常用数学公式大全 (Commonly Used Mathematical Formulas) [Di 1 ban. ed.] 9787536612860, 7536612869

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目

呆

初等數挙

第一章

1.l. 初等代數··············· 1.1.1. 敖的基本运算

....... -…............

1

(1) 交換律..................

1 1 1

(2)

結合律..................

(3)

分配律..................

1.1.3.

復敖............

1

… 1 1

(2) 虛单位升方............

2

(3) 復致的运算............

2

1.1. 4. 乘法及因式分

…...

3

1.1.5.

比例...............

4

1.1.6.

分式...............

5

(1) 基本性厭...............

5

(2) 分式运算...............

5

(3) 分璜分式...............

5

不等式............

6

1.1.7.

1.1,8. 指敖｀根式｀対

(1) 指故｀根式············

8"

(2) 対敖··················...

9'·

多項式除法......

9

多項式展玕....... …..

9

(2) 多項式除法．．．……...

9

(1)

(1) 虛单位乘方............

愔...............

{f.

1.1.9. 多痕式展升与

1.1.2. 实敖的絕対值 ........................

••• .•• . .• •.. ••• .••

敖...

1

1.1.10.

敖列 ···············10'

(1) 等差敖列．．．．．．……...

10

(2) 等比數列 ···············10 (3) 某些數列的前 n J]銅和

······························11 1.1.11. 阶乘、排列、 维合、二．頊式定 理

··················12'

(1) 阶乘 ·····················12 (2) 排列 ·····················13 組合.....................

13

……

14

(5) 多瑣式公式．．．．．．．…..

14

(3)

(4) 二項式定理......

1.1.12. 一次方程組 ........................... 15 •

l•

1.1.13.

綫性方程......

(1) 一次方程...............

16 16

1.2.5.

旋持体............

23 23 23 24 24

(1)

圓柱.....................

16 16

(2)

圓维.....................

(3)

圓台.....................

(4) 一元四次方程 ·········18

(4)

球........................

18

(5)

球缺（球冠）

1.2.1. 任意三須形 ........................ 18 (l) 面积..................... 18

(6)

球台.....................

24

(7)

球扇形..................

24

(2)

一元二次方程.........

(3)

一元三次方程.........

1.2.

初等几何...............

(2) 外接郾半徭............ (3)

內切圓半徭............

1.2.2.

四逵形............

(1)

矩形.....................

(2)

平行四辺形............

(3)

菱形.....................

18 19

任意四辺形............

1.2.3.

1.2.6. 稜柱.. 枝维...... 25 (1) 正方体..................... 25 (2)

*方体.....................

19 19

(3)

直梭柱.....................

25 25

(4)

斜梭柱.....................

25

19 19

(5)

正梭雉.....................

(6)

梭維........................

(1)

梭台........................

25 25 26

平面三角...............

26

基本失系．．…....

26 26

(4) 梯形·······"·"·······" 19 (5)

............ 24

20

1.3.

正多逵形.........

20

1. 3. 1.

(I) 正三角形...............

20 21

(1) 基本美系..................

(2)

正方形..................

(3)

正五辺形...............

(4)

正六辺形...............

(5)

正 n 辺形...............

1.2.4.

圓..................

21 21 21 22

.................. 22

(1)

圏周*

(2)

圖弧呆..................

(3)

圓面积..................

(-1)

扇形面积...............

(5)

弓形.....................

22 22

(G)

坏形而积...............

23

。

2

•

22 22

(2) 各三角函數用某一介三． 角函敖表示...............

27

1,3,2. 和角、倍角、半 角的三角公式

························26 (1) 和角公式...............

2G

(2) 倍角公式．．．．．．…......

28

(3) 半角公式...............

;:9

1.3.3. 和差与积美系 公式...............

30

弦的乘积定理....

1.3 .4. 反三角甾敖的 公式...

….........

33

…..

(5) 角的正弦与相邰辺余 弦的乘积定理.........

1.3.5. 斜三角形的逵角

(6) 余切定理..................

夫系...............

34

(J)

正弦定理...............

34

(2)

余弦定理...............

(3) 射影定理...............

34 34

(4) 正切定理...............

34

形的公式......

(5) 半角定理...............

34

(1) 半角函敬公式.........

1.3.6.

三角方程的偁

........................ 36 1,4

球面三角...............

36

1. 4 .1. 球面三角形基 本性夙............

36

1.4.2. 球画三角形的

37 37 37

1. 4.3. 俘球面直角三魚形 的公式............ 38 1.4.4. 俘球画斜三魚 38

38 (2) 半辺函數公式......... 39 (3) 二角和｀差之半的正 弦公式..................

40

(4) 二角（辺）和＂差之半 的正切公式 ············40 (5)

正切定理...............

41

1. 4.5. 球面三角形的

逵魚羌系.........

36

(1) 正弦定理...............

36

(2) 辺的余弦定理.........

37

(3) 角的余弦定理.........

37

角超与面积...... (1)

角超.....................

41 41

(2) 球面三角形的面积

.............................. 42

(4) 辺的正弦与其邰角余

策二章解析几何

2.1.

平面解析几何......

43

坐柿交換

(l)

•••••• 43 平移….................. 43

(2)

旋特.....................

43

平移同时旋餑.........

43

2 .1. 1.

(3

J

(4) 直角坐杯与极坐杯的

美系........................

43

(5) 直角坐棕 (x1,!J1) 与斜

角坐栃 (x2, Y2) 的美系

··················............ 43 (6) 斜角坐杯 (x,

y) 与极

坐际 (p,6) 的美系......

• 3 •

44

2.1.2. 三今基本公式 ........................ 44

(3) 拋靼綫 x++11+ =a+ ..••..•..

(1) 两焦距窩..................

44

(4) 箕舌綫

(2) 定比分為..... ……......

44

(5)

…......

57

(6)

··················58 吁形綫 .................. 58 汊組綫.................. 58

.••..••....•.••••••.•••••..... 45

(7)

蔓吐綫

.........…...... 58

直綫．．．．．．…......

45

(8)

坏索綫

..................

(1) 直綫的斜率...... …......

45

(9)

搓綫

(3) 三角形及多辺形面积

2,1.3.

… 46 ,i,'a 綫距寓.................. 47

(2) 宜綫方程...............

(3)

······························47 (5) 两直綫岡的美系.........

48

(6) 三煮共綫与三綫共束

······························48 同維曲綫.........

2.1. 4. (I)

圓........................

49 49

(2)

楠闓.....................

50

(3)

汊曲綫．．．．．．．．．…......

(4) 抛物綫 (P>O)

52 ......... 53

2.1.5. 一般二次方程的 囹形..................

56

(1) 二次曲紋的分尖．…..

56

(2) 二次曲綫的切綫与法

紱...

·····················57

2.1.6. 重要乎面曲綫

57 立方抛物綫............ ·57 半立方拋物綫......... 57 方程．．．．．．．．．…...

(1)

(2)

. ".

(10) 內撰綫

............…... 59

(11) 外撲鈛

.................. 60

(15)

60 晶形綫 .................. 60 忌鏟鈛 ......... …...... 60 概率曲紋 ............... 61

(16)

郾的漸升伐

(12)

(4) 两平行宜曳同的距窩

.....................

58 58

(13) (14)

心胜綫

(17) 曳物伐

..................

............ 61

…......……... 61

(18) 阿基米得螺綫

.........

62

(19) 等角螺綫（対敖螺綫）

.............................. 62 62 (21) 阻吁玫瑰綫 ••• …...... 63 (22) p=asin 了?- ••• …...... 62 (20) 三吁玫瑰鈛……......

2

2.2.

空冏解析几何...

…...

63

2.2.1. 空同直角坐杯 交抉...............

63

..................... 63

(1)

平移

(2)

旋餑.....................

63

(3) 平移同时旋特.........

64

(4) 空伺直角坐际 (x,

1/ ,Z,) 与枉坐杯 (p,if,,

z',)

64

的哭系….........

2,2,5. ti, 、宜綫、乎商

(5) 至冏直角坐棕 (x,y,z)

同的距窩、位置

与球坐杯 (p,0,¢,) 的美 系...

(6)

…...... …...

······64

球坐际 (p,¢,0) 与柱坐

柝 (p'' 厲， z') 的美系

...........................

64

2.2.2.

射影定理.........

65

2.2.3.

乎面方程．．．…… 65

羌系..................

68

(1) 距窩．．．．．．．．．….........

68

(2)

69

交角 a

(3) 平行、垂直、重合的 糸件.....................

70

(4) 其他．．．．．．．．．．．．．．．…...

71

2.2.6. 空冏三角形面

65

(l) 一般式．．．…............

积和四面体体

(2) 東法式．．．… ············65 (3)

65

截距式．．．…............

(4) 法綫式．．．．．．…．．．…... (5)

三煮式

65 •••••••••••••••••• 66

(6) 辺两東 i'1=( 凸， Y1,Z1,), 店 =(Xz,Y2,Z2), 且平行

于向量 1

=

(a ,b ,c)

........................... 66 (7) 這燕 To=(xo,

…...............

积公式………...

(1) 三角形面积 ······"····71 (2) 四面体体积............

72

(3) 平行六面体体积......

72

2.2.7. 重要的曲面方程 ........................ 73 (1) 球面方程 ···············73

(2) 橢球面方程 ············73

Yo, zo),

(3) 单吁汊曲面方程......

且平行两介向量 f1=

(4) 汊吁汊曲面方程......

(a1,b1, C1),t2=(a2,

(5) 橢圓抛物面方程......

b2,C2) ••••.•••••••••• … 66

(6) 汊曲拋物面方程......

(8) 參數式．．．……．．．……

2.2.4.

71

66

空何直綫方程

73 73 73 73

(7) 橢圓柱面方程 ·········73 (8) 汊曲柱面方程.........

........................ 67

(9) 拋物柱面方程.........

74 74

交面式..................

67

(10) 圓坏面方程............

74

(2) 參敖式…．．．．．．．．．…...

67

(11) 一般旋特面方程......

··········"······67

(12) 维面方程...............

74 74 75

(1)

(3) 対狳式

射影式..................

67

(13)

(5) 两氣式．．．．．．．．．．．．…...

67

2.2.8,

(4)

螺面方程...............

空「司曲綫方程

• .5

•

........................ 75

(3) 圓柱螺綫...............

75

(4) 圓维螺綫...............

7r;

(1)

一般方程...............

75

(2)

參效方程...............

75

第三章綬性代數

行列式与矩眸.. n维向

3.1.

量...........................

77

3.1.1. 行列式的计算与 性夙...............

77

(1)

二阶行列式….........

77

(2)

三阶行列式..

…........

(6) 三角形行列式…......

77 79 80 80 81

(7)

范德蒙行列式………

81

(8)

倒敖対杯行列式......

(9)

帶形行列式............

81 81

(3) 高阶行列式………... (4)

两令行列式相乘......

(5)

行列式的変阶.........

3.1.2.

矩胖与 n维向葦

(9)

.............................. 85 逆矩眸.................. 85

(10) 餑置矩眸...............

86"

(11) 共軛矩眸...............

86

(12) 矩眸函數与向量函數 的微积分...............

86

` (13) 向量的綫性美系...... (14) 矩眸的秩...............

87 88

n维向量空冏............

88

(15)

3.1.3. 某些特殊矩眸 ............•..........• 88 (1)

対角矩眸...............

88

(2)

三角形矩眸............

89

(3)

帶形矩眸...............

90

的运算……......

82

(4)

対秭矩眸...............

90

(1) 矩眸与 n维向量.........

82

(5) 实対秭矩陴............

91

(2) 矩眸、向量的相等...

83 83

(6) 正定矩眸的逆矩眸

(3) 加減运算…………...

.................•......... 91

84

(10)

正交矩眸...............

92 93 93 93

85

(11) 酉矩眸..................

94

(12)

94

(4) 敖乘运算… ············83

(7) 反対稔矩眸............

(5) 乘法运算 ·········-····83

(8) 埃尓米特矩眸.........

(6) 零矩眸与零向量、零

(9) 反埃尓米特矩眸......

因子.....................

(7) 負短眸与負向量......

(8) 单位矩眸与单位向量

.'.

分玦矩眸...............

(13) 分玦対·角矩眸

3. I. 4.

·········95

矩陣的交換......

3.3.1, 二次型与埃尓

96

米特型 CH 型）

(l) 初等変換 ···············96 (2) 相似変換-

............. 96

(3) 正交交換•••••••••,.••••

(4) 旋特変換•••••••••"••••

97 97

························104 (1) 二次型与埃尓米特型

(H 型）···············

(2) 二次型与 H 型为正定

(5) 用初等変換求逆矩眸

的判定…．．．．．．．．．．．．… 105

.............................. 98

3.2. 特征理讠合与若者杯

(3) 綫性変換 ···············106 (4) 二次型化为杯准型 ···106

准形........................

99

3. 2 .1. 特征值与特征

(5) H 型化为梠准型 ······107 (6) 两令二次型或 H 型的

联立简化..

向量 ···············99 (1)

特征概念...............

99

性厭.....................

························109 99

(1) 綫住方程組的一般形

(3) 矩眸多項式与最小多 璜式.....................

式…．．．．．．．．．．．．．．．．．．… 109

100

位）綫性方程組解的判定

(4) 哈密頓－凱萊定理..... ,101

•••••••••••••••••••·• …···109 (3) 綫性方程組解的結杓

(5) 最小多瑣式与特征多 項式的美系............

101

3.2.2. 方眸的若蚩椋

···························110 (4) n 介未知敖 n今方程的 綫住方程組的解法

准形 ···············101 ,t 矩眸..................

…··········108

3.3.2. 綫性方程組

(2) 特征值与特征向量的

(1)

…104

…101

(2) A. 矩眸旳等价............ 102

···············............ 110 3.4.

矩眸分析 ···············112

(3)

J 矩眸旳杯准形......... 102

3. 4.1. 矩眸的极限 ······112

(4)

若肖杯准形............

102 特征矩眸............... 103 方眸的杯准化......... 103

(1) 矩眸序列的极限

(5)

(6)

(2) 純交量的矩眸值函敖 的极限..................

114

3.4.2. 純交量的矩眸

3.3. 二次型与綫t.1 方程 組.....................

······112

104

值函敖的连鎂

••

7 •

」L4j.::c. ............。.......

115

(1) 定叉……............ ·00 l

l :5

3.4.6.

3. ,J. 3, (1)

矩眸的尋敖…...

116 定乂．．．…............... 116

(2) 尋故存在的充要糸件

······!.21

(1) 常用的由方眸括级放

(2) 判別连緤的充要冬件

........................... 115

矩眸函玟...

定乂的矩眸函欬 ······124 (~)矩眸函救的求法 ······125

3.5.

「乂逆矩眸…．．．….... 127

3 .5.1. 户乂逆矩眸及其分奐-············ …127

··················... ······116 (1) 定乂．．．．．．．．．．．．．．．… ···127

{ 3) 矩眸寺效的运算法則

···························116 3. 4. 4. 矩眸的积分… ""117 (1) 定乂．．．．．．．．．… ·········117

(2) 常見的五神户乂逆矩 眸．．．．．．．．．．．．．．．…...... 127

3.5.2. 常見几朴户叉 逆矩眸的通式

(z) 矩陈积分的简单性肌

........................ 127

........................... 118 3.4.5.

矩眸级敖... …… 118

3.5.3.

減身逆A- 与

(1) 矩眸级致的概念...... 118

加芳逆 A 十的

(2) 矩眸级數收斂的充要

哇愤．．．…．．．…...

糸件.....................

119

(3) 收斂的矩眸级致的运 算法則............... …

(2)

120

(4) 矩眸级致的絶対收斂

(5)

128 (1) A- 的性厭............... 128

···················.... ····120 方眸的幕级敖... …… 121

A 十的性搣·…........

…128

3.5.4. A十的求法......... 129 (1) 求法一.................. 129 (2) 求法二.................. 129

第因章微分挙

4. 1.

函數与极限......... 130

'1. 1.1. 基本初等菡敖 (1)

禱

···•········ ············130 藩函敖............... … 130 8~

(2) 指數函數......... …… 131.

(3) 対數函敖．．．．．．．．．．．．… 13.l (4) 三角函數......... …… 131

(5) 反三角函敖．．．……... .z32 (6) 代數函數............... 13.5

Cf)

泯曲函馭...............

136

(8) 汊曲函數的相互美系

…137

式........................

(9) 汊曲函數的基本公式

...........................…137

(10)

反汊曲函欸................

138

(12) 元夯小扭．．．．．．．．．…… UL (13) 元究小量阶 i:i~ 公武

........................... 146' (14) 等价元究小代換定理

.............................. 146 (15) 元究小量与元夯大妣

(11) 反汊曲函敖的基本公 式.....................

的美系 ··················146

…… 140

(12) 汊曲函欸与三角函欸，

反汊曲函數与反三角 函啟的美系．．．．．．．．．… 140

(1) 函數在一煮连琰......

极限............

…140

(1) 數列的极限............ 聚桌..................

140

…141

(3) 上（下）极限............

141

(4) 敖列极限的存在准則

······························147 (3) 函啟在厄［司上连綏

........................... 147 (4) 连琰函致的性航

······148

(5) 初等函數的连竢性

(5) 敖列极限的基本公式

.............................. 142 (6) 一些重要的敗列极限

.............................. 142 函啟的极限．．．．．．．．．… 143

(8) 单側极限...............

J47

(2) 函欸在一熹单側连銪

........................... 141

(7)

曲綫的慚近级......... 147

4 .1.3. 函敖的连綾性 ........................ 147

4.1.2. 敖列与函啟的

(2)

(16)

144

(9) 函數极限的存在准則

.............................. 144 (10) 函數极限的基本公式

.......................... 144 (11) 一些重要的函數极限

.............................. 145

........................... 148 4.1.4. 多重极限与累 148 (1) n 重极限.................. 148 (2) 累次极限............... 149 次极限............

(3) 二重极限与二次极限

的美系…．．．．．．．．．．．．．．．… 149 (4) 多元函敖的连紫性.. ,150

4.2.

微分．．．．．．．．．．．．…., .... 150

4.2.1. 掙藪与徵＇分 (1) 皂致．．．．．．．．．…......... 150 (2) 单側尋敢...............

•

1.15(}

9 •

150 微分..................... 151

(10) 混合偏畀數的忤瓦祛

(5) 皂敷与微分法則.. , .. ,151

(11) 高阶偏等數的萊布尼

(3) 皂函敖.................. (4)

(6) 皂數与微分的基本公 式...........................

定理….....................

玆公式... …… ············164

153

(7) 窩阶皂敷与高阶微分 法則........................

的基本公式.......... …..

154

(14) 雅可比行列式... …… 167

(15) 隠函敖組的微分法

155

4.2.2. 黴分挙的美本 定理...............

(12) 高阶全微分．．．．．．．．．… Jf,r-; (13) 泰勒公式．．．．．．．．．…… 165

(8) 高阶皂數与高阶微分

······..................... 169 (16) 変量変換中的微分汴

157

(q 夢尓定理．．．… ·········157

······························170 4.2.4. 旱藪与徽分的

(2) 拉格朗日中值定理 (3)

泣用．．．．．．．．．…… 1"f'2

........................... 157

(1) 平面曲綫的切綫与法

157

綫........................

柯西中值定理.........

(4) 泰勒公式

···············158

(5) 洛必迏法則

············160

分挙...............

173

(2) 平面曲綫的夹角．．，… 174 (3) 空冏曲綫的活劫椋架

4.2.3. 多元菡教的徵 (1)

161

················.. ············174 150

(i) 弧微分．．．．．．．．．．．．．．．… 176

150

(5) 平面曲鈛的曲率 ······176

偏皂數..................

(2) 偏微分…．．．．．．…...... 161

(6) 空冏曲綫的曲率与捺 率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．… 176

(3) 全微分…．．．．．．．．．… ···161

(7) 雪列－弗雷納公式...

(4) 偏寺欬与全微分的美

系························... 162 (5) 鏟式法則................

…179

(8) 曲面的切面与法綫

........................... 17 9

162

(6) 全皂效…．．．．．．．．．．．．… 163

(9)

曲面元..................

(7) 隠函致的微分法...... J63

(10)

函數的单调性.........

(11)

(8) 芥次函數偏皂敖的歐 拉公式.....................

163

(9) 高阶偏尋敖............ 164

• 10•

(12)

.zao

J81 单调性定理............ 181 函數的极值............ 181

(13J 极值的必要糸件 ·"···.181

(14) 极值的充分糸件 ······181

(19) 拐燕的判定 ············185

(15) 糸件极值 ···············183

(20) 函敖相哭与函數狓立

(16) 函敗的凸性………… 184

(. i7) 凸注定理．．．．．．… ······184 (18)

函致的拐燕............

······························185 (21) 函數相美与函欸狓立

185

的判定... …… ·········185

第五章积分挙

5.1.

不定积分.................. 187

5 .1. l. 不定积分的性庹 ·········.................. 187

{2) 含」云－十 6 的积分

........................... 203 (3) 含 ax 勺： e 的有理式的

(1) 不定积分的住厭 ······187 (2) 不定积分的基本公式

积分…．．．… ············208 (4) 含,Jax2+c 的积分

........................... …187 5.1.2.

(5) 含 ax2+bx+c 的有理

不定积分法則

························189 (1) 第一換元法（配微分法）

........................... 189 (2~ 第二換元法............ 190 (3) 分部积分法............ 192 192

192 有理函數的积分...... 194 元理函數的积分.. , ... 195

(I) 部分分式展汗.........

(2) (3)

式的积分…............

213

(6) 含,Jaxz+bx+~c一的

215 含ax•+c 的积分...... 218

积分．．．．．．…............

(7)

(8) 含 sinax 或 cosax 的积

分．．．．．．．．．… ············219

5,1.3. 有限形式的积 分........................

........................... 210

(4) 三角函數的积分 ···00·198 (5) 超越函數的积分...... 199

5.1.4. 不定积分表...... 200 (1) 含 ax+b 的有理式的积 分...........................

200

(9) 含 sinax 和 cosax 的积 分........................

(10) 含 tgax,

223

ctgax, secax,

cscax 的积分．．．．．．．．．… 227 (11) 含 x•,

sinax 或 cosax

的积分．．．．．．．．．… "····22!} (12) 含 ea

X, x•, sinax,

cosax 的积分............

231

(13) 含 lnax 和-""的积分

• 11 •

........................... 234

5.3.1. 元夯限户又积分

(14) 含反三角函數的积分

........................... 235 5,2. 定积分 ··················237 5.2.1. 定积分及其性，愤 ........................ 237 (1) 牛頓－萊布尼玆公式

........................... 237 (2) 定积分的性臍......... 237 (3) 积分不等式............ 239

5.2.2. 定积分法周…, .. 239 (1) 換元积分法............ 239 (2) 分部积分法............ 240 (3) 奇偶函數的积分…, .. 240

(1) (2)

························247 收效与友散.. …········247 柯西主值...... ……... 247

(3) 收效判吋法…… ······247

5,3.2. 元界函敖的户叉 积分·······"··· …249 (1) 瑕煮．．．．．．．．．．．．．．．．．．… 2-J9 (2) 收斂与友散............

250

(3) 柯西主值…………… 250

(4) 收斂判別法………… 250

5,3.3. 户乂积分法則 ..................... 252 (1) 牛颕－萊布尼玆公式

5.2.3. 定积分表......... 240

.............................. 252

5,2.4. 定积分的盧用 ........................ 242

(2) 分瑣积分法········.. ··252

252

(3) 換元积分法......... …

、(1) 平面囹形的而积·….. 242

(4) 分部积分法

(2) 旋特曲面的側面积

5.3.4. 户乂积分表 ······252

........................ …243 (3) 平面曲綫的弧長...... 243 (4) 立体体积...............

244

(5) 平面圉形的几何童心

···························245 (6) 平面困形的餑功慣量

(7)

(8)

.5,3.

······.. ·····.............. z46 流体圧力............... 246 交力作功............... 246 「乂积分............... z47

• 12•

············252

5.4. 含參數积分．．… ········259 5.4.1. 含參敖常叉积分 ..................... 259 (1) 连換性.................. 259 (2) 対參數求~............ 259 (3) 対參數积分

············260

5.4.2. 含參敖户叉积分 ..................... 260 (1) 一致收斂性

············260

(2) 一致收斂判別法

······260

(3) 连鎂性.................. 262

(11)

(4) 対參數求尋............ 262

(12)

(5) 対參數积分............ 262

5.5.

斯蒂吉斯积分......... 263

5 .5 .1. 斯蒂吉斯积分及 其性篪............ 263

m 重积分的计算...... ,.. 27"3

m 重积分的交暈変換

.............................. 274 (13) 极坐杯下的 m 重积分

··························.. ··275 5.6.2. 曲綫积分... …… 275 …… ···275

(1) 斯蒂吉斯积分....... ,,·263

(1) 曲紱积分......

(2) 斯蒂吉斯积分的性原

(2) 曲綫积分的性厭… ··•276

.............................. 263

(3) 曲綫积分的计諄·… ··277

5.5.2. 积分法則 ·········265 (1) 分部积分法... …… ···265

(4) 两栄曲綫积分釩取天

(2) 化为定积分………… 265

(5) 格林公式．．．．．．… ······279

5 .6. 多元函敖的积分 ······266 5 .6 .1. 童积分．．．．．．．．．… 266 (1) 二重积分............ …266 ···························.. ·267 二重积分的変量変換

·························.. ···268 (4) 极坐杯下的二重积 5

(5)

(6)

(6) 平面曲紱积分与路往 的元美性．．．……… ···279 (7) 原函數… ···············2[]0 (8) 奇燕的循坏常鈫

(2) 二重积分的计算公式

(3)

.............................. 278

······························269 三熏积分…．．．…...... 269 三重积分的计算... …270

5.6.3. 曲面积分... …… 281 (1) 曲面积分．．．．．．．．．… ···281

(2) 曲面积分的性服… ···282 (3) 曲面积分的计算

.............................. 271

.............................. 285 (5) 高斯公式…............

底用......

…... ,, .... z72

(9) 球面坐杯下旳三重积

m 車元、冗...............

…...... 286

…......... 287

(1) 平面囹形的面积...... 287

(2) 曲面的面积………… 287

分...........................

(:o)

286

5.6.4. 多元甾敖积分約

(8) 郾柱面坐才示下的三重 积分...........

······2d4

(4) 两尖曲面积分的联系

(6) 斯托克司公式

(7) 三重积分的恋砒変邠

······280

272

…273

(3) 柱面的面积·……..... 288 (4)

立体体积...............

288

• 13 •

(6) 物休忌航羸与重心 ······289

(7) 変力做功 ···············291

(6) 特功慣量．．．．．．．．．．… ··290

第六章

向量与埼泠初步

6.1. 向量········· …...… ······293

306 耐普拉算子............ 307

(2) 方向等數...............

6 .1.1, 向量代敖．．．… ···293 (1) 向量…...... ……... …293

(3)

(2) 向量的加減法与數乘

6.2.2. 散度与旋度...... 307 (1) 散度..................... 307 (2) 旋度 ..................... 307

.............................. 294 (3) 綫性美系

···············295

(4) 向量乘法 ···············296

(4) 梯度的性限．．．．．．．．… ··307

(3) 散度与旋度的性臍

........................... 308

6.1.2. 向量分析 ·········299 (1) 向量函敖定乂 ·········299

(4) 耐普拉算子的性厭

(2) 向量函數的极限与连練 性........................

···························308 299

(3) 向量函數的皂數与微分

(5) 二阶微分运算

(6) 梯度、散度．旋度在

.............................. 300 (4)

圄柱面坐杯系和球面坐

杯系下的表迏式 ······308

向量函致的泰勒公式

............... ···············301 (5) 单位向量的変換

6.2.3. 向量汤的积分

······301

(6) 圖柱面坐棕系和球面坐

与体积尋敖…… 310 (l) 向量汤的曲綫积分

杯系的单位向量......... 303

(7) 向量的坐棕交換

······304

(8) 向量的常用坐栃変掞

···························310 (2) 坏量与势汤

6.2.

汤讠合初步

6.2. 1.

······305

(1) 梯度..................... 306

• 14•

························311 (4) 汤的曲面积分（通量）

............... 306

梯度............... 306

············310

(3) 曲綫积分与势函敖

.............................. 305 (9) 向量函數的积分

·········308

(5)

........................... 311 体积皂數............... 312

(6) 积分定理， ··············.'JJ3

第七章级

7.1.

敖瑣级數............ , .. 315

7 .1. .1.

级敖的效散性

斂 (2) 收效与一致收效 ······325

7.2.2. 一致收效判射

••••••••••••••••••••• …315 (1) 级數的斂散性定乂

........................... 315 (2) 级數的性厭

(1)

(2) 外尓斯特拉斯判別法

..................... …326

············316

7.1.2. 正項级敖的判 效法.................. 317

法············...... 325 柯西准則............... 325

(3) 阿贝尓判別法......... 326

(4) 狄里克萊判別法 ······326

327

(1) 正璜级．數............... 317

(5) 狄尼判別法............

(2) 基本判別法............ 317

7.2.3. 一或收效的函數 頊级敖的性原

(3) 比鉸判別法... : ........ 317 (4) 柯西判別法............ 318

........................... 327

(5) 迏朗贝尓判別法...... 319

(1) 和函數的连埃性 ······327

(6) 拉阿伯判別法......... 319

(2) 逐瑣微分 ···············327

(7) 高斯判別法............ 320

(3) 逐瑣积分...............

(8) 柯西积分判別法...... 320

7.3.

327

冪级數............. ….. 328

(9) 対敷判別法............ 321

7 .3.1. 收效半役......... 328

7 .1.3. 交吾级敖的判

(1) 冪级數．．．．．．．．．……... 328

效法.................. 321

(2) 收斂半椏 ···············328

(1) 柯西判別法............ 321

(3) 柯西－阿迏瑪公式...... 328

(2) 迏朗贝尓判別法...... 321

(4) 阿贝尓定理............ 329

(3) 阿贝尓判別法......... 321

7.3.2. 峯级敖的运算

(4) 狄里克萊判別法...... 322

........................ 329

(5) 萊布尼玆判別法...... 3z2

(1) 逐噸取极限

(6) 某些致璜级數的和 ···322

(2) 逐哦微分............... 330

函數瑣级數…......... 3z4

(3) 逐璜积分 ···············330

7.2.

