Экономико-метаматические методы и модели

183 14 987KB

Russian Pages 63

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Экономико-метаматические методы и модели

  • Commentary
  • decrypted from 98C0FA5491D187E6FE582E4AFC7371C3 source file
Citation preview

ВВЕДЕНИЕ Учебно-методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения специальностей экономика и управление на предприятии, бухгалтерский учет, анализ и аудит, менеджмент и маркетинг и составлено согласно программе курса «Экономикоматематические методы и модели». В пособии приведена программа курса «Экономикоматематические методы и модели», в которой указаны темы лекций, практических и лабораторных занятий, а также перечислены темы для самостоятельного изучения и указана литература, необходимая для освоения данного курса. В настоящем методическом пособии рассматриваются следующие темы: множественная корреляция и регрессия, модели межотраслевого баланса, модели управления запасами, динамическое программирование. По данным темам приводятся основные теоретические сведения и решения задач. После рассмотрения всех тем студентам предлагаются условия задач контрольной работы по курсу «Экономико-математические методы и модели». Данное пособие позволит студентам заочной формы обучения познакомиться с построением математических моделей, поможет изучить основные теоретические сведения и самостоятельно выполнить контрольную работу по курсу «Экономико-математические методы и модели». В пособии имеются три приложения. Приложения 1, 2 ― таблицы используемых в математической статистике функций, данные которых необходимы при выполнении контрольной работы, Приложение 3 содержит описание алгоритма вычисления обратной матрицы способом наиболее удобным при проведении экономических расчетов. Для более глубокого изучения соответствующих разделов в пособии приведен список литературы.

3

Программа курса «Экономико-математические методы и модели» 1. Введение. Предмет и содержание курса. Связь с другими дисциплинами. 2. Системы и модели. 2.1. Производственно-экономическая система. а) Система. Структура системы. б) Организационно-производственная система. в) Большая система. 2.2. Моделирование систем. а) Понятие модели. Экономические модели. б) Декомпозиция систем и структуризация моделей. в) Классификация моделей. 2.3. Математические модели и их классификация. 2.4. Экономико-математические методы. 3. Модели отраслевого планирования хозяйственной деятельности. 3.1. Экономические задачи, приводимые к транспортной модели. 3.2. Задачи и модели оптимального размещения и концентрации производства. а) Постановка задачи. б) Одноэтапная однопродуктовая модель с ограничениями оптимизирующих мощностей сверху. в) Одноэтапная однопродуктовая модель с двухсторонними ограничениями (сверху и снизу). г) Одноэтапная однопродуктовая модель с ограниченными пропускными способностями коммуникаций. д) Многоэтапная однопродуктовая модель с односторонними ограничениями оптимизируемых мощностей. е) Одноэтапная многопродуктовая модель с односторонними ограничениями оптимизируемых мощностей. 4. Методы макроэкономического моделирования. 4.1. Метод межотраслевого баланса. а) Натуральный межотраслевой баланс. б) Стоимостной межотраслевой баланс. в) Межотраслевой баланс затрат труда. г) Динамические межотраслевые балансы. 4.2. Производственные функции. 4

4.3. Экономическая динамика и ее моделирование. 5. Задачи и модели оперативного планирования, организации и управления производством. 5.1. Модели массового обслуживания. а) Время обслуживания. б) Моделирование одноканальной системы массового обслуживания. в) Моделирование многоканальной системы массового обслуживания. 5.2. Задачи и модели управления производственными запасами. 5.3. Сетевое планирование и управление. а) Содержание сетевого планирования и управления. б) Численные характеристики сетевых моделей. в) Расчет детерминированных сетевых моделей. г) Оптимизация сетевых моделей. 6. Имитационное моделирование производственных систем а) Метод имитационного моделирования. б) Основные подходы к построению имитационных моделей. в) Имитация процессов управления. 6. Модели макроэкономического моделирования: а) Балансовые модели. б) Производственные функции. в) Модели спроса и предложения. На изучение дисциплины учебным планом специальностей экономика и управление на предприятии, бухгалтерский учет, анализ и аудит, менеджмент, маркетинг, для студентов заочной формы обучения предусмотрено: экономика на предприятии, бухгалтерский учет, анализ и аудит ― 102 ч.; маркетинг, менеджмент ― 112 ч. В том числе: Лекции – 8 ч. Лабораторные занятия – 6 ч. Практические занятия – 4 ч. (бухгалтерский учет, анализ и аудит). Курсовая работа (бухгалтерский учет, анализ и аудит). Самостоятельная работа: экономика на предприятии – 84 ч; бухгалтерский учет, анализ и аудит – 84 ч; маркетинг, менеджмент – 93 ч. В качестве контроля предусмотрен зачет. 5

