Die Statik der Gewölbe mit Rücksicht auf ihre Anwendung [Reprint 2022 ed.] 9783112628560

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Die

Statik der Gewölb mit Rücksicht auf ihre Anwendung

e n t w o r f e n

von

K.

W.

Knoclienhaiier,

Director der Realschule in Meiningen.

Mit

z w e i

P i g u r e n t a f e l n .

Berlin, gedruckt und verlegt bei G. Reimer.

1842.

Vorwort« D a s Kapitel in dem Handbuch der Statik von E y t e l wein, welches

die G e w ö l b e

behandelt,

umfafst be-

kanntlich nicht das g a n z e Gebiet und geht auch grade bei den Konstruktionen, w e l c h e gewöhnlich vorkommen, von

umständlichen Formeln aus, als dafs nicht

die Uebersicht über das G a n z e erschwert werden sollte. Da mir die dadurch vorhandene L ü c k e in der Darstellung der Statik durch die später» Arbeiten über denselben Gegenstand noch nicht in der W e i s e ausgefüllt zu sein schien, dafs eine wiederholte Behandlung nach einem ähnlichen P l a n e , w i e ihn E y t e l w e i n in seinem Handbuche

verfolgt hat,

überflüssig geworden

wäre,

so habe ich die nachfolgenden Untersuchungen gleichsam als eine Umarbeitung des erwähnten Kapitels z u sammengestellt. Andere mögen beurtheilen, w i e w e i t ich meinem Z i e l e nachgekommen bin; ich bin mir w e n i g stens bewufst keine Mühe gescheut zu haben, um die bei einer durchgehend iu sich übereinstimmenden

Be-

handlung auftretenden Schwierigkeiten zu überwinden. A n diejenigen , w e l c h e die Resultate der Theorie mit

IV

der Erfahrung zusammenstellen wollen, richte ich die Bitte, nicht Einzelnes mit Einzelnem zu vergleichen, denn da möchte hier, wo so vieles bei der Berechnung nicht in Anschlag gebracht werden kann, kaum eine vollständige Befriedigung zu hoffen sein; vielmehr mögen sie so, wie ich versucht habe die Ergebnisse der Theorie bei den verschiedenen Gewölben zu vergleichen, auch die Ergebnisse der Erfahrung einander gegenüberstellen

und

dann aus dem Ganzen

ihren

Schlufs über den Werth einer wissenschaftlichen Auffassung dieses Gebietes herleiten. Meiningen, den 24sten November 1841.

K. W . K n o c h e n h a u e r .

I«

A b s c h n i t t .

Statik der Tonnengewölbe, ohne Rücksicht auf Reibung. §

i.

Vorbemerkungen. B ei einem Tonnengewölbe, wo über zwei gewöhnlich zu einander parallele Mauern, Widerlagen, eine gebogene Decke gespannt ist, deren einzelne Steine, abgesehen von dem sie bindenden Mörtel, allein durch die Pressungen gegen öinander und auf die Widerlagen in Ruhe bleiben sollen, kommt es bei der Angabe der zum Gleichgewichte erforderlichen Bedingungen nur selten auf eine bestimmte Länge des Gewölbes an, in den meisten Fällen darf jeder Querschnitt von beliebiger Breite oder jeder einzelne Bogen für sich betrachtet werden, und dann müssen in ihm die nothwendigcn Bedingungeil zum Gleichgewichte erfüllt sein. — Die Untersuchung über diesen Gegenstand zerfällt in zwei Abschnitte; es läfst sich einmal die Form ermitteln, welche man dem Bogen zu geben hat, damit die einzelnen Steine desselben ohne Einflufs der Reibung vollkommen im Gleichgewichte stehen und hierbei die notwendige Stärke der Widerlage berechnen; zweitens kann man die auf einen beliebig gewählten Gewölbbogen einwirkenden Kräfte bestimmen, mit Rücksicht auf die Reibung die Erfordernisse zu einem gesicherten Stand desselben aufsuchen 1

2 und unter den so gegebenen Bedingungen nach der Stärke der Widerlage fragen. Der erste Theil behandelt die Tonnengewölbe mehr von ihrer rein theoretischen Seite, der andere mehr in Bezug auf die in der Praxis vorkommenden Formen. Bedingungen für das Gleichgewicht mehrerer in einen Bogen gestellter Stäbe. Es seien Fig. 1. die graden beliebig langen Stäbe AB, BC, CD, DE . . . in einen Bogen gestellt, dessen ein Ende, das obere, sich gegen die senkrechte Wand AG lehnt, und dessen unteres Ende in H auf fester Unterlage aufsteht. Man nehme an, dafs diese Stäbe aus homogener, aber in Vergleich zu einander aus specifisch beliebig schwerer Masse gebildet sind, also dafs die Schwere jedes derselben mit seiner Länge proportional wächst und ihre Schwerpunkte S, S', S",S'" . . in ihrer Mitte liegen, so wirken auf den Bogen AH senkrecht nach unten die Kräfte in A nach AG, ^(S-j-«S') in B nach Bß, i(S' + S") in C nach Cy, in D nach DS . . . ., und es läfst sich ohne Weiteres diejenige Stellung der Stäbe angeben, in welcher sie für sich allein, d. h. abgesehen von jeder Reibung, im Gleichgewichte befindlich sind. Setzt man nämlich den Winkel SMA, welchen die zu AB in ihrer Mitte senkrechte Linie SM mit der vertikalen AG bildet, = et, den entsprechenden Winkel S'BTA = «', Z.S" M"A == a" u. s. w . , und bezeichnet die in der Richtung von AB, BC, CD . .. wirkenden Kräfte mit /, t', i" . ferner die Kraft senkrecht gegen AG mit C. so zerlege man zunächst £ S nach AO senkrecht auf AG und nach AB der Richtung des Stabes; da hier L.GAO =z 90° und ¿^BAG = 90° — « ist, so erhält man C = ¿Sctg«,)

,=

sin«'

II

3 Ferner wirken in B die beiden Kräfte t und Nlln ist, wenn bb' den Winkel CBA halbirt, wie man sich leicht überzeugen wird, ¿.CBb' = ABb' 90° — a',

/LßBb'

=

U

°~

LCBß=.

