Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius 9782759802685

Table of contents :
TABLE DES MATIÈRES
PRÉFACE
TERMINOLOGIE ET NOTATIONS
CHAPITRE 0. LE LANGAGE DES F’IBRÉS
CHAPITRE I. FIBRÉS VECTORIELS HOLOMORPHES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN
CHAPITRE II. CORRESPONDANCE DE RIEMANN-HILBERT SUR UNE SURFACE DE RIEMANN
CHAPITRE III. RÉSEAUX
CHAPITRE IV. LE PROBLÈME DE RIEMANN-HILBERT ET LE PROBLÈME DE BIRKHOFT
CHAPITRE V. LA DUALITÉ DE FOURIER-LAPLACE
CHAPITRE VI. DÉFORMATIONS INTÉGRABLES DE FIBRÉS À CONNEXION SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN
CHAPITRE VII. STRUCTURES DE SAIT0 ET STRUCTURES DE FROBENIUS SUR UNE VARIÉTÉ ANALYTIQUE COMPLEXE
BIBLIOGRAPHIE
INDEX DES NOTATIONS
INDEX TERMINOLOGIQUE

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Déformat ions isomonodromiques et variétés de Frobenius

Claude Sabbah

Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius

S A V O I R S

A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS EDITIONS

@ 2 0 0 2 , EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, B P 112, Parc d’activités de Courtabawf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans Ir présent ouvrage, faite saris l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont, autorisées, d’une part, les reproduct,ions strictement réservées à l’usage privé dii copiste et non destinées A une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont, incorporées (art. L. 122-4, I,. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : > 2.c. Résumé des Sfi 2.a et 2.b 3. Déformation intégrable universelle pour le problème de Birkhoff 3.a. Existence d’une déformation universelle locale 3.b. Existence et construction d’une déformation universelle globale 3.c. Déformation universelle avec métrique 3.d. La base E 3.e. La base e 3.f. Comparaison des bases E et e 3.9. Cas où R, est antisymétrique 3.h. Relation avec les équations de Schlesinger par transformation de Fourier par e--‘[ 5.c. Structure de Frobenius-Saito de type A d , deuxième version

ix

229 229 230 230 236 240 240 242 244 244 245 246 247 248 249 249 250 260 262 262 265 266

Bibliographie

271

Index des notations

283

Index terminologique

285

PRÉFACE

Malgré un titre un peu ésotérique, ce livre traite d’un sujet classique, à savoir la théorie des équations différentielles linéaires dans le domaine complexe. Les prototypes en sont les équations (portant sur la variable complexe t et la fonction inconnue u ( t ) ) : c1 du 1 = - u ( t ) (. E C), dt = dt t La première a pour solution la fonction > t H t“ et la seconde a pour solution la fonction 1 H exp(-l/t). La fonction multiforme >> log est, quant à elle, solution d’une équation avec second membre :

du

p w

-

(mouche du vinaigre) sera la droite projective complexe, communément appelée > et notée P1 (C)ou P’, qui sera l’objet d’un certain nombre d’expériences portant sur les connexions : analyse des singularités et déformations.

La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à produire des systèmes non linéaires d’équations différentielles ou aux dérivées partielles dans le domaine complexe et ce, à partir d’une équation ou d’un système d’équations linéaires d’une variable complexe. Elle donne en même temps un procédé (peu explicite en général) pour les résoudre, ainsi que des propriétés remarquables des solutions de ces systèmes (la propriété dite > notamment). Si, au début, seule était considérée la déformation d’équations différentielles linéaires d’une variable complexe à coefficients polynomiaux, il est apparu plus tard que la déformation des systèmes linéaires de plusieurs équations pouvait jeter une lumière nouvelle sur la question, par l’usage d’outils de la géométrie algébrique ou différentielle : fibrés vectoriels, connexions, etc. Pendant longtemps (et c’est toujours essentiellement le cas), cette méthode a servi aux théoriciens des systèmes dynamiques et aux physiciens qui analysent les équations non linéaires produites par des systèmes dynamiques intégrables : faire apparaître ces équations comme équations d’isomonodromie est en quelque sorte une linéarisation du problème initial. De ce point de vue, les équations de Painlevé ont joué le rôle de prototype, depuis l’article de R. Fuchs [FucO~],suivi par ceux de R. Garnier, qui a montré comment la sixième pouvait s’écrire comme équation d’isomonodromie, sortant ainsi du strict cadre de la recherche de nouvelles fonctions transcendantes. Une belle application de cette théorie est l’introduction de la notion de structure de Frobenius sur une variété. Si cette notion était clairement apparue dans les articles de Kyoji Saito sur les déploiements de singularités de fonctions holomorphes, ce n’est qu’avec Boris Diibrovin, à la suite de motivations issues de la physique, qu’elle s’est réellement développée, ouvrant des perspectives sur des sujets apparemment très éloignés (singularités, cohomologie quantique, symétrie miroir). Mon ambition de garder à ce texte un niveau et une taille modérés, tout autant que mon incompétence sur les développements les plus récents, m’ont conduit à limiter les sujets abordés, renvoyant notamment à l’article de B. Dubrovin [Dub961 ou au livre de Y. Manin [Man99a].

PRÉFACE

...

XLll

Le chapitre O, bien qu’un peu long, peut être sauté par tout lecteur ayant des connaissances de base en géométrie algébrique complexe ; il servira alors de référence pour les notations employées. I1 regroupe les énoncés utilisés dans la suite en théorie des faisceaux, fibrés vectoriels, connexions holomorphes et méromorphes, faisceaux localement constants. Les résultats en sont classiques et existent, dispersés, dans la littérature. On poiirrait dire la même chose du chapitre I, bien qu’il soit plus difficile de trouver une référence pour le théorème de rigidité des fibrés triviaux dans les livres de géométrie algébrique élémentaire. On se restreint ici aux fibrés sur la sphère de Riemann, ce qui ne nécessite qu’un petit investissement de géométrie algébrique. On admet essentiellement dans ce chapitre le théorème de finitude de la cohomologie d’un fibré vectoriel sur une surface de Riemann compacte (et même seulement la sphère de Riemann), pour lequel il existe de bonnes références. Avec les chapitres II et III commence l’étude des systèmes linéaires d’équations différentielles d’une variable complexe et de leurs déformations. Le type des points singuliers y est analysé. Ici encore, on ne démontre pas deux théorèmes d’analyse, dans la mesure où les techniques utilisées, bien qu’abordables, sortent trop du cadre de l’ouvrage. Un des objets fondamentaux attachés à une équation différentielle ou, plus généralement, à une connexion intégrable sur un fibré vectoriel, est le groupe d e . ~transjbrmntions de monodromie dans sa représentation naturelle, reflétant la multiformité >> des solutions de cette équation ou connexion. La correspondance de Riemann-HilbPrt - au moins lorsque les singularités de l’équation sont régulières - exprime que ce groupe contient toute l’information de l’équation différentiellc. Ainsi, u n des problèmes classiques de la théorie consiste, étant donnée une équation différentielle, à calculer son groupe de monodromie. Signalons aussi un autre objet, le groupe dr Gulois d f j k x t i e l - non utilisé dans ce livre - qui a l’avantage d’être défini algébriquement à partir de l’équation. Ce n’est pas ce problème que nous développons dans ce livre, et on ne trouvera pas de calcul explicite de tels groupes. Comme indiqué ci-dessus, nous cherchons plutôt à exprimer les propriétés des solutions de I’éqiiation en terme d’objets algébriques, ici le fibré vectoriel (méromorphe) à connexion. Dans ce fibré méromorphe existent des réseaux ( i . e . des fibrés holomorphes), qui correspondent aux diffkrentes manières équivalentes d’écrire le système différentiel. Trouver la manière la plus simple d’écrire un système différentiel à équivalence inéromorphe près fait l’objet du problime de Riemann-HilbPrt (cas des singularités régulières) ou du problème de Birkhoff. I1 s’agit dans tous les cas d’écrire le système comme une connexion sur le fibré trivial. Le chapitre Tv expose quelques techniques de résolution du problème de Riemann-Hilbert ou de Rirkhoff. On trouvera dans les livres de A. Bolibroiikh [AB941 et [Bo1951 beaucoup d’autres résultats. (
. De nombreux exemples sont donnés, afin de mettre en évidence différents aspects. II peut servir d’introduction à la théorie de K. Saito sur la structure de Frobenius-Saito associée aux déploiements de fonctions à singularités isolées. La démonstration de beaucoup de résultats de cette théorie fait appel à des techniques de géométrie algébrique en dimension 3 1, techniques qui sortent du cadre de cet ouvrage et dont l’exposition demanderait un autre livre (la théorie de Hodge du système de Gauss-Manin). Ce texte, version très développée de l’article [Sab98], est issu de plusieurs cours (parfois accélérés) faits dans le cadre de la formation doctorale des universités de Paris Vi, Bordeaux I et Strasbourg ainsi que lors d’une école sur les variétés de Frobenius au CIRM (Luminy). Michèle Audin, Alexandru Dimca, Claudine Mitschi et Pierre Schapira m’ont ainsi donné l’occasion d’en exposer certaines parties. Beaucoup d’idées, de même que leur présentation, viennent en droite ligne des articles de Bernard Malgrange, ainsi que de nombreuses conversations que nous avons eues. De nombreux aspects des variétés de Frobenius me seraient restés obscurs sans de multiples discussions avec Michèle Audin. J’ai aussi eu le plaisir de longs entretiens avec Andrei Bolibroukh, qui m’a expliqué ses recherches, notamment sur le problème de Riemann-Hilbert. Joseph Le Potier a répondu de bonne grâce à mes questions électroniques sur les fibrés. Plusieurs personnes m’ont aidé à améliorer le texte, ou m’ont indiqué quelques erreurs, notamment Gilles Bailly-Maitre, Alexandru Dimca, Claus Herding, Adelino Paiva, ainsi que les rapporteiirs anonymes. Je les en remercie.

Ce livre a été écrit notamnieiit dans le cadre du programme INTAS 971644.

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

Certains mots utilisés dans ce livre ont traditionnellement plusieurs sens, suivant le contexte dans lequel on les emploie. Ainsi : - la platitude (en géométrie) signifie l’absence de courbure (pour une métrique, une connexion...), elle est alors synonyme d’intégrabilité ; en algèbre commutative, elle traduit un bon comportement par rapport au produit tensoriel ; - la torsion est une notion géométrique (pour une connexion sur le fibré tangent), mais aussi une notion algébrique (pour un module) ; on s’intéresse à la torsion d’une connexion plate, alors qu’un module plat sur un anneau n’a pas de torsion ... De manière analogue, l’appellation de Frobenius >> peut renvoyer à diverses propriétés bien distinctes : I’intégrabilité au sens de Frobenius concerne les systèmes de Pfaff, qui deviennent ainsi des feuilletages, tandis que la notion de variété de Frobenius (ou structure de Frobenius sur une variété) fait référence à la structure d’algèbre de Frobenius sur le fibré tangent de cette variété ; il n’empêche que la notion d’intégrabilité intervient dans la construction de telles structures. On distinguera aussi les mathématiciens L. Fuchs (condition de Fuchs, équation fiichsienne, etc.) et R. Fuchs (isomonodromie et équations de Painlevé), de mênie que K. Saito et M. Saito. (
sont noleur germe en un point par tés en général par la lettre A&’ (et parfois H),

xvi

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

34 ou N. Enfin, dans un cadre algébrique, le module des sections globales d ’ u n f a i s c e a u Z , Y , F ’ , k ‘ e s t n o t éIE,IF,G,M. Dans une famille paramétrée par un espace, la restriction d’un objet A pour la valeur xo du paramètre est notée A’. Enfin, le carré blanc sur fond blanc O signifie la fin d’une démonstration. ou son absence.

CHAPITRE O LE LANGAGE DES F’IBRÉS

Ce chapitre regroupe les principaux résultats généraux utilisés dans ce livre. I1 a aussi pour but de préciser les notations employées plus loin. Les lecteurs pourront s’y reporter si nécessaire. Nous supposons une certaine familiarité avec le langage de la théorie de faisceaux. La notion de fibré vectoriel et de connexion permet d’aborder les problèmes globaux de la théorie des systèmes différentiels linéaires et de leurs singularités. Nous considérons ici uniquement le cadre holomorphe ou méromorphe. Nous nous sommes efforcé de donner des énoncés intrinsèques, indépendants des choix de coordonnées ou de base. Aussi les lecteurs ne s’étonneront-t-ils pas de ne pas trouver la notion de matrice fondamentale de solutions, de wronskien, etc. Par contre, nous insistons sur la différence entre la notion de système différentiel méromorphe (où les changements de base méromorphes sont permis) et celle de rbseaii d’un tel système (oil seuls les changements de base holomorphes le sont).

1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de

C”

On pourra se reporter par exemple à [ GR65, chap. I], [ GH78, chap. O], [Kod86, chap. 11 (ainsi qu’à [Hor73, chap. 11 011 [LT97, chap. 11) pour les propriétés élémentaires des fonctions holomorphes. Soient n un entier 2 1 et ( J un ouvert de @”. Les coordonnées sont notées zl,. . . , z,,,OU z, = x1 + iyl est la décomposition en parties réelle et imaginaire. Soit f : u + une fonction de classe C’ . 011 pose

c

2

CHAPITRF O. LE LANGAGE DES FIKRLS

Une fonction f de classe C' sur U est dite holomorphe si, pour tout z E U et tout j = 1,. . . ,n , les équations de Cauchy-Riemann

sont satisfaites. On désigne par B ( U ) l'anneau des fonctions holomorphes sur U et par &I le faisceau des fonctions holomorphes sur U . 1.1. ïhéorème (les fonctions holomorphes sont les fonctions analytiques) Une fonction f : U + C est holomorphe si et spukwient si plle est analytiqup, autrpment dit dheloppable en sévie convevgentr de (zl - z: , . . . ,zn - z i ) a u voisinage d~ tout point z" E U .

Démonstration. - Analogue à celle pour les fonctions d'une variable. Soit n

A(zo,r) =

I1 D(z3,rj) j=1

un polydisque ouvert de polyrayon r = ( r i , .. . ,rn) E (Et;)" centré en z" E U et contenu dans U . Le résultat découle de la > qu'on montre par récurrence sur n : pour tout z E A(z", r ) on a

Soit z" E U . Le germe du faisceau 61 en z",noté @U,O, s'identifie donc à l'anneau des sévie.s convergentes à n variables, noté @{zl - zy,. . . ,zn - zn}. 1.2. Quelques propriétés - Toute application holomorphe d'un ouvert de C n à valeurs dans C? est une application P . - Toute application holomorphe bijective entre deux ouverts de @ " est biholomorphe. - Toute fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe de @" est une application ouuerie. - On dispose du théorème des fonctions implicites et du théorème d'inversion locale pour les applications holomorphes. - Soient U un ouvert de @", cp : U t @ une fonction holomorphe O et 2 c U l'ensemble défini par l'équation y(z1,. . . ,z,) = O dans U . Si f est une fonction holomorphe sur U \ Z qui est bornée au voisinage de tout point de 2 , alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur 1 J .

+

2.VARIÉTÉS ANALYIIQULS COMPIXXES

3

2. Variétés analytiques complexes On pourra se reporter à [GH78, chap. O] ou [Kod86, chap. 21 pour plus de détails ou d'exemples. Soit M un espace topologique. Un recouvrement ouvert U de M est une famille ( ü , ) l d'ouverts E~ de M indexée par un ensemble I dont la réunion est égale à M . Un espace topologique M est dit paracompact s'il est séparé et si, pour tout recouvrement ouvert II de M , il existe un recouvrement ouvert de M qui est localementJini et plusJin que 11, c'est-à-dire que tout compact ne coupe qu'un nombre fini d'ouverts de 23 et tout ouvert VI de T? est contenu dans au moins un ouvert U, de LI. Une v a d é analytique complexe M de dimension n est un espace topologique paracompact qui possède un recouvrement ouvert (üz)zt~ et des cartes 'pz : U, 4@ I n , chaque (p2 induisant un homéomorphisme de U, sur un ouvert O, de @ I n , telles que, pour tous z,j E I , le changement de carte

soit un biholomorphisme. Une fonction holomorphe sur une variété analytique complexe est une fonction de classe C' telle que chaque f O (pi'soit une fonction holomorphe snr l'ouvert ~ i ( ü ide ) Cn. Tout ouvert de carte Ui admet alors des systèmes de coordonnées (zi,. . . , z,) provenant de ceux de O,. Une application entre deux variétés analytiques complexes est dite holomorphe si, pour un (ou tout) choix de coordonnées locales holomorphes de la source et du but, les composantes de l'application sont des fonctions holomorphes des coordonnées. Une sou.r-urcm'été analytique complexr N de M est un sous-ensemble localement fermé dans M pour lequel, au voisinage de tout point de N dans M , il existe des coordonnées locales z1,. . . ,zn telles que N y soit définie par les équations z1 = . . . = zp = O ; on dit alors que 1> est la codimension (complexe) de N dans M . Une hypersurface lisse est une sous-variété Jermée de codimension 1. Un sous-ensemble analytique complexe fermé de M est iin sous-ensemble fermé, qui est localement défini comme ensemble des zéros d'une famille de fonctions analytiques. Nous serons amenés à utiliser le résultat suivant (les lecteurs pourront consulter [GR65, chap. II et III] pour plus de détails sur les sous-ensembles analytiques) :

4

CHAPIïRE O. 1.E LANGAGE DES FIBR6S

2.1. Lemme (connexité, voir [GR65, th.2, p.861). Soit M une uaridé analytique complexe connexe. Alors le complémentaire dans M d u n sous-ensemble O analytiqw fermé distinct de M Pst connew. 2.2. Exemples (1) Tout ouvert de @" est une variété analytique complexe. (2) Tout revêtement (r$ par exemple [God7l]) d'une variété analytique complexe est muni d'une unique structure de variété analytique complexe rendant l'application de revêtement holomorphe. Pour cette striicture, toute section locale du revêtement est une application holomorphe. (3) L'espace projectif complexe P n est l'espace des droites de @"+' : c'est le quotient de Cn+' {O} par la relation d'équivalence v Au (A E Cc * ) . On note [u]E P" la droite engendrée par le vecteur v E Cc "+I \ {O}. Si (Zo,. . . , Z n ) sont les coordonnées sur C n + l ,on recouvre P n par les n + 1 ouvertsU3={[u] l u l # O } ( j = O , ..., % ) . O n n o t e N

y , : u,

N

C"

On obtient ainsi une structure de variété analytique complexe sur IP" : pour 1 # k , notons ( r o , . . . ,%,. . . , r n ) les coordonnées sur y , ( U 3 ) (la 1-ème coordonnée n'apparaît pas) et de même ( w g , . . . , . . . , w.) les coordonnées sur Pk(Uk) ; alors yl(ül n Uk) est l'ouvert Zk # O dans @" et qk(Ul n ük) l'ouvert w1 # O ; le changement de carte est l'isomorphisme

z,

(4) Une variété analytique complexe de dimension 1 est appelee surfnce de Riemann. Citons par exemple : - la droite projective P' , recouverte par deux cartes UO et U, ; le changement de carte @*

- 'Po

u, nu,

'POO

@*

est défini par z H l / z ; - le quotient de @ par un réseau L = Z @ Z T , avec T E C \ IR, naturellement muni d'une structure de surface de Riemann (courbe elliptique).

