![数学物理方程讲义 [1 ed.]](https://dokumen.pub/img/200x200/1nbsped-u-6455726.jpg)
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，
1.2
宁
1.3
§
拿
吐振动力卑 利定斛条 f,1 ，卜 众 定斛 方程和 热传导 ······································13 ······· ······· ······· ······· 允体力学基本方程轧
...............................................................
8
1.1
仑
....................................................................................
1 1 1
守衍律
会.......... ................ ........................
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••
2
＿
方程的导出和定解条件
录
目
1
§
第一章
.... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... 1s 之分原理
···············································19· ······· ······· ······· ······· 极小曲面问题 ...................................................... 2:: ....... ....... ....... 膜的平衡问题
2.1 2.2
····························25 ······· ······· ······· ······· ······· 带有防羽的膜平衡问题
3 83
"'2.3
定解问逍的适定性
一
·················'.:·· '.··:.'.·:..:,,-心�··-皇…曼.. 曼... 鱼····�
--
......,,
分类 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• • •• • •••••••••••••••••••••••••• ·········27" 适定忖的概念 ···········································································31
O),
特别当g1(t)=g2(t)=.ccO时，称弦线具有固定端． 2.
已知在端点所受的垂杠于弦线的外力的作用，即 c,
(1.8)
OU
一 飞了 '
J
'
=g,(t) ,
z:O
！
au 言 ， 少＝！ C
'JT
I
一
二了
g 2 (t)
(t>-0),
特别当g1 (t) 0-= g2(t) =O时，称弦线具有自由端． 3.
已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合
(1.9)
1 1言I ,、
一 '1' OU :言 r�o 嘈
()U
I 怎 =I
+a,u(O,t)=g1(t) (t�O) .;-a 汉 (l, t)
C二
g2(t) • 5 •
(a,>O,i=l,2), 特别当g1(t) =g2(t) =O时，表示弦的两端固定 在弹性支承上，a;(i=l,2)分别表示支承的弹性系数． 通常我们把初始条件和边界条件统称为定解条件' A个偏微 分方程连同与它相应的定解条件（初始条件和边界条件）组成一 个 定解间题． 因此为了寻求在特定条件下弦的振动规律，我们需要 去求解一个相应的定解问题． 在区域{O
文：：：：
x·�l ,t;;eo}上由方程(1.5)、初始条件(1. 6)以及
边界条件(1. 7)-(1. 9)中间的任意一个组成的定解问题称为弦抚 动方程的混合问题． 如果对于弦上的某一段，在所考虑的时间内，弦线端点（边界）· 的影响可以忽略不计，那么我们可以认为弦长是无穷的，这样就不 必考虑边界条件．
我们把在区域{-oo< 劣 • \>•
图1.4
气产= -- p(v·v)v-v(v·pv)-vp + I
o•v =
a u页+
1)
a a 吓 -w 芷l = U1小心．
方程组(1. 29)的推导作为 一 个习题请读者自行证明．利用连续性 方程(1.28), 方程组(1. 29)可以简化为 (1.30)
詈 +p(o·v)o=-vp+/,
或者写成分量形式 au au 可订，石-+
av ov 可＋气压十
V
V
au au 1 op + f -1 — 丙-w石-= --
p 扣
p'
av av ＝－－ l － op ＋ － f 2 石 丙+w P ay P, ｀
• 15 志 ·
aw .
ow －
ow ow I o p + ·il = 页 w t 万 勹 ＋ 初三U扣 p oz p. 方程组(1. 30)称为流体的运动方程组．
c.
