Biophysique Ue3 9782100714605

Citation preview

PACES

Biophysique UE3 Salah Belazreg Professeur agrégé et docteur en physique, il enseigne au lycée Camille Guérin à Poitiers. Il a enseigné la biophysique en classes préparatoires aux concours de Médecine. Il est aussi interrogateur en classes préparatoires scientifiques.

Rémy Perdrisot Ancien élève de l’ENS-ULM, professeur de biophysique, assesseur du Doyen de la faculté de médecine de Poitiers, responsable du premier cycle.

Jean-Yves Bounaud Docteur en sciences, docteur en pharmacie et maître de conférences à la faculté de médecine de Poitiers.

3e édition

© EdiScience, 2006, 2009, 2010, 2014 EdiScience est une marque de Dunod Éditeur, 5 rue Laromiguière, 75005 Paris ISBN 978-2-10-071460-5

Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

Partie 1 - Biophysique des solutions Chapitre 1. Généralités sur les solutions aqueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Étude des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

1.2

1 2

Électrolytes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chapitre 2. Thermodynamique chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Les équilbres physico-chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20

2.2

Fonctions thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Expressions du potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chapitre 3. Propriétés acido-basiques des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Acides et bases en solution aqueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 32

3.2

pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3

Réactions acide-base : courbes de titrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.4

Les systèmes tampons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.5

Diagramme de Davenport et troubles acido-basiques . . . . . . . . . . . . . .

44

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Chapitre 4. Oxydo-réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 60

vi

Table des matières 4.2

Potentiel d’oxydo-réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Chapitre 5. Transports transmembranaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Généralités sur les phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 74

5.2

Propriétés colligatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.3

Phénomènes électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.4

Ultrafiltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Chapitre 6. Propriétés mécaniques des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 107

6.2

Dynamique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

6.3

Dynamique des fluides réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

6.4

Les phénomènes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

Partie 2 - Biophysique cardiaque Chapitre 7. Biophysique cardiaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Biomécanique cardiaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2

142 143

Contrôle automatique biophysique du débit cardiaque - loi de starling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

7.3

La mesure des paramètres hémodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

7.4

Les bruits du cœur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

Chapitre 8. L’activité électrique du cœur - ECG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Cellule myocardique isolée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 165

8.2

Au niveau du cœur entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

8.3

Les dérivations de l’ECG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

8.4

L’axe électrique du cœur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

8.5

L’interprétation de l’ECG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

Table des matières

Partie 3 - Les radiations ionisantes

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Chapitre 9. Le noyau et les transformations nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Le noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187 188

9.2

Stabilité des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

9.3

La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

9.4

Les réactions nucléaires provoquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

Chapitre 10. Interactions des rayonnements avec la matière . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Les interactions des particules chargées avec la matière . . . . . . . . . . .

231 232

10.2 Atténuation des photons x et γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237

10.3 Application : la production des rayons x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

250

Chapitre 11. La détection des rayonnements ionisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Émulsion photographique - autoradiographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260 261

11.2 La thermoluminescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

11.3 La calorimétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

11.4 L’effet cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

11.5 Les compteurs à gaz ou compteurs à décharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262

11.6 Les compteurs à scintillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

11.7 Les détecteurs à semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

11.8 Principe d’une chaîne de détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

11.9 Le comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265

11.10 La spectrométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278

Chapitre 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Dosimétrie des faisceaux de photons (x et γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286 287

12.2 Cas des faisceaux de particules chargées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

290

12.3 Doses équivalente et efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

290

12.4 Effets biologiques des rayonnements ionisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292

12.5 Les effets déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

12.6 Les effets stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

303

vii

viii

Table des matières

Partie 4 - Biophysique sensorielle Chapitre 13. Ondes sonores et audition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Propriétés des ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310 310

13.2 L’audition subjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

320

13.3 L’audition objective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

334

Chapitre 14. Optique et anomalies de la vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Les troubles dioptriques des yeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

338 338

14.2 Méthodes d’examen des caractéristiques oculaires . . . . . . . . . . . . . . . .

350

14.3 Le rôle de la rétine dans la vision des couleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

352

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

Partie 5 - Imagerie Chapitre 15. Imagerie par isotopes radioactifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Radiopharmaceutiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

361 362

15.2 Appareillages de détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

15.3 Réalisation des examens scintigraphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365

15.4 Traitement mathématique des images numériques . . . . . . . . . . . . . . . .

367

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371

Chapitre 16. Bases physiques de l’échographie, applications . . . . . . . . . . . . . . 16.1 Propriétés physiques des ultrasons - physique acoustique . . . . . . . . . .

373 374

16.2 Formation des échos - impédance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

377

16.3 Atténuation du faisceau ultrasonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381

16.4 Imagerie médicale à l’aide des ultrasons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382

16.5 L’échographie doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

384

QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

387

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

389

Chapitre 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN . . . . . . . . . . . . . . 17.1 Les nombres quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

391 392

17.2 Électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

395

17.3 Les bases physiques de la RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

396

17.4 Notions d’imagerie RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

403

Table des matières QCM et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

408

Annales 1. Poitiers - Janvier 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

411 420

Annales 2. Poitiers - Juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

424

Annales 3. Poitiers - Janvier 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

425 433

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

435

ix

Avant-propos

Cette 3e édition du manuel de biophysique, de la collection Concours PCEM1, paru en janvier 2006 a été complètement revue et corrigée. Certains chapitres ont été réhaussés par des paragraphes traitant des applications médicales de la physique.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Cet ouvrage destiné principalement aux étudiants de première année de médecine et de pharmacie est le complément au manuel de physique de la même collection. L’ensemble recouvre ainsi la majeure partie du programme de l’épreuve de PhysiqueBiophysique. Il intéressera également les étudiants de Licence de 1er cycle. Chaque chapitre propose : • un cours exposé de façon détaillée, • des exemples concrets et quelques applications médicales pour mieux approfondir le cours, • des exercices et QCM de difficultés variées, • des corrections détaillées et comprenant de nombreuses illustrations, • enfin, des épreuves issues des concours de PCEM1 et PH1. On espère que cet ouvrage, fruit d’une longue expérience, rédigé avec beaucoup d’attention, apporte une aide efficace aux étudiants dans la préparation de leurs examens et concours.

Remerciements Nous remercions tout particulièrement monsieur Marc Violino, ancien professeur en classes préparatoires aux grandes écoles au lycée Camille Guérin, ainsi que le Dr Frédérique Belazreg, médecin gériatre, pour leur relecture attentive de la plupart des chapitres de cet ouvrage et leurs remarques judicieuses.

xii

Avant-propos Nos remerciements vont également au Pr Laurence Bordenave, de la faculté de médecine de Bordeaux, au Dr Damien Huglo, de la faculté de médecine de Lille, pour les annales qu’ils nous ont fournies, ainsi qu’au Dr Laurent Vervueren, médecin nucléaire au CHU de Poitiers, pour l’iconographie IRM. Que toutes les personnes des éditions Dunod, et plus particulièrement Monsieur Éric d’Engenières, qui ont cru en cet ouvrage et apporté beaucoup de soins à sa réalisation, en soient chaleureusement remerciés. Que les lecteurs, collègues enseignants et étudiants, qui voudront bien nous formuler leurs remarques constructives et critiques, ou nous présenter leurs suggestions susceptibles d’améliorer cet ouvrage, en soient par avance remerciés. Poitiers, avril 2014.

Généralités sur les solutions aqueuses

Plan Cours 1.1 Étude des solutions 1.2 Électrolytes QCM et exercices Corrigés

1

Objectifs • Reconnaître un électrolyte fort

d’un électrolyte faible

• Savoir calculer :

– un taux de dissociation, – un coefficient d’ionisation, – les différentes concentrations molaires, particulaires, équivalentes, ...

Cours L’eau est le constituant fondamental de la matière vivante ; elle est indispensable à la vie. La teneur en eau d’un tissu atteste de sa vitalité et la déshydratation est un des signes les plus nets du veillissement. D’un point de vue pondéral, un adulte renferme 70 à 75 % d’eau alors que chez l’enfant jeune cette valeur peut dépasser 80 %. Les propriétés physicochimiques particulières de la molécule d’eau en font un bon solvant biologique des composés ioniques et moléculaires. On traitera dans ce chapitre : • les diverses façons d’exprimer la concentration d’un constituant dans une solu-

tion ; • les électrolytes forts et faibles.

Chap. 1. Généralités sur les solutions aqueuses

1.1 ÉTUDE DES SOLUTIONS 1.1.1 Étude structurale de l’eau Structure de la molécule d’eau La molécule d’eau H2 O est une molécule coudée et l’angle de liaison est  H O H = 104, 5 ◦ . La longueur d’une liaison O − H est d = 0, 96 Å. 1 La molécule est polaire de moment dipolaire μ = 1, 85 D (1 D (debye)  .10−29 C. m) 3 (Fig. 1.1).

O

H

μ

H

Figure 1.1

La liaison hydrogène La liaison hydrogène (Fig. 1.2) est une liaison intermoléculaire attractive et beaucoup plus puissante que la force de Van der Waals. Sa longueur est de l’ordre de 2, 5 à 3 Å.

H

H

O

O

H

liaison hydrogène

H

2

Figure 1.2 Elle est de nature électrostatique, environ 20 fois supérieure à une liaison de Van der Waals mais 20 fois inférieure à une liaison covalente.

Les trois états de l’eau L’eau existe sous les trois états : l’état solide, liquide et gazeux. L’existence d’une liaison hydrogène intermoléculaire entraîne des anomalies sur les propriétés physiques de l’eau. En effet, on observe une élévation des températures de fusion et d’ébullition. Les graphes de la figure 1.3 donnent les évolutions des températures de fusion et d’ébullition de quelques composés hydrogénés de type H2 X.

1.1 Étude des solutions Evolution de la température d'ébullition

Evolution de la température de fusion

qf (°C)

q e (°C) 120 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80

H2O

H 2Te H 2Se H2 S

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90

H 2O

H2Te H 2Se H 2S

Figure 1.3 ➤ Concentrations Une solution est obtenue par dissolution d’une ou plusieurs espèces chimiques, appelées solutés, dans un solvant (généralement l’eau). Le soluté peut être solide, liquide ou gazeux, moléculaire ou ionique. Concentration massique d’une espèce chimique Elle représente la masse de soluté par litre de solution, soit c =

m V

(1.1)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

(m en g, V en L et c en g. L−1 )

Concentration molaire d’une espèce chimique - molarité Elle est numériquement égale à la quantité de matière de l’espèce chimique dissoute par litre de solution, soit C=

n V

(1.2)

(n en mol, V en L et C en mol. L−1 )

Si M représente la masse molaire moléculaire du soluté, alors : c=C×M

(c : en g. L −1, C en mol. L −1 et M en g. mol −1)

(1.3)

Concentration molale - molalité Elle représente la quantité de matière de l’espèce chimique dissoute par unité de masse de solvant. Elle s’exprime en mol. kg−1 .

3

4

Chap. 1. Généralités sur les solutions aqueuses Concentration pondérale Elle représente la masse de l’espèce chimique dissoute par unité de masse de solvant. Elle s’exprime en g. kg−1

1.1.2 Fraction molaire Pour l’espèce chimique A i dissoute dans un solvant, on définit sa fraction molaire f i par : ni  fi = (1.4) ni i ( toutes les espèces chimiques présentes y compris le solvant)

1.1.3 Dissolution d’un gaz dans un liquide Considérons un gaz et un liquide de natures différentes, en équilibre dans un vase clos. Une certaine quantité du gaz est dissoute dans le liquide ; de même, quelques molécules du liquide passent à l’état vapeur. On définit le coefficient de solubilité s par : s=

c1 c2

c1 : concentration du gaz dans le liquide (masse du gaz dissoute dans l’unité de volume du liquide), c2 : concentration de la phase gazeuse surmontant le liquide (masse de vapeur renfermée dans l’unité de volume du gaz). À l’équilibre, le volume v de gaz dissous dans les conditions standard est donné par : v = s Pi V ( Loi de Henry ) où Pi représente la pression partielle du gaz en atmosphères et V le volume du liquide en litres.

1.1.4 Miscibilité des liquides Un mélange de deux liquides miscibles (soluté avec solvant) sera caractérisé par le titre de la solution obtenue et non par la concentration. On définit le titre d’une solution par le rapport de la masse du soluté à la masse totale de la solution, soit τ = 100 ×

m soluté

, avec m solution = m soluté + msolvant

(1.5)

1.2 Électrolytes Deux cas peuvent se présenter : • Les liquides sont miscibles en toutes proportions.

