Categories for Types (Cambridge Mathematical Textbooks) [1 ed.] 0521457017, 9780521457019

Table of contents :
Contents
Preface
Advice for the Reader
1 Order, Lattices and Domains
1.1 Introduction
1.2 Ordered Sets
1.3 Basic Lattice Theory
1.4 Boolean and Heyting Lattices
1.5 Elementary Domain Theory
1.6 Further Exercises
1.7 Pointers to the Literature
2 A Category Theory Primer
2.1 Introduction
2.2 Categories and Examples
2.3 Functors and Examples
2.4 Natural Transformations and Examples
2.5 Isomorphisms and Equivalences
2.6 Products and Coproducts
2.7 The Yoneda Lemma
2.8 Cartesian Closed Categories
2.9 Monies, Equalisers, Pullbacks and their Duals
2.10 Adjunctions
2.11 Limits and Colimits
2.12 Strict Indexed Categories
2.13 Further Exercises
2.14 Pointers to the Literature
3 Algebraic Type Theory
3.1 Introduction
3.2 Definition of the Syntax
3.3 Algebraic Theories
3.4 Motivating a Categorical Semantics
3.5 Categorical Semantics
3.6 Categorical Models and the Soundness Theorem
3.7 Categories of Models
3.8 Classifying Category of an Algebraic Theory
3.9 The Categorical Type Theory Correspondence
3.10 Further Exercises
3.11 Pointers to the Literature
4 Functional Type Theory
4.1 Introduction
4.2 Definition of the Syntax
4.3 Ax-Theories
4.4 Deriving a Categorical Semantics
4.5 Categorical Semantics
4.6 Categorical Models and the Soundness Theorem
4.7 Categories of Models
4.8 Classifying Category of a λ×-Theory
4.9 The Categorical Type Theory Correspondence
4.10 Categorical Gluing
4.11 Further Exercises
4.12 Pointers to the Literature
5 Polymorphic Functional Type Theory
5.1 Introduction
5.2 The Syntax and Equations of 2λ×-Theories
5.3 Deriving a Categorical Semantics
5.4 Categorical Semantics and Soundness Theorems
5.5 A PER Model
5.6 A Domain Model
5.7 Classifying Hyperdoctrine of a 2λ×-Theory
5.8 Categorical Type Theory Correspondence
5.9 Pointers to the Literature
6 Higher Order Polymorphism
6.1 Introduction
6.2 The Syntax and Equations of ωλ×-Theories
6.3 Categorical Semantics and Soundness Theorems
6.4 A PER Model
6.5 A Domain Model
6.6 Classifying Hyperdoctrine of an ωλ×-Theory
6.7 Categorical Type Theory Correspondence
6.8 Pointers to the Literature
Bibliography
Index

Citation preview

Ｉ

Ｉ

ＲＯＹ Ｌ． ＣＲＯＬＥ

ｘ ： ｎ

ｔ Ｖ

Ｓｕｃ（ｘ）

： ｎ

ｔ

Ｎ＾Ｎ

Ｎ

ＸｎＭ＋ｌ＞Ｎ

ＮＡｎＭ＋＼Ｎ

ＣＡＭＢＲＩＤＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ ＴＥＸＴＢＯＯＫＳ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｆｏｒ

Ｔｙｐｅｓ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ

Ｒｏｙ

Ｌ． Ｃｒｏｌｅ

Ｓ．Ｅ．Ｒ．Ｃ． Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｆｅｌｌｏｗ， Ｉｍｐｅｒｉａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｌｏｎｄｏｎ

ＨＩ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ ＾Ｗ

ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＰＲＥＳＳ

Ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｐｒｅｓｓ Ｓｙｎｄｉｃａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｔｈｅ Ｐｉｔｔ Ｂｕｉｌｄｉｎｇ， Ｔｒｕｍｐｉｎｇｔｏｎ Ｓｔｒｅｅｔ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ ＣＢ２ ＩＲＰ ４０ Ｗｅｓｔ ２０ｔｈ Ｓｔｒｅｅｔ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ， ＮＹ １００１１－４２１１， ＵＳＡ １０ Ｓｔａｍｆｏｒｄ Ｒｏａｄ， Ｏａｋｌｅｉｇｈ， Ｍｅｌｂｏｕｒｎｅ ３１６６， Ａｕｓｔｒａｌｉａ ？

Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｆｉｒｓｔ

ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ

Ｐｒｅｓｓ １９９３

１９９３

Ｐｒｉｎｔｅｄ ｉｎ Ｇｒｅａｔ Ｂｒｉｔａｉｎ ａｔ ｔｈｅ Ｂｒｉｔｉｓｈ

Ｌｉｂｒａｒｙ ｃａｔａｌｏｇｕｉｎｇ

ｉｎ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ

ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ

Ｌｉｂｒａｒｙ ｏｆ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｃａｔａｌｏｇｕｉｎｇ

ＩＳＢＮ ０ ５２１ ４５０９２ ６ ｈａｒｄｂａｃｋ ＩＳＢＮ ０ ５２１ ４５７０１ ７ ｐａｐｅｒｂａｃｋ

ｉｎ

ｄａｔａ ａｖａｉｌａｂｌｅ

ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ

ｄａｔａ ａｖａｉｌａｂｌｅ

Ｔｏ Ａｎｄｒｅｗ Ｍ． Ｐｉｔｔｓ

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

Ｐｒｅｆａｃｅ

１

２

ｘ

ｔｈｅ Ｒｅａｄｅｒ

ｘｉｖ

Ａｄｖｉｃｅ

ｆｏｒ

Ｏｒｄｅｒ，

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１

１．１

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

１

１．２

Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ

２

１．３

Ｂａｓｉｃ Ｌａｔｔｉｃｅ

Ｔｈｅｏｒｙ

１．４

Ｂｏｏｌｅａｎ ａｎｄ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

１．５

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

１．６

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

３３

１．７

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

３６

Ａ

Ｄｏｍａｉｎ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

１２

Ｌａｔｔｉｃｅｓ

２０ ２４

Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ＳＩ

２．１

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

３７

２．２

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

２．３

Ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ

２．４

Ｎａｔｕｒａｌ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ａｎｄ

２．５

Ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ａｎｄ

２．６

Ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ

Ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

２．７

Ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ Ｌｅｍｍａ

２．８

Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｌｏｓｅｄ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

６７

２．９

Ｍｏｎｉｅｓ， Ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ， Ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ Ｄｕａｌｓ

７３

２．１０

Ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

７７

ａｎｄ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

４０

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

４５

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ

５２ ５５ ６１

２．１１ Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ ２．１２ Ｓｔｒｉｃｔ Ｉｎｄｅｘｅｄ

４９

９１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

１０６

２．１３ Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

１１３

２．１４ Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

１１８ ｖｉｉ

ｖｉｉｉ

３

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

１２０

３．１

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

１２０

３．２

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

３．３

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ

３．４

Ｍｏｔｉｖａｔｉｎｇ

３．５

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

１３２

３．６

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ

１３４

３．７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

３．８

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ

３．９

Ｔｈｅ

Ｓｙｎｔａｘ

１２１

１２７

Ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｏｆ Ｍｏｄｅｌｓ

１３７ ｏｆ

ａｎ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

１３９ １４７

３．１０ Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

１５１

３．１１ Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

１５２

４ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

５

１２９

１５４

４．１

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

４．２

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

４．３

Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

４．４

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

４．５

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

１６８

４．６

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ

１７１

４．７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

４．８

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ

４．９

Ｔｈｅ

４．１０

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｇｌｕｉｎｇ

ａ

１５４

Ｓｙｎｔａｘ

１５６ １６１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

１６３

１７２

ｏｆ Ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ

Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｙ

ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

１７５ １８０ １８５

４．１１ Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

１９２

４．１２ Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

１９９

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

２０１

５．１

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

２０１

５．２

Ｔｈｅ

５．３

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

５．４

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

５．５

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

２３４

５．６

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

２４１

Ｓｙｎｔａｘ ａｎｄ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

２０３

２１４ ２２４

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

６

ｉｘ

５．７

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

５．８

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

２６８

５．９

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

２７４

Ｈｉｇｈｅｒ

Ｏｒｄｅｒ

ｏｆ

ａ

２Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

２６２

２７５

６．１

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

６．２

Ｔｈｅ

６．３

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

６．４

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

２９１

６．５

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

２９２

６．６

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

６．７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

３１３

６．８

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

３１４

Ｓｙｎｔａｘ

ａｎｄ

２７５

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｏｆ

ｕ； Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

ｏｆ

ａｎ ｕ；

Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｙ

２７５

２８５

３１０

Ｂｉｂｌｉｏｇｒａｐｈｙ

３１５

Ｉｎｄｅｘ

３２０

Ｐｒｅｆａｃｅ Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ Ｍｉｃｈａｅｌｍａｓ ｔｅｒｍ ｏｆ １９９０， ｗｈｉｌｅ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ， ｔｈｅ ｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙ ａｒｏｓｅ ｏｆ ｌａｍｂｄａ ｃａｌｃｕｌｉ． Ｔｈｅ ｄｕｒａｔｉｏｎ ｔｗｉｃｅ

ｔｈｉｓ

ａ

ｃｏｕｒｓｅ

ａｔ ｔｈｅ ｔｏ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ ｌｅｃｔｕｒｅ ｏｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ

ｃｏｎｓｉｓｔｅｄ ｏｆ ｓｉｘｔｅｅｎ ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ａｂｏｕｔ

ｏｎｅ

ｈｏｕｒ＇ｓ

ｅｉｇｈｔ ｗｅｅｋｓ， ａｎｄ ｃｏｖｅｒｅｄ ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｉｎ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｗｅｅｋ ｆｏｒ

ｂｏｏｋ， ｂｕｔ ｅｘｃｌｕｄｅｄ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｗｅｒｅ ｄｅｌｉｖｅｒｅｄ ｔｏ ａｎ ａｕｄｉｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ， ｗｉｔｈ ａｎ ｅｍｐｈａｓｉｓ ｏｎ ｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ． Ｉｔ ｗａｓ ｋｉｎｄｌｙ ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｍｉｇｈｔ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｏｆ ａ ｔｅｘｔｂｏｏｋ， ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎ ｈａｓ ｎｏｗ ｂｅｅｎ ｒｅａｌｉｓｅｄ ａｓ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂

＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ？ Ｉ ｗｉｌｌ ｔｒｙ ｔｏ ａｎｓｗｅｒ ｔｈｉｓ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｏｓｅ ｗｈｏ ｋｎｏｗ ｌｉｔｔｌｅ ａｂｏｕｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １， ｗｅ ｂｅｇｉｎ ｗｉｔｈ ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｉｎｇｓ ｗｉｔｈ ａｎ ｏｒｄｅｒ ｐｌａｃｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｆｏｒｍ ａ Ｗｈａｔ

ｓｅｔ

ａｒｅ

ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ

｛１，２，３．．．｝

ｗｉｔｈ

ａｎ

ｏｒｄｅｒ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

１ ＜ ２ ＜ ３ ＜

．．．

ｗｈｅｒｅ ＜

ｍｅａｎｓ

＂ｌｅｓｓ

ｅｑｕａｌ ｔｏ．＂ Ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ， ａｎｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｏｖｅｄ ａｂｏｕｔ ｔｈｅｍ． Ｓｕｃｈ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｗｏｒｌｄ ａｎｄ ｖａｒｉｏｕｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｏｒｔｓ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｆｏｒｍ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ ｔｈａｔ ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ ｄｉｖｅｒｓｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｈａｎ

ｏｒ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ｈｏｌｄ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ， ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ

ｃａｎ

ｂｅ

ｓｅｅｎ ａｓ

ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ （ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ） ｍａｙ ｂｅ ｓｈｏｗｎ ｔｏ ｙｉｅｌｄ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ２， ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｖａｒｉｏｕｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｒｅｌａｔｅｄ ａｎｄ ｇｉｖｅ ｍａｎｙ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｇｏ ｏｎ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｂｏｕｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｕｓｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌ ｏｎ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ｇｅｎｔｌｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｃｈａｐｔｅｒｓ １ ａｎｄ ２ ｃｏｎｔａｉｎ （ｍｏｓｔ ｏｆ） ｔｈｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂ Ｃｈａｐｔｅｒ ３ ｂｅｇｉｎｓ ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｈｏｗ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｇｉｖｉｎｇ ｕｓ ａ ｆｉｒｓｔ ｇｌａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ． Ｗｅ ｂｕｔ

ａ

Ｐｒｅｆａｃｅ

ｘｉ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｋｉｎｄ ｏｆ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｉｓ ｉｎｔｉｍａｔｅｌｙ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ—ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｓｕｃｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ４ ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｙ ｔｙｐｅｄ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａ ｖｅｒｙ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅ． Ｏｎｃｅ ａｇａｉｎ ｗｅ ｓｈｏｗ ａ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ａ ｌａｎｇｕａｇｅ （ｔｈｉｓ ｔｉｍｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ） ａｎｄ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｕｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｍｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ａ ｒｅｓｕｌｔ ａｂｏｕｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｓａｙｓ （ｉｎ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｅｎｓｅ） ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｇｉｖｅｎ ｕｓ ａ ｒｉｃｈｅｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ３， ｂｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｉｎｇｓ ｗｅ ｃａｎ ａｃｔｕａｌｌｙ ｅｘｐｒｅｓｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｒｉｃｈｅｒ ｌａｎｇｕａｇｅ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｃｈａｐｔｅｒ． Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ５ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ． Ｉｎ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅｓ， ｏｎｅ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｏｒｔｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｓｏｒｔ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｒ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ｗｏｒｄｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｏｒｔｉｎｇ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｌｉｓｔ． Ａ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ａｌｌｏｗｓ ｏｎｅ ｓｏｒｔｉｎｇ ｐｒｏｇｒａｍ ｔｏ ｗｏｒｋ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｌｉｓｔｓ． Ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｆｏｒｍａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｗｈｉｃｈ ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ， ａｎｄ ｏｎｃｅ ａｇａｉｎ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｔｈｉｓ ｌａｎｇｕａｇｅ． Ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｆｕｌｌ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｗｏ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ６， ｗｅ ｅｎｒｉｃｈ ｔｈｅ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｃａｐａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｎｇｕａｇｅ ｆｒｏｍ Ｃｈａｐｔｅｒ ５． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｌａｎｇｕａｇｅ ｗｅ ａｒｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｐｒｏｇｒａｍｓ ｗｈｉｃｈ ｉｎｖｏｌｖｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅｓ ｂｕｔ ａｌｓｏ ａ ｓｙｎｔａｘ ｗｈｉｃｈ ａｌｌｏｗｓ ｐｒｏｇｒａｍｓ ｔｏ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｔｙｐｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｏｒｓ． Ｏｎｃｅ ａｇａｉｎ ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ， ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｓｕｃｈ ｍｏｄｅｌｓ， ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ． ｓｈｏｗ ｈｏｗ

ａ

Ｉ ｈａｖｅ ｔｒｉｅｄ ｔｏ ｍａｉｎｔａｉｎ

ｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌ ｒａｐｉｄｌｙ ｗｉｔｈ ａ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｏｎｅ ｈａｎｄ， ａｎｄ ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｔｏｏ ｓｌｏｗｌｙ ｗｉｔｈ ｏｂｖｉｏｕｓ ｐｏｉｎｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ． Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａ

ｂａｌａｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｏｆｔｅｎ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｍａｎｙ ＂ｒｏｕｔｉｎｅ＂ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ： ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｉｓ ｉｎｔｅｎｄｅｄ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｏｒｙ ｔｅｘｔｂｏｏｋ，

ｍｉｇｈｔ ｅｖｅｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ ｃｏｕｒｓｅｓ， Ｉ ｏｆｔｅｎ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ． Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｉｓ ａｉｍｅｄ ａｔ ｂｏｔｈ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ， ｓｏｍｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ｍａｙ ｓｅｅｍ ｌａｂｏｕｒｅｄ ｔｏ ｏｎｅ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｎｏｔ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ． Ａｌｔｈｏｕｇｈ Ｉ ｈａｖｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｓｏｍｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｍｏｔｉｖａｔｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ， Ｉ ｈａｖｅ ｄｅｃｉｄｅｄ ｔｏ ｋｅｅｐ ｔｈｅｓｅ ｔｏ ａ ｍｉｎｉｍｕｍ． Ｉ ｈｏｐｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｗｉｌｌ ｐｕｔ ｉｎ ｔｉｍｅ ｔｏ ｆｌｅｓｈ ｏｕｔ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｗｈｉｃｈ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｐｒｏｖｉｄｅｓ． Ｉｎ ｍｏｓｔ ｃａｓｅｓ ｗｈｅｒｅ ｎｅｗ ｔｏｐｉｃｓ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ， Ｉ ｈａｖｅ ｔｒｉｅｄ ｔｏ ｇｉｖｅ ｓｉｍｐｌｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｔｈｅｎ ｆｏｌｌｏｗｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅｓ； Ｉ ｔｈｉｎｋ ｔｈｉｓ ｉｓ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ａｎ

ｗｈｉｃｈ

ａｓ

ｘｉｉ

ｆｏｒ

Ｐｒｅｆａｃｅ

ｗｏｒｋｉｎｇ

ａ

ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｏｆ ｔｈｉｓ ｎａｔｕｒｅ．

Ｉ ｈａｖｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｆａｌｌ ？

（ｒｏｕｇｈｌｙ）

ａ

ｓｍａｌｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

ｉｎｔｏ ｔｈｒｅｅ

ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ （ｎｏ ｐｕｎ（ｓ） ｉｎｔｅｎｄｅｄ）：

ｒｏｕｔｉｎｅ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ａｐｐｅａｒ

ｖｅｒｉｆｙ

ｄｅｔａｉｌｓ ｏｍｉｔｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

Ｔｈｅｙ

ａｎｙｗｈｅｒｅ （ｏｆｔｅｎ ａｓｋｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ

ｔｅｘｔ）；

？

ｌｅｓｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ａｐｐｅａｒ

？

ｆｕｒｔｈｅｒ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｔｈｅ ｂｏｏｋ．

ｇｉｖｅｎ

ａｎｙｗｈｅｒｅ； ａｎｄ

ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄｓ ｏｆ

ｃｈａｐｔｅｒｓ．

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎ ｍｕｃｈ

ｇｅｎｅｒａｌ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａｒｅ ｖｅｒｙ ｄｏｉｎｇ ｓｕｂｊｅｃｔｓ， ａｎｄ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅｍ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ａｎ ａｃｔｉｖｅ ｒｏｌｅ ｏｎ ｔｈｅ

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔ．

ｌｅａｓｔ

Ｔｏ ｍａｋｅ ｆｕｌｌ

ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｉｔ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｈａｔ ａｔ

ａｔｔｅｍｐｔｅｄ． Ｗｈｅｎ ｅａｓｙ ｄｅｔａｉｌｓ ｎｅｅｄ ｔｏ ｂｅ ｆｉｌｌｅｄ ｉｎ ｔｏ ｍａｋｅ ｅｖｅｒｙｔｈｉｎｇ ｃｒｙｓｔａｌ ｃｌｅａｒ， ｂｕｔ ｍａｙ （ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ） ｉｎｖｏｌｖｅ ａ ｌｅｎｇｔｈｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ， ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｂｅ ｂｒｏｕｇｈｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ＇ｓ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｎ ｅｘｅｒｃｉｓｅ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈｅ ａｔｔｅｎｔｉｖｅ ｒｅａｄｅｒ ｗｉｌｌ ａｌｗａｙｓ ｅｎｓｕｒｅ ｔｈａｔ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ ｂｅｆｏｒｅ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｅｘｔ， ｂｕｔ Ｉ ｔｈｉｎｋ ｉｔ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｉｎ ａ ｗｏｒｋｉｎｇ ｓｔｕｄｅｎｔ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｔｏ ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｏｃｃａｓｉｏｎａｌｌｙ ｔｈａｔ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｍｉｓｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｅｘｔ ａｎｄ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ． Ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ， ｔｈｅ ｒｏｕｔｉｎｅ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ａｒｅ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｏｋ． Ｔｈｅ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ｇｉｖｅｎ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ ｏｆ ｓｏｍｅ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｃｏｖｅｒ ａｌｌ ｔｏｐｉｃｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｕｐ ｔｏ ｔｈａｔ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｏｋ． Ｉ ｈａｖｅ ｎｏｔ ｇｉｖｅｎ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｆ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｏｆｔｅｎ ｆｉｎｄ ｉｔ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｓｅｌｅｃｔ ｔａｓｋｓ ｗｈｅｎ ｇｉｖｅｎ ａ ｌａｒｇｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ； ａｎｄ ｉｆ ｔｈｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｏｏ ｅａｓｙ ｖｅｒｙ ｌｉｔｔｌｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｌｅａｒｎｅｄ． Ｔｈｕｓ Ｉ ｈａｖｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａ ｓｍａｌｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｍａｋｅ （ｓｏｍｅ） ｒｅａｄｅｒｓ ｓｔｏｐ ｔｏ ｔｈｉｎｋ． Ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ ｓｕｇｇｅｓｔｓ ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｇｏｏｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｌｅａｒｎｉｎｇ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｔｈｅ ｔｅｘｔ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｓａｙ ＂ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ．．．＂ ｓｏｍｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

ｕｓｅ

ａｒｅ

Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｖｅｒｙ ｔｒｕｅ， ｂｕｔ ａｔ ｏｔｈｅｒ ｔｉｍｅｓ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｏｄｅ ｆｏｒ ＂ａ ｓｈｏｒｔ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ，＂ ｍｅａｎｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ｔｏ ｓｃｒｉｂｂｌｅ ｗｉｔｈ ｐｅｎｃｉｌ ａｎｄ ｐａｐｅｒ ｆｏｒ ａ ｍｉｎｕｔｅ ｏｒ ｓｏ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｆｕｌｌｙ ｗｈａｔ ｉｓ ｇｏｉｎｇ ｏｎ． Ｉ ｈａｖｅ ｔｏ ｔｈａｎｋ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

Ｉ

ｓｐｅｃｉａｌ ｍｅｎｔｉｏｎ， ｎａｍｅｌｙ Ａｎｄｒｅｗ Ｐｉｔｔｓ， ｗｈｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｍｅ ｔｏ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｆｒｏｍ ｗｈｏｍ Ｉ ｈａｖｅ ｐｒｏｂａｂｌｙ ｌｅａｒｎｔ ｍｏｒｅ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｍａｔｔｅｒ ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｔｈａｎ ｆｒｏｍ ａｎｙｏｎｅ ｅｌｓｅ． Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｒｅａｓｏｎ Ｉ ｄｅｄｉｃａｔｅ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ｔｏ ｈｉｍ． Ｈｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｓｏｕｒｃｅ ｏｆ ｉｎｓｐｉｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉ ａｍ ｉｎｄｅｂｔｅｄ ｔｏ ｈｉｍ ａ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｎｙ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ

ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｏ

ａ

ａ

ｈａｖｅ ｈａｄ

ｏｖｅｒ

ｓｉｎｇｌｅ

ｏｕｔ

ｏｎｅ

ｐｅｒｓｏｎ ｆｏｒ

ｒｅｃｅｎｔ ｙｅａｒｓ． Ａｎ ａｎｏｎｙｍｏｕｓ ｒｅｆｅｒｅｅ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｃｏｍｍｅｎｔｓ ａｎｄ

ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓ

（ｔｈｅｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｐｌｅａｓｅｄ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｃｅｒｔａｉｎ ｒｅｍｏｖｅｄ）． Ｓａｍｓｏｎ Ａｂｒａｍｓｋｙ ｈａｓ ａｌｗａｙｓ ｓｈｏｗｎ

ｄｒａｆｔ ｖｅｒｓｉｏｎ

ｈａｖｅ ｂｅｅｎ

ｗｅ

ｐｅｏｐｌｅ．

＂ｆａｔｕｏｕｓ ｍｏｔｔｏｓ＂ ａ

ｋｅｅｎ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ

Ｐｒｅｆａｃｅ

ｘｉｉｉ

ｐｒｏｊｅｃｔ ａｎｄ ｈａｓ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｅｎｃｏｕｒａｇｅｍｅｎｔ ａｎｄ ａｄｖｉｃｅ ａｔ ａｌｌ ｓｔａｇｅｓ． Ｍａｒｋ Ｄａｗｓｏｎ ｋｅｐｔ ｔｈｅ ｍａｃｈｉｎｅｓ ｒｕｎｎｉｎｇ ａｎｄ ｐａｔｉｅｎｔｌｙ ａｎｓｗｅｒｅｄ ｓｏｍｅ ｏｆ ｍｙ ｍｏｒｅ ｎａｉｖｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ Ｕｎｉｘ ｓｙｓｔｅｍ． Ｐｅｔｅｒ Ｆｒｅｙｄ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｓｏｍｅ ｉｎｓｐｉｒａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｍｅ ｔｏ ｆｉｎｉｓｈ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｓｔａｇｅｓ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ． Ｐａｕｌ Ｔａｙｌｏｒ ｈａｓ ｇｉｖｅｎ ｍｅ ｍｏｒｅ ｈｅｌｐ ｔｈａｎ Ｉ ｄｅｓｅｒｖｅ ｗｉｔｈ ｔｙｐｅｓｅｔｔｉｎｇ ｉｎ ＩＡＴｊｔＸ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ａｒｅ ｄｒａｗｎ ｕｓｉｎｇ ｈｉｓ Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ Ｄｉａｇｒａｍｓ ｐａｃｋａｇｅ． Ｈｅ ｈａｓ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｈｅｌｐ ｗｉｔｈ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｅｎｓｕｒｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｗａｓ ｎｅｖｅｒ ａ ｄｕｌｌ ｍｏｍｅｎｔ ａｔ Ｉｍｐｅｒｉａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ． Ｉ ｈａｖｅ ｈａｄ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｃｏｎｖｅｒｓａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｍａｒｔｉｎ Ｈｙｌａｎｄ ａｎｄ Ｅｕｇｅｎｉｏ Ｍｏｇｇｉ ｗｈｏ ｈａｖｅ ｈｅｌｐｅｄ ｇｒｅａｔｌｙ ｉｎ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｏｕｔ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ． ｔｈｅ

Ｊｏｈｎ Ｈａｒｒｉｓｏｎ， Ｅｉｋｅ Ｒｉｔｔｅｒ ａｎｄ Ｊｏｓｈｕａ Ｒｏｓｓ ｇａｖｅ ｄｒａｆｔ ｖｅｒｓｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｌｅｄ ｔｏ

ｍｅ

ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓ

ｄｅｔａｉｌｅｄ ｃｏｍｍｅｎｔｓ

ｏｎ

ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ． Ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｔｈｅｒ ｐｅｏｐｌｅ ｈａｖｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｄ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｂｙ ｗａｙ ｏｆ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ， ｐａｓｔ ｌｅｃｔｕｒｅ ｎｏｔｅｓ ｏｒ ｓｉｍｐｌｙ ｅｎｔｈｕｓｉａｓｍ， ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ Ｂａｒｔ Ｊａｃｏｂｓ， Ｐｅｔｅｒ Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ， Ｌｕｋｅ Ｏｎｇ， Ｅｄｍｕｎｄ Ｒｏｂｉｎｓｏｎ， Ｗｅｓｌｅｙ Ｐｈｏａ ａｎｄ Ｓｔｅｖｅ Ｖｉｃｋｅｒｓ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｒｅａｄｉｎｇ ｇｒｏｕｐ ａｔ Ｉｍｐｅｒｉａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｐｒｏｖｅｄ ａ

ｉｎ ｔｈｅ

ｕｓｅｆｕｌ ｔｅｓｔ－ｂｅｄ ｆｏｒ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｏｋ ａｎｄ Ｉ ｈａｖｅ ｈａｄ ｕｓｅｆｕｌ ｃｏｍｍｅｎｔｓ ｆｒｏｍ

Ｃｌａｒｋ， Ａｂｂａｓ Ｅｄａｌａｔ， Ｌｉｎｄｓａｙ Ｅｒｒｉｎｇｔｏｎ， Ｓｉｍｏｎ Ｇａｙ， Ｍａｒｔｉｎ Ｋｏｈｌｅｒ， Ｄａｖｉｄ Ｌｉｌｌｉｅ， Ｉａｎ Ｍａｃｋｉｅ， Ｎｉｃｋ Ｍｅｒｒｉａｍ， Ｒａｊａ Ｎａｇａｒａｊａｎ ａｎｄ Ｍａｒｋ Ｒｙａｎ． Ｌａｓｔ， ｂｕｔ ｂｙ ｎｏ ｍｅａｎｓ ｌｅａｓｔ， Ｉ ｔｈａｎｋ ｍｙ ｐａｒｅｎｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅｉｒ ｅｎｃｏｕｒａｇｅｍｅｎｔ． Ｄａｖｅ

Ｉ

ａｍ

ｇｒａｔｅｆｕｌ

Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ ｆｏｒ Ｒｏｇｅｒ Ａｓｔｌｅｙ ｆｏｒ ｈｅｌｐｉｎｇ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ ｗｉｔｈ

ｔｏ Ｄａｖｉｄ Ｔｒａｎａｈ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｕｇｇｅｓｔｉｎｇ ｔｈａｔ Ｉ ｗｒｉｔｅ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ， ａｎｄ ｔｏ ａｌｌ ｓｔａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ． Ｔｈａｎｋｓ ａｌｓｏ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｐｙ ｅｄｉｔｏｒｓ ｗｈｏ ｄｉｄ ａ ｖｅｒｙ ｔｈｏｒｏｕｇｈ ａｎｄ ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ ｊｏｂ． Ｌｅｔ ｍｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｂｙ ｅｍｐｈａｓｉｓｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｌａｍｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｅｒｒｏｒｓ ｗｈｉｃｈ ｒｅｍａｉｎ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ｍｕｓｔ ｌｉｅ ｓｏｌｅｌｙ ａｔ ｍｙ ｆｅｅｔ．

Ａｄｖｉｃｅ

Ｕｓｅｓ

ｆｏｒ

ｔｈｅ Ｒｅａｄｅｒ

ｏｆ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂

Ｔｈｉｓ ｔｅｘｔ ｉｓ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｂｅ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ

ａｌｓｏ ｂｅ ｕｓｅｆｕｌ

（ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

ａｓ ａ

ａ

ｓｔｕｄｅｎｔ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｗｈｉｃｈ

ｋｉｎｄ

ｐｒｉｍａｒｉｌｙ ｐｒｏｖｉｄｅｓ

ａｎ

ｏｆ） ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｂｕｔ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｕｌｄ

ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ

ｐｕｒｓｕｉｎｇ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ ｒｅｌａｔｅｄ ｏｆ ｌｅｃｔｕｒｅｓ

ｂａｓｉｓ ｆｏｒ

ａ ｃｏｕｒｓｅ

ｇｒａｄｕａｔｅ

ｓｔｕｄｅｎｔｓ． Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ

ｅｎｖｉｓａｇｅｄ ｔｈａｔ ｉｔ ｃｏｕｌｄ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅ ａｉｍｅｄ ａｔ ａｄｖａｎｃｅｄ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ ｏｒ ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ ｔｙｐｉｃａｌ Ｂｒｉｔｉｓｈ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ

ａｒｅａｓ．

Ｉｔ ｉｓ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ｃｏｕｒｓｅｓ， ｉｔ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ａｕｄｉｅｎｃｅ ａｔ ｗｈｏｍ ｔｈｅ ｂｏｏｋ ｉｓ ａｉｍｅｄ．

Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ

ｏｎ

ａｎ

ｅｘａｃｔ

ｏｒｄｅｒｅｄ

ｓｅｔｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ

ｒｅａｄｉｌｙ ａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｆｉｒｓｔ ａｎｄ ｓｅｃｏｎｄ ｙｅａｒ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｓ ａｎｄ ｉｎｄｅｅｄ Ｉ ｋｎｏｗ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅｓ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｓｕｃｈ ｔｏｐｉｃｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｏｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｉｌｅ ｐｒｏｂａｂｌｙ ａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｇｏｏｄ ｔｈｉｒｄ ｙｅａｒ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ， ｄｏｅｓ ｒｅｑｕｉｒｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍａｔｕｒｉｔｙ． Ｐｅｒｈａｐｓ ｉｔ ｉｓ ｂｅｔｔｅｒ ｓｕｉｔｅｄ ｔｏ ｇｒａｄｕａｔｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅｉｒ ｅａｒｌｙ ｓｔａｇｅｓ． Ｃｈａｐｔｅｒｓ ３ ａｎｄ ４ ａｒｅ ｐｒｏｂａｂｌｙ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ａｎｄ ｔｈｉｒｄ ｙｅａｒ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ ｌｅｖｅｌ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ， ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｓｉｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｂｅｅｎ ａｓｓｉｍｉｌａｔｅｄ． Ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｔｗｏ ｃｈａｐｔｅｒｓ ａｒｅ ｐｒｏｂａｂｌｙ ｂｅｔｔｅｒ ｓｕｉｔｅｄ ｔｏ ｆｉｒｓｔ ｙｅａｒ ｇｒａｄｕａｔｅｓ． Ｉｎ ｓｕｍｍａｒｙ， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｓｅｒｖｉｎｇ ａｓ ａ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｆｏｒ （ｇｒａｄｕａｔｅ） ｓｔｕｄｅｎｔｓ， Ｉ ｈｏｐｅ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｕｓｅｆｕｌ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｏｓｅ ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｔｏ ａｒｅａｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｐｒｏｇｒａｍ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ｉ ｈａｖｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ａ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｉｎｄｅｘ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｑｕｉｃｋ ｒｏｕｔｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｓａｙ ｗｈａｔ

ｐｒｅｒｅｑｕｉｓｉｔｅｓ

ａｒｅ

ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｒｅａｄ ｔｈｅ ｂｏｏｋ．

ｆｒｏｎｔ， ａ ｓｏｌｉｄ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｂａｓｉｃ ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｎｅｅｄｅｄ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌｌｙ ａ ｂｒｉｇｈｔ ｓｔｕｄｅｎｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｋｎｏｗｉｎｇ ｌｉｔｔｌｅ ｅｌｓｅ， ｂｕｔ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｉｔ ｗｉｌｌ ｈｅｌｐ ｔｏ ｈａｖｅ ｓｏｍｅ ａｃｑｕａｉｎｔａｎｃｅ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｇｒｏｕｐ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅｓ． Ａｎｙｏｎｅ ｒｅａｄｉｎｇ ｔｈｉｓ ａｄｖｉｃｅ ｗｈｏ ｋｎｏｗｓ ｌｉｔｔｌｅ ｏｒ ｎｏｔｈｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｔｈｉｎｇｓ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｂｅ ｄｅｔｅｒｒｅｄ ｆｒｏｍ ｔｒｙｉｎｇ ｔｏ ｇｅｔ ｔｏ ｇｒｉｐｓ ｗｉｔｈ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ； ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｓｕｃｈ ｔｏｐｉｃｓ ｉｓ ｎｏｔ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ． Ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ ｏｆ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｈａｖｉｎｇ ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ａｃｃｅｎｔｕａｔｅｄ ｉｎ ，ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ． Ｉ ｈａｖｅ ｔｒｉｅｄ ｔｏ Ｏｎ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

Ａｄｖｉｃｅ

ｆｏｒ

ｍａｋｅ ｔｈｅ

ｉｎｃｌｕｄｅｄ

ｔｈｅ Ｒｅａｄｅｒ

ｘｖ

ｍａｊｏｒｉｔｙ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｐｐｅａｌ

ｓｏｍｅ

ｔｏ

ｍａｉｎｓｔｒｅａｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ， ｂｕｔ Ｉ ｈａｖｅ ａｌｓｏ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ａｐｐｅａｌ ｔｏ ｗｉｌｌ ｈｅｌｐ ｉｆ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，

ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｂｏｏｋ

ｌｏｇｉｃｉａｎｓ． Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ｆｒｏｎｔ， ｉｔ ｒｅａｄｅｒ ｉｓ ｆａｍｉｌｉａｒ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｌｏｇｉｃ， Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ， ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ｔｏ ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｇｏｏｄ Ｂｒｉｔｉｓｈ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ ｃｏｕｒｓｅｓ． Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｏｐｉｃ ｉｓ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｂｉｎｄｉｎｇ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｌｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ａｎｄ

ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｔｕｒｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｔｅｘｔ ｖｅｒｙ ｍｕｃｈ ｓｅｌｆ－ｃｏｎｔａｉｎｅｄ

ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ｆｒｏｎｔ．

ｏｎ

Ｉｎｔｅｒｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒｓ ｐｉｃｔｕｒｅ ｂｅｌｏｗ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｏｗ ｍａｔｅｒｉａｌ ｉｎ ｌａｔｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｏｆ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｅａｒｌｉｅｒ ｍａｔｅｒｉａｌ．

Ｔｈｅ

Ｃｈａｐｔｅｒ

＇

Ｃｈａｐｔｅｒ

２

－

１

ｒ

Ｈ－ｉｒｍ＾ Ｓｅｃ．／ｌｌＵＩｌｏ

Ｊ

９ １ ＩＵ ９ ｆｉ Ｚ．ｌ ｔｎ Ｚ．Ｏ

＊

ＰＶｉｎｒ？ｔｅｒ ｖ＾ＩｌｃＬＪ＾

３

Ｉ

ｒ

Ｃｈａｐｔｅｒ

２

－

° ９ Ｈ－ｉｎｎ￣ ° ＾． ７ Ｓｅｃ．／ｌｌＵＩｌｏ １ ｉｎ ＩＵ ￡．０

Ｉ

Ｊ Ｈ

ＰＶｉｎｒ＞ｔｅｒ ｖ＾ｌｌｃＬＪ＾

４１

ｉ

ｒ

Ｃｈａｐｔｅｒ

２

－

Ｓｅｃ ｔｉｎｎ＾ ＬｌＵＩｌｏ

９ ０ ｔｎ ９ １９｜＼ ＩＵ ￡ｉ．±￡ｉ

￡．Ｊ

Ｊ

＊

ＰＶｉｎｒ ＾ＩｌｃＬＪ＾＞ｔｅｒ ５

＞

ｒ

Ｃｈａｐｔｅｒ

６

ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｒｅａｄａｂｌｅ ｉｎ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｉｆ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｈａｓ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｏｐｉｃ． Ｆｏｒ ａ ｒｅａｄｅｒ ｗｉｔｈ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ Ｃｈａｐｔｅｒｓ ３ ｔｏ ６ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｔｅｃｈｎｉｃａｌｌｙ ｓｅｌｆ－ｃｏｎｔａｉｎｅｄ， ｂｕｔ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｉｔ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ａｌｍｏｓｔ ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈｅｉｒ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｅｃｅｄｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ２ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈｅ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｏｎ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉ ｈａｖｅ （ｗｉｔｈｉｎ ｒｅａｓｏｎ） ｏｎｌｙ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｍａｔｅｒｉａｌ ｉｎ ｅａｒｌｉｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｐｕｔ ｔｏ ｕｓｅ ｉｎ ｌａｔｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ．

Ｃｈａｐｔｅｒｓ

１ ａｎｄ ２

ｏｎ

ｄｏｍａｉｎ

ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ａｄｖｉｃｅ

ｘｖｉ

ｔｈｅ Ｒｅａｄｅｒ

ｆｏｒ

Ｎｏｔａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎｓ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ． Ｉｎ ｅｓｓｅｎｃｅ， ｔｈｅ ｍｅｓｓａｇｅ ｉｓ ｔｈａｔ ａｐａｒｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ， ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｇｉｖｅｎ ｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ， ｗｅ Ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ａｉｍｅｄ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

／

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ

ａｔ

／

ｔｏ ｂｅ ａ ｓｕｂｓｅｔ

（ｗｈｅｒｅ

Ｃ Ｘ ｘ Ｙ

Ｘ

ｘ

Ｙ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｐａｉｒｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ ａｎｄ Ｙ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｘ Ｇ Ｘ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｙ ＥＹ ｗｉｔｈ （ｘ， ｙ） Ｇ ／． Ｆｏｒｍａｌｌｙ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｉｖｅ ｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ ａｎｄ

Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ．

ｔｈｅｎ ｓａｙ ｔｈａｔ

ｈａｓ

／

ｓｏｕｒｃｅ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

Ｘ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ Ｙ ｔｏ

ｃａｎ

ａ

ｕｎｉｑｕｅ

ｔｈｅｎ ｔａｌｋ

ｊｕｓｔ ｔａｌｋ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／， ａｎｄ ｔｈａｔ

ｍｅａｎ

／

Ｃ Ｘ ｘ Ｙ． Ｏｔｈｅｒ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｌｌ ａｐｐｅａｒ ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈｅ ｔｅｘｔ， ｂｕｔ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｔｈｉｓ ａｉｄｓ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｄｅｔａｉｌｓ； ｔｈｉｎｇｓ ｃａｎ ａｌｗａｙｓ ｂｅ ｆｏｒｍａｌｉｓｅｄ ｏｎｃｅ ｏｎｅ ｋｎｏｗｓ ｗｈａｔ ｉｓ ｇｏｉｎｇ ｏｎ． ａｂｕｓｅｓ ｏｆ ｆｏｒｍａｌ ｓｅｔ

？

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ

（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ） ［＃ｉ，．．．， ｘｎ］

ｆｏｒ

ａ

ｌｉｓｔ ｏｆ

ｎ

ｏｂｊｅｃｔｓ，

ａｎｄ ｗｉｌｌ ａｌｌｏｗ

ｌｅｎｇｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｓｔ； ｔｈｕｓ ｃｏｍｍｏｎｌｙ ｕｓｅｄ ａｓ ａ ｓｙｍｂｏｌ

ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｌｉｓｔ ｗｉｌｌ ｆｏｒ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ． Ｏｆ

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｐｏｉｎｔｓ ？

ｕｓｕａｌｌｙ ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｃｏｕｒｓｅ

ｎ

ｉｓ

ｓｕｃｈ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｍａｄｅ ｃｌｅａｒ ａｔ

ｉｎ ｔｈｅ ｔｅｘｔ．

Ｖｅｃｔｏｒ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｂｂｒｅｖｉａｔｅ ｌｉｓｔｓ．

ｄｅｎｏｔｅｄ ｘ，

ｌｅａｖｉｎｇ

Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

Ｔｈｕｓ

［ｘｉ，．．．， ｘｎ］

ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ

ｌｅｎｇｔｈ

ｗｉｌｌ ｂｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｓｔ．

ｓｕｐｅｒｓｃｒｉｐｔｓ ａｎｄ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔｓ ｏｆｆ ｓｙｍｂｏｌｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｄｘ ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｄ ｐｒｏｖｉｄｉｎｇ ｗｅ ｃａｎ ？

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ？

ｗｅ

ｓｏｕｒｃｅ

ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｏｆ ｉｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ．

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｓａｙ ＂ｌｅｔ

ｓｅｔｓ ａｎｄ

ｈ＼Ｚ

—＊■

ｆ：Ｘ

Ｚ＇

—？

ａｒｅ

Ｗｅ ｍａｙ ａｌｓｏ

ｈ（ｇｆ）： Ｘ ？

ｌｅａｖｅ

—？

／， ｇ： Ｘ

Ｙ ａｎｄ ｇ： Ｘ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｕｓｅ

ｗｅ

ｂｒａｃｋｅｔｓ

—？

—？

Ｙ

Ｙ ｂｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ＂ ｔｏ ａｒｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｉｆ

ｗｒｉｔｅ ｅｉｔｈｅｒ

＂（＂

ａｎｄ

＂）＂

ｇｆ

ｏｒ

ｇｏ

ｆ

ｍｅａｎ

／： Ｘ

—？

ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ

Ｚ＇ ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ ｖａｌｕｅ ａｔ

ｍｅａｎ

Ｙ，

ｘ

ｇ： Ｙ

—＞

ａｒｅ

Ｚ ａｎｄ

ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｇ Ｘ ｉｓ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ． ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ， ｓｏ

ｈ（ｇｆ（ｘ））

Ｇ

Ｚ＇．

ｏｎｌｙ ｉｆ＂ ｔｏ ｉｆｆ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｐｈｒａｓｅ ＂ｊｕｓｔ ｉｎ ｉｆｆ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｗｒｉｔｅ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｂｉ－ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｕｓｉｎｇ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｂｂｒｅｖｉａｔｅ ＂ｉｆ ａｎｄ

ｃａｓｅ＂ ｔｏ

ｔｈａｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ

ｐｒｏｏｆｒｕｌｅｓ． Ｓｏ ｉｆ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｅｎｔｅｎｃｅ

（Ｓｔａｔｅｍｅｎｔｌ） ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

ｉｍｐｌｉｅｓ

（Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ２）

（Ｓｔａｔｅｍｅｎｔｌ） （Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ２）

ａｎｄ

（Ｓｔａｔｅｍｅｎｔｌ）

ｉｆｆ

（Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ２）

Ａｄｖｉｃｅ

ｆｏｒ

ｘｖｉｉ

ｔｈｅ Ｒｅａｄｅｒ

ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

（Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ １） （Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ２）

Ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｇｉｖｅ ａｎｙ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ ｄｉａｇｒａｍｓ， ｂｕｔ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｆｒｏｍ ａ ｆｅｗ ｅｘａｍｐｌｅｓ． ？

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｎ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｗｅ ａｒｅ

ｆ：Ａ—＞

ｇ：Ｂ —＞Ｄ

Ｂ

ｈ：Ａ—＞Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｇｆ

＝

ｋｈ： Ａ

—？

ｋ：Ｃ

Ｄ

ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ

Ｄ，

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｈ ａｎｄ ｋ． Ｗｅ

—？

ｃａｎ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ／ ａｎｄ ｇ ｅｑｕａｌｓ ｔｈｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｉｓ ｗｉｔｈ ａ ｄｉａｇｒａｍ

／

ａｎｄ

ｗｅ

ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ

ｄｉａｇｒａｍ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ） ａｒｅ ｅｑｕａｌ． Ｉｆ

ａ

Ｇ Ａ ｉｓ

ａｎ

ｄｉａｇｒａｍ ａｓ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｔｏ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｂｙ ａｒｒｏｗｓ （ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｔｈｅ ｐａｔｈｓ ｍｅａｎ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ，

ｗｅ

ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｄｒａｗ

ｈ｛ａ） ？

ｏｒｄｅｒ ｔｏ

＾＿

ｆｃ（／ｉ（ａ））

＝

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｇｆ ａｎｄ ｋｈ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

ｔｈｅ

ｐａｔｈｓ ｒｏｕｎｄ ｔｈｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｄｉａｇｒａｍ

ｆ｛ａ）

ａ ｉ

ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ａ

ｔｈｅ

ａｒｅ

ｅｑｕａｌ．

ａｎｄ ４－ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ＂ｂｌａｎｋ

ｓｐａｃｅ＂ ｉｎ ｇｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｓｔ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｂｙ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｌｅｔ ｕｓｅ

ｓｙｍｂｏｌｓ

ｇ｛ｆ｛ａ））

—

Ｎ ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ｔｈｅｎ

（－）＊（＋）： ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｍａｐｓ ａｎｙ

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ａｌｓｏ，

ｉｆ ｎｏ ｉｓ

ａ

ｍ

￡ Ｎ ｔｏ ｎｏ

＊ ｍ．

ｘ

（ｎ，ｍ）

Ｎ

＊

（＋）

：

—？

Ｎ

Ｎ ｘ Ｎ ｔｏ

ｆｉｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ

ｎ０ ｍａｐｓ ａｎｙ

Ｎ

Ｎ

ｎ ＊ ｍ

ｗｈｅｒｅ

ｎｕｍｂｅｒ， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｎ

＊

ｉｎｄｉｃａｔｅｓ

Ｏｒｄｅｒ，

１

１．１

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．１．１

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｐｉｃｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ．

Ｒｏｕｇｈｌｙ，

ｄｅｅｍｅｄ ｔｏ ｂｅ ｇｒｅａｔｅｒ ｎｕｍｂｅｒｓ

ａｓ ａｎ

ａｎ

ｏｒ

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｍｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １． Ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ａｎ

ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ ｉｓ

ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｅｍｓ

ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ｏｔｈｅｒｓ． Ｗｅ

ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ，

ｗｈｅｒｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

ｃａｎ

５ ｉｓ

ｓｏｍｅ

ｏｆ ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ

ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ２， ０ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ

１００， １２３４ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １２６８７ ａｎｄ ｓｏ ｏｎ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｌａｔｅｒ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｗａｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｓ ｂｙ ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ｉｔｅｍｓ ｏｆ ｄａｔａ ａｓ ｏｒｄｅｒｅｄ

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ

ｇｉｖｅｓ ｕｓ． Ｖｅｒｙ ｈａｖｅ ｔｗｏ ｐｒｏｇｒａｍｓ Ｐ ａｎｄ Ｐ＇ ｗｈｉｃｈ ｐｅｒｆｏｒｍ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ

ｔｏ ｈｏｗ ｍｕｃｈ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｃｒｕｄｅｌｙ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｔａｓｋｓ， ｂｕｔ ｔｈａｔ ｐｒｏｇｒａｍ Ｐ

ｉｓ ｄｅｎｎｅｄ

ｏｆ ｉｎｐｕｔｓ ｔｈａｎ ｄｏｅｓ Ｐ＇． Ｔｈｅｎ

ｗｅ

（ｈａｌｔｓ

ａ

ｃｅｒｔａｉｎ ｄａｔａ ｉｔｅｍ

ｗｉｔｈ

ｓｕｃｃｅｓｓ）

ｏｎ ａ

ｇｒｅａｔｅｒ ｎｕｍｂｅｒ

ｃｏｕｌｄ ｒｅｃｏｒｄ ｔｈｉｓ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ

ｂｙ ｓａｙｉｎｇ

ｔｈａｔ

Ｐ ｉｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ Ｐ＇． Ｔｈｅｓｅ ｉｄｅａｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｍａｄｅ ｃｌｅａｒｅｒ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．５．１． Ｗｅ

ｐｅｒｆｏｒｍ ｃｅｒｔａｉｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｉｍｐｌｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｍａｘｉｍａ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａ （ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆ ５ ａｎｄ ２ ｉｎ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｉｓ ５）， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｏｎｅｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｔａｋｉｎｇ ｓｕｐｒｅｍａ ａｎｄ ｉｎｆｌｍａ． Ｉｆ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｈａｓ ｎｏｔ ｍｅｔ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｓｕｐｒｅｍａ ａｎｄ ｉｎｆｉｍａ， ｔｈｅｎ ｈｅ ｗｉｌｌ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．２．７． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｍｅｅｔ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ｗｉｔｈ ｇｉｖｅｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ； ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｃａｎ

ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｆｉｍｕｍ ａｎｄ ｓｕｐｒｅｍｕｍ ｏｆ ａｎｙ ｂｏｕｎｄｅｄ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

ａｌｗａｙｓ ｅｘｉｓｔ （ｂｏｕｎｄｅｄ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｆｉｘｅｄ ｒｅａｌ ａｎｄ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ａｎｏｔｈｅｒ ｆｉｘｅｄ ｒｅａｌ）． Ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ｉｎ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗａｎｔ ｔｏ ｔａｌｋ ａｂｏｕｔ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｉｎｃｌｕｄｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｒｉｅｔｉｅｓ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｒｅａｌｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｔｈａｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｃａｎ

ｂｅ ｏｒｄｅｒｅｄ． Ａｓ

ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ

ｎ

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｇ

ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

／

ｏｎ

ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ

１， ａｎｄ ｇ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ｎ ｔｏ ｎ＋４． Ｔｈｅｎ ｏｎ ｅｖｅｒｙ ａｒｇｕｍｅｎｔ， ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｏｆ ／， ａｎｄ ｓｏ ｗｅ ｃａｎ ｒｅｇａｒｄ ｇ ａｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ

ｔｏ ｎ－ｆ

ｉｓ

／． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ， Ｃｈａｐｔｅｒ

ｃｈａｐｔｅｒ． Ｔｏ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｔｈｅｙ ｍａｙ ｈａｖｅ，

ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｉｓ

１ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ， ｔｈｅ

ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ． Ｂｅｆｏｒｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ ｉｎ ｅａｒｎｅｓｔ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｇｉｖｅ ａ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｍｏｒｅ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ １． Ｔｈｅ ａｃｃｏｕｎｔ ｂｅｇｉｎｓ ｗｉｔｈ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．２．１， ｗｈｉｃｈ １

２

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｃｏｎｔａｉｎｓ

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

ｓｈｏｒｔ ａｎｄ ｔｅｒｓｅ ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ

ａ

ｍａｔｅｒｉａｌ

ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｎｏｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｄｅａｓ，

ｏｎ

ｓｅｔｓ ａｎｄ

ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｍｍａｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｓｉｍｐｌｙ ｔｏ ｆｉｘ ｌｅｉｓｕｒｅｌｙ ｅｘｐｏｓｉｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｅｖｅｒｙ ｂａｓｉｃ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｉｎｇ， ｂｕｔ ｓｉｍｐｌｙ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｊｕｓｔ ｔｏ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｏｍｅ ｆａｍｉｌｉａｒｉｔｙ ｗｉｔｈ ｎｏｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｔｙｌｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｈｉｌｅ ＂ｆｕｎｃｔｉｏｎ＂ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｂｅｌｏｗ （ａｎｄ ｆｉｘｅｓ ｏｕｒ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ）， ｉｔ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｈａｓ ｓｏｍｅ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｋｎｏｗｓ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ａｎｄ ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ａｄｏｐｔ ｎｏ ｓｐｅｃｉａｌ ｎｏｔａｔｉｏｎ）． Ｏｎｃｅ ｔｈｅ ｓｕｍｍａｒｙ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ， ｗｅ ｐｒｏｃｅｅｄ ｗｉｔｈ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｉｓ

ｂａｓｉｃ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ， ａｎｄ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｍａｘｉｍｕｍ， ｇｒｅａｔｅｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ， ｊｏｉｎ ａｎｄ Ｈａｓｓｅ

ｄｉａｇｒａｍ ｔｈｉｓ，

ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｗｉｔｈ

ａｒｅ

ｗｅ ａｒｅ

ａｂｌｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｓｏｍｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｓｔ

ｃｏｍｍｏｎ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｉｓｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ， ｓｕｃｈ ａｓ ｌａｔｔｉｃｅｓ， Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｗａｙ ｓｕｃｈ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ａｒｉｓｅ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｗｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ， ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｓ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｕｂｓｅｔ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ｄｏｍａｉｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｏｎｃｅ ａｇａｉｎ ｇｉｖｉｎｇ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｉｎｇ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｈｏｓｅ ｕｓｅ ｗｉｌｌ ｏｎｌｙ ｂｅ ｓｅｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ， ｗｈｅｒｅ ｄｏｍａｉｎｓ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｉｄｅ ｉｎ ｔｈｅ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

１．２

Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．２．１ Ａ ａｎｄ Ｘ

ｔｏ

ｍｅａｎ

ｓｅｔ Ｙ ｉｓ

ａｒｅ

Ｗｅ

ｓｅｔｓ，

ｓｕｂｓｅｔ

ａ

ｙ Ｇ Ｙ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

／

ａ

ｗｉｔｈ

ａ

ｗｒｉｔｅ ＡＣ． Ｘ ｔｏ

ｗｅ

ｔｈａｔ Ａ ｉｓ

ｂｅｇｉｎ

ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ．

／． Ｇｉｖｅｎ

Ａ ｉｓ

ｍｅａｎ

Ｘ， ａｎｄ Ａ Ｃ．ｆ Ｘ

ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ

ａ

Ａ ｔｏｔａｌ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ａ ｓｅｔ Ｘ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｘ

Ｃ Ｘ ｘ Ｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

（ｘ， ｙ）

Ｘ

ｘ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｆ

ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｎａｉｖｅ ｓｅｔ

ｗｅ

ｗｒｉｔｅ

ｆ（ｘ）

ｆｏｒ ｔｈｅ

Ｘ ａｎｄ

ａ

ｕｎｉｑｕｅ

ａ

ｕｎｉｑｕｅ

ｙ ｓｕｃｈ

（ｘ， ｙ） ／． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｘ ＊－＊ ｆ（ｘ） ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ （ｘ， ｆ｛ｘ）） ／； ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ Ｒ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｒ ａｎｄ Ｒ， ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｒ ｉ—？ ｒ２， ｉｓ ｆｏｒｍａｌｌｙ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ

ｔｈａｔ

｛｛ｒ，ｒ２） ｜ｒ ＥＲ｝ Ｏｆｔｅｎ

／

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ

／

Ｃ Ｘ ｘ Ｙ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃａｌｌｅｄ

ａｎ

ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｘ

（ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ）

／． Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／： Ｘ ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｘ． Ｇｉｖｅｎ

ＣＲｘＲ．

—？

Ｙ ａｎｄ ｗｒｉｔｅ

ｔｈａｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ

—？

ａｒｅ

Ｘ ｗｉｔｈ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

／： Ｘ ｔｈｅ

—＊■

ｓｏｕｒｃｅ

ｓｏｕｒｃｅ

ｆ：Ｘ＾Ｙ

Ｙ ｉｎ

ａｎｄ

ｐｌａｃｅ ｏｆ

ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ

ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｉｓ

ｇ：Ｙ

—＊■

Ｚ，

ｗｅ

１．２．

Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ

３

Ｚ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｘ ｈ－＊ ｇ（ｆ（ｘ））． Ａ ｐａｒｔｉａｌ ｇｆ ｏｒ ｇ ｏ ｆ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｉｓ ａ ｓｕｂｓｅｔ ／ＣＩｘ７ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｙ＇． Ｉｆ （ｘ， ｙ） Ｇ ／， ｗｅ ｗｒｉｔｅ ／（ｘ） ｆｏｒ ｙ． Ｉｆ （ｘ， ｙ） Ｇ ／ ａｎｄ （ｘ， ｙ＇） Ｇ ｆ ｔｈｅｎ ｙ Ｙ ｉｓ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｇｉｖｅｎ ｘ ￡ Ｘ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｙ Ｇ Ｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／： Ｘ （ｘｉ ｙ） ／， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ｕｎｄｅｆｉｎｅｄ ａｔ ｘ， ｏｒ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｓｉｍｐｌｙ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ５ Ｃ Ｘ ｉｓ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ， ｔｈｅｎ ／（ｘ） ｉｓ ｕｎｄｅｆｉｎｅｄ． Ｉｆ ／： Ｘ ｗｒｉｔｅ

—？

＝

—？

—？

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

Ｉｆ Ｘ ａｎｄ ｙ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ Ｘ． Ａ

ｔｈｅｎ

ａｒｅ

ｕｓｅ

ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ

ｆ（Ｓ）

ｔｏ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ

ｂｉｎａｒｙ

ａ

ｓｅｔ， ｔｈｅｎ

｛／（ｓ） ｜

５

５｝．

Ｇ

＼Ｙ ｛ｘ Ｇ Ｘ ＼ ｘ ０ Ｙ｝ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅ￡ ＼Ｘ＼ ｗｉｌｌ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ （ｓｉｚｅ）

ａｎｙ ｔｗｏ ｓｅｔｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ

ｏｆ ｙ ｆｒｏｍ Ｘ． Ｉｆ Ｘ ｉｓ

ｓｅｔ

＝

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉ？ｏｎａ ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ａｎｙ ｓｕｂｓｅｔ ＲＣ Ｘ

ｘ

Ｘ． Ｉｆ ｘ， ｙ Ｇ

Ｘ，

ｘＲｙ ｆｏｒ （ｘ， ｙ） ￡ Ｒ． Ｒ ｉｓ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ｘ Ｇ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ｘＲｘ； ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｉｆ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｘ，ｙ ￡ Ｘ ｔｈｅｎ ｘｉｆｙ ｉｍｐｌｉｅｓ ｙｉ？ｘ； ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ｘ， ｙ， ｚ Ｇ Ｘ， ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｗｅ ｈａｖｅ ｘＲｙ ａｎｄ ｙ－Ｒｚ ｔｈｅｎ ｘＲｚ； ａｎｄ ａｎｔｉ－ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｉｆ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｘ， ｙ Ｇ Ｘ， ｘＲｙ ａｎｄ ｙｉ？ｘ ｉｍｐｌｙ ｘ ａｎｄ ｙ ａｒｅ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ． ．Ｒ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ， ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ． Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｒ ｏｎ Ｘ， ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｘ Ｇ Ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ［ｘ］ ｛ｙ ｜ ｙ Ｇ Ｘ，ｘＲｙ｝． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ｘ／Ｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ ｛［ｘ］ ｜ ｘ Ｇ Ｘ｝． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｓｕｍｍａｒｙ， ａｎｄ ｗｅ ｎｏｗ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｗｅ

ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ

＝

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ． Ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ．

ｘ．

ｓｅｔ Ｘ ｉｓ

ａ

ｂｉｎａｒｙ

ｒｅｌａｔｉｏｎ ＜ｏｎＸ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ ａｎｄ

Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ＜ ｗｉｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｂｅ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ｏｒｄｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｙ ＜

ｏｎ ａ

ｏｎ

ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ

ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｗｒｉｔｅ

Ｉｆ ａｔ ｌｅａｓｔ

ｏｎｅ

ｏｆ

ｘ

＜

ｙ ａｎｄ ｙ ＜

ｘ

ｈｏｌｄｓ， ｔｈｅｎ

ｔｏ ｂｅ

ｘ

ａｎｄ ｙ

ａｓ ｘ

ａｒｅ

ｔｈｅ ＞

ｙ

ｓａｉｄ

ｃｏｍｐａｒａｂｌｅ． Ｉｆ ｎｅｉｔｈｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｈｏｌｄｓ， ｔｈｅｎ ｘ ａｎｄ ｙ ａｒｅ ｉｎｃｏｍｐａｒａｂｌｅ． Ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ （Ｘ， ＜） ｉｓ ａ ｓｅｔ ｅｑｕｉｐｐｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ， ｔｈａｔ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｓｅｔ （ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ Ｘ） ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ ＜ ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ； ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ （Ｘ， ＜）． Ｗｈｅｒｅ ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ ｃａｎｎｏｔ ｒｅｓｕｌｔ， ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ Ｘ， ｏｒ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ． Ｔｈｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｉｆ ａｎｙ ｔｗｏ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ ａｒｅ ｉｎｃｏｍｐａｒａｂｌｅ． Ｉｆ ｘ ＜ ｙ ａｎｄ ｙ ＜ ｘ ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｘ ｙ ａｎｄ ｓａｙ ｔｈａｔ ｘ ａｎｄ ｙ ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｒｅｇａｒｄ ａｓ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ Ｘ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ． Ｉｆ （Ｘ， ＜ｘ） ｉｓ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ５ＣＸｔｏ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｓ ｉｓ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｗｅ ｃａｎ ｒｅｇａｒｄ Ｓ ａｓ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ （５， ＜ｓ） ｂｙ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ Ｘ ｔｏ ５； ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｉｆ ｓ， ｓ＇ Ｇ Ｓ， ｔｈｅｎ ｓ ＜５ ｓ＇ ｉｆｆ ｓ ＜ｘ ｓ＇． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｔｈｅｎ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｓ ｈａｓ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ｉｎｈｅｒｉｔｅｄ ｆｒｏｍ Ｘ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｓ Ｃ Ｘ ｔｏ ｍｅａｎ ｔｈａｔ Ｓ ｉｓ ｓｉｍｐｌｙ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｘ ＜ Ｓ ｗｉｌｌ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓ Ｇ Ｓ， ＝

＝

ｘ ＜ ｓ．

４

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒ ｏｎ ａ ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ａ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ＜ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ， ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ ａｎｄ ａｎｔｉ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ． Ａ ｓｅｔ Ｘ ｅｑｕｉｐｐｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ， ｏｒ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ａ ｐｏｓｅｔ． Ｔｈｕｓ ａ ｐｏｓｅｔ ｉｓ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｘ， ｗｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ ａ ｐｏｓｅｔ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｘ ＜ ｙ ｔｏ ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ． Ｉｆ ｘ， ｙ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｘ ＜ ｙ ａｎｄ ｘ ＾ ｙ． Ｇｉｖｅｎ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ Ｘ／ ｃａｎ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ［ｘ］ ＜ ［ｙ］ ｉｆｆ ｘ ＜ ｙ ｆｏｒ ａｌｌ ｘ， ｙ Ｘ． Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｘ／ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｘ． Ａ

＝

＝

Ｒｅｍａｒｋ １．２．２

ｐｉｃｔｕｒｅｓ， ｋｎｏｗｎ ａｓ Ｈａｓｓｅ ｄｉａｇｒａｍｓ， ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ． Ｒｏｕｇｈｌｙ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔ ｐｉｃｔｏｒｉａｌｌｙ， ｗｅ ｓｅｌｅｃｔ ａ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｐｏｉｎｔ Ｐ（ｘ） ｏｆ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｐｌａｎｅ Ｅ２ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｘ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｎｏ ｚ

ｉｓ

ａｔ

Ｐ（ｚ）

Ｘ ｗｉｔｈ

Ｐ（ｘ）

ｓｔｒｉｃｔｌｙ

ｉｎｆｏｒｍａｌ

ｕｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｘ ａｎｄ ｄｒａｗ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｃｉｒｃｌｅ ａｔ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｘ ＜ ｚ ＜

ｔｏ ｔｈｅ ｃｉｒｃｌｅ ａｔ

ｙ

ａ

ｗｅ

Ｐ（ｙ），

ｓｍａｌｌ ｃｉｒｃｌｅ ａｔ ｄｒａｗ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｗｉｔｈ

ｌ（ｘ， ｙ）

ｉｆ

ｚ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｃａｎ

ｄｒａｗ ｔｈｅ Ｈａｓｓｅ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ Ｘ． Ｆｉｎａｌｌｙ，

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｗｈｉｌｅ

ｂ ＜ ｂ ａｎｄ

ｃ ＜ ｃ．

Ｗｅ

Ｐ（ｙ）．

ｘ ＜

ｙ ｉｎ Ｘ ａｎｄ

ｌ（ｘ， ｙ） ｊｏｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｏｆ Ｐ（ｘ）

Ｅｎｓｕｒｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｉｒｃｌｅ

ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ

｛ａ， ｂ， ｃ｝

ｓｅｔ

Ｉｆ

ｌｉｎｅ ｓｅｇｍｅｎｔ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ

ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｏｆ

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔ

ａ

Ｐ（ｘ）．

ｘ

ｗｈｅｒｅ

ａｎｄ ｙ． Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｃ， ｂ ＜ ｃ，

ａ ＜

ａ ＜

ａ，

ｄｉａｇｒａｍ

ｗｅ ｃａｎ

ｏｎｌｙ

ｔｈｉｓ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｅｎｓｉｂｌｙ ｆｏｒ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔｓ， ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｒａｗ ＂Ｈａｓｓｅ ｄｉａｇｒａｍｓ＂ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔｓ， ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｐｉｃｔｕｒｅ ｃｌｅａｒ ｗｉｔｈ ａｃｃｏｍｐａｎｙｉｎｇ ｔｏ

ｕｓｅ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．２．３

（１）

Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｆｅｒ ａｎ

ｔｏ ｔｈｉｓ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔ，

ｗｅ

ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ａ ｐｏｓｅｔ． ｐｏｓｅｔ ａｓ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｎ ｄｒａｗ ａ ｄｉａｇｒａｍ ｔｏ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｉｔ：

ｎｕｍｂｅｒｓ， Ｎ，

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ

２ １ ０

（２）

Ｓｅｅ

Ｆｉｇｕｒｅ

１．１．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ （ａ）

ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｉｎ

ａ

ａｎｄ

ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔ

（ｂ） ｃａｎ

ａｒｅ

ｂｅ

ｂｏｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔｓ．

Ｅｘａｍｐｌｅ （ｃ）

ｑｕｉｔｅ ｉｎｖｏｌｖｅｄ， （ｄ） ｉｓ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ

１．２．

５

Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ

（ｂ）

（ａ）

ｏｏ

２ １ ０

（ｃ） Ｆｉｇｕｒｅ

（ｄ） １．１： Ｓｏｍｅ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ Ｐｏｓｅｔｓ．

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ＂ａ ｃｏｐｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ

（ａｓ

ａｄｄｅｄ．＂ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｆｅｒ

ｔｈｅ

Ｔｈｅ

（３）

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

Ｔｈｅ ｓｅｔ

ｔｏ ｔｈｉｓ

ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ

｛Ａ ＼

Ａ Ｃ

ｐｏｓｅｔ

ｐｏｓｅｔ ｉｓ

Ｘ｝

ａｓ

ｅｘａｍｐｌｅ （１）） ｗｉｔｈ ａ ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｏｐｐｅｄ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ．

ｉｎ

｛０，１，２，３，．．．， ｏｏ｝．

ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａ

ａｎｄ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｅ ｐｏｗｅｒｓｅｔ ｉｓ

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ， Ａ ａｎｄ Ａ＇ ａｎｄ

（４）

ａｒｅ

Ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｉｓ

ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ ｗｈｅｒｅ ＡＣ． Ａ！ ａｎｄ

ｔｒａｎｓｉｔｉｖｉｔｙ

Ｇｉｖｅｎ

Ｃ Ｂ．

ａｒｅ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ

ａ

ａｓ

Ｖ（Ｘ）

ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ ｏｒｄｅｒ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａｎｔｉ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ， ｆｏｒ ｉｆ Ａ Ａ！ Ｃ Ａ， ｔｈｅｎ Ａ Ａ＇． Ｒｅｆｌｅｘｉｖｉｔｙ ＝

ｃｌｅａｒ． Ｘ ａｎｄ

Ｙ， ｔｈｅｉｒ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｈａｓ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｓｅｔ

ＸｘＹ＾｛（ｘ，ｙ）＼ｘｅＸ，ｙｅＹ｝ ｗｉｔｈ ｏｒｄｅｒ

＜

（ｘ＇，ｙ＇）

ｉｆｆ

ｘ ＜

ｘ＇ ａｎｄ ｙ ＜

ｙ＇．

ｐｒｅｏｒｄｅｒ， ｔｈｅｎ Ｘ０？ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ ｗｉｔｈ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ Ｘ ａｎｄ ｏｒｄｅｒ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ： ＜＾ ｙ ｉｆｆ ｙ ＜ ｘ ｗｈｅｒｅ ｘ， ｙ Ｇ Ｘ． Ｗｅ ｕｓｕａｌｌｙ ｃａｌｌ Ｘ０？ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ ｏｆ Ｘ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ａｎｙ ｐｏｓｅｔ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａｌｓｏ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ． Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｈａｓｓｅ ｄｉａｇｒａｍ ｉｓ ａ ｐｉｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ （ｂ）：

（５）

Ｉｆ Ｘ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ， ｔｈａｔ ｉｓ ｛ｘ，ｙ） ａ

６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｘ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．２．４

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ａ

ｎｏｔａｔｉｏｎ

ｇｉｖｅｎ

ｉｆ

ｘ ＜

ｖｙ

Ｙ

Ｆｉｇｕｒｅ

ａｎｄ Ａ ｉｓ

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

０

Ｖ ｐｒｅｏｒｄｅｒ

１．

ａ

Ｗｅ

Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ

１．２：

ｎｏｗ

ｇｉｖｅ

ｓｏｍｅ

Ｘ ｉｓ

ａｎ

ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ

ａ

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｆｏｒ Ａ ｉｆ

（ｏｒ ｗｅ ｃａｎ ｊｕｓｔ ｗｒｉｔｅ Ａ ＜ ｘ， ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ １．２．１）． Ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｘ Ｇ Ｘ ｉｓ ａ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ｆｏｒ Ａ

Ｘ ｉｓ

ｘ

ｘ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ａ ＜ ｘ

ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ

Ａ． Ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

ｓｏｍｅ ｍｏｒｅ

ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ

￡ Ａｗｅ ｈａｖｅ

Ｚ

ａ

ｇｒｅａｔｅｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ ｉｆ ｉｔ ｉｓ

ａｎ

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ

ｂｅｌｏｎｇｓ ｔｏ Ａ； ｘ ｉｓ ａ ＾ｅａｓｉ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ａ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ｏｆ Ａ Ａ ｗｅ ｈａｖｅ ａｎｄ ｂｅｌｏｎｇｓ ｔｏ Ａ． Ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ａ Ｇ Ａ ｉｓ ｍａｘｉｍａｌ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ６ ａ ＜ ｂ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ａ ｂ． Ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ａ Ｇ Ａ ｉｓ ｍｉｎｉｍａｌ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｂ ￡ Ａ ｗｅ ｈａｖｅ ６ ＜ ａ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｂ ａ． Ｗｅ ｃａｎ ｐｒｏｖｅ ａ ｕｓｅｆｕｌ ｌｉｔｔｌｅ ｒｅｓｕｌｔ ａｂｏｕｔ ｏｆ ｊ４ ｗｈｉｃｈ

＝

＝

ｇｒｅａｔｅｓｔ ａｎｄ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ：

ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ ａｎｄ Ａ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｅｎ ｇｒｅａｔｅｓｔ ａｎｄ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ａ ａｒｅ ｕｎｉｑｕｅ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｔｈｅｙ ｅｘｉｓｔ． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．２．５

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ａ

ａｎｄ ａ＇ ｂｅ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ａ． Ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ａ ｉｓ ａｎ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ａｌｓｏ ａ＇ Ａ． Ｈｅｎｃｅ ａ＇ ＜ ａ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ａ ＜ ａ＇． Ｈｅｎｃｅ ａ ａ＇．

Ｐｒｏｏｆ

Ｌｅｔ

ｂｏｕｎｄ ｏｆ

Ａ，

ａ

＝

Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｆｏｒ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ

□

ｓａｍｅ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．２．６

（１）

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ， ａｎｄ

Ｘ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ １ ａｎｄ

Ｆｉｇｕｒｅ １．２． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ａｎｙ ｐｏｓｅｔ ｉｓ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｉｎ ｐｏｓｅｔ ２ ａｒｅ ｍａｘｉｍａｌ． Ｉｎ ｐｏｓｅｔ Ｙ， ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ３ ｉｓ ａ ｍａｘｉｍａｌ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｙ． Ｉｎ ｐｏｓｅｔ

Ｚ， ｅｌｅｍｅｎｔ ４ ｉｓ ｇｒｅａｔｅｓｔ

ａｎｄ ｍａｘｉｍａｌ ｉｎ Ｚ ａｎｄ ５ ｉｓ ｍａｘｉｍａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｚ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｃｉｒｃｌｅｓ．

ｂｙ

ｔｈｅ

ｌｉｇｈｔ

１．２．

（２）

７

Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ Ｎ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｕｓｕａｌ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｏｒｄｅｒ

ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ Ｓ ａｎｄ

＝

｛２５，６５，１００｝． Ｅｘａｍｐｌｅｓ

２５， ａｎｄ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄｓ

ａｒｅ

ｏｆ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｆｏｒ Ｓ

ａｒｅ

０， １０

１００， １０５， １２５３ ａｎｄ ２４５．

ｂｏｕｎｄ， ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｓｏ ｏｎ ｇｉｖｅ ｕｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｏｏｌｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｉｓ ｐｒｏｂａｂｌｙ ｆａｍｉｌｉａｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｖｅｒｙｄａｙ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍａｘｉｍｕｍ ａｎｄ ｍｉｎｉｍｕｍ， ａｎｄ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇｒｅａｔｅｓｔ ａｎｄ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｓｕｃｈ ｎｏｔｉｏｎｓ． Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ， ｓｕｃｈ ｉｄｅａｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｑｕｉｔｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｅｎｏｕｇｈ ｆｏｒ ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．２．７

ｏｕｒ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｐｕｒｐｏｓｅｓ．

ｇｅｎｅｒａｌｉｓａｔｉｏｎ Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｕｐｐｅｒ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｍｅｅｔ ａｎｄ ｊｏｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｎｏｗ

ａ

ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｘｉｍｕｍ ａｎｄ ｍｉｎｉｍｕｍ．

ｊｏｉｎ ｏｆ Ａ， ｉｆ ｓｕｃｈ ｅｘｉｓｔｓ， ｉｓ ａ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｆｏｒ Ａ． Ａ ｊｏｉｎ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｌｅａｓｔ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｏｒ ａ ｓｕｐｒｅｍｕｍ． Ａ ｍｅｅｔ ｏｆ Ａ， ｉｆ ｉｔ ｅｘｉｓｔｓ， ｉｓ ａ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ

ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ

ｓｅｔ ａｎｄ Ａ Ｃ Ｘ． Ａ

ｓｅｔ ｏｆ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｆｏｒ Ａ．

ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ

ｏｒ

ｉｎｆｉｍｕｍ．

ａｎｄ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ；

Ａ ｍｅｅｔ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ

ａｒｅ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ａｓ

ｇｒｅａｔｅｓｔ ｇｒｅａｔｅｓｔ

ｆｒｏｍ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．２．５ ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ａｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｔｈｅｙ ｅｘｉｓｔ． Ｉｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｊｏｉｎ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｖ Ａ ｆｏｒ ａ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｊｏｉｎｓ ｏｆ Ａ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， ｓｏ

ｉｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｅｔｓ ｏｆ Ａ． Ｉｆ

ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｗｈｉｃｈ

ｏｎｅ

ｗｅ

ｍｅｅｔ， ｔｈｅｎ

ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ Ａ Ａ ｆｏｒ

ａ

ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ

ｗｉｓｈ ｔｏ ｄｒａｗ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ ｗｉｔｈ

ｊｏｉｎ ａｎｄ ｍｅｅｔ

ａ

ｗｅ

ａｒｅ

ｂｅｉｎｇ

ｔａｋｅｎ

（ｉｎ

ｔｈｉｓ

ｃａｓｅ

Ｘ）

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ Ｇ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ Ｖ＾＾＾ｉｆｆ＾＾＾； ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｆｏｒｍａｌ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ａ ｊｏｉｎ ｉｓ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄｓ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｏｎ ｐａｇｅ ｘｖｉ， ｗｅ ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｖ Ａ ｉｓ ａ ｊｏｉｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ Ａ Ｃ Ｘ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ Ｇ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ｗｒｉｔｅ ＼Ｊ ｘ Ａ ａｎｄ

Ａｘ

Ａ

＼／Ａ＜ｘ Ａ＜ｘ

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， Ａ Ａ

ｉｓ

ａ

ｍｅｅｔ ｏｆ

ａ

ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｏｆ Ｘ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ＜

ｘ

￡ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ

／＼Ａ

ｘ＜Ａ Ｓｏｍｅ

ｓｐｅｃｉａｌ ｐｏｉｎｔｓ ｄｅｓｅｒｖｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ．

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ， ａｎｄ ｉＣＸａ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ． Ｔｈｅｎ Ａ ｏｎｌｙ ｈａｓ ａ ｍｅｅｔ ｏｒ ｊｏｉｎ ｉｆ Ａ ｉｓ ａ ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ ｓｅｔ． Ｃｌｅａｒｌｙ， ｆｏｒ ａｎｙ ｘ Ｅ Ｘ， ？

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

Ａ｛＃｝

＝

ｘ

ａｎｄ

＼／｛ｘ｝

＝

ｘ．

８

？

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｏｒｄｅｒ，

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ， ０ Ｃ Ｘ． Ｔｈｅｎ ＼ｆ ０， ｉｆ ｓｕｃｈ ｅｘｉｓｔｓ， ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ＿Ｌ ａｎｄ

ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｆｏｒ ａｎｙ

ｂｏｔｔｏｍ ｏｆ Ｘ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ａ

Ｘ

ｘ ￡

ｈａｖｅ Ｊ＿ ＜

ｗｅ

ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｔｏｐ ｏｆ Ｘ； ｉｔ ？

１．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｔｈｉｓ

Ｉｆ

ａ

ｗｅ

ｂｙ

ａ

ｕｎｒａｖｅｌ ｔｈｅ

ｏｆ

ａｎｄ ｂ．

ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ，

ｉｔ

ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ａｎｄ

ｂｉｎａｒｙ

ｍｅｅｔｓ

ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ Ｔ ａｎｄ

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， ｆ＼０，ｉｉ ｓｕｃｈ ｅｘｉｓｔｓ， ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｘ Ｇ Ｘ ｉｍｐｌｉｅｓ ｘ ＜ Ｔ． ｘ．

ｔｗｏ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｕｂｓｅｔ

（ｂｉｎａｒｙ） ｊｏｉｎ

ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ

ａ

ｂｙ ａｓｋｉｎｇ

｛ａ， ６｝

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｃａｎ ｘ

ｂｅ

＼Ｊ｛ａ， ｂ｝

Ｃ Ｘ． Ｗｒｉｔｅ ａ Ｖ ６ ｆｏｒ ａ Ａ

ｓｅｅｎ

６ ｉｓ

ｔｈａｔ

ａ

（ｂｉｎａｒｙ）

ｂｉｎａｒｙ ｊｏｉｎｓ

￡ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ａＶ ｂ ＜

ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ

ｘ

ｘ

ｉｆｆ

ｍｅｅｔ ｏｆ ａｒｅ

ａｎｄ ｃａｌｌ

ａｎｄ ６．

ａ

ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｅｄ

ａ ＜ ｘ

ａｎｄ ｂ ＜ ｘ；

￡ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ｘ＜ａＡｂｉｆｆｘ＜ａ

ａｎｄ ｘ ＜ ｂ．

ＥＸＥＲＣＩＳＥ ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

Ｍａｋｅ

１．２．８

Ｘ． Ｔｈｉｎｋ ｏｆ

ｓｕｒｅ

ｓｏｍｅ

ｓｉｍｐｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ

ｓｅｔｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ

ｊｏｉｎｓ ｄｏ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ． Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ａ ｐｏｓｅｔ （ａｎｄ ｔｈｕｓ ａｌｓｏ Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ｉｎ ａ ｐｏｓｅｔ ａｒｅ ｕｎｉｑｕｅ ｉｆ ｔｈｅｙ ｅｘｉｓｔ． Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．２．９

Ａ ｓｕｂｓｅｔ Ｃ ｏｆ

ｘ， ｙ Ｇ Ｃ

ｙ

ｗｅ

Ｃ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｓａｙ Ｃ ｉｆｆ ａｎ

ａｎ

ｙ．

ｘ ＜

ｏｒ

ｙ ＜

ｘ．

ａ

ｎ

Ｇ

Ｎ｝．

Ｃ ｉｓ

ａｎ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

Ｘ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ａ

ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ）．

ｃｈａｉｎ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ｓｉｍｐｌｙ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ａ ｃｈａｉｎ ｉｎ Ｘ． ｉｎｄｅｘｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ，

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｏｆｔｅｎ

ｕ）－ｃｈａｉｎ ｉｆ ｉｔｓ ｅｌｅｍｅｎｔｓ

｛ｘｎ ｜

＝

ｘ ＞

ｈａｖｅ

ｊｏｉｎ ｉｎ

ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅｅｔ ａｎｄ

ｃａｎ

ｂｅ

ａｎｔｉ－ｃｈａｉｎ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ，ｙ Ｇ Ｃ ｔｈｅｎ

ｘ

＜

ｙ

Ａ ｓｕｂｓｅｔ Ｄ ｏｆ Ｘ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｉｆ ｅｖｅｒｙ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｄ ｈａｓ

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｉｎ Ｄ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｒｅｇａｒｄ

ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ

ａｓ

ｆｉｎｉｔｅ； ｔｈｕｓ ａｎｙ

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｉｆ ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ ｈａｓ ａｎ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｉｎ Ｘ． Ａ ｓｕｂｓｅｔ ／ ｏｆ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｉｓ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ Ｄ Ｃ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｄ Ｃ． Ｉ ｔｈｅｎ ＼ｆｘ Ｄ Ｉ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｉｓ ａ ｃｈａｉｎ ｏｒ ａｎｔｉ－ｃｈａｉｎ ｉｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ｓｕｃｈ． Ｇｉｖｅｎ ａ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｏｆ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｕｐ－ｓｅｔ ｏｆ Ａ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ Ａｔ ｛ｘ Ｇ Ｘ ｜ ｘ ＞ Ａ｝ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｏｗｎ－ｓｅｔ ｉｓ Ａ｜ ｛ｘ Ｇ Ｘ ＼ ｘ ＜ Ａ｝． Ｓｏ ｔｈｅ ｕｐ－ｓｅｔ ｏｆ Ａ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ Ａ， ａｎｄ ｔｈｅ ｄｏｗｎ－ｓｅｔ ｏｆ Ａ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ Ａ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｘｉ ｆｏｒ ｛ｘ｝［ ａｎｄ ｘ］ ｆｏｒ ｛＃｝Ｔ， ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｉｓ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

＝

ｗｈｅｒｅ

ｘ

＝

Ｇ Ｘ．

ｅｘａｍｐｌｅ ｓｈｏｗｓ ｗｈｙ ｗｅ ｔａｋｅ ｃａｒｅ ｗｉｔｈ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ａｎｄ ｐｏｓｅｔｓ． Ｌｅｔ Ｘ ｛１，２，．．．， ｎ， ｎ－ｆ １，．．．， ｏｏ， Ｔ｝ ｂｅ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒ ＂ｇｅｎｅｒａｔｅｄ＂ ｂｙ Ｒｅｍａｒｋ １．２．１０

Ｔｈｉｓ

＝

！＜２＜３＜４＜５．．．＜ｏｏ＜Ｔ． Ｌｅｔ Ｉ

＝

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

Ｘ

＼ ｛ｏｏ｝

ａｎｄ ｌｅｔ Ｄ

Ｊ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ

＼ ｛ｏｏ， Ｔ｝， ａｎｄ ｒｅｆｅｒ ｏｒｄｅｒ ｆｒｏｍ Ｘ （ｓｏ ｔｈａｔ Ｊ ｉｓ ＝

Ｘ

ｔｏ ａ

Ｆｉｇｕｒｅ

１．３．

ｃｏｐｙ ｏｆ ｔｈｅ

Ｉｆ

ｗｅ

ｔｏｐｐｅｄ

１．２．

９

Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ

Ｔ

！

．

．

４

４

４

３

３

３

２

２

２

１

１

１

Ｄ

Ｉ

Ｘ

Ｆｉｇｕｒｅ

ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｉｓ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ ａｔ

ａ

ｓｕｂｓｅｔ ｓｕｃｈ

Ｓｅｅ ａｌｓｏ

１．３： Ａ Ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ

ｎｕｍｂｅｒｓ）

ｔｈｅｎ

ｏｒｄｅｒ； ｂｕｔ Ｉ ｉｓ ｎｏｔ

ａｎ

ｏｏ

．

？

ｖｅｒｔｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ

Ｔ

ａ

＼ｆｊＤ ａｎ

Ｐｏｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ Ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ． ｅｘｉｓｔｓ ｉｎ ｔｈｅ

Ｊ ａｎｄ ｉｓ Ｔ ｗｉｔｈ

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ ｂｅｃａｕｓｅ ＼ｆｘ Ｄ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ／． Ｉｔ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

ｔｅｍｐｔｉｎｇ ｆｏｒ ｂｅｇｉｎｎｅｒｓ

ｔｏ

＝

°°

ｇｌａｎｃｅ

Ｊ ａｎｄ ｔｈｉｎｋ ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ．

ａｓ

Ｅｘａｍｐｌｅ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

１．３．３．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ １．２．１１

Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｃ ｂｅ ｃｈａｉｎｓ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｐａｉｒｓ （ｃ， ｃ＇）， ｗｈｅｒｅ ｃ Ｃ ａｎｄ ｄ Ｇ Ｃ＂， ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｃｈａｉｎ ｗｈｅｎ ｏｒｄｅｒｅｄ ｌｅｘｉｃｏｇｒａｐｈｉｃａｌｌｙ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｐａｉｒｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ａ ｃｈａｉｎ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ａｔ ｍｏｓｔ ｏｎｅ

ｏｆ Ｃ

ｏｒ

Ｃ ｈａｓ

ｍｏｒｅ

ｔｈａｎ

ｏｎｅ

ｅｌｅｍｅｎｔ．

Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ

ｊｏｉｎｓ ｆｏｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｉｆ Ｐ ｉｓ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ａ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ， ａｎｄ ｍｅｅｔｓ ｅｘｉｓｔ ｆｏｒ ａｌｌ ｓｕｃｈ ｓｕｂｓｅｔｓ Ａ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ Ｐ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ； ｄｕａｌｌｙ Ｘ ｉｓ Ｐ－ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．２．１２

ｊｏｉｎｓ ｅｘｉｓｔ ｆｏｒ ｓｕｂｓｅｔｓ Ａ ｗｉｔｈ ｐｒｏｐｅｒｔｙ Ｐ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ｈａｓ ｂｉｎａｒｙ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ａ ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ． Ｔｈｅｎ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ Ｘ ｈａｓ ｍｅｅｔｓ ｏｆ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔｓ， ａｎｄ ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｉｆ Ｘ ｈａｓ ｊｏｉｎｓ ｏｆ ａｌｌ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ，

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｉｆ

ｃｊ－ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｉｆ Ｘ ｈａｓ ｍｅｅｔｓ ｂｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｒ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． ｓｔａｔｅｓ ｔｈａｔ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｆ

ａｎｄ ｉｆ Ｘ ｈａｓ ｊｏｉｎｓ ｏｆ ｃｊ－ｃｈａｉｎｓ ｉｔ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ

ｊｏｉｎｓ ｏｆ ａｌｌ ｓｕｂｓｅｔｓ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ Ｗｅ ｃａｎ ｇｉｖｅ ａ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｒｅｓｕｌｔ ｗｈｉｃｈ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ： ｏｒ

Ｌｅｍｍａ １．２．１３

Ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

Ｘ ｈａｓ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ

ｊｕｓｔ

ｉｎ

ｃａｓｅ

ｉｔ ｈａｓ ａｌｌ

ｊｏｉｎｓ．

１０

Ｃｈａｐｔｅｒ

／＼ Ａ

ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ａｎｙ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｐｒｏｏｆ

＝

＼／｛ｘ ｜

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

ｘ ｅ

Ｘ ａｎｄ

Ａ｝

ｘ ＜

ａｎｄ

＝ｆ

ＶＡ

ｏｎｅ

ｆ＼｛ｘ ＼

ｘ

ｈａｓ Ｘ ａｎｄ Ａ ＜

ｘ｝． □

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．２．１４

（１）

Ｇｉｖｅｎ

Ｘ， ｔｈｅ ｐｏｗｅｒｓｅｔ ｐｏｓｅｔ Ｖ（Ｘ） ｉｓ ｂｏｔｈ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｄ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ． ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ｂｙ ｕｎｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｓ ｏｆ

ａ

ｓｅｔ

Ｍｅｅｔｓ

ａｒｅ

ｃｏｕｒｓｅ

Ｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ０．

（２） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

ｓａｙ Ｘ ｈａｓ ｍｅｅｔｓ ａｓ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｄ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ， ｔｈａｔ ｉｓ ｔｏ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ｏｆ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔｓ． Ｗｅ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ

ａ

ｂｅｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｔｈｕｓ Ｘ ｈａｓ ｔｏｐ ａｎｄ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｗｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．２．１５

ｎｏｗ

ｔｕｒｎ

ｏｕｒ

ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ， ａｎｄ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． Ｉｆ ｗｅ ｔａｌｋ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｉｍｐｌｙ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ． Ｓｕｃｈ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｉｆ ｆｏｒ ｘ，ｙ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ｘ ＜ ｙ ｉｍｐｌｉｅｓ ｆ（ｘ） ＜ ／（ｙ）； ａｎｄ ａｎｔｉｔｏｎｅ ｉｆ ｘ ＜ ｙ ｉｍｐｌｉｅｓ ｆ（ｙ） ＜ ｆ｛ｘ）． Ｗｅ ｏｆｔｅｎ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｓｕｃｈ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｓ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ． Ｒｏｕｇｈｌｙ ｏｎｅ ｔｈｉｎｋｓ ｏｆ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ； ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ， ｔｈｉｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ． Ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍａｙ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｌｙ ｂｅ ｃａｌｌｅｄ ａｎ ｏｒｄｅｒ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． ／ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｒｅｆｌｅｃｔ ｏｒｄｅｒ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｘ，ｙ Ｘ， ｆ（ｘ） ＜ ｆ｛ｙ） ｉｍｐｌｉｅｓ ｘ ＜ ｙ． Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆ：Ｘ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｆ Ｙ ａｎｄ ｇ：Ｙ ｉｄｘ ａｎｄ ｉｄｙ． Ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ ｉｓ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ ／； ａｎｄ ｌｉｋｅｗｉｓｅ ／ ｉｓ ａｎ ｆｇ ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ ｇ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｓｕｃｈ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｇ ｅｘｉｓｔｓ． Ｔｈｅ

ｂｅｔｗｅｅｎ

—＊■

—？

＝

＝

ｓｅｔ Ｘ

＝＞

Ｙ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｈａｖｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ

ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ

Ｙ， ｔｈａｔ ｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ

—＊■

Ｙ． Ｔｈｉｓ ｓｅｔ

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ ／ ＜ ｇ ｉｆｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｘ Ｙ． Ｔｈｉｓ ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｆ，ｇ：Ｘ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ： —＊■

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．２．１６

Ｔｈｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｃａｎ

ｂｅ

ｒｅｇａｒｄｅｄ

Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ

ｔｏ

ｏｎ

ａｓ

ｔｈｅ

ａｎｙ

ｆ（ｘ）

ｓｏｕｒｃｅ

ａｓ ａ

＜

Ｘ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

ｇ｛ｘ），

ｗｈｅｒｅ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ． Ｗｅ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ

ｓｅｔ ｉｓ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｗｏ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｎｏｗ ｌｅｔ

Ｘ， Ｙ ａｎｄ Ｚ ｂｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｏ：

（Ｙ

＝＞

Ｚ）

ｘ

（Ｘ

＝？

Ｙ）

ｓｅｔｓ． Ｔｈｅ

－＞

（Ｘ

＝？

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｚ）

１．２．

１１

Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ

ｔｈｅ

ｓｅｎｄｉｎｇ

ｐａｉｒ （ｐ， ／）

Ｇ

（Ｙ

Ｚ）

＝＞？

（Ｘ

ｘ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｙ＇

ａｎｙ ｘ， ｘ＇ Ｇ Ｘ ａｎｄ ｙ，

ｇｉｖｅｎ

Ｇ

ｔｏ

ｐ／

Ｘ ＝＞■ Ｚ ｉｓ ｉｔｓｅｌｆ

ａ

Ｆｉｎａｌｌｙ， ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：ＸｘＹ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ

ｓｅｔｓ．

Ｚ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｉｆｆ ｉｔ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｉｎ ｅａｃｈ ｔｈａｔ

Ｖ）

＝＞■

—＊■

ｙ， ｔｈｅｎ

ｘ ＜

ｘ＇ ｉｍｐｌｉｅｓ

ｙ ＜

ｙ＇ ｉｍｐｌｉｅｓ ／（ｘ，ｙ）

／（ｘ， ｙ）

ｆ（ｘ＇， ｙ）

＜

ａｎｄ

Ｐｒｏｏｆ

Ｆｏｌｌｏｗｓ

ｂｙ

ａ

ｒｏｕｔｉｎｅ

ｆ（ｘ，ｙ＇）．

＜

ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ

□

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．２．１７

（１）

Ｌｅｔ

／： Ｘ

—＊■

Ｙ ｂｅ

ａ

ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ．

ｆ￣ｌ： Ｖ（Ｙ） ｄ＝ｌｆ ｒ１＾） ｛ｘｅｘ＼ ｆ（ｘ） ｇ５｝．

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

（２）

ａ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＂Ｐ（Ｘ）

—＊■

ｗｈｅｒｅ

Ｔａｋｅ Ｒ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｒｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ ｕｓｕａｌ

／：Ｅ

—？

Ｋ． ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ ｆ（ｘ）

＝

Ｔｈｅｎ

ｇｉｖｅｎ ＢＣＦｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｒｄｅｒｉｎｇ．

ｘ３ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ １．２．１８

（１） Ｃｏｍｐｌｅｔｅ

（２）

ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

１．２．１６．

ｐｒｏｄｕｃｔ． Ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｎｘ＇－ＸｘＹ Ｘ， ｛ｘ，ｙ） ｉ—？ ｘ ａｎｄ ７Ｔｙ： Ｘ ｘ Ｙ ｙ， （ｘ， ｙ） Ｉ—？ ｙ ｗｈｅｒｅ （ｘ， ｙ） Ｇ Ｘ ｘ Ｙ． Ｎｏｗ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｎ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ ａｎｄ ｐ： Ｚ ｙ ｗｈｅｒｅ Ｚ ｉｓ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｐｒｅｏｒｄｅｒ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｆ：Ｚ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍ： Ｚ Ｘ ｘ Ｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｆ ７ｒｘｍ ａｎｄ ｇ ｒＫｙｍ． Ｌｅｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｂｅ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ

ａｎｄ Ｘ ｘＹ ｔｈｅｉｒ ｃａｒｔｅｓｉａｎ —？

—？

—＊■

—？－

—？

（３）

Ｆｉｎｄ

ａ

ｃｏｕｎｔｅｒｅｘａｍｐｌｅ

ｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆ：Ｘ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． —？

＝

ｔｏ ｔｈｅ

ｏｒｄｅｒｅｄ

ｓｔａｔｅｍｅｎｔ．

ｐｏｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ ｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

（４） Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａ ｐｏｓｅｔ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｘ ＜ ｙ ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｂｅ ａｎｙ ｓｅｔ ａｎｄ Ｙ ｂｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ａ

ａ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｎｏ ｚ

Ｇ

ｐｏｓｅｔ． Ｌｅｔ Ｘ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ／

－＜ ｇ

＝

ｏｎ

ａ

Ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ

Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｘ

ｉｓ

ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ

ｂｙ ｓａｙｉｎｇ ＜

ｚ

＜

ｙ．

ｔｈａｔ

（ｗｈｅｒｅ ／， ｇ

Ｇ Ｘ ＝＞

Ｙ）

ｘ －＜

ｙ

Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｘ

Ｙ ｂｅ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ

＝￥■

ａｎ

—＞

Ｙ

ｉｆｆ

（ａ） Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｘ Ｇ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／（ｘ） －＜ ｇ（ｘ） （ｂ） ／（ｘ） ｇ（ｘ） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｘ Ｇ Ｘ ＼ ｛ｘ｝．

ｉｎ

Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

Ｙ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｆ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｙ， ａｎｄ

＝

Ｘ

—＊

ｏｆ ｘ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔ， ａｎｄ Ｘ

Ｙ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ＝？

ｙ．

／

－＜ ｇ

ｉｆｆ

（ａ）

ａｎｄ

＝￥■

（ｂ）

ｒｅｍａｉｎｓ ｔｒｕｅ， ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ

ｎｅｗ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

１２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｂａｓｉｃ Ｌａｔｔｉｃｅ

１．３

Ｔｈｅｏｒｙ

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．３．１

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｄｅｓｃｒｉｂｅ

ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｆｅａｔｕｒｅ ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｐｏｓｅｔ

ｗｅ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗｈｉｃｈ ｍｏｄｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｓｈａｌｌ

ａ

ｆｏｒｍａｌ

ｐｏｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ． Ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｐｏｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ． Ａ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ

Ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ ｉｓ

ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｋｉｎｄ ｏｆ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ａｎｄ ｃｅｒｔａｉｎ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｇｉｖｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ．

ｇｉｖｅ ｉｔｓ

ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ

ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｐｏｓｅｔｓ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ

ｓｏｍｅ

ｍｅｅｔｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ａ

ａ

ｍｅｅｔ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ；

ａ

ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｗｅ

ａｎａｌｏｇｏｕｓｌｙ．

ｓｈａｌｌ ｗａｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｕｃｈ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ； ｔｈｏｓｅ

ｗｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｗｉｌｌ

ｕｓｕａｌｌｙ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ａｒｅ ｋｎｏｗｎ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ａｓ ｈｏｍｏｍｏｒ－ ｐｈｉｓｍｓ． Ｔｈｕｓ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：Ｘ —＞Ｙ （ｗｉｔｈ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｌａｔｔｉｃｅｓ） ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ， ｔｈａｔ ｉｓ ｆ（ｘＡｙ） ｆ｛ｘ）Ａｆ（ｙ） ＝

ａｎｄ ａ

ｉｓ

ｆ（ｘ Ｖ ｙ）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ

ｆ（ｘ）

＝

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｖ

ｆ（ｙ）

ａｎｄ ａｌｓｏ

／（Ｔ）

ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｍｏｎｏｔｏｎｅ． Ｙ （ｗｉｔｈ Ｘ ａｎｄ ｆ：Ｘ —＊■

＝

Ａ

Ｙ

／（＿Ｌ）

Ｔ ａｎｄ

＝

＿Ｌ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ） ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

ｊｏｉｎｓ （ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ）． Ａ ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ Ａ ｏｆ ａ ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｓ ａ ｓｕｂｓｅｔ Ａ Ｃ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ Ｆ Ｃ＊ Ａ ｗｅ ｈａｖｅ Ｖｘ Ｆ ￡ Ａ ａｎｄ ／＼ｘ Ｆ Ｇ Ａ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｔａｎｔａｍｏｕｎｔ ｔｏ ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ

ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ Ｖｘ Ｆ Ｖａ Ｆ．

ｉｓ

＝

ａ

ｐｏｓｅｔ ｂｙ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｎｇ ｏｒｄｅｒ ｆｒｏｍ Ｘ， ｔｈｅｎ ／＼ｘ Ｆ

Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ Ａ ｏｆ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ， ｉｆ

ｗｅ

ｒｅｇａｒｄ

ｆ＼ＡＦ

＝

Ａ

ａｓ ａ

ａｎｄ

ｌａｔｔｉｃｅ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ｆｒｏｍ

Ｘ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉ： Ａ —？ Ｘ ｉｓ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ｉｆ Ａ ａｎｄ Ｘ ａｒｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ， Ａ Ｃ Ｘ ａｓ ｓｅｔｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉ： Ａ —？ Ｘ ｉｓ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ， ｔｈｅｎ Ａ ｉｓ ａ ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ Ｘ． Ｒｅｍａｒｋ １．３．２

ｐｏｓｅｔ Ｘ，

ｏｎｅ

Ｂｅｃａｕｓｅ

ａｎｄ ｉＶ ｙ

ｊｕｓｔ ｏｎｌｙ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｘ Ａ

ｙ

＝

ｘ

＝

ｙ

ｉｎ

ｃａｓｅ ｘ

＜

ｍｅｅｔｓ ａｎｄ

ｙ ｉｎ

ａ

ｊｏｉｎｓ ｏｆ

ｎｏｎ－ｃｏｍｐａｒａｂｌｅ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ａ ｌａｔｔｉｃｅ （ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｃｈｅｃｋｉｎｇ ｔｈａｔ Ｘ ｈａｓ ｔｏｐ ａｎｄ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔｓ）． Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｈａｓ ｔｏｐ ａｎｄ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔｓ （ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ａｎｄ ｍｅｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ

ｓｕｂｓｅｔ）． Ｒｅｍａｒｋ １．３．３ ｆｏｒ Ａ ｔｏ ｂｅ

ａ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ Ｃ Ｘ ａｎｄ Ｘ ｉｓ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ

ｌａｔｔｉｃｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ

ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｆｒｏｍ Ｈａｓｓｅ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ

ｂｅｉｎｇ ａ ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ Ｆｉｇｕｒｅ １．４， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｂｌａｃｋ ｄｉｓｃｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ， ｂｕｔ ｎｏｔ ａ ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ．

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ａ

Ｘ ｗｉｔｈｏｕｔ ａ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ

ｌａｔｔｉｃｅ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ

１．３．

Ｂａｓｉｃ Ｌａｔｔｉｃｅ

１３

Ｔｈｅｏｒｙ

Ｆｉｇｕｒｅ

１．４： Ａ Ｓｕｂｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ

ａ

Ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．３．４

（１） Ｎ， Ｚ， Ｑ，

Ｒ

ｌａｔｔｉｃｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ ｕｓｕａｌ

ｏｒｄｅｒ， ｗｈｅｒｅ ｂｉｎａｒｙ ｍｅｅｔｓ ｍａｘｉｍａ； ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｎ Ｎ， ３ Ａ

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｍｉｎｉｍａ ａｎｄ ３． Ｉｆ ｗｅ ａｄｊｏｉｎ ａ ｔｏｐ ａｎｄ ｂｏｔｔｏｍ ｍｉｎ｛３，５｝

ｊｏｉｎｓ

ａｒｅ

Ｒ＊ ｉｓ

ａ

｛—ｏｏ｝， ＜）

ｗｈｅｒｅ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

Ｇ Ｒ ｗｅ ｈａｖｅ

ｒ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ

ａｎｄ

ｏｏ

Ｕ

—

ｏｏ ａｒｅ

Ｃ Ｒ ｉｓ ａ

—

＜

ｏｏ

ａｘｉｏｍ ｆｏｒ Ｒ．

ｔｈｅ ｔｏｐ ａｎｄ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｒ

［ｒ１？ ｒ２］

ｃｌｏｓｅｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ

５

ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｒ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ Ｒ＊

＝

（Ｒ Ｕ ｛ｏｏ｝

ａｎｄ

ｒ

＝

＝

＜ ｏｏ， ｔｈｅｎ

Ｈｅｒｅ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ，

ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

ａｎｙ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｈｅｎ ｉｔｓ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｉｎｈｅｒｉｔｅｄ ｆｒｏｍ

Ｒ

（２）

Ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｓｅｔ

Ｖ（Ｘ）

ｏｆ

ａ

ｓｅｔ Ｘ ｉｓ

ｏｒｄｅｒ， ｗｉｔｈ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｌａｔｔｉｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ

ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｕｎｉｏｎ． Ｔｈｅ ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｉｓ Ｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｓ ０．

（３）

Ｔｈｅ ｄｏｗｎ ｓｅｔｓ

｛Ａ［ ＼

Ａ Ｃ

Ｘ｝

ｏｆ

ａ

ｐｏｓｅｔ Ｘ ｆｏｒｍ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｌａｔｔｉｃｅ ｖｉａ

ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｕｎｉｏｎ．

（４）

Ｔｈｅ

（５）

Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ

ｎ

＝

ｖｅｒｔｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｆｏｒｍ

ｔｏｐｐｅｄ

（Ｎ， ｜） （ｗｈｅｒｅ

ｋｍ ａｎｄ ｋｍ

ｍｅｅｔ ｏｆ

ｍ

ａｎｄ

ｂｙ ｇｒｅａｔｅｓｔ

ｎ

ｗｅ

ｐｕｔ

ｍ

＼

ｎ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ．

ｉｆｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｓｏｍｅ

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｋ ａｎｄ ｍ） ｉｓ ａ ｌｅａｓｔ ｃｏｍｍｏｎ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌｃｍ｛ｍ， ｎ｝

ｍｅａｎｓ

ｉｓ ｔｈｅ

ｃｏｍｍｏｎ

ｄｉｖｉｓｏｒ

ｇｃｄ｛ｍ， ｎ｝．

Ｉｎ ｆａｃｔ

（Ｎ， ｜）

ｉｓ

ａ

ｋ Ｇ Ｎ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ａｎｄ ｔｈｅ

ｊｏｉｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ： ｓｅｅ

ｐａｇｅ １８．

（６）

Ｌｅｔ Ｇ ｂｅ

ｂｙ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ， Ｈ ＡＫ

＝

ａ

ｇｒｏｕｐ． Ｔｈｅｎ

ｉｓ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ

（Ｓｕｂ（Ｇ）， Ｃ），

ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

＝

＝

（Ｈ

Ｕ

Ｋ），

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｏｆ ｎｏｒｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ

ｂｙ Ｈ Ｖ Ｋ

ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ

ｏｆ Ｇ ｏｒｄｅｒｅｄ

ｗｈｉｃｈ， ｇｉｖｅｎ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ Ｈ ａｎｄ Ｋ ｏｆ Ｇ，

Ｈ ＯＫ ａｎｄ Ｈ Ｖ Ｋ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｆ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｉｓ ｔｈｅ

ｓｅｔｓ ｏｆ Ｈ ａｎｄ Ｋ．

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｓｕｂｇｒｏｕｐ

Ａｌｓｏ ｔｈｅ

ｐｏｓｅｔ

（ＮＳｕｂ（Ｇ）， Ｃ） ｉｓ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｈｅｒｅ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｊｏｉｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ＨＫ， ｗｈｅｒｅ ＨＫ ｛ｈｋ ＼ ｈ Ｇ Ｈ， ｋ Ｋ｝ ｉｓ ｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎ ｔｏ ｂｅ ａ ＝

１４

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｆｉｇｕｒｅ

１．５：

ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｈｅｄｒａｌ

Ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

Ｇｒｏｕｐ

ｏｆ Ｏｒｄｅｒ ８．

ｎｏｒｍａｌ

ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ Ｈａｓｓｅ ｄｉａｇｒａｍ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ １．５ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｈｅｄｒａｌ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ８， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｂｌａｃｋ ｄｉｓｃｓ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ． Ｉｆ Ｘ ａｎｄ Ｙ

（ｃｏｍｐｌｅｔｅ） ｌａｔｔｉｃｅｓ，

ｔｈｅｉｒ

ｂｉｎａｒｙ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ ｘ Ｙ ｏｆ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ， ｏｒｄｅｒｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｔｈｅｎ Ｘ ｘ Ｙ ｉｓ ａ （ｃｏｍｐｌｅｔｅ） ｌａｔｔｉｃｅ ｗｉｔｈ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｉｎ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｗａｙ ｗｅ ｃａｎ ｘ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ （ｓａｙ ｎ） ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ Ｘ＼ ｘ （７）

ａｒｅ

．．．

Ｘｎ．

（８）

Ｌｅｔ Ｓ ｂｅ ａｎｙ ｓｅｔ ａｎｄ Ｘ

ｐｏｓｅｔ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

（ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ｏｆ） Ｘ ｉｓ ａ （ｃｏｍｐｌｅｔｅ） ｌａｔｔｉｃｅ ｗｈｅｎｅｖｅｒ （ｃｏｍｐｌｅｔｅ） ｌａｔｔｉｃｅ， ｗｉｔｈ Ｓ ＝＞ Ｘ ｏｒｄｅｒｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ

ａ

ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｆｏｒ ａｎｙ

ｘ

ｊｏｉｎｓ

ａｒｅ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ／， ｇ

ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ

￡ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ

（／

Ａ

ｇ）｛ｘ） ｕｓｅｆｕｌ

ｆ（ｘ）

＝

ｓｏｍｅ

Ｌｅｍｍａ １．３．５

ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

ｘ

ｘ

＝

Ａ ｙ

＝

＝

ｙ Ａ

（ｉｉｉ）

ｘ

Ａ

（ｙ Ａ ｚ）

（ｉｖ）

ｘ Ａ

（ｘ Ｖ ｙ）

（ｖ） （ｖｉ）

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

ｆａｃｔｓ ａｂｏｕｔ ｌａｔｔｉｃｅｓ．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｌａｗｓ，

ｗｈｅｒｅ ｘ， ｙ ａｎｄ

ｔａｋｅｎ ｔｏ ｂｅ ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ．

（ｉ）ｘＡｘ （ｉｉ）

Ａｎｙ

Ｇ Ｓ ＝＞■ Ｘ ｔｈｅｎ

ｇ（ｘ）．

Ａ

Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｌｅｍｍａ ｌｉｓｔｓ

ａｒｅ

ｓｅｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｓ ＝＞ Ｘ ｗｉｔｈ

Ｓ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ

ｓｏｕｒｃｅ

Ｘ ｉｓ

ａ

ｘ ＜

ｘ＼／ｘ ｘ

＝

＝

ａｎｄ

（ｘ Ａ ｙ） ｘ Ｖ

ｚ

ｔｈｅｎ

ｘ Ａ

（ｖｉｉ） （ｘＡｙ）Ｖ（ｘＡｚ） ｘ

ｘ Ｖ

＜

ｚ

ｉｍｐｌｉｅｓ

ｘ

ｙ Ａ

＝

ｔ／Ｖ

＝

ｚ

（ｘ Ａ ｙ）

ｙ ｉｆｆ ｅｉｔｈｅｒ ｘＡｙ

Ｉｆ ｙ ＜

（ｖｉｉｉ）

（ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｃｙ）． ａｎｄ ＝

ｘ Ａ ｚ

＜

Ａ

Ｖ

Ｖ

（ｙ Ａ ｚ）

＜

（ｙＶ ｚ）

＝

（ｘ

Ｖ

ｙ）

Ｖ

ｚ

（ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｉｔｙ）．

（ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ）．

ａｎｄ

（ｙ

ｘ

ａ：

（ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ）．

ｘＶｙ

ｘ ｏｒ

ｙ ＜

Ｖ

ｘ

ｘ

ｚ） （ｘ

＝

ｘ Ｖ

ａｎｄ Ｖ

ｙ）

ｙ． ｙ ＜ ｘＶ ｘ

Ｖ

Ａ

ｚ

（ｙ Ａ ｚ）

ｚ．

（ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ）． ＜

（ｘ

Ｖ

ｙ）

Ａ

（ｘ

Ｖ

ｚ）．

ｚ

１．３．

Ｂａｓｉｃ Ｌａｔｔｉｃｅ

Ｐｒｏｏｆ

Ｔｈｅ

Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ａｎｄ

ｘ ＜

ｐｒｏｏｆ ｉｓ

｛Ａ－ｉ ＼

？

ｆｌ

？

ＸｅＴ． ｗｅ

ｉ Ｇ

１｝

ｂｅ

ａ

（ｘ

ｘ ＜

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ． ｙ ｉｍｐｌｉｅｓ ｙ Ａ ｚ ＜ （ｘ Ｖ ｙ） Ａ ｚ＼

ｙ）

Ｖ

ｓｅｔ ａｎｄ ｌｅｔ Ｊ７ ｂｅ

Ａ

□

ｚ．

ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ． Ｔ ｉｓ

ａ

Ｘ ｉｆ

ｏｎ

ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

｛Ａ｛ ＼

ｉ Ｇ

／｝

Ｃ

Ｔ， ａｎｄ

ｈａｖｅ

ｒｅｇａｒｄｅｄ

Ｐｒｏｏｆ

ａｎｄ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｉｍｐｌｙ

Ｇ Ｊ７ ｉｏｉ ｅｖｅｒｙ

Ａ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ Ｔ ｏｆ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．３．７ ｃａｎ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｙ ＜ ｘＶ

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ｓｙｓｔｅｍ

ｏｆ ｔｈｅ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ｅａｓｙ

（ｖｉｉｉ），

ｘＷ ｙ ａｎｄ ｔｈｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．３．６

Ｔｈｅｎ

ａｎ

ｔｏ ｐｒｏｖｅ

ｃａｌｌｅｄ ａ ｃｌｏｓｕｒｅ

１５

Ｔｈｅｏｒｙ

ａｓ ａ

ａ

ｓｅｔ Ｘ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｐｏｓｅｔ ｖｉａ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈｉｓ ｐｏｓｅｔ ｉｓ

ａ

ａ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ

Ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ １．２．１３ ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｔ ｈａｓ

ｍｅｅｔｓ ｏｆ

ｏｆ Ｔ． Ａｓ ｆ｜ Ｓ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔｓ． Ｌｅｔ Ｓ

ｊ

Ｇ Ｔ ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ

＝

｛Ａ｛ ＼

Ｇ ／ ｗｅ ｈａｖｅ

ｉ

ｆ］Ｓ

Ｃ

ａ

／｝

ｂｅ

Ａｊ

ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ．

ｆ｜ ？Ｓ ｉｓ

ａ

ｂｏｕｎｄ， ｔｈｅｎ ｃｌｅａｒｌｙ Ｂ Ｃ ｆ｜ Ｓ． Ｈｅｎｃｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｉｔｈ ｍｅｅｔｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓ， ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｗｅ

ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ｆｏｒ ＜Ｓ． Ｉｆ Ｂ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｌｏｗｅｒ Ｔ ｉｓ ｃａｎ

ａ

ｄｅｄｕｃｅ ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ １．２．１３ ｔｈａｔ

＼ＪＳ

＝

ｆ］｛Ｂ

Ｇ Ｔ

｜ Ａｔ

Ｃ Ｂ

ｅａｃｈ ｉ Ｇ

／｝．

Ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｆ． ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．３．８

□

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ａ

ｓｅｔ ａｎｄ ＡＣ． Ｘ

ａ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｏｎ

Ｘ ｉｆ ｆｏｒ ａｌｌ

ｓｕｂｓｅｔ． Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ａ＾Ａ，

Ｃ：Ｖ（Ｘ）－＞Ｖ（Ｘ）， ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ａ，

Ａ， Ｂ Ｃ Ｘ，

？ＡＣ￣Ａ， ？

ＡＣ Ｂ

？

２

＝

ｉｍｐｌｉｅｓ

Ａ Ｃ

Ｂ， ａｎｄ

Ａ．

Ａ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｏｆ Ｘ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｃｌｏｓｅｄ ｉｆ Ａ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．３．９

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａ

＝

Ａ．

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｓｅｔ

Ｆｃ

＝

｛ＡＣＸ＼Ａ

＝

Ａ｝

ｏｎ ａ

ｐｏｓｅｔ Ｘ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

１６

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｏｆ ｃｌｏｓｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ａ＂ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ

ａｎｙ

（ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ）

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｉｓ

ａ

ｓｕｂｓｅｔ

Ａ｛＾｜ｔ

｛Ａｉ ＼

／｝

ｉｆ Ｔ ｉｓ

ａ

ｗｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ，

ｗｈｅｒｅ

ｈａｖｅ ａｎｄ

＼Ｊ｛Ａｉ＼ｉｅＩ｝．

＝

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ

Ｔｃ

Ｃ

ａ

ｆ）｛Ａｉ＼ｉｅＩ｝，

＝

＼ｆ｛Ａｉ＼ｉｅＩ｝ Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ，

１｝

ｉ

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

Ｏｒｄｅｒ，

１．

ｏｎ

Ｘ ａｎｄ ＡＣ

Ｘ，

ｔｈｅｎ

Ａｄ＾ｆ］｛ＢｅＴ＼ＡＣＢ｝ ｄｅｆｉｎｅｓ

ａ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ， Ｌｅｔ

Ｐｒｏｏｆ

＝

Ｔｃ？

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｉｆ Ｃ ｉｓ

Ｇｉｖｅｎ

ａ

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅｓｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｓ

ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ．

ｏｎ

ｔｈａｔ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ Ｔ

ｕｓ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ．

Ｃ？

ａ

ａｎｄ Ｃ

＝

Ｃｐｃ．

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ Ｓ

＝

ａｒｅ

｛Ａｉ ＼ｉ

Ｘ， ｔｈｅｎ Ｔｃ ｉｓ ａ １｝ Ｃ Ｔｃ－， ｗｅ ｈａｖｅ

ｏｎ

￡

ｆ｜ Ｓ Ｃ Ａ｛ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｉ ￡ Ｉ ａｎｄ ｔｈｕｓ

ｆ］Ｓｃｆ］（Ａｉ＼ｉｅＩ｝ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｆ］ Ｓ

Ｔｃ ｉｓ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

Ｎｅｘｔ ｅｘｉｓｔ

ａｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

｛Ａｉ ｜

ｉ

／｝

Ｃ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ．

Ｓ． Ｉｆ Ｂ Ｇ

ａｎ

ｌｅａｓｔ．

ｉｓ ｔｈｅ

ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ

Ｗｅ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｇ

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ

ｊｏｉｎ ｏｆ ５，

Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｓｅ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔａｓｋ ｉｎ ｓｅｔ

Ｔｃ－ Ｔｈｕｓ ｆｒｏｍ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．３．７

ｌａｔｔｉｃｅ．

Ｔｃ， ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ＼ＪＳ

Ｔｃ ｉｓ Ｈｅｎｃｅ （Ｊ ？Ｓ

ｆ］｛Ａｉ＼ｉｅｌ｝＝ｆ］Ｓ

Ｔｃ－ Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ Ｘ

ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ

ｗｅ

＝

Ｔｃ， ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｌｅａｒｌｙ ｆｏｒ ＜Ｓ， ｔｈｅｎ ＼ＪＳ Ｃ Ｂ

ｊｏｉｎｓ． Ｔｈａｔ ｍｅｅｔｓ ｊｏｉｎｓ． Ｇｉｖｅｎ Ｓ ＝

ａｎ

＝

ａｓ

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｆｏｒ

Ｂ， ｓｈｏｗｉｎｇ ＼ＪＳ

ｉｓ

ａｓｓｅｒｔｅｄ．

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｓ

ａｒｅ

ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ，

ｉｓ

ａ

ｓｉｍｐｌｅ □

ｔｈｅｏｒｙ． Ｆｉｌｌ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ＥＸＥＲＣＩＳＥ １．３．１０

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

１．３．９．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．３．１１

（１）

（ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ ｏｆ） ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ， ＮＳｕｂ（Ｇ）， ｏｆ ａ ｇｒｏｕｐ Ｇ ａｒｅ ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｎ （ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ

Ｔｈｅ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ

Ｓｕｂ（Ｇ）

ａｎｄ

ｏｆ）

Ｇ．

（２）

Ｔｈｅ ｓｅｔ

｛

￣

｜￣

Ｃ Ｘ ｘ

ｓｙｓｔｅｍ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ．

ｓｅｅ

Ｘ｝

ｔｈａｔ

ｏｆ

ａｎ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｒｅｌａｔｉｏｎｓ

ｏｎ ａ

ｓｅｔ Ａ＂ ｉｓ

ａ

ｃｌｏｓｕｒｅ

ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ

■

Ｂａｓｉｃ Ｌａｔｔｉｃｅ

（３）

Ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ａｎｄ

ｓｙｓｔｅｍｓ

ｃｏｎｖｅｘ

ａ

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ａ

（Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｓｙｓｔｅｍ）．

ｐｏｓｅｔ ａｎｄ

ｏｆ

ａ

ｗｅ

ｓｈｏｕｌｄ ｔａｋｅ

ｓｕｂｓｐａｃｅｓ

ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ．

ｏｎ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｌｏｓｕｒｅ

（４）

１７

Ｔｈｅｏｒｙ

１．３．

Ｘ（Ｘ）

Ｃｘ（ｘ）＇－ ＊Ｐ（Ｘ）

（ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｏｆ）

ｓｅｔ

Ｖ（Ｘ）

—＊■

ｅａｃｈ ｃｌｏｓｕｒｅ

ａｒｅ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ． Ｔｈｅ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ａ ｏｆ

ｒｅａｌ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ

ｓｅｔｓ ｔｏ ｍａｔｃｈ

Ｘ＼ ｔｈｅｎ Ｔ（Ｘ） ｉｓ ｔａｋｅｓ ａｎｙ ｓｕｂｓｅｔ

Ｘ ｔｏ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ ｗｈｉｃｈ

ｃｏｎｔａｉｎｓ Ａ．

（５）

Ｔｈｅ

（６）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ｏｎ

（ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ｏｆ）

ａ

ａ

ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ

ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ

ａ

ｉｆ

ｎｏ

ｇｉｖｅｎ

Ｘ． Ｏｆ

ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ

ｃｏｕｒｓｅ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｌｅｎｇｔｈ ｎ ｉｆ ＼Ｃ＼ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｉｎｓ．

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

＝

ｎ

ｐｏｓｅｔ． Ｉｆ Ｃ ｉｓ

ａ

Ｘ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

ｓｏｍｅ

ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｈｉｃｈ

（ｘｎ ＼

ｎ０ Ｇ Ｎ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｘｎｏ

ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｇｌｏｓｓ ｔｏｏ ｍａｎｙ ｐｅｏｐｌｅ．

ｗｅ ａｒｅ

Ｌｅｍｍａ １．３．１３ Ｘ ｈａｓ

ａ

ｎ

Ｎ）

Ｇ

ｏｖｅｒ

ｔｈｅ ａｘｉｏｍ ｏｆ ｃｈｏｉｃｅ ａｎｄ Ｉ

（ＡＣＣ）

Ａ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ａ

ｃｌｏｓｕｒｅ

ｗｅ

ｈｏｐｅ

ｓａｙ

ｔｈｅｎ

ｌｅｎｇｔｈ，

（ＡＣＣ）

Ｔｈｅ ｄｕａｌ

＝

ｆｏｒｍａｌ ｓｅｔ

ｓｏｍｅ

ｔａｋｉｎｇ

ｉｎ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｘｎｏ＋ｉ Ｗｅ ｓｈａｌｌ

＝

ｄｅｓｃｅｎｄｉｎｇ ｃｈａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ （ＤＣＣ）． ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｅｄ

Ｔｈｅ ａｓｔｕｔｅ ｒｅａｄｅｒ ｗｈｏ ｋｎｏｗｓ

Ｘ

ｃｈａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ａｓｃｅｎｄｉｎｇ

ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｉｓ ｔｈｅ

（ＤＣＣ）．

ｏｎ

ｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｉｎ ｉｎ Ｘ

ａ

＋１． Ｉｆ ｅｖｅｒｙ ｃｈａｉｎ ｉｎ Ｘ ｉｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ

ａｎｙ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

％ｎ ＜ ＃ｎ＋ｉ ＞ ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎｄ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ

ａｒｅ ａ

ｃｌｏｓｕｒｅ．

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．３．１２ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ

ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ

Ｂｙ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．３．９， ｓｕｃｈ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｉｔｈ ｊｏｉｎｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｆ ｕｎｉｏｎｓ．

ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ ｔｏ ｉｔｓ

Ｘ ｈａｓ

Ｒ ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｄｅａｌｓ ｏｆ Ｒ ｆｏｒｍ ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍｓ．

ｓｕｂｒｉｎｇｓ ｏｆ ａ ｒｉｎｇ

ｎｏｗ

ｇｉｖｅ

ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ

ｔｈｅｏｒｙ

ｗｉｌｌ

ａ

ｆｅｗ

（ＡＣＣ）

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｏｆｆｅｎｄ

ｉｆｆ ｅｖｅｒｙ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｏｆ

ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ．

Ｐｒｏｏｆ

（＝＞） ｎｏ

Ｌｅｔ Ａ Ｃ Ｘ ｂｅ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｆｏｒ

ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ．

Ｗｅ

ｃａｎ

ａｒｇｕｅ

ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ，

ｔｈｅｒｅ ｉｓ Ｘ２ Ｇ Ａ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｘ＼

ｉｎ Ａ

ｆｉｎｄ ｘ３ Ｇ Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｘ＼ ＜ ｘ２ ＜ ｘｚ．

ｗｅ ｃａｎ

ｃｈｏｉｃｅ） （ＡＣＣ）．

ｔｈｅ ａｘｉｏｍ ｏｆ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｓ

（＜＝） ｎｏ

Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｔｈｉｓ

ａ

ｇｉｖｅｓ

ｕｓ ａｎ

＜ ＃２－

ａ

ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ．

Ｂｕｔ

ａｓ Ｘ２

Ｌｅｔ ｘ＼ Ｇ Ａ．

ｉｓ ａｌｓｏ ｎｏｔ ｍａｘｉｍａｌ

＜ Ｘ２ ＜ Ｘｚ．

ｓａｔｉｓｆｙ （ＡＣＣ），

ｔｈｅｎ ｉｔ

？．

ｉｎ Ａ ｗｈｉｃｈ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ．

Ｔｈｅｏｒｅｍ １．３．１４

ａｎｄ

（ＤＣＣ）．

Ｂｙ

Ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ （ｓｔｒｉｃｔｌｙ， ｉｎｖｏｋｉｎｇ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｉｎ Ｘｉ

ｃｈａｉｎ ｔｈａｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ

ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ Ａ ｈａｓ

ｈａｓ □

Ａ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｈａｓ

ｎｏ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｉｎｓ ｉｆｆ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｂｏｔｈ

（ＡＣＣ）

Ｃｈａｐｔｅｒ

１８

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

Ｐｒｏｏｆ

（＝＞）

Ｔｈｉｓ ｗａｙ ｉｓ ｃｌｅａｒ．

（＜￡＝） Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｉｎ， ｓａｙ Ｃ．

（ＡＣＣ）

（ＤＣＣ）

ａｎｄ

ａｎｄ ｈａｓ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ， ｗｉｔｈ ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｔｈｅｎ Ｃ ｉｓ

ｃｈａｉｎ ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｕｓｉｎｇ Ｌｅｍｍａ １．３．１３． Ａｓ Ｃ ｉｓ

ａ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｆｏｒ Ｃ． Ｎｏｗ ｌｅｔ

＼ ｛ｘｉ｝

ｔｈａｔ ｘ＼ ｉｓ

ｓｅｅ

ａｎ

Ｘｉ Ｇ Ｃ

ｇｒｅａｔｅｓｔ

ａ

（ｗｅ ｃａｎ ｄｏ ｔｈｉｓ ｆｏｒ Ｃ ＼ ｛ｘｉ｝ ｉｓ ａ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｃｈａｉｎ； ｔｈｕｓ Ｌｅｍｍａ １．３．１３ ａｐｐｌｉｅｓ） ａｎｄ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｌｅｔ ｘｎ＋ｉ ｂｅ Ｃ ＼ ｛＃ｉ，．．． ，ｘｎ｝． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｄｕｃｅ （ｓｔｒｉｃｔｌｙ， ｉｎｖｏｋｉｎｇ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｉｎ Ｃｎ＋ｉ ｔｈｅ ａｘｉｏｍ ｏｆ ｃｈｏｉｃｅ） ｔｈａｔ （ｘｎ ｜ ｎ Ｇ Ｎ） ｉｓ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ （ｄｅｓｃｅｎｄｉｎｇ） ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ □ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ Ｘ， ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｓ ｔｈｅ （ＤＣＣ）． ｘ＾ Ｇ Ｃ

ｂｅ ｇｒｅａｔｅｓｔ

＝

Ｔｈｅｏｒｅｍ １．３．１５

（ｉ）

Ｉｆ Ｘ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

（ＡＣＣ），

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ． Ｔｈｅｎ

ｔｈｅｎ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｏｆ

ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ Ｆ Ｃ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ＼ＪＡ

＝

Ｘ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

＼／Ｆ．

（ｉｉ） Ｉｆ Ｘ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ （ＡＣＣ） ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｄｕａｌｌｙ Ｘ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｆ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

（ＤＣＣ）． （ｉｉｉ）

Ｉｆ Ｘ ｈａｓ

ｎｏ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｉｎｓ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ．

Ｐｒｏｏｆ

（ｉ）

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｂ

＝

｛Ｖ Ｆ ＼

Ａ， Ｆ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ｝ ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ

Ｆ Ｃ

ａ

ｇｉｖｅｎ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ； ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｂ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ． Ｓｏ ｂｙ Ｌｅｍｍａ １．３．１３

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｆ

ａ

Ｇ

Ａ， ｔｈｅｎ Ｖ ＾ｏ

ｍａｘｉｍａｌｉｔｙ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｃｏｍｐｌｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ．

（ｉｉ）

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｍ

＜ｍ．

ａ

（ｉ） ｉｍｐｌｉｅｓ

ｔｈａｔ

ｏｆ Ｂ， ｓａｙ

ｍ

＝

Ｖ ｉ＊ｏ－ Ｃｌａｉｍ

Ｖ（ｉｒｏ Ｕ ｛ａ｝） ｉｍｐｌｙｉｎｇ

＜

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｎｏｗ

（ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ）

ｔｈａｔ

Ａ ＜ ｘ； ｔｈｅｎ

Ｘ ｈａｓ

ｍ

＝

ｍ

ｍ

＝

＼Ｊ Ａ． Ｔｏ ＝

ｓｅｅ

ｔｈｉｓ，

＼ｆ（Ｆ０ Ｕ ｛ａ｝） ｂｙ

＼Ｊ Ｆｑ ＜＼Ｊ Ａ ＜ ｘ，

ｊｏｉｎｓ ｏｆ ａｌｌ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｄｕａｌｌｙ， ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｔｈａｔ Ｘ ｈａｓ ｍｅｅｔｓ ｏｆ ａｌｌ ｎｏｎｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔｓ ａｎｄ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ． ａｎｄ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

（ｉｉｉ） Ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ Ｔｈｅｏｒｅｍ １．３．１４． □

Ｅｘａｍｐｌｅ １．３．１６

Ｉｔ ａｌｓｏ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ

（Ｎ， ｜） （ｎ＊ ｜ ｉ

Ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ

（ＤＣＣ）． Ｆｏｒ ｉｆ （Ｎ， ｜） ｔｈｅｎ ｗｅ ｍｕｓｔ

ｗｈｅｒｅ ＜ ｉｓ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ

ｉｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ．

Ｇ

Ｎ）

ｈａｖｅ

ａｎ

Ｉｔ ｈａｓ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ

ａ

ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ ＯｅＮ．

ｄｅｓｃｅｎｄｉｎｇ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｅｓｃｅｎｄｉｎｇ ｃｈａｉｎ ｉｓ

ａｎ

ｏｒｄｅｒｉｎｇ． Ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．

ｓｅｑｕｅｎｃｅ

ｉｎ

（Ｎ， ＜）

１．３．

Ｂａｓｉｃ Ｌａｔｔｉｃｅ

１９

Ｔｈｅｏｒｙ

ｓｉｍｐｌｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ａｎｄ ｍｏｄｕｌａｒ ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｈａｖｅ ｐｌｅａｓａｎｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｉｄ ｔｈｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ． Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｔｈｅｎ Ｘ ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｉｆ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｘ Ａ （ｙ Ｖ ｚ） （ｘ Ａ ｙ） Ｖ （ｘ Ａ ｚ） ｆｏｒ ａｌｌ ｘ， ｙ， ｚ ｉｎ Ｘ． Ｘ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｍｏｄｕｌａｒ ｉｆ ｘ ＜ ｚ ｉｍｐｌｉｅｓ ｘ Ｖ （ｙ Ａ ｚ） （ｘ Ｖ ｙ） Ａ ｚ． Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．３．１７

ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ

Ｗｅ ｅｎｄ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｓｏｍｅ

＝

＝

Ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ １．３．５， ｐａｒｔｓ （ｖｉｉ） ａｎｄ （ｖｉｉｉ）， ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｏｒ ｍｏｄｕｌａｒ ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ Ｒｅｍａｒｋ １．３．１８

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ａｎ

ＬＥＭＭＡ １．３．１９

（ｉ）

Ｆｏｒ ａｎｙ ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｔｈｅ

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ，ｙ，ｚ ￡ Ｘ

（ｉｉ）

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ， ｙ，

ＰＲＯＯＦ

ｚ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

（ｉｉｉ）．

Ｉｆ

ｔｈｅ

（ｙ

ｈａｖｅ

（ｙ

Ｖ

ｚ）

Ｖ

ｚ）

Ｖ

（ｙ

ｘ Ｖ

（ｙ

（ｘ

＝

ｚ）

Ｖ

＝

ｚ）

＜

ｙ）

Ａ

（ｘ

＝

（ｘＡｙ）Ｖ（ｘＡｚ）

ｔｈｅｎ

＜ ｘ Ａ

ｗｅ

ｙ）

Ｖ

（ｘ

Ａ

（ｘ

Ｖ

ｙ）

Ｖ

ｚ），

Ａ

（ｘ

Ａ

［（ｘ Ａ ｙ）

（＊），

＜

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ：

ａｒｅ

ｚ），

Ｖ

２．

（ｉ）

ｈｏｌｄｓ ｔｈｅｎ

（ｘＡｙ）Ｖｚ

ｈａｖｅ Ｖ

Ｔｏ

ｓｅｅ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ （ｉｉｉ）

ｗｅ

ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｈａｌｆ ｏｆ

ｚ）

Ａ

（ｉ）．

ｏｎｅ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｌｅｍｍａ １．３．５． Ｉｆ

ｗｅ ｕｓｅ

（ｉｉｉ） ｈｏｌｄｓ，

ｘ Ａ

ｎａｍｅｌｙ

ｗｅ

（ｙ

ｘ Ａ

Ｇ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ｘ Ａ

Ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｘ Ａ

ｈａｖｅ

ｗｅ

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ，ｙ，ｚ ￡ Ｘ

（ｉｉｉ）

ｏｎ

ｈｏｌｄｓ．

ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ

ｚ］

＜

（ｘ

Ａ

ｚ）

（ｘ

Ｖ

ｙ），

Ａ

（＊）

ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ｘ Ａ （—） ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ． Ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｕｓｅ （ｉｉｉ） ｔｏ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｘ，ｙ，ｚ Ｇ Ｘ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｘ

Ａ

（ｙ

ａｎｄ ｔｈｅｎ ｕｓｅ ｔｈｉｓ ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ

ｈａｌｆ ｏｆ

（ｉ）

ｈｏｌｄｓ ｖｉａ Ｌｅｍｍａ １．３．５． Ｔｈａｔ

（ｉｉ）

ｉｆｆ

Ｖ

ｚ）

＜

（ｘ

Ａ

ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ

（ｉｉｉ）

ｉｓ

ａ

ｚ）

ｏｆ

Ｖ ｙ．

（＊）．

Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ

ｓｉｍｉｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ．

□

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．３．２０

（１）

Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ

ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ

Ｖ（Ｘ）

ｓｉｍｐｌｅ

ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ． ｎａｉｖｅ ｓｅｔ

（２） Ａｎｙ ｐｏｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

（３）

Ｔｈｅ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ

Ｆｏｒ ｉｆ

Ａ， Ｂ ａｎｄ Ｃ

ｔｈａｔ Ａ ｆ）

ｃｈａｉｎ ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ．

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ （Ｎ， ｜）

ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ．

（Ｂ

Ｕ

Ｃ）

＝

ａｒｅ

ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

（Ａ ｆ） Ｂ）

Ｕ

Ｘ，

（Ａ Ｐｉ Ｃ）．

ｉｔ

２０

Ｃｈａｐｔｅｒ

（４） Ｆｏｒ ａｎｙ ｇｒｏｕｐ Ｇ， ＮＳｕｂ（Ｇ） ｉｓ ｍｏｄｕｌａｒ．

ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｎｏｒｍａｌ

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｒｄｅｒ

ｉｆ， Ｋ， Ｎ ｂｅ ｎｏｒｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｇ．

Ｆｏｒ ｌｅｔ

ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｆ ＴＶ Ｃ Ｈ ｔｈｅｎ Ｈ Ａ （Ｋ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｇ Ｇ Ｈ Ａ （ｉｆ Ｖ Ｎ） ａｎｄ ｔｈｕｓ ｇ Ｇ Ｈ ａｎｄ ｇ

Ｌｅｍｍａ １．３．５， ｉｔ ｉｓ

（Ｈ Ａ Ｋ）

Ｖ Ｎ．

ｋ Ｇ Ｋ ａｎｄ

（５）

ｎ

￡ Ｎ． Ｎｏｔｅ Ａ：

Ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ

＜？ｎ－１

＝

ｓｕｂｓｐａｃｅｓ ｏｆ ａ

Ｉｆ Ｘ ｉｓ

ｔｈｅ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ，

ａ

ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｉｓ ａｌｓｏ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｎ Ｓ ｉｓ

ａ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．４．１

＝＞

ａ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

＼

ｍｏｄｕｌａｒ； ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｉｓ

ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ．

ｗｅ

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｂｏｏｌｅａｎ ａｎｄ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ａ

ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ ｉｎ Ｖ（Ｘ） ｉｓ

Ｖ（Ｘ） ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｒｏｍ Ｘ）． Ｒｅａｄｅｒｓ

ｐｏｗｅｒｓｅｔ （ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ Ｇ

ｔｈｅ ｓｅｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｘ

ｋｎ ｆｏｒ

Ｘ， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ Ｓ ｔｏ Ｘ ｗｉｔｈ

Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ａ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ， ｒｏｕｇｈｌｙ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｗｈｉｃｈ ｍｉｍｉｃｓ ｉｎ

Ｃ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ．

Ｂｏｏｌｅａｎ ａｎｄ

１．４

＝

Ｎ）

ｉｆ ａｎｄ ｓｏ ｗｅ ａｒｅ ｄｏｎｅ．

ｆａｃｔ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ ｎｏｒｍａｌ

（６）

Ｖ

Ｂｙ

Ａ ｏｆ Ａ

ｍａｙ ｈａｖｅ ｍｅｔ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ ｏｒ ｅｖｅｎ ｓｃｈｏｏｌ ｃｉｒｃｕｉｔ ｔｈｅｏｒｙ， ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｃｏｎｃｅｒｎ ｕｓ ｈｅｒｅ． Ａ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｃａｎ ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ４． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｓｉｍｐｌｙ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｂｏｏｌｅａｎ ａｎｄ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｆｒｏｍ

Ｔａｋｅ ａｎｄ ｉｎ

ａ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ａｎｄ ｌｅｔ

ｘ Ｇ

Ｘ． Ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｘ

ａ

ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ

ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｘ． Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ， ｓｕｃｈ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｕｎｉｑｕｅ．

ａ Ｖ ｘ

＝

Ｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．４．２

ａ

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ａ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ ｘ， ｙ，

ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ ｏｎｅ ａ Ｇ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｘ Ａ

ＰＲＯＯＦ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ ａ＇

ａ

Ａ

＝

ａ

ｆ＼ｚ

＝

ｏＡ（ｘＶａ＇）

＝

ａｎｄ ｙ ＜ ａ！ ａｎｄ

ｙ ａｎｄ ｘＷ

ｓｏ ａ

＝

ａ

＝

ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ．

＝

±

ｓｈｏｗｓ

ｔｈａｔ，

Ｇ Ｘ．

Ｔｈｅｎ

ｚ．

Ｗｅ ｈａｖｅ

（ａ Ｖ ｘ）

＝

＝

ａ

＝

Ｘ ａｌｓｏ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ａ

Ｂｕｔ ｙ ＜

ａ

ｚ

ａ Ａｘ

（ａＡｘ）Ｖ（ａＡ ａ＇）

ｙＶ（ａＡｏ＇）． ａＡａ＇．

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ａ＇

＝

ａ

Ａ

ａ＇ ａｎｄ

ｓｏ ａ

＝

ａ＇．

□

Ｂｏｏｌｅａｎ ａｎｄ Ｈｅｙｔｉｎｇ Ｌａｔｔｉｃｅｓ

１．４－

２１

ｌａｔｔｉｃｅ， ｗｈｉｃｈ ａｌｓｏ ｈａｓ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ａｌｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ －＞ｘ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｘ ｗｈｅｒｅ ｘ Ｇ Ｘ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｍａｋｅｓ ｓｅｎｓｅ ｔｏ ｔａｌｋ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｘ， ｂｅｃａｕｓｅ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．４．２ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｕｎｉｑｕｅ ｉｆ ｔｈｅｙ ｅｘｉｓｔ． Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｌｅｍｍａ ｓｔａｔｅｓ ｓｏｍｅ ｌａｗｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｔｒｕｅ ｏｆ ａｌｌ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅｓ， ａｎｄ ａｒｅ Ａ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｓ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．４．３

ｏｆ ｔｈｅ ｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎ Ｄｅ

ａｎａｌｏｇｕｅｓ

Ｌｅｍｍａ １．４．４

（ｉ）

－ｉ－ｉｊｃ

＝

ａ

＝

（ｈｉ） －＞（ｘ Ｖ ｙ）

－＞ｘ Ｖ

＝

－＞ｘ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｆｏｒ ａｌｌ ｘ， ｙ Ｇ

Ｘ，

Ａ －＞ｙ．

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｕｓｅ

－＞：

ａｎｄ

－＞－ｉｘ

ｘ ａｒｅ

ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ

（ｉ）

１．４．２ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

Ｘ

ｔｈｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ａｎｔｉｔｏｎｅ． ＝

Ｘ，

－＊ｙ， ａｎｄ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

－＞ｙ

ｒｕｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ｈｏｌｄ ｆｏｒ ｐｏｗｅｒｓｅｔｓ．

Ｍｏｒｇａｎ

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ

Ｘ． Ｔｈｅｎ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ

ｘ，

（ｉｉ） －＞（ｘ Ａ ｙ）

Ｐｒｏｏｆ

Ｉｎ

ａ

—？

（ａｎｄ （ｉ）

Ｘ

Ｔｏ ｐｒｏｖｅ

ｔｈｉｓ，

ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｈｏｌｄｓ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｆ

ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｏｎｅ

ａ

ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｉｆ

ｃｏｕｒｓｅ ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ）． ｘ

＜

ｉｎ

－＞ｘ

Ｉｎ ｆａｃｔ

ｙ ｉｎ Ｘ ｔｈｅｎ

ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ －＞ｙ Ａ －＊ｘ ｉｓ ａ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｙ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｅｑｕａｌｓ －＞ｙＡ －ｉｘ ｉｍｐｌｉｅｓ －＞ｙ ＜ －＞ｘ， ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ． Ｔｈｅｎ （ｉｉ） ａｎｄ （ｉｉｉ） ｆｏｌｌｏｗ □ ｔｈａｔ ｉｓ ａｎ ａｎｔｉｔｏｎｅ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｘ．

－＞ｙ Ａ －＞ｘ，

－＞？／． Ｂｕｔ －＞ｙ

＝

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆａｃｔ

－＞

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．４．５ ａ

ｓｅｔ ａｎｄ

ｄｅｆｉｎｅ，

ｆｏｒ Ａ Ｃ

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ．

（Ｒｅｃａｌｌ

ｔｈａｔ Ｘ

＼Ａ

（１）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

（２）

｜

Ａ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ －＞Ａ

ａ

（３）

Ｃ Ｘ

Ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

ａ

ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ －？Ａ

＝

Ｘ

ｏｒ

＼Ａ

Ｘ

ａ

＼ Ａ，

ａ

ｉｓ

ｂｏｔｈ ｏｐｅｎ ａｎｄ ｃｌｏｓｅｄ ｉｓ

ａ

ｓｅｔ

Ｘ）．

Ｘ，

ｆｉｎｉｔｅ｝

＼ Ａ．

ｓｐａｃｅ Ｘ ｗｈｉｃｈ

Ｘ

＝

ｉｓ

ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ Ａ ｆｒｏｍ

Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｃｏｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

｛Ａ ｉｓ

ｄ＝ Ｘ ＼ Ａ． Ｔｈｅｎ Ｖ（Ｘ）

￣＞Ａ

Ｘ，

ａｒｅ

ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ

ａ

ｃｌｏｓｅｄ ａｎｄ ｏｐｅｎ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ

Ｘ．

（４）

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ

ｗｒｉｔｅ Ｑ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐｏｉｎｔ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｔｗｏ

ａ

ｗｈｉｃｈ ＿Ｌ ＜ Ｔ． Ｗｅ ｃａｌｌ ｔｈｉｓ ｔｈｅ ｏｆ

ａ

（５）

ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ

Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｒ

Ａ ｓ

＝

ｒｓ，

ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ．

ｒ Ｖ ｓ

＝

ｒ

ｅｌｅｍｅｎｔ ＝

４－

ｒ．

ｓ

．．．

ｏｆ ａｎｙ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ

ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｏｆ Ｒ ｉｓ ａｎ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｒ ＜ ｓ ｉｆｆ ｒｓ

Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ ｐｏｓｅｔ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｘ Ｑ， ｉｓ ａ Ｂｏｏｌｅａｎ Ｑ， Ｑ， ｘ

—

ｒ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｒ２

ｒｉｎｇ Ｊ？ ｉｓ

＝

ｒ．

ａｎｄ

－＞ｒ

＝

１

—

ｒ．

｛Ｊ－，Ｔ｝

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ｆｏｒ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｌａｔｔｉｃｅ．

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ． Ａｎ

Ｗｅ ｏｒｄｅｒ ｔｈｅ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｒｓ

ａ

ｓｅｔ

ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ

２２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．４．６

Ｈｅｙｔｉｎｇ

Ａ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｙ，ｚ Ｇ Ｘ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｗｅ ｃａｌｌ ｙ

ｔｈｅ

＝＞ ｚ

Ｌｅｍｍａ １．４．７

ｅｌｅｍｅｎｔ ｙ

ａｎ

＜ｙ

ｘ

ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｓ

Ｘ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

＝＞ ｚ ￡

ｘ

Ｈｅｙｔｉｎｇ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｙ ａｎｄ

Ｉｎ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ

ｐａｉｒ ｏｆ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ａ

ｉｆｆ

＝＞ ｚ

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

Ｏｒｄｅｒ，

１．

Ａｙ

＜

ｚ．

ｚ．

Ｘ， ｔｈｅ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｙ ａｎｄ

ｚ

ｉｓ

ｕｎｉｑｕｅ． ＰＲＯＯＦ Ｔｈｅｎ

ａ ＜

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ａ ａｎｄ ａ＇ ａｒｅ ｔｗｏ ａ ｉｍｐｌｉｅｓ ａ Ａｙ ＜ ｚ ｉｍｐｌｉｅｓ ａ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．４．８

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ＰＲＯＯＦ Ｔｈｅｎ

＜ －＞ｘ Ｖ ｙ

２

Ｂｏｏｌｅａｎ

ｌａｔｔｉｃｅ，

Ａｘ

ｘ， ｙ Ｇ

ａ

Ｇ Ｘ．

□

ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ．

ｃｏｎｖｅｒｓｅ

ｌａｔｔｉｃｅ．

Ｈｅｙｔｉｎｇ

Ｘ， ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ

（－＞ｘ Ｖ ｙ）

Ａ ｘ

＝

（－＞￡

Ａ

Ｖ

＝

＿Ｌ Ｖ

（ｙ Ａ ｘ）

＜

Ａｘ

＜

ｚ

ｔｈｅ

ｚ

ｘ ＝＞

ｄｅｆ

ｙ

＝

－？ｘ

Ｖ ｙ．

ｉｍｐｌｉｅｓ ｚ

ａｎｄ

ａ＇；

＜

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ

Ｅｖｅｒｙ ａ

ｃａｎｄｉｄａｔｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｙ ＝＞

＜ｙ ｉｍｐｌｉｅｓ

－＞ｘ

Ｖ ｙ ＞

ｘ）

（ｙ Ａ ｘ）

ｙ，

－＞ｘ

Ｖ

（ｚ Ａ ｘ）

＞

（－＞ｘ Ｖ ２）

Ａ

（－＞ｘ

Ｖ

ｘ）

＞

□

ｚ．

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．４．９

（ｉ）

Ａ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

（ｉｉ） Ａｎｙ （ｉｉｉ） ｗｅ

Ａ

ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ．

ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｓ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

ｄｅｆｉｎｅ

－＞ｘ

ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｓ

＝

ｘ ＝＞

ａ

ａ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

ｌａｔｔｉｃｅ．

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｆｆ ｆｏｒ ａｌｌ

ｘ ｅ

Ｘ，

－＞－＞ｘ

＝

ｘ， ｗｈｅｒｅ

Ｊ＿．

Ｐｒｏｏｆ

（ｉ）

Ｒｅｃａｌｌ Ｌｅｍｍａ １．３．５ ｗｈｉｃｈ ｔｅｌｌｓ

ｕｓ

ｔｈａｔ

（ｘ Ａ ｙ）

（ｘ Ａ ｚ）

Ｖ

＜

ｘ

Ａ

（ｙ Ｖ ｚ）．

Ｔｈｅｎ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｘ＝＞（（ｘＡｙ）Ｖ（ｘＡ ｚ）） ｗｈｉｃｈ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

（ｘ Ａ ｙ）

Ｖ

＞

（ｘ

（ｘ Ａ ｚ）

＝＞

（ｘ Ａｙ））＼／ （ｘ

＞ ｘ Ａ

（ｙ

Ｖ

ｚ），

＝＞

ａｎｄ

（ｘ ｓｏ

Ａ

ｚ）） ＞ｙＶ

ｚ

Ｘ ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ．

（ｉｉ）

２３

Ｂｏｏｌｅａｎ ａｎｄ Ｈｅｙｔｉｎｇ Ｌａｔｔｉｃｅｓ

１．４－

Ｔａｋｅ

ｉｍｐｌｉｅｓ

ａｎｄ ｙ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ

ｘ

＜

ｚ

ｘ ＝＞

（ｉｉｉ） （＝＞）

Ａｘ ＜

Ｔｈｉｓ ｗａｙ ｉｓ ｐａｒｔ

ｈａｖｅ

ｗｅ

（ｉ） ｊｕｓｔ

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

＜

２

ａ： ＝＞

ｓｅｅｎ

ｌａｔｔｉｃｅ

ｒｕｌｅｓ

Ｘ）．

（ｉｉ）

ａｎｄ

Ｈｅｎｃｅ Ｔ

＝

ｙ｝．

Ｔｈｅｎ

ｚ

Ａｘ

＜ｙ

－＞ｘ

ａｎｄ

Ｘ）．

＝

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ， ａｎｄ

ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ｘ Ａ

（ｘ

＝＞

＿Ｌ）

－＞：

ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ａｎｔｉｔｏｎｅ ａｎｄ

Ｍｏｒｇａｎ＇ｓ

＜

ｙ ｔｈｅｎ

ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

＼ｕ Ａｘ

Ｇ． Ｘ

ｏｆ Ｌｅｍｍａ １．４．４．

ｘ Ａ －＞ｘ

ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ．

Ｖ｛＾

＝

＼Ｊ｛ｕ Ａｘ＼ｕＡｘ＜ｙ｝＜ｙ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｉｔｙ （ａｎｄ

（＜＝） Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ，

ｙ

ｙ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ． Ｉｆ ｚ

ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ

ｘ ＝＊？

＝

Ｘ

Ｊ＿

Ｘ

—＊■

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｘ １—？

Ｔｈｕｓ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ Ｄｅ

ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ．

（ｉｉｉ） ｏｆ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．４．４ ｈｏｌｄ （ｂｕｔ －＞（ｘ Ａ －＞ｘ） －＞ｘ Ｖ ｘ ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｈｅｒｅ ｉｎ ｔｈｅ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

＝

□ Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．４．１０

（１）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ｍｅｅｔ ａｎｄ

ａ

ｊｏｉｎ

ｃｈａｉｎ ｗｉｔｈ ｔｏｐ ａｎｄ ｂｏｔｔｏｍ ａｒｅ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ；

ｓｏ

Ｘ ｉｓ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｇｒｅａｔｅｓｔ ａｎｄ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｔｈｅｎ Ｘ ｉｓ Ｈｅｙｔｉｎｇ

ｗｉｔｈ

｛Ｔ

ｉｆ

ｘ ＜

ｙ

ｙ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｗｈｅｒｅ ｘ， ｙ Ｇ Ｘ． ｘ

Ｇ Ｘ：

（２）

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ｎｏｔ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｓｅｅ

Ｔａｋｅ Ｘ

ａｎ

ａ

Ｂｏｏｌｅａｎ

ｌａｔｔｉｃｅ， ｆｏｒ

＝

Ｔ ｆｏｒ ａｌｌ

１．４．９．

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ａｎｄ ｌｅｔ Ｊ７ ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ

ｗｉｔｈ Ｘ ｉｔｓｅｌｆ． Ｔｈｅｎ Ｔ ｉｓ

ａ

ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ

Ｖ（Ｘ）

ａｎｄ

Ｈｅｙｔｉｎｇ． Ｆｏｒ ｉｆ Ｆ Ｃ Ｘ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ ｔｈｅｎ ｎｏ ｌａｒｇｅｓｔ ｍｅｍｂｅｒ ａｎｄ ｓｏ Ｆ ＝＞ ０ ｃａｎｎｏｔ ｅｘｉｓｔ．

ｉｓ ｎｏｔ

ｈａｓ

－ｒ－＞ｘ

ｓｏ

ａｌｏｎｇ

ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ． Ｂｕｔ Ｆ

ｔｈｅ ｓｅｔ

｛Ｙ ＼

Ｙ Ｃ＼ Ｆ

＝

０｝

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ １．４．１１

（１）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａｎｙ ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ

ｆｏｒ ａｌｌ

ｘ Ｇ

Ｘ， ｔｈｅｒｅ ｉｓｘＧＸ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ ｙ Ｇ Ｘ ｘ

ｓｏｍｅ

（２）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ａ

Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ，

ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ

＿Ｌ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｘ，ｙ Ｇ

－ｉ－＞ｘ Ａ

ｘ

Ａｙ

＝

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｆｆ

ｈａｖｅ

ｂ

ｆｉｘｅｄ ｂ Ｇ Ｘ．

ｆｏｒ

ｘ ＝＞

ｉｆｆ

＜ｙ

ｗｅ

ａ

－ｉ－ｉｙ．

Ｘ， －＞（ｘ

ｘ Ｇ

Ｖ

ｙ）

Ｘ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ＝

－＞ｘ

Ａ －＞ｙ ａｎｄ

－＞ｘ

－＞－？（ｘ Ａｙ）

ｄｅｆ ＝

＝

２４

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

１．５

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．５．１ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

Ｄｏｍａｉｎ

Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ

ａ

ｄｏｍａｉｎ．

Ｏｒｄｅｒ，

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

Ｔｈｅｏｒｙ

ａ

ｐｅｒｖａｄｅｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ ｎｏ （ｆｉｘｅｄ）

ｄｏｍａｉｎ

ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅｓ， ｙｅｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

１．

Ａ ｄｏｍａｉｎ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ｈａｓ

ｃｏｍｅ

ｔｏ

ｆｏｒｍａｌ ｍｅａｎ ａ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｊｏｉｎｓ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ｋｉｎｄｓ ａｒｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｅｘｉｓｔ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｃｐｏｓ ａｎｄ ｄｃｐｏｓ ｍａｙ ｂｅ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ａｓ ｄｏｍａｉｎｓ． Ｄｏｍａｉｎｓ ａｒｏｓｅ ｆｒｏｍ ａｔｔｅｍｐｔｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｔｏ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅｌｙ ｄｅｆｉｎｅｄ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ， ａｎｄ ｗｅ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ａ ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ （ｓｏｍｅ ｏｆ） ｔｈｅ ｋｅｙ ｉｄｅａｓ． ｐｏｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

ｓｏｍｅ

ｋｉｎｄ ｏｆ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ Ｐ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ａ ｄａｔａｔｙｐｅ Ｄ ａｎｄ ｒｅｔｕｒｎｓ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ａ ｄａｔａｔｙｐｅ Ｄ＇． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｕｓ ｍｏｄｅｌ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ Ｐ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ［Ｐ］， ｆｒｏｍ ａ ｓｅｔ ［Ｄ］ ｗｈｉｃｈ ｍｏｄｅｌｓ Ｄ ｔｏ ａ ｓｅｔ ＼Ｄ＇＼ ｗｈｉｃｈ ｍｏｄｅｌｓ Ｄ＇． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｄａｔａ ｉｔｅｍｓ ｛ｄｉ ｜ ｉ Ｇ Ｎ｝ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｙｉｅｌｄｓ ｍｏｒｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ａｎｏｔｈｅｒ ｄａｔａ ｉｔｅｍ ｄ—ｗｅ ｃａｎ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ａｓ ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ Ｐ． Ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｔｈｅｎ ｍｏｄｅｌ ｔｈｉｓ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ［Ｄ］ ｔｏ ｂｅ ａ ｐｏｓｅｔ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｄａｔａ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ， ｉｆ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｃｈａｉｎ， ｓａｙ ｛［ｄｉ］ ｜ ｉ ／｝ ｉｎ ［Ｄ］， ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｔｅｍ ｄ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｉｎ ｓｈｏｕｌｄ ｅｘｉｓｔ ａｎｄ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ａ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ， ［Ｄ］ ｗｏｕｌｄ ｔｈｅｎ ｂｅ ｏ；－ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｉｆ ｗｅ ｐｅｒｆｏｒｍ ｍｏｒｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐ， ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｈｏｐｅ ｔｏ ｇｅｔ ａ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ｏｕｔｐｕｔ． Ｉｎ ｏｕｒ ｍｏｄｅｌ， ｔｈｉｓ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｔａｎｔａｍｏｕｎｔ ｔｏ ａｓｋｉｎｇ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ［Ｐ］ ｔｏ ｂｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ． Ｆｕｒｔｈｅｒ， ｉｆ ｔｈｅ ｃｈａｉｎ ｛［ｄｉ］ ｜ ｉ Ｎ｝ ｉｓ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ （ｄａｔａｔｙｐｅｓ） ｛ｄｉ ｜ ｉ Ｎ｝ ｔｏ ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｔｅｍ ｄ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ Ｖ｛［＾ｔ］ ｜ ｉ Ｇ Ｎ｝， ｗｅ ｃｏｕｌｄ ａｓｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｔｅｍ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｏｕｔｐｕｔ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｛Ｐ（ｄｉ） ｜ ｉ Ｇ Ｎ｝ （ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｆｒｏｍ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｐ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ） ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｔｅｍ Ｐ（ｄ） （ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｐ ｔｏ ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｔｅｍ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ）． Ｉｎ ｏｕｒ ｍｏｄｅｌ， ｔｈｉｓ ｗｏｕｌｄ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ［Ｐ］ ｓｈｏｕｌｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｊｏｉｎｓ ｏｆ ｏ；－ｃｈａｉｎｓ． ｔｏｔａｌ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｖ｛［ｐ］（ＷＤ Ｉ Ｔｈｅ

＊

Ｎ｝

＝

［Ｐ］｛＼ｆ｛［ｄｉ］ ｜

ｉ ｅ

Ｎ｝）．

ｏｆ ｄｏｍａｉｎ

ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｒｏｓｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅｓｅ ｖｅｒｙ ｔｅｎｔａｔｉｖｅ ａｎｄ ｔｅｎｕｏｕｓ ｔｈｏｕｇｈｔｓ； ｂｕｔ ｉｔ ｈａｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｂｅ ａ ｖｅｒｙ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ｔｏｏｌ． Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ｓｏｍｅ ｍｏｒｅ ｔｈｅｏｒｙ． ｕｓｅ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒｓ ａｓ ｄｃｐｏｓ ａｎｄ ｔｏ ｅｎｃｈａｉｎ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒｓ ａｓ ｕｃｐｏｓ． Ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｄｃｐｏｓ Ｘ ａｎｄ ｙ， ／： Ｘ Ｙ， ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｘ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ／ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ａｎｄ ｉｆ Ｄ Ｃ Ｘ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ， ｔｈｅｎ ｆ（＼ｆ Ｄ） ＝＼ｆ ｆ（Ｄ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｅｘｉｓｔｓ ｆｏｒ ／ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ． Ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｕ ｅｐｏｓ ｉｓ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

—？

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

１．５．

Ｄｏｍａｉｎ

Ａ

２５

Ｔｈｅｏｒｙ

ｄｃｐｏｓ （ｗｃｐｏｓ） ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｂｅ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ａｓ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ （ｕｊ－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ） ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｄｃｐｏｓ （ｕ；ｃｐｏｓ）． Ｉｆ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｂｏｔｈ ｈａｖｅ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｔｈｅｎ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／： Ｘ Ｙ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｓｔｒｉｃｔ ｉｆ ＿Ｌ Ｉｆ Ｘ ｉｓ ａ ｄｃｐｏ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ａ ｉｓ ａ ｓｕｂ－ｄｃｐｏ ｏｆ Ｘ ｉｆ Ａ Ｃ Ｘ， ａｎｄ ／（＿Ｌ） ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｓｕｂｓｅｔ Ｄ Ｃ Ａ ｗｈｅｒｅ Ｄ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｉｎ Ｘ， ｔｈｅｎ ＼ｆｘ Ｄ ｅ Ａ． Ｔｈｕｓ ｉｆ Ａ ｉｓ ａ ｓｕｂ－ｄｃｐｏ ｏｆ Ｘ ａｎｄ Ａ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ｆｒｏｍ Ｘ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ａｎａｌｏｇｏｕｓｌｙ．

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｏｆ

—？

＝

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉ： Ａ

ｄｃｐｏｓ，

Ａ Ｃ

Ｘ ｉｓ

—＊■

Ｘ， ａｎｄ ｉ： Ａ

ａ

Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ ａｎｄ Ｘ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ａ ｉｓ

Ｘ ｉｓ

—？

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

Ｒｅｍａｒｋ １．５．２

Ｄ ｉｎ Ｘ ｅｘｉｓｔｓ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

ａ

ｐｏｓｅｔ ａｎｄ Ｄ

ａ

ｓｕｂ－ｄｃｐｏ

ａｒｅ

ｏｆ Ｘ．

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ｉｆ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ｏｆ

ａ

＼ＪｘＤ ｆ°ｒ ｉｔ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ＼ｆｘ Ｄ． Ｔｈｉｓ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｌａｔｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｗｈｅｎ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｅｔｓ ｗｉｌｌ ｐｌａｙ ａ ｃｒｕｃｉａｌ ｒｏｌｅ， ａｎｄ ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｊｏｉｎｓ ｆｏｒｍ ｏｔｈｅｒ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｊｏｉｎ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ＼ＪｘＤ １Ｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｄ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ． ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．５．３

（１） Ａｎｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅ （２） Ａｎｙ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ

ａｎｔｉ－ｃｈａｉｎ ｉｓ

ａ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

ｄｃｐｏ

ａ

ａｎｄ

ｄｃｐｏ

ａｎｄ ａｎｙ ｐｏｓｅｔ

ａｎ

ｏ；ｃｐｏ．

ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ （ＡＣＣ）

ｉｓ

ａ

ｄｃｐｏ．

ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ Ｓｕｂ（Ｇ） ｏｆ ａｎｙ ｇｒｏｕｐ Ｇ ｉｓ ａ ｄｃｐｏ． Ｆｏｒ ｌｅｔ Ｈ Ｃ Ｓｕｂ（Ｇ） ｂｅ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｇ， ｓａｙ Ｈ ｛Ｈｉ ＼ ｉ Ｇ ／｝． Ｉｆ （Ｊ Ｗ ｉｓ ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒｌｙ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ｏｆ ７｛． Ｂｕｔ ｉｆ ｇ， ｈ Ｇ Ｕ Ｗ ｔｈｅｎ ｇ Ｇ Ｈｉ ａｎｄ ｈ Ｇ Ｈｊ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｉ， ｊ Ｇ ／， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｐ／ｉ＿１ Ｇ ＃＊ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｆｃ Ｇ ／ ｂｅｃａｕｓｅ （３）

Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｆ

＝

７ｉ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ． Ｓｏ ｏｆ

（４）

Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｐｏｓｅｔ Ｘ ａｎｄ

（ｉ，ｊ）

ｉ—？

Ｘ（ｉｊ）

ａ

Ｌｅｔ ／ ｂｅ

ｔｈｅｙ

ａｒｅ

ｓｏ

ａ

ａ

Ｕ＾

ｏｎ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｉｎ

Ｘ，

Ｓｕｂ（Ｇ）．

ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｌｏｓｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ

ｄｃｐｏ．

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｐｏｓｅｔ， Ｘ

ａ

ｐｏｓｅｔ， ａｎｄ ／：／

ｘ

／

—？

Ｘ，

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｐｕｔ

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ａｎｄ

ａｎｄ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｃ

ａ

ｏｆ Ｘ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ｉｓ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ １．５．４

｜ＪＷ，

ｇ／ｉ－１

ｃｏｕｒｓｅ

ａｌｌ

ｘ

＝

ｘ＇

＝

ｘ＂

＝

ｘ

＼／｛＼／｛ｘ｛ｉ，ｊ）＼ｊｅｌ｝＼ｉｅｌ｝ ＼／｛＼／｛ｘ（ｉｊ）＼ｉ ｌ｝＼ｊ ｌ｝ Ｖ（ｘ（ｍ） Ｉ （？，？）

（ｘ＇） ｅｘｉｓｔｓ，

ｔｈｅｎ

ｓｏ

／ ｘ

ｄｏ ｔｈｅ

／｝ ｊｏｉｎｓ ｘ＇ ａｎｄ ｘ＂ （ｘ ａｎｄ ｘ＂），

ｅｑｕａｌ． Ｌｅｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｂｅ

ｄｃｐｏｓ （ｗｃｐｏｓ）． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ ＝＞ Ｙ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ Ｖ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ （ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ ／ ＜ ＜７ ｉｆｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｉ６ｌｗｅ ｈａｖｅ ／（ｊｃ） ＜ ｇ（ｘ） ｉｎ Ｙ） ｉｓ ａ ｄｃｐｏ （ｗｃｐｏ）． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．５

—？

２６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｐｒｏｏｆ

Ｌｅｔ

｛ｆａ ＼

ｉ Ｇ

／｝

ｂｅ

Ｙ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｆ｛ｘ） ／： Ｘ Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／ ｉｓ —？

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ

Ｕ｛／ｉ（＃） ｜？

＝

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

Ｇ

／｝，

＝＞

ｆｏｒ ａｌｌ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ Ｄ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｉｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａ

ｄｃｐｏ．

ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ； ｂｕｔ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｊｏｉｎ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｆａ ｉｓ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ／

｜＿ＫＬＫ／＜（？０ ＼ｄｅＤ｝＼ｉｅｉ｝

ａ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ Ｖ ｉｓ

ｔｈｅ

／ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｅａｃｈ

Ｙ． Ｄｅｆｉｎｅ

ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｉｆ

ＵＵＭＭ ＼ｉｅｌ｝＼ｄｅＤ）

＝

ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｅｘｅｒｃｉｓｅ １．５．４．

ｅｑｕａｌｉｔｙ

□

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ １．５．６

（１） Ｓｕｐｐｏｓｅ ａ

ｔｈａｔ Ｄ ｉｓ

ａｎ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ａ

Ａ ｌｅａｓｔ

ｏ；ｃｐｏ ｗｉｔｈ

ａ

ｆｉｘｐｏｉｎｔ ｏｆ ／

ｂｏｔｔｏｍ ｉｓ

ｅｌｅｍｅｎｔ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｆ：Ｄ—＞Ｄｉｓ

ｅｌｅｍｅｎｔ

ａｎ

ｘ Ｇ

Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｘ

＝

ｆ（ｘ）．

／ ｉｓ ｓｕｃｈ ａｎ ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｆｉｘｐｏｉｎｔ ｄ ｏｆ ／， ｘ ＜ ｄ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ／ ａｌｗａｙｓ ｈａｓ ａ ｌｅａｓｔ ｆｉｘｐｏｉｎｔ ａｎｄ ｆｉｎｄ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔ； ｒｅｃｏｇｎｉｓｅ ｔｈａｔ ａｎｙ ｓｕｃｈ ｌｅａｓｔ ｆｉｘｐｏｉｎｔ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ． Ｈｉｎｔ： ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆ ｏｎ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ＿Ｌ ｏｆ Ｄ．

（２）

ｆｉｘｐｏｉｎｔ

Ｌｅｔ Ｄ ｂｅ

ｏｆ

ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｙ： （Ｄ ＝＞■ Ｄ） —？ Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ／ Ｇ Ｄ ＝＞ Ｄ， Ｙ（ｆ） ｉｓ ｔｈｅ （ｕｎｉｑｕｅ） ｌｅａｓｔ ｆｉｘｐｏｉｎｔ ｏｆ ／． Ｕｓｉｎｇ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．５ ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ Ｄ ＝＞ Ｄ ｉｓ

ａｎ

ａｎ

ｏ；ｃｐｏ ｗｉｔｈ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｕ；ｃｐｏ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｙ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．

Ｉｔ ｉｓ ｔｉｍｅ ｔｏ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．５．７

ｇｉｖｅ

ｓｏｍｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｒｕｃｉａｌ

ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｘ ｉｓ ｉｓ

ａ

ａ

ｐｏｓｅｔ． Ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｅ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｏｓｅｔ ａｎｄ ｔｈｅ

ｄ Ｇ Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｊｈ

ｅ ＜

Ｘ． Ａ ｓｕｂｓｅｔ Ｂ ｏｆ

ａ

ｌｉｓ ｓａｉｄ

ｊｏｉｎ ＼＿＼Ｄ

ｔｈｉｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｉｎ

Ｘ，

ｉｔｓ

ｂｏｕｎｄｅｄ

ｈａｓ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｉｆ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｊｏｉｎ ｅｘｉｓｔｓ， ａｎｄ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｕｐｐｅｒ

ｉｆ

ｂｏｕｎｄ）

ｔｈｅ

ａｌｌ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｍｅｅｔｓ．

ｃｏｍｐａｃｔ ｉｆ ｗｈｅｎｅｖｅｒ Ｄ Ｃ Ｘ

ｔｏ ｂｅ

ｅｘｉｓｔｓ ｗｉｔｈ

Ｕ－＾） ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｅ ＜

ｓｏｍｅ

ａ

ｊｏｉｎ ｏｆ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｂ．

ｂａｓｉｓ ｏｆ

ａ

ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅ）．

ｘ

ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｘ

ｇｉｖｅｎ Ｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅ

Ｘ， ｔｈｅ ｓｅｔ ｛ｅ ＝

＼Ｊ｛ｅ

Ｇ Ｘ°

Ｇ Ｘ°

｜

ｅ

＜

｜ ｅ ｘ｝．

Ｃ Ｘ ａｎｄ ｘ Ｇ Ｘ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

＜

Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｘ

ｘ｝

ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｉｓ

Ｓ ＜ ｘ

（ｔｈａｔ ｉｓ，

Ｓ

ｊｏｉｎ ｏｆ Ｓ ｉｎ Ｘ ｅｘｉｓｔｓ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｈａｖｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｈｅｌｐ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａ ｌｉｔｔｌｅ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．８

ｔｈａｔ

ｄ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｘ° ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｉｓ ａ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｆ Ｂ Ｃ Ｘ° ａｎｄ

ｅｖｅｒｙ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｘ ｉｓ ｔｈｅ

（Ｃｏｍｐａｒｅ

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｍｏｒｅ

Ａ ｐｏｓｅｔ Ｘ ｉｓ ｂｏｕｎｄｅｄ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ，

ｗｈｉｃｈ

ｔｒａｃｔａｂｌｅ．

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｊｕｓｔ

ｉｎ

ｃａｓｅ

ｉｔ ｈａｓ

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

１．５．

Ｄｏｍａｉｎ

２７

Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｏｏｆ

Ｔａｋｅ Ｓ Ｃ Ｘ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ． Ｔｈｅｎ

（＝＞）

／＼Ｓ ｂｙ

＝

＼／｛ｘｅＸ ＼ｘ＜Ｓ｝

Ｌｅｍｍａ １．２．１３， ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｓｅｔ

ｂｏｕｎｄ

｛ｘ

Ｇ Ｘ

＼

ｘ

＜

Ｓ｝

ｈａｓ ｕｐｐｅｒ

Ｓ．

ｓ

（＜＝） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ ＳＣＩ ａｎｄ Ｓ ｈａｓ

＼／ｓ ｅｘｉｓｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｉｓ

ａ

ｍｅｅｔ ｏｆ

＝

ａ

ａｎ

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ． Ｔｈｅｎ

／＼｛ｘｅｘ＼ｓ＜ｘ｝

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

□

ｓｅｔ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ １．５．９

（１） ｉｓ

ｔｏｐｐｅｄ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ Ｘ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａｌｇｅｂｒａｉｃ． Ｔｈｅ

Ｎ Ｕ

＝

（２） Ｆｏｒ ａｎｙ ｓｅｔ Ｘ， ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ． Ａｌｓｏ Ｖ（Ｘ） ｉｓ ａｌｇｅｂｒａｉｃ．

（３）

Ｉｆ Ｇ ｉｓ

ａ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ

（４）

ｇｒｏｕｐ， ｔｈｅ

ｈａｓ Ｘ°

Ｖ（Ｘ）

ｐｏｓｅｔ

ａｒｅ

ｏｆ Ｇ

ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ

ａｒｅ

＝

Ｎ， ａｎｄ Ｘ

ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔ

Ｓｕｂ（Ｇ）．

Ｉｆ Ｖ ｉｓ ａｎｙ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ， ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ

（５）

｛ｏｏ｝

Ｓｕｂ（ Ｖ），

ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｆ

ｓｕｂｓｐａｃｅｓ

ｓｕｂｓｐａｃｅｓ

ｏｆ Ｖ

ａｒｅ

ｔｈｅ

ｏｆ Ｖ．

Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ Ｒ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｕｓｕａｌ ｏｒｄｅｒ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ａｎｙ ｃｏｍｐａｃｔ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ．

（６）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ａ

ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ．

Ｔｈｅｎ ｅｖｅｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｘ ｉｓ

ｃｏｍｐａｃｔ． Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．５．１０ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ？

ｉｔ ｉｓ

？

ｇｉｖｅｎ

ａ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ａ

ｓｅｔ ａｎｄ Ｆ

ａ

ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｅｎ Ｔ ｉｓ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｆ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ， ａｎｄ ａｎｙ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ Ｖ Ｃ Ｔ

（ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｒｅｇａｒｄ

．Ｆａｓａ ｐｏｓｅｔ ｖｉａ

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ）， ｔｈｅｎＵ＾ｅ＾７． Ａ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｃ

ｏｎ ａ

Ａ

＝

ｉｓ ｔｈｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

＼Ｊ（Ｂ ＼ＢＣＡ， ＼Ｂ＼

ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ ｏｆ Ｂ． Ｔｈｉｓ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｐｏｓｅｔｓ．

ｗｈｅｒｅ ｍｏｒｅ

＼Ｂ＼

ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ

ｉｓ

ｉｆ ｆｏｒ ａｌｌ ｓｕｂｓｅｔｓ Ａ Ｃ

Ｘ，

ｆｉｎｉｔｅ｝

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ａｌｌｏｗ

ｕｓ

ｔｏ

ｐｒｏｄｕｃｅ

ｓｏｍｅ

２８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．１１

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

１．

Ｏｒｄｅｒ，

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｔｃ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｌｏｓｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｅｎ Ｔｃ ｉｓ

ｗｒｉｔｅ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ Ａ Ｇ Ｔ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ｉｆｆ Ａ

Ｙ ｆｏｒ

＝

Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

ｓｏｍｅ

ａｎ

ｏｎ ａ

ｓｅｔ Ｘ ａｎｄ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ

Ｙ Ｃ． Ｘ ｗｉｔｈ

＼Ｙ＼

ｆｉｎｉｔｅ．

Ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．３．９， ｗｅ ａｌｒｅａｄｙ ｈａｖｅ Ｔｃ ｉｓ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｗｅ ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｊｏｉｎｓ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｔｃ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ Ｕ＜Ｓ． ｂｙ ｕｎｉｏｎｓ． Ｆｒｏｍ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．３．９， ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ Ｓ Ｃ Ｔｃ ｔｈｅｎ ＼ｊ Ｓ Ｐｒｏｏｆ

＝

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｓ ［Ｊ５ Ｕ＜Ｓ． Ｆｏｒ ｉｆ

｛Ａ｛ ＼

＝

ｉ Ｇ

１｝

ｉｓ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｔｃ－

ａ

Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

＝

＼ＪＳ ＼Ｊ（Ｂ ＼ＢＣ＼ＪＳ，＼Ｂ＼

ｘ

ｔｈｅｎ

ｘ Ｇ

Ｂ Ｃ

Ａｊ

Ｂ Ｃ

ｆｏｒ

Ｎｅｘｔ

ｗｅ

Ａｊ

ｓｏｍｅ

＝

ｉｓ

（Ｊ？Ｓ， ｂｅｃａｕｓｅ ｆｏｒ ａｎｙ Ｂ Ｃ ＼ＪＳ ｊ￡Ｌ Ｃ

ｆｉｎｉｔｅ｝， ｜ｉ？｜

ｈａｖｅ

ｗｅ

ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｓｔａｔｅｄ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ

ｆｉｎｉｔｅ

ｉｍｐｌｉｅｓ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｌｅｔ Ｙ

Ｃ

Ｘ，

＼ＪＳ． Ｔｈｅｎ ｙｃ（Ｊ５ａｎｄｓｏ７Ｃ Ａｊ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ＼Ｙ＼ ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ Ｙ Ｃ ＼ＪＳ ｊ ／， ｉｍｐｌｙｉｎｇ Ｙ＂ Ｃ Ａｊ Ａｊ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ Ｙ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ． Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ＝

＝

ｔａｋｅ Ａ Ｇ ＾ｃ ｃｏｍｐａｃｔ． Ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｙ． ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈａｔ ＡＣ．Ｙ ｗｉｔｈ Ｙ Ｃ Ａ ａｎｄ ＼Ｙ＼ ｆｉｎｉｔｅ． Ｓｏ Ａ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｃｌｏｓｕｒｅ

＝

Ｆｉｎａｌｌｙ， ｉｆ

ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｗｅ

ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ Ｔｃ ｉｓ

｛Ｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｏｆ

ｇｉｖｅｎ

Ｔｃ ｜

Ｅ Ｃ

Ａ）

（Ｂ ｜

＝

Ｔｃ－ Ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｓｅｔｓ

Ａ Ｇ

Ｔｃ， ｆｏｌｌｏｗｓ ｂｙ

ｅ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｗ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ， ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ

ａ

Ｂ Ｃ

ａｒｅ

Ａ， ＼Ｂ＼ ｆｉｎｉｔｅ｝

ｅｑｕａｌ，

ａｎｄ ｉｎｄｅｅｄ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔｓ □

ｒｏｕｔｉｎｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ．

Ｔｈｅｏｒｅｍ １．５．１２

（ｉ）

Ｌｅｔ Ｔ ｂｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

（ｉｉ）

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ

ｏｎ ａ

ｓｅｔ Ｘ． Ｔｈｅｎ Ｔ ｉｓ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｌａｔｔｉｃｅ．

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

Ｔｈｅｎ Ｔ

ａｎ

＝

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ Ｘｘ ｛Ｘｘ ＼ ｘ Ｇ Ｘ｝ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｎ

ｐｏｓｅｔ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ

＝

｛ｅ

ｗｈｉｃｈ

￡ Ｘ°

＼

ｅ ＜

ｒｅｇａｒｄｅｄ

ｘ｝．

ａｓ ａ

ｔｏ Ｘ．

Ｐｒｏｏｆ

（ｉ）

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．３．９ ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ Ｔ ｉｓ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ， ａｎｄ ｔｈａｔ Ｔ Ｔｃｊｒ－ Ｓｏ ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．１１， ａｌｌ ｗｅ ｎｅｅｄ ｉｓ ｔｈａｔ Ｃｊ？ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈａｔ Ｆｒｏｍ

＝

ｆ］｛Ｌ

Ｇ Ｔ

｜

Ａ Ｃ

Ｌ｝

＝

＼Ｊ｛ｆ］｛Ｌ

Ｇ Ｔ

｜

Ｂ Ｃ

Ｌ｝ ＼

Ｂ Ｃ

Ａ， ＼Ｂ＼ ｆｉｎｉｔｅ｝

Ｄｏｍａｉｎ

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

１．５．

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ Ａ Ｃ． Ｘ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａ

２９

Ｔｈｅｏｒｙ

ｒｉｇｈｔ

ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ｗｅｌｌ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｔ ｗｈｉｃｈ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

（ｉｉ）

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ；

ｗｅ

ｄｅｎｎｅｄ， ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｉｓ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｂｅｌｏｎｇｓ

ｔｏ Ｔ ｆｏｒ Ｔ ｉｓ

ａｎ

ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ．

ｓｉｍｐｌｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ Ｔ ｉｓ ａ ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ． Ｄｅｎｎｉｎｇ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｘｘ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅｎ ｑｕｉｔｅ ｅａｓｙ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ／ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｎｄ ｆ：Ｘ —＞ Ｔ ｂｙ ｆ（ｘ） ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｏｒｄｅｒ， ａｎｄ ｉｓ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ． Ｈｅｎｃｅ Ｘ ａｎｄ Ｔ ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ． Ｉｔ ｉｓ

＝

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

１｝

ｂｅ

ａ

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ Ｔ ｉｓ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｔ． Ｂｅｃａｕｓｅ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ． Ｓｅｔ ｅ ￡

Ｘｘ

ｘ

／ ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｏｒｄｅｒ， Ｄ ［＿］￡＊？ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ， ａｓ Ｄ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ，

＝

ｉｆｆ

ｅ

Ｘ° ａｎｄ

ｉｆｆ

ｅ

Ｘｘ（ｊ）．

Ｔｈｅｓｅ ｌａｓｔ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ

｛Ｘ＾ ＼ ｉ Ｇ ｛ｘ（ｉ） ｜ ｉ Ｇ ／｝ ｉｓ ａ

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ； ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ ｌｅｔ ＝

ｘ（ｉ）

ｅ ＜

ｆｏｒ

Ｕ｛＾ｘ（ｔ） ＼ｉ

ｉｍｐｌｙ

Ｅ

ｓｏｍｅ

ｉ

１｝

Ｘｘ

＝

Ｉ

（ｅ ｃｏｍｐａｃｔ

Ｊ１＂，

ａｓ

ｉｎ

Ｘ）

ｒｅｑｕｉｒｅｄ． □

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ａｒｅ ｒａｔｈｅｒ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｉｎ ｎａｔｕｒｅ， ａｎｄ ｂｙ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｓｅｒｖｅ ｌｉｔｔｌｅ ｐｕｒｐｏｓｅ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｒｕｃｉａｌ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒｓ ５ ａｎｄ ６ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｃｅｒｔａｉｎ ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｆｏｒｍ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｃａｎ ｓａｆｅｌｙ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｃｈａｐｔｅｒ ａｔ ｔｈｉｓ ｐｏｉｎｔ， ｒｅｔｕｒｎｉｎｇ ｔｏ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ． ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．５．１３

Ｔｈｅ

Ｌｅｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｂｅ

Ｌｅｍｍａ １．５．１４

ｔｈａｔ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｉ： Ｘ

Ｙ ａｎｄ

ｒ：

Ｙ

—＊

Ｘ

ａｒｅ

ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ

ｘ

Ｘ

Ｖ，

ａｎｄ ｙ

Ｔｈｅｎ

—＊

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｒ

ｌ（ｘ）

＜ ｙ

ｘ ＜

ｒ（ｙ）

ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｉｆｆ Ｉ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ．

Ｐｒｏｏｆ

（＝￥＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｒ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ． Ｔａｋｅ ｅ Ｘ° ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ １（ｅ） Ｕ｛ｙｉ Ｉ ｉ Ｇ ／｝． Ｉｔ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｅ ＜ ｒｌ（ｅ） ＜ Ｕ｛ｆ｛ｙｉ） Ｉ ＊ Ｇ ／｝ ａｎｄ ｃ ＜ ｒ（ｙｉ０） ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｚｏ Ｇ ／， ｔｈａｔ ｉｓ ／（ｅ） ＜ ｙｉ０． Ｔｈｕｓ １（ｅ） ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ． （＜＝） Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｒ（ｙ）

＝

ｙ｛ｘ

Ｇ Ｘ

＼ ｌ（ｘ）

＜

ｙ｝．

Ｉｎ ｆａｃｔ

ｓｌｉｇｈｔｌｙ

ｍｏｒｅ

ｎａｍｅｌｙ ｒ（ｙ）

＝

ＬＫ＊

Ｘ°

｜

ｘ

＜

ｒ（ｙ）｝

＝

＼Ｊ｛ｘ

Ｇ

Ｘ°

＼ ｌ（ｘ）

＜

ｙ｝．

＜ ｓｏ

ｉｓ ｔｒｕｅ，

３０

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔａｋｅ

ａ

｛ｙｉ ＼

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ

ｉ Ｇ

／｝

ｏｆ

Ｙ＼

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ

ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ

ｔｈｅ

ｖｅｒｉｔｙ

ｒ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｗｅ

＼Ｊ｛ｘ

Ｘ°

Ｇ

｜ ｌ（ｘ）

＼Ｊ｛Ｖｉ ｜

＜

％

Ｆｏｒ ａｎｙ

Ｇ Ｘ° ａｎｄ

ｘ

｜＿｜｛＊

Ｘ°

／｝｝

ｉ

＝

ＬＫＬＫ＊

Ｘ°

｜ ｌ（ｓ）

ｖ

ｖ

Ｂ

Ｇ ／ ｗｉｔｈ

Ｚ（ｘ）

Ｖｉ｝

＼Ｊ｛ｘ

Ｘ°

Ｘ°

｜ ｌ（ｓ）

｜ Ｊ（ｓ）

＜

＜

／｝

ｔ

ｌ（ｘ）

＜ ｙｆ ｔｈｅｎ

｜ ｌ（ｘ）

．

＇

Ａ ｚ

ｙ｛｝ ｜

＜

＞

＇

＜

＜

Ｕ｛Ｖｊ Ｉ Ｊ

Ｕ（２／ｉ Ｉ ３

－０－ ／｝｝

＝

Ｈｅｎｃｅ

｜＞

ａｎｄ ｔｈｕｓ

Ｕ５ Ｔｈｕｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａ

Ｇ

ＬＫＬＫ＊

＝

＼ＪＡ

＝

＼ＪＢ，

Ａ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｂ Ｇ Ｂ ｗｉｔｈ

Ｔｈｅｎ

＼Ｊ｛ｘ

Ｌｅｍｍａ １．５．１５

Ｌｅｔ

ｌａｔｔｉｃｅｓ．

／

Ｇ Ｘ°

ｅｎｏｕｇｈ

ｎｏｗ

ｔ

Ｇ

／｝

＜

＼ ｌ（ｘ）

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

ｙ ｆ：Ｘ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ ｊｕｓｔ

Ａ ｒｏｕｔｉｎｅ

ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ

＜

ｂｅ

—？

ｉｎ

Ｙ， ａｎｄ

ｙｉ０｝ ａ

Ｕ＾．

ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔ

６． Ｔａｋｅ ￡ Ｇ Ｘ° ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ｉｎ

ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ／（＃）

Ｔｈｕｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｘ ＜

ａ ＜

ｉｔ ｉｓ

ｙｉ｝ ｜

＜

ｓｏ

ｌ（ｘ）

Ｇ Ｂ． Ｔｈｕｓ

ｒ

Ｚ（ｘ）

＜

＼Ｊ｛ｙｉ Ｉ

＜ ｙｉｏ ｆｏｒ ｓｏｍｅ

／

ｉｏ

Ｇ ／．

□

ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｃａｓｅ

／｝．

＊

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｊｏｉｎｓ ａｎｄ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｊｏｉｎｓ． ＰＲＯＯＦ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ １．５．１６

Ｗｏｒｋ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．５．１７

ｔｈｒｏｕｇｈ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｌｅｍｍａ １．５．１５．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ． Ｔｈｅｎ ａ ｓｕｂｓｅｔ ／ Ｃ Ｘ ｊｏｉｎｓ ａｎｄ ｉｓ ｄｏｗｎ ｃｌｏｓｅｄ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｉｓ

□

ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

ａ

ｉｓ

ａｎ

ｔｈａｔ Ｘ

ｉｄｅａｌ ｉｆ Ｊ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ｕｎｄｅｒ ｆｉｎｉｔｅ

Ｊ，

？

±ｘ

？

ｘ，ｙ ｅ Ｉ

？

ｘ＇

ｉｍｐｌｉｅｓ ｘＶｙ

＜ ｘ Ｇ ／

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｉｍｐｌｉｅｓ ｘ＇

Ｇ

／， ａｎｄ

Ｇ ／．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ：

ＰＲＯＰＯＳＩＴＩＯＮ １．５．１８

Ｓｕｐｐｏｓｅ Ｘ

ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ

＝ｆ ｛／Ｃ Ｘ ｜ Ｊ ｉｓ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ ｏｆ ｉｄｅａｌｓ ｏｆ Ｘ ｉｓ

ａ

ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ

ａｎ

ａｎｄ ｌｅｔ

ｕｓ

ｗｒｉｔｅ

ｉｄｅａｌ｝．

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｈｅｎ ｒｅｇａｒｄｅｄ Ａ ｉｓ ａｓ ａ ｐｏｓｅｔ ｖｉａ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ． Ｉｆ Ａ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ ／： Ｘ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｊｏｉｎｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎ

—＊■

ｊ：Ｘ－＞Ａ

Ｉ

￣

［｝Ａ｛ｆ｛ｘ）

｜

ｘ Ｇ

／｝

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

１．５．

Ｄｏｍａｉｎ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ ｉｎ Ｘ．

３１

Ｔｈｅｏｒｙ

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｉｆ Ｙ ｉｓ ａｌｓｏ

ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｊｏｉｎｓ

ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ， ａｎｄ ／： Ｘ

ｊｏｉｎｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

￣ｆ：Ｘ＾Ｙ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ

ａ

／

￣

ａ

—＊■

Ｙ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

｜Ｊ｛／（＊Ｈ Ｉ

＊

７｝

ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ

ｉｎ Ｘ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ

Ｘ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃａｌｌ ／ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｌｉｆｔｉｎｇ． Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ

ＰＲＯＯＦ

Ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｓ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ，

｛Ｊ－ｘ｝－

Ｉｆ

｛ｈ Ｉ

ｓ

Ｇ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｘ ｈａｓ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ．

ｗｅ

Ｓ｝

Ｃ Ｘ ｉｓ

ａ

ｎｏｎｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ

Ｘ， ｔｈｅｎ

ｆ］｛Ｉｓ ｜ ｓ Ｇ Ｓ｝ Ｇ Ｘ， ａｓ ｗｅ ｎｏｗ ｃｈｅｃｋ． Ｊ＿ｘ Ｇ Ｉｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓ Ｇ Ｓ， ａｎｄ ｉｆ ｘ，ｙ Ｇ ｆ｜｛７ｓ Ｉ ｓ Ｇ ５｝， ｔｈｅｎ ｘ ａｎｄ ｙ ａｒｅ ｉｎ ｅａｃｈ ｉｄｅａｌ ７Ｓ， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｘ Ａｙ ｉｓ ｉｎ ｅａｃｈ ｉｄｅａｌ； ｔｈｕｓ ｆ｜｛７ｓ ｜ ｓ Ｇ ５｝ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ｕｎｄｅｒ ｆｉｎｉｔｅ ｊｏｉｎｓ． Ｉｔ ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ ｔｒｉｖｉａｌ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｆ）｛Ｉｓ ＼ ｓ Ｇ Ｓ｝ ｉｓ ｄｏｗｎ ｃｌｏｓｅｄ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｉｔ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｈａｓ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ Ｗｅ ｒｅｍａｒｋ ｔｈａｔ ｉｆ

｛Ｉｓ ｜

Ｇ

ｓ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

Ｓ｝

Ｃ Ｘ ｉｓ

＼Ｊ｛ＩＳ ｜ ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｊｏｉｎｓ

ｍｅｅｔ．

ｓ

Ｇ

ａ

Ｓ｝

ｄｉｒｅｃｔｅｄ Ｇ

ｓｕｂｓｅｔ， ｔｈｅｎ

Ｘ，

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｕｎｉｏｎ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｔｈｉｎｇ ｔｏ ｃｏｍｍｅｎｔ ｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｂｉｎａｒｙ ｊｏｉｎ． Ｉｆ ｘ， ｙ Ｇ ＼ｊ｛Ｉｓ ｜ ｓ Ｇ ５｝， ｔｈｅｎ ｘ Ｇ Ｉ￥ ａｎｄ ｙ Ｇ ７Ｓ＞ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｓ， ｓ＇ Ｇ ５． Ｂｙ ｄｉｒｅｃｔｅｄｎｅｓｓ， ｛Ｉｓ， Ｉｓｆ｝ Ｃ ７Ｓ／／ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｓ＂ Ｇ ５． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｅａｓｉｌｙ ｔｈａｔ ｘＶｙＧ ＼Ｊ｛ｈ Ｉ ５ Ｇ ５｝． Ｗｅ

ｕｓｅ

ｉｎ Ｘ

ａｒｅ

Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔ ｔｈｅ ｉｄｅａｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （Ｖ－Ｆ）ｌ ｗｈｅｒｅ Ｆ ＣＪ Ｘ ｉｓ ａ

ｔｈｉｓ ｒｅｍａｒｋ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ

ａｒｅ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ

ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ

ｏｆ Ｘ．

ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ＼ ｉｆ Ｆ ｃＪ Ｘ ｔｈｅｎ ｓｅｎｓｅ． ｕｓ ｓｅｅ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ＼ｌ Ｆ ｅｘｉｓｔｓ ｉｎ Ｘ， ｓｏ ｔｈｉｓ ｍａｋｅｓ Ｉｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ ｏｆ Ｘ ｉｓ ｖｉｒｔｕａｌｌｙ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ； ｌｅｔ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ：

（＝＞） Ｌｅｔ Ｆ Ｃｆ Ｘ ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

｛／， ｜ ｉｓ ｓ

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ．

ｗｉｔｈ Ｆ Ｃｆ

Ｃｌｅａｒｌｙ

５ Ｇ

（Ｖ Ｆ）ｌ

Ｓ｝

Ｃ

＼Ｊ｛Ｉ￥ ＼

ｓ

Ｇ

Ｓ｝

ｗｈｅｒｅ

Ｘ

Ｆ ｃＪ

Ｉ￥． Ｔｈｕｓ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ

Ｃ

（Ｖ Ｆ）［， ａｎｄ ｂｙ ｔｈａｔ （Ｖ Ｆ）［ Ｃ Ｊｓ，

ｄｉｒｅｃｔｅｄｎｅｓｓ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｄ

ｓｏ

（Ｖ－Ｆ）ｌ

ｓｏｍｅ

ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ

ｉｎＸ．

（＜＝） Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

ｉｆ Ｅ Ｇ Ｘ ｉｓ

ａ

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ， ｔｈｅｎ

ＥＣ（Ｊ｛（＼ｊＦ）ｌ＼ＦｃｆＥ｝， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｓｏｍｅ

Ｆ Ｃ＊ Ｅ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｅ Ｃ

（Ｖ Ｆ）［．

Ｈｅｎｃｅ Ｅ

＝

（Ｖ－Ｆ）ｌ，

ａｓ

３２

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ， ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｈｅｌｐｆｕｌ

Ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｅｘｔ

ｊｏｉｎ

ｏｆ ｉｄｅａｌｓ ／ ａｎｄ Ｊ ｉｎ Ｘ ｉｓ Ｋ

Ｔｏ

ｘ， ｘ＇ Ｇ ／ ａｎｄ ｙ，

ｓｏｍｅ

ｙ＇

ｂｉｎａｒｙ ｊｏｉｎｓ，

｛ｚ， ｚ＇｝

Ｇ Ｊ． Ｔｈｅｎ

ｔｈａｔ ｗｅ

／

ｔｈａｔ

／

＜

（ｘ

ａｎｄ ｚ＇ ＜ ｘ＇ Ｖ

＜ ｘ Ｖ ｙ

ｚ

ｘ＇） Ｖ（ｙＶ ｙ＇）

Ｖ

ａｎ

ｙ＇

ｆｏｒ

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｂｉｎａｒｙ ｊｏｉｎｓ．

ｉｄｅａｌ ａｎｄ ｉｓ ／ Ｖ Ｊ

ａｒｅ

Ｔｈｅ

ｏｍｉｔｔｅｄ．

ｊｏｉｎｓ， ｗｅ ａｐｐｅａｌ ｔｏ Ｌｅｍｍａ １．５．１５． Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｃｈｅｃｋ ｊｏｉｎｓ． Ｔａｋｅ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ Ｄ ｛Ｉｓ ＼ ｓ Ｇ Ｓ｝ Ｃ Ｘ；

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｈａｖｅ ｔｏ

ｔａｋｅ

／ ａｎｄ Ｊ ｂｏｔｈ ｈａｖｅ

ｂｉｎａｒｙ ｊｏｉｎｓ ｅｘｉｓｔ ｉｎ Ｋ ｂｅｃａｕｓｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｅｔａｉｌｓ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｋ ｉｓ ｓｅｅ

ｂｉｎａｒｙ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｄｅｄｕｃｅ

Ｔｏ

ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ＩＶＪｄ＾｛Ｊ｛（ｘＳ／ｙ）ｌ＼ｘｅＩ，ｙｅＪ｝．

＝

ｔｈａｔ Ｋ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ｕｎｄｅｒ

ｓｅｅ

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

＝

ｔｈａｔ

ｖｅｒｉｆｙ

ＬＫ／（＊）ｌ＊ｅｌＭ ｙ

＝

＇

ｖ

ＬＫＬＫ／ｔｏ Ｉ

＊

ｉ．｝ Ｉ

ｅ

＞ ｅ

ｓ｝

Ｕ

Ｕ｛／（＊）ｌｓｅＳ，ｘＧ／ｓ｝．

＝

％

＇

ｖ

Ｖ

Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｖ ＜ Ｔｈｅｎ

ｘ

ｅ＼ＪＤ

＝

＼ＪＵ， ｔａｋｅ ／（ｘ） ｆｏｒ ａｎｙ ｓ ￡ Ｓ ａｎｄ ｘ Ｇ ７Ｓ （ｔｈａｔ ｉｓ ／（ｘ） Ｇ Ｖ）． ｛ＪＤ，ｓｏ ／（ｘ） Ｇ ｔ／ ＜ ｜＿ｌ＾－ Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｕ ＜ ＼ＪＶ ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ

ｅａｓｙ． Ｎｏｗ

ｗｅ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

／

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｊｏｉｎｓ． Ｆｉｒｓｔ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｆ（｛±ｘ｝）＝＼Ｊ｛ｆ＾ｘ）｝＝ｆ（±ｘ） Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ

ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ

／

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

ａｂｏｖｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ／ Ｖ Ｊ，

ＬＫ／Ｍ Ｉｚ

ｅ

ｗｅ

＝

±Ａ．

ｂｉｎａｒｙ ｊｏｉｎｓ． Ｇｉｖｅｎ ｉｄｅａｌｓ ／ ａｎｄ Ｊ， ａｎｄ ｔｈｅ

ｎｅｅｄ

ＵＫ＊ ｖｙ）ｉ＼ｘｅＩ，ｙｅＪ｝｝ ＼Ｊ｛ｆ（ｘ） Ｉ ６ ／｝ Ｖ ｜＿｜｛／（？） Ｉ ＝

ｘ

Ｔｈｉｓ

ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｅｑｕａｌｉｔｙ

ｖｅｒｉｆｙ

ａｎｄ

ｗｅ

ｙ

Ｊ｝．

ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ．

［：Ｙ —？ Ｙ， ｗｈｅｒｅ ｙ ＊－＊ ｙ｜， ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ， ｍｏｎｏ－ ｄｅｆ ｜ ｏ ／． Ｉｔ ｏｎｌｙ ｊｏｉｎｓ； ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ／

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—＇

—

ｔｏｎｅ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

＝

ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ， ｗｅ ｈａｖｅ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

／

７（（＼ｊＦ）ｌ） ａｎｄ

ｓｏ ｗｅ ａｒｅ

ｄｏｎｅ．

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

＝

｛Ｊ｛ｆ（ｅ）ｌ ｜

ｅ

６

（＼ＪＦ）ｌ｝

＝

（ｆ（＼ｆＦ））ｉ □

１．６．

３３

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

ｔｈａｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ １．５．１９

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ， ｊｏｉｎｓ ａｎｄ ａｌｓｏ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ

ａｒｅ

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ａｌｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ６： Ｘ° Ｙ）， ａｎｄ ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ ａｎｄ ｔｈａｔ

／： Ｘ

Ｙ ｉｓ

—＞

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＝

（ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

Ｘ： ６￣ｌ

ｆｏｒ

ｉ°＾＾ｙ° １

ｉ

▲

ｉ

ｅ－１ ｆ

ｙ

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｅ ＜

＼

ｆ

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ ｉｓ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ° ｏｆ

ａ

ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ．

ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ Ｘ° （ｓｉｍｉｌａｒｌｙ Ｙ°） ｉｓ ａ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ； ｈｅｎｃｅ ／ ｒｅｓｔｒｉｃｔｓ ｔｏ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／： Ｘ° —＞ Ｙ° ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｉｄｅａｌ ｌｉｆｔｉｎｇ ／： Ｘ° Ｆ°． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ６： Ｘ° Ｘ ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ Ｊ ？－？ Ｖ ／ ａｎｄ ０＂１： Ｘ Ｘ° ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ￡ ｉ—？ ｛ｅ Ｘ° ｜ ｅ ＜ ｘ｝ ｗｈｅｒｅ ｘ Ｇ Ｘ． Ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ □ ｔｈｅｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｉｔ ｉｓ

Ｐｒｏｏｆ

ｓｉｍｐｌｅ

ｔｏ

—？

－？

Ｆｉｌｌ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ １．５．２０

Ｗｅ ｅｎｄ ｔｈｉｓ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ １．５．２１

ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ

－？

ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔｈｉｎｋ ｏｆ ａｓ ｍａｎｙ ｄｒａｗ ｐｉｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｙｏｕｒ ｄｏｍａｉｎｓ．

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ

ｄｃｐｏ

ａ

ｗｉｔｈ

ａ

ｂｏｔｔｏｍ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｏｆ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ

ａｓ

ｙｏｕ

ｃａｎ—

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｄ ｛（Ａ，Ｂ） ＼ Ａ Ｃ Ｎ，Ｂ Ｃ Ｎ， Ａ ｎ Ｂ ０｝ ｏｒｄｅｒｅｄ ａ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｖ（Ｎ） ｘ Ｖ（Ｎ）． Ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ＝

ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｄ．

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔ． —＊■

ｓｅｔ

｛＿Ｌ，１，２｝

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｄ

＝

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｄ ｉｓ ｗｈｅｒｅ １ ａｎｄ ２ ＝

Ｎ

＝＞

Ｐ，

ｄｃｐｏ． Ｌｅｔ Ｐ ｂｅ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ ｉｎｃｏｍｐａｒａｂｌｅ ａｎｄ ＿Ｌ ｉｓ ａ ｂｏｔｔｏｍ

ａ

ａｒｅ

ｗｈｅｒｅ Ｎ

＝＞

Ｐ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｐ ｏｒｄｅｒｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ．

（２） Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａｎｙ ｐｏｓｅｔ． Ａ ｓｕｂｓｅｔ Ｓ Ｃ Ｘ ｉｓ ｉｎ Ｘ ａｎｄ ａｌｓｏ Ｓ Ａ

１．５．１９．

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

１．６

Ｎ

ａ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｄ ａｌｇｅｂｒａｉｃ．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ １．５．２２

ａｓ

ｗｉｔｈ

ｏｆ

ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ． Ａ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ｉｓ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｌｓｏ ｂｏｕｎｄｅｄ

（１）

ｐｒｏｏｆ

ｄｃｐｏ

＝

Ｆ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

＼Ｊ｛ｓ［ Ｉ ａ

ｓ

Ｇ

Ｓ｝．

ａ

ｐｏｓｅｔ－ｉｄｅａｌ

ｏｆ Ｘ ｉｆ Ｓ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

Ｗｒｉｔｅ Ｘ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｆｒｅｅ ｄｃｐｏ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

Ｘ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｐｏｓｅｔ－ｉｄｅａｌｓ

ｏｆ Ｘ．

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

３４

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＜ｊ＞：Ｘ —＊■ Ｃ ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ｄｃｐｏ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （／＞： Ｆ —＞ Ｃ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ＜ｆ＞ ４＞ｌ：

ｔ：Ｘ ａ

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

１．

—＊■

Ｆ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

＝

（ａ） Ｉｆ Ａ＂ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

（ｂ）

Ｇｉｖｅｎ

ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ， ｐｏｓｅｔ－ｉｄｅａｌｓ ｏｆ Ｘ． ａ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｄｅａｌｓ ｏｆ Ｘ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ

ｐｏｓｅｔ Ｘ， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａｎｙ ｔｗｏ ｆｒｅｅ ｄｃｐｏｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ Ｘ

ａ

ａｒｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ． （ｃ） Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｐｏｓｅｔ－ｉｄｅａｌｓ ｏｆ Ａ＂ ｉｓ ａ ｄｃｐｏ ｗｈｅｎ ｏｒｄｅｒｅｄ ｂｙ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ７： Ｘ Ｘ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ７（２） ｘ［ ｉｓ ｛ｙ Ｇ Ｘ ＼ ｙ ＜ ｘ｝ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ， ａｎｄ ｉｓ ｂｏｔｈ ｏｒｄｅｒ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ａｎｄ ｏｒｄｅｒ ｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｄｃｐｏ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｓ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ７（Ａ）． Ｈｉｎｔ： ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ Ｉ ｉｓ ａｎｙ ｐｏｓｅｔ－ｉｄｅａｌ ｏｆ Ｘ， ｔｈｅｎ Ｉ ＼Ｊ｛ｙ Ｇ Ｘ ＼ ３ｘ Ｇ Ｉ．ｙ ＜ ｘ｝． —＊■

＝

＝

＝

（ｄ）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ａ＂ ｉｓ

（３）

Ｌｅｔ Ｄ ａｎｄ Ｅ ｂｅ ｏ；ｃｐｏｓ ｗｉｔｈ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ

Ｅ

ａ

ｆｒｅｅ

ｄｃｐｏ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

Ｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｌｅｔ ｈ：Ｄ

—？

ｂｙ （ｄ， ｅ） ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｘ

（ｆ｛ｄ， ｅ），ｇ（ｄ， ｅ）） ｗｈｅｒｅ （ｄ， ｅ） （ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｈａｓ ａ ｌｅａｓｔ ｆｉｘｐｏｉｎｔ：

Ｅ

Ｘ．

Ｄ

—？

ｆｉＤｘＥ＾Ｄ

ｘ

ａｎｄ

ｇ：Ｄ

ｘ

Ｅ ｂｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｄｘ Ｅ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｈ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｉ－＊－

ｓｅｅ

１．５．６）．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

（ｆ＞ｅ： Ｄ —＞ Ｄ， ｄ １—？ ｆ（ｄ， ｅ）， ｏｎｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅ Ｇ Ｅ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ， ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｈａｓ ａ ｌｅａｓｔ ｆｉｘｐｏｉｎｔ Ｙ（＜ｆ＞ｅ） Ｇ Ｄ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｐ： Ｅ —＊■ Ｅ， ｅ ｉ－＊－ ｐ（ｙ（０ｅ），ｅ） ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ， ａｎｄ ｈｅｎｃｅ Ｎｏｗ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｈａｓ

ａ

ｌｅａｓｔ

Ｆｉｎａｌｌｙ

（４）

ｆｉｘｐｏｉｎｔ Ｙ（ｔｊｊ）．

Ｌｅｔ Ａ＂ ｂｅ

ｗｈｅｒｅ

（ｙ（＜＾＞ｙ（＾）），ｙ（＾））

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

－＞￡

ｄｅｆ ＝

ａ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

ｘ ＝＞

ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ ｃａｌｌ

（５）

Ｌｅｔ Ａ ｂｅ

（２）

ｗｉｌｌ ｂｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ， ａｌｇｅｂｒａｉｃ．

Ｌｅｔ Ａ ｂｅ

ｅｌｅｍｅｎｔ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ

ａｎｄ Ｙ

／： Ａ

—？

ｘ Ｇ

Ａ

ｒｅｇｕｌａｒ

ｏｆ ／ｉ． ｉｆ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ａ ｉｓ

ｒｅｇｕｌａｒ ｕｓｅｆｕｌ．

ａｎ

ｔｈａｔ Ｙ ｉｓ ａｌｓｏ

（６） （ａ）

ａｎ

＿Ｌ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｌａｔｔｉｃｅ． Ｈｉｎｔ： Ｅｘｅｒｃｉｓｅ １．４．１１

ｆｉｘｐｏｉｎｔ

Ｇ Ｄ ｘ Ｅ ｉｓ ｔｈｅ ｌｅａｓｔ

ａ

—？—？ａ：

ａ

＝

￡

Ｂｏｏｌｅａｎ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ． Ｐｒｏｖｅ

Ａ ｂｅ

ａ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

Ｄｅｆｉｎｅ ｘ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｆ（ｘ）

ｔｈａｔ

ｆｉｘｐｏｉｎｔ

ｘ

ｉｓ

ａ

ｉｓ

ａｎ

ｆｏｒ

＝

＼Ｊ｛ｘｅＸ＼ｘ＜ｆ（ｘ）｝．

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ

／，

ｔｈａｔ ｉｓ

ｆ（ｘ）

＝

ｘ．

｛ｘ

Ｇ Ａ

｜

ｘ

＜

ｆ（ｘ）｝．

Ｄｅｄｕｃｅ

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

１．６．

（ｂ）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ａ Ｇ

Ａ ａｎｄ

３５

ｐｏｓｅｔ． Ａ ｌｏｗｅｒ ｓｅｇｍｅｎｔ ｏｆ Ｘ ｉｓ

ａ

Ｘ， ｔｈｅｎ

ｘ

＜

ｘ

ａ

ｉｍｐｌｉｅｓ

Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ

ｓｉｍｉｌａｒｌｙ．

Ｙ， ａｎｄ ｔｈａｔ Ｙ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ

ｔｏ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ

ａｎ

Ａｎ ｕｐｐｅｒ

Ａ

ｘ

ｓｕｂｓｅｔ Ａ Ｃ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｉｆ

ａ

ｔｏ

ａ

ｓｅｇｍｅｎｔ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｌｏｗｅｒ ｓｅｇｍｅｎｔ ｏｆ

ｓｅｇｍｅｎｔ ｏｆ Ｘ． Ｌｅｔ ／： Ｘ

ｕｐｐｅｒ

ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， ａｎｄ ｇ：Ｙ

ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

ｐｏｓｅｔ

—＊■

Ｙ ｂｅ

—？

Ｘ ｔｈｅ

ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｔ

ｏｂｖｉｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｆ ｌｏｗｅｒ ｓｅｇｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ

（ｓａｙ Ｌ（Ｘ））

ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ６：

Ｌ（Ｘ）

—＊■

Ｌ（Ｘ）

ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｙ ｏｆ ｔｈｅ ｂｙ ０（Ａ） ｄ＝ Ｘ＼ｇ｛Ｙ＼ ／（Ａ））， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｈ：Ｘ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ ａｎｄ Ｖ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｘ，ｙ ￡ Ｘ ｗｈｅｒｅ ｘ ＜ ｙ， ｔｈｅｎ ｅｉｔｈｅｒ ／ｉ（ｘ） ＜ ／ｉ（ｙ） ｏｒ ｅｌｓｅ ｈ（ｘ） ａｎｄ ／ｉ（ｙ） ａｒｅ ｉｎｃｏｍｐａｒａｂｌｅ． Ｈｉｎｔ： ｕｓｅ Ｐａｒｔ （ａ）， ａｎｄ ｂｅ ｃａｒｅｆｕｌ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ． －＋

（７） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｗｅ

ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

Ｘ ａｎｄ Ｙ

ａｎｙ

ｓｅｔｓ， ａｎｄ ｔｈａｔ ／： Ｘ

ｆ￣ｌ： Ｖ（Ｙ）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

ａｒｅ

—？

Ｙ ｉｓ ａｎｙ ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

ＰｆＸ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

—＊■

ｆ－＼Ｂ）＾｛ｘｅＸ＼ｆ｛ｘ）ｅＢ｝ ｆｏｒ Ｂ Ｃ Ｙ ａｎｄ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

３／： Ｖ｛Ｘ）

７＞（ｙ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

－？

３／（＾４） ｆｅｆ ｛／（ａ） ｜ ｆｏｒ Ａ Ｃ Ｘ． Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｘ

ｆ：Ｘ ／＊（／）

—＞

＝

Ｙ ｂｅｔｗｅｅｎ

｛ｘ

ｅ

Ｘ

（ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ Ｙ）．

ｄｃｐｏｓ，

｜ ｆ（ｘ）

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

１｝

ｅ

ａ

Ａ｝

ａ

ａｒｅ

ｄｃｐｏｓ

ａｎｄ ｌｅｔ

Ｘ（Ｘ）

ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｗｈｉｃｈ

ｃａｎ

ｆ＊：Ｘ（Ｙ）

ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ

ｆ￣ｌ：Ｖ｛Ｙ） ＇Ｐ（－Ｘ＇） ｔｏ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔｓ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｆｒ．Ｘ（Ｘ） Ｊ（ｙ） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ —＊■

—？

ａｓ

Ｘ（Ｘ）

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ

ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｆ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

－＞

ｆｉＷ ｗｈｅｒｅ Ｔｈｅ

ａｎｄ

ｆｏｒｍａｌｌｙ ３／（７）

ｉｓ

＝

Ｃ）｛ＪｅＺ（Ｙ）＼３ｆ（Ｉ）ＣＪ｝．

３／ ａｐｐｌｉｅｄ

Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｄｃｐｏ Ｚ， ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

（ｉｄｚ

ｘ

ａｎｄ ｎ＇

ａｒｅ

ｘ

ｓｅｔ ｏｆ Ｉ．

Ｙ） －＾Ｌ Ｘ｛Ｙ） ｆ

／）＜

Ｘ（Ｚ

ｗ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｘ（Ｚ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ

ｔｏ ｔｈｅ

ｘ

Ｘ）

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ

—－

Ｘ（Ｘ）

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ，

（ａ） Ｖｅｒｉｔｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ／－１ ａｎｄ ３／ ｍａｋｅ

ｓｅｎｓｅ．

ｆ：Ｘ

—＞

Ｙ

３６

（ｂ）

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

／＊

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ

ｃａｎ

ｂｅ

１．

Ｏｒｄｅｒ， Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｄｏｍａｉｎｓ

ｓｅｅｎ ａｓ ａ

ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｆ

／

ｌ

ｔｏ

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔｓ．

（ｃ） Ｖｅｒｉｆｙ （ｄ）

ｔｈａｔ

ｆ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ．

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ

Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈｏｌｄ． Ｈｉｎｔ： ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｆ： ｛＊｝ Ｙ， ｗｈｅｒｅ （ｓａｙ） Ｖ－ Ｕｎｒａｖｅｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｓｑｕａｒｅ， ／（＊） ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒｏｐｅｒｔｙ （ｓａｙ （ｔ）ｊ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ３－ｉｒ： Ｖ（Ｚ ｘ Ｙ） Ｖ（Ｙ） ｗｈｅｎ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ｉｎｃｌｕｓｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔｓ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｄｃｐｏｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｗｉｔｈ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ Ｎｕ｛ｏｏ｝？ Ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ａｎｄ Ｂ ｔｈｅ ｔｏｐｐｅｄ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｄｃｐｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｆｒｏｍ Ａ ａｎｄ Ｂ ａｎｄ ａｓｓｕｍｉｎｇ （ｆ）， —＊■

＝

—？

ｏｂｔａｉｎ

１．１

ａ

ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

Ｂｉｒｋｈｏｆｆ＇ｓ

［Ｂｉｒ６７］

ｃｏｎｔａｉｎｓ ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｏｆ ｖｅｒｙ ｂａｓｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ａ ｓｈｏｒｔ ａｃｃｏｕｎｔ

ｔｈｅｏｒｙ

ｃａｎ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ

ｃａｎ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ １ ａｎｄ ｍｕｃｈ ｍｏｒｅ ｂｅｓｉｄｅｓ． Ｔｈｅ ＂Ｃｏｍｐｅｎｄｉｕｍ Ｌａｔｔｉｃｅｓ，＂ ［ＧＨＫ＋８０］， ｇｉｖｅｓ ａ ｓｔａｔｅ－ｏｆ－ｔｈｅ－ａｒｔ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ

Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｏｕｒ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｆｏｕｎｄ

ｔｈｅｏｒｙ

［Ｃｏｈ７９］． Ａｎ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ［ＤＰ９０］． Ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｃｏｖｅｒｓ ｍｏｓｔ ｏｆ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ

ａｓ

ｉｔ ｓｔｏｏｄ ｕｐ ｔｏ ａｂｏｕｔ １９８０．

ｏｆ

Ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ ｄｏｍａｉｎ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｙｐｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ｇｒａｔｚｅｒ ａｉｍｅｄ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｓｕｒｖｅｙ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｔｈｅ １９６０＇ｓ， ａｎｄ ｈｉｓ ｂｏｏｋ ［Ｇｒａ７１］ ｗａｓ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｇｒａｍ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｄｕｅ ｉｎ ｐａｒｔ ｔｏ ａ ｒａｐｉｄ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ ｓｈｏｒｔｌｙ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｅａｒｌｙ １９６０＇ｓ， ｓｕｃｈ ａ ｓｕｒｖｅｙ ｂｅｃａｍｅ ａ ｖｉｒｔｕａｌｌｙ ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔａｓｋ． Ｇｒａｔｚｅｒ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ［Ｇｒａ７８］ ｉｎ １９７８ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｍｏｎｏｇｒａｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ＇ｓ ｂｏｏｋ ［Ｊｏｈ８２］ ｇｉｖｅｓ ａ ｆａｓｔ ｐａｃｅｄ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｃｏｖｅｒｓ ｍｕｃｈ， ｍｕｃｈ ｍｏｒｅ． Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｌｏｃａｌｅ， ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｈｉｃｈ ｍｉｍｉｃｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅ， ｐｅｒｖａｄｅｓ ｔｈｅ ｂｏｏｋ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ａ ｖａｒｉｅｔｙ ｏｆ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ． Ｄａｎａ Ｓｃｏｔｔ ａｎｄ Ｃｈｒｉｓｔｏｐｈｅｒ Ｓｔｒａｃｈｅｙ ｐｉｏｎｅｅｒｅｄ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｎｏｔａｔｉｏｎａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅｓ． Ｔｈｅ ｐａｐｅｒｓ ［Ｓｃｏ６９ａ］，

［Ｓｃｏ６９ｂ］， ［Ｓｃｏ７０ａ］， ［Ｓｃｏ７０ｂ］， ［Ｓｃｏ７１］， ［Ｓｃｏ７６］， ［Ｓｃｏ８２］

ａｎｄ

［ＳＳ７１］

ｍａｋｅ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｈｉｓｔｏｒｉｃａｌ ｒｅａｄｉｎｇ． Ａ ｓｉｍｐｌｅ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｌｏｃａｌｅ ｔｈｅｏｒｙ， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｃｏｖｅｒｅｄ ｉｎ ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ １， ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ［Ｖｉｃ８９］． Ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｉｓ ａｉｍｅｄ ａｔ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ．

Ａ

２

２．１

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｓ， ｎａｍｅｌｙ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ＂ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ＂ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ＂ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１．１

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．＂ Ｌｅｔ

ｕｓ

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｉｓ ｗｉｔｈ

ｓｏｍｅ

ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．

ｉｎｆｏｒｍａｌ

（ｔｈｕｓ ｅａｃｈ ｓｅｔ ｉｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ａｂｏｖｅ）， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ （ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ）． ？

Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｓｅｔｓ

？

Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｐｏｓｅｔｓ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

（ｔｈｅ

（ｅａｃｈ ｐｏｓｅｔ

ｉｓ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ）， ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｗｉｔｈ ａｌｌ

ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ

ａｒｅ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ）． ？

Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅｓ，

ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｗｉｔｈ ａｌｌ ｌｉｎｅａｒ

ｍａｐｓ． ？

（ｉｎ

Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ Ｒ

ｒ

Ｇ

Ｍ）， ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｒ，

ｒ＇

ｃａｓｅ

ｅａｃｈ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ＜

Ｒ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｇ

ｔｈｉｓ

ａ

Ａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｈａｖｅ ｔｈｉｓ ｂａｓｉｃ

ｏｎ

ｔｈｅ ｓｅｔ Ｅ．

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ

ｆｏｒｍ，

ｊｕｓｔ

ａｒｅ

ｕｓｕａｌｌｙ

ｆｏｕｒｔｈ

ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈｅｙ

ｂｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｒｅａｌ

ｏｆ

ａ

ｎｕｍｂｅｒｓ）

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｄｏ

ａｒｅ ｓｏｍｅ

ｇｉｖｅｎ

ｃａｓｅ ｒ ＜

ｔｗｏ

ｒ＇．

ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ａｓ

ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｉｔ ｉｓ ａｓ

ｎｏｔ ｈａｖｅ ｔｏ ｂｅ ｓｅｔｓ

（ｉｎ

ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｄｏ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｔｏ

（ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒｔｈ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ

Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈｅｒｅ

ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ

Ｔｈｕｓ

ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｔｏ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｉｎ

ａ

ｔｈａｔ ｉｓ， ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ： ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

ｊｕｓｔ

ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｐｒｅｃｉｓｅ ｒｕｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ｄｅｆｉｎｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｗｈａｔ

ａ

＜）．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ，

ａｎｄ

ｗｅ

ｏｆ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．２．１ ｗｈｉｌｅ ａｌｓｏ ｒｅａｄｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ｔｈｉｓ

ａ

ｓｈａｌｌ

ｃｏｍｅ

ｔｏ ｔｈｅｓｅ

ｓｈｏｒｔｌｙ：

ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ

ｂｅｉｎｇ

ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｍａｙ

ｗｅ

ｃａｒｅ

ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｗｉｔｈ

ａ

ｔｏ ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｂｒｏａｄ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ａｉｍｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｌｏｏｋｓ ａｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｍｍｏｎ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｔ ｏｕｔ ｉｎ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｅｒｍｓ， ｂｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｖａｒｉｅｓ ｇｒｅａｔｌｙ． Ｌｅｔ ｕｓ ｌｏｏｋ ａｔ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｓａｉｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒｍｓ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ＂ｃａｔｅｇｏｒｙ：＂ ０７

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ； ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

３８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｔｗｏ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ

（Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ）

２．

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｂ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｓｅｔ Ｐ ａｎｄ

Ａ， ７ｒ＇：Ｐ —＊■ Ｂ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｈｏｌｄｓ： ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆ：Ｃ —＞ Ａ， ｇ：Ｃ —＊■ Ｂ ｗｉｔｈ Ｃ ａｎｙ ｓｅｔ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈ：Ｃ —＊■ Ｐ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｎ：

Ｐ

—＊■

Ｃ Ｉ

ｈ Ｉ Ｔ

Ｐ

７ｆ＇

７Ｔ

ｃｏｍｍｕｔｅ． Ｅｎｄ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

（Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ）．

ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ａｎ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ （Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ） ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｗｏ ｇｉｖｅｎ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ａ ｛ａ， ６｝ ａｎｄ Ｂ ｛ｃ， ｄ， ｅ｝． Ｌｅｔ ｕｓ ｔａｋｅ Ｐ ｔｏ ｂｅ Ａｘ Ｂ ｛（ｘ， ｙ） ＼ ｘ ￡ Ａ，ｙ ￡ Ｂ｝ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｎ ａｎｄ ｔｔ＇ ｔｏ ｂｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｔｏ Ａ ａｎｄ Ｂ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ， ａｎｄ ｓｅｅ ｉｆ （Ｐ， ｔｔ， ７ｒ＇） ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ （Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ Ａ ａｎｄ Ｂ ｈｏｌｄ． Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｓｅｔ ａｎｄ ｆ：Ｃ —＊■ Ａ ａｎｄ ｇ：Ｃ —＊■ Ｂ ｂｅ ａｎｙ ｔｗｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈ：Ｃ —＞ Ｐ ７ｒｈ ａｎｄ ｂｙ ｚｈ （ｆ（ｚ），ｇ（ｚ））． Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｉｎｄｅｅｄ ｆ ｉｒ＇ｈ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｈ ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｈｏｌｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇ ｇｉｖｅｎ ／ ａｎｄ ｇ． Ｎｏｗ ｄｅｆｉｎｅ Ｐ＇ ｛１，２，３，４，５，６｝ ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｐ：Ｐ＇ —＞ Ａ Ｌｅｔ

ｕｓ

＝

＝

＝

＝

＝

＝

ａｎｄ

ｑ：Ｐ＇

—＞

Ｂ ｗｈｅｒｅ

ｐ（ｌ）， ｐ（４）， Ｉｎ ｆａｃｔ

（Ｐ＇，ｐ， ｑ）

ａ

ｘ

Ｇ Ｃ ａｎｄ

ｐ（３） ｐ（６）

ｓｅｅ

ｔｈｉｓ，

ｕｎｉｑｕｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈ： Ｃ

／（ｘ）

＝

ａ

＝

ｂ

＝

ａ

ａｎｄ

＜？（４） ｃ ｑ（５）＝ｄ ９（６） ｅ

＜？（１）， ｑ（２）， ９（３），

ａｌｓｏ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ

Ｐ ｈｏｌｄ ｔｒｕｅ． Ｔｏ

ｉｓ

ｐ（２）， ｐ（５），

＝

＝

（Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ）

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｎ

Ａ ａｎｄ

ｂｙ ｅｎｕｍｅｒａｔｉｎｇ ｓｉｘ ｃａｓｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ Ｐ＇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｆ ｐｈ ａｎｄ ｇ ｑｈ （ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ

ｏｎｅ ｃａｎ —？

ｃｈｅｃｋ

＝

＝

ｐ（ｘ）

＝

ｄ ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｍｕｓｔ ｈａｖｅ

ｈ（ｘ）

＝

２， ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ

ｏｎｅ

ｃａｓｅ）． Ｎｏｗ ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｂｅｔｗｅｅｎ Ｐ

（ｔｈｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ｐｒｏｄｕｃｔ

｛（ａ， ｃ）， （ａ， ｄ）（ａ， ｅ）， （６， ｃ）， （６， ｄ）， （ｂ， ｅ）｝ ｏｆ Ａ ａｎｄ

ｉ？）

ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ．

Ｉｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｏｆｔｅｎ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｓｅｔｓ ｕｐ ｔｏ

ａｎｄ Ｐ；．

Ｉｎ ｆａｃｔ ａｎｙ ｃｈｏｉｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｐ

ｗｏｒｒｙ ａｂｏｕｔ ｔｈｅｉｒ ｅｌｅｍｅｎｔｓ

＂ｉｎｔｅｒｎａｌ ｍａｋｅ

ｃａｎ

ｂｅ ｓｈｏｗｎ ｔｏ ｂｅ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｍｉｇｈｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔａｋｉｎｇ

ｕｐ，＂ ｓｏ ｗｅ （Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ） ａｓ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ Ｐ ａｎｄ Ｐ＇ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ａｂｏｖｅ ａｓ ｔｗｏ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｏｒ

２．１．

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

３９

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ． Ｏｆ

ｔａｌｋｉｎｇ

ｃｏｕｒｓｅ

ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ

（Ｐｒｏｐｅｒｔｙ Ｃｐ） ｏｎｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；

ｗｅ ｃａｎ

ｍａｋｅｓ

ｇｉｖｅ

ａ

ｓｅｎｓｅ

ｗｈｅｎ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｆｏｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｂｅｃｏｍｅｓ （Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ） ｆｏｒ ｔｈｅ ＂ｃａｔｅｇｏｒｙ＂ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｌｏｏｋｓ ａｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｅｎｊｏｙｅｄ ｂｙ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ｂｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｕｓｉｎｇ ａｎ ａｂｓｔｒａｃｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｎｏｔ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｓｕｃｈ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｖｅｒｙ ｒｏｕｇｈｌｙ， ｓｕｃｈ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｂｅｈａｖｉｏｕｒ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ａｎｄ ｎｏｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｍａｋｅ ｕｐ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ｗｅ ｔａｋｅ ａｎ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ （Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ＣＰ） ｆｏｒ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ａｓ ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ａ ａｎｄ

Ｂ， ｔｈｅｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

（ｓｅｔｓ）

ｗｅ

ｈａｖｅ ｓｈｉｆｔｅｄ

ｏｕｒ

ｖｉｅｗｐｏｉｎｔ

ａｗａｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆ

ａｎｄ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ

Ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｏｕｒ

（ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ）．

ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ， ａｎｄ ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｓｏｌｅｌｙ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ Ａ ａｎｄ Ｂ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｈａｓｉｓ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ， ｗｈｉｃｈ ａｌｌｏｗｓ ｕｓ ｔｏ ｍａｋｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｄｏ ｎｏｔ

（ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ） ｄｅｐｅｎｄ

ｏｎ

ｉｓ

ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｍａｋｅ ｕｐ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ．

ｐａｉｎｔｅｄ ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｐｉｃｔｕｒｅ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ， ｗｅ ｃａｎ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ａｎ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ２． Ｗｅ ｂｅｇｉｎ ｗｉｔｈ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｇｉｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ． Ｎｅｘｔ， ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉｓ ｇｉｖｅｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｍａｐｐｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｗｅ ｇｉｖｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｍｏｒｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｆｏｌｌｏｗｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ； ｓｕｃｈ ａ ｇａｄｇｅｔ ｃａｎ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ａ ｍａｐｐｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｎｏｗ ｔｈａｔ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ．

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｍｏｓｔ ｂａｓｉｃ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａｒｅ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｔｈｒｅｅ ｉｄｅａｓ， ｗｅ ｇｉｖｅ ａｎ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｗａｙｓ ｏｆ ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ｔｗｏ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｓ ｂｅｉｎｇ ＂ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ，＂ ｎａｍｅｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｎｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｔｈｅｓｅ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ａｒｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｔｈａｔ ｔｗｏ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ ｓｅｔｓ ａｒｅ ｓｉｍｉｌａｒ， ａｓ ａｒｅ ｔｗｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｇｒｏｕｐｓ． Ｗｅ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈｉｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｔｕｒｎ ｏｕｔ ｔｏ ｂｅ ａ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏｏｌ ｉｎｄｅｅｄ ｗｈｅｎ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｗｅ ｇｉｖｅ ａｎ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｎｏｔ ｗｈｏｌｌｙ ｄｉｓｓｉｍｉｌａｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ｕｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｎｅｘｔ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｇｉｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｂｏｕｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｌｉｍｉｔ ａｎｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｓａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ｉｎ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｗｅ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｔｒｉｃｔ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

４０

Ｃｈａｐｔｅｒ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．２．１

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ？

ｔｈｅ

Ｗｅ

ｗｉｔｈ

ｂｅｇｉｎ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ａ

ｃａｐｉｔａｌ

ｌｅｔｔｅｒ ｓｕｃｈ

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

ｄｅｎｏｔｅｄ

ｂｙ

ａ

ｍｏｒ

ａｓ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ

ｄａｔａ：

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｂ Ｃ ｏｆ ｅｎｔｉｔｉｅｓ ｃａｌｌｅｄ

ｂｙ ？

ａｎｄ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

２．２

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

２．

ｏｂｊｅｃｔｓ．

Ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｂｅ ｄｅｎｏｔｅｄ

Ａ， Ｂ， Ｃ．．．

Ｃ ｏｆ ｅｎｔｉｔｉｅｓ ｃａｌｌｅｄ

ｓｍａｌｌ ｌｅｔｔｅｒ ｓｕｃｈ

／，

ａｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ．

Ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｂｅ

ｇ， ｈ．．．

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／ ｉｔｓ ｓｏｕｒｃｅ ｓｒｃ（ｆ） ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ｉｔｓ ｔａｒｇｅｔ ｔａｒ（ｆ） ａｌｓｏ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ． ／： ｓｒｃ（ｆ） —？ ｔａｒ（ｆ） ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｉｓ， ｏｒ ｐｅｒｈａｐｓ ｆ：Ａ＾＞Ｂ ｗｈｅｒｅ Ａ ｓｒｃ（ｆ） ａｎｄ Ｂ ｔａｒ（ｆ）． Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｊｕｓｔ ｓａｙ ＂ｌｅｔ ／： Ａ —＊■ Ｂ ｂｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ？

Ｔｗｏ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｓｓｉｇｎｉｎｇ ｔｏ ｅａｃｈ

＝

＝

ｏｆ Ｃ＂ ｔｏ

ｍｅａｎ

／

ｉｓ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ ｗｉｔｈ

ｓｏｕｒｃｅ

Ａ ａｎｄ

ｔａｒｇｅｔ Ｂ．

Ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／ ａｎｄ ｇ ａｒｅ ｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ ｉｆ ｔａｒ（ｆ） ｓｒｃ（ｇ）． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ａｓｓｉｇｎｉｎｇ ｔｏ ｅａｃｈ ｐａｉｒ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／ ａｎｄ ｇ ｔｈｅｉｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ ｇｏｆ ｏｒ ｊｕｓｔ ｇｆ ａｎｄ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｓｒｃ（ｇｆ） ｓｒｃ（ｆ） ａｎｄ ｔａｒ（ｇｆ） Ｂ ａｎｄ ｇ：Ｂ Ｃ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｔａｒ（ｇ）． Ｓｏ ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ／： Ａ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇｆ： Ａ—＞Ｃ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ａｓｓｉｇｎｉｎｇ ｔｏ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ａｎ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｄａ＇－ －Ａ Ａ． Ｔｈｅｓｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｂｅ ？

＝

＝

—？

＝

—＞

—＞

ｕｎｉｔａｒｙ

ｉｄｔ＜ｌｒ（ｆ） ／ ａｎｄ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ， ｔｈａｔ ｉｓ

Ｏ

ｏ

／

ｉｄｓｒｅ（ｆ）

＝

／

＝

／

ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：Ａ—＞Ｂ，ｇ：Ｂ—＞Ｃ ａｎｄ ｈ：Ｃ

—＊■

Ｄ

ｔｈｅｎ

（ｈｇ）ｆ

＝

ｈ（ｇｆ）．

Ｉｔ ｉｓ ｔｉｍｅ ｔｏ

ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｗｅ ａｄｏｐｔ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ ｏｆ ｕｓｉｎｇ ｃａｌｌｉｇｒａｐｈｉｃ ｌｅｔｔｅｒｓ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｕｓｉｎｇ ａｎ ａｂｂｒｅｖｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｍｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｏｒ ｏｃｃａｓｉｏｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅｃｏｍｅ ｃｌｅａｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．２．２

（１）

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｏｔａｌ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， Ｓｅｔ． Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｒｅ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｔｒｉｐｌｅｓ （Ａ， ／， Ｂ） ｗｈｅｒｅ Ａ ａｎｄ Ｂ ａｒｅ ｓｅｔｓ ａｎｄ ／ Ｃ Ａ ｘ Ｂ ｉｓ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｇｉｖｉｎｇ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｔｏｔａｌ Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｒｃ（Ａ， ｆ，Ｂ） ＝

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

２．２．

ａｎｄ

ｔａｒ（Ａ， ｆ，Ｂ） Ｔｈｅｎ ｔａｒ（Ａ，ｆ，Ｂ） ａｎｄ

４１

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ｂ．

＝

ｓｒｃ（Ｂ，ｇ，Ｃ），

＝

ｔｈａｔ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｈａｖｅ ａｎｏｔｈｅｒ

ｗｅ

ａｎｄ ｔｈｅ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

（Ｂ，ｇ１Ｃ）ｏ（ＡＪ，Ｂ） ｗｈｅｒｅ

＝

ｉｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （Ｂ，ｇ，Ｃ）． ｇｉｖｅｎ ｂｙ

（Ａ，ｇｆ１Ｃ）

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ／ ａｎｄ ｇ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｉｆ Ａ ｉｓ ａｎｙ ｓｅｔ， ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｓｓｉｇｎｅｄ ｔｏ Ａ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （Ａ， ｉｄ ａ， Ａ） ｗｈｅｒｅ ｉｄ ａ Ｑ Ａ ｘ Ａ ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ａｎ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈａｔ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｂｙ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｓ ｕｎｉｔａｒｙ． Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ， ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｓｅｔ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｓｅｎｓｅ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ． Ｆｒｏｍ ｎｏｗ ｏｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｔ ｇｉｖｅ ｓｕｃｈ ａ ｆｏｒｍａｌ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｏｕｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．

ｇｆ

ｉｓ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ

（２） Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， Ｖａｒｔ． Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｅｑｕｉｐｐｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｏｎｅ， ｎａｍｅｌｙ ｇｉｖｅｎ ｆ：Ａ—＞ Ｂ，ｇ：Ｂ —＞ Ｃ， ｔｈｅｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ａ ｏｆ Ａ， ｇｆ（ａ） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｖａｌｕｅ ｇ（ｆ（ａ）） ｉｆ ｂｏｔｈ ｆ（ａ） ａｎｄ ｇ（ｆ（ａ）） ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ， ａｎｄ ｉｓ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｎｏｔ ｄｅｆｉｎｅｄ．

（３）

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｗｃｐｏｓ， ｕｊＣＰＯ． ｏ；ｃｐｏｓ ａｎｄ ｔｈｅ

ａｒｅ

Ｘ ａｎｄ Ｙ

ａｒｅ

ｏｆ ｕｊＣＰＯ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｏ；ｃｐｏｓ）

ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

Ｔｈｅ

ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅ

ａｒｅ

ｉｓ ｔｈｅ ｏ；－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ｗｉｔｈ

／： Ｘ

—？

Ｙ

（ｗｈｅｒｅ

ｊｏｉｎｓ ｏｆ ｏ；－ｃｈａｉｎｓ， ｔｈａｔ

Ｒｅａｄｅｒｓ ｆａｍｉｌｉａｒ ｗｉｔｈ ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｎｏｔａｔｉｏｎａｌ

ｄｃｐｏｓ， ＶＣＰＯ． Ｉｔｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ ｄｃｐｏｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

ｕＣＰＯ，

ｏｆ ｗＣＰＯ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅｓ ｗｉｌｌ ｒｅｃｏｇｎｉｓｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｕＣＰＯ．

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

（４）

Ｒｅｃａｌｌ Ｓｅｃｔｉｏｎ １．５．

（５） Ａｎｙ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｃｔｉｏｎ １．２ ｔｈａｔ

（Ｘ， ＜）

ｓｅｔ

ｍａｙ ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ

ａｓ ａ

ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

ｆｏｒ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｒｅｃａｌｌ ｆｒｏｍ

ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ， ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ Ｘ． Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ； ｆｏｒｍａｌｌｙ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

＜ ｏｎ ａ ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ａ

（Ｘ， ＜） ｆｏｒｍｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｘ， ｘ） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ ｘ （ｂｅｃａｕｓｅ ＜ ｉｓ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ） ａｎｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ （ｙ， ｚ） ｏ （ｘ， ｙ） （ｘ，ｚ） （ｂｅｃａｕｓｅ ＜ ｉｓ ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ）． Ｎｏｔｅ ｆｏｒ ｘ ａｎｄ ｙ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｆｏｒｍ

（ｘ， ｙ）

Ｘ ａｎｄ

ｗｈｅｒｅ ｘ，ｙ

ｘ ＜

ｙ．

＝

Ｘ，

ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ

ｏｎｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｆｒｏｍ

ｘ

ｔｏ ｙ

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ

ｔｏ ｗｈｅｔｈｅｒ

ｘ ＜

ｙ

ｏｒ

ｎｏｔ．

（６）

Ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ

（７）

Ａ

ｏｎｌｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｓｏ ａ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ａｎｙ ｓｅｔ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｏｔｈｅｒ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． ｂ：Ｓ

ｘ

ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ （５， ｂ） Ｓ

—＊■

Ｓ， （５， ｓ＇）

ｉｓ ！－＊？

ｏｎｅ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａｎ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ ｂｉｎａｒｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｓｓ＇． Ａｎ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｆｏｒ ａ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｓ ｉｓ ｓｏｍｅ

ａ

ｓｅｔ Ｓ

４２

Ｃｈａｐｔｅｒ

（ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｕｎｉｑｕｅ）

ｅｌｅｍｅｎｔ

ｅ

Ａ ｍｏｎｏｉｄ

（Ｍ，ｂ，ｅ）

ｉｓ

ｓｅ

＝

ｓ．

２．

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ Ｓ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｅｓ

ｓ

＝

ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ （Ｍ， ｂ） ｗｉｔｈ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｅ． ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ， （Ｎ，＋，０）， ｉｓ ａ ｍｏｎｏｉｄ． Ｆｏｒ

Ｆｏｒ

ａ

ｅｘａｍｐｌｅ， ａｄｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ａｎｏｔｈｅｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ Ｘ ｉｓ ａ ｓｅｔ ａｎｄ Ｘ＊ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｌｉｓｔｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｌｅｎｇｔｈ， ｔｈｅｎ ａｎｙ ｓｕｃｈ Ｘ＊ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｍｏｎｏｉｄ （Ｘ＊， ｃｏｎｃａｔ， ［］） ｗｉｔｈ ｌｉｓｔ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎ ａｓ ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｌｉｓｔ ［］ ａｓ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｅｌｅｍｅｎｔ． Ｔｈｉｓ ｍｏｎｏｉｄ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｋｌｅｅｎｅ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ． Ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｍｏｎｏｉｄｓ， Ｍｏｎ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｍｏｎ ｈａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ａｌｌ ｍｏｎｏｉｄｓ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｎｏｉｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｔｈｕｓ ａ ｍｏｎｏｉｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｎｏｉｄｓ Ｍ ａｎｄ Ｍ＇ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／： Ｍ Ｍ＇ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ， ｆｏｒ —＊■

ｗｈｉｃｈ

（８）

ｆ（ｍｎ）

Ｇｉｖｅｎ

ａ

＝

ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ，

ｗｅ

ｗｈｅｒｅ

ｍ

ａｎｄ

ｎ ａｒｅ

ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｍ．

ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ０９． Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ０９ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ０９ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ． Ｉｆ ／ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ０９ （ａｎｄ ｔｈｕｓ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ）， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｓｒｃ（ｆ） ｏｆ ／ ｉｎ Ｃ０９ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ ｔａｒ（ｆ） ｏｆ ／ ｉｎ Ｃ． Ａｌｓｏ， ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ ｏｆ ／ ｉｎ Ｃ０９ ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｏｆ ／ ｉｎ Ｃ． （Ｔｈｕｓ ／： Ａ Ｂ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ０９ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ／： Ｂ Ａ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ）． Ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｉｎ Ｃ０９ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｉｄ ａ ｉｎ Ｃ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ Ｃ０９． Ｉｆ Ａ ａｎｄ ｇ：Ｃ Ｂ ｆ．Ａ＾Ｂ ａｎｄ ｇ．Ｂ＾Ｃ ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ０９， ｔｈｅｎ ｆ：Ｂ ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ． Ｈｅｎｃｅ ／ ａｎｄ ｇ ａｒｅ ｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ ｉｎ Ｃ， ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｆｏｇ：Ｃ—＞Ａ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ／ ａｎｄ ｇ ｉｎ Ｃ０９ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ°９－

ｏｆ

—？

—？

—？

—＞

ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｒｅｇａｒｄ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｘ０９ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ ｏｆ Ｘ． （９）

Ｉｆ

（１０）

ｗｅ

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ａ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶｒｅＳｅｔ ｈａｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶＯＳｅｔ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｈｅ ｈａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｐｏｓｅｔｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｈｅ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

（１１）

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ Ｃａｔ ｈａｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ—ｓｅｅ Ｓｅｃｔｉｏｎ １．３．

（１２）

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＣＣａｔ ｈａｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

（１３）

ｌａｔｔｉｃｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ—ｓｅｅ Ｓｅｃｔｉｏｎ １．３．

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＢＣａｔ ｈａｓ

ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：Ｘ —＞Ｙ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ （ｔｈａｔ ｉｓ ／ ｉｓ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ） ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ．

２．２．

ａｎｄ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｈｏｗｅｖｅｒ，

４３

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｓｅｅ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｂｏｏｌｅａｎ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ． Ｔｈｕｓ ａ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ

ｔｈａｔ ａｎｙ ｌａｔｔｉｃｅ

ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ Ｙ ｉｓ ｊｕｓｔ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｘ ｌａｔｔｉｃｅｓ

—？

（１４） Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＴｉＣａｔ ｈａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｈｅｙｔ－ ｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ａ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：Ｘ —？ Ｙ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｓｏ ｉｆ ｘ， ｘ＇ Ｇ Ｘ， ｔｈｅｎ

ｆ（ｘ

（１５） Ｗｅ

＝＊

ｘ＇）

＝

ｆ（ｘ）

ｆ（ｘ＇）．

＝？

ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ＡＣＣａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｏｓｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｗｈｏｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ； ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｍａｐｐｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ．

（１６）

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ＳＤｏｍ ｈａｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

（１７）

ｏｂｊｅｃｔｓ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＣＪＳＣａｔ ｈａｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ， ｂｕｔ ｔｈａｔ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ． Ｔｈｕｓ ＣＪＳＣｊｏＸ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｓ ＣＣａｔ ｂｕｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． （１８） Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ Ｂ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ ｏｆ Ｃ ｂｙ Ｂ， ｄｅｎｏｔｅｄ Ｂ ｉｎ Ｃ， ａｎｄ ｂｙ Ｃ／Ｂ， ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／： Ａ ｗｈｏｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｇ： ｆ ／＇ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｇ：ｓｒｃ（ｆ） —？ ｓｒｃ（ｆ＇） ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／ ｆ＇ｇ． Ｉｔ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｖｉｅｗ ｓｕｃｈ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｓ ａ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ： —？

—？

＝

／ｒ Ｂ

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｓｌｉｃｅ， Ｂ／Ｃ． Ｔｈｉｓ ｈａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ ｉｎ Ｃ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｇ： ｆ —？ ／＇ ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｇ： ｔａｒ（ｆ） —？ ｔａｒ（ｆ＇） ｉｎ ／： Ｂ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／＇ ｇｆ． —？

＝

（１９） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｃ ａｎｄ ｈａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｐａｉｒｓ （Ｃ， Ｄ）

Ｖ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ｖ，ＣｘＶ， ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ｄ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｖ． Ｔｈｅ ａｒｅ

４４

Ｃｈａｐｔｅｒ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （Ｃ， Ｄ） （Ｃ， Ｄ＇） ａｒｅ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （／， ｇ） ｗｈｅｒｅ ｆ：Ｃ ａｎｄ ｇ：Ｄ Ｄ＇ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｇｉｖｅｎ （ａｓ ｅｘｐｅｃｔｅｄ） ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗｉｓｅ． —＊■

—＊

Ｃ

—＞

（２０） Ａｎｙ

（Ｍ， ６， ｅ） ｙｉｅｌｄｓ

ｍｏｎｏｉｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ

ａｒｅ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｍｏｎｏｉｄ， ａｎｄ

ｏｂｊｅｃｔ Ｍ， ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ａｒｉｓｅ ｏｎｅ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ． Ｓｏ ｉｆ ｍ ａｎｄ ｍ＇ ａｒｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｍ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｒａ， ｒａ＇： Ｍ —？ Ｍ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｉｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ６（ｒａ， ｒａ＇）： Ｍ —＊■ Ｍ． ｉＶ．Ｂ． Ｅｖｅｒｙ ｍｏｎｏｉｄ ｃａｎ ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ； ｄｏ ｎｏｔ ｃｏｎｆｕｓｅ ｔｈｉｓ ｆａｃｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｍｏｎｏｉｄ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｍｏｎ．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．２．３

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｇｉｖｅｎ

Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｈｏｗ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｉｎ

２．２．２

ｃａｎ

ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ

ｏｆ

ｂｅ ｆｏｒｍａｌｉｓｅｄ ｔｏ ｆｉｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．２．１． Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．２．４

ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

Ｂｅｆｏｒｅ

ｍｏｖｉｎｇ

ｏｎ

ｔｏ Ｓｅｃｔｉｏｎ

２．３，

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｖｅｒｙ ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ， ｗｅ ｃａｎ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ａ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ａｓ ｈａｖｉｎｇ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｓｕｂｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｔｈｏｓｅ ｏｆ Ｃ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ ｉｔｓｅｌｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ａｎ ａｎａｌｏｇｙ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｈ ｏｆ Ｇ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｈ ｉｓ ＆ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｇ ａｎｄ Ｈ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｇ． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｕｓ ｍａｋｅ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ． Ａ ？

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｖ ｏｆ

Ａ ｓｕｂｃｌａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ？

ａ

ａｎｄ ｔｈｅｓｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｒｅ

Ａ

ｔａｋｅｎ —＊■

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ｏｂｊｅｃｔ

？

Ｉｆ

Ｂ ａｎｄ

ｆ：Ａ—＞

ｏｆ Ｖ ａｎｄ ｉｓ ｔｈｅ

ａｓ

ｔｈｅ

Ｄ ｏｆ

ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｏｆ

ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｏｆ

／

Ｖ， ａｎｄ

ａ

ｓｕｂｃｌａｓｓ ｏｆ

ｓｕｂｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

／

ｉｎ Ｃ

ａｒｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｖ， ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｄｒ＞ ｏｆ Ｃ ｉｓ

ａ

Ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

—＊■

ｒｉｓｅ ｔｏ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ

ａ

ｏｆ Ｖ．

ｉｎ Ｃ ｉｓ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＴＳｅｔ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｉｎｉｔｅ

Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｃａｔｅｇｏｒｙ．

Ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｗａｙｓ ｉｎ

ｔｕｒｎ，

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｄｏｅｓ ｉｎｄｅｅｄ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ａｒｉｓｅ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｔｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ａ Ｂ ｆｏｒ ｆｉｘｅｄ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｎ ｅａｃｈ ｏｆ ＴＳｅｔ， Ｓｅｔ ａｎｄ Ｖａｒｔ．

Ｅｘａｍｐｌｅ

Ｖ，

Ｂ ｉｎ Ｃ．

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｌｌ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， Ｓｅｔ． Ｉｎ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， Ｖａｒｔ．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．２．６

ｏｆ

ｉｎ Ｔ＞． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ａ

ｏｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｖ．

ｓｏｕｒｃｅ

ｓｏｕｒｃｅ ａ

ａｒｅ

ｇ：Ｂ＾＾ＣｍＶ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｇｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ／ ａｎｄ ｇ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ．

Ｅｘａｍｐｌｅ ２．２．５

ｇｉｖｅ

ａｒｅ

Ｂ ｉｎ Ｖ ｉｓ

？

Ｓｅｔ ｉｓ

ｏｆ Ｃ ｗｈｉｃｈ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／ ｏｆ Ｖ， ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｓｅｔｓ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ：

ｏｆ Ｃ ｗｈｉｃｈ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｆｏｒ ａｎｙ

ａ

２．２．５

—？

２．３．

Ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ

Ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ

２．３

ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｃａｎ ａｌｓｏ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／ ａｓ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｘ； ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ， ／ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ｌｉｋｅ ａ ｐｒｏｇｒａｍ

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｓｅｔｓ． Ｗｅ

ｏｆ Ｙ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｏｕｔｐｕｔｓ

ａ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．３．１

ｗｈｉｃｈ

４５

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｖａｌｕｅ

／（ｉ）

ｆ：Ｘ

Ｙ

—＞

６ ７ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｃａｎ

ｂｅ

ｅ Ｘ． Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｓａｙ ｔｈａｔ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｘ

ｐａｉｒ ｏｆ ｓｅｔｓ． Ｒｏｕｇｈｌｙ， ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ｆｒｏｍ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｔｏ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ ｉｓ ａｎ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ ｔｏ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｖ， ａｎｄ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ ｔｏ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｖ． Ｔｈｉｓ

ｉｓ ｔｏ ａ

ｐａｉｒ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ

ａｓ ａ

ａ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｈａｓ ｔｏ ｓａｔｉｓｆｙ ｓｏｍｅ ｒｕｌｅｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｉｓ ｓｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｎ Ｔ＞ ｏｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ＦＡ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｓｅｎｄｓ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｉｎ Ｃ ｔｏ ＦＡ ｉｎ Ｖ． Ｆｕｒｔｈｅｒ， ｉｆ ｔｗｏ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ ｃｏｍｐｏｓｅ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｉｒ ｉｍａｇｅｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｍｕｓｔ ｃｏｍｐｏｓｅ ｉｎ Ｖ． Ｖｅｒｙ ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ， ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｓ ＂ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ＂ ｏｆ Ｃ． Ｌｅｔ ｕｓ ｍｏｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ

ｆｕｎｃｔｏｒ．

ａ

ｂｅｔｗｅｅｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ａｎｄ Ｐ，

ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｓ

Ｆ： Ｃ

—？

Ｖ， ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

ｂｙ ？

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｔａｋｉｎｇ ｏｂｊｅｃｔｓ

Ａ ｉｎ Ｃ ｔｏ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｓｅｎｄｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／： Ａ ｉｎ￡＞， ？

ａｎ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｆ（ｉｄ＾）

ｏｂｊｅｃｔｓ

—？

ＦＡ ｉｎ

Ｂ ｉｎ Ｃ ｔｏ

Ｘ＞， ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｆｆ：

ＦＡ

ＦＢ

—？

ｉｄｐＡ， ａｎｄ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｇｆ ｉｓ ｄｅｎｎｅｄ ｉｎ Ｃ ｗｅ ｈａｖｅ Ｆ（ｇｆ） Ｆｇ ｏ Ｆｆ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｆｇ ｏ Ｆｆ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｖ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｇｆ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｃ， ｔｈａｔ ｉｓ， Ｆｆ ａｎｄ Ｆｇ ａｒｅ ｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ ｉｎ Ｖ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ／ ａｎｄ ｇ ａｒｅ ｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ ｉｎ Ｃ． ＝

＝

Ｒｅｍａｒｋ ２．３．２

Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ

ｂｙ

ｗｒｉｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ａｓ Ａ ＼－＋ ＦＡ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ａ Ｂ ｈ－＞ Ｆｆ．ＦＡ ＦＢ． Ｐｒｏｖｉｄｅｄ Ｂ， ａｓ ｆ：Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／， ｗｈｅｒｅ ｆ：Ａ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙｔｈｉｎｇ ｉｓ ｃｌｅａｒ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｅｖｅｎ ｓａｙ ＂ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ／： Ｃ Ｖ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ａｎ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ —？

—＊■

—？

—＊■

ｆ：Ａ—＞Ｂ ｗｈｅｒｅ

／： Ａ

ｓｏｕｒｃｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

—＊■

ＦＢ

Ｆｆ．ＦＡ—？

ｈ＋

Ｂ ｉｓ ａｎｙ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ．＂ Ｆ， ａｎｄ ｔｏ Ｖ ａｓ ｔｈｅ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ

ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ

ｔｏ Ｃ

ａｓ

ｔｈｅ

ｔａｒｇｅｔ ｏｆ Ｆ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．３．３

（１）

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ

ａ

ａｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉｄｃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｉｄｃ（Ａ）

ｏｂｊｅｃｔ

ｏｆ Ｃ ａｎｄ

ｉｄｃ（ｆ）

＝

／

ｗｈｅｒｅ

／

ｉｓ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｏｆ Ｃ．

＝

Ａ

４６

Ｃｈａｐｔｅｒ

（２）

Ｗｅ ｈａｖｅ

（ｐａｇｅ ４２）

ｓｅｅｎ

ｗｅ

ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｏ ｂｅ ＦＡ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｆｆ ｍａｐ（ｆ）， ｗｈｅｒｅ ｍａｐ（ｆ）：Ａ＊ —？

＝

ｍａｐ（／）（［ａｉ，．．．， ａｎ］）

［ｏｉ，．．．， Ｏｎ］

＝

＝ｆ

ｔｈａｔ

ｓｅｅ

Ｆ（ｇｆ）

＝

＝ｆ

ｏｕｒ

ｆｉｒｓｔ

ｅｘａｍｐｌｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ，

ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｏ

ｓｅｅ

ｗｅ

ｔｈａｔ

ａ

ｄｅｆｉｎｅ

ＦｇｏＦｆ（［ａｉ，．．．，ａｎ］）．

Ａ， ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒｓｅｔ Ｖ（Ａ） ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ａ． Ｗｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｖ： Ｓｅｔ —＊■ Ｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｆ：Ａ＾Ｂ —？－

Ｂ ｉｓ

ｗｈｅｒｅ Ａ＇ Ｇ

＇Ｐ（－Ａ）．

（４）

ｄｅｆｉｎｅ

ｃａｎ

Ｂ －＾ Ｃ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｓｅｔ

ａ

／： Ａ

—？

ｍａｐ（ｇ）（ｍａｐ（ｆ）（［ａｉ，．．．，ａｎ］））

＝

ａ

Ｗｅ ｃａｌｌ Ｐ： Ｓｅｔ ａ

／：Ａ ｆ－ｌ（Ｂ＇） ＝ｆ ｛ａ

—？

Ｇ Ａ

／＊

—＊■

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｖ： Ｓｅｔ０９

Ｂ ｉｓ

ａ

Ｇ

￡＇｝

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ ／＊（Ａ＇）

＝

｛ｆ（ａ＇） ＼

ａ＇

Ｇ

Ａ７｝

５ｅ＾ ｔｈｅ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｐｏｗｅｒｓｅｔ ｆｕｎｃｔｏｒ． —＊

Ｓｅｔ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ｆ－ｉ：ｖ（Ｂ）＾Ｖ｛Ａ），

ｈ＋

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ

｜ ／（ａ）

ｆｃＶ（Ａ）＾Ｖ｛Ｂ），

￣

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ

／：ｊＢ＾Ａ

Ｓｅｔ，

ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｗｈｅｒｅ Ｂ＇ Ｇ

Ｐ（５）．

ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ ｐｏｗｅｒｓｅｔ ｆｕｎｃｔｏｒ．

／－１

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｖ ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ａｓ

ａ

ｏｆ

？，ａｐ｛ｇ）（［ｆ（ａｉ），．．．，ｆ｛ａｎ）］）

＝

ｗｈｅｒｅ

ｏｎ

［９ｆ｛ａ＜ｉ），－－－，９ｆ｛ａ＜ｎ）］

＝

Ｗｅ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｂｙ

ｍａｐ（ｇｆ）（［ａｌｌ．．．，ａｎ］）

＝

ｗｈｅｒｅ

Ｍｏｎ

—？

ａｎ

Ｂ＊ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａ

ｉｄＦＡ（［ａｉ，．．．１ａｎ］）１

ｗｈｅｒｅ Ａ

Ｆｇｏ Ｆｆ

Ｆ（ｇｆ）（［ａｌｌ．．．，ａｎ］）

ｃａｎ

ｒｉｓｅ ｔｏ

ｉｄＡ＊（［ａｉ，．．．，ａｎ］）

＝

Ｇｉｖｅｎ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｓｅｔ

Ａ＊ ａｎｄ

＝

ｇｉｖｅｓ

ｍａｐ（ｉｄＡ）（［ａｉ，．．． ，ａｎ］）

＝

（３）

ｓｅｔ Ａ

ｉｄ ａ＊ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

＝

Ｆ｛ｉｄＡ）｛［ａｌ，．．．，ａｎ＼）

ａｎｄ ｔｏ

ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

［／（ａｉ），．．．， ／（ａｎ）］，

Ｂｅｉｎｇ

ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ＊．

ａ

ｇｉｖｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

Ｆ（ｉｄＡ）

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｋｌｅｅｎｅ ｃｌｏｓｕｒｅ Ａ＊ ｏｆ

ｍｏｎｏｉｄ ｖｉａ ｌｉｓｔ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎ． Ｈｅｎｃｅ

ｗｉｔｈ

Ａ

２．

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；

ｓｏｕｒｃｅ

ｗｅ

ｂｙ

ｏｆ ｔｈｅ

ｒｅｆｅｒ ｔｏ Ｖ

２．３．

（５）

Ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ

４７

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ： Ｃ

Ｃ ａｎｄ Ｇ： Ｖ

—＊■

￡＞＇，

—？

ｔｈｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｆ ｘＧ．ＣｘＶ＾Ｃ ｘＶ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ

（６）

Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ

ｍａｎｎｅｒ．

Ａ ａｎｄ Ｂ

ｒｅｇａｒｄｅｄ

ａｓ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ａｒｅ

ｗｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ．

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ

（７）

ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗｉｓｅ

Ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｎｏｉｄｓ ｉｓ

ｒｅｇａｒｄｉｎｇ

ａ

ｍｏｎｏｉｄ

ａｓ ａ

ｍｏｎｏｉｄ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ

ｏｎｅ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， ｏｂｊｅｃｔ．

ｗｅ

３／： Ｖ（Ａ） Ｖ（Ｂ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｓｆ（Ａ＇） ｛／（ａ） ｜ ａ Ｇ Ａ＇｝ ｗｈｅｒｅ Ａ＇ Ｇ Ｖ（Ａ）． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌ ｉｍａｇｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｂｙ ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔｓ Ｖ（Ａ） ａｎｄ Ｖ（Ｂ） ａｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ （ｖｉａ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｒｄｅｒ） ａｎｄ ｎｏｔｉｎｇ ｔｈａｔ ３／ ｉｓ ｔｈｅｎ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ （８） Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

／： Ａ

—＊■

Ｂ，

ｗｅ ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

—？

＝

Ｖｆ：Ｖ（Ａ） Ａ＇ Ｇ ＇Ｐ（Ａ）．

ｄｅｆｉｎｅ

ｅａｃｈ

Ｖ（Ｂ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｖｆ（Ａ＇） ｄ＝ ｛ｙ

－？

Ｗｅ ｃａｌｌ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｖ／

｜ ｆ￣ｌ（｛ｙ｝）

Ｇ ￡

ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

Ｃ

Ａ＇｝

ｆｏｒ

ｉｍａｇｅ ｆｕｎｃｔｏｒ．

（９） Ｇｉｖｅｎ ａ ｓｌｉｃｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ／Ｂ， ｗｅ ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ １７： Ｃ／Ｂ —＊■ Ｃ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ／： Ａ —＊■ Ｂ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｈ： ｆ —＊■ ｆ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ． Ｗｅ ｓｅｔ Ｕｆ Ａ ａｎｄ Ｕｈ ｈ： ＝

ｈ ＋

＝

Ａ＇ ｈ： Ａ

Ａ＇．

Ｂ

（１０）

Ｌｅｔ Ｘ ａｎｄ Ｖ ｂｅ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ｄｃｐｏｓ

ａｎｄ

Ｘ（ｆ）：Ｘ（Ｙ）

—＊■

／： Ｘ

Ｙ ｂｅ

—＊？

Ｘ（Ｘ）

ｗｈｅｒｅ

ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

Ｘ（Ｘ）

Ｔｈｅｎ

ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ

Ｘ， ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｒｄｅｒ （ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ Ｘ（Ｙ））． Ｌｅｔ ｕｓ ｓｐｅｃｉｆｙ Ｊ（／）； ｉｆ Ｂ Ｇ Ｊ（ｙ） ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

Ｘ（ｆ）（Ｂ） ｄ＾ｆ ／＾（Ｂ） ｄ＾ｆ ｛ｘｅＸ＼ ｆ（ｘ）

Ｇ

Ｂ｝．

Ｘ； ｆｏｒ ｉｆ Ｄ Ｃ ｆ￣１（Ｂ） ａｎｄ Ｚ） ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｘ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ／ ｉｍｐｌｉｅｓ ｆ（Ｄ） Ｃ Ｖ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ． Ｂｕｔ ｃｌｅａｒｌｙ ｆ（Ｄ） Ｃ Ｂ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｄｕｃｅ ｆ（＼／Ｄ） Ｇ Ｂ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ＼Ｊ Ｄ Ｇ ｆ￣１（Ｂ）． Ｓｏ Ｘ（／） ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

Ｘ（ｆ）（Ｂ）

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

Ｘ（ｆ）

ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ

Ｘ（ｆ）

ｃａｎ

ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

（１１）

Ｌｅｔ Ｆ：Ｃ

－＞

Ｘ＞°ｐ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ｉｎ Ｃ°ｐ ｔｏ

ｉｓ

ｉｓ

ｂｅ

ａｎ

ａ

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ

ｒｅｇａｒｄｅｄ

Ｖ ｂｅ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅｎ ａｎ

Ｆｆ： ＦＡ＇

ｏｂｊｅｃｔ

－＞

ａｓ ａ

—＊■

Ｘ（Ｘ）．

Ｈｅｎｃｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ．

ｗｅ ｃａｎ

Ａ ｏｆ Ｃ°ｐ ｔｏ ＦＡ ｉｎ

ＦＡ ｉｎ Ｐ°ｐ．

Ｘ（Ｙ）

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｄｅｆｉｎｅ

Ｘ＞°ｐ， ａｎｄ

ａ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ＾－．Ｃ＊９

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ；

－＞

－？－

Ａ

４８

Ｃｈａｐｔｅｒ

（１２） Ｄ：Ｃ

Ｇｉｖｅｎ

ｉｄｒｙ．Ｄ

（１３）

Ｖ

—＞

２．

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ａｎｄ Ｐ ａｎｄ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｄ ｏｆ Ｐ， ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｂ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｓｅｎｄｓ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｔｏ Ｄ ａｎｄ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ —？

Ｄ．

—？

Ｌｅｔ Ｆ：Ｃ

—＊■

Ｐ ｂｅ

（Ｄ ｊ Ｆ）

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ Ｄ

ｏｂｊｅｃｔ

ａｎ

ｏｆ Ｐ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ （／， Ａ） ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ／： Ｄ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｐ． Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｐ： （／， Ａ） （／＇， Ｂ） ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ： Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ： ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｈａｓ

—＊■

—＊■

ＦＡ

—＊■

Ｂ

Ｄ

ＦＡ

Ｔｈｅ

ｏｖｅｒ－ｃｏｎｅ

ｔｈａｔ Ｆ：Ｃ

（１４） Ｓｕｐｐｏｓｅ

（Ｆ ［ Ｄ）

ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ｆ ｊ Ｇ）

ｉｓ ｄｅｎｎｅｄ

Ｐ ａｎｄ Ｇ：Ｃ

—＞

ＦＢ

Ｆｇ

—？－

ｓｉｍｉｌａｒｌｙ．

Ｄ

ａｒｅ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｔｒｉｐｌｅｓ （Ａ， ／， Ａ＇） ｗｈｅｒｅ Ａ ａｎｄ Ａ； ａｒｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ｃ； ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ａｎｄ ／： ＦＡ ＧＡＸ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｂ ｉｎ ｏｆ Ｐ． Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （Ａ， ／， Ａ＇） （￡， ／＇， Ｂ＇） ｉｓ ａ ｐａｉｒ （ｐ， ｈ） ｗｈｅｒｅ ｐ： Ａ Ｃ ａｎｄ ／ｉ： Ａ＇ Ｂ＇ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ： ｃｏｍｍａ

ｔｏ ｈａｖｅ

—？

—＊■

—？－

—？？

Ｆｇ

ＦＡ—＾ＦＢ ｆ＼

ＧＡ＇

（１５）

Ｌｅｔ

Ｑｒｐ

Ｇｈ

ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ ｇｒｏｕｐ

？Ｓｅｉ ｓｅｎｄｓ ａ ｇｒｏｕｐ ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ： Ｑｒｐ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｔｏ ｉｔｓ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

ｔｏ ｉｔｓ

—？

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ａｎｄ ａ ｇｒｏｕｐ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．３．４

（１）

Ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ

ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｉｎｄｅｅｄ ｄｅｆｉｎｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． （２） Ｌｅｔ

ｓｅｎｓｅ

ａｎｄ ｄｏ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｔｉｎｙ ｉｆ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｆｏｒｍｓ ａ ｓｅｔ ｄｉｓｃｒｅｔｅ； ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｔｉｎｙ ｉｆｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ ｗｉｔｈ

ｕｓ

ａｎｄ Ｃ ｉｓ ａ

２．３．３ ｍａｋｅ

ｓｅｔ ｏｆ

ｓａｙ ｔｈａｔ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｕｎｉｑｕｅｌｙ

ｔｏ

ｔｈｅｎ ＦＡ

＝

ａ

ａ

ｏｂ Ｖ ａｎｄ ａｎｙ ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｃ

／（Ａ）

ｏ６Ｐ．）

—？

Ｐ．

（Ｅｘｔｅｎｄｓ

ｆ：

Ｐ， ｔｈｅｎ ／ ｅｘｔｅｎｄｓ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ，

ｏｂＣ

ｍｅａｎｓ

—＊■

ｏｂ

４９

Ｎａｔｕｒａｌ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｅｘａｍｐｌｅｓ

２．４－

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．３．５

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｅｎｄ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

ａ

ｆｅｗ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ａ

ｍｏｒ－

Ａ ｗｉｔｈ ｅｑｕａｌ ｓｏｕｒｃｅ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａｎ ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ａ ｐｈｉｓｍ ／： Ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／ ａｎｄ ｇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｓｒｃ（ｆ） ｓｒｃ（ｇ） ａｎｄ ｔａｒ（ｆ） ｔａｒ（ｇ） ａｒｅ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｆ，ｇ：Ａ＾＞Ｂ． Ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｉｔｈ Ｖ ｃｏｍｍｏｎ ｓｏｕｒｃｅ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａｎ ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｏｒ． Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｆ： Ｃ ｂｅ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｂ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｆｆ Ｆｇ， ｔｈｅｎ ／ ｆ，ｇ： Ａ ｇ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｆｕｌｌ ｉｆ ＦＢ ｉｎ Ｄ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｎ Ｃ ａｎｄ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ： ＦＡ ｓｏｍｅ ／： Ａ Ｂ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｆ／ ｐ． —？

＝

＝

—？

—＊■

＝

＝

—＊■

—＊■

＝

＜Ｓｅ￡ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ｍｏｎｏｉｄｓ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ： Ｍｏｎ ａｎｄ ｍｏｎｏｉｄ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｏ ｔｈｅｉｒ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｍｏｎ ｗｈｉｃｈ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅｎ Ｕ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｂｕｔ ｎｏｔ ｆｕｌｌ． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ：Ｑｒｐ ｔａｋｅｓ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ ｇｒｏｕｐ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｏ ｔｈｅｉｒ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｍｏｎｏｉｄｓ ｉｓ ｂｏｔｈ Ａｓ

ａｎ

—？

—＊■

ｆｕｌｌ ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ ｆｕｌｌ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｆ ｔｈｅ

ａ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ

ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ．

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉ： Ｖ

—＊■

Ｃ ｉｓ ｆｕｌｌ

Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ

（ｔｈｅ

ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉｓ ｔｈｅ

ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｏｎｅ）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｊｕｓｔ ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｂ ｉｎ Ｔ＞ ａｒｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ Ｂ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ Ｖ ｉｓ ａ ｌｌｕｆ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｃ ｉｆ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｖ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈａｔ —＊■

—？

ｆｏｒＣ．

Ｎａｔｕｒａｌ

２．４

Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ａｎｄ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ｎｏｔ ｃｏｎｔｅｎｔ ｗｉｔｈ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ．

ｗｅ

ｎｏｗ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ Ｆ，Ｇ：Ｃ —？ Ｖ ｂｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｔｈｅｎ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａ ｆｒｏｍ Ｆ ｔｏ Ｇ， ｗｒｉｔｔｅｎ ａ： Ｆ —？ Ｇ， ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ａｓｓｉｇｎｓ ｔｏ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｉｎ Ｃ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ＾ｉＦ－Ａ —？ Ｇ．Ａ ｉｎ ２＞， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ —＊■ Ｂ ｉｎ Ｃ， ｗｅ ｈａｖｅ Ｇ／ ｏ ａ＾ ａ＃ ｏ Ｆｆ， ｔｈａｔ ｉｓ， Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｖ ｂｅ

＝

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ：

ＦＡ

＜＊Ａ

ＧＡ

Ｆｆ

Ｇｆ

ＦＢ

ＧＢ ＜＊Ｂ

Ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｔ Ａ．

ａ＾ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ ａ：Ｆ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ —？

Ｇ：Ｃ

—？

Ｐ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ

ａ

ｉｓ

ａ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

５０

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｎａｔｕｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，

ｗｅ

Ｖ．

—＊■

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

Ｉｆ

ｗｅ

ｇｉｖｅｎ

ａｒｅ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｓｕｃｈ

ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ

ｓａｙｉｎｇ ＂ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ

Ｆ， Ｇ： Ｃ

２．

ｉｎ Ａ ａｔ

ａ

／： Ａ

—＊■

ａ

ｂｙ

Ｂ．＂

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．４．１

（１）

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｓｅｔ

Ｋｌｅｅｎｅ ｃｌｏｓｕｒｅ． Ｗｅ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

ｒｅｖ ａ－

ｄｅｆｉｎｅ

ｃａｎ

Ａ＊

—＊■

Ｍｏｎ

—＊■

ａ

（ｓｅｅ

ａ

ａ

ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ａ＊ ｄｅｆｉｎｅｄ

＝

Ｆ

—＊■

ｓｅｔ ｔｏ ｉｔｓ

Ｆ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

［ａｎ，．．．， ｏｉ］

Ａ＊． Ｉｔ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ ｔｏ

ｓｅｔ ａｎｄ

ｒｅｖ：

ａ

ｂｙ

ｒｅｖＡ｛［ａｉ，．．．， ａｎ］） ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ

４６）

ｐａｇｅ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｏｅｓ ｄｅｆｉｎｅ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ：

Ｆｆ

（２）

ｒｅｖＡ（［ａｉ，．．．， ａｎ］）

ｏ

＝

［／（ａｎ），．．．， ／（ｏｉ）］

ｆｉｘｅｄ ｓｅｔ Ｘ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ

Ｆ／（［ａｉ，．．．， ａｎ］）． Ｓｅｔ

ｂｙ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ＦＸ（Ａ） ｄ＝ （Ｘ ＝＞Ａ）ｘＸ ｏｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｆｘ（ｆ） ｄ＝ （／ ｏ －） ｘ ｉｄｘ ｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｓｅｅ ｐａｇｅ ｘｖｉｉ） ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａｎｙ ｓｅｔ ａｎｄ ／ ｉｓ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｈｅｒｅ， Ｘ ＝＞ Ａ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ Ｘ ｔｏ Ａ， （Ｘ ＝＞？ ＾４） ｘ Ｘ ｉｓ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｓｅｔｓ， ａｎｄ （／ ｏ —） ｘ ｉｄ＊－ ｄｅｎｏｔｅｓ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ Ｔａｋｅ

ａ

ｄｅｆｉｎｅ

ｃａｎ

ｇ（ｘ）

ａ

ｗｈｅｒｅ

ｓｅｔ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｅｖ：Ｆｘ

（ｇ，ｘ）

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ｏ

ｒｅｖＢ

＝

ｅｖ

（Ｘ

＝＞

Ａ）

ｘ

Ｘ．

Ｔｏ

ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｅｖ＾－

ｆｕｎｃｔｉｏｎ， （ｇ，ｘ）

Ｇ

（Ｘ

＝＞

Ａ）

ｘ

｛Ｘ

—＊■

ｉｄｓｅｔ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｅｖ＾（＾， ｘ）

—？

ｔｈａｔ ＝＞

Ａ）

ｗｅ

ｘ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｘ

—＊■

Ａ ｌｅｔ

ａ

／： Ａ

＝

ｎａｔｕｒａｌ —＊■

Ｂ ｂｅ

Ｘ ａｎｄ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

（＾５ｒｔ（／）ｏｃｖ＾）（ｆｌｆ，ａｒ）

＝

ｆ（ｅｖＡ｛ｇ，ｘ））

＝

ｆ（ｇ（＊））

＝

＝

＝

（３）

ｓｅｅ

Ｆｘ：Ｓｅｔ

ｅｖＢ（ｆｇ，ｘ） ｅｖＢ（Ｆｘ（ｆ）（ｇ，ｘ）） （ｅｖＢｏＦｘ｛ｆ））｛ｇ，ｘ）．

Ｌｅｔ Ｖｅｃ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅｓ

ｏｖｅｒ ａ

（ｆｉｘｅｄ）

ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｍａｐｓ ｆｒｏｍ Ｖ ｉｎｔｏ Ｋ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｆｉｅｌｄ Ｋ． Ｗｒｉｔｅ Ｖ＊ ｆｏｒ

ｆｕｎｃｔｏｒ

（—）＊： Ｖｅｃ０９

—？

Ｖｅｃ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

ｆ：Ｕ—＞Ｖ ｗｈｅｒｅ

／：

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

＾ｙ＊

／＊：Ｃ７＊

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｖｅｃ＾ ａｎｄ ０ Ｇ １７＊ ｉｓ ａｎｙ ｌｉｎｅａｒ ｍａｐ． Ｔｈｕｓ ｆｕｎｃｔｏｒ （—）＊＊： Ｖｅｃ —？ Ｖｅｃ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

Ｕ

ａ

ｉ—？

—？－

ｆ：

Ｖ ｉｓ ａｎｙ

Ｖ

？

Ｕ

Ｉ

－

／＊＊：

Ｖ＊＊

（ｘ＾（０＾ ｘ（ｆ＊（０）））） —

－

？

Ｕ＊＊

５１

Ｎａｔｕｒａｌ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｅｘａｍｐｌｅｓ

２．４－

ｗｈｅｒｅ ｘ ￡ ＾＊＊ ｉｓ ａｎＹ ｌｉｎｅａｒ ｍａｐ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ Ｖ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｍａｐ ａｙ： Ｖ

Ｖ＊＊

—？

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｖ（ｖ）（６）

＃（？；）

＝

ｗｈｅｒｅ

Ｖ ａｎｄ ０

ｖ

ｌｉｎｅａｒ

ａ

Ｖ＊．

Ｉｔ ｉｓ

ｄｉａｇｒａｍ

ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ａｙ

Ｖ

．

Ｖ＊＊

ｒ

／ Ｕ

Ｕ

＊＊

ａｖ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ

Ｖ：

ｖ

（６

ｖ Ｉ

／（ｆ）

（＊．－＞ ＊（／（？）））

ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｙ ｄｅｆｉｎｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．４．２

ａ

－＞

０（Ｖ））

（＊－／？（＊）（？））

＝

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ

ａ：

ｉｄ＾ｅｃ

ｓｏｍｅ

—？

（—）＊＊．

ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ

＂ｃｏｍｐｏｓｉｎｇ＂ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｖ ｂｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｌｅｔ Ｆ， Ｇ， Ｈ ｂｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｆｒｏｍ Ｃ ｔｏ Ｖ． Ａｌｓｏ ｌｅｔ ａ：Ｆ Ｇ ａｎｄ ／？：Ｇ ｉｆ ｂｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｉａ：Ｆ Ｈ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｔｏ ｂｅ （Ｐａ）ａ Ｐａ＆ａ－ Ｆｏｒ ｃｌａｒｉｔｙ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｒｉｔｅ （３ｏａ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ Ｐａ． Ｔｈｉｓ ｙｉｅｌｄｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［Ｃ， Ｖ］ ｗｉｔｈ ｏｂｊｅｃｔｓ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｆｒｏｍ Ｃ ｔｏ Ｖ， ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｕｃｈ ｆｕｎｃｔｏｒｓ， ａｎｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｓ ｇｉｖｅｎ ａｂｏｖｅ． ［Ｃ，２＞］ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ｖ． ｄｅａｌｉｎｇ

ｗｉｔｈ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ

—＞

—＊■

—＊■

＝

Ｗｅ ｅｎｄ ｔｈｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｗｉｔｈ

Ｇ：Ｖ

—＊■

Ｓ ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｔｈｅｎ

ｓｅｔｔｉｎｇ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

ｄｅｆｉｎｅ

ｔｏ ｂｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｊａ： ＪＦ ｗｈｅｒｅ Ｄ ｉｓ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

ａ

（ａｊ）ｃ

—＊■

＝

Ｅｖ（Ａ， Ｆ）

ａｎｄ ／ｉ： Ｆ ｆｕｎｃｔｏｒ．

—？

Ｆｘ．

＝

ｎｏｔａｔｉｏｎ． —＞

Ｓｕｐｐｏｓｅ

—＊■

ｔｈａｔ

Ｖ ａｎｄ Ｊ＼Ｅ —？

ａｎ

ａ：

—＊

Ｇ７： Ｃ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ， ａｎｄ Ｊ７ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ （Ｊａ）ｒ）

ｏ；／ｃ ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ

Ｔ

—？

ａ ＝

Ｆ

５

—＞

ａｒｅ

ｂｙ

ｎａｔｕｒａｌ Ｊ （ｏｌｄ）

ｏｆ Ｖ． ｗｅ

ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ

Ｅｖ．Ｃｘ

ｗｈｅｒｅ

ｍｏｒｅ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａ／： ＦＩ

ＪＧ： Ｐ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

Ｅｘａｍｐｌｅ ２．４．３

ｌｉｔｔｌｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈａｔ Ｉ：Ｃ

ｎａｔｕｒａｌ ｗｅ ｃａｎ

ａ

ＦＡ ａｎｄ

Ｓｕｃｈ

ａ

［Ｃ，Ｓｅｔ］

Ｅｖ（ｇ， ／ｉ）

＝

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｅｖ ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

—＞Ｓｅｔ

Ｆｇ Ｆ＇ｇ ｏ ＼ｉＡ ｗｉｔｈ ｇ：Ａ—＞Ａ＇ ｕｓｕａｌｌｙ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ａｓ ａｎ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ

／ｉＡ＇

°

＝

５２

Ｃｈａｐｔｅｒ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．４．４

（１）

Ｇｉｖｅｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｃ ａｎｄ

Ｖ， ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［Ｃ， Ｖ］

ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．４．２ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

（２） Ｖｅｒｉｆｙ

ａ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ａｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．４．２ ｄｏ ｉｎｄｅｅｄ ｙｉｅｌｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｆｕｒｔｈｅｒ， ｇｉｖｅｎ ａ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ

／

？

Ｃ

ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ Ｊ（３

ｏ

（／？

Ｊ ａ ａｎｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｔｈｅ

ａ）ｊ

Ｆ，Ｇ，Ｈ

＾

？Ｖ

ａ：

Ｆ

＞

—＞

Ｇ ａｎｄ

ｆｔ ｏ ａｊ． ｉ＼ｆｏ￡ｅ： ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ． ｏ

＝

Ｊ

ｅ

￡

／？： Ｇ

—＊■

＾

＋Ｆ

ｉｆ， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｊ（（５

ｏ

ａ）

＝

ｍａ＆ｅ ｓｗｒｅ ｙｏｗ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

Ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｎｄ Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ

２．５

Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａ ｏｆ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．５．１

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ＂ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ．＂ Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ Ｓｅｔ， ｔｗｏ ｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｅｉｔｈｅｒ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：Ｘ —＊■ Ｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ａｎｄ ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ， ｏｒ， ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆ：Ｘ —＊Ｙ ａｎｄ ｇ： Ｙ —？ Ｘ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ． Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｔｈａｔ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ ｓｅｔｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ａｎ

Ａ

ｉｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ

ｓｏｍｅ

ｇ： Ｂ

—？

—＊■

Ｂ ｉｎ

Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｓａｉｄ

ｆｇ

＝

ｉ＆＆ ａｎｄ ｇｆ

ｔｏ ｂｅ

＝

ａｎ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｔｈｅｒｅ

ｉｄａ－ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ ｇ ｉｓ

ａｎｄ ｔｈａｔ

／ ｉｓ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ ｇ． Ｇｉｖｅｎ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｎ Ｃ， ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔｏ Ｂ ａｎｄ ｗｒｉｔｅ Ａ Ｂ ｉｆ ｓｕｃｈ ａ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｅｘｉｓｔｓ， ａｎｄ ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｉｔｎｅｓｓｅｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ａ Ｂ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｍａｙ ｂｅ ｍａｎｙ ｓｕｃｈ ｐａｉｒｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ａ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ， ａｎｄ ｉｎ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｗｉｔｈ ｘ， ｙ Ｇ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ｘ ｙ ｉｆｆ ｘ ＜ ｙ ａｎｄ ｙ ＜ ｘ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｃａｎ ｂｅ ｏｎｌｙ ｏｎｅ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｉｔｎｅｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｘ ｙ． ａｎ

ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ

／

＝

＝

＝

＝

Ａｎ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． ｗｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｉｎ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ｎａｔｕｒａｌ

ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ａｎｄ Ｇ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ａｒｅ ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ．

ａｓ ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ ａｎｄ

Ｇ，

ｔｈｅｎ

Ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

２．５．

ａｎｄ

５３

Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．５．２

（１）

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｌｅｔ ／： Ａ

ｉｄ ａ ｓｈｏｗ ｆｈ ｚ＾ｂ ａｎｄ ＃／ ｕｎｉｑｕｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｉｆ ｓｕｃｈ ｅｘｉｓｔｓ． ＝

（２） ｇ

＝

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａｒｅ

ａ

ｔｈａｔ ｇ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ／： Ａ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ，

Ｌｅｍｍａ ２．５．３

Ｌｅｔ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ａ：

Ｆ

—＊■

—＞

—＊■

ｇｆ

Ｇ： Ｃ

＝

Ｂ ａｎｄ ｇ， ｈ： Ｂ

—＊■

ｈ． Ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ａｎｙ

Ｂ ａｎｄ ｇ： Ｂ

—＞

Ｃ ｂｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｉｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／ ｈａｓ ａ

Ａ ｂｅ

Ｉｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ．

／

ａｎｄ

ｉｓ ｔｏｏ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｉｔｓ ｉｎｖｅｒｓｅ？

—＞

Ｖ ｂｅ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ

ａ

ｉｓ

ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｅｔｃ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｖ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ ｉｎ ［Ｃ， Ｖ］ ｗｉｔｈ ｉｎｖｅｒｓｅ （３， ｔｈｅｎ ｅａｃｈ （３ｃ ｉｓ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ ａｃ ｉｎ ￡＞； ａｎｄ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａ

ａ

ｔｈｅ

ｏｆ

［Ｃ， Ｖ］

ｉｎ

／？ｃ

ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ

ａｒｅ

ｉｎ

ａ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｃ ｈａｓ ａ

ａｎ

ｉｎｖｅｒｓｅ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

（ｓａｙ （３ｃ）

ｉｎ

Ｘ＞， ｔｈｅｎ

（３ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ

［Ｃ，Ｖ］．

Ｐｒｏｏｆ

□

Ｄｉｒｅｃｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．５．４

Ｄｏ ｔｈｅ

ｗｈａｔ ｔｈｅ ｌｅｍｍａ ｉｓ

ｓａｙｉｎｇ．

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．５．５

Ｗｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ２．５．３． Ｂｅ ｃａｒｅｆｕｌ ｔｏ ｎｏｔｅ

ｅｍｐｈａｓｉｓｅｄ

ａｔ ｔｈｅ ｓｔａｒｔ ｏｆ ｔｈｉｓ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｗａｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｂｅｈａｖｅｄ ａｎｄ ｎｏｔ

ｓｏ

ｃｈａｐｔｅｒ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ

ｔｈａｔ

ｗｅ ｗｅｒｅ

ｍｕｃｈ ｉｎ ｔｈｅｉｒ ｉｎｔｅｒｎａｌ

ｍａｋｅ－ｕｐ． Ｔｏ ｔｈｉｓ ｅｎｄ ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｅｘｐｅｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ＂Ａ ａｎｄ Ｂ ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｉｎ Ｃ＂ ｉｓ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ＂Ａ ａｎｄ Ｂ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｉｎ Ｃ＂ Ｉｎｄｅｅｄ， ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｓｈｏｗｎ ｔｈｉｓ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｓｅ． Ｔｈｉｓ ｌｅａｄｓ ｕｓ ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｉｆ ｔｗｏ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ａ ｏｎｅ ｔｏ ｏｎｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｔｗｏ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ａｎｄ Ｖ ａｒｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ．Ｃ —＞ Ｖ ａｎｄ Ｇ：Ｖ Ｃ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｅ ： ＦＧ ＧＦ． ｉｄ？， ａｎｄ ｒ）： ｉｄｃ Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｇ ａｎｄ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ Ｖ： Ｇ． ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｂｙ Ｆ： Ｃ —＞

＝

＝

￣

Ｅｘａｍｐｌｅ ２．５．６

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｌｏｏｋ ａｔ

Ｖａｒｔ， ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｓｅｔ．

Ｒｅｃａｌｌ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ｖａｒｔ ｉｓ

ａ

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｒｅｃａｌｌ ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｗｒｉｔｅ １ ｆｏｒ ａ ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ

￣

ｓｅｔ

ａｎ

ａ

ｃｏｓｌｉｃｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

１／Ｓｅｔ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ １／Ｓｅｔ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／： １ （ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ Ａ ｉｓ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ）； ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ

—？

ｃａｓｅ

ｔｈａｔ

Ａ ｗｈｅｒｅ Ａ

ｔｏ

ａ

ｇｉｖｉｎｇ

ａ

５４

Ｃｈａｐｔｅｒ

２．

ｐａｉｒ （Ａ， ａ） ｗｈｅｒｅ ａ Ｇ Ａ， ａｎｄ ａ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ． Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ： （Ａ， ａ） —＞ （Ｂ， ｂ） ａｍｏｕｎｔｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ６

＝

ｇ（ａ），

ｔｈａｔ ｉｓ ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ

（ｃｈｏｏｓｅ

／：Ａ ＊

Ｂ

—？

ｂｅ

ｃａｎ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

７（０

Ａ

＾

＊

｛

＝

＼

ａｓ

ｔｏ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆ？

ｆ？

＊

＾

Ｇ Ａ ａｎｄ

ｔｈｅ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ．

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ａｎｙ ｐａｒｔｉａｌ

ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｔｏｔａｌ ａｎｄ ＊ ＾ Ｂ） ｗｈｅｒｅ ｉｆ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ：Ａ—＞Ｂ

ｔｏ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ

Ｗｅ ｐａｕｓｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ ｂｅｈｉｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

ｆ：Ａｕ｛＊｝—＞

ＢＵ

｛＊｝

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

（ＧｉＵ ｛＊｝； ａｎｄ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ Ａ Ｕ ｛＊｝ （Ｂ Ｕ ｛＊｝） ｃａｎ ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａ ｓｅｔ ｗｉｔｈ ａ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｅｌｅｍｅｎｔ． Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ａｎｙ ｔｏｔａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ ｓｏｕｒｃｅ ｉｓ ａ ｓｅｔ ｗｉｔｈ ａ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｅｌｅｍｅｎｔ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｔｏ ｇｉｖｅ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． ｆｏｒ ａｎｙ

Ｎｏｗ

ｆｏｒｍａｌｌｙ ａｔ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ （Ｘ，ｘｏ） ａｎｄ （Ｙ，ｙｏ） ｂｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ １／Ｓｅｔ， ａｎｄ ／： （Ｘ，ｘ０） Ｄｅｆｉｎｅ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： １／Ｓｅｔ Ｖａｒｔ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｆ（Ｘ，ｘｑ） ｗｅ

ｌｏｏｋ

—＞

Ｆｆ（ｘ＼ ｗｈｅｒｅ ｏｆ

Ｌｅｔ ｇ： Ｘ

ｓｅｔｔｉｎｇ

Ｙ ｂｅ

—？

ＧＸ ｄ＝ （Ｘ Ｕ ￡ Ｐｌ＾ （ｃ＼

ｗｈｅｒｅ ｏｆ

Ｉ｛

＼ ｛＃ｏ｝

Ｘ

ｃｏｕｒｓｅ ｘ Ｇ

ａ

ｆ（ｘ） Ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｆ（ｘ） ＃

ａｎｄ

（Ｙ，ｙｏ） ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｘ ＼ ｛ｘｑ｝ ａｎｄ

ｙ０

Ｆｆ： Ｘ ＼ ｛ｘｏ｝ －？ｙ＼ ｛ｙｏ｝－ ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｇ： Ｖａｒｔ

ａｎｄ

＾Ｋ）

ｌ／？Ｓｅｔ ｂｙ

Ｇ ＾ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｇｇ： Ｘ Ｕ ｛Ｘ｝ －＾７Ｕ ｛Ｙ｝ ａｎｄ ｆ Ｇ Ｘ Ｕ ｛Ｘ｝． ｄｏｅｓ ｇｉｖｅ ｒｉｓｅ ｔｏ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．

Ｔｈｅｎ

ｃｏｕｒｓｅ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

—＞

ａｎｄ

／ ＾Ｋ） ｉｆ ｆ ＾ ＾ ＼ Ｙ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｄＪ；ｆ

Ｌｅｔ

ｕｎｄｅｆｉｎｅｄ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｐａｒｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｄｅｆｉｎｅ

｛Ｘ｝， Ｘ）

—？

＝

＜ｋｆ

１／Ｓｅｔ．

Ｖａｒｔ ａｎｄ

ｍｏｒｅ

ｏｎｅ ｃａｎ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．５．７

（１） Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ Ｄｒａｗ

ｓｏｍｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ｒｅｇａｒｄｅｄ ｐｉｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ．

（２） Ｃｏｍｐｌｅｔｅ

（３）

ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｄｅｔａｉｌｅｄ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

Ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｓｅｔ／Ｂ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｇｉｖｅｎ

ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ａｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆａｍｉｌｙ

／： Ｘ

ｏｆ ｓｅｔｓ

—＞

（Ｘｂ ＼

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．

Ｅｘａｍｐｌｅ

２．５．６．

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｂ－ｉｎｄｅｘｅｄ

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｄｅｘｉｎｇ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ， ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｂ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｓｅｔｓ （／－１（＆） ｜ ６ ￡）， ａｎｄ ｔｈｅ

ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｓｅｔｓ ｗｉｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａ

ｉｎ

ａｓ

ｂ Ｇ

Ｂ） ｇｉｖｅｓ

ｒｉｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆ：｛（ｘ，ｂ） ＼ｘｅＸｂ，ｂｅＢ｝＾Ｂ

Ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ

２．６．

ｗｈｅｒｅ

／（＃， ６）

＝

５５

Ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｂ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｗｅ ｃａｎ

ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｂ

ａｓ ａ

ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ；

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［Ｂ， Ｓｅｔ］ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ Ｓｅｔ／Ｂ． Ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｔｈｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃａｒｅｆｕｌｌｙ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｙｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｒｅａｌｌｙ ｄｏ ｇｉｖｅ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

Ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ

２．６

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．６．１

Ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｓｅｅｎ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

＂ｐｒｏｄｕｃｔ

ｏｆ ｔｗｏ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ＂ ｃａｎ ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａｎ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｓｅｔｓ． Ａｓ ｗｅ ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．１， ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｓｅｔｓ ｉｓ ａｎ ＂ｉｎｔｅｒｎａｌ＂ ｏｎｅ； ｗｅ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔｓ ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ ｃｏｍｐｏｓｅｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ａｓ ｗｅ ｈａｖｅ ａ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｗｈｉｃｈ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｅｓ ｉｔ ｕｐ ｔｏ

ｂｉｓｅｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｍａｋｅ ｕｐ ｏｆ ｔｗｏ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ ｓｅｔｓ ｍａｙ ｂｅ ｖｅｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ， ｂｕｔ ｔｈｅｉｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｍａｙ ｗｅｌｌ ｂｅ ｖｅｒｙ ｓｉｍｉｌａｒ． Ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

Ａ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｎ

ｏｂｊｅｃｔ

？

ａｎ

？

ｔｗｏ

Ａｘ Ｂ ｏｆ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

Ｃ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

７ｒ＾： Ａ ｘ Ｂ

—＞

Ａ ａｎｄ

ｔｔｂ＇－ＡｘＢ—＾Ｂ，

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：Ｃ —＊■ Ａ， ｇ：Ｃ —＊■ Ｂ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｆ，ｇ）：Ｃ —？ Ａｘ Ｂ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ７ｒＡ（ｆ，ｇ） ｆ ａｎｄ ７Ｔｓ（／，ｐ） ｇ． ＝

＝

ｓｉｍｐｌｙ ｔｏ ａ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ Ａ ｘ Ｂ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒｉｐｌｅ （Ａ ｘ Ｂ， ７ｒａ， ｔｔｂ）， ｗｉｔｈｏｕｔ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｍｅｎｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ｍｕｃｈ ａｓ ｉｔ ｉｓ ｃｏｍｍｏｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｔｏ ｓｐｅａｋ ｏｆ ａ ｇｒｏｕｐ Ｇ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ （Ｇ， ｏ， ｅ）． Ｔｈｅ ｄａｔａ ｆｏｒ ａ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ ｍｏｒｅ ｒｅａｄｉｌｙ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ ａｓ ａ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ３！ ｔｏ ｍｅａｎ ＂ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ＂： Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ

Ｃ

Ｊ／３＼（ｆ，ｇ）＼９ ＼

／ Ａ＊

＋

Ａｘ Ｂ

Ｂ

Ｂ， ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ Ａｘ Ｂ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／： Ｃ —＞ Ａ ａｎｄ ｇ： Ｃ Ａｘ Ｂ （ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅ） ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｆ，ｇ）：Ｃ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ／ ａｎｄ ｇ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｈａｓ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｎ Ｃ ｏｆ ａｎｙ ｔｗｏ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ， ａｎｄ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｇｉｖｅｎ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ Ｇｉｖｅｎ

ａ

—？

—？

５６

Ｃｈａｐｔｅｒ

２．

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｐａｉｒ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｓｅｔ ｈａｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ａｘ Ｂ ｛（ａ， ６） ｜ ａ Ｇ Ａ， ｂ Ｇ Ｂ｝ ｗｉｔｈ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔａｌｋｉｎｇ ｏｆ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｓ ａ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｔｈｉｎｇ ｔｏ ｄｏ， ｂｙ ｖｉｒｔｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｒｅｓｕｌｔ． ＝

ＬＥＭＭＡ ２．６．２

Ａ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ

ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｎ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ

ｕｐ ｔｏ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｉｔ ｅｘｉｓｔｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ （Ｐ，Ｐａ，Ｐｂ） ａｎｄ ｛Ｐ＾Ｐａ＾Ｐｂ） ａｒｅ ｔｗｏ ｃａｎｄｉｄａｔｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ （ｊｐａ，Ｐｂ）＇－Ｐ —＞ Ｐ＇ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ Ａ， Ｐｂ＇Ｐ Ｂ， ａｎｄ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｛Ｐ＇，ｐ＇ａｉＰｂ） ｔｏ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｐａ＇．Ｐ （ｊｐ＇ａｉＰｂ）＇－ Ｐ＇ —＞ Ｐ ｅｘｉｓｔｓ ｆｒｏｍ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ． Ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｒｏｏｆ

—＞

—＊■

ｆｏｒｍ Ｐ

Ｐ＇

Ｉ

＊ —

ｐ

—

Ｐａ

Ｐｂ

ｄｅｆ

／ Ｐａ ｛ｐ＇ａ，Ｐｂ）（Ｐａ，Ｐｂ）： Ｐ —＞ Ｐ ａｎｄ ｏｎｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｐａＪ ａｎｄ ｔｈａｔ ｐｓｆ Ｐｂ， ｔｈａｔ ｉｓ ／ ｉｓ ａ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ （Ｐ，Ｐａ，Ｐｂ）＼ ｗｅ ｃａｎ ｐｉｃｔｕｒｅ ｔｈｉｓ ａｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ： Ｂｕｔ ｔｈｅｎ

＝

＝

＝

Ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ ｔｈａｔ ｉｄｐ ｉｓ ａｌｓｏ ｓｕｃｈ

＝

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ，

ｉｄｐ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｏｎｅ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈａｔ ｛ｐａｉＰｂ）｛ｐ＇ａｉＰ＇ｂ） Ｐ＇ ｗｉｔｎｅｓｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｛ｐａ，Ｐｂ｝ ａｎｄ ｛ＰａｉＰｂ）－

ｉｍｐｌｉｅｓ ／ Ｐ

ａ

＝

Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．６．３ ｉｎｄｅｘｅｄ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ

ｈａｓ

？

ａｎ

ａ

ｏｂｊｅｃｔ Ｙｉ＾ｉＡｉ

＝

ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｉｄｐ＇ｉ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｓｏ

＾

ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｔｏ ｓｅｔ－

ｏｂｊｅｃｔｓ．

ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ （Ａｉ ＼ ｉ Ｇ ／） ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ Ｇｉｖｅｎ

ａｎ

ａｎｄ

ｉｎ

Ｃ， ａｎｄ

Ｃ ｗｈｅｒｅ ／ ｉｓ

ａ

ｓｅｔ，

ａ

２．６．

？

Ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｊ Ｇ Ｊ，

５７

Ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ７ｒｊ：ＩｌｉｅｉＡｉ

ａ

—＞

Ａｊ

ｉｎ Ｃ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ

ｊｔｈ ｐｒｏｄｕｃｔ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ， Ａｉ ＼ ｉ Ｇ ／）， ｔｈｅｒｅ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ａｎｄ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｆｆ．Ｃ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （／ｉ ｜ ｉ Ｇ ７）：Ｃ —＊■ ＵｉｅｉＡｉ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｊ Ｇ Ｊ， ｗｅ ｈａｖｅ ｉＴｊ（ｆｉ ｜ ｉ Ｇ ／） ｆｊ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ （ｆｏ ＼ ｉ Ｇ ／） ｉｓ ｔｈｅ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ （ｆｏ ｜ ｉ Ｇ Ｊ）． ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ

—＊■

＝

Ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｐｒｏｄｕｃｔ， ｆｏｒ ａｎｙ ｆａｍｉｌｙ （Ａｉ ＼ ｉ Ｇ ／） ｗｅ ｓｐｅａｋ ｏｆ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ａｎｄ ｎｏｔ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ ｏｎｌｙ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｍｉｍｉｃｓ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ （Ｌｅｍｍａ ２．６．２）． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｓｐｅａｋ ｏｆ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｕ＾ｉＡｉ ｗｉｔｈｏｕｔ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｍｅｎｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． Ｒｅｍａｒｋ ２．６．４

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．６．５

（１）

Ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ

１ ｏｆ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ

ａ

Ｃ ｏｆ ｔｈｅ ａｍｂｉｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＼ｃ＇．Ｃ —？ １． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｆｏｒ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ １ ａｎｄ １＇ ａｒｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＼ｉ＞： １＇ —？ １， ａｎｄ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ！ｘ： １ —？ Ｖ． Ｔｈｕｓ ｂｙ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ

１． Ｂｕｔ １ ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ， ａｎｄ ｓｏ ｗｅ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ＼＼＞ｏ＼ｘ ！ｉ／ｏ！ｘ： １ ｉｄｉ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｒｅ ｈａｓ ｔｏ ｂｅ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ！ｉ： １ １ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｍｕｓｔ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｂｅ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ！ｉｏ！ｘ／ Ｖ ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｄ＼＞ ａｎｄ ｔｈｕｓ １ —＞

＝

—？

＝

ｋｉｎｄ ｏｆ ａｒｇｕｍｅｎｔ

＝

ｕｓｉｎｇ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ｉｓ

ｐｒｅｖａｌｅｎｔ

ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ．

ｅｍｐｔｙ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ （ｔｈａｔ ｉｓ ａ ｆａｍｉｌｙ ｉｎｄｅｘｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ） ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃｌａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔ ｓａｙｓ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ， ｓａｙ １， ａｎｄ ｔｈｅ

（２）

Ａ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｏｆ

ａｎ

ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｒｅｄｕｃｅｓ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｃ

—？

１． Ａ

ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ ｓｅｔ ｉｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｔｏ

ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ．

ｇｌｏｂａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ Ｗｈａｔ ａｒｅ ｇｌｏｂａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ？

（３）

Ａ

（４）

Ｎｏｗ ｌｅｔ ／

＝

（５）

Ｗｈｅｎ ／ ｉｓ

ａ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｒｉｔｅ Ａｉ

｛１，２｝．

Ａ

ｏｆ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ａｎｙ

ｆａｍｉｌｙ （Ａｉ， Ａ２）

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

１

—？■

Ａ．

ｏｆ ｔｗｏ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｓ ｊｕｓｔ ａ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ａ＼ ａｎｄ Ａ２ ａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｏｎ ｐａｇｅ ５５． Ｗｅ ｕｓｕａｌｌｙ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｔｉｉｅ｛ｉｔ２｝Ａｉ ｂｙ Ａ＼ ｘ Ａ２ ａｎｄ ｗｒｉｔｅ （／ｉ，／２） ｆｏｒ ａｎｙ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （／＊！？ ｛１，２｝）． ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｘ

．．．

ａ

ｓｐｅａｋ ｘ

Ａｎ

ｐｒｏｄｕｃｔ． Ｉｆ ／ ｛１，．．．， ｎ｝ ＩＩ＂Ａｉ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ （Ａｉ ＼ ｉ Ｇ ／）．

ｏｆ

ｏｒ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ

＝

５８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ａｂｕｓｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｌｌｏｗ

ＴＬ＾Ａｉ

Ｔｈｕｓ

ｗｉｌｌ ｉｎｄｉｃａｔｅ

ｏｆ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ａ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

Ａ

ｔｏ ｂｅ ０ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ

ｎ

ｏｂｊｅｃｔｓ， ｔｈａｔ ｉｓ，

ｎｏ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ａ

ＩＩ＂Ａ｛．

ｏｂｊｅｃｔ．

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｓｅｔ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｓｕｃｈ ｆａｍｉｌｙ． Ｃ ｈａｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｓｅｔ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｆ ｉｔ ｈａｓ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｈｏｉｃｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｆ ｉｔ ｈａｓ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｒｉｓｅ ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｌｉｔｔｌｅ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ｓｕｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｈａｓ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．６．６

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

／＇： Ａ＇

－＞

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｔａｋｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：Ａ－＋Ｂ ａｎｄ

Ｂ＇． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ

ｗｈｅｒｅ ｔｔ：Ａ

Ａ＇

ｘ

ｗｈｅｒｅ

ｘ

ｉｄＡ＞

ｇ：Ｂ＾Ｃ

＝

ａｎｄ

ｍｅａｎｓ

Ｂ

－＋

Ａ＇

ｘ

ｔｈａｔ ｉｎ

Ｂ＇ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｘ

（ｇ

ｏｎｅ

ｘ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｛ｆｉｒ， ｆｉｒ＇｝

Ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ａ＇．

—？■

ｇｅｎｅｒａｌ

ａｎｄ

ｉｄＡｘＡ＞

ｇ＇＼Ｂ＇

Ａ＇

ｆ＇：Ａｘ

ｘ

Ａ ａｎｄ ｉｔ＇： Ａ

—？■

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｄＡ

ｆ

ｈａｓ

ｇ＇）｛ｆ

ｘ

／＇）

ｇｆ

＝

ｘ

ｇ＇ｆ，

Ｃ＂．

－？？

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．６．７

（１）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ

ａ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｊｕｓｔ ｉｎ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

（２） Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａ

ｉｔ ｈａｓ

ｂｉｎａｒｙ

ｏｂｊｅｃｔ．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｌｅｔ

Ｉ．Ｘ－＋Ａ

ｆ：Ａ＾Ｂ ｈ．Ｃ＾Ｅ

ｈ：Ｂ－＞Ｄ

ｇ：Ａ＾Ｃ

ｂｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

（ｈｘｋ）ｏ（／，ｇ）

（３） Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ

ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．６．８ ａ

ｃａｓｅ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ

ａ

Ａ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ ｏｆ

ａ

ａ

ｐａｉｒ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ

＝

（ｈｆ， ｋｇ） ｉｎ

ａ

ａ

（／，ｇ）ｏｌ

＝

（ｆｌ， ｇｌ）．

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ０９．

ｄｕａｌ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎ

ａｎｄ

ｐｒｏｄｕｃｔ．

Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ０９．

Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｒｅａｄｅｒｓ ｓｈｏｕｌｄ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｆｏｒ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ， ａｎｄ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅｉｒ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ａ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ

ｏｂｊｅｃｔ

ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔｓ

Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｎ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

Ａ ＋ Ｂ ｏｆ Ｃ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ

？

ａｎ

？

ｔｗｏ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉＡ． Ａ

—？■

Ａ ＋ Ｂ ａｎｄ ｔ＃： Ｂ

—？■

Ａ＋

Ｂ，

２．６．

Ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ

５９

Ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：Ａ＾＞Ｃ，ｇ：Ｂ＾Ｃ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ａ

Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ［／， ｇ］ｔＡ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［／， ｇ｝： Ａ ＋ Ｂ ｆ ａｎｄ ［／， ｇ］ｔｓ ｇ－ ｐｉｃｔｕｒｅ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ： —？

Ａ

Ｗｅ

ａ

＾Ａ ＋ Ｂ－＾

ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｆ

？

Ａｎ

？

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ｉｎ

ｏｂｊｅｃｔ Ｔ，｛ ｉＡｉ ｊ

／，

Ｇ

ａ

Ｗｅ

ｃａｎ

Ｂ

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ

ａ

ｏｂｊｅｃｔｓ． Ｇｉｖｅｎ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ （Ａ｛ ＼ ｉ ｓｅｔ， ａ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｆａｍｉｌｙ ／ ｉｓ

ｃａｎ

＝

＝

ｕｎｉｑｕｅ

Ｇ

／）

ｉｎ

ａ

ｏｆ

ａ

ｓｅｔ－ｉｎｄｅｘｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｗｈｅｒｅ

ｄａｔａ：

Ｃ， ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ Ａｊ

—？

Ｔ，ｉ ｉＡ｛ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｊｔｈ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ

ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ， ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ａｎｄ ａｎｙ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｆｔ：Ａｉ—＊Ｃ＼ｉ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｊ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［／ｆ ｜ ｉ Ｇ ／］： Ｈ＾ｊＡｉ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｗｅ

ａ

ｈａｖｅ

—＞

［ｆｔ ｜

ｉ Ｇ

Ｉ］ｉｊ

＝

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ．．．＂ Ｗｅ ｏｆ ｕｎｉｑｕｅ ｇａｄｇｅｔｓ ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｙ

ｐｈｒａｓｅ ＂ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｐｅｒｖａｄｅｓ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｕｃｈ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．

ｕｎｉｑｕｅ

ａ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．６．１０ ｉｓ

／，

ｆｊ．

ｃｌａｕｓｅ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ

Ｇ

Ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ

Ｒｅｍａｒｋ ２．６．９ ａ

ｌ）

ｕｐ ｔｏ

．．．

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ

ａｒｅ

ｏｆ ａｎｙ ｓｅｔ－ｉｎｄｅｘｅｄ

ｋｎｏｗｎ

ａｓ

ｆａｍｉｌｙ

ｏｆ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｉｔ ｅｘｉｓｔｓ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．６．１１

（１）

Ａｎ

Ｕ： ０

ｏｂｊｅｃｔ

０ ｏｆ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｉｎｉｔｉａｌ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｂｊｅｃｔ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ ｕｐ ｔｏ ａ

ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｔｈｅｎ ａ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ａｎ ｅｍｐｔｙ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ （ｔｈａｔ ｉｓ ａ ｆａｍｉｌｙ ｉｎｄｅｘｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ） ｉｓ ａｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｆｏｒ Ｃ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｉｓ．

（２）

—？

Ａ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ａ

Ｓｅｔ， ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅｉｒ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｄｉｓｊｏｉｎｔ

ｕｎｉｏｎ

６０

Ｃｈａｐｔｅｒ ２．

ｄｉｓｊｏｉｎｔ

ｔｈｅ

ｕｎｉｏｎ Ａ ｔｆｃ） Ｂ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ

ａｓ

ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ

Ａ Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

（Ａ

｛Ａ｝） ＼Ｊ（Ｂ

ｘ

ｘ

｛Ｂ｝）

ｗｉｔｈ

ｔｈｅ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｌａ： Ａ＾ Ａ＼ＳＢ

ｗｈｅｒｅ ｌａ ｉｓ ｄｅｎｎｅｄ

ｂｙａｉ－＞ （ａ， Ａ） ｆｏｒ ａｌｌ

ａ

Ｂ ：ｌｂ

＾

￡

Ａ， ａｎｄ ￡＃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎａｌｏｇｏｕｓｌｙ．

（３） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｏｐ ｏｆ Ｘ ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ， ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｏｆ Ｘ ａｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｂｊｅｃｔ， ａｎｄ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． （４）

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶＯＳｅｔ ｈａｓ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｔｈｒｏｕｇｈ

ｔｈｅ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ

ｏｎ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ （ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ ｏｆ） ｐｏｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ａｌｓｏ， ａｎｙ ｏｎｅ ｐｏｉｎｔ ｐｏｓｅｔ ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ．

ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ

Ｉｎ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．６．１２

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ

ｗｅ ｃａｎ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ａｘ（ＢｘＣ） （ＡｘＢ）ｘＣ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｗｅ ｃａｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｒｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒｉｐｌｅ （Ａ， Ｂ，Ｃ）． Ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｌｏｏｓｅｌｙ ｓａｙ ｔｈａｔ Ａｘ （ＢｘＣ）， （ＡｘＢ） ｘＣ ａｎｄ ＡｘＢｘＣ ｅａｃｈ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ， ｂｕｔ ａｒｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｌｙ． Ｉｎ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｍａｋｅ ｕｐ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ， ｂｕｔ ｔｈｅｙ ｗｉｌｌ ｅａｃｈ ｈａｖｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． ａｎｙ

ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ，

Ｉｆ Ｃ ａｎｄ Ｖ

Ｂ ａｎｄ Ｃ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

＝

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｃ —＞ Ｖ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ （Ａ＼，．．．， Ａｎ） ｉｎ Ｃ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｍ

ａｒｅ

＝ｆ （Ｆ－ｋｉ ｜

ｉ ｅ

Ｉ）： Ｆ（Ａｉ

ｘ

．．．

ｘ

Ａｎ）

－＞

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ Ｆｉｔｆ Ｆ（Ａｉ ｘ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ －Ｋｊ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｊ ｅ Ｉ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈａｎ ｍ ｔｏ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ； ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｍ ｉｓ

ａｎ

Ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｔｈａｔ

ｎ

＝

０

ｗｅ

ＦＡＸ

．．．

ｘ

ｘ

Ａｎ）

．．．

—＊

ｘ

ＦＡｎ

ＦＡｊ

ｉｓ Ｆ

ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｈｅｒｅ ｍａｙ ｂｅ ｗｉｔｎｅｓｓｅｓ ｏｔｈｅｒ ａｓ

ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． ｏｂｊｅｃｔｓ， ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆ（ｌｃ） —？ １－ｄ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｗｈｅｒｅ ＼ｑ ａｎｄ ｌｘ？ ａｒｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ｔ＞ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ ｉｓ ｓｔｒｉｃｔ ｉｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．６．１３

Ｆｉｎｄ

ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ

Ｆ｛Ａ

ｘ

ｏｆ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｃ

—？

Ｖ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｂ）＾ＦＡｘＦＢ

ｐａｉｒｓ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｎ Ｃ， ｂｕｔ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｆ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｈｉｎｔ： ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔｓ． ｉｎ Ｖ ｆｏｒ ａｌｌ

Ｎｏｔｅ： Ａｌｌ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ｔｏ ｒｅａｄ

Ｃｈａｐｔｅｒ

３ ｈａｓ

ｎｏｗ

ｂｅｅｎ ｃｏｖｅｒｅｄ．

２．７．

Ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ Ｌｅｍｍａ

６１

Ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ Ｌｅｍｍａ

２．７

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．７．１ ｏｆ ａｌｌ ｓｅｔｓ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ

Ｗｅ ｌｅａｒｎ ｉｎ ａ

ｆｉｒｓｔ

ａ

ｓｅｔ ｂｕｔ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ

ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｓｉｚｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ， ｂｕｔ

ａｒｅ

ｗｅ

ｉｎ ｓｅｔ

ｃｏｕｒｓｅ ａ

ｔｈｅｏｒｙ

ｐｒｏｐｅｒ ｃｌａｓｓ． Ｉｎ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ

ｗｅ

Ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｄｏ ｎｏｔ ｄｅｌｖｅ ｉｎｔｏ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｔａｉｌｓ ｈｅｒｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ，

ｌａｒｇｅ

ａｒｅ

ｉｎ

ａ

ｖｅｒｙ ｒｅａｌ

ｓｅｎｓｅ．

ｈｏｗｅｖｅｒ， ｍａｋｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｓｍａｌｌ ｉｆ ｉｔｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｃａｎ ｂｅ ｉｎｄｅｘｅｄ ｂｙ ａ ｓｅｔ； ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ｉｓ ａ ｓｅｔ． Ｃ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ｐａｉｒ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ ｃａｎ ｂｅ ｉｎｄｅｘｅｄ ｂｙ ａ ｓｅｔ． Ｔｈｉｓ ｓｅｔ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｗｒｉｔｔｅｎ Ｈｏｍｃ（Ａ， Ｂ） ｏｒ Ｃ（Ａ， Ｂ）． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ Ｘ ｉｓ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅｎ

Ｘ｛ｘ，ｙ）

｛＊｝

Ｉ

＝

＜＊＞ｉｆ＊＜２＞

［

０ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｍｅｅｔｓ ｉｎ ｅｖｅｒｙｄａｙ ｕｓｅ ａｒｅ ｉｎｄｅｅｄ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ａｌｗａｙｓ ｓｏ． Ｉｆ Ｃ ｉｓ ｓｍａｌｌ ａｎｄ Ｖ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ， ｔｈｅｎ ［Ｃ， Ｖ］ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ． Ｔｈｉｓ ｗｈｅｒｅ ｘ， ｙ Ｇ Ｘ ａｎｄ

ｉｓ

ｐｏｉｎｔ

ａ ｏｎｅ

ｓｅｔ．

Ｍｏｓｔ

ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｎ

ｂｙ

ｔｈｅ

ｔｏ

ｇｉｖｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

Ｏｉｃ－ ＦＣ ａ

ａ

ｏｆ Ｃ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｉｓ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

—＞

ＧＣ ｉｎ Ｖ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｂＣ

ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

［Ｃ， Ｖ］

ｎｅｅｄ

ａ

ｏｂｊｅｃｔ

ａ

ｌｏｃａｌｌｙ

Ｆ

ａｒｅ

ｉｎｄｅｘｅｄ

ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， Ｇ， ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｓｅｔ

—＞■

Ｃ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｃａｎｄｉｄａｔｅ ｆｏｒ ｓｕｃｈ

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—？

＼Ｊ｛Ｖ｛ＦＣ，ＧＣ） ｜

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｃｈ ｎｏｔ ｂｅ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ．

Ｎｏｗ ｉｔ ｉｓ ｔｉｍｅ ｔｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｏｆ

ａ：

ａ

［Ｃ， Ｔ＞］

ｏｂＣ｝

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｉｆ Ｃ ａｎｄ Ｖ

ｓｏｍｅ ｍｏｒｅ

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ． Ｗｅ

Ｃ ｅ

ｃａｎ

ａｒｅ

ｌｏｃａｌｌｙ

ｓｍａｌｌ ｔｈｅｎ

ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｌｅｔ Ａ ａｎｄ Ｂ ｂｅ

ｄｅｆｉｎｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

Ｃ（－，＋）：ＣｏｐｘＣ＾５ｅｉ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （／， ｇ）： （Ａ， Ｂ）

—？

（Ａ＇， Ｂ＇）

ｉｎ Ｃ＊９

ｘ

Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｃ（ｆ，ｇ）：Ｃ（Ａ，Ｂ）＾Ｃ（Ａ＇，Ｂ＇） ｗｈｅｒｅ

Ｃ（ｆ，ｇ）（ｈ）

ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ａ＇

—＞

＝

ｇｈｆ

Ａ ｉｎ

Ｃ）．

ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｗｅ

ｃａｎ

ｈ：Ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｌｓｏ ｄｅｆｉｎｅ

Ｃ（Ａ，＋）：Ｃ

ａ

—＞

ｆｕｎｃｔｏｒ

－＋Ｓｅｔ．

Ｂ．

（Ｎｏｔｅ

ｔｈａｔ

／

ｉｓ

ａ

６２

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｅｘｐｅｃｔｅｄ，

Ａｓ

ｇ： Ｂ

Ｂ＇ ｉｓ

—？■

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｗｈｅｒｅ ｈ：Ａ

ｔｈｉｓ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔａｋｅｓ ａ

Ｃ（ｊ４，０）：Ｃ（Ａ，￡）

—？

￡．

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ，

－？？

Ｃ（ｊ４，￡＇）

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｄｅｆｉｎｅ

ｗｅ ｃａｎ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

Ａ

Ｃ（Ａ， Ｂ）， ａｎｄ ｉｆ Ｃ（Ａ， ＋） ｔａｋｅｓ ｇ：Ｂ－＋Ｂ＇ ｔｏ

Ｂ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｔ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｏｆ Ｃ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

２．

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

Ｃ（Ａ，＋）

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｃ（Ａ，ｇ）｛ｈ） ＝ｆ ｇｈ，

Ｃ（—，Ｂ）：Ｃ°，ｐ

—？

＜Ｓｅ￡． Ｗｅ

Ｈｂ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ（—，￡）， ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ａｒｅ ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ ｉｓ ｃｌｅａｒ． Ｉｆ ｈ： Ｃ —？ Ｃ＂ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ ｔｈｅｎ ｔｆ＾／ｉ： ｔｆ＾Ｃ －？ ￡ＡＣ＂ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ＨＡ： Ｈａ －＋ ＨＡ，， ｗｉｔｈ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ ＨＡ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｎｏｔａｔｉｏｎ

ａｄｏｐｔｅｄ

ｆｏｒ Ｈｂ－ Ｆｉｎａｌｌｙ，

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ

ｂｙ

ｔｈｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｈ：Ｃ

／： Ａ

—？

Ａ＇ ｉｓ

Ｈｆ：ＨＡ

—＊■

ＨＡ＞． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｈ

［Ｃ，Ｓｅｔ］．

ｏｆ Ｃ＾ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ

［Ｃ＾， ＜Ｓｅ￡］

ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ

ｓｉｍｉｌａｒ

ａ

ｆａｓｈｉｏｎ， ｔｈａｔ ｉｓ

ｌｏｃａｌｌｙ

ｓｍａｌｌ

Ａ

—？

Ａ＇

Ｈｆ：ＨＡ —＞ＨＡ，

ｈ＋

ｗｅ ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ： Ｃ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ａｎｄ Ｖ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｐ°ｐ

ｘ

Ｃ

ｐｏｐ

ｘ

Ｃ

ｉｄｘＦ －

Ｇ＾ｘｉｄ －

ａｒｅ

Ｖ ａｎｄ Ｇ：Ｖ

—？

￡＞（－，＋） ｖ ＼

Ｓｅｔ

ｒｘＣ

Ｃ（－，＋） ＾ ；．

＜Ｓｅ＊

＇

＇

ａｓ

－＋

Ｖ（—，Ｆ＋）， Ｃ（Ｇ—，＋）

Ｓｅｅ ｐａｇｅ ４７ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｇ０９： ｔｈｅ ｏｍｉｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｎｏｔａｔｉｏｎ

Ｃ（Ｇ—，＋）

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ａｒｅ

ｔｏ

Ｃ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ

Ｖ＾ｘＶ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ ｕｓｕａｌｌｙ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｎｄ ｔｈｅ

ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．

：

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ．

ａ

Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ｔｈｅｒｅ

Ａ ｔｏ

—＊■

—＞

［Ｃ， Ｓｅｔ］

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ／

ｗｈｅｒｅ

－？

ｆ：Ａ＇ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ

ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ

ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

ｗｅ

Ｈ： Ｃ＾

ａｎｄ

＂ｏｐ＂

ｉｎ ｔｈｅ

ａｒｉｓｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｇ＊９ ｉｓ

＂ａｐｐｌｙ Ｇ．＂ Ｉｆ Ａ ｉｓ

ｏｂｖｉｏｕｓ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｖ（Ａ， Ｆ＋）： Ｃ

－＞

ｏｆ Ｖ ａｎｄ Ｂ

Ｓｅｔ ａｎｄ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｃ（Ｇ－， Ｂ）： Ｖ°ｐ

ｏｆ

－＞

Ｃ， ｔｈｅｎ

＜Ｓｅ＊．

Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｔａｋｅ ｔｉｍｅ ｔｏ ｆａｍｉｌｉａｒｉｓｅ ｈｉｍｓｅｌｆ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ

ｊｕｓｔ ｂｅｅｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ． Ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ａｒｅ ｅａｓｙ， ａｎｄ ｓｉｍｐｌｙ ｒｅｑｕｉｒｅ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｆａｍｉｌｉａｒｉｔｙ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅｍ ｓｍｏｏｔｈｌｙ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｔｏ ａｓｋ ｉｓ ｗｈｙ ｓｕｃｈ ｄｉｖｅｒｓｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ． Ｔｈｅ ａｎｓｗｅｒ ｉｓ ｓｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｉｎ ｖａｒｉｏｕｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｉｅｓ ｍａｙ ｂｅ ｅａｓｉｅｒ ａｎｄ ｃｌｅａｒｅｒ ｔｏ ｍａｎｉｐｕｌａｔｅ． Ｗｅ ｕｒｇｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｒｅａｄ ａｎｄ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｍａｋｅｓ ｈｅａｖｙ ｕｓｅ ｏｆ ｉｔ． ｈａｓ

Ｌｅｔ Ｇｉｖｅｎ

ｕｓ ａ

ｆｉｎｉｓｈ ｔｈｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｃ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

—？

Ｓｅｔ ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ

ｏｂｊｅｃｔ

ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ，

Ａ ｏｆ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ ｃａｎ

ａ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ

ｗｅ

ｆｉｎｄ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ．

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ

ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ Ｌｅｍｍａ

２．７．

ＨＡ

６３

ｐａｉｒ （ａ， Ａ） ｗｈｅｒｅ ａ Ｇ ＦＡ ｉｓ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ ｉｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＼Ｉ＞： ｉｆＡ —？ Ｆ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ＼Ｉ／ｂ： Ｃ（Ａ， ￡） —？ ＦＢ Ｆ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ

＝

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ＃＃（／） ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ．

＝

ａ

Ｆｆ（ａ）

Ｔｏ

Ｅｘａｍｐｌｅ ２．７．２

ｉｓ

ｇｉｖｅ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ Ｘ ｔｏ

ｍｅａｎｉｎｇ

ａｓ

ａｎ

ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｇ

ｘ

ｔｈａｔ

ｃａｎ ｓｅｅ

ｔｒｕｅ ａｎｄ ０

ｐｏｉｎｔ

Ｗｅ

ｃａｎ

ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ． Ｖ：Ｓｅｔｏｐ ｉｆｆ：

Ｈ＾０，１｝

ｓｅｔ

ｃａｎ

Ｓｅｔ ｉｓ

ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓ

Ｗｅ

ａｒｅ ｎｏｗ

ｉｎ

ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｗｅ

ｔｈｉｎｋ ｏｆ

ｘ

Ｇ Ｘ＇． Ｔｈｕｓ

ｗｅ

ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｓｕｂｓｅｔ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｏ ｆｏｒｍａｌｉｓｅ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ

ａ

Ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｖ｛Ｘ）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ＃

ｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｒｅａｄｉｎｇ， ｔｈｉｓ ｍａｔｅｒｉａｌ ｉｓ ａｎ ｉｎｄｉｓｐｅｎｓａｂｌｅ ｔｏｏｌ

Ｏｎ ｆｉｒｓｔ

ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ

ｕｓｅ．

ｔｏ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ

ｈｅａｖｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｍａｙ ｆｅｅｌ ｒａｔｈｅｒ

ｔｈｅ

ｗｈｉｃｈ ｅｖｅｒｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｉｓｔ ｓｈｏｕｌｄ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｍａｋｅ

ｕｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ

ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｗｅ

ｉｎ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ ｐｏｗｅｒｓｅｔ ｆｕｎｃｔｏｒ

｛０，１｝

—？

ｃａｒｒｙ ｉｎ ｈｉｓ ｋｉｔ ａｎｄ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ

Ｓｅｔ， ｉｆ

ｃｏｎｃｒｅｔｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ

ｗｈｅｎ

ａ

ｓｕｂｓｅｔ Ｘ＇ ｏｆ Ｘ ａｎｄ

＊＂Ｐ（Ｘ）（｛１｝）－Ｘ￣１（｛１｝）

Ｓｅｔ（Ｘ， ｛０，１｝）

：

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．７．３ ｌｅｍｍａ．

ａ

ａ

ｎｏｔ ｔｈａｔ

ｏｒ

（ｏｒ ｃｏｄｅ）

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ （｛１｝，｛０，１｝）．

ｗｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ ａｎｙ ｓｅｔ ａｎｄ ＼： Ｘ ａ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ

ｃａｓｅ

ｌｏｏｋ ａｔ

Ｂ ｉｓ ａｎｙ

Ｖ ｈａｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

—＞

＊＊

ｉｓ

ｔｗｏ

ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ

ｕｓｅ

—？■

ｇｉｖｅｎ ｓｅｔ Ｘ， Ｖ（Ｘ）， ｉｓ ｐｏｉｎｔ ｓｅｔ ｛０，１｝． Ｆｏｒ ｉｆ

ａｓｋ ｗｈｅｔｈｅｒ ｉｔ ｉｓ ｔｒｕｅ

Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

—？■

ａ

ｗｅ

／：Ａ

ａ

ｍｅａｎｉｎｇ ｆａｌｓｅ， ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｎ

ａｓ

ｗｅ ｃａｎ

ｔｗｏ

ａ

ｔｈｅｓｅ ｉｄｅａｓ．

Ｘ，

ｗｈｅｒｅ

ｆｅｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｓｏｍｅ

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

ｅｘａｍｐｌｅ． １

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ，

ｃｈｏｏｓｅ ａｎｙ

ｏｂｊｅｃｔ

ａ

Ａ

ｄａｔａｔｙｐｅｓ ｉｎ ｌａｔｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ． Ｒｏｕｇｈｌｙ， ｔｈｅ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ａｎｄ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ —＊

ｏｆ ＦＡ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ＨＡ ｔｏ Ｆ．

Ｌｅｍｍａ ２．７．４ Ａ

ａｎ

ＨＡ

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａ

ｌｏｃａｌｌｙ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ Ｎａｔ（ＨＡ， Ｆ）

—＞

Ｆ ｉｓ

ａ

ｓｅｔ ａｎｄ ｓｏ

ｗｅ ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

Ｎａｔ（Ｈ￣，＋） ａｓ

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ， Ｆ．Ｃ

ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｔｈｅ

：

Ｃ

ａ

ｘ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｐ， ｙ）： （Ａ，Ｆ）

—？■

Ｓｅｔ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ

ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｆｕｎｃｔｏｒ

［Ｃ，Ｓｅｔ］ —？

—？

（Ａ＇， Ｆ＇）

Ｓｅｔ ｉｎ Ｃ

ｘ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｎａｔ（Ｈ９，ｆｉ）：Ｎａｔ（ＨＡ，Ｆ）

－＞

Ｎａｔ（ＨＡ＞，Ｆ＇）

［Ｃ，Ｓｅｔ］

ｉｓ ｔａｋｅｎ ｔｏ

６４

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｎｎｅｄ

ｂｙ Ｎａｔ（Ｈ９，／Ｊ＞）（ａ）

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｒｅｃａｌｌ ａｌｓｏ

＝

（ｐａｇｅ ５１）

Ｅｖ．Ｃｘ Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ， ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ）

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｆｉｏａｏＨ９

ｗｈｅｒｅ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

２．

ａ：

ＨＡ

—？

Ｆ ｉｓ

ｎａｔｕｒａｌ

ａ

ｔｈｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ

［Ｃ，Ｓｅｔ］

—＞Ｓｅｔ．

Ｅｖｉ＾ｆ． Ｉｆ Ａ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ￥：Ｎａｔ（Ｈ￣，＋） ｔｏ ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ＝

ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ

＊ｉＡｔＦ）：Ｎａｔ｛ＨＡ，Ｆ）！＊ＦＡ：＊｛Ａｆ） ａｎｄ ｔｈｉｓ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｐｒｏｏｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｖｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

Ｎａｔ（ＨＡ， Ｆ） ａｎ

ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ａ

（Ａ， Ｆ）． ｐｒｏｏｆ，

ｂｅｔｗｅｅｎ

ｓｅｔ ａｎｄ ｔｈｕｓ

ｗｅ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ａ ａｎｄ Ｆ

Ｎａｔ（ＨＡ， Ｆ）

Ｎａｔ（Ｈ￣， ＋）

ａｎｄ

ＦＡ， ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ ｔｈａｔ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｗｅ

ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

￥｛Ａ，Ｆ）：Ｎａｔ（ＨＡ，Ｆ）＾ＦＡ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ￥（ａ，ｆ）｛＆） ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

＝

ｏ＾ａ＾ａ）

ｆｏｒ

ａ：

ＨＡ －＞Ｆａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ａｎｄ

＊ｉＡｉＦ）：ＦＡ－＋Ｎａｔ（ＨＡ，Ｆ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ＾（ａ，ｆ）（ｏ）ｂ（／）

＾（ａ，ｆ）（ｏ）ｂ ａｎｄ

／： Ａ

Ｆｆ（ａ）

ｗｈｅｒｅ

ａ

ＦＡ，

Ｇ

Ｂ ｉｓ

ａｎ

Ｂ ｉｓ

ｏｎｅ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｉｎ

Ｃ， ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ

ｈａｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｔｙ（Ａ，Ｆ）（ａ）

ｉｓ

ａ

ｏｆ Ｃ，

ｏｂｊｅｃｔ

ｔｙ（Ａ，Ｆ）｛ａ） ＾（ａ，ｆ）｛＾）ｂ＇＇ Ｃ（Ａ， Ｂ）

ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

—？■

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

＝

Ｂ，

ａｔ

—？

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．

ＦＢ．

Ｗｅ

ｕｒｇｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ． Ｎｏｗ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｓ ￥（ａ，ｆ） ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｂｉｊｅｃｔｉｏｎｓ） ｗｉｔｈ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ Ｖ（ａ，ｆ）－ Ｏｎｅ ｗａｙ ｒｏｕｎｄ， ｗｅ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ＾（ａ，ｆ）＾（ａ，ｆ） Ｖ（Ａ，Ｆ）（＜ＸＡ｛ｉｄＡ））－ ｉｄＮａｔ（ＨＡ，Ｆ）＇ Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ， ｆｉｒｓｔ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｖ｛ａ，ｆ）￥（ａ，ｆ）（＜ｘ） ｗｅ

＝

＝

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｈａｖｅ

＊（Ａ，Ｆ）｛＜ＸＡ（ｉｄＡ））Ｂ｛ｆ） ｂｅｃａｕｓｅ

ａ

ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ

＝

＝

Ｆｆ｛ａＡ（ｉｄＡ））

ａ＾ｉｆ＾ｚｃ＾））

＝

ＯｉＢ（ｆ ｏ ｉｄａ）

＝

＜＊Ｂ｛ｆ）．

＊＆（Ａ，Ｆ）（＆Ａ（ｉｄＡ）） ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｔｙ（Ａ，Ｆ）￥（Ａ，Ｆ）｛＆）

Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ

ａｓ

ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ

ａｎｄ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｔｈｏｓｅ ｏｆ ａ ａｒｅ

ａ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｉｄｅｎｔｉｃａｌ，

ａｓ

２．７．

Ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｗａｙ ｗｅ

６５

Ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ Ｌｅｍｍａ

ｗｅ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

￥（ａ，ｆ）＾（ａ，ｆ）

＝

ｉｄｐＡ－ Ｌｅｔ

Ｇ

ａ

ＦＡ； ｔｈｅｎ

ｈａｖｅ

￥（Ａ，Ｆ）＊（Ａ，Ｆ）｛ａ）

￥（Ｗ＊Ｗ）（ｆｌ））

＝

＾（Ａ，Ｆ）｛ａ）Ａ（ｉｄＡ） （Ｆ（ｉｄＡ））（ａ） ａ．

＝

Ｈｅｎｃｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ

Ｎａｔ（ＨＡ， Ｆ）， ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｅｔ ＦＡ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

￥（ａ，ｆ）

Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｎｄ ＃． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ￥

Ｖ（ａ，ｆ） ｇｉｖｅ Ｎａｔ（Ｈ￣， ＋）

ａｎｄ ：

ａ

ｓｅｔ．

ｒｉｓｅ ｔｏ ｎａｔｕｒａｌ

Ｆｖ ｉｓ

—？

ａ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

￥

ｎａｔｕｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ＦＡ

Ｎａｔ｛ＨＡ，Ｆ）－

Ｎａｔ（Ｈ９，ｆｉ）＼

Ｆ＇ｐ

Ｎａｔ｛ＨＡ＇，Ｆ＇） ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ ａ

ｂｅ

ａ

（ｇ，ｆｉ）：（Ａ，Ｆ）

—？

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ＨＡ ｔｏ Ｆ． Ｔｈｅｎ

（￥（＾）ｏｔｆａ＊（ｆｆ＊，Ｍ））（ａＯ

＝

＝

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ￥ （Ａ＇，Ｆ＇）

＝

＝

＝

Ｂｕｔ

ｉｓ

ｎｏｗ

ｗｅ

ａｒｅ

ｆｊ，Ａ

Ｆ＇Ａ＇

￥ （Ａ＇，Ｆ＞）

（Ａ７， Ｆ＇）

ｏ

ｗｅ

ｉｎ Ｃ

［Ｃ，？Ｓｅ￡］．

ｘ

ｈａｖｅ

￥（Ａ＇ｆ）（Ｎａｔ（Ｈａ，ｒｉ（ａ）） ￥（Ａ＞，Ｆ＞）（ｖｏａ°Ｈ９） ｛ｌ＾ｏａｏ Ｈｇ）Ａ＇（ｉｄＡ＇）

（ｆｉＡ＇ｏ ａＡ＞

ｏ

Ｈ％）（ｉｄＡｉ）

（ｆｊＬＡ＇ｏ ａＡ＇）｛Ｈ％｛ｉｄＡ＇））

＝

｛ｆｉＡ＇ｏａＡ＇）（ＨＡ（ｉｄＡ））

＝

（ｆｊＬＡ＞

ｏ

ａＡ＇

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ａ

＝

（／ｘ＾＇

ｏ

Ｆｐ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ｆｉ

＝

（Ｆ＇ｇ ｏ ＼ｉＡ

ｏ

ＨＡ）｛ｉｄＡ）

ｏ ａ

ｏ

ａ） ｛ｉｄａ）

￥（ＡｔＦ））（ａ）．

ｄｏｎｅ， ｆｏｒ Ｌｅｍｍａ ２．５．３ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ＼￡ ｍｕｓｔ ｂｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ａｎ

ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ ￥．

Ｌｅｔ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ □

６６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｉｔ ｉｓ ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ｔｏ

Ｅｘａｍｐｌｅ ２．７．５

ｆｏｒ ｇｒｏｕｐｓ ａｒｉｓｅｓ

ｔｈｅｏｒｅｍ

ｓｏ

ｇｒｏｕｐ； ｇ－．－ｋ

Ｇ

ｂｅ

ｃａｎ

ｓｐｅｃｉａｌ

ａｓ ａ

ｒｅｇａｒｄｅｄ

ａｓ ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

ｈｏｗ ｔｈｅ

ｓｅｅ

ｃａｓｅ

２．

Ｃａｙｌｅｙ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ

ｏｎｅ

ｏｂｊｅｃｔ

＊

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｇ Ｇ Ｇ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｇ

—＞ ？

ｇ：

＊ —？

Ｔｇ＼Ｇ

Ｉ—？

＊

ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｇ ｉｓ ｄｅｎｎｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ

ｂｙ ｒｇ（ｈ） Ｃ

Ｎａｔ（Ｈ＊，Ｆ）

Ｌｅｔ Ｇ ｂｅ

ｏｆ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ

ａｎｄ

ａ

Ｓｅｔ

—＊■

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

Ｇ

—？■

ｈｇ ｆｏｒ ａｌｌ ｈ Ｇ Ｇ． Ｌｅｔ

＝

Ｐｒｉｍｅｒ

ｕｓ

ｓｈｏｗ

（１）

Ｐｅｒｍ｛Ｇ）

Ｐｅｒｍ（Ｇ） ｉｓ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ （ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｎａｔ（Ｈ＊，Ｆ） ｉｓ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｇｒｏｕｐ ｖｉａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｏｆ） Ｇ，

ｗｈｅｒｅ

ｓｅｔ

ａｎｄ

ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｔｏ ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ

ｂｙ

ａ

ａ：

Ｇ

ｏｎ

Ｇ，

ｉｆ ｈ Ｇ

ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｈ＊

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａ＊： —＞

ｓｅｅ

Ｇ（＊，＊）

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ａ

—？■

Ｆ（＊），

Ｇ． Ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ

Ｇ， ａｎｄ ｉｆ

ｅ

Ｇ Ｇ ｉｓ ｔｈｅ

ａ

ｔｈａｔ ｉｓ

ｔｅｌｌｓ

（ｏｖｅｒｌｏａｄｉｎｇ

ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

ｕｓ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｅｌｅｍｅｎｔ

ａ（ａ（ｅ）＿１ ｈ）

＝

ａ

Ｈ＊

ａ：

ｔｈｅ

—＞

—？■

Ｆ ｉｓ

Ｆ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

ｎｏｔａｔｉｏｎ）

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ａ

ｏｎ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｇ； ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ

ｈａｖｅ

ｗｅ

ａ（ｅ） ａ（ｅ）＂１

ｈ

＝

ｈ

ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ； ｉｎｊｅｃｔｉｖｉｔｙ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ． Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ， ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ

ｓｏ ａ

ｉｓ

Ｇ－＝＋Ｎａｔ（Ｈ＊， Ｆ）

（２）

ｇ＾Ｔｇ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ． Ｐｕｔｔｉｎｇ （１） ａｎｄ （２） ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ Ｇ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔｏ ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｇ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｃａｙｌｅｙ＇ｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ． ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ

ａｎ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．７．６

（１） Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ ＃ ｉｎ

（２） Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｆｏｒ ａｎｙ

（３）

Ｅｘａｍｐｌｅ

２．７．２ ｉｓ

ａ

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ

ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

Ｈ．Ｃ

［ａ＊＊， Ｓｅｔ］

－＋

ａ

—＊

（ａ） Ｉｆ Ｆｘ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ ０， ｗｈａｔ

（ｂ） ａｎ

Ｌｅｔ

ａ

Ｘ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｏ

ｇｉｖｅ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｅｘ Ｇ Ｆｘ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｙ Ｇ Ｘ ａｎｄ

（ｃ） Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ

ａ

ｆｕｌｌ ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ

ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ．

Ｓｅｔ ｂｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒ ａｎｄ ｌｅｔ Ｆ： Ｘ ｘ ＊－＋ Ｆｘ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ ｘ ＜ ｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ．

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ｉｓ

ｘ

ｘ

ａ

ｃａｎ ｗｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｅｒｅ

／Ｘ）Ｊ／： Ｆｘ

ｉ－＞

ｓａｙ ａｂｏｕｔ

ｘ

ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ

ａ

—＞

ａ：

Ｈａ

—？■

＜ ｘ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

＜ ｙ．

ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ．

ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ

Ｆｙ

ｆｏｒ ｔｈｅ

Ｇ Ｘ？

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｇ Ｘ

ｗｅ

Ｆ ｉｓ ｔｏ

／Ｘ）ｙ（ｅｚ）

ｇｉｖｅ ＝

ｅｙ

２．８．

Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｌｏｓｅｄ

２．８

６７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｌｏｓｅｄ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．８．１

Ｗｅ

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ｓｏｍｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ ｂｅｈｉｎｄ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ． Ｇｉｖｅｎ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ， ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ａ Ｂ ｉｓ ａｇａｉｎ ａ ｓｅｔ， ｗｒｉｔｔｅｎ Ｓｅｔ（Ａ， Ｂ） ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｔｈｕｓ Ｓｅｔ（Ａ， Ｂ） ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｍｂｉｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ． Ｉｎ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｆｏｒ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ＝￥＞ Ｂ ｏｆ Ｃ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｍａｋｉｎｇ ｉｔ ＂ｒｅｓｅｍｂｌｅ＂ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ Ｂ ｉｎ Ｃ． Ａｌｓｏ， ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ， ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ Ｂ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｐａｉｒ ｏｆ ｓｅｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｖ： （Ａ ＝＞ Ｂ） ｘ Ａ ｅｖ（ｆ，ａ） ｆ（ａ）， ｆｏｒ ａｎｙ ｆ．Ａ＾Ｂ ａｎｄ ａ Ｇ Ａ， ｗｈｉｃｈ ＂ｅｖａｌｕａｔｅｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｔ ａｎ ａｒｇｕｍｅｎｔ．＂ Ｂｅａｒｉｎｇ ｔｈｉｓ ｉｎ ｍｉｎｄ， ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． —＞

—＞

—＊■

＝

Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｎｙ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ａ

Ｂ ａｎｄ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

ｅｖ：

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｆ ｉｔ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ａｎｄ ｆｏｒ

ｏｂｊｅｃｔ

（Ｂ

＝？

Ｃ）

Ｂ

＝＞

ｘ

Ｂ

Ｃ ａｎｄ －＞

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｃ

ｆ：ＡｘＢ－＋Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ａ（／）： Ａ （Ｂ ＝＞ Ｃ） ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ／ ｅｖｏ（＼（ｆ）ｘｉｄＢ）． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ Ｂ ＝￥＞ Ｃ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｏｆ Ｂ ａｎｄ Ｃ ａｎｄ ｅｖ ｏ （ｇ ｘ ｚｃ＾） ｆｏｒ Ａ（／） ｉｓ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｍａｔｅ ｏｆ ／． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ ｇ＊ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ： Ａ （Ｊ？ ＝＞？ Ｃ）． ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ

—？■

＝

＝

—？

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．８．２

（１）

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｓｅｅ

ｌａｔｅｒ

ｏｎ

ｔｈａｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｉｓｅ ｂｅｉｎｇ ｗｅ ｓｉｍｐｌｙ

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ

Ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ

ｗｉｔｈ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ｏｕｒ

ｔｈｅｏｒｙ． ｆｉｒｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ａｓ

ｎａｔｕｒａｌ ｍｏｄｅｌｓ

ｈｉｎｔ ａｔ ｔｈｉｓ ｆａｃｔ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ ｉｓ

｛０｝

ａｎｄ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ．

Ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ａ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｉｓ

（ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ） ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ａｒｅ

ａ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｖ： （Ａ ＝＞ Ｂ） ｘ Ａ Ｂ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｅｖ（ｆ， ａ） ｆ（ａ）， ｗｈｅｒｅ ａ Ｇ Ａ ａｎｄ ｆ：Ａ－＋Ｂ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ／：Ｘｘｉ－＞Ｂｗｅ ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ Ａ（／）： Ｘ （Ａ ＝＞ Ｂ） —？■

＝

—＞

ｂｙ ｌｅｔｔｉｎｇ Ｘ（ｆ）（ｘ）（ａ） ｆ（ｘ， ａ） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｘ ｔｈａｔ ／ ｅｖ（＼（ｆ） ｘ ｉｄ） ａｎｄ ｔｈａｔ Ａ（／） ｉｓ ＝

＝

ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｎｏｗ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ Ｓｅｔ， Ｘ（ｆ）

（２）

ｗｅ ｃａｎ

ｍａｙ ｂｅ

ａｎｏｔｈｅｒ ｓｍａｌｌ

ｔｈｅ

ａ

Ａ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ

ｕｎｉｑｕｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｂｅｇｉｎ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ＂ｃｕｒｒｉｅｄ＂ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／．

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃａｔ ｏｆ ｓｍａｌｌ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ｖ

Ｘ ａｎｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ， ｂｅｉｎｇ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［Ｃ， Ｖ＼．

ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

［Ｃ， Ｖ］

ｉｓ

６８

Ｃｈａｐｔｅｒ

（３）

Ａ

ｌａｔｔｉｃｅ ｖｉｅｗｅｄ

Ｈｅｙｔｉｎｇ

Ｈｅｙｔｉｎｇ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

ａｓ

ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

Ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ， ｗｉｔｈ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ．

ａｓ

２．

Ｉｎ ｆａｃｔ ｓｕｃｈ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ ａｌｓｏ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

（４）

ｃｌｏｓｅｄ． Ｔｈｉｓ ｉｓ

ｔｒｉｃｋｙ

ｔｏ ｐｒｏｖｅ， ａｎｄ

Ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ａ

ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ

ａｓ ａ

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ．

ｗｏｕｌｄ ｂｅ

ａｓ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｂ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｏｆ Ｂ ａｎｄ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｓｅｔ ｓｅｔ ｏｆ

ｅｘａｍｐｌｅ

ｓｔａｔｅ ｔｈｅ

ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＳＤｏｍ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ．

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．８．３ Ｐｒｏｏｆ

ｓｏ ｗｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ＳＤｏｍ，

（ｓｏ ｇｉｖｅｎ ｆ，ｇ：Ｂ

—？

ｅｘｐｅｃｔｅｄ． Ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ， ａｎｄ ａｎｄ Ｃ ｂｅ ｔｗｏ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ． Ｔｈｅ

ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｂ

Ｃ ｔｈｅｎ

／

＜ ｇ ｉｆｆ

／（＆）

＜

Ｃ ｗｉｔｈ

—？

ｈｏｌｄｓ ｉｎ

ｇ（ｂ）

Ｃ． Ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｅｖ： （Ｂ ＝＞ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｅｖ（ｆ，ｂ） Ｃ） ｘ Ｂ ／（＆）． Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：ＡｘＢ－＋Ｃｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｘ（ｆ）：Ａ （Ｂ ＝＞ Ｃ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ａ（／） （ａ）（６） ｆ（ａ，ｂ）． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｍａｋｅ ｓｅｎｓｅ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｔｈｉｎｇ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ ｃｌｅａｒ ｉｓ ｔｈａｔ Ｂ ＝＞ Ｃ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ． Ｉｆ Ｆ Ｃ Ｂ ＝＞ Ｃ ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ， ｔｈｅｎ ＼＿＼Ｂ＾ＣＦ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （ＬＷＦ）（＆） Ｕｃ｛ｆ（ｂ） ＼ ｆ ｅＦ｝ ｆｏｒ ｅａｃｈ ６ Ｇ Ｂ． Ｏｎｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｂｏｕｎｄｅｄ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ Ｂ ＝￥＞ Ｃ ｉｓ ａｌｇｅｂｒａｉｃ． Ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｂ Ｇ Ｂ° ａｎｄ ｃ Ｇ Ｃ° ｂｙ ［ｂ，ｃ］：Ｂ ｓｅｔｔｉｎｇ （ｆｏｒ ｘ Ｇ Ｂ） Ｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｂ Ｇ

Ｂ），

ｗｈｉｃｈ

ｓｈａｌｌ ｄｅｎｏｔｅ

ｗｅ

Ｂ

ｂｙ

＝＞

—？■

＝

—？■

＝

＝

—？

ｒ

，

Ｍ（Ｘ） Ｎｏｔｅ： Ａｓ

ａ

ｂ Ｇ Ｂ° ａｎｄ

ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｃ Ｇ

＝

／

（

ｃ

ｉｆ ｂ＜ｘ

± ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｎｏｔａｔｉｏｎ， ｗｈｅｎｅｖｅｒ

ｗｅ

ｗｒｉｔｅ

［ｂ， ｃ］

ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｉｍｐｌｉｃｉｔ

Ｃ°． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｂ

ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ； ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｏｓｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ／ ［６１｝ ｃｘ］ Ｖ

