xy2 )ε(y1 z) =

P

i

α i β i γi .

Além

disso,

ε(xyz) =

P

=

P

=

P

=

P

=

P

i,j,l αi βj γl ε(ei ej el ) i,j,l αi βj γl ε(δij ei el ) i,l αi βi γl ε(ei el )

i,l αi βi γl ε(δil ei )

i αi βi γi .

ε(xy1 )ε(y2 z) = ε(xyz) = ε(xy2 )ε(y1 z). Notemos que ∆2 (1H ) = i ei ⊗ ei ⊗ ei . Além disso P (1H ⊗ ∆(1H ))(∆(1H ) ⊗ 1H ) = i,j,i0 ,j 0 (ei ⊗ ej ⊗ ej )(ei0 ⊗ ei0 ⊗ ej 0 ) P = i,j,i0 ,j 0 (ei ei0 ⊗ ej ei0 ⊗ ej ej 0 ) P = i,j,i0 ,j 0 (δii0 ei ⊗ δji0 ej ⊗ δjj 0 ej ) P = i ei ⊗ ei ⊗ ei . Logo,

P

P (∆(1H ) ⊗ 1H )(1H ⊗ ∆(1H )) = i ei ⊗ ei ⊗ ei . 2 Portanto, (1H ⊗ ∆(1H ))(∆(1H ) ⊗ 1H ) = ∆ (1H ) = (∆(1H ) ⊗ 1H )(1H ⊗ ∆(1H )). Logo, H é uma biálgebra fraca. Mas H não é uma biálgebra no sentido clássico, pois se i 6= j , então ε(ei ej ) = 0 6= Analogamente,

12

1k = 1k 1k = ε(ei )ε(ej ). ∗ Seja H uma biálgebra fraca. Sabemos, da literatura, que H = Homk (H, k), o k -espaço vetorial dos funcionais lineares, é uma álgebra com o produto de convolução  ∗ e unidade ε (veja [6], Proposition 1.3.6), isto é, para quaisquer f, g ∈ H ∗ e x ∈ H , temos

(f ∗ g)(x) = f (x1 )g(x2 )

e

f ∗ ε = f = ε ∗ f.

∗ ∗ Além disso, H é uma coálgebra com comultiplicação δ : H → H ∗ ⊗ H ∗ em que, para todo f ∈ H ∗ , δ(f ) = f1 ⊗ f2 e a família nita (f1 , f2 ) é univocamente determinada pela propriedade que f (ab) = f1 (a)f2 (b), para quaisquer a, b ∈ H (isto é, se (gj , tj )j P é uma família ∗ nita em H tal que, para quaisquer a, b ∈ H , f (ab) = j gj (a)tj (b), P ∗ então f1 ⊗ f2 = g ⊗ t ), e counidade E : H → k denida por j j j E(f ) = f (1H ).

Exemplo 1.8

Com a notação acima,

H∗

é uma biálgebra fraca. Resta

mostrarmos o item (3) da Denição 1.1. (i) Sejam

f, g ∈ H ∗

e

a, b ∈ H . Mostremos que δ(f ∗ g) = δ(f )δ(g). (f ∗ g)(ab) = (f1 ∗ g1 )(a)(f2 ∗ g2 )(b). De fato,

Para isso, provemos que

(f ∗ g)(ab)

Portanto,

=

f (a1 b1 )g(a2 b2 )

=

f1 (a1 )f2 (b1 )g1 (a2 )g2 (b2 )

=

f1 (a1 )g1 (a2 )f2 (b1 )g2 (b2 )

=

(f1 ∗ g1 )(a)(f2 ∗ g2 )(b).

δ(f ∗g) = (f1 ∗g1 )⊗(f2 ∗g2 ) = (f1 ⊗f2 )(g1 ⊗g2 ) = δ(f )δ(g).

f, g, p ∈ H ∗ . Precisamos mostrar que E(f ∗ g1 )E(g2 ∗ p) = E(f ∗ g ∗ p) = E(f ∗ g2 )E(g1 ∗ p). Para isso, notemos que, por um lado (ii) Sejam

E(f ∗ g ∗ p)

=

(f ∗ g ∗ p)(1H )

=

(f ∗ g)(11 )p(12 )

= f (111 )g(112 )p(12 ) = f (11 )g(12 )p(13 ). Por outro lado,

E(f ∗ g1 )E(g2 ∗ p)

=

(f ∗ g1 )(1H )(g2 ∗ p)(1H ) 13

=

f (11 )g1 (12 )g2 (110 )p(120 )

=

f (11 )g(12 110 )p(120 )

=

f (11 )g(12 )p(13 ).

A última igualdade é justicada pela Observação 1.3, uma vez que

H

é uma biálgebra fraca. Analogamente, utilizando a mesma observação, justicamos a igualdade

E(f ∗ g2 )E(g1 ∗ p)

Portanto,

=

(f ∗ g2 )(1H )(g1 ∗ p)(1H )

=

f (110 )g2 (120 )g1 (11 )p(12 )

=

f (110 )g(11 120 )p(12 )

=

f (11 )g(12 )p(13 ).

E(f ∗ g1 )E(g2 ∗ p) = E(f ∗ g ∗ p) = E(f ∗ g2 )E(g1 ∗ p). (ε ⊗ δ(ε))(δ(ε) ⊗ ε) = δ 2 (ε) = (δ(ε) ⊗ ε)(ε ⊗ δ(ε)), = ε. Notemos que

(iii) Mostremos que uma vez que

1H ∗

δ 2 (ε)

Para quaisquer

=

((δ ⊗ I)δ)(ε)

=

(δ ⊗ I)(ε1 ⊗ ε2 )

=

ε11 ⊗ ε12 ⊗ ε2

=

ε1 ⊗ ε2 ⊗ ε3

=

ε1 ⊗ ε21 ⊗ ε22

=

((I ⊗ δ)δ)(ε).

a, b, c ∈ H ,

δ 2 (ε)(a ⊗ b ⊗ c)

segue que

=

ε11 (a)ε12 (b)ε2 (c)

=

ε1 (ab)ε2 (c)

=

ε(abc)

(?)

=

ε(ab1 )ε(b2 c)

=

ε1 (a)ε2 (b1 )ε10 (b2 )ε20 (c)

=

ε1 (a)(ε2 ∗ ε10 )(b)ε20 (c)

=

(ε1 ⊗ (ε2 ∗ ε10 ) ⊗ ε20 )(a ⊗ b ⊗ c)

=

(δ(ε) ⊗ ε)(ε ⊗ δ(ε))(a ⊗ b ⊗ c). 14

Analogamente,

δ 2 (ε)(a ⊗ b ⊗ c)

=

ε1 (a)ε21 (b)ε22 (c)

=

ε1 (a)ε2 (bc)

=

ε(abc)

(?)

=

ε(ab2 )ε(b1 c)

=

ε10 (a)ε20 (b2 )ε1 (b1 )ε2 (c)

=

ε10 (a)(ε1 ∗ ε20 )(b)ε2 (c)

=

(ε10 ⊗ (ε1 ∗ ε20 ) ⊗ ε2 )(a ⊗ b ⊗ c)

=

(ε ⊗ δ(ε))(δ(ε) ⊗ ε)(a ⊗ b ⊗ c).

(?) acima são devidas à propriedade (3)(ii) da Denição H é uma biálgebra fraca. Propositalmente, omitimos ∗ ∗ ∗ ∗ entre H ⊗ H ⊗ H e (H ⊗ H ⊗ H) e entre k ⊗ k ⊗ k

As igualdades 1.1, uma vez que os isomorsmos e

k.

Logo,

H∗

é uma biálgebra fraca.

1.1.2 Propriedades Seja

H

uma biálgebra fraca. Podemos denir, através da counidade,

duas aplicações

k -lineares

εt : H x

H

em

→ H 7→ ε(11 x)12

e

Não é difícil ver que

de

εt

e

εs

H

εs : H y

são

k -lineares,

mesmas são chamadas funções alvo (

target )

εt e εs . Assim, Hs = εs (H).

vamente, daí a notação a saber

Ht = εt (H)

Observação 1.9

e

da seguinte forma

→ H 7→ 11 ε(y12 ). uma vez que

e fonte (

source ),

ε

o é, as

respecti-

surgem dois subespaços de

Com as notações acima, para quaisquer

x, z ∈ H ,

H, as

seguintes relações são verdadeiras

εt (εt (x))

= εt (x)

εs (εs (x))

= εs (x)

ε(xεt (z))

= ε(xz)

ε(εs (x)z)

=

ε(xz).

As duas primeiras igualdades nos dizem que tos idempotentes na

k -álgebra Endk (H), 15

εt

e

εs

são elemen-

a álgebra dos operadores

k-

lineares de

H. εt (εt (x)) = εt (x), basta utilizarmos o εt e εs . Para todo x ∈ H ,

De fato, para provarmos que

item (3) da Denição 1.1 e as denições de temos

εt (εt (x)) = εt (ε(11 x)12 ) = ε(11 x)εt (12 ) = ε(11 x)ε(110 12 )120 = ε(110 12 )ε(11 x)120 = ε(110 x)120 = εt (x). Analogamente, mostra-se que mos que

ε(xεt (z)) = ε(xz)

εs (εs (x)) = εs (x). Agora, para mostrary = 1H em (3)(ii) da

basta substituirmos

Denição 1.1. Assim,

ε(xεt (z)) = ε(xε(11 z)12 ) = ε(x12 )ε(11 z) = ε(xz). Analogamente, mostra-se quaisquer

x ∈ Ht

e

ε(εs (x)z) = ε(xz).

Concluímos que, para

y ∈ Hs , x = εt (x)

y = εs (y).

e

Proposição 1.10 Seja H uma biálgebra fraca. Então ∆(1H ) ∈ Hs ⊗ Ht .

Demonstração:

Notemos que

(id ⊗ εt )∆(1H ) = 110 ⊗ εt (120 ) = 110 ⊗ ε(11 120 )12 = 11 ⊗ ε(12 )13 = 11 ⊗ 12 = ∆(1H ). Portanto,

∆(1H ) ∈ H ⊗ Ht .

Por outro lado,

(εs ⊗ id)∆(1H ) = εs (11 ) ⊗ 12 = 110 ε(11 120 ) ⊗ 12 = 11 ε(12 ) ⊗ 13 = 11 ⊗ 12 = ∆(1H ). Logo,

∆(1H ) ∈ Hs ⊗ H .

Portanto,

∆(1H ) ∈ (Hs ⊗ H) ∩ (H ⊗ Ht ) = Hs ⊗ Ht . A última igualdade segue de ([6], Lemma

1.4.5).



Para apresentarmos o próximo lema, lembremos que dados dois espaços vetoriais

V

e

W,

uma forma

16

k -bilinear b : V × W → k

k-

é dita

não-degenerada à esquerda (à direita) se

b(x, y) = 0,

x ∈ V (para

para todo

A forma

k -bilinear b

todo

y ∈ W)

implica

y = 0 (x = 0).

é dita não-degenerada se é não-degenerada à

esquerda e à direita.

Lema 1.11 A counidade ε em uma biálgebra fraca H dene uma forma

k -bilinear não-degenerada

b : Ht × Hs (x, y)

Demonstração: para todo

x ∈ Ht . Suponhamos x ∈ Ht , temos

Seja

y ∈ Hs .

→ k 7→ ε(yx). que

b(x, y) = ε(yx) = 0,

Como

x = εt (x) = ε(11 x)12 = 0 em que a última igualdade segue do fato de que que

ε(yx) = 0,

para todo

Analogamente, suponhamos que

x ∈ Ht .

Como

y ∈ Hs ,

∆(1H ) ∈ Hs ⊗ Ht

e de

y ∈ Hs . b(x, y) = ε(yx) = 0,

para todo

temos

y = εs (y) = 11 εs (y12 ) = 0, pois

∆(1H ) ∈ Hs ⊗ Ht

e, por hipótese,

ε(yx) = 0,

para todo

Portanto, o resultado procede.

x ∈ Ht . 

Corolário 1.12 Seja H uma biálgebra fraca. Então Ht e Hs são isomorfos como k-espaços vetoriais.

Demonstração: ∗

Ht → (Hs ) por k -linear (pois ε o

(Hs )∗ = Homk (Hs , k). Denimos φ : φ(z)(y) = ε(yz), para todo y ∈ Hs . Claramente, φ é Consideremos

é) e, pelo Lema 1.11, é injetora. Logo,

dim(Ht ) = dim(Imφ) ≤ dim((Hs )∗ ) = dim(Hs ). (Ht )∗ = Homk (Ht , k), seja ψ : Hs → (Ht )∗ denida por ψ(y)(z) = ε(yz), para todo z ∈ Ht . Pelas mesmas razões do dito acima, ψ é k -linear e injetora. Assim, Agora, considerando

dim(Hs ) = dim(Imψ) ≤ dim((Ht )∗ ) = dim(Ht ). Donde concluímos que

Ht

e

Hs

são isomorfos como

k -espaços

veto-



riais.

17

Agora, caracterizamos a comultiplicação dos elementos pertencentes aos

k -espaços vetoriais Ht e Hs . No entanto, anteriormente a isso, para x, y ∈ H , notemos que

quaisquer

εt (xεt (y)) = ε(11 xεt (y))12 = ε((11 x)εt (y))12 = ε(11 xy)12

por (4.5)

= εt (xy) e

εs (εs (x)y) = 11 ε(εs (x)y12 ) = 11 ε(εs (x)(y12 )) = 11 ε(xy12 )

por (4.6)

= εs (xy).

Proposição 1.13 Sejam

z ∈ Ht e y ∈ Hs . Então ∆(z) = 11 z ⊗ 12 e

∆(y) = 11 ⊗ y12 .

Demonstração:

De fato,

∆(z) = ∆(εt (z)) = ∆(ε(11 z)12 ) = ε(11 z)∆(12 ) = ε(11 z)12 ⊗ 13 = ε(110 z)11 120 ⊗ 12 = 11 εt (z) ⊗ 12 = 11 z ⊗ 12 . Assim, podemos notar que

∆(Ht ) ⊆ H ⊗ Ht .

temos

∆(y) = ∆(εs (y)) = ∆(11 ε(y12 )) = ∆(11 )ε(y12 ) = 11 ⊗ ε(y13 )12 = 110 ⊗ ε(y12 )11 120 = 110 ⊗ εs (y)120 18

Para todo

y ∈ Hs ,

= 110 ⊗ y120 = 11 ⊗ y12 . Igualmente, notemos que

Lema 1.14 Para todo

εs (x1 ) ⊗ x2 = 11 ⊗ x12 .

Demonstração:

∆(Hs ) ⊆ Hs ⊗ H .

x ∈ H , vale que x1 ⊗ εt (x2 ) = 11 x ⊗ 12 e que

Sabemos que

relação, a denição de



εt

x1 ⊗ x2 = 11 x1 ⊗ 12 x2 . Usando essa H ser biálgebra fraca, obtemos

e o fato de

x1 ⊗ εt (x2 ) = x1 ⊗ ε(11 x2 )12 = 110 x1 ε(11 120 x2 ) ⊗ 12 = 11 x1 ε(12 x2 ) ⊗ 13 = (11 x)1 ε((11 x)2 ) ⊗ 12 = 11 x ⊗ 12 . Analogamente,

x1 ⊗ x2 = x1 11 ⊗ x2 12

e com a mesma argumentação

acima, segue que

εs (x1 ) ⊗ x2 = 110 ε(x1 120 ) ⊗ x2 = 110 ⊗ ε(x1 11 120 )x2 12 = 11 ⊗ ε(x1 12 )x2 13 = 11 ⊗ ε((x12 )1 )(x12 )2 = 11 ⊗ x12 . 

Corolário 1.15 Para quaisquer x, y ∈ H , são válidas xεt (y) = ε(x1 y)x2 e εs (x)y = ε(xy2 )y1 .

Demonstração:

De fato,

xεt (y) = ε(x1 )x2 ε(11 y)12 = ε(x1 )ε(11 y)x2 12 = ε(x1 )ε(εs (x21 )y)x22

por (4.13)

= ε(x1 )ε(εs (x2 )y)x3 = ε(εs (ε(x1 )x2 )y)x3 = ε(εs (x1 )y)x2 = ε(x1 y)x2

por (4.6).

19

Também,

εs (x)y = 11 ε(x12 )y1 ε(y2 ) = ε(x12 )ε(y2 )11 y1 = ε(xεt (y12 ))ε(y2 )y11

por (4.12)

= ε(xεt (y2 ))ε(y3 )y1 = ε(xεt (y2 ε(y3 )))y1 = ε(xεt (y2 ))y1 = ε(xy2 )y1

por (4.6). 

A próxima proposição é de fundamental importância, pois além de mostrar que

Ht

e

Hs são subálgebras unitárias de H , Ht e Hs comutam entre si.

mostra também

que os elementos de

Proposição 1.16 Os k-espaços vetoriais

Ht e Hs são subálgebras de H contendo 1H tais que xy = yx, para quaisquer x ∈ Ht e y ∈ Hs .

Demonstração:

Segue do Lema 1.14 que

110 ⊗ εt (120 ) ⊗ 130 = 110 1 ⊗ εt (110 2 ) ⊗ 120 = 11 110 ⊗ 12 ⊗ 120 e

11 ⊗ εs (12 ) ⊗ 13 = 11 ⊗ εs (121 ) ⊗ 122 = 11 ⊗ 110 ⊗ 12 120 . Tendo essas igualdades, mostremos primeiramente que em relação à multiplicação. Sejam

x, y ∈ Ht .

Ht

é fechado

Então

xy = εt (x)εt (y) = ε(11 x)12 ε(110 y)120 = ε(11 x)ε(110 y)12 120 = ε(11 x)ε(εs (12 )y)13

por (4.13)

= ε(11 x)ε(12 y)13

por (4.6).