Le titre τ peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et 100 %. Exemple de liquides miscibles en toutes proportions : l’eau et l’éthanol. • Les liquides ne sont pas miscibles en toutes proportions. Exemple : étude de la dissolution du phénol dans l’eau × m solution Cette étude nous amène aux observations suivantes : • lorsqu’on ajoute progressivement du phénol dans l’eau, on observe la dissolution

du phénol et le mélange reste homogène jusqu’à un certain titre τ en phénol, • lorsque le titre atteind une certaine valeur τ m , il n’y a plus dissolution, mais on observe l’apparition d’une seconde couche liquide qui, contrairement à la première, renferme plus de phénol que d’eau : on dit qu’il y a saturation. Le titre τ m augmente avec la température et pour des températures supérieures à une certaine valeur θ (température critique de miscibilité), les liquides deviennent miscibles en toutes proportions.

1.2 ÉLECTROLYTES

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Un électrolyte est une solution qui permet le passage du courant électrique. L’étude de telles solutions conduit Arrhénius (Svante), chimiste et physicien suédois, en 1887 à postuler l’existence d’ions se déplaçant sous l’action d’un champ → − électrique E qui règne entre deux électrodes. Il constata, par conséquent, qu’il y a transport de matière dans la solution : les cations (ions positifs) se déplacent vers la cathode et les anions (ions négatifs) se déplacent vers l’anode.

1.2.1 Conductivité d’un électrolyte On rappelle les principaux résultats suivants. Pour une solution contenant l’anion A x− à la concentration C − et le cation C y+ à la concentration C + et si S représente la surface des électrodes, on montre que l’intensité du courant qui traverse un tel électrolyte est donnée par : I =

dQ = (C − μ− z− + C +μ + z+)E SF dt

(1.6)

• μ− et μ + representent les mobilités des ions, μ− < 0 et μ+ > 0 ; • z − et z + représentent les valences des ions Ax− et C y+ ;

• F = N A e, appelé le faraday, représente la quantité d’électricité d’une mole d’élec-

trons et vaut :

1F = NA e = 96 500 C. mol−1

(1.7)

5

6

Chap. 1. Généralités sur les solutions aqueuses Exemples • Solution contenant des ions K + et Cl − :

pour l’ion K + : z + = +1 et μ+ > 0, pour l’ion Cl − : z − = −1 et μ− < 0 • Solution contenant des ions N a + et S O42− : pour l’ion N a + : z + = +1 et μ+ > 0, pour l’ion S O2− : z− = F −2 etNμ − < 0 4

→ − Si on désigne par j le vecteur densité de courant et par γ la conductivité électrique de la solution, on montre que :  − → − − → → − vi j = ρ − v− + ρ+ v + = ρi → (1.8) i (cas de plusieurs ions)

Dans le cas de plusieurs ions, si on note par zi la valence de l’espèce A i , par Ci sa concentration et par μ i sa mobilité, alors   →  − → − − vi = γE avec γ = ( zi C iμi )F = |zi | C i Li , μ i et z i de même signe j = ρi → i

i i (Li =|μi |F représente la conductivité molaire de l’ion "i")

On peut aussi écrire :





|z i | Ci Li i i (la conductivité totale est égale à la somme des contributions de tous les ions) γ=

γi =

(1.9)

(1.10)

Dans le système S.I. : γ s’exprime en S. m −1, C i en mol. m −3 , μi en m 2. V−1 . s −1 et Li en S. m2. mol −1 .

1.2.2 Électrolytes forts Définition On appellera électrolyte fort, tout électrolyte qui se dissocie totalement dans l’eau. Exemples • La dissolution de N aCl (s ) entraîne une dissociation totale des cristaux solides N aCl (s) et on écrit : N aCl (s) −→ N a+(aq) + Cl− (aq) (eau)

• De même la dissolution de la soude (N a O H ) , de la potasse(K O H ) et du chlo-

rure d’hydrogène gazeux (H Cl ) entraîne une réaction totale : − + N a O H (s) −→ N a(aq) + O H(aq) , (eau)

−→ (eau)

Exercices

1.2.4 Loi de dilution d’Ostwald Si on effectue des dilutions alors C −→ 0.

α2 α2 K = , on déduit que −→ ∞ soit α −→ 1. C α−1 α−1 On trouve la loi de dilution d’Ostwald : lorsque la dilution devient infinie (la concentration C tend vers zéro), le taux de dissociation α tend vers 1 (l’électrolyte faible tend vers un électrolyte fort). De K = C

Exercices 1 Des mesures conductimétriques donnent, pour l’eau pure, à 25◦ C : γ = 5, 5.10−6 − + S. m −1 . L’eau pure contient, en plus du solvant, des ions H3 O(aq) et H O(aq) en quantités égales. La présence des ions résulte de l’ionisation partielle de l’eau, ce qui se traduit par l’équation :

2H2 O = H3 O +(aq) + H O − (aq) Déterminer à cette température : 1. Les concentrations en ions H3O (+aq ) et H O − (aq ) . 2. La constante d’équilibre associée à l’autoprotolyse de l’eau.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

On donne les conductivités molaires ioniques : L H3 O + = 350.10 −4 S. m 2 . mol−1 et L H O − = 198.10 −4 S. m2 . mol−1 .

2 On dissout dans l’eau 187, 6 g de Cr2(S O 4 )3 et on ajuste la solution à un volume V = 1 L, la masse volumique d’une telle solution est ρ = 1, 172 kg.L−1

1. Déterminer la molarité initiale de la solution (concentration molaire en soluté). 2. Déterminer la molalité de la solution. 3. Déterminer la fraction molaire du soluté puis celle du solvant. On donne : masses molaires atomiques en g. mol −1 : Cr : 52, S : 32 et O : 16.

3 On mélange 12 g d’éthanol (C2 H5 O H ) avec 38 g d’eau. Déterminer, 1. les concentrations massique et molaire en éthanol (le soluté) ; 2. la fraction molaire en éthanol ; 3. le titre τ de la solution.

11

12

Chap. 1. Généralités sur les solutions aqueuses Données. • Masses molaires atomiques :

M ( H ) = 1, 0 g. mol−1, M (C ) = 12 g. mol−1 , M ( O ) = 16 g. mol−1. • Densités : – eau : d = 1, 0, – éthanol : d = 0, 79.

• Masse volumique de l’eau : μeau = 1 kg.L −1.

• L’eau et l’éthanol sont miscibles en toutes proportions.

4 On considère un volume V = 100 m L d’une solution d’acide benzoïque C6 H5C O O H (électrolyte faible) de concentration apportée C = 1, 0.10−2 mol.L −1 . Le taux de dissociation de cet acide dans l’eau est α = 7, 9 %. La réaction de cet acide sur l’eau est donnée par l’équation : − + C 6 H5C O O H + H 2 O = C6 H5 C O O(aq) + H3 O(aq)

1. Calculer la constante d’équilibre. 2. Calculer l’osmolarité de cette solution puis le coefficient d’ionisation. 3. Calculer la concentration équivalente pour chaque espèce ionique puis celle de la solution.

5 Un électrolyte binaire faible AB se dissocie en solution aqueuse selon l’équilibre : AB = A+ + B− Sa constante d’équilibre de dissociation est K = 10−3 . 1. Déterminer le degré (ou taux) de dissociation de cet électrolyte dans une solution à C = 10 mmol.L−1 . 2. En déduire l’osmolarité de cette solution.

Questions à choix multiples 1 On considère une solution contenant des ions à la concentration :  +     N a = 150 mosmol.L −1 , K + = 5 mosmol.L−1, Ca 2+ = 2, 5 mosmol.L−1 ,  2+ Mg = 1, 5 mosmol.L −1.

Questions à choix multiples ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5. 

La concentration pondérale en sodium est de 3, 45 g. kg−1 . La molalité en magnésium est de 3, 0 mmol. kg−1 . La concentration équivalente en calcium est de 2, 5 meq.L−1 . La concentration équivalente de la solution est de 163 meq.L −1. La fraction molaire en potassium est 3, 1 %. 

2 Une solution d’albumine (S A) à 70 g.L−1 a une masse volumique de 1, 03 g.mL−1 Le plasma peut être assimilé à une solution d’albumine (S A). Données.   Concentration en sodium dans le plasma : N a+ = 142 mmol.L−1 1. Le nombre de moles d’eau par litre de plasma est de ❑ a) 55, 56 mol. ❑ b) 53, 33 mol. ❑ 2. Cela correspond à un volume d’eau pure de 960 mL. ❑ 3. La masse de sodium par litre de plasma est de 3, 27 g. ❑ 4. La molalité en sodium est 142 mmol/kg d’eau.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

3 Un volume V = 500 mL d’une solution est obtenu par dissolution de : - 3, 73 g de K Cl, - 5, 55 g de CaCl2 , - 7, 10 g de N a2 S O 4, - 4, 50 g de glucose, - 0, 15 g d’urée. On donne : masses molaires en g. mol −1 : K Cl : 74, 6, CaCl 2 : 111, N a2 S O4 : 142, glucose : 180, urée : 60. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

La molarité en ion chlorure (Cl −) est égale à 200 mmol/L. La molarité en ions N a+ est égale à 100 mmol/L. L’osmolarité de la solution est ω = 855 mosmol/L. La concentration équivalente de la solution est C eq = 1 055 meq/L. Le coefficient d’ionisation globale est i = 2, 41.

4 On prépare deux solutions aqueuses, l’une de chlorure de sodium (N aCl), l’autre de chlorure de potassium (K Cl) de même molarité (500 mmol.L−1). Les numéros atomiques sont de 11 pour le sodium et 19 pour le potassium. Quelles sont les propositions exactes ?

❑ 1. L’osmolarité de la solution de K Cl est supérieure à celle de la solution de N aCl.

13

14

Chap. 1. Généralités sur les solutions aqueuses ❑ 2. La conductivité électrique de la solution de K Cl est supérieure à celle de la solution de N aCl. ❑ 3. La concentration pondérale en volume de la solution de K Cl est supérieure à celle de la solution de N aCl. ❑ 4. La concentration équivalente de la solution de K Cl est inférieure à celle de la solution de N aCl. ❑ 5. Autre réponse.

5 On a dosé dans le sang d’un patient l’ensemble des cations, le glucose et l’urée.  +     N a = 145 mosmol.L −1 , K + = 5 mosmol.L−1 , Ca2+ = 2, 5 mosmol.L−1,  2+ Mg = 1, 5 mosmol.L −1, glucose : 1 g.L−1 et urée : 1, 81 g.L−1 La concentration équivalente totale du sérum de ce patient est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

312 meq.L−1. 158 meq.L−1. 156 meq.L−1. 323 meq.L−1. 316 meq.L−1.

Corrigés Exercices  |z i | Ci Li . γi = i i     Comme z H 3O + = +1, z H O − = −1 et H 3 O + = H O − = C alors γ = |+1| × C × L H3 O + + |−1| × C × L H O − = C(L H3 O+ + LH O − ) soit γ C= L H3 O + + L H O − Numériquement :

1 1. La conductivité γ est donnée par γ =



5, 5.10−6 C= = 1, 00.10−4 mol.m−3 , soit 1, 00.10−7 mol.L−1 350.10−4 + 198.10−4 2. La constante d’équilibre K associée à la réaction est :     K = H 3O + × H O − = 10−14 , à 25◦ C

Corrigés 2 1. Déterminons la masse molaire de Cr2 (S O4) 3. M(Cr2 (S O 4) 3 ) = 2 × 52 + 3 × (32 + 4 × 16) = 392 g. mol−1 . La quantité de matière dissoute en soluté est : 187, 6 n(Cr2 (S O4 ) 3) =  0, 479 mol.    392 × 0, 479 La molarité est donc : C = = 0, 479 mol.L−1 . 1 2. La molalité correspond au nombre de moles de soluté par kg de solvant. Dans un litre de solution, il y a 1 172 − 187, 6 = 984, 4 g d’eau. La molalité 0, 479 est donc : C =  0, 487 mol. kg −1. 0, 9844 Remarque La molalité et la molarité sont liées par la relation : C=

C masse du solvant (en kg)

(C en mol. kg −1 et C en mol.L −1)

3. Le solvant représente une quantité de matière de : n(eau) =

984, 4  54, 7 mol. 18

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

La quantité de matière totale en soluté et en solvant est donc :  i

n i = 54, 7 + 0, 479  55, 2 mol

Les fractions molaires sont donc : 0, 479 f soluté = = 8, 68.10−3 55, 2 54, 7 f solvant = = 9, 91.10−1 55, 2

3 1. La masse totale de la solution est msolution = 12 + 38 = 50 g. • Déterminons le volume total de la solution.

Comme deau = 1, alors V eau = 38 mL. De même, déthanol = 0, 79 donc Véthanol = 0, 79 × 12 = 9, 48 mL soit environ 9, 5 mL. Le volume total du mélange est donc Vsol. = V eau + V éthanol = 47, 5 mL (en négligeant la contraction).