2.3. Exercice (la gassmannienne, I.$ [GH78, p. 193-1941). - Montrer que l'ensemble des soils-espaces vectoriels de dimension r + 1 de Cn+' admet une structure de variété analytique complexe (appelée grussmannienne des

P. VMIÉTÉS ANALYTIQUES COMPLLXES

5

r+ 1-plans de Cn+' ). Remarquer que c'est aussi l'ensemble des sous-espaces projectifs de dimension r de P".

2.4. Remarques (1) La notion de variété C" peut être définie de la même manière que ci-dessus, en remplaçant > par Q A Q = O. En utilisant l'accoiiplenient naturel des 1-formes contre les champs de vecteurs, on peut le voir comme un honiomorphisme bilinéaire 0x1

'8 O M

[,ri

-

H

OM

@:(y).

Ainsi, le champ de Higgs Q permet de définir un produit('") fibre >> sur le fibré tangent par la formule

5* 7

=

*

,ifavec la S L ~ U C ~ L riatiirelle II-~ d'algèbre de 1,ie définie par le ciocliet des cliairips de vectciii-s.

CHAPITRE O. LE LANGAGE DES FIKKÉS

44

Puisque, par définition, dZl * &, = -Q(z)(&,), on a, pour tous z , j , k , lorsque Q> est un champs de Higgs symétrique,

aZL* (a,, * &,)

* * û, ) = dz) (@il) (a,,)) = d l ) d b(az,), )

(symétrie)

= û2$ (dzk

O

et de même

(a,?

3,)

* azk = a,, * (azs* 3 , ) = d kO)d l (a,,), )

O

d'où I'associativité. La réciproque se montre de même.

Lorsqu'existe de plus sur M un champ unité, c'est-à-dire une section e E ï ( M , O M )telle que [*e=e*[=t

pour tout germe 5 de champ de vecteurs holomorphe("), chaque espace tangent T,M est niuni d'une structure d'algèbre associative, commutative 2 unité, structure qui varie de manière holomorphe avec m. Soit ( z 1 , . . . , z,) un système de coordonnées locales sur un ouvert U de M . Tout polynôme aCL(z1,. ' ' > zn)q;,

' '

.q;"

lai@

en les variables q1, . . . , u], à coefficients holomorphes en un champ de vecteurs holomorphe sur U , à savoir

c a,(q,. ..

,z7t)P

IW

z1,

. . . ,zn définit

--

* a,, *

?I

' ' '

*a,, * . ' . *a,, * . ' * a,

fois

'

CL,[

fois

(le champ e est utile pour le terme de degré O ) . L'ensemble des polynômes tels que le champ de vecteurs associé soit nul est un idéal de l'anneau @M (ü)[ql, . . . , y n ] ; le lieu des zéros de cette famille de polynômes est un sous-ensemble de U x C n . On peut vérifier que, si 0 est symétrique et admet un champ unité sur M , cet ensemble est bien défini comme un sousensemble I,@ de l'espace total dujibré cotangenl T * M (dont l'ouvert U x @" considéré ci-dessus est une carte).

(")Un tel champ

c est

alors unique.

13. GÉOMÉTRIE DU FIB& TANGENT

45

13.10. DéJinition (coordonnées canoniques). - Un système (xi,.. . , x,) de coordonnées sur un ouvert de M est dit canonique si les champs de vecteurs ûxt satisfont

Sur tin tel ouvert, le champ P = Cr=la,! est le champ unité. Dans un tel système, nous aurons aussi à considérer le champ E = Cy=lx , d X l , appelé champ d’Euler. Dans la base (ax, , . . . , ax,), la matrice de l’endomorphisme Ro(*) = E * de multiplication par c” est la matrice diagonale diag(x1,. . . , x,?). 13.11. Remarque (sur l’existence de coordonnées canoniques)

Contrairement aii cas des connexions plates sans torsion, on ne dispose pas, sans hypothèse supplémentaire, d’un analogue du théorème 13.4 qui affirmerait l’existence locale de coordonnées canoniques pour iin champ de Higgs symétrique quelconque sur @,if. Notons que, si un tel système existe, alors, pour tout champ de vecteur E , l’opérateur e: de multiplication par 5 sur les fibres du fibré tangent de M est semi-simple. De plus, les coordonnées canoniques sont les fonctions propres de l’opérateur e, pour un certain champ E. Inversement, supposons que, pour tout 5,l’opérateur e, soit semi-simple. I1 existe alors localement(’*) une base de champs (qL)i=l,...,,satisfaisant yi y j = S,,q,, où 6 i j désigne le symbole de Kronecker : en effet, il existe localement Line base ( E i ) j = ~ , , , , , , de ~ champs de vecteurs diagonalisant simiiltanément les opérateurs (puisque ceux-ci coinmutent) ; on en déduit qu’il existe des fonctions A,( z ) telles que F,i * [ I = B i i h i E i ; il s’agit de montrer que les Ai ne s’annulent pas (on posera alors qi = E;i/A,) ; ceci est dû à l’existence d’un champ unité r! puisque, si l’on pose P = Ciu t [ , , on a

*

On prendra garde(’3) que cet argument ne donne cependant pas I’existence locale de coordonnées canoniques car il ne montre pas que les crochets [qz,q I ] sont nuls. (‘2) si l’on suppose l’existence d’lin ciiainp unité. (‘“)Poiri-obtenir I’exiatence de coordnniiées canoniques, il est nécessaire et suffisant d’imposer une condition supplémentaire de compatibilité entre le produit * et les dérivées d e l i e 2 5 . Ceci condirit à la notion d e 7inn’Pti dPFrobPniuT faible, introduite dans [HM99]. Cette coiidition est équivalente à la condition gboniétrique > ( r f : [Her99]). Cette condition est réalisée pour les variétés de Frobcniiis que nous rencontrcrons aii chapitre VI1 ( $ [Aud98b] et #VIL I A).

CHAPITRE O. LE IANGAGE DES FIBRÉS

46

13.12. Exercice (la variété LQ est lagrangienne). - Montrer que, dans des coordonnées canoniques, l’idéal des polynômes considéré ci-dessus est engendré par les polynômes %Y3

(i # A ,

%(TL

-

1)2

1 - Crz. z

En déduire que l’ensemble LQ est le sous-ensemble formé des points ( X I , . . . , xn,71,. . . , y“) de U x @”où tous les -q2 sauf un sont nuls, ce dernier valant 1. Compatibilité auec une c< métrique ». - Donnons-nous comme au Cj 13.c une forme bilinéaire symétrique non dégénérée g sur T M , que nous appelons encore , ou le produit *, est compatible à la métrique g si l’on a, pour tout triplet ( 5 1 , 5 2 , 5 3 ) de champs de vecteurs sur M , l’égalité

g(E1 * 52,t 3 ) = g(51, 52 * 53). Contrairement au cas des connexions, une métrique ne permet pas à elle seule de définir naturellement iin champ de Higgs symétrique compatible avec elle. Si un champ unité existe, on peut considérer la 1-forme différentielle e* définie par adjonction. En tant que forme linéaire sur le fibré tangent, elle s’exprime par

e * ( [ ) = g(e,5).

On a alors g ( 4 1 , 4 2 ) = e * ( h *&I. I1 peut être utile de mettre en évidence la forme trilinéaire c(t1,52,53) = g(51 * t 2 , 5 3 ) = e * ( ( t i * E 2 )

*ES).

13.13. Exercice (algèbres de Frobenius commutatives). - Soit V un @ espace vectoriel de dimension finie muni d’une forme linéaire e, d’une forme bilinéaire non dégénérée b et d’une forme trilinéaire t . En considérant l’isomorphisme B : V V ” défini par h , la forme trilinéaire t permet de définir un produit sur V : on impose que, pour tous V I , u2 E V , les deux formes linéaires B(u1 * u2) et c(v1, u2, coïncident. Donner les conditions sur e, b, t exprimant que B-’ (e) est l’unité et que le produit est commutatif et associatif. On dit alors que (y*, e, 6) ou, de manière équivalente (ye, b, 1 ) , est une algèbre de F r ~ b e n i u d ’ ~ ) . 0 )

( 14) L’exemple originellement considéré par Frobenius lors d e ses travaux sur les caractères des groupes finis est l’algèbre (non cornrnutative en général) d’un tel groupe sur un corps (voir par exemple [Lit40, chap.IV]). Le fait qu’une telle algèbre soit , au

47

14. CONNEXIONS MÉROMORPHES

14. Connexions méromorphes un fibré méromorphe à pôles le long d’une sous-variété analytique Z , i.e. un @~(*Z)-modulelocalement libre de rang d . Une connexion sur A&” est définie comme dans le cas holomorphe, à savoir comme un homomorphisme @-linéaire V : A&” + CLkf A&” satisfaisant la règle de Leibniz. On notera que, dans une base locale de sur &ff(*Z), la matrice R de la connexion est à éléments dans @M (*Z) CL:, = Rkf (*Z). Les considérations du § 11 s’étendent au cas méromorphe de manière immédiate. On notera que la matrice P du l l . a est maintenant dans ï ( U , C;L~(@M (*Z))). Le faisceau des sections horizontales ..”;;,, est alors un faisceau localement constant d’espaces vectoriels de rang fini qui correspond, d’après le théorème 15.8, à une représentation linéaire du groupe fondamental ( M \ Z, O) : c’est la refirksentalion dr monodromze attachée au fibré méromorphe à connexion ( M ,V) .

14.1. Exercice (torsion d’une connexion par une forme différentielle logarithmique). - Soit f E ï(M,@hf(*Z)) une fonction méromorphe sur M , à pôles le long de Z , et soit w = df/ f sa différentielle logarithmique. (1) Montrer que le fibré méromorphe à connexion (@M ( * Z ) , d O ) est à monodromie triviale, i.e. que le faisceau de ses sections horizontales sur M \ Z est isomorphe au faisceau constant @ ~ \ z(on pourra écrire

+

d+w=f-’

odof).

(2) En déduire que, si (A&”,V) est un fibré méromorphe à connexion sur M à pôles le long de Z, les faisceaux de sections horizontales de (A, V) pf,z et (d, V + w Id) p l \ ~sont isomorphes (on pourra utiliser l’exercice 12.11). On dira qu’une connexion sur un fibré méromorphe est intégruble (ou platp) si sa restriction à M L est une connexion intkgrable sur le fibré Si g est un réseau d’un fibré méroniorphe à connexion ( peut que V ( g ) nc soit pas contenu dans g.On a cependant

V(8) c V ( A ) c CL:f

@ &I

A&”

= R,\f(*Z)@

CY.

@A I

Ainsi, V définit une connpxzon méromorfhP qui n’est pas nécessairement holomorphe sur le fibré E“. sens donné plus haut est inontré pai- exemple danî [CR62,tli.62.11, oii (th. 61 3 ) d’autres caractérisations dcs algèbres de Frobcriiiis.

1’011

trouvera aussi

48

CHAPITRE O LE IANGAGE DES FIRRFS

On dira que 8 est un réseau logarithmique du fibré méromorphe à

et plus généralement que c’est un r h e a d’ordre

< r si

~(g c ahr((r+ ) 1) 1ogZ) 8 g 4


de Z dans M est trivial), mais nous n’aurons pas à utiliser cette situation. Donnons-nous alors un fibré holomorphe à connexion méromorphe (8, V) (et pas seulement un fibré méromorphe à connexion). Supposons que (8, V) soit logarithmique le long de 2 . On peut définir une > de (8, V ) à Z ; c’est un fihré holomorphe de rang d à connexion holomorphe v sur Z : en tant que fibré, c’est la restriction Elz de E à Z ( Z . P . l’image inverse par l’application d’inclusion 2 % : Z M ) . Explicitons la matrice de la connexion

est la matrice de la coririexioii, oii les Cl(’) sont des matrices à éléments holomorphes, la connexion v cherchée a pour matrice

a(’) (O, z 2 , . . . ,z l , ) nz, 122

dans la base correspondante de Ei7. On vérifie que ceci est indépendant des choix faits et définit bien une connexion holomorphe sur E I ~ . La connexion logarithmique V permet aiissi de munir le fibré L I Zd’un endomorphisme : c’est le réxdu Rés7 V de la connexion le long de Z . Avec les choix locaux ci-dessus, il a pour matrice CL(’) (O, z 2 , . . . ,z , ) . Pour vérifier

50

CHAPITRE: O. I,E IANGAGE DES FIBRES

que cette définition est bien intrinsèque, on considère l'homomorphisme composé

Alors, si O est une section locale de E" qui s'annule sur 2 , son image par (14.4) est nulle et par suite (14.4) passe au quotient pour définir Rész V : i;g -+ i;Z. 14.5. Exercice (restriction, résidu et opérations) (1) Montrer que la construction de v à partir de V est compatible aux opérations sur les fibrés à connexion. (2) Déterminer le comportement du résidu par les opérations $, @ et L sur les fibrés à connexion logarithmique. Vérifier en particulier que, si ( @ ~ , d )désigne le fibré trivial de rang 1 muni de la connexion triviale, le dual A%m4f (E", @ j ) a pour résidu - 'Rész V. 14.6. Exercice (restriction, résidu et intégrabiiité). - On suppose que la connexion V est intégrable. (1) Montrer qu'il en est de même de sa restriction >> v. (2) Montrer que le résidu Rész V , vu comme endomorphisme du fibré Elz , est compatible à la connexion v, c'est-à-dire que, vu comme section du fibré Hom(Ejz, E p ) , c'est une section horizontale vis-à-vis de la connexion plate naturelle construite à partir de v. (
> et intégrabilité). - Montrer que l'intégrabilité de V implique que les relations suivantes sont satisfaites par Ro et Q (elles

15. FMSCEAL’X 1.OCAI.EMENT CONSI AN I S

51

sont les analogues de l’intégrabilité de la connexion v et de l’horizontalité relativement à v de l’endomorphisme résidu, dans le cas logarithmique) Q A Q = O,

Qt

O

Ro

= Ro

O

QE pour tout champ de vecteur

sur M

En particulier, Q est un champ de Higgs sur Ejz et (Ejz, @) est un $ h é de Hag$. Ces objets dépendent du choix de coordonnée sur D par line constante miiltiplicative.

14.8. Remarque. - I1 n’est par contre pas possible, en général, de définir pour les connexions à pôle d’ordre 3 1 le long de Z un endomorphisme résidu, dont la matrice dans une base locale soit formée des résidus des coefficients de CL. En effet, si le rang dii fibré est 2 2 , une telle matrice n’a pas un comportement convenable par changement de base holomorphe.

14.9. Exercice (champ de Higgs, > et opérations) (1) Montrer que la construction de @ à partir de V est compatible aux opérations sur les fibrés de Higgs. ( 2 ) Déterminer le comportement du

15. Faisceaux localement constants 15.a. Faisceaux d’ensembles localement constants. - Soit F un faisceau t de cette catégorie dans celle des espaces vectoriels de rang fini : on associe à F son germe et à p : F + 27 son germe yo : 53

2%. (‘5)C’est en fait une abréviation pour , lorsqii’on considère la cohomologie à coefficients dans un faisceau localement coustant.

15. FAiSEAUXISXALEMENT ) = O pour tout k > 1. Démonstration,. - Le corollaire 1.4 montre que l’on a une suite exacte courte de faisceaux de @ -espaces vectoriels 0

- - - @a

g O o o

0.

