Chirurgie des grassmanniennes - Surgery on Grassmannians

Table of contents :
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Introduction
Contents
Cellules de Schubert minces et espaces de configurations de matroïdes
Compactifications: Pavages de convexes entiers et recollement des cellules de Schubert minces
Étude de quelques familles simples de compactifications
Le fibré équivariant universel sur la variété torique des facettes des pavages
Variations de variétés projectives rationneles avec structures logarithmiques
Références bibliographiques
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https://doi.org/10.1090/crmm/019

Volume 1 9

CR M R MONOGRAP H M SERIE S r

Centre d e Recherche s Mathematique s Universite d e Montrea l

Chirurgie de s grassmannlennes L. Lafforgu e The Centr e d e Recherche s M a t h e m a t i q u e s (CRM ) o f t h e Universite d e Montrea l w a s create d i n 1 96 8 t o promot e r e s e a r c h i n p u r e a n d applie d m a t h e m a t i c s a n d relate d disciplines. Amon g it s activitie s ar e specia l t h e m e years , s u m m e r schools , w o r k s h o p s , postdoctora l programs , a n d publishing. Th e CR M i s s u p p o r t e d b y t h e Universit e d e Montreal, th e Provinc e o f Quebe c (FCAR) , a n d th e Natural Science s a n d Engineerin g Researc h Counci l o f C a n a d a . I t i s affiliate d wit h t h e Institu t de s Science s M a t h e m a t i q u e s (ISM ) o f Montreal , w h o s e c o n s t i t u e n t m e m b e r s ar e Concordi a University , McGil l University , t h e Universite d e Montreal , t h e Universit e d u Quebe c a Montreal, a n d t h e Ecol e Polytechnique . Th e CR M m a y b e reached o n th e We b a t www.crm.umontreal.ca .

American Mathematica l Societ y Providence, Rhod e Islan d US A ^ATDED

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T h e p r o d u c t i o n o f t h i s volum e wa s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e Fond s p o u r l a F o r m a t i o n de Chercheur s e t l'Aid e a l a Recherch e (Fond s F C A R ) a n d t h e N a t u r a l Science s a n d Engineering Researc h Counci l o f C a n a d a ( N S E R C ) .

2000 Mathematics Subject

Classification.

P r i m a r y 1 4N20 , 52B40 , 1 4M1 5 , 1 5A75 , 1 4M25 , 14D20.

For additiona l informatio n a n d u p d a t e s o n thi s book , visi t www.ams.org/bookpages/crmm-19

Library o f Congres s Cataloging-in-Publicatio n D a t a Lafforgue, Laurent . Chirurgie de s grassmannienne s / L . Lafforgue . p. cm . — (CR M monograp h series , ISS N 1 065-859 9 ; v. 1 9 ) Includes bibliographica l references . ISBN 0-821 8-3358- 8 (acid-fre e paper ) 1. Grassman n manifolds . 2 . Matroids . 3 . Compac t ificat ions. 4 . Surger y (Topology ) I. Title . II . Series . QA613.6.L34 200 3 514 / .72—dc21 2003045 0

5

C o p y i n g an d reprinting . Individua l reader s o f thi s publication , an d nonprofi t librarie s acting fo r them , ar e permitte d t o mak e fai r us e o f th e material , suc h a s t o cop y a chapte r fo r us e in teachin g o r research . Permissio n i s grante d t o quot e brie f passage s fro m thi s publicatio n i n reviews, provide d th e customar y acknowledgmen t o f th e sourc e i s given . Republication, systemati c copying , o r multipl e reproductio n o f an y materia l i n thi s publicatio n is permitte d onl y unde r licens e fro m th e America n Mathematica l Society . Request s fo r suc h permission shoul d b e addresse d t o th e Acquisition s Department , America n Mathematica l Society , 201 Charle s Street , Providence , Rhod e Islan d 02904-2294 , USA . Request s ca n als o b e mad e b y e-mail t o [email protected] . © 200 3 b y th e America n Mathematica l Society . Al l right s reserved . The America n Mathematica l Societ y retain s al l right s except thos e grante d t o th e Unite d State s Government . Printed i n th e Unite d State s o f America . @ Th e pape r use d i n thi s boo k i s acid-fre e an d fall s withi n th e guideline s established t o ensur e permanenc e an d durability . This volum e wa s submitte d t o th e America n Mathematica l Societ y in camer a read y for m b y th e Centr e d e Recherche s Mathematiques . Visit th e AM S hom e pag e a t http://www.ams.org / 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8 07 06 05 04 0 3

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Introduction Le cadr e genera l pou r l'ensembl e d e c e text e consist e e n u n espac e vectorie l d e dimension finie (c'est-a-dir e u n modul e libr e d e ran g fini su r Z ) gradu e

somme d e n - f 1 facteur s direct s E a, 0 partielles

< a < n, e t mun i d e toute s le s somme s

Ei = @E a, J C { 0 , l , . . . , n }

.

Pour tou t ran g r , l a grassmannienn e Gir'E =

{F ^ E

\ dimF =

r}

est u n schem a projecti f e t liss e su r SpecZ . Ell e s e decompos e e n strate s localemen t fermees GT2E =

{F aei J

di, V J >

et so n sous-ensembl e S = S R H N n + 1 = S R f l S r , n de s point s entiers . Dan s l e presen t texte, le s ensembles S R OU S associe s a des matroide s d seront appele s de s « convexes entiers » (dan s l a litteratur e mathematiqu e su r l e suje t qu e Tauteu r n' a commenc e a decouvri r qu e tardivement , o n parl e pluto t d e « polytopes d e matroide s ») . li s apparaissent dan s l'etud e de s cellule s d e Schuber t mince s a caus e d e l a propositio n fondamentale suivant e : PROPOSITION. Si S C S r,n est dans la grassmannienne Gvr'E ^ P ( A

r

un convexe entier associe a un matroide d, alors

€

E) = \ (x^es^

la cellule de Schubert mince par

G r J est

riA^.-wU,

definie comme sous-schema localement

ferme

x%_ = 0 , V i ^ 5 ,

x^o,

Vies .

Voici le s propriete s de s convexe s entier s qu i son t importante s pou r c e qu e nou s allons fair e : (1) S i S R et S son t associe s a u n matroid e d = (dj) , o n a pou r tout e parti e / de { 0 , . . . , n } dj = min < /^ jiQ i = ( i 0 j . . . ,z n ) G S , n Ej = Fs»/F s» H Fs» HEj = entre sous-objets et

Ej dans

Fs>/F s> H Ej dans

objets quotients dans

Ej = E/E

Jf

Ej = E/E

Iy

les deux suites exactes

0 - > F S / H Ej - • F s> - > Fs>/Fs> H ET - > 0 , 0- F

5 //

H ^j - > F 5 // - > F 5 / / / F 5 / / HEj^O.

L'etape suivant e dan s le s construction s consist e a « m e t t r e e n famill e » le s schemas G r J associe s au x different s pavage s S_ d'un mem e convex e entie r S C S r,n. On commenc e pa r « mettre e n famill e » le s pavage s eux-meme s e n construisan t u n « cham p toriqu e » A s j A% (l e cham p quotien t d'un e variet e toriqu e A s pa r so n tore A%) don t il s son t le s point s : Si S_ es t u n pavag e d e S pa r de s convexe s entiers , o n not e C§ C R 5 l e con e de s fonctions « convexes » v: S-+R telles que , pou r tout e cellul e S' d e S , i l exist e un e fonctio n affin e £: S — » R verifian t

^ < v e t S ' = { i e S | ^ ( i ) = i;(i)} . Quand C f n'es t pa s vide , o n di t qu e S_ est u n « pavage entie r convex e » d e S. S i 0 design e l e pavag e trivia l d e 5 , C% est l e sous-espac e de s fonction s affine s £: S — » R ; tou s le s cone s C f son t stabilise s pa r C%. On montr e qu e l a famill e de s cone s quotient s C^jC% C M? )C% constitu e u n eventail e t don e defini t un e variet e toriqu e A s d e tor e l e quotient A% — G ^ / ( G ^ ) 0 de G ^ pa r l e sous-tor e ( G ^ ) ^ de s fonction s affine s S —> • G m . Le s orbite s «A | son t indexees pa r le s pavage s entier s convexe s 5 d e 5 et , etan t donne s deu x pavage s 5 et [/ , o n a *4 f C v4 ^ s i e t seulemen t s i S_ raffin e U_. Comme Valer y Alexee v l' a fai t remarque r a I'auteur , l e livr e [Gel'fand , Ka pranov e t Zelevinsky , 1 994 ] contien t l a construction , pou r t o u t polyedr e convex e engendre pa r se s point s entiers , d e l a variet e toriqu e d e se s pavage s pa r de s poly edres convexe s engendre s pa r leur s point s entiers . Dan s l e ca s d'u n convex e entie r (en notr e sens ) 5 , l a variet e toriqu e A s es t simplemen t u n ouver t dan s cell e d e Gel fand, Kaprano v e t Zelevinsk y ; son existenc e result e d e l a propriet e (3 ) de s convexe s entiers. Valer y Alexee v a egalemen t appri s a I'auteu r qu e le s even t ails d e fonction s convexes qu i definissen t le s variete s torique s d e pavage s on t et e introduit s de s 1 90 7 dans l'articl e [Voronoi , 1 907] . Le premie r theorem e d e c e text e es t qu'o n peu t m e t t r e e n famill e le s schema s Gr^ associe s au x pavage s entier s convexe s S_ d e S pou r obteni r un e compactifica tion d e G r 5 : T H E O R E M E . Dans le schema produit

AsxGm\l[{AiE.-{0}), \ies il existe un sous-schema ferme

Q

SjE

tel

que :

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viii I N T R O D U C T I O

N

(i) ft s>E est invariant par Aut(E.) = A u t ( £ 0 ) x • • • x A u t ( E n ) et par G ^ / G (agissant sur A via A K- > A- 1 et sur le second facteur coordonnee par coordonnee). (ii) La fibre de ft s,E au-dessus

de

m

1 G A% C A s est

(iii) Plus generalement, la fibre de ft ,E au-dessus du Vorbite A§ associee a un pavage S_ est

point distingue as

de

Grf. o rp

(iv) Le quotient ft ' de ft s,E par Vaction libre project if. / / est muni d'un morphisme

de G ^ / G

m

est

un schema

ns'E-^As/As0 O rp

et done de strates localement fermees ft$ qui des points A§ jA% de

A s/A%. Sa

sont les images reciproques

strate ouverte est

^ • E = G///(G^)0 = GT/ . Bien sur , c e theorem e defini t l e ferm e ft s,E d e manier e uniqu e comm e ensembl e mais a priori pa s comm e schema . Pou r leve r t o u t e ambiguite , o n defini t ft S'E pa r des familie s explicite s d'equation s obtenue s e n « tordant » le s equation s d e Pliicke r au moye n de s caractere s d e A s. O n renvoi e pou r cel a a u paragraph e 2.3 . Dans l e cas particulie r de s espace s d e configurations , e'est-a-dir e quan d r g i ^ , = rp

oo

1 = r a, 0 < a < n, o n not e simplemen t ft a

u lie u d e ft ' . o rp

Tout d e suit e apre s l a constructio n de s schema s S I ' , i l convien t d e donne r leurs propriete s fonctorielle s don t voic i le s plu s importante s : L e s m o r p h i s m e s d e faces . S i S' es t un e fac e d e 5 , o n a de s morphisme s naturels s'inscrivan t dan s u n diagramm e commutati f :

As/A% >A

S

'/AS0

Le morphism e d u hau t prolong e Gr ^—> • Gr^' , e t celu i d u ba s associ e a tou t pavag e entier convex e d e S l e pavag e indui t d e l a fac e S'. L e s i s o m o r p h i s m e s d e f a c t o r i s a t i o n . S i S C 5 r , n es t u n convex e entie r de dimensio n n — p ave c le s decomposition s associee s { 0 , . . . , n } = J Q II • • • II J p , S = S° x • • • x 5 ^ , o n a de s isomorphisme s canonique s compatible s :

^ H S ' EJ° X • • • X ti S"'Ej*

rf'B ^

I

As/A% -^+

A

s

°/As0° x

I

• • • xA

SP

/AS0P

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INTRODUCTION i

x

En particulier , le s pavages entier s convexe s d e S son t le s produit s d e pavage s entier s convexes d e S ° , . . . , S p. Dans l e cas de s espace s d e configurations , le s composes de s morphisme s d e face s et d e factorisatio n compactifien t le s morphisme s d'oubl i d'un e parti e de s point s d'une configuratio n o u d e passag e a l a configuratio n quotien t pa r l e sous-espac e projectif engendr e pa r un e sous-famille . On peu t cite r auss i : Les i s o m o r p h i s m e s d e d u a l i t e . S i r v = rgE — r , l'isomorphism e G r ^ ^ Gr ±

(F^E)» (F

rV £V

'

- f £ v ) = Ker(E v - » F v )

induit de s isomorphisme s entr e cellule s d e Schuber t mince s

GrS B ^ G r ^

£V

qui s e prolongen t naturellemen t au x compactification s :

AS/AS0-^ASV/A0V La premier e questio n qu e pos e l e theorem e ci-dessu s es t l a suivant e : QUESTION 1 . Pour E = £ 0 © • • • © E n, r et S C S r'n arbitrages, faux que la strate ouverte f£ 0 ' =

Gr ^ est

schematiquement dense

est-il

vrai ou

dans Q, ' ?

L'auteur n e connai t pa s d e contre-exemple . Mai s i l n e sai t pa s demontre r qu e l a reponse es t affirmative , mem e dan s le s « situations generique s » comm e le s compac tifications de s P G L ™ + 1 / P G L r o u de s espace s d e configuration s d e n + 1 point s e n position general e dan s P r - 1 . I I es t clai r qu e l e theorem e ren d compt e a u moin s e n partie d u phenomen e selo n leque l I'adherenc e d'un e cellul e d e Schuber t minc e n'es t pas e n genera l un e reunio n d e cellule s d e Schuber t mince s (voi r l e corollair e 2.1 1 ) . En u n sens , l a questio n 1 consiste a s e demande r s'i l e n ren d compt e completemen t ou non . Dans c e texte , o n montr e qu e \l 0 = G r 5 es t schematiquemen t dens e dan s o1 7 1

Vl ' seulemen t dan s le s ca s n < 2 o u r — 2 comm e consequenc e d'un e propriet e beaucoup plu s fort e : T H E O R E M E . Si n + 1

< 3 ou bien si r = 2, on a :

(i) Le morphisme de

structure Q,

' — » A j A% est lisse.

(ii) Pour toute face S' de S, le morphisme

fi -

n x

As'/A%>

A s/A%

est lisse. REMARQUES. -

S i r = 2 ou n + 1 = 2 , les varietes torique s A s son t toujour s o1 7 1

lisses s i bien qu e l'assertio n (i ) signifi e qu e le s 0 ' son t lisse s su r Spe c Z e t qu e leur s bords son t de s diviseur s a croisement s normau x relatifs . E n revanche , s i n + 1 = 3 ,

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x INTRODUCTIO

N

les variete s torique s A s n e son t pa s lisse s e n genera l e t le s schema s Q ' on t les memes singularite s qu'elles . - S i r = 2 e t rgE a — 1 = r a , 0 < a < n , le s espace s d e configuration s Q

2

E2

n

fl0 = Gr 5 ' = C 5 s'identifien t au x espace s d e module s jMo,n+ i d e courbe s d e genre 0 (isomorphe s a P 1 ) ave c n - j - 1 points marques , e t le s schemas projectif s Q s'identifient au x compactification s .A/fo,n+ i construite s pa r Grothendiec k e t Knud sen. I I faut signale r ic i que la descriptio n d e la combinatoir e de s strates d e bor d d e A4o,n+i e n terme s d e pavages d e S = {(i a)^=o | 0 < 2 a < l , V a e t ^ i a = 2 } figur e deja dan s Particl e [Kapranov , 1 993] . Plu s generalement , Kaprano v y construi t de s compactifications d e tou s le s espaces d e configuration s « generiques » , c'est-a-dir e classifiant le s familie s d e n + 1 point s e n positio n general e dan s P r _ 1 , et montr e qu'a chaqu e poin t d u bor d es t associ e u n pavag e (entie r convex e dan s notr e ter minologie) d e l' « hypersimplex e » S = {(i a)^=o | 0 < i a < 1 5 V a e t ^2i a = r }. g

C'est l a meme descriptio n combinatoir e qu e pour le s strates de s Q correspondant s mais l'auteu r ignor e encor e quell e es t l a relatio n exact e entr e le s compactification s de Kaprano v e t le s siennes dan s l a mem e situation . - S i r = 2 , E& = A 2 , Va e t S = £ 2 ' n , 0 ' es t un e compactificatio n equiva riante e t liss e d e PGL^" 1 " / P G L 2 . Ce s compactifications son t auss i construite s pa r une autr e method e dan s Particl e [Faltings , 2001 ] qui contien t l a premier e preuv e correcte d e leu r lissite . -S in = 1

,Ea=

A r , a G {0,1 } e t S = AS 7*'1 , Q ' es

t l a compactificatio n d e

De Concin i e t Proces i d e P G L ^ / P G L r . O n remarque qu e ces compactifications fon t done parti e d e la mem e theori e qu e les Alo,n+i Q rp

- S i n = 2 , E a = A r , a G { 0 , 1, 2} e t S = S' r ' 2 , Q ' es t un e compactificatio n equivariante d e P G L ^ / P G L r qu i es t liss e su r l e cham p toriqu e de s pavage s d u triangle 5 r ' 2 = {(^o ? *I? ^2) ^ N 3 | io + i\ + 1 2 = r}. Ell e a et e introduit e dan s l a prepublication [Lafforgue , 1 998 ] qui contien t un e preuv e de s propriete s d e lissit e differente d e cell e donne e dan s l e paragraph e 3. 5 d u presen t texte . Muni e de s 3 morphismes d e faces, ell e compactifi e l a multiplicatio n dan s P G L r . Cel a perme t d e compactifier auss i l e revetemen t d e Lan g d e P G L r au-dessu s d'u n corp s fini . O n renvoie a u paragraph e III.3 c d e Particl e [Lafforgue , 2002 ] pou r un e applicatio n d e cette constructio n a l a resolution de s singularites de s compactifications de s champ s de chtouca s d e Drinfel d ave c structure s d e nivea u san s multiplicites . Dans Particl e [Lafforgue , 1 999] , on pretendait e t o n croyait demontre r qu e dan s le ca s des compactifications de s P G L | ? + / P G L r l e morphism e d e structur e aL ^

t/\. J / l 0

est toujour s lisse . Ce t enonc e es t encor e vra i pou r P G L 3 / P G L 3 mai s i l est fau x e n general. L e premier contre-exempl e es t P G L 4 / P G L 4 o u le morphism e d e structur e n'est pa s plat (mem e su r Q). O n peut remarque r auss i qu e chaque foi s qu e la strat e ouverte d'u n Q ' es t no n vid e e n caracteristiqu e 0 mai s qu e certaines strate s d e bord n'existen t qu'e n caracteristiqu e p (c e qui se produit pou r le s compactification s des P G L ^ + 1 / P G L r o u des espaces d e configurations generique s quan d r > 3 et que n es t asse z grand) , l e morphism e d e structur e consider e au-dessu s d e Z p o u mem e de F p = Z / p Z ne peu t etr e plat .

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INTRODUCTION x

i

D'autre part , i l result e d u theorem e d e Mne v qu e dej a dan s l e ca s de s espace s de configuration s d e point s dan s l e pla n projecti f l a fibre generiqu e d u morphism e de structur e

US'E^AS/AS0 peut avoi r de s singularite s arbitraires . Cependant, pou r qu e l a theori e general e de s schema s Q ' devienn e interes sante, i l faudrai t certainemen t pouvoi r produir e de s familie s « grande s » (dison s C LP

par exempl e universelle s a u sen s de s motifs ) d e schema s ft ' don t o n sach e decrir e et resoudr e le s singularites . E t l'auteu r n e voi t pa s quell e autr e propriet e o n pour rait demande r qu e l a lissit e d u morphism e d e structur e 0 ' — > A s / A% consider e au-dessus d e Q o u d e ¥ p. Voici un e premier e ide e simpl e qu'o n peu t avoi r pou r essaye r d e construir e de s schemas Q lisse s su r leu r bas e A s / A% a parti r d'u n espac e d e configuration s arbi t r a g e Cg Q dan s l e pla n projecti f P 2 e t d'u n poin t generiqu e rj de Cg Q . Ajouton s aux configuration s d e Cg Q tou s le s point s d'intersectio n d e paire s d e droite s re liant de s point s d e l a configuration , e t metton s su r l'ensembl e de s ancien s e t de s nouveaux point s toute s le s relation s d'alignemen t o u d e non-alignemen t qu i son t verifiees e n 77 . Cela defini t u n nouve l espac e d e configuration s Cg x qu i es t reli e a u precedent pa r l e morphism e d'oubl i de s nouveau x point s -^3,ni -^3,n

0

ce morphism e es t un e immersio n localemen t ferme e don t l'imag e contien t rj. O n peut rrecommence e r l a mem e constructio n a parti r d e Cg x e infinie - ^ 3 , n2 -^3,n i -^3 '••^CS2 ^C Si ^C

t obteni r ains i un e tou r

, n0 So

d'espaces d e configuration s Cg k d e plu s e n plu s fins. Tou s contiennen t 7 7 mai s deviennent arbitrairemen t petits . I I es t clai r qu'apre s u n nombr e fini d e pa s il s son t o

lisses su r l e corp s d e bas e Q o u F p . Passan t maintenan t a no s compactification s Q 3 n,

des Cg k ,

elle s s'ordonnen t e n un e tou r 2

^ rf *

- nSi *

- n5°

^ AS*/AS02 — ^ i 5 i / 4 — > A S°/AS0° qui prolong e l a precedent e e t o u le s morphisme s d e transitio n son t de s morphisme s de faces . QUESTION 2 . Se plagant sur Q ou sur F p, est-il vrai ou faux que dans la construction ci-dessus, sur A

Sk

IA

k 0

des

la

compactification f

£ de

Cg k devient

automatiquement lisse

que k est assez grand ?

Si l a repons e a cett e questio n etai t affirmativ e su r F p , cel a impliquerai t un e forme d e resolutio n de s singularite s e n caracteristiqu e p d'apre s l e theorem e 3.1 0 du paragraph e 3. 3 auque l nou s renvoyon s (e t l e theorem e d e resolutio n equivariant e des singularite s pou r le s variete s toriques) .

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xii I N T R O D U C T I O

N

Bien qu e jusqu'a presen t nou s n e sachion s rie n dir e d e l a geometri e de s schema s o p

projectifs ft ' generau x e t qu'e n particulie r nou s ignorion s l a repons e au x ques q p

tions 1 et 2 , nou s montron s dan s c e text e qu e pou r tou t convex e entie r 5 , O ' es t solution d e deu x probleme s d e module s different s (e t mem e d e quatr e s i o n tien t compte de s isomorphisme s d e dualite ) associe s a 5 . L'auteu r a et e amen e a ce s ca racterisations modulaire s pa r l'etud e d u travai l d e Falting s su r le s compactification s des P G L ? + 1 / P G L r . Rappelons que l es t l e poin t d e vu e d e Faltings . II par t d'u n poin t g d e PGL™ + / P G L r a valeur s dan s l e corp s de s fraction s K d'u n annea u d e valuatio n discret e A e t i l cherch e a l e prolonge r su r A d'un e maniere o u d'un e autre . Pou r cela , i l releve c e poin t e n u n (#c h • • • > 9n) £ GL™ + (K) et i l consider e le s position s relative s de s reseau x M a = g a(Ar), 0 < a < n , dan s Kr. A multiplicatio n pre s pa r de s puissance s d e l'uniformisante , le s reseau x d e l a forme M — Ao • Mo - f • • • + A n • Mn ave c A o , . . . , A n G K x, son t e n nombr e flni , e t les fibre s projectif s associe s P ( M ) su r Specy l on t l a mem e fibr e generiqu e P ( i ^ r ) . L'adherence schematiqu e P g d e l a diagonal e ¥(K r) dan s l e produi t de s P ( M ) es t u n schema projecti f e t pla t su r Spe c A qu e Falting s appell e u n « schema d e Delign e » . II montr e qu e P g es t semi-stabl e c'est-a-dir e regulie r ave c u n diviseu r a croisement s normaux pou r fibr e speciale . Cependant , l a formatio n d u schem a d e Delign e P g n e commute pa s ave c le s changement s d e bas e A —> A f pa r de s anneau x d e valuatio n discrete A' ramifie s su r A. Falting s construi t alor s u n autr e schem a P m i n projecti f et pla t su r Spec^ l qu'i l appell e u n « model e minima l d e l'espac e projecti f » e t qui es t un e contractio n d e P g a u sen s qu'i l es t mun i d'u n morphism e birationne l surjectif P g — > P m i n don t l a restrictio n au-dessu s d e Spe c K es t u n isomorphisme . L e schema P m-m n'es t plu s semi-stabl e e t a de s singularite s toroi'dale s mai s s a formatio n commute au x changement s d e base . Mieux , Falting s construi t un e compactificatio n ft d e PGLJ? + / P G L r muni e d'un e fibration projectiv e e t plat e P tell e qu e tou t modele minima l P m i n s e dedui t d e P pa r l e morphism e d e changemen t d e bas e Spec A — > £1 qu i prolong e l e poin t donn e S p e c i f— » P G L j ? + 1 / P G L r . Au chapitr e 5 , nou s construison s de s fibration s projective s e t plate s generalisan t o pi

celles d e Falting s su r tou s le s schema s Q ' (pa s seulemen t le s compactification s des P G L ? + 1 / P G L r ) , nous decrivon s leu r geometri e e t nou s montron s qu'elle s son t universelles relativemen t a u n certai n problem e d e modules . Avant cela , o n introdui t e t etudi e a u chapitr e 4 u n autr e problem e d e modules , different mai s equivalen t e n definitive , e t qu i apparai t comm e u n intermediair e na o p

turel pou r passe r d e l a premier e constructio n de s ft ' a leur s fibration s projective s universelles. Afin d e formule r ce s deu x probleme s d e modules , o n a besoi n d'introduir e un e seconde variet e toriqu e A s plu s fin e qu e cell e A s de s pavage s d'u n convex e entie r S c .S fr ' n . Si S_ es t u n pavag e entie r convex e d e S e t S f un e facett e d e 5 (c'est-a-dir e un e cellule o u un e fac e d e cellule) , o n not e C§ s , C W s l e con e de s fonction s convexe s v: S - • R telles qu e v G 0$ e t S f — {i G S \ v(i) = min(v)} . Le s cone s Cg s , son t invariant s par l e sous-espac e R de s fonction s constante s e t o n montr e qu e l a famill e de s cone s quotients C f 5 , / R C R 5 / R constitu e u n eventail . Ell e defini t un e variet e toriqu e

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I N T R O D U C T I O N xii

As d e tor e A% = G ^ / G m don t le s orbite s A§ facette distingue e (S_,S f). P R O P O S I T I O N . (i

, son t indexee s pa r le s pavage s ave c

s

) Uhomomorphisme de s

s

A% = G JGm se prolonge en guee »

i

quotient s

* G m/(G m)0 =

un morphisme equivariant As - > A

s

A%

d'«

oubli de la facette distin-

.

(ii) Ce morphisme est projectif et plat [de dimension relative fibres sont geometriquement reduites.

di m S) et ses

Comme o n v a voir , l a fibration projective , plat e e t equivariant e A s— > A s formalise e n terme s d e geometri e algebriqu e l e recollemen t de s cellule s entr e elle s pour constitue r u n pavage , e n plu s de s relation s d e raffinemen t entr e pavage s dej a formalisees pa r A s. Cette fibratio n es t respecte e pa r l e tor e GJ^ +1 agissan t vi a G ^ + 1 - (G

S

J0 (A

0)

• • •, An) . - ( i = ( t s

0)...

,i„ ) ~ A

0°...

Ajr) .

s

Si S_ est u n pavag e d e 5 , l a fibr e Ys_ de A — » A au-dessu s d u poin t distingu e as de l'orbit e A$ es t u n schem a projecti f geometriquemen t redui t mun i d'un e actio n de G ^ + 1 . Voic i s a descriptio n geometriqu e : L E M M E . (i ) Ys_ est reunion finie d du pavage 5 .

'orbites Ys> indexees par les facettes S

f

(ii) Si di m 5 ' = n — p et { 0 , . . . , n} = J o I I • • • II J p est la decomposition associee, le fixateur dans GJ^ +1 de n'importe quel point de Y$' es t l e soustore « diaqonal »

(G^l)s> = ( ?

+1 m

= C m x - x C m M G i » x . . . x G i = G^ 1 .

(iii) L'adherence schematique Ys' de Y$' dans Ys est une variete torique (normale) projective de tore GJ^ +1 / ' ( G ^1) s ' • Ses orbites sont les Ys>> indexees par les faces S" de S f. Ainsi, le s composante s irreductible s de s fibre s d u morphism e A s— > As son t indexees naturellemen t pa r le s cellules de s pavage s d e 5 . C e son t le s varietes torique s des face s d e ce s cellule s e t elle s son t recollee s entr e elle s pou r constitue r le s fibre s suivant le s meme s regie s combinatoire s qu e le s cellule s d'u n pavag e pou r constitue r ce pavage . Revenant maintenan t a u schem a Q S'E au-dessu s d e A s, l e produi t fibr e SE U ' x As A s es t mun i d'un e actio n d e G ^ / G m = A% (qu'o n fai t agi r su r A s o rp

via A H^ A - 1 ) . L a premier e caracterisatio n modulair e d e Q = sur l e resul t at suivan t :

Q

S,E

jA% repos

e

PROPOSITION. On a un morphisme canonique QS'E x qui est respecte par I'action de particulier de G ^ + 1 .

As

A

s

- > Gr>£

A% et equivariant sous

celles de Aut(E 9) et

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en

xiv I N T R O D U C T I O

Si (Fs' &s_,S'

son

c

t les

N

Q S,E au-dessus

-> E)s'£S_ est un point de la fibre G r J de points distingues des

((Fs>)s>es;as,s>) sur

c

de

orbites Ys> —> Y$_, ce morphisme envoie

as et les chaque

F s sur X et un homomorphisme lineaire G 1 ^ -equivariant

a= 0

{oil p r x designe la projection X — • X). r$ On not e Vec r,b l e sous-cham p ou ^ On not e Vec r,b l e sous-cham p ouver t d e Vec ' o r © a = o P x £ot es t injecti f e n tou t poin t d e X

u l'homomorphism e £ o rp

Voici l a premier e caracterisatio n modulair e de s schema s O

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INTRODUCTION

THEOREME. On a un carre cartesien QSlE ^

Vec r>s D

oil la premiere fleche horizontale (qui done est lisse et surjective) est et la seconde fleche verticale est £ — i > (£Q )™ =0 .

definie par £

s

Cheminant maintenan t ver s l a second e caracterisatio n modulaire , o n consider e un poin t (X — > A s I A%, £) d u cham p Vec r,s a valeur s dan s u n schem a X. Pa r defi nition d e Vec r,s comm e ouver t d e Vec ' , le fibr e £ su r X es t mun i d'u n plongemen t canonique n

a=0

On not e £ Fouver t d e £ imag e reciproqu e d e r i a = o ( ^ — W ) P u ^ s ^ ( ^ ) * e quotien t de £ pa r Factio n libr e d e G ^ + 1 . P R O P O S I T I O N . Pour £ comme ci-dessus, F(£) est une fibration projective et plate sur X qui est munie d'un morphisme

lisse de dimension relative

r.

La geometri e de s fibration s P(£ ) es t decrit e dan s l e paragraph e 5.3 . Leu r cons truction es t universell e a u sen s d u theorem e suivan t : THEOREME. Soit Vroj r'S le schema X muni d'un morphisme

champ algebriqu e sur A s/ A% qui associe a tout

X-A le groupoi'de des fibrations projectives

et

s

/As0

plates

p: P->X verifiant p*Op — dimension relative

l

Ox et R p*Op = r qui releve p

P

0, \/i > 1 , et munies d'un

morphisme lisse

de

: p - > X/Gn; + 1

Alors le morphisme Vec r ' 5 - • Vroj

rS

'

£ ^ F(£) est une immersion ouverte. Ce theorem e qu i occup e l e chapitr e 5 e t dernie r d u presen t text e appell e plu sieurs commentaire s e t questions . Tout d'abord , Fauteu r doi t dir e qu'i l n e sai t pa s caracterise r Vec r,s comm e ouvert dan s l e cham p algebriqu e Vroj r,s. Mai s o n peu t pose r l a questio n suivant e :

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xvi I N T R O D U C T I O

N

QUESTION 3 . Est-il vrai ou faux que I'immersion ouverte Vecr>s ^ Vrop est aussi fermee, autrement connexes ?

dit

s

que son image est une reunion de

composantes

Quand o n reflechi t a u sen s concre t d e cett e question , l e premie r ca s qu i s e pre sente es t celu i d'u n schem a projecti f e t liss e su r l e spectr e d'u n annea u d e valuatio n discrete A don t l a fibr e generiqu e es t u n espac e projectif . Est-i l vra i alor s qu e l a fibre special e es t auss i u n espac e projectif ? Comm e Fabrizi o Catanes e l' a montr e a 1'auteur, l a repons e es t oui , mem e s i A es t d e caracteristiqu e positiv e o u mixte . Pour demontre r l e theorem e ci-dessus , o n doi t prouve r e n particulie r qu'u n point d e Vec r,s adme t le s meme s deformation s qu e so n imag e dan s Vroj r,s. Pou r c e faire, 1 'auteu r a et e inspir e pa r Petud e cohomologiqu e de s deformation s de s « schemas d e Delign e » qu i figurait dan s un e versio n preliminair e d e Particl e [Faltings , 2001] (mai s a dispar u d e l a versio n definitiv e publiee) . O n montr e e n fai t (c'es t l'objet de s paragraphe s 5. 4 e t 5.5 ) qu e le s complexe s cotangent s relatif s associe s aux deu x probleme s d e module s Vec r,s e t Vroj r'S on t l a mem e cohomologi e no n seulement e n degre s 0 , 1 e t 2 comm e i l aurai t suff i mai s e n tou s degres . O n verifi e au paragraph e 5. 8 qu'a u moin s su r l a strat e ouvert e u n phenomen e identiqu e s e produit pou r le s isomorphisme s d e dualit e : quan d deu x fibrations d e typ e P(£ ) sont duale s l'un e d e l'autre , leur s fibres tangent s logarithmique s on t mem e coho mologie e n tou s degre s bie n qu e le s dimension s d e ce s fibrations soien t differente s en general . Cela sugger e qu' a l a fago n pa r exempl e d e 1 'articl e [Ciocan-Fontanin e e t Ka CI ?

pranov, 2001 ] , tou s le s schema s projectif s Q ' devraien t s e releve r naturellemen t en de s « schemas differentiel s gradue s » qu i seraien t lisse s su r le s champ s torique s de pavage s A s j A%. S i d'ailleur s o n reli t l a fauss e demonstratio n d e l a lissit e d u morphisme d e structur e ft ' — » As/'A% dan s Particl e [Lafforgue , 1 999 ] (dan s l e cas d e s P G L P + 1 / P G L r ) , o n y trouv e u n fau x calcu l d e dimensio n qu i es t e n fai t u n calcul d e caracteristiqu e d'Euler-Poincare . I I doi t pouvoi r s'interprete r comm e u n calcul d e dimensio n d'u n « schema differentie l gradu e » liss e qu i relev e ft ' . Cependant, le s remarque s e t question s qu i interessen t l e plu s 1 'auteu r a propo s du theorem e ci-dessu s son t peut-etr e celle s relatives a l a definitio n mem e de s champ s

Vrops. Ces champ s son t muni s d'u n morphism e d e structur e su r A s/A% e t a fortiori su r A sIA% s i bie n qu'il s son t reunion s d e strate s localemen t fermee s Vrofy indexees pa r le s pavage s entier s convexe s 5 de s convexe s entier s S. La strat e ouvert e Vroj^ associe e a u pavag e trivia l d'u n S classifi e de s variete s projectives munie s d'u n morphism e liss e su r l e cham p quotien t Ys/G 7^1 d e l a va riete toriqu e Ys de s face s d e S pa r l e tor e GJ^ +1 . Cel a revien t a classifie r de s variete s projectives munie s d e structure s logarithmique s d'u n typ e donn e relativemen t aux quelles elle s son t lisses . Autremen t di t encore , o n classifi e de s variete s projective s dont le s singularite s son t prescrite s e t qu i son t munie s d'un e famill e d e diviseur s dont le s intersection s mutuelle s on t de s singularite s prescrites . Si maintenan t S_ es t u n pavag e entie r convex e d e 5 , l a strat e d e bor d Vrofy classifie de s schema s projectif s muni s d'u n morphism e liss e su r l e cham p quotien t

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I N T R O D U C T I O N xvi

i

Y s / G ^ + 1 d u schem a equivarian t Ys_ des facette s d e S_ par GJ^ +1 . Le s composante s ir reductibles d e ce s schema s projectif s son t le s image s reciproque s d e celle s Ys> /G 7^1 de Y s / G J ^ 1 , elle s son t indexee s pa r le s cellule s S' d u pavag e 5 , c e son t de s point s des champ s Trofy e t elle s son t recollee s entr e elle s suivan t le s meme s regie s com binatoires qu e le s cellule s S' pou r constitue r l e pavag e S_. On reconnai t l a un e situatio n frequent e e n geometri e algebriqu e (fibre s stables , chtoucas d e Drinfeld , variete s abelienne s e t semi-abeliennes , . . . ) ou , e n voulan t compactifier de s espace s d e module s classifian t u n certai n typ e d'objet s prescri t par un e donne e combinatoire , o n voi t apparaitr e a u bor d de s strate s localemen t fermees qu i classifien t de s familie s d'objet s d e type s similaire s mai s prescrit s pa r des donnee s combinatoire s « plus petite s » e t qu i son t recolle s entr e eu x suivan t certaines regies . Dans notr e situation , auss i bie n le s type s d'objet s classifie s qu e le s regie s d e recollement pou r le s strate s d e bor d e t qu e l e passag e contin u d e l a strat e ouvert e aux strate s d e bor d (o u le s singularite s prescrite s changent ) son t formalise s pa r l e systeme simpl e de s deu x variete s torique s l'un e su r l'autre , cell e A s de s pavage s e t celle A s de s pavage s ave c facett e distinguee . II es t frappan t d e constate r qu e dan s l a definitio n de s champ s Vroj r,s l e carac C zp

tere lineair e d e l a constructio n initial e de s schema s projectif s Q ' a completemen t disparu e t o n peu t s e demande r jusqu'o u l a theori e peu t etr e generalise e pou r en glober peut-etr e certain s espace s d e module s classique s d e l a geometri e algebriqu e et leur s compactifications . I I sembl e clai r qu e l a theori e classiqu e l a plu s proch e d e o pp

celle de s O ' es t cell e de s champ s modulaire s M. g,n d e courbe s d e genr e g ave c n point s marque s e t d e leur s compactification s M. g,n '• le s « morphismes d e face s » O rp

reliant le s different s Q ' corresponden t au x morphisme s d'oubl i d'un e parti e de s points marque s o u au x morphisme s « triviaux » consistan t a oublie r tou t sau f te l o u tel poin t marqu e e t le s strate s localemen t fermee s d u bor d de s AA g,n s e construisen t en recollan t de s M. g^n' a u moye n d e ce s morphismes . o pp

QUESTION 4 . Existe-t-il une generalisation commune de la theorie des Q ' et de celle des M. g,n ? En particulier, est-il possible de formaliser la combinatoire des M g^n et de leurs strates de bord au moyen d'une famille de paires de champs relies (C —> • C) dont les points de Vun correspondraient a des pavages d'un certain type d'objets et les points de Vautre a des pavages avec facette distinguee ? Comme o n a vu , l a theori e de s Ct ' e t cell e de s M g,n on t un e intersectio n no n vide consistan t e n le s A^o,n - S i o n s e rappell e qu e le s courbe s elliptique s degeneren t en « polygones d e Nero n » c'est-a-dir e e n familie s d e droite s projective s recollee s circulairement, o n es t tent e d e pense r qu e l a combinatoir e de s M.\, n pourrai t s'ex primer e n terme s d e pavage s d'objet s ayan t l e mem e typ e d'homotopi e qu e l e cercl e (alors qu e dan s l a situatio n « lineaire » d u presen t texte , le s objet s qu'o n pav e pou r exprimer l a combinatoir e de s O e t e n particulie r de s A4o, n son t de s polyedre s convexes, don e homotopiquemen t triviaux) . Quoi qu'i l e n soi t d e l a questio n 4 , l'auteu r pens e qu e le s schema s ft ' n e doivent pa s etr e etudie s isolemen t mai s relie s entr e eu x pa r le s differents morphisme s fonctoriels, e n particulie r le s morphisme s d e faces , e t pa r le s processu s d e passag e

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xviii I N T R O D U C T I O

N

aux strate s d e bor d e t d e decompositio n d e ce s strates , d e mem e qu e l a theori e d e la « tour d e Teichrmille r » consist e a regarde r le s M g,n tou s ensemble . Remerciements A l a fin d e cett e introduction , j e sui s particulieremen t heureu x d e remercie r les personne s qu i a u n momen t o u u n autr e m'on t manifest e leu r intere t pou r cette recherch e longue , difficil e e t balbutiante , Gerar d Laumo n depui s l e jou r o u j ' a i commenc e a lu i parle r d e pavage s d u triangl e e t d e recollemen t d e morceau x de grassmanniennes , Alai n Genestier , Ng o Ba o Chau , Michae l R a p o p o r t qu i m' a appris qu e dan s l a litteratur e mathematiqu e le s Gr ^ s'appelaien t de s cellule s d e Schubert mince s e t qu i m ' a renvoy e au x article s [Gel'fand , Goresky , MacPherso n et Serganova , 1 987 ] e t [Gel'fan d e t Serganova , 1 987] , Jean-Frangoi s Bouto t qu i m' a appris l'existenc e d u theorem e d e Mnev , Miche l Brion , C.S . Seshadri , C . D e Concini , Fedor Bogomolov , Vladimi r Drinfeld , . . . Je remerci e auss i beaucou p le s quelque s auditeur s d e l a seri e d'expose s qu e j ' a i q pp

faite su r le s schema s Q ' a u printemp s 200 1 a 1 'IHES . J'exprim e e n particulie r m a profonde reconnaissanc e enver s Ofe r Gabbe r qu i pa r se s tre s nombreuse s questions , remarques e t correction s a enormemen t contribu e a ameliore r e t clarifie r l e conten u des exposes . A u cour s d e l a redactio n d u texte , j ' a i auss i souven t benefici e d e so n aide pou r repondr e a de s question s d e geometri e algebrique . Plu s qu e tout , s a remarque (facil e mai s qu e j e n'avai s pa s faite ) e n novembr e 200 0 qu e le s espace s de configuration s son t universel s a u sen s de s motif s a relanc e pou r mo i l'intere t d e toute l a theorie . Je remerci e egalemen t l e Centr e d e recherche s mathematique s (CRM ) d e l"Uni versite d e Montrea l e t e n particulie r so n directeur , Jacque s Hurtubise , d e m'avoi r invite dan s l e cadr e d e l a « chaire Aisenstad t » , d e m'avoi r ains i donn e l'occasio n d e faire un e nouvell e seri e d'expose s su r l e conten u d e c e livre , a Montrea l e n ma i 2002 , puis d e m'avoi r propos e d e l e publie r dan s l a seri e de s monographie s d u CRM . Enfin c'es t vraimen t u n tre s gran d plaisi r pou r mo i d e remercie r Mm e Cecil e Cheikhchoukh d e 1 'IHE S pou r so n travai l d e frapp e d e l'ensembl e d u manuscrit , effectue ave c un e rapidit e impressionnante , ave c perfectio n e t toujour s dan s l a bonn e humeur, e t d e remercie r auss i beaucou p Mm e Marie-Claud e Vergn e qu i a realis e tous le s dessins .

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Sommaire Introduction ii Remerciements xvii

i i

Chapitre 1 . Cellule s d e Schuber t mince s e t espace s d e configuration s d e matro'ides 1.1. Matro'ides , convexe s entier s e t cellule s d e Schuber 1 t mince s 1.2. Propriete s de s convexe s entier s 3 1.3. Restrictio n au x face s 5 1.4. Morphisme s simpliciau x 7 1.5. L e ca s o u tou s le s E a son t d e ran g r 8 1.6. Lie n ave c le s espace s d e configuration s quan d le s E a son t d e ran g 1 9 1.7. Applicatio 1 n d u theorem e d e Thale s 1.8. L e theorem e d e Mne v

2 4

Chapitre 2 . Compactification s : Pavage s d e convexe s entier s e t recollemen t 1 des cellule s d e Schuber t mince s 2.1. L e cham p toriqu e de s pavage s 1 d'u n convex e entie r 2.2. Recollemen t de s cellule s d e Schuber t mince s 2 2.3. Mis e e n famille . Projectivit e 2 2.4. Restrictio n au x face s 2 2.5. Morphisme s simpliciau x 3 2.6. Restrictio n d'u n pavag e a un e d e se s facette s 3 2.7. Changemen t de s espace s ambiant s 3 2.8. Dualit e 4

9 9 3 3 8 4 7 9 0

Chapitre 3 . E t u d e d e quelque s familie s simple s d e compactification s 4 3.1. Le s ca s de s rang s r — 1 e t r = 2 4 3.2. Espace s d e configuration s e n rang s r = 1 e t r = 2 e t leur s duau x 4 3.3. U n lemm e d e Cho w pou r le s espace s d e configuration s 5 3.4. Consequence s d e Factio n d u group e A u t ( £ o ) x • • • x Aut(.E n ) 5 3.5. Lissit e pou r le s multiplicite s n + 1 < 3 6 3.6. Relatio n entr e strate s de s compactification s e t produit s fibres d'espace s de configuration s 6 3.7. Le s pave s entier s pe t its e n dimensio n n = 3 7 3.8. Exame n de s rang s r = 2 , 3 e t 4 e n dimensio n n — 3 7

3 3 8 3 6 3 9 3 5

Chapitre 4 . L e fibre equ i variant universe l su r l a variet e toriqu e de s facette s des pavage s 8 1 4.1. L e cham p toriqu e de s pavage s ave c facett e distingue e 8 1 4.2. L e morphism e d'oubl i de s facette s distinguee s 8 3

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xx S O M M A I R

E

4.3. L e fibre equ i variant canoniqu e 8 8 4.4. L e cham p de s fibres equivariant s 9 1 4.5. Decompositio n d'u n convex e entie r e n facteur s e t fibres equivariant s 9 6 4.6. Restriction s au x face s d'u n convex e entie r o u au x facette s d'u n pavage 0 0 4.7. Universalit y d u fibre 1 equivarian t canoniqu e 0 3 4.8. Cohomologi e equivariant 1 1 e e t deformation s 5 Chapitre 5 . Variation s d e variete s projective s rationnelle s ave c structure s logarithmiques 2 1 5.1.1 L a fibration projectiv e canoniqu e 2 1 5.2. Resolutio n canoniqu e d u cham p toriqu e de s face s d'u n convex e entier 2 4 5.3. Geometri e de s fibres 1 2 9 5.4. Cohomologi e coherent e de s fibres 1 tangent s relatif s 3 5 5.5. L e ca s d'u n pav e entie r e t1 d e so n pavag e trivia l 4 0 5.6. Fibre s inversible s su r l a fibration projectiv 1 e canoniqu e 5 1 5.7. Universalit e d e l a fibration projectiv 1 e canoniqu e 5 7 5.8. Retou r su r l a dualit e 6 3 References bibliographique s

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169

https://doi.org/10.1090/crmm/019/01

CHAPITRE 1

Cellules d e Schuber t mince s e t espace s d e configurations d e matroide s 1.1. M a t r o i d e s , c o n v e x e s e n t i e r s e t c e l l u l e s d e S c h u b e r t m i n c e s On consider e u n ran g r > 1 et u n espac e gradu e E= E0© • • • ©E

n

somme d e n + 1 sous-espace s vectoriel s E a, 0 < a < n. On not e G r r ^ l a grassmannienn e de s sous-espace s d e dimensio n r dan s E. O n a l e plongemen t d e Pliicke r G r r ^ c + p ( A r E) et l a puissanc e exterieur e A r E s e decompos e e n

A r £= 0 h±E. ieS1"'71

n+1

i = ( i 0 , . . . , i n ) eN

J2^ a=0

et, pou r i = ( z o , . . . , i n) G AiE. =

5 r ' n , o n a not e A io E 0 0 A' 1 Ei 0 • • • 0 A

in

£ n.