15

16

Chap. 1. Généralités sur les solutions aqueuses • Calcul des quantités de matière :

M ( H2 O) = 18 g. mol −1 et M (C 2 H5 O H ) = 46 g. mol−1 12 Ainsi n(C2 H5 O H ) = = 0, 26 mol, 46 38 n( H2O) =  2, 1 mol. 18 • Calcul des concentrations : 12 – concentration massique : c = = 252, 6 g.L −1 −3 47, 5.10 −1 soit environ 0, 253 kg.L . 0, 26 – concentration molaire : C =  5, 47 mol.L−1 . −3 47, 5.10 2. On rappelle que la fraction molaire de l’espèce chimique i est donnée par : ni 

fi =

ni

i ( toutes les espèces chimiques présentes y compris le solvant)



n i = n éthanol + neau = 0, 26 + 2, 1 = 2, 36 mol.

i

Il s’ensuit :

0, 26 = 0, 11 2, 36

f =

3. Le titre τ de la solution est msoluté τ = 100 × , avec m solution = msoluté + m solvant m solution soit numériquement, τ = 100 ×

12 = 24 % 12 + 38

4 1. La constante d’équilibre associée à la réaction est donnée par : K = C −2

Soit numériquement K = 1, 0.10

2. Pour cet équilibre, on peut écrire : État initial État final

(0, 079)2 ×  6, 8.10−5 . (1 − 0, 079)

α2 1−α

− C6 H5 C O O H + H2 O = C6 H 5C O O(aq) + H 3 O +(aq) C C(1 − α) excès Cα Cα

L’osmolarité de la solution est : ω = C(1 − α) +C α +C α = C (1 + α),

Corrigés soit numériquement : ω = 1, 0.10−2 (1 + 0, 079) = 10, 79 mosmol.L−1 . ω Le coefficient d’ionisation i est donné par : i = . C −3 10, 79.10 Numériquement, i = = 1, 079 1, 00.10−2 Ou encore i = 1 + α(ν − 1). Comme α = 0, 079 et ν = 2 (deux ions formés pour une molécule d’acide) − alors : i = 1 + 0, 079 × (2 − 1) = 1, 079     − 3. On a : C 6H5C O O(aq) = H3 O+(aq) = Cα,

soit numériquement :     − + C 6 H5 C O O (aq) = H3 O(aq) = 1, 0.10−2 × 0, 079

= 7, 9.10−4 mol.L−1 = 0, 79 mmol.L−1

Comme z (C6 H5 C O O −) = −1 et z ( H3 O +) = +1, alors  C eq(C 6 H5C O O −) = 7, 9.10 −4 × |−1| = 0, 79 meq.L−1 C eq(H 3 O + ) = 7, 9.10−4 × 1 = 0, 79 meq.L−1 La concentration équivalente de la solution est donc : Ceq = 2 × 0, 79 = 1, 58 meq.L−1

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

5 1. Pour cet équilibre de dissociation, on peut écrire :

État initial État final

AB C C(1 − α)

+ = A− (aq) + B(aq)

Cα

Supposons, dans un premier temps α  1.

avec K = C

Cα



α2 1−α

K Ainsi, nous pouvons écrire K  C α2 , soit α  . C  10−3 Numériquement, α = = 0, 316. 10.10−3 α n’est pas petit devant 1, l’hypothèse n’est donc pas vérifiée. Il faut résoudre l’équation du second degré en α : C α2 + K α − K = 0, soit numériquement : 10−2.α2 + 10−3 .α − 10−3 = 0. Le discriminant de cette équation est : D = (10−3)2 − 4 × 10−2 × (−10−3 ) = 4, 1.10−5.

17

18

Chap. 1. Généralités sur les solutions aqueuses D étant positif, l’équation admet donc deux racines réelles : ⎧  −3 ⎪ −10 4, 1.10 −5 − ⎪ ⎪ = α = −0, 37 ⎪ ⎨ 1 2 × 10−2 et ⎪ −3 ⎪ ⎪ −10 + 4, 1.10 −5 ⎪ ⎩ α1 = = 0, 27 2 × 10−2

− ×est à rejeter × − car α est positif. La valeur cherchée est donc La première racine α = 0, 27. 2. L’osmolarité de la solution est : ω = C(1 − α) +C α +C α = C (1 + α), soit numériquement : ω = 10−2 (1 + 0, 27) = 12, 7 mosmol.L −1 .

Questions à choix multiples Question

1

2

4

5

1.

❑ ✗

a) ❑

❑

❑

b) ✗ ❑

3 1. ❑

2. ❑

2.

❑

✗ ❑

✗ ❑

❑

3.

❑

✗ ❑

✗ ❑

❑

4.

❑

❑

❑

❑

5.

❑ ✗

❑

✗ ❑

3. ✗ ❑

4. ❑

5. ✗ ❑

Substance

c (g/L)

C (mmol/L)

ω (mosmol/L)

C eq (meq/L)

K Cl (3, 73 g)

7, 46

100

200

200

CaCl 2 (5, 55 g)

11, 1

100

300

400

N a 2 S O4 (7, 10 g)

14, 2

100

300

400

Glucose (4, 50 g)

9, 00

50

50

0

Urée (0, 15 g)

0, 300

5

5

0

molarité en ions Cl − : 100 + 2 × 100 = 300 mmol/L molarité en ions N a + : 2 × 100 = 200 mmol/L osmolarité de la solution : ω = 855 mosmol/L concentration équivalente de la solution : C eq = 1 000 meq/L ω 855 coefficient d’ionisation globale : i = =  2, 41 C 355

2

Thermodynamique chimique

Plan Cours 2.1 Les équilbres physico-chimiques 2.2 Fonctions thermodynamiques 2.3 Expressions du potentiel chimique QCM et exercices Corrigés

Objectifs • Savoir calculer un potentiel chi-

mique, une variation de potentiel chimique. • Pour une réaction chimique donnée, savoir calculer : – une variation d’enthalpie, – une variation libre,

d’enthalpie

– une variation d’entropie.

Cours Les systèmes biologiques sont formés par le contenu d’un volume géométriquement bien défini et de dimensions macroscopiques (exemple : cuve contenant deux solutions séparées par une membrane ; milieu intracellulaire et milieu extracellulaire). L’étude du potentiel chimique permet de décrire l’évolution physicochimique spontanée de systèmes biologiques (échanges entre compartiments de façon générale). Cela permet de prévoir ou d’expliquer les échanges d’eau et de soluté à travers les membranes (filtration glomérulaire, échanges osmotiques entre un capillaire et les tissus environnants, échanges gazeux au niveau des poumons, etc. . . ). Le potentiel chimique représente l’énergie libre apportée au système lorsqu’on y ajoute une quantité de substance i.

20

Chap. 2. Thermodynamique chimique

2.1 LES ÉQUILBRES PHYSICO-CHIMIQUES 2.1.1 Définitions La thermodynamique classique traite essentiellement des systèmes fermés. En biologie, les systèmes rencontrés sont souvent des systèmes ouverts : une cellule synthétise des molécules qui sont transportées à l’extérieur du système. Si l’on considère un système fermé constitué de deux phases, telle une cuve contenant une solution de glucose et une solution d’urée séparées par une membrane, chaque phase constitue un système ouvert et échange de la matière avec l’autre. On appellera : • système : ensemble de constituants de masse déterminée et de volume bien défini ; • milieu extérieur : tout ce qui entoure le système ;

• système isolé : système qui est séparé du milieu extérieur par des parois qui sont

imperméables et adiabatiques, il n’échange donc ni chaleur ni matière avec le milieu extérieur ; • système fermé : système dont la masse et la composition restent invariables dans le temps, il échange de l’énergie mais pas de matière avec le milieu extérieur ; • système ouvert : système dont la masse et la composition chimique sont variables dans le temps, il échange à la fois énergie et matière avec le milieu extérieur. Pour un système ouvert composé de N constituants ayant chacun une masse m i , la mi quantité de matière, en moles, du constituant i est ni = où M i représente la Mi masse molaire du constituant i.

2.1.2 Processus réversibles et processus irréversibles Une transformation réversible correspond à une succession d’équilibres voisins tels que l’on puisse repasser par les états antérieurs. Un changement irréversible peut être illustré par une cuve séparée par une paroi étanche et contenant initialement, d’un côté, une solution colorée et, de l’autre, de l’eau (Fig.2.1) :

paroi étanche

solution colorée

eau

Etat initial (état (1))

Etat final (état (2))

2.2 Fonctions thermodynamiques Le passage de l’état (1) à l’état (2) est un processus irréversible. En effet, il est dû à un transport de colorant qui passe du compartiment gauche vers le compartiment droit jusqu’à ce que le mélange soit homogène (coloration uniforme). En biologie, les transports de molécules sont essentiels puisqu’ils assurent l’homéostatie, et donc le maintien de la vie.

2.2 FONCTIONS THERMODYNAMIQUES Figure 2.1

2.2.1 Potentiel chimique

Pour un système ouvert, la masse et la composition chimique sont variables. L’énergie interne d’un tel système dépend, en plus des variables S et V , de toutes les variables n i qui définissent l’état du système, soit U = U ( S , V , n i) où S et V représentent l’entropie et le volume du système. Si toutes les variables subissent des variations indépendantes, la différentielle totale de U s’écrit donc, dU =



∂U ∂S



dS +

V ,n i



∂U ∂V



dV + S ,n i

 N   ∂U i=1

∂ni

dni

(2.1)

S , V ,n j =ni

On pose :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

μi =



On montre que :

∂U ∂ni



, μi : potentiel chimique du constituant i

(2.2)

S , V ,n j=n i

 ⎧  ∂U ⎪ ⎪ =T ⎪ ⎪ ∂S V ,n i ⎪ ⎨ et   ⎪ ⎪ ⎪ ∂U ⎪ ⎪ = −P ⎩ ∂V S,ni

Ainsi la relation (2.1) peut s’écrire,

dU = T d S − PdV +

N 

μ i dni

i=1

Pour P et T constants, on obtient : U = T S − PV +

N 

μi n i

(2.3)

21

22

Chap. 2. Thermodynamique chimique Définition On définit les fonctions d’états H (enthalpie), G (enthalpie libre ou fonction de Gibbs) et F (énergie libre ou fonction de Helmholtz) telles que :   H = U + PV , l’enthalpie    l’énergie libre  F = U − T S,   G = H − T S = U + P V − T S, l’enthalpie libre

(2.4)

i=1

Compte tenu des relations (2.3) et (2.4), on obtient :

 N    H = TS+ μi ni  i=1  N   F = −P V +  μ n i i  i=1   N  G = μn  i i

(2.5)

i=1

Remarque si l’on désigne par g i l’enthalpie libre partielle du constituant i alors : μi = gi

et

G=

N 

g i ni

i=1

Le potentiel chimique peut être défini à partir des fonctions H , F et G telles que :    N   ∂H  d H = V d P + T dS + μi dn i, μi =  ∂n i=1   i P ,S,n j=n i  N  d F = −Pd V − SdT +  μ dn , μ = ∂ F i  i i ∂n i V ,T ,n j =n i  i=1    N   ∂G  dG = V d P − SdT + μi dni , μ i =  ∂ni i=1

(2.6)

T , P ,n j=n i

Remarque dans le cas d’un système fermé (ou système clos) dont la composition est constante, on a :   dH = VdP + TdS    d F = −Pd V − SdT   dG = V d P − SdT

2.2 Fonctions thermodynamiques

2.2.2 Condition d’équilibre physique • Soit un système constitué de deux phases (notées ϕ1 et ϕ2 ) en équilibre à T et P

donnés, par exemple :

(2.7)

ϕ1  ϕ 2 La différentielle totale de G s’écrit :      ∂G ∂G dP + dT + μ 1 dn1 + μ 2 dn2 dG = ∂ P T ,n1 ,n2 ∂T P ,n1,n 2

(2.8)

La condition d’équilibre s’écrit : dG T , P = 0

soit

μ 1dn 1 + μ2 dn2 = 0

Pour un système fermé, on a n = n1 + n 2 = cste, de sorte que dn1 + dn 2 = 0 et dG T , P = μ1 dn1 − μ 2dn1 = 0,

soit μ1 = μ2

(2.9)

À l’équilibre, le potentiel chimique du constituant de chacune des deux phases est le même dans chaque phase. Le potentiel chimique mesure donc la tendance à quitter une phase. • Dans le cas de l’équilibre chimique :

α A + β B  γC + δ D

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

À T et P donnés, on a : dG T , P = μ A dn A + μB dn B + μC dn C + μ D dnD Les variations élémentaires des nombres de moles dn A, dn B , dn C et dnD sont liées au degré d’avancement ξ de la réaction par : dξ = − soit

dn A dn B dn dn D = C = =− α β γ δ ⎧ dn A = −αd ξ ⎪ ⎪ ⎨ dn B = −βd ξ dn C = +γd ξ ⎪ ⎪ ⎩ dn D = +δd ξ

À l’équilibre chimique dGT , P = 0, d’où

−αμ Adξ + −βμ B dξ + γμC dξ + δμ D dξ = 0

(2.10)

23

24

Chap. 2. Thermodynamique chimique soit et d’une façon générale :

αμ A + βμ B = γμC + δμ D , ∀dξ 

ν i μi = 0

i

où μi représente le potentiel chimique de l’espèce i et ν i le coefficient stœchiométrique (négatif si l’espèce de la réaction,D positif si l’espèce i est un − A i est−un réactif B C produit de la réaction). Avec ces conventions, l’expression précédente peut alors s’écrire :   (2.11) νpoduit μproduit − νréactif μréactif = 0

2.2.3 Loi d’action de masse (loi de Guldberg et Waage) On considère la réaction : α1 A 1 + α2 A2 +····  α 1 A1 + α 2 A 2 +···· La condition d’équilibre chimique se traduit par,  νi μi = 0 i

On définit la constante d’équilibre par : α1

K =



α2

α i

ai

a1 × a 2 × .... i =  α1 α2 i a 1 × a 2 × .... aα i

(2.12)

i

où les ai représentent les activités et les αi les coefficients stœchiométriques. K est une constante qui ne dépend que de la température. La constante d’équilibre K est liée à l’enthalpie libre standard DG 0 par la relation : DG0 + RT ln K = 0

avec DG 0 =



ν i μ 0i

i (Loi d’action de masse)

soit

DG 0 d (ln K ) = dT RT 2

ou

ln K = −

DG 0 RT

(2.13)

(2.14)

où R représente la constante des gaz parfaits et T la température absolue en Kelvin.