Le théorème 0.6.2 permet d’obtenir une suite exacte longue

. . . -t Hk(R,@n) H k ( O ,g;) -f

e;) + H k + f ’ ( R , @+~ )

+ Hk(R,

de laquelle on déduit, à l’aide du théorème 0.6.3, que H k (a,&) = O pour k > 2. Le théorème 1.3 exprime alors l’annulation de N’(CL, &a).

1.6. Corollaire (la cohomologie holomorphe de P1 est nulle). - Les espaces H k ( P 1 , @ ps~o)n n u Z s p o u r t o u t k > 1 e t o n a H o ( l F 1 , & $ i ) = @ . Démonstration. - La seconde égalité résulte du théorème de Liouville, puisqu’une fonction holomorphe sur P’ se restreint en une fonction holomorphe sur @ = Uo, qui est bornée par compacité de P’. Le recouvrement de P’ par les deux cartes üo et U , ($ exemple 0.2.24) est acyclique pour le faisceau Hpl, d’après le corollaire précédent; le théorème de Leray 0.6.1 permet de calculer la cohomologie de P’àvaleurs dans @ à l’aide de ce recouvrement. Comme il n’est composé que de deux ouverts, on a trivialement Hk(P’,@p~) = 0 pour k 2 . Pour montrer que H’ (IF’’, @pl) ’= O, il suffit de voir que toute fonction holomorphe f sur @ * est la différence des restrictions à @ * d’une fonction holomorphe sur Uo et d’une fonction holomorphe sur U , : c’est exactement ce que donne le O développement de Laurent de f sur la couronne @ * .

>

1.7. Corollaire (les fibrés de rang 1 sur IP’). - Unjibré holomorphe de rung 1 sur P est déterminé (à isomorphisme près) pur sa classe de Chern.

2.FIRRÉS EN DROITES SUR Pl

Démonstration. - La suite exacte de l’exponentielle suite exacte de cohomologie

. . . 4 H’(P1,@pl)4H’(P1,@;l)

2 H2(P1,ZPl)

65

(cf: § 0.7.b) induit une HyPl,@pl) 4. . .

4

et les deux termes extrêmes sont nuls d’après le corollaire précédent. Ceci montre que c1 est un isomorphisme.

2. Fibrés en droites sur Pl 2.a. Le fibré tautologique @pl (-1). - Soit L c P1 x C 2 le sous-ensemble formé des couples ( m , v ) , où m est une droite vectorielle de C 2 et v un vecteur de C2, tels que l’on ait v E m. On note n : I, -+ P1 la restriction à L de la première projection. Si c I, désigne l’ouvert des (m,v ) tels que v # O, s’identifie par la seconde projection à C2\ {O} et n : lJ4 Pl à la $brution de Hopf C \ {O} -+ P .

t

FIGURE1 . La fibration de Hopf restreinte 2 la sphère S 3 = R 3 ü cc

2.1. Proposition. - L a projection n fait de I, un j’ïbrk holomorphe en droits sur P I . On note

@$,I

(-1) le faisceau associé au fibré L,qu’on dit tuutologlque.

Zlémonstrution. - Nous allons d’abord calculer la restriction de L à chacun des ouverts Uo et ü ., Remarquons déjà que L est un sous-ensemble fermé de Pl x @‘ ; on munira cet ensemble de la topologie induite.

66

CIiiWi’ïRE 1. FIBKÉS \’EC‘ïORiELS IIOLOMORPIIES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Soient t la coordonnée sur Uo, ma E U() le point de coordonnées homogènes (1;t o ) et v = (vo,v,) E @‘. Alors on a v E mo si et seulement si v, = ~ “ U O On . en déduit un homéomorphisme

(t>U)

-

(t,vo)

et de la même manière, si t‘ désigne la coordonnée sur U, et si mo E U, a pour coordonnées homogènes ( t ’ O ; 1 ) , on a v E rno si et seulement si vg = t”~,, d’où un homéomorphisme

Sur UOn U, le changement de carte est donné par

( 4 vo)

-

( 4 tug).

Le cocycle ainsi obtenu est donc dans H o ( @ *H , * ).

O

2.2. CuroZZuire (&$I (-1) n’a pas de section globale). - Le j b r é L n’a pas dP section globale holomorphe non nulle; autrement dit, il n’existe pas d’homomorphisme non identiquement nul Hpl 4Hpl ( - 1) (en particulier (-1) n’est pas isomorphe a u jîbré trivial). Démonstration. - Montrons l’absence de section holomorphe : la composée d’une telle section IP1 4 L avec chacune deux projections de P1 x C 2 + C se restreint en une fonction holomorphe bornée sur üo, donc est constante. I1 reste à voir que le fibré I , n’admet pas de section holomorphe qui soit constante non nulle ; autrement dit, puisque I, est un fibré en droites, que L n’est pas isomorphe au fibré trivial ; dans le cas contraire, il existerait un vecteur non nul contenu dans toutes les droites vectorielles de C‘, ce qui est absurde. On a vu (CJ: la remarque faite au cours de la démonstration de la proposition 0.4.1) qu’un homomorphisme Hp1+ Hp1(-1) n’est autre qu’une section globalc du fibré @hl (-1) , section qui doit donc être nulle d’après ce qui précède. O

2.b. Les fibrés Hpl ( k ) pour k E Z . - On définit le fibré (1) comme le dual du fibré Hpl( - l ) , c’est-à-dire (&pl(-l),@pl). C’est encore l’inverse du fibré Hpl (-1) pour le produit tensoriel. C’est lejbr6 canonique

2. FiKRlh L N DROITES SUR P1

sur

P'. Puis, pour tout k @pi

E

67

z , on pose

(II)=

LPI

(il@ si k 2 1 (-i)@lklsi K 6 -1 si k = O.

2.3. Exercice (premières propriétés des fibrés @pl ( k ) ) . Montrer les assertions : (1) Le fibré lp@ ( k ) est trivial en restriction à chacun des ouverts U" et U, et le cocycie correspondant est y, o y;' : ( t , v g ) H ( t , t- k v g ) . (2) Pour tout k E Z on a @pl ( - k ) = d%OmMpl (Hp(1 k),NPl). (3) (@$ (k),@& ( e ) ) = (@p~,@pl (e - k ) ) . (4) Hfi(P1,@pl(k)) # O u k 3 O. (5) HomHp, (@,I (k),HP1( e ) ) # O +=+ - k 2 O. ( k ) est isomorphe à @pl (e), c'est qiie k = Y . (6) Si (7) C l (@pl ( k ) ) = k rl (@pl (1)). '

2.c. Fibré en droites associé à un diviseur. - Explicitons les notions introduites au sO.8 lorsque M = P'. Soit m" E P'. Pour k O , on définit lp@ (km") comme le sous-faisceau de @pl formé des germes de fonctions (ho) qui s'annulent à l'ordre au moins -k = lkl en m" : le germe de en m # m" est égal à Hp I , m , tandis qiie le germe en mu est égal à tlk1C { t } si t est une coordonnée locale s'annulant en m". On peut étendre cette définition pour k > O : on commence par considérer le faisceau (*ma) des germes de fonctions rnérornorphps & p 6 l p Pn mfJ et le germe en mo est l'anneau sur P' dont le germe en m # mo est C { t } [ l / t ]; on définit alors (km") c @I, ( * m " ) ,pour k > O , conime le sous-faisceau des germes qui o n t u n pôle d'ordre au plus k en m". On a de manière évidente une suite exacte de faisceaux





a'.. 1 i >, j . Si l'on a un isomorphisme

>

on en déduit, en tensorisant par

&$I

( - a l ) , iin isomorphisme

>

>

4. STRIKT~JRE »Es FIBRÉS

\ r ~ ( : lSUR ~ ~ ~ ~ ~ s

75

Cependant la dimension de l'espace des sections globales pour le terme de qauche est strictement inférieure à celle pour le terme de droite, d'où une contradiction. O

4.7. Exercice (degré d'un fibré). - On appelle degr6 d'un fibré E de type 3 . . . 3 ad sur P' la somme Ce=,ai.Montrer qu'un fibré E est trivial si et seulement s'il est de degré O et satisfait H'(P',&?(-1)) = O. al

4.8. Exercice (la filtration de Harder-Narasimhan, cas de P'). - Pour tout Z , on définit le sous-fibré Fa&? c E" comme la somme directe des composantes isomorphes à &$I ( a i ) avec at a. (1) Montrer que F'+'E" c F"E, que le quotient F a / F a + ' est nul si a n'est pas égal & l'un des ni et qu'il est quasi trivial de poids a . On a donc

a E

{O}

Fa'&? c . . . c F " d 8

= Fm&?

= E.

(2) Montrer qu'une filtration de &? par des sous-fibrés vectoriels satisfaisant les propriétés ci-dessus est unique. ( 3 ) On appelle p m t e d'un fibré non niil E" le quotient p(E") = deg(&?)/r g ( E ) , avec deg(&?)= C2=la ; . Montrer que l'on a p(I;"+'&?)

3 p(F"&?)

et examiner le cas d'égalité. (4) On dit que &? est .wmi-stnhk~si tout sous-fibi-é non niil F de &? satisfait p ( F ) p(&?).En déduire que E" est semi-stable si et seulement s'il est quasi trivial.


1 + e. On considère l'homomorphisme Hpl ( a ( L o ) m o )+ (airno) obtenu à partir de I'homomorphisme naturel en multipliant celui-ci par c ( , k . On obtient ainsi par somme directe un homomorphisme injectif Hpl(a(L')rno) L) @fZlHpi (a,rno), qui définit un sous-fibré de cette somme directe et donc un sous-fibré de 8 ( k E {1,. . . , e } ) . On vérifie alors (exercice) que ces sous-fibres satisfont

3kk

(4.12).

O

( I ) Cette construction apparaît dans la dbinonstration que O. Gabber donne dit théorème

N.2.2.

5. FAMII.I.ES DE FIB&

VECTORIELS SUR P*

79

( 2 ) Les PropriUtés suivantes sont équivalentes : (a) l~ réseau correspondant ù (EO, E,) e,~ltrivial; (b) on a dans M la décom@sition E, = (EOn E , ) @ t’lE, ; (c) on a dans M In décomposition Eo = (EOn E , ) @ tEo ; (d) on a M = Eo @ t’E, ou encore M = E, @ tEo. Démonstration. - Indiquons seulement pourquoi l’une des décompositions (b) ou (c) implique la trivialité du réseau E associé à (Eo,E,). Le reste est laissé en exercice. On identifie d’abord ï ( P ’ , E ) à Eo n E,. L’existence de la décomposition (b) signifie que l’application naturelle de restriction ï ( P ’ , E ) --+ i k E est un isomorphisme. Le théorème de Birkhoff-Grothendieck (dans sa version algébrique),joint à l’exercice 2.3-(4), permet de conclure que le fibré E est nécessairement trivial. 0

5. Familles de fibrés vectoriels sur P1 5.a. Premières propriétés. - Soit X une variété analytique complexe, que nous supposerons toujours connexe dans la suite. Une famille de fibrés holomorphes sur P’paramétrée par X est, par définition, un fihré holomorphe E sur la variété A4 = P’x X . Pour tout x E X , on peut alors considérer la restriction E, du fibré E à la sous-variété P’x {x} = P’ (c& 0.3.3).Chaque fibré E, admet un type al (x) 2 . . . 2 ~ ( x ) .Puisque ce type est formé d’entiers, on peut imaginer qu’il reste constant lorsque x varie dans un ouvert dense de X . Tel est bien le cas. Plus précisément, on peut montrer (voir par exemple [Bru85]), qu’il existe une stratification de X à type de E, constant : il existe une partition de X en sous-variétés analytiques complexes (pas nécessairement fermées) au-dessus desquelles la restriction de E est de type constant; l’adhérence de chacune de ces sous-variétés est un sous-ensemble analytique fermé de X (éventuellement singulier) ; la frontière topologique d’une sous-variété de la famille est une réunion d’autres soils-variétés de la famille. Notons que toutes les > ne sont pas possibles. Le corollaire 5.4 ci-dessous montre par exemple que, si en un point de X le type est celui du fibré trivial, c’est encore le cas pour tout autre point assez proche du premier. De plus, il y a une contrainte simple sur le type des fibrés E, pour x E X (CJ: par exemple [BS77, chap. 3, th. 4.121 pour le cas analytique complexe et [HarSO] pour le cas algébrique) :

80

CHAPITRk 1. FIBRÉS VECTORIELS HOLOMORPHES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

5.1. Proposition (par déformation, le degré est constant). - Si la variété X est connexe, la jinction degré deg : x H Cl=, ai (x) est constante. Lorsqu'on remplace la sphère de Riemann P1 par une surface de Riemann compact.e, c'est le polygone de Harder-Narasimhan du fibré qui indique les dégénérescences possibles (voir par exemple [Bru851 pour une étude précise sur toutes les surfaces de Riemann compactes). Pour la sphère de Riemann, on retrouve le polygone de la figure 2.

5.2. Exemple (d'une déformation non triviale). - L'extension non scindée (2.7) va nous permettre de construire une famille E de fibrés de rang 2 sur P', paramétrée par la droite X = C de coordonnée z , telle que Eo = HpI (- 1) GI ( 1) et E, r~ @pl CB&$I pour tout z E C \ {O}. Soit E' le fibré trivial de rang 2 sur P' x @ . Le fibré trivial Eh sur P1 contient un sous-fibré Fo de rang 1 isomorphe à &$I (-1). Soit alors E" le sous-faisceau de E"' dont les sections locales sont portées par F" en restriction à z = O. On vérifie comme à l'exercice 4.10 que E" est localement libre de rang 2. Puisque E et E' coïncident hors de z = O, les fibrés E, sont triviaux pour tout z E @ \ {O}. On peut écrire E" = F + zE"' c 8', si F est le fibré image inverse de 9 0 sur x e . Posons 9 0 = gi/Fo = (1) et S' = g'/F.NOUS allons expliciter un homomorphisme JZO + E"o,dont l'image ne rencontre 9$ que sur la section nulle, ce qui montre que E o = 8 9 0 . Pour cela, remarquons que l'on a un homomorphisine

9 =E"'/F

z

k?/zE"

induit par la multiplication par z,puisque zk?' c E" et z F c zE". De plus, le soils-faisceau z 9 a pour image O puisque z 2 E ' c zE". On en déduit l'homomorphisme cherché

JZo

=2 7 / 2 9

z

E/zE = E"".

5.b. Théorèmes de rigidité. - NOUSaurons essentiellement à considérer le cas où la restriction E, de E à P1 x {x}, pour x assez général, est isomorphe aii fibré trivial. NOLIS aiirons à utiliser certains résultats fondamentaux de la théorie des faisceaux cohérents, pour lesquels nous renvoyons à [BS77, chap. 31 ou [Fis761 : semi-continuité de la dimension des fibres d'un faisceau cohérent et critère de liberté locale, cohérence des images directes par un morphisme propre (analogue en famille du théorème de finitude 3.1) et théorème de changement de base pour un morphisme propre. Nous

5. FAMII.I.ES DE FIB&

VECTORIELS SCK

PI

81

supposons donc dans ce numéro une certaine familiarité avec la théorie des faisceaux cohérents(2). En particulier, nous utiliserons le fait que le support d'un faisceau cohérent 2 sur X est un sous-ensemble analytique fermé de X et qu'en tout point x de ce support la fibre 2 / 1 1 1 ~ 2 de ce faisceau(')), ensemble des valeurs en x des germes de sections de 2, n'est pas nulle (Nakayama). Si E est un fihré de rang d sur P' x X , le degré de la restriction à la fibre P1 x {x} ne dépend pas de x, si X est connexe, comme il résulte de la proposition 5.1. Si on note encore & $ 1 ~ ~ l'image (1) inverse par la première projection du fibré Hpl (1) et Z ( k )= @ j + i X x ( k ) 827, on voit que le degré des restrictions de Z (- degi?') est nul. Par ailleurs, si T: désigne la projection P' x -+ x et si 9 est un faisceau localement libre sur IP' x X , le faisceau R k n , F ( k E IV) est (voir [God64, 5 4.171) le faisceau associé au préfaisceau

x

v

H k ( P x 1:F).

H

C'est un faisceau cohérent sur X (théorème de Grauert, voir par exemple [BS77, chap.3, § 2 ] ) . I1 est niil pour k 2 2 : en effet, si est un fibré sur P1 x {x}, on a H k ( I P 1 , z )= O, comme indiqué au théorème 3.1 ; on peut alors appliquer [BS77, cor. 3.111. I1 résulte de cette annulation que la formation de R ' x , F est compatible aii changement de base (voir [BS77, cor. 3.51). En particulier, la fibre en x de R ' n , F est égale à H ' ( P ' , z ) .