Pour tout e parti e / d e { 0 , . . . , n } , o n peu t considere r l a somm e partiell e Ei = a G / E a dan s £ . On appell e « matroi'de » d e ran g r su r { 0 , . . . , n} tout e famill e d'entier s d^ > 0 indexes pa r le s partie s / d e { 0 , . . . , n} qu i verifi e le s condition s : 0

(M) |

4 = 0 'd {0,....n}=*-' \df+dSjn aei J

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2

1. CELLULE S D E S C H U B E R T MINCE S

En fonction du

sous-espace F E, le matroi'de (dj) est dsj = d i m ( F n £ / ) , V / C { 0 , . . . , n }

donne par .

D E M O N S T R A T I O N . O n rappeller a a u paragraph e suivan t commen t demontre r l'unicite d u matroi'd e (df ) d e ran g r qu i defini t u n convex e entie r S donne . Ici, contentons-nou s d e remarque r qu e l a famill e de s d^ = d i m ( F P i £ 7 ), I C { 0 , . . . , n} verifi e le s condition s (M ) e t montron s qu e l e convex e entie r associ e S= 1 ie S

rn

'

ael ) coincide ave c SF = {iGS

rn

' \Xi^0}.

Pour tout e parti e / d e { 0 , . . . , n } , o n a u n isomorphism e canoniqu e A r F 9* A d* {F n Ej) Ar ~ ^ (F/F n

E x)

d'ou i l result e (i0,...,in), Xi^0>. dj — min< 2_. ia [aei II suffi t don e d e prouve r qu e s i j = ( j o , . . . , jn ) es t u n uple t d e 5 r ' n te l qu e Uj = 0 , i l exist e un e parti e / d e { 0 , . . . , n} tell e qu e

Vz = ( z o , . . . , i n ) , X ^ a aei aei

X ^

a ==

>u

i = ®-

Considerons le s homomorphisme s E^ — » F v , 0 < a < n , duau x de s F E —+ Ea. L'hypothes e su r j signifi e qu e 1 'homomorphism e A j0 EQ ® A j l E± (g ) • • • AJn E^ — » A r F v es t nul . Autremen t dit , chaqu e foi s qu'o n choisi t j o vecteur s dan s EQ , . . . , j n vecteur s dan s E^ , l a famill e de s r = j o + • • • + j n vecteur s image s dan s F v es t liee . Soit alor s un e famill e d e n +1 entier s j 0 , . . . , j n no n tou s nuls , verifian t 0 < j 0 < jo, • • •, 0 < j ' n < j n , tel s qu e chaqu e foi s qu'o n pren d j 0 vecteurs dan s EQ ,..., j ' n vecteurs dan s E„, l a famill e de s j 0 -f • • • 4- jn vecteur s image s dan s F v es t liee , e t qui soi t minimal e pou r cett e propriete . Cel a signifi e qu e pou r tou s entier s fco,.. • , fcn verifiant 0 < fc 0 < j 0 , •. . , 0 < k n < j n e t A: 0 H h kn = j 0 H h j£ - 1 , i l es t possible d e choisi r & o vecteurs dan s E ^ , . . . , k n vecteur s dan s E^ tel s qu e l a famill e des & 0 + ' " • + kn vecteur s image s dan s F v soi t lineairemen t independante . Soit / l e sous-ensembl e no n vid e d e { 0 , . . . , n} constitu e de s indice s a tel s qu e

fa > 0 En remplagan t a u besoi n l e corp s d e definitio n d e F pa r un e extension , o n peu t choisir JQ vecteur s dan s EQ , . . ., j ' n vecteur s dan s E^ t d e tell e faco n qu e chaqu e fois qu'o n enlev e u n vecteu r a l a famill e imag e dan s F v , ell e devien t lineairemen t independante. Comm e cett e famill e imag e es t liee , ell e engendr e dan s F v u n sous espace F ,v d e dimensio n j ' 0 H \-j' n — l. D e plus , pou r tou t a £ / , s i o n remplac e Tun de s j ' a vecteurs choisi s d e E^ pa r u n vecteu r arbitrair e d e E 1 ^, l a nouvell e famille imag e dan s F v engendr e u n sous-espac e d e dimensio n j f0 + • • • + j ' n — 1 qu i est necessairemen t F' y. Cel a signifi e qu e F' y es t l a somm e de s image s d e tou s le s homomorphismes

El^F\ aei, Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

1.2. P R O P R I E T E S D E S C O N V E X ES E N T I E R S

et o n a pou r tou t uple t i = ( i g , . . . , i n) d e S > >

^ ley

3

r,n

= > Xi

.U

et a plu s fort e raiso n

ZN

X^ — U.

1>a. dL / j J a ^

C'est c e qu'on voulait . D Un convex e entie r S C S r,n etan t donne Lonne,, o n note n n e soit pa s vide. Un e conditio n necessair e evident e est r g £ a >r

a

= r-df 0M_{a}, V

a G {0, . . . , n } .

1.2. P r o p r i e t e s d e s c o n v e x es e n t i e r s A tou t matroi'd e (d/)/c{o,...,n } d e rang r est associe u n convexe entie r S qu i es t une parti e d e S r>n = {i = (z 0 ,'..'., in) G N™+1 | ^ Lo *« = r }De meme , o n peut lu i associer dan s l'espac e affin e ree l M. r,n = { x = ( x o , . . . , xn ) G Rn + 1 | ^ ™ = 0 x « = r ) ^ e polyhedre convex e SR = < x = ( x 0 , . . . , x n ) G R ' Si Z r , n = { i = ( i o , . . . , i n ) G

^2%a > di, VI

Zn + 1 | y ^ ^ = n ^ a =

r

} design e l e resea u de s point s

5 = 5 M nZ r ' n . r n

Les polyedre s convexe s d e M ' qu i son t dermi s d e cette fago n son t appele s polyedre s convexes entiers . Leurs principale s propriete s son t enoncee s e t demontree s dan s l e lemm e 2 du paragraphe l a et dans le s paragraphes 2 a et 2b de Particle [Lafforgue , 1 999 ] auxquel s on renvoie . Contentons-nou s ic i de recopier le s enonces. On a d'abor d l e lemme facil e :

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4

1. CELLULE S D E SCHUBER T MINCE S

LEMME 1 .2 . Soient (dj) un matroi'de de rang r sur {0 , . . . , n} et SR = {x = ( x o , . . . , x n) G Mr ' n | X^ae i x a > di, V / } / e polyedre convexe entier associe. Alors, si x = (XQ, . . . , x n ) es t i m poin t d e 5 R e t / , J detw : parties de { 0 , . . . , n } te//es g^x e ^ x a= on a di + dj = d InJ +

d/e

d 7 u j et Ylaeinj

t y^Xg

=

dj,

& = ^/nJ , S a e / u J x « = d/uj - •

x

Puis o n montr e le s deu x caracterisation s suivante s de s polyedre s convexe s en tiers : LEMME 1 .3 . Un polyedre convexe SR de R r ' n est entier si et seulement si pour toute suite SR = Si Q, S ^ 0 + i , . . . , S n constitute de polyedres convexes St, £Q < £ < n, de codimension £ dont chacun est un bord du precedent, il existe une permutation r de { 0 , 1 , . . . , n}, une permutation a de { 1 , . . . , n} et des entiers d\, c ^ , . . . , d n G N tels que, pour tout £, £Q < £ < n, les coordonnees xo,...,x n des points de Si verifient les equations : x

x

x

x

r{a{l)) + r{a{2)) +

KXT( Gr^ , depen d d'u n choi x d'equation s associ e a u choi x d e la suit e S = So , S i , . . . , Sk = S' pou r passe r d e S a 5 ' . O n peu t donne r un e repre sentation canoniqu e d e c e morphism e e n utilisan t l e fai t que , d'apre s l e lemm e 1 .2 , l'ensemble de s partie s I C { 0 , . . . , n} telle s qu e l'equatio n Yla^i ^ = ^i S01 ^ verifie e dans l a fac e S ; es t stabl e pa r intersection s e t reunions. ) • On rappell e qu'o n a appele s pave s entier s ceu x de s convexe s entier s d e S r ' n qui son t d e dimensio n maximal e n. O n peu t vouloi r decrir e l a structur e de s cellule s de Schuber t mince s G r J associee s a de s convexe s entier s S qu i peuven t s'ecrir e comme de s face s c'est-a-dir e son t d e codimensio n > 1 . D'abord , o n a : L E M M E 1 .7 . Soit S un convexe entier de S r,n qui Alors il existe une unique partition

est de codimension p.

p

{0,l,...,n} = J J j, 2=0

de { 0 , . . . , n} en p + 1 parties non triviales Ji, 0 < i < p, telle que

df = d sJonI + ---+d sJpnI, V / C { 0 , . . . , n }

.

Si pour tout indice i, 0 < i < p, on note n^ = \Ji\ — 1 et Ti = d Sj., avec done n + l = Y^i=o( ni + 1 ) et

r

— ro + • • • + r p, on peut ecrire S= S0x Six • •• xS

p

ou chaque Si est un pave entier de

Sn'n* = I (ia)« eji e NJ* qui est defini par la famille

D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l e lemm e 1 .3 , i l exist e un e partitio n d e { 0 , . . . , n } en p + 1 parties no n triviale s J^ , 0 < i < p, e t de s entier s r o , . . . , r p tel s qu e Vz = ( z 0 , . . . , i n ) e S, Vie { 0 , . . . , p }

, ^2

*i = = T, — (i \°aa — Z^t(/3 )= L(3)=*Jp)*=o

€ S r ' n son

image pa r *,* , on a u n homomorphism e injecti f

A^E.-^AIE',, et l a somm e d e ceux-c i n'es t autr e qu e la puissanc e exterieur e

ArE^ArE'. On a : LEMME 1 .9 . Pour toute application i\ { 0 , . . . , p } —• { 0 , . . ., n } comme ci-dessus, S un convexe entier de S r,n et S f son image reciproque par i* supposee non vide, le morphisme

Gm\ H^E. - w) -^ G- \ n ( A -^ - {°}) \ies \ies> envoie G r ^ dans

Gr^ , .

Si F est un point de G r J et

F' le point image dans G r J , , le plongement F' E'

est Vimage de Uhomomorphisme injectif

compose

F^E-^E'. • 1.5. L e c a s o u t o u s le s E a s o n t d e r a n g r Un ca s particulier es t celu i o u tous le s Ea, 0 < a < n, son t de s copies d u mem e espace vectorie l canoniqu e A r d e ran g r , ave c don e E = ( A r ) n + 1 . C'est l e cadr e envisag e dan s Particl e [Lafforgue , 1 999 ] ou o n a not e G r r ' = r n Gr ' . Le group e GL™ + agi t su r la grassmannienne G r r ' n e t il respecte s a stratificatio n en cellule s d e Schuber t mince s Gr^' n associee s au x convexe s entier s S d u simplex e

Sr'n = { 1 = (*o , • • •, O £ r N n+1 | Ea=o ** = r }' La strat e ouvert e G r ^ n = G r ^ n associe e a S = S r,n classifi e le s sous-espace s de dimensio n r dan s ( A r ) n + 1 = E don t toute s le s projections su r le s n-\-1 facteur s A r son t de s isomorphismes . Ell e es t homogen e sou s Tactio n d e GL™ + e t contien t comme poin t distingu e l a diagonal e A r d e ( A r ) n + 1 ; le stabilisateu r d e celle-c i es t G L r plong e diagonalemen t dan s GL™ +1 e t don e Gr^ 77, s'identifi e a G L ™ + 1 / G L r . Son quotien t pa r Tactio n libr e d e G ^ + 1 / G m s'identifi e a P G L ™ + 1 / P G L r .

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1.6. LIE N AVE C LE S ESPACE S D E C O N F I G U R A T I O N S

9

La famill e de s cellule s G r ^ n , n G N , mimi e de s morphisme s simpliciau x L* : Gr^ 71 — • G r ^ p associe s au x application s i\ { 0 , . . . , p } — • { 0 , . . . , n } constitu e un schem a simplicia l qu i s'identifi e a u classifian t ( G L ™ + 1 / G L r ) n > o d u group e G L r . 1.6. L i e n a v e c le s e s p a c e s d e c o n f i g u r a t i o n s q u a n d le s E a s o n t d e r a n g 1 On consider e d'abor d l e ca s genera l d'u n espac e gradu e E = E 0 © E1 0 • • • 0 E

n

ou le s E a, 0 < a < n , son t d e rang s arbitraire s > 1 . LEMME 1 .1 0 . Si S est un pave entier c'est-a-dire un convexe entier de dimension maximale n dans S r,n, Vaction de G J ^ + 1 / G m sur la cellule de Schubert mince Gr^' n est libre. +1

DEMONSTRATION. Soi t (A 0, Ai,..., An) u n point d e G^ qu i fixe u n point F de Gr^' n . I I s'agi t d e prouve r qu e A o = A i = • • • = A n . Le poin t F peu t etr e represent s pa r u n uple t d e coordonnee s no n nulle s dan s les A 1 Em^ i G 5, qu i es t bie n determin e a multiplicatio n pre s pa r u n scalaire . Done i l exist e u n scalair e A tel qu e pou r tou t poin t i = (io , • • • , in) dan s 5 , o n ait A0°A11 . . . A^ n = A . Comme S es t d e dimensio n maximal e n , i l contien t d'apre s l a propositio n 1 .5(iv ) une famill e generatric e d u resea u Z r ' n — {i = (ZQ , . . . , z n ) G Z n + 1 | X^a= o ^ = r i et pou r tou t poin t i = ( i o , . . . , i n) d e Z r,n o n a encor e A

0

A

l"

'

A

n—

A

-

On e n dedui t aussito t qu e pou r t o u t e pair e d'indice s a , a ' , o n a AQ/AQ,/ = I . n

Si don e 5 es t u n pav e entie r d e 5 r , n , o n not e Gvg l e schem a quotien t d e Gr^ ' par Tactio n libr e d u tor e G ^ + 1 / G m . Si S es t u n convex e entie r d e 5 r ' n d e codimensio n p , o n a ave c le s notation s d u lemme 1 . 7 e t d u corollair e 1 . 8 un e partitio n canoniqu e {0,...,ra} = J o I I . - . I I J

p

et un e decompositio n Gr r 9 ' B = G/°> Ej° x . . . x G r f L'action d e G 7^~1 /Grn su r G r § s

J p

.

e factoris e a traver s so n quotien t

G # / G m x G*/G m x • •. x Gix/Gm lequel agi t libremen t puisqu e So ? S i , . . . , S p son t de s pave s entiers . L e quotien t Gr^ 0 ' °

x • • • x Gr 5 P ' v

d e Gr^ ' pa

r cett e actio n libr e es t not e Gr ^ .

Supposons maintenan t qu e EQ, E\ ,..., E n son t tou s d e ran g 1 . Soi t S u n con vexe entie r d e S r,n te l que , pou r t o u t a , 0 < a < n, o n ai t

ra{=r-ds{0M_{a}) =

l.

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1. CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

10

L'espace d e configuration s C p n d u convex e entie r S (o u d u matroid e (df) ) es t l e schema classifian t de s familie s d e n + 1 point s d e P r ~ 1 telle s que , pou r tout e parti e no n vid e I C { 0 , . . . , n}, l e sous-espace projecti f Pj d e P r _ 1 engendr e pa r le s P a, a E I, soi t d e dimensio n

dim(P/)=r-l-df0_n}_/. II es t mun i d'un e actio n d u group e projecti f P G L r . THEOREME 1 .1 1 (Gelfand , MacPherson) . Supposons que EQ, Ei,...,E n sont tous de rang 1 et considerons un convexe entier S de S r,n qui a un espace de configurations non vide Cg' n . Alors Vaction de P G L r sur Cg' n est libre si et seulement si S est de dimension maximale n. Dans ce cas, le quotient C$ de C r ' n par Vaction libre de P G L r s'identifie au quotient Gr

s'

de

G r J par

Vaction libre de G ^

+1

/Gm.

D E M O N S T R A T I O N . Soi t P = ( P 0 , P i , . . ., P n ) u n poin t d e C rs:n. Comm e d% = 0, le s P a , 0 < a < n , engendren t l'espac e projecti f P r _ 1 tou t entier . D'apre s l e lemme 1 .7 , dir e qu e S es t d e dimensio n < n equivau t a dir e qu'o n peu t scinde r l a famille de s P a , 0 < a < n , e n deu x sous-familie s qu i engendren t de s sous-espace s projectifs supplementaire s dan s P r _ 1 . C'es t equivalen t a demande r qu e l e poin t P soit fixe pa r u n sous-group e no n trivia l d e P G L r . Supposons maintenan t qu e S es t d e dimensio n maximal e n c'est-a-dir e es t u n pave entier . Soit F ^ E 0 © • • • © En = E u n poin t d e G r J . On peu t associe r a F le s point s P a , 0 < a < n , d e P ( P V ) qu i son t le s hyperplan s d e F noyau x de s homomorphisme s surjectifs F —> • Ea ; il s n e dependen t qu e d e I'orbit e d e F sou s G ^ + 1 / G m . S i o n choisit un e bas e d e P v , il s definissen t u n poin t d e C j n . E n effet , s i pou r tout e partie no n trivial e / d e { 0 , . . . , n } , Pj design e l e sous-espac e projecti f engendr e pa r les P a , a G /, o n a r- 1

- d i m ( P 7 ) = dim f Kerj^ F - > Ej =

0 £ a j J = df 0 ,...n}-J-

L'oubli d e l a bas e F y revien t a considere r l e poin t imag e dan s Cg . Reciproquement, s i P = (PQ , . . . , P n) es t u n poin t d e C^' n , chaqu e P a peu t etr e vu comm e un e droit e d e A r pou r laquell e o n p e u t choisi r u n isomorphism e ave c E^. O n obtien t u n homomorphism e

£v = © ^ - ^ dont l e dual A r— > E es t u n plongement . Quotiente r pa r G L r revien t a n e considere r que so n imag e F qu i es t u n poin t d e Gr^ ' . E t oublie r le s isomorphisme s P a = E^ revient a quotiente r pa r GJ^ +1 . On a defin i deu x morphisme s

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1.6. LIE N AVE C LE S ESPACE S D E C O N F I G U R A T I O N S

11

qui son t inverse s l'u n d e l'autre . • Si S es t u n convex e entie r d e S r,n qu i a u n espac e d e configuration s C^ n mai s est d e codimensio n p > 1 , ecrivon s le s decomposition s canonique s d u lemm e 1 . 7 e t du corollair e 1 . 8 : {0,...,n} = JoII---IIJp , r = r 0-\ h r

p,

n + 1 = (n 0 + l ) + -- - + (n p + l ) , S = So x • • • x S G^E =

G/s

O,EJo

x

. . .

p,

x G r

£ ^ .

r Alors r o , . • •, r p son t de s entier s > 1 , le s pave s entier s So,... ,S P dan s S °>n°,..., r n n P p S pi p on t de s espace s d e configuration s C ^ ° ' ° , . . . , C 5 ' e t o n peu t note r

°5—

°50X

• • • X 05p

avec don e u n isomorphism e canoniqu e

On a u n morphism e nature l 7^ r ' n 7 qui consist e a associe r a tou t poin t P — y 5(PQx , . . .' , 'P' nx ) °d5e . C p n le s configuration s de s 0 families d e point s (P a)aeJn 0 < 2 ; < p , dan s le s espace s projectif s P j z d e dimension s ri — 1 qu'elle s engendrent . I I fai t d u schem a C$ u n quotien t categoriqu e d e C^ n par P G L r . Dans l e context e de s espace s d e configurations , l a propositio n 1 . 6 s'interpret e de l a manier e suivant e : COROLLAIRE 1 .1 2 . Soient S un pave entier de S r,n qui a un espace de configurations Cg' n et S f un bord de S (e'est-a-dire une face de codimension1 ) defini par une equation "}2 aeIia — df - Notons J= {0,...,n}-J , n

0

= |/ | - 1

r0 = dj, r i = r - r

,n 0

x

= \J\ - 1

,

,

avec done S' = So x S\ ou So, S\ sont deux paves entiers dans S r°'n°, S Alors le morphisme

quotient de

G r ^— > G r^ pa r Vaction de

Tl,ni

.

G ^ + i consiste a associer a toute confi-

guration P — (PQ , • • • •> Pn) dans C 5 ' la paire (P 0 > f i) ^ Cs° 0' ° x ^Si * °^ - P x es/ : / a configuration des P a, a £ J, dans Vespace projectif Pj qu'ils engendrent, - P 0 est la configuration des points images des P a, a G I, dans Vespace projectif quotient de P r _ 1 par Pj. • EXEMPLE. Pou r r = 3 e t n = 6 , consideron s le s configuration s dan s l e pla n projectif P 2 qu i son t d u typ e d e l a figur e 1 . 1 :

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12 .

CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

F I G U R E 1 .1

.

- S i / = { 0 , 1 , 6}, on a r o = 1 , ri = 2 , C 5°o' ° est trivial e t C^ x es t l'espac e de configuration s d e quatr e point s distinct s su r la droit e projectiv e P 1 . L e morphisme C$ —> • C s ' consist e a associe r a l a figure 1 . 1 ci-dessu s l a configuration d e P2, P3, P±, P5 sur la droite qu'il s engendrent . - S i I = {6} , o n a r o = 2 , 7* 1 = 1 , C s^ es t trivia l e t C s^ es t l'espac e de configuration s d e quatr e point s distinct s P^ P 3 = P Q , ^4 = ^ i > ^ 5 s ur P 1 . L e morphisme C s '— > C5 ' consist e a associe r a l a figure ci-dessu s l a configuration de s images P ^ , 0 < a < 5, des Pa su r la droite a l'infin i pa r l a projection d e centre PQ. Enfin, voyon s commen t le s morphisme s simpliciau x d u lemme 1 . 9 s'interpreten t en terme s d'espace s d e configurations . Considerons don e deu x espace s gradue s E = E 0 0 • • • © En ,

E' = E

/ 0®---®E p

par de s sous-espaces E a e t E'* d e rang 1 et i\ { 0 , . . . , p }— » { 0 , . . ., n) un e application tell e qu e Ep — EL^, V/3 . Soit S u n convexe entie r d e Sr,n qu i a un espace d e configurations C^ n. L'imag e reciproque S' d e S pa r *, * : S r,p— * S r,n es t non vid e si et seulement s i pour n'import e quel poin t P = (PQ , . . . , P n ) d e C p n , l a sous-famill e de s PQ , a G Im(^), engendr e P r _ 1 tou t entier . Dans c e cas, l e morphisme C$ — > C5'/ dedui t d e G r J n —> • Gr^'f par passag e aux quotient s consist e a associe r a toute configuratio n P = (PQ , . . . , P n ) l a configu ration de s PQ — Pt(/3), 0 < / ? < p . Quan d £ est injective, cel a signifi e qu'o n gard e p + 1 des 7 1+1 point s d e la configuration e t qu'o n oubli e le s autres. 1.7. A p p l i c a t i o n d u t h e o r e m e d e T h a l e s Considerons le s espaces d e configurations C s'n e n rang r = 3. lis classifien t le s families P = (PQ , . . . , P n) d e n + 1 points P a , 0 < a < n , dan s le pla n projecti f P 2 telle s que - V a , / 3 , P a ^ P/ 3 s i 4 o , . . . , n } - { ^} = 1 et P a = P ^ si ds{0ji}_{af3} = 2, - V a , / 3 , 7 , P a , P/9 et P 7 son t aligne s s i et seulement s i d?0 n

n

} _ { a # T\ > 0.

Les espace s d e configurations C y classifien t don e le s families finies d e point s du pla n projecti f P 2 don t toute s le s relations d'alignemen t e t d e non-alignemen t sont specifiees . On a :

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1.7. A P P L I C A T I O N D U T H E O R E M E D E T H A L E S

13

PROPOSITION 1 .1 3 . Pour tout schema X de type fini sur Z et reduit, il existe un entier n et un pave entier S de S 3:U tel que Vespace de configurations

CT = C^n/PGLr soit isomorphe a

un ouvert non vide U de X.

D E M O N S T R A T I O N . O n peu t suppose r qu e X es t affin e e t integr e e t qu'i l es t defini pa r u n nombr e fini d'equation s d e l a form e P= Q ou le s P , Q son t de s polynome s e n u n nombr e fini d e variable s don t le s coefficient s sont de s entier s positifs . Par consequent , o n peu t represente r X e n choisissan t de s variable s X Q , X I , . . . , X m e t e n posan t de s equation s d e l a form e

- x 0 = i, - X 7 = X a + X ^ pou r u n certai n nombr e d e triplet s (a , /?, 7) dan s { 0 , 1 , . . . , m } , - X 7 = X aXp pou r u n certai n nombre s d'autre s triplet s (a , /? , 7 ). Choisissons un e origin e 0 dan s P 2 , disposon s tou s le s X o = 1 , X i , . . . , X m comme de s point s su r un e droit e projectiv e P 1 plonge e dan s P 2 e t contenan t l'ori gine 0 et prenon s enfi n u n poin t auxiliair e A e n dehor s d e P 1 e t deu x point s a I'infin i sur P 1 e t (OA). L a droit e qu i reli e ce s deu x dernier s es t l a « droite a I'infin i » , figuree en pointille s dan s le s dessin s ci-dessous . II result e d u theorem e d e Thale s qu e le s deu x type s d e relation s Xj = X a -\- XQ e

t X^,

= X

aXg

peuvent etr e representee s pa r de s relation s d'alignemen t dan s P 2 (figure s 1 . 2 e t 1 .3) . Quant a toute s le s autre s relation s d'alignement s o u d e coincidence s d e points , o n demande qu'elle s soien t verifiee s o u pa s suivan t qu'elle s l e son t o u no n a u poin t generique d e X . De prendr e l e quotien t Cg d e notr e espac e d e configuration s C s'n pa r Tactio n libre d e PGL 3 revien t a s e debarrasse r d u choi x d e l'origin e 0 , d e l'ax e P 1 , de s point s bases 1 e t A e t de s deu x point s a I'infin i su r P 1 e t (OA). I I n e rest e plu s qu e le s variables X Q = 1 , X\ 1 ..., X m e t le s equation s qu i le s relient . •

FIGURE 1 .2

.

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14

. CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

F I G U R E1 .3

.

1.8. L e t h e o r e m e d e M n e v On renvoi e a l'expos e [Mnev , 1 988 ] pou r l'enonc e dan s u n context e topolo gique e t un e esquiss e d e demonstratio n d u theorem e d e Mnev , e t a u livr e [Richter Gebert, 1 996 ] o u a Particl e [Giinzel , 1 996 ] pou r de s demonstration s completes . Ici , on present e a nouvea u c e theorem e e t s a demonstratio n dan s l e context e puremen t algebrique d e l a theori e de s schemas . THEOREME 1 .1 4 ([Mnev , 1 988]) . Soit X un schema affine de type fini sur SpecZ. Alors il existe deux entiers N et n et un ouvert U C X x A se projetant 3n

surjectivement sur X tel que U soit isomorphe a un espace de configurations C 5' 2 d'un pave entier S de S 3,n dans le plan projectifF . D E M O N S T R A T I O N . L e schem a X es t defin i pa r u n nombr e fini d'equation s po lynomiales a coefficient s dan s Z e n de s variable s Y\ ,..., Y& . Ajoutons un e variabl e supplemen t aire T (c e qu i revien t a remplace r X pa r X x A 1 ) e t ecrivon s le s equation s e n fonctio n de s variable s X0 = T, X

l

=

Y i+T, . . .

,X

k

= Yk+ T

sous l a form e P= Q ou le s P e t Q son t de s polynome s e n Xo , X\, ..., Xk a coefficient s entier s positifs . Quitte a a j outer a tou s le s P e t Q un e mem e puissanc e XQ = T ave c d asse z grand , on peu t suppose r qu e chaqu e P o u Q compren d u n uniqu e monom e d e degr e tota l maximal > 1 et qu e c e monom e es t affect e d u coefficien t 1 . Representons alor s l'expressio n de s polynome s P , Q e n fonctio n d e X Q , X\, ..., Xk e n introduisan t u n certai n nombr e d e variable s supplemen t aires X f c + i , . . . , X m et e n imposan t u n certai n nombr e d'equation s d e l a form e X7 = X

aXp,

ou Xj — Xa + Xp ,

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1.8. L E T H E O R E M E D E M N E V

15

OU

X^ = X a -\- 1 . Chacune de s variable s X ^ + i , . . . , X m a un e expressio n polynomial e a coefficient s entiers e n fonctio n d e XQ, X\, ..., X^ e t o n peu t suppose r qu e dan s chacun e d e ce s expressions polynomiale s i l y a u n uniqu e monom e d e degr e tota l maxima l > 1 e t que c e monom e es t affect e d u coefficien t 1 . Le s equation s P = Q son t exprimee s pa r le fait qu e certaine s de s variable s X 7 , k < 7 < m , on t deu x expression s polynomiale s en fonctio n d e XQ , X\ ,..., Xk • Maintenant, traduison s tou t cel a e n terme s d e configuration s dan s l e pla n pro jectifP2. On choisi t d'abor d u n poin t « origin e » 0 e t pou r tou t a , 0 < a < m, o n represente X a sou s l a form e d'u n birappor t Xa =

[0 , IQ, , P a, OOQ;] .

Autrement dit , le s o o a son t de s point s deu x a deu x distinct s qu i son t « a I'infin i » c'est-a-dire su r un e mem e droit e 0 0 n e passan t pa s pa r 0 , e t pou r tou t a , l a e t P a sont deu x point s su r l a droit e (0 , ooa ) tel s qu e 0 , l a , P a, o o a soien t deu x a deu x distincts. O n voi t l a variabl e X a comm e l e birappor t de s quatr e point s 0 , l a, P a, 00 a su r l a droit e projectiv e qu'il s engendrent . Pour chaqu e equatio n (e ) d e l a form e X1 = X

aX/3,

ou X1 — Xa + X/3 , ou X1 = X a -f-1 , on introdui t u n poin t « a I'infin i » (c'est-a-dir e su r l a droit e 00 ) supplementair e oo e differen t d e tou s le s autres , plu s deu x point s l e e t P e su r l a droit e (0 , o oe ) ; o n impose l a relatio n d'alignemen t d e l a figur e 1 . 4 plu s l a relatio n d'alignemen t d e l a figure 1 . 5 dan s l e ca s X 1 — X^X^, cell e d e l a figur e 1 . 6 dan s l e ca s X y = X a + Xp et cell e d e l a figur e 1 . 7 dan s l e ca s X 1 — X a + 1 . [Dan s tou s ce s dessins , l'ar c d e cercle e n pointille s represent e l a droit e a 1 'infin i 00. ]

FIGURE 1 .4

.

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16

1. CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

• «>

FIGURE1 .5 .

FIGURE1 .6

.

FIGURE1 .7

.

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17

1.8. L E THEOREM E D E MNE V

II est clai r qu e si les o o a , l a pui s le s oo e , l e son t choisi s le s uns apres le s autre s de fago n generique , i l n' y a pa s d'autre s relation s d'alignemen t qu e celle s qu e nou s avons specifiee s e t don e pa s d'autre s relation s qu e les equations (e) . Nous avon s defin i u n certai n espac e d e configuration s C s,n. L e passag e a so n 3n

quotient Cg pa r Tactio n libr e d e PGL 3 revien t a oublie r l e choi x d e l'origin e 0 , des deu x premier s point s a l'infin i oo o e t oc i definissan t l a droit e o c e t de s deu x points base s l o e t l i su r le s droites (OOOQ ) e t (Oooi) . E n revanche , l e choi x d e tou s les autre s point s 0 0 a e t oo e su r l a droit e 0 0 et l a , l e su r le s droite s (OOOQ,) , (0oo e ) equivaut a l'introductio n d'autan t d e variable s affine s supplementaire s dan s A 1 . 3n

Ainsi l'espac e d e configurations Cg est-i l naturellemen t isomorph e a un ouver t U d'u n produi t I x A ^ . La projectio n U —> • X es t surjectiv e ca r pou r tou t poin t d e X d e coordonnee s Y i , . . . , Yk e t pou r T generique , toute s le s Xo , X i , . . . , X m (reliee s entr e elle s pa r les equation s (e ) e t au x Y\ ,..., Yk pa r XQ = T , X\ = Y\ - f T , . . . , X^ = Yk + T ) verifient Xa ^ 0 , X a ^ 1 , 0 < a < m. Cela result e d e c e qu e le s expression s polynomiale s de s X a, k < a < m, e n fonc tion d e Xo , X i , . . . , X & comprennen t chacun e u n uniqu e raonome d e degr e tota l maximal > 1 et qu e celui-c i es t affect e d u coefficien t 1 . • 3n

II result e d u theorem e d e Mne v qu e les espaces d e configuration s Cg e t don e aussi le s cellule s d e Schuber t mince s Gr^ ' classifian t de s sous-espace s d e dimen sion 3 d'espace s gradue s E — E$ © • • • ® En presenten t de s singularite s arbitraire s lorsqu'on autoris e n a etr e arbitrairemen t grand . I I e n es t a fortiori d e mem e de s C$ e t Gr^ ' pou r n'import e que l r > 3 .

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/02

CHAPITRE 2

Compactifications : Pavages d e convexe s entier s e t recollement de s cellule s d e Schuber t mince s 2.1. L e cham p toriqu e de s pavage s d'u n convex e entie r On consider e u n convex e entie r arbitrair e S c 5 r'n defini pa r u n matroi'd e (df )/c{o,...,n } d e ran g r su r { 0 , 1 , . . . , n } . Dans l'espac e vectorie l ree l d e dimensio n fini e de s fonction s S — * M , soi t C 5 l e cone de s fonction s v : 5 —> • I R telles qu e pou r tout e fonctio n affin e £ : 5 — > R verifian t £ < v, l'ensembl e {i G *S | •£(£) = i>(£) } es t u n convex e entie r s'i l n'es t pa s vide . Appelons pavage s entier s d e S le s familie s finie s d e convexe s entier s S' C 5 d e meme dimensio n s qu e S telle s qu e le s polyedre s convexe s engendre s S^ dan s M r ' n forment u n pavag e d u polyedr e 5 R . S i 5 es t u n te l pavag e entie r d e S , o n not e C§ l e cone convex e de s fonction s v : S — » M telles qu e pou r tou t elemen t 5 ' d e 5 i l exist e une applicatio n affin e £5/ : 5 — > M verifiant ^5 / < v e t 5 ' = { i G 5 | -^s'(i) = w(z)} . Ceux de s pavage s entier s 5 d e 5 pou r lesquel s C§ n'es t pa s vid e seron t appele s les pavage s entier s convexe s d e S. EXEMPLES. 5 7 "'1 = {(io,h) G N2 I 2 o +n = r} es t l'intervall e d e longueu r r, se s convexe s entier s son t se s sous-intervalle s d e borne s entiere s e t se s pavage s entiers convexe s son t se s partition s e n de s sous-intervalle s tel s ceu x d e l a figur e 2.1 . i — . — . — . — . — J — . — 1 — . — . — 1

F I G U R E 2 1.

.

- Dan s l e ca s n = 2 , S r, • I L Pou r tou t pavag e entie r convex e S_ d e S , on a 5 Cf + C | = C f d a n s R . On peu t recopie r dan s l e context e genera l d'u n convex e entie r S C proposition 3 d u paragraph e l a d e Particl e [LafTorgue , 1 999 ] :

5 r'n l a

PROPOSITION 2.1 . (i ) Le cone C s est la reunion disjointe des cones convexes C f quand S_ decrit Vensemble des pavages entiers convexes de S. a

(ii) Pour tout S_, Vadherence C s de Cf dans R 5 est la reunion disjointe des Cg, oil S_ decrit Vensemble des pavages entiers convexes de S plus grossiers que S_. De plus, C s est un cone convexe polyedral rationnel (c'est-a-dire engendre par un nombre fini de ses elements prenant leurs valeurs dans Z ) et les faces de C s sont les C s> indexes par les pavages S_ plus grossiers que S_. (iii) Etant donnes deux pavages entiers convexes S_ et S_' de S, Vensemble des pavages entiers convexes de S plus grossiers a la fois que S_ et S_' admet gC

un plus fin element

g

5 V S_ . L 7 inter section de C s et C s> est egale a C

SySi.

DEMONSTRATION. C'es t l a mem e qu e dan s l e ca s particulie r S — S r,n e t nou s renvoyons a u paragraph e 2 c d e Particl e [LafTorgue , 1 999] . Pour le s partie s (ii ) e t (iii) , l e poin t l e plu s importan t es t que , d'apre s l a pro position 1 .5(v) , u n polyedr e convex e d e dimensio n arbitrair e qu i adme t u n pavag e par de s polyedre s convexe s entier s es t lui-mem e entier . Pour (ii) , o n s e ser t auss i d e c e que , quell e qu e soi t l a dimensio n s d e S, i l exist e dans S un e famill e d e s + 1 point s qu i es t generatric e a u sen s qu'ell e engendr e l e reseau de s point s entier s d u sous-espac e affin e d e W ,n engendr e pa r 5 . Cel a result e de l a propositio n 1 .5(iv ) combine e ave c l e lemm e 1 .7 . • o

D'apres cett e proposition , l a famill e de s cone s convexe s polyedrau x rationnel s

CsjC% constitu e u n even t ail dan s l e quotien t d e I'espac e de s fonction s S — » M pa r le sous-espac e de s fonction s affines . L a theori e general e de s variete s torique s tell e qu'exposee dan s [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §2 ] associ e a ce t eventai l un e variet e torique normal e A s d e tor e A% — G ^ / ( G ^ j 0 o u ( C ^ ) 0 C G ^ design e l e sous tore de s fonction s affine s S — > G m . (O n remarqu e qu e tou t choi x d'un e famill e generatrice d e s + 1 points d e S determin e u n isomorphism e ( G ^ ) 0 ^ G^ 1 .) Les orbite s dan s A s son t de s sous-schema s localemen t ferme s indexe s naturelle ment pa r le s pavage s entier s convexe s S_ d e S ; o n le s not e A§. Chacun e a u n poin t distingue a^ don t l e stabilisateu r ( G ^ ) s dan s G ^ es t l e sous-tor e de s fonction s S— » G m don t l a restrictio n a tou t elemen t S' d u pavag e S_ es t affine . L'adherenc e d'une orbit e Ag es t l a reunio n de s Ag, pou r S_' raffinant S_ e t l a reunio n de s A^, pour S_' plus grossie r qu e S_ es t l e plu s peti t ouver t invarian t contenan t *4f . On peu t dir e auss i qu e le s pavage s entier s convexe s 5 d e S son t le s point s d u « cham p toriqu e » A s jA% quotien t d e l a variet e toriqu e A s pa r so n tor e A%. U n point S_' est dan s I'adherenc e d'u n autr e S_ s i e t seulemen t s i l e pavag e 5 X raffin e l e pavage S_.

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2.1. L E C H A M P T O R I Q U E DE S PAVAGE S D ' U N C O N V E X E E N T I E R 2 1

Quand S = S r'n, qu i es t l e ca s trait e dan s Particl e [Lafforgue , 1 999] , o n not e rn

C ' , C r£n, CS n, *4 r'n, A r£, AT pluto t qu e Cs^\ Cf\ Cf

r,n

, A sr,\ Af\

A%'\

s

La variet e toriqu e A es t affin e s i e t seulemen t s i S adme t u n pavag e entie r convexe plu s fi n qu e tou s le s autres . C'es t l e ca s s i n — 1 (S C S V:1 es t alor s u n intervalle e t adme t pou r plu s fin pavag e celu i constitu e d e tou s le s intervalle s entier s de longueu r 1 qu'i l contient ) o u s i n = 2 (dan s l e triangl e S r'2, S adme t alor s pou r plus fin pavag e celu i constitu e d e tou s le s petit s triangle s entier s equilaterau x d e cote 1 qu'i l contient ) mai s c e n'es t pa s vra i e n general . Montron s : L E M M E 2.2 . Pour tout convexe entier S C S r,n, la projective.

variete torique A

s

est

quasi

D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l e theoreme 1 3 de fSaint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §3], il suffi t d e construir e un e fonctio n /:C s

s

^ R

5

sur l e con e C C R , invariant e pa r l e sous-espac e C% des fonction s affine s S — * R et tell e qu e pou r tou t pavag e entie r convex e 5 d e 5 , i l exist e un e fonctio n lineair e rationnelle y?s:R5/C|->R verifiant cps_ < f su r C s e t

c j = {v € C s | VR + V^ \/v,v

G E n v ( C5 ) , V A G R + , f

GEnv(C

5

).

5

On preten d d'autr e par t qu e pou r tout e v G E n v ( C ) e t tou t poin t i G 5, o n a

m(i) = v(i). s

On l e sai t dej a quan d v G C . Dan s l e ca s general , ecrivon s v sou s l a form e v — v\ + • • • -\-Vk ave c v\ ,..., Vk G Cs. L e poin t i s'ecri t quan t a lu i i = OL\ *ii + • ' *+^ m *i m avec a i , . . . , a m de s coefficient s > 0 d e somm e 1 e t i ll..., z m de s point s d e 5 e n lesquels t' R e t v coinciden t e t qu i verifien t VRH) =

a i • vdj) H

h

am • v(i

m).

Pour 1 < k' < fc, o n a ^fc'(i) < a i • Vfe'(ii) + -- - + a m • v f c /(i m ) d'ou e n faisan t l a somm e v(i) < a i • ^(ix ) + h

am • v(£ m ) < v

R(i)

et finalement v(z ) = v^(i) comm e voulu .

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22 2

. COMPACTIFICATION S g

Enfin, o n remarqu e qu e l a restrictio n a chacu n de s cone s convexe s C s d e Tap plication v \—> VR est lineaire . Pour tou t choi x d'u n pavag e entie r convex e 5 ' d e 5 , d'u n elemen t S f d e 5 ' e t d'une famill e e d e s + 1 element s d e 5 " qu i n e son t pa s lie s dan s M r , n , associon s d'abord a tout e v G Env(C^) l'uniqu e fonctio n affin e ^ , s , e : S R—>• R qu i coincid e avec t ; o u v^ e n le s point s d e e. Soi t alor s / 5 ' , 5 ' > c : Env(C

s

)-*R

5

la fonctionnell e qu i associ e a v G Env(C ) l'integral e su r l'envelopp e convex e d e e de l a differenc e tg, s , e — v^. Cett e fonctionnell e verifi e le s propriete s suivante s : - Ell e es t invariant e pa r l e sous-espac e C%. - Pou r tout e v G Env(C 5 ) C M 5 qu i es t a valeur s rationnelles ,

- Pou r toute s v, v' G Env(C 5 ) e t A G M+ , o n a / s ' , 5 ' , e ( A - v ) = Xfs',S',e(v), V') < fs>,S>Av) +

fs>,S>Av +

/s'.S',^' )

(puisque ( v + i / ) R > v R + ^ e t ^ 5 \ e = ^|,s', e + ^l',S',e) > convexe su r E n v ( C 5 ) . - Pou r tou t i ; G E n v ( Cs ) , o n a

et don c

/s',S', e es t

/s',S'»>0 et i l y a egalit e s i e t seulemen t s i l a restrictio n d e v^ a l'envelopp e convex e de e es t affine . g

- L a restrictio n d e fs',S',e & chacu n de s cone s convexe s C s es t lineaire . Formons alor s l a somm e d e toute s ce s fonctionnelle s pou r deflni r / = Y. fs'>s f>*: E n v ( C 5 ) - ^ ] R . S/,S',e

C'est un e fonctionnell e invariant e pa r C%. Montron s qu'ell e repon d a l a questio n posee. Si S_ est u n pavag e entie r convex e d e 5 , o n peu t choisi r pou r tou t triple t S_\ S' , e ave c S_ f ^ S_ un e form e lineair e rationnell e g

telle qu e H Ei = F s»/Fs» f FS" nEj =

l Ej dans

F s>/Fs> H Ei dans

Ei = E/Ej, Ej = E/Ej. •

2.3. M i s e e n famille . P r o j e c t i v i t e On consider e toujour s u n convex e entie r S C 5 r ' n . Le tor e G ^ / G m agi t composant e pa r composant e su r l e schem a ambian t

\ies

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24

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

mais i l n e stabilis e pa s le s sous-schema s ferme s Gr ^ associe s au x pavage s entier s convexes 5 d e S. D ' a u t r e part , i l agi t su r l a variet e toriqu e A s vi a so n quotien t G ^ / ( G ^ ) 0 = s A On peu t compose r cett e deuxiem e actio n ave c Phomomorphism e A h-» A - 1 d e passage a l'invers e pui s considere r Tactio n induit e d e G ^ / G m su r l e produi t

AsxGm\Y[(A^E.-{Q}). Montrons : THEOREME 2.4 . (i

) Dans le schema produit

/ x G m \ J](A^.-{0}) , \ies il existe un sous-schema ferme Q S,E tel que : - ft s,E est stabilise par la double action de Aut(i?o ) x • • • x Aut(E et du tore G ^ / G m et done il est muni d'un morphisme equivariant QS'E -

A

s

n)

;

- pour tout pavage entier convexe S_ de S, la fibre de ft ' E au-dessus du point distingue as_ de Vorbite A% de A s n'est autre que Gr ^ . (ii) Le quotient Q, ' de projectif.

£l S:E par Vaction libre du tore G ^ / G m est un schema

R E M A R Q U E . A priori, le s proprietes d e (i ) n e caracterisen t pa s completemen t l e schema Q SjE mai s seulemen t se s fibres au-dessu s de s point s d e A s. A u chapitr e 4 , o n donnera un e caracterisatio n modulair e global e qu i defini t san s ambiguit e l e schem a QS'E te l qu e construi t dan s l a preuv e ci-dessous . DEMONSTRATION.