Программа обзорного курса «Экономико-математические методы и модели» Лекции № Темы и план лекций Кол-во Цель и задачи теФорма пп часов мы контроля 1. Предмет и содержание 2 Ознакомить стуЗачет курса. Понятие систедентов с построемы. Модели. Матеманием экономикотические модели. Моматематических дели межотраслевого моделей. Ознакобаланса. мить с моделями межотраслевого баланса. 2. Модели отраслевого 2 Ознакомить с моЗачет планирования. Задачи делями размещеи модели оптимальнония и концентраго размещения и конции производства центрации производства. Однопродуктовая многоэтапная задача размещения и концентрации производства. 3. Производственная 2 Ознакомить с поЗачет функция. Производстнятием ПФ, наувенные функции. Элачить эконометристичность. Эконометческому анализу рический анализ производственной функции. 4. Модели управления 2 Познакомить с меЗачет запасами. Модель тодами и моделями Уилсона. Точка разуправления товармещения заказа. ными запасами

6

Практические занятия № пп 1.

2.

Темы и план КолЦель и задачи во практических заняТемы тий Часов Модели динамиче2 Научить решать задаского программирочи распределения ревания. Задача рассурсов в дискретном пределения ресурслучае с помощью месов. тода динамического программирования. Моделирование 2 Ознакомить студентов конфликтных сис постановкой задач в туаций с помощью конфликтной ситуатеории игр. Сведеции, решением таких ние матричной игры задач и принятием к задаче линейного решения на основании программирования. решения задачи.

Форма контроля Отчет по решению задач, зачет. Отчет по решению задач, зачет.

Лабораторные занятия № пп 1.

2.

3.

Темы лабораторных работ

КолЦель и задачи темы во часов Оптимизация раз2 Приобрести навыки в мещения лесозагопостроении математитовительного проческой модели задачи изводства между и ее решении. лесопунктами леспромхоза. Модели системы 2 Познакомить с основмассового обслуными понятиями сисживания. тем массового обслуживания. Модели сетевого планирования.

2

Форма контроля Отчет по ЛР, зачет.

Отчет по ЛР, зачет.

Ознакомить с метода- Отчет по ми построения сете- ЛР, зачет. вых графиков и методами решения задач. 7

Самостоятельная работа № пп 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Темы, вопросы темы

Рекомендуемая литература Регрессионные модели и их анализ. Значимость [18], [19]. уравнения регрессии. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Балансовые модели. Модели межотраслевого [16], [19]. баланса. Производственная функция Кобба-Дугласа. [4], [17], Эконометрический анализ производственной функции. Задачи и модели оптимального размещения и [12], [19]. концентрации производства. Модели управления запасами. Модель Уилсо- [17], [16]. на. Модели массового обслуживания. Уравнения [17], [16], [19]. Колмогорова. Основные характеристики систем массового обслуживания. Сетевое планирование и управление. Правила [17], [19]. построения сетевых графиков. Расчет временных параметров сетевого графика.

