Classificação de módulos de peso sobre álgebras de Weyl [version 22 Jun 2016 ed.]

Table of contents :
Organização do Trabalho......Page 11
Álgebras de Weyl......Page 15
Conceitos Básicos......Page 16
Forma canônica......Page 19
Geradores e relações......Page 22
O grau de um operador em An......Page 23
Anel de operadores diferenciais......Page 26
Álgebra de Weyl de posto infinito......Page 31
Álgebra de Weyl generalizada......Page 39
Referências......Page 41
Módulos sobre a álgebra de Weyl An......Page 43
Anéis e módulos graduados......Page 46
Anéis filtrados......Page 48
Álgebra graduada associada......Page 49
Módulos filtrados......Page 51
Filtrações induzidas......Page 53
Anéis e módulos Noetherianos......Page 55
Anéis Noetherianos......Page 56
Módulos de peso sobre A = Ak, I......Page 58
Módulos de peso projetivos sobre A = Ak, I......Page 60
Involução e dualidade restrita......Page 71
Realização via ação polinomial......Page 76
Referências......Page 77
Módulos de peso sobre A = D(, a)......Page 79
Categoria CO e seu esqueleto......Page 81
Descrição dos módulos de peso simples......Page 87
Tipo de representação e módulos indecomponíveis para An, 1 n......Page 91
Indecomponíveis para A(F,I), |I| = 2......Page 92
Indecomponíveis para blocos do tipo mansa......Page 94
Módulos de peso simples sobre A = Ak, I......Page 97
Realizações via polinômios torcidos......Page 98
Localização das realizações......Page 101
Descrição explícita do quiver de W......Page 102
Koszulidade......Page 103
Referências......Page 105
Conceitos Básicos......Page 107
Generalidades......Page 111
Ideais e homomorfismos......Page 113
Álgebras de Lie Solúveis e Nilpotentes......Page 115
Teoremas de Lie e Cartan......Page 117
Representações de sl(2,k)......Page 119
Decomposição de Cartan......Page 120
Sistema de raízes......Page 122
Álgebras Envolventes Universais......Page 123
Referências......Page 127
Categorias e Funtores......Page 129
Categorias Aditivas e Abelianas......Page 136
Funtores covariantes de R-mod em S-mod......Page 139
Funtores contravariantes de R-mod em S-mod......Page 141
Bifuntores......Page 142
O funtor Hom......Page 143
Módulos Projetivos......Page 144
Módulos Injetivos......Page 146
O funtor Tensor......Page 147
Referências......Page 150
Localizações em anéis comutativos......Page 151
Localizações em anéis não comutativos......Page 152
Localizações em módulos......Page 156
Referências......Page 157
Referências Bibliográficas......Page 159

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Classicação de módulos de peso sobre álgebras de Weyl André Silva de Oliveira

Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Matemática Programa: Mestrado em Matemática Orientador: Prof. Dr. Vyacheslav Futorny

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro da CNPq (Processo 164261/2014-1) São Paulo, fevereiro de 2016

Classicação de módulos de peso sobre álgebras de Weyl

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 28/04/2016. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Vyacheslav Futorny - IME-USP • Prof. Dr. Viktor Bekkert - UFMG • Prof. Dr. Kostiantyn Iusenko - IME-USP

Resumo OLIVEIRA, A. S.

Classicação de módulos de peso sobre álgebras de Weyl. 2016.

161 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2016. Neste trabalho, introduzimos as álgebras de Weyl clássicas

A = An e as generalizadas

A = D(σ, a). Apresentamos algumas propriedades importantes dessas álgebras, dentre outras, que a n-ésima álgebra de Weyl An é um domínio simples Noetheriano à esquerda. Introduzimos os módulos de peso sobre A e estudamos os A-módulos de peso projetivos. Iniciamos a classicação dos A-módulos de peso simples (isto é, irredutíveis) através de uma categoria linear CO e do seu esqueleto SO cf. [BBF04]. A classicação total dos A∞ -módulos de peso simples é dada utilizando a ação de certas localizações no anel de polinômios cf. [FGM14]. Classicamos os blocos do tipo mansa na categoria dos

A-módulos de peso lo-

A-módulos indecomponíveis nos blocos do tipo mansa. Seguindo [FGM14], descrevemos os A-módulos de peso injetivos e projetivos indecomponíveis e deduzimos uma descrição dos blocos na categoria dos A-módulos de peso por quivers

calmente nitos e determinamos os

e relações.

Palavras-chave: álgebras de Weyl, módulos de peso simples, módulos de peso indecomponíveis.

i

ii

Abstract OLIVEIRA, A. S.

Classication of weight modules over Weyl algebras. 2016. 161 f.

Dissertation (Masters) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2016. In this dissertation, we introduce the classical Weyl algebras A = An and the generalized

A = D(σ, a). There are some important properties of these algebras, among others, that the n-th Weyl algebra An is a left Noetherian simple domain. We introduced the weight modules over A and study the projective weight A-modules. Started the classication of simple weight A-modules (this is, irreducible) by linear category CO and its skeleton SO in accordance with [BBF04]. The complete classication of simple weight A-modules is given using the action of certain localizations in the polynomial ring in accordance with [FGM14]. We classify the tame blocks in the category of locally-nite weight

A-modules and deter-

A-modules in the tame blocks. Following [FGM14], we describe indecomposable projective and injective weight A-modules and deduce the description of the blocks in the category of weight A-modules by quivers and relations. mine the indecomposable

Keywords: Weyl algebras, simple weight modules, indecomposable weight modules.

iii

iv

Sumário Introdução

ix

0.1

Considerações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

0.2

Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

1 Álgebras de Weyl 1.1

1

Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Forma canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Geradores e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

O grau de um operador em

An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Anel de operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

Problemas com corpos com característica prima . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3

Álgebra de Weyl de posto innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Álgebra de Weyl generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.5

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2 Módulos sobre a álgebra de Weyl

An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1

Módulos sobre a álgebra de Weyl

2.2

Módulos graduados e ltrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1

Anéis e módulos graduados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.2

Anéis ltrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.3

Álgebra graduada associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.4

Módulos ltrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.5

Filtrações induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Anéis e módulos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1

Anéis Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

A = Ak,I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Módulos de peso projetivos sobre A = Ak,I . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 46

2.6

Involução e dualidade restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.7

Realização via ação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.8

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.3 2.4

Módulos de peso sobre

v

29

vi

SUMÁRIO

3 Classicação 3.1

3.2

65

Módulos de peso simples sobre uma álgebra de Weyl generalizada A = D(σ , a) 65 3.1.1

Módulos de peso sobre A = D(σ , a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.1.2

Categoria CO e seu esqueleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.1.3

Descrição dos módulos de peso simples . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.1.4

Exemplo: caso A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Tipo de representação e módulos indecomponíveis para An , 1 ≤ n ≤ ∞ . . .

77

3.2.1

Indecomponíveis para A(F, I), |I| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.2.2

Indecomponíveis para A(F, I), |I| = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.2.3

Indecomponíveis para blocos do tipo mansa . . . . . . . . . . . . . .

80

3.3

Módulos de peso simples sobre

A = Ak,I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.4

Realizações via polinômios torcidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.5

Localização das realizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.6

Descrição explícita do quiver de W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3.7

Koszulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.8

Descrição dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.9

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

A Álgebras de Lie

93

A.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

A.2 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

A.2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

A.2.2 Derivações de álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

A.2.3 Ideais e homomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

A.2.4 Álgebras de Lie Solúveis e Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 A.2.5 Teoremas de Lie e Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 A.2.6 Representações de sl(2, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.3 Teoria de estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.3.1 Decomposição de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.3.2 Sistema de raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A.3.3 Subálgebra de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.4 Álgebras Envolventes Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

B Teoria de Categorias

115

B.1 Categorias e Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 B.2 Categorias Aditivas e Abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B.3 Categorias R-mod e mod-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 B.3.1 Funtores covariantes de R-mod em S-mod . . . . . . . . . . . . . . . 125 B.3.2 Funtores contravariantes de R-mod em S-mod . . . . . . . . . . . . . 127

SUMÁRIO

vii

B.3.3 Bifuntores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 B.3.4 O funtor Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 B.3.5 Módulos Projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 B.3.6 Módulos Injetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 B.3.7 O funtor Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 B.4 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

C Localização

137

C.1 Localizações em anéis comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 C.2 Localizações em anéis não comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 C.3 Localizações em módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 C.4 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Referências Bibliográcas

145

viii

SUMÁRIO

Introdução 0.1 Considerações Preliminares As álgebras de Weyl são objetos de estudo clássicos em teoria de representações de álgebras associativas, que surgem naturalmente em matemática e em física, e tem muitas importantes aplicações. Por exemplo, uma parte essencial da abordagem dos D-módulos, em que D é um anel de operadores diferenciais, para a teoria de representação de uma álgebra de Lie g simples de dimensão nita é a existência de um homomorsmo natural de (álgebra envolvente universal de g) para uma álgebra de Weyl

U (g)

An de posto nito. No caso

de uma álgebra de Lie am existe um homomorsmo similar, mas agora para uma álgebra

A∞ de posto innito. A álgebra A∞ pode ser vista como uma álgebra de Weyl generalizada de posto innito e

de Weyl

então temos uma categoria natural de representações consistindo dos então chamados módulos de peso. Tais módulos sobre álgebras de Weyl de posto nito ou innito tem sido extensivamente estudados nos últimos 20 anos. Várias construções e resultados de classicações aparecem em [BB00], [BBF04] e [GS06]. Em particular, uma classicação parcial de

A∞ -módulos de peso simples foi dada em [BBF04] e uma total em [FGM14].