ｐｒｏｖｅ ａｒｅ

＝

ｆｏｒ ｆｉｎｉｔｅ Ｂ

＝＞

ｎ

Ｇ Ｎ ｗｈｅｒｅ ｃ＊ ＜

Ｃ ｉｓ ｂｏｕｎｄｅｄ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｆｉｒｓｔ

ｗｅ

／（＆；）

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ，

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

／

Ｖ

＝￥＞

Ｃ

［６ｎ， ｃｊ

ｅｘｉｓｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｎ

｛＼ｆ［ｂｉ，Ｃｉ］ ｜ ｆ＝ｉ

ｏｎｅ ｃａｎ

ｊｏｉｎ

Ｃ ａｎｄ

ｏｆ Ｂ

．．．

ｆｏｒ ｅａｃｈ １ ＜ ｉ ＜ ｎ； ｔｈｅ

ａｎｄ

＝＞

ｔｈａｔ

ｎ

ｎ

Ｇ

Ｎ，Ｃｊ

＜

Ｖｆｅ＞ｃｊ］（＆ｉ）＞ １

＜

ｉ

＜

ｎ｝

Ｃ

（Ｂ

＝＞

Ｃ）°．

（１）

ｆ＝ｉ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｖ？＝ｉ ［＆＊．＜＊］ ＜ Ｕ＾ ｆｏｒ Ｆ Ｃ Ｉ？ ＝＞ Ｃ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｎｙ ｊ ｗｈｅｒｅ １ ＜ ｊ ＜ ｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｃ，－ ＜ Ｖ？＝ｉ［＆？，＜＊］（６，－） ＜ Ｕ｛／（＆；） Ｉ ／ Ｆ｝ ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｃ？ ＜ ／ｊ（＆ｊ） ｆ°ｒ ｓｏｍｅ ／ｊ Ｇ Ｆ， ｂｅｃａｕｓｅ Ｃｊ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ． Ｈｅｎｃｅ ［ｂｊ，Ｃｊ］ ＜ ｆｊ ｆｏｒ

２．８．

Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｌｏｓｅｄ

ａｎｙ

ｊ，

ｓｏ

Ｖ？＝ｉ［＾，ｑ］

／？ Ｔｈｕｓ Ｖ？＝ｉ［＆ｉ，Ｃｉ］

＜

＝＞

Ｃ）°

Ｃ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ，

ｆ ｘ

｛ｉ

＝

｜ ｂｉ

ｗｅ

Ｇ

ｎ

ｃｌａｉｍ ｔｈａｔ

Ｎ，Ｃｉ

ｓｏ

（１）

＜

Ｇ Ｆ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｈｏｌｄｓ． Ｎｏｗ

Ｖｆｅ＞＊］＆）＞ １

＜

＜

？？＇ ＾

Ｖｊ ｊｃ｛ｉ，．．．，ｎ｝ ｃｊ

＾

／（ｘ）

ｉ ＜

ｓｈｏｗ

ｗｅ

（２）

ｎ＞－

／： Ｂ

ａｎｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｇｉｖｅｎ

ＬＫ Ｖｆｅ．＊］ Ｉ＾Ｎ＾＜ ｆ（ｂｉ）Ａ＜

Ｖ？＝ｉ［＾？ｑ］（＾） ｘ｝． Ｓｏ

＜

ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ａｎｄ

｛＼ｆｌｂｉ，＊］ ｜

Ｇ Ｉ？ ｔｈｅｎ

Ｇ Ｎ

ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ／

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄｎｅｓｓ ｏｆ Ｆ

（Ｂ

Ｉｆ

６９

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

—＞

Ｃ，

（３）

ｎ｝．

ｗｈｅｒｅ

ｈａｖｅ ｓｅｔ Ｊ

ｗｅ

＝

ｎ

Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

／

＜

ＬＫＶＭ Ｉ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ． Ｔａｋｅ ｘ ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ ｏｆ Ｂ． Ｂｙ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ

Ｎ，ｃ＊

ｎ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

＜

／（６ｆ），ｌ

Ｂ ｗｈｅｒｅ

ｏｆ

／

ｘ

＝

＜

ｔ

＜

｜Ｊ｛６

Ｇ

ｎ｝ Ｂ°

｜

６ ＜

ｘ｝ ｂｙ

ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｗｈｅｎｅｖｅｒ

ｂｅＢ° ｗｉｔｈ ６ ＜ ｘ， ｔｈｅｎ

／（＆）

＜

ＬＫ Ｖｆｅ． ＜＊］（＊） Ｉ

＂

Ｇ

Ｎ，ｃｆ

＜

／（６ｆ），ｌ

＜ ｉ ＜

ｎ｝．

Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ Ｖ｛Ｍ｜＆Ｇ￡°，ｃｇＣ°，ｃ ＜／（＆）｝＜

ａｎｄ

ｓｏ

ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｆ（ｂ） Ｂｕｔ ａｌｌ

ｕｓｉｎｇ

ｗｅ

ｔｈｅ

＜

＼Ｊ｛｛ｂ，ｃ｝（ｘ） ＼ｂｅＢ°，ｃｅＣ°，ｃ＜ ｆ（ｂ）｝．

ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ

ｏｆ Ｃ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｆ ｃ ＜

Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ

ｃ ＜

ａｎｄ

ｔｈａｔ ＳＤｏｍ ｉｓ

／（＆）

ｈａｖｅ

ｆ（ｂ）

ａ

Ｕ｛ｃ

ｆｏｒ ｃｏｍｐａｃｔ

ｘ

ｔｈｅｎ

ｃ

ｃ

Ｇ Ｃ°

｜

ｃ ＜

ｆ｛ｂ）｝

ａｎｄ

ｓｏ

ａｎｄ ｂ ｔｈｅｎ

［６， ｃ］（ｘ）， ｓｈｏｗｉｎｇ （３）． Ｈｅｎｃｅ ｉｆ Ｖ？＝ｉ［＆ｉ，ｃｆ］， ｓｈｏｗｉｎｇ （２）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ —

（３） ｗｅ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ／ （３） ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｐｒｏｖｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ． ｆｒｏｍ

＝

＼ｆ｛［ｂ， ｃ］（ｘ） ＼ｂｅＢ°，ｃｅＣ°，ｃ＜ ／（＆）｝．

ｉｍｍｅｄｉａｔｅ， ｆｏｒ ｉｆ ｂ ＜

ｆ ｅ（Ｂ＝＞ Ｃ）°，

（１）， （２）

ｗｅ

＝

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

Ｔｈｉｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ

ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ □

７０

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｅ ｃａｎ ｇｉｖｅ Ｌｅｔ ｕｓ ａ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｂｅｉｎｇ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ． ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｓｏｍｅ ｍｏｒｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｓ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．８．５． Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ａ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｌｅｔ Ａ， Ａ＇， Ｂ ａｎｄ Ｃ ｂｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ＾ｉ＇－＾Ａａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｄｅｆｉｎｅ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃ＊９ Ｓｅｔ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ， ｗｈｅｒｅ ／： Ａ ｘ Ｂ Ｃ ｉｓ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ： Ｉｎ ｔｈｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．８．４

ｃａｓｅ

—？

—？

ｇ：Ａ＇－＋Ａ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｗｅ

Ｆｇ：Ｃ（Ａ

ｋ＾

ｓｈａｌｌ ｏｆｔｅｎ ｗｒｉｔｅ

ｘ

Ｃ（—

Ｃ（—

ｘ

Ｂ， Ｃ）

Ｃ０９ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｉｓ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｆｆ，Ｃ）

ｘ

／

￣

Ｂ， ＣＹＣ＊９

＝？

／（Ｐ

ｉｄ＊＼

Ｘ

Ｃ（Ａ＇

ｘ

Ｂ，Ｃ）．

Ｓｅｔ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｒｅｃａｌｌ

—？

ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｃ（－ ｘＢ，Ｃ）＾ Ｃ＊（Ｂ Ｎｏｗ

ａ

Ｃ， －） ｄ＝ Ｃ（－， Ｂ

ａｎ

＝？

ｏｂｊｅｃｔ

Ｂ

＝＞

Ｃ ｉｎ

Ｃ）．

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．８．５

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ａ

ｌｏｃａｌｌｙ

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｂ ａｎｄ Ｃ ａｒｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ． Ｉｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ（— ｘ Ｂ， Ｃ） ｉｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｂｙ ｓｏｍｅ ｏｂｊｅｃｔ Ｂ ＝＞ Ｃ ｆｏｒ ａｌｌ ｓｕｃｈ Ｂ ａｎｄ Ｃ， ｔｈｅｎ Ｃ ｉｓ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｂ ＝＞ Ｃ． Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ｉｆ Ｃ ｉｓ ａ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ（— ｘ Ｂ， Ｃ） ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｂ ＝＞ Ｃ ｆｏｒ ａｌｌ ｓｕｃｈ Ｂ ａｎｄ Ｃ． Ｐｒｏｏｆ

（＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ

Ｂ ａｎｄ Ｃ

Ｃ（— ｘ Ｂ，Ｃ） ｉｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ．Ｂ ＝＞ Ｃ （ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｐａｉｒ ｏｆ ｏｆ Ｃ）， ｗｈｅｒｅ， ｓａｙ， ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ

ｔｈａｔ

￥

：

Ｃ（－

ｘ

Ｂ， Ｃ）

＾

Ｃ（－， ￡

Ｃ）

＝？

：

＃．

Ｗｅ ｗｒｉｔｅ

Ａ（－） ： Ｃ（Ａ ｘＢ，Ｃ）＾ｉ Ｃ（Ａ， Ｂ

＝？

Ｃ） ： （－）＊

ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｔ Ａ， ｔｈａｔ ｉｓ ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ａ（—） ｆｏｒ ￥ａ ａｎｄ （—）＊ ｆｏｒ ＾ａ－ Ｔｈｕｓ ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ ｘ Ｂ Ｃ ｉｎ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ａ（／）： Ａ （Ｉ？ ＝＞？ Ｃ） ｉｎ Ｃ． Ｕｎｒａｖｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ —？

—＞

ｉｎ Ａ ａｔ

Ａ（／）

ｗｅ

ｇｅｔ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ：

Ｃ（Ｂ

＝？

Ｃ，￡

＝？

Ｃ） －＾ Ｃ（（Ｂ

＝？

Ｃ）

Ｃ（Ａ（／），Ｂ＝＾Ｃ） Ｃ（Ａ， ￡

ｘ

Ｂ，Ｃ）

Ｃ（Ａ（／）ｘＢ，Ｃ） ＝＞

Ｃ）

■

Ｃ（Ａ

ｘ

￡， Ｃ）

２．８．

Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｌｏｓｅｄ

Ｓｅｔｔｉｎｇ

ｅｖ

（ｉｄＢ＝＞ｃ）＊，

＝

ａｎｄ

［Ｃ（Ａ（／），Ｂ

Ａ（／）＊

ｔｈａｔ ｉｓ

ｐｒｏｖｉｄｅｄ Ａ（／）

ｉｄｓ）

／

＝

７１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｕｓｉｎｇ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ，

Ｃ）（＾ｃ）］＊

＝？

ｅｖ（Ｘ（ｆ）

＝

ｉｄ＃）．

ｘ

Ｔｈｕｓ Ｃ ｉｓ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ａ

ｉｓ ｔｈｅ

Ｃ（Ａ（／）

＝

（ｉ？

—？■

ｇｅｔ

ｗｅ

Ｂ，Ｃ）（ｅｖ）

ｘ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａ

Ｃ） ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ／

＝＞？

ｅｖ（Ｘ（ｆ）

＝

ｘ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｆ：ＡｘＢ＾Ｃ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ， ｆｉｒｓｔ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ： Ａ （Ｂ ＝＞ Ｃ） ｗｅ ｈａｖｅ ｇ＊ ｅｖ（ｇ ｘ ｉｄｓ）， ｗｈｉｃｈ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ Ａ（—）． Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ａｌｓｏ ｈ： Ａ （Ｂ ＝＞ Ｃ） ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｃａｎｄｉｄａｔｅ —？

＝

—？

ｆｏｒ

（＾＝） ｗｅ ａ

Ｔｈｅｎ ｈ

Ａ（／）．

Ａ（／ｉ＊）

＝

Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ｃｌａｉｍ ｔｈａｔ

ｎａｔｕｒａｌ

Ｃ（—

ｘ

Ｃ（－

ｘ

Ｂ， Ｃ） ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ￥

：

ｂｙ ａｐｐｅａｌｉｎｇ

Ｂ， Ｃ）

ａｒｅ

ｍａｔｅ ｉｎ

：

ｉｓ

￡＊

（＾｛Ｂ

Ｃ， －） ｄ＝ Ｃ（－， Ｊ５

＝＞

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｗｅ

Ｃ（Ａ ｘＢ，Ｃ）＾＝？： Ｃ（Ａ， Ｂ

ｏｆ

ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｎ

Ｃ． Ｌｅｔ

Ｂ

＝＞

＝？

Ｃ） ： ￥＿１

ｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｂｉｊｅｃｔｉｏｎｓ）

Ｃ） ： （－）＊

＝？

Ａ（—） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｅｖ（ｇ ｘ ｉｄＢ）． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ￥ ａｎｄ ￥＿１． Ｉｎ ｆａｃｔ

Ｃ， ａｎｄ ｉｆ ｇ： Ａ

—＊■

（Ｂ

＝＞

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｍａｔｅｓ， ｏｆ ｓｅｔｓ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｇ＊

ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ Ｘ（ｇ＊） Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ＝

Ｘ（ｆ） ｓｈｏｗｉｎｇ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ

＝

ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ

Ａ（—）

ｉｄｓ））

ｘ

ａ

２．５．３， ｔｈａｔ ｉｓ，

ｔｏ Ｌｅｍｍａ

Ａ（－） ｗｈｉｃｈ

Ｘ（ｅｖ（ｈ

＝

￥Ａ

ａｍｏｕｎｔｓ

ｘ

ｘ

ｉｄＢ）

ｘ

Ｂ， Ｃ）

＝

ｓｅｅ

ｗｈｅｒｅ ｇ： Ａ＇

—？■

ｘ

ｔｈａｔ

ｅｖ（Ｘ（ｇ＊）

＝

Ｃ

—？

ｗｅ

ｘ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｉｄＢ）

ｗｅ ｃａｎ

ｓｈｏｗ

ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ

Ａ（／）＊

＝

／ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ．

Ａ， ｗｈｉｃｈ ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ

—＾ Ｃ（Ａ， Ｂ＾Ｃ）

Ｂ， Ｃ）

Ｃ｛Ａ！ ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ，

＃＊

ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｇ， ａｎｄ ｉｆ

Ｃ（Ａ

Ｃ｛ｇ

ｔｈｅｎ

／： Ａ ｘ Ｂ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

＝

ｓｅｅ

ｅｖ（ｇ

＝

Ｃ）

Ｃ（ｇ， Ｂ＾Ｃ）

Ｂ， Ｃ）

—－＊

Ａ（—）

Ａ ｉｎ Ｃ． Ｔｏ

Ｃ（Ａ＇， Ｂ＾Ｃ）

ｓｅｅ

ｔｈｉｓ， ｔａｋｅ ｆ：ＡｘＢ＾Ｃ ａｎｄ ｎｏｔｅ

ｔｈａｔ

Ｃ（ｇ

ｘ

Ｂ， Ｃ）｛ｆ） ｄ＝ ｆ（ｇ

ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ｉｄＢ）

＝

ｅｖ（Ｘ（ｆ）

ｘ

ｉｄＢ）｛ｇ

ｘ

ｉｄＢ）

＝

ｅｖ（Ｘ（ｆ）ｇ

Ｘ（ｆ）ｇ Ｘ（ｆ（ｇ ｘ ｉｄＢ）） ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｃ（ｇ， Ｂ ＝＞ Ｃ）（Ｘ｛ｆ）） Ｘ｛Ｃ（ｇ ｘ Ｂ， Ｃ）（ｆ）） ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｔｈａｔ

ｈａｖｅ ｓｈｏｗｎ

ｘ

＝

＝

ｘ

ｉｄＢ）

Ｔｈｕｓ

ｗｅ

□

７２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．８．６

ｔｏ ｃｈｅｃｋ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

ｕｓｅｆｕｌ ｗｈｅｎ

ｇｉｖｉｎｇ

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ

（ｆ，ｇ） ｗｈｅｒｅ

ｃａｎ

（Ａ，Ｂ）

：

（／， ＃）： （Ａ， Ｂ）

—

ｓｕｒｅ

ｃａｒｅｆｕｌｌｙ．

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

（４，０）

（—）

＝＞？

／

￣

（Ａ＇， ￡＇）

ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ

ｓｏｍｅ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｔｏ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

ｄｅｆｉｎｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

Ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶＣＰＯ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ． Ｂｅ

Ｗｅ ｅｎｄ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．８．７

２．

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

（＋）：Ｃｏｐ

ｘ

（Ａ

＝＊ ｇ ：

Ｃ

Ｃ

—＞

Ｂ）

＝？

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｂｙ

—＞

ｔｈｅ

（Ａ＇

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

Ｂ＇）

＝？

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｉＣ＾ｘＣ， Ａ＝＞ Ｂ ａｎｄ Ａ＇ ＝＞ Ｂ＇ ａｒｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ ｉｎ Ｃ， ａｎｄ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｆ ＝＞ ｇ Ａ（ｐｏｅｖｏ （ｚ＇ｄ＾－＾ ＞＜／））？ Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｗｅ ｃａｎ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｄｅｆｉｎｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ａ ＝＞ （—）：Ｃ Ｃ ａｎｄ —？

ｉｓ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ

ａ

＝

—＞

（－）＝＾Ａ：Ｃ°ｐ＾Ｃ． Ｌｅｔ Ｆ： Ｃ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

Ｖ ｂｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ ｉｆ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ —？■

ａ

ｍａｔｅ ｏｆ

Ｆ（Ａ ｉｓ

＾Ｂ）ｘＦＡ－＾ Ｆ（（Ａ ＝？ Ｂ）

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ＼（Ｆ（ｅｖ）ｏ ＝）： Ｆ（Ａ ｗｉｔｎｅｓｓ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

＝＞

ａｎ

Ｂ）

ｘ

Ａ） ＾

（ＦＡ

—＞

ＦＢ

ＦＢ）

＝＞？

ａｎｄ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｓｕｃｈ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ ｉｓ ｓｔｒｉｃｔ ｉｆ

ａｎｄ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ）

ｗｅ

Ｘ（Ｆ（ｅｖ）ｏ ＝）

＝

ｃａｌｌ ｔｈｉｓ

ａｎ

（ｉｔ

ｉｓ

Ｆ ａ

ａｓ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ

ｉｄｐＡ＝＞ＦＢ－

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．８．８

（１） Ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｃ， ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ （—） ＝＞ Ａ： Ｃ＊９ —？

（２）

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ｂｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ （＃／）＊

（３）

Ｌｅｔ

ｆ：Ａ

ａ

ｘ

Ｂ

—？■

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

（４）

Ｌｅｔ Ａ ｂｅ

Ｘ（ｇｆ）

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

ａｎ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

（５）

Ｃ ａｎｄ ＝

ａ

Ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｔｈａｔ Ａ

ｘ

（—）：Ｃ

—？

Ｃ ｉｓ ｓｕｃｈ

Ｎｏｔｅ： Ａｌｌ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｊ：Ｃ

（ｉｄｓ

Ｄ ｂｅ

－＞

＝＞

＜／＊（／

ｘ

｛—）＇？

＝＞

ｃｌｏｓｅｄ

ｆ：Ａ＾Ｂ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ＝

Ａ

—？

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ．

ａｎｄ ｇ： Ｂ

—？

（Ｃ

ａ

＝＞？

￡＞）

ｉｄｃ）－

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｏｆ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｇ）Ｘ（ｆ）．

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ａ

ａ

Ｃ ａｎｄ

＝＞

（—）

ｆｉｎｉｔｅ

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ ｓｈｏｗ ｆｕｎｃｔｏｒ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ．

ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ｔｏ ｒｅａｄ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４

ｈａｓ

ｎｏｗ

ｂｅｅｎ ｃｏｖｅｒｅｄ．

Ｍｏｎｉｅｓ， Ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ， Ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ Ｄｕａｌｓ

２．９．

７３

Ｍｏｎｉｅｓ， Ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ， Ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ Ｄｕａｌｓ

２．９

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．９．１

Ｗｅ

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｎｉｃ ａｎｄ ｅｐｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｒｏｕｇｈｌｙ， ａ ｍｏｎｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ａｎａｌｏｇｕｅ ｏｆ ａｎ ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ａｎ ｅｐｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ａｎａｌｏｇｕｅ ｏｆ ａ ｓｕｒ－ ｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ａｓ ｓｔｒｉｃｔ ａｓ ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｈｏｐｅ， ａｓ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｉｎ ｌａｔｅｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｂ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｍｏｎｉｃ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｆｇ ｈ． Ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ａ ｍｏｎｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｙ ｇ，ｈ：Ｃ ｆｈ， ｔｈｅｎ ｇ ｆ：Ａ＞－＾Ｂ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｓｅｔ， Ｍｏｎ， ｕＣＰＯ， ａｎｄ Ｑｒｐ， ｔｈｅ ｍｏｎｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｈｏｓｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ． Ｉｎ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｌｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｍｏｎｉｃ． Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｂ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｅｐｉｃ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｇ，ｈ：Ｂ Ｃ ｓｕｃｈ ／： Ａ ｔｈａｔ ｇｆ ｈ． Ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ａｎ ｅｐｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｙ ／： Ａ Ｂ． Ａｎ ｈｆ， ｔｈｅｎ ｇ ｅｐｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｔｈｅ ｄｕａｌ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｍｏｎｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｎｓｅ ｔｈａｔ ａ Ｂ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｅｐｉｃ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｅ： Ｂ Ａ ｉｓ ａ ｍｏｎｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｅ： Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ０９．

Ａ

—＞

—？

＝

＝

—＞

—？■

＝

－？

＝

—＊■

—？

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｅｐｉｃ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｉｔ ｉｓ ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ． Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ａ ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｅｐｉｃ． Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ｎｏｔ ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ ａｎｄ Ｉｎ

Ｓｅｔ，

ａ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ９

ｆ

Ａ—Ｊ－＾Ｂ

ｈ ｗｈｅｒｅ ｆｏｒ ｂ Ｇ

Ｂ，

ｂｙ

ｇ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂ

０， ａｎｄ ｈ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

ｔ－＞

（［

＝

Ｔ｛０，１｝

ｏ ｉｆ ｂ ｅ

ｆ（Ａ）

１ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｐ＾／ｉ， ｂｕｔ ｇｆ ｈｆ ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ｎｏｔ ｅｐｉｃ． Ｏｎｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｓｅｔ ｉｓ ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｉｔ ｉｓ ｍｏｎｉｃ． Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ， ｓｕｃｈ ａ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｌｗａｙｓ ｈｏｌｄ， ａｓ ｗｅ ｎｏｗ ｓｅｅ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｉｈｉｇ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｒｉｎｇｓ ａｎｄ ｒｉｎｇ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉ： Ｚ Ｑ ｉｓ ｅｐｉｃ ｂｕｔ ｉｓ ｃｌｅａｒｌｙ ｎｏｔ ｓｕｒｊｅｃｔｉｖｅ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｔｈｅｎ

＝

—？

ｉ

Ｚ

＞Ｑ

９

： Ｒ

ｈ

ｒｉｎｇ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ｑ ｈａｖｅ ｆｏｒ ｑ ｍ／ｎ Ｇ Ｑ：

ｉｓ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ａｎｙ

ｂｙ

ｉｔｓ ｅｆｆｅｃｔ

ｈ（ｑ）

＝

ｏｎ

Ｚ；

ｔｏ ｗｉｔ

ｗｅ

ｈ（ｍｌｌ）ｈ（ｎ／ｉｙｌ

＝

—？

Ｒ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

＝

＾（＾ｍ））＾＾＾））＂１

＝

＾（ｍ＾Ｗｎ））＂１

＝

ｇ（ｑ）．

Ｃｈａｐｔｅｒ ２．

７４

Ｈｅｎｃｅ ｇ

—

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｈ．

ｏｆ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌｌｙ ｄｅｎｎｅｄ ｓｕｂｓｅｔ． Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ／，＾：Ｋｘｔ－＞Ｋ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （ｘ，ｙ） ＼－＞ ｘ２ ＋ ｙ２ ａｎｄ （ｘ， ｙ） ｉ－＞ １ ｆｏｒ ｅａｃｈ （ｘ， ｙ） Ｇ Ｉ ｘ Ｉ， ｔｈｅ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｆｏｒ ／ ａｎｄ ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆＲｘＲ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ

ｃａｎ

ｂｅ

ｔｈｏｕｇｈｔ

ａｓ

ａ

｛（ｘ，ｙ） ｅＭｘＭ｜ｘ２ Ｎｏｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

＋

ｙ２

ａ

ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｆｏｒ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／， ｇ： Ａ Ａ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｅ： Ｅ

—＞

Ｂ ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ

ａ

—？

？

ｆｅ

？

ｇｉｖｅｎ

／ｉ

ｌ｝．

ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ．

Ａｎ

ｂｙ

＝

＝

ｇｅ ａｎｄ ａｎｙ ｈ：Ｃ

＾

Ａ ｗｉｔｈ

／／ｉ

＝

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

＃／ｉ，

ｕｎｉｑｕｅ ｋ：Ｃ

ａ

－＋

Ｅ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｅｆｃ．

＝

Ｉｔ ｍａｙ ｂｅ

ｈｅｌｐｆｕｌ

ｄｉａｇｒａｍｍａｔｉｃ

ｔｏ ｖｉｅｗ ｔｈｉｓ ｄａｔａ ｉｎ

＾—？

Ｅ

Ａ

ｆｏｒｍ：

ｚｔＢ

Ａ

？

Ｋ Ｉ

ｃ Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｉｓ ｄｕａｌ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ ａｎ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｂ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｓｅｎｓｅ． Ａ ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｆｏｒ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ，ｇ：Ａ Ａ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｎ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ，ｇ：Ｂ ａ

—＞

—？

Ｅｘａｍｐｌｅ ２．９．２

｛ａ

Ｇ Ａ

｜ ／（ａ）

＝

Ｉｎ ＜Ｓｅ￡

０（ａ）｝

ａｎ

ｅｑｕａｌｉｓｅｒ

ｆｏｒ

／， ｇ： Ａ

—？

ｉ？ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ

Ａ．

－＞

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．９．３

（１）

Ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｔｈｅ

ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｏｆ ａｎｙ ｔｗｏ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶＣＰＯ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｙｏｕｒ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｗｏｒｋｓ．

（２）

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

ａ

ｆｕｌｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ

ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ

ａｎ

ｅｑｕａｌｉｓｅｒ． （３）

Ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ

ｉｄｅａｓ． Ｌｅｔ ５ｂｅａ ｓｅｔ， ａｎｄ Ｒ Ｔｈｅ ￣

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

Ｃ Ｂｘ Ｂ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｒ Ｃ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｉｎ ｔｈｅ ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ．

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ￣．

ｏｎ

ｏｎ

Ｂ， ｔｈａｔ ｉｓ

ａ

ｓｏｍｅ

ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ

ｓｕｂｓｅｔ Ｒ Ｃ Ｂ

ｘ

Ｂ．

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｆ，ｇ：Ａ＾＞Ｂ ａｒｅ ｔｗｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

Ｒ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ

Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

Ｂ

Ｆｉｒｓｔ，

ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｓ

＝

｛（／（ａ）， ＜／（ａ））

Ｂ ｘ Ｂ

＼

ａ

Ａ｝．

Ｍｏｎｉｅｓ， Ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ， Ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ Ｄｕａｌｓ

２．９．

（ａ）

Ｌｅｔ Ｊ？ ｂｅ

ａ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

｛（＆，６） ｜

＾ ｛（ｂ＇，ｂ）ｅＢｘＢ＼ （ｂ， ｂ＇）

Ｒｉ＋１

＝

３ｂ＇

（ｂ） Ｂｙ ｔｈｉｎｋｉｎｇ

（６，６＇）

ｅ Ｂ．

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

Ｇ

Ｒ｝，

Ｒ０ ｄ＝ Ｒ Ｕ Ａ Ｕ ＃＊， ａｎｄ ｓｅｔ

Ｎｏｗ ｓｅｔ

｛（＆， ｂ＂）ｅＢｘＢ＼

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉ Ｇ Ｎ． ｒｅｌａｔｉｏｎ

Ｂ｝．

６ Ｇ

ｓｅｔ Ｂ． Ｄｅｆｉｎｅ

ｏｎ ａ

Ｒ°ｐ

ａｎｄ Ａ ｄ＝

７５

￣

Ｒｉ ａｎｄ

Ｇ

＼Ｊ｛Ｒｉ ｜

＝

（＆＇， ｂ＂）

Ｎ｝

ｉ Ｇ

Ｇ

ｉｓ ｔｈｅ

Ｒｉ｝

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

Ｒ．

ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｉｎ Ｓｅｔ， ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ５， ｑｕｏｔｉｅｎｔｓ ｂｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ， ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｆｏｒ ／ ａｎｄ ｇ ｉｎ

ａｎｄ

ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

Ｓｅｔ．

（４）

ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｉｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｌｉｅ ｉｎ Ｃ． Ｌｅｔ ／： Ａ Ｂ ｂｅ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ａ ｓｐｌｉｔ Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｆ ｉｄ ａ， ａｎｄ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ａ ｍｏｎｉｃ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ： Ｂ ｒｅｇｕｌａｒ ｍｏｎｉｃ ｉｆ ｉｔ ｏｃｃｕｒｓ ａｓ ａｎ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｏｎｅ ｃａｎ ｆｉｎｄ ａｎ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｉｎ Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｌｅｔ ａｌｌ —？■

—？

＝

Ｃ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｈ

／

Ａ—－—＊ Ｂ

： Ｃ ｋ

ｌｅｔ Ａ

Ｆｏｒ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． （ａ）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ

（ｂ）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ

／ ａｎｄ ｇ

（ｃ）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ

ｇｆ

ｉｓ ｍｏｎｉｃ

（ｄ）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ

ｇｆ

ｉｓ

ｓｐｌｉｔ

ｍｏｎｉｅｓ ａｎｄ ａｒｅ

ｍｏｎｉｃ

—？

Ｂ －＾ Ｃ ｂｅ

ｒｅｇｕｌａｒ

（ｓｐｌｉｔ ｍｏｎｉｃ）

（ｓｐｌｉｔ ｍｏｎｉｃ）

ｒｅｇｕｌａｒ

ｍｏｎｉｅｓ

ｔｈｅｎ

ｍｏｎｉｃ ａｎｄ ｇ

ｔｈｅｎ

／

ｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ ｐａｉｒ

ａ

ａｒｅ

ｍｏｎｉｅｓ．

ｇｆ

ｉｓ ｍｏｎｉｃ

ｉｓ ｍｏｎｉｃ

ｏｆ

（ｓｐｌｉｔ ｍｏｎｉｃ）．

（ｓｐｌｉｔ ｍｏｎｉｃ）．

ｍｏｎｉｃ， ｔｈｅｎ ／ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｒ ｍｏｎｉｃ．

Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐｕｌｌｂａｃｋ． Ａ ｐｕｌｌｂａｃｋ ｆｏｒ Ｃ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：Ａ—＊Ｃ ａｎｄ ｇ： Ｂ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．９．４ ａ

ｐａｉｒ ｏｆ

？

ａｎ

？

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｏｂｊｅｃｔ

—？

Ａ Ｘｃ Ｂ ｏｆ Ｐａ＇

Ｃ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ

Ａｘｑ Ｂ ｔｗｏ

ｆｏｈ

ａ

＝

Ａ ａｎｄ ｐｓ＇－ Ａ Ｘｃ Ｂ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈ：Ｄ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｍ：

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｇｏｋ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

—＞

—＞

—？■

Ｂ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ａ ａｎｄ ｋ： Ｄ

Ｄ

—？■

Ａ

—＊

／ ｏｐＡ

＝

ｇｏｐＢ，

Ｂ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｘｃＢ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐＡ°ｒｎ

＝

ｈ

Ｃｈａｐｔｅｒ ２．

７６

ａｎｄ ｐｂ

ｏｍ

＝

ｋ． Ｗｅ

ｃａｎ

ｐｉｃｔｕｒｅ ｔｈｅｓｅ ｄａｔａ ｉｎ

ａ

Ａ Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

ｄｉａｇｒａｍ：

／

Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｐａ ｉｓ

ｐｕｌｌｂａｃｋ ｏｆ ｇ ａｌｏｎｇ ｆ ａｎｄ ｔｈａｔ ｐｂ ｉｓ ａ ｐｕｌｌｂａｃｋ ｏｆ ｆ ａｌｏｎｇ Ｂ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ａ ａｎｄ ｇ： Ｃ ｇ． Ａ ｐｕｓｈｏｕｔ ｆｏｒ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／： Ｃ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｐｕｌｌｂａｃｋ ｏｆ ／： Ａ Ｃ ａｎｄ ｇ： Ｂ Ｃ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ０９． ａ

—＞

—？

—？

Ｅｘａｍｐｌｅ ２．９．５ ａｎｄ

Ｗｅ ｌｏｏｋ ａｔ

ｊ：Ｂ－＞Ｃａ ｐｕｌｌｂａｃｋ

７ｒ２： Ｐ

—？

—？■

ｉｓ

ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ｉｎ Ｓｅｔ． Ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆ：Ａ Ａ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉＣ＼．Ｐ

—＞

—？

Ｃ

ａｎｄ

Ｂ ｗｈｅｒｅ

Ｐｄ＾｛（ａ，ｂ）ｅＡｘＢ＼ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）｝， ７Ｔｉ（ａ， ６）

＝

ａ

ａｎｄ

７ｒ２（ａ， ６）

＝

６．

ｇｉｖｅｓ ｕｓ ａ ｐｕｌｌｂａｃｋ， ｔａｋｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｈ：Ｄ —＊■ Ａ ａｎｄ ｋ：Ｄ －＋ Ｂ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｈ ｇｋ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅ：Ｄ －＋ Ｐ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ＾ｅ ｈ ａｎｄ ７ｒ２ｅ ｋ， ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｅ（ｄ） （ｈ（ｄ）， ｋ（ｄ）） ｗｈｅｒｅ Ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ＝

＝

＝

＝

ｄｅＤ．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．９．６

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｙ

Ｘ

ｉｓ

ａ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｄｉａｇｒａｍ

Ｗｅ ｆｉｎｉｓｈ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

ａ

－ｘ ＋ ｙ

ｉｎ Ｓｅｔ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｌｅｍｍａ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｐｕｌｌｂａｃｋ？

ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ｌａｔｅｒ

ｏｎ．

２．１０．

７７

Ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

ＬＥＭＭＡ ２．９．７

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｇｉｖｅｎ ｐｕｌｌｂａｃｋ

ａ

ｏｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｍｏｒｅ Ｃ， ａｎｄ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：Ａ—＊Ｃ ａｎｄ ｍ： Ｂ

Ａ

ｐｕｌｌｂａｃｋ

ａ

ｍｏｎｉｃ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｉｓ

ａ

ｍｏｎｉｃ

＞—？

９

ｔｈｅｎ ｍ＇ ｉｓ ｍｏｎｉｃ．

ｍ＇ｋ． ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｍ＇ｈ Ｔｈｅｎ ｂｏｔｈ ｈ ａｎｄ Ａ： ｆａｃｔｏｒ ｒａ＇Ａ； ｔｈｒｏｕｇｈ ｍ＇， ａｎｄ ｂｅｃａｕｓｅ ｍ ｉｓ ｍｏｎｉｃ ｂｏｔｈ ｈ ａｎｄ ｋ ｆａｃｔｏｒ ｇｈ ｔｈｒｏｕｇｈ ｇ， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｈ ｋ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｐｕｌｌｂａｃｋｓ． □

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ＰＲＯＯＦ

ｔｈａｔ

ｈ，ｋ：Ｄ

—？

Ｐ

ａｒｅ

＝

＝

Ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

２．１０

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．１

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ

ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｒｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／： Ｘ —＞ Ｙ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ

ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｗｈｅｒｅ Ｇｉｖｅｎ

ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ

Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｉ６ｌ ａｎｄ ｙ Ｙ ｔｈｅｎ ｙ ＜ ｆ（ｘ） ｉｆｆ ｌ（ｙ） ＜ ｘ． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／ ｈａｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒ：Ｙ —？ Ｘ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｘ Ｇ Ｘ ａｎｄ ？／ Ｇ ｙ ｗｅ ｈａｖｅ ／（ｘ） ＜ ｙ ｉｆｆ ｘ ＜ ｒ（ｙ）． Ａｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ Ｘ ａｎｄ ｙ ｉｓ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ／ ａｎｄ ｇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／ ｉｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ｇ （ｏｒ ａ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｉ： Ｙ

—＞

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ ｇ ｉｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ／）， ｗｒｉｔｔｅｎ （／ Ｈ ＾）． ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｄｊｏｉｎｔｓ； ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ

—＞

Ｙ， ｒｅｇａｒｄｅｄ

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｘ

ｗｅ ａｓ ａ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

＝＞

Ｙ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒｉｎｇ． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２ ａｎｄ Ｙ

ａｒｅ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ． Ｔｈｅｎ （／

Ｈ

ｔｈａｔ

ｆ ｅ ｐ） ｉｆｆ ｉｄｘ

Ｘ ＝＞Ｙ ａｎｄ ｇ ｅＹ ＝＞ Ｘ ｗｈｅｒｅ Ｘ ＜

Ｓ＇／

ｉｎ Ｘ

＝＞

Ｘ ａｎｄ

ｆｇ

ｈａｖｅ

／（ｘ）

＜

ｉｄｙ ｉｎ

Ｙ＾Ｙ． Ｐｒｏｏｆ

（＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ （／ Ｈ ＃）． ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｘ ＜ ｇ（ｆ（ｘ））， ｔｈａｔ

Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｉｓ

ｉｄｘ

＜

ｘ

Ｇ

Ｘ，

ｗｅ

ｇｆ－ Ｐｒｏｖｉｎｇ ｆｇ

＜

＜

／（ｘ）

ｉｄｙ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ．

（＜￥＝） Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｈｏｌｄ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ／（ｘ） ＜ ｙ． Ｔｈｅｎ ｘ ＜ ｇ（ｆ（ｘ）） ＜ ｇ（ｙ） ｕｓｉｎｇ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ｇ， ｔｈａｔ ｉｓ □ ｘ ＜ ｇ（ｙ）－ Ｔｈａｔ ｘ ＜ ｇ（ｙ） ｉｍｐｌｉｅｓ ／（ｘ） ＜ ｙ ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ ｅａｓｙ．

７８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．３

ｉｆｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

？

ｆｏｒ ａｌｌ ｙ Ｇ Ｙ

？

ｆｏｒ ａｌｌ

ｘ

ｈａｖｅ

ｗｅ

Ｇ Ｘ ａｎｄ

Ｅａｃｈ ｖａｌｕｅ

ｒ（ｙ）

ｒ：

Ｙ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

２．

ｆ：Ｘ

—＞

Ｙ ｈａｓ

ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

Ｘ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

—？

ｆ｛ｒ（ｙ））

ｊ／ＧＦｗｅ

＜ ｙ，

ｈａｖｅ

ａｎｄ

／（ｘ）

ｕｎｉｑｕｅｌｙ

ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

ｉｍｐｌｉｅｓ

＜ ｙ

ｘ ＜

ｒ（？／）．

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｙ

ｕｐ ｔｏ

ｔｈｅ ｓｔａｔｅｄ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．

Ｐｒｏｏｆ

（＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈｅ

／

ｈａｓ

ａ

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

ｒ．

ｒ

ｗｉｌｌ ｄｏ ｆｏｒ

ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ．

ｒ

（＜＝） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｎｏｗ

ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｎ ｓｕｃｈ

ｗｅ ａｒｅ

ａｎ ｒ．

Ｔｈｅ

ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ， ｆｏｒ ｉｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｏ， ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈａｔ

ｒ

（／

ｒ）．

Ｈ

ｔｈａｔ

Ｔａｋｅ ｙ ＜

ｙ＇

ｏｎｌｙ ｔｈｉｎｇ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ

ｆ（ｒ（ｙ）） ＜ｙ＜ｙ＇ ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ｉｎ Ｙ． Ｔｈｅｎ

ｔｈａｔ

ｒ（ｙ）

＜

ｒ（ｙ＇）． Ｄ

Ｌｅｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｂｅ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｆ，ｆ＇ｅＸ＝＞ Ｙ ａｎｄ ｇ，ｇ＇ Ｇ Ｙ ＝？ Ｘ ｗｉｔｈ （／ Ｈ ｐ） ａｎｄ （／＇ Ｈ ｐ＇）－ Ｔｈｅｎ ／ ＜ ／＇ ｉｆｆ ｇ＇ ＜ ｇ ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ／＇ ＜ ／ ｉｆｆ ｇ ＜ ｇ＇． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｈａｖｅ ／ ／＇ ｉｆｆ ｇ ｇ＇． Ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ａｎ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ； ａｎｄ ｉｆ Ｘ ａｎｄ Ｙ ａｒｅ ｉｎ ｆａｃｔ ｐｏｓｅｔｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ａｄｊｏｉｎｔｓ ａｒｅ ｕｎｉｑｕｅ． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．４

＝

＝

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｇ＇ ＜ ｇ． Ｔｈｅｎ ｆｏｉｄｘ＜ ｆ｛ｇ＇ｆ） ｉｍｐｌｙｉｎｇ ／ ＜ ／＇． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｆａｃｔｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ． ＰＲＯＯＦ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．５

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

＜

（ｆｇ）ｆ

＜

ｉｄＹ

ｏ

ｆ □

ｇｉｖｅｎ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ａｎｄ ｍｏｎｏｔｏｎｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｘ

ｈ

／

＇

．

Ｙ

＇ ．

ｋ

ｇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

（／

ＰＲＯＯＦ

Ｆｏｒ ａｌｌ

ｘ ＜

Ｈ

ｇ）

ａｎｄ

ｘ

（ｈ

Ｈ

ｋ）．

Ｇ Ｘ ａｎｄ

Ｔｈｅｎ

ｚ

Ｇ

ｇ（ｋ（ｚ））．

Ｚ

Ｚ，

（ｈｆ ｗｅ

Ｈ

ｇｋ）．

ｈａｖｅ

ｈ（ｆ（ｘ））

＜

ｚ

ｉｆｆ

／（ｘ）

＜

ｋ（ｚ）

ｉｆｆ

□

Ｙ ｂｅ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ／： Ｘ Ｘ ａｎｄ Ｙ． Ｉｆ ／ ｈａｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｈｅｎ ／ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔ ｉｎ Ｘ． Ｄｕａｌｌｙ， ｉｆ ／ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｈｅｎ ／ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔ ｉｎ Ｘ．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．６

Ｌｅｔ

—＞

２．１０．

Ｌｅｔ Ａ Ｃ

Ｐｒｏｏｆ

ｅｖｅｒｙ ｙ ｅ Ｙ

Ｘ，

Ｙ， ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｖ Ａ ｅｘｉｓｔｓ ｉｎ Ｘ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ

／（Ｖ Ａ）

ｈａｖｅ

ｗｅ

ｙ Ｇ

＜ ｙ

ｉｆｆ Ｖ Ａ ＜

Ｖ ｆ（Ａ） ｅｘｉｓｔｓ ａｎｄ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ

Ｈｅｎｃｅ

ｉｓ

７９

Ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｔｏ

ｒ（ｙ） ｉｆｆ Ａ ＜ ｒ｛ｙ） ｉｆｆ ｆ（Ａ） ＜ ｙ． ／（Ｖ Ａ） ａｓ ａｓｓｅｒｔｅｄ． Ｔｈｅ ｄｕａｌ ｒｅｓｕｌｔ □

ｐｒｏｖｅｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｉｃｈ ｆｏｌｌｏｗｓ ｉｓ ｋｎｏｗｎ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．７

ａｓ

ｔｈｅ

ａｄｊｏｉｎｔ

ｆｏｒ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ． Ｉｔ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｒｅｓｕｌｔ， ｇｉｖｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｌｅｆｔ ａｎｄ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔｓ ｔｏ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．８

ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ｔｈｅｍ．

Ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｙ Ｇ Ｙ， ａｎｄ

ｔｈｅ

—？

ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ

ｏｆ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｆ（ｘ）

＜ Ｖ－

ｆ（ｒ（ｙ））

ｔｈａｔ

Ｔｈｅｎ

ｒ：

Ｙ

—＊■

＝

ａ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ

Ｔｈｅｎ

Ｘ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｒ

ｆ（ｒ（ｙ）） ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ｂｅ

ｉｆ Ｘ ｈａｓ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ ｔｈｅｎ

Ｄｕａｌｌｙ，

ＰＲＯＯＦ

Ｙ ／： Ｘ ｈａｓ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ．

Ｌｅｔ

２．１０．３．

／

ｈａｓ

／

ｈａｓ

ａ

ａ

ｌｅｆｔ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆ ｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆ ｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅｍ．

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｒ（ｙ） ＼／｛ｘ Ｇ Ｘ ｜ ｆ（ｘ） ＜ ｙ｝ ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ． Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｒ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ Ｎｏｗ， ／ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｊｏｉｎｓ， ａｎｄ ｓｏ ＝

＼／｛ｆ（ｘ）＼ｘｅＸ，ｆ（ｘ）＜ｙ｝ ｇｉｖｅｎ， ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ． Ｉｆ ／ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

＜ ｙ． Ｌｅｔ ｘ Ｇ Ｘ ａｎｄ ｙ Ｇ Ｙ ｂｅ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

ｘ

＜

ａｌｌ ｍｅｅｔｓ， ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ

ｒ（ｙ）， ａ

ｌｅｆｔ

ａｎｄ

ｓｏ ｒ

ａｄｊｏｉｎｔ

ｉｓ

ｆｏｒ

ａ

／

□

ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．１０．９

（１）

Ｌｅｔ １

｛＊｝

ｐｒｅｏｒｄｅｒ ｗｉｔｈ ＊ ＜ ＊， ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ＶｒｅＳｅｔ． Ｇｉｖｅｎ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ Ｘ， ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｌｘ＇－Ｘ １ （ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌｌｙ ｍｏｎｏｔｏｎｅ） ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆｆ Ｘ ｈａｓ ａ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆｆ Ｘ ｈａｓ ａ ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ． Ａｓ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｓｐｅｌｌ ｏｕｔ ｔｈｅ ｅａｓｙ ｄｅｔａｉｌｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ Ｘ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｘ Ｇ Ｘ ｗｅ ｈａｖｅ ＊ ＜＼ｘ（ｘ） ｉｍｐｌｙｉｎｇ ＼ｘ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ １：１ ／（＊） ＜ ｘ． Ｈｅｎｃｅ ｌ（＊） ｉｓ ａ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｉｎ Ｘ． Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ｉｆ ± ｉｓ ａ ｂｏｔｔｏｍ ± ｇｉｖｅｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ＼ｘ－ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｘ， ｄｅｆｉｎｉｎｇ ／（＊） ＝

ｂｅ ｔｈｅ

—？

—？

＝

（２） Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ｂｉｎａｒｙ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ａ：Ｉ－＞ＩｘＩ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ａ（ｘ） （ｘ， ｘ）． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ （Ｖ Ｈ Ａ Ｈ Ａ） ｗｈｅｒｅ Ａ： Ｘ ｘ Ｘ Ｘ ｔａｋｅｓ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｔｏ ｔｈｅｉｒ ｍｅｅｔ （ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ ｐｒｅｏｒｄｅｒ

ａ

ｗｉｔｈ

＝

—＞

ｖ）． （３）

Ｌｅｔ

／： Ｘ

—＞

Ｙ ｂｅ

Ｚ＂１： Ｖ（Ｙ）

（ｓｅｅ Ｅｘａｍｐｌｅｓ Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，

－＞

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

Ｖ（Ｘ）

１．２．１７ ａｎｄ

ｌｅｔ Ａ Ｃ Ｘ

３ｆ： Ｖ（Ｘ）

－＞

Ｖ｛Ｙ）

（ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ）

Ｖ／： Ｖ（Ｘ）

－＞

Ｖ（Ｙ）

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．３．３）． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ （３／ Ｈ ｆ￣ｌ Ｈ Ｖ／）． ａｎｄ Ｂ Ｃ．Ｙ． Ｓｕｐｐｏｓｅ Ｂ Ｃ ＂ｉｆ ｛Ａ）． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ

８０

２．

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ａ， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｆ￣ｌ（Ｂ） Ｃ Ａ． Ａｌｓｏ， ｆ￣ｌ（Ｂ） Ｃ Ａ ｉｍｐｌｉｅｓ Ｂ Ｃ Ｖ／（Ａ） ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ， ａｎｄ ｓｏ （／＿１ Ｈ Ｖ／）． Ｔｈａｔ （３／ Ｈ ／＿１） ｉｓ ｂ ｅ Ｂ

ｗｅ

／＿１（｛＆｝）

ｈａｖｅ

Ｃ

ｓｉｍｉｌａｒ．

（４）

Ｔ（Ｄ） ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔｓ． Ｏｎｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｍｅｅｔｓ ａｒｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｉｎ Ｔ（Ｄ） ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｖ（Ｄ）． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ １（Ｄ） —＊Ｖ（Ｄ） ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｓｏ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｕｓｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．８． Ｉｎｄｅｅｄ， ｔｈｅ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｌ：Ｖ（Ｄ） １（Ｄ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ １（Ａ） ｆ｜｛／ １（Ｄ） ＼ＡＣＩ｝ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ Ａ ｅ Ｖ（Ｄ）． Ｌｅｔ Ｄ ｂｅ

ａ

ａｎｄ

ｄｃｐｏ

—？

＝

Ｅ ｉｎ ￡＞ＣＴＯ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ￣ｌ：Ｖ（Ｅ） （５） Ｔａｋｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：Ｄ ７＾（１）） ｒｅｓｔｒｉｃｔｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ＊：ｌ（Ｅ） １（Ｄ）． Ｔｈｉｓ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｌ：Ｘ（Ｄ） Ｘ（．Ｅ＇） ｗｈｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ／ Ｇ ２＂（Ｄ）， －＞

－？？

—？

—？

＊

（（／） ／＊

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｉｎ

ｈａｖｅ

ｇｅｎｅｒａｌ

ｆＫ－＞ ｅ ｌ（￡） ｜ ／（／） ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ—ｃａｎ

ａ

ｃ

Ｊ｝．

ｙｏｕ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ？

ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅ ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ： Ｍｏｎ Ｓｅｔ ｔａｋｉｎｇ ａ ｍｏｎｏｉｄ ｔｏ ｉｔｓ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ （—）＊：Ｓｅｔ Ｍｏｎ ｔａｋｉｎｇ ａ ｓｅｔ ｔｏ ｉｔｓ Ｋｌｅｅｎｅ ｃｌｏｓｕｒｅ， ａｒｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｉｎ Ｗｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．１０

ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｎｏｗ ｍｏｖｅ ｏｎ —？

—？

ａ

ｃｅｒｔａｉｎ ｗａｙ ｗｈｉｃｈ

Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｄｅｓｃｒｉｂｅ．

ｗｅ ｎｏｗ

ｍｏｎｏｉｄ Ｍ ａｎｄ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｎｏｉｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

（－）

：

ａ

ｓｅｔ Ａ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ： Ａ

ｇ： Ａ＊

—？■

Ｉｎｄｅｅｄ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｍ．

Ｍｏｎ（Ａ＼ Ｍ）

—＞

＾

Ｓｅｔ（Ａ， ＵＭ）

：

ａ

ＵＭ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｔｏ

ａ

（－）

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

—

ｆ：Ａ＊＾Ｍ ａｎｄ

ｏｎｅ ｃａｎ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

￥

ｗｈｅｒｅ ａｔ ａｎｙ

：

Ｓｅｔ（－， Ｕ（＋）） ｏｂｊｅｃｔ （Ａ， Ｍ）

（—）？ （￥－１）（＞ｉ）Ａｆ） （－）＊ ａｎｄ Ｕ． ＝

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．１０．１１

Ｔｈｉｓ ｉｓ

／

ｉ—

Ａ

：

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ ＝

ａｎ

ｒｉｓｅ ｔｏ

Ｍｏｎ（（－）＊， ＋）

ｏｆ Ｓｅｔ０１？

ｘ

ｅｘａｍｐｌｅ

Ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ

Ｍｏｎ ｏｆ

ａｎ

ａｎ

：

ｆ（＼ａ｝） Ｊ－＾ｉ ＵＭ． ａ

Ｓｅｔ０９

ｗｅ

ｎａｔｕｒａｌ ｘ

ｈａｖｅ

Ｍｏｎ

￥（ａ，ｍ）

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ －＞

＝

Ｓｅｔ

（—）

ａｎ（＾

（ｓａｙ）

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

８１

Ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

２．１０．

Ｎｏｗ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．１０．１２

Ｌｅｔ Ｆ： Ｃ ｔｏ Ｇ

ｏｒ

Ｖ ａｎｄ Ｇ： Ｖ

—？

ｔｈａｔ Ｇ ｉｓ

ｗｅ

—？

ｎｇｆａ ａｄｊｏｉｎｔ

ｇｉｖｅ

ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ．

Ｃ ｂｅ ｔｗｏ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｔｏ Ｆ ｉｆ

ｇｉｖｅｎ

Ａ ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ｊ５ ｏｆ Ｘ＞

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｎｙ

Ｚｅ／ｆｃ ａｄｊｏｉｎｔ ｗｅ

ｈａｖｅ ？

ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｓｈａｌｌ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ

ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＦＡ ｄｉａｇｒａｍｍａｔｉｃａｌｌｙ ａｓ

ｂｅｔｗｅｅｎ

５ ｉｎ Ｖ ａｎｄ Ａ

ＧＢ ｉｎ

—？

ｆ：ＦＡ＾Ｂ

ｇ．Ａ＾ＧＢ

Ｊ－．Ａ－＋ＧＢ

ｇ：ＦＡ－＋Ｂ

Ｃ， ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｍｏｒｅｏｖｅｒ

ｔｈｉｓ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａ： Ａ＇ ？

—？

ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ａ ａｎｄ

—＞

ｂｏ Ｉｔ ｍａｙ ｂｅ

ｆ

Ａ ｉｎ Ｃ ａｎｄ ６： Ｂ

Ｆａ

ｏ

ｈｅｌｐｆｕｌ

ｔｏ

＝

Ｇｂｏ

ｆ

Ｂ， ｗｈｉｃｈ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ Ｂ＇ ｉｎ Ｖ

—＞

ａｎｄ

ｏａ

ｗｅ

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｎ

ｈａｖｅ

（Ｇｂｏｇ ｏ ａ）Ａ

＝

６ｏｐ

ｏ

Ｆａ．

ｐｉｃｔｕｒｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｔｈｕｓ：

／ｉ

ｂｏ

ｆ

ｏ

－７

Ｆａ

ｉ—－

ｂｏ

ｆ

ｏ

Ｆａ

＝

Ｇｂｏ

ｆ

ｏ ａ

ａｎｄ ０１

Ｇｂｏ ｇ

？９

ｏａ ｉ—＊

（Ｇ６ ｏ ｇ ｏ ａ）Ａ

—

ｂｏ ｇｏ Ｆａ

Ｉｆ Ｆ ｉｓ ｌｅｆｔ

ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ Ｇ ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｒｉｔｅ （Ｆ Ｈ Ｇ）． Ａｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ ａｎｄ Ｇ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ／ ａｓ ｔｈｅ ｍａｔｅ ｏｆ ／ ａｃｒｏｓｓ ｔｈｅ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ； ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｍａｔｅ ｏｆ ｇ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｒｅｍａｒｋ ２．１０．１３

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．１２ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｃ ａｎｄ Ｖ Ｇ

（ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅｒｅ

ａｎｄ ｔｈｉｓ

ｉｓ

ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｔｈａｔ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ ａｎｄ Ｇ ａｒｅ

ｌｏｃａｌｌｙ

ａｒｅ

ａｄｊｏｉｎｔ

ａｓ

ｓｍａｌｌ． Ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｌｅｆｔ

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ

ｉｎ

ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ Ａ Ｇ．Ｂ，

Ｂ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＦＡ Ｂ） ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ —？■

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ａ ａｎｄ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

Ｃ（－，Ｇ（＋））， Ｖ（Ｆ｛－），＋）：ＣｏｐｘＶ＾Ｓｅｔ

—？

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

８２

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

２．

Ａ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｓｍａｌｌｎｅｓｓ． Ｉｎ

ｏｆ ｔｈｅ ｗｏｒｄ ＂ｎａｔｕｒａｌ＂ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ

ｃａｕｓｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

ｐｒａｃｔｉｓｅ， ｔｈｉｓ ｏｖｅｒｌｏａｄｉｎｇ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．１０．１４ Ｓｅｔ ｈａｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ （１） Ｆｏｒ ａ ｆｉｘｅｄ ｓｅｔ Ａ， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ａ ｘ （—）：Ｓｅｔ Ｓｅｔ． Ｆｏｒ ｇｉｖｅｎ ｓｅｔｓ Ｂ ａｎｄ Ｃ， ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆ：Ｂ Ｓｅｔ（Ａ， ）：Ｓｅｔ Ｓｅｔ（Ａ，Ｃ） ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅｌｙ ｔｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｇ．ＡｘＢ＾Ｃ （ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ？） ａｎｄ —？

—？

—

ｔｈｅ

（２）

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ Ｗｅ ｈａｖｅ

ｉｓ

—＊■

ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｂ ａｎｄ Ｃ．

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

（（—）＊

Ｈ

Ｕ）

Ａ＊ ｉｓ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｍｏｎｏｉｄ

ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ａｂｏｖｅ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．１０． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ

ａｓ

Ａ， ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓｅｔ Ａ．

ｏｎ

ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｒｅａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒｅｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｐｏｓｓｅｓｓ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔｓ ｗｈｉｃｈ ｆｏｒｇｅｔ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ａ ｓｅｔ Ｘ． Ｌｅｔ Ｆ： Ｓｅｔ Ｖｅｃ＃ ｂｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ａ ｓｅｔ Ｘ ｔｏ ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ Ｘ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ａ ｖｅｃｔｏｒ ｉｎ ＦＸ ｉｓ ａ ｆｏｒｍａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ Ｔ，ｉ ｎｋｉＸｉ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ Ｘ｛ ａｒｅ

（３）

Ｉｔ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｔｈａｔ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｉｓｅ

—＞

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｘ ａｎｄ ｔｈｅ

ｋｉ

ａｒｅ

ｓｃａｌａｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｗａｙ． Ｇｉｖｅｎ ＦＹ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｌｉｎｅａｒ ｍａｐ Ｆｆ： ＦＸ

ａ

Ｋ， ｗｉｔｈ ａｄｄｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｃａｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：Ｘ —＞ Ｙ ｔｈｅｎ ｔｈｅ

—＊■

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ： ＶｅｃＫ

Ｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ

—？■

ａ

ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ Ｖ ｔｏ ｉｔｓ

ＵＶ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｇ： Ｘ Ｖ． ｎｏｔ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｇ ｈａｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｔｏ ａ ｌｉｎｅａｒ ｍａｐ ｇ： ＦＸ Ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｇ ＊－＞ ｇ ｈａｓ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ： ｇｉｖｅｎ ａ ｌｉｎｅａｒ ｍａｐ ｆ：ＦＸ Ｖ， ｆ ｒｅｓｔｒｉｃｔｓ ｔｏ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／： Ｘ ＵＶ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｓｅｔ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒｓ．

—＊■

—？

—？

—？

Ｈ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ ｃａｎ

：

Ｓｅｔ（Ｘ， ＵＶ）

—

ｃｈｅｃｋ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ｔｈｅ

（４）

Ｔｈｅ

ｔｏ

（／，／）： （Ａ， Ａ）

ｄｉａｇｏｎａｌ ｆｕｎｃｔｏｒ —？

Ａ： Ｓｅｔ

（Ｂ，Ｂ）

ｈａｓ

—＞

ＶｅｃＫ｛ＦＸ， Ｕ）

ｒｅｑｕｉｒｅｄ Ｓｅｔ

ｒｉｇｈｔ

ｘ

Ｓｅｔ

ａｎｄ ｌｅｆｔ

－＞

ｔａｋｉｎｇ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：Ａ－＋Ｂ ａｄｊｏｉｎｔｓ ＩＩ ａｎｄ Ｅ ｔａｋｉｎｇ ａｎｙ Ｂ ｘ Ｂ＇ ａｎｄ ｔｏ ／ ｘ ｇ： Ａｘ Ａ＇

—？

－＞

ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ

ｗｈｅｒｅ

ＬＢ－Ｂ－＋ Ｂ ＋ Ｂ＇ Ｔｈｉｓ

（－）

ｓｅｎｓｅ．

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （／， ｇ）： （Ａ， Ａ＇） （￡， Ｂ＇） ｏｆ Ｓｅｔ ｘ Ｓｅｔ Ｂ ＋ Ｂ＇ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｈｅｒｅ， ／ ＋ ｇ ／ ＋ ｇ： Ａ ＋ Ａ＇

［＊ｂ／， ｌｂ＞９］

：

ｅｘａｍｐｌｅ

ｒｅｍａｉｎｓ ｖａｌｉｄ ｉｆ ｗｅ

ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｄｉａｇｏｎａｌ

＜－

￡＇：

ｒｅｐｌａｃｅ Ｓｅｔ ｂｙ

ｔＢ／．

ａｎｙ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｗｈｅｒｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ａ：Ｃ＾ＣｘＣ．

ｗｅ

ｌｅａｖｅ

２．１０．

（５）

８３

Ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃａｔ ｈａｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｏｂ： Ｃａｔ

Ｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ

—？

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｄｉｓ， ｗｈｅｒｅ ｄｉｓ ｓｅｎｄｓ ａ ｓｅｔ Ａ ｔｏ ｉｔｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ （ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ｏｎｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ）， ｏｂ ａｌｓｏ ｈａｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｎｄ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｉｔｓ

ｍａｐｓ

ａ

ｓｅｔ Ａ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｄｉｓｃｒｅｔｅ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｄｉｓ： Ｓｅｔ

—＞

ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｔ

ｗｈｅｒｅ ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｏｎｅ

Ｃａｔ ａｌｓｏ ｈａｓ ｃｏｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａ

ｂ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｌｅｆｔ

ａｄｊｏｉｎｔ

ｆｏｌｌｏｗｓ．

Ｃ ａｎｄ

／：

Ａ

—？■

Ｂ． Ｗｅ ｍａｋｅ ｔｈｉｓ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｃｏｎＣ

—？

ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

Ｂ． Ｔｈｅｎ

ｔｈｅｎ

Ｆ｛［Ｃ｝）

ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ｔｈｅ

（６）

Ｉｆ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ＦＣ． ｓｅｎｓｅ．

－＜

Ｃａｔ｛Ｃ，

＝

／（Ｃ） ｉｄ： ｆ［Ｃ］

＝

—？

Ｓｕｍｍａｒｉｓｉｎｇ

Ｂ ｊｕｓｔ ｉｎ ａ

ｕ：

Ｃ

—？

＝

ｃａｓｅ

ｏｂＣ／

＝

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

Ｃ ｉｓ

ｆ［Ｃ］ ｗｈｅｒｅ ［Ｃ］ ｆ［Ｃ＇］． Ｉｆ ｎｏｗ ｗｅ

Ｃ

ｃｏｎ

Ｂ）： （－）

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｃａｎ

－＜

Ｄｅｆｉｎｅ

ｄｉｓ

ｏｆ Ｃ， ａｎｄ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｏｎｅ

ｗｈｅｒｅ Ａ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ．

ｍｏｒｅ

ｓｅｔ ＝

Ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，

ｗｅ

Ｆ：Ｃ

ｈａｖｅ

（ｃｏｎ

ｈａｖｅ

ｉｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ａ

ｄｗＢ ｉｓ

—？

ｇｉｖｅｎ

ａ

ａ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ，

Ｈ ｄｉｓ Ｈ ｏｂ￣＼

ｉｎｄ）．

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｆ：Ｃ ￣Ｖ：Ｇ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉｓ ｂｏｔｈ ｌｅｆｔ ａｎｄ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ （Ｆ Ｈ Ｇ）， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＦＡ Ｂ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ Ｇｉ？ ｂｙ ￡ ／： ＦＡ ｗｅ

ｈａｖｅ

＝

ａｎ

ｗｅ

ｆ（ｕ）

ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｃ ｕｎｄｅｒ ＝， ａｎｄ

ｆｕｎｃｔｏｒ，

ｗｈｉｃｈ ｍａｐｓ ｅａｃｈ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ

ｃｏｎ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

（－）：Ｓｅｔ（ｃｏｎ Ｃ， Ｂ） ａｓ

ｐａｉｒ （ａ， ｂ） ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ａ． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｃ ｏｆ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ Ｃ．

ｉｓ ｔｈｅ

＝

ａ —？

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ａ ａｎｄ

ａｎ

—？

—？■

－＞

Ｇ（／）ｏｔ７ｉ４：ＡＳＧＦｉ４－＞ＧＢ ａｎｄ

ｅＢｏＦ（／）：ＦＡ－＞ＦＧＢ＾Ｂ ｗｈｅｒｅ

（７）

ｅ：

ＦＧ

＝

ｉｄｘ＞ ａｎｄ

７７：

ｉｄｃ

—

ＧＦ． Ｉｔ ｉｓ

ａｎ

ｅａｓｙ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｇｉｖｅｎ

Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｔｏ ｂｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａ

ａｓ ａ

ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ：

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ

Ｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｂ ｏｆ Ｃ， ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ Ｒ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ （—）ｘＢ：Ｃ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．８．１．

ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ

ｉｓ

ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．８．１．

ｔｏ ｔｈｅ ｅａｒｌｉｅｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｔａｔｅ ｔｈｉｓ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．１５

ｖｅｒｉｆｙ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ．

ａ

—？

Ｐｒｏｏｆ

（＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ Ｂ ｏｆ

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ． Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｂ， ａｎｄ ｓｅｔ Ｂ ＝＞ Ｃ ＝ｆ Ｒ（Ｃ） ｆｏｒ ａｎｙ

ｔｈａｔ Ｃ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｄａｔａ ｏｆ ｔｈｅ

Ｃ， ｌｅｔ Ｒ ｂｅ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｏｆ （－）

ｘ

８４

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

Ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：ＡｘＢ－＋Ｃｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ａ（／）： Ａ ／ ａｃｒｏｓｓ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｃ ｏｆ Ｃ． Ｇｉｖｅｎ

ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｍａｔｅ ｏｆ

２．

ａ

｛Ｂ

ｅｖ：

Ｃ）

＝＊

Ｂ

ｘ

｛ｉｄｓ＾ｃＴ °ｆ ｔｎｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｄｓ＝＞ｃ： （Ｂ ＝＞ Ｃ） （Ｂ ＝￥＞ Ｃ）． Ｎｅｘｔ， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｅｖ（Ｘ（ｆ） ｘ ｉｄｓ） ／？ Ｔｈｉｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｎｅｅｄ ｔｏ

ｔｈｅ

－＞

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ；

（Ｂ

Ｃ）

＝？

／ ｅｖ（Ｘ（ｆ） ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ

ｔｈａｔ ｉｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｌｅｔ Ｂ ｂｅ ｗｅ

ｄｅｎｏｔｅ

ｃ：Ｃ

—＞

ｉｄｓ）－

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ

Ｃ：

－＾

Ａ（／）

°

Ｂ

Ｃ

ｉ—－

Ａ（／）＊

ａ

ｏｆ Ｃ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

Ｂ

ｈ－

ｃ

＝？

＝

Ｘ（ｃ ｏ ｅｖ）： （Ｂ

（Ｂ ｐ＊

Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ｓｅｎｓｅ．

Ｂ＇ ｂｅ

ｅｖ ｏ

ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ｖｅｒｉｆｙ ａ

ｔｈａｔ

＝＞？

＝

ｗｅ

ｉｓ ｔｈｅ

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

Ｃ）

ｅｖ（ｇ

Ｃ）

＝？

－＞

ａｓ

ｉｄＢ）

ｘ

ｕｎｉｑｕｅ

ｏｒｉｇｉｎａｌｌｙ

（—）

ｔｏ

（Ｂ

—？

Ｃ ｔｏ ｂｅ

Ｂ

－＞

Ａ（／）： Ａ

ｘ

Ｂ

ｚｄＢ）： Ａ

ｘ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ａ（６ ｏ ／ ｏ （ａ

ｘ

ｉｄ）

ｉｄ））

Ｃ＂），

—？

ｒｉｓｅ ｔｏ

（Ｂ

＝＞？

ａｎ

Ｃ）

ｔｏ ｂｅ

ｘ

Ｃ．

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ａ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ｔｈｅ

ｏｎｌｙ ｃｈｅｃｋ ｏｎｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ． Ｌｅｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅｎ ｘ

＝？

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｇｉｖｉｎｇ

Ｗｅ

（（Ａ（６ ｏ ｅｖ）Ｘ（ｆ）ａ）

ｔｈａｔ

ａ

ａ

—＞

—？

Ａ（／）

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｃ＂ ｏｆ Ｃ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃ： Ｃ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｂｙ ｄｅｃｌａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｔｅ ｏｆ ／： Ａ ｘ Ｂ ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｔｅ ｏｆ ｇ： Ａ

（Ａ（／）

ｏ ｅｖ ｏ

（—）， ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

＝＞？

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｉｄｃ

＝

ｅｑｕａｔｉｏｎ．

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ｏｂｊｅｃｔ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｎ Ａ ａｎｄ Ｃ ａｔ ｔｈｅ

Ｗｅ ｌｅｔ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ

ａｎ

ｂｙ

＾ｓ＝＞ｃ

°

ｘ

＝

（＜￡＝） Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ，

ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｗｅ

ａｎｄ ｉｄｃ： Ｃ

Ｈ（ｔｄｃ）

—？

ｗｅ

＾＞

＝

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ Ａ（／）： Ａ

６： Ｂ

Ｃ）

＝＞

Ｃ

—

ｉｓ ｔｈｅ ｍａｔｅ

ｗｈｉｃｈ

（Ｂ

—？

（Ｘ（ｂ ｏ ｅｖ）

＝

ｅｖ ｏ

＝

ｂｏ

ｅｖ ｏ

＝

ｂｏ

ｆ

＝

（Ｂ

＝＞

ｏ

ｂ）

（Ｘ（ｆ）ａ

（ａ

ｏ

ｘ

ｘ

ｉｄ）

ｘ

ｉｄ）

ｏ

ａ：

Ａ＇

（Ｘ（ｆ）ａ

—＞

ｘ

Ａ ａｎｄ

ｉｄ）

ｉｄ）

Ａ（／）

ｏ ａ．

□

２．１０．

８５

Ａ ｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ２．１０．１６

（１）

Ｆｉｌｌ ｉｎ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ

（２）

Ｉｓ ｉｔ

ｍｉｓｓｉｎｇ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．１０．１４． Ｖｅｒｉｆｙ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．１５ ｗｏｒｋｉｎｇ ｏｕｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｍｉｓｓｉｎｇ ｓｔａｇｅｓ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｉｎｄｅｅｄ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ．

ｐｏｓｓｉｂｌｅ

ｔｏ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｃｈａｉｎ ｏｆ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｅｘａｍｐｌｅ

ｉｎ

５ ａｔ ｅｉｔｈｅｒ

ｅｎｄ？

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．１７

（ｉ）

Ｌｅｔ Ｇ： Ｖ

ｏｆ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

（ｉｉ）

Ｌｅｔ Ｆ： Ｃ

Ｃ ｂｅ

—？■

ａｎ

ＢｏｆＴ＞ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｐｒｏｏｆ

Ｆｏｒ

ｉｎｉｔｉａｌ Ｖ ｂｅ

—？■

ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅｎ Ｇ ｈａｓ

ａ

ａ

ｏｂｊｅｃｔ

ａ

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎ ｔｈｅ

ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆｆ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ

ｌｅｆｔ

ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅｎ Ｆ ｈａｓ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ａ

ａ

Ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ａ ｊ Ｇ）．

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

ｏｖｅｒ－ｃｏｎｅ

ｉｆｆ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｏｂｊｅｃｔ

ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ｆ ｊ Ｂ）．

（ｉ）：

（＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ａ

ｌｅｆｔ

Ｆ： Ｃ

ａｄｊｏｉｎｔ

Ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

—＞

Ｖ ｅｘｉｓｔｓ ａｎｄ ｌｅｔ Ａ ｂｅ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

ｏｆ Ｃ．

ＧＦＡ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｉｄｐＡ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｉｄｐＡ－ Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｔｊａ ＧＢ ｉｎ Ｃ． Ｌｅｔ ｔｈｉｓ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ： Ａ Ｂ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｆｒｏｍ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｇ： ＦＡ —＊■

＝

—＊■

—？

ｉｄｆａ

ｇ

Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｏ

Ｉ

ｉｄＦＡ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

＊■

Ｉ

９

＝

ｉｄｆａ

ＧｇｏｒｊＡ

ｔｈａｔ ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ａ

ｙ ＼ ＧＦＡ

ｔｈａｔ ｉｓ ｔ］Ａ ｉｓ ｉｎｉｔｉａｌ ｉｎ

（＜＝） Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｇｇ

ＧＢ

（Ａ Ｉ Ｇ）．

ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｏｂｊｅｃｔ

Ａ ｏｆ

Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｂ ｏｆ Ｖ ｆｏｒ

ｔｉａ＇．Ａ —？ ＧＢ ｉｓ ｉｎｉｔｉａｌ ｉｎ （Ａ ｜ Ｇ）． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ＦＡ ｔｏ ｂｅ Ｂ， ａｎｄ ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ —？ Ａ＇ ｉｎ Ｃ ｗｅ ｓｅｔ Ｆｆ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ

ｗｈｉｃｈ

８６

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆｆ： ＦＡ

—＞

ＦＡ＇

ｍａｋｉｎｇ

ｔｈｅ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｄｉａｇｒａｍ Ａ＇

＋

ｙｌＡ＇ ＧＦＡ ｃｏｍｍｕｔｅ． Ｏｆ

Ｗｅ

ｃａｎ ｓｅｅ

ｃｏｕｒｓｅ ｗｅ

ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ＧＦｆ

ＧＦＡ＇

ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｄｏｅｓ

ｃａｓｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

ｙｉｅｌｄ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ．

ｄｉａｇｒａｍｓ

Ａ－ｆ

Ａ！

＋

Ａ！＇

＾ａ Ｖａ＇

Ｉ

Ｖａ

Ｖａ

ＧＦＡ

ＧＦ（ｉｄＡ）

ＧＦＡ＇

Ｖａ

Ｖａ＂

ＧＦＡ ＧＦＡ

Ｇ（Ｆｇ

ｏ

ＧＦＡ＂

Ｆｆ）

ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ７７＾， ｔ）ａ＞ ａｎｄ ｔｊａ＂－ —

Ｎｏｗ

ｄｅｆｉｎｅ

Ｇｉｖｅｎ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｄｅｆ

／ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ． ／： Ｂ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＧＢ ａｎｄ ｇｉｖｅｎ ｇ： Ａ ＧＢ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｇ： ＦＡ Ｇｆ ｏ ７７＾： Ａ ｉｎｉｔｉａｌｉｔｙ ｏｆ ｔ＼ａ－ Ｉｔ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｙ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｕｎｒａｖｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ Ｂ＇． Ｌｅｔ ｇ： Ａ ＧＢ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａ：Ａ＇—＊Ａ ａｎｄ ｂ： Ｂ ｗｅ

ａ

—？■

—？■

ｏ

ｗｅ

ｇ

ｏ

Ｆａ

＝

（Ｇｂ ｏ ｇ ｏ ａ）Ａ． Ｂｙ

ｊｕｓｔ ｎｅｅｄ ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

—？

Ｂ

ｗｅ

ｓｅｔ

＝

—？■

—？

—？

ｂ

ＦＡ

ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ

ｏｂｊｅｃｔ

７７＾／，

ｄｉａｇｒａｍ Ａ＇ ｖＧ６ ｏ ｇｏ

ＧＦＡ＇

Ｇ（ｂｏｇｏ Ｆａ）

ａ

－ＧＢ＇

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ Ｇｂ

ｗｈｅｒｅ ｏｔｈｅｒ ｔｈｅ

ｗｅ

ｏ

Ｇｇ ｏ

ＧＦａ

ｏ

ｔ＼ａ＜

＝

Ｇｂｏ

Ｇｇ

ｏｒ）Ａｏａ

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｆａ ｆｏｌｌｏｗｅｄ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｐｒｏｏｆ ｏｆ （ｉ）．

ｉｓ

ｂｙ

＝

Ｇｂｏｇｏａ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｇ． Ｔｈｅ

ｐｒｏｖｅｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ （ｉｉ）

ｉｓ ｄｕａｌ ｔｏ

□

２．１０．

８７

Ａ ｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｉｆ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｏｆ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ２．１０．１８

ｕｎｉｑｕｅ ＰＲＯＯＦ

ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｎ

ｗｅ ａｒｅ

ａ

ａｄｊｏｉｎｔ． Ｆｏｒ （Ｆ＇Ａ， ｒｆＡ） （ａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｇ：Ｔ＞ ａｎｙ

ａｎｄ

ｏｆ

ｃｘａ＇．

（ＦＡ，７］ａ）

—？■

（Ｆ＇Ａ，ｒ／Ａ）．

（Ａ ｊ Ｇ）

Ｃ ａｎｄ ｌｅｔ

—？■

Ｆ， Ｆ＇： Ｃ

—？

Ｖ

ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ （ＦＡ， ｔ］ａ） Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．１７） ａｒｅ ｂｏｔｈ ｉｎｉｔｉａｌ

ｂｅ ｔｗｏ ｃｈｏｉｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ

ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｅｘｉｓｔｓ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

ｕｐ ｔｏ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ａ

ａｎｄ

ｓｏ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｏｌａ＇－ＦＡ

—＞

ｕｎｉｑｕｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａ

Ｆ＇Ａ ｉｓ

ａｎ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａ＾ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｎａｔｕｒａｌ Ａ＇ ｉｎ Ｆ＇． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ， ｔａｋｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ： Ｆ Ｃ ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ： ｉｎ Ｖ ａｎｄ ｉｎ ｆａｃｔ ｓｕｃｈ

ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ

—？

—？

／

Ｖａ

ＶＷ

Ｖａ＇

Ｌ ＧＦＡ＇

＼１ａ＞

－

ＧＦ＇ｆ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ａｎｄ ｒｉｇｈｔ ｔｒｉａｎｇｌｅｓ ｓｑｕａｒｅ

（＊）

ＧＦＡ

ＧＦ＇Ａ

－Ａ＇

ｃｏｍｍｕｔｅ

ＧＦ＇Ａ！

ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ， ａｎｄ ｔｈｅ

（＊） ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｕｔｅｒ ｔｒａｐｅｚｉｕｍ ｂｏｔｈ ｃｏｍｍｕｔｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｄｊｏｉｎｔｓ Ｆ ａｎｄ Ｆ＇ ｔｏ Ｇ ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔ）ａ－ Ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ Ｇａ＾／ｏＧＦ／ ａｎｄ ＧＦ＇ｆｏＧａＡ ａｒｅ ｆａｃｔｏｒｉｓａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｒｆＡ，ｆ ｔｈｒｏｕｇｈ ｒ）Ａ－ Ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌｉｔｙ ｏｆ ｔ）ａ ｉｎ （Ａ ［ Ｇ） ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ａｕ＇ ｏ Ｆｆ □ Ｆ＇ｆ ｏ ａ ａ， ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｔｈｅ

＝

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．１０．１９

（１）

Ｌｅｔ Ｔ＞ ｂｅ

ａ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ

ｏｆ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ａｎｄ ｗｒｉｔｅ

ｔ：

Ｖ

—？

Ｃ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ

ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｃ ｉｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ Ｌ： Ｃ Ｖ． Ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｏ Ｌ ａｓ ａ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ｌ ａｓ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｕｓｉｎｇ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．１７， ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ ａ ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｃ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ａ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｏｆ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｒｆｃ＇．Ｃ ＬＣ ｉｎ Ｃ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ Ｄ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ： ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ Ｄ ｏｆ Ｖ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｃ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ

ａ

—＊

—＞

—？

８８

ａ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： ＬＣ

—？

Ｄ ｉｎ Ｖ

２．

ｔｈｅ

ｍａｋｉｎｇ

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｒｉａｎｇｌｅ

Ｃ Ｖｃ ＬＣ

Ｘ

Ｄ

－

ｆ ｃｏｍｍｕｔｅ．

（２）

Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ

ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ

（３）

ｃｏｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｃ ｔ： Ｖ Ｃ ｈａｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ．

ａ

（ｉｔ

ｉｓ

ａ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ）

—＞

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｊｂ ｏｆ Ａｂｅｌｉａｎ ｇｒｏｕｐｓ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｉｆ

ｆｕｌｌ ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ

ａ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ

ｏｆ ｔｈｅ

Ｑｒｐ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ？ Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ Ｃａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｌａｔｔｉｃｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．１０．２０

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｊｏｉｎｓ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｖ ｉｓ ａ （ｎｏｎ－ｆｕｌｌ） ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｃａｔ． Ｈｉｎｔ： ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．１８； ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｎＴ＞ ｉｓ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｏｆ ｉｄｅａｌｓ ｏｆ Ｘ．

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｈｉｃｈ

Ｌｅｔ Ｖ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２１

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

Ｆ Ｃ

Ｈ ＨＶ

．

Ｇ）

（Ｆ

Ｐｒｏｏｆ

Ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｈ

ａｎｄ

（Ｈ

Ｈ

ＨＦＡ

Ｋ）．

－ＬＳ

，

Ｇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

Ｋ

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（ＨＦ

Ｈ

ＧＫ）．

Ｂ ｉｎ Ｓ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅｌｙ ｔｏ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＦＡ ＫＢ ｉｎ Ｖ ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅｌｙ ｔｏ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ ＧＫＢ ｉｎ Ｃ． Ｂｏｔｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ａ ａｎｄ Ｂ． □ —＊

—ｙ

—？■

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ２．１０．２２

ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ， ａｎｄ ｔｈａｔ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｈａｖｅ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔｓ ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｕｐ ｔｏ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｐｒｏｏｆ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

Ｖ

ｇｉｖｅｎ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

２．１０．

８９

Ａ ｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｌｅｆｔ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２１

ｎａｔｕｒａｌ

（Ｇ＇Ｆ＇

ｈａｖｅ

ｗｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｇ＇Ｆ＇

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

ｄｉａｇｒａｍ

ｉｎｔｏ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．２３

ｐａｉｒ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ： Ｃ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ，

Ｔｈｕｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ａ ｉｎ

（Ａ Ｉ Ｇ），

ａｎｄ

Ｆ）， （Ｇ＇

Ｈ

ａｄｊｏｉｎｔｓ （Ｆ＇

－＼ ＧＦ

Ｈ＇．

＝

＝

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

ｔｈａｔ

Ｔ＞ ａｎｄ Ｇ．Ｖ

ｇｉｖｅｎ Ｃ． Ｗｒｉｔｉｎｇ

ｗｅ ａｒｅ

—＞

ａｎ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｇ：Ａ－＞ＧＢ

Ｊ：Ａ－＞ＧＢ

ｇ： ＦＡ－＞Ｂ

Ｃ，

ｐｕｔ ｔｊａ

ｔ）ａ ｉｓ

ａ

＝

ａ

ｉｄ，ＦＡ＇－ Ａ

—＊■

ＧＦＡ ａｎｄ ｅ＃

ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｅ＃ ｉｓ

ｏｂｊｅｃｔ

□

ｔｒｉａｎｇｌｅｓ．

ｆ．ＦＡ＾Ｂ

ｗｅ

ｉｓ

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｂｙ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ

Ｓｕｐｐｏｓｅ —？

Ｇ） ａｎｄ （＃＇ Ｈ ｉｆ）． Ｔｈｅｎ ｂｙ Ｈ）． Ｂｙ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ２．１０．１８ ｔｈｅｒｅ

Ｈ

＝

ｉｄｃＢ＇－ ＦＧＢ

—？

ａ

Ｂ．

ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ｔｈｅ ｏｖｅｒ－ ｃｏｎｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ｆ ｊ Ｂ） ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｂ ｉｎ Ｖ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：Ａ－＋ＢｏｆＣ ｏｎｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ， ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ， ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｗｅ ｃａｎ

ａ

ＧＦＡ

ｆ

＼ＧＦｆ ＧＦＢ Ｖｂ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ａｎｄ

ｓｏ

ｔｈｅ ｔ＼ａ

ｇｉｖｅ

ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｅ：

ＦＧ

—？

ｒｉｓｅ ｔｏ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒ＼： Ｈ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （Ｆ

Ｇ）． Ｄｕａｌｌｙ，

ｗｅ

ｉｄｃ

ｈａｖｅ

（ｉ）

Ｃ． Ｔｈｅｎ ｔｏ

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ａ ｉｎ

—＞

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ７７： ｉｄｃ

ａ

Ｐｒｏｏｆ

ＧＦＡ ｉｓ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｘ＞， ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

—＞

—＞

ａｎ

ＧＦ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

ｉｎｉｔｉａｌ

ｏｂｊｅｃｔ

ｇｉｖｅｎ

ａｎｙ

ａｎｄ

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ

（Ａ ｜ Ｇ）．

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｂ ｉｎ

Ｖ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ：Ｃ ｇｉｖｅ ａｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （Ｆ Ｈ Ｇ） ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｅｉｔｈｅｒ ｏｆ

Ｃ， ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｒ）Ａ：Ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

（ｉｉ）

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ：

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２４ —？

ＧＦ，

ｉｄ－ｐ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｉｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ．

Ｔｈｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ

Ｇ： Ｖ

ａ

—＊■

ｅ＃： ＦＧＢ

—？

ｅ：

ＦＧ

￡ ｉｓ

—＞

ｉｄ？， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｎ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ

ａｎｙ

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎ ｔｈｅ

ｏｖｅｒ－ｃｏｎｅ

２．１０．１７ ａｎｄ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．２３．

□

ａ

（Ｆ ｜ ￡）． Ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

９０

Ｃｈａｐｔｅｒ

２．

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

Ｖ ａｎｄ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ：Ｃ Ｃ． Ｔｈｅｎ ｔｏ ｇｉｖｅ ａｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （Ｆ Ｈ Ｇ） ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ７７： ｉｄｃ ＧＦ ａｎｄ ｅ： ＦＧ ｉｄｘ＞ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍｓ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２５

Ｇ：Ｖ

—？

—ｙ

ｎａｔｕｒａｌ

—＞

—？

Ｇ

—＾

—＾

Ｆ

ＧＦＧ

ＦＧＦ

Ｇｅ Ｇ

Ｐｒｏｏｆ

（＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａｎ

Ｇ）．

Ｈ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （Ｆ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１０．２３．

Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｍｍｕｔｅ． Ｆｏｒ

ｏｂｊｅｃｔ

ａｎ

ｉｃＩｆａ

ａｎｄ

ｓｏ ｗｅ ａｒｅ

＝

ａｓ

ａｎ

ｉｄｐＡ

＝

ｒ）Ａ

＝

ｅＦＡ

ｉｄｃＢ

ｏ

ｏｆ ｔｈｅ

ｄｉａｇｒａｍｓ

Ｂ ｏｆ Ｖ

ｏｂｊｅｃｔ

ＦｒｊＡ

ｗｅ

ｅ ａｓ

ｉｎ

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｈａｖｅ

＝

ｉｄｃＢ

＝

＾ｂ

＝

ＧｅＢ

ｏ

ｒ）ＧＢ

ｄｏｎｅ．

（＜￥＝） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ａ ｏｆ Ｃ ａｎｄ

Ｄｅｆｉｎｅ ７７ ａｎｄ

ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ ｓｕｃｈ ７７ ａｎｄ

ｅ．

Ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｏｆ

ｆｏｌｌｏｗｓ：

ｆ：ＦＡ－＞Ｂ

ｇ：Ａ－＞ＧＢ

ｆｄ＾ＧｆｏＴ）Ａ：Ａ＾ ＧＦＡ

—

ＧＢ

ｇ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

＝

ｙｉｅｌｄｓ

ａ

ｅＢ

ｏ

Ｆｇ： ＦＡ

ｎａｔｕｒａｌ

—

ＦＧＢ

－＞

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｇｉｖｉｎｇ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２６

（ｉ） （ｉｉ）

ｅ：

ａｎ

□

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ．

ｃｏｕｎｉｔ

Ｂ

ＦＧ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｇ：Ｖ

－＞

Ｃ ｈａｓ

ａ

ｌｅｆｔ

ａｄｊｏｉｎｔ

Ｆ ｗｉｔｈ

ｉｄ－ｐ． Ｔｈｅｎ

—＊■

Ｇ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｉｆｆ ｅＢ ｉｓ

ｅｐｉｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ

Ｇ ｉｓ ｆｕｌｌ ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｉｆｆ ｅｓ ｉｓ

ａｎ

Ｂ ｏｆ Ｖ．

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ

Ｂ ｏｆ Ｖ．

Ｐｒｏｏｆ

（ｉ） （＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｇ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ．

Ｌｅｔ

Ｃ ｂｅ ｔｗｏ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ ／， ｇ：Ｂ ｗｈｉｃｈ ｆｅＢ ｇ＾Ｂ－ Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ， ／ｅ＾ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ Ｇｆ： ＧＢ ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ＃ ￡ ｔｏ Ｇｇ ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ Ｇｆ Ｇｇ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ／ ｇ． —＊

—？

＝

ｂ ｉｓ

ｅｐｉｃ； ｓｈｏｗｉｎｇ Ｇ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｉｓ

ＧＣ

＝

＝

（＜＝） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｉｎ （＝？）．

Ｖ ｆｏｒ

ａ ｒｅｖｅｒｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｕｓｅｄ

２．１１．

９１

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

（ｉｉ） （＝＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｓｏｍｅ

ｈ：Ｂ

—＞

Ｇ ｉｓ ｆｕｌｌ ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｒ）ＧＢ

ＦＧＢ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｉｄｐＧＢ

ｉｄｓｔＢ ａｎｄ

ｓｏ

ｉｄｓ

＝

（＜＝） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｆｕｌｌ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ

＾ｓｈｅＢ

＝

＝

Ｇｈ： ＧＢ

－？

ＧＦＧＢ ｆｏｒ

ｈｅｓ－ Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

（ｃＢｈ）ｅＢ

＝

ｓｈ ｂｅｃａｕｓｅ ｅｓ ｉｓ ｅｐｉｃ ｕｓｉｎｇ （ｉ）．

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

ｂ ｉｓ ａｎ

ｔｈａｔ

／

ｉｍｐｌｙｉｎｇ

Ｇｈ

＝

＝

／： ＧＢ ＝

—＞

Ｇｆｏ

ｔｈａｔ Ｇ ｉｓ ｆｕｌｌ

ａｓ

（ｉ）

Ｐｒｏｍ

ＧＣ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅｎ

ｒｉＧＢ

＝

ｗｅ

ｗｅ

Ｇ（ ｂ１）

Ｇｆｏ

ｊｕｓｔ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｇ ｉｓ

ｈａｖｅ

＝

Ｇ（ｆｏ ｅ＾１），

ｃｌａｉｍｅｄ． □

２．１１

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１１．１

Ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｉ Ｃ ｉｎ ｗｈｉｃｈ Ｉ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｓｍａｌｌ ａｎｄ ｐｏｓｓｉｂｌｙ ｅｖｅｎ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ｄｉａｇｒａｍｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ． Ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｄｉａｇｒａｍ ｏｎ Ａ （ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ） ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ Ａ： Ｉ Ｃ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｉ ｔｏ Ａ ａｎｄ ａｌｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｉ ｔｏ ｉｄＡ． Ｌｅｔ Ａ：Ｃ ［Ｉ，Ｃ］ ｂｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｄｉａｇｒａｍ Ａ ｏｎ Ａ ａｎｄ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：Ａ＾＞Ｂ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａ／： Ａ Ｂ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ （Ａ／）／ ／ ｗｈｅｒｅ ／ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｉ． Ｆｉｒｓｔ，

ｓｏｍｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

—？■

—？

—？

—？

＝

Ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ ａｎｄ ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ａｒｅ ａｌｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｍｉｔ． Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｄｏ ｗｉｔｈｏｕｔ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｍｅｎｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｊｕｓｔ ｔａｌｋｉｎｇ ｏｆ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｃｅｒｔａｉｎ ｋｉｎｄｓ， ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｂｅｓｔ ｔｏ ｇｅｔ ｕｓｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｂｙ ｌｏｏｋｉｎｇ ｆｉｒｓｔ ａｔ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｈａｖｅ ａ ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｌｉｍｉｔ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｄ： Ｉ Ｃ ｉｓ ａｎｙ ｄｉａｇｒａｍ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ａ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ｔｈｅ ｏｖｅｒ－ｃｏｎｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ａ ｊ Ｄ）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅｃｏｍｅ ｃｌｅａｒｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ． Ｂｙ ｃａｒｅｆｕｌｌｙ ｕｎｒａｖｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ （Ａ Ｊ， Ｄ） ｉｓ Ｄ， ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｏｆ Ｃ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｋ： ＡＣ ｗｈｉｃｈ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｆｃｊ： Ｃ ＤＩ ＼ Ｉ Ｇ Ｉ） ｉｎ Ｃ （ｈｅｒｅ ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｊｕｓｔ ／ Ｇ Ｉ ｆｏｒ ／ Ｇ ｏｂｉ： ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｉ ｉｓ ｓｍａｌｌ） ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｊ ｉｎ Ｉ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｒｉａｎｇｌｅ ｃｏｍｍｕｔｅｓ： ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ： Ｉ —＞

—？

—？

—＞

９２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｓｕｃｈ

ｃａｌｌｅｄ

ａ

ｃｏｎｅ

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ ｔｒｉａｎｇｌｅ

ｏｖｅｒ

Ｄ ａｎｄ Ｃ ｉｓ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｏｆ ｔｈｅ

ｃｏｎｅ．

Ｓｏ

ｎｏｗ ｗｅ ｃａｎ

ｈａｎｄｓ－ｏｎ

ｐｉｃｔｕｒｅ ｏｆ ａ ｌｉｍｉｔ． Ａ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ： Ｉ ｏｂｊｅｃｔ ｌｉｍ Ｄ ｏｆ Ｃ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｍｏｒｅ ａｎ

ｏｆ

ｆａｍｉｌｙ

ａ

２．

—？

Ｃ ｉｓ

ｇｅｔ

ｉｓ ａ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

（ｋｒ．ＵｍＤ－＊ ＤＩ＼Ｉ ｅｌ） ｗｈｉｃｈ ｆｏｒｍ

（ｈｊ：Ｃ ｍ：Ｃ

ＤＩ

—？

—

Ｄ ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ ｌｉｍ

ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ

ｌｉｍ Ｄ

｜

／

Ｉ）

ｏｖｅｒ

ｔｈｅ

ｍａｋｉｎｇ

Ｄ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｅ Ｄ ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｒｉａｎｇｌｅ

ｃｏｍｍｕｔｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｉ ｅｌ： ＤＩ

Ｃ

Ｗｅ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｒｅｆｅｒ ｔｏ

Ｗｅ ｓａｉｄ ｔｈａｔ

ｍ ａｓ ａ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｉ

ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ

＝

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｍｉｔ．

ａｒｅ ａｎ

｛０，１｝

ｗｉｔｈ ｔｗｏ

ｏｂｊｅｃｔｓ，

ａｎｄ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

Ｄ：Ｉ

—？

Ｃ．

Ｄ＼ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅｎ ａ ＤＯ ａｎｄ Ｂ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ｌｉｍｉｔ ｏｆ Ｄ ｉｎ Ｃ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｌｉｍ Ｄ Ｐ ｏｆ Ｃ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ ａｎｄ ｋ＼： Ｐ Ａ ａｎｄ ｋｏ： Ｐ Ｂ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｔｗｏ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈ０： Ｃ Ｐ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｋｏｍ ｈ＼ｉＣ ／ｉ０ ａｎｄ Ｂ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｍ：Ｃ ｋｉｍ ｈ＼． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ． Ｓｏ Ｄ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｐｉｃｋｓ

ｏｕｔ ｔｗｏ

＝

＝

＝

—＞

—＊■

—＊■

—＞

—＊■

＝

＝

Ａｓ ｗｅｌｌ

ａｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ

ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｈａｓ ａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ａ

ｌｉｍｉｔ，

ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｓａｙ

ｅｘａｍｐｌｅ， ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ａｎｄ ｂｏｔｈ ｍｅｅｔｓ ａｎｄ ｊｏｉｎｓ ａｒｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｌｉｍｉｔｓ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ｉｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ａ ｈａｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ， ａｎｄ ｗｅ ｓｌｉａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｌｉｍ： ［Ｉ， Ｃ］ Ｃ ｆｏｒ ｓｕｃｈ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆ ｏｎｅ ｅｘｉｓｔｓ （ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ａｎ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｉｔ ｅｘｉｓｔｓ）． Ｉｆ ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ： Ｉ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｌｉｍｉｔ ｉｎ Ｃ， ｔｈｉｓ ｌｅａｄｓ ｔｏ ａ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｌｉｍ． Ｉｆ Ｄ ｉｓ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ［Ｉ， Ｃ］ ｔｈｅｎ ｌｉｍ Ｄ ｉｓ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｌｉｍｉｔ （ｋｊ： ｌｉｍ Ｄ ＤＩ ｜ Ｊ ｅ Ｉ） ｏｆ Ｄ ｉｎ Ｃ． Ｎｏｗ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ｌｉｍ ｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ［Ｉ， Ｃ］； ｌｅｔ ａ： Ｄ Ｄ＇ ｂｅ ａｎｙ ｓｕｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ Ｄ＇ ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ ｌｉｍ Ｄ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｗｈｅｎ

ａ

ｃｅｒｔａｉｎ ｆｏｒｍ．

ａ

Ｆｏｒ

—？■

—？

—＞

—＞

［ｏｌｉ ｏｋｒ．ｌｉｍＤ ａｎｄ ｍ：

ｓｏ

－？？

ＤＩ

－＞

Ｄ＇ｌ

＼Ｉ ｅｌ）

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｌｉｍｉｔｓ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｌｉｍ Ｄ

ｋ＇ｊ ａｒｉｓｉｎｇ

—＊

ｌｉｍ Ｄ＇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

ｋ＇ｊ

ｏ ｍ

＝

ａ／

ｌｉｍｉｔ ｏｆ Ｄ＇ ｉｎ

ｏ

ｋｉ

Ｃ）．

ａ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

（ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｍ． ｌｉｍ（ａ）

ａｔ ｅｖｅｒｙ Ｉ ｅｌ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

＝

２．１１．

９３

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ｓｏｍｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ２ ｛０，１｝ ｂｅ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ ｓｏ Ａ： Ｃ —＞ ［２， Ｃ］ ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｄｉａｇｒａｍ Ａ ｏｎ Ａ ｏｆ ｓｈａｐｅ ２ ａｎｄ ｓｅｎｄｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／： Ａ —？ Ａ＇ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａｆ：Ａ —？ Ａ＇ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ （Ａ／）＃ ／： Ａ —？ Ａ＇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｂ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅｎ Ｃ ｈａｓ ｂｉｎａｒｙ Ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｉｓ

＝

＝

ｉｎ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｊｕｓｔ

ｔｈｅ

ｃａｓｅ

Ｆｏｒ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｒ：

ｆｕｎｃｔｏｒ

［２，Ｃ］

Ａ ｈａｓ Ｃ ｉｓ

—？■

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ．

ａ

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

ａ

ｔｏ Ａ．

Ｔａｋｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

Ｂ

ａｎｄ Ｃ ｉｎ

Ｃ， ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： ２

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｓａｙｓ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ Ｆ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈ：Ａ—＊ ＲＦ

ａ：

ＡＡ

—？■

ａ：

ＡＡ

Ｃ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ０ ｔｏ Ｂ ａｎｄ １ ｔｏ Ｃ

—？

Ｆ

－＞

ｈ：Ａ－＋ＲＦ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ａ ａｎｄ Ｆ．

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａ Ａ

Ｂｕｔ ｔｏ

ｇｉｖｅ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

Ｂ ａｎｄ Ａ Ｃ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ ｓｏ ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄａｔａ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＲＦ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ （／， ｇ）： （Ａ， Ａ） （Ｂ， Ｃ） ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／ｉ： Ａ —ｙ

Ｆ ｉｓ ｔｏ

ｇｉｖｅ

ｔｗｏ

—？

—？

ｉｎ Ａ ａｎｄ

—＊

（Ｂ，Ｃ）： ｈ．Ａ＾ＲＦ

（ｆ，ｇ）：（Ａ，Ａ）＾（Ｂ，Ｃ）

（

ｈ－．Ａ＾ＲＦ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

—？■

ｔｈａｔ

＇

ｉｄＲＦ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ：

ｔｏ

Ｕ，ｇ）：｛Ａ，Ａ）＾（Ｂ，Ｃ） （ｋｂ＾ｃ）＇－ ｛ＲＦ， ＲＦ）

ｉｄＲＦ： ＲＦ

（ｔｔｂ， ７ＴＣ） （ＲＦ，７Ｔｂ，７Ｔｃ）

＝

．＿．

－＞

（Ｂ，Ｃ）

—？

ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ

ＲＦ

（ｉｄＲＦ）Ａ： （ＲＦ， ＲＦ）

（Ｂ， Ｃ）

－

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ｂ ａｎｄ Ｃ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｆ：Ａ－＋Ｂ ａｎｄ ｇ： Ａ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ａ ＲＦ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｎｓｈ ／ ａｎｄ ｎｃｈ ｇ． Ｄｅｆｉｎｅ ｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ （／， ｇ） ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ， ｔｈａｔ ｉｓ ｈ ｛ｆ，ｇ）． Ｔｈｅｎ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｉｎ Ａ ａｔ ｔｈｅ ＲＦ ｗｅ ｈａｖｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ａ Ｔｈｅｎ

ｉｓ

ａ

—？

—ｙ

＝

＝

＝

—＞

ｉｄｊｉｐ

ｉｄＲＦ

°

ｉ

＾

＊

＇

＊＊

ｈ

＝

ｉｄ，ＲＦ

ｉｄＲＦ

°

Ａ／ｉ

ｔｈａｔ ｉｓ

（／， ９）

＝

（ｆｉ ９）

＝

（ｔｔｂ， ｎｃ）

ｏ

Ａ／ｉ

＝

（ｔｔｂ， ｔｔｃ）

ｏ

（／ｉ， ／ｉ）

９４

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｈ ｉｓ

ａｎｄ

ｓｏ

ａｎｄ

ｎｃｈ＇

（／， ｇ）

ｔｏ

ａ

＝

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ．

ｇ ｆｏｒ

ａｎ

Ｔｏ

ｓｅｅ

Ａ

ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ，

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

ｎｓｈ＇

ｆ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ

ｓｕｐｐｏｓｅ ａｌｓｏ

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ． Ｔｈｅｎ ｂｏｔｈ ｈ ａｎｄ ｈ！

＝

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｈ ｈ＇． Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｉｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｓｅｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎ Ｃ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ

ｔｈａｔ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ

２．

＝

ｔｏ Ａ． Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．１１．２

Ｗｏｒｋ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１１．１．

ｃａｒｅｆｕｌｌｙ ｔｈｒｏｕｇｈ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｌｉｍｉｔｓ ｆｏｒ ａｌｌ ｄｉａｇｒａｍｓ Ｄ， ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｍ： ［Ｉ， Ｃ］ —＊■ Ｃ ｉｓ ａ ｇｏｏｄ ｏｎｅ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｕｒｎ ｉｓ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｉｆ Ｃ ｉｓ

Ｉｎ

ｉｎｄｅｅｄ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ．

ａ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．１１．３

（１）

Ｉｆ Ｉ ｉｓ

ａ

（ｓｍａｌｌ）

ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅｎ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ａｍｏｕｎｔ ｔｏ

ｏｆ ｓｅｔ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ，

ｔｈａｔ Ｉ ｈａｓ ｔｗｏ

ａｎｄ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｏｂｊｅｃｔｓ．

ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ

（２） Ｌｅｔ Ｉ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ０

＾１

ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

ｊｕｓｔ ｔｗｏ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ ｔｗｏ ｐａｒａｌｌｅｌ ｎｏｎ－ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｓｏ ａ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ｉｎ Ｃ ｉｓ ｊｕｓｔ ａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ， ｓａｙ ／， ｐ： Ａ —？ Ｂ， ａｎｄ ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ ｔｈｉｓ ｄｉａｇｒａｍ ｉｓ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｅ：

Ｅ

—？

ｆｅ

＝

ｅ＇

Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

＝

ｇｅ．

ｆｅ

＝

Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ

ｊｕｓｔ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｇｅ； ｔｈｅ ｅ＇ ｉｓ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ． Ｗｅ

ｄｉａｇｒａｍ： ｅ

Ｅ

ｆ

Ａ

ｔｏ

ｃａｎ

ｇｉｖｉｎｇ

ｄｒａｗ

ａ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

： Ｂ

９ Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

ｃｏｎｅ

ｉｓ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ ｆ，ｇ：Ａ－＋Ｂ． Ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｗｈｉｃｈ ｆｈ ｇｈ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ ｂｅ

ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｅ， ｓａｙ ｈ： Ｃ —？ Ａ ｆｏｒ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｋ：Ｃ —＞ Ｅ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｈ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ．

（３） Ｌｅｔ Ｉ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

＝

＝

１

０

－２

ｅｋ．

Ｓｏ ｔｈｉｓ ｌｉｍｉｔ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ

ａｎ

２．１１．

９５

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ｉｎ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：Ａ－＋Ｃ ａｎｄ ｇ．Ｂ＾Ｃ． Ａ ｃｏｎｅ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｄｉａｇｒａｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｔｒｉｐｌｅ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈ， ｋ ａｎｄ

ｓｏ ａ

ａｎｄ

ｃ

ｗｈｅｒｅ

ｈ

９ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ａ

ｆｈ ｃ ｇｋ； ｓｏ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ｉｓ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ａ ｐｕｌｌｂａｃｋ． ＝

＝

ｃ

ｉｓ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ． Ａ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ

（４） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｉ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｎ ［Ｉ， Ｃ］ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ １ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｏｎｅ ｏｂｊｅｃｔ （ｓａｙ Ｄ） ａｎｄ ｏｎｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ Ａ：Ｃ ［Ｉ，Ｃ］ ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔａｋｉｎｇ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ １ ａｎｄ ａｌｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｎ １． Ｏｎｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ （Ａ ｊ Ｄ） ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔｏ Ｃ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈａｔ ａ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ Ｄ ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｆｏｒ Ｃ． —？

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．１１．４

Ｌｅｔ Ｉ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ： １

０

－２

ｎｏｎ－ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ． Ｄｅｓｃｒｉｂｅ ａ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ａ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ：Ｉ—＊ Ｃａｔ ｗｈｅｒｅ Ｃａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｙｏｕｒ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａ ｌｉｍｉｔ． ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｎｄ ｔｈｒｅｅ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｈａｓ ｃｏｌｉｍｉｔｓ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．１１．５ Ａ： Ｃ

［Ｉ， Ｃ］

ｈａｓ

ａｄｊｏｉｎｔ， ａｎｄ ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ｕｒｎ ｆｏｒ Ａ ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ａ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ： Ｉ Ｃ ｉｓ ａｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ｄ Ｉ Ａ）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ｄ Ｊ， Ａ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｉｎ Ｃ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｋ：Ｄ ＡＣ， ｔｈａｔ ｉｓ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ Ｊ ｉｎ Ｉ Ｃ ｜ Ｉ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｋｊ： ＤＩ Ｉ） ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ： Ｉ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ： —？

ａ

ｌｅｆｔ

ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ｉｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆ ｉｔ ｅｘｉｓｔｓ．

—＊■

—？

—＞

—？

ＤＩ

Ｄａ ？

ＤＪ

Ｃ Ｓｕｃｈ

ａ

ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｏｂｊｅｃｔ

ｗｅ ｓｅｅ

Ｕｒｎ Ｄ ｏｆ Ｃ

ｔｈａｔ

ａ

ａ ｃｏｎｅ

ｕｎｄｅｒ Ｄ ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ Ｃ．

ｄｉａｇｒａｍ Ｄ：＼ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｆｃｊ： ＤＩ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ

—＞

Ｃ ｉｓ —？

Ｕｎｒａｖｅｌｌｉｎｇ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｎ

Ｕｒｎ Ｄ

＼

Ｉ Ｇ

Ｉ）

９６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｃｏｎｅ （ｈｉ： ＤＩ —＞ Ｃ ＼ Ｉ Ｇ Ｉ） ｕｎｄｅｒ Ｄ ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｍ： ｌｉｍ Ｄ —？ Ｃ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｍｏ ｋｉ ｈｉ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｊ ｏｆ Ｉ． Ｗｅ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｍ ａｓ ａ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

＝

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．１１．６

（１）

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ｅｍｐｔｙ， ｔｈｅｎ

（２）

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｔｗｏ

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｏｆ

Ｉ ｉｎ Ｃ ｉｓ

ｓｈａｐｅ

ｏｂｊｅｃｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ，

ａ

ａｎ

ｉｎｉｔｉａｌ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔ

ｓｈａｐｅ

ｉｎ Ｃ．

Ｉ ｉｓ

ａ

ｂｉｎａｒｙ

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ． （３）

Ａ ｃｏｌｉｍｉｔ

ｏｖｅｒ

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ０

ｉｓ

ａ

ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ；

（４） Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

ＸＩ

ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｉｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｏｖｅｒ

ｏｒｉｇｉｎａｌ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ．

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ２

－１

０ ａｒｅ

ｐｕｓｈｏｕｔｓ； ａｇａｉｎ，

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ２．１１．７

ｃｏｍｐａｒｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｌｅｔ Ｄ：Ｉ

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ Ｉ ｉｓ ａ ｓｍａｌｌ （ｌｅｆｔ） ａｄｊｏｉｎｔ ｉｎ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ

ａｎｄ ｍａｋｅ

ｏｒｉｇｉｎａｌ

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｌｅｔ Ａ： Ｃ ｃａｓｅｓ；

ｗｅ

Ｃ ｂｅ

ｄｉａｇｒａｍ； ［Ｉ， Ｃ］ ｈａｖｅ ａ ｒｉｇｈｔ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ

—？■

ａ

—＞

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ

ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｏｎｅｓ：

？

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｎ Ｃ ｈａｓ

？

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｔｗｏ

ａ

ｏｂｊｅｃｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ，

ｔｅｒｍｉｎａｌ

（ｉｎｉｔｉａｌ） ｏｂｊｅｃｔ

ｔｈｅｎ Ｃ ｈａｓ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ （ｃｏｐｒｏｄ－

ｕｃｔｓ）． ？

Ｉｆ Ｉ ｈａｓ ｔｗｏ

ｔｈｅｎ ？

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ

ｐａｒａｌｌｅｌ ｐａｉｒ ｏｆ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｎｏｎ－ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ （ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ）．

ａ

Ｉｆ Ｉ ｈａｓ ｔｈｒｅｅ

ｃｏｍｍｏｎ ？

ｗｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ

ｏｂｊｅｃｔｓ， ａｎｄ ｔｗｏ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｎｏｎ－ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔａｒｇｅｔ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓａｙ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｐｕｌｌｂａｃｋｓ （ｐｕｓｈｏｕｔｓ）．

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ

ｗｉｔｈ

ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

（ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ）． ？

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ａｎｙ ｓｍａｌｌ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ，

（ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ）．

ｗｅ

ｓａｙ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ

ａ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

２．１１．

？

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ，

ｈａｓ ａｌｌ ？

９７

ｆｉｎｉｔｅ

ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ

Ｄ：Ｉ

—？

ａ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ ｓｍａｌｌ

ｗｅ

（ｃｏｌｉｍｉｔ）

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ

ｗｅ

ｏｒ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ （ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ）

ｏｒ

（ｃｏｌｉｍｉｔｓ）．

ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｌｉｍｉｔ

Ｃ ｔｈｅｎ

ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅ （ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ）

（ｃｏｌｉｍｉｔｓ）．

ｌｉｍｉｔｓ

Ｉｆ Ｉ ｉｓ ａｎｙ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ，

Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ｗｅ

ｉｎ

ｌｉｍｉｔｓ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｆｏｒ ａｎｙ ｄｉａｇｒａｍ

（ｃｏｌｉｍｉｔｓ）．

Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｈａｖｉｎｇ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｂｏｖｅ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｈａｖｉｎｇ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｓｅｔ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ． Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓｈｏｗｓ ｈｏｗ ｌｉｍｉｔｓ ｃａｎ ｂｅ ｂｕｉｌｔ ｕｐ ｆｒｏｍ ｓｉｍｐｌｅｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｓ： ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．８

（ｉ）

Ｉｆ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ ｔｈｅｎ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ

ｌｉｍｉｔｓ．

（ｉｉ）

Ｉｆ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ

（ｉｉｉ）

Ｉｆ Ｃ ｈａｓ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ａｎｄ

ａ

ａｎｄ

ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ

ｔｈｅｎ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｍｉｔｓ．

ｔｈｅｎ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｍｉｔｓ．

Ｐｒｏｏｆ

（ｉ）

Ｌｅｔ Ｄ： Ｉ

Ｃ ｂｅ

—？

ａ

ｗｈｅｒｅ Ｉ ｉｓ

ｄｉａｇｒａｍ

ａ

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ Ａ ＊ Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｓ

ａｎｄ ｔｈｅｎ

ｗｅ

Ｂ

Ｕｌ ｏｂｌＤＩ

ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

＝ｆ （ｖｔａｒｉｆ） ｜ ／ ｆｏｒｍ ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｆｃｊ

＝

Ｄｆ ｏｋｉ

＝

ｓｅｅ

Ｉ） —？■

ｅ：

Ｅ

０

＼

Ｉ

ＤＩ

７ｒｉｏｅ

Ｂ

ｔ

—＊■

＝

—＊

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ＝ｆ （Ｄｆ

Ａ ｏｆ

Ｅｌ）．

ｔｈｉｓ， ｔａｋｅ ｆ：Ｉ

Ｄｆ

—？

ａｎｄ

ｅｑｕａｌｉｓｅｒ

－Ｋｊｅ－．Ｅ

ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ Ｅ． Ｔｏ

ｓ， ｔ： Ａ

ｄ＾ｆ ＵｆｅｍｏｒｌＤ（ｔａｒ（ｆ））．

ｓ

ｏ

７ｒ５ｒｃ（／）

｜ ／

Ｉ） ｆａｍｉｌｙ

ｏｆ

ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ

Ｄ

ａｎｄ ｔ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

Ｔｈｅｎ ｔｈｉｓ

ｆａｍｉｌｙ

ｉｓ

Ｊ ｉｎ Ｉ ａｎｄ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

７ｒｆＯｔｏｅ

＝

７ＴｆＯｓｏｅ

＝

７ｒｊｏｅ

＝

ｋｊ

ｗｈｅｒｅ ｎｙ： Ｂ —＞ Ｄ（ｔａｒ（ｆ））． Ｔｈｉｓ ｃｏｎｅ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ａ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ Ｄ． Ｆｏｒ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ （ｈｉ： Ｃ —？■ ＤＩ ｜ Ｊ ｅ Ｉ） ｉｓ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ Ｄ ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ Ｃ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ Ａ ａｎｄ ｏｎｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ （ｈｉ ＼ Ｉ Ｇ Ｉ）： Ｃ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ａｎ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｋ： Ｃ ａ

—＞

＝

Ｅ

ｓ

ｅ ？

Ａ

１

ｈ Ｃ

： Ｂ ＇

ｔｈａｔ ｓｈ —？

＝

ｔｈ． Ｔｈｕｓ

Ｅ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

９８

Ａ Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

Ｃｈａｐｔｅｒ ２．

ｃｏｍｍｕｔｅｓ．

Ｈｅｎｃｅ ｅｋ

ｈ

ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ７１７ ｏ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｋ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ＝

ｅｋ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ． Ｔｈｅ Ａ． ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｅ： Ｅ ａｓ

＝

ｈｊ ｔｈａｔ ｉｓ ｋｊ

ｏ

ｋ

＝

ｈｊ

ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ

—？

（ｉｉ）

Ｐｒｏｏｆ

（ｉｉｉ）

Ｗｅ

ｅｘａｃｔｌｙ

ａｓ

ｆｏｒ

（ｉ）

ｗｉｔｈ Ｉ ｆｉｎｉｔｅ．

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｆｒｏｍ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ （ｓａｙ １） ａｎｄ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｓ ｔｈｅ １ ａｎｄ ！＃： Ｂ １ ｗｈｅｒｅ ！ ｄｅｎｏｔｅｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｔｈｅ ｐｕｌｌｂａｃｋ ｏｆ ＼ａ－ Ａ Ｂ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｐｕｌｌｂａｃｋ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｏｆ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／， ｇ： Ａ ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ ｆｉｎｉｔｅ

—？

—＞

—？

Ｅ

｛ｉｄｓ， ｉｄｓ） －

（ｆ，９）

Ｂ

Ｂ

ｘ

（ｉｉ）．

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ

□ Ｌｅｍｍａ ２．１１．９

ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

Ｉ ｔｈｅｎ

ｓｈａｐｅ

Ｌｅｔ Ｄ：Ｉ—＊

Ｐｒｏｏｆ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｄ ｉｓ

Ｌｅｔ

ａｓ ａ

Ｃ， Ｉ ａｎｄ ８ ｂｅ ｔｈｒｅｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｈｅｒｅ Ｉ ｉｓ ｓｍａｌｌ． Ｉｆ Ｃ ｈａｓ ｓｏ

［８， Ｃ］

ｆｕｎｃｔｏｒ

ｂｅ

［￡，Ｃ］． ａ

Ｄ（—，Ｅ）：Ｉ Ｃ Ｄ（Ｉ， ＋）：￡

—？

Ｓ

—？

Ｃ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

—？

ｘ

ｏｂｊｅｃｔ

（ｋ（Ｅ）ｒ． Ｕｒｎ ￡＞（－， Ｅ） ｂｅ

ａ

ｌｉｍｉｔ ｏｆ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ

Ｄ（—， Ｅ）

ｆａｍｉｌｙ

（￡＞（／， ｅ） ｆｏｒｍｓ

ｏｆ

ｏ

ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｅ． Ｉｆ

／ ｏｆ Ｉ． Ｌｅｔ

￡＞（／， Ｅ） ＼

—

ｗｅ ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ａ

Ｉ Ｇ

Ｉ）

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｅ：

Ｅ

—＊

Ｅ＇ ｉｎ ￡，

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｊｆｅ（￡）ｊ

ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ

ｏｆ ｔｙｐｅ Ｉ．

Ｂｙ ｃｕｒｒｙｉｎｇ， ｗｅ ｃａｎ ｒｅｇａｒｄ Ｃ， ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｅ ｏｆ ８ ｔｈｅｒｅ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｍａｎｎｅｒ， ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ａ

ｄｉａｇｒａｍ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｄ： Ｉ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

ｄｏｅｓ

：

￡＞（－， ￡）

Ｕｒｎ

Ｄ（—，Ｅ＇）

—＞

￡＞（／， ￡７）

ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

—？

Ｄ（Ｉ， Ｅｆ） ＼

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｉ Ｇ

ｌｉｍ

Ｉ）

Ｄ（—，Ｅ）

—＞

ｂｙ， ｓａｙ， ｌｉｍ Ｄ（—， ｅ）． Ｏｎｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｌｉｍｉｔｓ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ＋ １—？ ｌｉｍ ￡）（—，＋） ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ｌｉｍ Ｄ（—， ＋）： ８ Ｃ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｋ（Ｅ）ｊ （ａｓ Ｅ ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ８） ｉｎｄｕｃｅｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｌｉｍ

Ｄ（—， Ｅ＇）

ｄｅｎｏｔｅｄ

—？

＊（＋）／：

ｌｉｍ

￡＞（－， ＋）

－？

￡＞（／， ＋）

２．１１．

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｏｂｊｅｃｔ

９９

Ｊ ｏｆ Ｉ． Ｉｎ ｆａｃｔ

（＊（＋）／： ｆｏｒｍｓ

ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

Ｕｒｎ

Ｄ（－， ＋）

／ Ｇ

ｆａｍｉｌｙ

Ｉ）

Ｄ（—，＋）

ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｌｉｍｉｔ．

ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｍａｙ

□

Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ） ｄｅｓｃｒｉｂｅ

ｗｅ ｎｏｗ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｌｅｔ Ｆ：Ｃ

ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ

ｓｏｍｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｔｈａｔ

—＞

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｎｄ ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｏｒｄｅｒ． Ｔｈｅ

ｂａｓｅｄ

ａｒｅ

￡ ｂｅ

ａ

Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

（ｋｒ．ＵｍＤ Ｄ， ｔｈｅ

ｕｓ

ｅｎｊｏｙ． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｗｉｌｌ ｂｅ ｆａｍｉｌｉａｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ

ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｏｓｅｔｓ ｗｈｉｃｈ

ｆｏｒ

￡＞（／， ＋） ｜

－？

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｄ ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ Ｕｒｎ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１１．１０

（ｉ）

ａｌｓｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｏｎｅ ｃａｎ

ｏｎ

ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ Ｉ ｉｆ

ｓｈａｐｅ

－？？

ｓｉｍｉｌａｒ ｉｄｅａｓ．

｜

ＤＩ

Ｉ

Ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ Ｄ：Ｉ－＞Ｃａ ｄｉａｇｒａｍ．

ｇｉｖｅｎ

ａ

ｔｈｅ

ｌｉｍｉｔ

ｅｌ）

ｃｏｎｅ

｛ＦｋＩ：ＦｌｉｍＤ－＾ＦＤＩ＼Ｉｅｌ） ｉｓ

ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ＦＤ．

ａ

（ｉｉ）

Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ

ｒｅｆｌｅｃｔｓ

ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

Ｉ ｉｆ

ｓｈａｐｅ

ｇｉｖｅｎ

ａｎｙ

ｃｏｎｅ

（Ｊｆｅｊ：Ｌ－＞ＤＪ｜ Ｊ ｌ） ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｔｈｅｎ

（ｉｉｉ）

（ｋｉ：Ｌ

—＊■

ＤＩ

｜

（Ｆｋｆ． ＦＬ Ｉ） ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ

ｃｏｎｅ

／ Ｇ

－？？

ａ

Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｆ ｃｒｅａｔｅｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

＼

ＦＤＩ

Ｉ Ｇ

Ｉ）

ｉｓ

ａ

ｌｉｍｉｔ ｏｆ ＦＤ： Ｉ

￡，

－？

ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ Ｄ．

ｓｈａｐｅ

Ｉ ｉｆ

ｇｉｖｅｎ

ａｎｙ ｌｉｍｉｔ

（ｋ＇ｊ－．ＵｍＦＤ＾ ＦＤＩ＼Ｉ ｅｌ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｖｅｒ

ｄｉａｇｒａｍ

ＦＤ： Ｉ

—？

Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｕｒｎ ＦＤ

￡， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ＝

ＦＬ ａｎｄ

Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ，

ｋｊ

ｒｅｆｌｅｃｔｓ

＝

ｕｎｉｑｕｅ ｃｏｎｅ （＆／： Ｌ —＞ ＤＩ ＼ Ｉ ｅｌ） Ｆｋｉ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｅ ｉｓ ａ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ Ｄ． ａ

ａｎｄ ｃｒｅａｔｅｓ

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｓｈａｐｅ

Ｉ ｉｓ

ｓｉｍｉｌａｒ ａｎｄ ｏｍｉｔｔｅｄ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ２．１１．１１

（１）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｓｈａｐｅ

ｎ，

ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｎ Ｇ Ｎ ｏｂｊｅｃｔｓ， ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

ｗｈｅｒｅ

ｎ

ｉｓ

ａ

Ｃｈａｐｔｅｒ ２．

１００

（２）

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｓ ｂｅ

Ａｐ： ［￡，Ｃ］

—？

Ｃ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｌｅｔ Ｅ ｂｅ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ＂ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ａｔ Ｅ＂ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｎｙ ｌｉｍｉｔｓ ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔ ｉｎ

［￡，Ｃ］． ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｏｎ Ｑｒｐ， Ｊｂ ａｎｄ Ｔｏｐ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ ａｌｌ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｌｉｍｉｔｓ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ｈｅｒｅ， Ｊｂ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ａｂｅｌｉａｎ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ａｎｄ Ｔｏｐ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅｓ ａｎｄ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌｌｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

（３）

Ｔｈｅ

（４）

Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．８ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｒｕｅ ｉｆ

ｈａｓ ａｎｄ Ｆ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ＂

ｗｅ

ｒｅｐｌａｃｅ

ｅｖｅｒｙ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ ＂Ｃ ｈａｓ＂

ｂｙ

＂Ｃ

ｉｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ．

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１１．１２

Ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｗｅ

ｐｒｏｖｅ

ｓｏｍｅ

ｒｅｓｕｌｔｓ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ａｎａｌｏｇｕｅｓ ｏｆ ｅａｒｌｉｅｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｎｇｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｑｕｉｔｅ ａｓ ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ ｗｈｅｎ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ａｒｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ａｉｍ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｏｆ ａ ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒ， ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｗｈｅｎ ａ ｇｉｖｅｎ

ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｉｌｌ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｌｉｍｉｔｓ． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｃｏｍｐａｒｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．１３ ｗｉｔｈ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．６， ａｎｄ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ２．１１．１６ ａｎｄ ２．１１．２０ ｔｈｅｏｒｅｍｓ＂ ｆｏｒ

ｆｏｒ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ）

ｗｉｔｈ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．８

（ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ＂ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ （ｔｈｅ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ）．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．１３

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｇ：Ｓ

Ｔｈｅｎ Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔ ｉｎ Ｓ．

Ｄｕａｌｌｙ，

—？■

Ｃ ｈａｓ

ｉｆ Ｇ ｈａｓ

ａ ａ

ｌｅｆｔ

ａｄｊｏｉｎｔ． ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

ｔｈｅｎ Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔ ｉｎ Ｓ．

Ｐｒｏｏｆ

ｅｘｉｓｔ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｔｗｏ ｗａｙｓ，

ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ

ｏｎ

ｗｈａｔ ｌｉｍｉｔｓ

Ｆｉｒｓｔｌｙ，

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｃ ａｎｄ Ｓ ｈａｖｅ ａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ

ｐＵ］－＾－［Ｉ，Ｃ］ （ｉ）

ｏｆ ｓｈａｐｅ

Ｉ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｄｉａｇｒａｍｓ

ＵＳ］ －￡． ［Ｉ，Ｃ］ ｌｉｍ

（２）

ｌｉｍ

（Ｆ －＼Ｇ）， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ＊ ａｎｄ Ｇ＊ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｐｏｓｔｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｆ ａｎｄ Ｇ， ａｎｄ ａｌｓｏ （Ａ Ｈ ｌｉｍ）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ （１） ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｂｙ ｄｅｊｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ， ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈａｔ （２） ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｕｓｉｎｇ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ

２．１０．２２．

２．１１．

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｄ： Ｉ

Ｓ ｂｅ

—？

１０１

ｇｉｖｅｎ ｄｉａｇｒａｍ ｗｉｔｈ ｌｉｍｉｔ （ｋｉ： ｌｉｍ Ｄ

ａ

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

（Ｇｋｉ：Ｇ（ｌｉｍＤ）

（ｈｉ： Ａ

ｂｅ

｜

ＧＤＩ

—＊

／ Ｇ

Ｉ）

ＧＤＩ

—？■

ＧＤ ｉｎ Ｃ．

ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ

｜

／ Ｇ

Ｉ）

ｉｓ

ＤＩ

＼

Ｉ

Ｅｌ）．

ｌｉｍｉｔ ｉｎ Ｃ．

ａ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

—？

Ｌｅｔ

ｏｆ ｔｈｅ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （Ｆ Ｈ Ｇ） ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｎｅ ＤＩ ｜ Ｊ Ｊ ｉｎ Ｉ ａｎｄ ｎｏｔｅ （ｈｉ： ＦＡ Ｉ）． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ， ｔａｋｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： ／ ｔｈａｔ ｈｊ ［（ＧＤｆ） ｏ ｈｉ］Ａ Ｄｆ ｏ ｈｉ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｋ： ＦＡ ｌｉｍ Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｋｉ ｏ ｋ ｈｉ ｆｏｒ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ／ ｏｆ Ｉ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｕｓ ａ Ｇ ｌｉｍ Ｄ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ／ ｏｆ Ｉ， Ｇｋｉｏｋ ｈｉ． ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｋ： Ａ —？■

—？

＝

＝

—＊

＝

—？■

＝

＾￣

□ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ

ｃｏｕｐｌｅ ｏｆ ｌｅｍｍａｓ ｂｅｆｏｒｅ ｐｒｏｖｉｎｇ

ａ

ｏｕｒ

ｆｉｒｓｔ

＂ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｔｈｅｏｒｅｍ．＂ Ｌｅｍｍａ ２．１１．１４

Ｃ ｂｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｓ ｈａｓ ａｎｄ Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ （Ａ ｉ Ｇ） ｈａｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ， ａｎｄ ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｔｈｅ ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ： （Ａ ｜ Ｇ） Ｌｅｔ Ｇ：￡

—？

ａ

—＞

Ｓ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅｍ． Ｌｅｔ Ｄ： Ｉ

Ｐｒｏｏｆ

Ｄ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｏｖｅｒ

ｔｈｉｓ．

ｔｈｅ

—＞

（Ａ ［ Ｇ）

ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ． ＵＤ： Ｉ ８， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｂｅ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ Ｄ ｄｉａｇｒａｍ ＧＤ ｉｎ Ｃ， ｓａｙ （ｈｉ＇．Ａ—＊ ＧＤＩ ＼

（ｋｆ．

Ｌｅｔ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ，

ａ

ａ

＝

ＵｍＤ

—？■

｜

ＤＩ

ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ＧＤ ｉｓ

ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

—？

／ Ｇ

Ｉ）

ｂｅ

ａ

Ｉ Ｇ

Ｉ）：

ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ

—＞

ａ ｃｏｎｅ

ｄｒａｗ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

ｗｉｔｈ ｖｅｒｔｅｘ Ａ

ａ

ｓｋｅｔｃｈ ｔｏ

ｓｅｅ

ｄｉａｇｒａｍ Ｄ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ

（Ｇｋｉ： Ｇ ｌｉｍ Ｄ

ｃｏｎｅ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｋ： Ａ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

—＞

ＧＤＩ

Ｇ Ｚｚｒａ ．Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

＼

Ｉ Ｇ

Ｉ）

ｄｉａｇｒａｍ

ＧＤＩ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｗｅ ｃｌａｉｍ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｉｍ

ｏｂｊｅｃｔ （ｋ，

Ｄ）

ｏｆ

（Ａ ［ Ｇ）

ｉｓ

ａ

ｃａｎｄｉｄａｔｅ ｆｏｒ

Ｄ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ

（ｋｒ． （Ｊｆｅ， ｛ｔｍ Ｄ） ｉｓ

ｌｉｍ

ａ

ｔａｋｅ

－＞

（／ｉ／， ＤＩ）＼Ｉ

ｅ

Ｉ）

ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ Ｄ． Ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ａｎｄ ｏｍｉｔｔｅｄ：

ｏｎｅ

ｎｅｅｄｓ ｔｏ

ａ ｃｏｎｅ

（ｈ＇ｉ：（ｇ，Ｃ）－＋（ｈｉ，ＤＩ）＼ＩｅＩ） ａｎｄ

ｖｅｒｉｆｙ

ｋｉ

ｋ＇

ｏ

＝

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｈ＇ｊ＂． （＃， Ｃ）

—？■

ａ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｋ＇： （ｇ， Ｃ）

（ｆｒ／， ￡）／）．

—？■

（ｋ，

ｌｉｍ

Ｄ）

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｔｈａｔ １７ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ．

□

１０２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｌｅｍｍａ ２．１１．１５ ａｎ

ｉｎｉｔｉａｌ

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

Ａ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｉｍｅｒ

ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｔｈｅｎ Ｃ ｈａｓ ｓｅｔ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ， ｓａｙ ｛Ａｘ ＼ ｘ Ｇ Ｘ｝， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｂ． ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｊｘ： Ａｘ

ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ｏｂｊｅｃｔ ｉｆｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｏｂｊｅｃｔ Ｂ ｏｆ Ｃ ｔｈｅｒｅ

—＊■

Ｐｒｏｏｆ

（＝￥＞） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔｓ

Ｃ ｈａｓ

ａｎ

ｉｎｉｔｉａｌ

｛０｝； ｛Ａｘ ｜ ｘ

ｏｆ Ｃ ｔｏ ｂｅ

（＜＝） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ｏｂｊｅｃｔ． Ｃａｌｌ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｂｊｅｃｔ

０ ａｎｄ ｔａｋｅ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ． Ｇ

Ｘ｝

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｊｘ＾ｘ－

＾＾ｘ Ｘ－Ａｘ

—？

Ａｘ

＞

ＪＤ

ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔｓ

ｂｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｏｆ Ｃ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｉｎ Ｃ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｏｎｅ ｏｂｊｅｃｔ ＩＩｘ ｘ Ａｃ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ； ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｓｍａｌｌ ｄｉａｇｒａｍ ｂｅｃａｕｓｅ Ｃ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ． Ｎｏｗ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｄｉａｇｒａｍ Ｂ ｇｉｖｉｎｇ ｕｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｉ： Ｌ ＨｘｅｘＡｘ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｊｘ ｏ ｗｘ ｏ Ｉ： Ｌ Ｂ． ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｏｂｊｅｃｔ Ｂ ｏｆ Ｃ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ，ｇ：Ｌ Ｗｅ ｃａｎ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｅ： Ｂ＇ Ｌ ｏｆ ／ ａｎｄ ｇ， ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｂ＇ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｌｅｊ＇ｘ７ｒｘ ｉｓ ａｎ ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｊ＇ｘ７ｒｘ： ＨｘｅｘＡｘ ｐｒｏｄｕｃｔ ＴＬｘ ｘＡｘ． Ａｓ ／ ｉｓ ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ａｌｌ ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｉｄｉ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＵｘｅｘＡｘ， ｗｅ ｈａｖｅ ／ ｌ（ｅｊ＇ｘ７ｒｘｌ） ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｅｊ＇ｘ７ｒｘｌ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ Ｌ． Ｓｏ ｅ ｉｓ ｓｐｌｉｔ ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ／ ｇ． Ｈｅｎｃｅ Ｌ —？

—？

—？■

—？

—＞

＝

＝

＝

ｉｓ ｉｎｉｔｉａｌ．

Ｎｏｗ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｆ

□

ｏｕｒ

ｒｅｓｕｌｔｓ， ｋｎｏｗｎ

ａｓ

Ｆｒｅｙｄ＇ｓ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．１６

Ｃ ｗｈｅｒｅ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｇ：￡ Ｓ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｔｈｅｎ Ｇ ｈａｓ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｉｆｆ Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ —＊

｛ｆｘ：Ａ＾ＧＢｘ＼ｘｅＸ｝ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ：Ａ—＊ ＧＣ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ

ＧＢＸ

—？

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｓｕｃｈ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．

（ｊｒｈｘ ａ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈｘ：Ｂｘ

—＞

Ｃ ｆｏｒ

ＧＣ

ｓｅｔ ｏｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ

２．１１．

１０３

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

Ｐｒｏｏｆ

（＝＞）

Ｉｆ Ｇ ｈａｓ

ｌｅｆｔ

ａ

ａｄｊｏｉｎｔ

ｔｈｅｎ ｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ

ｕｓｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．１３，

ａｎｄ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｈｏｌｄｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｔ＼ａ＇－ Ａ ｉｎ

（Ａ Ｉ Ｇ） （＜＝）

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｏｂｊｅｃｔ

（Ａ ｊ Ｇ）

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｌｅｍｍａ ２．１１．１５ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈａｔ

ｂｙ ａｐｐｅａｌｉｎｇ

ｔｏ

ＧＦＡ ｉｓ ｉｎｉｔｉａｌ

Ａ ｏｆ Ｃ． ｉｓ ｓｍａｌｌ

（ｆｏｒ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｕｓｉｎｇ Ｌｅｍｍａ ２．１１．１４． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｄｏｎｅ

—？

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

（Ａ ｊ Ｇ）

Ｓ ｉｓ

ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ）

ａｎｄ

ｔｈａｔ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

ｈａｓ

ａｎ

ｉｎｉｔｉａｌ

ｏｂｊｅｃｔ．

Ｗｅ

ａｒｅ

□

２．１０．１７．

Ｓｅｔ． Ｔｈｅ ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ：Ｑｒｐ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ， Ｑｒｐ， ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅ， ａｎｄ Ｕ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｕｓｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．１６ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ Ｕ． Ｂｕｔ ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ Ｅｘａｍｐｌｅ ２．１１．１７

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ： Ａ

—？

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ＵＧ ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ

ａ

—＞

ｓｅｔ ａｎｄ Ｇ ｉｓ

ａ

ｇｒｏｕｐ， ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ＵＧ ｗｈｅｒｅ （ｉｍ（Ｇ）） ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉ： Ｕ（ｉｍ（Ｇ）） ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｛ｇ（ａ） ＼ ａ Ｇ Ａ｝ ｏｆ Ａ ｉｎ ＵＧ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ ｏｆ （ｉｍ（Ｇ）） ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ＼ｕ＼ ｘ ＼Ａ＼ ａｎｄ ｔｈａｔ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｌｙ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ； ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｒｄｉｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ＼ｌｊ＼ ｘ ＼Ａ＼ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ Ｇ． Ａｓ Ｇ ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｆａｃｔｏｒｓ

—？■

ｇｒｏｕｐｓ， ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ

ｇｉｖｅｓ Ｈ

ｒｉｓｅ ｔｏ

ａ

ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ ａ

（ｉｍ（ｇ））

ａｓ

ｇ

ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ａ

ＵＧ

ＵＨ， ｗｈｅｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃｌａｓｓｅｓ． Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ａ ｏｆ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅｓ， ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．

ｓｅｔ ｏｆ ｓｅｔ

—？

—？■

ｓｕｂｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｉｓ ａ ｍｏｎｉｃ Ａ＇ Ａ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ｓｕｂ（Ａ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｕｂｏｂｊｅｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ Ｃ／Ａ ｗｈｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｓｕｂｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ａ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｓｕｂ（Ａ） ｉｓ ａ ｐｒｅｏｒｄｅｒ； ｉｆ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１１．１８

Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ，

ａ

＞—＊

ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ／ ｇ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｗｅｌｌ ｐｏｗｅｒｅｄ ｉｆ Ｓｕｂ （Ａ） ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ａ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｓｅｔ ｉｓ ｗｅｌｌ ｐｏｗｅｒｅｄ， ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｎｉｃ Ｂ Ａ ｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔｏ ａｎ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ Ａ＇ Ｃ Ａ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｌｙ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｃｈ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ， ｔｈａｔ ｉｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ａ． Ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｓ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｑｒｐ ａｎｄ Ｔｏｐ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅｓ．

ｃｏｍｍｕｔｅｓ，

ｔｈｅｎ

ｎ

ｍｏｎｉｃ

＝

＞—＊

１０４

Ｃｈａｐｔｅｒ

２．

Ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｗｅ ｃａｌｌ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ Ｏ ｏｆ Ｃ ａ ｃｏｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ｐａｒａｌｌｅｌ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／， ｇ： Ａ —？■ Ｂ ｉｎ Ｃ ｗｉｔｈ ／ ｎｏｔ Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｅｑｕａｌ ｔｏ ｇ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｏ ｏｆ Ｏ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｒ／ ｉｓ ｎｏｔ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｈｇ． Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ， ａｆｔｅｒ

ｏｎｅ

ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ

ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

ｈ：Ｂ

—？

ｓｐｅｃｉａｌ ａｄｊｏｉｎｔ

Ｏ ｏｆ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ

ｆｉｎａｌ ｌｅｍｍａ．

Ｌｅｍｍａ ２．１１．１９

Ｌｅｔ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃ

￡ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ａｎｙ

ｐｕｌｌｂａｃｋｓ

ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔ

ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅｎ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｍｏｎｉｅｓ．

Ｐｒｏｏｆ

Ｌｅｔ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｍ：

Ａ

＞—＞

Ｂ ｂｅ

ａ

ｏｆ ￡ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｆｍ

ｍｏｎｉｃ

／

ｏ

＝

Ｆｍ

ｏ

／， ｇ： Ｃ ｍｏｎｉｃ ｉｍｐｌｉｅｓ

ｉｎ Ｃ ａｎｄ ｌｅｔ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｇ． Ｔｈａｔ

ｍ

ｉｓ

—＞

ＦＡ ｂｅ

ｉｄ ＆

ｉｄ，

ｍ

Ｂ ｍ

ｉｓ

ａ

ｔｈｉｓ

ｉｍａｇｅ ｕｎｄｅｒ Ｆ ｉｓ ａ ｐｕｌｌｂａｃｋ ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ， ａｎｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｆａｃｔｏｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｏｔｈ ／ ａｎｄ ｇ ｔｈｒｏｕｇｈ ｉｄ ｆａ，

ｐｕｌｌｂａｃｋ ｗｅ ｓｅｅ

ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｆ

＝

ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅ

□

ｇ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ￡ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅ， ｗｅｌｌ ｐｏｗｅｒｅｄ， ａｎｄ ｈａｓ ａ ｃｏｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｓｅｔ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ ａ ｌｏｃａｌｌｙ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．２０

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｎ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｇ：￡ ｈａｓ

ａ

ｌｅｆｔ

—＞

Ｃ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ

ａｄｊｏｉｎｔ．

｛Ｅｉ ｜ ｉ Ｇ ／｝ ｂｅ ａ ｃｏｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｓｅｔ ｆｏｒ ￡， ａｎｄ ｗｒｉｔｅ Ｆ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ＼Ｊ｛Ｃ（Ｘ， ＧＥｉ） ＼ ｉ ￡ １｝ ｉｎｄｅｘｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＧＥｉ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ａｌｌ ｉ ￡ Ｉ． Ｓｅｔ Ｓ ／： Ｘ Ｉｌｆ＾ｐＥｉ． Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ５ ＰＲＯＯＦ

Ｆｉｒｓｔ， ｆｉｘ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｘ ｏｆ Ｃ． Ｌｅｔ

—？

ａｎｄ

ｓｏ

＝

ｔｈｅ ｓｅｔ Ｆ ｉｎｄｕｃｅｓ

ａ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ９： Ｘ

—＞

ＧＳ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｘ

Ｓ ｔｈｅｒｅ ｍａｙ ｂｅ ｓｏｍｅ Ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｓｕｂｏｂｊｅｃｔｓ Ｓ＇ ＧＳ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ＧＳ＇

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． ｆａｃｔｏｒｓ

＞—？

＞—＊

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ９ ａ

ｍｏｎｉｃ

ｂｙ

２．１１．

Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｃｏｌｉｍｉｔｓ

１０５

ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｌｅｍｍａ ２．１１．１９． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｃａｎ ｂｅ ａｔ ｍｏｓｔ ｏｎｅ ｆａｃｔｏｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ９ ｔｈｒｏｕｇｈ ＧＳ＇ ＧＳ． Ｐｉｃｋ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅ ｓｅｔ， ｓａｙ ｛ｍｐ： Ｓｐ Ｓ ｜ ／？ Ｇ Ｂ｝， ｏｆ ｓｕｂｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｉｓ ｆａｃｔｏｒｉｓａｔｉｏｎ ｅｘｉｓｔｓ， ａｎｄ ｗｒｉｔｅ ｆｐ： Ｘ ＧＳｐ ｏ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｓｏ ９ Ｇｍｐ ｆｐ）． ＞—＊

＞—？

—？■

＝

Ｂｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｔｈｅ

ｏｆ

￡，

ｔａｋｅ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｗｅ

ｏｂｊｅｃｔ Ｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｓｐ ．

Ｊ

Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｉｓ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ

ｄｅｆ ＝

ｌｉｍｉｔ， ａｎｄ

ｃ

Ｏｏ

ｓｏ

＊

Ｓ，

＞—？

ｒｉｐ

Ｓｐ

＂

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ

ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ

ｓａｙ

＇

ｒｎｐ

＊

￡＞？

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｋ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ

ｃｏｍｍｕｔｅ：

（１）

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｉｍ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｋ： Ｘ

（Ｘ ｉ Ｇ）． Ｓｕｐｐｏｓｅ Ｈ ＼Ｊ｛Ｓ（Ｙ，Ｅｉ） ｜ ｉ ＝

ｔｈａｔ ｅ

Ｉ｝，

ｇ：Ｘ

—？

—？

ＧＳｏ

ｉｓ ｉｎｉｔｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ

ＧＹ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ

ａｎｄ ｓｅｔ Ｔ

＝

Ｔｉ．ｈｅＨＥｉ．

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

（Ｘ Ｊ， Ｇ）．

Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

Ｓｅｔ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｔ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ＾ ｏ ｃｊ＞ ｈ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ＜ｆ＞ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａ ｍｏｎｉｃ ＜ｆ＞：Ｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｛Ｅ｛ ｜ ｉ Ｇ ／｝ ｉｓ ａ ｃｏｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｓｅｔ． Ｎｏｔｉｎｇ ａｌｓｏ ｔｈａｔ Ｇｈ ｏ ｇ： Ｘ Ｔ Ｇ￡＂ｉ ｉｓ ｉｎ Ｆ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＾： ５ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ７ｒ＾ ｏ ｉ＼） ｉｒｃｈｏｇ－ Ｆｉｎａｌｌｙ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ （ｐｒｏｄｕｃｔ） Ｆｆ ｜ ／ｉ Ｇ Ｈ） ａｎｄ ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｃ ｍａｋｉｎｇ （７Ｔｆｃ： Ｔ ＞－＞

＝

—＞

—？■

＝

—＞

ｃｏｍｍｕｔｅ．

Ｉｎ ｆａｃｔ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ

ｗｅ ｃａｎ

ｏｍｉｔｔｅｄ）．

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｋ

Ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ

＝

Ｇ＜ｆ＞

ｏ

ｇ ａｎｄ ｆｃ

＝

Ｇｉ＼）

ｏ

＾

（ｔｈｅ

ｅａｓｙ

１０６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｒｉｍｅｒ

ａｇａｉｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ｇ（ｆ＞ ｏ ｇ Ｇｉｐ ｏ ０， ｗｅ ｈａｖｅ ａｎｄ

ｏｎｃｅ

＝

Ｘ

ｗｈｅｒｅ

ｆｐ

ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ｅｘｉｓｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ

（＊）

ｔｈａｔ ｎｐ：Ｓｏ

Ｐ ｅｘｉｓｔｓ—ｓｅｅ

＞—＞

ａ

ｐｕｌｌｂａｃｋ

ａ

ｓｑｕａｒｅ， ａｎｄ ｈｅｎｃｅ Ｐ Ｇ

（１）．

Ｈｅｎｃｅ

ｗｅ

｛Ｓ＠ ＼ （３

Ｂ｝

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ

ａ

（ｇ， Ｙ） ｗｈｅｒｅ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ ｏｎｅ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｆｐ （ｕｎｉｑｕｅ） ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ａｂｏｖｅ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｓｅｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｐ＇ｎｐ： （ｋ， Ｓｏ） ｉｓ

ｉｓ

—＞

ｉｐ＇ｎｐ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｄｉａｇｒａｍ

ｔｈａｔ

Ｌ

ｗｈｉｃｈ ｌｅａｄｓ ｔｏ ａｎｏｔｈｅｒ

ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｒ ．

ｔｗｏ ｓｕｃｈ

Ｓ０

＊

ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｄｉａｇｒａｍ ＧＬ

Ｇｒ

ＧＳｏ

．

Ｐ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ，

ｐ ａｎｄ ｑ． Ｔｈｅｎ

： Ｙ

Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ：

ａｓ

Ｇｐ

！ ＧＹ

Ｋ

Ｘ

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｅ ｅｘｉｓｔｓ ｂｙ ａｐｐｅａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｐ ａｎｄ ｑ． Ｈｅｎｃｅ ｗｅ ｈａｖｅ ０ ５， Ｇｊ ｏ ｋ Ｇ（ｊｒ） ｏ ｅ， ｔｈａｔ ｉｓ Ｌ ｛５／３ ＼ ／３ Ｂ｝ ｖｉａ ｊｒ： Ｌ ａｎｄ ｓｏ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｎ＾． Ｓｏ ￡ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｊ ｛Ｊｒ）ｎＬ－ Ｂｕｔ ７ ｉｓ ｍｏｎｉｃ ｓｏ ｉｄｓ０ ｒ＾Ｌ？ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｉｄｉ， ｎｊｊｒ ｂｅｃａｕｓｅ ｒ ｔｏｏ ｉｓ ｍｏｎｉｃ． Ｔｈｕｓ Ｓｑ Ｌ ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｐ □ ｑ． Ｔｈｅ

＝

＞—？

＝

＞—？

＝

＝

＝

＝

￡．ｉ＃

Ｓｔｒｉｃｔ Ｉｎｄｅｘｅｄ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１２．１

＝

Ｗｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｂｅｇｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｓｐｅａｋｉｎｇ， ｗｈａｔ

ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｃａｌｌ

ａｎ

ａ

ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ

ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｓｈｏｕｌｄ

ｍｏｒｅ

２．１２．

１０７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｓｔｒｉｃｔ Ｉｎｄｅｘｅｄ

ｐｒｏｐｅｒｌｙ ｂｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ａｓ ａ ｓｔｒｉｃｔ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ； ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｓｋ ｔｈａｔ ｃｅｒｔａｉｎ ｄｉａｇｒａｍｓ ｃｏｍｍｕｔｅ ｕｐ ｔｏ ｓｔｒｉｃｔ ｅｑｕａｌｉｔｙ， ｗｈｅｒｅａｓ ｔｈｅｓｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ａｒｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｏｎｌｙ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｃｏｍｍｕｔｅ ｕｐ ｔｏ （ｃａｎｏｎｉｃａｌ） ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｌｅｔ Ｃａｔ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｔｈｅｎ ａ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ＇．Ｃ０９

—？

ｉｎｄｅｘｉｎｇ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ；

ｆｏｒｍ ｏｆ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ＣＩ． Ｔｈｅ

Ｃａｔ．

ｓｏ

Ｏｎｅ ｓｈｏｕｌｄ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ

ｅａｃｈ

／ ｏｆ Ｃ ｉｓ

ｏｂｊｅｃｔ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｒｅｆｅｒｒｅｄ

ｔｏ

ａｓ

ａｎ

＂ｉｎｄｅｘ＂ ｆｏｒ

ｔｈｅ ｂａｓｅ

ａｓ ａ

ａ

ｏｆ ｔｈｅ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ

ｇｉｖｅｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＣＩ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ｏｆ Ｃ ａｔ ／． Ｎｏｔ ｓｕｒｐｒｉｓｉｎｇｌｙ， ｗｅ ｃａｎ ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｅ ｇａｍｅ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｂｅｆｏｒｅ ｄｏｉｎｇ ｔｈｉｓ， ｗｅ ｒｅｍａｒｋ ｔｈａｔ ｉｆ ／： Ｊ —？■ ／ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ／＊ ｆｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｃ，

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ａｎｄ

Ｃ／，

ｔｈａｔ ｉｓ

／＊

＝

Ｃｆ：ＣＩ

—？

Ｃ Ｊ． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

／＊

ａｒｅ

ｋｎｏｗｎ

ａｓ

ｒｅｍｄａｍｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｎｏｗ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｄｅｘｅｄ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｄ ｂｅ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ａ：Ｃ

—？

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅｎ ａ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ａ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｄ； ｔｈｕｓ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｊ —＞ ／ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ＣＩ

＜＊ｉ

ＢＩ

ｒ

ｒ

ＣＪ

ＢＪ ＜＊ｊ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｗｅ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｓａｙ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｄ： Ｃ０９

—？

Ｎｅｘｔ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

（ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ）

ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ，

ａｎｄ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｒｉｔｅ ａ：Ｃ

—？

Ｃａｔ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄａｔａ． ｗｅ ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

ｔｈａｔ ｂｏｔｈ

ａ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ．

ａｎｄ ａ＇

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ａｎｄ Ｄ． Ｔｈｅｎ

ａｒｅ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ８： ａ． —？ ａ！ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＜￥／： ａ／ ａ＇ｊ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／ ｉｎ Ｃ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｊ ａ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ —？■

—？

ａ／ ＣＩ

ｒ

１８！ ４

ＢＩ

＼ｒ

（＊）

＜＊Ｊ ＣＪ

１８Ｊ

ＤＪ

ａ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ

ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ

ｓｑｕａｒｅ

（＊）

ａｓ

ｆ：Ｊ

—＞

Ｉ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（＜￥ｊ）／？

ｔｈｅ ｉｎｔｒｅｉｄ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．

／＊＜￥／？ ｉｓ ｊｕｓｔ

＝

Ｔｈｉｓ

１０８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａ

２．

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

ｓａｙｉｎｇ （ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ—ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｐａｇｅ ５１） ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ ＣＩ

（６ｊ）ｆＡ

ｆ＊（（８ｉ）Ａ），

＝

Ｐｒｉｍｅｒ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｗｈｅｒｅ

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒ ／＊ ｔｏ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （８ｉ）ａ

／＊（

（Ｓｊ）ｆＡ

Ｖｉ）ａ）

Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

６ｊ

ａｔ

Ｓｏ

ｆａｒ，

８１

ｗｅ

ａｔ Ａ

ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｈａｓ ｒｅｖｏｌｖｅｄ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ Ｃ． Ｎｏｗ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｆ＊Ａ ｏｕｒ

ｏｆ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ， Ｃ，

ａ，

６，

ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ，

ｆｉｘｅｄ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｓｈａｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ａｌｌｏｗｅｄ ｔｏ

ｔｉｄｙ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｃｔｕａｌｌｙ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｎｅｗ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＩＪＣａｔ． Ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ＵＣａｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ： Ｃ０？ Ｃａｔ ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ＵＣａｔ ａｒｅ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ Ｄ ｉｎ ＵＣａｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｏｔｈｅｒ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｄ：Ｚ＞ｏｐ Ｃａｔ， ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｃ Ｖ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ ａ ｉｓ ａ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ｂｙ ａ ｐａｉｒ （ａ， Ｆ） ｗｈｅｒｅ Ｆ： Ｃ ａ：Ｃ ＤＦ＾； ｗｅ ｃａｎ ｄｒａｗ ａ ｄｉａｇｒａｍ ｔｈｕｓ： Ｔｏ ｍａｋｅ

ｃｈａｎｇｅ．

ｏｕｒ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ

—？

—？

—？

—？

—？

Ｃ

Ｃｏｐ

ｔｈａｔ

Ｃａｔ

Ｄ ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ａ， Ｆ）：Ｃ Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ （ａ， Ｆ） ａｎｄ （ａ＇， Ｆ＇） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ ａｒｅ

—？

（ａ７， Ｆ＇）（ａ， Ｆ）

＝

（ａ＇Ｆ ｏ ａ， Ｆ＇Ｆ）

：

Ｃ

－？

ａｎｄ

（ａ＇， Ｆ＇）：Ｂ

—？■

Ｅ．

Ｅ．

ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （ｉｄｃ， ｉｄｃ） ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ａ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｉｄｃ ＇■ Ｃ Ｃ ａｔ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｃ ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｏｒ ｉｄｃｉ ｏｎ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ＣＩ， ａｎｄ ｉｄｃ ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｏｒ ｏｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ． Ｔｈｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｔ

ａｎ

—？

Ｗｅ

ｃａｎ

ｎｏｗ

ｍｉｍｉｃ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｄｅｘｅｄ

ｓｅｔｔｉｎｇ． Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｄ ｂｅ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ａｎｄ ＸＭｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．

２．１２．

Ｓｔｒｉｃｔ Ｉｎｄｅｘｅｄ

１０９

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

［Ｃ，Ｄ］

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ［Ｃ，Ｄ］ ａｒｅ Ｄ． Ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｎ ａｎｏｔｈｅｒ ｏｂｊｅｃｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ （ａ， Ｆ）：Ｃ （ｏ／， Ｆ＇）， ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （＜５，ｘ）： （ａ， Ｆ） —＞ （ａ＇， Ｆ＇） ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［Ｃ，Ｄ］ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＼： Ｆ Ｆｒ， ａｎｄ ａ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａ ｎｅｗ

ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｔｈｅ

ａｓ

—＊■

￣￥

８

Ｓｕｃｈ

ａ

ｒｅｑｕｉｒｅｓ

： ａ —

６ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ａ

（Ｘ（－）） Ｖ ａｓ

（Ｘ（－））＊Ｑ：／： Ｃ

—？■

ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ Ｂ）Ｆｏｐ ａｔ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ／ ＣＩ

ｗｈｅｒｅ ｏｆ

ｃｏｕｒｓｅ

ＤＦ／． Ｌｅｔ

（６， Ｘ）

ｐｅｒｈａｐｓ

ｏｆ Ｃ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ＢＦＩ ｄｅｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｖ ａｎｄ Ｘｊ ＤｉｘｉＹ－＾Ｆ＇Ｉ ｄｅｆｉｎｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［Ｃ，Ｄ］． Ｔａｋｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｘｉ＇ＦＩ

ｕｓ ｎｏｗ

：

Ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

－＾Ｌ ＢＦ＇Ｉ －＾＊

Ｆ＇ｌ ｉｓ

ＤＦ０？．

—

ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ．

ａ

ｗｏｒｄ ｏｆ

Ｃ

：

（ａ， Ｆ）

—

—＊■

ａ

—？■

＝

（ａ＇， Ｆ＇）

（６＼ Ｘ＇） （＜＊＇， Ｆ＇）

ａｎｄ

■

（ａ＂， Ｆ＂）．

—

Ｗｅ ｓｅｔ

（Ｓ＇，Ｘ＇ＭＸ） Ｏｎｃｅ

ａｇａｉｎ，

ａ

（（Ｘ（－））＾（－） °＊（－），ｘ＇ｘ） （ａ，＊１） ：

＝

ｗｏｒｄ ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔ

（ａ＂，＾＂）－

ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ． Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

ｏｆ ｔｈｅ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎ

—

（ｘ（－））＊＃＿） ８＾－ｙ．ａ ｏ

（ｘ＇Ｘ（－））＊ａ＂

—？

／ ｏｆ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ °Ｉ

？／

＂

Ｘ＊Ｉ＜＊Ｉ

／

＊

Ｘｉ＜＊ｉ

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｗｅｌｌ ｔｈｅ ｉｎｔｒｅｉｄ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｗｅ

＂

ｄｅｆｉｎｅｄ，

（ｄｉａｇｒａｍ （＊））

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ｔｈｅｎ

＊

／＊

／／

ＸｉＸｉ ａ／

ｄｅｆ ＝

ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ

／／＞．＊／／

（Ｘ ｘ）／？／－

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ

ｈｏｌｄｓ—ｓｅｅ ｐａｇｅ １０７． Ｓｏ ｌｅｔ

／：

ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ

Ｊ

—？

／ ｂｅ

ｈａｖｅ：

（ｘ＊ｊ６＇ｊｏ８ｊ）ｆ． ＜￥ ｔｆ（（Ｏ／０ｏ（＊ｊ）／． （＊）ｆｏｒ８ｆ

＝

（＊）ｆｏｒ８

＝

ｆｕｎｃｔｏｒｉａｌ

＝

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

＝

（－）＊ Ｘ＇－Ｆ

－＋

Ｆ＇ ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

（－）＊ （Ｆ／）＊ Ｔｈｅ

ａｔ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｔ

ｉｓ

ｚｓ

ｆｕｎｃｔｏｒｉａｌ

＝

／ｕｎｃｔｏｒ

＝

２５ ａ

（ａ， Ｆ）

ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ （ｔｄａ

ｘ｝（（Ｆ＇ｆ）％）ｏ（６ｊ）ｆ． ｘ５（（Ｆ７）＊＾）

ｏ

（Ｆ＇ｆ ｏ ＊ｊ）＊＃ （ｘｊ

ｏ

Ｆｆ）＊８ｊ

｛Ｆｆ）＊ｘ＊Ａ

°

（Ｆ／）＊（ｘ＾ ，

ｚｄ＾）．

ｏ

ｏ

（Ｆ／）＾／ （Ｆ／）＊＜５７

（Ｆ／）＊＜５／

（Ｆ／）＊？５ｊ

ｏ

ｆｃ）．

ａ

１１０

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．１２．２

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ

ｉｎ ｔｈｅ

ｓｅｎｓｅ．

Ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

２．

Ａｌｓｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ

ｅｎｓｕｒｅ

ｔｈａｔ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｏｕｒ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ＴＺａｔ ａｎｄ ［Ｃ， Ｄ ］ ｍａｋｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

ａｒｅ

ｇｏｏｄ．

ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎ ｌａｔｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｗｉｓｈ ｔｏ ｔａｌｋ ａｂｏｕｔ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｗ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｅ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｗｈａｔ ｉｓ ａ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｕｎｗｉｅｌｄｙ ｎｏｔｉｏｎ ｉｎ ｆａｃｔ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｉｄｅａ． Ｓｏ ｌｅｔ Ｃ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１２．３

ｂｅ

ａ

Ｗｈｅｎ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ Ｄ ｂｅ

ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ

Ｄ，

ｗｒｉｔｔｅｎ Ｃ

（ａ， Ｆ） ｉｎ ＵＳＺａｔ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ａｒｅ

￡＞－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ； ｔｈｅｎ

ａ

：

￣

Ｄ， ｉｆ ｔｈｅｒｅ

Ｃ ＝Ｌ．Ｂ

：

ａｒｅ

ｓｈａｌｌ ｓａｙ

ｗｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

（／？， Ｇ）

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

（ａ，Ｆ）（／？，Ｇ）＾（＊ｄＤ，＊＜＊２＞）

ｉｎ

Ｐ，Ｄ］，

｛Ｐ，Ｇ）（ａ，Ｆ）＾（ｉｄｃ，ｉｄｃ）

ｉｎ

［Ｃ，Ｃ］．

ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｂｙ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ．

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１２．４

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ａｎｄ Ｉ ｏｉＣ， ｔｈａｔ ｉｓ

Ｖ

ａｒｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ，

Ｃ￣Ｖ

Ｌｅｔ

Ｕｎｒａｖｅｌｌｉｎｇ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ，

ｔｈｅ

ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａｎ

ａｓ ａｒｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｃ

ａｎｄ

＝

（Ｍ－１）

：

（０Ｆｏａ，ＧＦ）＾＞（ｉｄｃ，ｉｄｃ）

（ｐ， ｔｊ）

：

（ｉｄｃ， ｉｄｃ）

［Ｃ， Ｃ ］

Ｄ．

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

ＣＩ ￣ＢＦＩ．

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （／？，Ｇ）（ａ，Ｆ） ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｗｅ ａｒｅ

￣

ｔｈｅ ｆｉｂｒｅｓ ＣＩ ａｎｄ ＤＦ／ ａｔ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ＰＲＯＯＦ

ｕｓ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｌｅｔ Ｄ ｂｅａＰ－

ａ

—？

（Ｐｆ

°

ａ，

（ｉｄｃ， ｉｄｃ）－

ＧＦ）

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

（＾，ｒ７＿１）（ｐ，ｒ７） ＝ｆ （（ｔ７（－））＊＾（－） Ｐ（－），Ｖ￣１＇ｎ） °

＝

（＾ｆｄＣ（＿｝， ＾ｆｄｃ），

（１）

（？＊（／？Ｆｏａ）（＿）， ｉｄＧＦ）．

（２）

ａｎｄ

（Ｐ＾ＸＭ＂１）

＝ｆ

（［ｔｏ＿１）（－）］Ｖ（－） ＜￥（＿）， ＴＷ＂１） °

＝

２．１２．

Ｔｈｉｓ

ｔｈａｔ

ｍｅａｎｓ

１ｒｙ

ｈａｖｅ ７７

ｗｅ

ＧＦ

１１１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｓｔｒｉｃｔ Ｉｎｄｅｘｅｄ

Ｔ１

＝

ａｎｄ

ｉｄｃ

．

ｘ

ａｎｄ ｒ＼ｒ＼

ｉｄａｃ

＝

ｉｄｃＦ ｗｈｅｒｅ

Ｆ ：Ｃ

＾＝１ Ｖ

：

Ｇ

Ｖ ｔｈａｔ ｉｓ ＧＦ

＝

ｉｄｃ－ Ｉｆ ｗｅ ａｐｐｌｙ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ

ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ［Ｄ，Ｄ］， ｗｈｉｃｈ，

ｃａｎ

ｓａｙ， ｉｓ ｗｉｔｎｅｓｓｅｄ

：

（ａＧ

（＾ｅ－１）

：

（ｉｄ？，ｉｄｖ）—＞（ａＧｏｐ， ＦＧ），

＝

／？， ＦＧ）

ｏ

ｉｄｘ＞， ａｎｄ ｔｈｕｓ

ａｌｓｏ ｄｅｄｕｃｅ ｆｒｏｍ

（１）

（２）

ａｎｄ

ｔｆｔｉｉ０ Ｐｉ

—？

ｈａｖｅ Ｃ

ｗｅ

Ｖ

￣

ｔｈａｔ ｉｆ ／ ｉｓ

＝

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｂｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

（ｉｄ？， ｉｄｖ），

（／ｚ， ｅ）

ｉｔ ｗｉｌｌ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈａｔ ＦＧ

Ｗｅ

ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｎ ｔｈｅ

ａｎ

ａｓ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｎ

ｉｄｉｄａ

（３）

ｉｄ０Ｆｉｏｏｃｒ

（４）

ａｎｄ

（？７￣１）／Ｐ／ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｆ ｔｈｅｓｅ Ｐｉ

＆ｉ

°

＝

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ °

ｖｆｉ＾ｉ

＝

（５）

ｉｄｒｉｆｏｆｏｊｏａｊ，

ｗｈｅｒｅ

ｉｄＣｉ

Ｐｉ

Ｚ＝＾

ｒｆｊ

ｏ

（３ＦＩ

ｏ

ａ／

ａｎｄ ａ７

Ｎｏｗ

ｗｅ ａｒｅ

Ｆｉｒｓｔｌｙ，

ｉｎ

ａ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｐｏｓｉｔｉｏｎ

（３）

ａｎｄ

：

ｔｏ

ＣＩ ＾＝１ ＯＦ／ ｓｅｅ

：

７７Ｊ

ｏ

／３Ｆ／．

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅｓ ＣＩ ａｎｄ ＤＦ／

（５） ｉｍｐｌｙ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ Ｃ／ ￣ＤＦ７ ｉｆ

ｗｅ ｃａｎ

（６）

ａｌｓｏ ｐｒｏｖｅ

（７）

ａ／ｏ（？７Ｊｏ０Ｆ／）ＳｕｉＤＦＪ． ｓｅｅ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｗｈｅｒｅ

（７），

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｂｙ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ａ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．

ｔｈａｔ

｛ｒｉ＊ｉｏｐＦＩ）ｏａＩ＊ｉｄｃｉ．

Ｔｏ

ａｒｅ

ｓｉｍｉｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｊｕｓｔ ｇｉｖｅｎ， ｂｕｔ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ［Ｄ，Ｄ］， ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｉｄ？ｊ （ｅ￣ｌ）＊ｊ°ｏｉ．Ｇｊｏ（３ｊ， Ｊ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｖ， ｔｈｉｓ ｌａｔｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｅｉｎｇ ａｎ ａｎａｌｏｇｕｅ ｏｆ （６）． Ｔｈｕｓ ＝

ｉｄ？Ｆｉ

—

｛＾Ｙｆｉ

°

ａＧＦｉ

°

Ｐｆｉ－

１１２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔｈｅ ｂａｓｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

＝

＝

ｈａｖｅ

ｗｅ

Ｓ

（Ｆｔ／／）＊

ｏ

ａＧＦ／

ｏ

ｐＦＩ．

（８）

ｊｕｓｔ ｎｅｅｄ ｔｏ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ

ｕｓｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ

ｏｆ

ａｔ ／ ｉｎ ７７７： ／

ａ

ＣＩ

ＢＦＩ

—

（ＦｔｊｉＹ

ＣＧＦＩ

＊

（＊ＧＦＩ

ｄｉａｇｒａｍ ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｗｅ ａｒｅ

ＧＦＩ：

—？

ｍ

Ｔｈｉｓ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ， ａｎｄ ｔｈｕｓ （Ｆ Ｈ Ｇ）， ａｎｄ ｗｅ ｕｓｅ ｔｈａｔ ｅｐｉ ｏ Ｆｒｊｉ ｉｄｐｉ－ Ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ （ｅ￣ｌ）ｐｉ Ｆｒｊｉ， ａｎｄ ｉｄＤＦＩ

Ｎｏｗ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａ

ａｒｅ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２５ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｓｏ ｗｅ

２．

（８） ｉｍｐｌｉｅｓ （７），

ｗｉｔｈ

ＢＦＧＦＩ

ａｓ

□

ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

Ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ （５） ｈｏｌｄｓ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｄｅｒｉｖｅ ａｌｓｏ ｔｈｅ ａｎａｌｏｇｕｅ ｏｆ （６）． Ｍａｋｅ ｓｕｒｅ ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ． Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．１２．５

Ｔｈｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｉｓ ｄｅｖｏｔｅｄ ｔｏ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ２．１２．６

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃａｔ ｏｆ ｓｍａｌｌ

ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｆ：Ｃ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｂｕｉｌｄｓ

—？

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｒｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｃａｔ ｉｓ

ａ

Ｇ（Ｆ） Ｇ（Ｆ）

ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｊＰ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ？

（ａｍｏｎｇ

ｐａｉｒｓ （Ｃ， Ａ） ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ

ｍａｎｙ

ａｎｄ

ａｎ

ａ

ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｏｔｈｅｒｓ）

ｏｆ

ａ

Ｔｈｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ｏｂｊｅｃｔ

ｃｅｒｔａｉｎ

ｄｕｅ ｔｏ Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ．

ｆｕｎｃｔｏｒｓ， ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｏｎ

ｆｕｎｃｔｏｒ． ａｎｄ

ａ

（ｃｏｖａｒｉａｎｔ） ７ｉ＞： Ｇ（Ｆ）

ａｎ

８３，

Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ Ｃ ｏｕｔ ｏｆ ｔｈｅ

—？

ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ａ ｉｓ

ｐａｇｅ

ｏｂｊｅｃｔ

ｏｆ

ＦＣ，

ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （Ｃ， Ａ） （Ｃ， Ａ＇） ｉｓ ａ ｐａｉｒ （ｕ， ｆ） ｗｈｅｒｅ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ／： Ｆｕ｛Ａ） Ａ！ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ＦＣ． ？

ｕ：

—＞

ａ

Ｃ

—？

Ｃ ｉｓ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

—？

Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｗｈａｔ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎ

Ｇ（Ｆ）

ｌｉｋｅ， ａｎｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｍｏｒｅ ｏｒ ｌｅｓｓ ａｓ ｅｘｐｅｃｔｅｄ． Ｔｏ ｂｅ ｃｌｅａｒ， ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｉｔ， ／）： （Ｃ， Ａ） —＞ （Ｃ， Ａ＇） ａｎｄ （ｖ，ｇ）： （Ｃ＇，Ａｆ） —＞ ｛Ｃ＂，Ａ＂） ｉｎ Ｇ（Ｆ）， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｌｏｏｋ

（ｖ，９）ｏ（ｕ，ｆ）＾（ｖｕ，ｇｏＦｖ（ｆ）） Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ７ｉ＞：

Ｇ（Ｆ）

（ｕ， ｆ） Ｔｈｅ ｆｒｏｍ

（ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ） ａ

：

—？■

Ｃ ｉｓ

（Ｃ， Ａ）

：

（Ｃ，Ａ）

—

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ —＞

（Ｃ， Ａ＇）

Ｋ＾

／

：

Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｂｕｉｌｄｓ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ－．Ｃ０９

—？

（Ｃ＂，Ａ＂）．

Ｃａｉ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｇ（Ｆ）

Ｃ ａ

－

Ｃ＂．

ｆｕｎｃｔｏｒ ７ｉ＞：

Ｇ（Ｆ）

—？■

Ｃ

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

２．１３．

？

ｏｂｊｅｃｔｓ

１１３

ｐａｉｒｓ （Ｃ， Ａ） ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ

ａｒｅ

ｏｂｊｅｃｔ

ａｎ

ｏｆ Ｃ ａｎｄ Ａ ｉｓ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ＦＣ，

ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （Ｃ， Ａ） （Ｃ， Ａ７） ｉｓ ａ ｐａｉｒ （ｕ， ｆ） ｗｈｅｒｅ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ｆ：Ａ—＊ Ｆｕ（Ａｆ） ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ＦＣ． ？

Ｇ（Ｆ） ｒｅａｌｌｙ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ａｎｔ）

ｉｓ

ａ

Ｃ

ｕ：

—？

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ ｔｈｅ

Ｃ＂ ｉｓ

—？■

ｃａｓｅ

（ｃｏｎｔｒａｖａｒｉ－ Ｃ ｉｓ ｕｐ＇－ Ｇ（ｊＰ）

ｏｆ ｔｈｅ

Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ

ａｇａｉｎ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ＂ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｍａｋｅ

ｕｓｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａ

—？■

ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ．＂

ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｌａｔｅｒ

ｃｈａｐｔｅｒｓ ｗｈｅｎ

ｇｉｖｅ ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｗｅ ｒｅｍａｒｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ａｐｐｌｙ （ｂｙ ａｎａｌｏｇｙ） ｔｏ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｃ —？

ｗｅ

Ｖ ｗｈｅｒｅ Ｖ ｉｓ ｐｏｓｅｔ

ａｓ ａ

ｗｅ

ｒｅｇａｒｄ

ｅａｃｈ

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ２．１２．７

ｒｅｇａｒｄｉｎｇ

ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶＯＳｅｔ ｗｈｅｒｅ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ

ｓｏｍｅ

ｅｖｅｒｙ ｓｅｔ

ａｓ ａ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ Ｆ： Ｃ

Ｓｅｔ

—？■

ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｅｖｅｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ．

ａｓ ａ

Ｂｙ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｕｓｅ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ （Ｈ ｊ Ｆ）０９ ａｎｄ Ｇ（Ｆ） ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｗｈｅｒｅ Ｈ： Ｃ０９ —？■ ［Ｃ， Ｓｅｔ］ ｉｓ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ．

ｓｕｃｈ

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

２．１３ （１）

Ｌｅｔ Ｓ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｄｅｆｉｎｅ

Ｖ： Ｓ

—？

Ｓ

ｂｙ ｓｅｎｄｉｎｇ ／： Ｘ

Ｖ（ｆ）： Ｖ｛Ｘ） Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

（２） （ａ）

ａｒｅ

Ｌｅｔ Ｆ： Ｃ

ｎｏ

－

Ｖ｛Ｙ）

Ａ

ｆ（Ａ） ＾ ｛／（ａ） ｜

￣

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ａ：

Ｖ

—？

￡ ｂｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ．

－？？

ｔｈａｔ Ｆ，Ｇ：Ｃ

￡＞

—？

ａｒｅ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ

ａ

６

．４｝．

ｉｄｓ－

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｉｆ

ＧＦ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ． Ｓｈｏｗ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｉｆ ＧＦ ｉｓ ｆｕｌｌ ａｎｄ Ｇ

（ｂ） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｙ ｉｎ ＜Ｓ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—＞

Ｖ ａｎｄ Ｇ： Ｖ

－？？

ａ

ｆａｉｔｈｆｕｌ，

ａｒｅ

ｔｈｅｎ Ｆ ｉｓ ｆｕｌｌ．

ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ．

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｆｕｌｌ ｉｆｆ Ｇ ｉｓ ｆｕｌｌ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｉｆｆ Ｇ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ．

（ｃ） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｆ： Ｃ

ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ

（３）

ｔｏ

Ｌｅｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｂｅ

—＞

Ｖ ａｎｄ Ｇ： Ｖ

—？

Ｃ

ａｒｅ

ｉｄｃ－ Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ．

ｄｃｐｏｓ， Ｙｊ＿

ｏｒｄｅｒ ± ＜ ｙ， ａｎｄ ？／ ＜

ｈａｖｅ

｛［ｙ］ ｜ ｙ ［ｙ＇＼ （ｓｏ ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ Ｙｊ＿

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

［ｙ］ ＜ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｄｄｅｄ， ａｎｄ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｄｃｐｏ）． Ｌｅｔ ｉ： Ｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ２（３／） ［ｙ］． Ｌｅｔ Ｊ（．Ｄ） ｍｅａｎ ｔｈｅ ｓｅｔ ｙ＇

