Dimostrazioni e confutazioni. La logica della scoperta matematica.

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Italian Pages [230] Year 1979

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Dimostrazioni e confutazioni. La logica della scoperta matematica.

Table of contents :
Copertina
Titolo
Introduzione di Giulio Giorello
Prefazione di John Worrall e Elie Zahar
Ringraziamenti
Introduzione dell'Autore
I
1. Un problema e una congettura
2. Una dimostrazione
3. Critica della dimostrazione con controesempi locali ma non globali
4. Critica della congettura con controesempi globali
5. Critica dell'analisi della dimostrazione con controesempi che sono globali ma non locali. Il problema del rigore
6. Ritorno alla critica della dimostrazione con controesempi che sono locali ma non glonali. Il problema del contenuto
7. Revisione del problema del contenuto
8. Formazione dei concetti
9. Come la critica può trasformare la verità matematica in verità logica
II
Introduzione dei curatori dell' edizione originale
1. Traduzione della congettura nei termini "perfettamente noti" dell'algebra dei vettori. Il problema della traduzione
2. Un'altra dimostrazione della congettura
3. Alcuni dubbi sulla definitività della dimostrazione. Proce­dimento di traduzione; approccio essenzialista/ approccio nominalista alle definizioni
Appendice I - Un altro caso storico per il metodo delle dimostrazioni e confutazioni
1. La difesa di Cauchy del "principio di continuità"
2. La dimostrazione di Seidel e il concetto generato-dalla­-dimostrazione di convergenza uniforme
3. Il metodo di eliminazione di eccezioni di Abel
4 . Ostacoli sulla via della scoperta del metodo dell'analisi della dimostrazione
Appendice II - Approccio deduttivista/approccio euristico
1. L'approccio deduttivista
2. L'approccio euristico. Concetti generati dalla dimostrazione
Nota sulla vita e le opere di Imre Lakatos (A CURA DI GIULIO GIORELLO)
Bibliografia
Indice degli argomenti
Indice dei nomi
INDICE

Citation preview

Titolo dell'opera originale Proofs and Rcfutations. The Logic of Mathematical Discovery (Copyright

© 1976

by Cambridge University Press)

Traduzione dall'inglese di Daniela Benelli Edizione italiana a cura di Giulio Giorello

Prima edizione italiana: aprile 1979 Copyright by

©

Giangiacomo Feltrinelli Editore Milano

Imre Lakatos

Dimostrazioni e confutazioni La logica della scoperta matematica

a cura di John Worrall e Blie Zahar

introduzione all'edizione italiana di Giulio Giorello

Feltrinelli Editore

Milano

Introduzione

La dimostrazione (o meglio le "dimostrazioni) di un teorema al cen­ tro di un dialogo quasi " platonico " , alla scoperta della verità o, al­ meno, allo smascheramento dell'errore : è quel che propone Imre La­ katos in questa " ricostruzione razionale " dei tentativi intrapresi per dimostrare una celebre congettura matematica , il teorema di Euler. Obiettivo polemico è il modo tradizionale di insegnare (e forse di fare ) matematica; lo sfondo, invece , la capacità di rimettere continuamente in questione quelle che sembrano le tesi piu ovvie, le conoscenze piu consolidate, le acquisizioni piu certe e definitive. Ma se, rivolto alla matematica (e piu in generale alla scienza), quello di Lakatos in questo volume è un tentativo volto a comprendere quei problemi, quei procedimenti per tentativi ed errori, quelle tattiche e strategie di ri­ cerca che fanno della pratica scientifica un'impresa affascinante come ogni impresa creativa, dalla ricerca artistica al confronto ideologico, per lo studioso di filosofia della scienza " professionista " la " sfida" lakatosiana alle " epistemologie autoritarie e dogmatiche " è un'occasio­ ne per riprendere criticamente i presupposti della sua stessa disciplina e per valutarli razionalmente alla luce degli interessi e dei valori di base che vengono usualmente assunti. CosI l'excursus proposto nel libro è un invito a ripensare l'impresa scientifica come " impresa critica " e la riflessione sulla scienza come momento di libertà intellettuale. Le pagine che seguono non pretendono di dare un quadro esaurien­ te della filosofia di Lakatos. Mirano invece ad inquadrare Dimostrazio­ ni e confutazioni nel contesto della " concezione fallibilista " della ma­ tematica (paragrafo 1 ), a esaminare gli elementi di continuità e quelli di rottura tra il Lakatos di questo volume e quello della riflessione epistemologica sulle scienze empiriche - che il pubblico italiano già conosce dai saggi pubblicati in Critica e crescita della conoscenza (paragrafo 2 ), a delineare infine una possibile risposta al problema che in entrambi i contesti si ripresenta, quello del progresso scienti­ fico attraverso il mutamento concettuale (paragrafo 3 ). -