，
能量守恒定律
在D内流体的总能量 t=t2
='通过8D流入的能篮 j t13时上述问题一般无解． 当方程(3.4)在二维区
域豆上是双曲型的情形，在下一章我们将具体给出寻找函数
夕1(X1,X2)和“灼，X2)的办法．
• ,o •
｀
3.2
．
适定性的概念
从上两节定解问题的建立可以看出 1 对千三个方程(3 .1) (3.2),(3.3)定解问题的提法是不同的：对千波动方程(3.1)和热传 导方程(3.2)应该提混合问题和初值问题，而对位势方程(3.3)应 该提边值问题． 这样提定解问题从物理上讲是合理的． 人们自然 要问： 这样提定解问题在数学上是否也是正确的呢？这里就牵涉
．
”
“
到所谓 提法正确 在数学上的涵义应该是什么？对千这个问题的 回答是 1 为了使一个偏微分方程的定解问题正确反映客观实际，它 必须有解存在，且只有一个解以及解对定解数据（即出现在定解条
�
件和方程中的已知函数）是连续依赖的． 最后一点，我们也称之为 是稳定的． 如果一个定解问题的解存在，唯一，稳定， 那么我们称 这个定解问题是适定的，在数学上就认为它的提法是正确的． 以 下我们分别解释 定义3.2
一
下存在、唯
一
、稳定这三个概念．
设U是一个定义在区域豆上的函数，它在9内
二次连续可微且适合方程． 又设它本身以及出现在定解条件中的 微商连续直到Q的给定定解条件的边界， 件，我们称
U
并适合已给的定解条
是这个定解问题的解．
因此在这个怠义上说，所谓解存在， 就是在豆上存在这样一 个具有上述光滑性的函数， 它适合方程和定解条件． 当然解的概 念还将随着问题性质的变化和需要作必要的扩充（见本书有关广 义解的论述）， 因此解的存在性问题依赖千按照什么意义来定义 解． 解的唯
一
性的讨论同样也必须与
一
定的函数类相联系 ， 确切
地说，所谓唯一性问题就是研究定解问题在给定函敷类内如果有 解，解是否只有
一
个？对于线性定解问题（即出现在方程和定解条
件中的未知函数本身及其各阶微商都是 一 次的），唯一性问题将归 结为相应的齐次定解问题在给定的函数类内是否只有零斛．
（所
谓定解问题是齐次的是指方程是齐次的， 定解条件也是齐次的．） • 31•
..
'""
一 般都是 次项等） 程的非齐 边值和方 因为定解数据（如初值、
通过实际测量得到的，它不可能绝对正确，所以人们自然关心对千 定解数据的微小差异是否会引起解的完全失真？这就是解的稳定 性问题， 即解是否连续依赖于定解数据？当然讲大小就要先引入 度拊
定义3.3
设G是一个函数集合， 如果对千任意两个函数
f1,f2EG, 必有a小+a小EG(a1, a王R), 那么称G是线性空
间． 如果对于任意fEG, 都有一个非负的实数 (1)若 / 1 , 儿EG, 则
凡龛
适合
�n 与它对应，且
lit, +f计,;;; I f I�+ H 21,
(2)若f EG,aER, 则
Ila/II=/ al llfl;
(3) llfll ;,.o, 其中等号当且仅当f=O时成立， 那么称G为
线性赋范空间， 对于
一
IJH 称为 f的范数或模
“
”
个函数集合，如果按照某种方式引入了 范数 ，也就是
规定了度最， llf 1-J2II的大小就表示在这个度址意义下!1与J2 的接近程度．
有了线性赋范空间的概念， 我们可以确切地给出解的稳定性
的定义．
为了叙述明确起见，我们不妨以弦振动方程(3.1)的混合问题
为例． 我们说混合问题的解对初值是连续依赖的，这意味着如果
把初值｛中4分（中是初位移，＄是初速度）看作是线性赋范空间O 中的元素， 而把相应的混合问题的解 U 看作是线性赋范空间U中
的元素， 则对于任意{ (/)1'�沁E中(i=l,2)以及相应千它们的解也 (i= 1,2)有： ve>0,30>0, 当 I {rp1, 仇｝ 一 切2''P分 !.,,1肛(x,, ... 心，t-r)d了
嗓
= f (x1, · · ·,x.,t) + a2t:..u 扣 从而定理获证． 附注 1
根据定积分的定义，表达式 (1. 7) 可以表成和的极
限： U3= lim
。
n-1
区 M f,,(x1, ...'凡，t—t;)�t;
Llt,-->O i=O
其中O=t o, 故它们的系数行列式必为零， 即J (0) =O.