5.3. Théorème (le diviseur de non-trivialité). - Soien,i X une vam'ité analyiiqup complexe connexe et E unJifiréholoniorphe dr mrig d sur P 1 x X dont le dqyé des ratrictions aux,fibres P x { x} pst nul. (1) IY .su$$ort O du ,fuiscmu RIT,&? ( - 1) est 1CnsPmblp des x E X pour lrsyuels la 'resiriction de E h IP x { x > n,'rst p a s triviale. (2) Si O # M ri O # X,nlors O e.st unr hjj),pr:surj?zcedr X . Dhnonstmtion. - Au \TU des considérations ci-dessus, le premier point est une conséqiiencc directe de l'exercice 4.7. il reste donc à montrer que le support O, que nous supposerons non vide et # X ,est une liypersiirfàce('). Commençons par quelques reiiiarqiies sur les fibrés déterminants. ( 2 ) ~ iecteui-s ~ s ti-oiivei-orit iirie rléirioristi-;ttioiiciirecte (i.?. iie kiisaiir pas appel

i ~;i tliboiir cles

Iaihceaiix cohbrents) du tlibor2irie 5.3 et dii corollaire 5.6 d a i s [Mai83c] ; A. Rolihi-oiikh eii a réceiririieiit doiiiii. iiiie dbirioiistraiion plils Clbiiieritaire [BolSS]. ( " ) ~ i dbaigric i par 111, le kiisceaii ci'icii.aiix +I i @Y s i i r \ {x) et Cie gerrnc cri x egai i

x

I'idbal iriaxirrial d e @y,x, ( 4 ) i ~déiiioristratioii a qiii suit est directeriiciit iiispirbe d e celle faitc dans [OSSSO, p. 214-2171. Elle m ' a (.ti- fourriie parj. 1.e Potier.

82

CHAPITRE I. FIBRES \‘ECTORIEI.S HOI.OMORPHES SLIR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Soient F et F deux faisceaux localement libres de &x-modules de même rung d et soit cp : F + F un homomorphisme non identiquement nul. Dans des bases locales de F et 9,le déterminant de sa matrice est une fonction holomorphe, dont le lieu des zéros est l’ensemble des points où ‘3 n’est pas un isomorphisme. De manière plus intrinsèque, on appelleJibré déterminant de le fibré en droites dét F = A d F et dét cp l’homomorphisme d é t Y -+ d é t F dont la matrice dans une base locale de d é t F et d é t F est le déterminant de celle de 9.C’est aussi une section du fibré d é t F @ ( d é t F ) * ,où ( d é t F ) * est le dual du fibré en droites d é t F (c’est aussi son inverse au sens du produit tensoriel, r$ 5 0.7). Si cp : F + F est injectif, le conoyaii de ‘p est un faisceau cohérent sur X et son support est l’ensemble des zéros de la section détcp : si cet ensemble n’est pas égal à X , c’est une hypersurface analytique fermée de X , vide si et seulement si ‘p est partout un isomorphisme. Nous allons donc montrer que le faisceau R1n*2?‘(-1) admet, au voisinage de tout point xu de O , une présentation du type précédent, c’est-à-dire qu’il existe une suite exacte de faisceaux sur un voisinage de xu dans X

O

--Y

27

Rln*Z(-l)

-

O,

avec Y et 2 7 localement libres et de même rang Sur P1 x {x”} existe un isomorphisme d

@ @pl 1=1

N

(a,)

&+(-I),

d’après le théorème de Birkhoff-Grothendieck 4.4. On en déduit, quitte à remplacer X par un voisinage assez petit de xu, un homomorphisme vurjectif

Soit 37 son noyau. Nous allons appliquer la suite exacte longue de cohomologie pour le foncteur TC,, obtenue par passage à la limite inductive sur les voisinages de xu E X à partir de la suite exacte 0.6.2. Remarquons d’abord que le faisceau ~ * 8 ( - 1 )est nul : pour x O, sa restriction aux fibres P‘ x {x} est nulle puisquc Hk(IP1,&$l ( - l ) ‘ f ) = O pour tout k 2 O (voir [BS77, cor. 3.111) ; par ailleurs, il n’a pas de section locale à support dans O, puisqu’une telle section définit une section du fibré Z ( - l ) sur un ouvert P’ x V à support dans n-’O, donc est nulle. De plus, pour tout faisceau cohérent ?i sur Pl,les groupes de cohomologie H k (Pl, 27) sont nuls pour k 2 : nous l’avons indiqué plus haut pour les faisceaux localement libres après le théorème 3.1. Le cas général des faisceaux cohérents en résulte, en utilisant le fàit que tout faisceau

>

5.FAMILLES DE FIBRÉS VECïORIE1.S SUR P'

83

cohérent sur P1 admet une résolution finie par des faisceaux localement libres (voir par exemple [BS77, chap. 4, cor. 2.61). Par suite on a R k z * Z= O pour k 2 2 , lorsque Z est l'un des faisceaux A?,8'ou 8 ( - 1 ) ([BS77, cor.3.111). On obtient finalement

x*A?

-

Ln * 8 '

et iine suite exacte

O

R'x,A?

+R ' z * 8 ' +R 1 n * 8 ( - l )

-

O.

Notons que 9 %! R1n,Z' est localement libre, puisqn'il est cohérent (image directe propre d'un faisceau cohérent) et les fibres ont même rang 8 = dimH'(P', ( a , ) ) (voir [BS77, chap. 3, lemme 1.61). De même, F E R ' x , Z est cohérent et localement libre de rang égal \ O. De plus, étant un sous-faisceau du faisceau localement libre 9 ,il n'a pas de torsion. Si X est de dimension 1, on en déduit que F est @ X localement libre puisque, pour tout x" E X , l'anneau @x,~,,est principal. Si X est de dimension n 2 et si F n'est pas localement libre, la dimension de la fibre de F en x" est > 8 (voir par exemple [Fis76, p.541). Alors il existe, quitte à restreindre X , un système de coordonnées locales ( x i , . . . , x,) centrées en xo tel que la restriction de F à l'axe xi ait iine fibre générique de dimension 8 et une fibre en xo de dimension strictement supérieure à 8, c'est-à-dire que cette restriction n'est pas localement libre. Comme la formation de 9 et F < ommute au changement de base(5) (propreté de TC),ceci est impossible d'après le résiiltat vu lorsque dimX = 1. Ainsi, F est localement libre, de même rang que 9 , et le support de R' n&7 (- 1) est une hypersurface analytique fermée de X . O à 8 sur X

L'énoncé de rigidité ci-après sera essentiel. Comme l'a remarqué B. Malgrange, il est à l'origine de la propriété de PainlevC de certains systèmes d'équations différentielles considérés plus loin.

5.4. Corollaire (rigidité des fibrés triviaux sur Pl). - Soit E u n j b r i de rung d sur le produit P1 x X. O n suppose qu'al existe x" E X te1 que Eo

Elpix{x,,l soit trivial. Il existp dors un voisinage ouuut V de x" duns X tel que la rpstriction de E ti P' x V soit triviale.

Démonstration. - D'après le théorème 5.3-( 1), il existe iin voisinage ouvert W de x" tel que E l p ~ x { xsoit l trivial pour tout x E W . On a donc ('1 C;oriiirie F n'est pas iocaierrieiit libre, il faut iitiiisci- une resolution par cies 4 1 xl, iriodules localement libres pour obtcnir l'assertion pour 9I? partir de [BS77, chap. 3, th. 3.41.

84

(

H M I T R L I FIBRES \W I ORIEL5 HO1 OMORPHES SL K LA 5PHERE. Dk R I F W W N

H k ( P 1 , q p ~ x i x= l ) O pour tout k 3 1 ; par suite, comme indiqué avant l'énoncé du théorème 5.3, on a R k n , g = O sur W pour tout k 3 1. I1 en résulte que la formation de n,~? commute au changement de base. Ainsi, notant 1lt,o l'idéal maximal de @x,,o, on a ï ( P 1 , g o )= n&?/nix0n*g et ce dernier espace est de dimension d. Choisissons-en une base e ; , . . . ,e: et soient e l , . . . , Pd des relèvements dans ( x , ~ ) , o .On obtient ainsi, pour V assez petit, iin homomorphisme e:

qP1

-qpl

Dans une base locale de sa matrice A ( t , x) satisfait détA(t, x') # O pour tout t puisque, E" étant trivial, P';, . . . ,e: en forment une base locale. On en déduit que, quitte à diminuer V , on a aussi détA(t, x) # O pour tout O t et tout x E V . Ainsi, e est un isomorphisme.

5.5. Remarques (1) On voit aussi que n*i? est localement libre de rang d sur X

\ O. (2) L'analogie suivante peut permettre de mieux faire comprendre la démonstration de ce corollaire. Soit H un (C-espace vectoriel de dimension finie et soit d un entier 6 d i m H . La grassmannieniie Gr(d,H) des sous-espaces de dimension d de H est munie d'un fibré > CY dont la fibre au point [ E ] représentant le sous-espace E c H est ce sous-espace lui-même (pour d = 1 et H = C', on a Gr( 1, (C') = IF" et g = HPI (- 1)) . Fixons un sous-espace E" c H de dimension d et une projection p : H -+ E " , c'est-à-dire une décomposition H = E" @ F " . On en déduit, pour chaque E E Gr(d, H ) , un morphisme 'p : E + E " , qu'on interprète comme un morphisme 'p de 8 vers le fibré trivial @ i , . ( d , ~ ) @JC E" de fibre E'. Ce morphisme est un isomorphisme hors du lieu Op où dét 'p = O. On voit dét 'p comme un morphisme du fibré en droites d é t g vers le fibré trivial de rang 1, c'est-à-dire une section du fibré d é t g " dual de d é t g . Ainsi, Op est une hypersurface de Gr(d, H ) (qui dépend du choix de fi). La condition (2d) de la proposition 4.15 suggère d'étendre le raisoiinement ci-dessus au cas d'un espace de dimension infinie ( i . e . prendre H = M ) . On peut le faire lorsque H est un espace de Hilbert séparable ($ [PS86, chap. 7]), par exemple l'espace des fonctions L' sur le cercle unité. La démonstration de [Md83c] utilise ce type de méthodes.

Nous pouvons préciser le corollaire 5.4 au voisinage d'un point de O :

5.6. Corollaire (trivialisation méromorphe). - Soit E u n j b r é de rang d sur P1 x X de degré O . On suppose que le support O de R ' x * g (- 1) est une hypersuvuce (éventuellement vide). Alors, pour tout x E X , il existe u n voisinage ouvert

5 . FAMILLES DE FIKRÉS i'F.CTORIELS SUR P'

85

V de x et une trivialisation méromorphe qpXi,(*n-1O) ? @;lxL,(*n-lO). Démonstration. - Elle est conséquence du lemme qui suit :

5.7. Lemme. - Soit F un faisceau @x -cohérent, localement libre de rang d sur X \ O . Alors @x (*O) 8~~F est localement libre de rang d comme @x (*O)module. En effet, la remarque 5.5 permet d'appliquer ce lemme à n * g . Soit x" E O et ( e l , . . . , e d ) une base de n*k?(*O)xo.Cette base définit donc un homomorphisme

-

e :~ ~ l x L , < * n - l ~ g (>* n - l ~ ) l P l x V si V est un voisinage assez petit de xo. Puisque e induit une hase de chaque fihré pour x E V \ O, on en déduit comme plus haut que e est un isomorphisme. O

qP1

Démonstration du lemme 5.7. - Soit xo E O. Puisque

F est cohérent, on a

3 d.

dimSC,o/in.&o

Choisissons d vecteurs indépendants y:, . . . ,'pi dans cet espace. Ils se relèvent en d sections locales indépendantes ' p i , . . . , y ~ dde 9sur un voisinage assez petit V de xo. Celles-ci définissent un homomorphisme 'p : @$ 4 Celui-ci est un isomorphisme sur V \O puisque F y est localement libre de rang d et que le déterminant de ces sections, vu comme homomorphisme de @y- dans A d F , ne s'annule pas sur V . Le noyau X et le conoyau de 'p sont des faisceaux cohérents à support dans O. Si O = O est une équation de O ai1 voisinage de xo, 22' et $5' sont annulés par une puissance de 8. En particulier on a X = O et @"(*O) @ $ ? = O .

TIT.

Puisque @"(*O) est plat sur @" (voir par exemple [Bou64]),on en déduit que 'p induit un isomorphisme @{(*O) Y(*@ 1". ) O Soient io et ,i les sections nulle et infini de X dans JP' x X . Considérons les deux morphismes naturels de restriction po :

+ ioE"

et . .p

-

: n*k?

--

ikg.

L'application pu est donnée, pour tout ouvert V de X par

rp'

x

i;q s ( t , x)

et ,p

est définie de même.

r({o}x vg)

H s(O,

x)

86

(XIAPITRE 1. FIBRÉS \TECTORiEIS HOLOMORPIIES SUR LA SPHÈRF DE KIEMANN

Soit E un fibré de rang d sur P*x X . On suppose qu'il existe xo E X tel Et que E" '= E,,i xixo) soit trivial. I1 existe alors, d'après le théorème 5.3, une hypersurface O de X (éventuellement vide) ne contenant pas x" tel que E , soit trivial pour tout x E X \ O.

5.8. Corollaire (identification canonique entre les restrictions O et 00 ) Sous cettp hypothèse, les morphismes de re.ririction po et ..p induisent des isomorphismes après tensorisation par & (*O) ;en particulier, sur X \ O , les jib& vectoriels n,qx\(->, iOqx\o et i&qx\e sont isomorphes via po et ..p. On a aussi, après application d u jbncteur n*,des isomorphismes de,fiDrbs méromorphes

8'( * x - ' o ) , n * i o(*n-' ~ O) et n * i( *~T c -~l ~ ) . Démonstration. - Notons d'abord que iGE" et iL8' sont deux fibrés vectoriels sui- X (restrictions du fibré 8').D'après le corollaire 5.6, le fibré 8( *n-lO) est un fibré méromorphe trivialisé sur des ouverts P x V . Nous voulons vérifier que les morphismes pu et ..p sont des isomorphismes. I1 suffit de le vérifier localement sur X . Nous pouvons donc supposer que B(*n-'O) = @pixlr(*O)d et dans ce cas le résultat est évident. O La deuxième partie du corollaire se montre de la même manière.

CHAPITRE II CORRESPONDANCE DE RIEMANN-HILBERT SUR UNE SURFACE DE RIEMANN

Dans ce chapitre, M désigne une surface de Riemann, i.e. une variété analytique complexe de dimension 1 (CJ: § 0.2) qui sera toujours supposée connpxp. Une présentation générale des propriétés des surfaces de Riemann est donnée dans [Rey89]. Leurs propriétés topologiques, (groupe fondamental notamment) sont analysées en détail dans [Gra7l, Mas671.

1. Énoncé des problèmes Soient C un ensemble discret de points de M et o un point base dans A4 \ C. Si par exemple M = P’,l’ensemble C = {rno, ml,.. . , m p } est fini car P’ est compact et on a \ = c \ { m i , . . . ,m!,} (en prenant CO = mo) ; ainsi, le groupe fondamental “1 ( M \ c, O ) est le groupe libre avec pour gkiiérateurs les classes des laccts y l , . . . , yp dessinés sur la figure 1 (où le point mo est à l’infini), ou, de manière plus intrinsèque, le quotient du groupe libre à p + 1 générateurs yo,.. . , yp par la relation d’équivalencc engendrée par la relation yp . . . yo = 1.

x

FIGUREI

88

CHAPITRE II. >

+

A

que

+

+

+

(a) P ( t ) = 4) tP1 t2P2 . . . , (b) t f " ( t ) = P ( t ) B ( t )- A ( t ) P ( 1 ) avec B ( t ) = A" + tBl t-/)B 1) 01

+ t'B2 + . . . + taBa =

'

[On utilisera le fait que ad(Ao - D ) + k Id commute à ad D , donc préserve les sous-espaces propres de a d D , et y induit un isomorphisme si k # O ; on dkcomposera l'équation de (h) sur les espaces propres de adB.] ( 2 ) Montrer, en utilisant la proposition 2.18, que la matrice P est convergente. En déduire qu'il existe un changement de base P E GL,l(C { t } ) après lequel la matrice de la connexion a la forme dt K ( 1 ) -. t

(3) En appliquant le changement de base méromorphe de matrice P(t)t-" a la matrice R = A ( t ) d t / t , montrer que la nouvelle matrice est (Bo - U ) d t / t et retrouver ainsi le théorème 2.8. En déduire que la inatrice de rnonodromie est exp(-2in(Bo - D ) ) .

98

CHMITRE I I . CORRESPONDANb RIEMANN-HILBERT

(4) Donner un exemple d’une matrice A ( t ) dans M?(C{t)) telle que la monodromie du système de matrice A ( t ) d t / t ne soit pas conjuguée à exp(-2inA(O)). 2.e. Réseaux logarithmiques canoniques. - Soient (M,V) un ( k , V ) espace vectoriel et E un réseau logarithmique. Soient e une base de E sur @ { t > et O ( t )= A(t) d t / t la matrice de V dans cette base. Alors l’endomorphisme de Eo de matrice A ( 0 ) dans la base e ne dépend pas du choix de la base : c’est le résidu de la connexion à l’origine (voir le 0.14.b), que nous notons Rés V , ou encore Résg V pour rappeler le réseau qui le définit. Nous pouvons maintenant préciser le résultat de l’exercice 2.6 et construire des réseaux logarithmiques canoniques (encore appelés réseaux de Ildigne) dans tout fibré méromorphe à singularités régulières. Ils sont obtenus par recollement des réseaux logarithmiques canoniques locaux construits ci-dessous. Les réseaux de Deligne locaux permettent de reformuler le théorème de classification 2.8 en terme d’équivalence de catégories. 2.21. Corollaire (les réseaux de Deligne). - Soit (34,V) un (k,V) -espace vectoriel c i sinplurité répli&-e. (1) Soit E un réseau logarithmique de M ; si les valeurs propres d u ré.sidu Rész V de lu connexion V sur E ne dffirent pas d’un entier nori nul, il existe une base de E sur C.{ t> dans laquelle la matrice de la connexion a la forme Ao d t / t auec A0 constante. ( 2 ) Soit o une seciion de la projection naturelle C. + @ / Z (de sorte que deux nombres complexxps dans l’image Ini o de o ne d@rent pas d’un entiPr # O ) . Il existe un unique réseau logarithmique “V de (M, V ) tel que les valeurs propres de R é s v V soient contenues dans Im o . De plus, pour tout homomorphisme y : (M, V) + (M‘, VI), on a

~(“17)= “V(Ini cp, V)

= “17(n/z’, V’)

n 1111Q.

