Curso de Análise Vol. 2 978-85-244-0372-9

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Curso de Análise Vol. 2
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Elon Lages Lima

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curso de análise volume 2

Lima, Elon Lages Curso de análise vol.2 / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014. 547 p.; (Projeto Euclides) e-ISBN 978-85-244-0372-9 1. Análise matemática. 2. Cálculo. I. Título. II. Série CDD-512

elon lages lima curso de análise volume 2

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Copyright  2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Gian Calvi Criação Visual Ltda. / Sérgio R. Vaz Projeto Euclides Comissão Editorial: Elon Lages Lima (Editor) S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima • Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez • Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hönig • Espaços Métricos - Elon Lages Lima • Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo • Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo • Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves • Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski • Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho • Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo • Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor • Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James • Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima • Teoria Ergódica - Ricardo Mañé • Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler • Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer • Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael Iório Jr. e Valéria Iório • Álgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain • Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima • Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto • Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain • Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani • Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior • Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard • Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e Antonio Leitão • Homologia Básica - Elon Lages Lima • Teoria dos Números: um Passeio com Primos e outros Números Familiares pelo Mundo Inteiro Fabio Brochero Martinez, Carlos Gustavo Moreira, Nicolau Saldanha e Eduardo Tengan

•

Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira

Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] http://www.impa.br

1

Pref´ acio da primeira edi¸c˜ ao Que outrem possa louvar esfor¸co alheio, Cousa é que se costuma e se deseja; Mas louvar os meus próprios, arreceio Que louvor tão suspeito mal me esteja; E, para dizer tudo, temo e creio Que qualquer longo tempo curto seja; Mas, pois o mandas, tudo se te deve; Irei contra o que devo e serei breve. L. Camões “Os Lus´ıadas”, Canto III. Este segundo volume do Curso de An´ alise trata das fun¸cões de diversas variáveis reais. Como é natural, sua leitura pressup˜ oe uma certa familiaridade com fun¸cões de uma variável. Além disso, admitem-se conhe´ cidas algumas no¸cões básicas de Algebra Linear. O primeiro volume do Curso é a referência ´ obvia (mas não necessária) para os pré-requisitos de ´ An´ alise. Para a Algebra Linear, basta a leitura dos primeiros cap´ıtulos de qualquer dos bons livros existentes na pra¸ca. As principais diferen¸cas entre a An´ alise de uma e a de n variáveis têm suas origens em dois fatos. O primeiro é que a topologia dos subconjuntos de Rn fica muito mais complicada quando n > 1. (Por exemplo, os u ńicos subconjuntos conexos da reta s˜ ao os intervalos, mas é imposs´ıvel classificar topologicamente os subconjuntos conexos de Rn se ´ n ≥ 2.) Em segundo lugar, a Algebra Linear, que em dimens˜ ao 1 é desnecess´ aria, (pois as matrizes 1 × 1 e as transforma¸cões lineares de R em R se confundem com n´ umeros reais) torna-se indispensável para formular os conceitos e demonstrar os teoremas do Cálculo Diferencial das fun¸cões com mais de uma variável. A infinita variedade de tipos topológicos de subconjuntos do espa¸co Rn , que servirão de dom´ınios para as fun¸cões que estudaremos, empresta a este livro um conte´ udo bastante geométrico, em contraste com o caráter predominantemente aritmético do Volume 1, e nos leva a dedicar todo o primeiro cap´ıtulo à topologia do espa¸co euclidiano. Os conceitos ali apresentados e o ponto de vista adotado situam-se no contexto da Topologia Geral. (No esp´ırito de [8], por exemplo.) Salvo a

2 circunstˆ ancia de serem mais complexas em dimens˜ ao maior do que um, estas no¸cões não diferem muito das suas homônimas em dimens˜ ao 1. Entretanto, a presen¸ca da Topologia se faz mais consp´ıcua e profunda nos Cap´ıtulo IV e VII, onde surgem de modo natural as questões que levaram Gauss, Riemann, Kronecker e outros a abordarem problemas de An´ alise com métodos que mais tarde viriam a fazer parte da Topologia Diferencial. Seria in´ util tentar evitar perguntas naturais de An´ alise, como as consideradas naqueles cap´ıtulos, sob a alega¸cão de que as respostas envolvem conceitos não-triviais de Topologia, tais como homotopia, grau, etc. A atitude mais adequada nos parece a de enfrentar os problemas com as ferramentas criadas para esses fins, as quais posteriormente se difundiram e foram definitivamente incorporadas à Matem´ atica de hoje. Acreditamos que a exposi¸cão aqui feita das integrais curvil´ıneas e de superf´ıcie é suficientemente elementar para ser acess´ıvel a quem leu o ´ primeiro volume e tenha alguma experiência com Algebra Linear. De resto, é bom lembrar que esses assuntos não s˜ ao novos em livros de An´ alise. A integral de Kronecker, por exemplo, já aparece no primeiro volume do “Traité d’Analyse” de Picard, em 1891. ´ Quanto ` a Algebra Linear, sua posi¸cão no ensino de hoje é bem melhor do que era para os estudantes da minha gera¸cão. N˜ ao foi necessário incluir no livro uma introdu¸cão a essa disciplina, pois ela já se encontra suficientemente difundida, tanto na literatura dispon´ıvel (mesmo em ´ de l´ıngua portuguesa) como em vários cursos em n´ıvel de gradua¸cão. E se esperar que vetores, matrizes, transforma¸cões lineares, etc. constituam a linguagem natural para tratar o Cálculo Diferencial pois, afinal de contas, este se baseia na idéia de aproximar, na vizinhan¸ca de cada ponto de seu dom´ınio, uma fun¸cão “arbitrária” por uma fun¸cão linear (chamada sua derivada) e, a partir das propriedades desta, (presumivelmente mais fáceis de constatar) obter informa¸cões sobre aquela. Apenas a circunstˆ ancia de que, em dimens˜ ao 1, uma transforma¸cão linear se confunde com um n´ umero real é que leva a considerar a derivada como sendo um n´ umero. Em dimens˜ oes superiores a verdade se revela: a derivada é uma transforma¸cão linear. Com base nesta ob´ serva¸cão, os resultados e métodos da Algebra Linear s˜ ao ub´ıquos nos tratamentos modernos do C´ alculo Diferencial. Seu uso sistemático traz grandes vantagens de conceitua¸cão, nota¸cão, unifica¸cão e generaliza¸cão. ´ Menos divulgada do que a Algebra Linear propriamente dita, é seu

3 ´ prolongamento conhecido como Algebra Exterior. Esta fornece o formalismo adequado para o tratamento algébrico de certas no¸co˜es geométricas elusivas, como a orienta¸cão, e o fundamento para o estudo das formas diferenciais. Como se sabe desde Elie Cartan, as formas constituem os objetos mais convenientes para serem colocados sob o sinal de integral, principalmente quando não se deseja assumir compromisso com algum sistema de coordenadas. Admitindo conhecidas as propriedades elementares dos determinantes, come¸camos o u ´ltimo cap´ıtulo deste livro com uma exposi¸cão sucinta ´ de Algebra Exterior, a qual usamos como base para o estudo das integrais de superf´ıcie. Procuramos manter a generalidade e o formalismo dentro de limites aceitáveis enquanto que, por outro lado, exploramos algumas das excelsas virtudes do C´ alculo Diferencial Exterior. Esperamos que o leitor possa sentir a elegância e a for¸ca dos métodos ali esbo¸cados e se aposse desse poderoso instrumento para usos posteriores. Ainda que isto não pare¸ca claro nas páginas que se seguem, ao escrevê-las fui muito influenciado pelos livros de Picard, Courant, Phillips, Valiron e Graves citados na lista de referências. Cada um deles tem sido para mim um professor sol´ıcito, um conselheiro s´ abio, uma fonte de inspira¸cão, um modelo a imitar. Em termos mais concretos, fui também bastante estimulado por um grupo de amigos, temporariamente meus alunos num curso do IMPA, cujo entusiasmo pelo assunto e interesse pelo prosseguimento do livro foram uma importante ajuda. N˜ ao podendo mencionar a todos, gostaria pelo menos de destacar os que mais fiscalizaram meus descuidos e me auxiliaram na corre¸cão do manuscrito e das provas. Deixo consignados, pois, meus agradecimentos a Jonas de Miranda Gomes, José Felipe Voloch, Katia Frensel e Paulo Ney de Souza, aos quais deve também o leitor a ausência de alguns cochilos desagrad´ aveis. No plano da elabora¸cão gr´ afica, sou grato a Wilson G´ oes, pela boa vontade e eficiência no preparo de mais um dos in´ umeros manuscritos que já lhe entreguei. Agrade¸co ainda aos senhores Jo˜ ao D. Affonso e Wilson Siviero, da AM Produ¸cões Gr´ aficas Ltda. e Gr´ afica Editora Hamburg Ltda., respectivamente, e ` as excelentes equipes que eles comandam, pela competência, pela boa vontade e pelo excepcional acolhimento que têm dado ` as nossas publica¸cões. Rio de Janeiro, 14 de julho de 1981 Elon Lages Lima

4

Pref´ acio da d´ ecima edi¸c˜ ao As sucessivas edi¸cões deste livro se beneficiaram da colabora¸cão de leitores atentos, que apontaram várias corre¸cões a serem feitas. Dentre eles, quero agradecer a Florêncio Guimar˜ aes, Pedro Z¨ uhke de Oliveira, Diógenes Justo e Rick Rischter. A oitava edi¸cão foi redigitada eletronicamente por Wilson Góes, e as figuras executadas por Francisco Petr´ ucio Cavalcante. Rogério Dias Trindade encarregou-se de incorporar as revisões. A todos esses amigos quero agradecer cordialmente. Por u ´ltimo, mas não por menos, registro aqui minha gratridão a todos os colegas que adotaram o livro em seus cursos e aos leitores que nele estudaram.

Rio de Janeiro, dezembro de 2007 Elon Lages Lima

Conte´ udo I

Topologia do Espa¸ co Euclidiano 1 O espa¸co vetorial Rn . . . . . . . . . . . 2 Produto interno e norma . . . . . . . . . 3 N´ umeros complexos . . . . . . . . . . . 4 Bolas e conjuntos limitados . . . . . . . 5 Seq¨ uências no espa¸co euclidiano . . . . . 6 Pontos de acumula¸cão . . . . . . . . . . 7 Aplica¸cões cont´ınuas . . . . . . . . . . . 8 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . 9 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . 11 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . 12 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . 13 Distˆ ancia entre dois conjuntos; diˆ ametro 14 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . 15 A norma de uma transforma¸cão linear .

II Caminhos no Espa¸ co Euclidiano 1 Caminhos diferenci´ aveis . . . . . . . . . 2 Integral de um caminho . . . . . . . . . 3 Os teoremas cl´ assicos do Cálculo . . . . 4 Caminhos retific´ aveis . . . . . . . . . . . 5 O comprimento de arco como parˆ ametro 6 Curvatura e tor¸cão . . . . . . . . . . . . 7 A fun¸cão-ângulo . . . . . . . . . . . . . 5

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1 1 3 8 11 14 20 21 28 31 35 39 44 50 55 64

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80 80 85 87 93 101 104 107

´ CONTEUDO

6 III Fun¸ co ˜es Reais de n Vari´ aveis 1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . 2 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . 3 Fun¸cões diferenci´ aveis . . . . . . . . . . 4 A diferencial de uma fun¸cão . . . . . . . 5 O gradiente de uma fun¸cão diferenci´ avel 6 A Regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . 7 O Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . 8 Fórmula de Taylor; pontos cr´ıticos . . . 9 O teorema da fun¸cão impl´ıcita . . . . . 10 Multiplicador de Lagrange . . . . . . . .

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116 . 116 . 119 . 124 . 139 . 142 . 147 . 150 . 156 . 165 . 175

IV Integrais Curvil´ıneas 1 Formas diferenciais de grau 1 . . . . . . . . . . . . . 2 Integral de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Integral de uma forma ao longo de um caminho . . . 4 Justaposi¸cão de caminhos: caminho inverso . . . . . 5 Integral curvil´ınea de um campo de vetores e de uma 6 Formas exatas e formas fechadas . . . . . . . . . . . 7 Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Integrais curvil´ıneas e homotopia . . . . . . . . . . . 9 Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 A fórmula de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . .

192 . . . 192 . . . 197 . . . 201 . . . 205 fun¸cão208 . . . 209 . . . 215 . . . 219 . . . 224 . . . 230

V Aplica¸ co ˜es Diferenci´ aveis 1 Diferenciabilidade de uma aplica¸cão . 2 Exemplos de aplica¸cões diferenci´ aveis . 3 A regra da cadeia . . . . . . . . . . . . 4 A fórmula de Taylor . . . . . . . . . . 5 A desigualdade do valor médio . . . . 6 Seq¨ uências de aplica¸cões diferenci´ aveis 7 Aplica¸cões fortemente diferenci´ aveis . 8 O teorema da aplica¸cão inversa . . . . 9 Aplica¸cão: o Lema de Morse . . . . . . 10 A forma local das imersões . . . . . . 11 A forma local das submersões . . . . . 12 O teorema do posto . . . . . . . . . . 13 Superf´ıcies no espa¸co euclidiano . . . . 14 Superf´ıcies orientáveis . . . . . . . . .

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248 248 256 261 266 268 270 275 280 288 293 296 301 306 319

´ CONTEUDO

15

7

O método dos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . 329

VI Integrais M´ ultiplas 1 A defini¸cão de integral . . . . . . . . . . . . . 2 Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . 3 Caracteriza¸cão das fun¸cões integráveis . . . . 4 A integral como limite de somas de Riemann 5 Integra¸cão repetida . . . . . . . . . . . . . . . 6 Mudan¸ca de variáveis . . . . . . . . . . . . .

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344 . 344 . 352 . 361 . 371 . 376 . 379

VIIIntegrais de Superf´ıcie 1 Formas alternadas . . . . . . . . . 2 Formas diferenciais . . . . . . . . . 3 A diferencial exterior . . . . . . . . 4 Parti¸cões da unidade . . . . . . . . 5 Aplica¸cões da parti¸cão da unidade 6 Integrais de superf´ıcie . . . . . . . 7 Superf´ıcies com bordo . . . . . . . 8 O Teorema de Stokes . . . . . . . . 9 Grau de uma aplica¸cão . . . . . . . 10 A integral de Kronecker . . . . . .

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395 395 410 424 430 441 450 473 488 506 519

Bibliografia

541

´ Indice Remissivo

544

Cap´ıtulo I

Topologia do Espa¸ co Euclidiano 1

O espa¸co vetorial Rn

Seja n um n´ umero natural. O espa¸co euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a R: Rn = R × R × · · · × R.

Os pontos de Rn s˜ ao, pois, todas as n-listas x = (x1 , . . . , xn ) cujas coordenadas x1 , . . . , xn s˜ ao n´ umeros reais. Dados x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) em Rn tem-se x = y se, e somente se, x1 = y1 , . . . , xn = yn . R1 = R é a reta, isto é, o conjunto dos n´ umeros reais. R2 é o plano, ou seja, o conjunto dos pares ordenados z = (x, y) de n´ umeros reais. R3 é o espa¸co euclidiano tridimensional da geometria anal´ıtica, cujos pontos ` vezes é conveniente considerar s˜ ao os ternos ordenados p = (x, y, z). As 0 também R = {0}, o “espa¸co de dimens˜ ao zero”, formado pelo u ńico ponto 0. Dados x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) em Rn e um n´ umero real α, definimos a soma x + y e o produto α · x pondo x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), α · x = (αx1 , . . . , αxn ).

Estas opera¸cões fazem de Rn um espa¸co vetorial de dimens˜ ao n sobre o corpo dos reais, no qual o elemento neutro para a adi¸cão é 0 = (0, . . . , 0) e o simétrico de x = (x1 , . . . , xn ) é −x = (−x1 , . . . , −xn ).

2

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Os elementos de Rn serão às vezes chamados pontos e às vezes vetores. Geometricamente, considerar x ∈ Rn como vetor significa imaginar a seta que tem origem no ponto 0 e extremidade em x. No espa¸co vetorial Rn , destaca-se a base canˆ onica ou base natural {e1 , . . . , en }, formada pelos vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1), que têm uma coordenada igual a 1 e as outras nulas. (x1 , . . . , xn ) em Rn , tem-se

Dado x =

x = x1 · e1 + · · · + xn · en . A base canônica do espa¸co euclidiano permite estabelecer uma bije¸cão natural entre o conjunto L(Rm ; Rn ) das aplica¸cões (ou transforma¸cões) lineares A : Rm → Rn e o conjunto M (n×m) das matrizes reais (aij ) com n linhas e m colunas. A matriz (aij ) que corresponde à transforma¸cão linear A é definida pelas igualdades (*)

A · ej =

n X

aij ei

(j = 1, . . . , m).

i=1

Assim, a matriz (aij ) da transforma¸cão linear A : Rm → Rn tem como colunas os m vetores A · ej = (a1j , . . . , anj ) ∈ Rn , imagens (ou transformados) por A dos vetores da base canônica de Rm . Reciprocamente, dada uma matriz (aij ) com n linhas e m colunas, as igualdades (*) definem os valores de uma aplica¸cão linear A : Rm → Rn nos m vetores da base canônica. Como se sabe, isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm , tendo-se A · x = x1 · Ae1 + · · · + xm · Aem . Cada matriz real n × m pode ser considerada como um ponto do espa¸co euclidiano Rnm : basta escrever suas colunas, uma ap´ os a outra, numa linha. Assim, sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto L(Rm ; Rn ) das aplica¸cões lineares de Rm em Rn , ora pelo conjunto M (n × m) das matrizes reais com n linhas e m colunas, ora pelo espa¸co euclidiano nm-dimensional Rnm . Um tipo especialmente simples de aplica¸cões lineares é fornecido pelos funcionais lineares f : Rm → R. Dado o funcional linear f , sejam a1 = f (e1 ), . . . , am = f (em ) os valores que ele assume nos vetores da base

[SEC. 2: PRODUTO INTERNO E NORMA

3

canônica. Para qualquer x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm , temos x = Σ xi ei , logo f (x) = Σ xi f (ei ), ou seja: f (x) = a1 x1 + · · · + am xm . Note que (a1 , . . . , am ) é a matriz 1 × m da aplica¸cão linear f . Em particular, dado o n´ umero natural i ∈ [1, m], seja πi : Rm → R o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, a saber, o vetor ei , para o qual se tem πi (ei ) = 1. Então πi (x) = xi = iésima coordenada do ponto x ∈ Rm . Assim, πi é a i-ésima proje¸ca õ do produto cartesiano Rm no seu fator R. Os funcionais lineares π1 , . . . , πm constituem uma base do espa¸co vetorial L(Rm ; R) = (Rm )∗ , chamada a base dual da base canônica de Rm . Uma aplica¸cão ϕ : Rm × Rn → Rp chama-se bilinear quando é linear separadamente em rela¸cão a cada uma das suas variáveis. Isto significa que se tem: ϕ(x + x′ , y) = ϕ(x, y) + ϕ(x′ , y); ϕ(x, y + y ′ ) = ϕ(x, y) + ϕ(x, y ′ ); ϕ(αx, y) = α · ϕ(x, y);

ϕ(x, αy) = α · ϕ(x, y),

quaisquer que sejam x, x′ ∈ Rm , y, y ′ ∈ Rn e α ∈ R. Se ϕ é bilinear então, para x = (x1 , . . . ,P xm ) e y = (y1 , . . . , yn ) arbitr´ arios vale: xi yj ϕ(ei , ej ), de modo que ϕ fica inϕ(x, y) = ϕ(Σ xi ei , Σ yj ej ) = i,j

teiramente determinada pelos mn valores ϕ(ei , ej ) ∈ Rp que assume nos pares ordenados de vetores básicos (ei , ej ). Note que ϕ(x, 0) = ϕ(0, y) = 0 quaisquer que sejam x ∈ Rm , y ∈ Rn .

2

Produto interno e norma

Um produto interno num espa¸co vetorial real E é uma regra que faz corresponder a cada par de vetores x, y ∈ E um n´ umero real, indicado por hx, yi, de tal modo que, para quaisquer x, x′ , y ∈ E e α ∈ R, se

4

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

tenham: PI.1 hx, yi = hy, xi;

PI.2 hx + x′ , yi = hx, yi + hx′ , yi;

PI.3 hαx, yi = α · hx, yi = hx, αyi;

PI.4 x 6= 0 ⇒ hx, xi > 0.

Isto se exprime dizendo que um produto interno é uma fun¸cão real simétrica, bilinear, positiva definida, E × E → R. O exemplo mais importante é o produto interno canˆ onico do espa¸co euclidiano Rn , o qual é dado por hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn , onde x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ). Salvo men¸cão expl´ıcita em contrário, o produto interno canônico é o u ńico que consideraremos no espa¸co euclidiano Rn . Observa¸ c˜ ao: A maneira mais geral de se definir um produto interno em n R é a seguinte: toma-se uma matriz real (aij ), n×n, simétrica, positiva n P aij xi yj . (isto é, Σ aij xi xj > 0 para todo x 6= 0), e põe-se hx, yi = i,j=1

O produto interno canônico corresponde a tomar a matriz identidade. p Dado x ∈ Rn , escreveremos |x| = hx, xi, ou seja, |x| =

q x21 + · · · + x2n .

Tem-se |x|2 = hx, xi, de modo que |x| = 0 ⇔ x = 0 e |x| > 0 ⇔ x 6= 0. O n´ umero |x| chama-se a norma euclidiana ou o comprimento do vetor x ∈ Rn . Dois vetores x, y ∈ Rn dizem-se ortogonais quando hx,yi = 0. Evidentemente, 0 é ortogonal a todos os vetores de Rn . Também ei é ortogonal a ej se i 6= j. (2.1) Um caso menos banal de ortogonalidade é o seguinte: dados x, y ∈ Rn , com y 6= 0, e pondo-se α = hx, yi/|y|2 , o vetor z = x − αy é ortogonal a y.

5

[SEC. 2: PRODUTO INTERNO E NORMA

z

x

αy

y

Com efeito, hz, yi = hx − αy, yi = hx, yi − αhy, yi = hx, yi − α|y|2 = hx, yi − hx, yi = 0. Usaremos agora a observa¸cão acima para demonstrar a desigualdade fundamental da Geometria Euclidiana. Teorema 1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Para quaisquer x, y ∈ Rn , tem-se |hx, yi| ≤ |x| · |y|. Vale a igualdade se, e somente se, um dos vetores x, y é um m´ ultiplo escalar do outro. Demonstra¸ c˜ ao: Isto é ´ obvio se y = 0. Se, porém, for y 6= 0, poremos α = hx, yi/|y|2 . Como acabamos de ver, o vetor z = x − αy é ortogonal a y. Segue-se da´ı que |x|2 = hz + αy, z + αyi = |z|2 + α2 |y|2 , donde |x|2 ≥ α2 |y|2 = hx, yi2 /|y|2 , ou seja:

|x|2 |y|2 ≥ hx, yi2 , como quer´ıamos demonstrar. Vale a igualdade se, e somente se, z = 0, ou seja, x = α · y.

Observa¸ c˜ ao: A prova acima é válida para qualquer produto interno, p com |x| = hx, xi. p A norma euclidiana |x| = hx, xi goza das seguintes propriedades, onde x, y ∈ Rn , α ∈ R e |α| significa o valor absoluto do n´ umero real α: N1. |x + y| ≤ |x| + |y|; N2. |α · x| = |α| · |x|;

N3. x 6= 0 ⇒ |x| > 0.

As duas u ´ltimas s˜ ao evidentes e a primeira propriedade decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz. Com efeito: |x + y|2 = hx + y, x + yi = |x|2 + |y|2 + 2hx, yi ≤ 2 ≤ |x|2 + |y|2 + 2|x| · |y| = |x| + |y| .

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

De um modo geral, uma norma num espa¸co vetorial E é qualquer fun¸cão real | | : E → R que cumpra as condi¸cões N1, N2 e N3 acima estipuladas. Note-se que, tomando α = 0 em N2, vem |0| = 0 e pondo α = −1 vem | − x| = |x|. Pondo y = −x em N1 obtemos 0 = |0| = |x + (−x)| ≤ |x| + | − x| = 2|x|, donde |x| ≥ 0 para todo x ∈ E. Observe que |x − y| = | − (x − y)| = |y − x|. H´ a uma infinidade de normas que se podem considerar no espa¸co euclidiano Rn . A norma euclidiana é motivada pela fórmula do comprimento de um vetor no plano em coordenadas cartesianas, que se prova com o Teorema de Pit´ agoras. Para no¸cões geométricas, ela é a mais natural. Quando não dissermos explicitamente qual a norma que estamos considerando em Rn , fica subentendido que se trata da euclidiana. Por outro lado, há duas normas que s˜ ao de manipula¸cão formal mais simples, as quais poderemos utilizar em Rn , quando houver conveniência. Elas s˜ ao: |x|M = M´ ax. {|x1 |, . . . , |xn |}, |x|S = |x1 | + · · · + |xn |.

(Norma do M´ aximo) (Norma da Soma)

As condi¸cões N1, N2 e N3 s˜ ao fáceis de verificar para estas duas normas. Também é simples mostrar que, para todo x ∈ Rn vale |x|M ≤ |x| ≤ |x|S ≤ n · |x|M , onde |x| é a norma euclidiana. Estas desigualdades servirão para mostrar que as 3 normas acima s˜ ao equivalentes, no sentido que definiremos no §4 a seguir. Advertimos que as nota¸cões |x|M e |x|S não serão usadas sistematicamente para indicar as normas que acabamos de definir. Assim, por exemplo, se estivermos aplicando apenas a norma |x|M num determinado contexto, poderemos indic´ a-la com a nota¸cão |x|, por simplicidade. Uma norma num espa¸co vetorial E dá origem a uma no¸cão de distância em E. Dados x, y ∈ E, a distˆ ancia de x a y é definida por d(x, y) = |x − y|. As condi¸cões N1, N2 e N3, que a norma satisfaz, implicam imediatamente que a distˆ ancia goza das seguintes propriedades, para x, y, z ∈ E

[SEC. 2: PRODUTO INTERNO E NORMA

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quaisquer: d1. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z); d2. d(x, y) = d(y, x);

d3. x 6= y ⇒ d(x, y) > 0. A primeira dessas propriedades é chamada a desigualdade do triˆ angulo. Ela exprime que o comprimento de um dos lados de um triˆ angulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Sua demonstra¸cão se faz assim: d(x, z) = |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ≤ |x − y| + |y − z| = = d(x, y) + d(y, z).

Uma norma arbitr´ aria | | num espa¸co vetorial E pode não provir de um produto interno, isto é, nem sempre existe um produto interno h , i em E tal que |x|2 = hx, xi para todo x ∈ E. Com efeito, se a norma provém de um produto interno, então vale a identidade do paralelogramo |x + y|2 + |x − y|2 = 2 |x|2 + |y|2 , que diz ser a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo igual ` a soma dos quadrados dos seus quatro lados. Com efeito, temos |x + y|2 = hx + y, x + yi = |x|2 + |y|2 + 2hx, yi,

|x − y|2 = hx − y, x − yi = |x|2 + |y|2 − 2hx, yi.

Somando membro a membro, obtemos a identidade desejada. Ora, a identidade do paralelogramo não é válida para toda norma. Por exemplo, as normas |x|M = M´ ax {|x1 |, . . . , |xn |} e |x|S = Σ|xi | em Rn não a cumprem. (Tome x = e1 e y = e2 .) Logo essas normas não provêm de produto interno algum em Rn . Uma conseq¨ uência simples, porém u ´til, dos axiomas N1, N2 e N3 é que, dada uma norma | | em Rn , para x, y ∈ Rn quaisquer tem-se: | |x| − |y| | ≤ |x − y|. Com efeito, a desigualdade acima significa que −|x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y|, ou seja, que |y| ≤ |x| + |x − y| e |x| ≤ |y| + |x − y|. Isto se segue de N1, pois y = x + (y − x) e x = y + (x − y).

8

3

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

N´ umeros complexos

Além da estrutura de espa¸co vetorial, existente em todos os espa¸cos euclidianos Rn , o plano R2 possui uma multiplica¸cão, segundo a qual o produto de z = (x, y) por w = (u, v) é definido pela seguinte regra: z · w = (xu − yv, xv + yu). Esta multiplica¸cão é comutativa, associativa, distributiva em rela¸cão a` adi¸cão e admite o vetor e1 = (1, 0) como elemento neutro multiplicativo, isto é, tem-se z · e1 = z para todo z ∈ R2 . Quando quisermos dizer que estamos considerando R2 munido da multiplica¸cão acima definida, usaremos a nota¸cão C = R2 e chamaremos os pontos z = (x, y) de n´ umeros complexos. Como (x, 0) = (y, 0) = (x + y, 0) e, na multiplica¸cão de complexos, vale (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0), concluimos que a imersão natural f : R → C, definida por f (x) = (x, 0), preserva as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão, isto é, f (x + y) = f (x) + f (y) e f (x · y) = f (x) · f (y). Em vista disto, identificaremos x com f (x), isto é, consideraremos R ⊂ C, (x, 0) = x e, em particular, (0, 0) = 0, e1 = 1 (unidade real). Usa-se a nota¸cão i = (0, 1) = e2 (unidade imaginária). Como i2 = (−1, 0) = −1, √ escreve-se ` as vezes i = −1. Para todo n´ umero complexo z = (x, y), temos z = xe1 + ye2 = x + yi. Com esta nota¸cão, a defini¸cão do produto z · w se torna natural: para multiplicar z = x + yi por w = u + vi, opera-se como se fosse com n´ umeros reais, tendo-se apenas o cuidado de substituir i2 por −1. Assim: z · w = (x + yi)(u + vi) = xu + (xv + yu)i + yv · i2 = = (xu − yv) + (xv + yu)i.

No n´ umero complexo z = x + yi, x chama-se a parte real e y a parte imagin´ aria. O n´ umero z¯ = x − yi chama-se o conjugado de z. Por analogia com os reais, a norma euclidiana (´ unica a ser usada) p odulo do n´ umero complexo z. Verifica-se |z| = x2 + y 2 chama-se o m´ facilmente que |z| = |¯ z |, z · z¯ = x2 + y 2 = |z|2 e |z · w| = |z| · |w| para quaisquer z, w ∈ C. Se z 6= 0, pondo w = z¯/|z|2 obtemos z · w = 1. Logo todo elemento z = (x, y) 6= 0 em C possui o inverso multiplicativo z¯ −y x −1 z = 2 = . , |z| x2 + y 2 x2 + y 2

´ [SEC. 3: NUMEROS COMPLEXOS

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Em particular, se |z| = 1 então z −1 = z¯. O conjunto C dos n´ umeros complexos é portanto um corpo. (Vide Cap. 3 do Volume 1.) O conjunto C − {0}, dos n´ umeros complexos não-nulos, é um grupo abeliano multiplicativo. O c´ırculo unit´ ario S 1 = 2 2 {x + yi ∈ C; x + y = 1}, conjunto dos n´ umeros complexos de m´ odulo 1 1, é um subgrupo multiplicativo de C − {0}, pois se z, w ∈ S então |z · w| = |z| · |w| = 1 e |z −1 | = |¯ z | = 1, logo z · w, z −1 ∈ S 1 . Definiremos a aplica¸ca õ exponencial ξ : R → S 1 , pondo ξ(t) = cos t+ i · sen t. (3.1) ξ é um homomorfismo do grupo aditivo R dos n´ umeros reais sobre o grupo multiplicativo S 1 dos n´ umeros complexos de m´ odulo 1. Demonstra¸ c˜ ao: Para quaisquer s, t ∈ R, temos ξ(s+t) = cos(s+t)+i· sen(s+t) = (cos s·cos t−sen s·sen t)+i(cos s·sen t+sen s·cos t) = (cos s+ i sen s)(cos t + i sen t) = ξ(s) · ξ(t). (Vide Volume 1, pág. 392.) Logo ξ é um homomorfismo. Para provar que ξ é sobrejetiva, seja x+yi ∈ S 1 , isto é, x2 + y 2 = 1. Então x ∈ [−1, 1]. Como cos :√R → [−1, 1] é sobrejetiva, √ existe t ∈ R tal que cos t = x. Logo sen t = ± 1 − cos2 t = ± 1 − x2 = ±y. Se for sen t = y, então ξ(t) = x + yi. Se for sen t = −y então ξ(−t) = cos(−t) + i sen(−t) = cos t − i sen t = x + yi. De qualquer modo, ξ é sobrejetiva. Tem-se ξ(s) = ξ(t) se, e somente se, os n´ umeros reais s, t têm o mesmo cosseno e o mesmo seno, donde s − t = 2kπ, k ∈ Z. Em particular, ξ(t) = 1, se, e somente se t = 2kπ, k ∈ Z, ou seja, o n´ ucleo do homomorfismo ξ é o conjunto dos m´ ultiplos inteiros de 2π. Desenvolvendo cos t e sen t em série de potências, obtemos a igual∞ P (it)n /n!. Isto sugeriu a Euler a nota¸cão dade formal cos t + i sen t = n=0

eit = cos t+i sen t para o que chamamos acima ξ(t). O fato de ξ : R → S 1 ser um homomorfismo significa que ei(s+t) = eis · eit , (eit )−1 = e−it = conjugado de eit . Mais geralmente, para todo n ∈ Z, vale (eit )n = eint . Isto significa que (cos t + i sen t)n = cos(nt) + i sen(nt), igualdade conhecida como f´ ormula de Moivre. Todo n´ umero complexo z 6= 0 é o produto z = |z| · z/|z| de um n´ umero real positivo |z| = r por um n´ umero complexo z/|z| = eit , de it m´ odulo 1. A expressão z = r · e , com r > 0 e t ∈ R, chama-se a forma polar do n´ umero complexo z 6= 0. Nela, o m´ odulo r = |z| é univocamente determinado a partir de z, mas o n´ umero real t, chamado (um) argumento de z, não é u ńico: se t é argumento de z então os demais

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

argumentos s˜ ao os n´ umeros t + 2kπ, k ∈ Z. A forma polar é conveniente para a multiplica¸cão de n´ umeros complexos: se z = r · eit e w = q · eis então w · z = qr · ei(s+t) . Assim, para multiplicar dois n´ umeros complexos, multiplicam-se os m´ odulos e −1 −1 somam-se os argumentos. Para a divisão, temos w · z = q · r ei(s−t) , ou seja, dividem-se os m´ odulos e subtraem-se os argumentos. Seja A = a + bi 6= 0. Em virtude da distributividade e da comutatividade da multiplica¸cão de n´ umeros complexos, a multiplica¸cão por A e : R2 → R2 , com A e · z = A · z. Note define uma transforma¸cão linear A e que A é invert´ıvel, sendo sua inversa a multiplica¸cão por A−1 . A matriz e tem como vetores-coluna A e · e1 = A · 1 = (a, b) e da transforma¸cão A e · e2 = A · i = (−b, a), logo tal matriz tem a forma A a −b b a O determinante desta matriz é igual a a2 + b2 = |A|2 . Quando |A| = 1 então |A·z| = |z| e hAw, Azi = hw, zi para quaisquer w, z ∈ R2 , como se verifica diretamente. Neste caso, a transforma¸cão e preserva a norma e o produto interno em R2 . Pondo então linear A e tem a forma A = cos θ + i sen θ, a matriz de A cosθ − sen θ sen θ cos θ e se chama uma rota¸ca e > 0). eA õ positiva (pois det A Sejam u, v, w, z ∈ S 1 vetores unit´ arios no plano. Diremos que o a ˆngulo 0 dado, é poss´ıvel obter k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ |xk − a| < ε. Neste caso, diz-se também que (xk ) converge para a ou tende para a, escreve-se lim xk = a, lim xk = a, lim xk = a, ou k→∞

k∈N

simplesmente xk → a. Quando existe o limite a = lim xk , diz-se que a seq¨ uência (xk ) é convergente. Caso contrário, diz-se que (xk ) é divergente. Por exemplo, uma seq¨ uência constante (a, a, . . . , a, . . . ) é obviamente convergente e seu limite é a. Por outro lado, se a 6= b então (a, b, a, b, . . . ) é uma seq¨ uência divergente. Tem-se lim xk = a ⇔ lim |xk − a| = 0. Isto reduz a convergência em Rn ` a convergência de n´ umeros reais ≥ 0. (5.1) Em termos de bolas, tem-se lim xk = a se, e somente se, qualquer bola aberta de centro a contém todos os termos xk salvo, possivelmente para um n´ umero finito de ´ındices k. (Com efeito, se ε > 0 é o raio da bola e k0 é o n´ umero natural que corresponde a ε na defini¸cão de limite, fora da bola B(a; ε) s´ o poder˜ ao estar, no m´ aximo, alguns dos termos x1 , . . . , xk0 .) (5.2) Resulta da observa¸cão acima que toda seq¨ uência convergente é limitada. De fato, se lim xk = a então fora da bola aberta de centro a e raio 1 existem no m´ aximo os termos x1 , . . . , xk0 da seq¨ uência. Se r é o maior dos n´ umeros 1, |x1 − a|, . . . , |xk0 − a|, vemos que todos os termos da seq¨ uência estão contidos na bola B[a; r]. A rec´ıproca é falsa: se a 6= b, a seq¨ uência (a, b, a, b, . . . ) é divergente e limitada. (5.3) Segue-se também da caracteriza¸cão do limite por meio de bolas que se lim xk = a então toda subseq¨ uência de (xk ) tem ainda limite igual a a. Ou seja: toda subseq¨ uência de uma seq¨ uência convergente é ainda convergente e tem o mesmo limite. (5.4) Outro fato elementar, porém essencial, é que o limite de uma seq¨ uência convergente é u ńico. Ou seja, se lim xk = a e lim xk = b, então a = b. Com efeito, para todo k ∈ N temos: 0 ≤ |a − b| ≤ |xk − a| + |xk − b|. Logo lim |xk − a| = lim |xk − b| = 0 ⇒ a = b. Em particular, se lim xk = a e uma subseq¨ uência de (xk ) converge para o ponto b ∈ Rn , então a = b.

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

A defini¸cão de limite de uma seq¨ uência em Rn faz uso de uma norma. As desigualdades que relacionam as 3 normas usuais do espa¸co euclidiano nos dão, entretanto: |xk −a|M ≤ |xk −a| ≤ |xk −a|S ≤ n|x−a|M . Seguese da´ı que lim |xk − a|M = 0 ⇔ lim |xk − a| = 0 ⇔ lim |xk − a|S = 0. Portanto, a afirma¸cão lim xk = a independe de qual das 3 normas usuais estamos considerando. (No final deste par´ agrafo, mostraremos que a n no¸cão de limite de uma seq¨ uência em R permanece a mesma seja qual for a norma que considerarmos.) Na demonstra¸cão do teorema abaixo, usamos em Rn a norma do m´ aximo, por conveniência. Resulta do que acabamos de dizer que o fato nele enunciado é válido seja qual for a norma, dentre as 3 usuais, que seja tomada na defini¸cão de limite. Teorema 4. Uma seq¨ uência (xk ) em Rn converge para o ponto a = (a1 , . . . , an ) se, e somente se, para cada i = 1, 2, . . . , n, tem-se lim xki = k→∞

ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a coordenada correspondente de a. Demonstra¸ c˜ ao: Como |xki − ai | ≤ |xk − a|, vemos que lim xk = a ⇒ k→∞

lim xki = ai para cada i = 1, . . . , n. Reciprocamente, lim xki = ai

k→∞

k→∞

para todo i = 1, 2, . . . , n então, dado ε > 0, existem n´ umeros naturais k1 , . . . , kn tais que k > ki ⇒ |xki − ai | < ε. Seja k0 = max{k1 , . . . , kn }. Então k > k0 ⇒ |xk − a| = max |xki − ai | < ε. Logo lim xk = a. i

Corol´ ario. Dadas as seq¨ uências convergentes de termos xk , yk ∈ Rn e αk ∈ R, sejam lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. Ent˜ ao: 1) lim(xk + yk ) = a + b; 2) lim αk · xk = α · a; 3) lim hxk , yk i = ha, bi; 4) lim |xk | = |a|. Com efeito, utilizando os fatos conhecidos sobre limites de somas e de produtos de n´ umeros reais, vemos que, para cada i = 1, . . . , n, valem lim (xki − yki ) = ai + bi e lim αk xki = α · ai . Em vista do k→∞

k→∞

Teorema 4, as igualdades 1) e 2) ficam demonstradas. Analogamente, lim hxk , yk i = lim (xk1 yk1 + · · · + xkn ykn ) = a1 b1 + · · · + an bn = ha, bi. k→∞ k→∞ p p Isto prova 3). Finalmente, lim |xk | = lim hxk , xk i = hxk , xk i = p ha, ai = |a|, o que prova 4). Também poder´ıamos provar 4) observando que | |xk | − |a| | ≤ |xk − a|. Esta maneira tem a vantagem de valer para qualquer norma, euclidiana ou não.

¨ ENCIAS ˆ [SEC. 5: SEQU NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

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Teorema 5. (Bolzano-Weierstrass). Toda seq¨ uência limitada em Rn possui uma subseq¨ uência convergente. Demonstra¸ c˜ ao: Sabemos que o Teorema de Bolzano-Weierstrass é válido na reta: toda seq¨ uência limitada de n´ umeros reais possui uma subseq¨ uência convergente. (Vol. 1, pag. 123.) Dada a seq¨ uência limitada (xk ) em Rn , as primeiras coordenadas dos seus termos formam uma seq¨ uência limitada (xk1 )k∈N de n´ umeros reais, a qual possui uma subseq¨ uência convergente. Isto é, existem um subconjunto infinito N1 ⊂ N uência e um n´ umero real a1 tais que lim xk1 = a1 . Por sua vez, a seq¨ k∈N1

limitada (xk2 )k∈N1 de n´ umeros reais, possui uma subseq¨ uência convergente; podemos obter um subconjunto infinito N2 ⊂ N1 e a2 ∈ R tais que lim xk2 = a2 . E assim por diante, até encontrarmos conjuntos k∈N2

infinitos N ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ · · · ⊃ Nn e n´ umeros reais a1 , . . . , an tais que lim xki = ai para i = 1, 2, . . . , n. Então pomos a = (a1 , . . . , an ) e vemos, k∈Ni

pelo Teorema 4, que lim xk = a, o que conclui a demonstra¸cão. k∈Nn

Diz-se que um ponto a ∈ Rn é valor de aderência de uma seq¨ uência de pontos xk ∈ Rn quando alguma subseq¨ uência de (xk ) converge para a. O Teorema 5 diz que o conjunto dos valores de aderência de uma seq¨ uência limitada em Rn nunca é vazio. Se uma seq¨ uência (xk ) em Rn (necessariamente ilimitada) não possui valores de aderência, escreve-se lim xk = ∞. Isto significa que (xk ) não possui subseq¨ uência limitada, ou seja, que para todo n´ umero real A, dado arbitrariamente, existe k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ |xk | > A. Do mesmo modo como para seq¨ uência de n´ umeros reais (Vol. 1, pág. n 121) se mostra que o ponto a ∈ R é valor de aderência da seq¨ uência (xk ) se, e somente se, toda bola de centro a contém termos xk com ´ındices arbitrariamente grandes. Mais precisamente: dados ε > 0 e k0 ∈ N, existe k > k0 tal que |xk − a| < ε. Uma seq¨ uência convergente possui um u ńico valor de aderência. A rec´ıproca não vale: a seq¨ uência de n´ umeros reais (1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, . . . ) possui o u ńico valor de aderência 1 mas não converge. Temos, entretanto o Teorema 6. Uma seq¨ uência limitada em Rn é convergente se, e somente se, possui um u ńico valor de aderência. Demonstra¸ c˜ ao: Seja a um valor de aderência da seq¨ uência limitada (xk ). Se não for a = lim xk então existe ε > 0 tal que o conjunto

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

N′ = {k ∈ N; xk ∈ / B(a; ε)} é infinito. A subseq¨ uência (xk )k∈N′ é limitada e seus termos satisfazem todos a condi¸cão |xk − a| ≥ ε. Pelo Teorema 5, ela possui uma subseq¨ uência que converge para um ponto b ∈ Rn . Ora, de |xk − a| ≥ ε para todo k ∈ N′ , conclu´ımos por passagem ao limite que |b − a| ≥ ε. Então b 6= a e a seq¨ uência (xk ) tem pelo menos dois valores de aderência distintos. Isto demonstra metade do Teorema 6. A rec´ıproca é imediata. Estenderemos agora ao espa¸co euclidiano o Critério de Cauchy para convergência de seq¨ uências de n´ umeros reais. n Uma seq¨ uência (xk ) em R diz-se uma seq¨ uência de Cauchy quando para todo ε > 0 existe k0 ∈ N tal que k, r > k0 ⇒ |xk − xr | < ε. Usando em Rn a norma do m´ aximo, temos |xk − xr | = max{|xk1 − xr1 |, . . . , |xkn − xrn |}, logo (xk ) é uma seq¨ uência de Cauchy em Rn se, e somente se, para cada i = 1, . . . , n, a seq¨ uência (x1i , x2i , . . . , xki , . . . ) das suas i-ésimas coordenadas é uma seq¨ uência de Cauchy de n´ umeros reais. Isto conduz ao Teorema 7. Uma seq¨ uência (xk ) em Rn é de Cauchy se, e somente se, é convergente. Demonstra¸ c˜ ao: Se (xk ) é uma seq¨ uência de Cauchy então, para cada i = 1, 2, . . . , n, suas i-ésimas coordenadas formam uma seq¨ uência de Cauchy de n´ umeros reais (xki )k∈N , a qual possui o limite ai = lim xki . k→∞

(Vol. 1, pág. 127.) Seja a = (a1 , . . . , an ). Resulta do Teorema 4 acima que a = lim xk . Logo toda seq¨ uência de Cauchy em Rn é convergente. A rec´ıproca é imediata. Generalizando as desigualdades que relacionam as 3 normas usuais do espa¸co euclidiano, diremos que duas normas arbitr´ arias | | e || || em Rn s˜ ao equivalentes quando existirem constantes a > 0 e b > 0 tais que |x| ≤ a||x|| e ||x|| ≤ b|x| para todo x ∈ Rn . Se, para todo x ∈ Rn e todo r > 0, indicarmos com as nota¸cões B(x, r) e B((x; r)) respectivamente a bola aberta de centro x e raio r segundo as normas | | e || ||, as desigualdades acima significam que B((x; r)) ⊂ B(x; ar) e B(x; r) ⊂ B((x; br)).

¨ ENCIAS ˆ [SEC. 5: SEQU NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

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A equivalência entre normas é uma rela¸cão reflexiva, simétrica e transitiva. As 3 normas usuais do espa¸co euclidiano s˜ ao equivalen´ claro que se | | e || || s˜ tes umas ` as outras. E ao equivalentes, então lim |xk − a| = 0 ⇔ lim ||xk − a|| = 0, isto é, normas equivalentes dão origem ` a mesma no¸cão de limite no espa¸co Rn . Finalmente, se duas normas em Rn s˜ ao equivalentes, um conjunto X ⊂ Rn é limitado em rela¸cão a uma delas se, e somente se, é limitado em rela¸cão à outra. Demonstraremos agora o principal resultado a respeito de equivalência entre normas. Teorema 8. Duas normas quaisquer no espa¸co Rn s˜ ao equivalentes. n P |xi | a norma da soma. Por transitiviDemonstra¸ c˜ ao: Seja |x| = i=1

dade, basta demonstrar que uma norma arbitr´ aria ||x|| em Rn é equivalente a esta. Em primeiro lugar, seja b = max{||e1 ||, . . . , ||en ||}. Então, para qualquer x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn temos ||x|| = ||x1 e1 + · · · + xn en || ≤ |x1 | ||e1 || + · · · + |xn | ||en || ≤ b · |x|.

Resta provar que existe a > 0 tal que |x| ≤ a||x|| para todo x ∈ Rn . Suponha, por absurdo, que não seja assim. Então, para cada k ∈ N, podemos achar xk ∈ Rn tal que |xk | > k · ||xk ||. Ponhamos uk = xk /|xk |. Isto nos dá ||uk || = ||xk ||/|xk | < 1/k e |uk | = 1 para todo k. A seq¨ uência (uk ) é, portanto, limitada em rela¸cão à norma da soma. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, ela possui uma subseq¨ uência (ukj ) que converge para um ponto u ∈ Rn . Por um lado, temos |u| = lim |ukj | = 1, donde j→∞

u 6= 0. Por outro lado, para todo j ∈ N temos

||u|| ≤ ||ukj − u|| + ||ukj || ≤ b|ukj − u| + 1/kj . Como as duas u ´ltimas parcelas acima tendem para zero quando j → ∞, concluimos que ||u|| = 0, donde u = 0. Esta contradi¸cão demonstra o teorema. Praticamente todos os conceitos introduzidos e por introduzir, bem como resultados demonstrados ou a demonstrar neste livro, têm sua extens˜ ao e sua validez inalteradas se substituirmos a norma que estamos usando por outra equivalente. O Teorema 8 então diz que para esses fatos, podemos usar qualquer norma em Rn . Continuaremos porém admitindo que, salvo men¸cão expl´ıcita em contrário, a norma adotada em Rn é a euclidiana. Isto tem a vantagem de deixar um produto interno

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

a` nossa disposi¸cão. Quando houver conveniência, lan¸caremos m˜ ao de outra norma, que será quase sempre uma das que chamamos “usuais”. Exemplo. Como aplica¸cão do teorema acima, mostraremos que uma seq¨ uência de polinˆ omios pk (t) = ak0 + ak1 t + · · · + akn tn , todos de grau ≤ n, converge para o polinˆ omio p(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn , uniformemente no intervalo não degenerado [α, β], se, e somente se, para cada i = 0, 1, . . . , n, a seq¨ uência (aki )k∈N dos coeficientes de ti nos polinˆ omios pk converge para o coeficiente ai de ti no polinˆ omio p. Com efeito, existe um isomorfismo entre Rn+1 e o espa¸co vetorial dos polinˆ omios reais de grau ≤ n, o qual faz corresponder a cada ponto x = (a0 , . . . , an ) ∈ Rn+1 o polinˆ omio px (t) = a0 + a1 t + · · · + an tn . Vê-se facilmente que ||x|| = sup{|px (t)|; t ∈ [α, β]} define uma norma em Rn+1 . Em rela¸cão a esta norma, xk → a em Rn+1 significa que pxk → pa uniformemente no intervalo [α, β]. Como duas normas quaisquer em Rn+1 s˜ ao equivalentes, pondo xk = (ak0 , ak1 , . . . , akn ) e a = (a0 , a1 , . . . , an ) vem: lim aki = ai k→∞

para todo i ⇔ lim ||xk − a|| = 0 ⇔ lim pk = p uniformemente em [α, β].

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Pontos de acumula¸c˜ ao

Seja X ⊂ Rn . Um ponto a ∈ Rn chama-se ponto de acumula¸ca õ do conjunto X quando toda bola aberta de centro a contém algum ponto de X, diferente do ponto a. Noutros termos, para todo ε > 0, deve existir x ∈ X tal que 0 < |x − a| < ε. Por exemplo, seja X ⊂ Rn a bola aberta de centro na origem e raio r > 0. Todo ponto a ∈ Rn com |a| = r é ponto de acumula¸cão de X. Com efeito, dado ε > 0, podemos, sem perda de generalidade, supor ε < 2r. Então o ponto x = (1 − ε/2r)a pertence à bola X, é diferente de a e tem-se |a − x| = ε/2 < ε. O conjunto dos pontos de acumula¸cão de X será representado pela nota¸cão X ′ . X ′ chama-se o conjunto derivado de X. Como vimos no exemplo acima, um ponto de acumula¸cão do conjunto X pode não pertencer a X. Teorema 9. Dados X ⊂ Rn e a ∈ Rn , as seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes: 1) a é ponto de acumula¸ca õ de X;

˜ [SEC. 7: APLICAC ¸ OES CONTÍNUAS

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2) Existe uma seq¨ uência de pontos xk ∈ X, com lim xk = a e xk 6= a para todo k ∈ N; 3) Toda bola aberta de centro a contém uma infinidade de pontos de X. Demonstra¸ c˜ ao: Supondo 1), para todo k ∈ N, obtemos um ponto xk ∈ X tal que 0 < |xk − a| < 1/k, donde xk 6= a e lim xk = a. Logo 1) ⇒ 2). Por outro lado, supondo 2) então para qualquer k0 ∈ N o conjunto {xk ; k > k0 } é infinito porque do contrário haveria um termo xk que se repetiria infinitas vezes e isto forneceria uma subseq¨ uência (constante) convergindo para o limite xk 6= a. Então 2) ⇒ 3). Finalmente, é óbvio que 3) implica 1). Corol´ ario. Se X ′ 6= ∅ ent˜ ao X é infinito.

Um conjunto infinito pode não possuir ponto de acumula¸cão. Tal é o caso do conjunto Z ⊂ R dos n´ umeros inteiros. Vale entretanto o teorema abaixo, também chamado “Teorema de Bolzano-Weierstrass”. Teorema 10. Se X ⊂ Rn é infinito e limitado ent˜ ao X ′ 6= ∅.

Demonstra¸ c˜ ao: Sendo infinito, X contém um subconjunto enumerável {x1 , x2 , . . . , xk , . . . }. Obtemos assim uma seq¨ uência (xk ), a qual é limitada, logo, pelo Teorema 5 (Bolzano-Weierstrass), admite uma subseq¨ uência que converge para um ponto a ∈ Rn . Como os termos xk s˜ ao 2 a 2 distintos, no m´ aximo um deles é igual a a. Eliminando-o, se necessário, obtemos uma seq¨ uência de pontos de X, todos diferentes de a, com limite a. Pelo Teorema 9, a é ponto de acumula¸cão de X. Se a ∈ X não é ponto de acumula¸cão de X, diz-se que a é um ponto isolado de X. Para que isso aconte¸ca, é necessário e suficiente que exista ε > 0 com B(a; ε) ∩ X = {a}. Quando todo ponto a ∈ X é isolado, dizemos que X é um conjunto discreto.

7

Aplica¸c˜ oes cont´ınuas

Seja f : X → Rn uma aplica¸cão definida no conjunto X ⊂ Rm . Dizse que f é cont´ınua no ponto a ∈ X quando, para qualquer ε > 0 dado, se pode obter δ > 0 tal que todo ponto x ∈ X cuja distˆ ancia ao ponto a seja menor do que δ é transformado por f num ponto f (x) que dista de

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

f (a) menos que ε. Em linguagem simbólica ∀ ε > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. Em termos de bolas, a continuidade de f no ponto a se exprime assim: para toda bola aberta B ′ de centro f (a) em Rn existe uma bola aberta B de centro a em Rm tal que f (B ∩ X) ⊂ B ′ . Se f : X → Rn é cont´ınua em todos os pontos do conjunto X, diz-se simplesmente que f é uma aplica¸cão cont´ınua. A continuidade é um fenˆ omeno local: se cada ponto a ∈ X é centro de uma bola B tal que a restri¸cão f | (B ∩ X) é cont´ınua, então f : X → Rn é cont´ınua. Embora a defini¸cão de continuidade de uma aplica¸cão f : X → Rn (X ⊂ Rm ) fa¸ca uso de uma norma em Rm e outra em Rn (ambas indicadas acima com a mesma nota¸cão), segue-se da defini¸cão de normas equivalentes e do Teorema 8 que a continuidade (ou descontinuidade) de f num ponto persiste se alterarmos uma dessas normas ou ambas. Como se vê facilmente, se f : X → Rn é cont´ınua então, para Y ⊂ X, a restri¸cão f | Y é uma aplica¸cão cont´ınua. Um caso trivial de continuidade é o seguinte: se a é um ponto isolado do conjunto X, então toda aplica¸cão f : X → Rn é necessariamente cont´ınua no ponto a. Com efeito, existe δ > 0 tal que B(a; δ) ∩ X = {a}. Assim, para qualquer ε > 0 dado, tomamos este valor de δ e temos x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ x = a ⇒ |f (x) − f (a)| = 0 < ε. Vejamos agora outros exemplos de aplica¸cões cont´ınuas. Dado X ⊂ Rm , uma aplica¸cão f : X → Rn diz-se Lipschitziana quando existe k > 0 (constante de Lipschitz de f ) tal que, para quaisquer x, y ∈ X, tem-se |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|. Toda aplica¸cão Lipschitziana é cont´ınua: dado ε > 0, basta tomar δ = ε/k. Então |x − a| < δ ⇒ |f (x)−f (a)| ≤ k|x−a| < k·ε/k = ε. Ser ou não Lipschitziana independe das normas. (7.1) Toda transforma¸cão linear A : Rm → Rn é Lipschitziana. Com efeito, seja c = max{|A · e1 |, · · · , |A · em |}. Então, para todo x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm temos |A · x| = |A · (Σ xi ei )| = |Σ xi A · ei | ≤ Σ|xi | · |A · ei | ≤ c · Σ|xi |. Tomando em Rm a norma da soma, temos |A · x| ≤ c|x| para todo x ∈ Rm . Então, para x, y ∈ Rm arbitr´ arios, vale: |A · x − A · y| = |A · (x − y)| ≤ c|x − y|.

˜ [SEC. 7: APLICAC ¸ OES CONTÍNUAS

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Assim, A cumpre a condi¸cão de Lipschitz, com uma constante igual à maior das normas dos vetores-coluna de sua matriz. Em particular, A é cont´ınua. (7.2) Seja agora ϕ : Rm × Rn → Rp uma aplica¸cão bilinear. Salvo no caso trivial em que é identicamente nula, ϕ não é Lipschitziana mas, conforme mostraremos agora, goza dessa propriedade em cada parte limitada de Rm × Rn = Rm+n . Consideremos neste espa¸co a norma da soma e chamemos de c o maior dos n´ umeros |ϕ(ei , ej )|, 1 ≤ P i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Para quaisquer x ∈ Rm , y ∈ Rn , temos x = xi ei , i P P P y = yj ej , |x| |y| = |xi | |yj | e ϕ(x, y) = xi yj ϕ(ei , ej ). Logo i,j

j

|ϕ(x, y)| ≤

X i,j

|xi | |yi | |ϕ(ei , ej )| ≤ c ·

i,j

X i,j

|xi | |yj | = c · |x| |y|.

Então, dados arbitrariamente z = (x, y) e z ′ = (x′ , y ′ ) em Rm × Rn , vale: |ϕ(z) − ϕ(z ′ )| = |ϕ(x, y − y ′ ) + ϕ(x − x′ , y ′ )| ≤

≤ |ϕ(x, y − y ′ )| + |ϕ(x − x′ , y ′ )| ≤ c(|x| |y − y ′ | + |y ′ | |x − x′ |). Se z e z ′ pertencem ambos ` a bola B[0, r] em Rm+n , temos, em particular, ′ |x| ≤ r e |y | ≤ r. Assim: |ϕ(z) − ϕ(z ′ )| ≤ c · r · (|x − x′ | + |y − y ′ |) = c · r · |z − z ′ |. Portanto ϕ cumpre uma condi¸cão de Lipschitz (com constante c · r) em cada bola B[0, r] do espa¸co Rm × Rn = Rm+n . Em particular, toda aplica¸cão bilinear é cont´ınua. Casos especiais de aplica¸cões bilineares s˜ ao: a multiplica¸cão de n´ umeros reais, ϕ : R × R → R, ϕ(x, y) = xy; a multiplica¸cão de um escalar por um vetor, ϕ : R × Rn → Rn , ϕ(α, x) = α · x; o produto interno ϕ : Rn × Rn → R, ϕ(x, y) = Σ xi yi ; a multiplica¸cão de matrizes ϕ : Rmn × Rnp → Rmp , ϕ(X, Y ) = X · Y , e a “avalia¸cão”ϕ : L(Rm ; Rn ) × Rm → Rn , ϕ(A, x) = A(x). Segue-se que todas essas aplica¸cões s˜ ao cont´ınuas. (No caso da u ´ltima, identifica-se L(Rm ; Rn ) com Rmn .) Um caso particular de aplica¸cões Lipschitzianas é o das imers˜ oes isométricas, que s˜ ao aplica¸cões f : X → Rn (X ⊂ Rm ) que preservam as distˆ ancias, isto é, cumprem |f (x) − f (y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ X. Uma imersão isométrica f : X → Rn é sempre injetiva, pois f (x) = f (y) ⇒ |x − y| = |f (x) − f (y)| = 0, donde x = y. Exemplo

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

de imersão isométrica: para m < n seja f : Rm → Rn dada por f (x) = f (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0). Uma imersão isométrica f : X → Rn , com f (X) = Y , chama-se uma isometria de X sobre Y . Sua inversa f −1 : Y → Rm é uma isometria de Y sobre X. Exemplos particularmente simples de isometrias s˜ ao as transla¸cões m m Ta : R → R , definidas com aux´ılio de um vetor fixo a ∈ Rm , pondose Ta (x) = x + a. Evidentemente cada transla¸cão Ta é bijetiva, pois T−a = (Ta )−1 . As transla¸cões não s˜ ao aplica¸cões lineares, salvo T0 = identidade. Uma transforma¸cão linear A : Rm → Rm é uma isometria se, e somente se, é ortogonal, ou seja hAx, Ayi = hx, yi para x, y ∈ Rm arbitr´ arios. Uma transforma¸cão ortogonal A se caracteriza pelo fato de que os transformados (A · e1 , . . . , A · em ) dos vetores da base canônica de Rm formam uma base ortonormal de Rm . Isto equivale a dizer que as colunas da matriz de A s˜ ao duas a duas ortogonais, de comprimento 1, ou seja que o produto A∗ · A, da transposta A∗ por A, é igual à matriz identidade. Uma contra¸ca õ fraca f : X → Rn é uma aplica¸cão Lipschitziana com k = 1, ou seja, com |f (x)−f (y)| ≤ |x−y| para quaisquer x, y ∈ X ⊂ Rm . Exemplos de contra¸cões fracas s˜ ao: n n a) a soma de vetores s : R × R → Rn , definida por s(x, y) = x + y. De fato, tomando em Rn × Rn = R2n a norma da soma, vem |s(x, y) − s(x′ , y ′ )| = |(x + y)−(x′ + y ′ )| = |(x − x′ )+(y − y ′ )| ≤ ≤ |x − x′ | + |y − y ′ | = |(x, y) − (x′ , y ′ )|.

b) As proje¸co ˜es πi : Rm → R, definidas por πi (x) = xi , onde x = (x1 , . . . , xm ). Tem-se |πi (x) − πi (y)| = |xi − yi | ≤ |x − y|, podendo-se tomar em Rm qualquer das 3 normas usuais. c) A norma | | : Rm → R. Com efeito, para quaisquer x, y ∈ Rm , temse | |x| − |y| | ≤ |x − y|. Da´ı resulta que a distˆ ancia d : Rm × Rm → R, definida por d(x, y) = |x − y|, também é uma contra¸cão fraca (desde que tomemos em Rm × Rm a norma da soma). Com efeito, |d(x, y) − d(x′ , y ′ )| = | |x − y| − |x′ − y ′ | | ≤ |(x − y) − (x′ − y ′ )| = = |x − x′ + y ′ − y| ≤ |x − x′ | + |y − y ′ | = |(x, y) − (x′ , y ′ )|. Em particular, as aplica¸cões consideradas nos exemplos a), b) e c) s˜ ao cont´ınuas.

˜ [SEC. 7: APLICAC ¸ OES CONTÍNUAS

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Se trocarmos a norma de Rm ou de Rn , uma contra¸cão fraca continua sendo Lipschitziana (e portanto cont´ınua) mas a constante muda e ela pode deixar de ser uma contra¸cão fraca. Teorema 11. A composta de duas aplica¸co ˜es cont´ınuas é cont´ınua. m n Mais precisamente, dados X ⊂ R , Y ⊂ R , f : X → Rn cont´ınua no ponto a ∈ X, com f (X) ⊂ Y , g : Y → Rp cont´ınua no ponto b = f (a), ent˜ ao g ◦ f : X → Rp é cont´ınua no ponto a.

Demonstra¸ c˜ ao: Dado arbitrariamente ε > 0 existe, em virtude da continuidade de g, um n´ umero η > 0 tal que y ∈ Y , |y − f (a)| < η ⇒ |g(y) − gf (a))| < ε. Por sua vez, a partir de η, a continuidade de f nos fornece δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < η. Segue-se que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |g(f (x)) − g(f (a))| < ε, logo g ◦ f é cont´ınua no ponto a. Seja X ⊂ Rm . Dar uma aplica¸cão f : X → Rn é o mesmo que dar n fun¸cões reais f1 , . . . , fn : X → R, definidas por fi = πi ◦ f , as quais s˜ ao chamadas as coordenadas da aplica¸cão f . Para todo x ∈ X, temos f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)). Para indicar que as fi s˜ ao as fun¸cões coordenadas de f , escreve-se f = (f1 , . . . , fn ).

Teorema 12. Uma aplica¸ca õ f : X → Rn , definida no conjunto X ⊂ m R , é cont´ınua num ponto a ∈ X se, e somente se, cada uma das suas fun¸co ˜es coordenadas fi = πi ◦ f : X → R é cont´ınua no ponto a.

Demonstra¸ c˜ ao: A continuidade de f implica a continuidade das fi pelo teorema anterior. Reciprocamente, se cada fi : X → Rn é cont´ınua no ponto a ∈ X, dado ε > 0 existem n´ umeros δ1 > 0, . . . , δn > 0 tais que |x − a| < δi , x ∈ X ⇒ |fi (x) − fi (a)| < ε. Tomemos em Rn a norma do m´ aximo. Seja δ o menor dos δi . Então |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ |f (x) − f (a)| = max{|fi (x) − fi (a)|; 1 ≤ i ≤ n} < ε. Logo f é cont´ınua no ponto a. Corol´ ario. Dadas f : X → Rm e g : X → Rn , seja (f, g) : X → Rm × Rn = Rm+n definida por (f, g)(x) = (f (x), g(x)). Ent˜ ao (f, g) é cont´ınua se, e somente se, f e g s˜ ao ambas cont´ınuas. Com efeito, se f1 , . . . , fm s˜ ao as fun¸cões coordenadas de f e g1 ,. . . ,gn as de g, então as fun¸cões coordenadas de (f, g) s˜ ao f1 , . . . , fm , g1 , . . . , gn . Os Teoremas 11 e 12 s˜ ao instrumentos de grande utilidade para estabelecer a continuidade de certas aplica¸cões. Vejamos alguns exemplos para mostrar como se faz isso:

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

(7.3) Sejam X ⊂ Rm e f, g : X → Rn , α : X → R aplica¸cões cont´ınuas. Então s˜ ao também cont´ınuas as aplica¸cões: f + g : X → Rn , α · f : X → Rn , hf, gi : X → R, 1/α : X → R,

(f + g)(x) = f (x) + g(x); (α · f )(x) = α(x) · f (x); hf, gi(x) = hf (x), g(x)i; (1/α)(x) = 1/α(x) [definida se 0 ∈ / α(X)].

Com efeito, sejam s : Rn ×Rn → Rn ϕ : R×Rn → Rn , ξ : Rn ×Rn → R e ρ : R − {0} → R dadas por s(x, y) = x + y, ϕ(t, x) = t · x, ξ(x, y) = hx, yi e ρ(t) = 1/t. Então, usando a nota¸cão (f, g) : X → Rn × Rn para indicar que (f, g)(x) = (f (x), g(x)), temos: f + g = s ◦ (f, g), α · f = ϕ ◦ (α, f ), hf, gi = ξ ◦ (f, g) e 1/α = ρ ◦ α. Sabemos que s, ϕ, ξ e ρ (esta u ´ltima, da An´ alise de uma variável) s˜ ao cont´ınuas. Usando os Teoremas 11 e 12, as afirma¸cões ficam demonstradas. 2 3 Mais um exemplo: seja f : R2 → R dada por f (x, y) = (sen x)·ex +y . Mostrar que f é cont´ınua. Ora, f é o produto das fun¸cões g : R2 → R e 2 3 h : R2 → R, onde g(x, y) = sen x e h(x, y) = ex +y . Por um lado temos g = sen ◦π1 , onde a proje¸cão π1 : R2 → R e a fun¸cão sen : R → R s˜ ao t cont´ınuas. Por outro lado, h = exp ◦ϕ, com exp(t) = e e ϕ(x, y) = x2 + y 3 . Resta apenas mostrar que ϕ : R2 → R é cont´ınua. Mas ϕ é a soma das duas fun¸cões (x, y) 7→ x2 e (x, y) 7→ y 3 . As primeiras destas é a composta ξ ◦ π1 , onde ξ(x) = x2 e a segunda é a composta ζ ◦ π1 , onde ξ(x) = x2 e a segunda é a composta ζ ◦ π2 , onde ζ(y) = y 3 . Logo ϕ é cont´ınua, donde f também o é. Na prática, verifica¸cões rotineiras como a que fizemos acima s˜ ao substitu´ıdas pela simples observa¸cão de que, para obter f (x, y) as coordenadas x e y submeteram-se a opera¸cões definidas por fun¸cões cont´ınuas. Dentro deste ponto de vista, a verifica¸cão de que uma aplica¸cão linear A : Rm → Rn é cont´ınua se faz assim: cada fun¸cão coordenada Ai : Rm → R (i = 1, . . . , n) de A é um funcional linear. Ora, dado um funcional linear f : Rm → R, tem-se f (x) = a1 x1 + · · · + am xm , onde ai = f (ei ). Logo f é uma combina¸cão linear, com coeficientes constantes, das proje¸cões x 7→ xi e portanto é cont´ınua. Segue-se então que A é cont´ınua. Teorema 13. Uma aplica¸ca õ f : X → Rn , definida no subconjunto m X ⊂ R , é cont´ınua no ponto a ∈ X se, e somente se, para toda seq¨ uência de pontos xk ∈ X com lim xk = a, tem-se lim f (xk ) = f (a). k→∞

˜ [SEC. 7: APLICAC ¸ OES CONTÍNUAS

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Demonstra¸ c˜ ao: Sejam f cont´ınua no ponto a e lim xk = a. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. Como lim xk = a, existe k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ |xk − a| < δ. Seguese que k > k0 ⇒ |f (xk ) − f (a)| < ε. Logo lim f (xk ) = f (a). Para demonstrar a rec´ıproca, suponhamos que f não seja cont´ınua no ponto a. Então existe um ε > 0 tal que, para cada k ∈ N podemos obter xk ∈ X com |xk − a| < 1/k e |f (xk ) − f (a)| ≥ ε. Então lim xk = a sem que seja lim f (xk ) = f (a). Em vista do Teorema 13, o corolário do Teorema 4 é apenas outra maneira de dizer que a soma, a multiplica¸cão por um escalar e o produto interno em Rn s˜ ao opera¸cões cont´ınuas. Uma aplica¸cão f : Rm → Rn diz-se cont´ınua em rela¸ca õ a ` vari´ avel xi (1 ≤ i ≤ m) quando, para cada (a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , am ) fixado, a “aplica¸cão parcial” t 7→ f (a1 , . . . , ai−1 , t, ai+1 , . . . , am ) é cont´ınua. Toda aplica¸cão cont´ınua f : Rm → Rn é separadamente cont´ınua em rela¸cão a cada uma das suas variáveis, pois suas aplica¸cões parciais s˜ ao compostas de f com uma aplica¸cão cont´ınua do tipo t 7→ (a1 , . . . , ai−1 , t, ai+1 , . . . , am ). Mas a rec´ıproca é falsa: a fun¸cão f : R2 → R, definida por f (x, y) = xy/(x2 + y 2 ) se x2 + y 2 6= 0 e f (0, 0) = 0, é cont´ınua separadamente em rela¸cão a x e a y, pois f (a, y) = ay/(a2 +y 2 ) se a 6= 0 e f (0, y) = 0, enquanto f (x, b) = bx/(x2 + b2 ) se b 6= 0 e f (x, 0) = 0. Mas f é descont´ınua na origem (0, 0). Com efeito, se definirmos g : R → R2 por g(t) = (at, at), então (f ◦ g)(t) = 1/2 para todo t 6= 0 e (f ◦ g)(0) = 0. Como g é evidentemente cont´ınua, segue-se que f é descont´ınua na origem. Uma no¸cão de grande utilidade te´ orica é a de continuidade uniforme. Uma aplica¸cão f : X → Rn , definida em X ⊂ Rm , diz-se uniformemente cont´ınua quando, para todo ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. Por exemplo, toda aplica¸cão Lipschitziana f : X → Rn é uniformemente cont´ınua: se |f (x)−f (y)| ≤ k|x−y| para x, y ∈ X arbitr´ arios dado ε > 0, tomamos δ = ε/k. Então |x−y| ≤ δ ⇒ |f (x)−f (y)| ≤ k(ε/k) = ε. Assim, em particular, toda aplica¸cão linear A : Rm → Rn é uniformemente cont´ınua, o mesmo ocorrendo com a restri¸cão de uma aplica¸cão bilinear ϕ : Rm × Rn → Rp a um subconjunto limitado X ⊂ Rm × Rn . √ A fun¸cão f : [0, +∞) → R, definida por f (x) = x, é o exemplo clássico de fun¸cão uniformemente cont´ınua que não é Lipschitziana. (Vide Vol. 1, pág. 244.)

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

A composta g ◦ f de duas aplica¸cões uniformemente cont´ınuas g e f é ainda uniformemente cont´ınua. Uma aplica¸cão f : X → Rn é uniformemente cont´ınua se, e somente se, suas fun¸cões coordenadas f1 , . . . , fn : X → R o s˜ ao. (7.4). Uma aplica¸ca õ f : X → Rn é uniformente cont´ınua se, e somente se, para todo par de seq¨ uências (xk ), (yk ) em X, com lim(xk − yk ) = 0, tem-se lim[f (xk ) − f (yk )] = 0. Com efeito, seja f uniformemente cont´ınua e sejam (xk ), (yk ) seq¨ uências em X, com lim(xk − yk ) = 0. Dado arbitrariamente ε > 0, existe δ > 0 tal que |x − y| < δ, x, y ∈ X ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. Correspondentemente a δ, existe ko ∈ N tal que k > ko ⇒ |xk − yk | < δ, logo k > k0 ⇒ |f (xk ) − f (yk )| < ε. Assim lim[f (xk ) − f (yk )] = 0, o que prova que a condi¸cão é necessária. Reciprocamente, se f não for uniformemente cont´ınua, existe ε > 0 ao qual não corresponde um δ > 0 que cumpra a exigência da defini¸cão. Neste caso, tomando sucessivamente δ = 1, 21 , . . . , k1 , . . . obtemos, para cada k ∈ N, um par de pontos xk , yk ∈ X com |xk − yk | < 1/k e |f (xk ) − f (yk )| ≥ ε. Então lim(xk − yk ) = 0 mas não se tem lim[f (xk ) − f (yk )] = 0. Isto mostra a suficiência da condi¸cão. 2 Por exemplo, a fun¸cão f : R → R, dada p por f (x) = cos(x √ ), não é uniformente cont´ınua. Basta tomar xk = (k + 1)π e yk = kπ. Então p p √ √ ( (k + 1)π − kπ)( (k + 1)π + kπ) p √ xk − yk = = (k + 1)π + kπ π √ · =p (k + 1)π + kπ

Logo, lim(xk − yk ) = 0. Mas cos(x2k ) = cos(k + 1)π = ±1 e cos(yk2 ) = cos(kπ) = ∓1, portanto |f (xk ) − f (yk )| = 2 para todo k. Assim não se tem lim[f (xk ) − f (yk )] = 0.

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Homeomorfismos

Dados os conjuntos X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn , um homeomorfismo entre X e Y é uma bije¸cão cont´ınua f : X → Y , cuja inversa f −1 : Y → X também é cont´ınua. Diz-se então que X e Y s˜ ao conjuntos homeomorfos. Uma bije¸cão f : X → Y pode muito bem ser cont´ınua sem que sua inversa o seja. Um exemplo disso é a aplica¸cão f : [0, 2π) → S 1 , do

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[SEC. 8: HOMEOMORFISMOS

intervalo semi-aberto [0, 2π) sobre o c´ırculo unit´ ario S 1 = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1}, definida por f (t) = (cos t, sen t). Pelo Teorema 12, f é cont´ınua. Além disso, f é evidentemente bijetiva. Mas sua inversa f −1 : S 1 → [0, 2π) é descont´ınua no ponto p = (1, 0). Com efeito, para cada k ∈ N sejam tk = 2π − (1/k) e zk = f (tk ). Então lim zk = p mas k→∞

não é verdade que lim f −1 (zk ) = lim tk seja igual a f −1 (p) = 0. k→∞

k→∞

Um exemplo simples de homeomorfismo de Rn sobre si mesmo é dado por uma aplica¸cão linear invert´ıvel A : Rn → Rn . Com efeito, sua inversa A−1 : Rn → Rn é linear e portanto cont´ınua. A aplica¸cão composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo. Também o inverso de um homeomorfismo é um homeomorfismo. Os homeomorfismos desempenham na Topologia um papel an´ alogo ao das congruências ou movimentos r´ıgidos na Geometria Euclidiana: dois conjuntos homeomorfos s˜ ao indistingu´ıveis do ponto de vista topológico. Em seguida daremos alguns exemplos de homeomorfismos e de conjuntos homeomorfos. A) As transla¸co ˜es Ta : Rm → Rm , Ta (x) = x + a. Com efeito, cada Ta é uma isometria, logo uma aplica¸cão cont´ınua. Como (T1 )−1 = T−a , vemos que sua inversa também é continua. B) As homotetias Hλ : Rm → Rm , Hλ (x) = λ · x, com 0 6= λ ∈ R. Cada homotetia Hλ é uma transforma¸cão linear invert´ıvel, com (Hλ )−1 = Hλ−1 . C) Duas bolas abertas quaisquer em Rm s˜ ao homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas bolas fechadas arbitr´ arias em Rm ou duas esferas no mesmo espa¸co euclidiano. Com efeito, dadas B(a; r) e B(b; s), duas bolas abertas em Rm , consideremos o homeomorfismo ϕ : Rm → Rm , dado por s ϕ = Tb ◦ Hs/r ◦ T−a . Para cada x ∈ Rm temos ϕ(x) = b + (x − a). r Isto mostra que ϕ consiste em primeiro transladar B(a; r) de modo a pôr seu centro na origem, em seguida multiplicar todos os vetores (com origem 0) por s/r de modo que os vetores de comprimento < r passem a ter comprimento < s e, finalmente, transladar B(0; s) de maneira a pôr seu centro no ponto b. Logo o homeomorfismo ϕ transforma B(a; r) em B(b; s) e, por restri¸cão, define um homeomorfismo entre estas bolas. Note que ϕ | B[a; r] também é um homeomorfismo sobre a bola fechada B[b; s]. Analogamente, ϕ transforma homeomorficamente a esfera S[a; r] na esfera S[b; s].

30

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

D) Toda bola aberta em Rm é homeomorfa ao espa¸co euclidiano Rm . Como duas bolas abertas em Rm s˜ ao sempre homeomorfas, basta estabelecer um homeomorfismo entre Rm e a bola unit´ aria B = B(0; 1), de centro na origem e raio 1. Sejam f : Rm → B e g : B → Rm definidas por f (x) = x/(1 + |x|) e g(y) = y/(1 − |y|). Evidentemente, f e g s˜ ao cont´ınuas. Verifica-se facilmente que g(f (x)) = x e f (g(y)) = y para quaisquer x ∈ Rm e y ∈ B. Logo f e g s˜ ao homeomorfismos, um sendo o inverso do outro. E) Seja f : X → Rn uma aplica¸cão cont´ınua, definida no conjunto X ⊂ Rm . Seu gr´ afico é o conjunto G ⊂ Rm × Rn = Rm+n , formado pelos pontos (x, f (x)), onde x ∈ X. Afirmamos que o dom´ınio X e o gr´ afico ˜ G da aplica¸cão cont´ınua f s˜ ao homeomorfos. Basta considerar f : X → G, definida por f˜(x) = (x, f (x)). Pelo Corolário do Teorema 12, f˜ é cont´ınua. Sua inversa g : G → X, dada por g(x, f (x)) = x, é cont´ınua pois é a restri¸cão a G da proje¸cão π1 : Rm × Rn → Rm . Como caso particular deste exemplo temos: R − {0} é homeomorfo à hipérbole H = {(x, y) ∈ R2 ; xy = 1} pois H é o gr´ afico da fun¸cão cont´ınua f : R − {0} → R, dada por f (x) = 1/x. Outro caso particular: seja S m = {y ∈ Rm+1 ; hy, yi = 1} a esfera unit´ aria m-dimensional. Seu hemisfério m m norte é o conjunto S+ = {y ∈ S ; ym+1 > 0}. Ele é homeomorfo à m ´ bola aberta unit´ aria B = {x ∈ Rm ; |x| < 1} do espa¸co Rm , pois S+ eo 2 1/2 gr´ afico da fun¸cão cont´ınua f : B → R, onde f (x) = (1 − |x| ) . Com m ⇔ y = (x, t), com x ∈ B e t2 = 1 − |x|2 , t > 0, efeito, tem-se y ∈ S+ 2 ou seja, t = (1 − |x| )1/2 . F) A proje¸ca õ estereogr´ afica. Sejam S m = {x ∈ Rm+1 ; hx, xi = 1} a esfera unit´ aria m-dimensional e p = (0, . . . , 0, 1) ∈ S m seu pólo norte. A proje¸cão estereogr´ afica ϕ : S m − {p} → Rm é um homeomorfismo entre a esfera menos o pólo norte e o espa¸co euclidiano Rm . Geometricamente, ϕ(x) é o ponto em que a semi-reta px ⊂ Rm+1 corta o hiperplano xm+1 = 0, o qual identificamos com Rm . A fim de obter uma fórmula para ϕ, notemos que os pontos da semi-reta px s˜ ao da forma p + t(x − p), com t > 0. Este ponto está no hiperplano xm+1 = 0 quando sua u ´ltima coordenada, 1 + t(xm+1 − 1) é zero. Da´ı tiramos t = 1/(1 − xm+1 ) e por conseguinte ϕ(x) = x′ /(1 − xm+1 ), onde convencionamos escrever x′ = (x1 , . . . , xm ) quando x = (x1 , . . . , xm , xm+1 ). Vemos então que ϕ : S m − {p} → Rm é cont´ınua. Se definirmos ξ : Rm → S m − {p} pondo ξ(y) = x onde, na nota¸cão acima, x′ = 2y/(|y|2 + 1) e xm+1 = (|y|2 − 1)/(|y|2 + 1), constataremos que ξ é cont´ınua, que ϕ(ξ(y)) = y para todo y ∈ Rm e

31

[SEC. 9: LIMITES

ξ(ϕ(x)) = x para todo x ∈ S m − {p}. Logo ϕ é um homeomorfismo e ξ o seu homeomorfismo inverso. A proje¸cão estereogr´ afica possui várias propriedades geométricas interessantes, especialmente no caso m = 2. Este foi o caso descoberto por Gauss, para mostrar que a esfera unit´ aria 2 2 S pode ser interpretada como o plano R ao qual se acrescentou um “ponto no infinito”. G) Dado arbitrariamente a ∈ R, seja p = (cos a, sen a). A aplica¸cão ξ : (a, a + 2π) → S 1 − {p}, definida por ξ(t) = (cos t, sen t), é um homeomorfismo. Com efeito, ξ é cont´ınua, bijetiva e, se uma seq¨ uência de pontos tn ∈ (a, a + 2π) não possui valores de aderência nesse intervalo então seus valores de aderência em R s´ o podem ser a e/ou a + 2π. Nestas condi¸cões, tem-se lim ξ(tn ) = p. Segue-se da´ı que, dada uma seq¨ uência de pontos sn ∈ (a, a + 2π) com lim ξ(sn ) = q ∈ S 1 − {p}, qualquer valor de aderência de (sn ) é um n´ umero b ∈ (a, a + 2π) o qual cumpre (pela continuidade de ξ) a condi¸cão ξ(b) = q. Como ξ é injetiva, b é o u ńico valor de aderência de (sn ), logo lim sn = b. Em suma, lim ξ(sn ) = q ∈ S 1 − {p} ⇒ lim sn = b = ξ −1 (q). Isto diz que ξ −1 : S 1 − {p} → (a, a + 2π) é cont´ınua, ou seja, que ξ é um homeomorfismo.

9

Limites

Sejam f : X → Rn uma aplica¸cão definida num conjunto X ⊂ Rm e a ∈ Rm um ponto de acumula¸cão de X. Diz-se que o ponto b ∈ Rn é o limite de f (x) quando x tende para a, e escreve-se b = lim f (x), x→a

para significar o seguinte: Dado qualquer ε > 0, pode-se obter δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε. Para que tenha sentido a afirma¸cão lim f (x) = b, não é necessáx→a rio que a perten¸ca a X, ou seja, que f seja definida no ponto a. Pelo contrário, mesmo que a perten¸ca ao dom´ınio de f , o valor f (a) não desempenha papel algum na defini¸cão de limite: importam apenas os valores f (x) para x próximo, porém diferente, de a. Quando existe, o limite é u ńico: se a ∈ X ′ e se tem, ao mesmo tempo, lim f (x) = b, lim f (x) = c, então b = c. Com efeito, dado x→a

x→a

32

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

arbitrariamente ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε/2, |f (x) − c| < ε/2. Como a ∈ X ′ , podemos achar x ∈ X tal que 0 < |x − a| < δ. Usando este x, temos: |b − c| < |b − f (x)| + |f (x) − c| < ε. Sendo ε arbitr´ ario, resulta b = c. A continuidade se exprime em termos de limite: se o ponto a ∈ X é isolado então toda aplica¸cão f : X → Rn é cont´ınua no ponto a. Se, porém, a ∈ X ′ então f é cont´ınua no ponto a se, e somente se, lim f (x) = f (a). x→a

(9.1) Para que seja lim f (x) = b, é necess´ ario e suficiente que x→a

lim f (xk ) = b, seja qual for a seq¨ uência de pontos xk ∈ X − {a} com x→a lim xk = a. A afirma¸cão acima se demonstra da maneira an´ aloga ao Teorema 13. Nas aplica¸cões, a seguinte conseq¨ uência de (9.1) é freq¨ uentemente u ´til: (Compare com o Vol. 1, pág. 200, Corolário 2.) Para que exista lim f (x) é suficiente que exista lim f (xk ) seja qual x→a

for a seq¨ uência de pontos xk ∈ X − {a} com lim xk = a. Quando X ⊂ R e a é ponto de acumula¸cão à esquerda, é bastante tomar a seq¨ uência (xk ) crescente. (Ou decrescente, se a é ponto de acumula¸cão ` a direita.) Vale para limites o an´ alogo do Teorema 12: (9.2) Seja a um ponto de acumula¸ca õ do conjunto X ⊂ Rm . Dada a n aplica¸ca õ f : X → R , cujas fun¸co ˜es coordenadas s˜ ao f1 , . . . , fn : X → R, tem-se lim f (x) = b = (b1 , . . . , bn ) se, e somente se, lim fi (x) = bi x→a x→a para cada i = 1, 2, . . . , n. A demonstra¸cão é praticamente a mesma do Teorema 12. A no¸cão de limite se relaciona com as opera¸cões do espa¸co vetorial m R do seguinte modo: (9.3) Sejam X ⊂ Rm , a ∈ X ′ , b, c ∈ Rn , f, g : X → Rn e α : X → R tais que lim f (x) = b, lim g(x) = c, lim α(x) = α0 . x→a x→a x→a Então: 1) lim (f (x) + g(x)) = b + c; x→a

2) 3)

lim α(x) · f (x) = α0 · b;

x→a

lim hf (x), g(x)i = hb, ci;

x→a

4) Além disso, seja ϕ : Rm × Rn → Rp bilinear. Dadas agora f : X → Rm , g : X → Rn , com lim f (x) = 0 e g limitada então x→a

lim ϕ(f (x), g(x)) = 0.

x→a

33

[SEC. 9: LIMITES

Como casos particulares, temos lim hf (x), g(x)i = 0 e lim α(x) · x→a

x→a

f (x) = 0 se um dos fatores é limitado e o outro tende para zero. As três primeiras afirma¸cões decorrem imediatamente da caracterização do limite por meio de seq¨ uências, juntamente com o corolário do Teorema 4. A afirma¸cão 4) resulta de ser |ϕ(f (x), g(x))| ≤ M |f (x)| |g(x)| para uma constante M > 0 que depende apenas da aplica¸cão bilinear ϕ. Como exemplo, consideremos f : R2 −{0} → R, definida por f (x, y) = x2 y/(x2 + y 2 ). Mostremos que lim f (x, y) = 0. Como f (x, y) é (x,y)→(0,0)

o produto de x por xy/(x2 + y 2 ) e, evidentemente,

lim

(x,y)→(0,0)

x = 0,

2 2 resta mostrar que xy/(x p + y ) é limitada. p Mas, para (x, y) 6= (0, 0), 2 2 2 2 2 2 xy/(x + y ) = x/ x + y y/ x + y = cos θ · sen θ, onde θ é o ˆ angulo que o vetor z = (x, y) forma com o eixo das abcissas. Logo xy/(x2 + y 2 ) tem valor absoluto ≤ 1. A rela¸cão entre o limite e a composi¸cão de aplica¸cões é a seguinte: sejam f : X → Rn , g : Y → Rp , a ∈ X ′ , b ∈ Y ′ e f (X) ⊂ Y .

1) Se lim f (x) = b e g é cont´ınua no ponto b então lim g(f (x)) = g(b). x→a

x→a

2) Se lim f (x) = b, x→a

lim g(y) = c e x 6= a ⇒ f (x) 6= b então

y→b

lim g(f (x)) = c.

x→a

A afirma¸cão 1) fornece mais uma demonstra¸cão para as propriedades operatórias dos limites vistas há pouco. Outra conseq¨ uência é a seguinte: lim f (x) = b então lim |f (x)| = |b|.

x→a

x→a

Usando a afirma¸cão 2), conclu´ımos que se existe lim f (x) = b então, x→a

para qualquer vetor u 6= 0 tem-se lim f (a + tu) = b. Segue-se da´ı t→0 xy que não existe lim pois, se pusermos u = (α, β), vem (x,y)→(0,0) x2 + y 2 αβ e este limite varia com α e β. lim f (tα, tβ) = 2 t→0 α + β2 Além das regras operacionais com limites, a manipula¸cão formal do s´ımbolo “lim”é muito facilitada pelo princ´ıpio de permanência das desigualdades, que mostraremos agora. Trata-se do seguinte: (9.4) Sejam f, g : X → R definidas em X ⊂ Rm e seja a ∈ X ′ . Suponhamos que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a}. Se existirem lim f (x) = b e lim g(x) = c, dever´ a ser b ≤ c.

x→a

x→a

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Com efeito, do contrário ter´ıamos c < b e portanto ε = (b − c)/2 seria positivo. Correspondendo a este ε, poder´ıamos obter δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) ∈ (b − ε, b + ε) e g(x) ∈ (c − ε, c + ε). Como b − ε = c + ε, isto obrigaria g(x) < f (x) para todo esses valores de x, uma contradi¸cão. Os fatos mais importantes que desejamos discutir sobre limites serão estabelecidos agora. Teorema 14. Seja f : X → Rn uniformemente cont´ınua no conjunto X ⊂ Rm . Ent˜ ao, para todo a ∈ X ′ , existe lim f (x). x→a

Demonstra¸ c˜ ao: Sendo f uniformemente cont´ınua, toda seq¨ uência de Cauchy de pontos xk ∈ X é transformada por f numa seq¨ uência de Cauchy de pontos f (xk ) ∈ Rn . Em particular, para toda seq¨ uência de pontos xk ∈ X − {a} com lim xk = a, existe lim f (xk ) = b. Este valor k→∞

k→∞

b não depende da seq¨ uência escolhida, pois se tivéssemos outra escolha de pontos yk ∈ X − {a} tal que lim f (yk ) = c, com c 6= b, então a k→∞

seq¨ uência de pontos zk ∈ X − {a} tal que z2k = xk e z2k−1 = yk ainda cumpriria lim zk = a, mas agora lim f (zk ) não existiria em virtude de k→∞

(f (zk )) possuir duas subseq¨ uências convergindo para limites distintos b e c. Segue-se da caracteriza¸cão do limite por meio de seq¨ uências que se tem lim f (x) = b. x→a

Assim, por exemplo, a fun¸cão cont´ınua f : R2 − {0} → R, definida por f (x, y) = xy/(x2 + y 2 ), não é uniformemente cont´ınua em qualquer conjunto X ⊂ R2 do qual a origem seja um ponto de acumula¸cão, pois não existe lim f (x, y). (x,y)→(0,0)

Corol´ ario. Dada f : X → Rn uniformemente cont´ınua, seja X = X ∪ X ′ . Existe uma u ńica aplica¸ca õ uniformemente cont´ınua f¯: X → Rn ¯ tal que f | X = f . Para todo ponto x ¯ ∈ X ′ − X, ponhamos f¯(¯ x) = lim f (x). (Este x→¯ x

limite existe, pelo teorema que acabamos de demonstrar.) Se x ∈ X, pomos f¯(x) = f (x). Fica assim definida uma aplica¸cão f¯: X → Rn que estende f . Afirmamos que f¯ é uniformemente cont´ınua. Com efeito, dado ε > 0 existe, pela continuidade uniforme de f , um n´ umero δ > 0 tal que x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/2. Este é o δ que corresponde a ε para provar a continuidade uniforme de f¯. De fato, sejam x ¯, y¯ ∈ X tais que |¯ x − y¯| < δ. Temos x ¯ = lim xk e y¯ = lim yk

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[SEC. 10: CONJUNTOS ABERTOS

com xk , yk ∈ X para todo k ∈ N. (Se já for x ¯ ∈ X, basta tomar xk = x ′ para todo k. Se, porém, x ¯ ∈ X − X, teremos xk 6= x ¯ para todo k. O mesmo quanto a y¯.) Como |¯ x − y¯| < δ, segue-se que |xk − yk | < δ para todo k suficientemente grande, digamos k > k0 . Então k > k0 ⇒ |f (xk ) − f (yk )| < ε/2. Da´ı |f¯(¯ x) − f¯(¯ y )| = | lim f (xk ) − lim f (yk )| = lim |f (xk ) − f (yk )| ≤ ε/2 < ε.

10

Conjuntos abertos

Seja X um subconjunto do espa¸co euclidiano Rn . Um ponto a ∈ X chama-se um ponto interior a X quando é centro de alguma bola aberta contida em X, ou seja, quando existe δ > 0 tal que |x − a| < δ ⇒ x ∈ X. O interior de X é o conjunto int X, formado pelos pontos interiores a X. Quando x ∈ int V , dizemos que o conjunto V é uma vizinhan¸ca do ponto x. Dizer que um ponto a ∈ X não é interior a X equivale a afirmar que toda bola aberta de centro a contém pontos do complementar de X, ou seja, que, para todo δ > 0 existe y ∈ Rn − X com |y − a| < δ. Um conjunto X ⊂ Rn chama-se aberto quando todos os seus pontos s˜ ao interiores, isto é, quando para cada x ∈ X existe δ > 0 tal que B(x; δ) ⊂ X. Assim, X é aberto ⇔ int X = X. (10.1) Uma bola aberta B(a; r) ⊂ Rn é um exemplo de conjunto aberto. Com efeito, dado qualquer x ∈ B(a; r), temos |x − a| < r, logo o n´ umero δ = r − |x − a| é positivo. Afirmamos que B(x; δ) ⊂ B(a; r). De fato y ∈ B(x; δ) ⇒ |y−a| ≤ |y−x|+|x−a| < δ+|x−a| = r ⇒ y ∈ B(a; r). δ

r x

a

Também é aberto em Rn o conjunto X = Rn −B[a; r], complementar da bola fechada B[a; r]. Temos X = {x ∈ Rn ; |x − a| > r}. Dado arbitrariamente x ∈ X, seja δ = |x−a|−r. Afirmamos que B(x; δ) ⊂ X.

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Com efeito, y ∈ B(x; δ) ⇒ |x − a| ≤ |x − y| + |y − a| < δ + |y − a| = |x − a| − r + |y − a| ⇒ |y − a| > r ⇒ y ∈ X. (10.2) Para todo conjunto X ⊂ Rn , int X é um conjunto aberto. De fato, se a ∈ int X então existe r > 0 tal que B(a; r) ⊂ X. Se x ∈ B(a; r) então pondo δ = r − |x − a|, vemos que B(x; δ) ⊂ B(a; r), donde B(x; δ) ⊂ X e portanto x ∈ int X. Assim, todo ponto a ∈ int X é centro de bola B(a; r) contida em int X, o que prova que int X é aberto. Por outro lado, uma bola fechada B[a; r] em Rn não é um conjunto aberto pois, se tomarmos arbitrariamente um vetor unit´ ario u ∈ Rn , o ponto x = a + r · u é tal que |x − a| = r, logo x ∈ B[a; r]. Mas nenhuma bola aberta B(x; δ) está contida em B[x; r]. Com efeito, tomando y = a + (r + δ/2)u, temos |y − x| = δ/2 < δ mas |y − a| = r + δ/2 > r. Assim, y ∈ B(x, δ) mas y ∈ / B[a; r]. Este argumento mostra, de fato, que os pontos da esfera S[a; r] não s˜ ao interiores à bola fechada de centro a e raio r. Portanto, int B[a; r] = B(a; r). Dados um conjunto X e um ponto a ∈ Rn , há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou a ∈ int X, ou a ∈ int(Rn − X) ou então toda bola aberta de centro a contém pontos de X e pontos do complementar de X. Os pontos com esta u ´ltima propriedade constituem ∂X, que chamaremos a fronteira de X. Os pontos y ∈ ∂X s˜ ao chamados pontos-fronteira de X. Assim, por exemplo, se X é a bola fechada B[a; r], temos ∂X = S[a; r] = esfera de centro a e raio r. Observe que se chamarmos de Y a bola aberta B(a; r) teremos ∂X = ∂Y . Um conjunto A ⊂ Rn é aberto se, e somente se, nenhum dos seus pontos é ponto fronteira de A, ou seja, se, e somente se, A ∩ ∂A = ∅. Teorema 15. Os conjuntos abertos do espa¸co euclidiano Rn gozam das seguintes propriedades: 1) O conjunto vazio ∅ e o espa¸co Rn inteiro s˜ ao abertos; 2) A interse¸ca õ A = A1 ∩ · · · ∩ Ak de um n´ umero finito de conjuntos abertos A1 , . . . , Ak é um conjunto aberto; S Aλ de uma fam´ılia qualquer (Aλ )λ∈L de con3) A reuni˜ ao A = λ∈L

juntos abertos Aλ é um conjunto aberto.

Demonstra¸ c˜ ao: Um conjunto s´ o pode deixar de ser aberto se contiver algum ponto que não seja interior. Como ∅ não contém ponto algum,

[SEC. 10: CONJUNTOS ABERTOS

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é aberto. Rn é obviamente aberto. Para provar 2), seja a ∈ A. Então, para cada i = 1, . . . , k, temos a ∈ Ai . Como Ai é aberto, existe δi > 0 tal que B(a; δi ) ⊂ Ai . Seja δ = min{δ1 , . . . , δk }. Então B(a; δ) ⊂ Ai para cada i, donde B(a; δ) ⊂ A. Finalmente, provemos 3). Dado a ∈ A, existe λ ∈ L tal que a ∈ Aλ . Sendo Aλ aberto, existe δ > 0 com B(a; δ) ⊂ Aλ ⊂ A. Logo A é aberto. Fixemos um conjunto X ⊂ Rn . Um subconjunto A ⊂ X diz-se aberto em X quando, para cada a ∈ A existe δ > 0 tal que B(a; δ) ∩ X ⊂ A. Noutras palavras, para cada a ∈ A existe δ > 0 tal que os pontos x, pertencentes a X, que cumprem a condi¸cão |x − a| < δ estão em A. Por exemplo, A = (0, 1] é aberto em X = [0, 1]. Chega-se ` a no¸cão de conjunto aberto em X quando se faz abstra¸cão dos demais pontos do espa¸co Rn , considerando-se apenas os pontos de X, e se procura então imitar a defini¸cão de conjunto aberto. Como se vê facilmente, quando X ⊂ Rn é aberto, um subconjunto A ⊂ X é aberto em X se, e somente se, é aberto no sentido usual de Rn . (10.3) Mais geralmente, um conjunto A ⊂ X é aberto em X se, e somente se, existe um aberto B ⊂ Rn tal que A = X ∩ B. Com efeito, se for A aberto em X, tome B igual à reunião das bolas B(a; δ) com centro nos pontos a ∈ A, tais que B(a; δ) ∩ X ⊂ A. Reciprocamente, se for A = X ∩ B, com B aberto em Rn , para cada a ∈ A existe uma bola B(a; δ) ⊂ B logo B(a; δ) ∩ X ⊂ B ∩ X = A portanto A é aberto em X. Vale para os abertos em X um resultado an´ alogo ao do Teorema 15: ∅ e X s˜ ao abertos em X; uma interse¸cão finita e uma reunião qualquer de abertos em X é ainda um conjunto aberto em X. O interesse desta nova no¸cão reside no teorema abaixo. Teorema 16. Seja f : X → Rn uma aplica¸ca õ definida no conjunto X ⊂ Rn . A fim de que f seja cont´ınua, é necess´ ario e suficiente que a imagem inversa f −1 (A) de todo aberto A ⊂ Rn seja um conjunto aberto em X. Demonstra¸ c˜ ao: (Necess´ ario.) Se f é cont´ınua e A ⊂ Rn é aberto, tomemos um ponto a ∈ f −1 (A). Então f (a) ∈ A. Pela defini¸cão de aberto, existe ε > 0 tal que B(f (a); ε) ⊂ A. Sendo f cont´ınua, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. Isto significa que f (B(a; δ) ∩ X) ⊂ B(f (a); ε) ⊂ A, donde B(a; δ) ∩ X ⊂ f −1 (A). Logo f −1 (A) é aberto em X.

38

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

(Suficiente.) Se a imagem inversa por f de todo aberto de Rn é aberto em X; então, dados a ∈ X e ε > 0, como B(f (a); ε) é aberto, conclu´ımos que A = {x ∈ X; |f (x) − f (a)| < ε} é aberto em X. Evidentemente, a ∈ A. Logo existe δ > 0 tal que B(a; δ) ∩ X ⊂ A. Isto significa porém que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε, ou seja, que f é cont´ınua no ponto a. Como a ∈ X é qualquer, f é cont´ınua. Observa¸ c˜ ao: O mesmo resultado continuaria válido se substitu´ıssemos, no enunciado acima, a expressão “todo aberto A ⊂ Rn ”por “todo conjunto A ⊂ f (X), aberto em f (X) ”. Com efeito, um aberto em f (X) tem a forma A′ ∩ f (X) onde A′ é aberto em Rn e f −1 (A′ ∩ f (X)) = f −1 (A′ ). Logo, este novo enunciado, embora aparentemente mais geral, reduz-se ao que foi demonstrado no Teorema 16. Como aplica¸cão do teorema acima, vemos que se f : Rn → R é uma fun¸cão cont´ınua então, para todo n´ umero real a, o conjunto A = {x ∈ Rn ; f (x) < a} é aberto, pois A é a imagem inversa do intervalo aberto (−∞, a) pela fun¸cão f . Usando também o fato de que a interse¸cão finita de abertos é ainda um aberto, concluimos que, dadas k fun¸cões cont´ınuas f1 , . . . , fk : Rn → R, o conjunto A = {x ∈ Rn ; f1 (x) < a1 , . . . , fk (x) < ak } é aberto. A mesma conclusão vale se as fun¸cões f1 , . . . , fk forem definidas num subconjunto aberto X ⊂ Rn . Reobtemos assim o fato de que a bola B(a; r) é um subconjunto aberto de Rn . Com efeito, a fun¸cão x 7→ |x − a| é cont´ınua e B(a; r) é o conjunto dos pontos de Rn onde esta fun¸cão assume valores < r. (10.4) Se A ⊂ Rm e B ⊂ Rn s˜ ao abertos ent˜ ao o produto cartesiano m n m+n A×B ⊂R ×R =R é aberto. Com efeito, considerando as proje¸cões π1 : Rm ×Rn → Rm e π2 : Rm × n R → Rn , que s˜ ao aplica¸cões cont´ınuas, temos A × B = π1−1 (A) ∩ −1 π2 (B). Evidentemente se tivermos A1 ⊂ Rm1 , . . . , Ak ⊂ Rmk abertos, o produto cartesiano A1 × · · · × Ak ⊂ Rm1 +···+mk será aberto por uma razão semelhante. Dados X ⊂ Rm , Y ⊂ Rn , uma aplica¸cão f : X → Y diz-se aberta quando, para cada A ⊂ X aberto em X, sua imagem f (A) é um subconjunto aberto em Y . (10.5) Cada uma das m proje¸co ˜es πi : Rm → R é uma aplica¸ca õ aberta. Isto fica mais fácil de ver se usarmos em Rm a norma do m´ aximo, em rela¸cão ` a qual uma bola aberta de centro a = (a1 , . . . , am ) é um produto

[SEC. 11: CONJUNTOS FECHADOS

39

m Q

(aj − δ, aj + δ). j=1 Rm aberto. Para provar

cartesiano B(a; δ) =

Seja então A ⊂ que πi (A) é aberto em R, tomamos ai = πi (a) ∈ πi (A), a ∈ A. Como A é aberto, existe δ > 0 tal m Q (aj − δ, aj + δ) ⊂ A. Então (ai − δ, ai + δ) = πi (B) ⊂ πi (A), que B = j=1

logo πi (A) é aberto.

11

Conjuntos fechados

Um ponto a ∈ Rn diz-se aderente a um conjunto X ⊂ Rn quando é limite de uma seq¨ uência de pontos desse conjunto. Por exemplo, todo ponto a pertencente a X é aderente a X pois podemos escrever a = lim xk , com xk = a para todo k ∈ N. Mas a pode ser aderente a X sem pertencer a X; neste caso, a é necessariamente um ponto de acumula¸cão do conjunto X. Por exemplo, se X = B(0; 1) ⊂ Rn é a bola aberta de centro na origem e raio 1 em Rn , o ponto e1 = (1, 0, . . . , 0) não pertence a X. Mas, pondo xk = (1 − 1/k, 0, . . . , 0), vemos que xk ∈ X para todo k ∈ N e lim xk = e1 , logo e1 é aderente a X. A fim de que o ponto a seja aderente ao conjunto X, é necessário e suficiente que toda bola aberta de centro a contenha algum ponto de X. Com efeito, a condi¸cão é necessária em virtude da defini¸cão de limite de uma seq¨ uência e é suficiente porque, se ela se verifica, em cada bola B(a; 1/k) podemos escolher um ponto xk ∈ X e assim obtemos uma seq¨ uência com lim xk = a. O conjunto dos pontos aderentes a X chama-se o fecho de X e é indicado com a nota¸cão X. Pelo que vimos acima, a fim de que um ponto b ∈ Rn n˜ ao perten¸ca ao fecho de X, é necessário e suficiente que exista uma bola aberta de centro b que não contém pontos de X. Noutros termos: b ∈ ∁ X ⇔ ∃r > 0; B(b; r) ∩ X = ∅. Como toda bola aberta é um conjunto aberto e todo aberto que contém um ponto contém também uma bola aberta com centro nesse ponto, as condi¸cões acima podem ser reformuladas com abertos, em vez de bolas: 1. Tem-se a ∈ X se, e somente se, todo aberto que contém a intersecta o conjunto X. (Isto é, A aberto, a ∈ A ⇒ A ∩ X 6= ∅.)

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

2. Tem-se b ∈ / X se, e somente se, existe um aberto contendo b e disjunto de X. (Isto é, existe A aberto com b ∈ A e A ∩ X = ∅.) O fecho de uma bola aberta B(a; r) é a bola fechada B[a; r]. Se X = Qn é o conjunto dos pontos de Rn cujas coordenadas s˜ ao n´ umeros racionais, então X = Rn . Um conjunto X ⊂ Rn chama-se fechado quando contém todos seus pontos aderentes, isto é, quando X = X. Dizer que X ⊂ Rn é fechado significa, portanto, o seguinte: se lim xk = a e xk ∈ X para todo k ∈ N, então a ∈ X. Por exemplo, uma bola fechada B[a; r] é um subconjunto fechado do espa¸co Rn pois se |xk − a| ≤ r para todo k e lim xk = b então |b − a| = lim |xk − a| ≤ r. Da´ı resulta que o fecho de todo conjunto limitado X ⊂ Rn é limitado. Com efeito, temos X ⊂ B, onde B é uma bola fechada. Logo X ⊂ B = B, donde X é limitado. Para todo X ⊂ Rn , o complementar do fecho de X é um aberto. Com efeito, seja A = ∁ X. Para todo b ∈ A existe r > 0 tal que B(b; r) ∩ X = ∅. Afirmamos que B(b; r) ⊂ A. Com efeito, se y ∈ B(b; r) então B(b; r) é um aberto contendo y e disjunto de X, logo y ∈ ∁ X = A. Em particular, se X ⊂ Rn é um conjunto fechado, seu complementar ∁ X é aberto em Rn (pois ∁ X = ∁ X). Reciprocamente, se X ⊂ Rn é tal que A = ∁ X é um conjunto aberto então y ∈ / X ⇒ y ∈ A ⇒ B(y; r) ⊂ A para algum r > 0 ⇒ B(y; r)∩X = ∅ ⇒ y não é aderente a X. Assim, todo ponto aderente a X deve pertencer a X e conseq¨ uentemente X é fechado. Acabamos portanto de demonstrar o Teorema 17. Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar é aberto. Corol´ ario. O fecho de todo conjunto é um conjunto fechado. =

O Corolário acima diz que X = X para todo X ⊂ Rn . O Teorema 17 faz com que o resultado seguinte seja uma conseq¨ uência imediata do Teorema 15. Teorema 18. Os conjuntos fechados do espa¸co euclidiano Rn gozam das seguintes propriedades: 1) O conjunto vazio ∅ e o espa¸co inteiro Rn s˜ ao fechados;

41

[SEC. 11: CONJUNTOS FECHADOS

2) A reuni˜ ao F = F1 ∪ · · · ∪ Fk de um n´ umero finito de conjuntos fechados F1 , . . . , Fk é um conjunto fechado;

juntos fechados

T

Fλ λ∈L Fλ é um

3) A interse¸ca õ F =

de uma fam´ılia qualquer (Fλ )λ∈L de conconjunto fechado.

Demonstra¸ c˜ ao: A afirma¸cão 1) é evidente. Quanto a 2), se F1 , . . . , Fk s˜ ao fechados então A1 = ∁ F1 , . . . , Ak = ∁ Fk s˜ ao abertos, portanto A1 ∩ · · · ∩ Ak é aberto. Logo F1 ∪ · · · ∪ Fk = ∁ A1 ∪ · · · ∪ ∁ Ak = ∁(A1 ∩ · · · ∩ Ak ) é fechado. Finalmente, se cada S Fλ , λ ∈ L, é fechado então cada Aλ também é aberto. Sendo assim, o Aλ = ∁ Fλ é aberto, logo A = λ∈L S T T Aλ = ∁ A é fechado. ∁ Aλ = ∁ Fλ = conjunto F = λ∈L

λ∈L

λ∈L

Note que uma reunião infinita de conjuntos fechados pode ser fechada ou não. De fato, para cada ponto x ∈ Rn , o conjunto {x} é fechado. S {λ}. Ora, todo conjunto X ⊂ Rn é reunião dos seus pontos: X = λ∈X

Como há conjuntos em Rn que não s˜ ao fechados, há reuniões (infinitas) de conjuntos fechados que não s˜ ao fechadas. Segue-se da defini¸cão de fronteira que um ponto a pertence à fronteira do conjunto X se, e somente se, a é aderente a X e a Rn − X. Ou seja, ∂X = X ∩ (Rn − X). Em particular, a fronteira de todo conjunto X ⊂ Rn é um conjunto fechado. Fixemos um conjunto X ⊂ Rn . Um subconjunto F ⊂ X diz-se fechado em X quando se tem F = X ∩ G, onde G é um conjunto fechado em Rn . A fim de que o subconjunto F ⊂ X seja fechado em X é necessário e suficiente que F contenha todos os seus pontos aderentes que perten¸cam a X. Se X ⊂ Rn é fechado, então um subconjunto F ⊂ X é fechado em X se, e somente se, é fechado em Rn . Os conjuntos fechados em X gozam de propriedades an´ alogas às que n foram demonstradas no Teorema 18 para os fechados em R . A saber: ∅ e X s˜ ao fechados em X; uma reunião finita ou uma interse¸cão arbitr´ aria de fechados em X é ainda um conjunto fechado em X. Evidentemente, se F ⊂ Rn é fechado e F ⊂ X então F é fechado em X. Seja X = {x ∈ R; x > 0} a semi-reta positiva aberta. O intervalo semi-aberto (0, 1] é fechado em X.

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

(11.1) Seja F ⊂ X. A fim de que F seja fechado em X é necess´ ario e suficiente que o conjunto A = X − F (complementar de F relativamente a X) seja aberto em X. Com efeito, dados F ′ ⊂ Rn e A′ = ∁ F ′ , o complementar de F ′ em n R , temos F = X ∩ F ′ ⇔ X − F = X ∩ A′ . Ora, F ′ é fechado em Rn se, e somente se, A′ é aberto. Assim, F é fechado em X se, e somente se X − F é aberto em X. A defini¸cão acima foi dada para que tivéssemos o Teorema 19. Seja f : X → Rn uma aplica¸ca õ definida no subconjunto X ⊂ Rm . A fim de que f seja cont´ınua, é necess´ ario e suficiente que −1 a imagem inversa f (F ) de todo conjunto fechado F ⊂ Rn seja um conjunto fechado em X. Demonstra¸ c˜ ao: Isto decorre do teorema an´ alogo para abertos (Teorema 16) juntamente com o fato de que os conjuntos abertos (em X) s˜ ao exatamente aqueles cujos complementares s˜ ao fechados (em X). Com efeito, seja f cont´ınua. Então, para cada F ⊂ Rn fechado, temos F = ∁ A, onde A ⊂ Rn é aberto. Logo f −1 (A) é aberto em X. Mas f −1 (F ) = f −1 (∁ A) = X − f −1 (A), portanto f −1 (F ) é fechado em X. Reciprocamente, se a imagem inversa por f de todo fechado em Rn é um fechado em X, então a rela¸cão f −1 (A) = X − f −1 (F ), com A = ∁ F , mostra que a imagem inversa por f de todo aberto A ⊂ Rn é um aberto em X, portanto f é cont´ınua. Assim, por exemplo, se f1 , . . . , fk : Rn → R s˜ ao fun¸cões reais cont´ınuas então, dados os n´ umeros reais a1 , . . . , ak , o conjunto X dos pontos x ∈ Rn para os quais se tem simultaneamente f1 (x) ≤ a1 ,. . . ,fk (x) ≤ ak é um subconjunto fechado de Rn . Em particular, fixado um ponto a ∈ Rn , a fun¸cão f : Rn → R, dada por f (x) = |x − a|, é cont´ınua. Logo, para todo r > 0, a bola fechada B[a; r] = {x ∈ Rn ; f (x) ≤ r} é um conjunto fechado. Nas mesmas condi¸cões acima, é fechado o conjunto Y dos pontos y ∈ Rn para os quais se tem simultaneamente f1 (y) = a1 ,. . . ,fk (y) = ak . Com efeito, vale Y = f −1 (a), onde f = (f1 , . . . , fk ) : Rn → Rk e a = (a1 , . . . , ak ). Em particular, a esfera S[a; r] = {y ∈ Rn ; |y − a| = r} é um subconjunto fechado de Rn . Observa¸ c˜ ao: Se f : X → Rn é cont´ınua e F ⊂ f (X) é um conjunto apenas fechado em f (X), sua imagem inversa f −1 (F ) é ainda fechada

[SEC. 11: CONJUNTOS FECHADOS

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em X. Com efeito, temos F = F ′ ∩ f (X), onde F ′ é fechado em Rn . Como f −1 (F ) = f −1 (F ′ ), segue-se do Teorema 19 que f −1 (F ) é fechada em X. (11.2) Se F ⊂ Rm e G ⊂ Rn s˜ ao subconjuntos fechados ent˜ ao o produto cartesiano F × G ⊂ Rm × Rn = Rm+n é fechado. Com efeito, as proje¸cões π1 : Rm × Rn → Rm e π2 : Rm × Rn → Rn , definidas por π1 (x, y) = x e π2 (x, y) = y, s˜ ao cont´ınuas e F × G = −1 −1 π1 (F ) ∩ π2 (G). Um exemplo de conjunto fechado noutro é o gr´ afico de uma aplica¸cão n cont´ınua f : X → R definida num conjunto X ⊂ Rm . Como sabemos, o gr´ afico de f é o subconjunto G ⊂ X × Rn ⊂ Rm × Rn , formado pelos pontos (x, f (x)) ∈ Rm × Rn , onde x varia em X. Afirmamos que G é um subconjunto fechado em X × Rn . (Quando X ⊂ Rm for fechado, então G será fechado no espa¸co euclidiano Rm+n .) Com efeito, temos G = {(x, y) ∈ X ×Rn ; y−f (x) = 0}. Como a aplica¸cão ϕ : X ×Rn → Rn , dada por ϕ(x, y) = y − f (x), é cont´ınua, resulta que G = ϕ−1 (0) é fechado em X × Rn . Ao contrário do que ocorre para conjuntos abertos, a proje¸cão π1 : Rm × Rn → Rm não transforma necessariamente um conjunto fechado F ⊂ Rm × Rn num conjunto fechado π1 (F ) ⊂ Rm . Por exemplo, a hipérbole H = {(x, y) ∈ R2 ; xy = 1} é um subconjunto fechado do plano, imagem inversa do fechado {1} ⊂ R pela aplica¸cão cont´ınua (x, y) 7→ xy. Mas sua proje¸cão no eixo das abcissas, π1 (H) = R − {0}, não é fechada. Dados Y ⊂ X ⊂ Rn , podemos também definir o fecho de Y relativamente a X como sendo o conjunto Y ∩ X, dos pontos aderentes a Y que pertencem ao conjunto X. Então Y é fechado em X se, e somente se, coincide com seu fecho relativamente a X. Um caso particular importante se dá quando o fecho de Y relativamente a X é todo o conjunto X. Para descrever esta situa¸cão, damos a defini¸cão abaixo. Sejam Y ⊂ X ⊂ Rn . Dizemos que Y é denso em X quando Y ∩ X = X, ou seja, X ⊂ Y . Isto significa que todo ponto de X é limite de uma seq¨ uência cujos termos pertencem a Y . Ou, ainda de outra maneira: dado Y ⊂ X, tem-se Y denso em X se, e somente se, toda bola aberta com centro em algum ponto de X contém pontos de Y . Os fatos mais importantes a respeito de conjuntos densos em Rn s˜ ao as seguintes observa¸cões.

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

(11.3) Sejam f, g : X → Rn aplica¸co ˜es cont´ınuas num conjunto X ⊂ m R e Y ⊂ X um subconjunto denso. Se f (y) = g(y) para todo y ∈ Y ent˜ ao f = g (isto é, f (x) = g(x) para todo x ∈ X). Com efeito, para cada x ∈ X existe uma seq¨ uência de pontos yk ∈ Y com lim yk = x. Então f (x) = f (lim yk ) = lim f (yk ) = lim g(yk ) = g(lim yk ) = g(x). (11.4) Todo conjunto X ⊂ Rn contém um subconjunto enumer´ avel E, denso em X. Com efeito, a cole¸cão B das bolas abertas B(q; r), com centro num ponto q ∈ Qn e raio racional, é enumerável: B = {B1 ,. . . ,Bi ,. . .}. Para cada i ∈ N, escolhamos um ponto xi ∈ Bi ∩ X, se Bi ∩ X não for vazio. Caso seja Bi ∩ X = ∅, xi não existir´ a. O conjunto E dos pontos xi assim obtidos é um subconjunto enumerável de X. Para mostrar que E é denso em X, tomemos arbitrariamente x ∈ X e ε > 0. Existe r > 0 racional com 2r < ε. Como Qn é denso em Rn , encontramos q ∈ Qn tal que |q − x| < r. Logo x ∈ B(q; r) = Bi . Assim, Bi ∩ X 6= ∅. Existe portanto xi ∈ E. Como x e xi pertencem à bola Bi , de raio r, temos |x − xi | < 2r < ε. Ficou provado que toda bola aberta B(x; ε) com centro em algum ponto de X contém um ponto xi ∈ E. Então E é denso em X.

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Conjuntos compactos

Diremos que um conjunto K ⊂ Rn é compacto quando ele for limitado e fechado. Assim, por exemplo, s˜ ao compactas todas as esferas e bolas fechadas do espa¸co euclidiano, mas o espa¸co Rn inteiro não é compacto (salvo se n = 0!). Em virtude do Teorema de Bolzano-Weierstrass, um conjunto K ⊂ Rn é compacto se, e somente se, toda seq¨ uência de pontos xk ∈ K possui uma subseq¨ uência que converge para um ponto de K. As seguintes propriedades decorrem imediatamente da defini¸cão: (12.1) K1 , . . . , Kp compactos em Rn ⇒ K1 ∪ · · · ∪ Kp compacto. (12.2) A interse¸cão de uma fam´ılia qualquer de compactos Kλ ⊂ Rn é um conjunto compacto. (12.3) Se K ⊂ Rm e L ⊂ Rn s˜ ao compactos então o produto cartesiano K × L ⊂ Rm+n é compacto.

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[SEC. 12: CONJUNTOS COMPACTOS

Menos ´ obvio é o seguinte fato, conhecido como a propriedade de Cantor: (12.4) Dada uma seq¨ uência decrescente K1 ⊃ · · · ⊃ Kk ⊃ . . . de ∞ T Kk (é compacta e) n˜ ao é compactos n˜ ao vazios, a interse¸ca õ K = k=1

vazia.

Demonstra¸ c˜ ao: Escolhamos, para cada k ∈ N, um ponto xk ∈ Kk , obtendo assim uma seq¨ uência, a qual possui uma subseq¨ uência (xki ), n i ∈ N, convergindo para um ponto x ∈ R . Dado arbitrariamente k ∈ N, temos xki ∈ Kk para todo ki > k, logo x = lim xki ∈ T Kk . Assim, o ponto x pertence a Kk para todo k ∈ N, ou seja x ∈ K = Kk , o que mostra que K não é vazio.

k

Teorema 20. Seja f : X → Rn cont´ınua no conjunto X ⊂ Rm . Para todo subconjunto compacto K ⊂ X, sua imagem f (K) é compacta.

Demonstra¸ c˜ ao: Mostremos primeiro que f (K) é fechado em Rn . Seja n pois y ∈ R aderente a f (K). Então y = lim f (xk ), xk ∈ K para todo k ∈ N. Pela compacidade de K, uma subseq¨ uência (xki ) converge para um certo ponto x ∈ K. Segue-se que y = lim f (xki ) = i→∞

f (lim xki ) = f (x), donde y ∈ f (K). Agora, mostremos que f (K) é limitado. De fato, se não fosse, poder´ıamos, para cada k ∈ N, obter um ponto xk ∈ K tal que |f (xk )| > k. Então a seq¨ uência (f (xk )) não admitiria subseq¨ uências convergentes. Mas (xk ) tem uma subseq¨ uência convergente, com lim xki = x ∈ K. A continuidade de f nos dá então i→∞

f (x) = f (lim xki ) = lim f (xki ), uma contradi¸cão.

Note que uma aplica¸cão cont´ınua pode transformar um conjunto limitado num conjunto ilimitado f (x) = 1/x leva o intervalo aberto (0, 1) no intervalo infinito (1, +∞) ou um conjunto fechadonum conjunto não fechado f (x) = 1/(1 + x2 ) leva R no intervalo (0, 1] . Mas se X ⊂ Rm for limitado e fechado, sua imagem por qualquer aplica¸cão cont´ınua é limitada e fechada. Corol´ ario 1 (Weierstrass.) Toda fun¸ca õ real cont´ınua f : K → R, definida num compacto K ⊂ Rm , atinge seu m´ aximo e seu m´ınimo em K, isto é, existem pontos x0 , x1 ∈ K tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para qualquer x ∈ K. Com efeito f (K) ⊂ R é compacto, logo y0 = inf f (K) e y1 = sup f (K) pertencem a f (K), isto é, existem pontos x0 , x1 ∈ K tais

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

que f (x0 ) = y0 e f (x1 ) = y1 . Então f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ K. A fun¸cão f : R → R, definida por f (x) = x/(1 + |x|), é cont´ınua, cumpre −1 < f (x) < 1 para todo x ∈ R, mas nenhum valor f (x) é menor nem maior do que todos os demais valores de f . Em particular, toda aplica¸cão cont´ınua f : K → Rn , definida num compacto K ⊂ Rm , é limitada, isto é, existe c > 0 tal que |f (x)| ≤ c para todo x ∈ K. Note ainda que se f : K → R é cont´ınua no compacto K ⊂ Rn e f (x) > 0 para todo x ∈ K então existe ε > 0 tal que f (x) ≥ ε para todo x ∈ K. Isto seria falso se K não fosse compacto; bastaria tomar f : (0, +∞) → R, dada por f (x) = 1/x. Corol´ ario 2. Seja K ⊂ Rm compacto. Toda aplica¸ca õ cont´ınua f : K → n n R é fechada, isto é, F ⊂ K fechado ⇒ f (F ) ⊂ R fechado. Com efeito, F ⊂ K fechado ⇒ F compacto ⇒ f (F ) compacto ⇒ f (F ) fechado em Rn . Corol´ ario 3. A inversa de uma bije¸ca õ cont´ınua definida num compacto é cont´ınua. (Ou seja: toda bije¸ca õ cont´ınua definida num compacto é um homeomorfismo sobre sua imagem.) Com efeito, seja f : K → L uma bije¸cão cont´ınua do compacto K ⊂ m R no compacto L ⊂ Rn . Pondo g = f −1 : L → K vemos que, para todo F ⊂ K fechado, que imagem inversa g −1 (F ) = f (F ) é fechada em Rn , pelo Corolário 2. Segue-se do Teorema 19 que g é cont´ınua. Vemos agora que s´ o foi poss´ıvel definir a bije¸cão cont´ınua f : [0, 2π) → 1 S com inversa descont´ınua porque seu dom´ınio é um intervalo nãocompacto. Uma conseq¨ uência do Corolário 2 é a seguinte: (12.5) Seja ϕ : K → L uma aplica¸ca õ cont´ınua do compacto K ⊂ Rm sobre o conjunto (necessariamente compacto) L = ϕ(K) ⊂ Rn . Dado F ⊂ L, se sua imagem inversa ϕ−1 (F ) é fechada, ent˜ ao F é fechado. Com efeito, como ϕ é sobrejetiva, ϕ[ϕ−1 (F )] = F . Pelo Corolário 2, F é fechado. Este fato tem como corolário: (12.6) Seja ϕ : K → L uma aplica¸ca õ cont´ınua do compacto K ⊂ Rm sobre o compacto L ⊂ Rn . Ent˜ ao uma aplica¸ca õ f : L → Rp é cont´ınua p se, e somente se, f ◦ ϕ : K → R é cont´ınua. Se f é cont´ınua, evidentemente f ◦ ϕ também é. Reciprocamente, supondo f ◦ϕ cont´ınua, para cada F ⊂ Rp fechado temos ϕ−1 [f −1 (F )] =

[SEC. 12: CONJUNTOS COMPACTOS

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(f ◦ ϕ)−1 (F ) fechado em K. Pelo que vimos acima, isto implica f −1 (F ) fechado em L. Logo f é cont´ınua (Teorema 19). Como aplica¸cão, seja g : [0, 2π] → Rn cont´ınua tal que g(0) = g(2π). Através de g, podemos definir uma aplica¸cão cont´ınua f : S 1 → Rn , pondo f (eit ) = f (cos t, sen t) = g(t), 0 ≤ t ≤ 2π. Como g(0) = g(2π), f está bem definida. Seja ϕ : [0, 2π] → S 1 a sobreje¸cão cont´ınua dada por ϕ(t) = eit = (cos t, sen t). Então f ◦ϕ = g é cont´ınua. Pelo resultado acima, f : S 1 → Rn é cont´ınua. Isto se exprime dizendo que “definir uma aplica¸cão cont´ınua no c´ırculo S 1 é o mesmo que defin´ı-la no intervalo [0, 2π], assumindo valores iguais nos extremos”. Teorema 21. Toda aplica¸ca õ cont´ınua f : K → Rn , definida num comm pacto K ⊂ R , é uniformemente cont´ınua. ` vezes é necessário usar a seguinte versão, mais abrangente, do As teorema acima: Teorema 21a. Se f : X → Rn é cont´ınua e K ⊂ X é compacto ent˜ ao, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, y ∈ K, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.

Demonstra¸ c˜ ao: Suponha, por absurdo, que o teorema fosse falso. Então existiriam ε > 0 e duas seq¨ uências de pontos xk ∈ X, yk ∈ K tais que |xk −yk | < 1/k e |f (xk )−f (yk )| ≥ ε, para todo k ∈ N. Passando a uma subseq¨ uência, se necessário, podemos supor que lim yk = y ∈ K, donde lim xk = y também. Então, pela continuidade de f , viria ε ≤ lim |f (xk ) − f (yk )| = |f (y) − f (y)| uma contradi¸cão. Outro tipo de uniformidade ocorre quando uma fun¸cão (cont´ınua) depende continuamente de um parˆ ametro α que varia num compacto. Mais precisamente: Teorema 21b. Seja f : X × K → Rn cont´ınua, onde K é compacto. Fixemos x0 ∈ X. Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x, α) − f (x0 , α)| < ε, seja qual for α ∈ K.

Demonstra¸ c˜ ao: Supondo o contrário, existiriam ε > 0 e seq¨ uências de pontos xk ∈ X, αk ∈ K tais que |xk − x0 | < 1/k e |f (xk , αk ) − f (x0 , αk )| ≥ ε. Passando a uma subseq¨ uência, se necessário, podemos admitir que lim αk = α ∈ K. Como, evidentemente, lim xk = x0 , a continuidade de f nos daria ε ≤ lim |f (xk , αk ) − f (x0 , αk )| = |f (x0 , α) − f (x0 , α)|, uma contradi¸cão. Uma aplica¸cão do teorema acima é:

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

(12.7) Seja f : X ×[a, b] → R cont´ınua. Definamos ϕ : X → R pondo, para cada x ∈ X, Z b f (x, t) dt. ϕ(x) = a

Ent˜ ao ϕ é cont´ınua em cada ponto xR0 ∈ X. b Com efeito, |ϕ(x) − ϕ(x0 )| ≤ a |f (x, t) − f (x0 , t)|dt. Pelo Teorema 21b, dado ε > 0, podemos achar δ > 0 tal que x ∈ X, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x, t) − f (x0 , t)| < ε/(b − a), seja qual for t ∈ [a, b], logo tem-se |ϕ(x) − ϕ(x0 )| < ε. Caracterizaremos agora a compacidade por meio de coberturas. n Uma cobertura de um conjunto X ⊂ S R é uma fam´ılia (Cλ )λ∈L de n Cλ . Isto significa que, para subconjuntos Cλ ⊂ R tal que X ⊂ λ∈L

cada x ∈ X, existe um λ ∈ L tal que x ∈ Cλ . Uma subcobertura é uma subfam´ılia (Cλ )λ∈L′ , L′ ⊂ L, tal que ainda S Cλ . se tem X ⊂ λ∈L′

Diz-se que a cobertura X ⊂ ∪Cλ é aberta quando os Cλ forem todos abertos, finita se L é um conjunto finito, enumer´ avel se L é enumerável, etc.

Teorema 22 (Lindelöf). Seja X ⊂ Rn um conjunto arbitr´ ario. Toda cobertura aberta X ⊂ ∪ Aλ admite uma subcobertura enumer´ avel X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi ∪ . . . Demonstra¸ c˜ ao: Seja E = {x1 , . . . , xi , . . . } ⊂ X um subconjunto enumerável, denso em X. Consideremos o conjunto B de todas as bolas abertas B(x; r), com centro num ponto de E, raio racional e tais que cada uma delas está contida em algum Aλ · B é um conjunto enumerável de bolas. Afirmamos que as bolas B ∈ B cobrem X. Com efeito, dado x ∈ X, existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ . Como Aλ é aberto, existe r > 0 racional tal que B(x; 2r) ⊂ Aλ . Sendo E denso em X, podemos encontrar xi ∈ E com |x − xi | < r. Então x ∈ B(xi ; r). Para mostrar que B(xi ; r) ∈ B, resta ver que esta bola está contida em Aλ . Ora, y ∈ B(xi ; r) ⇒ |y − xi | < r ⇒ |y − x| ≤ |y − xi | + |xi − x| < 2r ⇒ y ∈ B(x; 2r) ⊂ Aλ . Isto conclui a verifica¸cão de que as bolas B ∈ B cobrem X. Tomando uma enumera¸cão B1 , . . . , Bi , . . . para essas bolas e escolhendo, para cada i ∈ N, um ´ındice λi ∈ L tal que Bi ⊂ Aλi , concluimos que X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi ∪ . . .

Teorema 23 (Borel-Lebesgue). Seja K ⊂ Rn compacto (isto é, limitado

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[SEC. 12: CONJUNTOS COMPACTOS

e fechado). Toda cobertura aberta K ⊂ finita K ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi .

S

Aλ admite uma subcobertura

λ∈L

Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema de Lindelöf, obtemos uma subcobertura enumerável K ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi ∪ . . . . Ponhamos Ki = K ∩ C(Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi ) para cada i ∈ N. Isto nos dá uma seq¨ uência decrescente K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Ki ⊃ . . . de compactos. Dado qualquer x ∈ K, existe algum i ∈ N tal que x ∈ Aλi . Então x ∈ / Ki . Isto mostra que nenhum ∞ T Ki = ∅. Segue-se ponto x ∈ K está em todos os Ki , ou seja, que i=1

então da propriedade de Cantor que algum dos compactos Ki é vazio, o que significa K ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi . Vale também a rec´ıproca do Teorema de Borel-Lebesgue:

Teorema 24. Se toda cobertura aberta do conjunto K ⊂ Rm admite uma subcobertura finita, ent˜ ao K é limitado e fechado (isto é, compacto). Demonstra¸ c˜ ao: Em primeiro lugar, as bolas abertas de raioS 1 e centros nos pontos de K constituem uma cobertura aberta K ⊂ B(x; 1), x∈K

a qual possui uma subcobertura finita K ⊂ B(x1 ; 1) ∪ · · · ∪ B(xi , 1). Assim, K está contido numa reunião finita de conjuntos limitados, logo é limitado. Além disso, K é fechado pois, se não fosse, existiria um ponto a ∈ K − K. Então, para cada i ∈ N, tomamos Ai = complementar da bola fechada B[a; 1/i]. Para todo x ∈ K, temos x 6= a, logo |x − a| > 1/i ∞ S Ai , uma cobertura para algum i, o que nos dá x ∈ Ai . Portanto K ⊂ i=1

aberta, da qual extra´ımos uma subcobertura finita: K ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Aip . Como A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ Ai ⊂ . . . , toda reunião de uma cole¸cão finita de conjuntos Ai é igual ao conjunto de maior ´ındice na cole¸cão. Assim, temos K ⊂ Ai para algum i. Esta inclus˜ ao significa que a bola B[a; 1/i] não tem pontos em comum com K, o que contradiz ser a ∈ K e prova o teorema. Os Teoremas 23 e 24 mostram que poder´ıamos, equivalentemente, ter definido um conjunto compacto K pela condi¸cão de que toda cobertura aberta K ⊂ ∪ Aλ admita uma subcobertura finita K ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi . Tal defini¸cão é, de fato, a mais conveniente para estudos mais gerais. A que demos no texto é mais simples, porém interessante apenas para espa¸cos euclidianos. Como aplica¸cão do Teorema de Borel-Lebesgue, demonstraremos o seguinte:

50

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

(12.8) Se o aberto U contém a interse¸ca õ K =

∞ T

Ki de uma seq¨ uência

i=1

decrescente K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Ki ⊃ . . . de conjuntos compactos, ent˜ ao existe i ∈ N tal que Ki ⊂ U .

Com efeito, os abertos Ui = Rn − Ki , juntamente com U , constituem uma cobertura de K1 , da qual extraimos uma subcobertura finita K1 ⊂ U ∪ Ui1 ∪ · · · ∪ Uip . Seja i o maior dos ´ındices i1 , . . . , ip . Como U1 ⊂ U2 ⊂ . . . , temos Ui1 ∪· · ·∪Uip = Ui , logo K1 ⊂ U ∪Ui . Com maior razão, Ki ⊂ U ∪ Ui . Como nenhum ponto de Ki pode pertencer ao seu complementar Ui , devemos ter Ki ⊂ U , como quer´ıamos demonstrar.

13

Distˆ ancia entre dois conjuntos; diˆ ametro

Sejam S, T ⊂ Rn conjuntos não vazios. Definiremos a distˆ ancia d(S, T ) entre S e T pondo d(S, T ) = inf{|x − y|; x ∈ S, y ∈ T }. Evidentemente, d(S, T ) = d(T, S), S ∩ T 6= ∅ ⇒ d(S, T ) = 0 e S1 ⊂ S2 , T1 ⊂ T2 ⇒ d(S2 , T2 ) ≤ d(S1 , T1 ). De acordo com a defini¸cão de ´ınfimo de um conjunto de n´ umeros reais, a distˆ ancia d(S, T ) é caracterizada pelas propriedades abaixo: 1) Tem-se d(S, T ) ≤ |x − y| para quaisquer x ∈ S, y ∈ T ; 2) Dado arbitrariamente ε > 0, existem x ∈ S e y ∈ T tais que |x − y| < d(S, T ) + ε. Por exemplo, se S, T ⊂ R3 s˜ ao duas retas não contidas no mesmo plano, então d(S, T ) é o comprimento do (´ unico) segmento de reta perpendicular a S e a T , ligando essas retas. Um caso particular importante da distˆ ancia entre dois conjuntos ocorre quando um deles se reduz a um ponto. Dados x ∈ Rn e um conjunto não vazio T ⊂ Rn , temos: d(x, T ) = inf{|x − y|; y ∈ T }. Evidentemente, x ∈ T ⇒ d(x, T ) = 0 e T1 ⊂ T2 ⇒ d(x, T2 ) ≤ d(x, T1 ). Novamente valem as propriedades caracter´ısticas:

ˆ ˆ [SEC. 13: DISTANCIA ENTRE DOIS CONJUNTOS; DIAMETRO

51

1) Tem-se d(x, T ) ≤ |x − y|, qualquer que seja y ∈ T ; 2) Dado arbitrariamente ε > 0, existe y ∈ T tal que |x − y| < d(x, T ) + ε. Por exemplo, se x ∈ R2 e T ⊂ R2 é uma reta que não contém x, então d(x, T ) é o comprimento do segmento de perpendicular baixado de x sobre T . O ´ınfimo de um conjunto de n´ umeros não-negativos é igual a zero se, e somente se, tal conjunto contém n´ umeros arbitrariamente pequenos. Assim, tem-se d(x, T ) = 0 se, e somente se, dado qualquer ε > 0, existe y ∈ T tal que d(x, y) < ε. Em outras palavras, d(x, T ) = 0 ⇔ x ∈ T . Em particular, se F ⊂ Rn é um conjunto fechado, vale d(x, F ) = 0 ⇔ x ∈ F. Como ∂T = T ∩ Rn − T , vemos que x ∈ ∂T se, e somente se, d(x, T ) = d(x, Rn − T ) = 0. Sempre que usarmos os s´ımbolos d(S, T ) e d(x, T ), estaremos admitindo tacitamente que S 6= ∅ e T 6= ∅. Teorema 25. d(S, T ) = d(S, T ). Demonstra¸ c˜ ao: Evidentemente, d(S, T ) ≤ d(S, T ). Para provar a desigualdade oposta, seja ε um n´ umero positivo arbitr´ ario. Existem x ¯ ∈ S e y¯ ∈ T tais que |¯ x − y¯| < d(S, T ) + ε/3, e x ∈ S, y ∈ T tais que |x − x ¯| < ε/3, |y − y¯| < ε/3. Então d(S, T ) ≤ |x − y| ≤ |x − x ¯| + |¯ x − y¯| + |¯ y − y| < ε/3 + + d(S, T ) + ε/3 + ε/3.

Logo d(S, T ) < d(S, T ) + ε. Como ε > 0 é arbitr´ ario, concluimos que d(S, T ) ≤ d(S, T ), o que prova o teorema. Corol´ ario.

d(x, T ) = d(x, T ).

Teorema 26. Se K ⊂ Rn é compacto e F ⊂ Rn é fechado, ent˜ ao existem x0 ∈ K e y0 ∈ F tais que d(K, F ) = |x0 − y0 |. Em particular, se K ∩ F = ∅ ent˜ ao d(K, F ) > 0.

Demonstra¸ c˜ ao: Como o ´ınfimo de um conjunto de n´ umeros reais é limite de uma seq¨ uência de elementos desse conjunto, temos d(K,F) =

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

lim |xk − yk | para seq¨ uências convenientes de pontos xk ∈ K e yk ∈ F .

k→∞

Da desigualdade |yk | ≤ |yk − xk | + |xk | resulta que a seq¨ uência (yk ) é limitada, pois s˜ ao limitadas (|xk − yk |), por ser convergente, e (xk ), por pertencerem seus termos xk ao compacto K. Passando a subseq¨ uências, se necessário, podemos admitir, portanto, que xk → x0 e yk → y0 . Como K e F s˜ ao fechados, temos x0 ∈ K e y0 ∈ F . Além disso, d(K, F ) = lim |xk − yk | = |x0 − y0 |. k→∞

Corol´ ario 1. Seja x ∈ Rn . Se F ⊂ Rn é fechado, ent˜ ao existe y0 ∈ F tal que d(x, F ) = |x − y0 |. Corol´ ario 2. Sejam K ⊂ Rn compacto e U ⊂ Rn aberto. Se K ⊂ U ent˜ ao existe ε > 0 tal que x ∈ K ⇒ B(x; ε) ⊂ U . Em particular, x ∈ K, y ∈ Rn , |x − y| < ε ⇒ [x, y] ⊂ U .

Com efeito, F = Rn − U é fechado e K ∩ F = ∅. Seja d(K, F ) = ε > 0. Se y ∈ F e x ∈ K então ε = d(K, F ) ≤ |x − y|, logo y ∈ / B(x; ε). Assim, para este valor fixo de ε, toda bola aberta de raio ε com centro num ponto de K está contida em U .

Corol´ ario 3. Sejam S, T ⊂ Rn , com S limitado. Existem x0 ∈ S, y0 ∈ T tais que |x0 − y0 | = d(S, T ). Com efeito, d(S, T ) = d(S, T ), onde S é compacto e T é fechado.

(13.1) Exemplo. Em geral, existem muitos pontos do conjunto fechado F que estão a uma distˆ ancia m´ınima do ponto x. Um caso extremo disso é F = S[x; r]: para todo y ∈ F , tem-se |x − y| = d(x, F )! Mas, quando F ⊂ Rn é convexo e a norma de Rn provém de um produto interno, prova-se que existe um u ńico y0 ∈ F tal que d(x, F ) = |x − y0 |. (Com efeito, se x0 6= y0 ∈ F s˜ ao tais que |x0 − x| = |y0 − x| então x0 + y0 ∈ F é o ponto médio da base do triˆ angulo isósceles xx0 y0 , z0 = 2 logo |z0 − x| < |x0 − x|.) (13.2) Exemplo. Dados dois conjuntos fechados ilimitados F, G ⊂ Rn , pode-se ter F ∩ G = ∅ com d(F, G) = 0. Basta tomar o eixo das abcissas F = {(x, 0) ∈ R2 ; x ∈ R} e o ramo de hipérbole G = {(x, 1/x) ∈ R2 ; x > 0}. Neste caso, não existem x0 ∈ F , y0 ∈ G tais que |x0 − y0 | = d(F, G). Teorema 27. |d(x, T ) − d(y, T )| ≤ |x − y|.

Demonstra¸ c˜ ao: Existem x0 , y0 ∈ T tais que d(x, T ) = d(x, T ) = |x −

ˆ ˆ [SEC. 13: DISTANCIA ENTRE DOIS CONJUNTOS; DIAMETRO

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x0 | e d(y, T ) = d(y, T ) = |y − y0 |. Então |x − x0 | ≤ |x − y0 |. Da´ı d(x, T ) = |x − x0 | ≤ |x − y0 | ≤ |x − y| + +|y − y0 | = |x − y| + d(y, T ),

isto é, d(x, T ) − d(y, T ) ≤ |x − y|. Analogamente, d(y, T ) − d(x, T ) ≤ |x − y|. Logo |d(x, T ) − d(y, T )| ≤ |x − y|.

Corol´ ario. A fun¸ca õ f : Rn → R, definida por f (x) = d(x, T ), é uniformemente cont´ınua. Com efeito, pelo Teorema 27, f é uma contra¸cão fraca. (13.3) Exemplo. Sejam F, G ⊂ Rn dois subconjuntos fechados disjuntos e não-vazios. A fun¸cão f : Rn → R, definida por f (x) = d(x, F ) é cont´ınua, assume o valor 0 em todos os pontos de F d(x, F ) + d(x, G) e o valor 1 em todos os pontos de G. Ela se chama uma fun¸ca õ de Urysohn do par (F, G). Pondo A = f −1 ((−∞, 1/2)) e B = f −1 ((1/2, +∞)) vemos que A e B s˜ ao abertos disjuntos, com F ⊂ A e G ⊂ B. Concluimos então que, dados dois fechados disjuntos F, G em Rn , existem sempre abertos disjuntos A, B tais que F ⊂ A e G ⊂ B. Na mesma ordem das idéias acima acha-se a no¸cão de diˆ ametro de um conjunto limitado não vazio T ⊂ Rn . Definimos diam(T ) = sup{|x − y|; x, y ∈ T }. Para quaisquer x, y ∈ T , tem-se |x − y| ≤ diam(T ) e, dado arbitrariamente ε > 0 existem x, y ∈ T tais que diam(T ) − ε < |x − y|. (13.4) Existem seq¨ uências de pontos xk , yk ∈ T tais que lim |xk − k→∞

yk | = diam(T ). Como T é limitado, passando a subseq¨ uências se necess´ ario, podemos supor que existem lim xk = x0 e lim yk = y0 . Então x0 , y0 ∈ T e lim |xk − yk | = |x0 − y0 |, logo |x0 − y0 | = diam(T ). Quando T é fechado (donde compacto) temos x0 , y0 ∈ T , logo o diˆ ametro de um conjunto compacto é a maior distˆ ancia entre dois dos seus pontos. Se S ⊂ T então diam(S) ≤ diam(T ). (13.5) O diˆ ametro da bola fechada B[a; r] é igual a 2r. Com efeito, x, y ∈ B]a; r] ⇒ |x − a| ≤ r, |y − a| ≤ r ⇒ |x − y| ≤ |x−a|+|y−a| ≤ 2r, logo diam B[a; r] ≤ 2r. Por outro lado, se tomarmos um vetor v ∈ Rn com |v| = r e pusermos x = a + v, y = a − v então x, y ∈ B[a; r] e |x − y| = |2v| = 2r, logo diam B[a; r] = 2r. Se T ⊂ B[a; r] então diam(T ) ≤ 2r.

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Por outro lado, se diam(T ) = r então, dado qualquer ponto a ∈ T tem-se |x − a| ≤ r, seja qual for x ∈ T . Portanto T ⊂ B[a; r]. Uma seq¨ uência do teorema abaixo é que também o diˆ ametro da bola aberta B(a; r) é igual a 2r. Teorema 28. Para todo conjunto limitado n˜ ao-vazio T ⊂ Rn , vale diam(T ) = diam(T ). Demonstra¸ c˜ ao: Como T ⊂ T , vale diam(T ) ≤ diam(T ). Por outro lado, dado arbitrariamente ε > 0, existem pontos x ¯, y¯ ∈ T tais que diam(T ) − ε/3 < |¯ x − y¯| e x, y ∈ T tais que |x − x ¯| < ε/3, |y − y¯| < ε/3. Então diam(T )−ε/3 ≤ |¯ x−¯ y | ≤ |¯ x−x|+|x−y|+|y−¯ y | < diam(T )+2ε/3, donde diam(T ) ≤ diam(T ) + ε. Como ε > 0 é qualquer, vemos que diam(T ) ≤ diam(T ). Teorema 29. Seja f : K → U uma aplica¸ca õ cont´ınua, definida num compacto K ⊂ Rm e tomando valores num aberto U ⊂ Rn . Existe δ > 0 tal que a imagem f (T ) de qualquer subconjunto T ⊂ K com diam(T ) < δ est´ a contida em alguma bola B ⊂ U .

Demonstra¸ c˜ ao: A imagem f (K) é um compacto contido no aberto U . Pelo Corolário 2 do Teorema 26, existe ε > 0 tal que, para todo x ∈ K, a bola B(f (x); ε) está contida em U . Pela continuidade uniforme de f , existe δ > 0 tal que x, y ∈ K, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. Seja T ⊂ K um subconjunto (não-vazio) com diam(T ) < δ. Tomemos x0 ∈ T . Então x ∈ T ⇒ |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε ⇒ f (x) ∈ B(f (x0 ); ε) = B. Logo f (T ) ⊂ B ⊂ U . Observa¸ c˜ ao: Ao enunciado do Teorema 29 podemos, se for conveniente, acrescentar que as bolas B podem ser todas tomadas com o mesmo raio ε. Nesta ordem de idéias, existe um conceito que freq¨ uentemente se mostra u ´til em demonstra¸cões envolvendo conjuntos compactos. Tratase da no¸cão de n´ umero de Lebesgue. Diz-se umero δ > 0 é n´ umero de Lebesgue de uma cobertura S que um n´ Cλ quando todo subconjunto de X com diˆ ametro menor do que X⊂ λ∈L

δ está inteiramente contido em algum Cλ . Uma cobertura, mesmo aberta e finita, pode não ter n´ umero de Lebesgue algum. Por exemplo, seja R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) a cobertura de R − {0} pelas duas semi-retas (−∞, 0) e (0, +∞). Dado qualquer δ > 0 podemos tomar um n´ umero a tal que 0 < a < δ/2.

[SEC. 14: CONEXIDADE

55

Então o conjunto A = {−a, a} tem diˆ ametro menor do que δ mas não está contido em nenhum dos dois conjuntos da cobertura dada. Logo, não existe n´ umero de Lebesgue para tal cobertura. Vale entretanto o resultado seguinte: S (13.6) Toda cobertura aberta X ⊂ Aλ de um conjunto compacto X ⊂ Rn possui n´ umero de Lebesgue. Demonstra¸ c˜ ao. Se supusermos, por absurdo, que nenhum δ > 0 é n´ umero de Lebesgue da cobertura dada, obteremos, para cada k ∈ N, um conjunto Yk ⊂ X, com diam Yk < 1/k mas nenhum Aλ contém Yk . Escolhemos um ponto yk em cada Yk . Passando a uma subseq¨ uência, se necessário, a compacidade de X assegura a existência de a ∈ X tal que lim yk = a. Existe λ0 tal que a ∈ Aλ0 . Existe ainda ε > 0 com B(a; ε) ⊂ Aλ0 , pois Aλ0 é aberto. Tomemos k ∈ N tão grande que 1/k < ε/2 e |a − yk | < ε/2. Então, lembrando que diam Yk < 1/k, para todo y ∈ Yk temos |y − a| ≤ |y − yk | + |yk − a| < (1/k) + (ε/2) < ε. Segue-se que Yk ⊂ B(a, ε) ⊂ Aλ0 , uma contradi¸cão.

14

Conexidade

Uma cis˜ ao de um subconjunto X ⊂ Rn é uma decomposi¸cão X = A ∪ B, onde A ∩ B = ∅ e os conjuntos A, B s˜ ao ambos abertos em X. n Todo conjunto X ⊂ R admite pelo menos a cis˜ ao trivial X = X ∪∅. Um exemplo de cis˜ ao não-trivial é R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Um conjunto X ⊂ Rn chama-se conexo quando não admite outra cis˜ ao além da trivial. Assim, quando X é conexo, X = A ∪ B, com A, B disjuntos e abertos em X, implica A = ∅ ou B = ∅. O conjunto vazio e um ponto {x} s˜ ao exemplos óbvios de conjuntos conexos. Resulta do teorema de estrutura dos abertos da reta (vide Vol. 1, Cap. V, §1, Teorema 2 ) que todo intervalo aberto da reta é conexo. Em particular, R é conexo. Quando existir uma cis˜ ao não-trivial X = A ∪ B, diremos que X é desconexo. Por exemplo, R − {0} é desconexo. Também é desconexo todo subconjunto discreto X ⊂ Rn , com mais de um ponto. Com efeito, por defini¸cão, cada ponto x ∈ X é isolado, isto é, dado x ∈ X, existe ε > 0 tal que B(x; ε) ∩ X = {x}. Assim, cada ponto x ∈ X é um conjunto aberto em X e, por conseguinte, todo subconjunto A ⊂ X é aberto em X pois é reunião dos seus pontos. Obtém-se portanto uma cis˜ ao não trivial

56

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

X = A ∪ B considerando qualquer subconjunto A ⊂ X com ∅ 6= A 6= X e pondo B = X − A. O conjunto Q dos n´ umeros racionais não é discreto mas um subconjunto conexo X ⊂ Q não pode ter mais de um ponto. Com efeito, se existirem a, b ∈ X com a < b, escolheremos um n´ umero irracional ξ no intervalo aberto (a, b), poremos A = (−∞, ξ) ∩ X, B = (ξ, +∞) ∩ X e obteremos a cis˜ ao X = A ∪ B, que não é trivial porque a ∈ A e b ∈ B. Dada uma cis˜ ao X = A ∪ B, temos A = X − B e B = X − A, isto é, cada um dos conjuntos A, B é o complementar do outro em rela¸cão a X. Logo, cada um deles é aberto e fechado em X. Poder´ıamos portanto definir uma cis˜ ao de X como uma decomposi¸cão X = A ∪ B, onde A e B s˜ ao disjuntos e fechados em X. Poder´ıamos também definir um conjunto conexo X como aquele cujos u ńicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados em X s˜ ao ∅ e o próprio X. Com efeito, dado A ⊂ X aberto-fechado, X = A ∪ (X − A) é uma cis˜ ao. Teorema 30. A imagem de um conjunto conexo por uma aplica¸ca õ cont´ınua é um conjunto conexo. Demonstra¸ c˜ ao: Sejam X ⊂ Rm conexo e f : X → Rn cont´ınua. Para toda cis˜ ao f (X) = A ∪ B, o Teorema 16 (juntamente com a Observa¸cão que a ele se segue) garante que X = f −1 (A) ∪ f −1 (B) é uma cis˜ ao do −1 −1 conjunto conexo X. Logo f (A) = ∅ (donde A = ∅) ou f (B) = ∅ (donde B = ∅). Corol´ ario. Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também conexo. Teorema 31. Um subconjunto X ⊂ R é conexo se, e somente se, é um intervalo. Demonstra¸ c˜ ao: Já vimos que os intervalos abertos da reta s˜ ao conexos. Os outros também s˜ ao porque, dado qualquer intervalo I ⊂ R, existe sempre uma fun¸cão cont´ınua f : R → R com f (R) = I. Por exemplo, se I = [−1, +1], tomamos f (x) = sen x. Para I = (0, 1], f (x) = (1+x2 )−1 . Se for I = [0, +∞), faremos f (x) = x2 . Todo intervalo não-aberto é homeomorfo a um desses três, logo é conexo. Reciprocamente, seja X ⊂ R um subconjunto conexo. Se X não fosse um intervalo, existiriam a < c < b com a, b ∈ X e c ∈ / X. Então, pondo A = (−∞, c) ∩ X e B = (c, +∞) ∩ X, obter´ıamos uma cis˜ ao X = A ∪ B, a qual não seria trivial pois a ∈ A e b ∈ B.

[SEC. 14: CONEXIDADE

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Corol´ ario. A imagem de um conjunto conexo X ⊂ Rn por uma fun¸ca õ real cont´ınua f : X → R é um intervalo. Uma reformula¸cão do Corolário acima é o Teorema do Valor Intermedi´ ario. Seja f : X → R uma fun¸ca õ cont´ınua, definida num conjunto conexo X ⊂ Rn . Se existem a, b ∈ X e d ∈ R tais que f (a) < d < f (b) ent˜ ao existe c ∈ X tal que f (c) = d.

Resulta do Teorema 30 que o c´ırculo S 1 = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1} é conexo, pois é imagem da reta pela aplica¸cão cont´ınua f : R → R2 , f (t) = (cos t, sen t). Como aplica¸cão mostraremos que, dada f : S 1 → R cont´ınua, existe u ∈ S 1 tal que f (u) = f (−u). Com efeito, a fun¸cão ϕ : S 1 → R, definida por ϕ(z) = f (z) − f (−z) é cont´ınua no conexo S 1 . Como ϕ(−z) = −ϕ(z), resulta do Teorema do Valor Intermediário que deve existir u ∈ S 1 tal que ϕ(u) = 0, isto é, f (u) = f (−u). Em particular, nenhuma fun¸cão cont´ınua f : S 1 → R pode ser injetiva, portanto S 1 não é homeomorfa a um subconjunto da reta. Daremos agora outra demonstra¸cão de que qualquer intervalo I ⊂ R é conexo, sem utilizar o teorema da estrutura dos abertos da reta. Com efeito, suponhamos, por absurdo, que exista uma cis˜ ao nãotrivial I = A ∪ B do intervalo I. Tomemos a ∈ A, b ∈ B, com a < b. Então [a, b] ⊂ I. Como A e B s˜ ao fechados em I, os conjuntos K = [a, b] ∩ A e L = [a, b] ∩ B s˜ ao fechados em [a, b], logo s˜ ao compactos. Além disso, [a, b] = K ∪ L é uma cis˜ ao. Pelo que vimos no par´ agrafo anterior, existem x0 ∈ K e y0 ∈ L tais que |x0 − y0 | = d(K, L). Isto significa que |x0 − y0 | ≤ |x − y| sejam quais forem x ∈ K, y ∈ L. Note que x0 6= y0 pois K e L s˜ ao disjuntos. Tomemos o ponto médio c do intervalo cujos extremos s˜ ao x0 e y0 . Então c ∈ [a, b]. Em particular, c ∈ K ou c ∈ L. Mas |x0 − c| < |x0 − y0 |, logo c ∈ / L. Também |c − y0 | < |x0 − y0 |, donde c ∈ / K. Uma contradi¸cão. Teorema 32 (Teorema da Alfândega). Seja X ⊂ Rn um conjunto arbitr´ ario. Se um conjunto conexo C ⊂ Rn contém um ponto a ∈ X e um ponto b ∈ / X ent˜ ao C contém algum ponto da fronteira de X. Demonstra¸ c˜ ao: Se a ∈ ∂X ou b ∈ ∂X, nada há para provar. Caso contrário, a fun¸cão cont´ınua f : C → R, definida por f (x) = d(x, X) − d(x, Rn − X) é tal que f (a) < 0 e f (b) > 0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe x ∈ C tal que f (x) = 0. Então d(x, X) = d(x, Rn −

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

X). Como pelo menos um desses n´ umeros é zero, segue-se que ambos o s˜ ao, ou seja, x ∈ ∂X. Para uso nos dois teoremas seguintes, registremos a seguinte observa¸cão: (14.1) Sejam X ⊂ Y ⊂ Rn . Se A ⊂ Y é aberto em Y ent˜ ao A ∩ X é aberto em X. Com efeito, X ⊂ Y significa X = Y ∩ X e A aberto em Y significa A = B ∩ Y com B aberto em Rn . Logo A ∩ X = B ∩ Y ∩ X = B ∩ X e assim A ∩ X é a interse¸cão de X com o aberto B de Rn , logo A ∩ X é aberto em X. Teorema 33. A reuni˜ ao de uma fam´ılia de conjuntos conexos com um ponto em comum é um conjunto conexo. S Xλ onde todos os conjuntos Xλ s˜ ao Demonstra¸ c˜ ao: Seja X = λ∈L

conexos e contêm o ponto a ∈ Rn . Para provar que X é conexo, suponhamos que X = A ∪ B seja uma cis˜ ao, digamos com a ∈ A. Para cada λ ∈ L, temos Xλ = X ∩ Xλ = (A ∪ B) ∩ Xλ = (A ∩ Xλ ) ∪ (B ∩ Xλ ), o que nos dá uma cis˜ ao de Xλ . Como Xλ é conexo e a ∈ A ∩ Xλ , deve ser B ∩ Xλ = ∅ para todo λ ∈ L. Logo [ B = B ∩ X = B ∩ (∪ Xλ ) = (B ∩ Xλ ) = ∅. λ

Assim, toda cis˜ ao de X é trivial e X é conexo. Corol´ ario 1. A fim de que X ⊂ Rn seja conexo, é necess´ ario e suficiente que, para quaisquer a, b ∈ X, exista um conjunto conexo Cab com a, b ∈ Cab ⊂ X. S Fixando a ∈ X, teremos então X = Cax , onde os conjuntos Cax x∈X

s˜ ao conexos e têm o ponto a em comum. Pelo Teorema 33, X é conexo.

Corol´ ario 2. Dados X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn n˜ ao-vazios, o produto cartesiano X × Y ⊂ Rm+n é conexo se, e somente se, X e Y s˜ ao conexos. Com efeito, sejam X, Y conexos. Dados quaisquer a = (a1 , a2 ) e b = (b1 , b2 ) em X × Y , seja Cab = (X × a2 ) ∪ (b1 × Y ). Temos a ∈ Cab e b ∈ Cab . Além disso, X × a2 (homeomorfo a X) e b1 × Y (homeomorfo

59

[SEC. 14: CONEXIDADE

a Y ) s˜ ao conexos, com o ponto (b1 , a2 ) em comum. Logo Cab é conexo. Segue-se do Corolário 1 que X × Y é conexo. Reciprocamente, se o produto cartesiano X × Y é conexo então X e Y s˜ ao conexos por serem imagens das proje¸cões π1 : X × Y → X e π2 : X × Y → Y . Evidentemente, o Corolário 2 acima se estende para um produto cartesiano X1 × X2 × · · · × Xn de um n´ umero finito qualquer de fatores. Em n particular, o espa¸co euclidiano R = R × · · · × R é conexo. Conseq¨ uentemente, ∅ e Rn s˜ ao os u ńicos subconjuntos de Rn que s˜ ao ao mesmo tempo abertos e fechados. Ainda em conseq¨ uência do Teorema 33, toda bola (aberta ou fechada) do espa¸co euclidiano é conexa pois é reunião de seus raios, que s˜ ao conexos por serem homeomorfos a intervalos da reta, e têm todos um ponto em comum, que é o centro da bola. A interse¸cão de conjuntos conexos pode não ser conexa. Por exemplo, os semi-c´ırculos X = {(x, y) ∈ S 1 ; y ≥ 0} e Y = {(x, y) ∈ S 1 ; y ≤ 0} s˜ ao conexos pois s˜ ao ambos homeomorfos, através da proje¸cão (x, y) 7→ x, ao intervalo [−1, 1]. Mas a interse¸cão X ∩ Y = {e1 , −e1 } é desconexa. Vale porém o Teorema 34. A interse¸ca õ K =

∞ T

Ki de uma seq¨ uência decrescente

i=1

K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Ki ⊃ . . . de conjuntos compactos conexos em Rn é um conjunto (compacto e) conexo. Demonstra¸ c˜ ao: Seja K = A ∪ B uma cis˜ ao. Sendo fechados em K, os conjuntos A e B s˜ ao fechados (e disjuntos) em Rn . Existem portanto abertos disjuntos V , W em Rn tais que A ⊂ V e B ⊂ W (vide (13.3)). Assim, o aberto U = V ∪ W contém a interse¸cão K = ∩ Ki , logo contém algum dos conjuntos Ki (vide (12.8)). Então Ki = (Ki ∩ V ) ∪ (Ki ∩ W ) é uma cis˜ ao. Como Ki é conexo, deve-se ter Ki ∩ V = ∅, donde A = K ∩ A ⊂ Ki ∩ V = ∅, ou então Ki ∩ W = ∅, donde B = ∅. Portanto qualquer cis˜ ao de K é trivial, logo K é conexo. Observe-se que se F = ∩ Fi for a interse¸cão de uma seq¨ uência decrescente F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fi . . . de subconjuntos fechados conexos (mas não compactos) então F pode ser desconexo. Basta tomar cada Fi ⊂ R2 como a reunião das duas retas horizontais y = 0, y = 1 mais os pontos (x, y) com x ≥ i e 0 ≤ y ≤ 1. Teorema 35. Sejam X ⊂ Y ⊂ X em Rn . Se X é conexo, ent˜ ao Y também é conexo.

60

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Demonstra¸ c˜ ao: Como todo ponto de Y é aderente a X, para todo conjunto não-vazio A, aberto em Y , tem-se A ∩ X 6= ∅. Feita esta observa¸cão, seja Y = A ∪ B uma cis˜ ao de Y . Então X = Y ∩ X = (A ∪ B) ∩ X = (A ∩ X) ∪ (B ∩ X), o que nos dá uma cis˜ ao de X. Como X é conexo, ou temos A ∩ X = ∅ e portanto A = ∅ em virtude da observa¸cão inicial, ou B ∩ X = ∅, donde B = ∅, pelo mesmo motivo. Assim, toda cis˜ ao de Y é trivial e Y é, portanto, conexo. Corol´ ario. O fecho de um conjunto conexo é conexo. O Teorema 35 pode ser usado para mostrar que a esfera unit´ aria n+1 = {x ∈ R ; hx, xi = 1} é conexa. Com efeito, o conjunto X = S n − {en+1 } é conexo, por ser homeomorfo a Rn através da proje¸cão estereogr´ afica (vide §8). Como en+1 não é um ponto isolado em S n , temos X = S n , logo S n é conexa. Outro exemplo é fornecido pelo conjunto X ⊂ R2 , gr´ afico da fun¸cão cont´ınua f : (0, 1] → R, f (x) = sen(1/x). Por ser homeomorfo ao intervalo (0, 1], X é conexo. Seu fecho é X = X ∪ I, onde I = {(0, t) ∈ R2 ; −1 ≤ t ≤ 1}. Para todo subconjunto T ⊂ I, o Teorema 35 assegura que X ∪ T é conexo. Em particular, é conexo o conjunto X0 = X ∪ {p}, onde p = (0, 0) é a origem de R2 . Este exemplo destoa da intui¸cão, que nos sugere um conjunto conexo como aquele formado por um “s´ o peda¸co”. Por causa disto, consideraremos a seguir uma no¸cão mais estrita de conexidade: a conexidade por caminhos. Um caminho num conjunto X ⊂ Rn é uma aplica¸cão cont´ınua f : I → X, definida num intervalo I. Por exemplo, dados x, y ∈ Rn , o caminho f : [0, 1] → Rn , definido ` por f (t) = (1 − t)x + ty chama-se o caminho retil´ıneo que liga x a y. As vezes nos referiremos a ele como o caminho [x, y]. Diremos que os pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f (I). Por exemplo, se X ⊂ Rn é convexo, dois pontos quaisquer a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X, a saber, o caminho retil´ıneo [a, b]. Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X, então existe um caminho ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b. Basta pôr ϕ(t) = f ((1 − t)α + tβ), onde a = f (α) e b = f (β). Sn

61

[SEC. 14: CONEXIDADE

Se f, g : [0, 1] → X s˜ ao caminhos em X, com f (1) = g(0), então definimos o caminho justaposto h = f ∨g : [0, 1] → X pondo h(t) = f (2t) se 0 ≤ t ≤ 1/2 e h(t) = g(2t − 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1. Note que estas duas expressões definem o mesmo valor de h(1/2). Como h | [0, 1/2] e h | [1/2, 1] s˜ ao cont´ınuas, segue-se que h é cont´ınua. Intuitivamente, o caminho h percorre a trajet´ oria de f (com velocidade dobrada) até t = 1/2 e depois, para t ≥ 1/2, descreve (ainda com velocidae dobrada) o percurso de g. Sejam a, b, c pontos do conjunto X ⊂ Rn . Se a, b podem ser ligados por um caminho em X e b, c também podem ser ligados por um caminho em X, então existe um caminho em X ligando a a c. Basta tomar caminhos f, g : [0, 1] → X com f (0) = a, f (1) = b, g(0) = b, g(1) = c e pôr h = f ∨ g. Então h(0) = a, h(1) = c. Um conjunto X ⊂ Rn diz-se conexo por caminhos quando dois pontos quaisquer a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X. Todo conjunto convexo X ⊂ Rn é conexo por caminhos. Em particular, toda bola (aberta ou fechada) no espa¸co euclidiano é conexa por caminhos. A esfera S n = {x ∈ Rn+1 ; hx, xi = 1} é conexa por caminhos. Com efeito, dados a, b ∈ S n , se a e b não s˜ ao ant´ıpodas, isto é, se b 6= −a, então f : [0, 1] → S n , definida por f (t) =

(1 − t)a + tb |(1 − t)a + tb|

é cont´ınua (pois seu denominador nunca se anula), com f (0) = a, f (1) = b. Se, porém, b = −a, tomamos um ponto c ∈ S n − {a, b}, ligamos a com c e c com b pelo processo acima. O caminho justaposto ligar´ a o ponto a ao seu ant´ıpoda b. Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, em virtude do Corolário 1 do Teorema 33, pois se f : I → X é um caminho em X ligando os pontos a e b então f (I) = Cab é um subconjunto conexo de X contendo a e b. A rec´ıproca é falsa. O conjunto X0 ⊂ R2 , acima descrito como a reunião do gr´ afico da fun¸cão f (x) = sen(1/x), 0 < x ≤ 1, com a origem p = (0, 0), é conexo mas não é conexo por caminhos. (Para a demonstra¸cão, ver o livro “Espa¸cos Métricos”, do autor, página 103.) H´ a, porém um caso particular importante, no qual a conexidade implica em conexidade por caminhos: quando o conjunto X ⊂ Rn é aberto.

62

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Diremos que f : [0, 1] → X é um caminho poligonal em X quando f é a justaposi¸cão de um n´ umero finito de caminhos retil´ıneos. Teorema 36. Um aberto A ⊂ Rn é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos. Demonstra¸ c˜ ao: Seja A ⊂ Rn aberto e conexo. Fixemos um ponto a ∈ A e consideremos o conjunto U , formado pelos pontos x ∈ A que podem ser ligados ao ponto a por um caminho poligonal contido em A. Afirmamos que U é aberto. Com efeito, seja x ∈ U . Sendo A aberto, existe B = B(x; r), com x ∈ B ⊂ A. Como a bola B é convexa, todo ponto y ∈ B pode ser ligado a x por um segmento de reta contido em B, logo y se liga a a por um caminho poligonal contido em A. Logo B ⊂ U e U ⊂ A é aberto. Também V = A − U é aberto, pois se v ∈ V então v não pode ser ligado a a por um caminho poligonal contido em A. Tomando uma bola aberta B1 , com v ∈ B1 ⊂ A, todo z ∈ B1 se liga a v por um segmento de reta contido em B1 . Se z pudesse ser ligado a a por um caminho poligonal contido em A, justapondo-se [v, z] a esse caminho, ver´ıamos que v ∈ U , um absurdo. Temos então A = U ∪ V , uma cis˜ ao. Como A é conexo e a ∈ U , temos V = ∅, donde A = U , o que prova o teorema. Corol´ ario (da demonstra¸cão). Se A ⊂ Rn é aberto e conexo, dois pontos quaisquer de A podem ser ligados por um caminho poligonal contido em A. O problema central da topologia dos espa¸cos euclidianos é determinar se dois conjuntos X ⊂ Rm , Y ⊂ Rn , dados s˜ ao ou não homeomorfos. N˜ ao existe uma resposta geral para este problema. Para afirmar que X e Y s˜ ao homeomorfos é necessário definir um homeomorfismo entre eles. Para garantir que X e Y não s˜ ao homeomorfos, procura-se lan¸car m˜ ao de invariantes topológicos como a compacidade, a conexidade (e outros mais elaborados, que não estudaremos aqui). Vejamos um exemplo. Sejam X = {(x, y) ∈ R2 ; x2+y 2 = 1} um c´ırculo, Y = {(x, y) ∈ R2 ; 4x2 + 9y 2 = 1} uma elipse, Z = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = 1} uma hipérbole e T = {(x, y) ∈ R2 ; y = x2 } uma par´ abola. X e Y s˜ ao homeomorfos e h : X → Y , h(x, y) = (x/2, y/3), é um homeomorfismo entre eles. Mas, como X, Y s˜ ao compactos e Z, T não s˜ ao, segue-se que não pode existir um homeomorfismo entre um desses dois u ´ltimos conjuntos e um dos dois primeiros. Por outro lado, Z e T não s˜ ao homeomorfos porque T é conexo e Z não é.

[SEC. 14: CONEXIDADE

63

Sejam agora X = [a, b] um intervalo fechado da reta e Y = B[c; r] ⊂ o disco fechado de centro c ∈ R2 e raio r. Ambos X, Y s˜ ao compactos e conexos; no entanto a intui¸cão nos diz que X não deve ser homeomorfo a Y . De fato, não é e a prova se baseia na seguinte observa¸cão: seja qual for o ponto y ∈ Y , o conjunto Y − {y} ainda é conexo enquanto que, para a < x < b, o conjunto X − {x} é desconexo. Se existisse um homeomorfismo h : X → Y , escolher´ıamos um ponto x ∈ (a, b), escrever´ıamos y = h(x) e ter´ıamos, por restri¸cão, um homeomorfismo k : X −{x} → Y −{y}, k = h | (X −{x}), entre um conjunto desconexo e um conjunto conexo. R2

Se tentarmos usar esse racioc´ınio para provar que um disco X = B[a; r] ⊂ R2 não é homeomorfo a uma bola fechada Y = B[b; s] ⊂ R3 não chegaremos a nada porque X e Y permanecem conexos depois da ´ verdade que uma bola no retirada de qualquer um dos seus pontos. E m espa¸co euclidiano R s´ o é homeomorfa a uma bola em Rn quando m = n. Mas a demonstra¸cão deste fato requer o uso dos invariantes topológicos “mais elaborados”a que nos referimos acima, os quais s˜ ao estudados em Topologia Algébrica ou Topologia Diferencial. Voltando a uma situa¸cão mais elementar, podemos constatar que não existe um homeomorfismo entre o conjunto X = {(x, y) ∈ R2 ; x2 = y 2 } (um par de retas que se cortam na origem) e a par´ abola Y = {(x, y) ∈ R2 ; y = x2 }. Com efeito, a retirada de qualquer ponto de Y deixa um conjunto com “dois peda¸cos”enquanto que se retirarmos a origem de X ficaremos com “quatro peda¸cos”. Este tipo de argumento lan¸ca m˜ ao dos peda¸cos conexos que comp˜ oem um conjunto desconexo. Tornaremos precisa esta idéia mediante a no¸cão de componente conexa, que definiremos agora. Mostraremos a seguir que todo conjunto X ⊂ Rn se exprime como reunião disjunta de subconjuntos conexos m´ aximos, chamados componentes conexas de X. Sejam x ∈ X ⊂ Rn . A componente conexa do ponto x no conjunto X é a reunião Cx de todos os subconjuntos conexos de X que contêm o ponto x. Por exemplo, se X = Q ⊂ R então a componente conexa de qualquer ponto x ∈ X é {x}. Por outro lado, se X ⊂ Rn é conexo então, para todo x ∈ X temos Cx = X. Se X = R − {0} então a componente conexa de 1 em X é (0, +∞) enquanto que a componente conexa de −1 é (−∞, 0).

64

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Dados x ∈ X ⊂ Rn , a componente conexa Cx é um conjunto conexo, pelo Teorema 33. Na realidade, Cx é o maior subconjunto conexo de X contendo o ponto x. Com efeito, se C ⊂ X é conexo e contém x, então C é um dos conjuntos cuja reunião é Cx , logo C ⊂ Cx . Mais ainda, se C ⊂ X é conexo e tem algum ponto em comum com Cx então C ⊂ Cx , pois C ∪ Cx é conexo contendo x logo C ∪ Cx ⊂ Cx e da´ı C ⊂ Cx . Em particular, nenhum subconjunto conexo de X pode conter Cx propriamente. Sejam x, y dois pontos de X. Suas componentes conexas Cx e Cy ou coincidem ou s˜ ao disjuntas pois se z ∈ Cx ∩Cy então Cx ⊂ Cy e Cy ⊂ Cx . Assim a rela¸cão “x e y pertencem à mesma componente conexa em X ”é uma equivalência no conjunto X. As classes de equivalência s˜ ao as componentes conexas dos pontos de X. Toda componente conexa Cx é um conjunto fechado em X. Com efeito, sendo Cx ⊂ C x ∩ X ⊂ C x , o Teorema 35 nos assegura que C x ∩ X é um subconjunto conexo de X, contendo Cx . Logo C x ∩ X = Cx , o que mostra que Cx é fechado em X. Finalmente, seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx é a componente conexa do ponto x em X, então Dy = h(Cx ) é a componente conexa do ponto y = h(x) em Y . Com efeito, pelo Teorema 30, Dy é conexo. Além disso se D ⊂ Y é qualquer conexo contendo y então, como h−1 : Y → X é cont´ınua, h−1 (D) é um subconjunto conexo de X, contendo x. Logo h−1 (D) ⊂ Cx e da´ı D ⊂ h(Cx ) = Dy . Portanto Dy é o maior subconjunto conexo de Y contendo y, ou seja, é a componente conexa de y em Y . O homeomorfismo h : X → Y estabelece portanto uma bije¸cão entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y .

15

A norma de uma transforma¸c˜ ao linear

Fixemos arbitrariamente uma norma em Rm e outra em Rn . Sabemos que toda transforma¸cão linear A : Rm → Rn é cont´ınua. Mais precisamente, existe um c > 0 tal que |A · x| ≤ c|x| para todo x ∈ Rm . Nesta desigualdade, a norma à direita é a de Rm , enquanto a da esquerda é a de Rn . Elas podem ser diferentes, mesmo quando m = n. Tudo depende da nossa escolha.

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

65

Se nos restringirmos a considerar vetores unit´ arios em Rm , resulta que x ∈ Rm , |x| = 1 ⇒ |A · x| ≤ c, isto é, A transforma a esfera unit´ aria de Rm num subconjunto limitado de Rn . Isto também poderia ser visto observando que a esfera unit´ aria de Rm é compacta, logo é transformada pela aplica¸cão cont´ınua A num subconjunto compacto – em particular, limitado – de Rn . Estas considera¸cões nos permitem introduzir uma norma no espa¸co vetorial L(Rm ; Rn ) = Rnm , pondo, para cada transforma¸cão linear A : Rm → Rn , |A| = sup{|A · x|; x ∈ Rm , |x| = 1}. Deixaremos ao leitor o trabalho de verificar que a fun¸cão A 7→ |A| cumpre as condi¸cões exigidas para uma norma, além de gozar das duas propriedades seguintes: |A · x| ≤ |A| |x| para todo x ∈ Rm |A · B| ≤ |A| |B| se A ∈ L(Rm ; Rn ) e B ∈ L(Rk ; Rm ). Observa¸ c˜ ao: Na segunda desigualdade acima, a norma em Rm deve ser tomada a mesma, tanto no espa¸co L(Rm ; Rn ) como em L(Rk ; Rm ). Como duas normas quaisquer em Rnm s˜ ao equivalentes, dada uma m seq¨ uência de transforma¸cões lineares Ak : R → Rn e uma transforma¸cão A ∈ L(Rm ; Rn ), temos lim |Ak −A| = 0 se, e somente se, cada elemento k→∞

da matriz de Ak converge para o elemento correspondente da matriz de A.

Para certas escolhas de normas em Rm e Rn , pode-se determinar a ` vezes, o norma |A| em fun¸cão dos elementos aij da matriz de A. As melhor que se tem é uma desigualdade que dá um limite superior para |A|. Na tabela seguinte, examinamos o que ocorre com as três normas usuais do espa¸co euclidiano. Nas fórmulas, o ´ındice i varia de 1 a n, enquanto 1 ≤ j ≤ m.