0.2 Organização do Trabalho No Capítulo 1 apresentamos as álgebras de Weyl. Na Seção 1.1 introduzimos a n-ésima álgebra de Weyl An (k) com 2n geradores, sobre um corpo k de característica 0, de duas maneiras diferentes: como um quociente de uma k -álgebra livre por um ideal de relações e como

um anel de operadores diferenciais sobre o anel dos polinômios em n variáveis comutativas

k [x1 , . . . , xn ], ou seja, mostramos que D(k[x1 , . . . , xn ]) = An (k). Ainda na Seção 1.1, apresentamos algumas propriedades dessa álgebra, tais como,

An (k)

é um domínio e um anel simples. Na Seção 1.2 discutimos alguns problemas que podem

k tenha característica prima. Na Seção 1.3 exigimos que o corpo base k, além de ter característica 0, fosse algebri-

ocorrer caso o corpo base

camente fechado. Tomamos um conjunto I, innito e enumerável, satisfazendo a seguinte ix

x

INTRODUÇÃO

condição: |I| < |k|, e denimos uma k -álgebra B de polinômios com uma quantidade innita

de variáveis comutativas xi , i ∈ I. Partindo dessa k -álgebra, denimos a k -álgebra de Weyl de posto innito

A = Ak,I com geradores Xi , Yi , i ∈ I, em que Xi é o operador linear de

B que age por multiplicação pela variável xi , enquanto Yi é o operador que age derivando em relação a variável xi . Construímos uma k -subálgebra A0 ⊆ A, gerada pelos elementos ti = Xi Yi = xi ∂i , i ∈ I. Provamos que A0 é k -subálgebra comutativa maximal em A e que o conjunto de todos os ti 's são algebricamente independentes sobre k, logo A0 ∼ = k[ti | i ∈ I]. Além disso, descrevemos os ideais maximais em A0 . Finalizamos o capítulo com a Seção 1.4, em que apresentamos as álgebras de Weyl generalizadas que foram introduzidas por Bavula [Bav92a], e que desempenham um papel muito importante na classicação dos módulos sobre as álgebras de Weyl. No Capítulo 2, estudamos os módulos sobre as álgebras de Weyl. Na Seção 2.1 consideramos módulos sobre a n-ésima álgebra de Weyl An (k) e mostramos que k [x1 , . . . , xn ] é um An (k)-módulo irredutível de torção e além disso

k[x1 , . . . , xn ] ∼ = An (k)/

n X

An (k) · ∂i .

i=1

Na Seção 2.2 mostramos duas importantes ltrações da álgebra

An (k), no caso a ltração

de Bernstein B = Br (An (k)) e a ltração ordem C . Utilizando a ltração de Bernstein

mostramos que Sn = grB An (k), a álgebra graduada de

An (k) associada com a ltração B, é

k com 2n variáveis. Na Seção 2.3 provamos o Teorema da Base de Hilbert e mostramos que An (k) é um anel Noetheriano à esquerda. Na Seção 2.4 voltamos nossa atenção para a álgebra de Weyl A = Ak,I de posto innito e para os A-módulos (cf. [FGM14]). Denimos um A-módulo de peso e consideramos W como a subcategoria plena de A-mod consistindo de todos os A-módulos de peso. Para p ∈ k I , denotamos por Wp a subcategoria plena de W consistindo de todos os A-módulos de peso M tais que supp(M ) ⊆ p + ZIf e explicitamos a seguinte decomposição usual isomorfa ao anel de polinômios sobre

W∼ =

M

Wpξ

ξ∈kI /ZIf

pξ ∈ ξ é algum representante xo da classe ξ em kI /ZIf . Na Seção 2.5, consideramos para p ∈ k I , a subcategoria plena Vp de A0 -mod consistindo de todos A0 -módulos N tais que mp ·N = {0}. Denimos um par de funtores adjuntos exatos:

em que

Resp : W → Vp

e

Indp =: A ⊗A0 − : Vp → W

funtor restrição e indução, respectivamente, e através disso discutimos algumas propriedades

de P (p) e L(p), um

A-módulo de peso projetivo e seu topo, respectivamente. Encerramos a seção provando que P (p) é a cobertura projetiva de L(p).

ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Na Seção 2.6 consideramos Wf , a subcategoria plena de W consistindo de todos os

xi

A-

módulos de peso com espaços de peso de dimensão nita. Temos que P (p) e L(p) ∈ Wf . Denimos uma dualidade restrita canônica ∨ nesta subcategoria. Para M ∈ Wf temos que:

M ∨ :=

M

p∈k

Homk (Mp , k)

I

e como L(p)∨ ∼ = L(p), temos que P (p)∨ é o envelope injetivo de L(p). Finalizamos o capítulo com a Seção 2.7, em que apresentamos uma realização do A-módulo de peso projetivo P (p). No Capítulo 3, na Seção 3.1, descrevemos os módulos de peso sobre a álgebra de Weyl generalizada A = D(σ, a) e estudamos a ação de um grupo G (gerado pelos automorsmos σi (t˜j ) = t˜j − δij 1) que age no conjunto dos ideais maximais de D, maxD . Denimos uma categoria linear CO (uma categoria denida a partir de uma órbita O, que foi primeiramente introduzida em [DGO96]) e provamos que WO (A) (a categoria dos A-módulos de peso com órbita O) é equivalente a categoria CO -mod (categoria dos módulos sobre CO ). Exibimos também um esqueleto SO de CO e o descrevemos algebricamente. Descrevemos também os módulos simples sobre A, em que esta descrição foi feita via redução à dois tipos de categorias lineares chamadas de A(F, I) e B(F, I, J, τ ). Encerrando a seção, classicamos os A-módulos de peso simples, para um corpo

k qualquer.

Na Seção 3.2 classicamos os blocos do tipo mansa na categoria WOlf (A) (dos módulos de peso localmente nitos sobre A com órbita O). Segue de [BB00][Seção 2.6] que B(F, I, J, τ ) é selvagem se |I| + |J| > 1, e A(F, I) é selvagem para |I| > 2. Portanto, como o nosso objetivo era descrever os indecomponíveis nos blocos do tipo mansa, foi suciente descrever os indecomponíveis para as categorias A(F, I) com |I| ≤ 2 e para B(F, I, J, τ ) com |I| + |J| = 1 (que corresponde ao caso n = 1). Na Seção 3.3 (cf. [FGM14]) classicamos os módulos de peso simples sobre A = Ak,I (sem utilizar o conceito de órbita), em que para

p ∈ kI,

a aplicação

entre k I / ∼ e o conjunto das classes de isomorsmos dos sive é dado um exemplo de um

p 7→ L(p),

é uma bijeção

A-módulos de peso simples. Inclu-

A∞ -módulo de peso simples que não possui break maximal,

justicando assim a não utilização do conceito de órbitas para classicar módulos de peso

A∞ . Na Seção 3.4, realizamos os A-módulos de peso simples via polinômios torcidos, utilizando automorsmos θJ de A. Concluímos que B(p)θJ e (B(p)θJ )∨ são o envelope injetivo e a cobertura projetiva de L(p)θJ , respectivamente. Na Seção 3.5, localizamos essas realizações, tal que DJ A é a localização de Ore de A com respeito ao subconjunto multiplicativo de Ore gerado por todo Xi , com i ∈ I (visto que a ação adjunta de Xi em A é JA JA localmente nilpotente). Denimos o funtor FJ := ResD ◦ IndD na categoria A-mod, e A A 0 p ∼ ∼ provamos que L(p) = FIrJp L(0) e B(p) = FJp L(p).

sobre

Na Seção 3.6, descrevemos um quiver Q = QE partindo de um conjunto não vazio E e

denotamos a respectiva categoria dos caminhos de Q por CE . Na Seção 3.7 provamos que a categoria CE é Koszul. Finalizamos o capítulo mostrando que os blocos de W (a subcategoria

xii

INTRODUÇÃO

A-mod consistindo de todos os A-módulos de peso, cf. Capítulo 2, Seção 2.4) são descritos por CE , para um E apropriado, ou seja, para Jp 6= ∅, a categoria Wp é equivalente plena de

a categoria dos módulos sobre CJp .

Capítulo 1 Álgebras de Weyl A história da álgebra de Weyl começa com o nascimento da mecânica quântica. Mecânica quântica é a teoria física que obtém sucesso no estudo dos sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica, tais como moléculas, átomos, elétrons, prótons e outras partículas subatômicas. Em física, chama-se "sistema" um fragmento concreto da realidade que foi separado para estudo. Cada sistema ocupa um estado num instante de tempo. As leis da física devem dizer como o sistema evolui (de estado em estado). Muitos fenômenos quânticos difíceis de se imaginar concretamente podem ser compreendidos com um pouco de abstração matemática. Na mecânica quântica, todos os estados são representados por vetores em um espaço vetorial complexo: o espaço de Hilbert H (na matemática, um espaço de Hilbert é uma generalização do espaço euclideano, ou seja, é um espaço vetorial dotado de um produto interno, com noções de distância e ângulo). Assim cada vetor no espaço H representa um estado que pode ser ocupado pelo sistema. Os alicerces da mecânica quântica foram estabelecidos durante a primeira metade do século XX por Albert Einstein, Werner Heisenberg, Max Planck, Niels Bohr, Paul Dirac, entre outros. Para Werner Heisenberg essa mecânica tinha que ser baseada nas quantidades que podiam de fato serem observadas, os observáveis. Nas palavras de Paul Dirac:"As coisas

que são observadas, ou que estejam ligadas às quantidades observadas, estão todas associadas com duas órbitas com base no modelo atômico de Bohr e não com apenas uma. Suponha que nós consideremos todas as quantidades de um determinado tipo associado com duas órbitas, e queremos descrevê-las. A maneira mais natural de escrever um conjunto de quantidades, cada uma associada à dois elementos é da seguinte forma: 

 × × × ... × × × . . .    × × × . . .  · · · ...

uma lista de quantidades que se congura em termos de linhas e colunas. As linhas representam um dos estados e as colunas o outro. Os matemáticos chamam um conjunto de quantidades como este de matriz." O efeito disso foi a introdução das quantidades não comutativas. Assim, juntamente com Max Born e Pascual Jordan, Heisenberg estabeleceu as bases da formulação matricial da mecânica quântica, a "Mecânica Matricial". No nal da década de 1920, Heisenberg formulou o princípio da incerteza. De acordo com esse princípio, não podemos determinar com precisão e simultaneamente a posição e o momento de uma partícula. Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos: o produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada xi pela incerteza associada ao seu correspondente momento linear pi (o momento linear, uma grandeza vetorial, em 1

2

1.1

ÁLGEBRAS DE WEYL

mecânica clássica é o produto da massa pela velocidade de um corpo, isto é, p~ = m · ~v ) não pode ser inferior, em grandeza, à constante de Planck normalizada. Em termos matemáticos, exprime-se assim:

~ 2 em que ~ é a constante de Planck (h) dividida por 2π . As álgebras de Weyl foram introduzidas por Hermann Weyl para estudar o princípio de incerteza de Heisenberg em mecânica quântica. As álgebras de Weyl podem ser denidas de várias maneiras diferentes, mas todas as denições são equivalentes. O leitor pode encontrar mais detalhes em [Cou95]. ∆xi ∆pi ≥

1.1 Conceitos Básicos Vamos introduzir a álgebra de Weyl como um anel de operadores de um espaço vetorial de dimensão innita. Vamos xar algumas notações. Ao longo deste capítulo, k será um corpo de característica zero (o caso em que a característica é prima será tratado na Seção 1.2) e k [X] o anel dos polinômios k [x1 , . . . , xn ] em n variáveis comutativas sobre k. O anel k [X] é um espaço vetorial de dimensão innita sobre k. A k -álgebra dos operadores lineares do espaço vetorial k [X] é denotada por End k (k [X]). Observamos que as operações nesta álgebra End k (k [X]) são a adição e composição dos operadores. Então End k (k [X]) é um anel não comutativo com unidade. A álgebra de Weyl pode ser denida como uma subálgebra de End k (k [X]).

