Die vollständige Induktion [2 ed.] 3817112890, 3326006713

Table of contents :
Einfiihrung ................... 7
Vollstiindige Induktion in Arithmetik und Algebra . . l9
Beweise von Glcichungen, arithmetische Aufgaben
(Beispiele 1—13, Aufgaben 1—16) ......... l9
Trigonometrische und algebraische Aufgaben (Bei-
spiele 14—18, Aufgaben 17—23) ......... 31
Aufgaben zum Beweis von Ungleichungen (Beispiele
19—24, Aufgaben 24—27) ............ 35
Beweis einiger Sfitze der elementaren Algebra und
Kombinatorik mittels vollstfindiger Induktion (Sétze
1—7) ..................... 42
Vollstiindige Induktion in der Geometric ...... 48
Berechnung mittels vollstfindiger Induktion (Beispiele
1—5, Aufgaben 1—3) .............. 48
Beweise mittels vollstéindiger Induktion (Beispiele
6—16, Aufgaben 4—13) ............. 55
Aufgaben fiber Karten .............. 62
Farbungsprobleme ............... 66
Vollsta'indige Induktion bei Konstruktionen (Beispiele
17—20, Aufgaben 14—16) ............ 85
Bestimmung von Figuren mittels vollstéindiger In-
duktion (Beispiele 21—22, Aufgaben 17—23) . . . . 95
Definition mittels vollstéindigcr Induktion (Beispiele
23—24, Aufgaben 24—34) ............. 102
Vollstéindige Induktion nach der Dimensionszahl (Bei-
spiele 25—34, Aufgaben 35—42) ......... 116
Berechnung und Bestimmung von Figuren mittels
vollstéindiger Induktion nach der Dimensionszahl . . 120
Definition and Beweis mittcls vollsténdiger Induktion
nach der Dimensionszahl ............ 125
Nachwort (JU. A. GASTEV) ............ 143
Ijisungen der Aufgaben .............. 150
Zu Kapitel l .................. 150
Zu Kapitel 2 .................. 162
Uta-am .................... 179

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Die vollst'eindige Induktion

I.S.Sominskij L. I. Golovina

I. M. Jaglom

Bela. Tick/1'53

far“ n = Ic‘r’l

Deutscher Verlag derWissenschaften

. Die vollstéindige Induktion Von

I. S. Sominskij, L. LhGolovina und 1. M. Jaglom

Mit 84 Abbildungen

Zweite Auflage

Verlag Harri Deu’rsch LS. Sominskij, L.|. Golovino, I.M. Joglom Die vollsTdndige lnduk’rion

ISBN 3-8171-1289-0

Titel der Originalausgabe: PI. C. Commemfi, II. M. Fonomma, PI. M. flmou 0 mnmamecxoi mmynnm Hayxa, Moma 1967

Die Ubersetzung aus dem Russischen besorgten: W. Ficker und R.-D. Schrétcr (Einf’uhrung, Kap. l); R. Fredersdorf und M. Schmidt (Kap. 2, Nachwort); wisscnschaftliche Redaktion: S. Kloth und B. Klotuk

ISBN 3-326-00671-3 ISSN 0076-5449

Mathematische Schfilerbficherei Nr. 126

Vellngxlchol: Erika Arndt Veflngsmcllcr: Norma Bnun Umnchhggesulmng: Werner Fall: 0 dc: delmchspraohigen Mugabe: I986 Deuuchet Vetlag der Wisscnschnflen GmbH. Patti-cl: 1216. 04080 Berlin Lima-NI. 206 hinted in Gennany Sm: DH ”11mm: Mumur“ GmbH. 0-5820 Bud Llllgelllllfl Offmdmck und hichbindetilche Ventbeitllng: Dmckhuu Schbneweide. 0-] I90 Berlin. Schneflemnlle 139 LSV 1009

Vorwort der Redaktion der deutschsprachigen Ausgabe

In der Reihe ,,Populjamyc lekcii p0 matematike“ erschien im Jahre I950 das Bfichlein ,,Metod matematiéeskoj indukcii“ von I. S. SOMINSKU. Es wurde in viele Sprachen fibersetzt, u. a. in die deutsche; die deutsche Ubersetzung erschien erstmalig 1954 als Band III dcr ,,Kleincn Ergfinzungsreihe zu den Hochschulbfichern ffir Mathematik“. Seither

sind l3 Auflagen erschienen. Die Autoren L. I. Gowvmkund I. M. JAGDOM batten die Absicht, mit ihrer erstmalig 1956 erschienenen Broschiire ,,Indukcija v geo-

metrii“ — ebenfalls in der Reihe ,,Populjamyc lekcii po matematike“ — die genannte Schrift von 1. S. SOMINSKIJ durch geometrische Beispiele und Aufgaben zu ergfinzen. Nach dem Tode von 1. S. SomNsxu im Jahre 1962 haben sie fiir den Verlag Nauka die beiden Broschfiren ,,Metod matematiéeskoj indukcii“ und ,,Indukcija v geometrii“ zu einern Band fiber die vollstfindige Induktion unter dem Titel ,,0 mate-

matiéeskoj indukcii“ (Moskau 1967) zusammengefaBt; ein Nachwort von JU. A. GASTEV, in dem einige terminologischc und methodologische Fragen bcrfihrt warden, wurde ebenfalls aufgenommen. Bin geplanter Band XXVI der ,,Kleinen Ergénzungsreihe zu den Hochschulbfichem fiir Mathematik“ sollte deren Band III dutch geometrische Beispiele und Aufgaben ergéinzen. Unter der Anleitung von S. Kw”! und mir haben Studenten der Pfidagogischen Hochschule ,,Karl Liebknecht“ Potsdam Teil II und Nachwort des 1967 in Moskau erschienenen Bandes ,,O matematiéeskoj indukcii“ fibersetzt. Die Au-

toren fiigten ein Beispiel und zwei Aufgaben neu ein und schlossen sich bereitwillig den in Potsdam vorgeschlagenen Anderungen an. Einige Bewcise warden etwas modifiziert. Das betrifft insbesondere§ 3 in Teil II

(Abschnitt 2.3 in der Numerierung des vorliegenden Bindchens), in dem danach u. a. mit geometrischen Abbildungen wie Spiegelungen an Punkten, Drehungen und Verschiebungen gearbeitet wird. AuBerdem

wurden einige Bezeichnungen unserer Lehrbuchliteratur angepaBt. Wie im russischen Original wurden schwierigere oder am Rande des Haupt-

4

Vorwort der Redaktion der deutschsprachigen Ausgabe

themas liegende Betrachtungen im Kleindruck gebracht, wie dort nicht alle Lbsungen der Aufgaben angegeben; vielmehr wurde auf vorhandene Literatur verwiesen. Einige Aufgaben benétigten zu ihrer Lésung nicht das Prinzip der vollstfindigen Induktion; sie stehen jedoch in einem engen Zusammenhang zu Aufgaben und Beispielen, die sich wesentlich

auf dieses Prinzip stiitzen. Das Projekt wurde 1973 abgeschlossen. Als der Verlag mit mitteilte, daB die getrennten Titel ,,Die Methode

der vollstéindigen Induktion“ und ”Vollstindige Induktion in der Geometric“ in einem Band zusamrnengefaBt werden sollten, habe ich mich gem zur Mitarbeit entschlossen. In der vorliegenden Ausgabe entsprechen Einfiihrung und Kapitel 1 im wesentlichen dem Band III der ,,Kleinen Ergfmzungsreihe zu den Hochschulbiichern fiir Mathematik“, wéhrend sich Kapitel 2 und Nachwort mit dem Band XXVI

dieser Reihe decken. Gegeniiber dem Band III sind folgende Anderungen zu verzeichnen: — neuc Gliederung, — Unterscheidung von Beispielen und Aufgaben, — neue Beispiele und neue Lésungen im Text, insbesondere in der

Einfiihrung, — neue FuBnoten und stilistische Anderungen in Kapitel l. Diese Anderungen bedeuten nicht nur eine Anpassung an die russische Ausgabe von 1967, sie stellen meines Erachtens auch cine merkliche Verbesserung dar. Ich hoffe, daB dem vorliegenden Band cine éhnliche Popularisierung wie den getrennten Ubersetzungen beschieden ist. Er wendet sich an Schiiler hbherer Klassen, Studenten der ersten Semester

an Universitfiten, Pfidagogischen Hochschulen und anderen Hochschulen. Auch Mathematiklehrer werden den Band zur Vertiefung ihres Unterrichts und zur Arbeit in Mathematikzirkeln vorteilhaft verwenden kénnen. Potsdam, im Januar 1986

B. KLOTZEK

Inhalt

1.2. 1.3. 1.4.

Einfiihrung ...................

7

Vollstiindige Induktion in Arithmetik und Algebra . .

l9

Beweise von Glcichungen, arithmetische Aufgaben (Beispiele 1—13, Aufgaben 1—16) ......... Trigonometrische und algebraische Aufgaben (Beispiele 14—18, Aufgaben 17—23) ......... Aufgaben zum Beweis von Ungleichungen (Beispiele 19—24, Aufgaben 24—27) ............ Beweis einiger Sfitze der elementaren Algebra und Kombinatorik mittels vollstfindiger Induktion (Sétze 1—7) .....................

42

Vollstiindige Induktion in der Geometric ......

48

l9 31 35

Berechnung mittels vollstfindiger Induktion (Beispiele 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.3.

1—5, Aufgaben 1—3) .............. Beweise mittels vollstéindiger Induktion (Beispiele

48

6—16, Aufgaben 4—13) ............. Aufgaben fiber Karten .............. Farbungsprobleme ...............

55 62 66

Vollsta'indige Induktion bei Konstruktionen (Beispiele

2.4.

17—20, Aufgaben 14—16) ............ Bestimmung von Figuren mittels vollstéindiger Induktion (Beispiele 21—22, Aufgaben 17—23) . . . .

2.5.

Definition mittels vollstéindigcr Induktion (Beispiele

2.6. 2.6.1.

85 95

23—24, Aufgaben 24—34) ............. 102 Vollstéindige Induktion nach der Dimensionszahl (Beispiele 25—34, Aufgaben 35—42) ......... 116 Berechnung und Bestimmung von Figuren mittels vollstéindiger Induktion nach der Dimensionszahl . . 120

lnhal!

2.6.2.

Definition and Beweis mittcls vollsténdiger Induktion nach der Dimensionszahl ............ 125

Nachwort (JU. A. GASTEV) ............

143

Ijisungen der Aufgaben ..............

150

Zu Kapitel l .................. Zu Kapitel 2 ..................

150 162

Uta-am ....................

179

Einfiihrung

Bel Aussagen untcrscheidet man allgemeine und spezielle. Wit wollen zunichst einige Beispiele ffir allgemeinc Aussagen anf‘uhren: Alle Bfirger der UdSSR besitzen das Recht auf Bildung.

In jedem Parallclogramm warden die Diagonalen dutch ihren Schnittpunkt halbiert. Alle Zahlen, die mit einer Null enden, sind dutch 5 teilbar.

Die entsprechenden Beispiele speziellcr Aussagen sind: Petrov basitzt das Recht auf Bildung. In dem Parallelogramm ABCD wen-den die Diagonalen dutch ihrcn Schnittpunkt halbiert. I40 ist durch 5 teilbar.

Den Ubergang Von allgemeinen zu speziellen Aussagen nennt man Deduktion. Wir betrachten dazu ein Beispiel.

l. Alle Biirger def UdSSR basitzen das Recht auf Bildung. 2. Petrov ist Biirger der UdSSR. 3. Petrov besitzt das Recht auf Bildung.

Aus dcr allgemeinen Aussage l haben wir mit Hilfe der Aussage 2 die spezielle Aussage 3 gefolgert. Den Ubergang von speziellen Aussagen zu allgcmcinen nennt man Induktion. Dabei kann die Induktion sowohl zu richtigen als anch zu falschen SchluBfolgerungen fiihren. Wir wollen dies an zwei Beispielen erlfiutem.

-

1. I40 ist dutch 5 teilbar. 2. Alle Zahlen, die mit einer Null enden, sind dutch 5 teilbar.

Aus der speziellen Aussage 1 erhielt man die allgemeine Aussage 2, und diese ist richtig.

Eitfu'hrung

8

l. 140 ist dutch 5 teilbar. 2. Allc dreistelligen Zahlen. sind durch 5 teilbar. Aus der speziellcn Aussage 1 entstand die allgemeine Aussage 2. Dim Aussage ist jedoch falsch. Es fragt sich nun, wie die Induktion in der Mathematik‘) zu handhaben ist, damit man richtige Folgerungen erhéilt. Die Antwort auf dime

Frage sol] in dieser Broschfire gegeben werden. l. Wir wollen zunéchst zwei Beispiele fiir eine in der Mathematik unzulfissige Induktion betrachten. Beupiel 1. Es sei

-

1 1 _ 2 3+3.4+

s=__+_

1 1-2 1

+n(n+1)

.

S=——-=—’

‘

2

1

2

SZ‘I.—2+2-3‘3’ 1

1

S=-—-——

3

—

1

3

—=—,

1.2+23+3.4

4

s _1+1+1+1_4 “1-2

2-3

3-4

4-5‘5

ist. Auf Grund der erhaltenen Ergebnisse behaupten wir, daB fiir jede natfirliche Zahl n n II

n+1

ist.

Beispiel 2. Wir betrachten das von dem Mathematiker L. EULER, einem der ersten Mitglieder der Berliner und der Petersburger Akademie, angegebene Trinom x3 + x + 41. Setzen wir in diesem Trinom ffir x die lab] 0, so erhalten wir die Primzahl 4l. Setzen wir dann in dem

1) Vgl. das Nachwort.

Einffihrung

9

gleichen Trinom x gleich 1, so erhalten wir wiederum cine Primzahl, und zwar 43. Lassen wir in dem Trinom x die Folge 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 durchlaufen, so erhalten wir die Primzahlen 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Auf Grund dieser Ergebnisse kénnten wir behaupten, daB man stets cine Primzahl erhéilt, wenn man in diesem Trinom fiir x eine nichtnegative ganze Zahl einsetzt.

Warum ist die in diesen Beispielen angefiihrte Uberlegung in der Mathematik unzuléissig? Worin liegt die Unzuléinglichkeit unserer

SchluBfolgerungen? Bei diesen Uberlegungen machten wir cine allgemeine Aussage fiber jedes n (bzw. jedes x in Beispiel 2) lediglich auf Grund dessen, daB sich diese Aussage fiir gewisse Werte von n (bzw. x) als richtig er-

w1es. Man wendet die Induktion in der Mathematik‘) sehr oft an, abet man

muB sic auch richtig anwenden, da man bei leichtfertiger Verwendung der Induktion zu unrichtigen SchluBfolgerungen gelangen kann. So wird sich zwar unsere in Beispiel l aufgestellte allgcmeine Aussage - wie spiter im Beispiel 10 bewiesen werden soll — als richtig, unsere allgemeine Aussage von Beispiel 2 dagegen als falsch herausstellen. In der Tat ergibt sich bei aufmerksamer Untersuchung, daB das Trinom x2 + x + 41 ffir x = 0, 1, 2,

, 39 Primzahlen liefert, daB

dieses Trinom aber fiir x = 40 gleich 412, d. h. gleich einer zusammen— gesetzten Zahl ist?) 2. In Beispiel 2 begegneten wir ciner Aussage, die sich in 40 Fillen als richtig, im allgemeinen aber als falsch erwies. Wir wollen deshalb noch zwei Beispiele anfiihren, in dencn die Aussagen in gewissen speziellen Féillen richtig, allgemein jedoch falsch sind. Beispiel 3. Das Binom x" — l (n cine natiirliche Zahl) ist fiir die

Mathematikcr von groBem Interesse, da es mit der geometrischen Aufgabe der Teilung des Kreises in n gleiche Teile eng verkniipft ist. Es ist daher nicht verwunderlich, daB dieses Binom in der Mathematik

allseitig untersucht wird. Insbesondere interessiert die Mathematiker die Frage der Zerlegung dieses Binoms in Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten.

1) Vgl. das Nachwon. 2) AuBerdem ist ffir x = 41 die Zahl x1 + x + 41 = 412 + 41 + 41 offensichtlich dutch 41 teilbar.

10

Biiffihmng

Bei der Betrachtung dieser Zerlegung bei vielen speziellen Wen-ten von n stellten die Mathematiker fest, daB die absoluten Betrfige aller Koeffizienten bei einer Zerlegung die Zahl l nicht fibertreffen. Es gelten namlich die Identitaten x— l = x— 1 ,

xZ—l =(x—1)(x+ l), x3—1=(x—l)(xz+x+ l),

x‘— 1 = (x— l)(x+ l)(xz +1), x5—1=(x—l)(x‘+x3+x2+x+ 1), x“-1=(x— l)(x+ l)(x2+x+ l)(xz—x+ 1),

Es wurden Tabellcn aufgestellt, innerhalb dcren die Koeffizienten auch die genannte Eigenschaft besaBen. Versuche abet, dim Tatsache fiir jedes n zu bewcisen, schlugen fehl. Im Jahre 1938 etschicn darauf in der Zeitschrift ,,Uspechi matemati— deskich na “ (Fortschritte der mathematischen Wissenschaften), Heft

IV, cine Verétfentlichung dos hervorragenden soctischen Mathematikers und korrespondierenden Mitglieds dcr Akadcmie der Wissensctnf-

ten der UdSSR N. G. CEMAREV, in der er die sowjetischen Mathematiker auffordcrte, dies“ Problem zu lésen.