2.3 Expressions du potentiel chimique

2.3 EXPRESSIONS DU POTENTIEL CHIMIQUE 2.3.1 Corps pur gazeux Dans le cas d’une phase homogène formée d’un seul constituant alors : G = nμ

(μ potentiel chimique du corps pur et n sa quantité de matière en moles)

Si le gaz est supposé parfait, on montre que (voir exercice 2.2) : μ(P , T ) = μ0 (T ) + RT ln

P = μ 0 + RT ln a P0

(2.15)

(a= PP représente l’activité du gaz) 0

où μ0(T ) représente le potentiel chimique standard du gaz parfait pur à la température T (pour l’état de référence P0 = 1 atm), P la pression du gaz en atmosphères.

2.3.2 Mélange de gaz parfaits On définit la fraction molaire du constituant i : ni P = i Xi = n P

(2.16)

où Pi représente la pression partielle du gaz i. On obtient, pour le gaz i : μi ( P , T ) = μ 0i (T ) + RT ln

Pi = gi + RT ln Xi P0

avec

g i = μ0i + RT ln

P (2.17) P0

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

où P représente la pression du mélange gazeux.

2.3.3 Constituant d’une phase liquide idéale Le potentiel chimique d’un constituant i d’une phase liquide idéale est donné par : μi (X i , T ) = μ 0i (T ) + RT ln X i

(2.18)

où X i représente la fraction molaire du constituant i dans le mélange et μ 0i (T ) le potentiel chimique dans l’état standard (constituant i séparé, pur), à la température T .

2.3.4 Soluté dans une phase liquide Le potentiel chimique d’un soluté S dans une solution idéale est donné par : μ S(C S , T ) = μ0S (T ) + RT ln CS

(2.19)

où C S représente la concentration molaire du soluté S (en mol.L−1 ) et μ0S (T ) le potentiel chimique dans l’état standard (une solution du soluté S à 1 mol.L−1 ), à la température T .

25

26

Chap. 2. Thermodynamique chimique

Exercices 1 On considère l’équilibre chimique suivant : A + B = X +Y,

K = 16

La constante des gaz parfaits est égale à 8, 31 J. mol−1 . K−1 . La température est de 27 ◦ C. Hors équilibre, la variation d’enthalpie libre est donnée par :   produit des concentrations des produits affectées des coefficienst stoechiométriques DG = DG 0 + RT ln produit des concentrations des réactifs affectées des coefficienst stoechiométriques

1. Les concentrations initiales de A et B sont toutes les deux égales à 10 nmol.L −1. Les concentrations initiales de X et Y sont nulles. Déterminer dans ces conditions la concentration de X à l’équilibre. 2. En réalité, les concentrations de A et B sont maintenues à 10 nmol.L−1 , celles de X et Y à 4 nmol.L −1. Déterminer dans ces conditions la variation d’enthalpie libre de la réaction. 3. On suppose que les concentrations des produits X et Y restent constamment égales à 4 nmol.L−1 , et que celles des réactifs A et B sont égales et notées x . Déterminer la condition sur x pour que la réaction A + B = X + Y soit exergonique.

2 1. Montrer que pour un gaz parfait pris à la température T et à la pression P, son enthaplie libre molaire G = H −T S peut s’écrire G = RT [φ(T ) + ln P] où φ(T ) est une fonction de la température.

2. On considère un mélange idéal de gaz parfaits dont la proportion du constituant i est Xi et sa pression partielle Pi = Xi P, où P est la pression du mélange. Montrer que le potentiel chimique du constituant i peut s’écrire μ i = μ 0i + RT ln

Pi = g i + RT ln X i P0

avec

Questions à choix multiples L’énoncé suivant est commun aux questions 1, 2 et 3. On considère la réaction équilibrée suivante à 27 ◦ C : A + B  2C

avec

K = 16

(K : constante d’équilibre)

gi = g0 + RT ln

P P0

Questions à choix multiples On donne : constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J. mol−1 . K−1. Les concentrations initiales des réactifs A et B sont égales à 0, 1 mol.L −1 . La réaction est exothermique. D H, DG et DS représentent respectivement les variations d’enthalpie, d’enthalpie libre et d’entropie.

1 Quelle(s) est (sont) la (les) réponse(s) exacte(s) ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

DG = −3, 002 kJ. (K : constante d’équilibre) DG = −6, 912 kJ. DS > 0 pour toute valeur possible de DH . DS < 10 J. K−1 pour toute valeur possible de DH. DS < 23 J. K−1 pour toute valeur possible de DH.

2 À l’équilibre la concentration du produit C est égale à : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

0, 033 mol.L−1 . 0, 05 mol.L−1. 0, 066 mol.L−1 . 0, 1 mol.L−1 . 0, 133 mol.L−1 .

3 Dans les conditions physiologiques, les concentrations de A et B sont mainte-

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

nues égales à 0, 1 mol/L, et la variation d’enthalpie libre est égale à −4, 986 kJ. Dans ces conditions, la concentration du produit C est égale à : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

0, 04 mol.L−1 . 0, 1 mol.L−1 . 0, 147 mol.L−1 . 1, 09 mol.L−1 . 4 mol.L−1 .

4 On donne : constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J. mol−1. K−1 . ❑ 1. Le potentiel chimique d’un gaz est donné par : μ g = μ0g (T ) + RT ln

P P0

avec

P0 (état de référence) = 1 atm

❑ 2. Le potentiel chimique d’une substance S (soluté) est donné par : μ S = μ0S (T ) + RT ln

C C0

avec

C 0(état de référence) = 1 mol.L −1

27

28

Chap. 2. Thermodynamique chimique ❑ 3. La variation du potentiel chimique d’une substance lorsque sa concentration passe de C1 à C 2 est Dμ = RT (ln C 2 − ln C 1 ) 4. Pour C1 = 0, 1 mol.L−1 et C1 = 0, 1 mol.L −1, alors à la température de 27 ◦C : ❑ a) la variation du potentiel chimique de la substance est Dμ S = 155, 5 J. mol−1 , ❑ b) la variation du potentiel chimique du solvant (l’eau) est Dμeau  4, 5 J. mol−1 .

Corrigés Exercices 1 1. Notons par a les concentrations initiales de A et B et par x celles de X et Y à l’état final (état d’équilibre). Les concentrations de A et B à cet état d’équilibre seront donc égales à a − x , d’où le tableau d’évolution : N Ei Ef

A a a−x

+

B a a−x

=

X 0 x

+

Y 0 x

La constante d’équilibre s’écrit donc : x2 [ X] [Y ] = K = [ A] [B] (a − x )2

Soit K (a − x )2 = x 2 ou encore,

(K −1)x2 −2K ax+K a2 = 0 : équation du second dégré en x (x en mol.L −1) Application numérique. On obtient l’équation : 15x 2 − 320x + 1 600 = 0,

équation du second degré qui admet pour discriminant D = 6 400. Cette équation admet donc deux racines réelles : x 1 = 8 et x 2 = 13, 3 À tout instant, on doit avoir a − x > 0, soit x < a. La seule solution possible pour x est donc x = 8. Conclusion : les concentrations de X et Y , à l’équilibre, sont de 8 nmol.L−1. 2. Déterminons d’abord la variation d’enthalpie libre standard, soit DG 0. À l’équilibre DG = 0, soit DG0 + RT ln K = 0. Ainsi DG 0 = −RT ln K .

Corrigés Numériquement : ou

DG 0 = −8, 31 × 300 × ln 16 = −6 912 J. mol −1 , DG 0 = −6, 912 kJ. mol−1 .

Connaissant DG 0, on peut donc maintenant calculer DG pour l’état tel que : [ A] = [B] = 10 nmol.L−1 et [X ] = [Y ] = 4 nmol.L−1 . − [ X] [Y ] Comme DG = DG0 + RT ln alors, [ A] [ B] DG = −6 912 + 8, 31 × 300 ln

42 = −11 480 J ou DG = −11, 48 kJ. mol −1. 2 10

3. La réaction A + B = X + Y est exergonique si DG < 0. [ X] [Y ] Comme DG = DG0 + RT ln alors, [ A] [ B] pour l’état [A ] = [B] = x et [ X] = [Y] = 4 nmol.L −1 , on peut écrire : 16 DG + RT ln 2 < 0, x Numériquement : 0

ln D’où

soit

16 −6 912 1. x2

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Conclusion : pour que la réaction soit exergonique il faut que x > 1 nmol.L−1.

2 1. Considérons une mole de gaz parfait pris à la température T et à la pression P. Son entropie S est telle que : δQr (2.20) T On a δQr = dU − δW = dU + PdV (d’après le premier principe). Comme H = U + P V alors d H = dU + Pd V + V d P, soit dU = d H − Pd V − V d P. Ainsi δQ r = d H − V d P. D’après la deuxième loi de Joule (l’enthalpie H ne dépend que de T ), on a : d H = Cmp dT , où C mp représente la chaleur molaire. Ainsi δQ r = C mp dT − V d P et donc dS =

d S = C mp

dT dP −V T T

(2.21)

29

30

Chap. 2. Thermodynamique chimique V R = . T P La relation précédente (relation 2.21) devient donc : Le gaz étant un gaz parfait, donc : P V = RT , soit

d S = Cmp

dT dP −R T P

(2.22)

Après intégration, il vient : − S = f (T ) − TR ln P + Tcst e Dans le cas d’un système fermé dont la composition est constante, on a vu que : d H = T d S + V d P, c’est à dire H =fonction (S, P ). De plus, comme G = H − T S alors G = RT [φ(T ) + ln P ]

(2.23)

P = μ0 + RT ln a. P0 On a G = H −T S = U +P V − S, donc dG = dU + Pd V +V d P−T d S−SdT . Comme dU = δW + δQ = −Pd V + δQ = −PdV + T d S alors dG = V d P − SdT = V d P à T constant. RT Pour un gaz parfait et pour une mole, on a : V = . P Il vient : dP dg = RT à T constant P Montrer que pour un tel gaz, on a : μ = μ0 + RT ln

Si g0 = μ 0 représente la valeur de l’enthalpie libre molaire à la pression de référence P0, alors :  g  P dP P dg = RT = RT ln P0 g0 P0 P soit

g − g0 = RT ln

P P0

ou

μ = μ0 + RT ln

(μ étant l’enthalpie libre molaire g à T et P )

P P0

2. Dans le cas d’un mélange idéal de gaz parfaits, on a G = représente l’enthalpie libre molaire du gaz i. Pour un mélange de N gaz, on aura donc : G=

N 

i=1

  n i RT φi (T ) + ln Pi

avec

N 

(2.24)

gi n i , où g i

i=1

  g i = RT φi (T ) + ln Pi

Corrigés Comme Pi = X i P, alors : G=

N 

i=1

N      ni RT φi (T ) + ln X i P = ni RT φi (T ) + ln Xi + ln P i=1

Si μ0i représente le potentiel chimique du constituant i à l’état pur à la tem    pérature T  sous la pression P du mélange, alors : i 1   μ0i = RT φi (T ) + ln P Ainsi,

μi = μ0i + RT ln Xi = g i + RT ln X i

(2.25)

(où gi =μ 0i représente l’enthalpie libre molaire du constituant à l’état pur à T et P)

Remarque Le potentiel chimique du constituant i est donc indépendant des fractions molaires des autres constituants du mélange.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Questions à choix multiples Question

1

2

3

1.

❑

❑

❑

2.

❑ ✗

❑

❑

3.

❑

❑

✗ ❑

4.

❑

❑

❑

5.

❑ ✗

✗ ❑

❑

4 1. ✗ ❑ mais en précisant gaz parfait idéal

2. ✗ ❑ Préciser solution idéale C2 3. ❑ Dμ = RT ln . C1 4. a) ❑ Dμ S = 1 728 J. mol −1 n eau + nS(1) 55, 6 + 0, 1 b) ❑ Dμeau = RT ln = 8, 31 × 300 × ln 55, 6 + 0, 2 n eau + nS(2)  −4, 5 J. mol−1.

