Capire la scienza. Archimede: il primo genio universale [Vol. 2]

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CAPIRE LA SCIENZA

La scienza raccontata dagli scienziati

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LA BIBLIOTECA DI REPUBBLICA

2 - CAPIRE LA SCIENZA La scienza raccontata da gli scienziati

Arch imede. Il primo genio universale

I testi di Pier Daniele Napolitani e Giulio Giorello sono pubblicati su licenza di Digital E s.r.l., Torino. IN SINTESI di Piergior io Odifreddi,. è tratto dalla collana in DVD «BEAUTIFUL MINDS�> e pubblicato su iccnza di Digitai E s.r.l., Torino Gli apparati dei testi della sezione di approfondimento sono tratti da: E. Berti, C Rossitto, F. Volpi, Antologia difilosofia dall'antichità © 2008, Gius. Laterza & Figli, Roma-Bari

a oggi

I brani di Archimede «!."'Arenario"» c «Metodo per la scoperta dci teoremi meccanici• sono tratti da Archimede, Opn-�. a cura di A. Frajese. © 1974. Utet, Torino

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R�alizzaz.ion�: Edigeo s.r.l.. Milano Design di copertina: Marco Sauro per Cromografica s.r.l.

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Stampa: Puntoweb s.r.l.- Ariccia (Roma)- 2012 provenienti Questo volume è stampato su carta prodotta con cellulose senza cloro da foreste controllate e certificate, nel rispetto delle normative ecologie te vigenti.

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Il corpus archim�d�o di P.D. Napolitani L '«Arenario» Metodo per la scop"ta dei teoremi meccanici La tradizione archimedea di P.D. Napolitani Archimedefra gli artisti e gli umanisti del Quattrocento

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Archimede. Il primo genio universale APPROFONDIMENTI

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di P. d'Alessandro e P.D. Napolitani IN SINTESI

di Piergiorgio Odifreddi

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L 'icona di un genio Dobbiamo pensare a un sapiente dell'Antichità che sfida il proprio sovrano: se disponesse di un punto d'appoggio in un altro Globo, potrebbe sollevare l'intera Terra su cui noi viviamo. Il sapiente è Archi mede; il sovrano è Gerone Il di Siracusa che a sua volta lo sfida a dargliene una prova. Tosto fatto: Archimede approfitta che nei cantieri del porto c'è la Syracosia, un'imponente nave carica di ogni bendiddio che si vorrebbe inviare in dono a Alessandria. Ma come vararla? Archimede escogita un sistema di car­ rucole e di leve; muovendo una sorta di manopola riesce, tra la meraviglia di tutti, a portare la nave in acqua, e poi fu come se . . . essa volasse sopra le onde. Questa «dimostra­ zione)) rende bene l' idea di un maestro della tecnica, capace non solo di stupire i grandi del suo tempo e i suoi stessi concittadi ni, ma anche di fare qualcosa di più: ridurre potentemente la fatica umana, sostituendovi il lavoro di un congegno. Come la nave di Archimede vola sopra le onde, così la fama di questo matematico è desti-

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nata a rapp resentare nei secoli l'immagine più completa (e anche più dram matica) di colui che ha dedicato alla scienza la propria vita, mettendo il suo sapere a disposi­ zione della polis che gli aveva dato i natali, fino alla morte. In contrasto con la dovizia di particolari che ha arric­ chito col tempo la figura di Archimede, non sappiamo molto della sua vita. Alcune fonti lo vogliono di umil i origini, altre imparentato con i reali di Siracusa. Pare fosse figlio di un astronomo, Fidia; in ogni caso la data di nascita è incerta: l'unica informazione a riguardo è quella di un erudito bizantino del XII secolo d.C., Joannes Tzetzes, che dice che il grande siracusano sarebbe morto all'età di 75 anni. Siccome la data della morte {2 1 2 a.C.) è assodata, Archimede dovrebbe dunque essere nato nel 287 a.C. Tuttavia, su Archimede a differenza di Pitagora, Euclide, Apollonio, Tolomeo. .. abbiamo informazioni sicure e questo perché la sua vicenda scientifica s'intreccia in modo indissolubile con quella della sua città {come avremo modo di vedere nelle pagine successive) . Tuttavia, va dato atto alle fonti che riportano notizie di una forma­ zione scientifica del giovane Archimede a Alessandria d'Egitto. La politica dei Tolomei aveva fatto della città che portava il nome di Alessandro Magno la capitale della ricerca matematica. Euclide (323-285 a.C.) vi aveva com­ posto gli Elementi e altre sue opere; vi lavorava Aristarco di Samo (3 1 0-230 a.C.), l'astronomo che propose un mo­ dello eliostatico contro il geostaticismo predominante. Vi avrebbe studiato Apollonia di Perga (262- 1 90 a.C.) , uno dei maggiori geometri antichi cui si deve, fra l'altro, il perfezionamento della teoria delle sezioni coniche (para­ bola, ellisse, iperbole) . Non dobbiamo però immaginare Alessandria come una specie di Harvard dei tempi antichi, in cui funzionasse un lnstitute for Advanced Study che attirava i matematici più brillanti dell'Ecumene. A essere rigorosi non sappiamo

Pia Daniek Napolitani

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Giulio Giorello racconttlfltJ

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nemmeno se Archimede si sia mai davvero recato i n Egitto. Certo è che alessandrini sono i suoi corrispondenti scienti­ fici: Canone di Samo, con il quale condivideva un progetto di ricerca matematica che portò avanti da solo, dopo la morte di questi; l'anodino Dositeo cui spedisce la maggior parte delle sue opere; il grande Eratostene di Ci rene (2 761 94 a.C.), astronomo, geografo, matematico e poeta che diresse dal 245 al 204 la Biblioteca di Alessandria. Nem­ meno è chiaro se abbia compiuto altri viaggi (forse nella penisola iberica, ove avrebbe applicato le, sue conoscenze idrauliche nelle locali miniere d'argento) . E quasi certo che fosse ormai stabilmente a Siracusa dopo il 240 a.C., dato che il suo Arenario è dedicato a Gelone, figlio di Gerone, c associato da questi al regno in quella data.

Capire l'ordito del mondo Archi mede ha colpito la fan tasia dei posteri , che hanno costruito la leggenda del sapiente antico che sbalordiva concittadini e avversari con una sorta di scienza-spettacolo. Abbi amo appena citato la famosa storia della nave e il «datemi un punto di appoggio e solleverò il mondo». Potremmo aggiungere (ne riparleremo fra poco) l'aned­ doto di «Eureka eureka» e la storia della corona. Ma le fonti antiche ci forniscono anche altre i n1magini. Nella Vita di Marcello, lo storico greco Plutarco (4 5- 125 d.C.) lo definisce soprattutto come «incantato)) dalla geo­ metria. Questa era «una Sirena a lui familiare e domestica, al punto di scordarsi persino di mangiare e di curare il proprio corpo. Spesso, quando i servi tori lo trascinavano a viva forza nel bagno per lavarlo e ungerlo, egli disegnava sulla cenere della stufa figure geometriche; e appena lo avevano spal­ mato di olio, tracciava sulle proprie membra delle l inee col dito, tanto Io domi nava il diletto ed era prigioniero, vera-

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mente, delle Muse». Archimede, dunque, adopera qualun­ que cosa (persino il suo corpo) per dare consistenza alla sua grande passione; e sembra dimenticare che la geometria possiede applicazioni pratiche e di non poco conto. Però, mentre si concentra sempre di più in un sapere apparentemente disinteressato, le autorità di Siracusa lo invitano a lavorare alle fonificazioni del porto, a impe­ gnarsi nel creare potenti macchine da guerra, insomma a tramutarsi in un tipo pratico, votato alla difesa della propria città. Questa apparente contraddizione costitui­ sce il nucleo di una leggenda che Plutarco forse non ha creato ma ha volutamente alimentato: il sapiente prima dimentico delle esigenze della vita pubblica ma alla fine costretto a interessarsene. Potrebbe farci venire in mente il modo con cui viene presentata ancor oggi la figura di Albert Einstein, uno stereotipo che è diventato una cari­ catura, ma una caricatura che al grande fisico non dispia­ ceva del tutto; visto che quando gli dissero: ((Ma Lei non si sente responsabile della bomba atomica?», ebbe a rispon­ dere che quella era puramente un'applicazione minore della sua teoria della relatività e che, d'altra parte, se avesse davvero saputo che le cose sarebbero finite con la distru­ zione di due città giapponesi, al termine della Seconda guerra mondiale, non avrebbe fatto il fisico ma l'idraulico. Certo, la matematica e la fisica dell'epoca di Einstein non sono quelle del III secolo a.C. Però, è stato scritto che proprio Archimede è alla base della rivoluzione intellet­ tuale da cui scaturiscono le nostre scienze e tecnologie, da Galileo a Bohr, dagli orologi ai computer. Un paragone ci può aiutare a capire meglio questo apparente paradosso, che vorrebbe le radici della nostra civiltà ipertecnologica affondare nella speculazione cara all'antica Grecia. Il di­ scorso di Pericle (riportato da Tucidide) sulla «democra­ zia» ateniese, pur riferendosi a una realtà politica profon­ damente diversa da quella moderna, ha ispirato le conce-

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zioni e gli ideali democratici dei filosofi della politica al di là e al di qua dell 'Atlantico ancora nel Settecento e nel­ l'Ottocento. Allo stesso modo, a prescindere dalla retorica di Plutarco, l'Archimede delle macchine, dei congegni , degli inganni militari, è lo stesso che impiega la geometria per capire l'ordito del mondo, come cercheremo di mo­ strare nelle pagine che seguono.

Al servizio delpotere Gli anni in cui Archimede trascorre la sua operosa esi­ stenza sono molto difficil i per Siracusa. Nel 218 a.C. è scoppiata la seconda guerra tra Roma e Cartagine. Si tratta di uno dei maggiori conflitti dell'Antichità, come scriverà il poeta latino Tito Lucrezio Caro (I secolo a.C.) nel De rerum natura (Libro III, vv. 833-837; traduzione di Luca Canali, Rizzoli, Milano 1999): i Punici vennero da ogni parte all'assalto, e tutto il mondo scosso dal trepido tumulto tremò rabbrividendo sotto le alte volte dell'etere, e fu in dubbio sotto il regno di quale dei due popoli dovessero cadere rutti gli uomini in terra e in mare.

Se non era qualcosa di paragonabile a una vera e propria guerra mondiale, certo era un conflitto globale i n cui realtà economicamente e strategicamente assai importanti come Siracusa si trovarono, volenti o no lenti, coinvolte. Gerone II aveva svolto un'abile politica di neutrali tà; ma alla sua morte (2 1 5 a.C.) la città si era divisa tra una fazione fìlocanaginese e una favorevole ai Romani. Geronimo, nipote di Gerone figlio di Gelone (scomparso a sua volta nel 216) ed erede del regno, aveva optato per Cartagine (Annibale nel 216 aveva inflitto a Roma la pesante sconfitta di Canne); il partito fìloromano nel 2 1 4 aveva, però, am-

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mazzato il nuovo sovrano; ne era seguita una breve ma sanguinosa guerra civile, conclusasi con la vittoria dei filo­ canaginesi. Il generale romano Marco Claudio Marcello (che per tale appellativo gli storici antichi definiscono «rampollo di M arte») non poteva stare a guardare. Nel 2 1 3 cinse d'assedio Siracusa. Come racconta Plutarco, «i Sira­ cusani, quando videro i Romani investire la città dai due fronti, di terra e di mare, rimasero storditi e ammutolirono di timore. Pensarono che nulla avrebbe potuto contrastare l'impeto di un attacco in forza di tali proporzioni». Ave­ vano, però, un'arma segreta: Archimede. E una risorsa preziosa per la società in cui si trova a vivere, è uomo capace di intervènire in non poche que­ stioni pratiche. Non è certo un caso se la cochlea, il conge­ gno descritto da Vitruvio (I secolo d.C.) nel Libro X del De architectura, per riuscire «a innalzare una grande massa di acqua», sia nota anche come vite di Archimede. Am­ messo pure che questi non ne sia stato l'inventore, rimane comunque significativo che le fonti ci raccontino che l'avesse impiegata per bonificare delle paludi, e che fosse riuscito anche a trasportare acqua in zone dell'Egitto non bagnate direttamente dal N ilo (per non dire delle applica­ zioni nelle miniere iberiche) . Archimede è un uomo che, in pace, opera a favore di coloro che sono vicini a lui e, in guerra, li difende. Come scrive ancora Plutarco: '

Archimede cominciò a caricare le sue macchine e a far piovere sulla fanteria nemica proiettili di ogni genere. Grandi masse di pietra cadevano dall'alto con fragore e velocità incredibili, né c'era modo di difendersi dal loro urto: rovesciavano a terra rutti coloro che incontravano, e scompigliavano i ranghi. Contemporaneamente dalle mura venivano proiettati fuori all'improvviso dei lunghi pali, che si puntavano in direzione delle navi e le affondavano senza rimedio, colpendole dall'alto con dei pesi, oppure le solleva­ vano direttamente, afferrandole per la prua con delle mani di

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ferro o dci becchi simili a quelli delle gru, per poi immergerle nell'acqua con la poppa. Lo stesso Marcello doveva, tra sconcerto e ammirazione, chiedersi «quando mai avremmo smesso di combattere contro questo Briareo geometra» . Sembra fosse stato im­ pressionato soprattutto dalla manus errea, che paragonava appunto a quella di un gigante! A noi può sem brare verissi­ mile l'immagine di un Archimede che dall'alto delle mura si compiace del successo delle sue macchine. Ma, in questo, il destino di Archimede non è troppo diverso da quello di altre grandi figure della scienza che hanno messo il loro sapere al servizio di una causa politica: pensiamo agli scienziati che hanno lavo rato al progetto di un'arma atomi ca, al di qua e al di là dell'Atlantico. C'erano quelli che lavoravano per Hitler e quelli - molto più organizzati e competenti che si impegnarono per la democrazia americana. Einstein , in una celebre lettera (2 agosto 1939), aveva messo in guardia il presidente degli Stati Uniti dal rischio che il Reich nazista potesse trarre dall'atomo una bomba terribile; Enrico Ferm i , a sua volta, doveva costruire la pila atomica, intendcndola come una grande fonte di energia da usare in pace ma anche in guerra; i nfine, Robert Jul ius Oppenheimer doveva guidare gl i scienziati di Los Alamos alla costruzione delle prime bombe atomiche, e sovrintendere personalmente al primo «lancio)) sulla città giapponese di Hiroshima. '

E quindi una storia intricata quella che lega scienza c guerra, conoscenza teorica e tecnica militare; e Archi mede potrebbe rappresentare l'archetipo dell' uomo che mette le sue competenze al servizio di un apparato. Forse non è un entusiasta della causa che si era trovato a servire, ma vi lavora con scrupolo e onestà, diventando un nemico così terri b i le per i Ro m an i che persino Marcello (almeno stando a Plutarco) lo ammira. Alla fine, anche Siracusa

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cede, probabilmente per una mossa astuta dei Romani o forse per un tradimento; i soldati nemici dilagheranno per la città mettendola a sacco. Plutarco insiste sul fatto che Marcello non poté o non volle frenare le proprie truppe; ma sostiene pure che il generale romano avrebbe voluto che Archimede venisse risp�rmiato: un talento del genere poteva servire anche a lui! E un po' come la vicenda degli scienziati della Germania di Hitler, i quali verranno «spar­ titi» tra le potenze vincitriei, e la maggior parte finirà a far ricerca negli Stati Uniti. Ma nel caso siracusano il finale è ben più drammatico: Archimede mentre lavora alle sue predilette figure geometriche viene sorpreso da un solda­ taccio romano che non lo riconosce, e lo uccide; in un'al­ tra versione il militare vorrebbe portarlo subito da Mar­ cello, ma Archimede gli chiede di !asciargli ancora del tempo per terminare la sua dimostrazione... In un terzo resoconto Archimede ha già deciso di recarsi coi suoi strumenti da Marcello, avendo intuito che ormai la partita è perduta, e forse immagina un nuovo potere a cui po­ trebbe essere utile; ma lungo la strada la soldataglia gli salta addosso, convinta che quegli strumenti siano in realtà dei tesori... Tutto questo ci viene narrato da storici come Polibio, Livio e ovviamente Plutarco. E comunque siano andate le cose, Archimede sarebbe caduto vittima di quella musa di cui era così innarnorato, cioè di quella geometria per la quale nutriva una passione totale. Asserisce ancora Plutarco che «tutti gli storici sono però concordi nel dire che Marcello fu molto addolorato dalla morte di Archimede e ritrasse lo sguardo dall'uccisore, gli si presentò, come se fosse un essere conta minato. q Trovati poi i suoi parenti, li onorÒ». Qualche studioso nostro contemporaneo (Lorenzo Braccesi, L 'assassinio di Archimede, «Hesperìa 22», n. 22, 2008), invece, dubita di questo finale sanguinoso ma edificante; piuttosto, Archi­ mede avrebbe legato a tal punto la sua figura alle sorti della

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fazione filocartaginese, che al generale romano non sa­ rebbe affatto spiaciuta una dipartita così drammatica come quella che di fatto toccò al grande geo metra, a monito di tutti coloro che avevano osato intralciare la pol itica di Roma.