ｉｆｆ

＝

ｒｅｇａｒｄｅｄ

｛ｉｄｘ

ｘ

ａｓ ａ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｈａｔ ＧＦ ｉｓ

—？

ｓｅｔ

Ｇ

Ｙ｝

Ｕ

｛＿Ｌ｝

ｉｓ Ｙ ｗｉｔｈ

ａ

ｗｉｔｈ ｌｅａｓｔ

Ｙ± ｂｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｆ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ

ａ

ｄｃｐｏ

Ｄ

ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｚ）－１ ：１（Ｘ

ｘ

Ｙ±）

—＞

Ｉ（Ｘ

ｘ

Ｙ）

Ｉ

＊－＋

｛（ｘ， ｙ）

ｅ Ｘ ｘ Ｙ

｜ （ｘ， ［ｙ］）

Ｇ

／｝．

１１４

Ｃｈａｐｔｅｒ

（ｉｄｘ

Ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｘ

ｉ）－１

ａｄｊｏｉｎｔｓ， ｇｉｖｉｎｇ ｅｘｐｌｉｃｉｔ

（４）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ

２．

Ａ

Ｐｒｉｍｅｒ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｎｎｅｄ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｔ ｈａｓ ｂｏｔｈ ｌｅｆｔ ａｎｄ

ｒｉｇｈｔ

ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ ｔｈｅｉｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． ｏｆ

ｐｕｓｈｏｕｔ

ｅｐｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｅ：Ａ ａｎ

ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ －？

Ｂ ａｎｄ

ｅｐｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ．

ｇ：Ａ

Ｃ ｉｎ

—？

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｐｕｓｈｏｕｔ ｅｘｉｓｔｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｕｓｈｏｕｔ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｈ Ｃ

（５）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

（６）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｅ＇

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｅｐｉｃ ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｍｏｎｉｃ． Ｃ， ｉｓ

［Ｃ＾＾ｅｔ］，

ｋｎｏｗｎ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

ａ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ Ｆ ＝＞ Ｇ： Ｃｏｐ

ｉｎ

［Ｃ＾＾Ｓｅｔ］ ｔｒｉｃｋｙ

ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ．

ａｓ

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

ｐｕｌｌｂａｃｋｓ． Ｉｆ＇ Ｆ，Ｇ：Ｃｏｐ

Ｓｅｔ ｅｘｉｓｔｓ， ａｐｐｌｙ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｔｏ Ｆ

—？

ｔｈｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

（７）

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｕｒｅ

Ｓｅｔ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｇ， ａｎｄ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ

—＊■

＝＞

ｏｆ ［Ｃ＾， Ｓｅｔ］．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ａ

Ｈｉｎｔ：

ｐｒｅｓｈｅａｖｅｓ ｏｎ ｙｏｕ ｍａｙ ｆｉｎｄ

ｅｖｅｒｙ ｓｌｉｃｅ ｉｓ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ ｏｆ ａｎｙ ｓｌｉｃｅ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ． Ｓｈｏｗ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ｓｌｉｃｅ ｏｆ Ｃ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｍｉｔｓ． Ｈｉｎｔ：

（８）

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ

ｗｅ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．８ ｐａｒｔ

ｕｓｅ

（ｉｉ）．

ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｓｅｔ．

（ａ）

Ｌｅｔ Ｉ ｂｅ

ａ

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｊＤ： Ｉ

ｓｅｔ ｏｆ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ？

ｘ／ Ｇ

？

ｉｆ

Ｄｅｆｉｎｅ

—＊■

ａ

Ｊ ｉｓ

ａ

（７１７：

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

Ｕｒｎ Ｄ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｔ ｌｅａｓｔ

？

ｆｏｒ ａｎｙ

？

—？■

ｆｏｒ ａｎｙ

ｈｆ

＝

ｈｇ．

—？

—＊■

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｗｒｉｔｅ Ｉｖｍ Ｄ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

ＤＩ

＼

ＤＩ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｉ Ｇ

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

？

ａｎｄ Ｂ

Ｉ）

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｉ ｔｈｅｎ Ｄａ（ｘｉ）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ７１７： Ｕｒｎ Ｄ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

（ｂ）

／ Ｇ

Ｓｅｔ

ＤＩ， ａｎｄ Ｉ

ａ：

（ｘｊ ｜

—？

ｏｎｅ

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎ

Ｉ）

ｉｓ

ａ

Ｃ ｔｏ ｂｅ

＝

ｘｊ．

ｏｂｊｅｃｔ

／ ｏｆ Ｉ

ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ａ

ｂｙ （ｘｊ ｜ ／ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ．

Ｇ

Ｉ）

？—＞

ｘｊ．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｃ；

Ｃ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｏｆ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ Ｃ， ａｎｄ Ｃ ｌｏｉ ｗｈｉｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ，ｇ：Ａ＾＞Ｂ＇ｍＣ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ：Ｂ —？

＾

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

２．１３．

Ｔｈｕｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄｎｅｓｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｍｅ

１１５

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ａｎａｌｏｇｕｅ

（ｏｆ ａ ｐｏｓｅｔ）：

ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄｎｅｓｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｉ ｂｅ ｓｍａｌｌ ａｎｄ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ａｎｄ Ｄ： Ｉ

ｄｉａｇｒａｍｓ

ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｌｅｔ Ｕ ｂｅ ｔｈｅ

／

—？

Ｓｅｔ

ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｉ； ｆｏｒｍａｌｌｙ Ｕ ｏｂ Ｉ ｘ ＼Ｊ｛ＤＩ ＼ Ｉ Ｇ Ｉ｝． Ｄｅｆｉｎｅ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ Ｕ ｂｙ ａｓｋｉｎｇ ｔｈａｔ Ｋ， （／，ｘ） （Ｊ，ｙ） ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｋ ｏｉｌ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａ：Ｉ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ （３：Ｊ－＋Ｋ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｄａ（ｘ） Ｄｆｉ（ｙ） ｉｎ ＤＫ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｒｅｌａｔｉｏｎ． Ｓｅｔ ｌｉｍ Ｄ ｌｉｍ Ｄ ｂｙ ｘ ■－？■ ［ｘ］ Ｕ／ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｌｆ． ＤＩ ａ

ｄｉｓｊｏｉｎｔ

ｄｒａｗ

ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔｓ ＤＩ

ａｓ

ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ

＝

—？■

￣

＝

＝

ｗｈｅｒｅ

ｘ

￣

—＞

￣

（ｔｊ： ￡＞／

Ｇ ．Ｄ／． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

—？

ｌｉｍ Ｄ ￣＊

＼

Ｉ）

Ｉ Ｇ

ｉｓ

（ｆｉｌｔｅｒｅｄ）

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ

Ｄ．

（ｃ）

Ｌｅｔ ｊＤ： Ｉ

？Ｓｅｉ ｂｅ

ｄｉａｇｒａｍ． Ａｇａｉｎ ｌｅｔ １７ ｂｅ ｔｈｅ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＤＩ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｒ ｏｎ Ｕ ｂｙ ａｓｋｉｎｇ ｔｈａｔ （／， ｘ）Ｒ（Ｊ， ｙ） ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ：／ ｂｅ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｊ ｉｎ Ｉ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｙ Ｄａ（ｘ）． Ｌｅｔ ＆ｒａ Ｄ ｍａｐ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ Ｒ， ｗｒｉｔｅ ｌｉｍ Ｄ Ｕ／ ￣， ａｎｄ ｌｅｔ ｉｊ： ＤＩ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｔｏ ｔｈｅｉｒ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ ａｓ ｉｎ （ｂ）． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ —？

ａ

—？

＝

￣

—？■

＝

ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ Ｄ．

（９）

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ Ｏ

ａ

ａ

ｃｌａｓｓ ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ

ｂｅ ｂａｌａｎｃｅｄ ｉｆ ｅｖｅｒｙ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｂｏｔｈ ｍｏｎｉｃ ａｎｄ ｅｐｉｃ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｂ ｉｎ Ｃ ｗｉｔｈ ／ ＾ ｇ， Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｏ ｉｓ ａ ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｃｌａｓｓ ｆｏｒ Ｃ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ／， ｇ： Ａ ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｓｏｍｅ Ｏ ｉｎ Ｏ ａｎｄ ｈ： Ｏ Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｆｈ ＾ ｐｆｒ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｏ ｉｓ ａ ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ ｃｌａｓｓ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ ．Ｂ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｎ Ｂ ｆａｃｔｏｒｓ ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｔｈｒｏｕｇｈ ／， ｔｈｅｎ ／ ｉｓ ａｎ ａｎｙ Ｏ ｉｎ Ｏ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． —＊■

—？

—？

－＋

（ａ）

Ｉｆ Ｃ ｉｓ

ｂａｌａｎｃｅｄ， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａｎｙ ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｃｌａｓｓ ｉｓ

（ｂ）

Ｉｆ Ｃ ｈａｓ ａｌｌ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａｎｙ

ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ，

（１０） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｆ：Ｃ （Ｆ Ｈ Ｇ） ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｒ］ ａｎｄ

—＞

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ （ａ） Ｆｔ］ａ （ｂ）

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

ｉｓ

（ｃ） ＧｅｐＡ ｉｓ （ｄ） ＧＦｒｊＡ

ａｎ

ｗｅ ａｒｅ

ａ

ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｃｌａｓｓ．

ｇｉｖｅｎ

ａｎ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｆ Ｃ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔ

ｆｏｒ ａｌｌ

Ａ， ａｎｄ

ｒ＼ＧＦＡ ｆｏｒ ａｌｌ Ａ． ｍｏｒｅ

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｙｏｕｒ ｆｏｕｒ

ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｔｏ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

Ｄｅｆｉｎｅ，

Ｌｅｔ Ａ ｂｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ａｌｌ Ａ，

Ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｆｏｕｒ

（１１）

ｅ．

Ｃ， ａｎｄ

ｃｌａｓｓ ｉｓ

ｃｌａｓｓ．

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ：

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｎ

＝

ｃｏｕｎｉｔ

—＞

ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ａｌｌ Ａ，

ａｎ

６ｆａ ｉｓ ａｎ

ａｒｅ

Ｖ ａｎｄ Ｇ： Ｖ

ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ

ａ

ａ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ

ｎｅｗ

（ａ）

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

ｔｏ

ａｒｅ

ａｒｅ

ｄｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ， ａｎｄ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．

Ａｒｅ

（ｄ）？

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ Ｔ：Ｃ

ｏｂｊｅｃｔ

ｔｈｅｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

Ｃ ｏｆ Ｃ，

ａｎ

ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ

ｘ

—？■

Ｃ ａｎｙ ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｏｒ．

Ｔ（－）

ｏｎ

Ｃ

ｂｙ ｓｅｎｄｉｎｇ

１１６

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｆ：Ａ－＋Ｂｔｏ ｉｄｃ

Ｔｆ： Ｃ

ｘ

ＴＡ

ｘ

—＞

Ｃ

Ａ

ＴＢ． Ｄｅｆｉｎｅ

ｘ

Ｔ（Ｃ ｘ —）． Ｓｕｐｐｏｓｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ Ｔ（Ｃ ｘ —） ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｃ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ １ ｘ ＴＱ

２．

＇ｎ

—－－Ｔ（ｌ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

ａｎ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｏｒ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒｃ： Ｃ

ｘ

Ｔ（—）

—＞

ｆ２）

ｘ

Ｔ７Ｔｆｉ Ｔｆ２ ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａ：

１ ｉｓ ｔｈｅ

ＴＯ，

—？

（ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ）

ｔｅｒｍｉｎａｌ

０， ｉｎ Ｃ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

（ＦＰＯｌ） Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：ＴＡ Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ／： Ｑ，

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ： Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ａ ｉｎ

—？■

ａ

ｌｅｔ ｔｈｅｒｅ ｂｅ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

—＞

Ｑ

ＴＱ

ｆ

Ｔｆ ＴＡ

ｆ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ．

（ＦＰ０２） ｉｓ

ａ

Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ

ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｏｆ Ｃ， ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｃ ｘ Ｑ

—＞

Ａ ｉｎ

Ｃ， ｔｈｅｒｅ

（ＦＰ０２）

ｈｏｌｄｓ ｏｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｃ ｘ ＴＡ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

ａｎｄ Ａ

ＣｘＴＱ

ｚ＾ｃ

ｘ ａ

－Ｃｘ ｆ２

＜７ｒｃ，Ｔ７ｏＴ￡｝｜

／ ／

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ

（ＦＰＯｌ）

ｈｏｌｄｓ ｏｆ Ｃ

ｊｕｓｔ

ｉｎ

ｃａｓｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ

Ｃ．

（１２） （ａ）

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

ｘ Ａ

－＼ｙ

（ｂ）

Ｒｅｃａｌｌ

＝

ａ

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｘ，ｙ Ｅ． Ｘ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｘ

＜ ｙ

ｉｆｆ

＿Ｌ．

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．４．８ ｗｈｉｃｈ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ ｉｓ ａ Ｈｅｙｔ－ ｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｕｓｅ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．６， ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｘ Ｇ Ｘ， ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｘＡ（－）：Ｘ－＞Ｘ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ ｉｎ Ｘ．

（ｃ）

１１１

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

２．１３．

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ．

ｎｏｔ ｂｏｔｔｏｍ

ａｎｄ）

ｆｏｒ ａｌｌ

Ｘ＊ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｔｏｍｓ ｏｆ Ｘ． Ｗｅ ｃａｌｌ ｎｏｎ－ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｘ

Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

Ｖ（Ｘ＊）

ｔｗｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｂｙ

Ｘ ｆｏｒ ａｎｙ

＝

ａ

＜

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ａ

Ｖ（Ｘ＊）

ｘ

ｈ－＞

｛ａ

ｊｊｊ

：

Ｖ（Ｘ＊）—＞Ｘ

Ｓ

ｈ－

＼／Ｓ．

（ｐｉｐ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ． Ｕｓｅ

（ａ）

ｔｈｅｎ

ｘ

ａｔｏｍ ｉｆ

＝

ａ

＜

（ｉｔ

ｉｓ

Ｗｅ ｗｒｉｔｅ

ａ．

ｇｉｖｅｎ

ａｎｙ

ｘ．

ａｔｏｍｉｃ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ Ｘ． Ｄｅｆｉｎｅ

Ｘ

ａｒｅ

ａｎ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

：

—＞

Ｇ Ｘ

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ａｔｏｍｉｃ ｉｆ

ａｔｏｍ

ａｎ

ｘ

ａ

＜ｐ

Ｓｅｅ ｔｈａｔ ＜ｐ ａｎｄ ＾

（ｄ） Ｉｆ ５ （ｅ） Ｔｈｅ

Ｘ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｇ

ｅｌｅｍｅｎｔ

ａｎ

Ｘ， ｗｈｅｎｅｖｅｒ ＿Ｌ ＾

Ｇ

ｘ

Ｗｅ ｃａｌｌ

＼

Ｇ Ｘ＊

ｉｐｃｐ

ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ａ

＝

＜

ｘ｝

ｉｄｘ－ Ｕｓｅ （ｂ）

ｔｏ

ｉｄ－ｐ＾ｘ＊）－

＝

ｉｓ ａｎｙ ｓｅｔ， ｗｈａｔ

ｔｈｅ ａｔｏｍｓ ｏｆ

ａｒｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ＣＡｔＢＣａｔ ｈａｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ

Ｖ（Ｓ）７

ｔｈｅ

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

＾

（Ｐ（Ｓ））＊．

ａｔｏｍｉｃ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｈｏｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ ＣＡｔＢＣａｔ Ｓｅｔ０１＇， ｍａｋｉｎｇ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｒｅｓｕｌｔｓ． ａｎｄ

ａｎｄ

ｊｏｉｎｓ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

￣

（１３）

ｏｂｊｅｃｔ Ｅ ｏｆ ￡ ｉｓ ａｂｏｖｅ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｂ ｉｆ ７ＴＥ１ ａ． Ａ ／． Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／ ｏｆ ￡ ｉｓ ａ６ｏｖｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ ｏｆ Ｂ ｉｆ ７ｒ／ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ￡ ａｂｏｖｅ ａｎ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｎ Ｂ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ Ｅｖｅｒｙ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｂ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ￡（Ｉ） ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｂｏｖｅ ／ ａｎｄ ｖｅｒｔｉｃａｌ Ｂ ａｔ ／． ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ｏｆ ｉｒ： ￡ Ｌｅｔ

７ｒ ：

￡

—？■

Ｂ ｂｅ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ａｎ

＝

＝

—？■

Ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃ：Ｅ

Ｃ

￡ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｉｆ

ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ７ ｉｎ Ｂ ｗｉｔｈ ｃ ａｂｏｖｅ ７ ａｎｄ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：Ｅ＇－＋Ｃ＇ｍ￡ ｗｉｔｈ ７ｒ／ ７ ｏ ／？ ｉｎ Ｂ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ Ｅ ｍ ￡ ａｂｏｖｅ ｊ３ ｗｉｔｈ ／ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇ：Ｅ＇ ｅｇ． －＋

ｍ

＝

＾

Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

７ｒ：

￡

—？

Ｂ ｉｓ

ａ

＝

ｆｉｂｒａｔｉｏｎ

ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

Ｃ ｏｉ ￡ ａｎｄ

ｏｂｊｅｃｔ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｃ ａｂｏｖｅ ７． Ｗｅ ｃａｌｌ ｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃ：Ｅ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｌｉｆｔｉｎｇ ｏｆ ７． Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｏｆ ￡， ｗｒｉｔｅ ７：７＊（Ｃ） Ｃ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｌｉｆｔｉｎｇ ｏｆ ７． Ａ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ７ ｆｏｒ ｅａｃｈ ７： ／ ７ｒＣ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｃｌｅａｖａｇｅ． Ａ ｆｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｑｕｉｐｐｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｇｉｖｅｎ ｃｌｅａｖａｇｅ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｃｌｏｖｅｎ ｆｉｂｒａｔｉｏｎ．

７： ／

—？

７ｒＣ ｉｎ

Ｚ３， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

－＋

—？

—＞

（ａ）

Ｌｅｔ Ｔａｒｎ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ

ｏｂｊｅｃｔｓ （Ａｉ ＼ ｉ Ｇ ／） ｉｎｄｅｘｅｄ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｓｅｔｓ， （Ｂｊ ｜ ｊ Ｇ Ｊ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａ．Ｉ－＾Ｊ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： （Ａｉ ＼ ｉ Ｇ ／） ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ

ａ

Ｌｅｔ

７ｒ：

—＞

Ｊｏｍ

—？■

＜Ｓｅ￡ ｂｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

（ｉ）

Ｇｉｖｅｎ

ａ

［Ｉ， Ｓｅｔ］．

ｓｅｔ

ｏｎ

ｍａｐｐｉｎｇ （Ａｉ ＼ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ．

／， ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ Ｆａｍ（Ｉ）

ｉ Ｇ

ｉｓ

／）

ｔｏ

（ｔｈｅ ｓｅｔ）

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

／ ａｎｄ ｌｅｔ

ｔｏ ｔｈｅ

ｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

１１８

（ｉｉ） Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

／

ｉｓ

Ｐｒｉｍｅｒ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆ ｅａｃｈ ｆｉ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． ／ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ａ ｐｕｒｅ ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｏｆ ｓｅｔｓ．

Ｔｈｉｎｋ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｓｅｔｓ ｉｓ

７ｒ：

Ｔａｒｎ

—？■

—？

ａｎｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ

（ａ／３）＊

（ｉ）

７ｒ：

＝

ｉｎｄｅｘｉｎｇ

ｆｉｂｒａｔｉｏｎ．

ａ

—？

Ｌｅｔ

Ａ

Ｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｍａｐｓ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｔｏ ｔｈｅｉｒ

Ｂ ｂｅ ａ ｃｌｏｖｅｎ ｆｉｂｒａｔｉｏｎ． （ｂ） Ｌｅｔ ７ｒ： Ｓ ／ ｉｎ Ｂ． Ｈｉｎｔ： Ｓ（Ｊ） ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ａ： Ｊ

（ｃ）

２．

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ａ

ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ

（ｉｉｉ）

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｓ

ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ａ＊：

￡（Ｉ）

—＊■

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｂｒａｔｉｏｎ

ｌｉｆｔｉｎｇ．

—＊■

Ｂ ｂｅ

ａ

ａ＊／？＊， ｗｈｅｒｅ

Ｆｏｒｍｕｌａｔｅ

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｃｌｏｖｅｎ ｆｉｂｒａｔｉｏｎ．

ａ：

Ｊ

／ ａｎｄ

—？■

ｎ

（３：Ｋ

ｓｐｌｉｔ ｉｆ ｉｄ｝ ｉｄｇｙ） ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｓ．

ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ

－＋

Ｊ

ａｒｅ

＝

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｐｌｉｔ ｆｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｂｙ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｂｏｕｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｃｌｅａｖａｇｅｓ． Ｈｅｎｃｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＳＴｉｂ ｏｆ ｓｐｌｉｔ

ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ

ｆｉｂｒａｔｉｏｎｓ．

（ｉｉ）

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ

Ｃ： Ｃ°ｐ

（ｉｉｉ）

－＞

Ｃａｔ

ｐｒｏｄｕｃｅｓ

Ｈｅｎｃｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

２．１４

ｓｐｌｉｔ ｆｉｂｒａｔｉｏｎ

ａ

Ｇ（Ｃ）

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ＳＨｂ ａｎｄ ＵＣａｔ

－＞

ｔｏ

ａｎ

ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｃ．

ａｒｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

Ｗｅ

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｓｏｍｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

［ＥＭ４２］

ｉｒ：

ａｐｐｌｉｅｄ

［ＥＭ４５］．

ａｎｄ

ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｐａｐｅｒｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｆｕｎｃｔｏｒ

ｗｅｒｅ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ

Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｔｈａｔ

ｂｙ Ｅｉｌｅｎｂｅｒｇ ａｎｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｒｅ ａｎ

［Ｍａｃ４８］ ａｎｄ ［Ｍａｃ５０］． ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ［Ｂｏｕ４８］ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

Ｍａｃ Ｌａｎｅ ｉｎ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ

ｆｏｒｍ ｏｆ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｆｉｒｓｔ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ

Ｔｈｅ

ｉｄｅａｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ

ａ

ｏｆ ＂ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ＂

ｏｒｉｇｉｎａｌ

ｃａｎ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ．

ａ

ｐｒｉｍｅｖａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅｒｅ ｄｏｅｓ ｎｏｔ

ｓｅｅｍ

ｔｏ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｕｎｔｉｌ Ｋａｎ＇ｓ ｐａｐｅｒ ［Ｋａｎ５８］． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ Ｆｒｅｙｄ ａｎｄ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｈｉｓ ［Ｆｒｅ６４］． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｍｉｔ ｃａｎ ａｌｓｏ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ Ｋａｎ＇ｓ ［Ｋａｎ５８］， ｂｕｔ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｉｄｅａｓ ｈａｄ ｂｅｅｎ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｅｆｏｒｅ １９５８， ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ｈａｄ ｗｏｒｋｅｄ ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｗｉｔｈ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｌｉｍｉｔ． ｈａｖｅ ｂｅｅｎ

Ｎｏｗ ｉｎ

ａｎ

ｗｅ ｍｏｖｅ ｏｎ

ａｌｐｈａｂｅｔｉｃａｌ

ｔｏ

ａ

ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｏｒｄｅｒ ｏｆ ａｕｔｈｏｒｓ．

ｏｆ ｕｓｅｆｕｌ ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ．

Ｏｕｒ ｆｉｒｓｔ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｉｓ ｉｎ

Ｔｈｅｓｅ ｓｏｍｅ

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ｒｅｓｐｅｃｔｓ

ａ

（ｉｎ ｃｏｎｔｅｎｔ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｓｔｙｌｅ） ｔｏ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｔｙｐｅｓ，＂ ｎａｍｅｌｙ Ａｓｐｅｒｔｉ ａｎｄ Ｌｏｎｇｏ＇ｓ ｔｅｘｔ ［ＡＬ９１］． Ｍｏｓｔ ｏｆ ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ２

ｂｏｏｋ ｗｈｉｃｈ ｂｅａｒｓ ｒｅｓｅｍｂｌａｎｃｅ ｆｏｒ

Ａｓｐｅｒｔｉ ａｎｄ Ｌｏｎｇｏ． Ｍａｔｅｒｉａｌ ｏｎ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ Ａｓｐｅｒｔｉ ａｎｄ Ｌｏｎｇｏ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｈｉｇｈｌｙ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ， ａｎｄ ｔｈｉｓ ｍａｔｅｒｉａｌ ｉｓ ｎｏｔ ｃｏｖｅｒｅｄ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂ Ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｈａｌｆ ｏｆ

２．１４－

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｂｏｏｋ

［ＢＷ９０］ ｂｙ

１１９

Ｗｅｌｌｓ， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｆｅｗ ｍｏｒｅ ａｄｖａｎｃｅｄ ｔｏｐｉｃｓ． Ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ２ ｏｆ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂

ｃａｎ

ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ

［ＢＷ９０］，

Ｂａｒｒ ａｎｄ

ｂｕｔ Ｂａｒｒ ａｎｄ Ｗｅｌｌｓ ｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｗｉｔｈ

ｍｏｒｅ

ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｎｄ ａｔ ａ ｓｌｏｗｅｒ ｐａｃｅ． Ｉｔ ｉｓ ａ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ａｉｍｅｄ ａｔ ａｄｖａｎｃｅｄ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｓ ａｎｄ ｅａｒｌｙ ｐｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅｓ， ａｎｄ ｉｓ ａ ｂｏｏｋ ｓｏｌｅｌｙ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ ｗｉｔｈ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｈａｔ ｓｔｉｌｌ ｒｅｍａｉｎｓ ａ ｃｌａｓｓｉｃ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ Ｍａｃ Ｌａｎｅｓ＇ｓ ［Ｍａｃ７１］． Ｔｈｉｓ ｇｒａｄｕａｔｅ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｃｏｖｅｒｓ ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｕｓｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ； ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｉｎ １９７１ ｉｔ ｎｅｖｅｒ ｍｅｎｔｉｏｎｓ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｓ ａ ｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｆｒｏｍ ｍａｉｎｓｔｒｅａｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， ｂｕｔ ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ａｎ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｔｅｘｔｂｏｏｋ． Ｍａｔｅｒｉａｌ ｉｓ ｃｏｖｅｒｅｄ ａｔ ａ ｍｏｄｅｒａｔｅ ｔｏ ｆａｓｔ ｐａｃｅ． Ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ２ ｉｓ ｍｕｃｈ ｌｉｋｅ ａ ｄｉｓｔｉｌｌｅｄ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｏｆ ［Ｍａｃ７１］． ＭｃＬａｒｔｙ＇ｓ ［ＭｃＬ９１］ ｃｏｖｅｒｓ ｍｕｃｈ ｏｆ ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ２， ｅｘｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ． ＭｃＬａｒｔｙ ａｌｓｏ ｃｏｖｅｒｓ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎａｌ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｉｓｅ ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｂａｓｉｃ ｔｏｐｏｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ｗｉｔｈ ｌｏｇｉｃｉａｎｓ ｉｎ ｍｉｎｄ， ａｎｄ ｓｏ ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ａｌｓｏ ａｐｐｅａｌ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ． Ｔｈｅ ｂｏｏｋ ［Ｐｉｅ９１］ ｂｙ Ｐｉｅｒｃｅ ｉｓ ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗｒｉｔｔｅｎ ｆｏｒ ａｎ ａｕｄｉｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ． Ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ａｒｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ２．

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

３

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

３．１

Ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｉｄｅａ ｏｆ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ３．１．１ ｐｒｏｖｉｄｅ

ａ

ｆｏｒｍａｌ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｏ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ｅｑｕａｌｉｔｙ． Ｓｉｍｐｌｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｆａｒ ｒｅｍｏｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ａｎｄ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ｒｅａｌ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅｓ， ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ａ ｇｏｏｄ ｓｔａｒｔｉｎｇ ｐｏｉｎｔ ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｍｏｔｉｖａｔｅ ａｎｄ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ｔｏ ａ ｆｉｒｓｔ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｔｈｒｅｅ ｅｎｔｉｔｉｅｓ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃａｌｌｅｄ ｔｙｐｅｓ， ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｎｋ ｏｆ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ， ａｎｄ

ｔｙｐｅ

ａ

ａｎ

ａｓ ａ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｅｍｓ

ａｓ ａ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

（ｔｅｒｍｓ） ｈａｖｉｎｇ

ｔｈａｔ ａｎｙ ｔｗｏ ｉｔｅｍｓ

ｓｏｍｅ ｃｏｍｍｏｎ

（ｔｅｒｍｓ）

ａｒｅ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ． Ｗｅ ａｉｍ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｈａｓ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ， ｕｓｕａｌｌｙ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ａｓ ａｘｉｏｍｓ， ａｎｄ ｓｏｍｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｄｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ． Ｔｈｕｓ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｇｉｖｅｎ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅｓ， ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｏｎｅ ｉｓ ａｂｌｅ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｓｅ ｒｕｌｅｓ ｓａｙ ｔｈａｔ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｍａｙ ｂｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ｒｅｆｌｅｘｉｖｉｔｙ， ｔｒａｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｓｏ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ａ ｔｅｒｍ ｔ ｅｑｕａｌｓ ａ ｔｅｒｍ ５， ｔｈｅｎ ｗｅ ｍａｙ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｓ ｅｑｕａｌｓ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｔ， ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｌｅｔ

ｉｎｆｏｒｍａｌ ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｓｙｎｔａｘ ｗｉｌｌ ｂｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｏｒｍａｌ ｒｕｌｅｓ， ｍｕｃｈ ａｓ ｗｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ａｎｙ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅ． Ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ， ｋｎｏｗｎ ａｓ ａ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ａ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｍｉｇｈｔ ｈａｖｅ ａ ｔｙｐｅ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ， ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｗｈｉｃｈ ｕｓ ｎｏｗ

ｇｉｖｅ

ｐｌａｙ ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｏｆ ａｎｄ ｒｅｔｕｒｎｓ

ａｎ

ｚｅｒｏ

ｚｅｒｏ），

（ｔｈｏｕｇｈｔ

ｏｆ

ａｓ

ａ

Ｃｈａｐｔｅｒ

３． Ｗｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ａｎｙ ａｒｇｕｍｅｎｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ． Ｎｅｘｔ ｗｅ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｆｏｒｍ ｏｆ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｈｏｗ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｒｏｍ ｇｉｖｅｎ ａｘｉｏｍｓ． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ａｎｄ ｓｏ ｗｅ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ａｆｔｅｒ ｒｅｖｉｅｗｉｎｇ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｅｒｍｓ ａｓ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｓｅｔｓ

（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

ｔｈｅ

ｉｎ ｔｈｅ

ｓｕｃｃｅｓｓｏｒ

ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ， ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｍｉｇｈｔ

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

３．２．

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ

ｂｅ

ａｎｄ

ｓｏ

ｏｎ），

ｗｅ

ｔｈｅ

ｔｈｅ ｓｅｔ Ｎ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ

ａｓ

ｆａｃｔ

ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｐｕｒｐｏｓｅ ｉｓ ｏｆ

ｎｕｍｂｅｒｓ， ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ

ｚｅｒｏ ａｓ

０ Ｇ Ｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ

ｄｅｓｃｒｉｂｅ

ｓｅｔｔｉｎｇ， ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ａｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｉｎ

１２１

Ｓｙｎｔａｘ

ａ

ａ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｓｕｉｔａｂｌｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｗｅ ｇｉｖｅ

ｓｏｍｅ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｎ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｔ ａｎｄ ｓ ｔ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ ｐｒｏｖｅ ａ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ ａｎ ａｘｉｏｍ ｓ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｒｅｓｕｌｔ， ｗｈｉｃｈ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ５ ｔ ｉｓ ｎｏｗ ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ ｓ ａｎｄ ｔ ａｒｅ ｉｎｄｅｅｄ ｅｑｕａｌ． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｗｅ ｃａｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｓｕｉｔａｂｌｅ

＝

＝

ｏｕｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ．

Ｆｕｒｔｈｅｒ，

ｗｅ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐｒｏｄｕｃｔｓ Ｃ ｇｉｖｅｓ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ（Ｃ）． Ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｒｅ （ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ）））． Ｉｔ ｉｓ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｒｅａｓｏｎ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｒｅｇａｒｄ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｓ ＂ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ＂ ａｎｄ ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｓ ａ ｓｙｎｔａｘ ｆｒｅｅ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ： ｒｉｓｅ ｔｏ

ａｎ

￣

Ｉ—

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

［

Ｔｈ

－

＞

｛Ｔｈ（Ｃ） Ｔｈ（Ｃｌ（Ｔｈ））

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃ

Ｃｌ（Ｔｈ｛Ｃ））

３．２

Ｃｌ（Ｔｈ））

＜

ｔｈｅ

￣

￣

Ｃ Ｔｈ

Ｓｙｎｔａｘ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｎｋ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｓ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｄａｔａ ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｕｉｌｄ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｔｅｒｍｓ． Ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， Ｓｇ， ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．２．１

？

ａ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅｓ，

１２２

？

ａ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｈａｐｔｅｒｓ．

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｎｕｍｂｅｒ

（ｐｏｓｓｉｂｌｙ ０），

ｓｙｍｂｏｌｓ

ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

ａｎ

ａｒｉｔｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ａｎｄ

ｓｏｒｔｉｎｇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ／ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ａ ＋ １ ｔｙｐｅｓ （ｓａｙ ［ａｘ，．．．， ａａ， ａ］） ａｎｄ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ／： ａｉ，．．．， ａａ —＊■ ａ， ｗｈｅｒｅ ａ ｉｓ ｔｈｅ ａｒｉｔｙ ｏｆ ／． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｋ ｈａｓ ａｒｉｔｙ ０， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｓｏｒｔｉｎｇ ｏｆ Ａ： ａｓ Ａ；： ａ， ａｎｄ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｆｃ ａｓ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ． ？

ａ

ｂｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｉｍｐｌｉｆｙ ｎｏｔａｔｉｏｎ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｗｒｉｔｅ ＂ｌｅｔ ／： ａｌ５．．．， ａａ ｓｙｍｂｏｌ＂ ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ， ｔｈａｔ ／ ｈａｓ ａｒｉｔｙ ａ， ａｎｄ ｔｈｅ ｓｏｒｔｉｎｇ ｏｆ ／ ｉｓ （ｆｏｒｍａｌｌｙ） ｔｈｅ ｌｉｓｔ ［ａ＼，．．． ，ａａ，ａ］． Ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ｓａｙ Ｖａｒ ｛ｘ， ｙ，．．．｝． Ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ＢＮＦ ｇｒａｍｍａｒ： Ｔｏ

—？■

ａ

＝

Ｍ

：：＝

ｘ

｜

ｋ

｜ ｆ（Ｍ， ．．．，Ｍ）． ｌｅｎｇｔｈ

Ｈｅｒｅ

ａ

ｖａｒｉａｂｌｅ， ｋ ａｎｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ， ａｎｄ ／ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ａｒｉｔｙ ａ． ｘ

ｉｓ ａｎｙ

ｉｓ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｏｒｔｉｎｇ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｐｌａｙ ａ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ． Ｏｎｅ ｓｈｏｕｌｄ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ａｓ Ｒｅｍａｒｋ ３．２．２

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｉｎ

ａ

ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅ ｗｈｉｃｈ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ３．２．３

Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ，

ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ

ａｒｅ

ｒａｗ

ｎｏｔ

ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｗｅｌｌ

ｔｙｐｅｄ．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｗａｙｓ：

（！），

？

ｘ

ｉｓ

ａ

ｖａｒｉａｂｌｅ

？

ｋ ｉｓ

ａ

ｌａｎｇｕａｇｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ，

？

／（Ｍｉ，．．．， Ｍａ）

ｉｓ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ３．２．４

ａｎ

ａｎｄ

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ／

Ｗｅ ｇｉｖｅ

ａ

ａｒｇｕｍｅｎｔｓ．

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｉｔ． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｂｅ ｎａｔ ａｎｄ ｂｏｏｌ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｏｏｌ． Ｉｆ ｘ， ｙ ｎａｔ， ｔ： ｂｏｏｌ， ｆ： ｂｏｏｌ， －＞： ｂｏｏｌ ｓｙｍｂｏｌｓ ｂｅ ０： ｎａｔ， ｐ： ｎａｔ， ｎａｔ ａｎｄ ｚ ａｒｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ｔｈｅｎ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ： ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ

ｔｏ

ａｎ

—？

—？

ｔ

ｐ（ｘ，ｙ）

－ｉ（ｚ）

ｐ（０， －ｉ（ｒｒ））

－＞（ｐ（ｘ， ｘ））

ｐ（ｐ（ｘ， ｘ），ｐ（ｙ， ｚ））

ｘ

Ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｈｅｒｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ

０

ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ ｂｏｏｌｅａｎｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ａｓ ｚｅｒｏ， ｂｉｎａｒｙ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｔｒｕｔｈ， ｆａｌｓｉｔｙ ａｎｄ ｎｅｇａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒｕｔｈ． Ｌａｔｅｒ ｏｎ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｄｅｒｉｖｉｎｇ ＂ｗｅｌｌ ｔｙｐｅｄ＂ ｏｒ ＂ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ＂ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｒｔｉｎｇ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ； ｓｏ ｐ（０， ￣＞｛ｘ）） ｉｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａｎ ＂ｉｍｐｒｏｐｅｒｌｙ ｔｙｐｅｄ ｒａｗ ｔｅｒｍ，＂ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｏｆ ｐ ｓｈｏｕｌｄ ｔａｋｅ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ａｎｄ ｎｏｔ

ａ

ｂｏｏｌｅａｎ ｔｅｒｍ．

１２３

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｙｎｔａｘ

３．２．

Ｗｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ３．２．５

ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ｎｏｗ

ｔｈｉｓ，

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｏ ｄｏ

ｏｆ

ａ ｒａｗ

＂ｈｏｌｅｓ＂ ｉｎ

ａｓ

ｔｅｒｍ ｉｎｔｏ

ａ ｒａｗ

ｓｉｍｐｌｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ ａｒｅ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ＂ａｐｐｅａｒ ｉｎ＂ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ． Ｍｏｒｅ ｆｏｒｍａｌｌｙ， ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ： ｗｈｉｃｈ

＂ｓｌｏｔ＂ ｏｔｈｅｒ

ｒａｗ

ｆｉｒｓｔ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｗｅ

ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｉｎｔｕｉｔｉｖｅｌｙ，

ｔｅｒｍ．

ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｗｅ ｃａｎ

｛ｘ｝

ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ． Ｆｏｒ ｔｈｅ

？

ｆｖ（ｘ）

？

ｆｖ（ｋ）

？

ｆｖ（ｆ（Ｍ１，．．．，Ｍａ））ｄ＾ｆｖ（Ｍ１）Ｕ．．．Ｕｆｖ（Ｍａ）

＝

ｉｓ

ｘ

０ ｗｈｅｒｅ ｆｃ ｉｓ

＝

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｗｈｅｒｅ

ａｒｉｔｙ

ｖａｒｉａｂｌｅ，

ａ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

Ｍ，

Ｍ［Ｎ／ｘ］， ｂｙ

ｗｒｉｔｔｅｎ

？

ｘ［Ｎ／ｘ］

？

ｙ［Ｎ／ｘ］

？

ｋ［Ｎ／ｘ］

？

／（Ｍｉ，．．．， Ｍａ）［Ｎ／ｘ］

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｉｆ

ｘ

ｉｓ

ａ

＝

ｔｅｒｍ Ｎ ｆｏｒ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｙ ｗｈｅｒｅ ｙ ｉｓ

ａ

ｖａｒｉａｂｌｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｆｒｏｍ ｘ，

＝

ｋ ｗｈｅｒｅ ｆｃ ｉｓ

ａ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａｒｉｔｙ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

［＃ｉ，．．．， ｘｎ］

＝

ｉｓ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔ ｏｆ

ｉｎ ａｎｏｔｈｅｒ

ｘ

ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ

ｎ

ｄｉｓｔｉｎｃｔ

ａｓ

ｒａｗ

ｔｅｒｍ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ

ｓｕｐｐｌｙ

Ｌｅｔ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ３．２．６

ｚ

ｆｏｌｌｏｗｓ：

ａｓ

ｗｈｅｒｅ

／

ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

［Ｎｉ，．．．， Ｎｎ］

＝

（２）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｎ

ｔｅｒｍ

ｇｅｎｅｒａｌ ｔｅｒｍ

Ｍ，

ｗｒｉｔｔｅｎ

Ｍ［Ｎ／ｘ］

ａｎａｌｏｇｏｕｓ

ａ ｍａｎｎｅｒ

ｔｏ

ｏｒ

ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ

ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

Ｍ［Ｎ／ｘ］

ａｎｄ

ｔｈｅ

ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ

ａ

ｇｉｖｅｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．

ｄｅｆｉｎｅｄ，

ｒａｗ

ｔｈａｔ ｉｓ，

Ｍ［Ｎ／ｘ］

Ｍ［Ｎ／ｘ， Ｎ＇／ｙ］

ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ

ｉｓ ｎｏｔ

ｒａｗ

ｔｅｒｍ．

ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌｌｙ

Ｍ［Ｎ／ｘ］［Ｎ＇／ｙ＼．

Ｍ［Ｎ／ｘ，Ｎ＇／ｙ］

ｉｓ ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ

Ｍ［Ｎ［ｚ／ｙ］／ｘ］［Ｎ＇／ｙ］［ｙ／ｚ］

＜￡ ｆｖ（Ｍ） Ｕｆｖ（Ｎ） Ｕｆｖ（Ｎ＇）．

ｃａｎ ｎｏｗ

ｏｆ ｗｅｌｌ

ｒａｗ

ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｓｈｏｗｓ．

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｓ ｗｅｌｌ

Ｗｅ

ｉｎ ａｎｏｔｈｅｒ

ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｈａｓ

（１）

ｚ

ｏｆ

ａｎｄ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ａｎｄ Ｎ

Ｍ， Ｎ ａｎｄ Ｎｒ ｂｅ ａｎｙ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ， ａｎｄ ｘ， ｙ ａｎｄ

ｗｈｅｒｅ

ｓｙｍｂｏｌ，

ｆｉＭ＾Ｎ／ｘ］，．．．， Ｍａ［Ｎ／ｘ＼）

Ｍ［Ｎ＼／ｘｉ，．．．， Ｎｎ／ｘｎ］，

ｒａｗ

ｘ

ｔｅｒｍｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｎ ｒａｗ

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｓｙｍｂｏｌ

ａ．

ｔｏ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｃａｒｅ，

（３）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｍ

＝

ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｅ

ｉｓ

ｖａｒｉａｂｌｅ

ａ

Ｎ，

Ｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｗｅ

ａ ｒａｗ

＝

ｌｉｓｔ ｏｆ

ｅｖｅｎ

ｗｈｅｒｅ／

ａ．

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍ

ｓｙｍｂｏｌ， ａｎｄ

ｔｙｐｅｄ

ｄｅｆｉｎｅ ｒａｗ

ａ

ｔｙｐｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｇｅｎｅｒａｔｅ

ｔｅｒｍｓ． Ｔｏ ｄｏ

ｔｈｉｓ，

ｗｅ

ｎｅｅｄ

ａ

ｆｅｗ

ｍｏｒｅ

ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ａ ｃｏｎｔｅｘｔ

１２４

ｉ—

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｓｇ

＞

Ｔ ｈ

Ｍｘ： ＞

ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔ ｏｆ

Ｔ， ｘ： ａ， Ｖ

Ｓｇ

＞

Ｔ＼－

ｈ

＜＊ｉ

．．．

Ｓｐ

＞

ｋ：ａ

ｘ： ａ

Ｔ ｈ

（ｋ：ａ）

Ｍａ： ａａ

（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ）

（ｆ：ａｕ．．．，ａａ－＞ａ）

ｒｈ／（Ｍｉ，．．．，Ｍ０）：ａ

（ｖａｒｉａｂｌｅ， ｔｙｐｅ） ｐａｉｒｓ， ｕｓｕａｌｌｙ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ Ｘ｛ ｔｈａｔ

＞

３．１： Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

Ｆｉｇｕｒｅ ａ

Ｓｇ

Ｓｙｍｂｏｌｓ

Ｓｇ

ｉｓ

３．

ａｒｅ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ａｎ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

ｗｒｉｔｔｅｎ

ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔ．

ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ＼ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ Ｖ ａｎｄ

ａｓ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ

（ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ）

（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ）

ｔｈｅ ｔｙｐｅ ａｎ

ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ Ｔ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｎｏｔｅ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｅｘｔｓ

ｂｙ ｊｕｘｔａｐｏｓｉｔｉｏｎ， ｓｕｃｈ ｔｈｅ ｗｏｒｄ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｔｏ ｍｅａｎ ＂ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ

ｒ，ｒ＇ ｏｒ Ｔ，ｘ：ａ， Ｔ＇． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｕｓｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ．＂ Ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔ ＼－ Ｍ：ａ （ｗｈｅｒｅ Ｔ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｅｘｔ， Ｍ ｉｓ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ ａｎｄ ａ ｉｓ ａ ｔｙｐｅ） ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ． Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ， ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ａｓ

ｒａｗ

ｔｅｒｍ Ｍ

ａｓ ａｎ

ａｓ ａ

ｐｒｏｇｒａｍ， ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ

ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｆｏｒ Ｍ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

Ｓｇ

＞

Ｔ ｈ Ｍ： ａ

ｎｏｗ

ｄｅｆｉｎｅ

ｗｈｅｒｅ Ｔ ｈ Ｍ：

ａ

ｉｓ

ａ

ｃｅｒｔａｉｎ ｃｌａｓｓ ｏｆ

ａ

ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ；

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｗｅ

ｒｅｆｅｒ ｔｏ

Ｓｇ ＞ ｒｈＭ：ａａｓａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ． Ｆｏｒｍａｌｌｙ， ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３．１． Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ， ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ ｉｎ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｓｇ ＞ Ｔｌ－Ｍ：ａａｓａ ｗｅｌｌ ｔｙｐｅｄ ｐｒｏｇｒａｍ． Ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ Ｍ ａｓ ｐｒｏｇｒａｍ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｒｓ， ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｍｕｓｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ． Ｒｅｍａｒｋ ３．２．７

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ａｌｗａｙｓ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ａｎｙ ｒｕｌｅ ｆｏｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｓ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ； ｔｈｕｓ （ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ） ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ ｔｈｅ ｒｕｌｅ ｗｈｉｃｈ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ Ｓｇ ＞ Ｔ ＼－ ｋ：ａ ｔｈａｔ Ｔ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｅｘｔ， ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｓａｙ ｓｏ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｒ， ｘ： ａ， Ｖ ｉｓ ｏｕｒ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｅｘｔｓ Ｔ， ［ｘ： ａ］ ａｎｄ Ｔ＇． Ｔｈｕｓ ｉｆ Ｔ， ｘ： ａ， Ｔ＇ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ａｎ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｘ ｃａｎｎｏｔ

３．２．

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｔ

ｏｒ

ｔｈｅ

１２５

Ｓｙｎｔａｘ

Ｔ＇． Ｆｕｒｔｈｅｒ， ａｎｙ ｖａｒｉａｂｌｅ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ Ｔ ｉｓ ｎｏｔ

ａｎｄ ｃａｎｎｏｔ

ｘ

ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｔ＇． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ

Ｒｅｍａｒｋ ３．２．８

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ Ｓｇ

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｆ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ；

Ｔ ｈ Ｍ： ａ ｆｏｒｍ ａ ｓｕｂ－ｃｌａｓｓ

＞

ａｓ

ｉｎｄｉｃａｔｉｎｇ ｔｈａｔ Ｔ ｈ Ｍ： ａ ｉｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｕｂ－ｃｌａｓｓ， ａｎｄ ｒｅｍｉｎｄｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｗｏｒｋｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ． Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｓｅ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｏｆｔｅｎ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ Ｔ ｈ Ｍ： ａ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｗｒｉｔｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｒｅ ｃｕｍｂｅｒｓｏｍｅ Ｓｇ Ｔ ｈ Ｍ： ａ， ｗｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｗｅ ａｒｅ ＞ ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ．

ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ

ｓｙｍｂｏｌ Ｓｇ

Ｎｏｗ ｌｅｔ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ３．２．９

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｅｒｍｓ．

ｔｙｐｅ） ｐａｉｒｓ ｍｉｇｈｔ

ａ

ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ

ｓａｙ ｔｈａｔ

Ａｌｓｏ，

ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ．

ａ

ｂｅｇｉｎ

ｕｓ

ａ

＂ｄｅｃｌａｒｉｎｇ

ｐｒｏｖｅｄ

Ｗｅ

ｃａｎ

（ｖａｒｉａｂｌｅ，

ｉｔ ｉｓ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ａｄｄ

ｔｅｒｍ ｔｏ

ｐｒｏｄｕｃｅ ａｎｏｔｈｅｒ ｐｒｏｖｅｄ

ｍｏｒｅ

ｔｅｒｍ． Ｗｅ

ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ Ｍ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ａｆｆｅｃｔ

ｍｏｒｅ

ｔｈｅ ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄｎｅｓｓ ｏｆ Ｍ； ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｄｅｃｌａｒａｔｉｏｎ ｉｓ ａｌｓｏ

Ｆｉｎａｌｌｙ， ｗｅ ｃａｎ ｇｉｖｅ ｉｄｅａｓ ｐｒｅｃｉｓｅ．

ｍａｎｉｐｕｌａｔｅ

ｔｏ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｈｏｗ ｔｏ

ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｍａｔｔｅｒ ｗｈａｔ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ

Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ，

ｉｓ ｉｎ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ

ｉｓ

＞

ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ｒａｗ

ｕｎｉｍｐｏｒｔａｎｔ．＂

ｔｅｒｍｓ． Ｌｅｔ

ｕｓ

ｍａｋｅ ｔｈｅｓｅ

ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｅｘｔｓ （ａｌｔｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ

ｄｅｒｉｖｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

（ｖａｒｉａｂｌｅ， ｔｙｐｅ） ｐａｉｒｓ）， ａｎｄ ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｏｆ ｃｏｎｔｅｘｔｓ （ａｄｄｉｎｇ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ ｃｏｎｔｅｘｔｓ）． Ｌｅｔ ｉｒ ｂｅ ａ ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｎ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ． Ｉｆ Ｔ ［ｘｉ： ａｉ，．．．， ｘｎ： ａｎ］ ｔｈｅｎ ｗｒｉｔｅ ７ｒｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ［ｘｗ（ｉ）ｉ ａ？ｒ（ｉ）） ＾（ｎ）＂－ ＾（ｎ）］－ ｏｆ

＝

？

Ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ Ｔ Ｃ Ｔ＇ ｉｆ Ｔ ｉｓ ｏｆ

ｏｕｒ

ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

ａ

ｐｒｏｏｆｓ

ａｒｅ

ｅａｓｙ， ｂｕｔ

Ｓｇ Ｗｅ ｉｎｄｕｃｔ

ｇｉｖｉｎｇ ｓｅｐａｒａｔｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ．

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ

ｓｐｅｌｌ

ｏｕｔ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｓｏｍｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｉｎｖｏｌｖｅｄ．

Ａ ｄｅｒｉｖｅｄ ｒｕｌｅ ｉｓ

Ｓｇ

ＰＲＯＯＦ

？，

ｓｕｂｌｉｓｔ ｏｆ Ｔ＇． Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｆｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒｍａｌｉｓｅ

ｆｉｒｓｔ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ Ｌｅｍｍａ ３．２．１０

？

ｃａｓｅｓ

ｏｎ

＞ ＞

ｒ ｈ Ｍ： ａ ｔｔＴ＼－ Ｍ： ａ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ

ｔｏ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ： ａ， Ｆｉｇｕｒｅ ３．１ ｆｏｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｓｕｃｈ

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｓｈｏｗ （Ｃａｓｅ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ：ａ ｉｓ Ｓｇ ＞ ｒ＾ｉｃ＾ｒ＇ ｈ ｘ：ａ）： ｔｈａｔ Ｓｇ ＞ Ｔ，ｘ：ａ， Ｖ ＼－ ｘ：ａ， ｗｈｅｒｅ ｒ， ｘ： ａ， Ｖ ｉｓ ａｎｙ ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｓｔ Ｔ， ｘ： ａ， Ｔ＇． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ， ｂｅｉｎｇ ａｎ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ．

（Ｃａｓｅ Ｓｇ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ

＞

Ｔ＼－ Ｍ：ａ ｉｓ

Ｓｇ

＞

Ｔ ｈ

／（Ｍｉ，．．． ，Ｍａ）：ａ）：

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｅｍｍａ ｈｏｌｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐｒｏｖｅｄ

Ｗｅ

ｃａｎ ａｓｓｕｍｅ

ｔｅｒｍｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ

１２６

Ｃｈａｐｔｅｒ

３．

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｓｙｍｂｏｌｓ， ｔｈａｔ ｉｓ Ｓｇ ＞ ｉｒＴ ｉ； ｂｕｔ ｎｏｗ ｗｅ ｃａｎ ｊｕｓｔ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｓｙｍｂｏｌｓ ｔｏ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

Ｓｇ

Ｉｆ Ｔ Ｃ Ｔ＇ ｔｈｅｎ

Ｌｅｍｍａ ３．２．１１

ＰＲＯＯＦ Ｗｉｔｈ ｒａｗ

Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｔｈｉｓ，

／（Ｍｉ，．．．， Ｍａ）： ａ，

ｔｔＴ ＼－

＞

ｗｅ ｃａｎ

Ｌｅｍｍａ ３．２．１２

ａ

ｒａｗ

ｕｓｅ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

Ｓｇ

＞

Ｔ＇＼－Ｍ：ａ

□

ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｓｇ

＞

ｈｏｗ

ｗｅ

ｌｅｍｍａ ｗｈｉｃｈ ｔｅｌｌｓ

ｕｓ

ｆｏｒｍｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ

ｒ，ｘ：ａ，ｒ＇＊－ Ｎ：ｐ

＞

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

＞

ｏｎ

Ｓｇ

ａｐｐｅａｌｉｎｇ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ

Ｔ ｈ Ｍ： ａ．

□

ｍａｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ

ｔｅｒｍｓ．

Ｓｇ Ｗｅ

＞

Ａ ｄｅｒｉｖｅｄ ｒｕｌｅ ｆｏｒ

Ｓｇ

Ｐｒｏｏｆ

Ｓｇ

ｓｉｍｐｌｅ

ｔｈｅｓｅ

ａ＊ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｄｅｒｉｖｅｄ ｒｕｌｅ ｉｓ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｎ

ｐｒｏｖｅ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｏｔｈｅｒ

ａ

ａｓ

Ｍｆ．

ｈ

Ｓｇ

Ｔ＼￣Ｍ：ａ

＞

ＴＸｌ－Ｎ［Ｍ／ｘ＼：０

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＞

ｔｅｒｍｓ ｉｓ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｒ，ｘ：ａ，ｒｔ－Ｎ：０

ｔｏ Ｌｅｍｍａ ３．２．１１ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｅｎ Ｎ ｉｓ

ｘ．

Ｒｅｃａｌｌ ａｌｓｏ Ｒｅｍａｒｋ ３．２．７． □

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．２．１３ Ｉｆ

ｗｅ ａｒｅ

ａｂｌｅ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ

ａ

ａｎｄ ａ＇

ａｒｅ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｔ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｅｘｔ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ： ａ ａｎｄ Ｓｇ ＞

Ｔ ＼－

ａ ｒａｗ

ｔｅｒｍ．

Ｍ：ａｆ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ

ｉｄｅｎｔｉｃａｌ．

Ｕｓｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ＰＲＯＯＦ

ａｎｄ ｔｈａｔ Ｍ ｉｓ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．２．１４

ｏｎ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ

Ｓｇ

＞

Ｔ ｈ Ｍ： ａ．

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．２．１３，

ｗｅ

□

ｍｉｇｈｔ

ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｆｉｇｕｒｅ ３．１ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｔｙｐｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ， ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｎｓｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｃｏｎｔｅｘｔ ｒ， ｉｆ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ： ａ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ， ｔｈｅｎ ａ ｉｓ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ ｔｙｐｅ ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ａｐｐｅａｒ ＂ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｃｏｌｏｎ．＂ Ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ ｔｏ ａ ａｓ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ

ｏｆ Ａｆ． Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ３．２．１５

（１）

Ｗｏｒｋ

（２）

Ｌｅｔ

ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆｓ ｏｆ Ｌｅｍｍａｓ ３．２．１１ ａｎｄ ３．２．１２， ａｎｄ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．２．１３． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｆ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ：ａ ｗｈｅｒｅ Ｓｇ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ Ｍ， ／ｖ（Ｍ）， ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｔ． ｔｅｒｍ，

Ｓｇ

ｂｅ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

ｌｅｔ ｘ＼． ａ１？．．．， ｘｎ： ａｎ ｈ Ｎ：

ａｎｄ Ｔ ＼－ Ｍｆ．ａｉ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

Ｓｇ

（５

＞ Ｔ ｈ

ｂｅ

ａ

ｐｒｏｖｅｄ

Ｎ［Ｍ／ｘ＼：ｊ３．

３．３．

Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ

３．３

１２７

Ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｗｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ３．３．１

ｎｏｗ

ｓｅｔ ｕｐ

ｆｏｒｍａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ａ

ｗｅ ｃａｎ

ａｓｓｅｒｔ

ｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｕｃｈ ｓｙｓｔｅｍｓ， ｅａｃｈ ｋｎｏｗｎ ａｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｘｉｏｍｓ ａｎｄ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｄｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｓｇ ｉｓ ａｎ Ｍ＇＼ ａ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｔａｋｅｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔ ＼－ Ｍ ｗｈｅｒｅ Ｔ ＼－ Ｍ：ａ ａｎｄ Ｔ ｈ Ｍ＇： ａ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ Ｓｇ． Ｆｏｒｍａｌｌｙ， ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， Ｔｈ， ｉｓ ａ ｐａｉｒ （Ｓｇ， Ａｘ） ｗｈｅｒｅ Ｓｇ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ａｘ ｉｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｏｒｍｅｄ ｕｓｉｎｇ Ｓｇ． Ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ Ｍ＇＼ ａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｎ Ａｘ ａｓ ａｘｉｏｍｓ ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ Ｔ ｈ Ｍ ｉｓ ａｎ ａｘｉｏｍ ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ Ａｘ ＞ Ｔ ｈ Ｍ Ｍ＇： ａ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｃｏｍｐｒｉｓｅ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈ ＞ Ｔ ｈ Ｍ Ｍ＇：ａ ｔｈｅ

＝

＝

＝

＝

（ｗｈｅｒｅ

Ｔ ｈ Ｍ

Ｆｉｇｕｒｅ

３．２．

Ｍ＇：ａ ｉｓ

＝

ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ

ａ

ａ

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ） ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ

Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｒｅｍａｒｋ ３．３．２

ｆｏｒｍ

ａｎ

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｔｈ

ａｓ

ｓｕｂ－ｃｌａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ

ｔｈｅｏｒｅｍ Ｔ＼－ Ｍ

＝

Ｍ＇：ａｔｏ

ｗｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｏ ｗｈｉｃｈ

Ｔ ＼－ Ｍ

＞

＝

Ｍ＇＼

ａ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ ｔｏ

ｔｈａｔ

ｍｅａｎ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－

ｗｅ ｃａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

ｄｅｒｉｖｅ Ｔｈ

ｗｅ ａｒｅ

＞

Ｔ ｈ Ｍ

＝

Ｍ＇：

ａ

ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ３．３．３

（１）

Ｗｅ

ｂｅｇｉｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ； ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｉｓ ａｃｑｕａｉｎｔｅｄ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｇｒｏｕｐ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｙｐｅ Ｇ，

？

ｏｎｅ

？

ｔｈｒｅｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

？

ｓｏｒｔｉｎｇｓ

ｏ：

Ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ

（ａ）

ｘ：Ｇ ＼－

ｓｙｍｂｏｌｓ

Ｇ，Ｇ ａｒｅ

—？

＝

（ｂ） ｘ：Ｇ ＼－ ｏ（ｘ， ｅ） （ｃ） ｘ：Ｇ ＼－ ｏ（ｉ（ｘ），ｘ） ＝

ｉ， ｅ，

Ｇ， ｉ：Ｇ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｏ（ｅ， ｘ）

ｏ，

ｘ：

Ｇ

ｘ：

Ｇ

＝

—？■

ｔｈｅ

ａｎｄ

Ｇ ａｎｄ

ｅ：

Ｇ．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ：

ｅ：Ｇ

（ｄ） ｘ：Ｇ ＼－ ｏ（ｘ， ｉ（ｘ）） ｅ：Ｇ （ｅ） ｘ： Ｇ， ｙ： Ｇ，ｚ：Ｇ＼－ ｏ（ｏ（ａｒ， ｙ）， ｚ） ＝

Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ，

（ａ）

ｏ（ｘ， ｏ（ｙ， ｚ））： Ｇ．

（ｂ） ａｒｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ａｘｉｏｍｓ ｆｏｒ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ， （ｃ） ａｎｄ （ｄ） （ｅ） ｉｓ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ

ａｎｄ

ｆｏｒ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ａｎｄ

＝

ａｘｉｏｍｓ

ａｘｉｏｍｓ

１２８

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａｘｉｏｍｓ Ａｘ

＞

Ｔ＼－ Ｍ

＝

Ｍ＇：ａ

Ｔｈ

＞

Ｔ＼－Ｍ

＝

Ｍ＇：ａ

｜ Ｉ—

３．

Ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ Ｓｇ Ｔｈ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

＞

Ｔ＼－Ｍ

＞

Ｔｈ

Ｍ：ａ

＝

Ｔ＼－Ｍ

＞

｜

＝

Ｔｈ

＞

Ｔ＼－Ｍ

Ｔｈ

＞

Ｔ＼－Ｍ＇

Ｔｈ

Ｍ＇：ａ

Ｔ＼－Ｍ

＞

Ｔｈ

Ｔ＼－Ｍ＇

＞ ＝

＝

＝

＝

Ｍ＇：ａ Ｍ：ａ

Ｍ＂：ａ

Ｍ＂：ａ

Ｉ— Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ Ｔｈ

｜ Ｉ—

Ｔｈ

Ｔ＼－Ｍ

＞

７ｒＴ＼－Ｍ

＞

Ｍ＇：ａ

＝

＝

Ｍ＇：ａ

（ｗｈｅｒｅ

ｉｓ

７ｒ

ａ

ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ）

Ｗｅａｋｅｎｉｎｇ

｜

Ｔｈ

＞

Ｔ＼－Ｍ

Ｔｈ

＞

Ｔ＇＼－Ｍ

＝

＝

Ｍ＇：ａ

（ｗｈｅｒｅ

Ｍ＇：ａ

Ｔ Ｃ

Ｔ＇）

Ｉ— Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ Ｔｈ

＞

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｎ Ｔｈ

Ｆｉｇｕｒｅ

＞

＝

Ｎ＇：（３

Ｔ＼－Ｎ［Ｍ／ｘ］

Ｔｈ ＝

＞

Ｔ＼－Ｍ

＝

Ｍ＇：ａ

Ｎ＇［Ｍ＇／ｘ］：Ｐ

３．２： Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａｎ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ．

３．４－

Ｍｏｔｉｖａｔｉｎｇ

ｌｏｏｋ

ｉｓ

ａ

ａ

１２９

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｆａｍｉｌｉａｒ ｉｆ

（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ） ｘｏｙ ｆｏｒ ｏ（ｘ， ｙ）． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｘｏｙ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌｌｙ ｓｕｇａｒｅｄ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｏ（ｘ，ｙ）， ｍｅａｎｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ ｉｓ ｅａｓｉｅｒ ｍｏｒｅ

ｗｒｉｔｅ

ｗｅ

ｔｏ ｒｅａｄ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ．

（２）

Ｔｈｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ ｍｅｅｔ ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅｓ ｈａｓ

ｔｙｐｅ Ｌ， ａｎｄ

？

ｏｎｅ

？

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｙｍｂｏｌｓ

Ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｔ： Ｌ ａｎｄ Ａ：

ｘ：

Ｌ， ｙ：

（ｂ）

ｘ：

Ｌ， ｙ： Ｌ， ｚ： Ｌ ｈ

（ｃ）

ｘ：

Ｌ ｈ

ｘ

Ａ

（ｄ）

ｘ：

Ｌ ｈ

ｘ

Ａ Ｔ

３．４

Ａ ｙ

ｘ

ｘ

＝

Ｌ．

—？

ｔｈｅｏｒｙ （ａｌｓｏ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌｌｙ ｓｕｇａｒｅｄ）

（ａ）

Ｌ ＼－

Ｌ， Ｌ

＝

Ｌ

ｘ：

（ｙ Ａ ｚ）

Ａ

ｘ

ｘ：

ｙ Ａ

＝

ａｒｅ

＝

（ｘ Ａｙ）

Ａ ｚ：Ｌ

Ｌ

ｘ：

Ｌ．

Ｍｏｔｉｖａｔｉｎｇ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ａ

Ｗｅ ｍｏｔｉｖａｔｅ ｔｈｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．４．１

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ， ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｕｉｌｔ ｕｐ ｆｒｏｍ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ｒａｔｈｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｌｙ ｆｒｏｍ ｏｕｒ ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．２， ａｎｄ ｗｅ ｒｅｖｉｅｗ ｔｈｉｓ ｈｅｒｅ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ ａ ｔａｋｅ ａ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ Ｖａｒａ ｛ｘ＂， ｘ＊，．．．｝ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ （ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ｓｅｔｓ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｒｅ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｙｐｅｓ ａ） ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ＝

ｘ

Ｍｘ：

Ｇ Ｖａｒａ

ｋ：ａ

ｘ：ａ

ｗｈｅｒｅ ｋ：

ａ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｗｏｕｌｄ

［ａ］

ａｕ

．．．，

Ｍａ：

ａａ

／（Ｍｉ，．．．，Ｍ？）：／？

／？ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ． Ａ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ／： ａｉ，．．．， ａａ ｔｈｅｎ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｓｅｔ ［ａ］ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ ａ， ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ＼ｋ＼ ａｎｄ

—？

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｋ：

ａ

ａｎｄ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

［／］： ［ａｉ］ ｘ．．． ｘ ［ａｎ］

—？■

Ｇ

＼（３］

／？． Ａｎ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ ／： ａ１｝．．．， ａｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ａｓｓｉｇｎｓ ａ ｍｅａｎｉｎｇ ｔｏ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ａｎ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｐ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐ： ｗｈｅｒｅ

ｐ（ｘａ）

ｍｅａｎｉｎｇ

Ｇ

—？

｜Ｊ｛ Ｖａｒａ ｜

［ａ］

ａ

ｉｓ

ａ

ｔｙｐｅ｝

—？■

｜Ｊ｛［ｏ；］ ｜

ｆｏｒ ｘａ Ｇ ＶａｒＱ． Ｇｉｖｅｎ ｓｕｃｈ

ｔｏ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ＼ｘａ｝

＝

ｐ（ｘａ）

ｉｓ

ａ

ａ

ｔｙｐｅ｝

ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｐ，

ａｎ

ａｎｄ

［／（Ｍｌ５．．．， Ｍｎ）＼ ｄ＾ ｌｆ＼（Ｗｉｌ

？

？

？，

［Ｍｎ］），

ｗｅ

ａｓｓｉｇｎ

ａ

１３０

ｓｏ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｉｎ

ｉｆ Ｍ：

ｇｅｎｅｒａｌ

Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ａ

［Ｍ］

ｔｈｅｎ

ｔｙｐｅｓ． ｐｒｏｐｅｒ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｔｙｐｅｓ， ｔｈｅｎ

［ａ］．

Ｆｏｒ ｉｆ ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｅｔ ｏｆ

ａ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈｏｕｇｈｔｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏａｃｈ． ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｅｔｓ

ａｔ ｌｅａｓｔ ｔｗｏ

ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｍｕｓｔ ｂｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｔｏ

Ｇ

３．

［ａ］

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ ｔｈａｔ ａｎｄ ｔｈａｔ

ｅｍｐｔｙ，

ｗｅｒｅ

ｏｒ

ｍｕｓｔ

ｗｅ

ｗｅ

ｈａｄ

ａ

ｗｏｕｌｄ ｎｏｔ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐ． Ｔｈｅ

ｗｅ

ｓｅｃｏｎｄ

ｔｈｏｕｇｈｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｓｅｔｓ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｔｓ ｂｙ ｓｏｍｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ａｎ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｂｕｔ ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｉｎ ａ ｍｕｃｈ ｓｔｒｏｎｇｅｒ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｆ ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｏｕｒ ｓｙｎｔａｘ ｉｎ ａ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｅｔｔｉｎｇ， ｓｕｃｈ ａｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｅｎ ｔｈａｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ｏｒｇａｎｉｓａｔｉｏｎａｌ ｔｏｏｌ， ｂｕｔ ａｒｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｗｏｒｌｄｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｓｕｃｈ ａｓ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ？ Ｌｅｔ ｔｏ

ａ

ｕｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

Ｗｅ

ｔｈｏｕｇｈｔ．

ｃａｎ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍ

ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍ

ｍｅａｎｉｎｇ

ｓｕｃｈ ｄａｔａ

ｏｎ

ｔｏ ｔｈｅ

ａｓ

ｓｅｔｓ ｔｏ

ａ

ｔａｋｉｎｇ ｉｎｐｕｔ

ｔｈｅ ｏｕｔｐｕｔ． Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ

ｔｙｐｅｓ ｂｙ ａｓｓｉｇｎｉｎｇ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｗｉｔｈ ｄｕｅ

ｔｈｉｎｋ ｏｆ

ｔｅｒｍ

ａ

ｇｉｖｉｎｇ

ｒｉｓｅ

ｄａｔａ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ

ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ，

ｔｈｅｍ， ａｎｄ

ａｓ

ｗｅ ｃａｎ

ｍｅａｎｉｎｇ

ｇｉｖｅ

ａ

ｔｏ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ， ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ａｂａｎｄｏｎ ｔｙｐｅ ｔａｇｇｅｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｕｓｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ， ａｓ ｗｅ ｄｉｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．２． Ｔｈｕｓ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ａｓ

ｒｅｇａｒｄ

ｆｏｒ ｔｈｉｓ

ｘｉ＇．ｃｔｉ，．．． ，ｘｎ：ａｎ ＼－

ｗｉｌｌ

ｎｏｗ

ｏｆ ｔｈｅ

ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ

ｂｙ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

／： Ａ＼

Ｍ：ｊ３

Ａｎ

—？

Ｂ， ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｔｈｉｎｋ

ｉｎｐｕｔ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ Ｍ ｂｅｉｎｇ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｘ Ａｎ． Ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｙｐｅｓ ｂｙ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｅｔｓ， ｐｒｏｄｕｃｔ Ａ＼ ｘ ｂｅｃａｕｓｅ ｗｅ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｐ． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｕｓ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｅｒｍｓ Ｍ ｗｉｔｈ ｅｘａｃｔｌｙ ｏｎｅ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅ； ｔｈｕｓ ｉ：ａｈ Ｍ：／３， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｈｅｒｅ ｎ

．．．

ｆｖ（Ｍ） ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ

＝

｛ｘ｝．

Ｗｅ

ｔａｃｉｔｌｙ

ａｓｓｕｍｅ

ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｏｎｌｙ ｄｅａｌｉｎｇ

ｗｉｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｇｅｎｅｒａｌｉｓｅ ｏｕｒ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ｕｓｉｎｇ ａｓ ｆｅｗ ａｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｍｏｄｅｌ ａ ａｎｄ ｊ３ ｂｙ ＂ｏｂｊｅｃｔｓ＂ Ａ ａｎｄ Ｂ ａｂｏｕｔ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｍａｋｅ ｎｏ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ． Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｆｏｒｍ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎ； ｓｏ ｌｅｔ ｕｓ ｍｏｄｅｌ ｘ： ａ ｈ Ｍ： ／？ ａｓ ａ ＂ｒｅｌａｔｉｏｎ＂ ｂｅｔｗｅｅｎ Ａ ａｎｄ Ｂ ａｂｏｕｔ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｍａｋｅ ｎｏ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ； ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ａ Ｂ ｆｏｒ ｔｈｉｓ． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｕｓ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｈｏｗ ｏｕｒ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｔｅｒｍ ｌａｎｇｕａｇｅ ｉｓ ｂｕｉｌｔ ｕｐ． Ｔｈｅ ｃｒｕｃｉａｌ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｂｕｉｌｔ ｕｐ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ， ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｎｓｅ ｔｈａｔ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ ｆ（Ｍ） ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｆ（ｘ）［Ｍ／ｘ＼． Ｗｅ ｎｏｗ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｒａｈ Ｍ： ｊ３ ａｎｄ ｙ：（５Ｙ－Ｎ： ７． Ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｅｎ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｅｒｉｖｅｄ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｒａｈ Ｎ［Ｍ／ｙ］： ７—ｓｏ ｈｏｗ ｓｈｏｕｌｄ ｗｅ ｍｏｄｅｌ ｔｈｉｓ？ Ｌｅｔ ｕｓ ａｒｉｔｙ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ

１． Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｔｒｙ

ｔｏ

—？

３．４－

ｊｕｓｔ

Ｍｏｔｉｖａｔｉｎｇ

ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

１３１

ｍｏｄｅｌ ｒａｈ Ｍ：

ｊ３

ａｎｄ

ｙ：（３＼￣Ｎ： ７．

Ｗｅ

［ｘ： ａ ｗｈｅｒｅ

Ｄ（ｎ，ｍ）

ｉｓ

ｓｏｍｅ

ｈ

＝

ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ

°＾？）

Ａ

ａｎｄ

ｏｎ ｎ

ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ？ Ｌｅｔ ｔｅｒｍ

（ｗｈｅｒｅ

ｔａｃｉｔｌｙ ａｓｓｕｍｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ

ｂｏｔｈ ｏｆ ｔｈｅ

ｗｅ

ｘ：ａ＼－

Ｃ， ａｎｄ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｔａｋｅ ｏｎｅ

（Ｌ［Ｎ／ｚ］）［Ｍ／ｙ］： ６

ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌｌｙ

ｍｏｄｅｌ ｔｈｅｍ

ｏｕｇｈｔ

ａｒｅ

Ｉｆ

ｗｅ

ｍｏｄｅｌｌｅｄ， ｔｈｅｎ ａ

□（ｒａ，＊＾）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

＝

ｈ

ｆｏｒｍｅｄ．

ｐｒｏｖｅｄ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ）． Ｗｅｌｌ，

？—１ｌｆｌ

ｑ ａｎ（ｊ ＾４

ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｉｓ．

ｘ：ａ

ｈ

Ｎｏｗ

ｗｅ

ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ

ｅｘａｃｔｌｙ

ｒａａｓａ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｈｏｗ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ

ｗｅ ＝

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ｔｏ ｍｏｄｅｌ

ｆｕｒｔｈｅｒ

Ｌ［Ｎ［Ｍ／ｙ］／ｚ］： ６

＿ｊｌｙ

Ｄ（Ｚ，Ｄ（ｎ， ｍ））

ａ

Ｓｏ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ

ｔｈｉｓ？）．

ｔｏｏ， ｎａｍｅｌｙ Ａ

□（□（／， ｎ），ｍ）

ｄｉｓｔｉｎｃｔ

ｘ： ａ

ｉｓ

Ｗｈａｔ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ

ｍ．

ｚ ａｒｅ

ａｎｄ

（ｃａｕｔｉｏｎ—ｗｈｙ

ｓａｍｅ

Ｃ

ｓｔｅｐ ｂａｃｋｗａｒｄ ａｎｄ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｈｏｗ ｐｒｏｖｅｄ

ｖａｒｉａｂｌｅ

Ａ —＾ Ａ．

ａｎｄ

ｔｈｅ

ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ ａ

ｔｈａｔ ｘ， ｙ ａｎｄ

ｗｅ

Ｂ －±＋Ｃ

＝

７ ｈ Ｌ： ６ ｂｅ

ｚ：

ｈｏｗ

ｏｎ

ａｓ

［ｙ：０＼－ Ｎ：－ｙ］

Ｎ［Ｍ／ｙ］：Ｈ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｗｒｉｔｅ ｔｈｉｓ

ｃａｎ

＼ｘ：ａ＼－ Ｍ：０＼ ＝Ａ＾＋Ｂ

ａｒｅ

ｄｅｐｅｎｄｓ

ｓａｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｗｈａｔｅｖｅｒ ｍｏｄｅｌｓ ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｉｆ Ｅ —＾ Ａ ａｎｄ Ａ －＾＊ Ｂ ｔｈｅｎ

ｍ．

ｓｙｍｂｏｌ，

ｉｓ

Ａ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｘ：ａ ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｘ：ａ

ｎ（＊＾，ｅ）

ｆ（Ｍ）：ｆｉｆ， ｗｈｅｒｅ ｆ：ｊ３ ｆ ｛ｙ＇）［Ｍ／ｙ＇］： ｆｉ＇， ａｎｄ ｓｏ

ｈ

（３ｆ

—？

ｈ

＝

ｅ

ｉｓ

ｗｉｌｌ ｂｅ

ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ Ａ —＾ ￡？＇， ｗｈｅｒｅ ￡？＇ ｍｏｄｅｌｓ ／？＇ ａｎｄ ｗｅ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈａｔ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｘ： （５ Ｙ－ ｆ ｛ｘ）： ｊ３＇ ＼ｓ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ Ｂ —＾－＞ Ｂ＇． Ｎｏｗ ｗｅ ｓｕｍｍａｒｉｓｅ ｄｅｄｕｃｔｉｏｎｓ， ｗｒｉｔｉｎｇ ｎ ｏ ｍ ｆｏｒ Ｄ（ｎ， ｍ） ａｎｄ ｉｄ ａ ｆｏｒ ＊ａ：

ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｔｈｅ ｏｕｒ

Ｔｙｐｅｓ

？

Ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ

？

Ｆｏｒ ｅａｃｈ

？

Ｇｉｖｅｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ Ａ －＾ Ｂ ａｎｄ Ｂ －＾ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

？

Ｇｉｖｅｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ Ｅ －＾ Ａ ａｎｄ Ａ －＾－＞ ￡， ｔｈｅｎ

７７１ Ｏ ？

ｚｒｆ＾

ａｒｅ

＝

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ＂ｏｂｊｅｃｔｓ，＂

Ａ， Ｂ

？

ａｒｅ

ｓａｙ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ＂ｒｅｌａｔｉｏｎｓ，＂

ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

．．．

ｓａｙ Ａ －＾ Ｂ．．．

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｄ，Ａ－ ａ

ｒｅｌａｔｉｏｎ Ａ ＾＞ Ｃ． ｗｅ

ｈａｖｅ ｉｄ ａ

° ｅ

＝

ｅ

ａｎｄ

７７１．

Ｆｏｒ ａｎｙ Ａ －＾

￡， Ｂ －＾ Ｃ ａｎｄ Ｃ

—＞

Ｄ，

ｗｅ

ｈａｖｅ Ｉ

ｏ

（ｎ ｏ ｍ）

＝

（Ｉ

ｏ

ｎ）

ｏ ｍ．

ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｄｅｄｕｃｅｄ， ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｈｏｗ ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ａｎｄ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ， ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｍｏｄｅｌ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｅｘａｃｔｌｙ ｏｎｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ａ ｔｅｒｍ， ｉｎ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ； ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｄｅａ， Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｓｕｍｍａｒｙ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｔｈｅ

１３２

—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ

Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ

Ｈｅｒｅ，

ｘ： ａ

ｈ Ｍ：

（３ ａｎｄ

＼ｘ：ａ＼－ Ｍ：（３＼

ａｎｄ

ｘ：

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ

［ｘ： ７

ｈ

Ｎ

ｂｙ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

７ ｈ Ｍ＇：

［ｘ： ７

ａｎｄ

ａ ａｒｅ

ｈ Ｍ＇＼

ａ］

ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ

ｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

ｔｅｒｍｓ．

Ｍ［Ｍ＇／ｘ｝： ０＼

｛ｘ：ａ＼－

＝

＇

ｖ

ｏ

［ｘ： ７

Ｍ＇：

ｈ

ａ］

＇

ｖ

ｉ

Ｉ

ｉｉ．

／？］

Ｍ：

＂

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

，

Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍ＼Ｍ＇ ｘ］ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ Ｔｉ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

３．

．，，，，．，，

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ

ｏｆ Ｍ

ａｎｄＭ＇

Ｆｉｇｕｒｅ ３．３： Ａ Ｂａｓｉｃ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ．

ｓｐｅｃｉａｌ

Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｏｕｒ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ｏｎｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ ａ ｔｅｒｍ Ｍ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｍｏｄｅｌ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｘｉ：ａｉｉ．．．ｉｘｎ：ａｎ ｈ Ｍ：（３ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｍ： Ａｉ ｘ ｘ Ａｎ ￡； ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｆｏｒｍａｌｉｓｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．５．

ｗｅ

ｇｉｖｅ

ａ

ｓｕｍｍａｒｙ—ｓｅｅ

ｍａｎｙ ｗａｙｓ

Ｃａｎ

ｄｏ

ａｓ

Ｗｏｒｋ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ

ｔｈｒｏｕｇｈ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．４．

Ｔｒｙ

ｔｏ ｔｈｉｎｋ ｏｆ

ａｓ

ｓｙｎｔａｘ ｂｅｈａｖｅｓ ａｎｄ ｈｏｗ ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ． ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｃｏｎｔｅｘｔｓ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｙｏｕ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｗａｙｓ ｏｆ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ？

ｎｏｔ ｉｎｖｏｌｖｅ ｆｉｎｉｔｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

３．５

Ｌｅｔ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．５．１

ｕｓ ｎｏｗ

ｆｏｒｍａｌｉｓｅ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．４．

ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｌｅｔ Ｓｇ ｂｅ Ｃ ｆｏｒ

３．３．

—？■

．．．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ３．４．２

Ｆｉｇｕｒｅ

Ｓｇ

ｉｓ

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

ａｎ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，

Ｍ，

ｉｎ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ

？

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｔｙｐｅ

？

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

？

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

ｏｆ

Ｓｇ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ ［ａ］ ｓｙｍｂｏｌ

ｓｙｍｂｏｌ ｆ：ｃｔｉ，．．．

ｏｆ

Ｃ，

ｋ： ａ， ，ａｎ

ｇｌｏｂａｌ

ａ

＾＞

ｅｌｅｍｅｎｔ

（３ ｏｆ Ｓｇ

ａ

［ｋ］：ｌ

—？■

［ａ］，

ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

［／Ｊ：［ａ１］ｘ．．．ｘ［ａｎ］＾［／？］． Ｉｆ

ｗｅ

—］ｍ

ｗｉｓｈ ｔｏ ｄｒａｗ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎ

ｐｌａｃｅ

ｏｆ

［—］．

Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ

＝

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

［ｘ＼： ａ１？．．．

，ｘｎ：

Ｍ，

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ

ａｎ］

ｗｅ

ｓｅｔ

ｉｒｉｎ１１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

３．５．

ｉ—

１３３

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

［ｒ， ｘ： ａ， Ｔ＇ ｉ—

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｈ

ｘ：

ａ］

ｉｒ：

＝

［Ｔ］

［ａ］

ｘ

ｘ

［Ｔ］

［ａ］

－＞

Ｓｙｍｂｏｌｓ

ｈｆｃ：ａ］＾［ｆｅｌｏ！：［Ｔ］－＞ｌ－＞［ｏ］ ［ｒ

ｈ

Ｍｊｉ ａｊ ＾

［ｒ

ｈ

ｍｉ；

［ａｎ］．

ｘ

．．．

［ｑｊ

－＞

／（Ｍｌｔ．．．， Ｍａ）］ ｄ＾ｆ ［／Ｊ

［ｒ

．．．

ｏ

ｈ

Ｍａ： ｑａ］ １＊

＜ｍｉ，．．．， ｍａ＞： ［Ｔ］

－？？

ｍａ：

［Ｔ］

（ｎ？［ａｊ）

［ａ，］

－？

－？

［ａ］

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ

Ｆｉｇｕｒｅ ３．４： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． ａｊ ｘ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｆｌ

Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｅｒｍ Ｔ ｈ Ｍ：

ａ ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｂｙ

ａｎ

ｓｐｅｃｉｆｙ

ａ

［ＴＩ－Ｍ：ａｌ：［ｒ］－［ａ］ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３．４． Ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｂａｓｉｃ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｅｒｍ ｆｏｒ ａ ｖａｒｉａｂｌｅ ｉｎ ａ ｔｅｒｍ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ａｎｄ ｉｎｄｅｅｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｗｈａｔ ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｅｘｐｅｃｔ ｇｉｖｅｎ ｏｕｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．４． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｉｎ Ｃ．

Ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

ｐｒｏｖｅｄ

Ｌｅｔ ｒ＇ Ｉ－ Ｎ：

Ｌｅｍｍａ ３．５．２

（３

１

ａｎｄ ｌｅｔ Ｔ ｈ

Ｔ ｈ

Ｍｉ＇．ａｉ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ

Ｎ［Ｍ／ｘ＼：／３ ［ｒ

ｗｈｅｒｅ

ｈ

ａ

ｐｒｏｖｅｄ

Ｎ［Ｍ／ｘ｝： ０＼

Ｎ［Ｍ／ｘ］

ＰＲＯＯＦ

ｉｓ

Ｂｙ

＝

ｔｅｒｍｓ ｉｓ

ｂｅ

—

ａ

ｐｒｏｖｅｄ

［＊ｋ １ ＾１５ ？

？

？

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｉ

？

ｔｅｒｍ ｗｈｅｒｅ

５

＊＊＾ｎ ＾ｎｊ

＝

？

１ ｔｏ

ｎ．

Ｔｈｅｎ

ｏｎｅ ｃａｎ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｔｅｒｍ ａｎｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｔｈａｔ

［ＩＴ＇ ＼－Ｎ：０＼ｏ （＼Ｔ

ｈ

Ｍｘ： ａｊ，．．．， ［Ｔ

ｈ

Ｍｎ：

ａｎ］＞

ｄｅｎｏｔｅｓ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｉ＂ ｈ Ｎ： （５．

Ｄ

１３４

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

３．６

Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ

Ｌｅｔ Ｍ ｂｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．６．１

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

３．

ａ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｇｉｖｅｎ

ａｎ

ａ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ ｈ Ｍ

＝

ｉｎ

ａ

Ｍ＇：

ａ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｆ ［ｒ ｈ Ｍ： ａ］ ａｎｄ ［ｒ ｈ Ｍ＇＼ ａ］ ｅｑｕａｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ （Ｓｇ， Ａｘ） ｉｆ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｎ Ａｘ， ａｎｄ ｓａｙ ｔｈａｔ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｂｙ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ．

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍ

ｗｅ

ａｒｅ

Ｔｈ

＝

ｔｈｅ ｔｈｅ

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ３．６．２

Ｔｈｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｍｏｎｏｉｄｓ ｈａｓ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｔｙｐｅ ａ ａｎｄ ｔｗｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ＋： ａ， ａ —？■ ａ ａｎｄ ｅ： ａ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｘｉｏｍｓ （ｗｒｉｔｔｅｎ ｕｓｉｎｇ ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｌ ＂ｉｎｆｉｘ＂

ｎｏｔａｔｉｏｎ）： （１）

ｘ：

ａ，ｙ： ａ，

（２）

ｘ：

ａ， ｙ：

（２＞）

ｘ： ａ

Ｖ－

ｚ： ａ

ｈ

ａ

＋

ｘ

ｘ

ｅ

ｈ

（ｘ ＋ ｙ）

＋ ｙ

ｙ ＋

＝

＋

ｚ

＝

ｘ

（ｙ ＋ ｚ）： ａ

＋

ａｒ． ｏｔ

ｘ： ａ．

＝

ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ Ｍ ａｎｄ ｅ： １ Ｍ ｓｕｃｈ ｇｉｖｉｎｇ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｍ ｏｆ Ｃ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＋： Ｍ ｘ Ｍ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ａｘｉｏｍｓ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍｓ Ｓｏ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｉｓ

—？■

—＊

ｃｏｍｍｕｔｅ：

（＾ ＋

ＭｘＭｘＭ

°（＾＾ＭｘＭ ＋

（＋ｏ（７ｒｉ，７ｒ２），７ｒ３）

Ｍ

ＭｘＭ

＜７ｒ２，？Ｆｌ＞

ＭｘＭ

＋

＞ＭｘＭ

Ｍ

Ｍ ｗｈｅｒｅ ！： Ｍ

ａｄｄｉｔｉｏｎ ｉｓ

（ａ

Ｎ，

ｏｎ

＋： Ｎ

ｏｎｅ

—＊■

ｘ

ｐｏｉｎｔ

１ ｉｓ ｔｈｅ

—？

Ｎ ｉｓ

ｓｅｔ ｉｓ

ａ

ＭｘＭ

Ｍ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｉｓ Ｎ

（ｉｄＭ，ｅｏ＼）＇—？

ａ

ａｄｄｉｔｉｏｎ， ａｎｄ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ

ｔｏ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ．

ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ．

ｅ：

｛＊｝

ｏｆ

—？

Ｓｅｔ）．

Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ， Ｆｏｒｍａｌｌｙ， Ｍ

Ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｅｒｅ

ｅ（＊）

＝

０

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

３．６．

Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ

ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ

ｓｏｍｅ

ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅｎ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｗｅ

ｉｔ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ

ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｓａｔｉｓｆｙ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｍｏｒｅ ａｎ

ｈａｖｅ Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．６．４

ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｉｆ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

Ｉｎｔｕｉｔｉｖｅｌｙ，

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ３．６．３

１３５

ａｎｄ Ｍ

ａ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， Ｔｈ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅｎ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｔｈ．

Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ Ｔ ｈ Ｍ

Ｍ＇＼

ｔｈｅｏｒｅｍ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ［ｒ ｈ Ｍ：ａ＼ ａｎｄ ［Ｔ ｈ Ｍ＇： ａ］ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ ｃａｎ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｆ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｎｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｏｆ ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｇｉｖｅｎ ｏｎ ｐａｇｅ １２８ ｆｏｒ ｄｅｒｉｖｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍｓ， ｔｈｅｎ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ＰＲＯＯＦ

ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ．

Ｔｏ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｓｅｅ

＝

ｆｏｒ

ｃａｓｅ

ｉｓ

ａ

ａ

Ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ

ｅａｓｙ． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｒｕｌｅ

ｗｅ

Ｌｅｍｍａ ３．５．２． Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ｉｓ ａｌｓｏ ｑｕｉｔｅ ｅａｓｙ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｔｈｅ ｗｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ

［ｒ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

［ｒ＇ｈＭ＇：ａ］． Ｔｈｅｎ

ｗｅ

Ｌｅｔ

Ｗｅａｋｅｎｉｎｇ．

ｈ Ｍ：

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｖ Ｙ－ Ｍ

ａ＼

＝

［Ｔ

Ｌｅｔｒ

ｈ Ｍ＇：

１， ａｎｄ

＝

ｓｏ

ｏｆ

ｊｕｓｔ ｇｉｖｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｆｏｒ

Ｍ＇：

ａ］ ｉｍｐｌｉｅｓ

ｕｓｅ

ａ

ａｎｄ ｔｈａｔ

ｔｈａｔ

［ｎ

Ｔ＇ ｈ

ｒｃＴ；

ｈ Ｍ：

ｐｒｏｖｅｄ

ａ］

＝

ｔｅｒｍｓ．

ｈａｖｅ

［Ｔ ＼－Ｍ：ａ］

＝

ｕｓｉｎｇ Ｌｅｍｍａ ３．５．２

ｕｓｉｎｇ

ｕｓ

ｈａｖｅ ｔｏ ｍａｋｅ

ｉｓ

ｔｈｅ

＝

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ

＝

ｕｓｉｎｇ Ｌｅｍｍａ ３．５．２

＝

＼Ｔ＇＼－Ｍ［ｘ／ｘ＼：ａ＼ ［Ｔ

＼－ Ｍ：

［ｒ

ｈ Ｍ＇：

［Ｖ

ｈ

ａ］（［Ｔ＇ ａ］（［ｒ＇

ｈ ｘｘ： ｈ ｘ＾

ａｘ］，．．．， ［ｒ７ ａ＾，．．．， ［ｒ

ｈ ｘｎ： ｈ ｘｎ：

ａｎ＼） ａｎ］）

Ｍ＇：ａ＼． Ｄ

Ｔｈｉｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ３．６．５＊

ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ｔｙｐｅｓ ？

ａｒｅ

ｂｏｏｌ ａｎｄ

ｔ：

ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

ａｎ

ｏｎｌｙ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ ｗｈｏｓｅ ｗｅ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｈｅｇｅｌ，

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ？

ａ

ｗｈｙ

ａｎｄ

ｓｙｍｂｏｌｓ

ｂｏｏｌ， ｆ： ｂｏｏｌ，

－＞：

ａｒｅ

ｂｏｏｌ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

—＊■

ｂｏｏｌ， ｔｆ： ｈｅｇｅｌ

Ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ， Ａｘ， ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｔｈｅ

（ａ）

ｈ

－．（＊）

（ｂ）

ｈ

－．（／）

（ｃ）

ｘ：

ｂｏｏｌ ｈ

／：

＝

＝

ｔ： ｂｏｏｌ ＝

ｂｏｏｌ ａｎｄ Ａ， Ｖ：

ｂｏｏｌ， ｂｏｏｌ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ：

ｂｏｏｌ

Ａ（－ｉ（ａ；）， ｘ）

—＊■

ｆ： ｂｏｏｌ

—＊■

ｂｏｏｌ．

１３６

Ｃｈａｐｔｅｒ

（ｄ）

ｘ：

ｂｏｏｌ ｈ

Ｖ（－＞（ｘ），ｘ）

（ｅ）

ｘ：

ｂｏｏｌ ｈ

Ｖ（ｘ， ｘ）

（ｆ）

ｘ：

ｂｏｏｌ ｈ

Ａ（＃， ｘ）

（ｇ）

ｙ：

ｈｅｇｅｌ

Ｗｅ

ｈ

ｘ：

ｂｏｏｌ

＝

ｘ：

ｂｏｏｌ

＝

ＪＪ（ｙ）：

（ｕｓｉｎｇ

ｔｈｅｎ ｄｅｄｕｃｅ

ｃａｎ

Ｔｈ

＞

ｙ：

＆００Ｊ．

ａｎ

ｉｎｆｏｒｍａｌ

ｈｅｇｅｌ

ｈ ｔ

＝

＝

＝

＝

＝

＝

ｔｈａｔ ｉｓ Ｔｈ

（１）

ｙ：

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

ａｎｄ

（２）

＞

ｈｅｇｅｌ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔ： ｂｏｏｌ

＝

＝

－？（ｔｔ（ｙ））

３．

＼－ ｔ

＝

ｆ：

ｎｏｔａｔｉｏｎ）

Ｖ（－．（｜｜（ｙ）），｜Ｊ（ｙ））：

ｔｏｏ＊

Ｖ（Ｊｔ（ｙ），｜ｌ（ｙ））：６ｏｏ／ ￥（ｙ）：ｂｏｏｌ Ａ（｛ｔ（ｙ），｜｝（ｙ））：６ｏｏＺ ＡＨｉｉｆｅ）， ｛｛（＜／）））： ／：

＆００Ｚ

ｂｏｏｌ

ｂｏｏｌ．

ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ａ

［ｆｃｏｏＺ］ ｄ＝ ｛＿Ｌ，Ｔ｝．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ

｛ｘｘｅｇ

ｐａｇｅ １２９．

，

ａ

ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ

ｘ２ｅｇｅ，

？

Ｉｎ ｔｈｉｓ

？

＝

０

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｏｎ

ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｗｉｔｈ ｔａｇｇｅｄ

？｝ （ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

ｓｅｔｔｉｎｇ

［ＺｉｅｙｅＺ］

ｄｅｒｉｖｅ

ｗｅ

ｆｏｒ

ｂｏｏｌ）

ａｎｄ ｔｅｒｍｓ Ｍ：

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｍ

＝

Ｍ＇＼

ａ ａｓ

ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｏｎｔｅｘｔｓ

ａ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ． Ｔｈｕｓ （ａｓ ａｂｏｖｅ） ｗｅ ｃａｎ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔ ｆ： ｂｏｏｌ． Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｓｔｙｌｅ ｍｏｄｅｌ （ｓａｙ Ｍ＇） ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｍｉｍｉｃｓ Ｍ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｛ｔ： ６ｏｏＺ］ｍ＇ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｅｑｕａｌ ［／： ｂｏｏｌ＾Ｍ＇

ｏｆ

＝

ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｔ

［６ｏｏ／］ｍ＇－

Ｓｏ ｔｈｉｓ ｉｓ

ａｎ

ｕｎｓｏｕｎｄ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ．

（３）

Ｔｈｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｗｉｔｈ

ｗｅ

ｈａｖｅ

［ｙ： ｈｅｇｅｌ ｉｎ ａｎｙ

（４）

ｈ ｔ：

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｂｏｏｌ］

＝

＼ｙ： ｈｅｇｅｌ

Ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ａ

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

ｌａｒｇｅ

ａ

／： ｂｏｏｌ］

ｍｏｄｅｌ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｎ

ｔｏ ｕｎｓｏｕｎｄ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｗｈｅｎ

（５）

ｈ

ｆｏｒｍａｌ

ｏｕｒ

：

［／ｉｅｐｅ／］

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

—＞

１

—？

｛ｂｏｏｌ］

ｔｈｉｓ ｈｏｌｄｓ ｉｎ Ｍ．

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ｂｙ ｅｍｐｔｙ

ｗｏｒｋｉｎｇ

ｗｉｔｈ

ｓｅｔｓ ｌｅａｄｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｏｎｔｅｘｔｓ．

ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ ｔｒｅｅ ｆｏｒ Ｔｈ

ｓｈｅｅｔ ｏｆ ｐａｐｅｒ ｆｏｒ ｔｈｉｓ！

ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

＞

ｙ：

ｈｅｇｅｌ

ｈ ｔ

＝

ｆ：

ｂｏｏｌ． Ｕｓｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ Ｍｏｄｅｌｓ

３．７．

１３７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ Ｍｏｄｅｌｓ

３．７

Ｎｏｗ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．７．１

ｔｕｒｎ

ｗｅ

ｏｕｒ

ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｄｅｌｓ

ｇｉｖｅｎ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｉｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ． Ｒｏｕｇｈｌｙ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｒｅｌａｔｉｏｎｓ） ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｏｄｅｌｓ． ｏｆ

ａ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ｍ Ｎ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈａ： ［ｃｋＪｍ Ｍｎ ｆ°ｒ ｅａｃｎ ｔｙｐｅ ａ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ： ｓｙｍｂｏｌ ／： ａ１？．．．， ａａ Ｌｅｔ Ｍ ａｎｄ Ｎ ｂｅ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ

ａｎ

—？■

－＊■

—＊■

ａ

ｏｎｅ

［ａＪＭ Ｏｔ＂＼

？

？

？

Ｐｎ

ｘ

ｔｏ ｔｈｅ

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａ

ｈａ

ａｓ

ｘ

Ｋ］Ｍ

—

ｈｐ

ｘ

．．．

ｘ

［ａａ］Ｎ

ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ

－＝—？

１／Ｊｎ

ｏｆ Ｔｈ ｉｎ

Ｃ，

ｗｒｉｔｔｅｎ

［／？］Ｎ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ Ｔｈ

ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ

Ｍｍ

ｌｕＱｉ

［ａｉ］Ｎ Ｗｅ ｒｅｆｅｒ

．．．

ａｎ

ｈ．

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｍｏｄ｛Ｔｈ，Ｃ），

Ｔｈｅｎ

ｈａｓ

ｔｈｅ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ ａｎｄ

？

ｏｂｊｅｃｔｓ

？

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｔｈｅ

Ｔｈｅ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ．

Ｍ ｈａｓ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｄ： Ｍ ａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｈｈ＇ ａｒｅ ｛ｈｈ＇）ａ —？

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ＝

ｈａｈ＇Ｑ．

ｉｄａ

＝

ｉｄ［ａｊＭ

ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ａｎｏｔｈｅｒ

ｎｅｗ

ｃａｔｅｇｏｒｙ．

Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｖ ｂｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＴＶ｛Ｃ， Ｖ） ｈａｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｎａｔｕｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｉｎｔｅｎｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ

ｇｉｖｅｎ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ， ｗｅ Ｃｌ（Ｔｈ）， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ａ

ＴＶ｛Ｃｌ（Ｔｈ），Ｖ） Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｕｓ

ｅｎａｂｌｉｎｇ

ｗｅ ｃａｎ

ｕｓ

ｒｅｇａｒｄ

ｔｏ ｖｉｅｗ

ａ

￣

ｍｏｄｅｌ ｏｆ

ｃａｎ

ｆｉｎｄ

ａ

Ｖ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ａ

ｎａｔｕｒａｌ

Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ）． ａ

ｔｈｅｏｒｙ

ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｍｏｄｅｌｓ

ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｏｆｔｅｎ ｔｈｉｓ ｌｅａｄｓ ｔｏ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｙｉｅｌｄｓ ａ ｎｅａｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．

ｆｕｎｃｔｏｒ， ａｎｄ ｖｉｃｅ ｖｅｒｓａ， ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｓ ｂｅｔｔｅｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｆｏｒｅ ｄｏｉｎｇ ｔｈｉｓ ｗｅ ｎｅｅｄ ａｓ ａ

１３８

ａ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｌｉｔｔｌｅ

Ｆ： Ｃ

—？

ｍａｃｈｉｎｅｒｙ． Ｇｉｖｅｎ

ｍｏｒｅ

ｔｅｃｈｎｉｃａｌ

Ｖ

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｗｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

Ｆ＊：Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｃ） Ｌｅｔ Ｍ ｂｅ

ｆｏｌｌｏｗｓ．

ａｓ

［ａ］ｆ，Ｍ ｔｈｅ

Ｆ［ｑ］ｍ

＝

ａｎ

ｗｈｅｒｅ

ｘ

ａ

［ａｎ］Ｆ．Ｍ

ｘ

．．．

ｗｈｅｒｅ

（３ ／： ａ１？．．．， ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｌｅｔ ｈ： Ｍ ｂｙ （Ｆ＊ｈ）Ｑ Ｆ（ｈＱ）． Ｗｅ —＞

—？

＝

ｔｈａｔ ｉｓ Ｆ＊ｈ： Ｆ＊Ｍ ｔｅｒｍ Ｔ ｈ Ｍ：

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａ

ｔｈｅ

Ｍｆ．ｍ Ｉｆ

Ｍｏｄ｛Ｔｈ，Ｖ）

ｏｆ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

Ｍｆ．ｍ

ｉｓ

ｉｓ

－＞

Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｃ）． Ｆ＊Ｍ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｐｕｔｔｉｎｇ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ ａｎｄ ｓｅｔｔｉｎｇ ［／］ｆ．ｍ ｔｏ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｏｂｊｅｃｔ

ａ

ｘ

ｉｓ

＝

Ｆ（Ｍｍ

ｈ

Ｎ

ｈａｖｅ ｔｏ ｂｅ

ｓｕｒｅ

ｔｈａｔ ｓｕｃｈ

ｉｓ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ａ

Ｔｈｅｎ Ｆ＊ｈ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｍａｋｅｓ ｓｅｎｓｅ，

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ． Ｇｉｖｅｎ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｏｎｅ ｃａｎ ｓｈｏｗ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［Ｔ ｈ Ｍ： ａ］ｐ．Ｍ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

．．．

Ｆ＊Ｎ ｒｅａｌｌｙ ｉｓ

—？

ｘ

［ａｎ］Ｆ．Ｍ

ａ

Ｆ（［ａｉ］Ｍ

＝

ｘ

ｘ

．．．

ａ

ｇｏｏｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ＊ ｄｅｆｉｎｅｄ ｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． ａ

Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ＊ ｉｓ

［Ｔ

ａ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｈ Ｎ：

ａ］Ｆ．Ｍ－

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ￡＞ ａｎｄ

ｏｎ

ｏｕｒ

［ａｎ］Ｍ） Ｆ［ｒｉ＾ｆ｝Ｍ Ｆ［ａ］Ｍ．

ｈ Ａ／＂：

＝

ｉｓ ｗｅｌｌ

Ｋ］Ｍ） ＦＪ＾ Ｆ［／？］ｍ ＝

ｇｉｖｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ Ｔ Ｙ－ Ｍ：ａ ａｎｄ Ｔ ＡＴ： ａ］Ｍ ｔｈｅｎ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ［Ｔ ｈ Ｍ： ａ］Ｆ，Ｍ

ｈａｖｅ

ｘ

．．．

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ ｔｈｅｎ Ｆ＊Ｍ ｉｓ ｗｅ

ｘ

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｔｈ ａｎｄ ｂｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｍｏｄ（ Ｔｈ，Ｃ）．

ａ

ｗｅ ａｒｅ

ｐ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｆｉｎｉｔｅ

ａ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

３．

ｏｂｊｅｃｔｓ．

［ｒ

ｈ Ｍ：

ｃｋＪｍ

＝

Ｔｈｕｓ ｉｆ Ｍ ｉｓ

ｗｅ ｃａｎ

ａ

ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈａｔ

Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｉｓ ｌｅｆｔ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ Ｆ＊

ｆｉｒｓｔ ｉｔｅｍ ｏｆ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ

ｍａｃｈｉｎｅｒｙ；

ｎｏｗ

ｗｅ

Ｇ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｉｎｉｔｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ． Ｉｆ （ｆ＞： Ｆ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ ａｎｄ Ｇ ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｇ＊Ｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ＜￡［Ｑ］Ｍ＂ Ｆ［ａ］Ｍ ＜ｆ）ＪＳ／Ｌ： Ｆ＊Ｍ Ｇ［ｏ］ｍ ａｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ａ ｏｆ Ｔｈ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ＜ｆ＞＊Ｍ． ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ． Ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ： —？■

—？

—＊■

ｎ？Ｆ［ａｆ］Ｍ

（Ｆｉｒ１，．．．，Ｆ＊ｎ）－１ ｘ

＂

＇

＂＇

■

ｒＶＴＴＢｆ

，

，

Ｆ（ｎＴ［ａＪＭ）

Ｆ［／］ －Ｊ＾

Ｆ［ｆｌＭ

（２）

＾１／３１ｍ

Ｍ

ｉ

ｘｉ＜ｆｙ＊］Ｍ

Ｉ

（！）

＾ｎ？［？＜ｌＭ

；

ｌ

ｎ？Ｇ［？ｉ］Ｍ ７７； ｐｒ＾ｒｒ Ｇ（ｎｊ［ａ？］Ｍ） Ｔ＾ｊ－ Ｇ［／？］ Ｍ Ｇ｜／Ｊｍ （Ｇ７Ｔｉ，．．．，Ｇ７Ｔｎ） Ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｈａｔ

（１）

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ＜ｆ＞ ｔｈａｔ （２）

ａｌｓｏ ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃｈｅｃｋ

１３９

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｎ Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ

３．８．

＝

＝

（０［ａｉ］Ｍ

°

（０［ａｉ］Ｍ

Ｘ

ｉ？７Ｉ＂ｌ＇ ？

？

？

？

Ｘ

＇

＇

＇

＾（ａ？］Ｍ

４＞｛ａｎｊＭ）

Ｏ

°

Ｆ７ｒｎ）

（ＦｔＴｉ

．

．

．

Ｆ７Ｔｎ）．

Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ ￡＞ ｂｅ ｆｉｘｅｄ ｍｏｄｅｌ ｏｆ

ａ

ｆｉｘｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ａｎｄ ｌｅｔ Ｍ ｂｅ ａｎｙ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ＡｐＭ：７Ｖ｛Ｃ，Ｖ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ＡｐＭ（Ｆ）

＝

－＞

Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ）

Ｆ＊Ｍ ａｎｄ ＡｐＭ（＜ｆ＞）

＝

＜￡＊Ｍ， ｗｈｅｒｅ ＜／＞：Ｆ

—＞

Ｇ ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｓｈａｌｌ

ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ．

３．８

Ａ

ｔｈｏｕｇｈｔ

ｏｆ

ａｓ ａ

ｕｓｅ

ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｅｃｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｔ ｕｐ

ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．８．１ ｂｅ

ｗｅ

ａｎ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｆｏｒ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎ

ｓｍａｌｌｅｓｔ ｓｕｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ Ｔｈ

ｃａｎ

ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ

Ｔｈ

ｃａｎ

ｓｏｍｅ ｓｅｎｓｅ

ｔｈｅ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｓｅｅ

ｓｏｕｎｄｌｙ．

ｌａｔｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｒｉｓｅｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｆｒｅｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｏｒ ｇｒｏｕｐ ｏｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｓｅｔ—ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｔｏ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｒｅｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｇａｄｇｅｔｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ． ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｔｈ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ） ｆｏｒ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔ＞ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｔｈｅ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ ｃａｌｌｅｄ

ｗｈｉｃｈ

ａｎ

ＡｐＧ：ＦＶ｛Ｃｌ（Ｔｈ），Ｖ）

—？

Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ）

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｓｕｃｈ ａ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃａｌｌｅｄ ｇｅｎｅｒｉｃ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｕｎｉｑｕｅ ｕｐ ｔｏ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｐｌａｙ ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｓｔａｒｔ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．８．１． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｔｈｅｎ ｇｉｖｅ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．８．６ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ． ｉｓ

ａｎ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．８．２

Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｌ（Ｔｈ） ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ａｎｄ

ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔ＞ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ＡｐＧ：ＴＶ（Ｃｌ（Ｔｈ），Ｖ）

—？

Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ）．

１４０

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

Ｃｌ（Ｔｈ）＇ ａｎｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｅｑ： Ｃｌ｛Ｔｈ） Ｃｌ（Ｔｈ）＇ ｃａｓｅ

ｔｈａｔ ｗｈｅｎｅｖｅｒ

￣

Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ

ＰＲＯＯＦ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｇ＇ ａｌｓｏ ｈａｖｅ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｅｑ＾Ｇ

Ｇ＇．

＾

ＡｐＧ， ｗｅ ｃａｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｖ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃｌ（Ｔｈ） Ａｐ＾Ｍ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ， ｗｅ ｈａｖｅ ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ａ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｔｈ ｉｎ Ｖ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｍ： ｗｅ ｃａｎ ｊｕｓｔ ｔａｋｅ Ｆ Ｆ＊Ｇ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ＡｐＧＡｐＧｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ＡｐＧ（Ａｐ￡（Ｍ））

—？

＝

＝

３．

ｉｄＭｏｄ（Ｔｈ，ｖ） ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ Ｍ ｉｎ Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ）； ｔｈａｔ Ｆ＊Ｇ ＾ Ｍ ｆｏｌｌｏｗｓ

＝

＝

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｔｏｏ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ

ｓｕｃｈ Ｆ

ａｒｅ

Ｆ＊Ｇ

＝

ＡｐＧ． Ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｎｏｔ ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ． Ｆｏｒ ｉｆ ｗｅ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ａｎｙ ｔｗｏ

ｇｉｖｅｎ ａｎｏｔｈｅｒ ｃｈｏｉｃｅ Ｆ， ｔｈｅｎ Ｆ＊Ｇ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ＡｐＧ ａｎｄ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｉｔｓ ｉｎｖｅｒｓｅ， ｗｅ ｇｅｔ

ａｒｅ

Ｆ＾Ｔ． Ｈｅｎｃｅ， ｕｓｉｎｇ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ＡｐＧ ａｎｄ ＡｐＧ，， ａｒｅ

ｍａｙ

Ｅｑ： Ｃｌ（Ｔｈ） Ｃｌ｛Ｔｈ）＇ ａｎｄ Ｅｑ＇１： Ｃｌ（Ｔｈ）＇ Ｃｌ（Ｔｈ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｅｑ＋Ｇ Ｇ＇ ａｎｄ Ｅｑ￣ｘＧ＇ Ｇ， ｇｉｖｉｎｇ ｏｎｅ

ｄｅｆｉｎｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｔｈｅｒｅ

ｗｅ

－＞

－＞

＝

＝

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ

Ｅｑ＾ｉＥｑ＾Ｇ））

（Ｅｑ＇１

ｏ

Ｅｑ）＊Ｇ

＝

（ｉｄｃｌ（Ｔｈ） ）＊Ｇ Ｇ； ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐａｒａｇｒａｐｈ ｗｅ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ Ｅｑ＇１ Ｅｑ ｉｄｃｉ（Ｔｈ）－ Ｉｔ ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ Ｅｑ Ｅｑ＇１ ｉｄｃｉ（Ｔｈ）＇ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． □ ａｎｄ

＝

ｏ

ｏ

＝

＝

Ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ３．８．３

Ｖ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ａｎ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｌ（ Ｔｈ）

—？

Ｔｈ ｉｎ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｖ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｔｈ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｉｎ Ｃｌ（ Ｔｈ） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ ｙｉｅｌｄｓ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ Ｔｈ ｂｙ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｍ， ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｔｈｉｓ ｍａｙ ｂｅ ｓｅｅｎ ｐｉｃｔｏｒｉａｌｌｙ ａｓ Ｔｈ

－

－Ｍ－

－．

Ｖ ｗｈｅｒｅ Ｆ＊Ｇ

＾

Ｍ．

Ｃｌ（Ｔｈ） Ｍｏｒｅｏｖｅｒ Ｆ ｉｓ

ｕｎｉｑｕｅ

ｕｐ ｔｏ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ＂ｓｍａｌｌｅｓｔ＂

ＰＲＯＯＦ

ａｓ

Ｉｔ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

ｔｈｅ

ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｃｌ（Ｔｈ）

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ

Ｅｘａｍｐｌｅ ３．８．４

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｇｉｖｅ

ａｎ

ｐｒｏｏｆ

ｅｘａｍｐｌｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ

ｗｅ

ｏｆ

ｏｆ

ａ

ａ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｉｓ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ．

□

３．８．２．

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｏｆ

ａｎ

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

３．８．

ａｎ

ｓｅｔｓ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｒｅｌａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ

Ｔｈｅ

Ｐ： Ｘ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｙ

ａｒｅ

１４１

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ＴＳＭＲ， ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄａｔａ．

ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔｓ Ｘ ａｎｄ ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｒ：Ｘ

Ｙ

—＞

ａｒｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒ， ａｎｄ Ｓ： Ｙ —？■ Ｚ， ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＳＲ： ＩｘＺ－＞Ｎ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｂｙ ＳＲ（ｘ， ｚ） ＝ｆ ￡ｙＧｙＰ（ｘ， ｙ）Ｓ（ｙ， ｚ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｍ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｎ Ｘ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｄｘ－ ＸｘＸ－＞Ｎ ｗｈｅｒｅ ｘ

—？

Ｎ． Ｔｈｅ

■

ｊ

，

ｎ

ｉｄｘ＼ｘ，ｘ）

ｄｅｆ

ｆ

１ ｉｆ

［

０ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ．

ｉ

＝

Ｘ

＝

ｘ＇

ｓｉｍｐｌｅ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＴＳＭＲ， ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ ０． Ｔｈｅ （ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ） ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ Ｐ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ ｏｆ Ｘ ａｎｄ Ｙ （ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｉｓ ｔｏ ｂｅ Ｘ ａｎｄ ｔｔ２： Ｐ ｙ （Ｘ ｘ ｛０｝） Ｕ （Ｙ ｘ ｛１｝）） ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｔｔｉ： Ｐ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ７Ｔｉ： Ｐ ｘ Ｘ Ｎ ａｎｄ ７ｒ２： Ｐ ｘ ｙ Ｎ ｗｈｅｒｅ Ｉｔ ｉｓ

－？■

－？？

—？

ｔｔＡｖ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｎｏｗ

＼

Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

＼

＇

ｄｉｓｊｏｉｎｔ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

Ｊｌｉｆｐ＝＾１）

ｎ２（ｐｙ） ｄ＝

０ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｗｒｉｔｅ Ｘ Ｗ ｙ ｆｏｒ ｔｈｅ

Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ ｔｈｅ ｐａｇｅ １３４．

ｆ１［ｉＰ＝（ｘｉ°）

ｘ） ｄ＝

—？

０ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

ｕｎｉｏｎ ｏｆ Ｘ ａｎｄ ｙ．

ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

ｍｏｎｏｉｄｓ，

ａｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ＴＳＭＲ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｙｐｅ

ａ

ｏｎ

ｉｓ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ［ａｊｃ ｛＊｝ ｏｆ ＴＳＭＲ， （ｔｈａｔ ｉｓ ａ ｏｎｅ ｐｏｉｎｔ ｓｅｔ）， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ＋ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［＋］ｇ： ｛＊｝ ｘ ｛＊｝ ｛＊｝ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ［＋Ｊｇ＊ （ｉ＊｝１＊１！＊｝） ｘ ｛＊｝ Ｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｗｉｔｈ ｖａｌｕｅ １． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｅ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［ｅ］Ｑ：０ ｛＊｝ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ０ｘ｛＊｝ ０—＞Ｎ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｉｍｐｌｙ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ＝

—？■

－＊

—？

＝

ｔｈｉｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

ａｓ ａ

ｍｏｎｏｉｄ ｉｓ

ｍｏｎｏｉｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＦＳＭＪｌ． Ａｓ

ｔｈｅｏｒｙ

ｓｈａｌｌ ｓｅｅ， ｔｈｉｓ

ｇｅｎｅｒｉｃ．

Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｖ ｂｅ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｗｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｍｏｎｏｉｄｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ａｎｄ Ｍ ａｎｙ ｍｏｄｅｌ ｉｎ Ｔ＞

ｎｏｗ

ｗｒｉｔｅ

（Ｍ， ＋， ｅ）

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ （［ａ］， ［＋］， ［ｅ］） ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｍｏｎｏｉｄｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ Ｍ． Ｉｔ ｉｓ ｈｏｐｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｏｖｅｒｌｏａｄｉｎｇ ｏｆ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｃｌａｒｉｆｙ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｃｏｎｆｕｓｅ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｄｅｔａｉｌｓ． Ｏｕｒ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ＡｐＧ ： ＴＶ｛ＴＳＭＨ，Ｖ）

—？

ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ； ｔｈｕｓ ｉｓ Ｃｌ（Ｔｈ） ｕｐ ｔｏ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｄｅｆｉｎｅ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ａｐ－￡：Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ）

－？

ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ） ｆｒｏｍ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．８．２， ＴＳＭＲ，

ＴＶ｛ＴＳＭＲ，，Ｖ）

１４２

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｗｈｅｒｅ Ｒ： Ｘ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

３．

Ｙ ｉｓ ａｎｙ

—＞

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｏｆ ＴＳＭＪＺ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

Ａｐ－￡（Ｍ）：ＴＳＭＨ＾Ｖ ｏｂｊｅｃｔ Ｘ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ａｐ＾（Ｍ．）（Ｘ） Ｔｌｘ ＸＭ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｍｅａｎｓ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｏｎｅ ｃｏｐｙ ｏｆ Ｍ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｘ ｏｆ Ｘ． Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ａｐ＾（Ｍ） ｏｎ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｒ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ａｐ＾（Ｍ）（Ｒ）： ＩＩｌ ｘＭ ＩＩｙ ｙＭ ｉｎ Ｖ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ， ｘ Ｍ ｗｅ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＋ｎ： Ｍ ｘ Ｍ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｎ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ Ｍ ｗｈｅｒｅ ＋ｎ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ Ｍ． Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ， ｔｈｅ ｙｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ＡｐＱ１（Ｍ）（Ｒ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｕｓｉｎｇ ＋： Ｍ ｘ Ｍ ｂｙ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｏｓｅ ａｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ

＝

—？■

—？■

．．．

—？

ＵｘｅＸＭ

（ｔｈａｔ ｉｓ ｉｒｙｏＡｐ＇＾＇（＇Ｍ）（Ｒ） ０ ｉｓ

＝

—

＋｜ｘ｜°０）

ＵｘｅＸＭ

＾ＨＬ

Ｍ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｘｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｎｘ

ｗｈｅｒｅ ７ｒｘ ｉｓ ｔｈｅ ａ；ｔｈ

—？■

Ｎ ｉｓ

ｎｆ ＞ｗ ＾３ａｉ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｕｘ

Ａｐ＾

ａ

Ａｐ＜２（ｈ）： Ａｐｑ－（Ｍ．）

ｗｅ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

—＊■

ＡｐＱ１（Ｎ）

ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ Ｎ ａ

ｘＭ． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ

ｔｈｅ

ｏｎ

ｈａｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

ＵｘｅＸＭ ｗｈｅｒｅ

ｍ

ｏｂｊｅｃｔｓ Ｍ ｏｆ Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ）． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ； ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｈ： Ｍ

＜＊－－＊■！

ＸＭ

ｆｉｎｉｔｅ

＝

［ｑ］ｎ－

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｗｅ

－＊

ＵＸ

ＸＮ

ｈａｖｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ ｔｈａｔ

Ａｐ＾（ｈ）

ｉｓ

Ａｐ＾（Ｍ） ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｅｘｅｒｃｉｓｅ． Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ３．８．５

（１） Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ ＴＳＭＲ， ｉｓ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

（２）

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

（３）

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

（４） Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

ａ

ＡｐＧ．

ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ＋ｎ－

Ａｐ＾（Ｍ）

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｔｈａｔ

Ａｐ＾（ｈ）

ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．

（５）

Ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．

Ｅｖｅｒｙ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｈａｓ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ）． Ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ Ｔｈ ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｉｔ ａｓ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．８．６

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

３．８．

ＰＲＯＯＦ

Ｔｈｅｎ ？

Ｔ

Ｗｅ

ｗｅ

ｂｅｇｉｎ

ｗｉｔｈ

（ｒ ｜ Ｍ）

ｄｅｆｉｎｅ

［ｘ＼： ａｉ，．．．， ｘｎ： ａｎ］

＝

ｇｉｖｅｎ

ｓｏｍｅ

ｔｏ ｂｅ

ｉｓ

１４３

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ

ａｎ

ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｌｅｔ ａｘ，．．．， ａｎ ａｎｄ

ａｎ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｐａｉｒｓ （ｒ， Ｍ） ｗｈｅｒｅ

ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

ａ

／？ ｂｅ ｆｉｘｅｄ ｔｙｐｅｓ．

ｔｙｐｅｓ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ Ｔ

ａｒｅ

ｔｈｅ

Ｔｈ

＞

ａｉ，．．．，ａｎ，

？

Ｍ ｉｓ

？

ｔｈｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｒ ｈ Ｍ

＝

Ｓｇ

ｔｅｒｍ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ａ ｒａｗ

Ｔ ｈ Ｍ：

＞

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｍ＇［ｘ／ｘ＇＼． ０

ｗｈｅｒｅ

ｘ ａｒｅ

（３，

ｂｙ （ｒ， Ｍ）

ａｎｄ

（Ｔ＇， Ｍ＇） ｊｕｓｔ

￣

ｉｎ

ｃａｓｅ

ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｎ Ｔ ａｎｄ ｘ＇ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｎ Ｔ＇．

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ） ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔｓ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ ｏｆ Ｔｈ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ａ ［ａｌ５．．． ，ａｎ］． Ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｉｔｈ ｓｏｕｒｃｅ ａ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ／？， ｗｈｅｒｅ ／？ ［／？ｉ，．．． ，／？ｍ］ ａｎｄ ｂｏｔｈ ａ ａｎｄ ０ ａｒｅ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｌｉｓｔｓ， ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈｅ

＝

＝

｛（Ｔ＼Ｍ１），．．．，（Ｔ＼Ｍｍ）｝：ａ＾ｐ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ

Ｓｕｃｈ

ａ

ａ

ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｔ ａｎｄ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（ｒ ｜ Ｍ） （ｔａｋｅ

ｌｉｓｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

Ｓｇ ｃａｒｅ

＞

Ｍｙ．ｆｉｊ ｆｏｒ １ ＜ ｊ ＜ ｍ． ｔｈｉｓ ａｂｂｒｅｖｉａｔｉｏｎ）． Ｗｅ

Ｔ ｈ

ｗｉｔｈ

ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｗｈａｔ

ｈａｐｐｅｎｓ ｉｆ ａ ｏｒ ／？ ｉｓ ｅｍｐｔｙ． Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ （［ｘｉ：ａｉ，．．．，ａ：ｎ：ａｎ］ ｜ ｘ） ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｎ ａ． Ｎｏｗ ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｒ ｜ Ｍ）：ａ （３ ａｎｄ （Ｉ＂ ｜ Ｎ）： （３ ７． （ｒ Ｉ ＡＴ） ｏ （ｒ Ｉ Ｍ）： ａ －＞ ７ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ［（ｒ ｜ ＾［Ｍ／ｙ］），．．．， （ｒ ｜ Ｎｔ［Ｍ／ｙ＼）］ ｗｈｅｒｅ ｙ ａｒｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｎ Ｔ＇． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｗｅ ｍｕｓｔ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ： ｔｈｅｓｅ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｌｅｆｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ） ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｌｉｓｔ ［ ］ ａｎｄ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｌｉｓｔ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎ． —？■

—＊

Ｔｈｅ ａ

ｉｓ

ａ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｐｕｔｔｉｎｇ ［ａ］ｏ ［＜＊］ ｗｈｅｒｅ （３ ｉｓ ａ （ｒ ｜ ｆ（ｘｉ，．．．， ｘｎ）） ｗｈｅｒｅ ／： ａｘ．．． ａｎ ［ｘｉ： ａｉ，．．．， ｘｎ： ａｎ］． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｄ ｂｙ

ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ）

ｔｙｐｅ ｏｆ Ｓｇ ａｎｄ

［／］ｇ

ｉｓ

＝

—？

＝

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｓｇ ａｎｄ Ｔ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＝

ＡｐＧ ： ＴＶ（Ｃｌ（Ｔｈ），Ｖ）

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｔｈｅ

Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ），

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ＜ｆ＞：Ｆ —＞Ｆ＇

ｉｓ

—？

ｈ＋

０？Ｇ： Ｆ＊Ｇ

—＞

Ｆ＇＾Ｇ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｆｏｒ ａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｖ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ａｐ＾ ｆｏｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｍ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｍ．ｏｄ｛ Ｔｈ， Ｖ）． Ｖ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ａｐ＾｝＂Ｍ．： Ｃｌ（Ｔｈ）

ａｎ

ｔｈｅ Ｗｅ

—＊■

（Ｔ＼Ｍ）：ａ—＞ （３

ｌ—－

Ｍｉ： Ａ］Ｍ，

（［ｒ

ｈ

ｉｆ

ｉｓ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

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／？ ：

ｎ＂［ａｊＭ

—＊

１

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？，

［ｒ

ｈ

Ｍｍ： ／？ｍ］Ｍ）： ＾［ａＪｍ

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ．

—＾

ｎ－［ｆｔ－］Ｍ

１４４

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａｐ＾Ｍ．

Ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｖｅｒｉｆｙ ｆｏｒｍａｌｌｙ ｔｈａｔ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

３．

ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｊｕｓｔ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ［ａ， ａ＇］ ｘ ［／？］； ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ａｎ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ． Ｓｅｔ Ｔ ［ｘ： ａ， ｘ＇＼ ａ＇， ｙ： ／？］， ａｎｄ ｓｏ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

＝

［（ｒ ｜ ｓ），（ｒ ｜ ＊＇）］：［＜＊，＜＊＇，／？］ Ｃｌ（Ｔｈ）．

ｉｎ

［｛Ｔ ｜ ｙ）］：［ａ，ａ＇，０］

［ａ， ａ＇］

—？

Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

（Ａｐ＾Ｍ（［（Ｔ ｜ ｘ），（Ｔ ｜ ｘｆ）］），Ａｐ＾Ｍ（［（Ｔ ＼ ｙ）｝）） Ａｐ＾Ｍｄ＾ａ＇＾｝） ｉｓ

ａｎ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

（Ａｐ＾Ｍ（［ａ，ａ＇｝）

—？

［ａ＇］Ｍ

ｘ

［／？］Ｍ

ｘ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｖ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ （ｉｒｐ， ｉｒ＇ｐ， ｐ＇） ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ａｎ

Ｍｍ

ｔ：

ｔｔ＇： ｐ：

：

Ａｐ＾Ｍ（［ｐ｝））

ｘ

Ｖ， ｔｈａｔ ｉｓ

ｉｎ

（（＾Ｗｍ．ｔＭｍＪ．＾ＩｓＩｍ） ： Ｍｍ ｉｓ

［／？］

—

Ｍｍ

ｘ

ｘ

Ｍｍ

（Ｍｍ

ｘ

Ｍｍ）

ｐ＇： （Ｍｍ

ｘ

－

Ｍｍ）

ｔｈｅ

Ｍｍ）

ｘ

ｗｉｔｈ ｉｎｖｅｒｓｅ

ｃａｓｅ

ｘ

［／３］Ｍ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

Ｍｍ

－？？

［ａ］Ｍ

（［ａ］Ｍ

—＞

ｘ

Ｍｍ ［ｆｉ＼Ｍ

ｘ

－

＼０＼ｍ

－

（［ａ］Ｍ

Ｍｍ）

ｘ

［ｆｌＭ

ｉｎ￡＞． Ｎｏｗ ｌｅｔ ／ｉ： Ｍ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

—？

Ｎ ｂｅ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ａｐ＾ｈ： Ａｐ＾Ｍ．

—？■

ｏｆ

Ｍｏｄ｛ Ｔｈ，Ｖ）．

Ａｐ＾Ｎ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ｄｅｆ

（Ａｐ￡ｈ）ｓ ａ＝ ｘＪｈａ＜ ： ＩＩ？Ｍｍ Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

Ａｐ＾ｈ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｒ ｜ Ｍ）： ａ

／？

—＞

ｉｎ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ

—？

ｎ？［＜＊］Ｎ．

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｔｈａｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ Ｃｌ（Ｔｈ）， ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｙ．ｎｈ ＊ １

ｘｒｖ

；ｔａｉ

ｎ？［ａＪＮ

（［ＴＩ－Ｍ１：ｊ９１］Ｎ，．．．，［ｒｉ－Ａｆｍ：ＡｎｌＮ）

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

［／？］

＼－

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｈ０ｏ＼Ｔ

ａ

ｂｅ ｔｈｅ

Ｍ：ａ］Ｍ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

＝

Ｓｇ

ｃａｓｅ

ｉｆ

ｇｉｖｅｎ

Ｍ：ａ］Ｎ

［Ｔ

ｈ

＞

Ｔ Ｖ－ Ｍ：ａ．

ｏ

ａｎｙ

ｎｒｉｆｔｌＮ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｒ ｜ Ｍ）：ａ

（ｘ？／ｉＱｉ）．

Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈｉｓ

—？

ｂｙ

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

３．８．

（Ｃａｓｅ

Ｔ ｈ Ｍ：

ｉｓ

ａ

ｉｓ Ｔ ｈ

ａ

［ｘｉｍ． ａ［，．．．， ｘｍ： ａ＇ｍ］，

ｘ：ａ）：

ａ， Ｖ ＼－

ｏ

ｔｔ［ｑ］ｎ

＝

（Ｃａｓｅ ｒ ｈ Ｍ：

Ｔ， ｘ：

Ｗｅ ｈａｖｅ

（ｘ？／ｉＱｉ） ｘｈａｘ （ｘ？／ｉＱ＞）． Ｓｕｐｐｏｓｅ

／（Ｍ）： ａ）：

ａｎｄ ｔｈａｔ

１４５

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ

ａｎ

ｈａｖｅ

ｗｅ

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ ｉｓ

ｔｅｒｍｓ Ｔ ｈ

Ｍ＊：

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａ＊． Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｆｙｏ［ｒｈ／（Ｍｉ，．．．，Ｍｎ）：ａ］Ｍ ＾ｏ ［／］ｍ

＝

＝

ｂｙ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

＝

＝

ｗｅ ｓｅｅ

Ｎｏｗ

ｗｅ

Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｃ，

（ｘＪ／Ｏ

［／］Ｎ

ｏ

（［Ｔ

ｈ

Ｍｉ］Ｎ

［／Ｉｎ

ｏ

（［Ｔ

ｈ

ＭＪＮ，．．．， ［Ｔ

ｏ

＝

？

？

？，

（ｘ？／ｉｑ＞），．．．， ［Ｔ

Ｍｎ］Ｎ）

ｈ

ｏ

［Ｔ

ｈ

Ｍｎ： ａｎ］Ｍ）

Ｍｎ］Ｎ

ｈ

ｏ

（ｘ？／ｉＱ，））

（ｘ－／ｉＱ，）

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｎｄ

ｉｄＭｏｄ（Ｔｈ，ｖ）

ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

７７：

ｉｄ＾ｖ（＾Ｃｉ（Ｔｈ），ｖ）

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｖ） ｓｕｃｈ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， ｗｅ ｈａｖｅ Ｎｏｗ，

ｃｍ－

—

Ａｐ＾ＡｐＱ．

ＡｐＧ（Ａｐ＾＇Ｍ）

—？

Ｍ ｗｈｉｃｈ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｖ． Ｂｕｔ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｏ

ＡｐＧ（ＡｐＧｌＭ）｛ｃｔ） ｓｏ ｗｅ ｃａｎ

ｏ

ｈ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ．

ａｒｅ

ａｎｄ

（［Ｔ

Ａｆｉ： ａＪＭ，

ｏ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｎａｔｕｒａｌ

ｗｅ

Ｍｉ： ａｉ］Ｍ，．．．， ［Ｔ ｈ Ａｆ？： ａ？］Ｍ）

ｈ

［／Ｉｎ

ＡｐＧｌ

ｔｈａｔ

ＡｐＧＡｐＧｌ

ｅ：

（［Ｔ

［ｒｈ／（Ｍ１，．．．，Ｍｎ）］Ｎｏ（ｘ－／ｉａ，）．

＝

Ｈｅｎｃｅ

ｏ

ｇｉｖｅ ＝

ｉｔｓ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

Ａｐ＾ｄａＪＧ）

＝

ａｔ

ａ

ｔｙｐｅ

ａ

ｏｆ Ｔｈ．

［ａ］Ｍ，

ｄｅｆｉｎｅ

（ ｍ）ｏ Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ７７，

ｗｅ

＂Ｚ［ａ］Ｍ： Ｍｍ

＝

ｈａｖｅ ｔｏ

－？？

Ｍｍ－

ｇｉｖｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

ｒｊＦ－．Ｆ＾Ａｐ＾ｉＡｐａｉＦ）） ｉｎ

ＴＶ｛Ｃｌ｛Ｔｈ），Ｖ）

ａｎｄ ｔｈｅｎ

Ｃｌ（Ｔｈ）．

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ Ｂｕｔ

ｗｅ

ｓｏ ｗｅ ｃａｎ

ａｒｉｓｉｎｇ ａｎｄ ７７

ｄｅｆｉｎｅ

＝

ｎａｔｕｒａｌ．

Ａｐｇ（ＦｍＧ）（ａ）

（ｒ）Ｆ）ｓ－ Ｆ（ａ）

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ

ａｒｅ

—？

ａ

Ｘ＞， ｏｆ

ｈａｖｅ

Ａｐｇ（ＡｐＧ（Ｆ））（ａ） ａｎｄ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃｌ（Ｔｈ） ｏｆ ｔｈｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｔ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｉｎｉｔｅ

ａ

—＊■

ＩＩ＂Ｆ［ａｉ］

ｆｉｎｉｔｅ

＝

ｎｊＦ［ａＪＧ

＝

ｎｊＦ［ａ＜］

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｅ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ

□

１４６

Ｃｈａｐｔｅｒ

３．

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈａｔ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．８．７

ｈａｖｅ

ｇｉｖｅｎ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ ｏｎｅ， ａｎｄ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｅｎ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ ｕｐ ｔｏ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．８．６ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ａｎ ｅｖｅｎ

ｗｅ

ｓｔｒｏｎｇｅｒ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｓｔａｔｅｄ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ３．８．３， ｎａｍｅｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｉｎ ｔｈａｔ ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｕｐ ｔｏ ｓｔｒｉｃｔ ｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｎｏｔ ｊｕｓｔ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｔａｔｅｄ ｆｏｒｍａｌｌｙ ａｓ ａ ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ｉｎ

ｔｏ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．８．６．

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ３．８．８ ａ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｔｈ ａｎｄ

（ｕｐ ｔｏ Ｃｌ｛ Ｔｈ）

ａ

ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ

ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ）

—＊■ Ｖ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｆ＊Ｇ ｕｎｉｑｕｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： ｗｈｅｒｅ Ｃｌ（Ｔｈ） ｉｓ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｔｈ．

ｄｅｆｉｎｅ Ｆ

ＡｐｇＭ—ｓｅｅ

＝

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ Ｆ＊Ｇ ａｎｄ Ｍ

ａｒｅ

Ｗｆ．ｇ ．

．

．

，

Ｏｔｎ

—？

（３

Ｕ＼ｆ．ｑ

ｉｓ

＝

＝

＝

＝

＝

＝

ａ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．８．６； ｗｅ ｓａｙ ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ ｔｈａｔ Ｆ ｉｓ ｇｉｖｅｎ

ｐａｇｅ １４３． Ｗｅ ｃｏｕｌｄ

ｂｙ ＂ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ［—］ｍ－＂

ｗｈｅｒｅ Ｔ

Ｍ，

Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｆ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

Ｐｒｏｏｆ

Ｉｆ／： Ｑ？ｌ，

＝

ａ

Ａｌｌ ｔｈａｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｉｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｉｄｅｎｔｉｃａｌ． Ｉｆ

Ｆ（Ｗｏ）

＝

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

＝

ｉｓ

ａ

ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ

＊＂（［？］）

＝

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｔｈ

ｗｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｍｍ－ ｈａｖｅ

Ｆ（Ｔ＼ｆ（ｘ））

ｌＴｈｆ（ｘ）：ｐ］Ｍ ａｉ］Ｍ，

［／］ｍ

ｏ

（［ｒ

［／１ｍ

°

（Ｔｌｊ－＇－ｊＴｎ）

ｈ ｘｉ．

？

？

？，

［ｒ

ｈ ｘｎ：

ａｎ］Ｍ）

［／］ｍ

［ｘｉ： Ｑｉ，．．．， ｘｎ： ａｎ）．

Ｔ＞ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｓｕｐｐｏｓｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ Ｆ＇：Ｃｌ｛Ｔｈ） Ｆ＾Ｇ Ｍ． Ｉｆ ａ ｉｓ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ）， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｉｎ ｆａｃｔ ａ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ） ￥ａ： Ｆａ Ｆ＇ａ ｇｉｖｅｎ ｂｙ —？

＝

—？■

Ｆａ

Ｉｔ ｉｓ

ａｎ

ｎａｔｕｒａｌ

＾ ｎｒ＾Ｍ

＝

ｎ？［ａｄｆ＊．Ｇ

＝

＾＾［０，］

ｓ

Ｆ＇ａ．

Ｆ＇ａ ｇｉｖｅ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ￥５： Ｆａ Ｆ＇ （ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［Ｃｌ（Ｔｈ），Ｔ＞］） ａｓ ａｓｓｅｒｔｅｄ． ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ

＝

＝

□

３．９．

Ｔｈｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

Ｔｈｅ

３．９

１４７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．９．１

ｓｈａｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ａｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｓｉｍｉｌａｒ ｃｏｎｃｅｐｔｓ． Ｆｉｒｓｔ， ｌｅｔ ｕｓ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ， ｉｎ ａ ｓｅｎｓｅ ｔｏ ｂｅ ｍａｄｅ ｐｒｅｃｉｓｅ， ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｆｏｒ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．９．２ ａ

ｗｅ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， Ｔｈ｛Ｃ）

ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ

Ｔｈ（Ｃ）

＝

ｐｒｏｄｕｃｔｓ，

ｗｅ ｃａｎ

（Ｓｇ（Ｃ），Ａｘ（Ｃ））． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，

ａｓｓｏｃｉａｔｅ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｉｎ Ｃ．

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ（Ｃ） ｈａｓ （ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ） ｔｙｐｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｒ－ ｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｔｙｐｅ Ａ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ， ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｋ： Ａ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｋ： １ Ａ ｏｆ Ｃ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｘ Ａｎ Ｂ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ＼ ｘ Ｂ ｏｆ Ｃ． ｓｙｍｂｏｌ ／： Ａ＼ｔ．．．， Ａｎ ＰＲＯＯＦ

Ｔｈｅ

—？

—？

—＊■

．．．

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ． Ｆｏｒ Ｃ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ｆ：Ａｘ Ｂ Ｃ （ｎ ｌ ａｎｄ Ａｘ Ａ ｘ Ｂ ａｂｏｖｅ） ａｎｄ ／： Ａ， ２？ ２ ａｎｄ Ｃ （ｎ ｆ：Ａｘ Ｂ Ｂ ａｂｏｖｅ） ｉｎ Ｓｇ（Ｃ）． Ｗｅ ｏｕｇｈｔ ｔｏ ｄｅｃｏｒａｔｅ ｔｈｅｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ａ ａｎｄ Ａｔ Ａｉ ｓｙｍｂｏｌｓ ｗｉｔｈ （ｓａｙ） ｓｕｂｓｃｒｉｐｔｓ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｅｍ， ｂｕｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｄｏ ｔｈｉｓ—ｗｉｔｈ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｃｏｍｍｏｎ ｓｅｎｓｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｒｕｎ ｉｎｔｏ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｎｏｔｅ： Ｅａｃｈ

—？

—＞

＝

＝

＝

＝

Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｉｎ Ｃ

—？

＝

ｏｂｖｉｏｕｓ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｆｏｒ

Ｓｇ｛Ｃ） Ａｘ（Ｃ）

Ａ， ［ｋ］ ｄ＝ ｋ ａｎｄ ［／Ｊ ｄ＝ ／． Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｖｅｒ Ｓｇ｛Ｃ） ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ Ｍ． Ｉｔ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ［Ａ］

ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｈｏｓｅ

ａｎ

＝

ｉｓ ｔｈｕｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ Ｍ ｉｓ

ａ

ｅａｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ

Ｔｈ（Ｃ）．

□

Ｃ ： Ｅｑ＇１ ｆｏｒ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｅｑ ： Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ）） ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｗｈｅｒｅ Ｅｑ ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．９．３

ｍｏｄｅｌ ｏｆ

￣

ａｎ

Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ）） ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｏ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ

Ｔｈ（Ｃ）

ｉｎＣ． Ｐｒｏｏｆ

Ｅｑ：Ｖ

—？

Ｗｒｉｔｅ Ｖ ｆｏｒ

Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ））．

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｃ， ｎａｍｅｌｙ

（ｒ｜Ｍ）：ａ—＋／？ ｆ ＜［Ｔ

ｈ

） ｉｆ （３

ｉｓ

Ｉ ！

：

ｉ—＊

Ｍｎ ＡＩｍ，

？

？

？，

［ｒ

ｈ

Ｍｍ： ＡＪＭ）： ｎ？［＜＊ｉ］Ｍ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

ＩＩ＂［ａｉｊＭ

—＊

１

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ．

—＞

Ｋ？［ＰｊＵ

１４８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｌｅｔ ｆ：Ａ

—？

Ｂ ｂｅ ａｎｙ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

３．

Ｅｑ ｌ：Ｃ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

—？■

Ｖ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｅｑ￣ｌ｛Ａ） ［Ａ］ ａｎｄ ￡？＿１（／） ｄ＝ （［ｘ：Ａ］ ＼ ｆ（ｘ））． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｉｄｃ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＥｑｏＥｑ＇１ ａｎｄ Ｅｑ－１ ｏ Ｅｑ ｉｄｘ＞． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ ｔｏ ｓｅｅ： ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｒｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｏｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ／ｚ： Ｅｑ￣ｌ ｏ Ｅｑ ｉｄｊ＞ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ａ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ＝

＝

＝

—？

［（ｘ： Ｕ＾Ａｉ ｜ ｔｔｉ（ｘ）），

．．．，

（ｘ： Ｕ＾Ａ ｜ ７ｒｎ（ｘ））］

：

ｏｂｊｅｃｔ ａ ［Ａ１？．．．， Ａｎ］ ｏｆ Ｘ＞， ｗｈｅｒｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ （ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｃａｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｆｏｒ ｈｉｍｓｅｌｆ ＝

７Ｔｆ：

ｌｉｓｔ）．

ａ

ｉｄ？

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

ａｔ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒｊ：

－＞

［Ａｉ，．．．， Ａｎ］

Ａ｛ ａｒｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ＩＩＪ Ａ＊ ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｉｆ ａ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ

ａｔ ａｎｙ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

［１１？＾］

—？■

—？■

．Ｅ＾－１

．Ｅ＾ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ｏ

ｉｔｓ

ｔｏ ｂｅ

Ｉ ｉｄｎ＾Ａｉ｛ｘｕ

．．．

＞ｘｎ））］ ： ［Ａｉ，．．． ，Ａｎ］

［１１？Ａ＊］

－＊

ＩＩ＂Ａｉ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｄｒｐ＾ｎｆＡｊ ｓｙｍｂｏｌ ｉｄｎｎＡ．：Ａｉ，．．． Ａｎ ＩＩ？ Ａ＊． Ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｌｅｍｍａ ２．５．３， ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｏｆ ／ｚ ａｎｄ ７７ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｉｒ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｖ． Ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｒｏｕｔｉｎｅ ｄｅｔａｉｌｓ， ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ ｏｎｅ ｐａｒｔ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

—？■

—＊

，

ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ， ｎａｍｅｌｙ ｔｈａｔ

Ｗｅ ｈａｖｅ Ｖｓ

°

Ｖｓ

Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｔｈ

＞

Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

＝

ａ

ｌ（ｘ： ＩＩ？Ａｉ Ｉ ｉｄｎ？Ａｉ （＊＂ｉ （ｘ），．．．， ７ｒｎ （ｘ）））］． ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｘ：Ｕ＂Ａｔ

ｉｎ

Ｖ，

ｗｅ

ｗｉｓｈ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

＼－ｉｄｎ？（ｎｉ（ｘ），．．．，＇Ｋｎ（ｘ）） ＝ｘ：ＴＪ％Ａｉ．

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ

ａｎ

ａｘｉｏｍ ｏｆ

ｌｘ：ＴＬ１｝Ａｉ）ｒｉｄｎｚＡｉ（＇Ｘｉ（ｘ），．．．，ｉｒｎ（ｘ））］

＝

＝

＝

ｗｈｅｒｅ ｏｆ

ｃｏｕｒｓｅ

［—］

Ｔｈ（Ｃ），

ｉｄｎ？Ａｉ

°

（＾ｉ，

？

？

？

，＊＂？）

ｉｄｕ＾Ａｉ ［ｘｉＵ＾ＡｉｈｘｉＩｌ＾Ａｉ］

ｒｅｆｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｆｏｒ

Ｓｇ（Ｃ）

ｉｎ Ｃ．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｌｏｇａｎ：

Ｗｅ

ｃａｎ

１—

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．９．３ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｂｅｃａｕｓｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｙｉｅｌｄ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｓｙｎｔａｘ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．

ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

□

Ｔｈｅ

３．９．

１４９

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ｛Ｃ） ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｉｓ ｌａｎｇｕａｇｅ ｉｓ ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ ｕｓｅｆｕｌ ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ａｌｌｏｗｓ ｕｓ ｔｏ ｒｅａｓｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ａｓ ｔｈｏｕｇｈ ｉｔ ｗｅｒｅ ｔｈｅ Ｂ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ／： Ａ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｘ：Ａ＼－ ｆ（ｘ）： Ｂ ｉｎ Ｔｈ（Ｃ）． Ｗｅ ｃａｎ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｘ ａｓ ａｎ ＂ｅｌｅｍｅｎｔ＂ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ Ａ ａｎｄ ｆ（ｘ） ａｓ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＂ｆｕｎｃｔｉｏｎ＂ ／ ｏｎ ｘ． Ｔｈｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｌｌｏｗｓ ｕｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｆａｃｔｓ ａｂｏｕｔ Ｃ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｇｆ ｉｎ Ｃ ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｌａｎｇｕａｇｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｈ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｘ＼Ａ ｈ ｇ（ｆ（ｘ）） ｈ（ｘ）：Ｂ ｉｎ Ｔｈ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｇｉｖｅｓ ｈ＝［ｘ：Ａ＼－ ｈ（ｘ）： Ｂ］Ｇ ［ｘ： Ａ ｈ ｇ（ｆ（ｘ））： Ｂ］Ｇ ｇｆ． Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ３．９．４

—＊■

＝

＝

＝

＝

ｐｅｒｆｏｒｍ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｔｈａｎ ａｒｇｕｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙ． Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｅｒｉｖｅｄ ｓｙｎｔａｘ ｉｎ Ｔｈ（Ｃ） ｆｏｒ ＂ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ．＂ Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ

Ｉｔ ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ ｂｅ ｅａｓｉｅｒ ｔｏ

Ｆｓｔ

ｄ＝

ｔｔ．ＡｘＢ＾Ａ

Ｓｎｄ

ｄ＝

ｔｔ＇．ＡｘＢ＾Ｂ

（－，＋）

＆

ｉｄＡｘＢ：Ａ，Ｂ＾ＡｘＢ

ａｎｄ ａｘｉｏｍｓ

Ｓｏ

ｗｅ ｃａｎ

ｘ：Ａ，ｙ：Ｂ

ｈ

Ｆｓｔ（（ｘ，ｙ））

ｘ：Ａ，ｙ：Ｂ

ｈ

Ｓｎｄ（（ｘ，ｙ））

ｚ．ＡｘＢ

ｈ

（Ｆｓｔ（ｚ），Ｓｎｄ（ｚ））

ｔｏ

ｘ：Ａ

ｙ：Ｂ

＝

ｌａｎｇｕａｇｅ

ｓａｙ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ

ｐｒｏｖａｂｌｙ ｅｑｕａｌ

＝

＝

ｚ：Ａｘ Ｂ．

Ｃ， ｔｈｅ ＂ｅｌｅｍｅｎｔｓ＂ ｏｆ Ａｘ Ｂ

ｏｆ

ａｒｅ

ｐａｉｒｓ ｏｆ ＂ｅｌｅｍｅｎｔｓ＂ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ．

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｈｕｓ ｆａｒ ｕｎａｎｓｗｅｒｅｄ ｉｓ ＂ｗｈａｔ ｍｉｇｈｔ ａ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｂｅ？＂ Ａｎｏｔｈｅｒ ｗａｙ ｏｆ ａｓｋｉｎｇ ｔｈｉｓ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｔｏ ｉｎｑｕｉｒｅ ｈｏｗ ｗｅ ｍａｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｏｎｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａｎｏｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｔ ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ， Ｔ： Ｔｈ —＊■ Ｔｈ＇， ｔｏ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｔ： Ｃｌ（Ｔｈ） Ｃｌ（Ｔｈ＇）． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．９．５

Ａｎ

—？

ＡｐＧ ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｏ

：

ＦＶ（Ｃｌ（Ｔｈ）， Ｃｌ（Ｔｈ＇））

ｓｐｅｃｉｆｙ

ｌｏｏｋ ａｔ ｗｈａｔ ｄａｔａ

ａｒｅ

￣

Ｔ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

ｇｉｖｉｎｇ

ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ

ｓｕｃｈ

ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ

ａ

ｇｉｖｅ

ｏｆ Ｔｈ

ｗｅ

Ｍｏｄ（Ｔｈ， Ｃｌ（Ｔｈ＇））

ａ

ｈａｖｅ ｔｏ

ａ

ｍｏｄｅｌ Ｔ： Ｔｈ

—？

Ｃｌ（Ｔｈ＇）．

ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｓｕｍｍａｒｉｓｅ

ｇｉｖｅ

ａｎ

Ｗｅ ｏｕｒ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃｌ（ Ｔｈ＇）， ｗｈｉｃｈ

１５０

ｉｓ

ａ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｌｉｓｔ

［ａ］ｘ

ｏｔ！ ｏｆ

＝

３．

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｙｐｅｓ ｏｆ Ｔｈ＇． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｆ：ｃｔ＼，．．．，ａｎ

—＞

／３

ｘ ｇｉｖｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［／］ｔ－ ［ｇ＊ｉ］ｔ ｘ ［＾Ｊｔ —＊ １／３］ ｔ－ Ｉｆ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ［ａ［，．．． ，ａ＇ｎ］ ａｎｄ ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ ｂｙ （３， ｔｈｅｎ ｗｒｉｔｉｎｇ Ｖ （Ｔ＇ ｜ Ｎ） ｗｉｌｌ ［ｘ［：ａ＇１，．．．，ｘ，ｎ：ａ，ｎ］ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［／］ｘ Ｖ ｈ Ｎｙ．ｆｉｊ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｂｅ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ， ｓａｙ Ｓｇ＇ ＞ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｄａｔａ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｍｏｄｅｌ Ｔ， ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ Ｔｈ ｍｕｓｔ ｂｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ． Ｉｆ

ｏｆ

７％，

ｈａｖｅ ｔｏ

ｗｅ

？

？

？

＝

＝

Ｍ＇－．ｏｌ

（ｗｈｅｒｅ Ｔｈ （Ｓｇ，Ａｘ）） ｔｈｅｎ ｗｅ ｍｕｓｔ ａｓｋ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｑｕａｌｉｔｙ ［ｒ ｈ Ｍ： ａ］ｘ ［ｒ ｈ Ｍ＇： ａ］ｘ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ＇）． Ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ ［ｒ］ｘ ［７１，．．． ，７＾］ ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｅａｃｈ ＾ ｉｓ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ｂ￣－ Ｗｒｉｔｉｎｇ Ｖ ｔｙｐｅｓ ｆｒｏｍ Ｓｇ＇， ａｎｄ ａｌｓｏ ［ａ］ｘ ［ｘ｛：＇ｙｉ，．．． ，ｘ＾：％］ ｗｅ ｗｉｌｌ Ａｘ

＞

ｒ ｈ Ｍ

＝

＝

＝

＝

＝

＝

ｈａｖｅ

ｉｒ＼－Ｍ：ａ］Ｔ ［ｒｈＭ＇：ａ］Ｔ ｆｏｒ

ｓｏｍｅ ｒａｗ

Ｎｊ

ａｎｄ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｉＶｊ）．

ｔｅｒｍｓ

（ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ Ｔｈ＇

ｍｕｓｔ ｈａｖｅ

ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ ｉｎｔｏ

Ｖ ｈ

＞ ａ

Ｉｎ ｓｕｍｍａｒｙ，

Ｎｊ

ｌ（ｒ＇＼Ｎ１），．．．，（ｒ＼Ｎｍ）｝

＝

＝

［（ｒ＇｜Ａｒｏ，．．．，（ｒ＇｜ｉｖ；）］

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

Ｓｇ＇

＞

Ｖ ｈ

Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ｎｊ

＝

Ａ／＂ｊ：＾

Ｎｊｉ ６ｊ

ｆｏｒ ｅａｃｈ １ ＜ ｊ ＜

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｊ．

ｉｎ

ＣＺ（ＴＺｉ＇），

ｍ

ｗｅ

Ｓｏ ｅａｃｈ ａｘｉｏｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｓ

ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｎ Ｔｈ＇．

ａ

Ｔｈ＇ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ｌｉｓｔ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔｈ＇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ Ｔ： Ｔｈ

ｏｆ Ｔｈ＇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ ｏｆ

Ｔｈ， ａｎｄ

ａ

—＊■

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｔｈ， ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｗａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ［—］ｘ （ａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｒａｎｓｐｏｒｔｓ ｅａｃｈ ａｘｉｏｍ ｏｆ Ｔｈ ｔｏ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｔｈ＇．

ａｂｏｖｅ）

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ， ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ Ｔｈ Ｔｈ＇， ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃｌ（Ｔｈ） Ｃｌ（ Ｔｈ＇）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｇｉｖｉｎｇ ｒｉｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｉｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ． Ｉｎ ｆａｃｔ： Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｔｈ ａｎｄ Ｔｈ＇

￣

ａｒｅ

￣

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．９．６

ＰＲＯＯＦ

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

Ａ ｒｏｕｔｉｎｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．９．７

Ｔｈ

ｗｅ

ｈａｖｅ Ｔｈ

￣

Ｔｈ（Ｃｌ（Ｔｈ））． □

ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． ｓｅｅｎ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｇｉｖｅｎ

ｔｏ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｓ ｓｏｕｎｄ， ｍｅａｎｉｎｇ ｔｈａｔ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ． Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｓｅ ｎｏｔｉｏｎ ｔｏ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｆ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ Ｅ ｏｆ Ｔｈ ｉｓ ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｆｏｒ ａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， Ｅ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ａｌｌ ｍｏｄｅｌｓ Ｍ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．９．８

ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｂｏｔｈ ｓｏｕｎｄ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅ．

Ｔｈｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｉｓ

３．１０．

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

１５１

ｐｒｏｖｅｄ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．６．４． Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ｌｅｔ Ｔ ｈ Ｍ Ｍ＇：ａ ｂｅ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ． Ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ａｌｌ ｍｏｄｅｌｓ， ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｉｔ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｏｎｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｔｈａｔ ［ｒ ｈ Ｍ： ａ］ｏ （ｒ ｜ Ｍ） ｆｏｒ ａｎｙ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ： ａ， ａｎｄ ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ＰＲＯＯＦ

Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ

ｗａｓ

＝

＝

（Ｖ Ｉ Ｍ）

（ｒ ｜ Ｍ＇）．

＝

Ｈｅｎｃｅ Ｔｈ

Ｔ ｈ Ｍ

＞

＝

Ｍ＇＼

ａ ａｓ

□

ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

３．１０

（１） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｔｈ ｉｓ ａｎｙ

ｉｓ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ＇

ｗｈｉｃｈ

Ｔｈ， ｂｕｔ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｒｕｌｅ

（ Ｔｈ

＞

ｘｉ＇．ｏｔｉ，．．． ，ｘｎ：ａｎ ｈ Ｎ

＞

Ｔｌ－Ｍｉ

Ｎ＇：ｐ

＝

＜

｛

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｌｓｏ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｔｈ

Ｔｈ

＝

Ｍ［：ａ１ Ｔ ｈ

＞

Ｔｈ

．．．

Ｎ［Ｍ／ｘ＼

＝

＞

Ｔ ｈ

Ｍｎ

＝

Ｍ＇ｎ：ａｎ

Ｎ＇［Ｍ＇／ｘ＼：（５

ｒｅｐｌａｃｅｓ ｔｈｅ ｒｕｌｅ Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３．２． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ Ｔｈ ａｎｄ Ｔｈ＇ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ． Ｗａｒｎｉｎｇ： ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｃａｒｅ．

（２）

Ｐｒｏｄｕｃｅ

ｇｉｖｅｎ

ａｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ，

Ｔｈ ｓａｙ， ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｔｙｐｅｓ ａ，

／？，

ｐ，

ｒ

ａｎｙ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ，

［ｃｋＪｍ

ｘ

［／２］ｍ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎ Ｃ ａｎｄ

Ｔｈ ｄｏｅｓ ｉｎｄｅｅｄ

ｓａｔｉｓｆｙ

ｔｈｅｓｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． ｉｓ

ｔｏ

［ｐ］ｍ－

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

［ｔ］ｍ

ｉｓ

ａ

Ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ

（３） Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｍｏｎｏｉｄｓ （ｓｅｅ ｐａｇｅ １３４） ａｎｄ Ｔｈ＇ ｂｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｍｏｎｏｉｄｓ； ｓｏ Ｔｈ＇ ｉｓ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ Ｔｈ ｂｕｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｔｈｅ ａｘｉｏｍ ｘ：

ａ， ｙ：

ａ

ｈ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ，

ｘ

＋ ｙ

＝

ｙ ＋

ｘ： ａ．

ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａｎ

ｆＡｏｄ（ Ｔｈ＇， Ｓｅｔ）

ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｍｏｄ｛Ｔｈ＇，Ｍｏｄ｛Ｔｈ＇，Ｓｅｔ））＾Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｓｅｔ）． （４）

Ｌｅｔ ＴＳＭＲ， ｂｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｔｈ ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｍｏｎｏｉｄｓ． Ｌｅｔ Ｍ ｂｅ ａｎｄ ｗｒｉｔｅ

｛Ｍｇｅｎ， ＋ｇｅｎ， ｅｇｅｎ）

Ｅｘａｍｐｌｅ

３．８．４．

（ａ）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｏｆ ＴＳＭＪＺ ｔｏ Ｘ

＝＞

ａ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ

Ｓｅｔ，

ｓａｙ

（Ｍ， ＋，ｅ），

ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ＴＳＭＲ．—ｓｅｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： ＴＳＭＲ，

—？

Ｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｍ， ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ Ｘ ｔｏ （ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｏｆ） Ｍ， ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｒ： Ｘ ＦＲ： （Ｘ＾Ｍ）＾（Ｙ＾－ Ｍ） ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

—？

Ｘ ｓｅｔ

Ｙ ｏｆ ＴＳＡＵＺ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ＦＲ（ｆ）（ｙ）ｄ＾ｉ：ｘｅＸＲ（ｘ，ｙ）ｆ（ｘ）

Ｃｈａｐｔｅｒ ３．

１５２

ｗｈｅｒｅ ＳｘＧｘ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ

Ｒ（ｘ， ｙ） ｆ（ｘ） （ｂ）

ｉｓ ｔｈｅ

ａ

ｓｕｍ

ｏｆ

ｓｕｍ

＝

ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ

ｆ（ｘ） （ｉｎ Ｍ） Ｒ（ｘ， ｙ）

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

（ｃ） Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｆ（Ｍｇｅｎ）

（ｄ）

ｆｉｎｉｔｅ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｒ（ｘ， ｙ） ｆ（ｘ）

ｉｎ Ｍ ａｎｄ

ｔｉｍｅｓ．

ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

Ｍ ｉｎ Ｓｅｔ．

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

Ｆ（Ｍｇｅｎ

ｘ

Ｍｇｅｎ）

—－

Ｆ（Ｍｇｅｎ）

ｘ

Ｆ（Ｍｇｅｎ）

—－

Ｍ

ｘ

Ｍ ＋

Ｆ

＼￣Ｔ￣ｇｅｎ）＼ Ｍ

ｙ

Ｆ（Ｍｇｅｎ） ａｎｄ

Ｆ（０） Ｆ

＼ｅｇｅｎ）

Ｆ（Ｍｇｍ） ａｒｅ

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

Ｔｈ ｉｎ ＴＳＭＲ．

（５） Ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｄｉａｇｒａｍｓ

—

ｉｎ Ｓｅｔ． Ｔｈｕｓ Ｆ

Ｍ

ｔｒａｎｓｐｏｒｔｓ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ

ｔｏ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｓｅｔ—ｓｅｅ

ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ

３．９．３． Ｉｎ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ

３．８．３．

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ ＼ｉ ａｎｄ ７７

ａｒｅ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．

３．１１

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

Ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｅａｒｌｙ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｉｄｅａｓ ｂｅｈｉｎｄ ｔｈｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ＂ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ［Ｃｈｕ４０］． Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ａｒｉｔｙ ａｎｄ ｓｏｒｔｉｎｇ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｇｏ ｂａｃｋ ｔｏ Ｆｒｅｇｅ ［Ｆｒｅ６７］． Ｆｏｒ ａｎ ｕｐ－ｔｏ－ｄａｔｅ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｂｏｔｈ ｐｒｏｏｆ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｓｅｅ ［Ｇｉｒ８９］． Ａ ｇｏｏｄ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｌｏｇｉｃ， ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｓ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｆｏｒｍａｌ ｌｏｇｉｃ ａｎｄ （ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ） ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ［Ｊｏｈ８７］—ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｓｏｒｔｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃｈａｐｔｅｒ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ［Ｌａｗ６３］． Ａｎ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｆｒｏｍ ａ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｍｏｒｅ ＂ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ＂ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ＂ｌｏｇｉｃａｌ＂ ｖｉｅｗｐｏｉｎｔ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ［Ｍａｎ７６］． Ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ａ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ ｉｓ ｄｕｅ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｔｏ Ｐｅｒ Ｍａｒｔｉｎ－Ｌ６ｆ—ｓｅｅ ｔｈｅ ｐａｐｅｒｓ

［ＭＬ］

ａｎｄ

［ＭＬ８４］． Ａｌｔｈｏｕｇｈ

ｎｏｎｅ

［ＭＬ７１］， ［ＭＬ７２］，

ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｐａｐｅｒｓ ｃｏｎｔａｉｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ

３．１１．

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

１５３

ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅｙ ｄｏ ｃｏｖｅｒ ｍａｎｙ ｍｏｒｅ ｔｙｐｅ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｎ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂ Ａｎ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ［ＮＰＳ９０］． Ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｉｓ ｉｎ ｐａｒｔ ａ ｐｏｌｉｓｈｅｄ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｎｙ ｗｏｒｋｓ ｏｆ Ｍａｒｔｉｎ－Ｌ６ｆ （ａｍｏｎｇｓｔ ｏｔｈｅｒｓ）． Ａ ｎｉｃｅ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｃａｔｅ ｌｏｇｉｃ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ［ｖＤ８９］． Ｗｈｉｌｅ ｎｏｔ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔ ｒｅｌｅｖａｎｃｅ ｔｏ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｐｒｅｄｉｃａｔｅ ｌｏｇｉｃ ｓｏｏｎ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｍｏｒｅ ａｄｖａｎｃｅｄ ｗｏｒｋ ｗｈｉｃｈ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． ｍｏｄｅｌ

４ ４Ａ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．１．１

Ｏｕｒ ｔａｓｋ

ｄｅｖｅｌｏｐ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｆｏｒ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＂ｓｉｍｐｌｙ ｔｙｐｅｄ Ａ－ ｃａｌｃｕｌｕｓ．＂ Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｈｅｌｐｆｕｌ ｉｆ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｈａｓ ａ ｎｏｄｄｉｎｇ ａｃｑｕａｉｎｔａｎｃｅ ｗｉｔｈ ｓｉｍｐｌｙ ｔｙｐｅｄ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ， ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｃｒｕｃｉａｌ． Ｌｅｔ ｕｓ ｒｅｖｉｅｗ ｉｎ ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｆａｓｈｉｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ． Ｏｒｉｇｉｎａｌｌｙ， ｔｈｅ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｆｒｏｍ ａｔｔｅｍｐｔｓ ｔｏ ｐｒｏｄｕｃｅ ａ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． （Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｓｐｅａｋｉｎｇ， ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｗｏｒｋ ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｅａ ｗａｓ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ ｗｉｔｈ （ａ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ｆｏｒｍ ｏｆ） ａ ｓｙｓｔｅｍ ｎｏｗ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｔｈｅ ｕｎｔｙｐｅｄ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ， ｂｕｔ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｔ ｗｏｒｒｙ ａｂｏｕｔ ｓｕｃｈ ｄｅｔａｉｌｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｖｅｒｙ ｓｕｐｅｒｆｉｃｉａｌ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ）． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｓｕｃｈ ａｓ ｘ ＋ ｙ． Ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｉｓ ａｓ ｂｅｉｎｇ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｘ ｉ—？ ｘ ＋ ｙ （ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｙ ｉｓ ｃｏｎｓｔａｎｔ）， ｏｒ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｙ ＼－＊ ｘ ＋ ｙ （ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｘ ｉｓ ｈｅｌｄ ｃｏｎｓｔａｎｔ）． Ｉｎ ｄａｙ ｔｏ ｄａｙ ｗｏｒｋｉｎｇ ｌｉｆｅ， ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｓｕｃｈ ｎｉｃｅｔｉｅｓ ｓｉｍｐｌｙ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａｄ ｈｏｃ ｎｏｔａｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｌｅｔｔｉｎｇ ａ ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｌｌｏｗ ａｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｗｈａｔ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｍｅａｎｓ ｂｙ ｈｉｓ ａｄ ｈｏｃ ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｐｒｅｓｅｎｔ ｄａｙ ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｑｕｉｔｅ ａｓ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ａｓ ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｒｅａｄｅｒ， ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ｐｒｅｃｉｓｅ ｎｏｔａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｙｎｔａｘ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｐｒｏｇｒａｍ ｕｐ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ ｉｓ ａ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ ｆｏｒ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｉｎ ｔｈｅ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ／ ａｎｄ ｇ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ ／

＝

Ｘｘ．ｘ ＋ ｙ

ｎｏｗ

ｉｓ ｔｏ

ａｎｄ

ｇ

＝

Ｘｙ．ｘ

＋ ｙ．

ｓｙｍｂｏｌ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒｓ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ Ａ ａｎｄ ｂｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｄｏｔ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｂｉｎｄｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ， ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｄｏｔ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ＂ｓｌｏｔｓ＂ ｉｎｔｏ ｗｈｉｃｈ ｖａｌｕｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｐｌｕｇｇｅｄ． Ｔｈｕｓ ＂Ａ－ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ＂ ｓｕｃｈ ａｓ ／ ａｎｄ ｇ ｃａｎ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅ ａｎ ｉｎｐｕｔ， ｐｏｐ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ ｉｎｔｏ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｏｔ， ａｎｄ ｐｒｏｄｕｃｅ ａ ｒｅｓｕｌｔ； ｔｈｅ ｂｉｎｄｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｂｏｕｎｄ ａｎｄ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉｎｄｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｄｏｔ ａｒｅ ａｌｓｏ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｂｏｕｎｄ． Ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ Ｘｘ ａｓ ａｎ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｓａｙ ｔｈａｔ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉｎｄｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｄｏｔ ａｒｅ ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ｘｘ． Ｓｏ， ｉｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｎ ｉｎｐｕｔ ３， ｗｅ ｗｒｉｔｅ ３ ＋ ｙ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ． Ｗｈａｔ ａｂｏｕｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ？ （Ｘｘ．ｘ ＋ ｙ）（３） Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ａ Ａ－ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｂｏｒｎｅ ｉｎ ｍｉｎｄ， ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｅｘｐｅｃｔ Ｔｈｅ

＝

ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

（ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ） （Ｘｘ．ｘ

＋

ｙ）［４／ｙ］

＝

Ｘｘ．ｘ ＋ ４． Ｎｏｗ ｌｅｔ

ｕｓ

ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ

４．１．

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

ｈ

（Ｘｘ．ｘ ＋ ｙ）［ｘ ＋ ４／ｙ］．

＝

１５５

ｗｈｉｃｈ ａｄｄｓ ｙ ｔｏ ｉｔｓ ｘ

＋ ４ ｔｏ ｉｔｓ

Ｔｈｅ ｉｎｔｅｎｄｅｄ

ｉｎｐｕｔ；＂

ｉｎｐｕｔ．＂ Ｙｅｔ ｉｆ

ｓｏ ｗｅ

ｗｅ

ｐｕｔ

ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ Ｘｘ．ｘ ＋ ｙ ｉｓ ＂ｉｔ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｏｕｌｄ ｈｏｐｅ ｔｈａｔ ｈ ＂ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ａｄｄｓ

（Ｘｘ．ｘ ＋ ｙ）［ｘ ＋ ４／ｙ］

＝

Ａｚ．ｒｒ ＋

（＃ ＋ ４）

ｗｅ

ｇｅｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ＂ｄｏｕｂｌｅｓ ｉｔｓ ｉｎｐｕｔ ａｎｄ ａｄｄｓ ４．＂ Ｔｈｅ

ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｉｓｅｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ ｘ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｂｅｉｎｇ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ； ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ ｘ ｉｎ ｘ ＋ ４ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ｘｘ， ｍｅａｎｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ ｘ ｉｎ ｘ ＋ ４ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ｂｏｕｎｄ （ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ Ｘｘ．ｘ ＋ （ｘ ＋ ４））． Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎ ｓｕｃｈ ｃａｓｅｓ ｉｓ ｔｏ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｂｉｎｄｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ ｔｏ ｏｎｅ ｗｈｉｃｈ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｍａｋｅｓ ｓｅｎｓｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｓｕｃｈ ａ ｂｉｎｄｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ ｉｓ ｊｕｓｔ ｄｅｎｏｔｉｎｇ ｓｏｍｅ ＂ｓｌｏｔｓ＂ ａｎｄ ｃｌｅａｒｌｙ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｌｏｔｓ ｃａｎ ｂｅ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｂｙ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｙｍｂｏｌ． Ｔｈｕｓ ａ

（Ｘｘ．ｘ ｗｈｅｒｅ

＋

ｙ）［ｘ

＋

４／ｙ］

＝

（Ｘｚ．ｚ ＋ ｙ）［ｘ

＋

４／ｙ］

＝

Ｘｚ．ｚ ＋

（ｘ ＋ ４）

Ｐｅｒｈａｐｓ ｓｕｒｐｒｉｓｉｎｇｌｙ， ｔｈｅｓｅ ｉｄｅａｓ ａｒｅ ｍｏｒｅ ｏｒ ｌｅｓｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ； ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｂａｓｉｃ ｓｙｎｔａｘ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ， ｓｏｍｅ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｍａｙ ｗａｎｔ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｍｂｏｌ Ａ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｗｈｉｃｈ ｐａｒｔｓ ｏｆ ａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ｉｎｐｕｔｓ， ｔｈｕｓ ｇｉｖｉｎｇ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｏｕｒ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ ａｎｄ ｎｏｗ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｇｉｖｅ ａ ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ４． ２

ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｎｏｔ ｔｏ ａｐｐｅａｒ ｉｎ

ｘ

＋ ４．

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ａ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｇｉｖｅｎ ａｂｏｖｅ． Ｔｈｅ ｗｏｒｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｊｕｓｔ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｓｕｃｈ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｌｌ ｓｕｂｓｕｍｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｂｕｉｌｔ ｆｒｏｍ ａ ｇｉｖｅｎ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｔｙｐｅｓ， ａｎｄ ｗｉｌｌ ｉｎｃｌｕｄｅ ａ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｗｅ

＂ｐａｉｒｓ ｏｆ ｖａｌｕｅｓ＂

ｔｙｐｅ．＂

ａｓ

ｗｅｌｌ

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｆｏｌｌｏｗｅｄ

ｓｈａｌｌ ｃａｌｌ

ａｓ

ｂｙ

ａ

ｔｙｐｅ ｏｆ ＂ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｎｅ

ｔｙｐｅ

ｔｏ ａｎｏｔｈｅｒ

ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｓａｍｅ ａｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ｂｕｔ ａｎ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｍｕｃｈ ｔｈｅ ｎｏｗ ｗｅ ａｒｅ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｒｉｃｈｅｒ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｔｅｒｍｓ （ｏｒ ｐｒｏｇｒａｍｓ）． Ｎｅｘｔ， ｗｅ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｂａｓｉｃ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｗａｙ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ． Ａｓ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｔｅｒｍｓ ａｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｎｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ａｎｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ—ｒｅｃａｌｌ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．４． Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｉｓ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｍｕｓｔ ｈｏｌｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｉｆ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ａｎｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｕｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｓｏｕｎｄｌｙ； ａｎｄ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ａ ｍｉｎｉｍａｌ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ａ

１５６

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｉｎ

ａ

ｓｏｕｎｄ ｗａｙ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｔ ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ

ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎ ａｎｄ

ａ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｗｅ ｃａｎ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ａｘ－

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｕｃｈ

ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｗｅ ｍｏｖｅ ｏｎ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｊｕｓｔ ａｓ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｗｅ ｎｏｗ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ｆｒｏｍ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ａｎｄ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ（Ｃ） ｆｒｏｍ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ ｉｎ ａ ｐｒｅｃｉｓｅ ｗａｙ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ， ａｎｄ ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｉｔ ｗｉｌｌ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｂｏｔｈ ｓｏｕｎｄ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｔｈｅ ｃｈａｐｔｅｒ ｆｉｎｉｓｈｅｓ ｗｉｔｈ ａｎ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｃａｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｕｓｅｓ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ｉｔｓ ｏｗｎ ｔｈｅｏｒｙ

ａ

ａ

ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ， ａｎｄ ｈａｓ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｗｎ

ａｘｉｏｍｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｑｕｅｓｔｉｏｎ， ｎａｍｅｌｙ

ｉｓ

ａ

ｇｉｖｅｎ

ｔｅｒｍ

ａｓ

ｉｔｓ

ｏｆ ｔｈｅ

Ａｘ －ｔｈｅｏｒｙ

ｐｒｏｖａｂｌｙ ｅｑｕａｌ ｔｏ ａ ｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ？ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｂｏｕｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ， ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ， ａｎｄ ｔｈａｔ ａ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ （ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｇｉｖｅ） ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｑｕｅｓｔｉｏｎ．

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｙｎｔａｘ

４－２

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．２．１ ｔｙｐｅ

ａ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｆｏｒ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｄａｔａ ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｂｕｉｌｄ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｔｅｒｍｓ．

Ａ Ａｘ －ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， ？

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ

Ｓｇ， ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄａｔａ：

ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ．

Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ｉｓ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ ＢＮＦ

ｇｒａｍｍａｒ ａ

ｗｈｅｒｅ ７ ｉｓ ａｎｙ

ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ．

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅ．

？

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｎｕｍｂｅｒ

：：＝

ｕｎｉｔ

｜

７

Ｗｅ ｃａｌｌ

ｓｙｍｂｏｌｓ

｜

ａ ｘ ａ

ａ ｘ

（５

ａ

＼

ａ ＝＞

ａ，

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅ

ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

ａｎ

ａｎｄ

ａｒｉｔｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ａ

ａ ＝￥＞

（３

ｎａｔｕｒａｌ

（ｐｏｓｓｉｂｌｙ ０）．

ｓｏｒｔｉｎｇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ／， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｌｉｓｔ ［？！，．．．， ａａ， ａ］ ｏｆ ａ ＋ １ ｔｙｐｅｓ， ｗｈｅｒｅ ａ ｉｓ ｔｈｅ ａｒｉｔｙ ｏｆ ／． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ／： ａｉ．．． ａａ —＊■ ａ ｔｏ ？

Ａ

ｓｏｒｔｉｎｇ ｏｆ ／． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｆｃ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｒｉｔｙ ０ ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｓｏｒｔｉｎｇ ｂｙ ｋ：ａ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｋ ｗｉｌｌ ｂｅ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ

ｓｈａｌｌ ａｓ ａ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｏｆ

ｔｙｐｅ

ａ．

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｙｎｔａｘ

４－２．

Ｗｅ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｔｈｅｓｅ

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ａ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

Ｈｅｒｅ，

Ｆｏｒ ｘ， ｋ ａｎｄ

？

（）

？

（—， —）

？

Ｆｓｔ ｔａｋｅｓ

ｂｅ

ｃａｎ

／

ａ

ｔａｋｅｓ ａ

ａ

Ｃｈａｐｔｅｒ ３；

ｓｅｅ

ｔｈｏｕｇｈｔ

ｏｆ

ａｓ

＂ａ

ｕｎｉｑｕｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ

ａ ｏｎｅ

ｐｏｉｎｔ ｓｅｔ；＂

ｐａｉｒ ｏｆ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ Ｍ ａｎｄ Ｎ ａｎｄ ｒｅｔｕｒｎｓ ｔｈｅ ｐａｉｒ （Ｍ， Ｎ）；

ｐａｉｒ Ｐ ａｎｄ ｒｅｔｕｒｎｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ａｒｇｕｍｅｎｔ Ｆｓｔ（Ｐ） ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ Ｓｎｄ

ｐａｉｒ Ｐ ａｎｄ ｒｅｔｕｒｎｓ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ａｒｇｕｍｅｎｔ Ｓｎｄ（Ｐ）；

Ｘｘ： ａ．Ｍ ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ ｖａｌｕｅ ａｔ

ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｉｓ，

ｘ

ｉｎ Ｍ

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ Ｎ；

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅ

Ｒｅｍａｒｋ ４．２．２

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ

ａｒｅ

ＭＮ． Ｗｅ ｗｉｌｌ

ａｒｇｕｍｅｎｔ Ｎ ｉｓ Ｍ ｗｉｔｈ

ａｎ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆ ｔｏ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｏｆｔｅｎ ｗｒｉｔｅ ｓｙｎｔａｘ ｉｎ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ，

ｕｓｅ

ｂｒａｃｋｅｔｓ

ｍｉｇｈｔ

ｗｅ

＂（＂

ａｎｄ

＂ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ

ａｎｄ

＂）＂

ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ ｉｎ

ａｎ

ａｎ

ａｎ

ａｒｇｕｍｅｎｔ Ｍ．

ｉｎｆｏｒｍａｌ

ｆａｓｈｉｏｎ． Ｗｈｅｎ

Ｍ（Ｎ）， （Ｍ）（Ｎ）

ｏｒ

（Ｍ）ｉＶｆｏｒ

ｉｎｆｏｒｍａｌ ｆａｓｈｉｏｎ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ

ＭＮＰＱ ｆｏｒ （（ＭＮ）Ｐ）Ｑ

ｓｏ

ｔｈａｔ

ａｓｓｏｃｉａｔｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｌｅｆｔ．＂

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ４．２．３

Ａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ

ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ

ｒａｗ

４．１，

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｔｅｒｍｓ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ

ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｒ ｉｓ Ｍ， ｗｒｉｔｔｅｎ Ｒ Ｃ Ｍ， ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｌａｕｓｅｓ：

ｎｅｅｄ

ＭＭ

ｖａｒｉａｂｌｅ， ｋ ｉｓ ａｎｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ａｎｄ ／ ｉｓ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｒｉｔｙ ａ． Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ， ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｗａｙｓ：

？

ＦＭ

＼

＼ｘ：ａ．Ｍ

ｉｓ ａｎｙ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ａ

ｗｅ ａｒｅ

＝

ｘ

ｔａｋｅｓ

ａｎｄ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ，

ａ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ＢＮＦ ｇｒａｍｍａｒ， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ｓａｙ Ｖａｒ ｛ｘ， ｙ，．．．｝：

ｌｅｎｇｔｈ

？

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｔｅｒｍｓ

ｒａｗ

：：＝ｘ＼ｋ＼ ／（Ｍ，．．．，Ｍ） ｜ （） ｜ ｛Ｍ，Ｍ） ｜ Ｆｓｔ（Ｍ） ｜ Ｓｎｄ（Ｍ） ｜

Ｍ

？

１５７

ｓｏｍｅ

？

Ｍ

？

ｇｉｖｅｎ Ｍｉ ｆｏｒ １

？

ｉｆ ｊＲ Ｃ Ｍ

？

ＵＲｃＰｔｈｅｎＲｃ

Ｆｓｔ（Ｐ），

？

ｉｆ Ｒ Ｃ Ｐ ｔｈｅｎ Ｒ Ｃ

Ｓｎｄ（Ｐ），

？

ＨＲ

？

ｉｆｔｆＣＭｏｒｔｆｃＡＴ ｔｈｅｎ Ｒ

ａ ｒａｗ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｓｕｂｔｅｒｍ ｏｆ

ＣＭ，

＝

ｏｒ

＜ ｉ ＜ ｎ， ｉｆ

Ｒ Ｃ Ｍｉ ｆｏｒ ａｔ ｌｅａｓｔ

ＲＣＮ ｔｈｅｎ Ｒ Ｃ

（Ｍ， Ｎ），

ｘｏｉＲｃＭ ｔｈｅｎ Ｒ Ｃ Ｘｘ： ａ．Ｍ， ａｎｄ Ｃ ＭＮ．

ｏｎｅ

ｉ ｔｈｅｎ Ｒ Ｃ

／（Ｍｉ，．．．， Ｍｎ），

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

１５８

Ａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｘｘ：ａ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｓｕｂｔｅｒｍ ｏｆ

ａ ｒａｗ

ｔｅｒｍ

Ｍ，

ｏｃｃｕｒｓ

ｉｎ

ｘ ｏｃｃｕｒｓ

ｉｎ

ｔｅｒｍ

ａ ｒａｗ

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ

Ｍ， ｔｈｅｎ

ｓｕｂｔｅｒｍ ｏｆ Ｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｘｘｉａ．Ｎ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ

ａ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｉｆ Ｘｘ： ａ．Ｎ ｉｓ

ａｎ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｗｅ

ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ｘｘ：ａ． Ｉｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｉｆ ｉｔ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｘ

ａ ｒａｗ

ｏｆ ｔｈｅ

ｉｓ ｂｏｕｎｄ

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ

ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ｘｘ： ａ． Ｉｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｘ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ Ｍ ａｎｄ ｉｓ ｎｏｔ ｂｏｕｎｄ， ｉｔ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｆｒｅｅ． Ｉｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｘ ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｆｒｅｅ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ， ｔｈｅｎ ｘ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ａ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｆ Ｍ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｇｉｖｅ ａｎ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ｆｖ（Ｍ） ｏｆ ｏｆ

ｘ

ｉｎ Ｎ

ａｒｅ

ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ Ｆｏｒ ｔｈｅ

？

？Ｍ＜？

ｒａｗ

＝

ａ ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ ｘ，

ｔｅｒｍ Ｍ：

ｋ， ／（Ｍｉ，．．．， Ｍａ）

ｓｅｅ

１２３，

ｐａｇｅ

０，

．ｆｖ（｛Ｍ，Ｎ））ｄ＾ｆｖ（Ｍ）Ｕｆｖ（Ｎ）， ＭＦｓｔ（Ｐ）） ｄ＾ｆｖ（Ｐ） ａｎｄ ＭＳｎｄ（Ｐ）） ＾（Ｐ）， ？

？

／ｖ（Ａｚ：ａ．Ｍ）

？

ｆｖ（ＭＮ）

＝

ｆｖ（Ｍ） ＼ ｛ｘ｝，

＝

ａｎｄ

ｆｖ（Ｍ） Ｕｆｖ（Ｎ）．

Ｅｘａｍｐｌｅ ４．２．４

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ｍ

＝

ｒａｗ

ｔｅｒｍ

ａ．ｙｘ（Ｘｘ：（３．ｙ（Ｘｙ：８．ｚ）ｘ）．

Ａ＃：

Ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ｘｘ：ａ ｉｓ

ｙｘ（Ｘｘ：（３．ｙ（Ｘｙ：８．ｚ）ｘ）．

Ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｙ（Ａｙ： ８．ｚ）ｘ． Ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ａｙ： ８ ｉｓ ｊｕｓｔ ｚ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ａｎｄ ｓｅｃｏｎｄ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｙ ｉｎ Ｍ， ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ， ａｒｅ ｆｒｅｅ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔｍｏｓｔ ｙ ｉｓ ｂｏｕｎｄ． Ａｌｌ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｘ ａｒｅ ｂｏｕｎｄ． Ｉｔ ｉｓ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ａｘ：

ｖｅｒｙ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

（５

ｉｓ

ｔｏ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．２．５ ｉｆ

ｔｈｅｙ ｄｉｆｆｅｒ ｏｎｌｙ

Ｘｘ：ａ．（ｘ，ｙ）

ａｎｄ

ｃａｎ

ｂｅ ｂｏｔｈ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｂｏｕｎｄ．

ａ ｒａｗ

ｉｎ ｔｈｅｉｒ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．

Ｘｚ：ａ．｛ｚ，ｙ）

ａｒｅ

Ｘｖ：

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｒａｗ

ｔｅｒｍ Ｍ ｉｓ

Ｆｏｒ

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ． Ａｌｓｏ，

ｔｈｅ

ｒａｗ

ｔｏ Ｍ＇ ｔｅｒｍｓ

ｔｅｒｍ

ａ．ｙｖ（Ｘｖ： （３．ｙ｛Ｘｕ： ８．ｚ）ｖ）

Ｅｘａｍｐｌｅ ４．２．４． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｌ （Ｘｘ： ａ．ｘ）ｘ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｘ ｉｓ ｂｏｔｈ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｂｏｕｎｄ； Ｌ ｉｓ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ （ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ） （Ａｙ： ａ．ｙ）ｘ． Ａｎｙ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ ｃｌｅａｒｌｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ａｎ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｍ ｉｓ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｓｕｃｈ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｉｓ

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ ｔｈｅ

ｒａｗ

ｔｅｒｍ Ｍ ｏｆ

＝

ｃｌａｓｓ

ａｓ

ａ

ｒａｗ

ｔｅｒｍ．

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ａｓ

Ｆｒｏｍ

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

ｎｏｗ

ｂｙ ＂ｔｈｅ ｒｅｎａｍｉｎｇ

ｏｎ，

＂ｔｈｅ

ｒａｗ

Ｍ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｔｅｒｍ Ｍ＂ ｗｉｌｌ

ｗｅ

ｍｅａｎ

ｔｈｅ

ａ－

ｃｏｕｌｄ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｆ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．＂ Ｔｈｅ

ｒｅａｓｏｎ

ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｏｄｄ

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｙｎｔａｘ

４－２．

ｔｅｃｈｎｉｃａｌｉｔｙ ｉｓ ｎｏｔ ｂｕｔ ｔｏ

ｐｒｏｖｉｄｅ

１５９

ｐｅｒｖｅｒｓｉｔｙ

ａ

ｔｈｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｔｏ ｃｏｎｆｕｓｅ ｔｈｅ

ｏｎ

ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｘ

ｉｎ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

／（Ｍｉ，．．．， Ｍａ）

Ｗｈｅｎ Ｍ ｉｓ ｘ，

？

＜＞［＊／＊］

？

（Ｍ， Ｍ＇）［Ｎ／ｘ］ ｄ＝ ｛Ｍ［Ｎ／ｘ］，Ｍ＇［Ｎ／ｘ））．

？

？

ｔｅｒｍ Ｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ

ｒａｗ

Ｍ， ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ

ｏｎ

ｃｌａｕｓｅｓ：

？

？

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ

ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｂｙ

ｔｅｒｍ Ｍ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｒａｗ

ｒａｗ

ｒｅａｄｅｒ，

＝

ｋ，

ｏｒ

ｓｅｅ

ｐａｇｅ １２３．

＜＞？

Ｆｓｔ（Ｍ）［ＪＶ／ｘ］ ｄ＝ Ｆｓｔ（Ｍ［ＡＴ／ｘ］） ａｎｄ Ｓｎｄ（Ｍ）［Ｎ／ｘ］ ｄ＝ Ｓｎｄ（Ｍ［Ｎ／ｘ＼）． ｉ （ｉ） ｛Ｘｘ：ａ．Ｍ）［Ｎ／ｘ］＝ Ｘｘｉａ．Ｍ．

｜［

（ｉｉ）

（＼ｙ：ａ．Ｍ）［Ｎ／ｘ］ ａｎｄ

Ｘｚ：ａ．｛Ｍ［ｚ／ｙ］［Ｎ／ｘ］）

ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ

ｚ

（ＭＭ＇）［Ｎ／ｘ］

＝

＝

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｃｌａｕｓｅ

ｘ

ｗｈｅｒｅ

ｚ

＜￡ ｆｖ｛Ｍ） Ｕｆｖ（Ｎ）

ａｎｄ ｙ．

（Ｍ［Ｎ／ｘ］）（Ｍ＇［Ｎ／ｘ］）． （ｉｉ）

ｓｉｍｐｌｅ ｒｅｎａｍｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｙ ｔｏ ｅｎｓｕｒｅ ｔｈａｔ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｙ ｉｎ Ｎ ａｒｅ ｎｏｔ ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ａｙ： ａ ｗｈｅｎ Ｎ ｉｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ ｆｏｒ ｘ． Ｉｔ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｉｓ ｒｅｎａｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｓ ｏｎｌｙ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ， ｔｈａｔ ｉｓ ｕｐ ｔｏ ｒｅｎａｍｉｎｇ ｏｆ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

Ｗｏｒｋ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．２．６

ａ

ｃａｒｅｆｕｌｌｙ ｔｈｒｏｕｇｈ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ ｒａｗ

ｔｅｒｍ

ａｓ ａｎ

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ． Ａｌｓｏ ｍａｋｅ ｓｕｒｅ ｔｈａｔ ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｗｈｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｏｎｌｙ ｕｐ ｔｏ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ａｒｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ， ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ． Ａ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．２．７ ｗｒｉｔｔｅｎ ｄｉｓｔｉｎｃｔ．

ａｓ

Ｔ

＝

ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ

［ｘｉ： ａ１？．．．， ｘｎ： ａｎ］，

Ａ ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ

ｃｏｎｔｅｘｔ， Ｍ ｉｓ

ａ ｒａｗ

ａ

ｔｅｒｍ ａｎｄ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔ ｏｆ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｔｙｐｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ： ａ ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｏ Ｓｇ ＞ Ｔｌ－Ｍ：ａａｓａ ｐｒｏｖｅｄ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ４．１．

ａｒｅ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔ ｈ Ｍ：

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ａ ａ

（ｖａｒｉａｂｌｅ， ｔｙｐｅ） ｐａｉｒｓ， ｕｓｕａｌｌｙ

ｎｏｗ

ｄｅｆｉｎｅ

ｗｈｅｒｅ Ｔ ｈ Ｍ： ａ ｉｓ ａ

ｔｅｒｍ．

Ｆｏｒｍａｌｌｙ，

ｔｈｅ

ａ

ａ

ｔｏ ｂｅ

ｗｈｅｒｅ Ｔ ｉｓ

ａ

ｃｅｒｔａｉｎ ｃｌａｓｓ ｏｆ

ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ；

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

Ｒｅｍａｒｋ ４．２．８

（１）

Ｉｔ ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｔｈｅ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ

ａｒｅ

ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ． Ｆｏｒ

ｉｎ ｔｈｅ ｒｕｌｅ ｗｈｉｃｈ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ

ｉｓ

ｉｍｐｌｉｃｉｔ

ｔｈａｔ

ｘ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ

ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｒｕｌｅｓ

Ｔ， ｂｅｃａｕｓｅ Ｔ ｉｓ

ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅ．

ａ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅ， ｉｔ

ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｎ

１６０

ｉ—

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｓｇ

ｘ：ａ

Ｔ＼－

＞

（）：

ｕｎｉｔ

Ｓｙｍｂｏｌｓ

Ｔ＼－Ｍｉ：ａｉ

＞

Ｓｇ

Ｔ＼－ｋ：ａ

＞

Ｓｇ

．．．

＞

（ｋ： ａ）

Ｔ＼－Ｍａ：ａａ

ｉｆ＇ ｗ

Ｔ＼－ｆ（Ｍｕ．．．，Ｍａ）：Ｐ

＞

＆ —

■

，

＜＊ａ －＞？

Ｐ）

Ｂｉｎａｒｙ Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｔｅｒｍｓ Ｓｇ

Ｓｇ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

＞

Ｓｇ

１—

＼－

Ｕｎｉｔ Ｔｅｒｍ

Ｓｇ

Ｉ—

Ｔ， ｘ： ａ， Ｖ

＞

Ｓｇ

１—

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｓｇ

ｉ—

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

＞

＞

Ｔ ｈ

Ｎ：／３

Ｔ＼－（Ｍ，Ｎ）：ａｘ（３

Ｓｇ

＞

Ｔ＼－Ｐ：ａｘ／３

Ｓｇ

Ｓｇ

＞

ｒｈＦｓｔ（Ｐ）：ａ

Ｓｇ

＞ ＞

Ｔ ｈ Ｔ ｈ

Ｐ：ａ

ｘ

（３

Ｓｎｄ（Ｐ）：／？

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔｅｒｍｓ

Ｓｇ ５ｐ

＞

＞

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｆ：（３

ｒ ｈ

Ａｘ： ａ．Ｆ：

ａ ＝＞

Ｓｇ ／？

＞

Ｔ＼－Ｍ：ａ＝＞／３

Ｓｇ

＞

Ｆｉｇｕｒｅ ４．１： Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

Ｓｇ

＞

Ｔ＼－

Ｔ＼－ＭＮ：０

ａ

Ａｘ－Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

Ｎ：ａ

Ａｘ －Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

４－３．

（２）

１６１

Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ

Ｍ： ａ

ｆｏｒｍ

ａ

ａｓ

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ Ｓｇ

ｓｕｂ－ｃｌａｓｓ ｏｆ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ； ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ

＞

ｓｙｍｂｏｌ Ｓｇ

Ｔ ｈ ＞

ｉｎｄｉｃａｔｉｎｇ ｔｈａｔ ｒ ｈ Ｍ： ａ ｉｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｕｂ－ｃｌａｓｓ， ａｎｄ ｒｅｍｉｎｄｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｗｏｒｋｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ． Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｓｅ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｊｕｓｔ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ Ｔ ｈ Ｍ： ａ， ｗｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｗｅ ａｒｅ ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ． ｉｓ

Ｌｅｍｍａ ４．２．９ ｆｏｒ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ａｒｅ

ｓｔｉｌｌ ｖａｌｉｄ ｆｏｒ ｔｈｅ

Ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ

ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ＰＲＯＯＦ

Ｔｈｅ Ｌｅｍｍａｓ ３．２．１０， ３．２．１１ ａｎｄ ３．２．１２， ａｎｄ

Ｗｏｒｋ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．２．１０

ｆｏｒ

ｔｈｒｏｕｇｈ

ｐｒｏｖｅｄ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

３．２．１３

ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

□

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ．

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ４．２．９．

Ａｘ －Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

４．３

Ａ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．３．１

ａｎｄ Ａｘ ｉｓ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

Ｘｘ－ｔｈｅｏｒｙ， ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

Ｔｈ， ｉｓ ａ ｐａｉｒ （Ｓｇ，Ａｘ） ｗｈｅｒｅ Ｓｇ ｉｓ ａ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ． Ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ－

Ｍ＇：ｃｔ ｗｈｅｒｅ Ｔ ｈ Ｍ： ａ ａｎｄ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔ Ｙ－ Ｍ ｒ ｈ Ｍ＇：ｃｔ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｎ Ａｘ ａｒｅ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｍ＇：ａ． Ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｉｓ ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ Ａｘ ＞ Ｔ ｈ Ｍ Ｍ＇： ａ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｔｈ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈ ＞ Ｔ ｈ Ｍ （ｗｈｅｒｅ Ｓｇ ＞ Ｔ ｈ Ｍ： ａ ａｎｄ Ｓｇ ＞ Ｖ Ｖ－ Ｍ＇：ａ） ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ４．２． ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ

ａ

＝

＝

＝

ｇｉｖｅ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ａｘ－ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ｎａｔ ａｎｄ ｂｏｏｌ， ａｎｄ ｈａｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ： Ｅｘａｍｐｌｅ ４．３．２

Ｗｅ

？

ｔｔ：

ｂｏｏｌ，

？

ｆ ｆ：

ｂｏｏｌ，

？

Ｃ：

？

ｋｎｉ ｎａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ

？

Ｓ： ｎａｔ

—？

ｎａｔ，

？

Ｐ： ｎａｔ

—＞

ｎａｔ，

？

Ｚ： ｎａｔ

—？■

ｂｏｏｌ， ａｎｄ

？

Ｙａ：

＝＞

ａ）

ｂｏｏｌ， ｎａｔ，

（ａ

ｎａｔ

—＊■

—＊■

ａ

ｎａｔ， Ｇ

ｎ

ｎｏｗ

Ｎ，

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ

Ｗｅ ｔｈｅｎ ｓｅｔ Ａｘ ｔｏ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ？

ｘ：

ｎａｔ， ｘ＇： ｎａｔ ｈ

Ｃ（ｔｔ， ｘ， ｘ＇）

＝

ｘ，

ａ．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ：

１６２

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

１ Ａｘ

＞

ＴＶ－ Ｍ

＝

Ｍ＇：ａ

Ｔｈ

＞

Ｔ＼－Ｍ

＝

Ｍ＇：ａ

．

Ｔｈ

Ｔ＼－ Ｍ： ｕｎｉｔ

＞

Ｔ ｈ Ｍ

＞

＝

（）：

ｕｎｉｔ

Ｂｉｎａｒｙ Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｇ

＞

Ｔｈ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

Ｓｇ

Ｔ＼－Ｆｓｔ｛（Ｍ，Ｎ））

＞

Ｔｈ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＝

Ｓｇ Ｔｈ

Ｍ：ａ

Ｔ＼－

＞

Ｔ ｈ

＞

Ｓｇ

＞

Ｓｎｄ（（Ｍ，ｉＶ））

Ｔ ｈ ＝

Ｔｈ

Ｓｇ ＞

Ｔ＼－

＞

Ｎ：（３

＝

Ｐ：ａｘ／３

１

ｒ，ｘ：ａ＼－Ｆ：ｆｉ

＞ ＞

Ｔｈ

Ｍ：ａ＝＞

Ｔｈ ＞

Ｓｇ

ｒ＼－（＼ｘ：ａ．Ｆ）Ｍ

Ｘｘ：ａ．（Ｍｘ）

Ｔｈ

＞

＝

＞ ＝

（３

ｒ ｈ Ａｘ：

ａ．Ｆ

＝

Ｆ［Ｍ／ｘ］：Ｐ （ｐｒｏｖｉｄｅｄ

Ｍ：ａ＝＞／３

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｆ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

＝

ｘ

＆ ｆｖ（Ｍ））

Ｆ＇：Ｐ

Ａｘ： ａ．Ｆ＇＼

ａ ＝＞

（３

Ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ Ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ， Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ， Ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ａｎｄ Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ａｓ ｆｏｕｎｄ ｏｎ ｐａｇｅ １２８．

Ｆｉｇｕｒｅ

Ｎ：ｐ

Ｐ：ａｘ｛３

Ｔ＼－（Ｆｓｔ（Ｐ），Ｓｎ４（Ｐ））

＞

Ｍ：ａ

Ｔ ｈ

＞

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｇ

Ｔｈ

．

Ｔ＼－Ｎ：（３

＞

Ｓｇ

Ｉ—

｜

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

Ｕｎｉｔ

Ｓｇ

Ｉ—

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａｘｉｏｍｓ

Ｊ Ｉ—

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

４．

４．２： Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａ

Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｙ．

４－４－

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

ａ

？

ｘ：

ｎａｔ， ｘ＇＼

？

Ｖ－

Ｓ（ｋｎ）

？

ｈ

Ｐ（ｋ０）

？

ｈ

Ｐ（ｋｎ＋ｉ）

＝

？

ｈ

Ｚ（ｋ０）

ｔｔ，

？

ｈ

Ｚ（ｋ？＋ｉ）

？

ｘ： ａ

ｎａｔ ｈ

＝

＝

＝

Ｃ（ｆ ｆ， ｘ， ｘ＇）

＝

１６３

ｘ＇＼

ｋｎ＋ｉ， ｋ０，

＝

＝＞ ａ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｈ

ｋｎ，

ｆ ｆ，

ａｎｄ

Ｙａ（ｘ）

＝

ｘ（Ｙａ（ｘ））．

Ｏｎｅ ｓｈｏｕｌｄ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｉｓ

ｔｈｅｏｒｙ

４－４

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｈａｖｉｎｇ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｏｌｅａｎｓ （ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｉｓ ａ ｔｗｏ ｐｏｉｎｔ ｓｅｔ ｗｈｉｃｈ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｒｕｔｈ ｏｒ ｆａｌｓｉｔｙ）． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｔｒｕｔｈ， ｆａｌｓｉｔｙ， ａ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｅｓｔ ｆｏｒ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ， ｎｕｍｅｒａｌｓ， ａ ｓｕｃｃｅｓｓｏｒ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ， ａ ｐｒｅｄｅｃｅｓｓｏｒ ｏｎ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ， ａ ｔｅｓｔ ｆｏｒ ｚｅｒｏ， ａｎｄ ａ ｆｉｘｐｏｉｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｈｏｗ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｔｏ ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｙ ｌａｔｅｒ ｏｎ．

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．４．１

ａ

ａｓ

Ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｇａｖｅ ｔｏ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ３ ｗａｓ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｍｏｔｉｖａｔｅｄ ｂｙ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｔｏ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｓｏｍｅ ｒｅａｄｅｒｓ ｗｉｌｌ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｓｙｎｔａｘ ｃａｎ ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｉｎ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｐｒｅｓｅｎｔ ａ ｕｎｉｆｏｒｍ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ａｎｄ ｒｕｌｅｓ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｏ ｄｉｓｃｏｖｅｒ ｗｈａｔ， ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｅｒｍｓ， ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｇｅｎｅｒａｌ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ． Ａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ３， ｔｙｐｅｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｉｎ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｆｕｒｔｈｅｒ ｔｙｐｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｏｒｓ ｘ ａｎｄ ＝＞－． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｙｐｅ ａ ｘ （３ ｗｉｌｌ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ａｎｄ ／？， ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｏｒ． Ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｗｉｌｌ ｔｈｅｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｈｏｌｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅｓ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｉｌｌ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ｍｏｄｅｌ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ａｌｌ ｏｆ ｏｕｒ ｓｙｎｔａｘ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ （ａｔ ｌｅａｓｔ） ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ： ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｔｈｅ ｌｉｓｔ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｃｏｎｔｅｘｔｓ． Ｌｅｔ ａ

ｕｓ

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ａ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈ

（ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ） ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｆｉｒｓｔ

＝

（Ｓｇ， Ａｘ）

ｗｅ

ａｎｄ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ

１６４

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ｓｇ． Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｏｂｊｅｃｔ ［７］ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ７， ａｎｄ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ＼ｕｎｉｔ＼ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｕｎｉｔ—ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ｓａｙ ａｎｙｔｈｉｎｇ ｍｏｒｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ａｂｏｕｔ ｛ｕｎｉｔ］． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ－ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅｓ ａ ｘ ／？ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅｓ ａ ＝＞ ／？ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ａｎｄ （３． Ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｃ ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ＡＤ Ｂ ａｎｄ Ａ ０ Ｂ ｆｏｒ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ［ａ ｘ ０＼ ｄ＝ ［ａ］ □ ［／？］ ａｎｄ ［ａ ＝？ ／？］ ［ａ］ ０ ［／？］． Ｈａｖｉｎｇ ｄｏｎｅ ｔｈｉｓ， ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｘ （３ ｏｆ ［／］： ［ａｉ］ ｘ ［ａｎ］ ［／？］ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ／： ａｉ．．． ａｎ Ｓｇ． Ｎｏｗ ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｒ ｈ Ｍ： ａ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［ｒｈＭ：ａ］：［ｒ］ ［ａ］ ｉｎ Ｃ； ｓｅｅ ｐａｇｅ １３３． Ａｔ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｋｎｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｓｕｃｈ ａｎ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ， ｂｕｔ ｂｙ ｌｏｏｋｉｎｇ ａｔ ｈｏｗ ｔｏ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｔｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｄｕｃｅ ｈｏｗ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ． ｇｉｖｅ

ｔｏ

ａｎ

＝

—？

．．．

—＊■

—？

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ

ａｓｓｕｍｉｎｇ ｊｕｓｔ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ．

ｏｎｅ

Ａ

ｔｙｐｉｃａｌ

Ｓｇ

Ｓｇ ｗｈｅｒｅ

Ｒ（Ｍ）

ｉｓ

ａ ｎｅｗ ｒａｗ

Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｄｏ

ｍｏｄｅｌ

ｗｅ

［ｒ

ａ

（Ｒ）

Ｔ＼－Ｒ（Ｍ）：ｐ ｉｓ

＝

ｄｅｐｅｎｄ

ｏｎ

（ｔｈｉｎｋ ｏｆ Ｒ ａｓ Ｆｓｔ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ）． ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｃ（［ｒ｜， ［ａ］）． Ｈｏｗ

Ｍ

ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ

ｗｉｌｌ

ｇｅｎｅｒａｌ，

ｒｕｌｅ ｌｏｏｋｓ ｌｉｋｅ

［ｒ ｈ Ｍ： ａ］ ｗｈｉｃｈ Ｒ（Ｍ）：／？］ Ｇ Ｃ（［ｒ］， ［／？］）？

ｍ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｌａｔｔｅｒ

ｈａｖｉｎｇ

ｈ

ｔｅｒｍ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

＞ ＞

ｐｒｏｖｅｄ

Ａｌｌ

ｗｅ ｃａｎ

ｍ， ａｎｄ

ｓａｙ ａｔ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｉｓ

ｗｅ ｃａｎ

ｍｏｄｅｌ ｔｈｉｓ ｉｄｅａ

ｂｙ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＊ｗ．Ｍｊｎ：Ｃ（ｉｎ．Ｗ） —ｃ（ｐｉ，Ｄ８｜） ａｎｄ

ｓｅｔｔｉｎｇ ［Ｔ

ｔｅｒｍｓ

ｏｌｄ ａｎｙ

ｈ

Ｒ（Ｍ）：／？］

＝

＾＞［ａｌ，［／３］，［ｒ］（＾）－

Ｎｏｗ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｈｏｗ ｔｈｅ

ｒａｗ

ｆｏｒｍｅｄ． Ｔｈｅ ｃｒｕｃｉａｌ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｎｅｗ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ ｔｅｒｍｓ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ； ａｎｄ ｗｅ ｃａｎ ｅａｓｉｌｙ ｓｅｅ ｔｈａｔ ａ ｄｅｒｉｖｅｄ ｒｕｌｅ ｆｏｒ

ａｒｅ

ｒａｗ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓ

Ｓｇ

＞

ｘ：

７ ｈ Ｍ：

Ｓｇ Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

＞

ａ

Ｓｇ

＞

ｙ：

７＇

ｈ Ｎ： ７

ｙ：ｊ＇＼－ Ｍ［Ｎ／ｘ］：ａ

ａｎｄ ｙ：

７＇

ｈ ＡＴ： ７

（Ｓｕｂ）．

ｇｉｖｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ． Ｕｓｉｎｇ ｏｕｒ ｂａｓｉｃ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｓ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ｉｆ ｍ ［ｘ： ７ ｈ Ｍ： ａ］ ａｎｄ ｎ ｛ｙ： ７＇ ｈ Ｎ： ７］ ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｓｓｅｒｔ ｔｈａｔ ［ｙ：７＇ ｈ Ｍ［Ｎ／ｘ＼：ａ］ ＝ｍｏｎ． Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｅａｃｈ ｏｆ （Ｓｕｂ） ａｎｄ （Ｒ） ｉｎ ｔｕｒｎ， ｗｅ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｘ：

７ ｈ Ｍ：

ａ

＝

ｙ：ｉ

＼￣

Ｒ（Ｍ）［Ｎ／ｘ＼：（３

ａｒｅ

ａｎｙ ｔｗｏ

＝

ａｎｄ

ｙ：７＇

ｈ

Ｒ（Ｍ［Ｎ／ｘ＼）：０．

４－４－

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ａ

ｂｏｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

１６５

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ），

ｒａｗ

ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌｌｙ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ （ｂｙ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｓｈｏｕｌｄ

ｔｅｒｍｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ

ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ

ｂｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ， ｔｈａｔ ｉｓ

￥Ｍ，ｌｆｌ，Ｍ（ｍ）

ｏｎ

（＊）

Ｔｈｅ ａｓｔｕｔｅ ｒｅａｄｅｒ ｗｉｌｌ ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｆａｃｔ

ｅｖｅｒｙ

ｗｅ ｃａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

＝

￥ｌ＜＊Ｗｌｂ＇｝（ｍ ｎ）－

￥ａ，ｂ ： Ｃ（－， Ａ） Ｗｅ

ｃａｎ

Ｉ—

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ ｔｈｅｓｅ

ｔｈｏｕｇｈｔｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ； ｄｅｍａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ． Ｆｏｒ

ｌｏｏｋｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ

ｂｅ ｃｅｒｔａｉｎ ｔｈａｔ ｉｔ ｗｉｌｌ ｈｏｌｄ ｉｆ

Ａ ａｎｄ Ｂ ｏｆ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

（＊）

°

ｗｅ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

—＞

Ｃ（－， Ｂ）：Ｃ

ｉｎ ｔｈｅ

—＞

Ｓｅｔ．

ｓｌｏｇａｎ：

ｏｆ Ｔｅｒｍ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｃｅｒｔａｉｎ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｈｏｌｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ． Ｔｈｅ ｓｏｕｎｄ

Ｌｅｔ

ｕｓ ｎｏｗ

Ｆｉｒｓｔ

ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ

ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｔｙｐｅｓ

ａｎｄ ｔｅｒｍｓ．

ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｕｎｉｔ． Ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ

ａｌｗａｙｓ ｂｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｕ０ ［Ｔ ｈ （）： ｕｎｉｔ］： ［Ｔ］ ［ｉｔｒａ￡］． Ｌｏｏｋｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ Ｕｎｉｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， ｚ／ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ， ｔｈｅｎ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｍ ［Ｔ ｈ Ｍ： ａ］ ｉｎ Ｃ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ｍ ｕｑ． Ａｌｌ ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ ｅｘｉｓｔ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ！： Ａ ［ｕｎｉｔ］， ｔｈａｔ ｉｓ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ＼ｕｎｉｔ＼ ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ １ ｏｆＣ． ｗｅ

＝

—？

＝

＝

—？

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅ ｆｏｒ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｐｒｏｄｕｃｔ

ｔｅｒｍｓ ｉｓ

Ｔ＼－Ｎ：（３

Ｔ＼－Ｍ：ｑ

Ｔ＼－｛Ｍ，Ｎ）：ａｘＰ Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ

ｔｈｉｓ ｒｕｌｅ

＊＊＊ ： Ｃ（－， Ａ）

ｘ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ

Ｃ（－，Ｂ）

ｆｏｒ ａｌｌ

—＞

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｃ（－， ＡＤ Ｂ）

Ａ ａｎｄ ｎ： Ｃ Ｂ ｂｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ ＢｏｆＣ． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｍ：Ｃ ｏｆ Ｃ． Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｉｎ Ｃ ａｔ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｍ，ｎ）：Ｃ－＞ＡｘＢｗｅ ｄｅｄｕｃｅ —？

｛？Ａ，Ｂ）ｃ（ｎＡ｛ｍ，ｎ），ｉｒＢ｛ｍ，ｎ）） ｔｈａｔ ｉｓ

（￥．４，ｂ）ｃ（＂＾？）

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｑＡ，Ｂ－ Ａ

ｘ

Ｂ

＝

＾

＝

—＊

｛＾ａ，ｂ）ａｕｂ｛＾ａ＾ｂ）

°

（ｍ，ｎ），

｛＾ａ，ｂ）ａｕｂ｛＾ａ－＞＾ｂ） ° （ｍ，ｎ）． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ＡＤＢ ｔｏ ｂｅ （￥ａ，ｂ）ａｘｂ｛ｋａ，＾ｂ）－ Ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｍａｋｅ

１６６

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ＩＴ＼－（Ｍ，Ｎ）：ＡＤＢ］

（Ｆ＇－＇Ｍ．ｉｎ－Ｍｆｌ）

ＰＩ Ｒｅｃａｌｌ

ｏｎｅ

＝

ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

ｗ

Ｍ ＊？ｌ

ｘ

ｗＤＭ．

ｅｌｉｍｉｎａｔｉｎｇ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅｓ Ｔ＼－ Ｐ：ａｘ

（３

ｎ－Ｆｓｔ（Ｐ）：ａ Ａｒｇｕｉｎｇ

ａｓ

ａｂｏｖｅ，

ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｔｈｉｓ ｒｕｌｅ

＾ａ，ｂ＇－Ｃ（—，Ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｗｅ

￡）

□

ｌｅｍｍａ， ｎａｍｅｌｙ Ｌｅｍｍａ ２．７．４． Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ，

—？

ｍａｙ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

ｗｅ

［Ｃ＊ Ｓｅｔ］（ＨＡＤＢ， ＨＡ）

（ｆｏｒ ｅａｃｈ Ａ ａｎｄ Ｂ） ａ Ｃ（—， Ａ）． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ

ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ

＊

Ｃ｛Ａ □ Ｂ， Ａ） ￥ａ，ｂ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｐａ，ｂ＇Ａ □ Ｂ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ

￥＞ｉ，ｂ

ｔｏ

ａ

ｕｎｉｑｕｅ

Ａ．

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ Ｌｅｍｍａ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （￥ａ，ｂ）ｃ Ｃ（Ｃ，ｐａ，ｂ）－ Ｓｏ ｎｏｗ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ

—？

ａｒｅ

＝

［Ｆ ｈ Ｆｓｔ（Ｐ）：ａ］ ＊ｆ ｍ

［ｒｈＰ：ＱＸ／？ｌ

［ａ］

Ｄ

［／３］ ＾Ｈｌ ［ａｊ．

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｒ ｈ Ｓｎｄ（Ｐ）： （３ ｉｎ ｍｕｃｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ， ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｐ＾ Ｂ： Ａ Ｄ ￡ —？ Ｂ． Ｏｕｒ ｌａｓｔ ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ ｓｅｅ ｗｈａｔ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｂｙ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ

ｗｅ ｃａｎ

ＴＹ－Ｍ：ａ Ｔ ｈ

ｄｅｄｕｃｅ

ａ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

Ｔ＼－Ｎ：０

Ｆｓｔ（（Ｍ， Ｎ））

＝

Ｍ：ａ

（１）

＿．

Ｔ ＼－

Ｔ＼－ Ｐ：ａｘ Ｔ ｈ Ｉｆ

ｗｅ

ｎ

＝

（Ｆｓｔ（Ｐ），Ｓｎｄ（Ｐ））

ｐｕｔ ／ｉ ｄ＝

Ｐ：ａ

［ｒ

—＊■

ｈ

［ｒ ｈ Ｎ：０＼：Ｃ

ｘ

／？］：Ｃ

－＞

￣

．？？

．＾

Ｓｎｄ（（Ｍ， Ｎ））

（３ ＝

Ａ Ｄ

Ｂ， ａｎｄ ｄｅｍａｎｄ ｔｈａｔ

ｍ

＝

ｏｕｒ

？

＝

［Ｔ

ｈ

Ｍ：ａ］：Ｃ

ＰＡ，Ｂ°＜ｌＡ，Ｂｏ（ｍ，ｎ） ｑＡ，Ｂ°｛ＰＡ，Ｂｏｈ，ｐＡ，Ｂ°＇ｈ）

－？

Ａ ａｎｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ， ｔｈｉｓ ｆｏｒｃｅｓ

ＰＡ，Ｂ°ｑＡ，Ｂ°｛ｍ，ｎ）

（２）

？

Ｎ：０

（３）

Ｐ：ａｘ（３ Ｂ，

Ｔ＼－Ｎ：０

＝

ｍ

（１）

＝

ｎ

（２）

＝

ｈ

（３）

４－４－

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

ａ

１６７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｄｏｎｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ， ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， ＡＤＢ ａｎｄ Ａｘ Ｂ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｍａｙ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅｓ ｂｙ ｂｉｎａｒｙ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｐｒｏｄｕｃｔ． Ａｔ ｌａｓｔ

ｗｅ ａｒｅ

Ｎｏｗ

Ｔｏ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｒｅｓｕｍｅ

ｔｈｅ

ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅｓ．

ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｒｕｌｅ

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ

Ｔ，ｘ：ａ＼－ Ｆ：Ｐ Ｔ ｈ Ｘｘ： ａ．Ｆ：

（ｆｏｒ

ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ

ｗｅ

ｅｖｅｒｙ

ｏｂｊｅｃｔ

＜ｆ＞ＡＢ：Ｃ（－ ａｎｄ

ｗｅ ｃａｎ

［Ｔ Ｔｏ

Ｂ）

Ａ ａｎｄ ｘ

Ａ，Ｂ）

／？

ａ ＝？

ａ

—＞

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｃ（－，Ａ０ Ｂ），

ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅ

ｈ Ｘｘ： ａ．Ｆ：

０＼ １＊ （＊Ｗ，｜ｆｌ）［ｎ（［ｒ，ｘ：ａ

ａ ＝？

ｈ Ｆ：

ｆｌ） ＰＩ －

（Ｈ ０ ［／？］）？

－

ｔｈｅ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ ｒｕｌｅ

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ

Ｔ＼－Ｍ：ａ＾（３

Ｔ＼－Ｎ：ａ

Ｔ＼－ＭＮ：ｐ ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

＃Ａ，Ｂ： Ｃ（－， Ａ ０ Ｂ） ｆｏｒ ａｌｌ ｎ：

Ｃ

—？

ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ

７ｒ：

ａｐｐｌｙｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ，

（Ａ ０ Ｂ）

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

［ｒ

ｅｖＡ，Ｂ

ｈ ＭＮ：

［ＰＩ

Ｃ（－， Ａ）

Ａ ａｎｄ Ｂ ｏｆ Ｃ． Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｔｗｏ

｛＾Ａ，Ｂ）ｃ｛ｍ，ｎ） ｗｈｅｒｅ

ｘ

ｘ ＝

Ａ

—？

＝

ｗｅ

Ａｔ） Ｂ ａｎｄ

｛ｙＡｙＢ）｛ＡＯＢ）ｘＡ（ｎ，ｉｒ＇） （ｒａ，ｒａ） °

Ａ ０ Ｂ ａｎｄ ｔｔ＇：

（Ａ｛）５）ｘＡ－＞Ａ

｛＾ａ，ｂ）｛ａｏｂ）ｘａ｛＾＾＇），

ｗｅ ｃａｎ

Ｓｏ ｉｆ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｍａｋｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

（ｊａ］ ， ［／３］）

Ｔ＼－Ｍ：ａ ＝

（４）

Ｆ［Ｍ／ｘ｝：（３

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ

ｍｕｓｔ ｈａｖｅ

—？■

ｈａｖｅ

（ＩＴ ＨＭ：ａ－＞ｆｌ，Ｆ ■－＊：＜■］）

Ｔ＼－（Ｘｘ：ａ．Ｆ）Ｍ ｗｅ

ｍ：Ｃ

０＼ ｄ＝

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｆ：（３

ｏｕｒ

Ｃ（－， Ｂ）

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅ

Ｉｆ

—？

ｉｓ ｔｏ

ｅｖＡ，Ｂ（（？Ａ，Ｂ）ｃ（ｆ）， ？）

＝

ｘ

，ａ， ｉｆＭｆｌ ｊ，，．

ａｒｅ

Ｔ＼－Ｍ：ａ＾（５ ：ｒ—

Ｔ ｈ

ｓａｔｉｓｆｙ

—

Ｘｘ：ａ．（Ｍｘ）

＝

Ｍ：ａ

＝＞

（３

ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

ｆ｛ｉｄ， ｍ）

ｆｏｒ ａｌｌ

（４），

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／： Ｃｘ Ａ

（５） ｔｈｅｎ —？

Ｂ

１６８

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

ａｎｄ ｍ：Ｃ ｈｏｌｄｓ

Ａ．

—＊■

ｉｎ

ｊｕｓｔ

Ｕｓｉｎｇ

ｔｈｅ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ￥ａ，ｂ

Ｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍ：Ｃ

（５） ｒｅｑｕｉｒｅｓ

ｔｈａｔ

Ａ（） Ｂ ａｎｄ ｆｒｏｍ

—？

ｘ

ｗｅ

ｔｏ ｔｈｅ ｃｒｕｃｉａｌ

ｃｏｍｅ

ｉｄ）

＝

ｅｑｕａｔｉｏｎ

／？

（＊）

（￥ａ，ｂ）ｃ｛ｃｖ＾＾＾（ｍ ｘ ＩｃＩａ）） ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ￥ａ，ｂ ｔｈｉｓ

＝

（￥Ａ，Ｂ）ＡＯＢ｛ｅｖＡ，Ｂ） Ｎｏｗ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

ｃａｓｅ

ｅｖＡＡ（？Ａ，Ｂ）ｃ（ｆ） ｐｈｉｓｍ

ｗ＾ ｃａｎ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｐｏｉｎｔ．

Ｉｆ

ｗｅ

ｍ

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ｈｏｌｄｓ

ｊｕｓｔ

ｉｎ

ｍｏｒ－ ｃａｓｅ

（ｔ）

ｉｄ．

＝

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

０：Ｃ（— ｘＡ，Ｂ） Ｃ（－，Ａ§Ｂ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ０ｃ｛ｆ） ｅｖＡｙＢ°（ｆｘ ｉｄ） ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （＊） ａｎｄ （ｆ） ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ９ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ． Ｔｈｕｓ， ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ｔｈｅ —？

＝

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ Ａ§ Ｂ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ａ ＝＞ Ｂ ａｎｄ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ￡Ｖａ，ｂ－ （Ａ （｝ Ｂ） ｘ Ａ —？ Ｂ ｉｓ ｔｈｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍ， ａｎｄ ｓｕｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｉｌｌ

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅｓ．

Ｒｅｍａｒｋ ４．４．２ Ｃ

ｗａｓ

Ｃ

—＊■

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．４

ｗｅ

ａｓｓｕｍｅｄ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ ｔｈａｔ

Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｔ ｉｓ

ｓｍａｌｌ．

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ａｐｐｌｙ ｖｅｒｙ ｓｉｍｉｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｗｈｅｎ Ｃ ｉｓ ｎｏｔ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ａ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｕｎｉｖｅｒｓｅｓ， ａｎｄ ｍｏｄｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ Ｌｅｍｍａ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｌｙ． Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｒｅｐｌａｃｅ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｌｏｃａｌｌｙ

（ｔｈａｔ

Ｓｅｔ

ｉｓ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｗｉｔｈ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｅｔｃ＇－ ＦＣ

—？■

ＧＣ ｗｈｉｃｈ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｐｒｏｄｕｃｔ

Ｗｏｒｋ

ｔｈｒｏｕｇｈ

＂ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｃ＂

ｉｎｄｅｘｅｄ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｌａｓｓ

ｍｅａｎｉｎｇ ｔｈａｔ

ａｎ

ｏｂｖｉｏｕｓ

ｈｏｌｄｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｅｔｃ－

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

Ｂｅ ｃａｒｅｆｕｌ

ｔｙｐｅｓ．

ａｒｅ

ａｎ

Ｗｉｔｈ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｔｏ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．４：

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ４．４．３

（１）

ｔａｒｇｅｔ Ｓｅｔ） ｗｉｔｈ

ｂｉｎａｒｙ

ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｃｒｕｃｉａｌ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ

ｄｅｒｉｖｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｓ ｃｏｍｍｕｔｅ， ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ ｏｆ ｄｅｒｉｖｉｎｇ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｃａｎ ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｉｎ ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｂｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ｔｈｅｉｒ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ． ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ ｏｆ

（２）

Ｗｏｒｋ

ｔｙｐｅｓ． Ｉｎ

ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （＊） ａｎｄ （ｆ） ｈｏｌｄ ｕｓｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ

￥ａ，ｂ．

４－５

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．５．１ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

Ｗｅ ｆｏｒｍａｌｉｓｅ ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．４．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｌｅｔ Ｓｇ ｂｅ

ｆｏｒ Ｓｇ ｉｎ Ｃ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ：

ａ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

Ｔｈｅｎ

ａ

Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

ａ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ， Ｍ，

４－５．

１６９

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

？

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

？

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

［ａ］ ？

ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｅｌｏｗ），

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｓｇ

７ ｏｆ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ ［７］ ｏｆ Ｃ，

ｓｙｍｂｏｌ

ｋ： ａ，

ａ

［＆］

ｅｌｅｍｅｎｔ

ｇｌｏｂａｌ

［ａ］ （ｗｈｅｒｅ

ｏｆ

ａｎｄ

ｓｙｍｂｏｌ ／：

ａｉ．．． ａｎ

ｆｔ ｏｆ Ｓｇ ｗｉｔｈ

—＊■

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ａｒｉｔｙ，

ａ ｍｏｒ－

ｐｈｉｓｍ ｌｆ＼：［ａｉ］ ｘ．．．ｘ［ａＢ］－［ｆｌ， ｗｈｅｒｅ

ｄｅｆｉｎｅ

ｗｅ

［ｕｎｉｔ］ ｄ＾ｆ １， ［ａ ｉｓ

ｘ

［ａ］ ｆｏｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｔｙｐｅ ａ ｖｉａ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ， ｓｅｔｔｉｎｇ ／？］ ＾ ［ａ］ ｘ ［０］ ａｎｄ ［ａ ＝？ ／？］ ｄ＝ ［ａ］ ＝？ ［／？］ （ａｎｄ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ［７］

ｇｉｖｅｎ）．

Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ｐｒｏｖｅｄ

＝

［ｘ＼： ａｉ，．．．， ｘｎ： ａｎ］

ｔｅｒｍ Ｔ ｈ Ｍ：ａ

ｗｅ

ｗｅ

ｓｅｔ

ｓｈａｌｌ

［ｒ］

ｕｓｅ

＝

［ａｘ］

ｘ

．．．

ｘ

［ａｎ］．

ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｔｏ

Ｔｈｅｎ

ｓｐｅｃｉｆｙ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［ＴＩ－Ｍ：ａ］：［ｒ］－［ａ］ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅｓ ４．３ ａｎｄ ４．４． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｉｓ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

ｐｒｏｖｅｄ

Ｌｅｔ ｒ＂ Ｉ－ Ｎ：

Ｌｅｍｍａ ４．５．２

ｔｅｒｍｓ ｉｓ

（５ ｂｅ

ａ

ｐｒｏｖｅｄ

ａｎｄ ｌｅｔ Ｔ ｈ Ｍｉ＇．ａｉ ｂｅ Ｔ ｈ

Ｎ［Ｍ／ｘ＼： （３ ［ｒ

ｗｈｅｒｅ

ｈ

ａ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｉ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ａｎｄ ｆｕｒｔｈｅｒ

Ｎ［Ｍ／ｘ］：ｐ］

ＡＴ［Ｍ／ｘ］

ＰＲＯＯＦ

ｉｓ

Ｂｙ

ｔｅｒｍ ｗｈｅｒｅ ｒ＇

＝

＝

［ｒ＇

ｈ Ｎ：

０＼

ｏ

（［ｒ

ｈ

１ ｔｏ

ｎ．

＝

Ｔｈｅｎ

［ｘ＼： ａｉ，．．．， ｘｎ： ａｎ］ ｏｎｅ ｃａｎ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｔｈａｔ

Ｍｘ： ａｊ，．．．， ［Ｖ ｈ Ｍｎ： ａｊ）

ｄｅｎｏｔｅｓ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｖ ｈ Ｎ： ｊ３．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ４．５．３

（１）

Ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｏｆ ｓｕｃｈ

（２）

Ｗｏｒｋ

ｔｈｒｏｕｇｈ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ

ｍｏｄｅｌ．

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ４．５．２．

Ｄ

１７０

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

．

［ｒ， ｘ： ａ， Ｔ

ｈ

ｘ：

ａ］ ｄ＝

ｔｔ：

［ｒ］

［ａ］

ｘ

［Ｔ］

ｘ

｜

［ａ］

－＞

Ｕｎｉｔ Ｔｅｒｍ

，

（ｗｈｅｒｅ

—

｛Ｔ ＼－｛）： ｕｎｉｔ］ Ｉ—

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

｜ Ｉ—

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＝＼：

ＩＴ］

＾１

Ｓｙｍｂｏｌｓ

．

［Ｔｒ－ｆｅ：ａｌ

＝

［＊］ｏ！：｜ｒｉ－＞ｌ－＞Ｗ

［ＴｈＭ１：ａ１ｌ＝ｍ１：［ｒｉ－＞［ａｉ］ ［ｒ

ｈ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ）

１ ｉｓ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ

／（Ｍ）： ／？］

＝

［／］

ｏ

［Ｔ

．．．

（ｍｌ５．．．， ｍｎ）： ［ｒ］

ｈ －？

Ｍ？：ａ？］ （［ａｊ

ｍｎ：

＝

ｘ

．．．

ｘ

［ｒ］

［ａｊ）

－？ －？

［ａｊ ［／？］

（／：＜＊！，．．．， ＜＊？－？／？） Ｉ—

Ｂｉｎａｒｙ

Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｔｅｒｍｓ

［ｒ ＼－Ｍ：ａ］＝ ［ｒ

ｈ

ｍ：

．

ｊＴ］

（Ｍ， ＪＶ）： ａ

ｘ

－＞

０＼

［ａ］ ＝

［Ｔ ＼－Ｎ：０＼

（ｍ， ｎ＞： ［ｒ］

＝

－＞

ｎ：

（［ａ］

ｊＴ］ ｘ

－＞

［ｆｌ

［／？］）

［ｒｈＰ：ａｘ／？Ｊ＝ｐ：［ｒｊ＾（［ａＪｘ｜［／？］｜） ［ｒ

ｈ

Ｆｓｔ（Ｐ）： ａ］

＝

ＴＴｉ ｏｐ：

［ｒ］ ４（［ａ］ｘ ［／？］）

－＞

［ａ］

－＞

［／？］

［ｎ－Ｐ：ａｘ／？］＝ｐ：［ｒｉ＾（Ｍｘ［／？］）

｜

［ｒ

Ｉ－

Ｓｎｄ（Ｐ）：／？］

＝

ｔｔ２ ｏｐ：

［ｒ］

－＞

（［ａ］

ｘ

［ｆｌ）

Ｆｉｇｕｒｅ ４．３： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

｜ ａ

Ａｘ－

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ

４－６．

Ｉ—

１７１

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔｅｒｍｓ

．

［ｒ，ｉ：ａｈＦ：＾］＝／：［ｒ｜ｘ［ａＨＭ ［ｒ

ｈ Ａｘ： ａ．Ｆ：

ａ ＝＊

／？］

Ａ（／）： ［ｒ］ －＞（［＜＊］＝＞？ ［／？］）

＝

［ＴｈＭ：ａ＾／？］＝ｍ：［ｒ］－＞（［＜＊］ ＝？＞［／？］）

Ｉ

［ｒ

ｈ ＭｉＶ：

／？］ １＊

Ｆｉｇｕｒｅ ４．４： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ．

ｅｔ； ｏ

（ｍ， ｎ）： ［ｒ］

［Ｔ

（［ａ］

－＞

ｈ ＪＶ：

ａ］

［ｆｌ）

＝？

＝

［ａ］

ｘ

［Ｔ］

ｎ：

［ａ］

－？

［

［ｆｌ

－＞

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａ

Ａｘ－

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ

４－６

Ｌｅｔ Ｍ ｂｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ４．６．１

ａ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ａ

ｉｎ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

Ｍ＇＼ ａ ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｒ ｈ Ｍ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｆ ［Ｔ ｈ Ｍ：ａ＼ ａｎｄ ［ｒ ｈ Ｍ＇： ａ］ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ （Ｓｇ，Ａｘ） ｉｆ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｎ Ａｘ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｓｐｅａｋ ｏｆ Ｍ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ａｘｉｏｍｓ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｅｍｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ａ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ． Ｇｉｖｅｎ

ａｎ

＝

＝

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｘａｍｐｌｅ：

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

Ｅｘａｍｐｌｅ ４．６．２

ｇｉｖｅ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐａｇｅ １６１． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｃｊＣＰＯ±， ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ａｎｄ ｗｈｏｓｅ

ｔｈｏｓｅ ｃｊｃｐｏｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｒｅ

ｅａｓｙ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｉｎ ｕｊＣＰＯ

｛￡， ／｝

ｗｉｔｈ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｎ

ｆ Ｇ

＜

Ｎ， ｗｈｅｒｅ

ｔｈｉｓ ｃ＾ｃｐｏ ｔｈｅ ａｎｄ

｛＊｝

ｔ， ａｎｄ

ｆｌａｔ

ｕｊＣＰＯ± ｉｓ

ａ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ＼ｂｏｏｌ＼

｛ｎａｉｊ ｎ

＝

ｍ

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ．

＝

ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ．

Ｑ， ｗｈｅｒｅ Ｑ， ｉｓ ｔｈｅ

Ｇ Ｎ ａｒｅ

Ｌｅｔ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ａ；ｃｐｏ． Ｗｅ ｔｈｅｎ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

ｕｓ

ｉｎｃｏｍｐａｒａｂｌｅ

ｓｅｎｄｉｎｇ

＊

ｔｏ ｔ．

？

［ｆｆ］： ｛＊｝

—？

Ｂ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｅｎｄｉｎｇ

＊

ｔｏ

Ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ［Ｃ］： Ｂ ｘ Ｎ ｘ Ｎ （ｔ， ｍ， ｎ） ｔｏ ｍ ａｎｄ （／， ｍ， ｎ） ｔｏ ｎ． —？

？

［Ｓ］： Ｎ

—？■

ａ

＾

ａｎｄ ｎ．

ｎ

＜

ｎ

Ｗｅ ｃａｌｌ

ｔｏ

ｓｙｍｂｏｌｓ： Ｂ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—＊？

ｍ

ｎ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ

—？

［ｋｎ］： ｛＊｝

ｇｉｖｅ

ｗｒｉｔｅ Ｂ ａｎｄ ｉＶ ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ ａ；ｃｐｏｓ，

［ｔｔ］： ｛＊｝

？

ｉｆ

ａｎ

Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ ｐｏｓｅｔ

ｗｉｔｈ ｏｒｄｅｒ ＿Ｌ ＜

？

？

Ｉｔ ｉｓ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ

｛＿Ｌ， ０，１，２，３．．．｝

Ｇ Ｎ ａｎｄ

ａ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｇｉｖｅｎ ｏｎ ｆｕｌｌ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｃｊＣＰＯ，

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｆｏｒ ａｌｌ ｍ，ｎ Ｇ Ｎ ｓｅｎｄｓ

Ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｉＶ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

／．

ｓｅｎｄｉｎｇ

ｓｅｎｄｉｎｇ

ｎ

＊

ｔｏ

ｔｏ

ｎ

ｎ．

＋ １．

１７２

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

？

［Ｐ］： Ｎ

—？

Ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｅｎｄｉｎｇ

ｎ

？

［Ｚ］： Ｎ

—？

Ｊ３ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｅｎｄｉｎｇ

０ ｔｏ ｔ ａｎｄ

？

ＩＹａ］： （Ｍ

Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｔｏ ＶｎＧＮ／ｎ（－Ｌ） ｗｈｅｒｅ ａ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ［ａ］．

Ｗ） ／： ［ａ］ ［ａ］

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＝＞■

ｉｓ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．６．３ ａ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ． Ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｉｓ ｆａｃｔ． Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．６．４

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅｎ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｎｙ

ａ

ｉｓ ａｎｙ

Ｉｔ ｉｓ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

Ｍ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—？■

—？■

＋ １ ｔｏ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ ０ ｔｏ ０．

ｎ

ｎ

／．

＋ １ ｔｏ

ｓｅｎｄｉｎｇ

ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｔｙｐｅ ｏｆ ７７＊ ａｎｄ ＿Ｌ

Ｇ

［ａ］

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ， Ｔｈ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ａ

ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｔｈ． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ

Ｐｒｏｏｆ

［Ｔ

ａ］

Ｉ－ Ｍ：

ａｎｄ

［Ｔ

ｂｙ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｎｇ

ｔｈａｔ ｉｆ Ｔ ｈ Ｍ

ｓｅｅ

ｈ Ｍ＇：

ａ］

Ｍ＇：

＝

ｅｑｕａｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ａｒｅ

ｉｓ

ａ

ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ

ａ

ｉｎ Ｃ．

Ｔｈｉｓ

ａｎｄ

ｍ

ｇｉｖｅ

ｏｎｅ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

［ｒ

ｈ

ｏｆ ｔｈｉｓ． Ｌｅｔ

ｅｘａｍｐｌｅ

ｄ＝ ［ｒ ＼－Ｍ：ａ］： ［Ｔ］

（Ｃａｓｅ

［ａ］． Ｔｈｅｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ）： －？？

（Ａｘ：ａ．Ｆ）Ｍ：０＼

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｔｅｐ ｆｏｌｌｏｗｓ Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．６．５

Ｗｏｒｋ

ｂｙ

／ ｄ＝ ［Ｔ， ｘ： ａ

ｗｅ

ｈ Ｆ：

ｇｉｖｅｎ ｏｎ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ

／？］： ［Ｔ］

ｘ

［ａ］

ｅｕ（＼ｒｖ－＼ｘ：ａ．Ｆ：０＼，［Ｔ＼－Ｍ：ａ］）

＝

ｅｖ（Ａ（／），ｍ＞

＝

ｅｖ（Ｘ（ｆ）

＝

ｆ｛ｉｄ，ｍ）

ａｎ

ｔｈｒｏｕｇｈ

－？

［／？］

ｈａｖｅ

＝

＝

Ｔｈｅｏｒｅｍ

ｂｅ ｓｈｏｗｎ

ｃａｎ

ｔｈａｔ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ

ｐａｇｅ １６２ ｉｆ Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｉｃｈ ａ＊ｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｒｕｌｅ． Ｗｅ

Ｔｈ， ｔｈｅｎ

ｘ

ｉｄ）（ｉｄ，ｍ）

ｌＴ＼－Ｆ［Ｍ／ｘ）：ｐ］

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

Ｄ

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ４．５．２．

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ

ｔｈｅ

４．６．４．

４－７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ Ｍｏｄｅｌｓ Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．７ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．７．１

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ａｎ

ｎａｍｅｌｙ ｂｅｔｗｅｅｎ

Ａｉｏｄ（Ｔｈ，Ｃ）， ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｓｉｍｉｌａｒ ｓｔｏｒｙ ｉｎ ｔｈｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｎ

ａ

ｃａｓｅ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ，

ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ

ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

ｗｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｎａｍｅｌｙ ＴＶ｛￡，，！｝）． Ｌｅｔ ｕｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

４．７．

１７３

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ Ｍｏｄｅｌｓ

Ｗｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅ

ａｐｐｒｏａｃｈ ｗｈｉｃｈ ｍｉｍｉｃｓ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．７． Ｇｉｖｅｎ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ Ｃ ａｎｄ Ｖ ａｒｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＯＯＣａｔ（Ｃ，Ｖ） ｔｏ ｈａｖｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｍａｋｅｓ ｇｏｏｄ ｓｅｎｓｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ｏｎｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ Ｍ ａｎｄ Ｎ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ （ｉｎ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｓａｙ）． Ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ｍ Ｎ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈａ： Ｈｍ Ｈｎ ｆ°ｒ ｅａｃｎ ｔｙｐｅ ａ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｈ， ｗｈｉｃｈ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ （ｊｕｓｔ ａｓ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ—ｓｅｅ ｐａｇｅ １３７）， ａｎｄ ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｈ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅｓ， ｂｙ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｍｅａｎ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ａｎ

—？■

—＊

Ｈｍ

ｘ

－

Ｍ

Ｈｎ

ｘ

７Ｔ

Ｈｎ

ｈａ

＝＞

ＩＰ］ｍ）

ｘ

Ｈｍ

ｎｊ

／ｉｎｊ

＊ＪＭ

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ｎ？［７ｆ］Ｎ （ｍ＇， ｎ＇）

（ｍ， ｎ）

７Ｔ

ａ］ Ｍ （Ｈｍ

Ｎ

Ｈｍ

ｋ｛ａ＊０）ＸＱ＞

ｘ

［／？］Ｍ

ｈＱ ｘ／３

（Ｈｎ

Ｎ

Ｈｎ

ｘ

［ｆｌＮ

）ｘＨ Ｎ

ｅｖ

ｅｖ

Ｎ

Ｍ

ｎ？Ｗ Ｍ

／ｌｎｎ７．

ｎ？ｂ］Ｎ

Ｈｆ） Ｈｍ

＝？

Ａ（／） Ｍｍ

ｌａ＝＞０

＜＊］ｎ

＝？

Ｍｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｍ， ｎ ａｎｄ ／． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｎ Ｃ， Ｍｏｄ（Ｔｈ，Ｃ）， ｈａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｍｏｄｅｌｓ Ｍ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／ｉ：Ｍ ａｒｅ ｍｏｄｅｌ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｌｉｋｅ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａ ｇｉｖｅｎ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ， ｗｅ ｃａｎ ｆｉｎｄ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｖ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｏｍｍｕｔｅ ｆｏｒ ａｌｌ

—？

ＡｐＧ ： ＣＯＣａｔ（Ｃｌ（Ｔｈ），Ｖ）

￣

Ｍｏｄ｛Ｔｈ，Ｖ）

ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ＡｐＧ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈａｔ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｎ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｖ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ Ｕｎｄｅｒ ｓｕｃｈ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ， ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ｍ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａ

—？■

１７４

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

ｓｅｎｔ ｔｏ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＜￡： Ｍ

Ｃｌ（Ｔｈ），

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｏｎｅ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ （ｆ＞ ｉｓ ｎｏｔ

ｃａｎ

ｏｆ

ａ

＜／＞ａ

＝

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ＇＜ｆ＞

ｉｎ

ａｎ

（ｚ： ７ Ｉ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｘｘ：

７

Ｖ ｗｈｅｒｅ

—？■

／ｉａ． Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

（ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ）

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ （ｆ＞ ｉｓ ｎｏｔ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．７．２ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ａｎｄ

Ｃｌ（ Ｔｈ）

ｉＶ：

—＞

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ａ

ａ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｍ（ａ）

ｐｒｏｂｌｅｍ

＝

［ｃｋＪｍ

ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ．

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｈｉｎｔ：

ａ

ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ）

ａ．Ｍ）： ７

—？

（ａ

＝＞

ａｔ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

／？）．

ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ， ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ Ｎ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ Ｍ ａｎｄ Ｎ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｖ． ｐｒｏｄｕｃｔｓ Ｖ ａｎｄ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ｍ Ｄｏ ｙｏｕ ｔｈｉｎｋ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｏｓｅ ａｔ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ？

Ｔｒｙ

ｔｏ ｔｈｉｎｋ ｏｆ

ａ

—？

Ｗｅ

ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．７．１ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｍｏｒｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ａｘ－ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｓｔｉｌｌ ｅｎａｂｌｅ ｕｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｗｉｌｌ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｏｓｅ ａｔ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ． Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， Ｃ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ Ｎ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ Ｍ ａｎｄ Ｎ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ． Ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ： Ｍ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．７．３

ｃａｎ

ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

—？■

？

ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

／ｉ７： ［７］ｍ

－＊

Ｍｎ

ｏｆ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｏｆ

ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ

Ｔｈ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ？

ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｈ ａｔ

ａ

ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

／ｉ７，

７ ｏｆ Ｔｈ ｉｓ

ａｎｄ ａｔ

ｐｒｏｄｕｃｔ ａｎｄ

ｄｅｆ

ｄｅｆ

＝

＝

ｈａ ｘ ｈｐ ａｎｄ ｈＱ＝＞ｐ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｈａｘｐ ｈ￣ｌ ＝＞ ｈｐ， ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｈ ａｒｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ Ｔｈ． Ｗｉｔｈ

ａｒｅ

ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ Ｍｏｄ＊（Ｔｈ，Ｃ） ｔｏ ｈａｖｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｉｎ Ｃ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ． Ａｌｓｏ， ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｖ ｂｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｗｒｉｔｅ ＯＯＣａｔ＾（Ｃ，Ｔ＞） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｏｂｊｅｃｔｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｃ Ｖ， ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｗｅ ｎｏｗ ｎｅｅｄ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｍｏｒｅ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ｔｏ ｓｅｔ ｕｐ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． ｔｈｉｓ，

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

—？

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

Ｖ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ａ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｆ： Ｃ

—＞

ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｆ＊ Ｌｅｔ Ｍ ｂｅ

ｇｉｖｅｎ

：Ｍｏｄｃ＊（Ｔｈ，Ｃ）

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ．

ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ， ｔｈｅｎ

ｗｅ ｃａｎ

Ｉｆ

ｗｅ

—＞

Ｍｏｄ￣｛Ｔｈ，Ｖ）．

ｄｅｆｉｎｅ

［７］ｆ．ｍ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

＝

ａ

－＾Ｈｍ

ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ｗｈｅｒｅ ７ ｉｓ

ａ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

４－８．

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

１７５

Ａｘ －Ｔｈｅｏｒｙ

ａ

［ａ］ｆ，Ｍ ＾［ｑｉＪｍ ｗｈｅｒｅ ａ ｉｓ ａｎｙ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｆ＊Ｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ［７］ｆ．ｍ ＾Ｈｍ ｏｎ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ［／］ｆ．ｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ＝

＝

［＜＊ｉ］ｆ．ｍ

ｘ

ｘ

．．．

［ａｎ］Ｆ．Ｍ

＝

Ｆ（Ｍｍ

ｘ

Ｆ［ａｎ］Ｍ ＝＇ Ｋ］Ｍ） Ｆｊ＾ Ｆ＼０＼Ｍ Ｓ ［／？］ｆ．ｍ

Ｆ［ａｉ］Ｍ ．．．

ｘ

ｘ

．．．

ｘ

／？ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ７７ｉ ａｎｄ ＝＇ ａｒｉｓｅｓ ｆｒｏｍ Ｆ ／：ａｉ，．．．，ａｎ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆ＊ｈ ｈａｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｔ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ７ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （Ｆ＊／ｉ）７ Ｆ（／ｉ７）． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｏｎｅ ｍｏｒｅ ｐｉｅｃｅ ｏｆ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ｔｏ ｓｅｔ Ｇ ｂｅ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｕｐ ｏｕｒ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｌｅｔ ＜ｆ＞： Ｆ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ＜／＞＊Ｍ： Ｆ＊Ｍ Ｇ＊Ｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ （＜＾＞＊Ｍ）７ ＾Ｍｍ， ｗｈｅｒｅ ｈｅｒｅ ７ ｉｓ ａｎｙ ＜／＞［７ｊＭ： ＾［ｔＪｍ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ． ｗｈｅｒｅ

—＞

＝

—？■

—？

—＊■

＝

Ｗｒｉｔｅ ｏｕｔ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．７．４

ａ

ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ Ｆ＊Ｍ

ｐｒｏｏｆ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｔ＞ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｆ＊ｈ

Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

＜／＞＊Ｍ

ｉｓ

ａ

ｉｓ

ａ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｌｅｔ Ｃ ａｎｄ Ｖ ｂｅ ｆｉｘｅｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ａｎｄ ｌｅｔ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．７．５ Ｍ ｂｅ ａｎｙ ｍｏｄｅｌ ｏｆ

ｒｅａｌｌｙ

ｒｅａｌｌｙ ｉｓ ａ ｗｅｌｌ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ．

ａ

ｆｉｘｅｄ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆａｍｉｌｙ

ｏｆ

ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

＾

Ｇ ｉｓ ａｎｙ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ＡｐＭ：ＧＱＣａｔｃ＊（Ｃ，Ｖ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ＾４ｐＭ（Ｆ）

＝

－？

Ｍｏｄ￣（Ｔｈ，Ｖ）

Ｆ＊Ｍ ａｎｄ ＡｐＭ（＜ｆ＞）

＜／＞＊Ｍ， ｗｈｅｒｅ ＜ｆ＞：Ｆ

＝

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｕｓｅ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｅｃｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｔ ｕｐ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． ｎａｔｕｒａｌ

４－８

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．８．１ ａｓ ａ

Ａ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ Ｔｈ

ａ

Ａｘ

ｆｏｒ

ａ

－Ｔｈｅｏｒｙ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ｓｏｍｅ ｓｅｎｓｅ

ｃａｎ

ｂｅ

ｔｈｏｕｇｈｔ

ｏｆ

ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｓｕｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｒｉｓｅｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｆｒｅｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｏｒ ｇｒｏｕｐ ｏｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｓｅｔ—ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｔｏ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｒｅｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｇａｄｇｅｔｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ—ｉｎ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ ａｓ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． ｃａｎ

ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ

ｓｏｕｎｄｌｙ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｓｅｅ

ｌａｔｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ． Ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ｉｓ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｔｈ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ） Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ

ａ

ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

１７６

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ＡｐＧ：ＧＣＣａｔ￣（Ｃｌ｛Ｔｈ），Ｖ）

Ｍｏｄ￣｛Ｔｈ，Ｖ）

—？

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ． Ｓｕｃｈ ａ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃａｌｌｅｄ ｇｅｎｅｒｉｃ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｕｎｉｑｕｅ ｕｐ ｔｏ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｐｌａｙ ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｓｔａｒｔ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．８．１． Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ ａｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ３．８．１． ｉｓ

ａｎ

Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ４．８．２

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｙ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ａ

ａｎ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｃｌ（Ｔｈ）

ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ＡｐＧ：ＧＣＣａｔ￣（Ｃｌ（Ｔｈ），Ｖ）

ａｎ

ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｎ

Ｍｏｄ￣（Ｔｈ，Ｖ）．

—？

ｔｈａｔ ｗｈｅｎｅｖｅｒ

ｃａｓｅ

Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

Ｃｌ（Ｔｈ）＇ ａｎｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｅｑ： Ｃｌ（Ｔｈ） Ｃｌ（Ｔｈ）＇

Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ａ

￣

Ｇ＇ ａｌｓｏ ｈａｖｅ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｅｑ＊Ｇ

＾

Ｇ＇．

Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃｌ（Ｔｈ） —＊■ Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ ｙｉｅｌｄｓ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ Ｔｈ ｂｙ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｍ， ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｔｈｉｓ ｍａｙ ｂｅ ｓｅｅｎ ｐｉｃｔｏｒｉａｌｌｙ ａｓ

ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｔｈ

ｒｎ，

Ｔｈ

Ｍ

＾ －

Ｖ ｗｈｅｒｅ Ｆ＊Ｇ

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ＰＲＯＯＦ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ

ａｎｙ ｔｗｏ ｓｕｃｈ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ

Ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ

ａｒｅ

ｔｈｅ

＝

Ｍ．

ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ．

ｓａｍｅ ａｓ

ｆｏｒ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

３．８．３．

３．８．２ ａｎｄ Ｄ

Ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｉｄｅａ ｏｆ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈａｔ ｆｏｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ３． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｂｅｃａｕｓｅ ｗｅ ｍｏｄｅｌ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｃｏｎｔｅｘｔｓ ｂｙ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｗｈｅｎ ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ ｈａｄ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｄｉｒｅｃｔｌｙ （ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｊｕｘｔａｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｅｘｔｓ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ４．８．３

ｅｍｐｔｙ ｃｏｎｔｅｘｔ ｔｏ ｏｆ

ａ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ）．

Ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ａ ｕｎｉｔ ｔｙｐｅ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｓｉｍｐｌｅｒ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ：

４．８．

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．８．４

Ｗｅ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｃａｎ

ａ

ａ

Ｅｖｅｒｙ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｈａｓ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ）． ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ Ｔｈ．

Ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ

ＰＲＯＯＦ

１７７

Ａｘ －Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｌ（Ｔｈ）

ｂｅ

ｃａｎ

ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ

ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

ｉｎ

ｓｏｍｅ

ｒｅｓｐｅｃｔｓ ｆｒｏｍ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｈａｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔｓ ｏｆ ｔｙｐｅｓ． Ｏｕｒ ｓｙｎｔａｘ ｎｏｗ ｈａｓ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ａ ｕｎｉｔ ｔｙｐｅ ａｎｄ ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｉｓ ｆａｃｔ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ． ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ） Ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ） Ｔｈｅ

ａｎ

ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｏｆ Ｔｈ． ａｒｅ， ｒｏｕｇｈｌｙ ｓｐｅａｋｉｎｇ， ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ ａｔ ｍｏｓｔ ｏｎｅ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｐｒｏｖａｂｌｅ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｎ Ｔｈ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ —？ （５ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｒａｗ

（ｘ： ａ ＼ Ｍ）

ｔｅｒｍ ｆｏｒ

ａｒｅ

ｐａｉｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （ｘ：ａ， Ｍ） ｗｈｅｒｅ ｘ ｉｓ ａ ｖａｒｉａｂｌｅ ａｎｄ Ｍ ｗｈｉｃｈ Ｓｇ ＞ ｘ： ａ ｈ Ｍ： ／？， ｗｉｔｈ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ

（ｘ：ａ，Ｍ）￣（ｘ＇：ａ１Ｍ＇）

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｉｆｆ

Ｔｈ

＞

ｘ：ａ ｈ Ｍ

＝

Ｍ＇［ｘ／ｘ＇］：（３．

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｒａｗ ｔｅｒｍ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ （ａｓ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ） ａｎｄ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｎ ａ （ｘ：ａ ｜ ｘ）． ｏｆ

Ｇｉｖｅｎ ｔｗｏ

ａ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

／？， ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ａｘ／？ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ７ｒａ： ａ ｘ （５ （ｚ： ａ ｘ ０ ｜ Ｆｓｔ（ｚ）） ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｉｒｐ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｌｉｋｅｗｉｓｅ ｆｒｏｍ Ｓｎｄ． Ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ａｎｄ （ｙ．＇ｙ ＼ Ｎ）：ｊ （３， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｘ：ｊ ＼ Ｍ）：＾ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｏｂｊｅｃｔｓ

ａ

ａｎｄ

—？■

—？

—＊■

ａ

（２：７ Ｉ （Ｍ［ｚ／ｘ］，Ｎ［ｚ／ｙ］））：ｊ Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

（ｘ：ａ Ｉ （）） ｉｓ ｆｏｒ Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｎｏｗ

ｔｈｅ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｗｅ

—＞

ｕｎｉｔ

ｓｏ

ａ

ｘ

ｊ３．

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈａｔ ｕｎｉｔ ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａ —？

ａ

ａ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ／？ ａｎｄ ７ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （３ ＝＞ ７． Ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｚ： ａ ｘ （３ ＼ Ｍ）： ａ ｘ （３ ７ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｍａｔｅ Ｘ（ｚ： ａ ｘ ｊ３ ＼ Ｍ）： ａ —？ ｛（３ ＝＞ ７） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｗｅ ｍｏｖｅ

ｔｏ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｔｈｅ

—＊

（ｘ：ａ Ｉ ＼ｙ：Ｐ．Ｍ［（ｘ，ｙ）／ｚ］）

（ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｅｒｍ）．

ｗｅ ｃａｎ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

Ｓｇ

＞

ｘ： ａ ｈ

Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ

Ｃｌ｛Ｔｈ）．

Ｘｙ： ／？．Ｍ［（ｘ， ｙ）／ｚ＼： （３ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ａ

＝＞ ７

ｉｓ

ａ

ｐｒｏｖｅｄ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

１７８

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ

［７］

＝

ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ （５ ／： ａ１？．．．， ａｎ

７ ｗｈｅｒｅ ７ ｉｓ ａｎｙ

ａ）．

ｆｏｒ ａｎｙ ｔｙｐｅ

ａｒｉｔｙ

＝

Ｉｆ

ｉｓ

—＊■

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｓｇ

ｗｉｔｈ

（．．． （（ａｉ ｘ ａ２） ｘ ａ３） ｘ ．．．） ｘ ａｎ ａｎｄ ｗｈｅｒｅ Ｐｒｏｊｎ（ｚ） Ｓｎｄ（Ｆｓｔ（ｚ）） ａｎｄ ｓｏ ｏｎ． Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｗｅ ｈａｖｅ

＝

＝

Ｓｇ

Ｆｉｎａｌｌｙ， Ｔｏ

［ａｊ

ａ

＝

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｉｆ ｋ：

ａ

［ｆｃ］

ｔｈｅｎ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ ｗｅ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ —？

Ｍｏｄ￣（Ｔｈ，Ｖ）， —＞Ｆ＇

＾

４＞＊Ｇ： Ｆ＊Ｇ

Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ａｐ＾ Ｍｏｄ￣（Ｔｈ，Ｖ）． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ａｐ＾Ｍ： Ｃｌ（Ｔｈ）

－？

： ａ —？

０

Ａｐ＾Ｍ ｉｓ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ．

Ａｉｏｄ＊（Ｔｈ， Ｖ）．

Ｗｅ

ｃａｎ ｎｏｗ

Ａｐ＾Ｎ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ （Ａｐ＾ｈ）ａ ／ｉａ： ［ｏ］ｍ ＝

ｎａｔｕｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

ｈ Ｍ：

［＜＊］ｎ－

ａｎ

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ

ｔｈａｔ ｉｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｃａｎ

ｆｏｒ ａｌｌ

ｈ

ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｔａｋｅ

ｓｅｎｓｅ —？

ａｎ

ｂｙ Ｍ－

ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

Ｎ ｂｅ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ —＞

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｏｅｓ ｉｎｄｅｅｄ ｄｅｆｉｎｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｘ： ａ ＼ Ｍ）：

［ｘ： ａ ＂

ｒ

ａ —？

（３

ｉｎ

ａ

Ｃｌ（ Ｔｈ）

Ｍｎ

０＼Ｍ

ｄｏ ｔｈｉｓ

ｐ

Ｌｅｔ ｈ： Ｍ

＂

ｍ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｗｅ

Ｖ

ｇｅｎｅｒｉｃ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ Ａｐ＾ｈ： Ａｐ＾Ｍ ｏｂｊｅｃｔ ａ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ） ｔｏ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

＜＊］ｍ

［ｘ： ａ

ａｓ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｔ －？

Ｆ＾Ｇ

［ｘ：ａｈ Ｍ：０＼Ｍ ： ［ａ］Ｍ

ｌ—－

Ｔｈｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｍａｋｅｓ

ｔｈａｔ

—＞

ｗｈｅｒｅ Ｇ ｉｓ ｔｈｅ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ

（ｘ：ａ Ｊ Ｍ）

ｆｕｎｃｔｏｒ

ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ， Ｍ ｉｎ

Ｓｎｄ（ｚ），

（ａ；： ｕｎｉｉ ｜ Ａ；）．

＝

４＞：Ｆ

ｏｂｊｅｃｔ

＝

ｚ：ＩＩＪａ￡ｌ－／（Ｐｒｏｊ１（ｚ），．．．，ＰｒｏｊＢ（ｚ））：ｊ９．

＞

ＡｐＧ ： ＣＯＣａｔ￣｛Ｃｌ｛Ｔｈ），Ｖ）

ｓｅｅ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ

ｈｅｎｃｅ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ

Ｓｇ （ａｎｄ ａ

ｉｓ

［／］ ＊ｆ （ｚ： ＩＩＪｃ＊ Ｉ ／（ＰｒｏｈＣｚ），．．．， Ｐｒｏｊｎ（ｚ）））

Ｕ＾ａｉ Ｐｒｏｊｎ＿１（ｚ）

ａｎ

ｏｆ

Ｃｌ（Ｔｈ）

ｉｎ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈｅｎ

ｎ

ｗｈｅｒｅ

ｉｓ

（Ｓｇ，Ａｘ）

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｈ Ｍ：

／？］Ｎ

ＩＰＪｎ

ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ

Ｍ：／？］Ｎ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｒ ｈ Ｍ：／？， Ｔ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｇｉｖｅ ｊｕｓｔ ｏｎｅ ｃａｓｅ．

ｏ

ｈｒ

＝

ｗｈｅｒｅ ／ｉｐ

ｈ０ ＝

ｏ

［ｒ

ｈ

ｘ＂／ｉａｉ

Ｍ：／？］Ｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｏ＾ ａｐｐｅａｒ ｉｎ

４．８．

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

（Ｃａｓｅ

ａ

１７９

Ａｘ －Ｔｈｅｏｒｙ

Ｘｙ：（３．Ｍ：（３ ＝？ ７）： ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ， ｔｈｅｎ ｓｏ ｉｓ Ｔ， ｙ： ／？ ｈ Ｍ： ７． Ｂｙ ｔｈｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ ｒ ｈ

Ｍ：（３

［Ｔ］Ｍ ７７１

Ｉｆ Ｔ ｈ

ｉｓ Ｔ ｈ

＾－＾

［０］Ｍ

ｘ

＼ｙ：（３．Ｍ：（３ ＾ ７ ｉｓ ａ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ， ｗｅ ｈａｖｅ

［Ｔ］Ｎ

［／？］Ｎ

ｘ

ｄｅｆ

ｍ

＝

［ｒ，ｙ：＾ｈＭ：７］Ｍ

ｈｙ

ｈ￣ｉｏｍ

ｏ ｍ ｏ

Ｏｕｒ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｓ

Ｍｎ

７

／ｉ７

ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｘ＞， ｔｈａｔ ｉｓ

（ｉｄ

（／ｉ＾１

ｏ ｅｖ ｏ

＞

ｘ

＝＞

（ｉｄ

ｍ！

＝

ｆｙ＾１）

／ｉ７）

ｘ

（ｈＴ

ｏ

＝

ｍ＇

Ａ（ｍ）

ｏ

／ｉ＾），

ｘ

（／ｉｒ

ｏ

ｈｇ１）） Ａ（ｍ） ｏ

＝

ｉｄ）． ｏ

（２） ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｅｖ ｏ

ｔｈａｔ

ｅｖ ｏ

ｔｈａｔ ｂｏｔｈ Ｉ ａｎｄ

ｈｒ）

ｏ

Ａ（ｍ＇

（［Ａ（／ｉ７

ｘ

ｏ

ｉｄ）

（／ｉｒ

ｏ ｅｖ ｏ

＝

ｘ

（ｉｄ

ｅｖｏ

ｉｄ）） ｘ

（Ａ（ｍ／） Ａ（ｍ＇）

＝

ｔｏ

ａ

ｘ

ｉｄ）

＝

ｍ！

ｏ

ｈｒ

ｒ， ａｎｄ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｏ

ｈ＾ｏ ／ｉ７

（／ｉｒ

ｏ

＝

ｏ

（／ｉｒ

ｘ

ｉｄ）

ｉｄ）

ｘ

ｅｖ ｏ

ｏ ｍｏ

／ｉ＾１） （Ｘ（ｍ） （ｉｄ ｘ／ｉ＾１） （ｉｄ

ｘ

ｏ

ｘ

ｉｄ）

ｔｈａｔ

Ａ（／ｉ７ ｏ ｍ ｏ （ｉｄ Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ

ｅ ：

ｃｅｒｔａｉｎ ｄｅｒｉｖｅｄ

ｅｑｕａｌ

ｒ ａｒｅ

ｉｄ）

ｘ

／ｉ＾１）） Ａ（ｍ）］ ＝

Ｔｏ

（２）

．

＇

ｖ

ｒ

＝

ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ｆｏｒ

ｏ

ｍａｔｅ． Ｗｅ ｈａｖｅ

（（Ａ（ｍ／）

ｉｍｐｌｙｉｎｇ

（１）

／ｉｒ， ｗｈｉｃｈ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

Ａ（ｍ＇）

＂

＇

ｖ

ｘ

Ａ（ｍ／）

＝

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ

ｏｒ

Ｉ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｐｒｏｖｅ

＝

［ｒ，ｙ：／？ｈ－Ｍ：７ｌＮ

Ｍｍ

Ａ（／ｉ７

ｄｅｆ

，

（１）

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ＡｐＧＡｐＧｌ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ｔｈａｔ Ｉ

ｔｈｅ ＝

ｈ＾１））

ｘ

＝

ｐｒｏｏｆ

ｒ．

ｗｅ

＝

Ａ（／ｉ７ ｏ

ｅｖ ｏ

（ｉｄ

ｘ

Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ

ｎｅｅｄ

ｉｄｊｕｏｄ＾Ｔｈｊ））

ｗｅ

／ｉ＾１）） Ｘ（ｍ） ｏ

ｃａｓｅｓ

７７：

／．

ｐｒｏｃｅｅｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ．

ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｎａｔｕｒａｌ

ａｎｄ

＝

ｉｄａｎａＳ！（ｃｉ｛Ｔｈ），ｖ）

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

—

ＡｐＧｌＡｐＧ．

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ａ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｖ ａｎｄ ｇｉｖｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｃｍ＇－ ＡｐＧ（ＡｐＧ１ＴＳ／Ｌ） Ｍ， ａｎｄ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｉｓ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ｉｔｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｔ ａ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ７ ｏｆ Ｔｈ． Ｗｏｒｋｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ （ ｍ）７： ［ｔ］ｍ ［ｔ］ｍ５ ａｎｄ ｗｅ ｔａｋｅ ｔｈｉｓ ｔｏ ｂｅ ｉｄ［７ｊＭ， ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｖ， ａｎｄ ｎｏｔｉｎｇ ｔｈａｔ Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， ｇｉｖｅｎ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃｌ（Ｔｈ） Ｆａ． Ｔｈｉｓ ＡＰｇ＾ＡｐｇＦ）＾） Ｆ（［ａ］Ｇ） Ｆａ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ （ｒ）Ｆ）Ｑ ｄ＝ ｉｄ： Ｆａ Ｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ． ｅ

—？

—？■

—？

＝

＝

－？

１８０

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ４．８．５

（１） Ｗｈｙ

ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｃｒｕｃｉａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

（２） Ｖｅｒｉｆｙ ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｓｏｍｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ＡｐＧ（Ａｐ＇＾＇Ｍ．）

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ａｎｄ

ａ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ） ＝

ｐｒｏｏｆ

ｔｈａｔ

Ａｐ＾ｈ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ—ｔａｋｅ

ａ

＝

Ｔｈ ｉｎ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ （ｕｐ

Ｃｌ（Ｔｈ）

—？■

ｔｏ

Ｃ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ａｐ＾Ｍ．—ｓｅｅ

＝

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｏ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ［—］ｍ－ ／３． Ｔｈｅｎ ｓｙｍｂｏｌ ／： ａ１？ ａ２

Ｆｏｒ

ｐａｇｅ １７８．

Ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｔｏ

Ｍ． Ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ ｉｓ

［／］ｆ．ｇ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ

［ｚ：ａｉ

—？■

ｏ

ｈ

｛［ｚ： ａｉ

／（Ｐｒｏｊ＾Ｐｒｏｊ＾ｚ））：／？］＾ ｘ

ａ２ ｈ

Ｆｓｔ（ｚ）： ａｉ］Ｍ， ［２： ＾ＸＱｚｈ Ｓｎｄ（ｚ）： ａ２］Ｍ）

［／］Ｍｏ（７ｒ，７ｒ＇）

＝

［／］ｍ．

＝

ＦｉＧ

ｘ ａ２

［／］ｍ

＝

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

Ｆ（ｚ：ａ！ｘａ２ Ｉ／（ＰｒｏＪｉＷ．ＰｒｏＪａＷ））

＝

＝

ｗｈｉｃｈ

ａ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

Ｇｉｖｅｎ

ｓｔｒｏｎｇ ｗａｙ．

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：

ｕｎｉｑｕｅ

ａ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ

４．８．２ ｉｎ

ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ

Ｄｅｆｉｎｅ Ｆ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ＇： ＝

Ｍ． Ｉｆ

ｉｓ

ａ

Ｆａ

ａｎ

ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔ

ｄ＾ｆ ［ａ］Ｍ

＝

Ｃｌ（Ｔｈ）

Ｈｆｉｇ

＝

Ｃｌ（Ｔｈ）

—？

Ｃ ｆｏｒ

ｔｈｅｎ

Ｆ＇Ｗｇ

＝

Ｆ＇ａ

ｂｅｃａｕｓｅ Ｆ＇ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ， ａｎｄ ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．８．７

＾．Ｐ

ｉｓ

Ｍ．

Ｐｒｏｏｆ Ｆ＊Ｇ

Ｍ ｉｓ

—？

Ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ

Ｆ＊Ｇ

ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ

ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ．

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ４．８．６

ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ｏｃｃｕｒ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

（３） Ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｃｍ＂． ｃａｒｅ

ｗｈｉｃｈ

ｃａｓｅｓ

Ａｐ＾？

Ｔ／ｉｅ

Ｆ

＝

Ｆ＇．

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｆ

ａ

Ｄ ＝

Ｆ＇ ｉｎ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ

４．８．６．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．９．１

Ｗｅ ａｉｍ ｔｏ ｓｈｏｗ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｔｈａｔ，

ｉｎ

ａ ｓｅｎｓｅ

ｔｏ ｂｅ ｍａｄｅ

ｐｒｅｃｉｓｅ，

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ． Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａｎｙ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ（Ｃ） ｉｎ ａ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｗａｙ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｉｎｖｅｒｓｅ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｕｃｈ ａ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｔｈｅ

４－９．

１８１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．９．２

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， Ｔｈ（Ｃ） Ｔｈ（（ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ｛Ｃ） ｉｎ Ｃ．

＝

（Ｓｇ（Ｃ），Ａｘ（Ｃ））．

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｗｅ ｃａｎ

ａｓｓｏｃｉａｔｅ

ａ

ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ

ａ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ（Ｃ） ｈａｓ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｗｉｔｎｅｓｓ ｃｅｒｔａｉｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ Ａ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ Ｓｇ（Ｃ） ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｇｒａｍｍａｒ ＰＲＯＯＦ

Ｔｈｅ

ａ ：：＝

｜

ｕｎｉｔ

＼

Ａ

ａ

＂＂ｘ＂１

ａ

＼

ａ

ｒ＝＾￣ｌ

ａ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ， ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｒｘｎ ｓｉｍｐｌｙ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｓ ｆｏｒｍａｌ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ Ｓｇ（Ｃ） ｆｒｏｍ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｘ ｉｎ Ｃ （ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ ＝＞）． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｋ： １ Ａ ｉｎ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｘ Ａｎ Ｂ ｉｎ Ｃ ｓｙｍｂｏｌ ｋ： Ａ， ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ／： Ａ＼ ｘ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ／： Ａ＼，．．．， Ａｎ Ｂ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ， ｅａｃｈ ｏｆ ａｒｉｔｙ １， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｏｒｔｉｎｇｓ： ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａｎｙ

—？■

—？

．．．

—？

？

ＪＱ： ［ａ］

？

ＪＱ：

ａ

ａ， ａｎｄ

—？

［ａ］

—？

［ａ］

ｗｈｅｒｅ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｅｌｏｗ．

（Ｈｅｒｅ，

ａ

ｒｕｎｓ

ｏｖｅｒ

ａｌｌ ｔｙｐｅｓ ｏｆ

Ｓｇ（Ｃ））． Ａ ｆｏｒ Ｓｇ（Ｃ） ｉｎ Ｃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ［Ａ］ ｅａｃｈ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｓｇ（Ｃ）， ［ｋ］ ｋ， ［／］ ／ ａｎｄ ［Ｉａ］ ［Ｊａ］ ｉｄ［ａ］． （Ｎｏｔｅ ｄｅｆ ｄｅｆ ｔｈａｔ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｗｅ ｈａｖｅ ［ａ ｒｘ＾ （３＼ ［ａ］ ［ａ］ ｘ ［／？］ ａｎｄ ［ａ ｒ＝＾ ／？］ ｓｅｅ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．５．１）． Ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｆｏｒ

＝

＝

＝

ｉｔ

＝

ｉｒ ／ｙｎ

ｉ

ｉ

ｉｔ

ｉ－

＝

．

￣ｉ

／？ｔｉ

＝

Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｘｉｏｍｓ

Ｓｇ（Ｃ） Ｔｈ（Ｃ） ｉｎ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ｗｈｉｃｈ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ

Ｃ．

ＴＨＥＯＲＥＭ ４．９．３

Ｗｅ ｗｒｉｔｅ

Ａ ｏｆ Ｃ ａｎｄ

［－］

ｔｈａｔ Ｍ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

—＊

ｔｏ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ

ａ

Ｅｑ．Ｖ

—？

＝

Ｔｈ（Ｃ）

Ｃ

ｔｈｅ

ｉｎ Ｃ．

Ｃ， ａｎｄ Ｖ ｆｏｒ Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ））． Ｃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ Ｅｑ（ａ） ［ａ］ ｏｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｎｄ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

Ｅｑ￣１（ｆ）

ｍｅａｎｓ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｅｑ： Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ）） ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｗｈｅｒｅ Ｅｑ ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ

Ｅｑ￣ｘ：Ｃ

Ｔｈ（Ｃ）

ｉｎ

＝

Ｅｑ（ｘ：ａ ｜ Ｍ） ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ．

Ｍ． Ｔｈｉｓ

ａｎ

Ｃｌ（Ｔｈ） ａｐｐｌｉｅｄ

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｏｎ

ｂｙ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ □

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ＰＲＯＯＦ

ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｈｏｓｅ

ｓａｔｉｓｆｉｅｄ

ａｒｅ

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ

Ａｘ（Ｃ）

＝

—？

（ｘ：Ａ＼ ｆ（ｘ））

ｄｅｆ ＝

Ｖ ａｔ

［ｘ：ａｈＭ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｅｑ￣１（Ａ） ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ａ

＝

—＞

Ａ ａｔ ａｎｙ Ｂ ｏｆ Ｃ．

ｏｂｊｅｃｔ

１８２

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－ Ｆｉｒｓｔ

ｅ：

Ｅｑ

ｏ

ｗｅ

Ｅｑ￣ｘ

ｌ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ —？

ＥｑｏＥｑ ｉｄｃ ａｎｄ ｖ＼ ｉｄｃ

—￥

Ｅｑ

ｅＡ

＝

ｖＡ Ｉｔ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ ｔｏ

ｔｈａｔ

ｓｅｅ

ｅｖ

＝

ｉｄｃ－ Ｌｅｔ

＝

＝

ｉｄａｃ

ｏ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｄｅｆｉｎｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｕｓ

Ｅｑ￣ｌ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ｉｄＡ＇－Ａ

Ａ

—？■

ｉｄ ａ－ Ａ—＊ Ａ．

ａｎｄ ｔｈａｔ

ｖｅ

ａｎｄ ｔｈａｔ

ｉｄＥｑｏＥｑ－ｉ，

＝

ｅ

ａｎｄ

ｖ

ｉｎｄｅｅｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．

ａｒｅ

Ｓｅｃｏｎｄ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｆｉ： ？

ｆｘＱ

？

Ｖａ

ｗｅ

Ｅｑ￣ｌ

ｏ

Ｅｑ￣ｌ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

Ｅｑ

ｏ

ｉｄ－ｐ ａｎｄ ７７：

—？

Ｅｑ ｚｄｐ

ｉｄｐ． Ｌｅｔ

＝

－＾

Ｅｑ￣ｌ

ｏ

ｄｅｆｉｎｅ ｎａｔｕｒａｌ

ｕｓ

Ｅｑ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

＝ｆ （ｘ： ［ａ］ Ｉ ７ａ（ｘ））， ａｎｄ ＝

（ｘ：ａ ＼ Ｊａ｛ｘ））．

Ａｐｐｅａｌｉｎｇ

ｔｏ Ｌｅｍｍａ

２．５．３，

ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｏｎｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｉｒ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｗｉｔｎｅｓｓ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

Ａ＊ａ

—

ｄｅｆ ＝

［ｘ： ａ

ｈ Ｍ：

／？］，

（ｚ： ［ａ］ Ｉ ｈ（ｍ（ｚ）））

ｈ

ｌ０（ｍ（ｚ））：０＼

Ｔａｋｅ ａｎｙ

Ｐ

ｔｈａｔ ｉｓ

＝

ｗｅ

ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ

（ｚ： ［ａ］ ｜ Ｍ［Ｉａ（ｚ）／ｘ＼）

ｉｎ Ｖ． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ， ｆｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ Ｍ

［ｚ： ［ａ］

ｉｎ Ｖ． Ｔｈｅｓｅ

（ｘ： ａ Ｉ Ｍ） Ｍ／３

ｍ

ｎａｔｕｒａｌ

ａ

（ｚ： ［ａ］ Ｉ ｍ（ｚ））

ｗｈｅｒｅ

ａ

（３ ｏｆ Ｖ． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

—＊

ａ］

ｃｏｍｍｕｔｅｓ，

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｉ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ．

ｔｅｄｉｏｕｓ ｂｕｔ ｔｒｉｖｉａｌ．

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｘ： ａ ＼ Ｍ）： ａ

ｏｆ ｆｉ ａｎｄ ７７ ｉｓ

＝

ｉｄｍ

ｏｍ

＝

ｍｏ

ｉｄ｛ａ］

＝

＼ｚ： ［ａ］

ｗｅ

ｈ

ｈａｖｅ

Ｍ［Ｉａ（ｚ）／ｘ］：ｐｌ Ｄ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．９．３， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｆｉ ａｎｄ ７７ ｍａｋｅ ｕｐ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｐａｒａｇｒａｐｈ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ Ｊ ａｎｄ Ｊ ａｒｅ ｓａｙｉｎｇ ｉｎ ｅｓｓｅｎｃｅ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ａｒｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ｒｘｎ Ｂ ａｎｄ Ａ ｘ Ｂ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ）） ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ—ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ ＝＞． Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．９．４

Ｗｏｒｋ

Ｗｅ

ｏｕｒ

ｃａｎ

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ

ｔｈｒｏｕｇｈ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｒｅｃｅｎｔ ｄｅｄｕｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｌｏｇａｎ：

Ｉ—

１８３

Ｔｈｅ Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

４－９．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．９．３ ｉｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｇｉｖｅ

ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ｓｌｏｇａｎ

ｔｈａｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｓｙｎｔａｘ

Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．９．５

１

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．

ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ（Ｃ）． Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｔｏ ｒｅａｓｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ． Ｌｅｔ ｕｓ ｇｉｖｅ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ Ｄ ｉｎ Ｃ ｔｈａｔ Ｘ（ｇｆ） ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ．ＡｘＢ＾Ｃ ａｎｄ ｇ： Ｃ Ｘ（ｇ ｏ ｅｖ）Ｘ（ｆ）． Ｗｅ ｃａｎ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ

ｉｓ ｔｈｅ

—＊■

ｅｖ ｏ

（＼（ｇ ｏ ｅｖ）Ｘ（ｆ）

ｘ

ｉｄ）

ｅｖ ｏ

＝

ｇｏ

＝

Ｈｏｗｅｖｅｒ，

（Ｘ（ｇ ｏ ｅｖ）

ｅｖ ｏ

（Ｘ（ｆ）

ｘ ｘ

ｉｄ）

（Ｘ（ｆ）

ｏ

ｘ

ｉｄ）

ｉｄ）

９ｆ

＝

ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ

＝

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓａｉｄ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ．

ｗｅ ｃａｎ

ｐｒｏｃｅｅｄ

ｍｏｒｅ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔｈ（Ｃ） Ｄ， ｎａｍｅｌｙ ｆ：Ａ，Ｂ＾Ｃ ａｎｄ ｇ：Ｃ

ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｕｓｉｎｇ

ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ

ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｌａｎｇｕａｇｅ． Ｗｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ

—？

ｘ：Ａ

ｈ

Ｘｙ：Ｂ．ｆ｛ｘ，ｙ）：Ｂ

ｚ：Ｂ＝＞Ｃ

ｈ

Ｘｗ：

Ｓｇ

Ｓｇ ａｎｄ

Ｂ．ｇ（ｚｗ）： Ｂ

＝￥＞

Ｃ

＝？

Ｄ

Ｓｇ ＞ ｘ：Ａ＼－ Ｘｗ： Ｂ．ｇ（（Ｘｙ： Ｂ．ｆ（ｘ， ｙ）） ｗ）： Ｂ ＝＞ Ｄ． Ｔｈｉｓ ｌａｔｔｅｒ ｐｒｏｖｅｄ ＂ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ＂ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｘ（ｇ ｏ ｅｖ） ａｎｄ Ａ（／）． Ｂｕｔ

ｓｏ

ｔｅｒｍ

Ｔｈ ａｎｄ

＞

＞

ｓｏ

＞

ｘ：Ａ＼－Ｘｗ：Ｂ．ｇ（Ｘｙ：Ｂ．ｆ（ｘ，ｙ）ｗ）

Ｘｗ：Ｂ．ｇ（ｆ（ｘ，ｗ））：Ｂ＝＞Ｄ

ｗｒｉｔｉｎｇ ［—］ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ（Ｃ）

Ｘ（ｇｆ）

＝

＝

＝

Ｗｉｔｈ

＝

ａ

［ｘ：Ａ＼－ Ｘｗ：Ｂ．ｇ（ｆ（ｘ，ｗ））：Ｂ ［ｘ：Ａ＼－

Ｘｗ：

＝＞

ｉｎ Ｃ

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｄ］

Ｂ．ｇ（（Ｘｙ： Ｂ．ｆ（ｘ， ｙ）） ｗ）：Ｂ＾Ｄ＼

Ｘ（ｇｏｅｖ）Ｘ（ｆ）．

ｌｉｔｔｌｅ ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｖｅｒｙ ｅａｓｙ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ａｎｄ ｔｏ ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｄｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｒｕｃｉａｌ ｓｔｅｐ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｐｒｏｏｆ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ， ａｎ

ｉｎｔｅｒｎａｌ

ｌａｎｇｕａｇｅ

ｗｈｉｃｈ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅａｓｉｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／

ａｎｄ ｇ．

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

１８４

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｎｅ Ａ ｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｉｎｔｏ ａｎｏｔｈｅｒ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ４．９．６

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎ ｌｉｔｔｌｅ

ｓｉｍｐｌｅｒ

ｔｈａｔ Ｔｈ ａｎｄ

Ｔｈ ｉｎ ｔｈｅ

ｔｈａｎ

Ｔｈ＇

ａｒｅ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅｎ

ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ＇，

Ｃｌ（Ｔｈ）

ｆｕｎｃｔｏｒ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ａｓ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｅ．

—？

ｗｒｉｔｔｅｎ Ｔ： Ｔｈ

Ｃｌ（Ｔｈ＇）． Ｕｓｉｎｇ

—？

ｔｈｅ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ

Ｔｈ＇，

ｔｏ ｂｅ

ｔｈａｔ ｔｏ

ｕｓ

Ｔ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

ｓｐｅｃｉｆｙ

ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ｄａｔａ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ａ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ＡｐＧ ： Ｏ０Ｃａｔ￣（Ｃｌ（Ｔｈ）， Ｃｌ（Ｔｈ＇）） ｗｅ ｃａｎ ｓｅｅ

ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ

ａ

ａ

￣

ｇｉｖｉｎｇ

ｓｕｃｈ

ｓｐｅｃｉｆｙ

Ｍｏｄ￣（Ｔｈ， Ｃｌ（Ｔｈ＇））

ａ

ｍｏｄｅｌ Ｔ： Ｔｈ

ａ

ｍｏｄｅｌ．

—＊■

Ｃｌ（Ｔｈ＇）．

Ｌｅｔ

Ｏｕｒ ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ＇）． Ｆｉｒｓｔ， ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ７ ｏｆ Ｔｈ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｉｖｅ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ［７）１ ｏｆ Ｃｌ（ Ｔｈ＇）， ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｔｈａｔ ｉｓ

ａ

ｔｙｐｅ ａ＇ ｏｆ Ｔｈ＇． Ｓｅｃｏｎｄ， ｆｏｒ ｅａｃｈ ｂａｓｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ／：

ａ＼，．．．， ａｎ

—？

ｘ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［／］ｔ－ ［＜＊ｉ］ｔ ｘ ［ａｎ］ｘ ［／？］ｔ ｉｎ ｘ ａ＇ｎ ａｎｄ Ｃｌ（Ｔｈ＇）． Ｉｆ ｗｅ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ａ［ ｘ ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ ｆｆ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［／］ｔ （ｚ： ＩＩ？ａ［ ＼ Ｎ） ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ Ｓｇ＇ ＞ ｚ：ＩＩ？ｏ４ ｈ Ｎ：ｆｆ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｕｓ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ Ｔｈ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ＇）． Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｏ ｂｅ ａ ｍｏｄｅｌ， ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ Ｔｈ ｍｕｓｔ ｂｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｉｆ ｗｅ ｗｏｒｋ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ， ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｉｆ

（３ ｏｆ Ｔｈ，

ｈａｖｅ ｔｏ

ｗｅ

ｓｐｅｃｉｆｙ

ａ

—＊

．．．

．．．

＝

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ａｘｉｏｍ Ａｘ

＞

Ｔ ｈ Ｍ

［Ｔｈ Ｍ：ａ］Ｔ ［ｎ－Ｍ＇：ａ］Ｔ ｆｏｒ ｃａｎ

ｓｏｍｅ ｒａｗ

ａｓ

＝

＝

Ｎ＇ ｏｆ

Ｍ＇＼

ａ

ｏｆ Ｔｈ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

（ｚ： ＼Ｖ＼Ｔ ｜ Ｎ） （ｚ： ｛Ｖ＼Ｔ Ｉ Ｎ＇） Ｔｈ＇，

［Ｔ］ｔ

：

：

－

［Ｔ］Ｔ

ｔｈｅｎ ７％＇ ＞

ｚ：

ｆｏｌｌｏｗｓ． Ａ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ７７ｉ

—？

ｔｅｒｍｓ ｉＶ ａｎｄ

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ ｔｈｉｓ

＝

Ｈｔ

－

［Ｔ］Ｔ

Ｈｔ ＼￣ Ｎ

Ｎ＇：

＝

［ａ］Ｔ．

Ｗｅ

７Ｖ ｂｅｔｗｅｅｎ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ＇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｔｈ ａｎｄ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｏｆ Ｔｈ＇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｔｈ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｅｄ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎｔｏ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔｈ＇ （ｖｉａ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ［—］ｔ） ｃａｒｒｉｅｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

ｇｉｖｉｎｇ

ａ

ａｘｉｏｍｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎｔｏ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｔｈ＇． Ｗｅ

ｃａｎ

ｓａｙ ｔｈａｔ Ｔｈ ａｎｄ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．９．７

Ｐｒｏｏｆ

Ｒｏｕｔｉｎｅ

ａｒｅ

Ｔｈ＇

ａｒｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ，

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ． Ｏｎｅ

Ｆｏｒ ａｎｙ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ｗｅ

ｃａｎ

Ｔｈ

￣

Ｔｈ＇，

ｉｆ ｔｈｅ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｔｈｅｎ ｓｈｏｗ

ｈａｖｅ Ｔｈ

ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

￣

Ｔｈ（Ｃｌ｛Ｔｈ））． □

４－１０．

１８５

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｇｌｕｉｎｇ

４．１０

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｇｌｕｉｎｇ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ，

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．１０．１

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ａｐｐｌｙ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ａ ｒｅｓｕｌｔ ａｂｏｕｔ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｂｙ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ａ ｇｉｖｅｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｍｅａｎ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｓ ｔｈｅ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ ｉｔｓ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ｉｔｓ ａｘｉｏｍｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｐｒｏｖｅ （ｓｔａｔｅｄ ｆｏｒｍａｌｌｙ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．１０．７） ｓａｙｓ ｔｈａｔ ａｎｙ ｒａｗ ｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｉｓ ｐｒｏｖａｂｌｙ ｅｑｕａｌ ｉｎ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｉｓ ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ ｂｙ ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｆ ｗｅ ｅｎｒｉｃｈ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｒｒｉｖｅ ａｔ ａ ＂ｂｅｔｔｅｒ＂ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ＂ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｗｅｒ＂ ａｓ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ． ａｎｄ

ｔｈｅｏｒｙ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ

ｒｅｓｕｌｔ，

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓｅｔ ｕｐ

ａ

ｌｉｔｔｌｅ

ｍｏｒｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

ｍａｃｈｉｎｅｒｙ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＪＣ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｆｒｅｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ Ｃ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｊ： Ｃ ７Ｃ ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｗｏ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ： —？

（ｉ） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｆ： Ｃ ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

ｆｉｎｉｔｅ

Ｖ ｉｓ

—？■

ｆｉｎｉｔｅ

ａ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ Ｖ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ａｎｄ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｕｐ ｔｏ ｎａｔｕｒａｌ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ， ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ：

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：ＪＣ—＊Ｖ ｗｈｉｃｈ

ａｎｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ

＾— ＪＣ

Ｃ

Ｔ

Ｖ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

（ｉｉ）

＜ｊ＞：￣ＦＩ＊＊Ｆ

ｆｏｒ ｔｈｉｓ．

Ｉｆ ａｌｓｏ Ｆ ａｎｄ ＜ｆ＞ ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｊｊ：Ｆ

Ｌｅｔ Ｔｈ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

＝

（Ｓｇ，Ａｘ）

—？

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ａｓ

Ｆ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

Ｆ ａｎｄ

ａｎ

＜ｆ＞， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ｏｆ Ｓｇ＇ ａｒｅ

ｂｅ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

Ｌｅｔ Ｔｈ＇

＝

ａ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ：

（Ｓｇｆ， Ａｘ＇）

ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ

ｕｎｉｑｕｅ

Ｓｇ，

ｂｅ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

１８６

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ

Ｓｇ＇

ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ Ｓｇ， ａｎｄ Ａｘ＇ ￡ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ） ａｎｄ ￡＇ ｆｏｒ Ｃｌ（Ｔｈ＇）． ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｉ： ￡ ￡＇． Ｏｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ７ ｏｆ ￡ ｓｅｔ ａｒｅ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＝

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ａｘ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｎｏｗ

ｄｅｆｉｎｅ

—＊■

７（７） ｄ＝ （．．． （７１

７２）

ｘ

．．．）

ｘ

ｘ

７？

ｌ＇ （ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｒ ｜ Ｍ）Ｔｈ＇－ｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｕｐ ｔｏ ｐｒｏｖａｂｌｅ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｎ Ｔｈ）， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｅｔ

ａｎｄ

－＞

Ｔｈ ｄｅｎｏｔｅｓ

Ｉ（Ｔ＼Ｍ）Ｔｈ＾（ｚ：ｎｌｉ＼（．．．（Ｍ［，Ｍ＇２），．．．，Ｍ＇ｍ））Ｔｈ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

ｗｅ

ＩＩ７； ｆｏｒ （．．． （７１

７２）

ｘ

ｘ

．．．）

ｘ

ｊｎ ａｎｄ ａｌｓｏ

Ｍ； ｄ＾ Ｍ＾Ｐｒｑｈｔｏ／＊！，．．．， Ｐｒｏ＇｝ｊ（ｚ）／Ｘｊ，．．． Ｐｒｏｊｎ（ｚ）／ｘｎ］ Ｐｒｏｊｊ（ｚ）

ｗｈｅｒｅ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｏｎ

ｐａｇｅ １７８．

Ｏｕｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ

ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ．

Ｆｉｒｓｔ

ｗｅ

ｐｒｏｖｅ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ４．１０．２ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｐｌａｙｓ ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｏｆ ａ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｆｒｅｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｓｅｃｏｎｄ， ｗｅ ｐｒｏｖｅ ａ ｐｕｒｅｌｙ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｇｌｕｉｎｇ ｌｅｍｍａ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｌｅｍｍａ ４．１０．３． Ｔｈｉｒｄ， ｗｅ ｓｅｔ ｕｐ ａ ｆｉｎａｌ ｐｉｅｃｅ ｏｆ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．１０．５ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ

４．１０．７．

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ４．１０．２

Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｉ：￡

ｆｒｅｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｌｅｔ Ｆ： ￡

Ｐｒｏｏｆ

Ｃ ｉｓ ｔｈｅ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｓｙｎｔａｃｔｉｃ

ｏｂｊｅｃｔｓ ？

？

？

？

ｗｅ

Ｆ（ｕｎｉｔ） －Ｒ

Ｃ ｂｅ

—＊■

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ａ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ

Ｏｎ

ｔｈｅ

ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ

ａ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｗｈｅｒｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： ￡＇

—？

Ｃ

ｓｅｔ ＝

０）

ｌｃ， ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ，

＝

Ｆａ

＝？

？

Ｆ（ｚ：６＼（））ｄ＾＼：Ｆ６＾１ｃ，

？

Ｆ（ｚ： ６ Ｉ

？

Ｆ（ｚ：８ Ｉ ｆ（Ｍ））

ｚ：

６）

＝

ｏｆ

Ｓｇ＇，

Ｆｆｉ．

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （ｚ： ６ ＼ Ｍ） ｏｆ ￡＇

ｗｅ

ｐｕｔ

ｉｄ－ｐ６， ＝

（ｕｓｉｎｇ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ￡＇） ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｌａｕｓｅｓ． Ｏｎ

＝

＝＾

ａｓ

￡．

ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｄｅｆ

Ｆ（ａ

￡＇ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ￡＇

ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

Ｆ［７］ ｗｈｅｒｅ ７ ｉｓ ａ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ Ｆ｛ａ ｘ ０） ｄ＝ Ｆａ ｘ Ｆ０， ａｎｄ Ｆ７

—？

Ｆ（［ｘｉ：７ｉ，．．．，ｘ？：７？］

｜ ｆ（ｘｕ ，ｘｎ））ｏ （Ｆ（ｚ：６＼Ｍ１），．．．，Ｆ（ｚ：６＼Ｍｎ））１ ．．．

４－１０．

？

？

？

？

？

１８７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｇｌｕｉｎｇ

Ｆ（ｚ： ６ ｜ Ｆｓｔ（Ｐ）） ｄ＝ ｔｔｉＦ（ｚ： ６ ＼ Ｐ） ｗｈｅｒｅ ｔｔｉ： Ｆａ ｘ Ｆ／？ Ｔ（ｚ： ８ ｜ Ｓｎｄ（Ｐ）） ｄ＝ ｔｔ２Ｆ（ｚ： ６ ＼ Ｐ） ｗｈｅｒｅ ｔｔ２： Ｆａ ｘ Ｆ／？

Ｆａ，

－＞

Ｆ／？，

－？

Ｆ（ｚ：＜５ ｜ （Ｍ，Ｍ＇）） ｄ＝ （Ｆ（ｚ：＜５ ｜ Ｍ），Ｆ（ｚ：＜５ ｜ Ｍ＇））， Ｆ（ｚ：？５ ｜ ＭＡＴ） ｄ＝ ｅｖ（Ｆ（ｚ：８ ＼ Ｍ），７（ｚ：６ ＼ Ｎ））， Ｆ（ｚ：８ ｜ Ｘｘｉａ．Ｍ） ｄ＝ Ｘ（Ｆ（ｙ：８ｘ ａ ｜ Ｍ［Ｆｓｔ（ｙ）／ｚ｝））．

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｆ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ８＇

ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｔｈａｔ Ｆ ｄｏｅｓ ｉｎｄｅｅｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｔｈａｔ ｉｓ Ｆ ｉｓ Ｎｏｗ

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ

ａ

ｇｉｖｅｎ ａｎ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ

ｆｙ ｗｈｅｒｅ ７＾：７

［７Ｊ

—？

ｄｅｆ

ａ＾

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｆ＞： ＦＩ ｏｂｊｅｃｔ ７ ｏｆ ￡， ｗｅ ｈａｖｅ ＦＩｔｆ） ｎａｔｕｒａｌ

ｗｅ ｃａｎ

（Ｆｔｔｘ，

ｉｎ Ｓ．

ｔｈａｔ

ｎｏｓｅ．

Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ，

ａｎｄ

ｍ：

７

—？

７＇ ｉｓ

Ｆ． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

＝

＝

ＩＩ＂Ｆ［７ｊ］，

ａｎｄ

ａｓ

Ｆ ｉｓ

ｓｅｔ

．．．，

Ｏｆ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ａｎｄ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｔｈｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ．

ａ

ｗｅ

ｏｎ

Ｆ７ｒｎ）￣ｌ ： ｎｊＦｆａ］

ｃｏｕｒｓｅ

ｗｅ

—？

Ｆ（ｊ）

ｈａｖｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ＜ｆ＞ ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｏｍｉｔｔｅｄ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆａｃｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｎｅｅｄｅｄ． Ｆｍ． ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ＦＩ（ｍ）

ａｒｅ ａ

＝

Ｔｈｉｓ ｆａｃｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ．

ａ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｎｏｗ ｔｈａｔ Ｆ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｆｒ． Ｆ

？

＂０７

？

ｉｐａｘｐ

？

１＞ａ＊０

＝

４＞ｍ ＇？ Ｆ７ ｄｅｆ ＝

＝

＝

＝

—＞

ｏｉｐａ

ｘ

ｏ＾１

（ｊ＞ ａｌｓｏ —＊■

Ｆ

ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｒｏｌｅｓ ｏｆ Ｆ ａｎｄ ＜ｆ＞． Ｗｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｌａｕｓｅｓ：

Ｆ７， ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｉｐ０： （Ｆａ

Ｆ０）

＝＊

ｘ

＾： （Ｆａ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ －？

Ｆ／３）

＝？

（Ｆａ －

Ｆ７

ｘ

＝

Ｆ０）

Ｆ［７］ －？■

（ｆａ ＝？ ７／？）

ａｎｄ

Ｆ／ｆｙ］，

Ｆ７

＝

／？），

ａｎｄ

７（ａ ＝？

／？），

Ｆ（ａ －＞

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｘ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｏｎｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｐＱ ａｒｅ ａｌｗａｙｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｉｐ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｍ： ａ —＊■ （５ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ￡＇． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

Ｆａ Ｆｍ

Ｆａ

Ｆａ

（＊） ｆａ

Ｆｍ

Ｆ（３

Ａｎｙ ｓｕｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｍ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （ｘ： ａ ｜ Ｍ）； ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ （＊） ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｂｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃｏｍｍｕｔｅｓ．

１８８

ｇｉｖｅ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｊｕｓｔ

ｎａｍｅｌｙ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ

ｏｎｅ

Ｓｏ ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ

ｃａｓｅ，

ｍ

ｄｅｆ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

（ｚ：８ ＼ Ｘｘ：ａ．Ｍ）：６

＝

ｏｆ ｔｈｅ

Ｆ８

Ｆ（ｚ：６ ｜ Ａｚ：ａ．Ｍ）

＼Ｆ（ｚ：８ ｜ Ｘｘｉａ．Ｍ） ｉ＞ａ

＝？

７ａ ＾７（３

Ｖｆｃ

Ｎｏｗ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ａｎｄ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

Ｆ（ｚ：８ ｜ ＼ｘ：ａ．Ｍ）

７（ａ＝＞０）

＾

ｓｏ ｏｕｒ

＾６

Ｆ８

ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ Ｆ８

ｘ

Ｆａ

Ｆ（８

ｘ

ｉ＞ａ

＝？

Ｖ＞／３

＝

Ｆ（８

ｘ

ｓｏ ｗｅ

Ｆａ＾Ｆｐ

ａ）． Ｎｏｗ， ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ，

＾

ａ）

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

－

７（６

Ｆ／？

＾／３

Ｆ｛ｕ： ８ｘａ＼ Ｍ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ］）

ｔｐ０ｏＴ（ｕ：８ｘ

ａ

Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ

（＊＊）

ａ）

ｘ

ｈａｖｅ

＝

ｔｈａｔ

ｔｈｅ

Ｆ（ｕ： ８ ｘ ａ ｜ Ｍ［Ｆｓｔ（ｕ）／；ｚ］）

ｄｅｆ ＝＾／

＝＇

ｔｏ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ：

Ｆ／？＇

／

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ

Ｘ（Ｆ（ｕ：８ ｘ ａ ｜ Ｍ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ））ｏ ＊）

Ｆ（ｕ：８ ｘ ａ ｜ Ｍ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ］）

ａｎｄ

ｔａｓｋ ｉｓ

Ｆ６

（＊＊）

Ｆａ＾Ｆｆｉ

ｄｉａｇｒａｍ

＜＊＝？／？．

ｄｉａｇｒａｍ

＾６

Ｆ８

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

｜

ｏ

ｉｐ６ｘａ

ｏ

（ｉｄＴ６

Ｍ ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ］）

ｐａｔｈｓ ｏｆ （＊＊）

ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｖｉａ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

ｏ

ｘ

－０＂１）

（ｉｄＴｓ

ｉｓ ｔｈｅ

ｘ

ｉｌ）－ｌ）：ｌ？８ ｘ？ａ＾ ７／？．

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ

ｍａｔｅ ｏｆ

／， ｉｍｐｌｙｉｎｇ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ． Ｓｏ，

４－１０．

１８９

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｇｌｕｉｎｇ

ｅｖ ｏ

（［（ｉｐ＇１

ｉｐｐ） ｏ Ｔ（ｚ： ８ ＼

＝＞■

ｉｐｐ

＝

ｏ ｅｖ ｏ

ｉｐｐｏ

＝

ｅｖ ｏ

＾ｊ＂１）

｛ｉｄ－ｐａ＝＞－ｐｐ

ｘ

（Ｘ（Ｆ（ｕ： ８

ｘ ａ

ｉｐ０ｏ ￣Ｆ（ｕ： ６

＝

ａ．Ｍ）］

Ｘｘ：

ｘ

）

ｘ

ｉｄ＝

ｏ

（Ｆ（ｚ： ８ ＼

＼ Ｍ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ］））

ａ＼ Ｍ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ］）

ｏ

ａ．Ｍ）

Ｘｘ：

（ｉｄｐ５

ｘ

ｉｄｊａ）

ｘ

ｉｄ＝

ｏ

）

（ｉｄｊ６

ｘ

ｉｐ￣ｌ）

ｘ

－０＂１）

ｉｆ；＇１）

ｘ

／，

＝

ａｎｄ ａｌｓｏ ｅｖ ｏ

（［Ａ（７（ｍ： ６

ｘ ａ

Ａｆ ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ］）ｏ

Ｉ

ｘ

ｉｄ＝Ｊ ｏ（ｔｐ６

ｘ

ｉｄ＝

Ｆ（ｕ： ８

＾

ｏ（＾

ｘ

ｉｐＱ）（．ｉｄＴｓ

｜ Ｍ［Ｆｓｔ（ｕ）／ｚ］）ｏ

ｘ ａ

）

／

＝

ａ

＾］

＾

＝

ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｏ

Ｔ｛ｕ： ８ｘａ＼ Ｍ［Ｆｓｔ｛ｕ）／ｚ］）ｏ

＝

ａｓ

＾）

Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ

ｃａｓｅｓ ａｒｅ

ｓｉｍｉｌａｒ；

ｗｅ

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

ｔｐ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ

４＞ ＜ｆ＞： ＦＩ —？ ＦＩ． Ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｔｐｉ ｏｍｉｔｔｅｄ， ｂｕｔ ｗｅ ｒｅｍａｒｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｌｌｏｗｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ＜ｆ＞ ： Ｆ —＊■ ＦＩ ｉｎ ７ ａｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ７＾：７ —？ ［７Ｊ． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ． □ Ｌｅｍｍａ ４．１０．３

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

＝

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈａｔ ｒ： Ｃ —？ Ｔ＞ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ Ｖ ｈａｓ ａｌｌ ｐｕｌｌｂａｃｋｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｍｍａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｑｌ（Ｔ） （ｉｄｘ＞ Ｉ Ｔ） ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｐ２： Ｑｌ｛Ｔ） —＊■ Ｃ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｃ ａｎｄ Ｖ

ａｒｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

＝

（ｄ，ｃ）：（Ｄ，ｆ，Ｃ）＾（Ｄ，，ｆ，，Ｃ） ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

（ｄ， ｃ）： （Ｄ， ／， Ｃ） ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｑｌ（Ｔ） ｉｓ

ｂｅｅｎ

ａｌｏｎｇ

（ｗｈｅｒｅ

ｏｆ

ｃｏｕｒｓｅ

ｇｌｕｅｄ

ＰＲＯＯＦ

ｔｏ Ｖ

—？

ａｎｄ

（￡＞＇，／＇， Ｃ＂）

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ （Ａ ／， Ｃ） ｗｈｅｒｅ

＝：

ＴＣ

ａ

（Ｄ，／，Ｃ）

＝＊

ｉｓ

ａ

ｈａｓ

（Ａ， ／＇， ＣＯ ＊ｆ （￡＞

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｑｌ｛Ｔ）． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｂｅ ｉｓ ｘ

Ｄ＼

Ｔ｛Ｃ ｘ Ｃ＂） ａｒｉｓｅｓ ｆｒｏｍ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

ｘ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ； ａｎｄ

ＴＣ

ｘ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｑｌ（Ｔ）） ｇｌｕｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ ａｎｙ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｉ＼

（Ｄ，ｆ，Ｃ）

Ｌｅｔ

（￡＞＇， ／＇， Ｃ＂） ｃａｌｌｅｄ

ｃ．Ｃ＾Ｃ

１—

—＞

（Ａ，／，，Ｃ） ＾ （（Ｄ

＝？

Ａ）

ｘ

￣

ｏ（／

ｘ

／＇）， Ｃ

ｘ

Ｃ＂）

ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

Ｔ（Ｃ

＝？

ＣＴ），７ｒ２，Ｃ

＝？

Ｃ）

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

１９０

ｗｈｅｒｅ

７ｒ２ ｉｓ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｐｕｌｌｂａｃｋ

（Ｄ

＝＞

Ｄ＇）

ｘ

Ｔ（Ｃ

＝？

＊２

Ｃ）

Ｔ（Ｃ

ＴＣ

Ｔｌ

Ｃ）

＝？

ＴＣ

＝？

ｆ ￡＞＝＞￡＞＇

－

ｉｄＤ

／＇

＝？

ｄ

ｉｄｒｃ

＝＞－

ｒｃ

＝？

ｎ Ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｌｅｍｍａ ４．１０．３． Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ａｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ Ｈ：Ｃ —＊■ ［Ｃ＾＾Ｓｅｔ］ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｎｙ Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．１０．４

ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｗｈｉｃｈ ｅｘｉｓｔｓ ｉｎ Ｃ．

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．１０．５ Ｊ： Ｃ

Ｎｏｗ

［Ｃ＾．Ｓｅｔ］ （ｗｈｅｒｅ

－？

ＴＣ ｉｓ

ｒｅａｌｉｓｉｎｇ ＾Ｃ ａｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｆｒｅｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｇ ｔｏ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ／： ＦＪ ｂｙ Ｃ） ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ａ： Ｆ ｓｅｔ Ｔ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

—＞

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ

Ｐ－＾ＴＣ＾＾Ｓｅｔ］

Ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

—？

ＦｏＨ．ＴＣ—＊ ［ＪＶ＊，Ｓｅｔ］ ｗｈｅｒｅ Ｈ ｉｓ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ

—？

ｏｎ

ＧＪ．

［？＊，＆＊］，

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ． Ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，

ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｐｒｅｓｈｅａｖｅｓ

—？

ＴＣ ｉｓ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

Ｃ ｉｓ ａｌｓｏ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ａｎｄ

ｈａｓ

ｐｕｌｌｂａｃｋｓ； ｓｅｅ ｐａｇｅ １１４． Ｆｕｒｔｈｅｒ， Ｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ａｎｄ ｓｏ ｗｅ ｃａｎ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｇｌｕｉｎｇ ｌｅｍｍａ （Ｌｅｍｍａ ４．１０．３） ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｍａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｇｌ｛Ｔ） （ｉｄ＼ｃ°ｐ，ｓｅｔ］ ｊ Ｔ） ｉｓ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ＴＣ， ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ａ，ｈ）：（Ｆ，（３，Ｄ） Ｐ２＇－Ｇｌ（Ｔ） （Ｇ，／？＇，￡） ｔｏ ｈ＇．Ｄ Ｅ， ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ． ＝

－？■

－？？

—？

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｄｅｆｉｎｅ

／： Ａ

－？

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｊ：Ｃ

—？■

Ｇｌ（Ｔ） ｂｙ ｓｅｎｄｉｎｇ

ｔｈｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｂ ｏｆ Ｃ ｔｏ

（ＨｆＪｆ）：（ＨＡＪＡＪＡ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＩＡ： ＨＡ

－＞

—＞

（ＨＢｌＩＢＪＢ） ＶＩＡ ｈａｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

（ＩＡ）Ｃ：Ｃ（Ｃ，Ａ）＾ＴＣ｛ＩＣ，ＩＡ） ａｔ ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｏｆ Ｃ０９ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｊ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ ａ

ｇ： Ｃ

Ａ ｏｆ Ｃ ｔｏ

Ｈ ａｎｄ Ｊ

ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｂｅｃａｕｓｅ Ｈ ｉｓ． Ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ．

—？

Ｉｇ： ＩＣ

—？

／Ａ．

ｄｏ， ａｎｄ ｔｈａｔ Ｊ ｉｓ ｆｕｌｌ

ｗｅ ｃａｎ

ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

４．１０．

１９１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｇｌｕｉｎｇ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｊ：Ｃ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ４．１０．６

Ｇｌ（Ｔ）

ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．１０．５

ｉｓ ｆｕｌｌ， ｆａｉｔｈｆｕｌ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｌｅｔ Ｔｈ

（Ｓｇ，Ａｘ）

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｌｅｔ Ｔｈ＇ （Ｓｇ＇， Ａｘ＇） ｂｅ ｔｈｅ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ｏｆ Ｓｇ＇ ａｒｅ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ Ａｘ． Ｓｇ， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ Ｓｇ＇ ａｒｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｏｆ Ｓｇ， ａｎｄ Ａｘ＇ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｓｇ ＞ ｘｉ：ｊｉ，．．．，ｘｎ：ｙｎ＼－ Ｅ：ｉ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ４．１０．７

＝

ｂｅ

ａｎ

＝

＝

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ＇， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ７＊ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ７ ａｒｅ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ｏｆ Ｓｇ＇， ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｙｐｅｓ ｉｓ

ａ

ｏｆ Ｓｇ． Ｌｅｔ

ｕｓ

ｗｒｉｔｅ Ｔ

＝

［ｘ＼： ７１，．．．， ｘｎ： ｊｎ］．

Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ ｒａｗ

ｔｅｒｍ Ｍ ｆｏｒ

ｗｈｉｃｈ

Ｓｇ

＞

Ｔ ｈ Ｍ： ７

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ Ｔｈ！

＞

Ｐｒｏｏｆ

ｒ ｈ

Ｅ

＝

Ｍ＇： ７ ｔｈｅｎ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｒａｗ ｗｅ

Ｔｔｉ

ａｎｄ

Ｔ ＼－ Ｅ

＞

ｔｅｒｍ Ｍ＇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｈａｖｅ Ｔｈ

＞

Ｓｇ

Ｔ ｈ Ｍ

＝

＝

＞

Ｍ： ７． Ｔ ｈ

Ｍ＇： ７ ａｎｄ ａｌｓｏ

Ｍ＇： ７．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ Ｓ＇ Ｊ

Ｑｌ（Ｔ）

ｉｄｒ．ｉ

Ｓ＇

￡＇

Ｊ ｎａｔｕｒａｌｌｙ． Ｂｙ Ｕｓｉｎｇ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ４．１０．２， ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｊ ｅｘｉｓｔｓ ａｎｄ ＪＩ Ｉ ｎａｔｕｒａｌｌｙ， ｔｈａｔ ｉｓ （Ｐ２ｏＪ）ｏＩ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， Ｐ２Ｊ Ｉ． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ Ｐ２ｏＪｏＩ Ｉ （ｔｒｉｖｉａｌｌｙ！） ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｉ， ａｎｄ ａｓ ｉｄｓ＇ ｏ Ｉ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｆｒｅｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ４．１０．２ ｔｈａｔ ｉｄｓ＇ Ｐ２Ｊ ｎａｔｕｒａｌｌｙ． Ｔｈｉｓ ｌａｔｔｅｒ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ Ｊ ｉｓ ｆａｉｔｈｆｕｌ． Ｔｈｉｓ ｆａｃｔ， Ｊ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ Ｊ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ Ｊ ｆｕｌｌ ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ ＪＩ ＝

＝

＝

＝

＝

—

＝

ｉｓ ｆｕｌｌ ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ． ｗｅ

ｅｘｐａｎｄ

Ｓｇ＇

＞

ｏｎ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ．

Ｘｉ＇．＾ｉ，．．．

Ｅ

Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ／ ｉｓ ｆｕｌｌ ａｎｄ ｆａｉｔｈｆｕｌ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ：

ｄｅｆ ＝

Ｓｕｐｐｏｓｅ

，ｘｎ：ｙｎ＼－ Ｅ：７． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

Ｊ＾Ｐｒｏｊ＾ｚＶｘｉ，．．．， Ｐｒｏ＇ｊｊ＾／ｘｊ，．．．， Ｐｒｏｊｎ（ｚ）／ｘｎ］

ａｎｄ

ＩＩ７ ＝ｆ （． ．．（７１ Ｘ７２）

ｘ

．．．）

Ｘ７ｎ．

ｔｈａｔ

１９２

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ｔｈｅｎ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｊ ［７］ ｉｎ ￡＇． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｕｌｌｎｅｓｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｈａｖｅ ｅ （ｚ： ＩＩ７ ｜ Ｅ）Ｔｈｒ． ｐｙ ｏｆ Ｊ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （［２：１：７１，．．． ，ｘｎ：ｊｎ］ ｜ Ｍ）Ｔｈ＇－ｌ ［７］ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔａｋｅｎ ｔｏ ｅ ｂｙ Ｊ． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ Ｔｈ Ｅ： ７ （ｕｓｉｎｇ ａｎ ｏｂｖｉｏｕｓ ＞ ｚ： ＩＩ７ ｈ Ｍ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｍ） ｔｈａｔ ｉｓ ２Ｖ ＞ ｘ＼： ７１，．．．， ｘｎ： ｊｎ ｈ Ｍ Ｅ： ７． Ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ □ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｐｓ ｆａｉｔｈｆｕｌｎｅｓｓ ｉｎ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｆａｓｈｉｏｎ． ｗｅ

—＞

＝

－＞

＝

＝

４．１１

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

（１）

Ｓｔａｔｅ

ａ

（２）

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ

ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｉｔ．

ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ

ｄｅｒｉｖｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ａ ｖｅｒｙ ｓｍａｌｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ （ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ） ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｇｒａｍｍａｒ ａ ：：＝ ７ ｜ ａ □ ａ ｗｈｅｒｅ ７ ｉｓ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ． Ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｗｅ

Ｍ

ｗｈｅｒｅ

ｘ

ｉｓ

：：＝

ｘ

ｂｏｕｎｄ ｉｎ Ｅ． Ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

ｔｅｒｍｓ）

Ｉ Ｖｅｃ（Ｍ， Ｍ） ＼ Ａｔｏｍ（Ｍ， ｘ．ｙ．Ｍ）

ｖａｒｉａｂｌｅ． Ｉｎ ａｎｙ

ａ

ａ

ｒａｗ

Ａｔｏｍ（Ｐ， ｘ．ｙ．Ｅ），

ｔｅｒｍ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｗｅｌｌ ｔｙｐｅｄ

ａｒｅ

（ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ

ａｒｅ

Ｓｇ

＞

Ｓｇ

Ｓｇ

Ｔ＼－Ｍ：ａ ＞

Ｓｇ

Ｔ＼－Ｎ：（３

＞

（１）

Ｔ＼－ｙｅｃ（Ｍ，Ｎ）：ａＤｐ

Ｔ＼－Ｐ：ａＤＰ

＞

Ｓｇ

＞

Ｔｈｅ ｐｕｒｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｓｇ

Ｔｈ

Ｔ ｈ

＞

Ｓｇ Ｔｈ

＞

Ｔ，ｘ：ａ，ｙ：（５

ｔｈｅｏｒｙ （ｅｘｃｌｕｄｉｎｇ ｌｏｇｉｃａｌ

ｈ Ｅ：６

５＾

ｒｕｌｅｓ ｓｕｃｈ

＞

＝

ａ ｒａｗ

ｒ，ｚ：ａＤ＾ｈＦ：６

ｒ＼－Ａｔｏｍ（Ｐ，ｘ．ｙ．Ｆ［Ｖｅｃ（ｘ，ｙ）／ｚ］）

＝

Ｆ［Ｐ／ｚ］：６

＂ｅｘｐｅｃｔｅｄ＂ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍ—ｎｏｔｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｂｉｎｄｉｎｇ．

Ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ

Ｂ ｏｆ Ｃ． Ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｏ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｒｅｑｕｉｒｅ

ａｎ

ｘ

ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ

Ｃ｛Ｃ，Ｂ）

（４）

ａ ｒａｗ

ｔｅｒｍ ｆｏｒ

ｏｂｊｅｃｔ Ａ □ Ｂ ｆｏｒ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ （１）

￥ｃ ： Ｃ（Ｃ，Ａ）

ａｓ

Ｅ［Ｍ／ｘ， Ｎ／ｙ］： ６

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ

ｖａｒｉａｂｌｅ ｉｎ

（２）

ａｒｅ

Ａｔｏｍ（Ｖｅｃ（Ｍ， ｉＶ）， ｘ．ｙ．Ｅ） ｒｈＰ：ａＤ／９

＞

＞

Ａｔｏｍ（Ｐ， ｘ．ｙ．Ｅ）： ８

Ｔ ｈ

ｒｅａｓｏｎｉｎｇ， ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｏｆ ｃｏｎｔｅｘｔｓ ｅｔｃ）

（ｂ）

ａｎｄ ｙ

ｘ

ｔｅｒｍｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

—

（ａ）

ｖａｒｉａｂｌｅｓ

—？

ｗｅ

ｎｅｅｄ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｃ｛Ｃ，ＡＵＢ）

ａ

Ａ ａｎｄ

１９３

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

４．１１．

ｆｏｒ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ， Ｂ ａｎｄ Ｃ ｏｆ Ｃ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｃ． Ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｉｎ Ｃ ａｔ （ｍ，ｎ）：Ｃ ＾ Ａｘ Ｂ ｗｈｅｒｅ ｍ：Ｃ —？ Ａ ａｎｄ ｎ：Ｃ —＞ Ｂ ａｒｅ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ

Ｃ， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ￥ｃ

ｂｙ

ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

￥ｃ（ｒａ， ｎ）

（ｃ）

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｏ

：

ｏ

Ｖｉ

＝

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ （２）

＃ｃ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｖｉ＇．ＡｘＢ＾ＡＤＢ

ａ

（１＇）

（ｍ， ｎ）．

ｓｈａｌｌ

ｗｅ

ｗｈｅｒｅ

ｒｅｑｕｉｒｅ

Ｃ（Ｃ，ＡＤＢ） ｘＣ｛ＣｘＡｘＢ，Ｄ）

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｃ｛Ｃ，Ｄ）

—？

Ｃ ｘ （Ａ Ｄ Ｂ） Ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｉｎ Ｃ ａｔ ｛ｉｄｃ，ｐ）＇＞ Ｃ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ＾ｃ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｏｆ Ｃ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｃ．

—＊■

９Ｃ ： Ｃ｛ＣｘＡｘ Ｂ， Ｄ） ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ

Ｃ，

Ｈｅｎｃｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｏ

ｆｏｒ ａｌｌ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｍ： ｓａｔｉｓｆｙ （４） ｗｅ ｎｅｅｄ

Ｃ

？ｃ（／

ａｎｄ

ｏ

Ｃ，

ａｎｄ

—？■

°

Ａ，

Ｃ

ｎ：

（？＾ｃ

ａｎ

ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ

ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｈａｔ （４＇）

ｅ：

｛ｉｄｃ，ｐ）

／：

Ｃ

ｘ

（ｆ）

（５）

ａｎｄ

Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

（６）

（３＇），

ｈｏｌｄｓ

（５）

ｈｏｌｄ ｆｏｒ ａｌｌ ａｎｄ

ｏ

＝

ｘ

／

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

（ｉｄ

ｘ

ｊｕｓｔ ｉｎ

ａｎｄ

（６） ｉｍｐｌｙ

９Ｃ ： Ｃ（Ｃ ｘＡｘＢ，Ｄ） ａｎｄ

ｅ

Ｃ

＾

／

ａｓ

Ａ

ｖｉ）

＝

ｘ

（３＇）

Ｂ

—？■

—？■

ｘ

（３＇）

（４＇）

Ｄ ｉｎ Ｃ．

Ａｘ Ｂ ｔｏ ｅａｃｈ ｏｆ

ｈｏｌｄｓ

ｊｕｓｔ

ｉｎ

Ｄ

（５）

＝

ｆ，

（６）

ａｂｏｖｅ． ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｃ（Ｃ ｘ（ＡＵＢ），Ｄ）： Ｃ（ｉｄｃ

＾

ｃａｓｅ

ｃａｓｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｂ， Ｄ）

Ａ， Ｂ

ｅ，

ｘ ｖｕ

ｉｄＤ）

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ Ｃ ｔｏ ｂｅ １ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｃ（ｖｘ， ｉｄＤ） ： Ｃ（Ａ

Ｃ， ａｎｄ ｔｏ

Ｄ ｉｎ

（ｔｄｃ，Ｐ＞

ｏ

（Ａ Ｄ Ｂ）

ｅｃ（ｆｏ（ｉｄｘＶｌ）） ｗｈｅｒｅ

（ｉｄｃ， ｍ， ｎ）

ｅ ｏ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ Ｃ

０ｃ（ｅ） ａｎｄ ｓｈｏｗ

ｏ

ａｎｄ

＝

（２＇）

ｎｅｅｄ

ｗｅ

Ｂ ａｎｄ

—＞

ｖｉ））

ｘ

ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ

ｕｓｉｎｇ

ｅｃ（ｅ）ｏ（ｔｄｃ，ｐ）．

（ｉｄｃ， ｖｉ （ｍ， ｎ？

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｐ：Ｃ－＞．４Ｄ５

（ｅ） Ｂｙ ｔｈｉｎｋｉｎｇ

＝

ｓａｔｉｓｆｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ （３）

０ｃ（ｅ）

ｆｏｒ ａｌｌ

（Ａ Ｄ Ｂ）， Ｄ）

ｘ

ｗｈｅｒｅ

＊ｃ（ｐ，ｅ）

（ｄ）

Ｃ（Ｃ

—？

Ｃ（Ａ ｘＢ，Ｄ）

ｆ

■－？．

／

ｏ

Ｖｌ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

１９４

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ）． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｃ（ｖｉ， ｉｄｕ） ｄｅｆｉｎｅ ａ ｎａｔｕｒａｌ ＨＡｘＢ （ａｓ Ｄ ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ） ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＨＡＤＢ ｉｓ

ａｎ

—？

ｗｉｔｈ ｖ＼．ｎ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ＂ｐｒｅ－ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ Ａ□ Ｂ

Ａ

＝

ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ

Ｂ． Ｈｅｎｃｅ ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

ｘ

Ｕｓｅ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

ｓｏｕｎｄ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

ｏｕｒ

ｔｙｐｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

ａ

ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｔｙｐｅ ｏｆ ｂｏｏｌｅａｎｓ ａｎｄ ａ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ． Ｗｅ ｏｍｉｔ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｗ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｔｅｒｍｓ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｏｕｇｈｔ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ

（３）

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ

ｄｅｒｉｖｅ

ｗｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ａ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ

ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｆ ｄｅｓｉｒｅｄ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ Ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｏ

Ｓｇ

Ｓｇ

＞

Ｓｇ

＞

Ｔｈ

＞

Ｓｇ

＞

Ｔｈ

Ｓｇ Ｔｈ

（ａ）

Ｔｈｅ

＞

（ｒａｗ）

Ｓｇ

Ｓｇ

＞

＞

Ｓｇ

Ｔ＼－

Ｔ＼－Ｍ：ａ

＞

ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｙｎｔａｘ．

Ｔ ｈ ｆａｌｓｅ： ｂｏｏｌ

＞

Ｓｇ

ｂｉｎｄｉｎｇ

Ｔ＼－Ｎ：ａ

＞

ｎ－Ｃｏｎｄ（Ｂ，Ｍ，ｉＶ）：ａ

Ｔ＼－Ｍ：ａ Ｔ ｈ

Ｓｇ

＞

Ｔ＼￣Ｎ：ａ

Ｃｏｎｄ（ｔｒｕｅ， Ｍ， Ｎ）

ＴｈＭ：ａ

Ｓｇ

＞

Ｓｇ

＝

Ｍ：

＝

ＪＶ：ａ

Ｃｏｎｄ（￡， Ｅ［ｔｒｕｅ／ｘ）， ＾［ｆａｌｓｅ／ａ：］）

ｔｅｒｍｓ ｔｒｕｅ ａｎｄ ｆａｌｓｅ

ａｒｅ

（２）

ａ

（２＇）

Ｔ， ｘ： ｂｏｏｌ ｈ Ｅ： ａ

＞

（１）

Ｔ＼－Ｎ：ａ

ｒｈＣｏｎｄ（ｆａｌｓｅ，Ｍ，ＡＯ

ｒ ｈ Ｂ： ｂｏｏｌ

＞

ｖａｒｉａｂｌｅ

ｂｏｏｌ

Ｔ ｈ ｔｒｕｅ：

ＴＶ－Ｂ： ｂｏｏｌ

＞

ｎｏ

ａ

ｔｈｏｕｇｈｔ

ｏｆ

＝

ａｓ

Ｅ［Ｂ／ｘ）： ａ

（３）

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｂｏｏｌ．

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅｍ ｗｅ ｎｅｅｄ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｑ ｏｆ ａ （ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ） ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔ： １ —？ Ｑ ａｎｄ ／： １ —？ ｆｉ， Ｔｏ

ｓｏ ｗｅ ｃａｎ

［ｒ］

ｄｅｆｉｎｅ

［Ｔ

ｈ ｔｒｕｅ：

ｂｏｏｌ］

＝

［Ｔ

Ｉ－ ｆａｌｓｅ：

ｂｏｏｌ］

＝

ｔｏ！：

［Ｔ］

ｆｏ＼： ［Ｔ］

－？

－＞

１ １

－＞

－＞

Ｑ Ｑ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ Ｔ． Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｓｅｔｓ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ （１）． Ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｙｏｕｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｍｏｒｅ ｓｉｍｐｌｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｗｈｅｒｅ

ｉｓ ｏｆ

ｃｏｕｒｓｅ

ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ

￥ｃ ： Ｃ（Ｃ， Ａ） ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｃ．

ｘ

Ｃ（Ｃ， Ａ）

—？

Ｃ（Ｃ

ｘ

Ｑ， Ａ）

４．１１

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

．

１９５

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ Ｔ ｈ Ｃｏｎｄ（ＪＢ， Ｍ，Ｎ）：ａ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ３＞ｃ－ Ｕｓｅ ｔｈｉｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｍｕｓｔ ｈｏｌｄ ｆｏｒ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ （２）， （２＇） ａｎｄ （３） ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ．

（ｂ）

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ

（ｃ）

Ｕｓｅ ｔｈｅ

（ｄ）

Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｃ ｈａｖｅ ａｔ ｌｅａｓｔ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ （ｂ） ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ￥ｃ ｉｓ ａｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ）． Ｂｙ ｔａｋｉｎｇ Ｃ ｔｏ ｂｅ １， ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ Ｃｌ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ． Ｗｈａｔ ｉｓ ￡２？

Ｃ（（Ｃ ｔｈｅ

ｘ

１）

＋

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｔｔｑ＇－Ｃ

（Ｃ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｘ

１

ｘ

１）， Ａ）

Ｃ（Ｃ

＾

１， Ａ）

ｘ

ｘ

Ｃ（Ｃ

Ｃ ａｎｄ ｙｏｕｒ ｄｅｄｕｃｔｉｏｎｓ ｉｎ

＝

ｌｅｍｍａ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｗｈａｔ ｐｒｏｐｅｒｔｙ Ｑ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ

ｉｄｃ

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ． Ｈｉｎｔ： ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ

ｘｔ：Ｃｘｌ

Ｃ

ｘ

Ｑ，

Ｃｘｉ：

＜—

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｘ

１，４），

（ｃ），

ｕｓｅ

ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｄｃ

ｘ

ｔｈｅ

／．

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂａｓｅｄ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ＂ｃａｓｅ＂ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅｓ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｇｒａｍｍａｒ ａ ：：＝ ７ ｜ ａ ＋ ａ ｗｈｅｒｅ ７ ｉｓ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅ， ａｎｄ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ｂｙ

（４）

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｄｕｃｅ

—？

ｔｈｅ

Ｍ Ｉｎ ｔｈｅ

ｒａｗ

：：＝

ｔｅｒｍ

ａ

ｘ

Ｉ ＼ｎ＼ｐ（Ｍ） ＼ ｌｎｒＱ（Ｍ） ｜ Ｃａｓｅ（Ｍ，

Ｃａｓｅ（Ｃ，

ｘ．Ｅ

＼ ｙ．Ｆ）

ｖａｒｉａｂｌｅ ｙ ｉｓ ｂｏｕｎｄ ｉｎ Ｆ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅ

ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓ

ｘ．Ｍ

＼ ｙ．Ｍ）．

ｉｓ ｂｏｕｎｄ ｉｎ Ｅ ａｎｄ ｔｈｅ

ｘ

ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｒｕｌｅｓ：

５＾

Ｓｇ Ｓｇ

＞

＞

＞

ＴｈＭ：ａ

ｒｈｌｎｌ／９（Ｍ）：ａ

＋

Ｔ＼－Ｃ：ａ ＋

Ｓｇ

（３

Ｓｇ

Ｓ＃

＞

Ｔｌ－Ｍ：ａ

Ｔｈ

Ｓｇ

＞

＞

Ｔ＼－

Ｔｌ－Ｍ：ａ

Ｔｈ

＞

Ｔ ｈ

＞

５ｐ

（１）

＾ ＞

Ｔ ｈ

＞

＞

Ｓｇ

Ｔ， ｘ： ａ

Ｃａｓｅ（Ｃ，

ｘ．Ｆ

ｘ．Ｅ

ｘ．Ｆ

Ｔ＼－Ｎ：Ｐ

＞

＊．

Ｔ ｈ

Ｓｇ

．

，．／

ｌｎｒａ（７Ｖ）：ａ

＞

Ｔ， ｙ： ／？

￣

＋

Ｓｇ ＝

Ｓｇ

｜ ｙ．Ｆ）

＝

＞

Ｔ，ｙ：０＼－Ｆ：６

Ｅ［Ｍ／ｘ］：６ ＞

Ｔ，ｙ：（３＼－Ｆ：Ｓ

Ｆ［Ｎ／ｘ］：６

（３

ｈ Ｆ： ６

｜ ｙ．Ｆ）： ５

＼ ｙ．Ｆ）

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｅ：８

Ｃａｓｅ（ｌｎｒａ（ｉＶ），

＞

ｈ Ｅ： ６

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｅ：６

Ｃａｓｅ（ｌｎｌ／３（Ｍ）， ５ｐ

Ｓｇ ＂

（２）

（３）

（４）

（５）

１９６

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ｓｏ

Ｔ＼－Ｃ：ａ ＋

＞

ｐ

Ｓｇ

＞

Ｔ，ｚ：ａ

０

＋

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｈ Ｌ：＜５

（６）

■

Ｔｈ

ｒ ｈ

＞

Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ

ｔｈｅ

ａ

ａｎｄ

ｒａｗ

Ｃａｓｅ（Ｃ， ｓ．Ｌｐｎｌ＾ａＯ／ｚ］ ｜ ｙ．Ｌ［ｌｎｒａ（ｙ）／ｚ］） ｃａｓｅ

ｓｙｎｔａｘ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅ

／？， ｔｈａｔ Ｉｎｌ＾Ｍ）

ｔｅｒｍ

ａｎ

／？

＋

ｉｓ

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ Ｍ ｉｎ

Ｌ［Ｃ／ｚ］：＜５

＂ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ＂ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈａｔ

ａ

ａ

＼ ｙ．Ｎ） ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ Ｍ［Ｃ／ｘ］ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ａ，＂ ａｎｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ Ｎ［Ｃ／ｙ］ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ

Ｃａｓｅ（Ｃ，

ｔｅｒｍ Ｃ ｉｓ ＂ｏｆ ｔｙｐｅ

ｉｓ

ａ

＝

ｘ．Ｍ

／？．＂ Ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｅｘｐｅｃｔ

ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｃ ｉｓ ＂ｏｆ

ｔｙｐｅ ａ ＋ ／？ ｂｙ ａ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｍｉｍｉｃｋｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｒｅｅ ｑｕａｒｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｓｔｏｒｙ． Ｗｅ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｔｙｐｅ

ｏｂｊｅｃｔ Ａ ＋ Ｂ ｏｆ Ｃ ｆｏｒ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ， ｂｕｔ ｗｅ ｄｏ

（ａ）

ａｌｌ

ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｔｈｅ

Ａ ａｎｄ Ｂ ｗｈｉｃｈ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｎｏｔ

ａｓｓｕｍｅ

ｗｅ

ｅｘｐｅｃｔ

ｔｈｉｓ．

ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｒｕｌｅｓ （１） ｇｉｖｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉ：Ａ－＊Ａ＋Ｂ ａｎｄ ｊ： Ｂ

Ｕｓｅ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｏ

ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ

ｂｉｎａｒｙ

ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｓ

ａｎｄ

—＊

ｏｆ Ｃ ｆｏｒ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ａｎｄ Ｂ， ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

（２）

Ａ＋Ｂ

ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ

［ｒｈｌｎｌ／３（Ｍ）：ａ ＋ ／？Ｊ ｄ＝ ｉｏ［ｒｈＭ：ａ］ ［ｒｈｌｎｒａ（ＡＴ）：ａ ＋ ／？ｌ ＾ ｊ

ｏ

［Ｔ

ｈ

＃：／？］．

（ｂ） Ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ ｄｏｗｎ ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｓｅｔｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ａ ｓｏｕｎｄ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｔｏ （３）， ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ， ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｙｏｕｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｍａｙ ｂｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ

￥ｃ＇＇Ｃ（ＣｘＡ，Ｄ） ｘＣ｛ＣｘＢ，Ｄ） ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ

［ｒｈＣａｓｅ（Ｃ，

ｃａｎ

Ｃ（Ｃ

—？

ｆａｍｉｌｙ

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

｛Ａ ＋ Ｂ），Ｄ）

ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅ

ｘ．Ｅ＼ｙ．Ｆ）：８ｊｄ＝

％ｌ（ｉｒ，ｉ：ａｈ Ｅ：８ｌ ［Ｔ，ｙ：ｐ＼－ Ｆ：６＼） （ｃ） Ｕｓｉｎｇ

ｘ

ａ

ｏ

｛ｉｄ［ｒｈ ［Ｔ

ｈ Ｃ：ａ ＋

／？］）．

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｉｎ （ａ） ａｎｄ （ｂ）， ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｍｕｓｔ ｈｏｌｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ （４）， （５） ａｎｄ （６） ａｒｅ ａｌｗａｙｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ． Ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ａｓｓｉｇｎｅｄ

ｔｏ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｃ｛Ｃｘ ｛Ａ ＋ Ｂ），Ｄ）—？Ｃ（ＣｘＡ，Ｄ） ｇｉｖｅｎ ｂｙ ／ ｏｂｊｅｃｔ

ｉ—？

（／ ｏ （ｉｄｃ

ｘ

ｉ）， ｆ ° （ｉｄｃ

Ａ ＋ Ｂ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｔｈｅ

ｘ

ｊ））

ｉｓ

ａ

ｘＣ（ＣｘＢ，Ｄ）

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ．

Ｈｅｎｃｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ．

Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ

４．１１．

（ｄ） Ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ

ｔｈｅ

１９７

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｕｓｅ

Ｃ（（Ｃ

＊＊

Ｃ（Ｃ ｘＡ，Ｄ）ｘ Ｃ（Ｃ ｘＢ，Ｄ）

Ａ）

ｘ

＋

（Ｃ

￡）， Ｄ），

ｘ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ Ｃ ｍｕｓｔ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ， Ｂ ａｎｄ Ｃ ｏｆ Ｃ ｗｅ ｈａｖｅ

ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈａｔ ｉｓ ｆｏｒ ａｌｌ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ，

ｏｖｅｒ

Ｃ

ｘ

｛Ａ ＋ Ｂ）

＊±

｛Ｃ

ｘ

Ａ）

｛Ｃ

＋

ｘ

Ｂ）．

ｓｙｎｔａｘ ｓｏｕｎｄｌｙ ｗｅ ｒｅｑｕｉｒｅ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅ ｏｖｅｒ Ｔｈｕｓ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ． ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ａ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｎ ｏｆ Ｃ ｗｉｔｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ０：１ Ｎ ａｎｄ ｓ：Ｎ－＋Ｎ ｗｈｉｃｈ ｅｎｊｏｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ： ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｍ： Ｃ Ａ ａｎｄ ／： Ｃ ｘ Ａ Ａ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｒｅｃ（ｆ）：ＣｘＮ－＋Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ

（５）

Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ

ａ

ｆｅｗ

—？

—？

—？

ｃｏｍｍｕｔｅｓ：

Ｃｘｉ

ｉｄ

ｘ

０

ｉｄ

？ＣｘＮ

ｒｅｃ（ｆ）

Ｃ———：—－ Ｃ ｘＡ

ｆ

｛ｉｄ，ｍ）

ｈａｓ

ｗｅ ａ

？ＣｘＮ

（７Ｔｉ，ｎｅｃ（／）＞

７Ｔｉ｜

Ｎｏｗ

ｘ ｓ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｎａｔ－ｔｈｅｏｒｙ．

ａ

ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ．

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ

ａ

：：＝

ＭＭ

ｐｒｏｖｅｄ

｜

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ

ｔｅｒｍｓ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

ａｒｅ

０

ａ

｜ Ｓｕｃ（Ｍ） ｜ （ｘ．Ｍ）Ｍ（Ｍ）

ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ

ｔｈｏｓｅ ｆｏｒ

ａ

ｘ

ｉｎ ｘ．Ｍ

ａｒｅ

Ｓｇ ＞

＞

ｒｈＯ： ｎａｔ

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｆ：ａ

Ｓｇ

ｂｏｕｎｄ． Ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｕｇｍｅｎｔｅｄ ｂｙ Ｓｇ

Ｓｇ

ａ

ａ

ｘ＼ ｆｃ｜／（Ｍ，．．．，Ｍ） ｜ （） ｜ （Ｍ，Ｍ） ｜ Ｆｓｔ（Ｍ） ｜ Ｓｎｄ（Ｍ） ｜ Ａｘ：ａ．Ｍ｜ ｌｅｎｇｔｈ

ｗｈｅｒｅ

ｂｕｔ

Ａ ｎａｔ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ ｏｆ ｇｒｏｕｎｄ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｎｏｗ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｇｒａｍｍａｒ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｍ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ，

Ｓｇ Ｓｇ

＞

＞

＞

＞ Ｔ

Ｔ＼￣Ｍ：ａ

ｒ ｈ Ｎ： ｎａｔ

＼－Ｓｕｃ（Ｎ）： Ｓｇ

Ｔ＼－（ｘ．Ｆ）Ｎ（Ｍ）：ａ

＞

ｎａｔ

Ｔ＼￣Ｎ：ｎａｔ

ｆｏｒｍｉｎｇ

１９８

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

Ａ ｎａｔ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ

（Ｓｇ，Ａｘ）

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｕｃｈ ａ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｄｅｅｍｅｄ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔ－ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ａｕｇｍｅｎｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ＝

Ｓｇ

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｆ：ａ

＞ Ｔｈ

Ｓｇ Ｔｈ

＞

＼

Ｓｇ

Ｓｇ

Ｔ， ｎ：

ｗｉｔｈ

ａ

＝

（ｃ）

Ｏｏ！：

［Ｔ］

Ｆ［｛ｘ．Ｆ）Ｎ｛Ｍ）／ｘ］：ａ

＝

ａ

＝

ｒ＼－Ｇ［Ｎ／ｎ］

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｔｏ

－＋

１

－？

Ｆ［Ｇ／ｘ］：ｎａｔ

（ｘ．Ｆ）Ｎ｛Ｍ）：ａ

ｎａｔ－ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｛ｎａｔ｝

ａ

Ｆｏｒ

ｏｂｊｅｃｔ．

＝

＝

ｃａｔｅｇｏｒｙ

＝

Ｎ ａｎｄ

Ｎ．

ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ Ｎ

ｇｉｖｅｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ

ｏｂｊｅｃｔ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｕＣＰＯ ｏｆ ｕ；ｃｐｏｓ．

Ｇｉｖｅｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａ

＞

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ

［Ｔ Ｉ－ Ｏ： ｎａｔ］ （ｂ） Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ

ｇｉｖｅ

Ｔ＼－Ｍ：ａ

＞

Ｇ［０／ｎ］ Ｍ：ａ Ｔ， ｎ： ｎａｔ ｈ Ｇ［Ｓｕｃ（ｎ）／ｎ］

＞

Ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ

Ｍ：ａ

ｈ Ｆ：ａ

ｒ １－

Ｔｈ

（ａ）

ｎａｔ ｈ Ｇ：

Ｔ， ｘ：ａ

＞

Ｔｈ

Ｓｇ

＝

ｒ ｈ Ｎ： ｎａｔ

＞

Ｔｈ

Ｔ＼￣Ｍ：ａ

＞

Ｔ＼－｛ｘ．Ｆ）°｛Ｍ）

＞

Ｔ＼－｛ｘ．Ｆ）ｓ＾Ｎ）（Ｍ） ＞

Ｓｇ

Ｓｇ

Ｔ，ｘ：ａ＼－Ｆ：ａ

＞

＞

（

ｉｓ

ａ

ｎａｔ－ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｌ（Ｔｈ）．

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

ｅｘｐｅｃｔｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｖ ｗｉｔｈ

ａ

Ｃｌ（Ｔｈ）

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｈ：

Ｔｈ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

Ｃｌ（Ｔｈ）

ａ

ｏｂｊｅｃｔ，

ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ

ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ：

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ —？

ｈａｓ

ａ

ｇｉｖｅｎ

ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｖ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｎａｔｕｒａｌ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｏｂｊｅｃｔ ａｎｄ ｔｈａｔ

ｕｎｉｑｕｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｂｊｅｃｔｓ． ａ

ｃｌｏｓｅｄ

（ｄ） Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ， Ｑｌ， ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ａ ｇｉｖｅｎ ｎａｔ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ． Ｌｅｔ Ｇｂｌ（ａ） ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ａ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｉｆ ［（［］ ｜ Ｍ）： ｕｎｉｔ ａ］ Ｇ Ｇｂｌ（ａ） ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｊｕｓｔ Ｍ ｆｏｒ （［］ ｜ Ｍ）． Ｒｅｇａｒｄ Ｇｂｌ（ａ） ａｓ ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｕ；ｃｐｏ． Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｔｒｉｐｌｅｓ （Ｄ， ＜， ａ） ｗｈｅｒｅ Ｄ ｉｓ ａｎ ｕ；－ｃｐｏ， ａ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃｌ（Ｔｈ）， ａｎｄ ＜ Ｃ Ｄ ｘ Ｇｂｌ（ａ） ｉｓ ａｎ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｕ；ｃｐｏ． Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ －＊■

（／， Ｆ） ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｏｆ

Ｃｌ（Ｔｈ）

ａｎ

：

（Ｄ， ＜，ａ） —（ｔｆ， ？＇，ａ＇） ／：Ｄ

＾－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｉｆ ｄ ＜ Ｍ ｔｈｅｎ

ｆ（ｄ）

—？

ａ＇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆ：ａ ｗｈｅｒｅ ｏ ｉｓ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

Ｄ＇ ａｎｄ

＜＇ Ｆ

ｏ

Ｍ

—＞

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ

４－１２．

ｉｎ

Ｃｌ（Ｔｈ）．

ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

１９９

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｑｌ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

Ｐｒｏｖｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｔｈａｔ Ｑｌ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ａ

ａ

ｏｂｊｅｃｔ． Ｈｉｎｔ： Ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｑｌ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗｉｓｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ （Ｄ， ＜， ａ） ａｎｄ （￡＞＇， ＜＇， ａ＇） ｉｓ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ （Ｄ ｘ Ｄ＇， ＜＂， ａ ｘ ａ＇） ｗｈｅｒｅ （ｄ， ｄ＇） ＜＂ Ｐ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｄ ＜ Ｆｓｔ（Ｐ） ａｎｄ ｄ＇ ＜＇ Ｓｎｄ（Ｐ）． Ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｂｊｅｃｔ ｉｓ （Ｎ， ＜ｎａｔｉ ｎｏｔ） ｗｈｅｒｅ ｎ ＜ｎａｔ Ｎ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ Ｔｈ ＞ ｈｉＶ Ｓｕｃｎ（０）： ｎａｔ ｗｈｅｒｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ

＝

Ｓｕｃｎ（０）

ｉｎｄｉｃａｔｅｓ

Ｓｕｃ（Ｓｕｃ（．．． Ｓｕｃ（Ｏ）．．．））．

ｖ

＇

ｖ

ｌｅｎｇｔｈ

（ｅ）

ｎ

Ｕｓｅ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｑｌ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｃｌｏｓｅｄ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔｈ ｏｆ ｔｙｐｅ ｎａｔ

ｐｒｏｖａｂｌｙ ｅｑｕａｌ

ｔｏ ｓｔａｎｄａｒｄ ｎａｔｕｒａｌ

Ｔｈ

Ｓｕｃｎ（０）：

＞

＼－ Ｎ

＝

ｃｌａｓｓｉｆｉｅｒ Ｃｌ（Ｔｈ）：

ｎｕｍｂｅｒｓ，

ｔｈａｔ ｉｓ ｉｆ

ｎａｔ． Ｈｉｎｔ： Ｕｓｅ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｃｌ（Ｔｈ） ｕｊＣＰＯ ａｎｄ Ｑｌ

ａ

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

Ｑｌ

－

７Ｔ２

－

Ｓｇ

＞

ｈ Ｎ： ｎａｔ

ａｒｅ

ｔｈｅｎ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ （ｓｅｅ （ｃ）） ｏｆ ｔｈｅ

ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｌｊＣＰＯ

７Ｔｉ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｂｊｅｃｔｓ． Ｈｅｒｅ， ［—］ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｆｕｎｃｔｏｒ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ｕｊＣＰＯ． Ｉｆ Ｓｇ ＞ ｈ Ｎ： ｎａｔ ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｎ： ｕｎｉｔ —？ ｎａｔ ｉｎ ｂｅｃａｕｓｅ ｂｏｔｈ

Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｙｏｕｒ

ａｒｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｐｒｏｏｆ ｂｙ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｉｎ

Ｑｌ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｈ．

（ｆ）

Ｈｏｗ ｄｏｅｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｑｌ ｒｅｌａｔｅ ｔｏ ｔｈｅ

４．１２

ｇｌｕｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．１０？

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

ｆａｉｒｌｙ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｅｘｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｃｈ ｏｆ ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ４ ｉｎ ［ＡＬ９１］． Ｔｈｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈａｔ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｄｉｓｃｕｓｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｌｅｓｓ ｆｏｒｍａｌｌｙ ｔｈａｎ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂ Ａ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｍａｎｙ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ［Ｂａｒ８４］． Ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｃｏｖｅｒｓ ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｏｎｌｙ ｊｕｓｔ ｔｏｕｃｈｅｄ ｏｎ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂ Ｔｈｅ ｔｅｘｔｂｏｏｋ ［ＢＷ９０］ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｖｅｒｙ ｂｒｉｅｆ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ （ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ） ａｎｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ［Ｌａｍ８０］． Ａ ｒａｐｉｄ ｅｘｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｏｎｅ

ｃａｎ

ｆｉｎｄ

ａ

２００

ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４－

ｃａｎ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ

［ＬＳ８０］．

Ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｃｏｖｅｒｓ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｍｏｓｔ ｏｆ

ｏｕｒ

ｅｘｃｌｕｄｉｎｇ ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ． Ｔｈｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｍａｋｉｎｇ ｕｓｅ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ａ ｂｒｉｅｆ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ［Ｐｉｅ９１］ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ｆｏｒ ａｎ ａｕｄｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ４

ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ．

５

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．１

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｂｅｇｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ａ ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ＂ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ＂ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｈａｓ ｓｏ ｆａｒ ａｐｐｅａｒｅｄ， ｎａｍｅｌｙ：

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．１．１ ｆｏｒｍ ｏｆ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｌｅｔ

ｕｓ

Ｘｉ＇．ｃｔｉ，．．． ，ｘｎ：ａｎ

＼－

Ｍ

ａ

Ｔｙｐｅ ａｓｓｉｇｎｅｄ Ｌｉｓｔ ｏｆ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｒｓ ｒ

ｆｏｒ

．

．

ｉｎｐｕｔ ｄａｔａ

Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｄｅ ｆｏｒ

ａ

ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｗｏｒｋｉｎｇ

．

ｇｉｖｅｎ

ｐｒｏｇｒａｍ

ｐｒｏｇｒａｍ． Ｔｈｅ ｌｉｓｔ ｏｆ

ｒ

ｔｙｐｅｓ ｏｆ

ｉｎｐｕｔ ｄａｔａ

（ｖａｒｉａｂｌｅ， ｔｙｐｅ） ｐａｉｒｓ

ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ，

（ｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ） ａｐｐｅａｒｉｎｇ

ｔｏ

ｐｒｏｇｒａｍ ｆｏｒ

．

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

，

．

ｂａｓｉｃ

ｇｉｖｉｎｇ

ａ

Ｘ＼：ａ＼，．．．，ｘｎ：ｏＬｎ

ｌｉｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｒｓ

ｂｏｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ， ａｎｄ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ ｄａｔａ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅ ａ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｔｙｐｅ ａｓｓｉｇｎｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ Ｍ ｗｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｆｅｄ ｗｉｔｈ ｉｎｐｕｔ ｄａｔａ ｗｈｏｓｅ ｔｙｐｅｓ ｍａｔｃｈ ｔｈｏｓｅ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎ ｔｈｅ

ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．

ｍａｉｎｌｙ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ ｗｉｔｈ ｇｉｖｉｎｇ ａｎ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ （ａｎｄ ｉｔｓ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ） ｗｈｉｃｈ ｆｏｒｍｓ ｔｈｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｔｏ ｍｏｄｅｒｎ ｔｙｐｅｄ （ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ） ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｐａｕｓｅ ｈｅｒｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ， ｉｎ ｂｒｏａｄ ｔｅｒｍｓ， ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｎｄ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｉｓｓｕｅｓ． Ｆｉｒｓｔ ｏｆ ａｌｌ， ｔｈｉｎｋ Ｗｈｉｌｅ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｉｓ

ａｂｏｕｔ ｔｈｅ

ｕｓｅｓ

ｔｏ ｗｈｉｃｈ

ｔｙｐｅｓ

ａｒｅ

ｐｕｔ． Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

（ａｔ ｌｅａｓｔ）

ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｏｌｅｓ

ｐｌａｙｅｄ ｂｙ ｔｙｐｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｎｅ ｈａｎｄ， ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｅｒ ｔｏ ｏｒｇａｎｉｓｅ ｄａｔａ ａｎｄ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｔａｓｋ ｏｆ ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ ｐｒｏｇｒａｍｓ ｅａｓｉｅｒ． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ， ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｂｙ ａｎ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｏｒ ｔｏ ｏｒｇａｎｉｓｅ ｓｔｏｒａｇｅ ｓｐａｃｅ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ． Ａ ｃｏｍｐｉｌｅｒ ｎｅｅｄｓ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ｓｔｏｒａｇｅ ｓｐａｃｅ ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ａｌｌｏｃａｔｅ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｗｏｒｋ ｏｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｄａｔａ ｉｔｅｍ． Ｉｎ ｍｏｓｔ ｕｎｔｙｐｅｄ ｌａｎｇｕａｇｅｓ， ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｗｉｌｌ ｐｒｏｄｕｃｅ ａ ｐａｃｋａｇｅ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔａ ｉｔｓｅｌｆ， ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔａ， ａｎｄ ｐｏｓｓｉｂｌｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｐａｃｋａｇｅ． Ｔｈｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈａｔ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｈａｓ ｔｏ ｂｅ ｃｈｅｃｋｅｄ ａｔ ｒｕｎ ｔｉｍｅ． Ｉｎ ａ ｔｙｐｅｄ ｌａｎｇｕａｇｅ， ｃｈｅｃｋｓ ｏｎ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｄａｔａ， ｓｔｏｒａｇｅ ａｌｌｏｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｏ ｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ａｔ ｃｏｍｐｉｌｅ ｔｉｍｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｃｈｉｎｅ ｎｅｅｄ ｏｎｌｙ ｓｔｏｒｅ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｄａｔａ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｙｐｉｎｇ ｃａｎ ｌｅａｄ ｑｕｉｃｋｌｙ ｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ． ｏｍ

２０２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｗｈｉｃｈ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ｔｈｅ ｓｗａｐｐｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ

ｔｗｏ ｖａｒｉａｂｌｅｓ：

Ｐｒｏｃ

Ｓｗａｐｉｎｔ （ｖａｒ ｖａｒ

：

ｖｅｒｙ

ｓｉｍｐｌｅ ＂ａｌｇｏｒｉｔｈｍ＂ ｆｏｒ

Ｉｎｔ；

：

ｔ

Ｉｎｔ）；

ｎ，ｍ

Ｂｅｇｉｎ ｔ

：＝

ｍ；

ｍ

：＝

ｎ；

ｎ

：＝

ｔ

ｅｎｄ； Ｔｈｉｓ ｐｉｅｃｅ ｏｆ ｃｏｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ

ｅｓｓｅｎｃｅ

ｏｆ

ａ

ｓｗａｐｐｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ｂｕｔ ｉｔ ｈａｓ ａｎ ｏｂｖｉｏｕｓ ｄｒａｗｂａｃｋ． Ｏｎ ｔｈｅ ｍａｃｈｉｎｅ， ｉｔ ｗｉｌｌ ｏｎｌｙ ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｉｓ ｓｗａｐ ｆｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ｔｙｐｅ ｉｎｔｅｇｅｒ． Ｙｅｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ＂ａｌｇｏｒｉｔｈｍ＂ ｗｉｌｌ ｗｏｒｋ ｆｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａｎｙ ｔｙｐｅ． Ｗｅ ｃａｎ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｙ ａｌｌｏｗｉｎｇ ｏｕｒ ｃｏｄｅ ｔｏ ｃｏｎｔａｉｎ ａ ＂ｖａｒｉａｂｌｅ ｔｙｐｅ＂ ａｎｄ ｓｕｃｈ ａ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｄｏｉｎｇ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｗａｐｓ ｍｉｇｈｔ ｔｈｅｎ ｌｏｏｋ ｌｉｋｅ Ｐｒｏｃ Ａｎｙｓｗａｐ （ ｔｙｐｅ Ｘ； ｖａｒ

：

ｔ

ｖａｒ

ｎ，ｍ

：

Ｘ）；

Ｘ；

Ｂｅｇｉｎ ｔ

：＝ ｍ；

ｍ

：＝ ｎ；

ｎ

：＝ ｔ

ｅｎｄ； ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｗｏｕｌｄ ｂｅ

ａｓｓｉｇｎｅｄ

ａ

ｖａｌｕｅ ａｔ ｅａｃｈ ｃａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ． Ａ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｗｈｉｃｈ ｅｍｂｏｄｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｔｙｐｅｓ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｐｒｏｖｉｄｉｎｇ ａ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ｗｒｉｔｉｎｇ ｄｏｗｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｔｅｒｍ （ｐｒｏｇｒａｍ） ｏｆ ａ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｌｅｔ ｕｓ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｎａｍｅｌｙ Ｘｘｉａ．ｘ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｇｒａｍ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｓｗａｐｐｉｎｇ ｔｗｏ ｉｎｔｅｇｅｒｓ； ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ａ， ｙｅｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ＂ｆｏｒｍ＂ ｗｈａｔｅｖｅｒ ａ ａｃｔｕａｌｌｙ ｉｓ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ＡＸ．Ｘｘ： Ｘ．ｘ． Ｈｅｒｅ， ｏｎｅ ｓｈｏｕｌｄ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｘ ａｓ ａ ｐｒｏｇｒａｍ ｏｒ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ， ａｎｄ Ｘ ａｓ ａ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ． Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＡＸ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｒｏｌｅ ｆｏｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ａｎｄ ｍａｒｋｓ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ

ａｓ ａ

ａｓ

＂ｈｏｌｅ＂ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

Ｘｘ ｄｏｅｓ ｆｏｒ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｗｅ ｃａｎ

ｐｌｕｇ

ａｎｙ

ｔｙｐｅ． Ｓｏ， ｉｆ

Ｔｈｅ

５．２．

ｗｅ

Ｓｙｎｔａｘ

ｗａｎｔ ｔｏ

ａｎｄ

ｐｒｏｄｕｃｅ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｔｈｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｉｎｔｅｇｅｒｓ，

ｗｅ

ａｐｐｌｙ

ｏｕｒ

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ

ｔｙｐｅ ｉｎｔ ａｎｄ ＂ｓｌｏｔ ｉｎｔ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ＇ｈｏｌｅ＇ Ｘ：＂

ｔｏ ｔｈｅ

（ＡＸ．Ｘｘ： Ｘ．ｘ）（ｉｎｔ） Ｗｈａｔ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｓ Ｘ

ｏｎ

２０３

Ｘ．

＝

（Ｘｘ： Ｘ ．ｘ）［ｉｎｔ ／Ｘ］

＝

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ＡＸ．Ｘｘ： Ｘ．ｘ？

Ｘｘ：ｉｎｔ．ｘ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｘｘ．Ｘ．ｘ

Ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｌｉｋｅ ｔｏ ｆｏｒｍａｌｉｓｅ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｅ ＡＸ．Ａｘ： Ｘ．ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｔｙｐｅｓ Ｘ， ａｎｄ ｔｈａｔ ａｔ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｙｐｅ ａ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｅ ｉｓ ａ ＝＞ ａ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ＂ｉＸ．Ｘ ＝＊＞ Ｘ， ｗｈｅｒｅ Ｖ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｒｅａｄ ａｓ ＂ｆｏｒ ａｌｌ＂ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ Ｘ ｉｓ ｂｏｕｎｄ ｉｎ ＂ｉＸ．Ｘ ＝＊＞ Ｘ， ｉｎｄｉｃａｔｉｎｇ ｔｈａｔ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｘ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ａｒｅ ＂ｓｌｏｔｓ＂ ｔｏ ｂｅ ｆｉｌｌｅｄ ｂｙ ｏｔｈｅｒ ＝￥＞

＝

．

ｔｙｐｅｓ．

ｓｉｍｐｌｅ ｉｄｅａｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ａ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ （ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ） ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｐｏｉｎｔｓ ｔｏ ｂｅ ｃｌａｒｉｆｉｅｄ； ｏｕｒ ａｉｍ ｈｅｒｅ ｉｓ ｔｏ ｓｉｍｐｌｙ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ａ ｆｅｅｌｉｎｇ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｄｅａｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｓｅ

Ｗｅ ｗｉｔｈ

ａ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｇｉｖｅ

ａ

ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｉｓ

ｃｈａｐｔｅｒ．

Ｗｅ

ｂｅｇｉｎ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｆｏｒｍａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｍｕｃｈ ｌｉｋｅ ａ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｍａｙ ｎｏｗ ｐｅｒｆｏｒｍ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｎｅｘｔ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ， ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ａｓ ｉｎ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｃｈａｐｔｅｒｓ， ｎａｍｅｌｙ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｎ ｓｙｎｔａｘ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｂｙ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ， ｗｅ ｃａｎ ｇｉｖｅ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｋｎｏｗｎ ａｓ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｋｉｎｄ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｂｏｔｈ ａ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ａｎｄ ａ ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ， ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａｎ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐａｒｔｉａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｄｏｍａｉｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｓｏｕｎｄ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｏｆ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｉｔｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ； ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｄｅａｓ ｉｓ ｍｕｃｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒｓ ３ ａｎｄ ４， ｂｕｔ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｅｘ （ｓｅｅ Ｆｉｇｕｒｅ ５．１）． Ｔｈｉｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ａｌｓｏ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ．

５．２

Ｔｈｅ

Ｓｙｎｔａｘ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ５．２．１ ｉｓ

ａ

Ａ

ａｎｄ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２Ａｘ－ Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

２Ｘｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ｓｇｔｍ

ｉｓ

ａ

ｐａｉｒ Ｓｇ ＝ｆ （Ｓｇｔｙ， Ｓｇｔｍ） ｗｈｅｒｅ Ｓｇｔｙ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｉｓ

ａ

２０４

ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

５．

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ （

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｆｉｇｕｒｅ

５．１：

Ａ

Ｃｌ｛Ｔｈ）｝＞

Ｔｈ

［Ｔｈ｛Ｃ）＋

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃ

Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ））Ｉ

￣

ＣＩ

ｆｉｂｒｅｓ

Ｃｌ（Ｔｈ｛Ｃ））

￣

Ｃ

ｂａｓｅ

Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎａｌ Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ ／ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ． ｏｆ

Ｓｇｔｍ ｄｅｐｅｎｄｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ？

ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄａｔａ：

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｎ

ｏｆ

Ｓｇｔｙ．

Ａ

２Ｘｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｙ

ｉｓ

ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌｓ．

ａｒｉｔｙ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ （ｐｏｓｓｉｂｌｙ ０）． Ａ ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ Ｋ ｗｉｔｈ ａｒｉｔｙ ０ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ？

Ａｎ

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ

Ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｈｅ ￥

：：＝

ｒａｗ

ｒａｗ

ｔｙｐｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｐｌａｙ

ａ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ，

ａｒｉｔｙ

ａ

ｖａｒｉａｂｌｅ，

ａｎｄ ｕｎｉｔ ｉｓ

ｕｎｉｔ

｜

￥

ｘ

＜￡＞

ｓｕｃｈ ｎｏｔｉｏｎｓ，

￥

＝＞

｜

￥

Ｋ ｉｓ ａｎｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｙｐｅ， Ｆ ｉｓ ａｎｙ ｔｙｐｅ ａ

３＞． Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｉｔ

ｗｉｌｌ

ａｓ ａｎ

ｒｅｑｕｉｒｅ

ａ

ｏｆ

ＶＸ．￥

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ （ｃｏｎｓｔａｎｔ）

ｒａｗ

ｒａｗ

ｂｏｕｎｄ）．

ｔｙｐｅｓ ｆｏｒ ｔｙｐｅ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ

（ｒｅｃａｌｌ

ｆｒｏｍ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ￥＇ ｉｓ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ

ｓｙｍｂｏｌ

ｔｙｐｅ．

ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｎｏｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｂｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｗｅ

ｔｅｒｍｓ．

ａ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．１．１ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｉｎ ＶＸ．￥ ｉｓ

ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ

｜

ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ｗｅ

ｒａｗ

＝

ｌｅｎｇｔｈ

ｏｆ

ｓｉｍｉｌａｒ ｒｏｌｅ ｔｏ

ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ Ｖａｒｔｙ ｛Ｘ， Ｙ，Ｚ，．．．｝ ｔｙｐｅｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ＢＮＦ ｇｒａｍｍａｒ

ｇｉｖｅｎ

Ｘ＼Ｋ＼ Ｆ（￥， ．．．，￥） ｜

ｗｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ ａｎｙ ｔｙｐｅ

ａ

ｓｕｂｔｙｐｅ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ａ ｒａｗ

ｉｎｔｕｉｔｉｖｅｌｙ ｃｌｅａｒ； ｉｔ ｍａｙ ｂｅ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｒｅａｄ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．２．３． Ｗｅ ｃａｌｌ ａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ＶＸ ａｎ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｉｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｙｐｅ ＶＸ．ｔｙ ｉｓ ａ ｒａｗ ｓｕｂｔｙｐｅ ｏｆ ３＞， ｔｈｅｎ ＃ ｉｓ ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ＶＸ． Ｉｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ ￥， ｔｈｅｎ Ｘ ｉｓ ｂｏｕｎｄ ｉｆ ｉｔ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ

５．２．

Ｔｈｅ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２＼ｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ａｎｄ

Ｓｙｎｔａｘ

２０５

ｓｕｂｔｙｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ＶＸ．＼￡． Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｘ ｉｎ ｔｈｅ ｒａｗ ｓｕｂｔｙｐｅ ＶＸ＾ ａｒｅ ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ＶＸ． Ｉｆ Ｘ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ￥ ａｎｄ ｉｓ ｎｏｔ ｂｏｕｎｄ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｆｒｅｅ． Ｉｆ Ｘ ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｆｒｅｅ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ ｉｎ ３＞ ｉｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｒｅｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ ｒａｗ ｔｙｐｅ

ａ ｒａｗ

￥ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｌａｕｓｅｓ： ？

？

ｆｔｙｖ（Ｘ）＊｛Ｘ｝， ｆｔｙｖ（Ｋ）ｄ＾０， ＾ｆｌｙｖ＾ｉ） Ｕ

？

ｆｔｙｖ｛Ｆ（￥ｕ

？

ｆｔｙｖ（ｕｎｉｔ）

？

ｆｔｙｖ（￥

ｘ

？

ｆｔｙｖ｛￥

＝＞

？

ｆｔｙｖ（ＶＸ．￥）ｄ＾ｆｔｙｖ（￥）＼｛Ｘ｝．

Ｔｈｅ

ｒａｗ

Ｓ０））

．．．，

Ｕｆｔｙｖ｛￥ａ），

０，

＝

ｔｆ）

．．．

ｆｔｙｖ（￥） Ｖｆｔｙｖ（Ｖ），

＝

ｔｆ） ＝ｆｔｙｖ（￥） Ｖｆｔｙｖ（Ｖ），

ｔｙｐｅ ￥ ｉｓ ｓａｉｄ

ｔｏ ｂｅ

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ ｔｈｅ

ｒａｗ

ｔｙｐｅ ＼Ｉ＞ ｉｆ ￥ ａｎｄ ＼￡ ｄｉｆｆｅｒ

ｏｎｌｙ ｉｎ ｔｈｅｉｒ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｉｓ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｗ ｒｅｇａｒｄ ａ ｒａｗ ｔｙｐｅ ￥ ａｓ ｔｈｅ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ｒａｗ

ｔｙｐｅｓ ｉｓ

ｏｎｌｙ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ—ｓｅｅ ｐａｇｅ １５８． Ｔｈｉｎｋ ｏｆ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｔｈｅ

＂ｂｅｉｎｇ

ａｓ

ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ

ｕｐ ｔｏ

ｓａｍｅ

ｒａｗ

ｔｙｐｅ ￥， ｗｒｉｔｔｅｎ

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ａ

ｏｆ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．＂

ｃｈａｎｇｅ

ｔｙｐｅ ＼￡ ｆｏｒ

￥［￥／Ｘ］，

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ

ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ

ｒａｗ

ｃａｐｔｕｒｅ． Ｆｏｒｍａｌｌｙ

Ｙ［Ｖ／Ｘ］ ｄ＝

ｗｅ

ｔｅｒｍ ｆｏｒｍｅｄ ｒａｗ

Ｘ［Ｖ／Ｘ］ ｄ＝ ｔｆ，

？

Ｋ［ｔｙ／Ｘ］

？

Ｆ（￥ｉ，．．．， ￥？）［＊／Ｘ］ ｄ＝ Ｆ（￥ｉ［￥／Ｘ］，．．．， ￥？［ｔｆ／Ｘ］）

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

＝

ａｒｉｔｙ

？

ｕｎｉｔ［＾／Ｘ］

？

（￥

ｘ

？

（￥

＝＞

？

＜

Ｋ ｆｏｒ

ａ

ｃｏｎｓｔａｎｔ

ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ

ａｌｌ

ｔｙｐｅ ＼￡， ｃｈａｎｇｉｎｇ ｂｏｕｎｄ

Ｙ ｉｆ Ｙ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ

Ｘ，

ｔｙｐｅ Ｋ， ｆｏｒ

ａ

ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ Ｆ ｏｆ

ｎ，

ｄｅｆ ＝

ｕｎｉｔ，

Ｖ）［＊／Ｘ］ ｄ＝ （￥［＊／＊］）

（ｉ） （ｉｉ）

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｈａｖｅ：

？

ａｎｄ

ｕｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｉｎ ｔｈｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｉｎ ￥ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｔｏ ａｖｏｉｄ

Ｌｅｔ

＆）［＊／Ｘ］

＝

｛＊［＊／Ｘ＼）

ｘ

（￥＇［＃／＊］）＞

＝＞

（Ｖ［＊／Ｘ＼），

ａｎｄ

ｄｅｆ

（ＶＸ．￥）［ｔｆ／Ｘ］ ＝ＶＸ．￥， ｄ＝ ＶＺ．（＾［Ｚ／Ｘ］［＊／ｙ］） （ｖｘ．￥）［＊／ｙ］ｄ＝ｖｚ．（￥［ （ＶＸ．￥）［ｔｆ／ｙ］

ｗｈｅｒｅ Ｚ

＜￡ ｆｔｙｖ｛§） Ｕｆｔｙｖ＾ｆ），

ａｎｄ Ｚ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｂｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ Ｘ ａｎｄ Ｙ＼

Ｅｘａｍｐｌｅｓ ５．２．２ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ

Ｔｈｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ

ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ

ｔｅｒｍｓ．

＂（＂

ａｎｄ

＂）＂

ａｒｅ

ｕｓｅｄ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ

ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ

２０６

Ｃｈａｐｔｅｒ

（１） ｛（Ｘ ＝＞Ｙ）ｘ Ｚ）［￥／Ｘ＼

＝

（２） （ＶＺ．（Ｘ ＝＞Ｙ）ｘ Ｚ）［Ｕ

ｘ

（＜ｆ＞＾Ｙ）＾－

Ｚ／Ｘ］

Ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｚ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ ｉｓ

ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ

５．

＝

ｒａｗ

ＶＺ．（（Ｃ７

ｘ

Ｚ）

Ｙ）

＝？

ｘ

ｔｅｒｍ Ｕ ｘ Ｚ ｂｅｃｏｍｅｓ

Ｚ ｉｓ ｎｏ＊ ｃｏｒｒｅｃｔ．

ｂｏｕｎｄ，

ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｔ

ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ＶＺ． Ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｈａｖｅ

＜￥ ＶＶ．（（Ｃ／

ｃｈａｎｇｅ

ｘ

Ｚ）｛Ｖ／Ｚ］｛Ｕ

ｘ

Ｚ／Ｘ］）

Ｗ．（（（Ｘ＝＞Ｙ）ｘＶ）［ＵｘＺ／Ｘ＼）

＝

ｗｅ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｚ．

（ｙＺ．（Ｘ＾Ｙ）ｘＺ）［Ｕ ｘＺ／Ｘ］ ｄ＝ ＶＶ．（（（Ｘ ＝＞Ｙ）

ｗｈｅｒｅ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

ｘ

ｔｈｅ ｂｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｚ ｔｏ

ａ

Ｚ）

＝＞

Ｙ）

ｘ

Ｖ

ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｖ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ

Ｚ ａｎｄ Ｘ ａｎｄ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｖ

＃ｆｔｙｖ（（Ｘ ＾Ｙ）ｘＺ） Ｕｆｔｙｖ（Ｕ

ｘ

Ｚ）

＝

｛Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｕ｝．

ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｒｕｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｔｈｅ ＂ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ ｔｙｐｅｓ，＂ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｙ． Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｃｏｕｐｌｅ ｍｏｒｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ａ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ Ａ ［Ｘｉ，．．．， Ｘｎ］． Ａ ｔｙｐｅ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａｈ￥ ｗｈｅｒｅ ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ５．２．３

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｎｏｗ

＝

￥ ｉｓ

ａ ｒａｗ

ｔｙｐｅ ａｎｄ Ａ ｉｓ

ａ

ｔｙｐｅ

ｃｏｎｔｅｘｔ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｎｏｗ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｃｌａｓｓ ｏｆ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｓｇｔｙ ＞ Ａｈ￥ ｗｈｅｒｅ Ａ ｈ ￥ ｉｓ ａ ｔｙｐｅ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ． Ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｓｇｔｙ ＞ Ａ ｈ ￥ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ５．２． Ｏｎｅ ｓｈｏｕｌｄ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｙｐｅ ￥ ｉｎ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ Ｓｇｔｙ ＞ Ａ ｈ ￥ ａｓ ｂｅｉｎｇ ＂ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ＂ ｏｒ ＂ｗｅｌｌ ｔｙｐｅｄ．＂

Ｒｅｍａｒｋ ５．２．４

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

ｂｅ ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ． Ｔｈｕｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｕｌｅ ｆｏｒ ｉｓ

ａ

ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ， Ｘ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ａ． Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｉｆ

ｅｘａｍｐｌｅ）

Ａ

＝

［Ｘ， Ｙ］

ｗｅ

ｍａｙ ｗｒｉｔｅ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ５．２．５

Ｗｅ

ｏｆ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔｓ，

ｗｉｔｈ

ｏｎ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｓｙｎｔａｘ ａｒｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｔｙｐｅｓ， ｂｅｃａｕｓｅ Ａ， Ｘ

ａｌｏｎｇ

ｃａｎ ａ

Ｘ，７ｈ￥ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ［Ｘ， Ｙ］

（ｆｏｒ

ｈ ３＞．

ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｒｕｌｅ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ， ｍｉｍｉｃｋｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｕｎｄ ｄｅｒｉｖｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐａｇｅ １２５．

Ｐｒｏｏｆ

□

Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．２．６

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

５．２．５ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅｍ．

５．２．

Ｉ—

Ｔｈｅ

Ｓｙｎｔａｘ

ａｎｄ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２＼ｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｔｙｐｅ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｓｇｔｙ Ｕｎｉｔ

Ａ＇，Ｘ，Ａ＼－Ｘ

＞

Ｔｙｐｅ Ｓｇｔｙ

Ｉ—

Ｓｇｔｙ

＞

Ａｈ￥！

Ｓｇｔｙ

Ｂｉｎａｒｙ

＞

．．．

Ａｈ ｕｎｉｔ

Ｓｇｔｙ

＞

（Ｋ

Ａｈ￥０

ＡＨＦ（￥ｌｒ．．，￥０）

Ｐｒｏｄｕｃｔ

Ｔｙｐｅｓ

ｈａｓ

ａｒｉｔｙ ０）

（ｗｈｅｒｅ

Ｆ ｈａｓ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ａｒｉｔｙ ａ）

Ｔｙｐｅｓ ＞

Ａｈ￥

Ｓｇｔｙ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｋ

Ａｈ

＞

Ｓｇｔｙ

１—

＞

Ｔｙｐｅ Ｓｙｍｂｏｌｓ Ｓｇｔｙ

１—

２０７

＞

Ｓｇｔｙ Ａｈ￥

＞ ｘ

Ａｈ＊

＊

－

Ｓｇｔｙ

＞

Ａｈ￥

Ｓｇｔｙ

＞

Ｓｇｔｙ

＞

Ａｈ＊

Ａｈ￥ ＝＞＊

ｊ— Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｔｙｐｅｓ

Ｆｉｇｕｒｅ

５．２： Ｐｒｏｖｅｄ

Ｖ

＞

Ａ，Ｉｈ￥

Ｓ＾＊

＞

Ａ ｈ ＶＸ￥

Ｔｙｐｅｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａ

２Ａｘ－Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

２０８

Ｃｈａｐｔｅｒ Ｗｅ ｗｉｌｌ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ５．２．７

ｓｅｅ

ｌａｔｅｒ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

ｏｎ

ｔｈａｔ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ

ａ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ａｓｓｅｒｔｉｎｇ ｔｈｅ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｒａｗ ｔｙｐｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ （ｗｅ ｈａｖｅ ｙｅｔ ｔｏ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｗ ｔｅｒｍ）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｈｏｌｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｙｐｅｓ ｐｌａｙ ａ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ｂｅｆｏｒｅ ｇｉｖｉｎｇ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｌｌ ｉｎｖｏｌｖｅ

ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ

ｔｅｒｍｓ．

ｂｅｉｎｇ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ． Ａ ｔｙｐｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ ￥＇ ｗｈｅｒｅ Ｓｇｔｙ ＞ Ａｈ￥ ａｎｄ ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ ｈ ￥ Ｓｇｔｙ ＞ Ａ Ｉ－ ￥＇． Ａ ２Ｘｘ－ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｙ ｉｓ ａ ｐａｉｒ （Ｓｇｔｙ， Ａｘｔｙ） ｗｈｅｒｅ Ｓｇｔｙ ｉｓ ａ ２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ａｘｔｙ ｉｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ， ｅａｃｈ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｋｎｏｗｎ ａｓ ａ ｔｙｐｅ ａｘｉｏｍ． Ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈｔｙ ＞ Ａｈ￥ ￥＇， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ （ｓｅｅ ｐａｇｅ １２８， ｗｈｅｒｅ ｏｎｅ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｒｅｐｌａｃｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈ ＞ ｒ ｈ Ｍ Ｍ＇： ａ ｗｉｔｈ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈｔｙ ＞ Ａｈ￥ ￥＇）． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ

＝

＝

＝

＝

Ａ ２ Ａ ｖ．－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．２．８ ｄａｔａ ｆｒｏｍ ？

ａ

２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｙ

Ａ

＝

Ｓｇｔｙ）

ｉｓ

Ｓｇｔｍ （ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ

ｄａｔａ：

｛Ｓｇｔｙ， Ａｘｔｙ）．

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ， ｅａｃｈ ｈａｖｉｎｇ ａｎ ａｒｉｔｙ ａ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ （ｐｏｓｓｉｂｌｙ ０）． Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｋ ｗｉｔｈ ａｒｉｔｙ ０ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ． ？

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ

？

Ａ

ａ

ｓｏｒｔｉｎｇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ／ ｏｆ ａｒｉｔｙ ａ， ｗｈｉｃｈ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ－＾ ａｎｄ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔ ｏｆ ａ ＋ １ ｒａｗ ｔｙｐｅｓ

ｗｒｉｔｔｅｎ

ｓｕｇｇｅｓｔｉｖｅｌｙ

ａｓ

／： Ａ＾； ￥ｌ５．．．， ￥＞ａ

ｆｏｒ ｅａｃｈ １ ＜ ｉ ＜ ａ ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｈｅｎ

ｗｅ

Ｎｏｗ

ｗｒｉｔｅ ｋ： ｗｅ

ｕｓ ａｓｓｕｍｅ ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ

Ｍ

ａｒｅ

［￥ｉ，．．．， ￥０，３＞］ （ｏｆｔｅｎ ￥＞）， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ Ｓｇｔｙ ＞ Ａ＊ ｈ ￥＊

Ａ？ ｈ ￥＞． Ｉｆ Ａ； ｉｓ

＞

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ

ａ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｙｍｂｏｌ

Ａｋ； ￥．

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｔｈａｔ

Ｓｇｔｙ

—？

ｉｓ

ｒａｗ

ｗｅ ａｒｅ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ａ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｍ． Ｌｅｔ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｈｅ

ｔｅｒｍｓ

ｇｉｖｅｎ

ａ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ （ｉｎｆｏｒｍａｌ） ＢＮＦ ｇｒａｍｍａｒ

：：＝

ｘ

｜ ＊＊，，．．．，＊． ｜ ／＊ｘ，．．．，＊Ｂ，（Ａｆ，．．．， Ｍ） ｜ （） ｜ （Ｍ， Ｍ） ｜ Ｆｓｔ（Ｍ） ｜ Ｓｎｄ（Ｍ） ｜ ｌｅｎｇｔｈ

ａ

＼ｘ：￥．Ｍ＼ＭＭ＼ＡＸ．Ｍ＼Ｍ￥ ｗｈｅｒｅ

ｘ

ｖａｒｉａｂｌｅ， ｋ ｉｓ ａｎｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／ ｉｓ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ａｒｉｔｙ ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｉｓ ａｎｙ ｔｅｒｍ

ｌｅｎｇｔｈ（Ａｋ） ｌｅｎｇｔｈ（Ａｆ） ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ

＝

＝

ｎ，

ｎ＇ ａｎｄ ｔｈｅ ＾ｆ ａｎｄ ￥

ｅｘｐｌａｎａｔｏｒｙ

ｎｏｔａｔｉｏｎ

ａｒｅ

ｋ￥

ａｎｙ

ａｎｄ

ｒａｗ

ｔｙｐｅｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｏｆｔｅｎ ｍａｋｅ

／＾（Ｍ）．

ｕｓｅ

５．２．

Ｔｈｅ

Ｓｙｎｔａｘ ａｎｄ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ａｎｄ ｏｆ

ｒａｗ

ｔｙｐｅｓ ｆｏｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

（ｗｈｉｃｈ

２０９

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｅｒｍ

ｒａｗ

ａｐｐｅａｒ ｉｎ

ｔｅｒｍｓ）．

ｒａｗ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ，

Ｓｕｃｈ

ｏｒ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｒ ＂ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．＂ ｂｅ ｆａｍｉｌｉａｒ， ｗｅ ｇｉｖｅ ｓｋｅｔｃｈ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｆｉｒｓｔ， ｉｔ ｉｓ

ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ Ａｓ ｔｈｅｓｅ ｉｄｅａｓ ｓｈｏｕｌｄ ａｎ

ｎｏｗ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｒ ｉｓ

ｔｅｒｍ Ｍ． Ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ

ｘ

ａ ｒａｗ

ｓｕｂｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ

ｒａｗ

ｉｎ ｓｕｂｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ＼ｘ：￥．Ｎ

ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ Ａｘ： ￥． Ｉｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｘ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ ａｎｄ ｉｓ ｎｏｔ ｂｏｕｎｄ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｆｒｅｅ． Ｉｆ ｘ ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｆｒｅｅ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ ｉｎ Ｍ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｆ Ｍ． Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｒｅｅ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ， ｆｔｍｖ（Ｍ）， ｃａｎ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｌａｕｓｅｓ： ａｒｅ

？

ｂｏｕｎｄ．

Ｆｏｒ ｔｈｅ

ｆｖ（－） ？

Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ

ｉｓ

ｔｅｒｍｓ ｗｈｉｃｈ

ｒａｗ

ｗｉｔｈ

ｘ

＂ａｐｐｅａｒ ｉｎ＂ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ，

ｓｅｅ

ｐａｇｅ

１５８， ｒｅｐｌａｃｉｎｇ

ｆｔｍｖ（－），

ｆｔｍｖ（ｋ￥）ｄ＝

０，

．ｆｔｍｖ（ｆｔ（Ｍ）） ＾ ＵｉｆｌｍｖＷｊ）， ？

ｆｔｍｖ｛ＡＸ．Ｍ） ｄ＝ ｆｔｍｖ｛Ｍ），

？

ｆｔｍｖ（Ｍ￥）＝ ｆｔｍｖ（Ｍ）．

ａｎｄ

Ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｉｎ

ａ

ｓｕｂｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ＡＸ．Ｍ

ａｒｅ

ｂｏｕｎｄ， ａｎｄ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｃａｐｔｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ＡＸ． Ａｎｙ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｗｈｉｃｈ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ ａｎｄ ｉｓ ｎｏｔ ｂｏｕｎｄ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｆｒｅｅ． Ｉｆ Ｘ ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｆｒｅｅ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ ｉｎ Ｍ ｔｈｅｎ Ｘ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｆ Ｍ． Ｔｈｅ ｓｅｔ

ｆｔｙｖ（Ｍ）

ｏｆ ｆｒｅｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ

ａ ｒａｗ

ｔｅｒｍ Ｍ ｉｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ

ｔｈｅ

ｃｌａｕｓｅｓ： ？

ｆｔｙｖ（ｘ） ＝ｆ

？

ｆｔｙｖ｛ｈｑ）

０，

＝

＼Ｊｌｆｔｙｖ｛＾ｉ）

ｗｈｅｒｅ Ａ： ｉｓ

？ｆｔｙｖ（ｆ￥（Ｍ）） ｄ＝ ［ｆｔｆｔｙｖ（Ｖｉ） ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

？／＆？？？ ？

？

？

ａｒｉｔｙ ＝

０，

ｄ＾ｆｔｙｖ（Ｍ） Ｕｆｔｙｖ（Ｎ）， ｆｔｙｖ（Ｆｓｔ（Ｐ））ｄ＾ｆｔｙｖ（Ｐ）， ｆｔｙｖ（Ｓｎｄ（Ｐ））ｄ＾ｆｔｙｖ（Ｐ）， ｆｔｙｖ｛（Ｍ，Ｎ））

ｆｔｙｖ｛＼ｘ：￥．Ｍ）

？

ｆｔｙｖ（ＭＮ）

＝

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＼ｆｉｆｔｙｖ｛Ｍｊ）

ａ，

？

？

Ｕ

ａ

ｆｔｙｖ（￥） Ｕｆｔｙｖ（Ｍ），

ｄ＾ｆｔｙｖ｛Ｍ） Ｕｆｔｙｖ（Ｎ）， ｆｔｙｖ（ＡＸ．Ｍ） ｄ＝ｆｔｙｖ｛Ｍ） ＼ ｛Ｘ｝， ａｎｄ

ｗｈｅｒｅ

／

ｉｓ

ｓｙｍｂｏｌ， ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｙｍｂｏｌ

ｏｆ

２１０

？

Ｃｈａｐｔｅｒ

５．

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｆｔｙｖ（Ｍ￥） ＝ｆｔｙｖ｛￥） Ｕｆｔｙｖ（Ｍ）．

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｉｆ ｔｈｅｙ ｄｉｆｆｅｒ ｏｎｌｙ ｉｎ ｔｈｅｉｒ ｂｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ａｎｄ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ ｒａｗ ｔｅｒｍｓ， ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｗ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ａ ＂ｒａｗ ｔｅｒｍ＂ Ｍ ｔｏ ｍｅａｎ ｔｈｅ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ Ｍ． Ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｎ ｆｏｒ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ａ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｘ ｉｎ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｍ， Ｍ［Ｎ／ｘ］， ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｅｒｍ Ｎ ｆｏｒ ｆｒｅｅ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｘ ｉｎ Ｍ， ｃｈａｎｇｉｎｇ ｂｏｕｎｄ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ ａｖｏｉｄ ｃａｐｔｕｒｅ． Ｍｏｒｅ ｆｏｒｍａｌｌｙ ｗｅ ｈａｖｅ： Ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｗｏ

ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

？

Ｉｆ Ｍ

？

ｋ￥［Ｎ／ｘ］

？

ｆ§（Ｍｌｔ．．．， Ｍａ）［Ｎ／ｘ］ ＾ ｆ§（Ｍ！［Ｎ／ｘ］，．．．， Ｍａ［Ｎ／ｘ＼），

？

｛ＡＸ．Ｍ）［Ｎ／ｘ｝

＂ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ＂ ＝

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ，

ｓｅｅ

ｐａｇｅ

＝

ＡＹ．｛Ｍ［Ｙ／Ｘ］［Ｎ／ｘ｝）

Ｍ， Ｍ［ｔｙ／Ｘ］，

ａ ｒａｗ

ｔｙｐｅ ＼Ｉ＞ ｆｏｒ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ

ｘ［＊／Ｘ＼

？

ｆ＊ｕ．．．，＊ｎ（Ｍｉ，．－．，Ｍａ）［＊ＩＸ］＾Ｕ

？

＜＞［＊／＊］

？

（Ｍ，Ｎ）［Ｖ／Ｘ］ ｄ＝ （Ａｆ［ｔｆ／Ｘ］， Ｗ［ｔｆ／Ｘ］），

？

Ｆｓｔ（Ｐ）［ｔｆ／Ｘ］ ｄ＝ Ｆｓｔ（Ｐ［ｔｆ／Ｘ］），

？

Ｓｎｄ（Ｐ）［ｔｆ／Ｘ］ ｄ＝ Ｓｎｄ（Ｐ［ｔｆ／Ｘ］），

＝

ｄｅｆ ＝

ｏｆ

ｆｔｙｖ｛Ｎ）

ａｎｄ Ｙ

ａ

ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｉｎ

ａ ｒａｗ

ｘ，

＜＞，

（Ａｘ： ￥．Ｍ ）［＊／Ｘ］ ｄ＝ Ａｘ： ＾［＊／Ｘ］．（Ｍ［＊／Ｘ］）， （Ｍｔｆ）［＊／＊］ ｄ＝ （Ａｆ ［＊／Ｘ］）（ＪＶ［＊／Ｘ］）， （ｉ） （ＡＸＭ）［＊／Ｉ］＝ＡＸＭ， ＜ （ｉｉ） （ＡＹ．Ｍ）［＊／Ｘ＼ ｄ＝ ＡＺ．（Ａｆ ［Ｚ／ｙ］［＊／Ｘ］）

ｗｈｅｒｅ Ｚ

ａｎｄ Ｚ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｂｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｂｏｔｈ Ｘ ？

Ｕ

ｔｈｅ ｃｌａｕｓｅｓ

？

？

＜￡ ｆｔｙｖ｛Ｍ）

（Ｍ￥）［Ｎ／ｘ］ ｄ＝ （Ｍ［Ｎ／ｘ］）￥．

ｔｅｒｍ

？

ｗｈｅｒｅ Ｙ

Ｘ， ａｎｄ

Ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

？

１５９，

％，

ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ？

ａ

￡ ｆｔｙｖ（Ｍ）Ｕｆｔｙｖ｛Ｖ）， ａｎｄ Ｙ，

（Ａｆ￥）［ｔｆ／Ｘ］ ｄ＝ （Ａｆ［＊／Ｘ］）（＾［＊／Ｘ］）．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．２．９

Ｍａｋｅ

ｓｕｒｅ

ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．

｛＼ｙ＼ §．Ｍ）［Ｎ／ｘ］ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ａ ｒｅｎａｍｉｎｇ （ＡＸ．Ｍ）［Ｎ／ｘ＼ ａｎｄ （ＡＹ．Ｍ）［３＞／＇Ｘ］ ｒｅｑｕｉｒｅ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｆ

ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ａｎｄ ｔｈａｔ

ａ

ｏｆ ｂｏｕｎｄ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．

ａ

ｂｏｕｎｄ

ｒｅｎａｍｉｎｇ

Ｔｈｅ

５．２．

Ｓｙｎｔａｘ

２１１

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ａｎｄ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．２．１０

Ｗｅ

ｇｉｖｅ

ｎｏｗ

ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ

ｕｓｉｎｇ ａ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｔｈａｎ ｗａｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ Ａｘ－ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ａ ｆｅｗ ｍｏｒｅ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｂｅｆｏｒｅ ｗｅ ｃａｎ ｇｉｖｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ ｔｅｒｍｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ． Ａ ｔｅｒｍ ｃｏｎｔｅｘｔ， ＂ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ＂ ｔｅｒｍｓ

ｉｓ

（ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ，

ｌｉｓｔ ｏｆ

ａ

ｔｙｐｅ） ｐａｉｒｓ，

ｒａｗ

ｂｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ａ ｈ Ｔ ｔｏ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｍｅａｎ

ａｒｅ

ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ

Ａｈ￥ｊ ｆｏｒ ｅａｃｈ ￥＊ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ ｍｅａｎ ｔｈａｔ Ｓｇｔｙ ＞ Ａｈ＾ ｆｏｒ

ｉｎ Ｔ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ

Ｓｇｔｙ

ｅａｃｈ ￥ｉ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ

Ｔ， ａｎｄ ｉｆ Ｔ ｉｓ ｅｍｐｔｙ ｔｈｅｎ Ａ ｈ Ｔ ｗｉｌｌ ｊｕｓｔ ｓａｙ ｔｈａｔ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ ［Ｘｉ，．．．， Ｘｎ］， ａｎｄ ｒａｗ

Ａ ｉｓ

Ａ ｈ Ｔ

＞

ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ． Ｉｆ ｗｅ ｔｙｐｅｓ ￥ ａｎｄ ＼Ｉ＞ｊ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｒｉｔｅ ａ

（ｏｂｖｉｏｕｓ）

ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ Ａ ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ｔｅｒｍ ａｎｄ ￥ ｉｓ

ｗｈｅｒｅ Ａ

｜Ｔ

ａ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

＝

￥［＃／Ａ］

ｈ Ｍ： ￥ ｉｓ

ａ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ

｜Ｔ

ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ， ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ

ａｒｅ

＜ｂ［ｉ＆／Ｘ］

ａｎｄ

ｗｅ

ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．

ｈ Ｍ： ￥ ｗｈｅｒｅ Ｍ ｉｓ

Ｓｇｔｍ

ｔｙｐｅ． Ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ａ ｒａｗ

ｆｏｒ

ａ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ

＞

Ａ

｜

ａ ｒａｗ

Ｔ ｈ Ｍ：

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ． Ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅｓ ５．３ ａｎｄ ５．４．

３＞， ｆｏｒ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ５．２．１１

（１）

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｎ

ａ

ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｆ ３＞ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ Ａ．

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ

｜Ｔ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｈ Ｍ：

￥，

Ｓｇｔｙ

Ａｈ￥ ａｎｙ

＞

Ｐｒｏｖｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｉｎ ａｎｙ

ａｎｙ ｆｒｅｅ

ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｉｎ ｔｈｅ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｆｒｅｅ ｔｙｐｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｓｅｔ

ｍ

ｆｔｙｖ｛Ｍ）

Ｕ

（（Ｊ／Ｍ＊ｉ）） Ｖｆｔｙｖ（＊） １

ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ Ａ

（ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ３＞ｊ

ａｐｐｅａｒ ｉｎ

Ｔ），

ａｎｄ ａｎｙ ｆｒｅｅ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｉｎ ｆｔｍｖ（Ｍ）

ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ Ｔ．

（２）

Ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ Ｘ ０ Ｕｒ ｆｔｙｖｉ￥ｊ） ｗｈｅｒｅ

Ｔｅｒｍｓ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ

ａｒｅ

ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｂｅ ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ．

ｔｈｅ

３＞ｊ

ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｔ．

Ｗｈｙ

ＡＸ．Ｆ． Ｔｈｉｓ

Ｔｈｅ

ｍｅａｎｓ

ｉｓ ｔｈｉｓ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ

ｔｈａｔ

（ｖｅｒｙ）

ｓｅｎｓｉｂｌｅ？ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ５．２．１２

ｗｅａｋｅｎｉｎｇ

Ｗｅ

ｃａｎ

ｏｆ ｔｙｐｅ ａｎｄ ｔｅｒｍ ｃｏｎｔｅｘｔｓ，

ｒｕｌｅｓ ｆｏｕｎｄ

Ｓｇｔｍ

＞

ｏｎ

ｐａｇｅ １２５． Ｆｏｒ

ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｒｕｌｅ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｒｕｌｅ

Ａ，Ｘ｜ｒ，ｘ：￥ｈＭ：＃ Ｓｇｔｍ Ｓｇｔｍ

ｗｈｅｒｅ

ｄｅｒｉｖｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ

ｒ［Ｇ／Ｘ］

ｍｅａｎｓ

＞

＞

ｏｆ

ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ， ｍｉｍｉｃｋｉｎｇ ｔｈｅ

ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｓ

Ａ＼Ｔ＼－Ｎ：￥

Ｓｇｔｙ

＞

Ａ ｈ

Ａ｜ｒ［６／Ｘ］ｌ－Ｍ［ＪＶ／ａ；］［ｅ／Ｘ］：＊［ｅ／Ｘ］

ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ６ ｆｏｒ Ｘ ｉｎ ａｌｌ

ｒａｗ

ｔｙｐｅｓ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ Ｔ．

６

２１２

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔｅｒｍ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｓｇｔｙ

５＜／ｔｓ

Ａｌ－ｒ

＞

Ｓｇｔｍ Ｉ—

＞

＞

Ｓｇｔｙ

Ａｈ￥

＞

Ａ＼－Ｔ

Ａ｜ｒ，ｓ：￥，ｒｉ－ａｒ：￥

Ｕｎｉｔ Ｔｅｒｍ

Ｓｇｔｙ Ｓｇｔｍ Ｉ—

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

５．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｓｇｔｙ

Ｓｇｔｙ

Ｓｇｔｍ

Ａ＼Ｔ＼－｛）： ｕｎｉｔ

＞

＞

＞

．．．

Ｓｇｔｙ

＞

Ａ ｈ

＊ｎ

￣

Ａ｜ｒｈｆｃ￥：￥［＊／Ａ＊］

＞

Ｖｙ

Ａｈ＊！

＞

Ａ＼－＾， ：

Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｙ

Ａ＼－Ｔ

Ｓｙｍｂｏｌｓ Ａｈｒ

＞

＞

＞

（ｆｃ：Ａｆｃ；￥）

ＡＨ￥ｎ

Ｓｇｔｍ ＞ Ａ ＼ Ｔ ｈ ＡｌｒｈＭ＾＾＾／Ａ＾］ ５ｐｔｍ ＞ Ａ｜ｒｈ／＃（Ｍ１＞．．．，Ｍ０）：Ｓ［ｔｆ／Ａ＇］ ．．．

Ｍａ：

￥ａ［４？／Ａ＇］

（／ｉＡ／；＊！，．．．，＊．＾＊） Ｉ—

Ｂｉｎａｒｙ

Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｔｅｒｍｓ

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ｜ｒｈＭ：￥ Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ

Ａ｜ｒｈ（Ｍ，ｉＶ）：￥ｘ＃

＞

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ

｜Ｔｈ

＃

Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ

｜ Ｔ ｈ Ｆｓｔ（Ｐ）： ￥

ｔｙ＊＊＂

Ｆｉｇｕｒｅ

Ｐ： ￥

Ａ｜ｎ－ＪＶ：＃

＞

ｘ

＞ ＞

５．３： Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

Ａ Ａ

ａ

｜Ｔｈ

Ｐ： ￥

ｘ

ｔｆ

｜ Ｔ ｈ Ｓｎｄ（Ｐ）： ＊ ２Ａｘ－Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

５．２．

Ｉ—

Ｔｈｅ

Ｓｙｎｔａｘ

ａｎｄ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔｅｒｍｓ

Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ Ｓｇｔｍ

＞

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ａ｜ｎ－Ａｘ：￥．Ｆ：￥＝＞＃

＞

Ａ＼ｒ＼－Ｍ：￥＾ｙ Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ Ｓｇｔｍ

＞

Ａ＼Ｖ＼－ＭＮ：Ｖ

＞

Ａ，Ｘ＼Ｔ＼－Ｆ：￥

Ａ

｜Ｔ

ｈ Ｎ： ￥

＞

Ａ＼Ｔ＼－ＡＸ．Ｆ：ＶＸ．￥

｜Ｔ

ｈ Ｍ＃：

Ａ｜ｒｈＭ：￥

７ＶＰ

＞

Ａ

＞

Ａｈ￥

￥［＃／＊］

Ｔｙｐｉｎｇ Ｓｇｔｍ

＞

，％＊ｍ Ｆｉｇｕｒｅ

＞

Ａ｜ｒｈＭ：ＶＸ￥ Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ Ｔｅｒｍ

＞

Ｔｅｒｍｓ

Ｓｇｔｍ

Ｉ—

Ａ｜ｒ，ｘ：￥ｈＦ：＃

＞

Ｓｇｔｍ Ｉ—

２１３

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ２Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

＞

＞

Ａｈ￥

＝

￥＇

Ａ｜ｎ－Ｍ：￥＇

５．４： Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａ

２Ａｘ－Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ．

２１４

Ｃｈａｐｔｅｒ Ｗｅ

ＰＲＯＯＦ

ｕｓｅ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｃａｒｅ

ｗｈｅｒｅ

ｎｅｅｄｓ ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｎ

Ａ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．２．１３

ｔｅｒｍ

ｗｈｅｒｅ Ａ

｜

Ｔ ｈ Ｍ： ￥ ａｎｄ Ａ

ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ

Ａ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

｜

｜Ｔ

ｈ Ｍ

ｐａｉｒ

ａ

Ｓｙｍｂｏｌｓ， ｔｈｅｎ

ｒａｗ

＝

ａ

□

ｔｙｐｅｓ．

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

Ｍ＇： ￥

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ． Ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｄｅｆｉｎｅ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｔ ｈ Ｍ＇： ￥

ｉｓ

｛Ｘｉ，．．．， Ｘｎ｝

Ｃ

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ

ｉｎ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ

ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｍ

ｆｔｙｖ（￥）

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ

Ａ

Ａ， Ｘ ｜ Ｔ， ｘ： ￥ ｈ Ｍ： ＃．

＞

＜ｓ＞［＊ｉ［ｅ／ｆ］，．．．， ＊？［§／ｙ］］

＝

ｄｅｎｏｔｅｓ

ｅｑｕａｌｉｔｙ ｓｙｍｂｏｌ

Ｓｇ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｕｌｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｉｆ

￥￥／ｘ］［Ｇ／Ｙ］ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｄｅａｌｉｎｇ

ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｗｈｅｎ

ｇｅｎｅｒａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

５．

ａｒｅ

（Ｓｇｔｍ， Ａｘｔｍ）

ｗｈｅｒｅ

Ｓｇｔｍ

ｉｓ

ａ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ， ｅａｃｈ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｋｎｏｗｎ ａｓ ａ ｔｅｒｍ ａｘｉｏｍ． Ａ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈｔｍ ＞ Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ Ｍ＇＼ ￥． Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅｓ ５．５， ５．６ ａｎｄ ５．７． Ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅ ａ ２Ａｘ －ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｔｏ ｂｅ ａ ｐａｉｒ （Ｔｈｔｙ， Ｔｈｉｍ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｏｆ Ｔｈｔｍ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｙ． Ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｔｈ ｗｉｌｌ ｔｈｅｎ ｂｅ ａｎｙ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｒ ａｎｙ ｔｅｒｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ａｘｔｍ ｉｓ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍ

ａ

＝

ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｗｈｅｒｅ

Ｓｇ

ｗｅ

（Ｓｇｔｙ， Ｓｇｔｍ）

＝

ｗｉｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｒｅｆｅｒ ｔｏ

ａｎｄ Ａｘ

Ｆｒｏｍ

＝

ａ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈ

＝

（Ｓｇ，Ａｘ）

（Ａｘｔｙ， Ａｘｉｍ）．

ａｌｗａｙｓ ｂｅ ｗｏｒｋｉｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｇｉｖｅｎ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （（Ｓｇｔｙ，Ａｘｔｙ）， （Ｓｇｔｍ， Ａｘｔｍ））． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｕａｌｌｙ ｏｍｉｔ ｓｕｐｅｒｓｃｒｉｐｔｓ ｆｒｏｍ ｓｕｃｈ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ， ｐｒｏｖｉｄｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｉｓ ｃｌｅａｒ． Ｓｏ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｊｕｓｔ ｗｒｉｔｅ Ｓｇ ＞ Ａ ｈ ３＞： Ｋ ｔｏ ｍｅａｎ Ｓｇｔｙ ＞ Ａ ｈ ￥： Ｋ． Ｔｈｉｓ ｏｖｅｒｌｏａｄｉｎｇ ｏｆ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｉｎ ｆａｃｔ ａｉｄ ｃｌａｒｉｔｙ． Ｒｅｍａｒｋ ５．２．１４

５．３

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．３．１

ａ

ｎｏｗ

ｏｎ，

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

Ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｓ ｏｆ

ｔｈｅｏｒｙ

ａｒｅ

（＆）Ｓｇ

＞

Ａ ｈ＾ ｗｈｅｒｅ Ａ

（ｂ） Ｓｇ

＞

Ａ｜ｒｈＭ：￥

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｗｈｉｃｈ ａｒｉｓｅ ｉｎ

ｄ＝ ［Ｘｉ，．．．，Ｘ？］， ａｎｄ

ｗｈｅｒｅ Ｔ

＝ｆ ［ｚｉ：￥ｉ，．．． ，ｘｍ：￥ｍ］．

ａ

２Ａｘ－

５．３．

Ｉ—

Ｉ—

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ａ

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

２１５

Ａｘｉｏｍｓ Ａｘｔｍ

＞

Ａ＼Ｔ＼－Ｍ

＝

Ｍ＇：￥

Ｔｈｔｍ

＞

Ａ｜ｒｈＭ

＝

Ｍ＇：￥

Ｗｅａｋｅｎｉｎｇ Ｔｈｔｍ

Ａ｜ｎ－Ｍ

＞

Ｔｈｔｍ

Ａ＇｜ｒ

＞

Ｍ＇：￥

＝

ｈＭ

Ｍ＇：￥

＝

Ａ Ｃ Ａ＇ ａｎｄ Ｔ Ｃ

（ｗｈｅｒｅ

Ｔ＇）

Ｉ— Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ Ｔｈｔｍ

７Ｖｍ

Ａ｜ｎ－Ｍ

＞

ｔｔＡ

＞

｜

Ｍ＇：￥

＝

ｔｔＴ ｈ Ｍ

（ｗｈｅｒｅ

Ｍ＇： ￥

＝

ａｎｄ ｉｒ＇

７ｒ

ａｒｅ

ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎｓ）

Ｉ— Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ

｜

＼

＾

Ｔｈｔｍ

ｅ＇

＝

Ａ，Ｘ＼Ｔ，ｘ：￥＼－Ｍ

＞

Ｔｈｔｍ

Ｉ—

Ａｈｅ

＞

Ａ

＞

｜ Ｔ［Ｂ／Ｘ］

ｈ

Ｔｈｔｍ

Ｍ＇：Ｖ

＝

Ｍ［Ｎ／ｘ］［０／Ｘ］

＝

＞

Ａ

｜Ｔ

ｈ ＪＶ

＝

ＪＶ＇：￥

Ｍ＇［Ｎ＇／ｘ］［ｅ＇／Ｘ］： ＊［Ｂ＇／Ｘ］

Ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ Ｓｇｔｍ Ｔｈｔｍ

＞

Ｔｈｔｍ

Ａ｜ｒｈＭ：￥

＞

Ａ＼Ｔ＼－Ｍ ＞

＝

Ｍ：￥

Ａ｜ｎ－Ｍ

＝

７％＊ｍ

Ｉ— Ｕｎｉｔ

Ｍ＇：￥

＞

Ａ＼ｒ＼－

Ｍ

Ｔｈｔｍ

＞

Ａ｜Ｔ Ｉ－

Ｍ＇

７Ｖｍ

Ａ｜ｒｈＭ

＞

Ｔｈｔｍ

＞ ＝

Ａ

｜Ｔ

ｈ Ｍ＇

＝

＝

＝

Ｍ＇：￥ Ｍ：￥

Ｍ＂： ￥

Ｍ＂：￥

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｇｔｍ Ｔｈｔｍ

Ｆｉｇｕｒｅ

＞

＞

Ａ

Ａ＼Ｔ＼－ ｜ Ｔ ｈ （）

Ｍ： ｕｎｉｔ ＝

Ｍ： ｕｎｉｔ

５．５： Ｔｅｒｍ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａ

２Ａｘ－Ｔｅｒｍ

Ｔｈｅｏｒｙ．

２１６

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｂｉｎａｒｙ

Ｐｒｏｄｕｃｔ

Ａ｜ｒｈＭ：￥ Ｓｇｔｍ

＞

Ｔｈｔｍ

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ｜ｒｈＦｓｔ（（Ｍ，ｉＶ））

＞

７Ｖｍ

＞

＞

Ａ

｜Ｔｈ

Ｐ： ￥

｜ｒｈ

Ａ

＞

ｘ

Ａ｜ｒｉ－（Ｆｓｔ（Ｐ），Ｓｎｄ（Ｐ））

Ｎ： ＊

＝

ＡＴ： ＊

Ｎ：Ｖ

＊ ＝

Ｐ：￥ｘ＊

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｇｔｍ

＞

Ｔｈｔｍ

Ｓｇｔｍ ＞

＞

Ａ｜ｒ，ｘ：￥ｈＦ：＾ Ｓｇｔｍ ＞

Ａ｜ｒｈ（Ａｓ：￥．Ｆ）Ｍ

Ａ＼ｒ＼－Ｘｘ：￥．｛Ｍｘ）

Ｔｈｔｍ

＞ ＝

Ａ｜ｎ－Ｍ：￥＝＞＃

Ｔｈｔｍ

Ｆｉｇｕｒｅ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｍ：￥

＝

Ａ｜ｎ－Ｓｎｄ（（Ｍ，ＡＴ））

Ｓｇｔｍ

Ｔｈｔｍ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

｜Ｔｈ

Ａ

＞

ａ｜：ｒｈＭ：￥ Ｓｇｔｍ

＞

Ｔｈｔｍ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

Ｓｇｔｍ

Ｉ—

５．

＞

＞

＝

Ｍ：￥＝＞Ｖ

Ａ｜ｒ，ｘ：￥ｈＦ

Ａ｜ｒｈＡａ；：￥．Ｆ

＝

５．６： Ｔｅｒｍ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

＝

Ａ＼ｒ＼－Ｍ：￥ Ｆ［Ｍ／ａｒ］：ｔｆ

（ｗｈｅｒｅ

ｘ

￡ ｆｔｍｖ（Ｍ））

Ｆ＇：＃

Ａｘ：￥．Ｆ＇：￥＝＞＊

ａ

２Ａｘ－Ｔｅｒｍ

Ｔｈｅｏｒｙ， Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ．

５．３．

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

ａ

２１７

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｇｔｍ Ｔｈｔｍ

Ｓｇｔｍ Ｔｈｔｍ

＞

Ａ＼Ｔ＼－ （ＡＸ．Ｆ）Ｖ

＞

＞

Ａ，Ｘ＼Ｔ＼－Ｆ：￥ Ｓｇｔｙ

＞

Ａ＼ｒ＼－ＡＸ．（ＭＸ）

Ｔｈｔｍ

Ｔｅｒｍ

Ｔｙｐｉｎｇ

＞

＝

Ｍ：ＶＸ．￥

Ａ，Ｘ＼Ｔ＼－Ｆ

Ａ＼Ｔ＼－ＡＸ．Ｆ

＞

（ｗｈｅｒｅ

＝

＝

Ｘ

￡ ｆｔｙｖ（Ｍ））

Ｆ＇：￥

ＡＸ．Ｆ＇：ＶＸ．￥

－

Ｔｈｔｍ

＞

Ａ｜ｒｉ－Ｍ Ｔｈｔｍ

Ｆｉｇｕｒｅ

Ｆ［Ｖ／Ｘ］：￥［Ｖ／Ｘ］

Ａ｜ｒｈＭ：ＶＸ￥

Ｔｈｔｍ

１—

＝

Ａｈ＊

＞

＞

＝

Ｍ＇：￥

ａ＼ｔ＼－ｍ

５．７： Ｔｅｒｍ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

Ｔｈｔｙ

Ａｈ￥

＞

＝＝

￥＇

ｒ

＝

ａ

ｍ ＇：￥＇

２Ａｘ－Ｔｅｒｍ

Ｔｈｅｏｒｙ，

Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ．

Ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ

ｂｅｇｉｎｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ （Ｓｇ， Ａｘ）． Ｌｅｔ ｕｓ ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｒｅｃａｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ａ ｔｙｐｅ ａ ｉｎ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ａ， ｖｅｒｙ ｒｏｕｇｈｌｙ， ａｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｅｍｓ （ｔｅｒｍｓ） ａｌｌ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ＝

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｘ＼．ｏｔ，．．． ，ｘｎ：ａ ｈ Ｍ：ａ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｉｆ ｘｉ，．．．， ｘｎ ａｌｌ ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｎｏｗ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ

（＂ｈａｖｅ ｔｙｐｅ ａ＂）

ｔｈｅｎ Ｍ ｈａｓ

ｔｙｐｅ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ Ｘ＼，．．．， Ｘｎ ｈ ￥． Ｏｎｅ ｔｈｉｎｋｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ａｓ ｓａｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｆ ｅａｃｈ Ｘ｛ ＂ｉｓ ａ ｔｙｐｅ＂ ｔｈｅｎ ｓｏ ｔｏｏ ｉｓ ￥． Ｉｆ ｗｅ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ＂ｂｅｉｎｇ ａ ｔｙｐｅ＂ ａｓ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｔｒｙ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｉｔｅｍｓ ｈａｖｉｎｇ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｂｙ ａｎａｌｏｇｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃａｓｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｂｏｖｅ， ｔｈｉｓ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ （ｗｒｉｔｔｅｎ Ｔｙｐｅ） ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ａ ｔｙｐｅ： ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ａ

Ｘｉ： Ｔｙｐｅ，．．．， Ｘｎ： Ｔｙｐｅ ｈ ￥： Ｔｙｐｅ． Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ， ｉｎ ｔｈｉｓ

ｓｅｔｔｉｎｇ ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅ ｔｈｅ ｗｏｒｄ ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ ｔｏ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ （ｔｙｐｅ） ｗｉｔｈ ｋｉｎｄ． Ｔｈｕｓ Ｔｙｐｅ ｉｓ ｔｈｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ａｌｌ ｔｙｐｅｓ． Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ Ｔｙｐｅ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ＂ｔｙｐｅ ｏｆ ａｌｌ ｔｙｐｅｓ．＂ Ｗｅ ｎｏｗ ｈａｖｅ ａ ｓｅｔｔｉｎｇ ｖｅｒｙ ｍｕｃｈ ｌｉｋｅ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ？

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｏｎｅ

ｔｙｐｅ

ｎｅｗ

（ｃｆ． ｋｉｎｄ），

ｄｅｎｏｔｅｄ

ｂｙ Ｔｙｐｅ，

２１８

？

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｔｈｅｒｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａｒｅ

ｓｙｍｂｏｌｓ （ｃｆ． ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌｓ） Ｆ：

Ｔｙｐｅ，．．．， Ｔｙｐｅ

ｖ

ｗｈｅｒｅ Ｆ ｈａｓ ａｒｉｔｙ

Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ａｎ

－＋

＇

ｖ

ｌｅｎｇｔｈ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

ｗｉｔｈ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｓｏｒｔｉｎｇ

Ｔｙｐｅ

ａ

（ｃｆ． ａｒｉｔｙ ａ）．

ａ

ａｒｇｕｍｅｎｔ ｓｉｍｉｌａｒ

３．４，

ｔｏ ｔｈａｔ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｋｉｎｄ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ｓｏｍｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｐｕｔ ［Ｔｙｐｅ］ Ｕ ｗｈｅｒｅ Ｕ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ． Ｌｅｔ Ａ ［Ｘｉ，．．．， Ｘｎ］． Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ， ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａｈ￥ ｗｉｌｌ ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［Ａ ｈ ￥］： ［Ａｊ ＵｏｆＣ， ｗｈｅｒｅ ［Ａ］ Ｗ｝Ｕ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｗｅ ｃａｎ ａｃｈｉｅｖｅ ａｌｌ ｔｈｉｓ ｉｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｒｅ ｓｉｍｐｌｙ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ （ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ） ｏｂｊｅｃｔ Ｕ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｆ／ｎ， ｗｈｅｒｅ ｎ ６ Ｎ， ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｎ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ Ｕ， ｗｈｅｒｅ Ｕ° １． Ｔｙｐｅ

ｍｕｓｔ ｂｅ

＝

＝

—？

＝

＝

ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ Ｓｇ ＞ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｎｄｅｄ

Ａ， ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ

ａ

Ａｈ ７ｒ：

Ｘ， ｗｈｅｒｅ Ｘ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ

ＩＩ＂Ｃ／

—？

Ｕ． Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ

ａ

ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ Ｆ ｏｆ （ｎｏｎ－ｚｅｒｏ） ａｒｉｔｙ ａ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｔａｋｅｓ ａ ｉｎｐｕｔ ｔｙｐｅｓ， ａｎｄ ｒｅｔｕｒｎｓ ａ ｎｅｗ ｔｙｐｅ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｈａｖｅ ａｎ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｍｅａｎｉｎｇ． Ｓｏ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｓｕｃｈ ｓｙｍｂｏｌ ｗｅ

ｓｐｅｃｉｆｙ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［Ｆ］： Ｕ＂Ｕ

［Ａ

ｈ

Ｕ ｉｎ Ｃ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅ

—＊

Ｆ（＊！，．．．， Ｓｔｔ）］ ｄ＾ｆ ［Ｆ］

ｏ

（［Ａ

ｈ

￥Ｊ，．．．， ［Ａ

ｈ

ＳＪ）

ｔｙｐｅｓ ｆｏｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｕｓ ｔｈｉｎｋ ｗｈｅｒｅ

ｗｅ ａｒｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｔｈｅ

ａｂｏｕｔ ｈｏｗ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ

ｐａｒａｄｉｇｍ

ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ｒａｗ

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ． Ｗｅ ｒｅｃｏｍｍｅｎｄ

ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｒｅｖｉｅｗ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．４．１． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ： ？

Ｆｏｒ Ｕｎｉｔ

？

Ｆｏｒ

Ｔｙｐｅ，

Ｂｉｎａｒｙ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｕｎ

Ｐｒｏｄｕｃｔ

Ｔｙｐｅｓ，

ｏｂｊｅｃｔ

Ｕ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｎ

Ｇ Ｎ．

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

ａｎ

Ｄｕｎ： Ｃ（Ｕｎ， Ｕ） ｆｏｒ ｅａｃｈ

—＞

ｘ

Ｃ（Ｕｎ， Ｕ）

－＞

Ｃ（Ｃ／ｎ， Ｕ）

Ｕｎ ｏｆ Ｃ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｕｎ． Ｔｈｉｓ

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ ｉｆ ６： Ｕｍ

—＞

Ｕｎ，

ｔｈｅｎ

ｗｒｉｔｉｎｇ Ｃ（Ｕｎ， Ｕ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｕｎ Ｃ—ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｆｏｒｍ ａ ｓｅｔ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

？

ｗｅ ａｒｅ

Ｆｏｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｔｙｐｅｓ，

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

Ｏｕｍ Ｃ｛Ｕｎ， Ｕ） ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｕｎ． Ｓｏ ｆｏｒ ａｎｙ ６： Ｕｍ

ｘ

—？

０Ｕｎ （ｃｆ）， ｉＰ）ｏ０

Ｃ（Ｃ／ｎ， Ｕ）

Ｕｎ ＝

ｗｅ

－＋

Ｃ（Ｃ／ｎ， Ｕ）

ｈａｖｅ

ＯＵｍ（４＞ｏ９，ｉＪｊｏ０）．

—＊■

Ｕ ｉｎ

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

５．３．

？

Ｆｏｒ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ａ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｔｙｐｅｓ，

２１９

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

ａｎ

Ｖｔ／ｎ： Ｃ｛Ｕｎ ｘＵ，Ｕ）－＋ Ｃ（Ｃ／ｎ， Ｕ） ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｕｎ． Ｓｏ ｆｏｒ ａｎｙ ９： Ｕｍ

Ｖｔｆｎ（＜￡）

Ｕｎ

—？

ｏ０

ｗｅ

ｈａｖｅ

ＶＵｍ｛４）ｏ（０ｘ ｉｄｖ））．

＝

ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｐｕｔ ［Ａｈ￥ｘ＊］ ｄ＝ ＤｌＡｌ（［Ａ ｈ ￥］， ［Ａ ｈ ｆｌ）． Ｗｉｔｈ ｔｈｅｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ， ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ Ａ ｈ ￥ （ｗｈｅｒｅ Ａ ｈａｓ ｌｅｎｇｔｈ ｎ） ａｎｄ Ａ＇ ｈ ＾ ｆｏｒ １ ＜ ｉ ＜ ｎ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅｓ， ｔｈｅｎ

Ｓｏ，

ｆｏｒ

［Ａ＇ ｗｈｅｒｅ

［＾／Ａ］

Ｂｅｆｏｒｅ ｍｏｄｅｌ

ｆｏｒ ｊ

ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ

ｗｅ ｃａｎ

ｐｒｏｖｅｄ １ ｔｏ

＝

＜ｆ＞ｊ ＝ｆ ［Ａ

Ｓ［ｔｆ／Ａ］］

ｈ

ｈ

ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｍｏｒｅ

ｓａｙ ａｎｙ

ｔｅｒｍｓ． Ｉｎ ｔｈｅ

ａｎｄ

Ｓｇ ￥，－］ ａｎｄ ＜ｊ＞

ｍ

ａｒｇｕｍｅｎｔ ｓｉｍｉｌａｒ

［Ａｈ￥］ｏ （［Ａ７

＝

＞ ＝

＊Ｊ，．．．， ［Ａ＇

ｈ

ａｂｏｕｔ ｔｈｅｓｅ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ，

Ａｈ￥． Ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ Ｉ

ｈ

（１）

￥？］）

ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ （ｂ） （ｐａｇｅ ２１４），

［Ａ

ｈ

￥］，

ｔｈｕｓ

ｈａｖｅ

ｗｅ

ｗｅ

ｗｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｈｏｗ ｔｏ

ｈａｖｅ

Ｓｇ

Ａ ｈ

Ｄ＞

￥ｊ

ｆｏｒ Ｕｎ ｉｎ Ｃ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｗｒｉｔｅ

ｆａ．ｆａ．Ｉ

－＋

Ｕ ｉｎ Ｃ．

Ｕｓｉｎｇ

ｄｅｃｉｄｉｎｇ ｈｏｗ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ （ｓｅｅ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．４）， ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｌｉｋｅ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ （ｂ） ｂｙ ａ ＂ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ＂ ａｎ

ｔｏ ｔｈｅ

［Ａ ｜ Ｔ

ｏｎｅ

ｆｏｒ

ｈ Ｍ：

￥］： ｆａ ｘ

．．．

ｘ

＜ｆ＞ｍ

—？

＜／＞，

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ａｎｄ ＜ｊ＞ｊ ａｎｄ ＜ｊ＞ ａｒｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｈｏｗ ｃａｎ ｗｅ ｍａｋｅ ｓｅｎｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ？ Ｗｅｌｌ， ｗｅ ｃａｎ ｄｅｍａｎｄ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｕ ｉｎｄｅｘ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｉ ｐｒｏｄｕｃｔｓ！ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｃ（Ｉ， Ｕ） ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｔｏ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （ａ） ａｎｄ （ｂ）：

ｗｈｅｒｅ

ｘ

ｄｅｎｏｔｅｓ

ａ

—？

Ｉ—

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

Ｗｅ ｎｅｅｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ

ａ

ａｎ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ

ｏｆ

ａ

Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ

Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ

Ｔｈ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ Ｃ ｗｈｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ

ｏｂｊｅｃｔ Ｕ． Ｐｒｏｖｅｄ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｕｎ

＞

ａｒｅ

ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅ Ｕ ｉｎ Ｃ ａｒｅ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ Ｃ（Ｕｎ，Ｕ）， ａｎｄ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｙｐｅｓ

ａｒｅ

—＞

ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｗｒｉｔｔｅｎ

ｏｆＣ（Ｃ／ｎ，Ｃ／）． Ｎｏｗ Ｔｈ． Ｗｅ

ｗｅ

ｄｅｄｕｃｅ

ｂｅｇｉｎ

ｗｉｔｈ

ｓｏｍｅ ｍｏｒｅ ａ

ｆａｃｔｓ ａｂｏｕｔ

ｏｕｒ

ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｈｏｗ ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ｆｏｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ

ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｊ ｉｓ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｒａｗ

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｙｐｅｓ ｔｅｒｍ

２２０

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ Ａ＇ ｈ ＊４ ｆｏｒ ｉ

｜

１ ｔｏ

＝

Ｊ１？．．．， Ｊｎ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ＾ ｄ＝ ［Ａ＇ ｈ ＊Ｊ， ＾ ＝ｆ ［Ａ ｈ ￥，－］，

ｎ．

ｈｏｗ

ｓｅｅ

ａｎｄ

＝ｆ ［Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ： ３＞Ｊ： ＆

ｍ

ｗｅ

ｓｈｏｕｌｄ

ｘ

．．．

ｘ

＜ｆ＞ｍ

—＞

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ ｐｒｏｖｅｄ

＜ｊ＞．

ｔｅｒｍ

Ａ／｜ｘ１：＾１［＃／Ｘ］，．．．，ｘｍ：￥ｍ［＃／Ｘ］ｈＭ［＃／Ｘ］：￥［￥／Ｘ］

＾

ｆ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｔ ｈ Ｍ： ￥ ａｎｄ ｔｈａｔ

＊Ｓ ［Ａｈ＊］，＇＂［Ａ］，／＇＝［＊！

Ｏｕｒ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｕｇｈｔ ｔｏ ｂｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ（Ｉ＇， Ｕ）． Ｃｌｅａｒｌｙ， ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｐｉ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ Ｃ（Ｉ＇，Ｕ）， ａｎｄ ｏｎ ｍ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ（７， Ｕ）． Ｓｏ ｗｅ ｎｅｅｄ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ

ｏｂＣ（Ｉ＇，Ｕ）

ｘ

．．．

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ Ｆ

Ｇｉｖｅｎ ｓｕｃｈ

ａｎ

ｘ

ｏｂＣ（Ｉ＇，Ｕ）

ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ａｎｄ

Ｃ｛Ｉ＇Ｊ）

：

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｆ，

ｘ

ｘ

ｍｏｒＣ（Ｉ，Ｕ）

—？

ｓｏ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ

ｗｅ

ｍｏｒＣ（Ｉ，Ｕ）

（０）

ｓｏｕｒｃｅ

ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ．

＝

（Ｖ＞ｉ，

？

？

？

，ｉｐｎ）ｉ

Ｔｈｉｓ

ｇｉｖｅｓ

ｂｅｈａｖｉｏｕｒ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍｓ．

Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ

ｉｎｓｔａｎｃｅ Ａ

ａｎｄ ｓｏ

ｗｅ

｜ ｘ： ￥

ｓｈａｌｌ

ｈ

ｘ：

ａｎｄ

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

ｍｏｒＣ（Ｉ＇，Ｕ）．

．．．

ｘ

０ｍ＜￥

＜／＞＜￥

—

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ （１） ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ ｔｈｅ

ｗｅ ｕｓ

ｒａｗ

ｔｙｐｅｓ ｆｏｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ

ｗｈａｔ

Ｆ ｍｕｓｔ

ｒａｗ

ｅｎｊｏｙ． Ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｗａｎｔ

ｒｅｑｕｉｒｅ

ＷＨ） Ｓｅｃｏｎｄ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ａ ｜ ｙｉｍ． ￥［ ｈ Ｎ： ￥ｉ

ｔｗｏ

ｍｏｒｅ

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

＝

ｈ ｈ

Ｊ， ｎａｍｅｌｙ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ

Ａ

｜

Ｘ＼：§＼ ｈ Ｍ：￥ ａｎｄ

Ｍ［Ｗ／ｘｉ］［￥／Ｘ］：￥［ｔｆ／Ｘ］ Ｍ［￥／Ｘ］［ＪＶ［￥／Ｘ］／ａ；ｉ］：＊［￥／Ｘ］．

ｉｄｅｎｔｉｃａｌ

Ｆ（（４ｍｏｎ）

（２）

＾．

ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ

ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

Ａ＇｜ｙｉ：＾ｉ［￥／Ｘ］ Ａ＇ｌｉ／ｉｉ＾ｉ＾／Ｘ］ Ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ

ｘ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ￥ ｏｆ Ｊ． Ｗｅ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｓｅｅ

ｎｅｅｄ

ｓｅｔ

ｗｅ ｃａｎ

［Ｊ＇Ｊ ＾ Ｆ？￥， ｍ） ： ＆（￥ ｗｈｅｒｅ

—？

ｍｏｒＣ｛Ｉ＇，Ｕ）．

＝

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，

ａｎｄ ｔｈｕｓ

Ｆ（（ｉｍ）ｏＦ（Ｗ，ｎ）．

ｗｅ

ｍｕｓｔ ｈａｖｅ

（３）

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

５．３．

Ｌｅｔ

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ

ｕｓ

２２１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ａ

ｄｅｄｕｃｔｉｏｎｓ．

ｏｕｒ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

ｉｐ

｛ｉｐ）：Ｉ＇

＝

—＊

／ ｉｓ ａｎｙ

Ｕ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ＜ｆ＞ｉｐ ｗｈｅｒｅ ＜ｆ＞： Ｉ Ｆ（ｉｐ， ＜ｔ＞） ／ ｉｎ Ｃ， Ｃ（Ｉ， Ｕ）， ｔｈｅｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （２） ａｎｄ （３） ｓａｙ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｐ： Ｉ＇ ｗｅ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ（Ｖ＞， —）： Ｃ（Ｉ， Ｕ） Ｃ（Ｉ＇， Ｕ）． Ｎｏｗ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｉｎ Ｃ．

Ｉｆ

ｗｒｉｔｅ

ｗｅ

—？

＝

—？

—？

ｏｆ ｔｈｅ ７Ｔｊ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ Ｊ＊ ｂｅｉｎｇ

［Ａ

＝

Ｘｉ＼：Ｉ

ｈ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ Ｊ，

ａｎｄ

Ａ ｈ

Ｘ＊ ｆｏｒ

ｉ

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ￡／． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ， ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｊ＇ ｉｓ

—？

ｓｏ ｗｅ ｍｕｓｔ

ｍ

＝

１ ｔｏ ｎ，

ｓｏ

ａｒｅ

ｈａｖｅ

＝

ｌＪ］

＝

ｌＪ＇］＾Ｆ（（７ｒ），ｍ）

ｔｈａｔ ｉｓ

Ｆ（ｉｄｉ，ｍ） Ｆｉｎａｌｌｙ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

（４）

ｍ．

ｗｈｅｎ Ｊ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

Ｘ＼Ｔ

ｈ Ｍ： ３＞

（ｓｏｎ

ｎａｍｅｌｙ Ａ＇ ｈ Ｗ ａｎｄ ｙｈ＇Ｊ＇． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ａｎｄ ｔｗｏ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ Ｊ＼ ｓｈａｌｌ

＝

＝

ｓｅｅ

１

ｈｅｒｅ），

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｒｅｑｕｉｒｅ

Ｆ＾ｏ＾，ｍ） ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ

＝

Ｆ（＾，Ｆ（＾，ｍ）），

（５）

ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ＃ ａｎｄ ＃＇． Ｌｅｔ

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｏｆ

ｕｓ

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ

ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ

ａｇａｉｎ．

ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｗｉｔｈ

ｍｉｎｄ， ａｎｄ ｗｒｉｔｉｎｇ ｉｐ＊（—） ｆｏｒ Ｆ（ｉｐ， —）， ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （４） ａｎｄ （５） （ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｐ＊（（ｊ＞） （ｐｉｐ ｇｉｖｅｎ ａｂｏｖｅ） ｓａｙ ｔｈａｔ ｉｄ｝ ｉｄｃ（ｉ，ｕ） ａｎｄ （ｉＰ＇ｉＰ）＊ Ｖ＞＊ ｏ ｒｌ？＇＊． Ｔｈｕｓ： ｔｈｉｓ ｉｎ

＝

＝

＝

Ｉ—

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

Ｗｅ ｎｅｅｄ

ａ

ｏｆ

ａ

Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ

Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ

Ｔｈ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｗｈｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ

．

ａｒｅ

ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

￡／ｎ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ＇．Ｃ０？ —？ Ｃａｔ． Ｉｆ ｘｐ＼ Ｖ —？ ／ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ （／） ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／ —？ Ｕ ＼ ｉｎ Ｃ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｉｐ＊：Ｃ（Ｉ） —？ Ｃ （／＇） ｓｅｎｄ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ＜ｆ＞： Ｉ —＞ Ｕ ＼ ｔｏ ＜ｆ＞ ｏ －０： ／＇ －＊ ／ －＋ Ｕ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｕａｌｌｙ ｗｒｉｔｅ Ｃ（７，１７） ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ Ｃ （／）． Ｌｅｔ

ｇｉｖｅｎ ｓｕｃｈ ａ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｎｏｗ ｗｅ ｃａｎ ｓａｙ ｍｏｒｅ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ □／ ａｎｄ ＜＞／？ Ｉｆ ｗｅ ａｐｐｌｙ ａ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ４．４．１ ｔｏ Ｂｉｎａｒｙ Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（Ｉ， Ｕ） ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ａｎｄ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｏｆ □／ ａｎｄ ０／ ｍａｙ ｂｅ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ ｘ ａｎｄ ＝＞． Ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ （ｒｅｃａｌｌ ｐａｇｅ ２１８） ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ａｒｅ ｓｔｒｉｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． ｕｓ ａｓｓｕｍｅ

ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｕｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｗｅ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｓｏｕｎｄ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ａｓ ｗｅ ｓａｗ ｏｎ ｐａｇｅ ２１８， ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ Ｔｏ

２２２

ｂｅ

Ｃｈａｐｔｅｒ

５．

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｏｂｊｅｃｔｓ Ｖｉ＇．Ｃ（Ｉ ｘ Ｕ，Ｕ） Ｃ（Ｉ， Ｕ） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｃ． Ｉｆ ＜／＞， －０： ／ —＊Ｕ ａｒｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ（７， ￡／）， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｃ（Ｉ， Ｕ）（＜ｆ＞， ｉｐ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＜ｆ＞ ｉｊｊ ｉｎ Ｃ（Ｉ，Ｕ）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｆｏｒｍ ａ ｓｅｔ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｔｅｒｍｓ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ａｎ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

ｏｎ

—？

—？

（－）：Ｃ（Ｉ

ｘ

￡／， ￡／）（＜？＞）， ４＞） ＾Ｃ（／，￡／）？＞，Ｖ７（０））

（ｗｈｅｒｅ ５ｒ１：／ｘ［／－＋／） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ／ ａｎｄ ｉｐ， ａｎｄ Ｖ（ｐ）： Ｃ（Ｊ， ｔ／）（Ｖ， Ｖｊ（０）） ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｏｂｊｅｃｔ

ｐ ｏｆ

Ｃ（Ｉ， Ｕ），

—

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

Ｃ（Ｊ， ｔ／）（Ｖ， ０Ｋ，ｐ？ Ｖ（ｐ）

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｅａｃｈ

ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ／ ａｎｄ

ｔｐ． Ｗｅ

ｗｒｉｔｅ ｏｕｔ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｔａｋｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｆ：－Ｋ＼（ｘｌ）） ｉｎ Ｃ（７ ｘ Ｃ／，Ｃ／）； ｎ：ｉｐ＇ ＾ ｉｐ ａｎｄ ｍ：＜０ Ｖ７（０） ｉｎ Ｃ（Ｉ，Ｕ）； ａｎｄ ０：７＇ ￡／ ｉｎ Ｃ； ｔｈｅｎ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ／＇， ａｎｄ ｐ： ７ ７ｒＪ： ／＇ ｘ ￡／ －？

—＞

－＋

７，

＝

／ｏｎ

（６）

＝

＊＊（／）

（７）

０＊（Ｖ（ｐ）（ｍ））

＝

Ｖ（０＊（ｐ））（０＊（ｍ））

（８）

Ｖ（ｐ）｛ｍ）ｎ

＝

Ｖ（ｐ）（ｍｎ）．

（９）

（ＯｘｉｄｕＷｆ）

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｏｕｒ

＜／＞

—？

ｆｏｉｒ｛（ｎ）

Ｆｏｒ

—？

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｏ

ｔｈｅ

ｓａｔｉｓｆｙ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，

ｗｅ

ｒｅｑｕｉｒｅ

ｗｈｅｒｅ ７ｒ２： Ｉ ｘ Ｕ ｔｏ ｂｅ

ａ

ｖ（Ｐ）（７）

＝

（ｉｄ＾ｐＹＵ）

（ｉｏ）

Ｖ（７ｒ２）（７ｒ１＊（ｍ））

＝

ｍ

（１１）

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒｃｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ （—） ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ， ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ —？

Ｕ ｉｓ

Ｈ：Ｃ（／，Ｃ／）（＾，Ｖ７（０）） —，Ｃ（／

ｂｙ

ｍ

（１１），

＝

Ｖ（７ｒ２）（７ｒＪ（ｍ））

ｗｉｔｈ ７ｒｘ ａｎｄ ７ｒ２

ａｓ

ｘ

Ｊ７，ｌ７）（７ｒＪ（＾），＾）

ａｂｏｖｅ． Ｔｈｅｎ

ｃｌｅａｒｌｙ

ｍ

＝

ｍ

ｕｓｉｎｇ

ａｎｄ

／

＝

＝

＝

Ｖ（７Ｔ２）（（７Ｔｉ

Ｘ

（ｉｄ，７ｒ２）＊（（７Ｔｉ

（７Ｔｉ，７Ｔ２）＊（／）

？＊）＊（／）） ｘ

ｉｄ）＊（ｆ））

ｔＷｔｆｌ０（７） ｕｓｉｎｇ （１０）

ｆｏｒ （—）＊

ｉｓ

ｆｕｎｃｔｏｒｉａｌ

Ｄｅｒｉｖｉｎｇ

５．３．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ａ

Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ

ｏｎｌｙ

ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｈａｔ

／， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ

ａ

（－）：Ｃ（Ｉｘ Ｕ，Ｕ）（７ｒｌＷ，４＞）

ｗｅ

Ｗ（ｐ）（ｍ）

ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｖｊ

ａｎ

ｏｎ

ｏｂｊｅｃｔｓ

—

Ｃ（／，Ｃ／）（＾，Ｖ７（０））

Ｒ

：

Ｌｅｔ

ｗｈｉｃｈ

（＊）

ｇｉｖｅｎ ｓｕｃｈ ｄａｔａ， （ｉｄ，ｐ）＊（ｍ）， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （６）

＝

ｄｏ ｉｎｄｅｅｄ ｈｏｌｄ．

ｈａｖｅ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ／ ａｎｄ ｉｐ， ｂｕｔ ａｌｓｏ

ｄｅｆｉｎｅ

２２３

Ｆｏｒ

ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ．

ｗｅ ｃａｎ

（１１）

ｔｏ

ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅｓｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ

ｕｓ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂｙ

ＮＳＶ．

Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｗｉｌｌ

ｓｅｃｒｅｔｌｙ ｓｕｓｐｅｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｖｊ ｍａｙ ｌｉｆｔ ｔｏ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（Ｉ ｘ Ｕ，Ｕ）， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ａｒｉｓｅｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｏｎ

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ Ｖｊ， ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｊ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ， ａｓ ｗｅ ｎｏｗ ｓｈｏｗ． ＜ｆ＞＇ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ（Ｉ ｘ ￡／， ￡／）， ａｎｄ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｉ： ＜ｆ＞ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｖｊ ｏｎ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ Ｊ ａｎｄ ｉｊｊ． Ｗｅ ｃａｎ ｌｉｆｔ ７ＴＪ ｈａｓ

ａ

—＞

Ｖ７ ｔｏ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

Ｖ７：Ｃ｛Ｉ

Ｕ，Ｕ）

ｘ

Ｃ｛Ｉ， Ｕ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｖ７（Ｊ） ｄ＝

－＞

ｏｉｄ＾ｙ

Ｉ

Ｗｉｔｈ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｉｔ ｎｏｗ ｍａｋｅｓ ｓｅｎｓｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ Ｉｆ ａｎｄ ｌｏｒｈ＝ ［Ｖ／（ｉ） ｏ ｍ］Ａ． Ｔｈｅｓｅ （＊） ｉｎ ＜ｆ＞， ｗｈｉｃｈ ｗｏｕｌｄ ｓｔａｔｅ ｔｈａｔ Ｖｊ（￡） ｏ ｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｄｏ ｈｏｌｄ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｉｓ

＝

Ｖ／（０ ｗｈｅｒｅ

／

ｏ

（ｆ）

（ｉ）

Ｖ／）．

ｈ

Ｉ

ｏ

ｉｄｆｉ＾） ｏ Ｊ

ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｉｎ

ｏ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ

ｉｄｖｊ｛＜ｊ）） ｉｎ

ｏ

ｔｔＪ（／）

Ｏｆ

ｉｐ．

＝（ｔ） Ｉ

°

［＾ｖ７（＾） Ｊ］Ａ

（ｉｉ） ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｈ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ａｎ

ｉｓ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ，

ｗｅ

Ｕ

—＊

ａ＊

ｗｈｅｒｅ

ｄｏ ｉｎｄｅｅｄ ｈａｖｅ

ｔｏ

ｏ

（６

ｘ

ｉｄｖ）＊

６：Ｉ＇－＋ＩｍＣ，

ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ＮＳＶ． Ｌｅｔ

Ｕ ｉｓ

ｕｓ

（ｉ） ａｎｄ Ｖ／／ ｏ （０ ｘ ｉｄｖ）＊．

ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

ｄ＾ ｛￥

ａｎ

５．４， ｗｈｅｒｅ

ｘ

ｉｄｕＹｉｉｄ＾））

ｗｅ

ｇｉｖｅ

ａ

：

＾（Ｖ／（＾））

ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ．

ａｒｅ

—＾

ｗｅ

ｍａｙ

Ｖ／／（（０

ｘ

ｐｕｔ ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｓｏｍｅ

ｏｆ

ａ

ａｔ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

Ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｄｕｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ

ａ

ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

＝

ｘ

Ｉｆ

ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｕｃｈ

（ｉｉ） ｂｙ ＮＳＨ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｏｆ （ｉｉ） ｉｓ ｔｈａｔ ０＊ ｏ Ｖｊ Ｂｙ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｗｅ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ （ｆ＞： Ｉ

＝

Ｖｊ），

ａ：０＊ｏＶ７ —＞Ｖｊ， ｉｓ

ｏ

ｆａｃｔ， ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （７ｒ＊

ａｎ

＝（６） Ｉ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ｂｏｔｈ （ｆ＞ ａｎｄ ｉｐ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ

（７ｒＪ

＝

ｔｄｉ／）＊（＾））． ａｔ ｔｈｅ ｓｔａｒｔ ｏｆ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ． Ｆｉｒｓｔ， ａ

２２４

Ｃｈａｐｔｅｒ Ｒｅｆｅｒ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ５．３．２

（１）

Ｍａｋｅ

ｓｕｒｅ

（２）

Ｗｏｒｋ

ｔｈｒｏｕｇｈ

（３） Ｖｅｒｉｆｙ ｗｈｙ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｏ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．３．１：

ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

ａ

ｋｉｎｄ ｏｆ ｔｙｐｅｓ．

ａｃｃｏｍｐａｎｙｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （２）

ｔｏ

（４）．

ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ （—） ａｎｄ Ｖ（ｐ） ａｎｄ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｄｅｒｉｖｅ ｓｏｍｅ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （６） ｔｏ （９）， ｅｎｓｕｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｉｎ ｅａｃｈ ｃａｓｅ ｈｏｗ ｔｈｅ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｗｅ

ｎｅｅｄ ｔｈｅ

ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ．

（４）

Ｄｅｒｉｖｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （１０） ａｎｄ （１１）．

（５）

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ

（６）

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ＮＳＶ ｍｏｄｅｌ ｔｈｅ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． ａ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ＮＳＶ

５．４

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ ＮＳＨ．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ５．４．１

（ｉ）

ａｒｅ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ

Ａ

２Ｘｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

ｉｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｄａｔａ：

ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔ Ｕ ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ａｌｌ ｏｔｈｅｒ ｏｂｊｅｃｔｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｏｒｍｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ ａｌｌ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ Ｃ ａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｕｎ ｗｉｔｈ ｎ Ｇ Ｎ ｗｈｅｒｅ Ｕ° ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ａｎｄ Ｕｎ （ｆｏｒ ｎ ｐｏｓｉｔｉｖｅ） ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｎ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ Ｕ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｆｅｒ ｔｏ Ｃ ａｓ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

（ｉｉ）

Ａ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ，

Ｃ（—， Ｕ）： Ｃ＊９

—？

ＣＯＣａｔ， ｗｈｅｒｅ ＣＯＣａｔ ｉｓ

ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｓｔｒｉｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（Ｉ， Ｕ） ｉｓ ｉｎｄｅｘｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｉ —？ Ｕ ｉｎ Ｃ， ａｎｄ Ｃ（Ｊ，Ｕ） ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ／． Ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／：／—＞／＇ ｉｎ Ｃ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ／＊ Ｃ（／， Ｕ）：Ｃ（Ｉ＼ １７） —？ Ｃ（７，１７） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｓｓｉｇｎｅｄ ｔｏ ／ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ（—， Ｕ）． ＝

（ｉｉｉ）

ｏｂｊｅｃｔ Ｊ ｏｆ Ｃ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｖ／：Ｃ（Ｊ ｘ Ｕ， Ｕ） Ｃ（７， Ｕ） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ７Ｔｊ：Ｃ（Ｊ， １７） Ｃ（Ｉ ｘ Ｕ，Ｕ）． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ／ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｊ Ｆｏｒ ｅａｃｈ

—？

—？

—＞

Ｃ｛Ｉ （／

ｘ

ｘＵ，Ｕ）＾￣ Ｃ（Ｉ，Ｕ） ｒ

ｉｄｕＹ Ｃ（Ｊ

ｘ

１７，１７）

—＊

Ｃ（Ｊ， Ｕ）

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

５．４－

２２５

ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ９＊ｏＶｊ ｉｓ

ａｎ

—＞

Ｖｊｏ （０

ｘ

ｉｄｙ）＊

Ｗｅ ｃａｌｌ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ．

ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ

ｄｉａｇｒａｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｎ Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ２Ａｘ－

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｔｈｅ

ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ． ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ａ ｔｙｐｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｔｙ ｆｏｒ ａ Ｕ ｉｎ ２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｓｇｔｙ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［Ｆ］：Ｃ／ｎ Ｃ （ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ［Ｆ］ ｉｎ Ｃ（Ｕｎ，Ｕ）） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ Ｆ ｏｆ Ｓｇｔｙ， ｗｈｅｒｅ ｎ ｉｓ ｔｈｅ ａｒｉｔｙ ｏｆ Ｆ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｄａｔａ ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅｓ． Ｉｆ Ａ ｉｓ ａ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｌｅｎｇｔｈ ｎ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｕｎ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｓｇ ＞ Ａｈ￥ｗｅ ｓｐｅｃｉｆｙ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ［ＡＪ ［Ａ ｈ ￥］ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（￡／ｎ， Ｕ） ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ５．８． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｌｅｍｍａ ｗｈｉｃｈ ｅｍｂｏｄｉｅｓ ｔｈｅ ｓｌｏｇａｎ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｗ ｔｙｐｅｓ Ｌｅｔ Ｃ＇．Ｃ＊

－＋

ＣＯＣａｔ ｂｅ

ａ

—？

＝

ｉｓ ｍｏｄｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ： Ｌｅｍｍａ ５．４．２ ｌｅｔ Ａ ｈ §ｉ ｂｅ

Ｌｅｔ Ａ＇ Ｉ－ ＼Ｉ＞ ｂｅ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅｓ ｆｏｒ ｉ

［Ａ ＰＲＯＯＦ

ｈ

Ｉｎｄｕｃｔ

ｔｔ［＊／Ｘ］］ ｏｎ

ｔｈａｔ

［Ａ＇

ｈ

￥］

ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ

＝

［Ａ＇

ｈ

１，．．．，

＊］

（［Ａ

ｏ

ｔｈａｔ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ＝

［Ａ

ｈ

０］ ｏ ｎ

Ｓｇ

ｗｈｅｒｅ

ｗｈｅｒｅ Ａ＇

Ｔｈｅｎ

ｎ．

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ５．４．３ ｃａｓｅ

＝

ａ

ｈ

Ｓｇ

＞

Ａ

ＳＪ，．．．， ［Ａ

ｈ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ Ｓｇ

ｎ：

［Ａ＇］

—＞

［Ａ］

ＳＢ］＞

＞

Ａ Ｉ－ ￥ ａｎｄ Ａ Ｃ

＞

［Ｘｉ，．．． ，Ｘｎ］ ａｎｄ ｈ ＃ ［￥／Ｘ］ ａｎｄ

＝

Ａ＇ ｈ ＾．

Ｄ

Ａ＇． Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． ＰＲＯＯＦ

□

Ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ ５．４．２．

Ｓｇｔｙ

２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ｉｆ Ａ ｈ ￥ ￥＇ ｉｓ ａｎｙ ｔｙｐｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍｔｙ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｆ ［Ａ ｈ ￥］ ａｎｄ ［Ａ ｈ ￥＇］ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ． Ｇｉｖｅｎ ａ ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｙ （Ｓｇｔｙ， Ａｘｔｙ） ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍｔｙ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｙ ｉｆ Ｍｔｙ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．４．４

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

ｉｓ

ａ

＝

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ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ａｘｉｏｍｓ， ｔｈａｔ ｉｓ Ａｘ Ｗｅ ｈａｖｅ

ａ

Ａｈ￥

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ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ

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ｉｍｐｌｉｅｓ

［Ａｈ￥］

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［Ａｈ ￥＇］．

ｔｈｅｏｒｅｍ， ｎａｍｅｌｙ

ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｙ Ｔｈｅｎ Ｍｔｙ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｔｈｔｙ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．４．５

Ｌｅｔ Ｍｔｙ ｂｅ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａ

＝

（Ｓｇｔｙ， Ａｘｔｙ）．

２２６

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔｙｐｅ

Ｕｎｉｔ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

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Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

１ ｉｓ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｓｙｍｂｏｌｓ

［Ａ ［Ａ

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Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｔｙｐｅｓ ［Ａ，Ｘｈ§］

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Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ

Ｔｙｐｅｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａ

２Ａｘ－

５．４－

２２７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ

ＰＲＯＯＦ

ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ

ａ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ

ａ

ｇｉｖｅｎ

ｐａｇｅ ２０８ ｆｏｒ

ｏｎ

Ｗｅ ｎｅｅｄ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ５．４．６

ｇｉｖｅｎ

ｒｏｕｔｉｎｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ａ

ｌｉｔｔｌｅ

ａ

ｍｏｄｅｌ Ｍｔｙ ｏｆ

Ｔｈｅｎ

Ｔｈｔｙ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ａ

ｗｉｔｈ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａ

□

ｔｈｅｏｒｅｍｓ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｎｏｔａｔｉｏｎ．

ｍｏｒｅ

Ｓｇｔｍ（Ｔｈｔｙ）．

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｄｅｒｉｖｉｎｇ ｔｙｐｅ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ａｒｅ

Ｍｔｍ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

［／］：［Ａｈ＊Ｊｘ．．．ｘ［ＡＩ－￥ｎ］－［ＡＩ－￥］ ｓｏｒｔｉｎｇ ／： Ａ； ￥ｉ，．．．， ￥ｎ —？ ￥， ａｎｄ ａ ｇｌｏｂａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ［ｋ］ ｏｆ ［Ａ ｈ ￥］ ｆｏｒ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｋ： Ａ； ￥． Ｇｉｖｅｎ ａ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ， ｉｆ Ｓｇ ＞ Ａ ｈ Ｔ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｔｅｒｍ ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ ［ｘ＼： ￥ｉ，．．．， ｘｍ： ￥ｍ］， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ［Ａ ｈ ＴＪ ＝ｆ ＩＩ？ ［Ａ ｈ ３＞Ｊ； ａｎｄ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ［Ａ ｈ ｒｊ ｄ＝ １ ｉｆ Ｔ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｗｈｅｒｅ

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ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｗｉｔｈ

ｓｙｍｂｏｌ

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ｌｉｓｔ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｓｇｔｍ

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Ｌｅｔ Ａ

Ｌｅｍｍａ ５．４．７ ａｎｄ ｌｅｔ Ａ

｜Ｔ

ｔｈａｔ Ａ

｜

ａ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｔｈｅ

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ

ｓｐｅｃｉｆｙ

￥］

ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

｜Ｖ

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ｈ

ｗｅ

５．１０ ａｎｄ ５．１１．

ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｖａｒｉｏｕｓ ｋｉｎｄｓ ｏｆ

ｍｏｄｅｌｌｅｄ ａｎｄ ｉｎｃｌｕｄｅ

３＞，

Ｍｙ． ￥ｊ ｂｅ Ｎ［Ｍ／ｘ＼： ＾ ｉｓ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ， Ｉ＂ ［ｘｉ： ￥ｉ，．．．， ｘｍ＼ ￥ｍ］ １，．．．， ｍ． Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｊ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｔｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｈ Ｎ： ＃ ｂｅ

ａ

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ｇｉｖｅｎ ｂｙ

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Ｉｎｄｕｃｔ

ｏｎ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

Ｌｅｔ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ５．４．８

Ｓｇ

Ａ

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ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｓｇ

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Ａ

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ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ

ｏ ｔｔ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． □

２２８

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Ｃｈａｐｔｅｒ

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Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｅｒｍ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

［Ａ｜ｒ，ａｒ：￥，ｒｈａｒ：￥ｌ ，—

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

１ ｉｓ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｈ

（）： ｕｎｉｔ］

＝！：

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（［Ａ］， Ｕ））

Ｓｙｍｂｏｌｓ

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（／ｉＡ＇；＊！，．．．，＊．－＊＊） Ｆｉｇｕｒｅ ５．９： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａ

２Ａｘ－

５．４－

Ｉ—

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

Ｂｉｎａｒｙ

Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｔｅｒｍｓ

［Ａ ｜ Ｔ

ｈ

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［Ａ ｜ Ｔ ［Ａ ｜ ｒ

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２２９

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Ｆｉｇｕｒｅ ５．１０： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ．

ａ

２Ａｘ－

２３０

Ｃｈａｐｔｅｒ

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￥Ｊ

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［Ａ ｜ Ｔ Ｆｉｇｕｒｅ ５．１１： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ． Ｌｅｍｍａ ５．４．９ ａｎｄ ｌｅｔ Ａ ｈ Ａ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ

Ｌｅｔ Ａ＇

［Ａ

ｈ Ｍ：

ｈ

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Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

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Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

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￥］

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ｐｒｏｖｅｄ

ａ

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２Ａｘ－

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Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｔｅｒｍ ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｔｓ

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Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

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５．

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ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

ｐｒｏｏｆ ｐｒｏｃｅｅｄｓ ｂｙ ｓｈａｌｌ ｇｉｖｅ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

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Ｓｇ

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［Ａ ｜ Ｔ［￥／Ｘ］

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ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

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ｓｔｒｉｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

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Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

［Ａ＇

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ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ

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５．４－

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ ｃａｎ

ｔｈｅ

ｅｘａｃｔｌｙ

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

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ｓａｔｉｓｆｉｅｄ

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ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ

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ｈ Ｍ：

￥］）

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． □

Ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ ５．４．９．

ｔｈｅｏｒｙ． ａ

ｈ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．４．１１ ｉｎ

ｈ

Ｄ

［Ａ＇ ｜ ｒ ｗｈｅｒｅ

￥１］，．．．， ［Ａ

Ｌｅｍｍａ ５．４．２．

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ５．４．１０ ｗｅ ｃａｎ

ｈ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ

［Ａｈ（￥ｘ ＊＂）［￥／Ｘ］］＝（［Ａ ｂｙ ｕｓｉｎｇ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （［Ａ

２３１

ｂｙ

Ｗｅ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ａｇａｉｎ， ｔｈｅ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｏ ｇｉｖｅ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ

ａｎ

ａ

ａ

２Ａｘ－

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｍｔｍ ｉｓ

ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ．

２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

Ｓｇｔｍ｛Ｔｈｔｙ）

ｉｎ

ａ

Ａ

｜ｒ

ｈ Ｍ

ｉｓ ａｎｙ ｔｅｒｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ，

ａ

ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ：Ｃ°ｐ

ｗｅ

＝

ａｒｅ

－＋

ａ

ＯＯＣａｔ． Ｉｆ

Ｍ＇： ￥

ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍｔｍ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｔｈｅ ｔｅｒｍ

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ［Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ： ３＞Ｊ ａｎｄ ［Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ＇： ￥］ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（［Ａ］） Ｃ（［Ａ］，ｆ／）． Ａ ｍｏｄｅｌ Ｍｔｍ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｍ （Ｓｇｔｍ，Ａｘｔｍ） ｉｓ ａ ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ＝

＝

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｍ ｉｎ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ＣｉＣ＾ ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ａｘｉｏｍｓ， ｔｈａｔ ｉｓ Ｍｔｍ ｆｏｒ ｔｈｅ

Ａｘ Ｗｅ

＞

ｃａｎ

ｗｈｉｃｈ

ｔｅｒｍ

Ａ｜ＴＩ－

Ｍ

＝

Ｍ＇：￥

ｉｍｐｌｉｅｓ

［Ａ ｜ Ｔ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｓｓｉｇｎｅｄ ｔｏ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｈ Ｍ：

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．４．１２

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

Ｌｅｔ

Ｔｈｔｍ ｂｅ

Ｉｆ Ｍｔｍ ｉｓ

ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｔｈｔｍ．

ａ

ａ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｍ

￥］

ｆｏｒ ｔｈｅ

＝

［Ａ ｜ Ｔ

－＋

ｈ Ｍ＇＼

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ＯＯＣａｔ，

＊］．

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ＣＣＣａｔ ａ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ＣｉＣ＾ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅｎ Ｍｔｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｌｌ ｏｆ －＊

２３２

Ｃｈａｐｔｅｒ

ＰＲＯＯＦ

Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ

ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ

ａ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｒｏｕｔｉｎｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｗｉｔｈ

ｇｉｖｅｎ

ｏｎ

ｐａｇｅ

２１５，

ｐａｇｅ ２１６ ａｎｄ ｐａｇｅ ２１７ ｆｏｒ

ｄｅｄｕｃｉｎｇ

Ｍｔｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍｓ． Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｆ

ｏｆ

Ｔｈｔｍ，

ｔｈｅｎ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

ｒｕｌｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｇｉｖｅ

Ｔｈｅ Ｔｈ

ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ Ｍｔｍ． Ｌｅｔ ｗｅ

ｈａｖｅ

［Ａ７１Ｔ

ｈ Ｍ：

￥］

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ：

ｅｘａｍｐｌｅ

ｓｏｍｅ

（Ｃａｓｅ Ｗｅａｋｅｎｉｎｇ）：

Ｔｈｅｎ

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｕｓ

ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ

ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ

Ａ＼Ｔ

＞

ｗｒｉｔｅ

＼－Ｍ

［Ａ＇Ｊ

ｔｔ：

＝

Ｍ＇：￥

［ＡＪ

－＊

ａｎｄ

＝

ｔｔ＊（［Ａ ｜ Ｔ

ｈ Ｍ：

＝

７ｒ＊（［Ａ ＩＴ

ｈ Ｍ＇：

＝

［Ａ＇ｌｒ ｈＭ＇：ｆ］，

＜￡＞Ｊ ￥Ｊ

ｏ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ）： ｍ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｈ

Ｔ＇］ ＾［Ａｈ Ｔｊ．

ｔｔ）

ｂｙ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ５．４．８

ｊｔ）

ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ

ｏ

ｕｓ

Ｗｅａｋｅｎｉｎｇ

ｒｕｌｅ．

ｐｕｔ：

［Ａ｜ｒｈＭ：￥］

＝

／ ｄ＾ｆ

Ｕｓｉｎｇ

Ｌｅｔ

［Ａ

ｂｙ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ５４．１０

７Ｔ＊（［Ａ ＼Ｔ＇＼－Ｍ： ￥］）

＝

ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ Ｍｔｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

（Ｃａｓｅ

ｔｔ：

［Ａ｜ｒ，ｘ：３＞ｈＦ：ｔｆＪ．

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ：

［Ａ Ｉ Ｔ

ｈ

（Ｘｘ： ￥．Ｆ） Ｍ： ｔｆ］

＝

Ｌｅｍｍａ ５．４．７

（［Ａ ｜ Ｔ

ｈ Ａｘ： ３＞．Ｆ：

＝

ｅｖｏ（Ｘ（ｆ），ｍ）

＝

ｅｖ ｏ

＝

ｕｓｉｎｇ

ｅｖ ｏ

＝

（Ｘ（ｆ）

ｘ

ｉｄ）

ｏ

￥＝＊＞￥］， ［Ａ ｜ Ｔ

（ｉｄ， ｍ）

ｆｏ（ｉｄ，ｍ）

［Ａ ｜ Ｔ

ｈ

Ｆ［Ｍ／ｘ］

（Ｃａｓｅ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ）：

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｍａｋｅ ｔｈｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ：

＾ ｄ＾ｆ

［Ａｈ＊］

＜ｆ＞ ｄ＾ｆ

｜Ａ，Ｘｈ￥ｌ

／ ｄ＾ｆ ［Ａ，Ｘ｜ｒｈＦ：￥］ ７ｒ：

［Ａ， Ｘ］

—＞

ｈ Ａｆ：

［ＡＪ

＝

ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

５．４－

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

［Ａ｜Ｔ

ｈ

ｈａｖｅ

（ＡＸ．Ｆ）＊：＊［＊／Ｘ］］

（ｔｄ［Ａｉ，＾＞＊（＊＊ｖ＜＊））

＝

（？Ｊ［Ａ］，＾）＊（ｔｄｖ（＊））

＝

（ｎ

Ｈ

ｔｍｎｐ Ｌｅｍｍａ

Ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ

Ｖ）

＝

５．＾．０

＝

［Ａ ｜ Ｔ ｗｅ

ｘ

Ｕ

—？

｛ｉｄｉＡ，ｘｈ ［Ａ， Ｘ

ｈ

＝

＝

Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ

＝

Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ

＝

（ｔ［ａ］ －＊Ｖ［Ａｊ）

＝

—

ｓｕｂｓｃｒｉｐｔｓ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．４．１３

ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．＂

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｓｕｒｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ：

｜Ａ，Ｘｈ￥ｌ

［Ａ｜ｒｈＭ：ＶＸ．￥］

Ｕ

＝

ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ．

＝

ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ．

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

［Ａ，Ｘ ｜Ｔ

ｈ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ＭＸ：￥＼ °

［Ａ， Ｘ ｜ Ｔ

ｈ Ｍ：

ＶＸ．Ｓ］

＜ｔｄ，７ｒ￡；＞＊［（ｉｄｖ，ＡｌｘＵ（（ｉｒＩＡ，ｘｗｕ）＊（＾）））Ａ］ ＊＂［Ａ］（ｍ） °

（＾，７ｒｔ／）＊［（＾７ｒ＊Ａ１（ｖＩＡ］（＾）））Ａ］ °＾（ｍ） （＾，７ｒ＾）＊［（７Ｔ［Ａｊ

ｘ

＾ｃ／）＊（＾ｖＩＡ］（＾））］ ０７ｒ［Ａ］（ｍ）

ｍ

ｍ， ／ｉｔ，

ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｏｍｉｔｔｅｄ ｔｏ

Ｍａｋｅ

Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ： ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＶＸ

ｕｓｅ

Ｘ］＞＊［（ｉｄＶ（［Ａ＾，ｙｈ＊［ｒ／ＪＣｉ］））Ａ］

Ｃｏｒ＇ｓ ５．＾．５ ａｎｄ ５．＾０

ｗｈｅｒｅ ｃｅｒｔａｉｎ

Ｆ［Ｖ／Ｘ］： ￥［＊／Ｘ］］．

＝

ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

［Ａ｜ｒｈＡＸ．（ＭＸ）：ＶＸ．￥］

＜＊ｒｆ［Ａ］，＾＞＊（＾＊（７））

ｍ

７ＴＪＡＪ－ ［Ａ］ ｘ［／－＋ ［ＡＪ Ａｐｐｅａｌｉｎｇ

ｈ

ｓｈａｌｌ

＜ｆ＞ ＾

［Ａ］

°

（ｚｄ［Ａｉ＞Ｖ，）＊（／）

ｅｘａｍｐｌｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，

７Ｔ｛／：

ｈ ＡＸＦ：ＶＸ

＜？＜＊［Ａ］，＾）＊［（？＊Ｖ（＊））ｏ７Ｔ＊（７）］

＝

ｂｅｃａｕｓｅ

［Ａ｜Ｔ

ｏ

（？＊［Ａ］，＾）＊（？＊ｖ（＊））°７

＝

＝

２３３

ｓａｖｅ

ｓｐａｃｅ．

Ｄ

ｔｈａｔ ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｃｋ－

ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ， ｔｈｅ ａｎｄ ＡＸ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｓｌｏｇａｎ

ｉｓ ｔｈａｔ ＂ｉｎ

ａ

２３４

Ｃｈａｐｔｅｒ Ｌｅｔ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．４．１４

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｉｎ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ＜Ｃ＼Ｃｏｒｐ —＊■ ＣＯＣａｔ ｆｏｒ ａ ２Ａｘ－ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ （Ｓｇｔｙ， Ｓｇｔｍ（Ｔｈｔｙ）） ｉｓ ａ ｐａｉｒ （Ｍｔｙ，Ｍｔｍ） ｗｈｅｒｅ Ｍｔｙ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｙ ａｎｄ Ｍｔｍ ｉｓ ａ ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｔｍ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｔｙ． Ａ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ （Ｔｈｔｙ， Ｔｈｔｍ） （Ｓｇ， Ａｘ） ｉｎ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ （Ｍｔｙ， Ｍｔｍ） ｆｏｒ Ｓｇ ｗｈｅｒｅ Ｍｔｍ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｍ （ａｎｄ Ｍｔｙ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｙ）． Ｗｅ ｈａｖｅ ｕｓ

＝

＝

＝

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．４．１５

Ｔｈｅ

ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

ｍｏｄｅｌ Ｍ ｉｓ

ａ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈ ｉｎ

ａ

２Ａｘ－

ｓｏｕｎｄ， ｔｈａｔ ｉｓ， Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｌｌ ｔｈｅｏｒｅｍｓ

ｏｆ Ｔｈ． Ｐｒｏｏｆ

５．５

Ｔｈｉｓ ｉｓ

ａ

□

ｒｅｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ５．４．５ ａｎｄ ５．４．１２．

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｂｅｆｏｒｅ ｃｏｍｍｅｎｃｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｄｅｔａｉｌｓ， ｗｅ ｐａｕｓｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ， ｉｎ ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｆａｓｈｉｏｎ， ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｙｐｅｓ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ Ｓｇ ＞ Ｘ ｈ ￥ ａｎｄ Ｓｇ ＞ ｈ ＶＸ￥． Ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｅｎ ｔｈａｔ ＜ｆ＞ ［Ｘ ｈ ￥］ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｕ Ｕ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ， ａｎｄ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ［ ｈ ＶＸ￥Ｊ： １ Ｕ． Ｌｅｔ ｕｓ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ Ｕ ｉｓ ａ ＂ｕｎｉｖｅｒｓｅ ｏｆ ｓｅｔｓ．＂ Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｙ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ ｈ ＾ ｗｉｌｌ ｂｅ ａ ｓｅｔ ［ ｈ ＾］ ｉｎ Ｕ． Ｉｎｔｕｉｔｉｖｅｌｙ， ＶＸ￥ ｉｓ ａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ａｃｔｓ ｌｉｋｅ ￥ ｆｏｒ ａｌｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ｘ． Ｔｈｕｓ ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｐｏｓｔｕｌａｔｅ ｔｈａｔ ｘ Ｇ ［ ｈ ＶＸ．３＞］ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｘ Ｇ ＼Ｘ ｈ ￥１（０ ｆｏｒ ａｌｌ ｓｅｔｓ ￡ Ｇ Ｕ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｓｅｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．１

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｐｒｅｓｅｎｔ

ａｎ

＝

—？

—？

［ｈｖｘ．ｓ］＾ｎ［＊＞＊］（ｏ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｍａｋｅ ｎｏｗ

ｗｉｔｈ

ａ

ｆｏｒｍａｌ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．２ ｔｏ ｓａｙ ｔｈｅ

ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ．

ｓｅｎｓｅ

ｕｎｉｖｅｒｓｅ Ｕ ｉｓ ｎｏｔ ｔｏｏ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｓｃｒｉｂｅ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｐｕｒｅ

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｃｏｎｔｉｎｕｅ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ，

ｔｈａｔ ｉｓ

２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ ｎｏ ａｘｉｏｍｓ． Ｔｈｉｓ ｍｏｄｅｌ ｗｉｌｌ ｂｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ， ｏｒ ａ ＰＥＲ． Ａ ＰＥＲ ｏｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｓｅｔ Ｘ ｉｓ ａ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ Ｘ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｊｕｓｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｅｎ Ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｎ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ｓｏ ｎｏｗ ｌｅｔ Ａ ｂｅ ａ ＰＥＲ （ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｎ）． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｏｆ Ａ， Ｄｏｍ（Ａ）， ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｄｏｍ（Ａ） ｄ＝ ｛ａ Ｇ Ｎ ｜ ａＡａ｝． ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ｗｉｔｈ ｅｍｐｔｙ

ａ

ｌａｒｇｅ．

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

５．５．

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

Ｄｏｍ（Ａ）．

ｓｅｅ

２３５

ｔｈａｔ Ａ Ｃ

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ

Ｄｏｍ（Ａ）

ｕｓｕａｌｌｙ

ｗｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

Ｖｅ

ｔｈａｔ

｛Ｖｅ ｜

ｅ

Ｎ｝

Ｇ Ｅ Ｃ

ｉｓ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

Ａｎ．／（ｎ）

Ｖｍ Ｇ Ｎ．

（Ｎｏｔｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｏｎ

Ａ｝

ｅ

ａ

ｐａｒｔｉａｌ

ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｎ

Ｎ．

—？

Ｎ ｗｈｅｒｅ ｃｏｄｉｎｇ ｏｆ ｓｕｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｖｅ： Ｎ Ｎ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｄｅ ｅ Ｇ Ｎ． Ｉｆ Ａｎ．／（ｎ）： Ｎ

ａ

—？

ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈｅｎ

Ｘｎ．ｆ（ｎ）．

｛［ａ］ ＼

＝

ｏｆ ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｉｓ ｔｈｅ

ｉｓ ａｎｙ

ａｎ

ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ Ａ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｍａｋｅ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｉｓ

ｗｒｉｔｅ

Ｄｏｍ｛Ａ）／Ａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

Ｄｏｍ（Ａ）

ｘ

—？

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｆｏｒ ｓｕｃｈ

ａ

ＶＡｎ．／（ｎ）Ｍ

ｃｏｄｅ

ａ

Ｎ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｅ

Ｖｅ

＝

ｃｏｄｅ ｅ， ｔｈｕｓ ＝

ｆ｛ｍ）ｅ

Ｎ．

ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｓ－ｍ－ｎ ｔｈｅｏｒｅｍ）． Ｉｆ ｅ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｖｅ ａｎｄ Ｖｅ／， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ｅ＇．ｅ ｆｏｒ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｍａｋｅｓ

ｅ＇ ｃｏｄｅ ｔｈｅ ｔｈｅ ｃｏｄｅ

Ｗｅ

ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｅ ａｎｄ Ｖｅ＞，

ｃａｎ ｎｏｗ

ｎａｔｕｒａｌ

ｄｅｆｉｎｅ

ｎｕｍｂｅｒｓ）．

ａ ｎｅｗ

Ｆｉｒｓｔ

ａ

ｔｈａｔ ｉｓ ｅ＇．ｅ

＝

Ａｎ．Ｖｅ／（Ｖｅ（ｎ））．

ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶＳＲ ｗｈｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ

ｌｉｔｔｌｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｉｆ

／： Ｎ

—？

ａｒｅ

Ｎ ｉｓ ａｎｙ

ＰＥＲｓ

（ｏｎ

ｔｈｅ

ｐａｒｔｉａｌ ｅｎｄｏｆｕｎｃ－

／ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｏｎ ａ ｓｕｂｓｅｔ Ｘ Ｃ Ｎ ｉｆ ｆ（ｘ） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｘ ｅＮ． Ｉｆ ｆ（ｘ） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｒｉｔｅ ／（＃） ｊ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｉｓ． Ｌｅｔ Ａ ａｎｄ Ｂ ｂｅ ＰＥＲｓ． Ｉｆ ｅ Ｇ Ｎ， ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ ｅ ｔｒａｃｋｓ ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ ｉｆ Ｖｅ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｏｎ Ｄｏｍ（Ａ） ａｎｄ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ａＡａ＇ ｔｈｅｎ Ｖｅ（ａ）５Ｖ￡（ａ＇）． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｔｉｏｎ

ｏｎ

Ｎ，

Ｔｒ（Ａ， Ｂ）

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｏｓｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｅ

Ｇ Ｎ ｗｈｉｃｈ ｔｒａｃｋ ｆｒｏｍ Ａ ｔｏ Ｂ．

ａｎ

ｅ＇ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ａ Ｇ Ｄｏｍ（Ａ） Ｔｒ（Ａ， Ｂ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｅ Ｂ ｉｎ Ｖｅ（ａ）ｉ３Ｖｅ／（ａ）． Ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ， ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｉｍｐｌｉｅｓ

ｔｈａｔ

ＶＳＲ， ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｏｎ

￣

—＞

ＶＳＲ｛Ａ， Ｂ）

（Ｎｏｔｅ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

＝

Ｔｒ｛Ａ， Ｂ）ｊ

ｔｈａｔ

￣

．

ｔｒｉｐｌｅ （［ｅ］，Ａ，ｉ？）， ｂｕｔ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｉｓ ａｎｙ ＰＥＲ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｎ Ａ ｉｓ ｉｄ ａ ［Ａｎ．ｎ］． Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ ＶＳＲ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｔｈａｔ ｉｓ ｉｆ ［ｅ］： Ａ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｓｐｅａｋｉｎｇ， ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｎｏｔ ｂｅ ｆｕｓｓｙ ａｂｏｕｔ ｔｈｉｓ）． Ｉｆ Ａ

Ａ

—？

Ｂ ｉｓ

ａ

＝

—？

Ｂ ａｎｄ

［ｅ＇］： Ｂ

－？

Ｃ ｔｈｅｎ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．５．３ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．４

［ｅ＇］

Ｖｅｒｉｆｙ

ｏ

［ｅ］

＝

［ｅ＇．ｅ］： Ａ＾Ｃ．

ｔｈａｔ ＶＳＲ ｉｓ

ａ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ

ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｓｏｍｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ＰＥＲｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｒｅｃａｌｌ ｈｏｗ ｔｏ ｅｎｃｏｄｅ ｔｈｅ ｐａｉｒｉｎｇ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｖｉａ ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐ：ＮｘＮ－＋Ｎ

（ｎ，ｒｉ）

？－＊

｛ｎ，ｒｉ） ｄ＝ （ｎ ＋ ｌ）（ｎ＇

＋

ｎ

＋

１）

２３６

ｉｓ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｔｓ． Ｉｆ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｐ＿１： Ｎ

ａ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

—■＊

Ｎ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｎ， ｔｈｅｎ

ｘ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｗｒｉｔｅ ７１＂！

ｏｐ－１

：

Ｎ

—？

Ｎ

ｍ ｉ—＞

ｍｉ

＝

７ｒ１（ｐ－１（ｍ））

７ｒ２

ｏｐ－１

：

Ｎ

—？

Ｎ

ｍ ｉ—？

ｒａ２

＝

７ｒ２（ｐ－１（ｍ））

ｗｈｅｒｅ ７ＴＸ， ７ｒ２： Ｎ ｘ Ｎ

—＞

Ｎ

ａｒｅ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ａｌｌｏｗ

Ｋｍ．ｒｒｉｉ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ７Ｔｊ ｏｐ－１： Ｎ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｏ ｂｅ

（ｉ）

ａ

ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｗｅ

Ｇｉｖｅｎ ＰＥＲｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｒｉｉ Ａｍｉ ａｎｄ

（ｉｉ）

ｎ＾Ｂｒｒｉｉ （ｆｏｒ

ａｎｙ ｎ，

ａｎｄ Ｖｅ／

ａｒｅ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｏｎ

Ｄｏｍ（Ａ）

ａ

ｇｉｖｅ

ｏｕｒ

ＰＥＲ Ａｘ Ｂ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｔｈｉｓ，

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｈｅ

ＰＥＲ Ａ

ｅ｛Ａ

Ｂ ｗｈｅｒｅ

＝？

ａｎｄ ａｌｓｏ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ａＡａ！

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．５．５

Ｐｒｏｏｆ

Ｄｅｆｉｎｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｂｙ ｎ｛Ａ

ＰＥＲ １

ｔｅｒｍｉｎａｌ

７Ｔ！

＝ｆ ［Ａｎ．ｎｉ］

：

Ａ

ｘ

Ｂ

－＊

Ａ

ｘ

Ｂ

ａｓ

＝＞

ｔｔ２

ｄ＝

［Ａｎ．ｎ２］

—＊■

—？

（［ｅ］， ［ｅ＇］＞ ｄ＾ｆ ［Ａｎ．（Ｖｅ（ｎ）， Ｖｅ，（ｎ））］ Ｔｈｅ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｓ Ａ． ｅｖ

Ｉｆ

／

／

ｉｓ

＝

［ｅ］： Ａ

ｘ

Ｂ

—？

＝

ＰＥＲ

ｆ）ｉｅｉ Ａｉ

＝＞

ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ｎ，ｍ Ｇ Ｎ． —＞

Ｔｈｅｎ １ ｉｓ

１ ｆｏｒ ａｎｙ ＰＥＲ Ａ．

：ＡｘＢ＾Ｂ． ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｓｅｅ

Ｂ． Ｔｈｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

—？

ｉｓ

Ｂ．

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ＴＥＲ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ａ（／） ｄ＝ｌｆ ［Ａｎ．Ａｍ．Ｖｅ（（ｎ，ｍ））］： Ａ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

：Ｃ－＋ＡｘＢ．

［Ａｎ．Ｖｎｉ（ｎ２）］ ：（Ａ＝＞Ｂ）ｘＡ

Ｃ ｉｓ ａｎｙ

ａ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．４． Ｔｈｅ

Ａ ａｎｄ ［ｅ＇ｊ： Ｃ Ｂ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ［ｅ］：Ｃ ｕｎｉｑｕｅ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ

Ｇｉｖｅｎ

ｉｆｆ

Ｂ）ｅ＇ ｉｆｆ ｂｏｔｈ Ｖｅ ｔｈｅｎ Ｖｅ（ａ）５Ｖｅ＇（ａ＇）．

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ａ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｎ＼ｍ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［Ａｎ．ｎ］：Ａ

ｏｂｊｅｃｔ， ｗｉｔｈ ａ Ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｉｓ Ａ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａ

Ｂ）ｍ

ｘ

ｃｒｕｃｉａｌ ｔｈｅｏｒｅｍ：

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔ＾ＳＲ ｉｓ

ａ

Ｎ， ａｎｄ ｔｈｉｓ

—？

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ．

（ｈｉ） Ｉｆ （Ａｉ ｜ ｉ Ｇ ／） ｉｓ ａ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ＰＥＲｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｎ（ｆ］ｉｅＩ Ａｉ）ｍ ｉｆｆ ｎＡｉＶｆｉ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉ Ｇ ／． Ｗｉｔｈ

ｔｏ ｗｒｉｔｅ

Ｎ）．

Ｇ

ｍ

Ｇｉｖｅｎ ＰＥＲｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｕｓ

－＞

（Ｂ

＝？

Ｃ）．

ｍａｔｅ ｏｆ

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

５．５．

Ｌｅｔ

ｕｓ

２３７

ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ

ｄｉａｇｒａｍ

￡—＊

ＡｘＢ

＼（ｆ）

ｘ

Ｆｉｒｓｔ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ．

ｗｅ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｃ

ｉｄＢ

（Ｂ＝＞Ｃ）ｘＢ ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｅｖ ｏ

（Ａ（／）

ｘ

ｉｄＢ）

［Ａｎ．Ｖｎｉ（ｎ２）］

＝

［Ａｘ．ＶＡｍ．Ｖｅ（（ｘｉｍ，））（ａ：２）］

＝

［Ａｘ．Ｖｅ（（ｘｉ，ｘ２））］

＝

Ｗ－

＝

Ｎｅｘｔ

ｗｅ

［ｅ］： Ａ

—＊■

ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ； （Ｂ ＝＊＞ Ｃ） ａｎｄ ｔｈａｔ ｅｖ ｏ （ｈ ｘ ｉｄＢ） ／， ｔｈａｔ ｉｓ ｓｈｏｗ

Ｖ￡Ｒ（Ａ

ｘ

ａ

＝

￡＞ｏｍ（＾４）；

Ｇ

＝

（＊）

［Ａｘ．Ｖｖ．（ｘｉ）｛ｘ２）］

＝

Ｂ， Ｃ）． Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｈ

［ｅ］ Ｌｅｔ

ｓｕｐｐｏｓｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｈ

＝

［ｅ］ ｉｎ

［Ａｘ．（Ａｍ．Ｖｅ（（ｘｉ，ｍ）），ｘ２）］

ｏ

＝

Ａ（／），

ｔｈａｔ ｉｓ

［Ａｎ．Ａｍ．Ｖｅ（（ｎ， ｍ））］． Ｖｅ（ａ）（Ｂ ＝＞ Ｃ）Ａｍ．Ｖｅ（（ａ， ｍ））． Ｔａｋｅ ｂ Ｇ Ｄｏｍ｛Ｂ）． Ａｓｈｅ ＶＳＪｌ（Ａ， Ｂ ＝＞ Ｃ） Ｃ）Ｖｅ｛ａ） ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ Ｖｖ－（ａ）（＾）ｌ－ Ｏｎｅ ｃａｎ

ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｂ

＝＞

Ｃ．

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｖｇ（ａ）｜

Ｖｅ（ａ）（Ｂ ＝￥＞ ｃｈｅｃｋ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｈａｔ ＶＡｍ．Ｖｅ（（ａ，ｍ））（＆）ｌ－ Ｆｉｎａｌｌｙ ｔａｋｅ ｂＢｂ＇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｖｖ？（ａ）（＆）Ｃ＇Ｖｅ（（ａ， ｂ＇））． Ｆｒｏｍ （＊） ａｎｄ ｔｈａｔ （ａ， ｂ） Ｇ Ｄｏｍ（Ａ ｘ Ｂ） ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｖｖ－（ａ）（＆）ＣＶｅ（（ａ， ６））． Ａｌｓｏ，

ａｎｄ

Ｖｅ（（ａ， ６））ＣＶｅ（（ａ， ６＇））．

ａｓ ｅ

ｔｒａｃｋｓ ｆｒｏｍ Ａ

ｘ

Ｂ ｔｏ Ｃ

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｒａｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｏｆ Ｃ．

ｗｅ

ｈａｖｅ □

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ５．５．６

（１）

Ｗｏｒｋ

（２）

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｖ￡Ｒ， ｈａｓ

ｔｒｙ

ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ａｎｙ ｓｌｉｃｅ ｏｆ ＶＳＲ， ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ．

ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．５．５． Ｐｒｏｖｅ ｉｎ ｆｕｌｌ ｄｅｔａｉｌ ｔｈａｔ ＶＳＲ， ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ—ｂｅ ｃａｒｅｆｕｌ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ａｌｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｙｏｕ ｓｐｅｃｉｆｙ ａｒｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．７

Ｎｏｗ

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ

ｓｈａｌｌ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｉｎｄｅｅｄ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａ

ｗｅ ｃａｎ

ａｎｄ

ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｉｆ ｙｏｕ ｆｅｅｌ ａｍｂｉｔｉｏｕｓ，

ｐｒｅｓｅｎｔ

ａｎ

ｏｆ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ； ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｗｅ

ｅｘａｍｐｌｅ

ａ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ：Ｃｏｐ —？ ＯＯＣａｔ ｗｉｌｌ ｆｏｌｌｏｗ．

２３８

Ｃｈａｐｔｅｒ

（ｉ）

Ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｕ ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ

Ｕ

｛Ａ

＝

Ｃ Ｎ ｘ Ｎ

｜

Ａ ｉｓ

ＰＥＲ

ａ

ｏｎ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｓｅｔ， ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

ａ

Ｎ｝．

Ｌｅｔ Ｕｎ ｂｅ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｎ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ￡／， ｔｈａｔ ｉｓ， ａ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｎ Ｓｅｔ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｕｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ａｎｄ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｕｎ Ｕｍ ｉｓ ｓｉｍｐｌｙ ａ ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆ：Ｕｎ Ｕｍ． —？

—＊■

（ｉｉ） Ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ Ｉ ｆｏｒ Ｕｎ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ＣＩ Ｃ｛Ｉ， Ｕ）． Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ（７，１７） ａｒｅ （ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ） ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｉ —＊Ｕ． ＝

Ｌｅｔ

ｘ

Ｇ ／ ｂｅ ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ／． Ｉｆ Ｆ： Ｉ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆ

ｏｖｅｒ

／， ｔｈｅｎ Ｆｘ ａｎｄ Ｇｘ

ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｏ

ＰＥＲｓ：

ａｒｅ

Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｘ．

Ｕ ａｎｄ Ｇ：Ｉ

—？

ａ

－＋

ｈｅｒｅ，

ＰＥＲ Ｒ

＝

Ｕ

ａｒｅ

ａｎｙ ｔｗｏ

Ｆｘ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ｆ］ｘ ｉ｛Ｆｘ

Ｇｘ）．

＝？

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

Ｃ（Ｉ， Ｕ）（Ｆ， Ｇ） ｄ＝ Ｄｏｍ｛Ｒ）／Ｒ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ： ｉｆ ｗｅ ｔａｌｋ ｏｆ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｇ ｔｈｅｎ ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ［ｅ］ ｉｓ ｔａｋｅｎ ｗｉｔｈ ［ｅ］： Ｆ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｌｘｅ／Ｃ＾ ＾ ＠ｘ） ｏｎ ＾ｉｅ ｓｅ＾ Ｄ°ｍ（Ｃ＼ｘ ｉ（Ｆｘ ＾ Ｇｘ）） ａｎｄ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｔｏ ｂｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ， ｅ Ｇ Ｄｏｍ（ｆ］ｘ ｌ（Ｆｘ ＝￥＞ Ｇｘ））． —＊

Ｆ ｉｎ Ｃ（Ｊ， １７） ｉｓ ［Ａｎ．ｎ］ Ｇ Ｃ（７，１７）（Ｆ， Ｆ）． Ｇｉｖｅｎ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆ Ｈ ｉｎ． ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ｏｖｅｒ ／， ｔｈｅｎ Ｇ ａｎｄ ｉｐ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ＜ｆ＞ ［ｅ］：Ｆ ［ｅ＇］：Ｇ ｓｅｔ Ｖ ° ＜ｆ＞ Ｈ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ—［ｅ］：Ｆ Ｇ ｒｅｆｅｒｓ ｔｏ ［ｅ＇．ｅ］：Ｆ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｉｎ Ｈ ｔｏ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｉｎ Ｃ（Ｉ，Ｕ）（Ｆ，Ｇ）， ［ｅ＇］：Ｇ Ｈ ｔｏ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｉｎ Ｃ（Ｉ，Ｕ）（Ｆ，Ｈ）． Ｃ（Ｉ，Ｕ）（Ｇ，Ｈ）， ａｎｄ ［ｅ＇．ｅ］：Ｆ Ｏｎｅ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｇｏｏｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

Ｔｈｅ

－＞

—？■

＝

－＾

＝

—＊■

＝

—＊■

—＊■

—＞

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｃ（—， Ｕ）： ０°？

Ｈ：Ｉ＇－＋Ｉ ｗｈｅｒｅ Ｈ ｓｅｎｄｓ

Ｉｎ

ｐｏｓｔｕｌａｔｅ

ｆａｃｔ， ｓｕｃｈ

Ｃ（７， Ｕ） ｓｅｅ

ｕｓ

ａｎ

ａ

—？

ａ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｃａｎ

ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ １：１

—？

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ７Ｔ

ｂｙ （Ｆ

ｘ

ｂｙ

ｔｈｅ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

Ｃ（７， Ｕ） Ｇ ［ｅ］：Ｆ

Ｕ ｏｆ ＝

—＞

ｔｏ ｔｈｅ

ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｃ（Ｉ，Ｕ）

ＦＨ： Ｉ＇

ｂｅ

ｇｉｖｅｎ ＂ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ．＂

Ｕ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ｅａｃｈ ａｒｅ

Ｇ）ｘ

＝

ｏｂｊｅｃｔｓ Ｆｘ

ｘ

ｏｆ

ｘ

Ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ

ａｎｄ

ｏｆ

Ｇ ／ ｔｏ ｔｈｅ ＰＥＲ １ Ｇ Ｃ／＂—

Ｃ（７， Ｕ）

Ｇｘ ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｖ ｄ＝

Ｕ

Ｃ（７， ￡／）．

ｏｂｊｅｃｔ

ｔｈｅｎ Ｆ

ｘ

Ｇ： ／

Ｉ． Ｔｈｅ

ｘ

［Ａｎ．ｎ２］

：

Ｆ

ｘ

Ｇ

—

—＞

￡／ ｉｓ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ

ａｒｅ

ｄ＝ ［Ａｎ．ｎＪ ：ＦｘＧ＾Ｆ

—＞

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｔｏ ｔｈｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．４． Ｉｆ Ｆ ａｎｄ Ｇ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｆｉｎｅｄ

ＯＯＣａｔ

Ｈ＊：Ｃ（Ｉ，Ｕ）＾Ｃ（Ｉ＇，Ｕ）

ｈ－ｉ．

ｏｂｊｅｃｔ Ｆ：Ｉ ｏｆ Ｃ（Ｉ＇，Ｕ）， ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＜ｊ＞ ［ｃ］：ＦＪｙ－＊ＧｆＴｏｆＣ（／，，Ｊ７）． Ｌｅｔ

—？

Ｇ．

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

５．５．

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｆ ＝＞ Ｇ： Ｉ —＞ Ｕ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （Ｆ ＝＞ Ｇ）ｘ Ｉ ａｎｄ ｅｖ ＝ｆ ［Ａｎ．Ｖｎｉ（ｎ２）］： （Ｆ ＝＾ Ｇ） ｘ Ｆ －＞ Ｇ．

Ｔｈｅ ｘ

２３９

Ｇ

（ｉｉｉ） Ｆｉｎａｌｌｙ，

ｌｅｔ

ｕｓ

ｇｉｖｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

ａ

ｔｏ ７Ｔｊｉ

Ｆｘ

＝

Ｃ（７， Ｕ）

＝＞

—＞

Ｇｘ ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｃ（ＩｘＵ， Ｕ），

ｓａｙ

Ｖ７ Ｉｆ Ｆ： Ｉ

ｘ

ｄｅｆｉｎｅｄ

［／

￡／ ｉｓ

－？

ａｎ

：

Ｃ（／

ｏｂｊｅｃｔ

ｏｆ

ｘ

￡／，￡／）

Ｃ（Ｉ

Ｃ（／， ￡／）．

—？

￡／， ￡／）， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＶｊＦ： Ｉ

ｘ

Ｕ ｉｓ

－？

ｂｙ Ａ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｘ

Ｇ Ｉ．

Ｉｆ

＜￡

＝

［ｅ］： Ｆ

—？

Ｇ ｉｓ

ａ

ｔ７

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ（Ｉ

ｘ

Ｕ， Ｕ） ｔｈｅｎ ＼／ｊ（ｆ＞

＝

［ｃ］：ＶｊｊＰ－＞Ｖ／Ｇ． Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．７ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．５．８

ａ

２Ａｘ－

ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｐｒｏｏｆ

Ｗｅ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．７

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ

（ｉ）， （ｉｉ）

（ｉｉｉ）

ａｎｄ

ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．４．１．

ｇｉｖｅｎ

（ｉ）

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｓｅｅ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｏｆ

ａ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ａｓ ｓｔａｔｅｄ． Ｌｅｔ ｕｓ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｂｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ５．５．７， ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｎｅｅｄ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｅ＇．ｅ Ｇ Ｄｏｍ（（￣）ｘ ｌ（Ｆｘ ＝＞ Ｈｘ））． Ｌｅｔ ｘ Ｇ ／ ｂｅ ａｒｂｉｔｒａｒｙ， ａｎｄ ｌｅｔ ｎ（Ｆｘ）ｎ＇． Ｂｅｃａｕｓｅ ［ｅ］：Ｆ Ｇ， ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ

（ｉｉ）

ｔｈａｔ ｆｉｂｒｅ

ｓｅｅ

—？

ｔｈａｔ

Ｈ，

Ｖｅ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｏｎｅ

ｃａｎ

ｓｅｅ

ｏｎ

Ｄｏｍ（Ｆｘ）

ｔｈａｔ Ｖｅ＇．ｅ

＝

Ｖｅ＞

Ｖｅ／（Ｖｅ（ｎ））（Ｊｆ／＇ｘ）Ｖｅ＇（Ｖｅ（ｎ／）） ａｎｄ ｓｏ ｉｆ ［ｅ］ ［ｅ］：Ｆ＾Ｇ ａｎｄ ［ｅ＇］ ［ｅ＇］：Ｇ ＝

ｉｓ ｌｅｆｔ Ｔｏ

＝

ａｓ ａｎ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ． Ｉｔ ｉｓ

ｓｉｍｐｌｅ

Ｖｅ（ｎ）（Ｇｘ）Ｖｅ（ｎ＇）．

ａｎｄ

ｔｏ

Ｖｅ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｏ

ｗｅ ａｒｅ

Ｄｏｍ（Ｆｘ）

［ｅｆ］：Ｇ

—＞

ａｎｄ ｔｈａｔ

ｄｏｎｅ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

＃， ｔｈｅｎ ［ｅ＇．ｅ］ ［ｅ＇．ｅ］：Ｆ －＞ Ｈ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ．

－＋

＝

ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ（—， Ｕ）

［ｅ］：Ｆ ［ｅ＇］：ＦＨ

ｏｎ

Ｂｅｃａｕｓｅ

ｉｓ ｗｅｌｌ

ｄｅｆｉｎｅｄ，

ｎｅｅｄ ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｉｆ

Ｇ ｔｈｅｎ ［ｅ］ ［ｅ＇］：Ｆ ＧＨ． Ｆｉｒｓｔ， ｉｆ ｅ Ｇ Ｄｏｍ｛Ｃ＼ｘ ｌ｛Ｆｘ ＝＞ Ｇｘ）） ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｅ Ｇ Ｄｏｍ（ｆ）ｙ ｌ，（ＦＨｙ ＝＞ ＧＨｙ））． Ｓｅｃｏｎｄ， ｉｆ ｅ｛Ｃ＼ｘ ｌ｛Ｆｘ ＝＞ Ｇｘ））ｅ＇ ｔｈｅｎ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｒｏｕｔｉｎｅｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｅ｛｛＼ｙ ｌ＞（ＦＨｙ ＝￥＞ ＧＨｙ））ｅ＇． Ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ Ｃ（—， Ｕ） ｉｓ ａ， ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｃ（７， Ｕ） ｉｓ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒ ｏｕｒ －＋

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

Ｇ ｔｈｅｎ

［ｅ］：ＦＨ

－？

ＧＨ ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｆ

［ｅ］

ｗｅ

－？

＝

＝

－？？

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ａｒｅ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ

ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ＶＳＲ， ｉｓ ｓｕｃｈ

ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｒｅａｓｏｎ，

ｓａｍｅ ａｓ

ｔｈｏｓｅ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｏｎｌｙ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｏｕｒ

ｇｉｖｅｎ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｈａｖｅ

２４０

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ， ａｎｄ ｌｅａｖｅ ａｌｌ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｅｔａｉｌｓ ｅｘｅｒｃｉｓｅ． Ｔｏ

ｔｈａｔ

ｓｅｅ

ｎ

＝

［Ａｎ．ｎｉ］： Ｆ

Ａｎ．ｎｉ ｅ

ｘ

Ｇ

Ｄｏｍ｛ｆ］｛｛Ｆｘ ｘ

Ｆ

—＞

ｗｅ

Ｇｘ）

ｘ

ａｓ ａｎ

ｎｅｅｄ

＝＞

Ｆｘ））．

ｌ

Ｓｏ ｆｏｒ ａｎｙ ｉＧ／ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

Ａｎ．ｒｉｉ（（Ｆｘ Ｌｅｔ ａ＇．

ａ（Ｆｘ ｘ Ｇｘ）ａ！． Ａｌｓｏ ａ１（Ｆｘ）ａ／１，

Ｔｈｅｎ

ｘ

Ｇｘ）

＝＞

Ｆｘ）Ａｎ．ｎｉ．

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ＶＡｎ．ｍ ｛ａ）

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｘ

＝

＾ｉ ｉｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ， ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ

Ｇｘ， ａｎｄ

ｘ

ｗｅ ａｒｅ

ｄｏｎｅ．

（ｉｉｉ） Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ （Ｖｊ Ｈ ７１７）． Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ Ｖｊ ｉｓ ｗｅｌｌ Ｇ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ Ｃ（７ ｘ Ｕ， ￡／） ｗｅ ｎｅｅｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ）． Ｉｆ ＜ｆ＞ ［ｅ＼． Ｆ Ｖｊ＜／＞ ［ｅ］： Ｖ／ｊＦ Ｖ／Ｇ． Ｌｅｔ ｘ ￡ Ｉ． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ —？

＝

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｔｏ

ｓｅｅ

（ｏｎ

ｔｈａｔ

—？

＝

ｅ（ｆ｜ Ｆ（ｘ，Ａ）＝＾＞ ｆｌ＾＾））６－ ｎｆ）Ａ ＵＦ（ｘ，Ａ）ｎ＇． Ｈｅｎｃｅ ｆｏｒ ａｎｙ Ａ Ｇ Ｕ， ｎＦ（ｘ，Ａ）ｎ＇． Ｔｈｕｓ Ｖｅ（ｎ）｜， Ｇ ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ， ａｎｄ ｗｉｔｈ Ｖｅ（ｎ＇）｜ ａｎｄ Ｖｅ（ｎ）Ｇ（ｘ， Ａ）Ｖｅ（ｎ／） ｂｅｃａｕｓｅ ［ｅ］：Ｆ ｔｈｉｓ ｗｅ ａｒｅ ｄｏｎｅ． Ｔｏ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ （Ｖｊ Ｈ ７１７） ｌｅｔ ｕｓ ｕｓｅ ｔｈｅ Ｌｅｔ

—＞

ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２４． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｏｗ ｏｍｉｔ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｅ ｓｐｅｃｉｆｙ ａｒｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｃｏｕｎｉｔ

（ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ） ｃ ：

ａｎｄ

ｗｅ

ｓｅｔ ｅ＾

＝

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． ｉｔｓ ｍａｔｅ

ａｃｒｏｓｓ

—？

ｉｄ

：

Ｃ（Ｉ

ｘ

Ｕ，Ｕ）

—？

Ｃ［Ｉ

ｘ

Ｕ，Ｕ）

Ｇ． Ｉｔ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｅ ｉｓ ａ ｎａｔｕｒａｌ ［Ａｎ．ｎ］： ７Ｔｊ（Ｖ／Ｇ） Ｉｆ ＜／＞ Ｇ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ（Ｉ ｘ １７， Ｕ） ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ［ｅ］： ７ＴｊＦ ｔｈｅ （ａｓｓｅｒｔｅｄ） ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｂｅ ＜ｊ＞ Ｖ／Ｇ ｉｎ Ｃ（７， Ｃ／）． ［ｅ］： Ｆ

Ｗｅ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ：

７１－； ｏ Ｖｊ

—？■

—？

＝

＝

ｄｉａｇｒａｍ

＿

ｅＧｏＴｒ｝（（ｆ＞）

＝

［Ａｎ．ｎ］ ｏ７ｒＪ（［ｅ］）

＝

［Ａｎ．ｎ］

＝

Ｗ．

ｏ

［ｅ］

—？

２４１

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｃｏｍｍｕｔｅ，

ｓｅｅ

ａｎｄ

Ｆｉｎａｌｌｙ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ

ｔｈａｔ

＜ｊ＞

ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｓｏ ｗｅ

ｔｏ ｔｈｅ

ｗｅ ｃｏｍｅ

ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄｉａｇｒａｍ

ｉｓ ｔｈｅ

ｉｆ Ｈ：Ｊ—＊Ｉ ｉｎ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ． ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ

Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ Ｃ， ｔｈｅｎ Ｈ＊ ｏ Ｖｊ

＝

Ｖｊ

ｏ

（Ｈ

ｘ

ａ

ｓｉｍｐｌｅ

ｉｄｕ）＊．

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ

Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ

ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ａｒｉＴｏＶｊ —＞Ｖｊｏ（Ｈｘｉｄｖｙ ｉｓ ｔｈｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ， ａＧ

ａｎｄ

＾ （Ｈ

（Ｈ

ｘ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｉｔｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

ｉｄｕ）＊（ｉｄｖｌｉＧ））

ｘ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ａｒｅ

ａｓ

ｓｏ ｗｅ

ｉｎ

ＪＴ （Ｖ，（Ｇ））

：

Ｃ（ Ｊ， Ｕ）．

ｉｄｕ）＊（ｉｄｖｊＧ）

—

Ｖｊ（（Ｈ

ｘ

ｉｄｕＹ（Ｇ））

Ｗｅ ｈａｖｅ

（Ｈ

ｘ

ｉｄｕ）＊｛ｅＧ

＝

（Ｈ

ｘ

ｉｄｕ）＊｛［Ａｎ．ｎ］）

＝

［Ａｎ．ｎ］

＝

ｏ

７ｉｊ（ｔｄＶ／Ｇ））

□

ｒｅｑｕｉｒｅｄ． Ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ５．５．９

（１） Ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｐｒｏｏｆ

ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ

ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．５．８．

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｂｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｓ ｗｅｌｌ

ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ．

（２） Ｖｅｒｉｆｙ （３）

ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｆｉｂｒｅ

Ｃ（７， Ｕ）

Ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｉｔ ｆｏｒ ａｎｄ ｍａｔｅｓ

ｉｓ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ａｃｒｏｓｓ

ｔｈｅ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （Ｖｊ

Ｈ

７１７）

ａｒｅ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ．

（４） Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ Ｈ＊

ｏ

Ｖ７

＝

Ｖｊ

ｏ

｛Ｈ

ｘ

ｉｄｕ）＊．

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｔｈｅ ｐｕｒｅ

ｔｈａｔ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｔｈｅ

ａｎｄ

ｎｏ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ，

ａｘｉｏｍｓ．

ｇｉｖｅ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｏ

ａ

ｔｈｉｓ，

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｅｍｐｔｙ ２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓｅｔ ｕｐ

ｓｏｍｅ

ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｉｄｅａｓ ｆｒｏｍ ｂｏｔｈ Ｃｈａｐｔｅｒ １ ａｎｄ Ｃｈａｐｔｅｒ ２． Ｂｅｆｏｒｅ ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ， ｗｅ ｇｉｖｅ ａｎｏｔｈｅｒ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｇ ＞ ＶＸ３＞． Ａｓ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．１， ｌｅｔ Ｕ ｂｅ ｓｏｍｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｕｎｉｖｅｒｓｅ ｏｆ ＂ｓｅｔｓ．＂ Ｗｒｉｔｅ Ｆ ［Ｘ ｈ ￥］． Ｉｆ ｗｅ ｒｅｇａｒｄ ［ ｈ ＶＸ３＞］ ａｓ ａ ｕｎｉｆｏｒｍ ｄｉｓｐｌａｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ Ｆ（￡） ｗｈｅｒｅ ￡ Ｇ Ｕ ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｔｒｙ ｔｏ ｓｅｔ ［ ｈ ＶＸ．￥］ Ｕ＾ ＵＦ（＾）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｆ Ｕ ｉｓ ｔｏｏ ｌａｒｇｅ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｂｅ ａ ｍｅｍｂｅｒ ｏｆ Ｕ． Ａ ＝

＝

２４２

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｗａｙ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｏ ｆｉｎｄ

ａ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｓ ａ ＂ｕｎｉｏｎ＂ ｏｒ Ｕ， ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｍａｋｅ Ｕ＾ｅＳｕＦ（０ Ｕ

ｅｘａｍｐｌｅ，

＝

Ｕ ｗｉｌｌ ｂｅ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

ｓｕｂｕｎｉｖｅｒｓｅ ｏｆ

Ｕ ｉｓ

ｏｕｒ

５．

ａ

Ｓｕ， ｉｎ ＂ｃｏｌｉｍｉｔ＂ ｏｆ ｓｅｔｓ ｉｎ Ｓｕ， ａｎｄ

￡／，

ｕＵｉ ＳｕＦ（０

ｗｈｅｒｅ

—＊■

＝

Ｓ） Ａ （＼／｛Ｆｒ，ｘ（ｔｘ） ｜

Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｎ

Ｓｕ ｗｉｌｌ ｂｅ

＝

｜

Ｄ

Ｓ）

Ｘ Ｇ

ａ

ｓｅｔ

ｃａｎ

ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ

ｗｈｅｒｅ

Ｚ／（Ｘ， ￡＞）｝ ｜

ｆ？ｘ

ｉｓ ｓｍａｌｌ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｏｆ ｄｏｍａｉｎｓ ｆｒｏｍ §．

ａ

ＵｘｅｓＦＸ Ｇ Ｕ ａｎｄ ｓｕｃｈ ｃｏｌｉｍｉｔｓ （ｒｊｘ＇－ Ｘ ｉｎｄｕｃｅ ａｎ ＂ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ＂ ｉ： Ｔｌｘ＜ｚ§ＦＸ ＨｒｊｅｕＦＤ

Ｓｕ

ｎｅ ｔ／Ｆ（￡）．＂

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ §

Ｔｈｅｎ

Ｘ Ｇ

＝

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｗｈｉｃｈ ｅｖｅｒｙ ｓｅｔ ｉｎ

ｓａｙ

ｏｆ ｄｏｍａｉｎｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ａｎｙ ｄｏｍａｉｎ Ｄ （ＥＵ ｗｉｌｌ ｂｅ

（ｔｘ ｜

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｄ Ｇ

Ｗ）．

Ｗｅ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ． ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ５．６．２

ｐａｉｒ （ｅ，ｐ）：

Ｄ

Ｌｅｔ Ｄ ａｎｄ Ｄ＇ ｂｅ

ｄｃｐｏｓ．

Ｔｈｅｎ

ａｎ

Ｄ＇ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

—＊■

ｅ：

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｄ

—＞

Ｄ＇ ａｎｄ ｐ： Ｄ＇

－＾

ｉｄｒｊ， ａｎｄ ｅｐ ＜ ｉｄｒｙ （ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｈｏｌｄｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｃｐｏ Ｄ＇ ＝￥＞ Ｄ＇， ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＶＣＰＯ）． Ｓｕｃｈ ａｎ ｅ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａｎ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ ａｎｄ ｓｕｃｈ ａ ｐ ａ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｕａｌｌｙ ｗｒｉｔｅ ｊｕｓｔ ｆ：Ｄ —？ ￡＞＇ ｆｏｒ ｓｕｃｈ ａｎ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒ， ｄｅｎｏｔｉｎｇ ｔｈｅ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ ｂｙ ／ｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｂｙ ｆｐ， ａｎｄ ｗｉｌｌ ａｂｂｒｅｖｉａｔｅ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒ ｔｏ ｅ－ｐ ｐａｉｒ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｅ ａｎｄ ｐ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｏｓｅｔｓ ｆｏｒｍ ａｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （ｅ Ｈｐ）． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．６ ｔｈａｔ ｉｆ ａ ｐａｉｒ （ｅ，ｐ） ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｅ ｉｓ ｏｎｌｙ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｂｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ， ｔｈｅｎ ｅ ｉｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ． Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｅ

＝

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒｓ， ＳＤｏｍｅｐ， ｈａｓ ｆｏｒ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ， ａｎｄ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ｅ，ｐ）：Ｄ Ｄ＇ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ Ｄ ａｎｄ Ｄ＇ ｉｓ ａｎ ｅ－ｐ ｐａｉｒ （ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｗｅ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａｎｙ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａ ｄｃｐｏ）． Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ （ｅ，ｐ）： Ｄ —？ Ｄ＇ ａｎｄ ｛ｅ＇，ｐ＇）： Ｄ＇ Ｄ＂ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ｛ｅ＇ ｏ ｅ，ｐ ｏ ｐ＇）： Ｄ Ｄ＂． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ

—＊

—？

—？

Ｂｅｆｏｒｅ ｇｉｖｉｎｇ ｏｕｒ ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｈｅｒｅ ｉｓ ａｃｔｉｏｎ： ？

ａ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ， ｗｅ ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ ｏｕｒ ｐｌａｎ ｏｆ

Ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ＳＤｏｍｅｐ ｈａｓ ａｌｌ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ—ＳＤｏｍｅｐ

ｔｈｅ ？

ａ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔ ａｒｅ

ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｏｆ

Ｕ． Ｔｈｉｓ ｉｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３．

Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ＳＤｏｍｅｐ

ｐｌａｙｓ

ａ

ｓｅｔ ｏｆ ｄｏｍａｉｎｓ Ｓ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ａｌｌ ｏｔｈｅｒ ｄｏｍａｉｎｓ ｉｎ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ—Ｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｓｕ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１．

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｉｎ Ｌｅｍｍａ ５．６．５ ａｎｄ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．６． ？

Ｎｅｘｔ

ｗｅ

ｇｉｖｅ

ｓｏｍｅ

ｔｅｃｈｎｉｃａｌ

ｒｅｓｕｌｔｓ， ｎａｍｅｌｙ Ｌｅｍｍａｓ ５．６．８， ５．６．９，

５．６．１１ ａｎｄ

５．６．１３． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｌｅｍｍａ ５．６．１１ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ＳＤｏｍｅｐ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ｕｎｄｅｒ

ｉｎｄｅｘｅｄ

ｂｙ Ｓ．

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

？

Ｆｉｎａｌｌｙ

２４３

ｓｈｏｗ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．１７ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓ－

ｗｅ

ｓｉｏｎ ５．６．１５ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

ａ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＳＤｏｍｅｐ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ． Ｇｉｖｅｎ ａ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｐｏｓｅｔ ／ ａｎｄ ａ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ： Ｉ —＞ ＳＤｏｍｅｐ， ａ ｃｏｎｅ （ｋｉ： Ｄ｛ｉ） —？ Ｃ ＼ ｉ Ｇ ａ （ｄｉｒｅｃｔｅｄ） ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ ＳＤｏｍｅｐ ｉｆｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｛ｋｆｋ％ ＼ｉ

ｒｅｇａｒｄｅｄ

ａｓ ａ

ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ Ｃ

ｉｄｃ Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ＰＲＯＯＦ Ｌｅｔ ／ ｂｅ

ｗｒｉｔｅ

ａ

Ｄ，

ｅｘｐｌｉｃｉｔ

ａｎ

ｓａｙ

Ｄ（ｊ） （ｒｉｉ：Ｄ｛ｉ）

ｆｏｒ ｔｈｅ

—？

—？

｜

Ｉ｝．

ｉ ｅ

—？

ＳＤｏｍｅｐ ｂｅ

ｉ Ｇ

／），

ａｓ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ

ｌ ｕｎｄｅｒ Ｄ． Ｌｅｔ

ｉｍａｇｅ ｏｆｉ＜ｊ

ｌｉｍＤ

Ｃ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ａｎｄ

＝￥＞

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｉｎ ＳＤｏｍｅｐ．

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｐｏｓｅｔ ａｎｄ Ｄ：Ｉ

ｆｉｊｉ Ｄ｛ｉ）

ｕｎｄｅｒ

ｇｉｖｅ

［Ｊ｛＾＆ｆ ｜

＝

／） ｉｓ １｝

／． Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｏｎ ｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ ｃｏｎｅ

ｆｏｌｌｏｗｓ． ＩｖｒｎＤ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｆａｍｉｌｉｅｓ

Ｓｉ ｈｏｌｄｓ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｉ ＜ ｊ． Ｔｈｅ ／） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｓｉ Ｇ Ｄ｛ｉ） ａｎｄ ｆｆｊ（ｓｊ） ｅｌｅｍｅｎｔｓ （ｓ＾ ｜ ｉ Ｇ ／） ｏｆ ｌｉｍＤ ａｒｅ ｏｒｄｅｒｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｔｈｅ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ７＾：Ｄ｛ｉ） ｌｉｍＤ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｊｆ：Ｄ（ｉ） ｌｉｍＤ ｔｏ ｈａｖｅ ＶｉＷｊ ｆｆｋｆｉｋＷ ｗｈｅｒｅ ｉ，ｊ Ｇ ／， ｄ Ｇ Ｄ｛ｉ） ａｎｄ ｋ Ｇ ／ ｉｓ ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ Ｓ｛ ￡）（ｉ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｒｊｆ（ｓ） ｛ｈ ｊ｝ ＜ ｋ． Ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｆｉ： ｌｉｍＤ

（ｓｉ ｜

ｉ Ｇ

＝

—＞

—＞

＝

—＞

ｗｈｅｒｅ

ｓ

Ｇ ＾ｍ Ｄ．

Ｗｅ ｃｌａｉｍ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｄ． Ｌｅｔ

ｎｏｎｅｍｐｔｙ ｍｅｅｔｓ ｉ Ｇ

／） ｜

（ｔ＾： Ｚ）（ｉ）

｜

／ｉｍＤ

—？？

ｆｉｒｓｔ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ

ｉ Ｇ

／）

ｆａｍｉｌｙ

ａ

ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ．

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｄｃｐｏ． Ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｊｏｉｎｓ ａｎｄ ｇｉｖｅｎ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ； ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ．

ａｒｅ ａ

ｃｏｎｅ

ｕｓ

Ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｌｉｍ Ｄ ｉｓ

｛（ｓｆ ｜

＝

Ｇ

Ａ｝

ａ

ｂｅ

ｂｏｕｎｄｅｄ

ａ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｌｉｍ Ｄ． Ｉｆ

ｗｅ

ｓｅｔ

ｐｒｏｖｉｄｅｄ （ｓｆ ｜

ｉ Ｇ

Ｌｅｔ

？ｄ＾ ＡＫ ＼°＜ｅＡ｝ｅ Ｄ（ｉ） （ｗｈｉｃｈ

ｅｘｉｓｔｓ ｆｏｒ

ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｈｅ

／？？

ｉｓ

ａ

Ｓｃｏｔｔ

ｄｏｍａｉｎ）

ｔｈｅｎ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｍｅｅｔ； ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｆ！Ｍ） ｗｈｅｒｅ

Ｄ（ｉ）

＝

／８（ＡＷ Ｉ

？

ｅ

Ａ｝）

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｍｅｅｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｉｓ

Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ

ｗｅ

＝

ａ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

ｃａｓｅ

ｐｒｏｏｆ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ

Ｇ Ｚｔｍ Ｄ ｉｔ

ｆｏｒ

ＡＵ￡Ｋ） Ｉ

？

ｅ

Ａ｝

＝

？

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｌｉｍ Ｄ ａｌｇｅｂｒａｉｃ； ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｓｈｏｒｔｌｙ．

Ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｅａｓｙ ｄｅｔａｉｌｓ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｒｊｉ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ｆｏｒ ｔｈｅ

Ｊ）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｒｊｆ

ａｎ

ｅ－ｐ

ｉｓ

ａ

ｐａｉｒ， ｅｘｃｅｐｔ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｓｏ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

２４４

Ｃｈａｐｔｅｒ

｛ｈｊ｝ ａｎｄ

｛ｋ， ｋ＇｝ ｉｎ ／ （ｗｈｅｒｅ ｔｈａｔ ｛ｋ， ｋ＇｝ ＜ ｋ＂ ｉｎ ／． ＜

ａｔ ｌｅａｓｔ

Ｔｈｅｎ

ｎｉ（ｄ）ｉ

ｏｎｅ

ｐｒｏｖｅｄ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ）

Ｄ（ｉ）：

ｆｊｋｆｋｋ＂ｆｋｋ＂ｆｆｋ＼°） ｆｊｋ ｆｋｋ＂ ｆｋ＇ｋ＂ ｆｉｋ＇ （°） ｆｊｋ＇ｆｋ＇ｋ＂ ｆｋ＇ｋ＂ ｆｉｋ＇Ｗ

＝

ｈａｖｅ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｆｆＪＵｄ）

＝

＝

ｗｅ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｋ ｅｘｉｓｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ ／ ｉｓ

ｈａｖｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｄ Ｇ

ｗｅ

＝

Ｎｏｗ ｔｈａｔ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

ｅａｃｈ

ｒｊｉｉＤ（ｉ）

ｌｉｍＤ ｉｓ

—？

ａｎ

ｐａｉｒ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｅ－ｐ

ｄｃｐｏｓ， ｗｅ ｃａｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｕｒｎ Ｄ ｉｓ ａｌｇｅｂｒａｉｃ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｍｏｒｅ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ． Ｌｅｔ ｕｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｛ｔ］ｆｒｆ｛ ＼ ｉ Ｇ ／｝ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｄｃｐｏ Ｕｒｎ Ｄ ＝＊＞ Ｕｒｎ Ｄ． Ｇｉｖｅｎ ｉ ａｎｄ ｊ ｉｎ ／ ｃｈｏｏｓｅ ｋ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｛ｚ， ｊ｝ ＜ ｋ． Ｗｉｔｈｏｕｔ ｌｏｓｓ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ， ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｓｈｏｗ ７７＊７７？ ＜ ＾％ｒｊ＾． Ｓｏ ｐｉｃｋ ａｎｙ ｓ Ｇ Ｕｒｎ Ｄ ａｎｄ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｒ

Ｇ ／

ａｎｄ

ｗｅ

ｈａｖｅ

｛ｋ，ｒ＇｝

＜

７７ｆ（ｓｊ）ｒ

Ｃｈｏｏｓｅ ｒ＇ ａｎｄ ｒ＂ ｉｎ ／ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｒｊｌ（ｓｋ）ｒ＇

＜

ｆｒｒ＂ｆｋｒ＂ｆｉｋｆｉｋ＼Ｓｋ）

ｆ＾ｆＵＳｋ）

＜

Ｖｋ（Ｓｋ）ｒ－

＝

Ｂｕｔ

ｇｉｖｅｎ Ｓｉ

Ｕｌｖｆｒｆｉ ｜？

ａｎｙ ＝

ｔｈａｔ ｉｓ ｚｄ ＜

ｒ＇

ｆｒｒ＂ｆｉｒ＂＼Ｓｉ）

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＝

＜

ｒ＂． Ｔｈｅｎ

Ｖｉ｛ｓｉ）ｒ

Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｄ

｛ｉ，ｒ｝

ｓ

Ｇ

／｝．

Ｔｈｅ

ｏｎｌｙ ｔｈｉｎｇ

Ｇ Ｕｒｎ Ｄ ａｎｄ ｉ Ｇ ／

ｔｆｉｊｆｗ，

Ｕｆａｆ＇／ｆ ｜

＜

ｗｅ

ＵＷＭｉ ／｝．

ｉ

Ｎｏｗ

ＵｉｖｆＶｉ ＼ｉ

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－０－

ｈａｖｅ

Ｉ ｉｅ －０

ｗｅ

ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｓ ｉｄ ＜

＝

ＫＬＫｔｆｔｆ Ｉ ｉ ｅ＇｝）（？）］？

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｌｉｍＤ ｉｓ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｕｓｉｎｇ

ｔｈｅｓｅ

ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

｛ｑｌ（ｅ） ｜ ｂｅｃａｕｓｅ

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇｓ

ｆｏｒ ｓｏｍｅ Ａ； ｓ

＝

ｚ

Ｇ

／， ｅ

Ｇ

ｐｒｅｓｅｒｖｅ

￡＞（ｚ）°， ｅ

＜

ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｛ｚ，ｊｆ｝

＜

ｚ

Ｇ

ｓ

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７，ｅ

Ｇ

ｉｄ（ｓ）

Ｄ（ｉ）°，ｅ ＝

Ｓｔ｝

Ｃ

｛＊

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ

Ｖｔ｛ｅ）ｊ Ｕ｛ｖｆ（ｅ） ｜

＜

ｉ７？

（＊ｉ）ｉ

＝

ｋ ｉｎ ／． ＜

Ｇ

（Ｚｚｍ Ｚ））° ｜

（ｗｈｙ？），

ＪｊｋｆｉｋＭ Ｗｅ ｗｉｌｌ

＜

ａｎｄ

ｓ｝

ｔ ＜

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ＳＪ

ｈａｖｅ ｓｈｏｗｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ

ｓｊ． Ｎｏｗ，

ＵｔａｔｆＭ ＼ｉｅｌ｝

＝

＜ ｓ ｂｅｃａｕｓｅ

ＵＷＷ ｜ｉ

Ｇ

／｝．

ｉｆ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

Ｂｕｔ ｓｉ

＝

Ｕ｛ｅ

Ｄ（ｉ）° ＼

Ｇ

ｓ

ａｎｄ

ｔｈｒｏｕｇｈ

Ｎｏｗ ｔｈａｔ ｉｔ ｍａｋｅｓ ａｒｅ

２４５

Ｓｉ｝

ｅ ＜

｜＿ＫＬＮ（ｃ） Ｉｅ

＝

ｗｅ

ｋｎｏｗ ｅａｃｈ ｒ？ｆ ｉｓ

ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ （ｔ＾：Ｄ（ｉ） ｕｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

—＞

Ｅ ＼ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ （ｈｉ＇． Ｄ｛ｉ） ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ｈ： Ｉｖｍ Ｄ —？

／｝．

／）

ｉ Ｇ

Ｅ

—？

ｉｓ

ａ ｃｏｎｅ

Ｆｉｎａｌｌｙ

ａｎｄ ｔｈａｔ ｈ ｉｓ ｔｈｅ

ｕｎｉｑｕｅ ｓｕｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ；

１＊６

／

２５

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

＝

ｃｏｎｅ； ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

ａ

ｈｅ ａ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｕｌ＾ｆ７＾ ｜

＝

ｗｅ

ｉｓ

ｃｏｎｅ

ｉ Ｇ

ｃｏｌｉｍｉｔ．

ａ

Ｄ． Ｄｅｆｉｎｅ

１｝

ａｎｄ ／ｉｐ

ａ ＝

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ／ｉ， ｔｈａｔ ｉｓ，

ｇｏｏｄ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｊｕｓｔ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｈｅｒｊ｝

ｈｉ

＝

＝

ｈｏｒｊｉ

／ｉｆ：

／，ｉ＞ｏ

＊？？

＝

ｆｏｌｌｏｗｓ

ｉｓ

ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ

ＵＷＩｉ

＝

Ｔｈｕｓ ＳＤｏｍｅｐ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

／）

（ＵＷ Ｉ ｉ ｅ／｝）ｔｆ ＵＷｔｆｌｉｅ／｝ ＼＿＼｛ｈ％ｒ／ｊＴｊｆ ＼ ｊ Ｅ Ｉ，ｊ ＞ ｉ｝

＝

＝

ａｓ

ｉ Ｇ

ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｉ Ｇ ／

ｈ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ．

ｓｅｅ

ｄｏｎｅ．

ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ｎｅｅｄ ｔｏ

／｝，

ｐａｉｒ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ，

｜

ｌｉｍＤ

ｓｏ

＜ ｅ

ｗｅ ａｒｅ

Ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｗｅ

＊｝ Ｉ

＜

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｅ－ｐ

ａ

ｔｏ

ｓｅｎｓｅ

ｉ Ｇ

＾（ＯＶ

Ｇ

ａｎｄ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｉｓ

ｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｊｏｉｎｓ

ａ

ｏｍｉｔｔｅｄ． Ｌｅｔ

Ｕｉｖｔｈ？ ｜

Ｄ（ｉ）

ｆｏｒ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ

ａｎｄ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ

ｎｏｗ

ｅａｓｉｌｙ：

（＝＞） Ｇｉｖｅｎ

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

Ｄ：Ｉ

ｄｉａｇｒａｍ

ＳＤｏｍｅｐ ａｎｄ

—＞

ａ ｃｏｎｅ

（ｉｆｅｉ：Ｄ（＊）－＊Ｃ｜ｉ ｌ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｉｄｃ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｕｓｉｎｇ

ａｎ

＝

｜＿ｌ｛＆ｆ＆ｆ ｜

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ

ｅ－ｐ

ｉ

／｝

ｐａｉｒ ｋ：Ｃ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ

—？

ｃｏｎｅ

ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ

Ｃ

—？

＝

＝

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ５．６．４ Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ７７＊：

ｆａｍｉｌｙ

ｆｏｒｍｓ

（２） Ｖｅｒｉｆｙ ｌｉｍＤ．

Ｗｉｔｈ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｔｏ ｔｈｅ

Ｄ（ｉ）

ａ ｃｏｎｅ

—＞

ｌｉｒｒ＾ Ｄ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｉｓ

ａｎ

ｄｉａｇｒａｍ

ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

ａ

Ｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ

（＜￡＝） Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ｇｉｖｅｎ ａ ｃｏｌｉｍｉｔ （ｋｆ． Ｄ（ｉ） Ｃ ａｎｄ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ＆＊ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ０： ｌｉｍ Ｄ ０７＾； ｔｈｅ

（１）

ｉｓ

ｅ－ｐ

Ｄ：Ｉ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｂｅｃａｕｓｅ

ｃｏｎｅ

（ｆｔ： Ｄ｛ｉ）

—＞

Ｅ

ｗｅ ｃａｎ

＼

ｉ Ｇ

／）

ｐａｒａｇｒａｐｈ．

｜

ｉ Ｇ

／）

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

□

ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ．

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３．

ｐａｉｒ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉ Ｇ ／， ａｎｄ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ —？

ａ

ＳＤｏｍｅｐ．

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ

（ａｓｓｅｒｔｅｄ）

ｃｏｌｉｍｉｔ ｔ＾：

Ｄ｛ｉ）

—？

２４６

（３）

Ｃｈａｐｔｅｒ Ｍａｋｅ

ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ （＝＊＞）

ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ

ｓｕｒｅ

Ｌｅｍｍａ ５．６．５

Ｌｅｔ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

ｏｆ ｔｈｅ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｐｒｏｏｆ．

ｐａｉｒｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ｗｈｅｒｅ Ｘ ａｎｄ Ｙ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅ－ｐ ｐａｉｒ （ｉ，ｈ）： Ｚ —＊■ Ｄ ｗｉｔｈ Ｚ ａ ｆｉｎｉｔｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｛ｆｅｆｐ， ｇｅｇｐ｝ ＜ ｉｈ ｉｎ Ｄ ＝＞ Ｄ， ａｎｄ ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｔｈｅｒｅ

ｆ

ａｒｅ

（ｉ，ｈ）

＝

ｐａｉｒｓ Ｉ

ｅ－ｐ

ｏｌ ａｎｄ ｇ

Ｔｈｅ ｓｅｔ Ｚ

／ｅ／ｐ

ａｎｄ

ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉ： Ｚ

Ｄ ａｎｄ

（ｈｆｅ，ｆｐｉ）：Ｘ （ｉ， ｈ） ｏ ｍ．

＝

＜７ｅ＃ｐ

—？

＝

ＰＲＯＯＦ ＜ ｉｄ

ｆ：Ｘ

＝ｆ ｛ｆｅｆｐ｛ｄ）

Ｖ

ｇ：Ｙ

Ｄ ｂｅ ｅ－ｐ

—？

Ｚ ａｎｄ

—＊■

ｇｅｇｐ（ｄ） ＼

＜ ｉｄ． Ｔｈｅ ｓｅｔ Ｚ ｉｓ ａ

ｍ

ｄ Ｇ

＝

（ｈｇｅ，ｇｐｉ）：Ｙ

Ｄ｝

—■＊

Ｚ ｗｈｅｒｅ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ

ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ ｏｒｄｅｒ ｉｎｄｕｃｅｄ ｆｒｏｍ Ｄ ａｎｄ

ｃｌｅａｒｌｙ ｍｏｎｏｔｏｎｅ． Ｎｏｗ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈ：Ｄ－＋Ｚ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ／ｉ（ｄ） ｄ＝ ／ｅ／ｐ（＾） Ｖ ｇｅｇｐ（ｄ） ｆｏｒ ｄ Ｇ Ｄ． Ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｉ／ｉ ＜ ｉｄＤ． Ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｈ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ａｎｄ ｔｈａｔ ｈｉ ｉｄｚ＇， ｗｅ ｊｕｓｔ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｄ Ｇ Ｄ ａｎｄ ｔｈａｔ ｆｅｆｐ（ｄ） Ｖ ｇｅｇｐ（ｄ） ｉｓ ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｚ； ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ —？