31

3

Propriétés acido-basiques des solutions Plan

Cours 3.1 Acides et bases en solution aqueuse 3.2 pH d’une solution aqueuse 3.3 Réactions acide-base : courbes de titrages 3.4 Les systèmes tampons 3.5 Diagramme de Davenport et troubles acido-basiques QCM et exercices Corrigés

Objectifs • Connaître les définitions d’un

acide et d’une base de Brönsted

• Savoir calculer le pH :

– d’un acide fort et d’un acide faible, – d’une base forte et d’une faible, – d’un mélange acide-base

• Savoir déterminer les différents

troubles à partir du diagramme de Davenport.

Cours Le pH sanguin est légèrement basique et sa valeur est voisine de 7, 40 : 7, 39 dans le sang artériel et 7, 36 dans le sang veineux. Pour que la vie soit possible, il faut que ces valeurs de pH restent constantes : elles ne peuvent subir que de faibles fluctuations. La présence simultanée des ions hydrogénocarbonate et de dioxyde de carbone dissous dans le sang assurent cette régularité.

3.1 ACIDES ET BASES EN SOLUTION AQUEUSE 3.1.1 Acides et bases selon Brönsted Selon Brönsted et Lowry (théorie élaborée en 1923) : • Un acide est une espèce chimique, ionique ou moléculaire, susceptible de céder

(libérer) un ou plusieurs protons H + :

– un monoacide ne peut céder qu’un proton H + ; – un polyacide peut en céder plusieurs.

3.1 Acides et bases en solution aqueuse • Une base est une espèce chimique, ionique ou moléculaire, susceptible de capter

(fixer) un ou plusieurs protons H + :

– une monobase ne peut capter qu’un proton H + ; – une polybase peut en capter plusieurs. On peut représenter, d’une façon générale, un acide par AH (acide moléculaire) ou B H + (acide cationique) selon :

ou

AH = A − + H +

(3.1)

BH+ = B + H+

(3.2)

On forme une espèce ( A − ou B) qui, dans la réaction inverse, est susceptible de capter un proton H + : acide et base vont donc par paire ou couple acide/base. Acide et base d’un même couple sont dits conjugués : à tout acide AH (ou B H +) correspond sa base conjuguée A− (ou B). On obtient ainsi les couples acide/base AH/A− et B H+ / B . Exemple 1. C H 3 C O O H = C H 3 C O O − + H + (acide moléculaire)

2.

N H 4+

(acide cationique)

=

(base anionique)

N H3

(base moléculaire)

+ H+

3. H 2S O4 peut libérer deux protons H + selon : ⎧ − + ⎨ H2 S O 4 = H S O4 + H puis H 2S O 4 est un diacide. ⎩ − 2− + H S O4 = S O4 + H © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Remarque

Dans l’exemple 3, l’espèce H S O4− apparaît comme une base pour le couple − 2− H2 S O4/H S O4− et un acide pour le couple H SO − 4 /S O 4 : on dit que H SO 4 est une espèce amphotère ou ampholyte. Exemple de quelques couples acide/base : Acide Base

HF F−

HC N CN−

C O2 , H2 O HCO − 3

H C O3− C O 2− 3

C 6 H5 C O O H C 6 H5 C O O−

3.1.2 Réactions acides-bases Pour un couple acide/base, on peut écrire : acide = base + H +

H3 O + H2 O

H2 O H O−

33

34

Chap. 3. Propriétés acido-basiques des solutions La superposition de deux transferts de protons H + conduit à l’équilibre : acide1 + base2 = base1 + acide 2

(3.3)

Une réaction acido-basique est donc un transfert de proton H+ de l’acide (1), acide du couple acide1 /base1, vers la base (2), base du couple acide 2 /base2. Exemple  C H3 C O O H = C H3 C O O − + H+ , couple C H3C O O H/C H3C O O − N H3 + H + = N H +4 , couple N H4+/N H 3 Et le bilan de la réaction est :

C H3 C O O H + N H3 = C H3 C O O − + N H4+ acide1

base 2

base1

acide2

C’est une réaction d’échange de proton entre l’acide C H3 C O O H du couple C H 3C O O H/ C H3C O O− et la base N H3 du couple N H4+/N H3 .

3.1.3 Les couples de l’eau • L’ion hydronium H3 O + est un acide de Brönsted puisqu’il est susceptible de céder

un proton H + selon la demi-équation d’échange protonique : H3 O + = H 2 O + H +

(3.4)

H2 O est la base conjuguée de l’acide H3 O + : on définit le couple H3 O +/H2 O où l’eau est la base. • L’ion hydroxyde H O − est une base de Brönsted puisqu’il est susceptible de capter

un proton H + selon la demi-équation d’échange protonique : H O − + H + = H2 O

(3.5)

H2 O est l’acide conjugué de la base H O −. L’eau apparaît comme une base pour le couple H3 O + /H2 O et comme un acide pour le couple H 2 O/H O− : nous dirons que l’eau est un amphotère ou un ampholyte.

3.1.4 L’autoprotolyse de l’eau - Produit ionique de l’eau La présence dans l’eau d’ions H 3O + et H O− résulte de son ionisation partielle qui peut s’interpréter comme une réaction acido-basique : H2 O + H 2 O = H3 O + + H O −

(3.6)

L’eau intervient par l’intermédiaire des deux couples H3 O + /H2 O et H 2 O/H O− .

3.2 pH d’une solution aqueuse La constante thermodynamique de l’équilibre précédent (relation 3.6), notée K e , est appelée produit ionique de l’eau :    Ke = H3 O + H O −

(3.7)

K e est une constante sans dimension qui ne dépend que de la température. On définit pK e : pK e = − log K e , soit K e = 10− pK e

(3.8)

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de K e et pK e pour différentes températures. Température ( ◦ C) Ke pKe

0

25

50

80

0,12.10−14

1,0.10−14

5,5.10−14

25.10−14

14, 9

14, 0

13, 3

12, 6

Remarque Ke est une fonction croissante de la température.

3.2 pH D’UNE SOLUTION AQUEUSE 3.2.1 Définition

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Définition Le p H est un nombre sans unité. Il permet de quantifier le caractère acide ou basique d’une solution. Pour les solutions aqueuses diluées (molarité très inférieure à 1 mol. L −1), on définit le p H par :     p H = − log H3 O + , soit H3 O + = 10 − p H

(3.9)

(d’après le chimiste danois Sören Sörensen)

Remarque     Dans l’expression p H = − log H3 O+ , H 3 O + est un nombre qui mesure la + concentration molaire en ions H  3 O .+   + H3O H O 3 En toute rigueur, p H = − log , où C 0 = 1 mol. L−1 et le rapport C0 C0 est donc sans unité.

35

36

Chap. 3. Propriétés acido-basiques des solutions

3.2.2 Solutions acides et basiques 







• Pour l’eau pure, H 3 O + = H O − .

        Comme Ke = H 3 O + H O − , alors H3 O+ = H O − = Ke , soit  1 1 p H = − log Ke = − log K e = pK e 2 2

(3.10)

(Pour l’eau pure)

À 25 ◦C, pour l’eau pure, pK e = 14, 0 et donc p H = 7, 0.     • En milieu acide, H3 O + > H O − .

Ke . [H 3 O + ]  2 , soit H3 O + > K e .

     Comme Ke = H 3 O + H O − , alors H O − =   Il en résulte donc : H 3 O + > Ainsi,

Ke [H3 O + ]

  1 2 log H3 O+ > log K e ou encore p H < pK e 2

(3.11)

(En milieu acide)

À 25 ◦C, une solution est acide si p H < 7, 0.     • En milieu basique, H 3O + < H O− .

Ke . [H 3 O + ]  2 , soit H3 O + < K e.

     Comme Ke = H 3 O + H O − , alors H O − =

Ke [H3 O + ]   1 2 log H3 O+ < log K e ou encore p H > pKe 2

  Il en résulte donc H3 O+ < Ainsi,

(3.12)

(En milieu basique)

À 25 ◦C, une solution est basique si p H > 7, 0. solutions neutres [H 30 + ] = [HO-]

solutions acides 0

[H 30 +] > [HO-]

solutions basiques 7

[H 3 0+ ] < [HO-]

14

Figure 3.1

3.2.3 pH de quelques liquides biologiques Le tableau ci-après donne le p H de quelques liquides biologiques.

pH

3.2 pH d’une solution aqueuse Liquide biologique sang artériel sang veineux salive suc gastrique suc pancréatique liquide céphalo-rachidien

pH 7, 38 − 7, 42 7, 35 − 7, 42 6, 8 − 7, 2 1 , 6 − 1, 8 8, 0 7, 9

3.2.4 pKa d’un couple acide/base Définition Considérons un acide AH. Sa réaction avec l’eau s’écrit : AH + H2 O = A− + H3 O +

(3.13)

• Acide fort : l’acide est qualifié d’acide fort si sa dissociation dans l’eau est

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

totale, c’est-à-dire qu’il n’existe plus de molécules AH dans la solution. • Acide faible : l’acide sera qualifié d’acide faible s’il n’est pas entièrement ionisé, c’est-à-dire que sa dissociation dans l’eau est partielle. Dans ce cas, il faut pouvoir évaluer sa «force», grandeur intrinsèque, constante pour toute solution. Pour l’équilibre chimique représenté par la relation 3.13, on définit la constante d’acidité K a, ou constante d’ionisation de l’acide AH dans l’eau, par :  −   A H3 O + Ka = , Ka ne dépend que de la température (3.14) [ AH] ([ X] représente un nombre qui mesure la concentration de l’espèce X , exprimée en mol. L −1)

On définit aussi le pKa par : pK a = − log K a, soit K a = 10− pKa

(3.15)

Relation entre p H et pKa Pour tout couple acide-base A/ B , la réaction d’ionisation de l’acide A s’écrit : A + H2O = B + H 3 O+ À cet équilibre, on associe la constante d’acidité Ka telle que :   [ B] H3 O + Ka =

37

38

Chap. 3. Propriétés acido-basiques des solutions De la relation précédente, on tire : 

 [ A] H 3 O + = Ka [B ]

En prenant les logarithmes, on obtient :

     A [ ] [ A] + H O log H3 O+ = log Ka , soit log = log K + log 3 a [ A] [B ] [ B] 

ou encore,

p H = pKa + log

[B] [A]

(3.16)

3.2.5 Diagramme de prédominances On convient de considérer que l’espèce acide A est prédominante devant l’espèce basique B lorsque [ A] > 10 [B] De la relation 3.16, il en résulte : ⎧ ⎪ ⎨ p H = pKa si [ A] = [B] p H < pKa − 1 si [A] > 10 [B] ⎪ ⎩ p H > pKa + 1 si [B ] > 10 [A] On obtient le diagramme ou domaines de prédominance (Fig. 3.2) : Les deux espèces coexistent [A] = [B]

A prédomine 0

[A] > 10[B]

B prédomine pka -1 pk a pka +1

[A] E 1 : lorsque l’on ferme le circuit (Fig. 4.3), il y a transfert d’électrons de l’électrode (1) vers l’électrode (2) : le réducteur R ed ´ 1 est oxydé alors que l’oxydant O x 2 est réduit. R

I

A

eElectrode (1)

Pôle (-)

Pôle (+)

couple Ox1/Réd1

Electrode (2)

couple Ox 2/Réd2

Figure 4.3 Le schéma conventionnel de cette pile est : (−)O x1/Red 1//Red2 /O x2 (+) Le bilan de la réaction est : n1 O x 2 + n 2 Red1 = n 1 Red2 + n 2 O x 1 La variation d’enthalpie libre DG de cette réaction est : DG = DG 0 + RT ln K avec K = La f .e.m . E de cette pile est telle que : E = E2 − E1

[O x1 ]n 2 [Red2]n 1 [O x2 ]n 1 [Red1]n 2

(4.12)

4.2 Potentiel d’oxydo-réduction Comme

alors

⎧ 0, 059 [O x 1] ⎪ ⎪ E1 = (E0 )1 + log ⎪ ⎨ n1 [Red 1] et ⎪ ⎪ 0, 059 [O x 2] ⎪ ⎩ E2 = (E0 )2 + log n2 [Red 2] 

1 1 [ O x2] [ O x1 ] log log − E = E 2 − E1 = (E 0)2 − (E0 )1 + 0, 059 n2 [Red2 ] n 1 [Red 1 ]



(4.13)

E0 = (E0 )2 − (E0) 1 : force électromotrice normale (ou standard) de la pile. Pour n 1 = n2 = n, on obtient : E = E 2 − E1 = (E0 )2 − (E 0)1 −

0, 059 [O x1] [Red 2] log n [O x2] [Red 1]

(4.14)

Cette force électromotrice E est telle que :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

DG + nFE = 0 soit E = −

DG nF

(4.15)

La force électromotrice E, fonction des concentrations, s’annule lorsque E 2 = E1 : dans ce cas le système n’évolue plus, il sera en état d’équilibre (DG = 0). Dans le cas où les électrodes métalliques plongent dans des solutions contenant un de leur sel aux concentrations C1 et C 2, la f .e.m . E de la pile est :   RT  E 1 = (E 0 )1 + log C 1 ; z 1 : valence du métal M1  z 1F  E = E2 − E 1 avec   E 2 = (E 0 )2 + RT log C 2 ; z 2 : valence du métal M2  z 1F

Les solutions des deux demi-piles sont reliées entre elles soit par un pont électrolytique, soit par une cloison poreuse (Fig.4.4). La cloison poreuse permet la conduction ionique entre les deux solutions électrolytiques, sans permettre qu’elles se mélangent. Si les deux électrodes sont constituées du même métal de valence z, alors (E0) 1 = (E 0) 2 et z1 = z 2 = z. La f .e.m . E d’une telle pile, appelée pile de concentration, est donnée par la relation : E=

RT C2 log zF C1

La f .e.m . E dépend de la température T et du rapport des concentrations. Les applications des piles de concentrations sont nombreuses : mesure de pH, potentiels des membranes, ...