66

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Norma em Rm

Norma em Rn

do m´ aximo

do m´ aximo

da soma

da soma

euclidiana

euclidiana

Norma de A : Rm → Rn P |A| = max( |aij |) i

j

maior “norma da soma” entre as linhas P |A| = max( |aij |) j

da soma

do m´ aximo

do m´ aximo

da soma

euclidiana

do m´ aximo

i

maior “norma da soma” entre √ as colunas |A| = λ, λ = maior autovalor de A∗ A |A| = max |aij | i,j P |A| ≤ |aij | i,j

euclidiana

do m´ aximo

da soma

euclidiana

da soma

euclidiana

euclidiana n=1 Neste caso as 3 normas

(vide valor exato de |A| na u ´ltima linha) |A| = max i

|A| ≤ |A| ≤ m |A| ≤

rP j

a2ij

P rP 2 ( aij ) i

j

rP

max(aij )2 j

i

rP i

max(aij )2 j

coincidem

f (x) = a1 x1 + ·r · · + am xm ⇒ P 2 ⇒ |f | = aj

euclidiana, n=m

|A| = max{|λ1 |, . . . , |λn |} onde λ1 , . . . , λn s˜ ao os autovalores de A

j

euclidiana, A simétrica

(repeti¸c˜ ao) do m´ aximo

da soma

|A| = max ε

P P | εj aij |, i

j

onde ε = (ε1 , . . . , εm ) é tal que εj = ±1

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

67

Exerc´ıcios §1. 1.1. Mostre que as opera¸c˜ oes usuais de soma de aplica¸c˜ oes e produto de uma aplica¸c˜ ao por um n´ umero real fazem do conjunto L(Rm ; Rn ) um espa¸co vetorial. Analogamente para o conjunto M (n × m). Mostre que as bije¸c˜ oes estabelecidas no texto entre esses conjuntos e Rnm s˜ ao isomorfismos entre espa¸cos vetoriais. Exiba explicitamente bases para os espa¸cos L(Rm ; Rn ) e M (n × m).

1.2. Seja E = L(Rm , Rn ; Rp ) o conjunto das aplica¸c˜ oes bilineares ϕ : Rm ×Rn → Rp . Mostre que as opera¸c˜ oes usuais fazem de E um espa¸co vetorial de dimens˜ ao mnp. 1.3. Seja E o espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes bilineares ϕ : Rn × Rn → R. Estabele¸ca um isomorfismo entre E e o espa¸co vetorial M (n × n) das matrizes reais n × n. Defina fun¸c˜ ao bilinear simétrica e mostre que tal isomorfismo leva fun¸c˜ oes bilineares simétricas em matrizes simétricas. Mostre que a matriz correspondente ` a fun¸c˜ ao bilinear ϕ é invert´ıvel se, e somente se, ϕ é n˜ ao-degenerada (isto é, ϕ(x, y) = 0 para todo y ∈ Rn ⇒ x = 0).

1.4. Seja E ⊂ Rn um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao m. Prove que existem n − m funcionais lineares f1 , f2 , . . . , fn−m : Rn → R tais que E = {x ∈ Rn ; f1 (x) = f2 (x) = · · · = fn−m (x) = 0}. Conclua que existe uma aplica¸c˜ ao linear sobrejetiva A : Rn → Rn−m tal que E = A−1 (0).

§2. 2.1. Para todo funcional linear f ∈ (Rn )∗ existe um u ńico vetor y ∈ Rn tal que f (x) = hy, xi qualquer que seja x ∈ Rn .

2.2. Um conjunto {u1 , . . . , ur } ⊂ Rn diz-se ortonormal quando huj , uj i = 1 e hui , uj i = 0 para i 6= j quaisquer. Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal. Se {u1 , . . . , un } é uma base ortonormal ent˜ ao x = n P n hx, ui iui para todo x ∈ R . i=1

2.3. Considere em Rm e em Rn a norma euclidiana. Dada uma aplica¸c˜ ao linear A : Rm → Rn , existe uma u ńica aplica¸c˜ ao linear A∗ : Rn → Rm , chamada a adjunta de A, tal que hAx, yi = hx, A∗ yi para quaisquer x ∈ Rm , y ∈ Rn . Dado b ∈ Rn , a equa¸c˜ ao Ax = b possui solu¸c˜ ao x ∈ Rm se, e somente se, b é ∗ ortogonal a todo elemento do n´ ucleo de A . Conclua que a imagem de A∗ e a imagem de A têm a mesma dimens˜ ao. 2.4. Uma aplica¸c˜ ao linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗ . Prove qe o conjunto S das aplica¸c˜ oes lineares simétricas constitui um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao n(n + 1)/2 em L(Rn ; Rn ). Quando A∗ = −A, diz-se que A é antisimétrica. Prove que o conjunto T das aplica¸c˜ oes lineares anti-simétricas é um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao n(n − 1)/2 em L(Rn ; Rn ) e que toda aplica¸c˜ ao linear A se escreve, de modo u ńico, como soma de uma aplica¸c˜ ao simétrica com uma anti-simétrica, isto é, L(Rn ; Rn ) = S ⊕ T .

68

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

2.5. Considere em Rm e Rn a norma euclidiana. As seguintes afirma¸c˜ oes a respeito de uma aplica¸c˜ ao linear A : Rm → Rn s˜ ao equivalentes: (i) |Ax| = |x| para todo x ∈ Rm ;

(ii) |Ax − Ay| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ Rm ;

(iii) hAx, Ayi = hx, yi para quaisquer x, y ∈ Rm ;

(iv) Todo conjunto ortonormal em Rm é transformado por A num conjunto ortonormal em Rn ; (v) A∗ A = Im (aplica¸c˜ ao identidade de Rm );

(vi) As colunas da matriz de A formam um conjunto ortonormal em Rn . Quando m = n, tem-se também AA∗ = Im e a aplica¸c˜ ao linear A chama-se ortogonal. 2.6. Se A é ortogonal ent˜ ao det A = ±1.

2.7. Dados os n´ umeros reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que he1 , e1 i = a, he1 , e2 i = he2 , e1 i = b e he2 , e2 i = c, é necess´ ario e suficiente que a > 0 e ac > b2 .

2.8. Existe em R3 um produto interno tal que he1 , e1 i = 2, he2 , e2 i = 3, he3 , e3 i = 4, he1 , e2 i = 0 e he2 , e3 i = he1 , e3 i = 1.

2.9. Se c ∈ [a, b] ent˜ ao |b − a| = |b − c| + |c − a|. Se a norma provém de um produto interno, vale a rec´ıproca. Para uma norma arbitr´ aria pode-se ter a igualdade acima com c ∈ / [a, b].

2.10. Se a norma provém de um produto interno e a 6= b em Rn s˜ ao tais que |a| ≤ r e |b| ≤ r ent˜ ao |(1 − t)a + tb| < r para todo t ∈ (0, 1). (Em particular a esfera n˜ ao contém segmentos de reta.)

2.11. Seja C ⊂ Rn um conjunto convexo. Fixado p ∈ Rn , seja ϕ : C → R a fun¸c˜ ao p definida por ϕ(x) = |x − p| = hx − p, x − pi. Existe no m´ aximo um ponto a ∈ C tal que ϕ(a) = inf{ϕ(x); x ∈ C}. 2.12. Fixe n´ umeros reais α, β com α < β e, para cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ponha |x| = sup |x1 + x2 t + · · · + xn tn−1 |. Prove que isto define uma norma em Rn , α≤t≤β

a qual n˜ ao provém de um produto interno. 2.13. Dado um subconjunto X ⊂ Rn , seu complemento ortogonal é o conjunto X ⊥ = {y ∈ Rn ; hx, yi = 0 para todo x ∈ X}, X ⊥ é um subespa¸co vetorial de Rn . Se E ⊂ Rn é um subespa¸co vetorial ent˜ ao E ⊥⊥ = E.

2.14. Sejam E ⊂ Rn um subespa¸co vetorial, (e1 , . . . , ek ) uma base ortonormal de E e a ∈ Rn um vetor arbitr´ ario. Pondo a0 = ha, e1 ie1 + · · · + ha, ek iek , o vetor a − a0 é perpendicular a todos os vetores de E, e |a − a0 | ≤ |a − y| para todo y ∈ E. A fun¸c˜ ao ϕ : E → R, definida por ϕ(y) = |a − y|, atinge seu valor m´ınimo num u ńico ponto de E, a saber, o ponto a0 . Da´ı resulta que a0 depende apenas de a, mas n˜ ao da base ortonormal escolhida em E. A aplica¸c˜ ao π : Rn → E, dada por π(a) = a0 , é linear, seu n´ ucleo é E ⊥ e todo vetor z ∈ Rn se escreve, de modo u ńico, como z = x + y, com x ∈ E e y ∈ E ⊥ , logo Rn = E ⊕ E ⊥ .

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

69

2.15. Prove que as seguintes afirma¸c˜ oes a respeito de uma aplica¸c˜ ao linear A : Rn → n R s˜ ao equivalentes: (i) Existe α > 0 tal que hAx, Ayi = α2 hx, yi, quaisquer que sejam x, y ∈ Rn ;

(ii) |Ax| = α · |x| para todo x ∈ Rn (α constante);

(iii) Se (e1 , . . . , en ) é uma base ortonormal, ent˜ ao hAei , Aej i = 0 para i 6= j e |Aei | = α para quaisquer i, j = 1, . . . , n. Quando isto ocorre, A chama-se uma semelhan¸ca. 2.16. A fim de que A : Rn → Rn seja uma semelhan¸ca, é necess´ ario e suficiente que exista α > 0 tal que (1/α) · A seja ortogonal.

§3.

a −b b a que é isomorfo ao corpo C dos n´ umeros complexos. 1 1 3.2. Dados z, w ∈ C − {0}, tem-se < ) (w, z) = < ) , . z w 3.1. O conjunto das matrizes reais 2 × 2 da forma

constitui um corpo,

3.3. Dados a = reit ∈ C − {0} e n ∈ N, a equa¸c˜ ao z n − a = 0 possui exatamente n ra´ızes, que s˜ ao os n´ umeros complexos √ t + 2πj t + 2πj zj = n r cos , + i sen n n j = 0, 1, . . . , n − 1.

3.4. As seguintes afirma¸c˜ oes a respeito de uma aplica¸c˜ ao linear A : R2 → R2 s˜ ao equivalentes: (i) A é uma semelhan¸ca e det A > 0; (ii) Existe um n´ umero complexo a 6= 0 tal que A · z = a · z (multiplica¸c˜ ao complexa) para todo z ∈ R2 .

§4.

4.1. Qualquer que seja a norma adotada em Rn (n > 1), a esfera unit´ aria S = {x ∈ Rn ; |x| = 1} é um conjunto infinito. 4.2. Dados x ∈ S[a; r] e ε > 0, prove que existem y ∈ B(a; r) e z ∈ / B[a; r] tais que |y − x| < ε e |z − x| < ε.

4.3. Se X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn s˜ ao convexos ent˜ ao seu produto cartesiano X × Y ⊂ Rm+n é convexo. 4.4. A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia arbitr´ aria de conjuntos convexos é um conjunto convexo. 4.5. Dados X, Y ⊂ Rn , seja X ∗ Y a reuni˜ ao de todos os segmentos de reta [x, y], onde x varia em X e y em Y . Se X e Y s˜ ao convexos ent˜ ao X ∗ Y é convexo.

4.6. Dados X ⊂ Rn e ε > 0, seja B(X; ε) a reuni˜ ao das bolas B(x; ε) com x ∈ X. Se X é convexo ent˜ ao B(X; ε) é convexo.

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

4.7. Dado X ⊂ Rn , a envolt´ oria convexa de X é a interse¸c˜ ao C(X) de todos os subconjuntos convexos de Rn que contêm X. Prove que C(X) é o conjunto de todas as combina¸c˜ oes lineares α1 x1 + · · · + αk xk tais que x1 , . . . , xk ∈ X, α1 ≥ 0, . . . , αk ≥ 0 e α1 + · · · + αk = 1.

§5.

5.1. Se existirem seq¨ uências de pontos xk , yk ∈ Rn com lim xk = a, lim yk = b e |yk − a| < r < |xk − b| para todo k ∈ N ent˜ ao |a − b| = r. 5.2. As seguintes afirma¸c˜ oes a respeito de uma seq¨ uência (xk ) de pontos de Rn s˜ ao equivalentes: (a) lim |xk | = +∞; k→∞

(b) (xk ) n˜ ao possui subseq¨ uência convergente; (c) Para todo conjunto limitado L ⊂ Rn , o conjunto dos ´ındices k tais que xk ∈ L é finito. 5.3. Se b ∈ B(a; r) ⊂ Rn e lim xk = b ent˜ ao existe k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ xk ∈ B(a; r). 5.4. Defina convergência e convergência absoluta (ou normal) de uma série Σxk cujos termos xk = (xk1 , . . . , xkn ) pertencem a Rn . Prove que a série Σxk converge (resp. Pconverge absolutamente) se, e somente se, para cada i = xki converge (resp. converge absolutamente). Conclua que 1, . . . , n, a série k

toda série absolutamente convergente em Rn é convergente.

5.5. Prove que lim xk = a em Rn se, e somente se, lim hxk , yi = ha, yi para todo y ∈ Rn . 5.6. Dada uma seq¨ uência de aplica¸c˜ oes lineares Ak : Rm → Rn suponha que, para m todo x ∈ R , exista Ax = lim Ak x. Prove que a aplica¸c˜ ao A : Rm → Rn , k→∞

assim definida, é linear, que lim Ak = A relativamente a qualquer norma em k→∞

L(Rm ; Rn ) e que a convergência Ak x → Ax é uniforme em toda parte limitada de Rm . ∞ P X k /k! é absolutamente con5.7. Para toda aplica¸c˜ ao X ∈ L(Rn ; Rn ), a série k=0

vergente. Indicando sua soma por eX , tem-se eX · eY = eX+Y desde que XY = Y X. Conclua que, para toda X ∈ L(Rn ; Rn ), eX é invert´ıvel, com (eX )−1 = e−X .

5.8. Toda matriz n × n é limite de uma seq¨ uência de matrizes invert´ıveis n × n.

§6.

6.1. As seguintes afirma¸c˜ oes a respeito de um ponto a ∈ Rn e um conjunto X ⊂ Rn s˜ ao equivalentes: (i) a = lim xk com xk ∈ X e xk 6= a para todo k ∈ N;

(ii) a = lim yk com yk ∈ X para todo k ∈ N e yk 6= yℓ se k 6= ℓ.

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

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6.2. Se nenhum ponto do conjunto X é ponto de acumula¸c˜ ao ent˜ ao se pode escolher, para cada ponto x ∈ X, uma bola aberta Bx , de centro x, de tal maneira que, para x 6= y em X se tenha Bx ∩ By = ∅. 6.3. Todo conjunto discreto é enumer´ avel. Noutras palavras: todo conjunto n˜ aoenumer´ avel contém um ponto de acumula¸c˜ ao.

§7. 7.1. Seja f : X → Rn cont´ınua. Dada uma seq¨ uência de pontos xk ∈ X com lim xk = a ∈ X e |f (xk )| ≤ c para todo k ∈ N ent˜ ao |f (a)| ≤ c.

7.2. Sejam f, g : X → Rn cont´ınuas no ponto a ∈ X. Se f (a) 6= g(a) ent˜ ao existe uma bola B de centro a tal que x, y ∈ B ⇒ f (x) 6= g(y).

7.3. Seja f : X → Rn cont´ınua no ponto a ∈ X. Se f (a) n˜ ao pertence ` a bola fechada B[b; r] ⊂ Rn ent˜ ao existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) ∈ / B[b; r].

7.4. Seja f : X → R cont´ınua no ponto a ∈ X. Se f (a) > 0 ent˜ ao existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) > 0.

7.5. Seja f : Rm → Rn cont´ınua. Se X ⊂ Rm é limitado ent˜ ao f (X) ⊂ Rn é limitado. 7.6. Uma aplica¸c˜ ao f : X → Rn chama-se localmente Lipschitziana quando, para todo x ∈ X, existe uma bola aberta B, de centro x, tal que f |(B ∩ X) é √ Lipschitziana. Prove que a fun¸c˜ ao f : (0, 1] → R, dada por f (x) = x, é √ localmente Lipschitziana. Mostre que a fun¸c˜ ao g : [0, 1] → R, g(x) = x, embora cont´ınua, n˜ ao é localmente Lipschitziana. 7.7. Se a aplica¸c˜ ao linear A : Rm → Rn é injetiva ent˜ ao existe c > 0 tal que |Ax| ≥ c|x| para todo x ∈ Rm .

7.8. Seja B a bola aberta de centro na origem e raio 1 em Rn . A aplica¸c˜ ao cont´ınua f : B → Rn , definida por f (x) = x/(1 − |x|), n˜ ao é uniformemente cont´ınua. 7.9. Se f : Rm → Rn é cont´ınua ent˜ ao, para cada parte limitada X ⊂ Rm , a restri¸c˜ ao f |X é uniformemente cont´ınua.

7.10. Sejam I, J intervalos da reta com interse¸c˜ ao n˜ ao-vazia. Se f : I ∪ J → Rn é tal que f |I e f |J s˜ ao uniformemente cont´ınuas ent˜ ao f é uniformemente cont´ınua.

7.11. Considerando as seq¨ uências de pontos zk = (k, 1/k) e wk = (k, 0) em R2 , prove que a aplica¸c˜ ao ϕ : R2 → R, dada por ϕ(x, y) = xy, n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Use um argumento an´ alogo para provar que uma aplica¸c˜ ao bilinear ϕ : Rm × Rn → Rp s´ o é uniformente cont´ınua se for identicamente nula.

7.12. Sejam f : X → Rn e a ∈ X. Suponha que, para todo ε > 0, exista g : X → Rn , cont´ınua no ponto a, tal que |f (x) − g(x)| < ε para todo x ∈ X. Ent˜ ao f é cont´ınua no ponto a. 7.13. Considere em Rn a norma euclidiana. Dada uma isometria f : Rn → Rn , existem um vetor b ∈ Rn e uma transforma¸c˜ ao linear (necessariamente ortogonal) A : Rn → Rn tais que f (x) = Ax + b para todo x ∈ Rn .

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

7.14. Dada uma aplica¸c˜ ao linear A : Rm → Rn , e fixadas normas em Rm e Rn , a imagem por A da esfera unit´ aria S = {x ∈ Rm ; |x| = 1} é um conjunto n limitado em R . Pondo, para cada A ∈ L(Rm ; Rn ), |A| = sup{|Ax|; x ∈ S}, a fun¸c˜ ao A 7→ |A| é uma norma no espa¸co vetorial L(Rm ; Rn ), para a qual vale a desigualdade |Ax| ≤ |A| |x| para todo x ∈ Rm . Além disso, se A ∈ L(Rm ; Rn ) e B ∈ L(Rn ; Rp ) ent˜ ao, fixadas normas em Rm , Rn e Rp , tem-se |BA| ≤ |B| |A|.

§8. 8.1. O cone C = {(x, y, z) ∈ R3 ; z ≥ 0, x2 + y 2 − z 2 = 0} é homeomorfo a R2 .

8.2. Estabele¸ca um homeomorfismo entre Rn+1 − {0} e S n × R.

8.3. Para cada c > 0, o hiperbol´ oide de revolu¸c˜ ao H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 +y 2 −z 2 = 1 c} é homeomorfo a S × R.

8.4. O quadrante P = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0} é homeomorfo ao semi-plano superior S = {(x, y) ∈ R2 ; y ≥ 0}.

8.5. Os conjuntos X = {(x, y) ∈ R2 ; y = 0, 0 < x < 1} e Y = {(x, y) ∈ R2 ; y = 0} s˜ ao homeomorfos mas n˜ ao existe um homeomorfismo h : R2 → R2 tal que h(X) = Y .

8.6. Estabele¸ca um homeomorfismo entre os conjuntos X = {x ∈ Rn ; 0 < |x| ≤ 1} (bola unit´ aria fechada menos a origem) e Y = {y ∈ Rn ; |y| ≥ 1} (complementar da bola unit´ aria aberta). 8.7. A “figura 8”é a reuni˜ ao de dois c´ırculos tangentes externamente em R2 . Defina uma bije¸c˜ ao cont´ınua de R sobre a figura 8 e mostre que sua inversa é descont´ınua. 8.8. Um conjunto X ⊂ Rn chama-se topologicamente homogêneo quando, dados a, b ∈ X quaisquer, existe um homeomorfismo h : X → X tal que h(a) = b. Prove que, para todo n ∈ N, o espa¸co Rn e a esfera S n s˜ ao topologicamente homogêneos. Por outro lado, o intervalo fechado [0, 1] n˜ ao é topologicamente homogêneo. 8.9. Toda bola aberta em Rn é topologicamente homogênea. 8.10. Sejam G um grupo multiplicativo de matrizes n × n e H ⊂ G um subgrupo. Dadas duas classes laterais aH e bH (onde a, b ∈ G), mostre que existe um homeomorfismo ϕ : G → G tal que ϕ(aH) = bH.

8.11. A proje¸c˜ ao estereogr´ afica ϕ : S 2 − {p} → R2 transforma os c´ırculos em S 2 que passam pelo p´ olo p em retas de R2 e os c´ırculos em S 2 que n˜ ao contêm o p´ olo em c´ırculos de R2 .

§9. 9.1. Sejam X ⊂ Rm ilimitado, f : X → Rn uma aplica¸c˜ ao e a ∈ Rn . Diz-se que lim f (x) = a quando, para todo ε > 0 dado, existe r > 0 tal que x ∈ X, x→∞

|x| > r ⇒ |f (x) − a| < ε. Prove que lim f (x) = a se, e somente se, para toda x→∞

seq¨ uência de pontos xk ∈ X com lim |xk | = ∞, tem-se lim f (xk ) = a. k→∞

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

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9.2. Sejam f : X → Rn uma aplica¸c˜ ao e a um ponto de acumula¸c˜ ao do conjunto X ⊂ Rm . Diz-se que lim f (x) = ∞ quando, para todo r > 0, existe δ > 0 x→a

tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| > r. Prove que lim f (x) = ∞ se, x→a

e somente se, para toda seq¨ uência de pontos xk ∈ X − {a}, com lim xk = a, tem-se lim |f (xk )| = ∞.

9.3. Seja f : X → Rn definida num conjunto ilimitado X ⊂ Rm . Defina o que se entende por lim f (x) = ∞ e dê uma caracteriza¸c˜ ao deste conceito por meio x→∞

de seq¨ uências.

9.4. Seja p : R2 → R2 um polinˆ omio complexo n˜ ao-constante. lim p(z) = ∞.

Mostre que

z→∞

9.5. Seja f : R2 → R definida por f (x, y) = (x2 − y)y/x4 se 0 < y < x2 e f (x, y) = 0 nos demais pontos. Prove que o limite de f (x, y) é zero quando (x, y) tende para (0, 0) ao longo de qualquer reta que passe pela origem mas n˜ ao se tem lim f (x, y) = 0. (x,y)→(0,0)

x2 − y 2 se x2 + y 2 6= 0 e f (0, 0) = 0. x2 + y 2 Mostre que lim ( lim f (x, y)) 6= lim ( lim f (x, y)).

9.6. Seja f : R2 → R2 definida por f (x, y) = x→0 y→0

y→0 x→0

n

9.7. Seja h : B → R o homeomorfismo da bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rn dado por h(x) = x/(1 − |x|). Fixado arbitrariamente a ∈ Rn , seja T : Rn → Rn a transla¸c˜ ao T (x) = x + a. Considere o homeomorfismo ϕ = h−1 T h : B → B. Prove que lim ϕ(x) = b para todo b ∈ ∂B. Conclua que, dados arbitrariamente x→b

¯ = d e ϕ(x) ¯ = x c, d ∈ B existe um homeomorfismo ϕ ¯ : B → B tal que ϕ(c) para todo x ∈ ∂B.

§10. 10.1. Um ponto a ∈ X é aberto em X se, e somente se, é um ponto isolado de X. Conseq¨ uentemente, um conjunto X ⊂ Rn é discreto se, e somente se, qualquer subconjunto A ⊂ X é aberto em X.

10.2. Seja h : X → Y um homeomorfismo. Um conjunto A ⊂ X é aberto em X se, e somente se, h(A) é aberto em Y . 10.3. Se A ⊂ Rn é aberto ent˜ ao sua fronteira ∂A possui interior vazio. Dê exemplo de um conjunto X ⊂ Rn cuja fronteira ∂X seja um conjunto aberto.

10.4. Para quaisquer X, Y ⊂ Rn , tem-se int(X ∩ Y ) = int X ∩ int Y e int(X ∪ Y ) ⊃ int X ∪ int Y . Dê um exemplo em que esta inclus˜ ao n˜ ao se reduz a uma igualdade. 10.5. Uma aplica¸c˜ ao f : X → Y é aberta se, e somente se, para toda bola aberta B com centro num ponto de X, f (B ∩ X) é aberto em Y .

10.6. Sejam X ⊂ Rm , Y ⊂ Rn . Uma aplica¸c˜ ao f : X → Y chama-se um homeomorfismo local quando, para cada ponto x ∈ X, existe A aberto em X, com x ∈ A, tal que f |A é um homeomorfismo de A sobre um conjunto aberto em Y . (i) Prove que ξ : R → S 1 , ξ(t) = (cos t, sen t), é um homeomorfismo

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

local; (ii) Prove que todo homeomorfismo local é uma aplica¸c˜ ao aberta; (iii) Se f : X → Y é um homeomorfismo local ent˜ ao, para todo y ∈ Y , a imagem inversa f −1 (y) é um conjunto discreto. 10.7. Seja A ⊂ Rn aberto, com n ≥ 2. Dado a ∈ Rn − A, o conjunto A ∪ {a} é aberto se, e somente se, a é um ponto isolado da fronteira ∂A. Equivalentemente: existe uma bola B = B(a; r) tal que B − {a} ⊂ A.

10.8. Seja E ⊂ Rn um subespa¸co vetorial. Se E 6= Rn ent˜ ao int E = ∅. 2

10.9. O conjunto das matrizes invert´ıveis n × n é aberto em Rn .

10.10. Uma aplica¸c˜ ao linear A : Rn → Rn diz-se positiva quando é simétrica e, além disso, hAx, xi > 0 para todo x 6= 0 em Rn . O conjunto das aplica¸c˜ oes lineares positivas é convexo e aberto no conjunto das aplica¸c˜ oes simétricas. 10.11. Seja G um grupo multiplicativo de matrizes n × n. Se int G 6= ∅ ent˜ ao G é 2 aberto em Rn . 10.12. O conjunto das aplica¸c˜ oes lineares injetivas é aberto em L(Rm ; Rn ). Idem para as sobrejetivas. 10.13. Em todo conjunto aberto n˜ ao vazio U ⊂ L(Rm ; Rn ) existe uma aplica¸c˜ ao linear injetiva (se m ≤ n) ou sobrejetiva se (m ≥ n).

10.14. Toda cole¸c˜ ao de abertos n˜ ao-vazios, dois a dois disjuntos, é enumer´ avel.

§11. 11.1. Se um aberto A contém pontos do fecho de X ent˜ ao A contém pontos de X. 11.2. Dê exemplo de conjuntos X, Y ⊂ R2 , tais que as proje¸c˜ oes de X sobre os eixos s˜ ao subconjuntos abertos de R, as de Y s˜ ao fechadas, mas nem X é aberto em R2 nem Y é fechado. 11.3. O conjunto dos pontos de acumula¸c˜ ao de um conjunto X ⊂ Rn é fechado.

11.4. Quaisquer que sejam X, Y ⊂ Rn , tem-se X ∪ Y = X ∪ Y e X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . Pode ocorrer X ∩ Y 6= X ∩ Y .

11.5. Um conjunto A ⊂ Rn é aberto se e somente se A ∩ X ⊂ A ∩ X para todo X ⊂ Rn .

11.6. Se X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn ent˜ ao X × Y = X × Y em Rm+n .

11.7. f : X → Rn é cont´ınua se, e somente se, para todo Y ⊂ X, tem-se f (X ∩ Y ) ⊂ f (Y ).

11.8. A ⊂ Rn é aberto se, e somente se, A ∩ Rn − A = ∅.

11.9. Todo subespa¸co vetorial E ⊂ Rn é um conjunto fechado. Se E 6= Rn ent˜ ao Rn − E = Rn .

11.10. O fecho de um conjunto convexo é convexo.

11.11. Seja A ⊂ Rn aberto e convexo. Prove que A = int A. Dê exemplo de um conjunto aberto n˜ ao-convexo A que seja um subconjunto pr´ oprio de int A. 11.12. Seja B(X; ε) a reuni˜ ao das bolas T abertas B(x; ε) de raio ε e centro em algum ponto x ∈ X. Prove que X = B(X; ε). ε>0

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

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11.13. Se F ⊂ Rn é fechado ent˜ ao sua fronteira ∂F tem interior vazio. 11.14. Um conjunto F ⊂ Rn é fechado se, e somente se, F ⊃ ∂F .

11.15. Todo conjunto fechado F ⊂ Rn é fronteira de algum conjunto X ⊂ Rn . 11.16. Sejam F ⊂ X ⊂ Y . Se F é fechado em X e X é fechado em Y ent˜ ao F é fechado em Y . 11.17. Sejam F , G fechados em X = F ∪ G. Se f : X → Rn é tal que suas restri¸c˜ oes f |F e f |G s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f é cont´ınua. 2

11.18. O conjunto das matrizes invert´ıveis é denso em Rn . 11.19. Sejam G um grupo multiplicativo de matrizes n × n e H um subgrupo de G. Mostre que se H for aberto em G ent˜ ao H ser´ a também fechado em G. (Sugest˜ ao: considere as classes laterais de H em G.) 11.20. Um conjunto X ⊂ Rn tem interior vazio se, e somente se, seu complementar é denso em Rn . 11.21. O conjunto das matrizes n × n com determinante 1 é um fechado ilimitado com 2 interior vazio em Rn . 11.22. Se A ⊂ X é aberto em X e D ⊂ X é denso em X ent˜ ao A ∩ D é denso em A.

n 11.23. Dada uma seq¨ uência de pontos T xk ∈ R ponhamos, para cada k ∈ N, Xk = {xk , xk+1 , . . . }. Prove que X k é o conjunto dos valores de aderência da k∈N

seq¨ uência (xk ) e conclua que tal conjunto é fechado.

11.24. (Teorema de Baire.) Sejam F1 , F2 , . . . , Fi , . . . conjuntos fechados com interior vazio em Rn . Ent˜ ao F = F1 ∪ F2 ∪ . . . tem interior vazio. Conclua que se A1 , A2 , . . . , Ai , . . . s˜ ao abertos densos em Rn ent˜ ao A = A1 ∩ A2 ∩ . . . é denso em Rn . 11.25. Todo conjunto fechado enumer´ avel possui algum ponto isolado.

§12. 12.1. O conjunto dos valores de aderência de uma seq¨ uência limitada é um conjunto compacto n˜ ao-vazio. 2

12.2. As matrizes ortogonais n × n formam um subconjunto compacto de Rn . 12.3. Todo conjunto infinito X ⊂ Rn possui um subconjunto n˜ ao-compacto.

12.4. A proposi¸c˜ ao (12.4) seria falsa se tom´ assemos conjuntos fechados F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fi ⊃ . . . em vez de compactos.

12.5. Seja X ⊂ Rn+1 −{0} um conjunto compacto que contém exatamente um ponto em cada semi-reta de origem 0 em Rn+1 . Prove que X é homeomorfo ` a esfera unit´ aria S n .

12.6. Seja X ⊂ Rn . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado ent˜ ao X é compacto. 12.7. Se todo conjunto Y ⊂ Rn homeomorfo a X for fechado ent˜ ao X é compacto.

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[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

12.8. Seja K = [0, 2π] × [0, 2π] ⊂ R2 . Defina as aplica¸c˜ oes f : K → R3 , 1 1 4 1 1 3 S × S ⊂ R e h : S × S → R pondo

g: K →

f (s, t) = ((a + b cos s) cos t, (a + b cos s) sen t, b sen s), a > b. g(s, t) = (cos s, sen s, cos t, sen t), h(g(s, t)) = f (s, t). (i) Mostre que h é bem definida e cont´ınua. (ii) h é um homeomorfismo de S 1 × S 1 sobre T = f (K) = toro gerado pela rota¸c˜ ao de um c´ırculo vertical de raio b e centro (a, 0, 0) em torno do eixo z. 12.9. Sejam K, L ⊂ Rn compactos. O conjunto K ∗L, reuni˜ ao de todos os segmentos de reta [x, y] com x ∈ K, y ∈ L, é compacto. Se F ⊂ Rn é apenas fechado e a ∈ Rn ent˜ ao a ∗ F pode n˜ ao ser fechado.

12.10. Seja C(X) a interse¸c˜ ao de todos os subconjuntos convexos de Rn que contêm X ⊂ Rn . Se X é compacto ent˜ ao C(X) também é.

12.11. Seja X ⊂ Rm . Uma aplica¸c˜ ao f : X → Rn chama-se localmente injetiva quando para cada x ∈ X existe uma bola B de centro x em Rm tal que f |(B ∩ X) é injetiva. (i) Se f é localmente injetiva ent˜ ao, para cada y ∈ Rn , a imagem −1 inversa f (y) é um conjunto discreto. (ii) Se f é cont´ınua, localmente injetiva e X é compacto ent˜ ao, para todo y ∈ Rn , a imagem inversa f −1 (y) é um conjunto finito. 12.12. Seja f : Rm → Rn cont´ınua. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (i) lim f (x) = ∞. x→∞

(ii) A imagem inversa f −1 (K) de todo compacto K ⊂ Rn é compacta. Quando isto ocorre, a aplica¸c˜ ao f diz-se pr´ opria. Se f : Rm → Rn é pr´ opria, ent˜ ao todo fechado F ⊂ Rm , tem imagem f (F ) fechada.

12.13. Seja X ⊂ Rm . Uma aplica¸c˜ ao limitada ϕ : X → Rn é cont´ınua se, e somente se, seu gr´ afico é um subconjunto fechado de X × Rn .

12.14. Sejam X ⊂ Rm , K ⊂ Rn compacto, f : X × K → Rp cont´ınua e c ∈ Rp . Suponha que, para cada x ∈ X, exista um u ńico y ∈ K tal que f (x, y) = c. Prove que esse y depende continuamente de x. 12.15. Seja f : R × R → R a fun¸c˜ ao cont´ınua definida por f (x, y) = (x2 + y 2 )(1 − xy). Para cada x ∈ R existe um u ńico y ∈ R tal que f (x, y) = 0, mas tal y n˜ ao depende continuamente de x. 12.16. Seja f : R × [0, 1) → R definida por f (x, y) = (x2 + y 2 )(1 − ye|x| ). Para cada x ∈ R, existe um u ńico y = ϕ(x) ∈ [0, 1) tal que f (x, y) = 0 mas a fun¸c˜ ao ϕ : R → [0, 1), assim definida, n˜ ao é cont´ınua. 12.17. Seja K ⊂ Rn compacto. Prove que a proje¸c˜ ao π : Rm ×Rn → Rm , π(x, y) = x, m transforma todo conjunto fechado F ⊂ R × K num fechado π(F ) ⊂ Rm .

12.18. Sejam K ⊂ Rn compacto, a ∈ Rm e U ⊂ Rm+n um aberto tal que a × K ⊂ U . Prove que existe uma bola B ⊂ Rm , de centro a, tal que B×K ⊂ U . (Sugest˜ ao: os compactos Ki = B[a; 1/i] × K têm interse¸c˜ ao a × K.)

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

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12.19. Sejam B a bola unit´ aria fechada de Rn e a ∈ Rn com |a| < 1. A aplica¸c˜ ao n n f : R → R , dada por f (x) = (1 − |x|)a + x, define um homeomorfismo de B sobre si mesmo, tal que f (0) = a e f (x) = x se |x| = 1. (Geometricamente, f (x) é o ponto do segmento de reta [a, x/|x|] tal que [x, f (x)] é paralelo a [0, a].) Conclua que se B ⊂ Rn é qualquer bola fechada e a, b ∈ int B ent˜ ao existe um homeomorfismo h : B → B tal que h(a) = b e h(x) = x para todo x ∈ ∂B. (Outra demonstra¸c˜ ao deste fato é sugerida no Exerc´ıcio 9.7.) 12.20. Toda aplica¸c˜ ao localmente Lipschitziana definida num conjunto compacto é Lipschitziana. (Vide Exerc´ıcio 7.6.)

§13.

13.1. Se U ⊂ Rn é um aberto limitado, n˜ ao existem x0 , y0 ∈ U tais que |x0 − y0 | = diam U .

13.2. Seja B = B[a; r] ⊂ Rn . Para todo x ∈ Rn , tem-se d(x, B) = max{0, |x−a|−r}.

13.3. Seja T = Rn − B[a.r]. Para todo x ∈ Rn , tem-se d(x, T ) = max{0, r − |x − a|}. 13.4. d(S, T ) = inf d(x, T ). s∈S

13.5. A fun¸c˜ ao de Urysohn de um par de fechados disjuntos F, G ⊂ Rn é uniformemente cont´ınua se, e somente se, d(F, G) > 0. 13.6. Considerando em Rn a norma euclidiana, sejam F ⊂ Rn um conjunto fechado convexo, a um ponto de Rn e y0 ∈ F tal que |a − y0 | = d(a, F ). Mostre que, para todo x ∈ F tem-se hx − y0 , a − y0 i ≤ 0.

§14. 14.1. Uma decomposi¸c˜ ao X = A ∪ B é uma cis˜ ao se, e somente se, nenhum dos conjuntos A, B contêm um ponto aderente ao outro. Isto se exprime por (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = ∅.

14.2. Um subconjunto conexo n˜ ao-vazio X ⊂ Qn consta de um u ńico ponto.

14.3. Seja E ⊂ Rn um subespa¸co vetorial pr´ oprio. O complementar Rn − E é conexo se, e somente se, dim E ≤ n − 2. 2

14.4. O conjunto das matrizes invert´ıveis n × n é um aberto desconexo em Rn . Também é desconexo (mas n˜ ao aberto) o conjunto das matrizes ortogonais. 14.5. Se X ⊂ Rm é compacto ent˜ ao toda aplica¸c˜ ao cont´ınua aberta f : X → S n é sobrejetiva. 14.6. Seja X ⊂ Rm . Uma aplica¸c˜ ao f : X → Rn diz-se localmente constante quando para cada x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f |(B ∩ X) é constante. X é conexo se, e somente se, toda aplica¸c˜ ao localmente constante f : X → Rn é constante. 14.7. Toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : X → Rn cuja imagem f (X) é um conjunto discreto é localmente constante. 14.8. Toda aplica¸c˜ ao localmente constante f : X → Rn tem imagem enumer´ avel.

14.9. Um conjunto conexo enumer´ avel X ⊂ Rn possui no m´ aximo um ponto.

78

[CAP. I: TOPOLOGIA DO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

14.10. Se X ⊂ Rm é conexo por caminhos e f : X → Rn é cont´ınua ent˜ ao f (X) é conexo por caminhos. 14.11. Se X ⊂ Rm , Y ⊂ Rn s˜ ao conexos por caminhos ent˜ ao X × Y ⊂ Rm+n é conexo por caminhos. 14.12. A reuni˜ ao de uma fam´ılia de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum é conexa por caminhos. 14.13. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode n˜ ao ser conexo por caminhos. 14.14. Seja B uma bola (fechada ou aberta) em Rn , com n ≥ 2. Para todo x ∈ B, o conjunto B − {x} é conexo.

14.15. Seja B ⊂ Rn uma bola fechada na norma euclidiana. Para todo subconjunto X ⊂ ∂B, B − X é convexo. Numa norma arbitr´ aria, B − X é conexo mas n˜ ao necessariamente convexo. 14.16. O conjunto das matrizes ortogonais n × n com determinante positivo (isto é, igual a 1) é conexo por caminhos. Conclua que o conjunto de todas as matrizes ortogonais tem duas componentes conexas. Resultados an´ alogos valem para as matrizes invert´ıveis n × n.

14.17. As componentes conexas de um subconjunto aberto em Rn s˜ ao conjuntos abertos. 14.18. Um conjunto M ⊂ Rn chama-se uma superf´ıcie de dimens˜ ao m quando, para todo x ∈ M , existem A aberto em M contendo x, A0 aberto em Rm e um homeomorfismo ϕ : A0 → A. Prove que a esfera S n ⊂ Rn+1 é uma superf´ıcie de dimens˜ ao n. 14.19. Uma superf´ıcie é conexa se, e somente se, é conexa por caminhos. 14.20. Se M ⊂ Rk é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e N ⊂ Rp é uma superf´ıcie de k+p dimens˜ ao n ent˜ ao M × N ⊂ R é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m + n. Em particular, o toro é uma superf´ıcie de dimens˜ ao 2. 14.21. Seja M uma superf´ıcie conexa. Dados dois pontos arbitr´ arios a, b ∈ M , existe um homeomorfismo h : M → M tal que h(a) = b. (Fixe a ∈ M e seja X o conjunto dos pontos x ∈ M tais que existe um homeomorfismo h : M → M com h(a) = x. Para provar que X e M −X s˜ ao ambos abertos, use o Exerc´ıcio 12.19 ou 9.7.)

§15.

n ∗ ∗ 15.1. Dadas A, B ∈ L(Rm ; R ). P ), ponha hA, Bi = tr ·AB (= tra¸co ∗da matriz AB ∗ Prove que hA, Bi = aij bij , conclua que hA, Bi = tr ·A B = tr ·B A = i,j

∗ m tr ; Rn ) e que, pondo ||A|| = p·BA , que hA, Bi é um produto interno em L(R m hA, Ai, tem-se |Ax| ≤ ||A||·|x| para todo x ∈ R (onde |x| e |Ax| s˜ ao normas euclidianas).

15.2. Seja G o grupo das matrizes invert´ıveis n × n. Mostre que se A ∈ G e |Ax| ≥ |c| |x| para todo x ∈ Rn ent˜ ao |A−1 | ≤ 1/c. Conclua que se X ∈ G e |X − −1 A| < c/2 ent˜ ao |X | ≤ 2/c. Em seguida, use a identidade X −1 − A−1 =

˜ LINEAR [SEC. 15: A NORMA DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO

79

X −1 (I − XA−1 ) para mostrar que lim X −1 = A−1 . Logo f : G → G, dada por f (X) = X −1 , é cont´ınua.

X→A

15.3. Dada A ∈ L(Rm ; Rn ), supomos fixadas uma norma em Rm , outra em Rn e pomos, como no texto, |A| = sup{|Ax|; x ∈ Rm , |x| = 1}. Prove que |A| = inf{c ∈ R; |Ax| ≤ c|x| para todo x ∈ Rm }.

m n 15.4. Nas condi¸c˜ oes do exerc´ıcio anterior, se tomarmos em rPR e R as normas provenientes do produto interno, prove que |A| ≤ a2ij , onde (aij ) é a i,j

matriz de A.

Cap´ıtulo II

Caminhos no Espa¸ co Euclidiano Nota. A fim de não restringir desnecessariamente a generalidade no estudo da integra¸cão e do comprimento de caminhos, divergiremos, neste cap´ıtulo, da terminologia adotada no anterior, onde todos os caminhos eram cont´ınuos, por defini¸cão. A partir do próximo cap´ıtulo, porém, os caminhos voltarão a ser cont´ınuos.

1

Caminhos diferenci´ aveis

Um caminho em Rn é uma aplica¸cão f : I → Rn , cujo dom´ınio é um intervalo I ⊂ R. Para cada t ∈ I, temos f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)). As n fun¸cões fi : I → R s˜ ao chamadas as fun¸co ˜es coordenadas de f . Escreve-se, então, f = (f1 , . . . , fn ). O caminho f : I → Rn é cont´ınuo no ponto a ∈ I se, e somente se, cada uma das suas fun¸cões coordenadas é cont´ınua nesse ponto. Mais geralmente, sabemos que se f = (f1 , . . . , fn ) é definida num conjunto X ⊂ R e a é um ponto de acumula¸cão de X, então lim f (t) = b = t→a

(b1 , . . . , bn ) se, e somente se, lim fi (t) = bi para cada i = 1, 2, . . . , n. t→a

Como X ⊂ R, têm sentido os limites laterais lim f (t) e lim f (t), t→a−

t→a+

o primeiro quando a é ponto de acumula¸cão à esquerda e o segundo quando a é ponto de acumula¸cão à direita. O vetor velocidade do caminho f : I → Rn no ponto a ∈ I é, por

´ [SEC. 1: CAMINHOS DIFERENCIAVEIS

81

defini¸cão, o limite f (a + t) − f (a) , t→0 t

f ′ (a) = lim

` vezes escreveremos df (a) ou Df (a) em quando tal limite existe. As dt vez de f ′ (a). A norma |f ′ (a)| chama-se a velocidade escalar de f no ponto a. Quando o caminho f possui vetor velocidade num ponto, dizemos que f é diferenci´ avel nesse ponto. Se existe f ′ (a) para todo a ∈ I, dizemos que f : I → Rn é um caminho diferenci´ avel. ′ O vetor velocidade f (a), quando é diferente de zero, determina a reta tangente ao caminho f no ponto f (a), a saber, a reta L = {f (a) + t · f ′ (a); t ∈ R}.

′ ) f (a

f (a)

f (a + t)

Como as coordenadas do “vetor secante”[f (a + t) − f (a)]/t s˜ ao os n´ umeros [fi (a+t)−fi (a)]/t, vemos que o caminho f possui vetor tangente no ponto a se, e somente se, cada uma das suas fun¸cões coordenadas fi possui derivada nesse ponto. No caso afirmativo, tem-se f ′ (a) = (f1′ (a), . . . , fn′ (a)). Assim, o caminho f : I → Rn é diferenci´ avel se, e somente se, cada uma das suas fun¸cões coordenadas fi : I → R é uma fun¸cão real diferenci´ avel no intervalo I. Em particular, a diferenciabilidade do caminho f não depende da norma que estivermos utilizando em Rn . A fim de que o caminho f : I → Rn seja diferenci´ avel no ponto a ∈ I, n é necessário e suficiente que exista um vetor v ∈ R tal que, para a+t ∈ I se tenha r(t) = 0. t→0 t

f (a + t) = f (a) + t · v + r(t), onde lim No caso afirmativo, tem-se v = f ′ (a).

82

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Com efeito, a primeira igualdade acima significa que, para t 6= 0, r(t) f (a + t) − f (a) = − v. t t A condi¸cão de diferenciabilidade de f no ponto a pode ser expressa, equivalentemente, assim: f (a + t) = f (a) + t[f ′ (a) + ρ(t)], onde lim ρ(t) = 0. t→0

Basta pôr ρ(t) = r(t)/t, se t 6= 0, e ρ(0) = 0. A no¸cão de derivada lateral se define, para caminhos, de modo an´ alogo ao caso de fun¸cões reais. Tem-se f ′ (a+ ) = (f1′ (a+ ), . . . , fn′ (a+ )) e f ′ (a− ) = (f1′ (a− ), . . . , fn′ (a− )). Existe o vetor velocidade de f no ponto a se, e somente se, existem e s˜ ao iguais as derivadas laterais nesse ponto. Exemplo 1. Seja f : R → R2 dado por f (t) = (cos t, sen t) = eit . A imagem do caminho f é o c´ırculo unit´ ario S 1 . Para todo t ∈ R, o vetor ′ velocidade de f é f (t) = (− sen t, cos t) = ieit . A velocidade escalar é constante: |f ′ (t)| = 1. Exemplo 2. O caminho g : R → R2 , definido por g(t) = (t, |t|), possui vetor velocidade g ′ (t) = (1, 1) para todo t > 0 e g ′ (t) = (1, −1) para t < 0. No ponto t = 0, as derivadas laterais g ′ (0−) = (1, −1) e g ′ (0+) = (1, 1) existem mas s˜ ao diferentes. Logo g não possui vetor velocidade no ponto 0. A imagem de g é o gr´ afico da fun¸cão y = |x|, que apresenta um ponto anguloso na origem. Podemos descrever a mesma imagem por meio de outra “parametriza¸cão”, considerando, por exemplo, o caminho h : R → R2 , com h(t) = (t3 , |t|t2 ). Temos h(R) = g(R). Para t < 0, h′ (t) = (3t2 , −3t2 ) e, para t > 0, h′ (t) = (3t2 , 3t2 ). No ponto t = 0, as derivadas laterais s˜ ao ambas nulas, logo existe h′ (0) = (0, 0). Em outras palavras: para descrever a rota h(R), o ponto cuja posi¸cão no tempo t é h(t) precisou dar uma parada instantânea ao atingir o ponto anguloso (0, 0) de sua trajet´ oria. (Veja Exerc´ıcio 1.15.)

´ [SEC. 1: CAMINHOS DIFERENCIAVEIS

83

y

y h(R) = g(R)

f ′ (t) f (t)

0

x

0

x

As propriedades usuais da derivada de uma fun¸cão real de uma variável real, quando aplicadas às fun¸cões coordenadas de um caminho, conduzem imediatamente ` as seguintes regras de deriva¸cão: d [f (t) + g(t)] = f ′ (t) + g ′ (t), dt d [α(t) · f (t)] = α′ (t)f (t) + α(t)f ′ (t), dt d hf (t), g(t)i = hf ′ (t), g(t)i + hf (t), g ′ (t)i, dt d hf (t), f ′ (t)i |f (t)| = se f (t) 6= 0. dt |f (t)| Acima, f, g : I → Rn s˜ ao caminhos diferenci´ aveis e α : I → R é uma fun¸cão diferenci´ avel. A norma |f (t)| ´ e a que prov´ em do produto interno p otese será feita sempre hf (t), g(t)i, isto é, |f (t)| = hf (t), f (t)i. Esta hip´ que tomarmos a derivada de |f (t)|. Exemplo 3. Se a norma não provém de um produto interno, podemos perfeitamente ter um caminho diferenci´ avel f : I → Rn , com f (t) 6= 0 para todo t ∈ I, para o qual a fun¸cão ϕ(t) = |f (t)| não é diferenci´ avel. Por exemplo, consideremos a norma do m´ aximo em R2 . O caminho f : R → R2 , dado por f (t) = (1, t) é obviamente diferenci´ avel. Mas |f (t)| = |t| se |t| ≥ 1 e |f (t)| = 1 se |t| ≤ 1. Logo, a fun¸cão |f (t)| não possui derivada em cada um dos pontos t = −1 e t = 1. Resulta da fórmula da derivada de |f (t)| que, dado um caminho diferenci´ avel f : I → Rn , o vetor f (t) tem comprimento constante se, e

84

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

somente se, para cada valor do parˆ ametro t, o vetor velocidade f ′ (t) é perpendicular ao “vetor posi¸cão”f (t). Exemplo 4. O caminho f : R → R2 , dado por f (t) = (cos t, sen t), é tal que |f (t)| = 1 para todo t. Por isso f ′ (t) = (− sen t, cos t) é, para todo t ∈ R, perpendicular a f (t). Neste exemplo, temos também |f ′ (t)| = 1 mas isto é acidental. Se tomarmos g : R → R2 , com g(t) = (cos t2 , sen t2 ), ainda vale |g(t)| = 1 para todo t, mas g ′ (t) = (−2t sen t2 , 2t cos t2 ) tem comprimento variável, igual a 2|t|. Continua porém sendo g ′ (t) perpendicular a g(t). Se o caminho f : I → Rn é diferenci´ avel, tem sentido considerar o caminho derivado f ′ : I → Rn e indagar se ele é cont´ınuo, diferenci´ avel, ′ etc. Quando f é cont´ınuo, diz-se que f é um caminho de classe C 1 . Pode-se então investigar a existência da derivada de f ′ . Quando existe, o vetor (f ′ )′ (a) = f ′′ (a) chama-se a derivada segunda de f no ponto a, ou o vetor acelera¸ca õ do caminho f no ponto a. Tem-se f ′′ (a) = ′′ ′′ (f1 (a), . . . , fn (a)). Se existe f ′′ (t) para todo t ∈ I, diz-se que f é duas vezes diferenci´ avel e fica definido o caminho f ′′ : I → Rn . Quando f ′′ é cont´ınuo, dizemos que f é um caminho de classe C 2 . Prosseguindo, diremos que o caminho f : I → Rn é p + 1 vezes diferenci´ avel quando existir o caminho f (p) : I → Rn (derivada de ordem p de f ) e for derivável. Então poremos f (p+1) = (f (p) )′ . Quando f (p) for de classe C 1 , diremos que f é de classe C p+1 . Diremos que o caminho f : I → Rn é p vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ I quando existir δ > 0 tal que f é de classe C p−1 no intervalo J = {t ∈ I; |t − a| < δ} e f (p−1) for diferenci´ avel no ponto a. Por extensão, diremos que um caminho cont´ınuo é de classe C 0 e que f = f (0) é sua própria “derivada de ordem zero”. Quando existirem as derivadas de todas as ordens do caminho f , diremos que f é infinitamente derivável, ou de classe C ∞ . Para 0 ≤ p ≤ ∞, escreveremos f ∈ C p para indicar que f é um caminho de classe C p . Dado f = (f1 , . . . , fn ), tem-se f ∈ C p se, e somente se, fi ∈ C p para cada i = 1, . . . , n. Seja p > 0. Diremos que o caminho f : I → Rn é de classe C p por partes quando f for cont´ınuo e, além disso, possuir derivadas cont´ınuas até a ordem p, inclusive, salvo num conjunto finito de pontos de I. Nesses pontos, f deve possuir derivadas laterais cont´ınuas até a ordem p, inclusive.

85

[SEC. 2: INTEGRAL DE UM CAMINHO

Exemplo 5. Para todo p ≥ 0, o caminho f : R → R2 , definido por f (t) = (tp+1 , tp |t|), é de classe C p , e de classe C ∞ por partes.

2

Integral de um caminho

Seja f : [a, b] → Rn um caminho limitado, definido no intervalo compacto [a, b]. Sabemos que uma parti¸ca õ de [a, b] é um conjunto finito P = {t0 < t1 < · · · < tk } onde t0 = a e tk = b. A norma da parti¸cão P é o n´ umero |P | = max (ti − ti−1 ). Uma parti¸ca õ pontilhada é um 1≤i≤k

par P ∗ = (P, ξ) onde P é uma parti¸cão e ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) é tal que ti−1 ≤ ξi < ti para todo i = 1, . . . , k. Dados f e uma parti¸cão pontilhada P ∗ , formamos a soma de Riemann: ∗

Σ(f ; P ) =

k X i=1

(ti − ti−1 )f (ξi ).

Diremos que o vetor v ∈ Rn é o limite das somas de Riemann Σ(f ; P ∗ ) quando a norma de P tende para zero se, para todo ε > 0 dado, existir δ > 0 tal que |P | < δ ⇒ |v −Σ(f ; P ∗ )| < ε. Neste caso, escreveremos v = lim Σ(f ; P ∗ ), diremos que o caminho f é integr´ avel, chamaremos |P |→0

v a integral do caminho f no intervalo [a, b] e usaremos a nota¸cão v = Rb a f (t) dt. Portanto Z b f (t) dt = lim Σ(f ; P ∗ ). |P |→0

a

Nem sempre, é claro, existe o limite acima. A fim de que o caminho limitado f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] → Rn seja integrável, é necessário e suficiente que cada uma das fun¸cões coordenadas fi : [a, b] → R seja integrável. No caso afirmativo, temos Z b Z b Z b fn (t) dt . f1 (t) dt, . . . , f (t) dt = a

a

a

Da igualdade acima, e da propriedade an´ aloga para fun¸cões reais, resulta que se f : [a, b] → Rn é integrável e c ∈ [a, b] então f |[a, c] e f |[c, b] s˜ ao integráveis e Z b Z c Z b f (t) dt. f (t) dt + f (t) dt = a

a

c

86

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade do caminho limitado f : [a, b] → Rn . Para cada i = 1, . . . , n, seja Di o conjunto dos pontos de descontinuidade da sua i-ésima fun¸cão coordenada fi : [a, b] → R. Temos D = D1 ∪ · · · ∪ Dn . Sabemos que fi é integrável se, e somente se, Di tem medida nula. Assim, o caminho f é integrável se, e somente se, o conjunto D dos seus pontos deRdescontinuidade tem medida nula. b A integrabilidade de f e o valor a f (x) dx não dependem da norma tomada em Rn . Exemplo 6. Seja f : [0, 2π] → R2 , f (t) = (cos t, sen t). Então Z

2π

f (t) dt =

0

Z

2π

cos t dt,

Z

2π

sen t dt

0

0

= (0, 0).

2 2 Por R 1 outro lado, se g : [0, 1] → R é dado por g(t) = (t, t ), então 0 g(t) dt = (1/2, 1/3). Sejam f, g : [a, b] → Rn caminhos integráveis. Segue-se da defini¸cão que, para α, β ∈ R arbitr´ arios, o caminho αf + βg é integrável e

Z

b

[αf (t) + βg(t)] dt = α

a

Z

b

f (t) dt + β

Z

b

g(t) dt.

a

a

A condi¸cão de integrabilidade em termos da medida do conjunto dos pontos de descontinuidade mostra que f : [a, b] → Rn integrável implica |f | : [a, b] → R integrável. Além disso, para qualquer norma tomada em Rn , temos: Z b Z b ≤ |f (t)| dt. f (t) dt a

a

Para verificar esta desigualdade, basta observar que, dada qualquer parti¸cão pontilhada P ∗ = (P, ξ), tem-se |Σ(f ; P ∗ )| = |Σ(ti − ti−1 )f (ξi )| ≤ Σ(ti − ti−1 )|f (ξi )| = Σ(|f |; P ∗ ). Logo Z b f (t) dt = | lim Σ(f ; P ∗)| = lim |Σ(f ; P ∗)| ≤ lim Σ(|f |; P ∗) = |P |→0 |P |→0 |P |→0 a Z b |f (t)| dt. = a

´ ´ [SEC. 3: OS TEOREMAS CLASSICOS DO CALCULO

87

Rb Da´ı resulta que se |f (t)| ≤ M para todo t ∈ [a, b] então | a f (t) dt| ≤ M (b − a). Deve-se notar, porém, que, para n > 1, se f : [a, b] → Rn é cont´ınuo e |f (t)| ≥ c > 0 para todo t ∈ [a, b], não se pode concluir que Rb a f (t) dt 6= 0. (Veja o Exemplo 6 acima.) Diretamente a partir da defini¸cão vemos que se f : [a, b] → Rm é integrável e A : Rm → Rn é uma transforma¸cão linear, então A·f : [a, b] → Rn é integrável e Z

3

b a

A · f (t) dt = A ·

Z

a

b

f (t) dt .

Os teoremas cl´ assicos do C´ alculo

Regra da Cadeia. Sejam ϕ : I → J uma fun¸ca õ real diferenci´ avel no n ponto a ∈ I e f : J → R um caminho diferenci´ avel no ponto b = ϕ(a). Ent˜ ao f ◦ ϕ : I → Rn é um caminho diferenci´ avel no ponto a e, além disso, (f ◦ ϕ)′ (a) = ϕ′ (a) · f ′ (ϕ(a)). Basta aplicar a regra da cadeia às fun¸cões fi ◦ ϕ, que s˜ ao as fun¸cões coordenadas do caminho f ◦ ϕ. Note que, na fórmula acima, ϕ′ (a) é um n´ umero e f ′ (ϕ(a)) é um df vetor. Pondo x = ϕ(t) e adotando as nota¸cões cl´ assicas = (f ◦ ϕ)′ , dt df df dx df = f ′ , a regra da cadeia se lê: = · · dx dt dt dx Podemos interpretar a fun¸cão composta t 7→ f (ϕ(t)) como uma mudan¸ca de variável no caminho f . A fórmula (f ◦ ϕ)′ (a) = ϕ′ (a) · f ′ (ϕ(a)) diz que, ao efetuar-se uma tal mudan¸ca de variável no caminho f , (o que equivale a descrever o mesmo percurso de outra maneira) o vetor velocidade em cada ponto se altera apenas pela multiplica¸cão por um escalar. Exemplo 7. Sejam f : R → R2 e ϕ : R → R definidas por f (x) = (cos x, sen x) e ϕ(t) = t2 . Então f ◦ ϕ : R → R2 é o caminho definido por f ◦ ϕ(t) = (cos t2 , sen t2 ). Para todo t ∈ R, temos (f ◦ ϕ)′ (t) = (−2t sen t2 , 2t cos t2 ) = 2t · f ′ (ϕ(t)), m´ ultiplo escalar do vetor velocidade de f no ponto ϕ(t). Do mesmo modo que a regra da cadeia, os seis primeiros teoremas abaixo se demonstram simplesmente observando que se f = (f1 , . . . , fn ) Rb Rb Rb então f ′ = (f1′ , . . . , fn′ ) e a f (t) dt = a f1 (t) dt, . . . , a fn (t) dt e,

88

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

em seguida, aplicando o teorema correspondente para fun¸co˜es reais de uma variável real, demonstrado no vol. 1. Mudan¸ ca de vari´ avel na integral. Sejam f : [a, b] → Rn um caminho cont´ınuo e ϕ : [c, d] → [a, b] uma fun¸ca õ com derivada integr´ avel. Ent˜ ao Z d Z ϕ(d) f (ϕ(t)) · ϕ′ (t) dt. f (x) dx = c

ϕ(c)

Teorema Fundamental do C´ alculo. Seja f : [a, a + h] → Rn um caminho com derivada integr´ avel. Ent˜ ao Z a+h Z 1 f (a + h) − f (a) = f ′ (t) dt = h f ′ (a + th) dt. a

0

Seja f : [a, b] → Rn um caminho integrável. A integral R x indefinida de n f é o caminho F : [a, b] → R , definido por F (x) = a f (t) dt. Como vimos acima, se |f (t)| ≤ M para todo t ∈ [a, b], então |F (x) − F (y)| ≤ M |x − y| sejam quais forem x, y ∈ [a, b], logo F satisfaz a uma condi¸cão de Lipschitz.

Deriva¸ c˜ ao da integral indefinida. Se o caminho integr´ avel f : [a, b] → n R é cont´ınuo no ponto c, ent˜ ao F é diferenci´ avel nesse ponto e F ′ (c) = f (c). F´ ormula de Taylor infinitesimal. Seja f : I → Rn um caminho p vezes diferenci´ avel no ponto a. Para todo h tal que a+h ∈ I, escrevamos: hp (p) f (a + h) = f (a) + h · f ′ (a) + · · · + f (a) + rp (h). p! rp (h) = 0. h→0 hp F´ ormula de Taylor com resto integral. Seja f : [a, a + h] → Rn um caminho p vezes diferenci´ avel no intervalo [a, a + h], com f (p) integr´ avel. Ent˜ ao hp−1 f (a + h) = f (a) + h · f ′ (a) + · · · + f (p−1) (a) + rp (p − 1)! Ent˜ ao lim

onde

hp rp = (p − 1)! 1 = (p − 1)!

Z

0

Z

a

1

(1 − t)p−1 f (p) (a + th)dt =

a+h

(a + h − x)p−1 · f (p) (x) dx.

´ ´ [SEC. 3: OS TEOREMAS CLASSICOS DO CALCULO

89

Diferenciabilidade uniforme. Um caminho f : [a, b] → Rn é de classe C 1 se, e somente se, é uniformemente diferenci´ avel. (Isto é, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que x, x + h ∈ [a, b], 0 < |h| < δ ⇒ |f (x + h) − f (x) − f ′ (x) · h| < ε|h|.) Isto decorre do teorema an´ alogo para fun¸cões reais (Vol. 1, pág. 277), de acordo com as seguintes observa¸cões: 1o¯ A diferenciabilidade uniforme de f não depende da norma considerada em Rn (levando em conta que duas normas quaisquer s˜ ao equivalentes); 2o¯ O caminho f é uniformemente diferenci´ avel na norma do m´ aximo se, e somente se, cada uma das suas fun¸cões coordenadas fi o é; avel se, e 3o¯ Uma fun¸cão fi : [a, b] → R é uniformemente diferenci´ 1 somente se, é de classe C . Examinaremos agora o Teorema do Valor Médio para caminhos. De in´ıcio observemos que, dado um caminho diferenci´ avel f : [a, b] → Rn , com n > 1, nem sempre existe c ∈ [a, b] tal que f (b)−f (a) = (b−a)·f ′ (c). Basta tomar f : [0, 2π] → R2 , f (t) = (cos t, sen t). Como |f ′ (t)| = 1 para todo t ∈ [0, 2π] e f (2π) − f (0) = 0, não pode existir c ∈ [0, 2π] com f (2π) − f (0) = 2π · f ′ (c). Assim, para caminhos num espa¸co euclidiano de dimens˜ ao maior do que 1, não vale um teorema do valor médio sob forma de igualdade. Tem-se, porém, uma desigualdade muito u ´til, que demonstraremos agora. Teorema do valor m´ edio. Seja f : [a, b] → Rn um caminho cont´ınuo, diferenci´ avel no intervalo aberto (a, b). Se |f ′ (t)| ≤ M para todo t ∈ (a, b), ent˜ ao |f (b) − f (a)| ≤ M · (b − a). O método de tomar cada fun¸cão coordenada e aplicar a ela o teorema an´ alogo para fun¸cões reais não funciona aqui. Vamos apresentar duas demonstra¸cões desta importante desigualdade.

Primeira demonstra¸ c˜ ao: (V´ alida apenas quando f ′ é integrável em cada subintervalo compacto [c, d] ⊂ (a, b).) Pelo Teorema Fundamental do C´ alculo, temos f (d) − f (c) =

Z

c

d

f ′ (t) dt, donde |f (d) − f (c)| ≤ M · (d − c)

90

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

para todo [c, d] ⊂ (a, b). Como f é cont´ınua nos pontos a e b, fazendo c → a e d → b na u ´ltima desigualdade acima, obtemos |f (b) − f (a)| ≤ M · (b − a).

Segunda demonstra¸ c˜ ao: (V´ alida em geral.) – Ser´ a baseada em dois lemas: Lema 1. Seja f : I → Rn diferenci´ avel no ponto c ∈ I. Dadas as seq¨ uências de n´ umeros ak 6= bk em I, com ak ≤ c ≤ bk e lim ak = lim bk = c, tem-se f (bk ) − f (ak ) · k→∞ bk − ak

f ′ (c) = lim

Demonstra¸ c˜ ao: N˜ ao há perda de generalidade em supor que ak < c < bk para todo k pois, se existirem infinitos ´ındices k para os quais ak = c ou bk = c, eles determinarão subseq¨ uências de [f (bk ) − f (ak )]/(bk − ak ) ′ que obviamente convergir˜ ao para f (c). Ora, podemos escrever (*)

f (ak ) − f (c) f (bk ) − f (c) f (bk ) − f (ak ) + tk , = (1 − tk ) bk − ak bk − c ak − c

onde tk = (ak − c)/(ak − bk ) e portanto 1 − tk = (bk − c)/(bk − ak ). Note que 0 ≤ tk ≤ 1. Se chamarmos de Qk , Rk e Sk os três quocientes da igualdade (*), na ordem em que aparecem, temos Qk = (1−tk )Rk +tk Sk . Logo, para cada k ∈ N, o ponto Qk pertence ao segmento de reta em Rn cujos extremos s˜ ao Rk e Sk . Como lim Rk = lim Sk = f ′ (c), concluimos que lim Qk = f ′ (c), o que prova o lema. Lema 2. Sejam f : [a, b] → Rn e ϕ : [a, b] → R cont´ınuas, e diferenci´ aveis no intervalo aberto (a, b). Se |f ′ (t)| ≤ ϕ′ (t) e ϕ′ (t) > 0 para todo t ∈ (a, b) ent˜ ao |f (b) − f (a)| ≤ ϕ(b) − ϕ(a).

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos inicialmente que f e ϕ sejam diferenci´ aveis no intervalo fechado [a, b] e admitamos, por absurdo, que |f (b) − f (a)| > ϕ(b) − ϕ(a). Então existe A > 1 tal que |f (b) − f (a)| > A · [ϕ(b) − ϕ(a)]. Neste caso, dividindo o intervalo [a, b] ao meio, pelo menos uma das metades, digamos [a1 , b1 ], seria tal que |f (b1 ) − f (a1 )| > A · [ϕ(b1 ) − ϕ(a1 )]. Analogamente, pelo menos uma das metades do intervalo [a1 , b1 ], digamos [a2 , b2 ], seria tal que |f (b2 ) − f (a2 )| > A · [ϕ(b2 ) − ϕ(a2 )]. Prosseguindo, obteremos uma seq¨ uência de intervalos [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ · · · ⊃ [ak , bk ] ⊃ . . . tais que bk − ak = (b − a)/2k e |f (bk ) − f (ak )| >

´ ´ [SEC. 3: OS TEOREMAS CLASSICOS DO CALCULO

91

A · [ϕ(bk ) − ϕ(ak )] para todo k ∈ N. Então lim ak = lim bk = c ∈ [a, b] e, pelo Lema 1, |f (bk ) − f (ak )| ϕ(bk ) − ϕ(ak ) ≥ A · lim = k→∞ k→∞ bk − ak bk − ak = A · ϕ′ (c) > ϕ′ (c),

|f ′ (c)| = lim

uma contradi¸cão. O caso geral, em que se supõe que ϕ′ exista apenas no interior aberto (a, b), reduz-se ao anterior pois temos |f (d) − f (c)| ≤ ϕ(d) − ϕ(c) para todo [c, d] ⊂ (a, b). Como f e ϕ s˜ ao cont´ınuas nos pontos a e b, podemos passar ao limite, fazendo d → b e c → a na desigualdade acima, obtendo o Lema 2. A Desigualdade do Valor Médio segue-se do Lema 2, tomando ϕ(t) = M · t.

Observa¸ c˜ ao: A demonstra¸cão que demos para o Teorema do Valor Médio aplica-se para qualquer norma que se considere no espa¸co Rn . Quando a norma provém de um produto interno, há uma terceira demonstra¸cão, mais simples, que é a seguinte: a fun¸cão ϕ : [a, b] → R, definida por ϕ(t) = hf (t), f (b) − f (a)i, é cont´ınua, e possui em (a, b) a derivada ϕ′ (t) = hf ′ (t), f (b) − f (a)i. O Teorema do Valor Médio para fun¸cões reais fornece c ∈ (a, b) tal que ϕ(b) − ϕ(a) = ϕ′ (c)(b − a), ou seja: |f (b) − f (a)|2 = hf ′ (c), f (b) − f (a)i · (b − a).

A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos dá então:

|f (b) − f (a)|2 ≤ |f ′ (c)| |f (b) − f (a)|(b − a) ≤ M |f (b) − f (a)|(b − a), e da´ı |f (b) − f (a)| ≤ M (b − a).

Corol´ ario. Se o caminho f : [a, b] → Rn é cont´ınuo e possui derivada nula em todos os pontos de (a, b) ent˜ ao f é constante. Da´ı resulta, como de costume, que se dois caminhos f , g têm derivadas iguais em todos os pontos, eles diferem por uma constante. O corolário acima pode também ser demonstrado tomando-se cada coordenada de f e aplicando o resultado an´ alogo para fun¸cões reais. F´ ormula de Taylor com resto de Lagrange. Seja f: [a, a+h] → Rn um caminho de classe C p−1 , p vezes diferenci´ avel no intervalo aberto (a, a + h). Se |f (p) (t)| ≤ M para todo t ∈ (a, a + h) ent˜ ao f (a + h) = f (a) + h · f ′ (a) + · · · +

hp−1 f (p−1) (a) + rp (p − 1)!

92

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

onde |rp | ≤ M · hp /p!. Pondo a + h = b, a f´ ormula acima toma o aspecto f (b) = f (a) + (b − a)f ′ (a) + · · · +

(b − a)p−1 (p−1) f (a) + rp (p − 1)!

onde |rp | ≤ M · (b − a)p /p!

Demonstra¸ c˜ ao: Definamos o caminho g : [a, b] → Rn pondo g(t) = f (t) + (b − a)f ′ (t) + · · · +

(b − t)p−1 (p−1) f (t). (p − 1)!

Então g é cont´ınuo em [a, b] e diferenci´ avel em (a, b), com g ′ (t) = (b − a)p−1 ·f (p) (t)/(p−1)!. Logo |g ′ (t)| ≤ M (b−t)p−1 /(p−1)!. Pondo ϕ(t) = −M (b−t)p /p!, o Lema 2 se aplica, resultando |g(b)−f (a)| ≤ ϕ(b)−ϕ(a), ou seja, |rp | ≤ M (b − a)p /p!. Coment´ ario sobre as três f´ ormulas de Taylor Cada uma delas generaliza, para caminhos p vezes diferenci´ aveis, uma propriedade conhecida de caminhos apenas uma vez diferenci´ aveis. A fórmula de Taylor infinitesimal fornece uma aproxima¸cão polinomial an´ aloga ` a aproxima¸cão linear que é essencialmente a defini¸cão de derivada. Nela, supõe-se a existência das p − 1 primeiras derivadas de f numa vizinhan¸ca de a mas a p-ésima derivada f (p) é suposta existir apenas no ponto a. A fórmula em si é apenas uma defini¸cão do “resto”rp (h). A afirma¸cão importante nela é que rp (h)/hp tende para zero juntamente com h, ou seja, que o resto rp (h) é um infinitésimo de ordem ≥ p em rela¸cão a h. Tal fórmula, portanto, s´ o diz alguma coisa quando fazemos h tender para zero. Da´ı o seu nome. A fórmula de Taylor com resto de Lagrange estende, para caminhos p vezes diferenci´ aveis, o Teorema do Valor Médio. Neste caso, o acréscimo h é fixo; não se tem a m´ınima inten¸cão de fazê-lo tender a zero. A fórmula dá uma informa¸cão sobre o valor f (a + h) em termos das derivadas f (i) (a), 0 ≤ i < p, e do comportamento de f (p) (t) em todo o intervalo (a, a+h). Da´ı o nome tradicional de “teorema dos acréscimos finitos”. Aqui, a palavra “finito”est´ a em oposi¸cão a “infinitésimo”, não a “infinito”; ela visa informar que h não vai tender para zero. Finalmente, a fórmula de Taylor com resto integral é o an´ alogo, para caminhos p vezes diferenci´ avel, do Teorema Fundamental do Cálculo.

´ [SEC. 4: CAMINHOS RETIFICAVEIS

93

Ela tem um caráter “finito”, como a fórmula com resto de Lagrange, com a vantagem de exprimir o resto através de uma igualdade, sob a forma expl´ıcita de uma integral. Por outro lado, ela impõe à derivada f (p) a condi¸cão de ser integrável.

4

Caminhos retific´ aveis

Definiremos o comprimento do caminho f : [a, b] → Rn como a distância total percorrida pelo ponto m´ ovel f (t), quando o parˆ ametro t (que podemos imaginar como o tempo) varia de a até b. N˜ ao se trata do comprimento da imagem f ([a, b]): para ir de f (a) até f (b), o ponto f (t) pode passar pelo mesmo trecho várias vezes. Por exemplo, a imagem √ √ do caminho f : [− π, π] → R2 , onde f (t) = (cos t2 , sen t2 ), é o semic´ırculo X = {(x, y) ∈ S 1 ; y ≥ 0}, cujo comprimento é π. Entretanto √ √ f (t) percorre X duas vezes quando t varia de − π até π. Portanto o comprimento do caminho f , como veremos adiante, é 2π. Distinguiremos os caminhos retific´ aveis (para os quais a medida do percurso é finita) dos não-retificáveis (que percorrem uma distˆ ancia infinita num tempo finito). Admitiremos caminhos descont´ınuos, mas a continuidade não assegura retificabilidade: como será visto abaixo, quando 1 a > 0, o caminho f : [−a, a] → R, definido por f (t) = t sen se t 6= 0 t e f (0) = 0, não é retific´ avel. Note-se que, par todo t ∈ [−a, a], o ponto f (t) pertence ao intervalo [−a, a]. Entretanto, quando t se aproxima de zero, f (t) oscila infinitas vezes em torno de 0 e, nesse movimento oscilatório, a distˆ ancia total percorrida é infinita. Observemos ainda que, para ter comprimento infinito, o caminho não precisa passar infinitas vezes pelo mesmo lugar; a espiral f : [0, 1] → R2 , onde f (t) = tei/t se t 6= 0 e f (0) = 0, é um caminho injetivo não-retificável. Seja f : [a, b] → Rn um caminho. A cada parti¸cão P = {t0 , . . . , tk } do intervalo [a, b], associaremos o n´ umero ℓ(f ; P ) = |f (t1 ) − f (t0 )| + |f (t2 ) − f (t1 )| + · · · + |f (tk ) − f (tk−1 )| = =

k X i=1

|f (ti ) − f (ti−1 )|.

Quando não houver perigo de confusão, escreveremos ℓ(P ), em vez de ℓ(f ; P ). Intuitivamente, ℓ(P ) é o comprimento da poligonal inscrita no caminho f , com vértices nos pontos f (ti ).

94

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Dizemos que uma parti¸cão Q do intervalo [a, b] é mais fina do que outra parti¸cão P do mesmo intervalo quando P ⊂ Q. Mostraremos abaixo que, refinando-se uma parti¸cão, o comprimento da poligonal inscrita correspondente não diminui. Teorema 1. Se P ⊂ Q ent˜ ao ℓ(P ) ≤ ℓ(Q).

Demonstra¸ c˜ ao: Suporemos que Q = P ∪ {r}, com ti−1 ≤ r ≤ ti . (O caso geral reduz-se a este, aplicado várias vezes.) Então ℓ(Q) − ℓ(P ) = |f (ti ) − f (r)| + |f (r) − f (ti−1 )| − |f (ti ) − f (ti−1 )|. Pela desigualdade triangular, temos ℓ(Q) − ℓ(P ) ≥ 0. Dado o caminho f : [a, b] → Rn , fa¸camos P variar entre todas as parti¸cões do intervalo [a, b]. Se o conjunto dos n´ umeros ℓ(P ), assim obtidos, for limitado, diremos que f é um caminho retific´ avel e ao n´ umero ℓ(f ) = sup ℓ(P ), extremo superior dos comprimentos das poligonais P

inscritas em f , chamaremos o comprimento do caminho f . Assim, o comprimento ℓ(f ) do caminho retific´ avel f : [a, b] → Rn é caracterizado por duas propriedades: 1) ℓ(f ) ≥ ℓ(P ) para toda parti¸cão P de [a, b]; 2) Dado ε > 0, existe uma parti¸cão P tal que ℓ(P ) > ℓ(f ) − ε.

Quando n = 1, um caminho retific´ avel f : [a, b] → R chama-se uma fun¸cão de varia¸ca õ total limitada e o comprimento ℓ(f ) chama-se a varia¸ca õ total da fun¸cão f no intervalo [a, b]. Todo caminho retific´ avel f : [a, b] → Rn é limitado. Com efeito, para todo t ∈ [a, b], consideremos a parti¸cão P = {a, t, b}. Então |f (t) − f (a)| ≤ |f (a) − f (t)| + |f (t) − f (b)| = ℓ(P ) ≤ ℓ(f ). Assim, todos os pontos f (t), pertencentes ` a imagem de f , estão contidos na bola fechada de centro f (a) e raio igual ao comprimento ℓ(f ). Fixemos uma parti¸cão P0 do intervalo [a, b]. Se, na defini¸cão do comprimento de um caminho f : [a, b] → Rn , em vez de todas as parti¸cões de [a, b], considerarmos apenas aquelas que s˜ ao mais finas do que P0 , obteremos o mesmo resultado. Este é o conte´ udo do Lema. sup ℓ(P ) = sup ℓ(Q). P

Q⊃P0

Demonstra¸ c˜ ao: Evidentemente, vale ≥ acima. Por outro lado, dada qualquer parti¸cão P , considerando Q = P ∪ P0 temos Q ⊃ P0 e Q ⊃ P . Logo, pelo Teorema 1, ℓ(P ) ≤ ℓ(Q). Segue-se que sup ℓ(P ) ≤ sup ℓ(Q), P

completando assim a demonstra¸cão do lema.

Q⊃P0

´ [SEC. 4: CAMINHOS RETIFICAVEIS

95

Usaremos o lema para mostrar que se um caminho é formado pela justaposi¸cão de dois outros, com um ponto em comum, seu comprimento é igual ` a soma dos comprimentos desses dois caminhos parciais. Teorema 2. Dado c ∈ [a, b], o caminho f : [a, b] → Rn é retific´ avel se, e somente se, suas restri¸co ˜es f1 = f |[a, c] e f2 = f |[c, b] s˜ ao retific´ aveis. No caso afirmativo, tem-se ℓ(f ) = ℓ(f1 ) + ℓ(f2 ). Demonstra¸ c˜ ao: Uma parti¸cão P do intervalo [a, b] contém o ponto c se, e somente se, P = P1 ∪ P2 onde P1 é uma parti¸cão de [a, c] e P2 uma parti¸cão de [c, b]. No caso afirmativo, tem-se ℓ(f ; P ) = ℓ(f1 ; P2 ) + ℓ(f2 ; P2 ). Do lema anterior, segue-se que ℓ(f ) = sup ℓ(f ; P ) = sup ℓ(f1 ; P1 ) + sup ℓ(f2 ; P2 ) = ℓ(f1 ) + ℓ(f2 ). cω‘

p1

P2

Exemplo 8. Seja f : [0, 1] → Rn o caminho retil´ıneo f (t) = (1−t)A+tB, com A, B ∈ Rn . Sua imagem é o segmento de reta [A, B]. Para toda parti¸cão P do intervalo [0, 1], temos ℓ(P ) = |B − A|, logo o comprimento do caminho retil´ıneo f tal que f (0) = A e f (1) = B é igual a |B − A|. Em geral, se um caminho f : [a, b] → Rn tem extremidades A = f (a) e B = f (b), então ℓ(f ) ≥ |B − A|, pois P = {a, b} é uma parti¸cão tal que ℓ(P ) = |B − A|. No caso extremo em que ℓ(f ) = |B − A|, podemos assegurar que sua imagem f ([a, b]) está contida no segmento de reta [A, B], desde que a norma em Rn provenha de um produto interno. Com efeito, se existisse c ∈ [a, b] tal que C = f (c) ∈ / [A, B] então |B − A| < |B − C| + |C − A| logo ℓ(f ) ≥ |B − C| + |C − A| > |B − A|. Quando f é cont´ınua, a inclus˜ ao f ([a, b]) ⊂ [A, B] é necessariamente uma igualdade pois f ([a, b]), sendo um subconjunto conexo de [A, B], é um segmento de reta. Como contém A e B, tal segmento é igual a [A, B]. Note-se porém que, se a norma não provém de um produto interno, podemos ter |B − A| = |B − C| + |C − A| sem que C ∈ [A, B], o que permite a existência de um caminho f , com ℓ(f ) = |f (b)−f (a)|, sem que a imagem de f seja um segmento de reta. Basta tomar a norma da soma em R2 e o caminho poligonal f , formado pelo segmento [0, 1] do eixo das abcissas mais o segmento [0, 1] do eixo das ordenadas. Temos ℓ(f ) = 2. As extremidades de f s˜ ao os pontos A = (0, 1) e B = (1, 0), que cumprem |B −A| = 2, na norma da soma. Assim ℓ(f ) = |B −A| embora a imagem de f não seja um segmento de reta. Evidentemente, ℓ(f ) = 0 ⇔ f é um caminho constante.

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[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Ser ou não ser retific´ avel é uma propriedade do caminho f que não depende da norma tomada em Rn , já que duas normas quaisquer s˜ ao equivalentes. Com efeito, se |x| ≤ c||x|| para todo x ∈ Rn e c > 0 constante então, para toda parti¸cão P , temos Σ|f (ti ) − f (ti−1 )| ≤ c · Σ||f (ti ) − f (ti−1 )||. Assim, se f é retific´ avel segundo a norma | | é também retific´ avel segundo || ||. O comprimento ℓ(f ) entretanto depende da norma. O segmento de reta que liga os pontos A = √(0, 1) e B = (1, 0) no plano, tem comprimento 2 na norma da soma e 2 na norma euclidiana. Exemplos: 9. Se f é um caminho poligonal, seu comprimento é, de acordo com o Teorema 2, igual à soma dos comprimentos dos segmentos que o comp˜ oem. Em particular, para toda parti¸cão P , o n´ umero ℓ(f ; P ) = Σ|f (ti ) − f (ti−1 )| é, realmente, o comprimento da poligonal inscrita em f , cujos vértices s˜ ao os pontos f (ti ). 10. O caminho f : [0, 2] → R2 , definido por f (t) = (t, 0) para t 6= 1 e f (1) = (1, t), é descont´ınuo, porém retific´ avel. Tomando a norma euclidiana em R2 , temos ℓ(f ) = 4. Para verificar isto, basta considerar parti¸cões P que contém o ponto ti = 1.

1

0

1−δ

1 1+ε

2

Se 1 − δ é o u ´ltimo ponto antes de ε o primeiro depois de 1 na √ 1 e 1 +√ parti¸cão P , temos ℓ(P ) = 1 − δ + 1 + δ 2 + 1 + ε2 + 1 − ε. Isto mostra que ℓ(P ) ≤ 4 e que, tomando δ, ε suficientemente pequenos, podemos tornar ℓ(P ) tão próximo de 4 quanto desejamos. Logo ℓ(f ) = 4. Teorema 3. O caminho f : [a, b] → Rn é retific´ avel se, e somente se, cada uma das suas fun¸co ˜es coordenadas fi : [a, b] → R é retific´ avel (isto é, tem varia¸ca õ total limitada). Demonstra¸ c˜ ao: Como a retificabilidade de f independe da norma, tomemos em Rn a norma da soma. P Então, para toda parti¸cão P do intervalo [a, b], temos ℓ(f ; P ) = ℓ(fi ; P ). Portanto, quando P varia, 1≤i≤n

´ [SEC. 4: CAMINHOS RETIFICAVEIS

97

o conjunto dos n´ umeros ℓ(f ; P ) é limitado se, e somente se, é limitado cada um dos conjuntos de n´ umeros ℓ(f1 ; P ), . . . , ℓ(fn ; P ). Corol´ ario. Se cada fun¸ca õ coordenada do caminho f é mon´ otona ent˜ ao f é retific´ avel. Exemplo 11. O caminho cont´ınuo f : [0, 1] → R, definido por f (0) = 0 e f (t) = t sen(π/2t) para t 6= 0, não é retific´ avel. Com efeito, para t sucessivamente igual a 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/4m, f (t) assume a seq¨ uência de valores 1, 0, −1/3, 0, 1/5, 0, . . . , −1/(4m − 1), 0. Portanto, tomando k = 4m − 1 a parti¸cão P = {(0, 1/(k + 1), k, . . . , 1/3, 1/2, 1} fornece uma soma 1 1 1 1 1 1 ℓ(P ) = + + · · · + + + + + 1, k k 5 5 3 3 donde 1 1 1 1 1 1 1 ℓ(P ) ≥ + + ··· + + + + + · k+1 k 6 5 4 3 2 Como a série harmônica diverge, vemos que existem parti¸cões P que tornam ℓ(P ) tão grande quanto desejemos, portanto f não é retific´ avel. Resulta do Teorema 3 que tampouco é retific´ avel o caminho plano f : [0, 1] → R2 , onde f (t) = (t, t sen(1/t)) se t 6= 0 e f (0) = (0, 0). (Note que f é injetivo.) Isto se exprime dizendo que o gr´ afico da fun¸cão cont´ınua t 7→ t · sen(1/t) tem comprimento infinito se 0 ≤ t ≤ 1. Também tem comprimento infinito o caminho espiralado f : [0, 1] → R2 , dado por f (t) = (t cos 1/t, t sen 1/t) = t · ei/t . Neste caso, quando t → 0, o ponto f (t) tende para a origem (0, 0) dando voltas em torno dela, de modo a percorrer uma rota infinitamente longa antes de atingir a meta f (0). Já vimos no Exemplo 10 que um caminho descont´ınuo pode ser retific´ avel. Mas a descontinuidade de um caminho retific´ avel f : [a, b] → Rn num ponto c ∈ [a, b] não pode ser arbitr´ aria. Quando t → c, não podem existir dois valores de aderência distintos A e B para o caminho f . Com efeito, para oscilar indefinidamente entre A e B, o ponto variável f (t) teria que percorrer infinitas vezes uma distˆ ancia aproximadamente igual a |B − A| e então f não seria retific´ avel. De modo preciso, temos o Teorema 4. Seja f : [a, b) → Rn um caminho tal que, para cada c ∈ [a, b), a restri¸ca õ f |[a, c] é retific´ avel. Se existir K > 0 com ℓ(f |[a, c]) ≤ K para todo c ∈ [a, b] ent˜ ao existe lim f (t). t→b−

Analogamente, dado f : (a, b] → Rn tal que f |[c, b] é retific´ avel para todo c ∈ (a, b], com ℓ(f |[c, b]) ≤ K seja qual for c ∈ (a, b], ent˜ ao existe lim f (t). t→a+

98

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Demonstra¸ c˜ ao: Basta demonstrar a primeira parte. Seja então t1 < t2 < · · · < tk < . . . uma seq¨ uência crescente em [a, b), com lim tk = b. k P |f (ti ) − f (ti−1 )| ≤ K pois {a, t1 , . . . , tk } é Para todo k ∈ N, temos i=2

uma parti¸cão de [a, c], com c = tk . A série de n´ umeros reais

∞ P

i=2

|f (ti ) −

f (ti−1 )| Pé portanto convergente. Pelo critério de Cauchy, a série de ve[f (ti ) − f (ti−1 )] também é convergene. Como a reduzida de tores i≥2

ordem k − 1 desta série é igual a f (tk ) − f (t1 ), segue-se que existe lim f (tk ). Como a seq¨ uência crescente (tk ) é arbitr´ aria, concluimos que existe lim f (t). t→b−

Corol´ ario. Seja f : [a, b] → Rn retific´ avel. Para todo c ∈ [a, b], existem os limites laterais lim f (t) (se c 6= a) e lim f (t) ( se c 6= b). t→c−

t→c+

Os caminhos com a propriedade expressa pelo corolário acima chamase regulados. O conjunto dos pontos de descontinuidade de um caminho regulado é enumerável. (V. vol. 1, p. 233, Teorema 11.) Usaremos as nota¸cões f (c+ ) = lim f (t) e f (c− ) = lim f (t). t→c+

t→c−

Motivados pela integral, podemos indagar se o comprimento de um caminho f pode ser definido como ℓ(f ) = lim ℓ(f ; P ), esta igualdade |P |→0

significando que, para todo ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que |P | < δ ⇒ |ℓ(f ; P ) − ℓ(f )| < ε. A caracteriza¸cão do comprimento como limite, entretanto, s´ o é válida para uma classe especial de caminhos, que introduziremos agora. Diremos que um caminho f : [a, b] → Rn é bem regulado quando ele for regulado e, para todo c ∈ (a, b), |f (c+ ) − f (c− )| = |f (c+ ) − f (c)| + |f (c) − f (c− )|. Quando a norma provém de um produto interno, a igualdade acima significa que o ponto f (c) pertence ao segmento de reta cujos extremos s˜ ao f (c− ) e f (c+ ). Para uma norma arbitr´ aria, podemos apenas dizer − + que se f (c) ∈ [f (c ), f (c )] para todo c ∈ (a, b) então f é bem regulado. Todo caminho cont´ınuo é bem regulado. Todo caminho regulado lateralmente cont´ınuo (isto é f (c) = f (c+ ) ou f (c) = f (c− ) para todo c ∈ (a, b)) é bem regulado. Um caminho é bem regulado se, e somente

´ [SEC. 4: CAMINHOS RETIFICAVEIS

99

se, para todo c ∈ (a, b) e s < c < t, vale: lim [|f (t) − f (c)| + |f (c) − f (s)| − |f (t) − f (s)|] = 0.

s→c− t→c+

Exemplo 12. O caminho retific´ avel do Exemplo 10 não é bem regulado. Para ele, não existe lim ℓ(P ), pois se a parti¸cão P não contém o ponto |P |→0

t = 1, vale sempre ℓ(P ) = 2, enquanto que, para parti¸cões Q que contêm esse ponto, temos lim ℓ(Q) = 4. |Q|→0

Teorema 5. As seguintes afirma¸co ˜es a respeito de um caminho f : [a, b] → Rn s˜ ao equivalentes: (1) f é bem regulado e retific´ avel, com ℓ(f ) = L;

(2) existe lim ℓ(f ; P ) = L. |P |→0

Demonstra¸ c˜ ao: (1) ⇒ (2). Com efeito, dado ε > 0, seja P0 = {t0 , t1 , . . . , tk } uma parti¸cão tal que L − ε/2 < ℓ(P0 ) ≤ L. Tomemos δ > 0 menor do que o comprimento do menor dos intervalos de P0 e tal que ti − δ < s < ti < t < ti + δ ⇒ | |f (t) − f (ti )| + |f (ti ) − f (s)| − |f (t) − f (s)| | < ε/2k para todo i = 1, 2, . . . , k − 1. Afirmamos que |P | < δ ⇒ |ℓ(P ) − L| < ε. Com efeito, dada a parti¸cão P com norma menor do que δ, temos L − ε/2 < ℓ(P ∪ P0 ) ≤ L e 0 ≤ ℓ(P ∪ P0 ) − ℓ(P ) = soma de, no m´ aximo k, termos da forma |f (t) − f (ti )| + |f (ti ) − f (s)| − |f (t) − f (s)|, onde [s, t] é um intervalo de P que contém algum ponto ti em seu interior. (Os demais intervalos de P s˜ ao também de P ∪ P0 , portanto desaparecem na diferen¸ca ℓ(P ∪P0 )−ℓ(P ).) Segue-se que |P | < δ implica 0 ≤ ℓ(P ∪P0 )−ℓ(P ) < ε/2 o que, por sua vez, acarreta L − ε < ℓ(P ) ≤ L, como quer´ıamos demonstrar. (2) ⇒ (1). Dado arbitrariamente ε > 0 existe, pela hip´ otese, δ > 0 tal que |P | < δ ⇒ L − ε < ℓ(P ) < L + ε. Fixemos uma parti¸cão P0 , com norma menor do que δ. Como P ⊃ P0 ⇒ |P | ≤ |P0 | < δ, temos então L − ε < ℓ(P ) < L + ε sempre que P ⊃ P0 . Resulta assim do Lema anterior ao Teorema 2 que f é retific´ avel e que L − ε ≤ ℓ(f ) ≤ L + ε. Sendo ε > 0 arbitr´ ario, concluimos que ℓ(f ) = L. Em seguida, mostraremos que a existência do limite L = lim ℓ(P ) implica que f é |P |→0

bem regulado. Com efeito, dado um ponto arbitr´ ario c ∈ (a, b), tomemos

100

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

um seq¨ uência de parti¸cões Qk tais que lim |Qk | = 0 e c ∈ / Qk para todo k. Ponhamos Pk = Qk ∪ {c}. Então lim ℓ(Qk ) = lim ℓ(Pk ) = L e (*)

ℓ(Pk ) − ℓ(Qk ) = |f (tk ) − f (c)| + |f (c) − f (sk )| − − |f (tk ) − f (sk )|,

onde [sk , tk ] é o intervalo da parti¸cão Qk que contém c em seu interior. Evidentemente, lim f (tk ) = f (c+ ) e lim f (sk ) = f (c− ). Fazendo k → ∞ em (*) obtemos então: 0 = lim[ℓ(Pk ) − ℓ(Qk )] = |f (c+ ) − f (c)|+ + |f (c) − f (c− )| − |f (c+ ) − f (c− )|,

logo f é bem regulado. Corol´ ario. Um caminho cont´ınuo f : [a, b] → Rn tem comprimento L se, e somente se, lim ℓ(P ) = L. |P |→0

Se o caminho f : [a, b] → Rn é Lipschitziano, com |f (s) − f (t)| ≤ k|s − t| para s, t ∈ [a, b] quaisquer, então, para cada parti¸cão P do intervalo [a, b], tem-se ℓ(P ) ≤ k · (b − a). Segue-se que f é retific´ avel e seu comprimento ℓ(f ) não excede k · (b − a). Um caso particular importante dá-se quando f ∈ C 1 . Neste caso, o teorema abaixo fornece uma expressão para o comprimento de f . (Veja também Exerc´ıcio 4.12.) Teorema 6. Todo caminho f : [a, b] → Rn de classe C 1 é retific´ avel, Rb ′ com ℓ(f ) = a |f (t)| dt. Rb Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos que lim ℓ(P ) = a |f ′ (t)| dt. Seja, pois, |P |→0

dado ε > 0. Pela defini¸cão de integral, se pontilharmos a parti¸cão P = {t0 , t1 , . . . , tk } tomando sempre ξi = ti−1 ∈ [ti−1 , ti ], veremos que existe δ1 > 0 tal que |P | < δ1 implica Z k b X ′ ′ |f (ti−1 )|(ti − ti−1 ) < ε/2. |f (t)| dt − a i=1

Além disso, pela diferenciabilidade uniforme de f , existe δ2 > 0 tal que |P | < δ2 implica f (ti ) − f (ti−1 ) = [f ′ (ti−1 ) + ρi ](ti − ti−1 ), com |ρi |
0. Então poder´ıamos achar c ∈ (a, b) tal que A ≤ σ(c) < 4A/3 e da´ı A ≤ σ(t) ≤ σ(c) < 4A/3 para todo t ∈ [a, c]. Logo, ℓ(f |[t, c]) = σ(c) − σ(t) < A/3. Sendo f cont´ınua, podemos supor c tão próximo de a que t ∈ [a, c] ⇒ |f (t) − f (a)| < A/3. Então, para toda parti¸cão P do intervalo [a, c] ter´ıamos X ℓ(P ) = |f (t1 ) − f (a)| + |f (ti ) − f (ti−1 )| < i>2

A A A < + ℓ(f |[t1 , c]) < + · 3 3 3

ˆ [SEC. 5: O COMPRIMENTO DE ARCO COMO PARAMETRO

103

2A < A, uma contradi¸cão. 3 Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 9: Consideremos o diagrama abaixo Logo σ(c) = ℓ(f |[a, c]) ≤

[a, b] σ

f

Rn

g

[0, L]

Sabemos que σ é monótona e sobrejetiva. Trataremos de obter um caminho g : [0, L] → Rn que torne o diagrama comutativo. Ora, dados s < t em [a, b], temos σ(t) = σ(s) + ℓ(f |[s, t]). Portanto σ(s) = σ(t) ⇒ f constante no intervalo [s, t] ⇒ f (s) = f (t). Definamos um caminho g : [0, L] → Rn do seguinte modo: dado u ∈ [0, L], existe (pelo menos um) t ∈ [a, b] tal que σ(t) = u. Pomos g(u) = f (t). A escolha do t não afeta o valor de g, em virtude da observa¸cão que acabamos de fazer. Logo, g é bem definido e f = g ◦ σ. A continuidade de g resulta da compacidade de [a, b], já que f = g ◦ σ e σ s˜ ao cont´ınuos. [Veja Cap. 1, §12, Observa¸cão (12.6)]. Para provar que g é cadenciado tomemos um ponto s ∈ [0, L] qualquer. Existe t ∈ [a, b] tal que s = σ(t). O Teorema 7 nos permite escrever: ℓ(g|[0, s]) = ℓ((g ◦ σ) | [a, t]) = ℓ(f |[a, t]) = σ(t) = s. Isto termina a demonstra¸cão. Corol´ ario. Um caminho é retific´ avel e, e somente se, é a reparametriza¸ca õ de um caminho Lipschitziano. Com efeito, todo caminho Lipschitziano f : [a, b] → R, com |f (s) − f (t)| ≤ k|s − t|, cumpre ℓ(P ) ≤ k(b − a) para toda parti¸cão P , logo é retific´ avel, com ℓ(f ) ≤ k(b − a). Portanto qualquer reparametriza¸cão de f é também retific´ avel, pelo Teorema 7. Reciprocamente, se f é cont´ınuo e retific´ avel, então f = g ◦ σ, onde g é cadenciado. Então |g(t) − g(s)| ≤ ℓ(g|[s, t]) = |t − s|, logo g é Lipschitziano (com constante de Lipschitz k = 1). Observa¸ co ˜es: 1) Seja f : [a, b] → Rn um caminho cont´ınuo retific´ an vel. O caminho cadenciado g : [0, L] → R , do qual f é uma reparametriza¸cão, é u ńico, porque é u ńica também a fun¸cão σ : [a, b] → [0, L],

104

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

monótona e sobrejetiva, tal que g ◦ σ = f . Com efeito, destas propriedades segue-se que para todo t ∈ [a, b], temos σ(t) = ℓ(g|[0, σ(t)]) = ℓ((g ◦ σ) | [a, t]) = ℓ(f |[a, t]), o que nos leva de volta à defini¸cão de σ dada na demonstra¸cão do teorema. 2) Um caminho pode ser retific´ avel √ sem ser Lipschitziano, como por 2 exemplo f : [0, 1] → R , f (t) = (t, t). (A retificabilidade de f decorre de serem monótonas suas fun¸cões coordenadas.) Um caminho diferenci´ avel f : I → Rn diz-se regular quando f ′ (t) 6= 0 para todo t ∈ I. Uma fun¸cão f : I → J chama-se um difeomorfismo entre os intervalos I, J quando é regular e sobrejetiva. Neste caso particular (valores reais), f ′ (t) 6= 0 para todo t obriga (pelo Teorema de Darboux) que o sinal de f ′ (t) seja constante: ou temos f ′ (t) > 0 para todo t, e f é então monótona crescente ou f ′ (t) < 0 para todo t, com f decrescente. Em particular, para n = 1, um caminho regular f : I → Rn é necessariamente injetivo, o que não é verdade quando n > 1: por exemplo, f : [a, b] → R2 , f (t) = (cos t, sen t), se b − a > 2π não é injetivo. Também a cicl´ oide f : [a, b] → R2 , f (t) = (t − sen t, 1 − cos t), é um caminho regular não-injetivo quando b − a > 2π. Pelo Teorema da Fun¸cão Inversa (Vol. 1, pág. 274, Corol. 6), a inversa de um difeomorfismo f : I → J é também um difeomorfismo. Se f for de classe C k então f −1 ∈ C k . Teorema 10. Sejam f : [a, b] → Rn um caminho regular de classe C k (k ≥ 1), L = ℓ(f ) e g : [0, L] → Rn o caminho cadenciado, do qual f = g ◦ σ é uma reparametriza¸ca õ. Ent˜ ao g ∈ C k e σ : [a, b] → [0, L] é um difeomorfismo de classe C k . Em particular, g = f ◦ σ −1 também é uma reparametriza¸ca õ de f . Rt Demonstra¸ c˜ ao: Temos σ(t) = ℓ(f |[a, t]) = a |f ′ (s)| ds, logo σ ′ (t) = |f ′ (t)| > 0 para todo t ∈ [a, b]. Portanto σ : [a, b] → [0, L] é um difeomorfismo de classe C k . Seu inverso, σ −1 : [0, L] → [a, b], também é de classe C k , donde g = f ◦ σ −1 ∈ C k .

6

Curvatura e tor¸c˜ ao

Seguindo a tradi¸cão, indicaremos o parˆ ametro de um caminho cadenciado com a letra s.

˜ [SEC. 6: CURVATURA E TORC ¸ AO

105

Seja f : [a, b] → R2 um caminho cadenciado de classe C 2 no plano onde consideramos a norma euclidiana. Para cada s ∈ [a, b], o vetor velocidade f ′ (s) tem comprimento 1. Escreve-se f ′ (s) = T (s) e diz-se que T (s) é o vetor unit´ ario tangente ao caminho f no ponto f (s). Como T (s) tem comprimento constante, o vetor f ′′ (s) = T ′ (s) é perpendicular a T (s). Seja N (s) o vetor unit´ ario obtido de T (s) por meio de uma rota¸cão positiva de 90 graus, isto é, se T (s) = (α, β) então N (s) = (−β, α). Chama-se N (s) o vetor unit´ ario normal ao caminho f no ponto f (s). Existe um u ńico n´ umero real k(s) tal que T ′ (s) = k(s) · N (s). O n´ umero k(s) chama-se a curvatura do caminho f no ponto f (s). O valor absoluto da curvatura k(s) mede a rapidez com que f muda de dire¸cão; seu sinal indica a “concavidade”ou “convexidade”do caminho. B T T

N

T′ N C

T′ A

Na figura anterior, esbo¸camos a imagem de um caminho cadenciado f : [a, b] → R2 , com f (a) = A, f (b) = B e f (c) = C, a < c < b. No trecho AC, temos k < 0, enquanto que k > 0 no trecho CB. No ponto C, temos k = 0; isto é o que se chama um ponto de inflex˜ ao. Exemplo 15. Para determinar a curvatura do c´ırculo de centro (a, b) e raio r, usaremos a parametriza¸cão f (s) = (a+r·cos(s/r), b+r·sen(s/r)), a fim de termos |f ′ (s)| = 1. Então f ′ (s) = (− sen(s/r), cos(s/r)) e f ′′ (s) = 1 1 (− cos(s/r), − sen(s/r)) = N (s). Portanto, um c´ırculo de raio r tem r r curvatura constante, igual a 1/r. Como o vetor velocidade T = T (s) de um caminho cadenciado f : [a, b] → R2 , de classe C 2 , tem comprimento constante, igual a 1, o que varia nele é a dire¸cão, a qual pode ser medida pelo ângulo que T ´ natural esperar faz com uma reta fixa, digamos o eixo das abcissas. E

106

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

que a curvatura de f seja a derivada desse ângulo. Isto será demonstrado agora. Para cada s ∈ [a, b] existe θ(s) ∈ R tal que f ′ (s) = T (s) = (cos θ(s), sen θ(s)). O n´ umero θ(s) expressa, em radianos, uma das determina¸cões do ˆ angulo que o vetor T (s) forma com o eixo orientado das abcissas. Tal n´ umero não é u ńico: acha-se definido a menos de um m´ ultiplo inteiro de 2π. De acordo com o Teorema 11, que demonstraremos no par´ agrafo seguinte, é poss´ıvel escolher, para cada s ∈ [a, b], o n´ umero θ(s) de tal modo que T (s) = (cos θ(s), sen θ(s)) e a fun¸cão θ : [a, b] → R, assim definida, seja de classe C 1 . Então T ′ (s) = (−θ′ (s) · sen θ(s), θ′ (s) · cos θ(s)) = θ′ (s) · N (s). Portanto k(s) = θ(s), isto é, a curvatura de um caminho cadenciado no plano é a derivada do ˆ angulo que seu vetor velocidade faz com o eixo orientado das abcissas. Para caminhos em R3 , a curvatura perde o sinal e surge um novo invariante diferencial: a tor¸cão. Seja, pois, f : [a, b] → R3 um caminho cadenciado de classe C 3 no espa¸co R3 . O vetor unit´ ario tangente T (s) = f ′ (s) é definido como antes mas a curvatura s´ o se define nos pontos onde T ′ (s) 6= 0. Fazendo esta hip´ otese, pomos N (s) = T ′ (s)/|T ′ (s)| = vetor unit´ ario normal no ponto f (s) e k(s) = |T ′ (s)| = curvatura. Note que k(s) > 0, por defini¸cão. O plano gerado pelos vetores unit´ arios ortogonais T = T (s) e N = N (s) é afetuosamente denominado o plano osculador do caminho f no ponto f (s). O vetor binormal B = B(s) é definido pela condi¸cão de que a lista ordenada F = (T, N, B) seja uma base ortonormal positiva de R3 . Assim, |B| = 1, B é perpendicular ao plano osculador e a matriz 3 × 3 cujas colunas s˜ ao as coordenadas de T , N e B, nesta ordem, tem determinante positivo, igual a 1. A base F = F (s) = (T (s), N (s), B(s)) chama-se o triedro de Frenet do caminho f no ponto f (s). Em seguida, apresentaremos as equa¸cões de Frenet, que desempenham um papel central na Geometria Diferencial das Curvas. Elas exprimem as derivadas T ′ , N ′ e B ′ como combina¸cões lineares de T , N e B. Já sabemos que T ′ = k · N . Além disso, como N tem comprimento constante, N ′ ⊥ N , donde N ′ = x · T + w · B. Para determinar os coeficientes x, w, derivamos a igualdade hN, T i = 0, obtendo hN ′ , T i +

˜ ANGULO ˆ [SEC. 7: A FUNC ¸ AO-

107

hN, T ′ i = 0. Logo x = hN ′ , T i = −hN, T ′ i = −k. O coeficiente w = w(s) é chamado a tor¸ca õ do caminho f no ponto f (s); temos w = hN ′ , Bi = −hN, B ′ i. Logo, se escrevermos B ′ = x · T + y · N , obteremos x = hB ′ , T i = −hB, T ′ i = 0 e y = hB ′ , N i = −w. Podemos então escrever as equa¸co ˜es de Frenet: T′ = N′ = B′ =

−k · T

k·N −w · N

w·B

Pondo F ′ = (T ′ , N ′ , B ′ ), temos F ′ = A · F , onde 

0 A = −k 0

k 0 −w

 0 w 0

é uma matriz anti-simétrica. A tor¸cão w mede o desvio do caminho f em rela¸cão ao plano osculador. De fato, como veremos agora, um caminho cadenciado f , cuja tor¸cão w é identicamente nula, é um caminho plano. Basta observar que d hf (s) − f (a), Bi = w = 0 ⇒ B ′ = −w · N = 0 ⇒ B constante ⇒ ds hT, Bi = 0 ⇒ hf (s) − f (a), Bi = constante. Ora, para s = a, temos hf (a) − f (a), Bi = 0. Logo hf (s) − f (a), Bi = 0 para todo s. Assim, os pontos f (s) do caminho f acham-se situados no plano perpendicular ao vetor B, isto é, no plano osculador.

7

A fun¸c˜ ao-ˆ angulo

Seja z : [a, b] → R2 um caminho tal que |z(t)| = 1 para todo t ∈ [a, b]. Então z(t) ∈ S 1 para todo t, logo podemos escrever z : [a, b] → S 1 . Uma fun¸ca õ-ˆ angulo para o caminho z é uma fun¸cão θ : [a, b] → R tal que z(t) = (cos θ(t), sen θ(t)) para todo t ∈ [a, b]. Se indicarmos com ξ : R → S 1 a “aplica¸cão exponencial”, ξ(t) = (cos t, sen t) = eit , vemos que θ é uma fun¸cão-ângulo para o caminho z se, e somente se, z = ξ ◦ θ.

Teorema 11. Todo caminho z : [a, b] → S 1 de classe C r (r ≥ 1) possui uma fun¸ca õ-ˆ angulo de classe C r . Mais precisamente, dado θ0 ∈ R tal que z(a) = (cos θ0 , sen θ0 ), z admite uma u ńica fun¸ca õ-ˆ angulo θ : [a, b] → R, tal que θ(a) = θ0 .

108

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

Demonstra¸ c˜ ao: Primeiro a unicidade (que demonstraremos mais geralmente, para fun¸cões-ˆ angulo cont´ınuas). Sejam θ, ϕ : [a, b] → R duas fun¸cões cont´ınuas tais que ξ ◦ θ = ξ ◦ ϕ = z. Para cada t ∈ [a, b], θ(t) − ϕ(t) é um m´ ultiplo inteiro de 2π. O inteiro [θ(t) − ϕ(t)]/2π, dependendo continuamente de t ∈ [a, b], é constante. Logo θ(a) = ϕ(a) implica θ(t) = ϕ(t) para todo t ∈ [a, b]. Agora a existência de θ. Temos z(t) = (x(t), y(t)), onde x, y :[a, b]→ R s˜ ao fun¸cões de classe C r , com x(a) = cos θ0 , y(a) = sen θ0 . Como |z(t)| = 1 para todo t, o vetor z ′ = (x′ , y ′ ) é, para todo valor de t, perpendicular a z, logo é um m´ ultiplo escalar do vetor w = (−y, x). Assim, para cada t ∈ [a, b], existe um n´ umero λ = λ(t) tal que x′ = −λy e y ′ = λx. Note que a fun¸cão λ : [a, b] → R, assim definida, é de classe C r−1 pois λ = hw, z ′ i. A R t fun¸cão θ : [a, b] → R que procuramos é obtida pondo-se θ(t) = θ0 + a λ(s) ds. Vemos que θ é de classe C r , com θ(a) = θ0 e θ′ = λ. Devemos, em seguida, provar que x(t) = cos θ(t) e y(t) = sen θ(t) para todo t ∈ [a, b]. Ora, as rela¸cões θ′ = λ, x′ = −λy, y ′ = λx mostram que as fun¸cões x cos θ + y sen θ e y cos θ − x sen θ têm derivada nula, logo s˜ ao constantes. Para t = a, a primeira é igual a 1 e a segunda é zero. Resolvendo o sistema de equa¸cões lineares ( x cos θ + y sen θ = 1 −x sen θ + y cos θ = 0 em rela¸cão ` as incógnitas x, y, obtemos x = cos θ e y = sen θ. Corol´ ario 1. Seja f : [a, b] → R2 − {0} um caminho de classe C r (r ≥ 1). Dado θ0 ∈ R tal que f (a) = |f (a)|(cos θ0 , sen θ0 ), existe uma u ńica fun¸ca õ de classe C r , θ : [a, b] → R, tal que θ(a) = θ0 e f (t) = |f (t)|(cos θ(t), sen θ(t)) para todo t ∈ [a, b]. Basta tomar θ = fun¸cão-ângulo do caminho z(t) = f (t)/|f (t)| com θ(a) = θ0 .

Corol´ ario 2. Seja f : [a, b] → R2 − {0} um caminho de classe C r por partes (r ≥ 1). Dado θ0 ∈ R tal que f (a) = |f (a)|(cos θ0 , sen θ0 ), existe uma u ńica fun¸ca õ de classe C r por partes, θ : [a, b] → R, tal que θ(a) = θ0 e f (t) = |f (t)| · (cos θ(t), sen θ(t)) para todo t ∈ [a, b]. Basta mostrar que o caminho z(t) = f (t)/|f (t)|, de classe C r por partes em [a, b], admite uma fun¸cão-ângulo θ, de classe C r por partes, com θ(a) = θ0 . Se f |[a, t1 ] é de classe C r , o Teorema 11 permite definir

˜ ANGULO ˆ [SEC. 7: A FUNC ¸ AO-

109

θ no intervalo [a, t1 ]. Se f é de classe C r em [t1 , t2 ], novamente o Teorema 11 fornece uma fun¸cão-ângulo, C r por partes, para o caminho z, no intervalo [a, t2 ]. Prosseguindo analogamente, definimos θ : [a, b] → R, fun¸cão de classe C r por partes, tal que z(t) = (cos θ(t), sen θ(t)) para todo t ∈ [a, b] e θ(a) = θ0 . Isto prova o corolário, pois a unicidade é evidente. Observa¸ co ˜es: 1) Seja f : [a, b] → R2 − {0} um caminho de classe C r (r ≥ 1). Se uma fun¸cão cont´ınua θ : [a, b] → R é tal que f (t) = |f (t)|(cos θ(t), sen θ(t)) para todo t ∈ [a, b], então θ é uma fun¸cão de classe C r . Com efeito, seja ϕ uma fun¸cão-ângulo de classe C r para o caminho z(t) = f (t)/|f (t)|, tal que ϕ(a) = θ(a). Como a unicidade no Teorema 11 foi provada para fun¸cões cont´ınuas, temos ϕ(t) = θ(t) para todo t ∈ [a, b], logo θ é de classe C r . O Exerc´ıcio 7.1, adiante, pede para mostrar que todo caminho cont´ınuo z : [a, b] → S 1 admite uma fun¸cão-ângulo cont´ınua. √ 2) Na demonstra¸cão do Teorema 11, temos w = iz, onde i = −1. Logo z ′ = λ · iz. Se θ : [a, b] → R é tal que θ(a) = θ0 e θ′ = λ, então a fun¸cão f = eiθ cumpre f (a) = z(a) e f ′ = λ · if . Isto justifica a defini¸cão de θ e nos dá esperan¸ca de que seja f (t) = z(t) para todo t ∈ [a, b]. Para provar a igualdade f = z, mostramos que o quociente z/f = z · e−iθ , que é igual a 1 no ponto t = a, é constante porque tem derivada nula. Ora, z · e−iθ = (x + iy)(cos θ − i sen θ) = [x cos θ + y sen θ] + i[y cos θ − x sen θ]. Isto justifica o argumento usado na demonstra¸cão do teorema.

Exerc´ıcios §1. 1.1. Seja f : I → Rn um caminho diferenci´ avel. Se a ∈ I é ponto de acumula¸c˜ ao do conjunto f −1 (v), para algum v ∈ Rn , ent˜ ao f ′ (a) = 0.

1.2. Seja f : I → Rn um caminho diferenci´ avel, com f ′ (a) 6= 0 para algum a ∈ I. n Se existem uma reta L ⊂ R e uma seq¨ uência de n´ umeros distintos tk → a tais que f (tk ) ∈ L ent˜ ao L é a reta tangente a f no ponto f (a).

1.3. Seja f : I → Rn um caminho diferenci´ avel. Dados a ∈ Rn e r > 0, a fim de que f (t) perten¸ca, para todo t ∈ I, ` a esfera de centro a e raio r, é necess´ ario e suficiente que isto ocorra para um valor t0 ∈ I e que o vetor velocidade f ′ (t) seja perpendicular a f (t) − a, para todo t ∈ I. 1.4. Seja λ : [a, b] → Rn um caminho fechado diferenci´ avel. Mostre que existe algum t ∈ (a, b) tal que hλ(t), λ′ (t)i = 0.

110

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

1.5. Sejam f1 , . . . , fp : I → Rm caminhos diferenci´ aveis e ϕ : Rm × · · · × Rm → Rn uma aplica¸c˜ ao p-linear. Mostre que o caminho g : I → Rn , dado por g(t) = p P ϕ(f1 (t), . . . , fp (t)) é diferenci´ avel e g ′ (t) = ϕ(f1 (t), . . . , fi′ (t), . . . , fp (t)). i=1

2

Conclua que se f : (−ε, ε) → Rn é um caminho diferenci´ avel, com f (0) = I e g : (−ε, ε) → R é definida por g(t) = det .f (t), ent˜ ao g ′ (0) = tr.A (tra¸co de A), onde A = f ′ (0). 2

1.6. Seja X : I → Rn um caminho diferenci´ avel cujos valores s˜ ao matrizes n × n. n2 Fixado k ∈ N, seja f : I → R o caminho dado pela regra f (t) = X(t)k . Mostre que f é diferenci´ avel e determine f ′ (t), para todo t ∈ I. 1.7. Se uma seq¨ uência de caminhos fk : [a, b) → Rn , deriv´ aveis ` a direita, converge num ponto x0 ∈ [a, b) e suas derivadas ` a direita fk′ + : [a, b) → Rn convergem uniformemente para um caminho g, ent˜ ao (fk ) converge uniformemente para ′ um caminho f , deriv´ avel ` a direita, e vale f+ = g. X2 Xn + ··· + + . . . . Defina 2 n! 2 pondo f (t) = etA , onde A ∈ Rn é fixada. Mostre

2

1.8. Para toda matriz X ∈ Rn , seja eX = I + X + 2

um caminho f : R → Rn que f ′ (0) = A.

1.9. Estenda o Teorema de Ascoli-Arzel´ a (vol. 1, p´ ag. 412) para caminhos cont´ınuos f : [a, b] → Rn .

1.10. Seja f : I → Rn um caminho diferenci´ avel, com f ′ (a) 6= 0 para um certo a ∈ I. Uma reta L ⊂ Rn , contendo o ponto f (a), é a reta tangente a f nesse ponto se, e somente se, d(f (t), L) = 0. lim t→a |f (t) − f (a)|

1.11. Sejam f : [a, b) → R2 um caminho (admite-se b = +∞) tal que lim |f (t)| = ∞ t→b

e L = {(x, y) ∈ R2 ; αx + βy = c} uma reta. Ponhamos u = (α, β). Podemos supor |u|2 = α2 + β 2 = 1. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (i) lim d(f (t), L) = 0; t→b

(ii) lim hf (t), ui = c e lim t→b

t→b

f (t) ,u |f (t)|

= 0.

Quando isto ocorre, diz-se que a reta L é ass´ıntota do caminho f quando x → b.

1.12. Se b < +∞ e o caminho f : [a, b) → R2 é da forma f (t) = (t, ϕ(t)), com lim ϕ(t) = +∞, a reta vertical x = b é ass´ıntota do caminho f quando t → b. t→b

1.13. Mostre que uma par´ abola f : R → R2 , f (t) = (t, at2 + bt + c), n˜ ao possui ass´ıntota. √ Por outro lado, determine a ass´ıntota da hipérbole f : [a, +∞) → R2 , f (t) = (t, t2 − a).

1.14. Seja f : (a, b) → Rn um caminho cont´ınuo que possui em cada ponto de (a, b) ′ um vetor velocidade ` a direita. Se f+ : (a, b) → Rn é cont´ınuo, prove que f é 1 de classe C .

˜ ANGULO ˆ [SEC. 7: A FUNC ¸ AO-

111

1.15. Seja G ⊂ R2 o gr´ afico da fun¸c˜ ao y = |x|. Mostre que existe um caminho f : R → R2 , de classe C ∞ , tal que f (R) = G e f (0) = (0, 0). Prove que todo caminho diferenci´ avel f nessas condi¸c˜ oes cumpre f ′ (0) = 0. 1.16. Seja f : (a, b) → Rn um caminho diferenci´ avel. Defina ϕ : (a, b) → R pondo ϕ(t) = |f (t) − p|, onde p é um ponto de Rn que n˜ ao pertence ` a imagem de f . (Norma euclidiana.) Prove que |ϕ′ (t)| é o comprimento da proje¸c˜ ao de f ′ (t) sobre o eixo pf (t). 1.17. Seja f : (a, b) → Rn um caminho diferenci´ avel, com f (t) 6= 0 para todo t. Calcule o vetor velocidade do caminho ϕ : (a, b) → Rn , definido por ϕ(t) = f (t) (norma euclidiana). No caso particular de f : R → Rn , dado por f (t) = |f (t)| u + th, com u ∈ S n−1 e h ∈ Rn , calcule ϕ′ (0) e conclua que h é perpendicular ao vetor unit´ ario u se, e somente se, é o vetor velocidade h = ϕ′ (0) de um caminho ϕ : R → S n−1 com ϕ(0) = u.

1.18. Seja f : I → Rn um caminho diferenci´ avel tal que f (t) 6= 0 e f ′ (t) = λ(t) · f (t) para todo t ∈I. Prove que a imagem f (I) est´ a contida numa reta que passa f (t) pela origem. Derive ϕ(t) = · |f (t)| 1.19. Use o exerc´ıcio anterior para mostrar que se f é diferenci´ avel, com f (t) = λ(t) · f ′ (t) e f ′ (t) 6= 0 para todo t ent˜ ao f (I) est´ a contido numa reta que passa pela origem.

1.20. Seja (xk ) uma seq¨ uência de pontos em Rm −{0} tal que |xk | > |xk+1 |, lim xk = xk 0 e lim = u ∈ S m−1 . Mostre que existe um caminho f : R → Rm , |xk | diferenci´ avel no ponto t = 0, com f ′ (0) = u, e uma seq¨ uência de n´ umeros tk > 0 tais que lim tk = 0 e f (tk ) = xk . 2

1.21. Seja f : (−ε, ε) → Rn diferenci´ avel no ponto t = 0, com f (0) = I = matriz identidade n × n e f ′ (0) = A. Se f (t) é, para todo t, uma matriz ortogonal, ent˜ ao A é anti-simétrica. Se det .f (t) = 1 para todo t ent˜ ao o tra¸co de A é zero. 2

1.22. Sejam A, B ∈ Rn , A anti-simétrica e B com tra¸co nulo. Mostre que, para todo t ∈ R, etA é ortogonal e etB tem determinante 1. Conclua que toda matriz anti-simétrica é vetor velocidade de um caminho de matrizes ortogonais e toda matriz de tra¸co nulo é vetor velocidade de um caminho de matrizes unimodulares (det = 1).

§2.

2.1. Se f, g : [a, b] → Rn s˜ ao de classe C 1 ent˜ ao b Z Z b hf (t), g ′ (t)i dt = hf, gi − a

a

b a

hf ′ (t), g(t)i dt.

2.2. Se uma seq¨ uência de caminhos integr´ aveis fk : [a, b] → Rn converge uniformemente para um caminho f : [a, b] → Rn ent˜ ao f é integr´ avel e Z b Z b lim fk (t) dt = f (t) dt. l→∞

a

a

112

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

2.3. Seja A ⊂ Rm um conjunto convexo. Dado um avel f : [0, 1] → R 1 caminho integr´ Rm tal que f (t) ∈ A para todo t, prove que 0 f (t) dt ∈ A. 2.4. Prove, diretamente a partir da defini¸c˜ ao dada no texto, que se os caminhos f, g : [a, b] → Rn s˜ ao integr´ aveis e α, β ∈ R, ent˜ ao o caminho αf + βg é inRb Rb Rb tegr´ avel e a (αf + βg) dt = α a f dt + β a g dt. 2.5. Seja × o produto vetorial em R3 . Dados um vetor v ∈ RR3 e um caminho Rb b 3 integr´ avel f : [a, b] → R , mostre que a (v × f (t)) dt = v × a f (t) dt.

§3.

3.1. Sejam x : R → Rn um caminho diferenci´ avel e A : Rn → Rn uma transforma¸c˜ ao ′ linear. Se x (t) = A · x(t) para todo t ∈ R, prove que x ∈ C ∞ . Mais ainda: o caminho x é anal´ıtico e, para todo a ∈ R, tem-se x(t) = e(t−a)A · x(a). Em particular, se x(a) = 0 para algum a ∈ R ent˜ ao x(t) = 0 para todo t ∈ R. Ou melhor: se x, y : R → Rn s˜ ao diferenci´ aveis com x′ = A · x, y ′ = A · y e x(a) = y(a) para algum a ∈ R, ent˜ ao x = y. [Isto é bem mais f´ acil do que parece. Basta derivar sucessivamente a igualdade x′ = A · x para obter a série de Taylor de x(t).] 3.2. Seja A : R2 → R2 dada por A · (x, y) = (−cy, cx). Um caminho duas vezes diferenci´ avel X : R → R2 cumpre X ′ = A · X e X(0) = (a, b) se, e somente se, X(t) = (x(t), y(t)), com x′ = −cy, x′′ + c2 x = 0, x(0) = a e y(0) = b. Compute etA e conclua que a u ńica fun¸c˜ ao duas vezes diferenci´ avel x : R → R tal que x′′ + c2 x = 0, x(0) = a e x′ (0) = b é a fun¸c˜ ao x(t) = a cos ct + b sen ct. Conclua ainda que se F : R → Rn é um caminho duas vezes diferenci´ avel tal que F ′′ + c2 F = 0 ent˜ ao existem vetores A, B ∈ Rn tais que F (t) = cos ct · A + sen ct · B para todo t ∈ R. Em particular, F é um caminho plano.

3.3. A partir de defini¸c˜ ao de vetor velocidade, usando o argumento de bisse¸c˜ oes repetidas (como no Lema 2 do §3) prove que se f : [a, b] → Rn é um caminho diferenci´ avel com f ′ (t) = 0 para todo t ent˜ ao f é constante.

3.4. Sejam f : [a, b] → Rn , g : [a, b] → R cont´ınuas, deriv´ aveis ` a direita em (a, b). ′ ′ Se |f+ (x)| ≤ g+ (x) para todo x ∈ (a, b) ent˜ ao |f (b) − f (a)| ≤ g(b) − g(a). Conclua que toda fun¸c˜ ao real cont´ınua num intervalo fechado que possui derivada ` a direita ≥ 0 em todos os pontos interiores ao intervalo é n˜ ao-decrescente. Con′ clua também que se |f+ (x)| ≤ c par todo x ∈ (a, b) ent˜ ao o caminho cont´ınuo n f : [a, b] → R cumpre |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y| para quaisquer x, y ∈ [a, b].

3.5. Seja f : (a, b) → Rn tal que, para um certo c ∈ (a, b), as restri¸c˜ oes f |(a, c] e f |[c, b) s˜ ao de classe C k (1 ≤ k ≤ ∞), podendo ser f ′ (c− ) 6= f ′ (c+ ). Obtenha um homeomorfismo ϕ : (α, β) → (a, b), de classe C ∞ , com ϕ′ (t) > 0 exceto num ponto γ, de modo que f ◦ ϕ : (α, β) → Rn seja de classe C k . [Sugest˜ ao: todas as derivadas de ϕ devem ser zero no ponto γ.] Conclua que dois pontos quaisquer de um aberto conexo em Rn podem ser ligados por um caminho C ∞ .

§4.

4.1. Sejam f : [0, 2π] → R e g : [0, 2π] → R2 definidos por f (t) = sen t e g(t) = (t, sen t). Determine ℓ(f ) e ℓ(g).

˜ ANGULO ˆ [SEC. 7: A FUNC ¸ AO-

113

4.2. Qual o comprimento da cicl´ oide f : [0, 2π] → R2 , dada por f (t) = (t − sen t, 1 − cos t)? 4.3. Seja U ⊂ Rm aberto e conexo. Dados x, y ∈ U , defina a distˆ ancia geodésica dU (x, y) como o ´ınfimo dos comprimentos dos caminhos cont´ınuos retific´ aveis contidos em U , que ligam x a y. (a) dU (x, y) é o ´ınfimo dos comprimentos dos caminhos poligonais contidos em U que ligam x a y. (b) Tem-se dU (x, z) ≤ dU (x, y) + dU (y, z) e dU (x, y) = 0 ⇒ x = y. (c) Dada uma seq¨ uência de pontos xk ∈ U vale lim |xk − a| = 0 (a ∈ U ) k→∞

se, e somente se, lim dU (xk , a) = 0. k→∞

(d) Dê exemplo em que se tenha lim |xk − yk | = 0, com yk , xk ∈ U mas k→∞

lim dU (xk , yk ) 6= 0.

k→∞

(e) Se V ⊂ Rm é convexo e U = V − F , onde F é finito, ent˜ ao dU (x, y) = |x − y| para qualquer x, y ∈ U . (f) Suponha que dois pontos quaisquer de U ⊂ Rm podem ser ligados por um caminho cont´ınuo retific´ avel contido em U , mas n˜ ao exija que U seja aberto. Ent˜ ao dU (x, y) pode ainda ser definida e vale (b) mas as propriedades (a) e (c) podem falhar. Se U é a esfera unit´ aria S m−1 , mostre que dU (x, y) satisfaz (b) e (c).

4.4. Dada uma seq¨ uência de caminhos retific´ aveis fk : [a, b] → Rn , suponha que exista c > 0 tal que ℓ(fk ) ≤ c para todo k. Se (fk ) converge simplesmente para o caminho f : [a, b] → Rn , prove que f é retific´ avel e ℓ(f ) ≤ c. 4.5. Nas condi¸c˜ oes do exerc´ıcio anterior, mostre que lim ℓ(fk ) pode n˜ ao existir k→∞

e, mesmo que exista L = lim ℓ(fk ), tem-se apenas ℓ(f ) ≤ L, sem que valha necessariamente a igualdade. 4.6. Considere a seq¨ uência de caminhos fn : [0, 2π] → R2 , onde fn (t) = (t, sen(nt)/n). Mostre que fn → f uniformemente, onde f (t) = (t, 0), mas lim ℓ(fn ) > ℓ(f ). n→∞

n

4.7. Sejam a, b ∈ K, onde K ⊂ R é compacto. Seja C o conjunto dos caminhos cont´ınuos f : [0, 1] → K, retific´ aveis, com f (0) = a e f (1) = b. Se C 6= ∅ ent˜ ao existe f0 ∈ C tal que ℓ(f0 ) ≤ ℓ(f ) para todo f ∈ C. [Sugest˜ ao: O conjunto X dos caminhos f ∈ C com ℓ(f ) ≤ k e f = g ◦ ϕ, onde g : [0, L] → K é cadenciado e ϕ : [0, 1] → [0, L] é da forma ϕ(t) = L · t, é equicont´ınuo e equilimitado, pois f ∈ X ⇒ |f (s) − f (t)| ≤ k|s − t|. Use Ascoli-Arzel´ a.]

4.8. Sejam f, g : [a, b] → Rn caminhos tais que f é retific´ avel e o conjunto F = {t ∈ [a, b]; f (t) 6= g(t)} é finito. Mostre que g é retific´ avel. Mais geralmente, se ∞ P F = {t1 , . . . , ti , . . . } é enumer´ avel e, além disso, |f (ti ) − g(ti )| < +∞ ent˜ ao g é retific´ avel.

i=1

4.9. Todo caminho retific´ avel f : [a, b] → Rn é integr´ avel.

114

[CAP. II: CAMINHOS NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

4.10. Sejam c1 , . . . , ci , . . . os pontos de descontinuidade de um caminho retific´ avel f : [a, b] → Rn . Ponha ui = lim f (t), vi = lim f (t) e si = |f (ci ) − ui | + t→c− i

t→c+ i

|f (ci ) + vi |. Prove que a série Σ si é convergente.

4.11. Seja f : [0, 1] → R definida por f (t) = 0 se t é irracional e f (p/q) = 1/q se t = p/q é uma fra¸c˜ ao irredut´ıvel. Prove que f n˜ ao é retific´ avel (de varia¸c˜ ao limitada), embora possua limites laterais em todos os pontos. 4.12. Seja f : [a, b] → Rn um caminho diferenci´ avel. Se a fun¸c˜ ao |f ′ |:[a, b] → R for ′ n integr´ avel (em particular, se f : [a, b] → R for integr´ avel) ent˜ ao f é retific´ avel Rb e vale ℓ(f ) = a |f ′ (t)| dt. A retificabilidade de f resulta da condi¸c˜ ao de Lipschitz, que é satisfeita porque f ′ é limitada. A f´ ormula para o comprimento de arco decorre do seguinte “Lema: Para todo n ∈ N, existe uma parti¸c˜ ao pontilhada Pn∗ = (Pn , ξ) de [a, b], tal que |Pn | < 1/n e |f (ti ) − f (ti−1 ) − f ′ (ξi )(ti − ti−1 )| < (ti − ti−1 )/n, seja qual for o intervalo [(ti−1 , ti ] da parti¸c˜ ao Pn .”A demonstra¸c˜ ao do lema se faz sem dificuldade, usando o método das bisse¸c˜ oes. Dele resulta que |ℓ(f ; Pn ) − Σ(|f ′ |; Pn∗ )| < (b − a)/n. Fazendo n → ∞ obtém-se a f´ ormula procurada.

§5.

5.1. Dado o caminho retific´ avel f : [a, b] → Rn , defina σ : [a, b] → R pondo σ(t) = ℓ(f |[a, t]). Se σ é uma fun¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao f também o é. 5.2. Seja f : I → Rn um caminho diferenci´ avel. Dada uma fun¸c˜ ao cont´ınua positiva ϕ : X → R, cujo dom´ınio X ⊂ Rn contenha todos os pontos f (t), t ∈ I, podemos reparametrizar f por meio de um difeomorfismo C 1 , de modo que o vetor velocidade em cada ponto p = f (t) seja agora ϕ(p) · f ′ (t), em vez de f ′ (t).

5.3. Defina f : [0, 1] → R pondo f (0) = 0 e f (t) = t2 sen(1/t2 ) quando t 6= 0. Prove que f é um caminho diferenci´ avel porém n˜ ao retific´ avel.

§6.

6.1. Seja f : R → R3 a hélice, dada por f (t) = (a cos bt, a sen bt, ct). Determine a rela¸c˜ ao entre a, b e c para que o caminho f seja cadenciado. Supondo isto satisfeito, mostre que a curvatura e a tor¸c˜ ao de f s˜ ao constantes. 6.2. Seja f : I → R3 um caminho cadenciado de classe C 2 . Se, para todo x ∈ I, a reta normal L = {f (s) + t · f ′′ (s); t ∈ R} contém a origem ent˜ ao imagem f (I) est´ a contida num plano. 6.3. Seja f : I → R um caminho regular de classe C 2 , n˜ ao necessariamente cadenciado. A curvatura k(t) de f num ponto p = f (t) é, por defini¸c˜ ao, a curvatura do caminho cadenciado g = f ◦ϕ, obtido por reparametriza¸c˜ ao de f , no mesmo ponto p = g(s). Mostre que k(t) =

|f ′ (t) × f ′′ (t)| · |f ′ (t)|3

Se f : I → R2 é um caminho plano, mostre que se tem k(t) =

det[f ′ (t), f ′′ (t)] · |f ′ (t)|3

˜ ANGULO ˆ [SEC. 7: A FUNC ¸ AO-

115

Considere o caso particular em que f (t) = (t, ϕ(t)). 6.4. Seja f : I → R3 um caminho regular de classe C 3 . Definindo a tor¸c˜ ao w(t) de modo an´ alogo ao do exerc´ıcio anterior, mostre que w(t) =

det[f ′ (t), f ′′ (t), f ′′′ (t)] · |f ′ (t) × f ′′ (t)|2

6.5. Seja f : I → R3 um caminho cadenciado de classe C 3 . Se todos os planos osculadores de f s˜ ao paralelos, (ou contêm um ponto dado, digamos, a origem) ent˜ ao a imagem f (I) est´ a contida num plano. 6.6. Seja f : I → Rn um caminho cadenciado de classe C n . Para cada s ∈ I defina o “n-edro de Frenet”{e1 , . . . , en }, ei = ei (s) e as curvaturas k1 , . . . , kn , ki = ki (s), pondo ei = f ′ e, supondo e′1 6= 0, escrevendo e′1 = k1 ·e2 com |e2 | = 1 e e2 ⊥ e1 . Em seguida, notando que e′2 ⊥ e2 e he′2 , e1 i = −he2 , e′1 i = −k1 , escreva k2 = |k1 e1 + e′2 |. Se k2 > 0, ponha e′2 = −k1 e1 + k2 e3 , o que define univocamente o triedro ortonormal {e1 , e2 , e3 } e a segunda curvatura k2 . Note que he′3 , e1 i = −he3 , e′1 i = 0, logo e′3 ⊥ e3 , e′3 ⊥ e1 e he′3 , e2 i = −he3 , e′2 i = −k2 . Ponha k3 = |e′3 + k2 e3 |. Se k3 > 0, o vetor unit´ ario e4 fica bem definido pela igualdade e′3 = −k2 e2 + k3 e4 de modo que {e1 , e2 , e3 , e4 } é um conjunto ortonormal. Prossiga. 6.7. Mostre que dois caminhos planos cadenciados de classe C 2 , s˜ ao congruentes se, e somente se, têm o mesmo comprimento e a mesma fun¸c˜ ao curvatura. Mais precisamente, sejam f, g : [0, L] → R2 de classe C 2 tais que |f ′ (s)| = |g ′ (s)| = 1 e kf (s) = kg (s) para todo s ∈ [0, L]. Prove que existe uma isometria T : R2 → R2 tal que g(s) = T [f (s)] para todo s ∈ [0, L].

6.8. Seja f : I → Rn um caminho regular de classe C 2 . Mostre que, em cada ponto f (t), a acelera¸c˜ ao f ′′ (t) se decomp˜ oe na soma f ′′ = v ′ · T + kv 2 · N , onde T = f ′ /|f |, N = T ′ /|T ′ |, v = |f ′ | é a velocidade escalar e k é a curvatura. [Que tem isto a ver com a afirma¸c˜ ao de que é vantajoso acelerar um carro no meio de uma curva?]

§7.

7.1 Sejam f : [a, b] → R2 − {0}, f ∈ C 0 , θ0 ∈ R com f (a) = |f (a)|(cos θ0 , sen θ0 ), existe uma (´ unica) fun¸c˜ ao cont´ınua θ : [a, b] → R tal que θ(a) = θ0 e, para todo t ∈ [a, b], f (t) = |f (t)|(cos θ(t), sen θ(t)). [Sugest˜ ao: Basta considerar o caso em que f ([a, b]) ⊂ S 1 , ou seja, |f (t)| = 1 para todo t. Suponha inicialmente que exista c ∈ S 1 −f ([a, b]), considere um homeomorfismo h : (α, α+2π) → S 1 −{c} e defina θ = h−1 ◦ f . Reduza o caso geral a este subdividindo o intervalo [a, b] em um n´ umero finito de subintervalos tais que em cada um deles f n˜ ao seja sobrejetiva.]

Cap´ıtulo III

Fun¸c˜ oes Reais de n Vari´ aveis 1

Derivadas parciais

Quando se estudam fun¸cões reais de n variáveis, isto é, definidas em subconjuntos do espa¸co Rn , e se busca para essas fun¸cões uma no¸cão de derivada que tenha propriedades an´ alogas às da derivada de uma fun¸cão definida num intervalo, a idéia que se apresenta mais naturalmente é a de “derivada parcial”, que exporemos agora. Para efeito de deriva¸cão, onde se compara o acréscimo f (a + h) − f (a) da fun¸cão f com o acréscimo h dado ao ponto a, o dom´ınio mais adequado para uma fun¸cão é um subconjunto aberto U ⊂ Rn pois, neste caso, dado a ∈ U , tem-se ainda a + h ∈ U para todo acréscimo suficientemente pequeno h. Seja, pois, f : U → R uma fun¸cão real, definida num subconjunto aberto U ⊂ Rn . Dado o ponto a ∈ U , a i-ésima derivada parcial de f no ponto a (onde 1 ≤ i ≤ n) é o limite ∂f f (a + tei ) − f (a) (a) = lim , t→0 ∂xi t ` vezes, usaremos também a nota¸cão ∂i f (a). quando tal limite existe. As Observa¸ c˜ ao: O s´ımbolo

∂f ∂f ter´ a para nós o mesmo significado que , ∂xi ∂yi

∂f , etc. O que importa num s´ımbolo destes não é o “nome”da variável, ∂zi

[SEC. 1: DERIVADAS PARCIAIS

117

que tanto pode ser x, como y ou z, etc. O importante é o ´ındice i: tratase da derivada de f em rela¸cão à sua i-ésima variável, seja qual for o sinal usado pra indic´ a-la. Estritamente falando, a melhor nota¸cão para ∂f a i-ésima derivada parcial é ∂i f , mas continuaremos escrevendo ∂xi por respeito ` a tradi¸cão, pelo apelo estético e, principalmente, porque isto torna mais naturais certas fórmulas, como por exemplo a Regra da Cadeia. Quando U ⊂ R2 , uma fun¸cão f : U → R é o que se chama uma “fun¸cão real de duas variáveis reais”. Escreve-se f (x, y) para indicar seu valor no ponto z = (x, y). Desta forma, as derivadas parciais de f ∂f (c) num ponto c = (a, b) ∈ U podem também ser representadas por ∂x ∂f ∂f ∂f e (c), em vez de (c), (c). Temos: ∂y ∂x1 ∂x2 ∂f f (a + t, b) − f (a, b) (c) = lim , t→0 ∂x t f (a, b + t) − f (a, b) ∂f (c) = lim · t→0 ∂y t Analogamente, se U ⊂ R3 , uma fun¸cão f : U → R é uma “fun¸cão real de três variáveis reais”. Seu valor num ponto p = (x, y, z) se escreve f (x, y, z) e suas derivadas parciais no ponto q = (a, b, c) podem ser ∂f ∂f ∂f escritas como (q), (q) e (q). ∂x ∂y ∂z Voltando ao caso geral, seja f : U → R definida no aberto U ⊂ Rn . Dados o ponto a ∈ U e o inteiro i ∈ [1, n], a imagem do caminho λ : R → Rn , λ(t) = a + tei , é o que se chama “a reta que passa por a e é paralela ao i-ésimo eixo”. (Note que λ(0) = a.) Como U é aberto, existe ε > 0 tal que −ε < t < ε ⇒ λ(t) = a + tei ∈ U . A i-ésima derivada parcial de f no ponto a é a derivada, no ponto t = 0, da fun¸cão ∂f (a) = (f ◦ λ)′ (0). Podemos dizer que f , f ◦ λ : (−ε, ε) → R, ou seja, ∂xi quando restrita ao segmento de reta aberto J = (a − εei , a + εei ), torna∂f se uma fun¸cão real, f (a + tei ), da variável real t e (a) é a derivada ∂xi dessa fun¸cão no ponto t = 0. Quando n = 2, o gr´ afico de f é uma superf´ıcie em R3 ; a restri¸cão de f ao segmento de reta que passa por c = (a, b) e é paralelo ao eixo das abcissas tem como gr´ afico a curva plana obtida nessa superf´ıcie fazendo

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

118

N

´ VARIAVEIS

y constante, igual a b. Logo (∂f /∂x)(c) é a inclina¸cão da reta tangente a esssa curva, no ponto (a, b, f (a, b)), relativamente ao plano horizontal. O cálculo prático da i-ésima derivada parcial de uma fun¸cão real f (x1 , . . . , xn ) se faz considerando todas as variáveis como se fossem constantes, exceto a i-ésima, e aplicando as regras usuais de deriva¸cão relativamente a essa variável. z

y=b

(a, b, f (a, b))

y

x (a, b)

O comportamento da i-ésima derivada parcial ∂f /∂xi ao longo de um segmento de reta contido no dom´ınio de f e paralelo ao i-ésimo eixo dá informa¸cões sobre o crescimento de f ao longo de tal segmento. Assim, por exemplo, se f : U → R está definida em U ⊂ R2 , se o segmento de reta J = {(a, t); 0 ≤ t ≤ 1}, paralelo ao eixo dos y, está contido em U e, além disso (∂f /∂y)(z) > 0 para todo z ∈ J, então f é crescente sobre J, isto é, 0 ≤ s < t ≤ 1 ⇒ f (a, s) < f (a, t). Ainda nessa ordem de idéias, dizemos que uma fun¸cão f : U → R n˜ ao depende da i-ésima vari´ avel quando, dados a = (a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . , an ) e b = (a1 , . . . , ai−1 , y, ai+1 , . . . , an ) em U , tem-se f (a) = f (b). Noutros termos, se a, b ∈ U com b = a + tei então f (a) = f (b). Um conjunto U ⊂ Rn diz-se i-convexo quando a, b ∈ U , b = a + tei ⇒ [a, b] ⊂ U . A afirma¸cão abaixo resulta das defini¸cões: Sejam U ⊂ Rn um aberto ∂f i-convexo e f : U → Rn uma fun¸ca õ tal que (x) = 0 para todo x ∈ U . ∂xi Ent˜ ao f é independente da i-ésima vari´ avel. Com efeito, se a, b ∈ U , com b = a+tei , então a fun¸cão ξ : [0, t] → R, ∂f (a + sei ) = 0 definida por ξ(s) = f (a + sei ), possui derivada ξ ′ (s) = ∂xi

119

[SEC. 2: DERIVADAS DIRECIONAIS

para todo s ∈ [0, t], logo é constante, e assim f (a) = ξ(0) = ξ(t) = f (b). No plano, diz-se horizontalmente, ou verticalmente, convexo, em vez de 1-convexo e 2-convexo, respectivamente. Exemplo 1. Seja X = {(x, 0) ∈ R2 ; x ≥ 0} o semi-eixo positivo fechado das abscissas. O aberto U = R2 − X é horizontalmente (mas não verticalmente) convexo. A fun¸cão f : U → R, definida por f (x, y) = x2 quando x > 0, y > 0 e f (x, y) = 0 quando x ≤ 0 ou y ≤ 0, possui ∂f derivada parcial = 0 em todos os pontos de U , mas f não é indepen∂y dente da segunda variável, y, pois se tomarmos x > 0, y > 0, teremos f (x, y) = x2 > 0 e f (x, −y) = 0. Note-se que as derivadas parciais sozinhas não permitem conclusões sobre o comportamento “n-dimensional”da fun¸cão. Por exemplo, a existência de todas as derivadas parciais num ponto não implica a continuidade da fun¸cão nesse ponto, como veremos agora. Exemplo 2. Seja f : R2 → R definida por f (x, y) = xy/(x2 + y 2 ) se x2 + y 2 6= 0 e f (0, 0) = 0. Se z = (x, y) não é a origem, temos ∂1 f (z) = (y 3 − x2 y)/(x2 + y 2 )2 e ∂2 f (z) = (x3 − xy 2 )/(x2 + y 2 )2 . Na origem, vale: f (t, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = lim =0 t→0 ∂x t ∂f f (0, t) − f (0, 0) (0, 0) = lim = 0. t→0 ∂y t

e

Assim, f possui derivadas parciais em todos os pontos do plano. Entretanto, como vimos no Cap´ p ınua na origem. [Se pıtulo 1, f é descont´ 2 2 2 2 x + y 6= 0, então f (x, ) = (x/ x + y ) · (y/ x2 + y 2 ) = cos θ · sen θ, onde θ é o ˆ angulo formado pelo semi-eixo positivo das abcissas e a semireta que passa na origem e contém o ponto (x, y). Ao longo de cada uma dessas semi-retas, f (x, y) tem valor constante, dependendo da semi-reta, logo não existe lim f (x, y) na origem.]

2

Derivadas direcionais

Vendo que as derivadas parciais, desacompanhadas de hip´ oteses adicionais, apenas fornecem informa¸cões sobre a fun¸cão ao longo de retas paralelas aos eixos, tentamos estender a no¸cão de derivada a outras

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

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N

´ VARIAVEIS

dire¸cões além dessas. Isto nos leva ao importante conceito de derivada direcional. Sejam f : U → R definida no aberto U ⊂ Rn , a ∈ U e v ∈ Rn . A derivada direcional de f no ponto a, segundo o vetor v, é, por defini¸cão, o limite ∂f f (a + tv) − f (a) (a) = lim t→0 ∂v t quando tal limite existe. As derivadas parciais tornam-se casos particulares das derivadas direcionais: ∂f ∂f (a) = (a) = derivada direcional de f no ponto a, ∂xi ∂ei segundo o vetor ei . A derivada direcional (∂f /∂v)(a) é a derivada, no ponto t = 0, da fun¸cão composta f ◦λ : (−ε, ε) → Rn , onde λ : (−ε, ε) → Rn é o caminho retil´ıneo, λ(t) = a + tv, para o qual se tem λ(0) = a e λ′ (t) = v para todo t. Aqui, ε > 0 é escolhido tão pequeno que a imagem de λ esteja contida em U . R U

ε 0 −ε

v

λ

a + tv

f

f (a)

a

f ◦λ

A fun¸cão f do Exemplo 2 possui as derivadas direcionais ∂f ∂v (0, 0) para v = (α, 0) ou v = (0, β), as quais s˜ ao nulas. Se, porém, tomarmos v = (α, β), com α 6= 0 e β 6= 0, veremos que não existe (∂f /∂v)(0, 0) pois tα · tβ 1 α·β ∂f (0, 0) = lim = lim t→0 t (tα)2 + (tβ)2 t→0 t(α2 + β 2 ) ∂v eou ´ltimo limite acima, evidentemente, não existe.

121

[SEC. 2: DERIVADAS DIRECIONAIS

Ao contrário da maioria dos livros de Cálculo, em nossa defini¸cão de ∂f /∂v não supomos |v| = 1. Admitimos que v ∈ Rn seja um vetor arbitr´ ario porque desejamos que ∂f /∂v dependa linearmente de v. Vejamos se isto realmente ocorre. Em primeiro lugar, se 0 6= α ∈ R então existe ∂f /∂(αv) num ponto a ∈ U se, e somente se, existe ∂f /∂v e, no caso afirmativo, temos f (a + tαv) − f (a) f (a + tαv) − f (a) ∂f (a) = lim = α · lim = t→0 t→0 ∂(αv) t tα ∂f =α· (a). ∂v Por outro lado, o exemplo abaixo mostra que a derivada direcional ∂f /∂v pode existir em todos os pontos do dom´ınio de f , segundo todos os vetores v ∈ Rn , sem que se tenha necessariamente ∂f ∂f ∂f (a) = (a) + (a). ∂(v + w) ∂v ∂w Exemplo 3. Seja g : R2 → R definida por g(0, 0) = 0 e g(x, y) = x2 y/(x2 + y 2 ) quando x2 + y 2 6= 0. Um cálculo direto, a partir da defini¸cão, mostra que existem as derivadas direcionais ∂g/∂v em todos os pontos de R2 , segundo qualquer vetor v = (α, β). Em particular, na origem, temos ∂g α2 β g(tα, tβ) (0, 0) = lim = 2 · t→0 ∂v t α + β2 ∂g ∂g ∂g (a) = (a) + (a). ∂(v + w) ∂v ∂w No §3, mostraremos que ∂f /∂v dependerá linearmente de v se f for “diferenciável”, uma hip´ otese mais restritiva do que simplesmente possuir derivadas direcionais. A fun¸cão g do Exemplo 3 é cont´ınua em todos os pontos do plano. [Isto é claro em R2 − {0}. Na origem, basta observar que g(x, y) = x · cos θ · sen θ. (Veja Exemplo 2.) Logo lim g(x, y) = 0.] Evidentemente, para a = (0, 0) não vale

x,y→0

N˜ ao é verdade, porém, que a existência das derivadas direcionais implique em continuidade, como veremos agora. Exemplo 4. Seja h : R2 → R definida por h(0, 0) = 0 e h(x, y) = x3 y/(x6 + y 2 ) se (x, y) 6= (0, 0). Em R2 − {0}, a fun¸cão h é cont´ınua.

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

122

N

´ VARIAVEIS

Como, porém, h(x, x3 ) = 1/2 para todo x 6= 0, vemos que h é descont´ınua na origem. Examinemos as derivadas direcionais. Para todo v = (α, β) temos: h(tα, tβ) t4 α 3 β tα3 β ∂h (0, 0) = lim = lim 7 6 = lim = 0. t→0 t→0 t α + t3 β 2 t→0 t4 α6 + β 2 ∂v t Assim, todas as derivadas direcionais ∂h/∂v na origem existem e dependem linearmente de v. O mesmo ocorre nos demais pontos c ∈ R2 − {0}, ∂h como se verifica mediante o cálculo elementar de (c) = ξ ′ (0), onde ∂v ξ(t) = h(c + tv). Outra propriedade desejável para um conceito adequado de derivada de uma fun¸cão de n variáveis é que a composta de duas fun¸cões deriváveis seja ainda derivável. O próximo exemplo mostra uma fun¸caõ cont´ınua ϕ : R2 → R, tal que (∂ϕ/∂v)(z) existe para todo z e todo v, depende linearmente de v, mas ϕ ◦ λ não é diferenci´ avel para um certo caminho diferenci´ avel λ. Exemplo 5. Definamos ϕ : R2 → R pondo ϕ(x, y) = x3 y/(x4 + y 2 ) se (x, y) 6= (0, 0) e ϕ(0, 0) = 0. Fora da origem, temos x2 ±1 y 1 ϕ(x, y) = x p , ·p ·p = xp 1 + y 2 /x4 x4 /y 2 + 1 x4 + y 2 x4 + y 2

logo lim ϕ(x, y) = 0. Assim, ϕ é cont´ınua. Além disso, para todo x,y→0

v = (α, β), temos ∂ϕ ϕ(tα, tβ) tα3 β (0, 0) = lim = lim 2 4 = 0. t→0 t→0 t α + β 2 ∂v t Portanto existem na origem, e dependem linearmente de v, todas as derivadas direcionais ∂ϕ/∂v. Nos demais pontos c ∈ R2 − {0} chega-se à ∂ϕ (c) = ξ ′ (0), com ξ(t) = ϕ(c + tv), por mesma conclusão calculando-se ∂v meio das regras elementares de deriva¸cão. Entretanto, se considerarmos o caminho λ : R → R2 , definido por λ(t) = (t, t2 sen 1/t), λ(0) = (0, 0), veremos que λ é diferenci´ avel e não existe a derivada (ϕ ◦ λ)′ (0). Com efeito, seria ϕ(t, t2 sen 1/t) sen 1/t = lim , t→0 t→0 1 + sen2 1/t t

(ϕ ◦ λ)′ (0) = lim

[SEC. 2: DERIVADAS DIRECIONAIS

123

mas o u ´ltimo limite não existe. A hip´ otese da existência de derivadas direcionais, embora fraca, não é inteiramente in´ ocua. Ela permite demonstrar o Teorema do Valor Médio, o qual, para fun¸cões reais de n variáveis, é verdadeiro sob a forma de igualdade, como no caso de uma s´ o variável. Teorema do Valor M´ edio. Seja f : U → R definida no aberto U ⊂ Rn . Suponhamos que o segmento de reta [a, a + v] esteja contido em U , que a restri¸ca õ f |[a, a + v] seja cont´ınua e que exista a derivada direcional ∂f (x), segundo v, em todo ponto x ∈ (a, a + v). Ent˜ ao existe θ ∈ (0, 1) ∂v ∂f tal que f (a + v) − f (a) = (a + θv). ∂v Demonstra¸ c˜ ao: Definamos a fun¸cão ξ : [0, 1] → R pondo ξ(t) = f (a + tv). Pelas hip´ oteses feitas sobre f , ξ é cont´ınua em [0, 1] e derivável em (0, 1). Pelo Teorema do Valor Médio para fun¸cões de uma variável real, existe θ ∈ (0, 1) tal que ξ(1) − ξ(0) = ξ ′ (θ). Mas ξ(1) = f (a + v), ξ(0) = f (a) e ξ(θ + t) − ξ(θ) f (a + (θ + t)v) − f (a + θv) = lim = t→0 t→0 t t ∂f f (a + θv + tv) − f (a + θv) = (a + θv), = lim t→0 t ∂v

ξ ′ (θ) = lim

o que demonstra o teorema. Observa¸ c˜ ao: A existência de ∂f /∂v em todo ponto de (a, a+v) assegura apenas a continuidade de f |(a, a + v) mas não de f |[a, a + v]. Corol´ ario. Seja U ⊂ Rn aberto e conexo. Se f : U → R possui deriva∂f das direcionais em todo ponto x ∈ U e (x) = 0 para qualquer vetor ∂v v, ent˜ ao f é constante. Com efeito, fixemos a ∈ U . A existência de ∂f /∂v garante a continuidade da restri¸cão f |[a, b] para todo segmento de reta [a, b] contido em U . Resulta então do Teorema do Valor Médio que [a, b] ⊂ U implica f (b) = f (a). Ora, qualquer ponto x ∈ U pode (em virtude da conexidade do aberto U ) ser ligado ao ponto a por uma poligonal contida em U , com vértices a0 = a, a1 , . . . , ak = x. Temos sucessivamente f (a) = f (a1 ) = · · · = f (x). Logo f (x) = f (a) para todo x ∈ U , donde f é constante.

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

124

3

N

´ VARIAVEIS

Fun¸c˜ oes diferenci´ aveis

A no¸cão de fun¸cão diferenci´ avel, que apresentaremos agora, é devida a Fréchet e Stolz. Ela constitui, para fun¸cões de n variáveis, a extensão adequada do conceito de fun¸cão derivável de uma s´ o vari´ avel. n Dada f : U → R, com U ⊂ R , seja a ∈ U . Diremos que a fun¸cão f é diferenci´ avel no ponto a quando existirem constantes A1 , . . . , An tais que, para todo vetor v = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn , com a + v ∈ U , se tenha f (a + v) = f (a) + A1 · α1 + · · · + An · αn + r(v), onde lim

v→0

r(v) = 0. |v|

Quando f é diferenci´ avel em todos os pontos de U , dizemos simplesmente que f é diferenci´ avel. Se f é diferenci´ avel no ponto a então, tomando v = tei , temos αj = 0 se j 6= i e αi = t. Logo f (a + tei ) − f (a) r(tei ) r(tei ) = Ai + = Ai ± · t t |tei | Fazendo t → 0, vemos que existe cada derivada parcial de f no ponto ∂f (a) = Ai . A defini¸cão abaixo é, portanto, equivalente à a, sendo ∂xi anterior. Diremos que a fun¸cão f : U → R é diferenci´ avel no ponto a ∈ U ∂f ∂f (a), . . . , (a) e, além disso, quando existirem as derivadas parciais ∂x1 ∂xn para todo vetor v = (α1 , . . . , αn ) tal que a + v ∈ U , tivermos f (a + v) = f (a) +

∂f ∂f (a) · α1 + · · · + (a) · αn + r(v), ∂xi ∂xn

r(v) = 0. v→0 |v| Na igualdade acima, o “resto”r(v) é definido como sendo igual a f (a + v) − f (a) − Σ(∂f /∂xi )(a) · αi . Esta defini¸cão pode ser dada para qualquer fun¸cão que possua derivadas parciais. A essência da defini¸cão de diferenciabilidade é que, tomando r(v) desta maneira, tem-se r(v) = 0. Esta é a condi¸cão crucial, que deve ser verificada (dilim v→0 |v| reta ou indiretamente) sempre que quisermos provar que uma fun¸cão é diferenci´ avel. onde lim

˜ ´ [SEC. 3: FUNC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

125

De lim (r(v)/|v|) = 0, concluimos que lim r(v) = 0 pois r(v) = v→0

v→0

(r(v)/|v|)|v|. Da´ı resulta que toda fun¸cão diferenci´ avel num ponto é cont´ınua nesse ponto. Com efeito, para v = (αi , . . . , αn ), temos ∂f (a)αi + r(v) = 0. lim [f (a + v) − f (a)] = lim Σ v→0 v→0 ∂xi A condi¸cão lim (r(v)/|v|) = 0 significa, entretanto, mais do que v→0

r(v) → 0; ela quer dizer que r(v) tende a zero mais rapidamente do que v, isto é, para valores de v suficientemente próximos de zero, a norma ` vede r(v) é uma fra¸cão arbitrariamente pequena da norma de v. As zes, isto se exprime dizendo-se que r(v) é um infinitésimo de ordem superior a v. Assim, f é diferenci´ avel no ponto a quando o acréscimo ∂f f (a + v) − f (a) é igual a uma fun¸cão linear de v, Σ (a) · αi , mais ∂xi um resto infinitamente pequeno em rela¸cão a v. Note que a validez da afirma¸cão lim (r(v)/|v|) = 0 independe da v→0

norma adotada em Rn . Em certas ocasi˜ oes, é prefer´ıvel usar, em vez de r(v), a fun¸cão ρ = ρ(v), definida para os valores de v tais que a + v ∈ U , do seguinte modo: ρ(v) = r(v)/|v| se v 6= 0 e ρ(0) = 0. Então, a fun¸cão f é diferenci´ avel no ponto a ∈ U se, e somente se, possui derivadas parciais nesse ponto e, para todo v = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn tal que a + v ∈ U , vale n X ∂f (a) · αi + ρ(v) · |v|, onde lim ρ(v) = 0. f (a + v) = f (a) + v→0 ∂xi i=1

Assim, f é diferenci´ avel no ponto a se, e somente se, a fun¸cão real ρ = ρ(v), definida pela igualdade acima (se v 6= 0) e por ρ(0) = 0, é cont´ınua no ponto v = 0. Para fun¸cões f : I → R, definidas num intervalo aberto I ⊂ R, diferenciabilidade é o mesmo que derivabilidade, pois de f (a + t) = f (a) + A · t + ρ|t| se tira f (a + t) − f (a) ρ = ± − A , t logo lim ρ = 0 se, e somente se, A = f ′ (a). t→0

Seja f : U → R diferenci´ avel no ponto a ∈ U . Já vimos que f é cont´ınua e possui derivadas parciais nesse ponto. Mostraremos agora que

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

126

N

´ VARIAVEIS

f admite derivada direcional segundo qualquer vetor v = (α1 , . . . , αn ), e vale a fórmula ∂f ∂f ∂f (a) = (a) · α1 + · · · + (a) · αn . ∂v ∂x1 ∂xn Com efeito, para todo t suficientemente pequeno, temos a + tv ∈ U . Pela defini¸cão de diferenciabilidade, (as derivadas parciais sendo consideradas no ponto a) temos: n X ∂f f (a + tv) = f (a) + · tαi + ρ(tv) · |t| · |v|, ∂xi i=1

donde

∂f f (a + tv) − f (a) =Σ · αi ± ρ(tv) · |v|. t ∂xi

Como lim ρ(tv) = 0, segue-se a fórmula enunciada. t→0

Resulta da expressão ∂f /∂v = Σ(∂f /∂xi )αi que se f é diferenci´ avel num ponto então a derivada direcional ∂f /∂v, nesse ponto, depende linearmente de v, isto é, não somente se tem ∂f /∂(αv) = α(∂f /∂v) como também ∂f /∂(v + w) = ∂f /∂v + ∂f /∂w. Uma propriedade relevante das fun¸cões diferenci´ aveis é dada pela Regra da Cadeia. Sejam U ⊂ Rm , V ⊂ Rn abertos, f = (f1 , . . . , fn ) : U → Rn tal que f (U ) ⊂ V e cada fun¸ca õ coordenada fk : U → R é diferenci´ avel no ponto a ∈ U . Seja ainda g : V → R uma fun¸ca õ diferenci´ avel no ponto b = f (a). Ent˜ ao a fun¸ca õ composta g ◦ f : U → R é diferenci´ avel no ponto a e suas derivadas parciais s˜ ao n

X ∂g ∂(g ◦ f ) ∂fk (a) = (b) · (a). ∂xi ∂yk ∂xi k=1

Demonstra¸ c˜ ao: Seja U0 o conjunto dos vetores v= (α1, . . . ,αm ) ∈ Rm tais que a + v ∈ U . Para v ∈ U0 e k = 1, . . . , n, temos (1)

fk (a + v) = fk (a) +

m X ∂fk i=1

∂xi

· αi + ρk · |v|.

onde cada ρk = ρk (v) é uma fun¸cão definida em U0 , cont´ınua no ponto 0, que se anula quando v = 0. [Acima, e no que se segue, as deri-

˜ ´ [SEC. 3: FUNC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

127

vadas ∂fk /∂xi e ∂g/∂yk s˜ ao consideradas nos pontos a e b respectivamente.] Consideremos a aplica¸cão w = (β1 , . . . , βn ) : U0 → Rn , cont´ınua no ponto 0, cujas fun¸cões-coordenada s˜ ao definidas por (2)

βk (v) =

m X ∂fk i=1

∂xi

· αi + ρk · |v|.

Adotando, por exemplo, a norma da soma, temos |αi |/|v| ≤ 1 se v 6= 0, logo cada |βk |/|v|, e portanto a fun¸cão |w|/|v|, é limitada numa vizinhança do ponto v = 0. Escrevendo gf em vez de g ◦ f , podemos afirmar, em virtude de (1), (2) e da diferenciabilidade de g no ponto b = f (a), que, para todo v ∈ U0 , vale: gf (a + v) = g(b + w) = g(b) +

n X ∂g · βk + σ · |w|, ∂yk k=1

onde σ = σ(v) é uma fun¸cão real cont´ınua no ponto 0, que se anula no ponto v = 0 (pois w também se anula nesse ponto). Usando a defini¸cão de βk , obtemos "m # n X ∂g X ∂fk gf (a + v) = gf (a) + · αi + ρk |v| + σ · |w| = ∂yk ∂xi k=1

= gf (a) +

i=1 m X i=1

onde Ai = Da´ı

Ai · αi + R,

n ∂g n ∂g P P ∂fk e R= · · ρk · |v| + σ|w|. i=1 ∂yk k=1 ∂yk ∂xi m

X ∂g |w| R = · ρk + σ · |v| ∂yk |v| k=1

Quando v tende a zero, sabemos que cada fun¸cão ρk tende a zero, que o quociente |w|/|v| é limitado e que lim σ = 0. Segue-se que lim (R/|v|) = v→0

v→0

0. Isto mostra que g ◦ f é diferenci´ avel no ponto a e suas derivadas parciais s˜ ao os n´ umeros Ai . Observa¸ c˜ ao: A nota¸cão cl´ assica do Cálculo Diferencial, às vezes imprecisa porém bastante sugestiva, além de compat´ıvel com a prática (então universal) de enfatizar grandezas (“y é uma fun¸cão de x”) em vez de

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

128

N

´ VARIAVEIS

aplica¸co ˜es (“f leva x em y”), seria a seguinte, para a Regra da Cadeia: os pontos de U seriam escritos como “x”e os de V como “y”; as fun¸cões fk seriam escritas como yk [= yk (x)]. A derivada ∂(g ◦ f )/∂xi seria a “derivada de g em rela¸cão ` a variável xi ”, indicada com ∂g/∂xi . A Regra da Cadeia seria então: X ∂g ∂yk ∂g = · · ∂xi ∂yk ∂xi k

N˜ ao se pode negar a elegância nost´ algica desta fórmula. Ela, porém, se acha demasiadamente comprometida com sistemas de coordenadas, para o gosto atual. No Cap´ıtulo 5, apresentaremos a versão intr´ınseca da Regra da Cadeia, cujo significado independe de coordenadas. Corol´ ario 1. Se f : U → R é diferenci´ avel no ponto b e se λ : (a − ε, a + ε) → U ⊂ Rn é um caminho diferenci´ avel no ponto a, com λ(a) = b e λ(t) = (λ1 (t), . . . , λn (t)), ent˜ ao a fun¸ca õ composta f ◦ λ : (a − ε, a + ε) → R é diferenci´ avel no ponto a, e tem-se (f ◦ λ)′ (a) =

n X ∂f (b) · λ′i (a). ∂xi i=1

Se escrevermos λ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) então dx1 dxn ′ λ (t) = ,··· , . dt dt Indicando com

df a derivada da fun¸cão composta dt t 7→ f (λ(t)) = f (x1 (t), . . . , xn (t)),

a Regra da Cadeia assume a forma cl´ assica n

X ∂f dxi df = · · dt ∂xi dt i=1

Corol´ ario 2. Sejam U ⊂ Rn um conjunto aberto, f : U → R diferenci´ avel no ponto a, com f (U ) ⊂ I, g : I → R diferenci´ avel no ponto b = f (a). Ent˜ ao g ◦ f : U → R é diferenci´ avel no ponto a e, para cada i = 1, . . . , n vale ∂(g ◦ f ) ∂f (a) = g ′ (b) · (a). dxi ∂xi

˜ ´ [SEC. 3: FUNC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

129

Decorre da Regra da Cadeia que, se f : U → R é diferenci´ avel no ∂f ponto a ∈ U , ao calcularmos a derivada direcional (a) = (f ◦ λ)′ (0), ∂v não é necessário tomar λ(t) = a + tv. Em vez de nos restringirmos a um caminho retil´ıneo, podemos considerar qualquer caminho λ : (−ε, ε) → U , diferenci´ avel no ponto a, com λ(0) = a e λ′ (0) = v = (α1 , . . . , αn ) e teremos ainda ∂f f (λ(t)) − f (a) (a) = (f ◦ λ)′ (0) = lim · t→0 ∂v t Com efeito, pela Regra da Cadeia, (f ◦ λ)′ (0) = Σ

∂f ∂f ∂f (a) · λ′i (0) = Σ (a) · αi = (a). ∂xi ∂xi ∂v

Revejamos agora os Exemplos 2, 3, 4 e 5 à luz da defini¸cão de diferenciabilidade. As fun¸cões que examinamos foram as seguintes: f : R2 → R, f (x, y) = xy/(x2 + y 2 ), 2

2

2

f (0, 0) = 0;

2

g : R → R, g(x, y) = x y/(x + y ), g(0, 0) = 0;

h : R2 → R, h(x, y) = x3 y/(x6 + y 2 ), h(0, 0) = 0;

ϕ : R2 → R, ϕ(x, y) = x3 y/(x4 + y 2 ), ϕ(0, 0) = 0.

130

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

Gr´ afico de f .

N

´ VARIAVEIS

˜ ´ [SEC. 3: FUNC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Gr´ afico de g.

131

132

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

Nenhuma dessas fun¸cões é diferenci´ avel na origem de R2 : f porque não é cont´ınua nem possui derivada direcional segundo todo vetor; g porque, embora sendo cont´ınua e existindo ∂g/∂v(0, 0) segundo todo vetor v ∈ R2 , esta derivada não depende linearmente de v; h possui derivadas direcionais ∂h/∂v, que dependem linearmente de v, mas não é cont´ınua na origem; finalmente, ϕ é cont´ınua em todo o plano, admite em todos os pontos do plano derivadas direcionais ∂ϕ/∂v que dependem linearmente de v, mas contraria a Regra da Cadeia porque, considerando o caminho λ(t) = (t, t2 sen 1/t), a composta ϕ◦λ : R → R não é derivável no ponto t = 0. Estas s˜ ao razões indiretas pelas quais as quatro fun¸cões acima não s˜ ao diferenci´ aveis. A razão real é que, embora cada uma delas possua derivadas parciais na origem, elas não cumprem a condi¸cão ∂f 1 r(v) ∂f lim = lim p ·α− · β = 0, f (α, β) − v→0 |v| α,β→0 ∂x ∂y α2 + β 2 onde as derivadas parciais s˜ ao tomadas no ponto (0, 0). p α2 + β 2 = |v| é a norma euclidiana do vetor v = (α, β).

Acima,

˜ ´ [SEC. 3: FUNC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

133

134

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

Gr´ afico de h.

N

´ VARIAVEIS

˜ ´ [SEC. 3: FUNC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

135

Gr´ afico de ϕ. Exemplo 6. Uma fun¸cão complexa f : U → C, definida num aberto U ⊂ C, diz-se deriv´ avel no ponto z = x + iy ∈ U quando existe o limite f (z + H) − f (z) = A, H→0 H lim

o quociente acima sendo tomado no sentido dos n´ umeros complexos. O n´ umero complexo A = f ′ (z) chama-se a derivada da fun¸cão complexa f no ponto z. A derivabilidade de f no ponto z = x + iy equivale a dizer que r(H) f (z + H) = f (z) + A · H + r(H), onde lim = 0. H→0 |H|

Sejam A = a + ib, H = h + ik e r = r1 + ir2 . Então f é derivável no ponto z = x + iy se, e somente se, (*)

f (z + H) = f (z) + (ah − bk) + i(bh + ak) + r1 (H) + i · r2 (H),

r1 (H) r2 (H) = lim = 0. H→0 |H| |H| Sejam u, v : U → R as partes real e imaginária de f , ou seja f (z) = u(z) + iv(z). Separando a parte real e a parte imaginária na igualdade (*) acima, obtemos

onde lim

H→0

u(x + h, y + k) = u(x, y) + ah − bk + r1 (h, k), r1 (h, k) = 0; onde lim √ h,k→0 h2 + k 2 v(x + h, y + k) = v(x, y) + bh + ak + r2 (h, k), r2 (h, k) onde lim √ = 0. h,k→0 h2 + k 2 Assim, se a fun¸cão complexa f = u+iv é derivável no ponto z = x+iv então sua parte real u e sua parte imaginária v s˜ ao diferenci´ aveis no ∂v ∂u = (= a), ponto (x, y) e, além disso, cumprem as condi¸cões ∂x ∂y ∂u ∂v = − (= −b) nesse ponto. Estas s˜ ao as chamadas equa¸co ˜es de ∂y ∂x Cauchy-Riemann.

136

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

Reciprocamente, se u, v : U → R s˜ ao fun¸cões diferenci´ aveis no ponto z = (x, y) e satisfazem nesse ponto as equa¸cões de Cauchy-Riemann ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = −∂v/∂x, então podemos reverter cada passo do argumento anterior e concluir que a fun¸cão complexa f = u + iv possui, no ponto z = x + iy, uma derivada complexa f ′ (z), com f ′ (z) = ∂u ∂u ∂v ∂v −i = +i · ∂x ∂y ∂y ∂x A fun¸cão complexa f : U → C diz-se holomorfa quando possui derivada f ′ (z) em todos os pontos do aberto U . Uma fun¸cão real f : U → R, definida no aberto U ⊂ Rn , diz-se de classe C 1 quando existem, em cada ponto x ∈ U , as derivadas parciais ∂f ∂f ∂f (x), . . . , (x) e as n fun¸cões : U → R, assim definidas, s˜ ao ∂x1 ∂xn ∂xi cont´ınuas. Mais geralmente, diremos que uma fun¸cão f : U → R é de classe C k quando ela possuir derivadas parciais em todos os pontos de ∂f ∂f U e as fun¸cões ,..., : U → R forem de classe C k−1 . Aqui, k é ∂x1 ∂xn um inteiro > 0. Para completar a defini¸cão indutiva, diremos que uma fun¸cão f : U → R é de classe C 0 quando ela for cont´ınua. Usaremos a nota¸cão f ∈ C k . Escreveremos também f ∈ C ∞ , e diremos que f é de classe C ∞ , quando f ∈ C k para todo k ≥ 0. Evidentemente C 0 ⊃ C 1 ⊃ · · · ⊃ C k ⊃ · · · ⊃ C ∞ , sendo todas estas inclus˜ oes estritas. (Veja Vol. 1, pág. 278.) Teorema 1. Se uma fun¸ca õ f : U → R possui derivadas parciais em todos os pontos do aberto U ⊂ Rn e cada uma delas é cont´ınua no ponto c, ent˜ ao f é diferenci´ avel no ponto c. Demonstra¸ c˜ ao: Por simplicidade, consideraremos o caso n = 2. A situa¸cão geral se trata de modo an´ alogo, apenas com nota¸cão mais complicada. Fixemos c = (a, b) ∈ U e tomemos v = (h, k) tal que c + v ∈ U . Seja r(v) = r(h, k) = f (a + h, b + k) − f (a, b) −

∂f ∂f h− k, ∂x ∂y

onde as derivadas s˜ ao calculadas no ponto c = (a, b). Podemos escrever: r(v) = f (a + h, b + k) − f (a, b + k) + f (a, b + k) − f (a, b) −

∂f ∂f h− k. ∂x ∂y

Pelo Teorema do Valor Médio para fun¸cões reais de uma variável real,

˜ ´ [SEC. 3: FUNC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

137

existem θ1 , θ2 ∈ [0, 1] tais que r(v) =

∂f ∂f ∂f ∂f (a + θ1 h, b + k) · h + (a, b + θ2 k) · k − ·h− · k. ∂x ∂y ∂x ∂x

Logo ∂f h ∂f r(v) = (a + θ1 · h, b + k) − (a, b) √ + |v| ∂x ∂x h2 + k 2 k ∂f ∂f (a, b + θ2 · k) − (a, b) √ + · 2 ∂y ∂y h + k2 √ √ Ora, h h2 + k 2 e k h2 + k 2 estão, em valor absoluto, compreendidos entre 0 e 1. A continuidade das derivadas parciais nos dá então lim [r(v)/|v|] = 0, logo f é diferenci´ avel.

v→0

Corol´ ario 1. Toda fun¸ca õ de classe C 1 é diferenci´ avel. Observa¸ c˜ ao: Escrevendo r(v) = f (a + h, b + k) − f (a, b + k) −

∂f ∂f · h + f (a, b + k) − f (a, b) − · k, ∂x ∂y

vemos que existe θ ∈ (0, 1) tal que ∂f h ∂f r(v) = (a + θh, b + k) − (a, b) + |v| ∂x ∂x |v| f (a, b + k) − f (a, b) ∂f k + − (a, b) · k ∂y |v| Como h/|v| e k/|v| têm valor absoluto menor do que um, a primeira parcela da soma acima tem limite zero quando |v| → 0, desde que ∂f /∂x seja cont´ınua no ponto (a, b). A segunda parcela também tem limite zero, em virtude da defini¸cão de derivada, sem que seja preciso supor ∂f /∂y cont´ınua. Assim, para que uma fun¸cão f , de duas variáveis, seja diferenci´ avel num ponto, é suficiente que ∂f /∂x exista numa vizinhan¸ca do ponto e seja cont´ınua no ponto, e que ∂f /∂y apenas exista no ponto em quest˜ ao. Para fun¸cões de n variáveis, a diferenciabilidade num ponto é assegurada quando n − 1 das suas derivadas parciais s˜ ao cont´ınuas no ponto e a derivada parcial restante apenas existe ali. Exemplo 7. Um polinˆ omio em duas variáveis é uma fun¸cão p : R2 → R, i do tipo p(x, y) = Σaij x y j . Todo polinˆ omio é evidentemente uma fun¸cão

138

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

cont´ınua e possui derivadas parciais ∂p/∂x = Σiaij xi−1 y j , ∂p/∂y = Σjaij xi y j−1 . Tais derivadas s˜ ao ainda polinˆ omios e portanto s˜ ao fun¸cões cont´ınuas em R2 . Logo todo polinˆ omio p : R2 → R é uma fun¸cão de classe C 1 . Então as derivadas de p, sendo polinˆ omios, s˜ ao de classe 1 2 C , portanto p ∈ C . Repetindo o mesmo argumento, concluimos que p ∈ C k para todo k, logo todo polinˆ omio é, na realidade, uma ∞ fun¸cão de classe C . Afirma¸cões semelhantes podem ser feitas sobre um polinˆ omio a n variáveis, que é uma fun¸cão p : Rn → R, do tipo p(x) = Σ ai1 ...in xi11 . . . xinn . A soma f + g, o produto f · g e o quociente f /g (se g(x) 6= 0 para todo x no dom´ınio de g) de fun¸cões f, g : U → R, de classe C k , s˜ ao ainda k fun¸cões de classe C . Exemplo 8. Como exemplo de fun¸cão diferenci´ avel que não é de classe C 1 , tomemos f : R → R, com f (x) = x2 · sen(1/x) se x 6= 0, e f (0) = 0, lembrando que, para fun¸cões de uma variável, diferenciabilidade é o mesmo que existência da derivada. Exemplo 9. O produto interno f : Rm × Rm → R, f (x, y) = Σ xi yi , sendo um polinˆ omo em 2m variáveis, é uma fun¸cão de classe C ∞ . Também é de classe C ∞ a fun¸cão g : Rn →R, g(x) = |x|2 = Σ x2i , por ser ainda um polinˆ omio, em n variáveis.qPela Regra da Cadeia, a norma euclidiana

h : Rn → R, h(x) = |x| = Σ x2i , é de classe C ∞ quando restrita a Rn −{0}. Na origem, a norma euclidiana não é diferenci´ avel; nem sequer ∂h − ∂h + (0 ) = 1 e (0 ) = −1. (Derivadas existem as derivadas parciais: ∂xi ∂xi parciais laterais diferentes.) Quanto às normas que não provêm de um produto interno, elas podem não ser diferenci´ aveis mesmo em pontos x 6= 0. Por exemplo, seja ξ : R2 → R a norma da soma, ξ(x, y) = |x|+|y|. ∂ξ ∂ξ Nos pontos (x, 0) não existe e nos pontos (0, y) não existe · ∂y ∂x Para concluir, registremos um importante corolário do Teorema 1 (e da Regra da Cadeia), segundo o qual g ◦ f ∈ C k desde que g ∈ C k e cada fun¸cão coordenada de f também seja de classe C k . Corol´ ario 2. Sejam U ⊂ Rm , V ⊂ Rn abertos, f = (f1 , . . . , fn ) : U → n R tal que f (U ) ⊂ V e cada fun¸ca õ coordenada fj : U → R é de classe C k . Seja ainda g : V → R uma fun¸ca õ de classe C k . Ent˜ ao a fun¸ca õ k composta g ◦ f : U → R é de classe C . Com efeito, pelo Corolário 1, g e cada fj s˜ ao diferenci´ aveis. (Estamos

˜ [SEC. 4: A DIFERENCIAL DE UMA FUNC ¸ AO

139

supondo k ≥ 1 pois o Corolário 2 é trivial se k = 0.) Podemos então aplicar a Regra da Cadeia, segundo a qual, para todo i = 1, . . . , m, e todo x ∈ U : n X ∂fj ∂(g ◦ f ) ∂g (x) = (f (x)) (x), ∂xi ∂yj ∂xi j=1

ou seja, vale a igualdade de fun¸cões n

X ∂(g ◦ f ) (x) = ∂xi j=1

∂g ◦f ∂yj

·

∂fj · ∂xi

Suponhamos, por indu¸cão, que o Corolário 2 foi provado para classe ∂g C k−1 . Então, para cada j = 1, . . . , n, a fun¸cão composta ◦ f é ∂yj ∂fj para todo i, já que f ∈ de classe C k−1 , o mesmo ocorrendo com ∂xi C k . Como o produto de fun¸cões de classe C k−1 é ainda desta classe, cada parcela da soma acima é de classe C k−1 , donde a soma também é. Assim, todas as derivadas parciais de g ◦ f s˜ ao de classe C k−1 , portanto k g◦f ∈C .