同理由边界条件
(2 .13)可得J(l)=O. 将它们代入(2.16), 立得 （仁
µ,)f。 X 汇dx=O, µ
由千入子µ,'故必有
如果把这个积分看成内积， 那么它表示了X µ 与凡正交1
宣附注1 从性质(i)可以知道，当且仅当队＝队=O时，入=O 才是Sturm-Liou ville问题(2. 11)一(2.13)的特征值，也就是说
只有当(2.12)、(2 '. 13)是第二边界条件时，入=O才是特征值，相
应的特征函数亿=1(如不计常数因子）． 在具体寻求所有特征值 和特征函数时，这 一 点 一 定要倍加小心． 附注2
性质(iv)体现了这样一件重要事实： 即全体特征函
数{X九（门｝组成了L2[0,Z]空间的一组完备正交基． 如果将它们 规范化，即令 • 72•
．
X沁） ＝
X.(x)
令 ｀
/' f 们心
那么它们也是标准的．从面与行限维欧氏空间相仿，任意属千L2 飞 0 l 飞61)的元素（函数）都可以按这组标准正交恁展开，而Four 沁r系数为
f (儿＾）飞心 （心 ）心 r 心 = - o i-==-=J J I ' 炉rl:r
其实就是
f 位）在
“
1
f(x) 立 (x) 心，
＇
坐标向阰 江(x)上的投影（按压空间定义的
内积）． 当然定理2.1只是定性地担示了特征值问题的一些内在特 征，至于为f求出全体特征值和行征函数的具休形式，我们还必项 逍过眢边值问题(2.11)
一
(2.13)来得到.. 现在我们回过来炯特征
值间题(2.9),(2.10). 根据定理2.1的刊质1'特征值问题(2.9),(2.10)的所有特 征值都是正的，从而方程(2.9)的通解为： X(x) = 0 1 sin-V了x + 0 2 cos-VT x. C 2= 0,
｀
由边界条件(2.10), 得 C 1 siny启 ��o.
为了使X(劣）是非零函数，故须有siny'万l =O, 即 n = l,2,·",
(2.17)· 相应的非零解（即特征函数）为 (2.18)
凡(x)=Csin罕兀
n=l,2, • • ••
这样我们就求得了特征值问题(2.9),(2.10)的解． 这也表明：为 • 13 ...
.
�
.
"
.
使方程(2.1)和边界条件(2.2)具有非零的变量分离形式(2.5)的 特解，方程(2。8),(2.9)中出现的参数入必须具有(2.17)的形式， 从而由(2.8)得： 邸） =A.sin
宁 t+B cos宁 t
即， u九位，t) =(儿 sin
九
霄
=1,2, ••• ,
宇 t + BnCOS 宁 t) sin 干
需要指出的是，对于任意的见这里的
Un 位，t)适合方程(2.1)和边
界条件(2.2). 现在我们把所有 Un 位，t)叠加起来，使它适合初始条件(2.3), (2.4入即取
－飞也
(2.19)
。詹
u(�,t)= nsin
区
.. �1
u ,. (x,t)
宁 t+ B,. 平） sin平， cos
使得 (2.20)
叭巧） =ul1-o =
..
n冗 江 B九 sin l飞， n=I 00
夕
(2.21)
劝(x) =u, I 1=0
=汇 九
—
an 一 兀 九冗 一 －丁 斗sin 千一 ” ，
=l
（请注意，由于我们现在是求形式解，因此无妨假设所有和号与求 微商，取极限的运算可以交换）． IV) 1全体特征函数{ sin气乌 [0,1]上的完备正交系，因此叭x),心(x)都可以按照它展开 ， .. n兀 一 (2.22) 叭＄）＝区'Pn s in l x,
霄一 1
• 74•
-.