Контрольная работа № 1 1. Построение экономических моделей и их анализ (многофакторная регрессионная модель). 2. Модель межотраслевого баланса. 3. Задача управления запасами. 4. Задача динамического программирования. Курсовая работа для специальности бухгалтерский учет, анализ и аудит. Методические указания к выполнению и оформлению контрольной работы Контрольная работа может оформляться либо в студенческой тетради либо на листах формата А4. Каждая новая задача начинается с нового листа. В обязательном порядке приводится условие задачи. По ходу решения следует приводить используемые формулы и пояснять 8

полученные числовые значения. Вычисления можно проводить как с помощью калькулятора, так и на компьютере. Решение должно сопровождаться необходимыми пояснениями и выводами. Оформленная контрольная работа должна содержать список используемой литературы с указанием авторов, названия, места и даты издания.

9

Тема 1. МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ Любая экономическая политика заключается в регулировании определенных экономических параметров и поэтому должна основываться на знании того, как эти параметры влияют друг на друга и на составляющие экономической среды. Исследование экономических явлений и процессов содержит следующие этапы: экономическая постановка задачи, построение математической модели, решение модели и оценку результатов решения. Наибольшую сложность в решении поставленной задачи представляет отбор факторов, которые оказывают влияние на изучаемое явление и выбор формы связи. Между экономическими явлениями и процессами могут существовать два типа зависимостей: а) функциональная, б) статистическая. В случае функциональной связи результативный показатель однозначно зависит от независимых переменных. В экономических исследованиях, как правило, встречаются стохастические зависимости, которые отличаются приблизительностью, неопределенностью. Они проявляются только в среднем по значительному количеству объектов (наблюдений). Стохастическая связь — это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений, иначе говоря, каждому фиксированному значению переменной соответствует статистическое распределение значений другой переменной. Это обусловлено тем, что зависимая переменная, кроме выделенной переменной, находится под влиянием ряда неконтролируемых и неучтенных факторов, а также тем, что наблюдения изучаемых величин неизбежно сопровождаются некоторыми случайными ошибками. В экономических исследованиях часто приходится встречаться с математическими моделями, которые устанавливают связь между случайными и неслучайными величинами. Применение корреляционного и регрессионного анализа позволяет решить одну из важнейших экономических проблем ― комплексное, всестороннее изучение факторов. Корреляционный анализ Корреляционной зависимостью называется зависимость, при которой каждому значению одной случайной величины X соответствует среднее значение другой случайной величины Y .

10

Задачи корреляционного анализа: 1) Определение степени связи (тесноты, силы, интенсивности) двух и более переменных. 2) Отбор факторов, которые оказывают наиболее существенное влияние на результативный признак, на основе измерения степени связи между факторами. Существенные факторы используются далее в регрессионном анализе. 3) Определение неизвестных причинных связей. Исследование корреляционных зависимостей имеет огромное значение. Это проявляется в том, что устанавливаются место и роль каждого фактора в формировании уровня исследуемых показателей, углубляются знания об изучаемых явлениях, определяются закономерности их развития и как итог — точнее обосновываются планы и управленческие решения, более объективно оцениваются итоги деятельности предприятий и более полно определяются внутрихозяйственные резервы. Корреляционные взаимосвязи экономических переменных можно описать с помощью так называемых корреляционных характеристик. Они позволяют математически обосновать предположения о характере связи между исследуемыми переменными. Рассмотрим парную и множественную корреляцию. Парная корреляция — это связь между двумя показателями, один из которых является факторным (независимым x ), а другой — результативным (зависимым y ). Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем. Необходимые условия применения корреляционного анализа. 1. Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов). 2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации. Коэффициент парной корреляции используется в качестве меры, характеризующей степень линейной связи двух переменных. Он представляет собой ковариацию двух наборов данных (например, xi1 и y m или xi1 и xi 2 , i = 1, n , m = 1, n ), деленную на произведение их стандартных отклонений:

11

n

ryx j =

rx j xl =

n

n

i =1

m =1

n∑ xij y i − ∑ xij ⋅ ∑ y m i =1

2

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n∑ x − ⎜ ∑ xij ⎟ ⋅ n ∑ y m2 − ⎜ ∑ y m ⎟ m =1 i =1 ⎝ m =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n

n

2 ij

n

n

n

n

n

i =1

i =1

m =1

,

2

n∑ xij xil − ∑ xij ⋅ ∑ x ml

(1.1)