4

A diferencial de uma fun¸c˜ ao

A derivada de um caminho f : R → Rm é um vetor. Na situa¸cão dual, o papel de derivada de uma fun¸cão f : Rn → R é desempenhado por um funcional linear, conforme mostraremos agora. Seja f : U → R definida no aberto U ⊂ Rn , diferenci´ avel no ponto a ∈ U . A diferencial de f no ponto a é o funcional linear df (a) : Rn → R, cujo valor no vetor v = (α1 , . . . , αn ) é dado por n

X ∂f ∂f df (a) · v = (a) = (a) · αi . ∂v ∂xi i=1

Como toda transforma¸cão linear Rn → R, o funcional linear df (a) possui uma matriz 1 × n em rela¸cão à base canônica de Rn . Se identificarmos o funcional com sua matriz, teremos ∂f ∂f df (a) = (a), . . . , (a) . ∂x1 ∂xn

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

140

N

´ VARIAVEIS

Quando f : U → R é diferenci´ avel em todo ponto de U , obtemos uma n ∗ n aplica¸cão df : U → (R ) = L(R ; R), que associa a cada ponto x ∈ U o funcional df (x), cuja matriz é ∂f ∂f (x), . . . , (x) . ∂x1 ∂xn A aplica¸cão df é cont´ınua se, e somente se, cada uma das suas fun¸cões ∂f coordenadas : U → R é cont´ınua, isto é, se, e somente se, f é de ∂xi 1 classe C . ´ comum indicar-se, em An´ E alise, a base canônica de (Rn )∗ , com (dx1 , . . . , dxn ), logo dxi · v = αi se v = (α1 , . . . , αn ). O motivo desta nota¸cão é o seguinte: como a i-ésima proje¸cão πi : Rn → R assume, em cada ponto x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn o valor πi (x) = xi , escreve-se xi em vez de πi . Calculando, de modo óbvio, a diferencial da i-ésima proje¸cão xi : Rn → R, obtemos dxi (a) · v = αi em todo ponto a ∈ Rn . Escrevendo dxi · v em vez de αi , a defini¸cão da diferencial fica df (a) · v =

n X ∂f (a) · dxi · v. ∂xi i=1

Como esta igualdade vale para cada v ∈ Rn , temos n X ∂f df (a) = (a)dxi . ∂xi i=1

Isto significa que o funcional linear df (a) se exprime como combina¸cão linear dos funcionais dxi , sendo (∂f /∂xi )(a) os coeficientes da combina¸cão. Finalmente, a igualdade acima valendo para todo ponto a ∈ U , podemos escrever n X ∂f df = dxi . ∂xi i=1

A expressão formal da regra da cadeia (no caso R → Rn → R) diz que, se cada coordenada xi é fun¸cão de um parˆ ametro real t então podemos “dividir ambos os membros da igualdade acima por dt”e obter n

X ∂f dxi df = · · dt ∂xi dt i=1

˜ [SEC. 4: A DIFERENCIAL DE UMA FUNC ¸ AO

141

Todo funcional linear ϕ : Rn → R é diferenci´ avel e, para todo x ∈ Rn , dϕ(x) = ϕ (isto é, dϕ(x) · v = ϕ · v). Com efeito, temos ϕ(x) = c1 x1 + ∂ϕ ∂ϕ · · ·+cn xn , logo = ci . Portanto dϕ(x)·v = Σ ·αi = Σ ci αi = ϕ·v. ∂xi ∂xi Teorema 2. Sejam f, g : U → R diferenci´ aveis no ponto a ∈ U . Ent˜ ao: 1) f + g : U → R é diferenci´ avel e d(f + g) = df + dg; 2) f · g : U → R é diferenci´ avel e d(f · g) = f · dg + g · df ; 3) Se g(x) 6= 0 para todo x ∈ U , ent˜ ao f /g : U → R é diferenci´ avel e d(f /g) = (g · df − f · dg)/g 2 . Demonstra¸ c˜ ao: As fun¸cões s, m : R2 → R, q : R × (R − {0}) → R, definidas por s(x, y) = x + y, m(x, y) = x · y e q(x, y) = x/y, s˜ ao de classe C ∞ , logo diferenci´ aveis. A aplica¸cão F : U → R2 , definida por F (x) = (f (x), g(x)), tem coordenadas diferenci´ aveis. Como f + g = s ◦ F , f · g = m ◦ F , e f /g = q ◦ F , a Regra da Cadeia assegura a diferenciabilidade de f + g, f · g e f /g. Além disso, temos ∂ ∂f ∂g (f + g) = + , ∂xi ∂xi ∂xi ∂g ∂f ∂ (f · g) = f · +g· e ∂xi ∂xi ∂xi g · ∂f /∂xi − f · ∂g/∂xi f ∂ = · ∂xi g g2 Da´ı resultam as fórmulas enunciadas para as diferenciais. O Teorema do Valor Médio, demonstrado no §2 para fun¸cões que admitem derivadas direcionais ao longo de um segmento, assume, para fun¸cões diferenci´ aveis, a forma abaixo, que decorre da anterior (bem como seu primeiro corolário): Teorema do Valor M´ edio. Seja f : U → R diferenci´ avel em todos os pontos do segmento de reta aberto (a, a+v) e seja cont´ınua sua restri¸ca õ n ao segmento fechado [a, a + v] ⊂ U ⊂ R . Existe θ ∈ (0, 1) tal que n X ∂f f (a + v) − f (a) = df (a + θv) · v = (a + θv) · αi , ∂xi i=1

onde v = (α1 , . . . , αn ).

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

142

N

´ VARIAVEIS

Corol´ ario 1. Seja U ⊂ Rn aberto e conexo. Se f : U → R é diferen∂f ∂f ci´ avel e df (x) = 0 (isto é, (x) = · · · = (x) = 0) para todo x ∈ U ∂x1 ∂xn ent˜ ao f é constante. Corol´ ario 2. Sejam U ⊂ Rn um aberto convexo e f : U → R uma fun¸ca õ diferenci´ avel. Se |df (x)| ≤ M para todo x ∈ U ent˜ ao, para quaisquer x, y ∈ U , temos |f (x) − f (y)| ≤ M · |x − y|.

Ou seja, num aberto convexo, toda fun¸cão que possui diferencial limitada é Lipschitziana. No Corolário 2, |df (x)| é a norma do funcional ∂f df (x) : Rn → R, isto é, o maior dos n´ umeros (x) , para todo v ∈ Rn , ∂v |v| = 1. Se tomarmos em Rn a norma euclidiana, ou a norma da soma, ou a norma do m´ aximo, então |df (x)| assume, respectivamente, os valores v u 2 X ∂f uX ∂f ∂f t ax · (x) , m´ (x) ou (x) . ∂xi ∂xi ∂xi i

i

Exemplo 10. Quando V não é convexo, uma fun¸cão g : V → R pode ter diferencial limitada em V e não ser Lipschitziana. Por exemplo, sejam f e U como no Exemplo 1 e tomemos V = {z ∈ U ; |z| < 2}, g = f |V . Então |dg(z)| ≤ 4 para todo z ∈ V mas g não é Lipschitziana pois, para todo ε > 0 temos |g(1, ε) − g(1, −ε)| = 1 enquanto |(1, ε) − (1, −ε)| = 2ε.

Uma conseq¨ uência do Corolário 2 acima é que se f : U → R é diferenciável e suas derivadas parciais s˜ ao limitadas no aberto convexo U ⊂ Rn , então f é uniformemente cont´ınua em U . Em particular, f é a restri¸cão de uma fun¸cão (uniformemente) cont´ınua g : U → R. (Veja o Corolário do Teorema 14, Cap´ıtulo 1.)

5

O gradiente de uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel

O produto interno natural induz um isomorfismo entre Rn e seu dual Tal isomorfismo faz corresponder a cada vetor v ∈ Rn o funcional v ∗ ∈ (Rn )∗ com v ∗ (x) = hv, xi para todo x ∈ Rn . Se v = (α1 , . . . , αn ) então v ∗ (e1 ) = α1 , . . . , v ∗ (en ) = αn , logo a matriz de v ∗ em rela¸cão à base canônica de Rn é (α1 , . . . , αn ). A existência deste isomorfismo é respons´ avel pelo fato de que no Cálculo Vetorial cl´ assico (e portanto na Geometria e na F´ısica tradicionais) não ocorrem funcionais lineares: em

(Rn )∗ .

˜ DIFERENCIAVEL ´ [SEC. 5: O GRADIENTE DE UMA FUNC ¸ AO

143

vez de um funcional, toma-se o produto interno hv, xi de um vetor fixo v por um vetor variável x. A própria expressão ϕ(x) = c1 x1 + · · · + cn xn , que dá o valor do funcional ϕ no vetor x = (x1 , . . . , xn ), já indica isso: ϕ(x) é o produto interno de x pelo vetor v = (c1 , . . . , cn ), ou seja, ϕ = v ∗ . Dada a fun¸cão diferenci´ avel f : U → R, definida no aberto U ⊂ Rn , definiremos o gradiente de f no ponto a ∈ U como o vetor grad f (a), que corresponde ao funcional df (a) segundo o isomorfismo acima descrito. Isto significa, por defini¸cão, que: h grad f (a), vi =

∂f ∂f (a) = df (a) · v = Σ (a) · αi ∂v ∂xi

para todo v = (α1 , . . . , αn ). Em particular h grad f (a), ei i = grad f (a) =

∂f (a), logo ∂xi

∂f ∂f (a), . . . , (a) . ∂x1 ∂xn

Se usarmos apenas bases ortonormais em Rn , as coordenadas do vetor grad f (a) em rela¸cão ` a base (e1 , . . . , en ) s˜ ao as mesmas que as do funcional df (a) com respeito ` a base dual (dx1 , . . . , dxn ). Nestas condi¸cões, o gradiente se torna praticamente indistinguivel da diferencial. Noutros contextos (como em Geometria Riemanniana), as duas no¸cões s˜ ao bem distintas. Mesmo no espa¸co euclidiano, o gradiente, por ser um vetor, apresenta aspectos geométricos muito convenientes para dar informa¸cões a respeito do comportamento da fun¸cão, como vemos a seguir. Destacaremos as três propriedades mais importantes do gradiente de uma fun¸cão diferenci´ avel f . Nesta discuss˜ ao, fixaremos um ponto a e suporemos que grad f (a) 6= 0. Então: 1o¯ ) O gradiente aponta para uma dire¸cão segundo a qual a fun¸cão f é crescente; 2o¯ ) Dentre todas as dire¸cões ao longo das quais a fun¸cão f cresce, a dire¸cão do gradiente é a de crescimento mais rápido; 3o¯ ) O gradiente de f no ponto a é perpendicular à superf´ıcie de n´ıvel de f que passa por esse ponto.

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

144

N

´ VARIAVEIS

Expliquemos essas afirma¸cões. Em primeiro lugar, se w = grad f (a) então ∂f (a) = h grad f (a), wi = | grad f (a)|2 > 0. ∂w Isto significa que se λ : (−ε, ε) → U é um caminho diferenci´ avel, com valores no dom´ınio U da fun¸cão f , tal que λ(0) = a e λ′ (0) = grad f (a), então a fun¸cão real t 7→ f (λ(t)) possui derivada positiva no ponto t = 0. Se supusermos f e λ de classe C 1 , então a derivada de f ◦ λ será ainda positiva em todos os pontos de um intervalo aberto de centro 0, isto é, se tomarmos ε > 0 suficientemente pequeno então f ◦ λ : (−ε, ε) → R será uma fun¸cão crescente. Isto é o que significa afirmar que “f cresce ∂f na dire¸cão do gradiente”. Evidentemente, não se tem (a) > 0 apenas ∂v ∂f quando v = grad f (a). Como (a) = h grad f (a), vi, os vetores v que ∂v apontam para dire¸cões ao longo das quais a fun¸cão cresce s˜ ao aqueles que formam um ˆ angulo agudo com grad f (a), isto é, tais que o produto interno h grad f (a), vi é positivo. O que distingue o gradiente é o fato de que em sua dire¸cão o crescimento de f é mais rápido do que nas outras. R U

gradf (a) λ(t)

ε 0

λ

f a

f (a)

−ε f ◦ λ é crescente

Isto quer dizer o seguinte: se v for um vetor tal que |v| = | grad f (a)| então ∂f ∂f (a) ≤ (a). ∂v ∂(grad f (a)) Com efeito, pela desigualdade de Schwarz: ∂f (a) = h grad f (a), vi ≤ | grad f (a)| |v| = ∂v ∂f (a). = | grad f (a)|2 = ∂(grad f (a))

˜ DIFERENCIAVEL ´ [SEC. 5: O GRADIENTE DE UMA FUNC ¸ AO

145

Finalmente, esclare¸camos a terceira das afirma¸cões acima. Dada f : U → R, diferenci´ avel no aberto, U ⊂ Rn , e dado um n´ umero real c, diz-se que o ponto x ∈ U está no n´ıvel c, ou tem n´ıvel c, relativamente a f , quando f (x) = c. Fixado c, o conjunto dos pontos de U que estão no n´ıvel c é a imagem inversa f −1 (c), a qual é chamada a superf´ıcie de n´ıvel c da fun¸cão f . Quando n = 2, f −1 (c) chama-se a curva de n´ıvel c de f . Convém, de in´ıcio, chamar a aten¸cão para o fato de que a imagem inversa f −1 (c) às vezes não tem aspecto de curva ou superf´ıcie. (Por exemplo, f : R2 → R pode ser constante, igual a c, num conjunto que contenha uma bola.) Melhor seria chamar f −1 (c) de “conjunto de n´ıvel”. Mas a terminologia está consagrada e se justifica devido a f −1 (c) ser mesmo uma superf´ıcie (ou uma curva) sempre que grad f (x) 6= 0 para todo x com f (x) = c, conforme provaremos adiante, com ajuda do teorema da fun¸cão impl´ıcita. Dizer que um vetor w é perpendicular à superf´ıcie (ou curva) de n´ıvel f −1 (c) no ponto a significa que w é perpendicular ao vetor velocidade, no ponto a, de qualquer caminho diferenci´ avel no ponto t = 0, com λ(0) = a e λ(t) ∈ f −1 (c), isto é, f (λ(t)) = c, para todo t ∈ (−ε, ε). Com efeito, desta u ´ltima igualdade segue-se que n X ∂f 0 = (f ◦ λ) (0) = (a) · λ′i (0) = h grad f (a), λ′ (0)i, ∂xi ′

i=1

logo grad f (a) é perpendicular a λ′ (0), vetor velocidade no ponto a = λ(0) de qualquer caminho diferenci´ avel λ, contido na superf´ıcie de n´ıvel de f que contém a. Isto conlui a verifica¸cão das três propriedades do gradiente acima enunciadas. Vejamos agora alguns exemplos simples. Exemplo 11. Sejam f, g, h : R2 → R definidas por f (x, y) = ax + by (onde a2 + b2 6= 0), g(x, y) = x2 + y 2 e h(x, y) = x2 − y 2 . As curvas de n´ıvel de f s˜ ao a retas definidas pelas equa¸cões ax+by = c, para qualquer c real. O vetor gradiente de f é constante: grad f = (a, b) em qualquer ponto (x, y) ∈ R2 . Assim, as curvas de n´ıvel de f s˜ ao todas as retas perpendiculares ao vetor (a, b); tais retas s˜ ao, evidentemente, paralelas umas ` as outras. As curvas de n´ıvel c da fun¸cão g(x, y) = x2 + y 2 s˜ ao as solu¸cões de uma equa¸cão do tipo g(x, y) = c. Elas s˜ ao vazias se c < 0. A curva de n´ıvel 0 reduz-se a um u ńico ponto, a origem. Para c > 0, a curva de

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

146

N

´ VARIAVEIS

(2x, 2y) (a, b) (x, y)

x2 + y 2 = c

ax + by = c

x2 − y 2 = c (x, y)

(2x, −2y)

√ n´ıvel c é o c´ırculo de centro na origem e raio c. O vetor gradiente de g no ponto (x, y) é grad g(x, y) = (2x, 2y), um vetor paralelo ao raio, o que é de se esperar, pois o raio é perpendicular a todo vetor tangente ao c´ırculo naquele ponto. A curva de n´ıvel c da fun¸cão h(x, y) = x2 − y 2 é formada por dois ramos de hipérbole quando c 6= 0. No caso de c > 0, a hipérbole x2 − y 2 = c tem como eixo o eixo das abcissas; quando c < 0 o eixo da hipérbole é o das ordenadas. Para c = 0, a curva de n´ıvel x2 − y 2 = 0 consiste em duas retas perpendiculares que se cortam na origem: as diagonais do primeiro e terceiro e do segundo e quarto quadrantes, dadas por y = x e y = −x, respectivamente. O gradiente da fun¸cão h é o vetor grad h(x, y) = (2x, −2y). Atribuindo valores particulares a x e y, podemos observar que esse vetor é perpendicular à curva de n´ıvel que passa pelo ponto (x, y), e indica a dire¸cão de crescimento de h. Note-se que, nos pontos onde o gradiente se anula (a origem na segunda e na terceira figura), ocorre uma quebra de regularidade na disposi¸cão das curvas de n´ıvel. Chamam-se pontos singulares ou pontos

147

[SEC. 6: A REGRA DE LEIBNIZ

cr´ıticos da fun¸cão os pontos onde seu gradiente é o vetor zero. Exemplo 12. An´ alogas tridimensionais das fun¸cões do exemplo anterior s˜ ao f, g, h : R3 → R, definidas por f (x, y, z) = ax + by + cz (com a2 + b2 + c2 6= 0), g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e h(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . As superf´ıcies de n´ıvel de f s˜ ao planos paralelos, todos perpendiculares ao

vetor (a, b, c), que é o gradiente de f . A superf´ıcie de n´ıvel c da fun¸cão g é vazia se c < 0, reduz-se à origem se c = 0 e é uma esfera de centro √ na origem e raio c quando c > 0. A superf´ıcie de n´ıvel 0 da fun¸cão h é um cone duplo, com vértice na origem e eixo no eixo dos z. Se c > 0, a superf´ıcie x2 + y 2 − z 2 = c é um hiperbolóide de revolu¸cão, com o mesmo eixo do cone. Se c < 0, x2 + y 2 − z 2 = c define um hiperbolóide de duas folhas.

6

A Regra de Leibniz

Regra de Leibniz (Deriva¸cão sob o sinal de integral.) Dado U ⊂ Rn , aberto, seja f : U ×[a, b] → R uma fun¸ca õ com as seguintes propriedades: 1) Para todo x ∈ U , a fun¸ca õ t 7→ f (x, t) é integr´ avel em a ≤ t ≤ b. 2) A i-ésima derivada parcial [a, b] e a fun¸ca õ

∂f (x, t) existe para cada (x, t) ∈ U × ∂xi

∂f : U × [a, b] → R, assim definida, é cont´ınua. ∂xi

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

148

N

´ VARIAVEIS

Rb Ent˜ ao a fun¸ca õ ϕ : U → R, dada por ϕ(x) = a f (x, t)dt, possui i-ésima derivada parcial em cada ponto x ∈ U , sendo ∂ϕ (x) = ∂xi

Z

a

b

∂f (x, t) dt. ∂xi

Em suma: pode-se derivar sob o sinal de integral, desde que o integrando resultante seja uma fun¸ca õ cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema do Valor Médio para fun¸cões reais de uma variável, se x, x + sei ∈ U , existe θ ∈ (0, 1) tal que Z b ∂f ϕ(x + sei ) − ϕ(x) − (x, t) dt = s a ∂xi Z b f (x + sei , t) − f (x, t) ∂f = − (x, t) dt = s ∂xi a Z b ∂f ∂f = (x + θsei , t) − (x, t) dt. ∂xi ∂xi a

Pelo Teorema 21 b, Cap´ıtulo I, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que ∂f ∂f (x + θsei , t) − (x, t) < ε/(b − a), |s| < δ ⇒ ∂xi ∂xi seja qual for t ∈ [a, b]. Então 0 < |s| < δ implica

Z b ϕ(x + sei) − ϕ(x) ∂f − (x, t) dt < ε. s a ∂xi

como quer´ıamos demonstrar.

Corol´ ario. Se f : U ×[a, b] → R é cont´ınua e possui n derivadas parciais ∂f cont´ınuas : U × [a, b] → R, ent˜ ao ϕ : U → R, definida por ϕ(s) = ∂x i Rb e de classe C 1 . a f (x, t) dt, ´

Com efeito, ϕ tem derivadas parciais cont´ınuas. (Vide (12.7), no Cap´ıtulo I.) Como conseq¨ uência da Regra de Leibniz, prova-se o teorema da inversão da ordem nas integrais repetidas. Trata-se do seguinte: temos uma fun¸cão cont´ınua f : [a, b] × [c, d] → R. Então, pela observa¸cão (12.7), logo ap´ os o Teorema 21 b, no Cap´ıtulo I, a fun¸cão ξ : [a, b] → R,

149

[SEC. 6: A REGRA DE LEIBNIZ

definida por ξ(s) = escreve como Z b Z d

Rd c

f (s, t) dt, é cont´ınua. A integral

c

a

Z

f (s, t) dt ds ou

b

ds

Z

Rb a

ξ(s) ds se

d

f (s, t) dt,

c

a

tendo em mente a ordem em que foram efetuadas as integra¸cões. Agora podemos enunciar o Teorema da Invers˜ ao da Ordem nas Integrais Repetidas. Para toda fun¸ca õ cont´ınua f : [a, b] × [c, d] → R, vale Z

b

ds a

Z

d

f (s, t) dt = c

Z

d

dt c

Z

b

f (s, t) ds.

a

Demonstra¸ c˜ ao: Definamos a fun¸cão ϕ : [a, b] → R, pondo ϕ(x) = Rd Rx Rd Rb c dt a f (s, t) ds. TemosRϕ(a) = 0, ϕ(b) = c dt a f (s, t) ds e, pela d Regra de Leibniz ϕ′ (x) = c f (x, t) dt, pois o integrando f (x, t) é uma fun¸cão cont´ınua de (x, t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, segueRb Rb Rd se que ϕ(b) = ϕ(a) + a ϕ′ (s) ds = a ds c f (s, t) dt, o que demonstra o teorema. Outra conseq¨ uência interessante da Regra de Leibniz é uma demonstra¸cão do Teorema de Schwarz, que apresentaremos no §7, adiante. Exemplo 12a. Seja f : U × [a, b] → R cont´ınua, com derivadas parciais ∂f ∂f cont´ınuas ,..., : U × [a, b] → R. Seja g : U → [a, b] de classe ∂x1 ∂xn 1 C . Vamos mostrar que a fun¸cão ϕ : U → R, definida por ϕ(x) = R g(x) f (x, t) dt, é de classe C 1 , e suas derivadas parciais s˜ ao expressas a pela fórmula: ∂ϕ (x) = ∂xi

Z

a

g(x)

∂f ∂g (x, t) dt + (x) · f (x, g(x)). ∂xi ∂xi

Com efeito, R use consideramos a fun¸cão ξ : U × [a, b] → R, definida por ξ(x, u) = a f (x, t) dt, a Regra de Leibniz e a regra de deriva¸cão de uma integral indefinida dão Z u ∂f ∂ξ ∂ξ (x, u) = (x, t) dt e (x, u) = f (x, u). ∂xi ∂u a ∂xi

150

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

Assim, ξ é de classe C 1 , portanto diferenci´ avel. Podemos então usar a Regra da Cadeia, segundo a qual a fun¸cão composta ϕ(x) = ξ(s, g(x)) tem como derivada parcial ∂ϕ ∂ξ ∂g ∂ξ (x) = (x, g(x)) + (x) · (x, g(x)) = ∂xi ∂xi ∂xi ∂u Z g(x) ∂g ∂f (x, t) dt + (x) · f (x, g(x)). = ∂xi ∂xi a Da´ı decorrem fórmulas an´ alogas para as derivadas parciais das fun¸cões Rb R h(x) ψ(x) = g(x) f (x, t) dt e ζ(x) = g(x) f (x, t) dt.

Exemplo 13. Seja f : I → R uma fun¸cão cont´ınua, definida num intervalo I que contém 0. Para cada inteiro n ≥ 1, seja Fn : I → R a fun¸cão definida por Z x (x − t)n−1 Fn (x) = f (t) dt. (n − 1)! 0

Para completar, seja F0 = f . A fórmula acima deduzida nos permite facilmente calcular a derivada de cada Fn . Obtemos Fn′ = Fn−1 . Portanto Fn é uma fun¸cão que se anula para x = 0 e cuja n-ésima derivada ´ interessante notar que Fn foi obtida com uma u é igual a f . (E ńica integra¸cão.)

7

O Teorema de Schwarz

Seja f : U → R diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rn . Para i = 1, . . . , n, ∂f cabe indagar se as fun¸cões : U → R s˜ ao diferenci´ aveis num ponto ∂xi a ∈ U . Se todas s˜ ao, diz-se que f é duas vezes diferenci´ avel no ponto a. Neste caso, para todos os inteiros i, j = 1, 2, . . . , n, existem as derivadas parciais de segunda ordem ∂f ∂2f ∂ (a). (a) = ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi Quando f é duas vezes diferenci´ avel em todos os pontos de U , ficam 2f ∂ definidas n2 fun¸cões : U → R, 1 ≤ i, j ≤ n. Se todas essas ∂xj ∂xi fun¸cões s˜ ao diferenci´ aveis num ponto, diz-se que f é três vezes diferenci´ avel naquele ponto. E assim por diante.

[SEC. 7: O TEOREMA DE SCHWARZ

151

Sabemos que f ∈ C 1 ⇒ f diferenci´ avel. Da´ı, e das defini¸cões que k acabamos de dar, resulta que f ∈ C ⇒ f é k vezes diferenci´ avel. O Teorema de Schwarz assegura que, mediante algumas hip´ oteses naturais, a ordem em que s˜ ao tomadas as derivadas parciais repetidas não influi no resultado final. H´ a diferentes enunciados para esse teorema. Daremos dois. O primeiro é o mais simples e natural. Teorema de Schwarz. Seja f : U → R duas vezes diferenci´ avel no ponto c ∈ U ⊂ Rn . Para quaisquer 1 ≤ i, j ≤ n, tem-se ∂2f ∂2f (c) = (c). ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

Demonstra¸ c˜ ao: Para simplificar a nota¸cão, e sem perder a generali∂2f (a, b) = dade, podemos supor U ⊂ R2 , c = (a, b) e provar que ∂x∂y ∂2f (a, b). Existe ε > 0 tal que o quadrado (a − ε, a + ε) × (b − ε, b + ε) ∂y∂x está contido em U . Para todo t ∈ (−ε, ε), ponhamos ϕ(t) = f (a + t, b + t) − f (a + t, b) − f (a, b + t) + f (a, b). Então, escrevendo ξ(x) = f (x, b + t) − f (x, b), vemos que ϕ(t) = ξ(a + t) − ξ(a). Pelo Teorema do Valor Médio para fun¸cões de uma variável, existe θ ∈ (0, 1) tal que ϕ(t) = ξ ′ (a + θt) · t, ou seja: ∂f ∂f (a + θt, b + t) − (a + θt, b) t. ϕ(t) = ∂x ∂x ∂f : U → R é diferenci´ avel no ponto c = (a, b), temos ∂x as igualdades: (As derivadas não explicitadas abaixo s˜ ao tomadas no ponto c.)

Como a fun¸cão

∂f ∂f ∂2f ∂2f (a + θt, b + t) = + · θt + · t + ρ1 · t, onde lim ρ1 = 0; t→0 ∂x ∂x ∂x2 ∂y∂x ∂f ∂2f ∂f (a + θt, b) = + · θt + ρ2 · t, onde lim ρ2 = 0. t→0 ∂x ∂x ∂x2 2 ∂ f · t2 + ρ · t2 , onde ρ = ρ1 − ρ2 e portanto lim ρ = 0. Da´ı ϕ(t) = v→0 ∂y∂x ϕ(t) ∂2f Segue-se então que lim 2 = (a, b). Um racioc´ınio semelhante, t→0 t ∂y∂x

152

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

usando a fun¸cão ζ(y) = f (a + t, y) − f (a, y), nos conduziria a lim ∂2f (a, b). Isto prova o teorema. ∂x∂y

t→0

ϕ(t) = t2

Exemplo 14. O caso mais conhecido de uma fun¸cão que possui deriva∂2f ∂2f das de segunda ordem em todos os pontos do plano mas 6= ∂x∂y ∂y∂x 2 − y2) xy(x se x2 +y 2 6= 0 na origem é f : R2 → R, definida por f (x, y) = x2 + y 2 e f (0, 0) = 0.

[SEC. 7: O TEOREMA DE SCHWARZ

153

Nos pontos de R2 − {0}, f possui derivadas parciais repetidas de to-

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

154

N

´ VARIAVEIS

das as ordens. Na origem, existem (e s˜ ao nulas) ∂ 2 f /∂x2 e ∂ 2 f /∂y 2 . Quanto ` as derivadas mistas, come¸camos observando que, para todo y 6= 0, temos f (0, y) = 0, logo xy(x2 − y 2 ) ∂f (0, y) = lim = −y, x→0 x(x2 + y 2 ) ∂x e da´ı ∂2f ∂ (0, 0) = ∂y∂x ∂y

∂f ∂x

∂f /∂x(0, y) = −1. y→0 y

(0, 0) = lim

∂2f (0, 0) = 1. Logo as duas derivadas ∂x∂y mistas de f na origem s˜ ao diferentes. Como foi mencionado no §6, a seguinte versão do Teorema de Schwarz decorre da Regra de Leibniz. De modo an´ alogo, vemos que

Teorema 3. Seja f : U → R tal que existem

∂f ∂2f e em todos ∂xi ∂xi ∂xj

∂2f ∂f , : U → R s˜ ao cont´ınuas, ∂xi ∂xi ∂xj ent˜ ao a derivada ∂ 2 f /∂xj ∂xi existe em todos os pontos de U e vale 2 ∂ f /∂xi ∂xj = ∂ 2 f /∂xj ∂xi . os pontos de U . Se as fun¸co ˜es

Demonstra¸ c˜ ao: Sem perda de generalidade, podemos supor que U = I × J é um retˆ angulo em R2 . Tomando um ponto b ∈ J, o Teorema Fundamental do C´ alculo nos permite escrever, para todo ponto (x, y) ∈ U : Z y ∂f f (x, y) = f (x, b) + (x, t) dt. b ∂y A continuidade de ∂ 2 f /∂x∂y, admitida por hip´ otese, faz com que a Regra de Leibniz seja aplicável. Derivando em rela¸cão a x: ∂f ∂f (x, y) = (x, b) + ∂x ∂x

Z

y b

∂2f (x, t) dt. ∂x∂y

Derivando em seguida relativamente a y, obtemos ∂2f ∂2f (x, y) = (x, y), ∂y∂x ∂x∂y

[SEC. 7: O TEOREMA DE SCHWARZ

155

pois (∂f /∂x)(x, b) não depende de y e o integrando na segunda parcela é cont´ınuo. Observa¸ c˜ ao: N˜ ao é muito surpreendente que, assim como a permutabilidade de integra¸cões sucessivas, também uma versão do Teorema de Schwarz decorra da Regra de Leibniz. Afinal de contas, esses teoremas asseguram que, sob certas condi¸cões, é permitido inverter a ordem de dois limites sucessivos. Uma boa quantidade de resultados importantes em An´ alise decorrem da possibilidade de se permutarem limites, mediante hip´ oteses convenientes. O caso mais simples do teorema acima ocorre quando f ∈ C 2 . Então ele se torna um corolário da versão anterior, para fun¸cões duas vezes diferenci´ aveis. O Teorema de Schwarz, evidentemente, se aplica para derivadas repetidas de ordem superior ` a segunda. Consideremos, por exemplo, uma fun¸cão f : U → R, três vezes diferenci´ avel no aberto U ⊂ R2 . H´ a 6 derivadas mistas de terceira ordem para a fun¸cão f , a saber ∂3f ∂3f ∂3f , , , ∂x∂x∂y ∂x∂y∂x ∂y∂x∂x ∂3f ∂3f ∂3f , , · ∂y∂y∂x ∂y∂x∂y ∂x∂y∂y Na realidade, porém, apenas duas delas podem ser diferentes, pois as 3 derivadas da primeira linha s˜ ao iguais, bem como as da segunda linha. Com efeito, pelo Teorema de Schwarz: 2 2 ∂ f ∂ f ∂ ∂ ∂3f ∂3f = = = ∂x∂x∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y∂x ∂x∂y∂x e, por outro lado, escrevendo g = ∂f /∂x, temos: ∂ ∂2g ∂ ∂f ∂3f ∂2g = = = = ∂x∂y∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂ ∂ ∂f ∂3f = · = ∂y ∂x ∂x ∂y∂x∂x Analogamente para as 3 derivadas da segunda linha. Por simplicidade, escreveremos ∂ 3 f /∂x2 ∂y para indicar qualquer das 3 derivadas da primeira linha e ∂ 3 f /∂y 2 ∂x para indicar a outra derivada mista de 3a¯ ordem de f .

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

156

N

´ VARIAVEIS

O processo se aplica em geral: se f : U → R é uma fun¸cão p-vezes diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm então, para toda seq¨ uência de inteiros não-negativos i1 , . . . , in , com i1 + · · · + in = α ≤ p, a derivada de ordem α, ∂ α f /∂xi11 ∂xi22 . . . ∂xinn , que consiste em derivar i1 vezes em rela¸cão a x1 , . . . , in vezes em rela¸cão a xn (podendo alguns dos ik serem iguais a zero), não depende da ordem em que essas deriva¸cões foram efetuadas. Este é o enunciado geral do Teorema de Schwarz. Sua demonstra¸cão se baseia no caso que demonstramos e na observa¸cão de que qualquer mudan¸ca de ordem numa seq¨ uência pode ser levada a efeito através de sucessivas transposi¸cões entre dois termos consecutivos da seq¨ uência.

8

F´ ormula de Taylor; pontos cr´ıticos

A fórmula de Taylor para uma fun¸cão f : U → R, definida no aberto U ⊂ Rn , é a seguinte: 1 1 f (a + v) = f (a) + df (a) · v + d2 f (a) · v 2 + · · · + dp f (a) · v p + rp (v). 2 p! Conforme as hip´ oteses feitas e os objetivos desejados, temos, como no caso de fun¸cões de uma s´ o variável, três situa¸cões principais: 1) F´ ormula de Taylor Infinitesimal. Se f é p vezes diferenci´ avel no rp (v) ponto a, ent˜ ao lim = 0. v→0 |v|p 2) Resto de Lagrange. Supondo [a, a + v] ⊂ U , f de classe C p , p + 1 vezes diferenci´ avel no segmento aberto (a, a + v), ent˜ ao existe θ ∈ (0, 1) tal que 1 rp (v) = dp+1 f (a + θv) · v p+1 . (p + 1)! 3) Resto Integral. Se f é de classe C p+1 e [a, a + v] ⊂ U ent˜ ao Z 1 1 (1 − t)p dp+1 f (a + tv) · v p+1 dt. rp (v) = p! 0 Acima, para v = (α1 , . . . , αn ), escrevemos X ∂2f d2 f (a) · v 2 = (a)αi αj , ∂xi ∂xj i,j

d3 f (a) · v 3 =

X i,j,k

∂3f (a)αi αj αk , ∂xi ∂xj ∂xk

´ [SEC. 8: FORMULA DE TAYLOR; PONTOS CRÍTICOS

157

e assim por diante. Para cada inteiro p > 0, a forma dp f (a) : Rn → R chama-se a pésima diferencial da fun¸cão f no ponto a. O valor de dp f (a) num vetor v ∈ Rn é indicado pela nota¸cão dp f (a) · v p , para sugerir que se trata de um polinˆ omio homogêneo de grau p nas coordenadas de v. (Veja que dp f (a) · (tv)p = tp · dp (a) · v p , o que é coerente com a nota¸cão.) As afirma¸cões 2) e 3) acima se demonstram simplesmente introduzindo a fun¸cão ϕ : [0, 1] → R, definida por ϕ(t) = f (a + tv), aplicando a ϕ o resultado correspondente para fun¸cões de uma variável real, (Vol. 1, pags. 285 e 330), onde ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ′ (0) +

1 1 ′′ ϕ (0) + · · · + ϕ(p) (0) + rp , 2 p!

notando que ϕ(0) = f (a), ϕ(1) = f (a + v) e que a i-ésima derivada de ϕ no ponto t ∈ [0, 1], em virtude da Regra da Cadeia, é ϕ(i) (t) = di f (a + tv) · v i . Com efeito, dada ϕ(t) = f (a + tv), temos sucessivamente (derivando cada igualdade anterior): ϕ′ (t) =

X ∂f (a + tv)αi = df (a + tv) · v, ∂xi i

ϕ′′ (t) =

X ∂2f (a + tv)αi αj = d2 f (a + tv) · v 2 , etc. ∂xi ∂xj i,j

Quanto a 1), embora ela não decorra da fórmula de Taylor infinitesimal na reta, sua demonstra¸cão se faz de modo an´ alogo. (Veja Vol. 1, pág. 283.) Com efeito, o resto é uma fun¸cão rp : U0 → R, definida no aberto U0 = {v ∈ Rn ; a + v ∈ U } por rp (v) = f (a + v) − f (a) − df (a) · v − · · · −

1 p d f (a) · v p . p!

A fun¸cão rp é p vezes diferenci´ avel no ponto 0 e se anula nesse ponto, juntamente com suas derivadas parciais de ordem ≤ p. A fórmula de Taylor infinitesimal resulta então do seguinte Lema. Seja r : U → R uma fun¸ca õ p vezes diferenci´ avel no ponto 0 ∈ U . Se r, juntamente com todas as suas derivadas parciais de ordem ≤ p, se r(v) anula no ponto 0 ent˜ ao lim = 0. v→0 |v|p

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

158

N

´ VARIAVEIS

Demonstra¸ c˜ ao: Usaremos indu¸cão em p. O resultado é válido para p = 1, em virtude da própria defini¸cão de derivada. Supondo-o válido para p, seja r uma fun¸cão p+1 vezes diferenci´ avel no ponto 0, com todas as derivadas parciais de ordem ≤ p + 1 nulas na origem. Então, para ∂r : U → R é p vezes diferenci´ avel e goza cada i = 1, . . . , n, a fun¸cão ∂xi de propriedade semelhante, com p em vez de p + 1. Pela hip´ otese, de ∂r (v)/|v|p = 0. Ora, o Teorema do Valor Médio indu¸cão, temos lim v→0 ∂xi nos diz que existe θ ∈ (0, 1) tal que: ∂r ∂r n n (θv) · αi X (θv) X r(v) αi ∂xi ∂xi = = · , p+1 p+1 p |v| |v| |v| |v| i=1

i=1

onde = (α1 , . . . , αn ). Podemos sempre supor αi /|v| menor do que ou igual a 1, em valor absoluto. (Basta tomar em Rn a norma da soma.) r(v) Segue-se então que lim p+1 = 0, o que conclui a demonstra¸cão do v→0 |v| lema. ´ interessante observar que, como no caso n = 1 (veja Observa¸ c˜ ao: E loc. cit.), a rec´ıproca do lema acima é verdadeira. Por simplicidade, consideremos p = 2. Então r : U → R é uma fun¸cão 2 vezes diferenci´ avel na origem, a qual pertence ao aberto U ⊂ Rn . Supomos que lim r(v)/|v|2 = 0 e queremos provar que r e todas as suas derivadas

v→0

parciais de ordem ≤ 2 se anulam no ponto v = 0. Da hip´ otese decorre que r(v) r(0) = lim r(v) = lim · |v|2 = 0 v→0 v→0 |v|2

e que

r(v) r(v) = lim |v| = 0. v→0 |v|2 v→0 |v| lim

Como r(tei ) r(tei ) = lim = 0, t→0 |t| t→0 |tei | lim

concluimos que

∂r (0) = 0 para i = 1, . . . , n. ∂xi

´ [SEC. 8: FORMULA DE TAYLOR; PONTOS CRÍTICOS

159

Mostraremos agora que todas as derivadas parciais de ordem 2 de r na origem s˜ ao nulas. Para isso, usaremos a fórmula de Taylor infinitesimal, segundo a qual r(v) =

1 X ∂2r (0)αi αj + ρ(v) · |v|2 , 2 ∂xi ∂yj i,j

onde v = (α1 , . . . , αn ) e lim ρ(v) = 0. Tomemos inicialmente v = tei . v→0

Então

r(tei ) =

1 ∂2r (0) · t2 + ρ(tei ) · t2 . 2 ∂x2i 2

∂ r Dividindo esta igualdade por t2 e fazendo t → 0, obtemos ∂x 2 (0) = 0 i para i = 1, . . . , n. Agora tomemos v = tei + tej (i 6= j). Obtemos (derivadas tomadas no ponto 0): ! 1 ∂2r 1 ∂2r ∂2r r(tei + tej ) = t2 + ρ(tei + tej )2t2 , + + 2 ∂x2i 2 ∂x2j ∂xi ∂xj

pois |tei + tej |2 = 2t2 . Como ∂ 2 r/∂x2i = 0 para todo i, temos: r(tei + tej ) =

∂2r · t2 + ρ(tei + tej )2t2 . ∂xi ∂xj 2

r (0) = 0. Dividindo esta igualdade por t2 e fazendo t → 0, resulta ∂x∂i ∂x j Um importante (e imediato) corolário desta Observa¸cão é a unicidade da f´ ormula de Taylor. Para enunciá-la, convencionaremos a seguinte nota¸cão: dada uma fun¸cão i-linear ϕ : Rn × · · · × Rn → R escreveremos ϕ · v i para significar ϕ(v, v, . . . , v), onde v ∈ Rn . Então, se f : U → R é p vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ U e, para cada i = 1, 2, . . . , p, é dada uma fun¸cão i-linear ϕi : Rn × · · · × Rn → R, de tal modo que valha

f (a + v) = f (a) + ϕ1 · v + ϕ2 · v 2 + · · · + ϕp · v p + rp (v), onde lim

v→0

rp (v) = 0, então |v|p ϕi · v i =

para todo i = 1, . . . , p.

1 i d f (a) · v i i!

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

160

N

´ VARIAVEIS

No momento, nosso maior interesse reside na diferencial segunda chamada a forma Hessiana da fun¸cão f no ponto a. Ela é uma forma quadrática, conforme a defini¸cão abaixo. Uma forma quadr´ atica H : Rn → R é uma fun¸cão cujo valor num n P hij αi αj , onde (hij ) é uma mavetor v = (α1 , . . . , αn ) é dado por d2 f (a),

i,j=1

triz simétrica n × n. Indica-se com a nota¸cão H · v 2 o valor da forma quadrática H no vetor v. Desta maneira, H · v2 =

n X

hij αi αj .

i,j=1

Se t ∈ R então H · (tv)2 = t2 · (H · v 2 ). A forma hessiana da fun¸cão duas vezes diferenci´ avel f : U → R no ponto x ∈ U será indicada com H(x), ou Hf (x) caso seja necessário ser mais expl´ıcito. Sabemos que H(x) = d2 f (x), portanto 2

H(x) · v =

n X

i,j=1

∂2f (x)αi αj . ∂xi ∂xj

O Teorema de Schwarz garante que a matriz

∂2f (x) , chamada ∂xi ∂xj

matriz Hessiana de f no ponto x, é simétrica. Usaremos agora a fórmula de Taylor infinitesimal para estudar os pontos cr´ıticos de uma fun¸cão de classe C 2 . Dada uma fun¸cão diferenci´ avel f : U → R, um ponto a ∈ U chamase ponto cr´ıtico de f (ou ponto singular) quando df (a) = 0, isto é, ∂f ∂f (a) = · · · = (a) = 0. ∂x1 ∂xn Diz-se que a fun¸cão f tem um m´ aximo (resp. m´ınimo) local no ponto a ∈ U quando existe δ > 0 tal que |v| < δ ⇒ f (a + v) ≤ f (a) (resp. f (a) ≤ f (a + v)). Por exemplo, as fun¸cões f (x, y) = x2 + y 2 e g(x, y) = x2 têm m´ınimo local na origem. Se f tem um m´ aximo local (ou m´ınimo local) no ponto a, então a é um ponto cr´ıtico de f . Com efeito, neste caso 0 é um ponto de m´ aximo local (ou de m´ınimo local) para cada fun¸cão ϕi (t) = f (a + tei ), i = ∂f (a) = ϕ′i (0) = 0 1, . . . , n. Pelo C´ alculo de uma variável, segue-se que ∂xi para i = 1, . . . , n. Logo a é um ponto cr´ıtico de f .

´ [SEC. 8: FORMULA DE TAYLOR; PONTOS CRÍTICOS

161

O ponto cr´ıtico a diz-se n˜ ao-degenerado quando a matriz Hessiana 2 ∂ f nesse ponto é invert´ıvel, isto é, det (a) 6= 0. ∂xi ∂xj

Teorema 4. Seja f : U → R duas vezes diferenci´ avel. Todo ponto cr´ıtico n˜ ao-degenerado a ∈ U é um ponto cr´ıtico isolado. O Teorema 4 é uma conseq¨ uência imediata do Teorema 4a. Seja F = (f1 , . . . , fn ) : U → Rn , onde cada fi : U → R (1 ≤ i ≤ n) é diferenci´ avel no ponto a ∈ U ⊂ Rn . Se a matriz n × n, ∂fi H = (a) , tem determinante 6= 0 ent˜ ao existe δ > 0 tal que ∂xj 0 < |x − a| < δ ⇒ F (x) 6= F (a). Utilizaremos o Lema. Seja H : Rn → Rn uma transforma¸ca õ linear invert´ıvel. Existe n c > 0 tal que |H · x| ≥ c|x| para todo x ∈ R . Demonstra¸ c˜ ao: Seja c = 1/|H −1 |. Para todo x ∈ Rn , temos |x| = −1 |H (Hx)| ≤ |H −1 | |Hx| = 1/c|Hx|, donde |Hx| ≥ c|x|. Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 4a: A defini¸cão de diferenciabilidade nos dá, para cada i = 1, . . . , n, e x ∈ U : fi (x) = fi (a) +

n X j=1

hij · (xj − aj ) + ρi (x)|x − a|, onde lim ρi (x) = 0, x→a

e hij = (∂fi /∂xj )(a). Pondo R(x) = (ρ1 (x), . . . , ρn (x)), vem F (x) = F (a) + H · (x − a) + R(x) · |x − a|, onde lim R(x) = 0. x→a

Tomemos c como no Lema. Existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ c |R(x)| < · Portanto, para todo x ∈ U com 0 < |x − a| < δ, temos: 2 |F (x) − F (a)| ≥ |H · (x − a)| − |R(x)| |x − a)| ≥ c c ≥ c|x − a| − |x − a| = |x − a| > 0, 2 2 donde F (x) 6= F (a), o que prova o Teorema 4a. ∂f ; então Para obter o Teorema 4, basta tomar fi = ∂xi ∂fi ∂2f = · ∂xj ∂xj ∂xi

162

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

Corol´ ario 1. O conjunto dos pontos cr´ıticos n˜ ao-degenerados de uma fun¸ca õ duas vezes diferenci´ avel é enumer´ avel. Com efeito, todo conjunto cujos pontos s˜ ao isolados é enumerável (veja (11.4), Cap. I). Corol´ ario 2. Se todos os pontos cr´ıticos de uma fun¸ca õ f : U → R, duas vezes diferenci´ avel, s˜ ao n˜ ao-degenerados ent˜ ao em cada compacto K ⊂ U h´ a apenas um n´ umero finito deles. Com efeito, se x ∈ U é limite de uma seq¨ uência de pontos cr´ıticos 1 de uma fun¸cão de classe C definida em U então x é ponto cr´ıtico dessa fun¸cão. Logo o conjunto C dos pontos cr´ıticos de f contidos em K é um subconjunto fechado de K e portanto compacto. Como cada um dos pontos de C é isolado, segue-se que C é finito. Seja H : Rn → R uma forma quadrática, dada por H · v 2 = Σ hij αi αj para v = (α1 , . . . , αn ). Diremos que a forma H é positiva quando tivermos H · v 2 > 0 para todo v 6= 0 em Rn . Se for H · v 2 < 0 para todo v 6= 0, diremos que H é uma forma quadrática negativa. Se uma forma quadrática for positiva ou negativa, diremos que ela é uma forma definida. Chamaremos H de forma quadrática indefinida quando existirem vetores v, w ∈ Rn tais que H · v 2 > 0 e H · w2 < 0.

Exemplo 15. Dado um produto interno hx, vi em Rn , a forma quadrática H · v 2 = hv, vi é positiva enquanto H · v 2 = −hv, vi é negativa. Por outro lado, para todo inteiro i ∈ [1, n), a forma quadrática H · v 2 = 2 α12 + · · · + αi2 − αi+1 − · · · − αn2 é indefinida. Se uma forma H é definida então sua matriz (hij ) é necessariamente invert´ıvel. Isto resulta da seguinte observa¸cão: se indicarmos com H0 : Rn → Rn a transforma¸cão linear cuja matriz relativamente à base canônica é (hij ), temos H · v 2 = hH0 · v, vi (produto interno canônico de Rn ). Assim, H definida ⇒ hH0 · v, vi = 6 0 para todo v 6= 0 ⇒ H0 · v 6= 0 para todo v 6= 0 ⇒ H0 invert´ıvel. Portanto, se a forma Hessiana de uma fun¸cão de classe C 2 , num ponto cr´ıtico a, é positiva ou negativa, o ponto cr´ıtico em questão é não-degenerado. A rela¸cão entre ponto cr´ıtico e a forma Hessiana é estabelecida pelo Teorema 5. Sejam f : U → R uma fun¸ca õ de classe C 2 , a ∈ U um ponto cr´ıtico de f e H a forma quadr´ atica Hessiana de f no ponto a. Ent˜ ao: 1) Se H é positiva, a é um ponto de m´ınimo local n˜ ao-degenerado;

´ [SEC. 8: FORMULA DE TAYLOR; PONTOS CRÍTICOS

163

2) Se H é negativa, a é um ponto m´ aximo local n˜ ao-degenerado; 3) Se H é indefinida, a n˜ ao é ponto de m´ınimo local nem de m´ aximo local para f . Demonstra¸ c˜ ao: Provemos 1). Seja B(a; δ) ⊂ U . Para todo v, com 0 < |v| < δ, temos (*)

1 H · v 2 + r(v) = 2 # " 2 v r(v) 1 · |v|2 H· + = f (a) + 2 |v| |v|2

f (a + v) = f (a) +

1 A fun¸cão cont´ınua H sendo positiva em todos os pontos da esfera 2 unit´ aria de Rn , a qual é um conjunto compacto, existe ε > 0 tal que 2 1 v 1 2 n ≥ ε para H · u ≥ ε para todo u ∈ R de norma 1. Então H · 2 2 |v| todo v 6= 0 em Rn . Ora, pela Fórmula de Taylor infinitesimal, podemos tomar δ > 0 tão pequeno que 0 < |v| < δ ⇒ |r(v)|/|v|2 < ε. Isto significa que, para todo v 6= 0 com norma inferior a δ, a expressão dentro dos colchetes em (*) é positiva. Portanto 0 < |v| < δ ⇒ f (a + v) > f (a), e a é um ponto de m´ınimo local para f . A afirma¸cão 2) se prova de modo semelhante. Quanto ` a terceira afirma¸cão do teorema, se H é indefinida, existem vetores v, w ∈ Rn tais que H ·v 2 > 0 e H ·w2 < 0. Então, para todo t 6= 0 real, temos H · (tv)2 = t2 · H · v 2 > 0 e H · (tw)2 < 0. A igualdade (*) acima implica então que f (a + tv) > f (a) e f (a + tw) < f (a) para todo t 6= 0 suficientemente pequeno, logo a não é ponto de m´ınimo local nem de m´ aximo local para f . Exemplo 16. Seja f : Rm+n = Rm × Rn → R definida por f (x, y) = hx, xi − hy, yi, onde x ∈ Rm e y ∈ Rn . Então ∂f /∂xi = 2xi e ∂f /∂yj = −2yj , logo grad f (x, y) = 2(x, −y). O u ńico ponto cr´ıtico de f é, portanto, a origem. Em todo ponto (x, y) ∈ Rm+n , a matriz Hessiana de f é uma matriz diagonal, cujos m primeiros elementos s˜ ao iguais a 2 e os nu ´ltimos iguais a −2. A forma quadrática Hessiana é, pois, constante; ela é positiva se n = 0, negativa se m = 0 e indefinida quando m · n 6= 0. Assim, a origem é um ponto de m´ınimo se n = 0, e de m´ aximo quando m = 0. Para m · n 6= 0, f não admite m´ınimo nem m´ aximo local na

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

164

N

´ VARIAVEIS

origem, que se chama então um ponto de sela, devido à forma do gr´ afico 2 2 da fun¸cão f (x, y) = x − y .

Exemplo 17. Como vimos na parte final da demonstra¸cão do teorema acima, se a forma Hessiana H da fun¸cão f no ponto cr´ıtico a é tal que H · v 2 > 0 para algum v ∈ Rn , então f (a + tv) > f (a) para todo t 6= 0 suficientemente pequeno. Da´ı resulta que se a fun¸cão f tem, num ponto a, um m´ aximo local então sua forma quadrática Hessiana é, nesse ponto, não-positiva, isto é, H · v 2 ≤ 0 para todo v ∈ Rn . Analogamente, se f tem um m´ınimo local no ponto a, sua forma Hessiana nesse ponto é ≥ 0. Mas as rec´ıprocas destas afirma¸cões s˜ ao falsas: quando a forma Hessiana num ponto é apenas ≥ 0 (ou ≤ 0) não se pode afirmar que a fun¸cão tem um m´ınimo (ou m´ aximo) no ponto. Por exemplo, f (x, y) = x2 e g(x, y) = x2 + y 3 admitem a origem como ponto cr´ıtico, no qual estas fun¸cões têm a mesma forma Hessiana, H · v 2 = 2α2 , v = (α, β). A origem é um ponto de m´ınimo para f mas não é um m´ınimo local para g. O problema prático de determinar se uma forma quadrática H é ou não positiva (ou negativa) pode ser resolvido pelo método de Lagrange de completar quadrados. Este método se baseia na observa¸cão de que a2 + 2ab = (a + b)2 − b2 e consiste em efetuar sucessivas mudan¸cas de coordenadas que visam eliminar, na expressão de H, as parcelas como xy, xz, yz, etc., deixando apenas as do tipo x2 , y 2 , z 2 etc. Exemplo 18. Seja em R3 a forma H(x, y, z) = 3x2 + 2y 2 − 5z 2 + 4xy + 2xz − yz. A soma das parcelas que contêm x se escreve como 2 2 2 1 2 2 3x +4xy +2xz = 3[x +2x 3 y + 3 z ] = 3[ x+ 32 y + 13 z − 32 y + 13 z ] = 3u2 − 31 (2y+z)2 , onde u = x+ 32 y+ 13 z. Portanto H(x, y, z) = 3u2 − 31 (2y+ 7 2 z)2 + 2y 2 − 5z 2 − yz = 3u2 + 32 y 2 − 16 3 z − 3 yz. A soma das parcelas 2 2 que contêm y nesta u ´ltima expressão é 3 y − 37 yz = 23 y 2 − 2y 74 z = 2 7 2 2 2 49 2 7 2 − 49 3[ y − 4z 16 z ] = 3 v − 24 z , onde v = y − 4 z. Portanto

2 177 2 2 2 49 2 16 2 v − z − z = 3u2 + v 2 − z . 3 24 3 3 24 Isto mostra que H é indefinida, pois assume valores positivos quando z = 0 e u2 + v 2 6= 0 e valores negativos, quando u = v = 0 e z 6= 0. H(x, y, z) = 3u2 +

Observa¸ c˜ ao: Se não houver, na expressão de H, termos em x2 , y 2 , etc., a mudan¸ca de variáveis x = s + t, y = s − t faz xy = s2 − t2 . Assim, por exemplo, H(x, y, z) = xy+yz+xz = s2 −t2 +2sz = s2 +2sz+z 2 −z 2 −t2 = (s + z)2 − z 2 − t2 = u2 − z 2 − t2 , logo H é indefinida.

˜ IMPLÍCITA [SEC. 9: O TEOREMA DA FUNC ¸ AO

9

165

O teorema da fun¸c˜ ao impl´ıcita

Por simplicidade, consideramos inicialmente fun¸cões de duas variáveis. Dada f : U → R, definida no aberto U ⊂ R2 , e fixado c ∈ R, dizemos que a equa¸cão f (x, y) = c define y implicitamente como fun¸cão de x quando existe uma fun¸cão ξ : I → R, definida num intervalo I ⊂ R, tal que f (x, y) = c ⇔ y = ξ(x). Isto quer dizer que f −1 (c) é o gr´ afico da fun¸cão ξ. U

y

f −1 (c)

R

(x, ξ(x))

f

ξ(x)

c

f −1 (c)

0

x

´ mais comum acontecer que uma equa¸cão do tipo Exemplo 19. E f (x, y) = c (quando define alguma coisa) defina y como fun¸cão de x, ou x como fun¸cão de y, apenas localmente. Por exemplo seja f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 + y 2 , e tomemos c = 1. A equa¸cão x2 + y 2 = 1 não define y como fun¸cão de x (nem x como fun¸cão de y). [Por exemplo, para cada x ∈ (−1, +1) existem 2 valores de y tais que x2 +y 2 = 1.] Mas, se tomarmos U1 = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0}, U2 = {(x, y) ∈ R2 ; y < 0}, 2 U3 = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0} e U√ ao a equa¸cão 4 = {(x, y) ∈ R ; x < 0} ent˜ 2 2 2 x + y √= 1 equivale a y = 1 − x quando p (x, y) ∈ U1 , equivale a y = − 1p− x2 para (x, y) ∈ U2 , a x = 1 − y 2 se (x, y) ∈ U3 e a x = − 1 − y 2 para (x, y) ∈ U4 . Como o c´ırculo S 1 = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1}, conjunto de todas as solu¸cões (x, y) da equa¸cão x2 + y 2 = 1, está contido na reunião dos 4 abertos U1 , U2 , U3 e U4 , dizemos que a equa¸cão x2 + y 2 = 1 define localmente y como fun¸cão de x, ou x como fun¸cão de y. Isto quer dizer que cada solu¸cão (x0 , y0 ) desta equa¸cão está contida em algum aberto Ui tal que f −1 (1) ∩ Ui é o gr´ afico de uma fun¸cão [x = ξ(y), ou y = ξ(x)]. Notemos que é bem poss´ıvel a uma equa¸cão do tipo f (x, y) = c não definir fun¸cão alguma: basta que c não perten¸ca à imagem de f . Por exemplo, x2 + y 2 + 1 = 0 não possui solu¸cões reais (x, y), logo não define

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

166

N

´ VARIAVEIS

y como fun¸cão de x nem x como fun¸cão de y. Mesmo que a equa¸cão f (x, y) = c possua solu¸cões, elas podem não definir fun¸cões, tal é o caso de x2 + y 2 = 0: a u ńica solu¸cão é (0, 0), que obviamente não é gr´ afico de uma fun¸cão definida num intervalo não-degenerado. Outro exemplo elucidativo é o seguinte: a origem é solu¸cão da equa¸cão x2 − y 2 = 0 mas, para nenhum aberto V contendo a origem, a interse¸cão f −1 (0) ∩ V é o gr´ afico de uma fun¸cão y = ξ(x) ou x = ζ(y) pois tal interse¸cão contém sempre 2 segmentos de reta de inclina¸cão ±1 que se cortam na origem. Feitas essas considera¸cões, enunciemos o Teorema da Fun¸ c˜ ao Impl´ıcita. Sejam f : U → R uma fun¸ca õ de k 2 classe C (k ≥ 1), definida num aberto U ⊂ R , e (x0 , y0 ) ∈ U tal que ∂f f (x0 , y0 ) = c, (x0 , y0 ) 6= 0. Ent˜ ao existe um retˆ angulo aberto I × J, ∂y de centro (x0 , y0 ), tal que f −1 (c) ∩ (I × J) é o gr´ afico de uma fun¸ca õ ∂f /∂x estas derivadas sendo ξ : I → J, de classe C k . Tem-se ξ ′ (x) = − ∂f /∂y calculadas no ponto (x, ξ(x)). Como (x0 , y0 ) ∈ I × J, o intervalo aberto I contém x0 , enquanto J contém y0 . A afirma¸cão de que f −1 (c)∩(I ×J) é o gr´ afico de uma fun¸cão ξ : I → J significa que, para cada x ∈ I, existe um u ńico y ∈ J com f (x, y) = c. P˜ oe-se y = ξ(x); a fun¸cão ξ : I → J diz-se “definida implicitamente”, no aberto I × J, pela equa¸cão f (x, y) = c. f −1 (c)

U

R

I ×J

y0

f

J

c

f −1 (c)

I

Demonstra¸ c˜ ao:

x0

Para fixar as idéias, suponhamos

∂f (x0 , y0 ) > 0. ∂y

∂f é cont´ınua, existem δ > 0 e ε > 0 tais que, pondo I = ∂y ∂f (x, y) > 0 (x0 − δ, x0 + δ) e J = (y0 − ε, y0 + ε), temos I × J ⊂ U e ∂y Como

˜ IMPLÍCITA [SEC. 9: O TEOREMA DA FUNC ¸ AO

167

para todo ponto (x, y) ∈ I × J. Então, para todo x ∈ I, a fun¸cão y 7→ f (x, y) é estritamente crescente no intervalo J. Em particular, como f (x0 , y0 ) = c, temos f (x0 , y0 − ε) < c e f (x0 , y0 + ε) > c. Pela continuidade de f , podemos supor δ tão pequeno que, para todo x ∈ I, tenhamos f (x, y0 − ε) < c e f (x, y0 + ε) > c. Em virtude do Teorema do Valor Intermediário existe, para cada x ∈ I, um u ńico y = ξ(x) ∈ J tal que f (x, y) = c. Tem-se obrigatoriamente y ∈ J, portanto f −1 (c) ∩ (I × J) = f −1 (c) ∩ (I × J) é o gr´ afico de uma fun¸cão ξ : I → J. Vamos mostrar que ξ é de classe C k , ou seja, que existe ξ ′ (x) para todo x ∈ I e que ξ ′ : I → R é de classe C k−1 . Ora, pondo k = ξ(x + h) − ξ(x), temos ξ(x + h) = ξ(x) + k, logo f (x + h, ξ(x) + k) = f (x, ξ(x)) = c. Pelo Teorema do Valor Médio, existe θ, com 0 < θ < 1, tal que 0 = f (x + h, ξ(x) + k) − f (x, ξ(x)) = ∂f ∂f (x + θh, ξ(x) + θk) · h + (x + θh, ξ(x) + θk) · k = ∂x ∂y Da´ı

∂f (x + θh, ξ(x) + θk) ξ(x + h) − ξ(x) k = = − ∂x · ∂f h h (x + θh, ξ(x) + θk) ∂y Segundo o lema que provaremos logo a seguir, ξ é cont´ınua. Isto significa que lim k = 0. A continuidade das derivadas parciais de f nos dá h→0 portanto ∂f (x, ξ(x)) ξ(x + h) − ξ(x) ξ (x) = lim = − ∂x · ∂f h→0 h (x, ξ(x)) ∂y ′

Se f ∈ C 1 , sendo ∂f /∂x, ∂f /∂y e ξ cont´ınuas, esta fórmula mostra que ξ ′ é cont´ınua, logo ξ ∈ C 1 . Se f ∈ C 2 então ∂f /∂x, ∂f /∂y e (como acabamos de mostrar) ξ s˜ ao de classe C 1 . A fórmula que dá ξ ′ mostra ′ então que ξ é também de classe C 1 , isto é, ξ ∈ C 2 . E assim por diante: se f ∈ C k então ξ ∈ C k . Vejamos agora o lema usado na demonstra¸cão. Lema. Sejam X ⊂ Rm , K ⊂ Rk compacto, f : X × K → Rp cont´ınua e c ∈ Rp . Se f −1 (c) é o gr´ afico de uma aplica¸ca õ ξ : X → K,[isto é, para

168

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

cada x ∈ X existe um u ńico y = ξ(x) ∈ K com f (x, ξ(x)) = c] ent˜ ao ξ é cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao: Dado x0 ∈ X, seja y0 = ξ(x0 ). Tomamos uma seq¨ uência de pontos xn ∈ X, com lim xn = x0 , e queremos provar que lim ξ(xn ) = y0 . Como a seq¨ uência (ξ(xn )) é limitada (pois ξ(xn ) ∈ K para todo n), basta provar que toda subseq¨ uência ξ(x′n ), convergente k ′ em R , tem limite y0 . Ora, se for lim ξ(xn ) = y, deve ser y ∈ K pois K é fechado. Como f (x′n , ξ(x′n )) = c para todo n, temos f (x0 , y) = lim f (x′n ,ξ(x′n )) = c. Pela unicidade de y0 , isto obriga y = y0 e conclui a demonstra¸cão. Contra-exemplo ao Lema, supondo apenas K limitado mas não compacto: seja f : R × [0, 1) → R definida por f (x, y) = (x2 + y 2 )(ye|x| − 1). Então f −1 (0) é o gr´ afico da fun¸cão ξ : R → [0, 1), onde ξ(x) = e−|x| se x 6= 0 e ξ(0) = 0. Embora f seja cont´ınua, ξ é descont´ınua. Para interpretar geometricamente o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita, vamos introduzir algumas defini¸cões. Seja f : U → R uma fun¸cão diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rn . Diremos que o n´ umero real c é um valor regular de f quando não existirem pontos cr´ıticos de f no n´ıvel c, ou seja, f (x) = c ⇒ grad f (x) 6= 0. (Note que esta defini¸cão está formulada de tal modo que f −1 (c) = ∅ implica automaticamente que c é um valor regular de f .) Quando c é um valor regular de f , diz-se também que o n´ıvel c é regular. Quando existem pontos cr´ıticos x ∈ U tais que f (x) = c, dizemos que c é um nivel cr´ıtico de f . Exemplo 20. Qualquer n´ umero real diferente de 3 é valor regular da fun¸cão f (x, y) = x2 − y 2 + 3 pois grad f (x, y) = (2x, −2y) s´ o se anula no ponto (x, y) = (0, 0), no qual o valor de f é 3. Por outro lado f (0, 0) = 3 não é valor regular de f pois grad f (0, 0) = (0, 0). Um conjunto C ⊂ R2 chama-se uma curva de classe C k (k ≥ 0) quando C é localmente o gr´ afico de uma fun¸cão de classe C k . Isto quer dizer que cada ponto p ∈ C está contido num aberto V tal que V ∩ C é o gr´ afico de uma fun¸cão de classe C k . Exemplo 21. Vimos no Exemplo 19 que o c´ırculo S 1 é uma curva de classe C ∞ . Seja agora C = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = 1} (hipérbole). Afirmamos que C é uma curva (desconexa) de classe C ∞ . Com efeito, sejam V1 = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0} e V2 = {(x, y) ∈ R2 ; x < 0}. Todo ponto

˜ IMPLÍCITA [SEC. 9: O TEOREMA DA FUNC ¸ AO

y

V

169

V ∩C

y = ξ(x)

W ∩C C 0

W x = ξ(y)

x

p∈C afico da fun¸cão ppertence a V1 ou a V2 . Além disso, V1 ∩ C épo gr´ 2 x = 1 + y enquanto V2 ∩ C é o gr´ afico de x = − 1 + y 2 . Ambas s˜ ao ∞ fun¸cões de classe C na reta, logo C é uma curva de classe C ∞ . O enunciado geométrico do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita é o seguinte: Seja f : U → R uma fun¸ca õ de classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ 2 R . Para todo valor regular c da fun¸ca õ f , o conjunto f −1 (c) (se n˜ ao k for vazio) é uma curva de classe C , chamada a curva de n´ıvel c da fun¸ca õ f . Quando c não é um valor regular de f , a imagem inversa f −1 (c) pode ou não ser uma curva. Por exemplo, se f : R2 → R é dada por f (x, y) = x2 − y 2 + 3 então f −1 (3), reunião de duas retas que se cortam na origem, não é uma curva. Mas se g(x, y) = x2 então 0 não é um valor regular de g mas g −1 (0) = eixo dos y, é uma curva. Trataremos agora de fun¸cões impl´ıcitas com um n´ umero qualquer de variáveis. No teorema abaixo, representaremos os pontos de Rn+1 por pares (x, y), onde x ∈ Rn e y ∈ R. Teorema da Fun¸ c˜ ao Impl´ıcita. Seja f : U → R uma fun¸ca õ de classe C k (k ≥ 1), definida num aberto U ⊂ Rn+1 . Se um ponto ∂f p = (x0 , y0 ) ∈ U é tal que f (p) = c e (p) 6= 0, ent˜ ao existem uma ∂y bola B = B(x0 , δ) ⊂ Rn e um intervalo J = (y0 − ε, y0 + ε) tais que f −1 (c) ∩ (B × J) é o gr´ afico de uma fun¸ca õ ξ : B → J, de classe C k .

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

170

N

´ VARIAVEIS

Para todo x ∈ B, tem-se ∂f ∂f ∂ξ (x) = − (x, ξ(x)) (x, ξ(x)), (i = 1, . . . , n). ∂xi ∂xi ∂y

A fun¸cão y = ξ(x) diz-se “definida implicitamente pela equa¸cão f (x, y) = c”. A afirma¸cão de que f −1 (c) ∩ (B × J) é o gr´ afico de uma fun¸cão significa que, para cada x ∈ B existe um u ńico y = ξ(x) ∈ J tal que f (x, y) = c. Evidentemente, ξ(x0 ) = y0 . Demonstra¸ c˜ ao: N˜ ao há diferen¸ca essencial entre o caso geral e o já demonstrado, em que n = 1. Vamos, entretanto, repetir a prova, por ∂f cortesia. Para fixar idéais, seja (x0 , y0 ) > 0. Como ∂f /∂y é cont´ınua, ∂y existem δ > 0, ε > 0 tais que, pondo B = B(x0 ; δ) e J = (y0 −ε, y0 +ε), ∂f temos B × J ⊂ U e (x, y) > 0 para todo ponto (x, y) ∈ B × J. ∂y Então, para todo x ∈ B, a fun¸cão y 7→ f (x, y) é estritamente crescente no intervalo J = [y0 − ε, y0 + ε]. Como f (x0 , y0 ) = c, segue-se que f (x0 , y0 − ε) < c e f (x0 , y0 + ε) > c. Pela continuidade de f , podemos supor δ tão pequeno que, para todo x ∈ B, tenhamos f (x, y0 − ε) < c e f (x, y0 + ε) > c. Em virtude do Teorema do Valor Intermediário existe, para cada x ∈ B, um u ńico y = ξ(x) ∈ J tal que f (x, y) = c. Tem-se obrigatoriamente y ∈ J, logo f −1 (c) ∩ (B × J) = f −1 (c) ∩ (B × J) é o gr´ afico de uma fun¸cão ξ : B → J a qual, pelo lema anterior, é cont´ınua. Mostraremos agora que, em todo ponto x ∈ B, existem as derivadas parciais de ξ. Com efeito, pondo k = k(t) = ξ(x + tei ) − ξ(x), temos ξ(x + tei ) = ξ(x) + k, logo f (x + tei , ξ(x) + k) = f (x, ξ(x)) = c para todo t ∈ (−δ, δ). Pelo Teorema do Valor Médio, para todo t ∈ (−δ, δ) existe θ = θ(t) ∈ (0, 1) tal que 0 = f (x + tei , ξ(x) + k) − f (x, ξ(x)) = ∂f ∂f = (x + θtei , ξ(x) + θk) · t + (x + θtei , ξ(x) + θk) · k. ∂xi ∂y Logo ∂f (x + θtei , ξ(x) + θk) ξ(x + tei ) − ξ(x) k ∂xi = =− · ∂f t t (x + θtei , ξ(x) + θk) ∂y

˜ IMPLÍCITA [SEC. 9: O TEOREMA DA FUNC ¸ AO

171

Pela continuidade de ξ, lim k(t) = 0. A continuidade das derivadas t→0

parciais de f nos dá então

∂f (x, ξ(x)) ξ(x + tei ) − ξ(x) ∂ξ ∂xi (x) = lim =− · ∂f t→0 ∂xi t (x, ξ(x)) ∂y Sendo f ∈ C 1 , resulta desta fórmula que as derivadas parciais de ξ s˜ ao cont´ınuas, logo ξ ∈ C 1 . Se for f ∈ C 2 , então suas derivadas parciais s˜ ao de classe C 1 . Como já temos ξ ∈ C 1 , resulta ainda da fórmula acima que as derivadas parciais de ξ s˜ ao de classe C 1 , logo ξ ∈ C 2 . E assim k por diante: f ∈ C implica ξ ∈ C k . Corol´ ario. Seja f : U → R de classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ n+1 R . Se ξ : V → R é cont´ınua no aberto V ⊂ Rn com (x, ξ(x)) ∈ U , ∂f (x, ξ(x)) 6= 0 e f (x, ξ(x)) = c para todo x ∈ V , ent˜ ao ξ é de classe ∂y Ck.

Evidentemente, não há nada especial a respeito da u ´ltima variável. k n+1 Dada f : U → R, de classe C no aberto U ⊂ R , se num ponto p ∈ U ∂f tivermos f (p) = c e (p) 6= 0 para algum inteiro i ∈ [1, n + 1] então ∂xi existe um aberto V ⊂ Rn+1 , contendo p, tal que f −1 (c)∩V é o gr´ afico de uma fun¸cão de n variáveis, de classe C k . Mais precisamente, as condi¸cões x ∈ V , f (x) = c definem, de modo u ńico, a i-ésima coordenada de x em fun¸cão das n restantes: xi = ξ(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ), sendo ξ uma fun¸cão de classe C k . Um conjunto M ⊂ Rn+1 chama-se uma hiperf´ıcie de classe C k quando é localmente o gr´ afico de uma fun¸cão de n variáveis de classe C k . Isto significa que cada ponto p ∈ M pertence a um aberto V ⊂ Rn+1 tal que V ∩ M é o gr´ afico de uma fun¸cão de classe C k definida num n aberto do espa¸co R . Quando n = 1 diz-se “curva”e, se n = 2, diz-se “superf´ıcie”em vez de “hiperf´ıcie”. A defini¸cão acima inclui o caso k = 0. As hiperf´ıcies de classe C 0 têm interesse apenas topológico, não possuindo propriedades diferenciais. Podemos considerar também as hiperf´ıcies diferenci´ aveis (caso intermediário entre C 0 e C 1 ), que s˜ ao localmente gr´ aficos de fun¸cões diferenci´ aveis. Evidentemente, toda hiperf´ıcie de classe C k (k ≥ 1) é diferenci´ avel.

172

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

Exemplo 22. Seja S n = {x ∈ Rn+1 ; hx, xi = 1} a esfera unit´ aria nn dimensional. Indiquemos com U ⊂ R a bola aberta de raio 1, com centro na origem. Para cada i = 1, . . . , n + 1 ponhamos Vi = {x ∈ Rn+1 ; xi > 0} e Wi = {x ∈ Rn+1 ; xi < 0}. Escrevendo x∗ = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ), temos: p x ∈ S n ∩ Vi ⇔ |x∗ | < 1 e xi = 1 − hx∗ , x∗ i; p x ∈ S n ∩ Wi ⇔ |x∗ | < 1 e xi = − 1 − hx∗ , x∗ i.

Logo, sep considerarmos a fun¸cão ξ : U → R, de classe C ∞ , definida por ξ(u) = 1 − hu, ui, vemos que, para cada i = 1, . . . , n + 1, S n ∩ Vi é o gr´ afico da fun¸cão xi = ξ(x∗ ) enquanto que S n ∩ Wi é o gr´ afico de xi = −ξ(x∗ ). Como todo ponto p ∈ S n está contido em algum Vi ou em algum Wi , concluimos que S n é uma hiperf´ıcie de classe C ∞ em Rn+1 . Seja M ⊂ Rn+1 . Dado p ∈ M , usaremos a nota¸cão Tp M para indicar o conjunto dos vetores velocidade λ′ (0), dos caminhos λ : (−ε, ε) → M ⊂ Rn+1 , contidos em M , diferenci´ aveis no ponto t = 0 e tais que λ(0) = p. Quando M é uma hiperf´ıcie diferenci´ avel, o conjunto Tp M chama-se o espa¸co vetorial tangente a M no ponto p. Esta denomina¸cão tem sua justificativa no Teorema 6. Se a hiperf´ıcie M ⊂ Rn+1 é diferenci´ avel ent˜ ao, para cada p ∈ M , o conjunto Tp M é um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao n do espa¸co euclidiano Rn+1 . Demonstra¸ c˜ ao: Dado p = (a1 , . . . , an+1 ) em M , existem abertos V ⊂ n+1 R , U ⊂ Rn , com p ∈ V , um inteiro i ∈ [1, n + 1] e uma fun¸cão ξ : U → R, diferenci´ avel, tais que x ∈ V ∩ M ⇔ xi = ξ(x∗ ), onde x∗ = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ) ∈ U . (Assim nenhuma das variáveis de ξ tem ´ındice i.) Escrevendo também p∗ = (a1 , . . . , ai−1 , ai+1 . . . , an+1 ), afirmamos que (*)

v = (α1 , . . . , αn+1 ) ∈ Tp M ⇔ αi =

X ∂ξ (p∗ ) · αj . ∂xj j6=i

De fato, em primeiro lugar, se v ∈ Tp M então v = λ′ (0) onde, restringindo ε se necessário, podemos supor que λ : (−ε, ε) → M ∩ V , λ(0) = p. Então, para todo t ∈ (−ε, ε) temos λi (t) = ξ(λ1 (t), . . . , λi−1 (t), λi+1 (t), . . . , λn+1 (t)).

˜ IMPLÍCITA [SEC. 9: O TEOREMA DA FUNC ¸ AO

173

Pela Regra da Cadeia, λ′i (0) =

X ∂ξ X ∂ξ (p∗ ) · λ′j (0), isto é, αi = (p∗ ) · αj , ∂xj ∂xj j6=i

j6=i

como foi afirmado. Reciprocamente, se o vetor v = (α1 , . . . , αn+1 ) é tal que P ∂ξ ∗ (p )αj então definimos um caminho λ : (−ε, ε) → M ∩ V αi = j6=i ∂xj tomando ε > 0 tal que |t| < ε ⇒ p∗ + tv ∗ ∈ U , pondo λj (t) = aj + tαj para j 6= i e λi (t) = ξ(a1 + tα1 , . . . , ai−1 + tαi−1 , ai+1 + tαi+1 , . . . , an+1 + + tαn+1 ) = ξ(p∗ + tv ∗ ). Pela Regra da Cadeia, temos λ′ (0) = v, logo v ∈ Tp M . A caracteriza¸cão (*) acima obtida mostra que Tp M é um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao n+1 n de R , gerado pelos n vetores linearmente independentes e1 + c1 ei , . . . , ei−1 + ci−1 ei , ei+1 + ci+1 ei , . . . , en+1 + cn+1 ei , onde cj = (∂ξ/∂xj )(p∗ ). Outra maneira de interpretar a afirma¸cão (*) é dizer que ela caracteriza Tp M como o n´ ucleo do funcional linear não nulo P n+1 cj αj , onde v = (α1 , . . . , αn+1 ) ϕ: R → R, dado por ϕ(v) = αi − j6=i

e cj é a j-ésima derivada parcial de ξ no ponto p∗ . Ou ainda: Tp M é o gr´ afico do funcional linear dξ(p∗ ).

Exemplo 23. Para hiperf´ıcies M ⊂ Rn+1 de classe C 0 , Tp M pode não ser um espa¸co vetorial de dimens˜ ao n; se X = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = p x2 + y 2 } (cone), Y = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = |x|} e p = (0, 0, 0) então Tp X consiste do vetor 0 apenas, enquanto Tp Y é o subespa¸co vetorial de dimens˜ ao 1 em R3 , formado pelos vetores (0, β, 0), β ∈ R.

Exemplo 24. Sabemos que a esfera S n ⊂ Rn+1 é uma hiperf´ıcie de classe C ∞ . Para cada ponto p ∈ S n , o espa¸co vetorial tangente Tp (S n ) é o conjunto [p]⊥ dos vetores v ∈ Rn+1 tais que hp, vi = 0. Com efeito, se λ : (−ε, ε) → S n é um caminho diferenci´ avel no ponto t = 0, com λ(0) = p então, como |λ(t)| = 1 para todo t, temos hλ′ (0), λ(0)i = 0, isto é, λ′ (0) ∈ [p]⊥ . Isto mostra que Tp M ⊂ [p]⊥ . Como [p]⊥ é um subespa¸co n-dimensional de Rn+1 , resulta que esta inclus˜ ao é, na realidade, uma igualdade.

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

174

N

´ VARIAVEIS

O teorema abaixo permite obter um grande n´ umero de exemplos de hiperf´ıcies. Ele diz que se não há pontos cr´ıticos de f no n´ıvel c então a “superf´ıcie de n´ıvel c”da fun¸cão f é, de fato, uma hiperf´ıcie. Teorema Global da Fun¸ c˜ ao Impl´ıcita. A imagem inversa M = f −1 (c) de um valor regular c de uma fun¸ca õ f : U → R, de classe C k (k ≥ 1) num aberto U ⊂ Rn+1 , é uma hiperf´ıcie de classe C k . Em cada ponto p ∈ M , o espa¸co vetorial tangente Tp M é o n´ ucleo da diferencial n+1 df (p) : R → R ou, equivalentemente, o conjunto dos vetores v ∈ Rn+1 perpendiculares ao vetor grad f (p). Demonstra¸ c˜ ao: O fato de que M = f −1 (c) é uma hiperf´ıcie de classe C k decorre imediatamente do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita. Quanto a Tp M , se o caminho λ : (−ε, ε) → M , com λ(0) = p, é diferenci´ avel no ponto t = 0 então, sendo f (λ(t)) = c para todo t ∈ (−ε, ε), segue-se que 0 = (f ◦ λ)′ (0) = df (p) · λ′ (0) = h grad f (p), λ′ (0)i. Assim Tp M está contido no conjunto dos vetores de Rn+1 que s˜ ao perpendiculares a grad f (p). Como este conjunto é também subespa¸co vetorial de dimens˜ ao n, segue-se que ele coincide com Tp M . Exemplo 25. Reexaminemos a esfera S n à luz do teorema acima. Considerando a fun¸cão f : Rn+1 → R (de classe C ∞ ), definida por ∂f f (x) = hx, xi, temos (x) = 2xi , logo grad f (x) = 2x para todo ∂xi x ∈ Rn+1 . Assim, grad f (x) = 0 ⇔ x = 0 ⇔ f (x) = 0. Em particular, 1 é um valor regular de f , donde S n = f −1 (1) é uma hiperf´ıcie em Rn+1 . Para cada p ∈ S n , como grad f (p) = 2p, temos Tp (S n ) = {v ∈ Rn+1 ; hv, 2pi = 2hv, pi = 0} = [p]⊥ . 2

Exemplo 26. A fun¸cão det : Rn → R, que associa a cada matriz n × n, X = (xij ), o seu determinante, é de classe C ∞ . A expans˜ ao de det . X sen P (−1)i+j xij X[ij] , gundo os elementos da i-ésima linha nos dá det . X = j=1

onde X[ij] é o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1) que se obtém ∂ det omitindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna de X. Logo (X) = ∂xij 2 (−1)i+j X[ij] , para cada X ∈ Rn . Em particular, no ponto X = I ∂ det (I) = δij (“delta de Kronec(= matriz identidade n × n), temos ∂xij ker”: δij = 0 se i 6= j e δii = 1). Isto significa que o gradiente da 2 fun¸cão det no ponto I é a matriz identidade. Seja agora U ⊂ Rn

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

175

o subconjunto aberto formado pelas matrizes n × n que têm determinante 6= 0 (matrizes invert´ıveis). Então a restri¸cão det : U → R é uma fun¸cão sem pontos cr´ıticos. [Com efeito, basta que, para um dos ´ındices i ou todos os n´ umeros X[ij] sejam nulos para que ocorra P j fixado, P i+j det X = (−1) xij X[ij] = (−1)i+j xij X[ij] = 0, logo X ∈ / U .] Asi

j

sim, todo n´ umero real é um valor regular para a fun¸cão det : U → R. Em particular, M = (det)−1 (1) = conjunto das matrizes n × n que 2 têm determinante igual a 1 é uma hiperf´ıcie em Rn . [M é um grupo relativamente ` a multiplica¸cão de matrizes, conhecido como o “grupo unimodular”de Rn .] O espa¸co vetorial tangente TI M , no ponto I (matriz identidade) consiste nas matrizes X = (xij ) que s˜ ao perpendiculares ao gradiente de det nesse ponto, o qual sabemos que é I = (δij ). Ora, teP P xii = tra¸co de X. Assim, o espa¸co vetorial xij δij = mos hX, Ii = i,j

i

tangente a M no ponto I é o conjunto das matrizes de tra¸co nulo.

Observa¸ c˜ ao: Toda hiperf´ıcie M ⊂ Rn+1 , sendo localmente o gr´ afico de uma fun¸cão xi = ξ(x, . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ) = ξ(x∗ ), de n variáveis, é também localmente a imagem inversa f −1 (0) do valor regular 0 pela fun¸cão f (x) = xi − ξ(x∗ ), definida no aberto V tal que M ∩ V é o gr´ afico de ξ. N˜ ao é verdade porém que toda hiperf´ıcie M ⊂ Rn+1 seja globalmente do tipo M = f −1 (c), imagem inversa de um valor regular, como no teorema acima. Se M é deste tipo então a aplica¸cão cont´ınua ϕ = grad f : M → Rn+1 fornece o que se chama um “campo cont´ınuo de vetores normais não nulos ao longo de M ”. Aqui, normal significa que, para cada p ∈ M , ϕ(p) = grad f (p) é perpendicular a todo vetor tangente v ∈ Tp M . As hiperf´ıcies que admitem um campo cont´ınuo de vetores normais não nulos ϕ : M → Rn+1 chamam-se hiperf´ıcies orient´ aveis. Um exemplo de superf´ıcie não-orientável em R3 é a faixa de M¨ obius. (Veja §14 do Cap´ıtulo V.)

10

Multiplicador de Lagrange

Sejam M ⊂ Rn+1 uma hiperf´ıcie de classe C k (k ≥ 1), contida num aberto U ⊂ Rn+1 , e f : U → R uma fun¸cão real de classe C k . Pretendemos determinar os m´ aximos locais, m´ınimos locais e, mais geralmente, os pontos cr´ıticos da restri¸cão f |M . Antes de mais nada precisamos definir o que entendemos por um ponto cr´ıtico de f |M .

176

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

N

´ VARIAVEIS

Os pontos cr´ıticos de f em U s˜ ao, como sabemos, os pontos x ∈ U ∂f tais que grad f (x) = 0, isto é, (x) = 0 para todo v ∈ Rn+1 . Isto ∂v quer dizer que, para todo caminho diferenci´ avel λ : (−ε, ε) → Rn+1 com λ(0) = x, temos (f ◦λ)′ (0) = 0. Usando este fato como guia, definiremos um ponto cr´ıtico de f |M como um ponto p ∈ M tal que (f ◦ λ)′ (0) = 0 para todo caminho diferenci´ avel λ : (−ε, ε) → M , com λ(0) = p. Isto ∂f (p) = 0 para todo v ∈ Tp M , ou seja, p ∈ M é um significa que ∂v ponto cr´ıtico da restri¸cão f |M se, e somente se, h grad f (p), vi = 0 para todo v ∈ Tp M , ou ainda, se, e somente se, o vetor grad f (p) é normal à hiperf´ıcie M no ponto p. Se p ∈ M é um ponto de m´ aximo local (ou de m´ınimo local) para a restri¸cão f |M então, para todo caminho diferenci´ avel λ : (−ε, ε) → M , com λ(0) = p, 0 é um ponto de m´ aximo (ou de m´ınimo) local para a fun¸cão real f ◦ λ : (−ε, ε) → R, logo (f ◦ λ)′ (0) = 0, portanto p é um ponto cr´ıtico de f |M de acordo com a defini¸cão acima. Evidentemente, os pontos cr´ıticos de f em U , que por acaso perten¸cam a M , se existirem, serão pontos cr´ıticos de f |M . O interessante, porém, é que podem ocorrer pontos cr´ıticos de f |M que não s˜ ao pontos cr´ıticos de f , isto é, nos quais grad f não se anula. Por exemplo, sejam f : R2 → R, dada por f (x, y) = y, e M = S 1 = {(x, y) ∈ R2 ; x2 +y 2 = 1}. Evidentemente, f não possui pontos cr´ıticos, pois grad f = (0, 1) em todos os pontos (x, y) ∈ R2 . Mas p = (0, 1) e q = (0, −1) s˜ ao pontos cr´ıticos de f |S 1 , inclusive porque s˜ ao os pontos onde f |S 1 atinge, respectivamente, seu m´ aximo e seu m´ınimo. De um modo geral, se n+1 a hiperf´ıcie M ⊂ R é compacta, então f |M admite pelo menos dois pontos cr´ıticos, a saber, os pontos onde f |M assume seus valores m´ aximo e m´ınimo. A resposta ao nosso problema é dada pelo Teorema do Multiplicador de Lagrange. Consideremos f : U → R, uma fun¸ca õ de classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rn+1 , e M = ϕ−1 (c) uma hiperf´ıcie contida em U , imagem inversa do valor regular c ∈ R por uma fun¸ca õ ϕ : U → R, de classe C k . Um ponto p ∈ M é ponto cr´ıtico de f |M se, e somente se, existe um n´ umero real λ tal que grad f (p) = λ · grad ϕ(p). Demonstra¸ c˜ ao: Para todo ponto p ∈ M , temos grad ϕ(p) ⊥ Tp M pois M é superf´ıcie de n´ıvel de ϕ. Além disso p é ponto cr´ıtico de f |M se, e somente se, grad f (p) ⊥ Tp M . Como Tp M ⊂ Rn+1 é um subespa¸co

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

177

vetorial de dimens˜ ao n, segue-se que p ∈ M é ponto cr´ıtico de f |M se, e somente se, grad f (p) é um m´ ultiplo de grad ϕ(p). Observa¸ c˜ ao: Quando a hiperf´ıcie M não é dada como imagem inversa −1 ϕ (c) de um valor regular, os pontos cr´ıticos de f |M s˜ ao simplesmente os pontos p ∈ M nos quais grad f (p) é normal a M . A pesquisa dos pontos cr´ıticos de f |M reduz-se, portanto, a resolver o sistema de n + 2 equa¸cões   ∂f (p) = λ · ∂ϕ (p), (i = 1, 2, . . . , n + 1); ∂xi ∂xi  ϕ(p) = c,

nas n + 2 incógnitas λ, x1 , . . . , xn+1 , onde p = (x1 , . . . , xn+1 ). O n´ umero λ chama-se o multiplicador de Lagrange. Sua presen¸ca no sistema acima torna o n´ umero de equa¸cões igual ao n´ umero de incógnitas, o que muitas vezes ajuda a resolvê-lo. A condi¸cão grad f (p) = λ · grad ϕ(p) significa que a hiperf´ıcie M é tangente ` a superf´ıcie de n´ıvel de f que passa pelo ponto cr´ıtico p da fun¸cão f |M . No caso em que se podem esbo¸car essas superf´ıcies, esta observa¸cão auxilia a localizar os pontos cr´ıticos. Vejamos agora alguns problemas onde se aplica o método do multiplicador de Lagrange. Exemplo 27. Seja f : R2 → R definida por f (x, y) = ax + by, com a2 + b2 6= 0. Quais s˜ ao os pontos cr´ıticos da restri¸cão de f ao c´ırculo unit´ ario S 1 ? Temos grad f = (a, b), S 1 = ϕ−1 (1), ϕ(x, y) = x2 + y 2 e grad ϕ = (2x, 2y). Os pontos cr´ıticos de f |S 1 s˜ ao aqueles onde os vetores (a, b) e (2x, 2y) s˜ ao colineares. Como, além disso, deve-se ter

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

178 x2 + y 2 = 1, isto nos dá x = √

N

´ VARIAVEIS

b −a a , y=√ ou x = √ , a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

−b · Nestes pontos, f |S 1 assume, respectivamente, seu valor a2 + b2 √ √ m´ aximo, igual a a2 + b2 , e seu valor m´ınimo, igual a − a2 + b2 . y= √

Exemplo 28. Dados a ∈ Rn+1 e uma hiperf´ıcie M ⊂ Rn+1 , que não contenha o ponto a, determinar o ponto p ∈ M mais próximo a a. (Se M for um subconjunto fechado de Rn+1 , sabemos que um tal ponto sempre existe.) Consideremos a fun¸cão f (x) = |x − a|, que é de classe C ∞ em Rn+1 − {a}. Procuramos os pontos onde f |M assume seu valor m´ınimo. Eles estão entre os pontos cr´ıticos de f |M , isto é,pentre os pontos nos quais grad f é normal a M . Ora, como f (x) = Σ(xi − ai )2 , temos xi − ai x−a ∂f = , donde grad f (x) = · Assim, os pontos cr´ıticos ∂xi |x − a| |x − a| de f |M (entre os quais se encontram os pontos de M situados a uma distˆ ancia m´ınima do ponto a) s˜ ao os pontos x ∈ M tais que x − a é normal a M . Exemplo 29. Seja (aij ) uma matriz real n × n simétrica, isto é, aij = aji . A ela corresponde uma P transforma¸cão linear A : Rn → Rn , definida por A · x = y, com yi = aij xj . A condi¸cão aij = aji é equivaj

lente a hAx, yi = hx, Ayi para quaisquer x, y ∈ Rn . Diz-se então que a transforma¸cão linear A é auto-adjunta. Um vetor x ∈ Rn chama-se um autovetor de A quando x 6= 0 e A · x = λ · x para algum λ ∈ R. O n´ umero λ chama-se então o autovalor correspondente ao autovetor x. Em geral, uma transforma¸cão linear A : Rn → Rn não precisa ter autovetores x ∈ Rn nem autovalores reais. (Tome, por exemplo, uma rota¸cão no plano, de ˆ angulo θ, com 00 < θ < 180◦ .) Mostraremos agora que se A é auto-adjunta então existe uma base ortonormal de Rn formada por autovetores de A. Para isso, introduziremos a forma quadrática f : Rn → R, dada por f (x) = hA · x, xi ou, em termos de coordenadas, n P aij xi xj . Estudaremos os pontos cr´ıticos de f na esfera f (x) = i,j=1

P ∂f = 2 · aij xj , temos grad f (x) = 2A · x. ∂xi j Por outro lado, S n−1 = ϕ−1 (1), onde ϕ(x) = hx, xi, donde grad ϕ(x) = 2 · x. Logo os pontos cr´ıticos de f |S n−1 s˜ ao os pontos u ∈ S n−1 tais que A · u = λ · u. Num tal ponto u, temos f (u) = hAu, ui = hλu, ui = λ, unit´ aria S n−1 ⊂ Rn . Como

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

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pois hu, ui = 1. Podemos, portanto, enunciar: Dada a forma quadr´ atica f : Rn → R, f (x) = hA · x, xi, com n n A : R → R auto-adjunta, um ponto u ∈ S n−1 é ponto cr´ıtico de f |S n−1 se, e somente se, A · u = λ · u, onde λ = f (u). Em particular, se λ1 é o valor m´ aximo de f no compacto S n−1 , atingido no ponto u1 ∈ S n−1 , então λ1 é o maior autovalor de A. Consideremos agora o subespa¸co (n − 1)-dimensional E = {x′ ∈ Rn ; hx, u1 i = 0}, complemento ortogonal do vetor u1 . Se x ∈ E então hA · x, u1 i = hx, A · u1 i = hx, λ1 u1 i = λ1 · hx, u1 i = 0. Logo x ∈ E ⇒ A · x ∈ E. Por restri¸cão, obtemos uma transforma¸cão linear auto-adjunta A : E → E. Seja f (u2 ) = λ2 o valor m´ aximo da forma quadrática f entre os vetores unit´ arios pertencentes a E (isto é, perpendiculares a u1 ). Então A · u2 = λ2 · u2 . Prosseguindo analogamente, obtemos uma base ortonormal de Rn , (u1 , u2 , . . . , un ), formada por autovetores de A. Exemplo 30. Consideremos a fun¸cão f : R3 → R, f (x, y, z) = x · y · z, e, para cada c > 0, procuremos seu valor m´ aximo na superf´ıcie M = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = c, y > 0, z > 0}. Esse m´ aximo existe em M porque M é um conjunto compacto mas, na realidade, está em M pois f é positiva em M e nula em M − M . Ora grad f = (yz, xz, xy) e M é uma parte de ϕ−1 (c), com ϕ(x, y, z) = x + y + z, donde grad ϕ = (1, 1, 1). Logo, num ponto de M onde f |M seja m´ axima, devemos ter yz = xz = xy = λ e x + y + z = c. Assim, x = y = z = c/3 e f (x, y, z) = c3 /27. Sendo este valor m´ aximo de f em M , devemos ter 3 3 x+y+z c , sempre que x > 0, y > 0, z > 0 e x+y +z = = xyz ≤ 27 3 c. Mas c é arbitr´ ario e três n´ umeros positivos x, y, z têm sempre uma soma c. Podemos então afirmar que, dados 3 n´ umeros positivos x, y, x+y+z 3 x+y+z √ z, tem-se xyz ≤ ; a média , ou seja 3 xyz ≤ 3 3 geométrica é menor do que ou igual à média aritmética. O mesmo racioc´ınio, aplicado ` a fun¸cão f : Rn → R, dada por f (x) = x1 ·x2 ·· · ··xn , mostra que a média geométrica de n n´ umeros positivos é menor do que ou igual ` a média aritmética desses n´ umeros. Exemplo 31. Usaremos o método do multiplicador de Lagrange para demonstrar a desigualdade de Hadamard: se X é uma matriz n × n cujas linhas s˜ ao os vetores Xi = (xi1 , xi2 , . . . , xin ) então det . X ≤ |X1 | · |X2 | . . . |Xn |, onde |Xi | é a norma euclidiana de Xi . Isto é evidente se det . X = 0. Caso det . X 6= 0, então todos os vetores-linha s˜ ao 6= 0,

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logo Xi = |Xi | · Wi , com |Wi | = 1, para todo i. Então det . X = |X1 | · |X2 | . . . |Xn | · det . W , onde W é a matriz cujas linhas s˜ ao os vetores unit´ arios W1 , . . . , Wn . A desigualdade de Hadamard ficará provada se mostrarmos que det . W ≤ 1. Mais geralmente, mostraremos que se P 2 W = (wij ) é uma matriz n × n tal que wij = n então det . W ≤ 1. i,j

Definamos portanto f , ϕ : Rn → R pondo f (X) = det . X e ϕ(X) = P 2 ∂ϕ ∂f xij . Temos (X) = 2xij e (X) = (−1)i+j X[ij] , onde X[ij] é ∂xij ∂xij i,j o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1), obtida de ϕ pela omiss˜ ao da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Todo n´ umero real 6= 0 é um valor regular de ϕ, logo M = ϕ−1 (n) é uma hiperf´ıcie (compacta) de classe √ 2 C ∞ em Rn . (Esfera de centro 0 e raio n.) matriz W = (wij ) é ponto cr´ıtico de f |M se, e somente se, P Uma 2 = n e grad f (W ) = λ · grad ϕ(W ) para algum λ real. Da´ wij ı: i,j

(*)

(−1)i+j W[ij] = 2λ · wij

para quaisquer i, j ∈ [1, n].

Multiplicando por wij , somando e levando em conta a regra de expans˜ ao de um determinante em rela¸cão aos elementos de uma linha, temos: X X 2 (−1)i+j wij W[ij] = 2λ · n · det W = wij = 2λ · n, i,j

donde det W = 2λ. Agora multipliquemos (*) por wij , fixemos i e somemos em rela¸cão a j. Resulta: X X X 2 2 det W = (−1)i+j wij W[ij] = 2λ · wij = det W · wij . j

j

j

Suponhamos que W seja um ponto onde f |M assume seu valor m´ a ximo. Então det W = f (W ) 6= 0 e da igualdade acima vem |Wi |2 = P 2 wij = 1 para todo i. j

Em seguida, multipliquemos (*) por wkj , com k 6= i, e somemos em rela¸cão a j. Teremos X X (−1)i+j wkj W[ij] = 2λ · wkj wij = 2λ · hWk , Wi i. j

j

Ora, o primeiro somatório acima é zero, por ser o desenvolvimento, em rela¸cão aos elementos da i-ésima linha, do determinante de uma matriz

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[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

com duas linhas (a i-ésima e a k-ésima) iguais a Wk . Logo hWk , Wi i = 0 para k 6= i. Assim, todo ponto W ∈ M onde f |M atinja o seu valor m´ aximo é uma matriz cujas linhas s˜ ao vetores unit´ arios, 2 a 2 ortogonais, isto é, W é uma matriz ortogonal. Em particular, det W = ±1. Por ser det W m´ aximo, seu valor é evidentemente 1. Concluimos que det W ≤ 1 para toda W ∈ M , o que demonstra a desigualdade de Hadamard. Observa¸ c˜ ao: O valor absoluto de det. X é o volume do paralelep´ıpedo n-dimensional determinado pelos vetores X1 , . . . , Xn , que constituem as linhas de matriz X. A desigualdade de Hadamard significa, geometricamente, que se mantivermos constantes os comprimentos desses vetores, det. X se torna m´ aximo quando eles forem 2 a 2 perpendiculares, caso em que o volume do paralelep´ıpedo é o produto |X1 | · |X2 | . . . |Xn | dos comprimentos das suas arestas.

Exerc´ıcios §1. 1.1. Seja X = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 e x2 ≤ y ≤ 2x2 }. Ponha U = R2 − X. Mostre que, para todo a ∈ U e todo v ∈ R2 , existe δ > 0 (dependendo de a e de v) tal que 0 ≤ t < δ ⇒ a + tv ∈ U . Entretanto U n˜ ao é um conjunto aberto.

1.2. Seja U ⊂ Rm aberto e conexo. Se f : U → R possui, em todos os pontos de U , derivadas parciais nulas ent˜ ao f é constante. 1.3. Se f : U → R, definida no aberto U ⊂ Rm , assume seu valor m´ aximo (ou m´ınimo) num ponto a ∈ U ent˜ ao qualquer derivada parcial de f que exista no ponto a é nula. 1.4. Seja f : U → R cont´ınua no aberto limitado U ⊂ Rm , possuindo derivadas parciais em todos os pontos de U . Se, para todo a ∈ ∂U tem-se lim f (x) = 0 x→a

∂f ent˜ ao existe c ∈ U tal que (c) = 0 para i = 1, . . . , m. [“Teorema de Rolle”.] ∂xi ∂f (x) ≤ M (i = 1, . . . , m) em 1.5. Se f : U → R possui derivadas parciais, com ∂xi todos os pontos do aberto convexo U ⊂ Rm ent˜ ao |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y| (norma da soma) para quaisquer x, y ∈ U . Conclua que se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é cont´ınua (mas n˜ ao necessariamente uniformemente cont´ınua).

1.6. Seja A ⊂ R2 um retˆ angulo aberto, de lados paralelos aos eixos. Se f : A → R possui derivadas parciais em todos os pontos de A ent˜ ao, dados (a, b) e

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∂f (a + (a + h, b + k) em A existe θ ∈ (0, 1) tal que f (a + h, b + k) − f (a, b) = ∂x ∂f θh, b + k) · h + (a, b + θk) · k. ∂y 1.7. Se X ⊂ Rm é convexo e Y ⊂ Rn é arbitr´ ario ent˜ ao X × Y ⊂ Rm+n é i-convexo para todo i = 1, . . . , m. Dê exemplo de um aberto conexo U ⊂ R2 que seja 1-convexo e 2-convexo mas n˜ ao seja convexo. ∂f (a, b) > 1.8. Seja f : U → R cont´ınua num aberto U ⊂ R2 , com derivada parcial ∂y 0 num ponto (a, b) ∈ U , com f (a, b) = c. (1) Mostre que existe um retˆ angulo I × J, de lados paralelos aos eixos, contido em U , tal que f (x, y) > c quando (x, y) pertence ` a base superior do retˆ angulo e f (x, y) < c quando (x, y) pertence ` a base inferior. (2) Mostre que existe um intervalo I de centro a, no qual est´ a definida uma fun¸c˜ ao ξ : I → J tal que ξ(a) = b e, para todo x ∈ I, f (x, ξ(x)) = c. Esta fun¸c˜ ao n˜ ao é necessariamente u ńica, mas qualquer uma delas é cont´ınua no ponto a. ∂f (3) Se > 0 em todos os pontos de U , mostre que ξ é u ńica e é cont´ınua em ∂y I.

§2.

2.1. Uma fun¸c˜ ao f : Rm → R tal que f (0) = 0 e f (tx) = tf (x), para quaisquer x ∈ ∂f (0) = f (v). Rm e t 6= 0, tem todas as derivadas direcionais na origem, e vale ∂v 2 x y 2.2. Seja f : R2 → R definida por f (x, y) = 2 se x2 + y 2 > 0 e f (0, 0) = 0. x + y2 Para todo caminho λ : (−ε, ε) → R2 , diferenci´ avel no ponto 0, com λ(0) = (0, 0), existe a derivada (f ◦ λ)′ (0).

2.3. Sejam ϕ, ψ : R2 → R definidas por ϕ(x, y) = (x2 − y)2

2 y2 2 2 y √ se x > 0 e 0 < y < x2 . , ψ(x, y) = (x − y) x8 x7 x

Nos demais pontos de R2 , ponha ϕ(x, y) = ψ(x, y) = 0. Mostre que ϕ e ψ ∂ϕ ∂ψ possuem derivadas direcionais , em todos os pontos do plano e que ∂v ∂v essas derivadas dependem linearmente de v. Mostre ainda que ψ é cont´ınua em R2 mas ϕ é cont´ınua apenas em R2 − {0}. Finalmente, considerando o caminho diferenci´ avel λ : R → R2 , dado por λ(t) = (t, t2 ), a fun¸c˜ ao composta ψ ◦ λ : R → R n˜ ao é deriv´ avel no ponto t = 0.

2.4. Seja f : Rm → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua, possuindo todas as derivadas direcionais ∂f (u) > 0 para todo u ∈ S m−1 ent˜ ao existe em qualquer ponto de Rm . Se ∂u ∂f um ponto a ∈ Rm tal que (a) = 0 seja qual for v ∈ Rm . ∂v

§3.

3.1. Seja f : Rm → R tal que f (tx) = |t|f (x) para x ∈ Rm e t ∈ R quaisquer. Se f é diferenci´ avel na origem, ent˜ ao f (x) = 0 para todo x.

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

183

3.2. Sejam U ⊂ Rm um aberto tal que x ∈ U , t > 0 ⇒ tx ∈ U , e k um n´ umero real. Uma fun¸c˜ ao f : U → R diz-se positivamente homogênea de grau k quando f (tx) = tk f (x) para quaisquer x ∈ U e t > 0. Para todo k ∈ R mostre que existe uma fun¸c˜ ao f : Rm − {0} → R, de classe C ∞ , positivamente homogênea de grau k, tal que f (x) > 0 para todo x e f n˜ ao é um polinˆ omio. 3.3. Seja U ⊂ Rm como no exerc´ıcio anterior. Se f : U → R é diferenci´ avel ent˜ ao f é positivamente homogênea de grau k se, e somente se, cumpre a rela¸c˜ ao P ∂f (x) · xi = k · f (x). Escreva a rela¸c˜ ao de Euler para a fun¸c˜ ao de Euler ∂xi f (x) = hx, xik = |x|2k .

3.4. Sejam U ⊂ Rm aberto e f : U → R diferenci´ avel no ponto a ∈ U . Prove que existem ε > 0 e M > 0 tais que |h| < ε ⇒ a+h ∈ U e |f (a+h)−f (a)| ≤ M ·|h|.

3.5. Mostre que a seguinte modifica¸c˜ ao do exerc´ıcio anterior é falsa: existem ε > 0 e M > 0 tais que |y − a| < ε, |x − a| < ε ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ M · |y − x|.

3.6. Seja f : U → R de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . Dados a ∈ U e ε > 0, prove que existe δ > 0 tal que x, y ∈ U, |x − a| < δ, |y − a| < δ ⇒ f (y) − f (x) = f ′ (a)(y − x) + r(x, y), onde |r(x, y)| ≤ ε|x − y|.

3.7. Uma fun¸c˜ ao holomorfa que s´ o assume valores reais num aberto conexo é constante. (Idem, para valores numa reta qualquer do plano.) 3.8. Sejam f = u + iv uma fun¸c˜ ao holomorfa e ϕ, ψ caminhos diferenci´ aveis, com valores no dom´ınio de f , tais que u ◦ ϕ e v ◦ ψ s˜ ao constantes. Se ϕ(s) = ψ(t) e f ′ (ϕ(s)) 6= 0 ent˜ ao hϕ′ (s), ψ ′ (t)i = 0. (“As curvas de n´ıvel da parte real e da parte imagin´ aria de uma fun¸c˜ ao holomorfa cortam-se ortogonalmente”.) 3.9. Sejam U ⊂ Rm aberto, f : U → R diferenci´ avel no ponto a ∈ U e M = {(x, y) ∈ Rm+1 ; x ∈ U, y = f (x)} o gr´ afico de f . O conjunto E dos vetores m P ∂f v = (α1 , . . . , αm+1 ) ∈ Rm+1 tais que αm+1 = αi · (a) é um subespa¸co ∂xi i=1 vetorial de dimens˜ ao m em Rm+1 . Mostre que E coincide com o conjunto dos vetores velocidade λ′ (0) dos caminhos λ : (−ε, ε) → Rm+1 , diferenci´ aveis no ponto t = 0, com λ(0) = (a, f (a)) e tais que λ(t) ∈ M para todo t. Determine β1 , . . . , βm+1 de modo que o vetor v = (β1 , . . . , βm+1 ) seja n˜ ao-nulo e ortogonal ao subespa¸co E. 3.10. Seja f : I → Rn um caminho de classe C 2 que representa o movimento de um ponto de massa m, o qual se desloca sob a a¸c˜ ao de um campo de for¸cas conservativo. Isto significa que existe uma fun¸c˜ ao u : U → R, de classe C 1 , chamada a energia potencial, tal que f (I) ⊂ U e m · f ′′ (t) = − grad u(f (t)) para todo t ∈ I. Defina a energia cinética do ponto f (t) como m|f ′ (t)|2 /2. Prove o princ´ıpio da conserva¸c˜ ao da energia: em cada instante t, a soma da energia cinética com a energia potencial é igual a uma constante c. 3.11. Na parte (2) do Exerc´ıcio 1.8 deste cap´ıtulo, mostre que se f é diferenci´ avel no ponto (a, b) ent˜ ao qualquer fun¸c˜ ao ξ tal que ξ(a) = b e f (x, ξ(x)) = c para todo x ∈ I é diferenci´ avel no ponto a.

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

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3.12. Seja f : U → R diferenci´ avel, positivamente homogênea de grau 1 num aberto U ⊂ Rm contendo zero. Mostre que f é a restri¸c˜ ao a U de uma transforma¸c˜ ao linear de Rm em R. Conclua que a fun¸c˜ ao f : R2 → R, dada por f (x, y) = x3 /(x2 + y 2 ), f (0, 0) = 0, n˜ ao é diferenci´ avel na origem. 3.13. Seja f : Rm → R diferenci´ avel, tal que f (x/2) = f (x)/2 para todo x ∈ Rm . Prove que f é linear.

§4. 4.1. Todo funcional linear f : Rm → R é diferenci´ avel e df (x) · v = f · v para quaisquer x, v ∈ Rm . ∂f (a) ∂v m num ponto a ∈ U , U ⊂ R aberto. Se n˜ ao existirem pelo menos m−1 vetores ∂f (a) = 0, ent˜ ao f n˜ ao é diferenci´ avel v, linearmente independentes, tais que ∂v no ponto a.

4.2. Seja f : U → R uma fun¸c˜ ao que possui todas as derivadas direcionais

4.3. Dada f : U → R no aberto U ⊂ Rm , defina f k : U → R pondo f k (x) = f (x)k . Prove que f k é diferenci´ avel e que df k (x) · v = k · f k−1 (x) · df (x) · v para x ∈ U m ev∈R . 4.4. Para cada uma das fun¸c˜ oes abaixo, escreva a diferencial sob a forma df (x) =

∂f ∂f (x) · dx1 + · · · + (x) · dxm ∂x1 ∂xm

e use esta express˜ ao para calcular df (x) · v para x e v dados. (a) f : R×(R−{0}) → R, f (x, y) = x/y. Calcule df (x, y)·v com v = (tx, ty) e relacione este resultado com a curvas de n´ıvel de f . p −1 . Mostre que df (x, y, z)· (b) f : R3 −{0} → R, f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 v = 0 se, e somente se, v é perpendicular a (x, y, z). Calcule df (x, y, z) · v para x = 1, y = 2, z = 3 e v = (4, 2, 2). (c) f : R2 − {0} → R, v = (−y, x).

f (z) = log |z|. Calcule df (z) · v com z = (x, y) e

4.5. Considere em Rm a norma euclidiana. Se f : Rm − {0} → R é definida por f (x) = |x|a , com a ∈ R, ent˜ ao df (x) · v = a|x|a−2 hx, vi para todo v ∈ Rm . 2

4.6. Para 1 ≤ i, j ≤ m seja fij : Rm → R definida por fij (X) = (i, j)-ésimo 2 elemento da matriz X 2 . Para X, V ∈ Rm quaisquer, mostre que dfij (X) · V é o ij-ésimo elemento da matriz XV + V X. Obtenha um resultado an´ alogo com X 3 em vez de X 2 . Generalize. 4.7. Seja f : U → R definida no aberto U ⊂ Rm . Dado a ∈ U , suponha que, para todo caminho λ : (−ε, ε) → U , com λ(0) = a, que possua vetor velocidade v = λ′ (0) no ponto t = 0, o caminho composto f ◦ λ : (−ε, ε) → R também possua vetor velocidade (f ◦ λ)′ (0) = T · v, onde T : Rm → R é linear. Prove que, nestas condi¸c˜ oes, f é diferenci´ avel no ponto a.

185

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

4.8. Seja f : U → R diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm . Suponha df (a) 6= 0 para um certo a ∈ U e considere o vetor unit´ ario u ∈ Rm tal que df (a) · u = m max{df (a) · h; |h| = 1}. Se v ∈ R é tal que df (a) · v = 0, mostre que v é perpendicular a u. 4.9. Seja f : Rm × Rm → R dada por f (x, y) = hx, yi. Mostre que f é diferenci´ avel e que df (x, y) · (v, w) = hv, yi + hx, wi. Generalize, considerando uma forma bilinear ϕ : Rm ×Rn → R qualquer. Generalize ainda mais, tomando ψ : Rm1 × · · · × Rmk → R k-linear. Obtenha a diferencial da fun¸c˜ ao determinante como caso particular. 4.10. Prove que f : R2 → R é diferenci´ avel no ponto c = (a, b) se, e somente se, existem fun¸c˜ oes α, β : R2 → R cont´ınuas na origem, tais que, para todo (h, k) ∈ R2 , se tem f (a+h, b+k) = f (a, b)+α·h+β ·k, onde α = α(h, k) e β = β(h, k).

4.11. Seja U ⊂ Rm aberto. Se a fun¸c˜ ao diferenci´ avel f : U → R cumpre a condi¸c˜ ao de Lipschitz |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y| ent˜ ao |df (x) · v| ≤ c|v| para x ∈ U e v ∈ Rm . 4.12. Sejam U = {x ∈ Rm ; |x ao dife i | < 1, i = 1, . . . , m} e f : U → R uma fun¸c˜ ∂f renci´ avel, com ao f (U ) é um intervalo de (x) ≤ 3 para todo x ∈ U . Ent˜ ∂xi comprimento ≤ 3m.

§5.

5.1. Dada a transforma¸c˜ ao linear A : Rm → Rn , defina as fun¸c˜ oes f : Rm ×Rn → R e m g : R → R pondo f (x, y) = hA·x, yi e g(x) = hA·x, xi. Determine grad f (x, y) e grad g(x).

5.2. Seja f : U → R diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm . Dada uma base ortogonal m {u1 , . . . , um } de R , mostre que, para todo x ∈ U , tem-se grad f (x) =

m X i=1

1 ∂f (x) · ui . |ui |2 ∂ui

Mais geralmente, dada uma base arbitr´ aria {v1 , . . . , vm } em Rm , indique com (g ij ) a matriz inversa da matriz cujo ij-ésimo elemento é o produto interno hvi , vj i. Mostre que a express˜ ao de grad f (x) em rela¸c˜ ao ` a base {v1 , . . . , vm } é a seguinte: ! X X ij ∂f grad f (x) = g vi . ∂vj i j

5.3. Quais dos esbo¸cos abaixo podem representar o conjunto das curvas de n´ıvel de uma fun¸c˜ ao f : U → R, de classe C 1 no aberto U ⊂ R2 ?

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

186

N

´ VARIAVEIS

§6.

6.1. Seja f : [0, b] × [0, b] → R cont´ınua. Prove que Z b Z x Z b Z dx f (x, y) dy = dy 0

e conclua que

Rt 0

dx

0

Rx 0

g(y) dy =

0

Rt 0

b

f (x, y) dx y

(t − y)g(y) dy se g : [0, b] → R é cont´ınua.

6.2. Seja f : (a, b] → R cont´ınua. Defina a integral impr´ opria de f pondo Rb Rb f (x)dx = lim f (x) dx, quando este limite existir. Defina analogaa a+δ δ→0+

mente as integrais impr´ oprias de fun¸c˜ oes cont´ınuas g : [a, b) → R e h : (a, b) → R. Quando a fun¸c˜ ao cont´ınua f : (a, b] → R é ≥ 0, a integral impropria Rb f (x) dx existe se, e somente se, pode-se obter K > 0 tal que, para todo a Rd intervalo fechado [c, d] ⊂ (a, b], tem-se c f (x) dx ≤ K. Para f : (a, b] → R Rb cont´ınua arbitr´ aria, a integral impr´ opria a f (x) dx existe se, e somente se, Rd dado ε > 0, pode-se achar δ > 0 tal que a < c < d < a + δ ⇒ | a f (x) dx| < ε. Rb Rb Se f : (a, b] → R é cont´ınua e a |f (x)|dx existe, ent˜ ao a f (x) dx também existe. (Toda integral absolutamente convergente, é convergente.) Finalmente, se Rb f (x) dx existe e g : (a, b] → R é cont´ınua, com |g(x)| ≤ f (x) para todo a Rb x ∈ (a, b], ent˜ ao a g(x) dx existe.

6.3. Das integrais impr´ oprias abaixo, duas convergem e duas divergem. Quais? Z 1 Z 1 dx dx √ , 2 1 − x2 −1 −1 1 − x Z 1 Z 1 dx dx p , k2 < 1. , α > 1, α 2 )(1 − k 2 x2 ) x (1 − x 0 −1

6.4. Seja G : (a, b] × Y → R cont´ınua, com Y ⊂ Rm arbitr´ ario. Diz-se que a integral Rb impr´ opria a G(t, y) dt é uniformemente convergente em Y quando, para todo Rd ε > 0 dado, existir δ > 0 tal que a < c < d < a + δ ≤ b ⇒ | c G(t, y) dt| < ε, seja qual for y ∈ Y . Prove que se F : (a, b] × U → R (com U ⊂ Rm aberto) e suas derivadas parciais em rela¸c˜ ao ` as u ´ltimas m vari´ aveis s˜ ao cont´ınuas em (a, b] × U , e existem, para todo x ∈ U , as integrais impr´ oprias Z b Z b ∂F ϕ(x) = F (t, x) dt e ψ(x) = (t, x) dt, ∂x i a a sendo a segunda delas uniformemente convergente em cada parte compacta de ∂ϕ (x) = ψ(x). Noutras palavras, é permitido derivar uma U , ent˜ ao tem-se ∂xi integral impr´ opria sob o sinal de integra¸c˜ ao, desde que o resultado seja uma integral uniformemente convergente nas partes compactas. Conclua da´ı que se Z 1 dt p ϕ(k) = , |k| < 1 ent˜ ao 2 )(1 − k 2 t2 ) (1 − t −1 Z 1 kt2 dt p · ϕ′ (k) = (1 − t2 )(1 − k2 t2 )3 −1

187

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

6.5. Defina a fun¸c˜ ao de Bessel J0 pondo J0 (x) = Prove que

J0′′

+

(1/x)J0′

1 π

Z

1 −1

cos xt √ dt. 1 − t2

+ J0 = 0 para todo x > 0.

6.6. Seja f : (a, b]×Y → R cont´ınua, com Y ⊂ Rm arbitr´ ario. Se existem constantes M c, M , com 0 < c < 1 e |f (t, y)| ≤ para quaisquer t ∈ (a, b] e y ∈ Y , (t − a)c Rb ent˜ ao a integral a f (t, y) dt converge uniformemente em rela¸c˜ ao a y. 6.7. Seja f : (a, b] × [c, d] → R cont´ınua. Se, para cada t ∈ [c, d], existe a integral Rb impr´ opria a f (s, t) ds, a qual converge uniformemente em rela¸c˜ ao a t, ent˜ ao Rb a integral a f (s, t) ds é uma fun¸c˜ ao cont´ınua de t ∈ [c, d] e tem-se Z

d

dt c

Z

b

f (s, t) ds = a

Z

b

ds a

Z

d

f (s, t) dt. c

A igualdade acima significa, em particular, que existe a integral impr´ opria do segundo membro.

§7. 7.1. Com a nota¸c˜ ao da Regra da Cadeia, supondo f e g duas vezes diferenci´ aveis, ∂ 2 (g ◦ f ) (a). obtenha uma f´ ormula para ∂xi ∂xj 7.2. Uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel f : U → R, definida no aberto U ⊂ Rm , é de classe C 1 se, e somente se, para cada h ∈ Rm , a fun¸c˜ ao ϕh : U → R, dada por ϕh (x) = df (x) · h, é cont´ınua. Analogamente, f é duas vezes diferenci´ avel se, e somente se, ϕh é diferenci´ avel. 7.3. Seja f : U → R duas vezes diferenci´ avel no aberto convexo U ⊂ R2 . A fim ∂2f de que seja identicamente nula, é necess´ ario e suficiente que existam ∂x∂y fun¸c˜ oes reais ϕ : I → R, ψ : J → R, duas vezes diferenci´ aveis em intervalos I, J da reta, tais que f (x, y) = ϕ(x) + ψ(y) para todo (x, y) ∈ U . 7.4. A fim de que uma fun¸c˜ ao duas vezes diferenci´ avel g : R2 → R satisfa¸ca a equa¸c˜ ao ∂2g ∂2g = 2 ∂x ∂y 2

é necess´ ario e suficiente que existam fun¸c˜ oes ϕ : R → R, ψ : R → R, duas vezes diferenci´ aveis, tais que g(x, y) = ϕ(x + y) + ψ(x − y). ∂2f ∂2f = c2 em todos os 2 ∂y ∂x2 pontos de R2 , onde c é uma constante. Prove que existem fun¸c˜ oes ϕ : R → R, ψ : R → R, duas vezes diferenci´ aveis, tais que f (x, y) = ϕ(x − cy) + ψ(x + cy). [Solu¸c˜ ao da “equa¸c˜ ao da onda”.]

7.5. Seja R2 → R duas vezes diferenci´ avel. Suponha que

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

188

N

´ VARIAVEIS

7.6. Seja U ⊂ Rm um aberto. Para toda fun¸c˜ ao f : U → R duas vezes diferenci´ avel, ∂2f + ··· + o Laplaciano de f é a fun¸c˜ ao ∆f : U → R, definida por ∆f = ∂x21 ∂2f · Prove que se T : Rm → Rm é uma transforma¸c˜ ao linear ortogonal ent˜ ao ∂x2m −1 ∆(f ◦ T ) = (∆f ) ◦ T : V → R, onde V = T (U ). [Invariˆ ancia do Laplaciano por rota¸c˜ oes.] 7.7. Uma fun¸c˜ ao f : U → R, de classe C 2 no aberto U ⊂ Rm , diz-se harmˆ onica m ∂2f P quando ∆f (x) = 0 para todo x ∈ U . (A igualdade = 0 chama-se a 2 i=1 ∂xi equa¸c˜ ao de Laplace.) Mostre que as fun¸c˜ oes abaixo s˜ ao harmˆ onicas: p 1 , |x| = hx, xi. (a) u : R3 − {0} → R, u(x) = |x| (b) p : R3 → R, p(x, y, z) = 2x2 − y 2 − z 2 . (c) f : R2 → R, f (x, y) = (A · cos ax + B · sen ax)eay .

§8.

∂2f ∂2f + =0 2 ∂x ∂y 2 em todos os pontos de U . Suponha que os pontos cr´ıticos de f s˜ ao todos n˜ ao-degenerados. Mostre que f n˜ ao possui m´ aximos nem m´ınimos locais.

8.1. Seja f : U → R harmˆ onica no aberto U ⊂ R2 , isto é, f ∈ C 2 e

8.2. O conjunto dos pontos em que uma fun¸c˜ ao arbitr´ aria f : X → R, definida num conjunto X ⊂ Rm , admite um m´ aximo ou um m´ınimo estrito é enumer´ avel. [Seja E ⊂ X um subconjunto enumer´ avel denso. Para cada ponto x ∈ X que seja m´ aximo estrito de f , escolha ex ∈ E e rx ∈ Q com |ex − x| < rx /2 e y ∈ B(ex ; rx ) − {x} ⇒ f (y) < f (x). A aplica¸c˜ ao x 7→ (ex , rx ) é injetiva.]

8.3. Dada ϕ : (a, b) → R deriv´ avel, defina f : (a, b) × (a, b) → R pondo f (x, y) = Ry ϕ(t) dt. Determine os pontos cr´ıticos de f , caracterize os pontos cr´ıticos x n˜ ao-degenerados, os m´ aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela. Considere ϕ(t) = 3t2 − 1 e esboce as curvas de n´ıvel de f neste caso. 8.4. Sejam f, g : U → R duas vezes diferenci´ aveis num aberto conexo U ⊂ Rm . Prove que se f (a) = g(a), df (a) = dg(a) e d2 f (x) = d2 g(x) para todo x ∈ U ent˜ ao f = g.

8.5. Seja f : R2 → R de classe C ∞ , com f (x, 0) = f (0, y) = 0 para quaisquer x, y ∈ R. Mostre que existe g : R2 → R de classe C ∞ tal que f (x, y) = g(x, y) · x · y para qualquer (x, y) ∈ R2 .

8.6. Seja f : U → R de classe C k (i ≤ k ≤ ∞) no aberto convexo U ⊂ R2 , contendo a origem. Suponha que f e todas as suas derivadas parciais de ordem ≤ i se anulam na origem. Prove que existem fun¸c˜ oes a0 , a1 , . . . , ai : U → R de classe i P k−i j i−j C , tais que f (x, y) = aj (x, y)x · y para todo ponto (x, y) ∈ U . j=0

8.7. Seja U ⊂ Rm um aberto convexo. Uma fun¸c˜ ao f : U → R diz-se convexa quando, para x, y ∈ U e t ∈ [0, 1] quaisquer, tem-se f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y). Seja E(f ) = {(x, y) ∈ U × R; y ≥ f (x)}. Mostre que f é convexa se, e somente se, E(f ) é um subconjunto convexo de Rm+1 . (b) Seja

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

189

f convexa. Se x1 , . . . , xk ∈ U , e 0 ≤ t1 , . . . , tk ≤ 1, com Σ ti = 1 ent˜ ao f (Σ ti xi ) ≤ Σ tk f (xi ). (c) Se C ⊂ Rm é um conjunto convexo ent˜ ao a fun¸c˜ ao f : Rm → R, dada por f (x) = dist(x, C), é convexa.

8.8. Seja U ⊂ Rm um aberto convexo. Uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel f : U → R é convexa se, e somente se, para x, x + v ∈ U quaisquer, tem-se f (x + v) ≥ f (x) + df (x) · v.

8.9. Seja U ⊂ Rm aberto e convexo. Uma fun¸c˜ ao duas vezes diferenci´ avel f : U → R é convexa se, e somente se, para cada x ∈ U , d2 f (x) é uma forma P ∂2f quadr´ atica n˜ ao-negativa, isto é, (x) · αi αj ≥ 0 para todo vetor ∂xi ∂xj m v = (α1 , . . . , αm ) ∈ R .

8.10. Mostre, diretamente a partir das defini¸c˜ oes, que toda norma em Rm é uma fun¸c˜ ao convexa. Se f : Rm → R é uma norma proveniente de um produto interno, prove que, para x 6= 0 e h qualquer em Rm , tem-se d2 f (x) · h2 = (|h|2 |x|2 − hx, hi2 ) · |x|−3 e observe que a convexidade de f é equivalente ` a desigualdade de Schwarz. 8.11. Seja f : Rm → R positivamente homogênea de grau k ∈ N e de classe C k . Ent˜ ao f é um polinˆ omio homogêneo de grau k. Mais precisamente: existe uma forma k-linear ϕ em Rm tal que f (x) = ϕ(x, . . . , x) para todo x ∈ Rm . 8.12. Por meio de sucessivas mudan¸cas de coordenadas, como foi indicado no Exemplo 18, exprima cada uma as formas quadr´ aticas abaixo como soma de termos do tipo ±u2 e decida quais s˜ ao positivas, negativas ou indefinidas A(x, y) = x2 − 3xy + y 2 , B(x, y, z) = 2xy + yz − 3xz, C(x, y, z, t) = x2 + y 2 + 2xy − xt + 2yt

8.13. Seja f : U → R de classe C 1 no aberto U ⊂ R2 . Se, para algum ponto (a, b) ∈ ∂f ∂f U , com f (a, b) = c, temos (a, b) > 0, existe k > 0 tal que (x, y) > k ∂y ∂y para todo (x, y) suficientemente pr´ oximo de (a, b). Ent˜ ao existe um retˆ angulo R = [a−δ, a+δ]×[b−ε, b+ε] ⊂ U tal que f (x, b−ε) < c−k·ε e f (x, b+ε) > c+k·ε para todo x ∈ [a − δ, a + δ]. Logo f (R) ⊃ (c − kε, c + kε). Conclua que se f n˜ ao possui pontos cr´ıticos ent˜ ao, para cada aberto A ⊂ U , f (A) é aberto em R. 8.14. Seja f : Rm → R de classe C 1 , com m ≥ 2, tal que para algum c ∈ R, a imagem inversa f −1 (c) é compacta e n˜ ao-vazia. Mostre que um dos fechados F = {x ∈ Rm ; f (x) ≤ c} ou G = {x ∈ Rm ; f (x) ≥ c} é compacto. Conclua que f assume um valor m´ aximo ou m´ınimo em Rm . 8.15. Seja f : U → R de classe C 2 no aberto U ⊂ Rm , com 0 ∈ U , f (0) = 0 e df (0) = 0. O gr´ afico de f é uma hiperf´ıcie em Rm+1 , cuja normal no ponto 0 é o (m + 1)-ésimo eixo. Seja p = (0, . . . , a) ∈ Rm+1 um ponto desse eixo, com a 6= 0. A fun¸c˜ ao g : U → R, definida por g(x) = |x|2 + (f (x) − a)2 = quadrado da distˆ ancia de p ao ponto (x, f (x)) do gr´ afico de f , tem 0 como ponto cr´ıtico, com matriz Hessiana igual a −2a(H − a−1 · I), onde H é a matriz Hessiana de f no ponto 0 e I é a matriz identidade m × m. Os pontos (0, . . . , 0, x) ∈ Rm+1

˜ [CAP. III: FUNC ¸ OES REAIS DE

190

N

´ VARIAVEIS

tais que 1/x é autovalor de H chamam-se pontos focais (da normal ao gr´ afico de f no ponto 0). Conclua que a origem é um ponto cr´ıtico n˜ ao-degenerado da fun¸c˜ ao g se, e somente se, p n˜ ao é um ponto focal. 8.16. O ´ındice de um ponto cr´ıtico n˜ ao-degenerado é o n´ umero de autovalores negativos da matriz Hessiana. Assim, se o dom´ınio é um aberto de Rm , um ponto de m´ınimo local tem ´ındice zero, enquanto que um ponto de m´ aximo local tem ´ındice m. No problema anterior, mostre que se p n˜ ao é um ponto focal, ent˜ ao o ´ındice da origem como ponto cr´ıtico da fun¸c˜ ao g é igual ao n´ umero de pontos focais situados entre p e 0, contados com suas multiplicidades.

§9.

∂f 6= 0 em todos os pontos, e ξ : I → R ∂y tal que f (x, ξ(x)) = 0 para todo x ∈ I. Prove que ξ é de classe C 1 . Seja f : U → R cont´ınua no aberto U ⊂ R2 , tal que (x2 +y 4 )f (x, y)+f (x, y)3 = 1 para qualquer (x, y) ∈ U . Prove que f ∈ C ∞ . Sejam f, g : Rn → R tais que g(x) = f (x) + (f (x))5 . Se f é cont´ınua e g ∈ C r ent˜ ao f ∈ C r . Seja f : U → R cont´ınua no aberto U ⊂ Rm . Se a fun¸c˜ ao g : U → R, dada pela R f (x) 2 expess˜ ao g(x) = 0 (t + 1) dt, for de classe C ∞ , ent˜ ao f também ser´ a C∞. 3 No conjunto aberto U = {(x, y, z) ∈ R ; x > 0}, defina a fun¸c˜ ao f : U → R, pondo f (x, y, z) = x sen z − y cos z. Mostre que, dado p = (x, y, z) ∈ U , ∂f se f (p) = 0 ent˜ ao (p) 6= 0. Seja V = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0}. Mostre ∂z que existe uma infinidade enumer´ avel de fun¸c˜ oes cont´ınuas α : V → R tais que f (x, y, α(x, y)) = 0 para todo (x, y) ∈ V . Cada uma delas é C ∞ , duas quaisquer diferem por uma constante e se for fixado um valor α(x0 , y0 ) = z0 , ent˜ ao a equa¸c˜ ao f (x, y, d(x, y)) = 0 determina α univocamente. Mostre ainda xdy − ydx · que dα(x, y) = x2 + y 2 No enunciado do Teorema da Fun¸c˜ ao Impl´ıcita, suponha apenas que f : U → R é cont´ınua no aberto U ⊂ Rn+1 e diferenci´ avel no ponto (x0 , y0 ), com ∂f f (x0 , y0 ) = c e (x0 , y0 ) 6= 0. Prove que existem uma bola B = B(x0 ; r) ⊂ ∂y n R , um intervalo J ⊂ R e pelo menos uma fun¸c˜ ao ξ : B → J tal que ξ(x0 ) = y0 e f (x, ξ(x)) = c para todo x ∈ B. Toda ξ nessas condi¸c˜ oes é diferenci´ avel no ∂f ponto x0 . Se f for diferenci´ avel, com 6= 0 em todos os pontos de U , ent˜ ao ∂y B e J podem ser escolhidos de modo que ξ seja u ńica e diferenci´ avel em todos os pontos de B.

9.1. Sejam f : R2 → R de classe C 1 , com 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

9.6.

2

9.7. O conjunto M ⊂ Rm das matrizes m×m de posto m−1 é uma hiperf´ıcie. Seja P a matriz m × m cujos elementos s˜ ao todos nulos, exceto os m − 1 primeiros da diagonal, que s˜ ao iguais a 1. Determine Tp M . 9.8. Sejam M ⊂ Rm uma hiperf´ıcie diferenci´ avel, p ∈ M e Ap = p + Tp M = {p+v; v ∈ Tp M } a variedade afim tangente a M no ponto p. Defina ϕ : M → R d(x, Ap ) pondo ϕ(x) = · Mostre que lim ϕ(x) = 0. x→p |x − p|

191

[SEC. 10: MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

9.9. Mostrepque 1 é um valor regular da fun¸c˜ ao f : R3 → R, definida por f (x, y, z) = 2 2 ao, em torno do z + x2 + y 2 − 2 . Conclua que o toro gerado pela rota¸c˜ eixo z, de um c´ırculo vertical de raio 1 e centro num ponto do plano z = 0 distando 2 da origem, é uma superf´ıcie de classe C ∞ . R1 R2 9.10. Seja f : [0, 2] → R cont´ınua, positiva, tal que 0 f (x) dx = 1 f (x) dx = 1. Para cada x ∈ [0, 1], prove que existe um u ńico g(x) ∈ [1, 2] tal que R g(x) f (t) dt = 1. Mostre que a fun¸ c ˜ a o g : [0, 1] → R assim definida é de x classe C 1 .

§10. 10.1 Dentre os pontos do elips´ oide da origem em R3 .

x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1, determine os mais pr´ oximos 2 a b c

10.2 Determine os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ ao f : R2m → R, f (x, y) = hx, yi, restrita ` a esfera unit´ aria |x|2 + |y|2 = 1 e mostre como da´ı se obtém a desigualdade de Schwarz. 10.3 Sejam x ≥ 0, y ≥ 0 e p > 0, q > 0 com 1/p + 1/q = 1. Mostre que xy ≤ 1/p xp + 1/q y q . [Sugest˜ ao: n˜ ao h´ a perda de generalidade em supor xy = 1. Determine o m´ınimo do segundo membro sobre a hipérbole xy = 1.] 1/p P Dado v = (v1 , . . . , vm ) ∈ Rm , ponha |v|p = |vi |p . Use a desigualdade i

acima para provar que, se 1/p + 1/q = 1 ent˜ ao, dados u, v ∈ Rm vale a desigualdade de H¨ older |hu, vi| ≤ |u|p · |v|q .

Cap´ıtulo IV

Integrais Curvil´ıneas 1

Formas diferenciais de grau 1

Uma forma diferencial de grau 1 ou, simplesmente, uma 1-forma num subconjunto X ⊂ Rn é uma aplica¸cão ω : X → (Rn )∗ , que associa a cada ponto x ∈ X um funcional linear ω(x) sobre Rn . Como sabemos, o espa¸co dual (Rn )∗ possui uma base canônica (dx1 , . . . , dxn ), formada pelos funcionais definidos por dxi · v = αi se v = (α1 , . . . , αn ); todo funcional linear sobre Rn se exprime, de modo u ńico, como combina¸cão linear a1 dx1 + · · · + an dxn . Assim, dar uma 1-forma ω num subconjunto X ⊂ Rn equivale a definir n fun¸cões reais a1 , . . . , an : X → R tais que, para cada x ∈ X, se tenha: ω(x) = a1 (x)dx1 + · · · + an (x)dxn . Escrevemos, neste caso, ω = Σ ai dxi . Para cada x ∈ X, a aplica¸cão do funcional ω(x) no vetor v = (α1 , . . . , αn ) dá como resultado o n´ umero real (*)

ω(x) · v = a1 (x) · α1 + · · · + an (x) · αn .

Seja U ⊂ Rn aberto. Diremos que a 1-forma ω : U → (Rn )∗ é de classe C k (0 ≤ k ≤ ∞) quando, para todo vetor v ∈ Rn , a fun¸cão x 7→ ω(x) · v é de classe C k em U . Isto ocorre se, e somente se, ω = Σ ai dxi , onde as fun¸cões a1 , . . . , an : U → R s˜ ao de classe C k . De fato, esta condi¸cão é suficiente em virtude da igualdade (*) acima e é necessária porque ai (x) = ω(x) · ei para todo x ∈ U e todo i = 1, . . . , n.

193

[SEC. 1: FORMAS DIFERENCIAIS DE GRAU 1

O primeiro exemplo de 1-forma de classe C k é fornecido pela dife∂f rencial df = Σ dxi de uma fun¸cão f : U → R, de classe C k+1 . Para ∂xi cada x ∈ U e cada v = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn , temos df (x) · v = Σ

∂f (x) · αi . ∂xi

Outro exemplo importante é a 1-forma “elemento de ângulo”, definida em U = R2 − {0}, que apresentaremos a seguir. Ela provém da tentativa de definir uma fun¸cão θ : U → R tal que, em cada ponto (x, y) ∈ U , θ(x, y) seja uma determina¸cão, em radianos, do ângulo que o eixo das abcissas forma com o raio que liga a origem ao ponto (x, y). (x, y)

y

2

2 +

y

x

θ(x, y)

x

Consideremos inicialmente um aberto qualquer V ⊂ R2 − {0}. Uma fun¸cão θ : V → R chama-se uma fun¸ca õ-ˆ angulo quando, em cada ponto (x, y) ∈ V , o seu valor θ = θ(x, y) cumpre as seguintes condi¸cões: x y cos θ = p , sen θ = p · 2 2 2 x +y x + y2

Da´ı resulta, naturalmente, tg θ = y/x se x 6= 0 e cotg θ = x/y se y 6= 0. Ora, não existe uma fun¸cão-ângulo cont´ınua θ : U → R, definida em todo o aberto U = R2 − {0}. Na verdade, basta que um aberto V contenha um c´ırculo C, com centro na origem, para que não exista uma fun¸cão-ângulo cont´ınua θ : V → R. Com efeito, sendo r o raio do c´ırculo C, para cada ponto (x, y) ∈ C ter´ıamos (x, y) = (r · cos θ(x, y), r · sen θ(x, y)). Da´ı resultaria que a restri¸cão θ : C → R seria injetiva, o que é absurdo. (Nenhuma fun¸cão real f , cont´ınua num c´ırculo C, pode ser injetiva pois se f (p) = a e f (q) = b s˜ ao respectivamente o valor m´ınimo e o valor m´ aximo de f no compacto C, os dois arcos de c´ırculo com extremidades p e q se aplicam ambos por f sobre o intervalo [a, b].)

194

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

Mas, para toda semi-reta fechada ρ ⊂ R2 , partindo da origem, pondo Vρ = R2 − ρ, mostraremos que existe uma fun¸cão-ângulo cont´ınua θ : Vρ → R. Com efeito, seja p = (cos a, sen a) o ponto onde a semi-reta ρ intersecta o c´ırculo unit´ ario S 1 . Sabemos (veja Exemplo G, §8, Cap´ıtulo I) que ξ : (a, a + 2π) → S 1 − {p}, definida por ξ(t) = (cos t, sen t), é um homeomorfismo. Então definimos uma fun¸cão-ângulo θ : Vρ → R pondo z θ(z) = ξ −1 para todo z = (x, y) ∈ R2 − ρ. |z| Podemos então concluir que, embora não exista uma fun¸cão-ângulo cont´ınua θ : R2 − {0} → R, definida globalmente em R2 − {0}, ela existe localmente, isto é, todo ponto z ∈ R2 − {0} pertence a um aberto no qual se pode definir uma fun¸cão-ângulo cont´ınua. Convém observar que toda fun¸cão-ângulo cont´ınua θ : V → R é, de fato, uma fun¸cão C ∞ . Mais geralmente, se f : V → R é cont´ınua no aberto V ⊂ Rn e as fun¸cões α, β : V → R definidas por α(x) = cos f (x), β(x) = sen f (x), s˜ ao diferenci´ aveis (respect. de classe C k ) então f é diferenci´ avel (respect. de classe C k ). Com efeito, para todo x ∈ V , pelo menos uma das fun¸cões cos ou sen tem derivada 6= 0 no ponto f (x). Então, digamos, cos é um difeomorfismo C ∞ de um intervalo aberto I, de centro f (x), sobre um intervalo aberto J. Seja ϕ : J → I o inverso de cos. Como f é cont´ınua, existe um disco aberto W , de centro x, tal que f (W ) ⊂ I. Em W , temos ϕ ◦ (cos ◦ f ) = f . Como α = cos ◦f é diferenci´ avel (respect. de classe C k ) e ϕ ∈ C ∞ , segue-se que f é diferenci´ avel (respect. de classe C k ). No caso presente, ão-ângulo cont´ınua, teremos p se θ : V → R for uma fun¸cp 2 2 cos θ(x, y) = x/ x + y e sen θ(x, y) = y/ x2 + y 2 , ambas fun¸cões de classe C ∞ em V . Então θ ∈ C ∞ . Resulta imediatamente da defini¸cão que se θ : V → R é uma fun¸cãoângulo e ϕ : V → R é uma fun¸cão cont´ınua tal que, para cada z ∈ V , existe um inteiro k = kz , com θ(z) − ϕ(z) = 2kπ, então ϕ também é uma fun¸cão-ângulo. Vale a seguinte rec´ıproca: Duas fun¸cões-ˆ angulo cont´ınuas θ1 , θ2 : V → R, definidas num aberto 2 conexo V ⊂ R − {0}, diferem por um m´ ultiplo inteiro, constante, de 2π. Com efeito, como θ1 (x, y) e θ2 (x, y) têm o mesmo seno e o mesmo cosseno, existe, para cada (x, y) ∈ V um inteiro k(x, y) tal que θ2 (x, y) = θ1 (x, y)+2k(x, y)π. Sendo V conexo, a fun¸cão cont´ınua inteira k(x, y) = 1 [θ2 (x, y) − θ1 (x, y)] é constante. 2π

[SEC. 1: FORMAS DIFERENCIAIS DE GRAU 1

195

Podemos resumir a discuss˜ ao acima com o Teorema 1. Seja U = R2 − {0}. Ent˜ ao: 1o¯ ) N˜ ao existe fun¸ca õ-ˆ angulo cont´ınua θ : U → R; 2o¯ ) Todo ponto z ∈ U pertence a um conjunto aberto V no qual se pode definir uma fun¸ca õ-ˆ angulo cont´ınua θ : V → R; 3o¯ ) Toda fun¸ca õ-ˆ angulo cont´ınua é de classe C ∞ ; ao fun¸co ˜es-ˆ angulo cont´ınuas, 4o¯ ) Se V é conexo e θ1 , θ2 : V → R s˜ existe k ∈ Z tal que θ2 (z) − θ1 (z) = 2kπ para todo z ∈ V . Em particular, se θ1 , θ2 s˜ ao fun¸cões-ˆ angulo cont´ınuas, definidas num aberto conexo V , temos dθ1 = dθ2 . Assim, embora não exista θ : U → R, é como se existisse a diferencial dθ : U → (R2 )∗ ! Como dθ não é, na realidade, a diferencial de uma fun¸cão globalmente definida em U = R2 − {0}, usaremos o s´ımbolo δθ para representá-la. Mais precisamente, definiremos a 1-forma δθ : U → (R2 )∗ , de classe C ∞ em U = R2 − {0}, a qual chamaremos elemento de a ˆngulo, pondo, para cada (x, y) ∈ U , δθ(x, y) =

−y x dx + 2 dy. x2 + y 2 x + y2

Teorema 2. Se existe uma fun¸ca õ-ˆ angulo cont´ınua (e portanto, C ∞ ) θ : V → R, definida no aberto V ⊂ R2 − {0}, ent˜ ao sua diferencial coincide, em V , com a forma δθ. Reciprocamente, se a forma δθ é, no aberto conexo V ⊂ R2 − {0}, a diferencial de alguma fun¸ca õ f : V → R ent˜ ao, para uma constante conveniente c, a fun¸ca õ θ(x, y) = f (x, y) − c é uma fun¸ca õ-ˆ angulo cont´ınua em V . p Demonstra¸ c˜ ao: Para cada z=(x, y)∈ V , temos sen θ(z)=y/ x2 +y 2 . Derivando ambos os membros desta igualdade em rela¸cão a x, vem: cos θ(z)·

−xy ∂θ p (z) = , donde 2 ∂x (x + y 2 ) x2 + y 2 −y ∂θ (z) = 2 , se x 6= 0. ∂x x + y2

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

196

p De modo an´ alogo, derivando a igualdade cos θ(z) = x/ x2 + y 2 em rela¸cão a y, obtemos ∂θ/∂y = x/(x2 + y 2 ) nos pontos em que y 6= 0. Da´ı concluimos que dθ(x, y) =

−y x dx + 2 dy 2 +y x + y2

x2

nos pontos (x, y) ∈ V tais que x 6= 0 e y 6= 0. Como dθ é cont´ınua e esses pontos formam um conjunto denso em V , por passagem ao limite, segue-se que dθ tem a expressão acima, ou seja, coincide com δθ em todos os pontos de V . Vα0

Vα1

Vα2

Vα3

Para demonstrar a rec´ıproca, escrevamos V = ∪ Vα , onde cada Vα é uma bola aberta, na qual está definida uma fun¸cão-ângulo cont´ınua α : Vα → R. Em qualquer bola Vα , como acabamos de mostrar, temos dα = δθ = df , logo f − α é constante em Vα . Escolhamos um ´ındice α0 ; seja c ∈ R tal que f (z) − α0 (z) = c para todo z ∈ Vα0 . Afirmamos que a fun¸cão θ : V → R, definida por θ(z) = f (z) − c, é uma fun¸cão-ângulo. Para provar isto, mostraremos que, para todo ´ındice α, existe um inteiro kα tal que θ(z) − α(z) = 2kα π seja qual for z ∈ Vα . Com efeito, se Vα1 ∩ Vα2 6= ∅, existe k12 ∈ Z com α1 (z) − α2 (z) = 2k12 π para todo z ∈ Vα1 ∩ Vα2 . Dado α arbitr´ ario, como V é conexo, existem α1 , . . . , αp = α tais que Vαj−1 ∩ Vαj 6= ∅ para j = 1, . . . , p. Então θ(z) − α1 (z) = α0 (z) − α1 (z) = 2k01 π se z ∈ Vα0 ∩ Vα1 . Como θ − α1 é constante em Vα1 , temos θ(z)−α1 (z) = 2k01 π para todo z ∈ Vα1 . Analogamente, para todo z ∈ Vα1 ∩Vα2 , temos θ(z)−α2 (z) = α1 (z)−α2 (z)+2k01 π = 2k12 π+ 2k01 π = 2(k01 + k12 )π. Novamente, como θ − α2 é constante em Vα2 , segue-se que θ(z) − α2 (z) = 2(k01 + k12 )π para todo z ∈ Vα2 . E assim por diante: chegaremos a θ(z) − α(z) = θ(z) − αp (z) = 2kα π, para todo z ∈ Vα , onde kα = k01 + k12 + · · · + kp−1,p . Ora, todo ponto z = (x, y) ∈ V pertence a algum p Vα . Então cos θ(x, y) = cos(α(x, y) +p2kα π) = cos α(x, y) = x/ x2 + y 2 e, analogamente, sen θ(x, y) = y/ x2 + y 2 , como quer´ıamos demonstrar.

197

[SEC. 2: INTEGRAL DE STIELTJES

Observa¸ c˜ ao: Se o aberto V ⊂ R2 − {0} não é conexo mas existe uma fun¸cão f : V → R cuja diferencial coincide com a forma δθ, ainda assim existe uma fun¸cão-ângulo θ : V → R. A fun¸cão θ é definida, em cada componente conexa de V separadamente, subtraindo de f uma constante, (que não é a mesma em componentes distintas) conforme o teorema acima. O corolário seguinte resume o essencial do Teorema 2. Corol´ ario. A fim de que exista uma fun¸ca õ-ˆ angulo cont´ınua, definida 2 no aberto V ⊂ R − {0}, é necess´ ario e suficiente que a forma elemento de a ˆngulo seja, em V , a diferencial de uma fun¸ca õ.

2

Integral de Stieltjes

A integral de uma 1-forma ao longo de um caminho, que definiremos no par´ agrafo seguinte, é uma aplica¸cão da Integral de Stieltjes, da qual faremos agora uma r´ apida exposi¸cão. Sejam f, α : [a, b] → R duas fun¸cões reais definidas no intervalo compacto [a, b]. A cada parti¸cão pontilhada P ∗ = (P, ξ), P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b}, ti−1 ≤ ξi ≤ ti , do intervalo [a, b], associaremos a soma de Stieltjes Σ(f, α, P ∗ ) = Σ(P ∗ ), definida por Σ(P ∗ ) =

k X i=1

f (ξi )[α(ti ) − α(ti−1 )].

Definiremos a integral de Stieltjes de f relativamente a α pondo Z

b a

f (t) dα = lim Σ(P ∗ ). |P |→0

Bem entendido, o limite acima pode não existir. Caso exista, f diz-se integr´ avel ` a Stieltjes, relativamente a α. Lembremos o significado do limite. Em primeiro lugar, |P | = maior dos comprimentos ti − ti−1 chama-se a norma da parti¸cão P . A igualdade Racima significa que, dado arbitrab riamente ε > 0, existe δ > 0 tal que | a f (t) dα − Σ(P ∗ )| < ε, seja qual for a parti¸cão pontilhada P ∗ , com |P | < δ. Vale o

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

198

Crit´ erio de Cauchy. A fim de que exista lim Σ(P ∗ ) é necess´ ario |P |→0

e suficiente que, para todo ε > 0 dado, se possa obter δ > 0 tal que |Σ(P ∗ ) − Σ(Q∗ )| < ε, sejam quais forem as parti¸co ˜es pontilhadas P ∗ e ∗ Q , com |P | < δ e |Q| < δ.

Demonstra¸ c˜ ao: A necessidade é evidente. Para provar a suficiência, observemos que, sendo válida a condi¸cão, para toda seq¨ uência de parti¸cões pontilhadas Pn∗ , com lim |Pn | = 0, a seq¨ uência (Σ(Pn∗ )) é de n→∞ Cauchy, logo converge para um limite I ∈ R. Este limite I não depende da seq¨ uência (Pn∗ ) pois se tivéssemos lim Σ Q∗n = J, com lim |Qn | = 0 e n→∞

J 6= I, então a seq¨ uência (P1∗ , Q∗1 , P2∗ , Q∗2 , . . . ) originaria uma seq¨ uência divergente de somas de Stieltjes. Vê-se imediatamente que este n´ umero I é o limite procurado. Valem, para a integral de Stieltjes, as regras operatórias usuais, como: Z b Z b Z b (f + g) dα = f dα + g dα; a a a Z b Z b f dα; (c · f ) dα = c · a a Z b Z b Z c f dα. f dα = f dα + a

c

a

Rb Na u ´ltima igualdade acima, devemos supor, que a f dα existe. Então Rb Rc existem as integrais a f dα e c f dα, para todo c ∈ (a, b), e vale a igualdade. A este respeito, veja o Exerc´ıcio 2.3 adiante. Se tomarmos α(t) = t (fun¸cão identidade), a integral de Stieltjes Rb Rb f a integral de Riemann a f (t) dt. a (t) dα reduz-se ` Lembremos que uma fun¸cão α : [a, b] → R diz-se de varia¸ca õ limitada quando α é um caminho retific´ avel no espa¸co R1 . No caso afirmativo, o comprimento de α chamar-se-á a varia¸ca õ total de α, indicada pela nota¸cão V (α), em vez de ℓ(α). Assim, V (α) = sup Σ|α(ti ) − α(ti−1 )|, o P

supremo sendo estendido a todas as parti¸cões P do intervalo [a, b]. O teorema abaixo estabelece a condi¸cão suficiente usual para assegurar a existência da integral de Stieltjes. Teorema õ total limitada ent˜ ao R b 3. Se f é cont´ınua e α tem varia¸ca existe a f (t) dα.

199

[SEC. 2: INTEGRAL DE STIELTJES

Demonstra¸ c˜ ao: Usaremos o Critério de Cauchy para provar que existe ∗ lim Σ(P ). Seja, então, dado ε > 0. Pela continuidade uniforme de

|P |→0

f , existe δ > 0 tal que, para toda parti¸cão P de [a, b] com |P | < δ, a oscila¸cão de f em cada subintervalo de P é inferior a ε/2V (α). Sejam agora P ∗ e Q∗ duas parti¸cões pontilhadas quaisquer, com |P | < δ e |Q| < δ. Temos P ∗ = (P, ξ) e P = {t0 < t1 < · · · < tn }. Se (P ∪ Q)∗ = (P ∪ Q, ζ) é qualquer pontilhamento de P ∪ Q = {s0 < s1 < · · · < sm }, escrevamos j ⊂ i para indicar [sj−1 , sP ao para j ] ⊂ [ti−1 , ti ]. Ent˜ cada i = 1, . . . , n, temos α(ti ) − α(ti−1 ) = [α(sj ) − α(sj−1 )], donde j⊂i P f (ξi )[α(sj ) − α(sj−1 )]. Logo f (ξi )[α(ti ) − α(ti−1 )] = j⊂i

Σ(P ∗ ) =

 n X X i=1

e Σ(P ∪ Q)∗ =

m P

j=1



j⊂i

  f (ξi )[α(sj ) − α(sj−1 )] 

f (ζj )[α(sj ) − α(sj−1 )]. Portanto:

Σ(P ∗ ) − Σ(P ∪ Q)∗ =

 X X i



j⊂i

  [f (ξi ) − f (ζj )][α(sj ) − α(sj−1 )] . 

Mas, como |P | < δ, j ⊂ i ⇒ |f (ξi ) − f (ζj )| < ε/2 · V (α). Assim X ε ε |Σ(P ∗ ) − Σ(P ∪ Q)∗ | < |α(sj ) − α(sj−1 )| ≤ · 2 · V (α) 2 j

|Σ(Q∗ )

Analogamente, |Q| < δ ⇒ − Σ(P ∪ Q)∗ | < ε/2. Logo |P | < δ, |Q| < δ ⇒ |Σ(P ∗ ) − Σ(Q∗ )| < ε. Cumpre-se o Critério de Cauchy, Rb portanto existe lim Σ(P ∗ ) = a f (t) dα. |P |→0

Em seguida mostraremos que, nos casos mais comuns, a integral de Stieltjes se reduz a uma integral de Riemann, substituindo-se dα por α′ (t)dt. Teorema 4. Se f é cont´ınua e α é de classe C 1 em [a, b] ent˜ ao Rb Rb ′ a f (t) dα = a f (t)α (t) dt.

Demonstra¸ c˜ ao: Para toda parti¸cão pontilhada P ∗ = (P, ξ) temos, em virtude do Teorema do Valor Médio: X X Σ(P ∗ ) = f (ξi )[α(ti ) − α(ti−1 )] = f (ξi )α′ (ηi )(ti − ti−1 ), i

i

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

200

onde ti−1 < ηi < ti para todo i. Logo X Σ(P ∗ ) = f (ξi )α′ (ξi )(ti − ti−1 )+ i

+

X i

f (ξi )[α′ (ηi ) − α′ (ξi )](ti − ti−1 ).

Seja M = sup{|f (t)|; a ≤ t ≤ b}. Pela continuidade uniforme de para qualquer ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal Pque |P | < δ ⇒ |α′ (ηi ) − α′ (ξi )| < ε/M (b − a). Então |P | < δ ⇒ f (ξi )[α′ (ηi ) − i ´ltimo α′ (ξi )](ti − ti−1 ) < ε. Isto quer dizer que, quando |P | → 0, o u somatório da igualdade (*) tem limite zero. Portanto Z b f (t)dα = lim Σ(P ∗ ) = lim Σf (ξi )α′ (ξi )(ti − ti−1 ) =

α′ ,

|P |→0

a

|P |→0

=

Z

b

f (t)α′ (t)dt.

a

Uma majora¸cão u ´til para a integral de Stieltjes é a seguinte: Teorema 5. Se f : [a, b] → R é cont´ınua e α : [a, b] → R é de varia¸ca õ limitada ent˜ ao Z b f (t) dα ≤ M · V a

onde M = sup{|f (t)|; a ≤ t ≤ b} e V é a varia¸ca õ total de α. Demonstra¸ c˜ ao: Para toda parti¸cão pontilhada P ∗ = (P, ξ) de [a, b] temos |Σ(P ∗ )| ≤ Σ|f (ξi )| |α(ti ) − α(ti−1 )| ≤ M · Σ|α(ti ) − α(ti−1 )| ≤ M · V. Z b f (t) dα = lim |Σ(P ∗ )| ≤ M · V . logo |P |→0

a

Concluimos nosso resumo com a proposi¸cão abaixo.

Mudan¸ ca de Vari´ avel na Integral de Stieltjes. Sejam f : [c, d] → R cont´ınua, α : [c, d] → R de varia¸ca õ limitada e ϕ : [a, b] → [c, d] um homeomorfismo. Ent˜ ao Z b Z d f ϕ(s)d(αϕ) se ϕ é crescente, ou f (t) dα = a c Z b Z d f ϕ(s)d(αϕ) se ϕ é decrescente. f (t) dα = − c

a

[SEC. 3: INTEGRAL DE UMA FORMA AO LONGO DE UM CAMINHO

201

Observa¸ c˜ ao: f ϕ = f ◦ ϕ e αϕ = α ◦ ϕ.

Demonstra¸ c˜ ao: Seja ϕ crescente. Então P = {s0 < s1 < · · · < sk } ⊂ [a, b] é uma parti¸cão se, e somente se, pondo ti = ϕ(si ), ϕP = {t0 < · · · < tk } ⊂ [c, d] é também uma parti¸cão. P ∗ = (P, ξ) é uma parti¸cão pontilhada de [a, b] se, e somente se, ϕP ∗ = (ϕP, ϕξ), com ϕξ = ´ claro que Σ(f, α, ϕP ∗ ) = (ϕ(ξi )), é uma parti¸cão pontilhada de [c, d]. E Σ(f ϕ, αϕ, P ∗ ) e que |ϕP | → 0 se, e somente se, |P | → 0. Da´ı resulta a primeira afirma¸cão do teorema. No caso de ϕ ser decrescente, dada a parti¸cão P = {s0 < s1 < · · · < sk } de [a, b], pomos ti = ϕ(sk−i ) e obtemos uma parti¸cão ϕP ¯ = {t0 < · · · < tk }. Se os n´ umeros ξi pontilham P , pontilharemos ϕP ¯ com os n´ umeros ϕξ ¯ i = ϕ(ξk−i ). Vemos que Σ(f, α, ϕP ¯ ∗ ) = −Σ(f ϕ, αϕ, P ∗ ). Segue-se a segunda afirma¸cão do teorema. Observa¸ c˜ ao: A fórmula an´ aloga para integral de Riemann foi enunciada no Volume 1 como Z b Z b Z ϕ(b) ′ f ϕ(s) dϕ. f ϕ(s) · ϕ (s) ds = f (t) dt = a

a

ϕ(a)

O sinal menos, no caso de ϕ ser decrescente, não aparece explicitamente a´ı mas acha-se oculto nos limites de integra¸cão, ϕ(a) e ϕ(b), da primeira integral. Sendo ϕ decrescente, tem-se ϕ(a) = d e ϕ(b) = c, donde Z

3

ϕ(b) ϕ(a)

f (t) dt = −

Z

d

f (t) dt. c

Integral de uma forma ao longo de um caminho Sejam ω =

n P

i=1

ai dxi uma 1-forma definida num conjunto X ⊂ Rn

e λ : [a, b] → X um caminho em Rn , cujos valores λ(t) pertencem ao conjunto X. R Definiremos a integral λ ω, da forma ω ao longo do caminho λ, como o limite Z k X ω = lim ω(λ(ξj )) · [λ(tj ) − λ(tj−1 )], λ

|P |→0

j=1

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

202

onde P ∗ = (P, ξ) é uma parti¸cão pontilhada de [a, b], com P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b} e tj−1 ≤ ξj ≤ tj para cada j = 1, . . . , k. Quando a forma ω (ou seja, cada fun¸cão ai ) é cont´ınua e o caminho λ é cont´ınuo e retific´ avel (isto é, cada fun¸cão coordenada xi é cont´ınua e de varia¸cão limitada), o limite acima existe. Rb Com efeito, neste caso as integrais de Stieltjes a ai (λ(t)) dxi existem, para i = 1, . . . , n. Como ω(λ(ξj )) · [λ(tj ) − λ(tj−1 )] = temos então

Z

ω=

λ

n Z X i=1

n X i=1

ai (λ(ξj ))[xi (tj ) − xi (tj−1 )],

b

ai (λ(t)) dxi . a

com a integral de Stieltjes na reta, escreve-se também R Por Ranalogia b ω(λ(t)) · dλ. ω = a λ Quando o caminho λ é de classe C 1 , o Teorema 4 nos dá: Z b Z n Z b X ′ ω(λ(t)) · λ′ (t) dt. ai (λ(t))xi (t) dt = ω= λ

i=1

a

a

R

Isto reduz a integral curvil´ınea λ ω à integral de Riemann da fun¸cão t 7→ ω(λ(t)) · λ′ (t), definida no intervalo [a, b]. Para caminhos de classe C 1 , as igualdades acima podem servir como R defini¸cão de λ ω mas, assim procedendo, perde-se o significado intuitivo da defini¸cão que demos. Convém salientar, por outro lado, que a fórmula Z b Z ω(λ(t)) · λ′ (t) dt ω= λ

a

é extremamente u ´til para os cálculos. Na apresenta¸cão que faremos da teoria das integrais curvil´ıneas, a classe de caminhos mais conveniente é a dos caminhos C 1 por partes, ou seccionalmente C 1 . Esses caminhos s˜ ao retific´ aveis. O caminho λ : [a, b] → Rn é de classe C 1 por partes quando existe uma parti¸cão P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b} do intervalo [a, b] tal que cada restri¸cão λj = λ|[tj−1 , tj ], 1 ≤ j ≤ k, é de classe C 1 . Então Z b Z X Z tj XZ ω(λ(t)) · dλ = ω= ω(λj (t)) · dλj = ω λ

a

j

tj−1

j

λj

[SEC. 3: INTEGRAL DE UMA FORMA AO LONGO DE UM CAMINHO

203

R R tj onde, para cada j = 1, . . . , k, λj ω = tj−1 ω(λj (t)) · λ′j (t) dt. R A integral λ ω é invariante por mudan¸cas de parˆ ametro que mantenham o sentido de percurso do caminho λ. Por outro lado, R uma reparametriza¸cão que inverta o sentido de λ troca o sinal de λ ω. Este é o conte´ udo do Teorema 6. Sejam ω uma 1-forma cont´ınua num conjunto X ⊂ Rn , λ : [c, d] → X um caminho cont´ınuo retific´ avel em X e ϕ : [a, b] → [c, d] um homeomorfismo. Se ϕ for crescente (isto é, ϕ(a) = c, ϕ(b) R R R = d) ent˜ ao λ ω = λ◦ϕ ω. Se, porém, ϕ for decrescente, ent˜ ao λ◦ϕ ω = R − λ ω. Demonstra¸ c˜ ao: Conseq¨ uência imediata do teorema de mudan¸ca de variável na integral de Stieltjes. Quando o caminho λ é de classe C 1 a demonstra¸cão abaixo, que usa apenas a mudan¸ca de variável cl´ assica na integral de Riemann (Volume 1, pág. 326), vale para uma fun¸cão ϕ ∈ C 1 , mesmo que não seja monótona.

Teorema 6a. Sejam ω uma 1-forma cont´ınua num conjunto X ⊂ Rn , λ : [c, d] → X um caminho de classe C 1 em X e ϕ : R[a, b] →R [c, d] uma fun¸ca õ de classe C 1 . Se ϕ(a) = c e ϕ(b) = d ent˜ ao λ ω = λ◦ϕ ω. Se, R R porém, ϕ(a) = d e ϕ(b) = c ent˜ ao λ◦ϕ ω = − λ ω. Demonstra¸ c˜ ao: Quando ϕ(a) = c e ϕ(b) = d, a fórmula clássica de mudan¸ca de variáveis na integral de Riemann dá Z

ω= λ

Z

d

Z

b

ω(λϕ(s)) · λ′ (ϕ(s))ϕ′ (s) ds = ω(λ(t)) · λ (t) dt = a c Z Z b ′ ω. ω(λϕ(s)) · (λϕ) (s) ds = = ′

λ◦ϕ

a

Analogamente, se c = ϕ(b) e d = ϕ(a), pela mesma fórmula: Z

λ

Z

d

Z

a

ω ◦ (λ ◦ ϕ) · (λ ◦ ϕ)′ ds = (ω ◦ λ) · λ dt = b c Z Z b ω. ω ◦ (λ ◦ ϕ) · (λ ◦ ϕ)′ ds = − =−

ω=

′

a

λ◦ϕ

Teorema 7. Sejam ω uma 1-forma cont´ınua no conjunto X ⊂ Rn e λ : [a, b] → X um caminho cont´ınuo retific´ avel em X, de comprimento

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

204

L. Se |ω(λ(t))| ≤ M para todo t ∈ [a, b] ent˜ ao Z ω ≤ M · L. λ

Demonstra¸ c˜ ao: Para cada t ∈ [a, b] e cada vetor v ∈ Rn , temos |ω(λ(t)) · v| ≤ M · |v|. Portanto, dada qualquer parti¸cão pontilhada P ∗ = (P, ξ) de [a, b], com P = {t0 , . . . , tk } e tj−1 ≤ ξj ≤ tj , vale |Σ(P ∗ )| ≤

X j

≤M·

|ω(λ(ξj )) · [λ(tj ) − λ(tj−1 )]| ≤ X j

|λ(tj ) − λ(tj−1 )| ≤ M · L.

Observa¸ c˜ ao: |ω(x)| é a norma do funcional linear ω(x) = Σai (x)dxi , ou seja |ω(x)| = sup{|ω(x) · v|;pv ∈ Rn , |v| = 1}. Quando se toma em Rn a norma euclidiana, |ω(x)| = Σai (x)2 . Se usarmos em Rn a norma do m´ aximo, teremos |ω(x)| = Σ|ai (x)|. Quando a norma adotada em Rn é a da soma, tem-se |ω(x)| = max{|ai (x)|; i = 1, . . . , n}. (Veja a tabela no final do Cap´ıtulo I.) Justificando o nome adotado, mostraremos no teorema abaixo que a integral da forma elemento de ângulo δθ ao longo de um caminho λ : [a, b] → R2 − {0}, de classe C 1 por partes, é a “varia¸cão l´ıquida”do ângulo que λ(t) faz com o eixo das abcissas quando t varia de a até b. Por “varia¸cão l´ıquida”, entendemos a varia¸cão positiva menos a varia¸cão negativa. O significado preciso desta terminologia é fornecido pelo Teorema 8. Dado um caminho λ : [a, b] → R2 − {0}, de classe C 1 por partes, sejam α : [a, b] → R uma fun¸ca õ de classe C 1 por partes tal que λ(t) = |λ(t)| · (cos α(t), sen α(t)) para todo t ∈ [a, b]. (Veja o Corolário 2 do Teorema 11, Cap´ıtulo II.) Ent˜ ao Z δθ = α(b) − α(a). λ

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que λ(t) = (x(t), y(t)) seja de classe C 1 em todo o intervalo [a, b]. O mesmo ocorre com α. Temos Z

δθ = λ

Z

b a

−yx′ + xy ′ dt. x2 + y 2

˜ DE CAMINHOS: CAMINHO INVERSO [SEC. 4: JUSTAPOSIC ¸ AO

205

Como x = ρ cos α e y = ρ sen α, onde ρ = ρ(t) = |λ(t)|, um cálculo elementar fornece (−yx′ + xy ′ )/(x2 + y 2 ) = α′ , logo Z

δθ =

λ

Z

b

a

α′ (t) dt = α(b) − α(a).

No caso geral, temos uma parti¸cão P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b} tal que, para cada j = 1, . . . , k, as restri¸cões λj = λ|[tj−1 , tj ] e α|[tj−1 , tj ] s˜ ao de classe C 1 . Então Z

λ

δθ =

k Z X j=1

λj

δθ =

k X j=1

[α(tj ) − α(tj−1 )] = α(b) − α(a).

Corol´ ario. Se o caminho λ : [a, b] → R2 − {0}, C 1 por partes, é fechado (isto é, λ(a) = λ(b)) ent˜ ao o n´ umero Z Z 1 1 −y dx + x dy δθ = 2π λ 2π λ x2 + y 2 é um inteiro (positivo, negativo ou zero). Com efeito, sendo λ(a) = λ(b), temos cos α(a) = cos α(b) e sen Z α(a) = 1 sen α(b), logo α(b)−α(a) é um m´ ultiplo inteiro de 2π, portanto δθ = 2π λ α(b) − α(a) é um n´ umero inteiro. 2π Quando λ : [a, b] → R2 − {0}Z é um caminho fechado, de classe C 1 1 por partes, o n´ umero inteiro δθ chama-se o n´ umero de voltas que 2π λ o caminho λ descreve em torno da origem 0 ∈ R2 , quando t varia de a até b.

4

Justaposi¸c˜ ao de caminhos: caminho inverso

Dado um caminho λ : [a, b] → Rn , escrevemos λ = λ1 +λ2 , e dizemos que λ é obtido por justaposi¸ca õ de λ1 e λ2 quando, para algum c ∈ [a, b], tem-se λ1 = λ|[a, c] e λ2 = λ|[c, b]. De acordo com esta defini¸cão, para que tenha sentido a justaposi¸cão λ1 + λ2 , é necessário (e suficiente) que os intervalos de defini¸cão de λ1 e λ2 tenham um ponto c em comum, sendo além disso λ1 (c) = λ2 (c). A

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

206

ordem das “parcelas”em λ1 + λ2 é importante: o ponto c é o u ´ltimo no dom´ınio de λ1 e o primeiro no dom´ınio de λ2 . Analogamente, dado λ : [a, b] → Rn , se P = {t0 , . . . , tk } é uma parti¸cão de [a, b] e, para cada j = 1, . . . , k, λj = λ|[tj−1 , tj ], então λ = λ1 + · · · + λk , ou seja, λ é a justaposi¸cão dos caminhos λ1 , . . . , λk , nesta ordem. Se λ = λ1 + λ2 , então λ é retific´ avel se, e somente se, λ1 e λ2 s˜ ao retific´ aveis. Analogamente, λ é de classe C 1 por partes se, e somente se, λ1 e λ2 também o s˜ ao. Da´ı o interesse dos caminhos C 1 por partes: a justaposi¸cão de dois caminhos C 1 pode não ser C 1 . Na realidade, λ é C 1 por partes se, e somente se, λ = λ1 + · · · + λk , onde cada λj é de classe C 1 . Quando λ = λ1 + λ2 é cont´ınuo e retific´ avel, com valores no dom´ınio de uma forma cont´ınua ω, então Z

λ

ω=

Z

a

b

Z

c

ω(λ(t)) · dλ + Z Za ω. ω+ =

ω(λ(t)) · dλ =

λ1

Z

c

b

ω(λ(t)) · dλ =

λ2

Definiremos o inverso do caminho λ : [a, b] → Rn como o caminho −λ : [a, b] → Rn , dado por −λ(t) = λ(a + b − t). A fun¸cão ϕ : [a, b] → [a, b], ϕ(t) = a + b − t, sendo um homeomorfismo decrescente, segue-se do Teorema 6 que, para toda forma ω, cont´ınua num subconjunto de Rn que contenha a imagem do caminho cont´ınuo e retific´ avel λ, vale Z Z ω = − ω. −λ

λ

Evidentemente, λ cont´ınuo e retific´ avel, C 1 ou C 1 por partes implica que −λ goza da mesma propriedade. Vamos agora estender a defini¸cão de λ1 + λ2 , permitindo justapor dois caminhos λ1 : [a1 , b1 ] → Rn , λ2 : [a2 , b2 ] → Rn quando se tem apenas λ1 (b1 ) = λ2 (a2 ), sem que seja necessariamente b1 = a2 , como antes. Diremos que os caminhos λ : [c, d] → Rn e µ : [a, b] → Rn diferem por uma reparametriza¸ca õ direta, e escreveremos λ ≡ µ, quando existir um homeomorfismo crescente ϕ : [a, b] → [c, d] tal que µ = λ ◦ ϕ. A rela¸cão λ ≡ µ é reflexiva, simétrica e transitiva.