Denição 1.1.1. Sejam xˆ1 , . . . , xˆn os operadores lineares de k[X] que são denidos em um polinômio f ∈ k[X] pela fórmula xˆi (f ) = xi · f , 1 ≤ i ≤ n. Similarmente, sejam ∂1 , . . . , ∂n os operadores lineares denidos por ∂i (f ) = ∂f /∂xi , 1 ≤ i ≤ n. A n -ésima álgebra de Weyl An é a k-subálgebra de Endk (k[X]) de posto nito gerada pelos operadores xˆ1 , . . . , xˆn e ∂1 , . . . , ∂n . Dizemos que An tem posto nito, pois tem uma quantidade nita de geradores. Observamos que x ˆi , ∂i , 1 ≤ i ≤ n, também podem ser chamados de k -endomorsmos de k [X]. Para m ≤ n, a ação dos operadores de Am em k [X] está bem denida. Então Am é uma subálgebra de An de modo natural. Podemos escrever An (k) ao invés de An , se for necessário explicitar o corpo sobre o qual a álgebra está denida. Temos que An é uma k -álgebra associativa unital. De acordo com a denição, os elementos de An são combinações lineares sobre k de monômios nos geradores x ˆ1 , . . . , xˆn , ∂1 , . . . , ∂n . Contudo, temos que ser cuidadosos quando representar os elementos de An porque esta álgebra não é comutativa. Podemos vericar isso facilmente. Considere o operador ∂i ◦ x ˆi e o aplique em um polinômio f ∈ k [X], ou seja, (∂i ◦ x ˆi )(f ) = ∂i (xi · f ). Utilizando a regra de derivação do produto, temos que ∂i (xi · f ) = (∂i (xi )) · f + xi · (∂i (f )). Então (∂i ◦ xˆi )(f ) = (1)(f ) + (ˆ xi ◦ ∂i )(f ). Portanto, como f é arbitrário, ∂i ◦ xˆi = 1 + xˆi ◦ ∂i , em que 1 é o operador identidade. Podemos escrever esta relação usando comutadores. Em uma álgebra associativa, o comutador [a, b] entre dois elementos é dado por ab − ba. Então, se P, Q ∈ An , o comutador entre eles é o operador [P, Q] = P ◦ Q − Q ◦ P . Portanto [∂i , xˆi ] = 1. Agora vamos considerar [∂i , x ˆj ], com i 6= j , [∂i , ∂j ], com 1 ≤ i, j ≤ n, e [ˆ xi , xˆj ], com 1 ≤ i, j ≤ n. Seja f ∈ k [X], um polinômio arbitrário:

• (∂i ◦ xˆj )(f ) = ∂i (xj · f ) = (∂i (xj )) · f + xj · (∂i (f )) = (0)(f ) + (ˆ xj ◦ ∂i )(f ). Portanto ∂i ◦ xˆj = xˆj ◦ ∂i , ou seja, [∂i , xˆj ] = 0, quando i 6= j .

1.1

CONCEITOS BÁSICOS

3

∂ 2f ∂ 2f • Sabemos que vale a seguinte igualdade: = . Então (∂i ◦ ∂j )(f ) = (∂j ◦ ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂i )(f ). Portanto [∂i , ∂j ] = 0, 1 ≤ i, j ≤ n. • Sabemos que as variáveis xi e xj comutam para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Assim xi · (xj · f ) = xj · (xi · f ). Então (ˆ xi ◦ xˆj )(f ) = (ˆ xj ◦ xˆi )(f ). Portanto [ˆ xi , xˆj ] = 0, 1 ≤ i, j ≤ n. As relações entre os geradores da n -ésima álgebra de Weyl

An são resumidas abaixo:

[∂i , xˆj ] = δij [∂i , ∂j ] = [ˆ xi , xˆj ] = 0 em que 1 ≤ i, j ≤ n e δij é o símbolo do delta de Kronecker (é igual à 1 se i = j e 0 caso contrário). Denotamos o operador "multiplicação por xi " pelo símbolo x ˆi . Escreveremos xi tanto para a variável como para o operador correspondente. Isto torna a notação menos carregada. Pela mesma razão nós vamos dispensar os índices para os geradores de A1 , e escreveremos simplesmente x e ∂ . Vamos também dispensar o sinal ◦ para a multiplicação em An .

Proposição 1.1.1. Para 1 ≤ i ≤ n, valem as seguintes propriedades: 1. [∂i , f ] = ∂i (f ) = ∂f /∂xi , para cada f ∈ k[X]. 2. [∂i , xui ] = uxu−1 , para todo u ∈ N∗ . i 3. [∂iu , xi ] = u∂iu−1 , para todo u ∈ N∗ . 4. (Fórmula de Leibniz) Para cada k, l ∈ N: ∂ik xli

=

k   X k j=0

em que

k j




=

j

∂ij (xli )∂ik−j

k! . Em particular: j!(k − j)! [∂ik , xli ]

=

k   X k j=1

j

∂ij (xli )∂ik−j

Demonstração. 1. Sejam g ∈ k [X], um polinômio arbitrário, e f o k -endomorsmo de k [X] tal que f (g) = f · g. Temos que: (∂i f )(g) = ∂i (f · g) = f · (∂i (g)) + (∂i (f )) · g = (f ∂i )(g) + (∂f /∂xi )(g) Portanto ∂i f − f ∂i = ∂f /∂xi , ou melhor, [∂i , f ] = ∂f /∂xi = ∂i (f ). 2. Podemos considerar f = xui , com u ∈ N∗ . Então pelo item 1, temos que [∂i , xui ] = ∂i (xui ) = uxiu−1 . 3. Seja u ∈ N∗ . Vamos usar indução sobre u. Se u = 1, sabemos que [∂i , xi ] = 1, logo o resultado é válido. Suponhamos então que u > 1 e que o resultado seja válido para u − 1. Temos que:

[∂iu , xi ] = ∂iu xi −xi ∂iu = ∂i ∂iu−1 xi −xi ∂i ∂iu−1 = ∂i ∂iu−1 xi −xi ∂i ∂iu−1 +∂i xi ∂iu−1 −∂i xi ∂iu−1

4

1.1

ÁLGEBRAS DE WEYL

Assim:

[∂iu , xi ] = ∂i [∂iu−1 , xi ] + [∂i , xi ]∂iu−1 = ∂i [∂iu−1 , xi ] + ∂iu−1

Agora, usando a hipótese de indução, temos o resultado desejado:

[∂iu , xi ] = (u − 1)∂i ∂iu−2 + ∂iu−1 = u∂iu−1 − ∂iu−1 + ∂iu−1 = u∂iu−1 4. Vamos considerar l ∈ N∗ , pois se l = 0, não temos que provar nada. Vamos usar indução em k . O caso k = 0 é trivial. Seja k = 1. 1   X 1

j

j=0

∂ij (xli )∂i1−j = xli ∂i + ∂i (xli ) = xli ∂i + ∂xli /∂xi = xli ∂i + lxl−1 i

Utilizando a relação descrita no item 2 temos que: 1   X 1 j=0

j

∂ij (xli )∂i1−j = ∂i xli

Assim o caso k = 1 está vericado. Seja k > 1. Suponhamos que o resultado é válido para k − 1. Vamos vericar que também é válido para k . Temos que ∂ik xli = ∂i ∂ik−1 xli . Usando a hipótese de indução temos que:

∂i ∂ik−1 xli

   k−1  k−1   X k − 1 j l k−1−j X k − 1 j k−1−j l = ∂i ∂i (xi )∂i = ∂i ∂i (xi )∂i j j j=0 j=0

Agora usando a regra de derivação do produto temos:

∂ik xli

   k−1  k−1    X X k−1 k − 1  j+1 l k−1−j j k−1−j l + ∂ij (xli )∂ik−j ∂i (xi )∂i = ∂i ∂i (xi )∂i = j j j=0 j=0

Então:

∂ik xli

  k−1  k−1  X k − 1 j l k−j X k − 1 j+1 l k−1−j = ∂i (xi )∂i + ∂i (xi )∂i j j j=0 j=0    k  k−1 X X k−1 j k − 1 j l k−j k−j l ∂i (xi )∂i + ∂ (x )∂ = j−1 i i i j j=1 j=0

Portanto:

∂ik xli

=

xli ∂ik

  k−1  k−1  X k − 1 j l k−j X k − 1 j l k−j + ∂i (xi )∂i + ∂i (xi )∂i + ∂ik (xli ) j j − 1 j=1 j=1

1.1

CONCEITOS BÁSICOS

Pela

Fórmula de Stieel ∂ik xli

k j




=

k−1 j




+

k−1 j−1




5

, temos:

 k−1  X k−1

  k−1 = + + ∂ij (xli )∂ik−j + ∂ik (xli ) j j − 1 j=1     k−1   k   X k l k X k j l k−j k k l k j l k−j = xi ∂i + ∂i (xi )∂i + ∂i (xi ) = ∂ (x )∂ 0 j k j i i i j=1 j=0 xli ∂ik

Assim temos o resultado desejado:

∂ik xli

k   X k j l k−j = ∂i (xi )∂i j j=0

Em particular:

∂ik xli

=

xli ∂ik

+

k   X k

j

j=1

∂ij (xli )∂ik−j

Isto é,

[∂ik , xli ]

=

k   X k j=1

j

∂ij (xli )∂ik−j

1.1.1 Forma canônica Agora vamos construir uma base para a n -ésima álgebra de Weyl An como um k -espaço vetorial. Esta base é conhecida como base canônica. Se um elemento de An está escrito como uma combinação linear dos elementos desta base então dizemos que ele está na forma canônica. É mais fácil descrever a base canônica se usarmos uma notação de multi-índices. Um multi-índice α é um elemento de Nn , ou seja, α = (α1 , . . . , αn ). Sendo assim, xα é o monômio xα1 1 . . . xαnn . O grau deste monômio é o comprimento |α| do multi-índice α, ou seja, |α| = α1 + . . . + αn . De maneira análoga ∂ β , com β ∈ Nn , é o monômio ∂1β1 . . . ∂nβn . Observamos que o par (α, β), em que α, β ∈ Nn , é um multi-índice de N2n , então faz sentido falar de seu comprimento, isto é, |α| + |β| = α1 + . . . + αn + β1 + . . . + βn . O fatorial de um multi-índice α ∈ Nn é denido por α! = α1 ! . . . αn !. Denotaremos por ei o multi-índice em que todas as entradas são nulas, com exceção da i-ésima entrada, que é igual a 1.

Denição 1.1.2. Uma boa ordem ≺ em Nn é dita ordem monomial se é compatível com a soma: α ≺ β implica α + γ ≺ β + γ para todo γ ∈ Nn . Para qualquer ordem monomial ≺ em Nn temos que 0 = (0, . . . , 0) ≺ α para todo α ∈ Nn . Se α, β ∈ Nn são tais que αi ≤ βi para todo i, então α ≺ β . Podemos relacionar qualquer ordem ≺ em Nn com uma ordem (também denotada por ≺) no conjunto dos monômios {xα | α ∈ Nn }, ou seja, xα ≺ xβ se, e somente se, α ≺ β .