•••.一 、 卫祀-·-·上·
(2.23)
n兀 叭幻＝区礼sinzx, n=J
其中 峦
=
+r。 叭x)sin已l “心， 2
礼＝丁
f。 l
心． 心位） sin乌 l
比较(2.22),(2.23)与(2.20),(2.21), 立得， (2.24)
B,.= 贮
(2.25)
2 — ＝ A九
=yfD 2
-f
I
a 九冗 O
1
•
n
兀
卢） sin一 “心 ,
l
，
九兀
v,(x)sm一 过x. l
这样我们就求得了混合问题(2.1)一(2.4)的形式解(2 .19), 其中系数A ,. , 凡由公式(2.25),(2.24)给出． 综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步＄ 第一步：令u($,t)=X(x) T(t)适合方程和边界条件，从面 定出X位）所适合的Sturm-Liou ville问题，以及T(t)适合的常 微分方程． 第二步：解Sturm-Liouville问题，求出全部特征值和特征 函数． 并求出相应的T(t)的表达式． 第三步：将所有变扯分离形式的特解叠加起来，井利用初值 定出所有待定常数． 当然为了证明形式解(2.19)确实是解， 关键在于证明所求微 商和取极限的过程可以与和号交换． 具体说来，即需要证实｀
-
..
口区 U 产区口 Un, 霄
-1
n=J
00
lim
．叩,I
""
区 'Un = 区 lim u ,. , 11-+0
籍
Dl
11•1
,I
，
• 15•
--
.
-
．
匠忙(ttn}=
，
(m = 0,1).
立叩 会）
根据数学分析课程中的熟知结论，为了证实上述运算是合法的，只 需要证明级数
..
00
Du 九，
区 Un, 区 九
n=I
=l
""
区 D飞 冗=)
(D表示对 X ,t的一级微商）在区域Q={O� 正;;;;;z,0�1�T} (T 任意）上 一 致收敛．为此我们谣要对定解资料加上光滑性要求，以 及在角点(0,0),(l,O)处的相容性条件． 定理2.2
若"'t_ 2 叭
｀
'
时，解(2.37)可表成 a
=区
,. .. ,. eu ,. (eu
2
广
,.
一
eu ,. )
. ．，一 x （叭sinm ,. t-© ,. sineu ,. t) sin ,"一 九亢
k厅 ． 一旦立t coseu�t)sin x. l 2Cu, ""'"' .
由此可以看出，对应千固有频率为Cut的第k个振动元素u. 伈，t)' • 84•
!
＇ ，
(i)•
2
e·
＋（立sin@ 良 "
、
t cos w 1t,
'
其振幅随时间t
一
＇，
“
起无限增大，这秤现象称为 共振 ． 在物理上，
这表示一根两端固定的弘线， 如果在
一
个周期外力的作用下作强
迫振动，假如这个周期外力的频率与弦线的某一特征频率相等， 将产生共振， 即归线 一 些点的振幅将随着时间的增大
趋千无穷，这必然在某一时刻导致弦线的断裂， 因此对千很多工
程问题（例如建坝、建屋、…）来说， 共振现象必须设法避免．为 此必须预先知道这个物体的固有频率， 即去求某一个特征值问题
的解． 但是在有些问题中， 例如在电磁振荡理论中，人们又经常 “
“
利用 共振 现象来调频，所以特征值问题无论在建筑工程方面还 是在无线电、电子工程方面都有着重要的应用． 2.3能量不等式
为了研究混合问题解的唯 一 性和
稳定性， 我们对波动方程的混合问题 建立能量不等式．
C==i-
定理2.3 (能量不等式） 1
2
若u(x,y,t)EC (众） nc (Q T )是
,,.. --
,=or
波动方程混合问题(2.30)一(2.33)
-- ----、
/Jr
r.Jr --- .... ... 一 ．一
"
图2.11
的解， 其中Q 尸 Qx(0,'1'), 则存在 只依赖千T的常数111, 使得：
JJ 心+a lv寸），=• dxdy 2
(2.38)
Q
;
o.