Diese Aufgabe 16st: V. IVANov.‘) Es zeigte sich, daB die erwiihnte Eigenschaft alien Binomen xll — l zukommt, deren Grad kleiner als 105 ist. Einer der Faktoren von x'°5 — l abet ist das Polynom

x“+x‘7+x“—x"—x”—2x“—x‘°—x”+x3‘ +x”+x“+x”+x"+x3‘—x"—x“—x“

—x’1—x’°+x”+x“”+x”+x"'+x‘-”+x12 —x9—A‘—2x7—x5—x5+xz+x+1, das diese Eigcnschaft nicht mehr besitzt.

Beispiel 4. Wir betrachten die Zahlcn 22" +'1.F1'ir n = 0,1, 2, 3, 4

crhaltenwirmit 22°+1=3, 22‘+1=5, 222+1=17, 223+1 = 257 und 22‘ +1: 65537 siimtlich Primzahlcn. P. Fmr, bedeutendcr franzfisischer Mathematiker des 17 Jhs, vermutete, daBalleso

gebildeten Zahlen prim sind Im 18 Jh. fand L. Bum, dz!) 2" + 1 mammengesctzt ist.

225 + l = 4294967297 = 641 - 6700417 . 1) Uspechi mat. nauk 9 (1941), 313—317.

Ebfihrung

l1

(Der junge C. F. GAuss erkannte schlieBlich die Bedcutung der in der Form 22' + 1 darstellbaren Primzahlen, der Fermatschen Primzahlen,

fiir die Theorie der mit Zirkel und Linea] ausfiihrbaren Konstruktionen regelmfiBiger n-Ecke; speziell ist ein regelmfifliges p-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn p Fermatsche Primmhl ist; Anm. d. Red). Beispiel 5. Der bedeutende deutsche Mathematikcr des 17. Jhs., Mitbegrfinder der Differential- und Integralrechnung, G. W. L-l bewies, daB ffir jede positive gauze Zahl n die Zahl n3 — n dutch 3, ns — n dutch 5 und n7 — n dutch 7 tcilbar ist (vglz Aufgabe 27 in [17]). Daraufhin vermutete er, daB fi'u' jede ungerade Zahl k und Eu jede

positive gauze Zahl n die Zahl n" — n dutch k teilbar sci, abet bald merkte er selbst, (130 2’ — 2 = 510 nicht din-ch 9 teilbar ist. Beispiel 6. Khnlich erging es dem bekannten sowjetischen Mathematikcr D. A. GRAVE, als er vermutete, daB 2'"| — 1 ffir Primzahlen p

nicht dutch p2 teilbar sei. Umgehend wurde die Vermutung fin alle

Primzahlen p < 1000 bestitigt. Aber bald wurde entdeckt, da1321092 —- 1 dutch 10932 teilbar ist (1093 ist eine Plimzahl). Somit muBte die Vermutung GRAVE aufgegebcn werden. Beispiel 7. Es ist die gréBtmégliche Zahl der Teile zu finden, in die cine Ebene dutch n Kreise zerlegt werden kann. Esist klar, daBdiese ZahlZfiirn=1(Abb. 1a),4fiirn=2 (Abb. 1b) und 8 mt n = 3 (Abb. lc) ist. Es ist natl‘irlich zu erwarten, 'daB auch im folgenden jedes Mal ein Kreis so gelegt werden kann, daB er alle frfiher erbaltenen Teile in zwei Teile zerlegt; unter dieser Voraussetzung verdoppelte sich die Anzahl der Teile bei Hinzunahme

93?)??? Abb. 1

eines weiteren Kreises, ergében sich bei n Kreisen 2'l Teile. Aber diese Annahme ist falsch, denn die gréBte Zahl von Teilen, in die

man cine Ebene dutch vier Kreise zerlegen kann, ist 14 and nicht 16;

fiir n Kreise ist die gesuchte Zahl n2 — n + 2.1)

‘) Vgl. die Lésung der Aufybe 35 von Kap. 2 auf S. 176.

Eirgfiihrung

12

Beispiel 8. ln wieviel Teile wird der Raum dutch n Ebenen, die dutch einen Punkt gehen, zerlegt, wenn keine drei von ihnen eine

Schnittgerade gemeinsam haben? Wir betrachten die einfachsten Spezialfaille dieses Problems. Eine Ebene zerlegt den Raum in zwei Teile. Zwei durch einen Punkt gehendc Ebenen zerlegen den Raum in vier Teile. Drei Ebenen, die einen Punkt, aber keine Gerade gemeinsam haben, zerlegen den Raum in acht Teile. Auf den ersten Blick k6nnte es scheinen, daB bei VergréBerung der

Anzahl der Ebenen um I der Raum in die doppelte Anzahl von Teilréiumen zerlegt wiirde und daB daher vier Ebenen den Raum in 16 Teile, fiinf in 32 Teile usw. zerlegen, allgemein, daB n Ebenen den Raum in 2'I Teile zerlegen.

In Wirklichkeit ist es jedoch nicht so, denn vier Ebenen zerlegen den Raum in 14 Teile, fiinf Ebenen in 22 Teile. Allgemein gilt, daB n Ebenen den Raum in (n — 1) n + 2 Teile zerlegen (vgl. Beispiel 13, S. 30f) Beispiel 9. Wir fiihren noch ein fiberzeugendes Beispiel an. Wir berechnen 99a + l fiir n = l, 2, 3,

und erhalten kein Quadrat, auch

wenn wir (ohne Hilfsmittel; Anm. d. Red.) Tage oder gar Jahre der Berechnung opfem. Aber wenn wir hieraus schlieBen, daB es unter

diesen Zahlen keine Quadrate gfibe, dann irren wir. Denn es erweist sich, daB sich unter den Zahlen 991n2 + l auch Quadrate befmden,

jedoch ist die kleinste natfirliche Zahl, ffir welche 991112 + l quadratisch ist, sehr groB: n = 12055735790331359447442538767 . Die betrachteten Beispiele erlauben den einfachen, aber gleichzeitig

auch wichtigen SchluB: Eine Aussage kann in einer ganzen Reihe spezieller Fiz'lle richtig und trotzdem allgemein falsch sein.

3. Es entsteht jetzt folgende Frage: Eine Aussage sei in einigen speziellen Féillcn richtig; alle Féille k6nnen jedoch unméglich untersucht werden; wie kann man erkennen, ob diese Aussage allgemein richtig ist?

Diese Frage kann mit Hilfe einer besonderen Methode, der sogenannten Methode der vollstt'indigen Induktion (SchluB von n auf n + 1) mnnchmal gelést werden. Diese Methode beruht auf dem Prinzip der vollstiindigen lnduktion, das in Folgendem besteht:

Einfiihrung

l3

Eine Aussage is! fiir jede natfirliche Zahl n richtig, wenn sie l. flir n = l richtig is: und wenn 2. aus der Richtigkeit der Aussage fiir eine

willkiirliche natfirliche Zahl n = k die Richtigkeitfiir n = k + 1 folgt.1) Beweisf) Wir nehmen an, die Aussage sci nicht fiir jede natiirliche Zahl n richtig. Es wfirde dann eine natiirliche Zahl m existieren mit der Eigenschaft, daB 1. die Aussage fiir n = m falsch, 2 fiir jedes n,

das kleiner als m ist, die Aussage richtig ist, (Mit anderen Wortcn: m ware die erste natfirliche Zahl, fiir welche die Aussage falsch ist.) Offenbar wire m > 1, da ffir n = 1 die Aussage richtig ist (Bedin-

gmg 1). Folglich wire m — l cine natfirliche Zahl. Daraus ergabe sich weiter, daB fiir die natiirliclle Zahl m — 1 die Aussage richtig, aber fiir

die nachfolgende natfirliche Zahl m falsch wéire. Dies widersprache der Bedingung 2. Bemerk un g. Beim Beweis des Prinzips der vollstéindigen Induktion haben wir benutzt, daB in jeder Menge natfirlicher Zahlen eine kleinste enthalten ist. Es ist leicht zu sehen, daB diese Eigenschafi ihrersells als Folgerung aus dem Prinzip der vollstindigen Induktion abge-

leitet werden kann. Somit sind beide Aussagen fiquivalent. Jede von ihnen kann man als Axiom ansehen, welches die Folge der natiirlichen

Zahlen definiert; die andere ist dann ein Satz. Gewéhnlich nimmt man als Axiom das Prinzip der vollstéindigen Induktion selbst.

4. Einen auf dem Prinzip der vollstandigen Induktion beruhenden Beweis nennt man Beweis durch vollsta'ndige Induktion. Ein derartiger Beweis muB notwendigerweise aus zwei Teilen bestehen, aus dem Beweis der beiden voneinander unabhingigen Séitze: ‘) Die Formulierung zeigt, daB im Sprachgebrauch der Autoren ,,natfirliche Zahl“ und ,,positive gauze Zahl“ identisch sind, d. h., dafl hier die Menge der natfirlichen Zahlen Null nicht enthéilt. — Anm. d. Red. 1) Beim ersten Lesen kann der Text bis zum lkt 4 (s. u.) ohne Nachteil fiir das Verstfindnis des folgenden ausgelassen werden. Denn das Prinzip der

kleinsten Zahl, mit dessen Hilfe das Prinzip der vollstandigen Induktion bewiesen wird, ist keineswegs einsichtiger als das Prinn‘p der vollstandigen Induktion selbst. Andererseits erweisen sich diese Aussagen, was ihre tiefere

Analyse zeigt, nur nach Voraussetzung zusatzlicher Hypothesen als aquivalent. Wir werden uns deshalb auf das Prinzip der vollstindigen Induktion als intuitiv auBerordemlibh .einleuchtende Voraussctzung beschranken; wir bemerken, daB es eines der die natfirlichen Zahlen bestimmenden Axiome ist.

Dariiber informiert das Nachwort und die dort angefiihrte Literatur detaillierter.

Ebgfiihmng

l4

Sat: 1. Die Aussage istfiir n = 1 richtig. Satz 2. Die Aussage 129t n = k + l richtig, wenn siefu’r n = k richtig ist, wobei k eine beliebige. natflrliche Zdhl ist.

Sind diese heiden Sfitze bewiesen, so ist auf Grund des Prinzips der vollstindigcn Induktion die Aussage fiir jedes natiirliche n richtig. Beispiel 10. Man berechne die Summe (vgl. Beispiel l)

1 1 1 1 s=—+—+— " 1.2 2-3 3-4+ ---+—. n(n+l)

2

’

52:3,

S3:

,

S4:

u|A

2

1 S1:

Alt»

Wirwissen,dal3

4

'

ist.

Jetzt wollen wir den Fehler, den wir im Beispiel l zulieBen, nich

wiederholen und nicht gleich behaupten, fiir jedes natfirliche n sci _ n

"_n + 1 ' Wir sind vorsichtig und sagen, die betrachtewn S1, 52, S,, S‘ wfirden n

.

die Vermutung nahclegen, daB die Bcziehung Sn = n + l fiir Jedes natfirliche n gilt. Gleichzeitig wissen wir, daB diese Vermutung fiir n = l, 2, 3, 4 richtig ist. Zum Beweis der Allgemeingfiltigkeit jener Vermutung wollen wir nun die Methode der vollstéindigen Induktion benutzen. l Satz LIFfir n = l ist die Vermutung richtig, da S1 = 5 ist. Sat: 2. Wir nehmen an, die Vermutung sci fiir n = k richtig, d. h., es sci _ _ k 1 + l + l +

3. ‘W

2.3

k(k+1)_k+1’

wobei k cine natiirliche Zahl ist. Wit zeigen, daB dann die Vennutung auch ffir n = k + l richtig ist, d. h., daB

k + l k+2

Sk+l = —

gilt.

Eirgfiihrung

15

_ In der Tat ist Sk+l = SI: +

1 (k + l) (k + 2) ’

und folglich nach Induktionsannahme

S

= "“

k+ k+l

1 (k+ l)(k+2)

=V+u+l=k+l (k+l)(k+2)

k+2'

Damit sind beide Sitze bewiesen. Auf Grund des Prinzips der vollstfindigen Induktion gilt also die Aussage, daB fiir jede natiirliche Zahl n S, =

n n + l

ist.

Bemerkung 1. Es ist notwendig, zu betoncn, daB ein Beweis dutch vollstfindige Induktion unbedingt den Beweis der beiden Sitze l and 2 verlangt. Wir sahcn schon, zu welchem Ergebnis die Nichtbcachtung des Satm 2 fiihl‘t (Beispiel 2). Nunmehr zcigen wit, daB auch Satz l niemals weggelassen werden darf. Wir betrachten dazu das folgcnde Beispiel. Beispiel ll. Behauptun g. Jede natiirliche Zahl ist der ihr folgenden

natfirlichen Zahl gleich. Wir ,,bewcisen“ dies durch vollstéindige Induktion. Wir nehmen dazu an, es sei

k=k+l,

(1)

undbeweisen,daBdann

k+l=k+2

-

(2)

gilt. In dcr Tat erhalten wir, wenn wir auf jeder Seite der Gleichung (l) cine l addieren, die Gleichung (2). Hieraus folgt: Ist die Aussage fiir n = k richtig, so ist sic auch fiir n = k + l n'chtig, und die Behauptung wéire bewiesen. Fol gerun g. Alle natiirlichen Zahlen sind einander gleich. Wo ist hicr abet der Fehler? Der Fehler liegt darin, daB der erste der fiir die Anwendung dcs Prinzips der vollstéindigen Induktion notwendigen Sfitze hier nicht bewiesen wurde und auch gar nicht richtig ist, daB vielmehr nur dcr zweite Satz bewicsen wurde.

l6

Einftihrung

Die Sitze l und 2 haben beide ihre spezielle Bedeutung. Satz l schafft sozusagen die Basis ffir die Durchflihrung der vollstéindigen Induktion. Satz 2 liefert die Berechtigung der automatischen Ausdehnung (Verbreiterung) dieser Basis, die Berechtigung fiir den Ubergang von dem gegebenen speziellen Fall zu dem folgenden, von n auf n + l (daher die Bezeichnung ,,Schlul3 von n auf n + l“; Anm. d. Red.).

Ist Satz l nicht bewiesen, wohl abet Satz 2 (vgl. Beispiel 11), so ist die Basis fiir die Anwendung der Induktion nicht geschaffen; daher

ist es sinnlos, Satz 2 anwenden zu wollen, da eigentlich nichts zum Verbreitern vorhanden ist. Wurde aber Satz 2 nicht bewiesen, sondem nur Satz l gezeigt (vgl. Beispiel l und 2), so fehlt die Berechtigung fiir eine Verallgemeinerung, obgleich die Basis fiir die Anwendung der Induktion vorhanden ist. Beme r k u n g 2. Die vollstéindige Induktion wurde im vorstehenden fiir einfachste Falle untersucht. In komplizierteren Fallen miissen die Formulierungen der Sitze 1 und 2 entsprechend geéndert werdcn.

Bisweilen stfitzt sich der zweite Teil des Beweises alif die Richtigkeit der Aussage nicht nur fiir n = k, sondem auch fiir n = k — 1. In diesem Fall muB die Aussage im ersten Teil {fir zwei aufcinanderfolgende Werte von n bewiesen werden (vgl. Beispiel 7 auf S. 24). Manchmal kann man cine Aussage nicht fiir alle natiirlichen n, wohl

aber ffir alle ganzen n, die oberhalb einer gewissen ganzen Zahl m liegen, beweisen. In diesem Fall verifiziert man im ersten Teil des Beweises die Aussage ffir n = m + l und, wenn dies notwendig ist, auch fiir gewisse nachfolgende Werte von n (vgl. Beispiel 10).

5. Zum SchluB wollen wir zur Klérung einer wesentlichen Seite der vollstz'indigen Induktion noch einmal auf Beispiel l zuriickkommen. Als wir die Summe

S

1 + 1 +

" _n

H

I I

+ —1

n(n + l)

fiir verschiedene Werte von n untersuchten, berechneten wir

S 1-3, l

S 2-3’ 2

S3-4, 3

S4—5"" - 4

Dies fiihrte uns zu der Vermutung, daB fiir jedes n n

s: " n+1

Einfu'hnmg

l7

gilt. Zum Beweis dieser Vermutung benutzten wir die vollstfindige lnduktion.

Wit batten Glfick und sprachen cine Vermutung aus, die sich dann auch bestétigte. Hitten wir eine sich als falsch erweisende Vermutung aufgestellt, so hitte sich der Fehler beim Beweis des Satzes 2 gueigt. Bekpiel 12. Wir wissen, daB l 1 s=.__+_

"

_.