˜ DE CAMINHOS: CAMINHO INVERSO [SEC. 4: JUSTAPOSIC ¸ AO

207

R R Se λ e µ s˜ ao cont´ınuos retific´ aveis, então λ ≡ µ ⇒ λ ω = µ ω para toda forma cont´ınua num conjunto que contenha a imagem de λ (igual à imagem de µ). Quando µ = λ ◦ ϕ, onde ϕ : [a, b] → [c, d] é um homeomorfismo decrescente, então −λ ≡ µ. b2

b

λ2 (b2 )

λ2

ϕ2 a2

c

b1

λ1 (b1 ) = λ2 (a2 )

ϕ1

a

λ1 λ1 (a1 )

a1

Sejam agora λ1 : [a1 , b1 ] → Rn , λ2 : [a2 , b2 ] → Rn caminhos tais que λ1 (b1 ) = λ2 (a2 ). Obteremos caminhos µ1 ≡ λ1 e µ2 ≡ λ2 , para os quais faz sentido a justaposi¸cão λ = µ1 + µ2 . Basta tomar um intervalo [a, b], um ponto c, com a < c < b, homeomorfismos lineares crescentes ϕ1 : [a, c] → [a1 , b1 ], ϕ2 : [c, b] → [a2 , b2 ] e pôr µ1 = λ1 ◦ ϕ1 , µ2 = λ2 ◦ ϕ2 , λ = µ1 + µ2 . Convencionaremos escrever λ = λ1 +λ2 ainda neste caso, justificados pelo fato de valer a igualdade Z Z Z ω= ω+ ω λ

λ1

λ2

se ω é qualquer 1-forma cont´ınua num conjunto que contenha as imagens dos caminhos cont´ınuos retific´ aveis λ1 e λ2 . Novamente, se λ1 e λ2 s˜ ao cont´ınuos retific´ aveis, ou de classe C 1 por partes, o mesmo ocorre com λ = λ1 + λ2 . Em particular, como o ponto terminal do caminho λ coincide com o inicial de −λ, podemos formar o caminho justaposto λ + (−λ) e obtemos Z Z Z ω= ω+ ω=0 λ+(−λ)

λ

−λ

para toda 1-forma ω, cont´ınua num conjunto que contenha a imagem do caminho cont´ınuo retific´ avel λ.

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

208

Quando λ1 e λ2 s˜ ao caminhos cont´ınuos retific´ aveis fechados e tem sentido tomar λ1 +λ2 (o que significa que os quatro pontos extremos dos intervalos de defini¸cão de λ1 e λ2 s˜ ao transformados por esses caminhos num u ńico ponto de Rn ) então tem sentido também falar em λ2 + λ1 . Se λ1 6= λ2 então λ1 + λ2 6= λ2 + λ1 . Mas, para toda forma ω, cont´ınua num conjunto que contenha as imagens de λ1 e λ2 , vale Z Z Z Z Z Z ω= ω+ ω= ω+ ω= ω. λ1 +λ2

5

λ1

λ2

λ2

λ1

λ2 +λ1

Integral curvil´ınea de um campo de vetores e de uma fun¸c˜ ao

Além das formas diferenciais de grau 1, também os campos vetoriais podem ser integrados ao longo de caminhos, conforme descreveremos agora. Um campo de vetores F num subconjunto X ⊂ Rn é simplesmente uma aplica¸cão F : X → Rn . A terminologia se deve a exemplos f´ısicos como campo gravitacional, campo eletrostático, campo de velocidades de um fluido que escoa, etc. Sabemos que a cada vetor F ∈ Rn corresponde um funcional linear ωF ∈ (Rn )∗ tal que ωF · v = hF, vi para todo v ∈ Rn . Da´ı resulta que a todo campo de vetores F : X → Rn se pode fazer corresponder uma 1-forma ωF : X → (Rn )∗ tal que, para todo x ∈ X e todo v ∈ Rn , se tem ωF (x) · v = hF (x), vi. Se, para cada x ∈ X, tem-se F (x) = (a1 (x), . . . , an (x)) então ωF = n P ai dxi . i=1

Dado um campo de vetores cont´ınuo F : X → Rn , para todo caminho cont´ınuo retific´ avel λ : [a, b] → X se pode definir a integral de F ao longo de λ pondo: Z Z X F = ωF = lim hF (λ(ξj )), λ(tj ) − λ(tj−1 )i. λ

λ

|P |→0

j

Quando F é um campo de for¸cas, cada parcela do somatório acima é o “trabalho elementar”que uma for¸ca constante, igual a F (λ(ξj )) executaria ao longo do segmento de reta [λ(t R j−1 ), λ(tj )]. A passagem ao limite justifica que se interprete a integral λ F como o trabalho realizado pela for¸ca F ao longo do caminho λ.

[SEC. 6: FORMAS EXATAS E FORMAS FECHADAS

209

Se o caminho λ é de classe C 1 então Z Z b F = hF (λ(t)), λ′ (t)i dt. λ

a

Evidentemente, a integral de um campo de vetores ao longo de um caminho goza de propriedades inteiramente an´ alogas às da integral de uma 1-forma. Sejam agora f : X → R uma fun¸cão cont´ınua num conjunto X ⊂ Rn e λ : [a, b] → X um caminho cont´ınuo retific´ avel cuja imagem está contida em X. Definiremos a integral de f ao longo de λ pondo Z X f ds = lim f (λ(ξj )) · |λ(tj ) − λ(tj−1 )|. |P |→0

λ

j

Quando λ é de classe C 1 , temos Z b Z f (λ(t)) · |λ′ (t)| dt. f ds = λ

a

Se ϕ : [c, d] → [a, b] for um difeomorfismo Rcrescente Rde classe C 1 , isto é, ϕ′ (t) > 0 para todo t ∈ [c, d], então λ f ds = λ◦ϕ f ds. Do mesmo modo, quando for ϕ′ (t) < 0 para todo t ∈ [c, d] então ϕ(c) = b, ϕ(d) =R a e, como R resulta da fórmula de mudan¸ca de variáveis, temos ainda λ f ds = λ◦ϕ f ds. R Com este significado, diz-se que a integral λ f ds do senR independe R tido de percurso do caminho λ. (Ao contrário de λ ω e λ F , que s˜ ao integrais “orientadas”.) R Exemplos de grandezas f´ısicas expressas por uma integral do tipo ao: a massa de um fio cuja densidade f é conhecida em cada λ f ds s˜ um dos seus pontos, o momento de inércia do mesmo fio em torno de um eixo ou as coordenadas do vetor for¸ca gravitacional com que esse fio atrai um ponto de massa m0 .

6

Formas exatas e formas fechadas

Seja U ⊂ Rn um aberto. Uma forma diferencial ω : U → (Rn )∗ diz-se exata em U quando existe uma fun¸cão diferenci´ avel f : U → R tal que ω = df . Se ω = Σai dxi , isto significa que ai = ∂f /∂xi para i = 1, . . . , n.

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

210

A fun¸cão f : U → R, tal que df = ω, chama-se uma primitiva da forma ω. Se U é conexo, duas primitivas da mesma forma f diferem por uma constante. A forma ω = Σai dxi : U → (Rn )∗ é exata se, e somente se, o campo de vetores F = (a1 , . . . , an ) é o gradiente de uma fun¸cão f : U → R. Neste caso, a fun¸cão f chama-se o potencial do campo F . Note a importˆ ancia do dom´ınio U para o conceito de exatidão de uma forma. Para que ω seja chamada uma forma exata em U , a fun¸cão f da qual ela é diferencial deve estar definida em todo o conjunto U e a igualdade df (x) = ω(x) deve verificar-se para cada ponto x ∈ U . Por exemplo, vimos no §1 e resulta imediatamente do teorema abaixo que a forma δθ, elemento de ˆ angulo, não é exata em U = R2 − {0} mas, para toda semi-reta fechada ρ, partindo da origem, δθ é exata em Vρ = R2 −ρ. Teorema 9. Seja ω : U → (Rn )∗ uma 1-forma cont´ınua no aberto U ⊂ Rn . As seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes: 1. ω é exata em U ; R 2. A integral λ ω ao longo de um caminho λ : [a, b] → U , seccionalmente C 1 , depende apenas das extremidades λ(a) e λ(b); 1 3. Para R todo caminho fechado λ : [a, b] → U , seccionalmente C , temse λ ω = 0.

Demonstra¸ c˜ ao: Provemos que 1 ⇔ 2. Se ω = df então Z

λ

ω=

Z

a

b

′

df (λ(t)) · λ (t)dt =

Z

b a

(f ◦ λ)′ (t)dt = f (λ(b)) − f (λ(a))

para todo caminho λ : [a, b] → U , de classe C 1 . Da´ı resulta, por adiR tividade, que λ ω = f (λ(b)) − f (λ(a)) se λ é seccionalmente C 1 , logo R λ ω depende apenas das extremidades λ(a), λ(b) do caminho λ. Em seguida, provamos que 2 ⇒ 1. Suponhamos inicialmente que U seja conexo. Fixemos um ponto p ∈ U . Para cada x ∈ U , existe um caminho seccionalmente C 1 , λ : [a, b] → U , com λ(a) = p e λ(b) = x. A integral R otese, depende apenas de p e x, logo podemos a-la com Rλx ω, por hip´ R x indic´ cão f : U → R pondo f (x) = p ω. Afirmamos p ω e definir uma fun¸ ∂f que df = ω, isto é, se ω = Σai dxi então = ai para todo i = 1, . . . , n. ∂xi

211

[SEC. 6: FORMAS EXATAS E FORMAS FECHADAS

Com efeito, tomando sempre a derivada

d no ponto t = 0, temos: dt

∂f d d (x) = f (x + tei ) = [f (x + tei ) − f (x)] = ∂xi dt dt Z Z d x+tei d t ω(x + sei ) · ei ds, = ω= dt x dt 0 onde a u ´ltima igualdade se deve a termos ligado os pontos x e x + tei pelo caminho λ : [0, t] → U , λ(s) = x + sei , com λ′ (s) = ei para todo d s. Como ω(y) · ei = ai (y), continuando a tomar a derivada no ponto dt t = 0, temos: ∂f d (x) = ∂xi dt

Z

t

ai (x + sei )ds = ai (x).

0

No caso geral, basta observar que, para definir uma fun¸cão diferenci´ avel f : U → R, é suficiente defin´ı-la (independentemente) em cada componente conexa de U . A equivalência entre as afirma¸cões 2 e 3 é imediata, pois se λ e µ têm as mesmas extremidades então λ + (−µ) = λ − µ é um caminho fechado e, reciprocamente, todo caminho fechado v se escreve (de infinitas maneiras) sob a forma v = ao caminhos com as mesmas R λ − µ,R onde λRe µ s˜ R extremidades. Assim, λ ω = µ ω ⇔ λ−µ ω = 0 ⇔ v ω = 0. Como aplica¸cão do teorema acima, vemos, mais uma vez, que a forma elemento de ˆ angulo, δθ, não é exata em U = R2 −{0} pois λ : [0, 2π] → U , definido por λ(t) = (cos t, sen t), é um caminho fechado em U , tal que R λ δθ = 2π 6= 0. Abordaremos agora o problema de obter condi¸cões mediante as quais uma forma ω = Σai dxi : U → (Rn )∗ seja exata. Isto equivale a in∂f = ai dagar quando o sistema de equa¸cões diferenciais parciais ∂xi (i = 1, . . . , n) possui uma solu¸cão f : U → R. Uma condi¸cão necessária para a integrabilidade desse sistema resulta imediatamente do Teorema de Schwarz: se ω = Σai dxi é uma forma exata de classe C 1 então ∂aj ∂ai = para quaisquer i, j = 1, . . . , n. Com efeito, ω = df nos dá ∂xj ∂xi ∂aj ∂f ∂f ∂ai ∂ ∂ = = = , ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

212

pois f é, neste caso, de classe C 2 . Essa condi¸cão necessária não é suficiente para que a forma ω : U → (Rn )∗ seja exata. Com efeito, escrevendo o elemento de ângulo como x ∂a ∂b −y eb= 2 , temos = mas δθ = adx + bdy, com a = 2 2 2 x +y x +y ∂y ∂x δθ não é exata em U = R2 − {0}. Diremos que uma forma ω = Σai dxi , de classe C 1 , é fechada quando ∂aj ∂ai = · ∂xj ∂xi Toda forma exata de classe C 1 é fechada. A rec´ıproca é falsa (como se vê pelo elemento de ˆ angulo) e, de fato, não seria razo´ avel esperar que ela valesse, pois a propriedade de ser fechada, expressa em termos de derivadas, é apenas local. Convencionemos dizer que uma forma ω : U → (Rn )∗ é localmente exata quando todo ponto de U estiver contido num aberto, restrito ao qual ω é exata. Então vale o melhor poss´ıvel, que é o Teorema 10. Uma forma ω : U → (Rn )∗ , de classe C 1 , é fechada se, e somente se, é localmente exata. Demonstra¸ c˜ ao: Toda forma C 1 localmente exata é obviamente fechada. Basta então provar que se ω é fechada numa bola B então ω é exata em B. Para simplificar a nota¸cão, suporemos que ω = adx + bdy + cdz é fechada na bola B, de centro na origem em R3 . O caso geral se trata do mesmo modo. Nossa hip´ otese é que ∂a/∂y = ∂b/∂x, ∂a/∂z = ∂c/∂x e ∂b/∂z = ∂c/∂y. Definimos f : B → R pondo, para cada (x, y, z) ∈ B: f (x, y, z) = =

Z

1

[a(tx, ty, tz)x + b(tx, ty, tz)y + c(tx, ty, tz)z]dt =

Z0

ω,

λ

onde λ : [0, 1] → B é dado por λ(t) = (tx, ty, tz). Pela Regra de Leibniz (deriva¸cão sob o sinal de integral) temos Z 1 ∂f ∂a ∂b ∂c (x, y, z) = · tx + a + · ty + · tz dt, ∂x ∂x ∂x ∂x 0 onde acima (e no que se segue) as derivadas parciais de a, b e c s˜ ao tomadas no ponto (tx, ty, tz). Levando em conta que ∂b/∂x = ∂a/∂y e

[SEC. 6: FORMAS EXATAS E FORMAS FECHADAS

213

∂c/∂x = ∂a/∂z, vem Z 1 ∂a ∂a ∂a ∂f (x, y, z) = ·x+ ·y+ · z t + a dt = ∂x ∂x ∂y ∂z 0 Z 1 Z 1 = [(a ◦ λ)′ t + a]dt = [(a ◦ λ) · t]′ dt = a(x, y, z). 0

0

De modo an´ alogo se vê que ∂f /∂y = b(x, y, z) e ∂f /∂z = c(x, y, z), logo df = ω. Note que a hip´ otese de B ser uma bola intervém na demonstra¸cão acima para assegurar, quando 0 = (0, 0, 0) ∈ B e p = (x, y, z) ∈ B, que o segmento de reta [0, p] está contido em B. Isto seria óbvio se B fosse qualquer conjunto convexo. Assim toda forma fechada cujo dom´ınio é um aberto convexo no espa¸co Rn é uma forma exata. Exemplo 1. Vejamos um problema que se reduz a determinar se uma certa forma fechada é ou não exata. Seja u : U → R uma fun¸cão harmˆ onica num aberto U ⊂ R2 , isto é, uma fun¸cão de classe C 2 tal que ∂ 2 u/∂x2 + ∂ 2 u/∂y 2 = 0 identicamente em U . (Exemplos: u(x, y) = 1 x2 − y 2 ou u(x, y) = xy, com U = R2 , e u(x, y) = log(x2 + y 2 ), com 2 U = R2 − {0}.) Associemos a` fun¸cão u a forma ω : U → (R2 )∗ , dada por ∂u ∂u ω = − dx+ dy. A harmonicidade de U assegura que a forma ω é fe∂y ∂x chada. Ela será exata se, e somente se existir uma fun¸cão v : U → R, de classe C 1 (e portanto C 2 ) tal que ∂v/∂x = −∂u/∂y e ∂v/∂y = ∂u/∂x. Ora, estas s˜ ao as equa¸cões de Cauchy-Riemann, condi¸cões necessárias e suficientes para que seja holomorfa a fun¸cão complexa f : U → C, dada por f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (Veja Exemplo 6, Cap´ıtulo III.) Assim a forma fechada ω : U → (R2 )∗ é exata se, e somente se, a fun¸cão harmônica u é a parte real de uma fun¸cão holomorfa f = u + iv, definida no dom´ınio de u. Como toda forma fechada é localmente exata, segue-se que toda fun¸cão harmônica num aberto do plano é localmente a parte real de uma fun¸cão holomorfa. Globalmente, isto n˜ ao é necessariamente verdade, como veremos agora. No caso da fun¸cão u : R2 → R, u(x, y) = x2 − y 2 , obtemos a forma ω = 2ydx + 2xdy, que é exata: temos ω = dv, onde v(x, y) = 2xy. De fato, u é a parte real da fun¸cão holomorfa f : C → C, f (z) = z 2 . Por outro lado, tomando a fun¸cão 1 harmônica u : R2 − {0} → R, u(x, y) = log(x2 + y 2 ), obtemos a forma 2 ω = (x2 + y 2 )−1 (−ydx + xdy), ou seja, ω = δθ, logo ω não é exata em

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

214

1 log(x2 + y 2 ) não é a parte 2 real de nenhuma fun¸cão holomorfa em R2 − {0}. Mas se ρ é qualquer semi-reta fechada partindo da origem, sabemos que ω é exata em R2 − ρ, logo existe v : R2 − ρ → R tal que dv = ω; assim f = u + iv é holomorfa. [Em virtude do Teorema 2, subtraindo de v uma constante, se necessário, (o que não prejudicar´ a a propriedade dv = ω) podemos supor que v seja uma fun¸cão-ângulo em R2 − ρ. Então, para todo z = (x, y) ∈ / ρ, teremos R2 − {0}. Assim, a fun¸cão harmônica u =

p x2 + y 2 (cos v + i sen v) = ! y x p = z. +ip x2 + y 2 x2 + y 2

ef (z) = eu+iv = eu · eiv = =

p x2 + y 2

A identidade ef (z) = z significa que f : R2 − ρ → C é um “ramo do logaritmo”.] Exemplo 2. Ainda no contexto de variáveis complexas, seja f = a + ib uma fun¸cão holomorfa no aberto U ⊂ C. Por Cauchy-Riemann, as duas formas diferenciais ω = adx − bdy e ϕ = bdx + ady s˜ ao fechadas em U . Estas formas s˜ ao exatas em U se, e somente se, existem fun¸cões u, v : U → R (necessariamente de classe C 2 ) tais que ∂u/∂x = a, ∂u/∂y = −b, ∂v/∂x = b e ∂v/∂y = a. Então a fun¸cão complexa g = u + iv : U → C cumpre as equa¸cões de Cauchy-Riemann e tem-se g ′ = ∂u/∂x+i·∂v/∂x = a+ib = f , isto é, g é uma fun¸cão holomorfa cuja derivada é f . Assim, para que a fun¸cão holomorfa f = a + ib : U → C possua uma primitiva definida em U (ou seja, uma fun¸cão g : U → C tal que g ′ = f ) é necessário e suficiente que as duas formas diferenciais ω = adx − bdy e ϕ = bdx + ady sejam ambas exatas em U . Por exemplo, se tomarmos f : C − {0} → C , f (z) = 1/z, teremos f (z) = x/(x2 + y 2 ) − iy/(x2 + y 2 ), logo ω = (x2 + y 2 )−1 (xdx + ydy) e ϕ = δθ. A forma ω é exata em U = C − {0}; de fato ω = du, onde 1 u = log(x2 + y 2 ). Mas, como sabemos, ϕ = δθ não é exata em U , logo 2 f não possui primitiva em U . Os exemplos acima dão uma idéia da relevˆ ancia das formas diferenciais de grau 1 em An´ alise Complexa.

[SEC. 7: HOMOTOPIA

7

215

Homotopia

Temos em mente analisar mais a fundo a quest˜ ao de saber se uma forma ω : U → (Rn )∗ é exata. Já vimos que uma condi¸cão necessária, quando ω é de classe C 1 , é que seja fechada. Por isso nos restringiremos a formas de classe C 1 e indagaremos agora em que condi¸cões uma forma fechada ω é exata. A resposta vai depender não somente de ω mas da natureza topológica do seu dom´ınio U . Já temos uma indica¸cão disso: quando U ⊂ Rn é um subconjunto aberto e convexo do espa¸co Rn , então qualquer forma fechada ω : U → (Rn )∗ é exata. As propriedades topológicas de U que influem nessa questão s˜ ao as que dizem respeito ` a possibilidade de deformar um caminho em U continuamente. Elas s˜ ao tratadas na teoria da homotopia, da qual apresentaremos algumas no¸cões agora. Sejam λ, µ : [a, b] → X caminhos no conjunto X ⊂ Rn , com o mesmo dom´ınio [a, b] e com as mesmas extremidades, isto é, λ(a) = µ(a) e λ(b) = µ(b). Uma homotopia entre λ e µ é uma aplica¸cão cont´ınua H : [a, b] × I → X, onde I = [0, 1], tal que H(s, 0) = λ(s), H(s, 1) = µ(s), H(a, t) = λ(a) = µ(a) e H(b, t) = λ(b) = µ(b) para quaisquer s ∈ [a, b], t ∈ [0, 1]. Quando existe uma homotopia H entre λ e µ, dizemos que esses caminhos s˜ ao homot´ opicos e escrevemos H : λ ≃ µ ou, mais simplesmente λ ≃ µ. Intuitivamente, uma homotopia H : λ ≃ µ é uma deforma¸cão cont´ınua do caminho λ, dentro de X, que acontece numa unidade de tempo, come¸cando com λ (para t = 0) e terminando com µ (quando t = 1). Durante essa deforma¸cão, as extremidades λ(a) = µ(a) e λ(b) = µ(b) permanecem fixas. As vezes é conveniente imaginar a homotopia como uma “fam´ılia a um parˆ ametro”de caminhos Ht : [a, b] → X, onde Ht (s) = H(s, t), todos esses caminhos come¸cando no ponto λ(a) = µ(a) e terminando no ponto λ(b) = µ(b). Os caminhos Ht dependem continuamente do parˆ ametro t ∈ [0, 1], no sentido de que H : [a, b] × [0, 1] → X é cont´ınua. Quando o caminho λ é fechado, isto é, λ(a) = λ(b), chamaremos λ(a) o ponto b´ asico de λ. Todo caminho homotópico a λ é também fechado e toda homotopia mantém fixo o ponto básico, isto é, Ht (a) = Ht (b) =

216

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

λ(a) = λ(b), para todo t ∈ [0, 1]. Convém ressaltar que, ao escrevermos H : λ ≃ µ, fica subentendido um dado absolutamente essencial que é o conjunto X, dentro do qual a homotopia H : [a, b] × I → X tem lugar. Aumentando-se o conjunto X, dois caminhos que não eram homotópicos podem passar a ser, como veremos a seguir. A rela¸cão de homotopia é uma equivalência, ou seja, ela é: 1. Reflexiva: λ ≃ λ; 2. Simétrica: Se λ ≃ µ então µ ≃ λ; 3. Transitiva; Se λ ≃ µ e µ ≃ v então λ ≃ v. De fato, H : [a, b] × I → X, definida por H(s, t) = λ(s), é uma homotopia entre λ e λ. Além disso, se H : λ ≃ µ então K : [a, b] × I → X, definida por K(s, t) = H(s, 1 − t), é uma homotopia entre µ e λ. Finalmente, dadas H : λ ≃ µ e K : µ ≃ v, definimos L : [a, b] × I → X pondo L(s, t) = H(s, 2t) se 0 ≤ t ≤ 1/2 e L(s, t) = K(s, 2t − 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1. Então L é cont´ınua e é uma homotopia entre λ e v. Uma maneira bastante conveniente de construir homotopias decorre do Lema 1. Sejam λ, µ : [a, b] → X caminhos no conjunto X ⊂ Rn . Se λ e µ possuem as mesmas extremidades e, além disso, para cada s ∈ [a, b], o segmento de reta [λ(s), µ(s)] est´ a contido em X ent˜ ao λ e µ s˜ ao homot´ opicos. Definiremos, neste caso, uma homotopia H : λ ≃ µ pondo H(s, t) = (1 − t)λ(s) + tµ(s), com a ≤ s ≤ b, 0 ≤ t ≤ 1. Note que a homotopia H deforma λ em µ fazendo, para cada s ∈ [a, b], o ponto λ(s) deslizar, no tempo unit´ ario, com velocidade constante, ao longo do segmento de reta [λ(s), µ(s)]. Uma tal homotopia diz-se linear e os caminhos λ, µ dizem-se, então, linearmente homot´ opicos. n Por exemplo, se X ⊂ R é convexo, então dois caminhos quaisquer λ, µ : [a, b] → X, com as mesmas extremidades, s˜ ao linearmente homotópicos. Demonstraremos a seguir dois lemas que simplificarão bastante a prova do Teorema 11, um dos resultados principais deste cap´ıtulo. Um caminho λ diz-se poligonal quando se obtém por justaposi¸cão λ = λ1 + · · · + λk de caminhos retil´ıneos. Lema 2. Seja U ⊂ Rn aberto. Todo caminho λ : [a, b] → U é linearmente homot´ opico a um caminho poligonal.

217

[SEC. 7: HOMOTOPIA

Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema 29, Cap´ıtulo I, existe uma parti¸cão a = s0 < s1 < · · · < sk = b tal que, para cada i = 1, . . . , k, a imagem λ([si−1 , si ]) está contida numa bola aberta Bi ⊂ U , a qual contém também (por ser convexa) a imagem do caminho retil´ıneo µi : [si−1 , si ] → U , cujos extremos s˜ ao λ(si−1 ) e λ(si ). Como cada bola Bi é convexa, segue-se do Lema 1 que cada restri¸cão λ|[si−1 , si ] é linearmente homot´ opica a µi , logo λ é linearmente homotópico ao caminho poligonal µ = µ1 + · · · + µk : [a, b] → U . Continuaremos escrevendo I = [0, 1]. Seja H : [a, b] × I → X ⊂ Rn uma homotopia. Para cada s ∈ [a, b] e cada t ∈ I, indicaremos com H s : I → X e Ht : [a, b] → X, respectivamente, os caminhos definidos por H s (t) = H(s, t) e Ht (s) = H(s, t). Diremos que a homotopia H é poligonal quando, para cada s ∈ [a, b] e cada t ∈ I, o caminho “vertical”H s e o caminho “horizontal”Ht forem poligonais. Lema 3. Seja U ⊂ Rn um aberto. Se dois caminhos poligonais λ, µ : [a, b] → U s˜ ao homot´ opicos, ent˜ ao existe uma homotopia poligonal entre λ e µ. Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema 29, Cap´ıtulo I, existem parti¸cões P = {a = s0 < s1 < · · · < sk = b} e Q = {0 = t0 < t1 < · · · < tr = 1}, as quais determinam uma decomposi¸cão do retˆ angulo [a, b] × I em kr retˆ angulos justapostos Rij = [si−1 , si ] × [tj−1 , tj ], tais que a imagem H(Rij ) de cada um deles está contida numa bola Bij ⊂ U . Então, x, y ∈ H(Rij ) ⇒ [x, y] ⊂ U . Refinando a parti¸cão P , se necessário, podemos supor que, em cada um dos U 1

t3

H

R23

t2

H(R23 )

t1 0

a

s1

s2

b

segmentos [si−1 , si ] × 0 e [si−1 , si ] × 1, (i = 1, 2, . . . , k), H é retil´ıneo. Definiremos a homotopia poligonal K : [a, b] × I → U , entre λ e µ, pri-

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

218

meiro nos vértices (si , tj ) da decomposi¸cão retangular de [a, b]×I, pondo K(si , tj ) = H(si , tj ). Em seguida, definiremos K em cada retˆ angulo Rij da decomposi¸cão assim: por meio da diagonal que liga os vértices (si−1 , tj−1 ) e (si , tj ) do retˆ angulo Rij , (si−1 , tj )

(si , tj )

Tij Sij (si−1 , tj−1 )

(si , tj−1 )

dividimos este retˆ angulo em 2 triˆ angulos, chamando de Sij o inferior e de Tij o superior. A aplica¸cão K, já definida nos vértices de Rij , será estendida a todo esse retˆ angulo exigindo-se que ela seja afim em Tij e em Sij separadamente. Como uma aplica¸cão afim transforma segmentos de reta em segmentos de reta, a homotopia K será poligonal. ´ fácil ver Observa¸ c˜ ao: Seja T ⊂ R2 um triˆ angulo de vértices a, b, c. E que T é o conjunto dos pontos p ∈ R2 que se escrevem (de modo u ńico) sob a forma p = ua + vb + wc onde u, v, w ∈ [0, 1] e u + v + w = 1. [Os n´ umeros u, v, w s˜ ao chamados as “coordenadas baricêntricas”de p em T .] Uma aplica¸cão f : T → Rn diz-se afim quando, para p, q ∈ T e 0 ≤ t ≤ 1 quaisquer, tem-se f ((1 − t)p + tq) = (1 − t)f (p) + tf (q). Dados arbitrariamente os pontos A, B, C ∈ Rn , existe uma u ńica aplica¸cão n afim f : T → R tal que f (a) = A, f (b) = B, f (c) = C. Basta pôr f (ua + vb + wc) = uA + vB + wC. (Veja os detalhes no apêndice a este cap´ıtulo.) Corol´ ario. Se λ, µ : [a, b] → U s˜ ao caminhos de classe C 1 por partes, homot´ opicos no aberto U ⊂ Rn , ent˜ ao existe uma homotopia H : λ ≃ µ tal que, para cada s ∈ [a, b] e cada t ∈ I, os caminhos H s : I → U e Ht : [a, b] → U , definidos por H s (t) = H(s, t) e Ht (s) = H(s, t) s˜ ao de 1 classe C por partes. Com efeito, existem homotopias lineares λ ≃ λ1 e µ ≃ µ1 , onde λ1 e µ1 s˜ ao caminhos poligonais em U . Em seguida, existe uma homotopia poligonal λ1 ≃ µ1 . Compondo essas homotopias obtemos, por transitividade, uma homotopia H : λ = µ, com a propriedade requerida.

[SEC. 8: INTEGRAIS CURVILÍNEAS E HOMOTOPIA

8

219

Integrais curvil´ıneas e homotopia

Teorema 11. Seja ω uma 1-forma fechada num aberto U ⊂ Rn . Se λ, µ : [a, ao caminhos seccionalmente C 1 , homot´ opicos em U , R b] → RU s˜ ent˜ ao λ ω = µ ω. Demonstra¸ c˜ ao: Seja H : [a, b] × I → U uma homotopia entre λ e µ. Pelo Teorema 29, Cap´ıtulo I, existe uma decomposi¸cão do retˆ angulo [a, b] × I em kr retˆ angulos justapostos Rij = [si−1 , si ] × [tj−1 , tj ], com a = s0 < s1 < · · · < sk = b e 0 = t0 < t1 < · · · < tr = 1, tais que cada imagem H(Rij ) está contida numa bola Bij ⊂ U . Isto define os caminhos “horizontais”α0 , α1 , . . . , αr : [a, b] → U , onde αj (s) = H(s, tj ), logo α0 = λ e αr = µ; e os caminhos “verticais”β0 , β1 , . . . , βk : I → U , dados por βi (t) = H(si , t), resultando que β0 e βk s˜ ao constantes. Pelo corolário no fim do par´ agrafo anterior, podemos supor que os caminhos αj e βi s˜ ao todos seccionalmente C 1 . Devemos provar, sucessivamente, as igualdades Z Z Z Z Z Z ω= ω, ω= ω, . . . , ω= ω. λ

α1

α1

α2

αr−1

µ

Basta demonstrar a primeira delas; as demais s˜ ao an´ alogas. Temos λ = λ1 + · · · + λk , onde λi = λ|[si−1 , si ] e α1 = α11 + · · · + α1k , onde α1i = α1 |si−1 , si ]. Escrevamos ainda βi1 = βi |[0, t1 ], i = 0, 1, . . . , k. Assim, β01 e βk1 s˜ ao caminhos constantes.

α11

α12 β11

β01 λ1

λ2

α13 β21 λ3

α14 β31

β41

λ4

A forma fechada ω é exata em cada bola Bij , logo suas integrais ao longo de dois caminhos com as mesmas extremidades, contidos em Bij ,

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

220 s˜ ao iguais. Assim, Z Z ω=

ω=

ω+

β01

β01 +α11 −β11

λ1

Z

=

Z

α11

ω−

Z

α11

Z

ω−

Z

ω=

β11

ω,

β11

pois λ1 e β01 + α11 − β11 s˜ ao caminhos com as mesmas extremidades, contidos em B11 . Analogamente, Z Z Z Z ω= ω+ ω− ω, λ2

β11

α12

β21

...................................................

................................................... Z Z Z Z Z ω= ω+ ω− ω= λk

Da´ı,

Z

λ

ω=

βk−1,1

k Z X i=1

ω= λi

α1k

k Z X i=1

βk1

ω= α1i

Z

ω+ βk−1,1

Z

ω.

α1k

ω. Isto conclui a demonstra¸cão.

α1

Mostraremos agora que, quando se trata de caminhos fechados λ, µ : [a, b] → U ⊂ Rn , a validez do teorema acima não necessita que o ponto básico λ(a) = λ(b) = µ(a) = µ(b) permane¸ca fixo durante a deforma¸cão. Isto se faz mediante a no¸cão de homotopia livre entre caminhos fechados. Uma homotopia livre entre os caminhos fechados λ, µ : [a, b]→ X ⊂ Rn é uma aplica¸cão cont´ınua H : [a, b] × I → X tal que H(s, 0) = λ(s), H(s, 1) = µ(s) e H(a, t) = H(b, t) para quaisquer s ∈ [a, b] e t ∈ I. A u ´ltima igualdade significa que, para todo t ∈ I, o caminho Ht : [a, b] → X, definido por Ht (s) = H(s, t), é fechado. Diremos que os caminhos fechados λ, µ : [a, b] → X s˜ ao livremente homot´ opicos quando existir uma homotopia livre H entre λ e µ. Escreveremos então H : λ ≈ µ ou, simplesmente, λ ≈ µ. A rela¸cão λ ≈ µ é uma equivalência entre os caminhos fechados em X. O teorema a que nos referimos é o seguinte: Teorema 12. Seja ω uma forma fechada num aberto U ⊂ Rn . Se λ, µ : [a, b] → U s˜ ao caminhos fechados, seccionalmente C 1 , livremente R R homot´ opicos em U , ent˜ ao λ ω = µ ω. A demonstra¸cão é quase igual à do caso anterior, diferindo dela apenas porque, como H é uma homotopia livre, os caminhos “verticais”β0

[SEC. 8: INTEGRAIS CURVILÍNEAS E HOMOTOPIA

221

e βk não s˜ ao mais constantes. Em vez disso, como Ht é um caminho fechado para todo t, temos β0 = βk e portanto β01 R= βk1 . Isto R acarreta apenas uma mudan¸ca: no cálculo final, as parcelas β01 ω e − βk1 ω, em vez de serem ambas iguais a zero como no caso anterior, se cancelam na soma. A no¸cão de homotopia livre dá,R para caminhos fechados, uma geR neralidade bem maior ` a igualdade λ ω = µ ω para ω fechada e λ, µ homotópicas, pois agora os caminhos λ e µ nem sequer precisam ter pontos em comum. Por exemplo, dados r1 > 0 e r2 > 0 quaisquer, os c´ırculos de centro na origem e raios r1 e r2 , isto é, os caminhos λ1 , λ2: [0, 2π]→ R2 − {0}, λ1 (s) = (r1 cos s, r1 sen s), λ2 (s) = (r2 cos s, r2 sen s), s˜ ao livrementre homotópicos, pela homotopia linear H : [0, 2π]×I → R2 −{0}, H(s, t) = (1 − t) · λ1 (s) + t · Rλ2 (s). Segue-se da´ı que, para toda forma fechada ω R em R2 − {0}, vale λ1 ω = λ2 ω.

Corol´ ario. Seja λ : [a, b] → U um caminho fechado, seccionalmente C 1 , livremente homot´ opico a um caminho constante no aberto U ⊂ Rn . Para R n ∗ toda forma fechada ω : U → (R ) , tem-se λ ω = 0.

Se quisermos provar que um caminho fechado λ : [a, b] → U n˜ ao é livrementre homotópico a um caminho constante em U (fato que, em geral não é fácil de provar diretamente), basta obter uma 1-forma feR chada ω : U → (Rn )∗ tal que λ ω 6= 0. Por exemplo, o caminho fechado λ : [0, 2π] → R2 − {0}, dado por λ(t) = (cos t, sen t), não Ré livremente homotópico a um caminho constante em R2 − {0} porque λ δθ = 2π. Dizemos que um conjunto X ⊂ Rn é simplesmente conexo quando X é conexo por caminhos e, além disso, todo caminho fechado em X é livremente homotópico a um caminho constante. Por exemplo, todo conjunto convexo X ⊂ Rn é simplesmente conexo pois se λ : [a, b] → X é um caminho fechado então H : [a, b] × [0, 1] → X, dada por H(s, t) = (1 − t) · λ(s) + t · p, onde p = λ(a) = λ(b), é uma homotopia entre λ e o caminho constante p. Em particular, as bolas e os subespa¸cos vetoriais de Rn s˜ ao simplesmente conexos. 2 Por outro lado, R − {0} não é simplesmente conexo pois o c´ırculo λ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π é um caminho fechado em R2 − {0}, o qual não é livremente homotópico a um caminho constante. Observa¸ c˜ ao: Dois caminhos fechados contidos em X, com o mesmo ponto básico podem ser livremente homotópicos em X sem serem ho-

222

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

mot´ opicos em X (com ponto básico fixo). H´ a, porém, um caso particular importante em que homotopia livre implica homotopia com ponto básico fixo: se λ : [a, b] → X é um caminho fechado livremente homotópico a um caminho constante então λ é homotópico (com ponto básico fixo) a um caminho constante. (Para um estudo mais detalhado desta matéria, veja [10], pág. 47.) A defini¸cão usual de conjunto simplesmente conexo requer que todo caminho fechado seja homotópico (com ponto básico fixo) a um caminho constante. Adotamos uma defini¸cão equivalente, mais fácil de verificar. Teorema 13. Se o aberto U ⊂ Rn é simplesmente conexo ent˜ ao toda 1-forma fechada ω, em U é exata. 1 Com R efeito, para todo caminho fechado λ, seccionalmente C em U , temos λ ω = 0. (Veja Teorema 9.) Outra conseq¨ uência interessante do teorema da invariância por homotopiasR (Teorema 11) é que se a forma ω : U → (Rn )∗ é fechada, então a integral λ ω tem sentido para qualquer caminho cont´ınuo λ : [a, b] → U , mesmo que λ n˜ ao seja retific´ avel. Com efeito, dado λ, existe λ1 : [a, b] → U poligonal (e portanto retific´ avel) homotópico a λ (com extremidades fixas!). R R Poremos então, por defini¸cão, λ ω = λ1 ω. Como λ1 é cont´ınuo e retific´ avel, o segundo membro desta igualdade faz sentido. Sendo ω R fechada, o valor λ1 ω não depende de qual caminho poligonal λ1 , homot´ opico a λ , foi escolhido: se escolhˆ λ2 , ter´ıamos λ ≃ λ1 , R essemos R λ ≃ λ2 , donde λ1 ≃ λ2 e portanto λ1 ω = λ2 ω. Em particular se λ : [a, b] → R2 − {0} é qualquer caminho fechado (apenas cont´ınuo), podemos definir sem ambig¨ uidade o n´ umero R de voltas que λ percorre em torno da origem como n(λ) = (1/2π) λ δθ, pois a forma elemento de ˆ angulo δθ é fechada. Se λ e µ s˜ ao caminhos fechados, 2 livremente homotópicos em R − {0}, tem-se n(λ) = n(µ). Os critérios aqui obtidos a fim de que uma forma seja exata se traduzem, analogamente, em condi¸cões para que um campo de vetores F : U → Rn , definido num aberto U ⊂ Rn , seja um campo gradiente, isto é, que exista uma “fun¸cão potencial”f : U → R, tal que F (x) = grad f (x) para todo x ∈ U . Por exemplo, se o aberto U ⊂ Rn é simplesmente conexo, então o campo de vetores F = (a1 , . . . , an ) : U → Rn , de classe C 1 , é o gradiente de um potencial se, e somente se, ∂ai /∂xj = ∂aj /∂xi em todos os pontos de U , para quaisquer i, j ∈ [1, n].

[SEC. 8: INTEGRAIS CURVILÍNEAS E HOMOTOPIA

223

Dos fatos estabelecidos neste par´ agrafo resulta que se U ⊂ R2 é um aberto simplesmente conexo então: 1) Toda fun¸cão harmônica u : U → R é a parte real de uma fun¸cão holomorfa f : U → C; 2) Toda fun¸cão holomorfa f : U → C possui uma primitiva g : U → C; 3) Se o aberto simplesmente conexo U não contém a origem 0, então existe uma fun¸cão-ângulo cont´ınua θ : U → R. Estas conclusões resultam do Teorema 2 e dos Exemplos 1 e 2 acima. Como aplica¸cão de 2), tomemos um aberto simplesmente conexo U ⊂ R2 − {0}. A fun¸cão f : U → C, definida por f (z) = 1/z, tem uma primitiva g : U → C. A exponencial eg cumpre: (eg /z)′ = [g ′ · eg · z − eg ]/z 2 = [eg − eg ]/z 2 = 0. Logo eg /z é constante em U . Escrevendo essa constante sob a forma ec , c ∈ C, temos eg(z) = ec · z para todo z ∈ U . Então, pondo h(z) = g(z) − c, a fun¸cão h : U → C é holomorfa e tal que eh(z) = z para todo z ∈ U . Isto significa que h é um “ramo do logaritmo”, o qual portanto pode ser definido em qualquer aberto simplesmente conexo que não contenha a origem em R2 . Exemplo 3. Integra¸ca õ complexa. As integrais curvil´ıneas desempenham um papel fundamental na teoria das fun¸cões de uma variável complexa, como bem mostrou Cauchy. Dada uma fun¸cão cont´ınua f = u + iv : U → C, definida no aberto U ⊂ C, para R todo caminho cont´ınuo retific´ avel λ : [a, b] → U tem sentido a integral λ f (z)dz. Aqui, f (z)dz é uma forma diferencial complexa: f (z)dz = R (u + iv)(dxR+ idy) = udx − vdy R + i(vdx + udy). Então, por defini¸cão, λ f (z)dz = λ udx − vdy +i λ vdx+udy. Quando u e v s˜ ao fun¸cões reais diferenci´ aveis em U , as equa¸cões de Cauchy-Riemann mostram que a forma f (z)dz é fechada (isto é, sua parte real, udx − vdy, e sua parte imaginária vdx + udy s˜ ao ambas fechadas) se, e somente se, a fun¸cão f (z) é holomorfa. Então, quando f : U → C é holomorfa (de classe C 1 ) e λ é um caminho fechado, livremente homotópico em U a um caminho R constante, o Teorema 12 (ou mais precisamente, seu corolário) diz que λ f (z)dz = 0. Esta é uma formula¸cão do Teorema de Cauchy, uma das pedras fundamentais da bela teoria das fun¸cões complexas. Tomemos, como exemplo, f : C−{0} → C,

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

224 f (z) = 1/z. Então f (z)dz =

dz dx + idy (x − iy)(dx + idy) = = = z x + iy x2 + y 2 xdx + ydy + i(xdy − ydx) · = x2 + y 2

Para todo caminho fechado λ : [a, b] → C − {0}, temos Z Z Z dz xdx + ydy xdy − ydx = +i · 2 2 2 2 λ z λ x +y λ x +y p Ora, a forma (xdx + ydy)/(x2 + y 2 ) = d(log x2 + y 2 ) é exata em R2 − {0}, logo a primeira integral no 2o¯ membro da igualdade acima é zero. O integrando da u ´ltima integral acima é δθ logo Z Z Z 1 dz xdy − ydx 1 1 δθ, = = 2πi λ z 2π λ x2 + y 2 2π λ o que permite exprimir por meio de uma integral complexa o n´ umero de voltas que o caminho fechado λ percorre em torno da origem.

9

Cohomologia

Consideremos um aberto U ⊂ Rn . Diremos que duas 1-formas fechadas ω1 , ω2 em U , s˜ ao equivalentes quando existir uma fun¸cão f : U → R, de classe C 2 , tal que ω1 − ω2 = df . Escreveremos então ω1 ∼ ω2 . Isto 1 significaR que, para R todo caminho fechado λ, seccionalmente C em U , tem-se λ ω1 = λ ω2 . A rela¸cão ω1 ∼ ω2 é reflexiva, simétrica e transitiva; logo decompõe o conjunto das 1-formas fechadas em U como reunião disjunta de classes de equivalência. Para cada uma dessas formas ω, sua classe de equivalência é, por defini¸cão, o conjunto [ω] = {ω + df ; f : U → R de classe C 2 }. Como se vê facilmente, ω1 ∼ ω2 , ϕ1 ∼ ϕ2 ⇒ ω1 + ϕ1 ∼ ω2 + ϕ2 ⇒ [ω1 + ϕ1 ] =

= [ω2 + ϕ2 ] e ω1 ∼ ω2 ⇒ t · ω1 ∼ t · ω2 ⇒ [t · ω1 ] = [t · ω2 ]

225

[SEC. 9: COHOMOLOGIA

para todo n´ umero real t. Isto quer dizer que as classes [ω + ϕ] e [t · ω] dependem apenas das classes [ω] e [ϕ] e do n´ umero real t, mas não das particulares formas ω, ϕ escolhidas para representá-las. Podemos então introduzir a soma [ω]+[ϕ] de duas classes e o produto t · [ω] de uma classe por um n´ umero real pondo, por defini¸cão: [ω] + [ϕ] = [ω + ϕ], t · [ω] = [t · ω]. Seja H 1 (U ) o conjunto cujos elementos s˜ ao as classes de equivalência [ω] das 1-formas fechadas em U . As opera¸cões acima tornam H 1 (U ) um espa¸co vetorial real, tradicionalmente conhecido como o grupo de cohomologia real de dimens˜ ao 1 do aberto U ⊂ Rn . O elemento neutro (zero) do espa¸co vetorial H 1 (U ) é a classe [df ] das 1-formas exatas em U . A seguir, determinaremos a dimens˜ ao do (ou, mais precisamente, 1 uma base para o) espa¸co vetorial H (U ) nos casos em que U = R2 − {0}, U = R2 − {p, q} (p, q pontos distintos em R2 ) e U = Rn − {0}, n > 2. Inicialmente, seja U = R2 − {0}. Neste caso, provaremos que H 1 (U ) tem dimens˜ ao 1 e que podemos tomar como base a classe [δθ] da 1-forma elemento de ângulo. Devemos então provar as duas afirma¸cões seguintes: 1) [δθ] 6= 0; 2) Para toda 1-forma fechada ω em R2 − {0}, existe um n´ umero real c tal que [ω] = c[δθ]. A afirma¸cão 1) significa que δθ não é uma forma exata em R2 − {0}, coisa que já sabemos. A afirma¸cão 2) corresponde a dizer que para toda 1-forma fechada ω em U , existe um n´ umero real c, tal que ω − c · δθ é exata em U . Isto é o que passamos a demonstrar. Utilizaremos o Lema 1. Seja µ : [0, 2π] → R2 − {0} o caminho dado por µ(s) = (cos s, sen s). Para todo caminho fechado λ : [0, 2π] → R2 − {0}, existe n ∈ Z tal que λ é livremente homot´ opico a n · µ, onde n · µ(s) = (cos ns, sen ns).

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

226

Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Lema 2 do §7, podemos supor queλ é de classe λ(s) 1 C por partes. Para todo s ∈ [0, 2π], o segmento de reta λ(s), |λ(s)| não contém a origem. Logo λ é livremente homotópico em R2 − {0}, por λ(s) · Assim, não há perda uma homotopia linear, ao caminho s 7→ |λ(s)| de generalidade em supor que λ é um caminho de classe C 1 por partes, tal que |λ(s)| = 1 para todo s ∈ [0, 2π]. Seja então θ : [0, 2π] → R uma fun¸cão-ângulo para λ, de modo que λ(s) = (cos θ(s), sen θ(s)) para todo s ∈ [0, 2π]). (Veja o Corolário 2 do Teorema 11, Cap´ıtulo II.) Como λ(0) = λ(2π), existe n ∈ Z tal que θ(2π) = θ(0) + 2nπ. A e : [0, 2π] × [0, 1] → R definida por H(s, e t) = (1 − fun¸cão cont´ınua H e e t) + 2n · π para todo t ∈ [0, 1]. t)θ(s) + t · n · s, cumpre H(2π, t) = H(0, Segue-se da´ı que a aplica¸cão H : [0, 2π] × [0, 1] → R2 − {0}, definida e t), sen H(s, e t)), é uma homotopia livre entre os por H(s, t) = (cos H(s, caminhos fechados λ e n · µ.

O cálculo do grupo de cohomologia H 1 (R2 − {0}) se faz então com o teorema abaixo. Antes de prová-lo, observemos que se n · µ é o caminho definido no enunciado do R Lema 1, ent˜ R ao n · µ = µ + µ + · · · + µ (n parcelas), de modo que n·µ ω = n · µ ω para toda forma cont´ınua ω, definida num conjunto que contenha o c´ırculo S 1 , imagem de µ. Aqui, evidentemente µ = 1 · µ é o caminho µ(s) = (cos s, sen s).

Teorema 14. Para toda 1-forma fechada ω em R2 − {0}, existe um n´ umero real c tal que a 1-forma ω − c · δθ é exata em U . Z 1 Demonstra¸ c˜ ao: Ponha c = ω, onde µ(s) = (cos s, sen s), s ∈ 2π µ R [0, 2π] é o caminho circularR do LemaR1. Devemos provar que λ (ω − c · δθ) = 0, ou ainda, que λ ω = c · λ δθ para todo caminho fechado λ em R2 − {0}. Reparametrizando R λ, se necessário, podemos supô-lo definido no intervalo [0, 2π], pois λ ω é invariante por reparametriza¸cões positivas. Pelo Lema 1, λ é livremente homotópico a n · µ para algum n ∈ Z. Como ω e δθ s˜ ao fechadas, suas integrais sobre caminhos fechados livremente homotópicos s˜ ao iguais. Então Z Z Z Z Z Z δθ = c · δθ, ω = n ω = n · 2πc = c · n δθ = c ω= λ

nµ

µ

como quer´ıamos demonstrar.

µ

nµ

λ

227

[SEC. 9: COHOMOLOGIA

Em seguida, mostraremos que se p, q ∈ R2 s˜ ao pontos distintos então 1 2 o espa¸co vetorial H (R − {p, q}) tem dimens˜ ao 2. Come¸caremos introduzindo, para cada ponto p = (a, b) ∈ R2 , a 1forma fechada αp definida em R2 − {p}, chamada o “elemento de ângulo com vértice p”. Dado z = (x, y) ∈ R2 − {p}, poremos: αp (z) =

1 [−(y − b)dx + (x − a)dy]. |z − p|2

Seja µp : [0, 2π] → R2 − {p} o caminho R circular de centro p (e raio r, is definido por µp (s) = p + r · e . Então µp αp = 2π. Por outro lado, se q 6= p e µq é um caminho circular de centro q e raio r < |p − q| então, tomando ε > 0 tal que r < r + ε < |q − p|, o disco aberto de centro q e raio r + ε é um aberto simplesmente conexo que não contém p, logo R a forma αp está definida nele e é, portanto, exata ali. Segue-se que µq αp = 0 quando o raio r do c´ırculo µq é inferior à distˆ ancia |q − p|. Fixemos agora, definitivamente, dois pontos p 6= q no plano R2 . Sejam B ∗ = {z ∈ R2 ; hz − p, q − pi > 0}, A∗ = {w ∈ R2 ; hw − q, p − qi > 0}. z

p

A∗

B∗ q

p

w

q

Temos z ∈ B ∗ ⇔ ˆ angulo zd pq é agudo, enquanto w ∈ A∗ ⇔ o ângulo wqp d é agudo. Ponhamos agora A = A∗ − {p}, B = B ∗ − {q}. Então A e B s˜ ao abertos, R2 − {p, q} = A ∪ B e A ∩ B é convexo. A∩B p

q

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

228

Teorema 15. Dada uma 1-forma fechada ω em R2 − {p, q}, existem n´ umeros reais univocamente determinados u, v tais que a 1-forma ϕ = ω − u · αp − v · αq é exata em R2 − {p, q}. (Isto é, [ω] = u · [αp ] + v · [αq ].) Demonstra¸ c˜ ao: Sejam µp um caminho circular em A, com centro Z pe 1 ω, µq um caminho circular em B, de centro q. Ponhamos u = 2π µp Z 1 v= ω e ϕ = ω − uαp − vαq . Como no Lema 1, vê-se que todo 2π µq caminho fechado em A é livremente Rhomotópico a um m´ ultiplo inteiro de R µp . Como µp ϕ = 0, segue-se que λ ϕ = 0 para todo caminho fechado λ em A. Assim ϕ é exata em A. Analogamente, concluimos que ϕ é exata em B. A esta altura, faremos uso do Lema 2. Sejam A, B ⊂ Rn abertos conexos, com A ∩ B conexo, e ϕ : A ∪ B → (Rn )∗ uma 1-forma fechada. Se ϕ é exata em A e em B separadamente, ent˜ ao ϕ é exata em A ∪ B. R Com efeito, sabemos que λ ϕ = 0 para todo caminho fechado λ R contido em A ou contido em B. Devemos provar que λ ϕ = 0 para todo caminho fechado λ : [a, b] → A ∪ B. Como A e B s˜ ao abertos, existe uma parti¸cão P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b} tal que, para todo i = 1, . . . , k, a restri¸cão λi = λ|[ti−1 , ti ] é um caminho contido em A ou contido em B. Eliminando pontos supérfluos ti na parti¸cão P , podemos supor que λi e λi+1 não estão ambos em A nem ambos em B. Então λ(ti ) ∈ A ∩ B para todo i = 1, 2, . . . , k − 1. Suporemos inicialmente que λ(a) = λ(b) ∈ A ∩ B. Como A ∩ B é conexo, existem caminhos β1 , . . . , βk−1 em A ∩ B, cada βi ligando o ponto λ(a) ao ponto λ(ti ). Note que λ = λ1 + · · · + λk e que os caminhos λ1 − β1 , β1 + λ2 − β2 , . . . , βk−2 + λk−1 − βk−1 , βk−1 + λk s˜ ao fechados, cada um deles inteiramente contidos em A ou em B. λ1 β1

λ(a) λ3

β2

λ2

Logo, a integral de ϕ ao longo de cada um destes caminhos é zero.

229

[SEC. 9: COHOMOLOGIA

Portanto Z

λ

ω=

k Z X i=1

+

Z

ω= λi

ω+

βk−1

+

Z

Z

Z

λ1

ω−

ω=

λk

Z

Z

ω+

β1

λ1 −β1

Z

ω+ β1

ω+

Z

Z

λ2

ω + ···+

β1 +λ2 −β2

ω + ···+

ω = 0.

βk−1 +λk

Se, por acaso, não for λ(a) = λ(b) ∈ A ∩ B, tomamos um caminho β em A ∪ B ligando um ponto de A ∩ B ao ponto λ(a) = λ(b). REntão Ro caminho β + λ − β = γ come¸ca e termina em A ∩ B e temos λ ω = γ ω = 0. Resta apenas mostrar que a unicidade dos coeficientes u, v, ou, o que é o mesmo, a independência linear das classes [αp ] e [αq ]Rem H 1 (R2 − {p, q}). Ora, de ω = u · αp + v · αq + df , obtemos (1/2π) λ ω = u para todo caminho circular λ, de centro p, que não contenha q em seu interior. Isto mostra que u é univocamente determinado a partir de ω. Do mesmo modo se raciocina com respeito a v. Observa¸ c˜ ao: Este método serve para provar, mais geralmente, que se p1 , . . . , pn s˜ ao n pontos distintos em R2 e U = R2 − {p1 , . . . , pn } então H 1 (U ) é um espa¸co vetorial de dimens˜ ao n. Mostraremos, finalmente, que se U = Rn − {0} com n ≥ 3 então H 1 (U ) = {0}, isto é, que toda 1-forma fechada em U é exata. Para isto, é suficiente provar que, se n > 2, todo caminho fechado em Rn − {0} é livremente homotópico a um caminho constante. Em virtude do Lema 2, §7, podemos partir de um caminho poligonal λ em Rn − {0}. Se existirem três vértices consecutivos A, B C do caminho poligonal λ tais que o triˆ angulo ABC não contenha a origem 0 ∈ Rn , então podemos, através de uma homotopia linear em Rn − {0}, deformar AB + BC em AC, logo λ será homotópico em U a um caminho poligonal fechado, com um vértice a menos. Repetindo o processo, eliminaremos um a um todos os vértices, chegando a um caminho, que ainda chamaremos de λ, tal que qualquer triˆ angulo determinado por 3 vértices consecutivos de λ contém a origem. Então o caminho λ está contido num plano Π, um subespa¸co de dimens˜ ao 2 em Rn . Como n ≥ 3, existe um vetor a ∈ Rn que não pertence a esse plano Π. Então H(s, t) = λ(s)+ta é uma homotopia

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

230

em Rn − {0}, come¸cando com λ e terminando no caminho s 7→ λ(s) + a, contido no plano Π + a e, neste plano, homotópico livremente a um caminho constante. Como 0 ∈ / Π + a, esta u ´ltima homotopia tem lugar em Rn − {0}, o que termina a demonstra¸cão. Acabamos de ver que, se n ≥ 2, o conjunto Rn+1 −{0} é simplesmente conexo. Isto tem a seguinte conseq¨ uência: Para n ≥ 2, a esfera n-dimensional S n é simplesmente conexa. De fato, como S n ⊂ Rn+1 − {0}, todo caminho fechado λ em S n é livremente homotópico em Rn+1 − {0} a um caminho constante. Compondo essa homotopia com a “proje¸cão radial”ρ : Rn+1 − {0} → S n , x ρ(x) = , obtemos uma homotopia livre em S n , entre o caminho fe|x| chado λ e um caminho constante.

10

A f´ ormula de Kronecker

Uma aplica¸cão interessante das integrais curvil´ıneas é a fórmula de Kronecker, sobre o n´ umero de ra´ızes de um sistema de equa¸cões do tipo f (x, y) = 0, g(x, y) = 0, onde f e g s˜ ao fun¸cões de classe C 2 definidas num disco do plano. Come¸caremos com algumas considera¸cões gerais sobre mudan¸ca de variáveis em formas diferenciais. Diremos que uma aplica¸cão F = (f1 , . . . , fn ) : U → Rn , definida num aberto U ⊂ Rm , é de classe C k quando cada uma das suas fun¸cões coordenadas fk : U → R (1 ≤ k ≤ n) for de classe C k . Analogamente se define aplica¸cão diferenci´ avel F : U → Rn . Essas aplica¸cões serão objeto de estudo detalhado no cap´ıtulo seguinte. n P ak dyk , de classe C r , definida Dadas uma forma diferencial ω = k=1

no aberto V ⊂ Rn , e uma aplica¸cão F = (f1 , . . . , fn ): U → V , de classe C r+1 no aberto U ⊂ Rm , definiremos a forma induzida F ∗ ω em U pondo n X (ak ◦ F )dfk . F ∗ω = k=1

Para todo x ∈ U temos, portanto ∗

(F ω)(x) =

m X i=1

bi (x)dxi , onde bi (x) =

n X k=1

ak (F (x))

∂fk (x). ∂xi

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

231

Assim, a forma induzida F ∗ ω é obtida de ω pela “mudan¸ca de variáveis”y = F (x), isto é, fazendo-se as substitui¸cões yk = fk (x), ∂fk dyk = dfk = Σ dxi . ∂xi Como se vê, para ω ∈ C r e F ∈ C r+1 , tem-se F ∗ ω ∈ C r . As propriedades seguintes s˜ ao de verifica¸cão imediata: 1. Se F : U → V e G : V → W de classe C r+1 então, para toda forma ω de classe C r em W , vale (G ◦ F )∗ ω = F ∗ (G∗ ω); 2. Se ω = df é exata, então F ∗ ω = d(f ◦ F ) também é exata; 3. Se ω é fechada, então F ∗ ω também é fechada; 4. Para todo caminho cont´ınuo retific´ avel λ em U ,

R

λF

∗ω

=

R

F ◦λ ω. → Rn

Um ponto x ∈ U ⊂ Rn chama-se um zero da aplica¸cão F : U quando F (x) = 0. Dizemos que x é um zero isolado de F quando existe uma bola B = B(x, r) ⊂ U tal que x é o u ńico zero de F em B. O zero x chama-se simples quando F ´ e diferenci´ a vel e o determinante Jacobiano ∂fi JF (x) = det (x) é diferente de zero. Se for JF (x) > 0, diremos ∂xj que x é um zero positivo de F . Analogamente, diremos que x é um zero negativo de F quando tivermos JF (x) < 0. Pelo Teorema 4a do Cap´ıtulo III, se F é diferenci´ avel então todo zero simples de F é isolado. Passemos agora ao caso particular que nos interessa no momento. Dado um c´ırculo C, de centro p e raio r no plano, indicaremos ainda com C o caminho C : [0, 2π] → R2 , definido por C(s) = p + r · eis . Sejam F = (f, g) : U → R2 uma aplica¸cão de classe C 2 no aberto U ⊂ R2 e D ⊂ U um disco fechado, em cuja fronteira C = ∂D não há zeros de F . A integral Z f dg − gdf 1 n(F, D) = 2π C f 2 + g 2 chama-se o ´ındice da aplica¸cão F no disco D. A forma diferencial (f dg − gdf )/(f 2 + g 2 ) acha-se definida no aberto V , formado pelos pontos z ∈ U tais que F (z) 6= 0 (o que equivale a f (z)2 + g(z)2 > 0). Em V , esta forma é igual a F ∗ (δθ). Por hip´ otese, temos C ⊂ V . Então Z Z Z 1 f dg − gdf 1 1 ∗ F (δθ) = δθ. = n(f ; D) = 2π C f 2 + g 2 2π C 2π F ◦C

232

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

Em particular, o ´ındice n(F ; D) é um n´ umero inteiro, igual ao n´ umero de voltas que o caminho F ◦ C percorre em torno da origem em R2 . (Veja o Corolário do Teorema 8.) Teorema 16. (1) Se D1 ⊂ D2 s˜ ao discos contidos no aberto U ⊂ R2 e 2 F : U → R n˜ ao possui zeros no conjunto D2 − int D1 ent˜ ao n(F ; D1 ) = n(F ; D2 ). (2) Sejam F, G : U → R2 aplica¸co ˜es de classe C 2 , que n˜ ao possuem zeros na fronteira C = ∂D de um disco D contido em U . Suponha que exista uma homotopia H : C × [0, 1] → R2 − {0} entre F |C e G|C (isto é, H(z, 0) = F (z), H(z, 1) = G(z) e H(z, t) 6= 0, para todo z ∈ C e todo t ∈ [0, 1]). Ent˜ ao n(F ; D) = n(G; D). Em particular, se 0 ∈ / [F (z), G(z)] para todo z ∈ C então n(F ; D) = n(; D). Demonstra¸ c˜ ao: (1) Sejam C1 = ∂D1 e C2 = ∂D2 parametrizados por C1 (s) = p1 + r1 · eis e C2 (s) = p2 + r2 · eis , 0 ≤ s ≤ 2π. Então H : [0, 2π]×[0, 1] → R2 −{0}, dada por H(s, t) = F [(1−t)C1 (s)+tC2 (s)], é uma homotopia livre entre os caminhos fechados F ◦C1 e F ◦C2 . Como δθ é uma forma fechada em R2 − {0}, segue-se do Teorema 11 que Z Z 1 1 n(F ; D1 ) = δθ = δθ = n(F ; D2 ). 2π F ◦C1 2π F ◦C2 (2) A aplica¸cão K : [0, 2π] × [0, 1] → R2 − {0}, definida por K(s, t) = H(C(s), t), é uma homotopia livre entre os caminhos fechados F ◦ C e G ◦ C. Logo, pelo Teorema 11, Z Z 1 1 n(F ; D) = δθ = δθ = n(G; D). 2π F ◦C 2π G◦C Corol´ ario. Se F : U → R2 (uma aplica¸ca õ de classe C 2 ) n˜ ao possui zeros no disco D ⊂ U ent˜ ao n(F ; D) = 0. O corolário acima pode ser enunciado, equivalentemente, sob a forma de um importante teorema de existência, assim: Se n(F ; D) 6= 0 ent˜ ao existe algum z ∈ D tal que F (z) = 0. Com efeito, sendo p o centro do disco D, a aplica¸cão H: [0, 2π] × [0, 1] → R2 − {0}, definida por H(s, t) = F ((1 − t) · C(s) + t · p), é uma homotopia livre entre o caminho fechadoZ F ◦ C e o caminho constante Z 1 1 δθ = δθ = 0. F (p). Logo n(F ; D) = 2π F ◦C 2π F (p)

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

233

Exemplo 4. Seja T : R2 → R2 uma transforma¸cão linear invert´ıvel. Se o disco D ⊂ R2 não contém a origem então T não possui zeros em D, logo n(T ; D) = 0. Se D contém a origem em seu interior, provaremos que n(T ; D) = +1 ou n(T ; D) = −1, conforme seja det T > 0 ou det T < 0. Para isto mostraremos que existe uma homotopia entre T e uma transforma¸cão linear L que, no caso de det T > 0, é a identidade e, quando det T < 0, é a transforma¸cão T1 (x, y) = (x, −y). Tal homotopia consiste num caminho cont´ınuo t 7→ Tt , t ∈ [0, 1], com T0 = T e T1 = L, tal que, para todo t ∈ [0, 1], Tt : R2 → R2 é uma transforma¸cão linear invert´ıvel. Então n(T ; D) = n(L; D), sendo óbvio que n(L; D) = ±1. Para obter o caminho de transforma¸cões lineares invert´ıveis Tt ligando T a L, trabalharemos com a matriz ab cd de T , a qual tem como colunas os vetores u = (a, c) = T · e1 e v = (b, d) = T · e2 . Devemos obter um caminho cont´ınuo t 7→ (ut , vt ) tal que u0 = u, v0 = v, e u1 = e1 , v1 = ±e2 (conforme o sinal do determinante de T ), de modo que, para todo t, os vetores ut , vt sejam linearmente independentes. Come¸camos deformando continuamente os vetores u, v ao longo das retas que os contêm, de modo a ficar com |u| = |v| = 1. A segunda parte do caminho (ut , vt ) consiste em girar u no sentido hor´ ario, até fazê-lo coincidir com e1 , e girar v ao mesmo tempo, do modo a mantê-lo rigidamente ligado a u. Digamos que a primeira deforma¸cão levou 1/3 da unidade de tempo para ser efetuada e v2/3

e2

e2

e1 = u2/3

e1 = u2/3

det T > 0

det T < 0

−e2

v2/3

a segunda gastou outro 1/3. Então, para t = 2/3 temos u2/3 = e1 e v2/3 pode estar (1) no semi-plano superior ou (2) no semi-plano inferior. Durante a deforma¸cão cont´ınua dos vetores ut , vt , que s˜ ao as colunas da matriz de Tt , o determinante de Tt varia continuamente e nunca se anula; logo mantém o mesmo sinal. Então o caso (1) corresponde a det T > 0 e o caso (2) corresponde a det T < 0. Para completar a homotopia, usamos o intervalo de tempo [2/3, 1] para girar continuamente v2/3 , mantendo

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

234

u2/3 = e1 fixo, até obter no caso (1), v1 = e2 e, no caso (2), obtendo v1 = −e2 , isto sendo feito de modo que vt e ut = e1 sejam linearmente independentes para todo t ∈ [2/3, 1], o que é obviamente poss´ıvel.

Teorema 17. Se F = (f, g) : U → R2 , de classe C 2 no aberto U ⊂ R2 , possui um u ńico zero p no disco D ⊂ U , o qual é simples e n˜ ao est´ a em C = ∂D, ent˜ ao n(F ; D) = ±1, conforme o Jacobiano JF (p) = ∂f ∂g ∂f ∂g − , no ponto p, seja positivo ou negativo. ∂x ∂y ∂y ∂x Demonstra¸ c˜ ao: Para simplificar a nota¸cão, suporemos que p é a origem ∂f ∂g ∂g ∂f 2 (p), b = (p), c = (p), d = (p) e de R , escreveremos a = ∂x ∂y ∂x ∂y indicaremos com T : R2 → R2 a transforma¸cão linear (invert´ıvel) cuja matriz tem as linhas (a, b) e (c, d), nesta ordem. Como f e g s˜ ao diferenciáveis, para todo z = (x, y) ∈ D temos f (z) = ax + by + ρ(z) · |z| e g(z) = cx + dy + σ(z) · |z|, onde lim ρ(z) = lim σ(z) = 0. z→0

z→0

Pondo R(z) = (ρ(z), σ(z)), podemos então escrever, para todo z ∈ D: F (z) = T · z + R(z) · |z|, onde lim R(z) = 0. z→0

Sento T invert´ıvel, o Lema do Teorema 4a, Cap´ıtulo III, nos fornece c > 0 tal que |T · z| ≥ c|z| para todo z ∈ R2 . Pelo Teorema 16, podemos supor o raio do disco D tão pequeno que z ∈ D ⇒ |R(z)| ≤ c/2. Então 0 6= z ∈ D ⇒ |T · z + (1 − t) · R(z)|z| ≥ c |T · z| − (1 − t) · |R(z)| · |z| ≥ c|z| − |z| > 0, 2 para todo t ∈ [0, 1]. Segue-se que H : U × [0, 1] → R2 , definida por H(z, t) = T · z + (1 − t) · R(z) · |z|, é uma homotopia entre F e T , tal que H(z, t) 6= 0 para todo z ∈ C = ∂D e todo t ∈ [0, 1]. Portanto, n(F ; D) = n(T ; D) em virtude do item (2) do Teorema 16. Finalmente, o Exemplo 4 nos dá n(T ; D) = ±1, onde o sinal é o do Jacobiano de F no ponto p. Teorema 18. Se a aplica¸ca õ F = (f, g) : U → R2 é de classe C 2 e possui, no disco D ⊂ U , um n´ umero finito de zeros, todos simples, nenhum dos quais em C = ∂D, ent˜ ao n(F ; D) = P − N , onde P é o

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

235

n´ umero de zeros positivos de F em D e N é o n´ umero de zeros negativos. Noutros termos, temos a igualdade Z f dg − gdf 1 = P − N. 2π c f 2 + g 2

z4

z3

z5

z2 z1

Demonstra¸ cao: Sejam z1 , . . . , zk os zeros de F em D. Modificando ligeiramente o disco D, se necessário [segundo o item (1) do Teorema 16], podemos supor que nenhum raio de D contém mais de um zero de F . Por meio de raios, dividimos D em k setores Si , cada um deles contendo exatamente um dos pontos zi em seu interior. A integral R (f dg −gdf )/(f 2 +g 2 ) é a soma de k integrais com o mesmo integrando, c cada uma delas tomada ao longo de ∂Si , cada uma dessas fronteiras parametrizada de modo coerente com o arco de C que lhe é comum. Com centro em cada zero zi , tomemos um pequeno c´ırculo Ci = ∂Di , contido no interior do setor Si . Uma homotopia radial evidente entre Ci k P n(F ; Di ) e o resultado então segue-se do e ∂Si nos dá n(F ; D) = Teorema 17.

i=1

Exemplo 5. Seja F = u + i · v : U → C uma fun¸cão holomorfa. Em virtude das equa¸cões de Cauchy-Riemann, em todo ponto z ∈ U , seu de 2 2 ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂u terminante Jacobiano é JF (z) = − = + = ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y |F ′ (z)|2 . Assim, JF (z) ≥ 0 para todo z ∈ U . Em particular, se todos os zeros de F no disco D ⊂ U forem simples, então o ´ındice n(F ; D) é igual ao n´ umero desses zeros. Consideremos o caso especial de um polinˆ omio p : C → C. Um zero a ∈ C chama-se então uma raiz de p. Como se sabe,

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

236

p(a) = 0 equivale a p(z) = (z − a) · q(z), onde q(z) é ainda um polinˆ omio. A multiplicidade da raiz a é o maior n´ umero natural k tal que p é divis´ıvel por (z−a)k . [Isto equivale a dizer que p(z) = (z−a)k ·q(z), com q(a) 6= 0.] Quando k = 1, a diz-se uma raiz simples. Ora, p(z) = (z − a) · q(z) implica p′ (a) = q(a). Como um polinˆ omio é uma fun¸cão holomorfa, seu Jacobiano no ponto a é Jp(a) = |p′ (a)|2 = |q(a)|2 . Assim, a é um zero simples de p se, e somente se, é uma raiz simples. Suponhamos que o polinˆ omio p s´ o tenha ra´ızes simples. Então, para todo c´ırculo C = ∂D no plano, sobre o qual não haja ra´ızes de p, o n´ umero n(p; D), ou seja, o n´ umero de voltas que o caminho p ◦ C descreve em torno da origem, é igual ao n´ umero de ra´ızes de p no interior do c´ırculo C (isto é, no disco D). Estendamos este resultado para um polinˆ omio qualquer. Se a é uma raiz, de multiplicidade k, do polinˆ omio p, então p(z) = k (z − a) [c + ϕ(z)], onde c 6= 0 e ϕ(z) é um polinˆ omio, com ϕ(a) = 0. Existe portanto δ > 0 tal que |c| ⇒ c + (1 − t)ϕ(z) 6= 0 3 para todo t ∈ [0, 1].

0 < |z − a| ≤ δ ⇒ |ϕ(z)|
0 tal que |z|→∞

|z| ≥ r ⇒ |ξ(z)|
0 tal que se q(z) = b0 z m + b1 z m−1 + · · · + bm é qualquer polinˆ omio satisfazendo |b0 − a0 | < δ, . . . , |bm − am | < δ ent˜ ao q possui k ra´ızes no disco D (cada uma delas sendo contada de acordo com sua multiplicidade). Demonstra¸ c˜ ao: Como vimos no Exemplo 5, k = n(p; D). O c´ırculo C = ∂D evidentemente é um conjunto limitado: z ∈ C ⇒ |z| ≤ |a| + ε. m P (|a| + ε)m−i . Seja η > 0 o ´ınfimo de |p(z)| quando z Ponhamos A = i=0

percorre o conjunto C. Assim, z ∈ C ⇒ |p(z)| ≥ η. Tomemos δ = η/2A. Se q(z) = b0 z m + · · · + bm é tal que |bi − ai | < δ para i = 0, 1, . . . , m m P |bi − ai | |z|m−i < então, para todo z ∈ C temos |q(z) − p(z)| ≤

δ

m P

i=0

i=0

|z|m−i

≤ δA = η/2. Isto significa que, para todo z ∈ C, o segmento

de reta [p(z), q(z)] não contém a origem. Portanto a homotopia linear H : C × [0, 1] → C, H(z, t) = (1 − t)p(z) + tq(z), cumpre H(z, t) 6= 0 para todo z ∈ C e todo t ∈ [0, 1]. Como H(z, 0) = p(z) e H(z, 1) = q(z), segue-se do Teorema 16 que o n´ umero de ra´ızes do polinˆ omio q no disco D (contadas conforme suas multiplicidades) é igual a n(q; D)=n(p; D)=k. Em particular, se a é uma raiz simples de p, dado qualquer ε > 0 tal que a seja o u ńico zero de p em B(a; ε), existe δ > 0 tal que se q é um polinˆ omio cujos coeficientes diferem menos de δ dos seus correspondentes em p, então q possui exatamente uma raiz no disco de centro a e raio ε.

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

238

ˆ APENDICE Transforma¸co ˜es afins do plano Sejam a, b, c ∈ R2 três pontos não colineares e T o triˆ angulo que os tem como vértices. Estabeleceremos os seguintes fatos. Primeiro: Todo ponto p ∈ T se exprime, de modo u ńico, como p = ua + vb + wc, onde u, v, w ∈ [0, 1] e u + v + w = 1. Demonstra¸ c˜ ao: Dado p, seja q o ponto de interse¸cão da reta ap com o lado [b, c]. Então q = (1 − s)b + sc, com s ∈ [0, 1] e p = (1 − t)a + tq, t ∈ [0, 1], b q a

p c

logo p = (1 − t)a + t(1 − s)b + tsc = ua + vb + wc, onde u = 1 − t, v = t(1 − s) e w = ts pertencem a [0, 1] e têm soma igual a 1. Para provar a unicidade, suponha que ua + vb + wc = u ¯a + v¯b + wc, ¯ com u, v, w, u ¯, v¯, w ¯ ∈ [0, 1] e u + v + w = u ¯ + v¯ + w ¯ = 1. Então w = 1 − u − v e w =1−u ¯ − v¯, logo ua + vb + (1 − u − v)c = u ¯a + v¯b + (1 − u ¯ − v¯)c e da´ı u(a − c) + v(b − c) = u ¯(a − c) + v¯(b − c). Como a − c e b − c s˜ ao linearmente independentes, segue-se que u = u ¯, v = v¯ e w = 1 − u − v = 1 − u ¯ − v¯ = w. ¯ Segundo: Se p = ua + vb + wc, com u, v, w ∈ [0, 1] e u + v + w = 1, ent˜ ao p ∈ T . Demonstra¸ c˜ ao: Se v + w = 0 então p = a ∈ T . Se v + w 6= 0, podemos escrever v w p = ua + (v + w) b+ c = ua + (v + w)q. v+w v+w

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

239

w v b+ c pertence ao lado [b, c], logo q ∈ T . Como v+w v+w p ∈ [a, q] e o triˆ angulo T é convexo, segue-se que p ∈ T .

O ponto q =

Terceiro: Dados arbitrariamente A, B, C ∈ Rn , a aplica¸ca õ f : T → Rn , definida por f (ua+vb+wc) = uA+vB +wC, é afim. Se g : T → Rn é afim e g(a) = A, g(b) = B, g(c) = C, ent˜ ao g = f . Demonstra¸ c˜ ao: Dados arbitrariamente p, q ∈ T e t ∈ [0, 1], temos p = ua + vb + wc e q = u ¯a + v¯b + wc, ¯ com u, v, w ∈ [0, 1], u + v + w = 1, u ¯, v¯, w ¯ ∈ [0, 1] e u ¯ + v¯ + w ¯ = 1. Então: f ((1 − t)p + tq)

= f ((1 − t)ua + (1 − t)vb + (1 − t)wc + t¯ ua + t¯ v b + twc) ¯

= f [((1 − t)u + t¯ u)a + ((1 − t)v + t¯ v )b + ((1 − t)w + tw)c] ¯

= ((1 − t)u + t¯ u)A + ((1 − t)v + t¯ v )B + ((1 − t)w + tw)C ¯

= (1 − t)(uA + vB + wC) + t(¯ uA + v¯B + wC) ¯ = (1 − t)f (p) + tf (q).

Isto mostra que f é afim. Evidentemente, f (a) = A, f (b) = B e f (c) = C. Seja agora g : T → Rn afim, com g(a) = A, g(b) = B e g(c) = C. Dado p = ua + vb + wc ∈ T , se for v + w = 0 então p = a e da´ı g(p) = A = f (p). Se, porém, t = v + w 6= 0, escrevamos q = (v/t)b + (w/t)c. O ponto q pertence a T , pois v/t + w/t = 1. Sendo g afim, temos g(q) = (v/t)B + (w/t)C = f (q). Portanto g(p) = g((1 − t)a + tq) = (1 − t)A + t · g(q) = (1 − t)f (a) + tf (q) = f ((1 − t)a + tq) = f (p). Assim, g = f , como quer´ıamos demonstrar.

Exerc´ıcios §2. 2.1. Seja α : [a, b] → R constante nos intervalos [a, c) e (c, b], onde a < c < b. Mostre Rb que se f : [a, b] → R é cont´ınua no ponto c ent˜ ao a f dα = f (c)·[α(c+ )−α(c− )]. outro lado, se f e α s˜ ao descont´ınuas no ponto c ent˜ ao n˜ ao existe RPor R b a integral b f dα. Em particular, dada f : [a, b] → R, se existe a integral a f dα para a toda fun¸c˜ ao α : [a, b] → R de varia¸c˜ ao limitada, ent˜ ao f é cont´ınua. Rb 2.2. Seja α : [a, b] → R uma fun¸c˜ ao limitada. Se existe a f dα para toda fun¸c˜ ao cont´ınua f : [a, b] → R, ent˜ ao α é de varia¸c˜ ao limitada. Rb 2.3. Sejam f, α : [a, b] → R limitadas, tais que a integral a f dα existe. Ent˜ ao, para Rc Rb Rb Rc todo c ∈ [a, b], existem as integrais a f dα, c f dα e vale a f dα = a f dα +

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

240 Rb

f dα. Considere f, α : [−1, 1] → R definidas por f (x) = 0 se −1 ≤ x < 0, c f (x) = 1 se 0 ≤ x ≤R 1, α(x) R= 0 se −1 ≤ x ≤ 0 e α(x) R 1 = 1 se 0 < x ≤ 1. 0 1 Mostre que existem −1 f dα e 0 f dα mas n˜ ao existe −1 f dα. Rb Rb 2.4. Sejam f, α : [a, b] → R limitadas. Existe a f dα se, e somente se, existe a αdf . Rb Rb No caso afirmativo, tem-se a f dα + a αdf = f (b)α(b) − f (a)α(a).

2.5. Seja R x α : (0, +∞) → (0, +∞) cont´ınua crescente, com α(1) = 1. Prove que dα/α = log α(x). [N˜ ao suponha α diferenci´ avel!] 1

2.6. Sejam f : U ×[a, b] → R como na Regra de Leibniz (Cap. III, §6) e α : [a, b] → R de varia¸c˜ ao total limitada. Prove que se Z b Z b ∂f ∂F (x) = (x, t)dα(t), F (x) = f (x, t)dα(t) ent˜ ao ∂x ∂x i i a a para todo x ∈ U .

2.7. Sejam f cont´ınua Re α de varia¸c˜ ao limitada no intervalo [a, b]. Defina F : [a, b] → x R pondo F (x) = a f dα. Prove que F é de varia¸c˜ ao limitada e que a varia¸c˜ ao total de F n˜ ao excede M · V , onde M = sup{|f (x)|; x ∈ [a, b]} e V é a varia¸c˜ ao total de α em [a, b]. 2.8. Dada uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes limitadas fn : [a, b] → R, suponha que exista, Rb para cada n, a integral a fn (t)dα, onde α : [a, b] → R tem varia¸c˜ ao limitada. Rb Suponha ainda que fn → f uniformemente em [a, b]. Prove que existe a f dα Rb Rb e vale a f dα = lim a fn dα. Dê exemplo em que αn → α uniformemente mas Rb Rb n˜ ao se tem a f dαn → a f dα.

§3.

3.1. Se o caminho λ : [a, b] → R2 é o gr´ afico de uma fun¸c˜ ao f : [a, b] → R de classe C 1 , isto é, λ(x) = (x, f (x)), e ω = Adx + Bdy é uma 1-forma cont´ınua definida num conjunto que contém a imagem de λ ent˜ ao Z Z b ω= [A(x, f (x)) + B(x, f (x)), f ′ (x)]dx. λ

a

2

3.2. Se λ : [a, b] → U ⊂ R é o caminho retil´ıneo horizontal, que liga o ponto (a, c) R ao ponto (b, c) e ω = f dx + gdy é uma 1-forma em U , a integral λ ω existe se, e somente se, a fun¸c˜ ao x 7→ f (x, c) é integr´ avel no intervalo [a, b]. No caso Rb R afirmativo, tem-se λ ω = a f (x, c)dx. 3.3. Seja U ⊂ R2 um aberto contendo o c´ırculo unit´ ario S 1 . Para cada k ∈ Z, considere o caminho λk : [0, 2π] → U , dado por λk (t)R = (cos kt, R sen kt). Se ω : U → (R2 )∗ é qualquer 1-forma cont´ınua, prove que λ ω = k λ1 ω. k

3.4. Para cada t ∈ T ⊂ Rm , seja ωt = n

n P

ai (t, x)dxi uma forma diferencial no

i=1

aberto U ⊂ R , tal que os coeficientes ai : T × U → R s˜ ao fun¸c˜ oes cont´ınuas. Para cada caminho Rretific´ avel λ : [a, b] → U , prove que a fun¸c˜ ao ϕ : T → R, ao cont´ınua. definida por ϕ(t) = λ ωt , é uma fun¸c˜

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

241

p R 3.5. Calcule λ f ds onde f : R2 → R é dada por f (x, y) = x2 + y 2 e λ : [0, 2π] → R2 é o caminho λ(t) = (a cos t, b sen t), que descreve uma elipse. 3.6. Seja λ : I → U um caminho cont´ınuo retific´ avel. Se uma seq¨ uência de 1formas ωn , cont´ınuas no aberto U ⊂ Rm , converge uniformemente em λ(I) para uma forma ω (isto é, cada coeficiente de ωnRconvergeR uniformemente para o coeficiente correspondente em ω), ent˜ ao lim λ ωn = λ ω. n→∞

3.7. Sejam λ : [a, b] → R2 −{0} um caminho fechado seccionalmente C 1 e α ∈ R uma constante. Defina µ : [a, b] → R2 − {0} pondo µ(t) = eiα · λ(t) = (x(t) cos α − y(t) sen α, x(t) sen α + y(t) cos α), onde λ(t) = (x(t), y(t)). Os caminhos λ e µ d˜ ao o mesmo n´ umero de voltas em torno da origem.

3.8. Sejam λ, µ : [a, b] → R2 − {0} caminhos fechados de classe C 1 . Se λ(t) e µ(t) s˜ ao linearmente independentes para todo t ∈ [a, b] ent˜ ao λ e µ d˜ ao o mesmo n´ umero de voltas em torno da origem. 3.9. Dado o caminho fechado λ : [a, b] → R2 − {0}, de classe C 1 , indique com A(t) a “´ area orientada” do paralelogramo determinado pelos vetores λ(t) e λ′ (t), para cada t ∈ [a, b]. Mostre que o n´ umero de voltas que λ percorre em torno da origem é Z b A(t) 1 n(λ; 0) = dt. 2π a |λ(t)|2 [A “´ area orientada”de um paralelogramo cujos lados s˜ ao dados pelos vetores v, w ∈ R2 (nesta ordem) é positiva quando o sentido de rota¸c˜ ao v 7→ w pelo menor ˆ angulo é anti-hor´ ario, negativa no caso contr´ ario e nula quando v e w s˜ ao linearmente dependentes.]

3.10. Se o caminho fechado λ : [a, b] → R2 − {0}, de classe C 1 , é tal que λ(t) e λ′ (t) s˜ ao linearmente independentes para todo t (ou, mais geralmente, quando o determinante 2 × 2 cujas colunas s˜ ao λ(t) e λ′ (t) n˜ ao muda de sinal quando t percorre [a, b]) ent˜ ao o n´ umero de voltas que λ d´ a em torno da origem é 6= 0. 3.11. (Teorema de Green para um retˆ angulo.) Parametrize o bordo do retˆ angulo R = [A, B] × [C, D] como um caminho ∂R, seccionalmente de classe C 1 , percorrido no sentido anti-hor´ ario. [Se ∂R(t) = (x(t), y(t)), isto significa que x′ > 0 quando y = C, x′ < 0 quando y = D, y ′ > 0 quando x = B e y ′ < 0 se x = A.] Seja ω = adx + bdy uma 1-forma de classe C 1 num aberto do plano que contém o retˆ angulo R. Mostre que ZZ Z ∂b ∂a − dxdy = adx + bdy, ∂x ∂y R ∂R onde

RR

R

significa a integral repetida

RDRB C

A

.

3.12. (Teorema de Green num disco.) Seja ω = adx + bdy uma 1-forma de classe C 1 num aberto U ⊂ R2 , que contém o disco fechado D, de centro p = (x0 , y0 ) e raio r. A fronteira ∂D ser´ a identificada ao caminho t 7→ (x0 + r cos t, y0 + r sen t). Mostre que Z ZZ ∂b ∂a adx + bdy = − dxdy, ∂x ∂y ∂D D

242

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

onde o segundo membro é a integral repetida Z x0 +r Z y0 +√r2 −(x−x0 )2 ∂b ∂a − dy. dx √ ∂x ∂y y0 − r 2 −(x−x0 )2 x0 −r

§4.

4.1. Sejam ϕ, ψ : [a, b] → R de classe C 1 , com ϕ(a) = ψ(a), ϕ(b) = ψ(b), ϕ(x) ≤ ψ(x) para todo x ∈ [a, b], ϕ convexa e ψ cˆ oncava. Seja λ o caminho fechado obtido por justaposi¸c˜ ao de t 7→ (t, ϕ(t)), gr´ afico de ϕ, com o oposto de t 7→ (t, ψ(t)), gr´ afico de ψ. Se f dx + gdy é uma forma de classe C 1 , definida num aberto convexo U ⊂ R2 que contém a imagem de λ, prove que Z Z b Z ψ(x) ∂g ∂f f dx + gdy = dx dy. − ∂x ∂y λ a ϕ(x)

§6.

R 6.1. Seja ω uma 1-forma de classe C 1 na bola aberta B ⊂ Rm , tal que a integral λ ω assume um valor constante para qualquer caminho fechado λ, seccionalmente C 1 , contido em B. Ent˜ ao ω é fechada.

6.2. Seja ω uma 1-forma de classe C 1 num aberto U ⊂ Rm . Suponha que, para R todo caminho fechado λ, seccionalmente C 1 em U , a integral λ ω é um n´ umero racional. Prove que a forma ω é fechada.

6.3. Sejam U ⊂ Rm aberto e A : U → L(Rm ; Rn ) cont´ınua. Para todo caminho λ : [a, b] → U de classe C 1 , defina a integral de A ao longo do caminho λ como R Rb o vetor de Rn dado por λ A = a A(λ(t)) · λ′ (t)dt. Estenda esta defini¸c˜ ao para caminhos seccionalmente C 1 . R Seja (aij (x)) a matriz de A(x) nas bases canˆ onicas de Rm e Rn . Prove que λ A = 0 para todo caminho fechado λ em U se, e somente se, existem n fun¸c˜ oes f1 , . . . , fn : U → R, de classe C 1 , tais que aij = ∂fi /∂xj .

6.4. Sejam ω uma 1-forma fechada, diferente de zero em todos os pontos do aberto U ⊂ Rm , e f : U → R uma fun¸c˜ ao de classe C 1 sem pontos cr´ıticos. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) a forma f · ω é fechada; (b) df é um m´ ultiplo de ω; (c) para todo x ∈ U , e todo v ∈ Rm , ω(x) · v = 0 ⇔ h grad f (x), vi = 0.

§7.

7.1. Uma homotopia H : [a, b] × I → V (tomando valores no aberto V ⊂ Rn ) diz-se de classe C r quando H(s, t) = (x1 (s, t), . . . , xn (s, t)), onde xi : U → R s˜ ao fun¸c˜ oes de classe C r num aberto U do plano, contendo o retˆ angulo [a, b] × I. Suponha que exista uma homotopia H de classe C 2 (com extremidades fixas, naturalmene) entre dois caminhos λ, µ : [a, b] → V . Suponha ainda que ω seja uma 1-forma fechada definida em V . Use o Teorema de Green, aplicado ` a R R 1-forma H ∗ ω sobre o retˆ angulo [a, b] × I, para mostrar que λ ω = µ ω. Isto fornece uma nova prova para o Teorema 12 no caso de uma homotopia de classe C2.

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

243

§8.

8.1. Dado p = (a, b) ∈ R2 , mostre que a 1-forma ωp : R2 − {p} → (R2 )∗ , definida (x − a)dy − (y − b)dx por ωp (x, y) = , é fechada. Prove que esta forma é (x − a)2 + (y − b)2 exata num aberto U ⊂ R2 − {p} se, e somente se, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua x−a (necessariamente C ∞ ) θp : U → R tal que cos θp (z) = e sen θp (z) = |z − p| y−b para todo ponto z = (x, y) ∈ U . Uma fun¸c˜ ao θp com estas propriedades |z − p| chama-se uma fun¸c˜ ao-ˆ angulo de vértice p.

8.2. Para cada ponto p = (a, b) ∈ R2 , considere a 1-forma ωp em R2 − {p}, dada (x − a)dy − (y − b)dx e, para cada caminho cont´ınuo retific´ avel por ωp (x, y) = (x − a)2 + (y − b)2 2 2 R − {p}, seja λp : I → R − {0}, com λp (t) = λ(t) − p. Mostre que Rλ : I → R δθ. Conclua que se λ é fechado e os pontos p, q podem ser ligados ω = p λp λ R R por um caminho cont´ınuo em R2 − λ(I) ent˜ ao λ ωp = λ ωq . 8.3. Sejam p = (a, b) e q = (c, d) pontos na mesma componente conexa por caminhos de R2 − U , U ⊂ R2 aberto. A forma ωp =

(x − a)dy − (y − b)dx (x − a)2 + (y − b)2

é exata em U se, e somente se, é também exata em U a forma ωq =

(x − c)dy − (y − d)dx · (x − c)2 + (y − d)2

Mais precisamente, mostre que existe uma fun¸ ao f R: U → R, de classe C ∞ , R c˜ tal que ωp − ωq = df . [Sugest˜ ao: mostre que λ ωp = λ ωq para todo caminho fechado λ, seccionalmente C 1 em U .]

8.4. Se o aberto U ⊂ R2 é limitado, mostre que, para todo p ∈ R2 de norma suficientemente grande, U est´ a contido no complementar de uma semi-reta de origem p, logo existe uma fun¸c˜ ao-ˆ angulo cont´ınua θp : U → R, de vértice p. Conclua que a forma ωp é exata em U . Em particular, se U ⊂ R2 é limitado e R2 − U é conexo por caminhos ent˜ ao, para todo p ∈ R2 − U , a forma ωp é exata em U . Isto nos d´ a uma fun¸c˜ ao-ˆ angulo θ : U → R em todo aberto limitado U ⊂ R2 − {0} tal que R2 − U é conexo. R 8.5. Calcule λ dz/(z 2 − 1)2 onde λ é o caminho em R2 − {1, −1} esbo¸cado a seguir.

−1

§9.

1

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

244

9.1. Seja X = (a, b, c) : U → R3 um campo de vetores de classe C ∞ em R3 , com ∂b ∂b ∂c ∂a = , = ∂y ∂x ∂z ∂y

e

∂a ∂c = ∂z ∂x

em todos os pontos do aberto simplesmente conexo U ⊂ R3 . Mostre que existe uma fun¸c˜ ao f : U → R de classe C ∞ com a seguinte propriedade: df (p) · v = 0 se, e somente se, hv, X(p)i = 0.

9.2. Seja δθ a forma elemento de ˆ angulo. Para todo z ∈ R2 − {0}, seja zˆ o vetor obtido de z por rota¸c˜ ao de 90◦ no sentido anti-hor´ ario. Tem-se δθ(z) · v = 2 hv, zî/|z| .

9.3. Seja λ : [a, b] → R2 − {0} um caminho regular fechado de classe C 1 , tal que d λ′ (t)i ≥ 0 para todo t ∈ [a, b] (na nota¸c˜ hλ(t), ao do exerc´ıcio anterior). Seja ainda ω uma 1-forma fechada em R2 − {0} tal que, para todo t ∈ [a, b], λ′ (t) pertence ao n´ ucleo de ω(λ(t)). Prove que ω é exata. 9.4. Uma 1-forma ω, fechada em R2 − {0} e limitada numa vizinhan¸ca da origem (isto é, seus coeficientes s˜ ao limitados numa bola de centro 0) é exata. Mostre que o resultado ainda vale se supusermos apenas que lim |z| · ω(z) = 0. No z→0

primeiro caso, mostre que existe sempre f : R2 → R cont´ınua, com df = ω em R2 − {0}.

9.5. Seja ω uma 1-forma fechada num aberto U ⊂ R2 , complementar de uma bola fechada centrada na origem. Se lim |z|ω(z) = 0 ent˜ ao ω é exata. Conclua |z|→∞

que a 1-forma fechada ω é exata desde que se anule para todo z de m´ odulo suficientemente grande. Em particular, se ω tem suporte compacto ent˜ ao ω é exata. [O suporte de uma forma ω é o fecho do conjunto dos pontos z tais que ω(z) 6= 0.]

9.6. Mostre que a forma diferencial definida em R2 − {0}) ω=

ex [(x cos y + y sen y)dy + (x sen y − y cos y)dx] x2 + y 2

p se escreve como ω = ex · cos y · δθ + ex · sen y · d(log r), onde r(x, y) = x2 + y 2 . Verifique que ω é fechada e que α = ω − δθ cumpre a condi¸c˜ ao lim |z|α(z) = 0. R z→0 2 Conclua que α é exata em R − {0}. A partir da´ı, calcule λ ω para qualquer caminho fechado λ de classe C 1 em R2 − {0}.

9.7. Prove que toda fun¸c˜ ao harmˆ onica em R2 − {0} é igual ` a parte p real de uma fun¸c˜ ao holomorfa mais um m´ ultiplo constante da fun¸c˜ ao log x2 + y 2 .

9.8. Seja U = Rm − F , onde m > 2 e F é um conjunto finito. Toda 1-forma fechada em U é exata.

9.9. Seja U = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 6= 0} o complementar do eixo z. Mostre que toda forma fechada em U se escreve como c · α + df , onde c ∈ R, f : U → R é xdy − ydx uma fun¸c˜ ao de classe C 2 e α(x, y, z) = · Em particular, H 1 (U ) tem x2 + y 2 dimens˜ ao 1.

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

245

9.10. Dado um retˆ angulo R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 , indique com ∂R = (x(t), y(t)) o caminho poligonal fechado que descreve o bordo de R no sentido anti-hor´ ario, isto é, x′ > 0 se y = c, x′ < 0 se y = d, y ′ > 0 se x = b e y ′ < 0 se x = a. Fixe um retˆ angulo R0 ⊂ R2 e considere uma 1-forma fechada ω, definida em U = R2 − ∂R0 . Se, para angulo R tal que ∂R ⊂ U , com o mesmo R algum retˆ centro de R0 , tem-se ∂R ω = 0, prove que existe uma fun¸c˜ ao f : U → R, de classe C 2 , tal que df = ω.

9.11. Sejam U, V ⊂ Rm abertos simplesmente conexos. Se U ∩ V é conexo, ent˜ ao a reuni˜ ao U ∪ V é simplesmente conexa. Conclua da´ı uma nova demonstra¸c˜ ao de que, para m > 1, o conjunto Rm+1 − {0} é simplesmente conexo, logo a esfera S m também o é.

9.12. O suporte de uma aplica¸c˜ ao f : X → Rn , definida num conjunto X ⊂ Rm , é o conjunto supp ·f , formado pelos pontos x ∈ X tais que x = lim xk com xk ∈ X e f (xk ) 6= 0 para todo k ∈ N. Seja f : R → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua com suporte compacto. Prove que, a fim de existir uma fun¸c˜ ao g : R → R, de 1 ′ classe ario e suficiente que R +∞ C , com suporte compacto, tal que g = f , é necess´ Rb f (x)dx = 0. [A integral infinita significa, neste caso, apenas f (x)dx, −∞ a onde [a, b] é qualquer intervalo compacto contendo o suporte de f .]

9.13. Sejam α e β 1-formas fechadas com suporte compacto, definidas no aberto U ⊂ R2 . Escreva α ∼ β para indicar que α − β = df , onde f : U → R é uma fun¸c˜ ao de classe C 2 com suporte compacto, definida em U . Mostre que a rela¸c˜ ao f ∼ g é uma eq¨ uivalência no conjunto das 1-formas fechadas com suporte compacto definidas em U e que as classes de equivalência da´ı resultantes formam, de modo natural, um espa¸co vetorial Hc1 (U ), chamado o “grupo de cohomologia real de dimens˜ ao 1 com suporte compacto”do aberto U . Mostre que dim.Hc1 (R2 ) = 0. Mostre também que se U ⊂ R2 é um aberto limitado tal que R2 −U tem n+1 componentes conexas ent˜ ao dim .Hc1 (U ) = n. 2 Finalmente, se U é um aberto tal que R −U é limitado e tem n+1 componentes conexas ent˜ ao dim .Hc1 (U ) = n. [Sugest˜ ao: Toda 1-forma fechada de classe C 1 , com suporte compacto, definida em U é a restri¸c˜ ao de uma forma fechada de classe C 1 definida em R2 , igual a zero em R2 − U .]

9.14. Seja F = (a, b) : U → R2 um campo de vetores de classe C 1 no aberto U ⊂ R2 . A divergência e o rotacional de F s˜ ao as fun¸c˜ oes reais div .F =

∂a ∂b ∂b ∂a + , rot.F = − , ∂x ∂y ∂x ∂y

definidas em U . Uma fun¸c˜ ao f : U → R é a divergência de um campo de vetores em U se, e somente se, é o rotacional de um outro campo. Se U é convexo, prove que toda fun¸c˜ ao cont´ınua f : U → R é a divergência de algum campo de vetores F : U → R2 . (Se uma das derivadas parciais de f existe e é cont´ınua em U , o campo F pode ser tomado de classe C 1 .) 9.15. Seja f : U → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua com suporte compacto, definida num aberto U ⊂ R2 . Observe que f é a restri¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao cont´ınua definida em todo o plano e conclua que f é a divergência de algum campo de vetores 2 1 F : U → R2 . A fim de que exista um campo F : U → RR R de classe C e suporte compacto, tal que f = div .F , é necess´ ario que f (x, y)dxdy = 0. [Esta

246

[CAP. IV: INTEGRAIS CURVILÍNEAS

Rβ Rδ integral dupla significa α dx γ f (x, y)dy, onde f é suposta estendida a todo o plano, igual a zero fora de U , e [α, β] × [γ, δ] é qualquer retˆ angulo contendo o suporte de f .] 2 9.16. Seja ao de classe C 1 com suporte compacto. A condi¸c˜ ao RR f : R → R uma fun¸c˜ f (x, y)dxdy = 0 é suficiente para que seja f = div .F onde F : R2 → R é um campo de vetores de classe C 1 com suporte compacto. [Seja Q = {(x, y) ∈ 2 R contendo o suporte de f . Pondo a(x, y) = R x ; |x| ≤ k, |y| ≤ k} um quadrado 2 f (s, y)ds, veja que a : R → R é de classe C 1 e ∂a/∂x = f . A 1-forma −k R 2 ω = ady é fechada em U = R − Q e ∂R ω = 0 para todo retˆ angulo R ⊃ Q. Conclua que existe g : U → R de classe C 2 tal que ω = dg em U . A fun¸c˜ ao g n˜ ao est´ a definida em todo o plano, mas contorne esta dificuldade tomando ϕ : R → R de classe C 2 tal que ϕ(t) = 1 se |t| ≤ 2k e ϕ(t) = 0 se |t| ≥ 3k. Defina h : R2 → R pondo h(x, y) = 0 se (x, y) ∈ Q e h(x, y) = [1 − ϕ(x)ϕ(y)] · g(x, y) se (x, y) ∈ U . Agora vale dh = ω no aberto V = R2 − Q1 , onde Q1 = {(x, y) ∈ R2 ; |x| ≤ 3k, |y| ≤ 3k}. Finalmente, tome A = a − ∂h/∂y, B = ∂h/∂x. Mostre que ∂A/∂x + ∂B/∂y = f em R2 e A = B = 0 em V , logo F = (A, B) tem suporte compacto.]

9.17. Seja U ⊂ R2 aberto. Dadas duas fun¸c˜ oes f, g : U → R, de classe C 1 , com suporte compacto, escreva f ∼ g para indicar que f − g = div .F onde F : U → R2 é algum campo vetorial de classe C 1 com suporte compacto. Mostre que a rela¸c˜ ao f ∼ g é uma equivalência no conjunto das fun¸c˜ oes de classe C 1 com suporte compacto em U e que as classes de equivalência da´ı resultantes constituem, de modo natural, um espa¸co vetorial Hc2 (U ), chamado o “grupo de cohomologia real de dimens˜ RR ao 2 com suporte compacto” do aberto U . Mostre que a aplica¸c˜ ao f 7→ f dxdy é constante em cada classe, logo induz um homomorfismo (funcional linear) de Hc2 (U ) sobre R. Mostre que se U = R2 ent˜ ao esse homomorfismo é injetivo, logo dim Hc2 (R2 ) = 1. [Observa¸c˜ ao: Este resultado vale, em geral, para todo aberto conexo U ⊂ R2 .]

§10.

10.1. Seja F : U → R2 de classe C 2 no aberto U ⊂ R2 , contendo o disco D. Se F 0∈ / F (∂D), prove que n(F ; D) = n ;D . |F |

10.2. Sejam F, G : U → R2 aplica¸c˜ oes de classe C 2 no aberto U ⊂ R2 e D ⊂ U um disco fechado. Se 0 < |G(z)| < |F (z)| para qualquer z ∈ ∂D ent˜ ao n(F + G; D) = n(F ; D). 10.3. Seja F : U → R2 uma aplica¸c˜ ao de classe C 2 no aberto U ⊂ R2 , o qual contém o disco fechado D de centro 0. Se F (−z) = −F (z) 6= 0 para todo z ∈ ∂D ent˜ ao n(F ; D) é um n´ umero ´ımpar. Em particular, deve existir z ∈ D tal que F (z) = 0. 2

10.4. O polinˆ omio caracter´ıstico de uma matriz A ∈ Rm é o polinˆ omio, de grau m, p(λ) = det .(A − λI), onde I é a matriz identidade m × m. O espectro de A é o conjunto Esp(A) das ra´ızes (reais ou complexas) do polinˆ omio caracter´ıstico de A. Uma matriz A chama-se hiperb´ olica quando Esp(A)∩S 1 = ∅, isto é, quando nenhuma das ra´ızes do seu polinˆ omio caracter´ıstico é um n´ umero complexo de

´ [SEC. 10: A FORMULA DE KRONECKER

247 2

m´ odulo 1. Prove que o conjunto das matrizes hiperb´ olicas é aberto em Rm . Observe ainda que, se ε é qualquer n´ umero real, o espectro da matriz A − εI é obtido do espectro de A por uma transla¸c˜ ao horizontal de comprimento ε. Conclua da´ı que o conjunto das matrizes hiperb´ olicas, além de aberto, é denso 2 em Rm . 10.5. Mostre que o sistema de equa¸c˜ oes 3x2 − 2xy + y 2 = 2

4x2 + 2xy + 2y 2 = 3

possui uma solu¸c˜ ao no interior do disco unit´ ario em R2 . P |aj | para algum k ∈ [0, n] ent˜ ao o polinˆ omio p(z) = a0 +a1 z+· · ·+ 10.6. Se |ak | > j6=k

an z n possui exatamente k ra´ızes (contadas de acordo com suas multiplicidades) no disco unit´ ario |z| < 1.

10.7. Se F : U → C é holomorfa e D ⊂ U é um disco em cujo bordo C, F n˜ ao se anula, ent˜ ao Z F ′ (z) 1 dz. n(F ; D) = 2πi c F (z)

Cap´ıtulo V

Aplica¸c˜ oes Diferenci´ aveis 1

Diferenciabilidade de uma aplica¸ c˜ ao

Uma aplica¸cão f é diferenci´ avel no ponto a quando, para pequenos valores de v, o acréscimo f (a + v) − f (a) é, aproximadamente, uma fun¸cão linear de v. Mais precisamente: A aplica¸cão f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , diz-se diferenci´ avel no ponto a ∈ U quando existe uma aplica¸cão linear T : Rm → Rn tal que r(v) = 0. v→0 |v|

f (a + v) − f (a) = T · v + r(v), onde lim

Aqui, supõe-se tacitamente que a + v ∈ U , para que f (a + v) tenha sentido. Como U é aberto, existe δ > 0 tal que |v| < δ ⇒ a + v ∈ U . A igualdade acima é a defini¸cão do “resto”r(v). Uma vez dada T , a diferenciabilidade de f no ponto a tem sua essência na afirma¸cão de que r(v) é infinitésimo em rela¸cão a v, o que se exprime com lim r(v)/|v| = v→0

0. Ou, em termos expl´ıcitos: para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 < |v| < δ ⇒ |r(v)| < ε|v|. Em alguns casos, para evitar as exce¸cões causadas pelo denominador zero, é conveniente pôr o resto sob a forma r(v) = ρ(v) · |v|, onde a aplica¸cão ρ é definida, para todo v tal que a+v ∈ U , por ρ(v) = r(v)/|v|, se v 6= 0, e ρ(0) = 0. Então a diferenciabilidade de f no ponto a se exprime como f (a + v) − f (a) = T · v + ρ(v) · |v|, onde lim ρ(v) = 0, v→0

˜ [SEC. 1: DIFERENCIABILIDADE DE UMA APLICAC ¸ AO

249

de modo que ρ é cont´ınua no ponto 0. Como a validez da condi¸cão lim r(v)/|v| = 0 (ou lim ρ(v) = 0) inv→0

v→0

depende das normas tomadas em Rm e Rn , vemos que o fato de uma aplica¸cão ser ou não diferenci´ avel num determinado ponto também não depende das normas. Toda aplica¸cão diferenci´ avel num ponto é, evidentemente, cont´ınua nesse ponto. Vejamos agora como interpretar a transforma¸cão linear T : Rm → Rn que ocorre na defini¸cão acima. Seja f : U → Rn definida num aberto U ⊂ Rm . A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ Rm , é, por defini¸cão, f (a + tv) − f (a) ∂f (a) = lim ∈ Rn , t→0 ∂v t quando tal limite existe. ∂f Podemos visualizar (a) do seguinte modo: seja δ > 0 tal que o ∂v segmento de reta aberto (a − δv, a + δv) esteja contido em U . O caminho retil´ıneo λ : (−δ, δ) → U , dado por λ(t) = a + tv, é transformado por f no caminho f ◦ λ : t 7→ f (a + tv), no espa¸co Rn . A derivada direcional ∂f (a) é o vetor-velocidade de f ◦ λ no instante t = 0. ∂v

0 −δ

∂f ∂v (a)

U

δ λ

v

a + tv

f (a + tv)

f f (a)

a

Rn

∂f1 ∂fn (a), . . . , (a) . Quando ∂v ∂v ∂f v = ej é o j-ésimo vetor da base canônica de Rm , escreve-se (a) em ∂xj ∂f ∂f1 ∂f ∂fn vez de (a). Assim, (a) = (a), . . . , (a) . ∂ej ∂xj ∂xj ∂xj ∂f Se f = (f1 , . . . , fn ) então (a) = ∂v

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

250

Supondo f diferenci´ avel no ponto a, para todo v ∈ Rm e qualquer t ∈ R suficientemente pequeno tem-se f (a + tv) − f (a) = T · tv + ρ(tv) · |tv|, com lim ρ(tv) = 0. v→0

Como T · tv = t · T · v e |tv| = |t| · |v|, segue-se, para t 6= 0: f (a + tv) − f (a) = T · v ± ρ(tv) · |v|, t f (a + tv) − f (a) = T · v. t→0 t ∂f (a). Portanto T · v = ∂v Em particular, vemos que é u ńica a transforma¸cão linear T que fornece a boa aproxima¸cão para o acréscimo f (a + v) − f (a) na vizinhan¸ca do ponto a. Ela é chamada a derivada de f no ponto a e indicada com a nota¸cão f ′ (a). Portanto, se f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , é diferenci´ avel no ponto a ∈ U , sua derivada é a aplica¸cão linear f ′ (a) : Rm → Rn , caracterizada por

donde lim

r(v) = 0, v→0 |v|

f (a + v) − f (a) = f ′ (a) · v + r(v), com lim ou

f (a + v) − f (a) = f ′ (a) · v + ρ(v)|v|, com lim ρ(v) = 0. v→0

` vezes usa-se também a nota¸cão Df (a) em vez de f ′ (a). As Para n = 1, a derivada f ′ (a) coincide com a diferencial df (a), estudada no Cap´ıtulo III. Quando m = n = 1, a transforma¸cão linear f ′ (a) : R → R confunde-se com o n´ umero f ′ (a) · 1 e, para todo v ∈ R, ′ f (a) · v é simplesmente o produto do n´ umero f ′ (a) (já conhecido desde o Volume 1) pelo n´ umero v. A transforma¸cão linear f ′ (a) : Rm → Rn possui, em rela¸cão às bases canônicas de Rm e Rn , uma matriz n × m chamada a matriz jacobiana de f no ponto a, indicada com a nota¸ cão Jf (a). Suas m colunas ∂f ∂f1 ∂fn s˜ ao os vetores f ′ (a) · ej = (a) = (a), . . . , (a) . Assim, ∂xj ∂xj ∂xj ∂fi Jf (a) = (a) , onde f1 , . . . , fn : U → R s˜ ao as fun¸cões-coordenada ∂xj

˜ [SEC. 1: DIFERENCIABILIDADE DE UMA APLICAC ¸ AO

251

∂fi ∂fi (a), . . . , (a) é, como sabede f . Cada uma das n linhas ∂x1 ∂xm mos, a matriz 1 × m do funcional linear dfi (a) = diferencial da i-ésima fun¸cão-coordenada fi . Para todo v ∈ Rm , temos ∂f1 ∂fn ∂f ′ (a) = (a), . . . , (a) = f (a) · v = ∂v ∂v ∂v = (df1 (a) · v, . . . , dfn (a) · v).

A igualdade vetorial f (a + v) − f (a) = f ′ (a) · v + r(v) equivale às n igualdades numéricas fi (a + v) − fi (a) = dfi (a) · v + ri (v), onde r(v) = (r1 (v), . . . , rn (v)), enquanto que o limite vetorial lim r(v)/|v| = 0 v→0

corresponde aos n limites numéricos lim ri (v)/|v| = 0. Isto prova o v→0 n R é diferenci´ avel

Teorema 1. A aplica¸ca õ f : U → no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das suas fun¸co ˜es-coordenada f1 , . . . , fn : U → R é diferenci´ avel nesse ponto. Corol´ ario. A aplica¸ca õ f = (g, h) : U → Rn × Rp , dada por f (x) = (g(x), h(x)), é diferenci´ avel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplica¸co ˜es coordenadas g : U → Rn e h : U → Rp o é. No caso afirmativo, f ′ (a) = (g ′ (a), h′ (a)) : Rm → Rn × Rp .

Com efeito, as fun¸cões-coordenada de f s˜ ao as fun¸cões-coordenada de g mais as de h. O Teorema 1 permitirá, mais adiante, reduzir algumas proposi¸cões sobre aplica¸cões diferenci´ aveis a fatos an´ alogos sobre fun¸cões, já demonstrados no Cap´ıtulo III. No momento, faremos uma observa¸caõ simples, dele decorrente. Se f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , é diferenciável no ponto a ∈ U então, dado qualquer vetor v ∈ Rm , temos ∂f f ′ (a) · v = (a) = (f ◦ λ)′ (0) = vetor-velocidade, no instante t = 0, ∂v do caminho f ◦ λ : (−δ, δ) → Rn , onde λ : (−δ, δ) → U não precisa ser o caminho retil´ıneo λ(t) = a + tv, mas pode ser qualquer caminho ′ diferenci´ avel no ponto t = 0, tal que λ(0) = a e λ (0) = v. Basta ∂f ∂f1 ∂fn notar que (a) = (a), . . . , (a) e este fato é verdadeiro para ∂v ∂v ∂v fun¸cões diferenci´ aveis. (Veja a observa¸cão ap´ os o Corolário 2 da Regra da Cadeia, no §3 do Cap´ıtulo III.) Uma aplica¸cão f : U → Rn diz-se diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm quando é diferenci´ avel em todos os pontos de U . Neste caso, fica definida

252

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

a aplica¸ca õ derivada f ′ : U → L(Rm ; Rn ), que associa a cada ponto x ∈ U a transforma¸cão linear f ′ (x) : Rm → Rn , derivada de f naquele ponto. ∂f Fica também definida, para cada v ∈ Rm , a aplica¸cão : U → Rn , cujo ∂v ∂f valor num ponto x ∈ U é a derivada direcional (x) = f ′ (x) · v. ∂v O espa¸co vetorial L(Rm ; Rn ), formado pelas transforma¸cões lineares T : Rm → Rn , possui, como sabemos, uma norma natural, dada por |T | = sup {|T · v|; v ∈ Rm , |v| = 1}. Identificaremos L(Rm ; Rn ) com Rnm fazendo corresponder a cada transforma¸cão linear T : Rm → Rn sua matriz em rela¸cão ` as bases canônicas de Rm e Rn . Com esta identifica¸cão, as fun¸cões-coordenada de uma aplica¸cão ϕ : X → L(Rm ; Rn ), definida num conjunto X ⊂ Rp , s˜ ao as nm fun¸cões ϕij : X → R tais que, para todo x ∈ X, ϕij (x) = (i, j)-ésimo elemento da matriz da transforma¸cão linear ϕ(x). Como duas normas quaisquer em Rnm s˜ ao equivalentes, resulta então do Teorema 12, Cap´ıtulo I, que uma aplica¸cão ϕ : X → L(Rm ; Rn ) é cont´ınua se, e somente se, cada elemento da matriz de ϕ(x) é uma fun¸cão cont´ınua de x. Resulta, por sua vez, do Teorema 1 acima que uma aplica¸cão ϕ : U → L(Rm ; Rn ) é diferenci´ avel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das fun¸cões ϕij : I → R, dadas por ϕij (x) = (i, j)ésimo elemento da matriz de ϕ(x), é diferenci´ avel no ponto a. Estas considera¸cões levam ao Teorema 2. Seja f : U → Rn definida no aberto U ⊂ Rm . As seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes: (1) f é diferenci´ avel e a aplica¸ca õ derivada f ′ : U → L(Rm ; Rn ) é cont´ınua; (2) As fun¸co ˜es-coordenada f1 , . . . , fn : U → R da aplica¸ca õ f possuem ∂fi : U → R; derivadas parciais cont´ınuas ∂xj (3) Para cada v ∈ Rm , existe a derivada direcional (∂f /∂v)(x) em qualquer ponto x ∈ U e a aplica¸ca õ ∂f /∂v : U → Rn é cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao: (1) ⇒ (2) porque as derivadas parciais ∂fi /∂xj s˜ ao as fun¸cões-coordenada da alica¸cão f ′ . Pelo Teorema 1, Cap´ıtulo III, (2) implica que cada fun¸cão fi é diferenci´ avel, logo f é diferenci´ avel (Teo′ rema 1, acima) e a aplica¸cão derivada f é cont´ınua pois suas fun¸cõescoordenada o s˜ ao. Isto mostra que (2) ⇒ (1). Em seguida, supondo (2)

˜ [SEC. 1: DIFERENCIABILIDADE DE UMA APLICAC ¸ AO

temos f diferenci´ avel, logo

253

∂f ∂f = Σ αj , onde v = (α1 , . . . , αm ). Ora, ∂v ∂xj

∂f : U → Rn é cont´ınua porque suas fun¸cões-coordenada ∂xj ∂f o s˜ ao. Logo é cont´ınua, isto é, (2) ⇒ (3). Finalmente, supondo (3) ∂v então, em particular, tomando v = ej vemos que para j = 1, . . . , m, as derivadas parciais ∂f /∂xj : U → Rn s˜ ao cont´ınuas, logo é cont´ınua cada uma das suas fun¸cões-coordenada ∂fi /∂xj : U → R. Assim, (3) ⇒ (2), o que completa a demonstra¸cão. Diz-se que a aplica¸cão f : U → Rn é de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm , e escreve-se f ∈ C 1 , para significar que f cumpre uma das (e portanto todas as) condi¸cões do teorema acima. Em particular, f ∈ C 1 se, e somente se, cada uma das suas fun¸cõescoordenada é de classe C 1 . Uma aplica¸cão f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , diz-se duas vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ U quando é diferenci´ avel em U e cumpre as condi¸cões abaixo: cada aplica¸cão

(1) A aplica¸cão derivada f ′ : U → L(Rm ; Rn ) é diferenci´ avel no ponto a; (2) Cada derivada parcial ponto a;

∂fi : U → R é uma fun¸cão diferenci´ avel no ∂xj

(3) Para cada vetor v ∈ Rm , a derivada direcional ∂f /∂v : U → Rn é uma aplica¸cão diferenci´ avel no ponto a. Como no Teorema 2, vê-se facilmente que as três condi¸cões acima s˜ ao equivalentes, de modo que f cumpre uma delas se, e somente se, cumpre todas. Quando f : U → Rn é duas vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ U ⊂ Rm , sua derivada segunda no ponto a é a aplica¸cão bilinear f ′′ (a) : Rm × Rm → Rn , cujo valor no ponto (v, w) ∈ Rm × Rm é o vetor ∂ ∂f ′′ f (a) · v · w = (a) ∈ Rn . ∂w ∂v

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

254

∂2f ∂ ∂f (a). Se (a) em vez de Como é natural, escreveremos ∂w ∂v ∂w∂v v = (α1 , . . . , αm ) e w = (β1 , . . . , βm ) então   X ∂ ∂ ∂f ∂f  (a) =  f ′′ (a) · v · w = (a) = αj ∂w ∂v ∂w ∂xj j

=

m X

αj βk

j,k=1

∂2f (a) ∂xk ∂xj

é o vetor de Rn cujas coordenadas s˜ ao os n´ umeros fi′′ (a)

·v·w =

m X

j,k=1

∂ 2 fi (a) · αj βk , i = 1, . . . , n. ∂xk ∂xj

Segue-se do Teorema de Schwarz para fun¸cões (Cap´ıtulo III, §7) que · v · w = fi′′ (a) · w · v para todo i ∈ [1, n], donde f ′′ (a) · v · w = ∂2f ∂2f (a) = (a) quando a aplica¸cão f : U → Rn f ′′ (a)·w ·v, ou seja ∂w∂v ∂v∂w é duas vezes diferenci´ avel no ponto a. Isto nos dá o fi′′ (a)

Teorema de Schwarz (para aplica¸cões). Se a aplica¸ca õ f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , é duas vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ U , ent˜ ao a derivada segunda f ′′ (a) : Rm ×Rm → Rn é uma aplica¸ca õ bilinear simétrica. Uma aplica¸cão f : U → Rn diz-se de classe C 2 no aberto U ⊂ Rm quando é diferenci´ avel e sua derivada f ′ : U → L(Rm ; Rn ) é de classe C 1 . Isto equivale a dizer que, para cada v ∈ Rm , a derivada ∂f /∂v : U → Rn é de classe C 1 ou ainda, que, para i ∈ [1, n] e j, k ∈ [1, m] arbitr´ arios, existem e s˜ ao cont´ınuas as derivadas segundas ∂ 2 fi /∂xj ∂xk : U → R das fun¸cões-coordenada de f . Por indu¸cão, dizemos que a aplica¸cão f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , é k vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ U quando f é diferenci´ avel ′ m n em U , e a aplica¸cão derivada f : U → L(R ; R ) é k − 1 vezes diferenci´ avel no ponto a, o que equivale a dizer que, para todo vetor v ∈ Rm , a derivada direcional ∂f /∂v : U → Rn é uma aplica¸cão k − 1 vezes diferenci´ avel no ponto a, ou ainda, que as derivadas parciais ∂fi /∂xj : U → R s˜ ao todas fun¸cões k − 1 vezes diferenci´ aveis no ponto a. n Quando f : U → R é k vezes diferenci´ avel no ponto a, define-se a k-ésima derivada (ou derivada de ordem k) de f no ponto a como a

˜ [SEC. 1: DIFERENCIABILIDADE DE UMA APLICAC ¸ AO

255

aplica¸cão k-linear f (k) (a) : Rm × · · · × Rm → Rn cujo valor no ponto (v1 , . . . , vk ) ∈ Rm × · · · × Rm é o vetor f (k) (a) · v1 · · · vk =

∂kf (a) ∈ Rn . ∂vk ∂vk−1 . . . ∂v1

´ um corolário do Teorema de Schwarz que a k-ésima derivada E é uma aplica¸cão k-linear simétrica. Por exemplo, se k = 3 e n = 1, dados os vetores u = (α1 , . . . , αm ), v = (β1 , . . . , βm ) e w = (γ1 , . . . , γm ), temos

f (k) (a)

f (3) (a) · u · v · w =

X

∂3f (a)αi βj γk ∂xi ∂xj ∂xk

e sabemos do Cap´ıtulo III que as derivadas parciais ∂ 3 f /∂xi ∂xj ∂xk independem da ordem dos ´ındices i, j, k. A aplica¸cão f : U → Rn diz-se de classe C k no aberto U ⊂ Rm quando é diferenci´ avel e sua derivada f ′ : U → L(Rm ; Rn ) é uma aplica¸cão k−1 de classe C . Isto equivale a dizer que, para todo v ∈ Rm , a aplica¸cão ∂f /∂v : U → Rn é de classe C k−1 , ou que existem e s˜ ao cont´ınuas em U todas as derivadas parciais de ordem ≤ k das fun¸cões coordenadas de f . Escreve-se, então f ∈ C k . Para completar, f diz-se de classe C 0 quando é cont´ınua, e de classe ∞ C quando f ∈ C k para todo k = 0, 1, 2, . . . Evidentemente, f ∈ C k ⇒ f ∈ C k−1 . Quando v1 = · · · = vk = v, o valor da aplica¸cão k-linear f (k) (a) na k lista (v, . . . , v) será indicado com f (k) (a) · v . . . v. Em particular, se f : U → R é uma fun¸ca õ k vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ U , sua k-ésima diferencial no ponto a, definida no Cap´ıtulo III é dk (a) · v k = f (k) (a) · v k . Finalmente, observamos que f = (g, h) : U → Rn × Rp , dada por f (x) = (g(x), h(x)), é k vezes diferenci´ avel num ponto (ou de classe C k em U ) se, e somente se, suas aplica¸cões coordenadas g : U → Rn , h : U → Rp s˜ ao k vezes diferenci´ aveis nesse ponto (ou de classe C k em U ).

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

256

2

Exemplos de aplica¸ c˜ oes diferenci´ aveis

Exemplo 1. Toda aplica¸cão constante é de classe C ∞ e sua derivada é nula. Exemplo 2. Toda aplica¸cão linear T : Rm → Rn é diferenci´ avel e, em cada ponto x ∈ Rm , temos T ′ (x) = T . Com efeito, T (x + v) − T (x) = T · v + 0. A aplica¸cão derivada T ′ : Rm → L(Rm ; Rn ) é constante, logo T ∈ C ∞.

Exemplo 3. Toda aplica¸cão bilinear ϕ : Rm × Rn → Rp é diferenci´ avel e, em cada ponto (a, b) ∈ Rm ×Rn , sua derivada é a transforma¸cão linear ϕ′ (a, b) : Rm × Rn → Rp , definida por ϕ′ (a, b) · (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w). Com efeito, a bilinearidade de ϕ nos dá ϕ(a + v, b + w) − ϕ(a, b) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) + ϕ(v, w). Sabemos (veja a observa¸cão (7.2) no §7 do Cap´ıtulo I) que existe uma constante c > 0 tal que |ϕ(v, w)| ≤ c|v| |w| para todo v ∈ Rm e todo w ∈ Rn . Fazendo uso da norma da soma, temos |(v, w)| = |v| + |w|. Logo |ϕ(v, w)| c|v| |w| ≤ ≤ c|v| e da´ı, |(v, w)| |v| + |w|

ϕ(v, w) = 0. (v,w)→(0,0) |(v, w)| lim

Fica, então, cumprida a condi¸cão de diferenciabilidade, com ϕ′ (a, b) : (v, w) 7→ ϕ(v, b) + ϕ(a, w) e r(v, w) = ϕ(v, w). O mesmo racioc´ınio mostra que se ξ : Rm × Rn × Rp → Rk é trilinear então ξ é diferenci´ avel em todo ponto (a, b, c) ∈ Rm × Rn × Rp , sendo ′ sua derivada ξ (a, b, c) : Rm × Rn → Rk a aplica¸cão linear dada por ξ ′ (a, b, c) · (u, v, w) = ξ(u, b, c) + ξ(a, v, c) + ξ(a, b, w). Mais geralmente, toda aplica¸cão k-linear µ : Rm1 × · · · × Rmk → Rn é diferenci´ avel e sua derivada no ponto a = (a1 , . . . , ak ) é a transforma¸cão linear µ′ (a) : Rm1 × · · · × Rmk → Rn , dada por ′

µ (a) · (v1 , . . . , vk ) =

k X i=1

µ(a1 , . . . , ai−1 , vi , ai+1 , . . . , ak ).

˜ ´ [SEC. 2: EXEMPLOS DE APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

257

Casos particulares importantes de aplica¸cões bilineares s˜ ao o produto m m interno ϕ : R ×R → R, ϕ(x, y) = hx, yi, e a multiplica¸cão de matrizes µ : Rpn × Rnm → Rpm , µ(X, Y ) = XY , cujas derivadas s˜ ao dadas por ϕ′ (x, y) · (v, w) = hv, yi + hx, wi e µ′ (X, Y ) · (V, W ) = V Y + XW . Um exemplo interessante de aplica¸cão n-linear é a fun¸cão determi2 nante, det : Rn × · · · × Rn = Rn → R, onde escreveremos det X = det (X1 , . . . , Xn ) para enfatizar que det X depende linearmente de cada uma das n linhas Xi da matriz X = (X1 , . . . , Xn ). Sua derivada 2 no ponto X é o funcional linear det ′ (X) : Rn → R, cujo valor a matriz V = (V1 , . . . , Vn ) é ′

det (X) · V =

n X

det (X1 , . . . , Xk−1 , Vk , Xk+1 , . . . , Xn ).

k=1

Em particular, se V = Eij = matriz cujo (i, j)-ésimo elemento é igual a 1 e os demais s˜ ao zero, então todas as parcelas do somatório acima s˜ ao nulas, salvo a i-ésima, que é igual a (−1)i+j X[i,j] , onde X[i,j] é o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de X pela omiss˜ ao da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Então ∂ det (X) = det ′ (X) · Eij = (−1)i+j X[i,j] , ∂xij e reobtemos assim um fato já conhecido. (Exemplo 26 do Cap´ıtulo III.) Toda aplica¸cão k-linear é de classe C ∞ pois suas fun¸cões-coordenada s˜ ao ainda k-lineares e portanto s˜ ao polinˆ omios. Por exemplo, se f : Rm × Rn → R é uma fun¸cão bilinear, pomos f (ei , ej ) = aij e, P para quaisquer x = (x1 , . . . , xm ), y = (y1 , . . . , yn ) temos f (x, y) = aij xi yj . Ou i,j

ainda: se f : Rm P × Rn × Rp → R é trilinear, pondo f (ei , ej , ek ) = aijk aijk xi yj zk . vem f (x, y, z) = i,j,k

2

Exemplo 4. O conjunto U = GL(Rn ) ⊂ Rn , formado pelas matrizes invert´ıveis n × n, é aberto porque a fun¸cão determinante é cont´ınua e 2 X ∈ U ⇔ det X 6= 0. Mostraremos que a aplica¸cão f : U → Rn , dada por f (X) = X −1 , é diferenci´ avel e sua derivada no ponto A ∈ U 2 2 ′ n é a transforma¸cão linear f (A) : R → Rn , definida por f ′ (A) · V = −A−1 · V · A−1 . Com efeito, se escrevermos (A + V )−1 − A−1 = −A−1 · V · A−1 + r(V )

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

258

e multiplicarmos ambos os membros desta igualdade, à esquerda, por A + V , obteremos I − I − V A−1 = −V A−1 − (V A−1 )2 + (A + V ) · r(V ), donde r(V ) = (A + V )−1 · (V A−1 )2 .

[Note que, sendo U aberto, existe (A + V )−1 para todo V com norma suficientemente pequena.] Da´ı resulta |r(V )| ≤ |(A + V )−1 | · |A−1 |2 · |V |2 . Segue-se então do lema abaixo que lim r(V )/|V | = 0. V →0

2 Rn

Lema. Seja A ∈ invert´ıvel. Existe c > 0 tal que, para toda matriz n × n, V , com |V | ≤ c, A + V é invert´ıvel e |(A + V )−1 | ≤ 1/c.

Demonstra¸ c˜ ao: Tomando c = (2|A−1 |)−1 vem |x| = |A−1 Ax| ≤ −1 |A | |Ax|, donde |Ax| ≥ 2c|x| para todo x ∈ Rn . Então |V | ≤ c ⇒ |(A + V )x| = |Ax + V x| ≥ |Ax| − |V x| ≥ 2c|x| − c|x| = c|x|. Logo |V | ≤ c ⇒ A+V invert´ıvel e |x| = |(A+V )(A+V )−1 x| ≥ c|(A+V )−1 x|, donde |(A + V )−1 x| ≤ |x|/c para todo x ∈ Rn , ou seja, |V | ≤ c ⇒ |(A + V )−1 | ≤ 1/c. Em particular, a inversão de matrizes f : X → X −1 é uma aplica¸cão 2 cont´ınua de U em Rn . Como f (U ) = U e f = f −1 , vemos que f é um homeomorfismo de U sobre si mesmo. Completando o Exemplo 4, mostraremos agora que a inversão de 2 matrizes f : U → Rn é uma aplica¸cão C ∞ . Para isso, fixemos V ∈ 2 2 Rn . A derivada direcional ∂f /∂V : U → Rn é dada por ∂f /∂V (X) = 2 2 2 −X −1 V X −1 . Seja ϕ : Rn × Rn → Rn a aplica¸cão bilinear tal que 2 ϕ(X, Y ) = XV Y . Então ∂f /∂V = −ϕ ◦ (f, f ), onde (f, f ) : U → Rn × 2 Rn é dada por (f, f )(X) = (X −1 , X −1 ). (f,f )

2

2

−ϕ

2

U −→ Rn × Rn −→ Rn

X 7→ (X −1 , X −1 ) 7→ −X −1 V X −1 =

∂f (S). ∂V

Segue-se que ∂f /∂V é cont´ınua, seja qual for V , donde f ∈ C 1 . Então, (f, f ) ∈ C 1 . Pelo Exemplo 3, a aplica¸cão bilinear ϕ é de classe C ∞ . Admitindo (como será mostrado no §3, logo a seguir) que a composta de

˜ ´ [SEC. 2: EXEMPLOS DE APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

259

duas aplica¸cões de classe C k é de classe C k , concluiremos que ∂f /∂V = 2 ϕ ◦ (f, f ) é de classe C 1 , para todo V ∈ Rn . Logo f ∈ C 2 . Repetindo o argumento, veremos que f ∈ C k para todo k, ou seja f ∈ C ∞ . Sejam U , V abertos do espa¸co euclidiano. Uma bije¸cão f : U → V chama-se um difeomorfismo de U sobre V quando é diferenci´ avel e sua inversa f −1 : V → U também o é. A inversão de matrizes é um exemplo de difeomorfismo f : U → U , de classe C ∞ , onde U é o conjunto das matrizes invert´ıveis n × n. Neste caso particular, temos f −1 = f . Observa¸ c˜ ao: O leitor, com alguma razão, pode indagar como se atinou com a forma da derivada f ′ (A) : V 7→ −A−1 · V · A−1 para a inversão de matrizes f : X 7→ X −1 . Esta é uma boa pergunta, em geral. Existem critérios indiretos, como o Teorema das Fun¸cões Impl´ıcitas, (ou, em alguns casos, o Teorema 2 acima) que permitem concluir que uma certa aplica¸cão é diferenci´ avel, sem que se conhe¸ca como opera sua derivada. Na ausência desses métodos indiretos, fica o problema de obter um candidato razo´ avel para a derivada, sem o qual não se pode provar a diferenciabilidade da aplica¸cão. Um processo aceitável (quando pode ser aplicado) é o de desenvolver f (a + v) (ou cada uma das suas fun¸cõescoordenada) em série de potências nas coordenadas de v, e destacar a parte do primeiro grau em rela¸cão a v: esta será f ′ (a) · v. No caso em quest˜ ao, temos f (A + V ) = (A + V )−1 = [(I + V A−1 ) · A]−1 = A−1 (I + V A−1 )−1 . Ora, a identidade (I −X)(I +X +· · ·+X n ) = I −X n+1 , onde 2 X ∈ Rm , mostra que, quando |X| < 1 (caso em que I − X é obviamente injetiva, donde invert´ıvel), fazendo n → ∞, tem-se (I − X) ·

∞ X

n=0

X n = I, donde (I − X)−1 =

∞ X

X n.

n=0

Tomando X = −V A−1 , concluimos que, quando |V | < |A−1 |−1 , vale (I + V A−1 )−1 =

∞ X

(−1)n (V A−1 )n ,

n=0

donde (A + V )−1 = A−1 ·

∞ X

n=0

(−1)n (V A−1 )n = A−1 − A−1 · V · A−1 + r(V ),

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

260 onde r(V ) =

∞ X

(−1)n A−1 (V A−1 )n

n=2

cumpre a condi¸cão lim r(V )/|V | = 0. Segue-se que f ′ (A) · V = −A−1 · V →0

V ·A−1 . Note-se ainda que, quando n = 1, esta fórmula diz simplesmente que se f (x) = 1/x então f ′ (a) = −1/a2 . Exemplo 5. Uma fun¸cão de variável complexa f : U → C, definida no aberto U ⊂ C, pode ser vista como uma aplica¸cão f : U → R2 , definida no aberto U ⊂ R2 . A derivada da fun¸cão complexa f no ponto z = x+iy é o n´ umero complexo definido pelo limite f (z + H) − f (z) , H→0 H

f ′ (z) = lim

quando tal limite existe. Isto equivale a afirmar que r(H) = 0. H→0 |H|

f (z + H) − f (z) = f ′ (z) · H + r(H), onde lim

Acima, f ′ (z) · H é uma multiplica¸cão de n´ umeros complexos. Portanto, a fun¸cão complexa f : U → C é derivável no ponto z ∈ U se, e somente se, a aplica¸cão f : U → R2 é diferenci´ avel nesse ponto e sua derivada f ′ (z) : R2 → R2 é uma transforma¸cão linear do plano que consiste em multiplicar por um n´ umero complexo fixo. Ora, as transforma¸cões deste tipo s˜ ao: a transforma¸cão nula (que consiste em multiplicar pelo n´ umero 0) e as semelhan¸cas positivas. (Veja o §3 do Cap´ıtulo I.) Se f = u + iv, ∂v ∂u ∂v ∂u (z) = (z) e (z) = − (z), as equa¸cões de Cauchy-Riemann ∂x ∂y ∂y ∂x vistas no Exemplo 6 do Cap´ıtulo III, exprimem meramente o fato de que a −b a matriz jacobiana Jf (z) tem a forma , como toda matriz de b a uma semelhan¸ca positiva, que consiste na multiplica¸cão por a+ib. Vistas de outro ˆ angulo, as equa¸cõ!es de Cauchy-Riemann dizem que o vetor ! ∂v ∂v ∂u ∂u ′ ′ f (z) · e2 = (z), (z) é obtido de f (z) · e1 = (z), (z) ∂y ∂y ∂x ∂x ◦ por meio de uma rota¸cão de 90 no sentido anti-horário (multiplica¸cão por i). Como e2 é obtido de e1 da mesma forma, isto caracteriza o fato de que a transforma¸cão linear f ′ (z) : R2 → R2 , ou é nula ou preserva ângulos orientados.

261

[SEC. 3: A REGRA DA CADEIA

Exemplo 6. Seja f : I → Rn um caminho definido no intervalo aberto I ⊂ R. No Cap´ıtulo II, dissemos que f é diferenci´ avel no ponto a ∈ I quando existe o vetor-velocidade v = lim[f (a+t)−f (a)]/t. Isto equivale t→0

a escrever f (a + t) − f (a) = t · v + r(t), onde lim r(t)/t = 0. Ora, existe t→0

um isomorfismo natural L(R, Rn ) ≈ Rn , que faz corresponder a cada transforma¸cão linear T : R → Rn o vetor v = T · 1 e, reciprocamente, a cada vetor v ∈ Rn associa a transforma¸cão linear T : R → Rn com T · t = t · v. Mediante este isomorfismo, um caminho é diferenci´ avel no sentido do Cap´ıtulo 2 se, e somente se, é diferenci´ avel no sentido deste cap´ıtulo.

3

A regra da cadeia

A versão intr´ınseca da Regra da Cadeia, que apresentaremos neste par´ agrafo, diz essencialmente que a derivada da aplica¸caõ composta é a composta das derivadas (tomadas nos pontos adequados). Regra da Cadeia (para aplica¸cões). Sejam U ⊂ Rm , V ⊂ Rn abertos, f : U → Rn diferenci´ avel no ponto a, com f (U ) ⊂ V , e g : V → Rp diferenci´ avel no ponto f (a). Ent˜ ao g ◦ f : U → Rp é diferenci´ avel no ′ ′ ponto a, com (g ◦ f ) (a) = g (f (a)) · f ′ (a) : Rm → Rp . Demonstra¸ c˜ ao: Sejam g1 , . . . , gp : V → R as fun¸cões-coordenada de g. As fun¸cões-coordenada de g ◦ f s˜ ao g1 ◦ f, . . . , gp ◦ f : U → R. Pelo Teorema 1, juntamente com a Regra da Cadeia para fun¸cões, elas s˜ ao diferenci´ aveis no ponto a, logo g ◦ f é diferenci´ avel nesse ponto. Seja agora v ∈ Rm um vetor arbitr´ ario. Tomemos um caminho λ : (−δ, δ) → U , diferenci´ avel no ponto t = 0, com λ(0) = a e λ′ (0) = v. (Por exemplo, λ(t) = a + tv.) Então f ◦ λ é um caminho em V , diferenci´ avel no ponto t = 0, com (f ◦ λ)(0) = f (a) e (f ◦ λ)′ (0) = f ′ (a) · v.

Analogamente, g◦f ◦λ é um caminho em Rp , diferenci´ avel no instante t = 0 e seu vetor-velocidade é (g ◦ (f ◦ λ))′ (0) = g ′ (f (a)) · f ′ (a) · v por um lado, e, por outro lado, é ((g ◦ f ) ◦ λ)′ (0) = (g ◦ f )′ (a) · v. Segue-se que (g ◦ f )′ (a) · v = g ′ (f (a)) · f ′ (a) · v para todo v ∈ Rm , logo (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a) : Rm → Rp .

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

262

Rp U

V

δ 0 −δ

f ′ (a)· v

v λ a

f

g f (a)

λ(t)

g(f (a))

(f ◦ λ)(t)

(g ◦ f ◦ λ)(t)

g◦f

∂fi ∂gi (a) , Jg(f (a)) = (f (a)) e ∂xj ∂xj

Corol´ ario 1. Sejam Jf (a) = ∂(gi ◦ f ) J(g ◦ f )(a) = (a) as matrizes jacobianas das aplica¸co ˜es f , ∂xj g e g ◦ f nos pontos indicados. Supondo f diferenci´ avel no ponto a e g diferenci´ avel no ponto f (a), tem-se J(g ◦ f )(a) = Jg(f (a)) · Jf (a).

Observe que Jf é uma matriz n × m, Jg é p × n e J(g ◦ f ) é p × m. Como as matrizes jacobianas s˜ ao simplesmente as matrizes das derivadas, a igualdade J(g ◦ f )(a) = Jg(f (a)) · Jf (a) é apenas a formula¸cão da Regra da Cadeia em termos de matrizes, em vez de transforma¸cões lineares. Pela defini¸cão bem conhecida da multiplica¸cão de matrizes, temos, para cada i = 1, . . . , p e cada j = 1, . . . , m: n

X ∂gi ∂fk ∂(gi ◦ f ) (a) = (a). (f (a)) · ∂xj ∂yk ∂xj k=1

As igualdades acima s˜ ao a Regra da Cadeia para as fun¸cões-coordenada gi ◦f . Convém notar, entretanto, que a demonstra¸cão acima não permite que se conclua dela uma nova prova da Regra da Cadeia para fun¸cões, pois esta foi usada tacitamente quando admitimos que se pode obter g ′ (f (a))·w (com w = f ′ (a)·v) como o vetor-velocidade do caminho g◦f ◦λ no ponto t = 0, usando apenas que (f ◦ λ)′ (0) = w e (f ◦ λ)(0) = f (a). Se f e g s˜ ao diferenci´ aveis em todos os pontos dos seus dom´ınios, podemos escrever a igualdade de fun¸cões abaixo, para quaisquer i ∈ [1, p] e j ∈ [1, m]: n

∂(gi ◦ f ) X = ∂xj k=1

∂gi ◦f ∂yk

·

∂fk : U → R. ∂xj

[SEC. 3: A REGRA DA CADEIA

263

Da´ı decorre (como no Corolário 2 do Teorema 1, no final do §3, Cap´ıtulo III), com aux´ılio do Teorema 2 acima, o Corol´ ario 2. A composta de duas aplica¸co ˜es de classe C k é uma k aplica¸ca õ de classe C . ´ E instrutivo formular a demonstra¸cão do corolário acima em termos intr´ınsecos. A idéia da prova é exatamente a mesma, mudando apenas a linguagem. Sejam pois f, g ∈ C k . A Regra da Cadeia diz que, para cada x ∈ U , (g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x)) · f ′ (x). Considerando as aplica¸cões derivadas f ′ : U → L(Rm ; Rn ), g ′ : V → L(Rn ; Rp ) e (g ◦ f )′ : U → L(Rm ; Rp ), a igualdade acima se traduz em: (g ◦ f )′ = (g ′ ◦ f ) · f ′ : U → L(Rm ; Rp ), onde o s´ımbolo ◦ indica composi¸cão de aplica¸cões e · significa produto de transforma¸cões lineares. Podemos ainda considerar a multiplica¸cão de transforma¸cões lineares como uma aplica¸cão bilinear µ : L(Rn ; Rp ) × L(Rm ; Rn ) → L(Rm ; Rp ), onde µ(T, S) = T · S. Então a Regra da Cadeia para as aplica¸cões derivadas se exprime, em termos ainda mais expl´ıcitos, como (*)

(g ◦ f )′ = µ ◦ (g ′ ◦ f, f ′ ),

onde (g ′ ◦ f, f ′ ) : U → L(Rn ; Rp ) × L(Rm ; Rn ) é a aplica¸cão que tem por coordenadas g ′ ◦ f e f ′ . Examinemos a igualdade (*). Sabemos que µ ∈ C ∞ , isto é, µ ∈ C k para todo k. Come¸camos supondo f, g ∈ C 1 . Então g ′ , f ′ ∈ C 0 , por defini¸cão. Logo g ′ ◦ f, f ′ ∈ C 0 , donde µ ◦ (g ′ ◦ f, f ′ ) ∈ C 0 e da´ı (g ◦ f )′ ∈ C 0 o que significa g ◦ f ∈ C 1 . Se, porém g, f ∈ C 2 então, por defini¸cão, g ′ , f ′ ∈ C 1 . Pelo que acabamos de ver, isto implica g ′ ◦ f ∈ C 1 . Logo (g ′ ◦ f, f ′ ) ∈ C 1 e, como µ ∈ C 1 , µ ◦ (g ′ ◦ f, f ′ ) ∈ C 1 , isto é, (g ◦ f )′ ∈ C 1 , donde g ◦ f ∈ C 2 . E assim por diante. Corol´ ario 3. Se a aplica¸ca õ f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm e diferenci´ avel no ponto a ∈ U , admite uma inversa g = f −1 : V → Rm , definida no aberto V ⊂ Rn e diferenci´ avel no ponto b = f (a), ent˜ ao ′ m n ′ n m f (a) : R → R é um isomorfismo, cujo inverso é g (b) : R → R . Em particular, m = n. De g ◦ f = idU e f ◦ g = idV segue-se, pela Regra da Cadeia, g ′ (b) · f ′ (a) = id : Rm → Rm e f ′ (a) · g ′ (b) = id : Rn → Rn . Assim, g ′ (b) = f ′ (a)−1 .

264

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Em conseq¨ uência do corolário acima, se f : U → V é um difeomorfismo entre os abertos U ⊂ Rm e V ⊂ Rn (bije¸cão, com f e f −1 ambas diferenci´ aveis), então, para todo x ∈ U , a derivada f ′ (x) : Rm → Rn é um isomorfismo. Em particular, m = n e U, V ⊂ Rm s˜ ao abertos do mesmo espa¸co euclidiano. Existe um teorema de Topologia, devido a L.E.J. Brouwer (“teorema da invariância da dimens˜ ao”) segundo o qual se U ⊂ Rm e V ⊂ Rn s˜ ao abertos homeomorfos então m = n. A demonstra¸cão é bem mais dif´ıcil. (Veja [4], pág. 359.) Um exemplo de homeomorfismo C ∞ cujo inverso não é diferenci´ avel 3 (no ponto 0) é dado pela fun¸cão f : R → R, onde f (x) = x . Isto mostra que um difeomorfismo não é a mesma coisa que um homeomorfismo diferenci´ avel. Ainda nesta ordem de idéias, é interessante observar que se f : U → V é um difeomorfismo entre abertos U, V ⊂ Rm , sabendo-se que f ∈ C k (1 ≤ k ≤ ∞) conclui-se que seu inverso g = f −1 : V → U (por defini¸cão, suposto apenas diferenci´ avel) é também de classe C k . Com m efeito, se indicarmos com GL(R ) o conjunto das transforma¸cões lineares invert´ıveis de Rm em si mesmo e com Inv : GL(Rm ) → L(Rm ; Rm ) a inversão de transforma¸cões lineares, a fórmula g ′ (y) = [f ′ (g(y))]−1 , estabelecida no Corolário 3 (onde y ∈ V ), mostra que a aplica¸cão derivada g ′ : V → L(Rm ; Rm ) pode ser escrita como g ′ = (Inv) ◦ f ′ ◦ g: Como Inv ∈ C ∞ , por um argumento já utilizado mais de uma vez, concluimos de f ∈ C k que g ∈ C k . Podemos então enunciar o Corol´ ario 4. Seja f : U → V uma bije¸ca õ de classe C k (k ≥ 1) entre abertos U, V ⊂ Rm . Se sua inversa f −1 : V → U é diferenci´ avel ent˜ ao f −1 ∈ C k . Diz-se ent˜ ao que f é um difeomorfismo de classe C k .

Quando f : U → Rm é diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm tem sentido, em cada ponto x ∈ U , considerar o determinante det Jf (x), da matriz jacobiana Jf (x), chamado o determinante jacobiano de f no ponto x. Para que f seja um difeomorfismo é necessário que se tenha det Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ U . O Teorema da Aplica¸cão Inversa, a ser demonstrado no par´ agrafo 8, mais adiante, fornece uma rec´ıproca local para este fato. Corol´ ario 5 (Regras de deriva¸cão.) Sejam f, g : U → Rn diferenci´ aveis no ponto a ∈ U ⊂ Rm e c um n´ umero real. Ent˜ ao f + g : U → Rn e cf : U → Rn s˜ ao diferenci´ aveis no ponto a, com (f +g)′ (a) = f ′ (a)+g ′ (a) ′ ′ e (cf ) (a) = c · f (a). Quando n = 1 e g(x) 6= 0 para todo x ∈ U ent˜ ao

[SEC. 3: A REGRA DA CADEIA

265

f /g : U → R é diferenci´ avel no ponto a, com (f /g)′ (a) = [g(a) · f ′ (a) − f (a) · g ′ (a)]/g(a)2 . Finalmente, se ϕ : Rn × Rn → Rp é bilinear, ent˜ ao ϕ(f, g) : U → Rp , definida por x 7→ ϕ(f (x), g(x)), é diferenci´ avel no ponto a com [ϕ(f, g)]′ (a) : v 7→ ϕ(f ′ (a) · v, g(a)) + ϕ(f (a), g ′ (a) · v). Se f, g ∈ C k ent˜ ao f + g, c · f , f /g, ϕ(f, g) ∈ C k .

Em particular, quando n = 1 e ϕ : R × R → R é a multiplica¸cão de n´ umeros reais então ϕ(f, g) = f · g e (f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a). Mais geralmente, como toda aplica¸cão bilinear pode ser olhada como uma espécie de multiplica¸cão, é razo´ avel escrever f (x) · g(x) em vez de ϕ(f (x), g(x)) sempre que não houver perigo de mal entendidos. Então a regra de deriva¸cão acima fica como a “derivada de um produto”: (f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a). A interpreta¸cão desta fórmula é a seguinte: para todo vetor v ∈ Rm , tem-se (f · g)′ (a) · v = (f ′ (a) · v) · g(a) + f (a) · (g ′ (a) · v). Os três primeiros casos do corolário acima resultam imediatamente do Teorema 2 do Cap´ıtulo III. Tratemos explicitamente o caso de ϕ(f, g) = ϕ ◦ (f, g). Pela Regra da Cadeia, juntamente com o Exemplo 3 (no §1), temos, para todo v ∈ Rm : [ϕ(f, g)]′ (a) · v = [ϕ ◦ (f, g)]′ (a) · v =

= ϕ′ (f (a), g(a)) · (f ′ (a) · v, g ′ (a) · v) =

= ϕ(f ′ (a) · v, g(a)) + ϕ(f (a), g ′ (a) · v).

Note-se ainda que f + g = α ◦ (f, g), c · f = c∗ ◦ f , f /g = q ◦ (f, g) e ϕ(f, g) = ϕ ◦ (f, g), onde (f, g) : U → Rn × Rn , α : Rn × Rn → Rn , c∗ : Rn → Rn e q : R × (R − {0}) → R s˜ ao dadas, respectivamente, por (f, g)(x) = (f (x), g(x)), α(y, z) = y+z, c∗ (y) = c·y e q(y, z) = y/z. As aplica¸cões α e c∗ s˜ ao lineares, logo de classe C ∞ . A fun¸cão q é também ∞ de classe C pois q = m ◦ (id, inv) onde id : R → R é a identidade, inv : R−{0} → R−{0} é a inversão de n´ umeros reais não nulos (matrizes invert´ıveis 1×1) e m : R×R → R é a multiplica¸cão de reais. Como m, id e inv s˜ ao C ∞ , q também o é. Segue-se então que f, g ∈ C k ⇒ f +g ∈ C k , cf ∈ C k , f /g ∈ C k e ϕ(f, g) ∈ C k . A Regra da Cadeia é um instrumento u ´til para o cálculo das derivadas de aplica¸cões diferenci´ aveis, e indispensável para a demonstra¸cão de muitas proposi¸cões de natureza te´ orica. Sua utiliza¸cão pode, entretanto, ser dificultada pelo hábito arraigado de considerar derivadas como

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

266

n´ umeros, em vez de transforma¸cões lineares, hábito proveniente do caso unidimensional, pois toda transforma¸cão linear T : R → R consiste na multiplica¸cão por um n´ umero real fixo. Exemplo 7. Sejam f, g : U → Rn diferenci´ aveis (respect. de classe C k ) m no aberto U ⊂ R . Então ξ : U → R, definida por ξ(x) = hf (x), g(x)i, é diferenci´ avel (respect. de classe C k ), com ξ ′ (x) · v = hf ′ (x) · v, g(x)i + hf (x), g ′ (x)·vi, para quaisquer x ∈ U , v ∈ Rm . Em particular, tomando f = g, obtemos ζ(x) = |f (x)|2 ⇒ ζ ′ (x) · v = 2hf ′ (x) · v, f (x)i. Seguese novamente da Regra da Cadeia que, em cada ponto x ∈ U onde se tenha f (x) 6= 0, a fun¸cão ψ : U → R, definida por ψ(x) = |f (x)|, isto é, p hf ′ (x) · v, f (x)i ψ(x) = hf (x), f (x)i, é diferenci´ · avel, com ψ ′ (x) · v = |f (x)|

4

A f´ ormula de Taylor

No caso de uma aplica¸cão f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , com a, a + v ∈ U , a fórmula de Taylor se escreve f (a + v) = f (a) + f ′ (a) · v +

(*)

+

1 ′′ f (a) · v 2 + · · · + 2

1 (p) f (a) · v p + rp (v), p!

onde ∂ ∂f ∂2f (a) = (a), . . . , f (a) · v = ∂v 2 ∂v ∂v ∂ ∂ p−1 f ∂pf p p (a). = f (a) · v = ∂v p ∂v ∂v p−1 ′′

2

Como de costume, consideraremos três casos: 1) F´ ormula de Taylor Infinitesimal. Se f é p vezes diferenci´ avel no ponto a ent˜ ao rp (v) = 0. lim v→0 |v|p 2) F´ ormula de Taylor com Resto de Lagrange. Sejam [a, a + v] ⊂ U , f de classe C p , p + 1 vezes diferenci´ avel em cada ponto do

´ [SEC. 4: A FORMULA DE TAYLOR

267

segmento aberto (a, a + v), com |f (p+1) (x) · wp+1 | ≤ M · |w|p+1 para todo x ∈ (a, a + v) e todo w ∈ Rm . Ent˜ ao |rp (v)| ≤

M |v|p+1 . (p + 1)!

3) F´ ormula de Taylor com Resto Integral. Se f é de classe C p+1 e [a, a + v] ⊂ U , ent˜ ao 1 rp (v) = p!

Z

0

1

(1 − t)p f (p+1) (a + tv) · v p+1 dt.

Para cada j = 0, 1, . . . , p, f (j) (a) · v j é o vetor de Rn cujas coordenadas s˜ ao os n´ umeros d(j) fi (a) · v j , onde f1 , . . . , fn s˜ ao as fun¸cõescoordenada de f . Logo a fórmula de Taylor (*) equivale a n igualdades numéricas que correspondem à fórmula de Taylor para fun¸cões reais, vista no §8 do Cap´ıtulo III. Como a integral que aparece acima é um vetor cujas n coordenadas s˜ ao integrais numéricas semelhantes, apenas com d(p+1) fi em vez de f (p+1) , segue-se que as fórmulas 1) e 3) s˜ ao conseq¨ uências imediatas das fórmulas an´ alogas para fun¸cões reais, já provadas no §8 do Cap´ıtulo III. Finalmente, a fórmula de Taylor com resto de Lagrange decorre do resultado an´ alogo, provado para caminhos no §3 do Cap´ıtulo II, da maneira seguinte. Definindo o caminho ϕ : [0, 1] → Rn pondo ϕ(t) = f (a + tv), vemos que ϕ é de classe C p , p + 1 vezes diferenci´ avel no intervalo aberto (0, 1), com ϕ′ (t) = f ′ (a+tv)·v, ϕ′′ (t) = f ′′ (a+tv)·v 2 , . . . , ϕ(p+1) (t) = f (p+1) (a+tv)·v p+1 , com |ϕ(p+1) (t)| ≤ M · |v|p+1 para todo t ∈ (0, 1), em virtude da hip´ otese feita sobre f . A fórmula mencionada para caminhos diz então que ϕ(1) = g(0) + ϕ′ (0) +

1 ′′ 1 ϕ (0) + · · · + ϕ(p) (0) + rp , 2 p!

com |rp | ≤ M |v|p+1 /(p + 1)! Efetuando as devidas substitui¸cões, temos a fórmula de Taylor com resto de Lagrange, conforme enunciada em 2) acima. Observa¸ c˜ ao: Tem-se a unicidade da f´ ormula de Taylor, como foi provado no §8 do Cap´ıtulo III: se f : U → Rn é p vezes diferenci´ avel no

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

268

ponto a ∈ Rm e, para cada i = 1, 2, . . . , p, é dada uma aplica¸cão i-linear ϕi : Rm × · · · × Rm → Rn , de tal modo que p X 1 ϕi · v i + rp (v) , f (a + v) = f (a) + i! i=1

com lim rp (v)/|v|p = 0, então ϕi · v i = f (i) (a) · v i para todo i = 1, . . . , p v→0

e todo v ∈ Rm .

5

A desigualdade do valor m´ edio

Como as aplica¸cões f : U → Rn incluem, em particular, os caminhos, segue-se do Cap´ıtulo II, §3, que, para n > 1, não há um Teorema do Valor Médio sob forma de igualdade. Vale porém a desigualdade abaixo, caso particular da Fórmula de Taylor com resto de Lagrange, que estudaremos separadamente, dada sua importˆ ancia. Desigualdade do Valor M´ edio. Dado U ⊂ Rm aberto, seja f : U → n R diferenci´ avel em cada ponto do segmento de reta aberto (a, a + v) e tal que sua restri¸ca õ ao segmento fechado [a, a + v] ⊂ U seja cont´ınua. Se |f ′ (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) ent˜ ao |f (a + v) − f (a)| ≤ M · |v|. Demonstra¸ c˜ ao: O caminho λ : [0, 1] → Rn , definido por λ(t) = f (a + tv), é (cont´ınuo e) diferenci´ avel no intervalo aberto (0, 1), com λ(0) = f (a), λ(1) = f (a + v) e, pela Regra da Cadeia, λ′ (t) = f ′ (a + tv) · v, donde |λ′ (t)| ≤ |f ′ (a + tv)| · |v| ≤ M · |v| para todo t ∈ (0, 1). Seguese do Teorema do Valor Médio para caminhos (§3 do Cap´ıtulo II) que |λ(1) − λ(0)| ≤ M · |v|, ou seja, |f (a + v) − f (a)| ≤ M · |v|.

Corol´ ario 1. Seja U ⊂ Rm aberto e convexo. Se f : U → Rn é diferenci´ avel, com |f ′ (x)| ≤ M para todo x ∈ U ent˜ ao f é Lipschitziana, com |f (y) − f (x)| ≤ M · |y − x| para quaisquer x, y ∈ U . Com efeito, f é então cont´ınua em U e x, y ∈ U ⇒ [x, y] ⊂ U , pela convexidade. Logo, vale a Desigualdade do Valor Médio. Como vimos no Cap´ıtulo III (Exemplo 10), a convexidade de U é essencial para a validez do Corolário 1. Corol´ ario 2. Se f : U → Rn é diferenci´ avel no aberto conexo U ⊂ Rn e f ′ (x) = 0 para todo x ∈ U ent˜ ao f é constante. Fixemos a ∈ U e ponhamos A = {x ∈ U ; f (x) = f (a)}, B = {x ∈ U ; f (x) 6= f (a)}. Como f é cont´ınua, B é aberto. Afirmamos que A

´ [SEC. 5: A DESIGUALDADE DO VALOR MEDIO

269

também é aberto. Com efeito, dado x ∈ A, seja δ > 0 o raio de uma bola de centro x, contida em U . Então |v| < δ ⇒ [x, x + v] ⊂ U ⇒ (pela Desigualdade do Valor Médio, com f ′ ≡ 0), |f (x + v) − f (x)| = 0, donde f (x + v) = f (x) = f (a) e x + v ∈ U . Assim, U = A ∪ B é uma cis˜ ao. Como U é conexo e A é não-vazio, pois a ∈ A, vemos que A = U , isto é, f (x) = f (a) para todo x ∈ U . O Corolário abaixo fornece, quando T = f ′ (a), uma estimativa para o resto r(v) = f (a + v) − f (a) − f ′ (a) · v. Ele representa uma forma mais refinada da Desigualdade do Valor Médio, à qual se reduz tomando-se T = 0. Corol´ ario 3. Sejam U ⊂ Rm aberto, [a, a + v] ⊂ U , f : U → Rn diferenci´ avel em cada ponto do intervalo aberto (a, a + v), com f |[a, a + v] cont´ınua. Seja ainda T : Rm → Rn uma transforma¸ca õ linear. Se |f ′ (x) − T | ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) ent˜ ao |f (a + v) − f (a) − T · v| ≤ M · |v|. O Corolário acima resulta imediatamente de aplicar-se a Desigualdade do Valor Médio a g : U → Rn , definida por g(x) = f (x) − T · x. Com efeito, tem-se, neste caso g(a + v) − g(a) = f (a + v) − f (a) − T · v e g ′ (x) = f ′ (x) − T . Usaremos, em seguida, o Corolário 3 para provar que as aplica¸cões de classe C 1 s˜ ao uniformemente diferenci´ aveis nos compactos. Começaremos revendo a defini¸cão da aplica¸cão diferenci´ avel num conjunto, a fim de tornar mais expl´ıcita a nota¸cão para o resto r(v) = f (a + v) − f (a)−f ′ (a)·v, deixando claro que ele depende não somente do acréscimo v como também do ponto a em quest˜ ao. Assim, uma aplica¸cão f : U → Rn se diz diferenci´ avel no aberto m U ⊂ R quando, para cada ponto x ∈ U , existe uma aplica¸cão linear f ′ (x) : Rm → Rn tal que rx (v) = 0. v→0 |v|

f (x + v) − f (x) = f ′ (x) · v + rx (v), onde lim

O limite acima significa que, dado ε > 0, se pode obter, para cada x ∈ U , um n´ umero δ = δ(x, ε), dependendo de x e de ε, tal que |v| < δ ⇒ |rx (v)| < ε|v|. Diz-se que a aplica¸cão diferenci´ avel f : U → Rn é uniformemente diferenci´ avel num subconjunto X ⊂ U quando, para todo ε > 0 dado,

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˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

existe δ > 0 tal que |v| < δ ⇒ |f (x + v) − f (x) − f ′ (x) · v| < ε|v|, seja qual for x ∈ X (com x + v ∈ U ). Corol´ ario 4. Uma aplica¸ca õ f : U → Rn , de classe C 1 , é uniformemente diferenci´ avel em qualquer compacto K ⊂ U .

Existe δ > 0 tal que x ∈ K, |v| < δ ⇒ [x, x+v] ⊂ U . (Corolário 2 do Teorema 26, Cap´ıtulo I.) Dado arbitrariamente ε > 0 podemos reduzir δ, se for necessário, de modo que x ∈ K, |v| < δ ⇒ |f ′ (x + v) − f ′ (x)| < ε, já que f ′ : U → L(Rm ; Rn ) é cont´ınua. (Teorema 21a do Cap´ıtulo I.) Da´ı se segue, obviamente, que x ∈ K, |v| < δ, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ |f ′ (x + tv) − f ′ (x)| < ε, ou seja, y ∈ [x, x + v] ⇒ |f ′ (y) − f ′ (x)| < ε. Pelo Corolário 3 acima, usado com T = f ′ (x), concluimos que |f (x+v)−f (x)−f ′ (x)·v| ≤ ε|v| sempre que |v| < δ, seja qual for x ∈ K, o que prova o Corolário 4. Corol´ ario 5. Sejam U ⊂ Rm aberto e c ∈ U . Se a aplica¸ca õ cont´ınua n ′ f : U → R é diferenci´ avel em U − {c} e existe lim f (x) = T ∈ x→c

L(Rm ; Rn ), ent˜ ao f é diferenci´ avel no ponto c, com f ′ (c) = T .

Em virtude da defini¸cão de limite, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < |v| < δ ⇒ |f ′ (c + tv) − T | < ε seja qual for t ∈ (0, 1). Podemos supor δ tão pequeno que |v| < δ ⇒ [c, c + v] ⊂ U . (Basta tomar δ = raio de uma bola de centro c, contida em U .) Então, pelo Corolário 3 acima, pondo r(v) = f (c + v) − f (c) − T · v, temos |r(v)| ≤ ε|v| sempre que 0 < |v| < δ. Isto mostra que f é diferenci´ avel no ponto c, com f ′ (c) = T . Observa¸ c˜ ao: O Corolário 5 mostra a vantagem de ter demonstrado o Corolário 3 em toda a sua generalidade. [Uma transforma¸cão linear arbitr´ aria T , em vez de f ′ (a), e f suposta apenas diferenci´ avel no segmento aberto (a, a + v).] Um exemplo de como o Corolário 5 pode ser utilizado, para fun¸cões de uma variável, é visto no Volume 1, página 275. (Exemplo 20.)

6

Seq¨ uˆ encias de aplica¸ c˜ oes diferenci´ aveis

Provaremos neste par´ agrafo o teorema cl´ assico, segundo o qual o limite uniforme de uma seq¨ uência de aplica¸cões diferenci´ aveis é ainda uma aplica¸cão diferenci´ avel desde que a seq¨ uência das derivadas também convirja uniformemente. Como no caso de uma variável, a Desigualdade do Valor Médio é o instrumento mais importante da demonstra¸cão.

¨ ENCIAS ˆ ˜ ´ [SEC. 6: SEQU DE APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

271

As defini¸cões básicas sobre convergência uniforme e os teoremas demonstrados no §1 e 2 do Cap´ıtulo 10, Volume 1, para fun¸cões de uma variável, se aplicam, com modifica¸cões evidentes, ao caso f : U → Rn , U ⊂ Rm . Uma exce¸cão notável é o teorema sobre a derivada do limite de uma seq¨ uência de fun¸cões (Teorema 7 daquele cap´ıtulo), pois em sua demonstra¸cão foi utilizado o Teorema do Valor Médio sob forma de igualdade, que não vale para n > 1, e cuja versão em dimens˜ oes superiores envolve uma hip´ otese de convexidade, que é automática quando o dom´ınio é um intervalo. Come¸caremos aqui reexpondo o conceito de convergência uniforme. Diz-se que uma seq¨ uência de aplica¸cões fk : X → Rn , definidas num conjunto X, converge uniformemente para uma aplica¸cão f : X → Rn quando, para qualquer ε > 0 dado, pode-se obter k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ |fk (x) − f (x)| < ε, seja qual for x ∈ X. Resulta imediatamente da defini¸cão que a afirma¸cão “lim fk = f uniformemente em X”n˜ ao depende da norma que se considera no espa¸co euclidiano. Tem-se fk → g uniformemente em X se, e somente se, para cada i = i, . . . , n, tem-se lim fki = gi uniformemente em X, onde k→∞

fk1 , . . . , fkn : X → R s˜ ao as fun¸cões-coordenada da aplica¸cão fk : X → Rn e g1 , . . . , gn : X → R s˜ ao as fun¸cões-coordenada de g.

Como o espa¸co L(Rm ; Rn ) possui uma norma, a defini¸cão de convergência uniforme faz sentido também para uma seq¨ uência de aplica¸cões gk : X → L(Rm ; Rn ). Neste caso, tem-se gk → g uniformemente em X se, e somente se, para todo ε > 0 dado, existe k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ |gk (x) · v − g(x) · v| ≤ ε · |v| para todo x ∈ X e todo vetor v ∈ Rm . Com efeito, pela defini¸cão de norma da transforma¸cão linear gk (x)−g(x) : Rm → Rn , tem-se |gk (x)−g(x)| ≤ ε ⇔ |gk (x)·v−g(x)·v| ≤ ε|v| para todo v ∈ Rm .

Seja agora X ⊂ Rm . Diz-se que a seq¨ uência de aplica¸cões fk : X → n R converge de modo localmente uniforme em X para uma aplica¸cão f : X → Rn quando cada ponto x ∈ X é centro de uma bola aberta B tal que fk → f uniformemente em B ∩ X. Isto equivale a dizer que X está contido numa reunião de abertos U ⊂ Rm tais que em cada U ∩ X a convergência fk → f é uniforme. Evidentemente, convergência uniforme ⇒ convergência localmente uniforme ⇒ convergência simples (isto é, lim fk (x) = f (x) para todo k→∞

x ∈ X). As implica¸cões contrárias s˜ ao falsas.

272

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Exemplo 8. Para cada k ∈ N, seja fk : R → R dada por fk (x) = x/k. A seq¨ uência de fun¸cões fk converge de modo localmente uniforme em R para a fun¸cão identicamente nula, mas não converge uniformemente. (Veja Volume I, páginas 362 e 366.) Crit´ erio de Cauchy. A fim de que uma seq¨ uência de aplica¸co ˜es n fk : X → R convirja uniformemente em X é necess´ ario e suficiente que, para todo ε > 0 dado, se possa obter k0 ∈ N tal que j, k > k0 ⇒ |fj (x) − fk (x)| < ε, seja qual for x ∈ X. A demonstra¸cão dada na página 368 do Volume I se aplica, palavra por palavra. Como conseq¨ uência, temos o

Teste de Weierstrass. Se, para cada k ∈ N e cada x ∈ X, temse |fk (x)| ≤ ck , onde Σ ck é uma série convergente de n´ umeros reais positivos, ent˜ ao a série Σ fk , cujos termos s˜ ao aplica¸co ˜es fk : X → Rn , converge uniformemente em X. No caso acima, a série Σ fk converge absoluta e uniformemente, isto é, a série Σ|fk (x)| também converge uniformemente em X, já que cumpre a mesma condi¸cão que Σ fk no teste de Weierstrass. Como no caso de uma variável, a proposi¸cão abaixo é uma das razões da importˆ ancia do conceito de convergência uniforme. Teorema da Continuidade do Limite Uniforme. Se a seq¨ uência de n m aplica¸co ˜es fk : X → R , definidas no conjunto X ⊂ R e cont´ınuas no ponto a ∈ X, converge uniformemente em X para a aplica¸ca õ f : X → n R , ent˜ ao f é cont´ınua no ponto a. Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ |fk (x) − f (x)| < ε/3, seja qual for x ∈ X. Fixemos um ´ındice k > k0 . Existe δ > 0 tal que |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ |fk (x) − fk (a)| < ε/3, pela continuidade de fk no ponto a. Segue-se então que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ |f (x) − fk (x)| + |fk (x) − fk (a)| + |fk (a) − f (a)| < ε ε ε + + = ε. Logo, f é cont´ınua no ponto a. 3 3 3 O teorema que temos em vista, sobre a diferenciabilidade do limite de uma seq¨ uência de aplica¸cões diferenci´ aveis, se apóia no lema abaixo, do qual é uma extensão. Lema. Seja U ⊂ Rm um aberto convexo e limitado. Se a seq¨ uência de aplica¸co ˜es diferenci´ aveis fk : U → Rn converge num ponto c ∈ U e a seq¨ uência das derivadas fk′ : U → L(Rm ; Rn ) converge uniformemente em U para uma aplica¸ca õ g : U → L(Rm ; Rn ), ent˜ ao (fk ) con-

¨ ENCIAS ˆ ˜ ´ [SEC. 6: SEQU DE APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

273

verge uniformemente em U para uma aplica¸ca õ f : U → Rn , a qual é diferenci´ avel, com f ′ = g. Demonstra¸ c˜ ao: Em primeiro lugar, dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que (1)

j, k > k0 ⇒ |fj′ (x) − fk′ (x)| < ε para todo x ∈ U.

Como U é convexo, resulta do Corolário 1 da Desigualdade do Valor Médio, aplicado a fj − fk , que, para quaisquer x, y ∈ U : (2)

j, k > k0 ⇒ |fj (y) − fk (y) − [fj (x) − fk (x)]| ≤ ε|y − x|.

Tomando x = c, vemos que, para todo y ∈ U : j, k > k0 ⇒ |fj (y) − fk (y)| ≤ |fj (c) − fk (c)| + ε|y − c|. Usando o Critério de Cauchy, o fato de U ser limitado e a convergência de (fk (c)), concluimos da´ı que (fk ) converge uniformemente para uma aplica¸cão f : U → Rn . Mostremos agora que f é diferenci´ avel em todo ponto x ∈ U , com f ′ (x) = g(x). Com efeito, fazendo j → ∞ em (2) e escrevendo y = x + v, obtemos (3)

k > k0 ⇒ |f (x + v) − f (x) − [fk (x + v) − fk (x)]| ≤ ε · |v|.

Como cada fk é diferenci´ avel no ponto x, para todo k ∈ N existe δk (x) > 0 tal que (4)

|v| < δk (x) ⇒ |fk (x + v) − fk (x) − fk′ (x) · v| < ε|v|.

Fazendo j → ∞ em (1) vem: (5)

k > k0 ⇒ |fk′ (x) − g(x)| ≤ ε para todo x ∈ U.

Para mostrar que g(x) é a derivada de f no ponto x, dado ε > 0 tomamos k0 como em (1), escolhemos algum inteiro k > k0 e pomos δ = δk (x). Então, em virtude de (3), (4) e (5), |v| < δ ⇒ |f (x + v) − f (x) − g(x) · v| ≤

≤|f (x + v) − f (x) − [fk (x + v) − fk (x)]|+

+|fk (x + v) − fk (x) − fk′ (x) · v| + |fk′ (x) · v − g(x) · v| < 3ε · |v|, o que prova o lema.

274

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Teorema da Deriva¸ c˜ ao Termo a Termo. Seja U ⊂ Rm um aberto conexo. Se a seq¨ uência de aplica¸co ˜es diferenci´ aveis fk : U → Rn converge num ponto c ∈ U e a seq¨ uência das derivadas fk′ : U → L(Rm ; Rn ) converge de modo localmente uniforme para uma aplica¸ca õ g : U → m n L(R ; R ), ent˜ ao (fk ) converge de modo localmente uniforme para uma aplica¸ca õ f : U → Rn , a qual é diferenci´ avel, com f ′ = g. Concisamente: vale D(lim fk ) = lim Dfk , desde que a convergência das derivadas seja localmente uniforme. Demonstra¸ c˜ ao: Podemos escrever U = ∪ Bα , onde Bα é uma bola aberta na qual as derivadas fk′ convergem uniformemente. Pelo Lema, se (fk ) converge em algum ponto de Bα então (fk ) converge uniformemente em Bα . Tem-se assim uma cis˜ ao U = A ∪ B, onde A é a reunião das bolas Bα nas quais (fk ) converge uniformemente e B é a reunião das demais bolas, nas quais não há convergência em ponto algum. Como U é conexo e A não é vazio (pois se c ∈ Bα então Bα ⊂ A), segue-se que A = U , logo (fk ) converge de modo localmente uniforme em U para uma aplica¸cão f : U → Rn . Pelo Lema, tem-se f ′ = g. Observa¸ c˜ ao: Mesmo supondo que fk′ → g uniformemente no aberto conexo U , não se segue de lim fk (c) = f (c), que fk → f uniformemente em U , como se vê tomando as fun¸cões fk : R → R, fk (x) = x/k. Neste caso, U é ilimitado. Mas a validez do Lema acima, no qual se conclui a convergência uniforme de fk em U a partir da convergência uniforme das derivadas mais a convergência de (fk (c)) para algum c ∈ U não é assegurada supondo-se U conexo e limitado. O essencial é que exista um n´ umero real M > 0 tal que dois pontos quaisquer de U podem ser ligados por uma poligonal de comprimento ≤ M , contida em U . Quando U é convexo e limitado, isto ocorre. Corol´ ario. (Deriva¸cão Termo a Termo para Séries.) Seja U ⊂ Rm aberto e conexo. Se a série Σ fk , de aplica¸co ˜es diferenci´ aveis fk : U → n ′ R , converge num ponto c ∈ U e a série Σ fk das derivadas converge de modo localmente uniformemente em U , para a soma g = Σ fk′ , ent˜ ao tem-se convergência localmente uniforme f = Σ fk em U , a soma f : U → Rn é diferenci´ avel e f ′ = g. Em suma: D(Σ fk ) = Σ Dfk se a série das derivadas convergir de modo localmente uniforme.