Ｄ ｉｓ

＝

ｆｅｆＰＵｅＦ（ｄ）

Ｖ

ｇ＜ｇｐ（ｄ））

Ｖ

ｇｅｇｐ（ｆｅｆｐ（ｄ）

Ｖ

＾（ｒｆ））

／ｅ／ｐ（＜＊）

＝

Ｖ

ＰＶ（ｄ）．

ｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｌｌｏｗｓ ｑｕｉｔｅ ｅａｓｉｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｊｏｉｎ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｆｅｆｐ ＜ ｆｅｆｐ Ｖ ｇｅｇｐ ｉｎ ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ Ｄ ＝＞ Ｄ ｉｍｐｌｉｅｓ Ｔｈｉｓ

／？／ｐ（ｄ）

Ｚ ｉｓ

ａ

ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ

（ｔｈａｔ

＝

ｆｅｆｐ｛ｆｅｆｐ（ｄ））

＜

ｆｅｆｐ（ｆｅｆｐ（ｄ）Ｖｇｅｇｐ｛ｄ））

＜

ｆｅｆｐ｛ｆｅｆｐ（ｄ）

ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｓｅｔ ａｎｄ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉ ａｎｄ ｉｓ ｉｔ ｈａｓ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ Ｚ＇ ｏｆ Ｚ． ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｅ－ｐ

Ｖ

｛ｆｅｆｐ， ｇｅｇｐ｝

Ｆｉｎａｌｌｙ，

ｔｈａｔ

／

＝

ａｎ

ｇｅｇｐ｛ｆｅｆｐ｛ｄ）

Ｖ

Ｖ

ｇｅｇｐ｛ｄ））．

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｄｃｐｏ． Ｆｕｒｔｈｅｒ，

ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ Ｚ ｉｓ ｂｏｕｎｄｅｄ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｍｅｅｔｓ） ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｆ＼ｚＺ＇ ｈ（ｌ＼Ｄｉ（Ｚ＇）） ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｔｈｕｓ （ｆ， ／ｉ）： Ｚ Ｄ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａｎ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ｉｎ ＳＤｏｍｅｐ ＝

—？

＝

ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｌｐｌｅ

ｆｐ（ｆｅｆｐ）ｆｅ

（ｉ， ｈ） ｏ Ｉ

ａｎｄ ｇ

＝

＜

＝

ｉｄ

ｗｅ

ｆｐ（ｉｈ）ｆｅ ｄ＾

（ｊ，／ｉ）ｏｍ

ｉｓ

ｍ ａｒｅ

ｈａｖｅ

ｌｐｌｅ ＜ ｉｄ．

ｊｕｓｔ ｓｉｍｐｌｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ □

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．６ ｄｏｍａｉｎｓ ｗｈｏｓｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ

＜ｉｈ． Ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｉ ａｎｄ

ｐａｉｒｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｄ

ｈ，

ｇｅｇｐ（ｄ））

Ｌｅｔ Ｄ ｂｅ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ａ

Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ａｎｄ ｗｒｉｔｅ Ｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ

ｓｅｔｓ ｈａｖｅ ｆｉｎｉｔｅ

ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ

ａｎｄ

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ Ｎ． Ｔｈｅ ｓｅｔ

｛ｆｅｆｐ＼Ｓｅ§，ｆ ｅＳＤｏｍｅｐ｛Ｓ，Ｄ）｝

ａｒｅ

ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

ｉｓ

ａ

２４７

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ Ｄ

ｉｄＤ

＝

＼＿＼｛ｆｅｆｐ ｜

Ｓ Ｇ

§， ／

Ｄ．

Ｆｕｒｔｈｅｒ，

ＳＤｏｍｅｐ｛Ｓ， Ｄ）｝．

Ｇ

Ｈｅｎｃｅ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ａｎｙ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ Ｄ ｉｓ

＝￥＞

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｄｏｍａｉｎｓ

ａ

ｉｎＳ．

Ｐｒｏｏｆ

Ａｐｐｅａｌｉｎｇ

ｔｏ Ｌｅｍｍａ ５．６．５

ｔｈａｔ

ｗｅ ｓｅｅ

｛ｆｅｆｐ＼Ｓｅ§，ｆｅＳＤｏｍｅｐ（Ｓ，Ｄ）｝ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ． Ｒｅｃａｌｌ ｆｒｏｍ ｐａｇｅ ６８ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｏｍａｉｎ Ｄ

［—，＋］． Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ

Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ

＝￥＞

Ｄ ａｎｄ ｔｈｅ

ｓｉｍｐｌｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇｓ

ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ Ｆ

＝

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｄ

Ｄ ｗｈｅｎｅｖｅｒ Ｓ ｉｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆ：Ｄ

＝＞ —＞

Ｄ

Ｖ｛［ｆｅ｛ｘ），ｆｅ（ｘ）］ ＼ Ｔｏ

ａ

ｅｑｕａｌｓ ｆｅｆｐ．

ｓｅｅ

ｘ

Ｇ

５｝

ｐｒｅｓｅｒｖｅ

ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ，

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ

ｆｉｎｉｔｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ．

ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ

ａ

ｃｏｍｐａｃｔ

Ｔｈｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｔｈｉｓ， ｌｅｔ ｄ Ｇ Ｄ ａｎｄ ｓｅｔ ｘｏ

＝

ｆｐ｛ｄ）

Ｇ Ｓ．

Ｔｈｅｎ

Ｆ（ｄ）

＝

＝

＝

＝

ａｎｄ

ｓｏ

ｆｅｆｐ

ｙ｛｛ｆｅ（ｘ），ｒ（ｘ）］（ｄ）＼ｘｅＳ｝

＼ｆ｛ｆｅ（ｘ）＼ｘｅｓ，ｎｘ）＜ｄ｝ Ｖ｛／ｅ（＊） ＼ｘｅｓ，ｘ＜ｘ０｝ ｆｅ（ｘ０）

＝

ｆｅｆｐ（ｄ）

ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ｉｎ Ｄ ＝＞ Ｄ．

Ｆｉｎａｌｌｙ， ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｉｄＤ Ｕ｛ｆｅｆｐ Ｉ Ｓ Ｇ Ｓ， ／ Ｇ ＳＤｏｍｅｐ（Ｓ， ￡＞）｝． Ａｓ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇｓ ａｎｄ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｔｒｉｃｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ （ｗｈｙ？）， ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ＝

ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｎｏｎ－ｂｏｔｔｏｍ ｄ Ｇ Ｄ

ｄ ＜

ｗｅ

ｈａｖｅ

＼＿＼｛ｆｅｆＰ（ｄ） ＼ＳｅＳ，ｆｅ ＳＤｏｍｅｐ（Ｓ， ￡＞）｝．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｅ：

Ｑ

—■＊

Ｄ

（ｗｈｅｒｅ

＿ｌ＿

＾

ｅ

＜

ｐｏｉｎｔ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｎ Ｎ） ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ －／

＼

ｅ（ｘ） ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐ： Ｄ

—＊

ｄｅｆ ＝

Ｉ

ｅ

ｘ

＝

１

＜

＿Ｌ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

Ｑ ｄｅｆｉｎｅｄ ／

ｐ（ｌ） ＊！

ｉｆ

ｂｙ

１ ｉｆ

ｅ

＜ ／

０ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ．

ｄ，

ｅ

Ｇ

Ｄ°， ａｎｄ Ｑ ｉｓ

ａ

ｔｗｏ

２４８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｎｏｔｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｔｈａｔ ｐ ｄｅｐｅｎｄｓ ｉｓ

ａｎ

ｅ－ｐ

ｐａｉｒ． Ｗｅ

＼＿＼｛ｆｅｆＰ（ｄ） ｜

５

ｎｏｗ

Ｓ，／

ｏｎ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

５．

ｅ， ａｎｄ ｆｏｒ ａｎｙ

ｇｉｖｅｎ

ｅ， ｔｈｅ

ｐａｉｒ （ｅ，ｐ）： Ｑ，

—＞

Ｄ

ｈａｖｅ

ＳＤｏｍｅｐ（Ｓ，Ｄ）｝

＞ ＝

＝

｜Ｊ｛ｅｐ（＜０ ＼

ｅ

Ｄ°，± ＾

ｅ

ｅ ＜

ｄ｝

＼＿＼｛ｅ ＼ｅｅＤ°，±＾ｅ＜ｄ｝ ｄ．

＝ｆ ｛ｆｅｆｐ ＼ Ｓ Ｇ §，／ Ｇ ＳＤｏｍｅｐ（Ｓ，Ｄ）｝， ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ａ （ｄｉｒｅｃｔｅｄ） ｄｉａｇｒａｍ Ｆ：Ｉ —？ ＳＤｏｍｅｐ ｂｙ ｓｅｎｄｉｎｇ ｆｅｆｐ ＜ ｇｅｇｐ ｔｏ （９ｐｆｅ，ｆｐ９ｅ）＇Ｘ －？－ ｙ （ｗｈｅｒｅ ／：Ｘ －？ ￡＞ ａｎｄ ＾ｙ －＋ ￡＞）． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｎｅ （／： Ｘ —＊■ ．Ｄ ｜ ／ｅ／ｐ Ｇ ／） ａｎｄ ￡） Ｚｉｒａ Ｆ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ａｐｐｅａｌ ｔｏ Ｔｏ

ｔｈｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｔｈｅｏｒｅｍ，

ｓｅｔ Ｉ

＝

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３．

□

Ｗｉｔｈ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｔｏ ｔｈｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．６．７

ｅａｃｈ

（ｅ， ｐ）

ｉｓ

ａｎ

ｅ－ｐ

ｐａｉｒ． Ｍａｋｅ

ｓｕｒｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．６． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ

ｐａｒａｇｒａｐｈ

ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ． Ｌｅｍｍａ ５．６．８

Ｌｅｔ ￡＞：／—＞ ＳＤｏｍｅｐ ｂｅ

｛ｒ）ｉ＼Ｄ｛ｉ） ｂｅ ｔｈｅ

ｃｏｌｉｍｉｔｉｎｇ

ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｐｒｏｏｆ ｗｅ ｓｅｅ

ｃｏｎｅ

ｓｏｍｅ

ｕｎｄｅｒ Ｄ． Ｉｆ

ｉ Ｇ Ｉ ａｎｄ ｅ－ｐ

Ａｐｐｅａｌｉｎｇ

－？

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｄｉａｇｒａｍ

ａｎｄ ｌｅｔ

ＵｍＤ＼ｉｅ Ｉ）

／： Ｘ ｐａｉｒ ｈ： Ｘ

—？

ｔｏ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３ ａｎｄ

ｐａｉｒ ｗｉｔｈ Ｘ ｆｉｎｉｔｅ， Ｄ（ｉ） ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆ ｒｊｉＯ ｈ．

Ｕｒｎ Ｄ ｉｓ —？

ａｎ

ｅ－ｐ

＝

ｃａｒｅｆｕｌｌｙ ｒｅａｒｒａｎｇｉｎｇ ｉｎｄｅｘｉｎｇ ｓｅｔｓ，

ｔｈａｔ

ｆｅｆＰ

＝

ＵｉｖＭＦＦｖｔｒＪ！ ＼ｉｅＩ｝：ＵｍＤ＾ｌｚｍＤ

ｆｅｆｐ ＜ ｆｉｆｒ／？ ｐ Ｐｒｊｆｒ／ｉ （ｃａｌｌ ｔｈｉｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ （＊）） ｂｅｃａｕｓｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．６ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｆｅｆｐ ｉｓ ａ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ． Ｌｅｔ ｕｓ ｐｕｔ ｈｅ ｒｆｉＰ ＾ｄ ｈｐ ｐｒｊｆ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ （ｈｅ，ｈｐ） ｉｓ ａｎ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ａｎｄ ｔｈａｔ ／ ｒｊｉ ｏ ｈ； ｗｅ ｊｕｓｔ ｄｏ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ： ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｉ Ｇ ／ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

＝

＝

＝

ｐ

ｈｐｒ￥

＝

＜

ｐｒｉｉｒＩＺ Ｐ

（＊）

＝

ｆＰｏｆｅｆｐ

＜

Ｐｒｆｉｒｇ Ｐ Ｐ＾ｒｇ

＜

ＰｖＭ

＝

ｈ＇ｒｇ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

２４９

ｆｅ Ｖｆｈｅ

ｒｇｒｇＦ

＝

（＊）

ｆｅ

＜

ｆｅｆｐ°ｆｅ

＝

＜

Ｖｆｒｉｆｆｅｆｐｖｆｒｉｆｆｅ

＜

Ｖｆｖｆｆｅ Ｖｆｈｅ

＝

Ｄ Ｌｅｍｍａ ５．６．９

Ｌｅｔ Ｄ：Ｉ

ｉｎ

ｊｕｓｔ

—■＊

＼

ＵｍＤ

Ｃ ｂｅ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔｓ， ａｎｄ Ｆ：Ｃ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

（ｆａ Ｄ（ｉ）

—？

／）

ｉ Ｇ

ｉｓ

ａ

ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ａｎｙ

ｄｉａｇｒａｍ

ＳＤｏｍｅｐ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｏｒ．

—＊■

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅｎ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｓｕｃｈ

ａ

ｔｈａｔ

ｃｏｌｉｍｉｔ

ｃａｓｅ

４

Ｐｒｏｏｆ

（＝＊＞）

Ｌｅｔ ￡＞：／—＞ ＳＤｏｍｅｐ ｂｅ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ

（ｆｉｉＤ（ｉ） Ｔｈｅｎ

ｂｙ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ （Ｆ（ｆｉ）：ＦＤ（ｉ）

－＊

ｏｎ

／ ｗｉｔｈ ｃｏｌｉｍｉｔ

ＵｍＤ＼ｉｅＩ）． Ｆ（ｌｉｍＤ） ＼

—＊■

／）

ｉ Ｇ

ｉｓ

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔ ａｎｄ ｔｈｅ

ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３．

（＜＝）

□

Ｃｌｅａｒ ｆｒｏｍ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３． Ｌｅｔ Ｆ： ＳＤｏｍｅｐ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１０

—？

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ § ｉｓ ｔｈｅ ｗｈｏｓｅ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｓｅｔｓ

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ ｔｏ ｂｅ ？

ｅａｃｈ ｔｓ ｉｓ

？

ｉｆ

／： Ｓ

Ｔｈｅ

ａｎ

ａ

ａｒｅ

ＳＤｏｍｅｐ ｂｅ

（ｃｏｕｎｔａｂｌｅ）

ｓｅｔ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ

ｉｎｄｅｘｅｄ

ｂｙ

ｓｅｔ ｏｆ §－ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｅｎｏｔｅｄ

Ｌｅｍｍａ ５．６．１１

Ｔｈｅ ｓｅｔ

ｔｈｅ ｓｅｔ

Ｓ，

ａｎ

ｗｈｅｒｅ

Ｆ５， ａｎｄ

Ｓ＇ ｉｓ ａｎｙ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ｗｈｅｒｅ ５， Ｓ＇ Ｇ Ｓ， ｔｈｅｎ

－＊

ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｆａｍｉｌｙ （ｔｓ ＼ Ｓ Ｇ §）

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ

ａ

Ｖ§（Ｆ）

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：ＳＤｏｍｅｐ

—＞

Ｆ（ｆ）ｅ（ｔｓ）

＜

ｔｓ＊．

Ｖ§（Ｆ）．

ｏｆ ｓｕｃｈ §－ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ

ＳＤｏｍｅｐ ｉｓ

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ

Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ｆｏｒ ｔｈｅ

ａ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ

ｏｒｄｅｒ． Ｐｒｏｏｆ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

Ｖ§（Ｆ）

ｉｓ

ａ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ

ｂｏｕｎｄｅｄ

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｄｃｐｏ： ａｌｌ ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔ

ｉｓ ａｎｙ

ｈａｐｐｅｎ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｗｅ ｊｕｓｔ ｃｈｅｃｋ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｖ§Ｆ， ｔｈａｔ Ｉ６Ｓ． ａｎｄ ｘ Ｇ （ＦＸ）°

ｄｅｆｉｎｅ

ａｎ

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ

ｉｓ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

［Ｘ， ｘ］ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

［Ｘ，ｘ］ｓ ＾ ｙ｛（ＦｆＹ（ｘ） ｜ ／

Ｇ

ＳＤｏｍｅｐ（Ｘ，Ｓ）｝

ｘ ＜

ｔｘ－ Ｗｅ

２５０

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｊｏｉｎ ｅｘｉｓｔｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ （Ｆ／）ｅ（ｘ） ｉｓ ｂｏｕｎｄｅｄ ｂｙ ｔｇ． Ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ

ｇｏｏｄ

Ｌｅｔ

ｏｎｅ．

ｇ：Ｓ

—＞

Ｓ＇ ａｎｄ

（Ｆ９ｙ（［Ｘ，ｘ｝ｓ） ｆｏｒ （（ＦｇＹ

Ｈ

（Ｆｇｆ）

（ＦｇＹ（ｙ｛（ＦｆＹ（ｘ） Ｉ ／ ＼Ｊ｛（Ｆｇｙ（ＦｆＹ（ｘ） ｜ ／

＝

＼／｛（ＦｆＹ｛ｘ） ｜ ／

＜

ｓｕｃｈ， ｇｉｖｅｎ ｔｈａｔ

ｘ

ｉｓ

Ｇ

ｆｉｎｉｔｅ，

ａｒｅ

ｓｏ

Ｇ

ＳＤｏｍ＇ｐ（Ｘ，Ｓ）｝）

ＳＤｏｍ＊（Ｘ， Ｓ）｝

ＳＤｏｍｅｐ｛Ｘ， ５＇）｝

ｔｏｏ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｅ－ｐ

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ＦＸ，

ａ

Ｇ

［＾＂，ｚ］ｓ＇－

＝

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｂｅｃａｕｓｅ Ｘ ａｎｄ Ｓ

ｈａｖｅ

ｗｅ

＝

ａ

［Ｘ，ｘ］ｓ

ｉｓ

ａ

ｐａｉｒｓ Ｘ

Ｓ． Ａｓ

—＊■

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｏｉＦＳ． Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ

［Ｘ，ｘ］

ｆｏｒｍｓ

ａ

ｂａｓｉｓ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ

Ｖ§（Ｆ）．

［Ｘ＊， ｘｊ， ｗｈｅｒｅ ｉ １，．．．， ｎ， ｆｏｒ ｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｖ§（Ｆ）； ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｙｆｌＸｉｉＸｉ］ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｛ｔａ ＼ ａ Ｇ Ａ｝ ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ Ｖ§（Ｆ）， ａｎｄ ｔｈａｔ Ｖｉ［Ｘ＜，＊ｉ］ ＜ Ｕ｛＊ａ ＼ ＜＊ ｅ Ａ｝． Ｔｈｅｎ Ｖｉ［Ｘ＊，＊ｉ］ｓ ＜ Ｕ｛＊ｓ Ｉ ？ ｅ Ａ｝ ｉｎ ＦＳ ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｌｉｅｓ ［Ｘｆ， ｘｉ＼ｓ ＜ ￡５ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉ （ａｓ ｅａｃｈ ［Ｘｆ， Ｘｉ］ｓ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ａｓ ｎｏｔｅｄ ａｂｏｖｅ）． Ｆｒｏｍ ｄｉｒｅｃｔｅｄｎｅｓｓ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｓｏｍｅ ａ Ｇ Ａ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ［Ｘｉ，Ｘｉ］ｓ ＜ ｔｇ ｈｏｌｄｓ ｆｏｒ ａｎｙ ｉ； ｈｅｎｃｅ Ｖ＂［Ｘｉ，￡ｉ］ ＜ ｔａ ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ． Ｔｈｅ Ｌｅｔ

ｗｒｉｔｅ

ｕｓ

ｐｒｏｏｆ

ｉｓ

＝

ｃｏｍｐｌｅｔｅｄ ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔ

＝

＼／｛［Ｘｉ，＊ｉ］

Ｖ

．．．

ｔｈａｔ ａｎｙ §－ｓｅｃｔｉｏｎ ｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

［Ｘｎ， ｘ？］ Ｉ Ｘｉ

Ｖ

Ｓ，ａ＊

Ｇ

Ｇ

（ＦＩｉ）°，ａ＊

＜

ｔＸｉ｝． Ｄ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．６．１２ ｅｖｅｒｙ

Ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ

Ｌｅｍｍａ ５．６．１１； ｂｅ ｃａｒｅｆｕｌ ｔｏ

ｖｅｒｉｆｙ

ｓｔｅｐ ｏｆ ｙｏｕｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．

Ｌｅｍｍａ ５．６．１３

Ｌｅｔ

Ｆ， Ｇ： （ＳＤｏｍｅｐ）ｎ

ＳＤｏｍｅｐ ｂｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ

－＞

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｗｈｅｒｅ （ＳＤｏｍｅｐ）ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ ｎ ｃｏｐｉｅｓ ｏｆ ＳＤｏｍｅｐ． Ｌｅｔ ｔｔｆ： Ｇ（Ｆ） －＊ ＳＤｏｍｅｐ ａｎｄ ｔｔｇ： Ｇ（Ｇ） －＊ ＳＤｏｍｅｐ ｂｅ ｔｈｅ Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｆｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆ ａｎｄ Ｇ．

（Ｒｅｃａｌｌ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

ｍｅａｎｓ

Ｇ（Ｆ）

ｉｓ ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ （Ｘ， ｔ） ｗｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ （ＳＤｏｍｅｐ）ｎ ａｎｄ ￡ Ｇ ＦＸ， Ｘ＇ ｉｎ （＜ＳＤｏｍｅｐ）ｎ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／： （Ｘ， ｔ） （Ｘ＇， ＊＇） ａｒｅ ／： Ｘ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ

ａｎｄ

（Ｆ／）ｅ（￡）

－＊

＜

￡＇）？

Ｔｈｅｎ

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

－＞

ｊｕ：Ｇ（Ｆ）

－＋

Ｇ（Ｇ）

ｄｉａｇｒａｍ Ｇ（Ｆ）

＾

（＜ＳＤｏｍｅｐ）ｎ

Ｇ（Ｇ）

ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

Ｈｘ－ ＦＸ

（ｉ）

Ｉｆ

—？

／： Ｘ

ＧＸ ｉｓ

ａ

Ｙ ｉｓ

ａ

－＋

（ｉｉ） Ｉｆ ｆａ：Ｘ（ｉ） ｛ＳＤｏｍｅｐ）ｎ， ｔｈｅｎ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ＵｍＸ

—＞

ｆａｍｉｌｙ （ｆｉｘ ＼ Ｘ Ｇ （ＳＤｏｍｅｐ）ｎ） ｗｈｅｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ：

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

ｅｘａｃｔｌｙ

ｃｏｍｍｕｔｅ ｉｓ

２５１

＼

ｉ Ｇ

＝

／＾ｘ

ｂｙ

ｉｎ

ａ

（ＳＤｏｍｅｐ）ｎ，

／）

ｉｓ

（Ｇｆ）ｅ（ｆｉｘ）

ｔｈｅｎ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ

ａ

ａ

＜

Ｍｙ（＾／）ｅ，

ｄｉａｇｒａｍ

ａｎｄ

Ｘ：／

—？

Ｕ｛（Ｇ／ｉ）Ｖ＊（ｉ）（＊７ｉ）ｐ １＾／｝．

Ｐｒｏｏｆ

（＝￥＞）： Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ）Ｌｔ： Ｇ（Ｆ） ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｎｃｆｉ

（Ｘ，ｔ）Ｊ－（Ｘ＇，ｔ＇）

％

ｆｉｘ＇ＦＸ

—＞

％

ｉｎ

＝

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

ａｎ

＝

Ｇ（Ｇ）

Ｔｈｅｓｅ ｄａｔａ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＾ｆ－

＝

（＊）

＇

ｖ

Ｇ（Ｆ） ｆｉ（ｆ）

ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

（Ｘ，Ｍｊｔ（ｔ））＾＊（Ｘ＇）Ｗｆ．（ｔ））

Ａ

／ ｆｏｒ ｎｃｆｉ ＧＸ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈａｔ ／

ｃｏｕｒｓｅ

７ｉ＼ｐ． Ｓｏ ／／ ｄｅｆｉｎｅｓ

＇

ｖ

ｉｎ

ｗｈｅｒｅ ｏｆ

＝

Ｇ（Ｇ）

—＞

ｆｉ（ｆ）

ｉｓ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｉｎ

Ｇ（Ｇ），

ｗｅ ｓｅｅ

（＊） ｙｉｅｌｄｓ

ｔｈａｔ

（Ｇ／）ｅ（ＭｘＷ） （ｉ）

ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｕｓ ｔ ＜

（ａｎｄ

ｔ＇）

ｈｏｌｄｓ

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｔ＇

ｉｉｘＷ） （Ｆｆ）ｅ（ｔ），

＝

ａｎｄ

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ／

＝

ｉｄｘ

ｆｉｘ｛ｔ＇） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｉｘ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ （ｉｉ） ａｎｄ ｔｈａｔ ｆｉｘ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｘ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｐ： Ｉ Ｇ（Ｆ） ｉｓ ａ ｄｉａｇｒａｍ ｗｈｅｒｅ ／ ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｐｏｓｅｔ． Ｔｈｅｎ ｓｏ ｔｏｏ ｉｓ Ｄ ７ｉ＞ ｏ Ｐ： Ｉ Ｊ， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ Ｘ ｆｏｒ Ｇ（Ｆ） （ＳＤｏｍｅｐ）ｎ． Ｉｔ ｉｓ ａｎ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ａ ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ Ｐ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｗｅ

ｈａｖｅ

ｆｉｘ（ｔ）

＜

＜

—＞

—？

＝

ｂｙ

ｔｈｅ

—＞

ｃｏｎｅ

ｆａ： （Ｄ（ｉ）， ｔ（ｉ）） ｗｈｅｒｅ ｔ ＝ｆ

（７７＾： Ｚ）（ｉ） ａｐｐｅａｌ ｓｅｅｓ

—■＊

－＊

Ｕ｛（Ｆｒ）ｉ）ｅ（ｔ（ｉ）） ＼ｉ ＾ Ｊ｝＞ ｗｅ ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ （Ｄ（ｉ），ｔ（ｉ）） ｆｏｒ Ｐ（ｉ） ａｎｄ ｌｉｍ Ｄ Ｉ ｉ Ｇ ／） ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ Ｚ＂ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ． Ｂｙ

ｔｏ Ｌｅｍｍａ ５．６．９ ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ

Ｘ： Ｉ

ｄｉａｇｒａｍ

—＞

Ｘ ａｎｄ ｔ Ｇ

ｆａ： （￡＞（？）， （ＷＷ） ｉｓ

ａ

（ｌｉｍ Ｄ，ｔ）＼ｉｅｌ）

ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ

Ｇ（Ｆ）

Ｎｏｗ，

ｆｉ：

（ｆ）），

ａｎｄ

ｓｏ

—＊

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｄｉａｇｒａｍ

Ｇ（Ｇ）

ｉｓ

ａ

ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ

ｆｕｎｃｔｏｒ

－

ｃｏｌｉｍｉｔｓ，

ＦＸ， ｔｈａｔ

（！ｉｉｎ Ｄ， ｔ）＼ｉｅ Ｉ）

Ｐ： Ｉ

ｏｎｅ

—＞

Ｇ（Ｆ）

（ｔ）

ｗｈｅｒｅ ｉ ＜ ｊ ｉｓ ｓｅｎｔ ｔｏ

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ （ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

２５２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

５．

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ （ｉｉ）． Ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ［ｉｘ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ． ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ ｔ

＝

Ｕ｛Ｕ ｜

Ｇ

？

Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ

｛Ｕ ｜ ｉ Ｇ ／｝ ｉｎ ＦＸ （ｓｏ ｈｅｒｅ ／｝． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｌｉｍｉｔ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ２＂， ｔａｋｅ ａ ｉｎｄｅｘｉｎｇ ｓｅｔ）， ａｎｄ ｐｕｔ

ａｎ

／ ｉｓ ａｎｙ

（ｉｄｘ：（Ｘ，Ｕ）＾（Ｘ，ｔ）＼ｉｅＩ） Ｇ（Ｆ）

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｄｉａｇｒａｍ Ｐ：Ｉ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｐｏｓｅｔ ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｉ ＜ ｊ ｉａ． Ｉ ｊｕｓｔ ｉｎ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｉ ＜ ｊ ｔｏ ｚｄｘ－

（Ｘ， ＾）

—？

（Ｘ， ｔｊ）．

Ｔｈｅｎ

ｉｎ

＝

ｗａｓ

ｐｒｏｖｅｄ

ｔａｋｅ

—？

ｗｅ

ｆａｍｉｌｙ ｛ｎｘ＇－ＦＸ

ａ

（ｉ）

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

Ｇ（Ｆ）

ＦＸ， ａｎｄ Ｐ ｓｅｎｄｓ

ｉｎ

ｔｊ

ａ

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ

ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ

ａｎ

（ｉｉ）

ａｂｏｖｅ． Ｈｅｎｃｅ ｆｉｘ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．

（＜＝）： Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ ｆｉ：

＜

Ｕ

ａｓ

ＵＷ＊＊） Ｍｅ／｝

ｂｅｃａｕｓｅ ｊｔｚ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ｗｈｉｃｈ

ｃａｓｅ

ｗｈｅｒｅ ／ ｉｓ ｖｉｅｗｅｄ

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

ｗｅ ｃａｎ

ｖｘｉＵｆｒ Ｉ＊ ／｝）

Ｇ（Ｆ），

—？

Ｇ（Ｇ） ｂｙ

ｔｈｅ

ａｎｄ

（ｉｉ）

＼

ＧＸ

—？

ｈｏｌｄ．

Ｘ Ｇ Ｌｅｔ

ｕｓ

Ｘ）

ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

（Ｘ，ｔ） －Ａ （Ｘ＇，ｆ）

（Ｘ＾ｘ（ｔ）） －ｉ． （ＸＷ（ｆ））

ｈ＾

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ

｛ＧｆＹ（ｊｉｘ（ｔ）） ｗｈｅｒｅ ｔｏ

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ

ｗｅ

ｖｅｒｉｆｙ

（ｉ）

＜

ｉｉＸ＇（（Ｆｆ）ｅ（ｔ））

ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｆｉｘ＇ ｉｓ

ｔｈａｔ ＼ｉ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ａ

＜

ｎｘ＞｛ｔ＇） ｆｕｎｃｔｉｏｎ；

ｍｏｎｏｔｏｎｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｉ：

ａ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ．

ｔｈａｔ Ｐ： Ｉ

—？

Ｇ（Ｆ）

ｉｓ

ａ

ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ

Ｇ（Ｆ）

—■＊

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

Ｇ（Ｇ）

ｄｉａｇｒａｍ

ｗｉｔｈ ｃｏｌｉｍｉｔ

（ｉｆｃ：（Ｘ（ｔ），＜（ｔ））－＞（Ｘ，ｔ）｜ｉ Ｊ） ｗｈｅｒｅ

（Ｘ（ｔ），？（ｉ）） ＝ｆ Ｐ（ｔ）． ＭＪｃＷ

Ｔｈｕｓ ｔ ＝

＝

Ｕ｛（＾）ｅ（＊（０） Ｉ

＊

／｝．

Ｗｅ

ａｒｅ

ｄｏｎｅ ｉｆ

Ｕ｛（＾）ｅ＾（ｏ（＊（０））ｌ＜ ／｝，

ｔｈａｔ ｉｓ

ｔｏＯ Ｗ（＊Ｗ） Ｉ

＊ ｅ

／｝）

＝

Ｕ｛（Ｇ＊）＇（ｍｘ（ｏ（＊（０）） Ｍｅ／｝．

Ｗｅ ｈａｖｅ

？ｘ（＼Ｊ｛（ＦｎｉＨｔ（ｉ）） ｜？ｅ／｝） （ｉ） Ｕ｛？ｘ（（ＦｍＹ（ｔ（ｉ）））＼ｉ ｉ｝ ＝

（２）

＝

（３）

＝

Ｕ｛Ｕ｛（Ｇ％）％Ｗ（＾Ｈ（＾）ｅ（＜？）））） Ｉ ｊ Ｍ｛（＜＊＊）＊０Ｗ＊（０）） Ｉ ＊ ｅ／｝

ｅ

Ｊ｝ ｜

ｉ ｅ

／｝

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

（１）

ｗｈｅｒｅ

ｕｓｅｓ

２５３

（２）

ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ＼ｉｘ－＞

ｉｓ

ａｎ

ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ

（ｉｉ）

ａｎｄ

（３）

ｉｓ

□

ｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｊｏｉｎｓ． Ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ Ｐ：Ｉ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．６．１４

Ｇ（Ｆ） ｇｉｖｅｎ

ｉｎ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ

ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ

Ｌｅｍｍａ ５．６．１３，

Ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔ Ｕ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆ：Ｕｎ

ａ

ｃａｎ ｎｏｗ

Ｕｍ ｉｓ

—？

ｈａｓ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄ Ｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＼ｉ＼ Ｆ —＊

＝

－ｋｑ

°

ｂｙ ｆｉｎｉｔｅ ｐｏｗｅｒｓ ｉｓ Ｕ． Ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ

ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ．

７ｉ＞

ｐａｇｅ ２５１．

ｏｎ

｛ＳＤｏｍｅｐ）ｎ．

Ｘ ｆｏｒ

ａ

—？

ｇｉｖｅ ａ ｒａｔｈｅｒ ｌｅｎｇｔｈｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｄｏｍａｉｎ－ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｕ ｆｏｒ ＳＤｏｍｅｐ ａｎｄ

Ｗｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１５

ａ

Ｃ（Ｘ，Ｕ）

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｉｃｈ

ｃｏｌｉｍｉｔ

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｆ：Ｘ —？ Ｕ ａｎｄ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ＼ｉ： Ｇ（Ｆ） —＞ Ｇ（Ｇ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｇ（Ｆ）

Ｍ， ｗｈｅｒｅ ７ｉ＞：

ｆｕｎｃｔｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ

Ｘ ａｎｄ －ｋｑ＇－

—？

Ｇ（Ｇ）

—＞

Ｊ

ａｒｅ

ｔｈｅ Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ

ｆｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆ ａｎｄ Ｇ—ｓｅｅ Ｒｅｍａｒｋ ５．６．１６． Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（Ｘ，Ｕ）． Ｃ（Ｘ，Ｕ） ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ １：Ｘ Ｕ ｗｈｉｃｈ ｓｅｎｄｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｘ Ｙ ｉｎ Ｘ ｔｏ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｄ｛＊ｙ． ｛＊｝ ｛＊｝ ｉｎ Ｕ． Ｃ（Ｘ，Ｕ） ｈａｓ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ： ｉｆ Ｆ ａｎｄ Ｇ ａｒｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ（Ｘ，Ｕ）， ｔｈｅｉｒ Ｘ＇ ｉｎ Ｘ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ＦｘＧｉｓ ｇｉｖｅｎ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｍｏｒｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ， ｉｆ ／： Ｘ ｐｏｓｔｕｌａｔｅ

ａ

—？

—？

—？

—＊■

ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ

（Ｆ

Ｇ）｛ｆ）： （Ｆ

ｘ

ｘ

Ｇ）｛Ｘ）

－

（Ｆ

Ｇ）（Ｘ＇）

ｘ

ｔｏ ｂｅ ＦＸ ｘ ＧＸ

＝＾

（Ｆ／）ｐ Ｔｈｅ

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ

Ｃ（Ｘ，Ｕ）．

ｅａｓｙ ｄｅｔａｉｌｓ

ａｒｅ

ｘ

ＦＸ＇

＝＊

ｏｍｉｔｔｅｄ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

Ｔａｋｅ

Ｈ）（Ｘ） ｄ＝

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ＧＸ

—＞

ＧＸ

ｉ／Ｘ，

（Ｇ

＝＊

＝＞

ＧＸ＇．

｛ＧｆＹ

ｏｂｊｅｃｔｓ Ｇ ａｎｄ Ｈ， ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｘ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｇ

（Ｇ

ｘ

ＥＸ ｗｈｅｒｅ ＧＸ

＝＞

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ ｉｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｘ ａｎｄ ｆ：Ｘ －＋ Ｘｆ ａ ＝＞

Ｈ：Ｘ

－＋

Ｕ

＝＾＞

ＥＸ）

－＊

（ＧＸ＇

＝＞

ＥＸ＇）

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ （（Ｇ （（Ｇ

ｆｏｌｌｏｗｓ： ｓｅｔ

ＥＸ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ

ｉｆ）（／）： （ＧＸ

ａｓ

＝？

Ｈ）ｆＹ（ｇ） ＾ ｛ＨｆｆｇｉＧＳＹ

＝＞

Ｈ）ｆｒ（ｇ＇） ＾ （Ｈｆｆｇ＇ｉＧｆＹ，

２５４

ｆｏｒ

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｇ＇ Ｇ ＧＸ＇ ＝＞ ＨＸ＇． Ｒｅｃａｌｌ Ｌｅｍｍａ ５．６．１３． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｅｖ： （Ｇ ＝＞？ Ｈ） ｘ Ｇ Ｈ ｂｙ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ａｎｙ ｇ Ｇ ＧＸ ＝＞ ＨＸ ａｎｄ

—？

（ｅｖｘ： ｛ＧＸ ｗｈｅｒｅ ｉｆ Ｘ ｉｓ

ａｎ

＝？

ＨＸ）

ｘ

ｏｆ Ｊ， ｔｈｅｎ ｅｖｘ＇

ｏｂｊｅｃｔ

ＧＸ

—？

｛ＧＸ

＝＊＞

ＨＸ

ＨＸ）

ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＳＤｏｍ． Ｇｉｖｅｎ

＼

Ｉ）

Ｘ Ｇ

ＧＸ

ｘ

ｉｉＴＸ ｉｓ

—？

Ｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｉ：｛ＦｘＧ） ｉｎ Ｃ｛Ｔ，Ｕ）， ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｘ｛ｆｉ）：Ｆ ｛Ｇ ＝￥＞ Ｈ） ｉｓ ａｌｓｏ ｄｅｆｉｎｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ； ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ Ａ（ｊＬｔ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｛＼｛ｆｊ，ｘ） ｜ Ｘ Ｇ ２＂） ｗｈｅｒｅ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｉｓ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｍａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｆＸ ｉｎ ＳＤｏｍ． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｘ－ ＦＸ ｘ ＧＸ ａ

—？

－＾

—？

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｌｅｔ ＣＯＣａｔ

ｕｓ ｎｏｗ

ｔｈｒｏｕｇｈ

ｄｅｆｉｎｅ

ｔｈｅ

Ｃ｛Ｔ，Ｕ）．

ａ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

＼Ｃ（￣＇Ｕ）

（ｗｉｔｈ ａｐｐｅａｌ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｆ＊ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｎｏｗ

—？

Ｕ， ａｎｄ ｆｉ：Ｆ

ｗｒｉｔｅ

７Ｔｉ：Ｚ

ｘ

Ｕ

—＞

ａｎ

？ｒｊ ： Ｃ｛Ｔ，Ｕ）

：

Ｃ｛Ｕｎ，Ｕ）

ｔｏ Ｌｅｍｍａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｊ ａｎｄ

—＞

５．６．１３） ｂｙ

（ｉｊｌｈｙ：ＦＨＹ

Ｇ ｉｓ ａｎｙ

－＋

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

Ｆｉｒｓｔｌｙ

Ｈ＊

Ｍ－￣

｛ｆｉｘ：ＦＸ＾ＧＸ＼ＸｅＵｎ）

Ｆ， Ｇ： Ｗｎ

—？

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

Ｈ：Ｕｍ＾Ｕｎ

ｗｈｅｒｅ

Ｃ（—，Ｗ）：Ｃｏｐ

ｔｔｈ＇．Ｔ

ｘ

－＞

ｏｆ

Ｕ

Ｃ｛Ｕｍ，Ｕ） ｔｈｅ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

ＧＨＹ

＼

Ｙ Ｇ

Ｕｍ）

Ｃ｛Ｕｎ，Ｕ）． Ｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ

—？

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ

ｚ＝Ｚ

Ｃ｛１ ｘＵ，Ｕ）： Ｖｊ．

ｏｂｊｅｃｔｓ． Ｔａｋｅ Ｆ：ＩｘＷ＾Ｗａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ Ｃ｛Ｘ ｘＵ，Ｕ）． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ＶｊＦ： Ｊ Ｗ． Ｉｆ ／： Ｘ Ｘ＇ ｉｎ ２＂ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｗ ａｎｄ ａｐｐｅａｌ ｔｏ ＶｊＦ（Ｘ） ｄ＝ ＶＳ（Ｆ（Ｘ，－）） （ｈｅｒｅ ｗｅ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｆ｛Ｘ，－）：Ｕ ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ Ｖｊ

ｏｎ

—？

—？

－＞

Ｌｅｍｍａ

５．６．１１）

ａｎｄ

ＶｉＦ（／）：ＶｉＦ（Ｘ）－＞ＶｉＦ（Ｘ＇） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ＭｎＸｔ＿）｝ ａｎｄ

ｆａ Ｉ ５６８｝ ＊＾ （（＊（／，？．））■（＜．） ｜ ５ ６ｑ

Ｖｇ（Ｆ（ｘ， ＿）｝

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

ｗｈｅｒｅ

ｔｓ

２５５

Ｆ（Ｘ，Ｓ）

Ｇ

ａｎｄ

ｔ＇ｓ

Ｆ（Ｘ＇，Ｓ）．

Ｇ

Ｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｆｉ：Ｆ ＶｊＧ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ Ｖｊ／Ｌｔ： ＶｊＦ

ｉｓ

—？

ａ

Ｎｏｗ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ Ｖｊ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ（Ｊ

ｘ

Ｕ，Ｕ）．

ｏｎ

Ｔｈｅｎ

—■＊

（Ｖｉｍ）ａ－

Ｖ§（Ｆ（Ａ， －））

？

Ｖ§（Ｇ（Ａ， －））

２＂， ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｔｓ Ｇ Ｆ（Ａ＂， Ｓ） ａｎｄ Ｍ（Ａ＂，ｓ）： ■ＦＣ－Ｘ＇ｊ ５） Ｇ（Ａ￣， ５）． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｏｕｒ ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ． ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｘ ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｒｅｍａｒｋ ５．６．１６

Ｒｅｆｅｒ ｔｏ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１５． Ｔｈｉｓ ｒｅｍａｒｋ ｍａｙ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｅｘｐｌａｉｎ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

＼ｉ＼ Ｆ

—？

Ｇ ｉｎ

Ｃ（Ｘ，Ｕ）

ＦＸ

Ｘ

ａｓ

ｔｈａｔ

［Ａ］

ｆｕｎｃｔｏｒ ／ｉ：

—＊■

｜ ｘ： ￥ Ｊ， Ｆ ｄ＝ ［Ａｈ￥］：Ｉ－？Ｗ

ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ

＝

Ｇ｛Ｆ）

Ｘ Ｇ

Ｘ． Ｎｏｗ ｌｅｔ Ａ

ｈ Ｍ： ＾ ｂｅ ａｎｄ ａｌｓｏ

ｔｏ

（ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ） ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｇ（Ｆ） ａｎｄ ａｓ ａ

Ｇ｛Ｇ）． Ｆｉｒｓｔ， ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｏｕｔ ｗｈｙ ｗｅ ｃａｎ ｔｈｉｎｋ ｏｆ Ｇ（Ｆ） ａｓ ｔｈｅ ＂ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ＂ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ

ｈｅｌｐ

—＞

ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ

ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｇ ｄ＝ ［Ａ ｈ ＊Ｊ：Ｘ Ｕ． ａ

－＋

ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ Ａ ｈ ￥ ｗｈｅｎ Ａ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ Ａ＂， ａｎｄ Ｇ｛Ｆ） ｉｓ ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ａ ｈ ￥—ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ Ｇ． Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ／ｚ ［Ａ ｜ ｘ： ￥ ｈ Ｍ： ｔｙ］：Ｆ —＞ Ｇ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａ ｕｎｉｆｏｒｍ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ａ ｜ ｘ： ￥ ｈ Ｍ： ＼Ｉ＞ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｎ Ａ． Ｉｆ ｆｊ， ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｆａｍｉｌｙ （ｆｉｘ－ ＦＸ —＞ ＧＡ￣ ｜ Ａ＂ Ｇ Ｘ）， ｗｅ ｃａｎ ｔｈｉｎｋ ｏｆ ＼ｉｘ ａｓ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ Ａ ｜ ｘ： ￥ ｈ Ｍ： ＾ ｗｈｅｎ Ａ ｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ Ｘ Ｔｈｅｎ ＦＸ ｉｓ ｔｈｅ

＝

（ａｎｄ

ｈｅｎｃｅ Ａｈ￥ ａｎｄ Ａｈｆ

Ｄｒａｗ

ｓｏｍｅ

ａｒｅ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ

ＦＸ ａｎｄ ＧＸ

ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ）．

ｐｉｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｄｅａｓ． Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１５ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．１７

ａ

２Ａ ｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｐｒｏｏｆ

Ｗｅ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１５

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ

ｇｉｖｅｎ

ａｎｄ

（ｉｉｉ）

ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ２Ａ ｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．４．１．

（ｉ）

Ｉｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｗｉｔｈ

ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ Ｕ ａｒｅ

（ｉ）， （ｉｉ）

＝

ＳＤｏｍｅｐ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ

ｏｂｊｅｃｔｓ

（ｉ）

ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ

ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

ｏｍｉｔｔｅｄ．

（ｉｉ）

Ｔｈｅｒｅ

Ｔｏ

ｂｅｇｉｎ，

ｏｎｌｙ ｇｉｖｅ ａ ｓｍａｌｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｔｏ ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｖｅｒｉｆｙ （ｉｉ）， ｂｕｔ ｗｉｌｌ ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｗｈｉｃｈ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｍｉｓｓｉｎｇ． ａｒｅ

ｗｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ

ａ

ｌｏｔ ｏｆ ｄｅｔａｉｌｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｈｅｒｅ．

Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｌｅａｖｅ ａｌｌ ｔｅｃｈｎｉｃａｌｉｔｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｔｏ ｔｈｅ

ｒｅａｄｅｒ；

ｏｎｅ

ｎｅｅｄｓ ｔｏ

ｖｅｒｉｆｙ

Ｃ（Ｘ，Ｕ） ｔｈａｔ

ｉｓ

ａ

ｇｉｖｅｎ ｏｂｊｅｃｔｓ

２５６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｆ，Ｇ：Ｉ

（ｓｕｃｈ

ａｓ

Ｃ（Ｘ，Ｕ）， ＦｘＧ：Ｉ－＞Ｗｉｓ ｘ Ｇ Ｆ） ｇｉｖｅｎ ｂｙ

Ｕ ｏｆ

—？

７ｒｐ： Ｆ

ｄｅｆｉｎｅｄ，

ｗｅｌｌ

Ｌｅｔ

ｗｅｌｌ

ｄｅｆｉｎｅｄ，

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ

—？

（（＊＞）＊： ＦＸ ａｒｅ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

ｘ

ＧＸ

＾

｜

ＦＸ

ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｄａｔａ ｄｏ ｉｎｄｅｅｄ

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ

ｔｏ ｔｈｅ

ｕｓ ｍｏｖｅ ｏｎ

ｉｎ

Ｊ）

Ａ＂ Ｇ

ｙｉｅｌｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

Ｃ（Ｘ，Ｕ）． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｉｎ

ｔｈａｔ

Ｃ（Ｘ，Ｕ）． Ｇ， Ｈ： Ｘ

—？

Ｕ

Ｕ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ（Ｘ，Ｕ）． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ Ｇ ＝￥＞ Ｈ： Ｘ ｏｆ Ｃ（Ｘ，Ｕ）， ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｔ （ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｎｄ） ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｕｓｅ Ｌｅｍｍａ ５．６．９． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ （／，－： Ｘ｛ｉ） Ｘ ＼ ｉ Ｇ Ｉ） ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ａ ｄｉａｇｒａｍ Ｘ： Ｉ Ｚ． Ｗｉｔｈ ａｐｐｅａｌ ｔｏ Ｌｅｍｍａ ５．６．９ ａｎｄ ｎｏｔｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｒｅ

—＞

—？

—？

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

（ｉｎ

ｗｈｉｃｈ ｇ： ＧＸ

ＨＸ ｉｓ

—？

（｜＿｜｛（（Ｇ ＝＊ Ｈ）（ｆｉ）ｎ（Ｇ ＝＊ ｔｆ）（／＊））＂ Ｉ ＝

＝

ｗｅ ａｒｅ

（１）

＝

（２）

＝

ｄｏｎｅ．

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ）

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｉ ｅ

／｝）（＜？）

ＬＪ｛（（Ｇ ＝＊ＨＭ）ｎ（Ｇ ＝？ｆｆ）（／，））？（ｓ）］ Ｍｅ／｝ Ｕ｛Ｗ＜）ｅＷＯＭＧ／ｉＷＧ／Ｏ＇ ｌｉｅ／｝ ＼＿＼｛（ＨｆｉＹ（Ｈｆｉ）＂＼ｉ ｌ｝ｏｇｏＨ｛（ＧｆｉＹ（Ｇｆｉ）Ｐ＼ｉｅＩ｝ ９

Ｈｅｒｅ， （１）

ｉｓ

ｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｊｏｉｎｓ ａｎｄ

ａ

（２）

ｆｏｌｌｏｗｓ

ｂｅｃａｕｓｅ Ｇ ａｎｄ Ｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｒｏｕｔｉｎｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

ｓｈｏｗｉｎｇ ｓｈｏｗ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｇ

ｅｖ：（Ｇ

ｓａｔｉｓｆｙ

＝＞

Ｈ）

ｘ

Ｇ

Ｈ ｉｓ

—？

ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｏｆ Ｌｅｍｍａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ

ｆａ：Ｘ（ｉ）

－？

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｎｅｘｔ ｗｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ： ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ （ｅｖｘ ｜ Ｘ Ｇ Ｚ） ｓｈｏｕｌｄ ５．６．１３． Ｗｅ ｊｕｓｔ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ （ｉｉ） ｈｏｌｄｓ． Ｔａｋｅ ａ

＝＊＞

Ｘ

｜

ｚ

Ｈ

Ｇ

ｏｎ

Ｉ）

ｉｎ Ｚ ａｎｄ

（ｐ，ｔ）

Ｇ

（ＧＸ

＝＊

ｉｆＸ）

ｘ

ＧＸ

ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｅ：

Ｕ｛（ｔｆ７？ｉ）ｅｅ＾（ｉ）（（（Ｇ ＝？ Ｈ） ＝

（１）

＝

（２）

＝

（３）

＝

＝

Ｈｅｒｅ， （１）

ａｎｄ

ｂｅｃａｕｓｅ ｇ ｉｓ

ａ

（３）

ｘ

Ｇ）ｆａ））＂（ｐ，＜） ｜

ｉ Ｇ

／｝

Ｕ｛（＃＾）ｅｅＷ（（Ｇ ＝＊ ＃）＊）＂ Ｕ＾（（＾）ｅ（（＾）ＰＷ）） Ｉ ｔｆＯＷＷＷ Ｉ

＜

ｘ

（Ｇ＊）ｐ］（＜Ｍ） Ｉ

＊

／｝

／｝

＜

／｝）

９（ｔ）

ｅｖｘ（ｇ＞ｔ）．

ｆｏｌｌｏｗ ｂｅｃａｕｓｅ Ｈ ａｎｄ Ｇ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ， ａｎｄ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｇｉｖｅｎ

ｆｊ，：Ｆ

ｘ

Ｇ

—？

ｉｆ

ｗｅ

（２）

ｊｕｓｔ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

Ａ（ｊＬｔ）： Ｆ

（Ｇ

—＞

＝＞

Ｈ）

２５７

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ

（ｉｉ）

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ５．６．１３：

ＬＪ｛（（Ｇ ＝？ Ｈ）ｍｙ＼（？Ｘｉ）（Ｆｎｉｙ（ｔ） ｌｉｅ／｝ ｜ｊ｛（（Ｇ ＝＊ Ｈ）Ｖｉｙ（ｍｉ）（（Ｆｍｙ（ｔ）， －？ ｜ ｉ ｅ ／｝ Ｕ｛（ｔｆ％）ｅ／Ｗ（ｆ ％）＂？＞ －）（＾）ｐ ｌｉｅ／｝ ＝

＝

Ｕ｛［（＾）ｅＭｘ（ｏ（（＾

＝

（ｉｉ） ｆｏｒ

ｕｓｍ＊／

Ｙ ｉｓ

ｓｏｍｅ

Ｇ）％）＂］（＊． －） Ｉ？ｅ ／｝

ｆｉｘ （ｔ）

＝

（Ｗｅ

ｗｈｅｒｅ ｔ Ｇ ＦＸ．

（ｗｈｅｒｅ

ｆｉ

ｘ

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｘ ａｎｄ ｆ

Ｇ

ＦＹ＂）

Ａ（／ｚｙ）（ｆ）

＝

ｉｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

／／ｒ（￡， —）＇？ ＧＹ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ）．

＃Ｙ

—＊■

Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｄａｔａ

Ｃ（Ｘ，Ｕ）

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ；

ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｔｏ ｍａｋｅ ｅｖｅｒｙｔｈｉｎｇ ｆｏｌｌｏｗｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ＳＤｏｍ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ． Ｗｅ

ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈｅ ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｈ＊ ｔｏ ｂｅ ａ ｓｔｒｉｃｔ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｈ：Ｘ —？ Ｘ＇ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｍｏｒｅ ｏｒ ｌｅｓｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ； ｗｅ ｃｈｅｃｋ ｐｒｅｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔａｋｅ ｉｒ：Ｆ ｘ Ｇ －？ Ｆ ａｎｄ ｔｔ＇：Ｆ ｘ Ｇ －＊ Ｇ ｉｎ Ｊ． Ｔｈｅｎ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｊｆ＊（Ｆ ｘ Ｇ） ＝

（Ｈ＊Ｆ）

ｘ

（Ｈ＊Ｇ）

ａｎｄ ｉｆ Ｘ Ｇ Ｘ ｔｈｅｎ

（Ｈ＊７ｒ，Ｈ＊７ｒ＇）ｘ

＝

（ｈｉ） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｉｓ

（（Ｈ＊７ｒ）ｘ，（Ｈ＊７ｒ＇）ｘ） Ｆ： Ｘ

ｘ

Ｕ

—？

￡／ ｉｓ

ａｎ

＝

｛＾ｈｘ＾＇ｈｘ）

＝

（＾／／＊（ＦｘＧ））ｘ－

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ（Ｊ ｘ Ｕ， Ｕ）

ａｎｄ

／： Ｘ

—？

Ｘ＇

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｘ． Ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ＶｊＦ ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ Ｖ§（Ｆ（Ｘ， —）） ｉｓ ａ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ａｓ ｔｈｉｓ ｗａｓ ｐｒｏｖｅｄ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ ｉｎ Ｌｅｍｍａ ５．６．１１． Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ （ＶｊＦ（／））ｅ ａｎｄ （ＶｊＦ（／））ｐ ａｒｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅｙ ｍａｐ ＾－ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ

§－ｓｅｃｔｉｏｎｓ：

Ｆ（ｉｄ，９ｙ（Ｆ（ｆ，ｉｄｙ（ｔｓ））

＝

＜

ｆｏｒ ａｎｙ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ｇ：Ｓ

－＞

Ｓ＇ ａｎｄ

（ｔｓ ＼

Ｆ（ｉｄ，９ｙ（Ｆ（ｆ，ｉｄｙ（ｔｓ））

＜ ＝

＜

ｆｏｒ ａｎｙ ｅ－ｐ ｐａｉｒ ｇ：Ｓ

ｆｉ：Ｆ

—＞

Ｇ ｉｓ

ａ

ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ

－＋

Ｖｊ（／Ｌｉ）

ｉｎ

Ｆ（ｆ，ｉｄＹ（ｔｓ，） Ｓ）

Ｇ

Ｖｓ（Ｆ（Ｘ， －）），

ａｎｄ

Ｆ（ｉｄ，９ｙ（Ｆ（ｆ，ｉｄｙＦ（ｉｄ，９ｙ（ｔｓ，）） Ｆ（ｉｄ，ｇｙＦ（ｉｄ，ｇｙ（Ｆ（ｆ，ｉｄｙ（ｔｓ＞）） Ｆ（ｆ，ｉｄｙ（ｔｓ＞）

（ｔｓ ｜ Ｓ Ｇ Ｓ） Ｇ Ｖ§（Ｆ（Ｘ＇，—））． Ｓｕｐｐｏｓｅ Ｃ（Ｉ ｘ Ｕ，Ｕ）． Ａｇａｉｎ ｗｅ ｏｍｉｔ ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅ

Ｓ＇ ａｎｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｓ Ｇ

Ｆ｛ｆ，ｉｄｙ（Ｆ｛ｉｄ，ｇｙ｛ｔｓ））

ｔｈａｔ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ

２５８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｌｅｍｍａ ５．６．１３， ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ

ｋｍ： Ｘ（ｉ）

＾

Ｘ

｜

／）

ｉ Ｇ

ｉｎ Ｊ ａｎｄ ＊ Ｇ

ＶｊＦ（Ｘ）

（ＵＷＭｖｉ））ｅＷ？）ｘ（ｉ）（ＶｉＦ（ｍ））ｐ Ｉ ＝

ｕｓｉｎｇ （ｉｉ） ｆｏｒ／ｉ

＝

＝

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

Ｓ，

＝

（ｉｉ）． Ｔａｋｅ ａ ＶＳ（Ｆ（Ｘ， －））：

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ

ｉ｝］（ｔ））ｓ

ｉ ｅ

＼＿＼ｉＧ（＾ ｉｄ）ｅｆｉ｛ｘ（ｉ），ｓ）Ｆ（ｒｉｉ， ｉｄ）ｐ（ｔｓ） ｜

／｝

ｔ

Ｈ（ｘ，ｓ）（ｔｓ） （Ｙｒ（／ｉＭｔ））ｓ

（（７７＊， ｉｄｓ）： （Ｘ（ｉ），Ｓ）

ｍＸ ｘＵ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ Ｓ Ｇ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ

—？

｛Ｘ，Ｓ） ＼

ａｐｐｌｙ （ｉｉ）

ｉ Ｇ

／）

ｉｓ

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ５．６．１３ ｔｏ ／ｚ．

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｔａｓｋ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ａｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （７１－ｊ ｈ Ｖｊ） ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｌｅｔ ｕｓ ｕｓｅ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１０．２４． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ａ Ｏｕｒ

ｃｏｕｎｉｔ

（ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ） ｅ ：

ｔｔＪＶｊ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｉｆ ＼ｉ＼

ｎ＾Ｆ ｏｆ Ｃ｛Ｘ ｘ Ｕ，Ｕ）） ｔｈｅｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ，

ｗｈｅｒｅ

—＊■

—？

Ｇ

ｉｄ

Ｃ（Ｉ

：

（ｗｈｅｒｅ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｘ

ＵＭ）

ｘ

Ｕ，Ｕ）

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ（Ｘ，Ｕ） ａｎｄ ＶｊＧ ｕｎｉｑｕｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｐ，：Ｆ Ｆ ｉｓ

ａｎ

—？

ｏ

ｔｔｊ

－？－

Ｇ： Ｊ

ｘ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｗ

ｆａｍｉｌｙ

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｃ（Ｘ，Ｕ），

ｆｏｒ

Ｕ．

－？？

ｅ ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｏ

ｇｉｖｅ

Ｃ（Ｉ ｘ Ｕ，Ｕ）． Ｅａｃｈ ｓｕｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（Ｘ ｘＵ，Ｕ） ａｎｄ ｗｅ ａｐｐｅａｌ ａｓ ｅｖｅｒ ｔｏ Ｌｅｍｍａ

ｃｇ ａｔ ｅａｃｈ

Ｇ ｉｓ

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｅＧ： ＶｊＧ

ｔｈｅ

Ｃ｛Ｉ

—？

Ｇ ｏｆ

ｉｔｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ５．６．１３ ａｎｄ ｇｉｖｅ ａ ｉｓ

ａ

ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

（（ Ｇ）（ＸｊＤ）：Ｖｓ（Ｇ（Ｘ，－）） －＞Ｇ（Ｘ，Ｄ） ｜ （Ｘ，Ｄ） ｌｘＵ）． Ｅａｃｈ ｓｕｃｈ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

（ｔｓ Ｉ Ｓ Ｇ Ｓ）

１

｛ｅｃ）（ｘ，Ｄ）

ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

（＊＇Ｄｉ ＬＫ＊３＾ ／）６ｆｅ） Ｉ

５

Ｓ， ／

Ｗ（５， Ｄ）｝

５．６．

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

ｗｈｅｒｅｉｎ

ｔｓ

｛ｅｃ）（ｘ，Ｄ）

２５９

Ｇ（Ｘ，Ｓ）

Ｇ

ａｎｄ

（ｔｓ ＼

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｆｉｒｓｔ

ｗｅ

Ｓ）

Ｓ Ｇ

Ｇ

Ｖ§（Ｇ（Ｘ，－））．

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ

｛Ｇ（ｉｄｘｊｙ（ｔｓ）＼ＳｅＳ，ｆｅｕ（ｓ，Ｄ）｝ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｄｉｒｅｃｔｅｄ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｍ：

５＇

－＞

ａ

Ｇ（ｉｄ， ｆ）ｅ（ｔｓ）

ａｎｄ

ｆｉｎｉｔｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ Ｓ＂ ａｎｄ ｅ－ｐ

５＂ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ／

Ｇ（ｉｄ，ｆ）ｅ｛ｔｓ）

ｐａｉｒｓ ｆ＂：Ｓ＂

＝

／＂Ｊ

＝

Ｇ｛ｉｄ，ｆ＂）ｅＧ（ｉｄ，ｌ）ｅ（ｔｓ）

ａｎｄ

／＇

Ｇ（ｉｄ， ｆ＇）ｅ｛ｔｓ＇）－ Ｂｙ

／＂ｍ．

＝

—？

Ｌｅｍｍａ ５．６．５

Ｄ， ｌ：Ｓ

—＞

Ｓ＂ ａｎｄ

Ｎｏｗ ＜

Ｇ（ｉｄ，ｆ＂）ｅ（ｔｓ？）

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ； ａ ｓｉｍｉｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ ａｐｐｌｉｅｓ ｆｏｒ ／＇， Ｓｆ， ｐｒｏｖｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔ－ ｅｄｎｅｓｓ． Ｉｔ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｛ｅｃ）（ｘ，Ｄ） ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ． Ｔｏ ｓｅｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｂｅｃａｕｓｅ ｔ ｉｓ

（ｅＧ）（ｘ，Ｄ），

ａｎ

ｔａｋｅ

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂｓｅｔ

｛ｔａ ｜

ａ

Ｇ

Ａ｝

ＶＳ（Ｇ（Ｘ， －））

Ｃ

ａｎｄ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

＝

＝

＝

＝

＝

Ｎｅｘｔ

ｗｅ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ＬＫＧＷ ｆ）ｅ（Ｕ｛ｔａｓ ＼ａｅＡ｝）＼Ｓｅ§，ｆｅ ｕ（Ｓ， Ｄ）｝ ＬＫＬＫ＾Ｗ ／）ｅ（＊Ｓ） Ｉ

ａ

Ｇ

Ａ｝ ｜

５ Ｇ

Ｓ， ／

Ｇ

Ｕ（Ｓ， Ｄ）｝

ＬＫＬＫ＾Ｗ ｆ）ｅ（ｔａｓ） ＼ＳｅＳＪｅ Ｕ（Ｓ， Ｄ）｝ Ｉ ｜Ｊ｛（ ｇＷ）（＊ｓ Ｉ ＬＫ＾Ｗ）＾） ｜

｛ｃｇ）（ｘ，ｄ）

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

５ Ｇ

Ｓ） Ｉ

Ｇ

Ａ｝．

ａ

（ｉ）

ａ

Ｇ

ａ

Ｇ

Ａ｝

Ａ｝

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ５．６．１３． Ｔａｋｅ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

（７，／）：（Ｘ，￡＞）＾ （＊＇，￡＞＇） ｉｎｌｘＷ ａｎｄ

ａｎ

§－ｓｅｃｔｉｏｎ ＊ Ｇ

［Ｇ（７， ｆ）ｅｏ（ｅＧ）｛ｘ，Ｄ）］（ｔ）

＝

＝

＝

＝

＝

Ｖ§（Ｇ（Ｘ， －））．

Ｔｈｅｎ

Ｇ（７， ／）ｅ（Ｕ｛Ｇ（ｗ＞ Ｗｓ） Ｉ

｜Ｊ｛Ｇ（７， Ｗ（＊ｓ） ｜

５ Ｇ

Ｓ， ／ｉ

５ Ｇ

Ｓ， ／ｉ

Ｗ（５， ￡＞）｝）

Ｗ（５， ￡＞）｝

（ｃＧ）（ＸＭｙ）（Ｇｆ（７，Ｗ）ｅ（＊ｓ）｜５＇ Ｓ） ［（ Ｇ）（＾＾）ｏ（ＶｚＧ（７））ｅ］Ｗ

［（ｃＧ＾ＭｙｊｏＣＣＶｊＧｏ＾Ｃｆ，／））？］（＜）

２６０

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ

（ｉ）

ｈｏｌｄｓ． Ｔｏ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

５．

ｖｅｒｉｆｙ （ｉｉ），

ｌｅｔ

（（Ｔｊｉ，ｒＪｉ）：（Ｘ（ｉ），Ｄ（ｉ））＾（Ｘ，Ｄ）＼ｉｅＩ） ｂｅ

ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ Ｊ

（＊ｇＷ） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ ｔ

—

＝

（ｔｓ ＼

Ｕ． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｘ

ＬＫＧｆｏ＾）ｅ（＾）（ｘ（ｉ），Ｄ（ｉ））（ＶＩＧ（＾））ｐ ＼ｉｅｌ｝． Ｓ Ｇ

Ｓ）

Ｇ

Ｖ§（Ｇ（Ｘ， —））

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｆ ／ｉ： ５

＜

ｉ Ｇ ／ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ａ ｍｏｍｅｎｔ＇ｓ

ｔｈｏｕｇｈｔ

ｐａｉｒ ｈ：Ｓ

—？

ａｎ

ｅ－ｐ

ｐａｉｒ ６（ｈ）： Ｓ

ｒｅｖｅａｌｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ

—＊

ｂｙ

ｉｔ

Ｄ

（Ｕ｛Ｇｆａ＞＊Ｙｔｅ）Ｍ）Ｍｉ））＜ｙＭ＊Ｗ Ｉ

Ｄ ｉｎ Ｗ ｗｈｅｒｅ ５ Ｇ § ｔｈｅｎ

—？

（１）

ｉｓ ａｎｙ Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ

ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ Ｓ Ｇ Ｓ ａｎｄ ｅ－ｐ

Ｇ｛ｉｄＸｌｈｙ｛ｔｓ）

（１）

／｝）（？）？

＊

Ｌｅｍｍａ ５．６．８ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｄ（ｉ（ｈ）） ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ

ｈ

＝

ｓｏｍｅ

？７ｔ（／ｉ）Ｏ０（／ｉ）．

ｆａｍｉｌｙ

（（ｆ）ｕｉｄｓ）：（Ｘ（ｉ），Ｓ）－＋（Ｘ，Ｓ）＼ｉｅＩ） ｉｓ

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ Ｔ

ｘ

Ｕ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｓ Ｇ

ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｇ

ｉｄＧ（ｘ，ｓ）

＝

ｗｅ

ａｎｄ ｈｅｎｃｅ

Ｓ，

ｂｙ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．３ ａｎｄ ｔｈｅ

ｈａｖｅ

ＵｉＧｆｃ ｉｄｓＹＧ（ｆ）ｉ， ｉｄｓｆ ｜

（２）

／｝．

ｔ

Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｕ｛Ｇ（ｎｕｒｉｉ）＼ｅＧ＼ｘ＾Ｄ＾ｘＧ（ｆ＼ｉ）Ｙ Ｉ ＝

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ＬＫ＾ｆｅ＾ｉ）６＾）＾），＾））＾＾＾））＾＾） ｜

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Ｊ｝］ ｜ ＳｇＳ，０ＧＷ（Ｓ，￡＞（ｚ））｝ ｜ｉ ７｝

Ｕ｛｛Ｇ（Ｍ， ＴｋＹＧ（ｉｄ， ０ｙ｛ｔｓ） Ｉ Ｇ（ｔｄ，ｉｆｃＷ）ｅＧ（ｔｄ＾（ｆｃ））ｅ（？ｓ） Ｇ（ｉｄ，ｈＹ（ｔｓ）

Ｓ Ｇ

Ｓ， ０ Ｇ Ｗ（５， ￡＞（＊））｝ Ｉ

＊

／｝

ａｎｄ ｅ．

２６１

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

５．６．

ｓｏ ｗｅ ａｒｅ

Ｉｆ ｆｉ：

７ｉｊＦ

ｄｏｎｅ． Ｎｏｗ

Ｇ ｔｈｅｎ

—？

ｍａｔｅ Ｐ：

７ｉｊＦ

Ｐｘ

ｄｅｆｉｎｅ

ｍａｔｅ

ａ

ａｃｒｏｓｓ

ＶｊＧ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｒｏｍ

—？

（ｍ，ｓ）（ｓ） Ｉ

ｘ ￣

５ ６

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｎｉｔ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ

ｔｈｅ

Ｓ）

Ｖｇ（Ｇ（ＪＣ＞ ＿）｝

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｗｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｘ． Ｉｆ Ｇ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｖ：

Ｆ

—＞

ＶｊＧ ｔｈｅｎ ｉｔｓ

—＞

ＦＸ

．

ＪＬ：Ｆ

ｐｘ

＿ｘ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｗｅ

ｘ －＞

ｗｈｅｒｅ

（Ｘ， ￡＞）

ｔｈｉｎｇｓ

ｔｏ ｄｏ ｔｏ

Ｕ｛Ｇ（ｉｄｘ， ｆ）＇Ｃｘ（ｘ））ｓ ｜

ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ ｓｅｅ

５ ｅ

Ｓ， ／

ｅ

Ｍ（Ｓ， ￡＞）｝

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｘ． Ｏｎｃｅ ａｇａｉｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｖｅｒｙｔｈｉｎｇ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ｔｈｅ

ｔｈａｔ

ｑｕｉｔｅ ｒｏｕｔｉｎｅ （ａｎｄ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｎｏｗ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｆｅｗ ｐａｇｅｓ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ！）； ｌｅｔ ｕｓ ｓｉｍｐｌｙ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ／Ｚ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ （ｉｉ） ｏｆ Ｌｅｍｍａ ５．６．１３． ａｒｅ

Ｔａｋｅ

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔ

ｆａ： Ｘ｛ｉ）

Ｘ

—？

＼

ｉ Ｇ

Ｕ｛（＾Ｇｆａ）Ｙ ＧＥＺ）ｘ（ｉ） （ＦｔｈＹ Ｉ ｏ

ｏ

＝

（？，） ／ｏｒ ｆｉ

Ｇ

＊

ｃａｓｅ

Ｖ ｕｓ

／｝（＊）

ｙｉｅｌｄ

ａｎ

ｈ

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ （７ｉｊ

Ｖｊ）

ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ

ｉｆ

ｅＧｏ７ｒＪ／Ｚ Ｌｅｔ

Ｇ ＦＸ． Ｔｈｅｎ

￣Ｐｘ（ｘ）－

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄａｔａ ｂｅ ｔｈｅ

ｘ

（ｆｉ（Ｘ，ｓ）（ｘ） ＼Ｓ ｅＳ）

＝

＝

ｉｎ Ｘ ａｎｄ ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｕ｛（Ｖ＾（＾））ｅ（Ｍ（ｘＷ）ｓ）（Ｆｆｅ）ｐ（ｘ）） ｜ Ｓ Ｇ Ｓ） ｜ ｉ Ｇ ／｝ （＼Ｊ｛Ｇｆａ， ｉｄＹ＾ｘ＾Ｓ）ＦｆａＹ（ｘ） ｜ ｉ Ｇ ／｝ ｜ Ｓ Ｇ Ｓ）

＝

ｕｓｍｐ

／）

＝

＝

ｎ ｑＯ ＴＴｊ－Ｖ．

ｊｕｓｔ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ； ｔａｋｅ ｆｉ（ｘ，Ｄ）： ＦＸ

—？

Ｇ（Ｘｔ Ｄ）

ａｎｄ

ｘ

Ｇ ＦＸ：

（ｅＧ）＾ｘ，Ｄ）（｛＾ｘＰ）｛ｘ，Ｄ）｛ｘ）） ＝

＝

＝

＝

｛ｅＧ）（ｘ，Ｄ）０Ｉｘ｛ｘ））

［｝｛Ｇ｛ｉｄｘ， ｆ）ｅ＾ｘ，ｓ）（ｘ） ｜

Ｓ Ｇ

Ｓ， ／

Ｇ

Ｕ（Ｓ， Ｄ）｝

＼ＪｉＧ（ｉｄｘ， ｆＹ＾ｘ，ｓ）｛［｛＾Ｆ）｛ｉｄｘ， ｆ）］ｐ｛ｘ）） ｜

Ｓ， ／

５ Ｇ

（（ｉｄｘ， ／）： （Ｘ， Ｓ） ａ

ｔｈｉｓ

ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ ２＂ ｃａｓｅ

Ｗ（５， ￡＞）｝

ｔ＊｛Ｘ，Ｄ）（ｘ）

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｓｔｅｐ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．６．６

ｉｓ

Ｇ

ｘ

－＞

Ｕ， ａｎｄ

（Ｘ， Ｄ） ｜ ／ｅ／ｐ ｏｎｃｅ

ａｇａｉｎ

ｗｅ

｛／７Ｐ Ｉ ｈａｖｅ

５ Ｇ

Ｓ， ／

ａｐｐｌｉｅｄ （ｉｉ）

Ｇ

ｉｍｐｌｉｅｓ

ｔｈａｔ

Ｗ（５， ￡＞）｝）

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ５．６．１３， ｉｎ

ｔｏ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃｏｌｉｍｉｔ． Ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅ ｖａｌｌｅｙ ｉｓ ｏｍｉｔｔｅｄ．

□

２６２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

５．

Ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒ－ ｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．６．１５． Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．６．１８

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

５．７

Ｗｅ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ５．７．１ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ

ａ

２Ａｘ－Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ａ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ， ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｌｉｎｅｓ ａｓ ｔｈｏｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ／ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒｓ ３ ａｎｄ ４． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｕｓｅ ａ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ＂ｍｏｒｐｈｉｓｍ＂ ｂｅｔｗｅｅｎ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｂａｓｉｃａｌｌｙ ａｎ ＯＯＣａｔ ａｎｄ ｉｎｄｅｘｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｌｅｔ Ｃ： Ｃｏｐ Ｄ Ｄ： Ｖ ＯＯＣａｔ ｂｅ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ． Ａ ２Ａｘ －ｆｕｎｃｔｏｒ （ａ， Ｆ）： Ｃ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ （ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ） ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ａ

—＞

－？？

－＋

？

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ：Ｃ —＊Ｖ ｓｅｎｄｓ ｔｈｅ

ａｎｄ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ？

？

ＤＦ／ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｃ， ａｉ＇．ＣＩ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｇｒｅｅｓ ｗｉｔｈ Ｆ， ａｎｄ

ｏｎ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

—？

ｏｂｊｅｃｔ

／ ｏｆ

Ｚ＞，

ｉｓ

ａ

ｓｔｒｉｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｃ， ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ

Ｃ（／

ｘ

Ｕ）

＊

－

＜＊ＩｘＵ

Ｄ（Ｆ（Ｊ ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ

Ｕ ｏｆ Ｃ ｔｏ ｔｈｅ Ｖ ｏｆ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ；

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ｗｈｉｃｈ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔ

＝：

ＦＩ

Ｃ（Ｉ） ＜＊／

ｘ

ｘ

Ｕ）） Ｖ

＝＊

Ｂ（ＦＩ ｘＶ）

Ｆ（Ｉ

—？

ｘ

Ｕ）

—－

ｖＦＩ

Ｄ（ＦＪ）

ｉｓ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒｓ ３ ａｎｄ ４ ａｒｅ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ， ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ． Ｈｅｒｅ ｗｅ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｕｒｓｅｌｖｅｓ ｗｉｔｈ ａ ｍｏｒｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｎｏｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｎａｌｏｇｏｕｓ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｅｎｊｏｙｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｔｗｏ ｃｈａｐｔｅｒｓ， ｂｕｔ ｎｏｗ ｗｅ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｂｅｆｏｒｅ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ａ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ２Ａｘ－ ＯＯＣａｔ ａｎｄ Ｄ： Ｖ°ｐ ＯＯＣａｔ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ， ｗｅ ｎｅｅｄ ｓｏｍｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｌｅｔ Ｃ： ０°＾ ｂｅ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ， ａｎｄ ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｉｎ Ｃ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ

－＞

Ｆｕｒｔｈｅｒ，

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

（ａ， Ｆ）＊Ｍ ？

ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｄ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｐｌ（（ａ，Ｆ）．Ｍ）＊

＝ｆ ＾（ＰＷ）

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔｓ ｎ， ａｎｄ

（ａ， Ｆ）： Ｃ

—？

ｂｙ

ａ

２Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｍｏｄｅｌ

ｔｈｅ ｃｌａｕｓｅｓ

ｏ ＝：

ｏｆ Ｃ ａｎｄ

Ｄ ｉｓ

－＋

Ｖｎ

－＋

Ｆ（Ｕｎ）

－＊

Ｖ ｗｈｅｒｅ Ｕ ａｎｄ Ｖ

ａｒｅ

ｔｈｅ

Ｄ， ａｎｄ Ｔ ｉｓ ａｎｙ ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ｔｈ ｗｉｔｈ ａｒｉｔｙ

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

５．７．

？

［／］（（ｏ，Ｆ）．Ｍ）＊？

／： Ａ； ￥１｝．．．， ￥ａ

—＊

＝

￥ ｏｆ

－？？

ａ

２Ａ ｘ

（＜＊￡／？ （Ｉ／］ｍ＊？））

－

ｆｏｒ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

７７ｉ， ｗｈｅｒｅ Ａ ｈａｓ ｌｅｎｇｔｈ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ５．７．２

Ｇｉｖｅｎ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．７．３

２６３

Ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ Ｖｎ

（ａ， Ｆ）＊Ｍ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ，

ａ

ｎ

ｓｙｍｂｏｌ ｗｉｔｈ ｓｏｒｔｉｎｇ ＝

Ｆ｛Ｕｎ）

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ａ

ａｓ

ａｂｏｖｅ．

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ．

Ｃｌ（Ｔｈ） ｉｓ ａ Ｃｌ（Ｔｈ） ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

２Ａｘ－

ｂｅ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ Ｇ． Ｔｈｅｎ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｆｏｒ Ｔｈ， ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｇｅｎｅｒｉｃ， ｉｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｈｏｌｄｓ： ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ：Ｃｏｐ ＯＯＣａｔ ａｎｄ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ ＴＡ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ （ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ｔｈｅ

ａ

—？

Ｃ ［Ｃｌ（Ｔｈ），Ｃ］— ｓｅｅ ｐａｇｅ １０９） ａ ｕｎｉｑｕｅ ２Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ ｛ａ，Ｆ）： Ｃｌ｛Ｔｈ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ （ａ， Ｆ）＊Ｇ Ｍ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ Ｃｌ（Ｔｈ） ｕｐ ｔｏ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ （ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ）． Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ｃｌａｓｓｉｆｉｅｒｓ ｅｘｉｓｔ ｆｏｒ ａｌｌ －＞

ｃａｔｅｇｏｒｙ

＝

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

ｇｉｖｅｎ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃｌ（Ｔｈ） ｗｉｔｈ ａ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．７．４

Ｆｏｒ ａｎｙ

ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ

ｏｆ Ｔｈ ｉｎ

ａ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ

Ｃｌ（Ｔｈ）．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｔｈ （Ｓｇ， Ａｘ）． Ｔｏ ｋｅｅｐ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ａｓ ｃｌｅａｎ ａｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ， ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ Ｃ： Ｃ０＊ ＯＯＣａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｗｅ ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ０． Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ０ ａｒｅ ｉｎ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ Ｉｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ， ａｎｄ ｗｉｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ １， Ｔｙｐｅ， Ｔｙｐｅ Ｔｙｐｅ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｍｏｒｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ． ＰＲＯＯＦ

＝

—？

，．．．

，

ｇｉｖｅｎ ｆｉｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ （Ａ ｜ ￥） ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （Ａ， ３＞） ｗｈｅｒｅ Ｌｅｔ

？

ｎ

Ａ ｉｓ

ｂｅ

ａ

ａ

ｔｙｐｅ

ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ

ｌｅｎｇｔｈ

ｎ， ａｎｄ ￥ ｉｓ

ａ ｒａｗ

ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ

ｔｙｐｅ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｓｇ

＞

ａｎ

Ａｈ￥，

ａｎｄ ？

ｔｈｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ

ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｔｈ

＞

ｇｉｖｅｎ ｂｙ （Ａ， ￥） Ａｈ￥

＝

￣

（Ａ＇， ￥＇） ｊｕｓｔ

＾＇［Ａ／Ａ＇］ ｕｓｉｎｇ

ａｎ

ｉｎ

ｃａｓｅ ｗｅ ｃａｎ

ｏｂｖｉｏｕｓ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ

ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ．

ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｔｙｐｅ７１ —＊■ Ｔｙｐｅｍ ｉｎ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｌｉｓｔ ［（Ａ ｜ ３＞ｉ），．．．， （Ａ ｜ ￥ｍ）］ ｏｆ ｍ ｓｕｃｈ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌｅｎｇｔｈ ｏｆ Ａ ｉｓ ｎ． Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅｓ ｆｏｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｍｏｒｅ ｆｏｒｍａｌｌｙ， ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ａ

［（Ａ ｜ ￥０，．．．， （Ａ ｜ Ｓｍ）］： Ｔｙｐｅｎ

－

Ｔｙｐｅｍ

ａｎｄ

［（Ａ，｜＾１），．．．，（Ａ／｜＾）］：ｒ＾ｅ－－，Ｔｙｐｅｉ

２６４

Ｃｈａｐｔｅｒ

５．

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

［（Ａ ｜ ￥ｉ［＜Ｓ／Ａ＇］），．．．， （Ａ ｜ ￥；［＜Ｓ／Ａ＇］）］ Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ （Ｃ：Ｃｏｐ

：

Ｔｙｐｅｎ

ＣＣＣａｔ． Ｆｉｒｓｔ

—？

－

ｗｅ

Ｔｙｐｅ１．

ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ａｔ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ Ｔｙｐｅ７１ ｏｆ Ｃ， ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｙｐｅ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（Ｔｙｐｅｎ） ｗｈｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｔｙｐｅ７１ ｏｎ

—＞

Ｃ， ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ） ｆｏｒ ｔｈｉｓ （ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ） ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ Ｃ（ Ｔｙｐｅ７１， Ｔｙｐｅ）， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｏｎｃｅ ｍｏｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｓｏｍｅ

ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｂｅｃａｕｓｅ

（Ａ＇ ｜ ＼￡）

＝

（Ａ ｜ ＾［Ａ／Ａ＇］），

ｗｉｔｈｏｕｔ ｌｏｓｓ ｏｆ

ｊｕｓｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （Ａ｜３＞）—？（Ａ｜＼Ｅｆ）ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｒｉｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｏｍ （Ａｉ，ａ；ｉ：￥ｉ，Ｍｉ） ｗｈｅｒｅ Ａｘ ｉｓ ａ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ ｎ， Ｘｉ ｉｓ ａ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ， ￥１ ｉｓ ａ ｒａｗ ｔｙｐｅ ａｎｄ Ｍｘ ｉｓ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ ｓｕｃｈ ｔｒｉｐｌｅｓ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ

ｗｅ

ｍａｙ

ａｓ

ｗｅｌｌ

（Ａｉ， ｘｉ： ￥１， Ｍｉ）

ｊｕｓｔ

ｉｎ

ｃａｓｅ ｗｅ ｃａｎ

Ｔｈ ｗｈｅｒｅ ｏｆ

Ｓｇ

Ａｉ

＞

￣

（Ａ２， ｘ２：３＞２， Ｍ２）

ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ

Ａｘ

＞

｜ ａｉｉ： ￥ｉ

｜ Ｘｌ： ￥ｉ ｈ

ｈ

Ｍｉ

＝

Ｍｉ： ＾ｉ， ａｎｄ

Ｍ２［Ａｉ／Ａ２］［ｘｉ／ｘ２］： ＃ｉ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

ｃｌａｓｓ

（Ａｉ，Ｘｉ：￥ｉ，Ｍｉ） ｂｙ （Ａｉ｜ｘｉ：＜Ｓ＞ｉ｜Ｍｉ）．

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （Ａ ｜ ￥） （Ａ ｜ ＼￡） ｉｎ Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ （Ａｉ ｜ ｘ＼． ￥ｉ ｜ Ｍｉ） ｗｈｅｒｅ （ｓａｙ） Ｓｇ ＞ Ａｉ ｜ ｘ＼． ￥ｉ ｈ Ｍｉ： ＾ｉ ａｎｄ ａｌｓｏ ｗｅ Ａ

—？

ｄｅｒｉｖｅ Ｔｈ

ｃａｎ

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｆｏｒｍａｌｌｙ，

ｉｆ

ｉｓ

ｗｅ

＞

Ａｈ￥

＝

￥ｉ［Ａ／Ａｉ］

ａｎｄ ７７ｉ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｗ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

＞

Ａ ｈ

＃

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｅｒｍ

＝

＃ｉ［Ａ／Ａｉ］．

ｖａｒｉａｂｌｅｓ；

ｍｏｒｅ

（Ａ｜ａｒ．￥｜Ｍ）：（Ａ ｜￥）－＊（Ａ ｜ ｔｆ） ａｎｄ

（Ａ｜ｙ：ｔｆ ｜ ＪＶ）：（Ａ｜ｔｆ）－＞（Ａ｜０） ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

（Ａ Ｎｏｗ

ｗｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／

ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

｜ ｘ： ￥ ｜ Ｎ［Ｍ／ｙ＼）： （Ａ ｜ ￥）

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ ＝

［（Ａ ｜ ￥ｉ），．．．， （Ａ ｜ ￥ｍ）］： Ｔｙｐｅ７１

－＞

ｏｎ —？

（Ａ ｜ ９）． ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ．

Ｔｙｐｅ７７１

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｔａｋｅ

ａ

ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

５．７．

Ｃ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｔｈｅ

Ｃ／

＝

２Ａ ｘ

ａ

－

２６５

Ｔｈｅｏｒｙ

ｆ＊：Ｃ（Ｔｙｐｅｍ， Ｔｙｐｅ）

Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

－？

ｉｓ ｄｅｎｎｅｄ

ｂｙ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ （Ａ＇ ｜

ａ；：

｜ Ｍ）： （Ａ＇ ｜ ￥）

￥

（Ａ ｜ ｘ： ￥［＜￡／Ａ＇］ ｜ ｗｈｅｒｅ Ａ ａｎｄ Ａ＇ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ

Ｎｅｘｔ

ｗｅ

Ｌｅｔ Ａ ｂｅ

ａ

ｒａｗ

＾

Ｍ［＜￡／Ａ＇］）： （Ａ ｜ ￥［￥／Ａ＇］）

ｃｏｎｔｅｘｔｓ ｏｆ

ｔｙｐｅ

ａｒｅ

（Ａ＇ ｜ ｔｆ）

—

ｌｅｎｇｔｈ

ａｎｄ

ｎ

—＞

（Ａ ｜

＃［＜Ｓ／Ａ＇］）

ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，

ｍ

ａｎｄ ￥

ｔｙｐｅｓ ￥ｉ，．．．， ￥ｍ．

Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｔｙｐｅ

ｌｅｎｇｔｈ

ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

ｏｂｊｅｃｔ ｉｓ （Ａ ｜ ｕｎｉｔ）． Ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （Ａ ｜ ￥ ｘ ＃）， ａｎｄ ｔｈｅ

Ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｎ．

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ （Ａ ｜ ￥） ａｎｄ （Ａ ｜ Ｖ） ｉｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （Ａ ｜ ３＞ ＝￥＞ ＼￡）． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｌｅｆｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｆｉｌｌ ｏｕｔ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｈｅｒｅ．

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅｓ ｗｈｉｃｈ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｓ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｌｅｔ ７Ｔ７＾ｐｅｎ： Ｔｙｐｅｎｘ Ｔｙｐｅ —＞ Ｔｙｐｅｎ ｂｅ ａ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｏｕｒ ｆｉｎａｌ ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ

ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ．

Ｆｏｒｍａｌｌｙ ７ＴＴｙｐｅｎ

ｗｈｅｒｅ Ａ

［Ｘｉ，．．．， Ｘｎ］．

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

＝

＂Ｔｙｐｅ＊ ｉｓ

＝

Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

ｓｅｅ

—＞

［（Ａ，Ｘ ｜ Ｘｉ），．．． ，（Ａ，Ｘ ｜ Ｘｎ）］

＝

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｃ｛Ｔｙｐｅｎ

ｘ

Ｔｙｐｅ， Ｔｙｐｅ）

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ （Ａ

｜ ｘ： ＜￡＞ ｜ Ｍ） ： （Ａ ｜ ￥）

—？

（Ａ ｜ ｔｆ）

，—．

（Ａ，Ｘ｜ａ？：￥ ｜ Ａｆ） （Ａ，Ｘ ｜ ＜￡＞） ：

—？

（Ａ，Ｘ ｜ ＊）．

Ｉｔ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｆａｃｔ ｔｈａｔ

ｏｆｔｅｎ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ａ

ａｓ

ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｔｙｐｅ７１ ｏｆ Ｃ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ＶＴ，ｐｅｎ ： Ｃ｛Ｔｙｐｅｎ

ｂｙ

ｔｈｅ

ｘ

（Ａ ｜ ｎｏｗ

ｅａｃｈ

ｚ：

ＶＸ．￥

ｈａｖｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｏｂｊｅｃｔ Ｔｙｐｅ７１．

Ｃ（Ｔｓ／ｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ

ｇｉｖｅ

Ｃ（Ｔｙｐｅｎ

ｘ

ｗｅ

—＞

（Ａ，Ｘ ｜ ｔｆ）

ＡＸ．Ａｆ ［ｚＸ／ａ：］）：

｜

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａｎ

＾

（Ａ ｜ ＶＸ．￥） ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ

—？

（Ａ ｜ ＶＸ．￥）．

（ｆｌ＾ｐｅ＂

＾

＾Ｔｙｐｅｎ）

ｆｏｒ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

０ ＝ｆ （Ａ， Ｘ ｜ ￥）： Ｔｙｐｅ７１

ｃａｔｅｇｏｒｙ

—？

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

（Ａ，Ｘ｜ｚ：￥ ｜ Ａｆ）：（Ａ，Ｘ ｜ ￥） Ｗｅ

Ｔｙｐｅ， Ｔｙｐｅ）

ｘ

Ｔｙｐｅ

－＋

Ｔｙｐｅ

ａｎｄ

＾ ｄ＝ （Ａ ｜ ｔｆ）： Ｔｙｐｅ＂

－＋

Ｔｙｐｅ．

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ７ＴＴｙＰｅｎ ＷＯ ＂￣＊ ０ ｍ ｔｈｅ Ｔｙｐｅ， Ｔｙｐｅ） ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｐ —＞ ＾Ｔｙｐｅｎ｛４＞） ｍ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａ

２６６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）， ｒｕｌｅｓ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

５．

＜ｆ） ａｎｄ ｉｐ． Ｌｅｔ

（Ａ，Ｘ＼ｘ：Ｖ ｜ Ｆ） ： （Ａ，Ｘ ｜ ＊） （Ａ ｜ ＊： ￥ ｜ ＡＸ．Ｆ） ： （Ａ ｜ ｔｆ）

—＋

—？

ｕｓ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｂｙ ｔｈｅ

（Ａ，Ｘ ｜ ０）

（Ａ ｜ ＶＸ．￥）

ａｎｄ

（Ａ ｜ ｒｅ： ＃ ｜ Ｍ） ： （Ａ ｜ ￥）

—？

（Ａ ｜ ＶＸ．￥）

－＾

（Ａ，Ｘ｜ｘ：＃ ｜ＭＸ）： （Ａ，Ｘ ｜＃）—＞（Ａ，Ｘ｜￥） Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｒｕｌｅｓ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｉｎ ＜ｆ＞ ａｎｄ ＼ｊｊ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ （—）． Ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ

Ｎｏｗ ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｄｅｆｉｎｅ ａｎｄ

ａ

ｗｅ

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ． Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｓｈａｌｌ ｊｕｓｔ ｇｉｖｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｍ

４ｔ ｎ

＾

ｄｅｆ

（Ａ，Ｘ｜ｘ：＜ｌ＞｜Ｍ）：（Ａ，Ｘ｜＜ｌ＞）－＞（Ａ，Ｘ ｜￥＇），

＝

ｄｅｆ

（Ａ，Ｘ｜ ＜＊＞＇），

＝

＝ｆ

（Ａ｜ｙ：＊＇｜ ＪＶ）： （Ａ ｜ ＊＇）－？ （Ａ ｜ ｔｆ），

＝ｆ （Ａ｜＊＇），

／ ｄ＾ｆ （Ａ，Ｘ｜ｔｔ：＊｜Ｆ）：（Ａ，Ｘ｜￥）－＊（Ａ，Ｘ｜Ｓ）． Ｔｈｅｎ

ｈａｖｅ ｔｏ

ｗｅ

ｐｉｃｔｕｒｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｖｅｒｉｆｙ

ｎａｔｕｒａｌｉｔｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｇｉｖｅｎ

ｉｎ ｔｈｅ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ：

－７

／ｉ

ｍｏ

ｆｏ

７ｒ＾ｐｅｎ（ｎ）

ｉ

ｍｏ

ｆ

ｏ

Ｔｒ＊Ｔｙｐｅｎ（ｎ）

Ｖ７Ｖｐｅｎ（ｍ） ｏｆ ｏｎ

＝

＇

＾

ｖ￣

Ｒ

Ｌ

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｈａｖｅ Ｒ

＝

（Ａ＼ｙ：Ｗ＼（（ＡＸ．Ｍ［ｚＸ／ｘ］）［ＡＸ．Ｆ／ｚ］）［Ｎ／ｕ＼）

＝

（Ａ ｜ ｙ： ＃＇ ｜ （ＡＸ．Ｍ［（ＡＸ．Ｆ）Ｘ／ｘ］）［Ｎ／ｕ＼） （Ａ ｜ ｙ： Ｗ ｜ ＡＸ．Ｍ［Ｆ［Ｎ／ｕ］／ｘ］）

＝

Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ

ｗｅ

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｇｉｖｅ

ａ

ａｒｉｔｙ

ｎ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｉｎ

＝

（Ａ， Ｘ ｜ ｙ： ＃＇ ｜ Ｍ［Ｆ［ＪＶ？／ｘ］）

＝

Ｌ．

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈｅ

Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ， ａｎｄ

ｗｅ

ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ．

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ （Ｔｈｔｙ， Ｔｈｔｍ） ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ Ｇ ｉｎ ｔｈｅ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｉｆ Ｆ ｉｓ ＝

Ｓｇ，

ｔｈｅｎ

ｗｅ ｓｅｔ

［Ｆ］Ｇｔｙ ＾ （Ａ Ｉ Ｆ（Ｘ））

：

Ｔｙｐｅｎ

—＋

Ｔｙｐｅ，

ｉｎ ａ

Ｃｌ｛Ｔｈ）．

Ｆｉｒｓｔ

ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

５．７．

ｇｉｖｉｎｇ

Ｇｔｙ ｉｎ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｔｙｐｅ

ａ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ Ｇｔｙ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ￥ ｉｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

ｓｙｍｂｏｌ

ｉｎ

－

２６７

Ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｌ（Ｔｈ）—ｗｈａｔ

ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ Ｔｈｔｙ ｉｎ

ａ

Ｓｇ

２Ａ ｘ

ａ

ｔｈｅｎ

ｉｆ ｎ＝０？

Ｃｌ（ Ｔｈ）．

Ｏｎｅ

Ｉｆ

ｃａｎ

ｐｒｏｖｅ

／： Ａ； ￥１？．．．， ￥ｍ

ｂｙ —＞

ｐｕｔ

ｗｅ

［／ｌａ－ ＝＇ （Ａ ｜ ｚ： ｎｒ＊ｊ ｜ ／（Ｐｒｏｊ＾ｚ），．．．， Ｐｒｏｊｍ（ｚ））） ： （Ａ １ｎｙ＊ｆ） ａｎｄ ｉｆ ｋ：

Ａｇａｉｎ，

Ａ； ￥ ｔｈｅｎ ［ｆｃ］Ｑｔｍ

ｉｔ ｉｓ

ａｎ

（Ａ ｜

＝

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ

ｂｙ

ｘ：

ｕｎｉｔ

＼ ｋ） ｇｉｖｉｎｇ

ａ

－

（Ａ ｜ ＊），

ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ Ｇｔｍ ｉｓ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ

Ｇｔｍ．

Ｔｈｔｍ

ｉｎ

Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｎｏｗ ｌｅｔ Ｄ： Ｖ０＊

Ｄ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｆ： ￡＞

—＞

－？－

ＯＯＣａｔ ｂｅ

（ａ，Ｆ）：Ｃ

—？

Ｄ

ａ

ａｓ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ａｎｄ Ｍ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ｆｏｌｌｏｗｓ： ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ （ｗｈｅｒｅ ［—］ ｒｅｆｅｒｓ ｔｏ Ｍ）

Ｃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

［（Ａ ｜ ￥！），．．．， （Ａ ｜ ＊ｍ）］

：

Ｔｙｐｅｎ

－

，ｍ

Ｔ＾ｅ７

（［Ａ ｈ＜＆Ｊ，．．．，［Ａｈ＜＆ｍ］＞： Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｄ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｄ ｉｓ

ａ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

（Ａ

：

￡＞（７＾ｅｎ， Ｔｙｐｅ）

—？■

Ｃ Ｆ０７＇ ａｔ

ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ Ｔｙｐｅ＂ ｏｆ

Ｃ（Ｃ／ｎ， Ｃ／）

—？

ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

｜ ｘ： ０ ｜ Ｍ） ： （Ａ ｜ ￥）

—＞

（Ａ ｜ ￥）

［Ａ ｜ ｘ： ￥ ａ

Ｄ

ｆｕｎｃｔｏｒ ａＴｊ，ｐｅｎ

Ｉｔ ｉｓ

ａ：

ｒｍ

ＣＰ－．ＣＴ

＾

ｈ Ｍ：

＊Ｊ ： ［Ａ

ｈ

０］ —＞［Ａｈｆｌ．

ｔｈｏｕｇｈ ｌｅｎｇｔｈｙ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ （ａ， Ｆ） ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ［Ｃ，Ｄ］， ａｎｄ ｔｈａｔ （ａ，Ｆ）＊Ｇ

ｒｏｕｔｉｎｅ

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

Ｒｅｆｅｒ ｔｏ ｔｈｅ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ ５．７．５

（１） Ｖｅｒｉｆｙ

ｐｒｏｏｆ

２Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ

ｉｓ

ａ

＝

Ｍ．

□

ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．７．４．

ｔｈａｔ ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｉｎ Ｃ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ａｎｄ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｗｏｒｋｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ａ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．

（２） Ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅ

ｄｅｔａｉｌｓ ｗｈｉｃｈ

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

Ｃ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ｗｉｌｌ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ， ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｙｏｕ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｎｄ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｍａｔｅｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｙｏｕ

ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ Ｃ＾

—？■

ＯＯＣａｔ

Ｃ（—）

＝

Ｃ（—， Ｔｙｐｅ）

ｂｙ ｃｈｅｃｋｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．

ａｒｅ

ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ ｓｔｒｉｃｔ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ

２６８

（３）

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｔｈｅ

ｅｓｓｅｎｃｅ

５．

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．７．４．

Ｔｒｙ

ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ａｗｋｗａｒｄ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｙｎｔａｘ， ｂｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ａｒｅ ｑｕｉｔｅ ｓｉｍｐｌｅ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｄｏ ｍａｋｅ ｓｕｒｅ ｔｈａｔ ｙｏｕ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｗｈｉｃｈ ｉｎｖｏｌｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ． Ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． ｔｏ

ｓｅｅ

（４）

ｔｈａｔ ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

Ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｇ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ

ａｎｄ ｔｈａｔ

（ａ， Ｆ）＋Ｇ

＝

Ｍ．

ａ

ａｒｅ

ｒｏｕｔｉｎｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ

Ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ （ａ， Ｆ） ｉｓ ａ ２Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ ｙｏｕｒｓｅｌｆ ｔｈａｔ （ａ， Ｆ） ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ．

Ｃｏｎｖｉｎｃｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

５．８

Ｌｅｔ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｆｒｏｍ ａｎｙ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒ－ ｄｏｃｔｒｉｎｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．２． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａｎｙ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ａｒｉｓｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｓｕｃｈ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．３． Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．８．１

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．２

ｄｅｆｉｎｅ

ｕｓ

Ｆｏｒ ａｎｙ

ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ａ

ｇｉｖｅｎ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ：Ｃ°ｐ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ（Ｃ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ａ

—？

ＣＯＣａｔ，

ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ

ｗｅ ｃａｎ

Ｔｈ（Ｃ）

ｉｎＣ．

Ｐｒｏｏｆ

Ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＜ｊ＞：Ｕｎ

ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ ＜ｔ＞ ｏｆ ａｒｉｔｙ

ｎ

（ｐｏｓｓｉｂｌｙ

Ｕ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

—＞

ｎ

＝

０）．

Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ

ｕｓ

Ｃ，

ｗｅ

ｄａｔａ ｆｏｒ

ｔａｋｅ ａ

ａ

２Ａｘ－

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｙ， ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｗｅ ｃａｎ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｒｉｖｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｓｇｔｙ ＞ Ａｈ￥ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｎ ｐａｇｅ ２０７． Ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｔｙｐｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｔｙ ＜ｆ＞． Ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｎ ｐａｇｅ ２２６ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ［Ａ ｈ ￥］ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｛＜／＞］ ｔｙｐｅ

＝

ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅ Ｓｇｔｙ ＞ Ａｈ￥． Ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ａｘｉｏｍｓ Ａｘｔｙ ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈａｔ ａ ｔｙｐｅ ａｘｉｏｍ ｂｅ ａｎｙ ｔｙｐｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｙｐｅ

ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ ｈ ￥

ｉｓ

ａ

￥＇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

＝

［Ａｈ￥］

ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｙ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ

＝

［Ａｈ ￥＇］． （Ｓｇｔｙ， Ａｘｔｙ）．

＝

Ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ Ｍｔｙ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｍ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ Ｔｈｔｙ ａｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ａｂｏｖｅ． Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｍ： （ｆ＞ｉ ｘ ｘ ｃｆ＞ａ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ Ｃ（Ｕｎ，Ｕ）， ｗｅ ｔａｋｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｍ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｓｏｒｔｉｎｇ Ｎｏｗ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ

．．．

ｔａｋｅ —＊■

＜ｆ＞

ｍｉＡｊ＆ＣＸ），．．．，＾）—＞０（Ｘ） ｗｈｅｒｅ， ｓａｙ， Ａ ［Ｘ＼，．．．， Ｘｎ］． （Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｓｏｒｔｉｎｇ ｔｏ ｂｅ ａ ｇｏｏｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｔｙｐｅｓ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｓｏｒｔｉｎｇ ｍｕｓｔ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｙｐｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ， ｔｈａｔ ｉｓ Ｓｇｔｙ ＞ Ａｈ ＜ｆ＞ｉ（Ｘ） ｆｏｒ ｅａｃｈ １ ＜ ｉ ＜ ａ， ａｎｄ Ｓｇｔｙ ＞ Ａ ｈ ＜ｆ＞（Ｘ）． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｅａｃｈ ｆｃ ａｎｄ ＜ｆ＞ ｉｓ ａ ＝

２６９

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

５．８．

ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｒｉｔｙ ｎ）． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｍ：

１

＜ｆ＞

—＊？

ｉｎ

Ｃ（Ｕｎ，Ｕ）

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

Ａ； ＜ｊ＞｛Ｘ）． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅｓｅ ｔｙｐｅ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ， ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ ａｎｄ ｒａｗ ｔｙｐｅ ￥ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｓｇｔｙ ＞ Ａｈ￥， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ ＩＡ＾ ａｎｄ ＪＡ＇＊ ｏｆ ａｒｉｔｙ １ ｗｉｔｈ ｓｏｒｔｉｎｇｓ

ｓｙｍｂｏｌ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｍ：

？

ＪＡ＇＊： Ａ；

？

ＪＡ＇＊：Ａ；￥＾ ［ＡｈＯｊ（Ｘ）． Ｌｅｔ

ｕｓ

ｄｅｐｅｎｄｓ

［Ａ

￥］（Ｘ）

ｈ

ｄｅｆｉｎｅ

ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ａ

［Ａ

ｈ

ｍ：

［ＪＡ＇￥］

＝

０］

＜ｊ＞ａ

ｘ

＾（Ｘ）） —＊■

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｘ

ｉ＾［Ａｈ？］－ Ｕｓｉｎｇ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｐｒｏｖｅｄ

［Ａ ｜

Ｔ ｈ Ｍ：

￥］

［Ａ

ｘ

０Ｏ（Ｘ）］

ｈ

ｃａｎ

ｗｅ

—＊

ｓｅｔ

［Ａ

＜ｆ＞（Ｘ）ｌ

ｈ

＜ｐ（Ｘ）］ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｔｍ， ｈ

｜Ｔ

ｗｅ

ｈａｖｅ

＜ｆ＞． Ｗｅ ａｌｓｏ ｓｅｔ

＝

ｗｅ ｃａｎ

ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅ

ｈ Ｍ：

＾＞， ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｎ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｍ ｛Ｓｇｔｍ， Ａｘｔｍ） ｂｙ Ｍ＇＼ ￥ ａｎｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ

Ｓｇ

＞

Ａ

＝

＝

［Ａ ｜

＝

［Ａ

ｃｏｕｒｓｅ

ｔｈｅ ｔｅｒｍ

ｔｅｒｍ

ｔｅｒｍ ａｘｉｏｍ ｔｏ ｂｅ

ａ

．．．

＜ｊ＞ｉ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｚ， ａｎｄ ｏｆ ＝

Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｔｍ

＜ｆ＞． Ｔｈｉｓ ｍａｋｅｓ ｓｅｎｓｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

２２８， ２２９ ａｎｄ ２３０． Ｗｅ

ｄｅｍａｎｄｉｎｇ ａ

．．．

＝

Ｔ ｈ Ｍ：

ｐａｇｅｓ

ｘ

０？（Ｘ）Ｊ

［ｊＴａ＇＊］ ［Ａ ｜

＜￡ｉ

ｈ

Ｓｇｔｍ．

Ｍｔｍ ｆｏｒ

Ｔｈｔｙ ｇｉｖｅｎ ａｂｏｖｅ， ａｎｄ

ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ Ｍｔｙ ｏｆ

ｏｎ

Ｈ ｄ＾ｆ ｍ： ［Ａ ｗｈｅｒｅ

￥， ａｎｄ

－？

Ｔ ｈ Ｍ＇：

￥］，

ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ Ｍｔｍ ｉｓ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｉｍ． Ｗｅ

ｆｉｎａｌｌｙ

ｔａｋｅ

Ｔｈ（Ｃ）

＝

｛Ｔｈｔｙ， Ｔｈｔｍ）

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ

Ｍ＝（Ｍｔｙ，Ｍｔｍ）． Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．３

□ Ｌｅｔ Ｃ：Ｃ°ｐ

－＋

（／？， Ｇ）： Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ））

２Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ

—？■

ＣＯＣａｔ ｂｅ

ａ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

Ｃ ｗｈｉｃｈ ａｒｉｓｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｏｆ ｔｈｅ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ ７７ｉ（Ｃ） ｉｎ Ｃ ｉｓ ｏｎｅ ｈａｌｆ ｏｆ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ）） Ｃ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． ￣

Ｔｏ

Ｐｒｏｏｆ

ａｎｄ Ｂ）：Ｔ＞ｏｐ

ｓａｖｅ ｏｎ —？

ｎｏｔａｔｉｏｎ，

ｗｅ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

ｗｒｉｔｅ Ｖ ｆｏｒ ｔｈｅ ｂａｓｅ

ＣＯＣａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｇｉｖｉｎｇ

ｒｉｓｅ ｔｏ ｔｈｅ

Ｃｌ（ Ｔｈ（Ｃ）） ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

Ｃ． Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ））． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ， Ｄ Ｆｉｒｓｔ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ （ａ， Ｆ）：Ｃ Ｄ； ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ （／？， Ｇ） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．７．４． Ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ Ｕ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｖ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ． Ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃ ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ￣

—？■

—＊■

（ｆ）

：

Ｔｊｎ

＿，

Ｔｊｍ

＾

［（Ａ ｜ ７ｒｌ（ｆ＞（Ｘ）），．．．， （Ａ ｜ ｎｍ４＞（Ｘ））］ ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ

ａ

ｔｙｐｅ

ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ

ｉｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｏｒ １ ＜ ｉ ＜

ｍ．

ｌｅｎｇｔｈ

ｎ

ａｎｄ ７ｒ？： Ｕｍ

—？？

：

Ｔｙｐｅｎ

－

Ｔｙｐｅ？

Ｕ ｉｓ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ

Ｔｈｅ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ａ：Ｃ

—？■

ｏｎ

Ｂ）Ｆｏｐ ｉｓ

ｔｈｅ

ｇｉｖｅｎ

２７０

Ｃｈａｐｔｅｒ ５．

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｉｔｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｔ ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｏｔｕ－ａ

Ｃ｛Ｕｎ，Ｕ）

：

ｏｂｊｅｃｔ Ｕｎ ｏｆ Ｃ． Ｓｕｃｈ

ａｎ

Ｖ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

—？

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

ｗｈｉｃｈ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

ａ＾ｎ ｉｓ

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｂｙ ｔｈｅ

ａ

ｗｅ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ ｍ：＜ｆ＞

＜ｐ＇

－＋

ｉ—？

（Ａ ｜ ｘ： ４＞｛Ｘ） ｜ ｍ（ｘ）） Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｃ

Ｆｉｒｓｔ

Ｄ，

￣

ｗｅ

（Ａ ｜ ＜ｆ＞（Ｘ））

：

ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

（Ａ ｜ ＜ｆ／（Ｘ））．

—？

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

Ｏ０，Ｇ）（ａ，Ｆ）＜＊ｉｄｃ

ｉｎ

［Ｃ，Ｃ］

（１）

（ａ，Ｆ）（（３，Ｇ）＾ｉｄＤ

ｉｎ

［Ｄ，Ｄ］．

（２）

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （１） （ｐ， ７７）

（ｉｄｃ， ％ｄｃ）

：

［Ｃ，Ｃ］， ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｎ

｛Ｐｆ

—？

°

ａ，

ＧＦ）

ａｎｄ

（＜５，７７－１） （ｆｔ．

ｏ

：

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ

（ｐ， ７７）．

：

ｉｄｃ

—＞

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ Ｐｕｎ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

（ｔｄｃ， ｉｄｃ）．

—

ｒｊｕｎ

ｉｄ（ｊｎ： Ｕｎ

＝

Ｃ／ｎ． Ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｐ ｉｓ

—＊

ｂｙ

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ａ

ｐ ａｎｄ

ＧＦ）

Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ７７ ａｔ ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔ Ｕｎ ｏｆ Ｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ａ，

ｉｄｃ｛ｕ？，ｕ）

＇？

（＊？（－））＊ ｆｔ ｏ

ａ

Ｃ

ｏ ａ ：

—＞

Ｃ ｉＣ＾

—？

ＯＣａ＊

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

（＾ｔ／ｎ

—？

ｏ

ＰＴｙｐｅｎ

ｏ

ａｕｎ） ：Ｃ｛Ｕｎ，Ｕ）

—？

Ｃ｛Ｕｎ，Ｕ）

ｏｂｊｅｃｔ Ｕｎ ｏｆ Ｃ， ｗｈｏｓｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｔ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ０ ｏｆ Ｃ（Ｃ／ｎ， Ｃ７＂）

ｉｓ

ｇｉｖｅｎ

ｂｙ

｛ｐｕｎ）＜ｔ＞ Ｉｔ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ ｔｏ

＝

ｓｅｅ

？＜＾

：

ｉｄｃ｛ｙｎ，Ｕ）｛４＞）

ｔｈａｔ ｐｔ／ｎ ｉｓ

ａ

＝

４＞

—？

０

ｗｅ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ａｔ Ｕｎ ｏｆ Ｃ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ％ｎ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｓｕｎ

：

ａ

Ｐｖｙｐｅ＊

ｏ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ＾

Ｖｆｕ＾Ｔｙｐｅｎ｛ｏｃｕｎ｛．４＞）））＇

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈａｔ ｐ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ

ｉｎｔｒｅｉｄ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｎｅｘｔ

ｂｙ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ

＝

—？

（６， ｒ／－１）． ＝

Ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｉｄｔ／ｎ．－ ？７ｎ

—＞

ｈａｓ

Ｕｎ． Ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ６ ｉｓ

（％ｉ）＊ Ｃ（Ｃ／ｎ， １７） ：

—？

Ｃ（Ｃ／ｎ， １７）

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉｓ

７７－１

ｏｂｊｅｃｔ ￡／ｎ ｏｆ Ｃ， ｗｈｏｓｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｔ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ＜ｐ： Ｕｎ —？ Ｕ ｏｌＣ（Ｕｎ，Ｕ） ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｛６ｕｎ）＜ｔ＞ ｉｄ￥： ＜ｆ＞ —？ ０ ｗｈｅｒｅ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍａｋｅｓ ｓｅｎｓｅ

ｗｅ ｎｏｔｅ

＝

ｔｈａｔ

Ｐｖｙｐｅ＾ｕｎ＾））

＝

（３Ｔｙｐｅｎ（（Ａ Ｉ ＜ｆ＞（Ｘ）））

＝

［Ａ

ｈ

０（Ｘ）Ｊｍ

＝

＜￡

２７１

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

５．８．

（％ｉ）＊（０）

ａｎｄ

Ｎｏｗ ｉｎｖｅｒｓｅ

＝

ｉｄ＊ｕｎ｛（ｆ））

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （２）

ｔｕｒｎ ｔｏ ｔｈｅ

ｗｅ

＜ｆ＞．

＝

ｉｎ

［Ｄ， Ｄ ］．

Ｓｏ ｌｅｔ

ｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｗｏ

ｍｕｔｕａｌｌｙ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

（／／， ｅ）

（ａＧ

：

ｏ

／？， ＦＧ）

—？

（ｔｄＤ， ｚｒｆｐ）

ａｎｄ

（ｉ／， ｅ＂１） ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

，

（ｉｄＤ， ｔ＇ｄｐ）

：

Ｄ ］． Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ＝

７Ｖｐｅｗ

Ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ／／ ｉｓ

（ａＧ

—？

ｅ ａｔ

ｉｄｒｙｐｅｎ＇－ Ｔｙｐｅ７１

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ａ

ｏ

／？， ＦＧ）

７ｆｙｐｅｎ

—＞

ｉｓ

Ｔｙｐｅ７１．

ＸＭｎｄｅｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｆｏｒｍ

Ｈ＇．ａＧｏ（３ ａｎｄ ｉｓ

（ （＿））＊

—？

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ

ｆｌ＞Ｔｙｐｅｎ

＇？

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｉｆ

ａＵｎ

／

＝

°

ｏ

２＇ｄＤ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

０Ｔｙｐｅｎ

？

：

Ｄ

ＤＦＧ

—？

ｏｂｊｅｃｔ Ｔｙｐｅ７１ ｏｆ Ｖ

ｅ７ｔｙｐｅｎ

：

Ｖ［Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

［（Ａ ｜ ￥ｉ），．．．， （Ａ ｜ ￥ｍ）］： Ｔｙｐｅ＂

Ｘ＞， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｒｅｉｄ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｈｏｌｄｓ， ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ＯＬｕｍ

Ｖ（Ｔｙｐｅｍ， Ｔｙｐｅ）

Ｖ｛Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

ａｔ

ａｎ

ｓｏｍｅ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓｅｔ

ＧＣＣａｔ，

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

—？

Ｖ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

Ｔｙｐｅ１７１ ｉｓ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｍｍｕｔｅｓ：

（５Ｔｙｐｅ？

（ＦＧｆＹ

Ｏ

Ｐｒｙｐｅｎ

Ｖ｛Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ） ｊ Ｍｒｙｐｅｎ ｉｄｚ＞（Ｔｙｐｅｎ ，Ｔｙｐｅ）

ｏｂｊｅｃｔ （Ａ ｜ ３＞） ｏｆ Ｖ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （／ｚＴｙｐｅｎ）（ａ｜￥）

ｂｙ

ａ

—？

—？

？ ＣＫｃ／ｎ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ＨＴｙｐｅｎ

Ｏ

Ｖ０９

Ｖ｛Ｔｙｐｅｍ， Ｔｙｐｅ） ｊ ＾＾ ｉｄｊ）（Ｔｙｐｅｍ，Ｔｙｐｅ）

ｒ

Ａ

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：

（Ａ ｜ ［Ａ

（ＭＪ＊．－Ｗ） ＝＇ （Ａ Ｉ ｘ： ［Ａ

ｈ

ｈ

￥］（Ｘ））

＊Ｊ（Ｘ） ｜

—？

ｗｉｌｌ ｂｅ

（Ａ ｜ ￥）

ｇｉｖｅｎ

ａｎｄ ｉｎｄｅｅｄ

＃？（ｘ））－

ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ／／； ｌｅｔ ｕｓ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ （＊） ｃｏｍｍｕｔｅｓ． Ｌｅｔ （Ａ＇ ｜ ￥） ｂｅ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｖ（Ｔｙｐｅｍ＇， Ｔｙｐｅ）， ｌｅｔ ／

Ｔｈｉｓ

２７２

ｂｅ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ａｓ

ａｂｏｖｅ， ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ［Ａ＇

ｈ

０］

＝

５．

０ ａｎｄ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

［Ａ

ｆｃ． Ｔｈｅｎ

ｈ

￥ｊ］

＝

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（ＶＴｙｐｅｎ）ｆ＊（Ａ＇＼ｅ）

（ＭＴｙｐｅｎ）（Ａ｜０［ｆ／Ａ＇］）

＝

（Ａ＼ｘ：ｅｏ（￥）（Ｘ）＼Ｉｆ（ｘ））

＝

（Ａ＼ｚ：０（ＭＸｌ．．．＾ｍ（Ｘ）） ｜ ＩＭｘ），．．．，Ｍｘ）（ｚ）） ［（Ａ ｜ ｆｃ（Ｘ）），．．．， （Ａ ｜ ＜ｆ＞ｍ（Ｘ））｝＊（Ａ＇ ｜ ｚ： Ｏ（Ｘ＇） ＼ Ｉ＃（ｚ））

＝

＝

Ｃ＾Ｗｌ．

＝

Ｔｙｐｅ７１

？

０ｍ）））＊（（Ｍ７Ｖｐｅｍ）（Ａ＇｜ｅ））

？

ｓｕｐｅｒｓｃｒｉｐｔｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｄｒｏｐｐｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ／＇ｓ．

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ａｔ

？

｛ＦＧｆ）＊（（ＨＴｙｐｅｍ）（Ａ＞＼ｅ）），

＝

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

？

（ｉ／， ｅ＂１）．

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ

Ｎｏｗ

ｗｅ

ｔｕｒｎ ｔｏ

Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｅ＿１

ｅ＾ｎ

ｄ＝ ｉｄＴｙｐｅｎ： Ｔｙｐｅｎ

Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ

ａｔ

ｖ

ａｎ

ＦＧ（Ｔｙｐｅｎ）

－？

ｏｂｊｅｃｔ Ｔｙｐｅ７１ ｏｆ Ｖ ｉｓ

＝

ａ

Ｔｙｐｅ７１． ｎａｔｕｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＾７Ｖｐｅｎ

：

ｉｄｘ＞（＜Ｔｙｐｅｎ，Ｔｙｐｅ）

？

（ ２Ｖｐｅｎ）＊

°

ａＴＪｎ

°

＆Ｔｙｐｅｎ

＇？

Ｖ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

—？

Ｖ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）

ｓｉｍｐｌｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｂｊｅｃｔ （Ａ ｜ ￥） ｏｉＶ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ） ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ａｎ

（＾Ｐｅ＊）（Ａ｜＊）： （Ａ ｜ ＊） ａｎｄ

ｗｅ

－

（Ａ ｜ ［Ａ

ａｔ

＊］（Ｘ）），

ｈ

ｓｈａｌｌ ｓｅｔ

（＾３Ｖｐｅｗ）（Ａ｜＊） ＝ｆ （Ａ ｜ ｒｅ： ￥ ｜

ｊ￡＇＊（ａ；））．

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．３， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （１） ａｎｄ （２） ｏｎ ｐａｇｅ ２７０ ａｒｅ ｗｉｔｎｅｓｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （６， ｒｊ－１）， （ｐ， ７７）， ａｎｄ （ｎ， ｅ－１）， （１／， ｅ） ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｊｕｓｔ ｇｉｖｅ ｔｗｏ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｇｏｅｓ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （１） ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

Ｔｏ

（Ｍ Ａｔ

ａｎ

＾（Ｐ，＊？）＾ （（ｆ７（－））＊＜￥（－）°Ｐ（－），ｆ７ ｌ，ｎ）

ｖｅｒｉｆｙ

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ

ａ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

＾（（ｔｆｃ／ｎ）＾）

｛ｉｄｉｄｃ

，ｉｄｉｄｃ）．

ｒｊ＾ｌｒｊｕｎ （ｉｄｉ（ｉｃ）ｕｎ ｉｄｕ＊， ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｒｆｔｊｎｂ￣ｕｎ Ｐｕｎ ｉｄｉｄｃ｛ｕｎ ｖ）， ａｎｄ ｗｅ ｃａｎ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｈｏｌｄｓ

ｏｂｊｅｃｔ Ｕ７１ ｏｆ Ｃ

ｈａｖｅ ｔｏ

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ｏ

ｈａｖｅ

ａｔ

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ａｎ

ｏｂｊｅｃｔ ０：

（ｐｃ／ｎ）＾

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Ｕ７１

ｉｄｕｎｉｉｄｊ，）

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ｏ

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ａｓ

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ｆｏｌｌｏｗｓ：

＾

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（ｉｄｉｄｃ｛ｕｎ＞Ｕ））＜ｉ＞＇

２７３

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

５．８．

Ｆｏｒ ｔｈｅ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ （２）

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

（Ｍ，ｅ）（ｉ／，ｅ－１） ＝ｆ （（ｅ＾ＪＶ）０＾－），＂＂１） Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ ｉｆ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

（Ａ ｜ ￥）

ａｎ

＝

＝

（ｅＴｙｐｅｎ）＊（（Ｍ７Ｖｐｅｎ）（Ａ｜＊）） ｛＾Ｔｙｐｅｎ）（Ａ＼＾） °

ｖｅｒｉｆｙｉｎｇ ｛ｎｒｙｐｅｎ）（ａ｜￥）

ｗｈｉｃｈ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｅａｓｙ ａｎｄ ｉｓ ｌｅｆｔ

ａｓ ａｎ

Ｗｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．８．４

（ｔ＾＾＾．ｉ＾Ｊ．

｛ｉｄｉｄｘ＞）Ｔｙｐｅｎ ｉｄｒｙｐｅ＂－－ Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ Ｖ（Ｔｙｐｅｎ， Ｔｙｐｅ）， ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ

＾Ｔｙｐｅｎ＾ｙｐｅｎ ｉｓ

＝

ｃａｎ

＝

°

｛ｉｄｉｄｖ（Ｔｙｐｅｎ＞Ｔｙｐｅ））（Ａ｜＊）

（ｖＴｙｐｅｎ）（ａ｜＜ｉ＞）

＝

＾（ａ｜￥）－

＝

＾（Ａ｜＊） Ｔｈｉｓ □

ｅｘｅｒｃｉｓｅ．

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ ｔｈｅ ｔｈｒｕｓｔ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．３ ｉｎ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｌｏｇａｎ： Ｉ—

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

Ａ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｉｓ ｉｓ ｓｙｎｔａｘ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．

ａ

．

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ（Ｃ） ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｉｔ ｔｏ ｒｅａｓｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎ ｍｕｃｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ ａｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．８．５

Ｗｅ

ｃａｎ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｆｏｒ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｓｕｃｈ ａ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｆｏｒ ａ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｉｆ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｉｔ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ａｌｌ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｔｈ． Ｔｈｉｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｍｏｒｅ ｏｒ ｌｅｓｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｉｎ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．６

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ ｙｉｅｌｄ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ２Ａｘ－

ｔｈｅｏｒｉｅｓ． ＰＲＯＯＦ

Ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ

ａ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ．

Ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｉｎ ａｌｌ ｍｏｄｅｌｓ ｂｅｃａｕｓｅ

Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ｉｆ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ａｌｌ ｍｏｄｅｌｓ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ）． Ｉｔ ｉｓ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ａ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｓｏｕｎｄ—ｓｅｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．４．１５．

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．８．７

Ｌｅｔ

ｕｓ

ａ

ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｔｈ．

ｅｎｄ ｔｈｉｓ

ｃｈａｐｔｅｒ ｂｙ ｒｅｍａｒｋｉｎｇ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｔｈ

Ｃｌ（Ｔｈ＇）． ａｎ

Ｗｅ ｌｅａｖｅ ｉｔ

＂ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ＂

Ｔｈ

ａｓ ａｎ ￣

□

—＞

Ｔｈ＇

ａｓ ａ

ｏｎｅ ｃａｎ

２Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｔｈｉｓ ｉｄｅａ

Ｔｈ｛Ｃｌ｛Ｔｈ））．

ｔｈａｔ

ｆｏｒｍａｌｌｙ，

ｇｉｖｅ

Ｃｌ（Ｔｈ）

ａ

—＞

ａｎｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ

２７４

Ｃｈａｐｔｅｒ

５．９

５．

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

Ｔｈｅ ｂｏｏｋ

［ＡＬ９１］ ｂｙ Ａｓｐｅｒｔｉ

Ｌｏｎｇｏ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｄｅｔａｉｌｅｄ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｓ ｎｏｔ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｑｕｉｔｅ ａｓ ｆｏｒｍａｌｌｙ ａｓ ｉｎ ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ５ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｎｏｔ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ａｓｐｅｒｔｉ ａｎｄ Ｌｏｎｇｏ ｄｏ ｐｒｅｓｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅ ｕｓｅ ｏｆ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏｐｉｃ ｎｏｔ ｃｏｖｅｒｅｄ ｉｎ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂ Ｆｏｒ ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ｒｅａｌ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅｓ ｓｅｅ

［Ｃａｒ８６］

ｏｒｄｅｒ

ａｎｄ

［Ｃａｒ８９］．

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｍａｔｅｒｉａｌ ｏｆ

ｏｕｒ

ｃａｎ

ａｎｄ

Ａ ｆｕｌｌ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ

［ＣＧＷ８９］．

Ｔｈｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ

Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．６， ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｎｏｔ

ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｓｅｅ ａｌｓｏ ［ＣＧＷ８７］． Ａ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ［Ｇｉｒ８６］ ｗｈｉｃｈ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｔｏ Ｇｉｒａｒｄ＇ｓ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｗｏｒｋ ｏｎ ｔｈｉｓ ｔｏｐｉｃ． Ａ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ［Ｐｉｔ８７］， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｆｕｌｌ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｏｐｏｓ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ａｓ ａｎ

ｉｎｓｔａｎｃｅ ｏｆ

ｍｏｄｅｌｓ．

ａ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

６．１

Ｌｅｔ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．１．１ ｉｎ

ｔａｋｅ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｓｏ

ｆａｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ

ｂｅｇａｎ ｗｉｔｈ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｉｃｈ ｇａｖｅ ｕｓ ａ ｂａｓｉｃ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ． Ｔｈｉｓ ｗａｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｎｏｔｅｄ

＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｆｏｒ

ｕｓ

Ｔｙｐｅｓ．＂

Ｗｅ

ｔｈａｔ ｉｔ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｓｉｒａｂｌｅ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ

ａ

ｓｙｎｔａｘ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒｏｇｒａｍｓ

（ｔｅｒｍｓ） ｙｉｅｌｄｅｄ ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ ａ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｉｎｇ ｔｙｐｅｓ， ｋｎｏｗｎ

ｂｅｉｎｇ ｏｎｅ

ａｓ

ｗｅｌｌ

ｉｎｔｏ

ａｓ

ｌｅｖｅｌｓ， ｌｅｔ

ｔｗｏ

ｔｅｒｍｓ， ａｎｄ ｏｎｅ

ｕｓ

ｓａｙ ｌｅｖｅｌ １ ａｎｄ ｌｅｖｅｌ ２．

ｔｈｉｎｋｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ

ｏｎｅ

ｔｈｉｎｋｓ ｏｆ

Ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｌｅｖｅｌｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｉｓ ｌａｔｔｅｒ ｋｉｎｄ ｏｆ ｔｙｐｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ａ

Ａｎａｌｏｇｏｕｓｌｙ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ． ａｎｄ

ｎｏｗ

ｓｙｎｔａｘ ｆｏｒ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ＂ａｔ ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ ｏｆ ｔｙｐｅｓ＂ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ ｏｆ ｔｅｒｍｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ｓｙｎｔａｘ ｓｐｌｉｔｓ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｔｏ

Ｗｅ

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ．

ａｓ

ｔｈｉｓ ｆｅａｔｕｒｅ

ａ

ａｒｅ

ｏｆ

ｔｈｏｕｇｈｔ

ｂｅ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ａｓ ａ

ｔｙｐｅｓ ａｎｄ

ａｒｅ

＂ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｓ＂ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ

ａｔ ｌｅｖｅｌ ２ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ

ｋｉｎｄ

（ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ）

ａ

ｓｉｍｉｌａｒ

ｋｉｎｄｓ ａｎｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，

＂ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ＂ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ｓｉｍｉｌａｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．

ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ａｓ

ａｓ

Ａｔ ｌｅｖｅｌ １ ｔｈｅｒｅ

ｂｙ

ａ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｋｉｎｄ，

ｏｆｔｅｎ ｄｅｎｏｔｅｄ

ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｔｙｐｅｓ． Ｔｈｉｓ

ｎｅｗ

ｂｙ Ｔｙｐｅ，

ｆｏｒｍａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｌｌ

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｑｕａｎｔｉｆｙ ｏｖｅｒ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ＶＸ．＾， ｗｈｉｃｈ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｈｅｒｅ ａｓ ＷＸ： Ｔｙｐｅ．￥． Ｉｎ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ， Ｔｙｐｅ ｉｓ ａ ｇｒｏｕｎｄ ｋｉｎｄ ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｒｏｄｕｃｔ ｋｉｎｄｓ （ｓｅｅ ｐａｇｅ ２７６）， ａｎｄ ｗｅ ｍａｙ ｑｕａｎｔｉｆｙ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｋｉｎｄｓ： ＶＸ： Ｋ．￥． ａｓ

ｈｉｇｈｅｒ

ｏｒｄｅｒ

ｅｘａｍｐｌｅ， ｌｅｔ ｕｓ ｔｈｉｎｋ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｄａｔａｔｙｐｅ ｏｆ ｌｉｓｔｓ． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｌｉｓｔ ｈａｓ ｋｉｎｄ Ｔｙｐｅ ＝＞？ Ｔｙｐｅ． Ｗｈｅｎ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａ ｔｙｐｅ Ｘ （ｓｏ ｔｈｅ ｋｉｎｄ ｏｆ Ｘ ｉｓ Ｔｙｐｅ）， ｉｔ ｙｉｅｌｄｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｌｉｓｔ Ｘ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｋｉｎｄ Ｔｙｐｅ， ｔｈａｔ ｉｓ ｌｉｓｔ Ｘ ｉｓ ｔｈｅ Ａｓ

ａｎ

ｉｎｆｏｒｍａｌ

ｔｙｐｅ ｏｆ ＂ｌｉｓｔｓ ｏｆ ｔｙｐｅ Ｘ．＂ Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｓｏ ｒｅｖ ａ

Ｘ ｉｓ

ａ

ｔｅｒｍ ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ｂｅ

ａｐｐｌｉｅｄ

ｒｅｖｅｒｓｅｄ ｌｉｓｔ． Ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｄｅａｓ

６．２

Ｔｈｅ

Ｓｙｎｔａｘ

ａｎｄ

ｒｅｖ

ａｒｅ

ｈａｓ ｔｙｐｅ ＶＸ

：

Ｔｙｐｅ．（＼＼ｓｔＸ

ｔｏ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｏｆ

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ

Ｆｉｇｕｒｅ

ｔｙｐｅ Ｘ

＝＞？

ｔｏ

ｌｉｓｔＸ）， ｐｒｏｄｕｃｅ

６．１．

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｕＸｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｂｅａｒｉｎｇ ｉｎ ｍｉｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｎｏｗ ｇｉｖｅ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ ａ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．２．１

ｓｙｓｔｅｍ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ＂ｐｒｏｄｕｃｔｓ＂ ａｎｄ ＂ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ＂

ａｔ ｂｏｔｈ ｌｅｖｅｌ １ ａｎｄ ｌｅｖｅｌ ２．

２７６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｏｒｄｅｒ

Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ Ｈｉｇｈｅｒ

Ｉ—

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｘ： Ｋ ｈ ６： Ｋ＇

Ｌｅｖｅｌ ２ Ｘ： Ｋｘ ｈ ￥：

Ｌｅｖｅｌ １

Ｘ：

｜ ｘ： ￥ ｈ

＾

Ｔｙｐｅ

Ｘ：

Ｍ： ＊

Ｆｉｇｕｒｅ ６．１： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｆｉｇｕｒｅ， ６， ｋｉｎｄｓ； ａｎｄ Ｍ ｉｓ ａ ｔｅｒｍ．

－

￥ ａｎｄ ＼￡

ａｒｅ

Ｘ：

Ｔｙｐｅ

Ｔｙｐｅ

ｈ ｌｉｓｔ Ｘ：

＼ ｘ： ｌｉｓｔＸ

Ｔｙｐｅ

ｈ ｒｅｖＸｒｒ： ｌｉｓｔＸ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ； Ｋ， Ｋ＇， Ｋ＼ ａｎｄ Ｔｙｐｅ

ａｒｅ

ｗＡｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｉｓ ａ ｐａｉｒ Ｓ＃ （Ｓｇｏｐ，Ｓｇｔｍ） ｗｈｅｒｅ ５＾ｏｐ ｉｓ ａｎ ｕ；Ａｘ－ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ｓｇｔｍ ｉｓ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｇｔｍ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｄａｔａ ｗｈｉｃｈ ｓｐｅｃｉｆｙ Ｓｇｏｐ． Ａｎ ｕＸｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｏｐ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄａｔａ： Ａｎ

？

＝

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ

ｇｒｏｕｎｄ

ｋｉｎｄｓ．

Ｋ

Ｇ＼

Ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｋｉｎｄｓ ｉｓ ｔｈｅｎ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ

ＢＮＦ ｇｒａｍｍａｒ

ｗｈｅｒｅ Ｇ ｉｓ ａｎｙ ？

：：＝

ｇｒｏｕｎｄ

Ｕｎｉｔ

＼ Ｔｙｐｅ ＼ＫｘＫ＼Ｋ＾Ｋ

ｋｉｎｄ．

Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｓｙｍｂｏｌｓ ｅａｃｈ ｈａｖｉｎｇ

ａｎ

ａｒｉｔｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｎｕｍｂｅｒ． ？

Ａ

ｓｏｒｔｉｎｇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｏｆ ａｒｉｔｙ

ａ

ｌｉｓｔ ｏｆ

ａ

＋ １ ｋｉｎｄｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｉｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｓｙｍｂｏｌ Ｆ ｈａｓ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ａｒｉｔｙ Ｆ：Ｋｉ１．．．１Ｋａ —？■ Ｋ ｆｏｒ ｔｈｉｓ． Ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ Ｃ ｏｆ ａｒｉｔｙ ０ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ ａｎｄ ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ｃ： Ｋ ｆｏｒ ｉｔｓ ｓｏｒｔｉｎｇ． Ｗｅ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ

：：＝

ｇｉｖｅ ｔｈｅ

ｗｅ ａｓｓｕｍｅ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｈｅ ￥

ａ．

ｒａｗ

ｒａｗ

ｔｈａｔ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａｎ ａ；

ａ ｗｅ

ｗｒｉｔｅ

ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｇｉｖｅｎ ａ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ （ｉｎｆｏｒｍａｌ） ＢＮＦ ｇｒａｍｍａｒ：

ｗｅ ａｒｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ａｒｅ

Ｘ＼Ｃ＼Ｆ（￥，．．．，￥）＼（）＼（￥，￥）＼Ｆｓｔ（￥）＼Ｓｎ４（￥）＼＼Ｘ：Ｋ．￥＼￥￥＼ ｌｅｎｇｔｈ

ｕｎｉｔ Ｉ ￥

ｘ

￥ Ｉ ￥

ａ

＝＞

ａ

￥ Ｉ ＼ｆＸ： Ｋ．￥

６．２．

Ｓｙｎｔａｘ

Ｔｈｅ

ｗｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ ａｎｙ

ｏｆ

ｓｙｍｂｏｌ

ａｎｄ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｕＸｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

２７７

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ， Ｃ ａｎｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｋｉｎｄ ａｎｄ Ｆ ａｎｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ａｒｉｔｙ

ａ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ａ ｒａｗ

ｖａｒｉａｂｌｅ． Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｂｙ ｄｅｔａｉｌｓ

ｓｋｅｔｃｈｅｄ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｒｅ

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｆｏｒ

ｎｏｗ

ｏｂｖｉｏｕｓ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｐｅｒａｔｏｒ

ａｎ

ｂｅ ｖｅｒｙ ｆａｍｉｌｉａｒ

ａ ｒａｗ

ｓｕｂｏｐｅｒａｔｏｒ

ｓｏ

ｔｈｅ

＾ ｏｆ

ａ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ￥． Ｉｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒａｗ ｏｐｅｒａｔｏｒ ￥ ｔｈｅｎ Ｘ ｉｓ ｂｏｕｎｄ ｉｎ ａｎｙ ｒａｗ ｓｕｂｏｐｅｒａｔｏｒ ｏｆ ￥ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ＸＸ： Ｋ．Ｗ ａｎｄ ＼ｆＸ： Ｋ．ｔｙ．

ｒａｗ

Ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｒａｗ

ｋｎｏｗｎ

ｔｈｅ

ａｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ￥ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｆｒｅｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｉｎ ￥ ｗｈｉｃｈ

ａｐｐｅａｒｉｎｇ

ａ

ｆｏｐｖ（￥）

ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｈｉｓ ｓｅｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａｌｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｎｏｔ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ￥—ｄｏ ｎｏｔ

ａｒｅ

ｆｏｒｇｅｔ

ｔｈａｔ

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ ｍａｙ ｂｅ ｂｏｔｈ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｂｏｕｎｄ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＼￡ ｆｏｒ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ Ｘ ｉｎ ￥， ￥［＼Ｐ／Ｘ］， ｉｓ ｔｈｅ ｒａｗ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｅａｃｈ ａｐｐｅａｒａｎｃｅ ｏｆ Ｘ ｉｎ ￥ ｗｉｔｈ ＃ ａｎｄ ｃｈａｎｇｉｎｇ

ｔｅｒｍ

ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｓｏ

ｔｈａｔ

ｎｏ

ｆｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｆ ＾ ｂｅｃｏｍｅｓ ｂｏｕｎｄ ｗｈｅｎ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ

ｉｎｔｏ ￥． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ

ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ，

Ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｓ

ｄｉｓｔｉｎｃｔ．

Ａ ｉｓ

ａｎ

ａ

ｔｈａｔ ｉｓ， ｕｐ

ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｓｔ ｏｆ

［Ｘ＼： Ｋｉ，．．．， Ｘｎ： Ｋｎ］，

ｄｅｆｉｎｅｄ， ｗｅ ｒｅｇａｒｄ ｅａｃｈ ｒａｗ ｔｅｒｍ ｔｏ ａ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｂｏｕｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．

ａｓ

（ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ， ｋｉｎｄ） ｐａｉｒｓ， ｕｓｕａｌｌｙ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ａｒｅ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ｔｏ ｂｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ ｈ ￥： Ｋ ｗｈｅｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｃｏｎｔｅｘｔ， ￥ ｉｓ ａ ｒａｗ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ Ｋ ｉｓ ａ ｋｉｎｄ． Ａ ｐｒｏｖｅｄ Ａｎ

Ｓｇｏｐ ＞ Ａ ｈ ￥： Ｋ， ａｎｄ ｏｎｅ ｔｈｉｎｋｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｗ ｏｐｅｒａｔｏｒ ￥ ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｓ ｂｅｉｎｇ ＂ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ．＂ Ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｆｒｏｍ ａｎ ａ； Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅｓ ６．２ ａｎｄ ６．３． Ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａｈ￥ ￥＇：Ａ： ｗｈｅｒｅ Ｓｇｏｐ ＞ Ａ ｈ ￥： Ｋ ａｎｄ Ｓｇｏｐ ＞ Ａｈ￥＇： Ｋ． Ａｎ ｗＡｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｏｐ ｉｓ ａ ｐａｉｒ （Ｓｇｏｐ， Ａｘｏｐ） ｗｈｅｒｅ Ｓｇｏｐ ｉｓ ａｎ ＾Ａｘ－

ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｉｓ

ａ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

＝

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ａｘｏｐ ｉｓ

ａ

ｅａｃｈ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｋｎｏｗｎ

ａｓ ａｎ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ６．４． ａｒｅ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．２．２

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ，

Ｔｈｏｐ

＞

Ａｎ ｕ＼ｘ －ｔｅｒｍ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｘｉｏｍ． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ａ ｈ ￥

＝

￥＇： Ｋ， ｗｈｉｃｈ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｍ

ｉｓ

ａｒｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｄａｔａ：

ｕ；Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｏｐ

？

Ａｎ

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Ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ

＝

（Ｓｇｏｐ， Ａｘｏｐ）． ａ

ｎａｔｕｒａｌ

ｓｏｒｔｉｎｇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ／， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ａ＾ ａｎｄ ａ ｌｉｓｔ ｏｆ ａ ＋ １ ｒａｗ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ （ｗｈｅｒｅ ａ ｉｓ ｔｈｅ ａｒｉｔｙ ｏｆ ／） ｕｓｕａｌｌｙ

ｃｏｎｔｅｘｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌｓ

ｅａｃｈ

ｈａｖｉｎｇ

ａｎ

ａｒｉｔｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｎｕｍｂｅｒ． ？

Ａ

ｗｒｉｔｔｅｎ

２７８

１—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｓｇｏｐ Ｕｎｉｔ

Ａ，Ｘ：Ｋ，Ａ＇

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Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｇｏｐ

１—

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

Ａ ｈ

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Ｕｎｉｔ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｙｍｂｏｌｓ （Ｃ－ Ｋ＼

Ｓｇｏｐ Ｓｇｏｐ

Ａｈ＾：＾

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Ｓｇｏｐ ■—

Ｂｉｎａｒｙ

Ｓｇｏｐ

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Ｐｒｏｄｕｃｔ

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９

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Ｓｇｏｐ

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Ｓｇｏｐ

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Ｓｇｏｐ

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Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｓｇｏｐ

１—

Ａ＼－Ｃ：Ｋ

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Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ａ，Ｘ：ｉｎ－￥：Ｌ

Ａ＼－＼Ｘ：Ｋ．￥：Ｋ＾Ｌ

６．２： Ｐｒｏｖｅｄ

Ｓｇｏｐ

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Ａｈ

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５＾ｏｐ

Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａｎ

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Ｓ５ｏｐ

Ｄ＞

Ａｈ＊： Ａ＂

Ａｈ￥＃：Ｌ

ｕ；Ａｘ－Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

６．２．

Ｉ—

Ｔｈｅ

Ｕｎｉｔ

Ｓｙｎｔａｘ

ａｎｄ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｗＡｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

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１

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Ｂｉｎａｒｙ

Ｐｒｏｄｕｃｔ

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＞

Ａ＼－￥：Ｔｙｐｅ Ｄ＞

Ｓｇｏｐ

Ａ ｈ

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＊：

Ｔｙｐｅ

Ｔｙｐｅ

Ｔｙｐｅ Ｓｇｏｐ

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Ａ Ｉ－

＜ＶＰ Ｉ—

Ｔｙｐｅ ．

Ｓｇｏｐ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ａ ｈ ｕｎｉｔ：

Ｔｙｐｅ

Ｓｇｏｐ

Ｉ—

２７９

￥： ＞

Ｔｙｐｅ

Ｓｇｏｐ

Ａ ｈ

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Ａ ｈ

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１

Ｓｇｏｐ ５ｐｏｐ

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ＶＸ： Ｋ．￥

Ｆｉｇｕｒｅ ６．３： Ｐｒｏｖｅｄ Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

Ｆｉｇｕｒｅ

Ｔｙｐｅ

Ｔｙｐｅ

Ｋｉｎｄ Ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ

Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ ｆｒｏｍ

＊：

６．２．

：

Ｔｙｐｅ

ａｎ

ｕ；Ａｘ－Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

２８０

ｉ—

１—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａｘｉｏｍｓ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｕｎｉｔ

Ａｘｏｐ

＞

Ａｈ ￥

＝

￥＇：＃

Ｔｈｏｐ

＞

Ａ

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＝

￥＇： ＡＴ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

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Ｓｇｏｐ Ｔｈｏｐ

Ｉ—

Ａ ｈ

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Ａｈ￥

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￥ ［／ｍｉ

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＝

［／ｍｉ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｂｉｎａｒｙ Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｇｏｐ ｔｖｐ

＞

Ｓｇｏｐ

－

Ａ １－

Ｓｇｏｐ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｓｇｏｐ

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Ａ

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Ａｈ￥：Ａ＝＾Ｌ

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ＡｈＡＸ：ｉｒ．（￥Ｘ）

Ｔ／ｉｏｐ

ｅ：ｊｆｔ：ｘＬ

Ａｈ＃：Ｚ，

＞

ＡｈＦｓｔ（（￥，＃？ ＶＰ

＝

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

７７ｉｏｐ

Ｔｈｏｐ

Ｖｐ

Ａｈ￥：ｉｉ：

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Ｓｇｏｐ

ＡｈＯ＾ｘＬ

＜Ｆｓｔ（０） ，Ｓｎｄ（０）＞

Ｄ＞

７ＶＰ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ

＞

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１—

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

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Ａ，Ｘ：ｉｎ－￥

Ａ＼－＼Ｘ：Ｋ．￥

（Ｘ￡／ｏｐｔ／（Ｓ））

￥：ｉｉ：＝＞ Ｌ

＝

＝＝

＊＇： Ｌ

＼Ｘ：Ｋ．￥ ＇：Ａ＝＞Ｌ

ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ Ｗｅａｋｅｎｉｎｇ， Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ， Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ．

Ｔｏｇｅｔｈｅｒ

Ｆｉｇｕｒｅ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

６．４：

Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａｎ

ｗＡｘ－Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔｈｅｏｒｙ．

Ｔｈｅ

６．２．

Ｓｙｎｔａｘ

ａｎｄ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｗＡｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

／： Ａ＾ ；￥！，．．．， ３＞ａ ｓａｔｉｓｆｙ Ｓｇｏｐ ＞ Ａｆ

￥ ｉｆ

—＞

ｔｈｅ

ａ

ｗｈｅｒｅ

ｓｙｍｂｏｌ， Ｔｈｅ

ｂｙ

ｔｈａｔ

ｃａｓｅ

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ｉｓ

Ｍ

ｗｒｉｔｅ Ａｒ．

Ｓｇｏｐ

ｄｅｍａｎｄ

ｔｅｒｍｓ

Ａｆｃ； ￥

Ｓ＃ｏｐ

ａｎｄ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ￥： Ｔｙｐｅ．

ａｒｅ

Ａｆ ｈ

＞

ａｎｄ ｓａｙ ｔｈａｔ ＆ ｉｓ

ａ

ｔｏ

Ｉｎ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｍ

ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

ａｎ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ

ａｒｅ

ＢＮＦ ｇｒａｍｍａｒ：

｜ ＊＊，，．．．，＊？ ｜ ／＾，．．．，＾ｎ／（Ｍ，．．．，Ｍ） ｜（） ｜ （Ｍ，Ｍ） ｜ Ｆｓｔ（Ｍ） ｜ Ｓｎｄ（Ｍ） ｜ ｌｅｎｇｔｈ

Ｘｘ．Ｑ．Ｍ ｗｈｅｒｅ

／

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ａｆｃ ｈ ＜１＞： Ｔｆｙｐｅ．

＞

ｆｒｏｍ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ

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ｘ

ｔｅｒｍ

Ｔｈｅｓｅ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ．

￥ｆ： Ｔｙｐｅ ｆｏｒ １ ＜ ｉ ＜

ｚｅｒｏ ｗｅ

ｗｅ

（ｉｎｆｏｒｍａｌ）

ｔｈｅ

ｈ

ｉｓ

ａ

２８１

ｘ

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｜

ＭＭ

ＡＸ．Ｋ．Ｍ

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ｉｓ ａｎｙ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ），

ｅｘｐｌａｎａｔｏｒｙ

Ｍ￥ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｓｓｕｍｅ

ｋ ｉｓ ａｎｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｉｓ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｔｈｅ ＾ｉ ａｎｄ ￥

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ａ

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ

ａｒｅ

ｒａｗ

ａｎｙ

ｎｏｔａｔｉｏｎ

ａｒｉｔｙ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ａｎｄ

ｋ￥

ｓｙｍｂｏｌ ａ

ｌｅｎｇｔｈ（Ａｋ） ｎ＇ ｌｅｎｇｔｈ（Ａ＾）

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

＝

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｏｆｔｅｎ ｍａｋｅ

ｕｓｅ

＝

ｎ，

ａｎｄ

ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ

ｆ￥（Ｍ）．

Ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎｓ Ａｒｃ： ￥ ａｎｄ ＡＸ： Ｋ ｂｉｎｄ

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ

Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｉｓ ｌｅｆｔ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅｉｒ ｓｃｏｐｅｓ．

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｔｏｃｋ ｏｆ ｓｕｃｈ

ａｎ

ｏｆ ｘ ａｎｄ Ｘ

ｆｒｅｅ

ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ

ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ

ｔｅｒｍ， ｆｔｍｖ（￥）， ｔｈｅ ｂｏｕｎｄ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ， ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ， ｆｏｐｖ（￥）， ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆ ａ ｒａｗ ｒａｗ

Ｗｅ ａｌｓｏ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｓ

ｔｅｒｍ．

Ｍ［Ｎ／ｘ］

ａｎｄ

Ｍ［￥／Ｘ］，

ｂｅｉｎｇ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｓ ｆｏｒ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ—ｓｅｅ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．２．８． ｔｈｅｓｅ

Ｌｅｔ

ｕｓ ｎｏｗ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ＂ｗｅｌｌ ｆｏｒｍｅｄ＂

ｒａｗ

ｔｅｒｍｓ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ

ｆｒｏｍ

ａｎ ａ； Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｍ． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ａ ｔｅｒｍ ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ｌｉｓｔ ｏｆ

（ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ，

ｒａｗ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｔｅｒｍ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ

ｃｏｎｔｅｘｔ， Ｍ ｉｓ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｏｐｅｒａｔｏｒ） ｐａｉｒｓ， ｕｓｕａｌｌｙ ａｒｅ

｜

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

Ｓｇｔｍ

ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔ．

＞

ａｎｄ ￥ ｉｓ Ａ

＼Ｔ

ａ ｒａｗ

ｆｉｎｉｔｅ

［ｘ＼：￥＼ｉ．．．ｉｘｍ： ＾Ｅ＞ｍ］，

Ａ ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ａ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｃｏｎｔｅｘｔ， Ｔ ｉｓ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ ｉｓ

Ｔ ｈ Ｍ： ￥ ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ

ａ ｒａｗ ｔｅｒｍ

ｗｒｉｔｔｅｎ

ａ

ａｎ

ｈ Ｍ： ￥． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ａ

ａ ａ

ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｓｕｃｈ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ Ｓｇｏｐ ＞ Ａｈ￥ｊ： Ｔｙｐｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ ￥＊ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ Ｔ， ａｎｄ Ｓｇｏｐ ＞ Ａｈ￥： Ｔｙｐｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ａｂｂｒｅｖｉａｔｅ Ａｈ￥： Ｔｙｐｅ ｔｏ Ａｈ￥ ｗｈｅｎ ｎｏ ａｍｂｉｇｕｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｌｉｋｅｌｙ ｔｏ ａｒｉｓｅ， ｗｉｔｈ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ ｆｏｒ Ａ ｈ ￥

＝

￥＇． Ｉｆ Ａ ｉｓ

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｃｏｎｔｅｘｔ ａｎｄ Ｔ

ａ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ａ ｈ Ｔ ｗｉｌｌ ｓｉｍｐｌｙ ｂｅ ｓｈｏｒｔｈａｎｄ ｆｏｒ Ａｈ￥ｊ ｔｈｅ ￥ｉ ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｔ． Ｔｈｅ

Ｆｉｇｕｒｅｓ

６．５ ａｎｄ ６．６．

ｐｒｏｖｅｄ

ｔｅｒｍｓ ａｒｅ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ

ｔｅｒｍ

ｃｏｎｔｅｘｔ，

（ｅａｃｈ ｉ）

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ

ｗｈｅｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ｉｎ

２８２

１—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔｅｒｍ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｓｇｏｐ

－

Ａｈｒ

＞

Ｓｇｔｍ ｉ—

Ｓｇｏｐ

ＡＨ￥

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＞

Ａ ｈ Ｔ

Ｕｎｉｔ Ｔｅｒｍ

Ｓｇｔｍ Ｓｙｍｂｏｌｓ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｓｇｏｐ

Ａｈｒ

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５ｐｏｐ

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Ｐｒｏｄｕｃｔ Ｔｅｒｍｓ

Ｓｇｔｍ

＞

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Ａ｜ＴｈＭ：￥ ５＾ｔｍ

Ｓｇｔｍ

Ｄ＞

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Ａ｜ ｒ ｈ Ｆｓｔ（Ｐ）：

Ｓｇｔｍ Ｓｇｔｍ

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＞

６．５： Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

｜ｒｈＪＶ：＊ ＊

Ａ

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Ｐ： ￥

ｘ

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＊

Ｓｇｔｍ

Ａ

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Ａ｜ ｒｈ？：￥ｘ

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Ａ｜ｒｈ （Ｍ，Ｎ）： ￥ ＊

Ｓｇｔｍ

Ｆｉｇｕｒｅ

（ｆｃ：Ａ＊；￥）

Ａｈ＊ｎ

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Ａｈ＊ｎ

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Ａ｜ｒｈ％ ￥［＊／Ａｆｃ］

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Ｓｇｔｍ

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Ｓｇｏｐ

Ａ｜ｒ＇，ｘ：￥，ｒｉ－ｘ：￥

＞

Ｓｇｏｐ

１—

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

Ａｘ－Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

６．２．

Ｉ—

Ｔｈｅ

Ｓｙｎｔａｘ

ａｎｄ

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｌｏＸｘ－Ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔｅｒｍｓ

１

Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ Ｓｇｔｍ

Ｄ＞

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ａ｜ｒｉ－Ａｘ：￥．Ｆ：￥＝＞＃

＞

Ａ｜ｒｉ－Ｍ：￥＝＞＃ Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ

Ｔｅｒｍ

Ａ＼Ｔ＼－ＭＮ．Ｖ

＞

．

＞

Ｄ＞

＞

Ａ，Ｘ：Ｋ＼Ｔ＼－

Ａ＼Ｔ＼－

Ｆ：￥

ＡＸ：Ｋ．Ｆ ：ＶＸ：Ｋ．￥

Ａ＼Ｔ＼－Ｍ：ＶＸ：Ｋ．￥ Ｓｇｏｐ Ｓｇｔｍ

Ｉ—

Ａ＼ｒ＼－Ｎ：￥

＞

Ｔｅｒｍｓ

Ｓｇｔｍ

Ｓｇｔｍ

Ａ｜ｒ，ｘ：￥ｈＦ：＃

＞

Ｓｇｔｍ Ｉ—

２８３

＞

Ｄ＞

Ａ＼－＊：Ｋ

Ａ｜ＴｈＭ＊：￥［＊／Ｘ］

Ｔｙｐｉｎｇ

１

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ｜ｒｈＭ：￥ Ｓｇｔｍ

Ｆｉｇｕｒｅ ６．６： Ｐｒｏｖｅｄ ｆｒｏｍ Ｆｉｇｕｒｅ ６．５．

Ｄ＞

７ＶＰ

＞

Ａｈ￥

＝

＃＇

Ａ｜ＴＩ－Ｍ：￥＇

Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａｎ

ｕ；Ａｘ－Ｔｅｒｍ

Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ

２８４

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｔｈｏｓｅ ｒｕｌｅｓ ｗｈｉｃｈ

Ｆｉｇｕｒｅｓ ５．５， ５．６ ａｎｄ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ：

ｒｕｌｅｓ

－

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

５．７ ｉｎ

ａｐｐｅａｒ ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ ５，

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｇｔｍ

＞

Ａ，Ｘ：Ｋ＼Ｔ＼－Ｆ：￥ Ｓｇｏｐ

Ｔｈｔｍ

＞

Ａ＼Ｔ＼－ （ＡＸ：Ｋ．Ｆ）Ｖ

Ｓｇｔｍ Ｔｈｔｍ

＞

＞

Ａ＼Ｔ＼－

Ｋ．（ＭＸ）

Ｔｈｔｍ Ｔｈｔｍ

Ｆｉｇｕｒｅ

Ｆ［Ｖ／Ｘ］：￥［Ｖ／Ｘ］

＝

Ａ＼Ｔ＼－Ｍ：ＶＸ：Ｋ．￥ ＡＸ：

Ｄ＞

＝

Ａ，Ｘ：Ｋ＼Ｔ＼－Ｆ ＝

Ｘ

￡ ｆｏｐｖ（Ｍ））

Ｆ＇：￥

＝

ＡＸ：Ｋ．Ｆ＇ ：ＶＸ：Ｋ．￥

６．７： Ｔｅｒｍ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

Ｌｅｔ

（ｗｈｅｒｅ

Ｍ ：ＶＸ：Ｋ．￥

Ａ＼Ｔ＼－ ＡＸ：Ｋ．Ｆ

＞

Ａ＼－Ｖ：Ｋ

Ｄ＞

ａｎ ｕ； Ａｘ－Ｔｅｒｍ

Ｔｈｅｏｒｙ．

ｂｅｇｉｎ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｔｍ． Ａ ｔｅｒｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｓ ａ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．２．３

｜ Ｔ ｈ Ｍ Ａ｜ｒｈＭ＇：￥．

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ

Ｓｇｔｍ

＞

Ｎｏｗ

ｕｓ

＝

Ｍ＇＼ ￥ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ

＼

Ｔ ｈ Ｍ： ￥ ａｎｄ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｕ＼ｘ－ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｍ ｔｏ ｂｅ ａ ｐａｉｒ （Ｓｇｔｍ，Ａｘｔｍ） ｗｈｅｒｅ Ｓｇｔｍ ｉｓ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ａｘｔｍ ｉｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ ｃｏｎｔｅｘｔ， ｅａｃｈ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｋｎｏｗｎ ａｓ ａ ｔｅｒｍ ａｘｉｏｍ． Ａ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ａ

ｗｅ ｃａｎ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｔｈｔｍ

Ｔｈｅ

Ａ｜ｒｉ－Ｍ

＞

＝

Ｍ＇：￥．

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ６．７． Ａｎ ｗ＼ｘ－ｔｈｅｏｒｙ， Ｔｈ， ｉｓ ｔｈｅｎ ａ ｐａｉｒ （Ｔｈｏｐ， Ｔｈｔｍ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｏｆ Ｔｈｔｍ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｏｐ． Ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｔｈ ｗｉｌｌ ｔｈｅｎ ｂｅ ａｎｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｒ ａｎｙ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｅ ｍａｙ ｒｅｆｅｒ ｔｏ ａｎ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ

ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ

＝

（Ｓｇ， Ａｘ）

ｉｎ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｗａｙ．

ｗｏｒｋｉｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｇｉｖｅｎ ＾Ａｘ－ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｛｛Ｓｇｏｐ，Ａｘｏｐ）， （Ｓｇｔｍ， Ａｘｉｍ））． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｕａｌｌｙ ｏｍｉｔ ｓｕｐｅｒｓｃｒｉｐｔｓ ｆｒｏｍ ｓｕｃｈ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ， ｐｒｏｖｉｄｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｉｓ ｃｌｅａｒ． Ｓｏ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｊｕｓｔ ｗｒｉｔｅ Ｓｇ Ａ ｈ ￥：Ｋ ｔｏ ｍｅａｎ Ｓｇｏｐ Ａ ｈ ￥：Ｉ Ｔｈｉｓ ＞ ＞ ｏｖｅｒｌｏａｄｉｎｇ ｏｆ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｉｎ ｆａｃｔ ａｉｄ ｃｌａｒｉｔｙ． Ｒｅｍａｒｋ ６．２．４

Ｆｒｏｍ

ｎｏｗ

ｏｎ，

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ａｌｗａｙｓ

ｂｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

６．３．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

６．３

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ６．３．１

（ｉ）

２８５

Ａｎ

ｕＸｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｃ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｂａｓｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔ Ｕ．

ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ

ａ

（ｉｉ）

Ａ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｃ（—，Ｕ）：Ｃｏｐ

—＞

ａ

ｉｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｄａｔａ：

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ＣＯＣａｔ ｗｈｅｒｅ ＣＣＣａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ｃｌｏｓｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｓｔｒｉｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ ／ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ（Ｉ， Ｕ） ａｒｅ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ／ Ｕ ｉｎ Ｃ， ａｎｄ Ｃ（Ｉ， Ｕ） ｉｓ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ａｔ ／． Ｇｉｖｅｎ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／：／＇—＞／ ｉｎ Ｃ， ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ ／＊ Ｃ（／， Ｕ）：Ｃ（Ｉ， Ｕ） —＊？ Ｃ（Ｉ＇， Ｕ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔｒｉｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ａｓｓｉｇｎｅｄ ｔｏ ／ ｂｙ Ｃ（—， Ｕ）＼ ｉｆ ｇ： Ｉ —＊？ Ｕ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ（７， ￡／）， ｔｈｅｎ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｆ＊（ｇ） ｇｏ ｆ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏ ｉｓ ｉｎ Ｃ —＞

＝

＝

ｏｂｊｅｃｔｓ ／ ａｎｄ Ｋ ｏｆ Ｃ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｖｆ： Ｃ（Ｉ ｘＫ，Ｕ） Ｃ（Ｉ， Ｕ） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ （ｒｆ）＊：Ｃ（Ｉ， Ｕ） Ｃ（Ｉ ｘ Ｋ，Ｕ） ｗｈｅｒｅ ＩＴ？： Ｉ ｘ Ｋ ／ ｉｓ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｃ Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｊ —？■ ／ ｉｎ Ｃ， ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ Ｖｆ Ｃ（Ｉ ｘＫ，Ｕ）＾＋ Ｃ（／， １７）

（ｉｉｉ）

Ｆｏｒ

—＊■

—？

—？

（／

ｘ

ｒ

ｉｄＫｙ

Ｃ（Ｊ ｘＫ＾Ｕ）—＊ Ｃ（Ｊ， Ｕ） ＶＪ ｃｏｍｍｕｔｅｓ ａｎｄ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ

ａ：

ｉｓ ｔｈｅ

ｆｏｒ

ａ；

ｉｄｅｎｔｉｔｙ．

／＊

Ｗｅ ｃａｌｌ ｔｈｅｓｅ

ｏ

Ｖ？

－

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｖ？ （／ ｏ

ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ

ｏｎ

ｘ

ｉｄＫ）＊

Ｖｆ

ｔｈｅ Ｂｅｃｋ－ Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ｗＡｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｉｎ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ａｓ ｕｓｕａｌ， ｔｈｅ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ａｎ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔａ ｏｆ ａｎ ａ； Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｉｎ ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｗｏｒｌｄ； ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｋｉｎｄ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｉｔｈ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｍｏｒｅ ｆｏｒｍａｌｌｙ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａｎ ｕ；Ａｘ－ ＣＣＣａｔ ａｎｄ ａｎ ａ； Ａｘ －ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｏｐ． Ａｎ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ：Ｃｏｐ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｏｐ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ［Ｇ］ ｏｆ Ｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｇｒｏｕｎｄ ｋｉｎｄ Ｇ ｏｆ Ｓｇｏｐ， ａ ｇｌｏｂａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ［Ｃ］ ｏｆ ［Ｋ＼ ｉｎ Ｃ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｘ Ｃ： Ｋ， ａｎｄ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＼Ｆ＼： ［Ｋｉ］ ｘ ｌＫｎ］ —＞ ［Ｋ］ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ Ｆ： ｊｆｉｆｉ，．．．， Ｋｎ —＞ Ｋ ｏｉ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ａｒｉｔｙ ｎ． Ｈｅｒｅ， ｆｏｒ ｅａｃｈ ｋｉｎｄ Ｋ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ［Ｋ］ ａ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ

ａｎ

—？

．．．

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｔｈｒｏｕｇｈ ？

｛Ｕｎｉｔ］

＝

１，

ｔｈｅ ｃｌａｕｓｅｓ

２８６

Ｃｈａｐｔｅｒ

？

［Ｔｙｐｅ］

？

［Ｋ

ｘ

？

［Ｋ

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ｗｈｅｒｅ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ＾

１７，

Ｋ＇＼ ＾ ＼Ｋ＼

｛Ｋ＇ｊ

＝？

ｐｒｏｖｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｇｏｐ

ｈ ￥：

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｊｆｉｆ］： ［Ａ］

—？

Ｓｇｏｐ

［ｉｆ］ ｕｓｉｎｇ

Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ６．３．３

７ｒ：

Ｐｒｏｏｆ

［Ａ＇］

ｇｉｖｅｎ

ｉｎ

Ｃ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

６．９．

Ｗｅ ｈａｖｅ

＝

ｇｉｖｅｎ ａｎ ［Ｘ＾ Ｋｕ

ｏｎｅ

Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇｏｐ， Ｘｎ： Ｋｎ］， ａｎｄ ｔｈａｔ Ｓ＃ｏｐ ＞

ａ；

．．．，

ｍａｙ ｄｅｄｕｃｅ

Ｓｇｏｐ

＞

Ａ ｈ

＃［￥／Ａ＇］： Ｌ．

ｌＡ＇ｈ＊：Ｌ］ｏ｛［Ａｔ－＊１：Ｋ１ｌ．．．１［Ａ＼－＊ｎ：Ｋｎ））

＝

ｓｈｏｗ

ｏｎ

（［Ａ

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ｈ

＊ｉ：

ｔｆｊ， ．．．，［Ａｈ￥ｎ： ＃？］＞＇（［Ａ＇

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

Ｓｇｏｐ

［Ａ］

＝

ｌＡ＼－￥：Ｋ］ｏｉｒ

＝

ｔｔ＊（［Ａ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ

ｈ ￥：

Ｌ］）．

Ａ＇ ｈ ＃： Ｌ．

＞

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ Ｓｇｏｐ ＞ ｔｈａｔ Ｓｇｏｐ ＞ Ａ＇ ｈ ￥： Ｋ． Ｆｕｒｔｈｅｒ，

［Ａ＇ ＼－￥：Ｋ］ ｗｈｅｒｅ

ｗｅ ａｒｅ

Ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ

ｎ．

ｄ＾ｆ

ｗｅ ｃａｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅｓ ６．８ ａｎｄ

ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ

［Ａｈ＊［＜Ｓ／Ａ＇］：Ｌ］

Ｔｈｅｎ

［Ｘｉｍ． Ｋｉ，．．． ，Ｘｎ： Ｋｎ］ ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｌｉｓｔ）． Ｗｅ ｎｏｗ ｄｅｆｉｎｅ

Ａ ｈ ＜￡： Ｋ ａ

＞

Ａ＇ ｈ ＃： Ｌ ｗｈｅｒｅ Ａ＇

＞

ｗｅ ｃａｎ

Ｐｒｏｏｆ

＝

１ ｉｆ Ａ

ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ

ｔｈａｔ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

￥ｆ： Ｊ＾ ｆｏｒ １ ＜ ｉ ＜

Ｆｕｒｔｈｅｒ

Ｉｆ Ａ

ｌｅｍｍａ：

Ｌｅｍｍａ ６．３．２

Ａ ｈ

ａｎｄ

［Ｇ］ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｍｏｐ． ［Ａ］ ＝ｆ Ｕ＾［Ｋｉ］ （ａｎｄ ［Ａ］ ｄ＝

［Ａ

ｔｈａｔ

＼Ｋ＇ｌ

ｘ

ｔｆ＇］ ＊ｆ ［＊］

ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

□

Ａｈ＾Ｊｆ ａｎｄ Ａ Ｃ ｗｅ ｃａｎ

ｈ ￥：

Ａ＇．

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

Ｋ＼）

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． □

Ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ ６．３．２．

ｕ；Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ｔｈｅｎ ｉｆ Ａ ｈ ￥ ￥＇： Ｋ ｉｓ ａｎｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｅ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍｏｐ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｉｆ ［Ａ ｈ ￥： Ｋ＼ ａｎｄ ［Ａ ｈ ￥＇： Ｋ＼ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ Ｃ． Ｉｆ Ｔｈｏｐ ｛Ｓｇｏｐ， Ａｘｏｐ） ｉｓ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅｎ Ｍｏｐ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．３．４

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ

Ｓｇｏｐ

ｉｓ

ａｎ

＝

＝

ｉｓ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｏｐ ｉｆ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｘｉｏｍｓ． Ａｓ ｅｖｅｒ，

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．３．５

Ｌｅｔ Ｍｏｐ ｂｅ

ａ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｏｐ

＝

ｗｅ

ｈａｖｅ：

（Ｓｇｏｐ，Ａｘｏｐ）．

Ｔｈｅｎ Ｍｏｐ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｔｈｏｐ． ＰＲＯＯＦ ａ；

Ａ ｒｏｕｔｉｎｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ

Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｔｈｅｏｒｅｍｓ

ａｒｅ

ｃｌｏｓｅｄ ｕｎｄｅｒ

Ｆｉｇｕｒｅ ６．４ ｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎ ｂｙ Ｍｏｐ．

ｆｏｒ

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ □

６．３．

Ｉ—

Ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｉ Ｉ—

１

［Ａ， Ｘ： Ｋ， Ａ＇ ＼－Ｘ：Ｋ｝ Ｕｎｉｔ

＝

［Ａ

ｈ

ｇｉ： ｊｉｆｊ

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［Ａ

＼Ｋ＼

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１

ｈ

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［ＡＪ

１

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ｈ Ｃ：

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Ｔ７ Ｋｊ ｄ＾ｆ ［ＣＩｏ！： ［Ａ］

ｆｒ： ［ＡＪ

［Ｋｘ］

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Ｆ（￥）： ｉｑ

ｈ

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［Ｆｌ

Ｂｉｎａｒｙ

Ｐｒｏｄｕｃｔ

［Ａ

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［Ａ

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４＞： ［Ａ］

＜＊，￥）： Ｋ

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ｈ ０： ｉｆ

Ｆｓｔ（９）： ｉｑ

［Ａ ［Ａ

（Ｃ：Ｋ）

［Ｋ＼

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［Ａ］

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Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

［Ａ ［Ａ

ｏ

１

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（．Ｔ； ｊＶｉ，

｜

［Ａ］

Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｙｍｂｏｌｓ ［Ａ

Ｉ—

ｉｔ：

Ｏｐｅｒａｔｏｒ

［Ａ Ｉ—

２８７

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

［ＫＪ

ｘ

ＬＩ

＝

ｘ

Ｌ］

＝

＝

ｈ ６： ｉｆ

Ｓｎｄ（９）： ＬＪ

－＞

．

ｘ

＝

０：

７Ｔ ｏ

ＬＪ ＊＞

Ｆｉｇｕｒｅ ６．８： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａ； Ａｘ －Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

＝

ｏ

０：

［Ａ

ｈ ｔｆ：

（０， Ｖ＞： ［Ａ］ ｆｌ：

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［Ａ］ ０：

Ｌ］

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［Ｌ］

［ＬＪ

［ＬＪ）

Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

｜ ａｎ

２８８

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

．

［Ａ， Ｘ： Ｋ ［Ａ ［Ａ

［Ａ

Ｉ—

Ｕｎｉｔ

ＬＩ

ｈ ￥ｔｔ：

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Ｂｉｎａｒｙ

Ｐｒｏｄｕｃｔ

［Ａ

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［Ａ

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［Ａｈ＊： ＴｙｐｅＪ

Ｕ

ＴｙｐｅＪ

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Ｔｙｐｅ ｈ ￥：

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［Ａｈ＊： Ｔｙｐｅ］

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［Ａｈ￥＝＞＊： ＴｙｐｅＪ ■—

ｘ

１

（ｗｈｅｒｅ

Ｉ—

ｄ＞： （［Ａ］

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Ｔｙｐｅ

［Ａ

Ｉ—

Ｌ］

ｈ Ｓ：

Ｋ．￥：Ｋ＾Ｌ＼

ｈ ＸＸ：

ｈ ＜￡：＃ ＝？

｜

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

＝

＜ｆ＞

＝＊

＾： ［ＡＪ

＝

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ｉ／＞：［Ａ］－＞Ｕ Ｕ

Ｋｉｎｄ Ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ

［Ａ， Ｘ： Ｋ ［Ａ

１

ＴｙｐｅＪ

ｈ ＊：

ｈ ＶＸ： ＃．＊

：

＝

ＴｙｐｅＪ

０： ［Ａ］

＝

ｘ

＼Ｋ＼

ＶＪ￡Ｊ（０）： ［Ａ］

－＞

１７

－＞

Ｆｉｇｕｒｅ ６．９： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａ；Ａｘ－Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， Ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ ｆｒｏｍ Ｆｉｇｕｒｅ ６．８．

Ｕ

Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ａｎ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ

６．３．

ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅｓ

Ｉｎｓｔａｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ

ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

Ｉ—

［Ａ， Ｘ： Ｋ ｜

［Ａ ｜ ｒ

ｈ Ｍ

￥］

ＶＸ：

：

ＶＸ：

：

＊［￥／＊］］

Ｉ－ Ｍ＊：

Ｋ＊］

＃．￥］

＝

＝

（ｔｄ｜Ａ］， ［Ａ

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Ｋ ｈ

／： ［Ａ， Ｘ：

＝

［Ａ

Ｔ］

／： ［Ａ

ｈ

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［Ａ

ｈ

Ｔ］

ｍ：

ｈ ＊： Ｉ－

－＞

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［Ａ， Ｘ： Ｋ

ｈ

￥Ｊ

ＶＪｆ｝（［Ａ， Ｉ：ｉｆｈ ＊］） ［Ａ

ｈ ＶＸ：

ＡＴ．ＳＪ

ｉＨ＞＊（［Ｗｖ（｜Ａ，ｙ：ＪＣＨ＊ｉｙ／ｘ］ｉ）］Ａ）

ＴＪ

－＞

［Ａ

Ｉ－ ＶＸ：

＃．￥］

［Ａ

－？

ｈ

ｏ ｍ：

￥［＊／Ｘ］Ｊ

Ａ）

Ｙ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ

Ｆｉｇｕｒｅ ６．１０： Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ Ｐｒｏｖｅｄ Ｔｅｒｍｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ Ｔｅｒｍ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ．

ａｎ

ｌｊＸｘ－

Ｓｇ ｔｍ｛ Ｔｈｏｐ） ｂｅ ａｎ ｕ； Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ． Ａ ｔｅｒｍ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｍｏｄｅｌ Ｍｏｐ ｆｏｒ ２ＶＰ， ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ Ｃ（［Ａ］， Ｕ） Ｌｅｔ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．３．６ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｔｍ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

．

Ｔ ｈ Ｆ：

ｈ ＡＸ： ＫＦ

［Ａ ｜ Ｔ

Ｃｈａｐｔｅｒ ５，

Ｔｅｒｍｓ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

［Ａ ｜ Ｔ

５．９ ａｎｄ ５．１０ ｏｆ

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

Ｔｅｒｍｓ

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

２８９

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

［／］：［Ａｈ￥１］ｘ．．．ｘ［Ａｈ￥ｎ］－＋［Ａｈ＜Ｓ＞］ ｗｈｅｒｅ

／

ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｓｇｏｐ

ｉｓ

［ｋ］

＞

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｆ

［Ａ

Ａ ｈ Ｔ

［Ａ

ｈ

Ｔ］

ｆｏｒ ＝

￥］

ｈ

ｓｏｒｔｉｎｇ ／： Ａ； ￥ｌ５．．．， ￥ｎ —＊■ ￥， ｃｏｎｓｔａｎｔ ｋ： Ａ； ￥． Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｓｙｍｂｏｌ ｆｏｒ