Ell e es t base e su r le s fait s suivant s :

- d'apre s l a propositio n 1 .1 , le s cellule s d e Schuber t mince s Gr ^ definissen t une stratificatio n d e l a grassmannienn e Gr r ' ; - celle-c i es t muni e d'un e actio n d e Aut(Eo) x • • • x Aut(2£ n ) e t e n particulie r de GJ^ 1 "1 qu i respect e se s s t r a t e s ; - e'es t u n schem a projectif . (i) Consideron s u n pavag e entie r convex e 5 d e S. L a reunio n A' de s orbite s Ag, d e A s indexee s pa r le s pavage s entier s convexe s S_ f de S plu s grossier s qu e S_ constitue un e sous-variet e toriqu e ouvert e affin e d e A s. Au-dessus d e ce t ouver t affine , nou s allon s defini r l e sous-schema ferm e invarian t QS,E ^

A

sx

G

\

Y[(A±E. -

{0} )

\i£S

par un e famill e d'equations , quitt e a verifie r ensuit e qu e le s sous-schema s ferme s au-dessus de s different s ouvert s s e recollent . Soit {P} un e famill e d e polynome s homogene s partou t dermi s su r r L e S r ' n ArE* — A r E e t qu i definissen t l a grassmannienn e Gr r ' comm

e sous-schem a ferm e d e

7

^ m V r i i e S ^ A-~ Em) — {0}. O n consider e le s restrictions d e ce s polynomes a u produi t partiel Yii^s ^~E

m,

le s autre s paquet s d e coordonnee s etan t fixes egau x a 0 . Comm e

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25

2.3. MIS E E N FAMILLE . P R O J E C T I V I T E

la grassmannienn e Gr r ' es t stabilise e pa r Tactio n d e GJ^ +1 , o n peu t suppose r qu e l e tore (G^ l)0 de s fonction s affine s 5 — » G m agi t su r chacu n de s polynome s P G {P} par u n caracter e \P'- ( 6 ^ ) 0 —> G m . Pour tou t elemen t S' d u pavag e 5 , choisisson s dan s S f un e famill e es> de s + 1 points qu i es t generatric e (c'est-a-dir e engendr e l e resea u de s point s entier s dan s l e sous-espace affin e d e R r ' n engendr e pa r S' o u S). L'homomorphism e

de restrictio n au x point s d e es f indui t u n isomorphism e ( G m ) 0 — * & Sm

et defini t u n scindag e aes,:Gsm^(Gsm)0, b

es,:

G sJ(Gsm)0 -+

G

s m

de l a suit e exact e 1^ (G£)

0

- G *- G

s S m/(G J0

-

>1 .

f

Pour tou t polynom e P G { P } e t tou t elemen t S d u pavag e 5 , l e polynom e P s'etend e n u n polynom e P es, su r l e produi t

As0x]jA^E. ies par l a formul e

pour\€A 0=Gi/(G%l)0.

Pes,{\(xi))=P(besl(\)-(xi))

s

Sous Tactio n d u tor e G ^ , l e polynom e P e£?/ es t transforme d pa r l e caracter e XP°0 G^ corresponden t alors a regarde r le s valeur s de s fonction s convexe s choisie s e n le s different s point s de *S ; ces valeur s son t automatiquemen t positive s e t e'es t c e qu'o n voulait . On peu t maintenan t defini r l e schem a Q S,E au-dessu s d e chaqu e ouver t affin e 1 A d e A s associ e a u n pavag e entie r convex e S_ comm e l e sous-schem a ferm e d e

A'xGm\ ]J{A

i

Em-{0})

\ies ou s'annulen t tou s le s polynome s P e ,. Cel a n e depen d pa s d u choi x d e l a famill e { P } n i de s familie s generatrice s es 1 (s i o n remplac e celles-c i pa r d'autres , le s po lynomes P es, s e trouven t multiplie s pa r de s caractere s d e A% qu i son t bie n defini s et inversible s su r tou t Touver t consider e d e A s). D e cec i result e qu e ce s different s

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

sous-schemas ferme s son t invariant s pa r Aut(E"o ) x • • • x Aut(E n) e n plu s d e G ^ / G m et qu'il s s e recollen t pou r defini r fl s,E au-dessu s d e A s tou t entier . E n l e poin t distingu e as_ de l'orbit e Ag indexe e pa r u n pavag e 5 , e t pou r tou t element 5 " d e 5 , le s composante s d e b es, : A% — G ^ / ( G ^ )0— » G ^ don t l'indic e i appartient a S' prennen t l a valeu r 1 et le s autre s l a valeu r 0 (puisqu e tout e fonctio n convexe 5 — > R qu i es t dan s l e con e C§ e t qu i s'annul e e n le s point s d e l a famill e generatrice es r vau t 0 su r tou t S' e t pren d de s valeur s strictemen t positive s e n dehors d e S'). Comm e l a famill e de s polynome s P defini t l a grassmannienn e G r r ' dans ( ^m\(Y[ieSr'ri A 1 - ^ ) — {0} , on voi t qu e l a fibr e d e fl S'E au-dessu s d e as_ n'es t autre qu e G r J . (ii) I I suffi t d e prouve r qu e l e morphism e

ils>E^Gm\]l(AiE.-{0}) \ies est projecti f e t pou r cel a qu'i l verifi e l e criter e valuati f d e propret e puisqu e d'apre s le lemm e 2. 2 l a variet e toriqu e A s es t quas i projective . Pour S_ u n pavag e entie r convex e d e 5 , soi t (xij^s u n poin t d e Ylies^'E* ~ {0}) a valeur s dan s u n corp s K mun i d'un e valuatio n discret e VK e t qu i represent e un poin t x d u schem a G r J . Soi t v: S — » Z l'applicatio n qu i a tou t indic e i G S associe l e minimu m de s valuation s de s coordonnee s d e x\. D'apres l a definitio n d e l'eventai l C s qu i defini t l a variet e toriqu e A s, i l s'agi t de montre r qu e pou r tout e applicatio n affin e £\ S f — > R defini e su r u n elemen t S f du pavag e S_ et verifian t £ < v , l'ensembl e {i G S f \ £(i) — v(i)} es t u n convex e entier de s lor s qu'i l n'es t pa s vide . Comme v pren d se s valeur s dan s Z , o n peu t suppose r qu e £ pren d le s sienne s dans Q e t mem e dan s Z , quitt e a remplace r l e corp s K pa r un e extensio n finie suffisamment ramifiee . Dan s ce s conditions , i l exist e u n elemen t A G ( G ^ ) 0 (K) dont l'imag e (Xijies dan s (K x)s verifi e ^(i) = ^ ( A i ) , VieS

f

.

Alors l e uple t (X~ 1 XjL)ies/ defini t u n poin t d u schem a r i i G S ' C ^ 1 ^ " " {0}) ^ valeur s dans l'annea u d e valuatio n A d e K e t i l represent e l'uniqu e poin t d e Gr r ' (A) qu i prolonge l e poin t imag e sous-ensembl e de s i G S' o u l a specialisation d e A ~ x^ n'es t pa s null e est , d'apre s l a propositio n 1 .1 , u n convex e entier d e S' e t c'es t c e qu'o n voulait . • Pour tou t pavag e entie r convex e 5 d e 5 , o n peu t note r fig l localement ferm e d e fl de fl^

,£/

S:E

s

e sous-schem a

imag e reciproqu e d e l'orbit e Ag d e A e t fig l

pa r Tactio n libr e d u tor e G ^ / G

m

e quotien t

. Ayan t design e pa r ( G ^ ) s l e sous-tor e

de G ^ stabilisateu r d u poin t distingu e ag_, on a auss i

nlE = Gr

r E s £ /((G m)s/Gm).

a zp o

Les fig constituen

pp

t un e stratificatio n d u schem a projecti f fl ' . Pour tou t pavag e o tp o

entier convex e 5 , l a reunio n de s fl s) pou contient fig comm

fp

r 5 ' raffinan t S_ es t u n ferm e d e fl ' qu i

e ouvert . E n particulier , Gr 5 ' =

fi

0'

=

Gr J / ( ( G ^ ) 0 / G

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m)

27

2.3. MIS E E N FAMILLE . P R O J E C T I V I T E

est ouver t dan s ft ' qu i don e e n es t un e compactificatio n projectiv e (ave c cepen dant l e bemo l qu'e n genera l o n e n sai t pa s s i l'ouver t Gr 5 ' es t dens e dan s fi ' ) . De fago n plu s synthetiqu e e t plu s forte , o n peu t dir e qu e l e schem a projec t if 0 ' es t mun i d'u n morphism e

Tf'E^AsIA% sur l e cham p toriqu e A s j A% quotien t d e l a variet e toriqu e A s pa r so n tor e A%. Ses strate s Q s' son

t le s image s reciproque s de s point s loealemen t ferme s A^/A%

de A sIA% e t e n particulie r l a strat e ouvert e £2 0' = Gr ^ es t l'imag e reciproqu e du poin t ouver t dens e A%jA%. I I es t egalemen t mun i d'un e actio n compatibl e d u groupe PGL(£0) x PGL(£i ) x • • • x PGL(£ n). Quand tou s le s E a, 0 < a < n , son t de s copie s d e A r ave c don e E = ( A r ) n + 1 e t S — 5 , r ' n , o n not e ^ r ' n , ^ ^ ' n , Vt ,

£75' comm e dan s l'articl e [Lafforgue , 1 999 ] pluto t

que

fiS'-",B) nf n'E, W ' '*, Tig ' ** . Dan s c e cas , Q ' constitu e un e compactifi cation equivariant e sou s l e group e PGLJ? + d e 0 ^ = G r 0 = PGLJ? + / P G L r ; ell e est muni e d'u n morphism e d e structur e Enfin, o n rappell e qu e lorsqu e tou s le s E a son t d e ran g 1

e t l e convex e entie r

r,E

S es t d e dimensio n maximal e s = n , Gr 5 ' s'identifi e d'apre s l e theorem e 1 .1 1 d e GeFfand e t MacPherso n a l'espac e d e configuration s

CT = C rsn/PGLr. Le schem a ft ' fourni t un e compactificatio n projectiv e d e ce t espac e ; il n e depen d pas d e l'espac e E somm e d e n + 1 facteur s d e ran g 1 e t o n l e noter a simplemen t g

Q . I I es t mun i d'u n morphism e nature l

ns -

A

S

/A%

sur l e cham p toriqu e de s pavage s entier s convexe s d e S. EXEMPLE. L e premie r espac e d e configuration s Cg no n trivia l es t celu i qu i classifie le s configuration s d e 4 point s distinct s su r l a droit e projectiv e P 1 . Dans c e cas , o n a n = 4 - 1 = 3 puisqu'o n consider e 4 point s e t r = l + l = 2 puisqu'on es t su r l a droit e projectiv e P 1 . L e convex e entie r correspondan t S es t u n pave d u simplex e S 2^ = {(20^1 ,22,23 ) € N 2 | i$ + i\ + %2 + 2 3 = 2 } (figur e 2.3) . I I est defin i dan s 6' 2 , 3 pa r le s inegalite s 20 , 21 , 22, 23 < 1 . Autremen t dit , i l s'obtien t e n enlevant a u tetraedr e S 2,3 d e cot e 2 le s 4 petit s tetraedre s d e cot e 1 qui s e trouven t aux 4 coin s (figur e 2.4) . II compt e exactemen t troi s pavage s entier s convexe s no n triviau x qu i consisten t a l e coupe r e n deu x suivan t le s troi s plan s abed, bdef o u acef. E n plu s d u tor e A% = G ^ / G ^ , l a variet e toriqu e associe e A s compt e don e troi s orbites , toute s d e codimension 1 , e t ell e es t lisse . On sai t qu e l e birappor t defini t u n isomorphism e d c notr e espac e d e configu 23 s

rations C$ su r P 1 — { 0 , 1 , oc}. Le s troi s strate s d e bor d Vt s d e l a compactificatio n §2

3.

Q d e Cg associee

s au x troi s pavage s no n triviau x 5 d e S consisten t chacun e e n

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

28

F I G U R E 2.3

.

F I G U R E 2.4

.

un point . C e son t le s troi s point s 0 , 1 , o c qu'i l fau t ajoute r a P 1 — {0 , l , o c} pou r obtenir s a compactificatio n P 1 . O n voi t qu e dan s c e ca s particulie r l e morphism e o

tt— > A s /A% es t lisse . Les demonstration s seron t donnee s a u paragraph e 3.7 . 2.4. R e s t r i c t i o n a u x face s Soient S u n convex e entie r dan s 5 r ' n e t S' un e fac e d e S. La trac e dan s S' d e tou t convex e entie r conten u dan s S es t un e fac e d e celui-c i et d'apre s l a propositio n 1 .5(ii ) c'es t encor e u n convex e entier . Pa r consequent , l a restriction a S r de s fonction s v : 5 — > R defini t un e applicatio n lineair e Cs -^C

s>

'.

Pour tou t pavag e entie r convex e 5 d e 5 , s a trac e S ' dan s S' es t u n pavag e entie r convexe e t l e con e C§ es t envoy e dan s C | , . E n particulier , l e sous-espac e C% es t envoye dan s C% et o n a un e applicatio n cs/ct •C»S'/CinS': qui respect e le s structure s d'eventails . On e n dedui t qu e l a restrictio n

^;

G:s'

A*

A s'

induit u n homomorphism e d e tore s

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2.4. R E S T R I C T I O N AU X FACE S

29

qui s e prolong e e n u n morphism e equivarian t d e variete s torique s

AS^AS'. E t a n t donn e u n espac e gradu e E = EQ © • • • © E n, nou s pouvon s maintenan t etendre au x compactification s l e morphism e d e l a propositio n 1 . 6 : PROPOSITION 2.5 . Pour S un convexe entier de S T:n et S' une face de S, Voubli des coordonnees en dehors de S'

Gm\ n ^- - w) -* QA n (A1 s. - {o}) \ies \ies'

{xijies *-*

(xi)ies

f

definit un morphisme nS,E

s

^

Q

S',E

s

au-dessus de A —> A . II respecte les actions de Aut(i^o ) x • • • x Aut(E n) et tores G ^ / G m ? G ^ / G m relies par la restriction G ^— » G ^ .

des

D E M O N S T R A T I O N . O n consider e don e l e morphism e produi t

Ai

AS x cm \ n( \ies \ies'

^ - i°}) -A S' x Qrn\ n (Ai^- -{°})

qui es t evidemmen t equivariant . I I s'agi t d e prouve r qu e l e sous-schem a ferm e Q S,E du schem a d e gauch e s'envoi e dan s l e sous-schema ferm e Q s iE d u schem a d e droite . Si To n s e restrein t au x fibres au-dessu s de s point s d e A s e t A s , cela result e d e la propositio n 1 . 6 combine e ave c l e corollair e 2.3 . Consideron s e n effe t u n pavag e entier convex e S_ de S e t l e pavag e S_ qu'i l indui t dan s S' . L e morphism e

G m \ Y[(AiE. - {0} ) -+ Gm \ J ] (A^E. - {0} ) \ies \ies' envoie bie n l a fibre Gr^ ' d e 0

5,jE

au-dessu s d e as_ dan s l a fibre Gr^ , d e Q

au-dessus d e asf : H consist e a associe r a tou t poin t d e Gr^ ' qu de sous-espace s (Fs 1 ^-> E)s1es_ l a famill e (F' s, c ->- E)s'es f ou

s jE

i es t un e famill e

> pou r tou t elemen t

S[ d e S_' et s i Si es t u n elemen t d e S_ dont l a trac e dan s S' es t S[, F' s, es t l'imag e de Fs x pa r l e morphism e

GrSf -+ Gr-f de l a propositio n 1 .6 . Ceci prouv e dej a qu e £l s,E s'envoi e dan s Q s ,E comm e ensembles . Afi n d e mon trer qu e cel a es t mem e vra i comm e schemas , i l fau t reveni r a l a constructio n precis e de Q S'E e t ft s ,E dan s l a demonstratio n d u theorem e 2.4(i) . O n rappell e qu'o n par t d'une famill e {P} d e polynome s homogene s su r f]^ G 5 r j T1 A 1 ^ . qu i definissen t l a grassmannienne G r r ' e t son t transforme s pa r l e tor e ( G ^ ' ) 0 de s fonction s affine s gr,n _ ^ Q^ suivan t de s caractere s \P-> P £ {P}- O n consider e leur s restriction s P e t P a YiieS ^- l ^ m e ^ TiieS' ^- lE» ( e n fixant le s autre s paquet s d e coordonnee s egau x a 0 ) e t enfi n o n tor d ceux-c i pa r certain s caractere s d e G ^ e t G ^ qu i prolongen t les caractere s d e (G^ n)0 e t ( G ^ ) 0 induit s pa r \P (quan d il s existent ; sino n le s restrictions P o u P son t nulles) . On peu t prendr e pou r famill e {P} le s equation s d e Pliicker . C e son t de s com binaisons lineaire s d e monome s d e l a form e z 7 Zj o u Zj , z ? son t de s coordonnee s

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30

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

sur deu x facteur s A 1 1 £ . , A i2 E 9 don t le s indice s z 1 ? z 2 on t pou r moyenn e | i x + | z un poin t i P G Mr ' n qu i n e depen d qu e d e P.

2

Considerons u n elemen t P G {P} te l qu e P ^ 0 . O n a necessairemen t i P G 5 ^ . Mais alors , s i Zj, Zi es t u n monom e qu i apparai t dan s P ave c don e i^i 2 ^ ^ o n doit avoi r z 1 ? i 2 ^ S " puisqu e |ij _ + \i 2 es t dan s 5 ^ e t qu e S r es t un e fac e d e S. Cela signifi e qu e P es t l'imag e reciproqu e d e P pa r l e morphism e d e restrictio n

On e n dedui t facilemen t c e qu'o n voulait . • Dans l a situatio n d e cett e proposition , o n obtien t e n passan t au x quotient s par le s action s libre s de s tore s G ^ / G m e t G ^ / G m u n morphism e entr e compac tifications projective s ft — > Q qu s'inscrit dan s u n carr e commutati f :

i prolong e l e morphism e Gr ^—-

> Gr^, e t

Y

As/A% *A

S

'/A%

Pour tou t pavag e entie r convex e S_ d e S e t s i 5 ' design e l e pavag e indui t d e S" , o n a u n morphism e indui t entr e strate s aIQ ^

a la'

Considerons maintenan t u n convex e entie r S d e S r,n qu i peu t s'ecrir e comm e une face , e'est-a-dir e es t d e codimensio n p > 1 . Ecrivon s le s decomposition s d u lemme 1 . 7 : p

{ 0 , 1 , . . . , n } = ] j [ J z ave

c |J, | = n * + 1 ,

z=0

r = r 0H +

r

pi

S= 5 0x • • • xS

p,

ou chaqu e S^ , 0 < z < p , es t u n pav e entie r dan s

s ™ = | (i a ) aeJi G N J* X) i « = r4aeJi J

lI

D'apres l e corollair e 1 .8, o n a u n isomorphism e canoniqu e G r

^^

Gr;

o,B

-'° x Gr r , 1 , B j l x • • • x G/*' EJ» .

On veu t savoi r c e qu'i l e n es t a u nivea u de s compactifications . Tou t d'abord , o n a : LEMME 2.6 . Dans la situation ci-dessus, exactement ceux de la forme

les

pavages entiers convexes de S sont

O —: O n X ij_-i X • • • X O

p

avec 5 n , 5 X , . . . , S_ v des pavages entiers convexes de So, S\ ,..., S

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p.

2.4. R E S T R I C T I O N AU X FACE S

On a deux homomorphismes injectifs

canoniques

entre

31

tores vm-)

pms i m isomorphisme equivariant As ^ ^

As0 x

DEMONSTRATION. S

canonique

.. . x

A sp^ x

i v 0, vx,... , i>

p

de

varietes toriques

^|)/(„4| o x .. . x ^s P)_ sont de s fonction s dan s le s cones C

S

\CSK

Sp

. . . ,C d e fonction s convexe s su r So , S i , . . . , S p qu i induisen t de s pavage s entier s convexes S 0 , S 1 ? . . . , S p , l a fonctio n v = Vo + • • • + v p: i = ( z 0 , . . . , i p )— i > • v(i) = ^o(io) + ' ' ' + ^ ( i p ) e s t dan s l e con e C s e t ell e indui t l e pavag e S_ = S. 0 x • • - x S[ p de S = S o x • • • x S p . D e plus , s i o n ajout e de s fonction s constante s a VQ, VI, .. . , v p, la fonctio n v es t elle-mem e modifie e pa r un e fonctio n constante . Reciproquement, consideron s un e fonctio n convex e v G Cs e t S l e pavag e entie r convexe d e S = S o x • • • x S p qu'ell e induit . Remarquons d'abor d qu e d'apre s l e lemm e 1 .7 , tou t convex e entie r S' C S d e meme dimensio n s = n — p qu e S es t d e l a form e *T) — OQ X • • • X 0 „

ou chaqu e S 2', 0 < z < p , es t u n pav e entie r dan s S n ' n * = {(fc a ) a e./i ^ ^ Ji I S a e j z a — ri}- E n effet , S ' indui t l a mem e decompositio n { 0 , . . . , n } = U f = 0 ^ que S puisqu'i l engendr e l e mem e sous-espac e affin e d e E r , n . S i alor s VQ > VI,. .. ,V P sont de s fonction s su r So , S i , . . . , S p telle s qu e v e t vo + V\ + • • • + v p coinciden t su r

^{/Jx-x©, { l i l x S l x ^ x - x ^ } ,

{iol x ••• x {ip-i} x s ; pour u n certai n poin t i ' = (ZQ , . . ., j/ ) d e S' , le s fonction s ^o 5 v\,... ,v p son t affine s sur SQ , S[,..., S' p et vo + VI + • — + v p coincid e ave c v su r t o u t S' . Ayant chois i u n poin t i = (i 0 , ^ , . . ., i ) d e S = S o x • • • x S p , noton s i > i , . . . , v p les restriction s d e v a {z 0 } x S i x {i 2} x • • • x { i p } , . . . , {i 0} x • • • x { i p _ i } x S p puis i> o l a restrictio n de v — (v\ + - • • + v p) a S o x {i-^} x • • • x {i p}. Le s fonction s v e t VQ + v\ + • • • + v p prennen t l a mem e valeu r a u poin t i. E n utilisan t c e qu i precede, o n montr e d e proch e e n proch e qu'elle s coinciden t su r tou s le s element s S' d u pavag e S . Le s fonction s Vo, •.., v p son t dan s C 5 ° , . . . , C 5 p , elle s induisen t de s pavages S 0 , . . . , S_ p de S o , . . . , S p et o n a O — — o^o X • • • X o_ .

Enfin, pou r un e fonctio n arbitrair e v: S — > R, le s familie s d e fonction s t?o,. . . , v p sur S o , . . . , S p verifian t v — VQ + • • • + v p sont , quan d elle s existent , bie n determinee s a additio n pre s d e constantes . En definitive , o n a montr e qu e 1 'applicatio n injectiv e

O o , . ..,v p) H-

> v 0 H \-v

p

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32

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

induit un e bijectio n CSo/R x • • • x C Sp/R ^ C s/R qui respect e le s decomposition s polyedrales . O n a encore C^/Rx---xCS0p/R^C^/R, v P Sl+c^ cSo/c%° x • • • x:SP/CcsS*icl c s/Cls'/c0,

d'ou l a conclusion . • Considerons a nouveau l'espac e gradu e E = EQ 0 • • • © En. Dan s l a situatio n du lemm e 2. 6 o u D — D o X • • • X Op ,

on a pou r tou t poin t i = (i 0 , • • • , ip) d e £ un isomorphism e canoniqu e A^o Ei Q • • • A-p E J.V ^ A

l

E..

Nous pouvon s enonce r : PROPOSITION 2.7 . Dans la situation du lemme 2.6, le produit tensoriel des paquets de coordonnees

G m \ J ] ( Ai ° E »° - {0} ) x • • • x G m \ J J (A^ p E J.* -{0} ) ^ G r o \ J j A * E. - {0}) \i 0 eSo \ i P e s p \ies (K)i 0 6So> • • •. K , ) iP e s J • - (a * = xio • • • ® zi p )i=( io ,...,i p)e s definit un isomorphisme ((ns°'EJo x

• • • x f ^f i J p ) x G * / Gm ) / ( G * > / G m x • • • x G sm*/Gm) ^ "

S,B

au-dessus de ({ASo x

•-. x ,4 s ") x ^ | ) / ( ^ | ° x • • • x .4§ p ) - ^ ^5

qui prolonge Visomorphisme du corollaire 1 . 8 Gr; o , £ j ° x • • • x G r^ ^ OQ Op

Gr

r

/.

O

// respecte Vaction de Aut(£o) x • • • x Aut(.En ) et celle du tore G ^ / G m . DEMONSTRATION.

O n a un morphisme bien defini e t equivarian t a valeurs dan s

le schema produi t / x G m \ ]\(A^E.-{0}). \ies II s'agi t d e prouve r qu'i l s e factoris e a travers l e sous-schem a ferm e Q S,E e t qu'il induit u n isomorphism e su r celui-ci . Verifions-le a u nivea u de s fibres. Soien t don e 5 0 , 5 1 ? . . . , S_ p des pavages entier s convexes d e So , S\ ,..., S p e t 5 = 5 0 x fi^x• • • x S_p le pavag e produi t d e 5 = So x S\ x • • • x Sp. O n a bien u n isomorphism e indui t G/s°'Ej° x

G r^ x

• • • x Gvr;'Ejp -

Gr

entre le s fibres au-dessu s de s points distingue s (as o , a^,..., 0: a associe r a toute famill e d e sous-espace s Fs > ^ E

Jo

r E

l

—V

,F

s.^EJl,

...,

F

S>

5 ) et a^. I I consiste

-* EJp,

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33

2.4. R E S T R I C T I O N AU X FACE S

de rang s r*o , T\,... , r p e t indexe s pa r le s pave s 5 Q G 5 0 , S[ G 5 l 5 . . . , 5 p G £ p , l a famille de s sous-espace s d e ran g r FS/

^ £

- £

Jo

©

E JX

© • •• ©E

Jp

f

indexes pa r le s element s S = O n X Oi X • • • X 5' d u pavag e S_ qu i son t dermi s pa r

L'isomorphisme reciproqu e associ e a tou t poin t (Fs* ^ E)s'es d e G r J le s p + 1 families d e sous-espace s (Fs f. ^- > Ej^s'es.i 0 < z < p , ou > pou r tou t elemen t S^ d u pavage S ^ e t s i 5 ' design e n'import e que l elemen t d e S_ don t l a projectio n su r Si est St, o n a pos e

Fsi = Fs* n i ^ . Cette definitio n n e depen d pa s d u choi x d e S' d'apre s le s condition s d e recollemen t que doi t verifie r l a famill e (Fs f c - > E)s eeS_ dan s l'enonc e d u corollair e 2.3 . Ceci prouv e dej a qu e notr e morphism e defini t un e bijectio n su r 1 'ensembl e sous-jacent a Q S,E. O n laiss e a u lecteu r l e soi n d e verifie r qu'i l defini t mem e u n isomorphisme entr e le s schemas . D e tout e fagon , c e ser a un e consequenc e d e l a ca racterisation modulair e global e de s schema s Q S,E qu'o n donner a a u chapitr e 4 . • Dans l a situatio n d e cett e propositio n o u O — O o X • • • X Op ,

on obtien t e n passan t au x quotient s pa r le s action s libre s d u tor e G ^ / G m u n iso morphisme entr e compactification s projective s ft '

°

x • • • x qu

prolonge l'isomorphism e Gr 5 °' J ° x • • • x Gr^ T J p —> • Gr 5 ' e

i

t s'inscri t dan s u n

carre commutati f :

aSo'Bj° x • • • x n Sp'Bj' — ^ ^ n s'E As°/As0° x

• • • x A S/AS0P — ^ A

s

/As0

Pour tou s pavage s entier s convexe s S_ 0,..., S_ d e So,.. ., S p e t s i S_ = S 0 x • • • x S_ designe l e pavag e produi t dan s S, o n a u n isomorphism e indui t entr e strate s

o|°o'£j° x • • • x u s £ E j > ^ n 3sE. A titr e d'application , o n peu t donne r l e corollair e suivan t d e l a propositio n 2. 5 combinee ave c l a propositio n 2. 7 dan s l e context e de s espace s d e configuration s : COROLLAIRE 2.8 . Soient S un pave entier de 5 r , n qui a un espace de configurations Cg' n et S' un bord de S (c'est-a-dire une face de codimension1 ) qui done est de la forme S' = S 0x S i ou So, S\ sont deux paves entiers dans des simplexes S r°'n°, 5 n + 1 = (n 0 + l ) + (n i + l ) . Alors le morphisme entre espaces de configurations

ri ni

'

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avec r — ro + r i ,

34

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

qui est explicite dans le corollaire 1 .1 entre compactifications ft

2 se prolonge naturellement en

— > ft x

ft qui

US ^ft

As/A% >

s'inscrit dans

So

- A s° /A

s

Sl

xQ

0°

un morphisme

un carre commutatif :

x A s' /Al

1 n

2.5. M o r p h i s m e s s i m p l i c i a u x Comme dan s l e paragraph e 1 .4 , o n consider e un e applicatio n arbitrair e L: { 0 , l , . . . , p } - ^ { 0 , l , . . . , n } et l'applicatio n affin e qu'ell e indui t . Q riP qr,n

V t(/3)=

Q7

a

=°

r,n

Soit 5 u n convex e entie r d e S don t I'imag e reciproqu e S f pa r £ * n'es t pa s vide. Alor s S' es t auss i u n convex e entier . Pour tout e fonctio n v : S — > R qu i es t dan s l e con e C 5 de s fonction s convexes , son imag e t> ' = v o 6* : S "—• > R es t dan s l e con e C s e t l e pavag e entie r associ e a v' es t I'image reciproqu e d e celu i associ e a v. Autremen t dit , l'applicatio n d e compositio n avec £ * Rs - > R 5 ' envoie C s dan s C 5 , Cjf dan s C% et ell e indui t un e applicatio n lineair e

CSIC%-*CS' IC% qui respect e le s structure s d'eventails . Elle correspon d a u n morphism e d e variete s torique s As -

A

s

'

qui es t equivarian t relativemen t a l'homomorphism e A% — • A% indui t pa r G ^— * G*'. Considerons maintenan t deu x espace s gradue s £ = So © # i 0 • • • © £ „ ,

£' = ^©J5i©.-.©^, tels qu e E'Q = E L^^ 0

< / ? < p , e t l a famill e d'homomorphisme s injectif s associe s

pour le s couple s d'indice s i G 5 r ' n , j G S r ' p relie s pa r i — L*(j). L'enonce d u lemm e 1 . 9 s'amplifi e e n :

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35

2.5. M O R P H I S M E S SIMPLICIAU X

PROPOSITION 2.9 . Dans la situation ci-dessus ou Sf — t^1(S), le produit

morphisme

Gm\ n(A1^ - w) -^ G-\ n ( A -^ - w) \ieS \ j e S

"

definit un morphisme au-dessus de A s—> • ^ l5 . J Z est equivariant relativement aux homomorphismes Aut(Eo) x . .. x Aut(S n ) - > A u t ( ^) x ••• x Aut(££) e t C ^ / Gm - > G ^ / G m . DEMONSTRATION. Bie n sur , quand i es t injectiv e l e resulta t es t dej a conn u car alor s L* identifi e S r,p a un e face d e S r'n e t l'enonc e ci-dessu s devien t u n cas particulier d e la proposition 2.5 . Quand i est arbitraire, o n considere l e morphisme produi t

As x

G m \ l[(A lE. -

{0} ) - > A3' x G m \ J ] ( A ^ - {0} )

qui es t evidemment equivarian t e t on doit prouve r qu e le sous-schema ferm e tt s,E du schema de gauche s'envoie dan s le sous-schema ferm e ft s ,E d u schema de droite. On l e verifie a u niveau de s fibres. Si S_ est un pavage entie r convex e d e S e t S_ f le pavag e indui t d e S", on voit qu e Gr^ s'envoi e effectivemen t dan s Gr^' , . Cel a resulte encor e un e fois d u corollaire 2. 3 combine ic i avec le lemme 1.9. On laiss e en exercice la verification d e ce que s'envoi e dan s Q s :E comm e schemas. Ell e est semblable a celle de la proposition 2.5 . • Dans l a situation d e cette proposition , o n obtient ic i encore qu e le morphism e Grg— » Gig/ s e prolonge e n un morphisme entr e compactification s qu i s'inscri t dans u n carre commutati f :

ns'E -ff' As/A% >A

£

'

S

'IA%

Donnons deu x application s d e cette constructio n generale . P r e m i e r e application . Compactificatio n d u classifiant d e PGL r . On suppos e ic i que tous le s Ea e t E' R sont egau x a A r e t qu e S = S r ' n avec done S' = Sr ' p . Alors l'applicatio n i\ {0,.. . ,p } —> { 0 , . . . , n } indui t de s homomorphismes GL?+1->GL£+\ G£+1-G£+\

( G m )ef

— • ( Gm )

0

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

36

et le s morphisme s simpliciau x ^ 0 VjrJL r

J\JYJ T

^

^ 0 •>

—> V j r i j r

/Vjij r,

PGL^+1/PGLr - > PGL^

+1

/PGLr

se prolongen t e n de s morphisme s compatible s entr e eu x e t ave c toute s le s action s

Q u a n d o n fai t varie r n , p e t t, le s familie s (*4 r'n)n>o> ( ^ r ' n ) n > o , ( ^ ' )n> o deviennent de s schema s simpliciaux . Comm e chaqu e ft ' es t u n schem a projec V ft V

71

_i

_1

tif qu i contien t comm e strat e ouvert e tig — G r^ = PGL ™ / P G L r , l e schem a simplicial ( O ' ) n >o peu t etr e consider e comm e un e compactificatio n equivariant e du schem a simplicia l (PGL™ + / P G L r ) n > o classifian t d u group e P G L r . I I es t mun i T n d'un morphism e su r l e cham p toriqu e simplicia l (A r,n /A 0 )n>o. D e u x i e r n e a p p l i c a t i o n . Compactificatio n de s morphisme s d'oubl i partie l e t de repetitio n de s point s d'un e configuration . On suppos e ic i qu e tou s le s facteur s E a e t Eg son t d e ran g 1 , qu e l e convex e entier S C S r,n a u n espac e d e configuration s C^ n e t qu e so n imag e reciproqu e Sf pa r L* : S r'p—- » S r,n n'es t pa s vide . C'es t l a situatio n envisage e a l a fin d u paragraphe 1 .6 . Alors l e morphism e entr e espace s d e configuration s —r,n -^r,p

P = (P„ , • • • , Pn) ~ E =

(Pf, = P,w)

P

p=o

§ g'

se prolong e e n u n morphism e entr e compactification s f 2— » $1 qu i s'inscri t dan s un carr e commutati f :

ns * AsjA% >A

• sf' S

'IA%

Quand i es t injectiv e e t qu e S e t S' son t d e dimension s maximale s n e t p (ce qu i signifi e qu e pou r n'import e quell e configuratio n P_ — (Po > • • • 5 Pn) d e C j n , ni l a famill e de s P QC1 0 < a < n , n i mem e l a sous-famill e de s P aj a G Im(t) , n ' a d m e t t e n t d e partitio n e n sous-ensemble s don t le s sous-espaces engendre s seraien t supplement aires dan s P r _ _ 1 ) 5 c'es t u n ca s particulie r d u corollair e 2.8 . Quand i es t surjective , l e morphism e

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2.6. R E S T R I C T I O N D'U N PAVAG E A UN E D E SE S F A C E T T E S

37

consiste a repete r certain s point s e t c'es t u n isomorphisme . O n laiss e e n exercic e l a verification d e c e qu e le s deu x fleche s AS/AS0^AS /A

0

c

q'

si ->s r sont egalemen t de s isomorphisme s dan s c e cas . 2.6. R e s t r i c t i o n d ' u n p a v a g e a u n e d e se s f a c e t t e s On consider e u n convex e entie r S d e S r,n e t u n pavag e entie r convex e S_ d e S. On not e .4 — l e sous-schem a ferm e invarian t d e l a variet e toriqu e A s qu i es t 1'adherence schematiqu e d e l'orbit e Ag. C'es t un e variet e toriqu e d e tor e A^ — ^m/(^m)s_ e ^ don t le s orbite s A~g, = Ag, son t indexee s pa r le s pavage s entier s convexes 5 ' d e S qu i raffinen t l e pavag e 5 \ L'eventai l qu i l a defini t es t plong e dan s l'espace quotien t R ^ / C ^ d e R 5 pa r l e sous-espac e C~^ des fonction s v : S — » R don t la restrictio n a chaqu e elemen t S' d e S. e s t affine . C'es t l e quotien t C—fC^ pa r C^ du con e C — des fonction s v : S — > R don t l a restrictio n a chaqu e S' G 5 es t convex e c'est-a-dire es t dan s C s . Pour E 1 = EQ 0 • • • © E n u n espac e gradue , o n not e Q- ,E l e sous-schem a ferm e invariant d e Q S,E imag e reciproqu e d e A— par l e morphism e d e structur e tt s— > A s et Q - ' so n quotien t pa r Tactio n libr e d e G ^ / G m . L e schem a fl~ : es t projecti f q j?

q

XT'

et i l contien t Q^ — Q s' = morphisme d e structur e

rp

r

Gig comm

»/ x /

u' '

sur l e cham p toriqu e A—/A^ de

e sous-schem a ouvert . I I es t mun i d'u n «^T. 0

s pavage s entier s convexe s S_ f de S qu i raffinen t 5

et s e decompos e e n strate s localemen t fermee s Q^, — Q s) = Gr^' z qu i son t le s images reciproque s de s point s d e c e champ . Considerons maintenan t un e facett e S' d u pavag e S_ de S c'est-a-dir e u n elemen t de I'ensembl e constitu e de s cellule s d e S_ (qu i on t mem e dimensio n qu e S) e t d e leur s faces. L a restrictio n a 5 ' C 5 de s fonction s v : S — > R defini t un e applicatio n lineair e Rs ^R

s

\

et don e qui respect e le s structure s d'eventaiis . Ell e indui t de s morphisme s compatible s d e tores e t d e variete s torique s A$- _ > A

s

'

A^-+AS'. Le morphism e quotien t A—/A^ — » ^4 5 /*4 § consist e a associe r a tou t raffinemen t S_f de 5 l e pavag e indui t d e l a facett e S' d e S. De fago n analogu e a l a propositio n 2.5 , o n montr e :

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

38

PROPOSITION 2.1 0 . Pour S_ un pavage convexe entier de S C S r'n et facette de S_ comme ci-dessus, Voubli des coordonnees en dehors de S'

S f une

em\ ri( Ai ^ - w)-* G-\ n ( AI ^ - w) f

\ies \ies

definit un morphisme au-dessus de A— — > *4 5 . i Z respecte les actions de Aut(jE?o ) x • • • x Aut(i£ n ) et des tores G ^ / G m ; G ^ / G m relies par la restriction G ^— » G ^ . D II suffi t d'etudie r ce s morphisme s dan s l e ca s o u S' es t un e cellul e d e 5 , l e ca s general s'e n deduisan t pa r compositio n ave c le s morphisme s d e l a propositio n 2.5 . Dans c e ca s o u d i m S " = di m 5, expliciton s l e morphism e Q- ,E— > tt s ,E a u niveau de s fibres . S i U_ est u n pavag e entie r convex e d e S qu i raffin e S , l e pavag e induit C/ 7 d e S' es t u n sous-ensembl e d e U_ e t l e morphism e indui t entr e fibre s au-dessus d e OL\J_ e t cx\y

Grjf - Gr£ f consiste a associe r a tout e famill e d e sous-espace s (Fu °- > E)ueu_ comm e dan s l e corollaire 2. 3 l a sous-famill e (Fu c -> E)uen /' Dans l a situatio n d e l a propositio n ci-dessus , o n obtien t e n passan t au x quo tients pa r le s action s libre s de s tore s G ^ / G m e t G ^ / G m u n morphism e entr e compactifications fi~' — > ft '

qu i prolong e l e morphism e Gr^—

» Gr 5 ',

et s'inscri t dan s u n carr e commutati f :

On peu t note r l a consequenc e suivant e d u theorem e 2. 4 : COROLLAIRE 2.1 1 . Soient S et S' deux convexes entiers de 5 r ' n et F un point de la cellule de Schubert mince GrJ , qui est dans Vadherence schematique de Gr ^ dans Gr r ' (ce qui impose S' C S). Alors il existe un pavage entier convexe S_ de S dont S' soit une facette et tel que le morphisme contienne F

dans son image.

D E M O N S T R A T I O N . P a r hypothese , i l existe u n poin t F^ d e l a cellul e d e Schuber t mince Gr ^ a valeur s dan s l e poin t generiqu e d'u n trai t T e t don t l a specialisatio n Fs dan s G r r ' soi t egal e a F. Le poin t F^ indui t u n poin t F^ d e l'ouver t Gr 5 ' = Q.

I I s e prolong e e n u n poin t d e Q a

£7 0' d e l a variet e projectiv e

valeur s dan s T don t l a specialisatio n

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2.7. CHANGEMEN T DE S ESPACE S AMBIANTS

39

r s es t contenue dan s l a strate G r 5 = iz ^ associe e a un certain pavag e entie r convexe 5 d e 5 . Ce pavag e S_ compte necessairemen t S' parm i se s elements e t il repond a la question posee . D r,E

Ce corollair e impliqu e que , pour qu e Gr5 ', rencontr e 1' adherence d e Gr^' , il faut no n seulemen t qu e S' C S mai s auss i qu e 5 a d m e t t e un pavag e entie r convex e comptan t S' parm i se s facettes . - Quan d S = {i = (i a) G Sr,n \ ia < rgEa,\/a} (e t en particulier quan d tou s les E a son t egau x a Ar et 5 = 5 r ' n ) , l'hypothes e d u corollaire es t automatiquemen t verifiee ca r alor s l a strate G r J es t ouverte e t dense dan s l a grassmannienne Gr r ' . REMARQUES.

2.7. C h a n g e m e n t d e s e s p a c es a m b i a n t s On consider e toujour s u n espace gradu e E = E0 0 • • • 0 E n r n

et u n convexe entie r S d e S ' . Pour tou t indic e a , 0 < a < n, on note r*=r-

d

{0,...,n}-{a}'

Les morphisme s naturel s Gr

r,E

QTra,Ea

(PH£)H(F/FnB

{ 0

_

n }

w

Ea)

se prolongen t e n les morphisme s simpliciau x

n

S,E

ra,Ea

ns'E associes au x n + 1 application s

{0}->{0,l,...,n} 0i— * a

par l a proposition 2.9 . On a done u n morphisme produi t QS,E

>

. Grro,Bo x . . . x

Gr

rn,En

ns'E qui es t equivariant relativemen t a Taction d e Aut(E'o) x • • • x Aut(E n) laquell transitive su r la base. On prouv e facilemen t :

e est

L E M M E 2.1 2 . Dans la situation ci-dessus, la fibre de Q,S,E au-dessus de tout point (E' 0, .^,E fn) de Gr r o , j t , ° x • • • x G r r n , £ ? n 5 'identifie a Q5 ' ^ ' si Ef designe V espace f gradue E' — E 0(&- • -®E' n. Cette identification est compatible avec les projections sur la variete torique A , avec Vaction de G ^ / ( Gm et avec les actions du stabilisateur

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40

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

P0 x • • • x Pn de E' 0,..., E' n dans A u t ( £ 0 ) x • • • x Aut(E n) et de A u t ( ^ o ) x • • • x Aut(E'n) relies par la restriction des automorphismes Po — • A u t ( 2 ? o ) , . . . , P n— * Aut(E'n). 0 II result e d e c e lemm e qu e pou r etudie r tou s le s schema s Gr ^ ,

Gr 5 ' , Q

S,E

,

r

Q ' , i l suffi t d e l e fair e dan s l e ca s o u tou s le s facteur s E a son t egau x a A , ave c done E = ( A r ) n + 1 . Mai s alors , d'apre s c e qu'o n a v u a u p a r a g r a p h s preceden t 2.6 , tous ce s schema s apparaissen t dan s I'etud e de s f T ' n e t Vt ' qu i compactifien t le s PGL?+1/PGLr. 2.8. D u a l i t e Dans c e paragraphe , o n fixe un e famill e d'entier s eo , e i , . . . , e n > 1 d e somm e e = e 0 H he n. Si r es t u n entie r verifian t 0 < r < e et r v design e l a differenc e e—r , l'applicatio n affine i = (^o^i,- - -,*n ) ^ i V = (e o - *o,e i - i i , . . . , e n - z n ) definit un e bijectio n d u convex e entie r S r ' s = {i= ( i

i n ) e 5 r ' n | za < e a , V a }

0,...,

sur S r V ' - = { i = (io , • • •, in) e S r^n | v

v

r

ia < e Q , V « } .

r

On a ( r ) = r e t le s deu x bijection s 5 ' -— * iS '- , S r ' -— > 5 r ' - son t inverse s l'un e de 1 'autre . Cette bijectio n S r'- - ^ S r ' - echang e le s convexe s entier s d e par t e t d'autre . v

Si S es t u n convex e entie r d e 5 r ' - e t S so n imag e dan s S r '- , l a compositio n d e la bijectio n induit e S — > 5V ave c le s fonction s v : 5 V— > M definit u n isomorphism e lineaire

et don e

c s v /cf ^c

s

/cs0

qui respect e le s structure s d'eventails . Ell e indui t de s isomorphisme s compatible s de tore s e t d e variete s torique s ,5V^

AsV ^

AS

A

s

.

Le morphism e quotien t associ e a tou t pavag e entie r convex e d e 5 V so n imag e reci proque pa r l a bijectio n affin e S — > S v. Considerons maintenan t u n espac e gradu e

E dont le s facteur s Eo, ..., E

n

= E0 e • • • e En

son t d e rang s e o , . . . , e n , e t so n dua l

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2.8. D U A L I T E

41

Pour tou t poin t i = ( i o , . . . , z n ) d e 5 r ' - d'imag e z v = (e o — io, • • • , e n — z n ) dan s S '- , o n a de s isomorphisme s canonique s r

AlE. -

^ (A*

v

E.) v ®

u de t E = A e E,

det £ o

et don e A^£. - ^ > ( A ^ ^ ) ( g ) d e t £ . En faisan t l a somm e su r tou s le s point s i d e 5 r ' - , o n obtien t u n isomorphism e

Gm\ J ] (A 1 ^. ~ {0}) ^> Gm\ J ] (A^. v -{0}). v e

\iesr>e. \ j e 5 -

-

II indui t l'isomorphism e entr e grassmannienne s

qui consist e a associe r a tou t sous-espac e d e ran g r d e E F E v

le sous-espac e d e ran g r = e — r d e i £

v

qui es t l'orthogona l d e F F±=Ker[Ev -

» F v].

Pour tou t convex e entie r 5 C S r,~, ce t isomorphism e transform e l a strat e Gr^ ' d G r r ' E e n l a strat e G r ^ ' ^ d e G r r V ' s V . Ici encore , o n prouv e :

e

PROPOSITION 2.1 3 . Dans la situation et avec les notations ci-dessus, si S est un convexe entier dans 5 r ' - et S v son transforme dans S r '- , I'isomorphisme

Gm\ U^-E. - < o »^ GA n ( ALE. - {°» produit des isomorphismes canoniques A 1 £. - ^ ( A ^ £. v ) ® det E, i

G

5,

induit un isomorphisme au-dessus de A s —> • ^ l 5 . I Z respecte les actions de Aut(E'o ) x • • • x Aut(E n) et Aut(E'of) x • • • x A u t ( E ^ ) re/ie s p a r (w 0 , • • • ,u n) »- » ( t ^ 1 , . . . , lu~l) et des tores V Gi/Gm, G^ / G m relies par G * ^ G * v . D Si S_ es t u n pavag e entie r convex e d e S e t 5 l'isomorphisme indui t Vjrro' >

V

l e pavag e correspondan t d e £

v

Cjrrov'

entre fibres au-dessu s d e as_ e t a^ v consist e a associe r a tout e famill e d e sous espaces (Fs* • E)s>es_ comm e dan s l e corollair e 2. 3 l a famill e de s sous-espace s orthogonaux (Fg-, ^- » £ v ) s ' e s .

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,

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/03

CHAPITRE 3

E t u d e d e quelque s familie s simple s d e compactifications 3.1. Le s ca s d e s r a n g s r = 1

etr = 2

r n

Quand l e ran g r es t ega l a 1 , l e simplex e 5 ' = 5 1 ' 7 1 = {(io , • .. , i n ) £ N n + 1 | ^o + * * ' + in — 1 } n e compt e pa s d'autre s point s entier s qu e se s sommet s e t don e il n e contien t pa s d e pav e entie r plu s peti t e t n ' a d m e t pa s d e pavag e entie r no n trivial. O n a Si E = EQ © • • • © E n es t u n espac e gradue , o n a pou r S = S QS,E =

U S0E = G r " ^ - F(E 0) x 1

En particulier , s i E = ( A )

n+1

. . . x F(E

1 ,n

n).