7. 2.1. 一致收效性 ······324 (1) 函欸瑣级敖............ 3z4

......... …829

7.3.3. 菡敖的嘉级敖 晨升式．．．．．．．．．… 33.1 • 15•

(1) 泰勒级致与廷克芳林

级敖展升式...... 3,1 f

级敖．．．．．．…............ 331

(1) 周期为 2lt 旳函效殷刃·

(2) 函敖展汗成幕级數

式....、...............

........................... ·331

(2) 周期为 2t 的函數展卉

(3) 常用初等函欬的冪级 數展玕式...............

式．．．．．．．．．．．．…．．．…... 345

33.1

(3)

(4) 某些初等函致的冪级 敖展孖式...............

7.4.

·...... 344

在任意阅瓦囘上給定 的函數展升式... 專.....

336

(4)

傅里吁级數............ 33s

7. 4 .1. 傅里吐级敖及其

346

某些常用函數的傅里 吐级敗展玕式......... 347

(5)

某些分段函敗的傅里

......…...... 33s

吁级數展玕式......... 355

(1) 歐拉－傅里吐公式...... 33a

7.4.4. 二靈傅里吐级敖 ........................ 36 J

性旗

(2) 傅里吐级敖.....

…····338

元究乘积............ 363

(3) 傅里吐系敖的性肌 ···339

7.5.

(4) 傅里吐级啟的部分和

7. 5. 1. 元夯乘积的效散

........................... 340 (5) 1lil 里吁级數的逐項徹

性············... { 1)

分与逐項积分......... 341

7.4.2. 傅里卟级敖收欽 性的判剔......... 342 (l) 狄尼判別法............ 342

;.. 363

元夯乘积…............ 353

354 (3) 絶対收欽............... 355 (2)

收斂判別法............

(2) 李普希玆判 ,:llj 法·….. 342

7 .5 ..2. 涵敖頊元究乘积 ........................ 355 (1) 一致收欽............... 365

(3) 狄里克萊－若蚩判別法

(2)

(4) 吉布斯覬象............

343

........................... 366 (3)

7.4.3. 函教的傅里吐

某些函啟的元夯乘积 展升式.................

,366

8.1. 爰変函敖的寺數与 积分........................

• 16•

368

8. J. 1. 菱交菡放的极限 与连綏性．．….... 368

齡

第八章夏変函數

癌泣 T4i3

........................ …343

一致收斂的判別法

(1)

復交函數的极限...... 368

(4)

三角菡敖............... 875

(2)

復変函敬的连鏷性

(5)

反三角函敖............ 876

(6)

汊曲函數．．．．．．．．．．．．… 877

连塽笈変囷數的性臍

(7)

反汊曲函數............ 378

........................... 368

(8)

汊曲函致与三角函數

(3)

...... ….................. 368

8.1,2. 夏交函敖的尋敖 ........................ 369

的美系．．．．．．．．．．．．… ···378

8.2.4. 解析函敖的积

8. 1.3. 笈交甾教的积分 ........................ 369

(1)

柯西积分定理......... 379

(1)

復交函數的积分·… ··369

(2)

不定积分与原函數

(2)

復変函數积分的性厭

················--······--·370 (3)

復交函敖积分的计算

··········""""""""'370 8,2. 解析函敖............... 371 8.2.1. 祠西－黎曼方程 (1)

························371 解析函敖............... 371

(2)

柯西－黎曼方程...... 371

(3)

形式皂敖............... 372

8.2,2. 调和函敖....... ,.372 (1)

．．．．．．．．暈......

解析函敖与调和函救

•··········· …············373 8,2.3. 初等解析函敖 ........................ 373

…...... ···379

(3) (4)

柯西积分公式......... 380

(5)

莫累拉定理............ 382

(6)

平均值定理............ 382

(7) (8)

最大模原理............ 382

(9)

対维尓定理............ 383

(10)

调和函敖的泊松公式

柯西型积分........... 381

柯西不等式............ 382

.. ·.. ·...•.. ·· ·•.......... ·3 8 3 8,3. 保角映射与分式綫性

凋和函敖与共螈稠和 函致……．．．．．．．．．…… 372

(2)

分性愤............ 379

交換.................. 383

8.3.1. 保角映射……… 383 (1) 保角映射．．．…．．．…... 383 (2) 保角映射的判別...... 384 (3) 呆角映射旳性服... … 384 8.3.2.

分式綫隹交換

(1)

指數函數．．．．．．…．．．… 373

(2)

対敖函數．．．．．．……... 37 4

(1)

分式綫性変換…… •0•384

(3)

碁函敖．．．．．．………… 375

(2)

简单分式綫性変換

........................ 384

• 11•

........................... 385 (3)

几秤典型的分式綫性

的性振...

(5)

某些函敖的夢蜊级敖

........................ 393

変換．．．．．．．．．… ······385

(4)

分式鈛性変換的性胭

(6)

分式綫性変換的分突

表迏式...............

39(?

8.5. 留致．．．………．．．．．．… 399

...... _, ............... 387

8.5.1. 望數基本定理及

8.4. 解析函數的级數展玕 ........................... 388

(1)

留敖…．．．．．．．．．．．．…… 399

8.4.1. 泰勒级敖……... 388

(2)

留數基本定理·······.. 399

(3)

孤立奇熹的留致... -... 399

................... ~··.. 388

(4)

元究远燕的留玫…… 401

(2)

阿贝尓定理 ······••,•"·SBB

(5)

幅角原理...............

(3)

冪级數的运算 ·········388

(6)

(4)

泰勒级敖展玕定理

8.5.2. 用留啟计算定积

(1)

柯西－阿迏瑪定理

.....•••.••• (5)

灣........

…389

其亙用…... …… 399

402 儒歇定理............... 402 分（围道积分）

解析函敖的四令等价 定乂…..................

........................ 402 390

(6)

解析函致的零熹…… 390

(7)

解析函致的唯一性 定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．… 390

8.4.2. 夢朗级藪与孤

(1)

用留敖计算定积分的

主要步驟．．．……．．．… 402

(2)

几令弓 1 理．．＂＂＂．… ···403

(3)

~

(2)

计算．．．．．．．．．．．．．．．… 403

(4)

孤立奇煮．…........ …391

(4)

解析函致在元夯远燕

00 一 00

e' 可(.x)dx型积

分的计算．．．……... 40,1

(6)

~

00

ei 可(x)dx 型积

- 00

分的柯西主值

..................... ,.. 404

1. ＃＇

…............ 391

(3)

• 18•

~

391

夢朗级致展升式的唯 一性......

/(x)dx 型积分的

要妾子 4'令

夢朗级致的展卉 定理.....................

00

- 00

立奇熹 ············391 (1)

..

半純函致的部分分式

........................ 386 (5)

…......... …392

第九章

9.1.1. 拉普拉斯交換

,`

23

r\

、`，、＇

•

9. ! . 拉普拉斯変換 ·········405

积分変換

•...•.•••••••••••• …405 (1)

拉普拉斯変換 ·········405

(2)

反演公式 ···············405

(3)

用留數求像原函數 ···405

(4)

9.2.2. 傅里吐変換的佳 原及主要公式

(1) (2)

拉普拉斯変換的性臍

(3)

由 f(t) 査 l(s)=;t[/

(2)

…............ …408

[J(x)J-····· …...... …430

2 3 ( (

反演公式 ·········428

r4

由 J(x) 查 Fc(t)=§i。

第十章

l O. 1. 由积分确定的特殊

由」 (x) 查 Fs(t)=§i.

[f(x)]·········•··••···•438

傅里吁交換•··......... 4zs

函致.....................

由 J(x) 査 F(t)=§i

[J(x)J .. ·········· …… 437

9.2.1. 傅里吋交換及其 (l)

…430

9.2.3. 傅里吐交換表 ........................ 430

J

*iFkA

傅里吁交換............ 4zs

傅里吁正弦変換的性 厭......................

、',、

[l(s)] ... …............ 421

9.2.

(4)

(1)

由 l(s) 査/(t)=;t-1

傅里吁余弦変換的性

厭 ···········•00··········430

要公式…... …······406

9.1.3. 拉普拉斯交換表 ........................ 408

傅里吁交換的主要 公式... ………... …···429

························406 拉普拉斯交換的主

傅里吁交換的住厭

························429

····················· ···406

(t)]

傅里吁正弦交換及其

........................ 429

的性原及主要公式

(l)

…428

反演公式········· …… 429

9.1.2. 拉普拉斯交換

(2)

428

傅里吁余弦変換及其 反演公式... ….......

及其反演公式

(1)

反演公式...............

特殊函數

10.1.1. r- 菡藪 (ti 与 441

甾敖）…．．．… ···44!

• 19•

(j)

..................... 45(

「－函數的几神不同定 叉．．．．．．．．．．．．．．．．．．…… 441

(2)

可化为 r- 函敖的积分

不完全伽弓函數的几 秤不同定乂·…........

(2)

(2)

10.1.7 ...正弦积分与余 弦积分..... …... 4,55 (1)

445

不完全伽舄函效的公

式．．．．．．．．．．．．•．．．．．．．．．… 445

(2)

正弦积分与余弦积分

10.1.8. 汊曲正弦积分与

汊曲佘弦积分 ........................ 457

B-函致的几神不同定 叉．．．…．．．….. ~.........

455

的公式．．．．．．．．．…… ···455

函敖）．．．．．．．．．… 447

(1)

正弦积分与余弦积分 的定乂．．．…......... …

(2)

10.1.3. B- 函敖（贝塔

菲浬尓函致的公式

........................ 454

「－函數的公式,·········443

10.1.2. 不完全你与函 敖....-.• :.. :........ 445 (1)

菲涅尓函敖的定 乂．．．．．．．．．．．．．．．．．．… 454

...............,...... …442 (3)

(1)

447

(1)

可化为 B- 函敖的积分

汊曲正弦积分与汊曲

余弦积分的定乂…… 457

汊曲正弦积分与汊曲

············............ .:;47 (3) B- 函致的公式... …... 448

(2)

10, 1. 4 lJ!- 函敖（普塞

10.1.9. 抒數积分．．．… 458

甾敖）

(1)

甲－函敖的几神不同定 乂.........

(2)

......... : .. 449

(1) 指效积分的宅乂…… 458 (2)

_. ... ,....... …449

可化为甲－函敖的积分

........................... 450 (3)

余弦积分的公式...... 457

甲－函敖的公式 ·········450

10.1.10. 対敖积分…… 459 (1)

対數积分的定乂…… 459

(2)

対敖积分的公式......

分…….........

积分）．．．．．．．．．… 452

(I)

课差函數的定乂... …452

(2)

课差函數的公式......

, 20•

452

459

10.1.11. 勒辻德拥圜积

10. 1.5. 泯差函敖（概率

10.1.6. 菲涅尓函敖

指數积分的公式 ······458

(1)

勒辻德橢凹积分的定 乂.........

(2)

460

…... …… 460

可化为勒辻德橢囿积 分的积分………......

16 0

('` J2

蝨辻 ti\ 腳屈积分的 公式.....................

463

10.1.12. 完全 ii有回积分 ........................ 465 (l)

完全橢圓积分的公式

(3)

,\,` 12 、',、,'

(2)

閂四函數的性訳...... 468

........................ 484 (3)

10.3.3. 抛物綫柱菡敖 ..................... 485

459

(1)

…...... …470

(2)

抛物綫柱函數的公式

........................ 486

雅可比 4~ 圓函致的公

470

10.3.4. 埃尓米特嵒敖 与埃尓米特多

10.2.3. 外尓斯特拉斯

項式...............

拥圓函敖…… 477 (1)

外尓斯特拉斯橢團函

488

埃尓米特函數与埃尓

米特多項式旳定乂

敖的定乂... ………… 477

........................ 488

外尓斯特拉斯榨圓函 致的公式............ …

抛物綫柱函數的定乂

........................ 485

雅可比橢圓函敖在特

式........................

(2)

可以用意泰克菡數表

469

雅可比橢圓函敗的定 乂........................

(1)

························483

示的特殊函數.... … ··485

數…...............

(3)

惠泰克函數的定乂

惠泰克菡數的公式

10.2.2. 雅可比棉國篋

途熹的值...

惠泰克菡敖

10.3.2.

橢圓菡敖...... 467

橢圓函數的定乂...... 457

(2)

庠默尓函數的公式

............ ············483

(1)

(1)

庠默尓函致的定叉

........................ 479

橢圓函敖............ 457

10,2,1.

479

........................ 480

........................ 466 10.2

超几何级故............

完全橢圓积分的定乂

........................ 465 (2)

、 , 、,＇

(3)

477

10 .3. 由微分方程确定的 特殊函敖......... …… 479

10.3.1. 庠默尓甾敖（合流 蔑几何级敖） ...... 479

(2)

埃尓米特函效和埃尓 米特多痢式的公式

........................ 489 10. 3. 5. 拉蓋尓多疽式 ..................... 493 ·21·

(1)

一般拉益尓多璜式与

(1)

拉蓋尓多瑣式的定乂

........••••••.••• ··~ …493 (2)

················.. ······517 (2)

10.3.9. 切比雪夫多頊 式··········.. ······520

··········...... :....... 493 10.3.6. 超几何甾敖 ..................... 498

(1)

超几何函敖的定乂

(2)

(1)

式 ···············522

可以用超 J1 何函數表

(1)

可以用超几何函數表

(2)

10.3.7. 勒辻德函敖与勒 辻德多頊式

10.3.11. 贝塞尓函敖 ·····················524 (1)

勒辻德函數与勒辻德多

(2)

(3)

(3)

506

第一澶二哭勒辻德函

勒辻徳多璜式及Qn (z) 的公式……… 514

10.3.8. 蓋根堡多項式 ·····················517 • 2 2·

贝塞尓函數与某些特 殊函致的哭系式 ······542

(4)

変型贝塞尓函敖的 定乂......

敖的公式… ············512

(4)

贝塞尓函數的公式

........................ 524

項式的定乂…… ······505 一般勒辻德函數的公

贝塞尓函數的定乂

........................ 524

·····················505

式........................

雅可比多璜式的公式

........................ 522

拉普拉斯変換 ·········504

(2)

雅可比多項式旳定乂

·················-- ..... 522

示的某些特殊函數的

(1)

…520

10.3.10. 雅可比多項

超几何函敖的公式

示的初等函敢 ······504

{4)

切比雪夫多項式的

公式···············

························498 (3)

切比雪夫多項式的 定乂…．．．．．．．．．… ···520

···························498 (2)

益根堡多璜式的公式

........................ 517

一般拉蓋尓多璜式与

拉益尓多璜式的公式

益根堡多瑣式的定乂

(5)

…·········544

交型贝塞尓函敖的 公式···············

…… 545

10.4. 用函數的展玕式定 乂的特殊函數… rn•550

10.,t.l. 贝努里多項式

JO, 仁．歐拉多 '.IJli :;:'(. 与

与贝努里數

砍拉成..... …···.552

........................ 550 (1)

贝努里多珝式与贝努

的定乂··············· …552

里敖的定乂............ 550

(2)

(2)

贝努里多璜式与贝努 里故的公式............

常微分方程

'(10)

11.1.1. 鮮的存在唯一 (1)

…555

一阶微分方程的形式

(2)

柯西存在定理 ·········555

(3)

存在唯一性定理 ······556

11.1.2. 可积奐型 ······556 (1) 変量分窩型方程...... 556 可化为交量分窩型方 桿.....................

…557

(3)

芥次方程···············557

(4)

可化为芥次型方程

'f合對（全微分）方理

···········.. ·······.....563 (11)

积分因子 ···············563

(12)

一阶隠式微分方程

············•········ …566

······.................. 555

(2)

553

551

一阶微分方程...... 555

悼...............

砍拉多琬式与歐拉敖 的公式..................

第十一章

11.1.

吹拉多珝式与吹拉敖

(1)

(13) 拉格朗日方荐…… ···568 (14) 克萊夢方程············568 11.1.3. 奇惟............... 568 (1) (2)

11.2.

奇解·····················568 奇解的求法............ 569

高阶微分方程 ······569

11. 2 .1. 一般高阶徼分 方程.........

……· •·••••••••••••••• 5 5 8

…… 569

(1)

窩阶微分方程的形式

(5)

曳性方程............... 55s

(6)

贝努里方程............ 559

(2)

(7)

黎卡提方程 ············559

(3)

························569 存在唯一性定理...... 570 降阶法...... ……...... 570

(8)

笮一奕阿贝尓方稈

(4)

n 阶方程的可积哭型

•• {r)

暈.....

•···•••••••••••• 5 61

第二哭阿贝尓方程 ．．．嚀....................

························572 11.2.2. 商阶交系敖鈛

562

性微分方程

• 23•

(1)

｀己

............

壇·

•

••••••

·57 .4

(7)

常系數非卉次綫性微

高阶吝次綫性微分方

分方程的拉普拉斯変

程的解的性厭与結杓

換解祛 ··················58:i

(2)

·..... ·........... ·· · ·· ·57 4 対维尓公式............ 575

11.2 .4. 歐拉方程 ······587 (1) 歐拉方程 ······.•········587

(3)

:ff 次洩性方程的冪级

(2)

芥次歆拉方程的解法

..................•..... 587

敖解法 ··················576

(4)

高阶非芥次綫性微分

(3)

方程的解的性厭与結 杓…•

o• o• • • • •••••

II.•• •I.

(5) 高阶非芥次鈛性微分

法…．．．．．．．．．．．．…．．．… 588

5 7.._6 ;

(6)

11.3. 一阶鈛性微分方程 .組'

方程求幃的常敖変易 法…．．．…......... · · · · ·

·577

性微分方程鎝

........ ·..... · ·· · ···58 9 (I)

性黴分方程

(2)

常系敖芥次綫性微分

(3)

常系敖芥次綫性微分

組.. · •· · ••• · •••••••••••••

(3)

579

常系數非芥次綫性微

·.5 8 9

一阶芥次綫性微分方 程組的基解矩昨...... 590

(4)

分方程的比校系數解 法...

高阶毀性微分方程化 为一阶綫性微分方程

方程的特征方程·····•578

方程的解...............

一阶綫性微分方程組 及其向量表示......... 5a9

··· · ·· · · ·. .,. .......... 57 8

(2)

••••••••••••••• · ·· •·· · ··5 8 9

11.3.l. 一阶交系敖錢

常敖変易公式 ·······•·578

11.2.3 .. 商阶常系敖綫

(1)

非芥次歆拉方程的解

一阶芥次綫性微分方 程組的解的性厭与銘

………........ 暈… ·580

枸........................

590

(4)

简易比較系啟法...... 581

(5)

対维尓公式 ············591

(5)

微分算子与逆微分算

(6)

一阶非芥次綫性微分

子.....................

(6)

5s2

方程組的解的性厭与

常系致非卉次·域性微 分方程的算子解法

. · ·•......••....••......•. 584

• 24 •

結杓......

(7}

·········...... 591

一阶非芥次綫性微分

方程組求解的常啟交

掂公式············ …… 592

极值与欺拉方

]l.3.2. 一阶常系，敖綫

程..................

性做分方程继

...................... 592 (1)

(1) 位 F(x,y(x),v'(x) dx 型···············•

一阶常系效芥次鈛性微 分方程組的基解矩眸

(2)

........................ 592 (2) 、,＇)

(3)~X1 F (x ,11(x) ,Y'(x), Xo

一阶常系教非芥次綫性

微分方程組的解…… 595

11 .1. 変分法………... … ···596

1] .4.1. 泛菡的极值 ..................... 596 (1)

泛函的変分 ············596

~2)

最速降綫同題...

(3)

泛函的极值… ·········5_97

... ye"(x))dx 型..... ,600 (4)

第十二章

(1)

等周冏題……… ······603

y'(x) ,z'(x))dx 糸件极值.........

(3)

6'05

奇解与蘚析愔

..................... 605 一阶偏微分方程和方

···605

通解、完全解与奇弄

的

…···603

拉格朗日乘敖法…… 603

偏微分方程

(-3)

,:..... ,.. 605

通解与完全解、奇昇

解的美系 ···············606

12.1.1. 通愔、完全鮮、

(2)

;,

解..............

••••••••••••••••••••••••oo•

程組..................

奈件极值...... 603

(2) 櫺 F(x ,y(:i:) ,z(x),

12.l. 一阶偏微分方程

(1)

多重积分型………... 602

11. 4. 3.

…···596

11.4.2·. 积分型泛涵的

,Y'2(x),

… y0'(x)dx 型....... …… 599

34 一阶常系敖芥次洩性

·'.

\;~F(x ,Y1(X) ,Vz(x),

叭 (x)

························.593

微分方程組的解… ···594

..... 5.97

...... : .•..... , ... y.(x)'

基解矩眸 eAx 的计算

,`,`

597

(4)

柯西－柯娃列芙斯卡

姬定理……．．．…… 607

12.1.2. -阶綫性和姒 綫性偏徽分方

程······

…·········608 ·25•

(1)

一阶芥次綫性偏微分

(2)

｀汊曲型方程組......... 624

方程的特征方程 ······608

(2)

一阶芥次綫住偏微分

(3)

方程的解与通解…, .. 609

(3)

一阶芥次曲性偏微分 一阶非卉次綫性偏微 分方程与姒綫住方程

的解·········...

(5)

12.2.

微分方程的分 奐与括准型

..................... "0626 (1)

12.1.3. -阶非鈛性偏 (1) (2)

程的特征方程......... 626

(2)

程的特征方程... … ···612

型…·················· … 627

求完全解的拉格朗日－

…·614

(3)

两令自変暈的某些一

........................ 629 (4)

两介自変量的二阶半

的解…．．．．．．…．．．…… 614

綫性偏微分方程的分

n 令自変量的某些一

奐与棕准型..

阶非鈛性偏微分方程

12.2.2. 二阶綫性偏徽

(5)

克萊夢方程 ············621

(6)

波及夫方程 ············622

分方程組…… 624

……… 630

分算子与基本 解．．．…............

(1)

12.1.4. -阶綫性偏做

631

二阶綫性微分算 子........................

631

(2)

格林公式...... ;::. •••••• 632

一阶綫性偏微分方程

(3)

基本解............... …633

組的特征方向及分哭

(4)

柯西同題的基本解

........................ 624 • 26•

`

二阶半綫性偏微分方 程的分突与杯准型

的解法… ···············619

(1)

二阶常系獃綫性偏微

分方程的分奐与棕准

阶非綫住偏微分方程

(4)

二阶半綫性偏微分方

一阶非綫性偏微分方

卡比方法...........

(3)

…......... 626

12.2.1. 二阶半綫性偏

一阶姒綫住偏微分方

徼分方程 ······612

625

二阶半鈛性偏微分 方程.........

…······610

程柯西阿題的解 ······612

狹乂汊曲型方程組的 柯西冏魎...............

方程柯西同題的解 ···610

,(4)

狹乂汊曲型方程組与

..................... …634

(2). =ti-次熱侍忌方程的柯

12.3. 三利經典方程及其

西同題及其解公式... 6ti9

定解冏題............ 635

12,3.1. (1)

汊祜方程...... 635

636

-维芥次波劫方程柯

換法.....................

(7)

(9)

-维熱侍専方罟混合

法........................

663

..................... 664

644 (1)

……......... …645

拉普拉斯方程及其基 本解...............

(2)

…664

拉普拉斯方程的定解 向題..................

-维非卉次波劫方程

…665

混合同題的解........ ,652

(3)

內、外辺值冏題...... 665

可用分窩変量法求解的

(4)

狄里克萊冏題的解 公式............

某些高维波劫方程的 混合冏題…….......

…654

12.3,2. 燕侍尋方程 ..................... 658 (l)

…661

冏題求解的分窩変量

合同題的解、分窩変

(S)

-维熱侍専方程混合

12.3.3. 拉普拉斯方程

-维芥次波勃方程混

量法...

660

同題求解的积分交換

…641

西同題求解旳积分変

(7)

(6)

法.....................

641

「乂柯西阿題的黎曼 方法..................

-维熱侑畀方程柯西

阿題求解的积分変換

古尓沙冏題的特征伐 方法.....................

(6)

(5)

法........................

........................ 6 39

(5)

柯西冏題及其解公式

非芥次波羽方程的柯

西冏題及其解公式

(4)

非芥次熱侍尋方程的

........................ 659

何題及其解公式｀降

(3)

(4)

芥次波劫方程的柯西

维法.....................

芥次熱侍等方程柯西 冏題的基本解...... ,.. 659

波劫方程及其基本解

............... 嶋．．…... 6 35 (2)

(3)

(5)

…...... 666

浩伊曼何題的解公式

........................ 666 (6)

團或球的狄里克菜何

熱傍尋方程及其基本

題的解（泊松积分I

解.....................

........................ ,... 667

…658

• 21•

(7)

调和函救的性獷..... 668

(8) 泊松方程的辺值同題

格林函敖法…......... 669

狄里克萊冏題求解的

(10)

分窩変量法............ 671

........................ 669 (9)

狄里克萊「司題求解的

第十三章

13.1. 弗雷德霍姆方程 ........................... 673 13.1.1. 弗雷德霍姆定 理．．．…… ·······•·673

(l) (2)

弗雷徳霍姆方程... "·673

(3.)

语伊曼级數解｀预解

弗雷德霍姆定理...... 673

核......

(4)

…............ …674

弗雷德霍姆分母…… 676

积分方程

(1)

対杯核... : •••••••••••••• 680

(2)

非対狳核·············.. 681

(3) 埃尓米特核 ············681 (4) .. 反対你核................ 682 、 (5)

:·•····"0"'0""""'""··683 13.2.

…...... 677

(1)

退化核.........

(2)

具有退化核的弗雷德

霍姆方程旳解... … "·677

13.1.3. 几奐非退化核

沃尓泰方程 ·········683 沃尓泰方程…......... 683

(1)

第二突沃尓泰方程的

(2)··

等级數解｀预解核

13.1.2. 退化核的情形 ·······、 ·············677

伴碴核可自伴隨核

··········.............. 684 (3)

特殊核:K(x-0•·····685

13.3. 奇昇积分方程 ······686 (1)

几奕含元夯限枳分的 奇昇积分方程.. …… ·686

(2)

的情形............ 680

几哭含元界函數积分 的奇昇积分方程 ······687

第十园章概率沱

14.1.

概率...............

…690

14.1.2. 概率的几神定 叉............

14.1.1. 事件、事件的运算

…… 691

美系······ …·········690

(l)

概率的古典定乂…... 691

(1)

事件…．．．．．．．．．… ······690

(2)

概率的统计定乂… ···691

(2)

事件的运算美系 ······690

(3)

几何概率...............

• 2g •

691

u) .• { 1

氙率明厄挙定叉...... fJ92 1

,i

·-H-柢率曲蓁本 l主

......。

·1.:

_
。

`

. ,2.

a

。

`

四吁玫瑰鈛

(21)

p=asin20. p=acos20. 1 2

面积 =-nai.

X ,

I

2.2. 2 .2.1.

(1)

rz

.o 這:'."'.. ,,,•••一·

空同解析几何

空「司直角坐抃交換

平移

+ a,b,c. = XYZ ____+ + l

或（］鬥）十(~).

｛［三－二［凸(~)一(:). (2)

旋誇

x=t11X +t12Y +t18Z• {y-t,.X +t,.Y +1,.z, y=t31X +tuY +tsaZ.

x

fut西

z

t31ta2ts,'L,''

或 (y)-(,.,,.,,)

X

(\

• 63 ,_

X =f11x+t21y+t81z,

~

{ Y t.,x +t,,y+t,.z, Z=t13X+t2aY+taaz.

X

t11t21t31

Z

..)(y f1af2sfs3 z •

或(v) 十..

x

,.,, )

其中扉 f21, 耘为X紬在原坐杯 (x,y,z) 中的方向佘弦； f2.1,t22, 12.a 为 Y 軸方向余弦；如伍伍为 Z 紬方向余弦．

(3)

平移同时旋箝

X

=lu(x-a)+t21(y-b) 十知 (z-c),

r ~Y =t1zCx-a)+t22(y-b)+t82(z-c), lZ =t1a(x-a) +t28(y-b) +t88(z-c), X=tuX +t12.Y +tisZ +a,

{

y=t21X +t~1Y +t22Z +b,

Z=f81X +t22Y +t33Z +c.

(4)

空阅直角坐柝(x,y,z) 与柱坐棕 (p, ¢, z') 的哭系

X

,

丶··

y

¢=arctg -,

¢¢ xyz oSn pcpsi'z. , l l l l =

Ii_i

p= ✓x勺-yz

Z =Z 。

'

(5)

空 1可直角坐柝 (x,y,z) 与球坐栃(p,0,¢) 的哭系

t P =,.; x2+v2+22-,

I.

0 =arc cos~=z..,. .

l¢~arc,g~.

r

~psin 0cos~,

y=psin0sin¢,

z=pcos¢. (6)

今

64•

-,

- =arc tg ,{_x2+Y2 z

✓ xi 十护十 z2

球坐柝 (p,¢,0) 与柱坐 tf-(p',¢',z') 的夫系

l l l = l

2

l-

-

s

。

-'.

-4_-

1'i'

「

-

＼

z,

c c

i'

8a \

l l =

．；；;：

',

.1n ', ' s.c p¢z p¢p '· 。。

J p 2O 2[P pp0

'··i_

-' ', f'_, ' +s z,

l

、

2.2.2.

射影定理

設 (P1Pi)1 表示綫段凡 P2 在 l 紬上的射影，則l

1)

(P1P2)i= IP1 凡 lcos(l,P1P2).

2)

(P1Pi;)=(P1P2)i+(P2Ps)i 十 (Ps瓦）［十 (P4凡） le

2.2.3. (1)

一般式

乎面方程

Ax+By+Cz+D=O.

或 r•n=D.