,

(1.2) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 n∑ x − ⎜ ∑ xij ⎟ ⋅ n ∑ x ml − ⎜ ∑ x ml ⎟ i =1 m =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ m =1 ⎠ Коэффициент парной корреляции является безразмерной величиной и не зависит от выбора единиц обеих переменных. Значение коэффициента корреляции лежит в интервале от -1 (в случае строгой линейной отрицательной связи) до +1 (в случае строгой линейной положительной связи). Соответственно, положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между исследуемым и факторным показателем, а отрицательное — об обратной. Чем ближе значение коэффициента корреляции к ± 1 , тем теснее связь. Близкий к нулю коэффициент корреляции говорит об отсутствии линейной связи переменных, но не свидетельствует об отсутствии их связи вообще. В случае равенства нулю показателя корреляции нельзя однозначно утверждать о том, что исследуемые показатели независимы. В данном случае можно попытаться найти более сложную модель их связи. Значительный интерес представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой: rx j xl . В n

2 ij

n

2

n

n

2

корреляционную модель надо подбирать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необходимо исключить из модели. Коэффициент ryx j показывает тесноту связи между результативным показателем y и одним из факторных показателей x j . Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:

12

ryx1 K ryxk ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ r r 1 L ⎜ xy x1 xk ⎟ (1.3) K =⎜ 1 . M M M M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ rx y rx x K 1 ⎟ ⎝ k ⎠ k 1 Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1, но несет в себе более универсальный смысл: чем ближе его значение к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной выглядит построенная на основе отобранных факторов модель. Расчет коэффициента множественной корреляции производится на основе значений коэффициентов парной корреляции и технически является довольно сложной процедурой, трудоемкость которой возрастает по мере увеличения количества факторов, включенных в модель. Например, для двухфакторной модели значение коэффициента множественной корреляции R можно найти по следующей формуле: ryx2 1 + ryx2 2 − 2ryx1 ryx2 rx1x2 R= . (1.4) 1 − rx21x2 Коэффициент множественной корреляции можно также найти по формуле: det K R = 1− , (1.5) K 11 где det K ― определитель корреляционной матрицы (1.3), а K 11 ― алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы K . Квадрат коэффициента корреляции называют коэффициентом детерминации и обозначают: D = R 2 . Коэффициент D показывает процент разброса значений случайной величины y . Чем меньше отличается коэффициент корреляции от 1, тем связь между результативным признаком и факторными признаками ближе к линейной. Если D < 0,7 , то считают, что линейной связи нет. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ является эффективным статистическим методом изучения взаимосвязей переменных, из которых одна рассматривается как зависимая, а другие как независимые. В основе лю 13

бой регрессионной модели лежит уравнение регрессии, которое показывает, каким будет в среднем изменение зависимой переменной y , если независимые переменные xi примут конкретные значения, т.е. регрессией y на xi называется функция вида M ( y x1 , x 2 ,K, x k ) =

= f ( x1 , x 2 ,K, x k ) , где M ( y x ) ― математическое ожидание. Оценкой этой функции является выборочное уравнение регрессии y x = f * ( x1 , x 2 ,K, x k ) . Задачи регрессионного анализа: 1. Установление формы зависимости, т. е. определение влияния факторов на величину результативного показателя (в абсолютном измерении). Для решения этой задачи подбирается соответствующий тип математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи (прямолинейной, криволинейной и т.д.). Выбор уравнения связи играет важную роль в корреляционном анализе, потому что от правильного выбора уравнения регрессии зависит ход решения задачи и результаты расчетов. 2. Определение уравнения регрессии. Процесс нахождения функции регрессии называют выравниванием значений зависимой переменной. 3. Оценка неизвестных значений зависимой переменной. Различают уравнения (модели) парной и множественной регрессии. Если уравнение регрессии математически описывает поведение множества данных исследуемого показателя y во взаимосвязи с массивом данных одной независимой переменной x , то говорят о модели парной регрессии. Модели множественной регрессии отражают вклад нескольких независимых переменных x j в результат исследуемого показателя y . Для отображения и оценки регрессионной взаимосвязи переменных могут использоваться различные функции: линейные, экспоненциальные, логарифмические, полиномиальные и др. Обоснование уравнения связи делается с помощью сопоставления параллельных рядов, группировки данных и линейных графиков. Если форму зависимости обосновать трудно, то поиск модели связи можно провести с помощью разных уравнений и затем сравнить полученные результаты. Математически обосновать предположения о характере связи между исследуемыми переменными позволяет аппарат корреляцион 14