1-2

2-3+

...

l

+n(n+1)

n

=——

n+1

l

U

ist. Nehmen wir an, wir bitten n+1

(2)

"m vermutet.

l . . Fiir n = l ist die Fennel (2) richtig, da S1 = a 1st. Nehmcn w1r an,

die Formel (2) sci flit n = k richtig, d. h., es gelte

>

_k+l *‘3k+1

Wir versuchen nun zu zcigen, daB die Formel (2) dann auch fiir n = k + l richtig ist, d. h., daB k+2

S"“‘3k+4 gilt. Nun ist abcr

s

1

“1

=s+——— “

(k+1)(k+2)

k+1

1

k3+4k2+8k+3

=3k+1+(k+l)(k+2)=(k+1)(k+2)(3k+l)’ d. h., wit fmden ein anderes als das erwartete Resultat. (Die beiden

Ausdriickc fiir S,“ sind nicht identisch; es mfiBte sich fiir alle natfirlichen Zahlen k dasselbe Resultat ergeben, abet schon fiir k = l unterscheiden sich die Ergebnisse; Anm. d. Red.) Also folgt aus der Richtig-

keit der Formal (2) fiir n = k nicht die fiir n = k + l. Wir haben vielmehr gefunden, daB die Fennel (2) falsch ist. Daher gestattet die vollstiindige Induktion, die bei der Suche nach einem allgemeinen Gesetz entstehenden Vermutungen zu pri’g'en, falsche zu verwerfen and richtigg zu bestd'tigen. 2

Sominski, lnduktion

18

Eirfu'hrung

Um die vollstfindige lnduktion anwenden zu lemen, muB man cine genfigende Anzahl von Aufgaben betrachten. Um die Bezeichnungen ,,Satz l“ and ,,Satz 2“ nicht immer wiederholen zu mfissen, vereinbaren wir, im folgcndcn den ersten und zweiten

Teil eines Induktionsbeweises mit 1° bzw. 2° zu bezeichnen (dim Teile bilden den Inhalt zweier Séitze, deren Beweis der Anwendung des

Prinzips der vollsténdigen Induktion gleichwertig ist). AuBerdem werden wir Beispiele und Aufgaben unterscheiden; den Beispielen fol-

gen genaue Lésungen, die Aufgaben sind fiir die selbstfindige Arbeit gedacht. Ffir sic sind am Ende des Biichleins die L6sungen oder Lésungshinweise angegeben, mitunter auch nur Hinweise auf andere leicht verstz‘indliche Literatur.

Vollstfindige Induktion

l.

in Arithmetik und Algebra

1.1.

Beweise von Gleichungen, aridlmetische Aufgaben

Beispiel l. Wir schreiben die ungeraden Zahlen der GréBe nach auf; l, 3, 5, 7, Die erste bezeichnen wir mit “1: die zweite mit uz, die dritte mit :43 usw., d. h., wir wollen u1 = 1, M2 = 3, “3 = 5, u4 = 7, setzen. Jetzt stellen wir uns die Aufgabc, cine Formel zu finden, welche

die ungeraden Zahlen u" dutch ihre Indizes n ausdriickt.

Lésnng. Die crste ungerade Zahl ul kann man in der Form

«=24—1

m

schreiben, die zweite ungerade Zahl u2 in der Form

u2 = 2 - 2 -— 1 ;

(2)

die dritte ungerade Zahl u3 in der Form

u3 = 2 - 3 — 1

(3)

usw. Bei aufmerksamer Betrachtung der Gleichungen (l), (2), (3) gelangt man zu der Annahme, daB man jede ungerade Zahl erhfilt, wenn man

ihren Index mit 2 multipliziert und davon 1 subtrahiert, d. h., fiir die n-te ungerade Zahl gilt die Formel

m=h~L

m

Wir wollen beweisen, daB diese Fonnel richtig ist.

1°. Die Glcichung (1) zeigt, daB die Fennel (4) fiir n = l richtig ist.

2°. Wir nehmen an, die Fonnel (4) sci fiir n = k richtig, d. h., die k-te ungerade Zahl besitze die Form uk=2k—l. 2.

20

1. Vollsu’z’ndige Induktion in Arithmetik und Algebra

Wir beweisen, daB die Formel (4) dann auch fiir die (k + l)-te ungerade Zahl richtig sein muB, d. h., daB diese die Form

uh+1 = 2(k + l)—1

oder, was das gleiche ist, uk+l=2k+l haben muB. Um die (k + l)-te ungerade Zahl zu erhalten, geniigt es, zur k-ten ungeraden Zahl die Zahl 2 zu addieren, d. h. u,‘ + 1 = u,k + 2 zu bilden. Nach Annahme ist u,‘ = 2k — l. Daher gilt

um=(2k—1)+2=2k+1, was zu beweisen war.

Ergebnis: u" = 2n — l. Beispiel 2. Man berechne die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.

Lésun g. Wir wollen die gesuchte Summe mit Sn bezeichnen, also

S,,=1 +3 +5 +m+(2n—1). Zur Lésung dieser Aufgabe gibt es in der Mathematik cine bestimmte Formel. Ffir uns ist es abet interessant, nicht auf cine fertige Formel

zurfickzugreifen, sondern zur Lésung dieser Aufgabe vollstfindige Induktion zu benutzen. Dazu ist es zunéichst notWendig, cine Vermutung aufzustellen, d. h. zu versuchen, die Lbsung zu erraten. Wir lassen n die Werte 1, 2, 3, durchlaufen, bis wir das n6tige Ma-

terial gesammelt haben, um auf dieser Grundlage eine mehr oder weniger aussichtsreiche Vermutung aufstellen zu kénnen. Danach ist dann noch diese Vermutung durch vollstandige Induktion zu bcwcisen.

Es ist S1=1,

52:4,

S3=9,

54:16,

S5 = 25 , S6 = 36 . Jetzt hangt allcs von der Beobachtungsgabe des Studierenden ab, von seiner Fahigkeit, aus den speziellen Werten die allgemcine Lésung zu folgem. Wir glauben, daB man in den gegebenen Fallen sehr schnell

S4=42 53:32, 52:22, Sl=lz, bemerkt. Auf Grund dessen kann man dann annehmen, daB allgemein S,l = n2 gilt. DaB diese Annahme richtig ist, wollen wir jetzt beweisen. l

1.1. Beweise van Gleichungen, arithmetisch‘e Aufgaben

21

1°. Ffir n = 1 besteht die Summe aus der Zahl 1. Der Ausdruck

n2 ist ffir n = 1 ebenfalls gleich 1. Folglich ist die Annahmc fiir n = l

richtig. 2°. Wir nehmen an, die Vermutung sci fiir n = k richtig, d. h., es sei Sk = k”. Wir beweisen, daB die Ve‘rmutung dann auch fiir

n = k + 1 richtig sein muB, d. h.

S,‘+1 = (k + 1)2 ist. In der Tat ist S,‘+1 = S, +(2k +1).

Da abet S,‘ = k1 ist, gilt

S,‘+1 =k2 +(2k +1)=(k +1)‘, was zu bewcisen war.

Ergebnis: S,I = n2. Aufgabe 1. Man bestimme das allgemeine Glied u", wenn u1 = l und fiir jede natiirliche Zahl k > 1 die Beziehung u,‘ = u,‘_l + 3 gilt.

Hinweis. u1 = 31—2, u2 = 3-2—2. Aufgabe 2. Man bestimme die Summe

S": 1 +2 +22 +23 +--- +2"-l. Hinweis. 1. S1 = 2—1;S2 = 22—1;S3 = 23— l, oder2. man betrachte ZS,I — S". Beispiel 3. Man bcweise, daB die Summe der ersten n Zahlen der n(n + 1)

natiirlichen Zahlenfolge gleich

ist. 2 Lésung. Diese Aufgabc untcrscheidet sich von den vorhcrgehcnden

dadurch, daB es hier nicht nétig ist, eine Vermutung aufzustellen; sie

ist gcgebcn. Es ist nur zu zeigcn, daB diesc Vermutung richtig ist. Wir bezeichnen die gesuchte Summe mit S", d. h., es ist

Sn=1+2 +3 +---+n. 1°. Fiir n = l ist die Vermutung richtig. 2°. Es sci

Sk=1+2+---+k= k(k 2+ 1)

22

1. Vollslfindige Induktion in Arithmetik and Algebra

Wit beweisen, daB S,‘+1 =

(k +l)(k +2) 2

k(k + 1) 2 womit die Aufgabe gelést ist.

St+l=Sk+(k+l)=

ist. In der Tat gilt

+(k+l)= w+na+m 2

Beispiel 4. Man beweise, daB die Summe der Quadratc der erst'en n n(n + 1)(2n +1),

positiven natiirlichen Zahlen gleich —6—— 1st

Lésung. Essei Sz(n) = l2 + 22 + 32 + 52(1) = 12 =

+ n’.

1(1 +l)(2-l +1) 6

+

+1

2°. Es sci S2(n) = ”60") . Dann ist

Sz(n +1)=12 +22 +32 +--- +nz +(n +1)z _n(n +l)(2n +1) +(n+l)1

6

undschlieBlich

+12(n +1 ) +1 ]. Sz(n+1)=(" +1 )K" +1 )6][ Beispiel5.Manbeweise

1n2

sl=lz—22+32_42+...+(_1)u— _n___(n+l)

Lésung. 1°. Fiir n = l ist die Annahme offenbar richtig (denn es gilt (—1)0 = 1). 2°. Essei

k1_(__1)k—1k(k2+1) Sh=11_22 +3z_... +(—1)“'1 Wir beweisen,daB

Sk+l = 12 — 22 "T 32 —

+ (—1)"'1 k1 +(_1)k (k +1):

(_l),(k +1)2(k +2)

23

l-.1. Beweise van Gleichungen, arithmetische Atgfgaben .

gilt. In dcr Tat ist

Sn+1 = Sh + (—l)" (k +1):

kk l I)" —’+ 1 gelte Ah+l =m-I4:

(m=t=1;a=t=fl).

l

Man beweise A

'

= (“n+1 _ Bil-Pl) __(au _ fl.)

(a'—B")—(at"“—li"“)'

(l)

Lésung. 1°. Wit beweisen zum'ichst, daB (1) fiir n = 2 richtig ist.

1.1. Beweise van Gleichungen, arithmetische Aufgaben

27

Nach Voraussetzung gilt

.

a

«I3

A2=m_m-1=(u+m_(a+fl)-l _a’+.82+ afl-a—B _

a+fl—l

Nach(l)ist

A_w—m—w—m 2

_ (f-[fl—(a—B)‘

Kfirzt man dicsen Bruch durcha— B, soerhilt man

A _a1+flz+afl—a—,8 2—

a+fl—l

’

was zu beweisen war. 2". Die Formel (l) sei fiir n = k richtig, d. h., es geltc = (0?“ _ BHI)‘ (al‘ Tfl , Au

(2)

(of — B‘) — (at"" — 13*")

Wir beweisen, daB sic dann auch fiir n = k + l richtig sein muB, d. h. A

_ (0?” _ 13"”) ._ (“kn _ but-+1) “-1—

(

+1_fik+1)_(ak_fik)

ist. In der Tat, a ist a

Ak+1=m__ A,‘

a

Oder

Ah+1=(a+fl)——B A; '

Benutzt man die Gleichung (2), so crhz'ilt man

A,‘+1 =(a+fl)-

«ma—m—w4—#*n (alwl __ phi) _(al _ I“)

(ak+2 _ Bk+2) __ (ah+l _ 33+ 1)

= WT womit der Satz bewiesen ist. Aufgabe 14. Man vereinfache das Polynom x 1_fi+

x(x—l) 2!

x(x-l)---(x—n+l) —"'+(-lr—n!—.

28

1. Vollsu'indige Induktion in Arithmetik und Algebra

Ergebnis: (— 1)"

(x— l)(x—2)'"(x—n)

n!

'

Beispiel 10. Man beweise, daB man jeden Rubelbetrag, der grc'SBer als 7 ist, mit Geldscheinen im Werte von 3 und 5 Rubel bezahlen kann,

ohne daB herausgegeben werden muB. Lésun g. Fiir 8 Rubel ist die Aussage richtig.

Die Aussage sei fiir k Rubel richtig, wobei k eine ganze Zahl grc'iBer oder gleich 8 ist.

Es sind zwei Féille méglich: l. k Rubel werden ausschlieBlich in 3-Rubelscheinen bezahlt und 2. k Rubel werden in Geldscheinen bezahlt, unter denen sich mindestens ein S-Rubelschein befindet. Im ersten Fall diirfen es nicht weniger als drei 3-Rubelscheine sein, da in diesem Fallk > 8 ist. Umk + l Rubelzubezahlen, miissen wir drei 3-Rubelscheine durch zwei 5-Rubelscheine ersetzen. Im zweiten Falle miissen wir einen 5-Rubelschein dutch zwei 3-Rubelscheine ersetzen, um k + 1 Rubel zu bezahlen.

Beispiel 11. Man zeige, daB die Summe der Kuben dreier aufeinanderfolgender natiirlicher Zahlen durch 9 teilbar ist.

Lésun g. Die Summe l3 + 2“I + 33 ist dutch 9 teilbar. Folglich ist die Behauptung richtig, falls‘ die erste der drei aufeinanderfolgenden natfirlichen Zahlen gleich l ist. Nun sei die Summe k3 + (k + l)3 + (k + 2)’, wobei k cine beliebige natiirliche Zahl ist, dutch 9 teilbar. Die Summe

(k +1)3 +(k +2)3 +(k +3)3 = [k3 +(k +1)3 +(k +2)3] +9(k2 +3k +3) léBt sich abet in zwei Summanden zerlegen, von denen jeder dutch 9 teilbar ist. Sic ist also ebenfalls durch 9 teilbar. Aufgabe 15. Man zeige, daB fiir nichtnegative gauze Zahlen n dcr Ausdruck A" = lln+2 +122n+1

dutch 133 teilbar ist. Beispiel 12. Man wfihle aus den 2n Zahlen 1,2, ,2n beliebig n + 1 Zahlen aus und beweise, daB unter diesen mindestens zwei sind, von denen eine dutch die andere teilbar ist.

I.1. Heweise von Gleichungen, arithmetische Aufgaben

29

L6sung.’) 1. Wir nehmen an, aus den 2n Zahlen 1,2, ,2n mit n g 2 him man n + l Zahlen so aussuchen kénnen, daB keine von

diesen Teiler einer anderen ist. Die Menge dicser n + l Zahlen bezeichnen wir zur Abkfirzung mit M,I +1. Wir zeigen nun, daB aus den 2n —— 2 Zahlen 1, 2, , 2n — 2 dann n Zahlen derart ausgewahlt werden kénnten, daB wiederum keine von ihnen durch eine andere teilbar lSt.

Es sind vier Falle méglich:

- 1. In M” H sind weder die Zahl 2n — l noch die Zahl 2n enthal— ten.

2. In MM1 ist die Zahl 2n — 1 enthalten, jedoch nicht 2n. 3. In M"+1 ist die Zahl 2n enthalten, jedoch nicht 2n — l. 4. In M"+1 sind sowohl 2n — l als auch 2n enthalten. Fall 1. Wir nehmen aus M"+1 cine beliebige Zahl heraus. Dann verbleiben in M" H noch n Zahlen, von denen keine gréBer als 2n — 2 ist. Keine dieser Zahlen ist durch eine andere teilbar.

Fall 2. Wir nehmen aus M"+1 die Zahl 2n — 1 heraus. Unter den restlichen n Zahlen ist ebenfalls keine gréBer als 2n — 2, und keine von ihnen ist durch eine andere teilbar. Fall 3. Wir nehmen aus Mn+1 die Zahl 2n heraus und kommen wieder zu dem gleichen Ergebnis.

Fall 4. Wir bemerken zunfichst, daB in M"+1 die Zahl n nicht enthalten sein kann, da sonst in M"+1 zwei Zahlen, nfimlich 2n und n, zu finden waren, von denen eine durch die andere teilbar ist. Wir nehmen

nun aus M"+1 die Zahlen 2n — l und 2n heraus. Die Menge der restlichen n — l Zahlen werde mit M,,_l bezeichnet. Wir ffigen nun die Zahl n zu M"_ 1 hinzu und erhalten n Zahlen, von denen keine gréBer als 2n — 2 ist. Es bleibt noch zu zeigen, daB unter diesen n Zahlen keine dutch cine andere teilbar ist. '

In Mn+1 existieren keine zwei Zahlen, von denen cine die andere teilt. Folglich gibt es auch in M"_l keine solchen Zahlen. Man muB sich nur noch davon fiberzeugen, daB zwei solche Zahlen auch dann nicht vorhanden sind, wenn wir die Zahl n zur Menge M,,_1 hinzunehmcn.

Fiir diesen Fall geniigt es nachzuprfifen, did) 1. keine der Zahlen aus M,,_l durch n teilbar ist und 2. die Zahl n nicht durch irgendeine Zahl aus M,,_l teilbar ist. DaB die erste Forderung erfiillt ist, folgt aus dcr Tatsache, daB alle

Zahlen aus M," 1 nicht gréBer als 2n — 2 sind. 1) Diese Lésung hat M. A. FRIDMAN angegeben, als er noch am padagogischen Institut in Leningrad studierte.

l. Vollsu'indige lnduku'on in Arithmetik und Algebra

30

Die zweite folgt daraus, daB die Zahl 2n durch keine der Zahlen aus

M,, ,V, teilbar ist. Nehrnen wir also an, die Behauptung sei ffir die 2n Zahlen 1, 2, , 2n falsch, so muB sieauch fiir die 2(n — l) Zahlen 1, 2, ,2n — 2

falsch sein. Wéire also die Behauptung fiir die 2(n — 1) Zahlen I, 2, l, 2,

, 2n — 2 richtig, so miiBte sie es auch fiir die 2n Zahlen , 2nsein.

Fiir zwei Zahlen 1, 2 gilt die Behauptung. Also ist sie auch fiir 2n Zahlen l, 2, , 2n giiltig, wobei n eine beliebige natiirliche Zahl sein kann. Diese Aufgabe kann man auch auf folgende einfache Art losen: Wir wahlen aus den 2n Zahlen l, 2,, 2n beliebige n + 1 Zahlen aus und be— zeichnen die Menge dieser Zahlen mit M" + ,. .lede gerade Zahl aus M"+1 teilen wir durch eine solche Potenz von 2, daB der Quotient ungerade ist. Aus diegn Quotienten und den ungeraden Zahlen aus M"+1 bilden wir die Menge M,I +1- In 171,,“ sind n + l ungerade Zahlen enthalten. von denen jede kleiner als 2n ist. Da es n positive ungerade Zahlen kleiner als 2n gibt, muB es in 11—1,." mindestens zwei gleiche Zahlen geben. Jede diese‘r gleichen Zahlen bezeichnen wir mit dem Buchstaben k. Dieses Ergebnis bedeutet, daB es in M"+1 mindestens zwei Zahlen 2‘k und 2’ k gcben muB. Eine von diesen ist jedoch dutch die andere teilbar.