國＝

(A,B,C) 为法綫方向）

召x+By+Cz=O, 通這原東．

IAx+By+D=O,

与 Z 紬平行．

lAx+D=O( 或X=a), 与yOz平面平行（与X紬垂直）．

特殊情況 (Ax+By=O, 通逍 z紬． X= 毋表示 yOz 平面．

(2)

魚法式

A(x-x 。) + B(y-y。)

+

C(z-z 。) =0,

(Xo,Y。 ,z。)東，且法綫的方向故为 A,B,C. 或

n• 伊 -r 。） =0.

(3)

截距式 X y 2 —+ -十一 =1, a b c

a,b,c 分別表示在三令紬上的截距．

(4)

法鈛式

xcosa +

ycos/3 十 zcosy-p=O, 或， •n 。 -p=O,

式中 a,/3, y表示平面法紋的方向角； P表示原森到平面距窩． • IJS•

這

三魚式

(5)

'

xxxx

z

y

l'a9" 一

或

11

z uy I '·3

1 i =0, Y2 Z2 1 -- Zs

q-

丨 x-x3

y-y3

z-z8

I X1 -Xa

Yi -Ya

Z1 一 Z3

I i

=0.

I 生一怎 Y2 一拓 Zz 一 Z3: 式中 (X1,Y1,Z1), (巧， Y2,Zt) (X3,Ya,Za) 表示平面通述的三令怠． 或 i 时 a;;=O) . . . ; II (上三角形矩眸）． a,.n I

Il

.

\

｛恥

B="

o

蚣 b22

I=

.. .

！如...

2)

圃

三角形矩眸

(2)

咋）：

•••,J~1>J;2l).

I

,

=(如） nxno (i< 」时如 =0)

~ c下三角形矩眸）．

b,.., ;

\;/C=(CiJ)n.,.3A (上三角形短眸）、 B (下三 fJ 二巧可

C=AB. 3) 若 A1 与A2 为两介上三角形矩眸， B1 与 B2 为两令下三.HJ

形矩眸，則

A, 士 A2, A1A21 hAu • 8.9•

Bi 士 B2, B1Bu kB1

仍分別为上三角形矩眸和下三角形矩眸。

非奇昇上（下）三角形矩眸的逆矩眸仍为上（下）三角

4)

形矩眸．若

A=(a1」)霏 KIi (「>; 时a,,=O, a"=J=O, i=l,2, …, 11),

B=(如）霏 X71 (im 时au=O; 上述 A 中取 m勺1 一 I
-oo i,-c~k 一-> , 0

@

且 lima,, =a, A,,,.AEC瑁 xn ,limA/i:

設 {ad 是一介效列，

t-+oo

l;-+o->

=A, 龑lJ lima,,A,,=lima 山 mA-,,=aA.

i,-oc

上一➔ =

@

k 一》。

若 A,, 、 AEC"' 鬥 A;l~A-1 存在，

且 limA,,=A, 1-00

剿

limA;1 =A-1. t---+=

3)

矩眸序列收斂的充要糸件：

@

設 A1r=(a}f)ECmx",A=(a, 」)ecmx",li!IJlimAt=A 的充 k-+o-

要糸件是

lima~~) =a」;, (i=l,2, ···m, i=l.2, •••n)

~-00

`

a11 2···1m n ( J 1m ',k > 1·1m a ~k> 「 -~ a i I 丶

1·a,ik• I!ID ',k 1m 」 a22•

A

1m• 一 l,-.+00

Jc ---:. ,..,.c,

丶

… l'a!k 1m n • -00

J,-. C Y ' J ; -

．．．．．．帚......................... 毒．．．．．．

r1fil Uml,

正）

\

{j ==i

k-'-"'

1·- ex,

G11 G12 Gin 021 ll22••• a 坏

lim a (,kisl 1,-00

'

=A

li a,,.1 虯••• Om..n. 丿 . • 113•

矩眸 AEC"•n 的方冪序列： /,A,···, Ak, ... 收欽于零矩

®

ll:t,OEC 户｀的充要糸件是4的遇半怪p(A)©淌足: p(A)a

.,,

…,-~a lim a2,.(t)

.......................................... lima,,.1(1) limam2U) …limam,.U) ,-a ,

,._。

....。

o(A)= 血x{

AtC•x•. i,,.

1;., I}.

,_,=,, ~.... ,

!i) 是 A 的特征值｀

、

,\.i_

fJa

A l-

•

葦

.. . .

ll

~~i~

疝l~鮋 al

f,'~

aa·a 222"m nn 1 2.

• ，

涑'，

am`

,>

.

其中 a 可为有限值或为= (莒 t 为实突致盯， a 也可取为 -co) 純交量的矩眸值函故的极限迟算広訂

2)

設 limA(t)=A, ;-+a

limB(t)=B.

,--•a

CD ;石!AU) 与 B(t) 具有相回的行敖和列委幻則 lim[A(t) 士 B(t)J=limA(t) 土 limB(t)=A土 B. 1-~a

t 一，，

,

.....。

@ 若 AU) 的行數等于 BO). /J§5t>

IV/ 二元；（ 鬥`

in

rllli

--一

n!

\

e I

=1.

n-、 ,c,

'1

`)

10)

1

1

比吧 (1+ 2+ 3+ .. •+~;-ln n)=C11 = 0. 5772156649···. (歐拉常致）

!-" =—一--=O n-"'-" n+1 2 ✓ 5 一1

lim

F邙=

l

.61803398 ... ,

1+N15- n+1

其中

1-,./5- n+!

5[( 2 ) -(·2)

,./

l,

(n=O. 1, 匕，...) 稔为斐波納奇效列．

(7)

函斂的极限

対于函敖 y=f(x),

1)

xE,sg 1

/(x) 在 X。燕的极限为A,

団「坦） =A:= V e>o 3 o(e,Xo)>ov xE 幻 (OO'

(1)

——-1-一

e--+•

4.1.3.

y=a,勺-b

－一一

「 Sin(a-(})=L

涵藪的连綏性

函數在一無连緤

f(x)EC(x。)： = lim f(x)=f(x。)令今 've>03o(e,x。) >o

x-x,

'r/ x(:.巧 (Ix- 引 OV x',x;'Ela,b]( 因 -x''lmax{lal, 囹，回}; l ,m, nEN)

为求其忌瓦常先取其対敖再求尋絞方便．如

lny1=b(x)lna(x). 两辺求皂，注意到 lny1 中 Yi 是x 的函蚊，故左端霨控缸式法則计 算

— 叭

=b'(x)lna (x) + Y1

由此得到

• J.S2.

b( 品） G1{X}

a(x)•

1 X Yi =a(x)b].

対于函數 Y2, 可突似计算．

(6)

畀敖与微分的基本公式

])

(x0)1 =axa-1•

d(x0)=axr1dx.

2)

(a•)'=a"'lna.

da•=a•lnadx.

(e勺 '=e•.

de•=e•dx.

3)

(log 。 x)'=

(lnx)'=

1 X

log。e X

1ogae

dlog 。x=~­

.

1 dlnx= -dx

•

X

dx.

X

.

4)

(sinx)'= cosx.

dsinx=cosxdx.

5)

(cosx)'= -sinx.

dcosx=-sinxdx.

6)

(tgx)'=sec2x.

dtgx=seczxdx.

7)

(ctgx)'= 一 csc2x.

dctgx= -csc2xdx.

8)

(secx)'=secxtgx.

dsecx=secxtgxdx.

9)

(cscx)'= 一 csc.xctgx.

dcscx= -cscxctgxdx.

sinx)'= —一— 1 xz. ,.J 1 一

d arcs1. nx=~---~1

-dx

10)

(arc

11)

(arc cosx)'= -

12)

(arctgx)'= - - 1

13)

(arcctgx)'= 一－一2-. darcctgx= ----一 2 dx.

14)

I l (arc secx) = - - - - - - darcsecx=-= x,./x2-l dx. xi\/'x2-1·

,./1 一 x:i.

•

1 1 .:.,;1.=-;i•darccosx= -立 1-~,xz 心．

1+x2•

d arctgx=

1

--2 dx. 1+x

1

l

1+x

I+x

i

,'t,'d.

1

arc ) cscx' = (

16)

(shx)'=chx.

dshx=chxdx.

17)

(chx)"=shx. (thx)'=sech2x. (cthx)'= -csch2x.

dchx=shxdx dthx=sech2xdx

18) 19)

_;,·_ -~

1 dx. darccscx= -~=一

15)

x,.Jxz 一 1·

x,_f:,c2 一 1

.

.

dcthx= -csch2xdx.

21)

(sechx)'=-sechxthx. dsechx= -sechxthxdx. (cschx)'=-cschxcthx. dcschx= -cschxcthxdx.

22)

(Ar.shx)'=--

23)

(Archx)/= 土

24)

1 (Ar thx)'=~--

l dx. dArthx=~-·2 1-x

25)

1(Arcthx)'=-l-Xt.

dArcthx=-- 1

26)

1 (Arsechx)'=+ -· 一二－

20)

—-1. ✓ 1 +x2•

l

dArshx=--~- --,-dx. ,J 1+x-

1

✓ X 1 一 1·

1 一 x2•

dArchx= 土

l

✓ x2 一 1

1 一 x2

dx.

dx.

-x ✓ 1-xz•

1 2dx. -x✓ 1-x

dArsechx=+ 27)

(Ar

.-

cschx)'= 一

1

x✓ 1+?• 1

dArcschx= 一－一

2dx,

x✓ 1+x

高阶尋斂与高阶微分法則

(7) 若

u(x) 、 v(x)ED•

1)

(cu)O, 則 ax勺-bx+c=a(x 丑） (X-Tf),

心x2+bx+c =心O) ---

-

J

lcad)

一'

i 2,./ ax+b -」 2 ad-be arctgj'!(ax+b) `尸 ad-be· C C

(c>o, bcl)

'xflJ7C 1", -() +1 , \ 2 i m@ a ( ac ＿士

,寸·，.＇

二3

、J

。

rj

[-

二｀

丶＇

1

•

三玉-=a[戸干cj玉2土；心］．

G)

---

r

-.;

x'r-dx

一 l)

ll)

T dx l x" 」祆a三曰－＝士 -2c-ln /ax2 士 cT·

13)

,a .U

x

2

士 ,1

12) 長這:Tc>'= 亡[~t 勺

···.,,

-c

-,.

J-;;2l)

-4)

j

5)

J .x,./ (a.x2.+c)" d x = ~ , . / (a.x1+c)11+1• (n+2)a

ii)

J·"2 ✓axc+cdx

.x,./a;足十i;dx=

3a

,./戸+c)a•

1

,~~[因 (o元十c)'-cz./严 c'

-✓~ln!K✓ -a + ✓ax'+cll (a>O)

=

1 一Sa-[ 2x✓ (as1+c)3 一EX」正五

一」云are sin(xJ:了） ]. C;

"7)

J ,e2,j區i+c),.dx=

(n 乩[ x,./區2五） n+「 -cJ ,./

8)

(a2)

15)

j✓=~霜－扎 x心元十c 一I」記丑dx].

16)

J✓"O)

I)

J

a這:~+,-l -凸： 2

一－

2)

0)

2ax+b ✓ 4ac-b2• (b2. 一 4acI)

2(~CJ~+b) --(62.-:.::..~4 ac) ,./·ax2-+bx+~~;

l--_

(b2 一 4ac~=0)

2,./a (2ax+b)2•

(b2 一 4ac=u)

一－－一

1

、I (2ax-x2)3

-=-(沅-3)a-l~---:xm

，邲x-x2dx

一 (m一 3) 」--

xm:..:1

J.

(m>2)

il) C i X 丐,/ 2ux-x2 ux 」

• 211•

一

,J (2a元一丑" 1 巨｀一一－一

rn+2

一 (2m +

l)a

jxm-1,J-2tix-云｀心］

,

{~~+1 一丶,./

2ax

..:.·:x,

(2m+1)1a•+1 +2mm1 (m+2)1 m+2

•r

. x-a a-arc S1!1 一一－

!al

2" 由） i

一五(ik+ff/丑］＼ ,,.

X

ii'

(m>O)

12) 」 xm ,1{~-::::r 一區-l)a [互ax-x1 1

一 (m一 1)Jxm-1,;~/2~;=八

=

m-i

(m-1) 西！一 ~2E

(2m)1

,./ 2ax-x

211•-1l)

13)

J」乙=xi尸四1~x2• xdx

14)

r✓ (2ax=x2)3--=-a立二-xi. 含 ax"+c 的积分

(7)

設 aa!.;=0,

1)

c¾O, n>O

Jxm(ax"+c) 心

• 218•

xm+i, dx*+c)~ '1 np+m+I 「(

I =
叭 ab+c2

e-aa:_e-•z 1 b2+c' -coscx d X=--ln -x 2 a1+c2

'1>0)

.(a>v,b 之心

(a>O) • 2 S 5•

r°"

(2n 一 l)n 29'> Je , x2"e-axidx= 了空－」竺. (a>o, nEN)

a

.

40丶」oc e 一(ax2+2bx+c)dx=

/~e b2:-ac. －～丶 a (a>O, ba-ac

41 > J°" (ax2+2fJx+v)e-{ax2+hx+c) dx -=

a(a2+2护）一 4/Jab +

=--~-

2yO• b2-acO)

,; , .·-"~

a

-

(V

4~;·l \

b•

e-ax2chbxdx=J__rr__e 4a. (a>O)

J-CO

U

44 「: e-(x丑）dx= 三-2a •

(a>O)

2

。

45) J :

e-a竺； e-bx• dx= 戶< ✓-b-- 尹）． (a>o, b>O>

46 >

「立

i

Jo

e-a幺 '-cosbx

－－一－－一— 2 -----dx=

X

47) J°''xe-ax'sin bxdx= o

Oo

,rn)

司 bl --一-

2

—

-一 」冗a.

(a>O)

b,{芝e- 辶 (a>O)

4a ✓ a

✓玉

J 0 X五 -x'cos2bxdx= (一 1)" -22n +l

d 五－伊 邲2正—.

(nEN) 49) f°'e-ax-"_i_n~~sin竺--dx= 狂~arc tg-b_+_£__ o x2 2 a

' o-c

2

arc tg

u-c

a

a+(b-c)2

0-- +4ln-a-:這五严 (a~o, b>o, c>o>

50) Joo~r_c:_ tgax-ar~_t_g~dx=-lfln a_ o

x

51) J~

2

b"

(a>o~b>O)

繹了＿＼三sgna[ I 叭十 1 一 ~1 +u2~,

52) r 严史竺£_C_tgbx －－心

x2

•

-{-fsgn(ab)-ln

(I霄凰鬪11+/b/

, (abs?

o.

(ab=U)

53) 「严 +a2) dx=-— n ln( 拉 l+ 向） • x2+b2

o

「）

lbl

(b 王 0)

54) 「严(!_-t-t~21_111(1±b2元） dx 11 x' ,

=
OV(-0;, y) E[a, oo j

;, LC, "'」:

: y;,._.,,JJ)i~ 却， ~' ,~

,^

f (:·;'!})氬::: ,!J) 心

天：沃 [c,d]- 只収 :c,x.

.,)

狄里克菜沿l 別法 ;-A

若\, a f(x, y)c

-f A>a, yE[c,dJ, ; rA

\ \ f(x, •- a

旦 V 吒 c,dl,

g(x,y) 辛 =r··;缸 1Jij 、

3 占'、>max{a, 卟 V 弋;,y)ELa, ·匭

一致怨字零 (x-oo) 卫'.;\'f.'~,(

=)Xi_c,

d~(尘?,-.A。今 jg(x,u)

!

,'

i

,'、

芸ny

丶

e I'..

y)d幻 l

丶

i~1

心x)dg(x)l~Mv. 8)

若 V 沒[a,b],

g( 名）非減，則

\ J:i(x)dg(x) 五 l / (Xi ! d !](X) • 9)

若

'r/ xE[a,b],

g(x) 非減，

目 f (x >~F(:,),

[f(.x)dg(x)< \°F(x)dg( 幻． , a

矗 264•

則

积分法則

5.5 .2. 分部积分法

{ i)

若 f(."C) 5(」 g(x) 的斯蒂吉斯积分存在，睏

fl>

;,

f(x)dg(x)=f(x)g(x)\ 」a a

b

a

g(x)df(x)

化为定积分

(2)

1)

J

若 /(x) 在 [a,bJ 上黎曼可积，叭 t)在 [a, bJ 上絕対可积，

g豆）可表示为

g(x)=C+

f cp(t)dt,

J。

扣园为記數，肌

J:!(x)dg(x)= J: 知）正） dx. 2)

芯 f(x) 在 [a,b] 上黎曼可积， g(x)EC[a,bJ, V xE 「 a,bJ:

g仁）几于灶灶存在且絕対可积，忙 J:!(x)d9{x)=J: 正） 9'(x)dx, 3)

若 /(x)EC[a,bJ,

V xE(a,b], g'(x) 几乎娃外存在日包

対可 ,fF'a

_g(::c) 在有限令自、 a=c。 -t。

• 299•

a=a(t) 在t 。熹连鸝

3)

a(t)EC(t0):

= lim a(t)=a(t0). t-t。

向量函致的畀敖与微分

(3)

放 a(t)=(a.,(t),

a,(t),

。 .(t))

向暈函數 a=a(t) 的皂數：

1)

a [: n-!

1 n(n+l)(n+2)

如3

3·4

=」-+」－十上 +···=一 1 1·3

=

1 1• 距 3

3•5

5•7

2•

1 十 l ·••= 4• + >3•4

:Ti: 1 1 l l. 了 ==l+ 尹+—+—+···=一－ n ,,, 32 42 6

.

--0

1 1 1 1 霑2 12) Z:( 一 1)"-J 一＝一一一－一.. ,= ni 1 211 + 3a 42 + 12 .. ,._; c,:,

13) na1 已

1

1

1

l

霹a

+u•== — 8 • (2n 一 1) i=l+-+ 32 —+戸 52

• 321•

`」

1

1

1

J

14) 已严 =l 十严十子己］五十... =-

/-,L'\,

-u.,,.

n-1

（趴为贝努里敖， 下同） ,,0

E( 一 1)"-1 詞=1- 甚－十黃－黃－十...

15)

｀一1 (2 庄 l 一 l)rc庄

--

00

16)

> ;::t

1 (2n 一 1)2.1"

1 l 1 =1 十~+~ 十严+·"

(2:1.k 一 1)nu

一

2·(2k)i

00

17)

1: (一 l)n-10 霉一 1

B,..

Bk.

1

1

1

一一 =1- 亨+~

(2n 一 l)U+l

't>

l

霹

211,+ 」

一 7狂+1 +···= -2,,. ... ~,nv,. E.,. (Er. 为歐拉數）

函數瑣级敖

7.2. 1.2.1. (1)

一致收斂怯

菡數項级敖

若

00

VnEN, gu11=[a,b], 則祚 E Us(x)=u1(x)+u,.(x)+•.. n-1

重:.

(,; •

』-::,.(x)+ … (aO

'` res 碌 il>J 寸 (z)J. 十 ni ,-, {'

/;=l

.?=a1,

v

.,

`

• 104 .~

,,

第九章积分変換 拉普拉斯変換

9 .1.

拉普拉斯交換及其反滇公式

9.1.1. (1)

拉普拉斯変換

対于实函敖 /(t),

由下述积分确定的夏值函敖

L(s)= 耳f(t)]=「 /(t)e-s'dt,

(s=u+iw)

。

杯为 f(t) 的拉普拉斯変換或像函數；而f(t) 杯为 L(s) 的拉普拉斯 逆変換或像原函敖，记为 /(t)=.97 一 1[L(s)J.

(2)

反演公式 o-+iOO

f(t)=9' 一 1[L(s)]

J

= -12;r」

, _,.,.,

L(s)ests。，即积分是沿着 s 平面上直级 Res=u 來取的，宅

此直鈛上及其右辺， L(s) 没有奇£. (3)

用留斂求像原函斂

若函啟 L(s) 在以任意实數 R>o 为半徭的优圓弧「上満足

.M

IL(s) l < J?k··, 其中 M, k 为正常記且除在直綫 Res=a 的左辺 L(s) 有至多穹 限令极熹 S上 (k=l,

2, ... ,

n) 外，別元其它奇氣，則函數，

, 40.5•

"

f(t)= 、 're•i 时若存在拉普拉斯変換便是 L(s) 的象原函麩， f(t)= 夕 -1[L(s)J.

9.1.2.

拉普拉斯変掞的住椋

(1)

1)

拉箸拉斯交換的性展及主要公式

夕 [af (t) +bg(t) J=a夕可 (t)J+b 缸 g(t)J.

(a,

b 为常敗）

(127 一」 [aL(s)+bM(s)J= 孽丐 L(s)J+bg;-1[M(s)J)

2)

!?[f (t)*g(t) J = .2'[/(t) J·.2'[g(t)J,

其中卷积

f(t)*n(t)= J: f(t)g(t--r)d-r= J/Ct-•)B(,)d•• 拉普拉斯変換的主要公式

(2)

設 .9'[/(t)]=L(s), m 、 nEN

1)

耳/(at)]=¾L

2)

!?[/(t-a)]=e-asL(s).

3)

!Z'[e0'/(t)J=L(s-a).

4)

g[tf(t)J= -L'(s).

5)

.!?[/'(t)]=sL(s)-f(O).

6)

夕 忙] 11 f(u)du = -L(s) -一 S --.

7)

Sf'[t"f(t)]=(-l)"V">(s).

• 106•

(1).

(a>O)

.7

:l)

[t可(t)J=r 區）；1,(2✓w)L(v)du. 。

\ Rt:v>-1, J .(z) 为贝塞尓函奴，

下同）

Sf'[/;~; ]=snL(s)- 巴" s"-"/'"-1)(0).

9)

(/偶 =/(0))

t-1

「「 t~, 10) 勺 •··j j(u)(du)"J= L(s).

,_,., u

霜·

O

S·

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第十章

特殊函敖

由积分确定的特殊函數

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10.1.1. (1)

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4)

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5)

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(Rez>-1, A>o,

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6) 「尸严sinbtdt=(a心）子sin (zarctg-~)r(z). j~1z-1e-111cosbtdt= (a2 十护）

7}

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(Rez>-1,

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(Rez>O)

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17)

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• 0

(Rez>O)

ln 戶） =;-{In户 1ns1n元 1

18)

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(Oo. Req>O)

k硐：：： 1)· ·_·c q:=k__l

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(p~{O} UN-, q>O) 00

3)

k(p+q+k) B(p, q)= fI 互+kJ1o,

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(b>a)

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2)

r

[(1+t)• 一 l(l-t)q-1+(1 +t)q-1(1- 研 Jdt

。

=21+q-1 B(p,q).

3) 『 (1-tZ)p-ldt=22'一2B(p,p). 。

4)

J: 严(1 一t")q-1dt=

拉 (f,q). (,t>O)

5)

J:' 尸(1-e-zt严 dt=扭 (1,

q).

(Rez>o, Ref >o)

L

b(t-a)P-1(b-t)q 一 i

6)

(t-c)p+q

dt= , L

(b-a)P+([-•

_、 ,r~-~ 、Q

B(p,q). • 447•

u丶 「\＇，｀`,

7)

C +tf·•-'(1 一 t)"·t-l

r}t=P,r-+7-?fl(p,q).

一丶--'

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149'- i',

,'J

~h21,-1icht -I c.t= -- I (1 +ash2t),+q 2a'

－。

,' ,'\'- sh•t chP t

r,4g3

`

,~. `

、j,

1i,1

1J u

, a+1 dt= ....., -B (-- 2

, 尸－）．

~Kt:!l? 之一 l, Re(.8-a)>O) h-h izp c ai ) 2 dt ""'4 」'l;l B 1\c

'

o, 、j

3 ,\1

p>o)

B- 涵敖的公式

.' !J(p,q1=B(q,P). c'l

`~,'

B(p, q)= 「 (p) 「 (q) • 「 (p+q)

p+q B(p+ 1,

:" .l

4.)

p

q ,l-

p-1-q C:

B(p,q+ l)=B(p, q).

B(p+1, q) 十叭 (p,q+ l)=B(p,q).

• 1·1 S•

.ll(p, q)B(JJ-1-q, r) =B(q, ,-)B(q+r, p)

5)

=B(r ,p)B(r+ P, q). 、丿丶,'

67

B(p, p)=2五(P, }).

B(p, p)B(p+ _l__, P+ .L)=2i-4戶 2

l '3(m ;nr =m

.,:)

i":. 1+1m, nEN:

p•

2

n+m-l

(tl 一 1)=n( m+n 刁

m-1

).

(V)= :V(l_'_-:-1)"心予l} 一—:C_(]_-t~辶 m

n! 「 (l+v-n)

n!

=- (-l)nI'(n-v) n!r(-v)

--一－一－一—

•

。

严 B(p, q+k)=B(p-1, q).

9)

lc=O

10.1.4. (l) -;)

庫－喦敖

（普塞甾麩）

屮－函啟的几沖不同定乂

「－函數的詞汶似商

d

「 '(z)

户） =dz ln「 (z)=-

「 czr·

2)

亮斯积分公式

因） =--~j a/4[-~- -二~']dt. 丶

.~3

`,'

(Rez>O)

i

亡 ~i 菜公式

，乜） =1JoLi 丶 1--~=·-·--/(1+t)" .i_ - ldt. 」

(Rez>O) • UIJ'"

l)

\b(z)=:,ll~[!nn 砉 z-!k] 1 =-C11 一－ z

＾、

+zE J;-1

1

--

k(z+k)

= =lnz十舌［心山）－山］． 其 111 今为歐拉常數． 可化为屮－函裁的积分

(2)

1)

J1- 户+二 ]dt= -ip(z).

2)

」一一

3)

J:'}[出 --(i圻]dt=i/J(z)+CH.

f1

O

4)

1-t" 一 l ]

-t

dt=ip(z)+Cs.

(Cs 为欺拉常數，下同）

--1/J(z). 「 -w+z2)(e2,rt t 一 1)-dt=llnz-1 1 2 4z 2

• V

屮－函致的公式

(3)

1)

1 1/:(-z)=f{J(z>+ 2+:n:ctgaz.

2)

叭 1-z)=..p(z)+nctg:rz.

3)

1JJ(z+n)=v,(z)+

4)

1iJ(z-n)= 叭 (z)-- ) '

＂一 1

• 450•

1 E z-Fk·(nEN) ;;-o

'

l ·(nEN)

-~ "'-'z-k· i.~1

k

., • , 一 I

5)

,~(rzz) = 11 五 1/J(z 十ri)+ Inn.

(uEN 刁 1})

霏一 1

6) ip(n)=

1 E-~-c.. k

(Cg 为歐拉常鷉下同）

1,-1

,

7)

rp(l)==-C11.

8) 弋+z)-¢且 -z) =:rrtg:rrz.

9)¢(乜 n)=2立 J—一2ln2-C8. 2k-1

(ne.N)

lo,•l

10) 灶）＝一2In2-C11. 靄一 1

11)

tr m:rr 1/J仁） In (r,)-2ctg-,.2sin k1r n n =[: cos主 i,-1

-lnn-C11. 12)

d"¢(z) dz" = (一 1) 霹十 lnll: 00

瓦一 O

1!2

1

(z+k) 貫 +i •

口一 1

13)¢'(n)=6- 立 £2• (nEN) t-• 14) 叭 -n)==.

(nEN)

15)¢✓(-尸）＝；這三 (2k 一 l)i•

(nEN)

i:•l

• ,/ 51•

,'(½)=-f.

16)

鴆

1

（一 l)"'B贏

ip(z)=lnz- 一十工

17)

2Z

2kza

k-1

1

+o(士）．

1

-"'1

=ln(z 一 1)- 一－－一－－．十 2(z-1) 令 (z 一 1)2'"""--"''

+ ...

（囯-=)

其中趴为贝努里敖

18) lim[¢(z+n)-lnn]=O. a•

OO

泯差甾敖（柢率积分）

10.1.5.

泯差函敖的定乂

(1)

溴羞函數（概率积分）

1)

2

z

erf (z)=歹;J。e-t2dt. 」

zAt-1k+l 2 erf(z)=-~~e-一 zt)' ` , n --' (2k+1)11• r.-6

（因 o, lzl 今=)

且若记 n

e-z2

,, (2k-l)!! erf (z)=l- ✓n"z-[ 1 十 ~(-1) --(2z2)k, ]+rn(z) k•I

則

伝 (z)I
o) 其中 t:111-,m(:Z) 为惠泰克函數． 3 ) ~印L~'(t)]=--「(J+l)「 (µ+n+l) .

町「 (µ+1)

.

·-)+1·F(-n,11+1;µ+1;

!)

(Re,1.>-1, Res>O) 其中 L~"i 位）为一般拉華尓多嗩式，特別

一 1) 霜 2'[t"L~PJ (t) ]= 「 (µ_+n-+:JJ一 .. (s sµ-1' -n+l町

4)

.

(Re s>o)

!c'[t•L,.(t) J =「 CA+D·?-1+1·F(-n,A+l;l; {).

(Rd>-1, Re s>O) 其中 L,,(2) 为拉蓋尓多瑣式．特別 !l"[L箕 (t)J=

10.3.7. (1) 1)

(s 一 1)»

s,

-+ I•

(Re s>O)

勒辻德函敖与勒辻得多項式

勒辻億菡敖与勒讠上總多項式的定乂 一般勒辻徳函敖

淌足勒辻徳微分方程

.. 50$•

µ•

(1 子）記 -2zw'+[ v(v+l).- 1-z-• }w=O 的昞介緤怯元夫函敖 鼻

氏(z)一 r-d=一µ>Rev>-1,

=

- --2"

1

,.;-;;r(½-µY -c:zi:....l)長＾ O

j 3(z+ ,./ z1si正t 一 1 cost)'+,,, - -dt. u

(Reµ 弓） Q:(:e)=

`

e" 霄欠兮「(v+µ+l)(z2-:)""' .

--

-

2心－吐 I)I'(µ十 2>

.「

(sht)'" (z+ ,.j z!-1 cht)•+p+I-- dt.