Una tomba geometrica «Quando ero questore in Sicilia mi misi a cercare la sua tomba invasa dalle erbe e dagli sterpi, che i Siracusani non conoscevano e anzi negavano che esistesse. Avevo infatti sentito parlare di alcuni versi incisi sulla lapide che spiega­ vano perc�é essa fosse sormontata da una sfera e da un cilindro.>> E la testimonianza di Marco Tullio Cicerone (l 06-43 a.C.) il grande oratore e uomo politico destinato a perire anche lui di morte violenta in una delle fasi più dram matiche delle guerre civili che segneranno la transi­ zione dalla Repubblica al Principato. Archimede è già entrato nella leggenda: alla fine, in una zona incolta «fuori da Porta Agrigentina» tra varie sepolture Cicerone nota «Una piccola colonna che appena superava una boscaglia di sterpi e su di essa erano raffigurati, ap­ punto, una sfera e un cilindro». Cicerone ha trovato quel che cercava, ma la seconda metà dei versi dell'epigrantma risulta illeggibile ( Tusculanae disputationes, Libro V). Oggi quella tomba, già corrosa dall'urto del tempo nel I secolo a.C., è di nuovo andata perduta. Resta però che il vero, grande monumento funerario di Archimede, è rappresen­ tato dalla sua eredità, dalla sua profonda competenza geo­ metrica {a questo alludevano le figure della sfera e del cilindro, perché Archimede aveva appunto dimostrato che una sfera è uguale ai 2/3 del cilindro a essa circoscritto). Proprio da questo esemplare amore per la ricerca sarebbe nata la scienza moderna, dopo che i secoli avevano plasmato

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in Occidente e Oriente la leggenda di cui Plutarco è stato a suo modo interprete così compartecipe e narratore in uno stile «fiammeggiante» degno del miglior barocco.

La potenza del sapere «Specchi, specchi, mia cara bambina. Semplici specchi con­ cavi di rame che riflettono ampliando il calore del Sole di mezzogiorno. L'idea non è mia, comunque. Archimede aveva già utilizzato questo sistema mille anni fa per incen­ diare le galee romane che assediavano Siracusa.» La «cara batnbina» è Aaricia, prigioniera del tiranno Shardar, la quale saggiamente fa notare al despota che con gli specchi ustori·ha vinto solo una battaglia, non la guerra. Si tratta di una storia di fantasia creata da J ean Van Hamme e Grzegorz Rosinski, due maestri della scuola franco-belga del fumetto. I due hanno creato nel1976 la saga di ThorgalAegirsson, che narra le gesta di un eroe dell'VIII secolo d.C., tra fortezze e , congiure e rivolte in un Medioevo nordico rappre­ sentato in modo nitido e storicamente abbastanza preciso. Tuttavia, con buona pace del vichingo Thorgal e del suo nemico Shardar, compare qui un dispositivo per lo meno «improbabile dal punto di vista tecnico» sia nei mari setten­ trionali di otto secoli dopo Cristo, come nel Mediterraneo attorno alla Siracusa del212 a.C. La locuzione tra virgolette è dello storico EduardJan Dijksterhuis (trad. it. Archimede. Con un saggio bibliogra co di Wilbur R. Knorr, Ponte alle Grazie, Firenze 1989 ). Sappiamo che non poteva trattarsi di specchi parabolici, perché la parabola concentra i raggi troppo vicino: ma a partire della tarda Antichità, attraverso il mondo arabo e il Medioevo latino, l'attribuzione a Ar­ chimede degli «specchi ustori» ricorre incessantemente. Si tratta di un tipico mito scienti co: ma è un mito che ha qualche merito, non fosse altro per aver indotto non pochi

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ricercatori a studiare le proprietà ottiche delle sezioni coni­ che. Tan t'è vero che in pieno Settecento Georges- Louis Ledere, conte di Buffon (1707- I788 ), riusciva a incendiare oggetti a distanza con un sofisticato sistema di specchi piani . Più precisamente il 23 marzo 1747 era riuscito a bruciare del legno a 66 piedi di distanza utilizzando quaranta spec­ chi ; doveva nei mesi successivi migliorare il risul tato po­ nendo il legno a 2 I O piedi di distanza (cioè a ci rca 64 metri) utilizzando fino a 128 specchi. Con la sua partecipazione alla difesa di Siracusa Archi­ mede è così da tempo assurto a simbolo della potenza del sapere applicato: un curioso destino, se ha davvero ragione Plutarco, che lo dipingeva come «prigioniero delle Muse>> della geometria pura. Probabilmente la verità sta nel mezzo: Archimede è un gigante soprattutto per essere stato capace di perfezionare e razionalizzare la gamma delle acquisizioni di coloro che lo avevano preceduto. In questo senso è insieme grande ingegnere e grande geometra; non manca in tale accostamento una sottigliezza, che fra poco andremo a raccontare.

Una scoperta in bagno La sagacia di Archimede è narrata ancora una volta da Vitruvio nel D e architectura. Gerone ha fatto fondere in oro una corona che simboleggia il potere ed è stata dedi­ cata agl i dei; ma il re ha il sospetto che l'orefice non sia stato onesto e abbia sostituito una certa porzione d i o ro con una di argento. Come pescare il m alfattore «Con l'oro nel sacco», se la corona, ormai consacrata, non può essere intaccata? Si ricorre a Archimede: sembra un bel p roblema anche per lui! Ma mentre è al bagno p ubblico, riflette sul problema, e constata che il suo co rpo im mergendosi quando la vasca è colma fa tracimare l 'acqua. Salta fuori

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dal bagno e corre nudo a casa gridando «ho trovatoh•. Arrivato, prende la corona, la pesa; poi prende una quan­ tità d'oro e una di argento che abbiano lo stesso peso; immerge nell'acqua prima la corona, poi l'oro, infine l'argento; e constata quali siano i volumi che vengono via via spostati rispettivamente dalla corona, dall'oro e dal­ l'argento... Non sappiarno quale sia stata la sorte toccata infine all'incauto orefice. Per altro, il resoconto di Vitruvio è alquanto sospetto e, per dirla con Galileo Galilei ( 1 564-1642), privo di quella «esquisitezza)) di cui Archimede dà prova nelle sue opere. Per di più, dato che la corona doveva essere piuttosto larga, e quindi largo doveva essere anche il vaso in cui Archimede avrebbe dovuto infilarla, il metodo descritto nel De architectura avrebbe dato luogo a differenze mi­ nime nella misurazione dei volumi d'acqua spostati, per non dire degli errori dovuti all'imprecisione del procedi­ mento. Ma proprio a Archimede si deve un principio che espone nel suo testo sui Galleggianti e che porta il suo nome: «Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del volume di liquido spostato••· Insomma: un corpo immerso in acqua perde peso e il principio di Archimede ci dà una misura esatta di questa perdita. E proprio su di esso si baseranno le propo­ ste alternative per la risoluzione scientifica del problema: in breve, l'idea consiste nel misurare le diverse perdite di peso dell'oro e dell'argento (Galileo si inserirà in questa tradizione con la sua «bilancetta idrostatica»). Che lezione traiamo da questo ulteriore mito scientifico creato o almeno accolto da Vitruvio? In primo luogo, Archimede ci fa capire come il nostro stesso corpo possa diventare strumento di conoscenza, è sempre l'Archimede che usava le proprie membra per raffigurarvi sopra linee e figure. C'è poi un altro aspetto: ancora una volta la scienza riesce a tramutare quella che è una situazione di scacco in un

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successo. Archimede non ha rotto la corona; piuttosto, ha aggirato il problema ed è riuscito finalmente a rìsol_vere quello che al suo re sembrava un enigma intrattabile. E un aspetto ricorrente nella storia deWimpresa tecnico-scienti­ fica sul quale amava insistere il fisico, filosofo e storico della scienza Ernst Mach (1838-1916). Spesso capita di imbat­ tersi in un enigma che ci fa quasi alla lettera rompere la testa, ma, dopo che qualcuno ha trovato la soluzione, ecco che tutti si azzardano a dire: «Ma ci sarei potuto arrivare an­ ch'io». Però, sono solo i tipi come Archimede che ci sono , arrivati davvero! E questa la cifra del genio scientifico? Come scrivono due abili divulgatori, Sven Orto li e Nicolas Wi tkowski nel loro La vasca di Archimede (trad. i t. Raffaello Cortina, Milano 1998 ): «l'acqua traboccata dal bagno di Archimede non insegna alcunché sulla famosa spinta, poi­ ché il metodo descritto da Vitruvio è puramente volume­ trico. Ma sono questioni di dettaglio: quello che conta nell'aneddoto è il grido. [... ] lncontenibile al punto che l'uomo di scienza, distolto da ogni altra percezione, esce fuori nudo dal suo laboratorio, quasi che il prezzo da pagare per aver accesso al sapere sia una liberazione del corpo. [ ... ] Ecco perché il nostro primo e più antico eroe scientifico si chiama Archimede e non Euclide o Pitagora, i quali non godono nemmeno della centesima pane della sua notorietà, pur non essendo certo meno degni di onore di lui». Pur tuttavia, c'è una curiosa assimilazione tra Archi­ mede e Pitagora nella cultura popolare, dovuta alla ver­ sione italiana delle Storie dei Paperi della Walt Disney. Visto che abbiamo fatto già ricorso a dei fumetti, ricor­ diamola brevemente: l'inventore Gyro Gearloose è diven­ tato da noi Archimede Pitagorico! Simbolo di bizzarria ma anche di ostinazione nell'affrontare problemi apparente­ mente insolubili. Così, per esempio, nella parodia (1957 ) Paperino e i tre moschettieri, sceneggiata da Guido Martina e disegnata da Pier Lorenzo De Vita, un Archimede in

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veste seicentesca rivela a Paperino di aver inventato un aereo che non può funzionare solo perché «non è ancora stato scoperto il petrolio»! Ma poco dopo crea il cavallo a vapore, consentendo al papero aspirante moschettiere di compiere la sua missione «per l'onore della Regina di Francia». Dunque, anche Archimede Pitagorico ha tro­ vato un sovrano per cui lavorare.

L 'Archimede inventore e l'Archimede matematico Quella che abbiamo delineato sin qui è la figura dell'Ar­ chimede inventore-scopritore, quella della scietzza-spetta­ colo, dell'aneddoto, del rapporto col potere. E l'aura di Archimede: che ha attraversato i secoli, continuando a reincarnarsi nei miti e nelle leggende che avvolgono i grandi scienziati, da Galileo a Newton, da Klein a Godei, da Poincaré a Einstein. Ma oltre che con tale figura che si dilata nei secoli e si installa in luoghi e civiltà assai diverse da quella ellenistica -dobbiamo fare i conti anche con quella assai più precisa che le sue opere ci hanno tramandato: è l'Archimede matematico, l'autore della S 'f:ra e il cilindro, dei Conoidi e s 'f:roidi, delle Spirali, della Quadratura della parabola. Cosa ci raccontano di lui queste sue opere? Qual era la sua matematica? Che rapporto c'è fra l'Archimede «mate­ matico» effigiato sulla medaglia Fields (il «Nobel» dei matematici) e il mago della tecnica che tiene in scacco le armi di Roma e inventa congegni meravigliosi? Il problema, come abbiamo visto, nasce già con Plu­ tarco: come conciliare il genio perso nelle sue contempla­ , zioni con l'inventore di catapulte? E un problema che, a volerlo sviluppare fino in fondo, ci porta dritti dritti fra le braccia di Eugene Paul Wigner e della sua «irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali». Cosa ha

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che far� la matematica astratta con la spietata manus errea? E una discussione che ci condurrebbe piuttosto lontano: che rapporto c'è fra un oggetto «matematico» e un oggetto «reale»? Gli oggetti della matematica vivono in un platonico mondo di idee? O sono un prodotto della nostra mente e della nostra attività cognitiva? Non possiamo inoltrarci qui in questa selva filosofica. Ma non possiamo fare a meno di notare che l'Archimede che ci presenta Plutarco è un Archimede platonico, perso nelle contemplazioni di un iperuranio matematico, di cui il nostro mondo sarebbe solo un pallido riflesso. E l'interpretazione plutarchea ha avuto un grande suc­ cesso, almeno a partire dal Seicento: Archimede in quel mondo platonico avrebbe visto anche una matematica che era di là da venire e nelle sue opere si è voluto di volta in volta trovarci l'idea di limite, il calcolo integrale, il calcolo combinatorio, la teoria degli insiemi transfìniti. Ma non sarà per caso possibile un racconto diverso? I conoidi, le spirali e le parabole di Archimede vengono davvero da un mondo trascendente? O hanno a che fare anche loro con le navi, le corone, le catapulte e i planetari? Per tentare una risposta, abbiamo un testimone d'ecce­ zione: Archimede stesso. In una sua opera oggi nota come Metodo sui teoremi meccanici ci racconta quale strada seguisse per trovare i suoi risultati.