( 3 ) Réciproquement, soil T un automorfihismxp de C d (déjnissant un sytè?ne local de rang d sur un disque Il’ priué de son oripne). Il existe alors un unique (ù isomorphisme près) $ h é Ù connexion mbromorf)hxp.mr D ii @e logwithmique en O pour lequel (a) le système local qu’il d$riit sur LI* est celui associé Ù T , (b) le r&du en O de la connexion a se.$ valeurs propres dans h i o . (4) Le foncteur qui associe Ù tout (k,V) -es$ace vectoriel (M, V) ii sin,plurité r&ulit?re lkspace uectoriel OH = “ V / t “V muni de l’uutomorphisme T = exp (-2in Résw V) e,st une équivalence de catégories.

2. ETUDE I.OCAI.E DES

SINGIJIARITES

RF.GIII.IÈRES

99

Ilhnonstration (1) C’est exactement ce que donnent les propositions 2.11 et 2.13.

(2) L’existence d’un réseau “17 résulte de la proposition 2.12. Si E et E’ sont deux tels réseaux, il existe, d’après ( l ) ,une base e de E (resp. e’ de E’) dans laquelle la matrice A&/t (resp. A$t/t) de V a ses valeurs propres dans Ini o . En raisonnant comme pour la proposition 2.11, on voit que la niatrice de passage P E GLd(k) de e à e’ est constante et conjugue A() et A;,. D’où l’unicité. Comme l’image par ‘p d’un réseau est un réseau de l’image de q , la deuxième assertion résulte de l’unicité. ( 3 ) On pcut écrire de manière unique (décomposition de Jordan de T ) C d = @iLFjs oii F>,est somme directe d’espaces C I T , T - l ] / ( T et on a une décomposition correspondante du système local attaché à T sur U * . Le fibré cherché sera décomposé de même et, à chaque terme Q: [T, T p 1 3 / ( Ton associe la connexion V sur le fibré trivial de rang k de matrice (ctId+N) d t / t , avec T = exp-2zrt(xId+‘V), où - 2 i x x est l’unique logarithme de A qui se trouve dans 2inIm0, 1V est un bloc de Jordan de taille k et t est une coordonnée sur LI. Si l’on a deux tels fibrés E et E’, le fibré à connexion méromorphe B m 8 ) (E“,E“’) est aussi à pôle logarithmique en O et les valeurs propres du résidu de sa connexion s’obtiennent en faisant les différences des valeurs propres de RésV’ et de RésV. Aussi la seule différence entière est O , par hypothèse. Puisque les fibrés ont même monodromie sur D * ,il existe un isomorphisme des faisceaux localement constants sur L)* qu’on leur associe et donc on dispose d’une section inversible horizontale de Zornm, (E“,CY’)sur Il*. Puisque la singularité de ( S o m a ( M ,M ) , V) est régulière, cette section est à croissance modérCe (d’après l’exercice 2.6 et le théorème 2.8), donc est méromorphe en O. Puisque l’unique valeur propre entière du residu de V sur Zm4)(8, E“’) est 2 O, cette section est holomorphe en O (voir remarque 2.17). Son inverse satisfait la même propriété, d’où l’existence d’un isomorphisme entre les deux fibrés à connexion méromorphe.

(4) Le point ( 3 ) montre en particulier que ce foncteur est essentiellement surjectif. Pour la pleine fidélité, remarquons d’abord que, si ‘p : (M, V) + (M’,V’) satisfait cp(“V(M)) c t . “V(M’), alors d’après (2) on a “V(p(M))= t . “V(‘p(M))et par suite ‘p = O. Enfin, montrons que l’application induite sur les Hom est surjective. En choisissant des bases convenables, nous sommes ramenés à montrer que, si A() et A() sont deux matrices carrées de taille d et d’ respectivement ayant leur valeurs propres dans Iiii O, toute matrice P ( t ) de taille d’ x d satisfaisant

100

CHAPITRE II. CORRESPOND.LW, laissant aux lecteurs le soin d'x , } [ t - l ] , d + a d t / t ) (cj.

définition 2.5).

5.1. Proposition (classificationdes singularités irrégulières en rang 1) Tout germe (M, V) de rang 1 est isomorphe Ù un germe E T @ NK,o.Deux tels germes correspondant Ù (‘pi, x i ) et ( ( ~ 2 c, r p ) sont isomorphes s i et seulement si ‘ p l -‘pz n’a p a s de pôle et al - c i p E Z . Ainsi, la classe de ‘p dans C { t , XI, . . . ,x n } [ t-’1 /C{ t , X I , . . . ,x,} détermine le germe €P. Dans la suite, nous fixerons cette classe en ne considérant que des germes ‘p sans partie holomorphe, i.e. de la forme ‘pktPk,où ‘ p k E C { x i , . . . , xn} pour tout k .

xkyi

Démonstration. - Un germe (M,V) de rang 1 est déterminé, à isomorphisme près, par la donnée d’une 1-forme w à coefficients dans C { t , X I , . . . ,x,} [t-’1 , satisfaisant dw = O (condition d’intégrabilité en rang l ) , et deux formes 01 et wp déterminent le même germe s’il existe une fonction f i ( t , x l , . . . ,x,) E C { t , x l , . . . , ~ ~ ~ } [ t avec - l ] , p ( t , O ) E k \ {O), telle que w2 = w1 d l o g p . Si O est une telle forme, on peut écrire de manière unique w = w’ + w”, où w’ est la partie > de w et w” sa partie logarithmique : il existe r E W’ minimuni tel que l’on puisse écrire

+

(

dt

w = trr a(t,X)t

+

71

1

b i ( t , X ) dx; i=l

avec a et les b, holomorphes. La forme w’ est obtenue en remplaçant a et les b, par leur développement de Taylor en t à l’ordre r - 1. La condition dw = O se décompose alors en do’ = O et do” = O. On vérifie, comme à la proposition 2.2, qu’il existe fi comme ci-dessus et c( E C tels que 0’’ = a d t / t + dlogfi. Par ailleurs, l’adjonction d’un terme de type d l o g p ne modifie que la partie logarithmique 0)’’ de w . Pour terminer la démonstration, il suffit de vérifier qu’il existe une unique ‘p sans partie holomorphe telle que dcp = w’. Pour le voir, posons

5. SINC;LTIARITÉS IRRÉC:UI.IÈKLS : ÉTIJDE LOCIUE

109

où les o h ne font intervenir que les dx,. En notant dx la differentiation par rapport aux coordonnées x, uniquement, on obtient

On en déduit que, pour tout k 2 1, il existe E @ { x i , . . . ,x n } avec d X $ k = (eJ le lemme de Poincaré 0.9.7) et il existe ck E @ avec hk = - k ( $ k + c k ) . Si l’on pose ‘ p k = +k + et ‘p = Ck=it P k y k ,on a or = d’p. L’unicité se voit de même. o

5.b. Modèles en rang quelconque. - Comme dans le cas régulier, nous allons d’abord introduire un certain nombre de modèles élémentaires, auxquels nous comparerons le germe M. 5.2. DéJinition (modèles élémentaires irréguliers). - Nous dirons qu’un germe de fibré méromorphe à connexion (M, V) est élémentaire s’il est isomorphe à un germe du type ( € T , V ) 8 ( X , V ) , où ( 2 , V ) est à singularité régulière le long de {O} x X (eJ § 2.0. 5.3. Exercice (comparaison des modèles élémentaires). - Soit r r

tpk’pk avec

‘p =

‘pr

1 et

+ O.

k=l

(1) Calculer le rang de Poincaré du fibré méromorphe à connexion @ X , V ) (CJ: s0.14). (2) Montrer qu’il n’existe pas de section horizontale non nulle du fibre méromorphe à connexion ( € ? @ X,V) . ( 3 ) Montrer qu’il n’existe pas d’homomorphisme €P @X t X’,où 2 , X ’ sont à singularité régulière. (ET

Un modèle est un fibré méromorphe à connexion (M,V) isomorphe à une somme directe de modèles élémentaires. On écrit cette somme directe sous la forme

où l’on suppose que les fibrés méromorphes à connexion XP sont à singularité régulière et les ‘p E @ { t ,XI,. . . , ~ , ~ } [ t n’ont - ~ ] pas departif holomorphe et sont deux 6 deux distinctes.

5.5. Exercice (comparaisondes modèles élémentaires, suite) (1) En décomposant chaque XTen modèles élémentaires réguliers, donner une forme simple pour la matrice de la connexion d’un modèle.

CHAPITRE Il C OFXESi'ONl>Ah'CE DE RIk MANN-HI1 KkRT

110

(2) Vérifier qu'un homomorphisme entre deux modèles est diagonal relativement à la décomposition suivant les 'p et que deux modèles sont isomorphes si et seulement si les facteurs X? correspondants sont isomorphes. En déduire que la décompositioii (5.4) est unique. 5.6. Déjinition (de la bonté). - Nous dirons qu'un modèle (5.4) est bon si, pour tous p # q!~ tels que 2v,X+ soient non nuls, l'ordre du pôle en t = O de ( y - +) ( t , x ) ne dépend pas de x assez voisin de x O .

+

tPk(p- + ) k ( x ) avec (y - + ) r ( ~ $ ) O, la condition signifie Si p - = donc que l'on a ( ~ - + ) ~ ( x ' )# O. I1 se peut cependant que l'ordre de 'p ou soit strictement plus grand que r. On remarquera que, si un modèle (M,V ) est bon, alors, pour tout q E t-'C{xl,. . . , x.}[t-l], le germe E? @ (M,V) = (M, V + kq) est encore un modèle et qu'il est bon.

+

5.7. Théorème (de décomposition formelie). - Soit (M, V) un germe defibré mhomor-heà connexion, munz d u n e base dans laquelle la matrice R a la forme dt

A ( t , x) - +

1

n

C C(') ( t , x ) dx,

2=1

>

avpc r 1, A et les C(') ù élémpnts holomorphes, P t A0 E A ( 0 ,)'x semi-simple régulière (Le. ii valeurs propres distinctes). Il existe alors un bon modèle (Mh'i'',8) et un isomorphisme .formel jj

A

@DXX,X"

N

@ (M, V)

-

@DXX,XO

@

V).

Lorsque la conclusion du théorème est satisfaite, nous disons que le germe (M,V) admet une bonne dkomposition formelle le long de {O} x X . Un résultat plus général dû à Tiirrittin et dont il existe plusieurs approches (voir [Tur55], [Lev75], [RobSol, [Mai79], [BV83], [Var911 pour le cas > et [BV85] pour celui c< avec paramètres >>),affirme qu'une teiic décomposition existe(5),peut-être pas pour (M, V) , mais pour son image inverse par une ramification convenable t = zq d'ordre q 2 1. Dans la situation présente, la raniification est inutile. De plus, nous allons voir que toutes les composantes 2? qui interviennent dans le modèle sont de rang 1, ce qui n'est pa5 le cas général, même lorsqu'aiicime ramification n'est nbcessaire.

(5)(;éntriquemeiii sur l'espace cies paramètres ; xn ) t

k

k>O

où les fk sont holomorphes sur un voisinage fixé de x ” . Autrement dit, si on note d 5 1 x x la restriction à {O} x S1 x X du faisceau & f i x x , l’application > définit un homomorphisme T -

-

~ ~ x x , ( o ~ , x ~@DxX,xo )

dont le noyau(g)est noté < ~ ~ $ , ~ ~ , x o ou , , encore ~ : : X , ( o , , , x , , ) en identifiant X au diviseur {O} x X de D x X.Par construction, T est compatible à l’action des dérivations a/&, d / û x ~ ,. . . , û/dxn. On remarquera qu’on peut autant de fois qu’on veut les sections de Le lemme dP Borel-Ritt (voir par exemple [Maigl]) affirme que T est surjective(”). En terme de faisceaux, on peut exprimer ce résultat en disant que la suite de faisceaux sur S’ x x T O Lf;;, J+\lxX x-l*lxX O

* les extrémités de IL jusqu'aux directions (principales ou secondaires) les plus proches pour obtenir ainsi un intervalle ouvert In de longueur > n/r ; - considérons enfin le recouvrement 2 de S' par les intervalles I,. (
"

H{ ! !(rkn v " ) / ( E n v~> ~=) ( H n~ H " ) / ( H ~n H>") (en choisissant CI E ] - 1,O] tel que h = exp(-2Zncc) et en prenant garde a l'ambiguïté de notation dans le terme de droite). Le polynôme caractéristique X E (s) est alors d k j n i par la formule ( 1.15).

1.16. Définition (du polynôme caractéristique d'un réseau). - Le polynôme caractéristique X E (s) du réseau E est égal ii

1.1 7. Remarque. - Le polynôme X E (s) détermine le polynôme caracteristique de la monodromie T : celui-ci est égal a n , ( S - exp(-2ixP))"r3.

I . I & Exercice (comportement du polynôme caractéristique par dualité) Soit (M*,V*) le (k,V)-espace vectoriel dual de (M, V ) . (1) Montrer que, pour tout p E C ,on a

vp (M*) = a m @ ( , >(v>-(l'+'),C { t } ) .

-

(2) En déduire que la forme bilinéaire composée des deux applications

V"M*)

v-(p+i)(M) + t - ' @ { t } @11) @

induit une forme bilinéaire non dégénérée

[vp(M*)/v'"(M*)]

Résidu

@ [v-(-+l)(M)/V>++')

c

(M)]

@

@.

( 3 ) Montrer que l'orthogonal de t-'E n V-(p+')(M) est égal à

[ E * n v > ~ ( M * )+] [ t ~ n* v ~ ( M * ) ]

138

(XIAPITRL 111. RÉSEALrX

et en déduire une forme bilinéaire non dégénérée

E* n Vcniz*) [ E * n W(M*)] + [tE* n V ( M * ) ]

n~-(i.+i) E? [ E n v - ( P +(M)] ~ ) + [t-lE n v>-(P+~) (M)] t-'E

-

@.

(4) En déduire que x ~ * ( . Y=) ( - i ) d ~ c ( - s ) ,où d = diinkM. (5) En déduire que, s'il existe une forme bilinéaire non dégénérée sur (XI, V) de poids w relativement à E , on a X E (s) = ( - I ) ~ x(7u~ - s ) . Montrer les énoncés analogues pour

a*.

Remarque (différentes notions d'exposants). - I1 existe d'autres façons d'associer des > à un réseau E . Indiquons notamment celle due à Levelt [LevGl]. E. Core1 [Cor99a] a montré que ces exposants correspondent au polynôme caractéristique du résidu de V agissant sur le plus grand sous-réseau logarithmique de E . On pourrait aussi considérer le plus petit réseau logarithmique contenant E , ou aussi, avec Gérard et Levelt [GL76], le satiiré par tVd/pf de E . Ces exposants ne satisfont pas nécessairement la propriété de dualité de l'exercice 1.18, mais dans loc. rit. E. C h e l a montré à leiir propos une inégalité qiii permet, lorsqii'on l'applique 5 iin réseau sur P',d'obtenir ties inkgalités analogues à celles montrées par R. Fuchs pour les équations diffkrentielles.

1.d. Rigidité des réseaux logarithmiques. - La proposition qui suit montre que, localenient, les réseaux logarithmiques ne donnent pas lieu à une théorie de déformations intégrables intéressante. Cet énoncé se révélera cependant très utile poiir transformer des problèmes locaux en des problèmes globaux, donc algébriques.