¿-tBC—a'—a,

•

9 Q

=

¿.tBb

=

*

"d

CBb =

90

° + " ä""'

zerlegt

man dem-

nach die Kraft t nach Bb und BC uud die Kraft £ (S-f-S') nach Bb' und BC, so müssen sich die beiden Seiteukräfte nach Bb und Bb' um des verlangten Gleichgewichts willen aufheben, also einander gleich sein; die beiden andern zusammen geben die neue Kraft t'. Hieraus folgen die beiden Gleichungen


fe(ar-)-p),

cc -f- bQcoscc,

bxcosada—

Stein

E s ist aber

— ( / i V s i n a ) cosa und fNcosa

bgeosetua);

=

stellt sich

s e t z t man hierin '*rfy 2

y

und für f b sin adx oder

b

— fbxcosccdu

seinen W e r t h P dx1

— bx$\na-{-

J

/ b

, so giebt das letzte Glied

ds

y

=

Druck =

bs—bx

bx-\-bg

P

/b

J

dy2 ds

= bs, und man erhält v~ = fbds sin cc — bg sin cc, demnach den g e s a m m t e n

— ftarcos2 « — ¿ p c o s 2 « -(- i p c o s a - f -

2

— fear s i n « — f c p s i n 2 « = Scheitel =

mit

' (Jyl -(-dX 1 b

fNcosa

— b x sin a

fosina

-j- bQ cos a-,

bg und auf der W i d e r l a g e =

dies

bq,

ftssiu«

giebt

im

sofern q die

L ä n g e des elliptischen Quadranten bezeichnet. —

Giebt nun

D wieder das G e w i c h t in preufs. Pfd. an, das eiu Quadratfufs des a n g e w a n d t e n Materials mit Sicherheit zu tragen und bezeichnet man mit g das specifische G e w i c h t

vermag, desselben,

so liegt die G r e n z e für die S p a n n w e i t e eines elliptischen B o g e n s in D • L s sin a + p cos a — ji-r-:

66 s

also nach den f r ü h e m A n g a b e n bei Ziegelsteinen: s sin a -)- Q cos cc . = 73,6 rh. F u f s , bei S a n d s t e i n e n :

ssin a - f p c o s « =

143,5-

Leider läfst sich der gröfste Druck im B o g e n , der hier immer auf der W i d e r l a g e statt

findet,

nur durch

nicht

weitläuftige

Berechnungen ermitteln; will man diese vermeiden, so m a g man die S p a n n u n g s w e i t e

eines elliptischen Halbkreises allein

nach der Scheitelspannung ermessen, obschon diese

nament-

lich bei ziemlich gleichem Verhältnifs von a : c viel z u g r o f s e R e s u l t a t e liefert.

W i r bekommen hiernach für Ziegelsteine # = ~ = 73,6 rh. Fufs,

64 und 1) bei a = 2 ) bei a = ebenso für Sandsteine

0,8c, 0,6c,

c =

c. =

g — —

=

58,9 rh. Fufs, 44,2 - ; 143,5

-

-

,

a und 1) bei a = 0,8c, 2 ) bei o — 0,6c, §.

c = c =

114,8 86,1 -

- , - .

24.

Das Ausgleiten eines elliptischen Gewölbbogens. Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir das Ausgleiten des elliptischen Bogens nach seinen beiden Beziehungen. W i r erhalten 1. in Betreff desselben bei gleich bleibender Fugenstellung grade wie in § . 17., dafs zur Sicherstellung des in den F u g e n noch beweglichen Bogens fi [(T(„) sin a -\-fN cos a) sin « -f- (T [u] cos a — f N s i n a) cos «] ] > (T( a ) cos a — f N sin a) sin « — (T ( a ) sin a -\-/N cos a) cos a sein müsse. Nach dem vorigen ist T ^ c o s a — f N sin a = bg und T( 0 ) sina-|-/'I\fcosa: == bs, demnach giebt die S u b stitution dieser W e r t h e die Bedingungsgleichung fi [6s sin «-{- b(> cos «] > woraus

fl

_

¿ p s i n « — bs cos a,

> ps s^s ii nn «a — :s c o s a -f-pcos«

folgt. Ich glaube, dafs es unnütz sein möchte, die Berechnung auf andere als vollständig elliptische Bogen auszudehnen, da der nicht bis auf a = 90° gehende. Bogen sich viel zu wenig markirt, als dafs man ihn statt eines Kreisbogens a n wenden werde. Bezeichnet dann q, wie vorher, die Länge des elliptischen Quadranten, so stellt sich die Formel für « = 90° auf o , c4 u ~> — oder u ~> a— . 9 1

65 Der elliptische Quadrant, der in dieser Formel vorkommt, läfst sich nach der bekannten Gleichung 2.2.4.4 c2 berechnen, worin