Metodo o tropos? «Indicare qualcuno come precursore di qualcun altro comporta inevitabilmente l'impossibilità di compren­ derlo.» Così scriveva nel 1934 uno dei padri della storia della scienza, Alexandre Koyré. Peccato che il grandissimo Johan Ludvig Heiberg (1854 -1928 ) non abbia potuto leggere questa frase. Al filologo danese dobbiamo quasi la

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totalità delle edizioni dei matematici greci; in pat ticolare è la sua opera paziente e geniale che ci ha permesso lo studio scientifico dei testi archimedei e della loro trasmissione fino ai nostri giorni. Fra il 1879 l'anno della sua tesi di dottorato e il 1915 l'anno in cui usciva il terzo e ultimo volume della sua edizione critica di Archimede Heiberg identificò praticamente tutti i codici archimedei oggi noti, fornendo un testo del corpus su cui si sono basati finora la totalità dei lavori critici successivi e le traduzioni in lingue moderne. In particolare è a lui che si deve la scoperta del famosis­ simo palinsesto di Costantinopoli, che battezzò «codice C». Un palinsesto è un codice la cui pergamena è stata riutilizzata: il testo origin�e viene cancellato e al suo posto ne viene scritto un altro. E quello che successe a un codice scritto nel X secolo che conteneva molte opere di Archi­ mede: fra la fine del'XI e l'inizio del XII secolo fu lavato, sfasciato e riutilizzato per ottenere un libro di preghiere: dopo varie vicissitudini che avrebbero fatto la felicità di Indiana Jones, il codice finì in una biblioteca di lstanbul. Chi fosse curioso di conoscere i dettagli di questa affasci­ nante storia, e di come il codice scomparso durante la rivoluzione turca sia poi oggi finito nella collezione privata di un miliardario americano, potrà leggere Il codice perduto di Archimede di Reviel Netz e William Noel {trad. it. Rizzoli, Milano 2007) o consultare il recentissimo The Archimedes Palimpsest(2 voli. a cura di R. Netz, W. Noel, N. Wilson, N. Tchernetska, Cambridge University Press, Cambridge 2011) in cui potrà trovare anche le immagini, rese visibili con tecniche ultramoderne, del testo archime­ deo e di altri importanti autori greci. Ma torniamo a Heiberg. Il filologo aveva potuto intuire l'importanza del codice grazie a una descrizione sommaria pubblicata in un catalogo del 1899, ma riuscì a recarsi nella capitale dell'Impero turco solo nel 1906. Armato

Pino Dani�k Napolitani � Giulio Gior�llo raccontano

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unicamente di una lente di ingrandimento, scoprì nel palinsesto un vero tesoro: una lettera di Arch imede a Eratostene in cui il siracusano descriveva al direttore della Biblioteca il suo approccio euristico ai problemi di geo­ metria. Nel 1907 Heiberg pubblicava nella rivista Hermes l'articolo Eine neue Archimedeshandschri in cui oltre a descrivere la sua scoperta forniva una prima trascrizione. Nello stesso anno, insieme col matematico e storico della matematica Hieronymus Georg Zeuthen, ne pubblicava una traduzione tedesca commentata. La notizia fece enorme sensazione, tanto che il 1 6 luglio 1907 il New York Times la pubblicava in prima pagina. Il titolo di quest'opera nel codice suonava più o meno così: «L'approccio (ephodos) di Archimede riguardo ai teo­ remi meccanici, a Eratostene», titolo che, evidentemente, non risaliva al matematico siracusano. Inoltre, in tutto il trattato, Archimede usa sempre e solo la parola tropos per indicare il suo approccio euristico: potremmo tradurla (come lo stesso Heiberg d'altronde aveva fatto in varie altre occasioni del corpus) con «procedimento» o «modo». Ma Heiberg non aveva letto la frase di Koyré. Tradusse sistematicamente con «metodo>> (e infatti oggi quest'opera è nota come Metodo sui teoremi meccanici) e concludeva il suo articolo su Hermes con queste parole «Die neue Me­ thode des Archimedes ist tatsachlich mi t der lntegralrech­ nung identisch». Ovvero: «il nuovo metodo di Archimede è in realtà identico al calcolo integrale». Zeuthen non fu da meno. Dal 1907 fi no a oggi, questa lettura del testo inviato a Eratostene è stata quella dominante e si è riflessa sull'interpretazione complessiva delle tecniche matemati­ che usate da Archimede, diventato di volta in volta un precursore di Cavalieri e dei suoi indivisi bili, degli infìni­ tesimi di Leibniz e Newton, dell'integrale di Cauchy e di Riemann, se non addirittura di Cantor e degli insiemi transfìni ti. ,

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Una matematica concreta

Questa visione «precursoristica» ha per molto tempo domi­ nato la storiografìa della matematica greca, e non solo quella riguar te Archimede. Ma, negli ultimi decenni, stanno emergendo nuovi punti di vista che sembrano adattarsi meglio al complesso di ciò che sappiamo. Nonostante che la nostra matematica sia indubitabil­ mente erede di quella greca (in particolare per l'inven­ zione del concetto di dimostrazione basata su un sistema di assiomi e di definizioni), quest'ultima presenta alcuni caratteri profondamente diversi. In particolare: una separazione netta fra geometria e aritmetica; • mancanza di un linguaggio simbol ico astratto simile alla nostra algebra; • gli oggetti matematici sono formal izzazioni di proce­ dure e oggetti «concreti». •

Cerchiamo di illustrare quest'ultimo punto. Per noi un'el­ lisse è il luogo di zeri di un polinomio di secondo grado in due variabili: Ax2 + Bxy+ Cy2 + Dx+ Ey+ F= O

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4AC > le sezioni; di volta in volta vengono introdotte nuove considerazioni, nuovi trucchi: per esempio quello di pensare che la sfera, per analogia con quanto accade con il cerchio, possa essere uguale a un cono che abbia per base la superficie sferica e per altezza il raggio della sfera stessa. E l'aspetto di modellizzazione si sposa bene con quanto gli aneddoti e le storie ci hanno riferi to sulla vita e la figura di Archimede di Siracusa. Si sposa bene, soprattutto, con quello che è lo scopo ultimo del trattato che invia a Eratostene. Il bagno di Morgantina

Archimede alle terme

«Tempo fa ti avevo spedito» scrive Archimede all'inizio della lettera «gli enunciati di due teoremi, c ti invitavo a trovarne la dimostrazione che allora non ti avevo man­ dato.» Gli enunciati erano i seguenti. Prendiamo un pri­ sma a base quadrata e inscriviamoci dentro un cilindro. Tagliamo il tutto con un piano che passi per uno degli spigoli della faccia superiore del prisma e per un diametro del cerchio di base del cilindro.

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Il primo gmio

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Il solido che così si ottiene (e che oggi si chiama «unghia cilindrica») è uguale a l /6 del prisma. Il secondo teorema riguardava invece il solido che si ottiene intersecando perpendicolarmente due cilindri uguali.

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Questa intersezione, dice Archimede, è uguale ai 2/3 del cubo circoscritto. E scopo esplicito del trattato è quello di inviare a Eratostene le dimostrazioni di questi due risultati. Nel Metodo abbiamo ben tre diverse dimostrazioni per l'unghia, ma purtroppo i fogli che contenevano quella per l'intersezione dei cilindri sono andati perduti. Ora, da dove Archimede si è tirato fuori questi due stranissimi oggetti? Così diversi dai paraboloidi, dalle sfere, dagli ellissoidi che aveva studiato nelle altre sue

Pier Daniele Napolitani e Giulio Giorello raccontano

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opere? Per noi, i nfatti, gli oggetti più naturali sono quelli generati da curve «semplici»; e le curve più semplici dal nostro punto di vista sono, dopo il cerchio, le sezio n i coniche. Se si parte da qui , non si può fare a meno di pors i la domanda di come Archimede abbia potuto concepirli e la fantasia degli storici da Zeuthcn fi no a Tohru Sato (1986) (c, negli ul timissimi anni, quella di Reviel Netz) si è sbizzarri ta abbondantemente. S i è sbizzarrita i n parti­ colare sul la divinazione della d imostrazione perduta, quella relativa all'intersezione dei cilindri . Ma che cosa viene fuori se s i i ntersecano due cilindri? Come si può visualizzare questo solido? Nel Quattrocento Piero della Francesca si pose lo stesso problema e lo risolse nel suo Libellus de quinque corporibus regularibus. Piero di situazioni del genere ne aveva parecchie sotto gli occhi : l'intersezione di due cilindri era un modello per l'intersezione di due volte a botte, che forma una volta a croctera. Se la vediamo così , il sol ido misterioso diventa un oggetto comune che fa parte della nostra esperienza quotidiana: due volte a crociera sovrapposte, una specie di bombo­ n iera. G ià, nella nostra esperienza. Ma in quella d i Archi­ mede? Domanda lecita, anche perché, di archi , cupole, volte a botte e a crociera a S i racusa non ce n'erano. O invece sì? Morgantina era un 'antica città della S icilia centro­ orientale, a un centinaio di chilometri da Siracusa. Ai tempi di Archimede faceva parte ormai da molti decenni del domin io siracusano e fu l'ultima città della Sicilia a cadere in potere di Roma, nel 21 1 a. C. Era una città ri cca e i mercenari ispanici di Marcello che la devastarono pote­ rono fare un ricco bottino. Il sito archeologico di Mor­ ganti na è noto da tempo e ha fornito molti tesori , ma la scoperta che ci interessa qui è recente: nel 2003 Sandra Lucore, un'archeologa americana, ha ritrovato un sito •

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Archimede.

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Volte a crociera nel cortile del palazzo ducale di Urbino. '

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termale, i North Baths (Terme Nord). I suoi scavi hanno messo i n evidenza l'esistenza di due volte a botte che si affacciavano l'una sull'altra senza intersecarsi. Negli anni Trenta del secolo scorso un archeologo italiano, Giuseppe Cultrera, aveva scoperto a Siracusa dei resti di un «edificio idraulico» in cui era utilizzata la stessa tecnica di costru-

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l Norrh Barhs di Mor antina nella ricostruzione di Sandra Lucore

(Mission� Am�ricana i Morgantina). Disegni di Erik Thorkildsen (Missione Americana di Morgantina).

zio ne: tubi di terracotta incastrati uno nell'altro fino a formare un arco. Purtroppo di quegli scavi siracusani restano solo fotografie; ma l'esistenza a Morgantina allora orbitante intorno a Siracusa di questo tipo di costruzioni, e la probabile

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Archimede. Il primo genio unive,-sale

esistenza a Siracusa stessa di analoghi edifici, ci permettono di immaginarci un Archimede che, sdraiato nella sua vasca o durante il massaggio, si domanda: che cosa succederebbe se quelle due volte si incontrassero? Che tipo di figura ne verrebbe fuori? Come si potrebbe misurare? D'altra parte ­ lo sappia ano bene! era alle terme che Archimede aveva le sue intuizioni migliori. Il bisturi di Archimede

Come abbiamo detto, la dimostrazione del volume della doppia volta a crociera non ci è pervenuta. Ken Saito e Pier Daniele Napolitani hanno però potuto provare, sulla base di argomentazioni codicologiche, che tale dimostrazione non poteva essere stata molto lunga: al massimo tre pagine. Non ci poteva dunque essere spazio per l'esposizione di complesse argomentazioni basate sull'uso della bilancia ideale come si era sin qui supposto; si tenga conto che la matematica greca è una matematica verbale e non conosce l'uso di formule o di simbologie che condensino il ragiona­ mento. La soluzione a questo puzzle è sorprendentemente semplice: se lo spazio per la volta a crociera era poco, è perché la dimostrazione era molto corta! Basta infatti osser­ vare che la doppia volta può essere decomposta in otto unghie cilindriche come si vede dalla figura alla pagina seguente. Chissà se quando Archimede se ne accorse non sia saltato fuori nudo dalla vasca, gridando Eureka per le strade di Siracusa un'altra volta? In questo modo il pro­ blema si riduce tutto a trovare il volume dell'unghia. Facile a dirsi. Assai più difficile a farsi: non a caso, come abbiamo accennato, Archimede nel Metodo ne fornisce ben tre dimostrazioni diverse, in cui si esplica tutta la potenza del suo genio matematico.

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Non si tratta di un caso isolato: a ben vedere tutta la matematica archimedea può essere letta in questo modo. Succede, per esempio, la stessa cosa con il volume della sfera: una volta che si sia intuito e di questo forse saremmo capaci anche noi com uni mortali che la sfera dovrebbe essere uguale al cono (quello avente per base la superficie sferica e per altezza il raggio), resta poi da provarlo; buona parte della dimostrazione è abbastanza semplice, fino a quando ci si scontra con la necessità di dimostrare un lemma riguardante la somma di certe su­ perfici. Di nuovo, Archimede è partito da un'intuizione quasi ovvia, l'ha sviluppata fino a i ndividuare il nocciolo duro, da cui tutto dipende. E un peccato che non ci sia qui modo di accennare a come il suo genio riesca ad aver ragione degli ostacoli che gli si parano di fronte. Ma ciò che vorremmo sottolineare è ...

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questo: gli oggetti che studia, i problemi che si pone, l'approccio con cui li affronta sono qualcosa di altro rispetto alla matematica che si è sviluppata da Luca Valerio ( I 5531 6 1 8) e Cartesio ( 1 596-1 650) in poi. Koyré aveva ragione: se vogliamo capire Archimede, non possiamo etichettarlo come nostro precursore. Tuttavia, il problema del rapporto fra la matematica di Archimede e la nascita della meccanica e della matematica moderna è un problema reale, e non inventato. Ci sarà p ure una ragione se sulla medaglia Fields c'è il suo ritratto. Un mito operativo

Archimede era già entrato nella sfera del mito ai tempi di Polibio, che scrive una generazione dopo di lui. E il suo mito ha attraversato i tempi e le civiltà; da Siracusa a Alessandria, da Bisanzio a Baghdad, dalle corti di Federico II di Svevia e dei papi del Duecento a quelle del Rinasci­ meiuo. Un mito che vive nei raffinati circoli dell'Umane­ simo quattrocentesco come nelle botteghe degli artisti e nei progetti degli ingegneri e dei tecnici. Chissà quanto della sua opera è andato perduto in questo viaggio fra i secoli! Il Rinascimento non conobbe il Metodo, per esempio. Eppure Piero della Francesca si pose il suo stesso problema, più di un millennio e mezzo dopo. Piero ­ la cui formazione è legata agli ambienti delle scuole d'abaco, in cui si pratica una matematica che più lontana non potrebbe sembrare dal modello di rigore e dall'apparente astrattezza della matematica greca. Questo stesso Piero si procurerà una copia della traduzione latina fatta dall' uma­ nista Iacopo da San Cassiano verso il 1450 e sarà fra i primi a cercare di capire qualcosa, a cercare di correggere le goffe incomprensioni di Iacopo. Pur tra mille difficoltà, con equivoci e sviste, sarà questa sua lettura del nuovo Archi-