Denição 1.1.3. A ordem lexicográca (denotada por |β|. Isso contradiz a escolha de σ, β tais que |σ| ≤ |β|. σ ∂ β j xj j = 0. Resultando em ∂ β (xσ ) = 0. Portanto σj < βj , para algum j . Então βj ∂xj

Proposição 1.1.2. O conjunto C = {xα ∂ β | α, β ∈ Nn } é uma base de An como um espaço vetorial sobre k. Demonstração. Vamos vericar que o conjunto C gera a álgebra An como k -espaço vetorial. Considere um monômio nos geradores de An , isto é, λ1 · · · λr , em que λj ∈

{x1 , . . . , xn , ∂1 , . . . , ∂n }, 1 ≤ j ≤ r. Usando a relação [∂i , xj ] = δij podemos escrevê-lo como uma soma de monômios, com coecientes em k, em que todas as potências dos x's estão agrupadas à esquerda de todos os ∂ 's. Dessa forma o monômio λ1 · · · λr é escrito como uma combinação linear de elementos pertencentes à C . Portanto C é um conjunto gerador de An , como k -espaço vetorial. Agora vamos vericar que C é linearmente P independente sobre k. Seja D uma combinação linear nita de elementos de C , isto é, D = α,β cαβ xα ∂ β , em que cαβ ∈ k. Temos que mostrar que se algum cαβ é não nulo, então D 6= 0. Como D é um operador linear de k [X], D 6= 0 se, e somente se, existe um polinômio f para o qual D(f ) 6= 0. Nós construiremos tal polinômio f. Seja σ ∈ Nn o menor elemento, com respeito lexicográca, que aparece como exP à ordem σ α β poente de ∂ em D . Vamos calcular D(x ) = c x ∂ (xσ ). Usando o Lema 1.1.1, temos α,β αβ P que D(xσ ) = σ! α cασ xα , pois se σ é estritamente menor que β , na ordem lexicográca, então ∂ β (xσ ) = 0. Pela escolha de σ , existe α ∈ Nn tal que cασ 6= 0. Temos que D(xσ ) é não

1.1

CONCEITOS BÁSICOS

7

nulo , pois no mínimo um dos coecientes cασ é não nulo. Portanto f = xσ é o polinômio procurado, ou seja, D 6= 0. Dessa forma um operador P ∈ An , se escreve dePforma única como uma combinação linear nita dos elementos da base C , ou seja, P = α,β cαβ xα ∂ β , em que cαβ ∈ k. Logo, P P podemos escrever P = β pβ ∂ β , em que pβ = α cαβ xα ∈ k[x1 , . . . , xn ] = k[X].

Observação 1.1.1. Seja A uma álgebra associativa. Para quaisquer u, v, w ∈ A, temos: 1. [vw, u] = vwu − uvw = vwu − uvw + vuw − vuw = v[w, u] + [v, u]w. 2. [u, vw] = uvw − vwu = uvw − vwu + vuw − vuw = v[u, w] + [u, v]w.

Proposição 1.1.3. Sejam α, β, σ, η ∈ Nn . Então: [xα ∂ β , xσ ∂ η ] = xα [∂ β , xσ ]∂ η + xσ [xα , ∂ η ]∂ β .

Demonstração. Para demonstrar esse resultado, vamos utilizar a Observação 1.1.1. [xα ∂ β , xσ ∂ η ]

Obs.1.1.1.1

xα [∂ β , xσ ∂ η ] + [xα , xσ ∂ η ]∂ β

Obs.1.1.1.2

xα (xσ [∂ β , ∂ η ] + [∂ β , xσ ]∂ η ) + (xσ [xα , ∂ η ] + [xα , xσ ]∂ η )∂ β

=

=

Como [∂ β , ∂ η ] = [xα , xσ ] = 0, temos que

[xα ∂ β , xσ ∂ η ] = xα [∂ β , xσ ]∂ η + xσ [xα , ∂ η ]∂ β .

Proposição 1.1.4. Seja β ∈ Nn , com βi 6= 0. Então [∂ β , xi ] = βi ∂ β−ei . Demonstração. [∂ β , xi ]

= = = = P rop.1.1.1.3

= =

[∂1β1 . . . ∂nβn , xi ] ∂1β1 . . . ∂nβn xi − xi ∂1β1 . . . ∂nβn c c ∂1β1 . . . ∂iβi . . . ∂nβn ∂iβi xi − ∂1β1 . . . ∂iβi . . . ∂nβn xi ∂iβi c ∂1β1 . . . ∂iβi . . . ∂nβn [∂iβi , xi ] c ∂1β1 . . . ∂iβi . . . ∂nβn βi ∂iβi −1 βi ∂ β−ei

Proposição 1.1.5. Sejam α, β ∈ Nn , p ∈ k[X] e cαβ ∈ k. Então para 1 ≤ i ≤ n: ( 0 1. [cαβ xα ∂ β , xi ] = βi cαβ xα ∂ β−ei ( 0 2. [∂i , cαβ xα ∂ β ] = αi cαβ xα−ei ∂ β

, ,

se βi = 0 se βi = 6 0

, ,

se αi = 0 se αi = 6 0

3. [∂ β , p] = ∂i [∂ β−ei , p] + [∂i , p]∂ β−ei , desde que βi 6= 0.

8

1.1

ÁLGEBRAS DE WEYL

Demonstração.

1. [cαβ xα ∂ β , xi ] = cαβ [xα ∂ β , xi · 1]. Pela Proposição 1.1.3, temos que

cαβ [xα ∂ β , xi · 1] = cαβ (xα [∂ β , xi ]1 + xi [xα , 1]∂ β ) = cαβ xα [∂ β , xi ] Se βi = 0, então [∂ β , xi ] = 0, ou seja, [cαβ xα ∂ β , xi ] = 0. Se βi 6= 0, pela Proposição 1.1.4, [∂ β , xi ] = βi ∂ β−ei . Assim [cαβ xα ∂ β , xi ] = βi cαβ xα ∂ β−ei . 2. [∂i , cαβ xα ∂ β ] = cαβ [1 · ∂i , xα ∂ β ]. Pela Proposição 1.1.3, temos que

cαβ [1 · ∂i , xα ∂ β ] = cαβ (1[∂i , xα ]∂ β + xα [1, ∂ β ]∂i ) = cαβ [∂i , xα ]∂ β Se αi = 0, então [∂i , xα ] = 0, ou seja, [∂i , cαβ xα ∂ β ] = 0. Se αi 6= 0, pela Proposição 1.1.1, item 1, [∂i , xα ] = αi xα−ei . Assim [∂i , cαβ xα ∂ β ] = αi cαβ xα−ei ∂ β . P α 3. P Um polinômio p ∈ k [X] tem a forma p = . Então [∂ β , p] = α x , com cα ∈ k αc P P β α β α β−ei , xα ]. α cα [∂ , x ]. Considerando βi 6= 0, temos que α cα [∂ , x ] = α cα [∂i ∂ Pela Observação 1.1.1, [∂i ∂ β−ei , xα ] = ∂i [∂ β−ei , xα ] + [∂i , xα ]∂ β−ei . Então: X X X X cα [∂ β , xα ] = cα [∂i ∂ β−ei , xα ] = ∂i [∂ β−ei , cα xα ] + [∂i , cα xα ]∂ β−ei α

Portanto

α

α

α

[∂ β , p] = ∂i [∂ β−ei , p] + [∂i , p]∂ β−ei

.

1.1.2 Geradores e relações Outra forma de denir a álgebra de Weyl é por geradores e relações. Esta maneira é mais direta e explícita. Mais precisamente, nós podemos denir a álgebra de Weyl como um quociente de uma k -álgebra livre com 2n geradores por um ideal de relações.

Denição 1.1.4 (k -álgebra livre). Seja {xi | i ∈ I} um conjunto não vazio. O conjunto k hxi | i ∈ Ii é uma k-álgebra, em que o produto de dois monômios é a justaposição simples e λxi = xi λ, para todo i ∈ I e para todo λ ∈ k. Os elementos de k hxi | i ∈ Ii são "polinômios" com coecientes em k com variáveis não comutativas {xi | i ∈ I}. k hxi | i ∈ Ii é uma k álgebra associativa livre. Teorema 1.1.1 (Propriedade universal). Sejam I um conjunto não vazio e A uma k-álgebra. Seja: f : I −→ A i 7−→ ai

uma função. Então existe um único homomorsmo de k-álgebras ϕ : k hxi | i ∈ Ii −→ A tal que ϕ(xi ) = ai , para todo i ∈ I .

Denição 1.1.5. Seja khy1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn i a k-álgebra associativa livre nos geradores y1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn . Seja J o ideal gerado pelos elementos [yi , yj ], [zi , zj ] e [zi , yj ] − δij , 1 ≤ i, j ≤ n. Seja A∗n (k) o quociente da k-álgebra associativa livre pelo ideal J. A k -álgebra associativa livre k hy1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn i é o conjunto de todas as combinações lineares nitas de palavras em y1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn sobre k. A multiplicação de dois monômios

1.1

CONCEITOS BÁSICOS

9

é a justaposição simples, de acordo com a denição. Temos também que An (k ) (a n -ésima álgebra de Weyl) é uma k -álgebra associativa livre, gerada por x1 , . . . , xn , ∂1 , . . . , ∂n . Podemos denir o homomorsmo sobrejetivo de k -álgebras associativas

φ : k hy1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn i −→ An (k) por φ(yi ) = xi e φ(zi ) = ∂i , 1 ≤ i ≤ n, de acordo com o Teorema 1.1.1. O ideal J gerado pelos elementos [yi , yj ], [zi , zj ] e [zi , yj ] − δij , 1 ≤ i, j ≤ n, está contido no kernel de φ, isto é, J ⊆ Kerφ, por conta das relações satisfeitas pelos geradores da n ésima álgebra de Weyl An (k). Então φ induz um homomorsmo de k -álgebras associativas ˆ + J) = φ(w) para todo w ∈ k hy1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn i. φˆ : A∗n (k) −→ An (k), tal que φ(w

Teorema 1.1.2. φˆ : A∗n (k) −→ An é um isomorsmo. Demonstração. Exatamente como na demonstração da Proposição 1.1.2, podemos usar as relações entre as classes yi + J , zi + J , 1 ≤ i ≤ n, para vericar que todo elemento de A∗n (k) pode ser escrito como uma combinação linear de monômios da forma

y1m1 . . . ynmn z1p1 . . . znpn + J em que m = (m1 , . . . , mn ), p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Nn . Pela Proposição 1.1.2, as imagens destes monômios sob φˆ formam uma base de An (k) como um espaço vetorial sobre k. Portanto, em particular, os monômios devem ser linearmente independentes em A∗n (k). Assim, esse homomorsmo é um isomorsmo de k -espaços vetoriais, e portanto, de k -álgebras. Vamos mostrar um importante exemplo da relação entre uma k -álgebra associativa livre unital e a n-ésima álgebra de Weyl An (k).

Exemplo 1.1.1. A n-ésima álgebra de Heisenberg Hn é uma álgebra de Lie dada por geradores P1 , . . . , Pn , Q1 , . . . , Qn , C que satisfazem as seguintes relações: [Pi , Pj ] = [Qi , Qj ] = 0

,

[Qi , Pj ] = δij C

com 1 ≤ i, j ≤ n, em que C está no centro. An (k) é imagem homomórca de U (Hn ) (álgebra envolvente universal da n-ésima álgebra de Heisenberg), pois podemos denir um epimorsmo φ : U (Hn ) → An , tal que φ(Pi ) = xi , φ(Qi ) = ∂i , 1 ≤ i ≤ n. Portanto, An (k) é o quociente de U (Hn ) pelo ideal gerado por C − 1.