1 71

etS = S ' ,ona

J) ' = tt

0

=

Gr s =

Cg =

{pt} .

A parti r d e maintenant , nou s voulon s etudie r l e ca s o u l e ran g r es t ega l a 2 . Tout d'abord , nou s allon s considere r le s variete s torique s A s associee s au x pave s S du simplex e S 2,n e t montre r e n particulie r qu'elle s son t lisses . O n commenc e pa r : L E M M E 3.1 . Pour n > 1 une multiplicity arbitraire, soit S un convexe entier du simplexe S 2,n qui est de codimension 1 et n'est pas contenu dans une face de 5 2 ' n . Alors S est ^intersection de S 2,n avec Vhyperplan qui le supporte. D E M O N S T R A T I O N . L'hyperpla n qu i support e S es t defin i pa r un e equatio n d e la form e Y2 aei ^ a = ^ > P o u r I u n e parti e no n trivial e d e { 0 , 1 , . . . , n }. Notan t J la parti e complemen t aire d e / e t n o = | / | — 1, ri\ = \J\ — 1 , l'intersectio n d e g2,n _ | ^ o ^ # . # 5 2n ) £ N n + 1 | X^a= o *" = 2 } ave c ce t hyperpla n s'ecri t (ia)aei ^

N

l \ =s

7

ael J

1

>no x ^ '

n i

.

I

Elle es t necessairemen t egal e a S puisqu e S 1 ,n° e t S 1 ,ni n entiers plu s petits . •

e contiennen t pa s d e pave s

On dedui t d e c e lemm e : PROPOSITION 3.2 . Soient S un pave entier dans le simplexe 5 n et de cote 2 et S_ un pavage entier convexe de S.

2,n

de dimension

(i) Associons a S_ le graphe dont les sommets correspondent aux paves de S_ et les aretes aux faces de codimension 1 qui sont communes a deux paves de S_. Alors ce graphe est un arbre connexe. 43 Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

44 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

(ii) Si \S] designe le nombre des paves de S_, le pavage S_ est le raffinement commun de \S] — 1 pavages entiers convexes consistant chacun en exactement deux paves. D E M O N S T R A T I O N . (i ) Comm e S es t convexe , c e graph e es t connexe . C'es t un arbr e car , d'apre s l e lemm e 3.1 , se s arete s corresponden t a de s hyperplan s dan s S2,n e t i l n'es t possibl e d e passe r d'u n cot e a l'autr e d'u n te l hyperpla n qu'e n traversant l'aret e correspondante . (ii) I I s'agit de s pavage s a deu x pave s dermi s pa r le s hyperplan s d e 5 2 ' n associe s aux \S\ — 1 arete s d e l'arbr e d e 5 . D Puis cett e propositio n impliqu e : COROLLAIRE 3.3 . Pour toute multiplicite n > 1 et tout pave entier S de S 2'n, la variete torique A s des pavages entiers convexes de S est lisse. Ses orbites de codimension1 sont celles associees aux pavages constitues de deux paves et plus generalement la codimension d'une orbite A$ associee a un pavage S_ est egale a \S] — 1. Les pavages les plus fins de S sont ceux dont tous les paves sont minimaux au sens qu'on ne peut les subdiviser en paves strictement plus petits. D E M O N S T R A T I O N . Soien t 5 u n pavag e entie r convex e d e S e t v: S — • Z un e 5

fonction qu i es t dan s l e con e C s. S i H\, ... ,Hk (ave c k = \S_\ — 1) designen t le s hyperplans correspondan t au x arete s d e l'arbr e d e 5 , o n peu t alor s ecrir e v = vi H h

Vk

ou pou r tou t i, 1 < i < k, Vi es t un e fonctio n su r S, a valeur s dan s Z , qu i es t dan s le con e C s e t don t l a restrictio n a chaqu e cot e d e l'hyperpla n Hi es t affine . Ceci prouv e qu e l a variet e toriqu e A s es t lisse . Le s autre s assertion s son t im mediates. • Bien sur , s i S es t u n convex e entie r dan s S 2'n d e codimensio n > 1 , l e lemm e 2. 6 s'applique e t l a variet e toriqu e A s es t encor e lisse . Considerons maintenan t u n espac e gradu e E = EQ ® • • • ® En e t venons-e n au x cellules d e Schuber t minces . LEMME 3.4 . Pour tout convexe entier S du simplexe S 2'n tel 2 — d? 0 n

ra=

-i_r a -p 0 < a < n, la cellule de Schubert mince associee Gr^ ' dans

grassmannienne G (i) GT

que rgE a >

2 E S'

est

r ' verifie

la

:

non vide, lisse et geometriquement connexe.

f

(ii) Si S est une face de S, le morphisme Gr ses fibres sont geometriquement connexes.

5 '—

» Gr5 ', est

lisse surjectif et

(iii) Si S 1 est un convexe entier contenu dans S', Gr^ v est contenue dans Vadherence schematique de Gr 5 ' dans la grassmannienne G r ' . (iv) Si S est un pave minimal, Faction est transitive.

de Aut(E'o ) x • • • x Aut(E n) sur

Gr^ '

(v) Si tous les E a sont de rangs > 2 , S est un pave minimal et S' est une face de S de codimension1 qui n'est contenue dans aucune face de S 2,n, le sous-tore s Kev[(Gsm)0 ^ (G m)0\

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3.1. LE S CA S DE S R A N G S r = l E T r = 2 4

5

sur S f agit transitivement sur

des fonctions affines S — > G m qui valent 1 les fibres de Gr 5 ' — • G r^ .

D E M O N S T R A T I O N . L e schem a Gr 5 ' classifi e l a donne e d'u n espac e F d e di mension 2 e t d e n + 1 homomorphisme s lineaire s E 1 ^— > F v , 0 < a < n , tel s que - F

v

es t engendr e pa r le s image s de s E^ — » F v ,

- pou r tou t a , 22 ^ - > F v es t nu l s i df 0 ,...,n}-{a} = 1 e t d e ran g 2 s i df 0 ,...,n}-{a} = 0 , - pou r tou s a,/ 3 tel s qu e d? 0 ni-jo, ) = 1 phismes d e ran g 1 Eya^Fw, E%^F

= d?

2

'

Qn

de ran

S1

sid

{o,...,n}-{a} =

-._ r^-p le s deu x homomor -

W

ont mem e imag e s i e t seulemen t s i d? 0 n | _ r a ^ i = 1 . On e n dedui t aussito t le s assertion s (i ) e t (iii) . Quand S' es t un e fac e d e S defini e pa r un e equatio n i a = 0 , l e morphism e Gr 5 '— > Gr 5 ', consist e a oublie r l'homomorphism e E% — » F v e t a garde r me e moire de s autre s EY — » F v , j3 ^ a. Quan d S " es t defini e pa r Y2 aei ^ a = 1 ^ ue a res sur es 1 v q S a e / ^ — ^ [ P- ^ 1 ] ^ tou s * homomorphisme s E ^— > E , a e I [resp. a ^ J ] son t d e ran g 1 et on t mem e imag e E / v e t l e morphism e Gr 5 '— > Gr^' , consiste a considere r le s homomorphisme s induit s E^ — » E/ v , a E I [resp . a ^ / ] et E^ - • F v / F / V , / 3 ^ I [resp . / ? G / ]. D'ou l'assertio n (ii) . Quand S es t u n pav e minimal , deu x ca s son t possible s : o u bie n Tu n de s ho momorphismes E^ — > Ev es t d e ran g 2 e t tou s le s autre s son t d e ran g 1 e t on t meme image , o u bie n tou s le s homomorphisme s E^ —> F v son t d e ran g 1 e t le s droites image s son t a u nombr e d e 3 exactement . Cel a impliqu e (iv) . Pou r (v) , o n remarque qu e l a fac e S f correspon d a considere r l a droit e imag e [resp . l'un e de s 3 droites images ] E / v dan s F v e t l e morphism e Gr 5 '— » Gr^', associ e a F comm e ci-dessus l a famill e de s homomorphisme s induit s dan s F ,y e t E v / E / V . D 2W

Passant au x recollement s Gr^ ' de 2

s cellule s d e Schuber t minces , o n obtien t :

L E M M E 3.5 . Soient S un pave entier du simplexe S 2,n tel que r g E a > r a = ~ ~ ^fo n } - { a } ' 0 < a < n, et S_ un pavage entier convexe de S. Alors : (i) Le schema Gr^ ' est

lisse et geometriquement connexe

S' de S_, le morphisme de restriction Gr ^— ses fibres sont geometriquement connexes. (ii) Si S_ f est un raffinement de Vadherence schematique de

» Gr^.', est

S_ obtenu en subdivisant un

en deux paves dont Vun est minimal, le PL$ dans

Q,

et

lisse surjectif et unique pave de S_

schema Gr^' , est S,E

pour tout pave

contenu dans

.

D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l e lemm e 2.1 2 , i l suffi t d e traite r l e ca s o u tou s le s Ea son t d e ran g 2 . Partons d e l a cellul e d e Schuber t minc e Gr^' , associe e a u n pav e S f d e S_. Ce pav e correspon d a u n somme t d e I'arbr e connex e associ e a S_. On peu t alor s 2 h1

recoller Tun e apre s I'autr e le s cellules d e Schuber t mince s Gr 5 '„ associee s au x autre s paves S" d e S_ c'est-a-dire au x autre s sommet s d e I'arbr e e n progressan t l e lon g de s branches a parti r d u somme t initial .

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46 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

Alors (i ) result e de s assertion s (i ) e t (ii ) d u lemm e 3. 4 e t (ii ) result e de s asser tions (iii) , (v ) e t (ii ) d e c e lemme . • Nous somme s pare s pou r prouve r : THEOREME 3.6 . Soient E = EQ(&- • -®En un espace gradue et S un pave entier du simplexe S 2'n tel que rgE a > r a = 2 — . Le morphism e PL /S'E— > As su r l a variet e toriqu e normal e A s es t equidimen sionnel e t se s fibres son t lisses . I I es t don e lisse . So n imag e es t u n ouver t invarian de A s qu i contien t toute s le s orbite s fermees , e'es t A s tou t entiere . Cel a impos Q'S,E _ _ QS,E p U i S q U e i e s fibre s d e Q S,E—> > A s son t toute s lisse s d e l a mem dimension e t geometriquemen t connexes . Ainsi l e morphisme Vt S'E— > A s est-i l liss e e t d e mem e Q ' -^

A s jA%.

Comm

t e e e

o fp

d'apres l e corollair e 3. 3 l a variet e toriqu e A s es t lisse , l a compactificatio n f £ ' d e Gig es

t liss e e t so n bor d es t u n diviseu r a croisement s normaux .

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3.1. LE S CA S DE S R A N G S r = 1

ETr = 2 4

7

(ii) I I suffi t d e traite r l e ca s o u l a fac e S' d e S es t d e codimensio n 1 et o u tou s les E a son t d e ran g 2 . Comme (i ) es t dej a connu , o n a seulemen t besoi n d e montre r qu e s i S_ es t u n pavage entie r convex e d e S qu i o u bie n es t trivia l o u bie n n e peu t etr e raffin e e t s i S_f designe l e pavag e indui t d e S' , l e morphism e Gr^ '— > Gr^ , es t lisse . Si S_ es t trivia l o u plu s generalemen t s i S_ es t trivia l (c e qu i es t l e ca s d'apre s le lemm e 3. 1 s i l a fac e S f d e S n'es t contenu e dan s aucun e fac e d e S' 2'77'), l a lissit e de Gig —> Gr 5 ', result e d u lemm e 3.4(ii ) e n recollan t le s pave s d e S_ le s un s apre s les autre s l e lon g d e leu r arbr e e n par t ant d e celu i don t S f es t un e face . Reste l e ca s o u l e pavag e S_ ne peu t etr e raffin e (don e es t constitu e d e pave s minimaux) e t o u l e pavag e indui t S_' est no n trivial . On peu t trouve r un e fac e T' commun e a deu x cellule s d e S[ e t qu i es t d e codimension 1 dans S' (o u dan s l a fac e d e 5 2 , n identifie e a 5 2 , n _ 1 qu i support e 5" ) puis un e fac e T commun e a deu x pave s d e 5 , qu i es t d e codimensio n 1 dan s S o u S 2 ' n e t qu i verifi e T n S' = T . On a u n carr e commutati f

Gr| E ^G4'

£

Gr| B G4'

f

ou, d'apre s l e lemm e 3.4(v) , le s tore s ( G ^ ) ^ e t (G m)s_f de s fonction s S — > G mi. S'— > G m qu i son t affine s su r chaqu e cellul e d e S o u S " agissen t transitivemen t su r les fibre s de s deu x morphisme s horizontau x (lesquel s son t lisse s e t surjectifs) . Comme Tliomomorphism e d e restrictio n

est surjecti f e t qu e l e morphism e

est trivialemen t liss e (o n es t redui t a u ca s r = 1 ) , o n conclu t qu e l e morphism e Gr2/- > Gr

2

/

est liss e e t surjectif . (iii) D'apre s (ii) , o n peu t suppose r qu e S f es t u n pav e d e S_. Ici encore , i l suffi t d e prouve r qu e s i U_ es t u n pavag e entie r convex e d e S qu i raffine * S et C/ ; design e l e pavag e indui t d e S" , l e morphism e

Grf/B - + Gr^ B est iiss e e t surjectif . Cei a result e d u iemm e 3.4(ii ) e n completan t pa s a pa s i'arbr e de H* jusqu'a obteni r celu i d e U_. D On voi t e n particulie r e n prenan t E — ( A 2 ) n + 1 e t S = S 2n 2

n _i

2,n

qu e toute s le s

_i

compactifications equivariante s Q ' de s G r ^ = PGL 2 / P G L 2 son t lisse s e t qu e leurs bord s son t de s diviseur s a croisement s normaux . Comm e o n a di t dan s l'in troduction, l a premier e demonstratio n correct e d e c e resulta t (ave c un e method e —2 n de t n different e pou r le s compactification s Vt ' ) figure dan s l'articl e [Fal de construc constructio tings, 2001 ] .

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48 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

De plus , pou r tout e applicatio n injectiv e i\ { 0 , . . . ,p }— > { 0 , . . . , n } (qu i iden tifie S 2,p a un e fac e d e dimensio n p d u simplex e S 2 ' n ) , l e morphism e simplicia l associe 02'n,

0 2'Pv

|2,n//i2,n

/

est lisse . 3.2. Espace s d e configuration s e n rang s r = 1

e t r = 2 e t leur s d u a u x

Dans tou t c e paragraphe , o n consider e u n espac e gradu e E = J5" o 0 • • • 0 P n tous le s facteur s E a son t de s copie s d e A 1 .

o u

—1 n

Pour r = 1 , i l y a u n uniqu e espac e d e configuration s C 5 ' : c'est l e classifian t des familie s d e n + 1 points (necessairemen t tou s confondus ) dan s P° . I I es t ega l a u schema trivia l redui t a u n point . 2p

Pour r = 2 et S = { ( z 0 , . . . ,i n) G

S 2 ' n | i Q < 1 , V a } , Gr 5 ' s'identifi e a 1 ' espace

2n

C 5 ' qu i classifi e ( a actio n pre s d u group e projecti f PGL2 ) le s configuration s d e n + 1 point s deu x a deu x distinct s su r l a droit e projectiv e P 1 . C'es t l e schem a A^o,n+i classifian t le s courbe s d e genr e 0 ave c n + 1 point s marques . D'apre s l e Q

2

E2

n

theoreme 3.6(i) , l a compactificatio n Q d e Gr^- ' = Cg es t liss e e t so n bor d es t u n diviseur a croisement s normaux . Ell e es t isomorph e a l a compactificatio n A^o,n+ i de A4o,n+ i construit e pa r Grothendiec k e t Knudsen . L'indexatio n de s strate s d e bord pa r le s pavage s d e S figure dej a dan s l'articl e [Kapranov , 1 993] . Le ca s r = 2 , n = 3 , es t l e birappor t

c2/^?1-{0,1,00}, n

5

^ ?1

explicite dan s l'exempl e a l a fin d u paragraph e 2.3 . Voyons maintenan t c e qu e deviennen t ce s espace s d e configuration s e t leur s compactifications pa r le s isomorphisme s d e dualit e r ^ ( n + 1 ) — r d e l a proposi tion 2.1 3 . Quand r — n , l e pav e entie r {(io > • • • >^n ) ^ N n + 1 | i o + • • • + i n = n e t i a < 1, V a} = 5 C S f n , n n e contien t pa s d e pav e entie r plu s petit . L'espac e d e configura tions C g ' n classifi e le s familie s d e r - f 1 points PQ, ... ,P r e n positio n general e dan s P r _ 1 . E t a n t donne e un e tell e famille , i l existe u n uniqu e elemen t pp 0 ,... j p r d u group e projectif P G L r qu i envoi e PC H • • • > Pr su r ( 1 , 1 , . . . , 1 ) , (1 , 0 , . . ., 0 ) , . . . , ( 0 , . . . , 0,1 ) . On retrouv e l e fai t qu e l e quotien t Cg es t trivia l redui t a u n point . Quand n — r + 1 , consideron s u n pav e entie r S C { ( i 0 , . . . , t n ) e N n + 1 | i 0 + -- - + 2 n = r - e t i a < 1 , V a } dont l'intersectio n ave c l a fac e d'equatio n i\ n — 0 soit d e dimensio n maximal e n — 1 = r. L'espac e d e configuration s C^ n classifi e le s familie s d e r + 2 point s P o , . . . , P r , P teiles qu e Po , P i , . . . , P r soien t e n positio n general e e t qu e P verifi e vis-a-vi s d e P o , . . . , P r le s relation s d e dependanc e o u d'independanc e lineair e prescrite s pa r S. D'apres l e theorem e 3.6(i ) combin e ave c l a propositio n 2.1 3 , l a compactificatio n £1 de C§ es t liss e e t so n bor d es t u n diviseu r a croisement s normaux . On a : L E M M E 3.7 . Quand n = r + l et S Q { ( i 0 , . . . ,i n) ^ pave entier comme ci-dessus, la fleche

S r'n I

(P0,---,Pr,P)»9Po,...MP)

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ia < l , V a } est un

3.2. ESPACE S D E C O N F I G U R A T I O N S E N R A N G S r = 1

E T r = 2 E T LEUR S D U A U X 4

definit un isomorphisme de C$ sur un ouvert d'un sous-espace affine // se prolonge en un morphisme partout bien defini

de

P

r_1

9

.

ff -»P r"1 . D E M O N S T R A T I O N . L a premier e assertio n result e d e l a definitio n mem e d e l'es pace d e configuration s C^ n puisqu e C$ es t so n quotien t pa r Tactio n libr e d e PGLr. rn

§

g

Comme Cg es t u n ouver t dens e dan s Vt qu i es t lisse , l e prolongemen t £1 — » P r _ 1 es t uniqu e s'i l existe . So n existenc e n' a besoi n d'etr e verifie e qu e localement . Considerons don e u n pavag e entie r convex e S d e 5 e t restreignons-nou s a I'ou vert invarian t A! d e A s qu i es t l a reunio n de s orbite s associee s au x pavage s plu s a

grossiers qu e 5 e t a l'imag e reciproqu e d e A 1 /A% dan s Q, . La fac e S' d e S defini e pa r l'equatio n i n = 0 est d e dimensio n maximal e n — l = r. Ell e es t egal e a u pav e { ( i o , . . . , z r ) G N r + 1 | io + • • • + i r — r e t i a < 1 , V a} qu i ne contien t pa s d e pav e plu s petit . Don e l e pavag e d e S' indui t pa r S_ es t trivial . II exist e dan s S_ un uniqu e pav e S o qu i adme t S' comm e face . Choisisson s dan s So une famill e es 0 d e n -f - 1 point s qu i es t generatric e (c'est-a-dir e engendr e l e resea u des point s entier s Z r , n dan s R r ' n ) . Ell e defini t u n scindag e a es0 : ^m - * ( G m ) 0 , b eSo : G m / ( G m ) 0— > G m de l a suit e exact e

1 -+ (GSJ0 - G * ^ G sJ(Gsm)0 Pour tou t poin t i G 5, o n not e %So: A%

= G^/(G^) 0 - + G

m

le caracter e d e A% qu i es t l a composant e d'indic e i d e b es . Su r I'ouver t consider e A! d e A s, i l s e prolong e e n u n morphism e equivarian t

qui es t a valeur s dan s G m s i i G SoPour 1 < a < r , o n not e z ^ l e poin t d e S' C S r ' n don t toute s le s coordonnee s valent 1 sauf celle s d'indice s a e t n = r + 1 qu i valen t 0 . E t o n not e j l e poin t d e S r ' n don t toute s le s coordonnee s valen t 1 sau f celle s d'indice s 0 e t a qu i valen t 0 . Comme S o es t u n pav e don t S' es t un e face , Fu n a u moin s de s point s j , 1 < a < r , est dan s SQ. Comme tou s le s E a, 0 < a < n , son t de s copie s d e A 1 , chaqu e A 1 ^ , i G 5 , s'identifie a A 1 e t l a fleche (\,(Xi)ies)

^ S 0 (A ) ' X ia J a = l (ou o n pos e fr| So (A ) • a^ = 0 s i i ^ *S ) defini t u n morphism e

\ze5 qui es t invarian t pa r l e tor e G ^ / G II indui t u n morphism e

m

.

nSxAS/A%A'/As0^Fr-1

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50 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

dont l a restrictio n a l'ouver t dens e Q 0 = donne. D'ou l a conclusion . •

C$ coincid

e ave c celu i qu'o n s'etai t

Donnons auss i l'enonc e dua l d u lemm e 3. 7 ave c cett e foi s r = 2 e t n arbitraire . On consider e don e u n pav e entie r S C { ( z 0 , . . . , i n) G N n + 1 | Z Q + • • • + i n = 2 e t i>a < l , V a } don t l'intersectio n ave c l a fac e d'equatio n i n = 1 soi t d e dimensio n maximale n — 1 . L'espace d e configuration s C s'n classifi e le s familie s d e n- f 1 point s Po, • • • ? Pn-ii Poo d e P 1 telle s qu e Po , • • • ? ^ n -i soien t different s d e P ^ e t verifien t entre eu x le s relation s d'egalit e o u d e differenc e prescrite s pa r S. Comm e S es t un pave , P i , . . . , P n _ i n e peuven t etr e confondu s ave c P o e t o n peu t suppose r pa r exemple qu e S prescri t P i ^ PQ. On not e P — i > [Po, P i, P , Poo] l e birappor t qu i a pou r valeu r 0 s i P = P Q , 1 s i P = P i e t o o s i P = Poo . Voic i Tenonc e dua l d u lemm e 3. 7 : COROLLAIRE 3.8 . Etant donne S C { ( i 0 , . . . , i n ) G £ 2 ' n | i a < 1 , Vft} i m pav e entier comme ci-dessus, la fleche (Po,Pl, •

• • j - ^ n - l j - f o o) , ~> ([^0>-pL5-Paj^oo])a= 2

definit un isomorphisme de Cg sur un ouvert d'un sous-espace affine // se prolonge en un morphisme partout bien defini 5 n 2

de A

n 2

~.

n ^p ~ . •

Considerons maintenan t deu x entier s arbitraire s r e t n e t u n pav e entie r S C { ( z 0 , . . . ,i n) G 5 r ' n | i a < 1 , V a} don t l'intersectio n ave c l a fac e defini e pa r i a = 0 , V a > r , soi t d e dimensio n maximal e r. L'espac e d e configuration s C^ ,n classifi e le s families d e n + 1 points PQ , . . . , P n dan s P r _ 1 verifian t le s relation s d e dependanc e ou d'independanc e lineair e prescrite s pa r S e t tel s e n particulie r qu e P o , . . . , P r soient e n positio n generale . Pour tou t a , r < a < n, noton s S a l a fac e d e S defini e pa r le s equation s ip = 0 pour tou s le s (5 > r ave c (3 / a. On a de s morphisme s induit s Oo —

* U oQ O

UO

G;

— > O oot

qui consisten t a conserve r le s point s P o , . . . , P r e t P a e t a oublie r le s autres . D'apres l a propositio n 2.9 , il s s e prolongen t naturellemen t e n de s morphisme s

au-dessus d e A s / A%— > A s 0 est un entier, I'image

De plus, si I est une partie de proque dans Q du

7)

E T r = 2 E T LEUR S DUAU X 5 1

sous-schema ferme

7

1

reci-

7

(p *- )™- " defini par

de

dim(P/) < d est de la forme ttS X avec A un sous-schema ferme

As/A%

invariant de

A/A

S 0

la variete torique A

s

'.

D E M O N S T R A T I O N . L a premier e assertio n result e d e l a definitio n d e l'espac e d e configurations C j n (dan s l a discussio n qu i preced e l'enonc e d u theorem e 1 .1 1 d e Gel'fand e t MacPherson ) puisqu e Cg es t so n quotien t pa r Tactio n libr e d e P G L r . Pour l a deuxiem e assertion , nou s allon s d'abor d nou s place r au-dessu s d e l'ou vert invarian t affin e A f d e A s reunio n de s orbite s Ag, indexee s pa r le s pavage s plu s grossiers qu'u n pavag e entie r convex e fix e 5 d e 5 . Comme S' — { ( i o , . . . ,z n ) G S r,n \ i a < 1 , \/a e t i a = 0, Ma > r} n e contien t pas d e convex e entie r plu s peti t d e mem e dimension , S' es t un e fac e d e S e t l e pavage d e S' indui t pa r S es t trivial . Dan s S , i l y a u n pav e S o qu i adme t S comm e face. I I es t uniqu e ca r s'i l y e n avai t u n autr e SQ , il existerai t de s decomposition s non triviale s r = s + s ; , { 0 , . . . , n} = J I I J' telle s qu e ( i 0 , . . . , z n ) G S 0 => y^ja

>

(z 0 ,. •. , i n) G S 0 => y]i aeJ'

s, a>s'

d'ou #(Jn{0,...,r})>s+ l , #(J'n{0,...,r})>s'+ l ce qu i es t impossible . Comme dan s l a demonstratio n d u lemm e 3.7 , consideron s alor s un e famill e generatrice es 0 dan s S o e t l e scindag e b

= & sJ(Gsm)0 -

es0 = (^hes: A%

G

s m

qu'elle indui t pou r l a suit e exact e 1 -+ (G * ) 0 - G

s m

- G * / ( G * ) 0 -* 1 .

Pour tou t i G S, l e caracter e 6| S Q s e prolong e e n &|So : , * ' - + A 1 . II rest e a valeur s dan s G m s i i G SQ .

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52 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S S I M P L E S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

Si 1 < Oi < r , o n not e i a l e poin t d e S' don t le s coordonnee s valen t 1 e n le s indices d e { 0 , . . . , r } — {a} e t 0 ailleurs . E t s i 1 < a < r , r + 1 < f3 < n , o n not e i^ l e point d e S r,n don t le s coordonnee s valen t 1 en le s indice s d e {/? } U { 1, . . ., r } — {a} et 0 ailleurs . Alors l a restrictio n d u morphism e

a l'ouver t U

S:E

x

As

A!

d e Q S,E plong e comm e sous-schem a ferm e dan s

/xGm\H(A^.-{0}) \ies s'ecrit

bkAX)-^ (A (Xi)ie5

'

''

"

^ (\)-x- J

*

Oes 0 lAJ

a;

W

la/a=l//3=T.+i

Mais s i o n revien t a l a constructio n d u schem a Sl s>E dan s l a demonstratio n d u theoreme 2.4 , o n voi t qu e l a famill e d e coordonnee s

completee pa r 0 e n le s indice s i G S r,n —

5, defini t u n poin t d e l a grassmannienn e

rE

Gr ' E x^s A'

r

E).

l a conditio n ferme e dim(Pj) < d

est equivalent e a Vi = (i 0 , ...,i n)eS, ^ i

a

> d+ 2 ^ b

L eSo{X)'Xi:

= Q.

a m , et d e relation s d e l a form e

X)=X),+X)„, OU •V-% \ri A A

j~

\ri

3' '

A

J'"

Maintenant, representon s tou t cel a e n terme s d e configuration s dan s l e pla n projectif P 2 . Commengons pa r choisi r un e origin e 0 , deu x point s « a l'infin i » distinct s o c e t 00A e t u n troisiem e point , A, su r l a droit e (Ooo^) . Voyons le s variable s homogene s X\ ,.. . , X m comm e de s point s deu x a deu x distincts su r l a droit e (Ooo ) — {0, 00}. Pour tou t i , 1 < i < m, ce s point s representen t aussi le s variable s X j , 1 < j < m, s i o n decid e d e considere r Xi comm e l'unite .

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54 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

F I G U R E 31.

.

Puis introduison s le s autre s variable s X j , j > m , sou s l a form e d'autre s point s su r la droit e (Ooo) . Pour 1 < i < m , o n introdui t encor e l e poin t A 1 defin i pa r le s relation s d'ali gnement d e l a figure 3.1 . E t o n represent e toute s le s relation s choisie s X =

j

X

j' +X

j"'

ou comme dan s l a demonstratio n d e l a propositio n 1 .1 3 , mai s e n faisan t joue r a u poin t Xi — X\ l e rol e d e l'unit e su r l a droit e (Ooo ) de s variables . Quant a toute s le s autre s relation s d'alignemen t o u d e coincidenc e d e points , on demand e qu'elle s soien t verifiee s o u pa s suivan t qu'elle s l e son t o u no n a u poin t generique d e X. Si n + 1 design e l e nombr e tota l d e point s d e P 2 qu'o n a introduit , o n a defin i un espac e d e configuration s C s'n associ e a u n certai n pav e entie r S d e S 3}Tl. E n associan t a tout e configuratio n comm e ci-dessu s l a famill e de s birapport s

([o,^,x;,oo])-=1, on defini t u n morphism e 3n

qui n e depen d pa s d e i , 1 < i < m. I I es t clai r qu e c'es t u n isomorphism e d e C$ sur u n ouver t no n vid e d e J ^ P m _1 . II rest e a prouve r qu e ce t isomorphism e s e prolong e naturellemen t e n u n mor phisme ftS ^ p m - l g

et qu e pou r tou t polynom e homogen e P G {-P}, l e sous-schem a ferm e d e Q o u P s'annule es t d e l a form e pour u n certai n sous-schem a ferm e invarian t A d e A Notons Cg, l'espac

s

.

e d e configuration s de s point s 0 , o o e t J*Q , 1 < i < m , e n 5'

position general e su r l a droit e projectiv e (Ooo ) e t Q s

a compactification .

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3.3. U N L E M M E D E C H O W P O U R LE S E S P A C E S D E C O N F I G U R A T I O N S

55

D'apres l e corollair e 2.8 , l e morphism e ^S "

^ ^ S'

d'oubli de s point s autre s qu e 0 , o o e t X^ 1 un morphism e

< i < ra, s e prolong e naturellemen t e n

C Q'

au-dessus d e A s / A% - > A s> / A s0. Son compos e ave c l e morphism e mm —1

du corollair e 3. 8 es t u n morphism e n5_ • pm-1 qui prolong e l'immersio n localemen t ferme e

gg

Pour tou t z , 1 < z < ra, consideron s l'ouver t f ^ d e Q constitu e de s point s dont Fimag e dan s P m - 1 a s a coordonne e d'indic e z non nulle . Considerons auss i l'immersio n localemen t ferme e C3sn _ > ( P 2 ) - " 3 qui es t defini e e n envoyan t le s point s A 1 , 0 , oo , oo ^ su r le s point s d e coordonnee s ( 1 , 1 , 1 ) , (1 ,0 , 0), ( 0 , 1 , 0 ) , (0 , 0,1) dan s P 2 . Comm e o n a v u dan s l a discussio n qu i precede l'enonc e d e l a propositio n 3.9 , ell e s e prolong e naturellemen t e n u n mor phisme 7r2:n5->(P2)n-3. Par c e morphisme , l a composant e X{ — X\ es t envoye e su r l e poin t d e P

2

d e

g

coordonnees ( 1 , 1 , 0 ) . L'ouver t Q i s e defini t don e e n demandan t qu e le s image s de s composantes Xj = X 1 - (qu i son t necessairemen t su r l a droit e passan t pa r ( 1 , 0 , 0 ) et (0,1 ,0) ) soien t distincte s d u poin t ( 0 , 1 , 0 ) . D'apre s l a propositio n 3.9 , i l exist e un ouver t invarian t A 1 C A s te l qu e Q i soi t l'imag e reciproqu e d e A 1 /A% pa r l e o

morphisme d e structur e ft —>

A s' /A%. g

Si P es t u n polynom e homogen e d e l a famill e { P } , l'equatio n P — 0 su r ft 5

est equivalent e su r chaqu e ouver t ft { a Pi = 0 o u encor e Qi = Ri. Or , d'apre s l a proposition 3.9 , toute s le s relations d'alignemen t qu'o n a posee s pou r defini r l'espac e de configuration s C§ son l

2 n

t encor e verifiee s pa r le s composante s d u morphism e

3

7T : ft— > ( P ) ~ . Cel a impliqu e qu e su r l'ouver t ft { , l'equation Qi = Ri equivau t a l a coincidenc e d e deu x de s composante s dan s P 2 d u morphism e 7r \ Toujour s d'apres l a propositio n 3.9 , l e ferm e qu'ell e defini t es t d e l a form e

pour A 1 f l A u n sous-schem a ferm e invarian t d e A 1 . On peu t suppose r qu e A 1 H A es t minima l parm i tou s le s sous-schema s ferme s invariants d e A 1 verifian t cett e propriete .

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56 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

Alors le s different s A 1 H A, 1

< i < ra, s e recollen t pou r defini r u n sous-schem a c

s

ferme invarian t A d e A te l qu e 1 'equatio n P = 0 definiss e dan s Q l e sous-schem a ferme imag e reciproqu e d e AjA%. Cela termin e l a demonstration . • La t o u r d e s raffinement s successif s d ' u n e c o n f i g u r a t i o n . O n remarqu e 3n

qu'a parti r d u momen t o u o n a u n espac e d e configuration s Cg e t s a compactifi cation Q, verifian t le s conclusion s d u theorem e 3.1 0 relativemen t a u n schem a X , alors o n e n a un e infinit e qu i s'ordonnen t e n u n system e projecti f au-dessu s d e X. Considerons e n effe t u n entie r n > 3 e t u n pav e entie r S C S 3'n qu i a u n espac e 3n

de configuration s Cg qu i es t u n schem a quas i projecti f integre . Ajoutons a l a configuratio n qu e defini t S u n nombr e fini n f — n de point s d u pla n projectif qu i son t de s intersection s d e paire s d e droite s relian t de s point s dej a traces . Puis imposan t a l'ensembl e constitu e d e ce s nouveau x point s e t de s ancien s toute s les relation s d'alignemen t o u d e non-alignemen t qu i son t verifiee s generiquement . Cela defini t u n typ e d e configuration s e'est-a-dir e u n pav e entie r S' dan s S 3,n . L'oubli de s nouveau x point s defini t u n morphism e Cs,—

>C

s

qui, pa r constructio n meme , es t un e immersio n ouverte . D'apre s l a propositio n 2.9 , il defini t auss i u n morphism e entr e compactification s projective s

rf' - > ns qui prolong e l e preceden t e t s'inscri t dan s u n carr e commutati f :

ns' ^n As'/As0 >A

s

S

/A%

Bien sur , o n peu t reproduir e a parti r d e S' l e mem e typ e d e raffinemen t qu'o n a applique a S, e t cel a un e infinit e d e foi s s i To n v e u t . . . Si C s'n e t £1 verifien t le s conclusion s d u theorem e 3.1 0 relativemen t a u n schema X , i l e n es t d e mem e d e tou s le s nouveau x espace s d e configuration s qu'o n peut construir e pa r l e proced e d e raffinement s successif s ci-dessus . 3.4. C o n s e q u e n c e s d e P a c t i o n d u g r o u p e Aut(J^o ) X • • • X Aut(E Pour E = EQ 0 E\ 0 • • • 0 E n u n espac e gradu e e t r > 1 cellules d e Schuber t mince s G r J e

Tl)

un entie r arbitraire , le s

5

t le s schema s O ' ^ , ft ' son t muni s d'action s

naturelles d u group e Aut(Eo ) x • • • x A u t ( £ ' n ) qu i respecten t le s morphisme s d e s structure fl S'E -+ A s', U S'E - > A /A%. Dans c e paragraphe , nou s allon s tire r quelque s consequence s generale s d e l'exis tence d e ce s actions . Cel a p e r m e t t r a e n particulie r d e montre r qu e dan s l e ca s d e multiplicites n + 1 < 3 le s morphisme s d e structur e Q S>E— > As son t lisses . Cel a g pp

ramenera auss i dan s un e larg e mesur e l'etud e de s compactification s $Y"' ^ a cell e de s espaces d e configuration s C s, . On commenc e pa r de s resultat s preliminaires .

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3.4. C O N S E Q U E N C E S D E L ' A C T I O N D U G R O U P E A u t ( £ 0 ) x • • • x A u t ( J 5 n ) 5

7

Pour S u n convex e entie r d e S r,n defin i pa r l e matroi'd e (dj)jc{o,...,n} > o n note So e t 5 ° se s face s inferieur e e t superieur e c'est-a-dir e le s convexe s entier s de s simplexes Uii,...,i„)eNn

E< « = » • - 4} > = &-*>

|(ii,...,i„)eNn

Eia=4,...,n}[=Sd?1--n

et

d: = l J qui son t defini s pa r ( i i , . . . , i n ) G 5 0 ( d | o } , z i , . . . ,z n ) G 5 , et

(zi,...,in) G 5 ° 4= ^ ( r - d f

, i i , . . . , z n ) G 5.

1 ? n}

On a : LEMME 3.1 1 . Si S est un convexe entier defini par les families (d j )/c{o,...,n} > /es convexes entiers So et S° sont definis par les families

d?°=4)}ui-4>}' ' C { l , . . . , n } df =df , K { l , . . , n }

,

.

D E M O N S T R A T I O N . C'es t un e consequenc e immediat e d u lemm e 1 .4 . • Si F E 1 = Eo 0 • • • © E n es t u n poin t d e l a cellul e d e Schuber t minc e G r J , on not e d e mem e

F0 = F/FnE

1 0^E

®-.-(BEn,

F° = FD £ { i,..., n } - > £ { i,..., n } = S i © • • • © E n. On remarqu e : LEMME 3.1 2 . Pour tout convexe entier S de S r , n , la donnee d'un point F de la cellule de Schubert mince Gr^ ' est equivalente a celle de - un sous-espace F{ 0 } de Eo de dimension d? 0y, - un point de Gr ^ {0} 1'

''"'r* c'est-a-dire un

sous-espace FQ

de E\ © • • • © E

tel que, pour toute partie I C { 1 , . . . , n}, F Q D £7 soit de dimension droiui " ~ a

{op - un homomorphisme u:F0^E0/F{0} tel que, pour toute I C { 1 , . .. , n}, le noyau de la restriction m^onE^Eo/F^y de u a FQ D Ej soit de dimension df. D E M O N S T R A T I O N . Dan s cett e equivalence , o n a F^y = FnE 0, F 0 = F/FHEQ et F C Eo © FQ C EO © E\ © • • • © E n = E es t i'imag e reciproqu e d u grapli e d e u par l a projectio n EQ © FQ — > Eo/F{ 0y © ^o - D Faisons maintenan t agi r l e group e Aut(£'o ) :

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n

58 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

PROPOSITION 3.1 3 . Soient S un pave entier de 5 r , n (c'est-a-dire un convexe entier de dimension maximale n) et F un point ( d valeurs dans un corps) de la cellule de Schubert mince G r J . Alors Vorbite de F sous Vaction de Aut(.Eo ) dans Gr ^c —> Grr ' contient dans son adherence un point F' de Gr r ' dont le convexe entier associe S' est un pave qui verifie 4o}

+

= r

4l,-,n}

-1-

D E M O N S T R A T I O N . Representee s F sou s l a form e (F^ 0y,F0,u: F Q — • E 0/F^) du lemm e 3.1 2 . Comme S es t u n pave , o n a d? 0 , + d? x n | < r — 1. Supposon s d^ L + d ? : ^ < r — 2 ; cela signifi e qu e rhomomorphism e u es t d e ran g > 2 . L'hypothese qu e S es t u n pav e es t equivalent e a dir e qu e pou r toute s partie s I, J ^ 0 ave c J I I J = { 1 , . . . , n } e t F 0 = ( F 0 H £ /) 0 ( F 0 D £7j), o n a i^o 2 (F° n £7/ ) 0 ( F 0 n £ j ) qui s'ecri t encor e (P) u^O

surF

0

n^/.

Faisons agi r su r u l e sous-group e d e Aut(E'o ) qu i preserv e l e sous-espac e F{o} « L'adherence d e l'orbit e d e u es t l e sous-espac e lineair e de s homomorphisme s F$ — > Eo/F{oy don t l e noya u contien t celu i d e u. I I contien t certainemen t u n homomor phisme u' d e ran g 1 qu i continu e a verifie r l a propriet e (P) . Alors l e sous-espac e F' d e E = E$ 0 ' • * 0 E n qu i correspon d a u triple t (-F{0}> Fo,u': FQ —» EQ/F{$}) repon d a l a questio n posee . D On dedui t d e cett e propositio n : COROLLAIRE 3.1 4 . Soient S un convexe entier de S r,n, S_ un pavage entier convexe de S et F un point ( d valeurs dans un corps) du schema associe G r J . On suppose que Vadherence dans ft s,E de Vorbite de F sous la double action de Aut(E'o ) x • • • x A\it(E n) et de G ^ / G m est contenue dans la strate fl s: . Alors tous les hyperplans d'equations r — d?0 n

\-sa\) dans

i

a

— equivariant sous

r a=r—d?0 ,

Vaction de

r E

^°

A u t ( ^ o ) x • • • x Aut(E

n).

(ii) Si S_ est un pavage a tranches de S, les fibres du morphisme equivariant

ft3/ ^f[DrVU' sont isomorphes a

un sous-schema ferme

r E

^ ° du

tore

GsJ(Gsm)s (oil on rappelle que (G^)s _ designe le sous-tore de point distingue as_ de A$).

G ^ stabilisateur du

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60 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S C rp

(iii) Si S_ est un pavage entier convexe de S tel que la strate 0 dans Q , S_ est un pavage a tranches et 0,$ est et equivariant de

5'

soit

fermee

un revetement fini, plat

D E M O N S T R A T I O N . (i ) Pou r tou t elemen t j_ = ( j o , - - - , J n ) d e 5 , l e poin t {j} es t un e facett e d u pavag e S_ c. D'apres l a propositio n 2.1 0 , l a flech e G

m

\ Jli^E. \ies

{0} ) - > G m\(A±E. (xi)ies H-

{0} )

> x 3_

definit u n morphism e equivarian t ^ , E ^

{ l h

E _

Mais d'apre s l a propositio n 2.7 , o n a u n isomorphism e canoniqu e UUhE

^

n

b o } , £ o x . . . x U {jn},En =

_

GiJOtEo x

_x

Grin>En

_

Pour tou t a , 0 < a < n , e t tou t entie r d a G [df a \ 5 r a ] , o n a don e un e famill e d e morphismes equivariant s ^SC,E ^

,Ea

Gvda

indexes pa r le s element s j = ( j o , . . . , j n) G 5 tel s qu e j a = d a. On doi t prouve r le s deu x assertion s suivante s : (1) Ce s morphisme s n e dependen t pa s d e j . (2) Pou r tou t a , 0 < a < n , l e morphism e indui t

se factoris e a traver s l e sous-schem a ferm e D r w

rQ!

J'a .

Pour (1 ) , consideron s n ' i m p o r t e quell e facett e S' d u pavag e S_ c qui es t contenu e dans l'hyperpla n d'equatio n i a = d a. D'apre s l e lemm e 1 .7 , ell e es t d e l a form e S' = {d a} x S" o u S" es t u n convex e entie r d e r d ,n-l

YJifi=r-da\= S

~«

(3=0

D'apres le s proposition s 2.1 0 e t 2.7 , o n a u n morphism e ^

E^

U

S>,E =

^

{da},Ea x

^S",E,E

a=

GidaiEa

x

^,E/E

a

a traver s leque l s e factorisen t tou s le s morphisme s f£~ c'—> • Gr a r a indexe s pa r les point s j G S', e t ceux-c i son t don e egaux . Pour (2) , consideron s u n entie r d a verifian t d ? - , < d a < r a. O n peu t certaine ment relie r le s deu x hyperplan s d'equation s i a — da e t i a = d a + 1 par un e facett e

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3.4. C O N S E Q U E N C E S D E L ' A C T I ON D U G R O U PE Aut(£? 0 ) x • • • x Aut(E n) 6 1

S' d e S_c de dimension 1 . D'apres l e lemme 1 .7 , i l existe u n indice a f ^ a te l que cette facett e soi t d e l a form e

s'=s"x n { j0} 0=o t

avec S" = {(d a,ja,),(da +

lja,1- )}.

Toujours d'apre s le s proposition s 2.1 0 e t 2.7, o n a un morphism e

a traver s leque l s e factorisent le s deux morphisme s f£ - c '— » Gr Q! ''EQ, S7 _ C '—> Gr a + ' a . Mais comm e S" ' es t u n segmen t d e longueu r 1 et n'admet pa s d e pavag e non trivial , o n a

= Dr

[d a ,d t t +i],£; a x

Dr

[j^JQ'-i]^Q'#

Le resulta t s'e n dedui t aussitot . (ii) Comm e Aut(2£o ) x • • • x A u t ( £ ' n ) agi t transitivemen t su r l a base

J ] Dr [d:f a j . r . , ] , ^ a=0

toutes le s fibres d e Qg su commutatif nature l Tf£E =

r celle-c i son t isomorphe s entr e elles . O n a un diagramm e

Grr//((G^)s/Gm)c -

( 1 , soi t A% l e sous-schem a ferm e redui t invarian t de A s reunio n de s orbite s A% associee s a de s pavage s S_ dont tou t raffinemen t no n trivial correspon d a un e orbit e d e A^_ v Nous voulon s montre r pa r recurrenc e su r k > 0 qu e Q S,E Xjs Af. es t liss e d e dimension d su r A% e t conten u dan s Q ,S'E. O n l e sai t dej a pou r k — 0 d'apre s le s hypotheses. Si k > 1 , supposons l e resulta t dej a conn u pou r k — 1. Ains i l e schem a Q S,E x ^ s Al e t so n sous-schem a ferm e £l f^,E x ^ s A^. coincident-il s au-dessu s d e A^._iComme Q ,S>E — • As es t universellemen t ouver t e t qu e Af — Af_^ es t un e reunio n finie d'orbite s ouverte s dan s A%, o n obtien t qu e Q S,E x^s Af. — » A% es t universel lement ouver t pui s qu e so n ouver t d e lissit e contien t Q S:E x ^ s A^_ x. Ce t ouver t d e lissite es t stabl e pa r l a doubl e actio n d e Aut(J^o ) x • • • x A\it(E n) e t d e G ^ / G m s i

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3.5. LISSIT E P O U R LE S M U L T I P L I C I T E S n + 1 < 3

63

bien que , d'apre s l e corollair e 3.1 4 , i l contien t le s strate s Q s' associee s au x orbite s A§ Q A% — A^_1 telle s qu e l e pavag e S_ ne soi t pa s a tranches . E t d'apre s l'hypo these i l contien t auss i le s strate s au-dessu s d e A% — A^_1 qu i son t associee s a de s pavages a tranches . Ainsi, fl s>E x As A% — > Af, es t liss e e t i l en es t d e mem e d e Q ,S'E x As A% — • A%. Cela impliqu e qu e £l fS>E x As A% es t u n sous-schem a a l a foi s ouver t e t ferm e de Q S'E x As A%. L a differenc e es t u n sous-schem a ferm e d e Q S'E qu i s'envoi e dans A% — Af,_ v D'apre s l e corollair e 3.1 4 , le s pavage s associe s a se s point s son t necessairement a tranche s s i bie n qu e l'hypothes e impliqu e qu e cett e differenc e es t vide c'est-a-dir e qu e Vt S'E x As A^ es t conten u dan s Q! S>E. (ii) Pa r hypothese , le s deu x schema s Q- ,E e t Q s ,E x As> A— son t lisse s su r l a variete toriqu e normal e A— . L e lie u d e lissit e d u morphism e ;E XAS ,A S QS ns,E ^ est u n ouver t d e ft- ,E qu i es t stabl e pa r l a doubl e actio n d e Aut(I?o ) x • • • x Aut(E' n ) et d e ( G ^ ) s / G m . D'apre s l'hypothese , i l contien t le s fibre s GrJ ) associee s a tou s les rafflnement s U_ de S_ qui son t a tranches . L e corollair e 3.1 4 impliqu e qu'i l es t egal a fi- ,jE; tou t entier . (iii) s e prouv e comm e (ii) . • 3.5. L i s s i t e p o u r le s m u l t i p l i c i t e s n + 1

< 3

On consider e toujour s dan s c e paragraph e u n espac e gradu e E = EQ © • • • © E n. Nous allon s prouve r qu e lorsqu'o n a n < 2 , tous le s morphismes d e structur e £} S'E— > As son t lisses . On commenc e pa r le s faits suivant s qu i son t propre s au x multiplicite s n - f l < 3 : L E M M E 3.1 7 . Considerons un rang r arbitraire, un entier n < 2 et un convexe entier S dans 5 r ' n = { ( z 0 , . . . , i n) G Nn + 1 \ i0-\ h in = r}. Alors : (i) Le convexe S est defini par des inequations de da < i a
A s est egal a G ^ tout entier. D E M O N S T R A T I O N . (i ) Cel a result e d e c e qu e dan s {0,1 } e t { 0 , 1 , 2}, tout e partie no n trivial e es t d e cardina l 1 o u a u n complementair e d e cardina l 1 . (ii) L a premier e assertio n es t consequenc e immediat e d e (i) . Le s cellule s d u pavage 5 C son t de s simplexe s : de s segment s d e longueu r minimal e 1 s i S es t d e dimension 1 et de s triangle s equilaterau x d e cot e minima l 1 si S es t d e dimensio n 2 . Comme ( G ^ ) ^ es t l e sous-tor e de s fonction s S — • Gm don t l a restrictio n a chaqu e cellule d e S_ c est affine , i l es t ega l a G ^ tou t entier . • On illustr e (i ) dan s l e ca s n = 2 e n disan t qu e dan s l e triangl e equilatera l 5 r ' 2 les convexe s entier s son t le s hexagone s (eventuellemen t degeneres ) don t le s cote s sont parallele s a ceu x d u triangl e (figur e 3.2) .