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Introduzione

1 . La logica della scoperta matematica. Il metodo delle dimostrazioni

e confutazioni

Secondo una tradizione consolidata ( che per Lakatos risale almeno ad Euclide) la matematica è una disciplina " autoritaria, infallibile, in­ confutabile ", un corpo di verità che cresce per accumulazione succes­ siva e che, quindi , con ]a progressiva scoperta del carattere fallibile e rivedibile delle pretese " scienze " empiriche, resta " la sola scienza che finora è piaciuto a Dio di largire all ' u m anità . '" Dimostrazioni e con­ futazioni e alcuni altri s agg i' che pressoché contemporaneamente Imre Lakatos è venuto scrivendo, presentano invece un quadro radicalmen­ te diverso . La matematica si sviluppa formulando congetture, propo­ nendo d i mostrazioni e analizz ando, criticando queste dimostrazioni. La con sapevo]ez7.a critica maturatasi nell'Ottocento - cui si aggiunge lo stato attuale delle ricerche fondazionali, ove nessun programma è riuscito a imporsi nettamente su quelli rivali - ci permette oggi di riconoscere il carattere congetturale degli assiomi di specifiche teorie matematiche, anche di teorie importanti e fondanti nell'edificio ma­ tematico ; ma Lakatos si spinge piu oltre. Le dimostrazioni stesse hanno un carattere congetturale e fallibile, a causa del modo stesso con cui procede la concreta indagine matematica. I testi " redatti in stile deduttivista" , che elencano tutte le pre­ messe "necessarie " per dedurre un teorema, e impiegano di punto in bianco astrusi concetti come il prestigiatore tira fuori il coniglio dal cappello senza darne le motivazioni' sono per Lakatos gli ultimi, piu raffinati esiti del pensiero dogmatico, cioè dell'opinione " secondo la quale il vero consiste in una proposizione che è un resultato fisso. "4 10 " stile deduttivista" , paradossalmente, dà corpo oggi a quel fanta­ sma di matematica schernito da Hegel nella Prefazione della Feno­ menologia: " l'essenza della dimostrazione [ nella terminologia di que­ sto volume, 'l'idea ( di fondo) della dimostrazione'] non ha ancora il I THOMAS HOBBES, Leviatano, tr. it., La Nuova Italia, Firenze 1976, p. 34. Come slogan del "dogmatismo matematico" la frase di Hobbes è ripresa e commentata in questo volume, p. 43. Z Alludiamo in particolare a What does a mathematical prool prove (scritto pro­ babilmente tra il 1959 e il 1961) e The method 01 analysis-synthesis (la cui prima parte fu scritta tra il 1956 e il 1961, mentre la seconda venne presentata nel 1973 a una con­ ferenza a Jyviiskylii (Finlandia) come replica a un articolo di J. Hintikka): costituiscono, rispettivamente, i capitoli 3 e 4 di I. lAKATOS, Mathematics, Science and Epistemology: Philosophical Papers, a cura di J. Worrall e G. Currie, voI. 2, Cambridge University Press, Cambridge 1978. 3 Non è casuale che nel criticare il "misticismo autoritario" dello "stile dedut­ tivista" Lakatos faccia uno spregiudicato uso di Hegel (si veda in particolare l'Ap­ pendice 2). Del resto "il trucco di una simile saggezza è cosi presto imparato quanto facilmente messo in opera. Ma non appena scoperto, la sua ripetizione diverrà tanto insopportabile quanto la ripetizione dell'apprezzata arte di un prestigiatore". G. W. F. HEGEL, Fenomenologia dello spirito, tr. it., La Nuova Italia, Firenze 1970, val. I, p. 42. 4 G. W. F. HEGEL, Fenomenologia dello spirito, tr. it., cit., voI. I, p. 32.