Aufgahe 16. Man beweise, daB n verschiedene Geraden, die in einer

Ebene durch einen gemeinsamen Punkt gehen, die Ebene in 2n Teile zerlegen. Beispiel 13. Man zeige, daB n Ebenen, die durch einen Punkt gehen, abet so, daB nicht drei von ihnen eine gemeinsame Schnittgerade haben, den Raum in A" = n(n — 1) + 2 Teile zerlegen. Losun g. 1°. Eine Ebene teilt den Raum in zwei Teile, also A1 = 2. Fiir n = l gilt also die Behauptung. 2°. Wir nehmen an, die Behauptung sei richtig fiir n = k, d. h., k Ebenen mégen den Raum in k(k — 1) + 2 Teile zerlegen. Wir zeigen nun, daB dann k + l Ebenen den Raum in (k + 1) k + 2 Teile zerle-

gen. 1 Es sei 3 die (k + 1)-te Ebene. Mit jeder der ersten k Ebenen hat die Ebene s cine Schnittgerade gemeinsam; sie wird daher dutch die k verschiedenen Geraden, die alle dutch einen Punkt gehen, zerlegt. Aus Aufgabe l6 folgt, daB die Ebene a demnach in 2k Teile zerlegt

1.2. Trigonometrische und algebraische Aufyaben

31

wird, von denen jeder einen ebenen Winkel mit dem Scheitel im gegebenen Punkt darstellt.

Die ersten k Ebenen teilen den Raum in gewisse Polyederecken, von denen einige dutch die Ebene a in zwei Teile zerlegt werden. Die gemeinsame Flfiche zweier solcher Teile bildet der Teil der

Ebene, welcher von zwei Strahlen begrenzt wird, lings welcher a die Fléchen der gegebenen Polyederecke schneidet, d. h. einer der 2k ebenen Winkel, in welche die Ebene e zerlegt wird. Das bedeutet, daB die Zahl der Polyederecken, die dutch die Ebene s

in zwei Teile zerlegt werden, nicht groBer als 2k sein kann. Andcrerseits ist jeder der 2k Teile, in welche die Ebene a infolge ihres Schnitts mit den ersten k Ebenen zerlegt wird, die gemeinsame Fléche zweier Polyederecken und teilt folglich die Polyederecke, welche von den ersten k Ebenen gebildet wird, in zwei Teile. Die Anzahl der Polyederecken, die dutch die Ebene e in zwei Teile

zerlegt werden, kann also auch nicht kleiner als 2k sein. Die Ebene s teilt somit genau 2k Teile des Raumes, die von den ersten k Ebenen erzeugt werden, in zwei Teile. Teilen also k Ebenen

den Raum in k(k — l) + 2 Teile, so zerlegen k + l Ebenen den Raum in [k(k — l) + 2] + 2k = k(k + 1) + 2 Teile. Damit ist die Behaup—

tung bewiesen. 1.2.

Trigonometrische und algebraische Aufgaben

Beispiel 14. Man beweise die Identitét

cos ac cos 20:. cos 4a

_ sin 2"“0: cos 2"oc = 27“ sin a'

Lésun g. 1°. Fiir n = 0 ist die Gleichung richtig, da a _ sin 20:

‘ 2 sin a gilt.

2°. Die Gleichung gelte fiir n = k, d. h.

cosacos 20:

cos 2':

sin 2"+1 a 2k+l sinac

= __ .

Dann gilt sie jedoch auch fiir n = k + l, denn es ist

cos 0: cos 2a cos 2'“: cos 2"“0: sin 2"“0: cos 2"“0: _ sin 2"”0: _ 2"+2 sin a' 2“+1 sin a _

32

I. Vollstdndige Induktion in Arithmetik und Algebra

Beispiel 15. Man zeige, daB A, = cos n0 ist, wenn bekannt ist, daB A1 = cos 0, A2 = cos 26 und fiir jedes natiirliche k > 2 die Beziehung

A,‘ = 2cos 0A,‘_1 — A,‘_2 gilt. Lésung. 1°. Die Behauptung ist richtig fiir n = l und n = 2. 2°. Es sei

A“! = 'cos(k—'1)9.

AH = oos(k—2)0,

Dannfolgt ‘Ak = 2cosocos(k— l)0—cos(k—2)9 = ooskf).

Beispiel 16. Man beweise die Beziehung

' n+1

.

sm

.

.

.

smx + sx +

x

..

nx

+ smnx = —x—smT.

.

smE

L6sung. 1°. Fiir n = l ist die Behauptung richtig. 2°. Esgelte

sink+ l x + sinkx = —-—-—2-————sink—;. . . x smE

sinx + sin2x + Dannfolgt

sinx +sin2x + . k +1 sm—x

+sinkx +sin(k +1)x kx

=———sin—+sin(k+ l)x 2 . x '

gm;

. k+l

= sm

_

2

x

sm— +Zsin x'

SIDE

s' k+2 =

"1 2 x sm. k+1 x sin2

2

2

lat:

sk+lx 2

1.2. Trigonometrische and algebraische Aufgaben

33

wegen 2 cos

.

x

.

x sm —2- = sm

k+2

2

.

kx

x—sm—. 2

Aufgabe 17. Man beweise 2n+l 1 3+cosx+cos2x+m+cosnx=

sm

2

x

, x 2 sm 5

Aufgabe 18. Man beweise die Bezichung sinx +2sin2x +3sin 3x +

+nsinnx

_ (n + l)sinnx — nsin(n + l)x

, x 4 sm2 3

Aufgabe 19. Man beweise die Beziehung cosx +2cos2x +--- +ncosnx

_(n+ l)cosnx—ncos(n+ l)x—l

4 sin2 2

2 Aufgabe 20. Man beweise die Beziehung + inn: ltani+ 22 2 2

tx = —coti—co + item: 2; 2n 2" 2!!

(x :0: mn).

Aufgabe 21. Man beweise die Beziehung

‘21t 3 + arccot 5 + = arctanz +arctan§~ +

+ arocot (2n +1) +arctang—l—narctan l.

Beispiel 17. Man beweise die Beziehung

(l + i)’I = 2"/2 (cos at + isinnjn) .1) 1) Es gilti2 = —l. 3

Sominski, lnduktion

34

l. Vallstdndige Induklion in Arithmetik and Algebra

Losung. 1°. Fiir n = l ist die Behauptung richtig, da

l+i =2”2(cos%+ isin %) gilt. 2°. Es sei -

(1+1)

h:

2

kl:

k1: k1: (cos —4 +1sm —4). .

.

Dannfolgt

(1+i)“+1 = 2'”2 coslcI + isinfl -2”2 oos£+ isin 2)

4

4

4

4

= 2(k+1)/2 (cos (k :1)" + isin (k +41)1r>. Aufgabe 22. Man beweise (1/3— i)” = 2'l (cos %— i sin %).

Beispiel 18. Man beweise folgenden Satz: Erhéilt man unter Anwendung endlich vieler rationaler Rechenoperationen (d. h. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) auf die komplexen Zahlen x1, ,x,l die Zahl u, so kommt man unter Anwendung derselben , in zur lab! 12, Operationcn auf die konjugiert-komplexen Zahlen J21 ,

d. h. dcr zu u konjugiertcn. ' Lésung. 1°. Zum'ichst beweisen wir, daB die Behauptung flit jedc der vier Operationen bei zwei komplexcn Zahlen erfiillt ist. Es sci x1 = a + bi and x2 = c + di (a, b, c, dreell; Anm. d. Real). Dann folgt

xl +x2=(a +c) +(b +d)i=u; 321 +£2=(a—bi) +(c—ai)=(a +c)—(b+d)i=fi. Auf die gleiche Art liBt sich die Richtigkeit der Behauptung fiir die Subtraktion, Multiplikation und Division nachweisen. 2°. Es sei jetzt ein gewisser rationaler Ausdruck der komplexen Zahlen x1, , x” gegeben. Die Berechnung dieses Ausdrucks lfiBt sich bekanntlich auf die silkzessive Ausfiihrung von jc einer der vier Rechcnoperationen auf zwei komplexe Zahlen zuriickfiihren, wobei dim Operationen numeriert werden konnen.

1.3. Aufgaben zum Beweis van Ungleichungen

xlxz + x3x¢

Es sei beispielsweise u =

x1 + x2 — x3

35

. Zur Berechnung von u ge-

nfigt es, folgende Operationen auszufiihren:

1.xlx2

=ul,

4. “3—x3 = 144,

2.x3x‘

=uz,

5.ul+u2=u5,

3. xl+x2=u3,

6.145:u4

=u.

Wir nehmen an, die Behauptung sci richtig fiir alle Ausdrficke, zu deren Berechnung nicht mehr als k Operationen erforderlich sind. Unter Operationen verstehen wir hier Addition, Subtraktion, Multiplikation Oder Division zweier komplexcr Zahlen. Wir zeigen nun, daB dann die

Behauptung auch fiir Ausdrficke gilt, die k + l Operationen erfordern. Die letzte, (k + l)-te Operation fiihren wir an den Zahlen u,- und u,aus, die selber mittels héchstens k Operationen berechenbar sind. Ersetzt man die Zahlen x1,

, x,l dutch ihre Konjugierten, so gehen

die Zahlen uII und u, in ihre Konjugierten 12, und 12,- fiber. Dann leistet dies aber auch die Anwendung der (k + l)—ten Operation auf sie, d. h., auch die Zahl u geht in ihre Konjugierte 12 fiber. Aufgabe 73. Man zeige, daB fiir jede natiirliche Zahl n die Beziehung (cosx 4-isinx)’l = cosnx +isinnx gilt (Satz von Mom).

1.3.

Aufgaben zum Beweis von Ungleichungen

Beispiel 19. Man zeigc, daB fiir jede natiirliche Zahl n > 1 die Bedehung 1+1+ n+1

+l>l3

n+2

2n

24

gilt. Lésung. Wir bezeichnen die linke Seite der Ungleichung mit Sn. 1°. S2 = 17—2 = g, folglich gilt fiir n = 2 die Behauptung. 2°. Es sei S, > ; fiir ein gewisses k. Wir beweisen nun, daB dann

13

auch 5,, +1 > i ist; offenbar is! l

l

l

st=m+m+"'+'2? 3.

36

1. Vollsu'indige Induktion in Arithmetik and Algebra

S

—

l

"“'k+2

+

l

k+3

+

+l+

2k

1

2k+l

+—1

2k+2‘

Subtrahieren wir S,‘ von Sk + 1, so erhalten wit S

1 1 l —S=—+—__,

s

— s. = ——_— . " 2(k + 1) (2k +1)

‘“

"

2k+1

2k+2

k+l

d. h. l

"“

Ffir jedc natfirliche Zahl k ist die rechte Seite dieser Gleichung positiv. 13 . 13 . Daher 1st Sk+1 > Sk, und wegen Sk > — 1st erst recht 51+ 1 > fi' 24 Aufgabe 24. Man suche den Fchlcr in dem folgenden Beweis: Behauptung. Ffir jede natiirliche Zahl n gilt die Ungleichung

2" > 2n + l . Beweis. Die Ungleichung mége fiir n = k (k cine natfirliche Zahl) erfiillt sein, d. h., es gelte

2">2k+1.

(1)

Wir beweisen nun, daB dann die Ungleichung auch fiir n = k + l gilt, d. h.

2"+1 > 2(k +1) +1.

(2)

Fiir jede natiirliche Zahl k ist 2" nicht kleincr als 2. Wir addieren zur linken Seitc dcr Ungleichung (1) die Zahl 2", zur rechten Seite die Zahl 2. Wir erhalten die Ungleichung

2* + 2“ > 2k + 1 + 2 oder

2"“>2(k+l)+l. Damit ist die Behauptung bewiesen. Aufgabe 25. Fiir welche natiirlichen Zahlen n gilt die Ungleichung

2" > 2n + l? Beispiel 20. Ffir welche natfirlichen Zahlen n gilt die Ungleichung

2" > n1?

1.3. Aufgaben zum Beweis van Ungleichungen

37

Lésung.

Fiir n = l ist die Behauptung richtig wegen 21 > 12 . Fiir n = 2 ist die Behauptung falsch wegen 22 = 22 .

Ffir n = 3 ist die Behauptung falsch wegen 23 < 32 . Fiir n = 4 ist die Behauptung falsch wcgen 2‘ = 42 . Fiir n = 5 ist die Behauptung richtig wegcn 25 > 52 .

Ffir n = 6 ist die Behauptung richtig wegen 26 > 62 . Anscheinend gilt die Behauptung ffir n = l und fiir beliebiges n > 4. Wir wollcn dies beweisen. 1°. Fiir n = 5 gilt die Behauptung. 2°. Es sci

2">k2

(1)

erfiillt, wobei k cine gewisse natiirliche Zahl‘ >4 ist. Wir zeigen nun, daB dann auch

2"+1 > (k +1)2

(2)

gilt. Wir wissen, (12113 2" > 2k + l fiir k > 4 ist (Aufgabe 25). Addieren wir also 2“ zur linken Seite der Ungleichung (1), zur rechten Seite 2k + 1, so ethalten wir die richtige Ungleichung (2). Antwort. 2" > n2 fiir n = l und alle n > 4. Beispiel 21. Man beweise, daB (l + a)“ > 1 + no: gilt, wenn a > —1, 0: =0: 0 und n cine natiirliche Zahl gréBer als l ist. (Das ist die sog. Bemoullische Ungleichung; Anm. d. Red.)

Lésung. 1°. Fiir n = 2 ist die Unglcichung richtig, da 0:2 > 0 ist.

2°. Die Ungleichung sei fiir n = k erfiillt, wobei k cine gewisse natiirliche Zahl ist, d. h., es geltc

(l+a)">l+ko:.

(1)

Wir zeigen nun, daB die Ungleichung dann auch fiir n = k + l gilt, d. h.

(1 +a)"“>l+(k+l)a.

(2)

Nach Voraussetzung ist m'imlich (l + a) > 0, and daher gilt die Ungleichung

(1 4-0:)“+1 > (1 +kat) (l +cc),

(3)

38

1. Vollsta‘ndige lnduktion in Arithmetik und Algebra

die man aus der Ungleichung (l) durch Multiplikation jeder ihrer Seiten mit dem Faktor 1 + at erhéilt. Schreiben wir die Ungleichung (3) nun in der Form

(1+a)!‘+1>1+(k +l)a +ka2 und lassen auf der rechten Scite der letzten Ungleichung den positiven Summandcn kc:2 unberficksichtigt, dann erhalten wir die richtige Ungleichung (2). Aufgabe 26. Man beweise, daB fiir jede natiirliche Zahl n > 1

l

g

1

l;—

—|fi+—|/§+'"+_|/;> " gilt. Aul’gabe 27. Man bcweisc, daB fiir jde natfirliche Zahl n > 1 die Be-

ziehung .4“

2n !

m < £70)“ gilt. Beispiel 22. Man beweise die Beziehung 2"“(a’l + b") > (a + b)f' ,

(l)

wenn a + b > 0, a =3: b und n eine natiirliche Zahl gréBer als l ist. Lésung. 1°. Ffir n = 2 hat die Ungleichung (1) die Gestalt

2(a2+b2)>(a+b)z.

(2)

Da a :6: b vorausgesetzt wurde, gilt

(a — b)2 > 0 .

(3)

Addieren wir auf jeder Seite der Ungleichung (3) den Ausdruck (a + b)‘, so erhalten wir die Ungleichung (2). Damit ist geuigt, daB die Unglcichung (l) fiir n = 2 richtig ist. 2°. Die Ungleichnng (l) sei bereits fiir n = k richtig, wobci k cine beliebigc natfirlichc Zahl ist, d. h., es gelte

2"“(a" + If) > (a + b)‘.

(4)

Wir zeigen, daB die Ungleichung (1) dann auch ffir‘n = k + l gi‘lltig sein mnB. d. h.

2"(a"+1 + b"“) > (a + b)"“.

(5)

1.3. Aufgaben zum Beweis van Ungleichungen

39

Wit multiplizieren beide Teile der Ungleichung (4) mit a + b. Da nach Voraussetzung a + b > 0 ist, erhalten wir

2""‘(a* +b")(a +b)> (a +b)"“.

(6)

Um die Richtigkeit der Ungleichung (5) zu zeigen, genfigt es zu beweisen,daB 2‘01"“ + H‘“) > 2““(d‘ + b“) (a + b)

(7)

oder, was das gleiche ist,

a"+1 +b“+1 > a"b +ab"

(8)

gilt. Die Ungleichung (8) kann nun umgeschrieben wcrden: (a"—b")(a—b)>0.

(9)

[st (1 > b, so ist auch d‘ > H‘, und aufder linken Seite der Ungleichung (9) erhalten wir ein Produkt zweier positiver Zahlen. Ist a < b, so ist

aueh a" < b", und wir erhalten auf der linken Seite der Ungleichung (9) das Produkt zweier negative: Zahlen. Die Ungleichung (9) ist also in beiden Fallen richtig. Damit ist genigt, daB aus der Richtigkeit der Ungleichung (l) fiir n = k ihre Giiltigkeit fiir n = k + l folgt. Beispiel 23. Man zeige, daB fir beliebiges x > 0 und fi'ujede natfirliche Zahl n die Ungleichung

r+r -2 +x' —4 +

l

l

+xfl+r2

l Z +_ + x'_n

l 1()

gilt. -

Lésung. 1°. a) Fiir n = l besitzt die Ungleichung (1) die Form 1 x +x g 2_ (2)

Die Ungleichung (2) folgt aus der trivialen Ungleichung (x — l)2 g 0.

b) Fiir n = 2 hat die Ungleichung (1) die Gestalt l

x3 + l + — x, g 3 .