˜ ´ [SEC. 7: APLICAC ¸ OES FORTEMENTE DIFERENCIAVEIS

7

275

Aplica¸c˜ oes fortemente diferenci´ aveis

Existe uma no¸cão de diferenciabilidade, correspondendo ao que seria classe C 1 , mas onde se supõe que a aplica¸cão é diferenci´ avel num u ńico ponto. Trata-se da no¸cão de diferenciabilidade forte, que discutiremos mais abaixo. Come¸camos com uma proposi¸cão que generaliza ligeiramente o Teorema 4a do Cap´ıtulo III. Trata-se de um primeiro e simples exemplo de como atua a hip´ otese de diferenciabilidade de uma aplica¸cão: a partir do comportamento de derivada f ′ (a) se podem obter informa¸cões sobre o comportamento de f (x) para x próximo de a. Teorema 3. Seja f : U → Rn definida no aberto U ⊂ Rm , diferenci´ avel no ponto a ∈ U . õ linear f ′ (a) : Rm → Rn é injetiva ent˜ ao exis1o¯ ) Se a transforma¸ca tem δ > 0 e c > 0 tais que |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| ≥ c|x − a|; 2o¯ ) Se f ′ (a) : Rm → Rn é sobrejetiva ent˜ ao em qualquer bola de centro a existem pontos x tais que |f (a)| < |f (x)| e (a menos que seja f (a) = 0) pontos y tais que |f (y)| < |f (a)|. Demonstra¸ c˜ ao: 1o¯ ) Podemos argumentar como no Teorema 4a do Cap´ıtulo III, ou no Lema contido no Exemplo 4, acima. Observando que f ′ (a) é um isomorfismo de Rm sobre o subespa¸co E = f ′ (a) · Rm ⊂ Rn , pomos 2c = 1/|f ′ (a)−1 |, onde f ′ (a)−1 : E → Rm é o inverso de f ′ (a). Então |f ′ (a) · v| ≥ 2c · |v| para todo v ∈ Rm . Existe, pela diferenciabilidade de f no ponto a, um n´ umero δ > 0 tal que x ∈ U , |x − a| < δ ⇒ ′ f (x) − f (a) = f (a) · (x − a) + r(x − a), com |r(x − a)| < c|x − a|, e da´ı |f (x)−f (a)| ≥ |f ′ (a)·(x−a)|−|r(x−a)| ≥ 2c·|x−a|−c·|x−a| = c·|x−a|. 2o¯ ) Se não existissem pontos x, arbitrariamente próximos de a, com |f (a)| < |f (x)| então a ∈ U seria um ponto de m´ aximo local para a fun¸cão ζ : U → R, ζ(x) = |f (x)| (norma euclidiana). [Neste caso, deveria ser f (a) 6= 0 pois do contrário f seria zero em todos os pontos de uma bola de centro a, logo f ′ (a) = 0 não seria sobrejetiva.] Então ζ é diferenci´ avel no ponto a (veja o Exemplo 7), com 0 = ζ ′ (a) · v = ′ hf (a) · v, f (a)i/|f (a)| para todo v ∈ Rm . Da´ı resultaria, em particular, que f ′ (a)·v 6= f (a) para qualquer v e f ′ (a) não seria sobrejetiva. Quanto à segunda afirma¸cão deste item, se tivermos f (a) 6= 0 e não existirem pontos y arbitrariamente próximos de a com |f (y)| < |f (a)| então a

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

276

será um m´ınimo local para a fun¸cão ζ(x) = |f (x)|, o que leva a uma contradi¸cão como acima. Corol´ ario. Se f : U → Rn é diferenci´ avel no ponto a e f ′ (a) é injetiva ent˜ ao existe uma bola B de centro a tal que x ∈ B, x = 6 a ⇒ f (x) 6= f (a). Em rela¸cão ao Teorema 3, cabe a pergunta: supondo f ′ (a) injetiva, existe alguma bola B de centro a, tal que |f (y) − f (x)| ≥ c|y − x|, sejam quais forem x, y ∈ B ou, pelo menos, que a restri¸cão f |B seja injetiva? Cabe também a pergunta: supondo f ′ (a) sobrejetiva pode-se concluir que f (a) perten¸ca ao interior da imagem f (U )? Sem hip´ oteses adicionais, a resposta a estas perguntas é a mesma: não. Já sab´ıamos desde o Volume 1 (veja o Exemplo 12, página 266) que uma fun¸cão f : R → R pode ser derivável, com f ′ (a) 6= 0 [isto é o que significa f ′ (a) ser injetiva – ou sobrejetiva, tanto faz – em dimens˜ ao 1] sem que f seja injetiva em vizinhan¸ca alguma de a. Mas naquele exemplo (como em qualquer outro que se busque em dimens˜ ao 1), o ponto f (a) pertence ao interior de f (I), seja qual for o intervalo aberto I de centro a. O exemplo abaixo exibe uma aplica¸cão f : R2 → R2 , diferenci´ avel na 2 ′ 2 2 origem 0 ∈ R , com f (0) = identidade: R → R , mas f não é injetiva em vizinhan¸ca alguma de 0 nem tampouco f (0) pertence ao interior de f (U ), seja qual for o aberto U contendo 0. Exemplo 9. Definimos f : R2 → R2 pondo f (x, y) = (x, y), salvo quando x > 0 e 0 < y < x2 , em cujo caso poremos f (x, y) = (x, x2 ). A aplica¸cão f é, admitidamente, descont´ınua nos pontos (x, 0), com x > 0, mas é cont´ınua nos demais pontos, inclusive na origem 0 = (0, 0), sendo até mesmo diferenci´ avel ali, com f ′ (0) = identidade. Para verificar esse fato, observemos que se pode escrever, para todo v = (x, y) ∈ R2 , f (v) − f (0) = v + r(v), onde r(v) = (0, x2 − y) se x > 0 e 0 < y < x2 , e r(v) = 0 nos demais casos. Então a segunda coordenada de r(v) está sempre compreendida entre 0 e x2p . Como a primeira é sempre zero, resulta que lim r(v)/|v| = lim r(v)/ x2 + y 2 = 0. Em qualquer aberto v→0

contendo zero está contido um segmento de reta vertical de extremos (x, 0) e (x, x2 ), com x > 0, o qual é transformado por f num u ńico ponto (x, x2 ). Logo f não é injetiva em vizinhan¸ca alguma de 0. Além disso, como nenhum ponto (x, y), com x > 0 e 0 < y < x2 , pertence à imagem de f , vemos que f (0) = 0 não é interior a nenhuma imagem

˜ ´ [SEC. 7: APLICAC ¸ OES FORTEMENTE DIFERENCIAVEIS

277

f (U ), onde U ⊂ R2 é um aberto contendo 0.

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 y = x2

A parte hachurada transforma-se por f na curva y = x2 , x > 0.

y = x2

A parte sombreada é a imagem de f .

Observa¸ c˜ ao: N˜ ao seria dif´ıcil modificar um pouco o exemplo acima, de modo a obter uma aplica¸cão cont´ınua f : R2 → R2 , diferenci´ avel na origem, com f ′ (0) = identidade, tal que em nenhuma bola de centro 0 f é injetiva. Entretanto, mostraremos no exemplo 36, §10 do Cap´ıtulo VII, com aux´ılio da teoria do grau, que se f : U → Rm é cont´ınua no aberto U ⊂ Rm e possui, no ponto a e U , uma derivada f ′ (a) : Rm → Rm que é um isomorfismo, então f (a) ∈ int f (U ). Isto mostra que a descontinuidade de f no Exemplo 9 é essencial para termos f (a) ∈ / int(U ). n Uma aplica¸cão f : U → R , definida no aberto U ⊂ Rm , chamase fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U quando existe uma transforma¸cão linear T : Rm → Rn tal que, para x, y ∈ U vale f (x) − f (y) = T · (x − y) + ρa (x, y)|x − y|, onde

lim

(x,y)→(a,a)

ρa (x, y) = 0.

Tomando y = a, vemos que toda aplica¸cão fortemente diferenci´ avel no ponto a é diferenci´ avel nesse ponto, com T = f ′ (a). Assim a condi¸cão acima se torna: f (x) − f (y) = f ′ (a) · (x − y) + ρa (x, y)|x − y| onde ρa (x, y) cumpre a seguinte condi¸cão: dado qualquer ε > 0, pode-se achar δ > 0 tal que x, y ∈ B(a, δ) ⇒ |ρa (x, y)| < ε. Quando m = n = 1, uma fun¸cão f : I → R, definida no intervalo I ⊂ R, é fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ I quando, dados x 6= y em I, a secante ao gr´ afico de f que passa pelos pontos (x, f (x)) e (y, f (y)) tende para a tangente no ponto (a, f (a)) quando x → a e y → a. Na

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

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defini¸cão usual de derivada, o ponto a é mantido fixo: toma-se a secante ao gr´ afico passando pelos pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) e faz-se x → a. Segue-se da defini¸cão que se f : U → Rn é fortemente diferenci´ avel no ponto a então, para todo ε > 0, pode-se obter δ > 0 tal que, para x, y ∈ B(a; δ), f satisfaz ` a condi¸cão de Lipschitz |f (x) − f (y)| ≤ (|f ′ (a)| + ε)|x − y|.

Com efeito, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ B(a; δ) ⇒|f (x) − f (y)| ≤ |f ′ (a)| · |x − y| + ε|x − y| = = (|f ′ (a)| + ε)|x − y|.

Em particular, f é cont´ınua em todos os pontos de uma bola de centro a. Outra conseq¨ uência da defini¸cão é o Teorema 4. Se f : U → Rn é fortemente diferenci´ avel no ponto a e f ′ (a) : Rm → Rn é injetiva ent˜ ao existem δ > 0 e c > 0 tais que x, y ∈ B(a; δ) ⇒ |f (x) − f (y)| ≥ c · |x − y|. Segue-se que f é um homeomorfismo da bola B(a; δ) sobre sua imagem em Rn e, em particular, que f é injetiva nessa bola. Demonstra¸ c˜ ao: Sendo f ′ (a) injetiva, sabemos que existe c > 0 tal que ′ |f (a) · v| ≥ 2c|v| para todo v ∈ Rm . Tomando ε = c, obtemos δ > 0 tal que x, y ∈ B(a; δ) ⇒ f (x) − f (y) = f ′ (a) · (x − y) + ra (x, y), com |ra (x, y)| < c|x − y|. Então x, y ∈ B(a; δ) ⇒ |f (x) − f (y)| ≥ |f ′ (a) · (x − y)| − |ra (x, y)| ≥ ≥ 2c · |x − y| − c · |x − y| = c|x − y|.

Conseq¨ uentemente, f aplica a bola B(a; δ) bijetivamente sobre sua imagem Y = f (B(a; δ)) e a inversa f −1 : Y → B(a; δ) cumpre a condi¸cão de Lipschitz |f −1 (w) − f −1 (z)| ≤ c−1 |w − z|. Assim, f −1 é cont´ınua, logo f : B(a; δ) → Y é um homeomorfismo. Observa¸ c˜ ao: Provaremos, no §11, que se f : U → Rn é fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U e a derivada f ′ (a) : Rm → Rn é sobrejetiva então f (a) ∈ int f (U ). Sejam f : U → Rn , a ∈ U ⊂ Rm , T ∈ L(Rm ; Rn ) e x, y ∈ U . Escrevendo f (x)−f (y) = T · (x−y)+ra (x, y), f (x)−f (a) = T · (x−a)+ra (x) e

f (y) − f (a) = T · (y − a) + ra (y),

˜ ´ [SEC. 7: APLICAC ¸ OES FORTEMENTE DIFERENCIAVEIS

279

obtemos, por subtra¸cão membro a membro das 2 u ´ltimas igualdades: ra (x, y) = ra (x) − ra (y). Da´ı resulta que |ra (x, y)| ≤ ε|x − y| ⇔ |ra (x) − ra (y)| ≤ ε · |x − y|. Podemos então enunciar o Teorema 5. A aplica¸ca õ f : U → Rn é fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U se, e somente se, é diferenci´ avel nesse ponto e, para todo ε > 0, se pode achar δ > 0 tal que o resto ra (x) = f (x) − f (a) − f ′ (a) · (x − a) satisfaz a condi¸ca õ de Lipschitz |ra (x) − ra (y)| ≤ ε|x − y| para x, y ∈ B(a; δ). A proposi¸cão abaixo mostra que a u ńica diferen¸ca entre a diferenciabilidade forte e a continuidade da derivada é que a primeira faz sentido mesmo quando a aplica¸cão é diferenci´ avel num u ńico ponto. Teorema 6. Seja f : U → Rn uma aplica¸ca õ diferenci´ avel. A fim de que f seja fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U , é necess´ ario e suficiente que a aplica¸ca õ derivada f ′ : U → L(Rm ; Rn ) seja cont´ınua no ponto a. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos f ′ cont´ınua no ponto a. Então a aplica¸cão ra : U → Rn , definida por ra (x) = f (x) − f (a) − f ′ (a) · (x − a), é diferenci´ avel, e sua derivada é cont´ınua no ponto a. Como ra′ (x) = ′ f (x) − f ′ (a), temos ra′ (a) = 0. Logo, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que B(a; δ) ⊂ U e x ∈ B(a; δ) ⇒ |ra′ (x)| < ε. Pelo Corolário 1 da Desigualdade do Valor Médio, x, y ∈ B(a; δ) ⇒ |ra (x)−ra (y)| ≤ ε|x−y|. Segue-se do Teorema 5 que f é fortemente diferenci´ avel no ponto a. Reciprocamente, seja f fortemente diferenci´ avel no ponto a. Dado arbitrariamente ε > 0, devemos achar δ > 0 tal que |x − a| < δ implique |[f ′ (x) − f ′ (a)] · u| < ε para todo vetor unit´ ario u ∈ Rm . Somando as igualdades f (x) − f (y) = f ′ (a) · (x − y) + ra (x, y)

e

′

f (y) − f (x) = f (x) · (y − x) + rx (y), obtemos: (*)

[f ′ (x) − f ′ (a)] · (y − x) = −[ra (x, y) + rx (y)], Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ B(a; 2δ) ⇒ |ra (x, y)| ≤

ε |y − x| 2

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

280

e, para todo x ∈ U , existe ηx > 0 tal que |y − x| ≤ ηx implica |rx (y)| ≤ (ε/2)|y − x|. Sem perda de generalidade, podemos supor ηx < δ. Sejam então x ∈ U tal que |x − a| < δ e u ∈ Rm um vetor unit´ ario. Pondo y = x + ηx u, temos |y − a| < 2δ e |y − x| < ηx , donde |ra (x, y)| ≤

ε ε ε ε |x − y| < ηx e |rx (y)| ≤ |y − x| < ηx . 2 2 2 2

Segue-se de (*) que |[f ′ (x) − f ′ (a)] · u| < ε, como quer´ıamos demonstrar.

Exemplo 10. Para obter exemplo de uma fun¸cão fortemente diferenciável no ponto a ∈ R, mas não diferenci´ avel em vizinhan¸ca alguma de a, considere uma fun¸cão f : R → R, de classe C 1 , cujo gr´ afico não contenha três pontos colineares. Considere ainda uma seq¨ uência decrescente an → a e defina uma nova fun¸cão g : R → R, que coincide com f nos pontos an e fora do intervalo (a, a1 ). Em cada intervalo [an+1 , an ], fa¸ca o gr´ afico de g ser retil´ıneo.

8

O teorema da aplica¸ c˜ ao inversa

Sejam U, V ⊂ Rm abertos. Um difeomorfismo f : U → V é, como sabemos, uma bije¸cão diferenci´ avel cuja inversa é diferenci´ avel. Em particular, f é um homeomorfismo entre U e V . O exemplo clássico de f : R → R, f (x) = x3 , mostra que um homeomorfismo pode ser diferenci´ avel sem que seu inverso o seja. Quando o difeomorfismo f é de k classe C , seu inverso também o é, pelo Corolário 4 da Regra da Cadeia. Evidentemente, a aplica¸cão composta de dois difeomorfismos é ainda um difeomorfismo. Se f : U → V é um difeomorfismo, a Regra da Cadeia nos garante que sua derivada f ′ (x) : Rm → Rm , em cada ponto x ∈ U , é um isomorfismo. Em termos do determinante jacobiano, que det Jf (x) 6= 0 isto significa ∂fi para todo x ∈ U , onde Jf (x) = (x) é a matriz jacobiana de ∂xj ´ natural indagar se vale a rec´ıproca pois, afinal de f no ponto x. E contas, a utilidade das aplica¸cões diferenci´ aveis está em que se podem deduzir algumas de suas propriedades a partir de propriedades das suas derivadas. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 11. Uma fun¸cão diferenci´ avel f : I → J, de um intervalo I ⊂ R sobre o intervalo J ⊂ R, é um difeomorfismo se, e somente se,

˜ INVERSA [SEC. 8: O TEOREMA DA APLICAC ¸ AO

281

sua derivada f ′ (x) é diferente de zero para todo x ∈ I. Com efeito, se f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I então, pelo Teorema de Darboux, ou f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I, donde f é um homeomorfismo crescente, ou então f ′ (x) < 0 para todo x ∈ I, e f é um homeomorfismo decrescente. Em qualquer caso, pelo Teorema da Deriva¸cão da Fun¸cão Inversa, (Volume 1, página 263) f −1 : J → I é diferenci´ avel. Exemplo 12. Seja U ⊂ Rm a bola aberta de centro na origem e raio x 1. A aplica¸cão f : U → Rm , definida por f (x) = p , é um 1 − hx, xi difeomorfismo de classe C ∞ , cujo inverso g : Rm → U é dado por g(y) = y p · 1 + hy, yi

Exemplo 13. A aplica¸cão f : R2 →R2 , dada por f (x, y)=ex (cos y, sen y) é de classe C ∞ . Em termos de variável complexa, f (z) = ez . Para todo z = (x, y) ∈ R2 , a derivada f ′ (z) : R2 → R2 é um isomorfismo, que consiste na multiplica¸cão pelo n´ umero complexo não-nulo ez . A matriz jacobiana de f no ponto z = (x, y) tem a forma Jf (x, y) =

ex cos y −ex sen y ex sen y ex cos y

O determinante jacobiano de f é e2x , donde 6= 0. Vemos, porém, que f não é injetiva: f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 e y2 = y1 + 2kπ, k ∈ Z. Geometricamente, f transforma cada reta vertical x = a sobre o c´ırculo de raio ea e centro na origem, com per´ıodo 2π. Cada reta horizontal y = b é levada bijetivamente sobre a semi-reta aberta que parte da origem e passa pelo ponto (cos b, sen b) ∈ R2 . Temos f (R2 ) = R2 − {0}. Dizemos que uma aplica¸cão diferenci´ avel f : U → Rm , definida no m aberto U ⊂ R , é um difeomorfismo local quando para cada x ∈ U existe um aberto Vx , com x ∈ Vx ⊂ U , tal que a restri¸cão de f a Vx é um difeomorfismo sobre um aberto Wx ⊂ Rm . Se f ∈ C k dizemos que f é um difeomorfismo local de classe C k . Neste caso, para cada x ∈ U , a aplica¸cão inversa (f |Vx )−1 : Wx → Vx também é de classe C k . (Corolário 4 da Regra da Cadeia.) Se f : U → Rm é um difeomorfismo local de U sobre V = f (U ) então, para cada x ∈ U , a derivada f ′ (x) : Rm → Rm é um isomorfismo. O Teorema da Aplica¸cão Inversa estabelecerá a rec´ıproca, no caso em que f ∈ C k (k ≥ 1).

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

282

Pelo Exemplo 11 acima, todo difeomorfismo local f : I → R, definido num intervalo aberto I ⊂ R, é um difeomorfismo (global) de I sobre sua imagem J = f (I). Todo difeomorfismo é, evidentemente, um difeomorfismo local. Todo difeomorfismo local f : U → Rm é uma aplica¸cão aberta, isto é, transforma cada aberto V ⊂ U num aberto f (V ) ⊂ Rm . Isto é claro se V ⊂ Vx , para algum x ∈ U , pois f é um homeomorfismo de Vx , sobre S m o aberto Wx ⊂ R . No caso geral, temos V = (Vx ∩ V ), donde x∈U S f (V ) = f (Vx ∩ V ). Como cada Vx ∩ V é um aberto contido em Vx , x∈U

sua imagem é aberta, logo f (V ) é uma reunião de conjuntos abertos, o que prova a afirma¸cão feita. Segue-se da´ı que um difeomorfismo local f : U → Rm é um difeomorfismo (global) sobre sua imagem V = f (U ) se, e somente se, é uma aplica¸cão injetiva. A aplica¸cão exponencial complexa, vista no Exemplo 13, é um difeomorfismo local, de classe C ∞ , de R2 − {0}. Isto decorre imediatamente do Teorema da Aplica¸cão Inversa, a ser demonstrado a seguir, ou da observa¸cão de que todo ramo de log w tal que log w0 = z0 é um inverso local para f na vizinhan¸ca de z0 . Basearemos a demonstra¸cão do Teorema da Aplica¸cão Inversa no método das aproxima¸co ˜es sucessivas, princ´ıpio de grande utilidade para provar a existência e a unicidade de solu¸cões para equa¸cões diferenciais, equa¸cões integrais, etc. Seja X ⊂ Rm . Uma aplica¸cão f : X → Rm chama-se uma contra¸ca õ m quando existem λ ∈ R, 0 ≤ λ < 1, e uma norma em R relativamente ` a qual se tem |f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y| para quaisquer x, y ∈ X. ` vezes, quando for preciso Toda contra¸cão é uniformemente cont´ınua. As especificar a constante λ, diremos que f é uma λ-contra¸ca õ. Por exemplo, seja U ⊂ Rm aberto e convexo. Se f : U → Rm é uma aplica¸cão diferenci´ avel tal que |f ′ (x)| ≤ λ < 1 para uma certa constante λ e todo x ∈ U , a Desigualdade do Valor Médio dá |f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y|, logo f é uma contra¸cão. Um ponto fixo de uma aplica¸cão f : X → Rm (X ⊂ Rm ) é um ponto x ∈ X tal que f (x) = x. Teoremas que asseguram a existência de ponto fixo para certos tipos de aplica¸cões s˜ ao sempre interessantes pois, em princ´ıpio, a busca de uma solu¸cão x para uma equa¸cão do tipo f (x) = b reduz-se à procura

˜ INVERSA [SEC. 8: O TEOREMA DA APLICAC ¸ AO

283

de um ponto fixo para a aplica¸cão ξ, definida por ξ(x) = f (x) + x − b. Com efeito, ξ(x) = x ⇔ f (x) = b. Entre os vários teoremas de pontos fixos que se conhecem, o teorema abaixo, a despeito da simplicidade de sua demonstra¸cão, é um dos mais u ´teis, provando a existência de um ponto fixo, assegurando sua unicidade e fornecendo ainda um método iterativo para a obten¸caõ de valores aproximados para o ponto fixo em quest˜ ao. Teorema do Ponto Fixo para Contra¸ co ˜es (Método das aproximações sucessivas.) Sejam F ⊂ Rm um subconjunto fechado e f : F → F uma contra¸ca õ. Dado qualquer ponto x0 ∈ F , a seq¨ uência x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . , xk+1 = f (xk ), . . . converge para um ponto a ∈ F , que é o u ńico ponto fixo de f . Demonstra¸ c˜ ao: De |f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y| segue-se que |xk+1 − xk | ≤ k λ |x1 − x0 |. Portanto |xk+p − xk | ≤ ≤

p−1 X

|xk+i+1 − xk+i | ≤

i=0 λk

1−λ

" p−1 X i=0

#

λk+i |x1 − x0 | ≤

· |x1 − x0 |.

Como 0 ≤ λ < 1, temos lim |xk+p − xk | = 0, seja qual for p ∈ N. Logo k→∞

(xk ) é uma seq¨ uência de Cauchy em Rm . Existe portanto a = lim xk e a ∈ F porque F é fechado. Como f é cont´ınua, f (a) = lim xk+1 = a, k→∞

ou seja, a é um ponto fixo de f . Se tivermos ainda f (b) = b, com b ∈ F então |b − a| = |f (b) − f (a)| ≤ λ|b − a|, logo (1 − λ)|b − a| ≤ 0. Como 1 − λ > 0, isto dá b = a. Portanto, o ponto fixo de f é u ńico.

Exemplo 14. Se tivermos apenas |f (x) − f (y)| < |x − y| para todo par de pontos x 6= y em F , o ponto fixo de f : F → F pode não existir. √ 1 Consideremos, por exemplo, f : R → R dada por f (x) = (x+ 1 + x2 ). 2 1 x ′ ′ · Tem-se 0 < f (x) < 1 para todo x ∈ R, pois f (x) = 1+ √ 2 1 + x2 Mas f (x) > x para todo x ∈ R, logo f não possui ponto fixo. Um exemplo mais simples (cujo dom´ınio não é, entretanto, um subconjunto fechado) é o da fun¸cão g : (0, 1) → (0, 1), definida por g(x) = x2 /2. Tem-se 0 < g ′ (x) < 1 para todo x ∈ (0, 1) mas g não possui ponto fixo em (0, 1). Observe-se, finalmente, que se X ⊂ Rm é compacto e a

284

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

aplica¸cão f : X → X cumpre a condi¸cão |f (x) − f (y)| < |x − y| para todo par de pontos x 6= y em X então f possui um ponto fixo u ńico em X. Com efeito, seja a ∈ X o ponto onde a fun¸cão cont´ınua ϕ : X → R, ϕ(x) = |x − f (x)|, atinge seu m´ınimo c = |a − f (a)|. Se fosse c 6= 0 então ter´ıamos a 6= f (a), donde |f (a) − f (f (a))| < |a − f (a)| e da´ı o ponto b = f (a) seria tal que |b − f (b)| < c, uma contradi¸cão. Logo a = f (a). A unicidade é imediata: de f (a) = a e f (b) = b com a 6= b resultaria |a − b| = |f (a) − f (b)| < |a − b|, um absurdo. Para garantir que uma contra¸cão f : X → Rm possui um ponto fixo a ∈ X, é essencial descobrir um subconjunto F ⊂ X tal que f (F ) ⊂ F e F é fechado em Rm . O lema abaixo é freq¨ uentemente utilizado para esse fim. Lema. Seja f : X → Rm uma λ-contra¸ca õ. Se X contém a bola fechada B[a; r], tal que |f (a) − a| ≤ (1 − λ)r, ent˜ ao f admite um ponto fixo em B[a; r]. Demonstra¸ c˜ ao: Basta provar que f (B[a; r]) ⊂ B[a; r]. Ora, x ∈ B[a; r] ⇒ |x − a| ≤ r ⇒ |f (x) − a| ≤ |f (x) − f (a)|+ + |f (a) − a| ≤ λ|x − a| + (1 − λ)r ≤ λr + (1 − λ)r = r.

Portanto, x ∈ B[a; r] ⇒ f (x) ∈ B[a; r], o que prova o lema. O teorema seguinte e seu corolário s˜ ao versões não-diferenciáveis do Teorema da Aplica¸cão Inversa e, ao mesmo tempo, constituem etapas cruciais da sua demonstra¸cão. A parte mais importante do que eles afirmam é a que assegura ser a imagem f (U ) um conjunto aberto. Impl´ıcito nesta afirma¸cão está um teorema de existência, em cuja prova utilizamos o método das aproxima¸cões sucessivas. Teorema da Perturba¸ c˜ ao da Identidade. Seja ϕ : U → Rm uma contra¸ca õ definida no aberto U ⊂ Rm . A aplica¸ca õ f : U → Rm , dada por f (x) = x + ϕ(x), é um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f (U ) ⊂ Rm . Além disso, se U = Rm tem-se f (U ) = Rm . Demonstra¸ c˜ ao: Para x, y ∈ U quaisquer, temos |f (x) − f (y)| = |x − y + ϕ(x) − ϕ(y)| ≥ |x − y| − |ϕ(x) − ϕ(y)| ≥ ≥ |x − y| − λ|x − y| = (1 − λ)|x − y|.

Da´ı resulta que f é uma bije¸cão de U sobre f (U ) e que a aplica¸cão inversa f −1 : f (U ) → U cumpre a condi¸cão de Lipschitz |f −1 (w) − f −1 (z)| ≤

˜ INVERSA [SEC. 8: O TEOREMA DA APLICAC ¸ AO

285

c|w − z|, com c = 1/(1 − λ). Em particular, f é um homeomorfismo de U sobre f (U ). Para provar que f (U ) ⊂ Rm é aberto, seja b ∈ f (U ). Temos b = f (a) = a + ϕ(a) para um certo a ∈ U . Devemos mostrar que b é um ponto interior do conjunto f (U ), ou seja, que para todo ponto y suficientemente próximo de b, a equa¸cão y = f (x) ou, o que é o mesmo, y = x + ϕ(x), possui uma solu¸cão x ∈ U . Dentro do esquema de resolver equa¸cões por meio de pontos fixos, seja r > 0 tal que B[a; r] ⊂ U e consideremos a aplica¸cão ξ = ξy : B[a; r] → Rm , dada por ξ(x) = y − ϕ(x). Então ξ(x) = x ⇔ f (x) = y. Como y é constante, ξ é uma contra¸cão. Pelo Lema acima, existe um ponto fixo x ∈ B[a; r] para ξ desde que |ξ(a) − a| ≤ (1 − λ)r. Como ξ(a) − a = y − ϕ(a) − a = y − b, vemos que ξ = ξy tem um ponto fixo em B[a; r], (ou seja, existe x ∈ B[a; r] tal que f (x) = y) contanto que tomemos |y − b| ≤ (1 − λ)r. Isto significa que, pondo s = (1 − λ)r, temos B(b; s) ⊂ f (B[a; r]) ⊂ f (U ), logo b ∈ int f (U ) e, como b ∈ f (U ) é arbitr´ ario, o conjunto f (U ) é aberto. Finalmente, se U = Rm então, para todo r > 0 temos B[a; r] ⊂ U donde B[f (a); (1 − λ)r] ⊂ f (U ). Se tomarmos, para cada k ∈ N, Srk = k/(1 − λ), veremos então que B[f (a); k] ⊂ f (U ), B[f (a); k] ⊂ f (U ), ou seja, f (U ) = Rm . donde Rm = k∈N

Corol´ ario (Perturba¸cão de um isomorfismo.) Sejam U ⊂ Rm aberto e f : U → Rm uma aplica¸ca õ da forma f (x) = T ·x+ϕ(x), onde T : Rm → Rm é uma transforma¸ca õ linear invert´ıvel e ϕ : U → Rm satisfaz |ϕ(x)− ϕ(y)| ≤ λ|x − y|, com λ · |T −1 | < 1. Ent˜ ao f é um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f (U ) ⊂ Rm . Se U = Rm , tem-se f (U ) = Rm . Com efeito, neste caso a aplica¸cão ψ = T −1 ◦ ϕ : U → Rm cumpre |ψ(x) − ψ(y)| = |T −1 [ϕ(x) − ϕ(y)]| ≤ |T −1 | |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ ≤ |T −1 | · λ|x − y|.

Como |T −1 | · λ < 1, vemos que ψ = T −1 ◦ ϕ é uma contra¸cão. Sendo (T −1 ◦ f )(x) = x + ψ(x), segue-se do teorema acima que T −1 ◦ f é um homeomorfismo de U sobre o aberto T −1 · f (U ), donde f e um homeomorfismo de U sobre o aberto f (U ). Se U = Rm então, pelo teorema, (T −1 ◦ f )(U ) = Rm , donde f (U ) = T · Rm = Rm . Provaremos, a seguir, uma versão do Teorema da Aplica¸cão Inversa na qual a aplica¸cão é suposta diferenci´ avel apenas num ponto. Na versão cl´ assica, que decorre imediatamente desta, supõe-se que a aplica¸cão seja pelo menos de classe C 1 . Come¸camos com o

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

286

Lema (Diferenciabilidade do homeomorfismo inverso.) Seja f : U → V um homeomorfismo entre os abertos U, V ⊂ Rm . Se f é diferenci´ avel num ponto a ∈ U e a derivada f ′ (a) : Rm → Rm é um isomorfismo ent˜ ao o homeomorfismo inverso f −1 : V → U é diferenci´ avel no ponto b = f (a). Se f é fortemente diferenci´ avel no ponto a ent˜ ao f −1 é fortemente diferenci´ avel no ponto b. Demonstra¸ c˜ ao: Escrevamos g = f −1 . Como o u ńico candidato poss´ıvel ′ −1 para derivada de g no ponto b é f (a) , escrevamos g(b + w) − g(b) = f ′ (a)−1 · w + s(w)

(*)

e procuremos mostrar que lim s(w)/|w| = 0. Ponhamos v = g(b + w→0

w) − g(b). Então f (a + v) − f (a) = f [g(b) + g(b + w) − g(b)] − b = f (g(b + w)) − b = b + w − b = w. Como f e g s˜ ao cont´ınuas, w → 0 se, e somente se, v → 0. A diferenciabilidade de f no ponto a fornece f (a + v) − f (a) = f ′ (a) · v + r(v), onde lim

(**)

v→0

r(v) = 0. |v|

Na igualdade (*), substituimos o primeiro membro por v e, no segundo, substituimos w = f (a+v)−f (a) pelo segundo membro de (**). Resulta: v = v + f ′ (a) · r(v) + s(w), donde s(w) = −f ′ (a)−1 · r(v) e

r(v) |v| s(w) = −f ′ (a)−1 · · · |w| |v| |w|

r(v) = 0. w→0 |v| Além disso, pelo Teorema 3 (item 1o¯ ), o quociente |v|/|w| = |v|/(|f (a + v)−f (a)|) é limitado nas proximidades de v = 0. Como a transforma¸cão linear f ′ (a)−1 é cont´ınua e se anula na origem, segue-se da expressão

Quando w → 0, tem-se também v → 0, como vimos, logo lim

s(w) r(v) |v| = −f ′ (a)−1 · · |w| |v| |w| s(w) = 0, donde g = f −1 é diferenci´ avel no ponto b = f (a). |w| Quanto ` a diferenciabilidade forte, se pusermos v = g(b + w) − g(b) e u = g(b + z) − g(b) resultar´ a, como acima, que

que lim

w→0

s(w) − s(z) = f ′ (a)−1 · [r(u) − r(v)].

˜ INVERSA [SEC. 8: O TEOREMA DA APLICAC ¸ AO

287

Como toda transforma¸cão linear é Lipschitziana, a diferenciabilidade forte de g no ponto b resulta imediatamente da diferenciabilidade forte de f no ponto a, pelos Teoremas 4 e 5. Teorema da Aplica¸ c˜ ao Inversa. Sejam f : U → Rm , definida no aberto U ⊂ Rm , fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U e f ′ (a) : Rm → m R um isomorfismo. (Equivalentemente: o determinante jacobiano ∂fi det Jf (a) = det (a) é diferente de zero.) Ent˜ ao f é um homeo∂xj morfismo de um aberto V contendo a sobre um aberto W contendo f (a). O homeomorfismo inverso f −1 : W → V é fortemente diferenci´ avel no ′ −1 k ponto f (a) e sua derivada nesse ponto é [f (a)] . Se f ∈ C (k ≥ 1) ent˜ ao V pode ser tomado de modo que f seja um difeomorfismo de V sobre W . [Pelo Corolário 4 da Regra da Cadeia, tem-se ainda f −1 ∈ C k .]

Demonstra¸ c˜ ao: O trabalho está essencialmente feito. Resta apenas juntar as pe¸cas. Para simplificar a nota¸cão, suporemos a = f (a) = 0, o que não restringe a generalidade. Escrevendo f (x) = f ′ (a) · x + r(x), a diferenciabilidade forte de f assegura, via Teorema 5, que existe uma bola aberta V , de centro a, tal que x, y ∈ V ⇒ |r(x) − r(y)| ≤ λ · |x − y|, com λ · |f ′ (a)−1 | < 1. Portanto, f é, em V , uma perturba¸cão do isomorfismo f ′ (a). Segue-se que f é um homeomorfismo de V sobre o aberto W = f (V ) e, pelo Lema acima, a inversa f −1 : W → V é fortemente diferenci´ avel no ponto f (a). No caso particular de f ∈ C k (k ≥ 1), a aplica¸cão derivada f ′ : U → L(Rm ; Rm ) é cont´ınua. Como o conjunto GL(Rm ) dos isomorfismos lineares de Rm é aberto em L(Rm ; Rm ) e f ′ (a) ∈ GL(Rm ), a bola V de centro a pode ser tomada, se necessário, tão pequena que f ′ (x) : Rm → Rm seja ainda isomorfismo, para todo x ∈ V . Pelo lema da diferenciabilidade do homeomorfismo inverso, f −1 : W → V é diferenci´ avel em todos os pontos de W , logo f é um difeomorfismo.

Corol´ ario 1. Uma aplica¸ca õ f : U → Rm , de classe C k no aberto m U ⊂ R , (onde 1 ≤ k ≤ ∞) é um difeomorfismo local se, e somente se, para todo x ∈ U , a derivada f ′ (x) : Rm → Rm é um isomorfismo (isto é, det Jf (x) 6= 0). Corol´ ario 2 (Perturba¸cão diferenci´ avel da identidade). Seja U ⊂ Rm m aberto e convexo. Se ϕ : U → R é de classe C 1 , com |ϕ′ (x)| ≤ λ < 1 para todo x ∈ U e λ constante, ent˜ ao f : U → Rm , definida por f (x) = x + ϕ(x), é um difeomorfismo de U sobre sua imagem f (U ). Se U = Rm

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

288 ent˜ ao f (U ) = Rm .

Com efeito, sendo U convexo, ϕ é uma contra¸cão, logo f é um homeomorfismo de U sobre o aberto f (U ), pelo Teorema da Perturba¸cão da Identidade. Como f ′ (x) = I + ϕ′ (x) e |ϕ′ (x)| < 1, segue-se que f ′ (x) é, para todo x ∈ U , uma transforma¸cão linear invert´ıvel. Portanto f −1 : f (U ) → U é diferenci´ avel e f é um difeomorfismo. Observa¸ c˜ ao: A quest˜ ao de saber em que condi¸cões um difeomorfismo m local f : U → R é, na realidade, um difeomorfismo global de U sobre f (U ), ou seja, quando é que f é injetivo, é um problema topológico. A teoria dos chamados “espa¸cos de recobrimento”é muitas vezes u ´til nesse contexto, fornecendo respostas como, por exemplo, a seguinte: se U é um aberto limitado, f (U ) é simplesmente conexo e, para toda seq¨ uência de pontos xk → a ∈ ∂U , a seq¨ uência (f (xk )) não possui subseq¨ uência convergente para um ponto de f (U ), então o difeomorfismo local f : U → Rm é injetivo, logo é um difeomorfismo de U sobre f (U ). Veja [10], pág. 122. 2

2

Exemplo 15. Seja f : Rn → Rn definida por f (X) = X k onde k é um n´ umero natural fixo e X k é a k-ésima potência da matriz X, de n linhas e n colunas. A aplica¸cão f é de classe C ∞ e sua derivada, 2 2 em cada ponto X, é a transforma¸cão linear f ′ (X) : Rn → Rn , dada k P X i−1 · V · X k−i . Por exemplo, se k = 2, temos por f ′ (X) · V = i=1

f ′ (X) · V = V · X + X · V . No ponto X = I (matriz identidade), temos 2 2 f ′ (I) · V = k · V , logo a derivada f ′ (I) : Rn → Rn é um isomorfismo. 2 Pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, existem abertos U , W em Rn , ambos contendo I = f (I), tais que f : U → W é um difeomorfismo C ∞ . Isto significa que toda matriz Y suficientemente próxima da identidade (Y ∈ W ) possui uma raiz k-ésima X (isto é, X k = Y ), a qual é u ńica se impusermos que ela esteja suficientemente próxima da identidade (Y ∈ U ). Além disso, X é uma fun¸cão de classe C ∞ de Y .

9

Aplica¸c˜ ao: o Lema de Morse

Como ilustra¸cão sobre o emprego do Teorema da Aplica¸cão Inversa, demonstraremos aqui o Lema de Morse; segundo ele, na vizinhan¸ca de um ponto cr´ıtico não-degenerado de uma fun¸cão f , é poss´ıvel tomar

˜ [SEC. 9: APLICAC ¸ AO: O LEMA DE MORSE

289

um sistema de coordenadas em rela¸cão ao qual f se exprime como uma forma quadrática com coeficientes constantes: f (y) = Σ aij yi yj . Um sistema de coordenadas (curvil´ıneas) de classe C k num aberto U ⊂ Rn é um difeomorfismo ξ : V → U , de classe C k , definido num aberto V ⊂ Rn . As coordenadas de um ponto p ∈ U no sistema ξ s˜ ao os n´ umeros y1 , . . . , yn tais que y = (y1 , . . . , yn ) ∈ V e ξ(y) = p.

Exemplo 16. Seja ρ = {(x, 0) ∈ R2 ; x ≥ 0}. Em U = R2 − ρ podemos introduzir um sistema de coordenadas ξ : V → U , definido em V = (0, +∞) × (0, 2π) p por ξ(r, θ) = reiθ = (r cos θ, r sen θ). Se p = (x, y) = ancia de p à origem e θ mede, em ξ(r, θ) então r = x2 + y 2 é a distˆ radianos, o ˆ angulo de Op com o semi-eixo positivo das abcissas. Os n´ umeros r, θ s˜ ao chamados as coordenadas polares de p = (x, y). Mais geralmente, se ρ ⊂ R2 é qualquer semi-reta fechada partindo da origem, tomando um vetor unit´ ario u = (cos a, sen a) ∈ ρ podemos definir um sistema de coordenadas polares ξ : (0, +∞) × (a, a + 2π) → U = R2 − ρ pela mesma fórmula ξ(r, θ) = reiθ . Exemplo 17. Outro exemplo bem conhecido é o sistema de coordenadas esféricas ξ : V → R3 , com V = (0, +∞) × (0, 2π) × (0, π) e ξ(r, θ, ϕ) = (r sen ϕ cos θ, r sen ϕ sen θ, r cos ϕ). ξ é um difeomorfismo de V sobre U = R3 − P , onde P = {(x, 0, z) ∈ R3 ; x ≥ 0} é um semi-plano fechado vertical. Se ξ(r, θ, ϕ) = (x, y, z) = p, os n´ umeros r, θ, ϕ s˜ ao chamados as coordenadas esféricas do ponto p; r é a distˆ ancia de p à origem, ϕ mede, em radianos o ˆ angulo do raio Op com o semi-eixo positivo dos z enquanto θ é a medida em radianos do ângulo que (x, y, 0) faz com o semi-eixo positivo dos x. z r

p = (x, y, z)

ϕ

y θ

x

(x, y, 0)

A introdu¸cão de novos sistemas de coordenadas em regi˜ oes do espa¸co euclidiano tem por finalidade simplificar a descri¸cão de certos conjuntos ou fun¸cões. Por exemplo, em coordenadas esféricas, a fun¸cão f (x, y, z) =

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

290

p x2 + y 2 + z 2 se torna f (r, θ, ϕ) = r e a esfera x2 +y 2 +z 2 = c é descrita √ pela equa¸cão r = c. O Lema de Morse diz que na vizinhan¸ca de um ponto cr´ıtico não-degenerado é poss´ıvel obter um sistema de coordenadas que simplifica bastante a forma da fun¸cão. Lema de Morse. Seja a um ponto cr´ıtico n˜ ao-degenerado de uma fun¸ca õ f : U → R de classe C k (k ≥ 3) num aberto U ⊂ Rn . Existe um sistema de coordenadas ξ : V → W , de classe C k−2 , com a ∈ W ⊂ U , 0 ∈ V e ξ(0) = a, tal que m X

f ξ(y) − f (a) =

aij yi yj

i,j=1

para todo y = (y1 , . . . , yn ) ∈ V , onde aij =

1 ∂2f · (a). 2 ∂xi ∂xj

Demonstra¸ c˜ ao: Para simplificar a nota¸cão, suporemos a = 0 e f (a) = 0. Seja W uma bola aberta de centro 0, contida em U . Pela fórmula de Taylor com resto integral, x ∈ W ⇒ f (x) = com aij (x) =

Z

n X

1 0

aij (x)xi xj ,

i,j=1

(1 − t)

∂2f (tx) dt. ∂xi ∂xj

Como vemos, cada aij é uma fun¸cão de classe C k−2 , definida na bola W . Para cada x ∈ W , a matriz A(x) = (aij (x)) é simétrica, em virtude do Teorema de Schwarz. Podemos escrever 2 f (x)= hA(x) · x, xi para 1 ∂ f todo x ∈ W . Seja A0 = A(0) = · (0) . Dizer que o ponto 2 ∂xi ∂xj cr´ıtico 0 é não-degenerado significa afirmar que a matriz simétrica A0 é invert´ıvel. Assim, para cada x ∈ W , podemos escrever A(x) como produto de A0 por uma matriz que depende de x em classe C k−2 e que para x = 0 é a identidade. Pelo Exemplo 15 acima, podemos tomar o raio da bola W tão pequeno que x ∈ W ⇒ A(x) = A0 · B(x)2 , onde 2 B : W → Rn é de classe C k−2 . Como A0 e A(x) (para todo x ∈ W ) s˜ ao simétricas tomando transpostas obtemos: −1 ∗ 2 ∗ 2 A = A0 · B 2 = (B ∗ )2 · A0 , donde B 2 = A−1 0 (B ) A0 = (A0 · B · A0 ) .

˜ [SEC. 9: APLICAC ¸ AO: O LEMA DE MORSE

291

(Onde omitimos a variável x, por simplicidade.) Ainda pelo Exemplo 15, se o raio de W for suficientemente pequeno, x ∈ W implicará que B(x) ∗ e A−1 ao tão próximas da identidade que, por terem 0 · B(x) · A0 est˜ ∗ quadrados iguais, s˜ ao elas iguais. Então B = A−1 0 · B · A0 , ou seja, A0 · B = B ∗ · A0 e da´ı A = A0 · B 2 = B ∗ · A0 · B. Assim: x ∈ W ⇒ f (x) = hA(x) · x, xi = hB(x)∗ · A0 · B(x) · x, xi = = hA0 · B(x) · x, B(x) · xi.

Mostraremos agora que, se o raio da bola W for tomado suficientemente pequeno, a aplica¸cão ϕ : W → Rn , definida por ϕ(x) = B(x) · x, é um difeomorfismo de classe C k−2 sobre sua imagem. Com efeito, para todo ∂B ∂ϕ (x) = (x) · x + B(x) · v. x ∈ W e todo v ∈ Rn , temos ϕ′ (x) · v = ∂v ∂v ′ ′ Para x = 0, vem: ϕ (0) · v = B(0) · v = v, logo ϕ (0) : Rn → Rn é a transforma¸cão linear identidade. Resulta então do Teorema da Aplica¸cão Inversa que, se o raio de W for tomado suficientemente pequeno, obteremos um difeomorfismo ϕ : W → V de classe C k−2 , com ϕ(x) = B(x) · x, ϕ(0) = 0 e f (x) = hA0 · ϕ(x), ϕ(x)i para todo x ∈ W . Então ξ = ϕ−1 : V → W é um sistema de coordenadas de classe C k−2 n P aij yi yj . tal que, para todo y ∈ V , f ξ(y) = hA0 · y, yi = i,j=j

Corol´ ario. Nas condi¸co ˜es do Lema de Morse, existe um sistema de coordenadas ζ : V0 → W , de classe C k−2 , com a ∈ W ⊂ U , 0 ∈ V0 , 2 + · · · + yn2 . ζ(0) = a e f ζ(y) − f (a) = −y12 − · · · − yi2 + yi+1 ´ suficiente compor o sistema de coordenadas ξ com a mudan¸ca (liE near) de coordenadas em Rn que torna a forma quadrática Σ aij yi yj uma soma de quadrados, alguns dos quais precedidos do sinal menos. (Veja o Exemplo 18 do Cap´ıtulo III.) Este fato também decorre do Exemplo 29, Cap´ıtulo III, segundo o qual, dada a matriz simétrica A0 = (aij ), existe uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ Rn tal que A0 · uj = λj · uj (j = 1, . . . , n). Como A0 é invert´ıvel, λj 6= 0 para todo j. Sejam λ1 < p 0, . . . , λi < 0 e λi+1 > 0, . . . , λn > 0. Para p j ≤i ponhamos vj = uj / −λj e, para j > i escrevamos vj = uj / λj . Então {v1 , . . . , vn } é ainda uma base de Rn , valendo hA0 · vj , vk i = 0 se j 6= k, hA0 · vj , vj i = −1 se j ≤ i e hA0 · vj , vj i = 1 se j > i. Seja agora T : Rn → Rn a transforma¸cão linear (invert´ıvel) tal que T · e1 = v1 , . . . , T · en = vn . Pondo V0 = T −1 (V ), onde V é o aberto

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

292

obtido no Lema de Morse, o difeomorfismo ζ = ξ ◦ T : V0 → W cumpre: f ζ(y) = f ξ(T · y) = hA0 · T · y, T · yi = hA0 · Σyj vj , Σyk vk i = X 2 = yj yk hA0 · vj , vk i = −y12 − · · · − yi2 + yi+1 + · · · + yn2 . j,k

O n´ umero i que aparece no Corolário acima chama-se o ´ındice do ponto cr´ıtico a. Quando i = n, o ponto a é um m´ aximo local para f ; se i = 0, a é um ponto de m´ınimo local. Para 0 < i < n, tem-se um ponto de sela de ´ındice i. Exemplo 18. Resulta do Corolário acima que, se n = 2, as curvas de n´ıvel na vizinhan¸ca de um ponto cr´ıtico não-degenerado de uma fun¸cão f : U → R, definida num aberto do plano, tem uma das formas abaixo:

U

U

` esquerda, temos um ponto de m´ A aximo ou de m´ınimo; à direita um ponto de sela. Com efeito, se o ponto é de m´ aximo ou de m´ınimo local, o Lema de Morse nos dá f ζ(y) − f (a) = ±(y12 + y22 ), logo as curvas de n´ıvel de f próximas de a s˜ ao imagens pelo difeomorfismo ζ dos c´ırculos 2 2 y1 + y2 = constante, logo têm a forma dada pela figura à esquerda. A figura ` a direita, por sua vez, é a imagem por um difeomorfismo das curvas de n´ıvel da fun¸cão f ζ(y) = −y12 + y22 . Os três par´ agrafos seguintes têm objetivo semelhante ao deste: a partir de hip´ oteses de “regularidade”sobre a derivada, obter sistemas de coordenadas convenientes, em rela¸cão aos quais a aplica¸cão se exprime por meio de fórmulas simples. Um problema an´ alogo ocupa uma posi¸cão ´ central em Algebra Linear: dada uma transforma¸cão linear T : Rn → Rn , achar uma base de Rn segundo a qual a matriz de T seja a mais simples. Quando é poss´ıvel, tenta-se diagonalizar a matriz de T , isto é, obter uma base formada por vetores próprios. (No Cap´ıtulo III, §10, mostramos

˜ [SEC. 10: A FORMA LOCAL DAS IMERSOES

293

que isto pode ser feito quando T é auto-adjunta.) Em geral, o melhor que se pode obter é uma base que dê a T uma “matriz de Jordan”. No nosso caso, o Lema de Morse, as Formas Locais de Imersões, Submersões e o Teorema do Posto (estes três a serem provados adiante) constituem os casos mais elementares de formas locais de aplica¸cões diferenci´ aveis. O prosseguimento desses estudos é feito na teoria das singularidades de aplica¸cões diferenci´ aveis, iniciada por Morse, Whitney e Thom, e desenvolvida por vários autores em anos recentes.

10

A forma local das imers˜ oes

Uma imers˜ ao do aberto U ⊂ Rm no espa¸co euclidiano Rn é uma aplica¸cão diferenci´ avel f : U → Rn tal que, para cada x ∈ U , a derivada f ′ (x) : Rm → Rn é uma transforma¸cão linear injetiva. Evidentemente, isto s´ o pode ocorrer quando m ≤ n. A aplica¸cão composta de duas imersões é ainda uma imersão.

Se a derivada f ′ : U → L(Rm ; Rn ) for cont´ınua no ponto a ∈ U , fato que equivale a dizer que f é fortemente diferenci´ avel nesse ponto, então ′ m n a condi¸cão de f (a) : R → R ser injetiva implica que f é injetiva numa vizinhan¸ca de a (Teorema 4) e, mais precisamente, f transforma uma bola de centro a homeomorficamente sobre sua imagem. Exemplo 19. Seja f : Rm → Rm × Rn a aplica¸cão de inclus˜ ao, dada por f (x) = (x, 0). Como f é linear, temos f ′ (x) = f para todo x ∈ Rm , logo f é uma imersão C ∞ . O principal resultado deste par´ agrafo mostra que k toda imersão de classe C (k ≥ 1) se comporta localmente como esta. Exemplo 20. Seja J ⊂ R um intervalo aberto. Um caminho diferenci´ avel f : J → Rn é uma imersão se, e somente se, seu vetor-velocidade é diferente de zero em cada ponto t ∈ J. Isto significa que a imagem f (J) possui, em cada ponto f (t), uma reta tangente, a saber, a reta L = {f (t) + s · f ′ (t); s ∈ R}. Notemos que uma imersão pode não ser injetiva. Então, quando f (t1 ) = f (t2 ), as duas retas tangentes L1 = f (t1 ) + R · f ′ (t1 ) e L2 = f (t2 ) + R · f ′ (t2 ) podem (ou não) ser distintas. Se considerarmos, entretanto, uma pequena vizinhan¸ca V de t1 , nenhum outro ponto de V ter´ a a mesma imagem que t1 (Teorema 3) e assim L1 será a u ńica reta tangente no ponto f (t1 ) para o caminho restrito f |V . Um exemplo simples e elucidativo de imersão da reta no plano é dado

294

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

por f : R → R2 , f (t) = (t3 − t, t2 ). A imagem de f é esbo¸cada na figura abaixo.

Exemplo 21. O caminho g : R → R2 , definido por g(t) = (t − sen t, 1 − cos t), é injetivo, de classe C ∞ , mas não é uma imersão de R em R2 . Sua imagem, uma curva chamada cicl´ oide, exibe uma infinidade de pontos angulares (c´ uspides), nos quais o vetor-velocidade g ′ (t) deve for¸cosamente ser igual a zero.

Deve-se notar, entretanto, que os pontos onde a derivada de uma aplica¸cão deixa de ser injetiva nem sempre se denunciam pela forma geométrica da imagem. Por exemplo, a imagem do caminho f : R → R2 , f (t) = (t3 , t3 ), é uma reta. Para t = 0, o vetor-velocidade f ′ (t) se anula, o que não se deve ao aspecto de f (R) mas à maneira como tal conjunto está parametrizado por f . O teorema seguinte mostra que, se a imersão f : U → Rn é suficientemente suave, é poss´ıvel introduzir novas coordenadas na vizinhan¸ca de cada ponto da imagem de modo que f assuma localmente a forma do Exemplo 19 acima. Forma Local das Imers˜ oes. Seja f : U → Rm+n definida no aberto m U ⊂ R , fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U . Se a derivada ′ m m+n f (a) : R → R é injetiva, existe um homeomorfismo h : Z → V ×W , de um aberto Z ∋ f (a) em Rm+n sobre um aberto V × W ∋ (a, 0) em

˜ [SEC. 10: A FORMA LOCAL DAS IMERSOES

295

Rm × Rn , tal que hf (x) = (x, 0) para todo x ∈ V e h é fortemente diferenci´ avel no ponto f (a). Caso f ∈ C k (k ≥ 1), é poss´ıvel restringir V , W e Z se necess´ ario, de modo que h seja um difeomorfismo de classe Ck. A demonstra¸cão faz uso, de modo simples, do Teorema da Aplica¸cão Inversa. Pelo menos tão importante quanto ela é a figura abaixo, que deve ser bem entendida pois contém o significado do teorema. Z

f (a)

h

f

E

V ×W

V m

V ⊂R

a

h◦f

W ⊂ IRn 0

(a, 0)

π

V

Demonstra¸ c˜ ao: Seja E = f ′ (a) · Rm a imagem de f ′ (a). Existem vetores linearmente independentes v1 , . . . , vn ∈ Rm+n , que geram um subespa¸co vetorial F ⊂ Rm+n tal que Rm+n = E ⊕ F . Definamos ϕ : U × Rn → Rm+n pondo ϕ(x, y) = f (x) +

n X

yi v i ,

i=1

onde y = (y1 , . . . , yn ). Então ϕ é fortemente diferenci´ avel no ponto (a, 0), e n X βi vi , ϕ′ (a, 0) · (v, w) = f ′ (a) · v + i=1

Rm

Rn .

onde v ∈ e w = (β1 , . . . , βn ) ∈ Sendo f ′ (a) injetiva, e Rm+n a ′ soma direta da imagem de f (a) com o subespa¸co gerado por v1 , . . . , vn , resulta imediatamente que ϕ′ (a, 0) : Rm × Rn → Rm+n é injetiva e portanto um isomorfismo. Pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, ϕ aplica

296

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

homeomorficamente um aberto contendo (a, 0) (o qual podemos supor da forma V × W , onde W ∋ 0 em Rn ) sobre um aberto Z ∋ f (a) em Rm+n . Seja h = ϕ−1 : Z → V × W . Como ϕ(x, 0) = f (x) temos hf (x) = hϕ(x, 0) = (x, 0). Quando f ∈ C k (k ≥ 1) então ϕ também é de classe C k . Ainda pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, V e W podem ser tomados de modo que ϕ|(V × W ) seja um difeomorfismo sobre Z = ϕ(v × W ), cujo inverso h é também de classe C k . Corol´ ario. Seja f : U → Rm+n definida no aberto U ⊂ Rm , fortemente diferenci´ avel no ponto a, com f ′ (a) : Rm → Rm+n injetiva. Existe um aberto V , com a ∈ V ⊂ U , que é aplicado homeomorficamente por f sobre f (V ). O homeomorfismo inverso f −1 : f (V ) → V é a restri¸ca õ de uma aplica¸ca õ cont´ınua ξ : Z → V , definida num aberto Z ∋ f (a) em Rm+n e ξ é fortemente diferenci´ avel no ponto f (a). Se f ∈ C k (k ≥ 1) ent˜ ao ξ pode ser tomada de classe C k . Basta tomar h : Z → V × W como no teorema acima e definir ξ = π ◦ h, onde π : V × W → V é a proje¸cão sobre a primeira coordenada. Para todo x ∈ V , tem-se então ξ(f (x)) = πhf (x) = π(x, 0) = x, logo ξ|f (V ) = f 1 . Observa¸ c˜ ao: Decorre deste corolário que se f ∈ C k (k ≥ 1) e f ′ (a) é injetiva para algum a ∈ U , então f ′ (x) : Rm → Rm+n é injetiva para todo x num aberto V contendo a em Rm . Com efeito, de ξf (x) = x para todo x ∈ V , resulta pela Regra da Cadeia que ξ ′ (f (x)) ◦ f ′ (x) = Id : Rm → Rm , logo f ′ (x) é injetiva. Isto também pode ser verificado diretamente, como conseq¨ uência dos seguintes fatos: 1o¯ ) A aplica¸cão derivada f ′ : U → L(Rm ; Rm+n ) é cont´ınua; 2o¯ ) O conjunto das transforma¸cões lineares injetivas é aberto em L(Rm ; Rm+n . [Para comprovar o segundo fato, note que uma transforma¸cão linear T é injetiva se, e somente se, sua matriz contém um subdeterminante menor m × m nãonulo. O mesmo menor, sendo uma fun¸cão cont´ınua, será não-nulo numa pequena bola de centro T , logo todas as transforma¸cões pertencentes a essa bola serão injetivas.]

11

A forma local das submers˜ oes Uma aplica¸cão diferenci´ avel f : U → Rn , definida num aberto U ⊂ chama-se uma submers˜ ao quando, para todo x ∈ U , sua derivada

Rm ,

˜ [SEC. 11: A FORMA LOCAL DAS SUBMERSOES

297

f ′ (x) : Rm → Rn é uma transforma¸cão linear sobrejetiva. Para que isto ocorra, é necessário que se tenha m ≥ n. Um funcional linear é sobrejetivo ou é nulo. Portanto uma fun¸cão diferenci´ avel f : U → R é uma submersão se, e somente se, df (x) 6= 0 ou, equivalentemente, grad f (x) 6= 0, para todo x ∈ U . Segue-se da Regra da Cadeia que a aplica¸cão composta de duas submers˜ oes é ainda uma submersão. Uma “decomposi¸cão em soma direta do tipo Rm+n = Rm ⊕Rn ”significa que se fez uma parti¸cão {1, . . . , m+n} = I ∪J, onde I = {i1 , . . . , im } e J = {j1 , . . . , jn } s˜ ao disjuntos. Dada essa parti¸cão, consideramos m m+n R ⊂ R como o subespa¸co gerado pelos vetores {ei1 , . . . , eim } e Rn ⊂ Rm+n como o subespa¸co gerado por {ej1 , . . . , ejn }. Evidentemente, todo vetor z ∈ Rm+n se escreve, de modo u ńico, como z = x + y onde m n x ∈ R e y ∈ R . (Substitua por zero cada coordenada de z cujo ´ındice pertence a J e obtenha x; fa¸ca o mesmo com I em vez de J e obtenha y.) Assim, Rm+n é soma direta desses dois subespa¸cos e escrevemos n Rm+n = Rm ⊕ Rn . Seria bem mais preciso escrever Rm I e RJ para indicar os subespa¸cos acima, mas não há perigo em usar a nota¸cão mais simples, desde que mantenhamos em mente a parti¸cão dos ´ındices. Uma vez dada a decomposi¸cão em soma direta Rm+n = Rm ⊕Rn , escreveremos os elementos de Rm+n como pares z = (x, y), x ∈ Rm , y ∈ Rn . Por exemplo, seja R3 = R2 ⊕ R, onde R2 é gerado por {e1 , e3 } e R por {e2 }. Então todo z = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 será escrito como z = (x, y), onde x = (x1 , 0, x3 ) e y = (0, x2 , 0). Dada uma transforma¸cão linear sobrejetiva T : Rm+n → Rn , pode-se obter uma decomposi¸cão em soma direta do tipo Rm+n = Rm ⊕ Rn tal que a restri¸cão T |Rn : Rn → Rn seja um isomorfismo. Basta observar que os vetores T ·e1 , . . . , T ·em+n geram Rn , portanto é poss´ıvel selecionar dentre eles uma base {T · ej1 , . . . , T · ejn }. Seja J = {j1 , . . . , jn } e seja I = {i1 , . . . , im } o conjunto dos ´ındices restantes. A parti¸cão {1, . . . , m+ n} = I ∪ J fornece a decomposi¸cão em soma direta Rm+n = Rm ⊕ Rn . A restri¸cão T |Rn é um isomorfismo porque transforma uma base numa base. Seja (aij ) a matriz n × (m + n) da transforma¸cão T em rela¸cão às bases canônicas. Dizer que T |Rn é um isomorfismo equivale a afirmar que a submatriz n × n, obtida da anterior selecionando-se as n colunas cujos ´ındices pertencem ao conjunto J, tem determinante 6= 0. Exemplo 22. Dada uma decomposi¸cão em soma direta do tipo Rm+n = Rm ⊕ Rn , seja f : Rm+n → Rn a proje¸cão sobre a segunda coordenada,

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

298

isto é, f (x, y) = y. Como f é linear, temos f ′ (z) = f para todo z ∈ Rm+n , logo f é uma submersão. A matriz jacobiana de f tem como linhas os n u ´ltimos vetores da base canônica de Rm+n . Seja f : U → Rn definida no aberto U ⊂ Rm . Seja ainda E ⊂ Rm um subespa¸co vetorial. Para todo ponto a ∈ U , podemos indagar se f é diferenci´ avel ao longo de E no ponto a. Responder afirmativamente a esta pergunta significa dizer que existe uma transforma¸cão linear ∂E f (a) : E → Rn , chamada a derivada de f ao longo de E no ponto a, tal que v ∈ E, a + v ∈ U ⇒ f (a + v) − f (a) = ∂E f (a) · v + r(v), r(v) com lim = 0. v∈E |v| v→0

Evidentemente, se f é diferenci´ avel no ponto a, então f é diferenci´ avel nesse ponto ao longo de qualquer subespa¸co E ⊂ Rm , com ∂E f (a) = f ′ (a)|E = restri¸cão de f ′ (a) ao subespa¸co E. Se é dada uma decomposi¸cão em soma direta do tipo Rm+n = Rm ⊕ n R e f : U → Rp é definida num aberto U ⊂ Rm+n , a derivada de f no ponto a ao longo de Rm é indicada por ∂1 f (a) e a derivada ao longo de Rn é representada por ∂2 f (a). Estas s˜ ao as derivadas parciais de f no ponto a relativamente ` a decomposi¸cão Rm+n = Rm ⊕ Rn . Evidentemente, qualquer dessas derivadas parciais pode existir ou não. Quando existem, s˜ ao transforma¸cões lineares ∂1 f (a) : Rm → Rp e ∂2 f (a) : Rn → Rp . Se f : U → Rp é diferenci´ avel no ponto a então ∂1 f (a) = f ′ (a)|Rm ′ n e ∂2 f (a) = f (a)|R s˜ ao meramente as restri¸cões da derivada f ′ (a) aos subespa¸cos que determinam a decomposi¸cão. Em particular, para qualquer u = (v, w) ∈ Rm ⊕ Rn , f ′ (a) · u = f ′ (a) · v + f ′ (a) · w = ∂1 f (a) · v + ∂1 f (a) · w. Sabemos porém que, mesmo no caso da decomposi¸cão usual R2 = R ⊕ R, uma fun¸cão f : R2 → R pode ser diferenci´ avel 2 ao longo de cada um dos subespa¸cos R sem ser diferenci´ avel em R . O teorema abaixo mostra que o Exemplo 22 é, localmente, o caso mais geral de uma submersão. Ele diz que, dada uma submersão f de classe C 1 , é poss´ıvel tomar novas coordenadas em torno de cada ponto do seu dom´ınio de modo que f seja a proje¸cão sobre as n u ´ltimas coordenadas. Como no caso da forma local das imersões, é importante identificar o teorema com a figura que o acompanha. Forma Local das Submers˜ oes. Seja f : U → Rn definida no aberto m+n U ⊂R e fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U . Se f ′ (a) : Rm+n →

˜ [SEC. 11: A FORMA LOCAL DAS SUBMERSOES

299

Rn é sobrejetiva ou, mais precisamente, se é dada uma decomposi¸ca õ em m+n m n soma direta do tipo R = R ⊕ R tal que a = (a1 , a2 ) e a derivada parcial ∂2 f (a) = f ′ (a)|Rn : Rn → Rn é um isomorfismo, ent˜ ao existem abertos, V , W , Z, com a ∈ Z ⊂ Rm+n , a1 ∈ V ⊂ Rm , f (a) ∈ W ⊂ Rn , e um homeomorfismo h : V × W → Z, fortemente diferenci´ avel no ponto (a1 , f (a)), tal que f h(x, w) = w para todo (x, w) ∈ V × W . Se f é de classe C k em U (k ≥ 1), podemos restringir V , W , Z, se necess´ ario, de modo que h seja um difeomorfismo de classe C k . U

IRn Z

ξ(x) = h2 (x, c) a

f h

V ×W

W (x, c)

f ◦ h : (x, w) 7→ w (a1 , c)

x

a1

V

c = f (a)

IRm

Demonstra¸ c˜ ao: Seja c = f (a). A aplica¸cão ϕ : U → Rm × Rn , definida por ϕ(x, y) = (x, f (x, y)), é fortemente diferenci´ avel no ponto a, e sua derivada ϕ′ (a) : Rm+n → Rm × Rn é dada por ϕ′ (a) · (v, w) = (v, f ′ (a) · (v, w)) = (v, ∂1 f (a)·v+∂2 f (a)·w). Ora, a transforma¸cão linear (α, β) 7→ (α, [∂2 f (a)]−1 · (β − ∂1 f (a) · α)) é evidentemente uma inversa para ϕ′ (a). Logo ϕ′ (a) é um isomorfismo. Pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, ϕ é um homeomorfismo (com inverso fortemente diferenci´ avel no ponto (a1 , c) = ϕ(a)) de um aberto contendo a sobre um aberto contendo (a1 , c), o qual pode ser tomado da forma V × W , com V aberto em Rm e W aberto em Rn . Ponhamos Z = ϕ−1 (V × W ) e h = ϕ−1 : V × W → Z. Como o homeomorfismo ϕ deixa fixa a primeira coordenada, seu inverso h tem a mesma propriedade: h(x, w) = (x, h2 (x, w)) para todo (x, w) ∈ V × W . Então (x, w) ∈ V × W ⇒ (x, w) = ϕh(x, w) = ϕ(x, h2 (x, w)) = = (x, f (x, h2 (x, w))) = (x, f h(x, w)),

300

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

donde f h(x, w) = w para todo (x, w) ∈ V × W . Quando f ∈ C k então ϕ ∈ C k . Ainda pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, V , W e Z podem ser tomadas de modo que ϕ seja um difeomorfismo de classe C k de Z sobre V × W e seu inverso h também é um difeomorfismo de classe C k .

Corol´ ario 1. Seja f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm+n , fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U . Se f ′ (a) : Rm+n → Rn é sobrejetiva, existe um aberto Z contendo a em Rm+n tal que f |Z é uma aplica¸ca õ aberta. (Ou seja, para todo aberto A ⊂ Z, f (A) é aberto em Rn .) Corol´ ario 2. Toda submers˜ ao de classe C k , (k ≥ 1) é uma aplica¸ca õ aberta. Os corolários resultam do teorema em virtude de ser a proje¸cão π : V × W → W , na segunda coordenada, uma aplica¸cão aberta. Com efeito, temos f ◦ h = π : V × W → W . Logo, para todo A ⊂ Z aberto, f (A) = f hh−1 (A) = πh−1 (A). Como h é cont´ınua, h−1 (A) é aberto, logo sua proje¸cão πh−1 (A), ou seja, f (A), é um conjunto aberto.

Observa¸ c˜ ao: Na decomposi¸cão Rm+n = Rm ⊕ Rn , a que se refere o teorema acima, seja Rn gerado pelos vetores ej , j ∈ J = {j1 , . . . , jn }, n n e um da base canônica de Rm+n . A derivada parcial ∂ 2 f (a) : R → R ´ ∂fi isomorfismo se, e somente se, a matriz (a) , 1 ≤ i ≤ n, j ∈ J, ∂xj obtida da matriz jacobiana de f escolhendo as n colunas cujos ´ındices pertencem ao conjunto J, tem determinante 6= 0.

Teorema da Aplica¸ c˜ ao Impl´ıcita. Seja f : U → Rn , definida no m+n aberto U ⊂ R , fortemente diferenci´ avel no ponto a ∈ U , com f (a) = c. Se f ′ (a) : Rm+n → Rn é sobrejetiva ou, mais precisamente, se Rm+n = Rm ⊕Rn é uma decomposi¸ca õ em soma direta tal que a = (a1 , a2 ) e a derivada ∂2 f (a) : Rn → Rn é um isomorfismo, ent˜ ao existem abertos V , Z (onde a1 ∈ V ⊂ Rm , a ∈ Z ⊂ U ) com a seguinte propriedade: para cada x ∈ V h´ a um u ńico ξ(x) ∈ Rn tal que (x, ξ(x)) ∈ Z e f (x, ξ(x)) = c. A aplica¸ca õ ξ : V → Rn assim definida é fortemente diferenci´ avel no ′ −1 ponto a1 e sua derivada nesse ponto é ξ (a1 ) = −[∂2 f (a)] ◦ [∂1 f (a)]. Se f ∈ C k (k ≥ 1), ent˜ ao ξ ∈ C k e sua derivada num ponto x ∈ V qualquer é ξ ′ (x) = −[∂2 f (x, ξ(x))]−1 ◦ [∂1 f (x, ξ(x))]. Em resumo (e mais precisamente): f −1 (c)∩Z é o gr´ afico da aplica¸ca õ n k ξ : V → R , fortemente diferenci´ avel no ponto a1 . Se f ∈ C ent˜ ao ξ ∈ Ck.

[SEC. 12: O TEOREMA DO POSTO

A aplica¸cão ξ f (x, y) = c.

diz-se definida implicitamente

301 pela equa¸cão

Demonstra¸ c˜ ao: Usando a nota¸cão do teorema anterior, temos Z = h(V ×W ) e h(x, w) = (x, h2 (x, w)) para (x, w) ∈ V ×W . Defina ξ : V → Rn pondo ξ(x) = h2 (x, c). Então (x, ξ(x)) = h(x, c) ∈ Z para todo x ∈ V e f (x, ξ(x)) = f h(x, c) = c. Reciprocamente, se (x, y) ∈ Z e f (x, y) = c então (x, y) = hϕ(x, y) = h(x, c) = (x, h2 (x, c)) = (x, ξ(x)), logo y = ξ(x). Isto mostra que, para cada x ∈ V , existe um u ńico ξ(x) ∈ n R tal que (x, ξ(x)) ∈ Z e f (x, ξ(x)) = c. A aplica¸cão ξ : V → Rn , assim definida, é dada por ξ(x) = h2 (x, c), logo é fortemente diferenci´ avel se f o é, e pertence ` a classe C k se f ∈ C k . Finalmente, derivando a igualdade f (x, ξ(x)) = c obtemos, pela Regra da Cadeia: ∂1 f (x, ξ(x)) + ∂2 f (x, ξ(x)) ◦ ξ ′ (x) = 0, donde ξ ′ (x) = −[∂2 f (x, ξ(x))]−1 ◦ [∂1 f (x, ξ(x))], quando f ∈ C k (k ≥ 1). Se f é suposta diferenci´ avel apenas no ponto a, podemos ainda derivar a identidade f (x, ξ(x)) = c no ponto x = a1 , usando a Regra da Cadeia. Observando que (a1 , ξ(a1 )) = h(a1 , c) = a, obtemos ξ ′ (a1 ) = −[∂2 f (a)]−1 ◦ [∂1 f (a)]. Observa¸ c˜ ao: A afirma¸cão de que um certo conjunto G ⊂ Rm+n é o gr´ afico de uma aplica¸cão ξ : V → Rn pressupõe uma decomposi¸cão em soma direta Rm+n = Rm ⊕ Rn . Ela significa que G = {(x, y) ∈ Rm+n ; x ∈ V, y = ξ(x)}. Todas as vezes que uma tal afirma¸cão for feita, a decomposi¸cão Rm+n = Rm ⊕ Rn deve estar fixada.

12

O teorema do posto

O posto de uma transforma¸cão linear T : Rm → Rn é a dimens˜ ao da sua imagem T · Rm , isto é, o n´ umero m´ aximo de vetores linearmente independentes entre T · e1 , . . . , T · em , ou, equivalentemente, o n´ umero m´ aximo de colunas linearmente independentes da matriz de T . Prova´ se em Algebra Linear que este é também o n´ umero m´ aximo de linhas linearmente independentes dessa matriz e que o posto de T é igual a r se, e somente se, a matriz de T contém um determinante menor r × r não-nulo, mas qualquer determinante menor de ordem r + 1 é igual a zero. O posto de uma aplica¸ca õ diferenci´ avel f : U → Rn num ponto x ∈ U é o posto da sua derivada f ′ (x) : Rm → Rn . Esse posto, evidentemente, não pode ser maior do que m nem maior do que n. Uma imersão f : U →

302

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Rn , definida num aberto U ⊂ Rm , tem posto m em todos os pontos x ∈ U e uma submers˜ ao tem posto n em qualquer ponto. Por isso, imersões e submers˜ oes s˜ ao chamadas aplica¸co ˜es de posto m´ aximo. Exemplo 23. O posto de uma aplica¸cão diferenci´ avel f : U → Rn , em geral, varia de ponto para ponto. Quando n = 1, o posto de f é 1 nos pontos regulares e zero nos pontos cr´ıticos de x. Se f : U → R2 é holomorfa, digamos f = u + iv, então seu posto em cada ponto z ∈ U s´ o pode ser igual a 0 ou 2. Com efeito, sua derivada f ′ (x) : R2 → R2 é a multiplica¸cão por um n´ umero complexo, logo é igual a zero ou é uma transforma¸cão linear invert´ıvel (se tal n´ umero for 6= 0). Outra maneira de ver isto é olhar para a matriz jacobiana de f . Pela equa¸cão de Cauchy-Riemann  ∂u ∂u   ∂x ∂y    Jf =    ∂u ∂u  − ∂y ∂x 2 2 ∂u ∂u + s´ o se anula quando a matriz Jf for logo det Jf = ∂y ∂x também nula. Finalmente, a aplica¸cão f : R2 → R2 , dada por f (x, y) = 2 3x 0 (x3 , y 2 ), tem matriz jacobina Jf = . Se x 6= 0 e y 6= 0 então 0 2y Jf (x, y) é invert´ıvel e tem posto 2 no ponto (x, y). Nos pontos (x, 0) com x 6= 0 e nos pontos (0, y) com y 6= 0, o posto de f é 1. Na origem (0, 0) o posto de f é zero. Se f : U → Rn é de classe C 1 , o posto de f é uma “fun¸cão semicont´ınua inferiormente”(com valores inteiros). Isto significa que se f tem posto r num ponto x ∈ U então existe uma bola B de centro a (contida em U ) tal que em todo ponto de B o posto de f é ≥ r. Com efeito, existe um determinante menor r × r da matriz Jf (x) que é diferente de zero. Por continuidade, este mesmo menor é não-nulo em todos os pontos de uma bola B de centro x. Nesses pontos, o posto de f é, portanto, pelo menos igual a r. Antes de demonstrarmos o Teorema do Posto, precisamos registrar dois fatos simples. O primeiro deles estende uma no¸cão de convexidade introduzida no par´ agrafo 1 do Cap´ıtulo III. Dada uma decomposi¸cão Rm+n = Rm ⊕ Rn , diremos que um conjunto X ⊂ Rm+n é verticalmente convexo quando todo segmento vertical

303

[SEC. 12: O TEOREMA DO POSTO

[(x, y ′ ), (x, y ′′ )], cujas extremidades pertencem a X, está contido em X. Por exemplo, se X = V × W onde V ⊂ Rm é qualquer e W ⊂ Rn é convexo então X é verticalmente convexo. Lema 1. Seja U ⊂ Rm+n = Rm ⊕ Rn um aberto verticalmente convexo. Se f : U → Rp possui segunda derivada parcial ∂2 f , a qual é identicamente nula em U , ent˜ ao f é independente da segunda vari´ avel, isto é, f (x, y1 ) = f (x, y2 ) sejam quais forem (x, y1 ) e (x, y2 ) em U . Demonstra¸ c˜ ao: Dados (x, y1 ) e (x, y2 ) em U , definamos o caminho p λ : [0, 1] → R pondo λ(t) = f (x, (1 − t)y1 + ty2 ). Para todo t ∈ [0, 1], temos λ′ (t) = ∂2 f (x, (1 − t)y1 + ty2 ) · (y2 − y1 ) = 0. Logo λ é constante. Em particular, λ(0) = λ(1), ou seja, f (x, y1 ) = f (x, y2 ). ´ O segundo item do nosso registro é um resultado elementar de Algebra Linear, que constitui o Lema 2. Seja E ⊂ Rm+p um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao m. Existe uma decomposi¸ca õ em soma direta Rm+p = Rm ⊕ Rp tal que a primeira proje¸ca õ π : Rm+p → Rm , π(x, y) = x, aplica E isomorficamente sobre m R . Rp

E π

Rm

Demonstra¸ c˜ ao: Seja A uma matriz (m + p) × m cujas colunas formam uma base de E. O posto de A é m, logo m de suas linhas, de ´ındices i1 < · · · < im , s˜ ao linearmente independentes. Estes ´ındices determinam uma proje¸cão π : Rm+p → Rm , a qual transforma as colunas de A em m vetores linearmente independentes, logo aplica E isomorficamente sobre Rm . Teorema do Posto. Seja f : U → Rm+p de classe C k (k ≥ 1) e posto constante m em cada ponto do aberto U ⊂ Rm+n . Para cada ponto a ∈ U , existem difeomorfismos α, de um aberto em Rm × Rn sobre uma vizinhan¸ca aberta de a, e β, de uma vizinhan¸ca aberta de f (a) sobre um aberto em Rm × Rp , ambos, α e β, de classe C k , tais que β ◦ f ◦ α : (x, y) 7→ (x, 0).

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

304

IRp

Z

f (Z )

f

a

Z′

f (U )

f (a)

IRm m+n

α

U ⊂R

β f

βf α : (x, w) 7→ (x, 0)

V × W ⊂ IRm × Rn

V × 0 = βf (Z) V × W ′ ⊂ IRm × Rp

Descri¸ c˜ ao pict´ oria do Teorema do Posto. Cada uma das fibras da vizinhan¸ca Z ∋ a é transformada por f num u ńico ponto, do mesmo modo que cada segmento vertical x × W em V × W é transformado por βf α no ponto (x, 0). O significado da frase, “do mesmo modo”é dado pelos difeomorfismos β e α. A restri¸cao f : Z → Z ′ é equivalente a βf α : V × W → V × W ′ . Demonstra¸ c˜ ao: Seja E = f ′ (a) · Rm+n ⊂ Rm+p . Pelo Lema 2, como dim E = m, existe uma decomposi¸cão em soma direta Rm+p = Rm ⊕ Rp tal que a primeira proje¸cão π : Rm+p → Rm aplica E isomorficamente sobre Rm . Então (π ◦ f )′ (a) = π ◦ f ′ (a) : Rm+n → Rm é sobrejetiva. Pela Forma Local das Submersões, existe um difeomorfismo α ∈ C k de um aberto V0 × W ⊂ Rm × Rn sobre uma vizinhan¸ca aberta de a, tal que πf α(x, y) = x. Isto significa que f α(x, y) = (x, λ(x, y)), onde λ : V0 × W → Rp é de classe C k . Afirmamos que∂2 λ = 0. Com efeito, I 0 a matriz jacobiana de f α tem a forma , onde I é a matriz A B identidade m × m e B = ∂λi /∂λj . Como o posto de f α (igual ao de f ) é m, temos B = 0, donde ∂2 λ = 0. Como W pode ser tomado convexo, segue-se do Lema 1 que λ(x, y) não depende de y. Seja α(a1 , a2 ) = a. Considerando a inje¸cão i : V0 → V0 ×W , dada por i(x) = (x, a2 ), obtemos a aplica¸cão de classe C k , f αi : x 7→ (x, λ(x, a2 )), que tem derivada injetiva no ponto a1 e cumpre f αi(x) = f α(x, y) para qualquer (x, y) ∈ V0 × W . Pela Forma Local das Imersões, existe um difeomorfismo β de classe C k numa vizinhan¸ca aberta de f (a) sobre um aberto em Rm × Rp , tal que βf αi(x) = (x, 0). Aqui, x está possivelmente num aberto V ⊂ V0 , contendo a1 . Como f αi(x) = f α(x, y), temos βf α(x, y) = (x, 0) quaisquer que sejam x ∈ V , y ∈ W .

[SEC. 12: O TEOREMA DO POSTO

305

Corol´ ario. Seja f : U → Rn de classe C 1 , com posto constante no aberto U ⊂ Rm . Ent˜ ao: 1o¯ ) f é localmente injetiva se, e somente se, é uma imers˜ ao; ao. 2o¯ ) f é aberta se, e somente se, é uma submers˜ Para provar o item 1o¯ ), observe que se o posto de f fosse p < m então, no Teorema do Posto, a aplica¸cão βf α : (x, y) 7→ (x, 0), definida no produto V × W dos abertos V ⊂ Rp e W ⊂ Rm−p , não seria injetiva, logo f não seria localmente injetiva. Assim, f localmente injetiva ⇒ posto de f = m ⇒ f é imersão. A rec´ıproca é óbvia. Quanto ao item 2o¯ ), como toda submersão de classe C 1 é aberta, basta provar que f aberta ⇒ posto de f = n. Se p = posto de f fosse menor do que n, dado o aberto Z = α(V ×W ), com βf α : V ×W → Rp × Rn−p da forma (x, y) 7→ (x, 0), como no Teorema do Posto, a imagem βf (Z) = βf α(V × W ) = V × {0} não seria aberta em Rn = Rp × Rn−p , logo f (Z) ⊂ Rn não seria um aberto. O teorema seguinte serve de auxiliar ao uso do Teorema do Posto, mostrando que há sempre regi˜ oes onde uma aplica¸cão de classe C 1 tem posto constante. Teorema 7. Seja f : U → Rn de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . Para cada r = 0, 1, . . . , p = min{m, n}, seja Ar o interior do conjunto dos pontos de U nos quais f tem posto r. O conjunto aberto A = A0 ∪ A1 ∪ · · · ∪ Ap é denso em U .

Demonstra¸ c˜ ao: Devemos mostrar que, para cada aberto não vazio V ⊂ U , tem-se V ∩ A 6= ∅. Como o posto de f s´ o assume um n´ umero finito de valores (≤ p), existe um ponto a ∈ V tal que em nenhum outro ponto de V o posto de f é maior do que r = posto de f ′ (a). Podemos tomar uma bola aberta B, de centro a, tal que o posto de f em todos os pontos de B é ≥ r. Escolhendo B suficientemente pequena, teremos B ⊂ V e então o posto de f em todos os pontos de B será ≥ r, donde exatamente = r. Assim B ⊂ Ar , donde V ∩ A ⊃ B 6= ∅.

Observa¸ c˜ ao: Em geral, vários dos conjuntos Ar do teorema acima s˜ ao vazios. Note que Ap (que é igual a Am se m ≤ n e é igual a An quando m ≥ n) é o conjunto dos pontos x ∈ U nos quais o posto de f ′ (x) é igual a p; tal conjunto é sempre aberto logo, no caso r = p, não é preciso tomar o interior. Corol´ ario 1. Seja f : U → R de classe C 1 . Existe um subconjunto aberto e denso A ⊂ U tal que f tem posto constante em cada componente

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

306 conexa de A.

Com efeito, como em A = A0 ∪ A1 ∪ · · · ∪ Ap os abertos Ar s˜ ao dois a dois disjuntos, cada componente conexa de A está contida em algum Ar , logo o posto de f é constante nela. Corol´ ario 2. Se a aplica¸ca õ f : U → Rn , de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm , é localmente injetiva, ent˜ ao m ≤ n e o conjunto dos pontos x ∈ U nos quais f ′ (x) : Rm → Rn é injetiva é aberto e denso em U .

Com efeito, considerando a decomposi¸cão A = A0 ∪ · · · ∪ Ap , dada pelo Teorema 7, em cada Ar 6= ∅ f é localmente injetiva com posto constante. Pelo Corolário do Teorema do Posto, f |Ar é uma imersão. Ou seja, Ar 6= ∅ ⇒ r = m. Assim, A = Am , donde m ≤ n e f ′ (x) é injetiva para todo x pertencente ao aberto denso A ⊂ U . Corol´ ario 3. Se a aplica¸ca õ f : U → Rn , de classe C 1 no aberto U ⊂ m R é aberta ent˜ ao m ≥ n e o conjunto dos pontos x ∈ U nos quais a ′ derivada f (x) : Rm → Rn é sobrejetiva é aberto e denso em U . Demonstra¸cão an´ aloga a do corolário anterior. Observa¸ c˜ ao: Quando m = 1, dizer que f ′ (x) é injetiva equivale a afirmar que o caminho f : I → Rn tem vetor-velocidade 6= 0 no ponto x ∈ I. Neste caso, o Corolário 2 não depende do Teorema do Posto: o conjunto A = {x ∈ I; f ′ (x) 6= 0} é sempre aberto. Se não fosse denso em I, seu complementar conteria um intervalo não-degenerado J ⊂ I. Em cada ponto y ∈ J seria f ′ (y) = 0, logo f seria constante em J, e assim perderia sua injetividade local. Analogamente, para n = 1, o Corolário 3 pode ser demonstrado sem ajuda do Teorema do Posto. neste caso, dizer que a fun¸cão f : U → R tem derivada sobrejetiva no ponto x ∈ U significa afirmar que df (x) 6= 0. O conjunto A = {x ∈ U ; df (x) 6= 0} é sempre aberto. Se não fosse denso em U , seu complementar conteria uma bola aberta B. Em cada ponto y ∈ B, seria df (y) = 0, logo f seria constante portanto f (B) = ponto e f não seria uma aplica¸cão aberta.

13

Superf´ıcies no espa¸co euclidiano

O Teorema da Aplica¸cão Inversa e suas conseq¨ uêncis estabelecidas nos par´ agrafos anteriores encontram naturalmente aplica¸cões na teoria das superf´ıcies, da qual faremos aqui um esbo¸co introdut´ orio.

[SEC. 13: SUPERFÍCIES NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

307

Uma parametriza¸ca õ de classe C k de um conjunto V ⊂ Rn é um homeomorfismo ϕ : V0 → V , que é também uma imersão de classe C k , definida no aberto V0 ⊂ Rm . Tem-se necessariamente m ≤ n. Quando for preciso ser explicito, dir-se-´ a que ϕ é uma parametriza¸ca õ m-dimensional do conjunto V . A defini¸cão acima, mencionando “imersão”, s´ o faz sentido quando ` k ≥ 1. As vezes é interessante considerar parametriza¸co ˜es de classe C 0 , que s˜ ao apenas homeomorfismos ϕ : V0 → V , de um aberto V0 ⊂ Rm sobre um conjunto V ⊂ Rn . Exemplo 24. Uma imersão injetiva ϕ : V0 → Rn , mesmo de classe C ∞ , pode não ser um homeomorfismo de V0 sobre V = f (V0 ). Um exemplo disso é o caminho f : (−1, +∞) → R2 , definido por f (t) = (t3 − t, t2 ). Vê-se facilmente que f é uma bije¸cão do aberto V0 = (−1, +∞) ⊂ R sobre V = f (V0 ) ⊂ R2 , que f ∈ C ∞ e que f ′ (t) = (3t2 − 1, 2t) nunca se anula. Mas se tomarmos uma seq¨ uência decrescente de n´ umeros reais tn , com lim tn = −1, veremos que lim f (tn ) = (0, 1) = f (1) sem que n→∞

seja lim tn = 1. Portanto f −1 : V → V0 não é cont´ınua e f não é um homeomorfismo de V0 sobre V .

(t3 − t, t2 )

Se ϕ : V0 → V é uma parametriza¸cão, cada ponto y = ϕ(x) ∈ V , embora perten¸ca a Rn , necessita apenas de m n´ umeros para ter sua posi¸cão determinada, a saber, as m coordenadas de x ∈ V0 , chamadas os parˆ ametros que servem para localizar os pontos de V . Todo sistema de coordenadas num aberto U ⊂ Rn é uma parametriza¸cão de U . (Veja §9.) Quando m < n, a imagem V de uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , definida em V0 ⊂ Rm , é um conjunto com interior vazio em Rn , em virtude da Forma Local das Imersões.

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

308

Uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k em Rn é um conjunto M ⊂ Rn que pode ser coberto por uma cole¸cão de abertos U ⊂ Rn , tais que cada V = U ∩ M admite uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , de classe C k , definida num aberto V0 ⊂ Rm . Cada

V V0 Rm

ϕ M

um desses conjuntos V = U ∩ M é um aberto em M . Para cada p ∈ M , diz-se que V é uma vizinhan¸ca parametrizada de p. Assim, uma superf´ıcie de classe C k e dimens˜ ao m em Rn é um subconjunto tal que cada um dos seus pontos possui uma vizinhan¸ca parametrizada, por uma parametriza¸cão de classe C k e dimens˜ ao m. n Quando M ⊂ R é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m, escrevemos às vezes M m . Dizemos também que M tem codimens˜ ao n−m. Se dim M = 1, M chama-se uma curva de classe C k . Como a restri¸cão de uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V a um aberto W0 ⊂ V0 é ainda uma parametriza¸cão de W = ϕ(W0 ), todo ponto p de uma superf´ıcie M possui vizinhan¸cas parametrizadas arbitrariamente pequenas: se ϕ : V0 → V é uma parametriza¸cão de V = U ∩ M e B é qualquer bola aberta de centro p contida em U então W = B ∩ M é parametrizada pela restri¸cão de ϕ a W0 = ϕ−1 (W ). Exemplo 25. Todo aberto U ⊂ Rn é uma superf´ıcie de dimens˜ ao n e ∞ n classe C em R , coberta por uma u ńica vizinhan¸ca parametrizada U , sendo ϕ : U → U a aplica¸cão identidade. Reciprocamente, se M ⊂ Rn é uma superf´ıcie de dimens˜ ao n e classe C 1 então cada vizinhan¸ca parametrizada V ⊂ M , sendo imagem do aberto V0 ⊂ Rn pelo difeomorfismo ϕ : V0 → V , é um subconjunto aberto de Rn , pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa. O conjunto M , reunião das vizinhan¸cas parametrizadas V , é portanto aberto em Rn . Assim, as superf´ıcies de classe C 1 e dimens˜ ao n em Rn s˜ ao os subconjuntos abertos de Rn . [Isto também é verdade para classe C 0 , e decorre do Teorema da Invariância do Dom´ınio, de Brouwer.]

[SEC. 13: SUPERFÍCIES NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

309

Exemplo 26. No outro extremo, M ⊂ Rn é uma superf´ıcie de dimens˜ ao n 0 se, e somente se, para cada ponto p ∈ M existe um aberto U ⊂ R tal que U ∩M admite uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , definida num aberto V0 ⊂ R0 = {0}. Assim, V0 é um ponto e V = {p}. Portanto, M ⊂ Rn é uma superf´ıcie de dimens˜ ao 0 se, e somente se, é um conjunto discreto (isto é, seus pontos s˜ ao todos isolados). Exemplo 27. Sejam Rm+n = Rm ⊕ Rn uma decomposi¸cão em soma direta e f : U → Rn uma aplica¸cão de classe C k , definida no aberto U ⊂ Rm . O conjunto M = {(x, y) ∈ Rm+n ; x ∈ U, y = f (x)}, gr´ afico da aplica¸cão f , é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k em Rm+n , imagem de uma u ńica parametriza¸cão ϕ : U → M , ϕ(x) = (x, f (x)). A respeito deste exemplo, observamos o seguinte: M s´ o será uma superf´ıcie de classe C k+1 se a aplica¸cão f também for de classe C k+1 . Com efeito, consideremos a proje¸cão π : Rm+n → Rm . Sabemos, desde o Cap´ıtulo I, que a restri¸cão π|M é um homeomorfismo de M sobre U . Sabemos também que π ∈ C ∞ . Dado um ponto arbitr´ ario a ∈ U , suponhamos que existam uma vizinhan¸ca V de ϕ(a) em M e ξ : V0 → V , uma parametriza¸cão de classe C k+1 . Então π ◦ξ = (π|M )◦ξ é um homeomorfismo de classe C k+1 de V0 sobre o aberto π(V ) = W0 ⊂ U . Para todo ponto x ∈ V0 , a Regra da Cadeia aplicada à igualdadde ϕ ◦ (π ◦ ξ) = ξ dá ϕ′ (πξ(x)) ◦ (π ◦ ξ)′ (x) = ξ ′ (x). Como a transforma¸cão linear ξ ′ (x) é injetiva, seja qual for x ∈ V0 , segue-se da´ı que, para todo x ∈ V0 , (π ◦ ξ)′ (x) : Rm → Rm é injetiva e portanto um isomorfismo. Pelo teorema da diferenciabilidade do homeomorfismo inverso, π ◦ ξ : V0 → W0 é um difeomorfismo de classe C k+1 . Então ϕ|W0 = ξ ◦ (π ◦ ξ)−1 : W0 → V é uma parametriza¸cão de C k+1 de V . Em particular, ϕ é de classe C k+1 no aberto W0 com a ∈ W0 ⊂ U . Como a é qualquer ponto de U , vemos que ϕ : x 7→ (x, f (x)) é uma aplica¸cão de classe C k+1 em U , logo f : U → Rn é de classe C k+1 . Portanto, se tomarmos uma aplica¸cão que seja de classe C k , mas não de classe C k+1 , seu gr´ afico fornecerá um exemplo de superf´ıcie de classe C k mas não C k+1 . Por exemplo, seja f : R → R, f (x) = x4/3 . O gr´ afico de f é uma curva de classe C 1 em 2 2 R mas não é de classe C . Exemplo 28. Ser uma superf´ıcie é uma propriedade local, isto é, se cada ponto p do conjunto M pertence a um aberto Z ⊂ Rn tal que Z ∩ M é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k , então M é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k . Assim, por exemplo, se para todo ponto p ∈ M existe um aberto Z ⊂ Rn , tal que p ∈ Z e Z ∩M é o gr´ afico

310

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

de uma aplica¸cão f : V0 → Rn , de classe C k num aberto V0 ⊂ Rm , então M é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k . Em particular, toda k n+1 hiperf´ıcie de classe C em R é uma superf´ıcie de dimens˜ ao n e classe C k . (Veja §9 do Cap´ıtulo III.) ao superf´ıcies de classe C k Exemplo 29. Se M1 ⊂ Rn1 e M2 ⊂ Rn2 s˜ e dimens˜ oes m1 , m2 respectivamente, o produto cartesiano M1 × M2 ⊂ ao m1 +m2 : se ϕ : V0 → V Rn1 +n2 é uma superf´ıcie de classe C k e dimens˜ e ψ : W0 → W s˜ ao respectivamente parametriza¸cões em M1 e M2 então ϕ × ψ : V0 × W0 → V × W , definida por (ϕ × ψ)(x, y) = (ϕ(x), ψ(y)) é uma parametriza¸cão em M1 ×M2 . Evidentemente, o produto cartesiano de um n´ umero finito qualquer de superf´ıcies é ainda uma superf´ıcie. Em particular, como o c´ırculo S 1 ⊂ R2 é uma curva (“superf´ıcie”de dimens˜ ao 1) de classe C ∞ , o toro bidimensional T 2 = S 1 ×S 1 ⊂ R4 é uma superf´ıcie C ∞ . Para todo n, o toro n-dimensional T n = S 1 × · · · × S 1 ⊂ R2n é uma superf´ıcie C ∞ de dimens˜ ao n em R2n . Dada uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , de classe C k (k ≥ 1), do ponto de vista em que nos colocamos até agora não tem sentido indagar se o homeomorfismo ϕ−1 : V → V0 é uma aplica¸cão diferenci´ avel, já que seu dom´ınio não é necessariamente um subconjunto aberto do espa¸co euclidiano. Assim sendo, não podemos simplesmente usar a Regra da Cadeia para justificar a validez do teorema seguinte. Teorema 9. Sejam M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k e dimens˜ ao m n k e f : U → R uma aplica¸ca õ de classe C (respectivamente diferenci´ avel no ponto a ∈ U ), definida no aberto U ⊂ Rp . Se f (U ) ⊂ V , onde V é a imagem de uma parametriza¸ca õ ϕ : V0 → V ⊂ M (de classe C k ) ent˜ ao −1 m k a aplica¸ca õ composta ϕ ◦ f : U → R é de classe C (respectivamente diferenci´ avel no ponto a). Demonstra¸ c˜ ao: Dado qualquer a ∈ U , seja x0 ∈ V0 tal que ϕ(x0 ) = f (a). Pelo Corolário da Forma Local das Imersões, existe W aberto, com x0 ∈ W ⊂ V0 , tal que ϕ−1 : ϕ(W ) → W é a restri¸cão de uma aplica¸cão ξ : Z → Rm , de classe C k no aberto Z, com ϕ(W ) ⊂ Z ⊂ Rn . Como ϕ : V0 → V é homeomorfismo, ϕ(W ) é um subconjunto aberto de V . Logo existe U1 aberto, com a ∈ U1 ⊂ U e f (U1 ) ⊂ ϕ(W ). Assim, para cada x ∈ U1 , ϕ−1 (f (x)) = ξ(f (x)), isto é, ϕ−1 ◦ f = ξ ◦ f em U1 . Como ξ ∈ C k , isto prova o Teorema.

Vejamos agora algumas conseq¨ uências do Teorema 9. A primeira é a defini¸cão do espa¸co vetorial tangente a uma superf´ıcie num dos seus

[SEC. 13: SUPERFÍCIES NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

311

pontos. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k (k ≥ 1). Dado um ponto p ∈ M , o espa¸co vetorial tangente a M no ponto p é o subespa¸co vetorial Tp M ⊂ Rn que pode ser descrito de duas maneiras: A) Tomamos uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , de classe C k , de uma vizinhan¸ca V ∋ p; seja ϕ(a) = p. Pomos Tp M = ϕ′ (a) · Rm = imagem da transforma¸cão linear injetiva ϕ′ (a) : Rm → Rn ; B) Consideramos todos os caminhos λ : (−ε, ε) → M , com λ(0) = p, diferenci´ aveis no ponto 0. Definimos Tp M como o conjunto dos vetoresvelocidade λ′ (0) desses caminhos. A defini¸cão A) apresenta Tp M como um subespa¸co vetorial de dimens˜ ao m do espa¸co Rn mas tem o inconveniente de depender de uma parametriza¸cão ϕ. [Não está claro que, se tom´ assemos outra parametriza¸cão ψ, com ψ(b) = p, ter´ıamos ψ ′ (b) · Rm = ϕ′ (a) · Rm .] Por outro lado, a defini¸cão B) não depende da escolha de parametriza¸cão mas não é evidente que Tp M , assim definido, seja um espa¸co vetorial. Ambos os inconvenientes serão sanados se provarmos que A) e B) definem o mesmo ´ isto que faremos agora. conjunto. E ε

λ′ (0)

V

λ(t)

λ(t)

0

p M

−ε

ϕ µ(t) Rm

V0

a µ(t)

Em primeiro lugar, todo vetor w ∈ ϕ′ (a) · Rm , sendo da forma w = ∂ϕ ϕ′ (a) · v = (a), é o vetor-velocidade, no ponto t = 0, do caminho ∂v λ, dado por λ(t) = ϕ(a + tv). Reciprocamente, se λ : (−ε, ε) → M é um caminho diferenci´ avel no ponto 0, com λ(0) = p podemos, sem perda de generalidade, supor ε > 0 tão pequeno que a imagem de λ esteja contida na vizinhan¸ca V . Então, pelo Teorema 9, o caminho µ = ϕ−1 ◦ λ : (−ε, ε) → Rm é diferenci´ avel no ponto 0. Como ϕ ◦ µ = λ, a Regra da Cadeia nos dá λ′ (0) = ϕ′ (a) · µ′ (0), logo λ′ (0) ∈ ϕ′ (a) · Rm .

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

312

A toda parametriza¸cão ϕ : V0 → V , com p = ϕ(a) ∈ V , corresponde uma base do espa¸co vetorial Tp M , formada pelos vetores ∂ϕ ∂ϕ (a) = ϕ′ (a) · e1 , . . . , (a) = ϕ′ (a) · em . ∂x1 ∂xm Exemplo 30. Se M ⊂ Rm+n é o gr´ afico de uma aplica¸cão f : U → Rn , seu espa¸co vetorial tangente Tp M , no ponto p = (a, f (a)), é o gr´ afico ′ m n ′ da derivada f (a) : R → R , ou seja Tp M = {(v, f (a) · v); v ∈ Rm }. Basta tomar a parametriza¸cão natural ϕ : U → M , ϕ(x) = (x, f (x)), cuja derivada no ponto a é dada por ϕ′ (a) · v = (v, f ′ (a) · v), para ver que Tp M = ϕ′ (a) · Rm é o gr´ afico de f ′ (a). A mesma observa¸cão se aplica a uma superf´ıcie que é localmente o gr´ afico de uma aplica¸cão. A segunda conseq¨ uência do Teorema 9 se refere à “mudan¸ca de parametriza¸cões”. Vamos enunciá-la como o Teorema 10. Seja ψ : W0 → V ⊂ Rn uma parametriza¸ca õ m-dimensional de classe C k . A fim de que uma aplica¸ca õ ϕ : V0 → V , de classe C k , seja uma parametriza¸ca õ de V é necess´ ario e suficiente que ϕ = ψ ◦ ξ, onde ξ : V0 → W0 é um difeomorfismo C k . [Em particular, ϕ deve também ser m-dimensional.] Demonstra¸ c˜ ao: A suficiência é óbvia. Quanto à necessidade, se ϕ é uma parametriza¸cão, pelo Teorema 9 as aplica¸cões ξ = ψ −1 ◦ϕ : V0 → W0 e ξ −1 = ϕ−1 ◦ ψ : W0 → V0 s˜ ao ambas de classe C k , logo s˜ ao difeomork fismos C , com ϕ = ψ ◦ ξ.

ψ

ϕ

V0

M

W

V

ξ = ψ −1 ◦ϕ

W0

A utiliza¸cão mais freq¨ uente do Teorema 10 se faz assim: sejam V , W vizinhan¸cas parametrizadas numa superf´ıcie M . Temos as parametriza¸cões ϕ : V0 → V e ψ : W0 → W . Se V ∩ W 6= ∅ então cada ponto

[SEC. 13: SUPERFÍCIES NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

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p ∈ V ∩ W pode ser caracterizado pelos parˆ ametros x1 , . . . , xm , coordenadas do ponto x tal que ϕ(x) = p, ou pelas coordenadas y1 , . . . , ym do ponto y tal que ψ(y) = p. A mudan¸ca de parˆ ametros x 7→ y define um difeomorfismo ξ = ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (V ∩ W ) → ψ −1 (V ∩ W ), ξ(x) = y. Se p = ϕ(a) = ψ(b) ∈ V ∩ W , temos as bases

∂ϕ ∂ϕ (a), . . . , (a) ∂x1 ∂xm

e

∂ψ ∂ψ (b), . . . , (b) ∂y1 ∂ym

do espa¸co vetorial Tp M , determinadas pelas parametriza¸cões ϕ : V0 → V e ψ : W0 → W , respectivamente. Vale, evidentemente, uma rela¸cão do m P ∂ϕ ∂ψ tipo αij (a) = (b). Para determinar os coeficientes αij , basta ∂xj ∂yi i=1 notar que, se ξ1 , . . . , ξm s˜ ao as fun¸cões-coordenada de ξ, a igualdade ϕ = ψ ◦ ξ nos dá, pela Regra da Cadeia, m

X ∂ψ ∂ϕ ∂ξi (a) = (b) · (a), ∂xj ∂yi ∂xj i=1

∂ξi ´ costume indicarem-se também as fun¸cões(a). E ∂xj coordenada de ξ por y1 , . . . , ym em vez de ξi . Neste caso, a mudan¸ca de base em Tp M correspondente à mudan¸ca de parametriza¸cão se exprime: portanto αij =

m

X ∂yi ∂ψ ∂ϕ (a) = (a) · (b). ∂xj ∂xj ∂yi i=1

Qualquer que seja a nota¸cão empregada, o importante é notar que a ∂ψ ∂ϕ matriz (αij ), de passagem da base (b) para a base (a) , no ∂yi ∂xi espa¸co vetorial Tp M (onde p = ϕ(a) = ψ(b)) é a matriz jacobiana Jξ(a), onde ξ = ψ −1 ◦ ϕ. A terceira conseq¨ uência do Teorema 9 é a defini¸cão de aplica¸cão diferenci´ avel numa superf´ıcie. Antes de demonstrá-lo, diz´ıamos que a no¸cão de aplica¸cão diferenci´ avel s´ o tinha sentido quando o dom´ınio era um aberto do espa¸co euclidiano. Agora podemos estender o conceito, de modo a abranger aplica¸cões definidas em superf´ıcies.

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

314 W

V

M ⊂ Rn

f

p

ϕ

Rr f ◦ϕ

V0

ψ −1 ◦ ϕ

ψ

W0 ψ −1 (p)

ϕ−1 (p)

Rm

Rm

Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k (k ≥ 1). Uma aplica¸cão f : M → Rr diz-se diferenci´ avel no ponto p ∈ M quando existe uma k parametriza¸cão C , ϕ : V0 → V , de uma vizinhan¸ca V de p em M , tal que f ◦ ϕ : V0 → Rr (aplica¸cão definida num aberto V0 ⊂ Rm ) é diferenci´ avel no ponto a = ϕ−1 (p). Se tomarmos qualquer outra parametriza¸cão C k , ψ : W0 → W , de uma vizinhan¸ca de p em M , teremos f ◦ ψ diferenci´ avel no ponto ψ −1 (p) se, e somente se, f ◦ ϕ for diferenciável no ponto ϕ−1 (p), pois f ◦ ψ = (f ◦ ϕ) ◦ (ϕ−1 ◦ ψ) e sabemos que ϕ−1 ◦ ψ : ψ −1 (V ∩ W ) → ϕ−1 (V ∩ W ) é um difeomorfismo de classe Ck. Analogamente, dada a aplica¸cão f : M → Rr , definida numa superf´ıcie de classe C k , dizemos que f é de classe C i (0 ≤ i ≤ k) quando, para cada ponto p ∈ M , existe uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V ⊂ M , com p ∈ V , ϕ ∈ C k , tal que f ◦ ϕ : V0 → Rr é de classe C i no aberto V0 ⊂ Rm . Neste caso, para qualquer outra parametriza¸cão ψ : W0 → W ⊂ M , com p ∈ W e ψ ∈ C k tem-se ainda f ◦ ψ : W0 → Rr de classe C i . Mas se for i ≥ k + 1, não tem sentido definir a no¸cão de aplica¸cão de classe C i em M se esta superf´ıcie é apenas de classe C k e não mais. Se f : M → Rr é diferenci´ avel no ponto p ∈ M , sua derivada nesse ponto é a transforma¸cão linear f ′ (p) : Tp M → Rr definida do seguinte modo. Tomamos uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , com p = ϕ(a). Dado um vetor v ∈ Tp M , temos v = ϕ′ (a) · v0 para um vetor v0 ∈ Rm . Pomos f ′ (p) · v = (f ◦ ϕ)′ (a) · v0 . Devemos mostrar que a transforma¸cão linear f ′ (p) : Tp M → Rr está bem definida, ou seja, que se ψ : W0 → W for outra parametriza¸cão, com p = ψ(b), e tivermos v = ψ ′ (b) · w0 para algum, w0 ∈ Rm , então (f ◦ ϕ)′ (a) · v0 = (f ◦ ψ)′ (b) · w0 . Com efeito, sabemos, pelo Teorema 10, que ψ = ϕ ◦ ζ, onde ζ : ψ −1 (V ∩ W ) → ϕ−1 (V ∩ W ) é um difeomorfismo

[SEC. 13: SUPERFÍCIES NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

315

de classe C k entre abertos de Rn , com ζ(b) = a. Temos ϕ′ (a) · v0 = v = ψ ′ (b) · w0 = (ϕ ◦ ζ)′ (b) · w0 = ϕ′ (a) · ζ ′ (b) · w0 . Como ϕ′ (a) é injetiva, segue-se que ζ ′ (b) · w0 = v0 . Por conseguinte: (f ◦ ψ)′ (b) · w0 = (f ◦ ϕ ◦ ζ)′ (b) · w0 = (f ◦ ϕ)′ (a) · ζ ′ (b) · w0 = = (f ◦ ϕ)′ (a) · v0 ,

como estávamos querendo. Qualquer vetor v ∈ Tp M é o vetor-velocidade, v = λ′ (0), de um caminho λ : (−ε, ε) → M , com λ(0) = p. Então a imagem f ′ (p) · v = (f ◦ λ)′ (0) é o vetor-velocidade, no ponto 0, do caminho f ◦ λ : (−ε, ε) → Rr . Se N ⊂ Rr é outra superf´ıcie de classe C k e a aplica¸cão f : M → Rr , diferenci´ avel no ponto p ∈ M , é tal que f (M ) ⊂ N , diremos que f : M → N é uma aplica¸ca õ diferenci´ avel no ponto p. A observa¸cão que acabamos ′ de fazer sobre f (b) · v como vetor-velocidade de um caminho mostra que se f : M → N é diferenci´ avel no ponto p ∈ M então a derivada f ′ (p) é uma transforma¸cão linear de Tp M em Tq N , onde q = f (p). Vale a Regra da Cadeia: se f : M → N é diferenci´ avel no ponto p ∈ M e g : N → Rs é diferenci´ avel no ponto q = f (p), então g ◦ f : M → Rs é diferenci´ avel no ponto p, com (g ◦ f )′ (p) = g ′ (q) · f ′ (p). Generalizando a defini¸cão dada no Cap´ıtulo III, diremos que um ponto c ∈ Rn é valor regular de uma aplica¸cão diferenci´ avel f : U → Rn , m definida num aberto U ⊂ R , quando, para todo ponto x ∈ U tal que f (x) = c, a derivada f ′ (x) : Rm → Rn for uma transforma¸cão linear sobrejetiva. Considerando as fun¸cões-coordenada f1 , . . . , fn : U → R da aplica¸cão f , vemos que c ∈ Rn é um valor regular de f se, e somente se, em todo ponto x ∈ f −1 (c) os vetores grad f1 (x), . . . , grad fn (x) s˜ ao linearmente independentes. Com efeito, estes vetores s˜ ao as linhas da matriz jacobiana Jf (x) e sua independência linear significa que esta matriz n × m tem posto n, ou seja, que a transforma¸cão linear f ′ (x) é sobrejetiva. Quando n = 1, esta condi¸cão significa que f (x) = c ⇒ grad f (x) 6= 0 e reca´ımos na defini¸cão de valor regular dada no Cap´ıtulo III. Como antes, observamos que a presente defini¸cão está formulada de tal modo que se nenhum x ∈ U cumpre f (x) = c (ou seja, se f −1 (c) = ∅) então c é valor regular de f .

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˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Teorema 11. Seja f : U → Rn−m de classe C k no aberto U ⊂ Rn . Se c ∈ Rn−m é valor regular de f ent˜ ao f −1 (c) é uma superf´ıcie de classe k n C e dimens˜ ao m em R . Em cada ponto p ∈ f −1 (c), o espa¸co tangente −1 Tp [f (c)] é o n´ ucleo da derivada f ′ (p) : Rn → Rn−m . Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema da Aplica¸cão Impl´ıcita, para cada ponto p ∈ f −1 (c) existe um aberto Z ⊂ Rn , contendo p, tal que Z ∩ f −1 (c) é o gr´ afico de uma aplica¸cão de classe C k , definida num aberto de Rm . Logo cada Z ∩ f −1 (c) é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k . Seguese que f −1 (c) também o é. (Veja Exemplos 27 e 28.) Dado qualquer p ∈ f −1 (c), como todo vetor v, tangente a f −1 (c) no ponto p, é o vetorvelocidade de um caminho λ contido em f −1 (c) [logo f ◦ λ = constante], temos f ′ (p) · v = (f ◦ λ)′ (0) = 0. Assim o espa¸co vetorial tangente Tp [f −1 (c)] está contido no n´ ucleo de f ′ (p). Como ambos s˜ ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao m, segue-se que eles s˜ ao iguais. Observa¸ co ˜es: 1. Para o leitor que se interessa por detalhes desta natureza, chamamos a aten¸cão para o fato de que, na defini¸cão de superf´ıcie, em nenhum lugar se exige a existência de algum ponto. Assim, estritamente falando, o conjunto vazio é uma superf´ıcie de classe C ∞ (e dimens˜ ao m, para todo m ∈ N). 2. A imagem inversa, f −1 (c), de um valor regular é um subconjunto fechado do dom´ınio U de f mas não é necessariamente fechado em Rn , muito menos conexo: tome, por exemplo, U = R2 −{0} e f : U → R dada por f (x, y) = xy. Então df (x, y) = ydx + xdy. Para todo (x, y) ∈ U , vale df (x, y) 6= 0, logo todo n´ umero real c é valor regular de f . Se c 6= 0 então f −1 (c) é uma hipérbole, subconjunto fechado desconexo de R2 , enquanto f −1 (0) é a reunião dos dois eixos menos a origem, conjunto que não é fechado em R2 e tem quatro componentes conexas. Exemplo 31. Uma matriz quadrada X, n × n, chama-se ortogonal ´ quando X · X ∗ = I. Como se sabe da Algebra Linear esta igualdade 2 ∗ n equivale a X · X = I. Assim, X ∈ R é ortogonal se, e somente se, X ∗ é o inverso de X. Pela defini¸cão do produto de matrizes, X · X ∗ = I significa que os vetores-linha de X formam uma base ortonormal de Rn , enquanto que X ∗ · X = I diz o mesmo sobre os vetores-coluna. Como estes s˜ ao as imagens X · ej dos vetores da base canônica de Rn pela transforma¸cão linear X : Rn → Rn , vemos que X é ortogonal se, e somente se, transforma a base canônica de Rn (e portanto qualquer outra 2 base ortonormal) numa base ortonormal. O conjunto O(n) ⊂ Rn das

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matrizes ortogonais n × n constitui um grupo em rela¸cão à multiplica¸cão usual de matrizes, chamado o grupo ortogonal de Rn . Mostraremos agora 2 que O(n) é uma superf´ıcie C ∞ de dimens˜ ao n(n − 1)/2 em Rn . Para 2 isto, come¸camos observando que, para todo X ∈ Rn , o produto X · X ∗ é uma matriz simétrica e que o conjunto das matrizes simétricas é um espa¸co vetorial, naturalmente identificável a Rn(n+1)/2 , bastando que se desprezem, de cada matriz simétrica X = (xij ), os elementos situados abaixo da diagonal principal, tomando como coordenadas de X os xij com i ≤ j, isto é, os elementos acima da, ou sobre a, diagonal principal, os quais s˜ ao em n´ umero de 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2. 2 Seja, então, f : Rn → Rn(n+1)/2 a aplica¸cão de classe C ∞ , defi2 nida por f (X) = X · X ∗ . Para toda X ∈ Rn , a derivada f ′ (X) é a 2 transforma¸cão linear f ′ (X) : Rn → Rn(n+1)/2 , dada por f ′ (X) · V = X · V ∗ + V · X ∗ . Temos O(n) = f −1 (I). Mostremos que I é um valor regular de f . Isto equivale a dizer que, para toda matriz ortogonal X e toda matriz simétrica S (ambas n × n), existe uma matriz V , de ordem n, tal que X · V ∗ + V · X ∗ = S. Isto realmente ocorre: basta tomar V = SX/2. [Como adivinhar V ? Pura sorte. Para ter a igualdade acima, a primeira tentativa é supor que cada parcela é igual a S/2. Pondo V · X ∗ = S/2 e multiplicando por X obtemos logo V = SX/2.] Pelo Teorema 11, resulta que O(n) é uma superf´ıcie de classe C ∞ e di2 mens˜ ao n2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2 em Rn . Observemos que O(n) é compacta (já sab´ıamos isto desde o Cap´ıtulo I). O espa¸co vetorial tangente a O(n) no ponto I, sendo o n´ ucleo de f ′ (I), é formado pelas matrizes V tais que V + V ∗ = 0, ou seja, pelas matrizes anti-simétricas, as quais, realmente, constituem um espa¸co vetorial de dimens˜ ao n(n−1)/2. Sabemos que toda hiperf´ıcie é uma superf´ıcie de codimens˜ ao 1. A rec´ıproca é verdadeira e decorre do Teorema 12. Toda superf´ıcie de classe C k é localmente o gr´ afico de uma aplica¸ca õ de classe C k . Demonstra¸ c˜ ao: Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k e dimens˜ ao m. Mostraremos que, para todo p ∈ M , existe uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , de classe C k , definida num aberto V0 ⊂ Rm , com p = ϕ(a) ∈ V , a qual tem a forma ϕ(x) = (x, f (x)), onde f : V0 → Rn−m é uma aplica¸cão de classe C k . Assim, V será o gr´ afico de f . Come¸camos tomando uma parametriza¸cão arbitr´ aria ψ : W0 → W ⊂ M , com p = ψ(b) ∈ W . Temos Tp M = ψ ′ (b)·Rm . Pelo Lema que antecede a demonstra¸cão do Teorema do Posto, existe uma decomposi¸cão em soma direta

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˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Rn = Rm ⊕ Rn−m tal que a correspondente proje¸cão π : Rn → Rm , na primeira coordenada, transforma Tp M isomorficamente sobre Rm . Segue-se que a derivada π ◦ ψ ′ (b) = (π ◦ ψ)′ (b) : Rm → Rm da aplica¸cão π ◦ ψ : W0 → Rm , de classe C k , é um isomorfismo. Pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, existe um aberto W1 ⊂ Rm , com b ∈ W1 ⊂ W0 , tal que (π ◦ ψ)|W1 é um difeomorfismo C k sobre um aberto V0 ⊂ Rm . Seja V = ψ(W1 ). A aplica¸cão ϕ = ψ ◦ [(π ◦ ψ)|W1 ]−1 : V0 → V é uma parametriza¸cão C k . Além disso, para todo x ∈ V0 , πϕ(x) = x, logo ϕ(x) = (x, f (x)), onde f : V0 → Rn−m é de classe C k . Corol´ ario 1. M ⊂ Rn+1 é uma hiperf´ıcie de classe C k se, e somente se, é uma superf´ıcie de codimens˜ ao 1 e classe C k . Corol´ ario 2. Toda superf´ıcie M ⊂ Rn , de classe C k , é localmente a imagem inversa de um valor regular por uma aplica¸ca õ de classe C k . Com efeito, se V ⊂ M é o gr´ afico de uma aplica¸cão f : V0 → Rn−m , k m de classe C no aberto V0 ⊂ R , então V = g −1 (0), onde g : V ×Rn−m → Rn−m é definida por g(x, y) = y − f (x). Consideremos as três classes de subconjuntos do espa¸co euclidiano n R , abaixo descritas: Classe A: formada pelos gr´ aficos de aplica¸cões de classe C k , f : V0 → Rn−m , definidas em abertos V0 ⊂ Rm ; Classe B: formada pelas imagens inversas de valores regulares de aplica¸cões g : Z → Rn−m , de classe C k em abertos Z ⊂ Rn ; Classe C: formada pelas superf´ıcies de classe C k e dimens˜ ao m em Rn . Sabemos que A ⊂ B ⊂ C, que todo elemento de C está localmente em B e que cada elemento de B está localmente em A. Globalmente, porém, as três classes s˜ ao distintas umas das outras. Em primeiro lugar, é evidente que B 6⊂ A, pois A não contém conjuntos compactos (já que o gr´ afico de uma fun¸cão cont´ınua é sempre homeomorfo ao seu dom´ınio e nenhum aberto não vazio V0 ⊂ Rm é compacto). Também é verdade que C 6⊂ B mas não é tão evidente assim que haja alguma superf´ıcie que não pode ser definida como imagem inversa de um valor regular. Um exemplo é dado pelas superf´ıcies não-orientáveis. Para explicar este ponto e, principalmente, porque se trata de uma no¸cão indispensável para o estudo das integrais de superf´ıcies, abordaremos a seguir o conceito de orientabilidade.

´ [SEC. 14: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS

14

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Superf´ıcies orient´ aveis

Duas parametriza¸cões ϕ : V0 → V , ψ : W0 → W , de classe C 1 , numa superf´ıcie M , dizem-se coerentes quando V ∩ W = ∅ ou então quando V ∩W 6= ∅ e a matriz jacobiana J(ψ −1 ◦ϕ)(x) tem determinante positivo em todos os pontos x ∈ ϕ−1 (V ∩ W ). Como sabemos, esta condi¸cão significa que p = ϕ(x) = ψ(y) ∈ V ∩ W , e tem-se, para cada j = 1, . . . , m, m

X ∂ϕ ∂ψ αij (x) = (y), com det (αij ) > 0. ∂xj ∂yi i=1

Com efeito, (αij ) é a matriz jacobiana do difeomorfismo ψ −1 ◦ ϕ no ponto x. Se V ∩W 6= ∅, o difeomorfismo ψ −1 ◦ϕ : ϕ−1 (V ∩W ) → ψ −1 (V ∩W ) tem determinante jacobiano diferente de zero em todos os pontos x ∈ ϕ−1 (V ∩ W ). Como det J(ψ −1 ◦ ϕ)(x) é uma fun¸cão cont´ınua de x, seu sinal é constante em cada componente conexa do aberto ϕ−1 (V ∩ W ) ⊂ Rm . Quando esse aberto é conexo, o sinal do determinante jacobiano é o mesmo em todos os pontos x. Convém entretanto observar que, em geral, ϕ−1 (V ∩ W ) pode não ser conexo. Um atlas de classe C k numa superf´ıcie M é uma cole¸cão A de parametriza¸cões ϕ : V0 → V , de classe C k cujas imagens cobrem M . O atlas A diz-se coerente quando quaisquer duas parametriza¸cões ϕ, ψ ∈ A s˜ ao coerentes. Um atlas coerente de classe C k numa superf´ıcie M chama-se m´ aximo quando não pode estar contido propriamente em nenhum outro atlas coerente de classe C k em M . Todo atlas coerente A de classe C k está contido num u ńico atlas coerente m´ aximo de classe C k : basta acrescentar-lhe as parametriza¸cões ϕ : V0 → V de classe C k que s˜ ao coerentes com todas as ψ ∈ A. Uma superf´ıcie M de classe C k diz-se orient´ avel quando existe nela k pelo menos um atlas coerente de classe C . Neste caso, existe também um atlas coerente m´ aximo, o qual se chama uma orienta¸ca õ de M . Uma superf´ıcie orientada é uma superf´ıcie orientável na qual se fez a escolha de uma orienta¸cão A. As parametriza¸cões ϕ ∈ A chamam-se então positivas. Escreve-se ϕ > 0 para significar que ϕ pertence a A. Exemplo 32. Toda superf´ıcie que é a imagem de uma u ńica parametriza¸cão é orientável, pois essa parametriza¸cão constitui um atlas coerente.

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˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Isto inclui os subconjuntos abertos do espa¸co euclidiano e os gr´ aficos de k aplica¸cões C definidas nesses abertos. Exemplo 33. Todo subconjunto aberto U de uma superf´ıcie orientável M é uma superf´ıcie orientável: se A é um atlas coerente, as restri¸cões ϕ|ϕ−1 (U ∩ V ) das parametriza¸cões ϕ : V0 → V , pertencentes a A, constituem um atlas coerente em U . Um difeomorfismo de classe C k de uma superf´ıcie M sobre uma superf´ıcie N (ambas de classe C k ) é uma bije¸cão f : M → N , de classe C k , cuja inversa f −1 : N → M é diferenci´ avel (e portanto de classe C k ). Pela Regra da Cadeia, se f : M → N é um difeomorfismo então, para todo p ∈ M , a derivada f ′ (p) : Tp M → Tq N , q = f (p), é um isomorfismo linear. [A rec´ıproca é falsa: se cada f ′ (p) é um isomorfismo, o Teorema da Aplica¸cão Inversa garante apenas que f seja um difeomorfismo local.] Se as superf´ıcies M e N s˜ ao difeomorfas então uma delas é orientável se, e somente se, a outra é. Com efeito, se f : M → N é um difeomorfismo de classe C k então, para toda parametriza¸cão ϕ : V0 → V , de classe C k , em N , a composta f ◦ ϕ : V0 → f (V ) é uma parametriza¸cão C k . As parametriza¸cões do tipo f ◦ ϕ constituem um atlas em N e, como (f ◦ ψ)−1 ◦ (f ◦ ϕ) = ψ −1 ◦ ϕ, vemos que se ϕ percorre um atlas coerente em M , as compostas f ◦ ϕ constituem um atlas coerente em N . Portanto, M orientável ⇒ N orientável. Usando f −1 em vez de f obteremos a outra implica¸cão. Uma observa¸cão simples, porém crucial, para a obten¸cão de um atlas coerente é a seguinte: dada uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V , de classe C k , numa superf´ıcie M , existe uma outra parametriza¸cão ϕ1 : V1 → V , também de classe C k , com a mesma imagem V , tal que, para toda ψ : W0 → W , ψ ∈ C k , em M , com V ∩ W 6= ∅, tem-se det J(ψ −1 ◦ ϕ1 )(x) = − det J(ψ −1 ◦ϕ)(¯ x), qualquer que seja p = ϕ1 (x) = ϕ(¯ x) ∈ V ∩ W . Basta tomar ϕ1 = ϕ ◦ ξ, onde ξ : V1 → V0 é qualquer difeomorfismo de classe C k com determinante jacobiano negativo em todos os pontos. Por exemplo, podemos considerar a reflexão ξ : Rm → Rm , dada por ξ(x1 , . . . , xm ) = (−x1 , x2 , . . . , xm ) e pôr V1 = ξ −1 (V0 ). Ao passar de ϕ para ϕ1 , diremos que estamos mudando o sinal da parametriza¸cão ϕ. Como primeira aplica¸cão da possibilidade de “mudar o sinal”de uma parametriza¸cão sem alterar sua classe de diferenciabilidade nem sua imagem temos o Exemplo 34. Se uma superf´ıcie M admite um atlas formado por duas parametriza¸cões ϕ : V0 → V , ψ : W0 → W , com V ∩W conexo, então M

´ [SEC. 14: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS

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é orientável. Com efeito, como ϕ−1 (V ∩ W ) é conexo, ou o determinante jacobiano de ψ −1 ◦ ϕ é positivo em todos os pontos, e então A = {ϕ, ψ} é um atlas coerente, ou é negativo em todos os pontos. Neste caso, mudando o sinal de ϕ, obtemos uma parametriza¸cão ϕ1 : V1 → V tal que o atlas {ϕ1 , ψ} é coerente. Em qualquer caso, M é orientável. Usaremos agora este fato para mostrar que a esfera S n é uma superf´ıcie orientável. Comecemos supondo n ≥ 2. Sejam p = en+1 e q = −p respectivamente o pólo norte e o pólo sul de S n . Ponhamos V = S n − {p} e W = S n −{q}. Temos V ∪W = S n . No par´ agrafo 8 do Cap´ıtulo I, por meio de fórmulas expl´ıcitas, definimos a proje¸cão estereogr´ afica ϕ : V → Rn e seu n homeomorfismo inverso ξ : R → V . Vê-se, a partir daquelas fórmulas, que ϕ e ξ s˜ ao aplica¸cões de classe C ∞ . Da igualdade ϕ(ξ(y)) = y, válida para todo y ∈ Rn , resulta, via Regra da Cadeia, que ξ ′ (y) : Rn → Rn+1 é injetiva em todos os pontos, logo ξ é uma parametriza¸cão C ∞ . Definamos a parametriza¸cão ζ : Rn → W pondo ζ(y) = −ξ(y). Como n ≥ 2, V ∩W = S n −{p, q} é conexo, portanto S n é orientável. Quando n = 1, vemos que S 1 − {p, q} não é conexo. Mas as parametriza¸cões ξ : R → S 1 − {p} e ζ : R → S 1 − {q}, sendo dadas explicitamente por ξ(t) =

2t t2 − 1 , t2 + 1 t2 + 1

e

ζ(t) =

−2t 1 − t2 , t2 + 1 t2 + 1

,

observamos que ζ(−1/t) = ξ(t), logo a mudan¸ca de parametriza¸cão ζ −1 ◦ ξ : R − {0} → R − {0} tem a expressão (ζ −1 ◦ ξ)(t) = −1/t. O determinante jacobiano de ζ −1 ◦ ξ é, neste caso, sua derivada, igual a 1/t2 , portanto positiva para todo t ∈ R − {0}. Assim, o atlas {ξ, ζ} é coerente e S 1 é orientável. Seja A uma orienta¸cão numa superf´ıcie M de classe C k . Como A é coerente, se ϕ : V0 → V e ψ : W0 → W s˜ ao parametriza¸cões positivas, −1 tem-se det J(ψ ◦ ϕ)(x) > 0 para todo x ∈ ϕ−1 (V ∩ W ). E como A é m´ aximo, se ξ : V0 → V é uma parametriza¸cão de classe C k não pertencente a A, deve existir alguma ψ : W0 → W , com ψ ∈ A, V ∩W 6= ∅ e algum ponto p = ξ(x) ∈ V ∩ W tal que det J(ψ −1 ◦ ξ)(x) < 0. Teorema 13. Sejam A um atlas coerente m´ aximo de classe C k na superf´ıcie M e ξ : V0 → V uma parametriza¸ca õ de classe C k em V ⊂ M , n˜ ao pertencente ao atlas A. Se V é conexo ent˜ ao, para toda parametriza¸ca õ ψ : W0 → W , pertencente a A, tem-se det J(ψ −1 ◦ ξ)(x) < 0, seja qual for x ∈ ξ −1 (V ∩ W ).

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˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

Demonstra¸ c˜ ao: O conjunto A, formado pelos pontos p = ξ(x) ∈ V tais que existe uma parametriza¸cão ψ : W0 → W , pertencente a A, com p ∈ W e det J(ψ −1 ◦ ξ)(x) < 0 é aberto em V , como também é o conjunto B dos pontos p = ξ(x) tais que existe ϕ : Z0 → Z, ϕ ∈ A, p ∈ Z e det J(ϕ−1 ◦ ξ)(x) > 0. Como A é um atlas, todo ponto de V está na imagem de alguma parametriza¸cão pertencente a A, logo V = A ∪ B. Além disso, se existisse p = ξ(x) = ψ(y) ∈ A ∩ B, da igualdade ϕ−1 ◦ ξ = (ϕ−1 ◦ ψ) ◦ (ψ −1 ◦ ξ) obter´ıamos det J(ϕ−1 ◦ ξ)(x) = det J(ϕ−1 ◦ ψ)(y) · det J(ψ −1 ◦ ξ)(x), uma igualdade absurda pois o primeiro membro é positivo e, no segundo membro, o primeiro fator é positivo porque A é coerente e o segundo fator é negativo pela defini¸cão do conjunto A. Portanto V = A ∪ B é ´ neste ponto que usamos o fato uma cis˜ ao. Mas V é conexo e A 6= ∅. (E de A ser m´ aximo: de ξ ∈ / A segue-se que A 6= ∅ conforme a observa¸cão que precede o Exemplo 34.) Logo B = ∅, o que prova o teorema. Corol´ ario 1. Se uma superf´ıcie M , de classe C k , admite um atlas coerente de classe C 1 ent˜ ao admite também um atlas coerente de classe Ck. Com efeito, dado A, um atlas coerente m´ aximo de classe C 1 em M , seja Ak o conjunto das parametriza¸cões ϕ : V0 → V que s˜ ao de classe C k , pertencem ao atlas A e têm imagem V conexa. Como Ak ⊂ A, duas parametriza¸cões quaisquer em Ak s˜ ao coerentes. Além disso, como a superf´ıcie M é de classe C k , dado qualquer ponto p ∈ M existe uma parametriza¸cão ξ : V0 → V , de classe C k , com V conexa e p ∈ V . Se ξ ∈ A então temos ξ ∈ Ak . Se, porém, ξ ∈ / A, pelo teorema acima teremos det J(ψ −1 ◦ ξ)(x) < 0 para toda ψ : W0 → W em A, com V ∩ W 6= ∅, e todo x ∈ ξ −1 (V ∩ W ). Neste caso, mudando o sinal de ξ obteremos uma parametriza¸cão ξ1 : V1 → V , de classe C k , coerente com todas as parametriza¸cões pertencentes a A, logo ξ1 ∈ A pela maximalidade deste atlas. Então ξ1 ∈ Ak , o que prova ser Ak um atlas. O corolário acima esclarece e simplifica a exposi¸cão, mostrando que a classe de diferenciabilidade não influi no fato de ser a superf´ıcie M orientável. De agora por diante, salvo aviso em contrário, consideraremos apenas atlas coerentes de classe C 1 . Quando for necessário, poderemos lan¸car m˜ ao de um atlas coerente da mesma classe que a superf´ıcie, autorizados pelo Corolário 1.

´ [SEC. 14: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS

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Dado um atlas coerente m´ aximo A na superf´ıcie orientável M , diremos que uma parametriza¸cão ξ : V0 → V em M é negativa, e escreveremos ξ < 0, quando, para toda parametriza¸cão ψ : W0 → W pertencente ao atlas A, e para todo ponto p = ξ(x) ∈ V ∩ W , tivermos det J(ψ −1 ◦ ξ)(x) < 0. O teorema acima diz que se V é conexo então ξ < 0 se, e somente se, ξ ∈ / A. Duas parametriza¸cões negativas s˜ ao sempre coerentes: se ξ : V0 → V e ζ : W0 → W s˜ ao ambas negativas, para todo ponto p ∈ V ∩ W tome uma parametriza¸cão positiva ϕ cuja imagem contenha p e observe que J(ζ −1 ◦ ξ) = J(ζ −1 ◦ ϕ) · J(ϕ−1 ◦ ξ). Assim, as parametriza¸cões negativas constituem um atlas coerente A∗ , o qual é m´ aximo, como se vê facilmente. A orienta¸cão de M definida pelo atlas A∗ chama-se a orienta¸ca õ oposta de A. Corol´ ario 2. Sejam ϕ : V0 → V , ψ : W0 → W parametriza¸co ˜es de classe C 1 uma superf´ıcie M , com V , W conexas e V ∩ W 6= ∅. Se o determinane jacobiano de ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (V ∩ W ) → ψ −1 (V ∩ W ) muda de sinal ent˜ ao M n˜ ao é orient´ avel. Com efeito, se M fosse orientável, tomar´ıamos um atlas coerente m´ aximo A, de classe C 1 em M . A hip´ otese feita impede ϕ, ψ ∈ A. O teorema acima também impede que uma dessas parametriza¸cões perten¸ca a A e a outra não. Restaria apenas a possibilidade de ϕ ∈ / Ae ψ∈ / A. Como V e W s˜ ao conexas, ter´ıamos ϕ < 0 e ψ < 0, logo ϕ e ψ seriam coerentes, como observamos acima, mas isto contraria a hip´ otese do corolário. Logo M é não-orientável. Observa¸ c˜ ao: O determinante jacobiano de ψ −1 ◦ϕ nunca se anula. Logo ele s´ o pode mudar de sinal quando a interse¸cão V ∩ W é desconexa.

Exemplo 35. Seja M ⊂ R6 o conjunto das matrizes 2 × 3 de posto 1. Escrevendo cada matriz 2 × 3 sob a forma (v, w), onde v, w ∈ R3 s˜ ao suas linhas, M é o conjunto das matrizes (v, w) ∈ R6 − {0} tais que v e w s˜ ao linearmente dependentes. Temos M = V ∪ W , onde V é o conjunto das matrizes de M cuja primeira linha é 6= 0 enquanto as matrizes de W têm a segunda linha não nula. Sejam U = R3 − {0} e V0 = U × R. As aplica¸cões ϕ : V0 → V , ψ : V0 → W , definidas por ϕ(v, t) = (v, tv) e ψ(v, t) = (tv, v), s˜ ao parametriza¸cões de classe C ∞ e −1 −1 ϕ (V ∩W ) = U ×(R−{0}) = ψ (V ∩W ) tem duas componentes conexas, a saber, U × (−∞, 0) e U × (0, +∞). A mudan¸ca de parametriza¸cão ψ −1 ◦ ϕ : (v, t) 7→ (tv, 1/t), ou seja, (x, y, z, t) 7→ (tx, ty, tz, 1/t), tem

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˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

determinante jacobiano igual a −t, o qual é positivo na primeira componente conexa e negativo na segunda. M é portanto uma superf´ıcie de classe C ∞ e dimens˜ ao 4 em R6 , não-orientável pelo Corolário 2 acima. Exemplo 36. Se M e N s˜ ao superf´ıcies orientáveis, o produto cartesiano M × N é também orientável. Com efeito, se A e B s˜ ao atlas coerentes em M e N respectivamente, seja A × B o atlas em M × N formado pelas parametriza¸cões ϕ × ψ, onde ϕ : V0 → V pertence a A, ψ : W0 → W pertence a B e ϕ × ψ : V0 × W0 → V × W é definida por (ϕ × ψ)(x, y) = (ϕ(x), ψ(y)). Como se vê facilmente, (ϕ2 × ψ2 )−1 ◦ (ϕ1 × ψ1 ) = (ϕ−1 2 ◦ ϕ1 ) × (ψ2−1 ◦ ψ1 ), donde det J[(ϕ2 × ψ2 )−1 ◦ (ϕ1 × ψ1 )](x, y) =

−1 = det J(ϕ−1 2 ◦ ϕ1 )(x) · det J(ψ2 ◦ ψ1 )(y).

Isto mostra que A × B é um atlas coerente em M × N . Reciprocamente, se M ×N é orientável, então M e N s˜ ao orientáveis. Com efeito, seja C um atlas coerente m´ aximo em M × N e consideremos a cole¸cão A das parametriza¸cões ϕ em M tais que ϕ × ζ ∈ C, onde ζ : Z0 → Z é uma parametriza¸cão em N , com imagem Z conexa, a qual fixamos de uma vez por todas. Se ϕ : V0 → V e ψ : W0 → W pertencem a A e V ∩ W 6= ∅, pondo α = (ψ × ζ)−1 ◦ (ϕ−1 × ζ), vemos que α = (ψ −1 ◦ ϕ) × id : ϕ−1 (V ∩ W ) × Z0 → ψ −1 (V ∩ W ) × Z0 , logo det Jα(x, y) = det J(ψ −1 ◦ ϕ)(x). Como o atlas C é coerente, temos det Jα(x, y)> 0 para todo (x, y). Assim det J(ψ −1 ◦ ϕ)(x) > 0 para todo x ∈ ϕ−1 (V ∩ W ), ou seja, duas parametriza¸cões em A s˜ ao coerentes. Além disso, dado qualquer p ∈ M , tomamos uma parametriza¸cão ϕ : V0 → V em M , com p = ϕ(x) ∈ V e V conexo. Se ϕ ∈ / A então ϕ×ζ < 0. Mudando o sinal de ϕ, obtemos uma parametriza¸cão ϕ1 : V1 → V , com a mesma imagem que ϕ, tal que ϕ1 × ζ ∈ C. Portanto A é um atlas e M é orientável. De modo an´ alogo se mostra que N também é orientável. Resulta da u ´ltima parte do Exemplo 36 uma outra maneira de verificar que, para todo n ≥ 1, a esfera S n é orientável. Com efeito, a aplica¸cão h : S n × R → Rn+1 − {0}, definida por h(x, t) = et · x, é um difeomorfismo do produto cartesiano S n × R sobre um subconjunto aberto do espa¸co euclidiano Rn+1 . [O difeomorfismo inverso, h−1 : Rn+1 − {0} → S n × R é dado por h−1 (z) = (z/|z|, log |z|).] Portanto o produto cartesiano S n × R é orientável e da´ı decorre que S n é orientável.

´ [SEC. 14: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS

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Talvez a maneira mais popular de se caracterizar uma superf´ıcie orientável seja por meio de campos de vetores normais. Para superf´ıcies de codimens˜ ao n − m ≥ 1, a existência de n − m campos cont´ınuos de vetores normais linearmente independentes é uma condi¸caõ suficiente da orientabilidade, sendo também necessária em codimens˜ ao 1. Dada uma superf´ıcie M ⊂ Rn , o espa¸co vetorial normal a M no ponto p é o conjunto Tp M ⊥ dos vetores w ∈ Rn tais que hw, vi = 0 para todo v ∈ Tp M , ou seja, é o complemento ortogonal do espa¸co vetorial tangente a M no ponto p. Se dim M = m então dim Tp M ⊥ = n − m = codim .M . Os elementos w ∈ Tp M ⊥ s˜ ao chamados os vetores normais a M no ponto p. Por exemplo, o espa¸co vetorial normal à esfera S n no ponto p é o conjunto dos vetores w = t · p, t ∈ R. Mais geralmente, se c ∈ Rn−m é valor regular da aplica¸cão f : U → Rn−m , de classe C 1 no aberto U ⊂ Rn , então a superf´ıcie M = f −1 (c) tem em cada um dos seus pontos p o espa¸co vetorial normal gerado pelos n−m vetores linearmente independentes grad f1 (p), . . . , grad fn−m (p), onde f1 , . . . , fn−m : U → R s˜ ao as fun¸cões-coordenada de f . No caso da esfera, temos f : Rn+1 → R definida por f (x) = hx, xi, S n = f −1 (1) e grad f (x) = 2x. Logo o vetor 2p (e portanto o vetor p) é uma base do espa¸co vetorial normal a S n no ponto p. Um campo de vetores normais à superf´ıcie M ⊂ Rn é uma aplica¸cão v : M → Rn tal que, para todo p ∈ M , v(p) ∈ Tp M ⊥ . Os adjetivos “cont´ınuo”, “diferenciável”, “de classe C k ”, etc., aplicados ao campo, s˜ ao propriedades da aplica¸cão v. Teorema 14. Se uma superf´ıcie M ⊂ Rn , de dimens˜ ao m, admite n − m campos cont´ınuos de vetores normais v1 , . . . , vn−m : M → Rn linearmente independentes em cada ponto p ∈ M , ent˜ ao M é orient´ avel. Demonstra¸ c˜ ao: Seja A o conjunto das parametriza¸cões de classe C 1 , ϕ : V0 → V , em M , tais que V0 é conexo e, para todo x ∈ V0 , a matriz n×n ∂ϕ ∂ϕ Φ(x) = (x), . . . , (x), v1 (ϕ(x)), . . . , vn−m (ϕ(x)) , ∂x1 ∂xm cujas colunas s˜ ao os vetores a´ı indicados, tem determinante positivo. Para cada x ∈ V0 , note que Φ(x) é invert´ıvel pois suas primeiras m colunas formam uma base de Tϕ(x) M e as restantes formam uma base do complemento ortogonal desse subespa¸co de Rn . Como Φ(x) depende

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continuamente de x, seu determinante não muda de sinal no conjunto conexo V0 . Se, para uma certa parametriza¸cão ϕ : V0 → V (V0 conexo), tivermos det Φ(x) < 0, podemos trocar o sinal de ϕ e obter ϕ1 ∈ A, com a mesma imagem V . Logo A é um atlas de classe C 1 em M . Para mostrar que A é coerente, sejam ϕ : V0 → V , ψ : W0 → W pertencentes a A e p = ϕ(x) = ψ(y) ∈ V ∩W . Sabemos que J(ψ −1 ◦ϕ)(x) = (αij ) = A onde, para cada j = 1, . . . , m, m

X ∂ϕ ∂ψ αij (x) = (y), ∂xj ∂yi i=1

e com A e= Isto em termos de matrizes, que Φ(x) = Ψ(y) · A, significa, A 0 , onde I é a matriz identidade de ordem n−m. Como det Φ(x) > 0 I e = det A = det J(ψ −1 ◦ ϕ)(x). 0 e det Ψ(y) > 0 resulta que 0 < det A Isto conclui a demonstra¸cão. Corol´ ario. Se a superf´ıcie M ⊂ Rn pode ser definida como imagem inversa de um valor regular de uma aplica¸ca õ f : U → Rn−m , de classe C 1 num aberto U ⊂ Rn , ent˜ ao M é orient´ avel.

Exemplo 37. Da´ı resulta, por exemplo, que a superf´ıcie de dimens˜ ao 6 4 em R , formada pelas matrizes 2 × 3 de posto 1 (veja Exemplo 35) não pode ser definida como imagem inversa de um valor regular de uma aplica¸cão f : U → R2 , de classe C 1 num aberto U ⊂ R6 , pois não é orientável. Por outro lado, o grupo ortogonal O(n) é uma superf´ıcie 2 orientável de dimens˜ ao n(n − 1)/2 em Rn . (Veja Exemplo 31.) Exemplo 38. A existência de r campos cont´ınuos de vetores normais linearmente independentes em todos os pontos de uma superf´ıcie M ⊂ Rn de codimens˜ ao n − m > r não garante que M seja orientável. Para ver isto, basta tomar M ⊂ Rn e passar a considerar M ⊂ Rn × Rr = Rn+r . (As r u ´ltimas coordenadas de cada ponto p ∈ M , considerado como ponto em Rn+r , s˜ ao nulas.) Então os r campos constantes en+1 , . . . , en+r : M → Rn+r s˜ ao cont´ınuos, linearmente independentes e normais a M , que pode perfeitamente ter sido tomada não-orientável. Quando a codimens˜ ao de M é igual a 1, vale a rec´ıproca do teorema acima.

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Teorema 15. Uma hiperf´ıcie M ⊂ Rn+1 é orient´ avel se, e somente se, existe um campo cont´ınuo de vetores normais v : M → Rn+1 , com v(p) 6= 0 para todo p ∈ M .

Demonstra¸ c˜ ao: O campo de vetores normais não nulos v : M → Rn+1 em M determina, em cada ponto p ∈ M , uma base {v(p)} do espa¸co vetorial normal Tp M ⊥ , que é uma reta. Portanto a condi¸cão é suficiente, pelo Teorema 14. Reciprocamente, se M é orientável, definiremos um campo cont´ınuo de vetores normais unit´ arios u : M → Rn+1 do seguinte modo. Para cada p ∈ M , existem dois vetores unit´ arios normais a M no ponto p. Escolhemos qual deles é u(p) tomando uma parametriza¸cão positiva ϕ : V0 → V , com p = ϕ(x) ∈ V , e definindo u(p) pela condi¸cão de que a matriz ∂ϕ ∂ϕ Φ(x) = (x), . . . , (x), u(ϕ(x)) , ∂x1 ∂xn cujas n + 1 colunas s˜ ao os vetores a´ı indicados, tenha determinante positivo. Isto não depende da parametriza¸cão positiva tomada porque e se ψ : W0 → W , com p = ψ(y) ∈ W é outra delas, então Φ(x) = Ψ(y)· A, e = A 0 e A = (αij ) é a matriz jacobiana de ψ −1 ◦ ϕ no ponto onde A 0 I x, a qual, como sabemos, cumpre a condi¸cão m

X ∂ϕ ∂ψ αij (x) = (y). ∂xj ∂yi i=1

e > 0. Como ϕ e ψ s˜ ao coerentes, temos det A > 0, ou seja, det A Assim det Φ(x) > 0 se, e somente se, det Ψ(y) > 0. Resta mostrar que o campo u é cont´ınuo. Para tal, observamos que (como toda superf´ıcie) M é localmente a imagem inversa f −1 (c) de um valor regular. Logo M pode ser coberta por vizinhan¸cas conexas parametrizadas V , em cada uma das quais está definido um campo cont´ınuo de vetores unit´ arios n+1 normais v : V → R , a saber v(p) = grad f (p)/| grad f (p)|. Dada uma parametriza¸cão positiva ϕ : V0 → V , ou se tem ∂ϕ ∂ϕ det (x), . . . , (x), v(ϕ(x)) > 0 ∂x1 ∂xn para todo x ∈ V0 , ou então esse determinante é negativo em todos os pontos de V0 . No primeiro caso, temos v(p) = u(p) para todo

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

328

p = ϕ(x) ∈ V e, no segundo, v(p) = −u(p) para todo p = ϕ(x). Em qualquer caso, u é cont´ınuo em V . Como as vizinhan¸cas V cobrem M , concluimos que o campo u : M → Rn+1 é cont´ınuo. Observa¸ c˜ ao: Podemos, sempre que seja necessário, supor que o campo v é unit´ ario (isto é, |v(p)| = 1 para todo p ∈ M ) substituindo-o, se for o caso, pelo campo w, onde w(p) = v(p)/|v(p)|. Exemplo 39. A superf´ıcie não-orientável mais conhecida é sem d´ uvida, a faixa de Moebius. Ela pode ser obtida do retˆ angulo [0, 2π] × (0, 1) colando-se, para cada t ∈ (0, 1) os pontos (0, t) e (2π, 1 − t). (0, 1)

(2π, 1)

(0, 1)

(2π, 0)

(0, 0)

(2π, 0)

(0, 0)

(2π, 1)

Podemos também definir a faixa de Moebius como a superf´ıcie M ⊂ R3 , obtida pela rota¸cão de um segmento de reta aberto, cujo ponto médio se apoia sobre um c´ırculo. Enquanto o ponto médio desliza sobre o c´ırculo, o segmento realiza uma rota¸cão de 180◦ até o final da primeira volta. Para parametrizar M , consideremos a aplica¸cão f : (0, 1) × R → R3 de classe C ∞ , definida por f (s, t) = γ(t) + (s − 1/2)δ(t), onde γ(t) = (cos t, sen t, 0) e δ(t) = cos(t/2) · γ(t) + sen(t/2) · e3 . A imagem de f é a faixa de Moebius M . Para cada intervalo aberto I ⊂ R, de comprimento ≤ π, a restri¸cão de f a (0, 1) × I é uma parametriza¸cão em M , logo M é uma superf´ıcie de classe C ∞ em R3 . Para mostrar que M não é orientável, fa¸camos primeiro uma observa¸cão mais geral: se M ⊂ Rn+1 é uma hiperf´ıcie orientável e λ : [a, b] → M é um caminho fechado em M então, dando qualquer “campo cont´ınuo u : [a, b] → Rn de vetores unit´ arios normais a M ao longo de λ ”, deve-se ter necessariamente u(a) = u(b). [A expressão entre aspas significa que a aplica¸cão u é cont´ınua e, para cada t ∈ [a, b], o vetor u(t) ∈ Rn tem comprimento 1 e é normal a M no ponto λ(t).] Para provar esta afirma¸cão consideremos o campo cont´ınuo v : M → Rn , de vetores unit´ arios normais a M , o qual existe em virtude do teorema acima. Para cada t ∈ [a, b], temos hv(λ(t)), u(t)i = ±1. Como este produto interno depende continuamente de t no conjunto conexo [a, b], ele deve ser constante, igual a 1 ou a −1 para todo t. Em particular, hv(λ(a)), u(a)i = hv(λ(b)), u(b)i. Sendo λ(a) = λ(b), isto obriga u(a) = u(b), como foi afirmado. Ora,

´ [SEC. 14: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS

329

ao longo do caminho fechado γ : [0, 2π] → M , cintura da faixa de Moebius, podemos definir o campo cont´ınuo de vetores normais unit´ arios u : [0, 2π] → R3 , dado por t t t u(t) = − cos t · sen , − sen t · sen , cos . 2 2 2 Temos u(2π) = −u(0), logo M não é orientável. [Para chegar à fórmula expl´ıcita das coordenadas de u(t), basta notar que u(t) =

∂f ∂f (1/2, t) × (1/2, t) ∂s ∂t

é o produto vetorial dos vetores tangentes básicos determinados pela parametriza¸cão f no ponto f (1/2, t) = γ(t).] Exemplo 40. O plano projetivo como superf´ıcie de codimens˜ ao 2 em 4 3 4 ∞ R . Seja f : R → R a aplica¸cão de classe C definida por f (x, y, z) = (x2 −y 2 , xy, xz, yz). Afirmamos que o conjunto P 2 = f (S 2 ), imagem por f da esfera unit´ aria S 2 ⊂ R3 , é uma superf´ıcie de dimens˜ ao 2 e classe ∞ 4 C em R . Em primeiro lugar, o leitor pode verificar sem maiores dificuldades que, se p, q ∈ S 2 , então f (p) = f (q) se, e somente se, q = ±p. (Quando q = −p, diz-se que os pontos p e q, pertencentes a S 2 , s˜ ao ant´ıpodas.) Em seguida, mostraremos que, em cada ponto p = (x, y, z) ∈ S 2 , a derivada f ′ (p) : R3 → R4 aplica o plano tangente Tp S 2 ⊂ R3 injetivamente em R4 . Com efeito, a matriz jacobiana de f no ponto p é   2x −2y 0 y x 0 . Jf (x, y, z) =  z 0 x 0 z y Dois dos determinantes menores 3×3 de Jf s˜ ao 2x(x2 +y 2 ) e 2y(x2 +y 2 ). Logo Jf tem posto 3 exceto quando x = y = 0. Portanto f ′ (p) : R3 → R4 é injetiva para todo p ∈ S 2 − {a, −a}, a = (0, 0, 1). Nos pontos ±a, a matriz jacobiana mostra que f ′ (±a) · e1 = ±e3 e f ′ (±a) · e2 = ±e4 . Como os planos tangentes a S 2 nos pontos ±a coincidem e têm por base {e1 , e2 }, vemos que dim[f ′ (±a) · T±a (S 2 )] = 2. Segue-se que dim[f ′ (p) · Tp (S 2 )] = 2 para todo p ∈ S 2 . Da´ı resulta que, para cada parametriza¸cão ϕ : V0 → V , de classe C ∞ , de um aberto V ⊂ S 2 , a aplica¸cão f ◦ ϕ : V0 → R4 é uma imersão C ∞ . Se V não contiver um

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

330

par de pontos ant´ıpodas, f ◦ ϕ será injetiva. Afirmamos que, neste caso, f ◦ ϕ será um homeomorfismo de V0 sobre um subconjunto W ⊂ P 2 , aberto em P 2 . Isto é verdade porque a restri¸cão f |S 2 : S 2 → P 2 é uma aplica¸cão aberta, fato que passamos a demonstrar: dado um subconjunto aberto A ⊂ S 2 , devemos mostrar que f (A) é aberto em P 2 , ou seja, que P 2 − f (A) é fechado. Pela observa¸cão (12.5), §12 do Cap´ıtulo I, basta mostrar que f −1 (P 2 − f (A)) = S 2 − f −1 f (A) = S 2 − [A ∪ (−A)] é fechado, ou seja, que A ∪ (−A) é aberto em S 2 , o que é óbvio pois A e −A = {x ∈ S 2 ; −x ∈ A} s˜ ao abertos em S 2 . Portanto P 2 = f (S 2 ) é uma superf´ıcie bidimensional de classe C ∞ em R4 . Pelo fato de existir uma aplica¸cão cont´ınua sobrejetiva f : S 2 → P 2 tal que f (p) = f (q) ⇔ q = ±p, P 2 diz-se um modelo do plano projetivo em R4 . A superf´ıcie P 2 é compacta, por ser uma imagem cont´ınua do compacto S 2 . Por outro lado, P 2 não é orientável porque contém um conjunto aberto homeomorfo a uma faixa de Moebius, a saber, a imagem por f da regi˜ ao R = {(x, y, z) ∈ S 2 ; y ≥ 0, −1/2 < z < 1/2}. (Observe que f é um homeomorfismo no interior de R relativamente a S 2 mas no bordo ∂R, formado por dois arcos de c´ırculo, por causa da rela¸cão f (p) = f (−p), f realiza uma colagem como a que dá origem à faixa de Moebius).

f

A no¸cão de superf´ıcie orientável também pode ser apresentada a partir do conceito de orienta¸cão de um espa¸co vetorial. Em determinados contextos, essa abordagem é mais vantajosa. Vamos descrevê-la a seguir. Seja E um espa¸co vetorial (real) de dimens˜ ao m > 0. Dadas duas bases (ordenadas!) E = {e1 , . . . , em } e F = {f1 , . . . , fm } em E, existe uma u ńica matriz real m × m invert´ıvel A = (aij ) tal que fj =

m X

aij ei

i=1

para todo j = 1, . . . , m. A chama-se a matriz de passagem da base E para a base F. Diremos que as bases E e F s˜ ao igualmente orientadas

´ [SEC. 14: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS

331

quando a matriz de passagem de E para F tiver determinante positivo. Escreveremos então E ≡ F. Esta é uma rela¸cão de equivalência no conjunto das bases de E. Cada classe de equivalência segundo esta rela¸cão chama-se uma orienta¸ca õ no espa¸co vetorial E. Seja O uma orienta¸cão no espa¸co vetorial E. O é um conjunto de bases (ordenadas) de E com as seguintes propriedades. Primeiro, duas bases quaisquer em O s˜ ao igualmente orientadas. Segundo, se E pertence a O e F ≡ E então F pertence a O. Assim, a orienta¸cão O fica determinada por qualquer um dos seus elementos E: O consiste de todas as bases de E igualmente orientadas em rela¸cão a E. Se as matrizes de passagem de F para as bases F e G s˜ ao respectivamente A e B então, como se vê facilmente, a matriz de passagem de E para G é BA−1 . Se det. A < 0 e det. B < 0 então det. BA−1 > 0. Ou seja, se F e G não pertencem ` a orienta¸cão O então F ≡ G. Isto mostra que a rela¸cão ≡ possui duas classes de equivalência. Noutras palavras, o espa¸co vetorial E admite duas orienta¸cões. Um espa¸co vetorial orientado é um par (E, O), onde O é uma orientação em E. Muitas vezes escreveremos apenas E, deixando subentendida a orienta¸cão O. Uma vez escolhida O, a outra orienta¸cão de E será chamada a orienta¸ca õ oposta e a indicaremos com −O. No espa¸co vetorial orientado E, as bases pertencentes a O serão chamadas positivas e as outras negativas. Usando o fato de que o conjunto das matrizes m × m com determinante positivo é conexo por caminhos (veja o Apêndice ao Cap´ıtulo VII), podemos dar a seguinte interpreta¸cão topológica para a rela¸cão E ≡ F. Se temos m X aij ei (j = 1, . . . , m), fj = i=1

tomemos um caminho de matrizes A(t) = (aij (t)), t ∈ [0, 1], com A(0) = matriz identidade m × m, A(1) = (aij ), det .A(t) > 0 m P aij (t)ei (j = 1, . . . , m). Então para todo t, e ponhamos hj (t) = i=1

H(t) = {h1 (t), . . . , hm (t)} é, para cada t ∈ [0, 1], uma base de E, positivamente orientada em rela¸cão a E, com H(0) = E e H(1) = F. Assim, se duas bases de E s˜ ao igualmente orientadas, pode-se deformar uma delas continuamente até obter a outra, de modo que em cada instante t da deforma¸cão se tenha uma base de E. A rec´ıproca é evidente. [As quest˜ oes de continuidade no espa¸co vetorial m-dimensional E se referem

332

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

a uma norma qualquer que nele tomemos. N˜ ao importa qual norma, pois todas s˜ ao equivalentes. Nos casos que consideraremos, E será sempre um subespa¸co de Rn .] Sejam E, F espa¸cos vetoriais orientados, de mesma dimens˜ ao. Um isomorfismo T : E → F diz-se positivo quando transforma bases positivas de E em bases positivas de F . Para que isto ocorra, basta que T transforme uma base positiva de E numa base positiva de F . Dizse também, neste caso, que T preserva orienta¸ca õ. No caso contrário, diz-se que T é negativo, ou que T inverte orienta¸ca õ. Evidentemente, se T : E → F preserva orienta¸cão então T −1 : F → E também preserva. Além disso, se S : E → F e T : F → G preservam orienta¸cão, o mesmo se dá com T · S : E → G. O espa¸co Rm será considerado orientado pela exigência de que sua base canônica seja positiva. Uma transforma¸cão linear T : Rm → Rm é um isomorfismo positivo se, e somente se, det .T > 0. Se apenas um dos espa¸cos vetoriais E, F é orientado, a exigência de que o isomorfismo T : E → F seja positivo determina univocamente uma orienta¸cão no outro espa¸co. Seja M uma superf´ıcie orientada de dimens˜ ao m. Em cada ponto x ∈ M definimos uma orienta¸cão Ox no espa¸co vetorial tangente Tx M declarando que se ϕ : U0 → U é uma parametriza¸cão positiva em M , com x = ϕ(u) ∈ U então a base

∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) ∂u1 ∂um

⊂ Tx M pertence

a Ox , o que equivale a dizer que o isomorfismo ϕ′ (u) : Rm → (Tx M, Ox ) preserva orienta¸cão. Resulta da defini¸cão de atlas coerente que a orienta¸cão Ox não depende da parametriza¸cão positiva ϕ escolhida para defin´ı-la. Em geral, uma base {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M é positiva se, e m P ∂ϕ aij somente se, wj = (u), x = ϕ(u), onde ϕ > 0 e det (aij ) > 0. ∂u i i=1 Reciprocamente, dada a superf´ıcie M , suponhamos que foi escolhida, para cada x ∈ M , uma orienta¸cão Ox no espa¸co vetorial tangente Tx M . Suponhamos ainda que esta escolha foi feita de tal modo que todo ponto de M perten¸ca ` a imagem de uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U cuja derivada ϕ′ (u) : Rm → (Tx M, Ox ), x = ϕ(u), preserva orienta¸cão, para todo u ∈ U0 . Evidentemente, se ψ : V0 → V é outra parametriza¸cão em M , tal que ψ ′ (v) : Rm → (Ty M, Oy ) preserva orienta¸cão para todo v ∈ V0 , com y = ψ(v), e U ∩ V 6= ∅ então ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (U ∩ V ) → ψ −1 (U ∩ V ) tem determinante jacobiano positivo em todos os pontos do seu dom´ınio. Logo, M é uma superf´ıcie orientável.

´ [SEC. 14: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS

333

Sejam M , N superf´ıcies orientadas de mesma dimens˜ ao m e f : M → 1 N um difeomorfismo local de classe C . (Isto significa que M pode ser coberta por abertos U , restrita a cada um dos quais f é um difeomorfismo sobre um aberto de N . Pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, podemos dizer, equivalentemente, que a derivada f ′ (x) : Tx M → Tf (x) N é, em cada ponto x ∈ M , um isomorfismo.) Dizemos que f preserva orienta¸ca õ (ou é positivo) quando, para cada x ∈ M , o isomorfismo f ′ (x) : Tx M → Tf (x) N preserva a orienta¸cão nesses espa¸cos vetoriais orientados. Dizemos que f inverte orienta¸ca õ (ou é negativo) quando, para todo x ∈ M , o isomorfismo linear f ′ (x) inverte orienta¸cão. Se M é desconexa, é bem poss´ıvel que um difeomorfismo local f : M → N não seja positivo nem negativo, isto é, que preserve a orienta¸cão em algumas componentes e inverta em outras. Mostraremos, a seguir, que isto não pode ocorrer quando M é conexa. Teorema 16. Sejam M , N superf´ıcies orientadas de mesma dimens˜ ao e f : M → N um difeomorfismo local de classe C 1 . O conjunto dos pontos x ∈ M nos quais a derivada f ′ (x) : Tx M → Tf (x) N é positiva (respect. negativa) é um subconjunto aberto de M . Demonstra¸ c˜ ao: Dados x ∈ M e y = f (x) ∈ N , sejam ϕ : U0 → U ⊂ M e ψ : V0 → V ⊂ N parametriza¸cões positivas com x ∈ U , y ∈ V e f (U ) ⊂ V . Então f ′ (x) : Tx M → Ty N é positivo se, e somente se, o determinante jacobiano de (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ)′ (ϕ−1 (x)) : Rm → Rm é positivo. Como esse determinante é uma fun¸cão cont´ınua de x, o teorema fica provado. Corol´ ario 1. Sejam M , N superf´ıcies orientadas da mesma dimens˜ ao. 1 Se M é conexa, um difeomorfismo local f : M → N , de classe C , é positivo ou negativo. Corol´ ario 2. Numa superf´ıcie conexa orient´ avel, s´ o h´ a duas orienta¸co ˜es poss´ıveis. Com efeito, sejam O e O′ orienta¸cões em M . A aplica¸cão identidade f : (M, O) → (M, O′ ) é um difeomorfismo local. Logo, ou f é positivo (e então O = O′ ) ou é negativo (e, neste caso O′ = −O). Exemplo 41. A aplica¸cão α : S m → S m , α(x) = −x, é um difeomorfismo de S m , com α−1 = α, chamado a aplica¸ca õ ant´ıpoda. Examinemos m se α preserva ou inverte a orienta¸cão de S . Dado x ∈ S m , escrevamos Ex = Tx (S m ). Então Ex = E−x , já que s˜ ao complementos ortogonais

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

329

de x e −x. A orienta¸cão de S m , definida pelo campo de vetores normais v(x) = x, em conformidade com o Teorema 15, faz com que uma base {w1 , . . . , wm } ⊂ Ex seja positiva se, e somente se, det (w1 , . . . , wm , x) > 0, onde (w1 , . . . , wm , x) é a matriz (m + 1) × (m + 1) cujas colunas estão a´ı indicadas. Segue-se imediatamente que embora os espa¸cos vetoriais Ex e E−x sejam iguais, suas orienta¸cões s˜ ao opostas, isto é, O−x = −Ox . ′ A derivada α (x) : Ex → E−x é a multiplica¸cão por −1, logo seu determinante é igual a (−1)m . Portanto, em rela¸cão às orienta¸cões Ox e O−x adotadas nesses espa¸cos, α′ (x) é um isomorfismo positivo se, e somente se, m é ´ımpar. Assim, a aplica¸cão ant´ıpoda α : S m → S m preserva a orienta¸cão de S m quando m é ´ımpar e a inverte quando m é par. Resulta do Exemplo acima uma nova maneira de mostrar que o plano projetivo P 2 não é orientável. Com efeito, suponhamos, por absurdo, que P 2 pudesse ser munido de uma orienta¸cão. Então o difeomorfismo local f : S 2 → P 2 , definido no Exemplo 40, seria positivo ou negativo, em virtude do Corolário 1 acima. Ora, considerando o difeomorfismo negativo α : S 2 → S 2 , vemos que o composto f ◦ α é positivo se f é negativo e vice-versa. Mas f ◦ α = f , o que nos leva a uma contradi¸cão.

15

O m´ etodo dos multiplicadores de Lagrange

Agora que já temos a no¸cão de superf´ıcie de codimens˜ ao maior do que 1 e conhecemos o Teorema da Aplica¸cão Impl´ıcita, podemos estender o estudo feito no par´ agrafo 10 do Cap´ıtulo III a fun¸cões definidas em superf´ıcies descritas por meio de várias equa¸cões simultˆ aneas: f1 (x) = c1 , . . . , fn (x) = cn . Então, em vez de um, teremos n multiplicadores de Lagrange. Retornemos ` as defini¸cões básicas. Sabemos que uma fun¸cão f : M → R, definida numa superf´ıcie M , diz-se diferenci´ avel quando, para toda parametriza¸cão ϕ : V0 → V em M , a composta f ◦ϕ : V0 → R é uma fun¸cão diferenci´ avel. Analogamente se define fun¸cão k vezes diferenci´ avel e fun¸cão de classe C k , conceitos que têm sentido quando M é uma superf´ıcie de classe C k . Um exemplo freq¨ uente ocorre quando f é a restri¸cão de uma fun¸cão f : U → R, definida num aberto do espa¸co euclidiano que contém a superf´ıcie M . Neste caso, a diferenciabilidade de f implica a de f em virtude da Regra da Cadeia, pois f ◦ ϕ = f ◦ ϕ para toda parametriza¸cão de M . Sabemos também que a diferencial de uma fun¸cão f : M → R no ponto p ∈ M é o funcional linear df (p) : Tp M → R, que pode ser de-

330

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

finido assim: dado o vetor v ∈ Tp M , seja λ : (−ε, ε) → M um caminho diferenci´ avel no ponto 0, com λ(0) = p e λ′ (0) = v. Então df (p) · v = ′ (f ◦ λ) (0). Em particular, quando f é a restri¸cão a M de uma fun¸cão f : U → R, diferenci´ avel num aberto contendo M e contido no espa¸co euclidiano onde M está situada, vemos que df (p)·v = df (p)·v para todo v ∈ Tp M . Ou seja, df (p) é a restri¸cão de df (p) ao subespa¸co vetorial Tp M . Considerando o vetor gradiente de f , temos ainda df (p) · v = h grad f (p), vi. Um ponto cr´ıtico da fun¸cão f : M → R é um ponto p ∈ M tal que df (p) = 0. Quando f = f |M é a restri¸cão de f : U → R, definida num aberto do espa¸co euclidiano que contém M , dizer que p ∈ M é um ponto cr´ıtico de f significa o mesmo que afirmar que grad f (p) é um vetor normal a M no ponto p. Entre os pontos cr´ıticos de uma fun¸cão f : M → R acham-se os pontos de m´ aximo local e m´ınimo local de f pois se p ∈ M é um desses pontos então, para todo caminho λ : (−ε, ε) → M , diferenci´ avel no ponto 0, com λ(0) = p, a fun¸cão real f ◦ λ : (−ε, ε) → R tem um m´ aximo ou um m´ınimo local no ponto 0, logo (f ◦ λ)′ (0) = 0. Assim df (p) · v = 0 para todo v ∈ Tp M .

Exemplo 42. Consideremos uma superf´ıcie M ⊂ Rn e um ponto a ∈ Rn . Suponhamos que exista, entre os pontos de M , um que esteja mais próximo de a (ou mais afastado) que os demais. Seja p esse ponto. Então a fun¸cão f : M → R, definida por f (x) = |x − a|2 (norma euclidiana), tem p como ponto cr´ıtico. [Com efeito, se a distˆ ancia é m´ axima ou m´ınima, seu quadrado também o é. A vantagem de usar o quadrado é que as fórmulas ficam mais simples. Poder´ıamos também dizer que g(x) = |x − a| não é diferenci´ avel no ponto x = a mas esta dificuldade seria evitada simplesmente tomando a ∈ / M .] Neste caso, f é obviamente 2 a restri¸cão a M da fun¸cão x 7→ |x − a| , de classe C ∞ em todo o espa¸co euclidiano Rn . O gradiente desta fun¸cão num ponto x é 2(x − a). Vemos portanto que se p ∈ M é o ponto de M mais próximo (ou mais afastado) do ponto a, então 2(p − a) é normal a M no ponto p, ou seja, (p − a) ⊥ Tp M . Suponhamos agora que a superf´ıcie M ⊂ Rm+n seja dada como imagem inversa M = ϕ−1 (c) de um valor regular c = (c1 , . . . , cn ) da aplica¸cão ϕ : U → Rn , de classe C 1 , definida no aberto U ⊂ Rm+n . Se as fun¸cões-coordenada de ϕ s˜ ao ϕ1 , . . . , ϕn , então a condi¸cão de c ser valor regular de ϕ significa que, para todo x ∈ M , os veto-

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

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res grad ϕ1 (x), . . . , grad ϕn (x) s˜ ao linearmente independentes e portanto constituem uma base do espa¸co vetorial Tx M ⊥ , normal a M no ponto x. Neste caso, dada uma fun¸cão diferenci´ avel f : U → R, definida no mesmo aberto U , o ponto p ∈ M é um ponto cr´ıtico da restri¸cão f |M se, e somente se, o vetor grad f (p) é uma combina¸cão linear dos vetores grad ϕi (p), ou seja, existem n´ umeros reais λ1 , . . . , λn tais que grad f (p) = λ1 · grad ϕ1 (p) + · · · + λn · grad ϕn (p). Os n´ umeros λ1 , . . . , λn chamam-se multiplicadores de Lagrange. Observe que os vetores grad f e grad ϕi , bem como o ponto p, pertencem ao espa¸co Rm+n . Logo, a equa¸cão vetorial acima, juntamente com as equa¸cões escalares ϕ1 (p) = c1 , . . . , ϕn (p) = cn , constituem um sistema de m + 2n equa¸cões com m + 2n incógnitas (a saber: as m + n coordenadas de p mais os n multiplicadores λi ). A solu¸cão completa desse sistema fornecerá todos os pontos cr´ıticos da restri¸cão f |M , ou, como ` as vezes se diz, os pontos cr´ıticos de f sujeitos aos n v´ınculos ϕ1 (x) = c1 , . . . , ϕn (x) = cn . Para registro e posterior referência, enunciemos o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange. Sejam f : U → R uma fun¸ca õ diferenci´ avel num aberto U ⊂ Rm+n e M = ϕ−1 (c) uma superf´ıcie contida em U , imagem inversa do valor regular c ∈ Rn por uma aplica¸ca õ ϕ : U → Rn , de classe C 1 . Um ponto p ∈ M é ponto cr´ıtico da restri¸ca õ f |M se, e somente se, existem n n´ umeros λ1 , . . . , λn tais que grad f (p) = λ1 ·grad ϕ1 (c)+· · ·+λn grad ϕn (c), onde ϕ1 , . . . , ϕn : U → R s˜ ao as fun¸co ˜es-coordenada de ϕ. Exemplo. Seja A : Rm → Rn uma transforma¸cão linear arbitr´ aria. Sua adjunta é a transforma¸cão linear A∗ : Rn → Rm , que associa a cada vetor y ∈ Rm o vetor A∗ · y ∈ Rn tal que hA · x, yi = hx, A∗ · yi, seja qual for x ∈ Rm . Consideremos a fun¸cão bilinear f : Rm × Rn → R definida por f (x, y) = hA · x, yi = Σ aij yi xj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m), e a superf´ıcie M = S m−1 × S n−1 = ϕ−1 (1, 1), onde ϕ : Rm × Rn → R2 é dada por ϕ(x, y) = (|x|2 , |y|2 ). Vejamos quais s˜ ao os pontos cr´ıticos da restri¸cão f |M . Para isto, usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange. Para todo (x, y) ∈ Rm ×Rn , temos grad f (x, y) = (A∗ ·y, A·x) ∈ Rm × Rn . Por outro lado, temos ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ), onde grad ϕ1 (x, y) = (2x, 0) e grad ϕ2 (x, y) = (0, 2y). Tomando, por conveniência, λ/2 e µ/2 como

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

332

multiplicadores de Lagrange, um ponto p = (x, y) ∈ M é um ponto cr´ıtico de f |M se, e somente se, grad f (x, y) =

λ µ grad ϕ1 (x, y) + grad ϕ2 (x, y), 2 2

ou seja: (A∗ · y, A · x) = (λ · x, µ · y). Da´ı obtemos A · x = µ · y, A∗ · y = λ · x, e conseq¨ uentemente ∗ µ = hµ · y, yi = hA · x, yi = hx, A · yi = hx, λ · xi = λ. Portanto, os pontos cr´ıticos de f |M s˜ ao os pontos p = (x, y) ∈ S m−1 × S n−1 tais ∗ que A · x = λ · y e A · y = λ · x para um certo λ ∈ R. Note que, neste caso, λ = f (x, y) e, além disso, z ⊥ x ⇒ A · z ⊥ y. Portanto, se chamarmos de E = {z ∈ Rm ; z ⊥ x} o complemento ortogonal de X em Rm e F = {w ∈ Rn ; w ⊥ y} o complemento ortogonal de y em Rn , a transforma¸cão linear A aplica E em F . Seja então p1 = (u1 , v1 ) ∈ S m−1 × S n−1 o ponto onde a fun¸cão f assume seu valor m´ aximo f (u1 , v1 ) = λ1 em S m−1 × S n−1 . Temos ∗ A · u1 = λ1 · v1 e A · v1 = λ1 · u1 . Como f (x, −y) = −f (x, y), vemos que λ1 ≥ 0. Se A 6= 0 então f não é identicamente nula em M e tem-se λ1 > 0. Em seguida, tomemos E ⊂ Rm e F ⊂ Rn , complementos ortogonais de u1 e v1 respectivamente. Sabemos que A · E ⊂ F . Podemos então considerar a restri¸cão A|E como uma transforma¸cão linear A : E → F , com dim E = m − 1 e dim F = n − 1. Aplicando a esta transforma¸cão o mesmo racioc´ınio usado para A : Rm → Rn e prosseguindo analogamente, chegaremos ao seguinte resultado: Dada qualquer transforma¸cão linear A : Rm → Rn , com posto k, existem bases ortonormais {u1 , . . . , um } em Rm , {v1 , . . . , vn } em Rn e n´ umeros reais positivos λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λk tais que A · ui = λi · vi , A∗ · vi = λi · ui (i = 1, . . . , k) e A · ui = 0, A∗ · vi = 0 se i > k. Em termos de matrizes, isto significa que, dada qualquer matriz A, n2 com n linhas e m colunas, existem matrizes ortogonais P ∈ R , Q ∈ D 0 2 Rm tais que a matriz P AQ = Λ tem a forma Λ = , onde 0 0 D = diag(λ1 , . . . , λk ) é uma matriz diagonal com λ1 ≥ · · · ≥ λk > 0.

Observa¸ c˜ ao: Os n´ umeros λ21 , . . . , λ2k s˜ ao os valores próprios não-nulos de transforma¸cão linear simétrica A∗ A : Rm → Rm (ou, equivalentemente, de AA∗ : Rn → Rn ).

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

333

Exerc´ıcios §1. 1.1. Sejam α > 1 e c ∈ R. Se f : U → Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , cumpre a condi¸c˜ ao |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α para quaisquer x, y ∈ U ent˜ ao f é constante em cada componente de U . 1.2. Sejam U ⊂ Rm aberto e f, g : U → Rn diferenci´ aveis no ponto a ∈ U , com f (a) = g(a). A fim de que f ′ (a) = g ′ (a), é necess´ ario e suficiente que f (a + v) − g(a + v) = 0. lim v→0 |v|

1.3. Sejam V ⊂ U ⊂ Rm abertos e δ > 0 tais que x ∈ V , |h| < δ ⇒ x+h ∈ U . Seja B = B(0; δ). Se f : U → Rn é diferenci´ avel ent˜ ao ϕ : V × B → Rn , definida ′ por ϕ(x, h) = f (x + h), é diferenci´ avel, sendo ϕ (x0 , h0 ) : Rm × Rm → Rn dada ′ ′ por ϕ (x0 , h0 ) · (u, v) = f (x0 + h0 ) · (u + v).

1.4. Seja U ⊂ Rm aberto. A fim de que uma aplica¸c˜ ao f : U → Rn seja diferenci´ avel no ponto a ∈ U é necess´ ario e suficiente que exista, para cada h ∈ Rm com a+h ∈ U , uma transforma¸c˜ ao linear A(h) : Rm → Rn tal que f (a+h)−f (a) = A(h) · h e h 7→ A(h) seja cont´ınua no ponto h = 0.

1.5. Dado U ⊂ Rm aberto, seja f : U → Rn diferenci´ avel no ponto a ∈ U . Prove que se lim vk = v em Rm e lim tk = 0 em R ent˜ ao f (a + tk vk ) − f (a) lim = f ′ (a) · v. k→∞ tk 1.6. Seja f : U → Rn diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm . Se, para algum b ∈ Rn , o −1 conjunto f (b) possui um ponto de acumula¸c˜ ao a ∈ U ent˜ ao f ′ (a) : Rm → Rn n˜ ao é injetiva.

1.7. Dada f : S m → Rn , defina a extens˜ ao radial ao F : Rm+1 → def como a aplica¸c˜ x Rn tal que F (0) = 0 e F (x) = |x| · f se x 6= 0. Mostre que F é |x| m+1 diferenci´ avel na origem 0 ∈ R se, e somente se, f é (a restri¸c˜ ao de uma aplica¸c˜ ao) linear. 1.8. Seja U ⊂ Rm aberto. Uma aplica¸c˜ ao A : U → L(Rn ; Rp ) é diferenci´ avel no ponto a ∈ U se, e somente se, para cada vetor w ∈ Rn , a aplica¸c˜ ao ϕw : U → Rp , definida por ϕw (x) = A(x) · w, é diferenci´ avel no ponto a. No caso afirmativo, tem-se ϕ′w (a) · v = (A′ (a) · v) · w.