(Re(v 土 µ+1)>0,

larg(z 土 1)1 _~}) d

--- -_ dz

「'(z) lnF'(z)= 「 Cz) 一

r-

2

1

4)

P,(cos0)=

cos~~-~)~=-~dt;'

5l

瓦（元-,../(zZ- ! J 伊 -1)

冗。 ✓ 2(cost-cos0)

cost)

00

=P「 (z)P.(t.H-2 芷 (-l)m氏 (z)P汪 cosmt. 仁） m-1

(Rez>O,

r

Re仁>O, z 、海 (0 , l);

tt:R)

0.( 堢- ✓ 囚 -l)az一 i)cost)

=

1,,j,(x) 比（如十 2E c 一 1)"'0':lx)P;"'位） cosmt. m•I

• 513•

遠 N _i

(s>t>l;

tER)

筍凡(c磁cos9'+ sin9sin6「cost) 00

-P.(cosO)P,(cos()')+ 2 E

(一 1) 嶋

青·-·

• P;•(cos0)P:(cos仔） co磾st 00

c:P,.(cos0)P,.(cos6')+2}: m•I

\

「(v-m+l)

「 (v+m+I)'

• P: (cos9)P: (cos9')cosmt. (0~0=()F(-n,n+a+P+1;a+1; n

n+P

1i0

=(-1)•()列 -n,n+a+P+h

" ＝（一 1)"

• 522•

P+li 宇） 1

2nn1 (l 一）口(1 十::Z)一量

d,.

dz• [(1-z) 簣十矗 (l+z)HI], 其中 F(a,P,v,z) 为超几何函敖．

1 ... a+BDI'• , D=-j)a(l+R+t)I- =

2)

00

E

p户 (z)t•,

止一。

其中

（母函揪）

R= ✓ 1 一 2zt+t2,

ftl-1.

J (l-z)0(1 十 z)II l

3)

一1

一

4)

{

P:;•11>

(z)P严 (z)dz

0,

m,\:n,

2°•1•1I'(n+a+l)只 n+/3+1) （正交性） －－一—, m=n. n1(2n+a+fJ+I) 「(n+a+/3+1)

2(n+I)(n+a+fJ+1)(2n+a + /3)P~";/11(z) 一 (2n+a+f3+1)[(2n+a+P)(2n+a+P+2)z

+ (a2-p2) JP~o,p, (z) 一 2(n+a)(n+P) ·(2n+a+fJ+2)P~~「 (z). 5)

6)

p~o, 鬥 -:x)=( 一 l)•P「 >Pl(.x). n+q

max

一 1~孓l I 的,,, (x)I 一（）尹

"

(a,fJ>- 這 =max{a,fJ}>-½). 7)

n+a

尺~,,, (l) 一 ()=J牙 12,胃＇ n

n1

p抨1>( 一 l)=(-1)"( 竺鬥s::(-1)"1/I_!?)'!__ • SZJ•

贝塞尓函敖

10.3. lL 贝鏖尓菡致的定乂

(1)

淌足贝塞尓微分方程

记十 1-w'+(1-; 鬥） w::,;.o z 旳函數蔀为贝塞尓函數．常致 V 柞为方程的阶或解的阶，贝塞尓 函數共有三尖：

1)

第一奐贝塞尓函數

` w=l.(z)= 邑 ~-l)" -k-1-I'(1-1~ k+1) 乜）鬥 (I argzl u}

14) 庫）＝江{ cos(z- v; - :)[且 (-1),.

-~ 「(~~~~~})1-·(2z)2k 1 +o(z2!+2.)] (2研「（，一 2k+ 2-)

一,;卫(•-已）［偉－頃十『「『:2'.氙 · 両2石1+0(7ts·)]}.

(largzl(x)~i

nx•

2

2

1t

X•

(x • 0)

(v>o, x-o>

•

H 梠紹 -ln一

17)

(x • 0)

(吖＝正 (v+2n)「 (v+n2 」.+2,.(2) (v~N -) 2

n,

霏一 O

=v2

I:.. 11 一。

「 (v+n)

n1 (v+2n)

"+J .+2,.((v+ 2n)z).

(I 仁）"+二「研 12以!!±ll 2

「 (v+µ+l)

芷 00

ze

d戸

1+,J1-z1 I~l)

(v+µ+2n)八吐 µ+n)

＇一 0

n1

.J,+,.(z)Jµ+nCz).

（吖＝訂 (v+l)]' 立「_(_2三 2

「 (2v+l)

11 一 o

ni (v+n)2•+1

• 531'"•

•U,+n((v+n)z)]2.

（吖二(1111 l 立芷丑）(2m+n 一1.)1 [J"'.,.,(z)]i• 2

(2m) 1• n-o

n1

灼1n1 一 I= 174_1 (111一 1) I 立 (2m+_2n 一 1)(2m 十尸吐L 2 {2m 一 1) •l 町 n-o

.J m+»O, Re Zv;l >Reµ>-1) ·一

8

。

34)

J,(t) tv-p+l

di==

屯） --

2·-西(v-~+1)"

(Rev+ 35)

_一－一

1,>Reµ.,>O)

J00 」µ(at)sinbtdt 。

J

l

=

,;n(µam;·!t ,Ja2-b2•

a>b,

二

(Reµ>-2)

a'co,_;

嬅 2~a2Tb+ 」b2-a2

JP' ab, (Reµ>-1)

＿，瓦古启這辶a可;• a,b,

一＇｀

(Reµ>-1) µ,r 2 µ[b+l'/b2-a2 ]矗＇ a~b. 心sin

Joo 以 at) -~__s~!_ d t f

0

tcos(µ 勺 , a~b, µ a r c sin-a

=

l

(Reµ>O)

五o,-~n 2

µ[b+,..; b2 _:02-J-/I- • a~b.

37) 「工(t)J ,(z 一 t) -~! -= J__µ_+.(z) tµ 0

z

J

•

(Reµ>O,Rev>-1) 以 t)J_,.(z-t)dt=sinz. (IReµjO)

(b,../i2+z2) _,,,-1dt

11 十 A

o:+ 丑） 2

= 2µ-J 「(µ) a" －一－一.

----

•

I譬 (bz)I _.(bz) 一一

－一－一－

z•+;.

•

(a>2b, Re (v+,t+J)>Reµ>O) foO 以 at)J_Jb✓[z 豆） /, (c✓ti+zZ--)

02+z2)•

o

=

v-1 「(µ)

a"

.

J .(bz)-一一 . J 誓 (cz)一－－ z• z• •

(a>b+c, Re 42)

—--t"-'dt

(2v 十差）>Reµ>。）

J江學U~-dt=---芒~f_(l'}「炬）－－－ a 户-1 訌(3v)[r(i·+

t-)J·

(a>O, Rev>O) 43)

zJ 誓十 1(z)=2vl ,(z)-zl. 一 1(Z)

d

dz

1 2

l,(z)= - [ I . 一 1(z)-J ,+1(z)J=J ,_1(z) • 539•

V

-

z

J,(z) =

V

z

J,(z)-l-+1(z).

櫺) .. {江(z)}=z• 一辶(z). 櫺） , . {z-"/,(z)}=( 一 I)"'z-•-mJ, 亞）． 此糸中渚式対于 N,.(z), H 户 (z), H~:i.i(z) 均成立．

44) J 警 (z)

= N _,,~_::-!!__~z)cosv;r sinvn H 护(z)+H~Z>(z)

==—一－－－－一－一－一＿＿

2

N 鬢 (z) ==-

.

•

」誓 (z)cosv;rr-J _v(z) －一

SIUV 冗

=!h且芒一(z)-H j1 」 (z)J 2

I (z)-e-'-~J.(2) - --• . . --

H ;1>(z) =

I SlO V:,r

N

=H !11(2) =

.

_,(z)-e-1v" 凡 (z) SI Il

JJ 兀

ej .. J ,(z)- 」

.

-,(z)

I SlD l'Jf

N 走）－严 N 誓 (z) －－－一

SlllV 兀~

.

45) 以 z)=H 11l(z)-iN ,(z)=H f'(z)+iIV ,.(z).

N ,(z)=il ,(z)-iH i 1'(z)=i l正 (z)- 心 z). H ?'(z)=J .(z)+iN,,(z). H 户 (z)=J .(z)-iN ,(z).

46) J·.(z)J 1-,(z)+J 」 (z)J, 一 1(z)=l~(z)I _,(z) • Hli•

..

-J.(z)l~.(z) 一

2Stnl'ff - ....

nz

.

/10(:z)N,_,(z) 一辶 (z)N ,(z)=f.(z)Nt (:z)

2

-l!(z)N,(z) 一－一｀ 1f2 I 警 (z) H四 (z) 一」 V 一 1(.z) H:1'(2)==」 ,(z) 一几 (z)H,\1'(z)

=

[H!11(z)Y

2, ,Z

l,(z) H 竺i(z) 一 J ,-1(z)H !2'(z) =l.(z)[H 户 (z)]' 一且 (z)H?'(z)

一－

2, tr:Z

`

H J0(z)H~~1 (z)..:._ H~~1 (z)H ;3'(z) =HJ1'(2)[H 汽z)J' 一 [H?'(Z) 「 H :1>(z) 4i =-··rcz 2

2 47) - 13:一立->[l.(x)]2+ [N,(.x)]';;;;,,

48)

N在,in") =::e-',m 成 (z)+ 2isin

H

兀

（心v~

-x

.

½)

vin:r ctg virl,(z).

;1'(ze1m")Fe•'-"刃丑 l)(z) 一 2e-1••

smvmn s1:sivn

J,( 司

.

srnvmn sinv(l . 一 m):rr Hi1>(2) 一 (J-(P霹 . = · s1nvn sinv:r. ,H J2'(z). . sinvmn H ?>(ze1m")=e-PmsH ?>(z)+2e'' 靠一7一－」孿 (z) sinvn • .5# l•

^

---- -H :2;(z)+e•• 霏

sinv(l +m)n

－一一

sinv 冗

.,1nvm1r s1nv:;r -

•H ;1>(z). 49) J00 以ax)J警(bx) __xdx 0

,x2-r2

1-;立(ar)紅 (br),a(ar),a>b. 丶

(Rev>-I)

2

贝婁尓函歟与某些特殊函敖的夫系式

(3)

1) 「 e在 I ,.(ai)tJ1,-1dt 。

r (于） a• ＝訂（王)(21>) ·1F1

(竺'.',

-4ti-)

v+li

r (µ 十 V

一 2i•r~V+~一己）伊 ·1F1

其中

(言+l; 吐 l;

a2

e

4p2

all

v),

Re(µ+v)>O; JargPIo,

c; (x) 为蓋根堡多琿式｀

下同．

9) 另(zsin0)

=

00

10)

·E

r

霜一 O

--"「 IRevl iRe(cha)>-li P.!"+ 心）为一般勒辻德函敖．

10.4. 用函致的展升式定乂的特殊函敖 10.4.1. (1) 1)

贝努里多項式与贝努里斂的定乂 由母函致的展 ;}f 式

te&• e' 一 1

" H.5'J~

贝努里多項式与贝努里敖

""

= I: 囂一 O

t" n1

叩 (x) 一

(It! =y。（互

(k=O,I,2,·••n 一 l;

y=y)

讠文 f(x) 为家原函欬且连~;~, /.j 方程冏端浞以拉凸拉所支芸， 用鈛性性航及象原函欬的微分性蜃，可為 元

s~.s [y(x)J-~, .. ; ~, ;_、

：「「討

n ,;·'-j:X:G

(1-1 十辶 a 上［評 -''!?[y.(x)] k=I

tl-

－立。 r:- 和一」X。 曰）］＝耳」\(x)]. J一l

n

EE

n

(，十 Ea"严）矼y(x):=Y[f(x)J+Q户 1(s), k•l

其屮

"

On-1(s)= E sn-Jx。尸） + j•I

n

n-k

1,:-1

j~ I

L L

a1,:sn-1=J(x),

(y,o>=y)

t-1 去、

｀書

。 5S9•

v'.:)-u=y,.(x),

(k=l,2,

…, n; y(OJ=y)

可化为一阶鈛竹微分方程組Y'=A(x)V+f(x),

Y(x)=(y1(x), Y2(x), f( 幻 =(O.

f(x))'I

1

0

0

0

l

00

tr:

0

。

J:，..i`41\

_

…,」1,

…, v"(x)Y, 、

日

丶＇

A,tx

0,

中

14 i'

-a,.(x)

或者写戊

-a 正」 (x) 一 Gn-2(X)···-a1(x)

'

Y,' =yz, gI2 3 ,

1k'1.

``

ll

"

!Y~-,=.1Jn, 出= -a"(x)y1 -an_1(XJ!J, - ... -ar (x)y,.+ f(x). 禹一阶鈛性方程組則未必郅飽化为商阶綫性方程． 一阶芥次紱性微分方程組的基解矩眸

(3)

:?iY.,(x)= Yik(:,), Yzk(x). ···• !Jn;.·(::)Y(i'i=-0:,'\··•,n) 为吝次綫性方程組

的 n介解，龑I) 以它 fl'J 为每一列的nxn 矩陞，

¢(x)= [Y 1(x), \'2(x),

…,,., ,.(x)l

篝'ff`

V'=A(.-.:)Y

稔为卉次綫性方程組的解矩陌• (x) 浦足微分方程 ¢'=且 (x)(x)

为芥次竺性方程組在 [a,bJ 上的基解矩眸． 一阶芥次綫性微分方程緝的解的怯屄与琽均

(4) 1)

迭加原理．若 C1, Cz, ···, Cm 是任意常產戶迁 咒 =A(x) 料，

• 5'}/) •

(k=l,2,··•,m,)

`

,,. 罰 Y=I:;C,.Y1c 浦楚芥次綫性方程绱．即一阶芥次綫性微分方程 k•l

組的若干令解的紋性組合仍为其解．

2)

芥次鈛性方程組的解矩眸 Cl>(x) 为 [a,b] 上的基解矩陈

令今 V xE[a,bJ:det 則\:/

(x)=1=0. 且若 3x。E[a,b]1 det Cl> (x。 )~o.

xE[a,b]1 det(x)+O. 3)

若 Ci>(x) 为芥次綫性方程組在 [a,bJ 上的基解矩眸， C 为

nxn 非奇昪常數矩咋，匪lj(x)C也是芥次鈛性方程組在 [a,

bJ

上的基解矩眸．

4)

若 (x),'I' 位）均为芥次綫性方程組在 [a,bJ 上的基 f廌

矩眸，則存在一介nxn 非奇昇常敖矩眸 c, 使 V

xE[a, b J:'II(x 、

=(x)C. 5)

3

芥次綫性方程組必存在一介基解矩眸 (x). 若 Y= V(X)

是芥次鈛性方程組的任一解，則 Y(x)=(x)c 其中 C 是确定的 n 维常數列向量．迏表明一阶芥次綫性微分方稈

組的所有解杓成一介n 维綫性空「司．

(5)

対维尓公式

芒 (x) 是卉次綫性方程組的任一介解矩眸，則伏朗斯基行 列式

W(xJ=det的 (x)=W< 功） exp「立退） dt "" r. 一 1 其中 a;;,t 为芥次鉄性方程組第k介方程中 m 的系敖 (k= 1,2,···,n),

(E,)

1)

一阶非芥次錢性微分方程絹的蘚的性展与結栩 (迭加原理）若 Y,(x) 和 Y2(X) 淌足非芥次綫住方程組：

Yt=A(x)Y.+f,,(x)

(k=l, 2) • 591•

;;:j

V 位） =Y 1(x)+ V2(x) 記芝

Y'=A(x)Y'+ ! 1(x) +f2(x). 2)

閭

囧 (x), Y*(x) 分別涵足芥次和非芥次綫性方程組． V 為） =A(x),Y, Y*'=A(x)Y1~+f(x),

V(x)=Y(x)+Y*(x) 浦足非芥次綫悚方稈組

Y'=A(x)Y-H(x). 3)

若叭 (x) 和 Y 2Cx) 均溝足非芥次綫佳方程組:

Y:=A(x)Y1,;+f(x), 龑I]

(k=l, 2)

Y(x)= Y1(x)-Y2(x) 淌足济次綫性方程組 4)

Y'=ACxlY. 若 ct>(x) 是卉次鈛住方程組的基解矩眸， Y(x)G>-1(x。) TJ+ct>(.x) J

。-l{g)f 偉） d~.

`'

且此解淌足初值糸件 V(約） =11.

(Tl 为 n 维常欬列向量）

特別，非济次綫性方程绱潢足

Y(x。) =O 的解为

Y(x)=(x)J" 。泣） f(E)dE. "' 11.3.2. (1)

-阶常系敖綫性 r,1, 分方程继

一阶常系救芥次紱 1生微分方程組的綦解矩眸

當系 2友卦釒幻生骸分·方 1荃組

(A 为 tiXn 宮喊矩眸）

Y'=AY. 矩眸

°" A,.xi:

expAx=L

-,

"!

1,-0

(AO=£ 为 n 阶单位矩眸） 如果矩眸 A 有 n 令綫住元美的特征向量 a1,

a2, ...'

Un,

ff] 刈鍅的特征值分別为却祏．．．，柘那么，矩眸 0(x)=[e亟«r,

e亟吵... ,

e 孕包］

朵常系數吝次綫住方程組的一令基解矩眸．

(2) l)

基解矩眸 eAx 的计算

若 4>(x) 是常系敖芥次鈛怯方程組的一介基解矩 1年， 則

expAx=1, m1:

=I 时表示J.,. 为单根；

'

Em.,=n; i~ 」时， ,1, 士 A1), 則一阶常系 li: 一 1

欬芥次綫性微分方程組的解为 mk-1

y 氏=~ 严［苔，,~(A 占E)')幻， X'

其中 «1: 为 tl1: 又寸皮的特征向量，且此解溝足初值糸件

y (O)= TJ,

(叱为 n 维常敷列向量）

只要使下式成立

Tl=

` Ea,,. k一1

特別地，音 l=n, 即 A 只有一今 n 重特征值 A 吋， ＇一 l

xi

i•0

ii

Y(x)=e店辶一-(A-l..E)'ll.

(4)

一阶常系敖非芥次綬性微分方程組的解

V'=AY +f(x),

{ Y(O)=Tt.

(A 为 nxn 常數矩眸）

(11为 n 维常敖列向量）

1) 常數変易法

Y(x)=exp[xAJlJ+r exp[(x- 絆）Alf 信） dt. 2)

拉普拉斯交換法 Y(x)=Sf'-1{[sE-A] 可 Sf'[fl+ 11]},

其中 [sE-AJ-' 为短眸sE-A 的逆矩眸．

• 595•

11.4.1.

分

11.4.

変

法

泛函的极值

泛菡的変分

(1)

考査泛函 l[y(x)J 的改変風

111 =l[y(x)+ayJ-/[y(x)J, 其中 oy=y(x)-y。 (x) 材；函敖的変分， g 。 (x) 与y(x) 为同奕函故． 若 A.I 可以表示为

6.l=L[y(x), oyJ+a(y(x), ay)•maxjoyi, 其中 L[y(x),

oy] 天于 ay 是綫性的；

a(y(x),

oy) 卣 maxloyl~

0 时为元究小燼．町荇： L(y(x), oy) 为泛函 l[y(x)J 的交分．记力

of, 且 of=

(2)

a

afJ J[y(x}+P如J

l . P丑

'

最速降鈛阅睦

厭栽仅在重力作用下，沿固定的光沿曲鈛「貞占、 0 滑功至東

P.

若要使滑行时同最短，

1可「皮是怎祥的曲级？（如囹）

取 O为坐棕原熹．設「的方程为 y=y(x), 服煮在「上，煮 (x, .l.

y) 灶的速度为 (2gy) 氕厭淑滑近曲级元 ds 的时冏为 (2gy(x))

a-_II'Ii

•[l +y'(x)2 戸 dx, 故由 O至P的忌时阿为

囯(x)J=- 1 『」1十［西） ]2 ,.j 29 。

y(x)

`

dx.

霑确定使 J[y(x)] 为最小的函敖 y(x)• 且

y(x) 需淌足： 畫 y(O)=O,

• 596•

b

y(a)=b,

-½

`>

p

其中 (a,b) 为為、 P 的坐棕．

(3) 1)

泛函的极值

若在与曲綫 y=y。 (x) 接近的任一曲綫 y(x) (即 V xE

[xo, Xi 玉丨 y(x)-y。(x)lo, 則杯泛函 J[y(x)J 在曲綫 y= y。 (x) 迏到极小佤＾突似可定乂极大值．才及大值与极小值合祐为 泛函的极值．

2)

若具有交分的泛函 J[y(x)] 在 y=y。 (x) 上迏到极值，

則在 y=y 。 (x) 上有

ol=O. 3)

泛函的极值同題即尋本使泛函 J[y(x)] 迏到最大（或最

小）值的函數 y=y(x).

4)

対于依賴于多令一元函敖的泛函

J[y1(x), Y2(x), ···, y,.(x)] 或依賴于－介多元函敖的泛函

l[z(.xi, 孔 ...'.x,.) 」 或依賴于多介多元函敖的泛函

l[z1 包，凸，…，右）， 22 佃，邳••• • Xn), ... , 汛祏， X2,

…, Xn)J,

可奐似地考査其极值同題．

积分瘟泛甾的极值与耿拉方程

11.4.2.

(1) 「 F(x,

y(x),

y'(x)dx 型

Xo

没 FE.DZ,

y(x)€C2, 被值曲綫 y(x) 必須満足歆拉方程

d F,--dx-Fy•=O, 即二阶常紋分方程

• 59'1.

F,- 瓦，一-F,,,y'-F,,,,y"=O~(*) 其可积型如下： 被积函敬

F=F(y 勺

F=F(x,

歆拉方程

l

等价方程或解

y"=O

I

u~c,x+C,

d dx F1,(x ,y')=O

正）

F=F(y, y')

F11(11,y')-F1111·(y, 玢 Y1 -F v'r'(Y, y)yl'=O F,(x ,y)=O aM(x ,11)

F=F(x, y) F=M(x,y)

i

F11,(x,y')=C

I 驛；fj_v'l~C

I

(一般不存在解）

By

+N(x,y)y'I

aN(x,y)

ax

=O

二阶方程(*)通解中的两介任意常數，是由曲鈛端戌的扶态

确定的．

1)

若二端京 A(X0, Y 。) , B(xi, yi) 固定，乹Jy(x) 需諶足辺

值糸件

y(x 。) =y。,

2)

y{x1)=y1

若二端京 A(x 。, g 。),

B(x1, Yi) 分別在两糸曲綫「叭

「 1 上変劫，剡 y(x) 需潢足橫截糸件 T, 即

音「o•

y=cp 。 (x);

「 1: y=, ••• 重

鉗 J) 固定时，淌足2n 令辺值糸件 1

Yi(Xo)=yfo>, Y2(X。) =yjO), •••, y,.(X。) =y~o>, Yi 包） =y[I>,

Yi包） =y?>,

••• , y,.( 功） =y~P•

蚩 n=2 时，考査泛函

「1F(x, x,

y(x), z(x),

在二端朮 A(xo, Yo, z。)、 B( 知 Yi,

西）， z'(x))dx Z1) 交功的情形．

极值曲鈛除潢足欺拉方程

d

F,- 尹F,,,=O,

d F z 一－－一 F,,=O dx

外，尚霍根据二端熹変功的不同情形，溝足相皮的橫截茶件 T 。

l)

沮二端熹 A,

B 分別在二曲级

• 59 9•

lU)Z

I

、,、＇

{ z=T/J。 (X);

,\( xx

叭＂

{

y=q:,o(x),

',

I

.h 変劫时，橫截糸件 T 为；

[F-(y'--r 4:n:ar

={

o,

,

r>a(t-,) 或 t

/Cs,

-r)d~.

古尓沙河題的特征鈛方法

(4)

古尓沙同題为 02U OU L., 苧— ~+a (x, y) +b(x,y)-鈕 ,+c(x,y)u=f(x,y), ~iJxiJy iJx iJy I

(

ulx= 五o=

Km+n(羣） = JK'l'(.x, T)K,.(這） d,. a

(m, nEN)

J - (M= max K( 立））比级馭（杯话伊曼级 M(b-a) ra·1>1xra•1>1

蚩 Illo)

形如

2)

y(x)

=A「 sinx鉍a)d~

'

。

的奇昇积分方程，可由等式

｀严拉¾?=士 J江 si丑」：严 钅

十 一口）咋 (x>o~a>O)

莒),=」了时，此方程有元夯多令解：

得知，

'

Y1

=)~6-""+1占.

(x>o, a>O)

3)

=J~2户- az+xz• x (x>o, a>o> 形如

• -686•

－配

!Ji

'v.

沮 '1=- 」互时，上方程有元夯多介解： Jr

'., ..

/(元）

=J

e西(i;)d釒

的奇畀积分方程，其右辺可祗为 y(.x) 的拉普拉斯交換．蚩 /(.x)

給定时，若此方程有解，則解唯一．

4)

形如

y(x)=

..iJ 凸a)dt

(x>O)

的奇昇积分方程，可利用「－函數求解．因为

「 6-~尼海＝「 (a)x士 (a>O)

'i-

「

e-"~;-adt=「 (I -

由此推出

a).x"-1, (a, 那

么枸事件A 与 B 是互斥（或互不相容）的．

7)

対立．如果 AnB=© 且 AU

B=D,

那么杯B 为 A 的対

立事件，记为 B=A.

A2, ··•,A,. 在每次试验中至少有一 今友生，即 4 山 AzU ... UAn=D, 贝fj 杯 {Ai,A:, , •. , A 霏｝杓成一 令事件完各組，特別蚩 A, nA1=CD(i~j), 就秭 {A1,Ai,··•,A,.} 8)

完各．如杲事件A1,

是两两互斥的事件完各組．

楓率的几升定乂

14.1.2. (1) 概率的古典定乂

没一開机试验有 n 令等可能的基本事件， k 为事件 A 包含的 菡本事件令敖，贝lj~ 比值

k n 为事件A 的概率，记为

k

P(A)= 一

n•

(2)

概率的统计定乂

設在相同的糸件下迸行了 n 次试验（＂足移大），其中事件 A 友生了 m 次，則事件 A友生的頻率/(A) 定乂为

m

/(A) ＝一 n• 音试验汰敖 n 很大时，事件 A 的頻率穏定于某一常啟 P(A), P(A) 为事件 A 的概率．送祥定乂的概率杯为统计概率．

(3)

JLfiiJ 概率

• 6!)1·.

杯

阅霆 S中投噩一熹 M, 如果 M 落到篋域 S 中任何這籠ti 母可籠約，且pM 戍落到任何一令子佤域 A 中的可能悚与 A 的量度

（長度

面积，体积等等）成正比例，而与其位置及步拭」戶辶

則 M,~ 落到子広域 A 中的概率定乂为

P(A)= A 的量度

S的量度＇

迏祥定乂的概率杯为几何概率． 概率的數挙定乂

(4) 1)

設，－是由祥本空阿 Q 的一些子集杓成的一介(T-域，即，

満足下面的糸件：

©!JE'ff, ® 若 AE.:T,

則 AE.:T

(A=D\A), 00

®

若 A,E.:F(i=l, 2,

··•),

則有 U

｀三 l

A,E.9'送介，－域，杯为

事件域，，中的元素杯为事件， Q 稗为必然事件， o 杯为不可能

事件．

2)

設P是定乂在事件域，上的一介实值集函敖，如杲它淌

足如下三令糸件：

®

対每一A€巧有o~P(A)~l,

®

対必然事件砧有P(Q)=l,

®

対任意 A,E.7(i=l,2., .. •), 00

A, 的」 =¢,(i-:pj) 其tj

00

P(U A,) = EP(A,).

,.1

｀一 1

秸实值集函數P为事件域 .'TJ:. 的概率，并林啟 A) 为事件 A 的概

率．

3)

設 Q是祥本空冏，，是事件域， p是概率，則秭三元，包

体 (fJ,:r,P) 为概率空囘．

• 692•'

概率的基本悼厭

14·1·3, 1)

oB,

龑ijP(A\B)=P(A)-P(B).

7)

対任一事件 A,

8)

若 A1,

有啟 A)=l-P(A).

A2, ···,A 這两两互斥的事件完各組， U A,.)=P(A1)+P(A2)+···+P(An)=I.

!i!tJP

(A1U

… 9)

設 A,Ef, A 仁)A,.+1~·n=I,2, ··•, 令A= `n :An, 霜 -1

則有

P(A)= lin P(A,.).

(上连鎂性）

＂今 O

10)

設A.,E.:F,

"° A11, A.,cAn+1,n=I,2, ···, 令A=U n-!

則

P(A)= lin P(A11). ,•

14.1.4. (l)

=

(下连緤怯）

糸件概率与扯立性定乂

奈件概率

設 (D,:T,P) 是一令慨率空［司， BE.巧而且P(B)>O, •

則対

t,9 」,

任恋 AE.元记

P(A/B)= P(AB) P(B)• 并利：P(A/B) 为在事件 B友生的糸件下事件 A 岌生的冬件溉滘． 狼立性定乂

(2)

若事件A1,A1, •··,A丑仂任意 m令 (2 " ? .o. 。

.

、＇

p().)

缸 ckpk(p

泊松分布

__ q'1, Jr;

l -

J1.. 河分布

g

_

l

'T-

J

- I' -

敖 常

1

>+

,

1 a h _ h, ?O

'

l l =

均勻分布

f( x

`、＇

'1

--'

`

O 为営敖）

1)

--,-----

,"

- -—

c

C

-

設C为某突分布（如正态分布奐），如対任意 1'\EC,F2EC它伯的卷

。 702•

表

市

lk阶矩m1,

附

·I\iI

特征函敖

I (m1为敷挙期望｝

注

I,k阶中心矩Ci,,

m,=,1.

I

C2=A.

[

; 」

I

:

匹"

i

i

--—－一－

一一－一

－一

加法定理成立．

p(A,)•P(Ai) =P01+ Ai)

m, = p-1 ,C2=qp-2

(1-qeU)•l'

I

` .

,

-

fta sin th e~-

-一

th

l mi,= --

2h

. (a+ h)k+l -(a-h)科1 k+I (k=l,2, …)

如£的分布禤敖 F(x) 连纓

則

TJ=F(n在[ 0, 1) 中均勻分布

1

C2 =-3h2 了P.F, 卟·.EC, 試況対C加法定理成立．

• 703•

臼氐

,;'

敗

f( x 1 ) > __ 丶｀，

X

函

度 密 或

.＇.'·昌

f(x) 的困形

,_l|_I| _ e . . ' b (

7x-x-x'

b3l,2e, lllll-7ll=l

指

.