Pier Daniek Napolitani e Giulio Giorello raccontano

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mede latino a servir i per la sua «dimostrazione)) del vo­ lume della volta. Piero muore nel 1 492. E o rmai iniziata l'era della stampa e ben presto l' editio princeps di Arch i mede ( I 544) , erede delle fatiche di Guglielmo di Moerbeke ( 1 269) , di Iacopo, del grande Regiomontano ( 1 4361 476) , troverà la strada delle biblioteche degl i studiosi. Sempre nel Cinquecento si avrà la grande reinterpreta­ zione matematica di Francesco Maurolico ( 1 494- 1 575) e l'attenta rilettura filologica di Federico Commandino ( 1 509- 1 575). Spetterà a u n allievo di Com mandi no, Guidobaldo dal Monte ( 1 545- 1 607) fondare, sulla base del concetto archimedeo di centro d i gravità, il pri mo nucleo di una nuova scienza meccanica. Da questa riap­ propriazione cinquecentesca dell'opera archimedea, che passa anche attraverso la cultura dei tecnici e degli inge­ gneri , affamati di scoprire nei testi del Siracusano i segreti e le invenzioni della leggenda, prenderà le mosse il giovane Galileo. Il concetto filologico di tradizione, cioè il p rocesso attraverso cui il testo di un autore viene tramandato, non è completamente sovrapponibile all'accezione comune del termine: i contenuti culturali trasmessi dalle genera­ zioni passate. Ma nel caso di Archimede questi due con­ cetti sono inseparabili: runo ha sostenuto l'altro attra­ verso i secoli. Gli ingredienti del suo mito li possiamo meglio comprendere se abbandoniamo l' idea di un genio greco che scrutando nei cieli iperuranici vede la matema­ tica che nascerà ventitré secoli dopo. Se la sua leggenda è divenuta un mito operativo, capace di orientare la rifles­ sione a distanza di secoli, di modellare intorno a sé il concepimento e il parto della n uova scienza galileiana, ciò è a nostro parere dovuto all'incredibile capacità di Archimede di intrecciare lo studio di un modello di situa­ zioni concrete (le navi, la vol ta a crociera ecc.) con la '

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ricerca e l'invenzione di soluzioni matematiche rigorose, tagl ienti e precise come il bisturi di un chirurgo. L'Archimede ingegnere non è, in fin dei conti, diverso dall'Archimede matematico. La spettacolarità delle sue invenzioni rispecchia la geniale semplicità del suo approc­ cio teorico e, viceversa, la profondità e il rigore delle sue dimostrazioni p ropone la matematica a regina delle scienze, come disciplina capace di produrre risultati che vanno oltre le aspettative empiriche. Non c'è dubbio che la matematica che si sviluppa a partire dagli inizi del Seicento poco abbia a che vedere con la sua. Con l'invenzione dell'algebra si mbolica e della geometria cartesiana e poi del calcolo infìnitesimale sa­ rebbe nata la scienza matematizzata che permea oggi quasi tutti gli aspetti della nostra vita: dalle lavatrici alle astro­ navi, dai computer ai modelli macroeconomici. Nel bene e nel male, fra i geni che propiziarono questa nascita e che assicurarono alla nuova creatura un felice cammino, non possiamo però non scorgere l'ombra del grande siracu­ sano, i cui successi anche in campo applicativo sareb­ bero stati poi letti come esempi gravidi di un nuovo paradigma.

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Archimede nacque a Siracusa intorno al 287 a. C. Se­ condo alcun i studiosi , il padre Fidia era un astronomo, da cui il figl io avrebbe ereditato l'amore per le scienze. Archimede si legò in amicizia con importanti matematici e astronomi di Alessandria, una delle capitali culturali del mondo antico. A Si racusa dal 240 a. C., si dedicò intensa­ mente agli studi; dalle opere conservate e dalle testimo­ nianze degli storici si evince che si occupò di aritmetica, geometria, fisica, ottica, astro nomia, non disdegnando neanche la progettazione di strumenti (durante l'assedio di Siracusa costruì una serie di macchine da guerra, orga­ nizzando la difesa contro i romani) . Compì studi nel campo della geometria, pur giovandosi anche di un me­ todo euristico che lega la matematica alla meccanica. Fu il primo a offrire un valore approssimato del rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio (7t) , collocandolo tra i limiti 3 + 1 0/7 1 e 3 + 1 /7. Pose i fondamenti dell'idrostatica e, con la teoria dei baricen tri , è conside­ rato l'iniziatore della statica. Nell 'Arenario sviluppò un sistema di numerazione che gli consentì di trattare nu­ meri arbitrariamente grandi. Il ritratto dello studioso

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indefesso e inamovibile ricorre anche nei racconti sulla morte di Archimede. Di sicuro si sa che morì nel 2 1 2 a.C. durante il saccheggio di Siracusa a opera dell'esercito romano seguito all'assedio della città durante la seconda guerra p untca. •

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«i grandi della Scienza)) n. 22, ottobre 200 1 , cap. IV

Da quanto scrive Archimede nelle sue lettere prefatorie e da altre fonti antiche sappiamo per certo che non tutte le sue opere ci sono pervenute. Forniamo qui un elenco di quelle che, tra varie vicissi­ tudini, ci sono pervenute in greco. Le presentiamo nell'ordine in cui compaiono nell'edizione critica di Heiberg (Archimedis Opera omnia, 3 voli. , Teubner, Leipzig 1 9 1 0- 1 5), accompagnandole con la sigla con cui vengono richiamate. Per completezza bisogna osservare, tuttavia, che ci sono pervenuti anche alcuni testi arabi più o meno attribuibili a Archimede: un teorema dello Stomachion, il Libro dei lemmi, un libro sui Cerchi mutuamente tangenti, un testo sulla costruzione dell'ettagono regolare e altri. '

l . Sulla s era e il cilindro (SC) . E indirizzato a Dositeo,

matematico di Alessandria, ed è in due libri: nel primo Archimede dimostra che la sfera è i 2/3 del cilindro a essa circoscritto e che la superficie sferica è uguale a quattro cerchi massimi; nel secondo tratta di problemi risolubili a partire da questi risultati: per esempio, dividere una sfera in due segmenti che abbiano fra loro un rapporto dato . 2. Misura del cerchio (MC) . Consiste di sole tre proposi­ zioni. Nella prima si dimostra che il cerchio è uguale al

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Archimede. Il primo gmio universale

triangolo rettangolo avente per cateti il raggio e la circon­ ferenza rettificata. Nella terza si dimostra che il rapporto fra la circonferenza e il diametro deve essere compreso fra 3 + l 0/7 1 e 3 + 1 /7. 3. Sui conoidi e s -eroidi (CS) . Indirizzata a Dositeo. Studia le figure che oggi chiamiamo paraboloide e iperboloide di rivoluzione (conoidi) ed ellissoidi (sferoidi) . Vi si dimo­ stra che il paraboloide di rivoluzione è i 3/2 del cono avente stessa base e stessa altezza e analoghi (ma più complessi) risultati per l'iperboloide e l'ellissoide. 4. Sulle spirali (Sp) . Indirizzata a Dositeo. Viene definita la «spirale di Archimede» (la curva descritta da un punto che si m uove di moto uniforme su una retta che si muove a sua volta di moto circolare uniforme) ; tale curva è utiliz­ zata per ottenere una costruzione della rettifìcazione della circonferenza. 5. Sull'equilibrio dei piani (EP) , in due libri. Nel primo libro viene dedotta la legge della leva e viene determinato i l centro di gravità di alcune figure piane: parallelo­ gramma, triangolo, trapezio. Il secondo è interamente dedicato alla determinazione del centro di gravità del segmento di parabola. 6. Arenario (Ar). Dedicato al re Gelone di Siracusa. Vi si presenta un sistema di numerazione in grado di contare numeri grandissimi, quale il numero di granelli di sabbia contenuti in una sfera grande quanto l'universo. 7 . Quadratura della parabola (QP) . Indirizzata a Dositeo.

Si dimostra che la parabola è i 4/3 del triangolo avente uguale base e uguale altezza. Il testo è diviso in due parti: la quadratura «meccanica» (in cui si fa ricorso a concetti di statica) e quella «geometrica». 8. Sui galleggianti (G) , in due libri. Nel primo libro si enuncia il «principio di Archimede»: un corpo immerso in

Approfondimmti

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un liquido riceve una spin ta verso l'alto pari al peso del volume di liquido spostato. Su questa base, alla fi ne del primo libro vengono determinate le condizioni di equili­ brio di un segmento sferico galleggiante, mentre il se­ condo libro è dedicato allo studio del comportamento di un paraboloide galleggiante. 9. Stomachion (St). Operetta curiosa, in cui viene descritta una sorta di tangram: si tratta di suddividere un q uadrato o un rettangolo in quattordici parti che siano fra loro commensurabili. 1 0. Sul metodo meccanico (M) . Quest'opera è dedi cata a Eratostcne. Archimede vi rivela il metodo euristico che seguiva per ottenere i risultati che qui sopra abbiamo descritto c molti altri ancora. Nel Metodo, numerosi esempi mostrano come applicarlo (quadratura della para­ bola, sfera, segmenti sferici, conoidi e sferoidi) . L'opera è tuttavia mirata principalmente allo studio delJa cosiddetta «unghia cilindrica» e del solido che si ottiene intersecando due cilindri inscritti in un cubo. 1 1 . Libro dei lemmi (L) . Pervenuto solo attraverso una parafrasi araba, tratta di figure come l' «arbelon)) o il «sali­ non», ottenibili per mezzo di intersezioni di cerchi. 1 2. Il problema dei buoi (PB) . Operetta brevissima in cui Archimede sfida i matematici del suo tem po a risolvere un problema di aritmetica: contare il numero dci buoi bianchi, pezzati, neri e fulvi che il dio Sole pascolava nella Trinacria, note certe relazioni fra il numero di buoi di ogni singolo colore. Il problema conduce a un'equa­ zione le cui soluzioni sono numeri decisamente mo­ struosi, con più di 200 000 cifre. Non è noto come Archi­ mede potesse essere pervenuto alla soluzione.

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Pubblichiamo qui l'inizio dell'Arenario, un testo scritto in orma di lettera indirizzata al re Gelone di Siracusa, glio di Cerone Il e da questi associato nel regno nel 240 a. C. Archimede è alle prese con «grandi numeri» come quello dei granelli di sabbia che riempirebbero il volume della nostra Terra. Anzi, si spinge oltre: fino ad applicarsi al numero di granelli che riempirebbero il volume del Mondo intero seguendo in questo l'uso antico per cui come Mondo non si intende semplicemente il nostro Globo ma l'intero unitJerso, che include il Sole e ipianeti no alle cosiddette stelle sse, che allora si credevano esser situate tutte pressoché alla medesima distanza dalla Terra. Nel quadro di questa concezione di un Cosmo nito, A rchimede vuoi dunque calcolare il volume del mondo contando i granelli di sabbia che si dovrebbero am­ massare per riempir/o completamente. Prendendo come dia­ metro quello ammesso da sistemi geocentrici come quelli di Eudosso e di Aristotele, il siracusano arriva a un numero di granelli pari circa a l 051, cioè a un numero jòrmato da un l seguito da 51 zeri. Ma questa è solo metà della storia. A rchimede è in r.ttti al corrente che il suo contemporaneo Aristarco di Samo (che

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Archimede. Il primo genio universale

probabilmente aveva conosciuto nel suo presunto soggiorno alessandrino) aveva ipotizzato un Mondo ben più grande! Per Aristarco, in -atti, il sistema del Mondo è eliocentrico ed eliostatico; il Sole è immobile pressoché al centro dell'uni­ verso, e la Terra un pianeta come gli altri gli orbita intorno descrivendo una circon -erenza. Ne consegue che le stelle sse sono molto più lontane di quanto supponeva Ari­ stotele; altrimenti, per un e etto di prospettiva noto come parai/asse, la loro posizione nel « rmamento» cambierebbe nel corso dell'anno. Archimede, allora, ri -a il conto adot­ tando come diametro de/Mondo quello ornito daAristarco e ottiene un numero di granelli di sabbia circa eguale a 1 0 63, cioè un l seguito da 63 zeri. Archimede conclude così la sua lettera:

Credo, o re Gelone, che queste cose sembreranno incredibili alla maggior parte di coloro cui le mate­ matiche non sono familiari; ma quelli che in esse sono versati e che hanno meditato sulle distanze e le dimensioni della Terra, dd Sole e del Cosmo intero le ammetteranno dopo la mia dimostrazione. Tuttavia, lo sappiamo bene, il sistema eliocentrico di Ari­ come accettato, nemmeno da quelli che starco non Tolomeo erano «versati nelle matematiche>>. Forse anche perché i numeri che Archimede aveva calcolato sembravano troppo grandi? Oggi noi la pensiamo diversamente: non solo Aristarco aveva ragione nel declassare la Terra a semplice pianeta rotante su se stesso e orbitante attorno al Sole, ma era anche nel giusto neltinsistere sulla grandezza del Cosmo. Questo ci -a apparire la testimonianza di Archimede, che contiene la più antica menzione del sistema di Aristarco di cui non parlano peraltro gli scritti del matematico di Samo che ci sono pervenuti ancora più preziosa. Com 'è noto, il /oso o stoico Cleante di Asso si spinse a dichiarare che «era dovere dei Greci accusare Aristarco di empietà per aver osato

A pprofimdimenti

porre in movimento il cuore dell'Universo», cioè la nostra Terra. Scherno e condanna analoghi dovevano toccare più di un millennio e mezzo dopo agli astronomi, da Copernico e Galileo, che avevano osato abbandonare «la fabbrica dei cieli» aristotelico-tolemaica. Così, li\renario nì con il diventare un (uma della polemica . . tra copernzcanz e antzcopernzcant, come aveva compreso per primo l'autore del De revolutionibus orbium caelesti um (I543). Ancora una volta il nome di Archimede si ritrova legato agli esordi della scienza moderna, così diversa da quella greca, ma al tempo stesso così capace di svilupparsi sulle «spalle dei giganti» che di tale sapere erano stati i coraggzost costruttorz. ..

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Arenario, incipit

Alcuni pensano, o re Gelone, che il numero [dei gran eli iJ della sabbia sia infinito in quantità: dico non solo quello dei [granelli di sabbia] che sono i ntorno a Siracusa e nel resto della Sicilia, ma anche di quello [dei granelli di sabbia] che sono i n ogn i regione, sia abitata sia non abitata. Vi sono poi alcuni che ritengono che quel numero non sia infinito, m a che no 11 si possa nominare un nu mero che superi la sua quantità. E chiaro che se coloro che così pensano si rappresentassero un volume di sabbia di gran­ dezza tale quale quello della Terra, avendo riempi to tutti i mari e tutte le depressioni fino a raggi ungere l'altezza delle più alte montagne, molto meno comprenderebbero che si possa nominare un numero che superi quella quantità. Ma io tenterò di mostrarti, per mezzo di dimostrazioni geometriche che tu potrai segui re, che dei numeri da noi denomin ati ed esposti negli scritti inviati a Zeusippo, alcuni superano non soltanto il numero [dei granelli] della sabbia aventi [nell'insieme] grandezza uguale alla Terra

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riempita com e abbiamo detto, ma anche grandezza uguale al cosmo [i ntero] . Tu sai che dal più gran numero di astrologi vien chiamata cosmo la sfera il cui centro è il centro della T erra, c il [cui] raggio è uguale alla retta compresa tra il centro del Sole e il centro della Terra: questo l'hai appreso dalle dimostrazioni scritte dagli astro­ logi. Aristarco di Samo, poi, espose per iscritto alcune ipotesi, secondo le quali si ricava che il cosmo è più volte maggiore di quello suddetto. Suppone i nfatti che le stelle fisse e il Sole rimangano immobili, c che la Terra giri seguendo la circonferenza di un cerchio, attorno al Sole, che sta nel mezzo dell'orbita. Archimede, Arenario, i n Archimede, Opere, a cura di A. f-rajesc, Urcc,

Torino 1 974, p.