Sabemos que

∆(1H ) ∈ Hs ⊗ Ht

e que

∆(Ht ) ⊆ H ⊗ Ht

e portanto,

∆2 (1H ) = 11 ⊗ 12 ⊗ 13 = 11 ⊗ ∆(12 ) ∈ Hs ⊗ H ⊗ Ht . Logo,

xy = ε(11 x)ε(12 y)13 ∈ Ht . 20

Mostremos que

Hs

é também

fechado em relação à multiplicação. Sejam

z, h ∈ Hs .

Então

hz = εs (h)εs (z) = 11 ε(h12 )110 ε(z120 ) = 11 110 ε(h12 )ε(z120 ) = 110 ε(hεt (120 ))ε(z130 ) = 110 ε(h120 )ε(z130 )

por (4.5)

∆2 (1H ) ∈ Hs ⊗ H ⊗ Ht , segue que hz = 110 ε(h120 )ε(z130 ) ∈ Hs . Agora, notemos que εt (1H ) = ε(11 1H )12 = 1H = 11 ε(1H 12 ) = εs (1H ). Logo, 1H ∈ Ht ∩ Hs . Finalmente, sejam x ∈ Ht e z ∈ Hs . Então e como

xz = εt (x)εs (z) = ε(11 x)12 110 ε(z120 ) = ε(110 x)11 120 ε(z12 ) = 11 ε(z12 )ε(110 x)120 = εs (z)εt (x) = zx.  Podemos escrever as subálgebras

Ht

e

Hs

de

H

como sendo

Ht = {x ∈ H : εt (x) = x} = {x ∈ H : ∆(x) = 11 x ⊗ 12 = x11 ⊗ 12 } e

Hs = {x ∈ H : εs (x) = x} = {x ∈ H : ∆(x) = 11 ⊗ x12 = 11 ⊗ 12 x}. Não é difícil vermos, através de algumas contas, que no caso do Exemplo 1.6 temos

(kG)t = span{ur(g) : g ∈ G} = (kG)s e, que no caso do Exemplo 1.7, temos

Ht = H = Hs . Ht e H como Ht Ht -módulos à esquerda. H como Hs -módulos à direita

O lema abaixo nos diz que se considerarmos módulos à esquerda então

εt

é um morsmo de

Hs e Hs -módulos

Analogamente, se considerarmos então

εs

é um morsmo de

21

à direita.

Lema 1.17 Seja H uma biálgebra fraca. Então, para quaisquer x, y ∈ H , temos

Demonstração:

εt (εt (x)y)

=

εs (xεs (y))

= εs (x)εs (y).

x, y ∈ H .

Sejam

εt (x)εt (y)

Então

εt (εt (x)y) = ε(11 εt (x)y)12 = ε(11 εt (x)εt (y))12

por (4.5)

= ε((εt (x))1 εt (y))(εt (x))2

por (4.10)

= εt (x)εt (εt (y))

por (4.14)

= εt (x)εt (y)

por (4.3).

Analogamente,

εs (xεs (y)) = 11 ε(xεs (y)12 ) = 11 ε(εs (x)εs (y)12 )

por (4.6)

= (εs (y))1 ε(εs (x)(εs (y))2 )

por (4.11)

= εs (εs (x))εs (y)

por (4.15)

= εs (x)εs (y)

por (4.4).

 Sabendo que

H∗

possui uma estrutura de biálgebra fraca, temos

Ht∗ = Et (H ∗ ) as subálgebras canônicas de

H∗

Hs∗ = Es (H ∗ )

e

que contêm

ε.

Nosso objetivo agora é estabelecer um isomorsmo entre subálgebras canônicas

Ht

e

Hs

de

H

e as subálgebras canônicas

H ∗. É conhecido na literatura ([6], p.

78) que H

Hs∗

torna-se um

e

Ht∗

de

H ∗ -módulo

à esquerda e à direita com as respectivas ações

f * x = f (x2 )x1 em que

e

x ( f = f (x1 )x2 ,

para quaisquer

x∈H

e

f ∈ H ∗,

∆(x) = x1 ⊗ x2 .

Além disso, é também conhecido na literatura, por exemplo, ([3], p.

394)

que

H∗

torna-se um

H -módulo 22

à esquerda e à direita com as

respectivas ações

x * f = f2 (x)f1 em que

f ( x = f1 (x)f2 ,

e

para quaisquer

x∈H

e

f ∈ H ∗,

δ(f ) = f1 ⊗ f2 .

Tendo em mente as notações apresentadas no Exemplo 1.8, observe-

Et (f ) = E(ε1 ∗ f )ε2 e Es (f ) = ε1 E(f ∗ ε2 ), ∗ para quaisquer x ∈ H e f ∈ H , temos

mos que Assim,

Et (f )(x)

=

(E(ε1 ∗ f )ε2 )(x)

=

(ε1 ∗ f )(1H )ε2 (x)

para todo

f ∈ H ∗.

= ε1 (11 )f (12 )ε2 (x) = ε(11 x)f (12 ) = f (ε(11 x)12 ) = f (εt (x)) e

Es (f )(x)

=

(ε1 E(f ∗ ε2 ))(x)

= ε1 (x)(f ∗ ε2 )(1H ) = ε1 (x)f (11 )ε2 (12 ) = ε(x12 )f (11 ) = f (11 ε(x12 )) = f (εs (x)) isto é, acabamos de vericar que para qualquer

f ∈ H ∗ , Et (f ) = f εt

e

Es (f ) = f εs .

Proposição 1.18 As seguintes aplicações são isomorsmos de álgebras

κtH : Ht z

Demonstração: k -lineares,

→ Hs∗ 7 → z*ε

e

→ Ht∗ 7 → ε ( x.

κsH : Hs x

É pertinente notarmos que

κtH

e

κsH

são naturalmente

uma vez que são denidas a partir de ações que fornecem

H -módulo em H ∗ . Além disso, κtH (Ht ) ⊆ Hs∗ e s ∗ κH (Hs ) ⊆ Ht , pois sendo H ∗ uma álgebra de Hopf fraca, temos, por ∗ ∗ (4.7), que δ(ε) = ε1 ⊗ ε2 ∈ Hs ⊗ Ht . Sejam x, y ∈ Ht . Então

uma estrutura de

κtH (x) ∗ κtH (y) = (x * ε) ∗ (y * ε) 23

= (ε2 (x)ε1 ) ∗ (ε20 (y)ε10 ) = (ε1 ∗ ε10 )ε2 (x)ε20 (y) = ε10 Et (ε20 )(x)ε30 (y)

por (4.17)

= ε10 (E(ε1 ∗ ε20 )ε2 (x))ε30 (y) = ε10 (ε1 ∗ ε20 )(1H )ε2 (x)ε30 (y) = ε10 ε1 (11 )ε20 (12 )ε2 (x)ε30 (y) = ε10 ε20 (ε1 (11 )ε2 (x)12 )ε30 (y) = ε10 ε20 (ε(11 x)12 )ε30 (y) = ε10 ε20 (εt (x))ε30 (y) = ε10 ε20 1 (εt (x))ε20 2 (y) = ε10 ε20 (xy) = xy * ε = Sejam

z, h ∈ Hs .

(x

∈ Ht )

κtH (xy).

Então

κsH (z) ∗ κsH (h) = (ε ( z) ∗ (ε ( h) = (ε1 (z)ε2 ) ∗ (ε10 (h)ε20 ) = ε1 (z)(ε2 ∗ ε20 )ε10 (h) = ε1 (z)Es (ε2 )(h)ε3

por (4.18)

= ε1 (z)E(ε2 ∗ ε )ε (h)ε3 20

10

= ε1 (z)ε2 (11 )ε20 (12 )ε10 (h)ε3 = ε1 (z)ε2 (11 ε(h12 ))ε3 = ε1 (z)ε2 (εs (h))ε3 = ε11 (z)ε12 (εs (h))ε2 = ε1 (zh)ε2 = ε ( zh =

(h

Pelo que acabamos de mostrar e notando que

ε = ε e que κsH (1H ) = ε ( homomorsmos de álgebras.

∈ Hs )

κsH (zh).

1H = ε,

concluímos

κtH (1H ) = 1H * t s que κH e κH são

Agora, denimos as funções

κtH ∗ :

Ht∗ f

→ Hs 7 → f * 1H

e

κsH ∗ : Hs∗ g

que claramente estão bem denidas, pois

24

→ Ht 7 → 1H ( g

∆(1H ) = 11 ⊗ 12 ∈ Hs ⊗ Ht .

Para todo

z ∈ Ht

e para todo

x ∈ Hs ,

κsH ∗ (κtH (z))

temos

= κsH ∗ (z * ε) =

1H ( (z * ε)

=

(z * ε)(11 )12

= ε1 (11 )ε2 (z)12 = ε(11 z)12 = εt (z) = z e também,

κtH ∗ (κsH (x))

= κtH ∗ (ε ( x) =

(ε ( x) * 1H

=

11 (ε ( x)(12 )

=

11 ε1 (x)ε2 (12 )

=

11 ε(x12 )

= εs (x) = x. Finalmente, sejam

g ∈ Hs∗

e

x ∈ H.

Então

(κtH (κsH ∗ (g)))(x) = (κsH ∗ (g) * ε)(x) = ((1H ( g) * ε)(x) = ε2 (1H ( g)ε1 (x) = ε2 (g(11 )12 )ε1 (x) = g(11 )ε2 (12 )ε1 (x) = g(11 )ε(x12 ) = g(εs (x)) = Es (g)(x)

por (4.26)

(g ∈ Hs∗ )

= g(x) κtH (κsH ∗ (g)) = g . Portanto, κtH ∗ disso, dado f ∈ Ht , temos

e assim, Além

é um isomorsmo de álgebras.

(κsH (κtH ∗ (f )))(x) = (ε ( κtH ∗ (f ))(x) = (ε ( (f * 1H ))(x) = ε1 (f * 1H )ε2 (x) = ε1 (f (12 )11 )ε2 (x) 25

= f (12 )ε1 (11 )ε2 (x) = f (12 )ε(11 x) = f (εt (x)) = Et (f )(x)

por (4.25)

(f ∈ Ht∗ )

= f (x) e isso nos diz que

κsH (κtH ∗ (f )) = f .

Logo,

κsH

é um isomorsmo de



álgebras.

1.2

Álgebras de Hopf fracas

Nesta seção, denimos uma álgebra de Hopf fraca

H , também chamada

de grupóide quântico nito. Mostramos como a existência de uma antípoda se relaciona com da antípoda em

H

εt , Ht , εs

e

e mostramos que

Hs . Garantimos a invertibilidade Ht e Hs são subálgebras de H que

são separáveis. Além disso, nalizamos a seção com condições equivalentes para sabermos quando uma álgebra de Hopf fraca será uma álgebra de Hopf no sentido clássico.

Denição 1.19 Seja

H uma biálgebra fraca. Dizemos que H é uma álgebra de Hopf fraca (ou grupóide quântico nito) se existe uma função k -linear S : H → H , chamada antípoda que satisfaz, para todo h ∈ H , (i)

h1 S(h2 ) = ε(11 h)12 = εt (h); S(h1 )h2 = 11 ε(h12 ) = εs (h);

(ii) (iii)

S(h1 )h2 S(h3 ) = S(h).

Seja

G

um grupóide nito. A m de fornecermos um exemplo para

a denição dada, lembremos da estrutura de biálgebra fraca dada em

kG,

conforme o Exemplo 1.6.

Exemplo 1.20 todo

g ∈ G.

Denimos

Notemos que

S

S : kG → kG

de grupóide (Denição 1.4), para todo

d(g) = g

−1

g

dada por

S(ug ) = ug−1 ,

para

está bem denida, pois segundo a denição

g ∈G

existe

g −1 ∈ G

−1

tal que

r(g) = gg . Mostremos que S é uma antípoda para kG. Por construção, S é X k -linear. Seja g ∈ G, como ∆(ug ) = ug ⊗ ug e ∆(1kG ) = ut ⊗ ut , e

t∈G0 temos que

εt (ug ) = ε(11 ug )12 =

X t∈G0

26

ε(ut ug )ut ,

ut ug 6= 0 ⇔ ∃tg e, nesse caso, tg = g = r(g)g . Pela unicidade r(g), segue que t = r(g). Portanto, existe um único t ∈ G0 tal que ut ug 6= 0, a saber t = r(g). Logo, X ε(ut ug )ut = ε(ur(g) ug )ur(g) = ur(g) .

mas como de

t∈G0 Por outro lado,

ug S(ug ) = ug ug−1 = ugg−1 = ur(g) .

Assim, o item

(i) da Denição 1.19 está vericado. Para vericarmos que

S

satisfaz o item (ii) da mesma denição, a

análise a ser feita é semelhante à que acabamos de fazer, pois

X

εs (ug ) = 11 ε(ug 12 ) =

ut ε(ug ut ).

t∈G0 Analogamente ao acima, devemos ter que único

t ∈ G0

tal que

X

ug ut 6= 0.

t = d(g).

Daí, existe um

Assim,

ut ε(ug ut ) = ud(g) ε(ug ud(g) ) = ud(g) .

t∈G0 Por outro lado,

S(ug )ug = ug−1 ug = ug−1 g = ud(g) . ∆2 (ug ) = ug ⊗ ug ⊗ ug .

mos o item (iii). Notemos que

Resta mostrarAssim,

S(ug )ug S(ug ) = ug−1 ug ug−1 = ug−1 (gg−1 ) = ug−1 r(g) = ug−1 d(g−1 )

Lema 1.5 (iii)

= ug−1 = S(ug ). Portanto,

kG

Exemplo 1.21

é uma álgebra de Hopf fraca.

Seja

H

uma álgebra nito dimensional com base

{ei }ni=1 ,

em que

ei ej = δij ei , Lembremos que

H

para quaisquer

i, j ∈ {1, 2, · · · , n}.

possui uma estrutura de biálgebra fraca, dada

no Exemplo 1.7. Tendo em mente tal estrutura, denimos

→ H 7→ ei .

S: H ei Seja

x ∈ H.

Então

x =

Pn

i=1

27

αi ei ,

daí

∆(x) =

P

i

αi (ei ⊗ ei ).

Assim,

x1 S(x2 ) = = =

P

Pi Pi

=

Pi

=

P

αi ei S(ei ) αi ei ei αi ei

i,j αi ε(δji ej )ej j ε (ej

P

i αi ei ) ej

= ε(11 x)12 S(x1 )x2 = 11 ε(x12 ). P ∆2 (x) = i αi ei ⊗ ei ⊗ ei . Então P S(x1 )x2 S(x3 ) = i αi S(ei )ei S(ei ) P = i αi ei ei ei P = i αi ei = x = S(x).

e de maneira análoga, Finalmente, como

Portanto,

H

Exemplo 1.22

é uma álgebra de Hopf fraca.

S. A H ∗ foi dada no Exemplo 1.8. ∗ ∗ ∗ ∗ Denimos S : H → H por S (f )(h) = f (S(h)) para quaisquer f ∈ H ∗ e h ∈ H . Claramente, para todo f ∈ H ∗ , S ∗ (f ) ∈ H ∗ , pois f e S são k -lineares e S ∗ é obviamente k -linear. Mostremos que S ∗ é uma ∗ ∗ antípoda para H . Sejam h ∈ H e f ∈ H . Então Seja

H

uma álgebra de Hopf fraca com antípoda

estrutura de biálgebra fraca de

(f1 ∗ S ∗ (f2 ))(h) = f1 (h1 )S ∗ (f2 )(h2 ) = f1 (h1 )f2 (S(h2 )) = f (h1 S(h2 )) = f (εt (h)) = Et (f )(h)

por (4.25)

e

(S ∗ (f1 ) ∗ f2 )(h) = S ∗ (f1 )(h1 )f2 (h2 ) = f1 (S(h1 ))f2 (h2 ) = f (S(h1 )h2 ) = f (εs (h)) = Es (f )(h) 28

por (4.26).

f1 ∗ S ∗ (f2 ) = Et (f ) e S ∗ (f1 ) ∗ f2 = Es (f ), isto é, acabamos de ∗ mostrar os itens (i) e (ii) da Denição 1.19 para S . Resta mostrarmos o item (iii). De fato, para todo h ∈ H Logo,

(S ∗ (f1 ) ∗ f2 ∗ S ∗ (f3 ))(h) = S ∗ (f1 )(h1 )f2 (h2 )S ∗ (f3 )(h3 ) = f1 (S(h1 ))f2 (h2 )f3 (S(h3 )) = f (S(h1 )h2 S(h3 )) = f (S(h)) = S ∗ (f )(h). Portanto,

S ∗ (f1 ) ∗ f2 ∗ S ∗ (f3 ) = S ∗ (f ).

Assim,

H∗

é uma álgebra

de Hopf fraca. Seja

H

H é uma álgebra H a , H sob a ótica

uma álgebra de Hopf fraca. Sabemos que

e, simultaneamente, uma coálgebra. Denotemos por de sua estrutura de álgebra e por

H c, H

sob a ótica de sua estrutura de

coálgebra. É conhecido na literatura ([6], p.

151)

que

Homk (H c , H a )

é uma álgebra com o produto de convolução

(f ∗ g)(h) = f (h1 )g(h2 ), e unidade

µε.

para quaisquer

h∈H

e

f, g ∈ Homk (H c , H a )

Com essa notação, pela Denição 1.19 podemos concluir

que

id ∗ S

= εt

S ∗ id

= εs

S ∗ id ∗ S

= S.

No próximo resultado, garantimos que em uma álgebra de Hopf fraca a unidade, a counidade e a antípoda são únicas.

Proposição 1.23 Seja H uma álgebra de Hopf fraca com unidade u : k → H , counidade ε : H → k e antípoda S : H → H . Suponhamos u0 : k → H , ε0 : H → k e S 0 : H → H funções k -lineares que sejam outras unidade, counidade e antípoda para H , respectivamente. Então u = u0 , ε = ε0 e S = S 0 . Demonstração: então

u = u0 . = αu (1k ) = u (α) e isso

Primeiramente mostremos que

u(α) = αu(1k ) = α1H

0

0

Seja

α ∈ k,

implica que

u = u0 . Agora, mostremos a unicidade da counidade. Seja

ε(h) = ε(ε0 (h1 )h2 ) = ε0 (h1 )ε(h2 ) = ε0 (h1 ε(h2 )) = ε0 (h) 29

h ∈ H . Então ε = ε0 .

e daí,

ε = ε0 ,

Observamos que, como igualdades que

S

εt e εs estão unicaS 0 satisfaz as mesmas

as aplicações

mente determinadas pela counidade. Portanto

satisfaz, isto é, as igualdades (4.27), (4.28) e (4.29).