67

68

Chap. 4. Oxydo-réduction V

Électrode (1)

V

Électrode (2)

Électrode (1) Électrode (2) cloison poreuse

pont électrolytique

C1 C1 z + couple M11 /M1

C2

C2 z + couple M22 /M2

z + couple M11 /M1

z + couple M22 /M2

Figure 4.4

4.2.4 Mesure de pH Une application importante d’une relation entre E et pH est la possibilité de déterminer le pH par mesure de E : c’est le cas des pH-mètres. Pratiquement, l’électrode à hydrogène est inutilisable pour mesurer le pH des solutions aqueuses. Le plus souvent, on utilise, pour les mesures des pH, des électrodes de verre. On montre que le potentiel d’électrode est une fonction affine du pH de la solution dans laquelle elle est immergée : E verre = E0, verre + a.pH E 0, verre et a sont déterminés par un double étalonnage avec des solutions tampons.

Exercices 1 Vérifier qu’à 25 ◦ C, on a

RT 0, 059 ln X = log X nF n

Données. R : constante des gaz parfaits, R = 8, 31 J. K −1 . mol−1, F : le faraday, F = 96 500 C. mol−1

2 On considère une solution acidifiée, de volume Vsol = 1 L, contenant des ions Fe2+ et Fe3+ tels que :   

Fe2+ 3+

Fe



0



= 0, 1 mol.L −1 = 0, 2 mol.L

−1

, à 25 ◦ C

Questions à choix multiples Le p H de la solution dans les conditions de l’expérience est p H0 = 1. Calculer le potentiel d’une électrode de platine plongeant dans la solution précédente. On prendra comme électrode de référence l’électrode normale à hydrogène. 2+ Données. E0 (Fe 3+ /Fe   ) = 0, 770 V

3 On donne : Potentiels rédox  

• Couple Cu2+ /Cu+ : E1 = E 0 0(Cu 2+/Cu +) = 0, 16 V • Couple Cu+/Cu : E 2 = E0 (Cu + /Cu) = 0, 52 V

Déterminer le potentiel du couple Cu2+ /Cu.

4 On considère la pile suivante :    Fe3+  0, 1 mol.L−1      −1  +   //Ag 0, 1 mol.L Pt   Ag  Fe2+ 0, 1 mol.L−1 

Les solutions utilisées sont des solutions aqueuses et la température sera prise à 298 K. Données numériques à 298 K : Potentiels d’électrode standards : E0(Fe 3+/Fe2+ ) = 0, 77 V, E0(Ag + / Ag) = 0, 80 V. 1. Indiquer le pôle positif de cette pile. 2. Calculer la f .e.m . E de cette pile.

3. Indiquer la relation existant entre E0 de la pile et la constante d’équilibre de la réaction chimique qui a lieu lorsque la pile débite. Calculer cette constante d’équilibre.

Questions à choix multiples 1 Le nombre d’oxydation de l’azote est de : ❑ 1. −I I I dans la molécule d’ammoniac N H3 . ❑ 2. +I I dans l’hydrazine, N H2 − N H2. ❑ 3. +V dans l’acide nitrique, H N O3 . Le nombre d’oxydation du chlore est de : ❑ 4. +I I dans la molécule Cl O 2. ❑ 5. +I I I dans la molécule H OCl O.

69

70

Chap. 4. Oxydo-réduction 2 Données. E 0(H +/H2 ) = 0, 0 V E 0(Fe 2+ /Fe) = − 0, 44 V E 0(Ag + / Ag) = 0, 80 V À 25 ◦ C, par rapport à l’électrode normale d’hydrogène, 1. Le potentiel d’une lame de fer plongeant dans une solution de sulfate de fer (Fe2+ , S O42−) à 10−2 mol.L−1 vaut : ❑ a) −0, 38 V ; ❑ b) −0, 50 V. 2. Le potentiel d’une lame d’argent plongeant dans une solution de nitrate −3 d’argent (Ag +, N O − mol.L−1 vaut : 3 ) à 10 ❑ a) − 0, 62 V ; ❑ b) 1, 32 V ; ❑ c) + 0, 62 V.

3 On réalise la pile suivante : Al / Al 3+ (1 mol.L−1 //H + (1 mol.L −1 )/H2, Pt La pression d’hydrogène est maintenue constante au cours du fonctionnement de la pile et PH2 = 1 atm. On donne : Potentiels d’électrode standards : E 0(H +/H2 ) = 0, 0 V, E 0(Al 3+/ Al) = − 1, 67 V. ❑ 1. Les électrodes de cette pile sont des électrodes de premier type. ❑ 2. Le pôle positif de la pile est la lame d’aluminium. ❑ 3. La réaction qui se produit au niveau de la lame de platine est : H2 −→ 2H + + 2e −

3 ❑ 4. La réaction globale lorsque la pile débite est : Al + 3H + −→ Al 3+ + H 2 2 ❑ 5. La f .e.m . de cette pile vaut 1, 67 V.

4 Données. E 0(H +/H2 ) = 0, 0 V, E 0(Fe 3+ /Fe2+) = 0, 77 V, E 0(Fe 2+ /Fe) = −0, 44 V,

2+ E 0(Mn O − 4 /Mn ) = 1, 49 V,

R = 8, 314 J. mol−1. K −1, M(Fe) = 55, 85 g. mol −1 .

Corrigés On plonge un fil de fer de masse m = 0, 5 g dans de l’acide chlorhydrique dilué. On obtient 1 litre de solution. ❑ 1. Le fer est réduit. ❑ 2. La concentration en ions Fe2+ vaut 8, 9.10−3 mol.L−1 . ❑ 3. On ajoute à la solution précédente du permanganate de potasssium acidifié, on observe alors la réaction : + 2+ MnO − −→ 5Fe3+ + Mn2+ + 4H2 O 4 + 8H + 5Fe

❑ 4. La constante d’équilibre K est telle que : log K =

 0, 059  2+ E 0(Fe 3+ /Fe2+ ) − E0 (Mn O− ) /Mn 4 5

❑ 5. La variation d’enthalpie libre standard associée à l’équilibre précédent est DG0 = −3, 48.10 2 kJ. mol−1 .

Corrigés Exercices 1 Sachant que ln X = ln 10 × log X et que pour 25 ◦C, T = 298 K, alors 8, 31 × 298 8, 31 × 298 0, 059 ln X = × ln 10 × log X = log X 96 500n 96 500n n

2 Au niveau de l’électrode de platine se produit la demi-réaction rédox : Fe 3+ + e − = Fe2+ Le potentiel d’une telle électrode est donné par la formule de Nernst :  3+ Fe E = E 0 (Fe3+ /Fe2+) + 0, 059 log  2+ Fe Application numérique. E = 0, 770 + 0, 059 log

0, 2 = 0, 788 V 0, 1

3 Attention, le potentiel rédox n’est pas une grandeur additive. En revanche, l’enthalpie libre est une grandeur additive.

71

72

Chap. 4. Oxydo-réduction Écrivons les demi-équations électroniques pour chacun des couples : ⎧ − 2+ + 2+ = Cu + (1) E1 et DG 1 ⎪ ⎨ Couple Cu /Cu : Cu + e Couple Cu+/Cu : Cu + + e − = Cu (2) E 2 et DG 2 ⎪ ⎩ Couple Cu2+ /Cu : Cu 2+ + 2e− = Cu (3) E3 et DG 3 L’équation (3) est bien la somme de (1) et (2), ainsi DG 3 = DG1 + DG 2 soit

−2 × F E3 = −1 × F E1 − 1 × F E2 E 1 + E2 ou encore E3 = 2 0, 16 + 0, 52 Application numérique. E3 = = 0, 34 V 2

4 1. Le pôle positif de la pile est l’électrode qui possède le potentiel rédox le plus élevé, soit la lame d’argent.

2. Force électromotrice de la pile. • Pour le couple Fe3+ /Fe2+ : Fe3+ + e− = Fe 2+

 3+  Fe et par suite E(Fe3+ /Fe2+ ) = E 0(Fe3+ /Fe 2+) + 0, 059 log  2+  Fe • Pour le couple Ag+ /Ag : Ag+ + e− = Ag

  et par suite E(Ag+/Ag) = E 0(Ag+ /Ag) + 0, 059 log Ag + Le bilan de la réaction d’échange électronique est : Ag + + Fe2+ = Ag + Fe 3+ La f .e.m . E de cette pile est :



 3+ Fe E = E0 (Ag +/Ag) − E 0(Fe 3+ /Fe2+ ) − 0, 059log  2+  Fe [ Ag +]

Numériquement, E = (0, 80 − 0, 77) − 0, 059 log 3. La f .e.m . de la pile est telle que :

0, 1 = −0, 029 V. 0, 1 × 0, 1

E = E0 − 0, 059 log K Ainsi,

E0 − E , soit K = 10 log K = 0, 059

Application numérique. K = 10



0,03−(−0,029) 0,059



= 10.



E0 −E 0,059



Corrigés

Questions à choix multiples 1 1. ✗ ❑

2. ❑ : no. = −I I 3. ✗ ❑ 4. ❑ : n .o. = + I V . 5. ✗ ❑.

2 1. a) ❑

b) ✗ ❑

E(Fe 2+/Fe) = E0 (Fe 2+ /Fe)+

  0, 059 log Fe 2+ , numériquement E = −0, 50 V. 2

2. a) ❑ b) ❑ c) ✗ ❑   E(Ag +/Ag) = E 0 (Ag+/Ag) + 0, 059 log Ag+

3 1. ✗ ❑

2. ✗ ❑ 3. ✗ ❑ 4. ✗ ❑ 5. ✗ ❑

4 1. ❑ : Le fer est oxydé : Fe −→ Fe 2+ + 2e −.

2. ✗ ❑ 3. ✗ ❑ 2+ 3+ 2+ 4. ❑ : À l’équilibre E(Mn O − 4 /Mn ) = E ( Fe /Fe ).

   2 MnO4− H + 0, 059   Comme = log 5 Mn 2+  3+ Fe et E(Fe3+ /Fe 2+) = E 0 (Fe3+ /Fe2+) + 0, 059 log  2+ Fe 5 alors log K = (E 0 (Mn O4−/Mn2+ ) − E0 (Fe 3+/Fe2+ )) 0, 059  5  Mn2+ Fe 3+ avec K =     + ]8 Fe2+ 5 MnO − [H 4 et numériquement logK = 61 5. ✗ ❑ : DG 0 = −RT ln K = −3, 48.10 2 kJ. mol−1 .

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

E ( Mn O4−/Mn 2+ )

E ( Mn O4− /Mn2+) +

73

5

Transports transmembranaires Plan

Cours 5.1 Généralités sur les phénomènes de transport

Objectifs • Connaître :

– les lois de Fick, – les lois de Raoult,

5.2 Propriétés colligatives

– l’équilibre de Donnan,

5.3 Phénomènes électriques

– l’équilibre de Starling

5.4 Ultrafiltration QCM et exercices Corrigés

• Savoir calculer :

– une pression osmotique, – un travail osmotique,

Cours Les expériences montrent que si dans un milieu matériel une propriété moléculaire, définie par une grandeur intensive (concentration, température,...), n’est pas répartie de façon homogène, il existe un transfert de cette propriété qui se traduit par l’écoulement d’une grandeur extensive (matière, énergie,...) qui tend à la niveler. Par exemple, le phénomène de diffusion de matière résulte de la présence d’un gradient de concentration en ions ou molécules : il y a toujours un déplacement de matière des zones de forte concentration vers les zones à plus faible concentration en espèces diffusées.

5.1 GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT 5.1.1 Notion de flux ➤ Vecteur densité de courant de particules Par analogie avec le vecteur densité de courant (vecteur introduit dans le chapitre « Électrocinétique des courants continus » du manuel de physique de la même collec→ − tion), on définit le vecteur J , vecteur densité de courant de diffusion de particules.