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Introduzione

significato e la natura di essere momento del resultato stesso ; anzi nel resultato un tale momento è già passato e dileguato ".' Questo " movimento in superficie "6 è tipico per Lakatos delle espo­ sizioni standard, siano ovviamente dei manuali, siano le correnti storie della matematica. E il caso da cui Dimostrazioni e confutazioni prende avvio, la congettura di Euier, è esemplare. Secondo i resoconti tra­ dizionali, infatti, la storia della congettura V + S F = 2 ( ove V, S e F denotano rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce di un " poliedro " ) comincia con gli sfortunati tentativi di Euler per terminare con la riuscita generalizzazione di Poincaré. Ma per Lakatos occorre guardare alla struttura fine di tutti quei " tentativi ed errori " che collegano l'originale congettura euleriana alla versione datane da Poincaré nel contesto dell'analysis situs. Oggi diamo per scontato sia il fatto che il teorema di Euler si applica ai poliedri " sfe­ roidi ", cioè omeomorfi alla sfera, con facce omeomorfe al disco ( e, se non si suppone che le facce siano piane e gli spigoli retti, occorre ancora richiedere che gli spigoli siano omeomorfi al . segmento ), sia il fatto che, se queste condizioni non sono tutte soddisfatte, si costrui­ scono facilmente dei controesempi. Spesso dimentichiamo però quella vasta gamma di tentativi - da Legendre, Cauchy, Lhuilier, von Staudt, ecc. fino a Mobius, Listing, Jordan , ecc. - che mirava a " stabilire " il teorema dandone condizioni di validità espresse non nel quadro to­ pologico che oggi ci è familiare, ma con clausole atte a impedire· la costruzione di controesempi ( considerati spesso come " mostri " da eli­ minare: un atteggiamento nei riguardi delle " mostruosità " o " patolo­ gie " assai diffuso nell'Ottocento, che si ritrova soprattutto nell'ana­ lisi della seconda metà del secolo). L'emergere del carattere pili pro­ priamente topologico (piuttosto, poniamo, che metrico o proiettivo ) con Cayley e Listing nel 1861 e quindi con Jordan nel 1866 -, le ge­ neralizzazioni di SchlliBi e di Poincaré e infine l'inserzione da parte di quest'ultimo della congettura di Euler nel quadro concettuale della topologia combinatoria7 sono allora per Lakatos certo dei contributi di grande rilievo, ma non " verità ultime " , in nome delle quali dimenti­ care quel che è accaduto prima. Del resto, anche nella matematica non vi sono verità ultime ; o almeno, tutte le epistemologie che hanno preteso di fondare una matematica costituita di verità " indiscutibili " -

5 Ibid.,

p. 33. Ibid., p. 35. Per una rapida ed efficace sintesi di questi m-isultati, si veda in J. DIEUDONNÉ., Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, Paris 1978, voI. II, il cap. X: G. HmsCH, Topologie, in particolare pp. 218-219. Una bibliografia orientativa si trova in J. C. PONT, La topologie algébrique des origines à Poincaré, PUF, Paris 1974