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64

3. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

F I G U R E 3.2

.

II result e d e (ii ) qu e pou r n < 2 le s variete s torique s A s son t toujour s affines . Elles son t lisse s s i n = 1 (o u n — 0) mai s elle s n e l e son t pa s e n genera l s i n = 2 . Puis passon s au x cellule s d e Schuber t mince s e t a leur s recollement s : LEMME 3.1 8 . Pour n < 2 et r un rang arbitraire, soient S un convexe entier de S r,n et S_ c son pavage par les hyperplans de coordonnees. Si E = EQ 0 • • • 0 E est un espace gradue tel que r — d? 0 n \-{a} ~ r a — rS ^ c o 0 < a Q S',E XAS , ^ S

ses fibres sont geometriquement connexes.

D E M O N S T R A T I O N . (i ) I I suffit d e dir e qu e tt s>E— > A s es t surjecti f ca r i l es t lisse e t so n imag e contien t I'uniqu e orbit e fermee . Se s fibre s son t geometriquemen t connexes ca r elle s l e son t au-dessu s d e l'orbit e associe e a I'uniqu e pavag e a tranches . De mem e pou r (ii ) e t (iii) . • Quand o n pren d E — ( A r ) n + 1 e t S = S r , n , o n obtien t e n particulie r pou r le s schemas O r , x e t f£ r ' 2 (don t o n rappell e qu e le s fibre s au-dessu s de s point s unite s d e A-1 e t A— s'identifien t a G L 2 / G L r e t G L ^ / G L r ) : C O R O L L A I R E 3.20 . (i lisses surjectifs de

) Les morphismes fT' dimensions respectives r

1 2

— > A^ 1 et et 2 r 2 .

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fT' 2— > A r'2 sont

3.5. LISSIT E P O U R LE S M U L T I P L I C I T E S n + 1 < 3

(ii) Pour toute application injective plicial induit

t:

67

{0,1 } — • { 0 , 1 , 2 }; le morphisme sim-

r 2. •

est lisse de dimension relative

Ainsi, l a compactificatio n equivariant e f £ ' d e P G L r / P G L r est-ell e liss e su r l e champ toriqu e A r'1 /' Afg de s pavage s d e l'intervall e S 7*'1 — [0 , r]. Cel a signifi e qu'ell e est liss e e t qu e so n bor d es t u n diviseu r a croisement s normau x qu i compt e r — 1 composantes. Ell e n'es t autr e qu e l e cas particulie r G = P G L r de s compactification s de D e Concin i e t Proces i de s groupe s algebrique s G semi-simple s d e typ e adjoint . —r2

Q

De meme , l a compactificatio n O ' d e P G L r / P G L r es t liss e sur l e c h a mp toriqu e Ar'2/AT0 de s pavage s entier s convexe s d u triangl e S r'2 equilatera l d e cot e r . Mai s il fau t fair e attentio n a c e que , e n dehor s d u ca s r = 2 , c e cham p toriqu e n'es t pa s lisse. A p p l i c a t i o n a l a c o m p a c t i f i c a t i o n d e P i s o g e n i e d e L a n g d e P G L r . Nou s pouvons rappele r l'applicatio n d u preceden t corollair e a Pisogeni e d e Lan g qu i es t faite dan s l e dernie r paragraph e 3 d d e Particl e [Lafforgue , 1 999] . On s e plac e su r u n corp s fini ¥ q. On not e po > Vii V2 l e s troi s morphisme s simpliciau x AC' 2— > A T:1 o u £l r'2— > Q, r'1 qui son t induit s pa r le s troi s identification s (io,^i ) ^ ( 0 , i o , i i ) , (2o,0,ii) , ( i o , H , 0 ) du segmen t S r^ = {(io,ii ) G N2 | io + i\ = r} au x troi s cote s d u triangl e S r ' 2 . Soit alor s A r'T l a variet e toriqu e qu i es t l e noya u d u diagramm e Po

Ar>2 t

A^ 1

Frob opi

dans l a categori e de s variete s torique s normales . L e tor e d e A ££ =

2

T}T

2

es t l e sous-tor e

G r / 6 m d e Af = G%' /(G%' )0 o u: - S r>Tr = {(i^hM) e N 3 | i 0 + ii+i 2 = r,i 0 + 0 } £ ^ 2 , - G ^ ' r es t plong e dan s G^ pa r ( A W l , , 2 ) ^ 0 ^ ( ^ o , u , ^ ) a v e c A o,*i,* 2 = si e tA KUQM ^° o,o,r = 1, - G m es t plong e dan s G^ r '" e t G^ 2 pa r A i-> (A; 0 ; i l ^ 2 = A ' 0 + 9 H ) . La variet e toriqu e ^ 4 r ' r es t l a normalisatio n d e l'adherenc e schematiqu e d e A^ T dans A r>2. Le morphism e equivarian t A r,T— > *4r ' 2 indui t un e injectio n d e l'ensembl e de s orbites d e A r,r dan s l'ensembl e de s orbite s d e A r'2. P a r consequent , le s point s d u champ toriqu e quotien t A r,T/'A^r s'identifien t a u n certai n typ e d e pavage s entier s convexes d u triangl e S r'2 qu'o n peu t appele r g-convexes . L a figure 3. 4 present e quelques exemple s (lesquel s apparaissen t mem e dan s l a resolutio n de s singularite s des compactification s de s champ s d e chtouca s d e Drinfel d d e ran g r ave c struc ture d e nivea u A T sans multiplicite s qu i es t construit e dan s l e paragraph e III.3 c d e [Lafforgue, 2002]) . On a dessin e ic i 6 pavage s entier s g-convexe s qu i induisen t l a mem e partitio n du cot e inferieu r d u triangl e c'est-a-dir e s e projetten t vi a p2 su r l e mem e poin t d e Ar'11'Ar0 = A r~1 /G 7^1 . O n remarqu e d'autr e par t qu e comm e tou s le s pavage s entiers g-convexes , chacu n de s 6 indui t l a mem e partitio n de s cote s gauch e e t droit e du triangl e (qu i corresponden t a p i e t po). Cependant , l'ensembl e de s pavage s entier s g-convexes n'es t pa s symetriqu e (o n n e peu t echange r le s indice s 0 e t 1 dan s l a

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68 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

F I G U R E 3.4

.

relation po = Fro b op x) e t o n voi t qu e le s 6 dessins presenten t un e sort e d'orientatio n commune. On obtien t comm e consequenc e immediat e d u corollair e 3.2 0 : THEOREME 3.21 . Soit Q I 'equation

r,T

le sous-schema ferme

de

fT' 2 x Ar,2 A r'T defini

par

Po = Fro b op ! 1

dans f F ' . II est muni d'actions du groupe algebrique G L r , du groupe fini G L r ( F g ) et du tore G ^ commutant entre elles et d 'un morphisme equivariant

qui est lisse de dimension relative

r

2

.

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3.6. S T R A T E S E T P R O D U I T S F I B R E S D ' E S P A C E S D E C O N F I G U R A T I O N S 6

Sa fibre au-dessus de

Vunite du tore A^ s'identifie Ker

9

a

Po

GL^/GLrZZZj:GL^/GLr Frob opi

Enfin, le quotient ft ' de

ft r,r par

Vaction libre du tore G ^ ' est r r

D E M O N S T R A T I O N . L e morphism e Q ' — > A lisse su r A r,T e t l e morphism e p0: tt r'2 x

Ar,2

A r'T - > tt^

1

r,T

projectif. r2

es t liss e ca r ft ' x

Ar,2

A

r,T

es t

rT

x Ar,i A

'

est liss e e t don e transversa l a u morphism e Fro b op x. Le quotien t ft ' es t projecti f ca r l e morphism e ft — projectif. •

> fi ' es t fini e t £ 1 ' es t

On peu t considere r le s deu x morphisme s

ftr>Tz Xfi

Tl

.

p o = F r o b opi

Au-dessus de s element s unite s d e A r,T e t A r'1 , po = F r o b o ^ ! es t u n isomorphism e sur G L ^ / G L r ^ G L r tandi s qu e P2 s'identifi e a l'isogeni e d e Lan g v j r i j r — > \jLi

r

g^Frobig)'1 o

g.

En c e sens , l e schem a equivarian t ft ' mun i d e se s deu x morphisme s

compactifie l'isogeni e d e Lan g d e P G L r . 3.6. R e l a t i o n e n t r e s t r a t e s d e s c o m p a c t i f i c a t i o n s e t p r o d u i t s fibres d'espaces d e configuration s On consider e a nouvea u u n ran g r , u n entie r n e t u n espac e gradu e E — Eo 0 • • • 0 E n qu i son t arbitraires . On rappell e qu e pou r 5 u n convex e entie r d e S r,n e t S_ un pavag e entie r convex e O LP

O

de 5 , o n a construit l a strate ftg d

Tp

u schem a projecti f £1 ' e n deu x temp s : D'abor d

on a form e l e produi t fibre Gr ^ de

s cellule s d e Schuber t mince s G r J , associee s

aux facette s S f d u pavag e 5 pui s o n a defin i ft$ comm par Tactio n libr e d u tor e ( G ^ ) s / G

m

e l e quotien t d e G r J

de s fonction s S — > G m (modul o le s fonction s

constantes) don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ est affine . On peu t songe r a interverti r l'ordr e d e ce s deu x operation s : Pour t o u t e facett e „1 7 1

S' d e 5 , o n consider e d'abor d l e quotien t Gr 5'/ d e l a cellul e d e Schuber t minc e G r J , pa r Tactio n libr e d u tor e ( G ^ ) 0 / G m de s fonction s affine s S' — > G m (modul o les constantes) . S i S " es t un e fac e d e S" , o n a u n morphism e indui t Gig, —

• Gig,, .

r,E

Cela perme t d e defini r l e produi t fibre de s schema s Gr^ / associe r,E

facettes d u pavag e S_ ; on l e no t era Gr 5 ' . On a u n morphism e canoniqu e

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s a toute s le s

70 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

qui respect e le s action s d u group e A u t ( ^ o ) x • • • x Aut(E

n). r

LEMME 3.22 . Pour tout pavage entier convexe S[ d'un convexe entier S de S le morphisme equivariant Qg—

> Gr5 '

est une immersion fermee. DEMONSTRATION. Montron s d'abor d qu e c'es t un e immersio n localemen t fer mee. II suffi t d e prouve r qu e s i x e t y son t deu x point s d e G r J a valeur s dan s u n anneau artinie n A qu i on t mem e imag e dan s Gr 5 ' , il s differen t pa r u n elemen t d e ((G*)s/Gm)(A). Les point s x e t y s e representen t pa r de s uplet s {xi)i^s des

e

t (yi)ies d'element

s

(A±E.-{0})(A). Tout i G S es t elemen t d'a u moin s un e cellul e S' d e S_ e t comm e x e t y on t mem e r

Tp

image dan s Gr s '/ , o n voi t qu e Xi e t y^ differen t d'u n elemen t A ^ de G m (^4). De plus , pou r tout e cellul e S' d e 5 , e t comm e x e t y on t mem e imag e dan s „ pp

Gig, , l a fonctio n S f 3 i — i > A^ G Gm(A) es t affin e c e qu i signifi e exactemen t qu e l e uplet (Xi)ies es t u n poin t d u sous-tor e (Gj^J s d e G ^ . —

xp

o

II rest e a prouve r qu e l e morphism e Q$ — _ r,E

~

derons u n poin t x d e Gr ^ a

schema ferm e fl~'

c

71

» Gr 5 ' es

~

t propre . Pou r cela , consi -

_

valeur s dan s u n trai t T e t don t l a generisatio n x o pp c

se relev e e n u n poin t x

pp

r

d e fig .

1 1

pp

Comm e fig es

t l a strat e ouvert e d u sous -

-> fl ' qu i es t projectif , l e poin t x^ d e fig s

e prolong e e n

a pp

un poin t x d e fl~' a fllj) =

fig/ associe

valeur s dan s T. L a specialisatio n x s d e x es t dan s l a strat e e a u n pavag e entie r convex e S_ d e 5 qu i raffln e S e t o n a

seulement a montre r £ ' = S_. Cel a result e d e c e qu e pou r tout e cellul e S f d e 5 , l e morphisme fig —

» Grg, s e prolong e e n u n morphism e fl~' — » f£ ' au-dessu s qui envoi e necessairemen t x su r l a composant e d'indic e S'

de x. • Un convex e entie r S d e S r,n ser a di t « petit » s i pou r tou t indic e a G { 0 , . . ., n } , on a d

{a}+di0,...M-{*}=r-1Onr' II es t clai r qu e le s face s d'u n convex e entie r peti t son t egalemen t petites . D'autr e part, i l result e d e l a definitio n qu'u n pavag e entie r convex e S d'u n convex e entie r S est « a tranche s » s i e t seulemen t s i toute s se s cellule s (e t mem e toute s se s facettes ) sont petites . Un convex e entie r S C S r,n es t peti t s i e t seulemen t s i i l s'ecri t sou s l a form e S=(d0,...,dn) + S' ou do, ..., d n son t de s entier s e t S f es t u n convex e entie r d e S r ' (do + • * • - h d n)) qu i verifi e

n

(ave c r' — r —

c'est-a-dire pou r leque l o n peu t parle r d'espac e d e configuration s associ e C^/

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n

.

3.6. S T R A T E S E T P R O D U I T S F I B R E S D ' E S P A C E S D E C O N F I G U R A T I O N S 7 1

On a necessairemen t da = r - df

0>...,n}-{a}

- 1 = rQ - 1 , 0

< a < n,

ce qu i signifie qu e I'ecriture ci-dessu s es t uniqu e quan d ell e existe . Dan s c e cas, le lemme 1 . 7 induit pou r S e t S' l a meme decompositio n d e { 0 , . . ., n) {0,...,n} = J o I I . . . I I J p . On a S = So x Si x - - x S p ==

ij

UQ

X D-^ X • • • X D

ou pou r tou t z , 5i et 5^ sont de s paves entier s de STi'ni e t S Ti'ni (ave c | J^| =71 2 + 1) translates l'u n de I'autre. L a reunion de s Ji tel s qu e ni = 0 est egale a l'ensembl e des a e { 0 , . . . , n} tel s que d

fa} + d {0,...,n}-{a}= r -

On rappell e qu e par definitio n

1 2=0 =

0 71* >1

On convien t d e noter encor e avec don e un e egalite

cT=f[crsrrti>\

Dire qu'u n convex e entie r S d e S r,n es t peti t es t equivalen t a dir e qu e son pavage S_ c pa r les hyperplans d e coordonnees es t trivial. Dan s c e cas, on a d'apre s la propositio n 3.1 5 un morphisme equivarian t canoniqu e G T /-

f

[ Dr

[ d

f«}'r-d?0,....n}-{a}]^a

a=0

ou le s intervalles [d;?- . ,r — - f Q > ^ E a . I I consiste e n un e famill e d e sous-espace s emboite s 0 C F a C F a C E a, 0 A 2'3 est lisse . Quand r = 3 e t S = S 3 ' 3 , l e cardina l d e S es t 1 + 3 + 6 + 1 0 = 20 . II y a dan s S exactemen t 4 paves petit s d e typ e Su e t i l est facil e d e s e convaincr e que pou r tou t pavag e a tranche s S_ de S le s relation s qu i definissen t l e sous-tor e (G^m)s d e G ^ n e presenten t pa s d e redondanc e s i bie n qu e rg(G^)5/Gm = 2 0 - 4 - S - l = 1 5 - s

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3.8. E X A M E N DE S R A N G S r = 2 , 3 E T 4 E N DIMENSIO N n = 3 7

7

ou 5 design e l e nombre , compri s entr e 0 e t 4 , d e pave s d e typ e S n qu e compt e l e pavage 5 . 33

D'autre part , l a strat e Qg es t u n sous-schem a ferm e d e ( P 1 - { 0 , l , o o } ) s x (Dr

A3 4

)

lequel a pou r dimensio n s - f 4 x 3 = 1 2 + s . —3 3

—3 3

Mais s i Qg rencontr e l'adherenc e schematiqu e d e 0,^ , o n doi t avoi r r g ( G * ) s / G m + d i m H j 3 > nr 2 = 2 7 d'ou o n conclu t qu e n3/ = 33

(P 1 )4 x ( D r A 3 ) 4 , f i | 3 = (P

1

- { 0 , l , o o } ) s x (Dr

A3 4

) ,

33

33

et qu e £7 C' e t le s £lg son t contenu s dan s l'adherenc e schematiqu e d e Q.& . Pou r tout pavag e a tranche s 5 , Gig es

t liss e d e dimensio n (1 5 — s) + (1 2 -\-s) — TJ~ nr

2

et d'apre s l a propositio n 3.1 6(i) , o n obtien t : P R O P O S I T I O N 3.27 . Pour n = 3 et r = 3 , le morphisme de structure SI 3 ' 3 — • A est lisse de dimension relative 27 . Autrement dit, la compactification equivariante Q ' de O ^ = P G L 3 / P G L 3 3,3

est lisse sur le champ torique ^4 3 ' 3 / A& des 3 3

5 ' = {(i 0 ,ii,22,1 3) e N

4

|z

0

pavages entiers convexes du

tetraedre

+ 2 i + i 2 + i 3 = 3} . •

Enfin, examinon s l e ca s o u r = 4 e t S = 5 4 , 3 . Le tetraedr e S d e cot e 4 compt e 1 + 3 + 6 + 1 0 + 1 5 = 3 5 point s e t i l contien t 1 - f 3 -f 6 = 1 0 pave s entier s petit s d e typ e Su. II es t facil e d e s e convaincr e qu e pou r tou t pavag e entie r convex e a tranche s S_ de 5 , le s relation s qu i definissen t l e sous-tor e ( G ^ ) 0 d e G ^ presenten t a u plu s une uniqu e redondance . Celle-c i apparai t quan d dan s l a figure 3.1 0 le s 6 paralle logrammes 1 245 , 2367 , 31 89 , 491 / 2 / , 872 / 3 / e t 6 5 3 T son t chacu n conten u dan s u n pave d e typ e Su d e S_ ou ega l a un e fac e commun e d e 2 pave s d e typ e S[±. I I y a une redondanc e ca r l e produi t de s 6 equation s A1A5 _ A2A A2A4 A3A A2^4 _ Ai'Ag

7 _ A3A 6 AlA A3/A8 _ A2'A7

9_ s Aj/A6 _ A3/A5

est ega l a 1 = 1 . Ainsi, s i s design e l e nombr e d e pave s d e typ e Su contenu s dan s l e pavag e a tranches 5 , o n a rg(G* ) s / G m = 3 5 - 1

0- s - 1

= 2 4- 5

quand i l n' y a pa s redondance , e t rg( Ms , ^ 6 verifien t entr e eu x l a relatio n MlM2M3M4^5M6 = 1 ce qu i defini t u n sous-schem a ferm e integr e d e codimensio n 1 noterons P. Ainsi, fi c ' es t u n sous-schem a ferm e d e P x (Dr

dans ( P 1 ) 1 0 qu e nou s

A4 4

) .

Or o n doi t avoi r 15 + d i m H ^ ' 3 > nr 2 = 4 8 = 1 5 + d i m ( P x ( D r

A4 4

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) )

3.8. E X A M E N DE S RANG S r = 2 , 3 E T 4 E N D I M E N S I O N n = 3 7

9

et o n conclu t qu e

$t 3 = P x (Dr AY et qu e tt^

es t conten u dan s l'adherenc e schematiqu e d e £2 ^ =

PGL

4/PGL4

dans ft ' . Trois ca s son t possible s pou r u n pavag e entie r convex e a tranche s S_ de S = 5 (1) S i l a relatio n //i/i2^3M4M5/^ 6 = 1 defini t dan s l e schem a

4,3

:

(P1-{0,1,00})" un sous-schem a d e codimensio n 1 (c e qu i n e s e produi t qu e s i S_ presente un e redondance), celui-c i es t liss e e t l a fibre Gr ^ es t liss e d e dimensio n 48 . (2) S i cett e relatio n n'es t jamai s verifie e dan s ^ - { 0 , 1 , oo})' , Gr^ es t vid e e t l'imag e d e ft — » *44 ' 3 n e contien t pa s l'orbit e Ag . (3) S i cett e relatio n es t toujour s verifie e dan s 4,3

^ - { 0 , 1 , oo})' , on a Q|3= (P

1

-{0,l,oo})sx(DrA4)4,

et l a fibre Gr 5 ' es t lisse . S a dimensio n vau t 4 8 s i 5 n e present e pa s d e redondanc e mais ell e vau t 4 9 s i S_ presente un e redondance . En conclusion , o n a montr e : P R O P O S I T I O N 3.28 . Pour n = 3 et r = A, le morphisme de 4 3

structure

4 3

n < -* A y

n a pas une image ouverte, a fortior i il n'est ni lisse ni plat. Au-dessus des orbites associees aux pavages entiers convexes de S' 4,3 qui sont a tranches, ses fibres non vides sont toutes lisses mais certaines ont la dimension 4 8 et d'autres la dimension 49 . •

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/04

CHAPITRE 4

Le fibre equivarian t universe l su r l a variet e toriqu e des facette s de s pavage s 4.1. L e c h a m p t o r i q u e d e s p a v a g e s a v e c f a c e t t e d i s t i n g u e e On consider e u n convex e entie r arbitrair e

SES"=

(i=(« i,)e«'*

'

E*-

defini pa r u n matroi'd e (df )/c{o,...,n } d e ran g r su r { 0 , 1 , . . . , n }. On rappell e qu'o n a not e C s C R s l e con e de s fonction s « convexes » v : S — » R telles que , pou r tout e fonctio n affin e £: S — > ]R verifian t £ < f , l e sous-ensembl e {z G 5 | £(i) = f (£)} soit u n convex e entie r s'i l n'es t pa s vide . I I a un e decompositio n Cs = U C f e n cone s convexe s C f indexe s pa r le s « pavages entier s convexe s » S_ d e S e t qu i son t invariant s pa r l e sous-espac e C% de s fonction s affine s £: S — > R . Dan s Pespace quotien t R ^ / C f , le s C^jC% constituen t u n eventai l qu i defini t l a variet e torique A s d e tor e A% = G ^ / ( G ^ ) 0 . Soit alor s C s C C s C R 5 l e con e de s fonction s v: 5 - ^ R qui son t « convexes » c'est-a-dir e element s d e C s, son t a valeur s > 0 e t son t telle s que Pensembl e {% G S \ v(i) = 0 } n e soi t pa s vide . Pour tou t coupl e ( 5 , S') form e d'u n pavag e entie r convex e 5 d e S e t d'un e facette S' d e c e pavage , o n not e C§ s , l e sous-con e convex e no n vid e d e C s constitu e des fonction s v: S — > R + telle s qu e S_ soit l e pavag e associ e a v c'est-a-dir e v G C§ et qu e S' = {i G 5 | v(i) = 0} . En particulier , s i 0 design e l e coupl e form e d u pavag e trivia l d e 5 e t d e so n unique cellul e S, l e con e C% es t l e poin t {0 } dan s R 5 . De fago n analogu e a l a propositio n 2.1 , on a : P R O P O S I T I O N 4.1 . Pour S C S r,n un

convexe entier arbitraire, on

a :

s

(i) Le cone C est la reunion disjointe des cones convexes C§ s , quand ( 5 , S f) decrit Vensemble des pavages entiers convexes S_ de S avec facette distinguee S f. (ii) Pour tout (SL,S'), Vadherence jointe des

Cfjjj ouU_

C§

s,

de C§ s , dans

decrit Vensemble des

plus grossiers que S_ etU Vensemble

R

5

est la reunion dis-

pavages entiers convexes de S

des facettes de

U_ qui contiennent S'

De plus, Cg s , est un cone convexe polyedral rationnel dont sont les adherences Cy

v

de ces Cfj

v

.

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les faces

'.

4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T UNIVERSE L

82

(iii) Etant donnes deux pavages entiers convexes S_ x et S_ 2 de S avec deux facettes distinguees S\ et S2, Vensemble des pavages avec facette distinguee (77 , U) tels que U_ soit plus grossier a la fois que S_ x et S_ 2 e ^ Q ue U contienne a la fois Si et S2 n'est pas vide et il admet un plus petit element (IL01U0). L 'intersection de D E M O N S T R A T I O N . (i cones C§ s ,.

Cg

s

et

C§

s

est

egale a Cfj u .

) result e d e l a propositio n 2.1 (i ) e t d e l a definitio n de s

(ii) L'adherenc e Cg s , d e C§ s , dan s M 5 es t constitut e de s fonction s v: S — » R qui son t convexes , element s d e C f (c'est-a-dir e don t l a restrictio n a chaqu e cellul e ou facett e d e S_ est amne) , a valeur s > 0 , e t telle s qu e S' C {i G 5 | v(i) = 0 } . Ains i (ii) resulte-t-i l d e l a propositio n 2.1 (ii) . (iii) Ce t ensembl e n'es t pa s vid e ca r i l contien t l e coupl e form e pa r l e pavag e trivial d e S e t so n uniqu e cellul e S. Noton s (C^ , E / i ) , . . ., (C/ fc, Uk) se s element s e t choisissons de s fonction s v\,. .., Vk dan s le s sous-cone s associe s d e W s. Le s pavage s entiers convexe s J / 1 ? . . . ,U_k s o n ^ P m s grossier s qu e S_ x (o u 5 2 ) don e d'apre s l a proposition 1 .5(v ) toute s le s cellule s d u pavag e U_ 0 defin i pa r intersectio n de s cellule s de f/ 1 ?..., U_ k s o n ^ encor e de s convexe s entiers . L e con e Cfj contien t l a fonctio n ^0 — ^1 + • • • + Vk e t don e L[ 0 e s ^ u n pavag e entie r convex e d e S. On a v 0 > 0 e t l e sous-ensembl e UQ = { i G S \ vo(i) = 0 } es t un e facett e d u pavage U_ 0 qu i contien t a l a foi s S\ e t 52 - Pa r construction , (C/ 0 , UQ) es t l e plu s peti t element d e 1 'ensembl e {(L[ l5 C / i ) , . . ., (f/ fc, C/fc)} . La deuxiem e assertio n es t consequenc e immediat e d e l a premier e e t d e l a parti e (ii) dej a demontree . • D'apres cett e proposition , l a famill e de s cone s convexe s polyedrau x rationnel s C§ s , constitu e u n eventai l dan s l'espac e M 5 de s fonction s S — > M. L a theori e ge nerale de s variete s torique s tell e qu'expose e dan s [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §2 ] associe a ce t eventai l un e variet e toriqu e normal e A /S d e tor e A'gj = G ^ . O n a : LEMME 4.2 . Pour tout convexe entier S C S r'n, Videntification G

A0 = se prolonge en un morphisme equivariant A's dont les composantes sont

de

m

varietes toriques partout defini

> ( A 1 ) 5 - {0 }

des caracteres notes Xi:A's->A\ ieS.

Le tore G

m

agit librement sur

A'

s

.

DEMONSTRATION. O n a u n morphism e equivarian t partou t defin i A's -

(A

1

) 5 - {0 }

car l e con e C s C M 5 qu i defini t l a variet e toriqu e A'* 3 es t conten u dan s celu i de s fonctions v > 0 qu i s'annulen t e n a u moin s u n poin t d e S. La deuxiem e assertio n es t consequenc e immediat e d e l a premiere . •

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4.2. L E M O R P H I S M E D ' O U B L I DE S F A C E T T E S D I S T I N G U E E S 8

On not e A s l a variet e toriqu e normal e d e tor e A% = G ^ / G

m

3

qu i es t l e quotien t

,s

de A pa r Tactio n libr e d e G m . Ell e es t muni e d'u n morphism e equivarian t As - ^ P ( ( A

1

)5).

Les orbite s dan s A s son t le s quotient s pa r G m d e celle s d e A' s. C e son t de s sous-schemas localemen t ferme s indexe s naturellemen t pa r le s couples ( 5 , S') forme s d'un pavag e entie r convex e 5 d e 5 e t d'un e facett e (dit e « facette distingue e » ) S' de 5 ; on le s not e A$ s ,. Chacune a u n poin t distingu e a^s' don t l e stabilisateu r ( G ^ ) ^ / dan s G ^ es t le sous-tor e de s fonction s S — » Gm don t l a restrictio n a tout e cellul e d u pavag e S_ est affin e e t don t l a restrictio n a l a facett e S' es t cons t ante. L'adherence d'un e orbit e *A | s , es t l a reunio n de s Afj v pou r U_ raffinan t S_ e t U un e facett e d e U_ contenu e dan s S'. L a reunio n de s Afj

v

pou r U_ u n pavag e plu s

grossier qu e S_ e t U contenan t S' es t l e plu s peti t ouver t invarian t contenan t Ag s , ; il es t affine . On peu t dir e auss i qu e le s pavage s entier s convexe s S_ de S ave c facett e dis tinguee S' son t le s point s d u cham p toriqu e A s jA% quotien t d e l a variet e toriqu e As pa r so n tor e A%. U n poin t (/7 , U) es t dan s l'adherenc e d'u n autr e ( 5 , S') s i e t seulement s i l e pavag e U_ rafhn e l e pavag e S_ e t l a facett e U es t contenu e dan s S'. Quand S — 5 r ' n , o n pourr a note r C r ' n , C rgns,, A r,n, A Vgns, pluto t qu e C 5 , C§ S t,

4 . 2 . L e m o r p h i s m e d'oubl i d e s f a c e t t e s d i s t i n g u e e s On consider e toujour s u n convex e entie r 5 C S L'homomorphisme d e passag e a u quotien t

r,n

.

Rs - > R s/C% envoie l e con e C s su r l e con e C s jC% e t i l respect e le s structure s d'eventails . Pa r consequent, i l defini t u n morphism e d e variete s torique s As -^A

S

qui es t equivarian t relativemen t a l'homomorphism e

As0 = G sJGm^GsJ(Gsm)0 =

As0.

Pour tou t pavag e ave c facett e distingue e ( 5 , S') d e 5 , c e morphism e envoi e l'or bite Ag £ / su r l'orbit e *4 f e t plu s precisemen t l e poin t distingu e as_ ts' s u r a S_- L e morphisme indui t entr e champ s torique s As/A% -

>A

s

/A%

represente don e l'oubl i d e l a facett e distingue e S' dan s le s couple s ( 5 , S'). Remarquons qu'o n a u n homomorphism e surjecti f

(A 0 , • • • , A n ) »- > (S 3 i = ( 2 0 , . . . , i n ) ^ A 0° • • • AJ?). Montrons :

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84 4

. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

PROPOSITION 4.3 . Pour tout convexe entier S C S r'n de

dimension s , on a :

Le morphisme produit As ->A est une immersion fermee jective. (i) Le morphisme d'oubli

S

1

xP((A

)5)

si bien que la variete torique A

s

est

quasi pro-

des facettes distinguees AS^AS

est projectif et

plat de dimension relative

s.

Ses fibres sont geometriquement reduites. (ii) Si (S , S') est un pavage avec facette distinguee, le tore (G^Jg r ou G ^ + 1 agit transitivement sur I'intersection de Vorbite A§ s , et de la fibre au-dessus de as_. Si p est la codimension de S f dans S r'n et { 0 , . . . , n} = J o LI- • -II Jp est la partition de { 0 , . . . , n} canoniquement associee a S f dans le lemme 1 .7 , +1 le stabilisateur du point distingue o>s,S' dans GJ^ est le sous-tore diagonal (G^+1)s, = G :

1 +

=C

m

x...xG

r a

M G ^ x . . . x G i=

G^

1

.

D E M O N S T R A T I O N . (i ) O n sai t dej a d'apre s l e lemm e 2. 2 qu e l a variet e torique A s es t quas i projective . I I suffi t don e d e prouve r qu e l e morphism e A,s ^ A

s

x

[(A

1

)5-^}]

est un e immersio n fermee . Tout d'abord , i l verifi e l e criter e valuati f d e propret e pa r definitio n mem e de s cones C s jC% e t C s auxquel s son t associee s le s variete s torique s A s e t A ,s : t o u t e fonction v : S — > R qu i es t convex e e'est-a-dir e es t elemen t d e C s e t qu i es t > 0 e t s'annule e n a u moin s u n poin t es t dan s l e con e C s C R s. Placons-nous au-dessu s d'u n ouver t affin e invarian t arbitrair e A d e A s ; e'es t la reunio n de s orbite s associee s au x pavage s plu s grossier s qu'u n certai n pavag e entier convex e S_ de S. E t pou r i u n poin t d e S , consideron s I'ouver t affin e (A 1 )f d e ( A 1 ) 5 — {0} defin i pa r l a conditio n qu e l a coordonne e d'indic e i soi t no n nulle . S i S' est l a plu s petit e facett e d e 5 qu i contien t i , l'imag e reciproqu e d e A x (A x )f dan s A/S es t I'ouver t affin e A' qu i es t l e plu s peti t ouver t invarian t contenan t I'orbit e Ag £/ . Ainsi , l e morphism e A'-* Ax

(A

1

)?

est fini puisqu'i l es t affin e e t propre . Notan t A" l e sous-schem a ferm e d e A x (A 1 )f qui es t so n imag e schematique , l e morphism e indui t A! - A" est fini e t birationnel ; i l s'agi t d e prouve r qu e e'es t u n isomorphisme . II suffi t d e verifie r cel a e n codimensio n < 2 . O n peu t don e suppose r qu e l a facette S f d e S_ est d e dimensio n s o u s — 1 o u bie n qu e S_ est l e pavag e trivia l d e 5 e t qu e S' es t un e fac e d e S d e codimensio n 2 . Soit x : A'g — > G m u n caracter e d u tor e A'^ — 1

A . O n doi t montre r qu e x

es

G^ qu i s e prolong e e n x '• A' — •>

^ bie n defin i dej a su r A".

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4.2. L E M O R P H I S M E D ' O U B L I DE S F A C E T T E S D I S T I N G U E E S

85

Si S' a l a mem e dimensio n s qu e 5 , ell e contien t un e famill e es> = { e o , . . . , e s} de s -f- 1 points qu i es t generatric e d u resea u de s point s entiers . Cett e famill e defini t un scindag e bes,: A% = G £ / ( G * ) 0 - > G * = A'i de l a suit e exact e 1 -+ (G£) 0 - G * - ^ G*/(G * ) 0 - + 1 qui s e prolong e e n u n morphism e partou t defin i bes/ :A->A'. En effet , s i o n associ e a tou t elemen t d e C s jC% C R s' /C% qu i es t dan s l e con e d e A so n uniqu e representan t v : S — » R dan s IR 5 qu i s'annul e e n le s point s d e eg / e t done d e S" , c e representan t v es t dan s l e con e d e A'. Alors x = X ° ^e s / e s t u n caracter e d e A% qu i s e prolong e a A. Notons p l a projectio n d e A' o u .A " su r A e t pou r tou t poin t e d e 5 , designon s par Xe l e caracter e d e A. § = G ^ qu i es t l e projectio n su r l a coordonne e d'indic e e . On peu t ecrir e X-(X°P)-Xe0°---Xe; pour certain s entier s n o , . . . , n s G Z . Le s caractere s x eo> • • • •> Xe s s e prolongen t su r A!' e t resten t inversible s puisqu e le s point s e o , . . . , e s son t dan s S' . Cel a prouv e qu e X es t bie n defin i su r A". Si l a facett e S f d e S_ es t d e dimensio n s — let n'es t pa s contenu e dan s un e fac e de 5 , ell e es t fac e commun e a exactemen t deu x cellule s S[ e t S r2 d e dimensio n s du pavag e S_. On peu t trouve r de s point s e i , . . . , e 5 d e S " e t de s point s e j , 6Q de S( e t ^ 2 tel s qu e le s familie s eg' = {ej , e i , . . ., e s} e t e^ / = {e^ , e i , . . ., e s } soien t generatrices d u resea u de s point s entiers . Elle s determinen t deu x section s

de l a projectio n p\ A! —* A. Alors X i — X ° ^e s / e ^ X 2 ~ X ° be s, son t deu x caractere s bie n defini s su r A e t on peu t ecrir e

x = (XI°P) -xjxei ---xe; (— \

n

22 2 0n ln

X= {X2°P) 'XjXel

"'Xe;

s

ou n j , n j , . . . , n] e t rig , n\ ,..., n ^ son t de s element s d e Z qu i verifien t n ^ = — n\ (si bie n qu e n j o u n ^ es t > 0) . Tou s le s caractere s x e • • • X e s o n ^ bie n defini s e t inversibles su r A" e t le s deu x autre s x 1 ? X 2 sont bie n defini s su r A " . Don e x e

oe

es

t

o

bien defin i su r A". Si S ' es t contenu e dan s un e fac e d e S e t a pou r dimensio n 5 — 1 , ell e es t fac e d'exactement un e cellul e S[ d u pavag e 5 . O n peu t trouve r de s point s e i , . . . , e s dan s S" e t u n poin t e o d e S ^ tel s qu e l a famill e e ^ = {eo , e i , . . . , es } soi t generatrice . Alors l e compos e X = X ° ^e c / d e X a v e c l a sectio n associe e b e„, : A — > A! es t 1 0] L ' . un caracter e bie n defin i su r A e t o n peu t ecrir e

X = (X°P)-X£X£"-X £ Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

86

4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

avec no , n i , . . . , n s G Z . L e caracter e \ es t u n elemen t d e l'espac e dua l d e R 5 . I I doit prendr e de s valeur s > 0 su r le s fonction s v : S — > R qu i son t amnes , a valeur s > 0 e t s'annulen t su r S'. Cel a impos e n o > 0 . Le s caractere s \e 0-> • • • >Xe s s o n ^ bie n definis su r A!' et , sau f peut-etr e l e premier , il s son t inversibles . Don e x es t bie n defini su r A". Voyons enfi n l e cas o u l e pavage 5 es t trivia l e t S' es t un e fac e d e S d e codimen sion 2 . Elle es t fac e commun e a exactemen t deu x face s S^ , S[ d e S d e codimensio n 1 . On peu t trouve r de s point s e 2 , . . . , e s d e 5 ' , u n poin t e o d e 5 Q et u n poin t e\ d e S[ tels qu e l a famill e es = {eo , e i , . . ., e s} soi t generatrice . Alors X ~ X° b es es t bie n defin i su r A e t o n peu t ecrir e

avec no , n i , . . . , n s G Z . L e caracter e Xi v u comm e form e lineair e su r R 5 , doi t prendre de s valeur s > 0 su r le s fonction s afflne s v: S — • R qu i son t a valeur s > 0 et s'annulen t su r S Q ou bie n su r S[. Cel a impos e n o > 0 e t ri\ > 0 . Le s caractere s Xe0 5 • • • 5 Xe s s o n ^ bie n defini s su r A" et , sau f peut-etr e x eo e t X ei •> ^ s s o n ^ inversibles . Done x es t bie n defin i su r A". Cela termin e l a preuv e d e (i) . (iii) S i S_ es t u n pavag e entie r convex e d e S e t S' un e facett e d e 5 , l e stabilisa teur dan s G ^ d u poin t distingu e a^ d e A s es t l e tor e de s fonction s 5 — • Gm don t la restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ es t affine , e t l e stabilisateu r d u poin t distingu e &s_,S' de A s es t l e sous-tor e d e ce s fonction s S — » G m qu i valen t 1 su r S'. Pa r consequent, l'intersectio n d e l a fibre d e A s au-dessu s d e a^ e t d e l'orbit e A§ s f de a^s' es t muni e d'un e actio n simplemen t transitiv e d u quotien t ( G ^ ) 0 / G m pa r G m d u tor e ( G ^ ) 0 de s fonction s affine s S' — » G m . O r l'homomorphism e compos e G^ + 1 -+ (G

s

m)0

-+

(G

s

m)0/Gm

est surjectif . Ave c le s notation s d e I'enonce , i l rest e seulemen t a prouve r qu e so n noyau es t l e sous-tor e

D'apres l e lemm e 1 .7 , o n peu t ecrir e O =z

On

X

j iX

• •• X O

ou, ave c r = r^ -f - • • • + r p e t rii = | Ji\ — 1, 0 < i < p , chaqu e S ^ es t u n pav e entie r (e'est-a-dire u n convex e entie r d e dimensio n maximal e n$ ) dan s

fcjaGJ, e N Ji

£

aeJi

De plus , d'apre s l a propositio n 1 .5(iv) , chaqu e S[ engendr e l e resea u Z n , n * de s points entier s dan s R r *' n * = {x = {x ot)oc^ji G RJ i | ^2 aeJ. x a = r^} . On conclu t e n remarquant qu e l e noya u d e l'homomorphism e

G ^ ( A a ) a E ^ ( I IA « ) est G m plong e diagonalement .

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4.2. L E M O R P H I S M E D ' O U B L I D E S F A C E T T E S D I S T I N G U E E S

87

(ii) O n sai t dej a d'apre s (i ) qu e l e morphism e A s— * A s es t projecti f e t d'apre s (iii) qu'i l es t equidimensionne l d e dimensio n relativ e s. Comm e A s es t normale , o n n'a plu s qu' a montre r qu e se s fibre s son t geometriquemen t reduite s ou , c e qu i es t equivalent, celle s d e A rS— » A s. Comme dan s l a preuv e d e (i) , o n peu t s e restreindr e a deu x ouvert s affine s invariants A' e t A d e A /S e t A s. L'uniqu e orbit e ferme e d e A correspon d a u n pavage entie r convex e S_ d e S e t o n peu t suppose r qu e l'uniqu e orbit e ferme e d e A! correspond a u coupl e form e d e S_ et d'un e facett e d e dimensio n 0 c'est-a-dir e u n sommet i d e S_. On consider e u n caracter e \ d e A!% — G^ par t out bie n defin i su r A. I I s'agi t de prouve r qu e s'i l s'annul e su r toute s le s orbite s d e A' associee s au x cellule s S' d e S_ qui contiennen t z , alor s i l es t dan s l'idea l engendr e pa r l'idea l d e A qu i defini t 1'orbite ferme e A§. D'apres (i ) dej a demontre , l e caracter e x

es

^ d e l a form e

X=(X°P)'Xi'Xe1"- Xe

m

ou x e s ^ u n caracter e partou t defin i su r A qu'o n compos e ave c p: A' — > A, n es t un entie r dan s Z e t e\ ,..., e m son t de s point s d e S different s d e i. Si l e caracter e x : A -^ A 1 s'annul e su r 1 'orbit e ferme e A | , o n a termine . Sinon , on es t dan s l'u n de s deu x ca s suivant s : o u bie n i l y a parm i le s point s e i , . . . , e m deux point s e e t e' tel s qu e {e , e'} n e soi t conten u dan s aucun e cellul e d u pavag e S_, ou bie n i l y a parm i e i , . . . , e m a u moin s u n poin t e qu i n'es t conten u dan s aucun e cellule d e S_ qu i contienn e i = e'. II suffi t d e prouve r qu e l e caracter e XeXe>

•

% ~+

A

1

est divisibl e pa r u n caracter e d e A qu i s'annul e su r A§. Noton s e" l e milie u d u segment [e , e']. C'es t u n poin t d e S^ C M r ' n don t le s coordonnee s son t dan s | Z . Pour tout e fonctio n v : S —• > M qui es t dan s l e con e C f (don t l e quotien t pa r l e sous-espace C% definit l a variet e toriqu e affin e .4) , o n design e pa r v^: S^ — • 1 R son unique prolongemen t e n un e fonctio n su r 5 R don t l a restrictio n a S^ pou r tout e cellule S' d e 5 , soi t affine . Alors l'applicatio n v .- > 2v

R{e")

est un e fonctionnell e lineair e qu i pren d de s valeur s entiere s e n le s v : S — • Z. Bie n sur ell e pren d de s valeur s > 0 su r l e con e C | r ^ qu i defini t l a variet e toriqu e affin e A'. I I lu i es t associ e u n caracter e %' : ^4 r— ^ A 1 , bie n defin i a multiplicatio n pre s pa r un caracter e inversibl e su r A!. La fonctionnell e lineair e v \-+ v(e) + v(e') -2v

R(e")

prend auss i de s valeur s entiere s e n le s v : S — » Z , ell e s'annul e su r l e sous-espac e C% des fonction s affine s e t ell e pren d de s valeur s > 0 su r l e con e C§ e t mem e > 0 su r son interieu r C§ (puisqu'i l n'exist e pa s d e cellul e d e S_ qu i contienn e a l a foi s e e t ef). I I lu i es t associ e u n caracter e x' '• A —> A 1 , bie n defin i a multiplicatio n pre s pa r

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88 4

. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

un caracter e inversibl e su r A e t qu i es t dan s I'idea l d e definitio n d e I'orbit e ferme e La conclusio n result e alor s d e l'egalit e XeXe' = ( x ' ° P ) -X', vraie a multiplicatio n pre s pa r u n caracter e inversibl e su r A. On a termin e l a demonstratio n d e l a proposition . • 4.3. L e fibre equivarian t canoniqu e On consider e maintenan t u n espac e gradu e et u n convex e entie r arbitrair e S C { t = ( i 0 ) . . . , i n ) € S r'n \i a su r la variete torique A a ete construit comm e sous-schema ferm e d u produi t As x

G m \ l[(A lE. {0}) . \ies En faisan t u n changemen t d e bas e pa r l e morphism e equivarian t

Is -+ As, on voi t qu e l e produi t fibr e

ns'E x

AS A

S

est u n sous-schem a ferm e dan s l e produi t

l5xGm\U(A^l-{0}). \i€S

II es t invarian t pa r l a doubl e actio n d u tor e A% = G ^ / G m (qu e To n fai t agi r sur l e deuxiem e facteu r composant e pa r composant e e t su r l e premie r facteu r vi a l'homomorphisme A — i > A - 1 d e passag e a l'inverse ) e t d u group e Aut(J^o ) x • • • x Aut{En). Rappelons qu'o n a notees x% '• A ,s— • A1, i G 5, le s composantes d u morphism e equivariant A ,s —> (A 1 ) 5 — {0} d u lemm e 4.2 . O n peu t le s voi r auss i comm e le s composantes homogene s d e A 5— > P((A 1 ) 5 ). Considerons enfi n l a grassmannienn e Gr r ' plonge e comm e sous-schem a ferm e de

¥(ArE) = Grn\ I H A^E.) -{0 } et muni e d e Tactio n d e Aut(E 0) x On a :

• • • x Aut(E

n).