1.1.3 O grau de um operador em An O grau de um operador de An comporta-se, em muitos aspectos, como o grau de um polinômio. As diferenças são contabilizadas pela não comutatividade de An .

Denição 1.1.6. Seja D ∈ An . O grau de D é o maior comprimento dos multi-índices (α, β) ∈ Nn × Nn , para qual xα ∂ β aparece com coeciente não nulo na forma canônica de D. É denotado por deg(D). Se D é o operador nulo, por convenção, deg(D) = −∞. Exemplo 1.1.2. Seja P = 2x1 ∂2 + x1 x32 ∂1 ∂2 ∈ A2 . Temos que deg(P ) = 6. Teorema 1.1.3. Para D, D0 ∈ An , o grau satisfaz as seguintes propriedades: 1. deg(D + D0 ) ≤ max{deg(D), deg(D0 )}. 2. deg(DD0 ) = deg(D) + deg(D0 ).

10

1.1

ÁLGEBRAS DE WEYL

3. deg[D, D0 ] ≤ deg(D) + deg(D0 ) − 2. Demonstração. Se D, D0 ∈ An , estão escritos na forma canônica, então D + D0 também está.

Então concluímos que deg(D + D0 ) ≤ max{deg(D), deg(D0 )}. Notamos que se deg(D) 6= deg(D0 ) então temos a igualdade, ou seja, deg(D + D0 ) = max{deg(D), deg(D0 )}. Vamos usar indução sobre deg(D) + deg(D0 ) para provar os itens 2 e 3. Se deg(D) ou deg(D0 ) é zero, então D ou D0 é constante. Sem perda de generalidade vamos supor que D é uma constante. Temos que deg(DD0 ) = deg(D0 ) = 0 + deg(D0 ) = deg(D) + deg(D0 ). Da mesma forma [D, D0 ] = 0. Assim deg[D, D0 ] = −∞ ≤ deg(D) + deg(D0 ) − 2. Suponhamos que deg(D), deg(D0 ) ≥ 1 e que o resultado é válido quando deg(D) + deg(D0 ) < k . Escolhemos D, D0 ∈ An , tal que deg(D) + deg(D0 ) = k . Pelo item 1 é suciente provar os itens 2 e 3 quando D, D0 são monômios. Suponhamos primeiramente que D = ∂ β e D0 = xα com |α| + |β| = k . Se βi 6= 0, então pela Proposição 1.1.5, item 3, temos que:

[∂ β , xα ] = ∂i [∂ β−ei , xα ] + [∂i , xα ]∂ β−ei Por indução, temos que:

deg[∂ β−ei , xα ] ≤ |α| + |β| − 1 − 2 = |α| + |β| − 3 pois |β − ei | = |β| − 1. Temos também:

deg[∂i , xα ] ≤ |α| + 1 − 2 = |α| − 1 Então, usando a hipótese de indução novamente (pois deg(∂i )+deg[∂ β−ei , xα ] < k e deg[∂i , xα ] +deg(∂ β−ei ) < k ) concluímos que:

deg(∂i [∂ β−ei , xα ]) = deg(∂i ) + deg[∂ β−ei , xα ] ≤ 1 + |α| + |β| − 3 = |α| + |β| − 2 e

deg([∂i , xα ]∂ β−ei ) = deg[∂i , xα ] + deg(∂ β−ei ) ≤ |α| − 1 + |β| − 1 = |α| + |β| − 2

Portanto

deg[∂ β , xα ] = deg(∂i [∂ β−ei , xα ] + [∂i , xα ]∂ β−ei ) ≤ max{deg(∂i [∂ β−ei , xα ]), deg([∂i , xα ]∂ β−ei )} ≤ |α| + |β| − 2 = deg(xα ) + deg(∂ β ) − 2 Assim deg[D, D0 ] ≤ deg(D)+deg(D0 )−2, portanto vale o item 3. Sabemos que [∂ β , xα ] = ∂ β xα − xα ∂ β . Temos que deg(xα ∂ β ) 6= deg[∂ β , xα ], pois deg(xα ∂ β ) = |α| + |β| e deg[∂ β , xα ] ≤ |α| + |β| − 2. Então:

deg(∂ β xα ) = deg([∂ β , xα ] + xα ∂ β ) = max{deg[∂ β , xα ], deg(xα ∂ β )} = |α| + |β| Assim deg(DD0 ) = deg(D) + deg(D0 ), isto é, vale o item 2. Agora sejam D = xσ ∂ β e D0 = xα ∂ η , em que |σ| + |β| + |α| + |η| = k . Se |α| = |β| = 0, o resultado é óbvio. Então suponhamos que este não seja o caso. Temos que ∂ β xα = xα ∂ β + P , tal que P = [∂ β , xα ] e sabemos pelo caso anterior que deg[∂ β , xα ] ≤ |α| + |β| − 2. Assim:

DD0 = xσ ∂ β xα ∂ η = xσ (∂ β xα )∂ η = xσ (xα ∂ β + P )∂ η = xσ+α ∂ β+η + xσ P ∂ η

1.1

CONCEITOS BÁSICOS

11

Como deg(xσ ) + deg(P ) + deg(∂ η ) ≤ |σ| + |β| + |α| + |η| − 2 < k , pela hipótese de indução:

deg(xσ P ∂ η ) = deg(xσ ) + deg(P ) + deg(∂ η ) ≤ |σ| + |β| + |α| + |η| − 2 = deg(D) + deg(D0 ) − 2 Ou seja, deg(xσ P ∂ η ) ≤ deg(D) + deg(D0 ) − 2. Observamos que deg(xσ+α ∂ β+η ) = |σ| + |β| + |α| + |η| = deg(D) + deg(D0 ). Portanto deg(xσ+α ∂ β+η ) 6= deg(xσ P ∂ η ). Então:

deg(DD0 ) = = = =

deg(xσ+α ∂ β+η + xσ P ∂ η ) max{deg(xσ+α ∂ β+η ), deg(xσ P ∂ η )} deg(xσ+α ∂ β+η ) = |σ| + |β| + |α| + |η| deg(D) + deg(D0 )

Ou seja, deg(DD0 ) = deg(D) + deg(D0 ), isto é, vale o item 2. Os cálculos acima nos mostram que DD0 = xσ+α ∂ β+η + Q1 , em que deg(Q1 ) ≤ deg(D) + deg(D0 ) − 2. Similarmente, temos que D0 D = xσ+α ∂ β+η + Q2 , em que deg(Q2 ) ≤ deg(D) + deg(D0 ) − 2. Então [D, D0 ] = DD0 − D0 D = Q1 − Q2 . Portanto deg[D, D0 ] = deg(Q1 − Q2 ) ≤ deg(D) + deg(D0 ) − 2, vale o item 3. Assim concluímos a demonstração. Como no caso do anel de polinômios sobre um corpo, o Teorema 1.1.3 pode ser usado para provar o seguinte resultado:

Corolário 1.1.1. A álgebra An é um domínio. Demonstração. Sejam D, D0 ∈ An , dois operadores não nulos. Podemos supor sem perda de

generalidade que D, D0 estão escritos na forma canônica. Temos que deg(D), deg(D0 ) ≥ 0. Pelo Teorema 1.1.3, item 2, deg(DD0 ) = deg(D) + deg(D0 ) ≥ 0. Então DD0 6= 0 e portanto An é um domínio.

Um anel comutativo simples é um corpo, mas isso não é verdade para anéis não comutativos. A álgebra de Weyl An é um anel simples, mas está muito longe de ser um anel de divisão.

Teorema 1.1.4. A álgebra An é simples. Demonstração. Seja I um ideal bilateral não nulo de An . Seja D 6= 0, um elemento com menor grau em I . Se D tem grau 0, ele é uma constante. Assim An D = DAn = An ⊆ I . Portanto I = An .

Agora vamos assumir que D tem grau k > 0 e chegaremos em uma contradição. Suponha que (α, β) é um multi-índice de comprimento k . Seja xα ∂ β um somando de D com coeciente não nulo, em que βi 6= 0. Vamos analisar o elemento [xi , D]. D = aαβ xα ∂ β + D0 , em que deg(D0 ) < k . Assim [xi , D] = [xi , aαβ xα ∂ β ] + [xi , D0 ]. Temos que:

[xi , aαβ xα ∂ β ]

P rop.1.1.5.1

=

−βi aαβ xα ∂ β−ei

Então deg([xi , aαβ xα ∂ β ]) = deg(−βi aαβ xα ∂ β−ei ) = |α| + |β| − 1 = k − 1. Por outro lado, pelo Teorema 1.1.3, item 3, deg[xi , D0 ] ≤ 1 + deg(D0 ) − 2 = deg(D0 ) − 1 < k − 1. Como deg([xi , aαβ xα ∂ β ]) 6= deg[xi , D0 ], pelo Teorema 1.1.3, item 1, deg[xi , D] = k − 1. Como k > 0, deg[xi , D] ≥ 0 e assim [xi , D] é não nulo. Como I é um ideal bilateral de An e D 6= 0, D ∈ I , temos que [xi , D] = xi D − Dxi ∈ I . Mas isso contradiz a minimalidade de D. Então β = (0, . . . , 0) e |α| = k . Como k > 0, devemos ter αi 6= 0, para algum i = 1, 2, . . . , n. Agora vamos analisar o elemento [∂i , D].

12

1.1

ÁLGEBRAS DE WEYL

Seja D = aα xα + D0 , em que deg(D0 ) < k . Assim [∂i , D] = aα [∂i , xα ] + [∂i , D0 ]. Temos que: P rop.1.1.1.1 [∂i , xα ] = αi xα−ei Temos que deg(aα [∂i , xα ]) = deg(aα αi xα−ei ) = |α| − 1 = k − 1. Pelo Teorema 1.1.3, item 3, deg[∂i , D0 ] ≤ 1 + deg(D0 ) − 2 = deg(D0 ) − 1 < k − 1. Então pelo Teorema 1.1.3, item 1, concluímos que deg[∂i , D] = k − 1 e como k > 0, [∂i , D] é um elemento não nulo. Como D ∈ I é não nulo e I é um ideal bilateral de An , [∂i , D] ∈ I . Isso novamente contradiz a minimalidade de D. Portanto se I é um ideal bilateral de An não nulo, I = An , ou seja, An é simples. O kernel de um endomorsmo de lário:

An é um ideal bilateral. Então temos o seguinte Coro-

Corolário 1.1.2. Todo endomorsmo não nulo de An é injetivo. Embora An não tenha nenhum ideal bilateral além dos triviais, An não é um anel de divisão. De fato, os únicos elementos de An que possuem inversos são as constantes.

Proposição 1.1.6. As unidades da álgebra de Weyl An são as constantes. Demonstração. Vamos demonstrar esse fato usando o grau de um operador. Seja D ∈ An um operador não nulo. Se D possui um inverso, então existe D0 ∈ An , não

nulo, tal que DD0 = 1, em que 1 é o operador identidade. Calculando os graus, pelo Teorema 1.1.3, item 2, obtemos deg(D)+deg(D0 ) = 0. Como o grau de um operador não nulo é sempre não negativo, temos que deg(D), deg(D0 ) ≥ 0. Então concluímos que deg(D) = deg(D0 ) = 0. Portanto D é uma constante, isto é, D ∈ k.