当f= 0时，M=l, 不等号由等号代替． 证明
与§1.3定理1.4的证明相仿，我们把证明写成四步．
第 一 步：在波动方程(2. 30)两端乘u, 并在柱体Q T 上求积
分，从而有
(2.39)
众
0,
• 95 •
.
I
-
第二步：把上式左端的被积函数写成散度形式，事实上与
1.3中所述相同，我们有： 2 a 1 u,[u11-a2Ll-u]= 一 (u,2), + 一(Jvul2), 一•1V·(tc,Vu). 2 2 利用Oc:rporn 钮CKHii-Gauss公式，(2.3�)左端的积分（记作，J) 可改写为 1 ii�.
其中虎, = cos(n., 劣凡+cas(n,y)i,,
n 为外法向 ．
第三步：利用边界条件证明给定在栈仲的侧面X上的积分 为零 事实上，在侧面2上，cos(n, t) = 0, 边条件(2.11)蕴含着 也 = O, 因此在J中，给定在X上的积分戈式，即
心 d y, 所以当f""'0时，我们证明了估计(2 .38)的正确性， 其中M= 1不等号由等号代替． 当
f 千0时，表达式有形式
(2.4�)
1
, P
., .a D
D了 ｀ ， 矗
，
第四步：把上述等式右端第二个积分分成两部分 Q,
1
. ,, .
Q了
"·
矗
井命，
2 IV寸）心dydl. +a D(r)= fjf(u.2
令
Q,
从而(2.40)可改写为：
dQ(i-) 凡(i-) +eD(i-), ［ --,,;:; d,
(2.41)
lD(OJ=O,
�
f叮
其中凡(-r)=上 e.
J
v,
f:d 幻 clydt-i--ff (沪－庄V吓） dxdy应
廿Gron wall不等式，得到
Q(-r) 冬
(2.42)
s:
D
e•(T- I)
凡(t)dt.
咚它代入(2.41)得 (2.43)
取e
1 T
=一 ，从而有
ffo, -oo令o,
ul,=, O切
at'
(4)
Bx
= -一，u,l,., =
l
o,o,s;; 正;;;;z,
. ＇ (x,t)EQ, = iJ'u 矿
a
u. I •• , =Asin(l)t, u I 雾 =• = O,t;>O, U I,=, = 1,u, I ,=, = O, O�x�l.
分别讨论不产生共振与产生共振两种情况，
(5)
,沪 ' u =
at'
沪u 对 ＇ (x,t)EQ,
a
u. I =, = t',u 芯 + u I • =, = t, 1;;;..o, 了
叫，=, = u, I•=o = O,O�x:,;;:;;z. 24. 考虑定解问题， u,. 一-u •• =f(x, t), (x ,t) EQ, 叫.�, = u I ,=1 = 0 .o�t冬T, 试问对？冲，f加什么条件才能保证由Fourier方法所得的解是古典解？试 • 120•
时
iJu Lu- -2 b-+g,(::,l)EQ, iJt
｀
证明之1 26. 用能量不等式证明波动方程带有第三边值条件的初边值问题解的 唯 一性． 26. 试对下述非齐次方程的棍合问题 11-a'u 霉怎 =f(s,t),(s,l)EQ, •• ,=ul 雾 .1=0,0�l�T,
定义广义荨并讨论对
•
A.
f 心）．
由定义 ,I 1 一”霉 dx= e J 卫） =-=J -v2 兀 -,I
例2
--—— 2 sin入A A.