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eto o per a scoperta e1 teoremi meccanici •

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In tutte le sue opere conservate dalla tradizione, A rchimede espone i teoremi da lui scoperti, acendoli seguire dalle rispettive dimostrazioni, secondo il metodo dimostrativo teorizzato da Aristotele e praticato in geometria da Euclide. Archimede tuttavia non rù;e/a mai il modo in cui è giunto a scoprire i suoi teoremi, il quale è certamente diverso dal metodo con cui li dimostra. Perciò per molto tempo si è creduto che eglipossedesse un metodo segreto, il quale gli consentit;a appunto le scoperte delle proposizioni dimostrate poi nelle opere tradizionali. Solo nel /906 il lologo danesef. L Heiberg, curatore dell'edizione critica delle sue opere, scoprì in un manoscritto bizantino del X secolo d. C un 'opera di Archimede sino ad allorll sconosciuta e intitolata Sul metodo meccan ico, nella quale, nellaforma di una lettera privata a Eratostene di Cirene geogra o, mate­ matico e astronomo suo contemporaneo , egli descrive il metodo con cui scoprì alcuni dei suoi pizì importanti teoremi. Presentiamo come brano l'introduzione di quest 'opera, in cui Archimede, ricordando a Eratostene di avergli in precedenza im;iato gli enunciati di due teoremi senza aggiungervi le

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Archimede. Il primo genio universale

rispettive dimostrazioni, a nché egli potesse costruirle da sé, annuncia di inviargli ora le suddette dimostrazioni, premet­ tendovi però la descrizione del metodo da lui seguito per trovar/e. Tale metodo consiste nel ar uso di considerazioni meccaniche, quali la legge della leva o il concetto di equili­ brio, che permettono di giungere, per via intuitiva, alla scoperta di proposizioni geometriche. Si tratta di un esercizio di immaginazione geometrica e inventività che richiede particolari attitudini, e in questo consiste la sua genialità, ma anche il suo limite. A giudizio dello stesso Archimede questo metodo non è propriamente dimostrativo la vera dimostrazione a suo avviso rimane quella di tipo deduttivo , ma è tuttavia utile per trovare le dimostrazioni, che dovranno comunque esserct. •

Sul metodo meccanico

Archimede a Eratostene salute. Ti ho precedentemente inviato [alcuni] dei teoremi [da me] trovati, scrivendo di essi gli enunciati e invitandoti a trovare le dimostrazioni, che non avevo ancora indicate. Gli enunciati dei teoremi inviati erano i seguenti: del primo: se in un prisma retto avente per base un parallelo­ grammo (= un quadrato) si inscrive un cilindro avente le basi [inscritte] nei parallelogrammi opposti, e i lati sui (= tangenti ai) rimanenti piani ( = facce) del prisma, e se per il centro del cerchio che è base del cilindro e per un solo lato del quadrato sul piano (= faccia) opposto si conduce un piano, il piano condotto stacca dal cilindro un segmento ( = una parte) che è compreso da due piani e dalla superfi­ cie del cilindro, vale a dire da uno [dei piani] : quello che è stato condotto, e dall'altro [quello] nel quale è la base del cilindro, e inoltre dalla superficie compresa tra i piani

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suddetti: il segmento tagliato dal cilindro è la sesta parte di tutto il prisma. D i un altro teorema l'enunciato era: se i n un cubo si i nscrive un cili ndro avente le bas i sui r piani dei ] parallelo­ gram mi opposti e la superficie [laterale] tangente agli altri quattro piani (= fàcce) , e se s i i nscrive anche un altro cilindro nello stesso cubo, aven te le basi su [i piani di] altri [due] parallclogrammi c la superficie ! laterale] ta ngente agli altri quattro piani, la figura compresa tra le s uperfici dei cilindri, la quale è comune ad ambedue i cili n dri, è «due terzi)) (dimòiron) dell'intero cubo. Accade poi che questi teorem i differiscano da quelli prima trovati: confrontammo infatti quelle figure, i co­ noidi , gli sferoidi e le [lorol parti con coni e ci li ndri: non si trovò nessuna di esse uguale a una figura sol ida compresa da piani; mentre di queste figure comprese da due piani e da superficie di cilindri s'è trovato che ciascuna di esse è uguale a figure sol ide comprese da piani. Di questi teoremi ti mando le di mostrazioni , avendole scritte in questo libro. Vedendoti poi, come ho detto, dil igente ed egregio maestro di filosofia, c tale da apprezzare anche nelle ma­ tematiche la teo ria che [ti] accada r di considerarel , decisi di scriverti e di esporti nello stesso libro le caratteristiche di un certo metodo, mediante il quale ti sarà data la poss i bi l i tà di co nsiderare questioni matematiche per mezzo della mecca n i ca. E sono persuaso che questo [me­ todo] sia non meno utile anche per la dimostrazione degli stessi teorem i . E i n fatti alcune delle [proprietà] che a me dapprima si sono presen tate per via meccanica sono state più tardi [ da me] dimostrate per via geometrica, poiché la ricerca r co mpiuta] per mezzo di questo metodo n o n è una [vera] dimostrazione: è poi più facile, avendo già ottenuto con [questo ] metodo qualche co noscenza del le cose ricer­ cate, compiere la di mostrazione, piuttosto che ricercare senza alcuna nozione preventiva. Perciò anche di q uei

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teoretni, dei quali Eudosso trovò per primo la dimostra­ zione, intorno al co no c alla pi ram ide, [cioè] che il cono è la terza parte del cilindro e la piramide [è la terza parte] del prisma aventi la stessa base e al tezza uguale, non piccola parte [del merito] va attribuita a Democri to, che per primo fece conoscere questa proprietà del la figura sud­ detta, senza dimostrazione. A noi accade poi che anche il ri trovamento del teorema ora pubblicato è avvenuto similmente a quelli prima [detti] ; ho voluto quindi, avendolo scritto, pubblicare quel me­ todo, sia perché ne avevo già prima parlato (sicché non sembri che abbia fatto un vuoto discorso) sia perché son convinto che porterà non piccola utilità nella matematica: confido infatti che alcuni dei matematici attuali o dei futuri, essendo stato loro mostrato questo metodo, ritroveranno anche altri teoremi da noi non ancora escogitati. Scriviamo dunque come primo teorema quello che pure per la prima volta ci apparve per mezzo della mecca­ nica: che ogni segmento di sezione di cono rettangolo è uguale ai quattro terzi del triangolo avente la stessa base c uguale altezza; dopo di ciò ciascuno dei teoremi veduti con lo stesso metodo: al la fi ne del libro scriviamo le dimostrazioni geometriche di quei teoremi dei quali ti mandammo prima gli enunciati . Archi mede, Metodo di Archimede sui teoremi meccanici, ad r.'ratostme, in Archimede, Opere, a cura Ji A. Frajcsc, Urcr, Tori no 1 974, pp. 57 1 -73

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di Pier Daniele Napolica n i

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«i grandi Jclla Scienza» n. 22, supplemento a «Le Scienze» n . '98, .

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pp. IV c V

Ripubblichiamo qui da Archimede. Alle radici della scienza

moderna («i grandi della scienza», n. 22, ottobre 200 l) di ' P. D. Napolitani i c ap i toli (< L'O pera matemati ca» e (( L Ar­ ch imede che oggi abbiamo». Il lettore tenga co nto che si trana dell ' Archimede che avevamo nel 20 0 1 : in questi ulti m i dieci anni sono avvenute i mportanti scoperte ed edizioni. D i amo conto brevemente delle più importanti .

In p rimo luogo nel 2005 James Banker ha scoperto, in un codice della biblioteca Riccardiana di Firenze un auto­ grafo di Pi ero del la Francesca. Il pitto re di Sansepol cro aveva copi ato per intero la traduzione latina del co rpus arch i medeo del l ' u m anista cremonese I acopo da S an Cas­ siano. Ques ta scoperta ha po rtato a un risveglio degl i studi sulla d i ffusione rinasci mentale di Archimede: nel giu gno del 2008 si è tenuto a S i racusa e Messina il co nvegno i n ternazionale A rchimede e le sue ortune d a cui sono em erse impo rtanti novità. In particolare nuovi stud i su Iacopo hanno portato al ritrovamento dell 'autografo della sua trad uzione, che viene così a essere u na base sicura per

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nuove ricerche (cfr. più avanti Archimede � gli artisti e gli u manisti del Quattrocento) . Nel 2004 Reviel Netz ha pub­ blicato i l p ri mo volume del la sua traduzione inglese delle opere di Archimede ( The Works o Archimedes. Vol. l: The two books «On the Sphere and the Cylinder», Cambridge, Cambridge University Press) in cui si tentava per la prima vo lta di dar conto dell a tradizione del le figure geometri che che accon1pagnano i testi archimedei: linea di ricerca che s i sta svil uppando i n modo molto interessante, grazie anche ai contributi d i Ken Saito sulle figure nella tradi­ zione eucli dea e che si è sposata con gl i svi luppi sull ' Ar­ ch imede rinascimentale cui accennavatno qui sopra. Il lavoro d i Netz si inquadrava nel contesto delle ricerche e dei lavori fatti sul palinsesto scopeno da Heiberg e «ritro­ vato» nel 1 998, cui si accenna alla fme del capitolo che qui ripresentiamo. Tal i lavori sono oggi finalmente conclusi: sono usciti nel novembre del 20 1 1 per la Cambridge Uni­ versity Press i due volumi del The Archimedes Palimpsest, a cura di R. Netz, W. N oel, N. Wilson, N . Tchernetska. Nel pri mo volume l o · studioso e i l lettore curioso potranno trovare una completa descrizione codicologica del vetusto esemplare, di cui sono anche delineate le vicende storiche, il lavoro di restauro conservativo e la complessa opera di riproduzione fotografica e digitale, mentre i testi i n esso tràditi sono contestualizzati all'interno delle rispettive tradi­ zioni testuali; nel secondo volmne, invece, Netz e Wilson offrono la trascrizione dei testi di Archimede, a cui fanno seguito quella degl i altri testi contenuti nel codice, fra cui due sconosciute orazioni di lperide e un commento aristotelico. Com e i l lettore potrà facilmente capire, tutte queste novità testuali e codicologiche hanno portato anche a discussioni e ricerche sul modo in cui si debba in terpretare l'opera di Archimede, e sono in corso molti studi e inizia­ tive d i ricerca. Accenniamo solo a due problematiche: la questione del rapporto fra la matematica archimedea (in

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particolare l 'approccio da lui util izzato nel cosiddetto Metodo meccanico) e il ruolo che ebbero i tecnici e gli artisti nel processo di riappropriazione della scienza a n tica nel corso del Rinascimento i tal iano. E qui ndi molto probabile che non solo l'Archimede che avevamo nel 200 l , ma anche quello che abbiamo oggi nel 20 1 2 sia destinato a cambiare rapidamente. I testi che qui ripubblichiamo, qui ndi, devono essere considerati come una semplice guida per seguire gl i sviluppi presenti e futuri. '

L'OPERA

TEMATI CA

Come nel caso di moltissimi altri scri ttori antichi, n o n disponiamo oggi di tutto ciò che Archimede scrisse. Anzi , se si tiene conto che si tratta d i un' opera matematica spesso di ardua comprensione, è quasi un m i racolo che si possa, ancor oggi, leggere tanta parte dei s uoi scri tti . Come si può vedere anche a un esam e affrettato del con tenuto del corpus di testi che ci è pervenuto , la sua opera può essere suddivisa in opere d i geometria di m isura (SC, MC, CS, Sp, QP, L) e «meccan iche» (EP, G c QP) , i n cui si p ropongono modelli geo m etrici per la descrizio n e di fenomeni qual i i l galleggiamento o l'equi li brio o , vi ce­ versa, si util izzano concetti c tecniche d i quegl i s tessi modelli per ricavare risul tati di geo metria. S i noti che l a Quadratura della parabola compare in entrambi gli elen­ chi , dato che il risul tato viene esposto secondo un dupl ice metodo. U n posto a parte occupa poi il Metodo meccanico : in questo testo Arch i mede util izza a man salva con cetti di statica (legge della leva e cen tri di gravi tà) , ma al tem po stesso p resenta 1 suot ragwnamentt co me p uramente eunstici e non come vere e p roprie dimostrazion i . Abbiatn o infine una serie di testi «curiosi» (Ar, St c PB) , i n c u i A rchimede sembra voler fàr sfoggio della sua bravu ra i n •

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Archimede.

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Il primo genio

rmivt-rstt!e

campo aritmetico o geometrico: sono di assai difficile valutazione, anche per lo stato in cui ci sono gi unti. Come dicevamo, il corpus di cui oggi disponiamo è sicuramente incom pleto. L' Equilibrio dei piani appare essere con mol ta probabilità un estratto di un'opera assai più ampia riguardante la meccanica, l'equilibrio e i centri di gravità; Archimede stesso cita più volte un'opera, che chiama Equilibri o Elementi di meccanica, e i n modo da escluder� che si stia rifacendo al testo di cui oggi dispo­ niamo. E anche praticamente certo che dovesse aver com­ posto un'opera riguardante i centri di gravità dei solidi (mentre l'Equilibrio dei piani tratta solo di centri di gra­ vità di figure piane) : nel Metodo, inEuti, descrive come era arrivato a determ i nare euristican1ente il centro di gravità del paraboloide, del semiellissoide e dell'iperboloide, oltre a elencare una serie di risultati relativi al centro d i gravità del cilindro e del cono. Il risultato sul centro di gravità del paraboloide è poi citato e util izzato espl icitamente in più p assi del secondo libro dei Galleggianti. Allo stesso modo nell'Arenario fa riferimento a una sua opera sui grandi numeri inviata a un certo Zeusippo, il cui contenuto, presumibilmente, corrispondeva almeno in parte a quello dell'Arenario stesso. Oltre a queste, gli autori antichi attribuiscono ad Archi­ mede varie opere. Erone e Pappa citano suoi lavori sui poliedri semiregolari; Pappa parla di un trattato Sulla bilan­ cia; varie testimonianze gli attribuiscono lavori di ottica e sulla costruzione di planetari e di orologi ad acqua. Gli autori arabi, infine, ci segnalano una serie di testi di geome­ tria piana, in particolare uno sulla costruzione dell'ettagono regolare e sui cerchi mutuarnente tangenti. Anche da questi brevissimi cenni si può vedere come l'opera di cui oggi disponiamo possa essere paragonata ai resti di un tempio greco. Abbiamo qualche colonna, parti del fron tone, alcuni elementi dci fregi. Ma il tempio

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originale è irrimediabil mente perduto: e gl i storici che studiano oggi l'opera di Architnede non posso no fa r al tro che comportarsi come archeologi che ricostruiscono i po­ teticamente un edificio antico. U no dci prim i problemi che si pongono allo storico­ archeologo che voglia tentare un' ipotesi di ricostruzione è quello del l 'p rdinamcnto del l e va rie opere che ci s o n o pervenute. E un problema d i duplice natura. Si tratta d i ricostruire sia l'ordine cronologico con cui esse furo no com poste, sia quello del ritrovamento dci singo l i risul tati . I n fatti l'ordine con cui esse si presentano o si presen tavan o nei vari manoscritti che ce l e hanno tram andate (e che Heiberg ha segu ito) ha ben poco a che fare con que l l o d i scoperta o di composizione. Richiede uno stud io assai accurato dei contenuti delle opere, del le lettere che l e accompagnano, dci metodi di1nostrativi uti l izzati . A rchimede nefftl matematica greca

Un altro problema co nsiste nel collocare Architnede nel co ntesto della matematica del suo tempo. E anche q uesto non è compito f�1ei le. Non è i n fatti per nulla chi aro che cosa sia avven uto nella geometria d i m isura g reca fra Eudosso ( c la sistemazione dci suoi risultati operata da Euclide) c Archimede. Quali p roblemi erano stati affron­ tati? Quali erano ancora aperti ? P i ù d i fficile anco ra è collocare gli studi meccanici di Arch i mede, dato che i suoi stessi testi sembrano aver sub i to m utilazioni c al tera­ zioni piuttosto profonde. I nfine, l'uso che Archi mede fa delle sezioni con iche, se da un lato è assai importante p e r cercare di capi re lo status d i questa teoria pri n1a dell a sistemazione che ne avrebbe fatto Apollonia (ci rca 2601 80 a.C.) , dall'altro rende spesso d i fficile ricostrui re esat­ ta mente il pensiero arch i medeo.