1.9. Dada f : Rn → Rp , enuncie e demonstre um teorema que traduza a igualdade ∂f ∂f dx + dy. f ′ (x, y) = ∂x ∂y

1.10. Seja f : U → Rp duas vezes diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm × Rn . Defina as 2 2 ∂ f ∂ f , e estabele¸ca a rela¸c˜ ao que existe entre elas. derivadas mistas ∂x∂y ∂y∂x 1.11. Seja f : Rm → Rm diferenci´ avel, com f (0) = 0. Se a transforma¸c˜ ao linear f ′ (0) n˜ ao tem valor pr´ oprio 1 ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca V de 0 em Rm tal que f (x) 6= x para todo x ∈ V − {0}.

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

334

1.12. Seja f : U → Rn duas vezes diferenci´ avel no ponto a ∈ U , U aberto em Rm . Se lim tk = 0 em R e lim vk = v, lim wk = w em Rm ent˜ ao f ′′ (a) · v · w = f (a + tk (vk + wk )) − f (a + tk vk ) − f (a + tk wk ) + f (a) · t2k 1 Em particular, f ′′ (a)·v·w = lim 2 [f (a+t(v+w))−f (a+tv)−f (a+tw)+f (a)]. t→0 t Conclua da´ı uma nova demonstra¸c˜ ao do Teorema de Schwarz. = lim

k→∞

1.13. Sejam U ⊂ Rm um aberto simplesmente conexo e A : U → L(Rm ; Rn ) uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel. A fim de que exista f : U → Rn duas vezes diferen′ ci´ avel, tal que f (x) = A(x) para todo x ∈ U , é necess´ ario e suficiente que [A′ (x) · v] · w = [A′ (x) · w] · v para v, w ∈ Rm quaisquer.

§3.

3.1. Sejam f : U → Rn Lipschitziana no aberto U ⊂ Rm , com a ∈ U , e g : V → Rp diferenci´ avel no aberto V ⊂ Rn , com f (U ) ⊂ V e b = f (a). Se g ′ (b) = 0 ent˜ ao g ◦ f : U → Rp é diferenci´ avel no ponto a, com (g ◦ f )′ (a) = 0.

3.2. Seja f : U → Rn Lipschitziana no aberto U ⊂ Rm . Dado a ∈ U , suponha que, ∂f (a) e dependa linearmente para todo v ∈ Rm , exista a derivada direcional ∂v de v. Prove que, para todo caminho g : (−ε, ε) → U , com g(0) = a, diferenci´ avel no ponto t = 0, existe o vetor-velocidade (f ◦ g)′ (0). Conclua que f é diferenci´ avel no ponto a. 3.3. Seja U ⊂ Rm um aberto como no segundo exerc´ıcio do §3, Cap´ıtulo III. Defina aplica¸c˜ ao positivamente homogênea f : U → Rn , de grau k. Prove que a rela¸c˜ ao de Euler f ′ (x) · x = k · f (x) é necess´ aria e suficiente para que uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel f : U → Rn seja positivamente homogênea de grau k. Enuncie e oes prove também uma vers˜ ao do 11o¯ exerc´ıcio do §8, Cap´ıtulo III, para aplica¸c˜ homogêneas com valores em Rn . 3.4. Sejam f : U → Rn e g : V → Rm diferenci´ aveis nos abertos U ⊂ Rm e V ⊂ Rn , com g(f (x)) = x para todo x ∈ U . Se y = f (x), prove que as transforma¸c˜ oes lineares f ′ (x) : Rm → Rn e g ′ (y) : Rn → Rm têm o mesmo posto.

3.5. Sejam f : U → Rm diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm e ϕ : Rm → R de classe C 1 , com ϕ(f (x)) = 0 para todo x ∈ U . Dado a ∈ U , se grad ϕ(b) 6= 0, b = f (a), ent˜ ao det .f ′ (a) = 0.

3.6. Seja f : U → Rm diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm . Se |f (x)| é constante quando x varia em U ent˜ ao o determinante jacobiano de f é identicamente nulo. 3.7. Enuncie precisamente e demonstre as afirma¸c˜ oes abaixo, encontradas num livro de C´ alculo: a) “Substituindo as coordenadas cartesianas x, y pelas coordenadas polares r, θ, com x = r cos θ e y = r sen θ, na fun¸c˜ ao w = f (x, y) tem-se ∂w ∂f ∂f 1 ∂w ∂f ∂f = cos θ + sen θ e =− sen θ + cos θ. ′′ ∂r ∂x ∂y r ∂θ ∂x ∂y

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

335

b) “Sejam w = w(u, v), u = u(x, y, z) e v = v(x, y, z) fun¸c˜ oes diferenci´ aveis. Considerando-se w como fun¸c˜ ao de x, y, z, seu gradiente em cada ponto (x0 , y0 , z0 ) est´ a no mesmo plano que os gradientes de u e v neste ponto.” 3.8. Sejam U = (0, +∞) × (0, 2π) × R e V = R3 menos o semi-plano y = 0, x ≥ 0. Mostre que ϕ : U → V , definida por ϕ(r, θ, z) = (r · cos θ, r · sen θ, z) é um difeomorfismo C ∞ . (Se q = ϕ(r, θ, z), os n´ umeros r, θ e z s˜ ao chamados as “coordenadas cil´ındricas ”de q.) Dada f : V → R diferenci´ avel, explique o significado e demonstre a seguinte f´ ormula para o gradiente de f em coordenadas cil´ındricas: ∂f 1 ∂f ∂f grad f = · ur + uθ + uz , ∂r r ∂θ ∂z onde ur , uθ e uz s˜ ao os vetores unit´ arios tangentes ` as curvas r, θ e z em V . 3.9. a) Sejam U ⊂ Rm , V ⊂ Rn abertos e f : U → Rn , g : V → R diferenci´ aveis, com f (U ) ⊂ V . Para todo x ∈ U , ponto y = f (x) tem-se grad(g ◦ f )(x) = [f ′ (x)]∗ · grad g(y). P ∂z · gradx yi , escrita na nota¸c˜ ao i ∂yi cl´ assica, e identifique-a com o resultado anterior.

b) Interprete a igualdade gradx z =

3.10. Sejam U ⊂ Rm aberto e A : U → L(Rn ; Rp ) diferenci´ avel. Defina g : U × Rn → p R pondo g(x, v) = A(x) · v. Prove que g é diferenci´ avel e que g ′ (x, y) : Rm × Rn → Rp é dada por g ′ (x, v) · (h, k) = (A′ (x) · h) · v + A(x) · k.

3.11. Seja f : U → Rn − {0} diferenci´ avel no aberto conexo U ⊂ Rm . A fim de que seja |f (x)| = constante, é necess´ ario e suficiente que f ′ (x)·h seja perpendicular a f (x), para todo x ∈ U e todo h ∈ Rm .

3.12. Enuncie precisamente e demonstre a seguinte f´ ormula para a derivada da composta de duas aplica¸c˜ oes em abertos do espa¸co euclidiano, com y = f (x): (g ◦ f )′′ (x) = g ′′ (y) · f ′ (x)2 + g ′ (y) · f ′′ (x). 3.13. Sejam f, g, h : U → Rm diferenci´ aveis no aberto U ⊂ Rm contendo a origem, com f (0) = g(0) = 0. Se h ◦ f = g ◦ h e h′ (0) : Rm → Rm for um isomorfismo, prove que f ′ (0) e g ′ (h(0)) possuem os mesmos valores pr´ oprios. 3.14. Seja f : U → Rn diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm , com f (x) 6= 0 para todo x ∈ U. a) Defina ϕ : U → R pondo ϕ(x) = 1/|f (x)| (norma euclidiana). Para todo x ∈ U e todo v ∈ Rm , determine ϕ′ (x) · v. b) Seja g : U → Rk diferenci´ avel. Defina ξ : U → Rk pondo ξ(x) = g(x)/|f (x)|. ′ Calcule ξ (x) · v para todo x ∈ U e todo v ∈ Rm .

3.15. Sejam U ⊂ Rm e V ⊂ Rn abertos, f : U → Rn uma aplica¸c˜ ao i vezes diferenci´ avel no ponto x ∈ U , com f (U ) ⊂ V , e g : V → Rp uma aplica¸c˜ ao i vezes diferenci´ avel no ponto y = f (x). Para cada parti¸c˜ ao i = i1 + · · · + ik

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

336

(de i como soma de n´ umeros naturais) existe um inteiro n(i1 , . . . , ik ) tal que a i-ésima derivada da aplica¸c˜ ao composta g ◦ f : U → Rp tem a express˜ ao (g ◦ f )(i) =

i X

k=1

n(i1 , . . . , ik )g (k) ◦ f · (f (i1 ) , . . . , f (ik ) ).

n

3.16. Sejam f, g : V → R diferenci´ aveis no aberto V ⊂ Rm , δ um n´ umero real positivo e X ⊂ V . Escreva “|f − g|1 ≤ δ em X ”para significar que |f (x) − g(x)| ≤ δ e |f ′ (x) − g ′ (x)| ≤ δ para todo x ∈ X. Prove que se ϕ : U → V é de classe C 1 no aberto U ⊂ Rk ent˜ ao, dados K ⊂ U compacto e η > 0, existe δ > 0 tal que |f − g|1 < δ em ϕ(K) implica |f ◦ ϕ − g ◦ ϕ|1 < η em K.

§5. 5.1. Dado o aberto conexo U ⊂ Rm , defina a distˆ ancia geodésica dU (x, y) entre os pontos x, y ∈ U como o ´ınfimo dos comprimentos dos caminhos (cont´ınuos) e retific´ aveis contidos em U , que come¸cam em x e terminam em y. Mostre que, sem perda de generalidade, na defini¸c˜ ao de dU (x, y) basta considerar caminhos poligonais. Mostre que se f : U → Rn é diferenci´ avel e |f ′ | ≤ M para todo x ∈ U ent˜ ao |f (y) − f (x)| ≤ M · dU (x, y) para quaisquer x, y ∈ U . Se U é convexo e V ⊂ Rn é um aberto conexo contendo f (U ), mostre que x, y ∈ U ⇒ dV (f (x), f (y)) ≤ M · |x − y| desde que |f ′ (x)| ≤ M para todo x ∈ U.

5.2. Seja f : U → Rn de classe C 1 num aberto convexo U ⊂ Rm , com 0 ∈ U e f (0) = 1 0. Se |f ′ (x)| ≤ |x| para todo x ∈ U ent˜ ao |f (x)| ≤ |x|2 seja qual for x ∈ U . 2 2 ∂ f ′ 2 (x) ≤ |u| |v| Conclua que se f (0) = 0 e f (0) = 0, com f ∈ C , ent˜ ao ∂u∂v 1 para x ∈ U , u, v ∈ Rm quaisquer implica ainda |f (x)| ≤ |x|2 . Generalize. 2 5.3. Sejam U ⊂ Rm aberto, [a, b] ⊂ U , f : U → Rn cont´ınua em [a, b] e diferenci´ avel em (a, b). Para cada y ∈ Rn existe cy ∈ (a, b) tal que hf (b) − f (a), yi = hf ′ (cy ) · (b − a), yi. 5.4. Seja U ⊂ Rm convexo. Dada f : U → Rn diferenci´ avel, considere as seguintes afirma¸c˜ oes: a) |f ′ (x)| ≤ c para todo x ∈ U ; b) |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y| para quaisquer x, y ∈ U ; c) f é uniformemente cont´ınua: d) Para todo x0 ∈ U , existe lim f (x); x→x0

e) Se U é limitado ent˜ ao f (U ) é limitado. Mostre que a ⇔ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e mas as demais implica¸c˜ oes s˜ ao todas falsas.

5.5. Seja U ⊂ Rm aberto conexo. Se f : U → Rn é diferenci´ avel e f ′ (x) = T m (constante) para todo x ∈ U ent˜ ao existe a ∈ R tal que f ′ (x) = T · x + a. Mais geralmente, se f (k+1) (x) = 0 para todo x ∈ U ent˜ ao f é um “polinˆ omio de grau k ”(soma de formas multilineares de grau ≤ k, restritas ` a diagonal).

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

337

5.6. Seja f : U → Rn diferenci´ avel no aberto convexo U ⊂ Rm . Mostre que sup x6=y

|f (x) − f (y)| = sup |f ′ (z)|. |x − y| z∈U

5.7. Se f : Rm → Rn é diferenci´ avel, com

lim f ′ (x) · x = 0 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao

|x|→∞

g : Rm → Rn , definida por g(x) = f (2x) − f (x), é limitada.

5.8. Seja f : U → Rn diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm . Se f ′ : U → L(Rm ; Rn ) é cont´ınua e K ⊂ U é compacto ent˜ ao existe a > 0 tal que x, y ∈ K ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ a|x − y|. O mesmo resultado vale se supusermos f ′ limitada em U , em vez de cont´ınua. 5.9. Seja f : U → Rn diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm . A fim de que a derivada ′ m n f : U → L(R ; R ) seja uniformemente cont´ınua, é necess´ ario e suficiente que, para todo ε > 0 exista δ > 0 tal que |h| < δ, [x, x + h] ⊂ U ⇒ |f (x + h) − f (x) − f ′ (x) · h| ≤ ε|h|.

§6.

6.1. Seja f : U → L(Rn ; Rn ) uma aplica¸c˜ ao de classe C ∞ num aberto U ⊂ Rm . k Para k = 1, 2, 3, . . . , e x ∈ U , seja f (x) = f (x) · f (x) · . . . · f (x) (k fatores). ∞ 1 P Defina g : U → L(Rn ; Rn ) pondo, para cada x ∈ U , g(x) = f k (x). k=1 k! Prove que g é de classe C ∞ . 6.2. Seja U ⊂ Rm aberto e conexo. Suponha que uma seq¨ uência de aplica¸c˜ oes fk : U → Rn , de classe C ∞ , convirja num ponto a ∈ U e que, para cada (i) i = 1, 2, . . . , a seq¨ uência das derivadas (fk )k∈N , convirja de modo localmente uniforme em U . Conclua que (fk ) converge de modo localmente uniforme em (i) U para uma aplica¸c˜ ao f : U → Rn , de classe C ∞ e lim fk = f (i) para todo k→∞

i = 1, 2, . . . . Enuncie e prove resultados an´ alogos (1) para aplica¸c˜ oes de classe C r (0 < r < ∞); (2) para séries. ∞ Xn P 2 6.3. Para toda matriz X ∈ Rm , seja eX = · Prove que a aplica¸c˜ ao n=0 n! X ∞ exp : X 7→ e é de classe C , e sua derivada no ponto X = 0 é a transforma¸c˜ ao linear identidade. 2

6.4. Mostre que existe uma aplica¸c˜ ao log : U → Rn , de classe C ∞ numa vizinhan¸ca 2 U da transforma¸c˜ ao identidade I ∈ Rn , tal que elog X = X para todo X ∈ U .

§7.

7.1. Seja f : U → Rn fortemente diferenci´ avel no aberto U ⊂ Rm . Se a derivada ′ m n f (x) : R → R for injetiva em todos os pontos x pertencentes ao compacto K ⊂ U , prove que existem n´ umeros reais c > 0 e δ > 0 tais que |f (x) − f (y)| ≥ c|x − y|, quaisquer que sejam x ∈ K, y ∈ U com |x − y| < δ.

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

338 §8.

8.1. Seja I ⊂ R um intervalo aberto. Uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel f : I → R é um difeomorfismo sobre f (I) se, e somente se f ′ (x) · f ′ (y) > 0 para quaisquer x, y ∈ I.

8.2. Seja f : R → R uma fun¸c˜ ao de classe C 1 tal que |f ′ (t)| ≤ k < 1 para todo t ∈ R. Defina uma aplica¸c˜ ao ϕ : R2 → R2 pondo ϕ(x, y) = (x + f (y), y + f (x)). Mostre que ϕ é um difeomorfismo de R2 sobre si mesmo. 8.3. Sejam f, g, h : R → R diferenci´ aveis. Defina F : R2 → R2 pondo F (x, y) = (f (x) · h(y), g(y)). Suponha que f e g s˜ ao difeomorfismos de R sobre R. Mostre que F é um difeomorfismo se, e somente se, 0 ∈ / h(R). 8.4. Sejam A = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0}, B = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0} e C = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 ou y < 0}. Mostre que existem difeomorfismos de classe C ∞ , entre A e B e entre A e C. Mostre ainda que n˜ ao existem difeomorfismos f : U → V , g : U → W , onde U ⊃ A, V ⊃ B, W ⊃ C, tais que f (A) = B e g(A) = C.

8.5. Sejam f : V → R de classe C 2 e b ∈ V um ponto cr´ıtico de f . Se ϕ : U → V é um difeomorfismo C 2 com ϕ(a) = b ent˜ ao as matrizes Hessianas de f no ponto b e de f ◦ ϕ no ponto a têm o mesmo posto. 8.6. Sejam g : [0, +∞] → R cont´ınua, com g(t) > 0 para todo t ≥ 0 e U = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < x < y}. Defina f : U → R2 pondo f (x, y) =

Z

x+y

g(t) dt, 0

Z

y−x 0

g(t) dt .

Mostre que f é um difeomorfismo sobre um aberto de R2 . 8.7. Seja f : U → Rm de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . Se as singularidades de f (pontos onde o determinante jacobiano de f se anula) s˜ ao pontos isolados e m > 1 ent˜ ao f é uma aplica¸c˜ ao aberta. Deduza da´ı uma demonstra¸c˜ ao do ´ Teorema Fundamental da Algebra. ∂f ∂f ∂f + + = 0 em todos os pontos de R3 . Prove ∂x ∂y ∂z ∂ (f ◦ g) = 0 que existe um difeomorfismo g : R3 → R3 , de classe C ∞ , tal que ∂x 3 em todos os pontos de R . [Sugest˜ ao: experimente g linear.]

8.8. Seja f : R3 → R tal que

8.9. Seja f : U → C uma fun¸c˜ ao holomorfa (de classe C 1 ) no aberto U do plano ′ complexo. Se f (z0 ) 6= 0 ent˜ ao z0 possui uma vizinhan¸ca, restrita ` a qual f tem uma inversa holomorfa. 8.10. Dados z0 ∈ C−{0} e k ∈ Z, existem fun¸c˜ oes holomorfas f, g : U → C, definidas num aberto U ∋ z0 , tais que f (z)k = eg(z) = z, para todo z ∈ U . Conclua que, dada ϕ : V → C − {0} de classe C r num aberto V ⊂ Rm e dado k ∈ Z, existem, para cada z0 ∈ V , um aberto W , com z0 ∈ W ⊂ V e fun¸c˜ oes f, g : W → C, de classe C r , tais que f (x)k = eg(x) = ϕ(x) para todo x ∈ W . Se m = 2 e ϕ for holomorfa, ent˜ ao f e g ser˜ ao holomorfas.

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

339

8.11. Seja f : U → Rm diferenci´ avel no conjunto convexo U ⊂ Rm . Se hf ′ (x) · v, vi > 0 para x ∈ U e 0 6= v ∈ Rm quaisquer ent˜ ao f é injetiva. Se f ∈ C 1 ent˜ ao f é um difeomorfismo de U sobre um subconjunto de Rm . Dê um exemplo em que U = Rm mas f n˜ ao é sobrejetiva. 8.12. Seja f : Rm → Rm de classe C 1 tal que para x, v ∈ Rm quaisquer tem-se hf ′ (x) · v, vi ≥ α|v|2 , onde α > 0 é uma constante. Prove que |f (x) − f (y)| ≥ α|x − y| para x, y ∈ Rm arbitr´ arios. Conclua que f (Rm ) é fechado, e da´ı, que m f é um difeomorfismo de R sobre si mesmo. (A hip´ otese “f ∈ C 1 ”pode ser substitu´ıda por “f diferenci´ avel”. Veja u ´ltimo exemplo, §10 do Cap. VII.)

8.13. Seja f : Rm → Rm de classe C 1 tal que f ′ (x) é, para todo x ∈ Rm , uma isometria (isto é, |f ′ (x)·v| = |v|) na norma euclidiana. Ent˜ ao f é uma isometria (isto é, |f (x) − f (y)| = |x − y|). Conclua que existem T ∈ L(Rm ) ortogonal e a ∈ Rm tais que f (x) = T · x + a.

8.14. Seja f : Rm → Rm de classe C 1 , com |f ′ (x)·v| ≥ α|v| para x, v ∈ Rm quaisquer (α > 0 constante). Ent˜ ao f é um difeomorfismo de Rm sobre si mesmo. Em particular, |f (x) − f (y)| ≥ α|x − y|, para quaisquer x, y ∈ Rm . [Sugest˜ ao: prove que, dado qualquer segmento de reta [f (a), b] ⊂ Rm , existe um caminho λ : [0, 1] → Rm com λ(0) = a e f (λ(t)) = (1 − t)f (a) + tb.] Observa¸c˜ ao: Este exerc´ıcio fica bem mais f´ acil quando se conhece algo sobre “espa¸cos de recobrimento”.

8.15. Seja g : V → Rm uma aplica¸c˜ ao de classe C 2 no aberto V ⊂ Rm . Dado b ∈ V , suponha que g ′ (b) : Rm → Rm seja um isomorfismo. Prove que existe uma bola aberta B de centro b, tal que a fun¸c˜ ao ϕ : B → R, definida por ϕ(y) = |g(y) − g(b)|2 , é convexa.

8.16. Seja f : U → V um difeomorfismo de classe C 2 entre abertos U, V ⊂ Rm . Prove que, para todo ponto a ∈ U existe r > 0 tal que a imagem por f de toda bola de centro a e raio ≤ r é um conjunto convexo.

§10.

10.1. Seja f : I → R2 , dado por f (t) = (x(t), y(t)), um caminho diferenci´ avel (respect. de classe C k ). Se x′ (t) 6= 0 para todo t ∈ I, ent˜ ao f (I) é o gr´ afico de uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel (respect. de classe C k ) ξ : J → R. Se I = R e existe uma constante c > 0 tal que |x′ (t)| ≥ c para todo t ∈ R, ent˜ ao a fun¸c˜ ao ξ é definida para todo t ∈ R. Seja f : R2 → R3 definida por f (s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)), onde x(s, t) = es · cos t, y(s, t) = es · sen t e z(s, t) = t. Mostre que f é injetiva, de classe C ∞ , que o determinante jacobi∂x ∂y ∂x ∂y ano − é diferente de zero em todos os pontos (s, t) ∈ R2 mas a ∂s ∂t ∂t ∂s imagem f (R2 ) n˜ ao é o gr´ afico de uma fun¸c˜ ao real de duas vari´ aveis. 10.2. Seja f : U → Rm+1 de classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rm , com ∂fi (x) 6= 0 f (x) = (f1 (x), . . . , fm+1 (x)) e det · ∂xj (1 ≤ i, j ≤ m) para todo x ∈ U . Ent˜ ao cada ponto x ∈ U possui uma vizinhan¸ca W ⊂ U tal que f (W ) é o gr´ afico de uma fun¸c˜ ao ym+1 = ϕ(y1 , . . . , ym ) de classe C k .

340

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

10.3. Seja ϕ : U → Rn de classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rm . Se a ∈ U é tal que ϕ′ (a) : Rm → Rn é injetiva, ent˜ ao existem uma decomposi¸c˜ ao em soma direta Rn = Rm ⊕ Rn−m e um aberto V , com a ∈ V ⊂ U , tais que ϕ(V ) é o gr´ afico de uma aplica¸c˜ ao f : W → Rn−m , de classe C k num aberto W ⊂ Rm . 10.4. Sejam f, g : U → Rn diferenci´ aveis no aberto U ⊂ Rm , δ um n´ umero real positivo e X ⊂ U . Escreva “|f − g|1 ≤ δ em X ”para significar que |f (x) − g(x)| ≤ δ e |f ′ (x) − g ′ (x)| ≤ δ para todo x ∈ X. Sejam K ⊂ U compacto e f : U → Rn de classe C 1 , tal que f |K é uma imers˜ ao (isto é, a derivada f ′ (x) : Rm → Rn é injetiva para todo x ∈ K). Prove que existe δ > 0 tal que se a aplica¸c˜ ao g : U → Rn é de classe C 1 , com |g − f |1 ≤ δ em K, ent˜ ao g|K é uma imers˜ ao. 10.5. Seja f : U → Rn diferenci´ avel. Dado um subconjunto X ⊂ U , diz-se que f |X é um mergulho de X em Rn quando: 1o¯ ) f |X é um homeomorfismo de X sobre f (X); 2o¯ ) para cada x ∈ X, a derivada f ′ (x) : Rm → Rn é injetiva. Prove que se f é de classe C 1 e K ⊂ U é um compacto convexo tal que f |K é um mergulho ent˜ ao existe δ > 0 tal que se g : U → Rn de classe C 1 , com |g(x) − f (x)| < δ e ′ |g (x) − f ′ (x)| < δ para todo x ∈ K ent˜ ao g|K é um mergulho.

§11. 11.1. Dê exemplos, em R2 , de uma aplica¸c˜ ao C ∞ aberta que n˜ ao é uma submers˜ ao e de uma aplica¸c˜ ao C ∞ injetiva que n˜ ao é imers˜ ao. 11.2. Se f : U → R3 é de classe C 1 e tem posto 3 em todos os pontos do aberto U ⊂ R4 ent˜ ao |f (x)| n˜ ao assume valor m´ aximo para x ∈ U . 11.3. Se f : U → Rm é uma submers˜ ao de classe C k (k ≥ 1), definida no aberto m+p n U ⊂R , e g : f (U ) → R é tal que g ◦ f : U → Rn é de classe C k , ent˜ ao g é de classe C k . 11.4. Para cada a = (a0 , . . . , am ) ∈ Cm+1 = R2m+2 , indique com pa o polinˆ omio complexo a0 + a1 z + · · · + am z m . Se z0 é uma raiz simples do polinˆ omio pa , mostre que existem bolas abertas B = B(a; ε) em Cm+1 e D = D(z0 ; δ) em C tais que, para todo b ∈ B, o polinˆ omio pb tem uma u ńica raiz z = z(b) em D, a qual é simples, e a aplica¸c˜ ao B → R2 , definida por b 7→ z(b), é de classe C ∞ . [“Toda raiz simples de um polinˆ omio é uma fun¸c˜ ao C ∞ dos coeficientes desse polinˆ omio”.] 11.5. Seja f : Rm × Rn → Rn de classe C k (k ≥ 1). Para cada x ∈ Rm , indique com fx : Rn → Rn a aplica¸c˜ ao dada por fx (y) = f (x, y). Suponha que existam a ∈ Rm e b ∈ Rn tais que f (a, b) = b e a transforma¸c˜ ao linear fa′ (b) : Rn → Rn n˜ ao tenha valor pr´ oprio igual a 1. Prove que existem abertos U ∋ a em Rm e V ∋ b em Rn e uma aplica¸c˜ ao h : U → V de classe C k tal que, para todo x ∈ U , h(x) é o u ńico ponto fixo de fx em V .

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

341

11.6. Seja f : U → R de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . Se 0 ∈ R é valor regular de f ent˜ ao, para cada compacto K ⊂ U , existe ε = εK > 0 tal que 0 é valor regular de g|K para toda fun¸c˜ ao g : U → R de classe C 1 com |g(x) − f (x)| < ε ′ ′ e |g (x) − f (x)| < ε qualquer que seja x ∈ K.

§12.

12.1. Seja f : U → Rn de classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rm . Se, num ponto a ∈ U , a derivada f ′ (a) : Rm → Rm tem posto p, ent˜ ao existe um mergulho ϕ : V → U de classe C ∞ , definido num aberto V ⊂ Rp , tal que f ◦ ϕ : V → Rn é um mergulho.

§13.

13.1. Seja f : U → U de classe C k (k ≥ 1) no aberto conexo U ⊂ Rm . Se f ◦ f = f , ponha M = f (U ) e prove que f tem posto constante numa vizinhan¸ca de M . Conclua que M é uma superf´ıcie de classe C k .

13.2. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k (k ≥ 1) e dimens˜ ao m. Considere o conjunto T M = {(x, v) ∈ Rn × Rn ; x ∈ M, v ∈ Tx M }. Mostre que T M é uma superf´ıcie de dimens˜ ao 2m e classe C k−1 (conhecida como “o fibrado tangente de M ”). Se N é outra superf´ıcie e f : M → N é uma aplica¸c˜ ao de classe C k , defina a aplica¸c˜ ao tangente T f : T M → T N , pondo (T f )(x, v) = (f (x), f ′ (x) · v) e mostre que T f é de classe C k−1 .

13.3. Seja T M o fibrado tangente de uma superf´ıcie M , de classe C k (k ≥ 2). Mostre que a aplica¸c˜ ao π : T M → M , π(x, v) = x, é uma submers˜ ao de classe C k−1 −1 e que todo ponto de M tem uma vizinhan¸ca V tal que π (V ) é difeomorfo ao produto V × Rm (m = dim .M ). Mais precisamente, existe um difeomorfismo ϕV : V × Rm → π −1 (V ) tal que π ◦ ϕV = π1 , onde π1 : V × Rm → V é a proje¸c˜ ao sobre a primeira coordenada. 13.4. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k (k ≥ 2) e dimens˜ ao m. Considere o conjunto T M ⊥ = {(x, v) ∈ Rn × Rn ; x ∈ M, v ∈ Tx M ⊥ }. Prove que T M ⊥ é uma superf´ıcie de classe C k−1 e dimens˜ ao n (chamada o “fibrado normal”de M ). Prove que a aplica¸c˜ ao π : T M ⊥ → M , definida por π(x, v) = x, é uma submers˜ ao de classe C k−1 e que todo ponto de M possui uma vizinhan¸ca aberta V tal que π −1 (V ) é difeomorfo ao produto V × Rn−m .

13.5. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k (k ≥ 2) e dimens˜ ao m. Considere o conjunto T1 M = {(x, v) ∈ Rn × Rn ; x ∈ M, v ∈ Tx M, |v| = 1}. Prove que T1 M é uma superf´ıcie de classe C k−1 e dimens˜ ao 2m − 1 (conhecida como “fibrado tangente unit´ ario”de M ). Mostre que T1 M é compacta se, e somente se, M é compacta. Prove que a aplica¸c˜ ao π : T1 M → M , π(x, v) = x, é uma submers˜ ao de classe C k−1 e que todo ponto x ∈ M possui uma vizinhan¸ca V tal que π −1 (V ) é difeomorfo a V × S m−1 .

13.6. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k (k ≥ 2) e dimens˜ ao m. Prove que o conjunto ν1 (M ) = {(x, v) ∈ Rn × Rn ; x ∈ M, v ∈ Tx M ⊥ , |v| = 1} é uma superf´ıcie de classe C k−1 e dimens˜ ao n − 1. Mostre que ν1 (M ) é compacta se, e somente se, M é compacta. [ν1 (M ) é conhecida como o “fibrado normal

342

˜ ´ [CAP. V: APLICAC ¸ OES DIFERENCIAVEIS

unit´ ario de M ”.] Prove que a aplica¸c˜ ao π : ν1 (M ) → M , π(x, v) = x, é uma submers˜ ao de classe C k−1 e que cada ponto de M possui uma vizinhan¸ca V tal que π −1 (V ) é difeomorfo a V × S n−m−1 .

13.7. Sejam M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k (k ≥ 2) e T M ⊥ seu fibrado normal. Defina a aplica¸c˜ ao f : T M ⊥ → Rn pondo f (x, v) = x + v. Prove que f é k−1 de classe C . Seja M0 = {(x, v) ∈ T M ⊥ ; v = 0}. Mostre que f aplica M0 difeomorficamente sobre M . Mais ainda: todo ponto (x, 0) ∈ M0 tem uma vizinhan¸ca aberta em T M ⊥ que é transformada difeomorficamente por f sobre uma vizinhan¸ca aberta de x em Rn . Conclua que, se M é compacta ent˜ ao existe ε > 0 tal que o aberto Aε = {(x, v) ∈ T M ⊥ ; |v| < ε} é aplicado difeomorficamente por f sobre um aberto V0 (M ) ⊂ Rn , o qual se chama a vizinhan¸ca tubular de raio ε de M em Rn . Conclua que existe uma aplica¸c˜ ao π : V0 (M ) → M , de classe C k−1 , tal que π(π(x)) = π(x) para todo x ∈ M . Para todo y ∈ V0 (M ), mostre que y − x ∈ Tx M ⊥ (x = π(y)), ou seja, que x = π(y) é a interse¸c˜ ao com M do u ńico segmento de reta normal a M que contém y e est´ a contido em Vε (M ). 13.8. O conjunto Gk,m das transforma¸c˜ oes lineares P : Rm → Rn , auto-adjuntas, de posto k, com P · P = P , é uma superf´ıcie de classe C ∞ e dimens˜ ao k(m − k) 2 em Rm .

§14.

14.1. Sejam M, N ⊂ Rn respectivamente os conjuntos das matrizes 3 × 3 de postos 1 e 2. Mostre que M e N s˜ ao superf´ıcies C ∞ , com dim .M = 5, dim .N = 8, ambas orient´ aveis. 14.2. Sejam M , N superf´ıcies orient´ aveis, f : M → N uma aplica¸c˜ ao de classe C 1 e −1 y ∈ N um valor regular de f . Prove que f (y) é uma superf´ıcie orient´ avel.

14.3. Para toda superf´ıcie M ⊂ Rn de classe C k (k ≥ 2) o fibrado normal T M ⊥ é sempre uma superf´ıcie orient´ avel, o mesmo ocorrendo com o fibrado normal unit´ ario ν1 (M ). Mais precisamente, T M ⊥ e ν1 (M ) possuem orienta¸c˜ oes naturais induzidas por Rn . 14.4. Seja M ⊂ Rm+1 uma hiperf´ıcie conexa de classe C k (k ≥ 2). Mostre que o fibrado normal unit´ ario de M é uma superf´ıcie conexa ν1 (M ) se, e somente se, M é n˜ ao-orient´ avel. Caso M seja orient´ avel, prove que ν1 (M ) tem duas componentes conexas. A proje¸c˜ ao natural π : ν1 (M ) → M é um difeomorfismo local. Quando M é orient´ avel, π, restrita a cada componente conexa de ν1 (M ), é um difeomorfismo sobre M . 14.5. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C k (k ≥ 2). Mostre que o fibrado tangente T M é sempre uma superf´ıcie orient´ avel. Mais precisamente, T M possui uma orienta¸c˜ ao natural. Munindo T M e T N de suas orienta¸c˜ oes naturais, se f : M → N é um difeomorfismo de classe C k , ent˜ ao a aplica¸c˜ ao tangente T f : T M → T N é um difeomorfismo (de classe C k−1 ) que preserva a orienta¸c˜ ao. 14.6. Seja f : M → N um difeomorfismo local. Se N é orient´ avel ent˜ ao M é orient´ avel. Caso M seja conexa, orient´ avel e f seja sobrejetivo, a seguinte

´ [SEC. 15: O METODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

343

condi¸c˜ ao é necess´ aria e suficiente para que N seja orient´ avel: dados quaisquer x, y ∈ M com f (x) = f (y) o isomorfismo f ′ (y)−1 ◦ f ′ (x) : Tx M → Ty M preserva a orienta¸c˜ ao desses dois espa¸cos vetoriais. 14.7. Suponha que exista uma superf´ıcie P m , de classe C ∞ e dimens˜ ao m, com a seguinte propriedade: existe um difeomorfismo local sobrejetivo f : S m → P m , de classe C ∞ , tal que f (x) = f (y) se, e somente se, y = ±x. Prove que P m é orient´ avel se, e somente se, m é ´ımpar. [Nota: P m existe e chama-se “espa¸co projetivo real de dimens˜ ao m ”.] 14.8. Seja M uma superf´ıcie n˜ ao-orient´ avel. Prove que existem duas vizinhan¸cas parametrizadas conexas, U, V ⊂ M tais que U ∩ V tem duas componentes conexas, uma das quais a mudan¸ca de coordenadas tem determinante jacobiano positivo enquanto na outra esse determinante é negativo.

Cap´ıtulo VI

Integrais M´ ultiplas 1

A defini¸c˜ ao de integral Um bloco m-dimensional é um produto cartesiano m Y A= [ai , bi ] = [a1 , b1 ] × · · · × [am , bm ] ⊂ Rm i=1

de m intervalos compactos [ai , bi ], cada um dos quais se chama uma aresta do bloco A. Quando todas as arestas têm o mesmo comprimento bi − ai = a, o bloco chama-se um cubo m-dimensional. Quando m = 1, A é um intervalo; para m = 2, o bloco reduz-se a um retˆ angulo e o cubo a um quadrado. O ponto cujas coordenadas s˜ ao ci = (ai + bi )/2 chama-se o centro do bloco A. m Q [ai , bi ] s˜ ao os pontos p = (c1 , . . . , cm ) Os vértices do bloco A = i=1

onde, para cada i = 1, . . . , m, tem-se ci = ai ou ci = bi . As faces do bloco A s˜ ao os produtos cartesianos F = L1 × · · · × Lm tais que Li = {ai }, Li = {bi } ou Li = [ai , bi ] para cada i = 1, . . . , m. Diz-se que a face F tem dimens˜ ao k quando há precisamente k valores de i para os quais Li = [ai , bi ]. Em particular, cada vértice do bloco A é uma face de dimens˜ ao zero, enquanto o próprio A é uma face de dimens˜ ao m. Uma face F 6= A chama-se pr´ opria. m Q [ai , bi ] é, por defini¸cão, O volume m-dimensional do bloco A = vol. A =

m Q

i=1

i=1

(bi − ai ). Se A é um cubo m-dimensional cujas arestas têm

comprimento a, tem-se vol. A = am .

˜ DE INTEGRAL [SEC. 1: A DEFINIC ¸ AO

345

O bloco m-dimensional A = Π[ai , bi ] é um subconjunto compacto de Rm , cujo interior é o produto cartesiano int. A = Π(ai , bi ) dos intervalos abertos (ai , bi ), o qual denominamos bloco m-dimensional aberto. Por defini¸cão, o volume do bloco aberto é o mesmo do bloco fechado correspondente. m Q [ai , bi ] é um conjunto finito do tipo Uma parti¸ca õ do bloco A = i=1

P = P1 × · · · × Pm , onde cada Pi é uma parti¸cão do intervalo [ai , bi ]. Os elementos v ∈ P s˜ ao chamados os vértices da parti¸cão P . Uma parti¸cão P = P1 × · · · × Pm do bloco A determina uma decomposi¸cão de A em sub-blocos do tipo B = I1 × · · · × Im , onde cada Ij é um intervalo da parti¸cão Pj . Cada um desses sub-blocos B será chamado um bloco da parti¸ca õ P . Escreve-se então B ∈ P . Se para cada j = 1, . . . , m, a parti¸cão Pj decompõe o intervalo [aj , bj ] em kj subintervalos, então a parti¸cão P decompõe o bloco A = Π[aj , bj ] em k1 · k2 · · · · · km sub-blocos. Se B1 e B2 s˜ ao blocos da mesma parti¸cão, então ou a interse¸cão B1 ∩ B2 é vazia ou é uma face k-dimensional comum a B1 e B2 (k = 0, 1, . . . , m − 1). Dada uma parti¸cão P = P1 × · · · × Pm do bloco A = Π[ai , bi ], o comprimento de cada aresta [ai , bi ] é a soma dos comprimentos dos intervalos da parti¸cão Pi . Segue-se então da propriedade distributiva da multiplica¸cão que o volume de A é a soma dos volumes de todos os blocos em que P decompõe A. Sejam P e Q parti¸cões do bloco A. Diremos que Q é mais fina do que P quando P ⊂ Q. Se P = P1 ×· · ·×Pm e Q = Q1 ×· · ·×Qm , tem-se P ⊂ Q se, e somente se, P1 ⊂ Q1 , . . . , Pm ⊂ Qm . Neste caso, cada bloco da parti¸cão Q está contido num u ńico bloco de P e cada bloco de P é a reunião dos blocos de Q neles contidos. Mais precisamente, se P ⊂ Q então Q determina uma parti¸cão em cada bloco de P , logo o volume de um bloco B ∈ P é a soma dos volumes dos blocos de Q nele contidos. Na figura a seguir, vemos dois blocos (retˆ angulos) decompostos como reunião de sub-blocos. A decomposi¸cão à esquerda provém de uma parti¸cão mas a da direita não. Se P = ΠPi e Q = ΠQi s˜ ao parti¸cões do bloco A, a reunião P ∪ Q não é, em geral, uma parti¸cão de A. Mas existe uma parti¸cão P + Q = m Q (Pi ∪ Qi ) que refina P e Q. i=1

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

346

A norma |P | de uma parti¸cão P = ΠPi é o maior comprimento de um subintervalo de qualquer das parti¸cões Pi , ou seja, é o maior comprimento das arestas dos blocos B ∈ P . Se tomarmos em Rm a norma do m´ aximo, o diˆ ametro de um bloco será o comprimento da sua maior aresta. Neste caso, a norma da parti¸cão P será o maior diˆ ametro dos blocos B ∈ P . Seja agora f : A → R uma fun¸cão real limitada, definida num bloco A ⊂ Rm . Dada uma parti¸cão P de A, a cada bloco B ∈ P associaremos os n´ umeros mB = inf.{f (x); x ∈ B}

e

MB = sup. {f (x); x ∈ B},

com os quais definiremos, respectivamente a soma inferior e a soma superior de f relativamente a` parti¸cão P , pondo X X s(f ; P ) = mB · vol. B e S(f ; P ) = MB · vol. B, B∈P

B∈P

os somatórios acima estendendo-se a todos os blocos B da parti¸cão P . Como mB ≤ MB para cada B, tem-se s(f ; P ) ≤ S(f ; P ). Como no caso de fun¸cões de uma variável, mostraremos a seguir que, refinando-se uma parti¸cão, a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta. Teorema 1. Sejam P , Q parti¸co ˜es do bloco A ⊂ Rm , com P ⊂ Q, e f : A → R uma fun¸ca õ limitada. Tem-se s(f ; P ) ≤ s(f ; Q) ≤ S(f ; Q) ≤ S(f ; P ). Demonstra¸ c˜ ao: Basta provar a primeira desigualdade, pois a terceira é an´ aloga e a segunda já foi estabelecida. Designemos genericamente

˜ DE INTEGRAL [SEC. 1: A DEFINIC ¸ AO

347

por B os blocos da parti¸cão P P e por B ′ os de Q. Se B ′ ⊂ B então vol. B ′ , temos mB ≤ mB ′ . Como vol. B = B ′ ⊂B

s(f ; P ) =

X

B∈P

=

X

B∈P

=

mB · vol. B = "

X

B ′ ∈Q

X

B ′ ⊂B

X

B∈P

mB · vol. B

′

mB · #

≤

′

"

X

vol. B ′

B ′ ⊂B

X

B∈P

"

X

B ′ ⊂B

#

mB ′ · vol. B

′

#

mB ′ · vol. B = s(f ; Q).

Corol´ ario. Seja f : A → R limitada. Para quaisquer parti¸co ˜es P e Q do bloco A, tem-se s(f ; P ) ≤ S(f ; Q). Com efeito, sendo P ⊂ P + Q e Q ⊂ P + Q, o teorema acima dá: s(f ; P ) ≤ s(f ; P + Q) ≤ S(f ; P + Q) ≤ S(f ; Q). Qualquer parti¸cão P do bloco A refina a parti¸cão trivial, cujo u ńico sub-bloco é A. Segue-se então do Teorema 1 que, se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ A então

R

m · vol. A ≤ s(f ; P ) ≤ S(f ; P ) ≤ M · vol. A. R Definiremos a integral inferior f (x) dx e a integral superior A

cão f : A → R, limitada no bloco A, pondo A f (x) dx da fun¸ Z Z f (x) dx = inf. S(f ; P ), f (x) dx = sup . s(f ; P ) e A

P

A

P

o supremo e o ´ınfimo acima estendendo-se a todas as parti¸cões P do bloco A. Resulta do corolário e da observa¸cão acima, que se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ A então Z Z m · vol. A ≤ f (x) dx ≤ f (x) dx ≤ M · vol. A. A

A

Observa¸ c˜ ao: Seja P0 uma parti¸cão arbitr´ aria do bloco A. Para obtermos as integrais inferior e superior de uma fun¸cão limitada f : A → R, basta considerarmos as parti¸cões que refinam P0 . Ou seja, tem-se: Z Z f (x) dx = inf. S(f ; P ). f (x) dx = sup . s(f ; P ) e A

P ⊃P0

A

P ⊃P0

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

348

Com efeito, para toda parti¸cão Q do bloco A, existe uma parti¸cão P que refina Q e P0 , a saber, P = Q + P0 . Então s(f ; Q) ≤ s(f ; P ) e S(f ; P ) ≤ S(f ; Q), com P ⊃ P0 e da´ı resulta a observa¸cão. Seja f : A → R limitada no bloco A ⊂ Rm . Diremos que f é integr´ avel quando sua integral inferior for igual à sua integral superior. Definiremos então a integral de f como Z

A

f (x) dx =

Z

f (x) dx = A

Z

f (x) dx. A

Esta defini¸cão tem como caso particular a integral de uma fun¸cão limitada num intervalo [a, b] ⊂ R. Como no caso de uma variável, temse o seguinte critério de integrabilidade. Teorema 2. A fim de que uma fun¸ca õ limitada f : A → R seja inm tegr´ avel no bloco A ⊂ R é necess´ ario e suficiente que, para todo ε > 0 dado, se possa obter uma parti¸ca õ P de A tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε. Demonstra¸ c˜ ao: Sejam σ o conjunto das somas inferiores e Σ o conjunto das somas superiores de f . Sabemos que se s ∈ σ e S ∈ Σ então s ≤ S, o que nos dá sup . σ ≤ inf. Σ. Para que se tenha sup . σ = inf. Σ (isto é, para que f seja integrável) é suficiente que, para todo ε > 0 dado, se possam encontrar s = s(f ; P ) ∈ σ e S = S(f ; Q) ∈ Σ tais que S(f ; Q) − s(f ; P ) < ε. Logo a condi¸cão enunciada no teorema é suficiente para a integrabilidade de f . Reciprocamente, se f é integrável, dado ε > 0, obtemos parti¸cões P ′ e P ′′ tais que S(f ; P ′′ ) − s(f ; P ′ ) < ε. Em seguida, pondo P = P ′ +P ′′ , obtemos S(f ; P )−s(f ; P ) ≤ S(f ; P ′′ )−s(f ; P ′ ) < ε. Portanto a condi¸cão é necessária. Seja f : X → R limitada no conjunto X ⊂ Rm . Chamaremos de oscila¸ca õ de f no conjunto X ao n´ umero ωX = ω(f ; X) = sup . {|f (x) − f (y)|; x, y ∈ X}. Como no caso de fun¸cões de uma variável, se indicarmos respectivamente com mX e MX o ´ınfimo e o supremo dos valores f (x) para x ∈ X, teremos ωX = MX −mX . Evidentemente, X ⊂ Y ⇒ ω(f ; X) ≤ ω(f ; Y ). Assim, para que a fun¸cão limitada f : A → R seja integrável, é necess´ ario e suficiente que a todo ε > 0 dado se possa fazer corresponder

˜ DE INTEGRAL [SEC. 1: A DEFINIC ¸ AO

349

uma parti¸cão P do bloco A tal que X ωB · vol. B < ε. B∈P

Corol´ ario do Teorema 2. Toda fun¸ca õ cont´ınua f : A → R é integr´ avel. Com efeito, sendo o bloco A compacto, f é uniformemente cont´ınua. Consideremos em Rm a norma do m´ aximo. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ A, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/ vol. A. Assim, se P é uma parti¸cão de A com |P | < δ, temos ωB < ε/vol. A para todo bloco B ∈ P . Portanto X X ε ωB · vol. B < vol. B = ε. vol. A B∈P

B∈P

Pelo Teorema 2, f é integrável. Exemplo 1. Seja X ⊂ A um subconjunto tal que X e A − X s˜ ao ambos densos no bloco A. (Isto é, todo subconjunto aberto de A contém pontos de X e de A − X. Um exemplo seria X = conjunto dos pontos de A cujas coordenadas s˜ ao n´ umeros racionais.) A fun¸cão caracter´ıstica do subconjunto X é χX : A → R, definida por χX (x) = 0 se x ∈ / X e χX (x) = 1 se x ∈ X. Para toda parti¸cão P do bloco A, e para todo bloco B ∈ P , temos mB = 0 e MB = 1. Segue-se que s(χX ; P ) = 0 e S(χX ; P ) = vol. A, seja qual for a parti¸cão P . Assim, a fun¸cão χX não é integrável. Exemplo 2. Sejam A, B blocos em Rm , com B ⊂ int. A e χB : A → R aR fun¸cão caracter´ıstica de B. Afirmamos que χB é integrável e que cão de A que tem B A χB (x) dx = vol. B. Com efeito, seja P0 uma parti¸ como um dos seus blocos. Se P ⊃ P0 então s(χB ; P ) = vol. B. Por uma observa¸cão anterior, ao considerarmos as integrais inferior e superior de χB , podemos R restringir-nos às parti¸cões P que refinam P0 . Segueχ (x) dx = vol. B. Para calcular a integral superior, se então que A B sejam B ′ um bloco com B ⊂ int B ′ ⊂ A e Q0 uma parti¸cão de A que tem B ′ como um dos seus blocos. Se P ⊃ Q0 então S(χB ; P ) ≤ vol. B ′ . R Da´ı resulta que vol. B ≤ A χB (x) dx ≤ vol. B ′ . Como vol. B ′ pode ser R tomado arbitrariamente próximo de vol. B, segue-se que A χB (x) dx = vol. B.

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

350

Teorema 3. Sejam f, g : A → R fun¸co ˜es integr´ aveis no bloco A ⊂ Rm . Ent˜ ao R R a) A õ f + g é integr´ avel e A [f (x) + g(x)]dx = A f (x)dx + R fun¸ca A g(x)dx; R b) Para õ c · f é integr´ avel e A c · f (x)dx = R todo c ∈ R, a fun¸ca c · A f (x)dx; R c) Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ A ent˜ ao A f (x)dx ≥ 0.R Equivalentemente: se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A ent˜ ao A f (x)dx ≤ R A g(x)dx; R R d) A fun¸ca õ |f (x)| é integr´ avel e | A f (x)dx| ≤ A |fR(x)|dx. Em particular, se |f (x)| ≤ K para todo x ∈ A ent˜ ao | A f (x)dx| ≤ K · vol. A; R e) Se f é cont´ınua, existe c ∈ A tal que A f (x)dx = f (c) · vol. A. Demonstra¸ c˜ ao: a) Para todo bloco B ⊂ A, temos mB (f ) + mB (g) ≤ mB (f + g) e MB (f + g) ≤ MB (f ) + MB (g). Da´ı resulta que, para quaisquer parti¸cões P , Q do bloco A, vale s(f ; P ) + s(g; P ) ≤ s(f + g; P ) ≤ S(f + g; Q) ≤ S(f ; Q) + S(g; Q). Portanto

Z

f (x)dx +

A

A

≤

Z

Z

A

g(x)dx ≤

[f (x) + g(x)]dx ≤

Z

Z

A

[f (x) + g(x)]dx ≤

f (x)dx + A

Z

g(x)dx. A

R R R Assim, f + g é integrável e A [f (x) + g(x)]dx = A f (x)dx + A g(x)dx. b) Vale s(c · f ; P ) = c · s(f ; P ) se c ≥ 0, enquanto s(c · f ; P ) = c · S(f ; P ) para c < 0. [Cfr. Lema 3, pág. 311 do vol. 1.] Assim, R quando c < 0, temos A (c · f )(x)dx = inf. S(c · f ; P ) = inf. c · s(f ; P ) = P P R R c · sup . s(f ; P ) = c A f (x)dx. De modo an´ alogo, ver´ıamos que (c · A P R R Rf )(x)dx = c A f (x)dx, logo c · f é integrável e A (c · f )(x)dx = c · A f (x)dx. O caso c > 0 se trata da mesma maneira. c) Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ A então mB ≥ 0 para todo bloco B ⊂ A, donde s(f ; P ) ≥ 0 para toda parti¸cão P . Conseq¨ uentemente,

˜ DE INTEGRAL [SEC. 1: A DEFINIC ¸ AO

R

351

f (x)dx = sup . s(f ; P ) ≥ 0. Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A então P R R R (g − f )(x) ≥ 0 paraR todo x, logo g(x)dx − f (x)dx = A A A (g − R f )(x)dx ≥ 0, ou seja, A f (x)dx ≤ A g(x)dx. d) De | |f (x)| − |f (y)| | ≤ |f (x) − f (y)| resulta que a oscila¸cão de |f | em qualquer conjunto é menor do que ou igual à oscila¸cão de f , logo f integrável implica |f | integrável pelo Teorema 2. Além disso, como −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| para todo x ∈ A, resulta do item anterior que Z Z Z |f (x)|dx, f (x)dx ≤ |f (x)|dx ≤ − A

A

A

R

A

R

o que significaR | A f (x)dx| R≤ A |f (x)|dx.R Se for |f (x)| ≤ K para todo x ∈ A então | A f (x)dx| ≤ A |f (x)|dx ≤ A K · dx = K · vol. A. e) Sejam mR= inf. {f (x); x ∈ A} e M = sup . {f (x); x ∈ A}. Sabemos que m ≤ A f (x)dx/ vol. A ≤ M . Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário (A é conexo!), existe c ∈ A tal que R A f (x)dx = f (c). vol. A Os dois primeiros itens do teorema acima dizem que o conjunto das m fun¸cões integráveis sobre um bloco R A ⊂ R constitui um espa¸co vetorial real e a correspondência f 7→ A f (x)dx é um funcional linear nesse espa¸co. O terceiro itemR diz que tal funcional é positivo e o quarto implica que o funcional A é cont´ınuo quando se considera no espa¸co das fun¸cões integráveis a convergência uniforme. O item c) é ainda complementado pela observa¸cão de que se f ≥ 0 R então A f (x)dx = 0 s´ o pode ocorrer quando f (x) = 0 para todo ponto x ∈ A no qual a fun¸cão f é cont´ınua. Toda fun¸cão integrável f : A → R se escreve como diferen¸ca f = f+ − f− entre duas fun¸cões integráveis não-negativas. A fun¸caõ f+ : A → R é chamada a parte positiva de f , enquanto que a fun¸cão f− : A → R é sua parte negativa. Para todo x ∈ A, põe-se f+ (x) = max. {f (x), 0} e f− (x) = − min. {f (x), 0}. Assim, quando f (x) ≥ 0, tem-se f+ (x) = f (x) e f− (x) = 0. Por outro lado, se f (x) ≤ 0 então f+ (x) = 0 e f− (x) = −f (x). A igualdade f = f+ − f− é evidente. Da´ı resulta que se f+ e f− s˜ ao integráveis, f também é. Reciprocamente, como f+ (x) = [f (x) + |f (x)|]/2 e f− (x) = [|f (x)| − f (x)]/2 para todo x ∈ A, a integrabilidade de f acarreta as de f+ e f− , pelo item d) do Teorema 3.

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

352

2

Conjuntos de medida nula

Como prepara¸cão para o teorema de Lebesgue (a ser demonstrado no §3), que dá uma condi¸cão necessária e suficiente para a integrabilidade de uma fun¸cão limitada num bloco A ⊂ Rm , estudaremos agora os conjuntos de medida nula no espa¸co euclidiano. Esses conjuntos possuem duas propriedades que justificam o interesse especial que por eles demonstramos aqui: s˜ ao invariantes por aplica¸cões de classe C 1 e têm interior vazio. A primeira propriedade permite definir conjuntos de medida nula em superf´ıcies; a segunda confere aos conjuntos de medida nula um caráter de pequenez e faz com que seus complementares sejam nãovazios, fato importante para provar certas existências, principalmente quando coadjuvado pelo Teorema de Sard, que provaremos logo adiante. Diremos que um conjunto X ⊂ Rm tem medida nula, e escreveremos med. X = 0, quando, para todo ε > 0 dado, for poss´ıvel obter uma seq¨ uência de cubos m-dimensionais abertos C1 , C2 , . . . , Ci , . . . tais que ∞ ∞ P S vol. Ci < ε. Ci e X⊂ i=1

i=1

Quando for necessário sermos mais precisos, diremos, nestas circunstˆ ancias, que X tem medida m-dimensional nula, ou que X tem medida nula em Rm . Apresentaremos a seguir uma lista de dez proposi¸cões sobre os conjuntos de medida nula:

A) Toda subconjunto de um conjunto de medida nula tem também medida nula. (Evidente.) B) Toda reuni˜ ao enumer´ avel de conjuntos de medida nula é ainda um conjunto de medida nula. ∞ S Xi , com med. Xi = 0 para todo i ∈ N. Demonstra¸ c˜ ao: Seja X = i=1

Dado ε > 0 podemos obter, para cada i ∈ N, uma seq¨ uência de cubos ∞ S P Cij e vol. Cij < ε/2i . abertos Ci1 , Ci2 , . . . , Cij , . . . tais que Xi ⊂ j=1

j

Então X está contido na reunião (enumerável) de todos os Cij . Dado qualquer subconjunto finito F ⊂ N × N existe k ∈ N tal que (i, j) ∈ F ⇒ i ≤ k, j ≤ k, logo   k k k X X X X  vol. (Cij ) < ε/2i < ε. vol. (Cij ) ≤ (i,j)∈F

j=1

j=1

i=1

353

[SEC. 2: CONJUNTOS DE MEDIDA NULA

Portanto,Pseja qual for a maneira de enumerar os Cij numa seq¨ uência, vol. (Cij ) ≤ ε. Assim, med. X = 0. teremos i,j

Em particular, como todo ponto tem evidentemente medida nula, todo conjunto enumerável é de medida nula.

C) Seja A ⊂ Rm um bloco. Dada qualquer cobertura enumer´ avel A ⊂ ∪ Bi por blocos abertos Bi , tem-se Σ vol. Bi ≥ vol. A. Em particular, A n˜ ao tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos inicialmente A fechado. Pelo Teorema de Borel-Lebesgue, existe k tal que A ⊂ B1 ∪ · · · ∪ Bk . Considerando um bloco fechado B, contendo B1 , . . . , Bk , no qual estão definidas as fun¸cões caracter´ısticas, temos χA ≤ χB1 ∪···∪Bk ≤ χB1 + · · · + χBk . Segue-se do Exemplo 2 e do Teorema 3 (item c) que Z Z Z χBk (x)dx = χB1 (x)dx + · · · + χA (x)dx ≤ vol. A = B

B

B

= vol. B1 + · · · + vol. Bk ≤

∞ X

vol. Bi .

i=1

Se o bloco A é aberto, temos vol. D ≤ Σ vol. Bi para todo bloco fechado D ⊂ A. Como vol. A = sup .{vol. D; D bloco fechado contido em A}, segue-se vol. A ≤ Σ vol. Bi , o que completa a demonstra¸cão. Decorre de A) e C) que todo conjunto de medida nula tem interior vazio pois se fosse int. X 6= ∅ então X conteria algum bloco, logo X não teria medida nula. A rec´ıproca é falsa, conforme veremos agora.

Exemplo 3. (Conjunto de Cantor com medida positiva.) Exibiremos aqui um conjunto compacto X ⊂ [0, 1], com int. X = ∅ e med. X 6= 0. A constru¸cão de X é uma modifica¸cão do processo que leva ao conjunto de Cantor. (Veja págs. 172-178 e 339 do vol. 1.) Tomamos um n´ umero ∞ P a ∈ (0, 1/2), logo an = 1 − δ, δ > 0. Na primeira etapa da consn=1

tru¸cão de X retiramos de [0, 1] um intervalo aberto de centro 1/2 e comprimento a. Na segunda etapa, retiramos do centro de cada um dos dois intervalos fechados restantes um intervalo aberto de comprimento a2 /2, ficando quatro intervalos fechados. Depois de efetuada a n-ésima etapa da constru¸cão de X, restam 2n intervalos fechados, dois a dois

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

354

disjuntos, de mesmo comprimento. A (n + 1)-ésima etapa consiste em retirar do centro de cada um deles um intervalo aberto de comprimento an+1 /2n . A soma dos comprimentos dos intervalos retirados de [0, 1] na n-ésima etapa é igual a an . O conjunto X é o que resta de [0, 1] depois de efetuadas todas essas opera¸cões, ou seja X = [0, 1] − ∪ Js onde, ∞ P |Js | = indicando com |Js | o comprimento do intervalo Js , temos ∞ P

n=1

s=1

an

= 1 − δ. Dada qualquer cobertura enumerável X ⊂ ∪ Ir , por

intervalos abertos Ir , temos [0, 1] ⊂ (∪Ir ) ∪ (∪Js ) logo, pelo item C) acima, Σ|Ir | + Σ|Js | ≥ 1, donde Σ|Ir | ≥ δ. Portanto X não tem medida nula. Notemos ainda que depois de cada etapa da constru¸cão de X, cada intervalo que resta tem comprimento menor do que a metade dos comprimentos dos intervalos que restaram da etapa anterior. Da´ı resulta que X não contém intervalos, isto é, int. X = ∅. D) Na defini¸ca õ de conjunto de medida nula, podemos usar cubos fechados, em vez de abertos. Demonstra¸ c˜ ao: Seja X ⊂ ∪ Ci , onde cada Ci é um cubo fechado, com m Q [aj , aj + ℓ] é um cubo fechado de aresta ℓ Σ vol. Ci < ε. Ora, se C = j=1

então, para cada δ > 0,

m Y δ δ aj − , aj + ℓ + D(δ) = 2 2 j=1

é um cubo aberto de aresta ℓ + δ, contendo C. Evidentemente, lim vol. D(δ) = vol. C. Logo existe δ > 0 tal que vol. D(δ) < 2 vol. C. δ→0

Assim podemos obter, para cada i, um cubo aberto Di ⊃ Ci , com vol. Di < 2 · vol. Ci , donde X ⊂ ∪ Di e Σ vol. Di < 2 · Σ vol. Ci = 2ε. Isto prova a proposi¸cão. E) Se X ⊂ Rm é tal que, para todo ε > 0, existe uma seq¨ uência de blocos fechados A1 , . . . , Ai , . . . com X ⊂ ∪ Ai e Σvol.Ai < ε, ent˜ ao med. X = 0. Ou seja: na defini¸ca õ de conjunto de medida nula podemos usar blocos fechados em vez de cubos. Demonstra¸ c˜ ao: Mostremos inicialmente o seguinte: dados um bloco fechado A ⊂ Rm e ε > 0, existem cubos fechados C1 , . . . , Ck tais que

355

[SEC. 2: CONJUNTOS DE MEDIDA NULA

A ⊂

k S

m Q

Ci e Σ vol. Ci < vol. A + ε. Com efeito, seja A =

[aj , bj ].

j=1

i=1

Tomemos q ∈ N. Para todo j = 1, . . . , m existe um inteiro pj ≥ 0 tal pj pj + 1 que < bj − aj ≤ · O bloco q q m Y pj + 1 ′ aj , aj + A = q j=1

admite uma parti¸cão natural P = P1 × · · · × Pm , onde pj + 1 1 Pj = aj , aj + , . . . , aj + . q q Os blocos de P s˜ ao cubos Ci , todos com arestas medindo 1/q. Temos A ⊂ A′ = ∪ Ci , com Y m m Y pj 1 1 + bj − aj + < . Σ vol. Ci = vol. A′ = q q q j=1

j=1

1 Como lim Π bj − aj + = Π(bj −aj ) = vol. A, podemos tomar q tão q→∞ q grande que Σ vol. Ci < vol. A + ε. Voltando ao enunciado da S proposi¸cão tomamos, para cada i ∈ N, cubos fechados Cij tais que Ai ⊂ Cij , com j

P S ε vol. Cij < vol. Ai + i , donde X ⊂ Cij , com vol. Cij < 2ε. Pelo 2 i,j i,j j item anterior, temos med. X = 0. Com maior razão, podemos usar blocos abertos para definir medida nula. Resulta de E) que se m < n então, para qualquer a ∈ Rn−m , todo subconjunto X ⊂ Rm × {a} ⊂ Rn tem medida nula em Rn . Como Rm × {a} é reunião enumerável de cubos m-dimensionais, basta provar isto para um desses cubos, digamos C × {a}. Ora, para todo ε > 0, C × {a} está contido no bloco n-dimensional

P

A=C× εn−m

n−m Y i=1

ai −

ε ε , ai + 2 2

com vol. A = · vol. C. Segue-se de E) que med. (C × {a}) = 0. Em particular, as faces próprias de um bloco m-dimensional têm medida nula em Rm .

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

356

Em certas ocasi˜ oes, para provar que um conjunto tem medida nula, em vez de cobr´ı-lo com uma seq¨ uência de blocos cuja soma dos volumes pode ser tomada arbitrariamente pequena, pode ser conveniente deixar “descoberto”um subconjunto que já sabemos ter medida nula. Este é o conte´ udo da proposi¸cão abaixo. Note que o conjunto Y pode variar com ε. F) Seja X ⊂ Rm . Se, para todo ε > 0, existe uma seq¨ uência de blocos Ai (abertos ou fechados) tais que Σ vol. Ai < ε e X ⊂ (∪ Ai ) ∪ Y , onde med. Y = 0, ent˜ ao X tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao: Dado arbitrariamente ε > 0, obtemos os blocos Ai e o conjunto Y de medida nula, tais que Σ vol. Ai < ε/2 e X ⊂ (∪ Ai ) ∪ Y . Em seguida, obtemos novos blocos Bj , com Y ⊂ ∪ Bj e Σ vol. Bj < ε/2. Segue-se que X ⊂ (∪ Ai ) ∪ (∪ Bj ) com Σ vol. Ai + Σ vol. Bj < ε, logo X tem medida nula. Uma aplica¸cão f : X → Rn , definida num conjunto X ⊂ Rm , diz-se localmente Lipschitziana quando, para todo x ∈ X, existem Vx ⊂ Rm aberto contendo x e kx > 0 tais que y, z ∈ Vx ⇒ |f (y)−f (z)| ≤ kx ·|y−z|. Noutras palavras, existe uma cobertura aberta X ⊂ ∪ Vx tal que cada restri¸cão f |(Vx ∩ X) é Lipschitziana. A proposi¸cão seguinte mostra que a no¸cão de conjunto de medida nula é invariante por aplica¸cões localmente Lipschitzianas. Nela, é importante notar que X e f (X) devem estar no mesmo espa¸co euclidiano Rm . G) Se X ⊂ Rm tem medida nula e f : X → Rm é localmente Lipschitziana ent˜ ao f (X) tem medida nula em Rm . Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos primeiro o caso em que f é Lipschitziana. Então |f (x) − f (y)| ≤ k · |x − y| com k > 0 constante e x, y ∈ X quaisquer. Tomemos em Rm a norma do m´ aximo. Dado ε > 0, existe uma cobertura enumerável X ⊂ ∪ Ci , onde cada Ci é um cubo de aresta ∞ P m am ai e i < ε/k . Para cada i ∈ N, temos x, y ∈ X ∩ Ci ⇒ |x − y| < i=1

ai ⇒ |f (x) − f (y)| < k · ai . Segue-se que cada uma das m proje¸cões de f (X ∩ Ci ) sobre os eixos está contida num intervalo de comprimento k · ai . Logo f (X ∩ Ci ) está contido no produto cartesiano desses intervalos, que é um cubo Di , cujo volume é igual a k m · am i . Portanto

357

[SEC. 2: CONJUNTOS DE MEDIDA NULA

f (X) =

S i

f (X ∩ Ci ) ⊂ ∪ Di com

P i

vol. Di = k m ·

P i

am i < ε. Por-

tanto med. f (X) = 0. No caso geral, temos X ⊂ ∪ Vx , onde cada Vx é aberto e a restri¸cão f |(Vx ∩ X) é Lipschitziana. Pelo Teorema ∞ S Vj . Pela de Lindelöf, tomamos uma subcobertura enumerável X ⊂ j=1

primeiraSparte, f (Vj ∩ X) tem medida nula, para cada j ∈ N. Logo f (X) = f (Vj ∩ X) é uma reunião enumerável de conjuntos de medida j

nula, donde med. f (X) = 0.

H) Seja f : U → Rm de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . Se X ⊂ U tem medida nula em Rm ent˜ ao f (X) ⊂ Rm também tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao: Para cada x ∈ X, sejam Vx uma bola de centro x, com V x ⊂ U e kx = sup .{|f ′ (y)|; y ∈ V x }. Pela Desigualdade do Valor Médio, |f (y) − f (z)| ≤ kx · |y − z| para quaisquer y, z ∈ Vx , logo f é localmente Lipschitziana. Assim, H) segue-se de G). I) Se m < n e f : U → Rn é de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm ent˜ ao f (U ) tem medida nula em Rn . Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos 0 ∈ Rn−m . Pela observa¸cão que se segue a E), U ×{0} tem medida nula em Rn . No aberto W = U ×Rn−m ⊂ Rn definamos a aplica¸cão g : W → Rn , de classe C 1 , pondo g(x, y) = f (x). Em virtude de H), o conjunto g(U × {0}) = f (U ) tem medida nula em Rn . A proposi¸cão I) mostra, em particular, que não existem “curvas de Peano”em classe C 1 , isto é, o desagrad´ avel fenˆ omeno de uma aplica¸cão f , definida num subconjunto X ⊂ Rm , ter contido em sua imagem um cubo de Rn , com m < n, pode ocorrer em classe C 0 mas não em classe C 1 . (V. também Exerc. 2.2, adiante.) Diremos que um conjunto X ⊂ Rm é localmente de medida nula quando, para cada x ∈ X, existir Vx aberto em Rm , contendo x, tal que med. (Vx ∩ X) = 0. Da cobertura aberta X ⊂ ∪ Vx extraimos, pelo Teorema S de Lindelöf, uma subcobertura enumerável X ⊂ ∪ Vi , logo X = (Vi ∩ X) é uma reunião enumerável de conjuntos de medida i

nula, donde med. X = 0. Assim, um conjunto X ⊂ Rm é localmente de medida nula se, e somente se, tem medida nula.

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

358

Exemplo 4. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie de classe C 1 e dimens˜ ao n m < n em R . Dada uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U em M , segue-se de I) que a vizinhan¸ca parametrizada U ⊂ M tem medida nula em Rn . Como U = A ∩ M , A aberto em Rn , vemos que M é localmente de medida nula e por conseguinte, med. M = 0 em Rn . Mais geralmente, se X ⊂ Rn é uma reunião enumerável de superf´ıcies de classe C 1 e dimens˜ oes < n então med. X = 0 em Rn . Definiremos agora conjuntos de medida nula numa superf´ıcie M , de classe C 1 e dimens˜ ao m. Se o subconjunto X ⊂ M estiver contido na imagem de uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U , diremos que X tem medida nula em M quando ϕ−1 (X) tiver medida nula em Rm , isto é, quando X = ϕ(X0 ), com med. (X0 ) = 0 em Rm . Se ψ : V0 → V for outra parametriza¸cão de classe C 1 em M , com X ⊂ V então ψ −1 (X) = (ψ −1 ◦ ϕ)(ϕ−1 (X)) tem ainda medida nula em Rm em virtude de H), pois ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (U ∩ V ) → Rm é de classe C 1 num aberto de Rm . No caso geral, diremos que um conjunto X ⊂ M tem medida nula em M quando, para toda parametriza¸cão ϕ : U0 → U de classe C 1 , U ∩ X tiver medida nula em M de acordo com a defini¸cão acima. Para que X ⊂ M tenha medida nula na superf´ıcie M , basta que exista uma cobertura X ⊂ ∪ Vi (que podemos sempre supor enumerável, pelo Teorema de Lindelöf) por imagens de parametriza¸cões ϕi : Vi0 → m Vi , tais que ϕ−1 i (Vi ∩ X) tenha medida nula em R , para cada i. Com efeito, se ϕ : U0 → USé outra qualquer parametriza¸cão de classe C 1 em M , temos U ∩ X = Wi , onde Wi = U ∩ Vi ∩ X, logo i

ϕ−1 (U ∩ X) =

[ i

ϕ−1 (Wi ) =

[ i

(ϕ−1 ◦ ϕi )(ϕ−1 i (Wi ))

−1 tem medida nula em Rm , pois cada ϕ−1 i (Wi ) ⊂ ϕi (Vi ∩ X) tem medida nula. Os conjuntos de medida nula numa superf´ıcie gozam de propriedades an´ alogas ` as de seus homônimos do espa¸co euclidiano, quais sejam: a) Se med. X = 0 em M e Y ⊂ X então med. Y = 0 em M ; b) Se X1 , . . . , Xi , . . . têm medida nula em M então X = ∪ Xi tem medida nula em M ; c) Todo conjunto X de medida nula em M tem interior vazio em M , ou seja, M − X é denso em M . Em particular, M − X não é vazio;

[SEC. 2: CONJUNTOS DE MEDIDA NULA

359

d) Se f : M → N é de classe C 1 , com dim. M = dim. N e X ⊂ M tem medida nula em M então f (X) tem medida nula em N ; e) Se dim. M < dim. N e f : M → N é de classe C 1 então f (M ) tem medida nula em N . Em rela¸cão ` a propriedade c), convém observar que a superf´ıcie M pode ser reunião de dois conjuntos com interior vazio. Por exemplo, temos R = Q ∪ (R − Q). Mas, em virtude de b), se X e Y têm medida nula em M então X ∪ Y tem medida nula e portanto interior vazio em M . Em particular, (M − X) ∩ (M − Y ) 6= ∅. Mais geralmente, dada uma infinidade enumerável de conjuntos com medida nula na superf´ıcie M , existem pontos de M que não pertencem a nenhum deles. Nossa décima proposi¸cão sobre conjuntos de medida nula será o Teorema de Sard, um resultado “inevit´ avel”sobre aplica¸cões diferenci´ aveis. Ele será usado de modo essencial nos par´ agrafos 9 e 10 do cap´ıtulo seguinte. Em sua forma geral, o Teorema de Sard se refere a aplica¸cões entre superf´ıcies de dimens˜ oes m e n quaisquer. Consideraremos apenas o caso particular em que m = n, o que tornar´ a a prova muito mais fácil e será suficiente para os nossos prop´ ositos. Para apresenta¸cões mais completas do assunto, vejam-se [16] e [14]. Na demonstra¸cão abaixo, usaremos alguns resultados que, embora elementares e plaus´ıveis, s´ o serão provados mais adiante, neste mesmo cap´ıtulo. Teorema de Sard. Seja f : M → N uma aplica¸ca õ de classe C 1 entre superf´ıcies da mesma dimens˜ ao m. Seja S o conjunto dos pontos x ∈ M nos quais a derivada f ′ (x) : Tx M → Tf (x) M n˜ ao é um isomorfismo. Ent˜ ao f (S) tem medida nula em N . Os pontos do conjunto S chamam-se pontos singulares de f . Portanto o Teorema de Sard se enuncia, em palavras, assim: a imagem do conjunto dos pontos singulares por uma aplica¸cão de classe C 1 tem medida nula. Note que N − f (S) é o conjunto dos valores regulares de f . Uma conseq¨ uência importante do Teorema de Sard é que f (S) tem interior vazio, donde N −f (S) é denso em N . Em particular, N −f (S) 6= ∅, isto é, toda aplica¸cão f : M → N de classe C 1 entre superf´ıcies de mesma dimens˜ ao possui valores regulares. Na verdade, “quase todos”os pontos y ∈ N s˜ ao valores regulares de f .

360

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

Demonstra¸ c˜ ao: Para cada x ∈ S, tomemos parametriza¸cões ψ : V0 → V em N , com f (x) ∈ V , e ϕ : U0 → U em M , com x ∈ U e f (U ) ⊂ V . Basta provar que, para todo x ∈ S, f (U ∩ S) tem medida nula em N . [De fato, da cobertura S ⊂ ∪ U extra´ımos, pelo Teorema de Lindelöf, uma subcobertura enumerável S ⊂ ∪ Ui e f (S) = f (∪(Ui ∩ S)) = ∪ f (Ui ∩ S) será uma reunião enumerável de conjuntos de medida nula em N .] Por outro lado, med. f (U ∩ S) = 0 em N ⇔ med. ψ −1 f (U ∩ S) = 0 em Rm ⇔ med. [ψ −1 f ϕ(ϕ−1 (U ∩ S))] = 0 em Rm . Como ϕ−1 (U ∩ S) é o conjunto dos pontos singulares da aplica¸cão ψ −1 ◦ f ◦ ϕ : U0 → Rm , o Teorema de Sard se reduz a provar o seguinte: Seja f : U → Rm uma aplica¸ca õ de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . ′ Seja S = {x ∈ U ; det. f (x) = 0}. Ent˜ ao f (S) tem medida nula em m R . Novamente pelo Teorema de Lindelöf, U é reunião enumerável de cubos fechados. Logo, basta provar que se C é um cubo fechado, de aresta a > 0, contido em U , e T = {x ∈ C; det. f ′ (x) = 0} então f (T ) tem medida nula em Rm . Tomemos no espa¸co Rm a norma euclidiana. Subdividindo cada uma de suas arestas em k partes iguais, obtemos uma parti¸cão de C, cujos blocos s˜ ao k m pequenos cubos Ci , de mesma m a a aresta = δ e volume m = δ m . Se x, y ∈ Ci , temos |x − y| ≤ m · δ. k k Em cada pequeno cubo Ci tal que Ci ∩ T 6= ∅, escolhamos um ponto xi ∈ Ci ∩ T . A imagem da transforma¸cão linear f ′ (xi ) : Rm → Rm está contida num subespa¸co vetorial Ei ⊂ Rm , de dimens˜ ao m − 1. ′ m Todos os pontos f (xi ) + f (xi ) · v, v ∈ R , pertencem à variedade afim Li = f (xi ) + Ei , de dimens˜ ao m − 1 em Rm . Para cada x ∈ Ci podemos escrever f (x) = f (xi ) + f ′ (xi ) · (x − xi ) + ri (x). Dado arbitrariamente ε > 0, o inteiro k pode ser tomado tão grande que, para todo cubo Ci contendo pontos de T e todo x ∈ Ci valha |ri (x)| ≤ ε|x − xi | ≤ m · δ · ε. Ora, para todo x ∈ Ci , se c = sup .{|f ′ (x)|; x ∈ C}, temos |f ′ (xi ) · (x − xi )| ≤ c|x − xi | < m · c · δ, logo, para todo x ∈ Ci , o ponto f (xi ) + f ′ (xi ) · (x − xi ) pertence a um cubo de centro f (xi ) e aresta 2mδc em Li . Se considerarmos o paralelep´ıpedo retangular Pi em Rm que tem esse cubo como se¸cão média e altura 2mεδ, vemos que

˜ DAS FUNC ˜ ´ [SEC. 3: CARACTERIZAC ¸ AO ¸ OES INTEGRAVEIS

361

vol. Pi = 2m · mm · cm−1 · δ m · ε = A · δ m · ε. A imagem f (T ) está contida na reunião de, no m´ aximo, k m desses paralelep´ıpedos Pi , cuja soma dos volumes não excede A · k m · δ m · ε = A · am · ε. Como ε > 0 é arbitr´ ario, vemos que f (T ) tem medida nula. Coment´ ario sobre a demonstra¸ c˜ ao acima. Até agora, os u ńicos conjuntos cujos volumes sabemos calcular s˜ ao os blocos retangulares. Na realidade, nem definimos ainda o que é o “volume”de um conjunto. Isto será feito logo em seguida, de tal forma que o volume de um paralelep´ıpedo retangular seja o produto do volume da base pelo comprimento da altura, justificando o argumento que provou o Teorema de Sard. Além disso, ficará claro a partir da defini¸cão que se X ⊂ Rm é tal que, para todo ε > 0, existe uma cobertura X ⊂ ∪ Pi , onde a soma dos volumes dos conjuntos Pi é < ε, então X é um conjunto de medida nula. Isto também foi utilizado na demonstra¸cão precedente.

3

Caracteriza¸ c˜ ao das fun¸c˜ oes integr´ aveis

Na demonstra¸cão do Teorema de Lebesgue, será utilizado o conceito de oscila¸cão de uma fun¸cão num ponto. Esta no¸cão, que já foi apresentada no Vol. 1 (página 340) no caso particular de subconjuntos da reta e fun¸cões neles definidas, será retomada agora no contexto do espa¸co euclidiano Rm . Seja f : X → R limitada no conjunto X ⊂ Rm . Fixemos x ∈ X e, para cada δ > 0, ponhamos Ω(δ) = ω[f ; X ∩ B(x; δ)] = oscila¸cão de f no conjunto dos pontos de X que distam menos de δ do ponto x. Isto define uma fun¸cão não-negativa Ω : (0, +∞) → R. Como f é limitada, Ω também é. Além disso, δ ≤ δ ′ ⇒ Ω(δ) ≤ Ω(δ ′ ). Logo existe o limite ω(f ; x) = lim ω[f ; X ∩ B(x; δ)] = inf ω[f ; X ∩ B(x; δ)], δ→0

δ>0

que chamaremos a oscila¸ca õ da fun¸ca õ f no ponto x. Quando não houver possibilidade de confusão, escreveremos simplesmente ω(x), em vez de ω(f ; x). A oscila¸cão goza das seguintes propriedades: I. ω(f ; x) ≥ 0 para todo x ∈ X; II. ω(f ; x) = 0 se, e somente se, f é cont´ınua no ponto x;

362

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

III. Se x ∈ int.Y e Y ⊂ X ent˜ ao ω(f ; x) ≤ ω(f ; Y ); IV. Se ω(f ; x) < c ent˜ ao existe δ > 0 tal que ω(f ; y) < c para todo y ∈ X com |y − x| ≤ δ; V. Se X ⊂ Rm é fechado (respect. compacto) ent˜ ao, para todo c ≥ 0 o conjunto {x ∈ X; ω(x) ≥ c} é fechado (respect. compacto). Vamos ` as demonstra¸cões: I é evidente. Quanto a II, a afirma¸cão ω(f ; x) = 0 significa que, para todo ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que y, z ∈ X ∩ B(x; δ) ⇒ |f (y) − f (z)| ≤ ε. Isto é claramente equivalente à continuidade de f no ponto x. Para provar III, notemos que existe δ > 0 tal que B(x; δ) ⊂ Y . Logo ω(f ; x) ≤ ω[f ; X ∩ B(x; δ)] = ω[f ; B(x; δ)] ≤ ω(f ; Y ). No que diz respeito a IV, pela defini¸cão de limite, existe δ > 0 tal que ω[f ; X ∩ B(x; δ)] < c. Dado y ∈ X ∩ B(x; δ), tomamos η > 0 tal que B(y; η) ⊂ B(x; δ) e obtemos ω(f ; y) ≤ ω[f ; X ∩ B(y; η)] ≤ ω[f ; X ∩ B(x; δ)] < c. Finalmente, se X é fechado e uma seq¨ uência de pontos xk ∈ X é tal que ω(f ; xk ) ≥ c para todo k ∈ N e lim xk = x então, em primeiro lugar, x ∈ X. Em segundo lugar, não pode ser ω(f ; x) < c por causa de IV. Logo ω(f ; x) ≥ c e o conjunto {x ∈ X; ω(f ; x) ≥ c} é, portanto, fechado em Rm . Se X for compacto, esse conjunto será também limitado, donde compacto, o que prova V. Estabelecidos estes preliminares, provemos o teorema de caracteriza¸cão das fun¸cões integráveis. Teorema 4 (Lebesgue). Uma fun¸ca õ f : A → R, limitada no bloco A ⊂ Rm , é integr´ avel se, e somente se, o conjunto Df dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos primeiro que med. Df = 0. Dado arbitrariamente ε > 0, tomemos uma cobertura enumerável Df ⊂ ∪ Ci′ por cubos abertos tais que Σ vol. Ci′ < ε/2K, onde K = M − m (diferen¸ca entre o sup. e o inf. de f em A) é a oscila¸cão de f no bloco A. Para cada ponto x ∈ A − Df tomemos um cubo aberto Cx′′ , contendo x, tal

˜ DAS FUNC ˜ ´ [SEC. 3: CARACTERIZAC ¸ AO ¸ OES INTEGRAVEIS

363

que a oscila¸cão de f em Cx′′ ∩ A seja inferior a ε/(2 vol. A). Como A é compacto, da cobertura aberta A ⊂ (∪ Ci′ ) ∪ (∪ Cx′′ ) podemos retirar uma subcobertura finita A ⊂ C1′ ∪ · · · ∪ Cr′ ∪ C1′′ ∪ · · · ∪ Cs′′ . Seja P uma parti¸cão de A tal que cada bloco (aberto) B ∈ P esteja contido, ou num dos cubos Ci′ , ou num dos cubos Cj′′ . A parti¸cão P pode ser obtida “prolongando-se as faces”dos cubos Ci′ e Cj′′ . Mais precisamente, m Q [ak , bk ] então P = P1 ×· · ·×Pm onde, para cada k = 1, . . . , m, se A = k=1

Pk é o conjunto formado por ak , bk e

5 1 4

A 3 2

mais as k-ésimas coordenadas dos vértices dos cubos Ci′ e Cj′′ . Indicaremos genericamente com a nota¸cão B ′ os blocos de P que estão contidos em algum cubo Ci′ . Os demais blocos de P (necessariamente contidos em cubos Cj′′ ) serão chamados B ′′ . A soma dos volumes dos blocos B ′ é menor do que ε/2K e em cada bloco B ′′ a oscila¸cão de f não excede ε/(2 vol. A). Portanto, a parti¸cão P nos dá X X X ωB ′′ · vol. B ′′ ≤ ωB ′ · vol. B ′ + ωB · vol. B = B∈P

B′

B ′′

ε ≤ K · Σ vol. B ′ + Σ vol. B ′′ < 2 vol. A ε ε + · vol. A = ε. 0. Como f é integrável, existe

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

364 uma parti¸cão P do bloco A, tal que

P

B∈P

ωB · vol. B < ε/i. Indiquemos

genericamente com B ′ os blocos da parti¸cão P que contêm algum ponto de Di em seu interior. Para cada um desses blocos, temos ωB ′ ≥ 1/i, em vista da propriedade III da oscila¸cão ω(f ; x). Logo X ε 1 ωB · vol. B < · Σ vol. B ′ ≤ Σ ωB ′ · vol. B ′ ≤ i i B∈P

Multiplicando por i, vem: Σ vol. B ′ < ε. Ora, é claro que Di ⊂ (∪ B ′ ) ∪ Y , onde Y é a reunião das faces próprias dos blocos B ∈ P nas quais existe algum ponto de Di . Sabemos que Y tem medida nula. Pela proposi¸cão F) do par´ agrafo anterior, temos med. Di = 0, o que completa a demonstra¸cão. Definiremos agora o volume (segundo Jordan) de um subconjunto limitado do espa¸co euclidiano. Diz-se que o conjunto limitado X ⊂ Rm é J-mensur´ avel (mensurável segundo Jordan) quando, tomando-se um bloco A ⊂ Rm que contenha X, a fun¸cão caracter´ıstica χX : A → R é integrável. Quando X é Jmensurável, seu volume é, por defini¸cão, a integral de sua fun¸cão caracter´ıstica: Z χX (x) dx. vol. X = A

Como conseq¨ uência do Teorema de Lebesgue, provaremos abaixo uma importante caracteriza¸cão dos conjuntos J-mensur´ aveis. Antes, recordemos que a fronteira ∂X de um conjunto X ⊂ Rm é o conjunto dos pontos a ∈ Rm tais que toda vizinhan¸ca de a contém pontos de X e pontos de Rm − X. Tem-se Rm = (int. X) ∪ ∂X ∪ int.(Rm − X), reunião disjunta. Teorema 5. Um conjunto limitado X ⊂ Rm é J-mensur´ avel se, e somente se, sua fronteira ∂X tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao: Dado o bloco A ⊃ X em Rm , seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade da fun¸cão caracter´ıstica χX : A → R. Evidentemente, D ⊂ ∂X. Por outro lado, um ponto de ∂X que não seja uma descontinuidade de χX deve pertencer a ∂A. Assim, podemos escrever ∂X = D ∪ (∂X ∩ ∂A). [Se X ⊂ int. A então ∂X = D.] Como ∂A (reunião das faces próprias do bloco A) tem medida nula, segue-se que med. ∂X = 0 ⇔ med. D = 0.

˜ DAS FUNC ˜ ´ [SEC. 3: CARACTERIZAC ¸ AO ¸ OES INTEGRAVEIS

365

Em particular, o fato de X ser J-mensur´ avel (e, como se vê facilmente, o valor de vol. X) independe do bloco A tomado na defini¸cão. Exemplo 5. Um bloco é um conjunto J-mensur´ avel e seu volume já foi determinado no Exemplo 2. Uma bola (aberta ou fechada) é Jmensurável pois sua fronteira é uma esfera, que tem medida nula, pelo Exemplo 4. De um modo geral, se X ⊂ Rm é um conjunto limitado, cuja fronteira é uma reunião enumerável de superf´ıcies de classe C 1 e dimens˜ oes < m então X é J-mensur´ avel. Um conjunto de Cantor de medida positiva (Exemplo 3) não é J-mensur´ avel, pois sua fronteira é ele próprio, que não tem medida nula. Mais geralmente, dado um conjunto limitado X ⊂ Rm , podemos considerar um bloco A ⊃ X em Rm e definir, respectivamente, o volume interno de X e o volume externo de X pondo vol. int. X =

Z

χX (x) dx, A

vol. ext. X =

Z

A

χX (x) dx.

Recordando as defini¸cões da integral inferior e da integral superior, vemos que o volume interno de X é o supremo, relativamente a todas as parti¸cões P do bloco A, dos n´ umeros s(χX ; P ) = soma dos volumes dos blocos de P que estão contidos em X, enquanto que o volume externo de X é o ´ınfimo, relativamente a todas as parti¸cões P do bloco A, dos n´ umeros S(χX ; P ) = soma dos volumes dos blocos de P que têm algum ponto em comum com X. Em particular, um conjunto limitado X ⊂ Rm (é J-mensur´ avel e) tem volume zero se, e somente se, tem volume externo zero, ou seja, para todo ε > 0 dado, pode-se achar um bloco A ⊃ X e uma parti¸cão P de A tal que soma dos volumes dos blocos de P que intersectam X é menor do que ε. Isto equivale a dizer que, dado ε > 0, existem blocos B1 , . . . , Bk em Rm com X ⊂ B1 ∪ · · · ∪ Bk e Σ vol. Bi < ε. Segue-se do Teorema de Borel-Lebesgue que um conjunto compacto tem volume zero se, e somente se, tem medida nula. Por exemplo, a fronteira ∂X de um conjunto limitado X ⊂ Rm é sempre compacta. Logo, as seguintes afirma¸cões s˜ ao equivalentes: a) X é J-mensur´ avel; b) ∂X tem medida nula; c) ∂X tem volume zero.

366

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

Exemplo 6. Um conjunto (não-compacto) de medida nula nem sempre é J-mensur´ avel: o conjunto dos pontos de um bloco A que têm coordenadas racionais é enumerável, logo tem medida nula mas não é Jmensurável, como se viu no Exemplo 1. Mas se X ⊂ Rm é J-mensur´ avel e tem medida nula (ou, mais geralmente, tem interior vazio) então seu volume deve ser zero pois, como nenhum bloco está contido em X, temos vol. int. X = 0. Assim, se X ⊂ Rm é J-mensur´ avel, tem-se vol. X = 0 se, e somente se, X tem interior vazio. (Compare Exemplo 3.) Teorema 6. Sejam X, Y subconjuntos J-mensur´ aveis do bloco A ⊂ Rm . Ent˜ ao: a) X ∪ Y , X ∩ Y e A − X s˜ ao J-mensur´ aveis; b) vol. (X ∪ Y ) + vol. (X ∩ Y ) = vol. X + vol. Y .

Demonstra¸ c˜ ao: A afirma¸cão a) segue-se imediatamente das três inclus˜ oes seguintes, as quais, por outro lado, decorrem da defini¸cão de fronteira: ∂(X ∪ Y ) ⊂ ∂X ∪ ∂Y , ∂(X ∩ Y ) ⊂ ∂X ∪ ∂Y e ∂(A − X) ⊂ ∂A ∪ ∂X. A afirma¸cão b) resulta, por sua vez, da igualdade óbvia χX∪Y + χX∩Y = χX + χY . Corol´ ario. Se X, Y s˜ ao J-mensur´ aveis e int.(X ∩ Y ) = ∅ ent˜ ao vol. (X ∪ Y ) = vol. X + vol. Y .

Como int.(X ∩ Y ) = int. X ∩ int. Y , a hip´ otese do corolário acima significa que os conjuntos J-mensur´ aveis X e Y têm em comum, no m´ aximo, pontos de suas fronteiras. Nestas condi¸cões, o volume de X ∪Y é a soma de vol. X e vol. Y . Seja M uma superf´ıcie de classe C 1 . Um conjunto X ⊂ M diz-se J-mensur´ avel em M quando sua fronteira em M (conjunto dos pontos x ∈ M tais que x = lim xk , xk ∈ X e x = lim yk , yk ∈ M − X) é um conjunto de medida nula em M . A reunião e a interse¸cão de dois subconjuntos J-mensur´ aveis em M é ainda J-mensur´ avel, o mesmo ocorrendo com o complemento M − X de um conjunto J-mensur´ avel X. O volume de um conjunto J-mensur´ avel X ⊂ M s´ o será definido no Cap´ıtulo VII, quando estivermos de posse da no¸cão de integral de superf´ıcie. Definiremos agora a integral de uma fun¸cão limitada f : X → R, cujo dom´ınio é um conjunto avel X ⊂ Rm . R J-mensur´ Para definirmos X f (x) dx, consideraremos um bloco A ⊂ Rm que contenha o conjunto X e estenderemos f a uma fun¸cão f : A → R, pondo f (x) = 0 se x ∈ A − X e f (x) = f (x) quando x ∈ X.

˜ DAS FUNC ˜ ´ [SEC. 3: CARACTERIZAC ¸ AO ¸ OES INTEGRAVEIS

367

Diremos que f : X → R é integrável quando a fun¸cão f : A → R for integrável e poremos, por defini¸cão, Z Z f (x) dx. f (x) dx = X

A

` vezes se escreve f = f · χ , o que significa f (x) = Observa¸ c˜ ao: As X f (x) · χX (x) para todo x ∈ A. Esta igualdade é um abuso de nota¸cão, que corresponde a considerar um produto igual a zero quando um dos fatores for zero e o outro não estiver definido. O que é verdadeiro (e ´ obvio) é que f = f · χX .

Teorema 7. Seja X ⊂ Rm um conjunto J-mensur´ avel. Uma fun¸ca õ limitada f : X → R é integr´ avel se, e somente se, o conjunto Df dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao: Se f é descont´ınua num ponto x ∈ X, existe uma seq¨ uência de pontos xk ∈ X tal que (f (xk )) não converge para f (x). Da´ı resulta que f também é descont´ınua no ponto x. Por sua vez, os pontos de descontinuidade de f , ou já eram descontinuidades de f ou estão na fronteira de X. Assim, podemos escrever Df ⊂ Df ⊂ Df ∪ ∂X. Como ∂X tem medida nula, vemos que med. Df = 0 ⇔ med. Df = 0. Ora, por defini¸cão, f integrável significa f integrável, ou seja, med. Df = 0. Isto demonstra o teorema. Mais geralmente, dada f : X → R limitada no conjunto J-mensur´ avel X ⊂ Rm , definem-se a integral inferior e a integral superior de f no conjunto X pondo-se, respectivamente: Z Z Z Z f (x)dx = f (x)dx e f (x)dx, f (x)dx = X

A

X

A

onde A é um bloco de Rm contendo X e f : A → R é a extensão de f que se anula nos pontos de A − X. Obviamente, f é integrável em X se, e somente se, suas integrais (inferior e superior) sobre X coincidem. Para a integral de uma fun¸cão sobre um conjunto J-mensur´ avel valem regras an´ alogas ` as do Teorema 3, a saber: Teorema 8. Sejam f, g : X → R fun¸co ˜es integr´ aveis no conjunto Jmensur´ avel X ⊂ Rm e c ∈ R. Ent˜ ao a) As fun¸co ˜es c · f , f + g : X → R s˜ ao integr´ aveis, com Z Z f (x)dx e (c · f )(x)dx = c X

X

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

368 Z

[f (x) + g(x)] =

X

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx.

X

X

b) Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X ent˜ ao Z Z g(x)dx. f (x)dx ≤ X

X

Em particular, se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ X ent˜ ao Z m · vol. X ≤ f (x)dx ≤ M · vol. X. X

c) A fun¸ca õ x 7→ |f (x)| é integr´ avel e Z Z f (x)dx ≤ |f (x)|dx. X

X

Em particular, se |f (x)| ≤ K para todo x ∈ X ent˜ ao Z f (x)dx ≤ K · vol. X. X

d) Se f é cont´ınua e X é conexo ent˜ ao existe x0 ∈ X tal que Z f (x)dx = f (x0 ) · vol. X. X

Demonstra¸ c˜ ao: a) Sejam A ⊂ Rm um bloco contendo X e f , g : A → R as extensões de f e g, iguais a zero em A − X. As extensões de c · f e f +g s˜ ao respectivamente c·f e f +g. Por hip´ otese, f e g s˜ ao integráveis em A, logo o mesmo ocorre com c · f e f + g. Portanto, c · f e f + g s˜ ao integráveis em X, com Z Z Z Z f (x)dx = c · f (x)dx e (c · f )(x)dx = c · f (x)dx = c · A XZ A Z Z ZX [f (x) + g(x)]dx = [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx = A A A X Z Z g(x)dx, em virtude do Teorema 3. f (x)dx + = X

X

b) Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X então f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A. Logo Z Z Z Z f (x)dx = g(x)dx. f (x)dx ≤ g(x)dx = X

A

A

X

˜ DAS FUNC ˜ ´ [SEC. 3: CARACTERIZAC ¸ AO ¸ OES INTEGRAVEIS

369

Se tivermos m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ M então m · χX (x) ≤ f (x) ≤ M · χX (x) para todo x ∈ A, logo m · vol. X = m

Z

A

χX (x)dx = =

Z

ZA

m · χX (x)dx ≤

Z

f (x)dx = A

f (x)dx

X

e, analogamente,

Z

X

f (x)dx ≤ M · vol. X.

c) Seja g : X → R definida por g(x) = |f (x)|. Evidentemente Dg ⊂ Df , logo g é integrável. A extensão g : A → R é dada por g(x) = |f (x)|, onde f : A → R é a extensão de f . Portanto Z Z Z f (x)dx = f (x)dx ≤ |f (x)|dx = A A X Z Z Z |f (x)|dx. g(x)dx = g(x)dx = = X

X

A

Se for |f (x)| ≤ K para todo x ∈ X então Z Z Z f (x)dx ≤ K · dx = K · vol. X. |f (x)|dx ≤ X

X

X

d) Em virtude da conexidade de X, a imagem f (X) é um intervalo, Z 1 cujos extremos s˜ ao m e M . Como f (x)dx pertence a esse vol. X X intervalo, é igual a f (x0 ) para algum x0 ∈ X. Teorema 9. Sejam X, Y ⊂ Rm conjuntos J-mensur´ aveis. Uma fun¸ca õ f : X ∪ Y → R é integr´ avel se, e somente se, suas restri¸co ˜es f |X e f |Y s˜ ao integr´ aveis. No caso afirmativo, Z Z Z Z f (x)dx. f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx + Y

X

X∩Y

X∪Y

Em particular, se X e Y n˜ ao possuem pontos interiores em comum, ent˜ ao Z Z Z f (x)dx. f (x)dx + f (x)dx = X∪Y

X

Y

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

370

Demonstra¸ c˜ ao: Se indicarmos com D, DX e DY respectivamente os conjuntos dos pontos de descontinuidade de f , f |X e f |Y , teremos DX ∪ DY ⊂ D ⊂ DX ∪ DY ∪ ∂X ∪ ∂Y . Sabemos que ∂X e ∂Y têm medida nula. Portanto med. D = 0 ⇔ med. DX = med. DY = 0, ou seja, f é integrável se, e somente se, f |X e f |Y o s˜ ao. No caso afirmativo, sejam A um bloco em Rm contendo X ∪ Y e f : A → R a extensão de f que se anula em A − (X ∪ Y ). Então f = f · χX∪Y logo, da igualdade χX∪Y + χX∩Y = χX + χY concluimos f + f · χX∩Y = f · χX + f · χY Z Z Z Z f+ f · χX∩Y = f= f+ A A X∪Y ZX∩Y Z Z Z = f · χX + f · χY = f+ f. A

A

X

Y

Se X e Y não possuem pontos interiores em comum temos vol. (X ∩ Y ) = 0, em virtude do Exemplo 6. Existe K > 0 tal que |f (x)| ≤ K R para todo x ∈ X. Ent˜ a o | f X∩Y (x)dx| ≤ K · vol. (X ∩ Y ) = 0, logo R f (x)dx = 0, da´ ı resultando au ´ltima afirma¸cão do teorema. X∩Y

Corol´ ario. Seja f : X → R integr´ avel no conjunto J-mensur´ avel m X ⊂ R avel e X − Y tem interior vazio R . Se Y ⊂ RX é J-mensur´ ent˜ a o f (x)dx = f (x)dx. Em particular, se U = int. X ent˜ ao X Y R R f (x)dx = f (x)dx. X U Isto resulta da u ´ltima parte do teorema acima, aplicada à igualdade X = (X − Y ) ∪ Y , juntamente com as seguintes observa¸cões: primeiro, X − Y é J-mensur´ avel pois se tomarmos um bloco A ⊃ X teremos X − Y = X ∩ (A − Y ) e poderemos usar o Teorema 6. Segundo, como o conjunto J-mensur´ R avel X − Y tem interior vazio, seu volume é zero (Exemplo 6) logo X−Y f (x)dx = 0. Portanto Z Z Z Z f (x)dx. f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = X

Y

X−Y

Y

Finalmente, se U = int. X então ∂U ⊂ ∂X, logo U é J-mensur´ avel. Como X − U = ∂X tem interior vazio, temos Z Z f (x)dx = f (x)dx. X

U

Observa¸ c˜ ao: O teorema acima mostra que, ao considerarmos integrais sobre conjuntos J-mensur´ aveis em Rm , não há perda de generalidade em

[SEC. 4: A INTEGRAL COMO LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN

371

supor que tais conjuntos s˜ ao abertos. Convém notar, entretanto, que nem todo subconjunto aberto limitado de Rm é J-mensurável. (Veja Exemplo 9 adiante.) No Cap´ıtulo VII, §6 estenderemos a no¸cão de integral de modo que se possa definir a integral (“imprópria”) de uma fun¸cão sobre um aberto, mesmo que este não seja J-mensurável. Desde já, existe porém um caso particular em que podemos definir a integral de uma fun¸cão f : U → R, definida num aberto U ⊂ Rm , mesmo ´ quando f tem suporte compacto. que U não seja J-mensur´ avel. E [O suporte de f é supp · f , fecho (relativamente a U ) do conjunto dos pontos R x tais que R f (x) 6= 0.] Se supp · f é compacto, podemos definir U f (x)dx = K f (x)dx, onde K é qualquer conjunto J-mensur´ avel, tal que supp · f ⊂ K ⊂ U . A integral existe desde que o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tenha medida nula. O compacto J-mensur´ avel K também existe: na norma do m´ aximo, observar que m d(supp · f, R − U ) = δ > 0, cobrir o compacto supp ·f com um n´ umero finito de cubos de arestas < δ e tomar K igual a ` reuni˜ a o desses cubos. R A integral K f (x)dx, evidentemente, não vai depender do conjunto K escolhido nessas condi¸cões pois f se anula fora de supp · f .

4

A integral como limite de somas de Riemann

Estenderemos agora o conceito de parti¸cão, a fim de exprimir a integral como limite de somas de Riemann, nas quais o dom´ınio da fun¸cão é decomposto como reunião de conjuntos J-mensur´ aveis mais gerais do que blocos. Essa formula¸cão da idéia de integral é a mais comum nas exposi¸cões intuitivas do C´ alculo, principalmente as que visam as aplica¸cões. Seja X ⊂ Rm um conjunto J-mensur´ avel. Uma decomposi¸ca õ de X é uma cole¸cão finita D = {X1 , . . . , Xk } de conjuntos J-mensur´ aveis tais que X = X1 ∪ · · · ∪ Xk e Xi ∩ Xj tem interior vazio se i 6= j. A norma da decomposi¸cão D é o n´ umero |D| = maior diˆ ametro dos conjuntos Xi ∈ D. Uma decomposi¸ca õ pontilhada é um par D∗ = (D, (ξi )) onde ξ1 ∈ X1 , . . . , ξk ∈ Xk . Dadas a decomposi¸cão D = {X1 , . . . , Xk } de X e a fun¸cão limitada f : X → R, escreveremos, para cada i = 1, . . . , k, mi = mi (f ) = inf.{f (x); x ∈ Xi }, Mi = Mi (f ) = sup .{f (x); x ∈ Xi } e definiremos a soma inferior e a soma superior de f relativamente à

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

372 decomposi¸cão D pondo, respectivamente: s(f ; D) =

k X i=1

D∗

mi · vol. Xi

e

S(f ; D) =

k X i=1

Mi · vol. Xi .

A soma de Riemann de f relativamente à decomposi¸cão pontilhada = (D, (ξi )) é definida por ∗

Σ(f ; D ) =

k X i=1

f (ξi ) · vol. Xi .

Um exemplo de decomposi¸cão é fornecido por uma parti¸cão P de um bloco A. Neste caso, os conjuntos Xi da decomposi¸cão s˜ ao os blocos B ∈ P. Seja f : X → R integráRvel no conjunto J-mensur´ avel X ⊂ Rm . Nosso objetivo é provar que X f (x)dx é o limite das somas de Riemann Σ(f ; D∗ ) quando a norma |D| tende para zero. R Isto significa que, para todo ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que | X f (x)dx−Σ(f ; D∗ )| < ε, seja qual for a decomposi¸cão D de X com |D| < δ e seja qual for a maneira D∗ de pontilhar essa decomposi¸cão. Mostraremos também que vale a rec´ıproca: se existe lim Σ(f ; D∗ ) = c então f é integrável sobre |D|→0 R X e X f (x)dx = c. Nossa demonstra¸cão far´ a uso do lema seguinte. Lembremos que, m se X, Y ⊂ R s˜ ao subconjuntos não-vazios e δ > 0 então a afirma¸cão d(X, Y ) < δ significa que existem x ∈ X e y ∈ Y tais que |x − y| < δ. Lema. Sejam Y ⊂ X ⊂ Rm J-mensur´ aveis, com vol. Y = 0. Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que se D é qualquer decomposi¸ca õ de X com |D| < δ ent˜ ao a soma dos volumes dos conjuntos Xi ∈ D tais que d(Xi , Y ) < δ é menor do que ε.

Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0 podemos cobrir Y com uma cole¸cão finita de blocos B cuja soma dos volumes é menor do que ε. Tomando arbitrariamente δ > 0, ponhamos cada um desses blocos B = Π[ai , bi ] dentro do bloco B ′ = Π[ai −2δ, bi +2δ]. Evidentemente, lim vol. B ′ = vol. B. Logo δ→0

existe δ > 0 tal que a soma dos volumes dos blocos B ′ ainda é menor do que ε. Ora, se Z é um conjunto de diˆ ametro < δ tal que d(Z, B) < δ ′ então Z ⊂ B . Portanto, se D = {X1 , . . . , Xk } é uma decomposi¸cão de X com |D| < δ, vemos que d(Xi ; Y ) < δ ⇒ d(Xi ; B) < δ para algum

373

[SEC. 4: A INTEGRAL COMO LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN

B ⇒ Xi ⊂ B ′ . Assim, a soma dos volumes dos conjuntos Xi ∈ D tais que d(Xi , Y ) < δ não excede a soma dos volumes dos blocos B ′ , logo é menor do que ε. Teorema 10. Para toda fun¸ca õ f : X → R, limitada no conjunto Jmensur´ avel X ⊂ Rm , tem-se Z

f (x)dx = lim s(f ; D) X

|D|→0

e

Z

f (x)dx = lim S(f ; D). X

|D|→0

Demonstra¸ c˜ ao: Basta provar a segunda afirma¸cão. Se somarmos uma constante c ` a fun¸cão f , tanto a integral superior como o limite acima serão aumentados de c · vol. X. Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que 0 ≤ f (x) ≤ K para todo x ∈ X. Sejam A um bloco em Rm , contendo X, e f : A → R a extensão de f tal que f (x) = 0 se x ∈ A − X. Queremos provar que, para todo ε > 0 dado, podemos obter δ > 0 tal que, se D é qualquer decomposi¸cão de X com |D| < δ então R |S(f ; D) − X f (x)dx| < ε. Ora, dado ε > 0, existe uma parti¸cão P0 de A tal que Z f (x)dx + ε/2. S(f ; P0 ) < X

Seja Y a reunião das faces próprias dos blocos de P0 . Temos vol. Y = 0. Pelo lema, existe δ > 0 tal que, para toda decomposi¸cão D de X com |D| < δ, a soma dos volumes dos conjuntos Xi ∈ D tais que d(Xi , Y ) < δ é menor do que ε/2K. Seja, portanto, D uma decomposi¸cão de X cuja norma |D| é menor do que δ. Chamemos de Xα os conjuntos da decomposi¸cão D tais que d(Xα , Y ) < δ. Os demais conjuntos de D serão chamados de Xβ . Note que cada Xβ deve estar contido no interior de algum bloco da parti¸cão P0 . [Do contrário existiriam pontos x, y ∈ Xβ em blocos distintos da parti¸cão, logo o segmento de reta [x, y] conteria algum ponto de Y . Como |x − y| < δ, isto daria d(Xβ , Y ) < δ, um absurdo.] Pondo Mα = sup .{f (x); x ∈ Xα } e Mβ = sup .{f (x); x ∈ Xβ }, temos: S(f ; D) = Σ Mα · vol. Xα + Σ Mβ · vol. Xβ ,

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

374

onde Σ Mα · vol. Xα ≤ K · Σ vol. Xα < ε/2 e   X X X  Σ Mβ · vol. Xβ = Mβ · vol. Xβ  ≤ Mβ · vol. B = B∈P0

B∈P0

Xβ ⊂B

= S(f ; P0 )
0 tal que, para toda parti¸cão P do bloco A com |P | < δ ′ , a soma dos volumes dos blocos de P que intersectam Z é menor do que ε/K. Tomando |P | < δ ′ , temos S(f ; P ) = Σ Mβ · vol. B + Σ MC · vol. C, onde chamamos de B os blocos de P que intersectam Z e de C os que estão contidos no interior de algum Xi ∈ D. [Observe que, sendo conexo, um bloco que não esteja contido no interior de algum Xi deve intersectar Z, pelo Teorema da Alfândega.] Ora, Σ Mβ · vol. B ≤ K · Σ vol. B < ε e

Σ MC · vol. C = ≤

X i

X i

 

X

C⊂Xi



  X X MC · vol. C  ≤ vol. C ≤ Mi  i

C⊂Xi

Mi · vol. Xi = S(f ; D).

R Logo X f (x)dx ≤ S(f ; P ) < S(f ; D) + ε. R Como ε > 0 é arbitr´ ario, segue-se que X f (x)dx ≤ S(f ; D) para toda decomposi¸cão D de X. Isto conclui a demonstra¸cão. Corol´ ario (da demonstra¸cão). Se f : X → R é limitada e n˜ ao-negativa no conjunto J-mensur´ avel X ⊂ Rm ent˜ ao Z

f (x)dx = sup .s(f ; D) X

D

e

Z

f (x)dx = inf.S(f ; D). X

D

[SEC. 4: A INTEGRAL COMO LIMITE DE SOMAS DE RIEMANN

375

Teorema 11. Seja f : X → R uma fun¸ca õ limitada no conjunto Jm mensur´ avel X ⊂ R . A fim de que f seja integr´ avel, é necess´ ario e suficiente que exista o limite I = lim Σ(f ; D∗ ). No caso afirmativo, |D|→0

este limite é igual a ` integral de f sobre X. Demonstra¸ c˜ ao: Para toda decomposi¸cão pontilhada D∗ de X tem-se, evidentemente, s(f ; D) ≤ Σ(f ; D∗ ) ≤ S(f ; D). Pelo teorema anterior, se f é integrável, vale lim s(f ; D) = lim S(f ; D) =

|D|→0

|D|→0

Z

f (x)dx. X

Logo, quando f é integrável, existe o limite Z f (x)dx. lim Σ(f ; D∗ ) = |D|→0

X

Reciprocamente, suponhamos que exista o limite I do enunciado. Para provar que f é integrável podemos, sem perda de generalidade, supor que f ≥ 0. Dado arbitrariamente ε > 0, existe uma decomposi¸cão D = {X1 , . . . , Xk } de X tal que |Σ(f ; D∗ ) − I| < ε/4 seja qual for a maneira de pontilhar D. Fixemos D e a pontilhemos de duas maneiras. Em primeiro lugar, podemos escolher em cada conjunto Xi ∈ D um ponto ξi tal que f (ξi ) < mi + ε/(4k · vol. Xi ). Isto nos dá uma decomposi¸cão pontilhada D∗ com ∗

Σ(f ; D ) =

k X i=1

f (ξi ) · vol. Xi
0 arbitr´ ario, temos Z Z f (x)dx = sup .s(f ; D) = inf.S(f ; D) = f (x)dx, D

X

D

X

em virtude do corolário do teorema anterior. Logo f é integrável e sua integral é igual a I. Lema de Duhamel. Seja f : X → R integr´ avel no conjunto J-mensum r´ avel X ⊂ R . Para cada decomposi¸ca õ D = {X1 , . . . , Xk } de X, suponhamos dados n´ umeros η1 = η1 (D), . . . , ηk = ηk (D) tais que lim ηi = |D|→0

0. [Isto significa que, para qualquer ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que |D| < δ ⇒ |η1 (D) < ε, . . . , |ηk (D)| < ε.] Nestas condi¸co ˜es, tem-se Z f (x)dx. lim Σ[f (ξi ) + ηi ] vol. Xi = |D|→0

X

Demonstra¸ c˜ ao: Basta observar que, se ηi < ε/ vol. X para i = 1, . . . , k, ε · Σ vol. Xi = ε, logo lim Σ ηi · vol. Xi = então Σ ηi · vol. Xi < vol. X |D|→0 0. Portanto lim Σ[f (ξi ) + ηi ] · vol. X = lim Σ f (ξ i i ) vol. Xi + lim Σ ηi · R vol. Xi = lim Σ f (ξi ) · vol. Xi = X f (x)dx.

5

Integra¸c˜ ao repetida

A redu¸cão de uma integral sobre um bloco m-dimensional (“integral m´ ultipla”) a uma seq¨ uência de m integrais de fun¸cões de uma variável (“integral repetida”) é um eficaz instrumento de cálculo, além de ter importˆ ancia te´ orica, como constataremos, por exemplo, na demonstra¸cão do Teorema de Stokes, no Cap´ıtulo VII. Tal redu¸cão será provada agora. Dela decorre, em particular, o Teorema da Inversão de Ordem nas Integrais Repetidas, que demonstramos no Cap´ıtulo III, §6. Evidentemente, para reduzir uma integral sobre um bloco a sucessivas integrais sobre intervalos basta considerar A = A1 × A2 ⊂ Rm+n , onde A1 ⊂ Rm e A2 ⊂ Rn s˜ ao blocos, e mostrar que toda integral sobre A se obtém integrando-se primeiro sobre A2 e depois sobre A1 (ou vice-versa). ´ o que faremos. Os pontos de A1 × A2 serão escritos como (x, y), E onde x ∈ A1 , y ∈ A2 e seRf : A1 × A2 → R é integrável, sua integral será indicada com a nota¸cão A1 ×A2 f (x, y)dxdy.

˜ REPETIDA [SEC. 5: INTEGRAC ¸ AO

377

Dada f : A1 × A2 → R, para cada x ∈ A1 escreveremos fx : A2 → R, onde fx (y) = f (x, y), y ∈ A2 . Portanto fx é essencialmente a restri¸cão de f ao bloco n-dimensional {x} × A2 . Mesmo supondo f integrável, a fun¸cão fx pode, para alguns valores de x ∈ A1 , não ser integrável. Com efeito, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem medida nula em Rm+n mas sua interse¸cão com algum bloco {x} × A2 pode não ter medida n-dimensional nula. Exemplo 7. Seja f : [0, 1] × [0, 1] → R definida por f (x, y) = 0 se x 6= 1/2, enquanto f (1/2, y) = 1 se y é racional e f (1/2, y) = 0 caso y seja irracional. O conjunto dos pontos de descontinuidade de f é o segmento vertical {1/2} × [0, 1], que tem medida nula em R2 . Assim, f é integrável. Para todo x 6= 1/2, fx : [0, 1] → R é identicamente nula e portanto integrável. Mas f1/2 é descont´ınua em todos os pontos do intervalo [0, 1], logo não é integrável. Observa¸ c˜ ao: Pode-se mostrar (v., por exemplo, o Exerc. 5.3, adiante) que se f é integrável então o conjunto dos pontos x ∈ A1 tais que fx não é integrável tem medida nula. Isto é parte do importante “Teorema de Fubini”, o qual contém também o teorema que provaremos abaixo. Teorema da Integra¸ c˜ ao Repetida. Seja f : A1 × A2 → R integr´ avel no produto dos blocos A1 ⊂ Rm e A2 ⊂ Rn . Para todo x ∈ A1 , seja fx : A2 → R definida por fx (y) = f (x, y) e ponhamos ϕ(x) =

Z

fx (y)dy,

ψ(x) =

A2

Z

fx (y)dy. A2

As fun¸co ˜es ϕ, ψ : A1 → R, assim definidas, s˜ ao integr´ aveis, com Z Z Z ϕ(x)dx = ψ(x)dx = f (x, y)dxdy, A1

A1

A1 ×A2

isto é: Z

f (x, y)dxdy = A1 ×A2

=

Z

dx A1

Z

dx A1

Z

Z

f (x, y)dy A2

!

f (x, y)dy . A2

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

378

Demonstra¸ c˜ ao: Seja P = P1 × P2 uma parti¸cão qualquer de A1 × A2 . Os blocos de P s˜ ao os produtos B1 × B2 , onde B1 ∈ P1 e B2 ∈ P2 . A soma inferior de f relativa ` a parti¸cão P se escreve s(f ; P ) = Σ mB1 ×B2 · vol. B1 · vol. B2 =   X X  = mB1 ×B2 · vol. B2  vol. B1 . B2 ∈P2

B1 ∈P1

Para todo x ∈ B1 , mB1 ×B2 = mB1 ×B2 (f ) ≤ mB2 (fx ), logo X

B2 ∈P2

mB1 ×B2 · vol. B2 ≤

X

B2 ∈P2

mB2 (fx ) · vol. B2 ≤ ϕ(x).

Como esta desigualdade vale para todo x ∈ B1 , concluimos que X

B2 ∈P2

mB1 ×B2 · vol. B2 ≤ mB1 (ϕ). Da´ı

s(f ; P ) ≤

X

B1 ∈P1

mB1 (ϕ) · vol. B1 = s(ϕ; P1 ).

Analogamente se prova a desigualdade S(ϕ; P1 ) ≤ S(f ; P ). Logo s(f ; P ) ≤ s(ϕ; P1 ) ≤ S(ϕ; P1 ) ≤ S(f ; P ), para qualquer parti¸cão P = P1 × P2 . RComo f é integr´ R avel, decorre imediatamente que ϕ é integrável e que A1 ϕ(x)dx = A1 ×A2 f (x, y)dxdy. A afirma¸cão sobre ψ se prova da mesma maneira. Corol´ ario. Se f : A1 × A2 → R é integr´ avel ent˜ ao Z

dx A1

Z

f (x, y)dy A2

=

Z

A2

=

Z

dy

Z

f (x, y)dx A1

=

f (x, y)dxdy

A1 ×A2

e valem mais 3 igualdades an´ alogas, que se obtêm tomando integrais superiores e inferiores dentro dos parênteses. Em particular, se fx e fy s˜ ao cont´ınuas para quaisquer x ∈ A1 e y ∈ A2 (por exemplo, se f é

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

379

cont´ınua) ent˜ ao Z

f (x, y)dxdy =

A1 ×A2

Z

dx

A1

=

Z

dy

A2

Z

Z

f (x, y)dy

A2

=

f (x, y)dx .

A1

Com efeito, tudo que se fez com x no teorema acima pode ser feito também com y. Exemplo 8. Seja X ⊂ [0, 1] um conjunto de Cantor de medida positiva, como no Exemplo 3. Afirmamos que o conjunto Y = X × [0, 1] não tem medida nula em R2 . Com efeito, o quadrado A = [0, 1] × [0, 1] contém Y e a fun¸cão caracter´ıstica χY : A → R é cont´ınua em todos os pontos de A − Y . Se Y tivesse medida nula então f = χY seria integrável. Com a nota¸cão do teorema anterior, para todo x ∈ [0, 1] temos fxR constante 1 (igual a zero se x ∈ / X, igual a 1 para x em X). Como ϕ(x) = 0 fx (y)dy, segue-se que ϕ : [0, 1] → R é a fun¸cão caracter´ıstica de X. Pelo referido teorema, ϕ seria integrável, o que equivale a dizer que o conjunto X seria J-mensur´ avel, o que é absurdo pois med. ∂X = med. X 6= 0. Exemplo 9. Usando o conjunto Y do exemplo acima, exibiremos um aberto limitado U ⊂ R2 que não é J-mensur´ avel. Basta tomar qualquer retˆ angulo aberto V em R2 , contendo Y , e pôr U = V − Y . Então ∂U ⊃ Y , logo ∂U não tem medida nula, isto é, U não é J-mensur´ avel.

6

Mudan¸ ca de vari´ aveis

A fórmula de mudan¸ca de variáveis para integrais simples é quase R h(b) automática: na integral h(a) f (y)dy, se h : [a, b] → R é de classe C 1 , põe-se y = h(x) e dy = h′ (x)dx. Quando x varia entre a e b, h(x) vai de h(a) até h(b) e tem-se: Z

h(b)

h(a)

f (y)dy =

Z

b

f (h(x))h′ (x)dx.

a

Isto foi demonstrado, para f cont´ınua, (sem supor h injetiva) no Vol. 1, pág. 326, como uma simples conseq¨ uência do Teorema Fundamental do C´ alculo.

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

380

Para integrais m´ ultiplas, a fórmula de mudan¸ca de variáveis se torna Z Z f (h(x)) · | det. h′ (x)|dx. f (y)dy = X

h(X)

Aqui, supõe-se que h seja um difeomorfismo de classe C 1 numa vizinhan¸ca de X, mas f : h(X) → R é apenas integrável. Esta fórmula é o resultado mais importante deste cap´ıtulo. Comparando as regras de mudan¸ca de variáveis para integrais simples e m´ ultiplas, acharemos natural que o determinante jacobiano substitua a derivada, mas dificilmente deixaremos de estranhar o valor absoluto. Por que ele não ocorre no caso de uma variável? A resposta é: ele ocorre, sim, mas fica oculto por uma nota¸cão conveniente. (E não poderia deixar de ocorrer, pois a defini¸cão que demos no §1 deste cap´ıtulo para a integral de uma fun¸cão de m variáveis inclui o caso particular m = 1.) Rb Ra Tudo come¸ca com a conven¸cão a f (x)dx = − b f (x)dx, que faz da integral simples uma integral “orientada”. R Dado o intervalo I = [a, b], com a < b, indiquemos com a nota¸cão I f (x)dx a integral da fun¸cão f : I →R R, definidaR como no §1, j´ ao 1. Ra aque I é um bloco de dimens˜ b Então I f (x)dx = a f (x)dx = − b f (x)dx. Se h é um difeomorfismo de classe C 1 de I sobre o intervalo J = h(I), ou se tem h′ (x) > 0 para todo x ∈ [a, b], e então h(a) < h(b), ou vale h′ (x) < 0 para todo x, donde h(b) < h(a). No segundo caso, pela fórmula provada no Vol. 1, tem-se Z

h(I)

f (y)dy = − =

Z

(h(b)

f (y)dy =

h(a)

Z

I

Z

b

f (h(x))(−h′ (x))dx =

a

f (h(x)) · |h′ (x)|dx,

fórmula que, evidentemente, também é válida no primeiro caso. Observa¸ c˜ ao: O estudo de integrais m´ ultiplas orientadas será feito no próximo cap´ıtulo, onde veremos que os integrandos mais naturais nesse caso s˜ ao as formas diferenciais. O plano para a demonstra¸cão do Teorema de Mudan¸ca de Vari´ aveis é o seguinte: primeiro provaremos uma fórmula para mudan¸ca linear de variável numa integral superior sobre um intervalo, depois demonstraremos o teorema no caso particular em que o difeomorfismo h é uma

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

381

transforma¸cão linear invert´ıvel. Usaremos o caso linear para provar, então, o teorema geral. Lema 1. Sejam T : R → R definida por T (x) = αx + β, com α 6= 0, e I ⊂ R um intervalo compacto. Dada f : J → R, limitada no intervalo J = T (I), tem-se Z

J

Z f (y)dy = |α| f (αx + β)dx. I

Demonstra¸ c˜ ao: Observe que as parti¸cões Q = {t0 , . . . , tk } de J s˜ ao todas do tipo Q = α · P + β = {α · s0 + β, . . . , α · sk + β}, onde P = {s0 , . . . , sk } é uma parti¸cão de I se α > 0. Se for α < 0 então a parti¸cão P tem a forma P = {sk , . . . , s1 , s0 }. Logo S(f ; Q) = Σ Mi (f )(ti − ti−1 ) = α · Σ Mi (f ◦ T )(si − si−1 ) =

= −α · Σ Mi (f ◦ T )(si−1 − si ), ou seja ( α · S(f ◦ T ; P ) se α > 0 S(f ; Q) = = |α| · S(f ◦ T ; P ). −α · S(f ◦ T ; P ) se α < 0

Segue-se imediatamente que Z

J

Z f (y)dy = |α| f (αx + β)dx. I

Corol´ ario. Sejam f : [a, b] → R uma fun¸ca õ limitada e T : R → R definida por T (x) = αx + β, com α 6= 0. Suponha que f se anula fora de um conjunto arbitr´ ario Y ⊂ [a, b] e fora de T (Y ) ⊂ [a, b]. Ent˜ ao Z

b

f (y)dy = a

Z

b

f (αx + β)|α|dx. a

Com efeito, tomemos um intervalo compacto I, tal que Y ⊂ I ⊂ [a, b] e J = T (I) ⊂ [a, b]. Usando o Lema 1, temos Z

b

f (y)dy = a

=

Z Z

f (y)dy = J b

Z

f (αx + β)|α|dx = I

f (αx + β)|α|dx. a

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

382

Antes de passarmos ao próximo resultado observemos, de uma vez por todas, que se h : U → V é um difeomorfismo de classe C 1 entre abertos de Rm então (por h ser um homeomorfismo) tem-se h(∂X) = ∂h(X) para todo conjunto X tal que X ⊂ U . Além disso, como h é localmente Lipschitziana, se Y ⊂ U tem medida nula então h(Y ) tem medida nula. avel. Assim, se X é J-mensur´ avel e X ⊂ U , sua imagem h(X) é J-mensur´ Finalmente, se f : h(X) → R então os conjuntos dos pontos de descontinuidade de f e f ◦ h : X → R estão relacionados pela igualdade Df ◦h = h−1 (Df ). Como h−1 também é localmente Lipschitziana, seguese que med. Df ◦h = 0 ⇔ med. Df = 0, isto é, f é integrável se, e somente se, f ◦ h é integrável. Caso Linear da Mudan¸ ca de Vari´ aveis. Sejam T : Rm → Rm uma transforma¸ca õ linear invert´ıvel, X ⊂ Rm um conjunto J-mensur´ avel e f : T (X) → R uma fun¸ca õ integr´ avel. Ent˜ ao Z

T (X)

f (y)dy =

Z

X

f (T · x)| det. T |dx.

Demonstra¸ c˜ ao: A observa¸cão básica é a seguinte: se a igualdade acima vale com T = T1 e com T = T2 , então vale com T = T1 T2 . Ora, toda transforma¸cão linear invert´ıvel T : Rm → Rm se exprime como produto de “transforma¸cões elementares”(necessariamente invert´ıveis) dos dois tipos abaixo. (Veja a prova no Apêndice a este par´ agrafo.) Tipo 1. x = (x1 , x2 , . . . , xm ) 7→ T · x = (ϕ(x), x2 , . . . , xm ), com ϕ(x) =

m X

αi xi .

i=1

Tipo 2. x = (x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xm ) 7→ T · x = = (x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xm ). Basta, portanto, considerar os casos em que T é de um desses tipos. Seja, primeiro, T do Tipo 1. Escrevamos ϕ(x) = α1 · x1 + β. Como T é invert´ıvel, tem-se α1 6= 0. Seja A = [a, b] × A′ um bloco m-dimensional contendo X e T (X), onde A′ é um bloco em Rm−1 . Para simplificar a nota¸cão, consideraremos f definida em A, igual a zero em A − T (X). Usando a nota¸cão y = (t, w) ∈ A para os pontos de A = [a, b] × A′ , vemos que todo y = (t, w) ∈ T (X) é da forma y = T (x) = (ϕ(x), w) = (α1 s+β, w), onde x = (s, w). Usando o Teorema da Integra¸cão Repetida

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

383

e o Corolário do Lema 1, (no qual, para cada w ∈ A′ , tomamos Y = Yw = {t ∈ [a, b]; (t, w) ∈ X}), temos Z b Z Z Z dw fw (t)dt = f (y)dy = f (y)dy = A′

A

T (X)

= = = =

Z

Z

dw A′

dw

ZA

ZA A

′

Z Z

a

b

a b a

fw (α1 s + β)|α1 |ds = f (α1 s + β, w) · | det. T |ds =

f (α1 s + β, w) · | det. T |dsdw = f (T · x) · | det. T |dx.

Suponhamos agora que T : Rm → Rm seja uma transforma¸cão elementar do Tipo 2. Ent˜ R ao det. T = −1, R logo | det. T | = 1. Devemos, portanto mostrar que T (X) f (y)dy = X f (T · x)dx quando T é do Tipo 2. Ora, para todo bloco B = [a1 , b1 ] × · · · × [ai , bi ] × · · · × [aj , bj ] × · · · × [am , bm ], temos T (B) = [a1 , b1 ]×· · ·×[aj , bj ]×· · ·×[ai , bi ]×· · ·×[am , bm ], logo T (B) é um bloco cujo volume é igual ao de B. Como o volume de um conjunto J-mensur´ avel Z ⊂ Rm é o ´ınfimo dos n´ umeros Σ vol. Bi , onde os Bi s˜ ao blocos, com Z ⊂ B1 ∪ · · · ∪ Bk , segue-se que vol. T R(Z) = vol. Z para todo conjunto J-mensur´ avel Z ⊂ Rm . A integral T (X) f (y)dy pode ser calculada por meio do Teorema 11. Toda decomposi¸cão T (X) = Y1 ∪ · · · ∪ Yk é tal que Yi = T (Xi ), onde X = X1 ∪ · · · ∪ Xk é uma decomposi¸cão de X. Se ξi ∈ Yi então ξi = T (ηi ), ηi ∈ Xi . Logo Z f (y)dy = lim Σ f (ξi ) vol. Yi = lim Σ f (T · ηi ) vol. T (Xi ) = |D|→0 |D|→0 T (X) Z f (T · x) · dx, = lim Σ f (T · ηi ) · vol. Xi = |D|→0

X

o que prova o teorema. Corol´ ario. Seja X ⊂ Rm um conjunto J-mensur´ avel. Para toda transm m forma¸ca õ linear T : R → R , tem-se vol. T (X) = | det. T | · vol. X.

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

384

Com efeito, se T não é invert´ıvel então T (X) está contida na imagem de T , que é uma superf´ıcie de dimens˜ ao < m em Rm , logo T (X) tem interior vazio, e da´ı vol. T (X) = 0 = | det. T | · vol. X, pois, neste caso, det. T = 0. Se, porém, T é invert´ıvel, aplicamos o teorema acima, com f = 1 : T (X) → R a fun¸cão constante, igual a 1, e temos Z

Z

1 · | det. T |dx = 1 · dx = X Z 1 · dx = | det. T | vol. X. = | det. T |

vol. T (X) =

T (X)

X

Exemplo 10. Dados v1 , . . . , vm ∈ Rm , indicaremos (agora e no que se segue) com a nota¸cão [v1 , . . . , vm ] o paralelep´ıpedo gerado pelos vetores dados, o qual é, por defini¸cão, o conjunto dos pontos de Rm que têm a forma t1 v1 + · · · + tm vm , onde t1 , . . . , tm ∈ [0, 1]. Diremos também que [v1 , . . . , vm ] é o paralelep´ıpedo que tem os vetores v1 , . . . , vm como arestas. Seja T : Rm → Rm a transforma¸cão linear tal que T ·e1 = v1 , . . . , T ·em = vm . O paralelep´ıpedo [v1 , . . . , vm ] é a imagem por T do cubo unit´ ario C = [e1 , . . . , em ] = {x ∈ Rm ; 0 ≤ xi ≤ 1}. Por defini¸cão, temos vol. C = 1. Logo, pelo corolário acima, concluimos que vol. [v1 , . . . , vm ] = | det. T | = | det. (v1 , . . . , vm )|, onde (v1 , . . . , vm ) é a matriz m×m cuja i-ésima coluna é o vetor vi . Se um dos vetores vi (digamos v1 , por simplicidade) é perpendicular aos demais vj , então o volume do paralelep´ıpedo é dado por vol. [v1 , . . . , vm ] = |v1 | · volm−1 [v2 , . . . , vm ], onde volm−1 significa o volume “(m−1)-dimensional” do paralelep´ıpedo cujas arestas s˜ ao v2 , . . . , vm . Isto é claro se v2 , . . . , vm geram Rm−1 . O caso geral se reduz a este mediante uma transforma¸cão ortogonal (a qual preserva volumes de acordo com o Corolário). Evidentemente, se v1 , . . . , vm s˜ ao linearmente dependentes, (ou seja, se T não é invert´ıvel) então vol. [v1 , . . . , vm ] = | det. T | = 0.

Definiremos ainda o volume orientado do paralelep´ıpedo [v1 , . . . , vm ] ⊂ Rm pondo vol. [v1 , . . . , vm ] = det. (v1 , . . . , vm ). Neste caso, o volume possui sinal e a ordem em que s˜ ao numeradas as arestas v1 , . . . , vm é relevante. Os volumes orientados serão u ´teis no cap´ıtulo seguinte. A demonstra¸cão do caso geral do teorema será precedida de dois lemas. O primeiro é de natureza topológica.

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

385

Lema 1. Sejam X compacto, contido no aberto U ⊂ Rm , e ϕ : U × U → R cont´ınua, com ϕ(x, x) = 1 para todo x ∈ X. Dado ε > 0, pode-se obter δ > 0 tal que |ϕ(x, y) − 1| < ε quaisquer que sejam x, y ∈ X com |y − x| < δ. Demonstra¸ c˜ ao: Se o lema fosse falso então, para cada k ∈ N , existiriam xk , yk ∈ X tais que |xk − yk | < 1/k e |ϕ(xk , yk ) − 1| ≥ ε. Passando a subseq¨ uências, se necessário, (pois X é compacto) pode-se admitir que lim xk = lim yk = a ∈ X. Pela continuidade de ϕ, resultaria |ϕ(a, a) − 1| ≥ ε, uma contradi¸cão.

Lema 2. Sejam U, V ⊂ Rm abertos, h : U → V um difeomorfismo de classe C 1 , X ⊂ U um compacto J-mensur´ avel e N = N (h; X) = ′ sup .{|h (x)|; x ∈ X}. Ent˜ ao h(X) é J-mensur´ avel e vol. h(X) ≤ N m · vol. X. Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos em Rm a norma do m´ aximo. Suponhamos inicialmente que X = C seja um cubo de centro p, cuja aresta mede a, isto é, C = {x ∈ Rm ; |x − p| ≤ a/2}. Pela desigualdade do Valor Médio, x ∈ C ⇒ |h(x) − h(p)| ≤ N · a/2. Isto significa que h(C) está contido no cubo D = {y ∈ Rm ; |y − h(p)| ≤ N · a/2}, cuja aresta mede N · a, logo vol. h(C) ≤ vol. D = N m · am = N m · vol. C. No caso geral, tomemos arbitrariamente ε > 0. Sabemos que |h′ (x)|m < N m + ε para todo x ∈ X. Pela continuidade de h′ , existe um aberto U0 tal que X ⊂ U0 ⊂ U e |h′ (y)|m < N m +ε para todo y ∈ U0 . Consideremos cubos k P vol. Ci < vol. X + ε. C1 , . . . , Ck tais que X ⊂ C1 ∪ · · · ∪ Ck ⊂ U0 e i=1

Para cada i = 1, . . . , k, ponhamos Ni = N (h; Ci ) = sup .{|h′ (y)|; y ∈ Ci }, o que dá Nim ≤ N m + ε. Temos h(X) ⊂ ∪ h(Ci ), logo, como k k P P Nim · vol. Ci ≤ (N m + vol. h(Ci ) ≤ provamos acima, vol. h(X) ≤ i=1

i=1

ε)·Σ vol. Ci ≤ (N m +ε)(vol. X+ε). Como ε > 0 é arbitr´ ario, concluimos que vol. h(X) ≤ N m · vol. X.

Teorema de Mudan¸ ca de Vari´ aveis. Sejam h : U → V um difeomorfismo de classe C 1 entre abertos U, V ⊂ Rm , X ⊂ U um compacto Jmensur´ avel e f : h(X) → R uma fun¸ca õ integr´ avel. Ent˜ ao f ◦ h : X → R é integr´ avel e Z Z f (h(x)) · | det. h′ (x)|dx. f (y)dy = h(X)

X

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

386

Demonstra¸ c˜ ao: Entre os conjuntos de pontos de descontinuidade de f e f ◦ h existe a rela¸cão Df ◦h = h−1 (Df ). Como Df tem medida nula e h−1 é localmente Lipschitziana, Df ◦h tem medida nula, ou seja, f ◦ h é integrável. Para demonstrar a fórmula, notemos que basta considerar o caso em que f ≥ 0, e que as decomposi¸cões pontilhadas de h(X) têm a forma {h(X1 ), . . . , h(Xk ); h(ξ1 ), . . . , h(ξk )}, onde {X1 , . . . , Xk ; ξ1 , . . . , ξk } é uma decomposi¸cão pontilhada de X. Portanto Z

f (y)dy = lim

|D|→0

h(X)

k X i=1

f (h(ξi )) · vol. h(Xi ).

Dada a decomposi¸cão pontilhada D∗ do conjunto X, ponhamos Ti = h′ (ξi ), Ni = sup {|Ti−1 · h′ (x)|; x ∈ Xi } e ηi = ηi (D) = Ni − 1. Seguese do Lema 1, com ϕ(x, y) = |h′ (y)−1 · h′ (x)|, que para todo ε > 0 dado existe δ > 0 tal que |D| < δ ⇒ |ηi | < ε. Noutras palavras, lim ηi (D) = 0. Usando o Caso Linear e o Lema 2, podemos escrever: |D|→0

vol. h(Xi ) = vol. Ti · Ti−1 · h(Xi ) = | det. Ti | · vol. Ti−1 h(Xi ) ≤ ≤ | det. Ti |Nim · vol. Xi = | det. h′ (ξi )| · (1 + ηi )m · vol. Xi .

Levando em conta que f ≥ 0 e usando o Lema de Duhamel, obtemos Z f (y)dy ≤ lim Σ f (h(ξi )) · | det. h′ (ξi )| · (1 + ηi )m ·vol. Xi = |D|→0 h(X) Z = f (h(x)) · det. |h′ (x)| · dx. X

Esta desigualdade contém a igualdade desejada. Com efeito, aplicando a` u ´ltima integral acima a mudan¸ca de variáveis h−1 : h(X) → X e observando que, para x = h−1 (y), vale | det. h′ (x)| · | det. (h−1 )′ (y)| = 1, temos Z f (h(x)) · | det. h′ (x)|dx ≤ X Z f hh−1 (y) · | det. h′ (x)| · | det. (h−1 )′ (y)|dy = ≤ h(X) Z f (y)dy. = h(X)

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

387

ˆ APENDICE Provaremos que toda transforma¸cão linear invert´ıvel T : Rm → Rm se escreve como produto T = E1 · E2 . . . Ek de transforma¸cões lineares elementares (necessariamente invert´ıveis) dos Tipos 1 e 2 definidos na demonstra¸cão do Caso Linear do teorema da mudan¸ca de variáveis. Para come¸car, notamos que toda transforma¸cão linear da forma x = (x1 , . . . , xm ) 7→ E · x = (x1 , . . . , xi−1 , ϕ(x), xi+1 , . . . , xm ), onde ϕ(x) = a1 x1 +· · ·+am xm , é produto de uma transforma¸cão do Tipo 1 por uma do Tipo 2. Logo não há preju´ızo em admitir as transforma¸cões da espécie acima entre as elementares. Observemos que det. E = ai , logo E é invert´ıvel se, e somente se, ai 6= 0. Dada T : Rm → Rm invert´ıvel, mostraremos que é poss´ıvel multiplicar T sucessivamente por transforma¸cões lineares elementares até obter a transforma¸cão identidade. Procedendo por indu¸cão, basta provar que se T é da forma T · x = (ϕ1 (x), . . . , ϕi (x), xi+1 , . . . , xm ), onde ϕr (x) = ar1 x1 + · · · + arm xm (r = 1, 2, . . . , i), então podemos encontrar transforma¸cões elementares E1 , E2 tais que T E1 E2 · x = (ξ1 (x), . . . , ξi−1 (x), xi , xi+1 , . . . , xm ). Ora, as i primeiras linhas da matriz de T s˜ ao os vetores (ar1 , . . . , arm ) e as linhas seguintes s˜ ao os vetores ei+1 , . . . , em da base canônica de Rm . Logo det. T = det. (ars ), 1 ≤ r, s ≤ i. Como det. T 6= 0, deve existir algum s, com 1 ≤ s ≤ i, tal que ais 6= 0. Seja E1 a transforma¸cão elementar (do Tipo 2) que consiste em permutar as coordenadas xs e xi . Considerando S = T · E1 , temos S · x = (ψ1 (x), . . . , ψi (x), xi+1 , . . . , xm ), com ψi (x) = b1 x1 + · · · + bm xm , onde bi 6= 0. Portanto a transforma¸cão elementar E·x = (x1 , . . . , xi−1 , ψi (x), xi+1 , . . . , xm ) é invert´ıvel. A transforma¸cão E2 = E −1 é da mesma espécie que E e cumpre ψi (E2 · x) = xi . Logo, pondo ξj (x) = ψj (E2 · x), temos T E1 E2 · x = SE2 · x = (ξ1 (x), . . . , ξi−1 (x), xi , xi+1 , . . . , xm ), como quer´ıamos demonstrar.

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

388

Exerc´ıcios §1. 1.1. Sejam P e Q parti¸c˜ oes do bloco m-dimensional A. Um bloco m-dimensional B pertence ` a parti¸c˜ ao P + Q se, e somente se, é interse¸c˜ ao de um bloco de P com um bloco de Q. 1.2. Seja f : A → R uma fun¸c˜ ao definida no bloco m-dimensional A, tal que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ A. Dada uma parti¸c˜ ao P de A, existe uma parti¸c˜ ao Q do bloco (m + 1)-dimensional A × [m, M ] tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) é a soma dos volumes dos blocos de Q que contêm pontos do gr´ afico de f . 1.3. Sejam f, g : A → R limitadas no bloco A. Prove que Z Z Z f (x)dx + g(x)dx ≤ [f (x) + g(x)]dx ≤ A

≤

Z

A

A

[f (x) + g(x)]dx ≤

Z

A

f (x)dx + A

Z

g(x)dx. A

Dê um exemplo s˜ ao estritas. R as desigualdades acima R R Prove R em que todas c · f (x)dx = c f (x)dx se c > 0 e c · f (x)dx = c A f (x)dx também que A A A quando c < 0. Estabele¸ca o resultado an´ alogo para a integral superior. Prove ainda que se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A ent˜ ao Z Z Z Z f (x)dx ≤ g(x)dx. f (x)dx ≤ g(x)dx e A

A

A

A

1.4. Sejam f : A → R, g : B → R fun¸c˜ oes limitadas n˜ ao-negativas nos blocos A, B. Defina ϕ : A × B → R pondo ϕ(x, y) = f (x) · g(y). Prove que Z Z Z ϕ(z)dz = f (x)dx · g(y)dy A×B

A

B

e que vale um resultado an´ alogo para integrais inferiores. 1.5. Se f, g : A → R s˜ ao integr´ aveis, prove a desigualdade de Schwarz: 2 Z Z Z f (x)g(x)dx ≤ f (x)2 dx · g(x)2 dx. A

A

A

1.6. Dados os blocos m-dimensionais B1 , . . . , Bk , contidos no bloco m-dimensional A, existe uma parti¸c˜ ao P de A tal que cada bloco Bi é reuni˜ ao de blocos de P . Se cada interse¸c˜ ao Bi ∩ Bj é (vazia ou) uma face comum a Bi e Bj , ent˜ ao P pode ser tomada tal que Bi ∈ P para todo i.

1.7. Seja f : A → R tal que 0 ≤ f (x) ≤ M para todo x pertencente ao bloco A. Considere o conjunto C(f ) = {(x, y) ∈ A × [0, M ]; 0 ≤ y ≤ f (x)}. Mostre que Z Z f (x)dx = χC(f ) (x)dx. A

A×[0,M ]

Estabele¸ca o resultado an´ alogo para integral inferior.

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

389

§2. 2.1. Se X ⊂ Rm tem medida nula ent˜ ao, para todo Y ⊂ Rn , o produto cartesiano X × Y tem medida nula em Rm+n . 2.2. Seja f : [a, b] → Rn (n > 1) um caminho cont´ınuo retific´ avel. Prove que f ([a, b]) tem medida nula. [Observa¸c˜ ao: Existem “curvas de Peano”. Cada uma delas é um caminho cont´ınuo f : [0, 1] → Rn , cuja imagem contém um cubo em Rn .]

2.3. Dados X ⊂ Rp e v ∈ Rp , seja X + v = {x + v; x ∈ X}. Sejam M, N ⊂ Rp superf´ıcies de classe C 1 tais que dim. M + dim. N < p. Mostre que é denso em Rp o conjunto dos vetores v, tais que M + v e N s˜ ao conjuntos disjuntos. [Sugest˜ ao: Prove que o conjunto dos pontos x − y ∈ Rp , onde x ∈ M e y ∈ N , tem medida nula.] 2.4. Diz-se que duas superf´ıcies M, N ⊂ Rp se intersectam transversalmente em Rp quando, para todo x ∈ M ∩ N , vale Rp = Tx M + Tx N . [Note que a defini¸c˜ ao é fraseada de tal modo que M ∩ N = ∅ ⇒ M e N se intersectam transversalmente.] Mostre que M + v e N se intersectam transversalmente em Rp se, e somente se, v ∈ Rp é um valor regular da aplica¸c˜ ao ϕ : M × N → Rp , ϕ(x, y) = y − x. Conclua que, se dim. M + dim. N = p ent˜ ao o conjunto dos vetores v ∈ Rp tais que M + v e N se intersectam transversalmente em Rp é denso em Rp . 2.5. Para todo vetor unit´ ario u ∈ Rp , seja Eu ⊂ Rp o subespa¸co de dimens˜ ao p − 1 formado pelos vetores perpendiculares a u e seja πu : Rp → Eu a proje¸c˜ ao ortogonal cujo n´ ucleo é formado pelos m´ ultiplos de u. Dada uma superf´ıcie M ⊂ Rp , de classe C 1 , se p > 2.dim.M + 1 ent˜ ao é denso em S p−1 o conjunto dos vetores unit´ arios u ∈ Rp tais que a proje¸c˜ ao πu aplica M injetivamente em Eu . [Sugest˜ ao: Considere N = {(x, y) ∈ M × M ; x 6= y} ⊂ R2p , defina x−y ϕ : N → S p−1 , ϕ(x, y) = e observe que πu |M é injetiva se, e somente |x − y| se, u n˜ ao pertence ` a imagem de ϕ.] 2.6. Seja MS ⊂ Rp uma superf´ıcie de classe C 2 . Se 2.dim.M < p ent˜ ao a reuni˜ ao Tx M dos espa¸cos vetoriais tangentes a M em todos os seus pontos é X= x∈M

um conjunto de medida nula em Rp .

2.7. Seja f : U → R de classe C 2 no aberto U ⊂ Rm . Para cada a ∈ Rm considere a fun¸c˜ ao g = ga : U → R, definida por g(x) = f (x) − ha, xi. Mostre que existe um conjunto X ⊂ Rm de medida nula tal que, para todo a ∈ Rm − X, g é uma fun¸c˜ ao de Morse (isto é, seus pontos cr´ıticos s˜ ao todos n˜ ao-degenerados). Conclua que, dada f ∈ C 2 e dado ε > 0, se U é limitado, existe uma fun¸c˜ ao de Morse g : U → R tal que |f (x) − g(x)| < ε e |df (x) · v − dg(x) · v| ≤ ε|v| para quaisquer x ∈ U e v ∈ Rm .

2.8. Seja p um n´ umero real ≥ 0. Diz-se que um conjunto X ⊂ Rm tem p-medida nula (no sentido de Hausdorff) quando, para todo ε > 0 dado, pode-se escrever

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

390 X = X1 ∪· · ·∪Xi ∪. . . com Prove:

∞ P

(diam. Xi )p < ε. Escreve-se, ent˜ ao, mp (X) = 0.

i=1

a) X ⊂ Rm tem m-medida nula se, e somente se, med. X = 0.

b) Um compacto X ⊂ Rm tem p-medida nula se, e somente se, para todo ε > 0, pode-se escrever X = X1 ∪ · · · ∪ Xi , com (diam. X1 )p + · · · + (diam. Xi )p < ε. c) Se M ⊂ Rn é uma superf´ıcie de classe C 1 e dimens˜ ao m ent˜ ao mp (M ) = 0 se p > m e mp (M ) 6= 0 se p = m.

2.9. Seja K ⊂ Rm ×[a, b] compacto. Para cada t ∈ [a, b], seja Kt = {x ∈ Rm ; (x, t) ∈ K}. Se, para todo t ∈ [a, b] tem-se med. Kt = 0 ent˜ ao med. K = 0 em Rm+1 .

§3. 3.1. Dê exemplo de uma fun¸c˜ ao descont´ınua f para a qual a oscila¸c˜ ao ω(f ; x) é uma fun¸c˜ ao cont´ınua de x. Dê também exemplo de uma fun¸c˜ ao f tal que x 7→ ω(f ; x) admita uma infinidade de pontos de descontinuidade.

3.2. Seja f : X → R limitada no conjunto compacto X ⊂ Rm . Mostre que existe um ponto x0 ∈ X no qual a oscila¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f assume seu valor m´ aximo. Dê um exemplo mostrando que o m´ınimo pode n˜ ao ser atingido.

3.3. Indicando genericamente com a nota¸c˜ ao Dϕ o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma aplica¸c˜ ao ϕ, mostre que se a composta g ◦ f faz sentido ent˜ ao Dg◦f ⊂ Df ∪ f −1 (Dg ). Dê exemplo em que esta inclus˜ ao é estrita. 3.4. Se f : A → R, definida no bloco A, é integr´ avel e g : [a, b] → R é cont´ınua num intervalo contendo f (A) ent˜ ao g ◦ f : A → R é integr´ avel. (“Uma fun¸c˜ ao cont´ınua de uma fun¸c˜ ao integr´ avel é integr´ avel.”) 3.5. Seja f : A → B cont´ınua tal que |f (x) − f (y)| ≥ c|x − y| com c > 0 constante e x, y ∈ A quaisquer. Prove que, para todo g : B → R integr´ avel, a composta g ◦ f : A → R é integr´ avel. 3.6. Defina um homeomorfismo f : [0, 1] → [0, 1] que leve um conjunto de Cantor de medida positiva sobre o verdadeiro conjunto de Cantor C. Considere a fun¸c˜ ao integr´ avel g = χC : [0, 1] → R. Mostre que a composta g ◦ f : [0, 1] → R n˜ ao é integr´ avel. 3.7. Se uma fun¸c˜ ao f : A → R, limitada no retˆ angulo A ⊂ Rm , é integr´ avel ent˜ ao, seu gr´ afico tem volume zero. E a rec´ıproca? 3.8. Se X ⊂ Rm tem volume zero, o mesmo ocorre com X. E medida nula? 3.9. Se uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes integr´ aveis fk : A → R converge uniformemente R R para uma fun¸c˜ ao f : A → R, ent˜ ao f é integr´ avel e lim A fk (x)dx = A f (x)dx. k→∞

m

3.10. Seja f : A → R limitada e ≥ 0 no bloco A ⊂ R . A fim de que f seja integr´ avel, é necess´ ario e suficiente que o conjunto C(f ) = {(x, y) R∈ Rm+1 ; x ∈ A, 0 ≤ y ≤ f (x)} seja J-mensur´ avel. No caso afirmativo, tem-se A f (x)dx = vol. C(f ).

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

391

3.11. Sejam f : X → R cont´ınua, limitada no conjunto J-mensur´ avel X e x0 ∈ X. Para cada n ∈ N, seja Xn um conjunto J-mensur´ avel de volume positivo, tal que Xn ⊂ X ∩ B(x0 ; 1/n). Prove que Z 1 lim f (x)dx = f (x0 ). n→∞ vol. Xn X n 3.12. Sejam U ⊂ Rm um aberto J-mensur´ avel e (Ki ) uma seq¨ uência de compactos Jmensur´ aveis tais que Ki ⊂ int Ki+1 para todoRi ∈ N e U = ∪ KiR. Prove que, para toda fun¸c˜ ao integr´ avel f : U → R, tem-se U f (x)dx = lim K f (x)dx. i→∞

i

3.13. Se f : A → R é integr´ avel ent˜ ao, para todo δ > 0, o conjunto Eδ = {x ∈ A; ω(f ; x) ≥ δ} tem volume zero.

3.14. Sejam X, Y ⊂ Rm conjuntos J-mensur´ aveis. Prove que o conjunto X − Y = {x ∈ X; x ∈ / Y } é J-mensur´ avel e que vol. (X − Y ) = vol. X − vol. (X ∩ Y ).

§4.

4.1. Seja f : A → R uma fun¸c˜ ao real arbitr´ aria, definida num bloco A. Se existe o limite lim Σ(f ; P ∗ ) ent˜ ao f é limitada. |P |→0

4.2. Seja f : X → R uma ao integr´ avel no conjunto J-mensur´ avel X. Mostre R fun¸c˜ que ainda se tem X f (x)dx = lim Σ(f ; D∗ ), mesmo se na soma de Riemann |D|→0

Σ(f ; D∗ ) considerarmos apenas as parcelas que correspondem aos conjuntos Xi da decomposi¸c˜ ao D que n˜ ao têm pontos em comum com a fronteira de X.

4.3. Sejam f : A → R integr´ avel no bloco A e X ⊂ A um subconjunto J-mensur´ avel. Para cada parti¸c˜ ao pontilhada P ∗ do bloco A, considere as seguintes somas de Riemann adaptadas ao conjunto X : Σ1 (f ; P ∗ ) = soma das parcelas f (ξj ) · vol. Bi tais que Bi est´ a contido no conjunto X, Σ2 (f ; P ∗ ) = soma das parcelas Rf (ξi ) · vol. Bj tais que Bj ∗tem algum ponto ∗em comum com X. Prove que f (x)dx = lim Σ1 (f ; D ) = lim Σ2 (f ; D ). X |D|→0

|D|→0

§5.

5.1. Sejam ϕ : [a, b] → R e ψ : [c, d] → R integr´ aveis. A fun¸c˜ ao f : [a, b] × [c, d] → R, definida no retˆ angulo A = [a, b] × [c, d] por f (x, y) = ϕ(x)ψ(y), é integr´ avel e Rd R Rb f (x, y)dxdy = ϕ(x)dx ψ(y)dy . A a c

3 5.2. Seja T =R {(x, Ry, z) ∈ R ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}. Mostre que R 1−y−z 1 1−x vol. T = 0 dx 0 dz 0 dy = 1/6.

5.3. Seja f : A × B → R integr´ avel no bloco A × B ⊂ Rm+n , produto cartesiano m dos blocos A ⊂ R e B ⊂ Rn . Prove que existe um conjunto de medida nula X ⊂ A tal que, para todo x ∈ A − X, a fun¸c˜ ao fx : B → R, definida por fx (y) = f (x, y), é integr´ avel. 5.4. Sejam A = [0, 1] × [0, 1],

A0 = A − {0} e f : A0 → R a fun¸c˜ ao cont´ınua x−y · Mostre que se tem (x + y)3 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 1 1 e dy f (x, y)dx = − , dx f (x, y)dy = 2 2 0 0 0 0

(ilimitada) definida por f (x, y) =

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

392

observando que, em ambos os casos, a segunda integra¸c˜ ao é impr´ opria. 5.5. Sejam ϕ, ψ : [a, b] → R fun¸c˜ oes cont´ınuas tais que ϕ(x) ≤ ψ(x) para todo x ∈ [a, b]. Mostre que o conjunto X = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [a, b], ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} é J-mensur´ avel e que, para toda fun¸c˜ ao cont´ınua f : X → R, tem-se Z b Z Z ψ(x) f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy. X

a

ϕ(x)

5.6. (Princ´ıpio de Cavalieri.) Sejam X, Y ⊂ Rm+1 conjuntos J-mensur´ aveis tais que, para cada t ∈ R, as seçc˜ oes Xt = {x ∈ Rm ; (x, t) ∈ X} e Yt = {y ∈ Rm ; (y, t) ∈ Y } s˜ ao ainda J-mensur´ aveis e têm o mesmo volume em Rm . Prove que vol. X = vol. Y .

§6.

6.1. Seja f : U → Rm de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . Para algum a ∈ U , seja vol. f (B[a; r]) f ′ (a) : Rm → Rm um isomorfismo. Mostre que lim = | det. f ′ (a)|. r→0 vol. B[a; r] 6.2. No exerc´ıcio anterior, mostre que se f ′ (a) n˜ ao for um isomorfismo, ent˜ ao vol. f (B[a; r]) lim = 0. r→0 vol. B[a; r] 6.3. Seja f : Rm → Rm um difeomorfismo tal que f (B) ⊂ B, onde B é a bola unit´ aria fechada de Rm , e | det. f ′ (x)| < 1 para todo R x ∈ B. Prove que, para toda fun¸c˜ ao cont´ınua g : B → R tem-se lim f n (B) g(x)dx = 0, onde f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (n fatores).

n→∞

6.4. Seja f : D → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua no disco fechado D ⊂ RR2 , de raio 1 e R centro na origem. Para todo n ∈ N, mostre que D f = n2 · D f (z n )(x2 + y 2 )n−1 dxdy onde z = x + iy. Por outro lado, se X ⊂ R2 é um conjunto Jmensur´ avel, contido num ˆ angulo de vértice na origem medindo 2π/n radianos, e g : X → R é uma fun¸c˜ ao cont´ınua limitada ent˜ ao Z Z g = n2 · g(z n )(x2 + y 2 )n−1 , onde Y = {z n ; z ∈ X}. Y

X

m

6.5. Seja U ⊂ R um aberto (limitado ou n˜ ao). Uma exaust˜ ao de U é uma seq¨ uência de compactos J-mensur´ aveis Ki ⊂ U tais que U = ∪ Ki e Ki ⊂ int. Ki+1 para todo i ∈ N. Dada uma Rfun¸c˜ ao cont´ınua f : U → R (limitada ou n˜ ao) diz-se que a integral impr´ opria U f (x)dx R é convergente quando, para toda exaust˜ ao U = ∪ Ki , existe o limite lim K f (x)dx e seu valor é indei i→∞ R pendente da exaust˜ ao tomada. Mostre que a integral impr´ opria U f (x)dx é R convergente se, e somente se, U |f (x)|dx é também convergente. 6.6. Seja f : U → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua n˜ ao-negativa no aberto U ⊂ Rm . As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: R 1) Para alguma exaust˜ ao U = ∪ Ki , existe o limite lim K f (x)dx; i i→∞ R 2) Existe uma constante c > 0 tal que K f (x)dx ≤ c para todo compacto K ⊂ U;

´ [SEC. 6: MUDANC ¸ A DE VARIAVEIS

393

R ao: Use o Teorema 3) A integral impr´ opria U f (x)dx é convergente. [Sugest˜ de Borel-Lebesgue para mostrar que se U = ∪ Ki é uma exaust˜ ao e K ⊂ U é compacto ent˜ ao existe i ∈ N tal que K ⊂ Ki .] 6.7. Seja f : U → R definida em U = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0} por f (x, y) = 2 2 e−(x +y ) . Considere a exaust˜ ao U = ∪ Lk , onde 1 1 π 1 Lk = r · eiθ ; ≤ r ≤ k, ≤ θ ≤ − , k k 2 k R use coordenadas polares e conclua que a integral impr´ opria U f (x, y)dxdy é convergente Por outro lado, usando a exaust˜ ao U = ∪ Ki , onde e vale π/4. R ∞ −t2 2 R 1 1 Ki = e dt . Conclua ,i × , i , mostre que U f (x, y)dxdy = 0 i i√ R∞ 2 π que 0 e−t dt = · 2

6.8. Seja f : U → R definida em U = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0} por f (x, y) = sen(x2 + y 2 ). Use a f´ ormula sen(a + b) = sen a · cos b + cos a · sen b para mostrar que se U = ∪ Ki é uma exaust˜ Z ao de U por meio de quadrados com π lados paralelos aos eixos ent˜ ao lim f (x)dx = · Por outro lado, usando i→∞ K 4 i a exaust˜ ao U = ∪ Lk , onde 1 π 1 1 , Lk = r · eiθ ∈ R2 ; ≤ r ≤ k, ≤ θ ≤ − k k 2 k R mostre que n˜ ao existe lim L f (x)dx. k→∞

k

6.9. Seja f : U × V → R cont´ınua no produto Rdos abertos U ⊂ Rm e V ⊂ Rn (limitados ou n˜ ao). Se a integral impr´ opria U ×V f é convergente ent˜ ao valem as igualdades Z Z Z Z Z dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx = f. U

V

V

U

U ×V

6.10. Use as coordenadas polares para mostrar que Z dxdy = 2π. 2 + y 2 + 1)3/2 (x 2 R [Observa¸c˜ ao (Para ser entendida depois da leitura do Cap´ıtulo VII.) Sejam P, H ⊂ R3 , respectivamente, o plano z = 1 e o hemisfério superior aberto de centro 0 e raio 1. Considere o difeomorfismo f : P → H, definido por (x, y, 1) (restri¸c˜ ao a P da proje¸c˜ ao radial). O integrando f (x, y, 1) = p x2 + y 2 + 1 acima é a restri¸c˜ ao da forma elemento de ˆ angulo s´ olido ao plano P . Logo é igual a f ∗ ω, onde ω é a forma elemento de ´ area de H. Portanto a integral acima representa a ´ area de H, ou seja, é igual a 2π, resultado obtido sem c´ alculo algum.]

´ [CAP. VI: INTEGRAIS MULTIPLAS

394

6.11. Sejam B4 a bola fechada de raio 1 com centro na origem de R4 e B3 a bola an´ aloga em R3 . Mostre que o volume de B4 é igual a Z p 2· 1 − (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz. B3

Tomando coordenadas esféricas x = r cos ϕ cos θ, y = r cos ϕ sen θ e z = r sen ϕ, mostre que o volume de B4 é igual a Z π/2 Z 2π Z 1 p 2 dϕ dθ r2 cos ϕ 1 − r2 dr −π/2

0

0

e conclua que vol. B4 = π 2 /2. Mais geralmente, mostre que o volume de uma bola de raio r em R4 é π 2 r4 /2. 6.12. Seja Vm (r) o volume da bola de centro na origem em Rm . Prove que R r e2 raio2 rm/2 se tem a rela¸c˜ ao indutiva Vn+1 (r) = 2 · Vn (1) 0 (r − t ) dt e conclua da´ı m m m/2 ! quando m é par e que Vm (r) = r π 2 m m−1 ! m (m−1)/2 2 2 Vm (r) = r π · m! se m é ´ımpar. Observe que destas f´ ormulas resulta um fato curioso: lim Vm (r) = 0.

m→∞

Cap´ıtulo VII

Integrais de Superf´ıcie 1

Formas alternadas

Neste par´ agrafo, desenvolveremos os fundamentos algébricos necess´ arios para estudar as formas diferenciais de grau maior do que 1. As ´ no¸cões que vamos abordar pertencem à Algebra Multilinear. Nosso maior interesse será focalizado no dual E ∗ de um espa¸co vetorial E, de dimens˜ ao finita sobre os reais. Para o que se segue, convém deixar expl´ıcito que uma base num espa¸co vetorial E é uma fam´ılia linearmente independente m´ axima (ei )i∈I , de elementos de E, com ´ındices num conjunto I. Uma fam´ılia com ´ındices no conjunto I = {1, 2, . . . , r} é chamada uma lista, uma seq¨ uência de r elementos, ou uma r-lista. Quando for I = {1, 2, . . . , r}, escreveremos a base (ei )i∈I como {e1 , . . . , er }, que é uma nota¸cão tradicional, embora abusiva. A preocupa¸cão de considerar uma base como uma fam´ılia, em vez de um conjunto, não é um simples pedantismo. Sem isto, por exemplo, não ficaria bem definida a matriz a = (aij ) de uma transforma¸cão linear A : E → F , relativamente às bases (ej )j∈J em E e (fi )i∈I em F . Como se sabe, para cada i ∈ I e cada j ∈ J, o elemento aij (que se diz pertencer ` a i-ésima linha e à j-ésima coluna de a) é a i-ésima coordenada do vetor A · ej relativamente à base (fi ). Ou seja, P tem-se A · ej = aij fi para cada j ∈ J. Se permutarmos os ´ındices de i∈I

uma das bases, obteremos outra matriz. Dados os espa¸cos vetoriais E, F , uma aplica¸cão ϕ : E × · · · × E → F , definida no produto cartesiano de r fatores iguais a E, diz-se r-linear

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

396

quando seus valores ϕ(v1 , . . . , vr ) dependem linearmente de cada uma das variáveis v1 , . . . , vr ∈ E. Mais explicitamente, devemos ter ϕ(v1 , . . . , vi + wi , . . . , vr ) = ϕ(v1 , . . . , vi , . . . , vr )+ + ϕ(v1 , . . . , wi , . . . , vr ) e ϕ(v1 , . . . , λ · vi , . . . , vr ) = λ · ϕ(v1 , . . . , vi , . . . , vr ), quaisquer que sejam v1 , . . . , vi , wi , . . . , vr ∈ E e λ ∈ R. Teorema 1. Sejam ϕ, ψ : E × · · · × E → F aplica¸co ˜es r-lineares e G um conjunto de geradores do espa¸co vetorial E. Se ϕ(v1 ,. . . ,vr) = ψ(v1 , . . . , vr ) qualquer que seja a r-lista (v1 , . . . , vr ) de elementos de G, ent˜ ao ϕ = ψ. Demonstra¸ c˜ ao: (Indu¸cão em r.) Se r = 1 então ϕ, ψ : E → F s˜ ao aplica¸cões lineares. Para todo x ∈ E, tem-se x = Σ αi vi , vi ∈ G. Portanto ϕ(x) = ϕ(Σ αi vi ) = Σ αi·ϕ(vi ) = Σ αi·ψ(vi ) = ψ(Σ ai vi ) = ψ(x). Supondo o teorema verdadeiro para r−1, introduzimos, para cada v ∈ G, as aplica¸cões (r − 1)-lineares ϕv , ψv , definidas por ϕv (x1 , . . . , xr−1 ) = ϕ(x1 , . . . , xr−1 , v) e ψv (x1 , . . . , xr−1 ) = ψ(x1 , . . . , xr−1 , v). Pela hip´ otese do teorema, ϕv e ψv assumem o mesmo valor em todas as listas de r − 1 elementos de G. Por indu¸cão, concluimos que ϕv = ψv , isto é, que ϕ(x1 , . . . , xr−1 , v) = ψ(x1 , . . . , xr−1 , v), quaisquer que sejam os elementos x1 , . . . , xr−1 ∈ E e v ∈ G. Como todo elemento xr ∈ E é combina¸cão linear de elementos de G, vemos que para x1 , . . . , xr ∈ E quaisquer vale ϕ(x1 , . . . , xr ) = ϕ(x1 , . . . , xr−1 , Σ αi vi ) = Σ αi ·ϕ(x1 ,. . . ,xr−1 , vi ) = = Σ αi · ψ(x1 , . . . , xr−1 , vi ) = ψ(x1 , . . . , xr ),

isto é, ϕ = ψ. Teorema 2. Seja {e1 , . . . , em } uma base do espa¸co vetorial E. Para cada r-lista σ = (i1 , . . . , ir ) de inteiros entre 1 e m suponhamos dado um vetor wσ ∈ F . Nestas condi¸co ˜es, existe uma u ńica aplica¸ca õ r-linear ϕ : E × · · · × E → F tal que ϕ(ei1 , ei2 , . . . , eir ) = wσ , seja qual for a lista σ = (i1 , . . . , ir ). Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos inicialmente r = 2. Para cada par ordenado (i, j) de inteiros, compreendidos entre 1 e m, é dado um vetor wij ∈ F . Quaisquer dois vetores x, y ∈ E se escrevem como x = Σ αi ei

397

[SEC. 1: FORMAS ALTERNADAS

e y = Σ βj ej , com os coeficientes αi e βj univocamente determinados. Definimos então ϕ : E × E → F pondo ϕ(x, y) = Σ αi βj wij . Evidentemente, ϕ é bilinear e cumpre ϕ(ei , ej ) = wij . No caso geral, apenas a nota¸cão é mais elaborada. Dados arbitrariamente x1 , . . . , xr ∈ E, temos m P αij ej (i = 1, . . . , r), onde os αij s˜ ao univocamente determinaxi = j=1

dos. Pomos então:

ϕ(x1 , . . . , xr ) =

X σ

α1i1 · α2i2 . . . αrir · wσ ,

a soma se estendendo a todas as r-listas σ = (i1 , . . . , ir ) de inteiros compreendidos entre 1 e m. A unicidade segue-se do Teorema 1. Para definir uma aplica¸cão r-linear basta, portanto, dar (arbitrariamente) seus valores em todas as r-listas de elementos de uma base prefixada. Neste caso, diz-se que a aplica¸cão foi obtida estendendo-a linearmente a partir desses valores. As opera¸cões usuais de soma de duas aplica¸cões e produto de uma aplica¸cão por um n´ umero fazem do conjunto das aplica¸cões r-lineares ϕ : E × · · · × E → F um espa¸co vetorial, que designaremos por Lr (E; R). Uma aplica¸cão r-linear ϕ : E × · · · × E → F chama-se alternada quando se tem ϕ(v1 , . . . , vr ) = 0 sempre que a seq¨ uência (v1 , . . . , vr ) possuir repeti¸cões (isto é, existirem i 6= j com vi = vj ). A fim de que ϕ ∈ Lr (E; F ) seja alternada, é necessário e suficiente que seja anti-simétrica, isto é, que ϕ(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vr ) = −ϕ(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vr ) para quaisquer v1 , . . . , vr ∈ E. Para provar isto escrevamos simplesmente o primeiro membro da igualdade acima como ϕ(vi , vj ). Então, ϕ alternada implica 0 = ϕ(vi + vj ,vi + vj ) = ϕ(vi , vi ) + ϕ(vi , vj ) + ϕ(vj , vi )+ + ϕ(vj , vj ) = ϕ(vi , vj ) + ϕ(vj , vi ), logo ϕ(vi , vj ) = −ϕ(vj , vi ), portanto ϕ é anti-simétrica. Reciprocamente, se ϕ é anti-simétrica então ϕ(v,v) = −ϕ(v,v), donde 2 · ϕ(v, v) = 0 e ϕ(v, v) = 0, logo ϕ é alternada. Usaremos a nota¸cão Ar (E; F ) para indicar o conjunto das aplica¸cões r-lineares alternadas de E em F . Como se vê facilmente, Ar (E; F ) é um subespa¸co vetorial de Lr (E; F ).

398

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

Estaremos interessados, de modo especial, nas aplica¸cões r-lineares alternadas ϕ : E × · · · × E → R, que chamaremos formas r-lineares alternadas ou, simplesmente, r-formas. O espa¸co vetorial Ar (E; R) será indicado pela nota¸cão simplificada Ar (E). Os elementos de Ar (E) s˜ ao também chamados formas alternadas de grau r. Em particular, as formas alternadas de grau 1 sobre E s˜ ao os funcionais lineares. Para o que se segue, será conveniente convencionar que A0 (E) = R, isto é, que as formas de grau zero s˜ ao os escalares. Exemplo. 1) Toda aplica¸cão linear ϕ : E → F é alternada, já que não é poss´ıvel violar a condi¸cão de anti-simetria. Assim, A1 (E; F ) = L(E; F ). Em particular, A1 (E) = E ∗ = dual de E. 2) Toda aplica¸cão r-linear ϕ : R×· · ·×R→F é da forma ϕ(t1 , . . ., tr ) = t1 t2 . . . ti v onde v = ϕ(1, . . . , 1). Quando r > 1, vemos que ϕ alternada ⇒ v = 0 ⇒ ϕ = 0. Assim, Ar (R; F ) = {0} se r > 1. 3) Sejam f, g ∈ E ∗ . Definimos a forma bilinear alternada ϕ : E×E → R pondo ϕ(u, v) = f (u) · g(v) − f (v) · g(u) para quaisquer u, v ∈ E. Evidentemente, se g = c · f , a forma ϕ é identicamente nula. Mas, se f e g s˜ ao linearmente independentes, podemos obter vetores u, v ∈ E tais que f (u) = 1, f (v) = 0, g(u) = 0, g(v) = 1, donde ϕ(u, v) = 1 e ϕ 6= 0. Este primeiro exemplo não-trivial de forma alternada será generalizado logo mais abaixo, no Exemplo 6. 4) O produto vetorial ϕ : R3 ×R3 → R3 , ϕ(x, y) = x×y, é a aplica¸cão bilinear definida de acordo com o Teorema 2, do seguinte modo. Tomamos a base canônica {e1 , e2 , e3 } ⊂ R3 e pomos e1 × e1 = e2 × e2 = e3 × e3 = 0, e1 × e2 = −e2 × e1 = e3 , e2 × e3 = −e3 × e2 = e1 , e3 × e1 = −e1 × e3 = e2 . Dados arbitrariamente x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) temos x × y = (x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) × (y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) =

= (x2 y3 − x3 y2 )e1 + (x3 y1 − x1 y3 )e2 + (x1 y2 − x2 y1 )e3 = = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ).

Vê-se imediatamente que x × x = 0, logo o produto vetorial é uma aplica¸cão bilinear alternada. Como se vê, os produtos internos hx × y, xi e hx × y, yi s˜ ao nulos, isto é, o produto vetorial x × y é perpendicular ao plano gerado por x e y. (Se x e y forem linearmente dependentes, não gerar˜ ao um plano mas, neste caso, x × y = 0.) Assim, por exemplo,

[SEC. 1: FORMAS ALTERNADAS

399

se ϕ : U0 → U é uma parametriza¸cão numa superf´ıcie (bidimensional) ∂ϕ ∂ϕ × M ⊂ R3 então, em cada ponto (u, v) ∈ U0 , o produto vetorial ∂u ∂v é um vetor normal ` a superf´ıcie M no ponto ϕ(u, v). Se escrevermos ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (olhe a mudan¸ca de significado para os s´ımbolos x, y, z!) então o vetor normal é ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ϕ ∂ϕ × = − , − , − · ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v 5) O determinante de uma matriz m×m poder´ a ser considerado como m uma forma m-linear alternada det ∈ Am (R ) se, para v1 , . . . , vm ∈ Rm pusermos det(v1 , . . . , vm ) = determinante da matriz m×m cujas colunas s˜ ao os vetores vi . Sendo o determinante de uma matriz igual ao de sua transposta, obteremos o mesmo resultado se tomarmos os vetores v1 . . . vm como linhas de uma matriz m × m. Resultará do Teorema 5 abaixo que dim Am (Rm ) = 1, logo toda forma m-linear alternada em Rm é um m´ ultiplo constante do determinante. 6) A partir de r funcionais lineares f1 , . . . , fr ∈ E ∗ , obtemos a forma r-linear alternada f1 ∧ · · · ∧ fr : E × · · · × E → R, chamada o produto exterior desses funcionais, definida por (f1 ∧ · · · ∧ fr )(v1 , . . . , vr ) = det(fi (vj )), onde ` a direita temos o determinante da matriz r × r cuja i-ésima linha é (fi (v1),. . ., fi (vr)) e cuja j-ésima coluna é (f1 (vj),. . ., fr (vj)). [O fato de que f1 ∧ · · · ∧ fr ∈ Ar (E) segue-se da linearidade de cada fi e do exemplo acima.] 7) Dado o espa¸co vetorial E, seja Λ : E ∗ × · · · × E ∗ → Ar (E) a aplica¸cão definida por Λ(f1 , . . . , fr ) = f1 ∧· · ·∧fr . Como o determinante de uma matriz r × r é uma forma r-linear alternada nos seus vetoreslinha, vemos que Λ é uma aplica¸cão r-linear alternada de E ∗ em Ar (E). As formas r-lineares alternadas que pertencem à imagem de Λ, ou seja, as do tipo f1 ∧ · · · ∧ fr , onde f1 , . . . , fr ∈ E ∗ , chamam-se decompon´ıveis. Nem toda r-forma é decompon´ıvel, mas o Teorema 5 (adiante) mostra que todo elemento de Ar (E) pode ser escrito (de várias maneiras) como soma de formas decompon´ıveis. [Em geral, a imagem de uma aplica¸cão r-linear não é um subespa¸co vetorial.] Teorema 3. Seja ϕ : E ×· · ·×E → F uma aplica¸ca õ r-linear alternada. Se v1 , . . . , vr ∈ E s˜ ao linearmente dependentes ent˜ ao ϕ(v1 , . . . , vr ) = 0.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

400

Demonstra¸ c˜ ao: Um dos vetores v1 , . . . , vr é combina¸cão linear dos demais, digamos v1 = α2 v2 + · · · + αr vr . Então ϕ(v1 , . . . , vr ) =

r X i=2

αi · ϕ(vi , v2 , . . . vr ) = 0,

pois ϕ(v2 , v2 ,. . ., vr ) = ϕ(v3 , v2 , v3 ,. . ., vr ) = · · · = ϕ(vr , v2 ,. . ., vr ) = 0, já que ϕ é alternada. Corol´ ario 1. O produto exterior f1 ∧ · · · ∧ fr é uma r-forma diferente de zero se, e somente se, f1 , . . . , fr s˜ ao linearmente independentes em ∗ E . Como a aplica¸cão r-linear Λ : (f1 , . . . , fr ) 7→ f1 ∧ · · · ∧ fr é alternada, segue-se do Teorema que se f1 ∧ · · · ∧ fr 6= 0 então f1 , . . . , fr s˜ ao linearmente independentes. Reciprocamente, se estes funcionais forem linearmente independentes, poderemos estendê-los a uma base de E ∗ . Seja {v1 , . . . , vm } ⊂ E a base dual. Então, para i e j variando de 1 a r temos fi (vj ) = 0 se i 6= j e fi (vi ) = 1. Logo (fi (vj )) é a matriz identidade r × r e da´ı segue que (f1 ∧ · · · ∧ fr )(v1 , . . . , vr ) = 1. Em particular, f1 ∧ · · · ∧ fr 6= 0. Corol´ ario 2. Se r > dim E ent˜ ao Ar (E) = {0}. Com efeito, neste caso quaisquer r vetores em E s˜ ao linearmente dependentes.