Assim, segue que

S 0 = S 0 ∗ (id ∗ S 0 ) = S 0 ∗ εt = S 0 ∗ (id ∗ S) = (S 0 ∗ id) ∗ S = εs ∗ S = (S ∗ id) ∗ S = S.  No que segue, exibimos algumas propriedades relacionando a antípoda

S

com

εt

e

εs .

Seja

h ∈ H.

Então

εt (h) = ε(11 h)12 = ε(11 εt (h))12

por (4.5)

= ε(εt (h)11 )12

por (4.7) e (4.16)

= ε(h1 S(h2 )11 )12

por (4.27)

= ε(εs (h1 )S(h2 )11 )12

por (4.6)

= ε(S(h1 )h2 S(h3 )11 )12

por (4.28)

= ε(S(h)11 )12

por (4.29)

e

εs (h) = 11 ε(h12 ) = 11 ε(εs (h)12 )

por (4.6)

= 11 ε(12 εs (h))

por (4.7) e (4.16)

= 11 ε(12 S(h1 )h2 )

por (4.28)

= 11 ε(12 S(h1 )εt (h2 ))

por (4.5)

= 11 ε(12 S(h1 )h2 S(h3 ))

por (4.27)

= 11 ε(12 S(h))

As igualdades todo

h ∈ H,

por (4.29).

εt (h) = ε(S(h)11 )12

e

εs (h) = 11 ε(12 S(h)),

para

são válidas para qualquer álgebra de Hopf fraca. Como

vericamos no Exemplo 1.22 que

H∗

é uma álgebra de Hopf fraca,

podemos usar essas mesmas igualdades para

30

H ∗.

Para quaisquer

f ∈

H∗

e

h ∈ H,

concluímos que

Et (f )(h) = E(S ∗ (f ) ∗ ε1 )ε2 (h) = (S ∗ (f ) ∗ ε1 )(1H )ε2 (h) = f (S(11 ))ε1 (12 )ε2 (h) = f (S(11 )ε1 (12 )ε2 (h)) = f (S(11 )ε(12 h)) e

Es (f )(h) = ε1 (h)E(ε2 ∗ S ∗ (f )) = ε1 (h)(ε2 ∗ S ∗ (f ))(1H ) = ε1 (h)ε2 (11 )f (S(12 )) = ε(h11 )f (S(12 )) = f (ε(h11 )S(12 )). Utilizando as igualdades (4.25) e (4.26), para quaisquer

h ∈ H,

f ∈ H∗

e

temos

f (εt (h)) = f (S(11 )ε(12 h)) f (εs (h)) = f (ε(h11 )S(12 )). Portanto,

εt (h) = S(11 )ε(12 h)

e

εs (h) = ε(h11 )S(12 )

para qualquer

h ∈ H.

Lema 1.24 Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então as seguintes identidades são válidas: (i) (ii)

εt S = εt εs = Sεs ; εs S = εs εt = Sεt .

Demonstração:

(i) Seja

h ∈ H.

Então

εt (εs (h)) = εt (11 )ε(12 S(h)) = ε(1 11 )1 ε(12 S(h)) 10

20

= ε(110 11 )ε(12 S(h))120 = ε(110 S(h))120 = εt (S(h)) 31

por (4.31)

por outro lado,

εt (S(h)) = S(11 )ε(12 S(h))

por (4.32)

= S(11 ε(12 S(h))) = S(εs (h))

por (4.31).

Logo, (i) está vericado. (ii) Analogamente, para qualquer

h ∈ H,

εs (εt (h)) = εs (12 )ε(S(h)11 )

por (4.30)

= 110 ε(12 120 )ε(S(h)11 ) = 110 ε(S(h)11 )ε(12 120 ) = 110 ε(S(h)120 ) = εs (S(h)) além disso,

εs (S(h)) = ε(S(h)11 )S(12 )

por (4.33)

= S(ε(S(h)11 )12 ) = S(εt (h))

por (4.30).



Portanto, (ii) está provado.

Segue agora, um importante resultado que estabelece as imagens da antípoda restrita às subálgebras

Ht

e

Hs

de

H.

Proposição 1.25 Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então S(Ht ) = Hs e S(Hs ) = Ht .

Demonstração:

Pelo lema acima, S(Ht ) = S(εt (H)) = (Sεt )(H) = (εs S)(H) = εs (S(H)) ⊆ Hs e S(Hs ) = S(εs (H)) = (Sεs )(H) = (εt S)(H) = εt (S(H)) ⊆ Ht . Por outro lado, como ∆(1H ) = 11 ⊗ 12 ∈ Hs ⊗ Ht e, por (4.32), para todo h ∈ Ht ,

h = εt (h) = S(11 )ε(12 h) ∈ S(Hs ) e, por (4.33), para todo

h ∈ Hs ,

h = εs (h) = ε(h11 )S(12 ) ∈ S(Ht ). Portanto,

S(Ht ) = Hs

e

S(Hs ) = Ht . 32



Teorema 1.26 Seja

H uma álgebra de Hopf fraca. Então a antípoda S é antimultiplicativa (S é anti-homomorsmo de álgebras) e anticomultiplicativa (S é anti-homomorsmo de coálgebras), isto é,

(i) (ii)

S(xy) = S(y)S(x), para quaisquer x, y ∈ H ; (S(x))1 ⊗ (S(x))2 = S(x2 ) ⊗ S(x1 ) para qualquer x ∈ H .

Além disso, as restrições S|Ht e S|Hs são bijeções tais que S(Ht ) = Hs e S(Hs ) = Ht , S(1H ) = 1H e εS = ε.

Demonstração:

S(Ht ) = Hs e S(Hs ) = Ht . Hs e Ht são k -espaços vetoriais isomorfos e assim, segue diretamente que S|H e S|H são bijeções. t s Mostremos que S é antimultiplicativa. Sejam x, y ∈ H . Então Pela proposição anterior,

Sabemos também que

S(xy) = S((xy)1 )(xy)2 S((xy)3 ) = S((xy)1 )εt ((xy)2 )

por (4.29) por (4.27)

= S(x1 y1 )εt (x2 y2 ) = S(x1 y1 )εt (x2 εt (y2 ))

por (4.8)

= S(x1 y1 )εt (ε(x2 y2 )x3 )

por (4.14)

= S(x1 y1 )ε(x2 y2 )εt (x3 ) = S(x1 y1 )(ε(x2 y2 )x3 )S(x4 )

por (4.27)

= S(x1 y1 )x2 εt (y2 )S(x3 )

por (4.14)

= S(x1 y1 )x2 εt (y2 )S(x3 ) = S(x1 y1 )x2 y2 S(y3 )S(x3 )

por (4.27)

= εs (x1 y1 )S(y2 )S(x2 )

por (4.28)

= εs (εs (x1 )y1 )S(y2 )S(x2 ) = εs (y1 ε(x1 y2 ))S(y3 )S(x2 )

por (4.9) por (4.15)

= εs (y1 )ε(x1 y2 )S(y3 )S(x2 ) = S(y1 )(y2 ε(x1 y3 ))S(y4 )S(x2 )

por (4.28)

= S(y1 )εs (x1 )y2 S(y3 )S(x2 )

por (4.15)

= S(y1 )εs (x1 )εt (y2 )S(x2 )

por (4.27)

= S(y1 )εt (y2 )εs (x1 )S(x2 )

por (4.16)

= S(y1 )y2 S(y3 )S(x1 )x2 S(x3 ) = S(y)S(x)

por (4.27) e (4.28) por (4.29).

33

Para mostrarmos que

S

é anticomultiplicativa, necessitamos de

duas identidades. Com o mesmo

x

tomado inicialmente, temos

∆(S(x)) = ∆(S(x1 )x2 S(x3 ))

por (4.29)

= ∆(S(x1 )εt (x2 ))

por (4.27)

= ∆(S(x1 ))∆(εt (x2 )) = ∆(S(x1 ))(11 εt (x2 ) ⊗ 12 )

por (4.10)

= (S(x1 ))1 11 εt (x2 ) ⊗ (S(x1 ))2 12 = (S(x1 ))1 (11 x2 )S(x3 ) ⊗ (S(x1 ))2 12

por (4.27)

= (S(x1 ))1 x21 S(x3 ) ⊗ (S(x1 ))2 εt (x22 )

por (4.12)

= (S(x1 ))1 x2 S(x4 ) ⊗ (S(x1 ))2 εt (x3 ) = (S(x1 ))1 x2 S(x5 ) ⊗ (S(x1 ))2 x3 S(x4 )

por (4.27)

= (S(x1 )x2 )1 S(x4 ) ⊗ (S(x1 )x2 )2 S(x3 ) = (εs (x1 ))1 S(x3 ) ⊗ (εs (x1 ))2 S(x2 )

por (4.28)

= 11 S(x3 ) ⊗ (εs (x1 )12 )S(x2 )

por (4.11)

= 11 S(x3 ) ⊗ 12 εs (x1 )S(x2 )

por (4.16)

= 11 S(x4 ) ⊗ 12 S(x1 )x2 S(x3 )

por (4.28)

= 11 S(x2 ) ⊗ 12 S(x1 )

por (4.29)

e

S(11 ) ⊗ S(12 ) = S(εs (11 )) ⊗ S(12 ) = εt (εs (11 )) ⊗ S(12 )

por (4.34)

= εt (11 ) ⊗ S(12 ) = ε(110 11 )120 ⊗ S(12 ) = 120 ⊗ ε(110 11 )S(12 ) = 120 ⊗ εs (110 )

por (4.33)

= 120 ⊗ 110 = 12 ⊗ 11 . Agora, estamos aptos a mostrar que

S

é anticomultiplicativa. De

fato,

∆(S(x)) = (S(x))1 ⊗ (S(x))2 = 11 S(x2 ) ⊗ 12 S(x1 ) = S(12 )S(x2 ) ⊗ S(11 )S(x1 ) = S(x2 12 ) ⊗ S(x1 11 ) 34

por (i)

= S(x2 ) ⊗ S(x1 ). Finalmente, mostremos que

εS = ε

e que

S(1H ) = 1H .

ε(S(x)) = ε(S(x1 )x2 S(x3 )) = ε(S(x1 )εt (x2 ))

por (4.27)

= ε(S(x1 )x2 )

por (4.5)

= ε(εs (x)1H )

por (4.28)

= ε(x) Por (4.35),

por (4.6).

S(1H ) = S(εt (1H )) = εs (εt (1H )) = εs (1H ) = 1H .



S em uma álS(H) é uma álgebra de Hopf estruturais de H , só que agora restritas

A m de mostrarmos a invertibilidade da antípoda gebra de Hopf fraca

H,

observamos que

fraca com as mesmas funções à

S(H).

Corolário 1.27 Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então S(H) é também uma álgebra de Hopf fraca. Demonstração: álgebras tal que

Pelo teorema anterior,

S(1H ) = 1H

Ainda pelo mesmo teorema, e

εS = ε.

S

é um anti-homomorsmo de

e não é difícil ver que

S

S(H) é uma álgebra.

é um anti-homomorsmo de coálgebras

Um simples cálculo nos fornece a coassociatividade.

Por outro lado, dado

h ∈ H,

temos

((ε ⊗ id)∆)(S(h)) = (ε ⊗ id)(S(h2 ) ⊗ S(h1 )) = ε(S(h2 ))S(h1 ) = ε(h2 )S(h1 ) = S(h1 ε(h2 )) = S(h) = id(S(h)) = ((id ⊗ ε)∆)(S(h)) e vale a propriedade da counidade.

S(H) é uma biálgebra fraca, basta provarmos ∆ é obviamente multiplicativa em S(H) e como 1H é a unidade de S(H), seguem (3) (i) e (iii) da Denição 1.1. Mostremos (3) (ii). Sejam x, y, z ∈ H . Então Para vericarmos que

(3) (ii) da Denição 1.1, pois

ε(S(x)S(y)S(z)) = ε(S(zyx)) = ε(zyx) = ε(zy1 )ε(y2 x) = ε(S(zy1 ))ε(S(y2 x)) 35

= ε(S(x)S(y2 ))ε(S(y1 )S(z)) = ε(S(x)(S(y))1 )ε((S(y))2 S(z)). Analogamente, mostra-se que

ε(S(x)S(y)S(z)) = ε(S(x)(S(y))2 )ε((S(y))1 S(z)). Finalmente, para vericarmos que fraca com a mesma antípoda

S,

S(H)

é uma álgebra de Hopf

notemos que

(S(x))1 S((S(x))2 ) = S(x2 )S(S(x1 )) = S(S(x1 )x2 )

Analogamente,

= S(εs (x))

por (4.28)

= εt (S(x))

por (4.34).

S((S(x))1 )(S(x))2 = εs (S(x)).

Finalmente,

S((S(x))1 )(S(x))2 S((S(x))3 ) = S(S(x3 ))S(x2 )S(S(x1 )) = S(S(x1 )x2 S(x3 )) = S(S(x)). Portanto,

S(H)

Indutivamente, podemos concluir que fraca, para todo



é uma álgebra de Hopf fraca.

S n (H) é uma álgebra de Hopf

n ∈ N.

Teorema 1.28 Seja S é invertível.

Demonstração:

H uma álgebra de Hopf fraca. Então a antípoda

Consideremos a cadeia descendente de subespaços de

H H ⊇ S(H) ⊇ S 2 (H) ⊇ S 3 (H) ⊇ · · · S(1H ) = 1H , segue que 1H = S m (1H ), para todo m ∈ N e daí, 1H ∈ S m (H), para todo m ∈ N. Como H possui dimensão nita, H é uma álgebra artiniana e assim, existe n ∈ N tal que Uma vez que

S n+m (H) = S n (H) ⊆ S n−1 (H),

para todo

pois

H

S(H) = H

é nito dimensional.

36

e

(?)

S n (H) = S n−1 (H) e assim, S seria invertível,

Gostaríamos de provar que isso implica que dessa maneira concluirmos que

m ∈ N.

S n (H) = S n−1 (H) e notemos n = 1 pois, nesse caso, teremos

Mostremos que (?) implica suciente se o zermos para

S 1+m (H) = S(H) ⊆ H,

para todo

m∈N

implica

que é

S(H) = H.

(??)

Assim, (??) vale para qualquer álgebra de Hopf fraca com antípoda

S

e, pelo Corolário 1.27, vale para

S 1+m (A) = S(A) ⊆ A,

A = S n−1 (H), m∈N

para todo

ou seja,

implica

S(A) = A,

que é equivalente a dizermos

S n+m (H) = S n (H) ⊆ S n−1 (H), ∀m ∈ N Portanto, suponhamos

n = 1.

implica

S n (H) = S n−1 (H).

Por hipótese, temos que

S 1+m (H) = S(H) ⊆ H,

para todo

m∈N

m = 1 segue que S 2 (H) = S(H). Logo Im(S 2 ) = Im(S) e portanto, dim(Ker(S)) = dim(Ker(S 2 )). Como Ker(S) ⊆ Ker(S 2 ), segue que Ker(S) = Ker(S 2 ). Assim, se x ∈ Ker(S) ∩ Im(S) então S(x) = 0 e x = S(y) para al2 2 gum y ∈ H e isso implica que S (y) = S(x) = 0, isto é, y ∈ Ker(S ) = Ker(S), donde x = 0. Logo, Ker(S) ∩ Im(S) = 0. Portanto, podemos denir S = S|S(H) : S(H) → S(H) e S é bijetora, pois Ker(S) ⊆ Ker(S) ∩ Im(S) = 0 e é claramente sobrejetora 2 (pois S (H) = S(H)). Notemos que S é anti-homomorsmo de álge−1 bras e portanto S também o é. e, em particular, para

−1

PS = S S : H → S(H). Notemos que, para −1 quaisquer x, y ∈ H , PS satisfaz PS (1H ) = 1H , pois (S S)(1H ) = −1 −1 (S S)(S(1H )) = (S S)(S(1H )) = S(1H ) = 1H e Consideremos

PS (xy)

= S = S = S

−1 −1 −1

(S(xy)) (S(y)S(x)) (S(x))S

−1

(S(y))

= PS (x)PS (y) e

PS (PS (x))

= PS (S 37

−1

(S(x)))

=

S S

=

−1 −1 −1

(S(S (S(S

=

S

=

PS (x)

−1 −1

(S(x)))) (S(x))))

(S(x))

e ainda,

PS (xS(y))

= S =

S

=

S

−1 −1 −1 −1

(S(xS(y))) (S 2 (y)S(x)) (S(x))S

=

S

(S(x))S

=

PS (x)S(y).

−1 −1

(S(S(y))) (S(S(y)))

Mostramos, no Teorema 1.26, que S(Ht ) = Hs e S(Hs ) = Ht , isto Ht , Hs ⊆ S(H). Tendo em mente as propriedades para PS mostradas acima e que x1 εs (x2 ) = x = εt (x1 )x2 para todo x ∈ H , segue que é,

PS (x) = PS (x1 εs (x2 )) = PS (x1 )εs (x2 )

(Hs

= PS (x1 )S(x2 )x3

⊆ S(H))

por (4.28)

= PS (x1 S(x2 ))x3 = PS (1H εt (x1 ))x2

por (4.27)

= PS (1H )εt (x1 )x2 = x. Ker(PS ) = 0. Claramente, Ker(S) ⊆ Ker(PS ) o que Ker(S) = 0. Donde concluímos que S(H) = H , uma vez nito dimensional. 

Portanto, implica que que

H

é

O penúltimo lema deste capítulo reúne mais algumas propriedades envolvendo a antípoda, úteis não somente neste, mas nos próximos capítulos.