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Archimt'de. Il primo gmio universak '

E, questa, una delle principali difficoltà che si incontrano nello studiare l'opera del matematico siracusano, dato che . . un matemanco non puo nemrneno concepue 1 suo1 problemi di ricerca fuori da una comunità che lo ascolti c lo critichi. Lo storico è qui aiutato e intralciato al tempo stesso da una delle caratteristiche dell'opera di Archimede: egli non scrive trattati, non scrive Elementi. Scrive per i mate­ matici della Scuola di Alessandria: Canone, Dositeo, Era­ tostene, Aristarco e i molti altri che con1paiono in penom­ bra sullo sfondo delle sue lettere. C'è chi ha scritto che i trattati di Archimede assomigliano a un articolo di matematica inviato a una rivista: e sono altrettanto difficili da leggere. Moltissimi passi delle dimo­ strazioni sono appena accennati, lasciando al lettore mate­ m atico il compito di colmare le lacune; il testo è ricco di riferimenti a opere che ora non possiamo più leggere e ­ spesso nemmeno identificare con precisione. In certi casi (per esempio all'inizio della Quadratura della parabola) sono addi rittura ornesse le dimostrazioni di intere proposi­ zioni, e il lettore è rinviato a non meglio specificati Elementi. Insomma: studiare Archimede è difficile, con1porta una rei nterpretazione costante del testo. Eppure proprio que­ sta sua difficoltà ha spesso p ermesso agli storici della matematica di avanzare ipotesi e congetture sullo stato della nlatematica dei suoi tempi . Per citare solo un esem­ pio, è particolarmente notevole che egli si discosti dal la definizione euclidea di proporzionalità e che sembri far riferimento a una teoria delle proporzioni diversa da quella codificata negli Elementi di Euclide. Ed è forse il caso di osservare fin d'ora che questa neces­ sità di reinterpretazione fece della riscoperta dei testi di secolo uno dei motori che avviàrono il Archimede nel grande rinnova mento della matematica nel secolo succes­ sivo. Perché leggere Archimede signifi ca impad ronirs i di un m ondo mate mati co: e se oggi lo storico della scienza antica '

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cerca di ricostruire attraverso lo studio della sua opera che cosa fosse c lungo quali linee si stesse sviluppando la mate­ matica greca, l'analogo sforzo compiuto dai matematici umanisti del Cinquecento condusse a una nuova interpre­ tazione dei compiti e dei metodi della ricerca matematica. Ma su questo argomento torneremo più avanti. Prima di occuparci della diffusione di Archi mede all'i ni­ zio dell'Età moderna sarà i n fatti bene rendersi conto di quanto avvenne della sua opera nel mondo antico. Con1e abbiamo appena detto, le sue opere vennero studiate a Alessandria: oltre ai riscontri che ci offre la corrispondenza di Archimede con i matematici alessandrini, sappiatn o per ese mpio che Apollonia aveva ripreso i suoi studi sulla deter­ minazione di un valore approssimato del rapporto fra cir­ conferenza c d i a met ro Ciò nonostante, il processo di di­ spersione e di muti lazione del corpus dei suoi scritti i niziò piuttosto presto. Alle cause accidentali (quali i celebri in­ cendi della biblioteca di Alessandria) bisogna aggiungerne subito un'altra: molti degli scritti di Archimede erano assai difficili e specialistici e, probabil mente , andavano ben al di là degli interessi di ricerca dei matematici ellenistici. In parti­ colare, Archi mede aveva portato la geometria di misura alla sua ctù min azi on c Se si tiene con to del fatto che l a geo metria greca non si occupa di oggetti generali, è facil e rendersi conto che, dopo Archi mede, rimaneva ben poco da fare. Vale la pena di sottolineare questo punto. A rc hi m ede non aveva fondato niente che possa anche vagamente somigliare a una « teoria d el l ' i n tegrazione » : aveva s em pli­ cemente misurato qu asi tutti gl i oggetti che potevano essere misurati con gli strumen ti del calcolo del le propor­ zioni. Ne aveva , probabi l mente , addirittura inventato d i nuovi: le spi ral i, le unghie cilindriche, le intersezioni di cilindri e forse anche gli stessi conoidi e sferoidi. Ma l a sua opera non aveva posto nessun p roblema che potesse al i­ mentare veramente la rice rca successiva. .

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Archimede. 1/ primo genio uni versale

Con una geni al i tà difficilmente uguagliabile, aveva p roposto e risolto problemi che chiudevano la ricerca piuttosto che aprirle nuove strade. Ne è una prova il fatto che nelle Collezioni matematiche di Pappa (III-IV secolo d.C., l'ultimo grande matematico dell'antichi tà) non si trovano significativi cambiamenti rispetto ai problemi che avevano occupato Archimede quasi sette secoli prima: il risultato di maggior rilievo è il cosiddetto teorema di Pappo-G uldin che collega i centri di gravità d i una figura piana al volume del solido di rotazione che essa genera. Un teorema importante, generalizzatore, certo: ma espresso i n term ini assai oscuri e privo di dimostrazione. Un ch iaro segno di come la matematica archimedea abbia sostanzial­ mente segnato il passo per più di settecento anni. Le parti più difficili della sua opera non furono dunque molto lette, né sviluppate. Cmne osserva Eduard Dijkster­ huis nel suo Archimede, «è sorprendente osservare con quanta genericità autori quali Erone di Alessandria [I d.C.] commentino le scoperte di Archimede e come sia stata trascurabile in tutto il mondo antico l'influenza dei suoi lavori idrostatici». Ma anche le opere di carattere più fon­ damentale quali la S era e il cilindro, la Misura del cerchio, il primo libro dell' Equilibrio dei piani subirono un processo parallelo di trasformazione e di mutilazione. G ià nel I I secolo a.C. Diane e D ionisodoro non disponevano più di una dimostrazione che Archimede asserisce di aver scritto alla fine della proposizione 4 di SC.II. Eutocia {che, come vedremo fra un attimo, commentò alcune opere di Archi­ mede nel VI secolo d.C.) attesta che questa dimostrazione mancava da tutti i codici della S era e il cilindro da lui consultati, e che solo dopo lunghe ricerche si era imbattuto in un frammento ormai poco leggibile ma scritto in dialetto dorico (il greco che veniva parlato a Siracusa e in cui Archimede compo se tutte le sue opere) , che gli sembrava attribuibile a Archimede.

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A rchimede nella tarda antichità \

E questa una conferma che gl i aspetti p i ù ardui della sua opera tendevano a essere esp unti o quantomeno trascu­ rati. Ma le opere che abbiamo qui sopra citato fu rono spesso trasfigura te, a scopi d ivulgati vi. La Misura del cerchio c la S era e il cilindro furono tradotte in dialetto ani co; il testo che oggi possed iamo dell a Misura del cerchio è in dubbiamente un frammento (o forse un estratto a uso scolastico) di un'opera che ai tempi di Eutocio non esi­ steva già più. Considerare il pri m o l ib ro dell' Equilibrio dei piani come un'opera co mpleta mente genuina non regge al le cri tiche i n terne ed esterne che Berggren, Souffri n c al tri studiosi hanno sol levato; p robabilmente, deve essere considerato anch'esso un estratto di un 'opera arch imedea di più ampio respiro. Dopo Pappa, e con la decadenza generale dd mo ndo antico, la conoscenza dei testi d i Archimede pare dunque circoscri tta a poche opere, probabi l mente soltanto quelle cui abbiamo ora accennato, e che per di più dovevano circolare in versioni ormai fortem ente adulterate. Al l ' i n i­ zio del VI secolo, Eutocia d'Ascalona, uno dei discepoli della scuola alessandrina del n eo p l a to nico Amm o n i o , scriveva un commento alla S era e il cilindro, alla Misura del cerchio e all Equilib rio dei piani. Dal lavoro di Eutocia emerge che il testo di cui egl i dispo neva non doveva scostarsi molto da quello di cui oggi dispon iamo. Ma, soprattutto, dalle sue parole risulta che - nonostante le accurate ricerche da lui condotte Eutocia era inconsa­ pevole del fatto che Arch imede aveva scri tto la Quadra­ tura della parabola e le Spirali. I l l avoro di Eutocia fu letto e studiato da Antcmio d i Trallc (mo rto nel 534) c da Isidoro di Mileto, archi tetti entrambi i mpegnati nei lavori di ricostruzione di Santa '

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Archimede. Ii primo genio

universale

Sofia a Costantinopoli. lsidoro incoraggiò lo studio dei trattati commentati da Eutocio nella sua scuola, salvando così quanto rimaneva i n circolazione dell'opera di Archi­ mede alla fine del mondo antico. Qualche secolo dopo, sempre a Bisanzio, si sarebbe riacceso l'interesse per la matematica del grande siracusano, e da lì il testo di Archi­ mede avrebbe trovato la strada della diffusione nell'Occi­ dente latino, per arrivare fino a noi.

L'ARCHIMEDE CHE OGGI ABBIAMO

La tradizione del testo no al XIX secolo Prima di cominci are a esaminare l'opera di Archimede sarà comunque bene che ci facciamo un'idea della tradi­ zione del testo che oggi possiamo leggere nell'edizione critica di Heiberg. Non bisogna dimenticare infatti che un testo ha una sua storia: ventitré secol i ci separano da Archimede. E non solo non possediamo l'autografo delle sue opere, ma nel corso di questi secoli i suoi scritti sono stati copiati, manipolati, tradotti, riscritti. Nel 1 269 Guglielmo di Moerbeke tradusse in latino, basandosi su due manoscritti greci (codice A e codice B : seguiamo i sigla di M. Clagett; Heiberg indica B con una B gotica) , quasi tutto il coryus arch imedeo, con l'eccezione dello Stomachion, del Problema dei buoi, del Libro dei lemmi e eccezione assai importante del Metodo. E da notare che i Galleggianti erano contenuti solo nel codice B , di cui si sono perse le tracce dopo il l 3 1 1 . La traduzione di Moerbeke attraversò varie vicende, fino ad approdare defi nitivamente, nel 1 740, alla B iblioteca Vaticana, dove si trova tuttora. In particolare esso servì come base all'edi'

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zione di alcune opere archim � dee che N iccolò Tartaglia pubbl icò a Venezia nel 1 543. E bene osservare che Tarta­ glia lasciava intendere di aver tradotto egl i stesso dal greco le opere che pubbl icava e che fra d i esse si trovava anche il testo del primo libro dei Galleggianti. Nel 1 565 l'edizione di Tartaglia fu pubblicata nuovamente, postuma; e i n quello stesso anno usciva il rifacimento della traduzione di Moerbeke dei Galleggianti approntato dal l'umanista e matematico Federico Commandino. I l codice A andò perduto nel corso del XVI secolo, ma aveva lasciato d ietro di sé una numerosa progenie. Non solo ne fu rono fatte varie copie nel corso del XV e dd XVI secolo, ma verso i l 1 450 era stato tradotto i n larino dal­ l'uman isra Iacopo da San Cassiano . Il testo greco di una copia di A e la trad uzione di Iacopo servi rono come base dell' editio princeps greco-latina del testo di Archi mede che uscì a Basi lea nel 1 544. Da tale edizione mancava, ovvia­ mente il testo dei Galleggianti. I secol o furono pubblicate Nel corso del XVI e del diverse altre edizioni, traduzioni e rifaci menti del l'opera di Archi m ede, basati però o sul l 'edizione di Bas ilea, o su copie della traduzione di Moerbeke o ancora sullo stud io parziale di una delle varie copie del codice A. I l Libro dei lemmi fu recuperato nel 1 65 7 (e successivamente nel 1 66 1 ) con la pubblicazione del la parafrasi che ne aveva fatto i l matematico arabo Thabit ibn Qurra ( IX secolo) ; nel 1 773 Lessi ng pubblicava un epigram ma greco in cui è form ulato il testo del Problema dei buoi. No nostante questo fiorire di edizion i , studi e tradu­ zion i anche i n l i ngue moderne, i l problema di recuperare il testo sulla base dello studio della sua trad izione non fu nem meno posto fino alla fine del Settecento, quando G iuseppe Torell i si dedicò a una nuova edizione del testo greco che fu pubblicata postuma a Oxford nel 1 792. Oltre a forn ire una nuova traduzione latina, To rcH i si

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Archim�de.