ного анализа, по результатам которого судят о характере и тесноте связи между переменными. Многофакторная регрессионная модель Пусть y ― зависимая переменная, а x j ― независимые переменные, оказывающие существенное влияние на зависимую переменную. Таким образом, y является функцией переменных x j , j = 1, k . С помощью функции y = f ( x1 , x 2 , K x k ) количественно оценивается усредненная зависимость между переменными, которые исследуются. Мы будем рассматривать линейную зависимость между переменными: ∧ (1.6) y = b0 + b1 x1 + K + bk x k , где b0 , b1 ,…, bk ― коэффициенты регрессии. Такая модель описывает явления, в которых изменение всех независимых переменных пропорционально связаны с изменением зависимой переменной. Задача заключается в оценке параметров регрессии. Для оценки параметров регрессии используют метод наименьших квадратов. Поскольку статистическая зависимость может быть выявлена только при многоразовом повторении, то далее будем считать, что для k + 1 переменной мы имеем n совместных наблюдений, например n предприятий, или n отраслей народного хозяйства. Результаты наблюдений представим в виде табл. 1. Таблица 1 Номер наблюдения

y

x1

Переменные xj K

1

y1

x11

K

2

y2

x 21

M i

M yi

M n

M yn

K

xk

x1 j

K

x1k

K

x2 j

K

x2k

M xi1

K K

M xij

K K

M xik

M x n1

K K

M x nj

K K

M x nk

Индекс столбца j показывает соответствующую наблюдаемую переменную, а индекс строки i ― номер совместных наблюдений над

15

( k + 1 ) переменной. Таким образом, xij ― результат i -го наблюдения над j -й переменной. Неизвестные коэффициенты b0 , b1 ,…, bk найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений: 2

⎛ y − y∧ ⎞ = n ( y − (b + b x + K + b x )) 2 → min . ∑ ⎜ i i ⎟ ∑ i 0 1 i1 k ik (1.7) ⎠ i =1 ⎝ i =1 Из необходимого условия экстремума получим систему нормальных уравнений для определения неизвестных коэффициентов b0 , b1 , b2 ,Kbk : n

n n n ⎧ L nb b x b x + + + = ∑ yi , i1 k ∑ ik ⎪ 0 1∑ i =1 i =1 i =1 ⎪ n n n n ⎪b0 ∑ xi1 + b1 ∑ xi21 + L + bk ∑ xi1 xik = ∑ xi1 y i , (1.8) , ⎨ i =1 i =1 i =1 i =1 ⎪LLL n n n ⎪ n 2 L b x b x x b x + + + = ∑ xik yi . ⎪ 0 ∑ ik 1 ∑ i1 ik k ∑ ik i =1 i =1 i =1 ⎩ i =1 Решая эту систему любым из известных методов (метод Гаусса, матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений), найдем неизвестные b0 , b1 , b2 ,Kbk . Рассмотрим решение системы (1.8) в матричном виде. Обозначим ⎛ y1 ⎞ ⎛1 x11 x12 K x1k ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ K y 1 x x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ b2 ⎟ 21 22 2k ⎟ = Y = ⎜ 2 ⎟, X = ⎜ , B ⎜ M ⎟. M M M M K M ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ y 1 x x K x n1 n2 nk ⎠ ⎝ n⎠ ⎝ ⎝ bn ⎠ Тогда функцию регрессии (1.6) можно записать в матричном виде: ∧ (1.9) Y = XB , Тогда система (1.8) запишется в виде: (1.10) X ' XB = X 'Y , ' ' где X ― транспонированная матрица. При det( X X ) ≠ 0 , имеем: −1 (1.11) B = ( X ' X ) X 'Y ,