。-－。

i

－布－布

l

A I f o o ,t

l -

-

N(a,u)

--一－－

1 - -

/(x)=

a ✓ 2,r

(x-a)'

-e

(a>o)

二

-

I]I','_i|

'_\!

2a1

畫巴

－主

正杏分布

__

(b>o 为常放）

! --

Vo 'b= 0.5

一二

-

）））

l{i

勺4 名－分 布＿敗

分

u`

'

,'、

夕'

4－今

4Jo

,'

. (a 及a>O 为常欸） I

-0ln2x-o'

－分，－

IV/ •• -)-l

r \ 1 J i

' _

．常 14rX,]

r[l~

[flxx ．＞ 臣 「 u

1|!1I'_I'I_

/

2)) n一

-A`F

弓

力

f

·e-n• ,x>()

Ii.'l'l!, 0.2 O. l

z

p"'1

瞬

。'

。

• ra -1•

n= 2

、 I-2 l' l4

rp >

－一· 一--

.'

1

护。

「 (b,p)

!

n = 6

\lV x ,

(n 为正整敗） -'.

－一 rt=

1

,3

3

r

......... 歼表 ,

....,

,• .

`

, cJ>(t)

，上···

翱「矩叩， (m,3/1~妲孚旳良） k 阶中心 '.'.~Ct,

:~t- 此函效

.41J

'·-"·

，工

(cz 为方差） •

,：i

;_ay1

--

i

1111=--

b

、、

bI

-

•••

一

c2

1 ll

, ' , '

bl2

鬪巧分布旳特卟信」移．

指敖分布

:i,;

, 2, ;,

J

,

.. ,(2k-1)aZk !

i..

一.

I

(l

-:.ii)"J2

一一·-丶

2 ••

。

d

^

'4

一音

c a

十

Ni

的

cu=l•3·•·

c a

十

C2~+1=0

`3 0a~ ``

d

m,=~

,

有

2

'

a

－各

各 1資 1节存在，

一·

－立常 一袂为为

a2/l

`d 布 氣＼＾ n

, aI

..

5

e

立，

－法布－

:i,;i

一成．（

;,,

翌适 一定为

一加分則＿

i;

,1j

一

L 加法定理成立，

m1 =n(n+ 2)·•· ··•(n+2h 一 2),

X2(ll)* 定 (m)= 妒 (n+m).

2. 如果缸烛立同分布 1\「 (0, 1), 則

(k= 1,2, …)

.

c2=2n

工召之分布为妒 (n) ;-1

1 ``

tb p l

.l

l. 它是 P令 (p 为整故时）扛氬鬥」｀

丶

,!,\

m"=bkP(P+ 1)

,'

的卷积； P=I 吋化为 1缶文分布．

···(P+k-1),

2. 加法定理成立：

k=l,2, ..•h

「 (b,P1)• 「 (b ,P2)

p

Cz= 枳

!

=「 (b,P1+ Pi) n·1

i3 苴 P=",b= 时化为足 (n) Jj 万 , ~2

• 105•

I

分布或密度函敗fo常效） 拉舌泣斯

___一 ,,2

n 姸 (x-

,

户

~, Jt /l

-,----··~ 二!!-=矼 A f(x)= - e 2,1.

Z)

`

~』

「^

1

O>u 常故）

｀乙

分市

1

I j

l

I

,

--一--一－一一·一！一－－－一—-

字生分布

! f(x)=

✓~r一一｀－） 1

0(11) 分布）

'l

(n 玘

0.4

n+1

1+~)-2- 其中

、·

「(P)~r.户'! n

-e·'dx,(p>O).

• 1/Jli•

/ (I)

- 4 - 2

。

.

r

2

n = 3时

4

r

,•'>

鏷表

l 特在函啟

I~(t'

i~幻］篇期望）

I 霑繻~··

\J. 如瓦.... 严麟，同分布为

[P(P+ 1) .. ,:p+k-1'1]/i

II

附注

I l

1m.= I

l

N(O,a), 則

江 /Di有Beto分布，此时 ..

..,.,,.

l•(P+q) .. •(P+o+I).: (p+q+k-1)•··i'(-t' 一 o (k = I • 2 ....) I P=m/2,q=n/2 2. 翌 P=q=1/汪主化为反正弦分布． C2= P_q/(p+q)2 其密度为 1/ n✓x(t-=:.x) ,(OO, j=I, 2, •••) 为在£一｀糸件下禽散型隨机交量 n 的糸件分布．

2> ii ct,

11> 是二维连娛槊隨机交量，其分布密度是／（｀

吵畔心「 f(t, y)dt>O 則赤 -00

r

F(x/y)=P(民x/11==11)== -co

f(t,y)dt

「-oo f(t,y)dt

,

缸在 n一u•件下的糸件分布函敖．同祥，若在束x, 「/(,:,

-.

則蔀

.t)dt>o,

F(y/x) .... P(q~y/E一 x)==

J'f(x, t)dt -co

「-co f(x, t)dt

,

为 n 在 2一％的糸件下的糸件分布函數．

14.2.5. (1)

隨机向量的交換

隴机変量的蛙住変換

祗£为任一隨机交量， F,(x) 为其分布函敖，則有

1)

{严(")-F,(节，苹>o, -=o, 你

庄=

b12

《缸 b22

= =

E 位 -E幻（令 -E今） "'1 E( 釒, -_E釒団E(l;,2-E缸） 2

cov{t1, 缶）

,..I D/;1D品

为!, 和品的相美系炆．苕 r12=0 时， 你和与今不相美

,t)

相美系效的性限

CD ®

-1(t)=eHa

®

均勻分布如， b) 的特征函致为：

elbt_elal

¢(t)=. 1t(b--af·

(-oo(t)= -i+-1子' 其中 ;t>o 的常數． 特征函數的性原

(4) 1)

(0)=1,

rp(-t)=(t), 國 (1)!~. = n' 凸 (t). ;-1

5)

两介分布函敖相等，沮且仅蚩它亻fl 所対皮的特征函數相

6)

(逆鈴公式）在F(x) 的连统燕 a 、 b上，有

等．

·723•

1

「 e- 這 •-e-iH

;．、!J)-fi'(a)= ; 五21rLr -~-it----o,

n=l, 2, ···), 則

有

＇可I~且足a I0. B;=D11 .. =DI~ l,~l

(Et,1 =m, D~1 =a勺 1)

格涅堅科定理

没 {t .. }为狹立聞机変量序列，有相同的

格子，東分布及有究的效孚期望与方差，为使対 k(-co30 时，通常就弘为是大祥木，否則託徐为小 tl 本．

2)

简单聞机子祥．如果子祥的分氬 Xi,

X2,···,X,. 之同相

冝狹鉭且每介分量X 占所研究的母体£具有相同分布，則杯此 子祥为简单闖机子耜简杯子祥．送里的子秤就是，i 令相互狼立

同分布的隨机發量組成的隨机向量，其分布由母体分布函數F(x) 完全确定，子祥的联合分布函敗是

' IlF(x,). ｀一 1 (3)

矩

k 为正整數（或 0), 0 力任何雲數，即I 茫＇早期塑E(~-a)" 叫做

鯊［祖L 変量£ 対 a 的 k 阶矩．石 a=O, 門:/£al,) 叫做 k 阶原成矩．旁

• 1.1.'• •

J:-:.1i; J、示． 1)

窩散型分布缸窮原為、矩．股 f(x,)=P 烤 =x,)

i=1,2,· •

E x:f (功）．

µl =E(s,,) =

,=l

连维型分布的 k 阶原京矩．没钅的分布密度为f(x),

11

肛＾

2)

µ~=E( 「） =f= 訂 (x)dx. -CO

3)

函數 {la) 的 k 阶原煮矩

E[ga)Jk=r= 戶） /(x)dx. 一＾，

k 阶中心矩

(4)

対整要 k, 秭 µk=E[~-E( 約 ]k 为 g 的 h 阶中心矩．

=E釒．

1)

窩散型分布 h 阶中心矩 µ,,=E[( 色一 µ)k] CX)

=

I: (x; 一µ)牙 (x,). ;-1

2)

连维型分布 k 阶中心矩

µa,=E[a-µ)k] =fx, (x-µ),,f(x)dx. －．、

3)

中心矩和原熹矩的芙系 山 =E[(g-µ:)tJ

k(k-1) --µ 焊 Z-~+··· 2, +(-l)k-lkµ;"-1µi +(-l)f'µ 尸

=µt-kµ:µ 匕十

=µi 一吋µ氾, "一 1+ctµ 尸µt-2 十… 十（一 1)k-lC 尸µ;"-1µi+C 一 I)1cctiti

寺別，昚 k=O, 1, 2, 3, 4 时冇 ·,?,,/fl.

b"

记µ

Po 时，分布为右偏；

翌 ca= min Xo X(n)= max Xi. 尽 1至 n

®

极差

R= max

{X严 min {X,}

l:cc·i 孓 n

®

l 孓 i"c~tl

1 迫 ~n

經验分布函數：杯

IO,

!k

x~s2 =-Eo,

0)

～－存在，且冇

• 7+9.

. I n 歹」 _en t

』, fJ

t+

~00 t (n,+n, 一 2) di•= a

~t(nd-nz 一 2)

a1~a2 a1~a2

2

ta

ta

于或大于）已知

常炆 a。

,A^i4

否定域 1

-------- 一==····. ·=·•··="7~•-·..

t1-a

+

「 8

\

t;;;;,t+

•ta

2

l(n」十历一 2)d1•=a

l(n,+n」 -2)d 「 =!--a

~""

t~t,-. I

i,-a

I___—一------一～一.... 一一－一- -- -巳知急体的均值

x2 检验

術，检验息体方 正是否等于

=

\足 (n)d1,= a

或為~,,

•

」 ~(x,-a0)~

尼 (a)rlJ>-==

，序乙汜

丶汗

『之為

i , J

f\'

`,~, ( ,l d,', 、`,

c,iu 司

\.-xl8r ＇止

（或小于或大于）

。令;;;a20

氾＞芍 I

xi

a2=a20

M

i[

a

I,·-

a

2

I

法

--- .. 巳知常欸

.一7一～一.. 「'。

x+ 2'

D

常效aao

检

~00

Q

~

=*:!J(X,-X)2

是否等于 （或小

F!

X'~X2t-

1-

忌体均

x2

～汜 (n)

~; 1-+

F(n, 一 1, n2-1)dv=l -a

F;;.i, 凡

~;f(n户， n3-l)dv=a

F;:,;•, 凡

\;/(ni 一 1,n1 -1)dt·=a

.

•一

,....

由 m 利｀ 厐 .-J· 弄：

，漥

r,=

I::

(n,-nP1)

np,

i=l

m

取

2

(ni-nP,)1

1)= 芷

．－一－为统计量， np,

,_,

其中 n 为子祥容量．

平 --+00 时，不讠令瓦 (x; 0) 是什么分布，统计量 n 的极限分 布是自由度为 m-k-1 的¢2一分布．

®

給出晁著性水平 a.

@

逃掉 I個界值元m-1;

(a), 使得

P{TJ> X~m-1) (a)}=a.

®

确定否定域

®

汁算统计昷，作出判斯．

否定域为竄冏 (x~m-1) (a), 00).

计算n 的祝察值，若大于 i協界值知 m-J>(a), 則在晁著性水平 a下否定 J-{ V•

(3)

柯尓莫哥洛夫检验法

設母体£为连维型隨机変蝨，其分布菡數为 F(x), 瓦 (x) 是 子祥經验分布函數，记

Dn=

Sllp

庄｀霜 (x)-F(x)I

-...0(%D貫 0时，否定 H。.

2)

瞄界值Dna 及其近似值：

下表給出 1描界值D,. 。及其近似值（見 766 頁表）． 狼立性检验

(4)

两介葩机交量之同的狼立性梲验冏題写为：

Ho: F (x, y)

=F,(x 陷 (y)' 広 F(x,y)=i=F 心） Fi (y). 实际工作中，是 考志从二维菌机変量 a,11) 中抽取子祥 (X1,Y1),

···,(X.,,Y")'

根据名 n 可能取值范围分別分成r 介和 S 令互不相交的小因何， 招圧表示迏介子祥中£厲于第 i 令小瓦「司和噱艮第 k 令小因阿的＂ 介敖 (i=J,

…, r;k=i, .. •,s),

记

• ' f ' f ' I I

n,.=E 庫，口= 正一 1

E n,,1,, ,~1

n== E E.n11r. 从 (s,n) 中任取 l•l /,•l

• 165•

D

, a

丶.. n

I

\ I '

0.20

o. 10

0.05

0.01

5

0.45

0.51

0.56

0.67

:o

o.• 32

0.37

0.41

0.49

15

0.27

o. 30

0.34

0.40

20

0.23

0.26

0.29

0.36

25

0.21

0.24

0.27

o.n

30

·o. ii

0.22

0.24

O.i9

35

0.13

0.20

0.23

0.27

9, 17'.

0.19

0,.-2.1

0.25

0.16

0.18

0,20

0.24

o.17

o. 19

o.23

-、、

、,

I

-- ---------\ i

- 40 45 50

0.15

,.,'.丶

．－一－—-

,

>SO

/

·

·一

•

:r;; ,·. ::;,,~」；亡 1 • 07

1. 22

1 • 36

一令令体，它的第一坐名和 X屑于第i 令瓦冏，第二坐杯 g區于淯 h,t­ '」、瓦岡，，送一事件的概率记为p(i,k)~ 以 p(i,.) 及 p(·k) 分刷记 为相皮的辺沿概率，剡有 8

. r.

p(i, ·)= }:p( 草），

P(·,k)= 芷: p(i, k),

正一 1

1-1

,.

s

辶巴 p(i;k)= 芷 p(·k)..,;,

E p(i, ·) = 1.

,-1 fe•I

k-1

｀一 1

f'

此时，狹立性检验就等价于检验下述原假設：

H0, p(i,k)=p(i, ·)p(·,k) i=I,2, …, r,k=I, …, 3 袖立性检验的具体步驟：

®

假設 H。,

• 166•

p(i,h)=p(i,.)p(•,k), (i=l,2, ... ,r, k=l,2, .. •,s)

@ 足J哆砧i· 暈 ..

tr

2

T)=心 E[庫－＂｀｀ ＂－］加 .n .i;,

,

a 一 1 "一 1

，的极限分布为元 r-t) (氬一 t).

®

給定晁著性水平 a.

@

在元－分布瞄界值表中查自由度 (r-l)(s 一 1) 所対粒的

眙界值元，一 J) (,, 一 1l(a).

®

作出判新

~

11>x巴，一 ocs-o(a) 时，否定 H 。.

15.3. 15.3. 1. (1)

方差分析

单因素方差分析

伺題的提法

若影昫龍机変量X 均值的因素只有一令，记为因子 A, 我佢 対A 的k 介不同水平 A, (其息体分布服从 N(a,,a,)),

••• , k,

i=l, :!,

近行視察或试验，得到试验數据如下：

因素 A

I! ;

试验维果

－－－－－－－－－－－－－一-

思体分十

•• .-一－－－－－－－－－－－

\

A,

I

Xi,, ,Z'1i, ...... • Xi., X2,, .Y-z石...... ，叩 X

N (a1, N(a2,

叩）

I . . ...... . . . . At X I N -----~-· 二二二______,, 一—·-· .一一------A2

,;I

:

:

111,

叩

:

Xu, ··· ···, X ,.,,

(a,

叩

假定 a1=a2= .. •=a,,=a, 检验各 A泊研人方緒果的丹逸值 G1 ,ai,

.... a 計；-店晁著性差昇．

(2)

检验步燾

＠假没 l-18: a1=a2=00•=a••

167•

s取編计纍

f;

l

h--1

I:; ni 己元-X)2

-

s~s:-~F(k 一 1, n-k). T i ' =- • =l --一－一－一-·-~=n, k

I

n-ll

辶芷 (X1J-X,)1 l r 一 i

I=

n,

k :·.1、 d

ll=

.!·\I'j I

`-;-,

Xi=-1 EX,i, n1 J 一 1

, , II;' ···-·•

n,

r,

1

1

,.

X=)'"'x,,=~En,X,. 讠一； , -1 n 一一 n ,-1 @

洽出婦著性水平 a.

®

确定否定域： F> 瓦时拒絶 H 。＇団liA 为因子 A 的各令

上平有晁著性差畀． 00

瓦湖足方程j F(k-1,n-k)dv=a. f'a

查自由度如 (k-1, n-k) 的 F分布表可确定凡．

® .-屯妒．矗...,._

,, .,,..__---

列表计算统计景 ""平心,

,,.r•-"".,.

這謚~~一-~·

'" .. . .,

n,

I

11.

嶧嶧嶧 n, l]X,,: (1JXo

n1·n,

r

nl, 心X., y

""1 ' " ' I

n1

A1

K,,X,2, .. x

"'I

n1

r:i

Ex,, l,2=工）园 (~xu)2

"'·ii•

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n,

,

I;'

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n1

,

,-1

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辶芍

2~ 吖 _,ca

n,

I

n:

}C2,X22• .. X2n, ;n2 Li心 (Lixu)2 : 1:,(LJX21)2 芷\'"~ I ! •=l~..; ... . - : .. ,'\ x ,\ x , , "-1 '1x2 」今几謬gz"•X朊1,!ti1,i I]x,.1 . •· 41

•••

..

令匕

k

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• 16/f•

y

元

-1

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1

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I

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•

辶

臺"

~ .

i ..l

上

O

f,

i'

i=!

`` 、1'

n.1

u=E110 ,… 1

P=

!1 位訌） z. Q= 訌（全~xiJ)\ 1,

11,

R='°')'XiJ. L., "--'

,-1

®

J~'

单因素方差分析表

方差釆源

平方和

自由度

均方

咀伺

S1=Q-P

k-1

S1=fi=」

S2=R-Q

n-k·

組內

I

—--, 忌和

一－一一

S1

I

s,

S2= n-k 一－－一-----一，一－－

:

S=R-P

n-l _

1

I

- - — - - - ~一－－一－－＝－二~-----一－－一---~-一－—-一----

,

方差米源 t

- -—--

徂冏

统计量 -

I I

I 1

F=

s,

I

i

衞界值

I

Fa(n 一 l ,n-k)

-

=

统计扭戶

- - · - ·} -

s;~I

翌卜~ 汗｀，丶 ,,._1,

!

!

~F(k-1, n-k)

I

n-k)!lc] 」f 叱 [I0;

音 F1 时，诞明孩 因素対 g 有一定的影廌曌 t,>2 时，课明孩因素是很重要的囷

素郢 2 叮， X; 被看作是主要因素；甾 t,c21 則整批拒

,_

收．其中 n0,·n1,

c0, C1 , c2 与单式抽祥方案的決定哭似，要保证

抽祥验收方案苗整批次品率 p~p。时，拒收的概率不超近 a;

浩

P>Po 耜接收的概率不超連P. 通常用 (n0,n1,c0,c1, c,) 表示夏

式抽祥方案． 夏式抽祥验收方案的流程囤

(2)

(n 。,n1 ,

CG,

C1• C2)

抽检容量为叨的子祥

（计算子祥平不合格严酗跗lf'ltko)

0-

< c iI; 。

`e

`

koA1! c

C。,O, i,i=O, 1,2, …)

矩

*y

率 溉 移

，才

-

步

,`

k-` FfJ

石J

．、

夫＼

可

力＂＂

弓

你

L·

Olll"