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1/ pri1no genio -

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pose il problema di stabilire un testo filologicamente p i ù corretto e collazionò il testo greco dell' editio princeps di Basilea con alcùne copie del manoscritto A. Anche se il lavoro filologico di T orelli non era certo sufficiente, per la prima volta era stato posto il problema di stabilire un testo critico dell'opera di Archimede. Il lettore dovrebbe tenere presente che molte delle informazioni che abbiamo fornito in questa breve cronaca non erano disponibili alla fine del Settecento. Non si sapeva, per esempio, che le copie del testo greco allora reperibili discendevano tutte da un unico progenitore, o archetipo (il codice A) ; non si sapeva su quale testo latino si fosse basato Com mandino per la sua edizione dei Gal­ leggianti; non si sapeva che il testo pubblicato da Tartaglia non era una traduzione originale dal greco, ma una copia della traduzione di Moerbeke; e , se è per questo, non si sapeva nemmeno che Moerbeke avesse tradotto Arch i­ mede e che ·un'antica traduzione latina di Archimede si potesse trovare fra i fondi della Biblioteca Vaticana. L 'edizione critica di Heiberg

Lo sviluppo della filologia classica nel corso dell'Ottocento avrebbe ben presto toccato anche Archimede. Nel 1 807 François Peyrard pubblicava una traduzione francese. Nel 1 828 il cardinale Angelo Mai (l'«ltalo ardito» della canzone di Leopardi) pubblicava alcuni frammenti di un testo greco dei Galleggianti che aveva ritrovato nella Biblioteca Vati­ cana, di cui era bibliotecario: sembrava dunque che un nuovo tassello si aggiungesse al quadro. Nella prima metà dell'Ottocento furono pubblicate varie traduzioni tedesche di singole opere del corpus allora conosciuto. secolo, il problema Ma, fino agli anni settanta del della costituzione del testo critico dell'opera archimedea

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non era ancora stato posto seriamente. Fu il danese Johan Ludvig Heiberg ( 1 8 54- 1 928) a tentare per primo questa avventura. Tra il 1 875 e il 1 878 Friedrich Hultsch aveva pubblicato la sua edizione critica del le Collezioni di Pappa e aveva, per così dire, aperto la strada alla filologia «matema­ tica» classica. Dopo alcuni studi preliminari, che l'avevano condotto a proporre l'edizione critica del l'Arenario ( 1 879), Heiberg pubblicava nel 1 880-8 1 con la Teubner di Lipsia le A rchimedis Opera omnia accompagnate da una sua tradu­ zione latina. In questi lavori, si era fondato quasi esclusiva­ mente sul fatto che tutti i manoscri tti archi medei che aveva consultato risultavano discendere da un archetipo com une, e precisamente il codice A. Per i Galleggianti, che erano assenti da questa l inea testuale, Hei berg si fo ndò sull'edi­ zione di Tarraglia e sui frammenti pubblicati da Mai: credeva infarti che il testo di Tartaglia fosse una traduzione di un originale greco andato perduto c che i frammenti di Mai fossero genuine testimonianze antiche. L'edizione di Heiberg non era - si può di re ancora usci ta, che Valentine Rose scoprì alla Biblioteca Vaticana i l manoscritto Ottoboniano latino 1 8 50 contenente la tradu­ zione di Moerbeke del corpus archimedeo. Questa scoperta rimetteva in discussione tutto il lavoro compiuto dal filo­ logo danese. Lo studio del manoscri tto vaticano lo portò alla conclusione che i l traduttore potesse venire iden ti ficato con Gugl ielmo di Moerbeke e, soprattutto, che la tradu­ zione fosse stata condotta utilizzando non solo il codice A, ma anche un al tro manoscritto. Inoltre Moerbeke aveva utilizzato uno stile di traduzione estremamente letterale, il che permetteva di utilizzare i l suo lavoro quasi come un altro testimone del testo greco. Su queste basi Heiberg poté dimostrare che l 'edizione tartagli ana era soltanto una copia (e di scarsa qualità) della traduzione di Moerbekc c confer­ mare la conclusione cui era arrivato qualche anno prin1a, e cioè che i frammenti pubblicati da Mai altro non erano che

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Archimede. !/ primo genio tmiversalt -

una traduzione in greco antico, eseguita nel corso del secolo, del testo latino di Moerbeke. Con questi suoi lavori, del 1 890, molte tessere del puzzle avevano trovato una collocazione. Frattanto Hei­ berg non era certo rimasto inoperoso: è grazie a lui se oggi disponiamo di edizioni critiche di Euclide ( 1 8 8 3-8 5 , 1 895) e di Apollonia ( 1 89 1 -93) . Fu forse un bene che, impegnato nelle edizioni euclidee e apolloniane, Heiberg non rimettesse subito le mani su quella archimedea. In­ fatti, nel 1 899 il suo collega H. Schone, che collaborava con Heiberg all'edizione delle opere di Ero ne, lo informò di aver letto in un catalogo della biblioteca del Patriarcato di Gerusalemme qualcosa a proposito di un palinsesto matematico che si trovava a Costantinopol i. Un palinse­ sto è un manoscritto da cui è stato raschiato o lavato via lo . . . scritto esistente, e su cm e stato scrttto nuovamente. (Leopardi dedicò la sua canzone a Angelo Mai perché aveva trovato, in un palinsesto appunto, i libri del De republica di Cicerone.) Il catalogo in questione era stato compilato dallo studioso greco A.I. Papadopoulos-Kera­ meus, il quale aveva anche riportato un paio di righe del testo matematico soggiacente, senza però identificarlo. A Heiberg bastò un'occhiata per rendersi conto che si trat­ tava di un frammento della S era e il cilindro. Ci si p uò facilmente immaginare la sua agitazione. Heiberg cercò prima di avere in prestito il palinsesto, scontrandosi però con un rifiuto. Di fronte a questa situazione, decise di recarsi a lstanbul, cosa che riuscì a fare solo nel 1 906. Qui l'attendeva una scoperta straordi­ naria: lo scritto matematico (che risaliva al X secolo) non solo conteneva davvero la S era e il cilindro, ma anche la Misura del cerchio, le Spirali, l'Equilibrio deipiani. Inoltre - tniracolo? conteneva il testo greco dei Galleggianti che aveva dato per perso pochi anni prima. Ma le sorprese non erano finite : nel manoscritto che stava studia ndo, Heiberg .

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Approjòndirnmti

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trovò miracolo! - un'opera con1pletamente nuova, as­ sente dalla tradizione testuale che aveva studiato fino ad allora: il Metodo meccanico, i n cui Archimede raccontava a Eratostene le procedure eu ristiche che aveva segu ito per scopri re i suoi risultati. La scoperta imponeva una revisione com pleta dell'edi­ zione. L'anno dopo pubbli cava, con H . G . Zeuthen, il testo del Metodo, accompagnato da un commento mate­ matico. Si può avere un'idea dell 'impressione che destò la scoperta pensando che i l New York Times pubbl i cò la notizia in p rima pagina i l 1 6 l uglio 1 907; e si pensi all'aspetto davvero m iracoloso del recupero, a distanza di mille anni, di un testo così importante. L'edizione defini­ tiva, basata sullo studio del pali nsesto (codice C) ritrovato e a Costantinopoli e della traduzione di Moerbeke corredata dall'edizione dei com menti di Eutocia sarebbe uscita nel 1 9 1 0- 1 5 . Ed è quella su cui ci basiamo ancora oggt . •

Da Costantinopoli a Baltimora: breve storia del codice C

La storia del codice C è così affascinante e la sua recente riscopcrta - perché, subito dopo Hciberg, andò perduto un'altra volta - pone così tanti problemi di critica testuale che vale la pena di raccontarla brevemente. Com e ab­ biamo accennato, sembra che verso il VI secolo la maggio r parte dell'opera archimedea fosse andata dimenticata. Nei secoli successivi , l ' i m pero b izan tino dovette affrontare pesanti sfide di sopravvivenza: la nascita dei i' Islam e l'e­ spansionismo arabo da una parte, le i nvasioni bulgare dall 'al tra. Tempi duri e bui, che non favorivano certo gli studi e meno che mai quell i d i geometria superiore. F u solo nel IX secolo che, con l'avvento della dinastia mace­ done, l'arte e la cultura bizantina conobbero una vera

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Archimede. Il primo genio uniz,ersale

rinascita. E fu nel IX-X secolo che furono prodotti a Costantinopoli i tre manoscritti greci di cui abbiamo parlato qui sopra: i codici A, B e C. Nei secoli successivi A e B presero la via dell'Occidente. Al codice C era riservato un destino ben più avventuroso. I codici di cui stiamo parlando erano scritti in perga­ mena. L'invenzione di questo materiale e del libro rilegato (codex) che conosciamo oggi aveva costituito una rivolu­ zione nella trasmissione del sapere. Prima del codice in pergamena si util izzava il rotolo di papiro. Ci sono alcune differenze fondamentali fra questi due oggetti . La prima è che la pergamena è assai più durevole: i papiri antichi che possiamo leggere oggi sono stati conservati grazie a circo­ stanze eccezionali, quali l'eruzione del Vesuvio che di­ strusse Pompei e Ercolano o il clima asciuttissimo delle sabbie egizie. La seconda è che il rotolo è assai meno comodo da leggere e da consultare di un libro: per leggere un passo che si trovi verso la metà di un rotolo è necessario svolgerlo quasi tutto. Un rotolo non si può sfogl iare; il libro invece permette una grande facilità di consultazione. Questa innovazione tecnologica contribuì alla scomparsa di moltissime opere antiche: ci sono pervenute essen­ zialmente solo quelle che furono copiate dai rotoli ai codici in pergamena. Ma la pergamena è costosa. E rara. E nei tempi difficili del Medioevo bizantino, quando la salute dell'anima sem­ brava assai più importante del diletto spirituale che si poteva trarre dal meditare sui teoremi archimedei, uno scriba sconosciuto che era in possesso del codice C decise di utilizzarlo per farne un eucologio: u n libro di preghiere e di esorcismi atti a tenere alla larga gli spiriti immondi. Fra il finire dell'Xl secolo e l'inizio del XII il manoscritto di Archimede fu sfasciato e ahimè, la pergamena permette queste operazioni raschiato. I fogli di cui era costituito furono divisi a metà e piegati ortogonalmente alla linea di

Approfondimemi

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scrittura. Con essi f\.1rono costituiti nuovi quaderni e in questi venne scritto il nuovo testo. Il testo di Archimede, che pur essendo stato raschiato continuava a essere leggibile, rimase sepolto sotto le salvi fiche preghiere. Evidentemente tali preghiere dovevano dawero avere il potere di tenere lontani gli spiriti maligni della distruzione, visto che Heiberg, col solo aiuto di una lente di ingrandi­ mento, riuscì a decifrare gran parte del manoscritto. Ma continuiamo a seguire l'incerto destino del codice C. Non è chiaro quando, ma a un certo punto (forse nel XVI secolo) esso lasciò Costantinopoli e finì nella biblio­ teca del convento di Mar Saba, una sorta di cenobio­ fortezza costruito nel deserto della Giudea, non distante da Betlemme. E qui rimase per molto tempo senza dare alcun segno di vita. Tuttavia, nel corso della prima metà dell'Ottocento, la biblioteca di Mar Saba fu incorporata nella biblioteca del Patriarca greco-ortodosso di Gerusa­ lemme. Il codice C seguì il destino dei suoi fratelli in pergamena, solo che da Gerusalemme venne portato al Metochion di Costantinopoli, una sorta di chiesa « figl ia>> della chiesa del Santo Sepolcro di Gerusalem me. Nel 1 844 i l grande biblista tedesco Constantin von Tischendorf ( 1 8 I 5 - 1 87 4) viaggiava in Medio Oriente alla ricerca di antich i testimoni del testo b iblico. Tischen­ dorf era un pers q naggio degno di comparire in un film di Indiana Jones. E un peccato non poter raccon tare nei dettagli la sua scoperta del fam oso Codice sinaitico, uno dei più antichi testimoni dell'Antico e del Nuovo Testa­ mento: ne scoprì per caso alcuni fogli nel convento di Santa Caterina del Sinai (altra specie di convento-for­ tezza) che i monaci usavano per accendere il fuoco. Riuscì a farseli dare e a pubblicarli, ma per avere il resto dovette compiere altri due viaggi e far intervenire addi rittura lo zar di tutte le Russie, Alessandro II. Ma questa è, appunto, tutta un 'altra storia.

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Archimede. Il primo gmio universale

Sta di fatto che nel corso di questo viaggio Tischendorf ebbe modo di vedere il palinsesto, che ormai si trovava a Istanbul. Non gli sembrò interessante (ricordiamo: era un filologo biblico e cercava testimoni della Bibbia, non libri di p re iere) , ma avendo osservato che si trattava di un palin­ sesto che conteneva un testo matematico, pensò bene di prendersene un foglio che andò ad arricchire il bottino che aveva messo insieme in quel viaggio. Nonostante che nel suo Reise in der Orient ( Viaggio in Oriente, Lipsia, 1 846, tradotto poi in inglese l'anno successivo) raccontasse dell'e­ sistenza di un palinsesto matematico, la scoperta di Ti­ schendorf passò inosservata, anche se forse può aver contri­ buito ad attirare l'attenzione di Papadopoulos-Kerameus sul manoscritto del Metochion, il cui catalogo avrebbe poi provocato il viaggio di Heiberg a Costantinopoli. Che cosa volesse fare di questo foglio non è chiaro; sta di fatto che alla morte di Tischendorfi manoscritti da lui raccolti che erano rimasti in mano degli eredi furono venduti alla Cambridge University Library. E fra essi si trovava anche il frammento archimedeo: prese la via dell'Inghilterra senza che nessuno si accorgesse di che cosa si trattava. E ci sarebbe voluto un bel po' pri ma che qualcuno se ne rendesse conto: nel 1 963 la paleografa inglese Patricia Easterling menzionò l'esistenza di un palinsesto matema­ tico fra le collezioni di Cambridge; ma sarà solo nel 1 983 che il filologo inglese Nigel Wilson (Lincoln College, Oxford) riusci rà a identificare il frammento come un brano della S era e il cilindro proveniente dal codice C. Il che migliorava le nostre conoscenze del testo archime­ deo, ma non di molto. Infatti il codice C era andato perduto un'altra volta, nei disordini seguiti alla fine della Prima guerra mondiale, alla sconfitta dell'Impero otto mano e alla rivoluzione da cui sarebbe uscita la Turchia moderna. Il palinsesto scomparve dalle collezioni che la Chiesa greca ortodossa fece trasferire alla Biblioteca nazionale di Atene.

Approfondimenti

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In effetti era finito nelle mani di un collezionista privato parigino che lo sequestrò all'umanità (fra l'altro conservan­ dolo piuttosto male) . D i conseguenza per tutto il corso del XX secolo, l'unico filologo che avesse avuto modo di stu­ diare questo documento era stato Heiberg. E Hei berg aveva fatto quello che aveva potuto co n la sua lente di ingrandi mento. Quando studiò il manoscritto non disponeva d i una lampada a raggi ultravioletti, stru­ mento oggi com une nella maggior parte delle biblioteche e assai utile per leggere testi fortemente compromessi. Meno che mai disponeva delle tecniche di trattamento delle immagini di cui disponiamo oggi. Di conseguenza la sua lettura del codice C, frutto di uno sforzo eccezionale, concentrato in un piccolo arco di tempo, reca ben visibili i segni del modo con cui Heiberg dovette p rocedere: in molti casi non poté leggere intere pagine, i n moltissimi dovette procedere per congetture. Questa si tuazione camb iò radicalmente nel 1 9 9 8 . Il palinsesto archimedeo riapparve sul mercato an tiquario e fu messo all'asta da Christie's a New York. Il governo e il patriarcato greco ortodosso di Gerusalemme ci tarono Christie's in tribunale, sostenendo che il manoscri tto era posseduto illegalmente. Rifiutarono persino un'offerta di acquistarlo fuori asta per 400 000 dollari (la m età del prezzo stabilito dalla casa come base d'asta) . Il giudice americano diede loro torto, e il 29 ottobre un ignoto miliardario se lo aggiudicava per la modesta cifra di due mil ioni di dollari. Dico «modesta» senza alcuna inten­ zione ironica. Se si pensa che s i tratta del più antico testi mone dell'opera di Archimede, che esso è i ndipen­ dente da tutti gli altri esistenti, che è l'unico testimone che ci permette la lettura del testo greco dei Galleggianti e soprattutto - che è l'unico testimone del Metodo, si può ben dire che due milioni di dollari non furono poi una cifra così alta. Verrebbe da domandarsi perché nessun

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Archimede. I/ primo genio universale

governo d'Europa abbia voluto intervenire seriamente (il governo greco partecipò all'asta, ma senza investire abba­ stanza fondi da battere un miliardario privaro) per garan­ tire il possesso pubblico di un documento di tale eccezio­ nale importanza, che costituisce una delle radici più pro­ fonde del nostro retaggio culturale. Non tentiamo nem­ meno di dare una risposta a questa domanda indiscreta: ma cosa sarebbe successo se l'ignoto m iliardario che oggi lo possiede avesse deciso di farsi seppellire insieme al palinsesto come il giapponese che vuole farsi seppellire con un Van Gogh? Per fortuna non è andata così. Anzi. Il proprietario (pur scegliendo di rimanere nell'anonimato) ha concesso alla Walters Arts Gallery di Baltimora di studiare il mano­ scritto. Affidato alle cure di Abigail Quandt, che si è occupata in passato anche dei famosi manoscritti del Mar Morto, il palinsesto è stato sciolto dalla sua legatura e restaurato. L'ordine delle pagine originali verrà ricosti­ tuito e, grazie alle tecniche di miglioramento dell'imma­ gine attualmente disponibili, sarà possibile ottenere una sorta di «Archimede digitale» che permetterà di studiare il testo originale. L'équipe di studiosi guidati da N igel Wil­ son e da Reviel Netz della Stanford University condurrà anche studi sulla chimica degli inchiostri utilizzati, sul tipo di scrittura, sulla struttura del codice e sulla sua millenaria, straordinaria storia. �.,l ..