5.1 Généralités sur les phénomènes de transport − → J est un vecteur colinéaire au vecteur vitesse moyenne des particules et a pour norme J = nV .v, où n V représente le nombre de particules par unité de volume, soit : − → −v J = n V .→ (5.1) (J en particules. m −2 . s−1 et n V en m−3 )

➤ Flux de particules à travers une surface S On appelle flux de particules à travers une sur→ − face orientée S , le nombre de particules traversant cette surface par unité de temps, soit :  →− − → dN = (5.2) J .d S F= dt (S) (F en particules. s −1)

Le flux F représente donc un débit de particules.

dS

J

(S)

Exemple Figure 5.1 Si N (x ) représente le nombre de particules diffusées à l’abscisse x, la densité de courant de diffusion s’écrit : J=

1 dN S dt

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

5.1.2 Loi de Fick Soit nV (nombre de particules, molécules ou ions, par unité de volume) la concentration en un point M dont les variations sont responsables du phénomène de transport. On se limitera aux écoulements unidirectionnels suivant O x . Considérons, autour du point M, un élément de volume cylindrique, d’axe O x , de section S et de hauteur δ x . La variation de la concentration est caractérisée par son gradient : ⎧ − −−→ ∂n V − ⎪ → ⎪ = gradn u x , n V : nombre de particules par unité de volume (1) ⎪ V ⎨ ∂x ou (5.3) ⎪ ⎪ − − − → ∂C → − ⎪ ⎩ (2) gradC = u x , C : concentration en mol. m −3 ∂x La densité de flux de particules est proportionnelle en chaque point au gradient de concentration, soit ⎧ ∂nV ⎪ ⎪ (1) J ( x ) = − D , J (x ) en particules. m−2 . s−1 ⎪ ⎨ ∂x ou (Première loi de Fick) ⎪ ⎪ ∂C ⎪ ⎩ (2) J (x ) = − D , J (x ) en mol. m−2 . s −1 ∂x (5.4)

75

76

Chap. 5. Transports transmembranaires D représente la constante de diffusion et s’exprime en m −2 . s −1. Si la diffusion se fait dans les trois directions de l’espace (problème à trois dimensions) et si l’on suppose D constant, la première loi de Fick s’écrit : → − −−→ − J = − D gradn ⎪ V ⎪ ⎩

avec

− −−→ ∂n V → ∂n V − ∂n V − − → → gradn V = ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z

(5.5)

• Le signe − indique que la diffusion s’effectue dans le sens des concen-

trations décroissantes. • Le coefficient D dépend de la grosseur des molécules diffusantes et de la nature du solvant. • D dépend de la température T : D ( T ) = D 0 e

− kEaT

, où E a représente l’énergie d’activation, k B la constante de Boltzmann et T la température en kelvin. • D dépend généralement de la concentration C sauf pour les solutions diluées. • Le nombre de particules qui diffusent par unité de temps à travers une surface S normale à O x s’écrit donc : B

F(x ) = J (x ) S

(5.6)

Par conséquent, les équations (1) et (2) de la relation 5.4 deviennent : ⎧ ∂n V ⎪ ⎪ F( x ) = J ( x ) S = −DS , J (x ) en particules. m −2. s −1 (1) ⎪ ⎨ ∂x ou ⎪ ⎪ ∂C ⎪ ⎩ (2) F(x ) = J (x ) S = −DS , J (x ) en mol. m −2. s−1 ∂x

(5.7)

Exemple 1 - Le régime stationnaire

Un régime est dit stationnaire lorsque ses paramètres sont indépendants du temps. Dans ce cas, le flux est constant, soit F(x ) = F 0 = cste. La première loi de Fick donne : ∂C = F0 −DS ∂x F0 dC Ainsi = −K = cste (pour S et D constants), soit : =− dx DS dC = −K d x

5.1 Généralités sur les phénomènes de transport On intégre l’équation précédente entre les points M 0 et M situées sur les plans d’abscisses 0 et x :  C (x )  x dC = −K d x , soit C (x ) − C0 = −K x ou encore :

0

C0

C (x ) = −K x + C 0 ; C 0 représente la concentration en x = 0 C0 − . Si en x = l , la concentration s’annulle, c’est à dire C (l ) = 0, alors K = l Il en résulte :  x C (x ) = C 0 1 − (5.8) l En régime permanent, il n’y a ni accumulation ni perte de particules : la concentration est une fonction linéaire de x. L’évolution de la concentration C (x ) est donnée ci-dessous (Fig. 5.2). C(x) C0

zone de diffusion

0

l

x

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 5.2 La valeur du flux est : F 0 = −DS

∂C C0 = DS = cste ∂x l

Application - Diffusion à travers une membrane Dans les tissus biologiques, les échanges ne se font pas par diffusion en milieu libre, mais à travers des gels et des membranes. Du fait de la circulation continue, la diffusion s’établit entre une solution de concentration C 1 (constamment entrenue par l’apport métabolique) et une solution de concentration C 2 plus faible (constamment appauvrie par le drainage circulatoire). Le phénomène peut se trouver compliqué du fait de l’existence de membranes dans la zone de diffusion, mais dans de nombreux cas ces membranes ont pour les cristalloïdes une perméabilité élevée qui permet aux phénomènes de diffusion de s’exercer pratiquement sous la seule influence du gradient de concentration. Dans le cas d’une diffusion où la concentration passe de C 1 à C 2, l’évolution de la concentration C (x ) est donnée par la figure 5.3 :

77

78

Chap. 5. Transports transmembranaires C(x) zone de diffusion

C1

C2 0

x1

x2

x

Figure 5.3 La valeur du flux est : F0 = −DS

∂C C 2 − C1 = −DS = cste ∂x x 2 − x1

Exemple 2 - Flux d’électrodiffusion → − Supposons une molécule soumise à une force externe F ext constante et à une force → − → de friction, ou force de frottement, de type visqueux, F f = −λ.− v. En régime stationnaire, la molécule acquiert une vitesse constante telle que : − → → − → − → − → →= − F ext + F f = 0 , soit F ext − λ. − 0 où − vlim v→ lim représente la vitesse limite. La projection des deux membres de l’équation précédente selon l’axe (D) (axe de déplacement des molécules) donne : F ext − λ.vlim = 0, soit vlim =

1 Fext . λ

La théorie cinétique de diffusion montre que le coefficient de diffusion D dépend de T et λ selon la relation : D=

kB T k T = B (relation d’Einstein) 6πηr λ

(5.9)

5.1.3 Équation de diffusion Considérons un cylindre de section S et de génératrices parallèles à l’axe O x (Fig.5.4). Exprimons les flux au niveau des bases du cylindre d’abscisses x et x + d x : ⎧ ⎨ F(x ) = J (x ) S : flux entrant et ⎩ F(x + d x) = J (x + d x)S : flux sortant

5.1 Généralités sur les phénomènes de transport Volume dV = S.dx S

⎨ ⎩

J(x,t)

F( + x

J(x + dx, t)

)

( +

) x :+ flux sortant dx

Figure 5.4

Dans le volume élémentaire d V = Sdx, le nombre de particules varie de pendant l’unité de temps. La conservation du nombre de particules donne : ∂nV Sdx = J (x )S − J (x + d x)S ∂t (flux entrant) (flux sortant) Comme

(5.10)

∂ J (x ) J (x + d x) − J (x ) = , (définition d’une dérivée) ∂x dx

alors : J (x ) − J (x + d x) = − et par suite,

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

∂n V Sdx ∂t

∂ J (x ) dx ∂x

∂n V ∂ J (x ) =− ∂t ∂x

(5.11)

∂n V ∂x

(5.12)

D’après la loi de Fick, on a : J (x ) = − D En dérivant l’équation 5.12, on obtient : ∂ J (x ) ∂2 n V , avec D supposé constant = −D ∂x ∂x 2

(5.13)

En combinant les équations 5.11 et 5.13, il en résulte donc : ⎧ ∂ 2 nV ∂nV ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ D ∂x 2 = ∂t ou ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ D ∂ C = ∂C 2

(équation de diffusion ou seconde loi de Fick)

(5.14)

79

80

Chap. 5. Transports transmembranaires ∂2 n V ∂n V = est une équation aux dérivées partielles et sa résolution ∂x 2 ∂t sort du cadre du programme de L1 santé. Elle traduit simplement la conservation de la matière. Dans le cas d’un régime non stationnaire et pour une diffusion linéaire, on peut vérifier qu’une fonction de distribution Gaussienne est solution de l’équation précédente, soit : ⎪   ⎪ ⎪ a −β xt2 ⎩ nV ( x , t ) = √ e ∂x 2 ∂t t L’équation D

L’évolution de nV (x , t ) est donnée ci-dessous (Fig. 5.5). nV (x , t) à t0 = 0

à t1 > t0 à t0 x

Figure 5.5

5.2 PROPRIÉTÉS COLLIGATIVES La dissolution d’une faible quantité d’un corps pur S (soluté) dans un solvant entraîne la modification d’un certain nombre de propriétés physiques de ce solvant. En effet, on observe pour le solvant : • une élévation de sa température d’ébullition,

• une diminution de sa température de congélation.

Ces modifications des propriétés physiques sont liées à l’existence, à l’intérieur de la solution, d’une pression appelée pression osmotique.

5.2.1 Propriétés physiques des solutions. Lois de Raoult Ébullioscopie. Augmentation de la température d’ébullition du solvant Définition L’ébullition correspond à la transformation : liquide

−→

(ébullition)

gaz

5.2 Propriétés colligatives La dissolution d’une faible quantité de soluté dans un solvant entraîne une augmentation de sa température d’ébullition à pression constante. On montre que :   K : constante ébullioscopique du  eb  solvant en K. mol−1 .L    C S : concentration molaire du soluté en   mol.L −1 2 RTeb  X 1 = Keb C S, Dθ > 0  R : constante des gaz parfaits, Dθ =  Lv  (loi de Raoult pour l’ébullioscopie)  Teb : température d’ébullition du solvant    X1 : fraction molaire du soluté,   Lv : chaleur latente molaire de   vaporisation du solvant, (5.15) Exemple pour l’eau : K eb  0, 51 K. mol−1.L

Cryoscopie. Abaissement de la température de fusion du solvant Définition La fusion correspond à la transformation : solide −→ liquide

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

(fusion)

De même, la dissolution d’une faible quantité de soluté dans un solvant entraîne une diminution de sa température de fusion à pression constante. On montre que :   K : constante cryoscopique du solvant  C  en K. mol−1 .L    C S : concentration molaire du soluté en   2 mol.L −1 RT f  X1 = −K C CS , Dθ < 0  R : constante des gaz parfaits, Dθ = −  Lf  (loi de Raoult pour la cryoscopie)  T f : température de fusion du solvant   X : fraction molaire du soluté  1   L f : chaleur latente molaire de fusion   du solvant (5.16) Exemple pour l’eau : K C  1, 86 K. mol−1.L.

81

82

Chap. 5. Transports transmembranaires Tonométrie ➤ Pression de vapeur saturante Du fait de l’agitation thermique, certaines molécules superficielles tendent à s’échapper, mais elles en sont empêchées par les forces de cohésion du liquide qui les retiennent. L’énergie de liaison est supérieure à l’énergie d’agitation thermique et les molécules ne peuvent donc s’échapper. Ceci n’est vrai qu’en moyenne : la distribution des énergies cinétiques  est statistique, et certaines molécules ont une énergie suffisante pour s’échapper et former une certaine quantité de vapeur (molécules sous forme gazeuse) : c’est l’évaporation (Fig.5.6).

       

Figure 5.6

L’énergie mécanique moyenne des particules diminue : l’évaporation refroidit donc le liquide. L’évaporation correspond au passage de l’état liquide à l’état gazeux.

Si la température du fluide augmente, la pression à laquelle le fluide passe de l’état liquide à gazeux (pression de vapeur saturante) augmente. C’est ainsi qu’un liquide comme l’eau peut se transformer en vapeur à pression ambiante par apport de chaleur, mais il est possible de faire cette transformation sans varier la température en abaissant la pression ambiante au-dessous de la pression de vapeur saturante. La pression de vapeur saturante est la pression à laquelle un fluide passe de l’état gazeux à l’état liquide (ou de l’état liquide à gazeux) pour une température donnée. ➤ Abaissement de pression de vapeur saturante Le dispositif de la figure ci-après (Fig.5.7) montre que la dissolution d’une faible quantité de soluté dans un solvant entraîne une diminution de la pression de vapeur saturante.