(3 )

Die Ungleichung (2) gilt fiir beliebiges x > 0, man kann also x dutch x2 ersetzen und erhiilt l xz+;g2.

40

1. Vollsta’ndige Induktion in Arithmetik und Algebra

.Ffigen wir zu jeder Seite der letzten Ungleichung die lab! 1 hinzu, so erhalten wir die Ungleichung (3).

2°. Wir nehmen an, die Ungleichung (1) sei bercits fiir n = k bewiesen, wobei k eine beliebige natiirliche Zahl ist, 'd. h., es gelte

l

l

#+£‘-2+-~+—+——2 +. )3“: AJ‘ — k l

4 ( )

Wir beweisen nun. daB die Unglcichung (1) dann auch fiir n = k + 2 erffillt ist, d. h., daB

1 1 1 X + 2+M+£ _ 2+---+F+?+?—figk +3 (5) gilt. Ersetzen wir in der Ungleichung (2) x durch )3”, so erhalten wit

)3‘” + — 3 2 .

(6)

Addieren wir die beiden Ungleichungen (4) und (6), so bekommen wir die Ungleichung (5). Fassen wir das Ergebnis kurz zusammen. In 1° 21) und 1° b) haben wir bewiesen, daB die Ungleichung (l) fiir n = 1 und n = 2 giiltig ist, und in 2° zeigten wir, daB aus der Richtigkeit der Ungleichung (l) fiir

n = k ihre Giiltigkeit auch fiir n = k + 2 folgt. Mit anderen Worten,

2° erlaubt uns den Ubergang von n = k zu n = k + 2. Die Ergebnisse von 1° a) und 2° geben uns das Recht auszusagen, daB die Ungleichung (1) flit jedes ungende n erffillt ist. Genauso folgt aus den Ergebnissen von 1° b) und 2° die Richtigkeit dcr Unglcichung (1) ffir jedes gerade n. Die Ungleichung (1) gilt also fiir jede natfirliche Zahl n. Beispiel 24. Man beweise folgenden Satz: Das geometrische Mittel

eincr gcwissen Anzahl positiver Zahlen ist nicht gréBcr als ihr arithmetisches Mittel, d. h., bei positiven a1, -

, an gilt

a,+a2+---+a,,

alaz...an§———.

(1)

n L6sung. 1°. Fiir n = 2 nimmt die Ungleichung (1) die Form .—

a

+a

ValaZ § ¥

an. Ffir beliebige positive a1L und a2 gilt die Ungleichung

(Va, -l/az)2 :0-

(2)

1.3. Aufgaben zum Beweis van Ungleichungen

41

Aus dieser Ungleichung ist abet die Ungleichung (2) leicht herzuleiten. Die Ungleichung (2) besitzt cine einfache geometrische Bedeutung.

Auf der Geraden AB seien die Abschnitte a1 und a2 nebeneinander abgetragen. Uber ihrer Summe als Durchmesser beschreiben wir einen

.

.

a +a

.— . .. Kreis. Dann Ist -% der Radius dieses Kreises und [/ala2 die Halfte der Sehne, die senkrecht zum Durchmesser durch den gemeinsamen

n t9

Punkt von a1 und a; geht (vgl. Abb. 2 mit a1 = a und a2 = b).

Abb. 2

2°. Wir nehmen an, die Ungleichung (1) sei fiir n = k richtig. Wir werden zeigen, daB sie dann auch ffir n = 2k gilt. Es ist nimlich

42"

aiaz‘"au=


2 Kreisfléchen gegeben, von denen je drci gemcinsame Punkte besitzen. Man beweise, daB mindcstens ein Punkt

existiert, der in alien Kreisfléichen liegt. Lésung. 1°. Fiir n = 3 ist die Behauptung offensichtlich. 2°. Wir setzen voraus, unsere Behauptung sci fiir je n Kreisflichcn schon bewimn und in der Ebene seien n + l Kreisfléichen C1, C2,

,

C", C"+1 gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung haben die n Kreisfléchen C1, C2,

, C,I wenigstens cinen gemeinsamen Punkt. Wir be-

zcichnen den Durchschnitt von C1, C2, C,I mit C (das ist ein Kreisbogenvieleck (Abb. 71b); es kann auch zu einer Kreisfliche oder zu eincm Punkt entartcn). Wir werden beweiscn, daB die Figur C mit der

Kreisfléche C"+1 gemeinsame Punkte hat. Wir nehmcn das Gegenteil

an. Dann kann eine Gerade I gefunden werden, die die Figuren C,,+1 und C trennt: Es sci A der Punkt der Figur C, der dcm Mittelpunkt 0 von Cu + l am nichsten liegt, and B der Schnittpunkt der Strecke (fl mit dem Rand von CH1. (Ein solcher Punkt existiert im Inncrn der Strecke a,

2.6. Vollstiz'ndige Induktion nach der Dimensionsl

131

da nach unscrer Annahme der Abstand des Punktes A vgn_ 0 gréBer als der Radius von C"+1 ist.) Dic Mittelsenkrechte von AB kann als Gerade l benutzt werden.‘) Da alle Kreisfléichen C1, C2,

, C,l die Figur C enthalten und nach

Voraussetzung gemeinsame Punkte mit C,” 1 haben, treffen sie auch die Gerade l. Wir bezeichnen die Strecke, die Cl aus der Geraden I schneidet, mit a1, die Strecke, die C2 aus dieser Geraden schneidet, mit a2 usw. Auf der Geraden l werden wir dann n Strecken a1, a2, , a” haben. Je zwei der Strecken a1, a2, , a,l haben wenigstens einen gemeinsamen

Punkt: Wir betrachten zwei von ihnen, etwa al und a2. Es sci M ein beliebigcr Punkt der Figur C, dann gehért der Punkt M sowohl Cl als auch C2 an. Da sich je drei von den gegebenen Kreisfléichen schneiden, existiert ein Punkfl im Durchschnitt von Cl, C2 und Cu“. Dann

gehért die Strecke MN ganz Cl und C2 an. Folglich wird ihr Schnittpunkt mit der Geraden I gemeinsamer Punkt der Strecken 111 und a2. Wie aus dem Satz A folgt, existiert auf der Geraden l ein Punkt, der alien Strecken a1, a2, , a,l angehért, also auch C1, C2, , C", folglich auch der Figur C. Das widerspricht der Konstruktion der Geraden I. Demnach miissen C"+1 and C einen gemeinsamen Punkt haben, und

dies ist ein gemeinsamer Punkt von C1, C2,

, C", C"+ I.

C. Man 16se die urspn'ingliche Aufgabe. Lésung. l“. Fiir n = 4 ist die Behauptung offensichtlich. 2°. Wir setzen voraus, unsere Behauptung sci fiir je n Kugelkérper

schon bewiesen, and es seien n + l Kugelkérper 451, 452,

, d)", d)"H

gegeben. Den Durchschnitt der n Kugelkérper (151, 452, , 45,, (der nach Induktionsvoraussetzung nicht leer ist) bezeichnen wir mit 45. Dann kann man wie in Beispiel 30B zeigen: Wenn der Kugelkérper 4),, +1 keinen Punkt von 45 enthfilt, dann existiert cine Ebene 1:, die 45 und 4’, + 1 trennt. Die Figuren, in denen die einzelnen Kugelkérper (Pl, (152,, (D, die 1) Wenn die Gerade I die Figuren C,,+1 und C nicht trennt, befindet sich

auf ihr ein Punkt K, der der Figur C angehért. 1m Dreieck OAK ist der Winkel 4): OAK ein spitzer; auBerdem gilt 1(a) g [(070 nach Definition des Punktes A. Folglich wird der Fqunkt L des Lotes von 0 auf die Gerade gu zwischen den Punkten A und K liegen, wobei 1(0_L) < [(07) gilt. Da die beiden Punkte A und K allen Kreisflichen Cl, C2,

, C, angehéren, gilt das auch

ffir die gauze Strecke R; folglich gehért auch ihr Punkt L jeder Kreisfliehe C1, C1, , C. an, also liegt auch ihr Punkt L in der Figur C. Deshalb muB [((i) g 1(a) gelten. Dieser Widerspruch, nach welchem das Lot linger wire als cine Schrfige, beweist unsere Behauptung. 9o

132

2. Vollstiindige Induktion in der Geometric

Ebene n: schneiden, sind Kreisfléichen, von denen je drei gemeinsame Punkte besitzen. Folglich existiert in der Ebene 1t ein Punkt, der allen diesen Kreisflfichen angehért und der also in d) liegt. Das widerspricht dcr Definition der Ebene 1t.

Der Satz des Beispiels 30 kann statt mittels vollsté‘mdiger Induktion nach der Dimensionszahl auch direkt mittels vollstiindiger Induktion nach der Anzahl der Kreisfléichen bewiesen warden. Beispiel 31. Man beweise den Satz des Beispiels 30B mittels vollstiindiger Induktion nach der Anzahl der Kreisflichen.

Lésung. Wir beweisen den entsprechendcn Satz fiir Kreisbogenvielecksfléichen, d. h. fiir Figuren, die Durchschnitt endlich vieler Kreisfléichen, d. h. ffir Figuren, die Durchschnitt endlich vieler Kreisfléichen

sind; hicraus wird als Spezialfall unsere urspriingliche Behauptung folgen: 1°. Fiir n = 3 ist die Behauptung offenbar richtig.

Gegcben seien vier Kreisbogenvielecksfléichcn C1, C2, C3, C4, von denen sich jc drei schneidcn. Wir bezeichnen mit A1 cinen gemeinsamen Punkt der Figuren C2, C3 und C4, mit A2 cinen gemeinsamen Punkt der Figuren Cu C3 und C4 usw. Es sind zwei Fille méglich:

a) Eincr der Punkte A1, A2, A3, A4, etwa A4, gehért der (eventuell zu einer Strecke entarteten) Dreiecksfléiche an, die durch die fibrigen drei Punkte bestimmt wird (Abb. 723). Da das Dreieck A1A2A3 ganz zu C4 gehért, ist auch A4 ein Punkt der Figur C4; folglich ist A4 gemeinsamer Punkt aller vier Figuren C1, C2, C3, C4. b) Keiner der Punkte A1, A2, A3, A4 gehért dcr Dreiecksfléiche an,

die von den fibrigen Punkten bestimmt wird. Dann wird der Schnittpunkt A der Diagonalen des (konvexen) Vierecks A1A2A3A4 (Abb. 72b)

A3

A,. . A1

A3

A1

A2

A: a) Abb. 72

b)

2.6. Vollsu'indige Induktion nach der Dimensionszahl

133

als gemeinsamer Punkt der Dreiecksfléichen AlAzAa, A1A1A4, A1A3A4 und AzAaA‘ gemeinsamer Punkt aller vier Figuren C‘, C2, C3, C4. 2°. Unsere Behauptung sei ffir n Kreisbogenvielecksflfichen schon

bewiesen. Wir betrachtcn jetzt n +1 Kreisbogenvielecksfliichen C1, C2,

, C”, C" H. Mit C bezeichnen wir den Durchschnitt der Figuren

C,l und Cu+1 (offenbar ist C ebenfalls cine Kreisbogenvielecksfléche) und beweisen, daB sich je drei der n Figuren C1, C2, , CPI, C schneiden; nach Voraussetzung existiert zu je drei der Figuren C1, C2, , Cn_ 1 wenigstens ein gemeinsamer Punkt; wir betrachten jetzt C und zwei weitere dieser Figuren, etwa Cl , C2, C. Da sich von den Figuren C1, C2, C", C.“ je drei schneiden, haben diese vier Figuren nach 1° einen gemeinsamen Punkt, und dies ist cin gemeinsamer Punkt der Figuren C1, C2 und C. Da sich je drei der n Figuren C1, C2, , Cn_1, C schneiden, haben nach Induktionsvoraussetzung alle diese Figuren einen gemeinsamen Punkt, der auch gcmeinsamcr Punkt der n + l Figuren C1, C2, , Cu,

C"+1 ist. Aufgabe 38. Man beweise die Aussagé des Beispiels 30C mittels vollsténdiger Induktion nach der Anzahl der Kugelkérper. Aufgabe 39. In der Ebene seien n Punkte Al, A2,

, A" gcgebcn,

und der Abstand zwischen je zw_ei von ihnen sci nicht gréfler als die Lfingeneinheit e. Man beweise, daB alle diese Punkte in einem Kreis mit dem

Radius-% e enthdlten sind (Satz von YOUNG1 )). 3 Aufgabe 40. Im Raum seien n Punkte A1, A2, ,An gegebcn, und der Abstand zwischen je zwei von ihnen sci nicht gréBer als die Uingeneinheit e. Man beweise, daB alle diese Punkte in einem Kugelkbrper 6 mit dem Radius VT e enthalten sind.

Eine Verallgcmeinerung der Aussage des Beispiels 30 und zahlreiche

Anwendungen findet man in [9]?)

l) J. W. YOUNG (1863——l942), englischer Mathematiker. 2) Die Aussage in Beispiel 3GB ist auch dann noch richtig, wenn statt der Kreisflfiche beliebige konvexe Figuren betrachtet warden; (Das ist nach dem Beweis zum Beispiel 30 unmittelbar einzusehen.) Dieser allgemeinere Satz ist als Satz von HELLY bekannt. — Anm. d. Red.

134

2. Vollstdndige Induktion invder Geometric

Beispiel 32. Wir betrachten endlich viele Halbrfiume‘), die den ganzen

Raum ausfiillen. Man beweise, daB man aus ihnen vier (Oder weniger) Halbraume auswahlen kann, die schon den ganzen Raurn ausfiillen._ Wit betrachten nacheinander folgende Aufgaben. A. Eine Gerade sei von endlich vielen Halbgeraden (Strahlen) fiberdeckt. Man beweise, daB man aus ihnen zwei Halbgeraden auswiihlen kann, die schon die Gerade fiberdecken. Lésun g. Es sei A der Anfangspunkt, der bei allen ,,nach links gerichteten“ Halbgeraden am weitesten ,,rechts“ liegt, und B dcr Anfangs— punkt, der bei allen ,,nach rechts gerichteten“ Halbgeraden .am weitesten ,,1inks“ liegt. Da die Halbgeraden nach Voraussetzung die Gerade fiberdecken, liegt der Punkt B nicht reehts von A, und die beiden

Halbgeraden mit den Anfangspunkten A und B fiberdecken die Gerade vollstéindig.

B. Die gauze Ebene werde von endlich vielen Halbebenen’.) fiberdeckt. Man beweise, daB man aus ihnen zwei oder drei Halbebenen auswiihlen kann, die schon die ganze Ebene fiberdecken.

Lésun g. Den Beweis fiihren wir durch vollsténdige Induktion nachder Anzahl n der Halbebenen. 1°. Fiir n = 3 ist die Behauptung offensichtlich. 2°. Wir nehmen nun an, unsere Behauptung sei fir n Halbebenen wahr, und es seien n +1 Halbebenen F1, F2, , E" F"+1 gegeben, welche die gauze Ebene fiberdecken. Die Trfigergeraden dieser Halbebenen bezeichnen wir mit ll, [2,

, l", I,I +1. Es sind zwei Falle méglich:

Fall 1. Die Gerade 1,.+1 ist ganz in einer der gegebenen Halbebcnen enthalten, etwa in F} Dann sind die Geraden l,I und 1,. + 1 parallel. Liegen die Halbebenen F" und F,' + 1 auf verschiedenen Seiten ihrer Tragergeraden (Abb. 73 a), dann'fiberdecken schon die Halbebenen F,l und EH 1 die Ebene. Anderenfalls ist eine dieser beiden Halbebenen ynz in der anderen enthalten (beispielsweise F,' +1 in F"; Abb. 73 b), und der Satz l) Jede Ebene zeflegt die Menge der fibrigen Punkte des Raumes in zwei Teile, sogenannte Halbn’iume, derart, daB die Verbindungsstrecke je zweier Punkte, die in verschiedenen Teilen des Raumes liegen, die Ebene trifft und die

Verbindungsstrecke zweier Punkte aus ein und demselben Raumteil die Ebene meidet. Die Ebene wird fifigerebene dieser Halbriume genannt. — Anm. d. Red. 2) Jede Gerade eincr Ebcnc mlegt die Menge der fibrigen Punkte der Eben: in zwei Teile, sogenannte Halbebenen, derart, daB die Verbindunystrecke

je zweier Punkte aus verschiedenen Teilen die Gerade trim und die je zweier Punkte aus ein und demselben Teil der Ebene die Gerade meidet. Die Gerade wird Tn’igergerade dieser Halbebenen genannt. — Am. :1. Red.

2.6. Vollsn'z'ndige lnduktion nach der Dimensionszahl

135

folgt aus der Induktionsvoraussetzung, weil in diesem Fall schon n

, F") die ganze Ebene fiberdecken.