Lema 1.29 Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então, para todo h ∈ H , são válidas as igualdades. (i) (ii)

h1 ⊗ h2 S(h3 ) = 11 h ⊗ 12 . S(h1 )h2 ⊗ h3 = 11 ⊗ h12 . 38

(iii)

h1 ⊗ S(h2 )h3 = h11 ⊗ S(12 ).

(iv)

h1 S(h2 ) ⊗ h3 = S(11 ) ⊗ 12 h. 11 ⊗ 12 = S(12 ) ⊗ S(11 ).

(v) (vi)

h2 S −1 (h1 ) ⊗ h3 = S −1 (εt (h1 )) ⊗ h2 = 11 ⊗ 12 h.

Demonstração:

(i)

(4.27)

(4.12)

h1 ⊗ h2 S(h3 ) = h1 ⊗ εt (h2 ) = 11 h ⊗ 12

e (ii)

é análogo, usando (4.28) e (4.13). Notemos que

h1 ⊗ S(h2 )h3 = h1 ⊗ εs (h2 )

por (4.28)

= h1 ⊗ ε(h2 110 )S(120 )

por (4.33)

= h1 11 ⊗ ε(h2 12 110 )S(120 )

por (4.2)

= h1 11 ε(h2 12 ) ⊗ S(13 ) = (h11 )1 ε((h11 )2 ) ⊗ S(12 ) = h11 ⊗ S(12 ) e isso verica (iii). De maneira semelhante, é provado (iv). Para a prova de (v), sabemos que

S(1H ) = 1H

e daí,

11 ⊗ 12 = ∆(1H ) = ∆(S(1H )) = (S(1H ))1 ⊗ (S(1H ))2 = S(12 ) ⊗ S(11 ) Mostramos em (iii) que

S −1 ⊗ id

Teo. 1.26.

h1 S(h2 ) ⊗ h3 = S(11 ) ⊗ 12 h.

Aplicando

em ambos os lados dessa igualdade, obtemos

h2 S −1 (h1 ) ⊗ h3 = 11 ⊗ 12 h e, além disso,

S −1 ⊗ id,

h1 S(h2 ) ⊗ h3 = εt (h1 ) ⊗ h2 .

Novamente, aplicando

temos

h2 S −1 (h1 ) ⊗ h3 = S −1 (εt (h1 )) ⊗ h2 . Isso mostra

(vi).



Para o último lema deste capítulo, fazemos uma observação útil à prova do mesmo.

39

Observação 1.30

Seja

h∈H

então

S(εs (S −1 (h))) = εt (S(S −1 (h)))

por (4.34)

= εt (h) = S(S −1 (εt (h))). S é injetora, segue que εs (S −1 (h)) = S −1 (εt (h)). Em par−1 ticular, se h ∈ Ht então S (h) ∈ Hs . Analogamente, εt (S −1 (h)) = −1 −1 S (εs (h)) e daí, S (h) ∈ Ht , para todo h ∈ Hs . Como

Observação 1.31 mark

2.4.1,

p.

Seja

218)

H

uma álgebra de Hopf fraca, em ([10], Re-

H op

é dito que

S

fraca com antípoda

−1

.

é também uma álgebra de Hopf

Esse fato será útil principalmente para a

demonstração do teorema de dualidade fraca, no Capítulo

3.

Lema 1.32 Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então, para quaisquer z ∈ Ht e y ∈ Hs , temos (i) (ii)

11 S −1 (z) ⊗ 12 = 11 ⊗ 12 z . 11 ⊗ S −1 (y)12 = y11 ⊗ 12 .

Demonstração:

Se

z ∈ Ht

S −1 (z) ∈ Hs

então

e daí,

11 S −1 (z) ⊗ 12 = (S −1 (z))1 ⊗ εt ((S −1 (z))2 )

por (4.12)

= 11 ⊗ εt (S −1 (z)12 )

por (4.11)

= 11 ⊗ εt (12 S

−1

(z))

por (4.16)

= 11 ⊗ 12 εt (S

−1

(z))

por (4.19)

= 11 ⊗ 12 εt (εs (S = 11 ⊗ 12 εt (S(S

−1

−1

(z)))

(z)))

por (4.34)

= 11 ⊗ 12 z. Agora, para (ii), se

y ∈ Hs

então

S −1 (y) ∈ Ht

11 ⊗ S −1 (y)12 = εs ((S −1 (y))1 ) ⊗ (S −1 (y))2 −1

e por (4.13)

(y)) ⊗ 12

por (4.10)

= εs (S

−1

(y)11 ) ⊗ 12

por (4.16)

= εs (S

−1

(y))11 ⊗ 12

por (4.20)

= εs (11 S

= εs (εt (S

−1

(y)))11 ⊗ 12 40

= εs (S(S −1 (y)))11 ⊗ 12

por (4.35)

= y11 ⊗ 12 .  Antes de enunciarmos a próxima proposição, precisamos lembrar uma das denições equivalentes para que uma álgebra seja separável (veja [6], p. 189).

Denição 1.33 Uma álgebraPA é separável se existe um elemento e= P P

tal que ni=1 ai bi = 1A e, além disso, ni=1 xai ⊗ , para todo x ∈ A. O elemento e é chamado idempotente de separabilidade.

n ai ⊗ bi ∈ A ⊗ A i=1P n bi = i=1 ai ⊗ bi x

Proposição 1.34 Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então as subálgebras canônicas Ht e Hs são separáveis.

Demonstração:

Ht é separável com et = (S ⊗ id)∆(1H ) = S(11 ) ⊗ 12 (et é

Primeiramente mostremos que

idempotente de separabilidade claramente idempotente).

et ∈ Ht ⊗ Ht , pois como ∆(1H ) ∈ Hs ⊗ Ht e ∈ Ht ⊗ Ht . Por (4.28)

Para isso, notemos que e

S(Hs ) = Ht ,

segue que

t

S(11 )12 = εs (1H ) = 1H . S ⊗ id z ∈ Ht ,

Aplicando para todo

à igualdade

11 S −1 (z) ⊗ 12 = 11 ⊗ 12 z

obtemos,

zS(11 ) ⊗ 12 = S(11 ) ⊗ 12 z. Ht é uma álgebra separável com idempotente de separaet = S(11 ) ⊗ 12 . Para mostrarmos que Hs é separável, consideremos o idempotente s s separabilidade e = (id ⊗ S)∆(1H ) = 11 ⊗ S(12 ) (e é claramente Portanto,

bilidade de

idempotente). Temos que

es ∈ Hs ⊗ Hs ,

pois

∆(1H ) ∈ Hs ⊗ Ht

e

S(Ht ) = Hs .

Por (4.27) temos

11 S(12 ) = εt (1H ) = 1H . Aplicando todo

y ∈ Hs ,

id ⊗ S

à igualdade

11 ⊗ S −1 (y)12 = y11 ⊗ 12

que

11 ⊗ S(12 )y = y11 ⊗ S(12 ). 41

segue, para

Hs é uma álgebra es = 11 ⊗ S(12 ).

Logo, dade

separável com idempotente de separabili-



Finalizamos o capítulo apresentando um resultado tal que, a partir de uma álgebra de Hopf fraca, são dadas condições equivalentes para que a mesma seja uma álgebra de Hopf no sentido clássico.

Proposição 1.35 Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então são equivalentes: (i)

H é uma álgebra de Hopf no sentido clássico;

(ii)

∆(1H ) = 1H ⊗ 1H ;

(iii)

ε(xy) = ε(x)ε(y), para quaisquer x, y ∈ H ;

(iv)

S(x1 )x2 = ε(x)1H , para todo x ∈ H ;

(v) (vi)

x1 S(x2 ) = ε(x)1H , para todo x ∈ H ; Ht = k1H = Hs .

Demonstração:

(i)⇒(ii) Imediato pela denição de biálgebra (clás-

sica). (ii)⇒(iii) Temos

ε(xy) = ε(x1H y) = ε(x1H )ε(1H y) = ε(x)ε(y).

(iii)⇒(ii) Notemos que

1H ⊗ 1H = 11 ε(12 ) ⊗ ε(110 )120 = 11 ε(12 110 ) ⊗ 120

por (iii)

= 11 ε(12 ) ⊗ 13 = 11 ⊗ 12 = ∆(1H ). (iii)⇒(iv) Temos

S(x1 )x2 = εs (x)

por (4.28)

= ε(x12 )11 = ε(x)ε(12 )11

por (iii)

= ε(x)1H . (iv)⇒(iii) Notemos que, para quaisquer

ε(xy)1H = S((xy)1 )(xy)2 42

x, y ∈ H ,

temos por (iv)

= S(y1 )S(x1 )x2 y2 = S(y1 )ε(x)1H y2

por (iv)

= ε(x)ε(y)1H e isso implica que

ε(xy) = ε(x)ε(y).

(iii)⇔(v) É análoga à equivalência (iii)⇔(iv). (ii)⇒(i) Como já mostramos que (ii) implica (iii) e portanto (iv) e (v), o que resta mostrarmos para concluirmos (i) é que

ε(1H ) = 1k .

Mas

notemos que

(iv)

ε(1H )1H = S(1H )1H = 1H = 1k 1H , e isso implica que

ε(1H ) = 1k .

Logo,

H

pois

S(1H ) = 1H

é álgebra de Hopf no sentido

clássico. (iii)⇒(vi) Seja

x ∈ Ht .

Então

x = εt (x) = ε(11 x)12 = ε(x)ε(11 )12

por (iii)

= ε(x)1H ∈ k1H y ∈ Hs então y = ε(y)1H ∈ k1H . Como 1H Ht = k1H = Hs . P (vi)⇒(iii) Escrevemos ∆(1H ) = i ai ⊗ bi . Sabendo que ∆(1H ) H ⊗ H e por (vi), segue que existem αi0 s , βi0 s ∈ k tais que ∆(1H ) t Ps α 1 ⊗ β 1 . Além disso, escrevemos, para cada y ∈ H , εt (y) i H i i H αy 1H para algum αy ∈ k . Seja x ∈ H . Então e analogamente, se

Ht ∩ Hs ,

∈

segue que

ε(x)1H = ε(S(x))1H

Teo. 1.26

= ε(S(x1 )x2 S(x3 ))1H = ε(S(x1 )εt (x2 ))1H = ε(S(x1 )αx2 1H )1H = ε(S(x1 ))αx2 1H = ε(S(x1 ))εt (x2 ) = ε(x1 )εt (x2 ) 43

por (4.27)

∈ = =

= εt (x) = ε(11 x)12 P = i αi βi ε(x)1H P e isso implica que ε(x) = i αi βi ε(x), para todo x ∈ H . Se ε(x) = 0, para todo x ∈ H , então ε(xy) = ε(x)ε(y), para quaisquer x, y ∈ H . P Caso contrário, i αi βi = 1k e daí, P ε(xy) = ε(x11 )ε(12 y) = i αi βi ε(x)ε(y) = ε(x)ε(y). 

44

Capítulo 2

Módulos de Hopf fracos e um teorema de Maschke Neste capítulo, nossa principal referência é [10]. Apresentamos um estudo de integrais para álgebras de Hopf fracas, uma noção de módulos de Hopf e um teorema fundamental de módulos de Hopf neste contexto fraco concluindo assim, a existência de uma integral não-nula. Finalmente, provamos uma versão fraca do teorema de Maschke. Em todo este capítulo,

H

denota uma álgebra de Hopf fraca, quando

nada for dito ao contrário.

2.1

Integrais

Iniciamos esta seção com uma generalização de integrais.

Denição 2.1 Uma integral à esquerda (à direita) em H é um elemento l ∈ H tal que hl = εt (h)l, para todo h ∈ H (lh = lεs (h), para todo h ∈ H). Vale observarmos que essa noção de integral generaliza a noção de integral no caso de álgebras de Hopf no sentido clássico. Isso é imediato, pois

hl = εt (h)l = 11 ε(h12 )l = 1H ε(h1H )l = ε(h)l,

para todo

analogamente para integral à direita.

Observação 2.2 Rl H

(i) Denotamos por

= {l ∈ H : hl = εt (h)l, 45

para todo

h ∈ H}

h∈H

e

e por

Rr H

= {r ∈ H : rh = rεs (h),

Pelo fato de

εt

k -subespaços

são

εs

e

serem

vetoriais de

(ii) Uma integral à esquerda

para todo

k -lineares H.

l

(à direita

h ∈ H}.

segue facilmente que

r)

Rl H

e

Rr H

é chamada normalizada se

εt (l) = 1H (εs (r) = 1H ). A próxima proposição fornece condições equivalentes para que um elemento

l ∈H

seja uma integral à esquerda em

H,

sendo a mesma,

importante para a demonstração do teorema de Maschke.

Proposição 2.3 Seja l ∈ H . As seguintes armações são equivalentes: (i)

l∈

(ii) l1 (iii) (iv) (v)

Rl H

;

⊗ hl2 = S(h)l1 ⊗ l2 , para todo h ∈ H ;

l * H ∗ ⊆ Ht∗ ; Ker(εt )l = 0; Rr S(l) ∈ H .

Demonstração:

(i)

⇒

(ii) Para todo

h ∈ H,

temos

l1 ⊗ hl2 = 11 l1 ⊗ h12 l2

por (4.1)

= S(h1 )h2 l1 ⊗ h3 l2

por (4.37)

= (S(h1 ) ⊗ 1H )(h2 l1 ⊗ h3 l2 ) = (S(h1 ) ⊗ 1H )∆(h2 l)

por (i)

= (S(h1 ) ⊗ 1H )∆(εt (h2 )l) = (S(h1 ) ⊗ 1H )((εt (h2 ))1 l1 ⊗ (εt (h2 ))2 l2 ) = (S(h1 ) ⊗ 1H )(εt (h2 )11 l1 ⊗ 12 l2 ) = (S(h1 ) ⊗ 1H )(εt (h2 )l1 ⊗ l2 )

por (4.10) e (4.16) por (4.1)

= S(h1 )h2 S(h3 )l1 ⊗ l2 = S(h)l1 ⊗ l2

(ii)

⇒(i)

por (4.29).

l1 ⊗ hl2 = S(h)l1 ⊗ l2 , para todo h ∈ H e isso = S(h)l1 ε(l2 ) = S(h)l, para todo h ∈ H . Portanto,

Por hipótese,

implica que l1 ε(hl2 )

46

para todo

h∈H hl = (hl)1 ε((hl)2 ) = h1 (l1 ε(h2 l2 )) = h1 S(h2 )l1 ε(l2 ) = h1 S(h2 )l

por (ii)

= εt (h)l. Logo,

l∈

Rl

(i)⇒(iii) Seja

H

.

f ∈ H ∗.

l * f ∈ Ht∗ . h ∈ H , ocorre

Mostremos que

Exemplo 1.8, notemos que para todo

Et (l * f )(h) = Et (f1 f2 (l))(h)

Sob a notação do

por (4.23)

= E(ε1 ∗ f1 )ε2 (h)f2 (l) = ε1 (11 )f1 (12 )ε2 (h)f2 (l) = f1 (ε1 (11 )ε2 (h)12 )f2 (l) = f1 (ε(11 h)12 )f2 (l) = f1 (εt (h))f2 (l) = f (εt (h)l) = f (hl)

por (i)

= f1 (h)f2 (l) = (l * f )(h) e assim,

por (4.23)

l * f ∈ Ht∗ .

(iii)⇒(i) Novamente, com a notação apresentada no Exemplo 1.8, seja

g ∈ H ∗.

Então, por hipótese,

(4.23) temos para todo

l * g = Et (l * g).

Por um lado, por

h∈H

(l * g)(h) = g1 (h)g2 (l) = g(hl) e por outro lado

Et (l * g)(h) = (l * g)(εt (h)) = g1 (εt (h))g2 (l)

por (4.25) por (4.23)

= g(εt (h)l). g(hl) = g(εt (h)l), para todo g ∈ H ∗ . Rl todo h ∈ H e isso implica que l ∈ . H

Logo, para

47

Portanto,

hl = εt (h)l,

(i)⇒(iv) Seja Logo, (iv)

zl = 0

⇒(i)

z ∈ Ker(εt ). Então εt (z) = 0 e, por hipótese, zl = εt (z)l. Ker(εt )l = 0.

e assim,

Seja

h ∈ H.

Notemos que

h − εt (h) ∈ Ker(εt ),

pois

εt (h − εt (h)) = εt (h) − εt (εt (h)) = εt (h) − εt (h) = 0. Assim,

(h − εt (h))l = 0 Rl l ∈ H.

e portanto,

hl = εt (h)l,

para todo

h ∈ H.

Consequentemente,

aplicando

Rl

−1 então S (h)l = εt (S −1 (h))l e, H em ambos os lados dessa igualdade, obtemos

(i)⇒(v) Seja

S

h ∈ H.

Como

l ∈

S(l)h = S(l)S(εt (S −1 (h))) = S(l)εs (S(S −1 (h)))

por (4.35)

= S(l)εs (h) e portanto,

S(l) ∈

Rr H

.

(v)⇒(i) Por hipótese, para todo Sendo cando

h ∈ H , S(l)S(h) = S(l)εs (S(h)). S um anti-homomorsmo de álgebras, S −1 também o é. ApliS −1 em ambos os lados dessa igualdade, obtemos por (4.35) hl = S −1 (εs (S(h)))l = S −1 (S(εt (h)))l = εt (h)l.

Logo,

2.2

l∈

Rl H



.

Módulos de Hopf fracos

Para o desenvolvimento desta seção seguimos principalmente [10] e também [3]. Uma vez que uma álgebra de Hopf fraca

H

é uma álgebra e uma

coálgebra, podemos considerar módulos e comódulos sobre

H.

Com a

nalidade de que o trabalho esteja o mais auto-contido possível, lembremos as denições de comódulo e homomorsmo de comódulos, para maiores informações (veja [6], Capítulo

2).