1.19. Proposition (rigidité, [Mai83c, th. 2.11, [Mai86]). - Soit (E', V u ) un ,fibré sur un disque LI muni dUne connexion à pôle logurithmique h l'orig'ne. Soient X une variYtY analytique 1-connexe et xo E X . Il existe alors un unique (à isomorphisine iiniqueprès),fibrY E sur D x X ri con'nexiwn logurithmique le long de { O } x X telque ( E , V ) ~ U ~= { ~(E",V"). ,,) 1.20. Remarques (1) Ce résultat est à rapprochcr du corollaire 11.2.21 ct du ij 11.2.26, à ceci près que la condition sur les valeurs propres du résidu est ici remplacée par la condition initiale ( E ,V ) ~ ~ x {=x (~El"}, V ' ) , ce qiii dorine la/iort~unicité. (2) Une façon plus précise de formuler la proposition 1.19 est de dire que le foiicteiir de restriction, de la catégorie des fibrés holomorphes sur

D x X à connexion logarithmique à pôle le long de {O} x X vers la catégorie des fibrés sur D x {x"} à connexion logarithmique à pôle en O , est ilne équivalence. En effet, si cette équivalence est montrée, tout ( E , V) logarithmique de restriction égale à (E",V") est isomorphe à p+(E",V'), si p : Zl x X + X désigne la projection. La pleine fidélité montre qu'il existe un uriiqiie isomorphisme induisant l'identité en restriction à D x {x"}. (3) Si, dans la proposition 1.19, on part d'un triplet ( E o , V " ,( , ) O ) où ( , ) O est une forme bilinéaire ou sesquilinéaire non dégénérée de poids 7u E Z , un raisonnement analogue à celui fait pour cette proposition montre l'existence et l'unicité d'une extension ( E ,V, ( , ) ) : on interprète en effet -* -* ( , ) comme un homomorphisme ( E , V ) + ( E * , V * ) ou ( E , V ) et 011 applique la pleine fidélité du foncteur de restriction ii Z) x { x " } . DPnionstrntion de la profiosition 1.19. - Nous allons montrer que le foncteur de restriction est une équivalence. L'essentielle surjectivité est claire, comme nous l'avons vu dans la remarque 1.20-(2) : il siiffit de prendre pour ( E ,V) l'image inverse de (So,0") par la projection fi : D x X + I I . Montrons la pleine fidélité. Une section horizontale du faisceau A%m~l(P,h?'") se relève de manière unique en une section horizontale de 2 ? % m ~ l x(R, , y E"') I ~ ~puisque, * ~ s par hypothèse de simple connexité de X , l'inclusion il* x { x " } D* x X induit un isomorphisme des groupes fondamentaux. I1 s'agit de vérifier qiie cette section s'étend en une section de h 3 m 4 i > xy (E,E"'). Ceci résulte de l'existence de la forme normale donnée par le théorème 11.2.25 : celui-ci implique en effet que toute section horizontale sur 1)" x X est méromorphe le long de {O} x X et qiie, si la restriction d'une telle section à 11 x {x"} est holomorphe, la section est eilc-même liolornorpiie le long de {O)x x ( 4 ) . O

-

1.21. Remarque. - On montre de la mênie manière que, si E" est un fibré sur P 1 muni d'une connexion V" à pôles logarithmiques aiix points d'un sous-ensemble Co de cardinal fi + 1 de P', il existe un uniquc (à isomorphisme unique près) fibré E muni d'une connexion intégrable V à pôles logarithmiques le long de Co x X qui étende (E', V") . 1.22. Remarque. - Supposons maintenant que l'ensemble Ç" varie analytiquement dans IP1. Autrement dit, donnons-nous une hypersurface lisse C de Pl x X , telle que la projection C --f X soit un revêtement de degré fini p + 1. Pour tout x E X , l'ensemble C, c Pl est donc une configuration de (1' OII prcncira garde qiic cette cieriiièrc propi-itté peut être fausse pour line scctioii iiiéroiiioi-phi n o 1 1 linriiontalc.

CHAPITRE 111. &SEAUX

140

p+

1 points distincts et l'on a C,O = Co. Si X est 1-connexe, l'énoncé donné dans la remarque 1.21 précédente est encore vrai dans cette situation, sous l'hypothèse supplémentaire que l'inclusion

(P'\

CO) x {x"}

L)

(P'x X ) \ c

induise un isomorphisme des groupes fondamentaux. Cette hypothèse est satisfaite par exemple si le groupe d'homologie Hz (X, Z ) est nul(5).Puisque X est 1-connexe, le revêtement C + X est trivialisable et il existe + 1 applications holomorphes +i : X + IP' ( i = O , . . . ,p ) telles que C soit la réunion des graphes des +i. On applique la proposition 1.19 à un voisinage

X

X"

FIGURE2

ouvert V, de chaque composante C, isomorphe à D x X pour obtenir un fibré ( E z ,V,). On obtient ( E , V) sur IP' x X en recollant les (Ez,O,) avec le fibré holomorphe à connexion plate sur P1 x X \ C correspondant à la représentation de nl (P'x \ C) = nl (P'\ CO)définie par ( E " ,v").

x

(')EU effet, puisque x est I-corinexc, ce groupe est égal au groupe . r r 2 ( ~ ;) ia suite exacte d'lioriiotopie de la fihrdtiori ( p l x \ C + X donne le résultat voulu.

x)

2.RÉSEAUX DES (k,V)-ESPACES VEp)+ ( t E nv'b)'

2.4. Remarque. - Ce polynôme réapparaîtra en relation avec le problème de Birkhoff ( $ remarque IV.5.13-( 1 ) ) . 2.5. Exercice. - Retrouver le polynôme caractéristique de la nionodromie T' sur l'espace H' = V ' / t ' V ' à partir de $'(s) (voir la remarque 1.17).

CHAPITRE III. RÉSEAUX

144

2.6. Exemple (le zéro et l'infini). - Si (M, V) est à singularité régulière et si E en est un réseau logarithmique, on a (s) = X E (s) . En effet, on peut écrire M = @pt@Mpet IE = @pE@IEp. La multiplicité vp de (s - p) dans X E (s) est égale à dim Es. On remarque alors que le résidu en O de V sur Mp a pour valeur propre p, tandis que le résidu en CO a pour valeur propre -p.

x?

Le comportement par dualité est analogue à celui de l'exercice 1.18 :

2.7. Proposition (comportement par dualité). - Si E* est le réseau dual de E -* o o et E en est son dual (< hermitien »,on a f$ ( s ) = (s) = (-1) d xr (-s) .

x-". E

np

x?

xg

Démonstration. - Posons (s) = (s - p) "p et (s) = (s - p) I1 s'agit de montrer que v i = v-9, Pour tout y E C ,soit F y le fibré sur P' construit en recollant les réseaux E (au voisinage de l'origine) et V f ' f(au voisinage de l'infini). Notons de même Y * y le fibré construit à l'aide des réseaux E* et VfY(M*).Puisque l'on a (6exercice 1.18)

VfY(M*) =

Y'

fj.

[.p-(Y+')]*

on a aussi F*'f = [F>-('{+')]*. D'autre part, pour k E Z , on a F'f+k = Hp1( - k ) @ 7. La dualité de Serre (CJ: [Har80]) et le fait que a;, e Hpl(-2) (rJ: proposition 1.2.11) impliquent alors les égalités dim H' ( p1, F>(Y+1) )

=

dim H" ( p l ,F * ( Y + T

1

& m H 1(P',F-(Y+')) = d i m H 0 ( p ' , F * > ( Y + 21.) On a par ailleurs dirnN"(P',Yy) = dimIE nVfY cSy, de sortc que = (Sp

-

Sp+1)

-

(Sp,

-

S,p+1).

On en déduit donc

v i = (dim N' (P',F > - p + ' )

-

dim H'

(P',F > - p

- (dirriH'(P',F-p+') Pour tout y on a une suite exacte de faisceaux

-

)>

-

dimH'(P',F-p ) > ,

où

F r i GY 4O G-f est le faisceau gratte-ciel, nul sur Pl \ {CO} et de fibre Vf'(/Vf>*( cn

CO.

Cette suite exacte induit donc une suite longue de cohornologie

Oi 3 - Y

O

4

-

-

H"(IP',F>Y) -f H " ( P 1 , F - f )-f Goo Y

H'(P',F>Y)

H ' ( P ' , F ) -0.

P . RÉSEALIX DES (k,V) -ESPACES VEEp(M )

(on pourra calculer Mirg %‘ @~~E~(t’kV/t’’‘tlV) en fonction de M’r‘g et M”“g en considérant les germes analytiques de M , MI’,”’ en 0 0 ) . (4) Montrer que

CHAPITRE III. RESEAUX

146

(6) On suppose de plus que (MI, V’) et (M”, V”) sont munis de formes bilinéaires (ou sesquilinéaires) non dégénérées de poids respectifs w’et w” relativement à E’ et E”. Montrer que (M, V) est aussi muni naturellement d’une forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) non dégénérée de poids 7u = 7u’ + w” relativement à E . En déduire que l’on a, pour tout p E C , vp = vw-p

et

( v ’ * v”)p = ( v I

*v

II

)u-p.

(7) Sous l’hypothèse précédente, montrer que l’on a Np = (N’ it N”)p pour tout p et en déduire que v~ = (v’ it v ” ) ~ pour tout p. 2.c. Déformations. - Le résultat principal de cette section est le théorème 2.10 ci-dessous, analogue de la proposition 1.19 pour les connexions à pôle d’ordre 1, et dont la démonstration occupera le reste de ce chapitre. Nous nous restreignons ici au cas des pôles d’ordre 1 par souci de simplicité et parce que seul ce cas sera considéré dans la suite. Les lecteurs intéressés par une situation plus générale pourront consulter [Mai83c]. Dans la suite, X désigne une variété analytique connexe de dimension n munie d’un point base x’ et de fonctions holomorphes Ai,. . . , hd : X + Nous supposerons que, pour tout x E X et tous i # j , les valeurs h 2 ( x ) et A j ( x ) sont distinctes. Nous noterons hl = A,(x’).

e.

2.10. Théorème ($ [Mai83c]). - Soit ( E ” ,V”) u n j b r é s u r un disque D muni d’une connexion à pôle d’ordre 1 à l’ori@ne, doni le , R:, admet AT, . . . , :A pour valeurs propres. Sa l éspace des paramètres X esi 1-connexe, il existe un unique (à isomorphisme près) j b r é holomorphe E.: sur D x X , muni d ’une connexion à pôle d’ordre 1 le long de { O } x X , tel que - pour tout x E XIle spectre de Ro ( x ) soit { A 1 ( x ), . . . ,hd ( x )} ; - la restriction ( E , V) p}soit isomorphe ù (E’, Vu) .

2.d. Fibrés de rang 1 à connexion d’ordre 1. - Soit ( E ,V) un fibré holomorphe sur D x X muni d’une connexion plate V. Nous supposons dans ce paragraphe que le fibré E est de rang 1 et, comme dans le théorème 2.10, que la connexion est à pôle d’ordre 1. Commençons par la classification locale de tels objets.

2.11. Proposition. - Soit ( E ,V ) un germe en ( O , x”) deJibré de rang 1 sur Il x X, à connexion ù pôle d’ordre 1 le long de {O} x X . (1) O n peut associer ci ( E ,V ) un unique couple ( A , p), où p E C et A E @ ( X ) , carartprisé p a r le fail que, dans toute buse locnle de E , la partie polaire de la forme de connexion s’écrit W,,~I =

-d

(T)+

dt p-.t

2. RÉSEAUX DES ( k ,V)-ESPACES \.‘ECTORIEI.S À SINGULARITL? IRRÉGLKIÈW

147

( 2 ) Ide gmme de jibré ( E , V )admet une section horizontale holomorphe non identiquement nulle si et seulement s i A O et p E - W . ( 3 ) Deux tels jibrés de cou+$ associés ( A , p) et (A‘, p‘) sont Localement isomorphes si et seulement si h = A’ et p = p’. Démonstration (1) Soit w la forme de connexion dans une base locale de E . La condition d’intégrabilité se réduit à la condition dw = O puisque E est de rang 1. De plus, la partie polaire de la forme w n’est pas modifiée par un changement de base holomorphe, qui a pour effet d’ajouter une forme holomorphe exacte à o. La condition d’intégrabilité appliquée à la partie polaire de w donne la forme cherchée.

(2) Ceci est analogue à la proposition 11.5.1. Commençons par remarquer qu’il existe une base de E dans laquelle la forme de connexion est réduite à sa partie polaire : en effet, la forme w de la connexion dans une base donnée s’écrit 03 = wpol + d y avec ‘p holomorphe. Le changement de base de matrice e-v donne l’existence. Dans cette base, le coefficient s ( t , x) = sk (x)t” d’une section holomorphe horizontale satisfait notamment l’équation différentielle

t -at+

(?++O,

ce qu’on écrit

c,( k +

k

O

E.l).Fk(X)lk

+ A(x)

c

sk(x)tk-l =

o.

ka0

Si A(x) f O, on en déduit successivement que tous Ics coefficients Sk sont identiqucment nuls. Si A E O , on voit de même que la non-nullité d’au moins un coefficient s k équivaut à p E -W.

( 3 ) Un homomorphisme ( E ,O) + (E’, 0’)est une section horizontale holomorphe du fihré Zom(k?,Z’). Celui-ci est encore de rang 1 et sa connexion est encore d’ordre 1, de forme w’ - W . L’existence d’un isomorphisme entre ces deux fibrés à connexion implique donc, d’après le A’ et p = p’. Réciproquement, si cette égalité est sapoint ( Z ) , que h tisfaite, les deux fibrés sont isomorphes, puisqu’il existe pour chacun une base dans laquelle la forme de connexion est réduite à sa partie polaire. O Considérons maintenant la situation globale : le point ( 3 ) de la proposition précédente montre l’existence d’une fonction holomorphe ), sur X et d’un nombre complexe p tels que, dans toute hase locale, la partie polaire wpol de la forme de connexion soit égale à -d(A(x)/t) + p d t / t .

1. 2.e. Structure formelle. - Lorsque le rang de E est > 1, la structure du fibré ( E , V ) n’est plus aussi simple (c’est déjà le cas pour le fibré méromorphe associé, voir 11.5). Néanmoins, si l’on ne considère que le fibré formel associé, tout se passe comme en rang 1. Soit 8 le complété formel du faisceau @uxx le long de {O} x X : c’est un faisceau sur {O} x X dont le germe en un point (O, x”) est l’ensemble des séries formelles C z oa, ( x ) t z où les al sont des fonctions holomorphes définies sur un même voisinage de xo ($ 11.2.0. Soient E un fibré holomorphe sur L) x X et 8 le faisceau associé. Nous noterons 8 le complété formel de E“ le long de {O} x X : c’est le faisceau 3 @@ 8; c’est donc un faisceau sur {O} x X . Nous dirons que E“ est le fibré formel le long de {O} x X associé à B . La notion de fibré formel à A

A

A

2. RÉSEAUX DES (k,V)-ESPACES \‘FCTORIEI.S ,k SIN? 2 :construction d u jcbré mhomorphe. - Le fibré méromorphe ( J f , V ) = (Z(*({O} x X)),V)

--

peut être obtenu à l'aide de la correspondance de Riemann-Hilbert à paramètre du aII.6.b. En effet, le fibré formel ( J f , V ) = (@(*{O} x X ) , 8 ) est détermine par ce qui précède. De plus, le théorème 11.6.1 montre que le faisceau de Stokes est localement constant, donc constant puisque X est 1-connexe. I1 existe par suite une unique section CJ de ce faisceau de Stokes dont la valeur en x" est l'élément détermine par (E', V", J " ) . La donnée de (Jf, et de la section O permet de construire un fibré méromorphe à , V, La restriction de celui-ci à D x {x'} est isomorphe à A

A

e)

7).

30).

(Z(*{O})> V",

l?'lal>e3 :conrtructaon d u j b r é ( Z ,V) . - On peut procéder de deux façons. La plus simple consiste à reniarquer que, une fois la décomposition formelle du théorème 2.15 obtenue, les arguments du sII.6 ne nécessitent pas l'inversion de la variable t et peuvent donc s'appliquer à (ti?, V, aussi bien qu'à (A?,V, On peut ainsi regrouper les étapes 2 et 3 .

7).

7)

Une autre méthode consiste à construire Z comme un réseau du fibré méromorphe A? obtenu ci-dessus et à vérifier que la connexion V y est à

pôle d’ordre 1. De plus, il suffit de construire le germe de le long de {O} x X puisque, en dehors de cet ensemble, 2 Y doit être égal 2 suffit alors de montrer que %‘ 8n A est un réseau Cie A qui satisfait @ 88 ?2 = 8 ‘ : en effet, si cette égalité est montrée, la connexion V s t i r 8 ‘ a un pôle d’ordre 1 le long de {O} x X piiisqu’il en est de même de sa formalisée. On trouvera dans [Mal96, prop. 1.21 une démonstration de ce résultat, qui est l’analogue, avec paramètres, du lemme 2.1. A

A

A

Unicité. - Employons les arguments de la première méthode ci-dessus, en utilisant bien stir la simple connexité de X . Soient ( E ,V) et (E’, V’) deux tels fibrés à connexion, isomorphes en restriction à 11 x {x”} et soit g” un tel isomorphisme. Soient d’autre part f et f’ des isomorphismes formels de ces fibrés avec un modèle (E”””,V’””’) comme au théorème 2.15. La remarque 2.16 montre que l’autoniorphisme ho = f ’ O O O (y)-’ de la restriction i+ (EhIi, VI,o,,) se prolonge de manière unique en un automorphisme h de (Êt’ol1, +l1). 12esrestrictions à D x {xo> de (g, V, h o f ) et (g’, v’, sont alors isomorphes vin g o . Ida constance du faisceau de Stokes montre que (E, V, h O f ) et (g’, V’, sont isoniorphes. O A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

7)

-

?>

CHAPITRE IV LE PROBLÈME DE RIEMANN-HILBERT ET LE PROBLÈME DE BIRKHOFT

Introduction

La question de l’existence de réseaux logarithmiques, triuiaux en tant que fibrés vectoriels, dans un fibré méromorphe à connexion sur P1 est connue sous le nom de problème de Riemann-Hilbert(’).Cette question présuppose que le fibré méromorphe n’a que des singularités régulières. I1 y a différentes généralisations et variantes de cette question. Le problhp de Sirkhoff est celle où le fibré méromorphe n’a que deux singularités, l’une étant régulière, et où l’on fixe le réseau au voisinage de l’autre singularité, qui peut être régulière ou irrégulière. On peut aussi se poser le problème de l’existence d’un réseau trivial dont l’ordre en chaque singularité soit minimum parmi les ordres des réseaux locaux du fibré rnéromorphe en cette singularité : c’est la généralisation directe du problème de Riemann-Hilbert au cas des singularités irrégulières. Le cas des fibrés sur les surfaces de Riemann compactes a aussi été considéré. On cherche alors à majorer le nombre de sin~p1am’ti.sapparenta qu’il est nécessaire d’ajouter pour obtenir un fibré trivial. On pourrait aussi, au vu de l’exercice 1.4.8, se poser la question de l’existence de réseaux logarithmiques qui sont semi-stables en tant que fibrés vectoriels (CJ: [EV99]). On trouvera dans [AB941 et [Bo1951 un historique détaillé de cette question (cfi aussi [Bea93]). Indiquons seulement que, si l’on connaît depuis longtemps des exemples donnant une réponse négative au problème de Birkhoff [Gan66, Mas59]), ce n’est que récemment que A. Bolibroukh a donnC des exemples de réponse négative au problème de Riemann-Hilbert.