PROPOSITION 4.4 . La fleche

I5xGm\[](A^.-{0})-,Gm\ J \ies \\ies

J A*E.)-{0 } r n

> J

(A, (x^ies) •- > ((Xi(A ) • x L)ies, (0)

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iG 5-.»-s)

4.3. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

89

definit un morphisme As x As Cl s>E - + G r 7 ^ qui est respecte par faction de A% — G ^ / Gm sur la source et commute aux actions de Aut(.Eo ) x • • • x A\it(E n). Au-dessus de I'ouvert dense A%, il s'envoie dans la cellule de Schubert mince Girg et se releve en un isomorphisme AS0 x

As

B

n|'

^ (G

s

Gr r/.

JGm) x

DEMONSTRATION. Cett e flech e defini t u n morphism e equivarian t A,s x

sE AsQ '

r

^F(A

E)

et o n a seulemen t a montre r qu'i l s e factoris e a traver s l e sous-schem a ferm e G r r ' . On sai t d'apre s l a propositio n 4.3(ii ) qu e l e morphism e A' s x As Q, S>E—> QS>E est pla t e t qu e se s fibre s son t geometriquemen t reduites . I I suffi t don e d e prouve r qu'il y a factorisatio n au-dessu s d'u n ouver t d e A /S x As Q S,E qu i soi t dens e fibr e a fibre . O n peu t s e place r au-dessu s d'u n ouver t affin e A! d e A rS qu i es t l e plu s petit ouver t invarian t contenan t l'orbit e associe e a u coupl e form e d'u n pavag e entie r convexe 5 d e S e t d'un e cellul e (d e mem e dimensio n qu e S) S' d u pavag e 5 . Soit A l e plu s peti t ouver t affin e invarian t d e A s qu i contienn e l'orbit e A§. L a projection A' s— > A s s e localis e e n p\ A! — > A. Dans l a cellul e S" , o n peu t choisi r un e famill e es f d e dim(S' ) - f 1 points qu i es t generatrice d u resea u de s point s entier s d u sous-espac e affin e d e R r ' n engendr e pa r 5 . Cett e famill e defini t un e sectio n equivariant e

bes, :A^A' de l a projectio n p: A! —* A. Soit {P} un e famill e d e polynome s homogene s su r ( r L e s A 1 £•) — {0} qu i de finissent l a trac e d e l a erassmannienn e G i ^ . O n peu t suppose r qu'il s son t trans formes pa r l e tor e ( 6 ^ ) 0 de s fonction s affine s S — > G m suivan t de s caractere s Xp: ( G m ) 0— > G m . D'apres l a constructio n d u schem a Q S'E dan s l a preuv e d u theorem e 2.4 , le s points (A, (xi)i es) a valeur s dan s l e schem a

A,xGm\]l(AiE9-{0}) \ies qui s e factorisen t a traver s l e sous-schem a ferm e

A! x As n s'E verifient e n particulie r le s equation s

Or i l exist e u n caracter e partou t bie n defin i X:

A ' ^ ( A - 1 ) . Pour conclure , i l suffi t d e remarque r qu'ave c cett e identificatio n l e quotien t d e Taction d e G ^ + 1 su r A s x As Q S'E qu i es t trivial e su r A s e t deduit e d e G ^ + 1 E correspon d a Tactio n d e GJ^ +1 su r ft ' x

As/js

^ - 5 / ^ 0 Q u i e s ^ trivial e su r ft ' e t deduit e d e Thomomorphism e GJ^ +1 - » ( G ^ ) 0 / G m
2= 0

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

92

respectee par Vaction de GJ^ +1 et telle que chaque S^g, soit lement libre de rang d^j sur lequel le stabilisateur (GJ^ caractere Xs

1

1 +

un fibre loca-

)s/ agisse par son

•

Alors ce probleme de modules est representable par un unique champ algebrique rS

Vec ' muni

d'un morphisme

Vec'S - > A s jA\ DEMONSTRATION. Le s fibres equivariant s considere s verifien t l a propriet e d e descente cente pou r l a topologi e etal e e t le s isomorphisme s entr e eu x constituen t de s § r§ r ceau: Don e il s definissen t u n cham p Vec ' mun i d'u n morphism e Vec ' — > faisceaux.

ASIA%.

r

5

II s'agi t d e prouve r qu e c e cham p Vec ' es t algebriqu e a u sen s d'Artin . O n peut procede r comm e pou r l a demonstratio n d u theorem e 4.6.2. 1 d e Laumo n e t Moret-Bailly [2000] . r

5

Si £, £' son t deu x point s d e Vec ' a valeur s dan s u n schem a X e'est-a-dir e deu x s fibres GJ^ +1 -equivariants su r X — X x As/js A '/ A%, i l result e d e [Grothendieck , 1960-1967, III , paragraph e 7.7 ] qu e l e faiscea u de s isomorphisme s lineaire s d e £ su r £' es t representabl e pa r u n schem a V d e typ e fini su r X. C e schem a es t mun i d'un e action d e G^ 1 " 1 e t l e sous-faiscea u de s isomorphisme s equivariant s d e £ su r £' es t representable pa r l e sous-schem a ferm e d e V defin i comm e l e lie u fixe d e GJ^ 1 "1 . II rest e a construir e u n schem a P e t u n morphism e d e presentatio n P - * Ve7'

S r

g

representable, surjecti f e t lisse . Pou r cela , o n peu t auss i bie n remplace r Vec ' pa r l e r

§

torseur Vec ' x ^ s / ^ s A qu i associ e a tou t schem a X l'ensembl e de s morphisme s X— > .4 ^ muni s d'u n fibre G^ + 1 -equivariant d e ran g r su r X x^s A s qu i verifi e le s conditions (*) . On sai t qu e l e morphism e A s— > A s es t projectif , pla t e t respect e pa r Tactio n de G ^ + 1 . O n peu t choisi r su r A s u n fibre inversibl e G^ + 1 -equivariant 0(1 ) qu i es t ample relativemen t a A s. Pou r tou s entier s TV , n > 1 , o n consider e l e schem a d e Hilbert (o u pluto t d e Grothendieck ) Quo t ' n qu i classifi e le s faisceau x coherent s N sur A s relativemen t a A s qu i son t ecrit s comm e quotient s d e 0(—n) . 1 1 Nn Puis, pou r tout e representatio n p d e GJ^ " dan s G L ^ , o n not e P ' 'P l e sous schema localemen t ferm e d e Quo t ,n qu i classifi e le s faisceau x coherent s £ tel s que : - £ es t localemen t libr e d e ran g r (conditio n ouverte) , - l'homomorphism e surjecti f d e quotien t 0(-n)N ^

£

induit u n isomorphism e A^ =

H°(O

N

)^

H°

(£ 0 O ( n )

)

(condition ouverte) , - s i o n consider e Tactio n d e G ^ + 1 su r Quo t ' n qu i es t induit e pa r cell e su r 0(—n)N defini e comm e produi t tensorie l d e cell e su r O(-n) e t d e p , £ es t

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4.4. L E C H A M P DE S F I B R E S E Q U I V A R I A N T S

93

un poin t fixe sou s cett e actio n (conditio n fermee ) e t don e E es t u n fibre GJ^ +1 equi variant, - le s fibres d u fibre equivarian t £ au-dessu s de s point s de s strate s Ag 5 / d e A s verifient le s condition s (* ) (qu i son t a l a foi s ouverte s e t fermees) . Alors le s champ s algebrique s quotient s de s P N'n>P pa r le s groupe s de s automor phismes d e A ^ qu i respecten t p s'identifien t a de s ouvert s d e Vec ' x ^ s / j s A s e t ils e n formen t u n recouvrement . • r

5

Ayant defin i l e cham p Ve c ' , nous pouvon s reformule r e t precise r d e l a manier e suivante l e corollair e 4. 5 : COROLLAIRE 4.7 . Pour tout espace gradue E = EQ 0 • • • 0 E n, le riant canonique S

au-dessus de

s

sur

ft ' x^s/js

A

s

fibre equiva-

'/ A% peut etre vu comme un morphisme

A s'/ A%.

D E M O N S T R A T I O N . L a seul e chos e a verifie r es t qu e l e fibre 8 s satisfai t le s conditions (* ) d u lemm e 4.6 . On rappell e qu'i l es t l'imag e reciproqu e d u fibre canoniqu e d e ran g r su r G r r ' par l e morphism e equivarian t

As x

As

n s'E -

Gv

rE

' .

Si S_ est u n pavag e entie r convex e d e S e t S' un e facett e d e S_ (avec { 0 , . . . , n} = Jo I I • • • II J p l a decompositio n associee) , l e morphism e indui t

se factoris e a traver s l a cellul e d e Schuber t minc e Gr^ , • Celle-ci classifi e de s sous espaces F - E qu i s e decomposen t e n somme s directe s F= F00 • •• 0 F

p

ou, pou r tou t i , 0 < i < p, Fi es t u n sous-espac e d e Ej i d e dimensio n d j . . U n te l sous-espace F e t s a decompositio n son t respecte s pa r

£f0 se releve en un morphisme equivariant

sur

X

£-*£'. Ce relevement est unique s HI n'existe pas de paire de caracteres \ , x' £ M qui apparaissent dans les decompositions de r(X°,£°) et r(X°,£ /0) (vues comme representations de T) et qui verifient XX'-1 G

M+ .

D E M O N S T R A T I O N . (ii ) S i £ e t £' son t de s fibres localemen t fibres e t equi variants su r X , i l e n es t d e mem e d e Hom(£, £ ') = £' (8 ) £ e t o n a H o m ( £ , 0 = r(X,£: / (8>£), Hom(£°,£/0) = r ( X ° , £

/0

® E°) = r ( X ° , £ ' ° )

MMo]

r(X°,£°) v.

II suffi t don e d e traite r l e ca s o u £ es t l e fibre inversibl e trivia l OxLes module s T(X,£') e t T(X°,£ f0) son t projectif s su r k[M x] e t k[M%] respec tivement e t il s son t gradue s c'est-a-dir e s e decomposen t canoniquemen t e n somme s directes

r(x,f)=0r(x,£')x xeM

r{x°,£'°)= 0 r ( i V ° ) x d'espaces d e dimension s finies T{X,£') X e t T(X° 1 £,0)X su r lesquel s l e tor e T agi t par le s caractere s xDe plus , chaqu e r ( X ° , £ / 0 ) x s'identifi e a u quotien t d e T(X,£') X pa r l e sous espace engendr e pa r le s image s de s application s lineaire s

de multiplicatio n pa r le s caractere s \' £ ^xSi 1 design e l e caracter e trivia l d e T , o n voi t qu e tou t elemen t d e r{X°,£,0)1=RomT(Oxo,£f0) se relev e e n u n elemen t d e r(X,£')1=RomT(Ox,£') et c e relevemen t es t uniqu e s i o n suppos e

r(x,£')x,-i=o, v

x 'eM+.

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4.4. L E C H A M P DE S F I B R E S E Q U I V A R I A N T S

95

(i) D'apre s (ii) , tou t isomorphism e

£° ^ > £'° entre le s restriction s a X° d e deu x fibre s localemen t libre s e t equivariant s £ ,£' su r X s e relev e e n u n morphism e equivarian t £^£' qui es t necessairemen t u n isomorphism e puisqu e s a restrictio n a l'uniqu e orbit e fermee d e X Tes t e t qu e £ e t £ f son t localemen t libres . Pour conclure , i l suffi t d e remarque r qu e l a categori e de s fibres equivariant s su r X° es t equivalent e a cell e de s representation s d e dimensio n finie d u sous-group e d u tore T fixateur d e n'import e que l poin t d e X° e t qu e tout e tell e representatio n es t somme direct e d e representation s d e dimensio n 1 . • Enfin, o n a : LEMME 4.9 . Soient X un schema muni de Vaction du tore G localement libre et G m -equivariant sur X. Soit x\ un point de X tel que le morphisme G m— • X A

m

et £ un fibre

i— • A • x\

se prolonge en un morphisme A 1 -+X. On note Xo le point de X image de 0 G A 1 . On suppose que la fibre £$ de £ en xo, munie de Vaction de en une somme directe

G m ; s e decompose

telle que G m agisse sur £' Q et £Q par deux caracteres A >— > Am et A — i > Am avec m! < m"'. Alors la fibre £\ de £ en X\ s'inscrit dans une suite exacte canonique 0 - • £(j - > £ i - * £' Q - > 0 . D E M O N S T R A T I O N . O n peu t suppose r qu e X es t A 1 mun i d e Tactio n canoniqu e de G m e t qu e x\ = 1 , XQ — 0. On s e propos e d e defini r u n homomorphism e u: £\ — > £ o pa r e h- > li m A~ m • e et u n homomorphism e v : £ o— > £\ vi a so n dua l v v : £± — > 5 ^ v

v

.; (e )=limA

m//

e n

posan t

v

.e .

AH^O

II s'agi t d e verifie r qu e u e t v son t bie n dermi s e t qu e Imu = £Q, Keri > = £Q , Ker

w = Imi> .

Pour tou t entie r m G Z , noton s 0(m) l e fibre inversibl e trivia l A 1 x A 1 su r A 1 muni d e Pactio n equivariant e d e G m defini e pa r l e caracter e A ^ A m . D'apres l e lemm e 4.8(i) , £ peu t s'ecrir e comm e un e somm e direct e d e facteur s egaux a G{m') o u 0{m") e t i l suffi t d e traite r l e ca s o u £ — 0(m f) o u £ = 0{m"). Si £ — 0(m'), o n a £o = £Q , £Q ' = 0 , i ; = 0 e t u es t u n isomorphisme . Si £ = 0(m n), o n a £ Q = ^o' ? ^ o = ^ , ^ = 0 e t v es t u n isomorphisme . •

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

96

4 . 5 . D e c o m p o s i t i o n d ' u n c o n v e x e e n t i e r e n f a c t e u r s e t fibres e q u i v a r i a n ts Comme dan s l a second e parti e d u paragraph e 2.4 , o n consider e ic i u n convex e entier N n + 1 | i 0 + • • • + i n = r}

S c S r>n = { ( i 0 , . . • , i n) G

qui es t d e codimensio n p > 1 dans 5 r ' n . O n ecri t le s decomposition s d u lemm e 1 . 7 : p

{0, l , . . . , n } = ] J J * ave c \Ji\ = 7 ^ + 1 , i=0

r = r 0H h r

p,

»b = D o X • • • X o

p,

ou chaqu e 5^ , 0 < z < p , es t u n pav e entie r dan s " = ^ (*«)a 6 J, € N J
A% . O n a : LEMME 4.1 4 . II y a une immersion fermee As' x au-dessus de

A s qui

AS>

A

s

-^A

est equivariante relativement

naturelle s

aux

actions de A% et a fortiori

Si 5 est un pavage entier convexe de S et S_ f designe le pavage induit de S', le morphisme induit entre les fibres au-dessus de a^ consiste a identifier A s x ^ s ' as' au sous-schema ferme invariant de A s x As a # qui est la reunion des orbites (sous GJ^ +1 ) associees aux facettes de S_ qui sont contenues dans S f. Le morphisme entre champs toriques qui s'en deduit As'/A^xAS,/As,As/As0^As/As0 associe a tout triplet constitue d'un pavage S_ f de S', d'une facette U f de S_ f et d'un pavage S_ de S dont la trace dans S f est 5 ' le couple ( 5 , U') oil U' est vue comme une facette de S.

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4.6. R E S T R I C T I O N S AU X FACE S

DEMONSTRATION.

101

Consideron s dan s A s Porbit e A?

0s

,^ associe e a u coupl e

f

(0,S") form e d u pavag e trivia l 0 d e S e t d e s a facett e S . L e fixateur dan s A 0 — G ^ / G m d e so n poin t distingu e cx^^s') es t l e quotien t pa r G m d u sous-tor e de s fonctions S —> G m qu i sont affine s su r S e t constante s su r S' . L e quotient d e A% par ce fixateur s'identifi e don e a u produit fibre A% x^s f A% et l'adherenc e schematiqu e A?0 s ,s d e A? 0 5 ,x dan s A s es t un e variet e toriqu e d e tor e A% x As' A s

0.

s

Son con e es t celui de s couple s (v',v) o u v' G C /K , v G C /C 0 e t v',v on t meme imag e dan s C s /C 0 . Sa decomposition polyedral e es t indexe e pa r le s couple s (U',S) forme s d'u n pavag e entie r convex e S_ de S e t d'un e facett e U' d e S_ contenue dans S'. U n vecteur (V , v) es t dan s l e cone associe a {V,S) quan d v G C§/C 0 e t U' est l a parti e d e S f o u n'import e quell e representant e S' — * R d e v' pren d s a valeu r minimale. Cec i prouv e qu e A

* S' X

(0,S') =

S

AS' A

.•

A parti r d e c e lemme, o n obtien t immediatemen t : COROLLAIRE 4.15. Pour S C 5 r ' n un convexe entier et S f une face de S comme dans le lemme precedent, associons a tout schema X muni d Jun morphisme X -+ A s/A% et a tout fibre £ de rang r et G 7^1 -equivariant sur XX

A*,A* A

S

IA%

le fibre de rang r et G 7^1 -equivariant sur XX

AS'/A%' &'l*%

qui est Vimage reciproque de £ par le morphisme xX

AS'/A%' A

s

'/As0 -

+X x^

s/jl|

A

s

/A%

deduit des morphismes equivariants A s— > A 5 et As' x

As
A s.

Cela definit un morphisme de champs algebriques Vec —* s

au-dessus de A /'A%— > A

s>

Vec

jA%.

DEMONSTRATION. L a seul e chos e a verifie r es t qu e le s propriete s (* ) d u lemme 4. 6 son t conservees , mai s e'es t evident . •

Considerons maintenant u n convexe entier S d e 5 r , n e t un pavage entier convex e SdeS. Comme dans le paragraphe 2.6 , on note A— l a variete torique des pavages entier s convexes d e S qu i raffinen t 5 . So n tor e A^ es t l e quotien t d e G^ pa r l e sous-tor e (G^)s de s fonctions S — • G m don t l a restriction a toute cellul e de 5 es t affine . Ell e est plonge e dan s A s comm e sous-schem a ferm e invariant .

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102

4. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

Si S' es t un e facett e d u pavag e 5 , o n a v u qu e rhomomorphism e d e restrictio n G* - G

S m

induit u n morphism e equivarian t d e variete s torique s

A^^AS'. En notan t ^4 — le produi t fibre A s x G^/Gm e t don e d e G ^ + \ o n a :

As

A—

LEMME 4.1 6 . II y a une immersion fermee s

A'x au-dessus de

AS>

mun i d e Tactio n naturell e d e A% =

naturelle

A^^M

A— qui est equivariante relativement

aux

actions de A% et a fortior i

deGtf1Si U_ est un pavage entier convexe de S qui raffine S_ et U_ f designe le pavage induit de S', le morphisme induit entre les fibres au-dessus de ajj consiste a identifier As x^s' C*JJ> au sous-schema ferme invariant de A— x As_ajj — As x As au qui est la reunion des orbites (sous G 7^1 ) associees aux facettes de U_ qui sont contenues dans S' '. Le morphisme qui s'en deduit As'/As0 x

As>/As>

A^/A%

-

> M/A s0

A s/A%

associe a tout triplet constitue d'un pavage U_ de S', d'une facette U' de U_ et d'un pavage U_ de S raffinant S_ dont la trace dans S' est Jf le couple (U_, U') ou U' est vue comme un facette de U_. D E M O N S T R A T I O N . Ell e es t semblabl e a cell e d u lemm e 4.1 4 . Dans l a variet e toriqu e A s', o n consider e l'adherenc e schematiqu e Af l'orbite A?

ss

ss

,^ d e

,^ associe e a u coupl e form e d u pavag e 5 e t d e s a facett e S'. C'es t u n

sous-schema ferm e invarian t d e A s qu i es t conten u dan s A—. D'autre part , c'es t un e variet e torique . So n tor e es t l e quotien t d e G ^ pa r l e sous-tore (G^j^s' de s fonction s S — > Gm don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e 5 est affin e e t don t l a restrictio n a S f es t constante . I I s'identifi e a A% x As' A^. E t son con e es t celu i de s fonction s v : S — > R don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ est convexe , modul o le s fonction s S — > R don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ est affin e e t l a restrictio n a S' es t constante . On e n dedui t un e identificatio n A

(S,S>) =

AS

'X

AS' A ~- D

Considerant toujour s u n convex e entie r S d e S r,n e t u n pavag e entie r convex e r

s

r

§

5 d e 5 , o n not e Vec ' ~ l e sous-cham p ferm e d e Vec ' obten u pa r l e changemen t d e baseA£/A%-+As/A%. A tou t schem a X mun i d'u n morphism e X — > A—/A%, i

l associ e l e groupoi'd e

+1

des fibres GJ^ -equivariants d e ran g r su r X x A s _ , A s A—/A% qu i verifien t l a pro priete (* ) d u lemm e 4.6 . On dedui t immediatemen t d u lemm e 4.1 6 :

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

103

COROLLAIRE 4.1 7 . Pour S C S r,n un convexe entier, 5 un pavage entier convexe de S et S f une facette de S_ comme dans le lemme precedent, associons a tout schema X muni d'un morphisme X - > A^/A% et a tout fibre £ de rang r et Q 7^1 -equivariant sur xx

le fibre de rang r et GJ^

+1

AyA% A-IA&

-equivariant sur x

*AS'/A%>

S

A

'IA%

qui est Vintage reciproque de £ par le morphisme XX

X

-

AS'/A%' &'l*%

X

A1 /A% A-IA%

A— —> • A et

deduit des morphismes equivariants

As' x As> A^^M. Ceci definit un morphisme de

champs algebriques Vec—

au-dessus de

A-/A% —

> Vec

s

> A ' IA%. D

4.7. U n i v e r s a l i t y d u fibre e q u i v a r i a n t c a n o n i q u e r,n

On a v u dan s l e corollair e 4. 7 qu e s i S C S EQ(&- • -(BE n es t u n espac e gradu e te l qu e r — d?Q s

le fibre equivarian t canoniqu e £ su r Q S,E

\l—

a X

S

n

S

^ S

j A% defini t u n morphism e

A /A ^

,—-r,

es t u n convex e entie r e t E = i _ r a | = r a < rgE a, 0 < a < n,

S

> Vec

au-dessus d e A s /A%. Nous allon s prouve r dan s c e paragraph e qu e c e morphism e es t liss e e t qu e so n image es t u n ouver t Vec r'S qu i perme t d e reconstitue r completemen t Q ' . r

g

Considerons pou r cel a u n poin t arbitrair e d e Vec ' a

valeur s dan s u n schem a

s

X mun i d'u n morphism e X — * A '/ A% ; i l consist e e n u n fibre £ localemen t libr e de ran g r e t GJ^

+1

-equivariant su r X — X x ^

s/

^sA

s

j A% qu i verifi e l a propriet e

(*) d u lemm e 4.6 . Pour tou t a , 0 < a < n , noton s S a C 5 r ' n = { ( i 0 , . • . , i n) € N n + 1 | i 0 + • • • + 2 n = r } l a fac e d e S qu i es t defini e pa r l'egalit e i a = r a. D'apre s l e lemm e 4.1 4 e t le corollair e 4.1 5 , o n a un e immersio n ferme e GJ^ 1 -equivariante canoniqu e X x ^ a / i | « A sa/As0a + X x ^ s / ^ s A s/A% = X et o n peu t considere r l e fibre G^ + 1 -equivariant £s S']. Prouvons alor s pa r recurrenc e decroissant e su r le s pave s S f qu e l'homomor phisme donn e su r Y so s e prolong e d e manier e uniqu e su r Y >s/ e t Y>s f. Supposons l e prolongemen t £ —> £o [resp

. £' —> £o, resp . £Q —> £Q]

deja construi t su r Y >sf- I I s'agi t d e montre r qu'i l y a u n uniqu e homomorphism e equivariant us' £ —> £o [resp

. £' — > £§, resp . £Q —> £Q]

f

sur l a variet e toriqu e Ys comcidan t ave c l'homomorphism e vP s, donn e su r l e sous schema ferm e connex e invarian t Y$' r\Y >sf = Yg,. Pour t o u t somme t i d u pav e 5 ' , noton s ic i a^ G Ys< l e poin t (fix e pa r GJJ+ 1 ) associe e t Y| , l'uniqu e ouver t affin e invarian t d e Ys> qui contien t a^. Le s Yg, formen t un recouvremen t d e l a variet e toriqu e Ys* • Si i G S" ° = { ( i o , . . . ,i n) E S' \ io = r — d?0 n | _ r 0 | } , l e con e M de s carac teres d e GJ^ +1 qu i son t dermi s su r Y^, es t constitu e d'element s ( m o , m i , . . . , m n ) G Z n + 1 qu i verifien t e n particulie r m$ + • • • + m n = 0 e t m o < 0 . L'uniqu e carac tere pa r leque l G^ 1 agi t su r l a fibr e d e £o e n a * es t ( 1 , 0 , . . . , 0) e t le s carac teres qu i apparaissen t dan s l a decompositio n d e l a fibre d e £,£' o u £Q son t le s ( 0 , . . . , 0 , 1 , 0 , . . . , 0) . Autremen t dit , G ^ + 1 agi t su r le s espace s d e section s T(a^ £Q) d'une par t e t T(a^ £ ) , r ( a ^ , £') o u T(a^ £$) d'autr e par t pa r le s caractere s inverse s (—1, 0 , . . ., 0 ) e t ( 0 , . . . , 0 , —1 , 0 , . . . , 0 ) respectivement . O n dedui t d u lemm e 4.8(ii ) qu e l'homomorphism e donn e entr e le s fibres e n Oii se relev e d e manier e uniqu e e n u n homomorphism e GJ^ +1 -equivariant us' su r I'ouvert Y^,. Comm e ce s relevement s son t auss i caracterise s pa r leur s restriction s a n'importe quell e orbit e associe e a un e facett e d e S' contenu e dan s 5 / 0 , il s coinciden t sur le s diverse s intersection s d e ce s Y| , e t s e recollent . Passons maintenan t a u n i G S' Q = { ( i o , . . . , i n ) £ S' I io = ^fo>} - L'homo morphisme us' es t dej a bie n defin i su r 1 'orbit e ouvert e d e Yg, e t o n doi t montre r qu'il s e prolong e (d e fago n necessairemen t unique ) su r Y^, tou t entier . Ic i encore , les caractere s d e G ^ + 1 qu i apparaissen t dan s l a decompositio n d e l a fibre e n a^ d e £o (g ) £-> £o ® £' o u £Q (g) £Q son t le s (1 , 0 , . . ., 0 , — 1, 0 , . . ., 0 ) e t ( 0 , . . . , 0) . Comm e i G SQ , tous son t dan s l e con e de s caractere s qu i son t p a r t o u t bie n defini s e n t a n t que fonction s su r Yg, e t i l e n result e qu e tout e sectio n invariant e d e £Q ® £, £o ® £' ou £Q ® £Q su r l'orbit e ouvert e d e Y^ f s e prolong e su r t o u t Y|, . Plagons-nous enfi n su r I'ouver t Yg, associ e a u n somme t i d e S' qu i n'es t n i dans 5 / 0 n i dan s S f0. O n a necessairemen t a ^ G Y^/. I I exist e u n bor d S" d e 5 ' qu i contient i e t qu i es t defin i dan s S' pa r un e equatio n d e l a form e V ^ i a = d j ave

c0 ^ J .

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

107

L'orbite associe e a c e bor d S" es t contenu e dan s Yg, e t don e r h o m o m o r p h i s m e equivariant us* es t dej a bie n defin i su r so n adherenc e schematiqu e dan s Yg,. C o m m e Yg, es t affine , i l s e relev e e n u n homomorphism e equivarian t (v u comm e sectio n invariante d e £ 0 0 £ , £ o (g ) £' o u £Q ® £Q) s u r tou t Yg,. D e plus , i l result e encor e un e fois d u lemm e 4.8(h ) qu e c e relevemen t es t uniqu e e t caracteris e pa r s a restrictio n a l'orbit e associe e a S" . I I s e recoll e automatiquement . On a fini d e construir e l'uniqu e prolongemen t d e notr e homomorphism e equi variant d e Y >s' a Y>s f e t cel a termin e l a demonstratio n d u lemm e 4.2 0 e t don e d e la propositio n 4.1 8 . • Considerons encor e u n pavag e convex e entie r S_ d'un convex e entie r S d e S r,n. Sous Tactio n d e GJ^ +1 , l a fibre projectiv e A s x^s as_ es t decompose e e n orbite s indexees pa r le s facette s S' d e S_ et chacun e a u n poin t distingu e as_,s'Si S' es t un e facett e de S_ et I un e parti e no n trivial e d e { 0 , 1 , . . . , n } , o n not e toujours Sj l a fac e d e S' defini e pa r l'equatio n Ylaei ^ ~ ^i dan s &'• Et o n design e par hi rhomomorphism e G m — • G ^+ 1 don t l a composant e d'indic e ce , 0 < a < n , est A »—>• A si a E I e t A *—» 1 s i a £ I. L e morphism e Gm - > As x

As

A H hi(X) • as,s

as_

se prolong e su r A 1 e t envoi e 0 su r a$,s'

c

e

f

qu'o n peu t ecrir e

lim ft/(A) -a^s' = « 5 , S ' j

-

Si maintenan t £ es t u n fibre localemen t libr e d e ran g r e t GJ^ + 1 -equivariant su r Xj^s as_ qui verifi e l a propriet e (* ) d u lemm e 4.6 , Tactio n d e G m vi a hi su r l a fibre £s,s' d e £ au-dessu s d e as,S' n e ^ a ^ interveni r qu e le s deu x caractere s A — i >1 et A — i > A . D'apres l e lemm e 4.9 , rhomomorphism e hi indui t don e deu x application s lineaires %,S'—

• £s_,S'j

£s_,s'j— > £s_,s' de rang s respectif s r — df e t d f don t le s noyau x e t image s son t egau x dan s £5,5 ' et £s,s' r On dedui t d e l a propositio n 4.1 8 : r

5

COROLLAIRE 4.21 . Considerons un point arbitraire de Vec ' d valeurs dans un schema X, consistant en un morphisme X — > A s /A% et un fibre £ de rang r et G7^1 -equivariant sur

X = X x^

(i) Les conditions suivantes (1) L'homomorphisme

s

, ^ s A s/A%. Alors

sont G^

1

:

equivalentes : -equivariant de

la proposition 4.1

8

n a=0

est un plongement dont le conoyau est localement libre. (2) Apres tout changement de base par un point geometrique de X dont Vimage dans A s /A% est un pavage entier convexe S_, on a pour toute facette S f de S_ et toutes parties I', J non triviales de { 0 , . . . , n} I n J = 0 = > Im(% £s.s>) H Im(£s.& - > £s,s') = 0 .

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

108

(3) La condition de (2 ) est verifiee par les facettes S' de 5 qui sont des cellules {de dimension maximale egale a celle de S) et les parties I, J de la forme I = { a } , J = { 0 , . . . , n} - {a}, 0 (ii) Pour que les conditions equivalentes r

de

< a < n.

(i ) soient verifiees,

il

faut et il

g

suffit que X —* Vec ' se Vecr>s de Vec

factorise a

travers un certain sous-champ ouvert

(i) Montron s don e l'equivalenc e de s condition s (1 ) , (2 ) DEMONSTRATION. et (3) . (1) = > (2) . S i l a conditio n (1 ) es t verifiee , ell e l e rest e apre s tou t changemen t de l a bas e X , e n particulie r pa r u n poin t geometrique . Pa r consequent , o n peu t supposer qu e X es t u n poin t geometriqu e qu i s'envoi e su r u n pavag e entie r convex e SdeS. Pour un e facett e S' d e S_ et un e parti e no n trivial e / d e { 0 , . . . , n } , noton s su

£'s s , l e sous-espac e d e £s,s'

r

leque l G m c —> GJ^ +1 agi t trivialemen t e t £'$ s, l e

sous-espace supplemen t aire su r leque l i l agi t pa r A i—• A. L a fibre d e ® ^ = 0 P x ^ e n ^ + 1 agi t su r 0 le poin t as,s'j es t 0 ™ = o £ a e t ar +1 (&a#j£a P A i—• 1. L e plongemen t GJ^ -equivariant

a G /

£

OL

pa r A — i > A et su r

n

a=0

induit u n plongemen t 0-

en

-^ °s_,s ,I

eaei°

a

C •

%

S_,S'I

.

0 a = O £ G 1 + 1 su r £ e t © ^ = o P x ^ * # Dan s 0 Q = Q ^ Q consider e comm e u n espac e ambiant , on a don e l'egalit e Im(£s,s> - £s,s>)

= £s,s>

n 0

4

et cel a prouv e l a conditio n (2) . (2) => (3 ) es t tautologique . (3) => 1( ) . D'apre s l a propositio n 4.1 1 , o n peu t suppose r qu e S C S r,n es t un pav e entier , e'est-a-dir e u n convex e entie r d e dimensio n maximal e n. D'autre part , (1 ) es t verifie e s i e t seulemen t s i l'homomorphism e equivarian t n

a=0

induit u n plongemen t e n tou t poin t geometriqu e d e X fixe pa r G ^ + 1 . O n peu t supposer encor e qu e X es t u n poin t geometriqu e qu i s'envoi e su r u n pavag e S_ d e 5 , c t i l suffi t d e montre r qu e pou r tou t cv > 0 < c\ < n. e t tout e facett e S f d e 5

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

109

ou l a coordonne e i a es t constant e (c'est-a-dir e don t l a decompositio n associe e d e { 0 , . . . , n } compren d l e singleto n {»}) , l'homomorphism e entr e le s fibre s e n a^s' £s,s'— > £ot induit u n plongemen t dan s £ a d u sous-espac e £$$, d e £s_,s' es

ou

l e fixateur ( G ^

+1

)s/

a

agit pa r l e caracter e Xs ' (qu i ^ ^ projectio n su r l e facteu r G m d'indic e a). Quitte a renumeroter , o n pen t prendr e a — 0. Mettons encor e un e foi s su r I'ensembl e de s pave s S' d e S_ un ordr e tota l qu i verifie le s propriete s d u lemm e 4.1 3 . Pou r tou t pav e 5 ' , o n not e S" ° e t S f0 se s face s definies pa r le s egalite s z o = r — d? 0 n }_/o} e ^ ^ ° = ^fo v Montron s pa r recurrenc e decroissante su r S f qu e le s deu x homomorphisme s

sont injectifs . Pou r l e premier , cel a result e d e l a definitio n d e £Q quand 5 / 0 C S° e t de l'hypothes e d e recurrenc e quan d S f0 % S°. Pou r l e second , o n remarqu e qu'o n a un diagramm e commutati f c{0}

°S,S'°

^ £0

£0

^ £0

ou le s monomorphisme s horizontau x d e gauch e son t dermi s pa r /i{ 0} : G m ^ ^ m +1 et le s epimorphisme s horizontau x d e droit e pa r /i{i v .. ? n }: G m c ^ G J ^ 1 selo n l e lemme 4.9 . La conditio n (3 ) di t qu e l e compos e £$ $, —- » f^ J / 0 es t injectif . O n conclu t comme voul u qu e £g J ,— » £ 0 es t injecti f puisqu'o n sai t dej a qu e £g g, 0 — • £0 l'est . Cela termin e l a preuv e d e (3 ) => (1 ) . (ii) L a conditio n (1 ) d e (i ) defini t u n sous-cham p ouver t Vec

T:S

d e Vec ' ca r

r5

etant donn e u n poin t arbitrair e £ d e Vec ' a des point s d e X o u l'homomorphism e

valeur s dan s u n schem a X , I'ensembl e

n

oc=0

est injecti f es t u n ouver t e t X es t u n schem a propr e su r X. • Dans l a discussio n qu i preced e l'enonc e d e l a propositio n 4.1 8 , o n a v u comm e r

g

consequence d e l a propositio n 4.1 1 qu' a tou t poin t £ d e Vec ' a valeur s dan s u n schema X son t associe s de s fibre s £ a , 0 < a < n , d e rang s r a su r X. Si pou r t o u t entie r r' , o n not e Vec r l e cham p de s espace s vectoriel s d e ran g r' (c'est-a-dire l e classifian t d e G L r / ) , cel a signifi e qu'o n a u n morphism e nature l n -r,S

Vec -

Yl

Vec r «

rv= 0

Pour E' u n espac e vectorie l d e ran g > r ' , o n a u n morphism e d'oubl i d u plongemen t G r r / ' ^ - + Vec r

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

110

il es t liss e d e dimensio n r' rg(E') e t se s fibre s son t homogene s sou s Tactio n d u groupe A u t ( £ " ) . Nous pouvon s maintenan t montre r : THEOREME 4.22 . Soient S un convexe entier de S r'n et E = E 0® • • • 0 E n un espace gradue tel que rgE a > r a = r — d? Q n \-fa\> 0 < a < n. Alors le morphisme du corollaire 4. 7

ns'E -* v^' s se factorise a tesien

Vec r ' et

travers le sous-champ ouvert

il s'inscrit dans

un carve car-

Vec r's

ff'^ > D

ni:=o Gr--*-—-n: = 0 vec(ou la fleche verticale de gauche est celle consideree au paragraphe 2.7) . En particulier, le morphisme Q ' — > Vec T:S est surjectif et lisse de dimension YlZ=o T( * rS ( ^ * ) e t ses fibres sont homogenes sous Vaction du groupe Aut(E'o ) x • •• x Aut(E n). D E M O N S T R A T I O N . O n doi t montre r qu e l e morphism e O ' — > Vec ' s e facto rise a traver s I'ouver t Vec r , , s , qu e l e carr e nS'E *

Vec

rs

'

n:=0Gr-^—-nLoVecest commutati f e t enfi n qu'i l es t cartesien . D'apre s l e lemm e 2.1 2 , i l suffi t d e consi derer l e ca s o u pou r tou t a , 0 < a < n , E a es t d e ran g r a = r — d?{0,...,n}-{a} si ( bien qu e l e schem a G r

rQ a

'

es t trivia l redui t a u n point .

Rappelons commen t a et e construi t l e fibr e equ i variant canoniqu e £ Q

X

S

S

A /A A

s

s

su

r

s

j A% qu i defini t l e morphisme Q ' — > Vec ' au-dessu s d e A / A% :

on es t part i d u fibr e canoniqu e d e ran g r su r l a grassmannienn e Gr r ' , son imag e reciproqu e pa r l e morphism e

o n a form e

puis o n es t pass e a u quotien t pa r Pactio n d u tor e A%. O r l e fibre canoniqu e d e ran g r sur Gr r ' es t naturellemen t mun i d'u n plongemen t dan s l e fibre trivia l EQ(B- • -(&E n. On e n dedui t qu e £ s es t egalemen t mun i d'u n plongemen t GJ^ + 1 -equivariant dan s le fibr e trivia l ega l a E o ® - " ® E n . P a r unicit e de s homomorphisme s equivariant s £— > £ a construit s dan s l a propositio n 4.1 8 , o n voi t qu e le s £ a son t canoniquemen t isomorphes au x E a e t qu e l'homomorphism e £ — > @™ = 0 £ a es t p a r t o u t u n plonge ment. Cel a montr e a l a foi s qu e ft ' s'envoi e dan s I'ouver t Vec r,s d e Vec ' e t qu e

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4.7. UNIVERSALIT E D U FIBR E EQUIVARIAN T CANONIQU E

111

le carr e QS'E ^

Vec r>s

n la=0 LoVecest commutatif . Le produi t fibre Vec r,s X(Y\ n_ vec r ^) # e s t u n cham p algebriqu e qu i n' a pa s d'au tomorphismes, don e e'es t u n espac e algebriqu e (voi r l e corollair e 8.1 . 1 d u livr e [Laumon e t Moret-Bailly , 2000]) ; i l es t separ e ca r i l verifi e l e criter e valuati f d e separation. Comm e Q ' es t u n schem a projectif , l e morphism e TlS,E ^Vec

rS

' x{m^Vecra).

est lui-mem e projectif . Pou r montre r qu e e'es t u n isomorphisme , i l suffi t d e prouve r r #a que tou t poin t £ d e Vec r,sX(nn_ Vec ^) valeur s dan s u n annea u artinie n A s e releve dan s O ' d e manier e unique . Un te l poin t £ consist e e n u n morphism e Spe c A — > A s jA%, u n fibre G ^ equivariant e t localemen t libr e d e ran g r su r Spec^ l x As/As A

s

+1

-

' / A% qu i verifi e l a

propriete (* ) d u lemm e 4. 6 e t qu'o n not e auss i £ e t u n homomorphism e lineair e G^ + 1 -equi variant e t partou t injec t if su r Spe c A ~>< As/js A s / A% n

On rappell e qu'o n fai t agi r GJ^ +1 su r chaqu e facteu r E a pa r so n caracter e (Ao, • • • , A n )— i > X a. Rappelons d'autr e par t qu e d'apre s l a propositio n 4.3(i) , o n a un e immersio n fermee equivariant e naturell e As ->A

S

xP((A

1

)5).

Or l'espac e projecti f P ( ( A 1 ) 5 ) es t mun i d u fibre inversibl e 0(—l) don t l a fibre e n n'importe que l poin t d e P((A 1 )' 5 ) v u comm e un e droit e vectoriell e d e ( A 1 ) 5 es t l'ensemble de s vecteur s d e cett e droite . Su r c e fibre, i l y a Tactio n d u tor e GJ^ +1 definie pa r G^+1 x (A 1 )5 - > (A 1 )5 ( ( A 0 , . . . , A n ), {xi) ies) >-

> (AQ ° • . • K?Xi)i=(io,--.,i

n)es-

Par imag e reciproque , o n obtien t su r A^ u n fibre inversibl e G J ^ - e q u i v a r i a n t qu e n Ton not e encor e < 5 ( - l ) . Pou r tou t n G Z, o n peu t note r &(n) = 6(-l)®(~ \ s Soit S_ le pavag e entie r convex e d e S qu i es t l'imag e dan s A jA% d u poin t ferme d e Spe c A. Pou r tou t somme t i d u pavag e 5 , l e poin t distingu e as.i d e l a fibre A" x ^ s as qu i correspon d a i a pou r imag e dan s p ( ( A 1 ) " ) l e poin t don t toutes le s coordonnee s son t 0 sau f cell e d'indic e i. I I e n result e qu e l e tor e G ^ +1 agit trivialemen t su r l a fibre e n l e poin t a^i d u fibre inversibl e (A r £) (g ) 0(1). A fortiori, pou r tout e facett e 5 " d u pavag e 5 , l e fixateur ( G ^ 1 ) ^ / agi t trivialemen t sur l a fibre e n as,s' &e (A r £) (X ) 0(1 ).

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

112

On conclu t alor s d'apre s l e lemm e 4.1 2 qu'i l y a u n isomorphism e equivarian t sur Spe c A ^ AsjX% A

s

jA% 0(-l) -^A

r

£ = det £

et qu e ce t isomorphism e es t uniqu e a multiplicatio n pre s pa r u n elemen t inversibl e de A. Considerons maintenan t rhomomorphism e equivarian t compos e

O(-l)^A7^Ar(£0®-®£n)= 0

A

1

^.

r n

ies > et se s composante s d'indice s le s element s i G S r'n

d(-l)-^AlE.. Si o n le s ecri t dan s un e bas e d e A 1 ^ . , o n voi t qu e ce s composante s son t formee s d'elements d e

H°(SpecAxAS/JszAs/As0,d(l))Xi c'est-a-dire d e section s d e 0 ( 1 ) su r Spe c A X GJ^

+1

S S A /A

s

^

/A% su

r lesquelle s l e tor e

agi t pa r l e caracter e Xi:(Ao,-..,An)^A»°...AJr

O U i = (io,...,*n) . Or o n a l e lemm e suivan t : LEMME 4.23 . Soient S_ un pavage entier convexe d'un convexe entier S de S r,n et i = (io,...,i n) un point de S r'n. Alors, dans les espaces de cohomologie de s (9(1) sur Ys_ = A x As as_, les parties sur lesquelles G 7^1 agit par le caractere \% verifient : (i) Si i £ S, on a H°(Ys,O(l))Xi=0 et

H

l

(Ys,O(l))^=0.

(ii) Si i G 5, on a H1(YtL,O(l))Xi=0, Vespace H°(Y^ 0 1( )

) est

de dimension 1

et il est engendre par le mor-

phisme qui est la projection de

(A 1 )" 5 sur sa composante d'indice

i.

D E M O N S T R A T I O N D U L E M M E. Pou r tout e facett e S' d e 5 , o n not e Y s> l e sous schema ferm e invarian t d e Ys_ qui es t I'adherenc e schematiqu e d e l'orbit e d u poin t a s_,S' s o u s l'actio n d u tor e G ^ + 1 . Le s Ys> sont de s variete s toriques . Le schem a Ys_ e t se s sous-schema s ferme s Y$' son t plonge s dan s P ( ( A 1 ) S ) d'apres l a propositio n 4.3(i ) s i bie n qu e l e fibre inversibl e equivarian t 0 ( 1 ) su r Ys_ e t le s Y$> es t tre s ample . Pou r tout e facett e S' d e 5 , cel a signifi e d'apre s l e theoreme 1 3 d u § 3 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 ] qu e l a fonctio n lineair e pa r morceaux associe e a 0 ( 1 ) su r l e compiex e polyedra l rationne l d e l a varict c toriqu e

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

113

Ys' es t strictemen t convexe . Comm e Ys> est propre , so n complex e polyedra l ration nel es t I'espac e vectorie l tou t entie r engendr e pa r le s caractere s (voi r l e theorem e 8 du § 2 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973] ) e t a fortiori i l es t convexe . O n dedui t alor s du corollair e 2 d u § 3 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 ] qu e

W(Ys,,O(l))=0, V i > l

.

Enfin, tou t sous-schem a ferm e invarian t Y de Ys^ est reunio n d'u n nombr e fini d e schemas Ys' associe s a de s facette s S' d e S_ e t o n obtien t pa r devissag e Hl(Y,d{l)) =

0 , Vz

>1 .