冗
•
设
J 尸， x >o, f 卢） =1 0, x. i=l
(1.19)
．
利用这 一 性质， 我们可求出函数 I A =e ) f(x
雾
1•
的Fourier变式． 事实上由(1.19), (1.18)可得 (1.2·0)
”
＾
/(A)= fl(e吨） = 1-1
— e 一石 II-v 2A “
1
A'
i;l
• 131•
"
. •. 心咧"'"
勺
1 = e 倩 (Y2 A) 1.2
一 4A
-.,1Al1 "一,.,
．
Poisson公式
在这一小节中我们应用Fourier变换解初值问题(1.1),. (1.2). 在方程o."1),(1.2)两边关于变最x作Fourier变换，利用性
o
质l 和2勹得到
.
u ＿，d．．．．一 + a 2 ,Pu=f (,\,I), dt
、
J l
．
u L=o =-�(;.),
其中叭;.'t)为解u(x,t)关千工的Fourier变式． 解之得
f。
现在对上式两边求反演，由反演公式(1. 4)得 一心(I一1') )伍 )f A,T (/( (1.21) u(x,t)=(如守')Y+
e-o•i•, =[g(
石,
其中 g(x,t) =
I)]",
－－
z• 1 -e'4•• a v2t ·
(1.22)
（如，
= 同理我们有 • 132•
','1) V
1
2
ay 石
1 =('f)g) = -= ,/ 2 兀 o以后，杆上各点的温度
u位，t)= J K(x飞，t)叭s)dt>o.
也就是说在倾刻之间，热量就传递到杆上的任意 点， 当然在“ 一
• 135� . ... .
.
附近的点所受到的影响较大， 而离开x。较远的点受到的影响较 ” “ 小，不过无论如何它与弦振动方程不同，没有 影响已达到的点 与 ” “影响还未达到的点 之分，这是这两类方程最本质的不同之点． 3•(无穷次可微性） 如果叭门有界（或适合条件(1.29)), 那么不管叭x)是否可 微，当t>D时，解u(x,t)在R; 内必无穷次可微，也就是说在初 始时刻叭x)的微商、甚至它本身可能在某些点上不连续，但这些 奇点井不向定解区域内部传播，解在定解区域 R; 内永远无穷次 可微． 说得更确切一点，由(1.24), 当t >o时，我们有 {JHl ,. ak 'u 力 K( d�. !'t)o, 是否存在g,(;G,(fj)nO.
I
．
这说明In瓦(t)是凸函数，因此对于入＝上(. OO为参数）．
．
4. 应用Fourier变换求解以下定解问题，
a•u b一 彻 --cu = J 扣2
扣
＝叭巧）， -ooo, a�o. p;;.,.o, a(z,t),b(:i,l),c(:$,1}在Q 于 上书界， 证明
• 118•
七
111p
0O, 且b;(X), c(兀）在9 2 uEC 心） nc< 豆）且在Q内满足Lu=f�o, 则U在 b
定理1上 l::有界，
上的非负最大值必在
aQ 上达到，
即
sup u( 幻 )�sup u飞石） sE:iJD
zEll
证明
对千任意e>O, 令 w(a_:) =u(x) + ee"霉I'
其中a待定， 容易计贷 Lw=Lu - ee a :r:,(-矿+ab 1 +c). 由千b1,c在9内有界，可选取a充分大，使 -a丘ab1 + cO, 由此得到
箕"'"'.