Teorema 4. Sejam ϕ, ψ : E × · · · × E → F aplica¸co ˜es r-lineares alternadas e {e1 , . . . , em } uma base de E. Se, para toda seq¨ uência crescente i1 < · · · < ir de r inteiros compreendidos entre 1 e m, tivermos ao ϕ = ψ. ϕ(ei1 , . . . .eir ) = ψ(ei1 , . . . , eir ) ent˜ Demonstra¸ c˜ ao: Seja (j1 , . . . , jr ) uma r-lista qualquer de inteiros entre 1 e m. Se houver elementos repetidos nessa lista, então ϕ(ej1 , . . . , ejr ) = ψ(ej1 , . . . , ejr ) = 0 pois ϕ e ψ s˜ ao alternadas. Se, porém, os termos da lista s˜ ao todos distintos, então, por meio de sucessivas transposi¸cões, (trocas de posi¸cão entre 2 elementos apenas) podemos pôr os n´ umeros j1 , . . . , jr na ordem crescente i1 < · · · < ir . Se s˜ ao necessárias k transposi¸cões, a antisimetria de ϕ e ψ, juntamente com a hip´ otese do teorema, nos dão: ϕ(ej1 , . . . , ejr ) = (−1)k ϕ(ei1 , . . . , eir ) = (−1)r ψ(ei1 , . . . , eir ) = = ψ(ej1 , . . . , ejr ).

401

[SEC. 1: FORMAS ALTERNADAS

Assim, as aplica¸cões r-lineares ϕ e ψ cumprem a hip´ otese do Teorema 1, logo s˜ ao iguais. Seja {e1 , . . . , em } uma base do espa¸co vetorial E ∗ . Usaremos a nota¸cão I = {i1 < · · · < ir } para representar um subconjunto I, com r elementos, contido em {1, 2, .. . , m}, cujos membros foram numerados m m(m − 1) . . . (m − r + 1) = desses na ordem crescente. Existem r r! conjuntos I = {i1 < · · · < ir }. Para cada um deles, escreveremos eI = ei1 ∧ · · · ∧ eir . Seja {¯ e1 , . . . , e¯m } ⊂ E a base dual de {e1 , . . . , em } ⊂ E ∗ . Dados I = {i1 < · · · < ir } e J = {j1 < · · · < jr } contidos em {1, 2, . . . , m}, temos ( 0 se I 6= J eI (¯ ej1 , . . . , e¯jr ) = 1 se I = J Com efeito, se I 6= J então existe ik ∈ I − J, logo eik (¯ ej ) = 0 para todo j ∈ J e da´ı eI (¯ ej1 , . . . , e¯jr ) = 0 [determinante de uma matriz cuja k-ésima linha é nula]. Se, porém, I = J, então eI (¯ ej1 , . . . , e¯jr ) = 1 [determinante da matriz identidade]. m P aij e¯i , para Mais geralmente, sejam v1 , . . . , vr ∈ E, com vj = i=1

j = 1, . . . , r. Indiquemos com a = (aij ) a matriz m × r cujas r colunas s˜ ao as coordenadas de cada vetor vj . Para cada subconjunto I ⊂ {1, 2, . . . , m}, com r elementos, indiquemos com aI a matriz r × r obtida de a escolhendo-se as r linhas cujos ´ındices pertencem ao conjunto I. Para cada i ∈ I, temos ei (vj ) = aij . Então eI (v1 , . . . , vr ) = det(eik (vj )) = det(aik j ) = det(aI ).

Teorema 5. Seja {e1 , . . . , em } uma base de E ∗ . As r-formas eI = ei1 ∧ · · · ∧ eir , onde I = {i1 < · · · < ir } percorre os subconjuntos de {1, 2, . . . , m} com r elementos, constituem uma base de Ar (E). Em . particular, dim Ar (E) = m r

Demonstra¸ c˜ ao: Dada arbitrariamente ω ∈ Ar (E), ponhamos, para e1 , . . . , e¯m } ⊂ E é cada I = {i1 < · · · < ir }, αI = ω(¯ ei1 , . . . , e¯iP r ), onde {¯ a base dual de {e1 , . . . , em }. A r-forma ϕ = αI eI é tal que, para toda I

seq¨ uência crescente j1 < · · · < jr de inteiros compreendidos entre 1 e

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

402 m, tem-se ϕ(¯ ej1 , . . . , e¯jr ) =

P I

ej1 , . . . , e¯jr ). αI eI (¯ ej1 , . . . , e¯jr ) = αJ = ω(¯

Segue-se do Teorema 4 que ϕ = ω, ou seja, ω = Σ αI eI . Isto prova que as r-formas eI geram Ar (E). Além disso, estas formas s˜ ao linearmente independentes pois de uma combina¸cão linear ϕ = Σ αI eI = 0 tiramos, para todo J = {j1 < · · · < jr }, 0 = ϕ(¯ ej1 , . . . , e¯jr ) = αJ . O Teorema 5 é o fato mais importante a respeito de r-formas alternadas. Um caso particular importante ocorre quando r = m: se m = dim E então dim Am (E) = 1. Isto quer dizer que, a menos de um fator constante, há apenas uma forma alternada de grau m sobre um espa¸co vetorial m-dimensional. Resulta também do Teorema 5 que toda r-forma alternada se escreve (de modo não u ńico) como soma de r-formas decomposs´ıveis. Tomemos uma base {e1 , . . . , em } em E ∗ , dual da base {¯ e1 , . . . , e¯m } em E. Suponhamos que os funcionais lineares f1 , . . . , fr ∈ E ∗ se exprim P aij ej (i = 1, . . . , r). mam, em termos da base (ej ), como fi = j=1

Quais serão as coordenadas do produto exterior f1 ∧ · · · ∧ fr relativamente ` a base (ej ) do espa¸co Ar (E)? P Sabemos que existe uma expressão u ńica f1 ∧ · · · ∧ fr = αJ eJ , J

ejk )) para todo J = {j1 < com αJ = (f1 ∧ · · · ∧ fr )(¯ ej1 , . . . , e¯jr ) = det(fi (¯ · · · < jr } ⊂ {1, . . . , m}. Ora, a matriz a = (aij ), com r linhas e m colunas, determinada pelas coordenadas dos funcionais fi em rela¸cão à base (ej ), é caracterizada pelas rela¸cões aij = fi (¯ ej ), onde 1 ≤ i ≤ r e 1 ≤ j ≤ m. Para todo subconjunto J ⊂ {1, 2, . . . , m}, com r elementos, essa matriz possui uma submatriz r × r, que representaremos por aJ , a qual é formada selecionando-se as r colunas da matriz a = (aij ) cujos ´ındices j pertencem ao conjunto J. Tem-se então αJ = det(aJ ). Assim: fi =

m X j=1

aij ej ⇒ f1 ∧ · · · ∧ fr =

X

det(aJ )eJ ,

J

a soma estendendo-se a todos os subconjuntos J ⊂ {1, . . . , m} com r elementos. Em particular, se r = m, obtemos f1 ∧ · · · ∧ fm = det(a) · e1 ∧ · · · ∧ em , onde a = (aij ) é a matriz de passagem de {e1 , . . . , em } para {f1 , . . . , fm }.

403

[SEC. 1: FORMAS ALTERNADAS

Usaremos agora este resultado para estabelecer uma identidade u ´til sobre determinantes. Exemplo 8 (Identidade de Lagrange). Sejam a = (aij ) uma matriz m × r, com m ≥ r e a∗ sua transposta. Então X det(a∗ · a)) = [det(aJ )]2 , J

onde J percorre todos os subconjuntos de {1, . . . , m} com r elementos e aJ é a matriz r × r obtida de a escolhendo-se as r linhas cujos ´ındices pertencem a J. Com efeito, sejam v1 , . . . , vr ∈ Rm os vetores-coluna da matriz a. Para cada j = 1, . . . , r, temos vj = (a1j , a2j , . . . , amj ). Se {e1 ,. . ., em } ⊂ (Rm )∗ é a base canônica, temos ek (vj ) = akj para 1 ≤ k ≤ m e 1 ≤ j ≤ r quaisquer. Como vimos acima, para todo subconjunto J ⊂ {1, 2, . . . , m} com r elementos, temos eJ (v1 , . . . , vr ) = det(aJ ). Consideremos, em seguida, os funcionais f1 , . . . , fr ∈ (Rm )∗ , dados por m P aki ek . Então, para 1 ≤ i, j ≤ r, quaisquer: fi = k=1

fi (vj ) =

X

aki ek (vj ) =

X

aki akj ,

k

k

∗ donde fi (vj ) é o (i, j)-ésimo elemento P da matriz produto a · a. Segue-se da´ı, e da expressão f1 ∧ · · · ∧ fr = det(aJ )eJ , que J

det(a∗ a) = det(fi (vj )) = (f1 ∧ · · · ∧ fr )(v1 , . . . , vr ) = X X = det(aJ )eJ (v1 , . . . , vr ) = [det(aJ )]2 . J

J

Toda transforma¸cão linear A : E → F possui uma transposta F ∗ → E ∗ , definida por (A∗ ·ω)(v) = ω(A·v) para todo ω ∈ F ∗ e todo v ∈ E. Esta no¸cão se generaliza. Para todo r, a transforma¸cão linear A : E → F determina uma nova transforma¸cão linear A∗ : Ar (F ) → Ar (E), definida por A∗ :

(A∗ · ω)(v1 , . . . , vr ) = ω(A · v1 , . . . , A · vr ), para quaisquer ω ∈ Ar (F ) e v1 , . . . , vr ∈ E. A transforma¸cão A∗ dizse induzida por A nas formas de grau r. A forma A∗ · ω chama-se

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

404

também a forma induzida por A em E ou o pull-back da forma ω para o espa¸co E. Sejam {e1 , . . . , em } ⊂ E ∗ e {f1 , . . . , fn } ⊂ F ∗ bases, duais respectivamente das bases {¯ e1 , . . . , e¯m } ⊂ E e {f¯1 , . . . , f¯n } ⊂ F . Seja a = (aij ) a matriz (com n linhas e m colunas) da transforma¸cão linear A : E → F n P aij f¯i , para j = 1, . . . , m. em rela¸cão a essas bases, isto é, A · e¯j = i=1

Sabemos que a matriz de A∗ : F ∗ → E ∗ é a transposta da matriz de A, m P aij ej (i = 1, . . . , n). Determinaremos agora a matriz pois A∗ · fi = j=1

da transforma¸cão linear induzida A∗ : Ar (F ) → Ar (E) relativamente às bases (fI ) e (eJ ), determinadas de acordo com o Teorema 5. P Temos A∗ · fI = αIJ eJ , onde J

αIJ = (A∗ · fI )(¯ ej1 , . . . , e¯jr ) = fI · (A · ej1 , ˙,A · ejr ) = = det(fiλ (A · e¯jµ )) = det(aiλ jµ )

se I = {i1 < · · · < ir } e J = {j1 < · · · < jr }. Indicando com aIJ a submatriz r × r que consiste em selecionar da matriz a cada elemento aij cujo ´ındice i pertence a I e cujo ´ındice j pertence a J, temos αIJ = det(aIJ ). n A matriz de A∗ : Ar (F ) → Ar (E) possui m r linhas e r colunas. Ela é transposta da matriz cujos elementos αIJ = det(aIJ ) têm como ´ındices de linha os subconjuntos I = {i1 < · · · < ir } ⊂ {1, 2, . . . , n} e como ´ındices de coluna os subconjuntos J = {j1 < · · · < jr } ⊂ {1, 2, . . . , m}. Em particular, se r = m = n, então a transforma¸cão linear A∗ : Am (F ) → Am (E) é tal que A∗ ·(f1 ∧· · ·∧fm ) = det(a)·(e1 ∧· · ·∧em ), onde a = (aij ) é a matriz de A : E → F acima considerada. Mais particularmente ainda, dada uma transforma¸cão linear A : E → E do espa¸co vetorial m-dimensional E em si mesmo, então det. A tem sentido (independentemente da escolha de bases) e a transforma¸cão linear induzida A∗ : Am (E) → Am (E) é simplesmente A∗ ·ω = (det. A)·ω. Vejamos agora como mudam as coordenadas de uma forma ω ∈ Ar (E) quando se faz uma mudan¸ca de bases em E. Sejam {¯ e1 , . . . , e¯m } e {f¯1 , . . . , f¯m } bases em E, relacionadas pelas m P aij f¯i (j = 1, . . . , m). Suas bases duais, {e1 , . . . , em } e equa¸cões e¯j = i=1

405

[SEC. 1: FORMAS ALTERNADAS

{f1 , . . . , fm }, em E ∗ , cumprem as rela¸cões fi =

m P

aij ej (i = 1, . . . , m).

j=1

Para quaisquer subconjuntos I, J ⊂ {1, . . . , m}, com r elementos, indicamos com aIJ a submatriz r×r da matriz a = (aij ), formada Ppelos elementos aij com i ∈ I e j ∈ J. Pelo visto acima, temos fI = det(aIJ )eJ . J P Assim, se uma forma ω ∈ Ar (E) admite as expressões ω = αJ eJ = J P βI fI relativametne ` as bases (eJ ) e (fI ), temos I

ω=

X J

αJ eJ =

XX I

βI det(aIJ )eJ =

J

XX J

det(aIJ )βI eJ .

I

Comparando os coeficientes de eJ obtemos X αJ = det(aIJ )βI . I

Nos termos do C´ alculo Tensorial cl´ assico, uma r-forma alternada seria dada, em cada base de E, por meio de suas coordenadas αJ , de tal modo que uma mudan¸ca de base em E determinaria uma mudan¸ca de coordenadas para a forma, de acordo com a expressão acima. Convém notar o caso particular em que ω ∈ Am (E), m = dim E. Temos então as bases {e} e {f } em Am (E), com e = e1 ∧ · · · ∧ em , f = f1 ∧· · ·∧fm e f = (det. a)·e, onde a = (aij ) é a matriz de passagem. Uma m-forma arbitr´ aria ω ∈ Am (E) se escreve como ω = α · e = β · f , m P aij ej , com α = (det. a) · β, lembrando-se sempre as rela¸cões fi = j=1

que definem a matriz a.

Exemplo 9. A forma elemento de volume. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ ao m, orientado e munido de um produto interno. [Orientar um espa¸co vetorial é escolher nele uma base, chamá-la de “positiva”e declarar também positivas todas as demais bases que dela se obtenham por meio de uma matriz de passagem com determinante > 0. As outras bases serão chamadas negativas.] Definiremos uma forma ω ∈ Am (E), chamada o elemento de volume de E. Primeiramente tomamos uma base ortonormal positiva {e1 , . . . , em } em E. Dada a seq¨ uência de vetores m P aij ei , para cada j = 1, . . . , m. Seja v1 , . . . , vm ∈ E, tem-se vj = i=1

a = (aij ) a matriz m × m assim obtida. Por defini¸cão, pomos ω(v1 , . . . , vm ) = det. a.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

406

Evidentemente a igualdade acima define uma forma ω ∈ Am (E). Resta provar que ω independe da escolha de base que fizemos. Para isto, introduzimos a matriz de Gram g = (hvi , vj i), na qual o elemento situado na i-ésima linha e na j-ésima coluna é o produto interno hvi , vj i. Como X X X aki akj , aki ek , asj es i = hvi , vj i = h k

s

k

vemos que g = a∗ · a, onde a∗ é a transposta da matriz a. Da´ı resulta que det. g = (det. a)2 . Em particular, det ·g ≥ 0, sendo det. g = 0 ⇔ os vetores v1 , . . . , vm s˜ ao linearmente dependentes. Concluimos que q ω(v1 , . . . , vm ) = ± det(hvi , vj i), onde o sinal + ou − é o sinal de det. a. Assim, ω(v1 , . . . , vm ) > 0 quando os vetores v1 , . . . , vm formam (nesta ordem) uma base positiva de E e ω(v1 , . . . , vm ) < 0 se a base v1 , . . . , vm é negativa. (No caso de v1 , . . . , vm serem linearmente dependentes, tem-se ω(v1 , . . . , vm ) = 0.) √ A igualdade ω(v1 , . . . , vm ) = ± det. g mostra que a defini¸cão de ω independe da escolha de uma base. No caso E = Rm , | det. a| é o volume do paralelep´ıpedo que tem como arestas os vetores v1 , . . . , vm , de modo que ω(v1 ,. . ., vm) é o “volume orientado”desse paralelep´ıpedo, ou seja, um volume dotado de sinal. No caso geral, tomaremos ω(v1 , . . . , vm ) como defini¸cão desse volume. Exemplo 10. Generalizando o Exemplo 4, definiremos o produto vetorial = v1 × · · · × vm de m vetores em Rm+1 como o vetor v ∈ Rm+1 tal que, para todo x ∈ Rm+1 , hx, vi = det(x, v1 , . . . , vm ) = determinante da matriz (m + 1) × (m + 1) cujas colunas s˜ ao os vetores x, v1 , . . . , vm , m+1 P aij ei (j = 1, . . . , m) nesta ordem. As coordenadas dos vetores vj = i=1

relativamente ` a base canônica de Rm+1 formam uma matriz a = (aij ) com m + 1 linhas e m colunas. Indicaremos com a(i) a matriz m × m obtida de a por omiss˜ ao de sua i-ésima linha. Resulta da defini¸cão do produto vetorial que, para todo i = 1, . . . , m + 1: hei , v1 × · · · × vm i = det(ei , , v1 , . . . , vm ) = (−1)i+1 det ·a(i) , onde a u ´ltima igualdade decorre da expans˜ ao de det(ei , v1 , . . . , vm ) rela-

407

[SEC. 1: FORMAS ALTERNADAS

tivamente ` a sua primeira coluna. Portanto v1 × · · · × v m =

m+1 X i=1

(−1)i+1 det. a(i) · ei

é a expressão do vetor v1 ×· · ·×vm em termos da base canônica de Rm+1 . Da´ı, ou diretamente da defini¸cão, vemos que (v1 ,. . .,vm) 7→ v1 × · · · × vm é uma aplica¸cão m-linear alternada de Rm+1 × · · · × Rm+1 em Rm+1 . O produto vetorial é caracterizado pelas seguintes propriedades: 0) v1 × · · · × vm = 0 se os vetores v1 , . . . , vm forem linearmente dependentes; 1) v1 × · · · × vm é perpendicular a cada vj ; 2) |v1 ×· · ·×vm | é o volume (m-dimensional) do paralelep´ıpedo gerado pelos vetores v1 , . . . , vm ; em particular, v1 × · · · × vm 6= 0 se v1 , . . . , vm forem linearmente independentes; 3) det. (v1 × · · · × vm , v1 , . . . , vm ) > 0 se v1 , . . . , vm forem linearmente independentes. Constatemos primeiro estes fatos: 0) decorre de v1 × · · · × vm ser m-linear alternada como fun¸cão dos vi ; 1) segue-se da defini¸cão, pois hvi , v1 × · · · × vm i = det. (vi , v1 , . . . , vm ) = 0 por ser um determinante com duas colunas iguais; quanto √ a 2), sabemos que o volume do paralelep´ıpedo [v1 , . . . , vm ] é igual a det. g, onde a matriz de Gram g tem como m+1 P aki akj , portanto (i, j)-ésimo elemento o produto interno hvi , vj i = k=1

g = a∗ · a. Assim, pela identidade de Lagrange, podemos escrever: p p vol. [v1 , . . . , vm ] = det. g = det. (a∗ a) = q = Σ det. (a(i) )2 = |v1 × · · · × vm |.

Finalmente, para provar 3), basta observar que, por defini¸cão, det. (v1 × · · · × vm , v1 , . . . , vm ) = |v1 × · · · × vm |2 . Em seguida, mostremos que as propriedades acima de fato caracterizam o produto vetorial. Por 0), basta considerar o caso em que v1 , . . . , vm s˜ ao linearmente independentes. A propriedade 1) determina a dire¸cão do vetor v1 × · · · × vm , isto é, a reta que passa pela origem e o contém. A propriedade 2) dá seu comprimento, enquanto 3) diz qual dos dois vetores não-nulos com aquele comprimento, sobre a reta dada, é o produto vetorial: ele é tal que (v1 × · · · × vm , v1 , . . . , vm ) é uma base positiva de Rm+1 .

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

408

O produto vetorial v1 × · · · × vm pode ainda ser definido quando v1 , . . . , vm s˜ ao m vetores num espa¸co vetorial E, orientado e dotado de um produto interno. Basta tomar P uma base ortonormal positiva aij ei para cada j = 1, . . . , m e {e1 , . . . , em+1 } em E, escrever vj = i

pôr v1 × · · · × vm = Σ(−1)i+1 det. a(i) · ei . Verifica-se, como antes, que valem as propriedades 0), 1), 2) e 3) acima, logo v1 ×· · ·×vm não depende da base ortonormal positiva escolhida para defin´ı-lo. O produto vetorial é uma aplica¸cão m-linear alternada E × · · · × E → E. A seguir, definiremos o produto exterior de uma r-forma por uma s-forma, dando como resultado uma (r + s)-forma. Mais precisamente, queremos obter uma aplica¸cão bilinear ϕ : Ar (E) × As (E) → Ar+s (E) tal que ϕ(f1 ∧ · · · ∧ fr , g1 ∧ · · · ∧ gs ) = f1 ∧ · · · ∧ fr ∧ g1 ∧ g1 ∧ · · · ∧ gs , sejam quais forem os funcionais lineares f1 , . . . , fr , g1 , . . . , gs ∈ E ∗ . Como Ar (E) e As (E) s˜ ao gerados por formas decompon´ıveis, se existir uma aplica¸cão bilinear ϕ com a propriedade acima, ela será u ńica. Podemos então usar escolhas arbitr´ arias para definir ϕ. Se a rela¸cão acima for válida, as escolhas que fizermos serão irrelevantes. Tomemos uma base {e1 , . . . , em } em E ∗ . Para I = {i1 < · · · < ir } e J = {j1 < · · · < js } contidos em {1, . . . , m}, ponhamos ϕ(eI , eJ ) = ei1 ∧ · · · ∧ eir ∧ ej1 ∧ · · · ∧ ejs e estendamos ϕ a uma aplica¸cão bilinear de Ar (E)×As (E) em Ar+1 (E), de acordo com o Teorema 2. Consideremos o diagrama Λ

E∗ × · · · × E∗ (r + s fatores) α

Ar+s (E)

ϕ

Ar (E) × As (E)

onde Λ(f1 ∧ · · · ∧ fr , g1 ∧ · · · ∧ gs ) = f1 ∧ · · · ∧ fr ∧ g1 ∧ · · · ∧ gs e

α(f1 , . . . , fr , g1 , . . . , gs ) = (f1 ∧ · · · ∧ fr , g1 ∧ · · · ∧ gs ).

409

[SEC. 1: FORMAS ALTERNADAS

Devemos provar que ϕ ◦ α = Λ. Pelo Teorema 1, basta verificar que (*)

ϕ(ei1 ∧ · · · ∧ eir , ej1 ∧ · · · ∧ ejs ) = = ei1 ∧ · · · ∧ eir ∧ ej1 ∧ · · · ∧ ejs

para qualquer (r + s)-lista (ei1 , . . . , eir , ej1 , . . . , ejs ) de elementos da base escolhida. A igualdade (*) é evidente quando uma das seq¨ uências (i1 , . . . , ir ) ou (j1 , . . . , js ) possui repeti¸cões, pois ambos os membros s˜ ao então iguais a zero. Se nenhuma das seq¨ uências tem repeti¸cão e, além disso, vale i1 < · · · < ir e j1 < · · · < js , então a igualdade (*) é a própria defini¸cão de ϕ. Finalmente, se as seq¨ uências não possuem repeti¸cão mas pelo menos uma delas não está em ordem crescente, podemos levar ambas à ordem crescente mediante sucessivas transposi¸cões. Como cada transposi¸cão entre dois ´ındices i ou entre dois ´ındices j muda o sinal de ambos os membros de (*), concluimos que a igualdade em quest˜ ao é válida em qualquer caso. Dadas ω ∈ Ar (E) e ω ¯ ∈ As (E), escreveremos ω ∧ ω ¯ ∈ Af r+s (E) em vez de ϕ(ω, ω ¯ ). O produto exterior ω ∧ ω ¯ , além de bilinear, goza ainda da propriedade de anti-comutatividade abaixo: ω ¯ ∧ ω = (−1)rs ω ∧ ω ¯

se

ω ∈ Ar (E) e ω ¯ ∈ As (E).

Isto é ´ obvio se ω e ω ¯ s˜ ao decompon´ıveis e o caso geral se reduz a este, pois toda forma alternada é soma de formas decompon´ıveis. O produto exterior é, ainda, associativo. A rela¸cão α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ é evidente para formas decompon´ıveis, logo é válida em geral, por distributividade. Devemos ainda observar que se A : E → F é uma transforma¸cão linear e indicarmos com A∗ a transforma¸cão induzida Ar (F ) → Ar (E) (sem especificar na nota¸cão o grau r) então, para ω ∈ Ar (F ) e ω ¯ ∈ As (F ) arbitr´ arias, teremos A∗ (ω ∧ ω ¯ ) = (A∗ ω) ∧ (A∗ ω ¯ ). Novamente, esta rela¸cão é evidente quando ω e ω ¯ s˜ ao decompon´ıveis e o caso geral se reduz imediatamente a este. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ ao m. A soma direta Λ(E ∗ ) = R ⊕ E ∗ ⊕ A2 (E) ⊕ · · · ⊕ Am (E)

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

410

é um espa¸ ao 2m (soma dos coeficientes bino co vetorial de dimens˜ m miais r quando r varia de 0 a m), ao qual o produto ω ∧ ω ¯ , acima definido, pode ser obviamente estendido, de modo a dotar Λ(E ∗ ) de uma multiplica¸cão associativa (não-comutativa). Com essa opera¸cão, ´ Λ(E ∗ ) torna-se uma ´ algebra, conhecida como a Algebra de Grassmann ∗ do espa¸co vetorial E .

2

Formas diferenciais

As formas diferenciais de grau r, que estudaremos agora, serão os integrandos das integrais de superf´ıcie. Elas generalizam as formas diferenciais de grau 1, consideradas no Cap´ıtulo IV, não apenas por serem as suas an´ alogas de dimens˜ ao superior, como por estarem definidas em superf´ıcies, em vez de somente abertos do espa¸co euclidiano. Encerrado o prel´ udio algébrico feito no par´ agrafo 1, voltaremos a usar a nota¸cão {dx1 , . . . , dxm } para indicar a base canônica de (Rm )∗ , dual da base {e1 , . . . , em } ⊂ Rm , onde e1 = (1, 0, . . . , 0), etc. Para cada conjunto I = {i1 < · · · < ir } ⊂ {1, 2, . . . , m}, escreveremos dx1 = dxi1 ∧ · · · ∧ dxir . As formas r-lineares alternadas dxI constituem a base canônica do espa¸co vetorial Ar (Rm ). Dada uma lista de r vetores v1 , . . . , vr ∈ Rm , obtemos uma matriz a = (aij ), com m linhas e r colunas, na qual a j-ésima coluna é o vetor vj = (a1j , . . . , amj . Neste caso, dxI (v1 , . . . , vr ) = det(aI ), onde aI é a matriz r×r obtida de a selecionando-se as linhas cujos ´ındices pertencem ao conjunto I. Geometricamente, dxI (v1 , . . . , vr ) é o volume r-dimensional (orientado) da proje¸cão do paralelep´ıpedo [v1 , . . . , vr ] sobre o subespa¸co r-dimensional de Rm que tem {ei1 , . . . , eir } como base positiva. (Veja Exerc´ıcio 2.2.) Consideremos m = 3. A base canônica de (R3 )∗ = A1 (R3 ) é formada pelos funcionais dx, dy, dz, enquanto que {dx ∧ dy, dy ∧ dz, dx ∧ dz} é a base canônica de A2 (R3 ). Dados os vetores u = (a1 , a2 , a3 ) e v = (b1 , b2 , b3 ) em R3 , temos (dx ∧ dy)(u, v) = a1 b2 − a2 b1 = área orientada da proje¸cão do paralelogramo [u, v] sobre o plano x, y. Também (dy ∧ dz)(u, v) = a2 b3 − a3 b2 e (dx ∧ dz)(u, v) = a1 b3 − a3 b1 têm interpreta¸cões

411

[SEC. 2: FORMAS DIFERENCIAIS

an´ alogas. Note que {dx ∧ dy, dy ∧ dz, dz ∧ dx}, por exemplo, também é uma base de A2 (R3 ) mas estamos chamando canônica a base anterior, ao sempre pois em dxI = dxi1 ∧ · · · ∧ dxir os ´ındices i1 < · · · < ir s˜ tomados na ordem crescente. Finalmente, a base canônica de A3 (R3 ) é formada pelo u ńico elemento dx ∧ dy ∧ dz. Dados u, v, w ∈ R3 , (dx ∧ dy ∧ dz)(u, v, w) é o valor do determinante da matriz 3 × 3 cujas colunas s˜ ao os vetores u, v, w. Uma forma diferencial de grau r num aberto U ⊂ Rm é uma aplica¸cão ω : U → Ar (Rm ). A cadaPponto x ∈ U , ω faz corresponder a forma r-linear alternada ω(x) = aI (x)dxI . Assim, a forma diferencial ω deI

termina (e é determinada por) fun¸cões aI : U → R, chamadas as coordenadas de ω. Para cada subconjunto I = {i1 < · · · < ir } ⊂ {1, 2, . . . , m}, e cada ponto x ∈ U , temos aI (x) = ω(x) · (ei1 , . . . , eir ).

Exemplo 11. Seja U ⊂ R3 um aberto. As formas diferenciais em U s˜ ao: 1o¯ ) As fun¸cões f : U → R (formas de grau zero). ao 2o¯ ) As formas de grau 1, ω = adx + bdy + cdz, onde a, b, c s˜ fun¸cões reais definidas em U . Toda forma de grau 1 em U pode ser identificada a um campo de vetores em U , com as mesmas coordenadas. 3o¯ ) As formas de grau 2, ω = adx∧dy +bdy ∧dz +cdx∧dz. Em geral, uma forma de grau 2 num aberto U ⊂ Rm é definida por m(m − 1)/2 coordenadas, de modo que não corresponde necessariamente a um campo de vetores. No caso particular de R3 , temos 3(3 − 1)/2 = 3, por isso é poss´ıvel associar a ω o campo de vetores de coordenadas a, b, c. Isto faz ´ com que na An´ alise em R3 não haja necessidade de Algebra Multilinear. o 4¯ ) As formas de grau 3, ω = adx ∧ dy ∧ dz, que também correspondem a fun¸cões a : U → R. Diz-se que a forma ω é de classe C k quando cada coordenada aI é uma fun¸cão de classe C k . A fim de que ω ∈ C k , é necessário e suficiente que, dados arbitrariamente v1 , . . . , vr ∈ Rm , a fun¸cão x 7→ ω(x)(v1 , . . . , vr ) seja de classe C k no abertoPU . Com efeito, pondo cI = dxI (v1 , . . . , vr ), temos ω(x) · (v1 , . . . , vr ) = aI (x) · cI , logo a condi¸cão I

é necessária. Reciprocamente, como aI (x) = ω(x) · (ei1 , . . . , eir ), a condi¸cão é suficiente. Uma forma diferencial de grau r numa superf´ıcie m-dimensional

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

412 M ⊂ Rn é uma aplica¸cão

ω : x ∈ M 7→ ω(x) ∈ Ar (Tx M ), que associa a cada ponto x ∈ M uma forma r-linear alternada ω(x) no espa¸co vetorial tangente Tx M . Se r = 0, uma forma diferencial de grau zero em M é simplesmente uma fun¸cão real ω : M → R. Seja ϕ : U0 → U uma parametriza¸c ão de um aberto U ⊂ M . Em ∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) ⊂ Tx M . cada ponto x = ϕ(u) ∈ U , temos a base ∂u1 ∂um Usaremos a nota¸cão {du1 , . . . , dum } ⊂ (Tx M )∗ para indicar a base dual. Na realidade, du1 , . . . , dum s˜ ao formas diferenciais de grau 1 em U : para cada ponto x ∈ U , temos os funcionais lineares du1 (x), . . . , dum (x), pertencentes a (Tx M )∗ . Usamos a nota¸cão simplificada dui , em vez de dui (x), pois não há perigo de confusão. Em cada ponto x = ϕ(u) ∈ U , as r-formas duI = dui1 ∧ · · · ∧ duir , com I = {i1 < · · · < ir }, constituem uma base de Ar (Tx M ). Dada uma forma diferencial ω, de grau r em M , podemos então escrever, para cada ponto x = ϕ(u) ∈ U : ω(x) = ω(ϕ(u)) =

X

aI (u)duI .

I

Assim, a forma ω define, para cada parametriza¸ cão ϕ : U0 → U em M , as fun¸cões aI : U0 → R, em n´ umero de m . Elas s˜ ao chamadas as r coordenadas da forma ω relativamente à parametriza¸cão ϕ. Pondo, por ∂ϕ simplicidade, wi = (u), temos aI (u) = ω(ϕ(u)) · (wi1 , . . . , wir ), para ∂ui todo u ∈ U0 . Seja agora ψ : V0 → V outra parametriza¸cão em M , com U ∩ V 6= ∅. Para todo x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V , temos as bases duais ∂ψ ∂ψ (v), . . . , (v) ⊂ Tx M e {dv1 , . . . , dvm } ⊂ (Tx M )∗ , ∂v1 ∂vm que se relacionam com as bases determinadas por ϕ do seguinte modo: m

X ∂vi ∂ψ ∂ϕ = · ∂uj ∂uj ∂vi i=1

e

m X ∂vi dvi = duj . ∂uj j=1

413

[SEC. 2: FORMAS DIFERENCIAIS

Nas igualdades acima, (∂vi /∂uj ) é a matriz jacobiana da mudan¸ca de parametriza¸cão ψ −1 ◦ ϕ, calculada no ponto u, a derivada ∂ϕ/∂uj é tomada no ponto u e ∂ψ/∂vi no ponto v = ψ −1 (ϕ(u)). A parametriza¸cão ψ determina em Ar (Tx M ) a base constituida pelas r-formas dvI = dvi1 ∧ · · · ∧ dvir . PeloP que vimos noP par´ agrafo 1, se x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V e ω(x) = aJ (u)duJ = bI (v)dvI então J

(*)

I

aJ (u) =

X I

det

∂vI ∂uJ

bI (v),

onde (∂vI /∂uJ ) é a matriz r × r formada pelos elementos

∂vi (v) tais ∂uj

que i ∈ I e j ∈ J. Nos termos do C´ alculo Tensorial cl´ assico, uma forma diferencial de grau r numa superf´ıcie M seria uma aplica¸cão que a cada parametriza¸cão ϕ : U0 → U em M associaria m cões aJ : U0 → R, chamadas as r fun¸ coordenadas da forma relativamente a ϕ, de tal modo que se à parametriza¸cão ψ : V0 → V correspondem as fun¸cões bI : V0 → R e ϕ(u) = ψ(v), então valem as igualdades (*), chamadas as “f´ ormulas de mudan¸ca de coordenadas”. Convém destacar o importante caso particular em que r = m, ou seja, o grau da forma é igual à dimens˜ ao da superf´ıcie. Neste caso, a forma tem apenas uma coordenada em cada parametriza¸cão. Assim, para todo ponto x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V , temos ω(x) = a(u)du1 ∧ · · · ∧ dum = b(v)dv1 ∧ · · · ∧ dvm , onde as fun¸cões a : U0 → R e b : V0 → R cumprem ∂vi (**) a(u) = det · b(v). ∂uj Acima, u ∈ ϕ−1 (U ∩ V ), v = (ψ −1 ◦ ϕ)(u) e det. (∂vi /∂uj ) é o determinante jacobiano do difeomorfismo ψ −1 ◦ ϕ, calculado no ponto u. Seja M uma superf´ıcie de classe C s . Uma forma diferencial ω, de grau r em M , diz-se de classe C k (k < s) quando M pode ser coberta por imagens U de parametriza¸cões ϕ : U0 → U , de classe C k , relativamente às quais se tem ω = Σ aI duI , as fun¸cões aI : U0 → R sendo todas de

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

414

classe C k . As fórmulas de mudan¸ca (*) mostram que se as coordenadas de ω numa parametriza¸cão ψ ∈ C s s˜ ao fun¸cões de classe C k (k < s) k então elas ainda serão de classe C em qualquer outra parametriza¸cão ϕ ∈ C s com Im(ϕ) ∩ Im(ψ) 6= ∅. Uma forma de grau zero e classe C k em M é simplesmente uma fun¸cão f : M → R, de classe C k . As fórmulas de mudan¸ca de coordenadas exprimem a “invariˆ ancia”das formas diferenciais. Seu caso mais simples (**), por exemplo, assegura que a integral de uma forma de grau m esteja bem definida sobre uma superf´ıcie orientada de dimens˜ ao m, como será visto agora. Consideraremos apenas um caso particular dessa no¸cão de integral de superf´ıcie. A situa¸cão geral será reduzida a esta, mediante as parti¸cões da unidade, no par´ agrafo 6. O suporte de uma forma diferencial ω numa superf´ıcie M é o fecho (relativamente a M ) do conjunto dos pontos x ∈ M tais que ϕ(x) 6= 0. Escreveremos supp.ω para representar o suporte de ω. Assim, x ∈ supp.ω significa que toda vizinhan¸ca de x contém pontos y tais que ω(y) 6= 0. Contrariamente, x ∈ / supp.ω quer dizer que existe uma vizinhan¸ca V de x em M tal que ω(y) = 0 para todo y ∈ V . Por defini¸cão, o suporte de ω é sempre um subconjunto fechado de M . Se a forma ω é cont´ınua e ω(x) 6= 0 então ω é diferente de zero numa vizinhança de x, logo x pertence ao interior de supp. ω (relativamente a M ). Noutras palavras, se ω ∈ C 0 e x é um ponto da fronteira de supp. ω então ω(x) = 0, embora seja x ∈ supp. ω. Definiremos agora a integral de uma forma cont´ınua ω, de grau m, com suporte compacto, sobre uma superf´ıcie orientada M , de dimens˜ ao m, no caso particular em que supp. ω está contido na imagem U de uma parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → U . Em termos dessa parametriza¸cão, tem-se ω(x) = a(u)du1 ∧ · · · ∧ dum para todo x = ϕ(u) ∈ U , onde a fun¸cão cont´ınua a : U0 → R tem suporte compacto, igual a ϕ−1 (supp. ω). Por defini¸cão, pomos Z Z ω= a(u)du, M

Rm

K

onde K ⊂ é qualquer compacto J-mensur´ avel, contido em U0 e contendo o suporte de a. (Por exemplo: cubra o compacto supp. a com um n´ umero finito de cubos fechados, contidos em U0 , e chame de K a reunião desses cubos.) Se quisermos, poderemos retirar a exigência K ⊂ U0 (mantendo supp. a ⊂ K!), desde que consideremos a como uma fun¸cão cont´ınua definida em K, igual a zero nos pontos de K − U0 .

415

[SEC. 2: FORMAS DIFERENCIAIS

Evidentemente, a escolha do conjunto K nas condi¸cões acima não R afeta o valor da integral K a(u)du. R Resta entretanto mostrar que M ω, definida da maneira acima, não depende da escolha da parametriza¸cão positiva ϕ. Com efeito, seja ψ : V0 → V outra parametriza¸cão positiva em M , com supp. ω ⊂ V e ω(x) = b(v)dv1 ∧ · · · ∧ dvm para todo x = ψ(v) ∈ v. A fun¸cão b : V0 → R é cont´ınua, seu suporte é igual a ψ −1 (supp. ω) e, para todo u ∈ ϕ−1 (U ∩ V ), tem-se a(u) = J(u) · b(v), onde J(u) é o valor do determinante jacobiano de ψ −1 ◦ ϕ no ponto u e v = ψ −1 ϕ(u). R Observemos que J(u) > 0 para todo u ∈ ϕ−1 (U ∩V ). Para calcular M ω em termos da parametriza¸cão ϕ, usemos um compacto J-mensur´ avel K, R −1 −1 com ϕ (supp. ω) ⊂ K ⊂ ϕ (U ∩ V ) e, para calcular M ω em termos de ψ, usemos o compacto J-mensur´ avel L = ψ −1 ϕ(K). Pelo Teorema de Mudan¸ca de Variáveis, Z Z Z a(u)du. b(ψ −1 ϕ(u)) · J(u)du = b(v)dv = L

K

K

R

Isto mostra que a integral de superf´ıcie M ω está bem definida, sempre que ω seja uma forma diferencial cont´ınua de grau m, com suporte compacto, contido numa vizinhan¸ca parametrizada em uma superf´ıcie orientada m-dimensional M . R No par´ agrafo 6 definiremos a integral M ω sob condi¸cões mais gerais para a forma ω. Mostraremos agora que toda aplica¸cão diferenci´ avel f : M → N induz uma transforma¸cão linear ω 7→ f ∗ ω, a qual leva formas de grau r na superf´ıcie N em formas de grau r na superf´ıcie M . Essa transforma¸cão é uma das coisas que tornam u ´teis as formas diferenciais como instrumentos para o estudo das aplica¸cões de uma superf´ıcie noutra. Seja, então, f : M → N de classe C k (k ≥ 1). Dada a forma ω, de grau r sobre N , definiremos a forma f ∗ ω, de grau r sobre M , pondo para cada x ∈ M e cada r-lista de vetores w1 , . . . , wr ∈ Tx M , [(f ∗ ω)(x)](w1 , . . . , wr ) = ω(f (x)) · (f ′ (x) · w1 , . . . , f ′ (x) · wr ). Como sabemos, a aplica¸cão f : M → N possui, em cada ponto x ∈ M , uma derivada, que é uma transforma¸cão linear f ′ (x) : Tx M → Tf (x) N . Esta, por sua vez, induz uma transforma¸cão linear ′ ∗ [f (x)] : Ar (Tf (x) N ) → Ar (Tx M ), como foi visto no par´ agrafo 1. De acordo com a defini¸cão dada ali, temos (f ∗ ω)(x) = [f ′ (x)]∗ · ω(f (x)).

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

416

No caso de uma forma de grau zero, isto é, de uma fun¸cão g : N → R, temos f ∗ (g) = g ◦ f . As propriedades abaixo resultam imediatamente dos fatos an´ alogos sobre formas r-lineares alternadas: 1. f ∗ (ω + ω ¯ ) = f ∗ω + f ∗ω ¯; ∗ ∗ 2. f (c · ω) = c · f ω, c ∈ R; 3. f ∗ (ω ∧ ω ¯ ) = f ∗ω ∧ f ∗ω ¯; ∗ 4. (g ◦ f ) ω = f ∗ (g ∗ ω). No caso 4), temos três superf´ıcies M , N , P , duas aplica¸cões f : M → N , g : N → P , e uma forma ω em P . Como caso particular de 3), tem-se o produto λ·ω de uma forma ω em N por uma fun¸cão λ : N → R. Então f ∗ (λ·ω) = f ∗ λ·f ∗ ω = (λ◦f )·f ∗ ω. Resulta de 4) que se f : M → N é um difeomorfismo, cujo inverso é g : N → M , então ω 7→ f ∗ ω é uma bije¸cão das formas em N sobre as formas em M , cuja inversa é a aplica¸cão α 7→ g ∗ α. Em termos de coordenadas: Sejam ϕ : U0 → U ⊂ M , ψ : V P0 → V ⊂ N parametriza¸cões de classe k C , com f (U ) ⊂ V , e ω(y) = bI (v)dvI para todo y = ψ(v) ∈ V . I P Então, para qualquer x = ϕ(u) ∈ U , temos (f ∗ ω)(x) = aJ (u)duJ , J

onde as coordenadas aJ : U0 → R s˜ ao determinadas a partir das coordenadas bI : V0 → R pelas igualdades (*)

aJ (u) =

X I

det

∂vI (u) bI (v), ∂uJ

onde u ∈ U0 , v = (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ)(u), (∂vi /∂uj ) é a matriz jacobiana da derivada ψ −1 ◦ f ◦ ϕ : U0 → V0 no ponto u, enquanto que det(∂vI /∂uJ ) é o determinante da submatriz r × r obtida tomando-se os ∂vi /∂uj com i ∈ I e j ∈ J. A fórmula acima resulta do cálculo an´ alogo que fizemos no par´ agrafo 1 para o caso algébrico, se observarmos que a matriz da transforma¸cão linear f ′ (x) : Tx M → Ty N , y = f (x), relativamente às bases

∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ (u), · · · , (u) ⊂ Tx M e (v), · · · , (v) ⊂ Ty N, ∂u1 ∂um ∂v1 ∂vn

onde y = ψ(v), é precisamente a matriz (∂vi /∂uj ).

417

[SEC. 2: FORMAS DIFERENCIAIS

Em particular, para cada I, temos ∗

f (dvI ) =

X J

det

∂vI ∂uJ

duj .

Assim, para passar de Σ bI dvI para f ∗ ω = Σ aj duJ , basta substituir ω = P ∂vI duJ . Isto significa que, do ponto de vista cada dvi por det ∂uJ J computacional, a opera¸cão ω 7→ f ∗ ω é simplesmente uma mudan¸ca de variáveis y = f (x), ou v = (ψ −1 f ϕ)(u). Segue-se da fórmula de passagem das coordenadas bI para as aJ que, se ω é uma forma de grau ≥ 1 e classe C k em N e f : M → N é uma aplica¸cão de classe C k+1 , então f ∗ ω é uma forma de classe C k em M . Observa¸ co ˜es: 1. Nas fórmulas (*), a fim de obter a expressão de cada aJ como uma fun¸cão em U0 , podemos substituir v por (ψ −1 f ϕ)(u), resultando assim as fun¸cões ¯bI (u) = bI ((ψ −1 f ϕ)(u))= bI (v) no segundo membro. 2. A forma f ∗ ω chama-se às vezes o pull-back da forma ω por meio de f . Exemplo 12. Como primeiro exemplo de forma induzida por uma aplica¸cão, seja ω uma forma de grau r na superf´ıcie M . Seja ϕ : U0 → U uma parametriza¸cão em M . Em cada ponto x = ϕ(u) ∈ U , os veto∂ϕ ∂ϕ res (u), . . . , (u) constituem uma base do espa¸co vetorial tan∂u1 ∂um gente Tx M , cuja dual é {du1 , . . . , dum } ⊂ (Tx M )∗ . Escrevendo duI = dui1 ∧ · · · ∧ duir , com I = {i1 < · · · < ir }, temos ω(x) = Σ aI (u)duI . Se considerarmos ϕ como uma aplica¸cão diferenci´ avel ϕ : UP 0 → M , afir−1 ∗ mamos que, para todo u = ϕ (x) ∈ U0 , vale (ϕ ω)(u) = aI (u)dxI . I

Aqui dxI = dxi1 ∧ · · · ∧ dxir , onde {dx1 , . . . , dxm } é a base canônica de ∂ϕ (x). (Rm )∗ , dual de {e1 , . . . , em } ⊂ Rm . Sabemos que ϕ′ (u) · ei = ∂ui Portanto: ( 0 se i 6= j ∂ϕ (ϕ∗ dui )(ej ) = dui (ϕ′ (u) · ej ) = dui = . ∂uj 1 se i = j Isto mostra que ϕ∗ dui = dxi . Mais geralmente, se I={i1 0, isto é, se w tem a mesma orienta¸cão de ϕ′ (t), e negativo no caso contrário. Mencionemos, finalmente, que se U ⊂ Rm é um aberto, munido de sua orienta¸cão natural, o elemento de volume de U é a forma diferencial ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxm .

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

420

Exemplo 16. (Elemento de volume de uma hiperf´ıcie.) Seja M ⊂ Rm+1 uma hiperf´ıcie orientada, de classe C k . Existe um campo unit´ ario de vetores normais v : M → Rm+1 , de classe C k−1 , tal que {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M é uma base positiva se, e somente se, det(v(x), w1 , . . . , wm ) > 0. [Aqui, (v(x), w1 , . . . , wm ) é a matriz (m + 1) × (m + 1) cujas colunas s˜ ao os vetores indicados.] Se w1 , . . . , wm s˜ ao m vetores quaisquer do espa¸co vetorial tangente Tx M , como v(x) é perpendicular a Tx M e tem comprimento 1, o volume do paralelep´ıpedo [w1 , . . . , wm ] é igual a | det(v(x), w1 , . . . , wm )|. Se ω é o elemento de volume de M , temos então, para todo x ∈ M e quaisquer w1 , . . . , wm ∈ Tx M : ω(x)(w1 , . . . , wm ) = det(v(x), w1 , . . . , wm ), já que o sinal do determinante coincide com aquele da defini¸cão de ω. Desenvolvendo esse determinante ao longo de sua primeira coluna v(x) = (v1 (x), . . . , vm+1 (x)), obtemos ω(x)(w1 , . . . , wm ) =

m+1 X i=1

(−1)i+1 vi (x) · Ai ,

onde Ai é o determinante da matriz m×m, obtida omitindo-se a i-ésima linha da matriz (m+1)×m cujas colunas s˜ ao w1 , . . . , wm . Se escrevermos c dx1 ∧· · ·∧ dxi ∧· · ·∧dxm+1 em vez de dx1 ∧· · ·∧dxi−1 ∧dxi+1 ∧· · ·∧dxm+1 , veremos imediatamente que ci ∧ · · · ∧ dxm+1 )(w1 , . . . , wm ). Ai = (dx1 ∧ · · · ∧ dx

Por conseguinte

=

"m+1 X i=1

ω(x) · (w1 , . . . , wm ) =

#

ci ∧ · · · ∧ dxm+1 (w1 , . . . , wm ). (−1)i+1 vi (x)dx1 ∧ · · · ∧ dx

Isto significa que

ci ∧ · · · ∧ dxm+1 . ω(x) = Σ(−1)i+1 vi (x) · dx1 ∧ · · · ∧ dx

Para calcular a normal unit´ aria v(x) em casos particulares, é conveniente observar que se ϕ : U0 → U é uma parametriza¸cão positiva em ∂ϕ M e x = ϕ(u), então v(x) = N (x)/|N (x)|, onde N (x) = (u) × · · · × ∂u1

[SEC. 2: FORMAS DIFERENCIAIS

421

∂ϕ (u), pois este produto vetorial é perpendicular ao espa¸co tangente ∂um Tx M e tem o sentido de v(x). Em termos dos parˆ ametros u1 , . . . , um , temos, na realidade, ∂ϕ ∂ϕ (u) × · · · × (u) du1 ∧ · · · ∧ dum , x = ϕ(u), ω(x) = ∂u1 ∂um

pois o comprimento do produto vetorial de m vetores é o volume do paralelep´ıpedo que tem esses vetores como arestas e sabemos que ω(x) = a(u)du1 ∧ · · · ∧ dum , onde ∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) = a(u) = ω(x) · ∂u1 ∂um

∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) . = volume do paralelep´ıpedo ∂u1 ∂um Em particular, seja M = {x ∈ Rm+1 ; |x − a| = r} a esfera de centro a ∈ Rn+1 e raio r > 0. Então, para cada ponto x ∈ M , podemos tomar x−a x−a v(x) = = (normal unit´ aria exterior). Neste caso, obtemos |x − a| r ω=

m+1 X i=1

(−1)i+1

xi − ai ci ∧ · · · ∧ dxm+1 . dx1 ∧ · · · ∧ dx r

A expressão acima define uma forma diferencial de grau m, cujo dom´ınio é todo o espa¸co euclidiano Rm+1 . Sua restri¸cão à esfera de centro a = (a1 , . . . , am+1 ) e raio r é o elemento de volume dessa esfera. Quando m = 3, e S é a esfera de centro no ponto (a, b, c) e raio r em R3 , o elemento de volume de S é a restri¸cão a S da forma diferencial ω=

x−a y−b z−c dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy. r r r

Suponhamos agora que M = f −1 (c) seja a imagem inversa de um valor regular c ∈ R por uma fun¸cão f : U → R, de classe C k no aberto U ⊂ Rm+1 . Neste caso, a orienta¸cão de M pode ser definida pelo campo unit´ ario de vetores normais v(x) = grad f (x)/| grad f (x)|, de modo que s P ∂f 2 ∂f vi (x) = , as derivadas parciais sendo calculadas no ∂xi ∂xi i

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

422

ponto x. Então o elemento de volume de M é a forma ω=

m+1 X

∂f /∂xi ci ∧ · · · ∧ dxm+1 , dx1 ∧ · · · ∧ dx (−1)i+1 p 2 Σ(∂f /∂x ) i i=1

restrita a M . Finalmente, a superf´ıcie M pode ser o gr´ afico de uma fun¸cão g : U → R, definida no aberto U ⊂ Rm . Então M = f −1 (0), onde f : U × R → R, definida f (x, t) = t − g(x) tem 0 como valor regular. Neste caso, para m = 2, por exemplo, vemos que o elemento de área da superf´ıcie M , gr´ afico da fun¸cão z = g(x, y) é dado pela forma de grau 2 ∂g ∂g dz ∧ dy + dx ∧ dz + dx ∧ dy ∂x ∂y s ω= 2 ∂g ∂g 2 + +1 ∂x ∂y

∂g ∂g pois grad f = − , − , 1 . ∂x ∂y Uma forma ω de grau m numa superf´ıcie orientada m-dimensional M diz-se positiva quando, para todo ponto x ∈ M e toda base positiva {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M , tem-se ω(x)(v1 , . . . , vm ) > 0. Neste caso, dada qualquer parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → U em M , tem-se ω(x) = a(u)du1 ∧ · · · ∧ du m , com a(u) > 0 para todo ∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) e a base u = ϕ−1 (x) ∈ U0 , pois a(u) = ω(x) · ∂u ∂u 1 m ∂ϕ (u) é positiva. Reciprocamene, se a(u) > 0 para toda parame∂ui triza¸cão positiva ϕ, então, dada arbitrariamente uma base positiva de P ∂ϕ ∈ Tx M , tem-se vetores wj = αij ∂u i i ∂ϕ ∂ϕ ,..., ω(w)(w1 , . . . , wm ) = det(αij ) · ω(x) = ∂u1 ∂um = det(αij ) · a(u) > 0, logo a forma ω é positiva. Em toda superf´ıcie orientada de classe C k existe uma forma positiva de classe C k−1 , a saber, o elemento de volume.

423

[SEC. 2: FORMAS DIFERENCIAIS

Reciprocamente, se existe numa superf´ıcie m-dimensional M uma forma cont´ınua ω, de grau m, tal que ω(x) 6= 0 para todo x ∈ M ent˜ ao M é orient´ avel (e há uma orienta¸cão de M que torna ω positiva). Com efeito, seja A o conjunto das parametriza¸cões ϕ : U0 → U em M tais que, para todo x = ϕ(u) ∈ U tem-se ω(x) = a(u)du1 ∧ · · · ∧ dum , com a(u) > 0. Pela continuidade de ω (e portanto de a), se U0 é conexo e a(u) > 0 em algum ponto u ∈ U0 então a > 0 em todos os pontos de U0 . Da´ı resulta imediatamente que A é um atlas. Além disso, se ϕ : U0 → U e ψ : V0 → V pertencem a A, com U ∩ V 6= ∅ então a(u) = det(ψ −1 ◦ϕ)(u)·b(v), para todo u ∈ ϕ−1 (U ∩V ) e v = (ψ −1 ◦ϕ)(u). Como a(u) > 0 e b(v) > 0, segue-se que det(ψ −1 ◦ ϕ)(u) > 0 para todo u ∈ ϕ−1 (U ∩ V ), logo o atlas A é coerente. Exemplo 17 (O elemento de ângulo s´ olido.) Definimos agora uma m+1 forma diferencial de grau m em R − {0}, a qual desempenha um papel an´ alogo ao da forma elemento de ângulo δθ em R2 − {0} e, na realidade, reduz-se a ela quando m = 1. Para come¸car, consideremos a aplica¸cão f : Rm+1 − {0} → S m que x chamaremos de proje¸ca õ radial e definiremos por f (x) = · |x| Em cada ponto x 6= 0 de Rm+1 , a derivada de f é uma transforma¸cão linear f ′ (x) : Rm+1 → Tf (x) S m , cujo valor f ′ (x) · w num vetor arbitr´ ario m+1 w∈R vamos determinar. Se w é m´ ultiplo de x então f ′ (x) · w = 0 pois f é constante (igual a x/|x|) na semi-reta 0x. Como todo w ∈ Rm+1 é soma, w = c · x + w0 , de um m´ ultiplo de x e um (´ unico) vetor w0 , perpendicular a x (chamado a “proje¸cão de w perpendicularmente a x ”), vemos que f ′ (x) · w = f ′ (x) · w0 . Mas w0 , sendo perpendicular a x, é da forma w0 = λ′ (0), onde λ é um caminho com λ(0) = x e |λ(t)| constante, igual a |x|. Então (f ◦ λ)(t) = λ(t)/|x|, donde f ′ (x) · w = f ′ (x) · w0 = (f ◦ λ)′ (0) =

w0 w−c·x λ′ (0) = = · |x| |x| |x|

Chamaremos elemento de a ˆngulo s´ olido a forma diferencial α = f ∗ ω em Rm+1 − {0}, induzida pelo elemento de volume ω da esfera S m (orientada pela normal externa) através da proje¸cão radial f .

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

424

Por defini¸cão, para x ∈ Rm+1 −{0} e w1 , . . . , wm ∈ Rm+1 arbitr´ arios:

x α(x)(w1 , . . . , wm ) = ω (f ′ (x) · w1 , . . . , f ′ (x) · wm ) = |x| wm − cm · x x w1 − c 1 · x , ,..., = = det. |x| |x| |x| 1 = · det(x, w1 , . . . , wm ), |x|m+1

pois o valor de um determinante não se altera quando se soma a uma de suas colunas um m´ ultiplo de outra. Da´ı (como no Exemplo 16) vem: α(x) =

1 |x|m+1

m+1 X i=1

ci ∧ · · · ∧ dxm+1 . (−1)i+1 xi dx1 ∧ · · · ∧ dx

xdy − ydx , que é a forma x2 + y 2 elemento de ˆ angulo R2 − {0}, já conhecida desde o Cap´ıtulo 4. Com exce¸cão do fator 1/|x|m+1 , a forma α coincide com a forma ω do Exemplo 16, a qual, restrita a S m , dá o elemento de volume da esfera. Mas a semelhan¸ca acaba a´ı. As propriedades de α, como veremos no que se segue, s˜ ao bem diferentes das de ω. Em particular, para m = 1, obtemos α(x, y) =

3

A diferencial exterior

H´ a três teoremas cl´ assicos em An´ aliseR que generalizam o Teorema b Fundamental do C´ alculo, segundo o qual a df = f (b) − f (a). Eles s˜ ao os seguintes: Teorema de Green. Seja M ⊂ R2 um compacto cujo bordo é uma curva ∂M . Se a, b : M → R s˜ ao fun¸co ˜es de classe C 1 ent˜ ao vale a igualdade Z ZZ ∂a ∂b − adx + bdy. dxdy = ∂x ∂y ∂M M Teorema de Stokes. Seja M ⊂ R2 uma superf´ıcie compacta cujo bordo é a curva ∂M . Se a, b, c : M → R s˜ ao fun¸co ˜es de classe C 1 ent˜ ao

425

[SEC. 3: A DIFERENCIAL EXTERIOR

ZZ

M

∂b ∂a − ∂x ∂y

∂c ∂b ∂c ∂a − − dxdy+ dydz + dxdz = ∂y ∂z ∂x ∂z Z adx + bdy + cdz. = ∂M

Teorema de Gauss. Seja M ⊂ R3 uma regi˜ ao compacta cujo bordo é a superf´ıcie ∂M . Se a, b, c : M → R s˜ ao fun¸co ˜es de classe C 1 ent˜ ao ZZZ

M

∂a ∂b ∂c + + ∂x ∂y ∂z

dxdydz =

ZZ

adydz + bdzdx + cdxdy.

∂M

Esses três teoremas (cujos enunciados acima estão apenas esbo¸cados) s˜ ao casos particulares de um teorema geral, chamado também de Stokes, que demonstraremos no Rpar´ agrafo 8. O enunciado do teorema R geral é, concisamente, M dω = ∂M ω. Nos 3 teoremas acima, se ω = ∂b ∂a adx + bdy então dω = − dx ∧ dy: se ω = adx + bdy + cdz então ∂x ∂y ∂c ∂c ∂a ∂b ∂a ∂b − − − dx ∧ dy + dy ∧ dz + dx ∧ dz dω = ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z e, finalmente, quando ω = ady ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy então dω = ∂a ∂b ∂c + + dx ∧ dy ∧ dz. ∂x ∂y ∂z Neste par´ agrafo, definiremos o operador d, chamado a diferencia¸ca õ exterior, o qual leva formas diferenciais de grau r em formas de grau r + 1, e tem as expressões acima como casos particulares. Come¸camos com formas em abertos do espa¸co euclidiano. Seja ω = Σ aI dxI uma forma de grau r e classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rm . A diferencial exterior de ω é, por defini¸cão, a forma dω =

X I

daI ∧ dxI =

X ∂aI j,I

∂xj

dxj ∧ dxI .

Evidentemente, dω é uma forma de grau r + 1 e classe C k−1 em U . Se ω é uma forma de grau zero, ou seja, uma fun¸cão ω = a : U → R, P ∂a então dω = da = dxj . j ∂xj

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

426

Se ω = Σ ai dxi é uma forma de grau 1 em U , então dω =

X i

dai ∧ dxi =

X ∂ai dxj ∧ dxi = ∂xj i,j

X ∂ai X ∂ai dxj ∧ dxi + dxj ∧ dxi = = ∂xj ∂xj i 0, e da´ı p ∈ / ∪ C λ . Provamos que / ∪ C λ , o que dá a inclus˜ ao que procur´ avamos. p∈ / ∪ Cλ ⇒ p ∈

Corol´ ario. Se (Fλ )λ∈L é uma S fam´ılia localmente finita de subconjuntos Fλ , é um subconjunto fechado em M . fechados de M ent˜ ao F = λ∈L

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

438

Seja M uma superf´ıcie de classe C k . Uma parti¸ca õ da unidade de k classe C em M é uma fam´ılia de fun¸cões (ξλ )λ∈L de classe C k em M , tais que: 1) Para quaisquer λ ∈ L e x ∈ M , tem-se ξλ (x) ≥ 0; 2) A fam´ılia C = (supp. ξλ )λ∈L é localmente finita em M ; P ξλ (x) = 1. 3) Para todo x ∈ M , tem-se λ∈L

Em virtude da condi¸cão 2), a soma em 3) é finita em cada ponto x ∈ M e, na realidade, localmente finita. Além disso, tem-se 0 ≤ ξλ (x) ≤ 1 para x ∈ M e λ ∈ L quaisquer, por causa de 1) e 3). Note ainda que, para todo x ∈ M existe pelo menos um ´ındice λ tal que ξλ (x) > 0, logo os suportes das fun¸cões ξλ constituem uma cobertura da superf´ıcie M . A defini¸cão acima inclui o caso de parti¸cões finitas da unidade: ξ1 + · · · + ξs = 1. Isto ocorre quando ξλ ≡ 0 salvo para um n´ umero finito de ´ındices λ. Numa superf´ıcie compacta, toda parti¸ca õ da unidade é finita, devido ` a Propriedade 2 acima. [Dizer que uma fun¸cão tem suporte vazio significa afirmar que ela é identicamente nula.] P Diz-se que a parti¸cão da unidade ξα = 1 está subordinada à α∈A

cobertura C = (Cλ )λ∈L da superf´ıcie M quando, para cada α ∈ A, existe algum λ ∈ L tal que supp . ξα ⊂ Cλ . Intuitivamente, a cobertura C indica um grau de pequenez (ou “fineza”) dos suportes das fun¸cões ξα , no seguinte sentido: Dadas duas coberturas C, C ′ numa superf´ıcie M , dizemos que C é mais fina que C ′ , ou que C refina C ′ ou C é um refinamento de C ′ , quando, para todo C ∈ C existe algum C ′ ∈ C ′ tal que C ⊂ C ′ . Nestes termos, a parti¸cão da unidade Σ ξα = 1 está subordinada à cobertura C = (Cλ ) quando os suportes das fun¸cões ξα formam uma cobertura que refina C. P ξλ = 1 é estritamente subordiDizemos que a parti¸cão da unidade λ∈L

nada ` a cobertura C quando C = (Cλ )λ∈L tem ´ındices no mesmo conjunto que as fun¸cões ξλ e, além disso, supp(ξλ ) ⊂ Cλ para todo λ ∈ L. Estamos agora em condi¸cões de enunciar o principal resultado deste par´ agrafo.

Teorema 7. Seja M uma superf´ıcie de classe C k . Para todaPcobertura ξλ = 1, aberta C = (Cλ )λ∈L de M existe uma parti¸ca õ da unidade λ∈L

de classe C k , estritamente subordinada a ` cobertura C.

˜ [SEC. 4: PARTIC ¸ OES DA UNIDADE

439

A demonstra¸cão se baseia nos dois lemas seguintes. Lema 2. Toda superf´ıcie M se escreve como reuni˜ ao enumer´ avel M = ∪ Ki de compactos tais que Ki ⊂ int . Ki+1 para todo i ∈ N.

Demonstra¸ c˜ ao: Cada ponto x ∈ M está contido num aberto Vx = ϕ(B(2)), como no Lema 1, onde V x é compacto. Da cobertura M = S Vx extraimos, pelo Teorema de Lindelöf, uma subcobertura enux∈M

merável M = ∪ Vi . Pondo Li = V i , cada Li é compacto e vale ainda M = ∪ Li . Definimos os Ki por indu¸cão. Pomos K1 = L1 e, supondo obtidos K1 , . . . , Ki de modo que Kj ⊂ int Kj+1 para j = 1, . . . , i − 1 e Ki ⊃ L1 ∪ · · · ∪ Li , recobrimos o compacto Ki ∪ Li+1 com um n´ umero finito de conjuntos Vj e chamamos de Ki+1 a reunião dos Lj correspondentes.

Observa¸ c˜ ao: Se a superf´ıcie M é compacta, o lema acima é trivial. Podemos tomar Ki = M para todo i. Ou então, seguindo a demonstração acima, notar que, a partir de um certo ponto Ki = Ki+1 = · · · = M .

Lema 3. Toda cobertura aberta C de uma superf´ıcie M de classe C k pode ser refinada por uma cobertura aberta localmente finita, formada por imagens de parametriza¸co ˜es ϕ : B(3) → U , de classe C k em M , tais que os abertos W = ϕ(B(1)) ainda cobrem M . Demonstra¸ c˜ ao: Usando o Lema 2, escrevemos M = ∪ Ki , onde cada Ki é compacto e Ki ⊂ int . Ki+1 para todo i ∈ N. Todo ponto x ∈ K2 pertence a algum C ∈ C. Aplicando o Lema 1, com A = C ∩ int . K3 , concluimos que todo x em K2 pertence a um conjunto W2x tal que o U2x correspondente S está contido em int . K3 e em algum aberto de C. Da cobertura K2 ⊂ W2x extraimos uma subcobertura finita. Seja C2 x

a cobertura finita de K2 formada pelos conjuntos U2x correspondentes. Analogamente, cada ponto x da “faixa”compacta K3 −int . K2 pertence a algum conjunto W3x (na forma do Lema 1) tal que o U3x correspondente está contido em int . K4 , em algum conjunto de C e é disjunto de K1 .

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

440

K5

K3

K4

K2 K1 x

Da cobertura K3 − int . K2 ⊂

S x

U3x

W3x extraimos uma subcobertura

finita. Seja C3 a cobertura finita de K3 − int . K2 formada pelos conjuntos U3x correspondentes. Prosseguindo analogamente, obtemos, para cada i ≥ 3, uma cobertura finita Ci da faixa compacta Ki − int . Ki−1 por abertos do tipo U , cada um deles contido em int . Ki+1 , em algum conjunto de C e disjunto de Ki−2 , de modo que os W correspondentes ainda cobrem a faixa. A reunião C ′ = C2 ∪ · · · ∪ Ci ∪ . . . é uma cobertura aberta de M por conjuntos do tipo U , tal que os W correspondentes ainda cobrem M . Cada U ∈ C ′ pertence a algum Ci , logo intersecta, no m´ aximo, um n´ umero finito de outros conjuntos de C ′ , a saber, os pertencentes a Ci−1 ∪ · · · ∪ Ci+2 . Portanto C ′ é um refinamento localmente finito de C. Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 7. Pelo Lema 3, existe um refinamento localmente finito C ′ = (Ui )i∈N da cobertura dada C, com Ui = ϕi (B(3)). Para cada i ∈ N, seja ξi∗ : M → R a fun¸cão auxiliar de classe C k associada ` a parametriza¸cão ϕi . Os suportes V i = supp . ξi∗ formam uma cobertura localmente finita de M , que refina C. Logo ξ ∗ = Σ ξi∗ é uma fun¸cão de classe C k , positiva em todos os pontos de M . As fun¸cões ηi : M → R, definidas por ηi = ξi∗ /ξ ∗ , cumprem Σ ηi = 1, supp . ηi = V i e constituem uma parti¸cão da unidade de classe C k , subordinada a C. Para obter uma parti¸cão estritamente subordinada a C, comecemos definindo uma “fun¸cão escolha”f : N → L, isto é, para cada i ∈ N escolhamos um ´ındice λ = f (i) P ∈ L tal que supp ηi = V i ⊂ Cλ . Para ηi . Com os V i formam uma fam´ılia cada λ ∈ L, ponhamos ξλ = f (i)=λ

˜ ˜ DA UNIDADE [SEC. 5: APLICAC ¸ OES DA PARTIC ¸ AO

441

localmente finita, temos supp . ξλ =

[

f (i)=λ

Vi =

[

f (i)=λ

V i ⊂ Cλ .

A fam´ılia (supp . ξλ )λ∈L é localmente finita. Com efeito, cada ponto p ∈ M tem uma vizinhan¸ca Vp que intersecta no m´ aximo V i1 , . . . , V ij , logo Vp P intersecta supp . ξλ somente quando λ = f (i1 ), . . . , ou λ = f (ij ). ξλ = 1 é uma parti¸cão da unidade estritamente subordinada Então λ∈L

à cobertura C = (Cλ )λ∈L .

5

Aplica¸c˜ oes da parti¸c˜ ao da unidade

Nos itens abaixo, mostraremos como se pode usar a técnica das parti¸cões da unidade; no primeiro exemplo, como método de passagem do local ao global; no segundo, como um processo de obter médias ponderadas. O terceiro é uma aplica¸cão à Topologia. No par´ agrafo seguinte, a parti¸cão da unidade será empregada numa redu¸cão do global ao local, a fim de definir a integral de uma forma com suporte compacto numa superf´ıcie orientável. Item A. Aplica¸co ˜es diferenci´ aveis em conjuntos arbitr´ arios. m Seja X ⊂ R . Dizemos que uma aplica¸cão f : X → Rn estende-se localmente em classe C k (k ≥ 0) quando, para cada ponto p ∈ X, existe uma aplica¸cão Fp : Zp → Rn , de classe C k numa vizinhan¸ca aberta Zp de p em Rm , tal que Fp (x) = f (x) para todo x ∈ Zp ∩ X. Noutras palavras, f se estende, numa vizinhan¸ca de cada ponto de X, a uma aplica¸cão de classe C k . Se f : X → Rn estende-se localmente em classe C k então f é cont´ınua. Exemplo 21. Seja X = {(x, y) ∈ R2 ; x 6= 0} ∪ {(0, 0)}. A fun¸cão 1 cont´ınua f : X → R, definida por f (x, y) = y · sen se x 6= 0 e f (0, 0) = x 0, não se estende localmente em classe C 0 , pois não admite extensão cont´ınua a vizinhan¸ca alguma da origem. Teorema 8. Seja M ⊂ Rm+r uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe q n k C (q ≥ 1). Toda aplica¸ca õ f : M → R de classe C (0 ≤ k ≤ q) estende-se localmente em classe C k . A demonstra¸cão se baseia no lema abaixo.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

442

Uma aplica¸cão ρ : U → S, de classe C k no aberto U ⊂ Rm , chama-se uma retra¸ca õ quando S ⊂ U e ρ(x) = x para todo x ∈ S. Tem-se então S = ρ(U ) e ρ ◦ ρ = ρ. Diz-se, neste caso, que S é um retrato de classe C k do aberto U . Lema. Sejam M ⊂ Rm+r uma superf´ıcie de dimens˜ ao m e classe C k (k ≥ 1). Todo ponto p ∈ M est´ a contido num aberto Z de Rm+r tal que V = Z ∩ M é um retrato de classe C k de Z.

Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema 12, Cap´ıtulo V, p possui uma vizinhan¸ca aberta U = A∩M (A aberto em Rm+r ) que é o gr´ afico de uma aplica¸cão f : U0 → Rr , de classe C k num aberto U0 ⊂ Rm , isto é, U = {(x, f (x)) ∈ Rm+r ; x ∈ U0 }. A aplica¸cão ϕ : U0 → U , ϕ(x) = (x, f (x)), é uma parametriza¸cão, com p = ϕ(x0 ), e Φ : U0 × Rr → Rm+r , Φ(x, y) = (x, f (x) + y), é um difeomorfismo de U0 × Rr sobre si mesmo, com Φ(U0 × 0) = U . Tomamos abertos V0 ⊂ U0 em Rm e W em Rr , tais que x0 ∈ V0 , 0 ∈ W e Φ(V0 × W ) ⊂ A. Então Φ é um difeomorfismo de V0 × W sobre o aberto Z = Φ(V0 × W ) ⊂ Rm+r . Afirmamos que Φ(V0 × 0) = Z ∩ M . De fato, z = Φ(x, y) = (x, f (x) + y) ∈ Z ∩ M ⇒ z ∈ A ∩ M = = U ⇒ y = 0 ⇒ z ∈ Φ(V0 × 0).

Portanto, Z ∩ M ⊂ Φ(V0 × 0). A inclus˜ ao oposta é evidente. Escrevamos V = Z ∩ M e indiquemos com π : V0 × W → V0 a proje¸cão sobre o primeiro fator. A aplica¸cão ρ : Z → V , dada por ρ = ϕ ◦ π ◦ Φ−1 , é uma retra¸cão de classe C k de Z sobre V . Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 8. Para cada p ∈ M , tomemos um aberto Zp , uma retra¸cão ρp : Zp → Vp = Zp ∩ M , como no lema, e ponhamos Fp = f ◦ρp : Zp → Y . Para todo x ∈ Vp , temos Fp (x) = f (ρp (x)) = f (x), logo Fp é uma extensão local de f . Teorema 9. Para todo k ≥ 0, se uma aplica¸ca õ f : X → Rn , definida m num subconjunto arbitr´ ario X ⊂ R , estende-se localmente em classe k C ent˜ ao f estende-se (globalmente) a uma aplica¸ca õ F : Z → Rn , de k m classe C num aberto Z de R que contém X. Demonstra¸ c˜ ao: Para cada ponto p ∈ X temos um aberto Zp ⊂ Rm contendo p e uma aplica¸cão Fp : ZpS → Rn , de classe C k , tal que Fp (x) = f (x) para x ∈ Zp ∩ X. Seja Z = Zp . O aberto Z ⊂ Rm é uma sup∈X

perf´ıcie de classe C ∞ , na qual os conjuntos Zp constituem uma cobertura

˜ ˜ DA UNIDADE [SEC. 5: APLICAC ¸ OES DA PARTIC ¸ AO

aberta. Seja

P

443

ξp = 1 uma parti¸cão da unidade estritamente subordi-

p∈X

nada a essa cobertura. Definimos F : Z → Rn pondo F = Σ ξp Fp , ou P seja F (z) = ξp (z) · Fp (z). Evidentemente F ∈ C k , pois ξp ∈ C ′ e p∈X

Fp ∈

Ck

para todo p ∈ X. Além disso, se x ∈ X então X F (x) = ξp (x) · f (x), = f (x), p

logo F estende f . Dado um subconjunto arbitr´ ario X ⊂ Rm , dizemos que uma aplica¸cão n f : X → R é diferenci´ avel (respect. de classe C k , 1 ≤ k ≤ ∞) quando f se estende localmente a uma aplica¸cão diferenci´ avel (respect. de classe k C ). Observa¸ c˜ ao: Excluimos o caso k = 0 da defini¸cão acima porque C 0 significa “cont´ınua”e sabemos que nem toda aplica¸cão cont´ınua f : X → Y se estende localmente de modo cont´ınuo. (Cfr. Exemplo 21.) Assim, uma aplica¸cão f : X → Rn , de classe C k (k ≥ 1), estende-se localmente, por defini¸cão, mas se k = 0, somente em certos casos (como, por exemplo, se X é uma superf´ıcie de classe C 1 ) é que existem extensões locais de classe C 0 . Sejam X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn . Uma aplica¸cão f : X → Y diz-se diferenci´ avel (respect. de classe C k ) quando, considerada como aplica¸cão de X em Rn (isto é, quando composta com a inclus˜ ao Y → Rn ), f é diferenci´ avel (respect. de classe C k ). Uma aplica¸cão f : X → Y chama-se um difeomorfismo (de classe C k ) quando é diferenci´ avel (de classe C k ) e possui uma inversa f −1 : Y → X também diferenci´ avel (de classe C k ). O Teorema 8 garante que a defini¸cão acima de aplica¸cão diferenci´ avel coincide com a que foi dada no §13 do Cap´ıtulo V no caso em que X é uma superf´ıcie no espa¸co euclidiano e o Teorema 9 diz que f : X → Rn é de classe C k (k ≥ 1) se, e somente se, é a restri¸cão a X de uma aplica¸cão de classe C k definida numa vizinhan¸ca aberta de X em Rm . O corolário que demonstraremos a seguir diz que o mesmo resultado vale se Rn for substitu´ıdo pela esfera S n , enquanto que a observa¸cão que a ele se segue informa (mas não prova) que, em vez de S n , poder-se-ia tomar qualquer superf´ıcie de classe C k . Corol´ ario do Teorema 9. Seja X ⊂ Rm . Se uma aplica¸ca õ f : X →

444

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

S n é diferenci´ avel (respect. de classe C k , com k ≥ 1) ent˜ ao f estendese (globalmente) a uma aplica¸ca õ diferenci´ avel (respect. de classe C k ) n m F : Z → S definida num aberto Z de R , contendo X. Com efeito, dada f : X → S n , podemos considerar f como uma aplica¸cão com valores em Rn+1 e, usando o Teorema 9, estendê-la a uma aplica¸cão G : W → Rn+1 , de classe C k num aberto W ⊂ Rm , que contém X. Seja Z = {z ∈ W ; G(z) 6= 0}. Como G|X = f toma valores em S n , vemos que Z é um aberto de Rm contendo X. Consideremos a proje¸cão radial ρ : Rn+1 − {0} → S n , ρ(x) = x/|x|, a qual é uma retra¸cão de classe C ∞ , e definamos a aplica¸cão F : Z → S n , de classe C k , pondo F = ρ ◦ (G|Z), ou seja F (z) = G(z)/|G(z)| par todo z ∈ Z. Vemos que F é uma extensão de f ao aberto Z de Rm que contém X. Observa¸ c˜ ao: O fato essencial que permitiu estender o Teorema 9 para aplica¸cões com valores na esfera S n é que a esfera é retrato de classe C ∞ de um aberto em Rn+1 . Isto é verdade em condi¸cões muito mais gerais: para toda superf´ıcie M ⊂ Rn , de classe C k , existe uma retra¸cão ρ : V → M , de classe C k num aberto V de Rn , chamado uma vizinhan¸ca tubular de M . Da´ı resulta, como no corolário acima, que toda aplica¸caõ f : X → M , classe C k , k ≥ 1), admite uma extensão, de classe C k , F : Z → M , definida num aberto Z do espa¸co euclidiano que contém X. A existência da vizinhan¸ca tubular é provada nos livros de Topologia Diferencial. (V. também Exerc. 13.7 do Cap. V.) Uma advertência que deve ser feita é a seguinte: se M é uma superf´ıcie de classe C k (digamos k < ∞) no espa¸co euclidiano, a partir da defini¸cão acima passa a ter sentido falar numa aplica¸cão f : M → Rn de classe C r com r > k: trata-se simplesmente da restri¸cão a M de uma aplica¸cão de classe C r definida num aberto do espa¸co euclidiano que contém M . Mas, se quisermos exprimir f em termos dos parˆ ametros locais de M , tais expressões não ir˜ ao além da classe C k . Exemplo 22. Seja f : [0, 1] → [0, 1] a fun¸cão identidade, f (x) = x. Existe, evidentemente, uma fun¸cão cont´ınua ρ : R → [0, 1] tal que ρ|[0, 1] = f . Basta por ρ(x) = 0 se x ≤ 0 e ρ(x) = 1 se x ≥ 1. Noutras palavras, o intervalo [0, 1] é um retrato de classe C 0 da reta. Mas não existe uma fun¸cão diferenci´ avel F : A → [0, 1], definida num aberto A, com [0, 1] ⊂ A ⊂ R, tal que F (x) = x para todo x ∈ [0, 1]. Com efeito, no ponto x = 1 a derivada de F à esquerda seria F ′ (1−) = 1 enquanto

˜ ˜ DA UNIDADE [SEC. 5: APLICAC ¸ OES DA PARTIC ¸ AO

445

que ` a direita seria F ′ (1+) = lim

h→0+

F (1 + h) − 1 ≤0 h

pois F (1 + h) ∈ [0, 1] para todo h > 0. Em geral, vê-se de modo an´ alogo que uma bola fechada no espa¸co euclidiano, embora seja um retrato C 0 do espa¸co euclidiano, não pode ser um retrato diferenci´ avel de um aberto que a contenha. Assim o Teorema 9, que, em virtude da Observa¸cão subseq¨ uente, vale para aplica¸cões f : X → M , com valores numa superf´ıcie de classe C k (k ≥ 1), não vale para f : X → B, onde B é uma bola fechada do espa¸co euclidiano. Item B. Aproxima¸ca õ de fun¸co ˜es cont´ınuas por fun¸co ˜es diferenci´ aveis. Teorema 10. Sejam f : X → Rn uma aplica¸ca õ cont´ınua num conjunto X ⊂ Rm e ε : X → R uma fun¸ca õ cont´ınua, com ε(x) > 0 para todo x ∈ X. Existe uma aplica¸ca õ g : A → Rn , de classe C ∞ num aberto A ⊂ Rm contendo X, tal que |f (x) − g(x)| < ε(x) para todo x ∈ X. Demonstra¸ c˜ ao: Todo ponto p ∈ X possui uma vizinhan¸ca Vp = Ap ∩X, onde Ap ⊂ Rm é aberto, tal que |f (x) − f (p)| < ε(x) para todo x ∈ Vp . [Basta notar que a fun¸cão cont´ınua λp (x) = ε(x)−|f (x)−f (p)| é positiva (= ε(p)) no ponto x = p, logoSé positiva numa vizinhan¸ca Vp = Ap ∩ X desse ponto.] O aberto A = Ap ⊂ Rm é uma superf´ıcie de classe C ∞ , p∈X P na qual os conjuntos Ap formam uma cobertura aberta. Seja ξp = p∈X

1 uma parti¸cão da unidade de classe C ∞ , estritamente subordinada a n ∞ essa P cobertura. Definamos g : A → R , de classe P C , pondo g(x) = ξp (x) · f (p). Para todo x ∈ X, como f (x) = ξp (x) · f (x), temos p∈X

p∈X

|f (x) − g(x)| =

X

p∈X

ξp (x)|f (x) − f (p)|
0 para todo x ∈ X, existe g : A → S n , de classe C ∞ num aberto A ⊂ Rm contendo X, tal que |f (x) − g(x)| < ε(x) para todo x ∈ X.

446

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

Considerando f como uma aplica¸cão cont´ınua de X em Rn+1 , o Teorema 10 fornece uma aplica¸cão h : A → Rn+1 , de classe C ∞ num aberto A ⊂ Rm contendo X, tal que |f (x) − h(x)| < ε(x)/2 para todo x ∈ X. O conjunto A0 = {x ∈ A; h(x) 6= 0} é aberto em Rm e contém X. Sem mudar a nota¸cão, supomos h restrita a este conjunto, logo podemos considerar a aplica¸cão g : A → S n , de classe C ∞ , definida por g(x) = h(x)/|h(x)| para todo x ∈ A. Para todo x ∈ X, temos |f (x) − g(x)| ≤ |f (x)−h(x)|+|h(x)−g(x)|. Concluiremos então que |f (x)−g(x)| < ε(x) para todo x ∈ X, desde que mostremos que |h(x)−g(x)| ≤ |h(x)−f (x)|. Mas isto resulta da seguinte observa¸cão elementar: g(x) = h(x)/|h(x)| é o ponto da esfera S n mais próximo do ponto h(x). Como f (x) pertence a S m , segue-se que |h(x) − g(x)| ≤ |h(x) − f (x)|. Observa¸ co ˜es: 1) Podemos, em particular, tomar a fun¸cão ε: X → R constante. Isto equivale a aproximar a aplica¸cão cont´ınua f : X → Rn por uma aplica¸cão g : X → Rn , que é a restri¸cão a X de uma aplica¸cão de classe C ∞ numa vizinhan¸ca aberta de X, com |f (g) − g(x)| < ε para todo x ∈ X (aproxima¸cão uniforme). Quando X é compacto, os dois tipos de aproxima¸cão (ε uma fun¸cão ou ε constante) s˜ ao equivalentes, pois toda fun¸cão cont´ınua positiva ε : X → R possui então um ´ınfimo positivo. No caso geral (X não compacto), entretanto, o tipo de aproxima¸cão fornecido pelo Teorema 10 é bem mais “fino”do que a aproxima¸cão uniforme, pois a fun¸cão cont´ınua positiva ε pode ter ´ınfimo zero em X. 2) Um resultado an´ alogo ao do Teorema 10 (ou o seu corolário) pode ser demonstrado para aplica¸cões f : X → N , com valores numa superf´ıcie N de classe C k . (Neste caso, a aproxima¸cão obtida g é apenas de classe C k .) 3) Supondo X compacto e mantendo Rn como contradom´ınio, tem-se um resultado bem mais preciso, a saber, o Teorema de Aproxima¸cão de Weierstrass (ou sua versão mais geral, o Teorema de Stone-Weierstrass). Para uma discuss˜ ao desses tópicos, veja [8]. Item C. O Teorema do ponto fixo de Brouwer. N˜ ao se trata aqui de uma aplica¸cão direta das parti¸cões da unidade, mas de uma amostra de como se utiliza o teorema de aproxima¸cão (Teorema 10) para provar resultados de Topologia. Teorema 11 (Brouwer). Seja B a bola fechada de centro 0 e raio 1 em Rn+1 . Toda aplica¸ca õ cont´ınua f : B → B possui (pelo menos) um

˜ ˜ DA UNIDADE [SEC. 5: APLICAC ¸ OES DA PARTIC ¸ AO

447

ponto fixo. A demonstra¸cão do Teorema 11 será feita em três etapas. Primeira: Se existir uma aplica¸ca õ cont´ınua f : B → B sem pontos fixos, existir´ a também uma aplica¸ca õ C ∞ , g : B → B, sem pontos fixos.

Com efeito, sendo B compacto, se for f (x) 6= x para todo x ∈ B, existir´ a ε > 0 tal que |f (x) − x| ≥ ε para todo x ∈ B. [Basta tomar ε = ´ınfimo da fun¸cão cont´ınua positiva x 7→ |f (x) − x| em B.] Definamos agora a aplica¸cão cont´ınua h : B → Rn+1 , pondo h(x) = (1 − ε/2)f (x). Temos |h(x) − f (x)| ≤ ε/2 para cada x ∈ B. Além disso, pelo Teorema 10, existe g : B → Rn+1 , de classe C ∞ , tal que |g(x) − h(x)| < ε/2 para todo x ∈ B. Como |h(x)| ≤ 1 − ε/2, vemos que |g(x)| ≤ |g(x) − h(x)| + |h(x)| ≤ ε/2 + 1 − ε/2 = 1, ou seja g(x) ∈ B para todo x ∈ B. Para mostrar que g : B → B não tem pontos fixos, observemos que ε ≤ |x − f (x)| ≤ |x − g(x)| + |g(x) − h(x)| + |h(x) − f (x)| < < |x − g(x)| + ε/2 + ε/2,

isto é, ε < |x − g(x)| + ε, donde |x − g(x)| > 0, para todo x ∈ B.

Segunda: Se existe uma aplica¸ca õ g : B → B, de classe C ∞ , sem pontos fixos, ent˜ ao a esfera unit´ aria S n é um retrato C ∞ da bola unit´ aria B ⊂ n+1 R . Com efeito, dada g, definimos a retra¸cão ρ : B → S m pondo ρ(x) = interse¸cão da semi-reta g(x)x com a esfera S n .

g(x)

Sn

x

ρ(x)

B

Evidentemente, ρ(x) = x para todo x ∈ S n . Para mostrar que ρ é de classe C ∞ , notemos que ρ(x) = g(x) + t[x − g(x)], onde t ≥ 1 é u ńico tal que |ρ(x)| = 1. Sendo x 6= g(x) e t 6= 0, resulta que ρ(x) 6= g(x) para todo x. Basta provarmos que t é uma fun¸cão C ∞ de x, o que faremos

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

448

observando que t é definido implicitamente pela equa¸cão F (x, t) = 1, onde F (x, t) = |g(x) + t[x − g(x)]|2 . O ponto crucial a ser verificado é ∂F que F (x, t) = 1 ⇒ 6= 0. Ora, ∂t ∂F (x, t) = 2hx − g(x), g(x) + t[x − g(x)]i = 2hx − g(x), ρ(x)i. ∂t ∂F = 0 implica hg(x) − ∂t ρ(x), ρ(x)i = 0 e da´ı, pelo Teorema de Pit´ agoras:

Como g(x) − ρ(x) = −t[x − g(x)], vemos que

|g(x)|2 = |g(x) − ρ(x) + ρ(x)|2 = |g(x) − ρ(x)|2 + |ρ(x)|2 = = |g(x) − ρ(x)|2 + 1 > 1,

um absurdo, pois g(x) ∈ B. [Note que g(x) = 6 ρ(x) para todo x ∈ B, conforme observamos acima.] Pelo Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita, ρ ∈ C ∞. Observa¸ c˜ ao: O leitor pode exprimir t como a u ńica raiz positiva da 2 equa¸cão do segundo grau |g(x) = t[x − g(x)]| = 1, com incógnita t. Assim ter´ a uma fórmula expl´ıcita para t em fun¸cão de g(x). Na terceira etapa da demonstra¸cão, seguiremos C.A. Rogers [24], que adaptou uma idéia de J. Milnor [17], por sua vez inspirada em D. Asimov. Terceira: N˜ ao existe uma retra¸ca õ ρ : B → S n , de classe C ∞ , da bola unit´ aria fechada B ⊂ Rn+1 sobre a esfera S n .

Suponha que ρ exista. Para todo t ∈ [0, 1] definamos ρt : B → Rn+1 pondo ρt (x) = x + t[ρ(x) − x] = (1 − t)x + tρ(x). Então ρt ∈ C ∞ e, como ρt (x) pertence ao segmento de reta [x, ρ(x)], vemos que, para todo t ∈ [0, 1], ρt (B) ⊂ B. Seja c = sup |ρ′ (x) − Id |. Para 0 ≤ t < 1/c, a x∈B

aplica¸cão diferenci´ avel x 7→ t[ρ(x) − x] tem, em todos os pontos x ∈ B, derivada com norma menor do que ou igual à constante tc < 1. Pelo Teorema do Valor Médio, tal aplica¸cão é uma contra¸cão, e portanto ρt : B → B é, para 0 ≤ t < 1/c, uma perturba¸cão da identidade, logo um difeomorfismo C ∞ de B sobre sua imagem ρt (B). Provemos que ρt (B) = B. Seja B = U ∪ S n , onde U é a bola unit´ aria aberta. Como ρt (x) = x para todo x ∈ S n , temos ρt (S n ) = S n e ρt (U ) ⊂ U . Devemos mostrar que esta u ´ltima inclus˜ ao é, na realidade, uma igualdade. Com efeito, se o aberto ρt (U ) for também fechado em U , teremos ρt (U ) = U

˜ ˜ DA UNIDADE [SEC. 5: APLICAC ¸ OES DA PARTIC ¸ AO

449

pois U é conexo. Caso contrário, existir´ a y ∈ U , aderente à imagem ρt (U ) mas não pertencente a ela. Como ρt (B) é compacto, portanto fechado, devemos ter y ∈ ρt (B), isto é, y = ρt (x) para algum x ∈ B. Como y ∈ / ρt (U ), não pode ser x ∈ U . Também não pode ser x ∈ S n pois neste caso ter´ıamos ρt (x) = x ∈ S n , enquanto y ∈ U . Assim, concluimos que, para todo t ∈ 0, 1c , ρt é um difeomorfismo C ∞ da bola B sobre si própria. [Da´ı resulta que ρt é a restri¸cão a B de um difeomorfismo C ∞ definido num aberto contendo a bola unit´ aria.] A matriz jacobiana de ρt (x) tem a forma I + t · A(x), onde I é a matriz identidade (n + 1) × (n + 1) e A(x) e a matriz jacobiana da aplica¸cão x 7→ ρ(x) − x. Portanto, o determinante jacobiano de ρt (x) é um polinˆ omio de grau n + 1 em t, cujos coeficientes s˜ ao fun¸cões C ∞ de n+1 P ai (x)·ti . Segue-se que a integral do determinante x : det[I+t·A(x)] = i=0

jacobiano de ρt (x) sobre a bola B, Z

B

det[I + t · A(x)]dx =

n+1 X Z i=0

B

ai (x)dx ti = p(t),

também é um polinˆ omio em t (agora com coeficientes constantes). Como, para todo t ∈ [0, 1/c], ρt é um difeomorfismo de B sobre si mesmo, resulta do Teorema de Mudan¸ca de Variáveis em Integrais M´ ultiplas que p(t) = vol(B), seja qual for t ∈ [0, 1/c]. Logo, p(t) é constante, qualquer que seja t ∈ R. Chegaremos, então, a uma contradi¸cão se mostrarmos que p(1) = 0. Com efeito, para t = 1, ρt reduz-se à retra¸cão ρ : B → S n , cuja derivada ρ′ (x) : Rn+1 → Rn+1 tem, para cada x ∈ B, imagem contida no subespa¸co vetorial de dimens˜ ao n, tangente à esfera n S no ponto ρ(x). Logo o determinante jacobiano de ρ em todos os pontos x ∈ B é igual a zero e assim sua integral p(1) é nula. Concluimos então que vol. B = 0, um absurdo que demonstra a inexistência de uma retra¸cão C ∞ da bola na esfera, da´ı resultando o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Quando provarmos o Teorema de Stokes, no par´ agrafo 8 mais adiante, veremos outra demonstra¸cão de que a esfera não é retrato C ∞ da bola, como caso particular de uma proposi¸cão muito mais geral. Observa¸ c˜ ao: Na terceira etapa da demonstra¸cão acima, ficou provado, na realidade, que a esfera S n não é um retrato C 1 da bola B.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

450

6

Integrais de superf´ıcie

Seja ω uma forma cont´ınua de grau m, com suporte compacto, definida numa superf´ıcie m-dimensional orientada M , de classe C 1 . Como vimos no par´ agrafo 2, se o suporte de ω está contido na imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → U , com ω(x) = a(u)du1 ∧ · · · ∧ dum para todo x = ϕ(u) ∈ U , então a igualdade Z Z a(u)du, ω= K

M

onde K é qualquer compacto J-mensur´ aRvel tal que ϕ−1 (supp. ω) ⊂ K ⊂ U0 , define sem ambig¨ uidade a integral M ω. Considerando os abertos U ⊂ M e U0 ⊂ Rm como superf´ıcies, nas quais estão definidas as formas ω = adu1 ∧ · · · ∧ dum e ϕ∗ ω = adx1 ∧ · · · ∧ dxm , teremos ainda Z Z Z ω= ω= ϕ∗ ω. U

M

U0

Observa¸ c˜ ao: Se usarmos uma parametriza¸cão negativa ψ : V0 → U , relativamente ` a qual se tem ω(x) = b(v)dv1 ∧· · ·∧dvm , x = ψ(v), então, para todo compacto J-mensur´ avel L, tal que ψ −1 (supp. ω) ⊂ L ⊂ V0 , obteremos Z Z ω. b(v)dv = − M

L

Com efeito, compondo ψ com o difeomorfismo h : Rm → Rm , que muda o sinal da primeira coordenada [h(u1 , . . . , um ) = (−u1 , u2 , . . . , um )], temos uma parametriza¸cão positiva ϕ = ψ ◦ h : U0 → U , onde U0 = h−1 (V0 ). Em rela¸cão ` a parametriza¸cão ϕ, a forma ω se escreve como ω(x) = −b(h(u))du1 ∧ · · · ∧ dum , x = ϕ(u) ∈ U . Como o determinante jacobiano de h tem valor absoluto igual a 1 em todos os pontos, resulta do Teorema de Mudan¸ca de Variáveis que, pondo K = h−1 (L), vale Z Z Z Z ω. −b(h(u))du = − b(h(u))du = − b(v)dv = L

M

K

K

Se as formas ω1 , . . . , ωr têm suportes compactos, contidos na mesma vizinhan¸ca parametrizada U , resulta imediatamente da aditividade da integal no espa¸co euclidiano que se ω = ω1 + · · · + ωr então Z Z Z ωr . ω1 + · · · + ω= M

M

M

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

451

R A fim de definir M ω no caso em que supp ω é um compacto qualquer em M , tomemos uma parti¸cão da unidade Σ ξi = 1, de classe C 1 , estritamente subordinada a uma cobertura aberta M = ∪ Ui , onde cada Ui é imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕ : Ui0 → Ui . Para cada ´ındice i, ponhamos ωi = ξi ·ω. Então Σ ωi = (Σ ξi )·ω = ω. O suporte de ω, sendo compacto, tem interse¸cão não-vazia com apenas um n´ umero finito de suportes das ξi , pois estes constituem uma fam´ılia localmente finita. Assim, ωi = ξi · ω = 0, salvo para um n´ umero finito de ´ındices i, ou seja ω = Σ ωi é, na realidade, uma soma finita. O suporte de cada forma ωi está contido na vizinhan¸ca parametrizada U e, sendo um subconjunto fechado de supp. ω, é compacto. Assim, Ri ao, por defini¸cão, M ωi tem sentido. Pomos ent˜ Z XZ ωi . ω= M

M

i

Resta mostrar que a defini¸cão acima independe da parti¸cão da unidade escolhida. Ora, se Σ ζj = 1 é outra parti¸cão da unidade, de classe C 1 , subordinada a uma cobertura aberta M = ∪ Vj , onde cada Vj é imagem de uma parametriza¸cão positiva, ao lado das formas ωi = P ξi · ω, consideremos P as formas ω ¯ j = ζj · ω e ωij = ξi · ζj · ω. Temos ωij = ξi ζj ω = j j P ωij = ω ¯ j , para quaisquer ξi (Σ ζj · ω) = ξi · ω = ωi e, analogamente, i

´ındices i e j. Além disso, para todo para R i, tem-se R todo P R supp. ωRij ⊂ Ui e,P j, tem-se supp. ωij ⊂ Vj . Logo M ωi = ¯j = M ωij e M ω M ωij . j

i

Da´ı:

XZ i

M

 X XZ  ωi = i

j

M



ωij  =

" X XZ j

i

#

ωij = M

XZ j

ω ¯j ,

M

R o que prova ser a defini¸cão de M ω independente da parti¸cão da unidade escolhida. O teorema abaixo resume as primeiras propriedades da integral de uma forma de grau m cont´ınua, de suporte compacto, numa superf´ıcie orientada de dimens˜ ao m. R R R Teorema 12. 1. M (ω + ω ¯ ) = ω + ¯; MR Mω R 2. Se c ∈ R ent˜ ao M c · ω = c · M ω;

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

452

R 3. Se ω ≥ 0 e ω(x) > 0 para algum x ∈ M ent˜ ao M ω > 0; 4. Se ω est´ a definida na superf´ıcie orientada N e f : M → N é um difeomorfismo que preserva orienta¸ca õ (isto é, M é orientada e, para toda parametriza¸ca õ positiva ϕ Rem M , f ◦ ϕ é uma parametriza¸ca õ R positiva em N ) ent˜ ao M f ∗ ω = N ω.

Demonstra¸ c˜ ao: As igualdades 1. e 2. s˜ ao evidentes quando o suporte de ω está contido numa vizinhan¸ca parametrizada. O caso geral segue-se por adi¸cão. Quanto a 3., tomando uma parti¸cão da unidade Σ ξi = 1, subordinada a uma cobertura de M por imagens de parametriza¸cões positivas, temos ω = Σ ωi , onde ωi = ξi · ω ≥ 0 para todo i. Se x ∈ M é tal que ω(x) > 0, então ωi0 (x) > 0 para algum ´ındice i0 . Da´ı, ωi0 (y) > 0 para todo R y numa vizinhan¸ca de R x, pela continuidade de ωi0 . Segue-se que M ωi ≥ 0 para todo i e M ωi0 >R 0, pois estas ao, R s˜ na verdade, integrais no espa¸co euclidiano. Assim, M ω = Σ M ωi > 0. Finalmente, para provar 4., escrevamos M = ∪ Ui , onde cada Ui é imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕi : Ui0 → Ui . Então N = ∪ f (Ui ), onde Rcada f (Ui ) é imagem da parametriza¸cão positiva f ◦ ϕi . Para calcular N ω, escrevemos ω = Σ ωi , onde supp. ωi ⊂ f (Ui ), da´ı resultando que f ∗ ω = Σ f ∗ ωi , com supp. f ∗ ωi ⊂ Ui para cada i. Temos: Z Z Z Z ∗ ωi = ωi = (f ◦ ϕi ) ωi = ϕ∗i · f ∗ ωi = U f (Ui ) Ui0 N Z Z i0 f ∗ ωi f ∗ ωi = = M

Ui

e, conseq¨ uentemente, Z XZ XZ ωi = ω= N

i

N

i

M

f ∗ ωi =

Z

M

X i

f ∗ ωi =

Z

f ∗ ω, M

concluindo assim a demonstra¸cão do teorema. Se f : M → N for um difeomorfismo que inverte a orienta¸cão (isto é, para cada parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → U em M , a parametriza¸ cão R f ◦R ϕ : U0 → f (U0 ) é negativa em N ) então vale a igualdade M f ∗ ω = − N ω. Isto resultaR da Observa¸Rcão feita no in´ıcio deste par´ agrafo. ∗ As igualdades M f ωR = N ω para um difeomorfismo positivo R f : M → N , e M f ∗ ω = − N ω para um difeomorfismo R negativo f : M → N , caracterizam a integral de uma forma diferencial M ω sobre uma superf´ıcie orientada M como uma “integral orientada”, como é a integral

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

453

R curvil´ınea λ ω, estudada no Cap´ıtulo IV. No Apêndice a este par´ agrafo, veremos um caso de integral “n˜ ao-orientada”numa superf´ıcie. Se M (e conseq¨ uentemente N ) for desconexa, podemos ter um difeomorfismo f : M → N que preserva a orienta¸cão em algumas componentes conexas de R M e inverte R em outras. Neste caso, nada se pode dizer relacionando M f ∗ ω com N ω. Deve-se olhar o item 4. do Teorema 12 como uma formula¸cão global da regra de mudan¸ca de variáveis em integrais m´ ultiplas. Formula¸cões mais gerais, em que f não precisa ser injetiva, serão feitas no par´ agrafo 9. R Mais geralmente, podemos definir M ω sob as seguintes hip´ oteses: 0. ω tem suporte compacto; 1. O conjunto dos pontos de M nos quais ω é descont´ınua tem medida nula; 2. ω é limitada, isto é, existe c > 0 tal que |ω(x) · (w1 , . . . , wm )| ≤ c|w1 | . . . |wm | para quaisquer x ∈ M e w1 , . . . , wm ∈ Tx M . Nas condi¸cões acima, para todo x = ϕ(u) pertencente à imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → U , temos ω(x) = a(u)du1 ∧ · · · ∧ dum , onde a : U0 → R é uma fun¸cão cujas descontinuidades formam um conjunto de medida nula. Quando supp. a = ϕ−1 (supp. ω) é compacto, para que a seja integrável basta que seja limitada. Como ∂ϕ ∂ϕ |a(u)| = ω(ϕ(u)) · (u), . . . , (u) ≤ ∂u1 ∂um ∂ϕ ∂ϕ (u)| . . . | (u)|, ≤c·| ∂u1 ∂um ∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) forem li∂u1 ∂um mitados em U0 , isto é, se existir uma constante c1 tal que |ϕ′ (u)| ≤ c1 para todo u ∈ U0 . R Portanto, a integral M ω pode ser definida quando ω é uma m-forma de suporte compacto em M , cumprindo as condi¸cões 1. e 2. acima. DiR remos então que ω é integr´ R avel. Nesta situa¸cão mais geral, M ω será ainda definida como Σ M ωi , onde ω = Σ ωi e cada ωi = ξi · ω tem suporte compacto, contido na imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕi : Ui0 → Ui , mas agora exigiremos que a derivada de ϕi seja limitada em Ui0 . Esta exigência é desnecess´ aria quando ω é cont´ınua e é

vemos que a será limitada se os vetores

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

454

automaticamente satisfeita quando a parametriza¸cão ϕi se estende continuamente a um compacto contendo Ui . Quando a superf´ıcie (orientável) M é compacta, toda forma cont´ınua de grau m em M é integrável. Mais geralmente, se ω é limitada e o conjunto R dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula em M , então M ω faz sentido.

Exemplo 23. Um exemplo da situa¸cão mais geral acima é o seguinte: seja ω uma forma de grau m cont´ınua numa superf´ıcie orientada M , de dimens˜ ao m. Seja K ⊂ M um subconjunto compacto J-mensur´ avel. Definimos uma nova forma ω ¯ em M , igual a ω nos pontos de K e igual a zero fora de K. Então ω ¯ tem suporte compacto (contido em K) e seus pontos de descontinuidade (se existirem) estão contidos na fronteira de K, logo formam um conjunto de medida nula. Além disso, sendo cont´ınua, ω é limitada no compacto K, logo ω ¯ é limitada em M . R Tem sentido portanto a integral M ω ¯ que, por defini¸ R cão, chamaremos R a integral de ω sobre o conjunto K. Escreveremos M ω ¯ = K ω. Um caso particular ocorre quando ω é o elemento de volume de M . Neste R caso, K ω chama-se o volume do conjunto K (´ area se dim. M = 2, comprimento se dim. M = 1). Quando M é uma hiperf´ıcie, podemos tirar proveito das formas particulares que então assume o elemento de volume ω, como vimos no fim do par´ agrafo 2. Por exemplo, se K está contido na imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → U e M ⊂ R3 é uma superf´ıcie de dimens˜ ao 2, os pontos de U0 s˜ ao indicados por (u, v), põe-se 2 2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , G = e então E = ,F = ∂u ∂u ∂v ∂v Z p area de K = ´ EG − F 2 dudv, onde K0 = ϕ−1 (K). K0

Ou (ainda no caso acima) se notarmos que as coordenadas do vetor normal unit´ ario v(x, y, z) = (cos α, cos β, cos γ) s˜ ao os cos-senos dos ângulos que ele forma com os eixos x, y e z respectivamente, temos Z cos α dy ∧ dz + cos β dz ∧ dx + cos γ dx ∧ dy. area de K = ´ K

A expressão acima é uma integral, sobre uma parte da superf´ıcie M , de uma combina¸cão linear de dy ∧ dz, dz ∧ dx e dx ∧ dy, que s˜ ao formas

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

455

de grau 2 no espa¸co R3 . Neste caso, os coeficientes cos α, cos β e cos γ s´ o estão definidos sobre a superf´ıcie, mas isto não importa. Eles poderiam estar definidos num aberto contendo M . Sempre que tivermos uma forma ω = Σ aI dxI , definida num aberto U do espa¸Rco euclidiano, e uma ıcie M ⊂ U , de dimens˜ ao m, escreveremos M ω para significar Rsuperf´ ∗ ω, onde i∗ ω ´ i e a restri¸ c ˜ a o de ω à superf´ıcie M . (Veja o Exemplo 14.) M A defini¸cão do volume de um compacto J-mensur´ avel K ⊂ M como a integral da forma elemento de volume de M sobre K pode ser justificada por meio das seguintes considera¸cões geométricas. Suponhamos que K = ϕ(B) seja imagem de um bloco retangular B ⊂ Rm , contido no dom´ınio de uma parametriza¸cão positiva ϕ. Cada parti¸cão pontilhada P ∗ do bloco B o decompõe em pequenos blocos Bi , em cada um dos quais foi escolhidoR um ponto ξi . A defini¸cão que demos corresponde f : B → R é definida a pôr vol. K = B f(u)du, onde ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) , sendo (u), . . . , (u) ⊂ por f (u) = vol ∂u1 ∂um ∂u1 ∂um ∂ϕ Tx M , x = ϕ(u), o paralelep´ıpedo que tem os vetores (u) como ∂uj arestas. Como sabemos, esta integral é limite de somas de Riemann Σ(f ; P ∗ ) = Σ f (ξi ) · vol. Bi . Para cada i, o bloco Bi = [c1 e1 , . . . , cm em ] é um paralelep´ıpedo cujas arestas s˜ ao os vetores c1 e1 , . . . , cm em . Seu volume é vol. Bi = c1 . . . cm . O fator f (ξi ) é o volume do paralelep´ıpedo ϕ′ (ξi ) · C, onde C = [e1 , . . . , em ] é o cubo unit´ ario de Rm . Logo a parcela f (ξi ) · vol. Bi é o volume do paralelep´ıpedo ϕ′ (ξi ) · Bi , imagem do bloco Bi pela transforma¸cão linear ϕ′ (ξi ) : Rm → Tϕ(ξi ) M . Assim, Σ(f ; P ∗ ) pode ser interpretada como uma soma de volumes de pequenos paralelep´ıpedos tangentes a M , a reunião dos quais forma uma “aproxima¸cão ´ razo´ poliedral”de K. E avel considerar Σ(f ; P ∗ ) como uma aproxima¸cão para vol. K, o que equivale a tomar, como defini¸cão: Z ∗ ω. vol. J = lim Σ(f ; P ) = |P |→0

K

No caso particular em que m = 2 e K = {(x, y, z) ∈ R2 ; (x, y) ∈ B, z = g(x, y)} é o gr´ afico de uma fun¸cão g : B → R, de classe C 1 no retˆ angulo 2 B ⊂ R , dada a parti¸cão pontilhada P ∗ como acima, a soma de Riemann Σ(f ; P ∗ ) é a soma das ´ areas dos paralelogramos Ai , cada um dos quais é a interse¸cão do prisma retangular Bi × R, de base Bi , com o plano tangente a M no ponto (ξi , g(ξi )). A área de K é, portanto, o limite

456

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

da soma das ´ areas dos paralelogramos Ai quando a maior das bases e a maior das alturas dos retˆ angulos Bi tendem a zero. Esta defini¸cão geométrica da área de uma superf´ıcie (ou, mais geralmente, do volume, quando a dimens˜ ao é > 2) difere da defini¸cão do comprimento de um caminho, dada no Cap´ıtulo IV, porque l´ a usamos segmentos secantes e aqui usamos tangentes. A razão é a seguinte: se tentássemos definir, por exemplo, a área de uma superf´ıcie (de dimens˜ ao 2) como o limite das ´ areas de superf´ıcies poliédricas nela inscritas (isto é, os vértices do poliedro s˜ ao pontos pertencentes à superf´ıcie dada) ver´ıamos que, mesmo em casos bem elementares, a área de um poliedro inscrito na superf´ıcie não possui limite quando todas as arestas das suas faces tendem a zero. H´ a um exemplo cl´ assico, dado por H. Schwarz em 1881, no qual se inscreve num cilindro uma superf´ıcie poliédrica bastante simples, cuja ´ area não converge para um limite determinado quando os lados dos triˆ angulos que constituem suas faces tendem para zero. (Veja Exerc´ıcio 6.8.) Por esse motivo, a área de uma superf´ıcie de classe C 1 é definida por meio de aproxima¸cões tangenciais. Isto, evidentemente, põe a quest˜ ao de saber se é poss´ıvel definir área de uma superf´ıcie de classe 0 C , de modo a ter (como fizemos para caminhos) um teorema segundo o qual no caso particular de classe C 1 a área sempre existe e é dada pela fórmula acima. A teoria da área para superf´ıcies de classe C 0 (ou mais gerais) não é de modo algum tão simples como a do comprimento de caminhos, que expusemos no Cap´ıtulo IV. Trata-se de um campo ainda com problemas em aberto. O leitor interessado pode consultar Radó [22]. As formas diferenciais s˜ ao, sem d´ uvida, os objetos mais adequados para serem integrados sobre uma superf´ıcie. Mas, dependendo da situa¸cão, outros tipos de integrais de superf´ıcies podem ocorrer de modo natural. Trataremos deles a seguir. Por exemplo, que sentido tem a integral de uma fun¸cão f: M → R sobre uma superf´ıcie M (digamos, compacta e orientada)? Nos livros R de C´ alculo e de aplica¸cões da Matem´ atica, encontramos a integral M f definida como o limite das somas Σ f (ξi ) · Ki onde ξi ∈ Ki para cada i, M = ∪ Ki é uma decomposi¸cão de M como reunião de um n´ umero finito de compactos J-mensur´ aveis sem pontos interiores em comum, e o limite é tomado quando a norma da decomposi¸cão (maior diˆ ametro dos Ki ) tende para zero. Do nosso ponto de vista, dada a fun¸cão cont´ınua f : M → R, com

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

457

suporte compacto, definida na superf´ıcie orientada M , consideramos a forma f · ω, produto daRfun¸cão f pela forma ω, elemento de volume de R M , e tomamos M f = M f · ω como defini¸cão da integral da fun¸cão f sobre a superf´ıcie M . A continuidade de f é dispensável: podemos supor apenas que f é limitada, tem suporte compacto e suas descontinuidades constituem um conjunto de medida nula em M . Exemplo 24. Seja M ⊂ Rm+1 uma hiperf´ıcie de classe C 2 , orientada por meio de um campo cont´ınuo (e portanto C 1 ) de vetores normais unit´ arios γ : M → S m . [Isto significa que uma base {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M é positiva se, e somente se, det(γ(x), w1 , . . . , wm ) > 0, ou seja, {γ(x), w1 , . . . , wm } ⊂ Rm+1 é uma base positiva.] A aplica¸cão γ, que a cada ponto x ∈ M associa o vetor unit´ ario γ(x), normal a M no ponto x, chama-se aplica¸ca õ normal de Gauss. Para cada x ∈ M , temos Tx M = Tγ(x) S m , como subespa¸cos m-dimensionais de Rm+1 , ambos ortogonais ao vetor γ(x). Logo, a derivada γ ′ (x) é, na realidade, uma transforma¸cão linear γ ′ (x) : Tx M → Tx M , de um espa¸co vetorial em si mesmo, e assim tem sentido o determinante K(x) = det. γ ′ (x), chamado a curvatura de Gauss-Kronecker da superf´ıcie M no ponto x. [Como det. (−γ ′ (x)) = (−1)m det. γ ′ (x), se tom´ assemos −γ em vez de γ a curvatura gaussiana trocaria de sinal se m fosse ´ımpar mas independe da orienta¸cão de M quando m é par.] Sejam ω e σ, respectivamente, os elementos de volume de M e S m . Isto implica que devemos orientar S m , e o faremos dizendo que uma base {w1 , . . . , wm } ⊂ Tp S m é positiva se, e somente se, det(p, w1 , . . . , wm ) > 0, ou seja {p, w1 , . . . , wm } ⊂ Rm+1 é uma base positiva. Desta forma, os espa¸cos vetoriais Tx M e Tγ(x) S m , não apenas s˜ ao iguais como estão também munidos da mesma orienta¸cão. Então, para todo x ∈ M , temos ω(x) = σ(γ(x)) pois s˜ ao elementos de volume do mesmo espa¸co vetorial orientado. Mostraremos agora que γ ∗ σ = K · ω. Primeiro lembramos que se A : E → E é uma transforma¸cão linear e σ é uma forma alternada de grau igual à dimens˜ ao de E então A∗ · σ = (det. A) · σ. Portanto, para todo x ∈ M , (γ ∗ σ)(x) = [γ ′ (x)]∗ · σ(γ(x)) = [det. γ ′ (x)] · σ(γ(x)) = K(x) · ω(x), ou seja, γ ∗ σ = K · ω. Suponhamos que M seja compacta. A Rintegral da fun¸ a superf´ıcie M , ou seja, o n´ umero M K = Rcão K : M →R R sobre ∗ (def.) M K · ω = M γ σ chama-se a curvatura integral da superf´ıcie M . Veremos no par´ agrafo 9 que este n´ umero é um m´ ultiplo inteiro do

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

458

R volume da esfera S m . Em particular, se m = 2, M K é um m´ ultiplo inteiro de 4π. Outro tipo de objeto que pode ser integrado sobre uma superf´ıcie M é um campo de vetores, mas agora somente em dois casos especiais. O primeiro é quando dim M = 1. Nesta situa¸cão, identificamos oR vetor F R (x) = Σ ai (x)ei com a forma ω(x) = Σ ai (x)dxi e tomamos F = cão. Isto foi feito no Cap´ıtulo IV. M M ω como defini¸ Podemos também definir a integral sobre M de um campo cont´ınuo F : M → Rm+1 (com suporte compacto) quando M ⊂ Rm+1 é uma hiperf´ıcie orientada. Neste caso, consideraremos o campo cont´ınuo de vetores normais unit´ arios v : M → Rm+1 , que define a orienta¸cão de M e pomos Z

F = M

Z

M

hF, vi =

Z

M

hF, vi · ω, ω = elemento de volume de M .

R Ou seja, definimos M F como a integral sobre M da fun¸cão x 7→ hF (x), v(x)i. Freq¨ uentemente o campo F está definido numR conjunto aberto U ⊂ Rm+1 , o qual contém a hiperf´ıcie M . A integral M F chama-se o fluxo do campo F através da hiperf´ıcie M . Se imaginarmos F como o campo das velocidades de um fluido que escoa em U sob regime estacion´ R ario (isto é, a lei de escoamento não varia com o tempo) então o fluxo M F mede o saldo da quantidade de fluido que atravessa M na unidade de tempo, ou seja, o que atravessa M no sentido da normal menos o que atravessa no sentido contrário. Se x = ϕ(u) pertence ` a imagem da parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → ∂ϕ U , sabemos que v(x) = N (x)/|N (x)|, onde N (x) = (u) × · · · × ∂u1 ∂ϕ (u), e que ω(x) = |N (x)|du1 ∧ · · · ∧ dum . Logo ∂um hF, vi · ω = hF, N i · du1 ∧ · · · ∧ dum . Assim, se K ⊂ U é um compacto J-mensur´ avel, o fluxo de F através de K pode ser escrito como Z

F = K

Z

K

hF, viω =

Z

K

hF, N idu1 ∧ · · · ∧ dum .

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

459

Para efeito de cálculo em termos da parametriza¸ ao ϕ a u ´ltima ao c˜ express˜

é vantajosa, inclusive porque hF, N i = det. F,

∂ϕ ∂ϕ ,..., , pela de∂u1 ∂um

fini¸cão do produto vetorial. Se λ : M → N é uma aplica¸cão de classe C 1 de uma superf´ıcie compacta M numa superf´ıcie N e se ω é uma forma cont´ınua em N , cujo grau é igual ` a dimens˜ ao de M , então podemos definir a integral de ω ao longo da aplica¸ca õ λ pondo Z Z λ∗ ω. ω= λ

M

A aplica¸cão λ é como se fosse um “caminho a m dimens˜ oes”e a defini¸cão acima estende a no¸cão de integral de uma forma de grau 1 ao longo de um caminho. [Estritamente falando, um intervalo [a, b] não é uma superf´ıcie, mas esta discrepância será afastada no par´ agrafo seguinte, em que tratamos de superf´ıcies com bordo.] A integral usual de uma fun¸cão num intervalo da reta ou num conjunto J-mensur´ avel de Rm corresponde à integral de uma forma com suporte compacto. O teorema central deste cap´ıtulo (Teorema de Stokes) s´ o vale para formas com suporte compacto. Toda forma cont´ınua com suporte compacto é integrável. Estes s˜ ao três motivos ponderáveis entre os que justificam a escolha das formas de suporte compacto como objetos adequados para a integra¸cão numa superf´ıcie. De fato, é poss´ıvel desenvolver uma por¸cão considerável dessa teoria e chegar a um conhecimento satisfatório da mesma sem integrar outras formas que não sejam as de suporte compacto. Existem porém dois teoremas interessantes (da irrelevância dos conjuntos de medida nula e do conjunto onde a forma é zero), que usaremos apenas uma vez, no par´ agrafo 9, os quais não podem sequer ser enunciados, a menos que consideremos integrais de formas com suportes nãocompactos. (Isto equivale, como veremos, a estudar integrais impróprias absolutamente convergentes.) Assim, nossa defini¸cão de integral de superf´ıcie passa à terceira etapa: na primeira, t´ınhamos uma forma cont´ınua com suporte compacto, contido numa vizinhan¸ca parametrizada; na segunda etapa, esta u ´ltima restri¸cão foi omitida. Agora, definiremos a integral de uma forma cont´ınua de grau m, numa superf´ıcie m-dimensional orientada, quer o suporte da forma seja compacto ou não.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

460

Evidentemente, sem a restri¸cão do suporte compacto, algumas formas cont´ınuas s˜ ao integráveis outras não. Por exemplo, a fun¸cão constante, igual a 1, não é integrável na reta, nem a fun¸cão cont´ınua y = 1/x é integrável no intervalo (0, 1). Seja ω uma forma cont´ınua de grau m na superf´ıcie orientada M , de dimens˜ ao m. Tomamos uma parti¸cão da unidade Σ ξi = 1, estritamente subordinada a uma cobertura localmente finita M = ∪ Ui , onde cada Ui tem fecho compacto em M e é imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕi : Ui0 → Ui . Para cada i, pomos ωi = ξi · ω. As formas ωi s˜ ao cont´ınuas, com supp. ωi ⊂ supp. ξi compacto, contido em Ui . Temos ω = Σ ωi onde cada ponto x ∈ M tem uma vizinhan¸ca na qual esta soma tem apenas um n´ Rumero finito de parcelas não nulas. Para cada i, tem sentido a integral M ωi . R Para definir M ω, suponhamos inicialmente ω ≥ 0, donde ωi ≥ 0 para todo i. [Ou seja, ωi (x) = ai (u)du1 ∧ · · · ∧ dum , com x = ϕi (u) e ai (u) ≥ 0 para todo u ∈ Ui0 .] Diremos avel quando a R que ω é integr´ série de n´ umeros reais não-negativos Σ M ωi for convergente. Supondo que isto ocorre, mostraremos que a série an´ aloga, formada com aux´ılio de outra parti¸cão da unidade, também converge e tem a mesma soma. Com efeito, tomemos uma nova parti¸cão da unidade Σ ζj = 1, subordinada ` a cobertura aberta localmente finita M = ∪ Vj , por imagens de parametriza¸cões positivas ψj : Vj0 → Vj , com cada V j compacto. Sejam ω ¯ j = ζj · ω e ωij = ξi ζj ω. Para cada i, o compacto supp. ωi intersecta apenas um n´ umero finito de conjuntos da fam´ılia localmente finita (supp. ωij ). Logo, para cada i, existe apenas um P n´ umero finito de ´ındices j tais que ωij 6= 0, ou seja, cada soma ωi = ωij é finita. j P Analogamente, cada soma ω ¯ j = ωij é também finita. Podemos escrever

XZ i

ωi =

M

XZ i

M

i

X

ωij =

j

XXZ i

j

ωij .

M

Como essas integrais s˜ ao n´ umeros ≥P 0, Rsegue-se do Teorema 8, Cap´ıtulo 10, vol. 1 (pág. 384) que a série ¯ j converge e Mω j

XXZ i

j

M

ωij =

XXZ j

i

ωij = M

XZ j

M

X i

ωij =

XZ j

ω ¯j .

M

Isto mostra que, dada a forma cont´ınua não-negativa ω em M , podemos

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

461

definir sem ambig¨ uidade a integral de ω pela igualdade Z XZ ωi , ω= M

i

M

desde que a série do segundo membro convirja. No caso geral, seja ω uma forma cont´ınua de grau m sobre a superf´ıcie orientada m-dimensional M . Escrevemos ω = ω+ − ω− , onde ω+ é a parte positiva e ω− a parte negativa de ω, isto é, ω+ (x) = ω(x) e ω− (x) = 0 quando ω(x) ≥ 0, enquanto que ω− (x) = −ω(x) e ω+ (x) = 0 se ω(x) ≤ 0. Diremos então que ω é integr´ avel quando as formas cont´ınuasRnão-negativas ω e ω forem ambas integr´ aveis. Neste caso, + − R R poremos M ω = M ω+ − M ω− , por defini¸cão. Observa¸ c˜ ao 1: Se ω é integrável, Σ ξP i = R 1 é uma parti¸cão da unie uma série absolutadade como acima e ωi = ξi · ω então M ωi ´ i R PR mente convergente, e sua soma é M ω. Com efeito, as séries M ξi ω+ i R R R P e M ξi ω− convergem e, para cada i, temos | M ωi | ≤ M |ωi | = R i R P R | M ωi | converge. Além disso, M ξi ω+ + M ξi ω− . Logo i

XZ

M

ωi =

XZ

M

ξi ω+ −

XZ

M

ξi ω− =

Z

ω.

M

[Em particular Ra soma da série independe da ordem das parcelas, o que é natural pois M ω não depende da parti¸cão da unidade escolhida e a mudan¸ca da ordem corresponde a escolher outra parti¸cão, na qual as fun¸cões s˜ ao as mesmas porém numeradas de forma diferente.] Observa¸ c˜ ao 2: Se f : M → N é um difeomorfismo de classe C 1 então, para toda forma cont´ integráRvel ω em N , a forma induzida f ∗ ω é R ınua integrável em M e M f ∗ ω = ± N ω, conforme f preserve ou inverta orienta¸cão. A demonstra¸cão se faz de modo an´ alogo ao caso em que ω tem suporte compacto. Novamente, observa-se que se M é desconexa e f preserva orienta¸cão em algumas componentes e inverte noutras então o resultado não vale. Observa¸ c˜ ao 3. Se U ⊂ Rm é um aberto qualquer (mesmo não mensur´ avel ` a Jordan), podemos considerá-lo como uma superf´ıcie m-dimensional e agora passa a ter sentido, para toda fun¸cão cont´ınua f : U → R,

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

462

R R a integral U f (x)dx, que significa U ω, com ω(x) = f (x)dx1 ∧· · ·∧dxm . Evidentemente, ω pode ser integrável ou não. Se for, diremos que f é absolutamente integr´ avel em U . Quando a fun¸ R cão cont´ınua f e o conjunto aberto U s˜ ao ambos limitados, então U f (x)dx sempre existe. Com efeito, basta supor f ≥ 0. Se f (x) ≤ c para todo x ∈ U e K é um cubo em Rm que contém U então, para toda parti¸cão da unidade com suportes compactos Σ ξi = 1 em U e todo k ∈ N temos k Z X i=1

ξi f = U

k Z X

K

i=1

ξi f ≤ c · vol. K, logo a série

é convergente. [Note, porém, que a integral que f seja ilimitada em U .]

R

U

∞ Z X i=1

ξi f

U

ω pode existir mesmo

Observa¸ c˜ ao 4: Se o aberto U ⊂ Rm éRJ-mensur´ avel e f : U → R é cont´ınua e limitada, então a defini¸cão de U f (x)dx dada agora, usando parti¸cões da unidade, coincide com a que foi dada no Cap´ıtulo VI. Basta provar isto no caso em que f ≥ 0. Sejam Σ ξi = 1 uma parti¸cão da unidade com suportes compactos em U , fi = ξi ·f e ω = f ·dx1 ∧· · ·∧dxm . Por defini¸cão Z ∞ Z X fi ω= U

i=1

R

U

R

onde, para cada i, avel e U fi significa Ki fi , com Ki J-mensur´ supp. fi ⊂ Ki ⊂ U . Ora, para cada k ∈ N temos k Z X

fi =

U

i=1

Z X k U i=1

fi ≤

Z

f (x)dx.

U

R R Logo a série Σ U fi converge, ou seja, a forma ω é integrável e U ω ≤ R aria, tomemos arbitrariaU f (x)dx. Para provar a desigualdade contr´ mente um n´ umero ε > 0. Existe K, reuni˜ uRmero finito de R ao de um n´ blocos fechados contidos em U , tal que U f (x)dx ≤ K f (x)dx + ε. A fam´ılia dos suportes das fun¸cões fi sendo localmente finita, existe k ∈ N tal que i ≥ k ⇒ (supp. fi ) ∩ K = ∅, pois K é compacto. Assim f1 (x) + · · · + fk (x) = f (x) para todo x ∈ K e da´ı Z

K

f (x)dx ≤

Z X k U i=1

fi ≤

Z

ω. U

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

463

R R ario, concluimos que RSegue-se que R U f (x)dx ≤ U ω + ε. Como ε é arbitr´ cão feita. U f (x)dx ≤ U ω, o que prova a afirma¸

Observa¸ c˜ ao 5: Se a forma cont´ınua ω é integrável em M então ω é integrável em qualquer aberto R A ⊂ M R (considerado como superf´ıcie). Se, além disso, ω ≥ 0 então A ω ≤ M ω. Suponhamos, inicialmente, ω ≥ 0. Seja i : A → M a inclus˜ ao. Mediante uma parti¸cão da unidade, escrevamos a soma localmente finita i∗ ω =

∞ X

ωi ,

i=1

onde cada ωi é ≥ 0, cont´ınua, com suporte compacto, contido em A. Para cada k ∈ N podemos considerar αk = ω1 + · · · + ωk como uma forma cont´ınua de suporte compacto em M , pondo-a igual a zero em M − A. Portanto, αk é integrável em M , com Z

M

αk ≤

Z

ω. Logo M

k Z X i=1

ωi = A

Z

αk = A

Z

M

αk ≤

Z

ω M

R R para todo k ∈ N. Assim, a série Σ A ωi converge para o valor A ω ≤ R ao é ≥ 0, pomos ω = ω+ − ω− onde cada parcela é ≥ 0, M ω. Se ω n˜ logo integrável em A, Rportanto R ω é integrável em A. [Mas agora não podemos concluir que A ω ≤ M ω.] Na demonstra¸cão do teorema seguinte, vamos utilizar o Lema 1. Sejam ω cont´ınua integr´ avel em M e F ⊂ M um subconjunto fechado de medida R nula. Para todo ε > 0 existe Z aberto em M , contendo F , tal que | Z ω| < ε. Demonstra¸ c˜ ao: Basta considerar o caso em que ω ≥ 0. Pelo Lema 3, usado na demonstra¸cão do Teorema 7 (§4), podemos cobrir M e (conseq¨ uentemente) F com uma fam´ılia localmente finita de abertos Ui = ϕi (B(3)) tais que os correspondentes Wi = ϕi (B(1)) ainda cobrem F . Tomamos apenas os Ui tais que Wi ∩ F 6= ∅. Para cada i, seja Ki = W i ∩F . Os Ki s˜ ao compactos de medida nula, com ∪ Ki = F . Os abertos Vi = ϕi (B(2)) formam uma cobertura localmente finita de F , com cada V i compacto, Ki ⊂ Vi e Li = ϕ−1 e um compacto de medida i (Ki ) ⊂ B(2) ´ nula, para cada i. Seja ω(x) = ai (v)dv1 ∧ · · · ∧ dvm a expressão de ω nos pontos x = ϕi (v) ∈ Vi , dada pela parametriza¸cão positiva ϕi . Cada uma das fun¸cões cont´ınuas ai : B(2) → R é limitada, pois se estende

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

464

continuamente ao compacto B(2) ⊂ B(3). Seja ai (v) ≤ ci para todo v ∈ B(2). Podemos cobrir Li com um n´ umero finito de cubos abertos cuja soma dos volumes é menor do que ε/ci ·2i . Seja Zi0 a reunião desses cubos. Ponhamos Zi = ϕi (Zi0 ) e Z = ∪ Zi . A cobertura Z = ∪ Zi é localmente finita e cada Zi tem fecho compacto. Tomando uma parti¸cão da unidade Σ ξi = 1 em Z, com supp. ξi ⊂ Zi , vemos que R

ωi = ξi · ω = ξi · ai · dv1 ∧ · · · ∧ dvm ≤ ai · dv1 ∧ · · · ∧ dvm ,

R ωi ≤ Zi0 ai (v)dv1 dv2 . . . dvm ≤ ci · vol(Zi0 ) < ε/2i . Z ∞ X XZ ε ωi < ω= Portanto = ε. 2i Z Z

logo

Z

i=1

i

Teorema (Irrelevância dos conjuntos de medida nula.) Se ω é uma forma cont´ınua de grau m, integr´ avel na superf´ıcie m-dimensional orientada M , e F ⊂ M é um subconjunto fechado de medida nula, ent˜ ao Z Z ω. ω= M

M −F

Demonstra¸ c˜ ao: Sem perda de generalidade, podemos supor que ω ≥ 0. Dado arbitrariamente ε > 0, tomemos em M um aberto Z ⊃ F , tal que R ω < ε, conforme o Lema 1. Seja A = M − F . Tomando uma parti¸cão Z da unidade ξA + ξZ = 1 em M , estritamente subordinada à cobertura M = A ∪ Z, podemos escrever Z Z Z Z ξZ · ω = ξA · ω + ω= ω≤ M M Z Z ZM Z Z A ξA · ω + ξZ · ω ≤ ω+ ω< ω + ε. = A

Z

A

Z

A

Isto sendo válido para todo ε > 0, concluimos que

R

M

ω=

R

A ω.

Corol´ ario. Sejam ω uma forma cont´ınua integr´ avel na superf´ıcie orientada M e ϕ : U0 → U uma parametriza¸ c a ˜ o positiva em M , tal que R R ∗ M − U tem medida nula. Ent˜ ao M ω = U ϕ ω. O corolário acima é u ´til para o cálculo de integrais em superf´ıcies. A esfera, o toro e todas as superf´ıcies compactas (orientadas) em R3 admitem uma parametriza¸cão do tipo acima. Por exemplo, retirando-se um meridiano e um paralelo de um toro de revolu¸cão, o aberto restante

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

465

pode ser facilmente parametrizado. [Isto é verdade também para qualquer superf´ıcie compacta orientada mas a demonstra¸cão em dimens˜ ao > 2 requer técnicas bastante avan¸cadas de Geometria Diferencial.] Na integral de uma forma sobre uma superf´ıcie também podemos desprezar qualquer conjunto fechado no qual a forma se anule. Isto é o Teorema (Irrelevância dos zeros.) Sejam ω uma forma cont´ınua, integr´ avel na superf´ıcie orientada M , e F ⊂ R M umR subconjunto fechado tal que ω(x) = 0 para todo x ∈ F . Ent˜ ao M ω = M −F ω. A demonstra¸cão se faz tal qual a do teorema anterior, utilizando-se, em vez do Lema 1, o

Lema 2. Seja F ⊂ M um conjunto fechado, em todos os pontos do qual a forma cont´ınua ω (de grau m na superf´ıcie m-dimensional orientada M ) se anula.R Dado qualquer ε > 0, existe um aberto Z em M , contendo F , tal que | Z ω| < ε.

Demonstra¸ c˜ ao: Basta supor ω ≥ 0. Tomamos uma fam´ılia localmente finita de abertos Ui = ϕi (B(3)) tais que os Wi = ϕi (B(1)) cobrem F e Wi ∩F 6= ∅ para todo i. [Como no Lema 1.] Pomos Ki = W i ∩F . Os Ki s˜ ao compactos, com ∪ Ki = F , os abertos Vi = ϕi (B(2)) formam uma cobertura localmente finita de F , cada um deles tem fecho compacto em M , é imagem da parametriza¸cão positiva ϕi : B(2) → Vi e contém Ki . Seja ω(x) = ai (v)dv1 ∧ · · · ∧ dvm a expressão de ω nos pontos x = ϕi (v) ∈ Vi , dada pela parametriza¸cão ϕi . Temos ai (v) = 0 para cada v ∈ Li = ϕ−1 i (Ki ) ⊂ B(2). Seja ci o volume exterior do compacto Li . (Note que ci = inf. Σ vol(Cj ), onde Li ⊂ C1 ∪ · · · ∪ Ck é uma cobertura de Li por cubos abertos.) Tomemos um aberto Zi0 ⊂ B(2), reunião finita de cubos abertos contendo Li , cuja soma dos volumes é < 2ciR, tal que ai (v) < ε/2i+1 ci para todo v ∈ Zi0 . Então vol(Zi0 ) < 2ci , logo Zi0 ai (v)dv < ε/2i . Sejam Zi = ϕi (Zi0 ) e Z = ∪ Zi . Seja Σ ξi = 1 uma parti¸cão da unidade em Z, estritamente subordinada à cobertura Z = ∪ Zi . Temos Z X ε XZ ξi (v)ai (v)dv < ω= = ε, 2i Zi0 Z i

i

como quer´ıamos demonstrar. As considera¸cões acima desenvolvidas podem ser aplicadas para estender o Teorema de Mudan¸ca de Variáveis, eliminando a hip´ otese de

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

466

que o determinante jacobiano da mudan¸ca de variáveis seja sempre diferente de zero, conforme o Exemplo 25. Sejam U, V ⊂ Rm abertos e h : U → V um homeo1 morfismo R de classe C . Seja fR : V → R uma fun¸cão cont´ınua′ limitada. Então K f (h(x))|J(x)|dx = Ω f (y)dy, onde J(x) = det. h (x). Com efeito, S = {x ∈ U ; J(x) = 0} é um subconjunto fechado de U , cuja imagem h(S) é um subconjunto fechado de V , com medida nula, pelo Teorema de Sard. Consideremos a m-forma ω em V , definida por ω(y) = f (y)dy1 ∧ · · · ∧ dym . Temos (h∗ ω)(x) = f (h(x)) · J(x)dx1 ∧ · · · ∧ dxm para todo x ∈ U . Como h : U − S → V − h(S) é um difeomorfismo, se supusermos J(x) ≥ 0 para todo x ∈ U teremos Z Z Z Z ∗ ∗ f (h(x)) · |J(x)|dx = h ω= h ω= ω= U U U −S V −h(S) Z Z f (y)dy. ω= = V

V

Se admitirmos porém que seja J(x) ≤ 0 para todo x ∈ U então h R : U −∗S → V R− h(S) é um difeomorfismo que inverte orienta¸cão, logo em disso, neste caso será |J(x)| = −J(x). U −S h ω = − V −h(S) ω. Al´ Fazendo estas duas mudan¸cas de sinal na seq¨ uência de igualdades acima, obteremos ainda no final Z Z f (y)dy. f (h(x)) · |J(x)|dx = V

U

Em geral, podemos ter J(x) > 0 em alguns pontos de U e, noutros pontos J(x) < 0. Então escrevemos U = A ∪ B, reunião disjunta de dois abertos, onde A = {x ∈ U ; J(x) > 0} e B = U − A. Segue-se que V = h(A) ∪ h(B), também reunião disjunta de abertos e, pelo que vimos acima, temos Z Z f (h(x))|J(x)|dx+ f (h(x)) · |J(x)|dx = A U Z Z Z Z f (y)dy. f (y)dy = f (y)dy + f (h(x)) · |J(x)|dx = + B

h(A)

h(B)

V

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

467

ˆ APENDICE Examinemos agora a hip´ otese de orientabilidade da superf´ıcie sobre a qual se efetua uma integra¸cão. Ela é, de fato, necessária para se definir a integral de uma forma diferencial e constitui um dado importante nas aplica¸cões desta no¸cão. (Veremos alguns exemplos disso nos par´ agrafos finais deste cap´ıtulo.) Somente para citar um caso simples, mencionaremos que o fluxo de um campo de vetores através de uma hiperf´ıcie s´ o tem sentido quando a mesma é orientável. Por outro lado, é intuitivamente óbvio que uma faixa de M¨ obius tem área (igual ` a´ area do retˆ angulo que foi torcido e colado para form´ a-la). Este exemplo indica que a orientabilidade é uma exigência que deveria ser evitada na defini¸cão geral de volume de uma superf´ıcie. Ainda sobre a faixa de M¨ obius M : se a densidade de M em cada um dos seus pontos x tem um valor R f (x), então a massa de M deveria ser expressa como uma integral M f , embora M não seja orientável. As considera¸cões acima sugerem um reexame da defini¸cão de integral, visando retirar a condi¸cão de orientabilidade. Isto nos conduz à no¸cão de densidade escalar, como objeto que pode ser integrado, mesmo em superf´ıcie não-orientáveis. Uma densidade escalar num espa¸co vetorial m-dimensional E é uma fun¸cão ρ : E × · · · × E (m fatores) → R com a seguinte propriedade: se A : E → E é uma transforma¸cão linear e v1 , . . . , vm ∈ E então ρ(A·v1 , . . . , A·vm ) = | det. A| · ρ(v1 , . . . , vm ). Por exemplo, se ω é qualquer m-forma alternada em E então |ω| é uma densidade escalar. Isto mostra que em todo espa¸co vetorial E 6= {0} existem densidades escalares não-nulas. Um importante exemplo de densidade escalar é a densidade de volume ρ, num espa¸co vetorial E, munido de um produto interno. (N˜ ao supomos E orientado!) Por defini¸cão, dados v1 , . . . , vm ∈ E, tem-se q ρ(v1 , . . . , vm ) = det. (hvi , vj i) = vol. [v1 , . . . , vm ],

onde [v1 , . . . , vm ] ⊂ E é o paralelep´ıpedo que tem por arestas os vetores vi . Se dotarmos E de uma orienta¸cão e chamarmos de ω a forma elemento de volume correspondente, teremos ρ = |ω|. O conjunto ∆(E) das densidades escalares no espa¸co vetorial E, com as opera¸cões usuais de soma de fun¸cões e produto por um n´ umero real, é um espa¸co vetorial.

468

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

Seja {e1 , . . . , em } uma base no espa¸co vetorial E. Uma vez fixada esta base, indicaremos com a nota¸cão det. (v1 , . . . , vm ), para v1 , . . . , vm ∈ E, o determinante da matriz cuja j-ésima coluna é formada pelas coordenadas do vetor vj em rela¸cão à base dada. Ou ainda, det(v1 , . . . , vm ) é o determinante da transforma¸cão linear A : E → E tal que A · e1 = v1 , . . . , A · em = vm . Isso posto, para toda densidade escalar ρ ∈ ∆(E) existe um n´ umero real a tal que ρ(v1 , . . . , vm ) = | det(v1 , . . . , vm )| · a. Basta pôr a = ρ(e1 , . . . , em ). Desta observa¸cão seguem-se os seguintes fatos, relativos a uma densidade escalar ρ no espa¸co vetorial E, de dimens˜ ao m: 1. Se v1 , . . . , vm s˜ ao linearmente dependentes então ρ(v1 , . . . , vm ) = 0. Em particular, se a lista v1 , . . . , vm tem repetições, ρ(v1 , . . . , vm ) = 0; 2. Se ρ 6= 0 e v1 , . . . , vm s˜ ao linearmente independentes então ρ(v1 , . . . , vm ) 6= 0; 3. ρ(v1 , . . . , c · vi , . . . , vm ) = |c|ρ(v1 , . . . , vi , . . . , vm );

4. Se i 6= j então ρ(v1 , . . . , vi + c · vj , . . . , vm ) = ρ(v1 , . . . , vi , . . . , vm ), isto é, o valor ρ(v1 , . . . , vm ) não se altera se somarmos a uma de suas variáveis um m´ ultiplo qualquer de outra; 5. ρ(v1 , . . . , vm ) é uma fun¸cão simétrica, isto é, se σ é qualquer permuta¸cão dos inteiros 1, . . . , m então ρ(vσ(1) , . . . , vσ(m) ) = ρ(v1 , . . . , vm ); 6. O espa¸co vetorial ∆(E) tem dimens˜ ao 1. Com efeito, seja ρ0 6= 0. Dada qualquer ρ ∈ ∆(E), tomemos uma base {e1 , . . . , em } em E e seja c = ρ(e1 , . . . , em )/ρ0 (e1 , . . . , em ). Então ρ = c · ρ0 , logo {ρ0 } é uma base de ∆(E). Diremos que uma densidade escalar ρ é positiva quando existirem e1 , . . . , em ∈ E tais que ρ(e1 , . . . , em ) > 0. Então ρ(v1 , . . . , vm ) > 0 para toda lista de vetores linearmente independentes v1 , . . . , vm . Sejam E, F espa¸cos vetoriais de mesma dimens˜ ao m. Toda transforma¸cão linear T : E → F induz uma transforma¸cão linear T ∗ : ∆(F ) → ∆(E), que associa ` a densidade escalar ρ em F a densidade escalar T ∗ ρ em E, definida por: (T ∗ ρ)(u1 , . . . , um ) = ρ(T ·u1 , . . . , T ·um ).

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

469

Resta mostrar que, de fato T ∗ ρ ∈ ∆(E). Isto é claro se T não for um isomorfismo pois, neste caso, T · u1 , . . . , T · um s˜ ao sempre linearmente dependentes, logo T ∗ ρ = 0. Se, porém, T −1 : F → E existe, escrevamos u1 = T −1 ·v1 , . . . , um = T −1 ·vm . Então, dada uma transforma¸cão linear A : E → E, temos (T ∗ ρ) · (A · u1 , . . . , A · um ) = (T ∗ ρ)(AT −1 · v1 , . . . , AT −1 · vm ) = = ρ(T AT −1 · v1 , . . . , T AT −1 · vm ) =

= | det. T AT −1 | · ρ(v1 , . . . , vm ) =

= | det. A| · ρ(T · u1 , . . . , T · um ) = = | det. A| · (T ∗ ρ)(u1 , . . . , um ).

Evidentemente, T ∗ (ρ1 + ρ2 ) = T ∗ ρ1 + T ∗ ρ2 e T ∗ (cρ) = c · T ∗ ρ, logo T ∗ : ∆(F ) → ∆(E) é uma transforma¸cão linear, que é igual a zero se T não for bijetiva e é isomorfismo se T o for. Além disso, neste u ´ltimo ∗ caso, ρ > 0 em ∆(E) implica T ρ > 0. Observemos ainda que se ST faz sentido então (ST )∗ = T ∗ S ∗ . A densidade escalar T ∗ ρ diz-se induzida por ρ em E, por meio de T . Diz-se também que T ∗ ρ é o pull-back da densidade ρ pela transforma¸cão T . No C´ alculo Tensorial cl´ assico, uma densidade escalar é uma fun¸cão ρ que associa a cada base {e1 , . . . , em } um n´ umero real a, chamado a coordenada de ρ na base dada [no caso, a = ρ(e1 , . . . , em )] de tal modo que se {f1 , . . . , fm } é outra base, à qual ρ faz corresponder o n´ umero b então b = | det. A| · a, onde A : E → E é a transforma¸cão linear que leva a base {e1 , . . . , em } m P na base {f1 , . . . , fm }. Se fj = αij ei (j = 1, . . . , m) então det. A é i=1

o determinante da matriz (αij ). Evidentemente, temos também a = | det. B| · b, onde B · fj = ej , com ej = Σ βij fi e det. B = det. (βij ). Uma densidade escalar numa superf´ıcie M é uma aplica¸cão ρ que a cada ponto x ∈ M associa uma densidade ρ(x) ∈ ∆(Tx M ). Dada uma densidade escalar ρ em M , a cada parametriza¸cão ϕ : U0 → U em M corresponde uma fun¸cão real a : U0 → R, definida por ∂ϕ ∂ϕ a(u) = ρ(x)· (u), . . . , (u) , x = ϕ(u). ∂u1 ∂um

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

470

Se ψ : V0 → V é outra parametriza¸cão, com U ∩ V 6= ∅, e a ela corresponde a fun¸cão b : V0 → R, então, para cada x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V , vale a(u) = |J(u)| · b(v),

onde J(u) é o determinante jacobiano do difeomorfismo ψ −1 ◦ϕ : ϕ−1 (U ∩ V ) → ψ −1 (U ∩ V ), calculado no ponto u. A igualdade acima pode servir de base a uma defini¸cão, segundo a qual uma densidade escalar numa superf´ıcie M é uma aplica¸cão que a cada parametriza¸cão ϕ : U0 → U em M associa uma fun¸cão real a : U0 → R, de tal modo que se b : V0 → R é a fun¸cão associada à parametriza¸cão ψ : V0 → V , com U ∩ V 6= ∅, então, para todo x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V tem-se a(u) = |J(u)| · b(v), onde J(u) = det. [(ψ −1 ◦ ϕ)′ (u)]. Esta defini¸cão equivale ` a que demos. Para verificar isto, reobtenha a densidade ρ(x) a partir da fun¸cão a pondo ∂ϕ ∂ϕ ρ(x)· (u), . . . , (u) = a(u) ∂u1 ∂um

se x = ϕ(u) e ρ(x) · (v1 , . . . , vm ) = | det. A| · a(u), onde A = (αij ) e vj =

X i

αij

∂ϕ (u) ∈ Tx M. ∂ui

A rela¸cão a(u) = |J(u)|·b(v) implica que a defini¸cão de ρ(x) não depende da parametriza¸cão ϕ e que ρ(x) é, de fato, uma densidade escalar em Tx M . Se M é de classe C k , tem sentido dizer que ρ é uma densidade escalar de classe C s em M , para 0 ≤ s < k. Isto significa que cada ponto x ∈ M pertence ` a imagem de uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U , de classe C k em M , tal que a fun¸cão a : U0 → R, definida por ∂ϕ ∂ϕ a(u) = ρ(x)· (u), . . . , (u) , ∂u1 ∂um x = ϕ(u), é de classe C s . Então a regra de transforma¸cão a(u) = |J(u)|·b(v) mostra que, para qualquer outra parametriza¸cão ψ : V0 → V , de classe C k em M , a fun¸cão b(v) também é de classe C s , pois o jacobiano J(u) é uma fun¸cão de classe C k−1 . Uma densidade escalar ρ em M diz-se positiva (escreve-se ρ > 0) quando ρ(x) > 0 para todo x ∈ M . Isto significa que para qualquer

[SEC. 6: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

471

lista v1 , . . . , vm ∈ Tx M de vetores linearmente independentes, tem-se ρ(x) · (v1 , . . . , vm ) > 0. Note-se que M não precisa ser orientável para que esta defini¸cão tenha sentido. Daremos agora alguns exemplos. Se ρ é uma densidade de classe C 0 em M então |ρ| é também uma densidade de classe C 0 . (Mas não é de classe C r , em geral, mesmo que ρ o seja, salvo, é claro, quando ρ(x) 6= 0 para todo x.) Se ω é uma forma de grau m´ aximo em M então |ω| é uma densidade escalar, de classe C 0 se ω ∈ C 0 . Seja C uma cobertura de M por abertos U , em cada um dos quais está definida uma forma diferencial ωU de grau m´ aximo. Suponha que, para cada x ∈ U ∩ V se tenha |ωU (x)| = |ωV (x)|. Então obteremos uma densidade escalar ρ em M pondo ρ(x) = |ωU (x)|, onde U é qualquer aberto da cobertura C contendo o ponto x. Se cada ωU é de classe C 0 então ρ ∈ C 0 . Se cada ωU é de classe C r e ωU (x) 6= 0 para todo x ∈ U então ρ ∈ C r . O exemplo mais importante de densidade escalar numa superf´ıcie M , de classe C k , é a densidade de volume ρ, definida por ρ(x) · (v1 , . . . , vm ) = vol. [v1 , . . . , vm ] para quaisquer x ∈ M e v1 , . . . , vm ∈ Tx M . Acima, vol. [v1 , . . . , vm ] é o volume (não-orientado!) do paralelep´ıpedo cujas arestas s˜ ao os vetores v1 , . . . , vm . Dada uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U , de classe C k em M , pomos ∂ϕ ∂ϕ gij (u) = (u), (u) , u ∈ U0 , ∂ui ∂uj

∂ϕi e g(u) = (gij (u)) (matriz de Gram dos vetores básicos ∂u no ponto u). j Então p ∂ϕ ∂ϕ ρ(x)· (u), . . . , (u) = det. g(u), x = ϕ(u), ∂u1 ∂um p logo a(u) = det. g(u), o que mostra que a densidade de volume é de classe C k−1 . Quando a superf´ıcie M é orientada e seu elemento de volume é a forma ω então a densidade de volume de M é |ω|. No caso geral, tomamos a cobertura C de M por imagens de parametriza¸cões ϕ : U0 → U , de classe C k e consideramos cada aberto U como uma superf´ıcie orientada, na qual ϕ > 0. Seja ωU o elemento de volume correspondente. Então |ωU (x)| = |ωV (x)| para todo x ∈ U ∩ V e a densidade de volume ρ é tal que ρ(x) = |ωU (x)| seja qual for U contendo x.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

472

Sejam M , N superf´ıcies de classe C k , com a mesma dimens˜ ao e k f : M → N uma aplica¸cão de classe C . Se ρ é uma densidade escalar de classe C r (r < k) em N então a densidade f ∗ ρ, de classe C r em M , induzida por ρ em M , por meio de f é definida pondo-se, para cada x ∈ M e w1 , . . . , wm ∈ Tx M , [(f ∗ ρ)(x)](w1 , . . . , wm ) = ρ(f (x)) · (f ′ (x) · w1 , . . . , f ′ (x) · wm ). A transforma¸cão linear f ′ (x) : Tx M → Tf (x) N , derivada de f no ponto x, induz uma transforma¸cão [f ′ (x)]∗ : ∆(Tf (x) N ) → ∆(Tx M ). Tem-se (f ∗ ρ)(x) = [f ′ (x)]∗ ρ(f (x)), logo f ∗ ρ é uma densidade escalar em M . Se consideramos outra aplica¸cão g : N → P , veremos facilmente que (g ◦ f )∗ ρ = f ∗ (g ∗ ρ) para toda densidade ρ na superf´ıcie P . Revendo (desde sua primeira parte, na se¸cão 2) a defini¸cão da integral de uma forma cont´ınua de grau m´ aximo e suporte compacto numa superf´ıcie orientada M , vemos que as mesmas considera¸cões se aplicam, quase ipsis literis, ao caso em que não se supõe M orientável mas, em lugar da forma ω, usamos uma densidade escalar ρ. O u ńico ponto em que ´ e preciso mudar alguma coisa ´ e na prova de que a defini¸cão R R ρ = a(u)du n˜ a o depende da parametriza¸ c ˜ a o ϕ escolhida [no caso M K em que ρ tem suporte compacto, contido na imagem da parametriza¸cão ϕ : U0 → U e ϕ−1 (supp. ω) ⊂ K ⊂ U0 ]. Se ψ : V0 → V é outra parametriza¸cção com supp. ρ ⊂ V e ∂ψ ∂ψ b(v) = ρ(x) (v), . . . , (v) , x = ψ(v) = ϕ(u) ∈ U ∩ V, ∂v1 ∂vm sabemos que a(u) = |J(u)| · b(v). Logo, pondo L = (ψ −1 ◦ ϕ)(K), temos Z Z Z a(u)du, b(v) · |J(u)|du = b(v)dv = L

K

K

onde a primeira igualdade deve-se ao Teorema de Mudan¸ca de Variáveis. [A u ńica altera¸cão relativamente ao caso de formas consistiu em usar |J(u)| em vez de J(u), pois agora não sabemos se J(u) > 0 para todo u ∈ U ∩ V .] R Usando as parti¸cões da unidade, como antes, definimos M ρ onde ρ é uma densidade cont´ınua com suporte compacto R na superf´ıcie M , que pode ser orientada ou não. Mais geralmente, M ρ tem sentido quando ρ tem suporte compacto, é limitada e o conjunto dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula em M .

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

473

A integral de uma densidade escalar é “n˜ ao-orientada”, isto é, se f : M → N é um difeomorfismo e ρ é uma densidade cont´ınua com su∗ porte compacto em N , ent˜ R ao∗f ω éR uma densidade cont´ınua com suporte compacto em M e vale M f ρ = N ρ. Mesmo que M e N sejam orientadas e que f : M → N seja que inverte orienta¸cões, R um difeomorfismo R temos ainda a igualdade M f ∗ ρ = N ρ, para toda densidade escalar ρ em N . Agora tem sentido definir o volume de um subconjunto compacto J-mensur´ avel K ⊂ M , mesmo que a superf´ıcie M não seja orientável. Tomamos a densidade de volume ρ de M , definimos uma nova densidade ρ¯ pondo ρ¯(x) R = ρ(x) se x ∈ K, ρ¯(x) = 0 se x ∈ M − K, e escrevemos vol. (K) = M ρ¯, por defini¸cão.

Tem sentido também definir a integral de uma fun¸cão cont´ R ınua fR : M → R com suporte compacto. Basta tomar, por defini¸cão, M f = e a densidade de volume de M . W f ·ρ, onde ρ ´

7

Superf´ıcies com bordo

Neste se¸cão, ampliaremos o conceito de superf´ıcie, de modo que ele venha a incluir, por exemplo, as bolas fechadas no espa¸co euclidiano. Para isto, admitiremos que as parametriza¸cões sejam definidas não apenas em subconjuntos abertos no espa¸co Rm mas possam ter abertos em semi-espa¸cos como dom´ınios. Um semi-espa¸co num espa¸co vetorial E é um conjunto do tipo H = {x ∈ E; α(x) ≤ 0}, onde α ∈ E ∗ é um funcional linear não-nulo. O bordo do semi-espa¸co H é o conjunto ∂H = {x ∈ E; α(x) = 0}. Evidentemente, ∂H é um subespa¸co vetorial de codimens˜ ao 1 em E. Um semi-espa¸co H ⊂ Rm é reunião disjunta H = int. H ∪ ∂H do seu interior em Rm com o seu bordo. Os subconjuntos A ⊂ H, abertos com H, s˜ ao de dois tipos: 1o¯ ) A1 ⊂ int. H; neste caso, A1 é também aberto em Rm . 2o¯ ) A2 ∩ ∂H 6= ∅, então A2 não é aberto em Rm , pois nenhuma bola com centro num ponto x ∈ ∂H pode estar contida em H.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

474

H

A2 A1 ∂H

Dois tipos de aberto num semi-espa¸co H. Como vimos na se¸cão 5, uma aplica¸cão f : X → Rn , definida num subconjunto X ⊂ Rm , diz-se diferenci´ avel (respect. de classe C k , k ≥ 1) quando é a restri¸cão de uma aplica¸cão diferenci´ avel (respect. de classe C k ) F : U → Rn , definida num aberto U ⊂ Rm . Em particular, esta defini¸cão se aplica quando X é um subconjunto aberto de um semiespa¸co, caso em que estaremos especialmente interessados. Em geral, a derivada de uma aplica¸cão diferenci´ avel f : X → Rn num ponto x ∈ X não está bem definida, pois as poss´ıveis extensões de f a vizinhan¸cas de X podem ter diferentes derivadas no ponto x. [Isto é ´ obvio, por exemplo, no caso extremo em que X se reduz ao u ńico ponto x.] Mas se A ⊂ H é aberto no semi-espa¸co H ⊂ Rm e f : A → Rn é diferenci´ avel então, para cada x ∈ A, a derivada f ′ (x) : Rm → Rm está bem definida. Mais precisamente, como veremos agora, todas as extensões diferenci´ aveis F : U → Rn de f a um aberto U ⊂ Rm contendo A possuem, no ponto x ∈ A, a mesma derivada F ′ (x) : Rm → Rn , a qual indicaremos com f ′ (x) e chamaremos a derivada de f no ponto x. Isto é claro se x ∈ int. H. Vamos prová-lo quando x ∈ A ∩ ∂H. Em primeiro lugar, observamos que existe uma base {v1 , . . . , vm } em Rm , tal que v1 , . . . , vm ∈ H. Com efeito, dado um vetor arbitr´ ario v ∈ Rm , temos v ∈ H ou −v ∈ H. Assim, tomada uma base qualquer de Rm e trocandose o sinal de cada um dos elementos que não pertencem a H, obtemos ainda uma base de Rm formada por vetores pertencentes a H. Segue-se que, para x ∈ ∂H e t ≥ 0 quaisquer, tem-se x+t·v1 ∈ H, . . . , x+tm · ∈ H. De fato, se H = {y ∈ Rm ; α(y) ≤ 0} então α(x+t·vi ) = α(x)+t·α(vi ) = t · α(vi ) ≤ 0 para i = 1, . . . , m. Se, mais particularmente, tivermos x ∈ A ∩ ∂H então, para todo t ≥ 0 suficientemente pequeno, vale ainda x + t · vi ∈ A pois A é aberto em H.

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

475

Voltando ` a extensão diferenci´ avel F : U → Rn da aplica¸cão f , sabemos que, para todo v ∈ Rm , existe o limite F ′ (x) · v = lim [F (x + tv) − v→0

F (x)]/t. Em particular, se fizermos t → 0 por valores positivos, teremos ainda, para i = 1, . . . , m: F ′ (x) · vi = lim

t→0+

F (x + tvi ) − F (x) f (x + tvi ) − f (x) = lim , t t t→0+

pois x + tvi ∈ A para todo t ≥ 0 suficientemente pequeno. Assim, os valores da transforma¸cão linear F ′ (x) : Rm → Rn nos elementos básicos v1 , . . . , vm s˜ ao univocamente determinados a partir de f , logo a derivada ′ F (x) não depende da extensão F escolhida. Vale a Regra da Cadeia: se f : A → Rn e g : B → Rp s˜ ao diferenci´ aveis em abertos de semi-espa¸cos e f (A) ⊂ B então g ◦ f : A → Rp é diferenci´ avel, com (g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x)) · f ′ (x). Isto decorre imediatamene da Regra da Cadeia usual, aplicada às extensões de f e g. Seja H ⊂ Rm um semi-espa¸co. O bordo de um aberto A ⊂ H é, por defini¸cão, o conjunto ∂A = A∩∂H. Observemos que ∂A é uma hiperf´ıcie em Rm . [Com efeito, sendo A aberto em H, temos A = U ∩ H, com U ⊂ Rm aberto. Então U ∩ ∂H = U ∩ (H ∩ ∂H) = (U ∩ H) ∩ ∂H = A ∩ ∂H = ∂A, logo ∂A é um subconjunto aberto da hiperf´ıcie ∂H = α−1 (0).] O bordo de um aberto A ⊂ H é invariante por difeomorfismos. Antes de demonstrar este fato, lembremos que um difeomorfismo (de classe C k ) entre dois abertos A ⊂ H ⊂ Rm e B ⊂ K ⊂ Rn de semi-espa¸cos é uma bije¸cão diferenci´ avel (de classe C k ) f : A → B, cuja inversa f −1 : B → A também é diferenci´ avel (de classe C k ). Pela Regra da Cadeia, das igual−1 dades f ◦ f = idA e f ◦ f −1 = idB concluimos que, para todo x ∈ A, com y = f (x), f ′ (x) : Rm → Rn e (f −1 )′ (y) : Rn → Rm s˜ ao isomorfismos, inversos um do outro. Em particular, m = n. A invariância de ∂A é expressa pelo Teorema 13. Sejam A ⊂ H, B ⊂ K abertos em semi-espa¸cos de Rm . Se f : A → B é um difeomorfismo de classe C 1 ent˜ ao f (∂A) = ∂B. Em particular, a restri¸ca õ f |∂A é um difeomorfismo entre as hiperf´ıcies ∂A e ∂B. Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos um ponto x ∈ int. A, isto é, existe U ⊂ Rm aberto tal que x ∈ U ⊂ A. Restrito a U , f é um difeomorfismo de classe C 1 sobre sua imagem f (U ). Pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, f (U ) é aberto em Rm . Como f (U ) ⊂ B,

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

476

U f (U ) x A

∂A

∂B f

f (x)

B H

K

segue-se que f (x) ∈ int. B. Isto significa que f (int. A) ⊂ int. B, logo f −1 (∂B) ⊂ ∂A. Analogamente, f (∂A) ⊂ ∂B. Logo f (∂A) = ∂B. Observa¸ c˜ ao: Resulta do “Teorema da Invariância do Dom´ınio”, (demonstrado em Topologia) que o teorema acima vale, mais geralmente, quando f é apenas um homeomorfismo de A sobre B. Estenderemos agora o conceito de parametriza¸cão. Uma parametriza¸ca õ (de classe C k e dimens˜ ao m) de um conjunto n U ⊂ R é um homeomorfismo ϕ : U0 → U de classe C k , definido num aberto U0 de um semi-espa¸co de Rm , tal que ϕ′ (u) : Rm → Rn é uma transforma¸cão linear injetiva, para cada u ∈ U0 . Um conjunto M ⊂ Rn chama-se uma superf´ıcie com bordo (de dimens˜ ao m e classe C k ) quando cada ponto x ∈ M pertence a um aberto U ⊂ M que é imagem de uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U , de classe C k num aberto U0 de algum semi-espa¸co de Rm . Examinemos as mudan¸cas de parametriza¸cão numa superf´ıcie com bordo M , de classe C k (k ≥ 1) e dimens˜ ao m + 1, contida em Rn . Sejam ϕ : U0 → U , ψ : V0 → V parametriza¸cões de classe C k de abertos U, V ⊂ M , com U ∩ V 6= ∅. Como no caso sem bordo, a mudan¸ca de parametriza¸cão ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (U ∩ V ) → ψ −1 (U ∩ V ) é um difeomorfismo de classe C k . Para provar isto, basta mostrar que ψ −1 ◦ ϕ ∈ C k , pois ϕ−1 ◦ ψ = (ψ −1 ◦ ϕ)−1 será também de classe C k , pela mesma razão. Tomemos um ponto qualquer u ∈ ϕ−1 (U ∩ V ). Sejam x = ϕ(u) e v = ψ −1 (ϕ(u)). Sabemos que ψ se estende a uma aplica¸cão Ψ : W → Rn , de classe C k num aberto W de Rm , contendo v. Como Ψ′ (v) é injetiva, segue-se da Forma Local das Imersões que (restringindo W se necessário) Ψ é um homeomorfismo de W sobre sua imagem e o homeomorfismo inverso é a restri¸cão a Ψ(W ) de uma aplica¸cão Λ de classe C k num aberto de Rn . Logo, pondo A = ϕ−1 (Ψ(W )), vemos que A ∋ u e é um

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

477

aberto num semi-espa¸co de Rm . Além disso, (ψ −1 ◦ ϕ)|A = (Λ ◦ ϕ)|A é de classe C k . Assim, ψ −1 ◦ ϕ é de classe C k na vizinhan¸ca de cada ponto u ∈ ϕ−1 (U ∩ V ), donde ψ −1 ◦ ϕ ∈ C k . Seja M uma superf´ıcie com bordo. O bordo de M é o conjunto ∂M formado pelos pontos x ∈ M tais que, para toda parametriza¸cão ϕ : U0 → U de classe C 1 de um aberto U ⊂ M , com x = ϕ(u), tem-se necessariamente u ∈ ∂U0 . Pelo Teorema 13, juntamente com o fato de que cada mudan¸ca de parametriza¸cão é um difeomorfismo, dado x ∈ M , basta que exista uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U de classe C 1 de um aberto U ⊂ M , com x = ϕ(u) e u ∈ ∂U0 , para que se tenha x ∈ ∂M . Dito de outro modo, se M é uma superf´ıcie com bordo e x = ϕ(u) ∈ U para alguma parametriza¸cão ϕ : U0 → U , de classe C 1 num aberto U0 ⊂ Rm então, para qualquer outra parametriza¸cão ψ : V0 → V ⊂ M , de classe C 1 num aberto V0 de algum semi-espa¸co em Rm , se x = ψ(v), deve-se ter v ∈ int. V0 . M

V y

U

ϕ

Rm

ψ

x v

H

u U0

V0

Parametriza¸co ˜es numa superf´ıcie com bordo: x ∈ ∂M , y ∈ / ∂M As superf´ıcies definidas no Cap´ıtulo V serão chamadas “superf´ıcies sem bordo”. Elas correspondem, na defini¸cão acima, ao caso ∂M = ∅. Sempre que dissermos simplesmente “superf´ıcie”, sem qualifica¸cões, estaremos nos referindo a uma superf´ıcie sem bordo. Se M é uma superf´ıcie com bordo, de classe C k e dimens˜ ao m+1, seu bordo ∂M é uma superf´ıcie (sem bordo) de classe C k e dimens˜ ao m. As parametriza¸cões que caracterizam ∂M como superf´ıcie s˜ ao as restri¸cões ao bordo ∂U0 = U0 ∩ ∂H, das parametriza¸cões ϕ : U0 → U , de classe C k , que têm como imagem um aberto U ⊂ M tal que U ∩ ∂M 6= ∅. A restri¸cão ϕ|∂U0 : ∂U0 → ∂U tem ∂U = U ∩∂M como imagem e seu dom´ınio é o subconjunto aberto ∂U0 do espa¸co vetorial m-dimensional

478

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

∂H. Para obter uma parametriza¸cão em ∂M que seja definida num aberto de Rm , devemos tomar uma base em ∂H e representar cada elemento u ∈ ∂H pela lista de suas m coordenadas em rela¸cão a tal base. Outra maneira de parametrizar ∂U é a seguinte. Escrevemos os elementos de Rm+1 sob a forma u = (u0 , u1 , . . . , um ), pomos H0 = {u ∈ Rm+1 ; u0 ≤ 0}, identificamos ∂H0 com Rm pela correspondência (0, v1 , . . . , vm ) 7→ (v1 , . . . , vm ) e “padronizamos”as parametriza¸cões de classe C k em M , considerando apenas aquelas que s˜ ao definidas em subconjuntos abertos do semi-espa¸co H0 . Para todo semi-espa¸co H ⊂ Rm+1 existe um isomorfsmo linear T : Rm+1 → Rm+1 tal que T (H0 ) = H. Então, dada uma parametriza¸cão ψ : V0 → U , de classe C k no aberto V0 ⊂ H, pomos U0 = T −1 (V0 ) e obtemos ϕ = ψ ◦ T : U0 → U , uma parametriza¸cão padronizada (isto é, definida num aberto de H0 ), de classe C k e com mesma imagem que ψ. Se ϕ : U0 → U é padronizada e U ∩ ∂M 6= ∅, a restri¸cão ϕ|∂U0 : ∂U0 → ∂U é uma parametriza¸cão na superf´ıcie ∂M , definida num subconjunto aberto ∂U0 ⊂ Rm . O teorema seguinte é fonte de exemplos de superf´ıcies com bordo. Teorema 14. Seja f : M → R uma fun¸ca õ real de classe C k numa k superf´ıcie M , de classe C e dimens˜ ao m + 1. Se a ∈ R é valor regular de f ent˜ ao o conjunto N = {x ∈ M ; f (x) ≤ a} é uma superf´ıcie de classe C k , com dimens˜ ao m + 1, cujo bordo é ∂N = f −1 (a). Demonstra¸ c˜ ao: Evidentemente, o conjunto A = {x ∈ M ; f (x) < a} é aberto em M , logo é uma superf´ıcie de dimens˜ ao m + 1 e classe C k . Resta então parametrizarmos as vizinhan¸cas dos pontos x ∈ N tais que f (x) = a. Dado x, seja ϕ : U0 → U uma parametriza¸cão de classe C k de um aberto U em M , tal que x = ϕ(u) ∈ U , com u = (u0 , u1 , . . . , um ). Como a é valor regular de f , e portanto da fun¸cão f ◦ ϕ : U0 → R, ∂(f ◦ ϕ) podemos, sem perda de generalidade, supor que (u) > 0. Pela ∂um Forma Local das Submersões, existem um aberto W ⊂ Rm contendo (u1 , . . . , um ), um intervalo I = (a − ε, a + ε) e um difeomorfismo ξ : W × I → Z de classe C k sobre um aberto Z ⊂ U0 , tal que f ◦ϕ◦ξ : W ×I → R tem a forma f ◦ ϕ ◦ ξ : (z, t) 7→ t. Consideremos em Rm+1 o semi-espa¸co H, formado pelos pontos cuja u ´ltima coordenada é ≤ a. Ponhamos V0 = (W × I) ∩ H, ψ = (ϕ ◦ ξ)|V0 , V = ϕ(ξ(V0 )). Então ψ : V0 → V é uma parametriza¸cão do aberto V ⊂ N , com x ∈ V .

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

a−ε

I

a

479 M

U0

a+ε

U

Z

W

V0

ξ

ϕ

V x

ψ f a

R

Por exemplo, a bola fechada de centro num ponto x0 ∈ Rm+1 e raio a > 0 é o conjunto dos pontos x ∈ Rm+1 tais que f (x) ≤ a2 , onde f : Rm+1 → R é definida por f (x) = |x − x0 |2 = hx − x0 , x − x0 i. Como ou ńico valor não-regular de f é 0, segue-se que a bola fechada é uma superf´ıcie, cujo bordo é a esfera. Seja M ⊂ Rn uma superf´ıcie com bordo, de classe C 1 e dimens˜ ao m + 1. A cada ponto x ∈ M (mesmo os pontos do bordo!) associaremos um subespa¸co vetorial Tx M ⊂ Rn , de dimens˜ ao m+1, chamado o espa¸co vetorial tangente a M no ponto x, o qual é definido (analogamente ao caso ∂M = ∅) como a imagem ϕ′ (u)·Rm+1 , onde ϕ : U0 → U é qualquer parametriza¸cão de classe C 1 de um aberto U ⊂ M , com x = ϕ(u) ∈ U . Se x ∈ ∂M , então U0 é aberto num semi-espa¸co H ⊂ Rm+1 , com u = ϕ−1 (x) ∈ ∂H. A imagem ϕ′ (u) · ∂H = Tx (∂M ) é o espa¸co vetorial tangente ao bordo ∂M no ponto x. Evidentemente, Tx (∂M ) ⊂ Tx M é um subespa¸co vetorial de codimens˜ ao 1. M

∂M Tx (∂M ) x Tx M

A defini¸cão de Tx M faz uso da parametriza¸cão ϕ : U0 → U , com x = ϕ(u) ∈ U . Mas se ψ : V0 → V é outra parametriza¸cão C 1 de um aberto V ⊂ M , com x = ψ(v) ∈ V , então ξ = ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (U ∩ V ) → ψ −1 (U ∩

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

480

V ) é um difeomorfismo, com ψ ◦ ξ = ϕ, logo ψ ′ (v) · ξ ′ (u) = ϕ′ (u). Como ξ ′ (u) : Rm+1 → Rm+1 é um isomorfismo, segue-se que ϕ′ (u) · Rm+1 = ψ ′ (v)·Rm+1 . Portanto o espa¸co tangente Tx M = ϕ′ (u)·Rm+1 independe da parametriza¸cão usada para defin´ı-lo. Se x ∈ ∂M , no espa¸co vetorial tangente Tx M não somente temos um subespa¸co vetorial distinguido Tx (∂M ) como temos ainda um semi-espa¸co, formado pelos vetores tangentes ao bordo mais os vetores que apontam para fora da superf´ıcie M . (Região pontilhada na figura acima.) Para dar sentido preciso a essa no¸cão, come¸caremos com um semi-espa¸co H ⊂ Rm . Diz-se que o vetor w ∈ Rm aponta para fora do semi-espa¸co H ⊂ Rm quando w ∈ / H. Se H é definido pela desigualdade α(x) ≤ 0, isto significa que α(w) > 0. Este conceito é invariante por difeomorfismos, conforme o Teorema 15. Seja f : A → B um difeomorfismo entre abertos A ⊂ H, B ⊂ K de semi-espa¸cos H, K ⊂ Rm . Se w ∈ Rm aponta para fora de H ent˜ ao, para cada x ∈ ∂A, o vetor f ′ (x) · w aponta para fora de K.

Demonstra¸ c˜ ao: Sejam α(x) ≤ 0 e β(x) ≤ 0 respectivamente as desigualdades que definem os semi-espa¸cos H e K. Como, pelo Teorema 13, f é um difeomorfismo entre ∂A e ∂B, a derivada f ′ (x) : Rm → Rm transforma ∂H isomorficamente sobre ∂K. Assim, dado v ∈ Rm , temse β[f ′ (x) · v] = 0 se, e somente se, α(v) = 0. Como α(w) > 0, basta provarmos que β[f ′ (x) · w] ≥ 0. Ora, se t < 0 então x + t · w ∈ H, logo, para todo t negativo e suficientemente próximo de zero, temos x + t · w ∈ A − ∂A, donde f (x + t · w) ∈ B − ∂B e βf (x + t · w) < 0. Para tais valores de t, então [βf (x + t · w) − βf (x)]/t = βf (x + tw)/t > 0. Passando ao limite quando t → 0− , obtemos β[f ′ (x) · w] ≥ 0, o que demonstra o teorema.

w

A

B

x

f ′ (x)·w

f (x)

f ∂H

∂K

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

481

Dada a superf´ıcie com bordo M ⊂ Rn , seja x ∈ ∂M . Diz-se que um vetor w ∈ Tx M aponta para fora da superf´ıcie M quando existe uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U , de classe C 1 no aberto U0 de um semi-espa¸co H ⊂ Rm+1 , com valores no aberto U ⊂ M , tal que x = ϕ(u) ∈ U e w = ϕ′ (u) · w0 , onde w0 ∈ Rm+1 aponta para fora do semiespa¸co H. Neste caso, segue-se do Teorema 15 que, para qualquer outra parametriza¸cão ψ : V0 → V , com x = ψ(v) ∈ V , tem-se w = ψ ′ (v) · w1 , onde w1 ∈ Rm+1 aponta para fora do semi-espa¸co K ⊂ Rm+1 , no qual V0 é aberto. [Com efeito, pondo ξ = ψ −1 ◦ ϕ e w1 = ξ ′ (u) · w0 , temos ψ ′ (v) · w1 = ψ ′ (v) · ξ ′ (u) · w0 = ϕ′ (u) · w0 = w e, pelo Teorema 15, w1 aponta para fora de K pois w0 aponta para fora de H.] Em cada ponto x ∈ ∂M , os vetores tangentes a ∂M juntamente com os vetores que apontam para fora de M formam um semi-espa¸co de Tx M . Entre os vetores que apontam para fora de M no ponto x, existe um u ńico que tem comprimento 1 e é normal a Tx (∂M ). Indicando-o com v(x), obtemos um campo de vetores unit´ arios v : ∂M → Rn , normais a ∂M . Se M é de classe C k , o campo v é de classe C k−1 . Com efeito, se ϕ : U0 → U é uma parametriza¸cão de classe C k definida no aberto U0 do semi-espa¸co H ⊂ Rm+1 , tomamos uma base positiva {v0 , v1 , . . . , vm } ⊂ Rm+1 tal que v0 aponta para fora de H e {v1 , . . . , vm } ⊂ ∂H. Então v(x) =

ϕ′ (u) · v1 × · · · × ϕ′ (u) · vm |ϕ′ (u) · v1 × · · · × ϕ′ (u) · vm |

para todo x = ϕ(u) ∈ ∂U = ∂M ∩ U . [Aqui, estamos considerando o produto vetorial de m vetores no espa¸co Tx M , de dimens˜ ao m + 1, orientado pela condi¸cão de que a base {ϕ′ (u) · v0 , ϕ(u) · v1 , . . . , ϕ′ (u) · vm } seja positiva.] Resulta da´ı que se M é uma superf´ıcie com bordo, de classe C 1 e dimens˜ ao m + 1 no espa¸co Rm+1 então seu bordo ∂M é uma hiperf´ıcie orientável. (Cfr. Teorema 15, Cap´ıtulo V.) Uma superf´ıcie com bordo M diz-se orient´ avel quando admite um atlas coerente de classe C 1 . Como no caso sem bordo, o atlas A chama-se coerente quando, dadas ϕ, ψ ∈ A quaisquer, a mudan¸ca de parametrização ψ −1 ◦ ϕ tem determinante jacobiano positivo em todos os pontos do seu dom´ınio. [Evidentemente, para que ψ −1 ◦ ϕ fa¸ca sentido, as imagens de ϕ e ψ devem ter pontos em comum.] Mostraremos agora que se M é orientável então seu bordo ∂M também o é. Isto é evidente quando dim. M = 1 pois ∂M tem então dimens˜ ao zero. Seja pois M orientada, com dim M = m + 1, m > 0.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

482

Chamemos de A o conjunto das parametriza¸cões ϕ : U0 → U em M , de classe C 1 , com as seguintes propriedades: 0) U0 é conexo; 1) U0 é aberto no semi-espa¸co H0 = {(u0 , . . . , um ) ∈ Rm+1 ; u0 ≤ 0}; 2) ϕ é positiva relativamente à orienta¸cão de M . Já vimos que o conjunto das parametriza¸cões ϕ : U0 → U em M que cumprem a condi¸cão 1) (isto é, s˜ ao “padronizadas”) constituem um atlas em M . Se impusermos, ademais, a condi¸cão 2), teremos ainda um atlas. Com efeito, dada ψ : V0 → U , cumprindo 0) e 1), se ψ não for positiva podemos compˆ o-la com a transforma¸cão linear T : (u0 , . . . , um ) 7→ (u0 , . . . , −um ) e, pondo U0 = T −1 (V0 ), veremos que ϕ = ψ ◦ T : U0 → U cumpre a condi¸cão 0), a condi¸cão 1) (porque sendo m > 0, T leva H0 em si mesmo) e é positiva, pois det. T < 0. Assim, A é um atlas em M . Identifiquemos, como antes, Rm com ∂H0 = {u ∈ Rm+1 ; u0 = 0}. Seja A0 o conjunto das restri¸cões ϕ0 = ϕ|∂U0 , das parametriza¸cões ϕ ∈ A tais que ∂U0 = U0 ∩ Rm 6= ∅. Evidentemente, A0 é um atlas de classe C 1 em ∂M . Afirmamos que o atlas A0 é coerente. Com efeito, se ϕ0 : ∂U0 → ∂U e ψ0 : ∂V0 → ∂V pertencem a A0 , com ∂U ∩∂V 6= ∅ então a mudan¸ca de parametriza¸cão ξ0 = ψ0−1 ◦ ϕ0 é a restri¸cão do difeomorfismo ξ = ψ −1 ◦ ϕ ao bordo do seu dom´ınio. Seja A = ξ ′ (u) : Rm+1 → Rm+1 a derivada de ξ num ponto qualquer u do dom´ınio de ξ0 . [Isto é, ϕ(u) ∈ ∂U ∩ ∂V .] Como A é coerente, det. A > 0. Como ξ é um difeomorfismo do aberto ϕ−1 (U ∩ V ) ⊂ H0 no aberto ψ −1 (U ∩ V ) ⊂ H0 segue-se do Teorema 13 que A · (∂H0 ) = ∂H0 , ou seja A · ei = (0, a1i , . . . , ami ) para todo i = 1, . . . , m. Finalmente como e0 = (1, 0, . . . , 0) aponta para fora de H0 , segue-se do Teorema 15 que A · e0 = (a00 , a10 , . . . , am0 ) também aponta para fora de H0 , isto é, a00 > 0. Assim, a matriz de A tem a forma   a00 0 ... 0  a10 a11 . . . a1m    ,  ..   . am0 am1 . . .

amm

com a00 > 0. Segue-se que det. A = a00 · det. A0 , onde A0 = A|Rm é a derivada de ξ0 no ponto u. (A matriz de A0 é formada pelos elementos

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

483

aij com i > 0 e j > 0.) Vemos portanto que det. A0 > 0, logo A0 é coerente. A orienta¸cão definida pelo atlas A0 em ∂M diz-se induzida pela orienta¸cão de M . Relativamente ` a orienta¸cão induzida por M em ∂M , uma base {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx (∂M ) é positiva se, e somente se, para qualquer vetor w0 ∈ Tx M , que aponte para fora de M , {w0 , w1 , . . . , wm } é uma base positiva de Tx M . Em particular, se v(x) ∈ Tx M é o vetor unit´ ario, tangente a M e normal a ∂M no ponto x, que aponta para fora de M , então {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx (∂M ) é uma base positiva se, e somente se, a base {v(x), w1 , . . . , wm }⊂ Tx M é positiva. Com efeito, uma base {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx (∂M ) é positiva se, e somente se, m X ∂ϕ aij wj = (u), j = 1, . . . , m, ∂ui i=1

onde a matriz A0 = (aij ), com m linhas e m colunas, tem determinante positivo, sendo ϕ : U0 → U uma parametriza¸cão definida num aberto U0 do semi-espa¸co H0 = {(u0 , u1 , . . . , um ) ∈ Rm+1 ; u0 ≤ 0}, com u ∈ ∂H0 , ϕ(u) = x e ϕ positiva (relativamente à orienta¸cão de M ). Como e0 = (1, 0, . . . , 0) aponta para fora de H0 , vê-se que ∂ϕ (u) = ϕ′ (u) · e0 ∈ Tx M ∂u0

aponta para fora da superf´ıcie M . Portanto, se w0 ∈ Tx M é qualquer vetor que aponte para fora de M , temos w0 = a00

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (u) + a10 (u) + · · · + am0 (u), com a00 > 0. ∂u0 ∂u1 ∂um

Para j = 1, . . . , m, temos wj = 0 ·

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (u) + a1j (u) + · · · + amj (u). ∂u0 ∂u1 ∂um

Assim, a matriz A, de passagem da base ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (u), (u), . . . , (u) ∂u0 ∂u1 ∂um

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

484

para a base {w0 , w1 , . . . , wm }, tem a forma 

  A=  

a00

0

···

a10 .. .



