Calcolo delle Strutture Isostatiche. Esempi ed Esercizi 9788893853941

Table of contents :
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CALCOLO DELLESTRUTTURE ISOSTATICHE Esempi ed esercizi
Indice
Prefazione
1. Strutture reticolari
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
2. Travi Gerber
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
3. Archi a tre cerniere
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
4. Strutture chiuse
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
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INGEGNERIA STRUTTURALE

ALBERTO CARPINTERI GIUSEPPE LACIDOGNA MARCO PAGGI

CALCOLO DELLE STRUTTURE ISOSTATICHE Esempi ed esercizi

Collana di INGEGNERIA STRUTTURALE

I

ALBERTO CARPINTERI

CALCOLO DELLE STRUTTURE ISOSTATICHE Esempi ed esercizi

ISBN 978-88-9385-394-1 © Copyright 2023 Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected]

Stampato da: Digital Team - Fano (PU) Printed in Italy

Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del volume. CLEARedi - Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali Corso di Porta Romana, n. 108 - 20122 Milano e-mail: [email protected] - sito: http://www.clearedi.org.

Indice

1. Strutture reticolari ................... .... ............................ ....................................

1

2. Travi Gerber .. .... ............................................................... ..................... .. ...

79

3. Archi a tre cerniere......................................................................................

135

4. Strutture chiuse ............... ............. .......................... ...... ...............................

249

Prefazione

Nel presente volume sono raccolti gli esercizi sulle strutture isostatiche da me proposti agli Allievi Ingegneri e Architetti del Politecnico di Torino nell'arco di oltre un ventennio. Tali esercizi sono stati risolti completamente, riportando, oltre ai diagrammi qelle caratteristiche della sollecitazione interna, la curva delle pressioni e il poligono delle forze attive e reattive. Inoltre, nel caso di diversi esercizi, si è verificata una reazione vincolare interna, applicando il Principio dei Lavori Virtuali per i sistemi di corpi rigidi, così come i due Teoremi delle Catene Cinematiche riguardanti i centri di rotazione assoluta e relativa. In altri casi si è calcolato invece uno spostamento elastico o una rotazione elastica, applicando il Principio dei Lavori Virtuali per i sistemi di travi elastiche. La teoria su cui si basano i metodi di risoluzione proposti, così come la stessa simbologia utilizzata, si riferiscono ai miei due volumi di Scienza delle Costruzioni pubblicati nella stessa collana di Ingegneria Strutturale a cui appartiene il presente volume. L'opera si sviluppa in quattro diversi capitoli, in ordine crescente di difficoltà concettuale, così come viene usualmente fatto dalla maggior parte delle Scuole Italiane: ( 1) Strutture reticolari; (2) Travi Gerber; (3) Archi a tre cerniere; (4) Strutture chiuse. Pur presentando geometrie strutturali e condizioni di vincolamento assai varie, le tipologie studiate risultano essere in tutti i casi analoghe a quelle che si possono incontrare nella pratica professionale (strutture di grande luce, ponti, coperture, apparecchi di sollevamento, etc.). Desidero infine ringraziare sentitamente i miei due coautori, il Dr. Arch. Giuseppe Lacidogna e il Dr. Ing. Marco Paggi, per l'aiuto validissimo nella risoluzione degli esercizi e per lo scrupoloso impegno nella stesura del testo.

Alberto CARPINTERI Politecnico di Torino, Giugno 2009

1. Strutture reticolari

1.1

D

B

1/

t~ 14------___:_r------·I-·------------=-------•I-·------------=--------•-1 ·--'---•I 2

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

NAG/ /

A

jf t

F 4

2

2 3

3

NAB =---=-F

NAB

NBG

--o-

NsA

NsA

2

Nse

B

Nse

Nsc =NsA =-F 3

NGc =0

t

Ne1

''

--/

e

Nes

/

Nes ' ,0 ,," Neo

Neo

-2 -

2 Neo =Ncs =-F

3

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

DETERMINAZIONE TRAMITE IL P.L.V. DELLO SPOSTAMENTO ELASTICO DEL NODO I Sistema fittizio e diagramma dello sforzo normale

Dai diagrammi dello sforzo normale reale e fittizio si ricava la seguente tabella:

Da cui si ottiene: 1 x ò 1=

Tratto

f~,N 1ds

AE

.!.§_Ff 9

Al

125H 72

El

125Fl'. 72

TOTALE

~Ff 4

i"l.

f N,Nr ds = 21 kEA 4EA

-3-

1.2

+

+

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI Equazioni di equilibrio globale:

- HA+ F = o -VA+VE=O 3

VE 4f- F-f = O 2 Dalla soluzione del sistema si ottiene:

-4-

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

F

I·

t

2

+

NBG

-o-NsA

NsA

Nse

8

t ,,,,

Nse

F Nsc =NsA =2

Ner

''

--Nes ' ,0 ,," Neo

8

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

Nes Neo

F Neo =Ncs =2

CALCOLO TRAMITE IL P.L.V. DELLA REAZIONE VERTICALE ESTERNA IN A

3 -cpf 2

1"

4cpf

-6-

1.3 e

D

+

+

+

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

3 NcL =NcA=-F 2

3/2

NcE=-F 2

-7-

F

NEG

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

~F 2

0

0

2F

0

CALCOLO TRAMITE IL P.L.V. DELLO SFORZO NELL'ASTA AC

2" I I I I I q, I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Sq,t 1

1"2"

3q,

1"

1' 4q,t : I

2'

1'2' 3q,

I

:

q,

3q,t Il

- NAc4q,t

+ F3q,t + F2q,t + Fq,t = O

3 NAc= -F 2

-9-

6q,t

1.4 e

L

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI Equazioni di equilibrio globale:

-HA+ F = o VA+ Ve= O Ve4l = O Dalla soluzione del sistema si ottiene:

- 10 -

D

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

NcA =NcL = 2F NcE = 2F-,/2

NEA

= ✓SF

NEc = 2-,/2F

NEG

L

NLc / / / / / /

/

NLD

.A-----/

''

''

''

''

- 11 -

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

,, A

H

- 12 -

DETERMINAZIONE TRAMITE IL P.L.V. DELLO SPOSTAMENTO ORIZZONTALE ELASTICO IN B Jal diagramma dello sforzo normale reale e da quello fittizio, ottenuto dal primo dividendone i valori per F, si ·)ttiene la seguente tabella:

Tratto

N,.;N1_;f;

AC

12Ft

AE

5✓ 5Ft

CE

8✓ 2.Ft

CL

8Ft

EG

18Ft

DL

8Ft

DG

8✓ 2.Ft

BG

5✓ 5Ft

BD

12Ft

Totale

(58+16✓ 2 +10✓ 5)Ft

Da cui si ottiene: 1 x ii = "'""' N,,;N1,; t-= 58 + 16 ✓ 2 + 1O✓S F t. B L...JEA 1 ' EA i

- 13 -

1.5

HA

,,

tvs

!VA

I·

t

+

t

+

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI ESTERNE Equazioni di equilibrio globale: HA=0 V 8 t- F4f = O -VA+ Vs-F = O Dalla soluzione del sistema si ottiene: HA= o VA=3F Vs=4F

- 14 -

+

-I

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL.METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

-o--

Noo

O

Npo

NGo

= ✓2F

NHo =F

Noo/LHO

N00

= 2F

G

•

Noo

- 15 -

NEM

= 3✓2F

NRM

= 3F

NoR

- 16 -

Nos

- 17 -

Vs

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE E TABELLA CORRISPONDENTE

A

Asta

N;

Asta

N;

PH

-✓ 2F

GR

-2F

PO

F

MR

-3F

OH

F

ME

3✓ 2F

OG

-✓ 2F

ER

-3F

OQ

2F

EC

3F

HG

-F

RD

-4F

QG

F

CA

3F

QR

-✓ 2F

DB

-4F

QM

3F

- 18 -

DETERMINAZIONE TRAMITE IL P.L.V. DELLO SPOSTAMENTO VERTICALE ELASTICO IN P Dal diagramma dello sforzo normale reale e da quello fittizio, ottenuto dal primo dividendone i valori per F, si ottiene la seguente tabella: ·

Tratto

N,_;Nt_;f;

Tratto

Nr,;Nf,if;

PH

2✓ 2.Ff

GR

4Ff

PO

Ff

MR

9Ff

OH

Ff

ME

6✓ 2.Ff

OG

2✓ 2.F f

ER

9Ff

OQ

4Ff

EC

9Ff

HG

Ff

RD

16Ff

QG

Ff

CA

9Ff

QR

2✓ 2.F f

DB

16Ff

QM

9Ff

Nr_;Nt,i f

Da cui si ottiene: 1 x lì = " p

L...JEA

I

= 12 ✓ 2 + 89 Ff. EA

i

- 19 -

1.6

E

!VA

I·

t

tvc

+

+

t

+

·I

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI ESTERNE Equazioni di equilibrio globale:

HA= o - VAl + Ve - F = O -Vc2l- F4l = O Da cui si trova:

HA=O VA= F Vc=2F

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

- 20 -

-o-

N1H

H

NeH/l

NGH

C /

Noe

-o-

Ns1

I

NH1

N1s

-oo-

NAB

/

Nes

B

L

NAL/t

ere

N1c =F

e

~

N-

N81 = ✓ 2F Ne1

Nu =F

NH1

/tel

NLsl

Ve

N 8 c =2F

Noe

tve

Nu

N1H = 2F

Nse

NHe

~-

Nse

NcH = ✓ 2F

N~ NoH NeH

NoH

re

N1H

N1L

NsL

N,acz N1s

NLB = F

NAs

LJ

NAL = ✓ 2F NsL

N1L

NLA

:i:NM

NAB =F

v{~

NLA

lvA

- 21 -

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE E TABELLA CORRISPONDENTE

Asta

N;

LI

F

IH

2F

HG

2F

AB

-F

BC

-2F

CD

-F

LB

-F

IC

-F

HD

F

AL

.fi.F

BI

-.fi.F

CH

-.fi.F

DG

-.fi.F

- 22 -

DETERMINAZIONE DELLO SFORZO NELL'ASTA LI

Il

1"= 1"2"= 2"

- Ncpl'. - Ncpl'. + Fcp2f = O N=F

- 23 -

1.7

H

I·

+

+

+

•I

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI ESTERNE Equazioni di equilibrio globale:

VA+ Vs- 3F = O Vs4t- 3F2t = O Da cui si trova:

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

3 Noc =NAc =-F 2

NAG'Go i/N:H: G

- 24 -

3 Neo =-F 2

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE E TABELLA CORRISPONDENTE

Asta

N;

Asta

N;

AC

-3F/2

CG

-F

CD

-3F/2

EL

-F

DE

-3F/2

AG

3./2 F/2

EB

-3F/2

GD

-./2 F/2

GH

2F

DL

-./2 F/2

HL

2F

LB

3./2 F/2

- 25 •

NGH

= 2F

NLH

= NGH = 2F

DETERMINAZIONE DELLO SFORZO NELL'ASTA GH

1"""2"""1"2"

1'

1'2'

2'

i

~

~

I

i

I

11

- 2NGH~t + 2F~t + F~2t = O NGH

= 2F

- 26-

1.8

G

L

H

I· Si consideri l'equilibrio dell'asta AC:

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

m

NAC = -

f

! ----oVe

NcA

Neo

e INcG

NcA

-----o-

Noc

D

Noc

NoE NoE

lNoH

- 27 -

DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI

H

L

M

H

L

T

- 28 -

DETERMINAZIONE TRAMITE IL P.L.V. DELLO SFORZO NELL'ASTA CD

Il

Neo

1"

o+-+------o----

Il

t 1"2"

cp 3

1'

2"

1'2'

~~=r===;===~===:::::===--2' ~ :

cp

Il

Neo

3

.!4t + mcp + m.! = O 3

3

Neo=-~

t

- 29 -

1.9

i:

re

6F

!G

2

sena= ✓ 13 3

cosa= ✓ 13

3F

~ 8

Rs

5F RA= .j36F 2 + 9F2 = 3✓ Rs = 6F

- 30 -

1

sen~=

.,fio

cos~ =

.,fio

sen8=

./5

cos8 =

./5

3

3

2

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON .IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

~

Rs = Nso cos p Nso= 2✓ 10F

.~.____._.._ _ ___.NsA Rs

B

NsA = Nso sin p = 2F

NAo cos a + NAc = RAcos ò NAs + NAosen a = ~sen ò ✓ 13 NAo= - 2-F NAc=

9

2F 7t

Noc : sen(a + P) = NoA: sen( 2 - P) sen(a + P) =

b;

v130

sen(~-P)= cos P 2 3

Noc=2F (Nos-Nod: sen(~-a) = 2 = NoA: sen( ~- P) 2 NoL

NcA

(Neo - F) = NcL senp Neo cosp + NcE = NcA

iF NcE

-------0=---=c NcL

t-------

~NCE

Nco1____:::::--==--•~tF

Neo~

NEc iF Nrn

o

Et NGE

V

NCL -- ✓-foF 2

NcA

NcE = 3F

Nrn

NELt.. •f

NEG = 3F NEL= F

F

NcE

NEL

~oG

=f✓10F

~F

NGL = ✓ 10F

NEG

NGL NLE

N,i/

~~

~

NLc

- 31 -

NLE

NLG NoL= fJwF

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

lF

·I

·I I·

2

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI CON IL METODO GRAFICO

~ ..................... ..........

tF /.