Então todo operador não constante de An gera um ideal à esquerda não trivial. Porém, a álgebra de Weyl não é um anel de ideais principais à esquerda. Por exemplo, o ideal à esquerda gerado por ∂1 , ∂2 em A2 não é principal (veja [Cou95], Capítulo 2, Exercício 4.1). Entretanto, todo ideal à esquerda de An é gerado por dois elementos. Este é um importante resultado atribuído à J. T. Staord. A prova é muito técnica e pode ser encontrada no artigo original de Staord [Sta78] e também em [Bjö79].

1.1.4 Anel de operadores diferenciais Já denimos a n -ésima álgebra de Weyl An de duas maneiras: como uma k -subálgebra de End k (k [X]) gerada pelos operadores x1 , . . . , xn e ∂1 , . . . , ∂n ; e como um quociente de uma k -álgebra associativa livre em 2n geradores {y1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn } por um ideal de relações. Agora vamos denir de uma terceira maneira. Na verdade, vamos mostrar que as álgebras de Weyl são membros da família dos anéis de operadores diferenciais. Por esse motivo, a n ésima álgebra de Weyl também é conhecida, como anel de operadores lineares diferenciais com coecientes polinomiais. Seja R uma k -álgebra comutativa. Todo elemento a ∈ R dá origem à um operador linear em R, a multiplicação à esquerda por a, isto é, r 7−→ ar, para todo r ∈ R. O resultado disso, é a existência de um homomorsmo de anéis R −→ Endk (R), tal que a 7−→ ϕa , em que ϕa ∈ End k (R) é a multiplicação à esquerda por a. Este homomorsmo é injetivo, pois se ϕa = 0, então ϕa (r) = ar = 0, para todo r ∈ R, em particular para r = 1R , isto é, a1R = a = 0. Então podemos considerar R como uma subálgebra de End k (R).

1.1

CONCEITOS BÁSICOS

13

Denição 1.1.7. Uma k -derivação de R é um operador linear δ ∈ Endk (R) que satisfaz δ(ab) = δ(a)b + aδ(b), para todos a, b ∈ R (Regra de Leibniz). O k-espaço vetorial de todas as k-derivações de R é um R-módulo à esquerda denotado por Derk (R), com a seguinte ação de R: (aδ)(b) = aδ(b), δ ∈ Derk (R), a, b ∈ R. Além disso Derk (R) também possui estrutura de álgebra de Lie sobre k com o colchete denido pelo comutador, isto é, [δi , δj ] = δi δj − δj δi , em que δi , δj ∈ Derk (R). Vamos denir, indutivamente, a ordem de um operador. Um operador linear P ∈ End k (R) tem ordem zero se [P, a] = 0, para todo a ∈ R. Suponhamos já denidos operadores com ordem < n. Um operador P ∈ End k (R) tem ordem n se ele não tem ordem menor do que

n e [P, a] tem ordem menor do que n para todo a ∈ R. Seja Dn (R) o conjunto de todos os operadores lineares de End k (R) com ordem ≤ n. Dn (R) é um k -espaço vetorial. Vamos concluir usando indução em n. Se P, Q ∈ D0 (R), temos que [P + Q, a] = [P, a] + [Q, a] = 0, para todo a ∈ R, ou seja, P + Q ∈ D0 (R). Vamos supor por indução que P, Q ∈ Dn−1 (R) implica [P + Q, a] ∈ Dn−2 (R), para todo a ∈ R, isto é, P + Q ∈ Dn−1 (R). Sejam P, Q ∈ Dn (R), então [P + Q, a] = [P, a] + [Q, a], para todo a ∈ R. Por hipótese de indução a soma em Dn−1 (R) é fechada e já que P, Q ∈ Dn (R) é equivalente à [P, a], [Q, a] ∈ Dn−1 (R), para todo a ∈ R, temos que [P, a] + [Q, a] ∈ Dn−1 (R), ou seja, [P + Q, a] ∈ Dn−1 (R), para todo a ∈ R. Então P + Q ∈ Dn (R). De forma análoga, mostra-se indutivamente que para λ ∈ k e para P ∈ Dn (R) temos que λP ∈ Dn (R). Como as operações soma e multiplicação por escalar são fechadas, Dn (R) ⊆ End k (R), é um k -espaço vetorial.

Observação 1.1.2. Seja R um anel. Sejam a, b, c ∈ R. Então a identidade de Jacobi é satisfeita, isto é, [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0. Denição 1.1.8. Dena indutivamente D0 (R) = {P ∈ End k (R) | [P, a] = 0, ∀a ∈ R}, e para i > 0, Di (R) = {P ∈ End k (R) | [P, a] ∈ Di−1 (R), ∀a ∈ R}. Claramente Di (R) ⊆ Dj (R) ∞ S se i < j . Chamando D(R) = Di (R), obtemos desta forma uma álgebra associativa, i=0 chamada de anel de operadores diferenciais de uma k-álgebra R. Em outras palavras, o anel D(R) é o conjunto de todos os operadores de End k (R) com

ordem nita, com as operações de soma e composição de operadores. Para que esta denição faça sentido, devemos mostrar que a soma e o produto de dois operadores de ordem nita tem ordem nita. Antes, provaremos o seguinte resultado:

Lema 1.1.2. Os operadores de ordem ≤ 1 correspondem aos elementos de Derk (R) + R. Os elementos de ordem zero são os elementos de R. Demonstração. Seja Q ∈ D1 (R). Como Q ∈ End k (R) então Q(1R ) ∈ R. Tome P = Q −

Q(1R ). Observamos que [a, b] = 0, para todos a, b ∈ R, pois R é uma k -álgebra comutativa. Como cada elemento de R dá origem à um operador linear em R, então todo b ∈ R tem ordem zero, ou seja, R ⊆ D0 (R). Assim Q(1R ) ∈ D1 (R), e como esse é um k -espaço vetorial, Q − Q(1R ) ∈ D1 (R), ou seja, P ∈ D1 (R). Como Q ∈ D1 (R), [Q, a] ∈ D0 (R), para todo a ∈ R. Então [b, [Q, a]] = 0, para todos a, b ∈ R. Usando a Observação 1.1.2 e o fato [b, a] = 0, para todos a, b ∈ R: [b, [a, P ]] + [a, [P, b]] + [P, [b, a]] = 0 ⇒ [b, [a, P ]] = [P, b]a − a[P, b] = [[Q, b], a] = 0 Portanto P tem ordem ≤ 1 e [a, P ] tem ordem zero para todo a ∈ R. Observamos também que P (1R ) = (Q − Q(1R ))(1R ) = Q(1R ) − Q(1R ) = 0.

14

1.1

ÁLGEBRAS DE WEYL

Como [[P, a], b] = 0, para todo b ∈ R, escrevendo os comutadores explicitamente, obtemos a equação: (P a)b − (aP )b − b(P a) + b(aP ) = 0 Aplicando este operador em 1R ∈ R, temos que P (ab) = aP (b) + bP (a) − baP (1R ). Como P (1R ) = 0, segue que P é uma k -derivação de R. Mas Q = P + Q(1R ) ∈ Derk (R) + R, como desejado. Já sabemos que R ⊆ D0 (R). Vamos mostrar que D0 (R) ⊆ R. Seja Q ∈ D0 (R). Logo [Q, a] = 0, para todo a ∈ R. Em particular [Q, 1R ] = 0. Então Q(1R ) − 1R Q = 0, isto é, Q = Q(1R ) ∈ R. Portanto D0 (R) = R. Sendo assim, podemos caracterizar os operadores de ordem ≤ 1.

Proposição 1.1.7. Sejam P ∈ Dn (R) e Q ∈ Dm (R). Então P + Q tem ordem nita e P Q ∈ Dn+m (R). Demonstração. Se n = m, trivialmente P + Q ∈ Dn (R), ou seja, P + Q tem ordem nita.

Seja n 6= m. Podemos supor sem perda de generalidade que n < m. Como Dn (R) ⊆ Dm (R), temos que P, Q ∈ Dm (R), e como esse é k -espaço vetorial, P + Q ∈ Dm (R). Então P + Q tem ordem nita. Agora vamos mostrar que P Q ∈ Dn+m (R). Para isso, vamos usar indução em m + n. Se m + n = 0, como m, n ≥ 0, temos que m = n = 0. Pelo Lema 1.1.2, P, Q ∈ R, logo P Q ∈ R = D0 (R), e o resultado é válido. Suponhamos que o resultado é válido sempre que m + n < k . Se m + n = k e a ∈ R, temos que:

[P Q, a]

Obs.1.1.1

=

P [Q, a] + [P, a]Q

A denição de ordem implica que [Q, a] ∈ Dm−1 (R) e [P, a] ∈ Dn−1 (R). Então, pela hipótese de indução P [Q, a], [P, a]Q ∈ Dn+m−1 (R). Logo [P Q, a] ∈ Dn+m−1 (R). Portanto P Q ∈ Dn+m (R), como desejado.

Derk (k[x1 , . . . , xn ]). P Proposição 1.1.8. Toda derivação de k[X] = k[x1 , . . . , xn ] é da forma ni=1 fi ∂i , para alguns f1 , . . . , fn ∈ k[X]. Demonstração. É evidente que as derivadas parciais ∂1 , . . . , ∂n são derivações de k [x1 , . . . , xn ]. Seja D ∈ Derk (k[X]), uma derivação arbitrária. D(xi ), para i = Seja xki ∈ k[X]. Vamos provar por indução em k que D(xki ) = kxk−1 i Agora vamos calcular explicitamente

1, . . . , n. Se k = 1, o resultado vale trivialmente. Suponhamos que k > 1 e que o resultado seja válido para k − 1. Então: D(xki ) = D(xi xk−1 ) = xi D(xik−1 ) + xk−1 D(xi ) i i

Usando a hipótese de indução:

D(xki ) = xi (k−1)xk−2 D(xi )+xk−1 D(xi ) = kxik−1 D(xi )−xk−1 D(xi )+xik−1 D(xi ) = kxk−1 D(xi ) i i i i Portanto D(xki ) = kxk−1 D(xi ), para i = 1, . . . , n. i Vamos considerar um P monômio qualquer de k[X], isto é, xs11 · · · xsnn , com s1 , . . . , sn ∈ N. Vamos calcular (D − ni=1 D(xi )∂i )(xs11 · · · xsnn ).

D(xs11

· · · xsnn )

=

n X i=1

xs11

si si sn · · · xc i · · · xn D(xi ) =

n X i=1

si xs11 · · · xsi i −1 · · · xsnn D(xi )

1.1

CONCEITOS BÁSICOS

15

e

(

n X

D(xi )∂i )(xs11 · · · xsnn ) =

n X

D(xi )∂i (xs11 · · · xsnn ) =

D(xi )si xs11 · · · xisi −1 · · · xsnn

i=1

i=1

i=1

n X

Pn

Como os monômios xs11 · · · xsnn , com Portanto (D − i=1 D(xi )∂i )(xs11 · · · xsnn ) = 0. P P s1 , . . . , s n ∈ N, formam uma base de k[X], temos que D− ni=1 D(xi )∂i = 0, ou seja, D = ni=1 D(xi )∂i , com D(x1 ), . . . , D(xn ) ∈ k[X]. Nosso objetivo é mostrar que a n -ésima álgebra de Weyl An é o anel dos operadores diferenciais da k -álgebra dos polinômios em n variáveis comutativas, ou seja, D(k[x1 , . . . , xn ]) = D(k[X]) = An . Antes provaremos dois lemas.