где (X ' X ) ― матрица, обратная матрице (X ' X ). −1

16

Коэффициент b0 — постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением факторов x1 , x 2 ,K x k . Коэффициенты b1 , b2 ,Kbk уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. Таким образом, используя тот или иной тип математического уравнения, можно определить степень зависимости между изучаемыми явлениями, т.е. узнать, на сколько единиц в абсолютном измерении изменяется величина результативного показателя с изменением факторного на единицу. Однако peгрессионный анализ не дает ответа на вопрос: тесная это связь или нет, решающее воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя или второстепенное? Коэффициенты регрессии в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возникает вопрос о сравнительной силе воздействия факторов на результативный показатель. Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквадратического отклонения, другими словами, рассчитывают стандартизированные коэффициенты регрессии. Их еще называют бета-коэффициентами по символу, который принят для их обозначения. Бета-коэффициенты и коэффициенты регрессии, связаны следующим отношением:

β i = bi

∑ (x − x )

σ xi , σy

2

где σ =

n

― среднеквадратическое отклонение, которое n

служит критерием однородности информации, x =

∑ xi i =1

. n Бета-коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения. Сопоставление бетакоэффициентов позволяет сделать вывод о сравнительной степени

17

воздействия каждого фактора на величину результативного показателя. По аналогии можно сопоставить и коэффициенты эластичности, которые рассчитываются по формуле: x Эi = bi i . y Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%. Статистическая оценка модели и коэффициентов регрессии

Адекватность полученных моделей в целом определяется по критерию Фишера. Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практической цели, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера, коэффициенты множественной корреляции и детерминации. Критерий Фишера рассчитывается следующим образом:

∑ (yi − y ) (n − 1) n

σ = 2 σ ост 2

Fнабл. =

2

i =1

, 2 (1.12) ⎛ y − y∧ ⎞ (n − k − 1) ∑⎜ i i ⎟ ⎠ i =1 ⎝ где y i — фактические индивидуальные значения результативного поn



казателя; y i — индивидуальные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению регрессии; y — среднее значение результативного показателя; k — количество независимых переменных в уравнении связи; n — количество наблюдений (объем выборки). Фактическая величина Fнабл. сопоставляется с табличной (по таблицам F-распределения, см. Приложение 1) и делается заключение о надежности связи. Если Fнабл. ≥ Fтабл. , тогда линейную модель можно считать адекватной с выбранной степенью точности. Важной задачей является оценка надежности факторов, т. е. проверка существенности коэффициентов регрессии. Значимость коэффициентов регрессии проверяется по критерию Стьюдента. Для их проверки вычисляют

18

tb j =

bj

σ bj

, σ b j = σ ост c jj ,

(1.13)

где c jj ― диагональные элементы матрицы (X ' X ) . Вычисленные значения сравнивают с табличным значением tα ,n −k −1 . Если расчетное значение t b j выше табличного, то можно сде−1

лать заключение о том, что величина коэффициента регрессии является значимой, т. е. x j существенно влияет на y . Табличные значения tα ,n −k −1 находят по таблице значений распределения Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы ( n − k − 1 ) и уровень доверительной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,1). Если t b j ≤ tα ,n − k −1 , для некоторого j , тогда соответствующие коэффициенты b j статистически ненадежны. В таком случае вместо этих переменных следует в уравнение регрессии ввести другие экономически обусловленные переменные. Перед тем, как принять решение об исключении переменных в силу их несущественного влияния на зависимую переменную, проводят исследование с помощью коэффициента детерминации. Если коэффициент детерминации регрессии со всеми переменными несущественно изменяется по сравнению с коэффициентом детерминации уравнения регрессии с исключенными переменными, то это свидетельствует о том, что включение этих переменных в уравнение регрессии не улучшает его. Для того, чтобы получить интервальные оценки следует найти доверительные интервалы по формулам: (1.14) [b j − tα ,n −k −1σ b j ; b j + tα ,n −k −1σ b j ] , Исследуя таким образом все коэффициенты регрессии, получаем модель содержащую существенные факторы. О полноте связи между исследуемыми величинами, как уже упоминалось, можно также судить также по величине множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Например, если коэффициент корреляции R=0,92, a коэффициент детерминации D=0,85, то это значит, что вариация результативного признака на 85% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 15% вариации результативного показателя. Значит, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные 19