Halbebenen (in unseren Fall F1, F2,

77777737777775

_

::::F 2:: ".1 \ln‘q

W7 77“ [EH-1 I "1

a)

b)

Abb.73

F”

'

Fall 2. Die Gerade "+1 ist in keiner der Halbebcnen F1, F2, , F" enthaltcn. Diese Halbebenen fiberdecken die Gerade I",( , und schneiden aus ihr m (én) Halbgeraden heraus, die In+1 iiberdecken. Wie wir in A sahen, kann man aus diesen Halbgeraden zwci auswéihlen, die ebenfalls

schon die Gerade fiberdecken. Die entsprechenden Halbebenen seien Fn _ l and F". Wit betrachten jetzt die beiden méglichen Fille der gegenseitigen Anordnung der Halbebenen F,l _ 1, 1",, and F. + 1 einzeln: 3) Die Halbebene F"+1 enthiilt den Schnittpunkt der Geraden 1,,_ l und 1,, (Abb. 74a). Dann fiberdecken schon die drei Halbebenen FL—p F" und Fn+1 die Ebene. In

1"-1

a) Abb. 74

b) Die Halbcbene Fn+1 enthilt den Schnittpunkt dcr Geraden 1..-, und l,I nicht (Abb. 74b). Dann wird die Ebene von den n Halbebenen F1, F2, , F, fiberdeckt, und der Satz folgt aus der Induktionsvoraus-

setzung.

C. Man lése die ursprfingliche Aufgabe. Lésung. Den Beweis fiihren wir dutch vollstfindige Induktion nach der Amhl In der gegebenen Halbrfiume. 1°. Fiir n = 4 ist die Behauptung offensichtlich.

136

2. Vollsu'indige lnduktian in der Geometric

2°. Wir nehmen an, unsere Behauptung sei fiir n Halbréiume wahr,

und es seien n + l Halbréiume V., V2, , V,,, V,,+l gegeben, die den Raum fiberdecken. Die Tragerebenen dieser Halbréiume bezeichnen wir mit 1t], 1:2, , 1t", 1!" +1' Es sind zwei Falle méglich: Fall 1. Die Ebene 1c“, ist véllig in einem der Halbréiume V1, V2, , V,. enthalten, etwa in V,,. Dann sind die Ebenen nu“ und 1t,I parallel. Wenn

die Halbréiume V,I +1 und V,I auf verschiedenen Seiten ihrer Trigerebenen liegen, fiberdecken schon diese beiden Halbréume den ganzen Raum. Anderenfalls ist einer der beiden Halbriume ganz in dem anderen enthalten, und der Satz folgt aus der Induktionsvoraussetzung.

F allZ. Die Ebene 11:,l + 1 ist nicht in einem der Halbréiume V1, V2,

, V"

enthalten. Dann wird sic von diesen Halbréiumen, die aus ihr m g n Halbebenen F,, F2, , Fm ausscheiden, vollstéindig fiberdeckt. Nach B kann man aus diesen Halbebenen zwei oder drei auswéihlen, die

bereits 1!" +1 fiberdecken (Abb. 73a und 74a). Wir betrachten die hier m6glichen FElle einzeln: 3) Die Ebene 11:" +1 wird von zwei Halbebenen (Abb. 73 a) fiberdeckt,

etwa von F1 und F2, wobei die entsprechenden Ebenen “1 und a, parallel sind (Abb. 75a). Dann wird der ganze Raum von den beiden Halb-

rfiumen Vl und V2 ausgefiillt. b) Die Ebene 1t" + x wird etwa von den beiden Halbebenen Fl und F2

fiberdeckt und die entsprechenden Ebenen 11:l und n2 schneiden sich

# I

«L3

c) Abb. 75

d)

2.6. Vollstiz'ndige Induktion nach der Dimensionszahl

137

(Abb. 75b). Wenn der Halbraum V,,+l die Schnittgerade der Ebenen 1:1 und 1:2 enthéilt, dann ffillen die drei Halbréiume V1, V2 und V"+1 den ganzen Raum aus. Anderenfalls wird der Halbraum V"+1 durch die Halbréume Vl und V2 fiberdeckt, und der Satz folgt aus der Induktions-

voraussetzung. c) Die Ebene 1t" + 1 wird von drei Halbebenen (Abb. 74a), etwa F1, F2 und F3 fiberdeckt, wobei die Ebene 1:3 zur Schnittgeraden der Ebenen 1:1 und n2 parallel ist. Die entsprechenden Ebenen bilden ein ,,Prisma“ (Abb. 75c). Dann fiillen die drei Halbraume V1, V2 und [’3

den ganzen Raum aus. d) Die Ebene 11"“ wird etwa von den drei Halbebenen F1, F2 und F3 fiberdeckt. Die Ebene n3 ist nicht der Schnittgeraden der Ebenen 1|:1 1:; parallel. Die Ebenen 1:1, 1:2, 1:3 und 1:,“ bilden cine ,,Pyramide“ (Abb. 75d). Wenn der Halbraum V,,+1 den Schnittpunkt der Ebenen 1:1, 1:2 und 1:3 enthéilt, fiillen die vier Halbréiume V. , V2, V3 und V..+1 den

Raum aus. Anderenfalls wird der Halbraum V,l +1 von den Halbrfiumcn V1, V2 und V3 fiberdeckt, und der Satz folgt aus der Induktionsvoraussetzung.

Aufgabe 41. Man beweise, daB im Raum nicht mehr als vier Halbgeraden (Strahlen) existieren kénnen, die paarweise zwischen sich stumpfe Winkel bilden. Beispiel 33. Man beweise die Existenz einer Zahl C3 deran, daB die Seiten

jedes rfiumlichen Vielecks AIA2 A", wenn sie simtlich hfichstens gleich der Langeneinheit sind, ohne Anderung ihrer GréBe und ihrer Richtung so umgeordnet werden kénnen, daB das entstehende Vieleck in einen Kugelkérper

mit dem Radius C3 eingeschlossen werden kann. Wie fiberall in diesem Abschnitt betrachten wit zuerst entsprechende ,,eindimensionale“ und ,,zweidimensionale“ Aufgaben.

A. Man beweise: Es gibt eine Linge Cl derart, daB fiir jeden geschlossenen Slreckenzug A1142 A" in einer Geraden, bei dem die Lange jeder der Strecken AIAZ, A2143,

, And/1", AnAl die Lingeneinheit nicht fiberlriffl, ein ge-

schlossener Streckenzug 3l

B" und eine eindeutige Zuordnung seiner

Seiten zu den Seiten von A IA2

A,l existieren, bei der einander zugeordnete

gerichtete Seiten A3145“, BkBk +1 den gleichen Vektor bestimmen (A,Ai +1 # BkB,‘ + I) und BIB; B, in einer Strecke der Linge 2C1 enthalten ist. Lésung. Wit vereinbaren, die Lange a‘ dc: Seite A,Ai +1 (i = l, 2, , n; unter A,“ verstehen wir den Punkt Al) unscres geschlossenen Streckenzuges A‘Az A, positiv zu zfihlen, wenn der Punkt A“.1 rechts von Ai liegt (wir

138

2. Vollsu'indige Induktion in der Geometrie

wéhlen unsere Gerade, auf der alle Punkte liegen, waagerecht), und negativ im anderen Fall; a,- ist also der gerichtete Abstand von A, nach A,+,. Dann ist a, + a2 der gerichtete Abstand von A, und A3 (der nach unserer Verabredung positiv oder negativ werden kann), a, + a2 + a3 der gerichtete Abstand von A, nach A4,

, a, + a2 +

and a, + a; +

+ a,,_, der gerichtete Abstand von A, nach A,

+ a,_, + a,I = 0 dc: gerichtete Abstand von A, nach A,.

Nach der Voraussetzung iiber den geschlossenen Streckenzug B, B, unsere Aussage wie folgt formuliert werden:

B,I kann

Es seien n positive bzw. negative Zahlen a,, (12,, a,_,,a,, gegeben. Die

Betré’ge dieser n Zahlen fibertreflen die Zahl l nicht, und ihre Summe is! gleich Null. Man beweise, dafi diexe Zahlen in eine solche Reihenfolge a,l, , a,__1, “l. umgestellt werden kfinnen (hier sind i,, i2, , ill _ ,, in die Zahlen l, 2, ,n — l,n, abet in anderer Reihenfolge), dafl alle Summen (1,1, :1,1 + aiz, a,l + aiz +

+ (1,3,

,a,l + 11,2 +

Reihenfolge a, , a2,

+ a,n dem Betrag nach eine Zahl C, (die von der

, a,I und von der Zahl n nicht abhfingt) nicht fibertreffen.

Wir bewciscn, daB C, = l gewihlt werden kann. Es seicn a1, a},

, a; alle

positiven Zahlen dcr Folge 0,, a2, , a,l und of, a3, , a: die fibrigen Glieder dieser Folge (p + q = n). Wit nehmen so viele der ersten positiven Zahlen afi, a5, ,.. , a; - (k < p), daB ihre Summe die lab] 1 nicht fibertrifft (z. B. nut die

Zahl a;). Banach ffigen wit so viele der negativen Zahlen af, a5,

, afll g q)

hinzu, daB die Summe alle! verwendeten Zahlen negativ, abet dem Betrage

nach nicht gréBer als l wird. Nun wenden wir uns von neuem den positiven Zahlen zu usw., bis wir alle gegebenen Zahlen verbraucht haben. Die dabei erhaltene Folgeaf = aim! = a5, ,a: = agah , = a,",at.,z = a2", ,ah, = a,", besitzt die geforderte Eigcnschaft. Den eben bewiesenen Satz fiber n positive bzw. negative Zahlen kénnen wit auch in einer anderen Form aussprechen: Die Ecken unscres Streckenzuges bestimmen Vektoren a,,

,a, dcrart,

(.1218 A, dutch a, in A,“ abgebildet wird. Die Betriige dieser n Vekloren fibertreffen die Zahl l nicht, und ihre Summe is! gleich dem Nullveklor. Diese Vektoren kfinnen in eine solche Reihenfolge a,1’ 0,2, , “‘- umgestellt werden, daflalle Summen a,“ a,l + «,2, a,l + “I": + «,3, "a, + «,2 + + a,_ dem Betrag nach die Zahl CI = l nicht fibertreffen. B. Man beweise: Es gibt eine Linge C2 deran, daB in einer Ebene fi'n' jeden geschlossenen Streckcnzug A,A2 A", bei dem die Linge der Seiten die [fingeneinheit nicht fibertrifft (Abb. 76), ein geschlossener Streckenzug DID, D, and eine eineindeutige Zuordnung seiner Seiten zu den Seiten von

A,A,

A. existieren, bei der einander zugeordnete gerichtete Seiten A,A,+, und

2.6. Vollstd’ndige lnduktian nach der Dimenstbnszahl DWDMl den gleichen Vektor bestimmen (14,141+, # DkDH.) und DID; in einer Kreisfliche vom Radius C2 enthalten ist.

139 Dll

Lésung. Wir beweisen, daB man fiir C2 stets [/3 Lingeneinheiten wihlen kann. Die Ecken eines beliebigen Streckenzuges bestimmen Vektoren al,

, an

derart, dafl A. durch a, in A.“ abgebildet wird (Abb. 76). Wir wéihlen aus den Vektoren einige, mit b,, , b, bezeichnete Vektoren derart nus, daB b = b.

+ bz +

+ b’ maximalen Betrag besitzt bzw. daB die die Figur schlieflende

Strecke B, B, +1 grfifltmégliche Linge hat (Abb. 77). Die fibrigen der Vektoren

Abb. 77 B:

140

2. Vollstd’ndige Induktion in der'Geometrie

at, (12,, a, bezeichnen Wil' mit b,+,, , b_. Es gilt b, + b; + + b. ' =01 +laz+"'+a,,=o. Wir zerlegen jeden der Vektoren I;v in seine Parallelkomponente b; und

seine Normalkomponente bf beziiglich b, d. h., es gilt b", II b, bf J. b and b, = b; + bf. Dann gilt offenbar bf+bf+---+bf=o,

b;+b§+---+b,’=b,

ml+m+w=o

uu+m+w=—h

sowie Ibfil é lund Ibfl g lfiir v = 1, ,n. Nach A kénnen bl, b2,... ,b3 bzw. hymn. ,b, derart la (1,... ,cl bzw. (3+1, .. . , c,I umgeordnet werden, daB

|cf+m+cfi|§l

fiir

|cf+1+m+cf|§l

fiir

u=l,2,...,s,

v=s+l,...,n

gilt.

Wiederum nach A kénnen wit die Vektoren ‘1bl, , b. umordnen, daB erstens die Reihenfolge c1, erhalten bleibt und zweitens

, c,l derart zu Vektoren , c, bzw. (”1,

, c,

|b;+~--+b;|§1 ffir v=l,...,n gilt. Wir erhalten nach dem Satz des PYTHAGORAS und nach der Dreiecksungleichung fiir Vektoren folgende Abschfitzung:

m+m+mFém+m+MF+M+m+fiF

fiir I. = l,

IIA

1 +(lqL +--- _+ c;| +|c:+1 +--- +c'L|)2

IIA

§1+|qL +--- +ct +cj+1 +--- +c,*|2 5

, n und geeignete u und v. Daraus folgt wie behauptet

Ibl +

+bzi § 1/;

fiir}. = l, ,n. Es sei D1 = Al und D,+1 der Punkt, der aus D. dutch Anwendung von 1), hervorgeht. Wir haben dann_ein n-Eck DID, D“, das in der Kreisflfiche

um Dl mit dcm Radius von [/5 Lingeneinheiten liegt. C. Man I65: die ursprfingliche Aufgabe. Hinweis. Man beweise, daB fiir C3 stets [/2_l Lingeneinheitcn gewihlt warden kénnen. Die Uberlegungen in diesem Fall verlaufen analog zu B; es

2.6. Vollsu‘z‘ndige Indukn‘on nach der Dimensionszahl sind die senkrechten Projektionen der Vektoren a1, a2,

141

, a,I auf die Ebene n.

die senkrecht auf der schlieBenden Strecke BIB, + 1 steht, zu betrachten.

Beispiel 34. Definition der Schwerelinien und des Schwerpunktes eines Tetraedcrs. A. Der Schwerpunkt einer Strecke sei wie in Beispie123 deflnjert. B. Auch die Schwerelim'en und der Schwerpunkt eines Dreiecks seien wie in Beispiel 23 definiert. C. Untcr einer Schwerelinie eines Tetraeders verstehen wir cine

Strecke, die einen Eckpunkt des Tetraeders mit dem Schwerpunkt der gegeniiberliegenden Seitenfléiche verbindet.

Wir bcweisen, daB sich die Schwerelinien eines Tetraeders in einem

Punkt schneiden. Dazu betrachten wir das Tetraeder ABCD (Abb. 78). Es scien 01, 02, 03, 04 die Schwerpunktc der Dreiccke BCD, CDA,

DAB bzw. ABC. Da sich die Geraden 9301 und g402 im Mittelpunkt P der Strecke E schneiden, schneidcn sich auch die Geraden gm] and

9302 in eincm Punkt 012. Analog dazu schneiden sich die Geraden 940: und gcoa, die Geraden 9‘01 und gm“, die Geraden n und 9603’ die Geraden gm,2 und 900‘ und die Geraden gm3 und gpo‘ in den Punkten

013 bzw. 014 bzw. 023 bzw. 024 bzw. 034. Wir beweisen nun, daB alle diese Punkte fibereinstimmen (auf der Zeichnung mit dem Punkt 0). Wiirden etwa 012 und 0” nicht fibcreinstimmcn, dann lfigen die Geraden gm1’ n und 9co3 in einer Ebenc 1: dnrch die Punkte 012, 013 and 023.

142

2. Vollstfindige Induktion in der Geometric

Dann [age abet auch die Gerade 9003’ die die Geraden g401, 9302 und g“,3 schneidet, in dieser Ebene u, d. h., alle vier Eckpunkte des Tetraeders mfiBten in der Ebene 1t liegen. Da dies nicht richtig ist, mfissen die

Punkte 012 und 0,3 fibereinstimmen. Mit diesen Punkten stimmen auch

alle fibrigen Punkte 014, 023, 024 und 034 fiberein.

Den Schnittpunkt der Schwerelinien des Tetraeders nennt man den Schwerpunkt des Tetraeders. Aufgabe 42. Man beweise, daB jede der Schwerelinien des Tetraeders dutch den Schwerpunkt im Verhéiltnis 3:1 (von den Eckpunkten aus gerechnet) geteilt wird.

Nachwort‘) Ju. A. GASTEV

Induktion (lat. inductio — Hinfiihren) ist der Ubergang vom Speziellen zum Allgemeinen; Deduktion (lat. deductio — Ableitung) ist der Uber-

gang vom Allgemeinen zum Speziellen. Die Bedeutung von Verallgemeinerungen der Ergebnisse von einzelnen Beobachtungen and Experimenten, also von Induktionen, fiir die empirischen, experimentcllen Wissenschaften ist wohlbekannt. Dagegen gilt die Mathematik schon von alters her als klassisches Beispiel der Anwendung rein deduktiver Methoden, weil hierbei — ob ausgesprochen oder nicht — stets die Auffassung besteht, daB sich alle mathematischen Sitze (auBer den Grundannahmen, den Axiomen) b'eweisen lassen und daB die kon-

kreten Anwendungen dieser Séitze aus den auf die allgemeinen Falle zugeschnittenen Beweisen hergeleitet, deduziert werden.