ll

~~~

pp" oo 0 l... Pp.

pi

为

,`

、,＇

l

p=

A~

P

=

亻

,`

乍

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丶＇

,'

乜

`

眸 定

元 为

以庫~

`

pi

.

田 Pl 「表示系统由狀态 a, 經近:n 次餑移而到迏狀态 ai 的鈴移 影李．炎似地可得匝坞：紅移概率矩眸

P•"'=(P汀）． 柯尓棠哥洛夫－切普曼方程

3)

Pt 「 =I: p悶 Pl;-•n>

• (mO, Q11= 一 (a,+b,), Qi 」 =O

其中 a., 切是常立，

（鈤 i-' 月 >l),

則 f~;Xr 卜（芥次）生天遠程．

純不连鏷与尓可夫姓程

l6.2.2. 設

(1)

T=[O,

+oo), E=(-oo, +oo)

桔移概率函數

以 F(s,x;t,y) 表示时刻 s 时系鈧妞于抉态 X, 而存时刻 t(t>s) f1寸菜统落入 (-=,y] 中的概率，即

-1, x'.、

f(x,.).f(x)EH,

且溝足李普希玆糸件：

If (u)-J(v) l~MI u- 可， 其中 M 为某一常數，則 启 •m

f (x,.)=f(x).

11 一➔ =

7)

没:x,.,xEH, 則 1-i•m x,.=x 的充要糸件是：存在常敖 霜 ➔ 00

c,

使

lim

(xm,xn)=C.

m11-oo ,

lim

國，霜 ➔OO

8)

E(x,,.z,.)=Ejx 尸=

若名均方收斂于 x, 廁J

x,.

Ux~2.

的特征函數收斂于 X 的特征函

敖，从而名的分布函數收效于 X 的分布函敖．

9)

y霜EH, 且Yn 是抽立同分布的離机変量，則成立均方意

乂下的大敖定律：

1 ' l•i•m-}:y1r=Ey, 霹-.oo n 贏一'

其中

y=l•i•my,.. .. • 00

16,3-2-

隨机分析

下没位(t), tETr 是二阶矩変量組成的隨机遠程.

T=[a,b]

是直鈛上某一匡伺（可以是元夯広冏）．均值 m(t)=o, 掛方差 .

K(s, t)=E[x(s)x(t)J. (1) 1)

均方连縯

定乂．

如果 l,

i•mx(t)=x(to), 則杯遠程位(t) ,tET} 右： ,oo,

4 。均方连维．如果対 T 中的一切 t 都均方连维，則杯 {x(t),

tET}

• 8 l'i•

呈tT上均方连鈥．

2)

均方连维准則.

{x(t), tET} 在 1 江上均方连縯的充要糸

件是：梅方差 K(s,t) 在 (t 。 ,t。)灶连縝．

{x(t), tET} 在 T 上均方连練的充要糸件是： K(s, t) 在 {(t,t),

tET} 上二元连维．

据此， K(s, t) 在整令TxT上连練与它在 TxT 的対角鈛连 練等价． 均方尋敖

(2) 1)

定乂．

二阶矩這程 {x(t),tET} 杯为在 tET 是均方可微

的，如果下列均方极限存在

x(t+h)-x(t) l •l•ill . 1o-o

h

d

此极限记作 x'(t) 或 dtx(t). 杯为x(t) 在 t 灶的均方尋敉．

如果 {x(t), tET} 在 T 上每一燕都均方可微，則杯它在 T 上 均方可微． 如果 {x'(t), t€T} 在 t 灶均方可微，則杯 {x(t), tET} 在 t 使 二次均方可微. x'(t) 的均方寺敖记为 x•(t),

稔作 .x(t) 的二阶均

方尋敉．可突似定叉更高阶的尋數．

2)

J 叉二阶尋數．一令普通的二元函數 /(s,t) 杯为在 (s, t)

赴 F 乂二次可微，如果下列极限存在

lim

1

h,h'-o h-h'

[/(s+h. t+h')-f(s+h, t)

- f(s, t + h')+ f(s, t)J. 孩极限值~~ 为在 (s, t) 灶的·r- 叉二阶皂致．

3) 件是

均方可微准則

{x(t), tET} 在 t~ 均方可微的充要茶

K(s,t) 在 (t,t)~j 叉二次可微．

据此，如果 K(s,t) 在一切{ (t, t), tET} 上「｀乂二仄可做，

·81'1·

則下列偷畀數在 TxT 上皆存在:

。。。2 88K(s,t), atK(s,t), astitK(s,t), af;s K(s,t), 且有

。— a:-

K(s, t)=E[x'(s)x(t)],

d

&t K(s,

a1 asat 4)

t)=E[x(s)x芍］，

.一一-

K(s, t)=E[x'(s)x'(I)]=

a• atas

K(s, t).

均方尋數的性厭

設 x(t) 在 t 灶均方可微，

)!ljx(t) 在 t~ 均方连维；

均方寺敖若存在，則必唯一； 設x(t) 和y(t)均方可微， a, b 为常數，則 ax(t)+by(t) 也均

方可微，且有 「 ax(t)+by(t)]'=ax'(t)+by'(t)

汶x(t) 在t 灶均方可微， f(t) 是普通的可微函數，則」 (t)x(t)

均方可微，且有

U(t)x(t)]'= f'(t)x(t)+ /(t)x'(t).

(3) 1)

均方积分

黎曼均方积分的定乂．

没位(t), tET} 是二阶矩遠程，

f(t), tET 为一普通函數，考慮 T=[a, b] 的一組分 /.i. a=to) 孑心在可·

者根考下取正值肘，为保证 I fl I 有校小的值， (*)式根弓外取"+", (**)式取｀－鬥 根弓外取"-,.,

~F'(x)>o 时｀

~F'(x3 时，冇

eiy3

x,

y,

!

; i

i

，丶-

>l'J.y。

>Au,

-~,1!I,

>6.Zy& >A珌

>鵾

>fl.3yq >!J. 加 >/).311, `lI

- . -·-

(4 }

向后差分表

尸一－－－

I I

i

I I

X。

g。

x, X2

u, >v加 >VY2 >V如 Yz >v弘 >v1加 >VY3 >v泣 th >V如 >V!/; y, . - --一·--·一...一－一－一------一－一」

；名

i`I _ _ _ _x,_ (5) 1)

>vv,

i

若干重要性原

A=E-f ·v=f -- E-'

" !/8 2 .

1

o=AE-·2 ＝丘-zA

=U-E··') 孔 2)

以上六神算子部是綫性算子，即溝足

A(af (x,)+ {]9(:x户 =aAJ (:x,)+f:JA9(x,). 其中 a, /3 为常致、 A 力 A 、 v, 品 I,

3)

E, µ 中的某一釉算子 3

設 A, B为以上六神算子中的任何闕帥算子，則

AB=BA.

4)

役A, B为上述六秤算子中的某两神算子，則 m

(A+B)m 一 }:C~Am-r.B". l:al\

其中约定

5)

AO=[, BO=f. 若f(x) 是m 次多項式，則 6,kf(x) (O

士 O .'l 41 鉍 11856

0.11:1:isv

士 (:).4U5紅紅 513

（一 l)0.6281:ll~41&5

土 0.>35914

72978

( - l)L•. 1:158b4 o2,o\,c

士 0. 79017

28522

0.14394 T0500

.:t O. 50563

!.61 U:1

（一 1)0.85781 必 127

辶 U

*

（一；知.

15479

. V滇(.

!lH 冗

)內的致是店的以 10 为底的阶｀

9o 瓦！ -

积分方程的近似解法

19.7. 19.7.1.

机械求积方法

解弗雷德霍姆积分方程

y(x)=A「K( 豆） ya)dt+ f (x) 的机械求积方法如下；取某一机械求积公式

「 K(x ,g)ya)dg= Ew,.,K(x ,..x,,)y(xi,), a

k-l

此灶 -~i(k= 1,2, ···,n) 是 [a,b] 上 n 令适者远定的求积节~,

常

敖Cuc 是対皮的求积系數．如此弗雷德霍姆方程可按形式

y(x) R:!A

L` WtK (x ,xi)y( 石）十 /(x) 1,-1

未逼近.. 用 y(.x) 去替代上式的y(x),

'

y(x)=A 芷 Cu 1cK (X'X le) y (_ci;,,

并写成精确等式

I

+ ! {X) •

Ir-,

令x=x1, 在，...

,xn,

則得以叭功） (i= 1,2, …, n) 为未知敗的 n

方程所組成的方程組：

,, '

I

g 包） =A 芷 __ wtK (x, ,xk 溥 (Xt)+ (x,), (i=l ,2 「 •·,n) 如果上述方程組的行列式

j/- 乩贏 l

• 960•

a\:O,

1'

其中

0>1K(x1 ,x1) 0>2K(x1 ,Xz)••• m.K(x1 ,x.)

L='

。1K(x2,x1) @2K(x1,x1) ... m霜K(在，石） , .................................. .. ... ······.........

w1K(x,. ,x1) ro1K(x., 五） ... ro,.K(x,., 右）＇＇ 則上述方程組有唯一解

y(x1), y(x2,), •·•, y(xn)

迏些值便取为弗雷德霍姆积分方程的解在求积公式节燕灶 y(x,) (i=l,2,·••,n) 的近似值．

19. 7. 2.

待定系敖逼近法

积分方程 l>

y(x)=AJ K(x ,!)y(g)d!+ f(x) 的解y(x) 可用合适逃掙的 n 介函數叭 (x) ,' 而在 ti!i> 的范围內继鎂细分，此时先将 A 相 分为 3 介相等的 3 级子匡同 am,

ti出，

Ai且用 3 志公式求出 X寸

皮的积分近似值Jj 比 1m, 」i名，并检验不等式

. 园－江； ,__ , I

3

E

, -1

IJ}i'I +

E II盅 I + IIll'I + i 11f I + I 比 I

卟(**•)

，一 1

是否淌足，若(*黃暈）式淌足，則仿照步驟2), 将A!f,ll. 鉗分別分 'tll 成 3 介相等的子匡冏 1:!,,.l 比

l!i.i蝨， a;且和 ll. i 蝨，

ai蝨， A 温，若

所得相皮的积分近似值也都浦足哭似于 (ittt*) 的不等式，且 1 级子

民同 a11> 經分割后的相皮积分值［程， I甜，」鉗也淌足奐似于 （丑）的不等式則取

/ (3>=

a

a

a

a

; 一l

J 一l

J 一1

J一1

E /~f + E J~fJ! + E /~f2 十 Elj品十 [:J~f, J•I

] 为満足精度的近似值．

若（＊心）式不淌足，則按步驟 2), 再将 Alfa分割成 3 介相等 的 4 级子民「司，....

本法需規定一介基本參數 N (正整敗），它表示迸一步分割

• 968•

'

子民「司的最大级數，如果在某一子図冏上连鎂向下一级分割巳迏 到 N 鋦而仍然不能溝足涙差要求，則以相同的步卡向前推迸一

介子氐祠，継维讠式算． 本法是根据函敖在积分民「司各部分的不同性态而釆取不同的

分割程度，以減少対函欬值的不必要的计算．

(3)

求二重积分的逐次分半辛浦生方法

求二軍积兌

R=J河二: /(x,y)dy 的近似值，使其相郃两次值旳絶対或相対浜差小于预先給定的允 讠午浜姜 e.

将二重积分化为累次积分:

s(x)= j正） /(x,y)dy,

b

R=f s(x)dx,

Y1(x)

"

対每令单积分都用逐次分半的辛浦生方法，近似公式如下

Rn,.n~=_J,,.~[ s(a)+s(b)+2 至1 6 i~l 11,

s(a+i比）

h

+4E ,-1 s(a-f 己）］， 其中

h,.=(b-a)/n,.. 面

&(X)= 牙[t(x ,Y1(x))+ f (x ,y,(x))

囑·

• 90•

ny~1

+2

E

f(x ,y1(x)+ jh,)

J•l

+4i= 1(x.y心） -~•o. a是任詆常敖，有

~aAU,= lal JIAU,. fA+BilF=A, A

的第 i 行第 i 列的元素。假没消元這程巳迸行了 k-1 步，得矩眸 ,.4,1t-l) I

它有形式

... ...

(k-11 1 a12

1

,A(/r-1)

=

一 11 a1k)

只要方程組 AX=b 的系致眸 4 非奇蝌消元遠程忌可以迸行到

底，把最后所得約矩陣恫整成单位眸后，所得的 b 即为所求的解

向暈．

20.2. 趴 (1)

克芳特分蘚法蘚或挂方程繼

矩眸的三角分解

没矩眸A的一阶至n-1 阶主子行列式都不等于零，則有

A=(LD)U=LU, 其中

ll

... ... l ...

_______ _ _-_

,

.

U

蠶

靄

l

伍 ·:b

^L

、_＿＿＿＿_＿＿＿_＿_＿＿＿_＿

l li `·i

12·: :____--`

• 977•

1

U=I

U12

..

fft R

. .. u 坏 . ... .. ...

U1,. U2n

. .. .

Un-1n

•• 1

.

克旁特分解法

(2)

由上式，求解方程組 AX=b,

交成求解

LY=b 与 UX=Y, 因此，解 AX=b 的步驟为

1)

计算l,1,

u,j

lH=a,n (i=l, 2, •·•, n) uu=au/111. (i=2, 3, ···, n) 汲［的前k-l 列及U的前 k-l 行元素都已經算出，那么 ，，一 L

l,1r=a,,,-I:ltau,1r, (i=k, k+l, ···,

,,.1

UtJ一(a,,之 I.西）心.

)

(i=k+l, ... , n

＇一 1

2)

n)

解方程組LY=b

Y1=b1/l11

{ y, 一［切－隘心 ]/zu. 3)

(i=2, 3, ••• , n)

解方程組 UX=Y

{ x.~y.,

弓 y, 一立 u,.x寸. (i=n 一 1, n一 2, k•i+I

• 97& •

... , 1)

多利特勒分鮮法求鮮綫佳方程組

20. 2. 4.

多利特勒分解

(1)

1

.- r 】」

1

l2i

A=LR=I

(2)

/81

la2

...

.. .

lni

I n2

「n

. ..

...

...

ru

1

...

1

LRX=b,

「2 靄

.. .

方程組 AX=b 求解

変成求解

「 lR

.

即

`" .

LY=b 和 RX=Y.

求解步暕｀ 1)

计算柘， r,1 ＇一，

(=1, 2, ... ,

，一＇

k=i, i+L

庄 =a,1: 一 I:11,rJ,.,

圧 a弓評心）／庄. -2)

…,) 2,

(k=i+l,

"" .. .. .. ', 丶｀，＇

（戶： =1,

n

求解 LY=b

{ u,~b,. y,

S)

=(b,-隘心） .

U=2,3, ..,,n)

求解 RX=Y

{ x.~y./r,., •

｀一乜- E

,, •l+l

r,,, 吋/ ru.

(i=n一 1, n一2, •••, l) .'7!) •

吞列斯蔘分解法緋方程組

20. 2. 5.

吞列斯基分解

(1)

若 A正定対杓 (A=(a,1),

則

A=LLT=I ^_iJ :.,;

' ``

,'`

,u

l

fl;

」

... : ,'

. l,.,,

霜

l

... ..

l

.. 1 ... .. ..l ,-' ｀＿＿＿＿＿＿＿ l＿ J＝＝一二

柘伍

霫巴

I

l~1

霏

lu

i11

!

.

方程緝 AX=b 求解

(2)

AX=b 交成求解下面二令方程組: LY=b 和丘X=Y. 步驟

1)

计算 111

'"一（邲－鉫矗 )1'",

(i=l, 2,·••·,

n)

c=2• 3'... , j=l, 2, ••• ,

~

.t-1

1,」一(Gt立~lul.,,.)/1,,. 2)

1一 1

)

计算Yi (解 LY=b)

Y1=b1/l11,

{

y,

一(b乓｝硒）／如 (i=2,

3, ••• ,

fl)

L 一1

3)

计算 x, (解L「X=Y)

｛石 ~y./1 •••• "'=

(y,- E k-1 十£

•'980•

晒）／加 (i=n-1,n一 2, ••• , 1 、t

求A 的行列式值的公式为 det(A)=

fl' l1,. i一l

注，以上求解綫性方程組的方法又杯为平方根法．

解対郝方程組的改造乎方根法

20.2.6. 将対狳方程組

AX=b 的系數 1半 A=(a,J) 迸行如下分解 A=LDL芍 即 rii'

1121

d1

1

d:i.

酆~

A=)

lai

伍

r :

:

- 1,. 」

'•i

1 121

1

···... ...

1

la1

n

l3

..

... ...

·..1.il ..

`.... 2

d霜

1

.

求解方程組 AX= 碩成求解

LY=b

与

L"X=D-1Y.

于是得到如下改迸平方根法计算公式 i

计算 l1n

1)

di

d1=a11. 対 i=2,

3, •··, n 」 -I

to= OfJ- 已 f I 1:/ J J:, (j = 1, 2,

•00

1

i 一 1)

A:•l

,, d,= E

｀一·

au- 芷 t1kl,1:. 七一 l

• 981"

求解 LY=b

2)

Y1=b1,

{

y,=b1 -

｀一 1 EI, 叩

(i=2,

3, •··, n)

k•I

3)

求解LTX=D-1Y

{••~y./d.,

•

x,=(ysfd,)-

E

lu庄 (i=n 一 1,

... , 2,

1)

k•t+l

翥

A 的行列式值的计算公式为 det(A)=Il

d,.

｀一1

20.2.7.

解対郗正定帯型方程組 的乎方根法

没方程組 AX=b 的系數矩眸A为対林正定的帶型矩 1單（所 调帶型矩眸是指 a,1=0, 蚩 li-il>m 时，其中 m 为半楷寛）， A分解为 A=LL芍

其中 L 是下三角帶陈｀如 =O, 者， -i>m 时．若令 /,q=O (肖 q

~o,

或 q>p 时），則求 L 的元素的公式是

r- 包－盂.'心）／如 (i=i-m, ｀一1

lu =(au- 主」; ,.)'"1. (i = 1, 2. …, n) L 确定后，解方程組 AX=b 的计算步驟为

• 982•

... ,

i一 I)

T

解 11b

求

`

、＇

YIS

_\{

/ll

、`l

、

` ` .l . ` , ' ` ``

'

lm y l(` d T 2l 3 1 . l yt S " l 4 . i ) k

解 A

霏 霏

=Il

,'奩

(,g

i

y/,

20.2. 趴

(

/

.' n , n , ..., 1

、'

`

、`,＇

｀、

求 xft`

尸 l.lta LX

II

l1

是

l'·,`

、,、＇

( LY,lL 1 U2 b II

鮮対杯正定帯型方程組 的攻迸乎方板法

投対秭正定帶型鈛性方程組为

AX=b, 其中系敖眸4 的半帶寛为 m+I, 即 a,,=O (蚩 fi-il>m) 将 A 和 右端嗩b分別分解成 A=LDL鬥 b=LDo,

此灶 L 为下半帯眸，蚩 li-iJ>m 时 1,1=0; D 为対角眸 D=diag

(d,). o=(oi, ... ,

b,.) 鬥如此求解 AX=b 変成求解

LDLTX=LDo

即

LTX=b

求解步驟为

1)

计算 D, 和 11; i-1

柘 =a;1-

E

lu 耘/Im

l=I .,

(i=l, 2, ·•·, n, i=t,,., .•• , i)

t.={

乜 Om+l) • 983•

djj=l/IH. (i=l, 2,

...,

n)

计算 o,

2)

.,一 1

E

o,~i,.-

1,~ 和／佖

(i=l,2, .. ,,n)

1=t,.

求解 L「x=b

3)

.x,=(o,- 立硒）／恤 (i=n, n 一 1,

...'1)

i-f+l

t.,. 一{ n,

(i>n-m-1)

i+m. Ol. 対任何常數 C=/= 0, 有 cond(cA) =cond(A).

4)

若 A 为正交眸，則 cond(A)z=l.

c• 98S•

5)

若 R 为正交鸊則

cond(RA)2=eond(AR)2=cond(A)2. 没D为非奇畀対角眸，則

6)

cond(D),=max id,;j/minldul.

(P==, 1,2)

``

病态方程組

(3)

没 AX=b, 其中 A为非奇畀，若 A 的糸件數 cond(A))) 1, 則 杯A是病态的，且杵AX=b 为病态方程組．

攝劫分析

(4)

讠反方程組

AX=b 的系敖矩咋 A 与自由瑣b分別有6..A 和 Ab的微小変化，寺致解 X 冇 bX的相泣変化，即

(A+AA)(X +aX)=b+ab, 那么方程組解答的相対変化与系數矩眸和自由瑣的相対変化的栄

系为

翌~c~~c!i-11 -一 -~IIAAt+J~/JII 1-cond(A) . _116.Ail·(llAI! IIA~

特別， AA=O (不考虐 A 的微小交化）則有，

AX- 比可釆用高斯消去法．在脊多情況下，

Au 为三対角眸或帶型矩餡此时可釆用追迁法或帶型短眸消去 法求解．蚩 A是対林正定时， Au 亦是対杯正定的，追赴法和消 去法均具有致值穩定性．

20. 2.18.

傅高阶稀疏対郝正定方程組的交帯笑法

設高阶紋怯方程組

AX=B, 其中 A=(a心为 n 胤「稀疏対杯正定矩眸，

X=(x1 」)、 B=(biJ)

为 nxm 矩眸． 计算公式

由于A対椋正定，故可作分解

A=LTDL 其中 L=(l 心为 nxn 单位上三角眸，伍 =O(ji; ~996•

i=m」, m」 +L

... • £一 1)

,_, y,,=b,,-~l,.,y,.,/lu, k-m

,

(i=l,2,•••,nr

p一 1,

2. •••, m)

｀耶－盅 J,,.x,.,.)!lu (i=n,-n 一 1,

... , l; p= 1, 2, •••, m)

其中 m,, m」分別表示矩眸A 第 i 列，」列的第一介非零元素的行 耘， n,=max{klrn»i)

夏rJ

L-1=

其中

1 III

Pu=- 一,

I

Pa Pu

P江

p,.,

p吐...

.........

1 ｀一 l El,,.Pi:J, lu k-J

20.3.3.

1

(i=l, 2, ••• , n)

Pi」=-一

p,」 =O

p,.,.

(i=l, 2, …, n-1 i=j+l, …, n )

U>i). 用鮮或性方程組的方法求逆眸

由 AA-1=1, 可知若設X 戊A-' 的第 2 邲并比吋 =[O, ••• , • 998·

0,i,O,·••,OJ. 則 4一｀可由求解如下 n~ 綫性方程組

AX,=e,

(i=l, 2, ... , n)

荻得．

20.·3.4. 1)

正定矩眸的三角分條求逆法

把正定矩眸 A=(a,,)分解为

A=WL'l', 其中， L,D及D的元素 d,(i=l, 2 .... , n), L=Clu) 的元素 1,, 如 20,2.6 中所示．

2)

求丘＼

1 dI 1 d2

D-1= I

.•. 1 d.

3)

'

求 L-1,

.

1 L-1=

P.i,

..

1

...

P111 P112•••

1

,

式中

•-1

P,.1=-El,,.P,.1, (j=l,2, .... n 一 1, i==i+l, ... , n) k•J

Pu=l.

(i=l, 2, ... , n) • 999•

.

。 i,－三如」

A`1

l-o.

出J ：凸 才LDf l 求『'_「

1,

lLll"l 1

、j'I2, 霏＂＇

l 2 lu 22n I

,ggB

ll

. . .

,

_____=====-

l

-m__

m－e ＿一

,

量

其中

( L , D-_ L-' ,. bktb.•u• 3 ... ... -fJgB

l-

、

04B : -1

d,.

j=l,2,·••,i • (i=l, 2, ... ,

20.3.5.

矩摔分袂求逆法

" p,,,p_~j/Ju= E ,. •I

(1)

rt)

分玦求逆

没

...

·•·a1•

..

.

.. , a111

.

a,., 直十 I

••·a,, 胃

---一－一－一一一----一------:----------一---一－－－－－－一-----

, Oi,+ l'1•,•• 01,+ I 心 01t+i,.t+J ',;

..

a,.,

一（

..

...

a111

.A=

au 矗 +I

丶，＇，

... 011:

au

Au A11

.

...

••• a.t+1,n

...

On11

Gn,11+1,

... _b111

,:, b11•+1 ,, ..

...

」

••• a,..

),

Au A22

..

.

••• b ll:

; I:

···bi•

...

.

比， t+1···b.tn

-----" --- - -- - ' - •• ------- -- •

-一·一＿－一一一- -一一一一－

••• b.:+11!i:1 b11+11k+,

... ••• _bn.11

... b,., 矗＂

···b11J +1, 靄

... ••• b,, 靄

j

Bu B12

=( B2.1

).

Bu

计算 A-1 的算式为（利用 AA-1=1) ，华 =(Au- 皇il 在） -1,

l 二二二二::· . B11=A計 (1-A12Bu). (l 为单位眸） (2)

加辺法求逆降

孩法是分玦求逆的一令特殊情形．設

aa"a-a aa"ala aa aaa .. . . I ,l a.,22. -n . l I 2 ",-I 2 n ' , -I l ' ;',!!·---` i2.n-n

霧＇一－

,

• • •

'

...

,

ll

=[ ------!--ann- ],

霧－

｀矗

＇是{

a

1

An-1i u,.

'

a,-'

l-'

7-

一－

1

-I

,－一

羣a­

1-

n

.. .'... ., ., --,- .,-. -. -a . ", .,嶋

A

'Cc

V,i:

其中 An 一 1 是A,, 中左上角的 n-1 阶子式，而 V11=(a1111 Gnu'",

a,,,,._1), Un=(ain, G2111•••, 011-11n)"'. 若設

q,.

1 a霏

巴巴．

=f

rn

r

A;;1

p霜刁

, 1

其中 p,. 一 1 是 n 一 1 阶矩眸， q .. 是行向量，石是列向量，—-是數， a霏

利用 AA-1=!, 可得

• 1001~

r----~A;"'""'

a,.=a,.,.- 四 A;;~1

1~-vn A;!1 , q,.=- —

u,., 1

Pn-1=A 比十~a ..

a霏

A;:1 u叩,A 比．

牣等変換法求逆摔

20. 3. 6. 汲

au • au t

,A-1=

au··•

a,.

a江...

a五

a,.,

a 靄霓

...... 丶

lJni

...

. ••

.. .b

-______

句

l

2

=B,

... b`

震

b

___ _ _J

ti

2

m-

対矩陣

霜

-

『'

..blb .. ..

bb bb. '_--==-=i'a II "s

``...

..

-'_

00.1 O1.o 1O"0 aa" aa"a aa"a ,'!,',`,' •••• .. .... iti, 2 . 1 2 1 I .ti....

。

a

2

· "` ','

.

禱

`

,'自一＿＿＿＿＿

... .... ... ...il',. .. ... .. ·.

作一系列行的初等交換，使虛鈛左辺一玦矩眸化为单位矩陈，而 右辺一抉单位矩眸就変为 A 的逆矩眸 B=A古即交換成如下矩 眸

.... .... ....

l · l

I'

bb.b .... .. .... "12.

bb. bb. 10·, O1"0 00.1 ,',',,,','` l2.

_

_________________________

______ __ J

0

••• ... ·.. . .. .· ... ." b b . 鷂

• 1002•

".

－霜

l

,＂靠

7

.

窩斯－若普法求逆眸

20.3.7. (1)

高斯－若蚩消去法

対矩眸A逐次左乘一今初等変換眸， 可将A交成单位矩眸 I, 即

M ,.M,._ 1·••M2M, ·A=I, 其中 (I: mi,.

...

...

` `:

m~~

。

M~=

。

1

1

...

m~:•

吡＝｛

alf (t}

Ou

1 (t)

•

au

... 1

,

i~k

i=h

从而可得 A-•

A-1==M,.M,._, .. 如M1o (2)

求正定矩陴之逆眸的高斯－若蚩法

正定矩摔A=(a,,) 的逆眸 A-J=( 如）由下列過推公式算出 I

a~1'=a1J, a

(,, 胃霜

=

1 ( t • 11'

。1

tll,

011,,-1=

l

,1'-1> '"」 J- 』一 a,, a,.1

,

(t-ll

-aa•o +b讎十 1en+i. (n=O, l,

…, N-1)

因此 B(N>=B, 利用公式｀

(A+xy'l' 尸 =A-1 一 (A-1x)(y巴4-1)

/(1 +y"_A-1,c)' 可得

[B(n+l>] 一 1 一 (B 尸－

(Bin>)-1b,.+1 -e 氙 (B=(瓦）－＼ 得 c 的元素 s1j' 由下列公式确定 (m>

s, 」

-

~cm> `」

(氘－，，

(ml

S Im•Sm/

=S

(i, j,

•

1 一S

m= 1,

（氬一 1)

•

國富

2,

…, n)

由 1~1'Sjf 两介逃推公式迭代计算 n 步，得

s==A-1.

20.3. 11.

迭代法求逆眸

設用任何方法（例如主元素法）求得A-1 的近似X。，作 c矗一 1=1-AX研

{ X,,=X洫一 1U+C,,一 l)• (k==l, 2, …) 司 C。 I= 11-AX,i=qo, 龑lj 令

了，若 f(~—) o,

」 11(x)>O;

/11(x) 11/ 11> .. ,> 11/_X*U ➔ 的（杞 oo)

則秘 {X 鬥收竑于 x:e.

(2)

迭i弋程序的收故速度

X」于非綫性方程組的迭代程序，可建立如下衡量杼准：対收 紋于解 X* 的迭代序列 {X 心） b 若存在正实馭 P 和一令与迏代步故 k 元美的正常致 q,

由某 k。升始，成立

liX_X*II 勺 iiX), 其中

I

X 油） =(x'}),

(k=O, 1,

缸．．．」

xt!1, •··, xl!l)T,

/(X)~(」 ,(X), I ,(X), …，」, (X))' J(X) 为 f(X) 的雅可比矩齡即

flxlJixl aaaa af1

，．一一


l 的修正矩眸，

,., ',:

「 ,.=[q,, 一 11•••, I 相 >···>ltl.nl, 則対任意非零向量Vo=U。作迭代序列

広 =Auk-i,

{Uk= 式中

v,.

(k=l,2,••~)

max(Vc)'

max(V1r) 表示向量広絶対值最大的分量．昔 k 充分大，

有 Ui.~

X1

max{x1)'

(X1 为相皮于入的特征向量）

u1:=max(V 上） ~A, 所调埃特金加速方法是指用迭代公式

• 101$·•

(µ"+1 一肛） 2 叭 =pr.-----

俵 =1,2, …)

µ矗十2 一 2µ.i, 十 1 十 µ1:

去杓造比{µ,,}更快收斂于.11 的新序列 {.u k 」`

22.2.5.

逆幕法

冪法用于求按模最大特征值，逆冪法可用于求按模最小特征

值． 設 A的特征值A1>A2> ... ;;:;:i,J 黷均不为 o,

贝lj A-1 的特征化为

J/J1,1/A2,···, 1/J,., 因此 A的按模最小特征值An 就是A-1 的按模 最大特征值1/A靄．为求A-1 的按模最大特征值，取非零向量 Xa, 计算迭代序列

Xk+i=A 主

(k=0,1,2,•••)

AX1:+1=Xr..

(k=0,1, …,)

即解方程鉅

対Af乍三角分解 A=LU (必要时，求置換眸P, 対PA 作分解PA =LU) 再陡練解三角形方程組

LZ,,=X,., 得序列 {X 矗 b

UX.i.+i=Z矗，

(k=o.1. 心 u)

从而由

(J,.-)~ 霨；）］． 可得A的按模最小特征值心．

詬®在用某一方法求出 A 的特征值A」后，通述解綫性方程 組

(A- 心l)x=O

可得相皮的特征向量 x,. ®联合庶用移位法与逆審法，可以在巳知特征值的迸似值糸

件下，求方眸A 的特征值更加精确的近似值．例如，没方眸A 有n 介鈛性元美的特征向量， ;i,, 是特征方程 det(A-U)==O 的单根，

.• 10 ,16•

并丑已知;,; 充分接近;.i, 使得

il,-..t:J=-a;!'sinO