Denição 2.4 Seja C uma coálgebra. Um C -comódulo à direita é um

par (M, ρ), em que M é um k-espaço vetorial e ρ : M → M ⊗ C é um homomorsmo de k-espaços vetoriais tais que os seguintes diagramas 48

comutam ρ

M

/ M ⊗C

ρ

 M ⊗C

id⊗∆

ρ⊗id

ρ

 / M ⊗C ⊗C

/ M ⊗k

id⊗ε

M ⊗C c

M

{

φ

em que φ : M ⊗ k → M é o isomorsmo canônico. De maneira similar, é denido um

C -comódulo

à esquerda. Como

zemos no caso de coálgebras, podemos introduzir a notação de Sweedler Seja M um C -comódulo à direita com a estrutura ρ : M → M ⊗ C . Então, para todo m ∈ M , temos que X ρ(m) = m(0) ⊗ m(1) ∈ M ⊗ C.

para comódulos. dada por

Como no caso de coálgebras, para designar tal estrutura, escrevemos

ρ(m) = m(0) ⊗ m(1) ,

omitindo a soma.

A comutatividade dos diagramas da denição de um comódulo à direita pode ser escrita, em notação de Sweedler, como segue

(m(0) )(0) ⊗ (m(0) )(1) ⊗ m(1) = m(0) ⊗ (m(1) )1 ⊗ (m(1) )2 e

ε(m(1) )m(0) = m.

Denição 2.5 Sejam

C uma coálgebra, (M, ρ) e (N, λ) dois C - comódulos à direita. Uma função k-linear g : M → N é chamada um homomorsmo de C -comódulos se o seguinte diagrama comuta M

g

ρ

 M ⊗C

/N λ

g⊗id

 / N ⊗ C.

A comutatividade desse diagrama nos diz que

g(m)(0) ⊗ g(m)(1) = g(m(0) ) ⊗ m(1) . No nosso caso, consideramos comódulos sobre a álgebra de Hopf fraca

H.

Dessa forma, como no caso de álgebras de Hopf clássicas,

temos a seguinte denição.

49

Denição 2.6 Um H -módulo de Hopf à direita fraco M é um k-espaço

vetorial tal que (i)

M é um H -módulo à direita via m ⊗ h 7→ m · h. M é um H -comódulo à direita via m 7→ ρ(m) = m(0) ⊗ m(1) .

(ii) (iii)

ρ(m · h) = m(0) · h1 ⊗ m(1) h2 , para quaisquer m ∈ M e h ∈ H .

No contexto fraco, podemos observar que a denição de módulo de Hopf é precisamente a mesma denição dada no contexto clássico, conforme vericamos em ([6], p.

169).

A grande diferença está alicerçada

na implicação da condição (iii).

Observação 2.7

No caso em que H é uma álgebra de Hopf no sentido H -módulo de Hopf à direita, é conhecido que M ⊗ H é um H -módulo à direita com a ação (m ⊗ h) · g = m · g1 ⊗ hg2 , para quaisquer m ∈ M e h, g ∈ H . Nesse caso, a condição (iii) implica em ρ ser um morsmo de H -módulos à direita (veja [6], p. 170). No nosso caso, H é uma álgebra de Hopf fraca e M é um H -módulo de Hopf à direita fraco e assim, M ⊗H pode não tornar-se um H -módulo

clássico e

M

é um

à direita com a ação descrita. Nesse caso

(m ⊗ h) · 1H = m · 11 ⊗ h12 e, não necessariamente, isso será igual à

m ⊗ h. Hm∈H e

Todavia, nesse contexto, conseguimos transpor tal estrutura de módulo para o espaço

g, h ∈ H ,

(M ⊗ H)∆(1H ),

assim para quaisquer

temos

((m ⊗ g)∆(1H )) · h = (m · 11 ⊗ g12 ) · h = (m · 11 ) · h1 ⊗ g12 h2 = m · 11 h1 ⊗ g12 h2 = m · h1 ⊗ gh2 Claramente,

h = 1H

(M ⊗ H)∆(1H )

H -módulo à direita. Fazendo (m · 11 ⊗ g12 ) · 1H = m · 11 ⊗ g12 e

é um

na igualdade acima, temos

por (4.1).

(m11 ⊗ g12 ) · hl = m · (h1 l1 ) ⊗ g(h2 l2 ) = (m · h1 ) · l1 ⊗ (gh2 )l2 = ((m · h1 ) · 11 ⊗ (gh2 )12 ) · l = (m · (h1 11 ) ⊗ g(h2 12 )) · l 50

= (m · h1 ⊗ gh2 ) · l

por (4.2)

= ((m · 11 ⊗ g12 ) · h) · l. ρ : M → (M ⊗ H)∆(1H ), dada por ρ(m) = m(0) · 11 ⊗ H -módulos à direita. De fato, para m ∈ M e h ∈ H , temos

Notemos que

m(1) 12 ,

é um homomorsmo de

quaisquer

ρ(m) · h = ρ(m · 1H ) · h = (m(0) · 11 ⊗ m(1) 12 ) · h = m(0) · h1 ⊗ m(1) h2 = ρ(m · h). Vejamos alguns exemplos de módulos de Hopf fracos. Para facilitar a escrita, escrevemos daqui em diante simplesmente módulo de Hopf à direita, omitindo a palavra fraco.

Exemplo 2.8 que

H

H é um H -módulo de Hopf à direita com ρ = ∆. É claro H -módulo à direita e com ρ = ∆, H é um H -comódulo à Como ∆ é multiplicativa, para quaisquer g, h ∈ H , obtemos

é um

direita.

ρ(gh) = ∆(gh) = ∆(g)∆(h) = g1 h1 ⊗ g2 h2 . Logo,

H

é um

H -módulo

de Hopf à direita.

A m de darmos uma estrutura de

H ∗,

H -módulo de Hopf à direita para

apresentamos o seguinte lema.

Lema 2.9 Seja

armações.

H uma álgebra de Hopf fraca. Então são válidas as

H ∗ é um H -módulo à direita com a ação f ·h = S(h) * f = S(h) * f = f2 (S(h))f1 para quaisquer f ∈ H ∗ e h ∈ H .

(i)

H ∗ é um H -comódulo à direita com a estrutura ρ(f ) = f(0) ⊗ f(1) para a qual f(0)0 s ∈ H ∗ e f(1)0 s ∈ H estão univocamente determinados pela condição f(0) g(f(1) ) = g ∗ f, para todo g ∈ H ∗ .

(ii)

Demonstração: ação à direita de

(i) Não é difícil mostrarmos que, de fato, temos uma

H

em

H ∗.

f ∈ H ∗ . Suponhamos f(0) ⊗ f(1) tais que f(0) ψ(f(1) ) = ψ ∗ f , ∗ para toda ψ ∈ H . ∗ P Suponhamos também que existam∗ φi0 s ∈ H e hi0 s ∈ H tais que i φi ψ(hi ) = ψ ∗ f , para toda ψ ∈ H .

(ii) Seja

51

Assim, notamos que

Φ(id⊗ψ)(f(0) ⊗f(1) ) = ψ∗f = Φ(id⊗ψ)( em que

Φ

P

i φi ⊗hi ), para todo

é o isomorsmo canônico entre

P

Φ(id ⊗ ψ) f(0) ⊗ f(1) −

i φi

H∗ ⊗ k


⊗ hi = 0,

e

H ∗.

Assim,

para qualquer

P




(?),

obtemos

ψ ∈ H∗

ψ ∈ H ∗.

(?)

P

f(0) ⊗ f(1) − i φi ⊗ hi = j gj ⊗ ej sendo {ej }nj=1 base de H . Como H é nito dimensional, é possível con∗ n ∗ ∗ siderar a base dual {ej }j=1 de H , que é tal que ej (ei ) = δij , i, j Podemos escrever

∈ {1, 2, · · · , n}. Em particular, para

ψ = e∗l

em

0 = Φ(id ⊗ e∗l ) Daí,

gl = 0,

para todo

P

j gj

 ⊗ ej = gl .

l ∈ {1, 2, · · · , n}.

Logo,

f(0) ⊗ f(1) =

P

i

φi ⊗

hi . Mostremos que

H∗

é

H -comódulo

com a

ρ

dada. Primeiramente,

(id ⊗ ∆)(ρ(f )) = f(0) ⊗ f(1)1 ⊗ f(1)2 e

(ρ ⊗ id)(ρ(f )) = f(0)(0) ⊗ f(0)(1) ⊗ f(1) . Omitindo, por abuso de notação, isomorsmos canônicos, para quaisquer

ψ, φ ∈ H ∗ ,

temos

(id ⊗ ψ ⊗ φ)(f(0) ⊗ f(1)1 ⊗ f(1)2 ) = f(0) ψ(f(1)1 )φ(f(1)2 ) = f(0) (ψ ∗ φ)(f(1) ) = (ψ ∗ φ) ∗ f e

(id ⊗ ψ ⊗ φ)(f(0)(0) ⊗ f(0)(1) ⊗ f(1) ) = f(0)(0) ψ(f(0)(1) )φ(f(1) ) = ψ ∗ f(0) φ(f(1) ) = ψ ∗ (φ ∗ f ), como o produto de convolução é associativo, segue que (id⊗ψ⊗φ)((id⊗ ∆)(ρ(f )) − (ρ ⊗ id)(ρ(f ))) = 0. Chamando t = (id ⊗ ∆)(ρ(f )) − (ρ ⊗ id)(ρ(f )), podemos escrever Pn t = i,j=1 gij ⊗ ei ⊗ ej em que {ei }ni=1 é base de H . Considerando

52

{e∗j }ni=1

H ∗ tal que e∗j (ei ) = δij e xando i0 , j0 ∈ {1, 2, · · · , n}, ∗ ∗ segue que 0 = (id ⊗ ei ⊗ ej )(t) = gi0 j0 e assim, t = 0. 0 0 Logo, (id⊗∆)ρ = (ρ⊗id)ρ. Além disso, (id⊗ε)(ρ(f )) = f(0) ε(f(1) ) = ε ∗ f = f . Portanto, H ∗ é um H -comódulo à direita.  base de

Agora, podemos apresentar o seguinte exemplo.

Exemplo 2.10

H∗

é um

H -módulo

de Hopf à direita com as estru-

turas apresentadas acima. De fato, para quaisquer

f, ψ ∈ H ∗

e

h ∈ H,

obtemos

(f(0) · h1 )ψ(f(1) h2 ) =(f(0) · h1 )ψ1 (f(1) )ψ2 (h2 ) =((f(0) ψ1 (f(1) )) · h1 )ψ2 (h2 ) =((ψ1 ∗ f ) · h1 )ψ2 (h2 ) =(S(h1 ) * (ψ1 ∗ f ))ψ2 (h2 ) =(ψ1 ∗ f1 )((ψ2 ∗ f2 )(S(h1 )))ψ3 (h2 )

por (4.23)

∗

=(ψ1 ∗ f1 )(S (ψ2 ∗ f2 )(h1 ))ψ3 (h2 ) =(ψ1 ∗ f1 )((S ∗ (f2 ) ∗ S ∗ (ψ2 ))(h1 ))ψ3 (h2 ) =(ψ1 ∗ f1 )(S ∗ (f2 ) ∗ S ∗ (ψ2 ) ∗ ψ3 )(h) =(ψ1 ∗ f1 )(S ∗ (f2 ) ∗ Es (ψ2 ))(h)

por (4.28)

−1

=(ψ1 ∗ f1 )(S ∗ (S ∗ (Es (ψ2 )) ∗ f2 ))(h) −1

=(ψ1 ∗ f1 )(S ∗ (Es (ψ2 )) ∗ f2 )(S(h))

def. de

S∗

−1

=(ψ1 ∗ (ε1 ∗ f1 ))(S ∗ (Es (ψ2 )) ∗ (ε2 ∗ f2 ))(S(h)) =(ψ1 ∗ Es (ψ2 ) ∗ ε1 ∗ f1 )(ε2 ∗ f2 )(S(h))

por (4.43)

=(ψ ∗ ε1 ∗ f1 )(ε2 ∗ f2 )(S(h)) =(ψ ∗ f1 )f2 (S(h))

por (4.1)

=ψ ∗ (S(h) * f )

por (4.23)

=ψ ∗ (f · h) e isso implica que

ρ(f ·h) = f(0) ·h1 ⊗f(1) h2 .

Donde,

H ∗ é um H -módulo

de Hopf à direita.

Nosso próximo resultado importante é o Teorema fundamental de módulos de Hopf. Para isso, introduzimos alguns conceitos já existentes na versão clássica de álgebras de Hopf. Agora, obviamente, no contexto fraco. Sejam

H

uma álgebra de Hopf fraca e

53

M

um

H -comódulo

à direita

com estrutura

ρ,

denimos o conjunto dos coinvariantes por

Coinv(M ) = {m ∈ M : ρ(m) = m(0) ⊗ m(1) = m(0) ⊗ εt (m(1) )}.

Proposição 2.11 Seja M um H -módulo de Hopf à direita. Então são verdadeiras as armações. (i) (ii)

Coinv(M ) = {m ∈ M : ρ(m) = m(0) ⊗ m(1) = m · 11 ⊗ 12 }. Coinv(M ) é um Ht -submódulo à direita de M .

Demonstração:

(i) Notemos que por

direita então, para qualquer

m ∈ M,

M

ser um

H -módulo

de Hopf à

temos

m(0) ⊗ m(1) = ρ(m) = ρ(m · 1H ) = m(0) · 11 ⊗ m(1) 12 . Seja

m ∈ Coinv(M ).

Então

m(0) ⊗ m(1) ∈ M ⊗ Ht

e assim

m(0) ⊗ m(1) = m(0) ⊗ εt (m(1) ) = m(0) ⊗ ε(11 m(1) )12 = m(0) ⊗ ε(m(1) 11 )12

por (4.7) e (4.16)

= m(0) · 110 ⊗ ε(m(1) 120 11 )12 = m(0) · 110 ⊗ ε(m(1) 11 120 )12

por (4.16)

= m(0) · 11 ⊗ ε(m(1) 12 )13 = m(0) · 111 ε(m(1) 112 ) ⊗ 12 = (m · 11 )(0) ε((m · 11 )(1) ) ⊗ 12

Def. 2.6 (iii)

= m · 11 ⊗ 12 . Seja m ∈ {x ∈ M : ρ(x) = x(0) ⊗ x(1) = x · 11 ⊗ 12 }. Então ρ(m) = m(0) ⊗ m(1) = m · 11 ⊗ 12 ∈ M ⊗ Ht e portanto, ρ(m) = m(0) ⊗ m(1) = m(0) ⊗ εt (m(1) ).

Coinv(M ) é um k -subespaço Coinv(M ) é Ht -submódulo de M , basta mostrarmos que m · z ∈ Coinv(M ), para quaisquer m ∈ Coinv(M ) e z ∈ Ht . Sejam z ∈ Ht e m ∈ Coinv(M ). Então (ii) Pelo fato de vetorial de

M.

ρ

ser

k -linear,

segue que

Para mostrarmos que

ρ(m · z) = (m · z)(0) ⊗ (m · z)(1) = m(0) · z1 ⊗ m(1) z2 = (m · 11 ) · z1 ⊗ 12 z2 = m · z1 ⊗ z2

(m

∈ Coinv(M )) por (4.1)

54

= m · z11 ⊗ 12

por (4.10) e (4.16)

= (m · z) · 11 ⊗ 12 e isso implica que

m · z ∈ Coinv(M ).



N = Coinv(M ). Ht -módulo à direita e H um Ht -módulo à esquerda, via a multiplicação, podemos considerar N ⊗Ht H . Chamamos a atenção do leitor para o fato de que, ao escrevermos um elemento de N ⊗Ht H , não colocamos ⊗Ht para diferenciar de ⊗k e sim apenas ⊗. Acreditamos A m de simplicarmos nossa notação, chamemos

Sendo

N

um

que isso não causa confusão, pois o contexto deixa claro. Não é difícil vermos que a seguinte ação fornece, em estrutura de

H -módulo

(n ⊗ h) · g = n ⊗ hg, Além disso,

N ⊗Ht H ,

uma

à direita.

N ⊗H t H

para quaisquer

é um

H -comódulo

ρ(n⊗h) = (id⊗Ht ∆)(n⊗h) = n⊗h1 ⊗h2 , De fato, para quaisquer

n∈N

e

n∈N

e

g, h ∈ H.

à direita com a estrutura

para quaisquer

h ∈ H,

n∈N

e

h ∈ H.

temos

(ρ ⊗ id)(ρ(n ⊗ h)) = ρ(n ⊗ h1 ) ⊗ h2 = n ⊗ h1 ⊗ h2 ⊗ h3 e

(id ⊗ ∆)(ρ(n ⊗ h)) = n ⊗ h1 ⊗ ∆(h2 ) = n ⊗ h1 ⊗ h2 ⊗ h3 . Finalmente,

(id ⊗ ε)(ρ(n ⊗ h)) = (id ⊗ ε)(n ⊗ h1 ⊗ h2 ) = (n ⊗ h1 ε(h2 ) = n ⊗ h, acima foi omitido o isomorsmo canônico entre os espaços

N ⊗H t H ⊗ k .

e



Proposição 2.12 Com a notação acima, de Hopf à direita.

Demonstração:

N ⊗Ht H

Sejam

n ∈ N , g, h ∈ H .

N ⊗Ht H é um H -módulo

Então

ρ((n ⊗ h) · g) = ρ(n ⊗ hg) = n ⊗ (hg)1 ⊗ (hg)2 = n ⊗ h1 g1 ⊗ h2 g2 = (n ⊗ h1 ) · g1 ⊗ h2 g2 55

= (n ⊗ h)(0) · g1 ⊗ (n ⊗ h)(1) g2 . N ⊗Ht H

Logo,

é um

H -módulo



de Hopf à direira.

A próxima observação é útil na prova do teorema fundamental de módulos de Hopf.

Observação 2.13 tura

ρ.

M um H -módulo de Hopf à direita com estrum ∈ M e h ∈ H , temos

Seja

Para quaisquer

(ρ ⊗ id)ρ(m · h) = (ρ ⊗ id)(m(0) · h1 ⊗ m(1) h2 ) = ρ(m(0) · h1 ) ⊗ m(1) h2 = m(0)(0) · h11 ⊗ m(0)(1) h12 ⊗ m(1) h2 (∗)

= m(0) · h1 ⊗ m(1) h2 ⊗ m(2) h3 .