факторы. Следовательно, данное уравнение можно использовать для практических целей: а) оценки результатов хозяйственной деятельности; б) расчета влияния факторов на прирост результативного показателя; в) подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя; г) планирования и прогнозирования его величины. Решение задачи многофакторного корреляционного и регрессионного анализа удобно проводить на ПЭВМ по типовым программам. Сначала формируется матрица исходных данных в первой колонке которой записывается порядковый номер наблюдения, во второй — результативный показатель ( y ), а в следующих — факторные показатели ( x j ). Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи: критерий Стьюдента, критерий Фишера, множественные коэффициенты корреляции и детерминации. Пример. Зависимость уровня рентабельности y от производительности труда x1 , тыс. руб. и продолжительности оборота оборотных средств предприятия x 2 , дни приведена в табл.2. № п.п. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x1 8 10 7,9 8,5 9 7,2 7,6 8 8,3 7

21 23 20 21 23 21 22 20 22 21

Таблица 2 x2 18 19 17 18 21 17 20 17 18 17

1) Проверить однородность приведенных данных;

20

2) Найти парные коэффициенты корреляции и составить корреляционную матрицу. По полученным данным сделать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми переменными. Вычислить коэффициент множественной корреляции и коэффициент детерминации; 3) Считая, что между результативным и факторными признаками имеет место линейная связь, найти линейное уравнение связи (регрессии). Для полученной линейной модели определить коэффициенты эластичности. Сделать выводы. 4) Проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера, значимость коэффициентов регрессии, указать интервальные оценки коэффициентов регрессии и проанализировать полученные данные. Уровень значимости α = 0,1 . Решение. Для решения задачи нам понадобится следующая расчетная таблица: № п/п

y

x1

x2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма:

21 23 20 21 23 21 22 20 22 21 214

8 10 7,9 8,5 9 7,2 7,6 8 8,3 7 81,5

18 19 17 18 21 17 20 17 18 17 182

Таблица 3 x x y × x1 y × x 2 x1 × x 2 64 324 168 378 144 100 361 230 437 190 62,41 289 158 340 134,3 72,25 324 178,5 378 153 81 441 207 483 189 51,84 289 151,2 357 122,4 57,76 400 167,2 440 152 64 289 160 340 136 68,89 324 182,6 396 149,4 49 289 147 357 119 671,15 3330 1749,5 3906 1489,1 2 1

2 2

1) Для того чтобы определить однородность данных найдем их средние значения (пользуемся данными, полученными в расчетной таблице): 1 n 1 n 1 n y = ∑ y i = 21,4 , x1 = ∑ xi1 = 8,15 , x 2 = ∑ xi 2 = 18,2 , n = 10 . n i =1 n i =1 n i =1 Среднеквадратические отклонения:

21

∑ (y i − y ) n

σy =

2

= 1,019 , σ x1 = 0,832 , σ x2 = 1,327 . Так как значения n среднеквадратических отклонений достаточно малы, то можно считать имеющиеся данные однородными. 2) Найдем коэффициенты корреляции по формулам (1.1) и (1.2) и составим корреляционную матрицу. ryx1 = 0,636 , ryx2 = 0,828 ― эти коэффициенты показывают связь между результативным признаком y и x1 , x 2 , соответственно. rx1x2 = 0,525 ― показывает связь между факторными признаками x1 , x 2 . Так как 0,525