+a 行 cos0=a~~ 口）＇ i c;勺 p,q

a;;+ii=a~ 「 cos20+ 2a~{ cos0sin0 十磧 sin也

－一，．＼

a~;+ 「 =a;;'sin 弔- 2a 鬪 cos0sin0 +

aW cos20,

a~;+1>=(a~t、 -a;!))cos0sin0 + a;;> (cos20-sin20) = a~:+11•丶

为使旋鈴角 0远捧得能消去 a~:+1J, 逕取 ．、 乙a

,q

(Sl

tg20= (a~;: -a;;1) 弟

a;;'-a~;) =O,

. （圄弓）

那么造捧旳．」

4

) sq a(,

自然，

若 a;「 =O,

.

那就不需要旋餑了．

22.4.2.

古典的雅可比方袂

先在A 的非対角元素中逃捧絶対值最大的元素，

怕

1)

、.,'

冗

(81 ,'\ . a ,q

lap1q1I =max !aal l*k

可投 ap叩 =1=0, 否其IJ A 已經対角化了．于是可述拌一平面旋鈴矩

眸 R,(p, ,q;) 使A1=R1ARi 的非対角元素 a0J =a(0 =O P1q, q1P• 2)

再造 A1= (aff)nxn 的非対角级元素中絶対值最大的元

·- 105()•

丶

素，如

匡1\

I= max!af:,; l =fr.0

'2 1 ~ / , m

于月可迭空一平面旋麫矩庠比 (Pi,Q2) 使 A2=R2.A1RI 的非対角元 索吖

2'::

3)

=az, =O (注意上次消除的元素，此次可能交为不是零） 9, 柷

统鎂上述近程，即连鎂対A 豳行一系列平面旋鈴交換，

消除非対角紋元素中絕対值最大的元素，直到将A 的非対角鈛元

素全化为充分小为止，从而求得A 的全部（近似）特征值．

22.5.

求实対杯方眸特征值的二分法

孩法的基本思想是用豪斯浩德尓交換将实対杯方俸 A 化为：：：：：

対角方降 C: (Ci

C-Q._, ...

Q,Q,AQ庫.. Q._,

I

bl

-l .·-. ·-. . . .:· ·-. ·-. b1.

Cz

bn-:

bi

bn一 l 晁然 C 的特征值就是 A 的持征值，

22.5.1.

丨

c,. 一 1 - bn-1

Cn

而后再用二分法求C 的特征砥．

対杯三対角方眸特征值的性夙

若 mP,(...t) 表示方侮 C-U 的i 阶主子行列式，即

P1(A)=C,-,.1., P2CA)=(C1-,t)(C2-J)-bi PnU)=det(C-M), 那么

• 1051•

1)

多瑣式P,(1) (i=l,2,•·•,n) 仅有实根．

2)

如果Ao 是P,(1) 的根，則

3)

P, 一 1 広） P1+1(A。) 1-1-tt1)Xi-1,1+t, 一 u,=O'

{t,,;_ 凶 -i,1+ Uu-l,) =O.

Xe- i,I 由上式中系敖絞大的一介方程決定．特征向量X1 的共他分 量由前二今方程組給出．

求出 T 的対皮于入的特征向量X 漳，根据

s-1AS=H, P-1 HP=T 便可求出A 対鍅于1, 的特征向量为 SPX,.

子空岡迭代法

22.7.

子空冏迭代法是墉法的直接推,, 能同时求出模較大的一些

特征值和相皮的特征向量．它是目前求解大型、稀疏矩眸特征值

的最有效的方法之一． 設A 是 nxn 实矩眸，假定我亻「」要求它的M 令控制特征值和相 皮的特征向量，若 A 非対鵬則述假定它是非弓掘的．

(1) 1)

基本算法

腩机地取p(M -和一 01/ 丨秤） l(t)dt

t,.

q+ l

=hq+Zy=vf 抨 -Vin 尹... • 1083•

叭 liU

l'lj t迂馭 y;O> 更为柏确旳近似值 q

y;l)=y霜 -1+ 呤已亡 vmt:o,. ,e 一。

軍岌上述這程， 得到迭代公式 q

y;•'=Y•-1+h

I:: ,.·::v 可 ,u-11,

(s=I. 2, ...)

,,. 一 O

其中

I! 霍一 1'=/ (t,.~y 尸叮 迭代收斂糸件：若 f (t, y) 美于 y 尚足李苫希茲糸杆

J/(t, Y2)-f(t, Y1) 因 Kly:1.-Yil (Kj」」李氐常敖）則迭代收斂糸件为

hvqK , i三0

E,

I 幺 t=!Um+,,,

i一0

y~!D,

k-l

(C; y!!!l' 十 .[:a」g 鬪； =hP.tf !!i 」一 O

.

，，一，

三｀

+hE/3」／竺 il), i一O

(n=O, 1, 3)

2 重•··,

P(EC)N~ 模式

I

P,

E,

l • 1'086•

c,

y::\+ 逕 a)國 -h 足，l/出， j• 。

，一 0

J 訌 t=fUm+1c, y訌｝）， k-t

y!;tl) 十辶 aJy~ 片 =h店」；；；

i-•

N-1)

t-1

+hE 為I~!},

L

i一O

(n=O, 1, 2, ...

,

N-1)

E, f 出 =/Um+h Y出）． 阿迏姆斯预測－校正公式

(3) 考取 ，一曰－

h P, Yn+1=y,,+2(叭 -I .. 一 1),

i`

（阿迏姆斯昱式公式）

＿＿＿＿＿＿＝－－＿＿一三'"

h

C: Yui=Yn+ 2(」鷂十 1+ 」凸

`

（固迏姆斯隠式公式）

則可用下面三秤方案迸行计算 2

l)

PECE模式

止

il

Pi

、'丨＇

h y!~!=v:1'+ -(3/;1'-/; 缸）， 2 I U+ =f Un+i, y; 計），

}

(' )1

h

Ei

C,y;it=y 尸'+ ;（」 '.1'+! !~D,

其中 I

2)

f ,t~~=f (tn+J? y~!D, f ;I写 f (t,., y,lli) PEG模式

i`__ I I___|

P:

'

` 3)

g鬪 I

h =y:1'+ -(3/. 一 3/.C~D.

£.C.

:ii1 =!Un+u

2

y 出），

}

h y,;!t=y;,l'+ -U?'+i 出）． 2

潁溷－校正修正法

• 1087•

h 2

預測值

Pnu =y量十一(3/.-1.-1).

修正預測值

m,.+1=P霏 +1 一石 (p霜－％），

5

m! • 1=fCtn+u m,...1), h

校正值

｀严瓦十 2(m!+1+f,.)重

1

修正校正值

g霏 ♦ 1===C霧「」十石 (Pn+1 一 Ca+1).

卉始计算时取Po=cu=O. 在实际计算时，最常用的算法之一是取下面的阿迏姆斯是式 和隠式公式作为预阅校正公式的，

h

P, 恥 i==y.. + 24(55/霜一 59/量 -1+37/. 一2 一 9/ 靠一 s),

c.

h

妃 1=y囍十 24(9/靄十 1+19/靄一 5/靄一， +」雲一 2).

而最常用的模式为如下PECE模式｀

h

P, y! 打 =y!''+

-(55n1' 一 59」 ;g

24

+37/J 共一 9/; 比）．

E: t:n=ICtn+u y;~D,

，一一一－－、

c,

h

y 出 =y 「'+ 24(9/ 出十 19/

`, 一

t

'

十

• 10 88•

佗方

、)

蜜佗 密

、,＇

( 4l

1"法 (．方法

.. f

E

1

、',、,'

1

f(l1+, Iu 1l1+ ;; ;; 5/ ,.

l l l

:'>

预鸊

y.c~; =Y•-a+ 了tn=f(t霏 +1' y:t 「＇）， (s=O 重

`

1,

2, ...)

修改的密佺方法

2)

4

预亂

Pn+t =Y•-a+?-h(2/,.-f n 一 1+ f,._;), "

28 修正: m,.+1=P國 m 一一 (p霹－％），

)

m!.,.,=/U,.+1,2:n+1), h 巳 1=Y,「 1+ 3(m!+1+4/,.+/,._1),

校正： ______`

1

終值：

法

方

明

哈

I)

、、＇

5

Yn+1 =Cn+1 + 29(Pn+1 一 Cr,+;)•

哈明方法的預測公式和校正公式

疇公式： Yn+1=扣-&十 +h(2」n-f 霜一 1+2辶）．

校正公式 2)

Yn+1=½[9y,.-y,._2+ 3h(/ n+ 「1-- 山 -1旦］．

修改的哈明方法

• 1089•

I 芍涮值： 凡 -Y•- ,+-! h(2/.-/._,+ 2/._,),

]

112' 修正预測值: mn+1 =P靄十 l 一一＿＿ 121 (p,._-c,.), m!+1=/(t鷂 +1, m,.+1),

1 Cn+1= 涿 [9止一 g靄一 2_+3h(m!+1+2/,. 一 I目一 1)J, 修正校正值: y霏十 1=Cn+1+ 9 校正值：

曰 (p靄十 1-C霜十 1).

23.2. 23.2.1

常微分方程組的數值解法

一般形式的一阶常獴分方程組及 初始值同題

｛瘩= f ,(t ,y,, •.. ,y.), y,Uo)=u,o. 23.2 溫．

(i=l,2, …, n)

定步卡改迸砍拉法

在 tli:+i =t.,+h 上的函數值y,,,,+I 的计算公式

) fl;,1:+1=Y1.-+hy;五，

l Yi,k+i=Y社 2h(y 伍十 '!i1,.t+1). 1

23.2 溫．

(. ) k=0,1,2,•·•

四 E杞尼格－庠塔方法

！芸-I (x ,y(x),

l

i=l,2,•••,n

u(x)),

-t--F(.x ,y(.x), u(.x)),

y(xo)=y9, u(x0)=u0. • 1090•

尤 1石庠塔公式

1

Ynti=Yn+ 6(k,+2k2+2 比十 k,), 其中

k1=h/(Xn ,Y量， Un), h ki=hf(xn+2' y,.+~, u,.+9d-), 十

ka=hf(x,.+!!.-, gn

k2r2

, 王靜

2

k~=hf (x. 十 h, y,.+ka, u,.+qa). 及

I

u,..,.1 =u,.+t(q1 +2qi+ 2Qa+q,). 共中

`-i` q1 =hFtxn, Yn, Un), +L",

In

`]

、、l\l

十十

3

十

+ h_2 ____(i` , ,-

FF hh xnxn 55

2 k

q,]q?

,'

l2i UU nn

Qa=hF(Xn+{, y,,+~J_ ,

,

2l

y,. 十朽， u,,-1-qs).

为

対于一般一阶常似分方桂組． n 令联立的固 I~切尼格－庠塔公式

h

囧 m+1=Y1m+ 6-( 紅十 2k,2+2 知十知）， 其中 'eEi 」.， ,｀i`_

蚣 =f ,(tm,

Yim,

紐 =f.(tm+-1-,

... ,

h

Yim+ 了比」 2

＿一＿＿＿＿｀

h-2'S ,'_\( kkf1 tt ++

____ `' a^ .',

mm

Ynm),

,

' n.

•••

謩

!/nm+{knt), h

Yim 十 2R12 ••.. , Ynm +-2 k,.2).

Yim+hku,

...,

y,.m+hk震 s).

• 1091•

(i=l,2, …, n; m=O,l,2, …)

其中

Y,m 为第，介因交量 y, 在 lm=I 。 +mli灶的近似值．

23.2.4.

六阶戈格－庠塔公式

由 Y111:求 y.,,, +l 的计算公式为

1 Yh/f+l= 四十國 [41(k,。十知）十 216( 蚣十知）

+ 27(k,a+k,s)+ 272k,,] 其中

蚣 =hf,(y。,. ,Y1 薈， Yz矗，…，四），

蚣 =hf,(y。• +-~-h, Y1•+ i-k!O, ..• 叩十比。）， ku=hf,(y社 ¾h, Y1•+~(k10+3知），.... 1

Yd+ U 辶 +3k,,1)),

蚣 =hf.(Yok +½h,yu+ t +hyJ''+··•+ ,.,. 一... ..1.1 、 l忙． (2)

尤格寸華塔方法

仅考路二阶方程

y"=f(y,y'). 它的二级晁式尤格－庠塔公式可取为

Yn+i =y「丑y:,+r1 柘十 rzk2,

y乜 =y! 十}玷+-¼蛤， 1

柘 =-h牙 (y.,

y!),

2

1 k2=2h1f(扣 +a1hy! +a晶，計十吲）．

若取＼

l

1

3 —

r1=r2=-, 01=-, 2 2 02= 21 2

4

a1 =a2=--

a3=--

3'3•

則局部截斬泯差対 u 是 O(h'), 而対 y' 是 O(h8).

23.3.3.

不星含一阶尋敖的.::.价方程 的特殊计算方法

方程的一般形式为

y"=f(元， y)

• 1097•

史還：某公式

(1)

q

(q>O)

Y,+1~2y,+Y,-1=K2E a.,.vmJ,' m•O

其中：

K=X,+1-Xi,

om=J一芷亡I (X;+I 五（一s )()] + s dx

"

m

m

＝（一 1rJ:o-吋（一s)+(s)]ds, •m

.

x--xp -

S= 一－－一-

K

m

孩 am可由下而遇推公式求出 O。=]'

,

,;~,Um=l-~-h2a,,._1

-

3

.!,`

2 ,-hsOm-i-

;;

…-

i_,

2 -~~h m+1ao, (m=l ,2, …)

m+2

l 1 hm=l+--.:-+··•+-- -

式中

2

。

1

i

。

一－－— I m

~

，庄l_,}_-::_u "-=_1 J

2/z

，則有｀

U1,, J+l~一店， l-=~~j-lt/ 一 2U.t,吐~_!,

•

十

h2.

a(u_1c+1, ,-u1:-1, ,)

2h

+bu,,, 」

其截斯课差为 o(,+h2).

如果取 u,,j T·

一阶商维汊曲型

24.4.4.

方程（紐）的差分蘚法 考梠下述的汊曲型方程：

U己-b 瀆x1 +b2ux2+baUx3

=O

或奴曲型方和組

祏 +B

au OX1

au au ~=o +B2a1;- +Bs — axa

或守恒形式

u,+rpxl +'P:x2 +'Px3 =O'u,+f "1 +oxz +Px, =O 以及

_十 u,

af ax\

au

a;

OX:

OX3'

十—十一 --=o

其中 1=1Cu), -U=g(u), 护=p(u), B1,B2,Ba是 ],g,p哭于畔9 雅可比矩障．

没 Xi'Xz, Xa 三令方向的步長依次为札比， ha, 趴 =r/h,,i=l,

2,3, 以下正要讠寸讠&h1=h2 一加 =h, 及 P1= 瓦 =Pa=P 的情形，并 且以两维空冏为主．假定 B1,B2 是常敖矩眸，记 ii,.,., 」 =ii

Ctr,

杯 s,X2,1)=u(r,, 倬， h.zi).

回前姜分算子：

Li x,u,.,e,s= ilr,ou 」一 u,,.,s • 1U9•

向启差分算子: /7x1il,.,.,,=t1,.,., 」一酊，．－＂＇ 平均算子 lµx1ilr,1t•J

1 =--(iJ,-,.~1;2,J+il,., • 一 I ,2,, J) 2

中心差分算子 1 cJx1il,.,., 」 =(Ur,s+1;2,J-

Ur,._ 1 ✓1, 」)

l

以及;

Ox1µx1ii,.,.,, =-(il,.,a+i,」一虹， •-1,J) 2

(1)

L-W( 拉格斯－温鐔菩夫）格式

UrH ,a,J

一（弓 B1(.d社戶）－巨2,(.d丑 Vxi) 152

扣

qi2

L,

8

+ ., B; Llx1f7Xi + ., B! Ll:J&1/7x1 +

·(B1B2+B2丑） (Llx, + /7這 (.dx2 + f7xi))ilr,s,J• 坯可釆用下述便于皮用的形式：

UrH,., 」 =U-i52(Br +BD)u,.,.,J j5

j5

f)

pZ

P Bi(I-PB1)il..,,w1 2

+-BiU +"fiBi)u,.,a 一 1, 」- --B2(I-PB2)il,.,s,J+1 2 2 +--B,(l +l5B2)u,.,.,J 一 I + 2

8 (B1B2+B2B1) (出， ~~••i+1

+u,., 冨 -i,J-1-iir,a+1,J-1-ilr,s 一 i,Jn) 坩卡矩眸为： G=(l- 妒（鉭 (1 一 cosP1h) 十硐 (1- cosf]2h)

1

十一 (B1B2+Bz比） sin扒 hsin庄h))-if:5(13::;inf]占

2

+B2sinf)2h). 没Am 是常效矩眸趴，比的潽半怪的最大值，則穩定性糸件」1:

孓I < ✓ sl?.m1): (一维空同的穏定糸件是iJ

温篦歹夫格式 （按昆式计算）

(r. s + l,j - 1) C -N 格式（隠式）

它是元糸件稔定的，可按晁式计算． C-N( 克羊克－尼科尓森）格式

(3)

(1+~B1(Lf吐戶））(I+~ 趴 (Li x1+

/7x1))

•tl~ 十 l>a> 」一（勺 B1(Ll 己戶）｀）

·(I- 『11(Li社 f7x1))i!,.,,,,J 2SLW(2 步拉格斯－温篌要夫）格式

(4)

u戶 1;2, ,.,,=-} (ilr, 書十 1,2,1+ il,.,a-1,2,i+ u,.,.,,+1,, 十叭 ,s,1-,12) -~(B1( 出，,, ... 1,2,j-u,,. 一 1,2,,))

竺2(B2(Ur,.,J+1,:1. -U,.,s,J-112)), 蚩 P1= 瓦时，稔定性糸件为 /5¾1/( ✓ 2 I Am I). ADI 格式（交替方向隠格式）

(5) 1)

WPR( 温徳麥夫－皮斯曼 -1立奇福特）格式

二维情形；

·1152•

(I'+½(/ 亞Bi) Ax1)il,+112 一(1+½(1- 丸） /J.1e1)s., (i+½u 這）紜）a户 l =(I+ 拉－邱）邑） il, +112

t

即先沿均方向计算 t 方向半令步長的值，再沿 Xi 方向计算 t 方向

整令歩板的值． 三维情形：

(l+}U+ 邛）五）Ur+l13 一(1+}u 丑） 8x1)比 （勺 (I +PBa) 紜）il,+ua

一 (I+ 拉－江）辶） il,+113, (1+½U+PB1) 辶） Ur+I ＝（己 (l -pB3) /J.x3)ilr+21a. 2)WDR( 温德夢夫－道格拉斯－拉奇福特）格式

（鬥 (I +PB2) 辶）ff,+112

一(l+ 拉－邱） Ax1)u. (l+p加 (1+-}u+ 竑）辶） Ur+t ＝一 215B2ur+1 社 (I- 謹改 I+~(l-pB1)~ 、\ • 11 .,,, •

、

「,．

~·

i

、.

p·

~．~

`

f` 、.~

4

`

緒守恒型方程組的若干格式

~.

-,-;' C'l. d」

函

))

. -t-

ax[

ag 十、'- =o dX2

,

`

r.,

'~

（二维）

(2SLW 召式）

i:·';I) ,s,丶 l/2,」

=[tl,·,u -~P10x 」 1-

叭t•.•·•j+l/2=l!,x2'U 1

]

「正µx, 缸flxzg

乙

](!)

,s+i,z, 」 +l/2 u,,.,, ,s, 」=[:酊，＇，」一 p 心」＼－瓦缸 U:!2~Jr+1u,, 增 k 矩 1三

G2s1.w=l-iC/}1B1sin/31h+p2B2 、 rn:32h) 一 (15~B~

·(r 一 CO 、、月」1)+75 主 (1 一 CO:、尼）十 5函·! (B1B2+B準） ·s; n/32hsin/31h)

2)

蛙跳格式，

Ur+1 =Ur-1-P1 転µx1fr-P2 心」J, 紅1, =~- 户 l - Pi 2 (Jr,s+1,;- f-r,s-t,J) Pz (gr,a,J+1-gr,.,J 一,) 2

培 K 矩眸为

G=-i( 瓦趴 sin/31/i + i52B2si n.f] 2h) +(1 一 (15高 sin/3」i 十戶2B2si n店）守 /2,

3)

SLF( 交錯蛙跳）格式

1 元」 =ii, - 2 伉µx10x1f,.+u2 十心這磧,. +! ✓2)

,.

1 =u- -x昞 (/,.+112,s+l! 」一 Jr+1,2,s-i,」) 十瓦 (Yr+11z,s,1+1-Yr+1 ✓2,~, 「,)] • 1154•

蝌 -I:、 j:Ji,~':, 失 1

GsLF=l - : (瓦丸 siH/J1/i 十，硐角 sin/3zh)2

+i( 四」 B1si n{J1h+ /5,B2si1西） . (1-

·1

叭B」 sin/J1k

+Pa比si n/3立）m 叮于 t 万向釵大 tl的步反， SLF 洛式精度最高． 幻

斯特朗按吋固分裂格式

ii r+1,,P=ftx,Ur fV

-r+, ,, 3'=µx? 1'r.

V

l

'

(I

丶r

F

十

-^ x J r ,

= tU

「

「

, ,°,

+. ,'· s

l

4 賾x,j•• 12 ,; 6

一

]

｀，雇x,g, 日心

+i, (Zl

" Vr+t, ,4'= U,H ,(g' 一 POxzYr..-1,,s -

V r+i,..t2(x,t ,il)>··•>..tn(x ,t ,ii) 役相 )§1.11的左特征向量（行向量）为

秤 (x ,t, 吩，... , l2. 迏 时，可令 il=(u,v), 特征方向与特征矢系可依次表为

r¥,-~A心，t .u,v)

adu+bdv=gclt

'

3

沿第一族特征， 沿第二族特征，

2

{ cdu+ ddv=hclt

（第二族特征）

刁

dx dt

一 =A1(x,t ,u,v)

（第一族特征）

a, b, c, d,

o,h 是X1

t, u, V 的函數．

。辶

,.--

,r

在x-t 平面取相近兩煮 1 与 2 (見囹），坐杯分別为 (x,,t1),

(x2,t2), 没u, V 千 1, 2 的值圧叩圧 Vg 已知，則近 1, 2 的特 征方向顯．園 (i=l ,2) 也已知，述迏两煮分別沿两特征方向．

作斜率分別为 1/,1,叭 1/..l比的直纈設两直綫交于 a 3, 其坐杯 • 1164•

孜孝全大 1x

其中 /41, /42 是矩眸A=(a1,)iz2 的特征值，

(3'al> , f~1)) 淌足方程組 I l l l

一＿

(1(2 l112 ,\,\ ) ) ), 1 I sr·8 l2 12

(3(3 l J ) ,

一＿

、,、＇

{ xx xx,^'"t,` t tt ,. 然后浩特征方向，用差分代替(3) 式中的微分，得 af1>(u~1>-u1)+b{D(v护一叨） =gfD(t3ll-f1),

{ c?'(uf>-u2) +dJD(v~u -巧） =hiD(tJl> _ti).

其中各字母的下杯 1, 2, 3 分別表示相立的量在東 1, 2, :-1 的值． 由此可求出 uJI>, Vil) 作为u, V 在東 3 的第一次近似值． 近似值的精确化

方法几先用算木平均值修正方程的系敖，即用第一连似

(xin, ti0, u~1>, v~I>) 计算 l!P, ,l~i'. 再计算 J A11= tlJP),

l

2

(AlP+

1

A22=-(JH'+A鉗）以及 2

1 1 1 a1 =一 (afD +a£D), b1 =一 (bf1>+bf叮， 01 = -(gf1'+g「)， 2

Cz

1

=一 (c!1> +

2

c£ 叨，

2

2

1

1

2

2

d2=-(d?>+di 叮， h2= 一 (hi1)+h「),

然后由下列方程組求出東 3 的精确化值 (xa,ta,ua, 巧）；

X3 一 Xi= 和 Ui-t1),

{ 功一 X2=A.22(t3 一 fz). a1 (ua-U1) +b1(vs 一 V1)=g1(ts 一 11),

{ C2 包 -Uz)+d2(Va 一巧）＝比 Cta 一 t2)• 方法 2:

先就卓取算木平均： • l l :; :; •

"C,

!

1 2

1 2

X8;=-(x1+x护）， t3i= 一 (t;-1-t~l 勺，

Vr

(i=l, 2) 1

1

知＝一 (u,+u护）， Vu=----(V; 十 v~v).

2

2

然后计算出矩眸A 在燕 (Xs1,

tu, U:ii, 四）的第一特征值Asi,

在熹

(x82, t3這az, Vsz) 的第二特征值J.321 a, b, c, d, g, h于 (xa,,ts, Uu,Vs1) 的值为卸， ba,, Cai ,ds,, lls,, ha, (i= 1, 2), 贝I」精确化值 (Xs ta,u8,v8) 由下列方程組确定

.

{ Xs一功＝心 Cts 一 t1), X3 一功 =As2Ua-t2), 。 31(Ua-U1)+bs1(Vs 一巧） =g31(t3 一 t1) 1

{ Cs:t 包-Uz)+d翦（四一巧）＝知 Cta-t2).

以柯西同題为例，設光滑曲綫弧 L經一熹元特征方向，方程

.,-

組 (1) 的柯西同題，就是求 (i) 的解u, v, 使其在L上取給定值． 在L上取一系列結熹 a=l, 2, …,

7=b, u, v 在送些東上的

值为已知，利用前面介紹的方法，可依次由 1 与 2, 2 与 3, ...' 与 7 水出京 8,

9, ... ,

13 以及Ug,

Va,

圧 Vs,

... , U1a, Vu,

6

然后再

以送些若果为初值，可继维求出煮 14, 15, ... , 18 及其上的"·

值，如此继緤下去，直至填潢曲辺三角形abc 为止（辺界 ac, b~ 是折鈛），上述作法也可在L 的另一側实現．

'

痧岂 F全大李

:tr ?,9

5:

。

• LIM>•

24. 5.

窩散方程的解法

本节所介紹的解法，适用于本章及下一章（有限元方法）中

所出瑰旳各神紱代致方程組．在实际庶用中，送些方程組対皮的

系數矩眸一般都是大型的，稀疏的．（即零元素占絶大多數），帶 狀的（非零元素集中于主対角綫两倢，呈帶狀分布），対橢圓型

阿題的有限元解法，相皮的系數矩咋一般述是対杯的，正定的， 因此，｀數值代數＂一章介紹的各秤解法可根据送些特煮得到迸一

步的友展．涉及到有限元方法的某些木语与记咢，清參看第 25 章．

24.5.1. (i)

直接絛法

分坎追赴法

用有限元法或差分法解常微分方程組，或高阶常微分方程，

或親則広域上的二维「司題，一般都可化为下述形式的帶有分玦：：： 対魚矩眸的綫代敖方程組

I

B1

i

丨 -A:i.

-C1

B2

-Cf

I J

.

1

.

•

•

>··-·~:·•.::~;c,_I IL..:_ I l,.:_ I 其中， Bi 是方眸， A11

C, 是一般矩眸，

Ui, bi 是向量， i=l,

•·•,t.

迏时，可采用下述的分玦矩眸追趕法求解（假定用到的逆矩眸皆 存在）

I 芷~B,-A,瓦」一'C., k=!,2, ..,,t, Vo=O 呤 =[B1:-Aa.H11-1 」 -1[bt+A,,v1, 一 iJ,

k=l,2, •·•,t,

u,+1 =O U;1=H」u,+i+vs-u

i=t,

t 一 1,

••• , 1. •. 1167 •.

以矩形図域上的泊松方程第一辺值何題旳五肖二分+' 弋为

例，対任何 i'

,rk-l -

B

I

:·.

、

',r

••

I

1

1 I4

t1

(Xi。 ,y。)

是"f"S 阶方眸 (i=l,·••,t), A,=C,=l! }==:Z, … ,t 一 1,

A

－＇

... .. . .. •`..

,.

U,Ll=

:

1` ..• .•

l``i

、-＇,＇

1

1

JIl

tA

`

\,~'·1,. [

r

14

`

X1·, 宓

-• •• _,_ x,

.,,+I

-A,==:Ci~:;=l 均为 S 阶单位眸， M,1 为st

阶方眸，并且是不可约冏角占优眸，因而是非奇昇的．

如果 A,, B0

C, 都是单元素矩眸，就是通常的追赳法（見

n 敖值代敖＂一章）．

帯狀矩眸消元法

(2)

給定N阶矩眸A7'(all」)，如果存在正整數 tt 时有a,J=O, 則杯A 为帶狀矩眸，若述存在 ia, 扣使出一

iol ==t,

且a;oio =I= O, 則 fA{t 为半帶寛．

給定方程組Au=f, 其中A={叩）为帯狀矩眸，半帯诞为t, 作三角分解A,;,,,LR, 其中 L=(l11),. R=(r 心分別为帯狀下 'J: 三角矩眸，且ru=l, 贝rJL, R计算公式如下， .

``

.

•.

·m-,1

1伍 :r=;asm 一芷 , 上一 max(l

'

l111r11m, ( .,==m ' , m +1, ... ,m.+t)

1-o

·一

「mi=(的－王 lm1:r1:J,) /tmm, t•\naxcl, J-o· ·

_,,

·i

..

,

.\

.' `、.

':

(j=m+l. m+2,m+t)

m=l, 2,

…,

式中音求和下限大于上限时， 从为整介求和痕为 o.

• 1168. •

N-1.

回代述程计算公式如下· ｀一 I

硒）／如 O=h

11,=(f , - ~ . ，， •m 矗 x(l

2, ... , N)

f-U

min1N,i+t) Ut= r,, 一 E r,,, 印 O'=N, N-1, ···, 1) 上一 HI

此算法息存鍺量为 N(2t+l) 漬乘除法思计算量为N(f 和吐弘 知 C2 为常敖．

如果A 为対杯矩眸，則计算這程可简化如下： m一1

l,.,=a,., 一 El,,..伍／如 (i=l ,2, ~.. , N) k=k,',,i,-

m2k1, k1+i, ...·, i, 比 =max(l,i-t),

'C;=(J;- 旦 l;司／加 (i=~, 祏 =(v,-

min,N,i+1,

恙

2,

…,

ltiU止）／如 (i=N,

N)

N-1, •••.·l)

坐求和下限大于上限时，汰为整 1、求和瓿为零

(3)

変帶寃消元法

訌怯可以迸一步节省存儲暈与运算量．用 t, 表示第i 行第一今 非零元系的列%, 設鈛代啟方程組为 ,Au=/, 其中 A 为対杯矩

鷗 i 力半帝寛，些方法具体实施這程如下： ＇冨 -1

i1m=a,m 一

E

z,. 伊 /lu,

k•max +Ru("'+c] 十 (1 一 ro)uO, a;;;.,o.

r

r

伽江金形式的変分方程

(1)

P(x)u'(x)'P'(x)d;+,

。

q(x)u(x)'P位） dx+au(L)o. b(l)u(t ,l)-a(l)u.(t1l) =µ(t).

相皮的伽迂金形式的変分方程有两秤：

第一神：时伺－空冏 [O,

TJxD上的変分方程

ffe 乜－主 (a(x)u,.)+ 主(b(心］砥t ,x)dxdt==O, _ ax ax O

\:/ /(x1)=!=/(右）． 汊射全浦射十单射． 逆亟斂与夏合涵數

(3) 1)

分奐

定乂．没 f:X-Y是一汊射函敖，杯 v➔ x 的汊射函數

,。为／的逆函數，记作／－＼設f:X今 Y,g:W江，若f(X)i;;;W, 則

o•f=={的一令子代 t简稔同勺．只享対任 敖（子系统）意的x_,,xlX有 ,!

I

V •. uEX • f < x. 11>

.12511

獯発r.'\ 子

l (2)=元运算的一般〈Y, 心是

中

a"

--v

.f

成

_ •




成 合 O1 昇 'a~r 合 蕃 的 运 l4 等 群 在幕a

杓为子布尓代數

(4) 同态与同杓 同

态

与

同

代敖系统

杓 .

-

.

1) 定叉，没和 . (gz, h心fGxH, (g,, h1>•

(B,", 喦，'•

0,1)

03=, I +x). 1 其中 Z(S~V)= 一芷 Pl

r,,z1

m

n j,.,K,k fJ

(U)今µ:!(u)y*µ昆 (u)• (并） µ(缸l§>(u)~µd.(u)

/\*µ,(u). (交）

V* ... A* 是 [O, 1 」中的二元运算，简秭为模糊算子． 常用的模糊算子

算子

名

;

秭

V*

！－－－一－一

1

]

2

i l

03

4

5 6

7

9

概率和与积 t

有界和与积

1

Hamacher

i

Yage:

l

,

Schweizer-Sk1ard a

Kaurmann

－＼－一,_,,,_-注

8

Einste:n

1

I j

v'+

鼓大｀乘积

ffi+rg

上 EK

s

II i

v

Zadeh

p

,

,

:oo; ； T。p尤

2)

'r/ a,bE[O, l]•

av b=max(a,b). a Ab=min(a,b). • 1305·

a-b 表示普通实數乘法． a令b叄 a+b-ab.

a+b

a eb 全 atb 今

1+-ab-· ab

1+(1-..:..-a)(l-b)•

a 用 b~min(a+b,

0.

a 同 b~max(0, a+b-1). a祜全

a 令b一 (1-y)ab

v+(1-v)一[1-=iibT

ab

a芍b~ 一一－－－－一－－一一

v+(1.-v)(a 干 b)

·(yE[O, +=))

• (vE[O, +oo))

ci~b 鉭min(l,(a'+b')½).

(vE[J,+oo))

a紅磷l-min(l,[(l-a)'+(1-b)'J.'

I

).

1 一 ((1-a) 一，十 (J -b) 一，一 1) 十，音 P>O,