A igualdade e de que

H

(∗) segue do fato de que M

é um

H -comódulo à direita

é uma coálgebra.

Por outro lado,

(ρ ⊗ id)ρ(m · h) = (ρ ⊗ id)((m· h)(0) ⊗ (m · h)(1) ) = ((m· h)(0) )(0) ⊗ ((m · h)(0) )(1) ⊗ (m · h)(1) = (m· h)(0) ⊗ (m · h)(1) ⊗ (m · h)(2) e a última igualdade segue do fato de que

M

é um

H -comódulo

à

direita. Logo,

(m · h)(0) ⊗ (m · h)(1) ⊗ (m · h)(2) = m(0) · h1 ⊗ m(1) h2 ⊗ m(2) h3 . Sejam

M

e

L

dois

H -módulos

de Hopf à direita.

clássico, dizemos que uma aplicação

de H -módulos de Hopf à direita módulos e de

H -comódulos,

se

Como no caso

F : M → L é um homomorsmo F for um homomorsmo de H -

ambos à direita.

Agora, estamos aptos a demonstrar o teorema fundamental de módulos de Hopf para o contexto fraco.

Teorema 2.14

(Teorema fundamental de módulos de Hopf ) Seja M um H -módulo de Hopf à direita. Com as notações apresentadas acima, a aplicação

α : N ⊗H t H n⊗h

→ 7 →

M n·h

é um isomorsmo de H -módulos de Hopf à direita. 56

Demonstração:

Começamos observando que a propriedade universal

do produto tensorial nos garante que

α

está bem denida, assim como,

que é um homomorsmo de grupos abelianos.

α é um homomorsmo de H -módulos à direita. Asα é um homomorsmo de H -Hopf módulos à direita, resta mostrarmos que α é homomorsmo de H -comódulos. Chamemos ρM a aplicação que fornece a estrutura de H -comódulo à direita para M e ρL a aplicação que fornece a estrutura de H -comódulo à direita para N ⊗Ht H . Sejam n ∈ N e h ∈ H . Então É imediato que

sim, para vericarmos que

ρM (α(n ⊗ h)) = ρM (n · h) = n(0) · h1 ⊗ n(1) h2 = (n · 11 ) · h1 ⊗ 12 h2

(n

∈ N)

= n · (11 h1 ) ⊗ 12 h2 = n · h1 ⊗ h2

por (4.1)

= α(n ⊗ h1 ) ⊗ h2 = (α ⊗ id)ρL (n ⊗ h). Logo,

ρM α = (α⊗id)ρL , isto é, α é homomorsmo de H -comódulos

à direita. Vamos mostrar que

β: M m é a inversa de

→ N ⊗Ht H 7→ (m(0) · S(m(1) )) ⊗ m(2)

α. Para isso, primeiramente mostremos que β está bem m(0) · S(m(1) ) ∈ N para todo m ∈ M . De fato, seja

denida, isto é,

m ∈ M.

Então

ρM (m(0) · S(m(1) )) = m(0)(0) · (S(m(1) ))1 ⊗ m(0)(1) (S(m(1) ))2 = m(0) · S(m(3) ) ⊗ m(1) S(m(2) )

Teo. 1.26 (ii)

= m(0) · S(m(1)3 ) ⊗ m(1)1 S(m(1)2 ) = m(0) · S(12 m(1) ) ⊗ S(11 )

por (4.39)

= (m(0) · S(m(1) )) · S(12 ) ⊗ S(11 ) = (m(0) · S(m(1) )) · 11 ⊗ 12 Logo,

por (4.40).

m(0) · S(m(1) ) ∈ N para todo m ∈ M . Mostremos que β é H -módulos de Hopf. Sejam m ∈ M e h ∈ H . Então

homomorsmo de

β(m · h) = (m · h)(0) · S((m · h)(1) ) ⊗ (m · h)(2) 57

= (m(0) · h1 ) · S(m(1) h2 ) ⊗ m(2) h3

Obs. 2.13

= m(0) · (h1 S(h2 )S(m(1) )) ⊗ m(2) h3 = m(0) · (S(11 )S(m(1) ) ⊗ m(2) 12 h

por (4.39)

= m(0) · S(m(1)1 11 ) ⊗ m(1)2 12 h = m(0) · S(m(1)1 ) ⊗ m(1)2 h

por (4.2)

= m(0) · S(m(1) ) ⊗ m(2) h = (m(0) · S(m(1) ) ⊗ m(2) ) · h = β(m) · h. Assim, que

β

β é homomorsmo de H -módulos à direita. Agora, mostremos H -comódulos à direita. Seja m ∈ M . Então

é homomorsmo de

ρL (β(m)) = ρL (m(0) · S(m(1) ) ⊗ m(2) ) = m(0) · S(m(1) ) ⊗ m(2)1 ⊗ m(2)2 = m(0) · S(m(1) ) ⊗ m(2) ⊗ m(3) = m(0)(0) · S(m(0)(1) ) ⊗ m(0)(2) ⊗ m(1) = β(m(0) ) ⊗ m(1) = (β ⊗ id)ρM (m). β é homomorsmo de H -comódulos à direita. Finalmente, ρM (m) = m(0) ⊗ m(1) = ρM (m · 1H ) = m(0) · 11 ⊗ m(1) 12 ,

Portanto, usando que temos

α(β(m)) = α(m(0) · S(m(1) ) ⊗ m(2) ) = (m(0) · S(m(1) )) · m(2) = m(0) · S(m(1)1 )m(1)2 = m(0) · εs (m(1) )

por (4.28)

= m(0) · (11 ε(m(1) 12 )) = (m(0) · 11 )ε(m(1) 12 ) = m(0) ε(m1 ) = m. e isso mostra que Sejam

n ∈ N,

n ∈ N

αβ = idM . e h ∈ H.

Como

M

é um

H -comódulo

à direita e

obtemos

n(0) ⊗n(1) ⊗n(2) = (id⊗∆)ρM (n) = (id⊗∆)(n·11 ⊗12 ) = n·11 ⊗12 ⊗13 , ou seja,

n(0) ⊗ n(1) ⊗ n(2) = n · 11 ⊗ 12 ⊗ 13 . 58

Assim, como

β

é um

H -módulos

homomorsmo de

à direita, temos que

β(α(n ⊗ h)) = β(n · h) = β(n) · h = (n(0) · S(n(1) ) ⊗ n(2) ) · h = (n · 11 ) · S(12 ) ⊗ 13 h = n · (11 S(12 )) ⊗ 13 h = n · εt (11 ) ⊗ 12 h

por (4.27)

= n ⊗ εt (11 )12 h

pois

⊗ = ⊗H t

= n ⊗ h. Logo,

βα = idN ⊗Ht H

α

e assim,

é um isomorsmo de

de Hopf à direita.

Observação 2.15

H -módulos  Rl

= H∗ f ∈ Coinv(H ∗ ) = {φ ∈ H ∗ : ρ(φ) = φ(0) ⊗ Rl φ(1) = φ(0) ⊗ εt (φ(1) )}. Mostremos que f ∈ H ∗ , isto é, que g ∗ f = Et (g) ∗ f para qualquer g ∈ H ∗ . Então, supondo ρ(f ) = f(0) ⊗ f(1) ,

Coinv(H ∗ ).

Tendo em mente o Lema 2.9, observamos que

De fato, seja

obtemos

g ∗ f = f(0) g(f(1) ) = f(0) g(εt (f(1) ))

(f

= f(0) Et (g)(f(1) )

∈ Coinv(H ∗ )) por (4.25)

= Et (g) ∗ f e portanto,

f∈

Rl

H∗

.

Rl

∗ . Então g ∗ f = Et (g) ∗ f , para todo g ∈ H . H∗ Lembremos é H -comódulo à direita com a estrutura ρ(f ) = f(0) ⊗ f(1) para a qual f(0)0 s ∈ H ∗ e f(1)0 s ∈ H são univocamente ∗ determinados pela condição f(0) g(f(1) ) = g ∗ f , para todo g ∈ H .

f ∈ ∗ que H

Agora, seja

Então

g ∗ f = Et (g) ∗ f = f(0) Et (g)(f(1) ) = f(0) g(εt (f(1) )) e isso implica que

Coinv(H ∗ ).

por (4.25)

ρ(f ) = f(0) ⊗ f(1) = f(0) ⊗ εt (f(1) ).

59

Logo,

Rl

H∗

=

Corolário 2.16

H∗ e

⊗Ht H são isomorfos como H -módulos de R Hopf à direita. Em particular, Hl ∗ é um subespaço não-nulo de H ∗ .

Demonstração:

Rl

H∗

Basta tomarmos

M = H∗

no Teorema 2.14 e uti-



lizarmos a observação acima.

2.3

Teorema de Maschke

Terminamos este capítulo com uma versão fraca para o bem conhecido Teorema de Maschke. Assim como na versão clássica, ele garante a existência de integrais à esquerda em uma álgebra de Hopf fraca em termos da separabilidade e semissimplicidade de Seja

R

H

H.

um anel. Antes de enunciarmos e demonstrarmos esse teo-

R-módulo M é semissimples se todo subM (veja [8], p. 26). Uma das denições equivalentes de semissimplicidade para R é que R é semissimples se, e somente se, todo R-módulo é semissimples (veja [8], Theorem (2.5), p. 28). rema, lembremos que um

módulo de

M

é um somando direto de

Antes de enunciarmos e provarmos o teorema de Maschke, gostaríamos de observar o seguinte fato.

Observação 2.17

Seja

H

é um ideal à esquerda de

uma álgebra de Hopf fraca. Então

H.

De fato, sejam

x ∈ Ker(εt )

e

Ker(εt ) y ∈ H.

Então, por (4.8), obtemos

εt (yx) = εt (yεt (x)) = εt (y0) = 0. Portanto,

yx ∈ Ker(εt ).

Teorema 2.18

(Teorema de Maschke) Seja H uma álgebra de Hopf fraca. Então as seguintes armações são equivalentes: (i)

H é semissimples;

(ii) (iii)

Existe uma integral à esquerda l ∈ H tal que εt (l) = 1H ; H é separável.

Demonstração:

(i)⇒(ii) Suponhamos que H seja semissimples. Como Ker(εt ) é um ideal à esquerda de H , então existe um idempotente p ∈ H tal que Ker(εt ) = Hp (veja [8], Exercise 1.7, p. 22). Assim, se x ∈ Ker(εt ) então x = yp para algum y ∈ H e ainda

x(1H − p) = yp(1H − p) = yp − yp2 = 0. 60

Ker(εt )(1H −p) = 0. Por conseguinte, o item (iv) da Proposição Rl 2.3 garante-nos que (1H − p) ∈ . Além disso, como p ∈ Ker(εt ) H (p = 1H p), temos Logo,

εt (1H − p) = εt (1H ) − εt (p) = εt (1H ) = 1H . (ii)⇒(iii) Seja

l∈

Rl H

tal que

εt (l) = 1H .

Mostremos que l1

⊗ S(l2 )

é o

idempotente de separabilidade segundo a Denição 1.33. Utilizando a Proposição 2.3 (ii), para todo

h ∈ H,

temos

l1 ⊗ S −1 (h)l2 = S(S −1 (h))l1 ⊗ l2 = hl1 ⊗ l2 e aplicando

hl1 ⊗ l2 ,

id ⊗ S

em ambos os lados da igualdade

l1 ⊗ S −1 (h)l2 =

obtemos

l1 ⊗ S(l2 )h = hl1 ⊗ S(l2 ) e, além disso, l1 S(l2 )

= εt (l) = 1H .

Portanto,

H

é separável.

(iii)⇒(i) Suponhamos que

H seja separável com idempotente de sepr ⊗ l ∈ H ⊗ H . Sejam X um H -módulo à esquerda. i i i Provemos que X é semissimples. Suponhamos Y um H -submódulo à esquerda qualquer de X . Então, como k -espaço vetorial, existe Z , k subespaço de X , tal que X = Y ⊕ Z (como k -espaço vetorial). Assim,

arabilidade

P

podemos considerar a projeção linear

π:

X y+z

→ Y 7→ y.

Dessa forma, denimos

π b: X x

→ P X 7 → i ri π(li y)

P π b(X) ⊆ Y . Lembremos que i ri li = 1H e que i xri ⊗ li = i ri ⊗ li x, para todo x ∈ H . Mostremos que π b é homomorsmo de H -módulos. Claramente, π bé k -linear. De fato, sejam h ∈ H e x ∈ X . Então P π b(hx) = i ri π((li h)x) P = i hri π(li x) e vemos, por construção, que

P

P

= hb π (x).

61

L = Ker(b π) X = Y ⊕ L.

Por conseguinte, mostrar que

é um

H -submódulo

de

y ∈ Y então π b(y) = y , P P π b(y) = i ri π(li y) = i ri li y = 1H y = y.

Primeiramente, vejamos que se

Agora, notemos que como dado

x ∈ X,

π b(X) ⊆ Y

segue que

X.

Vamos

pois

π b2 = π b.

Assim,

x=π b(x) + (x − π b(x)) π b(x) ∈ Y e (x − π b(x)) ∈ L (pois π b(x − π b(x)) = π b(x) − π b2 (x) = 0), isto é, X = Y + L. Essa soma é direta, pois se x ∈ Y ∩ L então x=π b(x) = 0. Portanto, X = Y ⊕ L como H -módulo e isso implica que X é um H -módulo semissimples. Logo, H é semissimples. 

e

Se analisarmos a demonstração de (iii)

⇒

(i) no teorema acima,

percebemos que a estrutura de álgebra de Hopf fraca de

H

não é usada

em sua totalidade na demonstração, isto é, basta a estrutura de álgebra de

H. Com isso, podemos concluir que as subálgebras

Ht e Hs de H

são se-

missimples, uma vez que já mostramos que tais álgebras são separáveis na Proposição 1.34.

62

Capítulo 3

Produto smash fraco e um teorema de dualidade Neste capítulo, utilizamos [9] como referência principal, onde den-

H em A e mostramos a sua relação de dualidade. Apresentamos de produto smash A#H fraco e como objetivo principal

imos a noção de ação e coação de uma álgebra de Hopf fraca uma álgebra uma noção

deste capítulo, é obtida uma generalização para o teorema de BlattnerMontgomery (veja [1]). Ao longo do capítulo,

H

é uma álgebra de Hopf fraca, quando nada

for dito ao contrário.

3.1

Produto smash fraco

Iniciamos esta seção generalizando o conceito de ação de álgebra de Hopf no contexto fraco.

Denição 3.1 Uma álgebra A é dita um H -módulo álgebra à esquerda se

A é um H -módulo à esquerda via h ⊗ x 7→ h · x, para quaisquer h ∈ H e x ∈ A.

(i)

h · (xy) = (h1 · x)(h2 · y), para quaisquer h ∈ H e x, y ∈ A.

(ii) (iii)

h · 1A = εt (h) · 1A , para todo h ∈ H .

Vale observarmos que essa noção de generaliza a noção clássica, pois se

63

H

H -módulo

álgebra à esquerda

for uma álgebra de Hopf no

sentido clássico,

εt (h) = ε(h)1H ,

para todo

h∈H

e assim,

h · 1A =

ε(h)1A . Como no caso clássico, também podemos denir

H -comódulo

álge-

bra à direita.

Denição 3.2 Uma álgebra A é dita um H -comódulo álgebra à direita se

A é um H -comódulo à direita via, para todo x ∈ A, ρ(x) = x(0) ⊗ x(1) . (i)

Para quaisquer x, y ∈ A, ρ(xy) = ρ(x)ρ(y), isto é, (xy)(0) ⊗ (xy)(1) = x(0) y(0) ⊗ x(1) y(1) .

(ii)

(iii)

ρ(1A ) = (id ⊗ εt )ρ(1A ).

De posse das denições acima, provamos um resultado que, embora não seja usado mais neste trabalho, o mesmo generaliza um resultado da versão clássica (veja [6], Proposition

6.2.4).

Proposição 3.3 Seja A uma álgebra. Então A é um H -módulo álgebra à esquerda se, e somente se, A é um H ∗ -comódulo álgebra à direita. Demonstração:

A seja um H ∗ -comódulo álgebra ∗ direita via ρ(x) = x(0) ⊗ x(1) ∈ A ⊗ H . Consideremos a ação h · x = x(1) (h)x(0) para quaisquer h ∈ H x ∈ A. Vejamos que A é um H -módulo à esquerda. Sejam g, h ∈ H x ∈ A. Então Suponhamos que

à e e

gh · x = x(1) (gh)x(0) = x(1)1 (g)x(1)2 (h)x(0) (?)

= x(0)(1) (g)x(1) (h)x(0)(0)

= x(0)(1) (g)x(0)(0) x(1) (h) = (g · x(0) )x(1) (h) = g · x(0) x(1) (h) = g · (h · x) (?)

1H · x = x(1) (1H )x(0) = E(x(1) )x(0) = x. As igualdades (?) são ∗ devidas ao fato de que A é H -comódulo à direita. Logo, A é H -módulo e

à esquerda.

64

Agora, para quaisquer

x, y ∈ A

e

h∈H

temos

h · (xy) = (xy)(1) (h)(xy)(0) = (x(1) ∗ y(1) )(h)x(0) y(0)

Def. 3.2 (ii)

= x(1) (h1 )y(1) (h2 )x(0) y(0) = x(1) (h1 )x(0) y(1) (h2 )y(0) = (h1 · x)(h2 · y). Como

ρ(1A ) = (id ⊗ Et )ρ(1A ),

temos

1(0) ⊗ 1(1) = 1(0) ⊗ Et (1(1) ) = 1(0) ⊗ 1(1) εt

por (4.25).