Lema 1.1.3. Seja P ∈ D(k[X]). Se [P, xi ] = 0, para todo i = 1, . . . , n, então P ∈ k[X]. Demonstração. Vamos mostrar usando as hipóteses que [P, f ] = 0, para todo f ∈ k[X].

Como o comutador é bilinear, é necessário provar que [P, f ] = 0, quando f é um monômio em k[X]. Seja f = xα , para algum α ∈ Nn e assuma que αi 6= 0. Vamos provar o resultado usando indução em |α|. Se |α| = 1, por hipótese [P, xi ] = 0, 1 ≤ i ≤ n. Seja |α| > 1 e vamos supor que o resultado seja válido para todo β ∈ Nn tal que |β| < |α|. Temos que:

[P, xα ] = [P, xi xα−ei ]

Obs.1.1.1

=

[P, xi ]xα−ei + xi [P, xα−ei ]

Usando a hipótese de indução, isto é, [P, xi ] = [P, xα−ei ] = 0, concluímos que [P, xα ] = 0. Portanto [P, f ] = 0, para todo f ∈ k[X], ou seja, P ∈ D0 (k[X]). Pelo Lema 1.1.2, concluímos que P ∈ k[X].

Denição 1.1.9. Seja Cr o conjunto dos operadores em An que podem ser escritos na forma P α α fα ∂ com |α| ≤ r , em que fα ∈ k[X]. Podemos pensar que Cr é o conjunto dos operadores de An com "ordem" ≤ r (veja Capítulo 2, Subseção 2.2.2). Sabemos que Dr (k[X]) é o conjunto dos Poperadores de End k (k[X]) com ordem ≤ r. Logo Cr ⊆ Dr (k[X]). Se P ∈ Cr , então P = α fα ∂ α com |α| ≤ r, fα ∈ k[X]. Temos que |α| ≤ r < r + 1, logo P ∈ Cr+1 . Então Cr ⊆ Cr+1 ∩ Dr (k[X]). Recipror camente, se tomamos Q ∈ Cr+1 ∩ DP (k[X]), ele terá ordem ≤ r, por pertencer à Dr (k[X]). Logo Q ∈ Cr+1 , será da forma Q = β gβ ∂ β com |β| ≤ r, gβ ∈ k[X], ou seja, Q ∈ Cr . Então Cr+1 ∩ Dr (k[X]) ⊆ Cr . Portanto Cr = Cr+1 ∩ Dr (k[x1 , . . . , xn ]) Pela Proposição 1.1.8 temos que C1 = Derk (k[x1 , . . . , xn ])+k[x1 , . . . , xn ] e C0 = k[x1 , . . . , xn ]. O próximo lema é formalmente equivalente ao fato que todo campo vetorial F = (F1 , . . . , Fn ) em Rn que satisfaz ∂i Fj = ∂j Fi , para todos 1 ≤ i, j ≤ n, admite uma função potencial. No próximo lema usaremos a convenção de que se k < n então Nk é identicado com o subconjunto de Nn com as últimas n − k coordenadas nulas.

Lema 1.1.4. Sejam P1 , . . . , Pn ∈ Cr−1 e suponha que [Pi , xj ] = [Pj , xi ] para todos 1 ≤ i, j ≤ n. Então existe Q ∈ Cr tal que Pi = [Q, xi ], para i = 1, . . . , n. Demonstração. Como Pn ∈ Cr−1 , temos que Pn = α fα ∂ α , com |α| ≤ r − 1 e fα ∈ k[X]. Como αn ∈ N, então (αn + 1) 6= 0. Seja (αn + 1)−1 = 1/(αn + 1). Podemos denir P

16

1.1

ÁLGEBRAS DE WEYL

P −1 α+en , com (αn + 1)−1 fα ∈ k[X]. Como |α| ≤ r − 1, temos que Q0 = α (αn + 1) fα ∂ |α + en | = |α| + 1 ≤ r. Portanto Q0 ∈ Cr . Vejamos agora que [Q0 , xn ] = Pn . X X [Q0 , xn ] = [ (αn + 1)−1 fα ∂ α+en , xn ] = (αn + 1)−1 [fα ∂ α+en , xn ] α Obs.1.1.1

=

X

Obs.1.1.1

=

X

=

X

α

(αn + 1)−1 (fα [∂ α+en , xn ] + [fα , xn ]∂ α+en ) =

α

(αn + 1)−1 fα (∂ α [∂n , xn ] + [∂ α , xn ]∂n )

X (αn + 1)−1 fα [∂ α ∂n , xn ]

α X P rop.1.1.4

=

α

(αn + 1)−1 fα (αn + 1)∂ α

α α

f α ∂ = Pn

α

Suponhamos por indução que determinamos um Q0 ∈ Cr tal que [Q0 , xi ] = Pi para k + 1 ≤ i ≤ n. Desta maneira, pelas hipóteses, [[Q0 , xi ], xk ] = [Pk , xi ], para k + 1 ≤ i ≤ n. Vamos provar que o resultado é válido para k . Seja G = [Q0 , xk ] − Pk ∈ An . Então [G, xi ] = 0, para k + 1 ≤ i ≤ n. De fato:

[G, xi ] = [[Q0 , xk ], xi ] − [Pk , xi ] = [[Q0 , xk ], xi ] − [Pi , xk ] = [[Q0 , xk ], xi ] − [[Q0 , xi ], xk ]

Obs.1.1.2

=

[[xi , xk ], Q0 ] = [0, Q0 ] = 0

Segue da identidade [∂ β , xn ] = βn ∂ β−en (Proposição 1.1.4), que se [∂ β , xn ] = 0, então βn = 0. Então [G, xn ] = 0 implica, pela Proposição 1.1.2, que G pode ser escrito como uma combinação linear de monômios da forma xα ∂ β com β ∈ Nn−1 . Como [G, xi ]P= 0, para k + 1 ≤ i ≤ n, podemos aplicar esse resultado várias vezes e concluir que G = α∈Nk fα ∂ α P com fα ∈ k[X]. Seja Q00 = α∈Nk (αk + 1)−1 fα ∂ α+ek . Q0 ∈ Cr ⊆ Dr (k[X]) implica que [Q0 , xk ] ∈ Cr ∩ Dr−1 (k[X]) = Cr−1 . Como Pk ∈ Cr−1 , G também pertence à Cr−1 . Logo |α| ≤ r − 1. Então |α + ek | = |α| + 1 ≤ r, ou seja, Q00 ∈ Cr . Por construção [Q00 , xi ] = 0, para k + 1 ≤ i ≤ n. Assim [Q0 − Q00 , xi ] = [Q0 , xi ] − [Q00 , xi ] = Pi , para k + 1 ≤ i ≤ n. Mas [Q00 , xk ] = G. De fato: X X [Q00 , xk ] = (αk + 1)−1 fα [∂ α ∂k , xk ] = (αk + 1)−1 fα (αk + 1)∂ α = G α∈Nk

α∈Nk

Então [Q0 − Q00 , xk ] = [Q0 , xk ] − [Q00 , xk ] = [Q0 , xk ] − G = Pk . Portanto [Q0 − Q00 , xi ] = Pi , para k ≤ i ≤ n, e a indução está completa.

Teorema 1.1.5. O anel dos operadores diferenciais de k[x1 , . . . , xn ] é An , ou seja, D(k[x1 , . . . , xn ]) = An . Além disso, Dm (k[x1 , . . . , xn ]) = Cm . Demonstração. É suciente provar que Dm (k[x1 , . . . , xn ]) ⊆ Cm , pois a inclusão oposta é clara. Faremos indução em m. Seja P ∈ D(k[x1 , . . . , xn ]). Se m = 0, claramente C0 = D0 (k[x1 , . . . , xn ]). Se P ∈ D1 (k[x1 , . . . , xn ]), então pelo Lema 1.1.2, P ∈ Derk (k[x1 , . . . , xn ])+ k[x1 , . . . , xn ]. Assim P ∈ C1 , pela Proposição 1.1.8. Suponha, por indução, que Dr (k[x1 , . . . , xn ]) = Cr para r ≤ m − 1. Seja P ∈ Dm (k[x1 , . . . , xn ]). Para 1 ≤ i ≤ n, tome Pi = [P, xi ]. Como P ∈ Dm (k[x1 , . . . , xn ]), Pi tem ordem r ≤ m − 1, e segue que Pi ∈ Cm−1 . Mas, para todos 1 ≤ i, j ≤ n,

[Pi , xj ] = [[P, xi ], xj ]

Obs.1.1.2

=

[[P, xj ], xi ] = [Pj , xi ]

Então pelo Lema 1.1.4 existe Q ∈ Cm tal que [Q, xi ] = Pi , 1 ≤ i ≤ n. Assim [Q − P, xi ] = 0 em D(k[x1 , . . . , xn ]). Uma vez que é válido para 1 ≤ i ≤ n, concluímos pelo Lema 1.1.3 que

1.3

PROBLEMAS COM CORPOS COM CARACTERÍSTICA PRIMA

17

Q − P ∈ k[x1 , . . . , xn ] = C0 ⊆ Cm . Portanto como Q ∈ Cm e Q − P ∈ Cm , temos que P ∈ Cm . Assim Dm (k[x1 , . . . , xn ]) ⊆ Cm , ou seja, Dm (k[x1 , . . . , xn ]) = Cm , como desejado. Se P ∈ D(k[x1 , . . . , xn ]), existe r tal que P ∈ Dr (k[xP 1 , . . . , xn ]) = Cr ⊆ An , ou seja, D(k[x1 , . . . , xn ]) ⊆ An . Reciprocamente, se Q ∈ An , Q = α fα ∂ α , com fα ∈ k[x1 , . . . , xn ]. Logo, existe m tal que |α| ≤ m, para todo α que aparece como expoente em ∂ . Logo Q ∈ Cm = Dm (k[x1 , . . . , xn ]). Assim An ⊆ D(k[x1 , . . . , xn ]). Portanto: D(k[x1 , . . . , xn ]) = An

1.2 Problemas com corpos com característica prima Como foi observado no começo deste Capítulo, é essencial que o corpo base sobre o qual a álgebra de Weyl está denida tenha característica zero. Entretanto, não é imediatamente claro porque se deve fazer tal restrição. Anal, a denição da álgebra de Weyl pode fazer todo sentido sem qualquer restrição na característica do corpo k. O problema é mais profundo. Em primeiro lugar, a álgebra de Weyl com característica prima sofre com problema de dupla personalidade. Isto acontece porque os dois caminhos pelos quais nós denimos An (como um anel de operadores diferenciais e como o quociente de uma k -álgebra livre por um ideal de relações) serão dois anéis não isomorfos. Vejamos o que acontece para o corpo Zp , em que p é primo, no caso de uma variável. Considere primeiro a álgebra de operadores R1 gerada por Zp [x] e sua derivação ∂ em relação à variàvel x. Vamos calcular ∂ p (xk ). Se k < p, então ∂ p (xk ) = 0. Se k ≥ p, então:

∂ p (xk ) = k . . . (k − p + 1)xk−p = 0 pois o coeciente é divisível por p. Então ∂ p = 0 como operador em Zp [x]. Concluímos que o anel de operadores R1 tem elementos nilpotentes. Seja b ∈ R1 , um elemento nilpotente. Então existe n ∈ N tal que bn = 0 e bn−1 6= 0. Sendo assim 0 = bn = bbn−1 . Portanto, em particular, R1 não é um domínio. Agora considere o anel R2 gerado sobre Zp por y, z sujeito à relação [z, y] = 1. Este anel é um domínio. Logo R1 e R2 são anéis não isomorfos. Contudo, R2 não é igual à álgebra de Weyl com característica zero em outro aspecto: não é um anel simples. Por exemplo, seja f ∈ Zp [y] então [z, f ] = ∂f /∂y . Em particular, [z, y p ] = py p−1 = 0, sobre Zp . Segue que y p comuta com todo elemento de R2 . Então o ideal gerado por y p em R2 é um ideal bilateral. Em particular, R2 não é um anel simples. Estes comentários superciais servem para mostrar que o caso da característica prima é muito diferente do caso da característica zero. A álgebra de Weyl com característica prima é discutida com maiores detalhes em [Smi85].