�o, 于是
0 上不可能有负最小值，千是在豆
1 maxi u(巧川�-F +_ltp. a e 五 亡
(2)考虑
一
。
般情况c(x)>O, 我们希望通过辅助函数 u(x)=z(工） w(x)
将问题归结为前面的特殊情况， 足如下问题
。
其中 Z 位）是待定函数. w将漓
2 -dw了导心+(C 一 ¥)w=f, 在Q,
(1.8)
• l86.
ow
) — z on
扣 1 W= 巠 , xEoD. +(a+-
on 我们选取认霜） >o, 且使得 '""
'
z
，， ，
。
1扣 ---、a — a+ z on 2' c(x)- 兰巧 >o, 其中e。是某一正数．不妨设9包含坐标原点，选取 z(z) =A+ e"-e飞 其中A为待定正常数．
1
e-•
!lz－＝ 了 e 心 一了 丁言丁>o
,
扫沪廿 a。 1 取A适当大，使得 A e < 2 ．这样问题(1.8)拼属于前面的特殊情 ．一
d
况（所增加的一阶微商项将不影响结果），千是 maxlw位） I ..;;;o(中+F). 由此可导出所要的结果． 附注
作为定理1.5,1.6的直接推论，定解问题(1.5),(1.6)
当 c(x)>O,a(x);;;;.a。 >o 时，解是唯一的，且在最大模的意义下 连续地依赖千边值与方程的非齐次项． 一 性，条件a位）> 6)的解的唯 题(1. 如果仅仅是为了证明问
a。 >o 可减弱，但边界需附加 一 些条件。
定义1.1 我们称Q淌足内球条件，如果对千任意心EofJ, 存在球BCO ,aBnoD= {x吓． 定理1. 7设在9上c(x)>O有界，在{jQ上a(x)>O, 且
c(x)与a(x)中至少有一个不恒为 o, D满足内球条件，则问题
1 (1.6)属千 a co) n 伊(D)的解是唯一的．
• 111•
证明
由于问题(1. 6)是线性的． 我们只帣证明齐次问题只
有零解，即设
f
三
0 ,
o, 又由于u(x 0 )>0, a(x) ;;,,o
位EoQ), 故
这与边条件(o,
当切尸 a-o 时，表达式(2.•27)的被积函数
关千0充分光滑，且无任何奇点，因此可在积分号下取任意次微 .. 20.1•
商由于核函数为费： \
r=a
'它作为(p,(J)即（切）的函数满足调
和方程，因此 U 也是调和函数．
其次必须证明(2.27)给出的函数满足边值条件，由Green函
数性质4 =-f 1 0
a 2 -p2 oG = 1 2dl da 2 豆 O a +p2-2 a pcos(O-a) . 归。古
。
千是对千任意o E[0,2兀］，
＝气 s2·
u(p,9)-pcccy , 令R 今
00)
得到
v(x,y) =v(O,O). 由(x·'y)的任意性，定理得证． 定理3.5(一般情形的Harnack不等式） 设u是!)内的非负调和函数，F是Q内的有界连通闭子集， 则存在常数
K>o, 使得 SU p U (X) 冬 Kinf
(�. 3)
u(x)
其中K只依赖千F, 而不依赖千见 证明
1 设d= dist{F 4 一
,o!J}. 对于任意 r 。fiF, 设P.QE
瓦 (P。)，使得 u(P)= 如 p
-B,(Po)
u(x,y), u(Q) =inf
-B4(P1)
u(x ,y).
将定理3.3应用千球B2d(Po),我们有
。 。
2d+PP u(P)-l'V 2 应用Friedrichs不等式 ,1
、 . , 、 ，雪 一， 已 · , It . r .，｀
勿
=— 1
2 2 d ) llfllt d llfl恃>-2 2-2 dllfll。 (�V心-2 2
因此J(v)有下界，记
d=infJ(v). 0EH1(1i)
由下确界的定义，存在序列{v k }CH 1(Q), 使得 J(vi归d+½,k=l,_2,···. 我们要证{vi}是几(Q)的基本列． 由引理4.4, V(v,-v 1 ) 1 1 1 1 2 +— = ...;;d+-+d+d l • l k k
应用Friedrichs不等式 丿 、
lvk- 呫=