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L 'Archimede di ftlcopo da !:Jìm Gà.rsiano

Pubblichian1o qui, per gentile concessione degli autori, il testo della relazione Diagrammi e :gure tradotti dal greco in latino: l'Archimede di Iacopo da San Cassiano, tenuta da Paolo d'Alessandro e Pier Daniele Napolitani al convegno interna­ zionale Texte et Image. La transmiission de données visuelles dans la littérature scienti que et technique de l'Antiquité à la Renaissance, ObseiVatoire dc Paris, 4-7 maggio 20 l O . Il testo qui forni to corrisponde, con m i n i me modi fiche, a quello che fu effettivamente letto al convegno; u na versione più ampia è i n corso di pubblicazione negli Atti del convegno stesso.

l . Intorno alla metà del Quattrocento l' uman ista crem o­ nese Iacopo da San Cass iano, canonico regolare e doctor artium, si trasferì a Roma, presso la corte di N i ccolò V. Term i nava così , per ragioni i n parte oscu re, il suo lungo soggiorno mantovano, durato ci rca diciassette a n n i , du­ rante i quali aveva studi ato e i nsegnato alla « G i ocosa» di Vittori no da Fel tre, divenendone il successore e assu-

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Archimede. Il primo genio universak

mendo nel contempo l'ufficio di precettore dei figli del m archese Ludovico Gonzaga1 • Epossibile che a Roma egli si sia portato una copia di quei mathematicorum libri, presumibilmente greci, che vari anni prima Francesco Filelfo aveva prestato al suo maestro Vie­ torino e che poi Iacopo aveva trattenuto presso di sé più di quanto desiderasse il legittimo proprietario, forse proprio allo scopo di trascrivedi coscienziosa mente2• Fatto sta che, presso la corte pontificia, Iacopo da San Cassiano dovette distinguersi ben presto per le proprie competenze matematiche e per la conoscenza della lingua greca. Lo dimostrano i delicati incarichi affidatigli da Niccolò V nell'ambito del vasto progetto di traduzione della letteratura greca avviato sin dall'inizio del pontifi­ cato , e cioè da un lato la revisione dell A lmagesto di Tolomeo nella versione latina di Giorgio Trapezunzio3, e - dall'altro la traduzione della Bibliotheca di Diodoro S iculo, da realizzarsi in collaborazione con Poggio Brac­ ciolini e Pier Candido Decembrio4• '

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1 Su Iacopo si veda la sintesi di M . Palma, s. v. Cassiani, Iacopo, Diziona� rio biografico degli italiani, XXI, pp. 478 sg. U no srudio com piuro sulla

figura di Iacopo e sulla sua traduzione di Archimede si uò trovare in Paolo d'Alessandro c Pier Daniele Napolirani, L 'Are imede latino.

Iacopo da San Cassiano e il corpus archimeaeo alla metà del Quattrocento,

di rossima pubblicazione nella collana ((Scicnce et Humanisme)), Les Be les Lettrcs, Parigi. 2 La vicenda si può ricostruire sulla base delle lettere indirizzare dal Filclfo a Catone Sacco e allo stesso Iacopo tra il settembre c il novembre del 1 440 e raccolte nel libro IV degli Epistolarum Frtmcisci Phiklphi libri XVI, Impressi Venetiis, Studio & diligentia Bernardini Corii Cremonensis, 1 4 89. 3 Sull'atdvità del Trapezunzio alla corte di Niccolò V si veda John Monfasani, George of Trebizond: A Biograpby and tl Study of His Rhetoric and Logic, Brill, Leiden 1 976, pp. 69- 1 1 3. 4 In proposito si veda Val eri o SanzoHa, Il 'primum exemplar' del Diodoro

Siculo tradotto da Iacopo di San Cassiano (con correzioni autografo): Il codice 709 della Biblioteca Casanatense di Roma, ((Segno c testo)), vol. V,

2007' pp. 407-420. '

Approfondimenti

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I n particolare, la traduzione d i Diodoro avrebbe do­ vuto rapp resentare la definitiva consacrazio ne del cano­ nico di San Cassiano qual e stretto coll abo ratore della pol i ti ca cul turale del papa umanista , ma la morte sop rav­ venne a far svanire i sogni di gloria e l'impresa, per quanto è a tutt' oggi noto, rimase interrotta alla metà del libro XIV. Sembra du nque probab i l e che la prima traduzio n e portata a term i ne da Iacopo (pri ma o dopo i ) suo trasferi­ mento a Ro ma) sia stata quel l a del l e opere d i Archi mede, di cui peral tro esis teva già una precedente versione lati n a del D uecento, dovuta a Gugl i el m o d i Moerbeke, m a ri masta , N i kolaus von Kues, Werke, Neueausgabe des Strassburger Drucks von 1 488, hcrausgegeben von Pau! Wilpert, vol. Il, W. de G ruytc:: r , Ber l i n 1 967, p. 388. Per la datazione del De mathematicis complementis il Cusano, i n una lettera del 1 4 settembre 1 453 all'a bare del monastero di Tc::gernsee Caspar Aindorffer, diceva di aver scritto in quei giorni un «libellum ad sancrum dominum Nico­ laum papam�>. La redazione definitiva dell'opera, con l 'aggiunta di u n secondo l ibro, fu invece porcata a termine sohanto il 24 novembre del 1454. Marshall Clagerr, Archimedes in the Middle Ages, vol. III: The Fate ofthe Medie11al Archimedes, 1300 to 1565, part III, The American Philosophical Sociery, Phi ladclphia 1 978, p. 298 , ha mostrato che il De mathematicis complementis rivela una conoscenza diretta dell'opera di Archimede, anche se probabilmente limitata alla Misura tkl urchio. I O > e una curiosa abbreviazione delle parole «id est portionis contentae a linea recta et secrione rectan guli ko ni» assai sim ile in en trambi i codici. Subi to dopo, nell'intestazione della lettera prefato ria «Ar­ chimedes Dosi theo recte agere» il co pista di U ha prolun­ gato a dismisura i l tratto verticale ascendente della s finale di «Archimedes» fino a sovrapporla con la k di « koni» scritto alla riga precedente, sicché Piero , fraintendendo il

1 9 S i veda Jamcs R. Banker, A Manuscriprs ofthe

WorksofArchimedes in the

Hand of Piero della Francesctl, «The Burlington Magazine)), vol CXLVI I, March 2005, pp. 1 65- 1 69, c Un manoscrittofinora sc-onosciuto de/l Opera di Archimede di mano di Piero della Francesca e la rinascita della scimza greca a Roma, 1 492>), vol. l, fa'ice. 1 -2 , 2008, pp. 1 5 -25 .

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20 Il facsimile è accompagnato dal volume di presentazione citato in nora 5, in cui si veda in particolare il contributo di James Banker, Piero delia Francesca e il manoscritto l 06sulle o ere di Archimede, pp. 1 - 1 2 (versione l 03- 1 1 2 (versione francese). italiana) 56-64 (redazione inglese =

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Archimede. Il primo genio universale

testo dell'antigrafo , ha scritto i n F un i mprobabile «Ar­ chimedei».

La situazione si rivela tuttavia più complessa allorché si passa a esaminare le figure. Quando Piero realizzò il suo apografo, i nfatti, nell'antigrafo urbinate le figure manca­ vano ancora del tutto o, al più, erano state disegnate solo in parte, sicché l'artista, volendo aggiungerle nel Riccardiano, ottenne dal cugino anche il manoscritto parigino. Cer­ chiamo di ricostruire come dovette procedere la faccenda.

6. Indipendentemente dalle proprie conoscenze matema­ tiche, Iacopo aveva tradotto l'opera di Archimede affidan­ dosi pedissequamente all'esemplare in suo possesso, di cui aveva riprodotto gli errori presenti nel testo e nelle figure anche quando, così facendo, la dimostrazione geometrica risultava di fatto inintelligibi le2 1 • Non ci dilungheremo i n p roposito, } i mi tandoci a citare il caso della prop. 4 della Quadratura parabolae un lemma per la prop. 5 in cui si intende dimostrare che, dato un segmento di parabola a�y, se si traccia i l diametro della parabola passante per il p unto di mezzo della base ay e per il vertice �' la retta �, eventualmente prolungata al di fuori della parabola, indi­ vidua su una qualunque parallela al diametro un segmento �9, diviso dal suo punto 11 di intersezione con la parabola secondo il rapporto �9 : 911 oa : oç. Come si capisce facilmente, il p unto 9, in cui l a parallela al diametro inte rseca l a retta �y, potrà essere i nterno o esterno al =

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Che infatti nella traduzione di Iacopo «the diagrams [ . . . ] were clearly largely re-made rather rhan copied», è soltanto un ingiustificato as­ sumo del Nerz, che i nficia il suo recente studio sulle figure della Sfera e il cilindro. Cfr. Reviel Nctz, The Works ofArchimedes, vol. 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder, Cambridge U niversity Press, Cambridge 2004, p. 1 8.

Approfondimenti

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segmento di parabola, dando così luogo a due casi disti nti e distintamente raffigurati nella tradizione, anche se la dimostrazione archimedea li tratta congiuntamente22• e

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Nei manoscritti greci superstiti, tuttavia, men tre la seconda delle due figure di corredo al teorema risulta matematicamente corretta, nella prima la retta K1l (k e ) si i ntersecano al l'interno della parabola a�y la retta çe (abc) anziché sulla parabola stessa23•

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pena il caso di rico rdare che, fi no all 'edizione di Basilea, tutta la tra izione archi medea tanto greca quanto lati na (Gugl ielmo d i Moer­ bekc c Iacopo) ra pprese nta costantemente i segmenti d i parabola come segmenti di cerch io: allo sresso modo, pertanto, saranno rappresentati anche nelle figure da noi riprodotte.

23 I n

assenza di precise indicazioni relative alla figure nelle correnti edizioni critiche del l 'opera di Arch imede, abbiamo collazionato alcuni dei codici più autorevoli, e p recisamente i l Laur. Gr. I I 4, il Mare. G r. 305 e il Reg. Pii Il Gr. 1 6.

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Il primo

Archimede.

genio universale

Riproducendo fedelmente il suo antigrafo, Iacopo ha perciò disegnato erroneamente la prima figura, collo­ cando l'in tersezione tra le due rette in posizione sbagliata, sebbene poi essa risulti correttamente individuata nella seconda figura. •

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L'esempio è indicativo del modo di procedere di Ia­ copo, che, seppure non era dotato di particolare acume m atematico, avrebbe potuto agevolmente correggere l' er­ rore mettendo a confronto le due figure e, comunque, sulla base della chiara enunciazione del lemma. Così in effetti farà pochi anni dopo il Regiomontano, seguito

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91

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dall' editio p rineeps di Basilea2\ men tre a sua volta il codice di Bessarione (V) aveva replicato le due figure senza mo­ d ifiche di sona rispetto al i' autografo di lacopo25• Anzi , i n V mancano anche le lettere utilizzate per desi­ gnare i punti , che del resto i n Na furono parzialmente aggiu n te o , perlomeno, cor rette dalla m ano del reviso re N a\ i n terven uto dopo la restituzione del manoscri tto alla bibli oteca papale, ma pri ma che se ne i mp adro nisse Fran­ cesco del Borgo. A l contrario, la conoscenza delle m o d ifi­ che e dell e aggi un te d i Na2 co nsente d i p rovare senza o mbra d i dubbio che, per disegnare nel Riccardiano 1 06 le figure assenti nell'antigrafo urbinate, Piero si è servito proprio del codice parigino, già corretto dal revisore e rimasto i n possesso di Francesco del Borgo . Vediamo ne qualche esempio.

7. N ella prop . 6 della Quadra tura parabolae Arch imede suppone di avere una bilancia a bracci uguali a� (ab) e �'Y (be) e i mmagi na di appendere un triangolo rettangolo al braccio BY (be) e un peso ç ( ) al l 'estrem i tà del b raccio a�

24 I l

Regiomomano, inol rre, scambiò di posro le due figure, anticipando la seconda. La medesima sequenza ri torna poi nell'edizione del Tc'tp

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3r.

La stessa correzione in rasura si trova però nel manoscritto

urhinate, sebbene non sia altrettanto facile accorgersene, dal momento che in questo caso F rancesco, dopo aver cancel­ lato l'errata lettera G, ha collocato la lezione giusta nel punto stesso della rasura (si veda la figura alla pagina seguente) . Assai più evidente è il caso della successiva proposizione 20 del De sphaera et cylindro. Qui Iacopo si è attenuto fedelmente al modello greco, riproducendo una figura sba­ gliata in più punti. La figura è invece corretta sia nel codice di Francesco sia in quello di Piero, che rivelano dunque una

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30 Cfr. R . Nctz, The Works ofArchimedes, vo l. I , cic. , p. 1 1 2. Il medes imo errore prcsema anche la figura tracciata da G u l i e l mo di M ocrbeke a1 f. 26v deii'Ouoh. Lat. 1 8 50 e riprodotta da M . .lagcu, Archimedes in the Middle Ages, vol . II parr I l l , cir. , p. 607, Fig. Se. 20. Dalla descrizione del N erz risulta inol tre che il Mare. G r. 305, il Laur. G r. XXVI I I 4, i l Par. Gr. 236 1 c il Rcg. Pii I l G r. 1 6 ha n n o c i nvece di o.

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Archimede.

Il primo genio

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Urb. Lat. 261 (U),

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5r.

lettura assai attenta del testo archimedeo. Il più banale degli interventi correttivi, però, e precisamente la sostituzione di una S con una O, è realizzato a figura già ultimata su entrambi i manoscritti, dal momento che nel Riccardiano la O è ottenuta eradendo l'arco superiore della S (si veda la figura nella pagina a fronte in alto) . Neii'Urbinate invece la S è semplicemente depennata e la O è stata aggi unta accanto, e a quanto sembra con un inchiostro diverso (si veda la figura nella pagina a fronte in basso) .

l O. In tali condizioni non resta altro da pensare che tra

F rancesco del Borgo e il cugino Piero si fosse instaurato un vero e p roprio rapporto di coll aborazione e che chiunque

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