Nun findet man aber Formulierungen wie: ,,Man wendet die Induktion in der Mathematik sehr oft an, aber man muB sie auch richtig anwenden“2) oder ,,Es fragt sich nun, wie die Induktion in der Mathe-

matik zu handhaben ist, damit man richtige Folgerungen erhalt“3). Was bedeuten solche Ausfiihrungen? Kénnte man sic nicht so auffassen, als gabe es unter den mathematischen Methoden eine ,,zuverléssige“,

gfiltige, sozusagen stérungsfreie Methode — die deduktive Methode —, und eine ,,nicht véllig zuverléissige“ Methode, die, insbcsondere in ungoschickten Handen, oder, wie mancl‘ie Autoren sich ausdn‘icken, ,,bei leichtsinnigem Verhalten“, zu einem Fehlschlag fiihren kann — die induktive Methode? Wenn dem wirklich so ware, wo waren dann Kriterien fin- die Zuverlfissigkeit solcher ,,induktiver“ Methoden zu fmden? 1) Diese Ausfiihrungen vorwiegend terminologischen und methodologischen Charaktcrs sind in erster Linie fiir Mathematiklehrer und Leiter von mathematischen Arbeitsgemeinsehaften bestimmt. Soweit Fragen des Spraehge— branchs berfihrt werden, wurde der Text der deutschen Sprache entsprechend redigiert. — Anm. d. Red. 3) Vgl. S. 9. 3) Vgl. S. 8.

I44

Nachwor!

Wie kann man sich dariiber GewiBheit verschaffen, daB mathematische SchluBfolgerungen zu richtigen Ergebnissen fiihren? Oder ist das ein hoffnungsloses Unterfangen, und ist die Richtigkei‘t mathematischer Schliisse von derselben Art wie die von Verallgemeinerungen von Experimenten in den Naturwissenschaften, so daB man jede bewiesene Tatsache nochmals ,,verifizieren“ mfiBte, so wie man haufig Schiilern

die Richtigkeit des Ergebnisses arithmetischer Operationen oder der Losung von Gleichungen mittels einer allgemeinen Formel zu ,,verifi-

zieren“ empfiehlt? In Wirklichkeit verhéilt sich die Sache aber ganz anders. Die Induktion sch/echthin, d. h. das ,,Hinffihren“ (auf cine Idee,

auf eine Vermutung, auf eine Hypothese) spielt in der Mathematik zweifellos eine sehr grofle Roi/e, aber nur eine rein heuristische: Sie erlaubl, darauf zu kommen, wie die Lésung aller Wahrscheinlichkeil nach beschaffen sein muff. Mathematische Sitze mfissen aber deduktiv bestéitigt

werden. Kein einziges mathematisches Resultat kann Anspruch auf Sicherheit. auf Wahrheit erheben. wenn es nicht aus den Ausgangsvoraussetzungen hergeleitet wurde. Was ist nun aber ,,die Methode der vollstc'indigen Induktion“? Die

vollstéindige Induktion ist eine deduktive Methode; denn analysicren wir die Struktur mathematischer Schliisse, die wie der Ubergang vom Besonderen zum Allgemeinen aussehen, einmal niher, so erkennen wir

Icicht, daB die sogenannte vollstt'indige Induktion in Wirklichkeit gar keine Induktion im obigen Sinne, sondern eine rein deduktive Methode der Uberlegung ist. Ein Beweis, der mit dieser Methode geffihrt wird, besteht aus zwei Teilen: l. dem sogenannten Induktionsanfang, dem (deduktiven!) Beweis des behaupteten Satzes fiir eine spezielle natfirliche Zahl (oder auch fiir mehrere spezielle natfirliche Zahlen, z. B. fiir 0 oder 1) (Satz l, S. 14 oben) und 2. dem Induktiansschritt (Satz 2,

S. 14 oben), der im (ebenfalls deduktiven) Beweis der folgenden allgemeinen Behauptung besteht: Fiir alle n gilt, daB aus der Giiltigkeit der Behauptung ffir n auch die Richtigkeit fiir n + 1 folgt.‘) Das ,,Prinzip der vollstéindigen Induktion“ (S. 13) ist ein exakt for-

mulierbarer Satz — seine anschauliche Uberzeugungskraft wird von vielen Mathematikern als unanfechtbar angesehen; fiir den axiomatischen Aufbau der Arithmetik dagegen ist es ein Axiom, das es erlaubt,

aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt einen rein deduktiven Beweis des betrachteten Satzes ffir alle natfirlichen Zahlen n zu gewinnen. Somit werden tatséichlich alle, auch die in der Prfimisse nicht

1) Aus diesem Grunde wird diese Methode gelegentlich ,,SchluB von n zlufn + I“ genannl. — Anm. d. Red.

Nachwort

145

ben'icksichtigten Fille, auf welche danach (,,durch Induktion“) der

SchluB ausgedehnt werden miiBte, erfaBt; der Satz lfiBt sich néimlich fiir alle natiirlichen Zahlen beweisen: Ans dem Induktionsanfang, der etwa fiir die Zahl 0 bewiesen wurde, erhalten wir dutch den Induktions-

schritt den Beweis fiir die Zahl l, danach auf gleiche Weise fiir die Zahl 2, anschlieBend fiir 3, . . . — und so kann die Behauptung fiir jede natiirliche Zahl begriindet werden.‘) ' Mit anderen Worten, die Bezeichnung ,,vollstindige Induktion“ hat sich dadurch eingebfirgert, daB diese Methode in unserem BewuBt— sein Erinnerungen an die traditionellen ,,induktiven“ Schlqeisen

hervorruft (wird doch der Induktionsanfang tatséichlich nur fiir einen speziellen Fall bewiesen); der Induktionsschritt dagegen ist im Unterschied zu den auf Erfahrung beruhenden Wahrheitskriterien der induktiven Schliisse in den Natur- (und Gesellschafts-)wissenschaften cine allgemeine Aussage, die keinerlei Einzelpriimisse benétigt und nach den strengen Regeln der deduktiven Schlqeise zu beweisen ist. Aus diesem Grunde spricht man hier von ,,vollstéindiger“ oder auch ,,mathematischer“ Induktion, die cine deduktive — ,,hundertprozentig zuver-

lfissigc“ —— Methodc des Beweises ist, im Gegensatz zur gewbhnlichen ,,unvollstéindigen“ Induktion, die uns kein sicheres Wissen gewéihr-

leistet. Somit ist in der Mathematik die unvollstiindige Induktion aIs BeweisI‘ methode nicht anwendbar, was selbstverstéindlich in keiner Weise die breite Anwendung der deduktiven Methode der ,,vollstindigen Induk-

tion“) ausschlieBta). Nachdem wir uns fiber die Auslegung des Fachausdrucks versténdigt haben, kénnen wir uns natfirlich auch iibertragene Bedeutungen er-

lauben; so lautet beispielsweise die wértliche Ubersetzung der Uberschrift des zweiten Kapitels dieses Bfichleins kurz ,,Induktion in der

Geometric“). Man spricht auch gelegentlich von ,,Induktion in der 1) Uber die im Zusammenhang mit einer derartigen Begrfindung der Methode auftauchenden Probleme vgl. das Literaturverzeichnis. 2) cr die auBerordentlich niitzliche Rollc der ,,gewéhnlichen“ (,,unvoll-

stfindigen“) Induktion bei dem Zustandekommen mathematischer Vermutungen, die dann auch zur Entdeckung neuer Fakten ffihren, sowie fiber den Zusammenhang der ,,gewéhnlichen“ Induktion mit den Methoden der vollstfindigen Induktion vgl. [13] (insbesondere Kap. 7). 3) Ebensowenig wie den Gebrauch der unvollstfindigen Induktion als heuristisches Hilfsmittel. — Anm. d. Red. 4) Der bei der deutschen Ausgabe unmterstiindlich fonnuliert wurde. — Anm. d. Red. l0

Sominski, Induktion

146

Nachworl

Mathematik“, da wir wissen, was gemeint ist, nfimlich vollsténdige

Induktion. Man muB sich bei solchen Abkiirzungen abet immer bewuBt sein, daB der Terminus ,,Induktion in der Geometric“ eigentlich gar

nicht dieselbe Bedeutung hat wie die zwar lingere, abet genaue Bezeichnung ,,Anwendung der deduktiven Methode der vollsténdigen Induktion zum Beweis von Séitzen geometrischen Inhalts“ und (1313 ,,In-

duktion in der Mathematik“ genau genommen nicht dasselbe ist wie ,,mathematische Induktion“. Der Terminus ,,mathematische Induktion“ (,,vollstfindige Induktion“) ist als einheitlicher Ausdruck zu verstehen, nicht im Sinne von ,,Induktion in der Mathematik“.

Besondere Aufmerksamkeit in dieser Beziehung verlangt Abschnitt 2.6. Die dort gefiihrten Beweise von Sfitzen der Planimetrie, die sich

auf den Beweis der analogen Behauptungen fiir Geraden stfitzen, und die Beweise von Séitzen der Stereometrie, die sich auf die entsprechenden Resultate der Planimetrie stfitzen, sind selbst natiirlich nicht ,,gewohnliche“ Induktionen, Induktion schlechthin, sondern ebenfalls Anwen-

dungen des Prinzips der vollstiindigen Induktion. In diescm Abschnitt geht es gar nicht darum, alle Aussagen fiir alle n zu formulieren und zu beweisen (im gegebenen Fall ist n die Dimension des Raumes); es handelt sich vielmehr einfach um die Ubergéinge von einem speziellen Fall (n = l bzw. n = 2) zu einem anderen speziellen Fall (n = 2 bzw. n = 3). Allerdings ennoglicht die Analogie, die in diesen Beweisen zu erkennen ist, auch die Abstraktion zu dem echten Induktionsschritt (,,Satz 2“), der zum Beweis des betrachteten Satzes fiir den allgemeinen

Fall‘), d. h. fiir alle n, notig ist. Die Methode der vollstéindigen Induktion ist (in der Form, in der sic in diesem Buch betrachtet wird) eine Methode zum Beweisen von Sitzen der Arithmetik, genauer, von Sétzen, welche allgemeine Eigenschaften der natfirlichen Zahlen (0, l, 2, . . .) zum Ausdruck bringen; manchmal, wie in diesem Buch, liBt sich die Folge der natfirlichen Zahlen mit l beginnen; das ist abet unwesentlich. Fiir die Arithmetik der natfirlichen

Zahlen ist diese Methode in gewissem, hinléinglich einsichtigem und starkem Sinne ein universelles, oft sogar das einzige Mittel fiir Beweise. Beim axiomatischen (deduktiven) Aufbau der Arithmetik stfitzt sich das ganze Gebéiude auf die Definition der Rechenoperationen mit natfirlichen Zahlen dutch vollstiz'ndige Induktion’); beispielsweise wird

bei der Definition der Addition zuerst gesagt — als Induktionsanfang —, was es heiBt, l oder 0 zu addieren; danach — als Induktionsschritt der 1) Vgl. S. 1161f. 2) Man nennt sie auch rekursive Definitionen.

Nachwort

147

Definition — wird die Addition einer beiiebigen natiirlichen Zahl auf die Addition der ihr vorhergehenden Zahl zurfickgefiihrt. Daher ist es verstiindlich, daB wir bei einer axiomatischen Begriindung der allgemeinen Eigenschaften der natiiriichcn Zahlcn, die mit Addition and Multiplikation zusammenhangen, diejenige ,,Trcppe“ erklimmen miissen, aui' deren unterster ,,Stufe“ die entsprechende Eigenschaft ffir die kleinste natiirliche Zahl gilt, und auf der wir ,,den Aufstieg“ bis

zu dcm uns interessierenden allgemeinen Begriff ,,vollbringen“; anders ist nicht zu sehen. wie wir einen gewiinschten Beweis ,,in den Griff be-

kommen“ k6nnten.‘) Ebenso verhiilt sich die Sache mit dem Beweis beliebiger allgemeiner arithmetischer Sfitze! Wenn dies im Schulunterricht in Arithmetik und Algebra nicht zutage tritt, so liegt das daran, daB dieser sich, was zweifellos seinen

Sinn hat, vie] weniger auf die axiomatische Methode als vielmehr auf

Erfahrung und Anschauung stiitzt?) SchlieBlich wird sich auch der anspruchsvollste und kritischste Leser oft mit dem Wissen begniigen, daB etwa das Distributivgesetz der Multiplikation beziiglich der Addition bewiesen werden kann, und auf den Beweis selbst verzichten. Diese, wenn auch begriindete GewiBheit unterscheidet sich allerdings von einem echten Beweis etwa so, wie, sagen

wir, die Information durch cine Zeitung vom authentischen Wissen eines Augenzeugen, wobei diese Analogie sehr weit geht. Deshalb lernen die

Schiiler die Methode der vollstfindigen Induktion im Unterricht meist spfiter kennen als die anschaulichen und leicht verstéindlichen Eigenl) Genauso, wie jeder Satz fiber Eigenschaften der ,,Orthozentren von Viel-

ecken“, die durch vollstandige Induktion definiert warden (vgl. S. 113), notwendigerweise mit dieser Methode bewiesen werden muB. 2) In solchen Fallen, in denen in der Schule irgendwelche allgemeinen Eigenschaften der natiirlichen Zahlen bewiesen werden, verléiuft der Beweis, wenn er nicht schon induktiv gefiihrt wird, nur deshalb so, weil — haufig un-

ausgesprochen — als Primissen Sitze benutzt werden, zu deren strenger Begriindung vollstandige Induktion notig ist. In analoger Weise kann man in der euklidischen Geometric die Verwendung des euklidischen Parallelenaxioms ,,verschleiem“, indem man an seiner Stelle

irgendeine seiner Folgerungen benutzt. (Diese Auffassung bezieht sich auf den Aufbau der Arithmetik, bei dem die

natiirlichen Zahlen als Menge mit Nachfolgerfunktion betrachtet und die Peanoschen Axiome vorausgesetzt werden. Bei der Definition der natfirlichen Zahlen sowie deren Addition, Multiplikation und Ordnung in der Mengenlehre werden viele induktive Beweise entbehrlich; auf dieser Grundlage auch konnen Beweise und Definitionen mit Hilfe der vollstfindigen Induktion gerechtfertigt werden. —— Anm. d. Red.) [0‘

148

Nachwor!

schaften der arithmetischen Operationen, z. B. erst in Verbindung mit dem binomischen Satz, bei Operationen also, welche keineswegs schon so beschaffen sind, daB ihre Richtigkeit auf der Hand liegt. In dem MaBe, in dem andere Teile der Mathematik auf arithmetischen

Grundlagen beruhen, benc'itigen sie die Methode der vollstéindigen lnduktion. Dies hat zweierlei Grfinde. Zunéichst lassen sich viele Teile der Mathematik auf der Grundlage der Arithmetik der natiirlichen Zahlen aufbauen, z. B. die Theorie der rationalen Zahlen, die ihrerseits zur Theorie der reellen Zahlen fiihrt; andere Teile kénnen in arithmetischen

Ausdriicken interpretiert werden; beispielsweise kann man jeden Sachverhalt der euklidischen Geometric in der Sprache der ,,Koordinaten“

mittels reeller Zahlen ausdriicken. In diesen Féillen k6nnen Behauptungen, etwa geometrischen Inhalts, eben ffir diese arithmetische Inter-

pretation mit Hilfe vollstéindiger Induktion bewiesen werden. Man kann sagen, daB der geometrische Inhalt oder ein anderes Spezifikum deraniger Séitze fiir den Beweis selbst keine gréBere Rolle spielt als

z. B. die Natur der betrachteten Objekte bei der Aufgabe, drei Gurken zu fiinf Gurken oder drei Dampfer zu fiinf Dampfern zu addieren. Es kommt aber auch vor, daB der Induktionsanfang sich mit’nicht-

arithmetischen Methoden beweisen léiBt.‘) Selbst in diesem Fall ist aber der Induktionsschritt, sogar wenn er sich auf geometrische oder irgendwelche anderen Axiome stfitzt, eine allgemeine Aussage fiber natiirliche Zahlen, da es sich dabei darum handelt, daB eine gewisse Eigen-

schaft fiir jede natfirliche Zahl zutrifft.2)

‘

Wir weisen noch darauf hin, daB die Methode, welche sich zur Dutchfiihrung von Beweisen, die dem ProzeB des Aufbaus der natfirlichen Zahlen O, l, 2, . . . folgen, als so fruchtbar erweist, auch auf Prozesse

vollig anderer Art verallgemeinert werden kann; beispielsweise kénnen im Kalkfil der mathematischen Logik, der mit Formeln (,,Ausdriicken“) operiert, die aus ,,elementaren Formeln“ (,,Elementaren Ausdrficken“) der Form A, B, C, — mit Hilfe der Zeichen A (,,und“), v (”oder“), => (,,Wenn . . ., so . . .) und — (,,nicht“) aufgebaut sind, allgemeine

Eigenschaften der Formeln auf dem Wege der sogenannten (vollstfindigen) Induktion nach der Konstruktion der Formeln bewiesen werden. Man beweist erstens, daB jede elementare Fonnel die gesuchte Eigenschaft besitzt (lnduktionsanfang) und zweitens, daB aus der Tat-

sache, daB die Formeln X und Y die Eigenschaft llesitzen, folgt, daB auch die Formeln (X A Y), (X v Y), (X = Y) und X diese Eigenschaft 1) Beispiele solcher Art findet der Leser in diesem Buch. 2) Dabei wird ja der Ubergang ,,von n zu n + l“ fiir jedes n bewiesen.