(CJ:

(‘1 De h i t , le problème original 1.; fait intervenir la représentation de rnonodroriiie, inais cela revient au même en vertu de la correspondance d e Riemann-Hilbert 11.3.3.

154

ropnétPy suzrinnte;\ ‘ (1) (A?’,V) est arrkductzble; 1 C, O ) , ir -1> 1-upLrt formé $CF ( 2 ) pour tout cfiozx gbnhntrurî ù~ (IF’ matmcec de monodroinw Yb, . . . ,Tj, pst zrrkductzblp ; unr coordonnbr t cur 1 { m o } , 2 1 pxzstr unp bare e l , . . . , pd ) dan$ lnquellr In mntncp de In (onnexton Cl n In forme (1.4) où ( A l , . . . , A!,) e5t un p-uplrt zrréductzble, (4) 21 exzctr un résmu lognnthînique E dr (A?‘,V), tmvzal CommP

P

+

module, trl que les endomorphzsmpc Rés,,, V (i = 1,.. . ,f?) ophant rur T(P1,E) (cf. rprnarque 1.7)Jorment un f)-u@~tzrrkdur tzble. A l o r c o n n (1) e ( 2 ) , (3) e (4) etenfin (1) o u ( 2 ) =+ (3) o u ( 4 ) .

Démonstration. - L’équivalence de ( 1 ) et (2) a été indiquée à la remarque 3.2. Par ailleurs, la remarque 1.7 montre que (3) et (4) sont équivalents.

(1) 3 (4) : si (&?‘,O) est irréductible, le corollaire 5.1 fournit un réseau logarithmique trivial. Si les résidus de la connexion sur ce réseau en m l , . . . , mL ne forment pas tin fi-iiplet irréductiblc, tin soiis-espace de r p l ,E“) invariant par ces résidus cst aussi invariant par le rCsidii en ?no, piisqiic l’on a Rés,,, V = - /=1 Rés,, V , et on peut alors construire iin sous-fibré propi-e de li stable par la connexion. Elle est nécessaircrrient 5 pôles logarithmiqiics en tout rni sur le fibre ainsi construit, piiisqii’elle l’est sur K . En tensorisant ce sous-fibré par @(*X), on obtient lin sous-fibi-é mCromorphc à connexion de (A, V) de rang < d , ce qui est conti”nc1’ictoire avec l’hypothèse d’irrédiictibilité.

E”

168

CHAPITRE IV. LES PROBLÈMES DE RILMANN-HII.BEKI‘

LT DE BIMIOFF

4.2. Remarque. - L’implication réciproque (4) + (1) est fausse. La raison en est que la condition (4) signifie que E n’a pas de sous-fibré logarithmique trivial stable par la connexion, alors que la condition (1) signifie pour E qu’il n’existe pas de sous-fibré logarithmique n o n nécmairement trivial stable (au sens méromorphe) par la connexion (utiliser un réseau de Deligne). L’exercice ci-dessous donne un contre-exemple ; il m’a été fourni par A. Bolibroukh. On peut aussi regarder [Bo195, prop. 5.1.11. 4.3. Exercice (dû à A. Boiibroukh). - On considère les trois matrices

et sur le fibré trivial de rang 2 sur C la forme Cl =

A2 - + __

+ -)A3

dt.

t-1 t+l (1) Montrer que le fibré méromorphe à connexion (A, V) qu’il définit n’a de pôles qu’en mg = O, ml = 1, m2 = -1 (et pas à l’infini) et qu’il est réductible (i.e. non irréductible).

(2) Soit P ( t )

= (3;4t

y)

E GL2(@[t-’1)

(1l

. Calculer la matrice de la

connexion après le changement de base de matrice P . ( 3 ) Montrer que la nouvelle base de A engendre un réseau logarithmique trivial et calculer les matrices résidus aux pôles m,. (4) Montrer, en calculant les espaces propres de ces matrices, que ces dernières forment un triplet irréductible et conclure.

5. Le problème de Birkhoff 5.a. Problèmes de Birkhoff analytique local et algébrique. - Commençons par le problème local et considérons un disque centré à l’origine de C , muni de la coordonnée(‘) T . Donnons-nous donc sur ce disque une connexion méromorphe d’ordre r O sur le fibré trivial. Dans une base de ce fibré, la matrice de la connexion est de la forme A ( T ) ~ Toù A(T) est une niatrice carrée de taille d telle que T‘+’ A(T) soit à coefficients holomorphes dont au moins un ne s’annule pas en T = O. 5.1. Problème de Birkhoff analytique local. - Existe-t-il une matrice P ( 7 ) dans GLd(@), où B e.yt l’anneau des séries convergentes en O (i.e. P est iI copfJicients holomorphes et son déterminant ne s’annule pas en O ) telle que la matrice R ( T ) = (‘)Le changement de noin pour la coordonnée permettra dans ia suitc d e mieux distiiiguerles objets et lcirr. transforrri6s de Foui-ier.

5. LE PROBLEME DE RIRKHOFF

P-’AP

+ P-‘P‘

où B-1,.

s’écrive sous la forme B(T) = r-(r+l)B-(r+l)

(5.2)

169

+

‘

’ . + T-lB-,

. . , B-(r+l) sont des matrices constantes ?

On dit alors que la matrice B est sous forme normale de Birkhoff : elle n’a pas de coefficient d’indice > O dans son développement de Laurent en O. Remarques ( 1 ) Si l’on demande seulement que la matrice B ( r ) soit une fraction rationnelle sans pôle autre que O, c’est-à-dire si l’on autorise aussi des coefficients Rk avec k 2 O en nombre fini, le problème a une solution (voir le corollaire 11.3.8).C’est ce résultat qu’a montré Birkhoff dans [BirOS] (voir la démonstration de Birkhoff dans [SibSO, § 3.31). (2) Dans l’énoncé du problème de Birkhoff, on ne fait pas d’hypothèse sur le germe de fibré méromorphe sous-jacent : celui-ci peut avoir une singularité régulière ou irrégulière (dans le premier cas, la matrice B-(r+l) est nilpotente). I1 est très simple ($ [Gan66, vol. 2, p. 1431, voir aussi [Mas59]) de donner des exemples où le problème n’a pas de solution (contrairement 2 ce qu’avait cru démontrer Birkhoff) : lorsque T = O, le problème revient à savoir si tout germe de réseau logarithmique admet une base dans laquelle la matrice de la connexion est de la forme B-I/T; si la monodromie n’est pas semi-simple, il existe des formes normales de Levelt qui ne sont pas de ce type (choisir une filtration décroissante non triviale de H qui soit stable par la monodroniie, cf: § III. 1.a). ( 3 ) Par ailleurs, Tiirrittin ([TuI-631,voir aussi [SibSO, s3.101) a montré que, lorsque les valeurs propres de A-(r+ll sont deux à deux distinctes, il existe une matrice P E GL~(&[T-’]) telle que B ait la forme (5.2) (avec le même indice r , ce qui n’est plils évident puisqiie P peut avoir un pôle en O ) . Nous allons aussi considérer le problème sous sa forme algébrique. Dans ce cas, nous supposons que A(T) est à éléments dans l’anneau C [T,7-’1 des polynômes de Laurent.

5.3. Problème de Birkhoff algébrique. - Supposons de plus que la connrxion de matrice R = A(.r)dr nit u n e sin> O et on utilise ensuite le fait que, pour e > k , on a HI' n G i = (H@' n Gk) + (Hie n Gk-l). On déduit de ce fait que, si l'on pose H i = H'p n GL, on a H i n H; = O pour p # q . Enfin, on montre par récurrence ascendante sur I 3 O que l'intersection HIk-] "G; se décompose en somme (qui est directe d'après ce qui précède) O H; + . . + H;-, . '

5.11. Exemple. - Supposons que dim H' = 2 et que T' ne soit pas semisimple. I1 existe ainsi une seule droite propre I , pour T ' . Si une décomposition non triviale H' = H i @ H i existe, avec p < q , on doit avoir H; = L et

par conséquent Gb # L . Autrement dit, la filtration G: définie par

GY, = O ,

Go = L ,

Ci = H'

ne satisfait pas la condition du théorème. Par contre, si Go # L , la condition du théorème est satisfaite, de même que dans le cas où T' est semi-simple.

5.12. Exercice. - Expliciter de même la condition du théorème pour dim H' = 3 . Démonstratzon d u thkorème 5.9. - Nous allons construire un C E, solution du problème 5.5 pour EO.Considérons le C [T',

module

module

I1 est muni d'une connexion naturelle induite par celle de M et, si e est une base de H i , donc une C [ T i , T I - ' ] -base de Mreg, la matrice de la connexion dans cette base n'est autre que Résv, V dT'/T'. Notons que M'.'g est à singularité régulière en 00 ainsi qu'en O. Ce module s'identifie, comme indiqué plus haut, au C [ T , à connexion g r , M déjà considéré à la remarqne 11.2.22. Lorsque M n'est pas à singularité régulière en O, on

module

5 . LE PROBLEME DE B I W I O F F

173

ne peut pas identifier M et M I e g , puisque ce dernier module est régulier en O. Par contre, si M est à singularité régulière, ces deux modules sont isomorphes. La filtration H” permet de construire un réseau logaritliiiiique EEg de MIeg : on pose

Par ailleurs, le réseau Mr“g : on pose

EO de M permet de construire un réseau E o g de =

e (E() n Pv)/(IE() n @+IV).

kcZ

La condition du théorème (ou, plus précisément, celle du lemme) signifie exactement que EEg est une solution au problème 5.5 pour le réseau E o g de Mrrrg. Puisque M est à singularité régulière à l’infini, on peut voir Mreg comme un @ [T,T-’1 sous-module de M’ ( CJ remarque 11.2.22).Le réseau E z g définit un réseau E, c M’ en posant E, = @{.’> g ~ @ [IE:~~. / ] 11 existe alors un unique réseau E, de M sur la carte U,, dont le germe en m soit égal à E,. Par construction on a grv,IE, = grv,E, = E,, reg . Puisque Eog = (Eog n E z g )

.Erg, on a, pour tout k

E

Z,

v ’ n~E()= ( v ’n~E()n E,) + (vrk n a0) + ( P + l n IE~). En itérant cette égalité et en utilisant le fait que VIk+‘n E o = O pour on en déduit l’existence d’une décomposition

v ’ n~I

G = ~

O,

( v ’n~I E n~ E,) + ( v ’n~ TE^^).

Montrons que la somme est directe : par hypothèse on a, pour tout k ,

vtkn a0n E, c V + l , donc

v ’ n~TIEO n IE, c vrk+l n TIE^ n E, et, en itérant cette inclusion, on obtient l’assertion.

O

5.13.Remarques (1) On peut montrer (voir par exemple [Sai89, Sab991) que, si on fixe un ordre comme au $ III. 1.c et si pour chaque h on peut trouver une décomposition de H: comme dans le théorème 5.9 compatible 2 la filtration induite naturellement par G. sur H i , alors le polynôme caractéristique de B-1 pour la solution canonique au problème de Birkhoff donnée par le

174

(XIAPI’I RE

n‘.LES PROBLÈME-S DE RIEMANN-IiILREKï

ET DE KIKKIiOFF

x&

théorème 5.9 n’est autre que le polynôme caractéristique (s) associé au réseau 8” comme au 3 III.2.b. (2) La proposition 111.1.6 appliquée au réseau Ez!montre que, pour la solution canonique au problème de Birkhoff donnée par le théorème 5.9, la matrice B-1 est semi-simple si et seulement si la partie unipotente 1; de T’ est triangulaire inférieure relativement à la décomposition @ H i , c’est-à-dire .. . (Tu - Id) (Hi)c H;+] (3) Supposons donnée une forme bilinéaire ou sesquilinéaire non dégénérée de poids w sur EO.I1 revient au même de donner une base de Eo dans laquelle la matrice de V a la forme

où, pour k # -1, Ak est antisymétrique (resp. (-l)‘-symétrique) et A-1 satisfait A-1 + tA-l = w Id. Nous voulons donner une condition pour trouver une forme de Birkhoff avec la même propriété. I1 s’agit d’étendre à IE la forme non dégénérée définie sur Eo.Notons que cette forme s’étend de manière évidente en une forme du même type sur le fibré méromorphe (M, V) et définit donc, par la correspondance de Riemann-Hilbert (cj. corollaire 111.1.12 et exercice III.l.13), une forme bilinéaire non dégénérée sur H’. I1 rCsulte de manière immédiate de ce corollaire que la forme s’étend en une forme de poids w sur E si et seulement si, vis-à-vis de la forme bilinéaire ( , ) sur H’, la filtration H” du lemme 5.10 satisfait /k I = ~ / - k - W + l

et ( H I ) 1 En effet, ces conditions sont équivalentes au fait que la forme sur (M, V) induit sur E, une forme non dégénérée de poids zu, d’où l’existence, par recollement, de la forme cherchée sur E . (H$)L

= H’$-UI

CHAPITRE V

LA DUALITÉ DE FOURIER-LAPLACE

Introduction La transformation de Fourier échange les fonctions de deux variables réelles x,y à décroissance rapide à l’infini ainsi que toutes leurs dérivées et les fonctions du même type en les variables y, 5. Si l’on pose t = x + zy et 8 = 5 + iq (variable notée T’ dès le 8 2 ) , elle s’exprime par la formule

La transformation inverse s’exprime par une formule analogue utilisant le noyau e t f i P L o .On étend ces transformations, par le procédé usuel de diialité, aux distributions tempérées. Si la distribution tempérée rp est solution d’une équation différentielle linéaire holomorphe à coefficients polynomiaux

alors la distribution ad(-a/aO)

q est elle-même solution de l’équation différentielle +‘.‘+a1(-a/ao)(si;) + a o ( - a / a o ) q = o.

(Oq

Dans ce chapitre, nous allons étendre l’aspect algébrique de cette transforniation, tcl qu’il apparaît sur les équations différentielles ci-dessus, aux réseaux des (C( t ) ,V) -espaces vectoriels. Nous mettrons ainsi en correspondance, sous certaines conditions, les solutions dii problCme de Birkhoff et les solutions d’un problème de Riemann-Hilbert partiel. La transformation de Fourier présente aussi une variante locale, la microlocalisation. Cette dernière nous sera utile pour analyser la dualité sur les réseaux et son comportement par transformation de Fourier. La transformation de Fourier n’induit pas une correspondance entre (C ( t ) ,V)-espaces vectoriels et (C ( O ) , V)-espaces vectoriels : en effet, des

176

CHAPITRE V. LA DCTALITÉ DE FOURIER-I.APIhCE

phénomènes de torsion peuvent intervenir, puisque, dans le cas des distributions tempérées par exemple, la transformée de Fourier d’une fonction constante est une distribution à support ponctuel. La transformation de Fourier opère naturellement sur les modules sur l’algèbre de Weyl d’une variable. On trouvera une étude détaillée de cette transformation dans [Mal911. Nous présenterons seulement les propriétés utiles pour la transformation de Fourier sur les réseaux.

1. Modules sur l’algèbre de Weyl Nous ne donnerons pas de démonstration complète pour les résultats qui suivent. Les lecteurs pourront se reporter par exemple à [Bj079, BdM83, Cou95, Ehi87, Kas95, Sab93, GM93, Mal91, Sch941.