Assim,

h · 1A = (1(1) εt )(h)1(0) = 1(1) (εt (h))1(0) = εt (h) · 1A . A seja um H -módulo álgebra à esquerda. H e {φi }ni=1 sua base dual, isto é, φi (fj ) = quaisquer i, j ∈ {1, 2, · · · , n}. Lembremos que P h = i φi (h)fi , para todo h ∈ H

Agora, suponhamos que Sejam

δij ,

{fi }ni=1

para

uma base de

Θ : H → H ∗∗ ϕ ∈ H ∗.

e também do isomorsmo canônico

ϕ(h),

para quaisquer

h∈H

e

dado por

Θ(h)(ϕ) =

x ∈ A, a seguinte coação Pn ρ(x) = i=1 fi · x ⊗ φi

Denimos, para todo

vamos mostrar que

A

é um

H ∗ -comódulo P

álgebra à direita. Para facilPn i para denotar i=1 . Mostremos ∗ é um H -comódulo à direita com tal coação. De fato, con-

itar a escrita, escrevemos apenas que

A

siderando

ρ(x) =

P

i fi

· x ⊗ φi ,

temos

P (id ⊗ ∆)ρ(x) = (id ⊗ ∆) i fi · x ⊗ φi P = i fi · x ⊗ φi1 ⊗ φi2 65

e, por outro lado,

P (ρ ⊗ id)ρ(x) = (ρ ⊗ id) i fi · x ⊗ φi P = i,j fj · (fi · x) ⊗ φj ⊗ φi . ψ, ψ 0 ∈ H ∗∗ . Então existem únicos g, h ∈ H tais que Θ(g) = ψ e Θ(h) = ψ 0 . Daí, P P (id ⊗ ψ ⊗ ψ 0 )( i fi · x ⊗ φi1 ⊗ φi2 ) = i fi · x Θ(g)(φi1 )Θ(h)(φi2 ) P = i φi1 (g)φi2 (h)fi · x P = i φi (gh)fi · x Sejam

=gh · x =g · (h · x) P P = j fj φj (g) · ( i fi φi (h) · x) P = i,j fj · (fi · x)φj (g)φi (h) =(id ⊗ ψ ⊗ ψ 0 ) P ( i,j fj · (fi · x) ⊗ φj ⊗ φi ). Omitimos o isomorsmo existente entre

∆)ρ = (ρ ⊗ id)ρ.

A

e

A ⊗ k ⊗ k.

Logo,

(id ⊗

Além disso, temos

P τ (id ⊗ E)ρ(x) = τ (id ⊗ E)( i fi · x ⊗ φi ) P = i fi · x E(φi ) P = i (fi φi (1H )) · x = 1H · x =x τ é o isomorsmo canônico entre A e A ⊗ k . Portanto, A é um H ∗ -comódulo à direita. ∗∗ Provemos que ρ(1A ) = (id ⊗ Et )ρ(1A ). Seja γ ∈ H . Então existe um único h ∈ H tal que γ = Θ(h), isto é, γ(ϕ) = Θ(h)(ϕ) = ϕ(h), para todo ϕ ∈ H ∗ .

em que

Assim,

P (id ⊗ γ)((id ⊗ Et )ρ(1A )) = (id ⊗ γ) ( i fi · 1A ⊗ Et (φi )) P = i fi · 1A ⊗ γ(Et (φi )) P = i fi · 1A ⊗ Et (φi )(h) P = i fi · 1A ⊗ φi (εt (h)) 66

por (4.25)

= =

P

Pi

(fi · 1A )φi (εt (h)) ⊗ 1k

i (φi (εt (h)fi ))

· 1A ⊗ 1k

= εt (h) · 1A ⊗ 1k = h · 1A ⊗ 1k P = i (fi φi (h)) · 1A ⊗ 1k P = i (fi · 1A )φi (h) ⊗ 1k P = i (fi · 1A ) ⊗ φi (h) P = i (fi · 1A ) ⊗ γ(φi )

por hipótese

! X = (id ⊗ γ) (fi · 1A ) ⊗ φi i

= (id ⊗ γ)ρ(1A ). (id ⊗ Et )ρ(1A ) = ρ(1A ). Agora, P (id ⊗ γ)(ρ(xy)) = (id ⊗ γ) ( i fi · (xy) ⊗ φi ) P = i fi · (xy) ⊗ γ(φi ) P = i fi · (xy) ⊗ φi (h) P = i (fi · (xy))φi (h) ⊗ 1k P = i (fi φi (h)) · (xy) ⊗ 1k Portanto,

sejam

x, y ∈ A.

Então

= h · (xy) ⊗ 1k = (h1 · x)(h2 · y) ⊗ 1k por PP = i j ((φi (h1 )fi ) · x)((φj (h2 )fj ) · y) ⊗ 1k PP = i j (fi · x)(fj · y) ⊗ φi (h1 )φj (h2 ) PP = i j (fi · x)(fj · y) ⊗ (φi ∗ φj )(h) PP = i j (fi · x)(fj · y) ⊗ γ(φi ∗ φj )

hipótese

= (id ⊗ γ)(ρ(x)ρ(y)). Logo,

ρ(ab) = ρ(a)ρ(b).

Assim,

A

é um

H ∗ -comódulo

álgebra à



direita.

Agora, apresentamos alguns exemplos que são úteis para desenvolvermos resultados futuros.

Exemplo 3.4

Ht

é um

H -módulo

álgebra à esquerda com ação dada

por

h · z = εt (hz),

para quaisquer

67

h∈H

e

z ∈ Ht .

Ht é um H -módulo à esquerda com h, h0 ∈ H . Então

Primeiramente veriquemos que tal ação. Sejam

z, z 0 ∈ Ht

e

hh0 · z = εt (hh0 z)) = εt (hεt (h0 z))

por (4.8)

0

= εt (h(h · z)) = h · (h0 · z) e

1H · z = εt (1H z) = εt (z) = z. Portanto,

Ht

é um

H -módulo

à esquerda com a ação apresentada.

Mostremos (ii) da Denição 3.1. Sejam

g, h ∈ H .

Notemos que

gεt (h) = εt (g1 (εt (h))1 )g2 (εt (h))2 = εt (g1 11 εt (h))g2 12

por (4.10)

= εt (g1 h)g2

por (4.2) e (4.8).

Assim,

h · (zz 0 ) = εt (hzz 0 ) = εt ((hεt (z))z 0 )

(z

∈ Ht )

0

= εt (εt (h1 z)h2 z ) = εt (h1 z)εt (h2 z 0 )

por (4.19)

0

= (h1 · z)(h2 · z ). Finalmente,

h · 1H = εt (h1H ) = εt (h)1H = εt (h)εt (1H ) = εt (εt (h)1H )

por (4.19)

= εt (h) · 1H . Portanto,

Ht

Exemplo 3.5

é um

H∗

H -módulo

é um

álgebra à esquerda.

H -módulo

h * f = f1 f2 (h),

álgebra à esquerda via

para quaisquer

Sabemos que com tal ação

f ∈ H∗

e

h ∈ H.

H ∗ é um H -módulo à esquerda. 68

Mostremos

(ii) da Denição 3.1. Sejam

f, g ∈ H ∗

e

h ∈ H.

Então

h * (f ∗ g) = (f ∗ g)1 (f ∗ g)2 (h) = (f1 ∗ g1 )(f2 ∗ g2 )(h) = (f1 ∗ g1 )f2 (h1 )g2 (h2 ) = f1 f2 (h1 ) ∗ g1 g2 (h2 ) = (h1 * f ) ∗ (h2 * g) e sabendo que

ε

é a unidade de

H ∗,

para todo

h ∈ H,

obtemos

h * ε = ε1 ε2 (h) = ε1 Et (ε2 )(h)

por (4.7)

= ε1 ε2 (εt (h))

por (4.25)

= εt (h) * ε. Logo,

H∗

é um

Exemplo 3.6

H

H -módulo

é um

álgebra à esquerda.

H ∗ -módulo

f * h = h1 f (h2 ),

para quaisquer

Sabemos que com tal ação

x, y ∈ H

e

f ∈H

∗

álgebra à esquerda com

H

é um

f ∈ H∗

H ∗ -módulo

e

h ∈ H.

à esquerda. Sejam

. Então

f * xy = (xy)1 f ((xy)2 ) = x1 y1 f1 (x2 )f2 (y2 ) = x1 f1 (x2 )y1 f2 (y2 ) = (f1 * x)(f2 * y). Além disso, obtemos

f * 1H = 11 f (12 ) = 11 f (εt (12 ))

por (4.7)

= 11 Et (f )(12 )

por (4.25)

= Et (f ) * 1H . Portanto,

H

é um

H ∗ -módulo

álgebra à esquerda.

Nosso objetivo agora é introduzir um novo espaço a partir de um módulo álgebra à esquerda

A.

H-

Para isso, fazemos o próximo resultado.

69

Lema 3.7 Seja A um H -módulo álgebra à esquerda. Então são verdadeiras as armações. (i) A é um Ht -módulo à direita via x / z = S −1 (z) · x, para quaisquer x ∈ A e z ∈ Ht .

Para quaisquer z ∈ Ht e x ∈ A, temos S −1 (z) · x = x(z · 1A ), isto é, a ação à direita de Ht em A pode ser vista como x / z = x(z · 1A ). (ii)

Demonstração: 0

z )=x/z+x/

(i) Sejam z, z z 0 e (x + y) / z

0

∈ Ht e x, y ∈ A. Claramente, x / (z + = x / z + y / z . Agora,

x / (zz 0 ) = S −1 (zz 0 ) · x = S −1 (z 0 ) · (S −1 (z) · x) = S −1 (z 0 ) · (x / z) = (x / z) / z 0 e

x / 1H = S −1 (1H ) · x = 1H · x = x. (ii) Sejam

Hs .

x ∈ A. Pela Observação 1.30 temos que S −1 (z) ∈ A um H -módulo álgebra à esquerda, primeiramente

z ∈ Ht

e

Assim, sendo

notemos que

x / z = S −1 (z) · x = S −1 (z) · (x1A ) = ((S −1 (z))1 · x)((S −1 (z))2 · 1A ) = (11 · x)(S

−1

(z)12 · 1A )

= (11 · x)(12 · (S = 1H · (x(S = x(εt (S

−1

−1

por (4.11)

(z) · 1A ))

por hipótese e (4.16)

−1

(z) · 1A )

(z)) · 1A )

= x(εt (εs (S = x(εt (S(S

−1

(z) · 1A )) = x(S

−1

−1

por hipótese

por hipótese

(z))) · 1A )

(S

(z))) · 1A )

−1

(z) ∈ Hs )

por (4.34)

= x(εt (z) · 1A ) = x(z · 1A ). Logo,

x / z = S −1 (z) · x = x(z · 1A ). 70



A pertinência de colocar (ii), é devida ao fato de que a ação de

Ht

em

A dada daquela forma,

será útil para desenvolvermos resultados

posteriores.

Observação 3.8

H -módulo álgebra à esquerda A, podemos A ⊗Ht H , em que A é um Ht -módulo à direita via a Lema 3.7 e H é Ht -módulo à esquerda via multiplicação. Dado um

considerar o espaço ação dada no

Assim, ca generalizada a noção de produto smash do caso clássico para o contexto fraco.

Denição 3.9 Seja A um H -módulo álgebra à esquerda, consideremos

A e H como Ht -módulos à direita e à esquerda, respectivamente, segundo a observação acima, denimos o produto smash A#H de A e H como sendo o k-espaço vetorial A⊗Ht H . Representando a⊗h por a#h temos, para quaisquer x, y ∈ A e g, h ∈ H , a seguinte multiplicação: (x#h)(y#g) = x(h1 · y)#h2 g.

Teorema 3.10 Seja A um H -módulo álgebra à esquerda. Então A#H , com o produto denido acima, é uma álgebra com unidade 1A #1H .

Demonstração:

Sejam

x, y, t ∈ A

e

g, h, l ∈ H .

Mostremos a associa-

tividade do produto denido

(x#g)((y#h)(t#l)) = (x#g)(y(h1 · t)#h2 l) = x(g1 · (y(h1 · t)))#g2 h2 l = x(g1 · y)(g2 · (h1 · t))#g3 h2 l = x(g1 · y)((g2 h)1 · t)#(g2 h)2 l = (x(g1 · y)#g2 h)(t#l) = ((x#g)(y#h))(t#l). Donde segue a associatividade do produto. Além disso,

(x#g)(1A #1H ) = x(g1 · 1A )#g2 1H = x(εt (g1 ) · 1A )#g2 = x / εt (g1 )#g2 = x#εt (g1 )g2 = x#g e

(1A #1H )(x#g) = 1A (11 · x)#12 g 71

Lema 3.7 (ii) pois

⊗ = ⊗Ht

= (11 · x) / 12 #g

por (4.7) e

= (11 · x)(12 · 1A )#g

⊗ = ⊗H t

Lema 3.7 (ii)

= 1H · (x1A )#g = x#g.  3.2

Teorema de dualidade

Dada uma álgebra de Hopf

H,

no sentido clássico, de dimensão

nita, foi demonstrado em [1], que existe um isomorsmo de álgebras

(A#H)#H ∗ e Mn (A), em que n = dim(H) matrizes n × n, com entradas em A.

entre de

e

Mn (A)

é a álgebra

Mostraremos que este resultado se estende no contexto de álgebras

(A#H)#H ∗ e H) ⊗Ht∗ H ∗ como k -

de Hopf fracas para o isomorsmo entre as álgebras

Endk (A#H)A ,

em que

∗

(A#H)#H = (A ⊗Ht

espaços vetoriais. A observação abaixo começa a preparação para isso.

Observação 3.11 x, y ∈ A

e

h ∈ H.

Seja

A

um

H -módulo álgebra à esquerda. A#H é um A-módulo à

Não é difícil ver que

Sejam direita

via

(x#h) / y = (x#h)(y#1H ) = x(h1 · y)#h2 .

Lema 3.12 Seja

A um H -módulo álgebra à esquerda. Então A#H é um H ∗ -módulo álgebra à esquerda via f · (x#h) = x#(f * h), para quaisquer f ∈ H ∗ , h ∈ H e x ∈ A.

Demonstração:

H ∗ -módulo à esquerda via * ∗ dada por (4.21) do Apêndice. Mostremos que A#H é um H -módulo ∗ à esquerda. Sejam f, g ∈ H , x ∈ A e h ∈ H . Então Já sabemos que

H

é um

ε · (x#h) = x#ε * h = x#h e

f · (g · (x#h)) = f · (x#g * h) = x#f * (g * h) = x#f ∗ g * h = (f ∗ g) · (x#h). Portanto,

A#H

no Exemplo 3.6 que

H ∗ -módulo à esquerda com tal ação. Vimos H ∗ -módulo álgebra à esquerda com *. Além

é um

H

é

72

disso, para quaisquer

f ∈ H∗

e

h ∈ H,

notemos que

∆(f * h) = ∆(h1 f (h2 )) = h1 ⊗ h2 f (h3 ). Assim, para quaisquer

x, y ∈ A, h, l ∈ H

e

f ∈ H ∗,

(∗)

temos

(f1 · (x#h))(f2 · (y#l)) = (x#f1 * h)(y#f2 * l) = x((f1 * h)1 · y)#(f1 * h)2 (f2 * l) = x(h1 · y)#h2 f1 (h3 )(f2 * l)

por (∗)

= x(h1 · y)#(f1 * h2 )(f2 * l) = x(h1 · y)#f * (h2 l) = f · ((x#h)(y#l)). Finalmente,

f · (1A #1H ) = 1A #f * 1H = 1A #Et (f ) * 1H = Et (f ) · (1A #1H ).  Com esse lema, podemos considerar mesmo nos diz que

A#H

é um

H

∗

(A#H)#H ∗ ,

uma vez que o

-módulo álgebra à esquerda.

Lema 3.13 Seja A um H -módulo álgebra à esquerda. Então zh · x = (z · 1A )(h · x)

Demonstração:

Sejam

para quaisquer z ∈ Ht , h ∈ H e x ∈ A.

z ∈ Ht , h ∈ H

e

x ∈ A.

Então

zh · x = z · (h · x) = z · (1A (h · x)) = (z1 · 1A )(z2 · (h · x)) = (11 z · 1A )(12 · (h · x))

por (4.10)

= (11 · (z · 1A ))(12 · (h · x)) = 1H · ((z · 1A )(h · x)) = (z · 1A )(h · x). 

73

Teorema 3.14 Seja A um H -módulo álgebra à esquerda. Então a aplicação ψ : A#H → Endk (A) dada por

ψ(y#h)(x) = y(h · x)

é um homomorsmo de álgebras.

Demonstração:

Denimos

ψ(y, h)(x) = y(h · x),

ψ : A × H → Endk (A) para quaisquer

por

x, y ∈ A

e

h ∈ H.

ψ(y, h) ∈ Endk (A), para quaisquer y ∈ A e h ∈ H , k -linear. Mostremos que ψ é Ht -balanceada. De 0 quaisquer x, y, t ∈ A e h, h ∈ H , temos

Claramente,

pois é obviamente fato, para

ψ(y + t, h)(x) = (y + t)(h · x) = y(h · x) + t(h · x) = ψ(y, h)(x) + ψ(t, h)(x) e

ψ(y, h + h0 )(x) = y(h + h0 · x) = y(h · x + h0 · x) = ψ(y, h)(x) + ψ(y, h0 )(x). Agora, sejam

z ∈ Ht , h ∈ H

x, y ∈ A.

e

Então

ψ(y / z, h)(x) = (y / z)(h · x) = y(z · 1A )(h · x) = y(zh · x)

Lema 3.7 (ii) Lema 3.13

= ψ(y, zh)(x). Portanto,

ψ

é

Ht -balanceada.

Assim, pela propriedade universal do

ψ tal que ψ(y#h) = ψ(y, h), isto é, ψ(y#h)(x) = y(h · x) para quaisquer x, y ∈ A e h ∈ H. Resta mostrarmos que ψ é um homomorsmo de álgebras. Sejam x, y, t ∈ A e h, g ∈ H . Então produto tensorial, existe um único homomorsmo de grupos

ψ((y#h)(t#g))(x) = ψ(y(h1 · t)#h2 g)(x) = y(h1 · t)(h2 g · x) 74

= y(h1 · t)(h2 · (g · x)) = y(h · (t(g · x))) = ψ(y#h)(ψ(t#g)(x)) = (ψ(y#h)ψ(t#g))(x) e nalmente,

ψ(1A #1H )(x) = 1A (1H · x) = 1A x = x = id(x). 