o 令b,

音 P=O~

『亡］二二二二）:;_;>,.

aJ_,b 今

苗 Po. aT,b 全｛

罟 P=O.

ab,

(a 汗伊 -1 戶，蚩 po

x

。 。 13U•

a

圏

柯西分布

µI

1

µ(x) 一，

l-a(x-a)P•

laZa1,2a0,

JC

µl

蚩 xU-~--+V

axb表视了讠的域的拷換芙系．

j I

設 afµ1, 轟， 內积

bfµ,,ar

a

I

记 ll·b 蝨心 b 兀

~,,

--

{a}~

U-~ 一 {/J}

aobT

I

.

a-b= V(a 心）．

一U,

b「

⇒ ~a} 一 ----+{/J}

\ _ a-b 表示同一全域中两令模開概念 Il 之［司的相美程度．

i 一」

「--—-- -··-一－－～－－－一一 1) (a-b)0=a。 O鬨

汲 a-b{µt,.•謩记

• a0b~/\ (a, Vb,) ; -1

2)

(a0b)」基 a'-b•1

3)

a·b~a Ao; a0b;;;a,a Vh1 a.a=a1 (a 蝨 m.axa,

4)

5)

I

卟苓

·0·

6)

a0a=!!,

7)

sup a,b=~, bfµix.

(!!, ..mina,)

,

infa0b=~1 hf/J1xn

hda• a·b=~1

8) 9)

b 乓 a ⇒a0b=!.!r

10)

V 祆 1-l,x 靄⇒a-a•,;;;;--

l 1 a0a"> 2'2

(a, b)=a• bA(a0b)0, 杯为 a 与 b 的格貼近度．

®

护展定叉

設 :d,

/JE.「 (U),

记

•13!5•

:4• fl@

V (µc4(u) Aµ 昆(u)). 醞 EU

40!1~I\ (µ:4(u) VµJ!(u)), uEU

分別狗为 4 与 B 的內积与外积．记

(d, !?)今(,d·!l)A(:d0!J)0 为模糊集 4 与g 的格貼近度．

®

性原

i) Oa}]. os:;aa}].

a:.-0

（定叉®、®中的R:

27. 1. 5.

.T(U)-.;o.[0,

lJ 是 U上的一令集函敖）．

模棉映紂．模糊交換．护展原理

模糊映射

(1) 1)

定乂

®

没 RE.:T(Ux

V),

所渭 R 在 U 中的投影，乃是 U 的一介

模糊了集，记作Ru, 它具有束厲函敖：

µ,u(u)~Vµa(u, v). t1EV

同祥可定乂R 在 V 中的投影品： /lJr(v)今 Vµ君 (u, uicU

v).

蚩 U、 V 为有限集， R 用矩眸 REµ,,.,,. 表示时，瓦、品可分別表 为向量

aEµ,.,1, 它亻「］的分量溝足a,=

bEµ1xm,

max r;H h1=maxr,,, i=l. •··, n;

l"'J"'m

1._,._,.

j=

1, •··, m.

®

没 [iE.T(UxV), 所渭 R 在U 中的內投影，掐的是 U 的

一介模糊集，记作尽 u, 它具有求厲函鈫 碣 u(u) 今"µ且 (u, v). vFV

同祥可定乂R 在 V 中的內投影Hv:

咽心）今 I\µ,(u, v). uEU

平 U 、 V 为有限集， B用矩眸 REµnxm 表示时，尽 u 、尽 v 可分別表 示向暈

• J3Z8 •

咔µn,i,

它的分量浦足：

J=l, ···, ®

bEµ1>Q1(a) 且研）尋(a). 2)

畔

©completely true very trve rather true completely false very false rather false

}偏真； 1偏假； .,

unkciown--一－既偏真又偏假．

®c.t.>very true>true>rather true. @ l'>unknown=? 「偉真； 「 c(unknown=今 E 偏假． 経典元限多值還緝系统到模醐透緝系统的推 F

(3)

利用护展原理可将任一經典的元限多值翌緝系统推 F到栢皮

的模糊速揖系统．瑰以户卡西维奇逕緝（简记作 L) 为例，加以

讽明．

@

芝緝联結调

• 13 4 2•

L 中的芝緝联結河

模糊逕緝中的逆緝联結调

.

否

R1£,,謚lP,

Ri~lP,

定．

合

「1=f1(P)=l 一 Pj I

I

R論PANDQ,

取 I

,

析 取

R漳PANDO,

巨 =/2(正） =pl\q \缸 =p• AQa I ＇一－一－一＿＿＿

R3今p 。 RQ,

IR溈扒 RQ

r3=f心， q)=PVq -

墓

瓦= 1-.£_"

一－一－－－－一－一－—

l

I

fl3•=g:vQ•

- · .I一－－－－－一. - i R, 蝨P-Q,

-- --- -- .

1 R, 今P-0, i r,=f4(p,q)=(1-p+q) Al [昀 =(1-::』 0 +Q") A.1

涵

注

1- 芒勺的 -P2,

1 一 P 」.

芒 t,.Q" 凸比 A.qi,

Pz A.qi].

芒 vQ 溈比 Vq1,

P2YqzJ.

!::+Q 心[P1+q1, Pi+qz].

PA-NDQ=PAQ .

-

-

PORQ=PVQ

-·

Pt-,.Q~{

凸立~Q.

Q, 竺苫．

P, PVO&{

3)

-·

蚩 P;;a.Q,

Q. 肖~~Q.

演鏵推理規則｀ 經典芝緝

(MP) (MT)

P, P-C區 Q, lQ, P-Q• lP

模糊逆緝

(MP) Q=l(R--lP)ORn, (MT) P=(R-+Q)ANDn. （送里＃是真值为 unknown

邙呃命題）

• 1313•

维表 竇

差典芝緝

模糊還緝 ..

-

（计算公式）

汶R=P-Q.

I

r

I

（计算公式）

丨

p

没R=P.-.Q.

若斟 =[r1, 1], ~ 矗 =[P1,P2], 則

q

1[p,1], r=11 ) P+ 「 -1, 「,01 I lJ,, 其它．

I

1(0,q], r=!,

「, 其il

•

131-7 暈

E(A, U A2)=E(A1)+E(A山 七夕団 (A1)+E(A2) 意指， 若 以 A1) =a,.:rc1 +

... +a1,.n:,.,

E(Aa) =a21Jr1 +···+a2n 戶 贝I] f(A1)+

,P(A2)=(an +a21):r1 十 ···+(a1,. 十 a2,.)11:11.

®

正規性：

3)

如上建立的 (!J, 幺）

概率汤.

,P(fJ)=l (1 是 {1} 的求厲函致）．

e,

E) 叫做一介（窩散的）语言

E~ 为语言概率，或赤模糊概率． 模梢事件的语言概率

27.4.3. 定乂

(1)

在语言概率汤 (Q,

x,

事件，没 E(w,)=n:,(i=l

e, E) 上（窩散情形）， 4 是模擷

,2 , ... ,n),

則定乂

E(-4)今才 (w1)•.ir1+···+~(ro,.)· 石． 语言均值

(2)

波f 为 Q上的一实值函數， 4 为Q 的模糊子集， 1r1, ••• ,11:n 为相

愈于 roi'...'ro,. 的语言概率值．則记

E (f ,,4)~J(w1)4 區） :r1+···+f(w.,)蝨 (w,.) 石，杵之为 f 在4 上的语言均值． 苗 J(co,)=1, i=l ,2, …， n 时，

IJ(l. 4) =£(4).

27.5. 27 .-5.1. =相模糊统计试验

(1) 1)

四要素：

• 1348•

`

模糊统计

二相模糊统计

®

诒域 U;

@

u 中的一令固定元素fl;

@

u 中的一今可运劫的普通集合A*, A* 联系于一令模糊

集4 (相皮的模糊概念为 a), A* 的每一次固定化，都是対 a所作 出的一介确定划分，它表示a 的一介近似的外延，

®

糸件品它联系着対概念 a所迸行的划分述程的全部客

视或心理的因素，制约着A* 的运劫．

2)

特京：在各次试验中，％是固定的， A* 是在変的．作n

次淚聆，计算U。 X寸4 的求厲颜率．

U。対 4 的衆厲頻率今

"u。EA*" 的次數

`

．賄着 n 的增大，柬

厲頻率也令呈视稔定性，杯为衆厲颜率穩定性．颜率穩定所在的

那令敖，叫做U。 X寸 4 的求厲度．

3)

方法：

® ® ®

将U分組； 每組以中值为代表计算束厲頼率； 连维地描出囹鵬得到求厲曲鈛． 由二相模糊统计所得的東厲函敖的住展

(2)

1)µ,d(u)+µ-dc(u)=l; 2)

若 U ={u1

,u2, ·•• ,un},

,.

則

,.

Eµ4 的）十 Eµ4cC巧） =n. i-1

J-1

27 .5. 2. (1)

多相模梢统计

定又

終定Pm={:41,··•,4m},

4,Eg-(U), (i=l,•··, m) 。科送料

的试验为対Pm 的 m 相模瑚统计试验，若每一次试验的結果，「記

• 13U•

确定一介映射

e:U• P,,. 此时，秭P霹中的集合为m介相． 由多相模糊统计所得的東厲函數的性展

(2)

l)µ/l1(u)+µd:1.(u)+··• +µd,..(u)=l; 2)

没U

= {U1 , ••• , Ug} 为一有限诒域，則有 n

n

芷 µ,dl 的）十... 十 Eµcd,,. 包）＝庄 J一1

J-1

特別是音 U 为一实數因阿 1 时，可写作如下形式

I 己 (u)du+••·+µdm(u)du=L([).

L

(L(J) 表示匡阿 1的長度）．

(3)

三分法

用隨机分界熹的思想來外理模糊统计试验的模型．

定理没 a,Tf) 是淌足Pa

。

8)

模糊拓朴空「司中所有包含于模糊集 4 的］刁子差，亡」

并，祚为蝨旳（拓才団下）內部，记作J·. 9)

投 为模糊拓朴空阿．若X 的模糊，栽 e 的｛吊域糸

（相皮地靈域系）針。的子族繽具有住旗：対于任意 ,dE~e 有辺e氖

使 .Q~ 乏，杯磊为 e 的－令邰域基（相皮地重域基） .~x 的每 一令模糊，亞都有可數的郃域基（相皮地重域基）时，才加灼茜足第 一可敖公理（相皮地为 Q 第一可敖公理），或棕为 Ci 空阅（相疝地 Q-C1 空伺）．

10)

没 为兀空「司 O Q)·v; 或者 ~(x)>P,

且且 (y)=v.

8) 为兀空同台対每一介xEX 及AE[O ,lJ, 冇/JEJ, 使]J(x)=l-J, 且4(y)=l(y=/=X).

9)

模糊拓朴空同 为 To 与店空［司今必为叭空［司．

定乂

(1)

1)

没 D 为非空集，＞是 D上的偏序，若対于任意的m,nED,

有pED使 P>m,

2)

模祠同的摩尓一史密斯收效

p;;>n,

則杯 > 为由偏序＞定向的定向集．

汶 > 为定向集，¢为X 上所有模糊亞組成的集，你

D至:jcp 的映射 S 为 X 的模糊冏．対 nED, 记 S(n) 为品，于是S 國可 表为 {S,.,

士司｀

27.7.2.

nED},

• 1358•

D 杯为模糊冏 S 的定乂域．

>. i·

3)

設 {S,.,nED} 为X 的模糊冏， :4E.T(X), 若対所有n,

名皆重于 A,

A,

秭冏 S重于 A; 若有mED, 使音元;,,m时， s,. 皆重于

你隈 S 最終地重于 :d; 若対任意 mED, 都有 nED,

得名重于 :cl,~ 两 S常常重于 :cl; 若対一切 n有名EA,

4 中． 4)

n;;;>-,m,

使

稔冏 S 在

没 为模瑚拓朴空伺， s 为X 的模糊两， e 为 X 的

模糊加若対 e 的每一介熏域 IJ, 同 S 最終地重于 JJ, 杯冏 S 收斂 于 e.

5)

X 的模糊頠 T={TnlmEE} 配为模糊两 S 一 {SninED} 的

子阿，若存在从E 郅JD 的映射 N 淌足：

®

T=S渭，即如每一介mEE, T m=SNcmH 対 'r/ ,.ED, 3 mEE, 使者 pEE, p;;;>-,m时，有 N(p);>n.

6)

模湖拓抃空同 的模糊東尋k 为模糊两 S 的聚熹，若

(D

対 e 的每一介重域 IJ, s 常常重于互．

7)

翌 X 的模糊阿 {S,, tnED} 的定乂域 D 由所有正整敗組

成一其偏序为普通序>-一时，杯模糊两为X 的模糊序列．

(2) 1)

有夫定理

没 为模湖拓抃空冏， 4 为X 約模糊集今X 的模櫬

缸';~ 叮充要糸件为存在模糊阿 S在4 中且收斂于 e. 辶）

没〈 X, 」>为模糊拓抃空「司今 4 为 J- 阅集的充要朵件为

4 中每令模祠和擇不令收啟于不厲于 4 的模糊亞．

3)

没〈X,J> 为模糊拓朴空冏，模栩两 S 收鈫于模糊熹 XH

合対于 0 为模糊拓抃空伺，每令模糊冏不合同时收啟

于两令承京不同的模糊意台〈 X.J> 为兀空囘．

5)

没在模糊拓抃空岡〈 X.J> 中，累次模料國 S={s(m,S)}

收斂：：：＼氠 e, 己 F=DX(n

m.D

Em),

対 F 的每介咸贝 (.m,

f),

• 13S9•

由 R(m,f)=(m,f(m)) 定乂了 F 上一介映射 R今R 与 S 的合成 s 。 R給出了以F 为定乂域的模糊郫且SoR也收斂于熹 e.

6)

設 S={S,.jnED};J;J X 的摸糊冏，繽为 X 的模糊集族，

使得任何两介度中的元的交仍含有章中的一介元；又没S 常常重 于窪中的每一介元今 S 有子冏 T 使得 T 最終地重于繽中的每一介 兀．

7)

模糊拓朴空伺 的模糊煮 e 为模糊阿 S 的聚煮 0 有 S

的子阿 T 收斂于 e.

8)

設S=={SnlnED} 为 X上的模糊冏，対每介 nED, 记 :dn

为所有模糊淑 Sm(m;>n) 的并今在 中， e 为模糊两 S 的聚束 的充要糸件是 e厲于每令 :dn.

9)

没 为 C 」或 Q-C1 空［司， :4Esr(X), e 为X 的模糊

(D

ef;a 今有 4 的模糊序列收斂于 e;

®

e 为模糊序列 S 的聚熹 ~s有子序列收欽于 e.

煮今

27.7.3. 定乂

(1)

1) 在孓 L,

拓钅卜分子格

没L是存在有伪朴的完全分配格．杯L为分子格，若存 使

®。戶

®a, 知， @

a Ab=/=09aB(x)=

TcmO

A(l)-xA(x) 1-x•

i-k

、,、＇

,\,\` 56

b1c=kak=9B(x)=xA1(x). l "•

柘＝出今 B(x)=xJ 。 A(x)dx. ,,

(7)

咋 =a0b1,; 十 a1bt-1 + a2bk-2 十.. ,+a 也。= Ea,b1,-,. i•O

28.1.5. (1)

定乂

指數型毋篋麩

対于序列 ao,

a1, au

...

,

'

函敗

G,1 x)=a0+E!x +~x汗 ~xa+···+a_!!_.x.1;+·•• 1! 2! 3t k1 蒭为序列ao,

(2) 1)

a1, a:,

…的指數型臣函敖．

綰讠令

若元 ~a 召」m 令， 元非 U滇 112"1、' •••

,

元素 a 計"fn,, 令， !-1

• 1383•

比組成叭 =n1+n,.+··•+n1:) 令元素的排列．其不同的排列远棻 为

,!

n, ! 历 I ... n,,1• 若元素 a1 有n1-i'-,

2)

元素a2 有ff2介，... ,

-;·: 素ar, 有 n上 -t-,

由此組成的n(=n1+n2+ … +n,,) -t- 元素中取「介排列，設其不同 的排列敖为Pr. 則序列 Po,

Pu···,

加的指敖型母函數为

G心）一 (1 十竺十全十... +~)(1+~~+~ 十··+芝"—) 1!

n, !

2!

1!

2!

庄！

.. 心計計.. 十苛）． 錯排何題

28.1.6. (1)

定乂

n介有序的元素皮有 m 令不同的排列，如若一介排列使得所

有的元素都不在原米的位置上，則赤迏介排列为錯排或稔重排． (2)

严生錯排的方法

設n-t-敖 1, 祏．．．，畔昔排的數目为 D., 任取其中一數 i, 欬

i分別与其它的n一 11'-敖中之一互換，其余 n一 21'-致迸行錯排， 共得 (n 一 l}D量－冷惜排．另一部分为敷 i 以外的 n 一 11'-敖迸行錯

排，然后琫其中每介敖互換得(n一 l)D霜－冷錯排． (3) 逸推夫系式

n••亞 -l)(D,._1+D._1),

D1==0, D2==l.

D. nr

—和 6-1==0,3679 (讽明錯排D靄与全排列的比敖几乎与n元

夫）． (4)

錯排數

1 1 1 幻」 (1--+ —一... +— 11

• 1384•

21

-n)•

(5)

有禁匡的錯排斂

今町一 r1(n 一 1)1 +r:,.(n 一 2)1- …士＾

(r, 是i令棋子布置到禁民部分的方案數）．

28.1.7.

綫性常系藪避推失系

定乂

(1)

如下一突的逸推芙系杯为鈛性常系數逸推美系 G1&+n+C1Gk+'1i-l'+c:,.ak+(n 一,.,+… +c .. 年 =O,

a 。 =d。, 其中 Ci,

a,=d11 …, a,. 一 i=d,._u

C2.7 …, c,. 是常系敉， d。， d1, …, d霞一 1 也是常敖．

H(m)=m"+c1m"-1+c西n-1.+···+c正 1m+cn=O,

杯为遠推矢系的特征方程． 解的対沱

(2)

逸推美系特征方程的 n令根m11

1)

m2, …,

m嶧是不相同的

，令实數，典］逸推芙系式的解为

a1c=L1mt +L2m; 其中 L11 L21

+… +Lnm!,

…， Ln 是待定系數，由道推美系式的 n介初始糸件

米确定．

2)

特征方程冇不同的夏欬根．按 1) 的方法灶理（将夏數 a+

bi 化成 pe'fJ 的形式）．

3)

特征方程出塊重根．没m1 有L重根，厠]a,. 中対皮于 m1 的

有一瑣为

(A 。 +A1n+A2nz+···+AL-inL-1)m~,

其中 A 。, Ai, A2, ··•, AL-1 是任意常數．

28.1.8. (1)

斯特林敖

多項式系敗

.. T.185•·

（丑汪 ••+Xm)霏展玕式的瑣敖等于（

n+m一 1

n

），而且

送些系數之和等于 mn.

(2) 斯特林致 1) 定叉 [x],.=x(x-l)(x 一 2) … (x-n+1.)

=s(n,o)+s(n, l)x+s(n, z)x汗 ···+s€n,n)x", 羽； s(n,O),

s(n,l),

…,

s(n,n) 为第一突斯特林敖．

定乂• n令有匡別的球放到 m令相同的盒子中，要求元一

2)

空盒，其不同的方案數用 s(n,m) 表示，稔为第二突斯特林疚． 定理：第二突斯特林敷 s(n,k) 有下列性郎

3)

©s(n, O)=O. ®s(n,1)=1. @

s(n,?,)=zn-l 一 1.

©s(n,n-l)=c(n,2). @

s(n,n)=l.

4)

定理

第二突斯特林敷溝足下列遡推癸系：

s(n,m)=ms(n 一 1,m)+s(n 一 l,m-1).

(n>1, m;>;l).

28.1.9.

卡塔呈啟

一介凸而且形，通遠不相交于 n 辺形內部的対角鈛，把 n 辺形

拆分成若千三角形，不同拆分的數目用比表之． 逸推哭系

(1)

1)

hn+1=h1比十 hah籍一 1 十…十比如

2)

(n-3) 加＝；（庫n 一 1 十 h,hn-i+ ... +hn-1.h, 十 hn-1 加）帚

• ]13 杯·

(2)

卡塔羊斂计算公式 211 一 2

hn+1=n(,1一 1). 1

(3)

舟菡數方法

讽G(x)= 比十 h3"+h4X2 十...

1- ✓ 尹

G(x)= 一－

28.2.

容斥原理和鴒巢原理

2s.2.1. (1)

2X•

容斥原理

公戎一

丨 AU

B! =!Al+ IBI-IA ns1 IAUBUCI =!Al+ !Bl+ /Cl 一 IAnBI 一 1Anc1 一 1snci+ 1Ansnc1. (2)

公式＝

IA1UAtU

…UA11/== t 因－言子， lA,nA,f

..

+EE E 1A,nA,nA,,1-···+< 一 1)霏一 1IA10AaO 1~1 f) 1k> J •.. OA .. I.

(A, 为有限集）．

28.2.2. (1)

鵠巢原理（抽屜原理）

原理之一

若有 n1'鴿巢， n+l 只鴿子，則至少有一介鴒巢里至少有閂

• 13t:· •

只鴿子． 原理之二

(2)

m., m:, …, m,. 都是正整數，并有

m1+m2+··•+m,.-n+1

只鴒子住迸＂今鴿巢，薁I} 第一令鴿巢至少有 ml 只鴿子，或第二介 鴿巢至少有研只鴿子，．．．，或第n1- 鴿巢至少有 m量只鴿子，至少

其中之一必然成立．

(3)

推诒

m 只鴿子， n 今鴿巢， ll!I」至少有一介鴿巢里有不少千

1)

[m 尸］十 1只鴿子． 若取n(m 一 1)+11- 球放迸 n1-盒子，側」至少有 1 令盒子

2)

有m 介球． 若 m1, 叭、…、 m,. 是n 令正整數，且

3)

m1+m1+•··+m,, n 則 mi,

>「一 1,

m2, •··, m,. 中至少有 1 介敖不小十＾

(4)

定理

若序列 a1,。a,Gs.

…,ani+t

的 rr+l ,t元素是不相等的实數，則从上式中至少可逸出一組由

吐 1-1'元素組成的或为单调增或为单调滅的子序列．

28.2. 趴拉姆芥祠題 冏眶提出

(1)

六介人中至少存在三介人或是互相从沢，或是互相不从沢． 推沱

(2) 1)

対六今頂京的完全囹的辺甩紅盔二色任意着色，結杲至

少有两今同色的三角形．

·1388•

10人中若不是有 3 人互不相沢，則必有 4 人互相汰沢； 10

2)

人中若不是有 3人互相从沢，則必有 4 人互不汰沢． 9,t頲東的完全囹用鈺、藍两色任意着色，必然是紅色

3)

辺三角形和藍色辺的完全四辺形两者必有其一；臾似有紅色辺完

全四辺形和盔色辺三角形两者必有其一． 18 人中至少有4 介人或互相汰沢或互相不讠人沢．

4)

拉姆芥斂

(3)

同是一対常啟a 和b対取有一介常啟 m 使得「介人中或

1)

有a,t互相弘沢，或有b令互不相沢．送介r 的最小值用r(a,b) 表 刁．

2)

拉姆芥數性服

G)

r(a,b)=r(b,a), r(a,2)=a;

®

蚩 a,b>2 时， r(a,b)~r(a 一 l,b)+r(a,b 一 l).

拉姆芥致的推「

3)

r(a1,a1, …, a,.)3,

其中P是一介素數， a 是正整數，則存

T

(alf ,B,.)

f'm

ll

•• ,'.\

、,、

c

• 1Jr12·

C2,

…,

(a~;~, 比）

·__---==

(a'r> Br) ln1'

(a'"' B,.)

2n1'

... a`T ,n B

" , , ..

、J

1

給出的Ci,

," (aH',B,.)

•

是｀

B.B,

'i;

.、,、·,\＇

••( ( ( i aaa 1` )

2)

溈

在n 一 1~ 互相正交的 r品的拉丁方．

4

I

Cr 是一組 (n. 店） X(n山）的正父拉丁方．其中

r=l, 2, •··, k; (aW ,Br) 是n2Xn2 的矩眸，其第 h 行第 1 列元素 为 (a}j',bt~');k=l,

28.4.2.

2, ···, n2: 1=1, 2, •··, n:. 垮衡不完全的巨組没计 (BIBD)

定乂

(l)

令 X={ 叭，名，... ,x計．所调X 的均衡不完全的因組設讠七指

的是由 X 中的一子集相成一組，共得b組，設为 {B1

,Bs, ···,B1},

每組k 令元素，并漓足以下糸件：

1)

X 的每一元素在b組中正好出视璜；

2)

任意一対元素在b 組中正好同时出玭 A次，

3)

k),.x 靄是哈迏曼德矩稗一今

"

mn=(a~';'H 貴）是 (mn) X (mn) 的哈迏曼德矩陣．共中

a~j'H ,.= (a;j'ai:1)n,.11, 即 a,j>H,.矩眸的第 h行第 k列的元素为

a~j>a~t>. 3)

H,. 是哈迏曼德矩眸一~c

H,.

H,.

H,. -H,.

）也是哈迏曼德

矩眸．

4)

磡 (n;>8) 規范化的哈迏曼德矩眸H.( 即第 1 行、第 1 列

的元素为十 1) 対膨．一対 ~BIBD, 并且卒一対杯的 BlBD 是

(n-1,

i 一 1.f-1)一畔计． 哈迏曼憶矩陴的杓成

{ 3) 口

GF(p) 是 P令元索的域，厲于 GF(p) 的m一 1 维射影空冏

的 I.J. (和和•••, ~m) 除去 (o,

o, .…,

影空冏的東（紐紐…，~"')的介敗为 •)394•

0) 有 p"'-l 令• m一 1 维射

，霹一 1 p一 1

•

2)

xx(/J);

®E

x(a)=Oa

a{GF(p)

®

E

fl 为 GF(p) 中非零元索一~

x(a)x(a+/3)

a~GF(p) ＝一 l;

©

P一 1 ~p= 比一 1 时一今一-=2k-1.( 即为奇致）

3)

定理

2

下列 (p+l) 阶方眸H 是哈迏曼徳矩眸：

1

1

1

1

1

一1

x(l)

x(2)

1 x(P 一 1) 1 x(P- 2) H=1 . .•. •

.

1

xO)

28.5.

一1

1)

一1

..

.•

1

x(3)···x(P一 l)l x=上辶畊 e-lbllJ勺 fl .

(j==O, 1,2, ·•·,n 一 1)

k 一0

霏一 1

1 xc2, ， =-E 坩>e-n,..1,1,,._

n

4)

定理

•·1396~

(.i=O,l,2,··•,n 一 1)

，，一 0

F{X1*X11}=F{Xr}·F{X:}.

` j

一秤多璜式快速的乘法

(2)

巳知两令n 次多噸式

F1(z)=a。 +a1z+a2z2+•·•+a霏一 1Z"士 瓦 (z)=b。 +b1z+b記十… ·+b霏一 12n-l,

F1(z). F2(z) 的系效相湮于下列两令列向量 1 A=(a。01Gz .. •Gn 一 1 0 0 ,~...

-

… O)'l'

.'.--• n令

n-1'° B=(b。b1bi···b霜一 1 0 0 n~

… O)"

、 n令

的卷积．

28.5.2. (1 丶

若干引理

n一 I

1)

n1 一 1

I:a'= 《一 0

2)

中囯猁佘定理

fl

(l+a2•), n=2n1, a>O.

正一 0

n=2n1, 「 =2历叭「 1 是正整蚊， m=r"/2+1, o(x(t,)) 为終端代价函數， x(t1) 没为自由的． 最优控制就是在系统狀态方程的约束下，求解 u(t), 使目栃

勔杯迏到最小（大）．

(2)

最优摭制的必要糸件

－薛(t,) ----=A

.x

Klt)

(2) 1)

諭出満节器

綫性时交系统犢出调节器

完全能塊的系统狀态空同表迏式 印） =A(t)x(t) +B(t)u(t)

y(t) =C(t)x(t), x(to) =Xo. 住能指柝为

1 =1-

I cv'l'o"ct>v+"磷（加4 tf

2 t。

1 +--y"'(t,)Q.y(t,~ 2

其中

u{t) 是任意控制; 02. 是正定対狗矩蹈 Q,.(t)和 Q。是正半定矩咋． 最优控制（榆出调节器）；

• U3B•

凶 t)=-Q;-1(t)BT(t)P(t)x(t),,

其中

P(t) 是下述黎卡提方程的解 P(t)=-P(t)A(t) 一 AT(t)P(t) +P(t)B(t)Q; l (t)

. BT(t)P(t}-CT(t)Q,(t)C(t). P(t1)=Cf'(t1)Q。 (t1)C(t1).

2) .~ 性定常系统諭出调节器 完全能控和完全能视系统

x=Ax+Bu,. x(t。) =Xo, y(t)=Cx(t) 性能指棕

1

l=2J。 [y'I'Qiy+u"如Jdt, 其中

00

u(t) 没有約束； 02 是正定対杯眸；

o. 是正定（或半正定）

対杯矩眸． 最优控制（榆出谔节器）

u*(t)=-Q;1BTx(t). P 是非綫性定常代故方程組 -PA-A'I'P+PBQ;1B'l'-C丸C=O

的解．

(3) 1)

跟綜器 冏題的提法

能成綫性时変系统 祅t) =A(f)x(t) +B(t)u(t),

x(t。) =x0,

y(f)=C(t)x(t).

要求翰出 z(t) 是一介与y(t) 同维的向量，使性能指桔

1 ft l=-J [(z-y)丸 (t)(z-y) +u'I'Q2.(t)u]dt 2 t。

• U39•

1

十一[z(t1)-y(t1)]'1'Q。 [:z(t)-y(t I)]

2

飯小．其中 01(f), Q。为対杯正半定矩酯 止 (t) 为正定矩摔， u(t) 是没有約束． 最优控制（跟綜器）

2)

,;*(i)=-Q泣）B吖t)P(t)x(t)+Q;1(t)B"'(t)g(t), 其 ffl

p溝足

F(t)=-P(t)A-A'l'P(t)+P(t)BQ;1B'l'P(t) -C'1'Qi(t)C. g(t)=[P(t)BQ;1B辶-A 叮 g(t)-C"'Q,(t)z(t). 辺界糸件

P(t1)=C'l'(t1)Q。切），

9(t1)=C"'(t1)Q。z(t I)• 囹示 E(0)

3)

X(O)

対紱性定常系统（終端时伺极大但不等于元究大时）

最优控制（跟綜器）

u*(t)=-Qi'BTPx (t)+Q;1BTg, 其中

0 是下述黎卡提矩眸代數方程正定解

P,

-PA-ATP+PBQ;• B'l'P-CTQ1C=O g 可 PBQ;1 伊－王］一 1C'l'01z

暴优紈级i x*(t}是下方程的解 x*(t)=f_A-BQ 了 B 「P]x+BQ;1B勺

卫示

•

14.f.O 畫

%

狀态洩察器

(4)

I)

同題的提法

从一令系统已知旳輸出和榆入來估计出系统狀态同題，宴現 迏介任各的系统杯为狀态塊測器或狀态估计器 n 维级怯定常系统

x(t)=Ax(t)+Bu(t), y(t) =Cx(t). 2)

狀态魂察器

~= (A-KC)t+ Bu+y 使 [A-KCJ 的特征值为負实部，即使 (x- 以t)) 迅速超于 o. 其中

K 为待远榆出反慎眸； KC 为狀态反續眸． x(to}

29.4 上幼态規划 (1) 1)

寓散噩的幼态規划 同題的提法

• JUJ•

系统方程

x( 紅-l)=f(x(k), u(k)), x(O)==x0= 常敖，其中 x(k)为 n 维狀态向瘋；

u(k) 为「维控制向量，

i

为 n 维向量函致

性能指棕

I=

｀一 I

L L[x(k),

u(k)l+tl>[K(/)J.

1'-o

窩散系统最优同題是求最优控制

u*(O), u*(l), ···, u*(l-1) 使 1 最小（最大）． 最优策賂 u*(k) 性能指杯

J*[x(O)J蝨/[x(o),

{u*(k)}J

＝翌于＂雪'".,1五 L[x(kJ, ＇一 1

u(k)J+(@)]da>,

3)

l

!F(ro)~-:

心(ro) 每(rof,

¢(ro)=arc

tg 一-

S(w) - -

C(co)·

J/(1)-71-;;f~A(ro)(oos rot+sin o,J)dro, 4)

lA(@)=

上J00-oo /(t)(cos mt+sin©t)dt.

,./ 2n

30.4.3. 1

自相矢甾敖

T_

鄄 (.-)~ll~rJ _~_ f 1Ct)f 1Ct--r)dt. 30.4.4.

互相矢甾敖

i

j 彞..) =; 口」「 1

2

I (t)f

1U--.)dl•

2

30.4.5. 高为 1,

抽祥困敖

寛为 T 的豚沖的颜潽为

F(CiJ)=

30.4.6.

stnmT 2T. 0T

(抽祥函敖）

维納－辛伙矢系（目梠矢函敖的傅里寸

交換功率糠讠普）式 1 00 嶧） = IF(eu) 12e'"''dm,

-2aLoo

• .Jl,,;7.

tF('!)) I 2= J

。

古 (-r)e-,.,Td ••

-oo

巴什瓦等式

30.4.7.

rJ -T 「 (t)dt=~(2心）． 1

}

1

1

（対周期函敖）

2

J二四） dt=~1--J00 !F(m)l1dm. 2n

（対非周期函致）

.-oo

30,5.

抽祥定理

抽祥定理

30.5.1.

I

时冏函敖J(t) 的颜潽限于 o......,w赫內时，仅在时冏冏隔 l/2W 秒的煮指定」 (t) 的值就能在 t 的全域确定」 (t). 設 X嶋为它的祥

值，有

00

E x,.

J(t)=

霜一 -00

30.5.2.

sin 祅 2Wt-n)

.

1r(2Wt-n)•

抽祥定理 I

T

T

2

2

时冏函致 f(x) 若在一一 ~t~-- 之外为零时，它的頻潽可以 表为

F(ro)=

00

E n--oc

• us&·•

F(严 sin{OJT_及一面｝＿ T) (wT /2)-na•

顔帯寛度为 w 赫的錢性信道容暈

30.5.3.

C=W log(S+N)/N, 其中

N为噪声息功率；

S为信·弓的息功率．

30.6.

信道的侍榆特性

綫性信道的橢率特性

30.6.1.

用夏敖矢董表示式

Y(a>) = 其中

!Y(co) 丨 e'"'(o;)•

Y(ro) 是O 的夏敖函數，表示測得的榆出幅度． 給定正法波榆入

x=X。 cos a>0t 綸出为

y=X 。 IY(幻 lcos[ro。 t+