1.a. L’algèbre de Weyl d’une variable. - I1 s’agit de l’algèbre quotient de l’algèbre libre engendrée par les algèbres de polynômes > sur l’algèbre de Weyl nous entendrons dans la suite (sauf mention explicite) module ù gauche de typeJini sur C [ t ] ( a t ) . k . Ce module est donc de torsion. I1 est de la forme donnée dans l’exemple (1) en prenant pour P l’opérateur de degré O égal à t . (3) Plus généralement, tout module de torsion est somme directe de modules du type C [ t ] ( û t ) / ( t - t o ) (le vérifier). (4) Tout module holonome M peut être inséré dans une suite exacte courte O K c[t](a,)/(P) M O

--

--

où K est de torsion : on choisit pour cela un générateur e de M (proposition 1 . 4 ( 2 ) ) et on prend pour P un opérateur de degré rninimal (disons d ) qui annule e ; il s’agit de voir que le noyau du morphisme

1. M0DUI.F.S SIJR L‘AIGÈRRE DL WEYL

179

surjectif C [t](&)/(P)+ M qui envoie la classe de 1 sur e est de torsion; si l’on travaille dans l’anneau des fractions C [ t , ad’],dans lequel on peut inverser le coefficient dominant a d de P , on peut effectuer la division euclidienne(’) de tout opérateur par P et la minimalité du degré de P montre que C [ t , a i ’ ] ( d l ) / ( P ) -7’ M [ad’]est bijectif; on en déduit que K est à support dans l’ensemble fini des zéros de ad. O

1.6. Proposition (la localisation préserve l’holonomie). - Soit M un module holonome. Il existe un ensemblejni minimal C = { p ( t ) = O} tel que le localisé

M(*C) 2E C [ t , l / P ( t ) ] c3 M (c [,I soit un module libre sur lanneuu des fractions rationnelles en t ù pôles contenus dans C, i.e. M (*E) déJinit u n j b r é méromorphe sur P1, à pôles en C ü CO, muni d’une connexion. Be plus, pour tout ensembleJini C‘, le localisé M (*X‘)a t encore holonome. Réciproquement, tout Jibré mbomorphe sur Pl,muni d’une connexion, est un module holonome. O L’ensemble C est l’ensemble des points .singuliers de M . On appellera rang de M celui du fibré méromorphe associé. On a donc rgM = dimc(ll C ( t ) 8 M .

c?[ t l Réseaux. - Un ré.seuu du module M est un gendre sur C [ t ](&), c’est-à-dire tel que 00

M

=

C [ t ]sous-module qui l’en-

a$.

k=O

1.7. Proposition (la localisation préserve les réseaux). - S i E est un réseseau d u C [ t ] (ô,) -module M , son image duns le j b r é méromorphe associé est un résenu de ceJlbré méromorphe, i.e. engendre lefîbri méromorphe sur l’anneau des fractions O rationnelles en t ù pôles duns C .

1.c. Dualité. - Si M est un C[t](at)-module à gauche, le C-espace vectoriel (M, C [ t ](ô,)) est muni d’une structure de C [ t ] (&)module à droite (par ( y ~. P ) ( m ) = q(’rri)P).PIUSgénéralement, les espaces Extk,,l(,t)(M, C [ t ] (a,)) sont des C [ t ](&)-modulesà droite(‘).

(‘1 rnalgi-é la non-coniinutativité de l’algèbre de Weyl ! Ce qui compte, pour l’algorithme d’Euclide, est que le degré du cornrniitateur [ Q I , Q ] de deux opérateurs soit strictrrnmt pliis petit que la somme des degrés de Q, et Q. Le lecteur pourra consulter [God641 pour les proprietés élémentaires d’algèbre Iiornologiqiie utilisées ci-dessoiis.

CHAPITRE V. LA DUA1,ITE DE FOLIRIER-IAPIACE

180

1.8. Proposition (la dualité préserve l'holonomie).

- Si M est holonome,

(1) les modules Ù droites Ext' [ t l ( a t ) (M, C [ t ](8,)) sont nuls pour i # 1 ; ( 2 ) le module Ù guuche DM associé au module Ù droitt Ext; (i (MI, C [t ] (at)) {)

est holonome; (3) on a D ( D M ) Y M .

Démonstration. - En utilisant la suite exacte longue des Ext associée à la suite exacte courte 1.5-(4),on est ramené à montrer la proposition pour M = C [ t ]( û t ) / ( P ) .Ce module admet la résolution .P O C[t](d,) -t C [ t ] ( & ) M O

-

--

et, en appliquant le foncteur obtient la suite exacte 0

-

( 0 ,

--

Hornc[t](q)(M,@[t](at))

C [ t ] (at)) à cette résolution, on

C[tl(&)

5@[t](dt)

-

Ext~[,](~,)(M,@[tl(i'l!) 0

sur lequel on voit que Ext'qtl(8,)(M3C[t](4))= C [ t ] ( & ) / ( P (ici, ) ( P ) désigne l'idéal ù droite engendré par P ) et que tous les autres Ext sont nuls. On a donc ici DM = C [ t ] ( d , ) / ( " ) . O Soit M un fibré méromorphc à pôles en C, muni d'une connexion. Si p ( t ) est un polynôme dont les racines sont les O E C, le fibré M est un C [ t ,l/p] -module libre de rang fini. C'est aussi un C [ t ](&)-module holonome ($ proposition 1.6). Son dual DM en tant que C [ t ](&)-module est holonome, mais n'est pas nécessairement un fibré méromorphe. Nous allons voir que le module (DM) (*C) est un fibré méromorphe à connexion, i.e. C contient l'ensemble singulier de DM . Par ailleurs, le dual M * = H o m ~ [ [ , , l / P 1 ( M , @ [ t , l / $du ] ) fibré méromorphe M est naturellement muni d'une connexion (e$ O. 11.b). Nous allons comparer les fihrés méromorphes à connexion M * et

(DM) (*C). 1.9. Proposition (la localisation est compatible à la dualité). isomorphisme canonique M * P (DM) (*E) .

On a un

Démonstration. - Introduisons l'algèbre C [ t , i/$] (a,) des opérateurs différentiels à coefficients dans C [ t , i/$].Alors M est aussi un C [ t , i/p] (&)module. En considérant une résolution de M par des C [ t ](dt)-modules libres, on voit que

DM(*C)

= C [ t , I/$]

@ [tl

= Ext~[i,l,u](a,)(M,@[t, 1/p](4))g.

1 . MOUUI.ES SCR L'ALGÈBRE DE WEE?.

181

Nous allons maintenant construire une résolution libre de M comme C [ t , i/p] (a,)-module. Pour cela, oublions un instant la connexion sur le module M et considérons-le uniquement comme un C [ t , 1/ p ] -module libre. Alors C [ t , l/p] (3,) @ q [ t , l / P 1M est un C [ t , l/p] (d,)-inodule libre. I1 s'identifie à C [a,] @cM . Tout élément a une écriture unique Ck,Oa," @ mk et, avec cette écriture, l'action (à gauche) de C [ t , I/$] (a,) est décrite par les formules

où nous avons posé

[f(t),

$1

=

x!ii $gP(t)

dans l'algèbre de Weyl

C [tl ( a t ) .

(1.12)

a!

@ mk

' c a!

1

@ (rnk-1

-

(atmk)),

ka0

k,O

où l'on utilise maintenant l'action de at sur M . Montrons que le morphisme (1.12) est C [ t , i/p] (&)-linéaire: nous allons vérifier par exemple que f ( t ) . ( a , @ l - I @ & ) ( l @ m= ) ( & @ I- l @ d t ) ( l @ f ( t ) r n ) , laissant les autres vérifications en exercice ; on a

f(t)

'

(4@ 1 - 1 @ a,) ( I (8m ) = a, @ f ( t ) m- 1 @ f ' ( t ) m - 1 E3 f ( t ) d t m =

3, @ f ( t ) m

-

1@ & ( f ( t ) m ) .

d,"@mk tel que mk-1- (dtmk) = Montrons I'injectivité de (1.12) : soit 0 (en posant m-1 = O ) ; puisque mk = 0 pour k > O , on 0 pour tout k en déduit que mk = 0 pour tout k . On identifie alors le conoyaii de (1.12) à M (en tant que C [ t , l/p] (&)module) par l'application

Revenons maintenant au calcul du Ext' à l'aide de cette résolution. Un morphisme C [ t , 1/61 (&)-linéaire à gauche C [ t , l/p] (8,) @ M + C [ t ,1/$](ût) est déterminé par sa restriction à 1 @ M , qui doit être C [ t , l/p]-linéaire. On en déduit une identification

182

C:II.U’ITRE \’ 1A IWALITÉ DE FOLTRIER-IAPIACE

où la structure de C [ t , l / p ] (&)-moduleà droite sur le terme de droite se décrit par des formules analogues à (1.10) et ( 1 . 1 1 ) . Ainsi, en appliquant le foncteur Hom@[t,l/p](a,) ( * > It, i / P l ( a t ) ) g au complexe ( 1 . 1 2 ) , on obtient un complexe du même type, où l’on a remplacé M par M * . En reprenant l’argument utilisé pour ( 1 . 1 2 ) , on en déduit une identification

Ce faisant, nous avons aussi montré que Ext’@ [ , , l / p ] ( ô i ) ( ~ m 1’ / f i l ( 3 d ) Rest un fibré méromorphe. O

1.d. Régularité. - Un opérateur différentiel à coefficients dans C [ t ] P ( t , 3,) = a d ( t ) $

+ . . . + al ( t ) i i + a o ( t )

est dit Ci singularité régxliire en l’une de ses singularités t n (i.e. une racine de a d ) s’il satisfait la condition de Fuchs en t n (CJ: théorème 11.4.3) (1.13)

V Z E (1,..., d - l } ,

i - v p ( ~ i )
Ro de 0 le long de {O} x X , qui est un endomorphisme du fibré io”, est auto-adjoint pour go. Le champ de Higgs Q satisfait aussi Q* = Q , c’est-à-dire que, pour -tout germe de champ de vecteurs 5 sur X , l’endomorphisme Q>E du fibré iGE est auto-adjoint pour go. Nous pouvons maintenant compléter l’énoncé du théorème 2.1 en prbsence de G.

2.7. Proposition. - Sous les condiiions du théorème 2.1, supposons - de plus que (1) il existe une forme sesquilintaire (resp. hermitienne) G de poids 7u sur

(E(2) 0); en restnition à P

-

x {xo), la forme G” s’itend en une forme .sesquiLiniaire

(resp. hurmitienne) Co de poids w .sur (So,V”) . Il existe alors un? unique forme sesquilinéaire (resp. hurmitienne) G de poids lejïbré méromorphe ( E( t x - ’ O ) ,V) qui étend G et G O .

TU

sur

Démonstration. - I1 s’agit de voir que la construction utilisée dans le théorème 2.1, qui fait passer de [(E,?), ( E o ,V ) ] à ( E ,V) est fonctorielle. Si (@,TO)

:

[@,O), ( S ” , V O ) ]

- -

--f

[(E’J’), ( S ’ y ’ o ) ]

est un homomorphisme, on montre, comme dans la partie unicité de la démonstration du théorttme 2.1, que (p s’étend à C x (X \ O ) , puis que l’homomorphisme ainsi défini est méromorphe le long de {m} x (X \ O ) , et enfin que sa matrice dans les bases E et E’ est constante. Ceci implique l’existence et l’unicité d’une extension ‘p : ( E ,V) 4 (E’, V’) de (@,T~’).La fonctorialité s’en déduit aussitôt. O n’est pas le fibré trivial est vide ou une hypersurface de X (donc s’il est de codimension 2 2 dans X,c’est qu’il est vide).

2.13. Zdentijkation méromorphe. - Les deux fibrés Eo ! !igE et E, !!i&,E de rang d sur X sont identifiés de manière méromorphe le long de O grâce aux isomorphismes de @x (*O)-modules induits par les restrictions

le fibré méromorphe n , g ( * O ) sur X . Il contient donc deux réseaux localement libres, à savoir et goo, et un > intermédiaire gl, à savoir x * g (noter que x * g est un faisceau @x-cohérent sans torsion, donc est naturellement contenu dans , mais n’est pas nécessairement localement libre).

214

CIIMITRE VI. l)@FORMATIONSIN7ÉGR,ZBI.ES

2.14. Données à l'infini. - Le réseau E"m est muni d'une connexion plate v et d'un endomorphisme v-horizontal K , (résidu de la connexion 0 , de matrice -B, dans une base horizontale). On en déduit unc connexion méromorphe plate et un endomorphisme méromorphe horizontal sur ainsi que sur les autres réseaux. 2.15. Données en O. - Le réseau &) est muni d'un endomorphisme Ru (. résidu >> de V ) dépendant du choix de coordonnée sur la carte UO de P' par une constante multiplicative. I1 induit un endomorphisme méromorphe sur A et sur les autres réseaux. Le réseau &) est de plus muni d'une 1-forme @ à valeurs dans les endomorphismes de go, qui satisfait @ A @ = O, autrement dit (Eo, @) est un jibré de Higgs. 2.1 6. Comportement relatiuement aux paramètres. - La formation de O, A , Z,, @, Ru, v et K , est compatible au changement de base : si f : X' + X est une application analytique et si E' désigne le fibré sur P' x X' image inverse de E par Id x f , muni de la connexion image inverse V', les objets sus-mentionnés relatifs à E' sont obtenus à partir de ceux relatifs à fi par image inverse f * .

E"0,

2.17.Relations. - Dans ilne base O-liorizoiitale, la matrice de V a la forme (2.2) et la matrice de Ru est K O , celle de K , est -&,, celle de @ est C . Les conditions d'intégrabilité (2.5) se traduisent donc par les relations

7'= O,

v(R,)

=

O,

@ A par ë T ’ f . - Nous allons indiquer un procédé général pour construire le système de Gauss-Manin d’une fonction. Soit donc U une variété affine non singulière (cJ: cjO.10) et f une fonction régulière sur U , dépendant de paramètres holomorphes dans une variété analytique X . Autrement dit, f est une section du faisceau @x [U ] E @x @c@ ( U ). Notons de même R i [ U] = @y @cR”( U ) le faisceau des k-formes algébriques sur U à coefficients holomorphes par rapport à X. La dflZrentiplle relatzve d : 0; [ U ] + Cl:?‘ [U] est donc @x-linéaire. Pour simplifier, nous noterons ci-dessous @ = @ x [ U ] et Rk = Cli [ U ]. >

par

p-“f

: on constate en effet que l’opérateur df C= k f e T l f . (j . e-+f

conserve le caractère polynomial en autrement dit, df

puisque l’on a d f = d

T’,

= C(do, ( Ca,‘: , ”1

-

dj A

-

‘:’dffA,

w,-~)T”.

I

De plus, on a df O d j = O puisqu’il en est de même pour d . On a ainsi défini un nouveau complexe, le romplme de de Rham de U tordu par ëT’f :

(5.1)

0 +@[.’I

df

+ fll[T’]

df . . . + df a“+’[T’]

---f

+

o.

La différentielle df commute à l’action de @ x [T’] puisqu’elle ne différencie que par rapport aux variables de U , de sorte que chaque faisceau de est un @ x [T’]-module. cohomologie 6f(k) Par ailleurs, chaque faisceau Rk[T’] (qu’on peut considérer comme un fibré méromorphe de rang infini sur le plan de la variable T’) est muni d’une connexion V obtenue en tordant la connexion naturelle (différentiation par rapport à T’ uniquement) par ~ - ~ ’On f . a donc h

h

(5.2)

v+w

=

a. a’.

--

fa.

266

CHAPITRE VIL STRIJE SAIT0 ET STRUC‘I‘URES DE FROBENIUS

Cette connexion fait de ~L’[T‘] un module(”) sur l’algèbre de Weyl C [ ~ ’ ] ( û , r ) De . plus, elle commute avec la différentielle d j puisque la différentiation par rapport à T’ commute avec la différentiation d (par rapport aux variables de U ). Elle induit donc une structure du même type sur chaque faisceau de cohomologie M ( k ) du complexe (5.1). h

Enfin, chaque faisceau Cl’ de formes différentielles relatives est muni d’une connexion intégrable par rapport aux variables de X : c’est la différentiation dx : lRk -+ Rk @’r~j(R k .On l’étend trivialement sur f l k [ ~en ’] une connexion partielle intégrable, encore notée dx . On peut, de la même manière, cette dernière par e-”f pour obtenir une connexion partielle intégrable d x , = ~ e r ’ f d x ë T ‘ f = dx - T‘dx f A . Puisque d et dx commutent, il en est de même de d f et dx,f. Ainsi, chaque G(k) est muni d’une connexion partielle intégrable. Enfin, puisque dx,/est linéaire par rapport à T’, cette connexion partielle s’étend en une connexion intégrable V sur le @y [ 7’1 -module %(k) . Transformation de Fourier inverse. - Nous pouvons appliquer une transformation de Fourier partielle à chaque faisceau Rk[[.r’]ou aux faisceaux de cohomologie M (‘1 : lorsqu’on considère le faisceau M ( k ) comme un module (pas nécessairement de type fini) sur @x [ t ], où t est l’action de -V?-, , on le note 11 est alors muni d’une connexion intégrable V telle que, pour toute section locale [a], on ait A

h

h

V g [ a ] = .’[a] et

Va,, [a]= Vzx, [a].

En particulier, si w E lRk est de degré O en

d,la formule (5.2) montre que

5.3. DéJinition. - Les systèmes de Gauss-Manin associés à la fonction f sont les &x [ t ]-modules à connexion intégrable M (‘1 . Le réseau de Rrieskorn correspondant E ( k ) est l’image de Rk dans M ( k ) . C’est un l x [ t ]-module. 5.c. Structure de Frobenius-Saito de type Ad, deuxième version. - Nous revenons sur le cas d’une famille de polynômes d’une variable u E C dont les coefficients sont paramétrés par les points x d’une variété analytique complexe X . Posons donc d

f ( u , x ) = ud+l

+ 2 a,(x)u2, z=o

( I 9 ) qui n’est pas

de type fini en général !

où les a, sont des fonctions holomorphes de x . Nous reconnaissons un déploiement (que nous ne supposons pas encore universel) de la singularité Ad considérée au 4.b. La fonction J’ définit une application

f

cxx-CXX

( u ,x)

(6x ) = (f(% x ) , x)

I---+

qui est Propp à jbresjinies (de cardinal d

+ 1).

Trace des fonctions et des l-forrnes. - Toute fonction h ( u ,x) E ï ( r l c : I x [ u ] ) sur un ouvert W de X admet une trace relative à f , qui est un polynôme en t à coefficients dans @x (W) (le vérifier) : on pose I

où les racines sont prises avec leur multiplicité. Notons

-

I x [u]