Cela es t vra i e n particulie r pou r Y — Ys_. Interessons-nous maintenan t au x espace s d e section s i J ° ( Y s / , 0 ( l ) ) su

r les -

quelles l e tor e G 7^1 agi t pa r l e caracter e \% '• (Ao > • • • -> An) ^- * AQ ° . .. AJj \ Comme le s Ys' son t de s variete s torique s e t le s 0 ( 1 ) de s fibres equivariant s inversibles su r celles-ci , les H° (Ys' , 0 ( 1 ) ) s o n f d e dimensio n 0 ou 1 . Par ailleurs , il s contiennent l e morphism e 0 ( — 1) — ^ A 1 d e projectio n d e ( A 1 ) 5 su r s a composant e d'indice i , e t c e morphism e es t no n nu l s i e t seulemen t s i i G S'. On voi t don e qu e s i i £ S" , I'espac e H°(Ys', 0 (1 ) ) es t d e dimensio n 1 e t engendre pa r Xi. On preten d d'autr e par t qu e s i i ^ S' , alor s

H°(Ys.,d(l))Xt=0. En effet , remarquon s d'abor d qu e s i i n'es t pa s dan s l e sous-espac e affin e d e IR r ' n engendr e pa r S" , l e noya u d e \% n e contien t pa s l e noya u d e Tactio n d e GJ^ +1 sur 0 ( 1 ) restrein t a Y$> et o n a necessairemen t

H°(Ys,,d(l))Xi=0. Supposons don e qu e i es t dan s l e sous-espac e affin e engendr e pa r S f. L'eventail qu i deflni t l a variet e toriqu e Ys* es t un e decompositio n d e I'espac e des fonction s affine s £: S f— > K . modulo le s fonction s constante s : une fonctio n affin e £: S f— > R es t dan s l e con e convex e polyedra l associ e a un e fac e S" d e 5 ' s i S" es t l'ensemble de s point s o u £ prend s a valeu r minimal e mms'(£) su r 5 ' . Pour qu e H° ( l ^ / , 0 ( 1)) ^ 0 , il faudrait qu e pou r t o u t e fonctio n affin e £ : S' — > R prolonge e canoniquemen t su r I'espac e affin e engendr e pa r S' , o n ai t £(i) — mms f(£) > 0 . C e n'es t pa s vrai , e t don e H°(Y S>, 0 ( 1 ) ) = 0. On dedui t immediatemen t d e c e qu i preced e qu e s i i £ 5 , o n a

H°(Ys,O(l))Xi=0. Si a u contrair e i G S, noton s S^ l a plu s petit e facett e d u pavag e 5 qu i contien t le poin t i. Pou r tout e facett e S' d e S_ qu i n e contien t pa s S| , o n a

H0(Ys/,O(l))x=0, et pou r tout e facett e S' qu i contien t S^ I'espac e H° ( y S / , 0 ( 1 ) ) es

t d e dimensio n

1, se s element s son t de s multiple s d e Xi_ et le s coefficient s d e proportionnalit e n e

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

114

dependent qu e des restrictions de s sections a Y$'. c -^ Ys'• O n en dedui t qu e l'espac e H°(Ys_, 0(l)) es

t d e dimensio n 1 et engendr e pa r AQ .

Cela termin e l a demonstratio n d u lemme . • F I N D E LA DEMONSTRATION D U THEOREME 4^22 . O n peu t choisi r u n releve ment Spe c A— » As d u morphism e Specv 4— » As /A%. s Pour tou t poin t x d u schem a Spe c A x As/js A '/A% = Spe c A x As A s a valeurs dan s u n schem a X , l a restrictio n a X d e £ v u comm e sous-fibr e d e ran g r de EQ 0 • • • 0 . En — E defini t u n point d e la grassmannienne G r r ' a valeur s dan s X. Si o n not e Xi, i £ 5 , le s coordonnee s projective s d e l'imag e d u poin t x dan s P ( ( A 1 ) 5 ) , i l resulte d u lemme preceden t qu e les coordonnees d e PKicker dan s A r E = ®iesr>n k-E % d u poin t X — > Grr , £ ; son t d e l a form e

ou le s di, i E S, son t de s point s de s A 1 ^ . a valeur s dan s A qu i n e dependen t qu e du morphism e O(-l) -^- » Ar £ c —> Ar E e t pa s de x. Considerons l e cas ou x es t l e point a^s' associ e a un e cellule S r d u pavag e 5 . Notant £s_,s' l a fibre d e £ e n c e point, o n a l e plongemen t

Comme o n a v u dan s l a demonstratio n d u corollair e 4.2 1 (i), pou r tout e parti e no n triviale / d e { 0 , 1 , . . . , n } , l'intersectio n d e £s_ :s' a v e c El — @aei ^a s'identifi e a u facteur £g s , d e l a fibre £s,s' s u r leque l l'homomorphism e hj : G m— » G ^+ 1 (don t les composante s d'indice s a , 0 < a < n , son t A ^ A s i a G / e t A ^ l sinon ) agi t par l e caracter e A — i > A. Comm e £ verifi e l a conditio n (* ) d u lemm e 4.6 , chaqu e telle intersectio n £s_,s' ^ Ej e s ^ d e dimensio n dj 1 = dj e t l e poin t £s_,s f d e G r r ' est dan s l a cellul e d e Schuber t minc e G r J, . Cela impos e qu e tou s le s a^ i G 5 , son t de s point s a valeur s dan s A de s A-i£ # — {0} et pri s ensembl e il s definissent u n poin t a valeur s dan s A d e

/xG

m

\ U(AiJ5.-{0}) .

On preten d qu'i l es t dan s l e sous-schema ferm e Q S,E. Pou r cela , i l faut reveni r a l a constructio n explicit e d e Q S,E dan s l a demonstratio n d u theorem e 2.4(i ) : on considere n'import e quell e cellul e S' d u pavag e S_ et un e famille generatric e es f d e S1'. Elle defini t u n scindag e A% — > *Aj| de la suite exact e 0 — » ( G ^ ) 0 / G m— > . 40— > *A0— » 1 qui se prolonge e n un e section s d e A s —* A s bie n defini e a u voisinag e d e l'orbite ^4 § et e n particulie r su r Spe c A D'apres c e qu'o n vien t d e voir , l e poin t ( a ^ J ^ s dan s

As x Gm \ Hi^E. -

{0} )

\ies multiplie pa r l e uple t de s coordonnee s d e l a sectio n s es t u n poin t d e ( Sm\(E[iG5 r n A 1 ^ ) — {0} qui represent s l e poin t d e Gr r ' a valeur s dan s A qu i est l'imag e reciproqu e de £ c -^ EQ © • • • © E n = E su r Spe c A vi a l a sectio n s: Spec A — » Spec .A x ^ s A 5 . I I verifi e don e le s equation s d e l a grassmannienn e Gr r ' dan s G r n \(f| i G 5 . r . T l A~E 9) — {0} et e'es t c e qu'o n voulait .

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4.8. C O H O M O L O G I E E Q U I V A R I A N T E E T D E F O R M A T I O N S

115

On a don e defin i u n morphism e

SpecA^nS'E qui es t l'uniqu e relevemen t d u poin t donn e Specv4— > Vec r ' 5 X(j-jn_ o V e c r a ) # compatible ave c l e relevemen t chois i

SpecA^As du compos e Spe c A— > Vec r,s — • As / A 0-s Comme o n a u n carr e cartesie n nS,E

S,E

^

As ^A le compos e SpecA^Q S'E ^

n*

s

/A

e s t l 'unique relevemen t d e

Spec A - » V e c r ' 5 x ( n - = o v e c - ) . , ce qu i achev e l a preuv e d u theorem e 4.22 . • 4.8. Cohomologi e equivariant e e t deformation s On consider e toujour s u n convex e entie r S C S r,n = { ( i o , . . . , i n ) € N n + 1 | ^o + ' ' ' + in = r} e t u n espac e gradu e E — EQ 0 • • • 0 J2 n te l qu e rgE^ > r a = Le theorem e 4.2 2 perme t maintenan t d e donne r u n criter e cohomologiqu e d e lissite d u morphism e ft ' — > A s j A% e n n'import e que l poin t e t un e formul e pou r la dimensio n d e so n espac e tangen t relatif , comm e applicatio n d e l a theori e general e des deformation s expose e pa r exempl e dan s l e livr e [Illusie , 1 971 -1 972 ] : COROLLAIRE 4.24 . Soient A un anneau artinien, I

un ideal de carre 0 dans A,

x un point d e l l ' a valeurs dans A = A/1 et a son image dans A s j A%. Soient £ Vimage de x dans le champ Vec r,s vue comme un fibre localement s libre de rang r et G 7^1 -equivariant sur Spe c A x As/As A / A% et TLom{£,£ (g ) / ) le faisceau GJ^ Alors :

+1

-equivariant des

homomorphismes lineaires

(i) Si a est un point de A s / A% a

valeurs dans

£ —> £ ® I. A qui releve 'a, le point

x G O {A/ 1 ) se releve en un point x G ft (A) au-dessus de a si et seulement si le fibre £ se releve en un fibre GJ^ +1 -equivariant £ sur s Spec A x As/As0 A /A%. L'obstruction a I''existence de tels relevements git cohomologie equivariante # £ „ + 1 (Spec(A/I) x

AS/Js

A

s

dans le groupe de

/As0,Hom(£,£®I)).

n cette obstruction est nulle, Vensemble des classes d mations £ de £ est un torseur sous Vaction du group ff£„+1 ( S p e c ( A / I ) x

AS/js

A

s

/As0,Hom{£,I®I))

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116

4. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

et le groupe des automorphismes de a

chacune est canoniquement isomorphe s

ff£n+i (Spec(A/J ) x As/As A

/As0,Hom(£,£®I)).

(ii) Quand A/1 est un corps et si S_ designe le pavage entier convexe de S associe au point a, la dimension de Vespace tangent en He a la fibre de ft ' au-dessus du point A$/A% de A s/A% est egale a dim H^ n+i (A

s

x

As

as_,

Hom(£, £)) - di m H^ n+1 (A

s

x

As

a s , Hom(£, £))

+ Yl r

arg(Ea)-dim(S).

0 Vecr,s es t liss e d e dimensio n relative ]Ca= o r " r &(^*) e t qu e A s/A0— -TgA% +rgA%

=

» As / A% es t liss e d e dimensio n relativ e

- r g ( G ^ ) 0 / G m = -dim(S) . D

Considerons maintenan t un e fac e S' d e S. On a l e morphism e equivarian t A s— » As d e restrictio n de s pavage s d e S a S' puis, d'apre s l e lemm e 4.1 4 , l'immersio n ferme e equivariant e As' x

AS>

A

s

->A

S

d'identification de s facette s d e pavage s dan s S' a de s facette s d e pavage s dan s S. Elle indui t u n morphism e Vecr,S

_

> Vec r,S>

qui s'inscri t dan s u n diagramm e commutati f US'E Vec

QS',E „

rs

s

' A

Vec

r,S> .

A

s

/A% A

S'/AS0 _

A

/As0

S'/AS0

011 les fleches h o r i z o n t a l s d e droit e e t d e gauch e son t lisses . Pour ^4 , /, A/1 , x,aet£ comm e dan s l'enonc e d u corollair e precedent , noton s encore x f e t £ le s point s a valeur s dan s A/1 image s d e x dan s ft ' l'immersion ferme e Spec A/I x

As>/As;

A

s

' / A% ^s A s / A% dont la restriction a Spec A x As'/As' ^ /^ 0 est isomorphe a £'. L'obstruction a Vexistence de cohomologie equivariante

tels relevements git

dans le groupe de

S AS/A

H^rt+i ( S p e c ( A / J ) X

Si cette obstruction est nulle, Vensemble des classes d'isomorphie des deformations £ de £ qui induisent £' est un torseur sous Vaction du groupe s

fl^„+1 ( S p e c ( A / / ) x Asfxs A et le groupe des automorphismes de a

chacune est canoniquement isomorphe s

/As0,Homs/s>(£,£®I)).

F°„ + 1 (Spec(A/I) x AS/J% A (ii) Quand A/1

est

IAs0,HomS/s>{£,£®I))

un corps et si 5 designe le pavage de S associe au point

a, la dimension de

x a la fibre de ft ' au-dessus

Vespace tangent en

de

qf rp

V imagede x dans ft ' dimif^n+i (A s x

As

as_,Horn

x

AS',As'

s/s,{£,£))

s

A

-

/' A%

est eg ale a

dim#°„

+1

(A s x

As

a^Hom

S/S'{£,£))

n

+ J >

Q

- r'J r g E a - dim(S ) + dim(S" )

a=0

ou on a pose r' a = r — d?0

n

\_/Qp 0 < a < n . 'V

C Z ? C"

Pour que le morphisme 0 — point x, il suffit que Hlz+i(As x

As

as_,Hom

> ft

1

X

s/s,(£,£))

AS'/ASI A =

s

0.

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/ A% SG ^ ^

sse au

4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

118

(iii) Les groupes de cohomologie equivariante de exacte longue 0 - * H^ +1 (Hom

s/s>

(£,£)) - > ff£»

+i

(ii ) s 'inscrivent dans

une suite

{Kom(£,£))

-> H^ +1 (Hom{l\t))

-+

H^ +1 (nom

s/s>

(£,£))

-

•

••

D E M O N S T R A T I O N . L a suit e exact e longu e d e (iii ) es t associe e a l a suit e exact e courte d e faisceau x coherent s GJ^ +1 -equi variants su r A x As as 0 - > Ham S/s'(£,£) -+

Hom{£,£) -

> Hom(£\t) -

> 0.D

Considerons enfi n u n pavag e entie r convex e S_ de S e t un e facett e S' d e c e pavage. O n a l e morphism e equivarian t A— — » .4 . d e restrictio n a S f de s pavage s de S qu i raffinen t 5 puis , d'apre s l e lemm e 4.1 6 , un e immersio n ferme e equivariant e

As' x

AS>

A^^M

ou o n a designe pa r A— le produit fibr e A s x AsA—. Notan t Vec r '- = Vec ' ~ n V e c r ' 5 l e sous-champ ferm e d e Vec r,s obten u pa r l e changemen t d e bas e A~jA% — > A s'/'A%, cette immersio n ferme e indui t u n morphism e Vecr^ - > Vec r ' 5 ' qui s'inscri t dan s u n diagramm e commutati f ^S,E „

^ , ,5^

A

S/JS „

A

S/AS0

Y US',B

.

Vec

,,S' .

^S'/^S '„

A

S'/AS0

ou le s fleches horizontale s d e gauch e e t d e droit e son t lisses . On peu t alor s donne r pou r l e problem e d e relevemen t de s point s infinitesimau x par l e morphism e Vecr,S

_ > V e c r , 5 ' XASt/J%t

A

^jA%

OU

et pou r l a descriptio n de s espace s tangent s a leur s fibres u n enonc e exactemen t analogue a u corollair e preceden t 4.25(i) , (ii) , (iii) . Comm e s a formulatio n serai t parfaitement l a meme , nou s n e l'ecrivon s pas . Remarquons enfi n qu e pou r l'etud e de s groupe s d e cohomologi e GJ^ +1 -equivariante qu i apparaissen t dan s le s enonce s d e c e paragraphe , o n dispos e d u resul t at suivant : L E M M E 4.26 . Soit X un schema sur un corps qui est muni de Vaction d'un tore T. Alors pour tout Ox-module quasi coherent et T-equivariant A4 sur X, chaque espace de cohomologie equivariante H?r(X,M) s'identifie a

la partie invariante sous

T de Vespace de cohomologie ordinaire H\X,M).

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4.8. C O H O M O L O G I E E Q U I V A R I A N T E E T D E F O 1 1 RMATION S

9

DEMONSTRATION. I I suffit d e prouve r qu e su r l a categorie abelienn e de s espace s vectoriels V su r u n corp s k muni s d e Tactio n d'u n tor e T , l e foncteu r V i— » VT de s vecteurs fixes pa r T es t exact . D'apres l e lemm e qu i sui t l a definitio n 1 . 3 d e [Mumfor d e t Fogarty , 1 982 , cha pitre I , §1 ] , tout te l espac e V es t reunio n filtrante d e sous-espace s d e dimensio n finie stables pa r T e t o n peu t s e limite r a l a categori e de s representation s d e dimensio n finie d e T . On peu t auss i suppose r qu e l e corp s d e bas e k es t algebriquemen t clos . Alor s toute representatio n d e dimensio n finie d e T es t somm e direct e d e caractere s e t l'assertion es t evidente . •

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/05

CHAPITRE 5

Variations d e variete s projective s rationnelle s ave c structures logarithmique s 5.1. L a fibration

projectiv e canoniqu e

On consider e encor e u n convex e entie r S dan s S r,n = { ( z o , . . . , ^ n ) £ N n + 1 | io + • • • + i n — r} e t l e cham p algebriqu e d e typ e fini Vec r'S qu i lu i a et e associ e r

g

dans l e paragraph e 4. 7 comm e sous-cham p ouver t d e Vec ' . r

5

On rappell e qu'u n poin t d e Vec ' a morphisme

valeur s dan s u n schem a X consist e e n u n S

X- A

IA%

et e n u n fibre £ localemen t libr e d e ran g r e t GJ^ projectif su r X x=

x

X

AS/A% -A

/A

+1

-equivariant su r l e schem a

0

qui verifi e l a propriet e (* ) d u lemm e 4.6 . D'apres l a propositio n 4.1 8 , i l existe su r X de s fibres £ a, 0 < a < n , localemen t fibres d e rang s r a = r — d? 0 n i _ r a i e t bie n determine s pa r £ a uniqu e isomor phisme pres , ave c de s homomorphisme s lineaire s (CJ^ +1 -equivariants canonique s c— > Px^a sur le s image s reciproque s de s £ a pa r px ' X — » X. On suppos e qu e l e poin t X — > Vec ' s e factoris e a traver s l'ouver t Vec definition d e Vec r ' 5 , cel a signifi e qu e l'homomorphism e somm e

r,s

;

pa r

n

est injecti f e n tou t poin t d e X. On a : P R O P O S I T I O N 5.1 . Soit £ un point du champ Vec rjS a valeurs dans un schema X comme ci-dessus. Considerant £ comme un schema fibre sur X, Vouvert £ de £ constitue des points dont les images dans les p^£ a, 0 < a < n, sont toutes non nulles, n'est pas vide si et seulement si r a = r — d? 0 n y_ra\ > 1 , V a , c'est-a-dire si S n'est r,N contenu dans aucune face du simplexe S . Dans ce cas, le quotient P ( £ ) de £ par Vaction libre de GJ^ +1 est une fibration sur X qui est projective, plate de dimension relative r + d i m ( 5 ) — (n + 1 ) et a fibres geometriquement reduites. 121 Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

122 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

Elle est munie d'un morphisme F(£) -+ X/G^

+l

et a fortior i elle est lisse de dimension relative

qui est lisse de dimension r d i m ( 5 ) — (n + 1 ) sur

r -f

D E M O N S T R A T I O N . Chaqu e £ a, 0 < a < n , es t u n fibr e su r X qu i es t localemen t libre d e ran g r a. Pou r qu'i l contienn e de s vecteur s no n nul s i l faut don e avoi r r a > 1 . Reciproquement, supposon s cett e conditio n verifie e pa r tou s le s indice s a. Pou r montrer qu e £ n'es t pa s vide , o n peu t suppose r qu e X es t u n poin t (l e spectr e d'un corps ) qu i s'envoi e dan s A s / A% su r l e poin t correspondan t a u n pavag e entie r convexe S_ de 5 . Un e quelconqu e cellul e S' (d e mem e dimensio n qu e S) d e S_ n'es t contenue dan s aucun e fac e d e S r,n. Alors , s i £s_,s' design e l a fibr e d e £ au-dessu s du poin t distingu e a^s' d e A s, tou s le s homomorphisme s induit s entr e espace s vectoriels % S ' - > £* , 0

< a < n,

r sont no n nul s ca r leur s noyau x son t d e dimension s d? 0 n \-sa\ < - P a r consequent , o u us es il y a u n ouver t no n vid e d e £s,s' t° l vecteur s on t de s image s no n nulle s dans le s £ a e t o n a £ ^ 0 . Supposons don e qu e r a > 1 , V a . On a u n plongemen t partou t injecti f entr e fibres vectoriel s su r X

n

Si £ es t v u comm e u n schem a fibr e su r X e t le s £ a comm e de s schema s fibres su r X1 c e plongemen t s'interpret e comm e un e immersio n ferme e £^ X

x

x

£o

xx ' • • xx

qui indui t un e immersio n ferme e £ ^ X x

x

( £

0

- {0}

)x x•

• • x x (£

n

- {0}) .

Mais d'apre s l a propositio n 4.3(i) , l e morphism e Px •• X - X est projectif ; s a sourc e es t muni e d'u n fibr e inversibl e tre s ampl e relati f 0 ( 1 ) (dedui t du fibre 0 ( 1 ) d e P ^ A 1 ) ^ su r leque l o n fai t agi r A% = G SJG m pa r u n scindag e de l a suit e exact e 1 — •> G m —> G^— » G ^ / Gm— > 1) ave c actio n naturell e d u tor e G

™+1-

En faisan t l e quotien t pa r le s action s libre s d e GJ^ +1 , o n obtien t u n morphism e projectif nature l ¥(£)^F(£0)xx---xxF(£n) et o n conclu t qu e P ( £ ) es t projecti f su r X. Enfin, comm e £ v u comm e schem a es t liss e d e dimensio n relativ e r su r X , i l en es t d e mem e d e ¥(£) su r l e cham p quotien t X / G ^ + 1 . L'actio n d e GJ^ +1 su r A s

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5.1. L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O N I Q U E

123

se factoris e a traver s l e tor e quotien t GJ^ + 1 /(GJ^ + 1 ) l s' leque l es t d e ran g dim (S) e t done P ( £ ) es t liss e d e dimensio n relativ e r + di m (5) — (n + 1 ) su r

X/(G^/(G^l)s). Cela impliqu e qu e P(£ ) es t pla t su r X d e dimensio n relativ e r + d i m ( 5 ) — (n-f-1 ) e t a fibre s geometriquemen t connexe s ca r d'apre s l a propositio n 4.3(ii) , l e morphism e As— > As es t pla t d e dimensio n dim(S ) e t a fibres geometriquemen t connexes . Cela achev e l a preuv e d e l a proposition . • Supposons maintenan t qu e S es t u n convex e entie r d e S r,n qu i n'es t conten u dans aucun e d e se s faces . Noton s p s a codimensio n dan s S V}Tl e t ecrivon s encor e un e fois le s decomposition s canonique s d u lemm e 1 . 7 : p

{0, l , . . . , n } = J J J * ave c \Ji\ = n

%

+1 ,

i=0

r = r 0 H hr

p,

S = So x • • • x S p, ou chaqu e 5^ , 0 < 2 < p , es t u n pav e entie r dan s

II

aeJz )

D'apres l e lemm e 4.1 0 , o n a deu x isomorphisme s canonique s au-dessu s Tu n d e l'autre

ASIA% ^

A

So

/As0° x

• •• xA

S

*/AS0P,

As/A% ^

A

s

°/As0° x

• •• xA

S

"/AS0P,

puis, d'apre s l a propositio n 4.1 1 , pour tou t poin t d e Vec ' a valeur s dan s u n schem a X represent s pa r u n fibre £ d e ran g r e t GJ^ + 1 -equivariant su r X, i l exist e un e unique famill e d e point s de s Vec a valeur s dan s X represente s pa r de s fibres £j t de rang s V{ et G^j-equivariant s su r le s X x s . , ~s% A Si / A% 1 tell e qu e £ s'identifi e a l a somm e direct e de s image s reciproque s de s £j^ Cett e decompositio n d e £ es t compatible ave c le s homomorphisme s lineaire s equivariant s

aeJi

et ave c l a decompositio n

a = 0 z=

0 \a£j t /

On e n dedui t : LEMME 5.2 . Pour S = So x • • • x S p un convexe entier de codimension p Sr'n comme ci-dessus, I'isomorphisme V^'s ^

V^

ro,So

x • • • x V^ rp'Sp

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dans

124 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

de la proposition 4.1

1 fait se correspondre les r

r

s

ouverts

5

Vec > - ^ Vec °' ° x • • • x Vec

r Sp

^ .

Si £ — ( £ j 0 , . . . ,£j ) est un point de ceux-ci a valeurs dans un schema X et si £ et les £j t sont vus comme des schemas sur X, on a des isomorphismes canoniques £ ^£j 0 x £ ^£

J o

x

x

x

•• • x ••

x

£/p,

• XX£J

P,

et F(£)^F(£j0)xx---xxn£jp). Ce dernier est compatible avec les morphismes lisses

¥(£Jt)^(XxASi/Js0iASl/A

de structure

'Si \ f^Ji 0

et avec les decompositions

X^(X x

ASo/Xs0

A

s

°/As0°) x x---xx(X x

Asp/JiP

A

s

'/A%'),

II resulte d e c e lemm e qu e pou r etudie r le s fibration s F(£) induite s pa r u n poin t £ d e Vec r ' 5 , i l suffi t d e s e limite r a u ca s o u S es t u n pav e (d e dimensio n maximal e n) dan s S r^. Alors P ( £ ) es t pla t d e dimensio n relativ e r — 1 su r l e schem a d e bas e X. 5.2. R e s o l u t i o n c a n o n i q u e d u c h a m p t o r i q u e d e s face s d'un convex e entie r Pour S u n convex e entie r d e 5 ' r ' n , o n a v u a u paragraph e preceden t qu e tou t point £ d e Vec r,s a valeur s dan s u n schem a X indui t un e fibration projectiv e ¥(£) sur X. A chaqu e fibre d'un e tell e fibration es t associ e u n pavag e entie r convex e S_ de S e t ell e es t muni e d'u n morphism e liss e su r l e cham p quotien t pa r GJ^ +1 d e

Ys_ = A

s

xAsas_.

Dans l e bu t d'etudie r le s fibrations P ( £ ) , o n commenc e don e pa r etudie r le s fibres Ys_. On sai t dej a d'apre s l a propositio n 4.3(ii ) qu'elle s son t geometriquemen t reduites. Sou s Tactio n d u tor e G ^ + 1 , chaqu e tell e Ys_ es t reunio n finie disjoint e d'orbites Ys> = G 1 ^1 /(G 7^1 )sf indexee s naturellemen t pa r le s facettes S' d u pavag e S_. Un e orbit e Y$" es t dan s l'adherenc e d'un e autr e Ys> si e t seulemen t s i S" es t un e face d e S'. E n particulier , le s composante s irreductible s d e Ys_ sont le s adherence s schematiques Ys> de s orbite s associee s au x cellule s (d e mem e dimensio n qu e S) S' d u pavag e S_ et s i S[, S r2 son t deu x telle s cellules , l'intersectio n Y$ f H Y$f es t l'adherence Y$" d e l'orbit e associe e a l a plu s grand e fac e S" commun e a S j e t a S' 2. On a : L E M M E 5.3 . (i ) Pour toute facette S' d'un pavage entier convexe S_ de S comme ci-dessus, Vadherence schematique Ys r de Vorbite Ys> est une variete torique normale et projective de tore G ^ + 1 / ( G ^ + 1 ) 5 / = I 5 / . Elle ne depend pas de S_ ni de S .

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5.2. R E S O L U T I O N C A N O N I Q U E D U C H A M P T O R I Q U E DE S1 FACE S 2

5

(ii) Les orbites de Ys> (c''est-a-dire les points du champ torique Y$> /Ys>) correspondent naturellement aux faces du convexe entier S'. (iii) L'eventail qui definit Ys> est une decomposition en cones convexes polyedraux rationnels de I'espace des fonctions affines £: S' — > R modulo les fonctions constantes : Une fonction affine £: S f— » R est dans le cone associe a une face S" de S' si S" est Vensemble des points de S r oil £ atteint son minimum. D E M O N S T R A T I O N . (ii

) a dej a et e vu .

(i) L e schem a Ys' es t projecti f ca r i l est plong e comm e sous-schem a ferm e dan s Ys qu i es t projecti f d'apre s l a propositio n 4.3(i) . L a variet e toriqu e A s es t normal e par constructio n don e i l en es t d e mem e d e l'adherenc e schematiqu e Ag s , d e l'orbit e A$ 5 / (voi r l a propositio n 2 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §2] ) pui s d e l'ouver t de celle-c i imag e reciproqu e d e l'orbit e A§ e t enfi n d e s a fibre au-dessu s d u poin t distingue a^ qu i n'es t autr e qu e Ys' . Pour prouve r qu e Ys> ne depen d pa s d e 5 e t 5 , i l suffi t d e montre r (iii) . (iii) result e d e l a form e de s eventail s C s jC% e t (C s + M)/ R qu i definissen t le s varietes torique s ^4 ^ e t A s e t d e c e qu e Ys' es t l a fibre d e Ag

s

, au-dessu s d u poin t

s

as_e Ag_C A . D Pour tout e parti e no n trivial e / d e { 0 , 1 , . . . , n } , o n not e £j I'applicatio n affin e Sr'n - > R

eventuellement prolonge e a I'espac e R r , n . O n not e d e l a mem e fago n s a restrictio n a n'import e que l convex e entie r S' d e S r'n o u a so n envelopp e convex e S^. Pa r definition, l a fac e Sj d e S' es t l'ensembl e de s point s d e AS " OU I'application £j attein t son minimu m qu i es t d f . On a : PROPOSITION 5.4 . (i

) Pour toute application affine

il existe une unique suite strictement croissante

de

parties non triviales

0 £ / ! £ . • • £ / * £{0,1 ,...,n } et une unique suite de reels strictement positifs ai > 0 , . . .,a k >

0,

tels que la difference

£-(a1£Il + . .

.+

a

^/J

soit une fonction constante. (ii) Si S f est un convexe entier de tersection des faces

5 r , n et £\ S f -^ R a la forme de

S>hn---ns*lk est Vensemble des

points de S' oil £ prend sa valeur minimale.

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(i) , Vin-

126 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

DEMONSTRATION. (i ) Su r M r ' n = { ( x 0 , . . . , x n ) e i n + 1 | x 0-\ Vx une fonctio n affin e £ est d e l a form e

n

= r),

(x 0 , • • • , xn) »- > £0x0 + £\X\ H h son

ou £o ; ^ i , . .. , ^ n t de s coefficient s reels . Quitt e a modifie r £ par un e constante , on peu t suppose r qu e tous le s £a son t > 0 et qu e l'un a u moin s es t 0 . Soit J o l a parti e no n vide d e { 0 , . . . , n} constitut e de s a tel s qu e £ a = 0 . Si J o £ { 0 , 1 , . . . , ?7-} , noton s J\ l a parti e no n vide d e { 0 , . . . , n} — J o o u le s £ a sont maximaux . Si J o U J\ £ { 0 , 1 , . . . , n } , notons J 2 l a partie no n vide d e { 0 , . . . , n} — ( J 0 U J\) ou le s £a son t maximaux . Et ains i d e s u i t e . . . Posant alor s I\ = J i , J 2 = J\ U J2, Is = J\ I I J2 II J 3, etc. , on voi t qu e £ est de la form e £ — ai^ii + • • • + a / c ^ ave

c a\ > 0 , . . . , a^ > 0 .

Cette ecritur e es t uniqu e ca r J Q = { 0 , . . . , n} — Ik es t I'ensembl e de s indice s a tel s qu e l e coefficien t £ a soi t minimal , J\ — I\ es t I'ensembl e de s indice s a G { 0 , . . . , n } — Jo tel s qu e £ a soi t maximal , J 2 = I2 — I\ es t I'ensembl e de s a € { 0 , . . . , n } — (J o II J i) tel s qu e ^ a soi t maximal , etc . (ii) I I suffi t d e prouve r qu e 1 'intersectio n Sj f l • • • H S'Ik n'es t pa s vid e car , comme o n a demand e a i , . . . , a & > 0 , i l est alor s equivalen t qu e £ soit minimal e e n un poin t d e S " ou que ^ , . . ., ^/ fc l e soient simultanemen t e n ce point. O r cec i n'es t autre qu e la caracterisatio n de s convexes entier s donne e pa r l e lemme 1 .4 . • On dedui t aussito t d e cett e propositio n : COROLLAIRE 5.5 . (i

) Dans Vespace des fonctions affines

modulo les constantes, associons a toute suite strictement croissante Ii £ • • • £ J/ e de parties non triviales de { 0 , . . ., n} le cone convexe des fonctions de la forme £ — a\£i1 - f • • • + ctk£i k avec Ceci definit un eventail et l toreY£ = GZ+ /Gm.

a i , . . . , a^ > 0 .

done une variete torique normale

Y

n

de

(ii) La variete torique Y n est lisse et projective. Ses orbites sont naturellement indexees par les suites I\ £ • • • £1 Ik de parties non triviales; on les note YJ1 j . La codimension d'une orbite YJ lijk est la longueur k de la suite associee. (iii) Si S f est un pave entier {de dimension maximale n) dans S r,n, Videntification des tores Y£ = G J ^ + 1 / C m = Ys* se prolonge en un morphisme equivariant projectif partout defini Yn - Y n

qui fait de Y une resolution des Par ce morphisme, toute

S'

smgularites de

orbite Y} ™ Ik

I 5 /.

de Y n s'envoie

r

Ys" de Ys associee a la face S" = Sj D • • • fl Sj de

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S'.

sur

Vorbite

5.2. R E S O L U T I O N C A N O N I Q U E D U C H A M P T O R I Q U E DE S1 FACE S 2

7

REMARQUE. A tou t polyedr e convex e rationne l d e dimensio n n (qu'i l soi t « entier » e n notr e sen s o u non ) es t associ e naturellemen t un e variet e toriqu e propr e d e tore G J ^ + 1 / G m don t le s orbite s corresponden t au x face s : so n eventai l es t obten u en decomposan t I'espac e de s fonction s affine s suivan t le s face s o u elle s prennen t leurs valeur s minimales . E t reciproquemen t tout e variet e toriqu e propr e s'obtien t de cett e fagon . On sai t pa r l a theori e general e qu e toute s a d m e t t e n t de s resolution s de s singu l a r i t y equivariante s mai s no n canoniques . Nous voyon s ic i qu e celle s associee s au x pave s entier s d e S r,n on t un e resolutio n canonique qu i es t toujour s Y n. D E M O N S T R A T I O N D U COROLLAIRE. (i ) D'apre s l a proposition 5.4(i) , tout e £ a un e uniqu e ecritur e d e l a form e a\£i x + • • - + ak£ik. Cel a signifi e qu e I'espac e tota l des fonction s affine s £: R r ' n— > R modul o le s constante s es t l a reunio n disjoint e de s cones {a\ti 1 + • • • + dk£i k \ a\,..., a^ > 0} . Ce s cone s son t de s simplexe s e t leur s faces son t ceu x associe s au x sous-suite s d e / i £ • • • £ /& . (ii) Pou r tout e suit e I\ £ • • • £ I n e t tout e fonctio n d e l a form e £ — ai£j 1 + • • • + a n£jn ave c a i , . . . , a n > 0 , le s coefficient s a i , . . . , a n son t entier s s i e t seule ment s i £ pren d de s valeur s entiere s su r l e resea u Z r ' n . E n effet , quitt e a re numeroter le s coordonnees , o n peu t suppose r qu e I\ = {1 } , I2 — { 1 , 2 } , . . . , In = { 1 , . . . , n } e t alor s i l suffi t d e teste r le s valeur s d e £ e n le s n point s d e co ordonnees ( r — 1 , 0 , . . ., 0 , 1 , 0 , . . ., 0 ) ; elle s son t egale s a a n + • • • + a± , a n + • • • -f ci2, an + • • • + a>3 •> • • • 5 a n •

Cela signifi e qu e le s cone s {a\£i x + •• • + a n£jn \ a i , . . . , a n > 0 } son t de s simplexes egalemen t ave c leur s structure s entiere s e t don e Y n es t lisse . La variet e toriqu e Y n es t propr e ca r so n eventai l recouvr e tou t I'espac e de s fonctions affine s £: M r ' n — • R modul o le s constantes . A u n elemen t £ — a\£ix + • • • + dk^i k d e ce t espace , associon s l e nombr e ree l (p(£) = 0 1 H Va

k.

La fonctio n

0 } et s i £ 1 £' son t deu x element s d e I'espac e qu i n'appartiennen t pa s a u n mem e cone , on a

D'apres l e theorem e 1 3 d u § 3 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973] , cel a impliqu e qu e Yn adme t u n faiscea u inversibl e ampl e e t don e es t projective . (iii) I I result e d e l a propositio n 5.4(ii ) qu e l'eventai l qu i defini t Y n raffin e celu i qui defini t Ys> e t don e o n a u n morphism e birationne l equivarian t p a r t o u t bie n defini

Yn^Ys,. La second e assertio n reformul e alor s l a propositio n 5.4(h) . • Dans l e ca s o u S' n'es t pa s u n pav e entie r mai s es t d e codimensio n p > 1 dan s 5 r , n , o n revien t encor e au x decomposition s canonique s d u lemm e 1 . 7 : p

{ 0 , 1 , . . . , n } = ] J Ji ave

c \Ji\ = n % + 1 ,

2= 0

r = r 0-\ \-r

p,

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128 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

ou chaqu e S^ 0 < i < p, es t u n pav e entie r dan s

Sr-n> = { (i a)a€Ji e

N J< |

J2*c

Pour resoudr e le s singularites d e Ys> , on a besoi n d e : L E M M E 5.6 . Pour S f — Sf0 x • • • x S' un convexe entier de codimension p gr,n comme ci-dessus, la variete torique Ys> de tore &^+1/(Gnm+l)s> = s 'identifie au

G # / Gm x • • • x G&/G

dans

m

produit Ys,x---xYs,

des varietes toriques

.. ., S'.

des faces des paves entiers SQ,

DEMONSTRATION. Modul o le s fonctions constantes , tout e fonctio n affin e £: S f —> ]R s'ecrit d e manier e uniqu e comm e un e somm e £Q + £i + • • • + £ p d e fonction s affines £Q : S fQ—>> M , . . . , £ p: S' — > M . Avec cett e ecritur e l e lieu o u £ est minimal e es t le produi t de s lieux o u £o, ... ,£ p son t minimales . • II result e d e c e lemm e qu e s i S f es t u n convex e entie r d e codimensio n p ecri t comme produi t d e p +1 pave s entier s 5Q , • . •, Sfp de dimensions n o , . . . , n p , la variet e torique de s face s d e S' Ys, = Y s,x---x Y

s>p

admet pou r resolutio n equivariant e canoniqu e Y— = Y n° x • • • x Y

Up

ou o n a not e n = ( n o , . . . , n p). Terminons c e paragraphe pa r l e resulta t genera l suivan t qu i s'appliqu e e n particulier au x variete s torique s Ys f e t a leur s resolution s Y n o u Y— : LEMME 5.7 . Soient T un tore et T, T deux varietes toriques de tore T telles que Videntite T = T se prolonge en un morphisme equivariant partout bien defini et propre q = Tf - • T . Alors pour tout module quasi coherent et T-equivariant M. nonique en categorie derivee

sur T la fleche ca-

M-^Rq.o Rq*M est un isomorphisme. DEMONSTRATION. O n peu t suppose r qu e l a bas e es t u n corps , qu e l a variet e torique T es t affin e e t qu e Ai es t u n modul e coherent . U n te l modul e adme t un e resolution pa r de s sommes d e module s localemen t libre s d e ran g 1 et don e o n peu t supposer encor e qu e Ai es t u n modul e inversible . La variet e toriqu e affin e T es t defini e pa r u n certai n con e convex e polyedra l rationnel a e t l e modul e inversibl e M. es t defin i pa r un e fonctio n affin e ip sur a. L'eventail d e T es t u n pavag e d e a e t q* AA es t toujour s defin i pa r cp. D'apres l e corollaire 2 du § 3 de [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973] , o n voi t dej a qu e R%q*M =

0, V z > 0

.

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5.3. G E O M E T R I E DE S F I B R E S

129

De plus , pou r tou t caracter e % : T ^ G m d u tor e T e t e n notan t (p x l a fonc tion lineair e induit e su r cr , l'homomorphism e entr e espace s d e section s su r T e t T transformees pa r l e caracter e x

T(T,M)x^r(T',q*M)x est u n isomorphisme , ca r ce s deu x espace s s'identifien t a l a fibre d e A4 e n l e poin t unite 1 G T s i l a fonctio n cp — ip x es t > 0 su r a e t il s son t nul s dan s l e ca s contraire .

•

De c e lemme , o n dedui t aussito t : COROLLAIRE 5.8 . PourT, T et T comme dans Uenonce du lemme 5.7 , considerons deux schemas X et X' qui s 'inscrivent dans un carre cartesien X' —

>X

• Y

T'

jT >

Y

T/T

oil les deux fleches verticales sont plates. Alors, pour tout module quasi coherent Ai sur X, Vhomomorphisme canonique en categorie derivee M-+Rq*o Rq*M est un isomorphisme. • 5 . 3 . G e o m e t r i e d e s fibres Pour S u n convex e entie r d u simplex e S r,n qu i n'es t conten u dan s aucun e fac e de celui-ci , consideron s u n poin t £ d u cham p Vec r,s a valeur s dan s u n corps . II lu i es t associ e u n pavag e entie r convex e S_ de S e t £ peu t etr e v u comm e un fibre localemen t libr e d e ran g r e t G^ + 1 -equivariant su r l e schem a projec t if Ys_ = A s x ^ s as_. Pou r tout e facett e S' d u pavag e 5 , o n not e ic i Fs' l a fibre d e £ en l e poin t distingu e a^s' d e l'orbit e Y$' indexe e pa r S' dan s Ys_. D'apres l a propositio n 4.1 8 , o n peu t associe r canoniquemen t a £ de s espace s vectoriels E a, 0 < a < n , d e rang s r a = r — d?0 n i r a - i > 1 , tel s qu e s i o n fai t agi r GJ^ +1 su r E — EQ 0 • • • 0 E n facteu r pa r facteur , £ es t mun i d'u n homomorphism e equi variant £ -^ E 0®'--®En =

E

sur E v u comm e fibre constan t su r Ys_ ; cet homomorphism e es t injecti f e n tou t poin t par definitio n d u cham p Vec r ' comm e ouver t d e Vec ' . Pou r tout e facett e S' d e 5 , l a fibre Fs' d e £ peu t don e etr e vu e comm e u n sous-espac e d e E — EQ 0 • • • 0 E de dimensio n r , e t o n peu t considere r le s sous-espace s Fs> DEj intersection s d e Fs< avec le s somme s partielle s Ej — ©a G j E a, I ^ { 0 , . . . , n}. Il s son t d e dimension s d i m ^ / f l E / ) = df. Le schem a ¥(£) associ e a £ pa r l a propositio n 5. 1 es t projecti f e t i l es t mun i d'un morphism e liss e d e dimensio n r ¥(£) -+ Ys_/G^

1 +

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n

130 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

sur l e cham p quotien t d e Ys_ par G ^ + 1 . I I s e decompos e e n reunio n disjoint e d e strates localemen t fermee s ¥{£)s' indexee s pa r le s facette s S' d u pavag e S_ qu i son t les image s reciproque s de s point s localemen t ferme s Ys> /G7^1 — •/(G7}£~l)s/ d e c e champ. Nous voulon s decrir e geometriquemen t le s strate s F(£)s f e t leur s adherence s schematiques ¥(£)s> dan s P ( £ ) qu i son t le s image s reciproque s de s quotient s Ys> /G7^1 pa r l e morphism e liss e ci-dessus . Alors l a geometrie d e ¥(£) ser a connu e ca r nou s voyon s dej a qu e le s composante s irreductibles d e P ( £ ) son t le s P ( £ ) s ' indexee s pa r le s cellule s (d e mem e dimensio n que S) S

f

d e S_ et qu e l'intersectio n d e deu x composante s ¥(£)$' e

t ¥(£)$' es

tle

schema F(£)s" index e pa r l a plu s grand e fac e S" commun e a S[ e t S' 2. Considerons don e un e facett e arbitrair e S' d e S. Notant p s a codimensio n dan s S' r ' n , o n a le s decomposition s canonique s p

{ 0 , 1 , . . . , n} = J J Ji ave

c |J^ | = m + 1 ,

2= 0

r = r 0 H \-r

p

ave

c Vi = dj. ,

ou chaqu e S[ es t u n pav e entie r dan s S Vi,rii = {(i a)aeji G NJi \ ^2 aeJ. i a — r i}Le sous-espac e Fs> de i^ o 0 • • • 0 E n = E s e decompos e canoniquemen t e n un e somme direct e

FS> ou chaqu e F ^ , = Fs>^Ej On a d'abor d :

%

LEMME 5.9 . Pour S

= F%, e • • • e F*,

es t u n sous-espac e d e dimensio n r 2 dan s E ^ = f

— S' 0 x • • • x S p une facette de

Fs = Fg, 0 • • • 0 Fg, la fibre de £ en le point distingue a^s* de ¥(£) s'identifie

au

. E" a .

a G J

S_ comme ci-dessus

r

la strate localement fermee ¥(£)s' de

0

s

A x^s

a^

et

= Ys_,

produit

P(F§,) x . . . x P ( F f , ) ou chaque ¥(Fg,), 0 < i < p, est le complementaire dans ¥(Fg f) des sous-espaces fermes ¥{F ls, f l E / ) J ^ J r Elle est non vide si et seulement si S' n'est contenue dans aucune face du simplexe 5 r ' n . DEMONSTRATION. Cel a result e d e c e qu e ¥(£) s> es t l e quotient pa r ( G ^ + 1 ) s / = ^rrt ^ ^m x ' *' xG m = G 7^1 d e l'ouver t d e Fs* complementair e de s sous-espace s ^ n E j , / £ { 0 r . . , n } .D l

Supposons don e qu e l a facett e S f = S f0 x • • • x S fp n'es t contenu e dan s aucun e face d e S r'n. Cel a signifi e qu e le s dimensions T{ des espace s F ls, — Fs>C\Ejz son t > 1 . Pour tou t z , 0 < i < p, le s Fs> PI Ej, I £ J 2 , son t de s sous-espace s no n triviau x de Fg, e t o n peu t introduir e l e schem a projecti f ¥(Fg f) qu i es t construi t a parti r de ¥(Fg,) d e l a manier e suivant e : - Dan s ¥(Fg,), o n eclat e le s sous-espaces ferme s ¥(Fg,nEi) associe s au x I ^ Ji dont l e cardina l es t 1 .

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5.3. GEOMETRI E DE S FIBRE S

131

- Dan s l e schema ains i obtenu , o n eclat e le s transformes strict s de s sous-espace s F(Fg, f l Ej) associe s au x I ^ Ji don t l e cardina l es t 2 . - Pui s o n eclat e le s transforme s strict s de s sous-espace s F(Fg, f l Ej) associe s aux I ^ Ji don t l e cardina l es t 3 . - E t ains i d e suit e jusqu'a u cardina l \I\ = n ^ . . . On rappell e qu e Ys> est un e variet e toriqu e d e tor e G 7^1 /(G 1 ^1 )s1 •> qu'ell e s e decompose e n Ys' = Y$' x • • • x Ys f e t que , notan t n = ( n o , . . . , n p ) , ell e adme t l a resolution canoniqu e no

y™ = Y

x

• • • x Y n? - • Y s>0 x • • • x Y s> = Y s>.

Nous pouvon s maintenan t enonce r : PROPOSITION 5.1 0 . (i ) Dans la situation ci-dessus, chaque schema projectif F(Fg,) est muni naturellement d'un morphisme lisse de dimension Ti sur le champ quotient

En particulier, il maux.

est lisse et son bord est un diviseur a

(ii) Le schema projectif et birationnel sur duit de celle-ci par le morphisme de s'identifie au produit

croisements nor-

la strate fermee F(S)s' qui est de1 resolution Y-fG 7]^ — » Ys> /G 7^1

P(F£) x ••• x P ( ^ ) avec son morphisme lisse 7 1

Y^/G ^ =

de structure sur n

Y °/G% x

• •• x yn*/G£.Q

Afin d e demontre r cett e proposition , o n a besoi n d u lemm e suivan t qu i complet e le corollair e 5.5(i) , (ii ) : LEMME 5.1 1 . (i verse

) Pour tout entiern, Vhomomorphisme

de

passage a Vin-

Y£ = C V Gm - + G^+1/Gm A » A" 1 se prolonge en un morphisme equivariant

partout

defini

yn->P((A1)n+1). (ii) Pour toute suite i i £ • • • £ if c de parties non triviales de morphisme envoie Vorbite Yf Ik de Y n sur Vorbite {(a?o, • • • -> x n) I

x

a — 0 si a ^ I\, x

a

{ 0 , 1 , . . . , n), ce

^ 0 si a G I±}

deP^A1)*1*1). (iii) A partir de

P ( ( A 1 ) n + 1 ) 7 Y n se

construit de

la maniere suivante

:

On considere tous les fermes {(#o , • • • > x n) \ %a = 0 si a ^ 1 } associes aux parties non triviales I de { 0 , . . . , n } . On eclate alors ceux associes aux parties de cardinal 1 , puis les transformes stricts de ceux associes aux parties de cardinal 2, puis les transformes stricts de ceux associes aux parties de cardinal 3 V . .et ainsi de suite jusqu'au cardinal n.