Nachwort

149

besitzen (Induktionsschritt). In dieser Weise wird die Richtigkeit eines bewcisbaren Satzes fiir alle Formeln der erwéihnten Art gezeigt. Die

Analogie zu der im vorliegenden Buch betrachteten vollstfindigen Induktion ist so durchsichtig, daB sie auch dem unvorbereitetcn Leser in die Augen springt.‘) Im allgemeinen kann jede mathematische odcr logischc Konstruktion, die im Ubergang von einem Ausgangsobjekt oder mehreren Aus-

gangsobjekten zu neucn Objekten mit Hilfe einer Operation oder mehrcrer Operationen besteht, als Grundlage einer entsprechenden ,,induktiven“ Methode des Definierens und Beweisens dienen; diese ist dann,

wie wir gesehen haben, rein deduktiv. (Die rclativ geringe Rolle der Methode der vollstéindigen Induktion in der Analysis erkléirt sich daraus, daB die reellen Zahlen im Unterschied zu den natfirlichen Zahlen nicht das Produkt ciner solchen entwickelten und exakt beschreibbaren Konstruktion sind, so daB verschiedene Arten der ,,Induktion nach reellen

Zahlen“ bei weitem nicht die Allgemeingfiltigkeit besitzen wie die Methode der vollstiindigen Induktion in der Arithmetik und ihrc Modi-

fikation in der mathematischen Logik.) Zur Behandlung solchcr Fragen allgemeinlogischen und allgemcinmathematischen Charakters, die beim Leser jetzt entstehen konnen, verweisen wir auf die Spezialliteraturz). Die Aufgabe, eine erste Ein-

fijhrung in die Methode der vollstéindigen Induktion in der Elementarmathematik zu vermitteln, erfiillt das vorliegcnde Buch erfolgreich.

ll) Vgl. dazu etwa [12]. 2) Vgl. etwa E. LANDAU, Grundlagen der Analysis, Leipzig 1930; S. C. KLEENE, Introduction to metamathematics, Amsterdam 1952, § 7, 13, 21, 38 u. a.; P. S. Novucov, Grundzfige der mathematischen Logik, Berlin— Braunschweig 1973.

'Liisungen der Aufgaben

Zu Kapitel 1 l. Vermutung: u. = 3n — 2 .

l‘. Ffir n = l ist die Vermutung richtig.

2°. Es sci u,‘ = 3k — 2 . Dann folgt

u,+,=u,,+3=3k—2+3=3(k+1)—2. 2. Vermutung: S, = 2“ — I .

1°. Fin- n = l gilt die Vermutung. 2°. Es sci

g=r_. Dann folgt S,H=Sk+2“=2““—l.

3.1". Ffirn = list die Behauptung richtig. 2°.Essei

11+32+5=+-~+(2k—1)1=—_k(2k — 1:0" + 1)_ Dannfolgt

12+3’+--'+(2k-—l)’+(2k+1)’ _k(2k—-l)(2k+l)

(k +l)(2k +l)(2k +3)

3 ‘—3—— +(2k+l)’= —-

Zu Kapitel 1

151

4. 1°. Fiir n = 1 ist die Behauptung richtig. 2°. Essei kk+l

1

1.

1’+2’+---+k’=[( 2 Dannfolgt

l’+2’+---+k’+(k+l)3 k1k+1 k

1 k+2 2

=_(__)z+(k+|)3=[(_i_)]_ 4

2

5. 1°. Ffirn = listdie Behauptung richtig.2°.Essci +1_

l+x+xz+m+f=u. x—l

Dannfolgt k+l_

I

l+x+x2+u.+xk+xk+l=

xt+2_l +l=__‘

11—] ~ 6. 1°. Fir n = l ist die Behauptung richtig.

x—l

2°. Es sci

1-2-3 +--- +k(k +l)(k +2)=____"(" “H" 4+2)“ +3). Dannfolgt

1-2-3 +--- +k(k +l)(k +2) +(k +l)(k +2)(k +3) =k(k +1)(k +2)(k +3) 4

+(k + l)(k +2)(k +3)

=(k +l)(k +2)(k +3)(k +4)

-————-4

.

7. 1°. Fiirn = list die Behauptung richtig.

2°.Essei ;+_‘_+...+___' =_" , -1-3 3.5 (2k—l)(2k+l) 2k+l Dannfolgt

1 1 1 1 fi+fi+"'+(2k—1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3) =

k

2k+l

+

1

(2k+l)(2k+3)

=k+1

2k+3

152

Lé'sungen der Aufgaben

8. 1°. Fiirn = l ist die Behauptung richtig. 2°. Essei

k(k +1) k2 21 I2 —+—+---+.——=——. 1-3 3-5 (2k—1)(2k+1) 2(2k+1) Dann folgt

12

22

k2

3-5

(2k—1)(2k+l)

_+—+...+

1-3

_k(k+l)

(k+l)2

(k+l)2

_2(2k+1)

(2k+l)(2k+3)

—(k+1)k(2k+3)+2(k+l)

(2k+l)(2k+3)_

2(2k+1)(2k+3)

_(k+1)(2k2+5k+2)_(k+1)(2k+1)(k+2) 2(2k+1)(2k+3)

"

2(2k+l)(2k+3)

_(k+l)(k+2) ’

2(2k+3)

9. 1°. Ffir n = l ist die Behauptung richtig. 2°.Essei l

+

14

l

+

+

4-7

1

_

k

(3k—2)(3k+l)_3k+l'

Dannfolgt l

l-4

+

l

4-7‘

+

+

k

l

(3k—2)(3k+l)

l

+

l

(3k+l)(3k+4)

k+1

=3k+l +(3k+1)(3k+4)_ 3k+4' 10. 1°. Ffir n = l ist die Behauptung richtig. 2°.Essei

1 + 1 + TE 5’3

+

1 _ k (4k—3)(4k+l)-4k+1’

Dannfolgt

1

1

1.5

5-9

..._+__+..

_'k _4k+l

+

1

1

'+(4k—3)(4k+1)+(4k+l)(4k+5) 1

_k+1

(4k+l)(4k+5)_4k+5'

Zu Kapitel I

153

11. 1°. Fiir n = 1 ist die Behauptung richtig. 2°. Es sci

1

1

1

k

a(a+l)+(a+ l)(a+2)+m+(a+k—l)(a+k)= a(a+k)' Dannfolgt I

+

l

a(a+1)

+

+...+

(a+l)(a+2)

l (a+k—l)(a+k)

l = k + . l (a+k)(a+k+l) a(a+k) (a+k)(a+k+l) _

k+1

— a(a+k+ l)-

12. 1°. Ffirn = l und n = 2 gilt die Behauptung. 2°. Essei dbl—Bk"! ak_fit u_ u_ u 2 =——, a—fi n | =—. fi‘fl

Dannfolgt ak_

h

uk=(a+fi')

k—l_

p—afia

“—3

k—l

5

+1_

=0,

a—fl

+1

Bk

a—fl

.

[3. 1°. Ffirn = 0erhalten wit 1

1

l +x

x— l

2

l — x2 '

'Die Behauptung gilt also ffir n = 0. 2°. Angenommen, es sei

1+2+4++2h12k+1 1+x 1+x2 1+x‘ 1+x2*_x—1+1_x2*+1' Dann folgt l

2

1+x 1

4

1+xz 2k+l

2k

2k+l

1+x‘+m+1.;.x1"+1.:,x1"+1 ~2M1

1

213+:

x—l+1_x2"+1 + l+x1h+l _x—l + 1_x2t+1‘

l4. Fiir n = l gilt

154

liisungen der Aufgaben

fiirn=2

x

x(x—l)

“U“

x—l_x(x—l)_(x—-l)(x—2)

2!=_1+2'

2!

undffirn=3 x

x(x—l)

l_fi+

2!

x(x-l)(x—2)

_

3!

_(x—1)(x—2)_x(x—1)(x—2)__(x—1)(x—2)(x—3) ‘

2

6

_

]_%+x(x2!

3:

'

.

Diesfiihrtmdcennutung _|

-1...

_

1

)+...+(_1)-MT:X_"+_)

u—Du—mmh—m 1°. Fi‘u'n = l istdie Vermutung richtig. 2°.Gilt x

x(x-l)

x(x—l)---(x-k+l)

"W 2; ""+“"‘—T_ _ l.(x-l)(x-2)-~-(x-k) -(-)———k!——. sofolgt x

l—fi+

_

x(x—l) 2!

x(x—l)---(x—k+l)

_...+(_1)‘+

+1m(x——l)---(x—k)

+( [)5

(k+l)!

__.(x—l)(x-2)---(x—k)

"( l)

k!

_

+1x(:r.—l)~--(x—k)

H 1"

(k+l)!

_ _ MW L.]

"(1)

k!

[k+l

I

=(—l)'” (x - l)(x - 2) ---(x— k)(x — k — 1).

(k + 1)! 15. 1°. Ffir n = 0 ist die Behauptung richtig. 2°. Wir nehmen an, die Behauptung gelte ffir n = k, d. h., At = “In-z +1211”!

Zu Kapitel I

155

sci dutch I33 teilbar. Dann folgt A

= “11+: +1221k+n+1 = ”11+: +1221”: k+l

=11-11‘*‘1+144-121‘m = 11 -11"+2 + 133- 121*“ +11-122"+' =111n”1+1?“n-+n34?“1 = 11A,: Has-121"“. Wit haben A, +1 als Summe zweier Summanden dargestellt, die beide dutch 133 tcilbar sind. Folglich ist auch A. H dutch 133 teilbar. 16. 1°. Fiir n = l is! die Behauptung richtig, da cine Geradc die Eben: in zwei Tcile mlegt. 2°. Wit nehmcn an, (1313 k verschiedcne Geraden, die dutch eincn Punk! gehcn, die Eben: in 2k Teile zeflegen. Dann mlegt die (k + l)—te Gerade, die dutch den glcichcn Punkt geht, zwei dieser Teile in je zwei Teile, die Ebene wird also in 2k + 2 = 2(k + l) Teile mlegt. 17. 1°. F1“): 11 = l is! die Behauptung richtig wagen

, 3x sm—

. x , 3x . x s1n—+ sm——sm— 2 2

2mi

2mi

2_ 2

( 2

)

=E+COSX.

2

2°.Esgelte . 2k+l an 2 x

1

3+cosx+cos2x+m+coskx=

,

x

28111;

dannfolgt l . 3+oosx+ws2x+---+coskx+cos(k+l)x

. 2k+l 5m x 2 =————x——+cos(k+l)x 231n— 2

;

156

Lé‘sungen der Aufgaben , 2k +1 sm x + 25ing'cos(k + 1):: 25ini 2 .2k+l ( 2k+3 ,2k+1) sm x+ sm x—sm x 2 2 2 2 sin5 2

.2k+3 sm

x

.

2 sin i 2 18. 1°. Ffir n = l gilt die Behauptung wegen

28inx—sin2x _ 25inx(l— cosx) x x = sin x.

4 sin1 —

4 sin2 —

2

2

2°. Es sci sinx+25in2x+..~+ksinkx=(lc+—l)slnkx-—kflnqc+_l).j;

4 sin2 : 2

dann ergibt sich sinx +Zsin2x +

+ksinkx +(k + l)sin(k + 1)::

=(k+l)smkx_k:m(k+1)x+(k+l)sin(k+l)x 4sin1—

_ (k+l)sinkx—ksin(k+l)x+2(k+l)sin(k+ l)x(l-cosx) X

4"51112 _(k+2)sin(k+l)x+(k+l)sin kx_ 2(k+l)cosxsin(k+l)x 4 sin2 : 2

4 sin2 : 2

Zu Kapitel I

_ (k+2)sin (k +l)x +(k+l)sin kx_(k+l)[sin(k+2)x+sinkx]

x 4 sinz —

4 sin2 :

2

2

_(k+2)sin(k+l)x—(k+1)sin(k+2)x

4 sin’ i 2

19. 1°. Fiir n = l ist die Behauptung richtig wegen Zeosx—cos2x —l

2cosx— 2cos2x

4 sin2 5-

4 sin‘ 3:

2

2

cosx(1- cosx)

= —— = cosx.

2sin2 3‘— 2

2°. Gilt cosx +2cos+--- +kcoskx (k+ l)coskx— kcos(k + l)x—l x

I

4 sm ' 2— 2 sofolgt

oosx +2cos +--- +kcoskx +(k +l)cos(k +l)x =(k + l)coskx—kcos(k+ l)x-l+(k+ l)cos(k+ 1)::

4sin2: : (k+ l)cos'kx—kcos(k + l)x—l

4sin25 + 2(k+ l)cos(k + l)x(l —cosx) x

4‘1— Sln2 _ (k+2)cos(k+ l)x+(k+ l)coskx

4sin1i 2

_ 2(k +l)cosxcos(k+1)x+l x

4'1— smz

157

”men der Aufgaben

158

=(k+2)cos(k+ l)x+(k + 0k

.,x

4sm 2

_(k+ l)[oos(k+ 2)x+coskx]+l

x 4s'n2—

' 2

=(Ic+2)cos(k+l)x—(k+ l)cos(k+2)x—l

4sin’: 2

20. 1°. Fiir n = l ist die Behauptung richtig wegen

l—tanzi

tanzi

2 ltanx " ‘2 "_‘—=— 2 2l—cot£—ootx——cotx

Ztani

2tan32i

2

2

2°. Essei l

x

l

x

l

x

x

l

x

'

x

l

Emn3+§5tan§+m+itan7=yoot?—cotx,

dannfolgt lta

5

t

l

x

n3+§ani+m+§itan§+fitmifir

x

1

x

1

=—zrcot?—cotx+2k—+;tan5m2 1

cat

X I

2k+l-l

=F—-—x

+_————cotx

cot 2—,: l

2"+l cot 2‘“

x

=FootF—cotx.

21. 1°.Esgilt

2_

tan (arctan 2 —— arctan l) =

l 1 + 2

1 ~

3’

folglich ist l arctan 2 —- arctan l = arctan 5 = arocot 3 . Fiir n = 1 ist die Behauptung also richtig.

Zu Kapitel I

159

2°. Wir beweisen zunéchst k+2 arooot (2k +3)=arctan'——arctanl. k+l

(l)

Esistnimlich k+2 l k tan(arctan +2—arctanl>=L=;, k+l k+2 2k+3

1+—— k+l

also

arctan 2k+3—aroco( I t2k+3 )—arctak+2 nk+1

arctanl.

Nehmen wir nun an, die Behauptung sci ffir n = k richtig, d. h., es gelte arccot3 +arocot5 +

+aroéot (2k +1)

3

+ arctan

= arctan 2 47 arctan 5 +

k + l

k

(2)

— karctan l.

Wit beweisen, daB sie dann auch ffir n = k + l erffillt ist, d. h.

arccot 3 + arocot 5 +

+ arccot (2k + 3)

k+2 =arctan2+---+arctank+l—(k+l)arctanlv.

(3)

Dutch Addition der Gleichungen (1) und (2) erhaltcn wit die Gleichung (3). 22. 1°. Ffir n = l gilt die Behauptung wegen

Vi-i=2(oosg—isin%). 2°.Essci

(V—— i)“ =2“ (cos?—isin%); dannfolgtdaraus 3—

(V-

t’)‘

+l=2k

_ m — 2

k1I:

——u

(cos 6

kn

1t

lsmfi) 2(cos6 u

—

,

(k+1)n__;(k+1)u]

[cos ——6

Is!n

6‘

1t

Isnn6)

——.

.

I

_

160

Lb'sungen der Aufgaben

23. 1°. Fiir n = l gilt die Behauptung.

2°. Es sei (cosx +isinx)" = coskx +isinkx; dann ergibt sich

(cos x + i sin x)"“ = (cos kx + i sin kx) (cos x + i sin x)

= cos(k +1)x +isin(k + l)x. 24. Fehlethaft ist getade det letzte Satz: ,,Damit ist die Behauptung bewiesen.“ In Witklichkeit haben wit gemigt, daB die Ungleichung 2">2n+l

flit. n = k + l giiltig ist, wenn sie fiit n = k gilt, wobei k cine beliebige natiirliche Zahl ist. Dataus folgt abet noch nicht, daB diese Ungleichung auch nut flit einen einn'gen Wen von n odet gar fiit jede natiitliche Zahl n gilt. Kutz gesagt, det Fehlet liegt datin, daB nut Aussage 2° bewiesen wurde, die Aussage 1° jedoch nicht beachtet und keine Induktionsbasis geschaffen wurdc. 25. Man sieht leicht, daB 3 die kleinste natiitliche Zahl n ist, ffit welche die

Ungleichung 2" > 2n + l etfiillt ist. Berficksichtigen wit, daB aus det Gfiltigkcit det Ungleichung fiit n = k ihte Richtigkeit fiir n = k + l (Aufgabe 24) folgt, so k6nnen wit schiieBen, daB die Ungleichung fiit jede natiitliche Zahl n g 3 tichtig ist. 26. 1°. Ffit n = 2 ist die Behauptung tichtig wegen

1+;2>|/§. If 2°. Es sci l l 1 _.+_+...+_

r: 15

V?”

k_

l

”

Wit beweisen nun, daB dann auch l l l _+_ +...+_+

I

>]/—k+_l

(2)

Zu Kapitel I

161

gilt. Ffir belicbiges k g 0 gilt die Ungleichung l

WT.”

k+

-

V

k;

3

"

denn die Ungleichung (3) folgt aus der Unglejchung l

+

[k —-l k+l>

dutch Multiplikation beidcr Seitcn mit der positiven Zahl [/k + l — l/Fc. Addieren wir die Ung'leichungen (l) und (3) gliedweise, so erhalten wit die Ungleichung (2). 27. 1°. Fin- n = 2 hat die Ungleichung die Form 1—36 < 6 und ist richtig. 2”. Es sci 4‘

(2k)!

F¢T 0 die Bcziehung 4(k + l)

(2k + l)(2k +2)

k +2 < (k +155 gilt. Daher gilt 4‘ 4(k +1) (2k)! (2k + l)(2k + 2) k+l

k+2

(k!)1

d. h. abet

4'“ (2k +2): k +2