1.3 Álgebra de Weyl de posto innito Agora vamos denir a álgebra de Weyl de posto innito. Como já mencionamos, o corpo k tem característica zero. Vamos exigir nesta seção que ele também seja algebricamente fechado. Vamos basear essa seção em [FGM14][Seções 2.1 e 2.2]. Seja I um conjunto innito enumerável satisfazendo a seguinte condição: |I| < |k| (a cardinalidade do conjunto I é menor que a cardinalidade do corpo k ). Seja B a k -álgebra comutativa dos polinômios em innitas variáveis xi , i ∈ I.

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1.3

ÁLGEBRAS DE WEYL

Vamos considerar o grupo abeliano aditivo k I consistindo de todos os vetores v = (vi )i∈I com coecientes em k. Seja ZIf o subgrupo de k I , formado por todos os vetores com coecientes inteiros, com no máximo, uma Q quantidade nita de coecientes não nulos. Para v I v ∈ Zf denotaremos por x o monômio xvi i . Denotaremos por NIf o conjunto de todos os i∈I

vetores pertencentes a ZIf em que todos os coecientes são inteiros não negativos. O anel de polinômios k [x] com uma variável x é um k -espaço vetorial, que tem uma base innita formada por 1, x, x2 , . . .. No caso do anel de polinômios com várias variáveis x1 , . . . , xn , um monômio é um produto xα1 1 · · · xαnn , em que α1 , . . . , αn são inteiros não negativos. Similar ao caso com uma variável, os polinômios com variáveis x1 , . . . , xn , formam um k -espaço vetorial que tem uma base formada por todos os monômios chamada de base monomial ou base canônica. Portanto, os monômios {xv | v ∈ NIf } formam uma base para B como k -espaço vetorial. De fato, se p(xi1 , . . . , xin ) ∈ B , é um polinômio nas variáveis xi1 , . . . , xin , com i1 , . . . , in ∈ I, podemos considerar que p(xi1 , . . . , xin ) ∈ k[xi1 , . . . , xin ]. Podemos denir a álgebra dos polinômios k[xi1 , . . . , xin ] com n variáveis comutativas xi1 , . . . , xin por iteração k[xi1 , . . . , xin ] = k[xi1 , . . . , xin−1 ][xin ]. Esta denição corresponde à ideia de que uma soma de monômios em n variáveis comutativas xi1 , . . . , xin deve ser escrita como um polinômio na última variável xin , colocando-a em evidência em cada monômio, em que os coecientes pertencem à k [xi1 , . . . , xin−1 ] (para mais detalhes indicamos [SZ91], Capítulo I ). Dessa forma existem: um inteiro não negativo m, coecientes cαi1 ...αin ∈ k e 0 ≤ αi1 , . . . , αin ≤ m inteiros não negativos tais que: m X

p(xi1 , . . . , xin ) =

α

α

cαi1 ...αin xi1i1 · · · xinin

αi1 ,...,αin =0

ou seja, p(xi1 , . . . , xin ) é uma combinação linear de monômios com coecientes em k. Os coecientes cαi1 ...αin na representação canônica acima são únicos, pois se considerarmos duas possíveis representações canônicas do mesmo polinômio p(xi1 , . . . , xin ), isto é,

p(xi1 , . . . , xin ) =

m X

cαi1 ...αin

α xi1i1

α · · · xinin

m X

=

α

α

dαi1 ...αin xi1i1 · · · xinin

αi1 ,...,αin =0

αi1 ,...,αin =0

usando indução em n, concluímos que cαi1 ...αin = dαi1 ...αin , para todos 0 ≤ αi1 , . . . , αin ≤ m.

Denição 1.3.1 (Álgebra de Weyl de posto innito). Para i ∈ I, seja Xi = xi o operador linear em B dado pela multiplicação por xi . Seja Yi = ∂i , o operador linear em B dado pela derivada parcial com respeito à variável xi , isto é, ∂i é uma derivação de B denida por ∂i · xj = δij nos geradores, em que δij é o símbolo do delta de Kronecker. A álgebra de Weyl de posto innito A = Ak,I é a subálgebra de Endk (B ) gerada por todos Xi e Yi , i ∈ I. Quando dizemos que o posto de A é innito, queremos dizer que ela é gerada por uma quantidade innita de elementos. É fácil de vericar que os geradores satisfazem as seguintes relações:

[Yi , Xj ] = δij · 1 [Xi , Xj ] = [Yi , Yj ] = 0 para todo i, j ∈ I, em que 1 é o operador identidade e 0 o operador nulo.

1.3

ÁLGEBRA DE WEYL DE POSTO INFINITO

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Estas relações dão uma apresentação para a álgebra A, ou seja, qualquer outra relação entre os geradores de A, é combinação destas relações listadas acima.

Denição 1.3.2. Para i ∈ I, seja ti = Xi Yi = xi ∂i ∈ A. Denotaremos por A0 a subálgebra de A gerada por todos ti , i ∈ I. Proposição 1.3.1. A0 é uma subálgebra comutativa de A. Demonstração. Sabemos que [Yi , Xj ] = δij · 1, [Xi , Xj ] = 0 e [Yi , Yj ] = 0 para todo i, j ∈ I. Vamos vericar que quaisquer dois geradores de A0 comutam. Sejam ti , tj ∈ A0 , com i 6= j . Então:

ti tj = Xi Yi Xj Yj = Xi Xj Yi Yj = Xj Xi Yj Yi = Xj Yj Xi Yi = tj ti Para

v ∈ ZIf

denimos o elemento:

Xv =

Y i:vi >0

Xivi

Y

Yi−vi

i:vi 0, . . . , −wjn > 0. Usando o Lema 1.1.1, PB . Observamos w u v w u temos que P (x ) = u,v auv X Y (x ) = w! u auw X , pois se w é estritamente menor que v , na ordem lexicográca, então Y v (xw ) = 0. Pela escolha de w, existe u ∈ Nm tal que auw 6= 0. Como A não possui divisores de zero implica que auw X u 6= 0. Temos que P (xw ) é não nulo , pois no mínimo um dos coecientes auw é não nulo. Portanto P 6= 0, como desejado.

20

1.3

ÁLGEBRAS DE WEYL

Proposição 1.3.3. Os geradores de A0 , ti , i ∈ I, são algebricamente independentes sobre k. Demonstração. Seja R uma k -álgebra. Dizemos que os elementos u1 , . . . , un ∈ R são algebricamente independentes sobre k se não existe um polinômio não nulo f (x1 , . . . , xn ) no anel de polinômios k[x1 , . . . , xn ] tal que f (u1 , . . . , un ) = 0. Queremos provar que o conjunto {ti }i∈I é algebricamente independente sobre k. Basta

provar para uma quantidade nita de elementos. Seja {ti1 , . . . , tin }, em que i1 , . . . , in ∈ I, e ik 6= il , 1 ≤ k, l ≤ n. Seja p(xi1 , . . . , xin ) ∈ B , um nas variáveis xi1 , . . . , xin , com i1 , . . . , in P polinômio não nulo, αi 1 α ∈ I. Então p(xi1 , . . . , xin ) = αi ,...,αin cαi1 ...αin xi1 · · · xinin , com cαi1 ...αin ∈ k e αi1 , . . . , αin 1 são inteiros não negativos. Vamos supor que p(ti1 , . . . , tin ) = 0, ou seja: X X α α cαi1 ...αin ti1i1 · · · tinin = 0 =⇒ cαi1 ...αin (Xi1 Yi1 )αi1 · · · (Xin Yin )αin = 0 αi1 ,...,αin

αi1 ,...,αin

Seja (Xj Yj )αj , j ∈ I, αj um inteiro não negativo. Temos que (Xj Yj ) · · · (Xj Yj ). Usando a {z } | αj vezes

relação [Yj , Xj ] = 1, (Xj Yj ) = Então: X αj

P

βj βj βj dβj Xj Yj , β

β

com dβj ∈ k e βj é um inteiro não negativo. β

β

dβi1 ...βin Xi1i1 Yi1 i1 · · · Xinin Yinin = 0

βi1 ,...,βin

com dβi1 ...βin ∈

k e βi1 , . . . , βin são inteiros não negativos.

P βi βi β β Como ik 6= il , 1 ≤ k, l ≤ n, temos que βi ,...,βin dβi1 ...βin Xi1 1 · · · Xinin Yi1 1 · · · Yinin = 0. 1 Seja σ = (σi1 , . . . , σin ) o menor multi-índice, com respeito à ordem lexicográca, que aparece σi σi σ σ como expoente de Y , ou seja, Yi1 1 · · · Yinin . Observamos que dσi1 ...σin 6= 0 e Xi1 1 · · · Xinin 6= 0. σi1 σ Escolhemos xi1 · · · xinin = xσ ∈ B . Como p(ti1 , . . . , tin ) = 0 é o operador nulo em B , P βi βi β β temos que p(ti1 , . . . , tin )(xσ ) = 0, isto é, βi ,...,βin dβi1 ...βin Xi1 1 · · · Xinin Yi1 1 · · · Yinin (xσ ) = 0. 1

σi

σ

Pelo Lema 1.1.1 temos que 0 = p(ti1 , . . . , tin )(xσ ) = σ! (dσi1 ...σin Xi1 1 · · · Xinin ). Isso é um absurdo, pois a álgebra A não possui divisores de zero. Então, não existe polinômio não nulo em B que anule {ti1 , . . . , tin }. Portanto {ti }i∈I é algebricamente independente sobre k.

Proposição 1.3.4. Nenhum elemento Xv , com v 6= 0, v ∈ ZIf , comuta com todos os elementos de A0 . Demonstração. Seja Z uma combinação linear de elementos da forma

Q

Xiui

Q

Yi−ui ,

i:ui >0 i:ui