G

rE

rl

___..,_ Rs

D

____ _

...

5'

I I I

_________________ f...'......i_I p ---

B

, ..... I I

- 32 -

', '

VERIFICA TRANITE IL P.L.V. DELLO SFORZO NELL'ASTA AD

r

1"= 3"

2"

1'3'= 2'3'

1' = 2' ...,.....---,,-------.--------r-----c=--- 3' 2

- NAD sena q,t - NAD cosa q,1 + Fq,t + F.! t = O

3

./13 NAo=-F 2

- 33-

2

1.10

+

I·

+ 2 sena= ✓ 13

3 cosa= ✓ 13 1 sen~= ,.;; v10 3 cos~ = ,.;; v10

DETERMINAZIONE DEGLI SFORZI NELLE ASTE CON IL METODO DELL'EQUILIBRIO Al NODI

~~

F -----o

B

F

•

- 34-

_N_cA_ _ _ o

NcE

et----....___

NcL

Neo~

NeG =Nec =3F

NEc NEG ----o---=

NEL =0

E1

:NEL

NGE

tF

----► OG

~

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

- 35 -

VERIFICA TRAMITE IL P.L.V. DELLO SFORZO NELL'ASTA CL

1"= 3" = 1"3"

1'

=2'-==-----r-----r---r--c=--3' 1'3' =2'3' ~

- 36 -

1.11

E

t

t

I·

t

+

·I

E

e

D

mH

2-

B

B

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI Equazioni di equilibrio globale:

HA=O VA+Va=O -m-VA2t = O Equazioni di equilibrio parziale:

HA+ Hc + He= O VA+Ve=O - vAt- m + HA2t +Hcf = O -Hc+ Ho= O Dalla soluzione del sistema si ottiene:

HA=O Hc= Ho= m/2t He=-m/2f VA=-m/2f Va= Ve= m/2t

- 37-

Schemi parziali

e

- -----------.!!!

2f

m

m

2f

2f

C

D

D

2m• ~

B

DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI

E

D

B

M

T

- 38 -

e 0

N

DETERMINAZIONE TRAMITE IL P.L.V. DELLO SPOSTAMENTO ORIZZONTALE ELASTICO DEL CARRELLO IN B Sistema fittizio e diagramma del momento flettente

E

Dai diagrammi dei momenti reale e fittizio si ricava la seguente tabella: Tratto

Da cui si ottiene: 1 x 08

f.M,M 1ds

AC

- mf 2/2

CE ED DB CD

-../2mf 2/3 o o o

TOTALE

-(3+2-./2) mf 2/6

= f M,M, ds =- 3+2-./2 mf 2 • .ls El 6 El - 39 -

1.12

D

A 1/

I·

f

+

f

·I

B

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI

Equazioni di equilibrio globale:

Dalla soluzione del sistema si ottiene: HA= qf VA=0 Vs=

qf

- 40 -

Schemi parziali.

qt _____..

E

--qt

q

e

A

D

e

D

--qt

8

1/

E DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI

M

T

fc

N

0

A 1/

1/

·I I· qt • 41 -

VERIFICA DELLE REAZIONI VINCOLARI CON IL METODO GRAFICO

'' ~qf,G"

E

RA=qf q~

C

o----'...----a D ''

''

A

''

''

1/

Rs

VERIFICA TRAMITE IL P.L.V. DELLO SFORZO NELL'ASTA CD

2" I I cp

,1 C2

/ I

/ I I I I I I / I I

I'

e

qf-12

I I I I I I 1"2" - I

Ir I

I

I I I

--+-------I

Hc/1

/ I / I / I

-

Hc

Il

I I I I I I

1"

1'2' 1·~2·

~

qt

Il

Vo2ipl + ql2q> .!_ = O 2

qt

Vo=-. 2

-167 -

,.,,.,.,.

--r

_,,,,.,

,.,i

I I

:1'2' 1

1"

3.7

-F

D

H

E

G -------o-------------~------,

L

kt

I·

+

+

+

•I

STUDIO ALGEBRICO DELLA CINEMATICA Scelti come centri di riduzione i punti A, B e C, le equazioni cinematiche assumono la seguente forma: LIA= 0 VA= 0 uo• - Uo" = O Vo' -Vo"

=O

VB= 0 UE' -UE"= 0 VE' -VE"= 0 Uc = 0 Ve= 0 ove: Uo' = LIA -