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132 5

. VARIATION S D E VARIETE S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

D E M O N S T R A T I O N . Faison s agi r G ^ + 1 / G m su r P ( ( A 1 ) n + 1 ) vi a l'homomor phisme A H-» A - 1 d e passag e a l'inverse . Le s orbite s son t indexee s pa r le s partie s I ^ 0 d e { 0 , 1 , . . . , n} e t s'ecriven t {(XQ, . . ., x n) \ x a — 0 s i a £ I, x a ^ 0 s i a G / } . Dans l'espac e R n + 1 / R , l e con e convex e polyedra l qu i correspon d a l'orbit e in dexee pa r un e parti e I j^ 0 es t l'ensembl e de s (£o,... ,£ n) tel s que , pou r tou t a G {0,. . . , n } , a G I £ a = m a x { ^ | 0 < (5 < n}. Si £ es t un e fonctio n affin e su r R r ' n qu i s'ecri t sou s l a form e Mr'n 3

(X 0, .

. . , X n ) I- > £ 0X0 -\ h

4^ n

et auss i sou s l a form e £ = ai£ h H

h

afe^/ fc

pour un e suit e I\ £ • • • ^ 4 d e partie s no n triviale s d e { 0 , . . . , n) e t de s reel s a i , . . . , a>k > 0 , o n a £a = max{£i3 | 0 < ft < n} a G h. On voi t qu e Teventai l d e Y n raffin e celu i d e P ( ( A 1 ) n + 1 ) e t plu s precisemen t que l e con e d u premie r index e pa r un e suit e J i £ • • • £ / & es t conten u dan s l e con e du secon d index e pa r I\. Cela prouv e (i ) e t (ii) . (iii) Noton s Y f0 l a variet e toriqu e P ( ( A 1 ) n + 1 ) muni e d e s a famill e d e sous sehemas ferme s invariant s Y/ ° = {(XQ, . . ., x n) \ x a = 0 s i a £ / } , I £ 1 { 0 , . . . , n } , 1 ^ 0 . Puis , pou r 1 < k < n , noton s Y ,k l a variet e toriqu e deduit e d e Y ,k~x e n eclat ant le s transformer s strict s de s Y/° , | / | = k. II s'agi t d e prouve r qu e Y ,n = Y n. Tout d'abor d o n montr e facilemen t pa r recurrenc e su r /c , 0 < k < n , qu e : - L a variet e toriqu e F / f c es t lisse . - Pou r | / | > /c , le transforme r stric t Y/ fc d e Y/ ° dan s F / / c es t lisse . - Pou r l/i l > fc, | J 2 | > fc, l'intersectio n Y{ knY{k es t egal e a l/'fni a s i \h^h\ > k et ell e es t vid e sinon . Pour 0 < / c < n e t | / | > / c , noton s cp k l a fonctio n affin e pa r morceau x su r n+1 R / R qu i correspon d a I'idea l d e definitio n d u sous-schem a ferm e Yj k d e Y ,k. O n a pou r |7 | > 0 (f°j(£o, • • • An) = ma x J 0 , m a x { £ a } — m a x { ^ } | puis pou r k > 1 e t | / | > k l a formul e d e recurrenc e Vi = Vi -

ma x , Snd(£)) S

H^ +1 (Y s> - AY S T et F un fibre localement libre et T' -equivariant sur T tel que toute section invariante par T 1 de F sur T se prolonge sur T tout entier. Alors on a un isomorphisme H°T,(T,F)^H°T,(T,F) et HlT,(T,F) =

0 , Vi

>1 .

DEMONSTRATION D U LEMME . L a premier e assertio n reformul e l'hypothes e ca r rhomomorphisme d e restrictio n

H^{T,F)-^H^(T,F) est injecti f de s lor s qu e F es t u n fibr e localemen t libr e e t qu e T es t schematiquemen t dense dan s T . La second e assertio n result e d e c e qu e le s FL %T, (T, F) s e calculen t « a l a Cec h » : Si T i , . . . , T n es t un e famill e d'ouvert s invariant s d e T qu i son t affine s e t recouvren t T, le s H %T, (T, F) son t le s groupe s d e cohomologi e d u complex e de s

l Hl 0 - > 0 ,

Pour montre r qu e H* — » H= 0 es t u n quasi-isomorphisme , i l suffi t don e d e prouve r Que pou r tou t m > 1 l a rnhomnlnp-i p d n comnlex e H m es t 0 .

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144 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

Pour tout e suit e ( M i £ • • • £ M m ) d e partie s no n minimales d e { 0 , . . . , n } , notons H* M M l e complexe don t l a composante d e degre k es t la somm e ($Rom(FhjF/FIk) restreinte au x suites (J i £ • • • £ 1 /&) qui comprennent m partie s no n minimale s egales a M i , . . . , M m et k — m partie s minimales . Pour tou t m > 1 , l e complex e H= m es t l a somm e direct e de s complexe s H*M M e t il suffit d e demontrer qu e chaque complex e H^ M es t homotop e a 0. 1 '' Dans l e complexe H* M M , la differentielle d va du degre k vers le degre k + 1. Si ( i i £ • • • £ Tfc ) et ( J i £ • • • £ Jfc+i ) s o n ^ deux indice s qu i apparaissent dan s l a definition d e H* M M , la projection d e d sur H o m ( H o m ( F / l , F/F Ik), H o m ( F

Jl,

F/F

Jfe+1

))

est egal e a - l a projection naturell e H o m ( F 7 l , F/F Ik) ^

Hom(F

Jx,

F/F

1 Jk+

)

multipliee pa r le signe (—1 ) J _ 1 s i { J i , . . ., Jk+i} es t la reunion d e { / i , . . ., Ik} et d'un e parti e J j , - 0 sinon . Ann d e construire un e homotopie h de H*M M , remarquons qu e pour tout e partie no n triviale I d e { 0 , . . ., n } , l'ensemble de s parties V C I telle s qu e Fj> — Fj est stabl e pa r intersections; i l contien t un e plus petit e parti e qu'o n not e 7 m m ca r elle es t minimale . L'homotopie h de H*M M doi t alle r du degre k vers le degre k—1 . Definissons la e n demandant qu e si (I\ £ • • • £ i& ) et ( J i £ • • • £ J ^ - i ) sont deu x indice s qui apparaissent dan s H^ M , sa projection su r H o m ( H o m ( F 7 l , F/F Ik), H o m ( F

Jl,

F/Fj^J)

est egal e a - l'isomorphism e reciproqu e d e H o m ( F J l , F/F Jk_,) ^

Hom(F

/l,

F/F

Ik)

multiplie pa r le signe (—1 )* +1 s i { J i , . . . , Jk-i} es t deduit d e {/]_,..., Ik} e n enlevant un e partie Ii e t si 7^ + i = M i e t Ii = Mf 1 1 1 1 , - 0 sinon . Si (Ii £ • • • ^ Ik) e t ( Ji £ • • • £ Jfc ) sont deu x indice s qu i apparaissent dan s HM ... M J voyons maintenan t le s projections d e dh, hd pui s d/ i + hd sur H o m ( H o m ( F 7 l , F / F 7 ( o ) , Hom( i ^, F / F j J ) . Si { J i , . . . , Jk} ^ { / i , . . . , 7/c} , i l fau t pou r qu e la projectio n d e dh o u d e hd soit no n nulle qu'i l exist e deu x indice s i e t j tel s que

et {Ji,...,Jfc} = { / , , . . . , 4 } - { / i } u { J , - } .

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5.5. L E CA S D'U N PAV E E N T I E R E T D E SO N PAVAG E T R I V I A L

145

Dans c e cas , l a projectio n d e dh + hd es t egal e a rhomomorphism e nature l H o m ( F J l , F/F Ik) -

YLom{F

Jl,

F/F

Jk)

multipliee pa r l e scalair e ( - 1 ) * + 1 • ( - I ) ' ' "1 + ( - l ) J ' - 1 • ( - l )i + 2 s

i Jj £ M i ,

ou

( - i ) m • i-iy- 1 + (-iy - (-i) i + 1 s i J, D Mi. Elle es t don e nulle . Si a u contrair e { J i , . . . , J& } = { / i , . . . ,//c} , noton s z l'uniqu e indic e te l qu e Ii+i = Ji+ i = M i . Comm e l a parti e U — Ji es t minimal e e t F\ i — Fj i P i FM 1 — F^ ^ ^M m i n — ^ n Mm i n ) o n a I j C Mf 1 1 1 1 . Alor s l a projectio n d e dh + /i d es t egal e a l'identit e HomCF^, F/F Ik) ^

Hom(F

Jl,

F/F

Jfc)

multipliee pa r l e scalair e ( - 1 ) * + 1 • ( - 1) ' "1 = 1

m

s i Ii = Mf

,

ou (-I)1 •

( - 1)2 + 2 = 1

s i A £ M^

On a montr e comm e voul u qu e dan s l e complex e H* M M

1 1

. l'identit

e es t homotop e

a 0 . Cel a achev e l a preuv e d e (ii) . (iii) O n revien t a u schem a projecti f F(F) dedui t d e F(F) e n eclatan t successi vement tou s le s sous-espace s P ( F / ) (o u pluto t leur s transforme s stricts) . D'apre s l a proposition 5.1 0 , o n a u n carr e cartesie n o u le s fleches verticale s son t lisse s P(F) - P ( 1 Y y n / G n + l ,Y

^

1 + S/GZ

et l'imag e reciproqu e Tp su r P ( F ) d u fibre Tg su r F(£)s es t l e fibre tangen t relati f du morphism e P ( F )—* • Y n/G7^rl. Le s homomorphisme s canonique s Hi(V(£)s,Te)-+Hi(P(F),fF) sont de s isomorphisme s d'apre s l e corollair e 5.8 . Le schem a F(F) es t liss e e t so n bor d dF(F) es t u n diviseu r a croisement s nor maux don t le s composante s irreductible s F(F)i son t indexee s pa r le s partie s no n triviales / d e { 0 , . . . , n } qu i son t « minimales pou r F » a u sen s d e (ii) . L'intersec tion d e composante s deu x a deu x distincte s P ( F ) / 1 , . . . , P ( F ) / f c es t no n vid e s i e t seulement s i o n a I\ £ * • • £ Ik apre s permutatio n convenabl e de s partie s minimale s i i , . . . ,if c ; on l a not e alor s P ( F ) / l v . . j f c . L'espace projecti f P ( F ) = (F — { 0 } ) / G m es t mun i d'u n morphism e F(F) — » • / G m = B G m qu i n'es t autr e qu e l e fibre inversibl e 0{1 ). O n not e Tp l e fibre localement fibre d e ran g r su r F(F) qu i es t l e fibre tangen t relati f a u morphism e F(F)— » • / G m . Su r l e schem a F(F) o n dispos e de s troi s fibres localemen t fibres de ran g r qu e son t Tp, l'imag e reciproqu e d e Tp pa r l e morphism e F(F) — > F(F) encore note e Tp e t l e fibre constan t ega l a F.

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146 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

On dispos e auss i su r P ( F) de s fibres inversible s O ( n ) , n G Z, images reciproque s de ceu x d e P ( F ) . On a besoi n d u lemm e suivan t : L E M M E 5.20 . Soit I\ £ • • • £ Ik une suite de parties minimales de Alors : (i) La strate fermee P(F)/

l j ... } / f e

s'identifie au

{ 0 , . . . , n}.

produit

F(Fh)xF(FIJFIl)x---xF(F/FIk). (ii) Si qo, #i,...,#f c designent les k + 1 projections de P ( F ) / l v . . j / f c sit r se s facteurs, la restriction dP(F)/ 1 ) > i i ) / f c du fibre tangent relatifTp s'identifie a QoTFll © q{fFlJFli 0 - •• 0 ^2> /F/fc • P ( F ) / l v . . j / f c a 7^ /i&re T p d e P ( F) s'inscrit dans

(iii) L a restriction a exacte 0- ^T

F/i

- T

F | ? ( F ) j i jf

D E M O N S T R A T I O N D U L E M M E . (i

c

une suite

- > 9 5 ( 0 ( 1) ) ® ( F / F 7 l ) - > 0. ) result e d e l a constructio n d e P ( F ) pa r

eclatements successif s a parti r d e P ( F ) . (ii) Noton s J o = I i , J\ — I2 — h, • • • ? A = { 0 , . . . , n } — /& e t | J»| = n ^ + 1 , Vz . Cette identificatio n result e d e ce qu'on a u n diagramm e commutati f e t cartesie n : P ( F 7 l ) x P ( F / 2 / F 7 l ) x •• • x F(F/F Ik)^-P(F)Iu...Jkt - P ( F

II Y

Y

)

° I

y n °/^° x rni /G^ x ... x Ynk/G% ^-^—*£,...,// ^y

Y

n1 +

/c^

(iii) L e fibre T p su r P ( F) tangent a u morphism e P ( F )—» # / Gm s'identifi e a u quotient d e ( F — {0} ) x F pa r G m agissan t pa r A1—>• (A, A). S a restriction a u sous espace P ( F / 1 ) = (Fi 1 — { 0 } ) / Gm s'inscri t dan s un e suit e exact e o u l e sous-obje t est [(Fh - {0} ) x F h]/Gm =

T Fli

et l'obje t quotien t es t \(Fh - {0} ) x (F/F h)]/Gm lequel s'identifi e a u produi t tensorie l d u fibre inversibl e 0 ( 1 ) par le fibre constan t egal a F/Fi 1 . La conclusio n result e d e c e que la strat e ferme e P ( F ) j l v . . j f c d e F(F) s'envoi e sur P ( F 7 l ) pa r le morphisme P ( F ) -> P ( F ). D S U I T E D E LA D E M O N S T R A T I O N D E LA P R O P O S I T I ON 5.1 8(iii) . O n r a p p e l l e q u e

d'apres l e lemm e 5.1 1 l'isomorphism e G^+1/Gm - G^ A ^ A"

1 +

/Gm

1

se prolong e e n un morphism e projecti f equivarian t yn^p((A1)n+1).

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5.5. L E CA S D'U N PAV E E N T I E R E T D E SO N PAVAG E T R I V I A L

147

Or Tactio n d e C ^ + 1 / G m su r P ( ( A 1 ) n + 1 ) s e relev e naturellemen t e n un e actio n d e G ^ + 1 su r l e fibre 0(1 ). L'imag e reciproqu e d e (9(1 ) su r Y n es t u n fibre inversibl e G^ + 1 -equivariant qu'o n peu t voi r comm e u n morphism e y™/G«+i

_ + ,

/ G m

.

Ce morphism e ren d commutati f l e carr e P(F)>

- P ( F)

yn/Gn+l^

# / G m

car l e compos e P ( F ) - + P ( F ) -- > P ( E 0 0 • • • 0 E n) es t l e quotien t pa r G ^ compose d e l'immersio n ferme e Yn X y n / c ^

1

TO ^

Yn

x

+1

d u

[(^ o - {0} ) x • • • x (E n - {0})] ,

du produi t pa r (E 0 - {0} ) x • • • x (E n - {0} ) d e Y n - • P ( ( A 1 ) n + 1 ) e t d e P ( ( A 1 ) ^ + 1 ) x [(E 0 - {0} ) x • . . x (E n - {0}) ] - > P ( £ 0 0 • • • 0 E

n)

( ( A 0 , . . . , A n ), ( e 0 , . . . , e n ) ) »- > ( A 0 e 0 , . . . , A n e n ) . Le carr e commutati f ci-dessu s indui t u n homomorphism e entr e fibres d e ran g r sur P ( F )

D'apres l e lemm e 5.20(iii) , i l y a su r P ( F ) u n complex e simplicia l d e faisceau x coherents don t l e term e d e degr e 0 es t TF et don t le s terme s d e degre s k > 1 son t le s 0 g(P(F

/li...|7fc),P(F/l))*0(l)

0 (F/F

Jfc)

ou (/ i £ • • • £ /fc ) decri t l'ensembl e de s suite s strictemen t croissante s d e partie s non triviale s d e { 0 , . . . , n } qu i son t minimale s e t g(P(F/ l v .. 5 / f c ),P(F/ 1 )) design e l a projection

TO1,...,/J-TO1)-,P(F/l) si bie n qu e ^ ( P ( F / l j . . . ) / f c ) J P ( F / l ) ) * ( 9 ( l ) 0 (F/F Ik) es rang dim(F/Fj k) su

r P(-F)/

l v ..j f c

t u n fibre localemen t libr e d e

qu e To n voi t comm e u n faiscea u coheren t su r

P(F). Comme l e bor d 1 et so n faiscea u d e cohomologi e e n degr e 0 est localemen t libr e de ran g r . D'apre s l e lemm e 5.20(h ) e t (iii) , c e faiscea u d e cohomologi e s'identifi e a Tp e n codimensio n 1 don e i l s'identifi e a Tp su r P ( F ) tou t entier . En utilisan t l a propositio n 5.1 8(h) , o n voi t qu e pou r prouve r l a propos i tion 5.1 8(iii ) i l suffi t d e montre r le s assertion s suivante s :

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148 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

(1') O n a H°{F(F),TF) =

Hom(F,F )

et i T ( P ( F ) , T F ) =0 s i i>l. (2') Pou r tout e suit e I i ^ • • • ^ 4 d e parties minimales , o n a H0(F(F)Iu...Jk,q*O(l) ®

F/FIk) = Rom(Fh, F/F

Ik)

et i/ i (P(F) / l ) ..., / f c ,g*0(l) ® F/F/ f e ) = 0 s i i > 1, en notan t q$ la projectio n

W/x,...,/* = WJ x •'' x P(F/F/fc) - P(F 7l). Pour (T) , on a d'apres l e lemme 5.1 2 et le lemme 5.1 4 des isomorphismes canonique s Hm(F(F),TF) ^-

iT(P(F),7 » ^ F

V

® F = Hom(F,F) .

Et pou r (2') , on a d'apre s l e lemme 5.1 2 , la formul e d e Kiinneth e t le s formule s connues pou r l a cohomologie de s espaces projectif s H'(¥(F)h_Ik,q*0O(l)®F/FIk) * iT(POFYJ , 0(1)) ® i f ( P ( F/ 2 / F 7 l ) , O) ® • • • ® H'(F(F/FIk), O) * F 7^ ® ( F / Fr J = H o m ( F

® F/F / f c

/l)F/F/J.

Cela termin e la demonstration d e la proposition 5.1 8 . • F I N D E L A DEMONSTRATIO N D E L A PROPOSITIO N 5.1 7 . I I rest e seulemen t a verifier que , dans l e cas ou S' = S es t un pav e entie r d e # r ' n , les deux familie s d'isomorphismes qu'o n a construit s de s H ln+1 (Ys ,Snd(E)) e t de s H l(¥(£)s,Tz) sur le s groupes d e cohomologie d u complexe de s @7 c-.-cj Hom(F/ 1 , F/Fjk) com mutent ave c le s homomorphismes d e restriction

IPG^+1(Ys,£nd(S)) -

H\F(£)

S,T£).

Comme l e carre cartesie n f(F) ^f(£)t a yn/Gn+l ^

F S/G^+1

induit de s carres commutatif s H*(P(5)s,r£) ^

JJ*(P(F),T £ )

# ^ „ + 1 (y S ) £nd(5)) - ^ U - ff£„ +1 ( y n , fnd(f) ) ou le s fieches horizontales son t de s isomorphismes, i i suffit d e ie prouver pou r les homomorphismes d e restriction WGn+1(Yn,£nd(£)) ^

W(¥(F),T

£).

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5.5. L E CA S D'U N PAV E E N T I E R E T D E SO N PAVAG E T R I V I A L

149

Les H. in+i (Y n, £nd(£)) on t et e calcule s concretemen t e n exhiban t pou r £nd(£) sur Y n un e resolutio n pa r de s faisceau x coherent s equivariant s acyclique s qu i son t les ®End(S)®0{dYn)Iu...tIk. On remarqu e qu e chaqu e composant e £nd(£) 0 0(dY n)jlj^jk es

t d e l a form e

y

£ ®MIu...,Ik ou Mi lt...jk — £®0{dY )i1^^jk es t u n modul e coheren t G^ + 1 -equivariant d e Y n 1 + sur leque l l a diagonal e G m ^ GJ^ agi t pa r l e ca r act ere A —• A. D'apres l e lemm e 5.1 3 , l e fibre ( G ^ + 1 / G m ) - e q u i v a r i a n t Tg su r l a fibration pro jective F(£) = (£ - {0})/ G m au-dessu s d e Y n s e trouv e mun i d'un e resolutio n acyclique pa r le s faisceau x equivariant s n

0 ^ , ..,Ik o na

et pou r tout e suit e (I\ £ • • • £ Ik)-,

-Hom(F/l,F/F/J. D'autre part , l e schem a projecti f F{F) es t l e quotien t pa r Tactio n libr e d e G^/Gm d'u n certai n ouver t invarian t F(£) = £/G m d e P ( £ ) . Les image s reciproque s dan s P(£ ) de s faisceau x coherent s d e P ( F ) indexe s pa r les suite s ( i i £ • • • £ ifc ) d e partie s minimale s d e { 0 , . . . , n } Q ( P ( F ) / l , . . . , / f c , P ( F / l ) ) * 0 ( l ) ® ( F / F / f c ) (e 7 1

sont de s faisceau x coherent s (G ^ /G

t 7>s ik = 0)

m)-equivariants

•T7/!,...,/* qui son t acyclique s e t verifien t H

°G^/Gjn£)^h,..Jk) =

Hom(F

7l,F/F/fc).

Le complex e de s

constitue un e resolutio n equivariant e d e l a restrictio n T £i^£^ d e Tg a l'ouver t F(£) de P ( £ ) . Sur ce t ouvert , T ^ / ^ x adme t auss i un e resolutio n pa r le s restriction s 0T

Milt...Jk\H£)

et o n remarqu e qu'un e tell e restrictio n T

^/

M

^ n'es t no n null e qu e s i le s

parties J i , . . . , Ik son t toute s minimales . Comme su r P ( F ) o n a l'encadremen t TV - > T F ^ f

F 0(dF(F)),

on a su r F(£) de s homomorphisme s naturel s ^>i,...,/ fc "^ : TM Ili ..., /fc |iP(£)

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150 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

qui fon t commute r le s diagramme s

Eom(Fh,F/FIk) ^^,

H^

1 + /GJF(£),TMli

,

J

et qu i definissen t u n homomorphism e entr e le s deu x resolution s d e T £]^,gs qu'o n

note T e t T

M.^gy

La resolutio n T m es t compose e d e faiseeau x acycliques , l a resolutio n T M,^,£, ne Tes t pa s a prior i mai s i l exist e certainemen t un e autr e resolutio n equivariant e acyclique T'* d e Tg^,^ ave c u n homomorphism e d e resolution s T-

> T ,m

—

•L M*\¥(S)

^

•

L'homomorphisme compos e >-p9

rp

/£*/•

induit necessairemen t u n quasi-isomorphism e

et cel a prouv e c e qu'o n voulait . On a termin e l a demonstratio n d e l a propositio n 5.1 7 e t don e d u theorem e 5.1 5 .

• Pour etr e comple t e t bie n qu e cel a n e soi t pa s necessair e pou r l a suite , montron s encore : L E M M E 5.21 . Sous les hypotheses de mologie H ^ {Y

s,£nd(£))

3

la proposition 5.1 8 , les espaces de coho-

* f £ „+ 1 (Y s - AY s,£nd(£)) *

H*(P(£)

S,T£)

s 'identifient egalement aux groupes de cohomologie du complexe dont la composante de degre k, 0 < k < n, est

0 End

F/i,...,Fv(F)

kf =n — k

ou, pour toute suite (I\ £ ** • £ Ik') de parties non Endi? r ,...,F 7 (F) designe Vespace des endomorphismes de tration F h C • • • C F Ik, C F.

triviales de {0 , . . . , n } , F qui respectent la fil-

D E M O N S T R A T I O N . C'es t u n calcu l d e cohomologi e d e Cech . D'apres l e lemm e 5.7 , o n a de s isomorphisme s WG„+1 (Y s, £nd(£)) ^

H

G^1 +

(Y n, £nd{£))

et o n peu t travaille r su r l a resolutio n Y n d e I 5 . Pour tout e suit e I\ £ 1 • • • £ 7^/ , noton s t// lv ..,/ fc/ l e plus peti t ouver t invarian t d e la variet e toriqu e Y n qu i contien t 1 'orbit e Yj 1 7 f e t noton s 3/j lv ..,j fc/ so n immersio n ouverte dan s Y n.

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5.6. F I B R E S INVERSIBLE S SU R L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O N I Q U 1 E 5 1

Sur Y n, l e complex e 0 (u h_Ik,Unh,...jk,rSrul(£) Ji£-£V£{0,...,n} k'=n — k

fournit un e resolutio n d e £nd(£) pa r de s module s quas i coherent s e t equivariants . Ces module s son t acyclique s ca r tou s le s ouvert s Ur 1 ,...jk, son t affines . Comme o n a vu dan s l a demonstratio n d e l a propositio n 5.1 8(i) , chaqu e ouver t ^/i,...,/ fc / e s t d e l a form e

Ui^.j^Y,

CNJ

\rn

h.-Jy

X

Ao Afc/_

i

Ai Xk

et l a fibre d e £nd(£) e n l e poin t distingu e d e 1 'orbit e YJ 1 j directe

s'identifi e a la somm e

0 HomiF^jF^F^jF!,) 0 e t d'apre s l a propositio n 5.1 0(h) , l e produi t fibre P

Ws" Ys_. D'apres l e corollair e 5. 8 e t l a formul e d e Kiinneth , o n a u n isomorphism e H9(F(£)s>,0) =

H 9(F(F%,), O) • • • if • ( P ( F f / ) , O )

tandis qu e d'apre s l e lemm e 5.1 2 o n a de s isomorphisme s H'(P(Fts,),0) ^

H'(¥(F

l s,),0),

0^P*{OpXxX>) soit un isomorphisme. Alors le champ Vicp/x Q poi'de des fibres inversibles sur localement de type fini sur X.

u

^ associe a tout schema X' sur X le grouP Xx X 1 est algebrique au sens d'Artin et

// admet un espace de modules grossier P i c p / x Qui represente le faisceau associe au prefaisceau des classes d'isomorphie de fibres inversibles. C'est un espace algebrique en groupes commutatifs sur X qui est localement de type fini. Sa fibre en tout point x de X est I 'extension d 'un groupe commutatif discret engendre par un nombre fini d'elements par un schema en groupes commutatifs connexe et de type fini. (ii) Supposons de verifie

plus qu'en tout point x de X, la H2(Px,O) =

Alors le champ Vicp/x (iii) Supposons enfin

e

fibre P

x

= P X j x de P

0.

t I'espace algebrique Picp/x sont

lisses sur X.

qu'en tout point x de X, on ait a la fois H1(Px,O) =

0 et

H

2

(Px,O) =

Alors Picp/x es t un groupe commutatif discret bre fini d''elements) localement constant sur X.

0. (engendre par un nom-

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154 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

D E M O N S T R A T I O N . (i ) L a premier e assertio n es t u n ca s particulie r d u theo reme 4.6.2. 1 d u livr e [Laumo n e t Moret-Bailly , 2000] . Le cham p Vicpjx a u n espac e grossier associ e P i c p / x d'apre s l e corollaire 1 0. 8 d e c e livr e ca r l e schema e n groupe s des automorphisme s d e n'import e que l poin t d e Vicp/x es t ega l a G m . Enfin , e n tout poin t x d e X , l e group e de s composante s connexe s d e l a fibre d e P i c p / x e s t engendre pa r u n nombr e fini d'element s d'apre s l e theorem e d e Neron-Sever i (voi r par exempl e [Berthelot , Grothendiec k e t Illusie , 1 971 , expose XIII , theorem e 5.1 ]) . (ii) S i H 2(PX,G) = 0 e n tou t poin t x d e X , i l n' y a jamai s d'obstructio n a relever le s point s infinitesimau x d u cham p Vicpjx c e qu i signifi e qu e celui-c i es t formellement lisse . (iii) S i H l(Px, O) — 0, l a composant e neutr e d e l a fibre d e P i c p / x e n x n' a pa s d'algebre d e Li e e t ell e es t triviale . • Revenant a notr e fibration P ( £ )— > X associe e a u poin t £ G V e cr ' 5 ( X ) , i l result e des deu x proposition s precedente s qu e l e group e d e Picar d relati f PiCp/£w x es t u n groupe commutati f discre t engendr e pa r u n nombr e fini d'element s e t localemen t constant su r X. On peu t s e demande r quel s element s d e PiCp/£w x o n connait . Tout d'abord , rappelon s que , d'apre s l a propositio n 4.1 8 , son t canoniquemen t associes a £ de s fibres £ a , 0 < a < n , localemen t constant s d e rang s r a = r — ^fo n l - i a i s u r X e ^ u n n o m o m o r p h i s m e GJ^ +1 -equivariant su r X £ -+ (£0 X X

•••

xx

qui es t u n plongemen t pa r definitio n d e Vec r,b comm e sous-cham p ouver t d e Vec ' . L'ouvert £ d e £ es t l'imag e reciproqu e d e (£Q — {0}) X x • • • x ^ (£ n — {0}), e t e n passant a u quotien t pa r Tactio n libr e d e GJ^ +1 o n obtien t n - f 1 morphisme s P(£) - » P ( £ a ) , 0 G m - Gi

- + G sJGm =

.*§- > 1 ,

le passag e a u quotien t pa r le s action s induite s d e A% defini t de s fibres inversible s sur X/G 7^1 pui s P(£ ) qu'o n not e 0{k). Enfin, l e fibre tangen t Tg a u morphism e liss e F(£) - X / G ^

+1

est localemen t libr e d e ran g r su r P(£ ) e t o n peu t considere r l e fibre inversibl e dua l de so n fibre determinan t

u£ = {A

r

T£)\

Toutefois, u)£ definit l e mem e poin t d e PiCp/^w^ - qu e l e fibre inversibl e (9(1 ) : LEMME 5.24 . Pour tout point £ du champ Vec r,s a valeurs dans un schema X, les fibres inversibles uj£ et 0 ( 1 ) sur F(£) son t isomorphes localement sur X pour la topologie de Zariski. D E M O N S T R A T I O N . L e fibre A r Tg s'identifi e a Timag e reciproqu e pa r l e mor phisme F(£) — > X / G ^ + 1 d u quotien t pa r GJ^ +1 d u fibre inversibl e det(£ ) su r X . II s'agit don e d e prouve r qu e le s deux fibres inversible s GJ^ + 1 -equivariants det(£ ) et O(-l) su r X son t isomorphe s localemen t su r X pou r l a topologi e d e Zariski . O r ceci a dej a et e v u a u cour s d e l a demonstratio n d u theorem e 4.2 2 : On remarqu e qu e s i x es t u n poin t d e X e t S_ le pavag e correspondan t d e S avec don e

Xxxx^As x

As

a^ = Yg^ PftA

1

) 5 ),

et s i i = (io , •. • , i n) G 5 es t u n somme t d u pavag e 5 , Tactio n d u tor e G 7^1 su r le s fibres d e det(£ ) e t d e 0{—l) a u poin t distingu e a^i d e Ys_ est donne e pa r l e mem e caractere

(Ao,...,An)^AJ°...AJl». Et o n conclu t d'apre s l e lemm e 4.1 2 . D On a dej a v u qu e l e morphism e pla t d e projectio n F{£) - * X est projectif . I I es t facil e d'exhibe r su r F(£) u n fibre inversibl e universe l tre s ampl e relativement a c e morphism e : LEMME 5.25 . Pour tout point £ de Vec r ' a inversible sur F(£)

valeurs dans un schema X, le fibre

0(l)®(g)0 Q (r a + l) (oil r a = r — F(E 0) x

x

•

- • x xF(En) ^

X

ou £Q > • • • > £n son t le s fibres localemen t libre s d e rang s T*O , . . ., r n su r X associe s a E. Le premie r morphism e e n facteu r es t l e quotien t pa r Tactio n libr e d e GJ^ +1 d e £ -+ (S 0 - {0} ) x x •

• • x x (£

n

- {0} )

qui s'ecri t comm e l e compos e d e rimmersio n ferme e £ — (So - {0} ) x x •

• • xx (£

n

- {0} ) x x X

= (£ 0 - {0} ) x x---xx(Sn- {0} - > (So - {0} ) x x • • • x x (S

n

S

) x AS/js A s

- {0} ) x AS/js (A

x

P((A

1

/AS0

)S)M|

et d e I'oubl i d u facteu r P ( ( A 1 ) 5 ) . L e fibr e inversibl e equivarian t 0 ( 1 ) su r £ es t done tre s ampl e relativemen t a u morphism e £^E0-{0}xx.--xx£n-{0}. Le morphism e £ — > P ( ( A 1 ) 5 ) es t defin i pa r l a famill e d e section s d e 0 ( 1 ) fournie s par le s coordonnee s X^ d e ( A 1 ) 5 indexee s pa r le s point s i d e 5 . Pou r tou t te l poin t i = (io,..., i n) € S, le tor e G ^ + 1 agi t su r l a sectio n Xi pa r l e caracter e (A0,...,An)^A^...A^. Si don e o n choisi t localemen t su r X de s section s no n nulle s e ^ , . • •, e^ de s fibres Sym*° £ 0 V , . . . , Sym i n £ £ , l e produi t e%(e) el(e)

i

V;

definit un e sectio n rationnell e d e 0 ( 1 ) su r £ qu i es t invariant e pa r GJJ+ 1 , e'est-a dire un e sectio n rationnell e note e XJi^ . . . e^ ) d e 0 ( 1 ) su r P ( £ ) . Le s element s e^, • • •, e^ peuven t auss i etr e vu s comm e de s section s invariante s de s fibres 0o(io) 5 . . . , O n(in) e t l e produi t tensorie l

e0 . . . e n est un e sectio n p a r t o u t defini e d u fibre inversibl e 0 ( 1 ) 0 (0o(*o ) 0 • • • 0 0 sur P ( £ ) . Comm e i = ( i o , . . . , i n)

es

n(^n))

t u n poin t d e 5 , o n a necessairemen t

et tou t choi x d e nouvelle s section s e ^ , . . . , e^ v d e S y m r ° _ z ° £ ^ , . . . , S y m r n _ 2 n £ ^ localement su r X defini t un e sectio n global e -^H®((eo®4v)®---®(e^®e'nv)) de 0 ( 1 ) ® (O 0(ro) ® • • • ® O n ( r n ) ) su r P ( £ ) .

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5.7. U N I V E R S A L I T E D E L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O1 NIQU E 5

7

Pour tou t poin t d e P(£o ) x x • * • x x^(£n), o n a p u choisi r le s section s e g ,. • . , e ^ et eQ V,. . ., e^ 7 n e s'annulan t pa s e n c e poin t e t cel a signifi e qu e localemen t su r X l e fibre inversibl e su r P(£ ) n

0(l)®(g)0 a (r Q ) a=0

a suffisammen t d e section s globale s pou r defini r u n plongemen t dan s l e produi t d e P(£o) x x ''' x x P(£n ) e t d'u n espac e projectif . On conclu t qu e l e produi t tensorie l

0(l)®(g)0«(r a ) L

X. • Dans l e ca s de s espace s d e configuration s o u tou s le s r a , 0 < a < n , valen t 1 , la demonstratio n ci-dessu s s e redui t a dir e qu e l e quotien t pa r le s action s libre s d e GJ^ +1 d e Timmersio n ferme e £ < - (So - {0} ) x x •

• • xx (£

n

- {0} ) x x X

est un e immersio n ferme e ¥(£) ^ X qu'on peu t compose r ave c Timmersio n ferme e

X = X x Asa% A

s

/A% - > X y~ As,xsz [A s x P((A 1 ) S )]/J|

pour conclur e qu e l e fibre inversibl e 0(1 ) su r F(£) es t tre s ampl e relativemen t a X. 5.7. U n i v e r s a l i t y d e l a fibratio n p r o j e c t i v e c a n o n i q u e Pour tou t schem a X mun i d'u n morphism e X — > A s /A%, o n a not e X = x

. 4 s / . 4 5 ^ ^ / ^ 0 - C'es t un e fibration projectiv e e t plat e su r X , muni e d'un e actio n

du tor e C ^ + 1 e t don t le s fibres son t geometriquemen t reduite s e t n e compten t qu'u n nombre fini d'orbite s sou s Tactio n d e GJ^ +1 . On a v u qu' a tou t poin t £ d u cham p Vec r,s a valeur s dan s u n schem a arbitrair e X es t associe e un e fibration propr e e t plat e ¥(£) — » X muni e d'u n morphism e liss e de dimensio n relativ e r F(£) - X/G^ 1+ et qu i adme t u n fibre tre s ampl e uog ® a = o ^ a ( r a + l) - I I est don e nature l d e cherche r a classifie r c e typ e d e structures . O n commenc e pa r l e resulta t suivan t : PROPOSITION 5.26 . Le champ Vroj qui des fibrations projectives et plates

a tout schema X associe le groupoi'de

p: P^X telles que Rlp*OP =

0, V z > 2

est un champ algebrique au sens d'Artin et

,

localement de

type fini.

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158 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

D E M O N S T R A T I O N . S i P x e t P% sont deu x point s d e Vroj a valeur s dan s u n schema X , l e foncteu r qu i associ e a tou t schem a X' su r X l'ensembl e de s isomor phismes

P.xxX' ^P

2xxX'

est representabl e pa r u n sous-schem a ouver t d e presentatio n finie dan s l e « schem a de Hilber t » classifian t le s sous-schema s ferme s r d e P i x ^ P 2 au-dessu s d e X : il es t defin i pa r l a conditio n ouvert e qu e le s deu x projection s r — > Pi e t T — » P X comme dan s l'enonc e qu i son t munie s d'u n fibre inversibl e C d e P verifian t : - C es t tre s ampl e relativemen t a p , - pou r tou t entie r n > 1 , pX®n est u n fibre localemen t libr e d e ran g x ( n ) l

n

R p,C® = e

su r

X e tona

0 , Vz>l .

x

Pour tout e x / ^ cham p Vroj s'ecri t comm e u n quotien t pa r l e group e P G L ^ ) d'un sous-schem a ouver t d u « schema d e Hilber t » classifian t le s sous-schema s fer mes d e P(A X ^^) don t l e polynom e d e Hilber t es t \- H e s ^ algebriqu e a u sen s d'Arti n et localemen t d e typ e fini. D'apres l'hypothes e d'annulatio n de s R lp*Op, i > 2 , l e morphism e d'oubl i d u fibre tre s ampl e C Vrojx— > Vroj est formellemen t lisse . S i U x es t un e presentatio n d e Vroj x c'est-a-dir e u n schem a de typ e fini mun i d'u n morphism e liss e U x— > Vroj x, l e morphism e compos e JJX _ ^ p rojx—

> Vroj

est representabl e d e presentatio n finie e t formellemen t liss e don e lisse . Comme tou t poin t geometriqu e d e Vroj es t dan s l'imag e d'a u moin s u n Vroj x, on peu t conclur e qu e l e cham p Vroj es t algebriqu e a u sen s d'Arti n e t localemen t de typ e fini. • Revenant a notr e convex e entie r S d e S r'n1 nou s pouvon s maintenan t montre r : P R O P O S I T I O N 5.27 . SoitVroj r,s le champ sur A s/ A% qui associe a tout schema X muni d'un morphisme X — > A s/A% le groupoi'de des fibrations projectives et plates p: P-^X munies d'un

morphisme lisse

de dimension relative

r qui releve p

et telles que Vhomomorphisme naturel OX^P*OP

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5.7. U N I V E R S A L I T E D E L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O1 NIQU E 5

soit un isomorphisme et

que if^e>P = 0 , Vz

Alors Vroj

r,s

est

9

>1 .

un champ algebrique au sens d'Artin et

localement de

type

fini. D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l a propositio n precedente , i l suffi t d e montre r qu e la fibre d u morphism e d'oubl i Vroj^s -

> A s jA% x

Vroj

au-dessus d e n'import e que l poin t (X — > A s jA%, P — » X) a valeur s dan s u n schema X es t u n cham p algebriqu e localemen t d e typ e fini su r X. Tout d'abord , le s condition s supplementaire s Ox ^P*0

Py

R

l

p*0P =

$,

sont representable s pa r un e immersio n ouvert e e t s i o n le s suppos e verifiee s pa r p , il n e rest e plu s qu' a classifie r le s relevement s lisse s p. Or construir e p signifi e pa r definitio n construir e u n GJ^ + 1 -torseur Q su r P e t un morphism e GJ^ +1 -equivariant h: Q^X au-dessus d e X. Le choi x d u G^ + 1 -torseur Q equivaut a u choi x d e n + 1 fibres inversible s su r P. II es t representabl e pa r l e cham p {Viep/x) n+1 qu i es t algebriqu e a u sen s d'Arti n e t localement d e typ e fini su r X. Une foi s fixe Q, s e donne r h revien t a s e donne r u n sous-schem a ferm e

T^(gxxX)/Gnm+1 dans l e quotien t d e Q Xx X pa r Tactio n libr e d e G 7^1 qu i es t pla t su r X e t don t l'image reciproqu e V dan s Q Xx X es t tell e qu e l a projectio n

soit u n isomorphisme . Le quotien t {Q Xx X)/G^ 1 es t u n schem a projecti f e t pla t su r X e t l e choi x de r es t representabl e pa r l e « schema d e Hilber t » d e Q Xx X su r X don t o n sai t qu'il es t localemen t d e typ e fini su r X. 7 La projectio n r ;— > Q est u n isomorphism e s i e t seulemen t s i T — > P = Q/G 1 ^ est u n isomorphism e e t cett e conditio n es t representabl e pa r un e immersio n ouverte . Enfin, demande r qu e l e morphism e p: P —* X/G 7^1 defin i pa r h soi t liss e d e dimension relativ e r es t representabl e pa r un e immersio n ouverte , c e qu i achev e d e demontrer l a proposition . • Voici enfi n l e theorem e principa l d u presen t chapitr e 5 : THEOREME 5.28 . Soit S un convexe entier de 5 r ' n qui n'est contenu dans aucune face, Le foncteur qui associe a tout point £ du champ Vec r,s a valeurs dans un schema X muni d'un morphisme X — > A s /A% la fibration projective plate P(£) - + X

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160 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

munie du morphisme lisse

de dimension relative

F(£) - X/G^ definit un morphisme de

1

=

r 1 s s /A 0]/G^

[X x CAS/M AS/A[A

champs Vec r ' 5 - > Vrop

s

au-dessus de A s jA%. C'est une immersion ouverte du champ algebrique de type fini Vec champ algebrique localement de type fini Vroj r'' . R E M A R Q U E . L'auteu r ignor e commen t caracterise r l'imag e d e Vec qu'ouvert dan s Vroj r'S.

r,s

dans

r,s

e n tan t

le

D E M O N S T R A T I O N D U T H E O R E M E. S i £ es t u n poin t d e Vec r'S a valeur s dan s un schem a X, l a fibration ¥(£) su r X muni e d u morphism e P ( £ )—- > X /G 7^1 verifi e toutes le s propriete s qu i definissen t le s point s d e Vroj r,s d'apre s l a propositio n 5. 1 et l a propositio n 5.22 . Cel a signifi e qu e l e foncteu r £ *-> ¥(£) definit u n morphism e d e champ s algebrique s Vecr's ^

rS

Vroj

'.

Considerons u n annea u artinie n A, u n idea l J d e A d e carr e J 2 = 0 e t u n poin t £ d u cham p Vec r,s a valeurs dan s A/J. S i on not e x = Spe c A,x = (Spe c A) x As/js As/A% pui s x , x le s reduction s d e x 1 x modul o J , o n a d'apre s l e theorem e 5.1 5 des isomorphisme s ij2„ + 1 (S,Wom(£,£ J ) ) -^>H 2{¥(£), T-£® H^+1(w,7iam(£,£^J)) ^ :

H

H^+l(x ,Hom(£,£®J)) -^

1

J) ,

(¥(£),T^® J),

H°{¥(£), T-£®

J).

Interpretes geometriquemen t e n terme s d e l a theori e de s deformations , il s signifien t que : - pou r tou t morphism e x = Spe c A— > A s /A% qu i relev e x = Spe c Aj J -^ As JA%, l e point P ( £ ) d e Vroj r,s' (x) peu t etr e relev e e n u n poin t d e Vroj r'S (x) si e t seulemen t s i l e poin t £ d e Vec r ' (~x) peut etr e relev e e n u n poin t d e Vec r ' 5 (x), - s'i l exist e d e tel s relevements , l e foncteu r £ •- > P(£ ) definit un e equivalenc e d u groupoi'd e de s relevement s £ d e £ su r l e groupo'id e des relevement s d e P ( £ ) (c'est-a-dir e qu e le s ensemble s d e classe s d'isomor phie son t e n bijectio n e t qu e le s groupe s d'automorphisme s son t isomorphes) . Par consequent , l e morphism e Vec r ' s ' - • Vrop

s

est liss e e t s a fibre au-dessu s d e n'import e que l poin t d e Vroj r' a valeur s dan s un schem a X es t u n cham p algebriqu e a u sen s d e Deligne-Mumfor d (d'apre s l e theoreme 8. 1 d e [Laumo n e t Moret-Bailly , 2000] ) qu i es t etal e su r X.

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5.7. U N I V E R S A L I T E D E L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O1 NIQU E 6 1

Pour conclure , i l rest e seulemen t a verifie r qu e s i £\ e t £2 son t deu x point s du cham p Vec r,s a valeur s dan s l e spectr e x d'u n corp s algebriquemen t clos , tou t isomorphisme

P(f 0 ^ P(£ 2) dans Vroj r,s (x)

s e relev e d e manier e uniqu e e n u n isomorphism e £ i ^ £

2

dans Vec r'S(x). Le poin t geometriqu e x s'envoi e su r u n poin t d e A s j A% qu i correspon d a u n pavage entie r convex e S_ de S. Notan t toujour s Ys_ la fibre d e A s au-dessu s d u poin t distingue as d e A , £\ e t £2 peuven t etr e vu s comm e de s fibres localemen t fibres d e rang r su r l e cham p quotien t Y s / G ^ + 1 tandi s qu e P(£*i ) e t ¥(£2) son t de s schema s projectifs su r x muni s d e morphisme s lisse s d e dimensio n relativ e r

P(£i) - ^ YsJGX 1 , F(£

2)

^ Ys/G^

1

dont le s image s son t egale s a l'ouver t (YR-AYs)/Gnm+1 (ou AYs_ design e l e sous-schem a ferm e invarian t d e Y ^ reunio n de s orbite s corres pondant au x facette s d u pavag e S_ qu i son t contenue s dan s un e fac e d e S r,n). Les fibres tangent s relatif s Ts 1 e t Tg 2 au x morphisme s d e structur e p\ e t P2 sont muni s d'isomorphisme s canonique s su r P ( £ i ) e t ¥(£2)

L'isomorphisme au-dessus d e Y s / G J ^ 1 s e relev e e n u n isomorphism e

f£l^u*f£2. Pour i = 1 o u 2 , le s deu x image s reciproque s d e T^ % su r P(£^ ) x y / Gn+i P(£^ ) s'identifient au x fibres tangent s relatif s de s deu x projection s e t don e l a permutatio n des deu x facteur s de s P(