ａ

ｗｉｔｈ

ｓｏｍｅ ｔｅｒｍ

ｎ＾［Ａ

ｌｉｓｔ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

Ｃ（［Ａ］， Ｚ７） ｂｙ

Ｌｅｍｍａ ６．３．７

Ｓｇｔｍ

＞

Ｓｇｔｍ

＞

ｈ Ｍ：

ｔｈｅ ｃｌａｕｓｅｓ

ｇｉｖｅｎ

Ｌｅｔ

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ

＼ Ｔ［￥／Ａ＇］

ｈ

￥］： ［Ａ ｉｎ

＝

ｈ

Ｔ］

Ｆｉｇｕｒｅ

＝

［Ａ

－＞

ｈ

０］

６．１０．

Ａ＇ ＼ Ｔ ｈ Ｎ： Ｖ ｂｅ

ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ， ｗｈｅｒｅ Ａ＇ ｔｅｒｍ

ｗｅ

｜ｒ

［Ａ ｉｎ

ａｎｄ

ｇｌｏｂａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ， ｉｆ ａ

［ｘｉｍ． ￥ｉ，．．．， ｘｍ： ￥ｍ］， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ［Ａ ｈ Ｔ］ ｄ＝ １ ｉｆ Ｔ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ： ￥， ｗｅ ｓｐｅｃｉｆｙ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｃｏｎｔｅｘｔ ｒ

￥Ｊ；

ｈ

ａｎｄ

ａ

ｐｒｏｖｅｄ

＼Ｘ＼． Ｋｉ，．．．，Ｘｎ： Ｋｎ］．

Ｎ［￥／Ａ＇］： ＃［＜￡／Ａ＇］

ａｎｄ

ｔｅｒｍ ａｎｄ ｌｅｔ Ａ ｈ

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｍｏｒｅｏｖｅｒ

ｈａｖｅ

ａ

￥ｆ： Ｋ｛

ｐｒｏｖｅｄ

ｉｔｓ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

［Ａ ｜ ｒ［＜？／Ａ＇］

（［Ａ Ｐｒｏｏｆ

Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

Ｉ－

ｈ

ｏｎ

ＪＶ［＜￡／Ａ＇］： ＃［＜？／Ａ＇］］

＊ｉ：

＝

ｆｆｊ， ．．．，［Ａｈ￥ｎ： Ｋｎ］）＊（ｌＡ＇ ＼Ｔ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

Ｓｇｔｍ

＞

Ａ＇

＼Ｔ

ｈ Ｎ：

＊］）．

ｈ Ｎ： Ｖ．

Ｄ

２９０

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｌｅｍｍａ ６．３．８

Ｓｇｔｍ

Ｌｅｔ

｜

Ａ

＞

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

Ｖ ｈ Ｎ： ＃ ｂｅ

ｐｒｏｖｅｄ

ａ

ｔｅｒｍ ａｎｄ ｌｅｔ

Ｓｇｔｍ ＞ Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍｊ－： ￥ｊ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｃｏｎｔｅｘｔ Ｔ＇ ｉｓ ［ｘｉ： ￥ｉ，．．．， ｚｍ： ￥ｍ］． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ Ｓｐｔｍ ＞ Ａ ｜ Ｔ ｈ ＪＶ［Ｍ／ｒ＇］： ＃ ａｎｄ

ｍｏｒｅｏｖｅｒ

［Ａ｜ｒｈｉＶ［Ｍ／ｒ］：＊ｌ

＝

［Ａ｜ＴｈｉＶ：＾］ｏ（［Ａ｜ｒｈＭ１：＾１］，．．．，［Ａ｜ｒｈＭｍ：＾ｍ］）． ＰＲＯＯＦ

Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

［Ａ７｜ Ｔ＇ ［Ａ＇］

—？

Ｄ

Ｓｇｔｍ ＞ Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ： ￥ ｂｅ ａ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍ， ｃｅｒｔａｉｎｌｙ Ｓ＃ｔｍ ＞ Ａ＇ ｜ Ｆ ｈ Ｍ： ￥， ａｎｄ ｍｏｒｅｏｖｅｒ

ａｎｄ Ｔ Ｃ Ｖ． Ｔｈｅｎ

７ｒ：

Ａ＼ＦｈＮ：Ｖ．

＞

Ｌｅｔ

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ６．３．９

ｗｈｅｒｅ

Ｓｇｔｍ

［Ａ］

ｈ Ｍ：

ａｎｄ ７ｒ＇：

￥］

［Ａ

ｔｔ＊（［Ａ ｜ ｒ

＝

ｈ

Ｔ＇］

［Ａ

—？

ｈ Ｍ：

Ｔ］

ｈ

０］

ｏ

ｔｔ＇） ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ

ａｒｅ

Ａ Ｃ Ａ＇

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ． Ｐｒｏｏｆ

□

Ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａｓ ６．３．７ ａｎｄ ６．３．８．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｓｇｔｍ ｉｓ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｎｄ ｔｈａｔ ＯＯＣａｔ． Ｉｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ Ｓｇｔｍ ｉｎ ａｎ ａ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ＣｉＣ＾

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ６．３．１０

Ｍｔｍ ｉｓ

｜

Ａ

ａ

ｔｅｒｍ

Ｔ ｈ Ｍ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

＝

Ｍ＇＼ ￥ ｉｓ ａｎｙ ｔｅｒｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ，

ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ Ｍｔｍ

ｗｅ

ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

［Ａ ｜ Ｔ Ｃ（［Ａ］，＊７）． ａｎｄ

ａ

－＞

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｈ

Ｍ＇：￥］

ａｒｅ

ｅｑｕａｌ

Ａ ｍｏｄｅｌ Ｍｔｍ ｏｆ

ｉｎ ｔｈｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

ａｎ

Ｍｔｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

Ｓｇｔｍ

ｉｎ

［Ａ ｜ Ｔ ｈ Ｍ： ￥］ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ（［Ａ］）

ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｔｍ ｛Ｓｇｔｍ，Ａｘｔｍ） ａｎ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ＣｉＣ＾ ＝

ＣＯＣａｔ， ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ Ａｘｔｍ． Ｗｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．３．１１ ａｎ

ｕ； Ａｘ－ｔｅｒｍ

Ｌｅｔ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

Ｉｆ Ｍｔｍ ｉｓ

ａｎ ａ

ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｔｈｅｏｒｙ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｍ ｉｎ

Ａ ｒｏｕｔｉｎｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｉｎ

ｕ； Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｔｈｅｏｒｅｍｓ

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ６．３．１２ Ｔｈｅｏｒｅｍ

６．３．１１．

—＊■

ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

ａｎｄ Ｃ： Ｃ°ｐ

Ｃ，

－？－

ＣＣＣａｔ ｂｅ

ｔｈｅｎ Ｍｔｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

Ｔｈｔｍ．

Ｐｒｏｏｆ

ａｒｅ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｉｓ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

Ｔｈｔｍ ｂｅ

ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ

＝

ｃｌｏｓｅｄ ｕｎｄｅｒ ｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎ

Ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｓｏｍｅ

Ｆｉｇｕｒｅ ６．７ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ □ ｂｙ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｔｍ．

ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

６４－

２９１

Ｌｅｔ

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ６．３．１３

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｉｎ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｇ

ｕｓ

ａｎ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｏｆ Ｔｈｏｐ ａｎｄ Ｍｔｍ ｉｓ

ａ

ｔｅｒｍ

—？

ＣＣＣａｔ ｆｏｒ

ａｎ

ａ；Ａｘ－

ｐａｉｒ （Ｍｏｐ， Ｍｔｍ） ｗｈｅｒｅ Ｍｏｐ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｔｍ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ

（Ｓｇｏｐ， Ｓｇｔｍ（Ｔｈｏｐ））

＝

Ｃ：Ｃｏｐ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｉｓ

ａ

ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｏｐ． Ａ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ （Ｔｈｏｐ， Ｔｈｔｍ） （Ｓｇ，Ａｘ） ｉｎ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ （Ｍｏｐ，Ｍｔｍ） ｆｏｒ Ｓｇ ｗｈｅｒｅ Ｍｔｍ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｍ （ａｎｄ Ｍｏｐ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｙ）． Ｗｅ ｈａｖｅ

ｔｈｅ

＝

Ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ａ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｍｏｄｅｌ ＴＨＥＯＲＥＭ ６．３．１４

ｔｈｅｏｒｅｍｓ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

Ｍ ｉｓ

ａｎ ａ；

＝

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈ ｉｎ

ａｎ

ｓｏｕｎｄ， ｔｈａｔ ｉｓ， Ｍ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａｌｌ

ｏｆ Ｔｈ． Ｔｈｉｓ ｉｓ

Ｐｒｏｏｆ

ａ ｒｅｓｔａｔｅｍｅｎｔ

ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ６．３．５ ａｎｄ ６．３．１１．

□

Ａ ＰＥＲ Ｍｏｄｅｌ

６．４

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．４．１

Ｏｕｒ ｆｉｒｓｔ

ｏｆ

ｅｘａｍｐｌｅ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

ａｎ

ｉｓ ｂａｓｅｄ

ｏｎ

ＰＥＲｓ．

（ｉ）

Ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ ｏｆ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔ

Ｕ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ＰＥＲｓ

ｏｎ

Ｎ，

Ｃ／ｄ＝｛ＡＣＮｘＮ｜Ａｉｓａ ＰＥＲ

ｏｎ

Ｎ｝．

（ｉｉ） Ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ Ｊ ｆｏｒ Ｕｎ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ＣＩ Ｃ（Ｊ， Ｕ）． Ｃ（Ｉ，Ｕ） ａｒｅ （ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ） ｓｅｔ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

Ｔｈｅ

＝

Ｕ． Ｌｅｔ

ｘ

Ｇ ／ ｂｅ ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ／． Ｉｆ Ｆ： Ｉ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ｏｖｅｒ ／， ｔｈｅｎ Ｆｘ ａｎｄ ＰＥＲ Ｒ ｄ＝ ｎｘ ｉ（Ｆｘ ＝＾ Ｇｘ）． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ｔｗｏ

Ｃ（／， Ｕ）（Ｆ， Ｇ）

＝

Ｇｘ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ／

Ｕ ａｎｄ Ｇ：Ｉ

—？

ａｒｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ

—＞

Ｕ

ａｒｅ

—＞

ａｎｙ

ＰＥＲｓ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

Ｄｏｍ（Ｒ）／Ｒ．

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ＰＥＲ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ； ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｍａｎｎｅｒ ｔｏｏ—ｓｅｅ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ５．５．７． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｃ（—， Ｕ）：Ｃｃｐ

Ｈ：Ｉ＇－＊Ｉ ｗｈｅｒｅ Ｈ ｓｅｎｄｓ

ＣＣＣａｔ

ｂｙ

ｔｈｅ ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

Ｈ＊：Ｃ（Ｉ，Ｕ）—＊ Ｃ（Ｉ＼Ｕ）

￣

ｏｂｊｅｃｔ Ｆ：Ｉ ｏｆ Ｃ（Ｉ＇，Ｕ）， ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ＜ｆ＞ ［ｅ］：ＦＨ－＋ＧＨ ｏｆ Ｃ（Ｉ＇，Ｕ）． ａｎ

—？

Ｃ（Ｊ， Ｕ） Ｇ ［ｅ］：Ｆ

Ｕ ｏｆ

—＞

＝

—？■

ｔｏ ｔｈｅ

ｏｆ

ｏｂｊｅｃｔ

Ｃ（７， Ｕ）

ＦＨ： Ｉ＇

ｔｏ ｔｈｅ

—＞

Ｕ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

２９２

Ｃｈａｐｔｅｒ ６．

（ｈｉ）

Ｗｅ

ｇｉｖｅ

ａ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

ｔｏ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ

（－Ｋｆ）＊：Ｃ｛Ｉ， Ｕ）

—？■

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｃ（Ｉ

ｘ

Ｋ，Ｕ），

ｓａｙ

Ｖ？：Ｃ（ＩｘＫ，Ｕ）＾＞Ｃ（Ｉ，Ｕ）． ＵＦ：ＩｘＫ－＊Ｕｉｓｉｍ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ｛Ｉ

Ｋ，Ｕ），

ｘ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｖｆ Ｆ： Ｊ

－＞

Ｕ

ｂｙ ｋｅＫ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｇ ／． Ｉｆ

￡

（ｆ＞

＝

［ｅ］： Ｆ

—？

Ｇ ｉｓ

ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ（Ｊ

ｘ

Ａ＇， Ｚ７） ｔｈｅｎ

Ｖｆ ｃｆ＞

＝

［ｅ］：ＶｆＦ－＋ＶｆＧ． Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ６．４．２ ｉｎ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．４．１

Ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｉｓ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

６．５

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ６．５．１ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｐｒｅｓｅｎｔ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ａ

ｓｏｍｅ ｍｏｒｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｐｕｒｅ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ．

ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ ａｎ Ｃ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｉｆ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ＨＳ：Ｃ Ｓｅｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ｔｏ ｓｐｅｌｌ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｕｔ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｍｏｒｅ， ｉｆ Ｄ：Ｉ —？■ Ｃ ｉｓ ａ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｄｉａｇｒａｍ ｗｈｅｒｅ Ｉ ｉｓ ｓｍａｌｌ， ａｎｄ ｈａｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔ Ｓ ｏｆ

ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ａ；

ｔｈｅｏｒｙ

（ｆｃｊ： ＤＩ

－？

ｌｉｍ Ｄ

－＞

ａ

＼

Ｉ Ｇ

Ｉ）

ｉｎ Ｃ ｔｈｅｎ

（Ｃ（Ｓ，ｋ！）：Ｃ（Ｓ，ＤＩ） ｉｓ

ａ

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｉｎ

ａ：Ｉ－＋Ｊ ｗｈｅｒｅ

ａ：

Ｉ

—？■

Ｊ ｉｓ

ａ

ｌｉｍＣ（Ｓ，Ｄ（－）） ＼

Ｉ Ｇ

Ｓｅｔ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ（Ｓ，Ｄ（—））：Ｉ

Ｃ（Ｓ， ＤＩ）

ｉ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｃ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ？

－？

ｏｆ Ｉ ａｎｄ

／： Ｓ

ｆ＂Ｄａｏｆ —？

—＊

Ｓｅｔ ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

Ｃ（Ｓ， ＤＪ）

ＤＩ ｉｎ Ｃ．

ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ

Ｃ ｈａｓ ａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ａｌｌ ｆｉｌｔｅｒｅｄ

Ｉ）

ｉｆ

ｃｏｌｉｍｉｔｓ， ａｎｄ

ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｏｂｊｅｃｔ Ｃ ｏｆ Ｃ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ： Ｉ Ｃ ａｎｄ ｃｏｌｉｍｉｔ （＆ｊ： ＤＩ —？■ Ｃ ｜ ／ Ｇ Ｉ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｅａｃｈ Ｄ／ Ｇ Ｓ． Ｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｆｐ－ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｆｏｒ Ｃ． ？

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｓｅｔ Ｓ ｏｆ

—？

Ｉｎｆｏｒｍａｌｌｙ， ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｏｂｊｅｃｔｓ． （Ｃ，§）．

ｓａｙ ｔｈａｔ ｅｖｅｒｙ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｔａｌｋ

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｃ ｉｓ ａ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｏｆ ａ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

６．５．

２９３

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｎｅｅｄ ｔｈｅ

ＡＣＣａｔｌｒ，

ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｉｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＳＤｏｍｅｐ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ

ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒｓ．

ｔｈａｔ Ｘ ａｎｄ Ｙ

ａｎｄ

ｒ：

Ｙ

ａｌｓｏ

ｒ

ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｊｏｉｎｓ）

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｌ－ｒ ｐａｉｒｓ，

Ｘ

—？

ｔｈｅｎ

ｗｅ

ａｒｅ

ａｒｅ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

（ｂｙ

ｗｈｉｃｈ

ｓｈａｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ

ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｔｈａｔ Ｉ： Ｘ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｗｅ

（ｌ，ｒ）

ｓｈａｌｌ ｉｓ

ａ

Ｉｆ

（Ｉ

ｊｕｓｔ

Ｈ

ｒ）

ｉｓ

ａ

Ｙ

ｐｏｓｅｔ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ

ｔｈａｔ

ｍｅａｎ

—？■

ｒ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｌｅｆｔ－ｒｉｇｈｔ－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｐａｉｒ ｏｒ ｊｕｓｔ ａｎ ｌ－ｒ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ

ｐａｉｒ． Ｓｏ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ＡＣＣａｔｌｒ ａｒｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｌ－ｒ ｐａｉｒｓ． Ｉｆ ／： Ｘ —？■ Ｙ ｉｓ ａｎ ｌ－ｒ ｐａｉｒ ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｆｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ａｎｄ ｆＴ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ． Ｉｆ ｇ： Ｙ —？■ Ｚ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｌ－ｒ ｐａｉｒ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｒｇｒ－ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｇｆ： Ｘ —？ Ｚ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ （ｇｆ）１ ｇｌｆｌ ａｎｄ （ｇｆ）ｒ ＝

＝

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ６．５．２

Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ｉｓ

ａ

ｃａｔｅｇｏｒｙ； ｗｈａｔ

ａｒｅ

ｔｈｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ？ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．５．３

ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｐｌａｙ

ａ

Ｗｉｔｈ ｔｈｅｓｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｒｏｌｅ ｉｎ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ， ｏｕｒ

ｗｅ ｃａｎ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ａ ｎｅｗ

ｃｏｎｃｒｅｔｅ

ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＣＦＰ ｈａｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃｌａｓｓｅｓ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ｌｅｔ

ｏｆ

ａｎ

Ｉｎ ｆａｃｔ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

ｗｅ

ｕｓ

ｓｋｅｔｃｈ

ｓｈａｌｌ

ｓｅｅ

ｏｕｒ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ

ａ

ａ

ｌｏｃａｌｌｙ

ｏｆ ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

ｔｈａｔ ＣＦＰ ｉｓ

ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｅｘａｍｐｌｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＡＣＣａｔｌｒ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ， ａｎｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ ｋｉｎｄ Ｔｙｐｅ ｂｙ ＡＣＣａｔｌｒ． Ｉｆ Ａ ｉｓ ａ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ａｔ Ａ ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｗｈｏｓｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ａｒｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ａ ＡＣ￡ａｔｌｒ； ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｔ ｔｈｉｓ ｐｏｉｎｔ． Ｔｈｅ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｆｏｒ ｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ ｔｈｉｓ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａｎ ａ； Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｉｓ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ： ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

ａｎ

—？

？

Ｗｅ ｓｔａｔｅ ｔｈａｔ ＣＦＰ ｉｓ Ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ； ｔｈｉｓ ｉｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．４．

ＡＣＣａｔｌｒ ｉｓ

ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｆｉｒｓｔ， Ｌｅｍｍａｓ ６．５．５， ６．５．６， ６．５．７， ６．５．８ ａｎｄ ６．５．９ ｐｒｏｖｉｄｅ ｓｏｍｅ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ， ａｎｄ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１１ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ， ａｎｄ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１３ ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ ａｌｌ （ｓｍａｌｌ） ｌｉｍｉｔｓ． ？

ａ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ６．５．１４ ａｎｄ ６．５．１５ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ

ａ ｓｅｔ

ｏｆ

ｆｐ－ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ．

６．５．１６ ｃｏｎｃｌｕｄｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ．

ｇｉｖｅ ａ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ＣＦＰ （Ａ， ＡＣＣａｔｌｒ） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ａ ｏｆ ＣＦＰ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｉｎ Ｌｅｍｍａｓ ６．５．１８， ６．５．１９ ａｎｄ ６．５．２０． ？

Ｗｅ

２９４

？

Ｆｉｎａｌｌｙ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｓｔａｔｅ

ｗｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ａ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｉｃｈ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ＣＦＰ（－，ＡＣＣａｔｌｒ）：￡ＦＰ

－？－

ＧＣＣａｔ， ａｎｄ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｓｋｅｔｃｈ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａｎ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．２１． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ￡ＦＰ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．４ Ｐｒｏｏｆ

Ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ

ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ， ｒｅｌｙｉｎｇ

ｐｒｏｏｆ

ｔｈａｔ ￡ＦＰ ｉｓ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｉｓ

ｂｅｙｏｎｄ

ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ

ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ｋｎｏｗｎ ａｓ Ｇａｂｒｉｅｌ－Ｕｌｍｅｒ ｄｕａｌｉｔｙ． Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｎｅ ｐｏｉｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ａ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ． Ｇｉｖｅｎ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ （Ａ， §．４） ａｎｄ （５， §＃）， ｔｈｅｉｒ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ： ａ ｓｅｔ ｏｆ ｆｐ－ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｆｏｒ Ａ ｘ Ｂ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｓｅｔ §．４ ｘ §５． Ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ［§．４， Ｂ］， ｗｈｅｒｅ §，４ ｉｓ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｆｕｌｌ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ａ． Ｔｈｉｓ ｆｕｎｃｔｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ａｌｌ （ｓｍａｌｌ） ｌｉｍｉｔｓ ｂｅｃａｕｓｅ Ｂ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ａｎｄ ｓｕｃｈ （ｃｏ）ｌｉｍｉｔｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｉｓ ｔｈａｔ ［§．４，＃］ ｈａｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｆｐ－ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ． Ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ［§．４，＃］ ｌｉｖｅｓ ｉｎ ＣＦＰ ｔｈｅｎ ￡ＦＰ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ， ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ａ ｘ Ｂ Ｃ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｂｉｊｅｃｔｉｖｅｌｙ □ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｓｕｃｈ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ａ ［Ｓｇ，Ｃ］． ｏｎ ｓｏｍｅ

ｔｅｃｈｎｉｃａｌ

—＊■

—＞

Ｌｅｍｍａ ６．５．５

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ａ

Ｌｅｔ Ｉ ｂｅ

ａｎｄ

（３

ａｓ

ａ

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ｉｎ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｎ

ｗｅ ａｒｅ

ｄｉａｇｒａｍ： Ｋ

ｙ Ｉ

Ｋ＇ Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ

ＰＲＯＯＦ

ａｒｅ

Ｉｔ ｉｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａ

ｓｉｍｐｌｅ

７： Ｋ

—＊？

Ｋ＂ ａｎｄ

７＇：

Ｋ＇

—＊？

Ｋ＂ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ７ａ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｌｅｍｍａ

ｕｓｉｎｇ

＝

７＇／？．

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ □

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｌｅｍｍａ ６．５．６

ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅｓ ｗｈｏｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ （ｍｏｎｏｔｏｎｅ） ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｊｏｉｎｓ． Ｔｈｉｓ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈｅ ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ： ＪＳＣａｔ Ｓｅｔ ｃｒｅａｔｅｓ ｔｈｅｍ． Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｄｅａｌｓ ｏｆ ａ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ Ｘ． Ｉｆ ｛Ｘａ ＼ ａ Ａ｝ ｉｓ ａｎｙ ｓｅｔ ｏｆ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅｓ， ａｎｄ ｉｆ Ｍａ Ｇ Ｘａ ｉｓ ａ ｇｉｖｅｎ ｉｄｅａｌ Ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＪＳＣａｔ ｏｆ

—？■

２９５

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

６．５．

Ａ， ｔｈｅｎ ＴｌａｅＡｌａ ｉｓ ａｎ ｉｄｅａｌ ｉｎ ＴｌａｅＡＸａ， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ａｒｅ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅａｌｓ ＩＱ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ａ

Ｇ

ＪＳＣａｔ． Ａ ｒｏｕｔｉｎｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ． Ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ ｃｒｅａｔｅｓ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｉｎ ＪＳＣａｔ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ

ＰＲＯＯＦ ｔｏ ｔｈｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｘａ ｉｎ Ｙｌａ Ａ＾ａ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ； ａｌｌ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ Ｌｅｍｍａ ６．５．７

／： Ｘ

—＞

Ｐｒｏｏｆ

Ｙ ｉｓ

ａｎ

Ｌｅｔ １－ｒ

Ｓｅｔ． Ｔｈａｔ

ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｙ ｂｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｘ ｐａｉｒ ｉｎ ＡＣＣａｔｌｒ

ｉｎ

—＞

Ｕｓｅ Ｌｅｍｍａ １．５．１４，

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ

Ｉｌａ Ａｌａ

ｉｓ

ａｎ

□

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ．

ＪＳＣａｔ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｌｉｆｔｉｎｇ

Ｐｒｏｏｆ

□

１．５．１８ ａｎｄ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１０．８．

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔａｋｉｎｇ ｉｄｅａｌ ｌｉｆｔｉｎｇｓ ｉｓ ｆｕｎｃｔｏｒｉａｌ． ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｉｆ ｗｅ ｈａｖｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｘ —？ Ｙ －＾ Ｚ ｉｎ ＪＳＣａｔ， ｔｈｅｎ ｇ ｏ ／ ｗｈｅｒｅ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｆ：Ｘ —＞ ｙ ａｎｄ ￣ｇ：Ｙ —＞ Ｚ Ｌｅｍｍａ ６．５．８

ｉｄｅａｌ ｏｆ

Ｍｏｒｅ

Ｔｈｅ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｔｈａｔ Ｍ

ｅ￣Ｘ．

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

￣ｇｆ（Ｍ）

＝

＝

ｇＪ（Ｍ），

ｇ

ｏ

／

ｔｈａｔ

ｉｓ

［ｊ｛ｇｆ（ｘ）ｉ ＼ｘｅＭ｝ Ｉｆ

ｚ

Ｘ．

＝

＼Ｊ｛ｇ（ｙ）ｉ ＼

ｙ Ｇ

＼Ｊ｛ｆ｛ｘ）ｌ ＼

ｘ

Ｇ

Ｍ｝｝．

７ｊｆ（Ｍ）， ｔｈｅｎ ｚ ＜ ｇ（ｙｏ） ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｙｏ ｅＹ ｗｈｅｒｅ ｙｏ ＜ ｆ（ｘｏ） ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｘｑ Ｇ Ｓｏ ｚ ＜ ｇｆ｛ｘ０）， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｚ Ｇ ￣ｇｆ（Ｍ）． Ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ｇＪ（Ｍ） Ｃ ￣ｇｆ（Ｍ） Ｇ

ａｎｄ ｔｈｅ

ｒｅｖｅｒｓｅ

Ｌｅｍｍａ ６．５．９

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （５：１

—？■

Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉｓ

ｅｑｕａｌｌｙ

□

ｅａｓｙ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｉ ｉｓ ａ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ Ｋ＇＇， ａ＇： Ｊ ｉ＾， ａ ａｎｄ ／３＇ ａｓ ｐｉｃｔｕｒｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｂｅｌｏｗ． ６＇（３＇． ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ６ ａｎｄ ６＇ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ９ａ ０＇／？ ａｎｄ ６ａ＇ —？

＝

＝

２９６

Ｃｈａｐｔｅｒ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｇｉｖｅ

Ｐｒｏｏｆ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

ｉｎｆｏｒｍａｌ

ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｑｕｉｔｅ ｅａｓｙ， ｂｕｔ ｔｅｄｉｏｕｓ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ． Ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｌｅｍｍａ ６．５．５， ｃｈｏｏｓｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ７， ７＇ ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ７ ａｎｄ ７＇ ｗｈｏｓｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ ｗｉｔｈ ａ， （３ ａｎｄ ａ＇， （３＇ ａｒｅ ｅｑｕａｌ． Ｂｙ ｆｉｌｔｅｒｅｄｎｅｓｓ ｏｆ Ｉ， ｃｈｏｏｓｅ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ｏｎｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｗｉｔｈ ｓｏｕｒｃｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔａｒ｛７） ｔａｒｉｆｆ＇） ａｎｄ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｗｉｔｈ ｓｏｕｒｃｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔａｒ （７） ｔａｒ（７＇）， ａｎｄ ｂｏｔｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｈａｖｉｎｇ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｔａｒｇｅｔ． Ｃａｌｌ ｔｈｅｓｅ ６ ａｎｄ ６＇． Ａｇａｉｎ ｂｙ ｆｉｌｔｅｒｅｄｎｅｓｓ， ｃｈｏｏｓｅ ｅ： ｔａｒ（８） —？？ ｔａｒ（ｅ） ｗｈｉｃｈ ｅｑｕａｌｉｓｅｓ ＜￥Ｖ ａｎｄ ￡＇７＇， ａｎｄ ｅ＇： ｔａｒ（６） ｔａｒ（ｅ／） ｗｈｉｃｈ ｅｑｕａｌｉｓｅｓ ６７ ａｎｄ ６，７ｙ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ａｇａｉｎ ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｌｅｍｍａ ６．５．５， ｃｈｏｏｓｅ ｐ ａｎｄ ｐ＇ ｗｈｏｓｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｅ ａｎｄ ｅ７ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ａｒｅ ｅｑｕａｌ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｐｅ８ｊ ａｎｄ ｐ＇ｅ＇Ｓ＇ｊ＇ ｗｉｌｌ ｄｏ ｆｏｒ ０ ａｎｄ ａｎ

＝

＝

—＞

Ｄ

６＇．

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ６．５．１０

Ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ Ｌｅｍｍａ ６．５．９—ｄｒａｗ

ａ

ｄｉａｇｒａｍ！ Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１１

Ｐｒｏｏｆ

Ｌｅｔ Ｄ： Ｉ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ａ ｃｏｎｅ

—＞

ＡＣＣａｔｌｒ ｂｅ

（ｒｊｒ．ＤＩ ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ： Ｌｅｔ ｌｉｍ Ｄ ｂｅ ｔｈｅ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ

（ｓｉ ＼

Ｉ Ｇ

Ｉ） ｗｈｅｒｅ ｓｊ

（ｓｊ Ｉ ＜＊

￣

／ Ｇ

Ｉ）

１—？

Ｇ ＤＩ ａｎｄ

（Ｕ｛Ｄ（ＰＹＤ（ａ）ｌ（ｄ） Ｉ

ｌｉｍＤ ｉｓ

ａ

ａ

ｆｉｌｔｅｒｅｄ．

ｅｌ）

Ｉ

Ｄ（ｏ：）７＂（５ｊ）

Ａ＂

Ｉ， ａ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ （ｗｅ

＝

ｓｊ ｈｏｌｄｓ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ａ： Ｉ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ

ｓｊ， ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｗｈｅｒｅ ｄ Ｇ Ｄｉ＼ Ｗｅ ｈａｖｅ

（ｓｍａｌｌ ａｎｄ）

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ＡＣＣａｔｌｒ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ

Ｊ ｉｎ Ｉ． Ｔｈｅ １－ｒ ｐａｉｒ ７７／ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｗｈｉｃｈ

｜

ｌｉｍＤ

＾

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ．

ｗｈｅｒｅ Ｉ ｉｓ

ｄｉａｇｒａｍ

ａ

（ｓｍａｌｌ）

７７Ｊ： Ｄ／

—？

Ｉ（／， Ａ＂）， ０

ｐｏｉｎｔｓ

ｔｏ

７７Ｊ：

＆ｒａ Ｄ

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Ｄ／ ｆｏｒ

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Ｚｚｒａ Ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｉ（Ｊ， ＃）｝ Ｉ

Ｉ）

Ｊ

ｖｅｒｉｆｙ．

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｌａｔｅｒ

ｏｎ）．

Ｌｅｔ

｛（ｓｊ Ｉ Ｊ Ｇ Ｉ） Ｉ ａ Ｇ Ａ｝ ｂｅ ａｎｙ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｌｉｍＤ． Ｓｅｔｔｉｎｇ ｓｊ Ａ｛ｓｊ Ｉ ａ Ｇ ＾４｝ （ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｓｅｎｓｅ ｆｏｒ ＤＩ ｉｓ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ） ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｉｄｅｄ （ｓｊ Ｉ ／ Ｊ ｉｎ Ｉ， Ｉ） ＆ｍ ．Ｄ ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｍｅｅｔ． Ｔａｋｉｎｇ ａ： Ｉ ＝

—＊

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｄ（ａＹ（Ｓｊ） ｗｈｅｒｅ ｏｆ

ｃｏｕｒｓｅ

＝

Ｄ（？）＇（ＡＷ Ｉ

ｔｈｅ

ａ

Ａ｝）

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔｓ Ｄ（ａ）ｒ

＝

ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ，

ｓｏ

ａ ｅ

ｐｒｅｓｅｒｖｅ ａｌｌ ｍｅｅｔｓ，

ｅｌｅｍｅｎｔ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ＂ｃｏｎｓｔａｎｔｌｙ ｔｏｐ＂ ｆａｍｉｌｙ； Ｔ ｉｓ ｔｈｅ ｍｅｅｔ ｏｆ ｔｈｅ

ＡＷ＜＊）＂（＊５） ＼

ｔｈｉｓ ｉｓ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａ

Ａ｝

ｓ，

ｌｉｍ Ｄ ｈａｓ

Ｄ（ａ）ｒ（Ｔ）

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ

＝

＝

ｆａｍｉｌｙ

ａ

ｔｏｐ

Ｔ ｂｅｃａｕｓｅ

ｉｎ ｌｉｍ Ｄ．

６．５．

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

Ｎｏｗ

ｗｅ

ｖｅｒｉｆｙ

２９７

｛ｒｆｊ．ｒｆｊ）

ｔｈａｔ

ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｌｅｔ ｄ Ｇ

Ｖｌｉ（ｄ）ｊ

＝

７）７；

ｆｏｒｍ

ａｎ

１－ｒ

ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ

ＵＷＰ）ｒＤ（ａ）ｌ（ｄ） ｜

Ａ－

？７ｊ（＜ｉ）

ｔｈｉｓ ｉｓ

ｓｅｅ

ａ

Ｄ（７ｐ）ｒＤ（７ａ）ｌ（ｄ） ｗｉｔｈ

ｓｉｍｉｌａｒ

＝

ａｔ Ｊ Ｇ Ｅ ｉｓ

Ｅ（ Ｊ， Ｋ）｝．

１（７， Ｋ），０

Ｉ， ａ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ］ｏｍ ｔａｋｅ Ｄ（（３）ｒＤ（ａ）＼ｄ） Ｃｈｏｏｓｅ ７ ａｎｄ ７＇ ａｓ ｐｅｒ Ｌｅｍｍａ ６．５．９， ａｎｄ ｎｏｔｅ Ｔｏ

ｒ｝＼

ｐａｉｒ． Ｗｅ ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｃｈｅｃｋｉｎｇ ｔｈａｔ

ａｎｄ

Ｄ（（３＇）ｒＤ（ａ＇）ｌ（ｄ）

ｉｎ

ｒ＾｛ｄ）ｊ．

ｔｈａｔ

Ｄ（ＰＹＤＷＤ（７）ｌＤ（ａ）ｌ（ｄ）

＞

Ｄ（ｐ）ｒＤ［ａ）ｌ（ｄ）

ｆｏｒ ａ＇ ａｎｄ

ｆｆ， ｐｒｏｖｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｅｄｎｅｓｓ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｉｆ ６： Ｊ Ｊ＇ ｉｎ Ｉ， ｔｈｅｎ Ｄ（８）ｒ（ｒ］ｌＩ（ｄ）ｊ＞） ｒ）ｌｊ（ｄ）ｊ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ Ｄ（６）ｒ， ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｐｒｏｖｉｎｇ ａ

ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ —＊

＝

＼Ｊ｛Ｄ（６ＹＤ（（３ＹＤ（ａ）ｌ（ｄ） ＼ＫｅＩ，ａｅ Ｅ（７，Ｋ），０ｅ Ｅ（Ｊ＇，７０｝ Ｌ

［Ｊ ｛Ｄ（７）ｒＤ（ａ）ｌ（ｄ） Ｉ

＝

Ａ－

１（７， Ａ）， ７

Ｉ， ａ

ｖ

Ｉ（Ｊ， Ａ）｝． ＇

ｖ

Ｒ

Ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ Ｌ Ｃ ｅｌｅｍｅｎｔ ｐｒｏｖｅ

￡ ＼ＪＲ

Ｒ， ｔｈａｔ ｉｓ ＼ＪＬ

＜

Ｕ－Ｒ－ Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｇ ７？ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｌ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ＜

ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ￡， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ

＼＿＼Ｌ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ， ｗｈｅｒｅ

ａ

ａｎｄ ７

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

Ｊ＇ ａｎｄ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａ＇， ７＇

ａｎｄ Ｋ＇ ｆｒｏｍ ｆｉｌｔｅｒｅｄｎｅｓｓ ｏｆ

Ｅ， ａｎｄ

ａｎｄ ｅ＇

ｂｙ ａｐｐｅａｌ

ｔｏ Ｌｅｍｍａ ６．５．９． Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｄ（８）ＴＤ｛ｅ＇ｉ）ＴＤ（ｅａ）＼ｄ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ７？．

Ｎｏｗ ｌｅｔ

ｕｓ

ａｎ ｓｅｅ

＝

Ｄ（ｅｊ）ｒＤ（ｅａ）ｌ｛ｄ）

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈａｔ

（７７Ｊ

Ｈ

＞

Ｄ｛１）ｒＤ｛ａ）＼ｄ）

Ｌ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ａｎ ７７Ｊ）． Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｆｒｆｊ ＞ ｉｄｒ＞ｉ， ｔａｋｅ

ｄ Ｇ ＤＩ ａｎｄ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｖＷｉ（ｄ）

＝

＼ｊＷＰＹＤ（ａ）ｌ（ｄ） Ｉ

Ｋ Ｇ

Ｅ， ａ

Ｇ

Ｅ（７， Ｋ），０ｅ Ｅ（７， Ａ）｝．

Ｃｈａｐｔｅｒ ６．

２９８

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｋ

Ｒ＂

Ｒ＇

Ｒ

Ｆｉｇｕｒｅ Ｔｏ

ｓｅｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａｎｄ

ｔｈａｔ

？７ｊ（ｓｊ）ｊ

（３： Ｊ

Ｋ，

—？

ｔａｋｅ

ｉｄ＾ｍＤ，

＜

ｒ）Ｉｒ）ｒＩ

６．１１： Ａ Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

＜ ｓｊ． Ｉｔ ｉｓ ｗｅ

ｈａｖｅ

ｌｉｍ

ｓ Ｇ

Ｄ；

ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

Ｄ（（３）ｒＤ（ａ）ｌ（ｓｉ）

ｗｅ

Ｄｉａｇｒａｍ．

ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｊ Ｇ Ｉ Ｋ ｇｉｖｅｎ ａ： Ｉ ｔｈｉｓ ｌａｔｔｅｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｄｏｅｓ

ｈａｐｐｅｎｓ ｊｕｓｔ ＜ Ｓｊ． Ｂｕｔ

ｉｎ

ｃａｓｅ

—？

ｉｎｄｅｅｄ ｈｏｌｄ：

Ｄ（ＰＹＤ（ａ）ｌ（ｓｊ） Ｔｏ

＝

Ｄ（ＰＹＤ（ａ）ｌＤ（ａ）ｒ（ｓＫ）

ｓｕｍｍａｒｉｓｅ， ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

ｒｆｊ

ａｎｄ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｒｆｊ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ，

（ＵＳ）ｉ

＝

Ｎｏｗ

ａｓ

ｉｓ

ｗｅ

ｏ Ｇ

ｓｈａｌｌ

Ａ｝．

ｖｅｒｉｆｙ

＝

Ｓｏ

｛ｓａ ＼ ｗｅ

ａ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ

—？

＼Ｊ｛Ｄ（８ＹＤ（７）ｌ（Ｓｌ） ｜ ＜

—＞

Ｊ？

ｂｅｉｎｇ ｇｉｖｅｎ，

ａｎｄ ７

ａｓ

Ｓｏ

ｈａｖｅ

ｗｅ

ａ

Ｒ＂

ｄｉａｇｒａｍ

ａｎｄ ７ ａｎｄ ｐ

Ｄ（６ＹＤ（／ｙ）ｌ（ｓｉ）

ａｎ

＾４｝ ａｎ

Ｃ

１－ｒ

｛ｒｆｊｒｆｊ ＼

ｓｊ．

ｂｏｔｈ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，

ａｒｅ

ｆｏｒｍ

＝

ｐｏｓｅｔ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ． Ｆｉｎａｌｌｙ，

ｌｉｍＤ ａｎｄ

ｉｎ ｌｉｍ Ｄ

５ ｉｓ

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ，

ｔｈｅｎ

ｐａｉｒ． Ｉ Ｇ

１｝

ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ．

Ｇｉｖｅｎ ／ ａｎｄ

ｂｙ ｆｉｌｔｅｒｅｄｎｅｓｓ ｏｆ Ｉ． Ｗｅ ｃｌａｉｍ ｔｈａｔ Ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ

Ｋ

Ｉ（Ｊ， Ｒ＇），６ｅ ｌ（Ｒｔ Ｒ＇）｝

１，７

＼Ｊ｛Ｄ（６ＹＤ（ｊ）ｌ（ｓＫ） Ｉ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

Ｇ

ｄｏ ｈａｖｅ

Ｋ ａｎｄ （３： Ｊ Ｉ， ｐｉｃｋ ａ： Ｉ Ｖｉｒｆ ＾ ＶｋＶｋｉ ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ Ｊ． ｏｂｊｅｃｔ Ｒ ｏｆ Ｉ Ｊ ｉｎ

ｔｈｅｙ

ｒｆｊ

Ｄ（ｐ）ｒ（ｓＫ）

ｅａｓｉｌｙ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｊｏｉｎｓ

ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｆ Ｓ

Ｕ｛ｓｊ Ｉ

ａｎｄ

＜

ａｓ

Ｇ

１，７

Ｉ（ｊＲＴ， ｆｌ＂） Ｊ

Ｇ

Ｉ（ｊＲ， ｉ？＇７）｝．

（＊）

Ｆｉｇｕｒｅ ６．１１， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｒｅｇａｒｄ ａ， ６ ｂｅｉｎｇ ｃｈｏｓｅｎ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ Ｌｅｍｍａ ６．５．５．

ｏｆ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ

ｏｎ

ｔｈｅ ｌｅｆｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｅ

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

６．５．

ｔｈｅｎ

ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ （＊）；

ｗｅ

２９９

ｍａｙ ｄｅｄｕｃｅ

ＤｉＳＹＤｆｒＹＭ

＝

＜

Ｄ（８ＹＤ（ｐＹＤ＾）ｌＤ（ａ）ｌＤ（ａＹ（ｓＫ）

＝

ＤｔｆＹＤｉｐｙＤｆｔｙＤｉａｙＭ

＝

ｈａｎｄ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ

Ｄ（６ＹＤ（ｐＹＤ（ｐ）ｌＤ（ｊ）ｌＤ（ａＹ（ｓＫ）

＝

＜

ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｄ（６ＹＤ（ｙ）ｌＤ（ａＹ（８Ｋ）

Ｄ（８ｙＤ（ＰｙＤ（ｊ）ｌ（ｓＫ）

Ｄ（ｐ６ｙＤ（ｊ）ｌ（ｓＫ） ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ａｎａｌｏｇｏｕｓ ａｒｇｕｍｅｎｔ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ Ｊ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

ａｐｐｅａｒｉｎｇ

ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ （＊）．

Ａｎ

ｐｒｏｖｅｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄｎｅｓｓ． Ｎｏｗ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｉｓ ｎｏｔ ｃｌｅａｒ ｉｓ

Ｕｉ７？／７７／ ｜

／ ６

ｉｄ＾ｍＤ １｝ ＞ ｉｄ．

＝

ＬＫ７？／７？／ ｜

Ｂｕｔ ｉｆ ｓ

Ｉ｝．

Ｉ

（ｓｉ ＼

＝

Ｔｈｅ

Ｉ Ｇ

Ｉ）

ｏｎｌｙ ｔｈｉｎｇ Ｇ ｌｉｍ Ｄ

ｔｈａｔ

ｗｅ ｃａｎ

ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｓｉ

＝

ｒｊｌｉ（ｓｉ）ｉ

＝

ｉＷｒｆＭ

＝

ａｎｄ

（ＵＷ＊Ｗ Ｕ

ｄｏｎｅ． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｌｉｍ Ｄ ｉｓ

ｓｏ ｗｅ ａｒｅ

ｉ｝）／

ａｌｇｅｂｒａｉｃ，

ｌｅｔ

ｕｓ

ｔａｋｅ ｔ Ｇ ｌｉｍ

Ｄ，

ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｄ＝

｛ｒ）ｌｊ（ｄ） ｜

｛ｓ ＼

＜

ｔＴ｝

Ｃ

Ｆｉｒｓｔ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｄ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ， ａｎｄ ｔｈｕｓ

ｂｙ

Ｌｅｍｍａ １．５．１４

５

ｈａｓ

ａ

Ｉ，ｄ

ＤＦ，ｄ

ｈａｖｅ

Ｇ

（ＵｍＤ）°，ｓ

＜

ｔｊ， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ

ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｉｄ

＝

ａ

ｉｓ ｔｏｏ， ｆｏｒ

ｒｊ＼

ｒｊｌｊ（ｄ）

＜ ｔ．

Ｔｈｉｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

ｗｉｌｌ ｆｏｌｌｏｗ ｉｆ ｔ ｉｓ ｔｈｅ

＼＿＼｛ｒｊｌＩｒ｝ｒＩ ＼

Ｉ Ｅ

ｊｏｉｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ ５，

１｝．

ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ （ｔ７ｊ： ＤＩ —＊？ ｌｉｍ Ｄ ＼ ｉ Ｇ ／） ｉｓ ａ ｃｏｎｅ ａｎｄ ｓｏ ｎｏｗ ｉｎ ａ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ ａｌｌ （ｓｍａｌｌ） ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． ｃｏｎｅ （ｈｉ： ＤＩ —＊？ Ｅ ＼ Ｉ Ｇ Ｉ） ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｈ ｗｈｅｒｅ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｗｅ ａｒｅ

ｔ｝．

Ｋ ｂｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ． Ｌｅｔ ａ：Ｉ—＞Ｋ ａｎｄ （３： Ｊ ｔｈａｔ ｄ ＜ Ｕ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ Ｄ（ａ）＼ｄ） ＜ Ｄ（ａ）ｌ（ｔＩ） ＜ ｔＫ ａｎｄ ｔｈｕｓ

Ｄ（（３）ｒＤ（ａ）ｌ（ｄ）

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｔｓｅｌｆ

ｒｆ＾ｄ）

＜

—？■

ｓｕｂｓｅｔ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ． Ｔｈｅｎ

Ｔａｋｅ

ｓ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

Ｉ． Ｔｈｅｎ ｎｏｔｅ ｗｅ

Ｉ Ｇ

ＤＩ

３００

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｈｌ ｄ＝ ｔｈａｔ ／ｉ ｉｓ

ａ

Ｕ｛ｈＷｉ Ｉ

１｝

ａｎｄ ｈｒ

＝

ｐａｉｒ， ｔｈａｔ ｈｉ

＝

Ｉ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ １－ｒ

ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅ １－ｒ ｐａｉｒ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｓｕｃｈ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

ＵＷｉｈ１｝ ＼ ｈ

ｏ

Ｉ｝．

Ｉ

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ

ｒｊｊ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｊ ｉｎ

Ｉ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｈ ｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈｏｌｄｓ． Ｗｅ ｏｍｉｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ．

ａｎ

Ｄ Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ６．５．１２

Ｗｏｒｋ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｏｓｅ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ ｏｆ

ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１１， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ Ｕｒｎ Ｄ， ｔｈａｔ （７７／： ＤＩ ｌｉｍ Ｄ ｜ ｉ Ｇ Ｉ） ｉｓ ａ ｃｏｎｅ， —＊

ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ

ａｎｄ ｔｈｅ

（ｄｉｒｅｃｔ）

ｔｈｅ ｆｉｎａｌ

ｐａｒａｇｒａｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ）．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１３

（ｏｍｉｔｔｅｄ

ｆｒｏｍ

ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ ａｌｌ （ｓｍａｌｌ） ｌｉｍｉｔｓ．

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ

Ｐｒｏｏｆ

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｂｙ ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．１１．８ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ ａｎｄ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｕｓｅｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｄｅａｌｓ Ｘ （ｓｅｅ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ １．５．１７） ｏｆ ａ ｊｏｉｎ－ ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ ｉｔｓｅｌｆ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ １．５．１９． Ｔｈｕｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｌｉｍｉｔｓ ｉｎ ａ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅｓ ｙｉｅｌｄｓ ａ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｍｉｔｓ ｉｎ ＡＣＣａｔｌｒ．

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ＡＣＣａｔｌｒ ＡＣＣａｔｌｒ ｂｅ ａ ｄｉａｇｒａｍ， ｗｈｅｒｅ Ｉ ｉｓ ｓｍａｌｌ ｆｏｒ Ｄ， ｓａｙ Ｗｅ

｛＇ＫＩ：ｌｖｒｎＤ ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ．

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｅｔ ｌｉｍＤ

－＋

ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ

Ｌｅｔ Ｄ：Ｉ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

ａｎｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

ＤＩ

＼

Ｉ

ａ

－＊

ｌｉｍｉｔ

ｅｌ）

ｄｅｆ ＝

Ｙｌｉ ｉ（ＤＩ）°． Ｔｈｉｓ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ａ ｆｅｗ ｗｏｒｄｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ （ＤＩ）° ｏｆ ｅａｃｈ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｌａｔｔｉｃｅ ＤＩ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｓｅｅｎ ｔｏ ｂｅ ａ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ． Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＪＳＣａｔ ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ， ｃｒｅａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｕ： ＪＳＣａｔ —＊？ Ｓｅｔ； ｔｈｕｓ Ｕｉｅｉ（ＤＩ）° ｉｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｎ ＪＳＣａｔ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｌｉｍＤ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｉｄｅａｌｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｄｕｃｔ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．１８ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｌｉｍＤ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ￣ｌ ｄｅｆ

Ｈ＼ ｗｈｅｒｅ

＝

ｐｉ

：

ＩＬＩ＆（ＤＩ）°

ｐｉ：Ｕｉｅｉ（ＤＩ）°

—

（ＤＩ）°

（Ｄｉｙ

Ｍ

￣

＼Ｊ｛Ｐｉ（ｅ）ｉ ＼

ｅ

ｅ

Ｍ｝

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ＪＳＣａｔ． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ １．５．１８ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ７Ｔｊ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ （ａｎｄ ａｌｌ ｊｏｉｎｓ ｅｘｉｓｔ） ａｎｄ ｔｈｕｓ ｉｔ ｈａｓ ａ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ． Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ７Ｔｊ ｈａｓ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ （ｓａｙ ７ｆｊ）； ｕｓｉｎｇ Ｌｅｍｍａ １．５．１４ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ７Ｔｊ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｉｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｓｅｔ Ｆ Ｃｊ Ｔｉｉ＾ＤＩ）０， ｗｅ —？

ｉｓ

ｈａｖｅ

ｉ＇，（（Ｖ Ｆ）ｌ）

＝

（＼Ｊ ｐ，（Ｆ））ｌ

（１）

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

６．５．

ｗｈｅｒｅ

ｏｆ

ｗｅ

（ＤＩ）°．

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

Ｔｏ ｓｈｏｗ

ｐｉ（Ｆ） Ｃ．ｆ （ＤＩ）° ａｎｄ （１）， ｗｅ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ

ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ

ｓｅｔ ｏｆ

３０１

ｋ＼（Ｍ）

ｉｓ

（＼／ｐｉ（Ｆ））ｌ ｉｓ ａ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｄｅａｌ Ｍ Ｇ ＴｉＩｅｉ（ＤＩ）°， ｔｈｅ

ｔｈｕｓ ａｎｙ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｐｉ（Ｍ） ｗｈｅｒｅ ｐｉ ａｃｔｓ

ｔｈｅ

ｏｎ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

Ｍ， ｔｈａｔ ｉｓ

＊ｌ（Ｍ） ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｔｏ

ｖｅｒｉｆｙ

（ｊ｛ｐｉ（ｅ）ｉ ＼ｅｅＭ｝＝ Ｐｌ（Ｍ）

＝

ｔｈｉｓ． Ｗｅ ｃｈｅｃｋ

ｏｎｅ

ｈａｌｆ ｏｆ

（２）

（１）， ｎａｍｅｌｙ

ｔｈａｔ

（ｙｐｉ（Ｆ））ｉｃＰｌ（（＼ｊＦｎ）． Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｐｉ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｊｏｉｎｓ， ｆｏｒ

Ｔｈｕｓ ｉｆ

（Ｖｐ／（Ｆ））１，

ｅ Ｇ

ｔｈｅｎ

ｅ

＜

ｔｈｅｙ ａｒｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｉｎ ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

ｐｉ（＼／Ｆ），

ｗｈｅｒｅ ＿Ｌ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ

ａｎｄ

ｓｏ

（ｌ，ｅ）

Ｒｊ＜＝ｉ，ｊ？：ｉ（ＤＩ）０．

Ｕｍ（ＤＩ）° （＿Ｌ，ｅ） Ｇ （Ｖ Ｆ）ｉ

＜＼／Ｆ

Ｔｈｕｓ

ｅ

ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｅ Ｇ ｐｉ（（＼／ Ｆ）ｉ）． Ｔｈｅ ｒｅｖｅｒｓｅ ｓｕｂｓｅｔ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｎｅｅｄ ｆｏｒ （１） ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｈｏｗ． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ７Ｔｊ （７Ｔ／，７ｒｊ） ｉｓ ａｎ １－ｒ ｐａｉｒ． Ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｄｅｆｉｎｅ ７ｒ｛－ ６ ｏ ｎｊ１： ＵｍＤ ＤＩ， ｕｓｉｎｇ ｛ＤＩ）° ＝

—？

＝

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ

１．５．１９．

（ｆｉ＇．Ｅ

Ｎｏｗ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ｆ＼： Ｅ°

—＞

ｗｅ ｃａｎ

（ＤＩ）°

ｔｔ１ｊ ｛ｆｉ＼Ｉ

ｅ

ｏ

Ｉ）

—＞

ＤＩ

＼

ｆｏｒ ｅａｃｈ ／ ｉｎ Ｉ． Ｔｈｕｓ

ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ

Ｔｊ．

＝

Ｉ Ｇ

Ｉ）

Ｗｅ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

＝

ｔｈｅ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｄ

Ｗｅ

ｃａｎ ｓｅｅ

ａ

ｔｈａｔ

Ｗ

（／］ ｜

／ ｇ

Ｉ）

ｏ

７ｒＪ

ｏ

ｆ

＝

ｆ＼

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｉｎ

ＪＳＣａｔ，

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ｍ Ｇ

Ｍ｝）

Ｕ｛／ｉ（？ＨＩ？ Ｍ｝ ７Ｆ（Ｍ）． —＞

ｌｉｍ Ｄ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐｒｏｄｕｃｔ

ｏｆ

ｅ￣ｌ：Ｅ＾Ｅ° －＋ＵｍＤ．

ａｄｊｏｉｎｔ， ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｌｅｆｔ

ＡＣＣａｔｌｒ． Ｔｈｅｎ

＊ｌｉ（＼Ｊ｛ｎｗｌｆｌｉ（ｒｎ）ｌ］ ＼

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｅ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｔｏ ｂｅ

／＇

Ｄ ｉｎ

—＞

＝

ｉｓ

ａ ｃｏｎｅ ｏｖｅｒ

ｌｉｆｔｉｎｇ （ｆ＼ ＼ Ｉ Ｇ Ｉ）： Ｅ° Ｈｉ ｉ（ＤＩ）°． Ｔａｋｉｎｇ Ｍ Ｇ ￣Ｗ， ｗｅ ｈａｖｅ

＝

ｆｌ

ｉｓ

ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

＾（ＵＶ／Ｉ＾１）＾）！！＾＾＾｝）

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

＝

ａｄｊｏｉｎｔｓ． ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ

ｔｗｏ ｏｔｈｅｒ ｌｅｆｔ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ／ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

Ｆｉｇｕｒｅ ６．１２ ｗｈｅｒｅ ｗｅ ａｒｅ ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ １．５．１９． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔｓ ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｂｙ ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ２．１０．２２ （ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ ｃａｓｅ）． Ｔｈｕｓ ７１７ ｏ ／ ｆｊ． Ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ／ ｉｓ ＝

ｉｍｍｅｄｉａｔｅ． Ｎｏｗ

ｐａｉｒ

ｏｆ

ｗｅ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｎ

ＡＣＣａｔｌｒ ｈａｓ ａｌｌ ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ． Ｌｅｔ ／， ／＇： Ｘ ＡＣＣａｔｌｒ． Ｄｅｆｉｎｅ ａ ｓｕｂｓｅｔ

Ｅｄ＾｛ｅｅＸ０＼ｆｌ（ｅ）

＝

ｆｎ（ｅ）｝ＣＸ０，

—＞

Ｙ ｂｅ

ａ

ｐａｒａｌｌｅｌ

３０２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｅ

Ｅｃ

ｅ －ｉ

６．

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

ＵｍＤ

＜／ｉ｜／ｅＩ＞－

Ｆｉｇｕｒｅ

６．１２： Ａ Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

Ｄｉａｇｒａｍ．

Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｅａｃｈ ｏｆ ｆｌ ａｎｄ ｆｌ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｊｏｉｎｓ， ａｎｄ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ Ｅ ｉｓ ａ ｓｕｂ－ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ Ｘ°． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｗｅ ｃａｎ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉ：Ｅ —＞ Ｘ° ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ ｊｏｉｎｓ， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｔ Ｅ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｆｒｏｍ Ｘ°． Ｈｅｎｃｅ Ｌｅｍｍａ ６．５．７ Ｘ°． Ａｐｐｅａｌｉｎｇ ｔｏ Ｌｅｍｍａ ６．５．８， ｗｅ ｈａｖｅ ｓａｙｓ ｗｅ ｈａｖｅ ａｎ １－ｒ ｐａｉｒ ｉ： Ｅ ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｅ ｉｓ

ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｆｏｒ ±ｘ

Ｇ Ｅ．

—？

ｆｌｏｉ Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ

＝

＝

ｆ＇ｌｏｉ

ｃｏｍｍｕｔｅｓ

ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ｄｉａｇｒａｍ．

Ｘ

—

＝

ｆ ｆ

ｄｉａｇｒａｍ Ｅ

ａｎ

ｆｌｏｉ

ｆｆｌ

ｏ ｉ．

ＸＹ

１．５．１９． Ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｔｏ

Ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ＡＣＣａｔｌｒ．

Ｐｒｏｏｆ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎｄｅｅｄ □

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ６．５．１４ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ

ｖｅｒｉｆｙ

ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｘ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｇｉｖｅｎ ａｎ １－ｒ ｐａｉｒ ／： Ｘ

ｈａｖｅ

—？

ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｌｆｒ：Ｌ—＞Ｌ．

ａ

ｆｉｎｉｔｅｌｙ

ａｎｄ ｔｈａｔ Ｌ ｉｓ Ｌ ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ

Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｔｈａｔ

Ｌ ｆｌｆｒ ｉｓ ａ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｌ ＝￥＞ Ｌ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｌ （ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒ）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｆａｃｔ ａｎｙ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ —＞

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

６．５．

ｌａｔｔｉｃｅ Ｌ ｉｓ

ａ

Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎ， ａｎｄ ｔｈｕｓ ｉｎ

ｄｏｍａｉｎ ｔｏｏ． Ｗｅ

（ｓｅｅ

ｐａｇｅ

６８）

３０３

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｌ

Ｌ ｉｓ

＝＞？

ａ

Ｓｃｏｔｔ

ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ Ｌ

ｃａｎ ｕｓｅ

ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈｅ

ｆｌｆｒ．

ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ

ｆ＇ｆ

＝＞

Ｌ

Ｗｅ ｃｌａｉｍ ｔｈａｔ

＼／｛［ｆ＇（ｘ），ｆ＇（ｘ）｝＼ｘ Ｘ｝．

＝

＞

＇

ｖ

（＊） Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｘ Ｇ

（＊）

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

Ｘ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｉｓ

ａ

ｅｘｉｓｔｓ． Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ

ｊｏｉｎ

ｆｌ（ｘ）

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｌ

＝￥＞

ｉｓ

ａ

ａｓ

Ｘ ｉｓ

ｆｉｎｉｔｅ，

ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｌ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｊｏｉｎ

Ｌ． Ｌｅｔ

ｕｓ

ｐｒｏｖｅ

ｏｕｒ

ｃｌａｉｍ，

ｔｈｕｓ

ｓｈｏｗｉｎｇ ｆｌｆｒ

ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ． Ｆｏｒ ａｎｙ ｄ Ｇ Ｌ

＼／｛［ｆｌ（ｘ）ｊｌ（ｘ）｝（ｄ）＼ｘｅＸ｝

＼ｊ｛ｆｌ（ｘ）＼ｘｅｘ，ｆｌ（ｘ）＜ｄ｝ ＼Ｊ｛ｆｌ（ｘ）＼ｘｅｘ，ｘ＜ｆｒ（ｄ）｝

＝

＝

ｆｌｆｒ（ｄ）．

＝

Ｔａｋｅ

ａ

ｃｏｌｉｍｉｔ

（？？／： ＤＩ

ｌｉｍ Ｄ

—？

＼

Ｉ Ｇ

Ｉ）

ｉｎ

ＡＣＣａｔｌｒ． Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ＡＣＣａｔｌｒ（Ｘ， ＵｍＤ）＾ ｌｉｍ，ＡＣ￡ａｔｌｒ（Ｘ， ￡＞（－））． Ｒｅｃａｌｌ

（ｐａｇｅ １１５）

ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｓｅｔ． Ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｈａｔ

ＵｍＡＣＣａｔｌｒ｛Ｘ，Ｄ｛－）） ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ ＼ｔ）｛ＡＣＣａｔｌｒ（Ｘ， ＤＩ） ＼ Ｉ Ｇ Ｉ｝／ ￣， ｗｈｅｒｅ ｉｆ ／： Ｘ —＊？ ＤＩ ａｎｄ ｇ： Ｘ —？■ Ｄ Ｊ， ｔｈｅｎ ／ ｇ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｓｏｍｅ Ｋ Ｇ Ｉ ａｎｄ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ａ：Ｉ＾＞Ｋ ａｎｄ （３：Ｊ＾Ｋ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｄａ ｏ ／ ￡）／？ ｏ ＃． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｔｏ ｉｎｄｕｃｅ ｔｈｅ □ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ． ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

￣

＝

Ｌｅｔ Ｌ ｂｅ

Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ６．５．１５

ａ

ｆｉｘｅｄ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ，

ｐｏｓｅｔ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｌ

ｗｒｉｔｅ Ｌ ＝￥？ Ｌ ｆｏｒ ｔｈｅ

—？

Ｌ． Ｗｒｉｔｅ

ａｎｄ ｌｅｔ

ｆ：Ｘ

？—＞

ｕｓ

Ｙ

ｉｄｘ， ｔｈａｔ ｉｓ， ／ ｉｓ ａｎ ｅ－ｐ ｐａｉｒ． ｐａｉｒ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｆｒｆｌ Ｌｅｔ Ｓ ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｗｈｏｓｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｅｔｓ ａｒｅ

ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ

／

ｉｓ

ａｎ

１－ｒ

＝

ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｒ Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｉ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｔｒｉｖｉａｌｌｙ

ａ

＝

｛ｆｌｆｒ ｜

（ｒｅｇａｒｄｅｄ

ａｓ

Ｘ Ｇ

Ｓ， （／： Ｘ

ｈａｖｉｎｇ

Ｌ）

Ｇ

ＡＣＣａｔｌｒ（Ｘ， Ｌ）｝

ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ｆｒｏｍ Ｌ

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｆｆｒ＜９ｌ９ｒ

—

Ｈ＾

ａ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｄ： Ｉ

—？

＝￥－

Ｌ）

ａｎｄ ｈｅｎｃｅ

ＡＣＣａｔｌｒ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

（／／＇，／ｙ）：Ｘ＾ｙ，

３０４

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ Ｘ

Ｄ（ｆｌｆｒ）

＝

ａｎｄ Ｙ

ｕｎｄｅｒ Ｄ． Ｉｎ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，

ｈａｖｅ ｔｈａｔ Ｌ ｉｓ

ＰＲＯＯＦ

Ｌｅｔ

ａ

ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｔｈａｔ

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｕｓ

ｗｒｉｔｅ Ｌ

Ｄ（ｇｌｇｒ），

＝

（ｆ：Ｘ＾Ｌ＼ｆｌｆ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｅｔ Ｘ＂ Ｃ Ｌ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｉｎ

ａｎｄ

ａ ｃｏｎｅ

ｌ）

ｉｄｉ

Ｕ｛／ｚ／ｒ Ｉ ｆｌｆｒ

＝

Ｉ｝，

ａｎｄ

Ｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｌ

＝＞

ｓｏ ｗｅ

Ｄ．

ｄｉａｇｒａｍ

Ｔａｋｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｓｅｔ Ｉ ｉｓ ｄｉｒｅｃｔｅｄ．

ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

ｆｌｆｒ

—＞

Ｌ． Ｗｅ

ｉｎ

Ｉ， ａｎｄ

ｇｌｇｒ

ａｎｄ

ｂｙ

ｆａｃｔ， Ｘ＂

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ Ｌ： ａｓ Ｘ＂ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｔ ｉｓ Ｘ＂， ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｆ ｘ， ２／ Ｇ Ｘ＂ ｔｈｅｎ ｘ＼ＺＬｙ Ｘ＂． Ｗｅ

ｉｓ

ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ＿ｌ＿￡， Ｇ

ａ

ｈａｖｅ ｉｉ Ｉｆ

ｗｅ

ｉｆ

ｗｅ ｃａｎ

ｐｕｔ

ｘ

ｄ＝

／／／ｒ（ｄ）

＝

／ｌｆ（ｉＬ）ｖ＾（ｉｉ）ｅｒ．

ｇｌｇｒ（ｄ）

Ｖ

Ｇ

Ｘ＂ ａｎｄ ２／ ｄ＝

ｆｌｆｒ（ｄ＇）

Ｖ

ｐＶ （＜ｆ）

Ｇ

Ｘ＼

ｔｈｅｎ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

（ｆ＇ｆ（ｄ） Ｖ ｆｆＶ（ｃＯ） Ｖ （／＇／－（＜＊＇） Ｖ ｓＶ（＜＊＇）） Ａ ＝

ｆ＇ｆｒ（ｆ＇ｒ（ｄ） ｖ ／＇／ｒ（ｄ１）） ｖ ｇ＇ｇｒ（９ｌ９ｒ（ｄ） ｖ ｓ＇ｓ＇ｔ／））

＞

＇

Ｍ

Ｂ

Ｘ＂．

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｈａｖｅ

／ｚ／ｒ

ｉｄ， ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｆｌｆｒ（ｆｌｆｒ（ｄ）Ｖｆｌｆｒ（ｄ＇）） ＜ ｆｌｆｒ（ｄ）Ｖｆｌｆｒ（ｄ＇）， ａｎｄ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｇ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ Ｂ ＜ Ａ． Ｆｕｒｔｈｅｒ， ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｄ ｆｒｆｌ ｉｍｐｌｙｉｎｇ ｔｈａｔ ｗｅ

ｗｉｌｌ ｉｎｄｅｅｄ ｈａｖｅ ｘＶｌＶ

Ｂｙ

ｗｅ

＜

＝

ｆｒ（ｄ） ａｎｄ ｈｋｅｗｉｓｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｇ

ｆｌｆｒ（ｄ＇）

ｗｅ

ｆｒｏｍ Ｌ， ｉｔ ｉｓ

＝

＜

ｆｒｆｒｉｄ）

＜

ｆｌｎｆｌｒ（ｄ） ｖ ／＜／ｒｗ）

ｆｌｆｒ（ｆｆｒ（ｄ）Ｖｆｌｆｒ（ｄ＇））． Ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｓｉｍｉｌａｒ Ｒｅｇａｒｄｉｎｇ Ｘ＂ ａｓ ａ ｐｏｓｅｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ Ｘ＂ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ．

ｈａｖｅ Ａ ＜ Ｂ． ｎｏｗ

ｃｌｅａｒ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉ：Ｘ＂

ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｗｈｉｃｈ

ｈ（ｄ）

ｗｅ ｎｏｗ

＝

ｆｌｆｒ（ｄ）

ｖｅｒｉｆｙ．

ｇｌｇｒ（ｄ）

＝

ｆ＇ｆｒ（ｆ＇ｆ（ｄ） Ｖ ｆｆＶ（ｄ））

ｉｄｘ？， Ｖ ＾

Ｌ

ｗｅ

Ｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈ：Ｌ

ｆｏｒ ｄ Ｇ Ｌ．

Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｉｈ ＜

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｈｉ

＞

Ｖ

—＊

Ｉｎ ｆａｃｔ

（ｉ， ｈ）

ｉｓ

ｉｄｊ， ｂｅｃａｕｓｅ ／ ａｎｄ ｇ

ｓｈａｌｌ ｔａｋｅ ｄ

ａｎ ａｒｅ

—＞

ｐａｉｒ， １－ｒ ｐａｉｒｓ． ｅ－ｐ

Ｌ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｇ＇ｆＵ＇ｆｉｄ） Ｖ ｇ＇ｇ＂（ｄ））

＇

＝

ｆ＇ｆ（ｄ） Ｖ ｇ＇ｇ＇（ｄ）．

＞

＾

Ｒ

Ｘ＂

＇

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

６．５．

３０５

Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ Ｌ ＜ Ｒ．

／７－（ｄ） ａｎｄ ｔｈｅ

ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｃａｓｅ

ｗｉｔｈ

ａ

ｔｈａｔ ｈ ｉｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ａ

Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ， ＝

ｆｉｒｆｒ（ｄ）

／７ｒ（／＇ｒ（ｄ） ｖｆｌＶ（ｄ））

＜

ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｇ ｗｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｂｅｉｎｇ ｓｉｍｉｌａｒ

（ｉ，ｈ）：Ｘ＂

Ｔｈｕｓ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

Ｌ ｉｓ

—＞

ａｎ

ｓｅｅ

ｔｈｅ

ｔｈａｔ Ｒ ＜ Ｌ． Ｉｔ ｉｓ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｐａｉｒ， ａｎｄ

ｅ－ｐ

ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

｛ｆｌｆｒ，ｇｌｇｒ｝

＜ ｉｈ ｓｏ Ｉ ｉｓ

ｄｉｒｅｃｔｅｄ．

ｄｉａｇｒａｍ Ｄ ｉｓ ｗｅｌｌ ｄｅｎｎｅｄ， ｔｈａｔ ｉｓ （ｇｒｆｌ， ｆｒｇ１）－ Ｘ Ｙ ｉｓ ａｎ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｆ＼Ｘ Ｌ ａｎｄ ｇ：Ｙ Ｌ ａｒｅ． Ｌ ＼ ｆｌｆｒ Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ （／： Ｘ Ｉ） ｉｓ ａ ｃｏｎｅ ｕｎｄｅｒ Ｄ， ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

—＞

—＊

—？

—＞

Ｄ（＜） ＾

Ｘ

？Ｙ

Ｌ ｃｏｍｍｕｔｅｓ， ｗｈｅｒｅ

ｆｌｆｒ

＜

ｇｌｇｒ．

Ｔｈｉｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ

ａ

ｓｉｍｐｌｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．

Ｆｉｎａｌｌｙ，

ｗｅ

ｗｉｓｈ ｔｏ

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｄ

ｔｈａｔ

ｓｅｅ

Ｌ

ｗｅ

±ｌ ￥＂

ｅ

｛０，１｝

Ｃ

Ｗ＇ｒ｛ｄ） ｜ ／＇／ｒ

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ｅ＼ｘ） ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐ： Ｌ

—＞

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ｐａｉｒ． Ｗｅ

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ａｎ

＼Ｊ｛ｆｌｆｒ Ｉ ｆｌｆｒ

ｏｋａｙ． Ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ＾ ｄ， ｅ Ｌ°， ａｎｄ Ｑ Ｇ § ｉｓ ｔｈｅ ｔｗｏ ｐｏｉｎｔ Ｎ） ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

Ｊ＿￡，

＝

＝

ｈａｖｅ

ｄ ＜

Ｉｆ ｄ

ｉｄ＾ｍＤ

＞ ＝

＝

＼Ｊ｛ｅｐ（ｄ）＼ｅｅＬ％±Ｌ＾ｅ＜ｄ｝ ＼Ｊ｛ｅ＼ｅｅＬ°，±Ｌ＾ｅ＜ｄ｝ ｄ．

？—？

Ｌ ｉｓ

３０６

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ａｐｐｅａｌ

ｔｏ Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１１ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

６．

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

（／： Ｘ

ｃｏｎｅ

—＞

Ｌ

＼ ｆｌｆｒ

Ｇ

Ｉ）

ｉｓ

□

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ．

ｆｐ－ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｓｅｔ Ｓ ｏｆ

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

ｓｅｔｓ

ＡＣＣａｔｌｒ

Ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１６ ａ

ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ， ｗｉｔｈ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｗｈｏｓｅ

ｉｓ

ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ

ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ Ｎ．

ａｒｅ

Ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ６．５．１１ ａｎｄ

ＰＲＯＯＦ

６．５．１３， ａｎｄ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ６．５．１４ □

ａｎｄ ６．５．１５． ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ６．５．１７

Ｆ：Ｃ ａｎ

—＞

ａ

ＡＣＣａｔｌｒ ｂｅ

Ｌｅｔ

ａ

（Ｃ， Ｓ）

ｂｅ

ａ

ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ａｎｄ

ｆｕｎｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｆｉｎｅ

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ ｔｏ ｂｅ

ａ

－Ｓ Ｇ

ｆａｍｉｌｙ （＾ｓ ｜

Ｓ）

ｉｎｄｅｘｅｄ

ｂｙ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｏｂｊｅｃｔｓ Ｓ

ｗｈｅｒｅ ？

ｅａｃｈ ｔｓ ｉｓ

ａｎ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ

ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ Ｃ， ｗｈｅｒｅ Ｓ， Ｓ＇ Ｇ Ｓ． ？

ｔｈｅ ｔｓ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

ａｎｄ

ＦＳ，

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

（Ｆｆ）ｌ（ｔｓ）

ｔｓ＇ ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ／： Ｓ

＜

—＞

Ｓ＇ ｏｆ

ＶｇＦ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ．

Ｌｅｍｍａ ６．５．１８

Ｌｅｔ

（Ｃ， Ｓ）

ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ． Ｗｅ ｃａｎ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｓｅｔ ＶｇＦ ｏｆ Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｆ： Ｃ ＡＣＣａｔｌｒ ａｓ ａ ｐｏｓｅｔ ｖｉａ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｏｒｄｅｒｉｎｇ， ｎａｍｅｌｙ ｔｈａｔ ｉｆ ｔ ａｎｄ ｓ ａｒｅ Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｎ ｔ ＜ ｓ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ｔｓ ＜ ￥ｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ５ｇＳ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， Ｖｓ－Ｆ ｉｓ ａｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ． ｂｅ

ａ

—＞

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ

ＰＲＯＯＦ

ＶｇＦ ｉｓ

ｆａｍｉｌｙ （＿！＿￥ Ｉ Ｓ Ｇ §） ｏｆ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｆａｍｉｌｙ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｌａｔｔｉｃｅ． Ｔｈｅ ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ

ｏｆ ＶｓＦ ｉｓ ｔｈｅ

ｌｅａｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ

ＦＳ． Ｎｏｔｅ

ａｎ

ａｄｊｏｉｎｔ

ｊｏｉｎｓ． Ｔｏ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｌ

ｓｕｂｓｅｔ Ｕ

＝

｛ｔａ ｜

ａ

Ｇ

Ａ｝，

ｂｅ

ａ

ａ

ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｏｆ Ｃ

＝

ａｎ

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｔ

＝

＜ ＝

ｌａｔｔｉｃｅｓ

（ｐｏｓｅｔａｌ）

ｌｅｆｔ

Ｖｓ－Ｆ， ｔａｋｅ

ａ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

＼ｆ｛ｔｓ ＼ａｅＡ｝．

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ， ｉｔ ｉｓ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｗｉｔｈ ５， Ｓ＇ Ｇ Ｓ ａｎｄ ｎｏｔｅ

（ＦｆＹ（ｔｓ）

ｂｅｃａｕｓｅ ａｎｙ

ｔｈａｔ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｊｏｉｎｓ ｅｘｉｓｔ ｉｎ

ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ

ｔｓ Ｉｆ ｔ ｉｓ

ｓｅｅ

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ，

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｔｈｅ ｊｏｉｎ ｏｆ Ｕ． Ｓｏ ｌｅｔ

＼Ｊ｛（Ｆｆ）ｌ（ｔｓ）＼ａｅＡ｝ ＼Ｊ｛ｔａｓ＞ ＼ａｅＡ｝ ｔｓｉ－

／： Ｓ

—？

Ｓ＇

６．５．

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

Ｎｏｗ

ｗｅ

３０７

Ｖ§Ｆ

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｔｈａｔ ｌＧ§ ａｎｄ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｉｓ

Ｇ

ｘ

（ＦＸ）°，

ａｎｄ

ｄｅｆｉｎｅ

［Ｘ＞＊］ｓ

［Ｘ， ｘ］ｓ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ＾－ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒｍｓ

ａ

＼／｛（Ｆｆ）ｌ（ｘ） ｜ ／

＝

ｉｓ

ｂａｓｉｓ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ

Ｇ

ＡＣ￡ａｔｌｒ（Ｘ，Ｓ）｝．

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ； ｉｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｖ§Ｆ． ａｎ

ｆａｃｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｓｕｃｈ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ

ｎ

ｄｅｆ

Ｖ［＊？，＊？］

＝

［＊ｉ，＊ｉ］Ｖ．．．Ｖ［ＸＢ，ｓｎ］，

１

［Ｘ， ｘ］ ｉｓ ｔｈａｔ Ｘ ａｎｙ Ｖｉ［＾Ｑ，￡ｉ］ ｉｓ ａ

ａｎｄ ｗｉｌｌ ｓａｙ ｔｈａｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｘ

Ｇ

（ＦＸ）°．

Ｉｔ ｉｓ

ａ

ｓｉｍｐｌｅ

ｖｅｒｉｆｙ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ

ｔｈａｔ

Ｇ § ａｎｄ

ｃｏｍｐａｃｔ

ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｖ§Ｆ． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ａｒｉｓｅ ｉｎ ｔｈｉｓ ｗａｙ， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ＊

Ｔｏｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

ｒ

＝

ｕ

Ｇ

Ｖ§Ｆ

ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ＵＷＰ＾ｌ Ｉ

＜ｕ， ｔａｋｅ ５

ｉ

＊ｉ

ｃａｓｅ

ｗｅ

ｓｈａｌｌ

ｔｈａｔ

Ｓ，ａ＊

Ｇ

（ＦＸＯ０，＊＊

＜

ｕｘｊ

（＊）

．

Ｇ § ａｎｄ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｉ

ｗｈｉｃｈ ｆｏｌｌｏｗｓ ｂｅｃａｕｓｅ

ｗ

ｉｓ

§－ｓｅｃｔｉｏｎ．

ａｎ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈａｔ

ｕ

＜

ｒ， ｆｉｒｓｔ

ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

Ｖ｛［Ｘ，ｘ］ ＼ＸｅＳ，ｘｅ （ＦＸ）°，ｘ

＜

ｕｘ｝

＜ ｒ．

Ｕ｛ｃ Ｇ （Ｆ５）° ｜ ｃ ＜ ｔｔ５｝． Ｔｈｕｓ ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｃ Ｇ ｛ＦＳ）°， ｗｅ ｈａｖｅ ｃ ＜ ｕｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｃ ＜ ＼Ｊ｛［Ｘ，ｘ］ｓ ＼Ｘ ｅ§，ｘ ｅ ｛ＦＸ）°，ｘ ＜ ｕｘ｝； ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ａｌｓｏ， ｆｏｒ

ａ

ｆｉｘｅｄ Ｓ Ｇ

ｃ

＝

＼／｛［Ｘ，ｘ｝ｓ＼Ｘｅ§，ｘｅ｛ＦＸ）０，ｘ＜ｕｘ｝．

ｔｈｅ

ｃｏｍｐａｃｔ， ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ

ｆｏｌｌｏｗｓ

ｈａｖｅ ｕｓ

［Ｓ，ｃ］ｓ

＜

ｐｒｏｖｅｄ

ｗｅ

＼／｛｛Ｆｆ）ｌ（ｃ）＼ｆｅＡＣ￡ａｔｌｒ｛Ｓ，Ｓ）｝

＜

＝

Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｓ，

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ （＊） ｆｏｒ ａｎｙ Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｕ， ａｎｄ ｓｏ ｉｆ ｕ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｖｉｌ＾Ｑ＾ｉ］ ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ． Ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｔｙ ｏｆ Ｖ§Ｆ □

ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ．

ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ａｎｄ ｌｅｔ ｊＰ： Ａ —＊？ ＡＣＣａｔｌｒ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ； Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｉｆｆ ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ （／／： ＤＩ ｌｉｍ Ｄ ＼ Ｉ Ｇ Ｉ） ｆｏｒ ａ ｄｉａｇｒａｍ Ｄ： Ｉ ＡＣＣａｔｌｒ ｗｅ ｈａｖｅ Ｌｅｍｍａ ６．５．１９

Ｌｅｔ Ａ ｂｅ

ａ

—？■

—？

ｉｄ

ｎ／Ｈ３Ｄ）

＝

Ｕ｛（＾）１Ｗ／）ｒＫ６ｉ｝．

３０８

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

Ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．１１．

Ｐｒｏｏｆ

Ｌｅｍｍａ ６．５．２０

Ｌｅｔ Ａ ｂｅ

ａ

□

ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ａｎｄ ｌｅｔ

Ｆ，Ｇ：Ａ —＞－ＡＣＣａｔｌｒ ｂｅ ｔｗｏ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ． Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ （ｃｏｖａｒｉａｎｔ） Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｆ， ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ

ｔｔｆ：Ｇ（Ｆ）

－＞

Ａ

（ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

ｆｏｒ

Ｇ）．

Ｔｈｅｎ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ

＾

Ｇ（Ｆ） ＂＂ｆ

ｆｉ：Ｇ（Ｆ）

ｆｕｎｃｔｏｒ

ａ

－

－＋

Ｇ（Ｇ）

ｗｈｉｃｈ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｇ（Ｇ）

／ ｋｇ

＼ Ａ

ｃｏｍｍｕｔｅ， ｉｓ ＧＡ ｉｓ

（ｉ） （ｉｉ）

Ｉｆ

ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

／： Ａ

—＞

ｆａｍｉｌｙ （ｆｉＡ ＼ Ａ Ｇ Ａ） ｗｈｅｒｅ ｅａｃｈ ｆｉＡ＇－ ＦＡ —＊■ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ Ｂ ｉｓ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａ

ａ

ｏｆ

Ａ，

ｔｈｅｎ

（Ｇｆ）１

ｇｉｖｅｎ ａ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ （ｔ？／： ＤＩ Ｄ：Ｉ－＊ＡＣＣａｔｌｒ， ｔｈｅｎ ｉｆ

ｗｅ ａｒｅ

ＭｆａＤ

＝

—＞？

Ｕｉ（Ｇｒ）ｉ）１

ｏ

Ｍｄｊ

ｏ

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ｏ

ｆｊ，Ａ ＜ ＼ｉＢ

｜

／ Ｇ

／ Ｇ

Ｉ｝．

＆ｒａ Ｄ

（Ｆｉｙ／ｒ ｜

ｏ

（Ｆ／）＇， Ｉ）

ｆｏｒ

ａｎｄ ａ

ｄｉａｇｒａｍ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａｎｙ （ｓｍａｌｌ） ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｉ ｍａｙ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｅｔ， ａｎｄ ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ ５．６．１３． □

ＰＲＯＯＦ ａｓ ａ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．５．２１

（ｉ）

Ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

Ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｉｓ ＣＦＰ． Ｔｈｅ

ｄａｔａ ｄｅｆｉｎｅ

ａｎ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ： ｏｆ ＣＦＰ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｏｂｊｅｃｔ

ＡＣＣａｔｌｒ． Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｗｒｉｔｅ Ｕ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｃａｔｅｇｏｒｙ．

（ｉｉ）

ｇｉｖｅ ａｎ ／ＩＴ＾Ｐ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ￡ＦＰ（—，Ｕ）：￡ＦＰ —？■ ＯＣＣａｔ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ＣＦＰ（Ａ，Ｕ）－＞ ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ￡ＦＰ＞ ａｒｅ Ｕ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ａ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｆｏｒｍｓ ａ ｓｅｔ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ［Ｆ］， ［Ｇｆ＼：Ａ—＊Ｕ ａｒｅ ｔｗｏ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ａｔ Ａ． Ａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ Ｕ ｗｈｅｒｅ Ｆ，Ｆ＇ Ｇ ［Ｆ］ Ｆ＇：Ａ ｗｉｔｎｅｓｓｉｎｇ ｉｓ ａ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｗｉｔｎｅｓｓｅｓ ｉｆ，ｆ，：Ｆ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｉｆ＇，ｆ＂ ° ｌｆ，Ｆ＇ ＾ｆ－ Ｇｉｖｅｎ ｓｕｃｈ ｆｏｒ ｌｆ，Ｆ＂， ＾ｆ＇ ｉ＞ｆ＇，ｆ ａｎｄ ｌｆ，ｆ ［Ｆ］ ａｎｄ ［Ｇ］， ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃｏｌｉｍｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｆｉ：Ｇ（Ｆ） —＞ Ｇ（Ｇ） （ａｓ Ｆ ａｎｄ Ｇ ｒｕｎ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｅｓ ［Ｆ］ ａｎｄ ［Ｇ］） ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｆｉ ／／ ｊｕｓｔ ｉｎ ｃａｓｅ ＼ｉ ａｎｄ ／ｘ＇ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｉｆ，Ｆ＇ ａｎｄ ｔＧ，Ｇ＇－ Ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ［／＊］： ［Ｆ］ —？■ ［Ｇ］ ｉｎ ￡ＦＰ（Ａ，Ｕ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ａ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ Ｗｅ

—？

—

＝

￣

＝

—？

＝

６．５．

３０９

Ａ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｏｄｅｌ

ｗｉｔｎｅｓｓｉｎｇ ｆｏｒ ［Ｆ］ ａｎｄ ［Ｇ］ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｓｕｃｈ ｃｌａｒｉｔｙ ｗｅ ｎｏｗ ｄｒｏｐ ｔｈｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ［—］）． Ｆｕｒｔｈｅｒ ７ｉ＞ ａｎｄ ７ｒ＜３

ａｒｅ

ｔｈｅ

（ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ

ａｎｄ Ｇ． Ｎｏｗ ｒｅｃａｌｌ ｆｒｏｍ Ｌｅｍｍａ

（ｆｉＡ ＼

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ａ）．

Ａ ｅ

ｔｈｅ）

ｆｏｒ

ｗｅ

＝

＾ｇ

＼ｉ ｉｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

ａ

ｆａｍｉｌｙ

°

Ｍ？ ｗｈｅｒｅ

ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

Ａ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ＣＦＰ ｔｈｅｎ ｔｈｅ

—？

＼ｐｉ＼． （Ｆｏｒ

ｃｌａｓｓ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｑｕｉｒｅ ｉｒｐ

ｃｏｖａｒｉａｎｔ Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｆｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆ

６．５．２０，

Ｉｆ Ｈ： Ａ＇

ａｎ

ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ

ｆｕｎｃｔｏｒ Ｈ＊ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ

ｔｈｅ

—＞

ＣＦＰ（Ａ＇Ｍ）

ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ

（＾｜ｉＧ ．４）： Ｆ

（ｉｉｉ）

ＣＦＰ（ＡＭ）

：

Ｌｅｔ ．４ ａｎｄ ／Ｃ ｂｅ

－＞

ｈＬ

Ｇ

（／＾ Ｉ Ａ＇

７ｒ￥： ．４

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ＣＦＰ ａｎｄ

Ｖ￥ ￡７７＞（．Ａ ：

ｘ

ＫＭ）

—？

ｇ

／Ｃ

ｘ

．４）： Ｆ＾ —＊

－＞

ＧｉＪ．

Ａ Ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ＣＦＰ（ＡＭ）

ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ ＣＦＰ（Ａ ｘ ／Ｃ，ＺＹ） ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｆｕｎｃｔｏｒ ＶＪ４Ｆ： Ｘ —？ Ｗ ｉｎ ￡７７＊． Ｉｆ ／： Ａ —？ Ａ ｉｓ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ ．４ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｖ５Ｆ（Ａ） Ｖ§（Ｆ（Ａ —）） ｗｈｅｒｅ Ｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｐ－ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｆｏｒ Ｋ， ａｎｄ ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｉｆ Ｆ： Ａ

ｘ

Ｋ

—？

Ｗ ｉｓ

ａｎ

＝

Ｖ￥Ｆ（／）：Ｖ￥Ｆ（４）＾Ｖ￥Ｆ（，４＇） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ

ｆｅ｜５ Ｓ）＾？－（（Ｆ（／，＾））ｉ（ｔｓ）｜ｇ６Ｓ）

ＭＦ（Ａ，－）） ａｎｄ

（Ｖ￥Ｆ（／））＇

＾ｉ＾ｓ）－＾＂（Ｗ，＾）ｍ）｜ｇｅｓ）

ｖｗｆ（ａ＇， －）） ｗｈｅｒｅ ￡５ ￡

ｐｈｉｓｍｓ．

Ｆ（Ａ，Ｓ）

－＞

Ｖ￥Ｇ

＾

Ｆ（Ａ＇， Ｓ）．

Ｇ

ｔｈａｔ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

Ｖ￥ｊｚ： Ｖ￥Ｆ

ａｎｄ

ｉｓ

ｆｉ：Ｆ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

—＞

ｔｈｅ

Ｇ ｉｓ

ｗｈｅｒｅ ｏｆ

Ｐｒｏｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ

ｃｏｕｒｓｅ

Ｔｈｅ

ｔｓ

￡

ｐｒｏｏｆ

５．６．１７， ａｎｄ ｏｆ

Ｆ（Ａ， ５）

ａ

ｆａｍｉｌｙ

Ｉ ５ Ｇ Ｓ）

（＊ｃ （Ｖ５Ｍ）Ａ ＶＳ（Ｆ（４， －）） ｉ＊Ｊ ：

１

？－＊？

ａｎｄ Ｍ（ａ，ｓ）－

ｏｆ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｉｎ

ｃｏｕｒｓｅ

ｍａｋｅｓ

ｕｓｅ

Ｎｏｗ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ Ｃ（Ａ

（（Ｖ￥／ｘ）Ａ ｜

Ａ Ｇ

（ｍｍｓ＾（ｔｃ） Ｋ＾Ｓ）Ｋ Ｓ） Ｉ＇ Ｓ

Ｆ（Ａ５） ｅｓｓｅｎｃｅ

ｏｆ ｔｈｅ

Ｖｓ（Ｆ（Ａ ＿｝）

—？■

Ａ） Ｇ

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Ｖ＾

ｏｎ ｍｏｒ－

ＫＭ）－

Ｔｈｅｎ

ｗｈｅｒｅ

Ｓ）

ｉ Ｖ８（Ｇ（Ａ －））

Ｇ（Ａ， Ｓ）．

ｖｅｒｙ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ

ｐｒｅｃｅｄｉｎｇ

ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．５． □

Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ６．５．２２ Ｔｈｅｏｒｅｍ

６．５．２１．

Ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ

ｓｏｍｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｏｆ

３１０

Ｃｈａｐｔｅｒ

６．

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

６．６

Ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ ｂｅｈｉｎｄ

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．６．１

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｎ

ｏｊＸｘ－Ｔｈｅｏｒｙ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ

ｉｓ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ． Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｕ；Ａｘ－ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ， ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｃａｎ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｔｈｅ ＂ｓｍａｌｌｅｓｔ＂ ｓｕｃｈ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ Ｔｈ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｕｎｄｌｙ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｆｏｒｍａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｍａｐｐｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ． ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

ｆｏｒ ａｌｌ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ

Ｇｉｖｅｎ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ Ｃ：Ｃ°ｐ －＋ ｆｕｎｃｔｏｒ （ａ，Ｆ）：Ｃ —＊？ Ｄ ｉｓ ａ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ？

Ｆ ｉｓ

？

ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｌｊ： ＣＩ

ａ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ Ｃ —？

ＤＦＪ

Ｖ

—＊？

ＣＯＣａｔ ａｎｄ Ｄ：！？＾

ＣＣＣａｔ， ａｎ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ

ｓｅｎｄｉｎｇ

ｆｏｒ ａｌｌ

Ｖ，

ｏｎ

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ＣＩ， ａｎｄ

ｏｂｊｅｃｔｓ ／ ａｎｄ Ｋ ｏｆ Ｃ， ａｊｏＶｊ

ｗｈｅｒｅ

Ｕ ｉｎ Ｃ ｔｏ Ｖ ｉｎ

ｕ；Ａｘ－

ｓｔｒｉｃｔ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

ａｒｅ

ｏｂｊｅｃｔ Ｉ ｏｉ Ｃ， ｗｈｉｃｈ ａｇｒｅｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆ ？

－？？

＝：

ＦＩ

ｘ

ＦＡ＂

—？

Ｆ（Ｉ

ｘ

＝

ｊＲＴ）

Ｖｐｊ

ｏ＝

ｏ

ａ／ｘ／＜：

ｂｅｃａｕｓｅ Ｆ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ

ａ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ， ａｎｄ ｌｅｔ Ｔｈ ｂｅ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｉｎ Ｃ Ｆｕｒｔｈｅｒ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ （ａ， Ｆ）： Ｃ —？■ Ｄ ｉｓ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ （ａ， Ｆ）＊Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｄ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｌｅｔ Ｃ： Ｃ°ｐ

－＞

ＣＣＣａｔ ａｎｄ Ｄ： Ｐ＾

ｐｒｏｄｕｃｔｓ．

－＋

（ＸＣａ＊ ｂｅ

ｃｌａｕｓｅｓ ？

［ＧＨ（（ａ，Ｆ）．Ｍ）°ｐ

＝

＾（［Ｇ］ｍ°ｐ）

ｗｈｅｒｅ Ｇ ｉｓ ａｎｙ

［０］（（ａ，Ｆ）．Ｍ）－Ｐ ＝ｆ ＾（Ｉ＾Ｉｍｏｐ） Ｓ ： ｎ？Ｆ［ｉｑＭｏＰ

ｇｒｏｕｎｄ

ｋｉｎｄ ｏｆ

Ｔｈ，

Ｏ

ｗｈｅｒｅ ０：

Ａ＂ｉ，．．．， ｌｉｆｎ

—？

－

Ｆ（ｎ？［＾］Ｍｏｐ）

Ａ＂ ｉｓ ａｎｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ

－

ｆ［ａ］ｍ°ｐ

ｓｙｍｂｏｌ ｆｒｏｍ Ｔｈ （ｐｏｓｓｉｂｌｙ

ｎ

＝

０），

ａｎｄ ？

［／］（（ａ，Ｆ）．Ｍ）ｔｍ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

＝ｆ

ｓｙｍｂｏｌ

＝＊

（ａ［Ａ］（（ＱｔＦ）．Ｍ）ｏｐ（［／］Ｍｔｍ））

ｏｆ Ｔｈ ａｎｄ Ａ ｈａｓ

ｌｅｎｇｔｈ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｗＡｘ －ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

ｎ

ｗｈｅｒｅ

／： Ａ； ￥！，．．．， ￥ｎ

（ｐｏｓｓｉｂｌｙ

Ｔ／ｉ ｉｓ

ｎ

＝

－？

￥ ｉｓ

０）．

Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ７（ Ｔ／ｉ） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ Ｃｌ（ Ｔｈ） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ： Ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ ｉｎ ｓｏｍｅ ａ； Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｗｈｉｃｈ Ｍ

ａｎ ａ；

（ｕｐ ｔｏ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ） ａ ｕｎｉｑｕｅ ｕ；Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ （ａ， Ｆ）： Ｃｌ（ Ｔｈ） （ａ， Ｆ）＊Ｇ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｓｕｃｈ ａ

—？

Ｃ ｆｏｒ

＝

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｄｅｘｅｄ ｗＡｘ －ｆｕｎｃｔｏｒｓ）．

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ （ａｎｄ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｍｕｓｔ ｂｅ

ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｕｐ ｔｏ

Ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ Ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ

６．６．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．６．２ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｃａｎ

Ｇｏｆ Ｔｈｉｎ

ｓｈｏｕｌｄ ａ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ａｎ ｕ；Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｕ； Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃｌ（Ｔｈ） ｗｉｔｈ ａ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ

Ｃｌ（Ｔｈ）．

ｎｏｗ

ａ； Ａｘ

－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ａｒｅ ｎｏ ｅｘｃｅｐｔｉｏｎ． ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ， ｌｅａｖｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｆｌｅｓｈ ｏｕｔ ＣＯＣａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ａ； Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃｌ（Ｔｈ）．

ｄｅｔａｉｌｓ

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｑｕｉｔｅ ｆａｍｉｌｉａｒ， ａｎｄ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ

ｂｅ

ｓｙｎｔａｃｔｉｃ

Ｃ：Ｃ°ｐ

３１１

ａ；Ａｘ －Ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ

ａ

ａｎ

Ｗｅ ｓｈａｌｌ

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｔｈｅ ｉｄｅａｓ．

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｗｒｉｔｅ

－＞

ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ Ｃ ａｒｅ ｔｈｅ ｋｉｎｄｓ Ｋ ｏｆ Ｔｈ． Ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｋ —？■ Ｋ＇ ｉｎ Ｃ ａｒｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｂｌｅ ｅｑｕａｌｉｔｙ． Ｍｏｒｅ ｆｏｒｍａｌｌｙ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｐａｉｒｓ （Ｘ： Ｋ， ￥） ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｓｇ ＞ Ｘ： Ｋ ｈ ￥： Ｋ＇． Ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｎ ｓｕｃｈ ｐａｉｒｓ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ Ｔｈｅ

ｉｆｆ

（Ｘ：Ｋ，￥）￣｛Ｙ：Ｋ，Ｖ） Ａ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｋ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

Ｋ＇ ｉｓ ｔｈｅｎ

—？

ｏｆ

ａｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｉｓ

Ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｂｒｅ ＣＫ

（Ｘ：Ｋ ｜ ￥）：Ｋ

Ｃ（Ｋ， Ｔｙｐｅ） ｄｅｒｉｖａｂｌｅ

ａｒｅ

Ｍｏｒｅ

ｏｎ

＝

Ｃ（Ｋ， Ｔｙｐｅ）

ａｒｅ

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ

ｗｈｅｒｅ ｈｅｒｅ

ｓｕｃｈ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｆｏｒ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ，

Ｍｉ

ｉｓ

ａ ｒａｗ

ａ

ｆｉｘｅｄ Ｋ

ｔｅｒｍ．

Ｗｅ

ｉｎ

ｔｒｉｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

ａｎ

ｔｒｉｐｌｅｓ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ －

（Ｘ２：Ｋ，ｘ２：￥２，Ｍ２）

ｃａｓｅ

Ｔｈ ｆｏｒ

Ｖ［Ｘ／Ｙ］：Ｋ＇．

＝

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ （Ｘ：Ｋ ｜ ￥） ｏｆ ｓｕｃｈ ｐａｉｒｓ， ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｗ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

（Ｘｘ： ＃，＊！：＊！， Ｍｘ） ｉｎ

Ｘ：Ｋ ｈ ￥

－？

（Ｘｉ：Ｋ，Ｘｉ：￥ｉ，Ｍｉ）

ｊｕｓｔ

＞

Ｔｙｐｅ ｉｎ Ｃ． Ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ （Ｘ：Ｋ ＼ ￥） －＞ （Ｘ：Ｋ ｜ ｔｆ） ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｐｒｏｖｅｄ ｔｅｒｍｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ

ｅｑｕａｌｉｔｙ．

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ

Ｔｈ

ｓｏｍｅ ｒａｗ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

＞

Ｘｌ：Ｋ＼ｘｌ：￥ｌ＼－

ｏｐｅｒａｔｏｒ ＾ｉ． Ｔｈｅｎ

ａ

Ｍｘ

＝

Ｍ２［Ｘ２／Ｘｌ）［ｘ２／ｘｌ］：＇Ｖｌ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （Ｘ：

Ｋ

＼ ￥）

—？

（Ｘ： Ｋ ＼ ＃）

ｉｓ

ａｎ

ｃｌａｓｓ

（Ｘ： Ｋ ｜ ｘ： ￥ ｜ Ｍ） ｏｆ ｓｕｃｈ

ｔｒｉｐｌｅｓ， ｗｈｅｒｅ Ｍ ｉｓ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ Ｇｉｖｅｎ

ａ

ａ ｒａｗ

ｉｓ

ｔｅｒｍ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｔｈ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ （Ｚ： Ｋ＇ ＼ ＠）： Ｋ＇

—＞

Ｋ ｉｎ

（Ｚ： Ｋ＇ ｜ Ｏ）＊ ： Ｃ（Ｋ， Ｔｙｐｅ） ｉｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ

｛Ｘ：

Ｋ

ｒａｗ

＞ ｒａｗ

Ｘ： Ｋ

＼ ｘ： ￥

ｔｅｒｍｓ．

Ｃ， ｔｈｅ ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ

—＊

Ｃ（Ｋ＼ Ｔｙｐｅ）

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｕｓ ｆｏｒ ａｎｙ ｍｏｒｐｈｉｓｍ

｜ ｘ： ￥ ｜ Ｍ）： （Ｘ： Ｋ＼￥）

ｈ Ｍ： ＊＆．

—？

（Ｘ： Ｋ ＼ ＊）

３１２

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｃ（Ｋ， Ｔｙｐｅ）

ｉｎ

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

６．

ｈａｖｅ

ｗｅ

（Ｚ： Ｋ＇ ｜ ０）＊ （Ｘ： Ｋ ｜ ￥） ｄ＝ （Ｚ： Ｋ＇ ＼ ￥［０／Ｘ］） ａｎｄ

（Ｚ：Ｋ＇ ｜ ０）＊ （Ｘ：Ｋ＼ｘ：Ｑ＼ Ｍ） ｄ＝ （Ｚ：Ｋ＇ ＼ｘ：￥［６／Ｘ］ ｜ Ｍ［０／Ｘ］）．

Ｖ％：Ｃ（Ｋ

Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｖ￥（Ｚ：Ｋｘ ｏｎ

ｏｂｊｅｃｔ （Ｚ： Ｋ

ａｎｙ

ｘ

Ｋ＇， Ｔｙｐｅ）

ｘ

Ｋ＇

Ｖ％｛Ｚ：ＫｘＫ＇＼ｚ：￥＼Ｍ）

Ｃ｛Ｋ， Ｔｙｐｅ）

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｉｓ

｜ ０） ＝ｆ （Ｘ：Ｋ ＼ ＶＹ：Ｋ＇．￥［（Ｘ，Ｙ）／Ｚ＼）

｜ ￥）

Ｋ＇

－？－

ｏｆ

Ｃ（＃

ｘ

＃＇， Ｔｙｐｅ），

ａｎｄ

ｂｙ

＝

（Ｘ：Ｋ＼ｘ：ＶＹ：Ｋ＇．Ｑ［｛Ｘ，Ｙ）／Ｚ］ ＼ ＫＹ：Ｋ＇．Ｍ［｛Ｘ，Ｙ）ＩＺ］［ｘＹ／ｚ＼） ｏｎ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ａｎｙ

（Ｚ：ＫｘＫ＇＼ｚ：￥＼Ｍ）： （Ｚ： Ｋ ｏｆ

Ｃ｛Ｋ

ｕｓｉｎｇ

ｘ

Ｋ＇， Ｔｙｐｅ）．

ｘ

Ｋ＇＼ ￥）－＾ （Ｚ： Ｋ

Ｉｔ ｉｓ ｒｏｕｔｉｎｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ

ａｎ

ｘ

Ｋ＇＼Ｖ）

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ，

ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｏｆ Ｔｈ．

Ｔｈｅ

ｇｒｏｕｎｄ

ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌ Ｇ

（ａｎｄ

ｋｉｎｄｓ Ｇ

（Ｇｏｐ， Ｇｔｍ） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ［Ｇ］ｇ＜＞ｐ ＝ｆ ［ｉｉｒ］Ｇｏｐ Ｋ ｆｏｒ ａｎｙ ｋｉｎｄ Ｋ），

＝

ｔｈｕｓ

Ｇ

ｏｎ

＝

［Ｆ］ＧｏＰ ｄ＝ｌｆ （Ｚ： ｎ？Ｋｉ ｜ ＦＣＰｒｏｊ＾Ｚ），．．．， ＰｒｏｊＢ（Ｚ））） ｓｙｍｂｏｌ Ｆ：Ｋｉ，．．．， Ｋｎ

ｆｏｒ ａｎｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ

（Ｚ：

Ｕｎｉｔ

Ｇｏｐ ｉｓ

ａ

＼ Ｃ）

ｆｏｒ

ａ

ｃｏｎｓｔａｎｔ

—＊■

Ｋｏｉ

ａｒｉｔｙ ｎ， ａｎｄ ［Ｃ］ｇ°ｐ ｐｒｏｖｅ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｃ： Ｋ． Ｏｎｅ

ｃａｎ

＝

ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈ°ｖ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｐｕｔ

［／ｌｅｔ－ ＝ｆ （Ｚ： ＪＪ＾Ｋｉ ｜ ｚ： Ｕ＾ｊ ｜ ／（Ｐｒｏｊ＾ｚ），．．．， ＰｒｏｊＢ（ｚ））） ／： Ａ； ￥１｝．．．， ￥ｍ —？■ ￥ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ Ａ ｂｙ ［Ｘｉｉ ＃ｉ，．．．， Ｘｎ： ｔｆｎ］， ａｎｄ ［Ｊｆｃ］Ｇｔ？ ＝ｆ （Ｚ： Ｕ＾Ｋｉ ＼ ｚ： ｕｎｉｔ ＼ ｋ） ｉｆ Ａ； ｋ： ｓｅｅｓ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ Ｇｔｍ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｔｈｔｍ．

ｗｈｅｒｅ

Ｉｆ Ｄ： Ｖ０＊

ｉｓ

ｇｉｖｅｎ

￥． Ｏｎｅ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍｏｄｅｌ Ｍ ｏｆ Ｔｈ， ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ａ；Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ （ａ， Ｆ）： Ｃ Ｄ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｖ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ． Ｔｈｕｓ Ｆ： Ｃ —＊？

ＯＯＣａｔ ｉｓ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ

—？

—？

（Ｘ： Ａ＂ ｜ ＜＊＞）： Ｋ＾Ｋ＇ ａｎｄ

ａ＾ｉＣｉｆ

ｅａｓｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ

ｉ—

＼Ｘ： Ｋ

ｈ ０：

＃Ｖ ［＃］ｍ

－

［＃＇］ｍ

Ｄ［ｊＲＴ］ｍ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎａｌｏｇｏｕｓｌｙ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｂｊｅｃｔ Ｋ ｏｆ Ｃ． Ｍ． Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｏｍｉｔｔｅｄ． ｔｈａｔ （ａ， Ｆ）＊Ｇ

—＊？

＝

Ｉｔ ｉｓ □

３１３

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

６．７．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

６．７

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ６．７．１

Ｊｕｓｔ

ｈａｖｅ ｄｏｎｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ

ｓｉｍｐｌｅｒ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｅｘｔ， ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａｎｙ ａ； Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ａｒｉｓｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ａ； Ａｘ －ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｏｆ ｓｏｍｅ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｓｕｃｈ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｆｒｏｍ ａ ｇｉｖｅｎ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｅ ａ ｓｙｎｔａｘ／ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ｗｅ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ． Ｆｏｒ ａｎｙ

ＰＲＯＰＯＳＩＴＩＯＮ ６．７．２ ｄｅｆｉｎｅ ｏｆ

ａｎ

Ｔｈ（Ｃ）

Ｐｒｏｏｆ ｉｓ

ａｎ

ｕ；Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈ（Ｃ）

＝

ａ；

Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ Ｃ：Ｃ°ｐ

（Ｓｇ， Ａｘ）

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

—＞

ａ

ＣＯＣａｔ

ｗｅ

ｃａｎ

ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ

ｉｎＣ．

Ｔｈｅ

ｇｒｏｕｎｄ ｋｉｎｄｓ ｏｆ Ｓｇｏｐ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ Ｆ： Ａｉ，．．．， Ａｎ

Ａ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａｒｅ —＞

ｃｏｐｉｅｓ Ａ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ Ａ ｏｆ Ｃ ａｎｄ ｔｈｅｒｅ Ａ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｍｏｒｐｈｉｓｍ Ｆ： Ａ＼ ｘ．．． ｘ Ａｎ —＞

ｓｙｍｂｏｌ

ｆ：Ａ；ＭＸ），．．．，４＞ｍ（Ｘ）＾（ｆ＞（Ｘ） ｘ ＜ｆ＞ｍ ０ ｉｎ ａ ｆｉｂｒｅ Ｃ（Ａ， Ｕ）． Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆ：＜ｊ＞ｉ ｘ ｃｌｅａｒ ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｉｆ ｅｉｔｈｅｒ ｎ ｏｒ ｍ ａｒｅ ０． Ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ａ （ａｔ ａ ｇｒｏｕｎｄ ｋｉｎｄ Ａ） ａｎｄ ｓｏ ｏｎ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｅｔｔｉｎｇ ［－Ａ］ｍ°ｐ ｓｙｍｂｏｌｓ ｗｈｉｃｈ ａｓｓｅｒｔ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｙｎｔａｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｄｅｎｏｔａｔｉｏｎ （ｓｕｃｈ ａｓ Ｉｋ＇． ＼Ｋ＼ —＊？ Ｋ ｆｏｒ ａｌｌ ｋｉｎｄｓ Ｋ）； ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｏｆ Ｔｈ（Ｃ） ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｏｓｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｔｅｒｍ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｉｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｕｓ ａ ｍｏｄｅｌ

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ

—＞

．．．

＝

ｏｆ

Ｔｈ（Ｃ） ｂｙ

□

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ．

ＴＨＥＯＲＥＭ ６．７．３

Ｌｅｔ Ｃ：Ｃ°ｐ

ｔｈｅ ａ；Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ

Ｅｑ： Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ））

ｏｆ

Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ）） ａｐｐｌｉｅｄ

－＞

ＣＯＣａｔ ｂｅ ａｎｙ —＊■

Ｃ

ａ；

Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ．

Ｔｈｅｎ

ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｔｏ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ

Ｔｈ（Ｃ）

ｉｎ Ｃ ｉｓ

ｏｎｅ

ｈａｌｆ ｏｆ

ａｎ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．

Ｅｑ￣ｘ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎ Ｃ ｔｏ ＂ｓｙｎｔａｃｔｉｃ ｃｏｐｉｅｓ＂ ｉｎ Ｃｌ（Ｔｈ（Ｃ））， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ Ｆ．Ｋ－＋Ｋ＇ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ Ｋ＇ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｏｆ Ｃｌ｛ Ｔｈ（Ｃ））． ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｃ ｉｓ ｍａｐｐｅｄ ｔｏ （Ｘ： Ｋ ｜ Ｆ（Ｘ））： Ｋ Ｏｎｃｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｑ￣ｌ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ａｒｅ ｌｅｎｇｔｈｙ ｂｕｔ ｒｏｕｔｉｎｅ—ｓｅｅ Ｐｒｏｏｆ

Ｔｈｅ ｕ；Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ

－＋

ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

□

ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５．８．３．

ＤＩＳＣＵＳＳＩＯＮ ６．７．４

Ｔｈｅｏｒｅｍ ６．７．３ ｉｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｌｏｇａｎ

３１４

Ｉ—

Ｃｈａｐｔｅｒ

６．

Ｈｉｇｈｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅｓ ａｒｅ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｓｙｎｔａｘ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ． Ｅｘｅｒｃｉｓｅ ６．７．５ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ

６．８

Ｓｔａｔｅ

ａｎｄ ｓｋｅｔｃｈ

ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ａ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｉｔ．

ａ

ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ

Ｐｏｉｎｔｅｒｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ

Ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｌｏｇｉｃ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ［ＣＥ８７］． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｍｏｄｅｌ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｏｆ ＂Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｔｙｐｅｓ．＂ Ｆｏｒ ｔｈｏｓｅ ｒｅａｄｅｒｓ ｗｈｏ ａｒｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ ｉｎ ｌｏｏｋｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｈｉｇｈｌｙ ｅｘｐｒｅｓｓｉｖｅ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｐｅｒｈａｐｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｔｈａｎ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ， ｓｅｅ ［ＨＰ８９］． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ｏｆ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｆｕｌｌ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｉｔｓ ｃａｔｅｇｏｒｙ－ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ． Ｆｕｒｔｈｅｒ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ａｎｄ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｍｏｄｅｌｓ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ［Ｓｅｅ８７］． Ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｋｉｎｄ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｍｏｒｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｏｆ ｏｕｒ Ｃｈａｐｔｅｒ ６， ｂｕｔ ｔｈｅ ｓｙｎｔａｃｔｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｒｅ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｎｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｉｎｖｏｌｖｅ ａ ｒｉｃｈｅｒ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｅｒｍｓ．

ｈｉｇｈｅｒ

ｏｒｄｅｒ

Ｂｉｂｌｉｏｇｒａｐｈｙ ［ＡＬ９１］

Ａ．

Ａｓｐｅｒｔｉ

ａｎｄ Ｇ．

ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ

［Ｂａｒ８４］

［Ｂｉｒ６７］

Ｈ．

Ｂａｒｅｎｄｒｅｇｔ． Ｔｈｅ Ｌａｍｂｄａ Ｃａｌｃｕｌｕｓ： Ｉｔｓ Ｓｙｎｔａｘ ａｎｄ Ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎ Ｌｏｇｉｃ ａｎｄ ｔｈｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｈｏｌｌａｎｄ， １９８４． Ｖｏｌｕｍｅ １０３．

Ｎ． Ｂｏｕｒｂａｋｉ．

Ａｌｇｅｂｒｅ （ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｄｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｑｕｅ，

Ｍ． Ｂａｒｒ ａｎｄ Ｃ． Ｗｅｌｌｓ．

［Ｃａｒ８６］

Ｌ． Ｃａｒｄｅｌｌｉ． Ａ

［Ｃａｒ８９］

Ｌ． Ｃａｒｄｅｌｌｉ．

ｌｉｖｒｅ

ｉｉ）， ｃｈａｐｉｔｒｅ

Ｉｎｄ．， １０４４， １９４８．

Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ． Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ， １９９０．

ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｌａｍｂｄａ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｗｉｔｈ ｔｙｐｅ：ｔｙｐｅ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ １０， Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｅｎｔｅｒ， １３０ Ｌｙｔｔｏｎ Ａｖｅｎｕｅ， Ｐａｌｏ Ａｌｔｏ， ＣＡ， １９８６．

Ｒｅｓｅａｒｃｈ

［ＣＥ８７］

Ｎｏｒｔｈ

Ｔｈｅｏｒｙ． Ｃｏｌｌ． Ｐｕｂｌ． ＸＸＶ， Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｓｏｃｉｅｔｙ， Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ， ＲＩ， ３ｒｄ ｅｄｉｔｉｏｎ， １９６７．

３． Ａｃｔｕａｌｉｔｅｓ Ｓｃｉ．

［ＢＷ９０］

Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ．

Ｇ． Ｂｉｒｋｈｏｆｆ． Ｌａｔｔｉｃｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

［Ｂｏｕ４８］

Ｌｏｎｇｏ． Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， Ｔｙｐｅｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ： Ａｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｗｏｒｋｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔ． Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｅｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ＭＩＴ Ｐｒｅｓｓ， １９９１．

Ｔｙｐｅｆｕｌ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ ４５， Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｃｅｎｔｅｒ， １３０ Ｌｙｔｔｏｎ Ａｖｅｎｕｅ， Ｐａｌｏ Ａｌｔｏ， ＣＡ， １９８９．

Ｃｏｑｕａｎｄ ａｎｄ Ｔ． Ｅｈｒｈａｒｄ． Ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎａｌ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｌｏｇｉｃ． Ｉｎ Ｓｕｍｍｅｒ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ． Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｄｉｎｂｕｒｇｈ， Ｓｃｏｔｌａｎｄ， Ｕ．Ｋ．， Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ Ｔ．

１９８７．

［ＣＧＷ８７］

Ｃｏｑｕａｎｄ， Ｃ． Ｇｕｎｔｅｒ， ａｎｄ Ｇ． Ｗｉｎｓｋｅｌ． ｄｌ－ｄｏｍａｉｎｓ ａｓ ａ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ １０７， Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ， １９８７．

［ＣＧＷ８９］

Ｔ．

Ｃｏｑｕａｎｄ， Ｃ． Ｇｕｎｔｅｒ， ａｎｄ Ｇ． Ｗｉｎｓｋｅｌ． Ｄｏｍａｉｎ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ８１：１２３－１６７， １９８９．

［Ｃｈｕ４０］

Ａ． Ｃｈｕｒｃｈ． Ａ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

Ｔ．

ｏｆ Ｓｙｍｂｏｌｉｃ Ｌｏｇｉｃ， ５：５６－６８，

１９４０．

ｓｉｍｐｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｙｐｅｓ． Ｊｏｕｒｎａｌ

３１６

Ｂｉｂｌｉｏｇｒａｐｈｙ

［Ｃｏｈ７９］

Ｐ．Ｍ． Ｃｏｈｎ．

［ＤＰ９０］

Ｂ．Ａ．

Ａｌｇｅｂｒａ，

ｖｏｌｕｍｅ ２． Ｊｏｈｎ

Ｗｉｌｅｙ

ａｎｄ Ｓｏｎｓ

Ｌｔｄ．，

１９７９．

Ｄａｖｅｙ ａｎｄ Ｈ．Ａ． Ｐｒｉｅｓｔｌｅｙ． Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ Ｏｒｄｅｒ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９９０．

［ＥＭ４２］

Ｅｉｌｅｎｂｅｒｇ ａｎｄ Ｓ． Ｍａｃ Ｌａｎｅ． Ｎａｔｕｒａｌ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｐｒｏｃ． Ｎａｔ． Ａｃａｄ． Ｓｃｉ． Ｕ．Ｓ．Ａ．， ２８：５３７－５４３， １９４２．

［ＥＭ４５］

Ｓ．

［Ｆｒｅ６４］

Ｐ． Ｊ．

［Ｆｒｅ６７］

Ｇ．

Ｓ．

ｉｎ ｇｒｏｕｐ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ． Ｔｒａｎｓ． Ａｍｅｒ． Ｍａｔｈ． Ｓｏｃ， ５８：２３１－２９４， １９４５． ａｎｄ Ｓ． Ｍａｃ Ｌａｎｅ． Ｇｅｎｅｒａｌ

Ｅｉｌｅｎｂｅｒｇ

Ｆｒｅｙｄ．

Ｆｒｅｇｅ．

Ａｂｅｌｉａｎ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｈａｒｐｅｒ

ａｎｄ

Ｒｏｗ，

１９６４．

Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｃｅｐｔ． Ｉｎ Ｐ． Ｇｅａｃｈ ａｎｄ Ｍ．

Ｂｌａｃｋ，

ｅｄｉｔｏｒｓ， Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｃａｌ Ｗｒｉｔｉｎｇｓ ｏｆ Ｇｏｔｔｌｏｂ Ｆｒｅｇｅ． Ｂｌａｃｋｗｅｌｌ， Ｏｘｆｏｒｄ， １９６７．

［ＧＨＫ＋８０］

Ｈｏｆｍａｎｎ， Ｋ． Ｋｅｉｍｅｌ， Ｊ．Ｄ． Ｌａｗｓｏｎ， Ｍ． Ｍｉｓｌｏｖｅ， ａｎｄ Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ． Ａ Ｃｏｍｐｅｎｄｉｕｍ ｏｆ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－ Ｖｅｒｌａｇ， １９８０．

［Ｇｉｒ８６］

Ｊ．－Ｙ． Ｇｉｒａｒｄ．

Ｇ．

Ｇｉｅｒｚ，

Ｋ．Ｈ．

Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ

［Ｇｉｒ８９］

Ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ Ｆ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｔｙｐｅｓ ｆｉｆｔｅｅｎ ｙｅａｒｓ ｌａｔｅｒ．

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ４５：１５９－１９２，

１９８６．

Ｐｒｏｏｆｓ ａｎｄ Ｔｙｐｅｓ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｔｒａｃｔｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９８９． ａｎｄ ｗｉｔｈ ａｐｐｅｎｄｉｃｅｓ ｂｙ Ｐ． Ｔａｙｌｏｒ ａｎｄ Ｙ． Ｌａｆｏｎｔ． Ｊ．－Ｙ． Ｇｉｒａｒｄ．

［Ｇｒａ７１］

Ｇ． Ｇｒａｔｚｅｒ． Ｌａｔｔｉｃｅ

［Ｇｒａ７８］

Ｇ． Ｇｒａｔｚｅｒ． Ｇｅｎｅｒａｌ Ｌａｔｔｉｃｅ

［ＨＰ８９］

Ｊ．Ｍ．Ｅ．

Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ

Ｔｈｅｏｒｙ： Ｆｉｒｓｔ Ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ Ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ｗ．Ｈ． Ｆｒｅｅｍａｎ ａｎｄ Ｃｏ．， Ｓａｎ Ｆｒａｎｃｉｓｃｏ， １９７１．

Ｈｙｌａｎｄ

Ｔｈｅｏｒｙ． Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ， Ｂａｓｅｌ，

１９７８．

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ： ａｎｄ ｔｏｐｏｓ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ． Ｉｎ Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｉｎ ａｎｄ Ｌｏｇｉｃ， ｖｏｌｕｍｅ ９２ ｏｆ Ｃｏｎｔｅｍｐ． Ｍａｔｈ．， ｐａｇｅｓ

ａｎｄ Ａ．Ｍ． Ｐｉｔｔｓ． Ｔｈｅ

Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ １３７－１９９， １９８９．

［Ｊｏｈ８２］

Ｐ．Ｔ． Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ．

［Ｊｏｈ８７］

Ｐ．Ｔ． Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ． Ｎｏｔｅｓ

Ｓｐａｃｅｓ， ｖｏｌｕｍｅ ３ ｏｆ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９８２．

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，

Ｓｔｏｎｅ

１９８７．

ｏｎ

Ｌｏｇｉｃ

ａｎｄ Ｓｅｔ

Ｔｈｅｏｒｙ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ

３１７

Ｂｉｂｌｉｏｇｒａｐｈｙ

［Ｋａｎ５８］

Ｄ．Ｍ． Ｋａｎ．

Ａｄｊｏｉｎｔ

ｆｕｎｃｔｏｒｓ． Ｔｒａｎｓ． Ａｍｅｒ． Ｍａｔｈ．

Ｓｏｃ， ８７：２９４－３２９，

１９５８．

［Ｌａｍ８０］

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｉｎ Ｊ．Ｐ． Ｓｅｌｄｉｎ ａｎｄ Ｊ．Ｒ． Ｈｉｎｄｌｅｙ， ｅｄｉｔｏｒｓ， Ｔｏ Ｈ．Ｂ． Ｃｕｒｒｙ： Ｅｓｓａｙｓ ｏｎ Ｊ． Ｌａｍｂｅｋ．

Ｆｒｏｍ Ａ－ｃａｌｃｕｌｕｓ ｔｏ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｙ Ｌｏｇｉｃ， Ｐｒｅｓｓ，

Ｌａｍｂｄａ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ａｎｄ Ｆｏｒｍａｌｉｓｍ． Ａｃａｄｅｍｉｃ

１９８０．

［Ｌａｗ６３］

Ｆ．Ｗ． Ｌａｗｖｅｒｅ． Ｆｕｎｃｔｏｒｉａｌ Ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

［ＬＳ８０］

Ｊ． Ｌａｍｂｅｋ ａｎｄ Ｐ．Ｊ． Ｓｃｏｔｔ．

ｏｆ Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｉｅｓ． ＰｈＤ ｔｈｅｓｉｓ， Ｃｏｌｕｍｂｉａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， １９６３－ Ｓｕｍｍａｒｙ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ５０：８６９－８７３， １９６３．

ｔｏｐｏｓ． Ｊｏｕｒｎａｌ

［Ｍａｃ４８］

Ｓ． Ｍａｃ Ｌａｎｅ．

［Ｍａｃ５０］

Ｓ． Ｍａｃ Ｌａｎｅ．

ａｎｄ

ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｌｇｅｂｒａ， １９：２１５－２５７， １９８０．

Ｇｒｏｕｐｓ， ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｕ．Ｓ．Ａ．， ３４：２６３－２６７， １９４８．

５１６，

［Ｍａｃ７１］

ｏｆ Ｐｕｒｅ

Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔ ｔｙｐｅ

ａｎｄ

ｄｕａｌｉｔｙ．

Ｐｒｏｃ． Ｎａｔ． Ａｃａｄ． Ｓｃｉ．

Ｄｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｇｒｏｕｐｓ． Ｂｕｌｌ． Ａｍｅｒ． Ｍａｔｈ． Ｓｏｃ，

５６：４８５－

１９５０．

Ｓ． Ｍａｃ Ｌａｎｅ．

Ｗｏｒｋｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ， ｖｏｌｕｍｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ， １９７１．

Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｆｏｒ

ｏｆ Ｇｒａｄｕａｔｅ Ｔｅｘｔｓ ｉｎ

ｔｈｅ

［Ｍａｎ７６］

Ｅ． Ｍａｎｅｓ．

［ＭｃＬ９１］

ＭｃＬａｒｔｙ． Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｔｏｐｏｓｅｓ， ｖｏｌｕｍｅ ２１ ｏｆ Ｏｘｆｏｒｄ Ｌｏｇｉｃ Ｇｕｉｄｅｓ． Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９９１．

［ＭＬ］

Ｐ． Ｍａｒｔｉｎ－Ｌ６ｆ． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ

Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｖｏｌｕｍｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ， １９７６．

２６ ｏｆ Ｇｒａｄｕａｔｅ Ｔｅｘｔｓ ｉｎ

Ｃ．

ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ． Ｉｎ Ｌｏｇｉｃ， Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ＩＶ， Ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ， １９８２．

［ＭＬ７１］

Ｐ． Ｍａｒｔｉｎ－Ｌ６ｆ． Ａ

ｏｆ

［ＭＬ７２］

Ｓｔｏｃｋｈｏｌｍ，

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｙｐｅｓ．

Ｐ． Ｍａｒｔｉｎ－Ｌｏｆ． Ａｎ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ

Ｐ． Ｍａｒｔｉｎ－Ｌ６ｆ． １９８４．

Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ

１９７９．

Ｒｅｐｏｒｔ ７１－３， Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

１９７１．

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｔｏｃｋｈｏｌｍ，

［ＭＬ８４］

５

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｙｐｅｓ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｒｅｐｏｒｔ，

１９７２．

Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ

Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ．

Ｂｉｂｌｉｏｐｏｌｉｓ， Ｎａｐｏｌｉ，

３１８

［ＮＰＳ９０］

Ｂｉｂｌｉｏｇｒａｐｈｙ

Ｂ．

Ｎｏｒｄｓｔｒｏｍ， Ｋ． Ｐｅｔｅｒｓｓｏｎ， ａｎｄ Ｊ．Ｍ． Ｓｍｉｔｈ．

Ｍａｒｔｉｎ－Ｌｏｆ＇ｓ Ｔｙｐｅ Ｔｈｅｏｒｙ， ｖｏｌｕｍｅ ７ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ． Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９９０．

［Ｐｉｅ９１］

Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｎ Ｍｏｎｏｇｒａｐｈｓ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ

Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ． Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｅｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ＭＩＴ Ｐｒｅｓｓ， １９９１．

Ｂ．Ｃ． Ｐｉｅｒｃｅ． Ｂａｓｉｃ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ

［Ｐｉｔ８７］

Ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ， ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅｌｙ． Ｉｎ Ｓｕｍｍｅｒ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｃａｔｅｇｏｒｙ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ． Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｄｉｎｂｕｒｇｈ， Ｓｃｏｔｌａｎｄ， Ｕ．Ｋ．， Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ １９８７．

［Ｓｃｏ６９ａ］

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ．

Ａ．Ｍ． Ｐｉｔｔｓ．

ｍａｎｕｓｃｒｉｐｔ，

［Ｓｃｏ６９ｂ］

Ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｍｂｄａ ｃａｌｃｕｌｕｓ．

１９６９．

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ． Ａ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｔｏ ＣＵＣＨ， ＩＳＷＩＭ， ＯＷＨＹ．

Ｕｎｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｍａｎｕｓｃｒｉｐｔ， Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

［Ｓｃｏ７０ａ］

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ． Ｏｘｆｏｒｄ

［Ｓｃｏ７０ｂ］

Ｕｎｐｕｂｌｉｓｈｅｄ

ｏｆ

Ｏｘｆｏｒｄ，

１９６９．

Ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ ｆｌｏｗ

ｄｉａｇｒａｍｓ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ ３， Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｇｒｏｕｐ， １９７０．

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ． Ｔｏｗａｒｄｓ Ａｎｎｕａｌ Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ． Ｉｎ ４ｔｈ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ａｎｄ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ

ｏｎ

Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９７０．

［Ｓｃｏ７１］

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ． Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｌａｔｔｉｃｅｓ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｇｒｏｕｐ，

Ｒｅｐｏｒｔ ７， Ｏｘｆｏｒｄ

１９７１．

［Ｓｃｏ７６］

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ．

［Ｓｃｏ８２］

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ． Ｄｏｍａｉｎｓ ｆｏｒ ｄｅｎｏｔａｔｉｏｎａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ． Ｉｎ ＩＣＡＬＰ １９８２，

Ｄａｔａｔｙｐｅｓ ５（３）：５２２－５８７， １９７６．

ａｓ

ｌａｔｔｉｃｅｓ．

ｖｏｌｕｍｅ １４０ ｏｆ Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ Ｉｎ

Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，

［Ｓｅｅ８７］

Ｒ．Ａ．Ｇ．

ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，

ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，

ｐａｇｅｓ ５７７－６１３．

１９８２．

Ｓｅｅｌｙ． Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｌａｍｂｄａ ｃａｌｃｕｌｕｓ．

ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｏｆ Ｓｙｍｂｏｌｉｃ Ｌｏｇｉｃ， ５２（４）：９６９－９８９，

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ

Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ

Ｄｅｃｅｍｂｅｒ １９８７．

［ＳＳ７１］

Ｄ．Ｓ． Ｓｃｏｔｔ ａｎｄ Ｃ．

［ｖＤ８９］

Ｄ．

Ｓｔｒａｃｈｅｙ． Ｔｏｗａｒｄｓ ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｆｏｒ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｌａｎｇｕａｇｅｓ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ ６， Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｇｒｏｕｐ， １９７１． ｖａｎ

３ｒｄ

Ｄａｌｅｎ．

ｅｄｉｔｉｏｎ，

Ｌｏｇｉｃ

ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｅｘｔ．

１９８９． Ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ Ｔｈｉｒｄ

Ｐｒｉｎｔｉｎｇ．

Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，

３１９

Ｂｉｂｌｉｏｇｒａｐｈｙ

［Ｖｉｃ８９］

Ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｖｉａ Ｌｏｇｉｃ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｔｒａｃｔｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９８９．

Ｓ． Ｖｉｃｋｅｒｓ．

Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ

Ｉｎｄｅｘ ａｂｏｖｅ １１７ ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ １５４， １５８， ２０４， ２８１

ａｄｊｏｉｎｔ —

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７７ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ ２７６ ｏｆ ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ ２０４ ａｓｃｅｎｄｉｎｇ ｃｈａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ １７ —

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—

ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ７９ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ １０２ Ｆｒｅｙｄ＇ｓ ｌｅｆｔ ｆｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ８１ ｌｅｆｔ ｆｏｒ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ７７ ｆｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ８１ ｒｉｇｈｔ ｆｏｒ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ７７ ｒｉｇｈｔ ｆｕｎｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ １０４ ｓｐｅｃｉａｌ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ —

—

—

—

—

ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ

—

—

—

ｂｅｔｗｅｅｎ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

８１

ｂｅｔｗｅｅｎ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ

７７

—

—

—

—

ｃｌｏｓｕｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ２７

ｃｌｏｓｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍ ２７

ｐｏｓｅｔ ２６

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｔｈｅｏｒｙ ａ－ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ —

—

ｒａｗ

１２１

ｔｅｒｍｓ ｆｒｏｍ

ｒａｗ ｔｅｒｍｓ

１５８

ｆｒｏｍ

ｒａｗ

ａｎｔｉ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｒｅｌａｔｉｏｎ ３ ａｎｔｉｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ １０ ａｐｐｅａｒｓ １２４

ａｒｉｔｙ

—

—

ｏｆ

—

ｏｆ

ｔｅｒｍ ｔｅｒｍ

ｔｙｐｅ

—

ｔｙｐｅｓ ２０５ ａｎｔｉ－ｃｈａｉｎ ８

—

ａｘｉｏｍ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ １６１ —

—

—

—

１２７

２７７

ｏｆ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２１４ ｏｆ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２８４

２０８

ｂａｓｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２１０ —

ａｔｏｍｉｃ Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ １１７

ｂａｌａｎｃｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ １１５

１２７

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —

ａｔｏｍ １１７

ｏｐｅｒａｔｏｒ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ４０

—

—

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

—

—

ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ １０７ ｏｆ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２２４ ｏｆ ａ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２８５

ｂａｓｉｓ ２６

Ｂｅｃｋ－Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ３５ ｆｏｒ ２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２２５ ｆｏｒ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２８５ ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ ５８ ｐｒｏｄｕｃｔ ５５ ｐｒｏｄｕｃｔ ｔｙｐｅ １５６ —

—

—

—

—

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２２ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５６

—

ｒｅｌａｔｉｏｎ ３

ｈａｓ

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ ９６ ｈａｓ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ５５， ９６ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ５５ —

—

—

Ｉｎｄｅｘ

３２１

ｂｉｎｄｉｎｇ

１５４

—

ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ １０７

Ｂｏｏｌｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ２１

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ

ｂｏｔｔｏｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ８

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ｂｏｕｎｄ —

—

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ ２７７， ２８１ ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｒｏｍ

—

—

—

２０９

ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｒｏｍ

２８１

ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ２０４， ２０９ ｖａｒｉａｂｌｅ １５８

ｇｒｅａｔｅｓｔ ｌｏｗｅｒ ｌｅａｓｔ ｕｐｐｅｒ ｌｏｗｅｒ

—

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄｅｄ

—

—

—

—

ｃａｔｅｇｏｒｙ ４０

—

７

—

７

—

１１０ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ５３ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ １１０ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｉｎｄｅｘｅｄ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｏｒ ８１ ４３ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ８１ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｏｒ —

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

—

６

—

６

—

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐｏｓｅｔ

２６

—

—

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ １４２ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ １７７ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ６０， ７２ ｃａｐｔｕｒｅｄ １５４

—

—

—

—

ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —

—

２０９

ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ２０９ ｖａｒｉａｂｌｅ １５８

ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ

ｏｆ ｓｅｔ ３

—

—

ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｏｆ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

ｐｒｅｓｈｅａｖｅｓ

１１４

ｏｆ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒｓ ２４２ ｏｆ ｓｕｂｏｂｊｅｃｔｓ １０３

ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ

ｉｎ —４０ ｂａｌａｎｃｅｄ ｂａｓｅ

ｂａｓｅ

—

—

—

１１５

ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ １０７

ｏｆ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ｂａｓｅ

—

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ

—

—

ｃａｔｅｇｏｒｙ １８５ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｙ １０７ ｆｕｎｃｔｏｒ １０７

—

ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ ｃｏｍｍａ

ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｆｉｌｔｅｒｅｄ

２２４

ｏｆ

ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ７２

—

１７４

ｏｆ Ｓｃｏｔｔ ｄｏｍａｉｎｓ ４３

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｌｉｆｔｉｎｇ １１７ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ １４ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ５ ｃｌｏｓｅｄ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｆｒｅｅ

—

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ

ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ ６７

—

—

ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ １１７ —

ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ １０８ １３７

ｃａｎｏｎｉｃａｌ

—

５３

—

—

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ

１２１

—

—

—

—

—

２８５

６７

１０７

ｏｆ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

１３９ —

ｏｆ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

４８ ４１ １１４

ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅ

—

—

９７

９７

１７５

Ｉｎｄｅｘ

３２２

ｓｕｂ—，

ｆｕｌｌ

ｆｕｎｃｔｏｒ

ｇｌｕｅｄ

４９

—

—，５１

—，

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

—

１８９

ｉｎ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ４０

—，

—

ｓｍａｌｌ ｓｕｂ

—，

—，

ｔｉｎｙ

ｃｈａｉｎ，

４８ —，

ｐｏｗｅｒｅｄ

１０３

—，

８

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，

—

１７

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，

１７

—，

９７

７４

ｆｏｒ

ａ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ， ２６３ ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ， ３１０ ｃｌｅａｖａｇｅ， １１７ —

ｃｌｏｓｅｄ

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

—

ｃａｔｅｇｏｒｙ， ６７

ｆｕｎｃｔｏｒ，

ｒｅｆｌｅｃｔｓ

—ｓ

ｏｆ

ｓｈａｐｅ Ｉ， ９９ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ， ９９

—ｓ

ａ

ｌａｔｔｉｃｅ，

２０

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， １５０ ｌａｔｔｉｃｅ， １２ ｌａｔｔｉｃｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ， —

—

—

—

１２

ｐｏｓｅｔ， ９

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， ２７３ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ， ９７

—

—

Ｐ－－，９ ｓｍａｌｌ —， ９７

１５

—

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， １７５

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

９６， ９７

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｐｏｓｅｔ， ２６ ｃｏｍｐａｒａｂｌｅ， ３

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， １３９

ｓｕｂｓｅｔ，

９９

ｃｏｍｍａ

—

ｃｌｏｓｕｒｅ

ｓｍａｌｌ

ｃａｔｅｇｏｒｙ， ９７

ｃａｔｅｇｏｒｙ， ４８ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｄｉａｇｒａｍ， ｘｖｉｉ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ —ｓ， １７

ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ —，１１５ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ —， ３ ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ —，１１５ ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ

—

—

ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ —ｓ， ９７

ｃｌａｓｓ

—

ｆｉｎｉｔｅｌｙ Ｐ－－９

ｄｉａｇｒａｍ， ９５ —ｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ， ９５ ｃｒｅａｔｅｓ —ｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ，

４８

—，

—

—

—

ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ —ｓ，

ａｓｃｅｎｄｉｎｇ ｄｅｓｃｅｎｄｉｎｇ ｎｏ

ｐｏｓｅｔ， ９ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｐｏｓｅｔ， ９

—

—

８

ａｎｔｉ－

１１７

ｃｏｌｉｍｉｔ

ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ ｗｅｌｌ

ｆｉｂｒａｔｉｏｎ， ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃｌｏｖｅｎ

ｈａｓ ａｌｌ —ｓ， ９６

６１

４４

—，

ｏｐｅｒａｔｏｒ， ２７ ｓｙｓｔｅｍ， ２７

ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｋｌｅｅｎｅ —， ４２

ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒ，

４８

ｏｖｅｒ－ｃｏｎｅ —，

—

—

ｍｏｒｐｈｉｓｍ， １０８ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｏｂｊｅｃｔｓ ｉｎ —， ５２ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｎ —， ５２ ｌｌｕｆ ｓｕｂ—， ４９ ｌｏｃａｌｌｙ ｓｍａｌｌ —， ６１ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ —， ４０ ｏｂｊｅｃｔ ｏｆ —， ４０ ｏｐｐｏｓｉｔｅ —， ４２ ｉｎｄｅｘｅｄ

ｏｐｅｒａｔｏｒ， １５ ｓｙｓｔｅｍ， １５

７２

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ —

ｏｆ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， １３７

３２３

Ｉｎｄｅｘ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ， １７４ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ４９ ｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ， ４０ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ， ４０ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ ｗｉｔｎｅｓｓｉｎｇ， ３０８

ｂｉｎａｒｙ —ｓ， ９６ ｃｏｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ， ８８ ｃｏｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ， ｃｏｕｎｉｔ， ８９

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｃｐｏ

—

ｏｆ

—

—，

—

—

—

—

ｏｖｅｒ， ９２

—

—

ｕｎｄｅｒ， ９５

ｄｉａｇｒａｍ，

ｄｃｐｏ，

９１

—

ｕ－

—ｓ， ２４

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， １２２ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５６ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， ２０８ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ４８

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， １５９

ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｔｅｒｍ ｔｙｐｅ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ —ｓ， ２４ ｓｕｂ

２５

，

ｄｅｆｉｎｅｄ，

２３５

ｄｅｓｃｅｎｄｉｎｇ ｃｈａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ， ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ ｃｌａｓｓ， １１５ ｄｉａｇｏｎａｌ ｆｕｎｃｔｏｒ， ８３ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｌｉｍｉｔ ｆｏｒ

ｃｏｎｓｔａｎｔ

—

—

—，

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

１２３

ｄｉａｇｒａｍｓ， ｓｅｔ

ｆｏｒ

２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

２１１

ｆｏｒ

ａ；

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ，

２８１

２０６

ｆｕｎｃｔｉｏｎ，

２５

—

—

ｆｕｎｃｔｏｒ，

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ， ５９ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ， ５９ ｂｉｎａｒｙ —， ５８ —

ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ —ｓ， ９６

ｘｖｉｉ

９１

ａ —，

９１

９１

４６

—，

３

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

—

ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ ｐｏｗｅｒｓｅｔ

—，

—，

ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ

２７７

—，

９５

ａ —，

Ｈａｓｓｅ —ｓ， ４ ｌｉｍｉｔ ｆｏｒ

ｆｏｒ

ｔｅｒｍ

３３

—，

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ， ２７６ ｔｙｐｅ ｓｙｍｂｏｌ， ２０４ ｆｏｒ

ｓｈａｐｅ Ｉ， ９９ ｓｈａｐｅ Ｉ， ９９

２４

ｆｒｅｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｕｎｃｔｏｒ，

ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

—

ｃｏｎｔｅｘｔ —

ｏｆ

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

—

ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ， ２８１ —

２４

ｃｒｅａｔｅｓ

，

—

４６

ａ；—， ２４

１０２

ｃｏｎｓｔａｎｔ —

１０４

ｆｕｎｃｔｏｒ，

ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｐｏｗｅｒｓｅｔ

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｃｏｎｅ —

ｈａｓ

ｄ—，

ａｓｃｅｎｄｉｎｇ ｃｈａｉｎ —，１７ ｄｅｓｃｅｎｄｉｎｇ ｃｈａｉｎ —， １７ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ

ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ —ｓ， ９６

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐｏｓｅｔ， ｐｏｓｅｔ， ８ ｓｅｔ， ８

ｄｉｓｃｒｅｔｅ —

ｃａｔｅｇｏｒｙ， ４１

ｐｒｅｏｒｄｅｒ， ３ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅ， ｄｏｍａｉｎ， ２４ —

１９

９

１７

Ｉｎｄｅｘ

３２４

—

ｏｆ ＰＥＲ ２３４

—

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ

—ｓ

４３

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ Ｓｃｏｔｔ

—ｓ

ａｎｄ

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊ ｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒｓ ２４２ Ｓｃｏｔｔ

３３

—

—

ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ １１０ ｒｅｌａｔｉｏｎ ３

ｉｎｖｅｒｓｅ

—

５３

ｒｅｌａｔｉｏｎ ２３４ ｐａｒｔｉａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ １５０ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ５３ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ １１０ —

—

ｄｏｗｎ－ｓｅｔ ８

—

—

ｅ－ｐ

２４２

ｐａｉｒ

ｂｏｔｔｏｍ

—

ｃｏｍｐａｃｔ

ｇｌｏｂａｌ ｌｅａｓｔ

ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｏｒ ５１

８

ｉｍａｇｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ４７ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ６７ ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌ

ｏｆ ｐｏｓｅｔ ２６

—

５７

—

—

ｇｒｅａｔｅｓｔ

６

—

ｍｉｎｉｍａｌ

—

６

ｆｉｂｒａｔｉｏｎ １１７ ｃｌｏｖｅｎ

—

ｓｐｌｉｔ

６２ ２４２

ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｉｏｎ ２

—

ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｅｐｉｃ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｅｑｕａｌｉｓｅｒ ７４

４９

ｈａｓ ａｌｌ

９６

—

７３

—

ｔｅｒｍ

—

ｔｅｒｍ ａ；

ｔｙｐｅ

—

—

１６１

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２２４ ｏｆ ｏ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２８５

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｆｒｏｍ

ｃｌａｓｓ ３

ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ５３

—

—

—

—

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ２１４

ｆｒｏｍ ２０８

ｈａｓ ａｌｌ ｈａｓ ａｌｌ

２７７

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ —

ｏｆ

ｈａｓ ａｌｌ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

—

ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ １０７

ｈａｓ ａｌｌ

２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —

ｏｆ ｆｉｂｒａｔｉｏｎ １１７

—

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２７

ｏｐｅｒａｔｏｒ

１１８

ｆｉｎｉｔｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｆｒｏｍ

—

ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ １１４

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

—

１１７

ｆｉｂｒｅ —

ｅｎｄｏｆｕｎｃｔｏｒ ４９

ｆｒｏｍ

—

ｆｉｂｒｅ ｏｆ— １１７

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒ

—ｓ

７２

ｆａｉｔｈｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ ４９

２４２

Ｙｏｎｅｄａ

—ｓ

６

—

ｔｏｐ —８

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ

ｍａｔｅ ６７

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

６

—

ｍａｘｉｍａｌ

—

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ １８４

—

ｅｌｅｍｅｎｔ

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ９６， ９７

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

９６

ｌｉｍｉｔｓ ９６， ９７

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ９６ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ６０

—

ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ９７ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ９７ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐｏｓｅｔ ９ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ２９２ ｌｏｃａｌｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ２９２ ｆｉｘｐｏｉｎｔ ２６ —

２８４

５８

—

—

—

—

Ｉｎｄｅｘ

３２５

ｌｅａｓｔ

—

２６

ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ ｍｏｎｏｔｏｎｅ

ｆｌａｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ １７１

ｍｏｎｏｔｏｎｅ

ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ ｆｕｎｃｔｏｒ ４８ ｆｐ－ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ２９２

ｐａｒｔｉａｌ

—

１０

１０

—

３

—

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ

—

ｓｐａｃｅ １０

ｆｒｅｅ —

—

—

ｄｃｐｏ

３３

ｓｏｕｒｃｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ２７７， ２８１

ｓｔｒｉｃｔ

ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｆｒｏｍ

ｔａｒｇｅｔ ｏｆ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ —

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

—

—

２０９

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

２８１

ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅ ２０５ ｔｙｐｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ２０９ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｆｒｏｍ

ｔｏｔａｌ

２５

—

—

２

—

—

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ５１

ａｄｊｏｉｎｔ

—

—

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ

１５８

ｆｕｎｃｔｏｒ ４９

７２

１０７

—

４８

—

ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｐｏｗｅｒｓｅｔ

４９

ｄｉａｇｏｎａｌ

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２２ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ｕ； Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７７

１５６

ｔｙｐｅ １５６ ａｎｔｉｔｏｎｅ １０

—

４６

４６

５１

ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌ

ｉｍａｇｅ

ｆａｉｔｈｆｕｌ

４９

—

—

—

８２

—

ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ

—

４８ ｆｏｒｇｅｔｆｕｌ Ｆｒｅｙｄ＇ｓ ａｄｊｏｉｎｔ

—

４７

—

ｆｕｌｌ

—

—

ｔｈｅｏｒｅｍ １０２

４９

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

—

４５

—ｓ

ｆｏｒ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ １３９

—

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２２ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５６ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ｗＡｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２８１

ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

—

—

—

—

—

—

ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ ｐｏｗｅｒｓｅｔ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ

ｃｏｎｓｔａｎｔ

７９

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｆｒｏｍ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—

ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ

—

ｃｏｎｓｔａｎｔ

—

２５

—

ｆｕｎｃｔｏｒ ４５

ｆｕｌｌ

—

３

—

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —

２

ｕ；－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２３ —

２

—

ｕｎｄｅｆｉｎｅｄ

ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｆｒｏｍ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

—

ｏｆ

２５

—ｓ

ｆｏｒ

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ １７５

ｐｒｏｄｕｃｔ

—

ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ

４７

—

８７

１０７ ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ ６２ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓｐｅｃｉａｌ ａｄｊｏｉｎｔ —

—

—

２Ａｘ—２６２

ｉｍａｇｅ

—

４７

１０４

Ｉｎｄｅｘ

３２６

ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｕＸｘ－

—

—

２６５

—

３１０

—

—

３１０

ｇｅｎｅｒｉｃ —

ｍｏｄｅｌ ｏｆ

ｔｈｅｏｒｙ —

—

—

ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ １２ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ １３７

１３９

—

１７６

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２６３ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ３１０

ｇｌｏｂａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｇｌｕｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

ｌａｔｔｉｃｅｓ １２

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｆ ｄｃｐｏｓ ２４

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｍｏｄｅｌ ｏｆ

—

ｏｆ

５７

—

ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ １７４ ｏｆ ａ；－ｃｐｏｓ ２４ ｏｆ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ —

２Ａｘ－

１８９

—

ａ；Ａｘ

１０

２２４ ２８５

ｇｒｅａｔｅｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ６ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ７

ｉｄｅａｌ

ｇｒｏｕｎｄ

ｌｉｆｔｉｎｇ ３１ ｏｆ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ２１ ｉｄｅｎｔｉｔｙ

—

—

—

ｋｉｎｄｓ ２７６

—

ｔｙｐｅｓ １５６

ｈａｓ

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

ａ

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ａｌｌ ａｌｌ ａｌｌ ａｌｌ

ｏｂｊｅｃｔ ９６ ｃｏｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ ９６ ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ ９６ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ９６， ９７ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ ９６

ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ４０

ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｉｎｃｏｍｐａｒａｂｌｅ

２２

—

３

ｉｎｄｅｘｅｄ Ｃ

ｃａｔｅｇｏｒｙ １０７

ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ

Ｃ

ｆｕｎｃｔｏｒ １０７

Ｃ

ｎａｔｕｒａｌ

ａｌｌ ａｌｌ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｐｕｌｌｂａｃｋｓ ９６ ｐｕｓｈｏｕｔｓ ９６

９６

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ １０７

ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ９７ ａｌｌ ｓｍａｌｌ

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

ａｌｌ ｓｍａｌｌ

—

—

—

—

ｌａｔｔｉｃｅ ２２

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ １０８ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ １１０ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ １１０ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ １０８ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

９６

ａｌｌ ｓｍａｌｌ ｌｉｍｉｔｓ ９７

—

—

ｆｕｎｃｔｏｒ ４５

ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｍｉｔｓ ９６， ９７

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ９６ ａｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｏｂｊｅｃｔ ９６ ｂｉｎａｒｙ ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ ９６ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ５５， ９６ ｓｍａｌｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ５８ Ｈａｓｓｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ４ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ２２ —

—

—

—

—

—

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂｓｅｔ ８ ｉｎｆｉｍｕｍ ７ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｎｏ

—

ｃｈａｉｎｓ １７

ｉｎｉｔｉａｌ —

ｏｂｊｅｃｔ

ｈａｓ

ａｎ

—

５９

ｏｂｊｅｃｔ

ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ５８ １２

３０

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔ

—

５９

９６

３２７

Ｉｎｄｅｘ

ｉｎｔｅｒｎａｌ

ｌａｎｇｕａｇｅ １４９， １８３，

ｍｅｅｔ－ｓｅｍｉ— １２

２７３

ｉｎｔｒｅｉｄ １０７

ｍｏｄｕｌａｒ

ｉｎｖｅｒｓｅ

ｓｕｂ— １２

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

—

—

５２

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ —

—

—

ｏｂｊｅｃｔｓ

—

—

５２

—

Ｙｏｎｅｄａ

ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ５２

ｌｅｎｇｔｈ ｌｉｆｔｉｎｇ

ｏｆ ｐｏｓｅｔｓ １０

ｎａｔｕｒａｌ

—

５２

ｎ

—

ｊｏｉｎ ７ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ

ｉｄｅａｌ １２

２７６

ｋｉｎｄｓ ２７６ Ｋｌｅｅｎｅ ｃｌｏｓｕｒｅ ４２ １－ｒ

ｐａｉｒ

Ｉ ９９

ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ

—ｓ

９６，

９７

ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ

—ｓ

９７

—

—

１４９， １８３，

２７３

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ

１２ —

２１

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ —ｓ １４ ２０ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ａ １２ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｃａｒｔｅｓｉａｎ

２２ Ｈｅｙｔｉｎｇ ｊｏｉｎ－ｓｅｍｉ— １２

１９

ｂｏｕｎｄ ６

ｓｅｇｍｅｎｔ ３５

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ

—

６７

ｍａｘｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ６

—

—

ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ６１

ｍａｔｅ ８１

—

—

２９２

ｌｏｗｅｒ —

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ

—ｓ

ｏｆ

ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ４９ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ

ｌａｔｔｉｃｅ １２

—

ｓｈａｐｅ Ｉ ９９ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ９９

—ｓ

ｌｌｕｆ

—

Ｂｏｏｌｅａｎ

ａ

ｒｅｆｌｅｃｔｓ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５６ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ １６１ ｌａｎｇｕａｇｅ

—

ｆｏｒ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

２９３

ｉｎｔｅｒｎａｌ

３１

—

ｄｉａｇｒａｍ ９１ —ｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ Ｉ ９２ ｃｒｅａｔｅｓ —ｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ

—

ｋｉｎｄ

ｇｒｏｕｎｄ

１１７

—

ｌｉｍｉｔ

１２４

—ｓ

６３

１７

ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ

２９３

ｌｅｍｍａ

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ —

ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ７

ａｄｊｏｉｎｔ ｆｏｒ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ８１ ｆｏｒ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ７７ ｌｅｆｔ－ｒｉｇｈｔ－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｐａｉｒ

ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ５２

—

２６

ｆｉｘｐｏｉｎｔ

—

ｐｏｓｅｔｓ １０

ｎａｔｕｒａｌｌｙ

ｅｌｅｍｅｎｔ ６

ｌｅｆｔ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｐｏｓｅｔ ３

—

—

ｌｅａｓｔ

５３

ｆｏｒ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ １０

—

１９

—

１２

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ —

５５

—

—

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

ｆｏｒ ｃｏｌｉｍｉｔ ９６

Ｉｎｄｅｘ

３２８

—

—

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｌｉｍｉｔ ９２ ｍｏｒｐｈｉｓｍ ｆｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ

—

ｏｆ ｉｎｄｅｘｅｄ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ —ｓ

５７

ｅｐｉｃ

ｍｅｅｔ－ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ １２

ｉｎｖｅｒｓｅ

ｍｉｎｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ６

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ

４０

—

５２

—

—

ｆｏｒ

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ

５５

ｍｏｄｅｌ

ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ ｍｅｄｉａｔｉｎｇ

ｏｆ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ １３４ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ １７１ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｙ ２３１ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２３４ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ２２５ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ ２８６ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｙ ２９０ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２９１ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ —ｓ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ

—

—

ｍｏｎｉｃ

—

ｏｆ

ｖｅｒｔｉｃａｌ

ｆｏｒ ｌｉｍｉｔ ９２ ｆｏｒ

ｐｒｏｄｕｃｔ

１７４

—

—

４９

４０

—

—

—

５５

４０

１１７

—

—

ｂｉｊｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ５２ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｂｊｅｃｔ １９７ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ４９

—

Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ

—

—

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ １０７

—

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｆｌａｔ

１７１

—

—

ｔｏｐｐｅｄ

ｆｏｒ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ １７５

ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ １０９ ｍｏｄｕｌａｒ ｌａｔｔｉｃｅ １９ ｍｏｎｉｃ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ７５ ｒｅｇｕｌａｒ ７５ ｓｐｌｉｔ

７３

—

ｖｅｒｔｉｃａｌ

ｎｏ

—

ｉｎｉｔｉａｌ

—

—

ｆｕｎｃｔｉｏｎ １０

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ １０

ｍｏｒｐｈｉｓｍ —

ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ４０

５２

ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｙ ４０

ｍｏｎｏｔｏｎｅ

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ

４

ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ １０

５

ｏｂｊｅｃｔ

ｈａｓ

ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒ

—

—

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｉｎｓ １７

ｍｏｎｏｉｄ ４２

—

ｖｅｒｔｉｃａｌ

ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ

—

—

５７

ｎａｔｕｒａｌ —

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｎｅｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ １３９ ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ １７６ ｇｅｎｅｒｉｃ ｏｆ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２６３ ｇｅｎｅｒｉｃ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ３１０ ｇｅｎｅｒｉｃ ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒｓ ｆｏｒ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ １３９

ｏｆ

ｔａｒｇｅｔ ｏｆ

—

—ｓ

—

ｆｏｒ ｃｏｌｉｍｉｔ ９６

７３

—

ｓｏｕｒｃｅ

—

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

—

—

—

ｔｈｅｏｒｙ １３７

—

ｐａｒａｌｌｅｌ —ｓ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ

—

—

１０８

７３

ｍｅｅｔ ７

—

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ

ａｎ

—

ｉｎｉｔｉａｌ —

—

５９

ｓｕｂ— １０３ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｕ；－ｃｈａｉｎ ８ ａ；ｃｐｏ ２４ ｏｐｅｒａｔｏｒ

—

６７

５７

９６

８１

Ｉｎｄｅｘ

—

—

—

—

—

—

—

ＰＥＲ ２３４

ａｘｉｏｍ ２７７

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

ｓｙｍｂｏｌ

２７６

—

ｐｒｏｖｅｄ ｒａｗ

—

ｌｊＸｘ－

—

ｃｌｏｓｕｒｅ

—

２７

２７７

ｃｏｍｐｌｅｔｅ

２７７

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ

ｒｅｌａｔｉｏｎ ３

ｒｅｆｌｅｃｔ

５

—

３

ｏｖｅｒ－ｃｏｎｅ

４

９２

ｃａｔｅｇｏｒｙ ４８

Ｐ－ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ９ Ｐ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ ９ —

２９３

ｌｅｆｔ－ｒｉｇｈｔ－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｐａｒａｌｌｅｌ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ４９ ｐａｒｔｉａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ

—

—

—

—

９

ｉｓ

ａ

ｉｓ

ａｎ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ３ ｏｒｄｅｒ ４

ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ４

—

—

ｆｕｎｃｔｏｒ ４６

ｆｕｎｃｔｏｒ ４６

ｃｈａｉｎ ８ ａｎｔｉ－ｃｈａｉｎ ８

ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎ

ｂｅｔｗｅｅｎ

ｄｉｓｃｒｅｔｅ

３

—

—ｓ

７７

ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ —ｓ １０ ｌｅｆｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｏｒ —ｓ ７７ ５ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ ｆｏｒ —ｓ ７７ ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｅｔ ３ ｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ ２９２ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ２９２ ｌｏｃａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ —

ｐａｉｒ １－ｒ

３

—

ｏｖｅｒ ｃｏｎｅ

ｐｒｅｏｒｄｅｒ —

—

—

ｃｏｖａｒｉａｎｔ

ｏｒｄｅｒｅｄ

ｐａｒｔｉａｌｌｙ

８

ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ

１０

—

—

９

ｐｏｗｅｒｓｅｔ ５

４

ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ

—

—

１０

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ

—

２６

２６

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ９ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ —ｓ １０ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ —ｓ １０ ｐｏｓｅｔ－ｉｄｅａｌ ３３

５

—

—

—

ｄｉｒｅｃｔｅｄ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ４２

ｐａｒｔｉａｌ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ

２６

ｃｏｍｐａｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７６

—

—

—

ｏｒｄｅｒ

—

ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ４

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ９ ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｐｐｏｓｉｔｅ

—

ｏｒｄｅｒ ５

ｂｏｕｎｄｅｄ

２７６

—

ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

１５

—

２３４

ｐｏｓｅｔ ４

ｖａｒｉａｂｌｅｓ ２７６

—

—

ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ —

ｔｈｅｏｒｅｍ ２７７

ｃｌｏｓｕｒｅ

—

２７７

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ２８５

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

—

ｄｏｍａｉｎ ｏｆ

ｃｏｎｔｅｘｔ ２７７

２９３

—

—

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ

２３４

—

—

—

—

ｓｈａｐｅ Ｉ ９９ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓ ７２ ｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ６０ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ ２ ９９

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

３３０

Ｉｎｄｅｘ

ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｏｒｄｅｒ

—

ｐｒｅｓｈｅａｖｅｓ ｐｒｏｄｕｃｔ ５６ —

—

１０

—

—

１１４

—

—

ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ４３ ５７

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ５５ ｂｉｎａｒｙ

—

—

—

—

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｆｉｎｉｔｅ

—ｓ

—

ｔｙｐｅ １５６ —

—

ｏｆ ｌａｔｔｉｃｅｓ １４ ｏｆ

ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ９６

ｈａｓ ａｌｌ ｓｍａｌｌ

—ｓ

９６

ｂｉｎａｒｙ

ｈａｓ ｓｍａｌｌ

—ｓ

—ｓ

—ｓ

６０

５８ —ｓ

５５

２４２

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ ８７

—ｓ８７

—

１２４

—

４

ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ３

—

１５９

ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

２１１

ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｓｈａｐｅ Ｉ ９９ ｓｈａｐｅ Ｉ ９９

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

３４

ｒｅｇｕｌａｒ

ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —

ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ

—

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —

ｔｙｐｅ ２０４ ｒｅｆｌｅｃｔ ｏｒｄｅｒ １０

ｒｅｆｌｅｃｔｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ２７７ ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ

２８１

ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ ８７

—

—

２０８

ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｐｏｓｅｔ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ ５５ ５７ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｏｖｅｄ —

ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

—

—

—

—

—

２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０９ ｓｕｂｔｙｐｅ ２０４ ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２２ ｔｅｒｍ ｆｒｏｍ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

５８

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ

５

—

５５， ９６

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｆｉｎｉｔｅ —ｓ

—

１５７

ｓｕｂｔｅｒｍ ｆｒｏｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —ｓ

ｓｍａｌｌ

ｓｕｂｔｅｒｍ ｆｒｏｍ

５８

ｈａｓ ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ

ｈａｓ

２７７

ｓｕｂｏｐｅｒａｔｏｒ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ ４７

ｂｉｎａｒｙ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ２７６

ｍｏｎｉｃ ７５

ｒｅｉｎｄｅｘｉｎｇ

ｆｕｎｃｔｏｒ １０７

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ａｎｔｉ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ３ ｂｉｎａｒｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ

—

３

—

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｔｙｐｅ ２０６ ｐｕｌｌｂａｃｋ ７５

２８１

—

３

—

—

ａｌｏｎｇ

ｈａｓ ａｌｌ

ｐｕｓｈｏｕｔ

—ｓ

９６

７６

ｈａｓ ａｌｌ ｒａｗ

７６

—ｓ

９６

ｏｒｄｅｒ

—

３

ｐａｒｔｉａｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ

—

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ

—

２３４

３

—

—

３

３

ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｆｒｅｅ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ １８５

１５７

Ｉｎｄｅｘ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｂｌｅ

ｆｕｎｃｔｏｒ ６２

ｃｌｏｓｅｄ ｓｕｂ— １５

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ６３

ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｓｕｂ— ８

ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ３

ｄｏｗｎ

ｒｉｇｈｔ ａｄｊｏｉｎｔ

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｓｕｂ— ８

—

—

ｆｏｒ

ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ８１ ｆｏｒ ｐｒｅｏｒｄｅｒｓ ７７

ｐｒｅｏｒｄｅｒｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ

ｕｐ－

Ｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ —

ｆｏｒ

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

２４９

§－ｓｅｃｔｉｏｎ —

ｆｏｒ

ｕ；Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ

３０６

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ —

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｒｏｍ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

—

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １７１

ｆｒｏｍ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ ｔｅｒｍ

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

ｆｒｏｍ —

ｔｅｒｍ

２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

—

２３１

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

ｆｒｏｍ

ａ；

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

２９０

ｔｙｐｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ２２５

ｓｃｏｐｅ

１５８， ２０４，

ｄｏｍａｉｎｓ ４３

—

ｄｏｍａｉｎｓ ａｎｄ

—

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐａｉｒｓ ２４２

ｕｐｐｅｒ

—

—

ｃｒｅａｔｅｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ ２１ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ａｘ－

—

Ｉ ９２

—

—

—

—

—

Ｉ ９９

Ｉ ９９ １ ９９

Ｉ ９９

１２１

１５６

２Ａｘ－ｔｅｒｍ —２０８ ２Ａｘ－

—

２０３

２ Ａｘ－ｔｙｐｅ —２０４ ｗＡｘ－

—

２７６

－ｏｐｅｒａｔｏｒ

—

２７６

Ａｘ－ｔｅｒｍ —２７７

ｓｍａｌｌ —

—

—

ｃｏｃｏｍｐｌｅｔｅ ９７ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ９７ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ５８

ｈａｓ ａｌｌ

ｓｏｌｕｔｉｏｎ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ３ —

—

—

—

—

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ９７

ｃｏｐｒｏｄｕｃｔｓ

３

ｓｏｒｔｉｎｇ

９６

ｌｉｍｉｔｓ ９７

ｐｒｏｄｕｃｔｓ

９６

ｃａｔｅｇｏｒｙ ６１ ｓｍａｌｌ ｃａｔｅｇｏｒｙ ６１

ｌｏｃａｌｌｙ

ｓｅｔ

ｏｆ

Ｉ ９９

Ｉ ９９

—

ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｈａｓ ａｌｌ

３５

ｃａｒｄｉｎａｌｉｔｙ

—

—

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｈａｓ ａｌｌ

３５

ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ４１ ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｃｌａｓｓ １１５ —

Ｉ ９５

ｃｒｅａｔｅｓ ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｈａｓ ａｌｌ

ｓｅｇｍｅｎｔ ｌｏｗｅｒ

—

ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ １２３

ｄｏｍａｉｎ ３３

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

８

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｕ；

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ １０２

—

ｓｈａｐｅ

ａ； Ａｘ

２８１

Ｓｃｏｔｔ —

３

ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｃｏｎｔｅｘｔ ２８６ —

—

—

ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １３４ —

８

—

ｓｅｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ １０２

３３２

Ｉｎｄｅｘ

—

—

—

—

—

ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２２ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５６ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ２Ａｘ－ ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ｕ；Ａｘ－ ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７７ ｆｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｙｍｂｏｌ ２７６

ｓｕｂｏｂｊｅｃｔ

ｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ

ｒａｗ

—

—

ｏｆ

ｒａｗ

ｏｆ

ｒａｗ

—

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

—

—

—

ｏｆ

—

ｏｆ

４０ —

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

５５

—

—

ｃｏｌｉｍｉｔｓ ９７ ｌｉｍｉｔｓ ９７

ｒａｗ

ｍｏｎｉｃ ７５

ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｕｎｃｔｏｒ ７２

ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ

—

ｆｏｒ ｆｏｒ ｆｏｒ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １６８ ２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２３４ ａ； Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２９１

ｏｐｅｒａｔｏｒ —

—

１３２

ｔｙｐｅ

ｌｌｕｆ

—

１２３

—

ｓｕｂｔｅｒｍ ｆｒｏｍ

—

１５７

ｓｕｂｔｅｒｍ ｆｒｏｍ

２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

２０９

ｓｕｂｔｙｐｅ —

２０４

—

—

—

—

ｓｙｍｂｏｌ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

２Ａｘ－ｔｅｒｍ

２８５

ｆｏｒ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｆｏｒ ２２５

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

２８９

Ａｘ－ｔｅｒｍ

４４

４９

ｏｆ

１５６ —

ｏｆ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—

ｏｆ

—

—

ｏｆ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—

—

２０４

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

１２２

ｏｆ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

１５６

２８１

ｏｆ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

２０８

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｙｐｅ

４９

ｓｕｂｌａｔｔｉｃｅ １２

ａ；

—

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｕ；

ｓｕｂ－ｄｃｐｏ ２５ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｆｕｌｌ

ｒａｗ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

２２７ ｔｅｒｍ

２１０

ｓｕｐｒｅｍｕｍ ７

ｆｏｒ

ｔｅｒｍ

ｒａｗ

ｒａｗ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ２５

—

—

ｔｅｒｍｓ ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

—

１５９

ｓｕｂｔｅｒｍ

ｆｕｎｃｔｏｒ ６０ —

ｒａｗ

ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ

ｆｉｂｒａｔｉｏｎ １１８

ｆｉｎｉｔｅ

ｔｅｒｍｓ ｆｒｏｍ

ｔｙｐｅｓ ２０５ ｏｆ ｒａｗ ｔｙｐｅｓ ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２１０

ｏｆ

ｓｔｒｉｃｔ —

ｒａｗ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

１２３

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｓｐｌｉｔ —

ｔｅｒｍｓ ｆｒｏｍ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ —

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ２７７

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ２ ｏｆ

２７７

ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ

—

—

１０３

—ｓ

ｓｕｂｏｐｅｒａｔｏｒ

ｓｏｕｒｃｅ —

１０３

１２２

Ｉｎｄｅｘ

３３３

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｆ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

—

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

—

ｏｆ

ｕ； Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｐｒｏｖｅｄ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２１１ ｆｒｏｍ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｐｒｏｖｅｄ —

—

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２８１

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７７ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｙｐｅ

—

２７６

—

ｒａｗ

ｒａｗ

ｓｙｓｔｅｍ

ｒａｗ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｃｌｏｓｕｒｅ

—

ｆｒｏｍ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｆｒｏｍ

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

１２２

２０４

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｒｅｌａｔｉｏｎ ３

ｃｌｏｓｕｒｅ

—

—

—

ｒａｗ

—

—

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ２

—

ｏｆ

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

—

—

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２１４ ｏｆ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２８４

ａｘｉｏｍ ｏｆ

ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｏｒ

２１１

ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｏｒ

—

—

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２８１ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２１４ ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ｆｒｏｍ ａ； Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２８４ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２２７

—

—

—

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ

ａ；

Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

—

—

ｆｏｒ ｆｏｒ ｆｏｒ

ｆｏｒ

ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｍ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２１４ ｏｆ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２８４

ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｆｏｒ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｆｏｒ

２７７

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２４ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５９ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２１１ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２８１

ｔｅｒｍｉｎａｌ

ｏｂｊｅｃｔ ５７ ｈａｓ ａ ｏｂｊｅｃｔ

ｔｈｅｏｒｅｍ —

—

—

—

ｆｒｏｍ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｔｈｅｏｒｙ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ １６１ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２１４ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２８４

ｆｒｏｍ ｆｒｏｍ ｆｒｏｍ

ｔｅｒｍ

—

ｔｙｐｅ

—

—

ｏｆ

２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２１４ ｏｆ ａ； Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２８４

２０８

ｔｈｅｏｒｙ ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２８１ ｆｒｏｍ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｐｒｏｖｅｄ —

２Ａｘ－

１２７

—

１５９

２１４ —

２Ａｘ－ｔｙｐｉｎｇ ａ；

—

—

２Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｕｊＸｘ－

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １２４

１２７

２７７

—

Ａｘ－ —１６１

ａ； Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｆｒｏｍ ｐｒｏｖｅｄ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

９６

—

ｔｅｒｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８ —

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ

２８９ —

ｕ；Ａｘ

—

ｕ；

—

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８

—

２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ —

２Ａｘ

—

ａｘｉｏｍ

２８１

ｔｅｒｍ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

４０

ｔｅｒｍ —

２０８

ｆｒｏｍ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ｔａｒｇｅｔ

１５７

ｆｒｏｍ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

２７

１５

—

—

２１４

—

２０８

２８４

Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ

—

—

２８４

２７７

３３４

Ｉｎｄｅｘ

ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

４８

ｔｉｎｙ ｃａｔｅｇｏｒｙ

１２１

—

ｔｙｐｅ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ ２０６

ｔｏｐ ｅｌｅｍｅｎｔ ８

ｖｅｒｔｉｃａｌ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ５

ｔｏｐｐｅｄ

ｔｏｔａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ２

ｕｎｄｅｆｉｎｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ３

ｔｒａｃｋｓ ２３５

ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｃ－ｉｎｄｅｘｅｄ ｎａｔｕｒａｌ ｎａｔｕｒａｌ

—

ｕｎｄｅｒ－ｃｏｎｅ ｃａｔｅｇｏｒｙ ４８

１０７

ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ

４９

—

—

ｔｈｅｏｒｉｅｓ １４９

ａｌｇｅｂｒａｉｃ

ｕｎｉｖｅｒｓａｌ —

ｏｆ Ａｘ－ｔｈｅｏｒｉｅｓ １８４

—

２Ａｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０３ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０８ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ ｔｈｅｏｒｙ ２１４ ２Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ ２１４ ２Ａｘ－ｔｙｐｅ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２０４ ２Ａｘ－ｔｙｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ２０８ ２２４

—

—

—

ｕｐｐｅｒ —

—

—

—

—

—

—

１２１

—

—

ｆｏｒ ｆｏｒ

２０４

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｒｅｅ

—

ｔｅｒｍ

—ｓ —

ｒａｗ —ｓ

２Ａｘ－

１５６

ｓｙｍｂｏｌ

２０４

ｖａｒｉａｂｌｅ ２０５

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｇｒｏｕｎｄ ｐｒｏｖｅｄ

—

ｖａｒｉａｂｌｅ ２０４， ２０９

—

—

ｔｈｅｏｒｙ

１５８

—

—

１５６

ｆｏｒ ２Ａｘ－ｔｅｒｍ

２０４

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｔｙｐｅ ｖｅｒｔｅｘ

—

２０８

ｕ； Ａｘ－ｔｅｒｍ

２８１

２０４

９２， ９５

ｖｅｒｔｉｃａｌ —

ｍｏｒｐｈｉｓｍ

１１７

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ４

ｔｏｐｐｅｄ

２０６

ｆｏｒ

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

—

１５６

—

—

ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ５

＾－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ２５ ２０４

１２２

２７６

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ ２０４

—

２０９

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５７

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｅｒｍ

ｔｈｅｏｒｅｍ ２０８

—

—

—

ｖａｒｉａｂｌｅｓ

２０８

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ２２５

ｂｏｕｎｄ

ｔｙｐｅ

ｃａｐｔｕｒｅｄ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ １５６

ｂｉｎａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ

１５８

—

ｂｏｕｎｄ ｔｙｐｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ－ｉｎ－ｃｏｎｔｅｘｔ

ｓｙｍｂｏｌ

ｓｅｇｍｅｎｔ ３５

ｂｏｕｎｄ

ｃｏｎｔｅｘｔ ２０６

ｆｏｒ

ｂｏｕｎｄ ６

ｖａｒｉａｂｌｅ

ａｘｉｏｍ ２０８

ｆｏｒ

ｉｍａｇｅ ｆｕｎｃｔｏｒ ４７ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ５９

ｕｐ－ｓｅｔ ８

ｔｙｐｅ —

４０

ｕｎｉｔａｒｙ

ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ

ｏｆ

３

ｕｎｉｔ ８９

ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ３

—

９５

—

ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｆｕｎｃｔｏｒ ２６５ ｗｅｌｌ ｐｏｗｅｒｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｙ

１０３

Ｉｎｄｅｘ

ｗｉｔｎｅｓｓｅｓ ５２

ｗｉｔｎｅｓｓｉｎｇ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ ｕ；

—

３０８

Ａｘ－ｆｕｎｃｔｏｒ ３１０

ｃｊＡｘ－ｈｙｐｅｒｄｏｃｔｒｉｎｅ ２８５ ｕ； Ａｘ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７６ ａ； Ａｘ －ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ ２７７ ａ； Ａｘ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７６ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ｕ；Ａｘ－ｔｅｒｍ ａ；

ｓｉｇｎａｔｕｒｅ ２７７ ｔｈｅｏｒｙ ２８４

Ａｘ－ｔｈｅｏｒｙ

２８４

Ｙｏｎｅｄａ —

—

ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ ｌｅｍｍａ ６３

６２

Ｔｈｉｓ ｔｅｘｔｂｏｏｋ

ｅｘｐｌａｉｎｓ

ａｎｄ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ

ｓｏｍｅ

ｓｅｍａｎｔｉｃｓ

ｆｏｒ

ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｕｓｅｄ

ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｏｆ ｔｈｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｔｙｐｅ

ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｉｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｏｒｄｅｒｅｄ

ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ， ｌａｔｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｄｏｍａｉｎｓ， ａｎｄ ｔｈｉｓ ｍａｔｅｒｉａｌ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｐｌｅｎｔｙ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｆｏｒ ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｆｕｎｃｔｏｒｓ

ｃｏｖｅｒｅｄ， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｙｏｎｅｄａ ｌｅｍｍａ， ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｃｌｏｓｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ， ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ ｃｏｌｉｍｉｔｓ， ａｄｊｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｉｎｄｅｘｅｄ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ． Ｆｏｕｒ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｆｏｒｍａｌ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ， ｎａｍｅｌｙ ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ａｌｇｅｂｒａｉｃ， ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ， ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ａｎｄ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｃ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｆｉｒｓｔ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ， ａｎｄ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ． Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ， ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌａｎｇｕａｇｅｓ． Ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ， ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｐｏｌｙｍｏｒｐｈｉｓｍ ｂｏｔｈ ＰＥＲ ａｎｄ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ ｇｌｕｉｎｇ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｂｏｕｔ ｔｙｐｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ａｉｍｅｄ ａｔ ａｄｖａｎｃｅｄ ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｓ ａｎｄ ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ ｇｒａｄｕａｔｅｓ， ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｗｉｌｌ ｂｅ ｏｆ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｔｏ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ ｌｏｇｉｃｉａｎｓ， ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ｓｐｅｃｉａｌｉｓｉｎｇ ｉｎ ｃａｔｅｇｏｒｙ ｔｈｅｏｒｙ．

ｄｏｍａｉｎ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ

＞

ＣＡＭＢＲＩＤＧＥ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＰＲＥＳＳ

ＩＦＪ ａｉ ＤＢ Ｐｒｉｃｅ

Ｆｈｉ－．－ｌｈｅ

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