0

    

A0

am0

Logo det. A = a00 · det. A0 , ou seja, det. A > 0 ⇔ det. A0 > 0. Isto significa que, quando w0 ∈ Tx M aponta para fora de M , {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx (∂M ) é uma base positiva se, e somente se, {w0 , w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M é positiva.

M

2 1

∂M e2 e1

A orienta¸ca õ induzida no bordo. Observa¸ c˜ ao: O intervalo [0, 1] é uma “superf´ıcie com bordo”, de dimens˜ ao 1 e classe C ∞ , munida do atlas A = {ϕ, ψ}, onde ϕ : [0, 1) → [0, 1) e ψ : (0, 1] → (0, 1] s˜ ao iguais à fun¸cão identidade. O dom´ınio de ϕ é um aberto da semi-reta [0, +∞), que é um semi-espa¸co de R, e o dom´ınio de ψ é um aberto no semi-espa¸co (−∞, 1] ⊂ R. A mudan¸ca de parametriza¸cão ψ −1 ◦ ϕ : (0, 1) → (0, 1) também é a fun¸cão identidade, cuja derivada (determinante jacobiano) é 1 em todos os pontos. Logo A é um atlas coerente, que define a orienta¸cão natural de [0, 1]. Se quisermos padronizar as parametriza¸cões em [0, 1], isto é, considerar apenas as que têm como dom´ınio um aberto em H0 = (−∞, 0], o modo mais simples é

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

485

tomar o atlas β = {ξ, ζ}, onde as parametriza¸cões ξ : (−1, 0] → [0, 1) e ζ : (−1, 0] → (0, 1] s˜ ao dadas por ξ(t) = −t e ζ(t) = 1 + t. A mudan¸ca de parametriza¸cão ζ −1 ◦ξ : (−1, 0) → (−1, 0) é a fun¸cão t → −1−t, cuja derivada é −1. Assim, o atlas β não é coerente. Na realidade, nenhum atlas em [0, 1] formado por parametriza¸cões padronizadas pode ser coerente, pois nele qualquer vizinhan¸ca de 0 será parametrizada por uma fun¸cão com derivada negativa, enquanto toda parametriza¸cão padronizada de uma vizinhan¸ca de 1 deverá ter derivada positiva. Por conseguinte, a defini¸cão de orienta¸cão induzida no bordo, dada acima para superf´ıcies de dimens˜ ao ≥ 2, não se adapta para dimens˜ ao 1. Quando dim. M = 1, tem-se dim. ∂M = 0, ou seja, ∂M é um conjunto de pontos isolados. Orientar uma superf´ıcie de dimens˜ ao zero é, por defini¸caõ, atribuir um sinal, + ou −, a cada um dos seus pontos. Se dim. M = 1 e M está orientada, a orienta¸cão induzida no ponto x ∈ ∂M será +x se cada vetor que forma uma base positiva de Tx M apontar para fora de M e será −x no caso contrário. Por exemplo, orientando [0, 1] por meio do atlas A = {ϕ, ψ} acima definido, a orienta¸cão induzida no bordo ∂[0, 1] = {0, 1} atribui o sinal + ao ponto 1 e o sinal − ao ponto 0. Escrevemos, então ∂[1, 0] = {+1}∪{−0}. Analogamente, se considerarmos as semi-retas M = (−∞, a] e N = [b, +∞) orientadas pelos atlas, cada um dos quais consiste na aplica¸cão identidade, teremos ∂M = {+a} e ∂N = {−b}. O produto cartesiano M × N de duas superf´ıcies de classe C k sem bordo é, como sabemos, uma superf´ıcie de classe C k sem bordo, com um atlas formado pelas parametriza¸cões ϕ × ψ : U0 × V0 → U × V , onde (ϕ × ψ)(u, v) = (ϕ(u), ψ(v)). Se M e N s˜ ao orientadas, as parametriza¸cões ϕ × ψ tais que ϕ > 0 em M e ψ > 0 em N constituem um atlas coerente, que define em M × N a orienta¸ca õ-produto. Em cada ponto (x, y) ∈ M × N , tem-se T(x,y) (M × N ) = Tx M × Ty N . Poderemos considerar Tx M e Ty N como subespa¸cos vetoriais de T(x,y) (M × N ), se identificarmos M com M × y e N com x × N . Sejam {v1 , . . . , vm } ⊂ Tx M e {w1 , . . . , wn } ⊂ Ty N bases positivas. A orienta¸cão do espa¸co tangente a M × N no ponto (x, y) é determinada pela exigência de que {v1 , . . . , vm , w1 , . . . , wn } ⊂ T(x,y) (M × N ) seja uma base positiva.

Quando ambas as superf´ıcies M e N possuem bordo, o produto cartesiano M × N não é uma superf´ıcie com bordo. Isto se deve ao fato de que o produto cartesiano de dois semi-espa¸cos não é (sequer difeomorfo a) um semi-espa¸co. Por exemplo, [0, +∞) × [0, +∞) = {(x, y) ∈

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

486

R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0} possui o “ponto anguloso”(0, 0). Também o quadrado [0, 1] × [0, 1] não é uma superf´ıcie com bordo: possui quatro pontos angulosos, nos quais o bordo não tem espa¸co vetorial tangente. Mas se apenas a superf´ıcie M tem bordo, o produto cartesiano M ×N é uma superf´ıcie com bordo e ∂(M × N ) = ∂M × N , como se vê usando as parametriza¸cões ϕ × ψ. [Ocorre que se U0 é aberto no semi-espa¸co H ⊂ Rm e V0 é aberto em Rn então U0 × V0 é aberto no semi-espa¸co H × Rn ⊂ Rm+n , com ∂(U0 × V0 ) = ∂U0 × V0 .] Se a superf´ıcie com bordo M e a superf´ıcie sem bordo N s˜ ao ambas orientáveis, então o produto cartesiano M ×N é uma superf´ıcie orientável (com bordo) e a orienta¸cão produto é definida, como no caso em que ∂M = ∂N = ∅, pelo atlas P, conjunto das parametriza¸cões ϕ × ψ, onde ϕ > 0 em M e ψ > 0 em N . A coerência de P decorre, como no Cap´ıtulo V, §14, da igualdade (ϕ2 × ψ2 )−1 ◦ (ϕ1 × ψ1 ) = (ϕ−1 2 ◦ ϕ1 ) × (ψ2−1 ◦ ψ1 ). Evidentemente, o atlas coerente P não é m´ aximo, logo há outras parametriza¸cões positivas em M × N . Por exemplo, a própria igualdade acima mostra que se ϕ < 0 em M e ψ < 0 em N então ϕ × ψ é compat´ıvel com toda parametriza¸cão de P, logo ϕ × ψ é uma parametriza¸cão positiva em M × N , isto é, pertence ao atlas coerente m´ aximo que contém P. Estamos especialmente interessados no produto cartesiano I × M do intervalo I = [0, 1] pela superf´ıcie orientada, sem bordo, M . Consideremos I orientado como na Observa¸cão acima. Temos ∂(I × M ) = M0 ∪ M1 , onde V0 = {0} × M e M1 = {1} × M . Tomemos em M0 e M1 , respectivamente, as orienta¸cões segundo as quais os difeomorfismos canônicos f0 : M → M0 e f1 : M → M1 , dados por f0 (x) = (0, x) e w1

w1

w1 e1

e1

I ×M M1

−M0

M e1 0

e1

I 1

[SEC. 7: SUPERFÍCIES COM BORDO

487

f1 (x) = (1, x), s˜ ao positivos, isto é, preservam a orienta¸cão. Afirmamos que a orienta¸cão induzida no bordo ∂(I × M ) = M0 ∪ M1 pela orienta¸cão-produto de I × M coincide com a de M1 e é oposta à de M0 . Se indicarmos com −M0 a superf´ıcie M0 munida com a orienta¸cão oposta da que definimos acima, poderemos escrever ∂(I × M ) = M1 ∪ (−M0 ). Isto se prova observando que se ϕ, ψ : U0 → U s˜ ao parametriza¸cões em M , com ϕ > 0 e ψ < 0 então Φ : (−1, 0] × U0 → (0, 1] × U e Ψ : (−1, 0]×U0 → [0, 1)×U , dadas por Φ(t, u) = (1+t, ϕ(u)) e Ψ(t, u) = (−t, ψ(u)), s˜ ao parametriza¸cões positivas, padronizadas, em I × M . A orienta¸cão induzida em M1 é determinada pelo atlas P1 , conjunto das restri¸cões do tipo Φ|({0} × U0 ), ou seja, u 7→ (1, ϕ(u)), ϕ > 0. Esta é a orienta¸cão própria de M1 . A orienta¸cão induzida por I × M em M0 é dada pelo atlas P0 , conjunto das restri¸cões do tipo Ψ|({0} × U0 ), ou seja, u 7→ (0, ψ(u)). Como as parametriza¸cões ψ s˜ ao negativas, esta é a orienta¸cão oposta de M0 . Outra maneira de chegar à mesma conclusão consiste em notar que, em cada ponto (t, x) ∈ I × M , uma base positiva de T(t,x) (I × M ) = R × M , relativamente ` a orienta¸cão-produto, tem a forma {e1 , w1 , . . . , wm }, onde e1 é o vetor da base canônica de R (igual a 1!) e {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M é uma base positiva na orienta¸cão de M . No ponto t = 1, o vetor e1 aponta para fora de I, logo e1 ∈ T(1,x) (I × M ) aponta para fora de I × M no ponto (1, x). Sendo {e1 , w1 , . . . , wm } uma base positiva de T(1,x) (I×M ), resulta que {w1 , . . . , wm } é uma base positiva na orienta¸cão induzida em ∂(I × M ) no ponto (1, x), ou seja, em M1 . Por outro lado, e1 aponta para dentro de I no ponto t = 0 e da´ı se segue que a mesma base {w1 , . . . , wm } é negativa no ponto (0, x) ∈ M0 . Formas diferenciais, diferencial exterior e integra¸cão de formas (ou de densidades escalares) se estudam em superf´ıcies com bordo, sem nenhuma diferen¸ca essencial do caso ∂M = ∅. Faremos apenas um comentário a prop´ osito de parti¸cões da unidade: elas existem em qualquer subconjunto X ⊂ Rm . Mais precisamente, toda cobertura aberta X = ∪ Vλ é do tipo Vλ = Uλ ∩ X onde X ⊂ ∪ Uλ e cada Uλ é aberto em Rm . A reunião U = ∪ Uλ é um aberto de Rm , contendo X. Em particular, U é uma superf´ıcie sem bordo. Portanto existe uma parti¸cão da unidade Σ ζλ = 1, de classe C ∞ , estritamente subordinada à cobertura U = ∪ Uλ . Pondo ξλ = ζλ |X, obtemos uma parti¸cão da unidade de classe C ∞ , Σ ξλ = 1 em X, estritamente subordinada à cobertura X = ∪ Vλ , dada inicial-

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

488

mente. Se X é uma superf´ıcie de classe C k (com ou sem bordo), as fun¸cões ξλ : X → R, embora sejam restri¸cões de fun¸cões C ∞ definidas numa vizinhan¸ca aberta de X em Rm , devem ser consideradas como fun¸cões de classe C k em X (conforme observamos no par´ agrafo 5) pois esta é a classe que obtemos quando as compomos com parametriza¸cões (de classe C k ) da superf´ıcie X.

8

O Teorema de Stokes

Demonstraremos neste par´ agrafo o teorema que contém os resultados cl´ assicos de An´ alise Vetorial, vagamente enunciados no in´ıcio da se¸cão 3, conhecidos sob os nomes de Green, Riemann, Gauss, Ostrogradski e Stokes. Os par´ agrafos seguintes conter˜ ao aplica¸cões desse teorema geral, hoje conhecido como Teorema de Stokes. [Na verdade, nenhuma de suas versões se deve a Stokes. Até mesmo o caso particular que em An´ alise Vetorial leva seu nome (caso de superf´ıcie com bordo em R3 ) foi descoberto por Lord Kelvin e apresentado por Stokes como questão num exame.] Vejamos inicialmente um caso particular. Teorema 16. Numa superf´ıcie M , com bordo, orientada, de dimens˜ ao m + 1, seja ω uma forma de classe C 1 e grau m, com suporte compacto, R disjunto do bordo ∂M . Nestas condi¸co ˜es M dω = 0. k R R P Demonstra¸ c˜ ao: Se ω = ω1+· · ·+ωk então M dω = M dωi . Podemos i=1

supor então que o suporte de ω está contido na imagem de uma parametriza¸cão positiva ϕ : U0 → U , onde U ∩ ∂M = ∅. O caso geral reduz-se a este mediante uma parti¸cão da unidade. Para todo x = ϕ(u) ∈ U , escrevamos ω(x) =

m+1 X i=1

Então

d1 ∧ · · · ∧ dum+1 . (−1)i+1 ai (u)du1 ∧ · · · ∧ du

dω(x) =

"m+1 X ∂ai i=1

Seja K =

m+1 Q

∂ui

#

(u) du1 ∧ · · · ∧ dum+1 .

[αj , βi ] um bloco em Rm+1 , contendo ϕ−1 (supp. ω) Consi-

i=1

deremos as fun¸cões a1 , . . . , am+1 definidas (e cont´ınuas) em K, pondo-as

489

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

iguais a zero em K − U0 . Em particular, cada ai se anula na fronteira de K, isto é, ai (u1 , . . . , um+1 ) = 0 se algum uj = αj ou uj = βj . Para cada i = 1, . . . , m + 1, seja Ki o produto cartesiano dos intervalos [αj , βj ], com exce¸cão do i-ésimo. Temos: Z

dω =

M

= =

m+1 XZ

i=1 Ki m+1 XZ i=1

Ki

Z

βi

αi

m+1 XZ i=1

K

∂ai (u)du1 . . . dum+1 = ∂ui

∂ai ci . . . dum+1 = (u)dui du1 . . . du ∂ui

[ai (u1 , . . . , βi , . . . , um+1 ) − (ai (u1 , . . . , αi , . . . , um+1 )]· ci . . . dum+1 = 0. · du1 . . . du

Corol´ ario. A integral de uma forma exata sobre uma superf´ıcie orient´ avel compacta sem bordo é zero. Segue-se da´ı que se α é uma forma de grau m e classe C 1 numa superf´ıcie N (de dimens˜ ao qualquer, com ou sem bordo, orientável ou não) e M Ré uma superf´ıcie compacta orientável, sem bordo, contida em N , então M dα = 0. Freq¨ R uentemente, N é um aberto do espa¸ R co ∗euclidiano. Como sabemos, M dα significa, mais precisamente, M i (dα), onde i : M → N é a inclus˜ ao. As superf´ıcies compactas sem bordo s˜ ao chamadas superf´ıcies fechadas. Assim, o corolário acima estende o Teorema 9 do Cap´ıtulo IV, segundo o qual a integral de uma forma exata de grau 1 ao longo de um caminho fechado é zero. Naquele teorema também está inclu´ıda uma rec´ıproca, a qual está contida no Exerc´ıcio 8.20, para N = Rm − {0}. Resulta ainda do corolário acima que se ω é uma forma positiva cont´ınua, de grau m, numa superf´ıcie orientada compacta m-dimensional sem bordo M (ou, mais geralmente, se ω ≥ 0 mas não é ω ≡ 0) então ω é uma forma fechada que não é exata em M . Exemplo: o elemento de volume. Se M não é compacta (ou se é compacta mas possui bordo), então a forma cont´ınua positiva de grau m´ aximo em M pode ser exata. Por exemplo, se M = Rm (ou M é uma bola fechada em Rm ) então a forma

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

490

ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxm é positiva, mas sabemos que ω = dα, onde m 1 X ci ∧ · · · ∧ dxm . α= (−1)i+1 xi dx1 ∧ · · · ∧ dx m i=1

Teorema de Stokes. Seja ω uma forma diferencial de classe C 1 , de grau m, com suporte compacto, numa superf´ıcie orientada M , de dimens˜ ao mR + 1, cujo bordo ∂M é munido da orienta¸ca õ induzida. Ent˜ ao R M dω = ∂M ω. R Demonstra¸ c˜ ao: No enunciado acima, ∂M ω significa a integral da restri¸cão de ω ao bordo ∂M , isto é, da forma i∗ ω, onde i : ∂M → M é a aplica¸cão de inclus˜ ao. Se ω = ω1 + · · · + ωk e o teorema vale para cada parcela ωi então vale para a soma ω, pois dω = Σ dωi e Z Z k Z k Z X X ω. ωi = dωi = dω = M

M

i=1

i=1

∂M

∂M

Ora, usando uma parti¸cão da unidade, podemos escrever ω como soma finita de formas que têm suportes compactos, contidos em vizinhan¸cas parametrizadas. Logo, não há perda de generalidade em admitir que o suporte de ω está contido na imagem da parametriza¸cão positiva R ϕ : U → U . Se U ∩ ∂M = ∅ ent˜ a o ω = 0 e, pelo teorema anterior, 0 ∂M R ao considerar o caso em que ∂U = U ∩ ∂M 6= ∅. M dω = 0. Basta ent˜ Suporemos inicialmente que m > 0, ou seja, que dim. M ≥ 2. Então a parametriza¸cão ϕ pode ser admitida padronizada, isto é, definida no aberto U0 do semi-espa¸co H0 = {(u0 , u1 , . . . , um ) ∈ Rm+1 ; u0 ≤ 0}. Pela defini¸cão de orienta¸cão induzida, a restri¸cão de ϕ a ∂U0 = U0 ∩ ∂H0 será uma parametriza¸cão positiva em ∂M , cuja imagem é ∂U . Para cada x = ϕ(u) ∈ U escrevamos ω(x) =

m X i=0

donde

ci ∧ · · · ∧ dum , (−1)i ai (u)du0 ∧ · · · ∧ du

(dω)(x) = Tomemos um bloco K =

"

m X ∂ai

i=0 m Q

∂ui

#

(u) du0 ∧ · · · ∧ dum .

[αi , βi ] contendo ϕ−1 (supp. ω), com β0 = 0,

i=0

o que garante K ⊂ H0 . Para cada i = 0, 1, . . . , m, seja Ki o produto carm Q [αi , βi ] tesiano dos intervalos [αj , βj ], com j 6= i. Em particular, K0 = i=1

491

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

é um bloco em Rm (= ∂H0 ) contendo ϕ−1 (supp. i∗ ω). Consideramos as fun¸cões a0 , . . . , am definidas (e cont´ınuas) em K, pelo processo habitual de atribuir-lhes o valor zero nos pontos de K − U0 . Para todo x = ϕ(u) = ϕ(0, u1 , . . . , um ) ∈ ∂U , é evidente que (i∗ ω)(x) = a0 (0, u1 , . . . , um )du1 ∧ · · · ∧ dum , logo Z Z Z ∗ i ω= ω= a0 (0, u1 , . . . , um )du1 . . . dum . K0

∂M

∂M

Se, para algum i > 0, a i-ésima coordenada do ponto u ∈ K é igual a αi ou βi , todas as fun¸cões aj se anulam no ponto u pois ϕ(u) não pertence ao interior de supp. ω. Isto também ocorre se u0 = α0 , mas, evidentemente, nada se pode dizer sobre a0 (0, u1 , . . . , um ). Reduzindo uma integral m´ ultipla a integrais repetidas, podemos escrever

K K0

ϕ

−1

(supp. ω)

∂H0 = Rm

Z = =

dω = M

i=0 βi

m Z X

i=0 Ki m Z X i=0

m Z X

Ki

Z

αi

∂ai (u)du0 du1 . . . dum = K ∂ui ∂ai ci . . . dum = (u)dui du0 . . . du ∂ui

[ai (u0 , . . . , βi , . . . , um ) − ai (u0 , . . . , αi , . . . , um )]·

ci . . . dum = · du0 . . . du

Z

K0

a0 (0, u1, . . . ,um )du1 . . .dum =

Z

ω.

∂M

Resta considerar o caso em que m = 0, ou seja, em que M é uma superf´ıcie orientada de dimens˜ ao 1 e ω, tendo grau zero, se reduz a uma

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

492

R R fun¸cão f : M → R, de classe C 1 . Devemos provar que M df = ∂M f . Mas o que significa a integral de uma fun¸cão f (com suporte compacto) sobre uma “superf´ıcie”∂M de dimens˜ ao zero? R P R Se ∂M é o conjunto dos pontos isolados x1 , x2 , . . . então ∂M f = {xi } f (soma finita porque i R f tem suporte compacto) e {xi } f = ±f (xi ), por defini¸cão, onde se toma o sinal + ou o sinal − conforme o sinal atribuido a xi na orienta¸cão induzida por M . Mais explicitamente, se o vetor de R uma base positiva de M no ponto xi aponta para fora de M então {xi } f = f (xi ). Se, Rao contrário, a base positiva Txi M aponta para dentro de M , então {xi } f = −f (xi ). Uma vez dada a defini¸cão acima, a demonstra¸cão anterior se adapta imediatamente ao caso dim. M = 1. Se as bases positivas de Tx M apontam para fora de M no ponto x ∈ ∂M , tomamos uma parametriza¸cão positiva ϕ : (α, 0] → U de uma vizinhan¸ca U de x em M e então, se supp. f é um compacto contido em U , temos f (ϕ(α)) = 0, logo Z

Z

0

f (ϕ(t))ϕ′ (t)dt = f (ϕ(0)) − f (ϕ(α)) = Z f. = f (ϕ(0)) = f (x) =

df =

α

M

∂M

Se, porém, as bases positivas de Tx M apontam para dentro de M no ponto x, as parametriza¸cões positivas de vizinhan¸cas de x com imagens contendo o suporte de f s˜ ao da forma ϕ : [0, β) → U , com ϕ(0) = x e f (ϕ(β)) = 0. Então, como acima, temos Z

df = M

Z

β

0

′

′

f (ϕ(t))ϕ (t)dt = f (ϕ(β)) − f (ϕ(0)) = −f (x) =

Z

f. ∂M

´ instrutivo reformular o Teorema de Stokes nos casos clássicos, que E se referem ` a integral de um campo de vetores ao longo de uma hiperf´ıcie orientada. Seja então X = (a0 , a1 , . . . , am ), um campo de vetores de classe C k , definido no aberto U ⊂ Rm+1 por suas m + 1 fun¸cões coordenadas ai : U → R. Ao campo X associaremos a forma diferencial αX =

m X i=0

ci ∧ · · · ∧ dxm , (−1)i ai dx0 ∧ · · · ∧ dx

493

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

de classe C k no aberto U . O desenvolvimento de um determinante em rela¸cão ` a sua primeira coluna mostra que, para x ∈ U e w1 , . . . , wm ∈ Rm+1 arbitr´ arios, vale αX (x) · (w1 , . . . , wm ) = det(X(x), w1 , . . . , wm ), onde ` a direita temos o determinante da matriz (m + 1) × (m + 1) cujas colunas s˜ ao os vetores X(x), w1 , . . . , wm . Se M ⊂ U é uma hiperf´ıcie orientada e Ro campo X tem R suporte compacto, definimos no par´ agrafo 6 a integral M X como M hX, viω, onde ω é a forma elemento de volume de M e v é o campo de vetores unit´ arios normais que define a orienta¸cão de M . [Isto é, para cada x ∈ M , v(x) tem comprimento 1, é perpendicular a Tx M e, se {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M é uma base positiva, R tem-se det. (v(x), w1 , . . . , wm ) > 0.] Esta defini¸cão reduz a integral W X ` a integral de uma forma diferencial, a saber, a forma x 7→ hX(x), v(x)i · ω(x). Inicialmente, observamos que, em cada ponto x ∈ M , esta forma é igual a αX (x), conforme definida acima. De fato, dada qualquer base positiva {w1 , . . . , wm } ⊂ Tx M , temos αX (x) · (w1 , . . . , wm ) = det(X(x), w1 , . . . , wm ) = = hX(x), w1 × · · · × wm i =

= hX(x), v(x)i · |w1 × · · · × wm | =

= hX(x), v(x)i · ω(x) · (w1 , . . . , wm ), pois o produto vetorial w1 × · · · × wm é um vetor normal a M , na dire¸cão da normal positiva v(x). Segue-se que αX = hX, vi · ω ao longo de M . A nota¸cão tradicional para a forma elemento de volume numa superf´ıcie M é dM . Podemos então dizer que se X = (a0 , . . . , am ) é um campo de vetores com suporte compacto, cont´ınuo no aberto U ⊂ Rm+1 , e M ⊂ U é uma hiperf´ıcie orientada, então Z X Z m ci ∧ · · · ∧ dxm . (−1)i ai dx0 ∧ · · · ∧ dx hX, vi · dM = M

M i=0

H´ a um caso particular importante, em que X é um campo de classe no aberto U ⊂ Rm+1 e Ω ⊂ U é o que se costuma chamar um dom´ınio compacto com fronteira regular de classe C k (k ≥ 1). Isto significa que Ω é uma superf´ıcie com bordo, compacta, de dimens˜ ao k m+1 m + 1 e classe C , contida em U . [Neste caso, a orienta¸cão de R induz naturalmente uma orienta¸cão em Ω pois, para cada x ∈ Ω, temos C1

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

494

Tx Ω = Rm+1 .] O interior de Ω é um subconjunto aberto limitado em Rm+1 e o bordo ∂Ω (que é também a fronteira de int. Ω em Rm+1 ) é uma m+1 . A diferencial da forma α ´ hiperf´ıcie X e orientada, em R compacta, m P ∂ai dx0 ∧ · · · ∧ dxm . A fun¸cão div. X : U → R, definida dαX = i=0 ∂xi por ∂am ∂a0 (x) + · · · + (x), (div. X)(x) = ∂x0 ∂xm chama-se a divergência do campo X. O Teorema de Stokes nos permite, portanto, afirmar que, nestas condi¸cões, se M = ∂Ω, então Z Z div. X · dx, hX, vi · dM = M

Ω

onde, no segundo membro, temos a integral ordinária da fun¸cão cont´ınua div. X sobre o compacto J-mensur´ avel Ω ⊂ Rm+1 . A fórmula acima é conhecida como o Teorema da Divergência, de Gauss e Ostrogradski. Seja agora X = (a, b, c) um campo de classe C 1 no aberto U ⊂ R3 , que contém a superf´ıcie compacta orientada M (de dimens˜ ao 2), cujo bordo C munimos da orienta¸cão induzida. Ao campo X associamos a 1 forma βX R= adx + bdy R + cdz, de grau 1 e classe C em U . O Teorema de Stokes M dβX = C βX se escreve, explicitamente: Z ∂c ∂b ∂c ∂a − − dy ∧ dz + dz ∧ dx+ ∂y ∂z ∂z ∂x M Z ∂a ∂b adx + bdy + cdz. − dx ∧ dy = + ∂x ∂y C Para exprimir a igualdade acima em termos de vetores (em vez de formas) introduzimos o rotacional do campo X, que é o novo campo rot : U → R3 , dado por ∂c ∂b ∂a ∂c ∂b ∂a rot.X = − , − , − . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y R O primeiro membro da igualdade se escreve então M hrot.X, vi · dM , onde v é o campo de vetores unit´ arios normais a M , definidos pela orienta¸cão de M , e dM é o elemento de área. Quanto ao segundo membro, seja ds a forma elemento de arco em C. Para x ∈ C e v ∈ Tx C, temos ds · v = ±|v|, conforme v aponte no

495

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

sentido positivo de C ou não. Analogamente, se τ (x) ∈ Tx C representa o vetor unit´ ario tangente que aponta no sentido positivo de C, teremos τ (x) = ±v/|v| (conforme a orienta¸cão de v), para todoR v 6= 0 em Tx C. O segundo membro da igualdade em quest˜ ao é igual a C βX . Ora, v 0 6= v ∈ Tx C ⇒ βX · v = hX, vi = X, · |v| = |v| = hX, ±τ i · ±ds · v = hX, τ i(ds · v). Assim, βX = hX, τ i · ds e podemos escrever Z Z hX, τ ids hrot.X, vi · dM = C

M

ν(y) M y x

T (x)

C

Este é o Teorema de Stokes da An´ alise Vetorial. O primeiro membro representa o fluxo do campo rot.X através da superf´ıcie M e o segundo membro é a circula¸ca õ do campo X ao longo do bordo C = ∂M . A importˆ ancia das fórmulas acima, expressas em linguagem de campos de vetores, resulta das interpreta¸cões f´ısicas que podem ser dadas ao fluxo, ` a circula¸cão, etc. O leitor interessado pode consultar Courant [2]. A mais simples das três fórmulas integrais da An´ alise Vetorial clássica é o Teorema de Green (às vezes chamado de Teorema de RiemannGauss). Ele se refere a uma superf´ıcie com bordo, compacta de classe C 1 e dimens˜ ao 2 em R2 , isto é, a um dom´ınio compacto M ⊂ R2 com fronteira regular de classe C 1 . O dom´ınio M tem a orienta¸cão natural de R2 e seu bordo ∂M a orienta¸cão induzida: em cada ponto x ∈ ∂M , um vetor tangente não nulo w ∈ Tx (∂M ) aponta na dire¸cão positiva se, e somente se, {v(x), w} é uma base positiva de R2 , onde v(x) é a normal unit´ aria que aponta para fora de M .

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

496

w ν(z) z

ν(x) ∂M w

x M

que

Sejam f, g : M → R fun¸cões de classe C 1 . O Teorema de Green diz Z

M

∂g ∂f − ∂x ∂y

dxdy =

Z

f dx + gdy.

∂M

Isto é simplesmente o Teorema de Stokes aplicado à forma diferencial β = f dx+gdy, definida na superf´ıcie com bordo M . O primeiro membro é uma integral dupla sobre o compacto J-mensur´ avel M e o segundo membro é uma integral curvil´ınea. O Teorema de Green pode ser considerado como um caso particular do Teorema da Divergência [tome o campo X = (g, −f )] ou do teorema do rotacional R a [tome X = (f, g, 0)]. Também o Teorema Fundamental do C´ alculo, b f ′ (x)dx = f (b) − f (a) é um caso particular do Teorema de Stokes. Exemplo 26. Como primeira aplica¸cão do Teorema de Stokes, vamos mostrar que não pode existir uma retra¸cão de classe C 2 de uma superf´ıcie orientada, compacta, M sobre seu bordo ∂M . Em particular, a esfera S n não é um retrato de classe C ∞ da bola B n+1 , o que nos dá uma nova demonstra¸cão do argumento crucial para estabelecer o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. (Veja §5.) [Na realidade, pode-se provar que não existe sequer uma retra¸cão cont´ınua de uma superf´ıcie compacta sobre seu bordo. Vamos supor C 2 , para que a forma induzida seja C 1 .] Com efeito, admitamos, por absurdo, a existência de uma retra¸cão f : M → ∂M , de classe C 2 . Seja ω uma forma C 1 de grau m´ aximo em ∂M , tal que R ω = 6 0. (Por exemplo, ω pode ser o elemento de volume de ∂M .) ∂M Por ter grau igual ` a dimens˜ ao de ∂M , ω é fechada, isto é, dω = 0. Pelo Teorema de Stokes, mais o fato de que f |∂M = identidade, temos

497

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

sucessivamente: Z Z 0 6= ω= ∂W

∂W

f ∗ω =

Z

M

d(f ∗ ω) =

Z

M

f ∗ (dω) =

Z

f ∗ 0 = 0, M

um absurdo. A próxima aplica¸cão do Teorema de Stokes é o teorema abaixo, que estende para dimens˜ ao > 1 o Teorema 12 do Cap´ıtulo IV, segundo o qual a integral de uma 1-forma fechada sobre um caminho fechado é invariante por homotopias desse caminho. Uma homotopia entre as aplica¸cões f, g : M → N (de classe C k ) é uma aplica¸cão cont´ınua H : I × M → N onde I = [0, 1] e, para todo x ∈ M , tem-se H(0, x) = f (x), H(1, x) = g(x). Escreve-se H : f ≃ g ou, simplesmente f ≃ g, para indicar que existe uma homotopia H entre f e g. Se H ∈ C k , diz-se que f e g s˜ ao C k -homot´ opicas. n Por exemplo, se B ⊂ R é a bola fechada unit´ aria, então H : I ×B → B, H(t, x) = (1−t)x, é uma homotopia C ∞ entre a aplica¸cão identidade de B e a aplica¸cão constante x 7→ 0. Diz-se que um conjunto X ⊂ Rn é contr´ atil quando existe uma homotopia H : I ×X → X entre a aplica¸cão identidade de X e uma aplica¸cão constante. ´ evidente que a rela¸cão “f e g s˜ E ao C k -homotópicas”é reflexiva e simétrica. Se k = 0, é também imediato que ela é transitiva pois se H : f ≃ g e K : g ≃ h s˜ ao homotopias de classe C 0 , obtemos uma homotopia L : I × M → N , de classe C 0 entre f e h, pondo, para todo t ∈ I e todo x ∈ M , L(t, x) = H(2t, x) se 0 ≤ t ≤ 1/2 e L(t, x) = K(2t − 1, x) quando 1/2 ≤ t ≤ 1. Se H e K s˜ ao homotopias de classe C 1 , a homotopia L, assim definida, pode não ser de classe C 1 , mesmo quando a superf´ıcie M se reduz a um ponto. [A justaposi¸cão de dois caminhos C 1 é, em geral, apenas um caminho C 0 .] A transitividade da rela¸cão de homotopia em classe C k (k ≥ 1) torna-se fácil de provar (e a demonstra¸cão acima se aplica ipsis literis) quando supomos que as homotopias H : f ≃ g e K : g ≃ h (de classe C k ) s˜ ao adaptadas. Uma homotopia H : I ×M → N diz-se adaptada quando existe ε (0 < ε < 1/2) tal que, para todo x ∈ M , H(t, x) é constante nos intervalos 0 ≤ t < ε e 1 − ε < t ≤ 1. Noutras palavras: H(t, x) = f (x) para todo t ∈ [0, ε) e H(t, x) = g(x) seja qual for t ∈ (1 − ε, 1], onde x ∈ M e qualquer. Quando H : f ≃ g e K : g ≃ h s˜ ao homotopias adaptadas de classe C k então a homotopia L : I × M → N , definida por L(t, x) = H(2t, x) para t ∈ [0, 1/2] e L(t, x) = K(2t−1, x) se t ∈ [1/2, 1], é de classe C k , como se vê facilmente.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

498

Resta mostrar que se existe uma homotopia H : I ×M → N de classe entre f e g, existe também uma homotopia adaptada K : f ≃ g. Para isto, basta tomar uma fun¸cão λ : [0, 1] → [0, 1], de classe C ∞ , tal que λ(t) = 0 se t ∈ [0, 1/3], λ(t) = 1 se t ∈ [2/3, 1] e pôr K(t, x) = H(λ(t), x) para todo t ∈ I e todo x ∈ M . [Para obter λ podemos usar, por exemplo, a fun¸cão δ, definida no in´ıcio da se¸cão 4, pondo λ(t) = δ(3t − 3).] Concluimos portanto que a rela¸cão “existe uma homotopia de classe C k entre f e g ”é uma equivalência no conjunto das aplica¸cões de classe C k de uma superf´ıcie M numa superf´ıcie N . Ck

1 2 3

λ

1 3

1 3

2 3

1

Feitas essas considera¸cões preliminares, vamos ao Teorema 17. Sejam M uma superf´ıcie de dimens˜ ao m, compacta, orientada, sem bordo, e f, g : M → N aplica¸co ˜es C 2 -homot´ opicas. Se ω R 1 ∗ éR uma forma de classe C , fechada, de grau m, em N ent˜ ao M f ω = ∗ ω. g M Demonstra¸ c˜ ao: Seja H : I × M → N uma homotopia de classe C 2 entre f e g. Sabemos que ∂(I × M ) = M1 ∪ (−M0 ), onde M1 = {1} × M e M0 = {0} × M . Como H(0, x) = f (x) e H(1, x) = g(x) para todo x ∈ M , podemos escrever (usando o Teorema de Stokes) Z Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ f ω= g ω− H ω− H ∗ω = H ω= M1 M M0 M M1 ∪(−M0 ) Z Z Z = H ∗ω = d(H ∗ ω) = H ∗ (dω) = 0, pois dω = 0. ∂(I×M )

I×M

I×M

Corol´ ario. Uma superf´ıcie orient´ avel M , compacta, sem bordo, n˜ ao é 2 C -contr´ atil. De fato, se existisse uma homotopia H : I × M → M , de classe C 2 , entre a aplica¸cão identidade e uma aplica¸cão constante, então, pelo

499

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

teorema acima, ter´ıamos M , o que não é verdade.

R

M

ω = 0 para toda forma de grau m´ aximo em

Observa¸ c˜ ao: Toda aplica¸cão cont´ınua f : M → N , entre superf´ıcies de classe C k , é homotópica a uma aplica¸cão g : M → N , de classe C k . Isto é trivial no caso em que N = Rn pois H(t, x) = (1 − t)f (x) é, então, uma homotopia entre f e a aplica¸cão constante zero. Para uma aplica¸cão cont´ınua f : M → S n a afirma¸cão também pode ser facilmente provada assim: aproximamos f por uma aplica¸cão g : M → S n , de classe C k , tal que |f (x) − g(x)| < 2 para todo x ∈ M . (Cfr. §5.) Então, para todo x ∈ M , os pontos f (x), g(x) ∈ S n não s˜ ao ant´ıpodas, ou seja, o segmento de reta [f (x), g(x)] não contém 0. Portanto, a aplica¸cão H : I ×M → S n , dada por (*)

H(t, x) =

(1 − t)f (x) + tg(x) · |(1 − t)f (x) + tg(x)|

é cont´ınua, logo é uma homotopia entre f e g. No caso geral (que não provaremos) faz-se uso de uma “vizinhan¸ca tubular”de N no espa¸co euclidiano que a contém. (Veja [13].) Além disso, se f, g : M → N s˜ ao de classe C k e existe uma homotopia cont´ınua H : f ≃ g, existe também uma homotopia de classe C k entre f e g. Novamente, provaremos este fato no caso em que N é a esfera S n . Aproximamos a homotopia H : 1 × M → S n por uma aplica¸cão K : I × M → S n , de classe C k , tal que |K(t, x) − H(t, x)| < 2 para todo t ∈ I e todo x ∈ M , K é uma homotopia de classe C k entre duas aplica¸cões f1 , g1 : M → S n , de classe C k , com |f (x) − f1 (x)| < 2 e |g(x) − g1 (x)| < 2 para todo x ∈ M . Como vimos acima, isto nos permite concluir que f ≃ f1 e g ≃ g1 . A fórmula (*) acima exibida mostra claramente que estas duas homotopias s˜ ao de classe C k . Pela transitividade da homotopia C k , concluimos que existe uma homotopia de classe C k entre f e g. Das observa¸cões acima resulta ainda que se uma superf´ıcie de classe k C é contrátil em classe C 0 então ela é também contrátil em classe C k . Estas considera¸cões têm a finalidade de mostrar que o teorema de aproxima¸cão de aplica¸cões cont´ınuas por aplica¸cões diferenci´ aveis pode ser utilizado eficazmente para reduzir quest˜ oes topológicas (referentes a aplica¸cões cont´ınuas) a quest˜ oes diferenci´ aveis, que podem ser tratadas pelos instrumentos da An´ alise. Este é o método da Topologia Diferencial.

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

500

Exemplo 27. Como aplica¸cão do Teorema 17, vamos mostrar que a aplica¸cão ant´ıpoda α : S m → S m , α(x) = −x, é homotópica à aplica¸cão identidade de S m se, e somente se, m é ´ımpar. Em primeiro lugar, se m = 2k − 1 é ´ımpar, os pontos de S m = S 2k−1 ⊂ R2k têm um n´ umero par de coordenadas, logo podem ser escritos sob a forma z = k P |zi |2 = 1. (z1 , z2 , . . . , zk ), onde cada zi é um n´ umero complexo, com i=1

Obtemos então uma homotopia H : I × S m → S m , entre a identidade e α, pondo H(t, z) = etπi · z = (etπi · z1 , . . . , etπi · zk ). Reciprocamente, se existir uma homotopia H : I × S m → S m entre a aplica¸cão identidade e a aplica¸cão ant´ıpoda α, pela Observa¸cão acima, podemos supor que H é de Rclasse C ∞ . Consideremos qualquer forma cont´ınua ω em S m tal que S m ω 6= 0 (por exemplo, a forma elemento de volume). Pelo Exemplo 41, Cap´ıtulo V, sabemos que o difeomorfismo α : RS m → S m preserva orienta¸ cão se, e somente se, m é ´ımpar. Portanto, S m α∗ ω = R (−1)m+1 S mRω. Por outro R lado, a homotopia α ≃ idS m nos dá, pelo Teorema 17, S m α∗ ω = S m ω. Segue-se que (−1)m+1 = 1, ou seja, m é ´ımpar. Lembremos inicialmente que se M ⊂ Rn é uma superf´ıcie e v : M → Rn é um campo de vetores tangentes (isto é, v(x) ∈ Tx M para todo x ∈ M ), um ponto x ∈ M chama-se uma singularidade de v quando v(x) = 0. Temos então o Teorema 18. (Poincaré e Brouwer). Se m é par, todo campo cont´ınuo de vetores tangentes a ` esfera S m possui ao menos uma singularidade. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que v : S m → Rm+1 seja um campo cont´ınuo de vetores tangentes à esfera S m , com v(x) 6= 0 para todo x ∈ S m . A partir do campo v, definimos a aplica¸cão cont´ınua f : S m → S m , pondo f (x) = [x + v(x)]/|x + v(x)|, para todo x ∈ S m . Como v(x) 6= 0, temos f (x) 6= x para todo x, isto é, f não possui pontos fixos. Sm

x

ν(x)

O

f (x)

501

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

Isto nos permite definir uma homotopia H : I × S m → S m , entre f e a aplica¸cão ant´ıpoda de S m , pondo H(t, x) =

(1 − t)f (x) − tx · |(1 − t)f (x) − tx|

[O denominador acima nunca se anula porque isto significaria que 0 pertence ao segmento de reta [f (x), −x] e, como |f (x)| = 1, ter´ıamos f (x) = x.] Por outro lado, a aplica¸cão K : I × S m → S m , dada por K(t, x) = [x + tv(x)]/|x + tv(x)|, é uma homotopia entre f e a aplica¸cão identidade de S m . Por transitividade, concluimos que a aplica¸cão ant´ıpoda α : S m → S m é homotópica ` a identidade, logo m é ´ımpar. O Teorema 17, como está enunciado, não vale no caso em que a superf´ıcie M não é compacta. Por exemplo, o espa¸co euclidiano é uma superf´ıcie orientável, sem bordo, contrátil em classe C ∞ . Dito de outro modo: a aplica¸cão identidade e a aplica¸cão constante (igual a 0) s˜ ao R homotópicas em classe C ∞ mas não se tem Rm ω = 0 para toda mforma ω com suporte compacto. Para estender o Teorema 17, introduziremos uma defini¸cão que tem provado ser u ´til quando se tem uma aplica¸cão cujo dom´ınio não é compacto. Sejam X, Y subconjuntos de espa¸cos euclidianos. Uma aplica¸cão cont´ınua f : X → Y diz-se pr´ opria quando a imagem inversa f −1 (K) de todo compacto K ⊂ Y é um conjunto compacto. Por exemplo, se X é compacto, toda aplica¸cão cont´ınua f : X → Y é própria. Já se Y é compacto, f : X → Y s´ o pode ser própria quando X = f −1 (Y ) for compacto. Um homeomorfismo f : X → Y é uma aplica¸cão própria. Evidentemente, uma homotopia pr´ opria é uma homotopia H : I × X → Y que é também uma aplica¸cão própria. Da´ı resulta, em particular, que cada aplica¸cão Ht : X → Y , Ht (x) = H(t, x), t ∈ I, é própria, pois se K ⊂ Y é compacto então Ht−1 (K) = H −1 (K) ∩ [{t} × X] é um subconjunto fechado do compacto H −1 (K). Portanto, se H é uma homotopia própria entre f e g então f e g s˜ ao aplica¸cões próprias. Diremos que f e g s˜ ao propriamente homot´ opicas. A reformula¸cão do Teorema 17 pode ser agora enunciada: Teorema 17a. Sejam f, g : M → N aplica¸co ˜es propriamente homot´ opicas em classe C 2 , definidas na superf´ıcie orientada, sem bordo, M , de

502

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

dimens˜ ao m. Se ω é uma fechada de grau m, classe C 1 e suporte R forma R compacto em N ent˜ ao M f ∗ ω = M g ∗ ω.

Demonstra¸ c˜ ao: Se H : I × M → N é uma homotopia própria de classe C 2 entre f e g então H ∗ ω, f ∗ ω e g ∗ ω têm suportes compactos em M , o mesmo ocorrendo com dω e H ∗ (dω). [Por exemplo, supp. H ∗ ω é um subconjunto fechado de H −1 (supp .ω).] Com esta observa¸cão, a demonstra¸cão do Teorema 17 se aplica tal qual foi feita acima. Os lemas abaixo visam dar alguma familiaridade com o conceito de aplica¸cão própria. Lema 1. Toda aplica¸ca õ pr´ opria f : X → Y é fechada.

Demonstra¸ c˜ ao: Seja F ⊂ X fechado em X. Devemos provar que f (F ) é fechado em Y . Com efeito se uma seq¨ uência de pontos f (xk ) ∈ f (F ) converge para um ponto y ∈ Y , o conjunto K, formado pelos f (xk ) e mais o ponto y, é compacto, logo a seq¨ uência de pontos xk ∈ F está contida no compacto f −1 (K) ⊂ X, portanto possui uma subseq¨ uência (x′k ) que converge para um ponto x ∈ f −1 (K) ⊂ X. Como F é fechado em X, temos x ∈ F , portanto y = lim f (x′k ) = f (x) ∈ f (F ). Assim, f (F ) é fechado em Y . Para enunciar o lema seguinte, precisamos de uma defini¸cão. Dado X ⊂ Rm , dizemos que uma seq¨ uência de pontos xk ∈ Y tende para o infinito em X, e escrevemos lim xk = ∞ em X, quando (xk ) não possui subseq¨ uências que convirjam para pontos de X. Se X = Rn , “lim xk = ∞ em X ”significa “lim |xk | = +∞ ”. Lema 2. As seguintes afirma¸co ˜es a respeito de uma aplica¸ca õ cont´ınua f : X → Y s˜ ao equivalentes: 1) Para todo compacto K ⊂ Y , f −1 (K) é compacto; 2) Se lim xk = ∞ em X ent˜ ao lim f (xk ) = ∞ em Y .

Demonstra¸ c˜ ao: 1) ⇒ 2). Com efeito, se alguma subseq¨ uência f (x′k ) convergisse para um ponto y ∈ Y então o conjunto K, formado pelos pontos f (x′k ) e mais y, seria compacto. Então a seq¨ uência (x′k ) estaria contida no compacto f −1 (K) ⊂ X, logo possuiria uma subseq¨ uência convergente em X. Para provar que 2) ⇒ 1), seja K ⊂ Y compacto. Toda seq¨ uência de pontos xk ∈ f −1 (K) possui uma subsequência (x′k ) que converge para um ponto x ∈ X, já que sua imagem (f (xk )) está contida no compacto K, logo possui subseq¨ uência convergente. Como ′ ′ f (x) = lim f (xk ) e cada f (xk ) ∈ K, temos f (x) ∈ K, donde x ∈ f −1 (K). Assim, f −1 (K) é compacto.

503

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

O Lema 2 é u ´til para visualizar aplica¸cões próprias. Dele decorre, por exemplo, que todo polinˆ omio não-constante (real ou complexo) é uma aplica¸cão própria. Exemplo 28. Duas aplica¸cões cont´ınuas quaisquer f, g : X → Rn s˜ ao sempre homotópicas mas, pelo Teorema 17a, um difeomorfismo f : Rm → Rm , que inverta orienta¸cão [por exemplo, f (x1 , . . . , xm ) = (−x1 , x2 , . . . , xm )] não é propriamente homotópico à aplica¸cão identidade. Com efeito, seja, por exemplo: ξ : Rm → R a fun¸cão auxiliar de classe C ∞ definida no in´ıcio do par´ agrafo 4. Então ω = ξ ·dx1 R∧· · ·∧dxm é uma forma de classe C ∞ e suporte em Rm , com Rm ω > 0. R compacto Como f inverte orienta¸cão, temos Rm f ∗ ω < 0. [Vide Observa¸cão que se segue ao Teorema 12.] Portanto não existe uma homotopia própria entre f e a identidade de Rm . Entretanto, vale a pena observar que existe uma homotopia H : I × R → R, entre a aplica¸cão identidade e a aplica¸cão x 7→ −x tal que Ht : R → R é

Ht at −at

própria, para cada t ∈ [0, 1]. Isto mostra, em particular, que cada Ht pode ser própria sem que a homotopia H o seja, Esbo¸camos acima o gr´ afico de Ht 0 < t < 1. Temos H0 (x) = x, H1 (x) = −x, para todo x ∈ R. Se 0 < t < 1, tomamos at = t/(1 − t) e, no intervalo [−at , at ], fazemos Ht (x) = −x. Fixamos ε > 0 e, fora do intervalo [−at − ε, at + ε], fazemos Ht (x) = x. Nos pequenos intervalos [−at − ε, −at ] e [at , at + ε] tomamos Ht linear de modo a torná-la cont´ınua. Quando t varia de 0 a 1, Ht varia continuamente da identidade à fun¸cão x 7→ −x.

Exemplo 29. Seja M ⊂ R2 um dom´ınio compacto com fronteira regular, isto é, uma superf´ıcie compacta de classe C 1 e dimens˜ ao 2, com bordo, no plano. Consideraremos em M a orienta¸cão natural, determinada por R2 . A forma ω = 21 (xdy − ydx) e tal que dω = dx ∧ dy. Então R R R ´ Area de M = M dx ∧ dy = M dω = 21 ∂M xdy − ydx, onde o bordo

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

504

∂M tem a orienta¸cão induzida por M . Esta fórmula tradicional, que exprime a ´ area de uma regi˜ ao plana em termos de uma integral curvil´ınea ao longo do seu contorno, vale mais geralmente: se M ⊂ Rm é um dom´ınio compacto m-dimensional com fronteira regular, então vol. M =

1 m

Z

m X

∂M i=1

ci ∧ · · · ∧ dxm . (−1)i+1 xi dx1 ∧ · · · ∧ dx

Exemplo 30. O elemento de ângulo s´ olido (vide Exemplo 17, §2) é uma forma α de classe C ∞ e grau m em Rm+1 − {0} definida por α(x) =

1 |x|m+1

m+1 X i=1

ci ∧ · · · ∧ dxm+1 . (−1)i+1 xi dx1 ∧ · · · ∧ dx

Sabemos que dα = 0. (Vide final do §3.) Assim, a forma α é fechada. Mas α não é exata em Rm+1 − {0}. Com efeito, se existisse uma forma β em Rm+1 − {0}, de grau m − 1 tal que dβ = α então, para toda m+1 − superf´ıcie compacta M ,Rde dimens˜ ao m, sem bordo, contida em R R R {0}, ter´ıamos M α = M dβ = 0, pelo Teorema 16. Mas S m α > 0 pois, restrita ` a esfera unit´ aria S m , α coincide com a forma elemento de volume, logo é positiva, e sua integral também. Na realidade, se indicarmos com cm o volume da esfera S m [´ area R (igual a 4π) se m = 2 e comprimento (igual a 2π) se m = 1], temos S α = cm , seja qual for a esfera S, de raio arbitr´ ario, com centro na origem 0 ∈ Rm+1 . Com efeito, seja M a regi˜ ao compreendida entre S m e S. (Por exemplo, se S tem raio r > 1 então M = {x ∈ Rm+1 ; 1 ≤ |x| ≤ r}.) Então M é uma superf´ıcie com bordo. Considerando-se as orienta¸cões induzidas, temos ∂M = S ∪ (−S m ) se o raio de S é maior Rdo que 1 Re ∂M = SRm ∪ (−S) R se o raio de S é menor do que 1. Então 0 = M dα = ∂M α = S α − S m α, o que prova a afirma¸cão feita. S r

Sm 1 O

M

505

[SEC. 8: O TEOREMA DE STOKES

Mais geralmente, seja M ⊂ Rm+1 − {0} uma hiperf´ıcie fechada (isto é, compacta, sem bordo). Existe um dom´ınio compacto A ⊂ Rm+1 , com fronteira regular, tal que ∂A = M . (Ou seja, A é uma superf´ıcie compacta cujo bordo é M .) Este é o teorema (de Jordan-Brouwer) cuja demonstra¸cão não daremos aqui (v. [14] para o caso em que M é C ∞ ) mas na maioria das vezes em que M é descrita explicitamente, a existência de A é imediata. Admitindo-a, examinemos o valor da R integral M α, onde α é o elemento de ângulo s´ olido em Rm+1 . H´ a duas possibilidades: Primeira: 0 ∈ / A, ou seja, a origem está “no exterior”de M . Então R m+1 − {0}, logo a forma α est´ a M α = 0. Com efeito, neste caso A ⊂ R definida em todo o dom´ ınio A. Pelo Teorema de Stokes temos ent˜ a o R R R α = α = M ∂A A dα = 0, pois dα = 0.

Segunda: 0 ∈ A, ou seja, a origem está “no interior”de M . Seja B uma bola de centro 0, disjunta de M , contida em A. O bordo de B é uma esfera S. Então A − int. B = N é uma superf´ıcie S

A

O

M

compacta, de dimens˜ ao m +R 1, com R∂N = MR ∪ (−S), R na qual R a forma α está definida. M α − cm . R Temos 0 = N dα = ∂N α = M α − S α =m+1 Segue-se que M α = cm (volume da esfera unit´ aria de R ). Para m = 3, obtemos o Teorema de Gauss, segundo o qual, se M ⊂ R3 é uma superf´ıcie fechada então Z xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy = 0 ou 4π, (x2 + y 2 + z 2 )3/2 M conforme a origem de R3 esteja fora ou dentro da superf´ıcie M . Dado qualquer ponto p = (a1 , . . . , am+1 ) ∈ Rm+1 , podemos considerar a forma elemento de ˆ angulo s´ olido com vértice em p, definida por ∗ αp = fp ω onde ω é o elemento de volume de S m e fp : Rm+1 − {0} → S m é a proje¸cão radial de vértice p, dada por fp (x) = (x−p)/|x−p|. Tem-se,

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

506 para cada x ∈ Rm+1 − {p},

m+1 X 1 ci ∧ · · · ∧ dxm+1 . αp (x) = (−1)i+1 (xi − ai )dx1 ∧ · · · ∧ dx |x − p|m+1 i=1

Vale, analogamente, para toda hiperf´ıcie fechada M ⊂ Rm+1 − {p}, R Mα Rp = 0 se p está fora do dom´ınio compactom cujo bordo é M , enquanto que M αp = cm (volume da esfera unit´ aria S ) se p pertence ao dom´ınio compacto de Rm+1 cujo bordo é M . Exemplo 31. Conforme dissemos no par´ agrafo 6, o Teorema de Stokes não vale para formas com suportes não-compactos. Mostraremos isto por meio de um exemplo simples. O conjunto M = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < x2 + y 2 ≤ 1} é uma superf´ıcie não-compacta de dimens˜ ao 2, contida em R2 , 1 com ∂M = S . Consideremos em M a forma ω = (xdy − ydx)/(x2 + y 2 ), o “elemento de ˆ angulo”, definida no Cap´ R ıtulo IV. R Sabemos que ω é uma forma fechada de classe C ∞ , com ∂M ω = S1 ω = 2π, enquanto R R R R M dω = M 0 = 0. Portanto ∂M ω 6= M dω.

9

Grau de uma aplica¸ c˜ ao

Sejam f : M → N um difeomorfsmo que preserva orienta¸cão e ω uma forma cont´ınua de aximo em N . SabeR suporte Rcompacto e grau m´ mos que a igualdade M f ∗ ω = N ω é um enunciado global da fórmula de mudan¸ca de variáveis em integrais m´ ultiplas. [Essencialmente, estamos usando f para introduzir novos parˆ ametros em N e f ∗ ω é a express˜ a tais parˆ ametros.] Sabemos também R ao∗ de ω relativamente R que M f ω = − N ω se a mudan¸ca de variável é feita por um difeomorfismo f que inverta a orienta¸cão. Neste par´ agrafo, generalizaremos amplamente essas fórmulas de mudan¸ca de variável. Mostraremos que (pelo menos quando M é orientada, compacta, sem bordo e N é orientada, conexa, com dim. M = dim. N = m) dada qualquer aplica¸cão 1 f : MR → N de classe R C , existe um inteiro r, chamado o grau de f , tal ∗ que M f ω = r · N ω, seja qual for a forma cont´ınua de grau m, com suporte compacto, em N . Esse inteiro r, que depende apenas da classe de homotopia de f , ocupa posi¸cão de grande destaque em Topologia, em An´ alise e suas aplica¸cões. (Veja [13], [15] e [16].) Obteremos o grau examinando a imagem inversa de um valor regular de uma aplica¸cão própria f : M → N , de classe C 1 , onde M e N s˜ ao

˜ [SEC. 9: GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

507

superf´ıcies orientadas de mesma dimens˜ ao. Dizer que y ∈ N é valor regular de f significa, como sabemos, que para cada ponto x ∈ M tal que f (x) = y, a derivada f ′ (x) : Tx M → Ty N é sobrejetiva. Como M e N têm a mesma dimens˜ ao, isto quer ′ dizer que f (x) é um isomorfismo. Pelo Teorema da Aplica¸cão Inversa, existem abertos U ∋ x em M e V ∋ y em N tais que f aplica U difeomorficamente sobre V . Em particular, x é o u ńico ponto de U que é transformado por f em y, isto é, f −1 (y) ∩ U = {x}, ou ainda, x é um ponto isolado de f −1 (y). Assim, se M e N têm a mesma dimens˜ ao e y ∈ N é um valor regular de uma aplica¸cão f : M → N , de classe C 1 , então a imagem f −1 (y) é um subconjunto (fechado e) discreto de M , isto é, todos os seus pontos s˜ ao isolados. Se, além disso, a aplica¸cão f : M → N é própria (em particular, se M é compacta) então, como {y} é compacto, a imagem inversa f −1 (y) é compacta. Como nenhum dos seus pontos é ponto de acumula¸cão, seguese que f −1 (y) = {x1 , . . . , xk } é um conjunto finito. Estas considera¸cões s˜ ao completadas pelo Teorema 19. Sejam M , N superf´ıcies de mesma dimens˜ ao e f : M → 1 N uma aplica¸ca õ pr´ opria de classe C . Todo valor regular y ∈ N possui uma vizinhan¸ca aberta V tal que f −1 (V ) = U1 ∪ · · · ∪ Uk é reuni˜ ao finita de abertos Ui , dois a dois disjuntos, cada um dos quais é transformado por f difeomorficamente sobre V . Demonstra¸ c˜ ao: Seja f −1 (y) = {x1 , . . . , xk }. Para cada i = 1, . . . , k, existem Wi ∋ xi aberto em M e Zi ∋ y aberto em N tais que f transforma Wi difeomorficamente sobre Zi . Seja c a menor distˆ ancia entre dois pontos distintos quaisquer de f −1 (y). Substituindo, se necessário, Wi por Wi ∩ B(xi , c/2), podemos supor que os Wi s˜ ao dois a dois disjunk S Wi é fechado em M , logo sua imagem f (F ) tos. O conjunto F = M − i=1

é fechada em M (conforme o Lema 1 da se¸cão 8). Como nenhum xi pertence a F , temos y ∈ / f (F ). Assim, existe V ∋ y,abertoem N , tal que k T Zi ∩V , podemos V ∩f (F ) = ∅. Substituindo, se necessário, V por i=1

ainda supor que V ⊂ Z1 ∩ · · · ∩ Zk . A condi¸cão V ∩ f (F ) = ∅ significa que f −1 (V ) ⊂ W1 ∪ · · · ∪ Wk . Ponhamos agora, para cada i = 1, . . . , k, Ui = f −1 (V ) ∩ Wi = (f |Wi )−1 (V ). Como f |Wi é um difeomorfismo de Wi sobre Zi e V ⊂ Zi , resulta que f transforma Ui difeomorficamente sobre V . Finalmente, f −1 (V ) = f −1 (V ) ∩ [W1 ∪ · · · ∪ Wk ] =

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

508

[f −1 (V ) ∩ W1 ] ∪ · · · ∪ [f −1 (V ) ∪ Wk ] = U1 ∪ · · · ∪ Uk . Exemplo 32. A hip´ otese de f ser própria não entra no Teorema 19 apenas para garantir que f −1 (y) seja finito. O exemplo seguinte ilustra bem o que pode ocorrer sem essa hip´ otese. Seja f : (0, 3π) → S 1 definida por f (t) = (cos t, sen t). Todo ponto y ∈ S 1 é valor regular de f . Em particular, tomemos p = (1, 0). Então f −1 (p) = {2π}. Entretanto, seja qual for o aberto V em S 1 contendo p, f −1 (V ) contém, além de uma vizinhan¸ca U do ponto 2π, também um intervalo do tipo (0, ε), o qual não possui pontos de f −1 (p) nem se aplica sobre V . [Como S 1 é compacto mas (0, 3π) não é, f não é própria.]

U 0

ε

f 2π

p

3π V

Por ser o caso mais simples, e mais u ´til, definiremos primeiro o grau m de uma aplica¸cão f : M → S , onde M é uma superf´ıcie m-dimensional, compacta, orientada e sem bordo. Usaremos o Lema. Seja p ∈ A ⊂ S m , onde A é aberto. Existem abertos W , V em S m , com p ∈ W ⊂ V ⊂ A, e uma aplica¸ca õ λ : S m → S m , de classe C ∞ , tal que 1) λ(S m − V ) = {q}, onde q = −p é o ant´ıpoda de p; 2) λ|V é um difeomorfismo de V sobre S m − {q}. 3) λ(x) = x para todo x ∈ W ; 4) λ é C ∞ -homot´ opica a ` aplica¸ca õ identidade de S m . Demonstra¸ c˜ ao: Seja ϕ : S m − {p} → Rm a proje¸cão estereogr´ afica. Temos ϕ(q) = 0 e o compacto ϕ(S m − A) está contido numa bola Ba = B(0; a). Pomos V = S m − ϕ−1 (B a ) e W = S m − ϕ−1 (B 2a ), onde B2a = B(0; 2a). Como ϕ é um difeomorfismo, basta definir uma aplica¸cão µ : Rm → Rm , de classe C ∞ , tal que 1) µ(Ba ) = {0}; 2) µ aplica Rm −B a difeomorficamente sobre Rm −{0}; 3) µ(x) = x para todo x ∈ Rm −B 2a ; 4) Existe uma homotopia H : µ ≃ idRm tal que H(t, x) = x para todo x com norma ≥ 2a. A defini¸cão de µ se faz com aux´ılio de uma fun¸cão f : R → R, de classe C ∞ , tal que f (t) = 0 para t ≤ a, f (t) = 1 quando t ≥ 2a e

˜ [SEC. 9: GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

509

1 f

a

2a

3a

f , restrita ao intervalo (a, 2a), é um difeomorfismo sobre (0, 1). [Isto equivale a dizer que a < t < 2a ⇒ f ′ (t) > 0.] O gr´ afico de f é esbo¸cado acima. Sua defini¸cão utiliza a fun¸cão δ : R → R, introduzida no in´ıcio do par´ agrafo 4: f (t) = δ(t/a − 3) se t < 3a e f (t) = 1 se t ≥ 3a. Então obtemos µ pondo µ(x) = f (|x|) · x para todo x ∈ Rm , onde |x| é a norma euclidiana. Para nos convencermos de que µ é um difeomorfismo de Rm − B a sobre Rm − {0}, observemos primeiro que t 7→ f (t) · t é um difeomorfismo de (a, +∞) sobre (0, +∞); segundo, que k(u, t) = (u, f (t)t) define um difeomorfismo de S m−1 × (a, +∞) sobre S m−1 × (0, +∞); terceiro, que as aplica¸cões h0 : S m−1 × (0, +∞) → Rm − {0} e ha : S m−1 × (a, +∞) → Rm − B a , ambas definidas por (u, t) 7→ tu, s˜ ao −1 difeomorfismos; quarto, que µ = h0 ◦ k ◦ ha . Finalmente, a homotopia H : I × Rm → Rm é linear: H(t, x) = (1 − t)µ(x) + tx. Sejam M , N superf´ıcies orientadas sem bordo, de mesma dimens˜ ao m, e f : M → N uma aplica¸cão própria de classe C 1 . Para todo valor regular y ∈ N , de f , sabemos que f −1 (y) = {x1 , . . . , xk } é finito. Diremos que um ponto xi ∈ f −1 (y) é positivo ou negativo, conforme o isomorfismo f ′ (xi ) : Txi M → Ty N preserve ou inverta orienta¸cão. O grau de f no ponto y, indicado por gry f , é, por defini¸cão, a diferen¸ca entre o n´ umero de pontos positivos e o n´ umero de pontos negativos em f −1 (y). Segue-se imediatamente do Teorema 19 que existe uma vizinhan¸ca aberta V do valor regular y em N tal que todo z ∈ V é valor regular de f e, além disso, grz f = gry f para qualquer z ∈ V . No que segue, mostraremos que se N é conexa e f é de classe C 2 então gry f tem o mesmo valor, seja qual for o valor regular y ∈ N . Como dissemos acima, come¸caremos com o caso em que M é compacta e N = S m . Temos então o Teorema 20. Seja M uma superf´ıcie compacta, m-dimensional, orientada e sem bordo. A toda aplica¸ca õ f : M → S m , de classe C 2 , corres-

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

510

ponde um inteiro r tal que: 1) Para todo valor regular y de f tem-se gry f = Rr; R 2) Para toda m-forma cont´ınua ω em S m , tem-se M f ∗ ω = r· S m ω.

Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema de Sard, f possui um valor regular m p ∈ S . Embora isto não seja estritamente necessário, consideraremos separadamente, e em primeiro lugar, o caso em que f −1 (p) 6= ∅. Pelo Teorema 19, existe uma vizinhan¸ca V ∋ p, aberta em S m , tal que f −1 (V ) = U1 ∪ · · · ∪ Uk é reunião de abertos dois a dois disjuntos, cada um dos quais se aplica difeomorficamente por f sobre V . Podemos supor que V é o aberto mencionado no lema acima. Seja g = λ ◦ f : M → S m , onde λ : S m → S m é dada pelo referido lema.R Como λ ≃ id : S m → S m , R ∗ temos g ≃ f . Pelo Teorema 17, M f ω = M g ∗ ω para toda m-forma ω, cont´ınua em S m . Ora, g é constante, igual a q = −p, no conjunto k S Ui , logo g ∗ ω = 0 em todos os pontos de F . Pelo fechado F = M − i=1

Teorema da Irrelevância dos Zeros, temos Z

g∗ ω =

Z

g∗ ω =

M −F

M

k Z X i=1

g ∗ ω,

Ui

au ´ltima igualdade valendo porque M −F é reunião disjunta dos abertos Ui . Restrito a cada Ui , g é um difeomorfismo sobre S m −{q}. Portanto Z Z Z ω, ω=± g∗ ω = ± Sm

S m −{q}

Ui

au ´ltima igualdade valendo em virtude do Teorema da Irrelevância dos Conjuntos de Medida Nula. O sinal é + ou −, conforme os pontos x ∈ Ui sejam positivos ou negativos. Logo k Z X i=1

Ui

∗

g ω = grp f ·

Z

Sm

ω, ou seja ,

Z

∗

M

f ω = grp f ·

Z

ω.

Sm

Se y ∈ S m é qualquer outro R valor regular de f , tomando uma mm forma cont´ ω em S , com S m ω 6= 0, o argumento acima nos dar´ a R ınua R gry f = M f ∗ ω S m ω = grp f , o que demonstra este caso. Se, porém, o valor regular p ∈ S m é tal que f −1 (p) = ∅ então grp f = 0. Este caso significa que f (M ) ⊂ S m − {p}. Como S m − {p} é difeomorfo a Rm , que é contrátil, a aplica¸cão f é, então homotópica a uma constante.

˜ [SEC. 9: GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

511

R Pelo Teorema 17, obtemos então M f ∗ ω = 0, seja qual m-forma R for∗ a R m cont´ınua ω em S . Pelo primeiro caso, teremos gry f = M f ω S m ω = 0 = grp f para qualquer outro valor regular y ∈ S m . Isto completa a demonstra¸cão. O n´ umero r = gr.f , definido no Teorema 17, chama-se o grau da aplica¸cão f : M → S m . Ele goza das seguintes propriedades: 1) Se f, g : M → S m s˜ ao homot´ opicas em classe C 2 ent˜ ao gr.f = gr.g; m 2) Se f : M → S n˜ ao é sobrejetiva ent˜ ao gr.f = 0.

A propriedade 1 resulta imediatamente da caracteriza¸cão gr.f = R ∗ω ω, onde ω é uma (qualquer) m-forma cont´ınua em S m cuja f Sm M integral não é zero, juntamente com o Teorema 17. A propriedade 2, está contida na demonstra¸cão acima.

R

Exemplo 33. Seja M ⊂ Rm+1 uma hiperf´ıcie compacta orientada. Indiquemos com K : M → R a fun¸cão curvatura de Gauss-Kronecker de M (cfr. Exemplo 24) e com cm o volume (área, R se m = 2, comprimento, m se m = 1) da esfera unit´ aria S . O n´ umero M K chama-se a curvatura integral de M . Segue-se do que vimos no exemplo acima citado que R K = r · c , onde r ∈ Z ´ e o grau da aplica¸cão normal de Gauss m M m γ : M → S . Quando m é par, demonstra-se que o inteiro r é um invariante topológico de M ; mais precisamente, 2r é a “caracter´ıstica de Euler” da hiperf´ıcie M . (Veja [13], Cap´ıtulo IV.) O grau tem sentido, mais geralmente, para qualquer aplica¸cão cont´ınua f : M → S m , onde M é uma superf´ıcie m-dimensional compacta, sem bordo. Com efeito, existe g : M → S m de classe C 2 , homotópica a f . Pomos, por defini¸cão, gr.f = gr.g. N˜ ao há ambig¨ uidade porque m 2 se h : M → S é outra aplica¸cão de classe C homotópica a f então, por transitividade, h é homotópica a g, logo h ≃ g em classe C 2 , donde gr.g = gr.h. As propriedades 1. e 2. acima continuam válidas para o grau de uma aplica¸cão cont´ınua f : M → S m . Exemplo 34. Segue-se do Teorema de Stokes que se M = ∂N é o bordo de uma superf´ıcie (m + 1)-dimensional orientada N e f : M → S m é a restri¸cão de uma aplica¸cão, F : N → S m , de classe C 2 , então gr.f = 0. Com efeito, tomemos em S m uma m-forma cont´ınua positiva ω. Temos R R gr.f = M f ∗ ω S m ω. Mas, como dω = 0, temos Z

M

∗

f ω=

Z

∗

F ω= ∂N

Z

N

∗

d(F ω) =

Z

F ∗ (dω) = 0.

N

512

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

O mesmo resultado vale com “classe C 2 ”substituido por “cont´ınua”. Basta tomar uma aplica¸cão G : N → S m , de classe C 2 , homotópica a F e usar o mesmo argumento. Em particular, toda aplica¸cão f : S m → S m que possui uma extensão cont´ınua F : B → S m (onde B é a bola fechada unit´ aria de Rm+1 ) tem grau zero. Este caso particular (que implica o Teorema 11) resulta também de f ser então homotópica a uma constante. Por meio do teorema abaixo, estenderemos o conceito de grau de modo que ele tenha sentido para aplica¸cões próprias entre duas superf´ıcies orientadas de mesma dimens˜ ao. Teorema 21. Sejam M ,N superf´ıcies m-dimensionais orientadas, sem bordo. Se N é conexa, a cada aplica¸ca õ pr´ opria f : M → N , de classe 2 C , corresponde um n´ umero inteiro r com as seguintes propriedades: 1) Para cda valor regular y ∈ N , de f , tem-se gry f = r; R 2) RPara toda m-forma cont´ınua ω, integr´ avel em N , tem-se M f ∗ ω = r · N ω. A demonstra¸cão do Teorema 20 utilizará o “Lema de Isotopia”, o qual será precedido de algumas defini¸cões. Sejam f, g : M → N difeomorfismos. Uma isotopia entre f e g é uma homotopia H : I × M → N entre f e g tal que, para todo t ∈ I, a aplica¸cão Ht : M → N , definida por Ht (x) = H(t, x), é um difeomorfismo. Se f e g s˜ ao difeomorfismos de M sobre si mesmo, diz-se que uma isotopia H : f ≃ g tem suporte compacto quando existe um compacto K ⊂ M tal que H(x, t) = x para todo x ∈ M − K e todo t ∈ I. Analogamente, diz-se que um difeomorfismo f : M → N tem suporte compacto quando existe um compacto K ⊂ M tal que f (x) = x para todo x ∈ M − K. Lema de Isotopia. Seja M uma superf´ıcie conexa de classe C k . Dados dois pontos a, b ∈ M , existe um difeomorfismo f : M → N , tal que f (a) = b, isot´ opico a ` identidade por uma isotopia de classe C k com suporte compacto. Demonstra¸ c˜ ao: O Lema será provado em três etapas: a, b e c. a) A superf´ıcie M é o espa¸co euclidiano Rm . Então tomaremos a fun¸cão auxiliar ξ : Rm → R, de classe C ∞ , definida no in´ıcio do par´ agrafo 4, uma constante c > 0 tal que c·|b−a|· sup |ξ ′ (y)| < 1 e poremos f (x) = y∈Rm

x+ξ(c(x−a))·(b−a). Vemos que f é a soma da aplica¸cão identidade com uma contra¸cão. Pelo Teorema da Perturba¸cão da Identidade, concluimos que f : Rm → Rm é um difeomorfismo de classe C ∞ . Como ξ(c(x−a)) =

˜ [SEC. 9: GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

513

0 se c|x − a| > 2, temos f (x) = x fora da bola de centro a e raio 2/c. Portanto f tem suporte compacto. Para todo t ∈ [0, 1], a aplica¸cão ft : Rm → Rm , definida por ft (x) = x + t · ξ(c(x − a)) · (b − a) é uma perturba¸cão da identidade, donde é um difeomorfismo de Rm . Pondo H(t, x) = ft (x), obtemos uma isotopia de suporte compacto e classe C ∞ entre f e a aplica¸cão identidade de Rm . b) Em seguida, mostraremos que o lema vale localmente em M , isto é, todo ponto p ∈ M possui uma vizinhan¸ca aberta V tal que, dados arbitrariamente a, b ∈ V , existe um difeomorfismo f : M → M , de classe C k , com f (a) = b, isotópico à aplica¸cão identidade de M por uma isotopia de classe C k e suporte compacto. Para isto basta tomar uma parametriza¸cão ϕ : Rm → V ⊂ M , de classe C k , com ϕ(0) = p. Dados a = ϕ(a0 ) e b = ϕ(b0 ) em V , seja f0 : Rm → Rm o difeomorfismo C ∞ -isotópico ` a identidade, com f0 (a0 ) = b0 , obtido como se viu acima. Ponhamos f = ϕ ◦ f0 ◦ ϕ−1 : M → M . As verifica¸cões s˜ ao imediatas. c) Finalmente, dado a ∈ M , seja X o conjunto dos pontos b ∈ M tais que existe um difeomorfismo f : M → M , nas condi¸cões impostas pelo enunciado do Lema. O conjunto X não é vazio, pois evidentemente a ∈ X. Afirmamos que X é aberto em M . Com efeito, sejam b ∈ X e f : M → M o difeomorfismo com f (a) = b, nas condi¸cões do enunciado do Lema. Pela etapa anterior, existe uma vizinhan¸ca V ∋ b, aberta em M tal que, para cada c ∈ V pode-se obter um difeomorfismo g : M → M , de classe C k , compactamente isotópico à identidade, com g(b) = c. Então h = g ◦ f : M → M é um difeomorfismo de classe C k , também compactamente isotópico ` a identidade, com h(a) = c. Portanto c ∈ X, ou seja, V ⊂ X. De modo an´ alogo se mostra que M − X é aberto. Pela conexidade de M , concluimos que X = M , o que prova o Lema.

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 21: Mostremos primeiramente que gry f não depende do valor regular y ∈ N . Com efeito, se V ∋ y é uma k S Ui é reunião disjunta vizinhan¸ca (conexa) em N tal que f −1 (V ) = i=1

de abertos Ui ⊂ M , cada um dos quais se aplica por f difeomorficamente sobre V (Teorema 19) e ω é uma m-formaR cont´ınua com R R supp. ω ⊂ V e ∗ ao, para cada i = 1, . . . , k, Ui f ω = ± V ω (sinal + ou N ω 6= 0 ent˜ − conforme f |Ui preserve ou inverta orienta¸cão). Como supp. (f ∗ ω) ⊂

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

514 k S

Ui , temos

i=1

Z

M

∗

f ω=

k Z X i=1

∗

f ω= Ui

k X i=1

±

Z

V

ω = (gry f ) ·

Z

ω. N

Seja agora z ∈ N outro qualquer valor regular de f . Pelo Lema de Isotopia, existe um difeomorfismo h : N → N , compactamente isotópico à identidade em classe C 2 , tal que h(z) = y. Seja W = h−1 (V ). Restringindo V , se for necessário, podemos supor também que f −1 (W ) é reuni˜ ao disjunta de abertos que se aplicam por f difeomorficamente R sobre ∗ ω tem suporte contido em W e ∗ W . Ent˜ a o, como a forma h Nh ω = R ınio acima feito para ω e y nos permite escrever N ω 6= 0, o racioc´ Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ h∗ ω = (h ◦ f ) ω h ω= f (h ω) grz f = N M N M Z Z ∗ f ω ω = gry f. = M

N

Nas igualdades acima, fizemos uso do fato de que, Rsendo h homot´ Ropico∗ à ∗ω = identidade (e conseq¨ u entemente h◦f ≃ f ), temos (h◦f ) M Mf ω R ∗ R e N h ω = N ω. Seja então r = gryRf , onde y ∈ RN é qualquer valor regular de f . Provaremos agora que M f ∗ ω = r · N ω para todo m-forma cont´ınua ω, integrável em N . Dividiremos a demonstra¸cão em três casos. Caso 1. A aplica¸cão própria f : M → N é um difeomorfismo local que preserva orienta¸cão. Seja uma forma cont´ınua integrável ω ≥ 0 em N . Como todo ponto y ∈ N é um valor regular, podemos tomar uma cobertura aberta localmente finita N = ∪ Vi tal que cada Vi tem fecho compacto em N e f −1 (Vi ) é uma reunião finita de r abertos, dois a dois disjuntos, cada um dos quais se aplica por f difeomorficamente sobre Vi . Escrevamos ω = Σ ωi , onde cada ωi é ≥ 0, cont´ınua e supp. ωi ⊂ Vi . Então M = ∪ f −1 (Vi ) é uma cobertura localmente finita. [Mostra-se facilmente que se f : X → Y é cont´ınua e C é uma fam´ılia localmente finita em Y então f −1 (C) é localmente finita em X.] Para cada i, f ∗ ωi é uma forma ≥ 0, Rcom supp. f ∗ ωRi ⊂ f −1 (Vi ), f −1 (V i ) compacto e, como já vimos acima, M f ∗ ωi = r · N ωi . Temos Z Z XZ XZ X ∗ ∗ ∗ ∗ ω. ωi = r · f ωi = r · f ω= f ω= f ωi e i

M

i

M

i

N

N

˜ [SEC. 9: GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

515

[Em particular, ω integrável ⇒ f ∗ ω integrável.] Se a forma integrável ω não é ≥ 0, podemosR escrevê-laRcomo ω =R α − β, com Rα, β integr´ Raveis e ≥ R0. Temos ainda M f ∗ ω = M f ∗ α − M f ∗ β = r · N α − r · N β = r · N ω. Evidentemente, o mesmo argumento se aplica quando f inverte orienta¸cão. Caso 2. A aplica¸cão própria f : M → N é um difeomorfismo local, que não supomos preservar nem inverter orienta¸cão. [Somente quando M é desconexa este caso é mais geral do que o anterior.] Então M = A ∪ B, onde A é o conjunto dos pontos x ∈ M , tais que f ′ (x) preserva orienta¸cão e B = M − A. Ambos, A e B, s˜ ao abertos e as restri¸cões f |A : A → N , f |B : B → N s˜ ao próprias. [Por exemplo, se xk → ∞ em A então xk → ∞ em M , pois B é aberto em M , logo f (xk ) → ∞ em N devido a f : M → N ser própria.] Temos r = rA + rB , onde rA = gry (f |A) e rB = gry (f |B) para todo y ∈ N . Pelo Caso 1, vem Z Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ f ω = (f |A) ω + (f |B)∗ ω = f ω+ f ω= B A B A M Z Z Z ω. ω=r· ω + rB · = rA · N

N

N

Observa¸ c˜ ao: Nos casos acima, não é estritamente necessário que N seja conexa. Esta hip´ otese entra apenas para garantir que gry f = r (constante) R para todo R y ∈ N . Se soubermos disto por outras razões teremos M f ∗ ω = r · N ω sejam quais forem a forma cont´ınua integrável ω em N e o difeomorfismo local f : M → N . Caso 3. Em que f : M → N é qualquer aplica¸cão própria de classe C 2 . Seja S o subconjunto fechado de M formado pelos pontos x nos quais a derivada f ′ (x) não é um isomorfismo. Em todos os pontos x ∈ S temos (f ∗ ω)(x) = 0. Como f é própria, f (S) é um subconjunto fechado de N o qual, pelo Teorema de Sard, tem medida nula. Como os zeros do integrando e os conjuntos de medida nula s˜ ao irrelevantes na integra¸cão temos Z Z Z Z ∗ ∗ ω. ω= f ω e f ω= M

M −S

N

N −f (S)

Observe que f −1 (f (S)) = S ∪ T , onde T é o conjunto dos pontos x ∈ M tais que f (x) ∈ f (S) e f ′ (x) é um isomorfismo, ou seja T = f −1 (f (S)) ∩ (M − S). Assim, T é um subconjunto fechado da superf´ıcie M − S. Todo ponto x ∈ T possui uma vizinhan¸ca U em M que é aplicada difeomorficamente por f sobre uma vizinhan¸ca V do ponto y = f (x) em

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

516

N . Evidentemente f (U ∩ T ) ⊂ V ∩ f (S). Como V ∩ f (S) tem medida nula, o mesmo ocorre com U ∩ T . Como x ∈ T é qualquer, segue-se que T é um conjunto de medida nula em M − S. Portanto Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ f ∗ ω. f ω= f ω= f ω= M

M −(S∪T )

(M −S)−T

M −S

Ora, a aplica¸cão g : M −(S ∪T ) → N −f (S), obtida por restri¸cão de f , é um homeomorfismo local, com gry g = gry f = r para todo y ∈ N −f (S). Resulta do caso anterior que, para toda m-forma cont´ınua integrável ω sobre N , vale Z Z Z Z Z ω, ω=r· g∗ ω = r · f ∗ω = f ∗ω = M

M −(S∪T )

N −f (S)

M −(S∪T )

N

o que encerra a demonstra¸cão. O grau de uma aplica¸cão própria f : M → N , de classe C 2 , entre superf´ıcies orientadas de mesma dimens˜ ao, (N conexa) goza das seguintes propriedades: 1) Se f : M → M é a aplica¸ca õ identidade, ent˜ ao gr.f = 1; 2) Se f, g : M → N s˜ ao propriamente homot´ opicas em classe C 2 ent˜ ao gr.f = gr.g. Com efeito,R seja ω uma m-forma cont´ınua em N , com suporte compacto, tal que N ω 6= 0. Pelo Teorema 17a, temos Z Z Z Z ∗ ∗ ω = gr.g; g ω ω= f ω gr.f = M

N

M

N

3) Se gr.f 6= 0 ent˜ ao f é sobrejetiva. Com efeito, se existir y ∈ N −f (M ) então, por defini¸cão, y será valor regular de f . Como f −1 (y) = ∅, teremos gry f = 0, logo gr f = 0. 4) Se f : M → N e g : N → P s˜ ao pr´ oprias, de classe C 2 M , N , P s˜ ao orientadas, de mesma dimens˜ ao e N , P s˜ ao conexas, ent˜ ao gr(g ◦ f ) = (gr.g) · (gr.f ). Quando gr.g 6= 0, a propriedade acima pode R ser demonstrada R assim: ∗ tomemos uma m-forma cont´ ınua ω em P , com ω = 6 0. Ent˜ a o P Ng ω = R (gr.g) · P ω 6= 0, logo R R R ∗ ∗ω ∗ (g ∗ ω) (g ◦ f ) f g ω R gr(g ◦ f ) = M R = MR ∗ · N = (gr.g) · (gr.f ). ω g ω P N P ω

˜ [SEC. 9: GRAU DE UMA APLICAC ¸ AO

517

No caso geral, existe, pelo Teorema de Sard, um ponto z ∈ P que é valor regular de g e de g ◦ f . Então g −1 (z) = {y1 , . . . , yk }, onde cada yi é valor regular de f . Seja f −1 (yi ) = {xi1 , . . . , xisi }, donde (g ◦ f )−1 (z) = {xij ; i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , si }. Ponhamos εi = 1 se o ponto yi é positivo e εi = −1 no caso contrário. Diremos que εi é o sinal do ponto yi em rela¸cão ` a aplica¸cão g. Analogamente, sejam ηij o sinal do ponto xij em rela¸cão a f P e ρij o sinal de xij emP rela¸cão a g ◦ f . Temos ρij = ηij · εi , ηij = gry f = gr.f (para todo i). ρij = grz (g ◦ f ) e Σ εi = gry g, j

i,j

Logo

gr(g ◦ f ) = grz (g ◦ f ) =

X

ρij =

i,j

= (gr.f ) ·

X X i

X i

j

X (gr.f )εi = ηij εi = i

εi = (gr.f ) · (gr.g).

A extensão da no¸cão de grau para aplica¸cões próprias entre superf´ıcies não-compactas permite que a utilizemos no caso em que tais superf´ıcies se reduzem a abertos do espa¸co euclidiano, como no exemplo seguinte. Exemplo 35. Sejam U, V ⊂ Rm abertos (V conexo) e f : U → V uma aplica¸cão própria de classe C 2 . Suponhamos que o determinante jacobiano de f não mude de sinal em U (embora possa anular-se em alguns pontos). Se esse jacobiano é identicamente nulo então f (U ) tem medida nula, pelo Teorema de Sard. No caso contrário, existe um ponto x ∈ U onde a derivada f ′ (x) : Rm → Rm é um isomorfismo, logo há um aberto W ∋ x que é aplicado por f difeomorficamente sobre um aberto Z ∋ f (x). Pelo Teorema de Sard, algum ponto z ∈ Z é valor regular de f . Como Z = f (W ), a imagem inversa f −1 (z) não é vazia. Todos os pontos de f −1 (z) têm, por hip´ otese, o mesmo sinal. Logo grz f 6= 0, ou seja, gr.f 6= 0. Em particular, f aplica U sobre V . O mesmo argumento mostra que se M e N s˜ ao superf´ıcies orientadas de mesma dimens˜ ao, N conexa, e f : M → N é uma aplica¸cão própria de classe C 2 cujo determinante jacobiano não muda de sinal em M então ou f (M ) tem medida nula em N (no caso em que o jacobiano é identicamente nulo) ou f é sobrejetiva. Em particular, concluimos que se a aplica¸cão própria f : M → N é injetiva então ela também é sobrejetiva (dentro das demais hip´ oteses, inclusive N conexa). Com efeito, a injetividade de f impede que seu jacobiano mude de sinal: se x1 , x2 ∈ M fossem

518

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

tais que f ′ (x1 ) > 0 e f ′ (x2 ) < 0 então, pondo y1 = f (x1 ) e y2 = f (x2 ) ter´ıamos (pela injetividade de f ) f −1 (y1 ) = {x1 } e f −1 (y2 ) = {x2 } logo gry1 f = 1 e gry2 f = −1, uma contradi¸cão. Tendo em vista principalmente as aplica¸cões, é importante observar que, se M e N s˜ ao superf´ıcies orientadas de mesma dimens˜ ao, pode-se definir o grau de qualquer aplica¸cão própria f : M → N , mesmo que se tenha apenas f ∈ C 0 . Isto é feito com base nos dois lemas seguintes: 1o¯ ) Se M e N s˜ ao superf´ıcies de classe C k , toda aplica¸cão própria f : M → N , de classe C 0 , é propriamente homotópica a uma aplica¸cão g : M → N , de classe C k . Mais precisamente, dada N , existe uma fun¸cão cont´ınua positiva ε : N → R tal que se g : M → N é tal que |f (x)−g(x)| < ε(x) para todo x ∈ M então g é propriamente homotópica a f. 2o¯ ) Se existe uma homotopia própria de classe C 0 entre duas aplicações f, g : M → N de classe C k , existe também uma homotopia própria de classe C k entre f e g. No caso em que N = S m , estes lemas decorrem da observa¸cão que fizemos no par´ agrafo 8, logo em seguida à demonstra¸cão do Teorema 17. N˜ ao provaremos o caso geral, para não nos estendermos em questões de Topologia Diferencial. (Veja [14].) Admitidos os lemas, definiremos o grau da aplica¸cão própria f : M → N pondo gr(f ) = gr(g), onde g : M → N é qualquer aplica¸cão de classe C 2 , propriamente homotópica a f . Se h : M → N é outra aplica¸cão de classe C 2 nas mesmas condi¸cões, então existe uma homotopia própria H : g ≃ h, de classe C 2 , logo gr(g) = gr(h). Portanto gr(f ) está bem definido. Usando novamente os lemas acima, prova-se que se f, g : M → N s˜ ao propriamente homotópicas (em classe C 0 ) então gr(f ) = gr(g). Além disso, se gr(f ) 6= 0 então a aplica¸cão própria f : M → N (de classe C 0 ) é sobrejetiva. [Vejamos a demonstra¸cão deste u ´ltimo fato. Suponhamos, por absurdo, que exista y ∈ N − f (M ). Como f é própria, f (M ) é um subconjunto fechado de N , logo existe δ > 0 tal que |y − f (x)| ≥ δ para todo x ∈ M . Seja ε : N → R a fun¸cão cont´ınua positiva mencionada no primeiro lema acima. Substituindo, se necessário, ε(x) por min{ε(x), δ}, podemos supor que ε(x) ≤ δ para todo x ∈ M . Portanto, se g : M → N é uma aplica¸cão de classe C 2 tal que |g(x) − f (x)| < ε(x) pra todo x ∈ M , teremos g propriamente homotópica a f , logo gr(f ) = gr(g). Teremos também y ∈ / g(M ), logo gr(g) = 0, e portanto gr(f ) = 0.]

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

10

519

A integral de Kronecker

A seguir estenderemos, para um espa¸co euclidiano de dimens˜ ao qualquer, a fórmula devida a Kronecker e provada na se¸cão 10 do Cap´ıtulo IV, que exprime o n´ umero “algébrico”de zeros de uma aplica¸cão F : D → R2 , de classe C 2 num disco fechado do plano. Mesmo em dimens˜ ao 2, o resultado que obteremos agora será mais geral, pois se aplicará quando D for qualquer dom´ınio compacto com fronteira regular, de classe C 2 , no plano. Seja, portanto, D ⊂ Rm+1 uma superf´ıcie de dimens˜ ao m + 1 e classe C 2 , compacta, com bordo (“dom´ınio compacto com fronteira regular” de classe C 2 em Rm+1 ). O bordo ∂D é uma hiperf´ıcie orientável compacta em Rm+1 . Seja ainda F : D → Rm+1 uma aplica¸cão de classe C 2 tal que F (∂D) ⊂ Rm+1 − {0}. Indiquemos com f1 , . . . , fm+1 : D → R as fun¸cões-coordenada de F . Um ponto x ∈ D chama-se um zero de F quando F (x) = 0. Se o determinante jacobiano de F no ponto x é 6= 0, x chama-se um zero simples. Quando det. Jf (x) > 0 o zero simples x diz-se positivo e se det. Jf (x) < 0, x chama-se um zero negativo. Todo zero simples x é isolado, isto é, F (y) 6= 0 para todo y suficientemente próximo de x. Como D é compacto, se todos os zeros de F em D s˜ ao simples, o conjunto desses zeros é finito. Como no Cap´ıtulo IV, §10, nossa inten¸cão é estimar o n´ umero de zeros de F em D. Para isso, introduziremos a integral de Kronecker Z m+1 X ci ∧ · · · ∧ dfm+1 1 fi · df1 ∧ · · · ∧ df n(F ; D) = (−1)i+1 cm ∂D |F |m+1 i=1

1/2 onde cm = volume da esfera unit´ aria S m e |F (x)| = Σ fi (x)2 . Como F (x) 6= 0 para todo x ∈ ∂D, o integrando acima é uma forma de classe C 1 em ∂D. Estamos considerando em D a orienta¸cão de Rm+1 e em ∂D a orienta¸cão induzida. A integral de Kronecker goza das seguintes propriedades: K1) n(F ; D) é um n´ umero inteiro. Com efeito, sejam ω a forma elemento de volume de S m , ρ : Rm+1 − {0} → S m a proje¸cão radial e f = F |∂D. Então (vide Exemplo 17, no §2): Z Z Z 1 ∗ ∗ ∗ n(F ; D) = (ρ ◦ f ) ω f ρ ω= ω = gr.(ρ ◦ f ). cm ∂D ∂D Sm

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

520

K2) Se H : I × ∂D → Rm+1 é uma homotopia de classe C 2 entre F |∂D e G|∂D, tal que H(t, x) 6= 0 para todo t ∈ I e todo x ∈ ∂D ent˜ ao n(F ; D) = n(G; D).

Com efeito, pondo f = F |∂D e G = G|∂D vemos que L : I × ∂D → S m , definida por L(t, x) = ρ(H(t, x)), é uma homotopia de classe C 2 entre ρ ◦ f e ρ ◦ g, logo n(F ; D) = gr(ρ ◦ f ) = gr(ρ ◦ g) = n(G; D). Com corolário de K2) temos o

Teorema de Rouch´ e. Sejam F, G : D → Rm+1 de classe C 2 , com F (x) 6= 0 e |G(x)| < |F (x)| para todo x ∈ ∂D. Ent˜ ao n(F + G; D) = n(F ; D). Com efeito, nestas condi¸cões a homotopia linear H : I ×∂D → Rm+1 , H(t, x) = F (x) + t · G(x), entre F e F + G, é tal que H(t, x) 6= 0 para todo t ∈ I e todo x ∈ ∂D. K3) Se f (x) 6= 0 para todo x ∈ D ent˜ ao n(F ; D) = 0.

Com efeito, neste caso ρ ◦ F : D → S m tem sentido e é uma extensão de ρ ◦ f : ∂D → S m . Segue-se que n(F ; D) = gr(ρ ◦ f ) = 0, conforme o Exemplo 34. K4) Sejam D1 , . . . , Dk ⊂ int. D dom´ınios compactos com fronteiras regulares de classe C 2 , dois a dois disjuntos. Se

F

D−

k [

i=1

int. Di

!

⊂ Rm+1 − {0} ent˜ ao n(F ; D) =

k X

n(F ; Di ).

i=1

Observe que K3) é um caso particular de K4), com k = 1 e D1 = ∅. k S int. Di é um dom´ınio Para provar K4), observemos que M = D − i=1

compacto com fronteira regular. Considerando em M , D, D1 , . . . , Di a orienta¸cão de Rm+1 e nos seus bordos as orienta¸cões induzidas, temos ∂M = ∂D ∪ (−∂D1 ) ∪ · · · ∪ (−∂Dk ).

521

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

D D3

D2

D1

∂D

Indicaremos ainda com F todas as restri¸cões desta aplica¸cão. Como ρ ◦ F tem sentido em M , segue-se do Exemplo 34 que 0=

Z

∗

∂M

(ρ ◦ F ) ω =

Z

∂D

∗

(ρ ◦ F ) ω −

= n(F ; D) −

k X

k Z X i=1

∂Di

(ρ ◦ F )∗ ω =

n(F ; Di ).

i=1

K5) Se os zeros de F em D s˜ ao todos simples ent˜ ao n(F ; D) é a diferen¸ca entre o n´ umero de zeros positivos e o n´ umero de zeros negativos. Sejam x1 , . . . , xk os zeros de F em D e B1 ∋ x1 , . . . , Bk ∋ xk bolas fechadas duas a duas disjuntas, com centros nesses pontos. Se tomarmos os raios dessas bolas suficientemente pequenos, teremos, para cada i = 1, . . . , k, F (x) = F ′ (xi ) · (x − xi ) + ri (x), com |ri (x)| < |F ′ (xi ) · (x − k P n(F ; Bi ) e, pelo xi )| quando x ∈ Bi . Por K4), temos n(F ; D) = i=1

Teorema de Rouché, n(F ; Bi ) = n(Ti ; Bi ), onde Ti (x) = F ′ (xi ) · (x − xi ). Resta portanto mostrar que n(Ti ; Bi ) = ±1 conforme o sinal do determinante jacobiano det. F ′ (xi ). Se este determinante for positivo, (vide Apêndice a este par´ agrafo) existe um caminho A : I → L(Rm+1 ) tal que cada A(t), t ∈ I, é uma transforma¸cão linear invert´ıvel, com A(0) = F ′ (xi ) e A(1) = identidade. Então H : I × Bi → Rm+1 , definida por H(t, x) = A(t)(x − xi ), é uma homotopia entre Ti e a aplica¸cão Ji (x) = x − xi , onde H(t, x) 6= 0 para todo x 6= xi . Logo n(Ti ; Bi ) = n(Ji ; Bi ). Ora, evidentemente, n(Ji ; Bi ) = 1. Analogamente, se det. F ′ (xi ) < 0 obteremos uma homotopia entre Ti e a aplica¸cão Li (x) = x ¯ − xi ,

522

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

onde, para x = (x1 , . . . , xn+1 ), pomos x ¯ = (−x1 , x2 , . . . , xn+1 ). Como n(Li ; Bi ) = −1, concluimos que n(Ti ; xi ) = ±1 conforme o sinal de det. F ′ (xi ), e isto completa a demonstra¸cão de K5). A proposi¸cão K5) explica a nota¸cão: n(F ; D) é o “n´ umero algébrico” de zeros, pelo menos no caso em que esses zeros s˜ ao todos simples. Observemos que esta u ´ltima condi¸cão significa que 0 ∈ Rm+1 é um valor regular da aplica¸cão F . Assim, K5) pode também ser expressa pela igualdade n(F ; D) = gr0 F . Nesta igualdade, o primeiro membro é um n´ umero determinado pelo comportamento de F no bordo ∂D, logo é um invariante global e m-dimensional. Enquanto isso, o segundo membro é um invariante local e (m + 1)-dimensional de F , definido pela atua¸cão de F na vizinhan¸ca dos seus zeros. O segundo membro teria sentido, mesmo que ∂D não fosse uma superf´ıcie, isto é, mesmo que o dom´ınio compacto D não tivesse fronteira regular. Au ´ltima observa¸cão acima motiva a extensão do ´ındice de Kronecker n(F ; D) para casos em que D é o fecho de qualquer aberto limitado do espa¸co euclidiano, originando uma outra maneira de apresentar a “teoria do grau”, iniciada por Leray e Schauder e preferida dos especialistas em An´ alise Funcional N˜ ao-Linear. (Vide [19] e [15].) Esbo¸caremos a seguir essa abordagem do grau e mostraremos como reduz´ı-la ao que já sabemos. Consideremos um aberto limitado U ⊂ Rm e uma aplica¸cão cont´ınua F : U → R, cuja restri¸cão f = F |U é de classe C 2 . Embora a fronteira de U em Rm não seja necessariamente uma superf´ıcie, vamos indic´ a-la ao compactos. com ∂U . Observemos que U e ∂U s˜ Para todo y ∈ Rm − F (∂U ) que seja valor regular de f = F |U , definiremos o grau de F no ponto y, que indicaremos com a nota¸cão gr(F, U, y), do seguinte modo. A aplica¸cão f : U − F −1 (F (∂U )) → Rm − F (∂U ), de classe C 2 , obtida por restri¸cão de F , é própria, como resulta imediatamente da compacidade de U . Analogamente, se V é qualquer componente conexa de Rm − F (∂U ), a restri¸cão de f a f −1 (V ) é também uma aplica¸cão própria fV : f −1 (V ) → V . Sendo V conexa, podemos falar no grau de fV . Então, para todo y ∈ Rm − F (∂U ), valor regular de f = F |U , poremos, por defini¸cão gr(F, U, y) = gry fV , onde V é a componente conexa de Rm − F (∂U ) que contém o ponto y.

523

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

V4

U

V3

f (U )

F

V2 V1

∂U

f (∂U )

Com esta defini¸cão, é imediato que gr(F, U, y) se mantém constante quando y varia numa componente conexa de Rm − F (∂U ). [Na figura acima, R2 − F (∂U ) tem quatro componentes conexas, V1 , V2 , V3 e V4 , sendo gr(F, U, y) igual a zero se y ∈ V1 ou y ∈ V4 , igual a 1 se y ∈ V2 e igual a 2 se y ∈ V3 .] Valem as seguintes propriedades: 1. Se gr(F, U, y) 6= 0 ent˜ ao y ∈ F (U ) ou, mais precisamente, y ∈ int. f (U ); 2. Se existe uma homotopia H : I × U → Rm de classe C 2 entre F e G, tal que y ∈ / H(I × ∂U ), ent˜ ao gr(F, U, y) = gr(G, U, y); 3. Se F = G em ∂U ent˜ ao gr(F, U, y) = gr(G, U, y). Em 2. e 3. acima, subentende-se “para todo y ∈ Rm − [F (∂U ) ∪ G(∂U )] que seja valor regular de f e g”. Basta provar 2., pois 1. é evidente e 3. segue-se de 2. mediante a homotopia H : I × U → Rm , definida por H(t, x) = (1 − t)F (x) + t · G(x). Para a demonstra¸cão de 2., tomamos V aberto e conexo, tal que y ∈ V ⊂ Rm − H(I × ∂U ) e uma R m-forma cont´ınua ω, como suporte compacto, contido em V tal que V ω 6= 0. Então gr(F, U, y) =

Z

f −1 (V )

∗

f ω

Z

ωe V

Z

∗

g ω G−1 (V )

Z

ω. V

Ora, o aberto W = H −1 (V ) ⊂ I × U é uma superf´ıcie com bordo, sendo ∂W = [1 × g −1 (V )] ∪ [−(0 × f −1 (V ))].

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

524 I ×U W

0 × f −1 (V )

1 × g −1 (V )

0

1

Portanto 0=

Z

∗

H (dω) =

W

=

Z

g −1 (V

∗

)

g ω−

Z

Z

∗

dH ω =

H ∗ω =

∂W

W

f −1 (V

Z

f ∗ ω. )

Segue-se que gr(G, U, y) = gr(F, U, y). ´ importante mostrar que o grau de Leray-Schauder gr(F, U, y) tem E sentido para qualquer aplica¸cão cont´ınua F : U → Rm , definida no fecho de um aberto limitado U ⊂ Rm , e para qualquer ponto y ∈ Rm −F (∂U ). [Em particular, se F |U ∈ C 2 , y não precisa mais ser um valor regular de F |U .] Sejam portanto F : U → Rm cont´ınua e y ∈ Rm − F (∂U ). Para definir gr(F, U, y), tomemos ε > 0, tal que |y − F (x)| > 2ε para todo x ∈ ∂U , e uma aplica¸cão G : U → Rm , de classe C ∞ , com |G(x) − F (x)| < ε para qualquer x ∈ U . Afirmamos que |z − y| < ε ⇒ z ∈ / G(∂U ), ou seja, que B(y; ε) ∩ G(∂U ) = ∅. Com efeito, [z ∈ B(y; ε), x ∈ ∂U ] ⇒ 2ε < |y − F (x)| ≤ |y − z| + |z − G(x)|+

+ |G(x) − F (x)| ⇒ 2ε < ε + |z − G(x)| + ε, donde |z −G(x)| > 0. Pomos então, por defini¸cão gr(F, U, y) = gr(G, U, z), onde z é qualquer valor regular de G tal que |z − y| < ε. Resta mostrar que esta defini¸cão é leg´ıtima. Em primeiro lugar, existem valores regulares de G na bola B(y; ε), em virtude do Teorema de Sard. Em segundo lugar gr(G, U, z) é o mesmo para todos esses valores regulares z pois a bola B(y; ε) é um conjunto conexo, disjunto

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

525

de G(∂U ) e, como sabemos o grau gr(G, U, z) é constante quando z varia na mesma componente conexa. Finalmente, mostremos que a defini¸cão dada independe da aplica¸cão G escolhida. Com efeito, sejam G1 , G2 : U → Rm aplica¸cões C ∞ tais que |G1 (x) − F (x)| < ε e |G2 (x) − F (x)| < ε para todo x ∈ U . Então |(1 − t)G1 (x) + tG2 (x) − F | ≤ (1 − t)|G1 (x) − F (x)| + t|G2 (x) − F (x)| < ε para todo t ∈ [0, 1] e todo x ∈ U . Assim, a homotopia linear H : I ×U → Rm , H(t, x) = (1 − t)G1 (x) + t · G2 (x), entre G1 e G2 , é tal que |H(t, x) − F (x)| < ε para todo t ∈ [0, 1] e todo x ∈ U , logo, como vimos acima, B(y; ε) ∩ H(I × ∂U ) = ∅ e da´ı, para todo z ∈ B(y; ε) que seja valor regular de G1 e G2 , tem-se gr(G1 , U, z) = gr(G2 , U, z). Assim, gr(F, U, y) está bem definido, para todo y ∈ Rm − F (∂U ). Vejamos agora as propriedades do grau da aplica¸cão cont´ınua F : U → Rm . A) gr(F, U, y), como fun¸ca õ de y, é constante em cada componente conexa de Rm − F (∂U ). Basta provar que gr(F, U, y), como fun¸cão de y ∈ Rm − F (∂U ), é localmente constante. Ora, se |y − F (x)| > 2ε para todo x ∈ ∂U , sabemos que gr(F, U, y) = gr(G, U, z), onde G : U → Rm é de classe C ∞ , com |G(x) − F (x)| < ε para todo x ∈ U , e z ∈ B(y; ε) é qualquer valor regular de G. Afirmamos que, para todo w ∈ B(y; ε), tem-se gr(F, U, w) = gr(F, U, y). Com efeito, vale |w − F (x)| > ε para todo x ∈ ∂U . Logo, se tomarmos G : U → Rm de classe C ∞ , tal que |G(x) − F (x)| < ε/2 para todo x ∈ U , teremos gr(F, U, w) = gr(G, U, v) seja qual for o valor regular v ∈ B(w; ε/2) de G. Escolhemos então u ∈ B(y; ε) ∩ B(w; ε/2), valor regular de G e teremos gr(F, U, y) = gr(G, U, u) = gr(F, U, w), assim completando a demonstra¸cão. B) Se gr(F, U, y) 6= 0 ent˜ ao y ∈ F (U ).

Do contrário, seria y ∈ / F (U ), pois y ∈ / F (∂U ). Como F (U ) é compacto, existiria r > 0 tal que |y − F (x)| > r para todo x ∈ U . Então, seja qual fosse a aplica¸cão G : U → Rm , de classe C ∞ , com |G(x) − F (x)| < r/2 para todo x ∈ U , ter´ıamos B(y; r/2) ∩ G(U ) = ∅. Assim, para todo valor regular z de G suficientemente próximo de y, ter´ıamos z ∈ / G(U ), portanto gr(F, U, z) = gr(G, U, z) = 0. C) Se gr(F, U, y) 6= 0 ent˜ ao y ∈ int. F (U ).

526

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

Seja V a componente conexa de Rm − F (∂U ) que contém y. Por A), gr(F, U, z) 6= 0 para todo y ∈ V . Por B), V ⊂ F (U ). Como V é um aberto contendo y, temos y ∈ int. F (U ). D) Se existe uma homotopia (de classe C 0 ) H : I × U → Rm , entre F e G, tal que y ∈ / H(I × ∂U ), ent˜ ao gr(F, U, y) = gr(G, U, y) para todo y ∈ Rm − [F (∂U ) ∪ G(∂U )]. Com efeito, seja ε > 0 tal que |y − F (x)| > 2ε para todo x ∈ ∂U . Sejam F , G : U → Rm de classe C ∞ , tais que |F (x) − F (x)| < ε e |G(x) − G(x)| < ε para todo x ∈ U . Então gr(F, U, y) = gr(F , U, z) e gr(G, U, z) = gr(G, U, z), onde z é qualquer ponto de B(y; ε) que seja valor regular de F e G ao mesmo tempo. Ora, as imagens de ∂U pelas homotopias lineares F ≃ F e G ≃ G não contêm y. Por transitividade, obtemos uma homotopia de classe C 0 , F ≃ G, pela qual a imagem de ∂U não contém y. Por aproxima¸cão, chegamos a uma homotopia L : I × U → Rm de classe C ∞ entre F e G, tal que L(I × ∂U ) não contém y. Da´ı resulta então que gr(F , U, z) = gr(G, U, z). E) Sejam F, G : U → Rm aplica¸co ˜es cont´ınuas tais que F (x) = G(x) para todo x ∈ ∂U . Ent˜ ao gr(F, U, y) = gr(G, U, y) qualquer que seja y ∈ Rm − F (∂U ) = Rm − G(∂U ). Isto resulta de D), mediante a homotopia linear H : I × U → Rm , H(x, t) = (1 − t)F (x) + t · G(x).

Exemplo 36. Seja f : U → Rm cont´ınua no aberto U ⊂ Rm , diferenci´ avel no ponto a ∈ U e tal que f ′ (a) : Rm → Rm seja um isomorfismo. Existe δ > 0 tal que B = B[a; δ] ⊂ U e x ∈ B ⇒ f (x)−f (a) = f ′ (a)·(x− a) + r(x), com |r(x)| < |f ′ (a) · (x − a)|. Escrevendo g(x) = f (x) − f (a), vemos que a é o u ńico zero de g em B. Em particular 0 ∈ / g(∂B). Além m disso, a origem 0 ∈ R não pertence à imagem da homotopia linear entre g e a transforma¸cão T : Rm → Rm , dada por T · x = f ′ (a) · (x − a). Logo gr(g, B, 0) = gr(T, B, 0) = ±1, esta u ´ltima igualdade tendo sido provada na demonstra¸cão de K5). Segue-se da propriedade C), acima, que 0 ∈ int. g(B). Da´ı, a ∈ int. f (B) e portanto a ∈ int. f (U ). Isto mostra a necessidade de f ser descont´ınua no Exemplo 9 do Cap´ıtulo V.

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

527

ˆ APENDICE Seja G = Gl(Rm ) o conjunto das matrizes invert´ıveis m × m. Os conjuntos G+ = {X ∈ G; det. X > 0} e G− = {X ∈ G; det. X < 0} s˜ ao abertos disjuntos. Como G = G+ ∪ G− , vemos que G é desconexo. Mostraremos agora que G+ e G− s˜ ao conexos por caminhos, logo s˜ ao as componentes conexas de G. Se A é qualquer matriz m × m com determinante negativo, a aplica¸cão X 7→ A · X é um homeomorfismo entre G+ e G− . Assim, basta provar que G+ é conexo por caminhos. Para o conjunto O(m) das matrizes ortogonais m × m, temos uma decomposi¸cão an´ aloga O(m) = O+ (m) ∪ O− (m) e, de modo semelhante (tomando A ortogonal acima), vemos que O+ (m) e O− (m) s˜ ao homeomorfos. Provaremos primeiro que O+ (m) é conexo por caminhos. Esta é a segunda das proposi¸cões abaixo. Na primeira, mostramos que, em qualquer superf´ıcie M , se pode transladar uma base ortonormal de Tp M ao longo de um caminho em M come¸cando no ponto p. Proposi¸ c˜ ao A. Dados um caminho λ : [0, 1] → M numa superf´ıcie M ⊂ n R e uma base ortonormal {e1 , . . . , em } ⊂ Tλ(0) M , existem m caminhos v1 , . . . , vm : [0, 1] → Rn tais que v1 (0) = e1 , . . . , vm (0) = em e, para cada t ∈ [0, 1], {v1 (t), . . . , vm (t)} é uma base ortonormal em Tλ(t) M .

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos, inicialmente, que exista uma parametriza¸cão ϕ : U0 → U em M tal que λ(t) ∈ U , para todo t ∈ [0, 1]. Assim, faz sentido definir o caminho λ0 = ϕ−1 ◦λ : [0, 1] → U0 . Seja {u1 , . . . , um } ⊂ Rm uma base tal que ϕ′ (λ0 (0)) · ui = ei (i = 1, . . . , m). Definamos os caminhos w1 , . . . , wm : [0, 1] → Rn pondo wi (t) = ϕ′ (λ0 (t)) · ui . Para cada t ∈ [0, 1], {w1 (t), . . . , wm (t)} é uma base de Tλ(t) M , à qual aplicamos o processo de ortonormaliza¸cão de Gram-Schmidt para obter a base {v1 (t), . . . , vm (t)} procurada. O caso geral se reduz a este mediante a observa¸cão de que, dado um caminho λ : [0, 1] → M , existe uma parti¸cão 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1 tal que, para cada i = 1, 2, . . . , k, a imagem λ([ti−1 , ti ]) está contida numa vizinhan¸ca parametrizada. Para demonstrar a proposi¸cão seguinte, usaremos a Proposi¸cão A no caso particular em que M é a esfera S m−1 , observando que {w1 , . . . , wm } é uma base ortonormal em Rm se, e somente, se {w1 , . . . , wm−1 } é uma base ortonormal em Twm (S m−1 ). Proposi¸ c˜ ao B. Sejam {u1 , . . . , um } e {v1 , . . . , vm } bases ortonormais positivas em Rm . Existem caminhos w1 , . . . , wm : [0, 2] → Rm tais que wi (0) = ui , wi (2) = vi e, para todo t ∈ [0, 2], {w1 (t), . . . , wm (t)} é uma

528

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

base ortonormal positiva de Rm . Como uma matriz m × m é ortogonal se, e somente se, seus vetores-coluna formam uma base ortonormal de Rm , isto equivale a afirmar que O+ (m) é conexo por caminhos. Demonstra¸ c˜ ao: (Indu¸cão em m.) O fato é óbvio se m = 1. Supondoo válido para m − 1, tomemos um caminho λ : [0, 1] → S m−1 , com λ(0) = um e λ(1) = vm . Sendo {u1 , . . . , um−1 } uma base ortonormal em Tum (S m−1 ), a Proposi¸cão A nos dá os caminhos w1 , . . . , wm−1: [0, 1] → Rm , tais que w1 (0) = u1, . . . ,wm−1 (0) = um−1 e, para todo t ∈ [0, 1], {w1 (t), . . . , wm−1 (t)} é uma base ortonormal de Tλ(t) (S m−1 ), logo {w1 (t), . . . , wm−1 (t), λ(t)} é uma base ortonormal de Rm (necessariamente positiva, pois o determinante que tem esses m vetores por colunas é uma fun¸cão cont´ınua não-nula de t, positiva para t = 0). A matriz de passagem da base {w1 (1), . . . , wm−1 (1), λ(1)} para {v1 , . . . , vm } é ortogonal, com determinante positivo e, como λ(1) = vm , tem a forma 1 0 e= A onde A é a matriz de passagem de {w1 (1), . . . , wm−1 (1)} 0 A para {v1 , . . . , vm−1 }, bases ortonormais de Tvm (S m−1 ). Como det. A = e > 0, segue-se que A ∈ O+ (m−1). Pela hip´ det. A otese de indu¸cão, existe um caminho de matrizes A(t) = (aij (t)) ∈ O+ (m−1), 1 ≤ t ≤ 2, tal que m−1 P aij (t)wj (1), A(1) = matriz identidade e A(2) = A. Pondo wi (t) = j=1

obtemos m − 1 caminhos w1 , . . . , wm−1 : [1, 2] → Rm , com w1 (2) = v1 , . . . , wm−1 (2) = vm−1 . Escrevendo wm (t) = vm (1 ≤ t ≤ 2) completamos a defini¸cão dos caminhos w1 , . . . , wm : [0, 2] → Rm que procur´ avamos.

Proposi¸ c˜ ao C. Sejam {a1 , . . . , am } e {b1 , . . . , bm } bases positivas de m R . Existem c1 , . . . , cm : [0, 1] → Rm tais que ci (0) = ai , ci (1) = bi e, para cada t ∈ [0, 1], {c1 (t), . . . , cm (t)} ⊂ Rm é uma base positiva. Associando-se a cada matriz m × m a lista dos seus vetores-coluna, isto equivale a dizer que o conjunto G+ das matrizes m×m com determinante positivo é conexo por caminhos. Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos inicialmente que, dada qualquer base {a1 , . . . , am } ⊂ Rm , existem caminhos d1 , . . . , dm : [0, 2] → Rm tais que, para cada t ∈ [0, 2], {d1 (t), . . . , dm (t)} ⊂ Rm é uma base, com di (0) = ai e {d1 (2), . . . , dm (2)} ⊂ Rm ortonormal. Isto significa que toda matriz invert´ıvel A pode ser ligada a uma matriz ortogonal por um caminho de matrizes invert´ıveis A(t), 0 ≤ t ≤ 2. [Evidentemente, det. A(t) ter´ a

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

529

o mesmo sinal, para todo t.] A prova será por indu¸cão em m. O caso m = 1 é trivial. Supondo o resultado verdadeiro para Rm−1 , ele valer´ a também para qualquer subespa¸co (m−1)-dimensional de Rm . Seja então E o subespa¸co de Rm gerado por a1 , . . . , am−1 . Consideremos um vetor unit´ ario e ∈ Rm perpendicular a E. Substituindo e por −e, se necessário, podemos supor que e = α1 a1 + · · · + αm am , com αm > 0. Para todo t ∈ [0, 1], ponhamos di (t) = ai se 1 ≤ i ≤ m−1 e dm (t) = (1−t)am +t·e. Para todo t ∈ [0, 1], o coeficiente de am em dm (t) é 1 − t + tαm > 0, logo dm (t) ∈ / E e assim {d1 (t), . . . , dm (t)} ⊂ Rm é uma base, igual a {a1 , . . . , am } para t = 0 e igual a {a1 , . . . , am−1 , e} para t = 1. Pela hip´ otese de indu¸cão, existem caminhos d1 , . . . , dm−1 : [1, 2] → E tais que, para todo t ∈ [1, 2], {d1 (t), . . . , dm−1 (t)} ⊂ E é uma base, igual a {a1 , . . . , am−1 } quando t = 1 e ortonormal quando t = 2. Então, pondo dm (t) = e para todo t ∈ [1, 2], completamos a defini¸cão dos caminhos d1 , . . . , dm : [0, 2] → Rm , da forma como quer´ıamos. A demonstra¸cão se completa invocando a Proposi¸cão B: deformamos as bases dadas em bases ortonormais, como acabamos de provar e, usando a Proposi¸cão B, ligamos estas bases ortonormais entre si. (Evidentemente, se (ai ) e (bj ) s˜ ao bases positivas, também serão positivas as bases ortonormais que delas se obtêm por deforma¸cão.)

Exerc´ıcios §1.

1.1. Se ϕ : E × · · · × E → F é r-linear ent˜ ao ϕ(v1 , . . . , vr ) = 0 quando algum dos vi é zero.

1.2. Seja Lr (E; F ) o espa¸co vetorial das aplica¸c˜ oes r-lineares de E em F . Dada uma base de E, obtenha a partir dela uma base para Lr (E; R) e, em seguida, para Lr (E; Rn ). Determine a dimens˜ ao de Lr (E; F ) em fun¸c˜ ao das dimens˜ oes de E e F . 1.3. Seja ϕ : R2 × R2 → R4 a aplica¸c˜ ao bilinear definida por ϕ(x1 , x2 , y1 , y2 ) = (x1 y1 , x1 y2 , x2 y1 , x2 y2 ). Mostre que a imagem de ϕ n˜ ao é um subespa¸co vetorial. 1.4. Se {e1 , e2 , e3 , e4 } é uma base de (R4 )∗ , prove que e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 n˜ ao é decompon´ıvel. 1.5. As seguintes afirma¸c˜ oes a respeito de uma aplica¸c˜ ao r-linear ϕ : E×· · ·×E → F s˜ ao equivalentes: (a) ϕ é alternada;

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

530

(b) ϕ(. . . , vi , vi+1 , . . . ) = −ϕ(. . . , vi+1 , vi , . . . ); (c) ϕ(. . . , v, v . . . ) = 0.

1.6. A aplica¸c˜ ao r-linear ϕ : E × · · · × E → F é alternada se, e somente se, para toda permuta¸c˜ ao σ do conjunto dos inteiros {1, . . . , r}, e toda lista de vetores v1 , . . . , vr ∈ E, vale ϕ(vσ(1) , . . . , vσ(r) ) = εσ · ϕ(v1 , . . . , vr ), onde εσ = 1 se σ é uma permuta¸c˜ ao par e εσ = −1 se a permuta¸c˜ ao σ é ´ımpar. 1.7. Exprimir a 2-forma e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 de v´ arias maneiras distintas como soma de formas decompon´ıveis. (Aqui {e1 , e2 , e3 , e4 } é uma base do dual de R4 .) 1.8. O posto da transforma¸c˜ ao linear A : E → F é o maior inteiro r tal que A∗ : Ar (F ) → Ar (E) é diferente de zero.

1.9. Seja ϕ : Rm × Rm → R uma forma alternada de grau 2. Se m é ´ımpar, existe um vetor n˜ ao-nulo v ∈ Rm tal que ϕ(v, w) = 0 para todo w ∈ Rm .

1.10. Dados arbitrariamente a1 , . . . , am reais, com a1 6= 0, e uma base {e1 ,. . ., em } ⊂ E ∗ , ponha f1 = a2 e1 + a1 e2 e fi = (−1)i+1 (ai+1 /a1 )e1 + ei+1 , 2 ≤ i ≤ m − 1. Mostre que f1 ∧ · · · ∧ fm−1 =

m X i=1

ai e1 ∧ · · · ∧ ei−1 ∧ ei+1 ∧ · · · ∧ em .

Conclua que se dim E = m ent˜ ao toda ω ∈ Am−1 (E) é decompon´ıvel. 1.11. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ ao m, orientado e munido de um produto interno. Dado v ∈ E, seja ω = ϕ(v) ∈ Am−1 (E) definida por ω(v1 , . . . , vm−1 ) = hv, v1 × · · · × vm−1 i. Mostre que a aplica¸c˜ ao ϕ : E → Am−1 (E), assim obtida, é um isomorfismo. Se v ∈ E é o primeiro elemento de uma base ortonormal positiva cuja dual é {e1 , . . . , em } ent˜ ao ϕ(v) = e2 ∧ · · · ∧ em . Conclua de novo que se dim E = m ent˜ ao toda ω ∈ Am−1 (E) é decompon´ıvel.

§2. 2.1. Fixados, k, m ∈ N, k ≥ r, seja ω uma forma de grau r em Rm , tal que f ∗ ω = 0 para toda transforma¸c˜ ao afim f : Rk → Rm . Prove que ω = 0. 2.2. Sejam a e P b matrizes r × m e m × r respectivamene, com r ≤ m. Prove que det aJ · det bj , onde J percorre os subconjuntos com r elementos det(ab) = J

do conjunto {1, 2, . . . , m}. Conseq¨ uência: se u1 , . . . , um , v1 , . . . , vm ∈ Rm+1 ent˜ ao det(hui , vj i) = hu1 × · · · × um , v1 × · · · × vm i.

2.3. Interprete a identidade de Lagrange como uma generaliza¸c˜ ao do Teorema de Pit´ agoras: o quadrado do volume de um paralelep´ıpedo r-dimensional em Rm é igual ` a soma dos quadrados dos volumes das suas m proje¸ c ˜ o es sobre os r subespa¸cos de Rm gerados por r vetores da base canˆ onica.

531

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

2.4. Sejam ω uma forma de grau 1 cont´ınua no aberto U ⊂ Rm e λ : [a, b] → U um caminho de classe C 1 . Tem-se λ∗ ω = f dx, onde f : [a, b] → R éR cont´ınua e {dx} é a base canˆ onica de R∗ . Mostre que a integral curvil´ınea λ ω, definida no Rb Cap´ıtulo IV, nada mais é do que a f (x)dx.

2.5. Sejam α, β formas de grau 1 num aberto U ⊂ R3 tais que α ∧ β 6= 0 em todos os pontos de U . Se uma forma ω, de grau 2 em U é tal que ω ∧ α = ω ∧ β = 0, prove que existe uma fun¸c˜ ao f : U → R tal que ω = f · α ∧ β. Se α, β, ω ∈ C 1 ent˜ ao f ∈ C 1 .

2.6. Sejam α, ω formas de classe C 1 e de grau 1 em R3 . Se ω(x) 6= 0 para todo x ∈ R3 e α ∧ ω = 0 ent˜ ao α = f ω onde f : R3 → R é uma fun¸c˜ ao de classe C 1 .

§3. 3.1. Seja ω uma forma diferencial C ∞ de grau r num aberto U do espa¸co euclidiano. Se ω se anula sobre os vetores tangentes a uma superf´ıcie contida em U , o mesmo ocorre com dω. 3.2. Para toda r-forma ω de classe C k em S m existe uma r-forma Ω de classe C k em Rm+1 − {0} tal que Ω|S m = ω. Se m > 1, conclua que toda forma diferencial fechada de grau 1 na esfera S m é a diferencial de uma fun¸c˜ ao f : S m → R. m Em particular, toda forma fechada de grau 1 em S (m > 1) deve anular-se em pelo menos dois pontos. Usando uma vizinhan¸ca tubular, estenda os dois u ´ltimos resultados para toda superf´ıcie compacta simplesmente conexa. 3.3. Sejam ω uma 1-forma de classe C ∞ em Rm e f : Rm → R uma fun¸c˜ ao C ∞ , com f (x) 6= 0 para todo x ∈ Rm . Mostre que d(f ω) ≡ 0 se, e somente se, a 1-forma α = ω − (1/f )dxm+1 em Rm+1 cumpre a condi¸c˜ ao α ∧ dα = ω ∧ dω. (Considere Rm ⊂ Rm+1 definido por xm+1 = 0.)

3.4. Seja U ⊂ Rm aberto. Represente um ponto de U × R pela nota¸c˜ ao (x, t) = (x1 , . . . , xm , t). Toda forma ω, de grau r em U × R, escreve-se de modo u ńico P P bJ (x, t)dxJ s˜ ao aI (x, t)dxI e β(x, t) = como ω = dt∧α+β, onde α(x, t) = J

I

formas de grau r −1 e r, respectivamente. Defina uma transforma¸c˜ ao linear K, que associa a cada forma cont´ınua deRgrau r em U ×PR Ruma forma cont´ınua de 1 1 grau r − 1 em U , pondo (Kω)(x) = 0 α(x, t)dt = ( 0 aI (x, t)dt)dxI . Para I

cada t ∈ R, considere a aplica¸c˜ ao it : U → U × R, definida por it (x) = (x, t). Prove que, para cada forma ω, de classe C 1 em U × R tem K(dω) + d(Kω) = i∗1 (ω)−i∗0 (ω). Conclua que, a cada homotopia H : U ×[0, 1] → V ⊂ Rn , de classe C ∞ , entre as aplica¸c˜ oes f, g : U → V , se pode associar uma transforma¸c˜ ao linear L = K ◦ H ∗ , que leva formas de grau r em V sobre formas de grau r − 1 em U , de tal modo que L(dω) + d(Lω) = g ∗ ω − f ∗ ω, para toda forma ω, de classe C ∞ em V . Da´ı resulta que, se ω é fechada ent˜ ao a diferen¸ca g ∗ ω − f ∗ ω é ∞ exata. Em particular se o aberto U é C -contr´ atil, ent˜ ao toda forma fechada de grau > 0 em U é exata. Mais particularmente, isto ocorre com um aberto convexo U e, em especial, com o espa¸co Rm . (“Lema de Poincaré”.) (Obs. Estenda H a uma aplica¸c˜ ao H : U × R → V pondo H(x, t) = H(x, ξ(t)), com 0 ≤ ξ(t) ≤ 1, ξ(t) = 0 se t ≤ 0 e ξ(t) = 1 se t ≥ 1.)

532

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

3.5. No exerc´ıcio acima, substitua U por uma superf´ıcie M e mostre que o argumento se aplica ipsis literis. Mostre ainda que se as aplica¸c˜ oes f, g : M → N e a homotopia H : M × I → N s˜ ao pr´ oprias e ω tem suporte compacto, ent˜ ao f ∗ ω, g ∗ ω, H ∗ ω, Kω e dω têm suporte compacto. 3.6. Seja M uma superf´ıcie C ∞ . Duas formas α, β fechadas, de grau r e classe C ∞ em M dizem-se cohom´ ologas quando α − β é exata. Escreve-se ent˜ ao α ∼ β. Mostre que esta é uma rela¸c˜ ao de equivalência e que o conjunto das classes de equivalência [α] de formas de grau r e classe C ∞ na superf´ıcie M constitui um espa¸co vetorial, indicado com a nota¸c˜ ao H r (M ) e chamado o grupo de cohomologia de grau r da superf´ıcie M . Mostre que toda aplica¸c˜ ao f : M → N de classe C ∞ entre superf´ıcies induz, para cada r ≥ 0 inteiro, uma transforma¸c˜ ao linear f ∗ : H r (N ) → H r (M ), tal que (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ , ∗ definida por f [α] = [f ∗ α]. Se f e g s˜ ao homot´ opicas em classe C 2 , ent˜ ao ∗ ∗ r f = g . Mostre que H (M ) = {0} se r > dim. M . Mostre ainda que α ∼ β, α′ ∼ β ′ ⇒ α ∧ α′ ∼ β ∧ β ′ , logo o produto exterior de formas induz uma aplica¸c˜ ao bilinear ([α], [β]) 7→ [α ∧ β] de H r (M ) × H s (M ) em H r+s (M ), a qual torna a soma direta H ∗ (M ) = H 0 (M ) ⊕ · · · ⊕ H m (M ) (m = dim M ) uma ´ algebra associativa e anti-comutativa. Mostre que a transforma¸c˜ ao linear f ∗ : H ∗ (N ) → H ∗ (M ), induzida por uma aplica¸c˜ ao f : M → N de classe C ∞ , é um homomorfismo de ´ algebras. Mostre, finalmente, que se M é conexa ent˜ ao H 0 (M ) tem dimens˜ ao 1. 3.7. Seja M uma superf´ıcie de classe C ∞ . Considerando exclusivamente formas de classe C ∞ com suporte compacto em M , defina os grupos de cohomologia com suporte compacto Hck (M ) e estabele¸ca para os mesmos propriedades an´ alogas ` as que foram enunciadas no exerc´ıcio anterior, supondo porém que as aplica¸c˜ oes f : M → N e as homotopias H : M × I → N em quest˜ ao s˜ ao pr´ oprias.

3.8. Seja p um ponto arbitrariamente fixado numa superf´ıcie M , de classe C ∞ . Mostre que a aplica¸c˜ ao identidade i : M → M é C ∞ -homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao f : M → M que é constante, igual a p, em todos os pontos de uma vizinhan¸ca de p e conclua que toda forma fechada α de classe C ∞ em M é cohom´ ologa a uma forma β, também de classe C ∞ , tal que p ∈ / supp. β. Conclua que H k (S m ) é isomorfo a Hck (Rm ) para todo k = 1, 2, . . . .

3.9. Diz-se que duas superf´ıcies M , N , de classe C ∞ , têm o mesmo tipo de homotopia C ∞ quando existem aplica¸c˜ oes f : M → N e g : N → M , de classe C ∞ , tais que g ◦ f : M → M e f ◦ g : N → N s˜ ao C ∞ -homot´ opicas ` as aplica¸c˜ oes identidade correspondentes. Neste caso, f chama-se uma equivalência homot´ opica e g a sua inversa homot´ opica. Prove que, neste caso, f ∗ : H k (N ) → H k (M ) e g ∗ : H k (M ) → H k (N ) s˜ ao, para k = 0, 1, . . . , isomorfismos, um inverso do outro. Mostre que a inclus˜ ao i : S m → Rm+1 − {0} e a proje¸c˜ ao radial m+1 m ρ: R −{0} → S (definida por ρ(x) = x/|x|) s˜ ao equivalências homot´ opicas entre S m e Rm+1 − {0}, uma inversa da outra. Conclua que os grupos de cohomologia H k (S m ) e H k (Rm+1 − {0}) s˜ ao isomorfos, para k = 0, 1, . . . .

3.10. Uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : R → R, de suporte compacto, é a derivada de uma R fun¸c˜ ao com suporte compacto se, e somente se, f (x)dx = 0. Conclua que a R R aplica¸c˜ ao f 7→ R f induz um isomorfismo entre Hc1 (R) e R. R Da´ı deduza um isomorfismo entre H 1 (S 1 ) e R a partir da aplica¸c˜ ao ω 7→ S1 ω. Finalmente,

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

533

usando a equivalência homot´ opica entre S 1 e R2 − {0}, reobtenha, de modo diferente, o resultado do §10, Cap´ıtulo IV, segundo o qual H 1 (R2 − {0}) é isomorfo a R e, mais precisamente, uma 1-forma fechada ω em R2 − {0} é R exata se, e somente se λ ω = 0, onde λ é um caminho seccionalmente C 1 em R2 − {0}, tal que n(λ; 0) 6= 0.

§4. 4.1. Seja (Cλ )λ∈L uma fam´ılia de subconjuntos de uma superf´ıcie M tal que cada compacto K ⊂ M tem interse¸c˜ ao n˜ ao-vazia com apenas um n´ umero finito de conjuntos Cλ . Prove que a fam´ılia dada é localmente finita. 4.2. Seja (Fλ )λ∈L uma fam´ılia localmente finita de subconjuntos fechados de uma superf´ıcie M . Ponha F = ∪ Fλ . Se uma aplica¸c˜ ao f : F → Rn é tal que f |Fλ é cont´ınua para cada λ ent˜ ao f é cont´ınua. 4.3. Sejam F fechado, U aberto, com F ⊂ U ⊂ Rm . Prove que existe uma fun¸c˜ ao f : Rm → [0, 1] de classe C ∞ , tal que f (x) = 0 para todo x ∈ F e f (x) = 1 para todo x ∈ Rm − U .

4.4. Dado K ⊂ Rm compacto, prove que existe f : Rm → R de classe C ∞ tal que f (x) = 0 se, e somente se, x ∈ K. [Sugest˜ ao: Ache abertos U1 ⊃ U2 ⊃ . . . tais que K = ∩ Ui . Para cada i, seja fi : Rm → [0, 1] de classe C ∞ , nula em 1 K e igual a 1 fora de Ui . Tome ci = i ′ e ponha (i) 2 (||fi ||+1)(||fi′′ ||+1)...(||fi ||+1) P f= ci fi .] i

4.5. No exerc´ıcio anterior, mostre que, dado previamente um aberto U em Rm , com K ⊂ U , pode-se tomar a fun¸c˜ ao f tal que f (Rm − U ) = 1.

4.6. Para todo subconjunto fechado F ⊂ Rm , existe uma fun¸c˜ ao f : Rm → R, ∞ −1 de classe C , tal que f (0) = F . [Sugest˜ ao: Para i = 0, 1, 2 . . . sejam Ki = {x ∈ F ; i ≤ |x| ≤ i + 1}, Ui = {x ∈ Rm ; i − 1 < |x| < i + 1} e fi : Rm → R uma fun¸c˜ ao C ∞ tal que fi−1 (0) = Ki e fi (Rm − Ui ) = 1. Defina m f : R → R pondo, para cada x ∈ Rm , f (x) = f0 (x) · f1 (x) · · · · · fi (x) · . . . . ∞ Note que este S produto é localmente finito, logo f ∈ C . Observe também que f −1 (0) = fi−1 (0) = ∪ Ki = F .] i

4.7. Seja M = U ∪ V uma superf´ıcie de classe C ∞ . Suponha dada uma r-forma ω, de classe C ∞ na interse¸c˜ ao U ∩ V dos dois abertos U, V ⊂ M . Mediante uma parti¸c˜ ao da unidade, mostre que existem r-formas α em U e β em V , de classe C ∞ , tais que α − β = ω em U ∩ V . Se ω é fechada, mostre que dα e dβ s˜ ao respectivamente as restri¸c˜ oes a U e a V de uma (r + 1)-forma γ de classe C ∞ em M .

§5. 5.1. Seja f : X → Rn uma aplica¸c˜ ao de classe C k (k ≥ 1) num subconjunto fechado m X ⊂ R . Prove que existe F : Rm → Rn de classe C k tal que F |X = f . [Este fato também é verdadeiro para k = 0 e é conhecido como o “Teorema de Tietze”.]

534

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

5.2. Sejam B = B[0, 1] ⊂ Rm e f : B → Rm uma aplica¸c˜ ao cont´ınua tal que f (S m−1 ) ⊂ B. Prove que existe x ∈ B tal que f (x) = x.

5.3. Seja U = {x ∈ Rm ; |x| < 1}. Dê exemplo de uma aplica¸c˜ ao f : U → U de classe C ∞ , tal que f (x) 6= x para todo x ∈ U .

§6.

6.1. Seja f : R4 → R4 um difeomorfismo de classe C 1 tal que f ∗ (dx1 ∧ dx2 ) = 2dx3 ∧ dx4 e f ∗ (dx3 ∧ dx4 ) = 1/2dx1 ∧ dx2 . Prove que para todo conjunto J-mensur´ avel X ⊂ R4 tem-se vol. f (X) = vol. X. R R 6.2. Sejam α e β duas r-formas cont´ınuas num aberto U ⊂ Rm . Se M α = M β para toda superf´ıcie M ⊂ U de dimens˜ ao r, compacta, com bordo, ent˜ ao α = β.

6.3. Seja ω uma forma cont´ınua de grau r num aberto U ⊂ Rm . Diz-se que ω ´Re regularR quando existe em U uma forma cont´ınua ω ¯ , de grau r + 1, tal que ω ¯ = ∂M ω para toda superf´ıcie M , de classe C 2 , com bordo, contida em U . M (1) Prove que se ω é regular ent˜ ao ω ¯ é univocamente determinada por ω. (2) Prove que toda forma regular de grau zero (fun¸c˜ ao) é diferenci´ avel. (3) Sejam f, g : R → R fun¸c˜ oes cont´ınuas quaisquer. A forma ω(x, y) = f (x)dx + g(y)dy é regular em R2 mas pode n˜ ao ser diferenci´ avel. (4) Se ω é regular ent˜ ao ω ¯ = também é, com ω = 0. (5) A soma de duas formas regulares é regular, e vale ω+ϕ=ω ¯ + ϕ. ¯ (6) Se ω é de classe C 1 ent˜ ao ω é regular e ω ¯ = dω. 6.4. Uma forma cont´ınua ω de grau r no aberto U ⊂ Rm é regular se, e somente se, para todo aberto V , com fecho compacto V ⊂ U , existe uma seq¨ uência de formas ωk de grau r, com coeficientes diferenci´ aveis, tais que ωk → ω e dωk → ω ¯ uniformemente em V (isto é, cada coeficiente converge uniformemente em V ). Conclua que o produto exterior de duas formas regulares é regular e ω1 ∧ ω2 = ω ¯ 1 ∧ ω2 + (−1)r1 ω1 ∧ ω ¯2 . 6.5. Sejam U , V abertos em Rm , f : U → V uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel e ω uma forma regular em V . Ent˜ ao f ∗ ω é regular e f ∗ ω = f ∗ ω ¯.

6.6. Seja M ⊂ R3 uma hiperf´ıcie compacta de classe C 2 . Prove que, para todo x ∈ M , a derivada da aplica¸c˜ ao normal de Gauss é uma transforma¸c˜ ao linear auto-adjunta γ ′ (x) : Tx M → Tx M . Prove ainda que se M é convexa (isto é, situada do mesmo lado de qualquer um dos seus planos tangentes) ent˜ ao, para todo x ∈ M , os autovalores de γ ′ (x) s˜ ao ≥ 0. Conclua que a curvatura integral de uma superf´ıcie compacta convexa é um n´ umero positivo. Generalize para Rm+1 em vez de R3 . (A u ńica diferen¸ca essencial é distinguir m par de m ´ımpar.) 6.7. Sejam M uma superf´ıcie orientada de classe C 1 , f : M → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua com suporte compacto e ω a forma elemento de volume de M . Prove R que M f · ω é o limite das “somas de Riemann”Σ f (ξi ) vol(Ki ) onde ξi ∈ Ki para cada i, M = ∪ Ki é uma decomposi¸c˜ ao de M como reuni˜ ao finita de compactos J-mensur´ aveis sem pontos interiores em comum, e o limite é tomado quando a norma da decomposi¸c˜ ao (maior diˆ ametro dos Ki ) tende a zero. 6.8. Considere o cilindro C = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 +y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1}. Dados m, n ∈ N, corte o cilindro C por m + 1 planos equidistantes, dados pelas equa¸c˜ oes

535

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

z = i/m (i = 0, 1, . . . , m), obtendo m + 1 c´ırculos horizontais. Subdivida cada um desses c´ırculos em n partes iguais, de modo que os pontos de divis˜ ao de cada c´ırculo se situem sobre os pontos médios dos arcos em que foi subdividido o c´ırculo anterior. Inscreva no cilindro o poliedro cujos vértices s˜ ao os pontos de subdivis˜ ao dos c´ırculos, e cujas faces s˜ ao os triˆ angulos is´ osceles que têm por base uma corda horizontal na subdivis˜ ao feita e os lados iguais s˜ ao os segmentos de reta que ligam as extremidades dessa corda ao ponto de subdivis˜ ao situado no c´ırculo precedente ou seguinte na mesma vertical que o ponto médio do arco. Tal poliedro tem 2mn p faces congruentes; a base de cada uma mede 2 sen(π/n) e a altura mede 1/m2 + 4 sen4 π/2n. Mostre que lim An,n = 2π, n→∞ p que lim An2 ,n = 2π 1 + π 4 /4 e que, para todo n fixo, lim Am,n = ∞. Logo m→∞

n→∞

n˜ ao existe

lim

m,n→∞

Am,n . (“Exemplo de Schwarz”.)

6.9. Sejam M uma superf´ıcie orientada n˜ ao-compacta de dimens˜ ao m e ω uma mforma n˜ ao-negativa, cont´ınua em M . Uma exaust˜ ao de M é uma seq¨ uência de compactos J-mensur´ aveis Ki tais que M = ∪ Ki e Ki ⊂ int. Ki+1 para i = 1, 2, . . . . Prove que ω é integr´ avel se, e somente se, para toda exaust˜ ao de R M existe lim K ω. i→∞

i

6.10. Seja ω uma (m + n)-forma cont´ınua com suporte compacto na superf´ıcie orientada M × N , onde dim M = m e dim N = n. Para cada x ∈ M e cada lista de vetores u1 , . . . , um ∈ Tx M , defina a n-forma β = ωx (u1 , . . . , um ) em N pondo β(y)(v1 , . . . , vn ) = ω(x, y)(u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn ), para y ∈ N e v1 , . . . , vn ∈ Tx N quaisquer. Mostre que β é cont´ınua, com suporte compacto, o mesmo ocorrendo com a m-forma α em M , definida por Z Z α(x)(u1 , . . . , um ) = ωx (u1 , . . . , um ) = β. N

N

Finalmente, prove que Z

ω= M ×N

Z

α= M

Z

M

Z

N

β .

6.11. Sejam α e β formas cont´ınuas com suportes compactos e graus m´ aximos nas superf´ıcies orientadas M e N respectivamente. Considere as proje¸c˜ oes πM : M × N → M e πN : M × N → N . Mostre que se tem Z Z Z ∗ ∗ β . α · πM α ∧ πN β= M ×N

M

N

§7.

p 7.1. Defina uma fun¸c˜ ao f : R3 → R pondo f (x, y, z) = ( x2 + y 2 − 1)2 + z 2 , mostre que todo n´ umero real diferente de zero é valor regular de f e que, se 0 < c < 1, o conjunto M = {(x, y, z) ∈ R3 ; f (x, y, z) ≤ c} é um toro s´ olido, isto é, uma superf´ıcie compacta tri-dimensional, cujo bordo ∂M é um toro de dimens˜ ao 2.

7.2. Seja M uma superf´ıcie de classe C k em Rn . Ponha N = {(x, v) ∈ Rn × Rn ; x ∈ M, v ∈ (Tx M )⊥ , 0 ≤ |x| ≤ 1}. Mostre que N é uma variedade com bordo, de

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[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

dimens˜ ao n e classe C k−1 , cujo bordo é v1 (M ), fibrado unit´ ario normal de M . Sejam M compacta e k ≥ 2. Tome uma vizinhan¸ca tubular V2ε (M ) de M em Rn . Mostre que N é difeomorfa a Vε (M ).

§8. 8.1. Seja ω uma m-forma de classe C 1 num aberto U ⊂ Rm+1 . Dado um ponto x ∈ U , indiquemos com S(r) a esfera de centro x e raio r > 0, e com B(r) a bola correspondente. Prove que, se {e1 , . . . , em+1 } é a base canˆ onica de Rm+1 ent˜ ao vale Z 1 ω. dω(x)(e1 , . . . , em+1 ) = lim r→0 vol. B(r) S(r) Conclua que ω é fechada se, e somente R se, para todo dom´ınio compacto D ⊂ U com bordo ∂D de classe C 2 tem-se ∂D ω = 0.

8.2. Sejam F : U → R3 um campo de vetores C ∞ no aberto U ⊂ R3 e M ⊂ U uma superf´ıcie C ∞ tal que F (p) = 0 para todo p ∈ M . Prove que, para todo p ∈ M , tem-se rot. F (p) ∈ Tp M .

2 8.3. Seja D ⊂ R2 um dom´ınio compacto com fronteira regular. Dada R F :D→R R de classe C 2 , com F (x) = (f (x), g(x)) tem-se D det. F ′ (x)dx = ∂D f dg.

8.4. Seja M uma superf´ıcie orientada. Se um difeomorfismo f : M → M é C 2 homot´ opico propriamente ` a identidade ent˜ ao f preserva orienta¸c˜ ao. 8.5. Seja ω uma forma de classe C ∞ e grau 2 em R3 , tal que dω 6= 0 em todos os pontos da bola unit´ aria aberta de R3 . Mostre que existe algum ponto x0 da esfera unit´ aria de R3 com ω(x0 ) 6= 0.

8.6. Seja f : U → Rm de classe C 2 no aberto U ⊂ Rm . Indique com J(x) = det. f ′ (x) o determinante jacobiano de f no ponto x ∈ U . Suponha que D ⊂ U 2 é um dom´ınio compacto R com fronteira ∂D de classe C . Se f (x) = 0 para todo x ∈ ∂D, mostre que D J(x)dx = 0.

8.7. Se m é par, ent˜ ao toda forma cont´ınua de grau 1 sobre a esfera S m deve anular-se em algum ponto.

8.8. Se m é par, toda forma cont´ınua de grau m−1 sobre a esfera S m deve anular-se em algum ponto. 8.9. Seja v : S m → Rm+1 um campo cont´ınuo de vetores (n˜ ao necessariamente tangentes) na esfera S m . Se m é par, existe pelo menos um ponto x ∈ S m tal que v(x) = λ · x, com λ ∈ R.

8.10. Uma fun¸c˜ ao f : U → R, de classe C 2 num aberto U ⊂ Rm , chama-se harmˆ onica ∂2f quando ∆f = Σ = 0 em todos os pontos de U . Prove que f é harmˆ onica ∂x2i se, e somente se, para todo dom´ınio compacto com fronteira regular D ⊂ U Z ∂f ∂f tem-se = 0 onde : ∂M → R é a derivada de f na dire¸c˜ ao de N , ∂N ∂N ∂M normal unit´ aria exterior a ∂M . 8.11. Sejam u, v : U → R fun¸c˜ oes de classe C 2 no aberto U ⊂ Rm . Seja D ⊂ U um dom´ınio compacto com fronteira regular. Aplicando o Teorema da Divergência

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[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

R div. F = ∂D hF, N i ao campo de vetores F = u · grad. v obtenha a primeira f´ ormula de Green: Z Z ∂v · [u∆v + h grad. u, grad. vi]dx = u ∂N D ∂D

R

D

Usando esta f´ ormula com u = v, conclua que se u é uma fun¸c˜ ao harmˆ onica que se anula no bordo ∂D ent˜ ao u é identicamente nula em D. Noutras palavras: duas fun¸c˜ oes harmˆ onicas que coincidam no bordo ∂D coincidem em todo o dom´ınio D. 8.12. Obtenha a segunda f´ ormula de Green: Z Z (u · ∆v − v · ∆u)dx = D

∂D

u

∂v ∂u −v ∂N ∂N

nas mesmas condi¸c˜ oes da primeira f´ ormula.

8.13. Seja D um dom´ınio compacto, conexo, com fronteira regular em Rm . Duas fun¸c˜ oes harmˆ onicas u, v, (definidas num aberto contendo D) que possuam ∂u ∂v as mesmas derivadas normais = no bordo ∂D, diferem por uma ∂N ∂N ∂u constante em D. Em particular, se u é harmˆ onica e = 0 em ∂D ent˜ ao u ∂N é constante em D. [Isto significa que se D é um s´ olido termicamente isolado, au ńica distribui¸c˜ ao estacion´ aria de temperatura em D é a constante.] ∂u ≥ 0 em ∂D ent˜ ao u é constante 8.14. Nas condi¸c˜ oes do exerc´ıcio anterior, se ∂N em D. 8.15. Se u é harmˆ onica num dom´ınio compacto D ⊂ R3 com fronteira regular ∂D = S e x0 é qualquer ponto de D ent˜ ao Z 1 1 ∂u 1 ∂ u(x0 ) = −u· dS. 4π S |x − x0 | ∂n ∂n |x − x0 | 1 no dom´ınio D − B(x0 ; ε), e fa¸ca Sugest˜ ao: Use 8.12 com v(x) = |x − x0 | ε → 0.

8.16. Seja A ⊂ Rm um dom´ınio n˜ ao-compacto, cujo bordo é uma hiperf´ıcie compacta ∂A. Seja u : A → R uma fun¸c˜ ao harmˆ onica tal que |x| · u(x) e |x|3 · grad. u(x) s˜ ao limitadas em A. Prove que se u (ou ∂u/∂N ) se anula em ∂A ent˜ ao u é identicamente nula. 8.17. Seja D um dom´ınio compacto, simplesmente conexo, com fronteira regular. Um campo de vetores de classe C 1 em D, com rotacional e divergência nulos, é o gradiente de uma fun¸c˜ ao harmˆ onica em D. Conclua que dois campos de classe C 1 em D, que têm a mesma divergência, o mesmo rotacional e iguais proje¸c˜ oes sobre a normal exterior a ∂D, s˜ ao iguais. 8.18. Sejam u, v : U → R harmˆ onicas no aberto U ⊂ Rm , no qual est´ a contido um dom´ınio compacto conexo D, com fronteira regular ∂D. Seja h : ∂D → R uma ∂u ∂v fun¸c˜ ao cont´ınua n˜ ao-negativa. Se + hu = + hv em ∂D ent˜ ao u = v ∂N ∂N em D.

538

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

8.19. Seja B ⊂ Rm uma bola fechada com centro 0. Mostre que a aplica¸c˜ ao de inclus˜ ao i : Rm − B → Rm − {0} induz isomorfismos i∗ : H k (Rm − B) → H k (Rm − {0}) para k = 0, 1, 2, . . . .

8.20. Para todo m ≥ 2, considere as transforma¸c˜ oes lineares Am: H m−1(Rm − {0}) R → R, Bm : Hcm (Rm ) → R, Cm : H m (S m ) → R, definidas por Am · [ω] = S ω, R m Ronde S é qualquer esfera de centro 0 em R , Bm · [ω] = Rm ω e Cm · [ω] = ω. Prove que cada uma das afirma¸c˜ oes abaixo implica a seguinte: Sm

1) Am é um isomorfismo; 3) Cm é um isomorfismo; 2) Bm é um isomorfismo; 4) Am+1 é um isomorfismo. Da´ı conclua, por indu¸c˜ ao, que todas as afirma¸c˜ oes acima s˜ ao verdadeiras, qualquer que seja m. [Sugest˜ ao: Para provar que (1) ⇒ R(2), seja ω uma m-forma C ∞ com suporte compacto em Rm , tal que dω = 0 e Rm ω = 0. Pelo Lema de Poincaré, existe α de grau m−1 em Rm , com dα = ω. A forma α pode n˜ ao ter suporte compacto. Seja, porém, B uma bola fechada de centro 0, cujoRinterior contém o suporte de ω. Ponha S = ∂B. Pelo Teorema de Stokes, S α = 0. Segue-se ent˜ ao de (1) que existe uma forma β, de grau m − 2, em Rm − B, tal que dβ = α no complementar de B. Sejam D uma bola de centro 0, contendo B em seu interior, e ξ : Rm → R uma fun¸c˜ ao C ∞ , igual a 1 em Rm − D e igual a zero em m B. Tome γ = ξ · β em R − B e γ = 0 em B. Ent˜ ao ϕ = α − dγ tem suporte compacto e é tal que dϕ = ω.]

8.21. Admita que a superf´ıcie N ⊂ Rp , de classe C k , possui uma vizinhan¸ca aberta V , na qual est´ a definida uma retra¸c˜ ao π : V → N , de classe C k . Mostre que toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → N , definida numa superf´ıcie M de classe C k , é homot´ opica a uma aplica¸c˜ ao g : M → N , de classe C k . (Sugest˜ ao: Para cada x ∈ M , seja ε(x) = dist (f (x), Rp − V ). Obtenha g : M → N de classe C k , tal que |g(x) − f (x)| < ε(x) para todo x ∈ M e defina H : I × M → N pondo H(t, x) = π(1−t)f (x)+tg(x).) Mostre ainda que, neste caso, se duas aplica¸c˜ oes f, g : M → N , de classe C k , s˜ ao homot´ opicas ent˜ ao elas s˜ ao C k -homot´ opicas. 8.22. Ainda admitindo (para M e N ) a hip´ otese feita no exerc´ıcio anterior mostre que se M e N têm o mesmo tipo de homotopia C 0 ent˜ ao elas têm o mesmo tipo de homotopia C k . Conclua que se duas superf´ıcies C ∞ s˜ ao homeomorfas ent˜ ao seus grupos de cohomologia (respect. grupos de cohomologia com suportes compactos) s˜ ao isomorfos. 8.23. Se m = 2k − 1 é ´ımpar, mostre que a aplica¸c˜ ao v : S m → Rm+1 , dada por v(x1 , . . . , xm+1 ) = v(x1 , . . . , x2k ) = (−x2 , x1 , . . . , −x2k , x2k−1 ), é um campo de vetores tangentes a S m , de classe C ∞ , sem singularidades.

§9. 9.1. Um homeomorfismo local f : M → N é uma aplica¸c˜ ao pr´ opria se, e somente se, é uma aplica¸c˜ ao fechada. 9.2. Todo difeomorfismo de classe C k de uma superf´ıcie conexa é C k -isot´ opico a um difeomorfismo que deixa fixo um ponto pré-determinado em M .

[SEC. 10: A INTEGRAL DE KRONECKER

539

9.3. Se m é ´ımpar e f : S m → N é uma aplica¸c˜ ao de classe C 1 (tomando valores numa superf´ıcie conexa orientada de dimens˜ ao m) tal que f (−x) = f (x) ent˜ ao o grau de f é um n´ umero par. 9.4. Todo difeomorfismo C ∞ que preserva a orienta¸c˜ ao de Rm é C ∞ -isot´ opico ` a identidade. [Reduza ao caso de um difeomorfismo f : Rm → Rm tal que f (0) = 0. Defina uma isotopia H : I × Rm → Rm entre f e sua derivada f ′ (0) pondo H(t, x) = f (tx)/t se t 6= 0 e H(0, x) = f ′ (0) · x. Em seguida, estabele¸ca uma isotopia entre f ′ (0) e a identidade, usando o Apêndice ` a se¸c˜ ao 10.]

§10.

10.1. Seja ω uma forma cont´ınua de grau 1 em R3 tal que ω(x) · v = 0 sempre que |x| = 1 e hv, xi = 0. Prove que existe x ∈ R3 tal que |x| ≤ 1 e ω(x) = 0.

10.2. Seja D ⊂ Rm+1 um dom´ınio compacto com fronteira regular. Suponha dada uma aplica¸c˜ ao F : D → Rm+1 de classe C 1 , com F (∂D) ⊂ Rm+1 − {0}. Dado arbitrariamente ε > 0, mostre que existe G : D → Rm+1 de classe C 1 tal que 0∈ / G(∂D), |G(x) − F (x)| < ε, |G′ (x) − F ′ (x)| < ε para todo x ∈ D e todos os zeros de G s˜ ao simples. 10.3. Sejam F : U → Rm cont´ınua, de classe C 2 no aberto conexo limitado U , ξ : V → U um homeomorfismo tal que ξ|V é um difeomorfismo de classe C 2 do aberto V sobre U e λ : Rm → Rm um difeomorfismo, ainda de classe C 2 . Prove que gr(λ ◦ F ◦ ξ, V, λ(y)) = ±gr(F, U, y) para todo y ∈ / F (∂U ), onde o sinal é + se, e somente se os determinantes jacobianos de ξ e λ têm o mesmo sinal. 10.4. Seja v um campo de vetores tangentes a uma superf´ıcie M ⊂ Rn . Uma singularidade de v é um ponto x ∈ M tal que v(x) = 0. Seja a ∈ M uma singularidade isolada de um campo v, de classe C 2 na superf´ıcie M , de classe C 3 . (Isto é, v(x) 6= 0 para todo x 6= a suficientemente pr´ oximo de a.) Tome uma parametriza¸c˜ ao ϕ : V0 → V de classe C 3 , que se estenda a um homeomorfismo de V0 sobre V , onde V ⊂ Rm é uma bola de centro na origem, e tal que a ∈ V seja a u ńica singularidade de v em V . Defina o ´ındice da singularidade a pondo ind(v; a) = gr(F, V0 , 0), onde F : V 0 → Rm é definida por F (x) = ϕ′ (x)−1 · v(ϕ(x)). [Note que, para todo x ∈ V0 , ϕ′ (x) é um isomorfismo de Rm sobre Tϕ(x) M .] Se ψ : W0 → W for outra parametriza¸c˜ ao do tipo acima, o ´ındice ter´ a uma nova express˜ ao ind(v; a) = gr(G, W0 , 0), onde, para todo y ∈ W0 , tem-se G(y) = ξ ′ (y)−1 · F (ξ(y)), sendo ξ = ψ −1 ◦ ϕ a mudan¸ca de parametriza¸c˜ ao. Obtenha uma homotopia entre G e a aplica¸c˜ ao G0 , dada por G0 (y) = ξ ′ (0)−1 · F (ξ(y)), e conclua que o ´ındice da singularidade a n˜ ao depende da parametriza¸c˜ ao usada para defin´ı-lo. 10.5. Dada uma superf´ıcie compacta M ⊂ Rn , de classe C ∞ , seja ε > 0 tal que dois segmentos de reta fechados, de comprimentos ≤ ε, normais a M em dois pontos distintos quaisquer de M sejam disjuntos. O conjunto N , reuni˜ ao de todos esses segmentos de reta fechados, normais a M em todos os seus pontos é uma superf´ıcie compacta n-dimensional com bordo. Seja π : N → M a retra¸c˜ ao C ∞ que associa a cada ponto y ∈ N o pé do u ńico segmento normal a M que o contém. Dado um campo de vetores tangentes a M , de classe C ∞ , com

540

[CAP. VII: INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

um n´ umero finito de singularidades, estenda-o a uma aplica¸c˜ ao F : N → Rn , ∞ de classe C , cujos zeros s˜ ao precisamente as singularidades de v e tal que, para todo y ∈ ∂N , o vetor F (y) aponta para fora de N . [Ponha F (y) = v(π(y)) + (y − π(y)).] Mostre que gr(F, N, 0) é igual ao grau da aplica¸c˜ ao normal de Gauss γ : ∂N → S n−1 . Por outro lado, mostre que gr(F, N, 0) é igual ` a soma dos ´ındices das singularidades de v em M . [Para ver isto, considere, em torno de cada singularidade, uma pequena bola Bi que n˜ ao contenha outros zeros de F . Ent˜ ao N − ∪ Bi é uma superf´ıcie com bordo e gr(F, N − ∪ Bi , 0) = 0.] Conclua que a soma dos ´ındices das singularidades de v n˜ ao depende do campo v. Tal soma chama-se a caracter´ıstica de Euler da superf´ıcie M . 10.6. Mostre que se M ⊂ Rm+1 é uma hiperf´ıcie (orientada) compacta com m par ent˜ ao o grau da aplica¸c˜ ao normal de Gauss γ : M → S m é igual ` a metade da caracter´ıstica de Euler de M . [Considere N como no exerc´ıcio anterior e observe que ∂N consiste em duas c´ opias de N tais que, em cada uma delas a retra¸c˜ ao π : ∂N → M é um difeomorfismo que preserva orienta¸c˜ ao.]

10.7. Defina, na esfera, S m , o campo de vetores “norte-sul”pondo, para cada x ∈ S m , v(x) = proje¸c˜ ao ortogonal do vetor −em+1 = (0, . . . , 0, −1) sobre o plano tangente a S m no ponto x. Verifique que v é de classe C ∞ , possui duas singularidades uma de ´ındice 1, outra de ´ındice (−1)m , e conclua que a caracter´ıstica de Euler de S m é zero quando m é ´ımpar e igual a 2 quando m é par.

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542

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Índice Remissivo

Índice Remissivo ´ Algebra de Grassmann, 410 ´ Area orientada, 241 Índice de um ponto cr´ıtico, 190, 292 de uma aplica¸cão, 231 de uma singularidade de campo vetorial, 539 ˆ Angulo medida em radianos, 10 orientado, 10 s´ olido, 423 Aplica¸cão aberta, 38 afim, 218 bilinear, 3 cont´ınua, 21 cont´ınua em rela¸cão a uma variável, 27 de classe C k , 254 de posto m´ aximo, 302 derivada, 250 diferenci´ avel, 124, 135, 248, 443 ao longo de um subespa¸co, 298 diferenci´ avel (numa superf´ıcie), 314 exponencial, 9 545

fortemente diferenci´ avel, 277 Linear auto-adjunta, 178 ortogonal, 24 Lipschitziana, 22 localmente Lipschitziana, 71, 356 normal de Gauss, 457 positivamente homogênea, 334 própria, 501 que preserva orienta¸cão, 332 uniformemente cont´ınua, 27 uniformemente diferenci´ avel, 269 Ass´ıntota, 110 Atlas, 319 coerente, 319 m´ aximo, 319 Autovetor, 178 Base canônica do Rn , 2 dual, 3 Bloco m-dimensional, 344 Bola aberta, 11 fechada, 11 Bordo de um semi-espa¸co, 473

ÍNDICE REMISSIVO

546 de uma superficie, 477 Caminho, 60, 80 p vezes diferenci´ avel, 84 bem regulado, 98 cadenciado, 102 de classe C p , 84 diferenci´ avel, 81 integrável, 85 justaposto, 61, 205 poligonal, 62, 216 regulado, 98 regular, 104 retific´ avel, 94 retil´ıneo, 60 uniformemente diferenci´ avel, 89 Campo de vetores, 208 normais, 175, 325 tangentes, 500 Caracter´ıstica de Euler, 511 Cisão, 55 trivial, 55 Co-dimensão, 308 Cobertura, 48 aberta, 48 enumerável, 48 finita, 48 localmente finita, 435 Componente conexa, 63 Comprimento de um caminho, 94 de um vetor, 4 Conjunto J-mensur´ avel, 364 i-convexo, 118 (s) homeomorfos, 28 aberto, 35 noutro, 37

compacto, 44 conexo, 55 por caminhos, 61 contrátil, 497 convexo, 13 vertical e horizontalmente, 118 convexo vertical e horizontalmente, 302 de Cantor com medida positiva, 353 de medida nula, 352, 356 denso noutro, 43 derivado, 20 desconexo, 55 discreto, 21 fechado, 40 noutro, 41, 43 limitado, 13 simplesmente conexo, 221 topologicamente homogêneo, 72 Conserva¸cão da energia, 183 Contra¸cão, 282 fraca, 24 Convergência localmente uniforme, 271 uniforme de integrais, 186 uniforme de aplica¸cões, 271 Coordenadas esféricas, 289 polares, 289 Critério de Cauchy, 272 Curva de classe C k , 168 de n´ıvel, 145 Curvatura

ÍNDICE REMISSIVO

de um caminho, 105 de Gauss-Kronecker, 457, 511 integral, 457, 511 Decomposi¸cão de um conjunto J-mensur´ avel, 371 pontilhada, 371 Densidade de volume, 467 escalar, 467 induzida, 469 positiva, 468 numa superf´ıcie, 469 Derivada ao longo de um subespa¸co, 298 complexa, 135 de ordem k, 254 de uma aplica¸cão, 250 direcional, 120, 249 parcial, 116, 298 segunda, 84, 253 Desigualdade de Cauchy-Schwarz, 5 de H¨ older, 191 de Hadamard, 179 de Schwarz, 388 do triˆ angulo, 7 do Valor Médio, 268 do valor médio, 89 entre as médias aritmética e geométrica, 179 Determinante jacobiano, 231, 264 Diâmetro, 53 Difeomorfismo, 104, 259, 320, 443 local, 281 Diferenciabilidade uniforme, 89

547 Diferencial, 139 de ordem p, 157 Disco, 12 Distˆ ancia de um ponto a um conjunto, 50 entre dois conjuntos, 50 geodésica, 113, 336 num espa¸co vetorial normado, 6 Divergência, 245, 494 Dom´ınio com fronteira regular, 519 Elemento de ângulo, 195 Elemento de ângulo s´ olido, 423 Elemento de volume, 405, 420, 422 Equa¸cão de Laplace, 188 Equa¸cões de Cauchy-Riemann, 135, 213 de Frenet, 107 Equivalência homotópica, 532 Esfera, 11 Espa¸co euclidiano n-dimensional, 1 vetorial normal, 325 orientado, 331 tangente, 311, 479 Exaustão, 392 Exemplo de Schwarz, 535 Fórmula de Green, 537 de Kronecker, 519 de Moivre, 9 de Taylor com Resto de Lagrange, 266

ÍNDICE REMISSIVO

548 com Resto Integral, 267 com resto integral, 88 Infinitesimal, 266 infinitesimal, 88 Faixa de Moebius, 328 Fam´ılia localmente finita, 435 pontualmente finita, 436 Fecho de um conjunto, 39 relativo, 43 Fibrados tangente e normal, 341 Fluxo de um campo de vetores, 495 Forma (s) cohom´ ologas, 532 diferencial de grau r, 411 de grau 1, 192 de grau m´ aximo, 429 elemento de ˆ angulo, 195 elemento de ˆ angulo s´ olido, 423 elemento de volume, 405, 419 exata, 209, 429 fechada, 212, 429 Hessiana, 160 induzida, 230, 403, 415 local das Imersões, 294 local das Submersões, 298 localmente exata, 212 multilinear, 396 alternada ou anti-simétrica, 397 positiva, 422 quadrática, 160 Fronteira de um conjunto, 36 Fun¸cão k vezes diferenci´ avel, 151

-ˆ angulo, 107 absolutamente integrável, 462 auxiliar, 435 convexa, 188 coordenada, 25, 85 coordenadas, 80 de classe C k , 136 de morse, 389 de varia¸cão total limitada, 94 diferenci´ avel, 124 harmônica, 188, 213, 536 holomorfa, 136 homogênea, 183 impl´ıcita, 165, 166 integrável, 348 potencial, 210 Funcionais lineares, 2 Gr´ afico de uma aplica¸cão, 43 Gr´ afico de uma aplica¸cão, 309 Gradiente, 143 Grau, 509, 518, 522 Grupo de cohomologia, 225, 532 com suporte compacto, 246, 532 Hiperf´ıcie, 458 de Classe C k , 171 orientável, 175 Homeomorfismo, 28 local, 73 Homotetia, 29 Homotopia, 215, 497 adaptada, 497 livre, 220 própria, 501 Identidade

ÍNDICE REMISSIVO

de Lagrange, 403 do paralelogramo, 7 Imersão diferenci´ avel, 293 isométrica, 23 Integra¸cão complexa, 223 Integral curvil´ınea de um campo de vetores, 208 de Kronecker, 519 de Stieltjes, 197 de um caminho, 85 de um campo de vetores numa superf´ıcie, 458 de uma r-forma diferencial, 414, 451, 454 de uma forma, 201 de uma fun¸cão, 209 de uma fun¸cão de m variáveis, 348, 366 imprópria, 186, 392 indefinida, 88 superior e inferior, 347, 367 uniformemente convergente, 186 Interior de um conjunto, 35 Invariância do dom´ınio, 308 Isometria, 24 Isotopia, 512 Laplaciano, 188 Lema da Isotopia, 512 de Duhamel, 376 de Morse, 290 de Poincaré, 531 Limite de uma aplica¸cão, 31 de uma seq¨ uência, 15

549 Método das aproxima¸cões sucessivas, 282 Matriz de Gramm, 406 de passagem, 330 Hessiana, 160 hiperb´ olica, 246 Jacobiana, 250 Medida de Hausdorff, 389 nula, 352 Mergulho, 340 Mudan¸ca de variável, 87, 88, 385, 465 na integral de Stieltjes, 200 Multiplicador de Lagrange, 177, 331 Multiplicidade de uma raiz, 236 N´ umero complexo, 8 argumento, 9 conjugado, 8 forma polar, 9 m´ odulo, 8 parte imaginária, 8 parte real, 8 de Lebesgue, 54 Norma (s) equivalentes, 18 da soma, 6 de uma parti¸cão, 85, 346 de uma transforma¸cão linear, 64 do m´ aximo, 6 euclidiana, 4 num espa¸co vetorial, 6 Orienta¸cão

550 induzida no bordo, 483 num espa¸co vetorial, 331 numa superf´ıcie, 319, 483 produto, 485 Oscila¸cão num conjunto, 348 num ponto, 361 Paralelep´ıpedo, 384, 530 Parametriza¸cão, 307, 476 padronizada, 478 positiva, 319 Parametriza¸cões coerentes, 319 Partes positiva e negativa de uma forma, 461 de uma fun¸cão, 351 Parti¸cão da unidade, 438 de um bloco, 345 de um intervalo, 85 mais fina que outra, 94, 345 pontilhada, 85 Permanência das desigualdades, 33 Plano, 1 osculador, 106 projetivo, 329, 330 Polinˆ omio caracter´ıstico, 246 Ponto (s) ant´ıpodas, 329 aderente, 39 cr´ıtico, 146, 160, 176, 331 não degenerado, 161, 288 de acumula¸cão, 20 de inflex˜ ao, 105 de sela, 164 fixo, 282 focal, 190 fronteira, 36

ÍNDICE REMISSIVO

interior, 35 isolado, 21 limite, 15 singular, 146, 160, 359, 500 Posto de uma aplica¸cão diferenci´ avel, 301 de uma transforma¸cão linear, 301 Produto exterior, 399, 408 interno, 3 canônico, 4 vetorial, 398, 406 Proje¸cão estereogr´ afica, 30 radial, 423 sobre a i-ésima coordenada, 24 Pull-back, 403, 417 de uma 1-forma, 230 de uma densidade escalar, 469 Refinamento de uma cobertura, 438 Regra (s) de deriva¸cão, 264 da Cadeia, 87, 126, 261 de Leibniz, 147, 212 Rela¸cão de Euler, 183, 334 Reparametriza¸cão, 101 direta e inversa, 206 Reta, 1 tangente a um caminho, 81 Retra¸cão, 442 Retrato de classe C k , 442 Rota¸cão positiva, 10 Rotacional, 245, 494

ÍNDICE REMISSIVO

Segmento de reta, 13 Semelhan¸ca, 69 positiva, 11 Semi-espa¸co, 473 Seq¨ uência, 14 (s) das coordenadas, 14 convergente, 15 de Cauchy, 18 divergente, 15 limitada, 14 Singularidade, 500, 539 Sistemas de coordenadas, 289 Soma de Riemann, 85, 372 superior e inferior, 372 de Stieltjes, 197 Subcobertura, 48 Submersão, 296 Subseq¨ uência, 14 Superf´ıcie com bordo, 476 de Classe C k , 171 de classe C k , 308 de n´ıvel, 145 fechada, 489 orientável, 319, 481 orientada, 319, 481 Suporte, 414 de uma aplica¸cão, 245 de uma fun¸cão, 371 Teorema da Alfândega, 57 da Aplica¸cão Impl´ıcita, 300 da Aplica¸cão Inversa, 287 da Continuidade do Limite Uniforme, 272 da Deriva¸cão Termo a Termo, 273

551 da Diferenciabilidade do Homeomorfismo Inverso, 286 da divergência, 494 da Fun¸cão Impl´ıcita, 166, 169, 174 da Integra¸cão Repetida, 377 da Inversão da Ordem nas Integrais Repetidas, 149 da Irrelevância dos Conjuntos de Medida Nula, 464 da Irrelevância dos Zeros, 465 da Mudan¸ca de Variáveis, 385, 465 da N˜ ao-Retra¸cão, 448 da Perturba¸cão da Identidade, 284 da Perturba¸cão de um Isomorfismo, 285 da Perturba¸cão Diferenci´ avel da Identidade, 287 de Ascoli-Arzel` a, 110 de Baire, 75 de Bolzano-Weierstrass, 17 de Borel-Lebesgue, 48 de Gauss e Ostrogradski, 494 ˜ de Gauss sobre o Angulo Sólido, 505 de Green, 241, 424, 496 de Lebesgue sobre Integrabilidade, 362 de Lindelöf, 48 de Poincaré e Brower, 500 de Rouché, 520 de Sard, 359 de Schwarz, 151, 254 de Stokes, 424, 490, 495 de Weierstrass, 45 do Multiplicador de Lagrange,

552 176 do Multiplicadores de Lagranges, 331 do Ponto Fixo de Brouwer, 446 do Ponto Fixo para Contra¸cões, 283 do Posto, 303 do Valor Intermediário, 57 do Valor Médio, 89, 123, 141 ´ Fundamental da Algebra, 237, 338 Fundamental do C´ alculo, 88 Global da Fun¸cão Impl´ıcita, 174 Teste de Weierstrass, 272 Tipo de Homotopia, 532 Tor¸cão, 107 Toro n-dimensional, 310 Transla¸cão, 29 Transversalidade, 389 Triedro de Frenet, 106 Valor de aderência, 17 regular, 168, 315 Varia¸cão total de uma fun¸cão, 94 Variedade afim, 13 Velocidade escalar, 81 Vetor (es) ortogonais, 4 acelera¸cão, 84 binormal, 106 que aponta para fora, 480, 481 unit´ ario normal, 105 unit´ ario tangente, 105

ÍNDICE REMISSIVO

velocidade, 80 Vizinha¸ca parametrizada, 308 tubular, 342, 444 Vizinhan¸ca, 35 Volume da bola unit´ aria em Rn , 394 de um bloco, 344 de um conjunto, 364 do paralelep´ıpedo, 384 interno e externo, 365 Volume e área de uma superf´ıcie, 454 Zero, 231, 235, 519 isolado, 231 positivo e negativo, 231, 519 simples, 231, 519