Lema 3.15 Seja

A um H -módulo álgebra à esquerda. Então a aplicação α : (A#H)#H ∗ → Endk (A#H)A denida por α((x#h)#f )(y#l) = (x#h)(y#f * l) = x(h1 · y)#h2 (f * l)

é um homomorsmo de álgebras.

Demonstração:

Sabemos, pelo Lema 3.12, que

álgebra à esquerda. Portanto, a aplicação

A#H

é um

H ∗ -módulo

Assim, estamos nas hipóteses do Teorema 3.14.

ψ : (A#H)#H ∗ → Endk (A#H)

dada por

ψ((x#h)#f )(y#l) = (x#h)(f · (y#l)) = (x#h)(y#f * l) é um homomorsmo de álgebras. Denindo

α : (A#H)#H ∗ → Endk (A#H)A

por

α((x#h)#f )(y#l) = (x#h)(y#f * l), x ∈ A, h ∈ H e f ∈ H ∗ , α((x#h)#f ) ∈ Endk (A#H)A , isto é, que tal função é k -linear (isso é claro) e é um endomorsmo do A-módulo (à direita) A#H . Lembremos que (f * h)1 ⊗ (f * h)2 = ∆(f * h) = h1 ⊗ f * h2 . ∗ Assim, para quaisquer x, y, t ∈ A, h, w ∈ H e f ∈ H , temos restaria mostrarmos que, para quaisquer

α((x#h)#f )((y#w) / t) = α((x#h)#f )(y(w1 · t)#w2 )

Obs. 3.11

= (x#h)(y(w1 · t)#(f * w2 )) = (x#h)(y((f * w)1 · t)#(f * w)2 1H ) = (x#h)(y#f * w)(t#1H ) = (α((x#h)#f )(y#w))(t#1H ) = (α((x#h)#f )(y#w)) / t.

75

Portanto,

α((x#h)#f ) é um homomorsmo de A-módulos à direita 

e o lema está provado.

Antes de provarmos o teorema de dualidade, lembremos que se

{fi }ni=1 é uma base de H e {φi }ni=1 é sua base dual em H ∗ tal que φj (fi ) = δij para i, j ∈ {1, 2, · · · , n}, então, para quaisquer h ∈ H e g ∈ H ∗ , temos P P h = i φi (h)fi e g = i g(fi )φi . (4) Como já dissemos antes, escrevemos

P

i ao invés de

Pn

i , para fa-

cilitar a escrita.

Teorema 3.16

(Teorema da dualidade fraca) Sejam H uma álgebra de Hopf fraca e A um H -módulo álgebra à esquerda. Então (A#H)#H ∗ e Endk (A#H)A são álgebras isomorfas.

Demonstração:

Consideremos a aplicação

α

dada no Lema 3.15 e

denimos

β : Endk (A#H)A T

∗ → (A#H)#H P −1 7→ T (1 #f (fi1 ))#φi . A i2 )(1A #S i

βα = id(A#H)#H ∗ e que αβ = idEndk (A#H)A . x ∈ A, h ∈ H e ϕ ∈ H ∗ . Calculemos βα. P β(α((x#h)#ϕ)) = i α((x#h)#ϕ)(1A #fi2 )(1A #S −1 (fi1 ))#φi P = i (x(h1 · 1A )#h2 (ϕ * fi2 ))(1A #S −1 (fi1 ))#φi P = i (x(εt (h1 ) · 1A )#h2 (ϕ * fi2 ))(1A #S −1 (fi1 ))#φi 3.7(ii)P −1 (fi1 ))#φi = i (x / εt (h1 )#h2 (ϕ * fi2 ))(1A #S (⊗=⊗Ht )P = (x#εt (h1 )h2 (ϕ * fi2 ))(1A #S −1 (fi1 ))#φi Pi = i (x#h(ϕ * fi2 ))(1A #S −1 (fi1 ))#φi P = i (x((h(ϕ * fi2 ))1 · 1A )#(h(ϕ * fi2 ))2 Precisamos provar que

Sejam

S −1 (fi1 ))#φi P = i (x(εt ((h(ϕ * fi2 ))1 ) · 1A )#(h(ϕ * fi2 ))2 S −1 (fi1 ))#φi 3.7(ii)P = i (x / εt ((h(ϕ * fi2 ))1 )#(h(ϕ * fi2 ))2 S −1 (fi1 ))#φi 76

(⊗=⊗Ht )P = i (x#εt ((h(ϕ −1 S (fi1 ))#φi

= = = =

P

Pi

Pi

Pi

* fi2 ))1 )(h(ϕ * fi2 ))2

(x#h(ϕ * fi2 )S −1 (fi1 ))#φi (x#hϕ(fi3 )(fi2 S −1 (fi1 )))#φi (x#hϕ(12 fi )11 )#φi

por (4.41)

i (x#hϕ1 (12 )11 ϕ2 (fi ))#φi

(?) X

=

(x#h(ϕ1 * 1H ))#ϕ2 (fi )φi

i por (4)

=(x#h(ϕ1 * 1H ))#ϕ2 (??)

= (x#h)#Et (ϕ1 )ϕ2 =(x#h)#ϕ =id(A#H)#H ∗ ((x#h)#ϕ),

em que 3.7 (ii) refere-se ao Lema 3.7.

∗ Como ε ∈ Ht então ∗ ϕ2 (fi )ε ∈ Ht para quaisquer i e ϕ20 s . Portanto, esses elementos de Ht∗ ∗ podem balancear no segundo tensor de (A#H)#H . Lembramos que ∗ −1 S (ε) = ε. Assim, a igualdade (?) é justicada por Agora provemos as igualdades (?) e (??).

P

i (x#h(ϕ1

P * 1H ))#ϕ2 (fi )φi = i (x#h(ϕ1 * 1H ))#ϕ2 (fi )ε ∗ φi P = i (x#h(ϕ1 * 1H )) / (ϕ2 (fi )ε)#φi 3.7(i)P ∗−1 = S (ϕ2 (fi )ε) · (x#h(ϕ1 * 1H ))#φi Pi = i (ϕ2 (fi )ε) · (x#h(ϕ1 * 1H ))#φi 3.12P = i (x#(ϕ2 (fi )ε) * h(ϕ1 * 1H ))#φi P = i (x#ϕ2 (fi )(ε * h(ϕ1 * 1H )))#φi P = i (x#ϕ2 (fi )h(ϕ1 * 1H ))#φi P = i (x#hϕ1 (12 )11 ϕ2 (fi ))#φi .

Para a igualdade em (??), observamos que

Et (ϕ1 ) ∈ Ht∗

(x#h)#Et (ϕ1 )ϕ2 =(x#h) / Et (ϕ1 )#ϕ2 3.7(i)

−1

= (S ∗ (Et (ϕ1 )) · (x#h))#ϕ2 =((x#h)(Et (ϕ1 ) · (1A #1H )))#ϕ2

3.12

= ((x#h)(ϕ1 · (1A #1H )))#ϕ2 77

e assim,

3.12

= ((x#h)(1A #ϕ1 * 1H ))#ϕ2 =(x(h1 · 1A )#h2 (ϕ1 * 1H ))#ϕ2 =(x(εt (h1 ) · 1A )#h2 (ϕ1 * 1H ))#ϕ2

3.7(ii)

= (x / εt (h1 )#h2 (ϕ1 * 1H ))#ϕ2 =(x#εt (h1 )h2 (ϕ1 * 1H ))#ϕ2 =(x#h(ϕ1 * 1H ))#ϕ2 ,

em que 3.7 (i), 3.7 (ii) e 3.12 referem-se aos lemas deste capítulo.

βα = id(A#H)#H ∗ . Resta mostrarmos que αβ = idEndk (A#H)A . T ∈ Endk (A#H)A , y ∈ A e g ∈ H . Então P α(β(T ))(y#g) = i α(T (1A #fi2 )(1A #S −1 (fi1 ))#φi )(y#g) P = i T (1A #fi2 )(1A #S −1 (fi1 ))(y#φi * g) P = i T (1A #fi2 )(1A ((S −1 (fi1 ))1 · y)#(S −1 (fi1 ))2 (φi * g)) P = i T (1A #fi2 )(S −1 (fi12 ) · y#S −1 (fi11 )φi (g2 )g1 ) P = i T (1A #fi3 )(S −1 (fi2 ) · y#S −1 (fi1 φi (g2 ))g1 ) Portanto,

Sejam

(∗)

= T (1A #g23 )(S −1 (g22 ) · y#S −1 (g21 )g1 ) =T (1A #g4 )(S −1 (g3 ) · y#S −1 (g2 )g1 )

(∗∗)

= T (1A #g3 )(S −1 (g2 ) · y#S −1 (εs (g1 ))1H ) =T (1A #g3 )((S −1 (g2 ) · y) / S −1 (εs (g1 ))#1H )

Obs. 1.30

3.7(ii)

= T (1A #g3 )((S −1 (g2 ) · y)(S −1 (εs (g1 )) · 1A )#1H )

(4.13)

= T (1A #g2 )((S −1 (g1 12 ) · y)(S −1 (11 ) · 1A )#1H ) =T (1A #g2 )((S −1 (12 ) · (S −1 (g1 ) · y))(S −1 (11 ) · 1A )#1H ) =T (1A #g2 )(((S −1 (1H ))1 · (S −1 (g1 ) · y)) ((S −1 (1))2 · 1A )#1H ) =T (1A #g2 )(S −1 (1H ) · ((S −1 (g1 ) · y)1A )#1H ) =T (1A #g2 )(S −1 (g1 ) · y#1H ) =T (1A #g2 ) / (S −1 (g1 ) · y) =T ((1A #g2 ) / (S =T ((1A #g2 )(S =T (1A (g21 · (S =T (1A ((g2 S

−1

−1

−1

−1

(g1 ) · y))

(g1 ) · y#1H ))

(g1 ) · y))#g22 1H )

(g1 )) · y)#g3 1H ) 78

Obs. 3.11 (T

∈ Endk (A#H)A ) Obs. 3.11

=T (1A (11 · y)#12 g)

por (4.41)

=T ((1A #1H )(y#g)) =T (y#g), as igualdades (∗) e (∗∗) são justicadas abaixo. Uma vez que

g2 =

P

i

fi φi (g2 ),

a igualdade (∗) é obtida por

g21 ⊗ g22 ⊗ g23 = ∆2 (g2 ) P = i φi (g2 )∆2 (fi ) P = i fi1 φi (g2 ) ⊗ fi2 ⊗ fi3 . Para a igualdade (∗∗), para todo g ∈ H , temos que S(g1 )g2 = εs (g). Aplicando S −1 em ambos os lados dessa igualdade, segue que S −1 (g2 )g1 = S −1 (εs (g)). Logo, αβ = idEndk (A#H)A .  Assim, atingimos o objetivo principal desta dissertação.

Precisa-

mente, embasados em [9], o Teorema 3.16, é uma generalização do teorema de dualidade (Blattner-Montgomery, [1]) para o contexto de álgebras de Hopf fracas.

79

Capítulo 4

Apêndice Neste apêndice encontram-se as principais identidades utilizadas em todo o trabalho. Acreditamos que colocá-las neste espaço e referenciálas diretamente daqui proporciona uma maior facilidade de leitura. No que se segue, apresentamos as identidades e suas respectivas numerações.

Apresentamos também, um marcador que referencia a

página na qual a identidade encontra-se demonstrada.

x1 ⊗ x2 = 11 x1 ⊗ 12 x2

(p. 6)

(4.1)

x1 ⊗ x2 = x1 11 ⊗ x2 12

(p. 6)

(4.2)

εt (εt (x)) = εt (x)

(p. 15)

(4.3)

εs (εs (x)) = εs (x)

(p. 15)

(4.4)

ε(xεt (z)) = ε(xz)

(p. 15)

(4.5)

ε(εs (x)z) = ε(xz)

(p. 15)

(4.6)

(p. 16)

(4.7)

εt (xεt (y)) = εt (xy)

(p. 18)

(4.8)

εs (εs (x)y) = εs (xy)

(p. 18)

(4.9)

z1 ⊗ z2 = ∆(z) = 11 z ⊗ 12 , ∀z ∈ Ht

(p. 18)

(4.10)

y1 ⊗ y2 = ∆(y) = 11 ⊗ y12 , ∀y ∈ Hs

∆(1H ) = 11 ⊗ 12 ∈ Hs ⊗ Ht

(p. 18)

(4.11)

x1 ⊗ εt (x2 ) = 11 x ⊗ 12

(p. 19)

(4.12)

εs (x1 ) ⊗ x2 = 11 ⊗ x12

(p. 19)

(4.13)

xεt (y) = ε(x1 y)x2

(p. 19)

(4.14)

εs (x)y = y1 ε(xy2 )

(p. 19)

(4.15)

80

xy = yx, ∀x ∈ Ht , ∀y ∈ Hs 110 ⊗ εt (120 ) ⊗ 130 = 11 110 ⊗ 12 ⊗ 120

(p. 20)

(4.16)

(p. 20)

(4.17)

11 ⊗ εs (12 ) ⊗ 13 = 11 ⊗ 110 ⊗ 12 120

(p. 20)

(4.18)

εt (εt (x)y) = εt (x)εt (y)

(p. 22)

(4.19)

(p. 22)

(4.20)

(p. 22)

(4.21)

εs (xεs (y)) = εs (x)εs (y) f * x = f (x2 )x1 , ∀x ∈ H, ∀f ∈ H

∗

x ( f = f (x1 )x2 , ∀x ∈ H, ∀f ∈ H

∗

(p. 22)

(4.22)

x * f = f2 (x)f1 , ∀x ∈ H, ∀f ∈ H ∗

(p. 23)

(4.23)

f ( x = f1 (x)f2 , ∀x ∈ H, ∀f ∈ H ∗

(p. 23)

(4.24)

Et (f ) = f εt , ∀f ∈ H

∗

(p. 23)

(4.25)

Es (f ) = f εs , ∀f ∈ H

∗

(p. 23)

(4.26)

h1 S(h2 ) = εt (h), ∀h ∈ H

(p. 29)

(4.27)

S(h1 )h2 = εs (h), ∀h ∈ H

(p. 29)

(4.28)

S(h1 )h2 S(h3 ) = S(h), ∀h ∈ H

(p. 29)

(4.29)

εt (h) = ε(S(h)11 )12

(p. 30)

(4.30)

εs (h) = 11 ε(12 S(h))

(p. 30)

(4.31)

εt (h) = S(11 )ε(12 h)

(p. 31)

(4.32)

εs (h) = ε(h11 )S(12 )

(p. 31)

(4.33)

εt S = εt εs = Sεs

(p. 31)

(4.34)

εs S = εs εt = Sεt

(p. 31)

(4.35)

(p. 38)

(4.36)

h1 ⊗ h2 S(h3 ) = 11 h ⊗ 12 S(h1 )h2 ⊗ h3 = 11 ⊗ h12

(p. 38)

(4.37)

h1 ⊗ S(h2 )h3 = h11 ⊗ S(12 )

(p. 39)

(4.38)

h1 S(h2 ) ⊗ h3 = S(11 ) ⊗ 12 h

(p. 39)

(4.39)

(p. 39)

(4.40)

(p. 39)

(4.41)

⊗ 12 = 11 ⊗ 12 z, ∀z ∈ Ht

(p. 40)

(4.42)

(y)12 = y11 ⊗ 12 , ∀y ∈ Hs

(p. 40)

(4.43)

11 ⊗ 12 = S(12 ) ⊗ S(11 ) h2 S

−1

(h1 ) ⊗ h3 = S(εt (h1 )) ⊗ h2 = 11 ⊗ 12 h

11 S 11 ⊗ S

−1

−1

81

Referências Bibliográcas [1] BLATTNER, R. J. and MONTGOMERY, S., A Duality Theorem for Hopf Module Algebras, Journal of Algebra 95 (1985), no. 1, 153-172. [2] BÖHM, G. and SZLACHÁNYI, K., A coassociative C ∗ -quantum group with nointegral dimensions., Lett. Math. Phys. 35 (1996), 437. [3] BÖHM, G., NILL, F., and SZLACHÁNYI, K., Weak Hopf Algebras I: Integral Theory and C ∗ -Structure, Journal of Algebra 221 (1999), no. 2, 385-438. [4] BRZEZI‹SKI, T. and WISBAUER, R., Corings and Comodules, Cambridge University Press, London Mathematical Society Lecture Notes, 2003. [5] CAENEPEEL, S. and DE GROOT, E., Modules Over Weak Entwining Structures in New Trends in Hopf Algebra Theory, Contemporary Mathematics 267 (2000), 31-54. [6] DA˘SCA˘LESCU, S., NA˘STA˘SESCU, C., and RAIANU, S., Hopf Algebras: An Introduction, New York: Marcel Dekker, 2001. [7] FLÔRES, D., Ações de Grupóides sobre Álgebras: Teoremas de Estrutura, Tese de doutorado, PPG-Mat UFRGS, 2011. [8] LAM, T. Y., A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, 1993. [9] NIKSHYCH, D., A Duality Theorem for Quantum Groupoids in New Trends in Hopf Algebra Theory, Contemporary Mathematics 267 (2000), 237-243. [10] NIKSHYCH, D. and VAINERMAN, L., Finite Quantum Groupoids and Their Applications in New Directions in Hopf Algebras, MSRI Publications 43 (2002), 211-262. [11] NILL, F., Axioms for Weak Bialgebras, Math. QA/9805104. [12] SZLACHÁNYI, K., Weak Hopf Algebras in Operator Algebras and Quantum Field Theory, International Press (1996). [13] WANG, YU. and ZHANG, L. YU., The Structure Theorem for Weak Module Coalgebras, in Russian in Matematicheskie Zametki 88 (2010), no. 1, 3-17. [14] YAMANOUCHI, T., Duality for generalized Kac algebras and a Characterization of nite groupoid algebras, Journal of Algebra 163 (1994), 9-50.

82