P

solvant à la température θ

P’

h

Figure 5.7

solvant + soluté à la température θ

5.2 Propriétés colligatives Pour une solution idéale, l’abaissement de pression de vapeur est proportionnel à la fraction molaire X 1 du soluté dans la solution, soit :   Vg : volume molaire de la phase vapeur   Vl : volume molaire du solvant liquide RT  DP = − X 1 , Dp < 0  R : constante des gaz parfaits, Vg − Vl  (loi de Raoult pour la tonométrie)  T : température du solvant  X1 : fraction molaire du soluté (5.17)

5.2.2 Équilibre à travers une membrane Les différentes membranes Il existe divers types de membranes : • Membrane semi-perméable ou membrane hémiperméable : c’est une membrane

qui laisse passer librement l’eau mais arrête complètement tous les corps dissous (soluté). • Membrane dialysante : une telle membrane laisse passer librement l’eau et les petites molécules qui y sont dissoutes mais arrête les macromolécules (molécules de masses molaires supérieures ou égales à 10 000 g. mol −1). • Membrane sélective : c’est le cas le plus général. Une telle membrane ne sera définie qu’une fois précisés les corps susceptibles de la franchir.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Pression osmotique On peut mettre en évidence la pression osmotique à l’aide du dispositif de la figure 5.8.

h membrane solvant + soluté (1)

solvant

solvant + soluté

solvant (2) État initial (a)

membrane

(1)

Figure 5.8

solvant (2)

État final (état d’équilibre) (b)

• Les compartiments (1) et (2) sont séparés par une membrane semi-perméable.

• Le compartiment (1) contient une solution (solvant + soluté) et le compartiment

(2) le solvant pur ; les niveaux des liquides arrivant à la même hauteur (état initial).

83

84

Chap. 5. Transports transmembranaires Cet état du système n’est pas un état d’équilibre. En effet, le potentiel chimique du solvant dans la solution est inférieur à son potentiel chimique μ0 lorsqu’il est pur. Spontanément, le solvant (l’eau) passe du compartiment (2) vers le compartiment (1) et lorsque l’équilibre est atteint, on observe une dénivellation h correspondant à une différence de pression π telle que :   π : excès de pression appelé pression osmotique   ρ : masse volumique de la solution π = ρgh  (5.18)  g : intensité de la pesanteur.  h : dénivellation En appliquant la condition d’équilibre au solvant entre les deux compartiments, on obtient (voir exercice 1) : π = RTCS , relation de Vant’Hoff

(5.19)

où R représente la constante des gaz parfaits, T la température absolue et C S la concentation du soluté. nS Comme C S = , alors : V (5.20) πV = n S RT L’équation précédente est formellement identique à l’équation d’état des gaz parfaits. • L’analogie avec les gaz parfaits n’est que formelle.

• Les particules (le soluté) ne pouvant traverser la membrane exercent

sur cette dernière une « pression ». • Le phénomène d’osmose reste le flux du solvant qui fait augmenter la pression dans le compartiment (1). La pression osmotique n’en est qu’une conséquence.

On appelle pression osmotique de la solution, la pression π donnée par la relation nS RT = CS RT π= V où nS représente la quantité de matière en moles des particules qui ne peuvent pas traverser la membrane (n S en osmoles si le soluté est dissocié). La pression osmotique d’une solution diluée correspond donc à la pression qu’exercerait le soluté pris à l’état de gaz parfait et occupant seul tout le volume de la solution. Exemple : calcul de la pression osmotique On utilise le dispositif de la figure 6. Les compartiment (1) et (2) contiennent de l’eau pure de volumes V 1 = 2, 50 L et V2 = 1, 50 L. La température de l’ensemble du dispositif est de 17 ◦ C.

5.2 Propriétés colligatives On ajoute dans le compartiment (1) une masse m = 1, 80 g de glucose de formule brute C 6 H12 O 6. Déterminons la pression osmotique π ainsi que la dénivellation h. On donne : Masse molaire du glucose : M = 180 g. mol−1 La masse m = 1, 80 g de glucose correspond à une quantité de matière : 1, 80 = 1, 00.10−2 mol 180 La concentration en glucose, dans le compartimement (1), est donc : nS =

CS =

1, 00.10−2 = 4, 00.10 −3 mol.L −1 = 4, 00 mol. m−3 2, 50

La pression osmotique π est : π = 4, 00 × 8, 32 × 290 = 9651 Pa  0, 095 atm

Il en résulte une dénivellation h donnée par : π h= ρg Numériquement : h =

9 651  0, 984 m, soit 98, 4 cm. 1 000 × 9, 81

5.2.3 Mesure de la pression osmotique

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Mesures directes Les mesures directes se font avec des osmomètres de type Dutrochet (Fig.5.9) On observe un flux du solvant : l’ascension du solvant traduit l’existence de la pression osmotique. Une fois l’équilibre atteint, la dénivellation h mesure indirectement la pression osmotique π. En fait, cette pression est celle d’une solution plus diluée puisqu’il y a eu apport de solvant (phénomène de dilution). Exemple

Solution (solvant + soluté)

h

solvant membrane

Figure 5.9

À une solution de chlorure de sodium de concentration C S = 0, 1 mol.L−1 correspond, à 27 ◦C, une pression osmotique de : π = 0, 1.103 × 8, 314 × 300 = 2, 49.10 5 Pa, soit 2, 46 atm

85

Chap. 5. Transports transmembranaires Mesures indirectes D’après les lois de Raoult et Vant’Hoff, on a : Dθ = −KC C S et π = C S RT

En combinant les deux équations (on isole C S), on déduit : π Dθ ; Dθ < 0 =− KC RT Ainsi :   R = 8, 314 J. K−1 . mol −1 = 0, 082 atm. K −1 . mol−1  Dθ π = −RT ; Dθ < 0  T : température en K KC  K C : constante cryoscopique du solvant en K.mol−1 .L

Le problème se ramène donc à une mesure cryoscopique (pour complément, voir l’exercice 6). Par exemple, pour l’eau : K C  1, 86 K. mol−1 .L D’où : π  −13, 2.Dθ à 27 ◦ C ; Dθ < 0

5.2.4 Travail osmotique Expression du travail osmotique Imaginons un système ne fonctionnant que sur le mode osmotique. On a donc deux compartiments (1) et (2) séparés par une membrane hémiperméable, l’une contenant une solution (N moles de particules pour un volume V) et l’autre de l’eau pure (Fig.5.10). Piston de surface S

solution

Fe

compartiment (1) x'

O ux

solvant

compartiment (2) x

{

86

x

dx

Figure 5.10 Le passage du solvant du compartiment (2) vers le compartiment (1) entraîne une dilution de la solution contenue dans (1) et par suite une variation du volume passant de Vi à V f .

5.2 Propriétés colligatives Il en résulte donc une pression osmotique qui sera équilibrée par une pression phy→ − sique P due à la force Fe exercée sur le piston. Par analogie avec les gaz parfaits, le travail élémentaire des forces de pression est donné par : δW = −Pd V avec Fe = P . S et d V = Sdx • Si la force Fe exercée sur le piston équilibre la pression osmotique, le

flux du solvant à travers la membrane est nul. • Si la force Fe est insuffisante, on observe un flux osmotique. • Si la force Fe est trop importante, on observe une ultrafiltration.

En assimilant la pression P à la pression osmotique π, et compte tenu de la loi de Vant’Hoff πV= n SRT, la relation précédente devient : δ W = −π d V = −n S

RT dV V

En considérant la transformation réversible, le travail résultant des forces de pression π est :  f  Vf Vf RT Wi −→ f = − n S d V = n S RT ln πd V = − V Vi i Vi Comme l’osmolorité ω est inversement proportionnelle au volume V , alors :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Wi −→ f = n SRT ln

ωf Vi = n S RT ln ωi Vf

où ω i et ω f représentent les osmolarités initiale et finale. Wi −→ f représente le travail osmotique nécessaire pour concentrer ou diluer une solution d’une osmolarité ωi à ω f . Application : travail rénal Dans la préparation de l’urine, on peut modéliser la part osmotique du travail rénal selon le schéma suivant : • on isole de façon fictive le volume V de plasma contenant n S osmoles qui seront

excrétées dans l’urine, • les reins concentrent ce volume V jusqu’à atteindre l’osmolarité finale ωU de l’urine par un processus réversible. Dans ce cas, le travail est indépendant du chemin suivi. Le travail développé par le rein pour faire passer n S osmol extraites d’un plasma, d’osmolarité ω S , dans l’urine d’osmolarité ωU, a pour expression : W rénal = n S RT ln

ωU

87

88

Chap. 5. Transports transmembranaires Par exemple : pour n S = 1 osmol passant de l’osmolarité ω S = 301 mosmol/L dans le plasma à ω U = 1, 914 osmol/L dans l’urine, on peut estimer le travail osmotique à 37 ◦ C : 1, 914 W = 8, 31 × 310 × ln = 4 800 J 0, 301

5.3 PHÉNOMÈNES ÉLECTRIQUES

ωS

5.3.1 Équilibre de Donnan. Pression oncotique ➤ Pression oncotique Le phénomène Donnan consiste dans l’inégalité de répartition des ions diffusibles (Na+ et Cl− ) de part et d’autre d’une membrane dialysante lorsque, dans un des deux compartiments se trouve un gros ion non diffusible (R−) de type protéine. Dans le cas le plus simple R− représente l’anion non diffusible (protéine) et Na + le cation commun. La solution (1) contient des macromolécules ionisées (R− , Na +) avec des ions Cl− et la solution (2) est une solution aqueuse de chlorure de sodium (Na+, Cl− ) (Fig.5.11). Les équations d’électroneutralité des Compartiment (1) Compartiment (2) solutions dans les compartiments (1) et + Na + Na+ (2) donnent : + Cl + Cl   −   −  + +  R + Cl 1 = Na 1 R 1 +  + et    −  +  Cl = Na 2 Figure 5.11 2

Les égalités précédentes montrent que les concentrations en ions diffusibles ne peuvent être égales de part et d’autre de la membrane : l’excès d’ions diffusibles du côté des macromolécules entraîne donc une augmentation de pression. La pression dans le compartiment contenant la macromolécule sera supérieure à la pression osmotique normale : cette pression s’appelle la pression oncotique. Les membranes dyalisantes, membranes qui laissent passer l’eau et les petites molécules qui y sont dissoutes mais arrêtent les macromolécules, contribuent donc de façon unique à la création d’une pression osmotique vis à vis de ces membranes : la pression osmotique exercée par les macromolécules (essentiellement les protéines) correspond à la pression oncotique donnée par : π onc = nP RT ;

nP : osmolarité propre aux protéines

➤ Différence de potentiel de part et d’autre de la membrane La différence de potentiel de part et d’autre de la membrane dyalisante est telle que :

5.3 Phénomènes électriques • pour l’ion diffusible Na+ :

• pour l’ion diffusible Cl − :

 + Na RT V2 − V1 = − ln  + 2 F Na 1  − Cl RT V2 − V1 = ln  − 2 F Cl 1

Des équations précédentes, il en résulte :  +  − Na 2 Cl RT RT − ln  + = ln  − 2 F F Na 1 Cl 1 Soit :

 +  − Na 2 Cl ln  + + ln  − 2 = 0 Na 1 Cl 1

En utilisant les propriétés de la fonction logarithme, on aboutit a :    −  + Na Cl ln  + 2 ×  − 2 = ln 1 Na 1 Cl 1 D’où :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Soit :



Na +



 +  − Na 2 Cl  +  ×  − 2 = 1 Na 1 Cl 1

 −  +   − = × Cl Na 2 × Cl 2 1 1

En conclusion Les produits des concentrations en ions diffusibles sont égaux de part et d’autre de la membrane dyalisante.

5.3.2 Exemples Exemple 1 Un récipient est séparé en deux compartiments de volumes égaux par une membrane dialysante, imperméable aux seules macromolécules. On verse dans les deux compartiments une même solution de chlorure de sodium de molarité 430 mmol.L −1. On dissout ensuite dans le compartiment (1) du protéinate de sodium. Lorsque la dissolution du protéinate de sodium et l’équilibre des ions entre les deux compartiments sont réalisés, on mesure en (1) les osmolarités :

89

90

Chap. 5. Transports transmembranaires [Na +]1 445 mosmol.L−1

[Cl − ]1 425 mosmol.L −1

Déterminons, à l’équilibre, les osmolarités des deux ions diffusibles dans le compartiment (1). Réponse Dans le compartiment (2), on ne trouve que les ions Na + et Cl− : les concentrations de ces ions doivent donc être égales (pour assurer l’électroneutralité de la solution). À l’équilibre, la relation de Donnan permet d’écrire : [Na+]1.[Cl −]1 = [Na +] 2.[Cl− ]2 Comme [Na +] 2 = [Cl− ]2 , alors : [Na +]22

=

[Cl−] 22

 = [Na ] 1 .[Cl ]1 , soit [Na ]2 = [Cl ] 2 = [Na+ ]1 .[Cl−]1 +

−

+

−

Application numérique :

[Na+ ]2 = [Cl− ]2 =

√ 445 × 425 = 435 mosmol.L−1

Exemple 2 Deux compartiments, notés (1) et (2), sont séparés par une membrane dialysante. On place de part et d’autre de la membrane une solution de chlorure de sodium de concentration massique c 1 = 5, 85 g.L−1. On ajoute dans le compartiment (1) du protéinate de sodium à 10 mmol.L −1 . 1. La protéine porte 20 charges par molécule. Déterminons, à l’équilibre, les osmolarités des ions Na + et Cl− . 2. Quelle est la valeur du potentiel transmembranaire à la température de 37 ◦ C. Données : Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J. mol− . K−1 Le faraday : F = 96 500 C. mol −1 Réponse 1. Dans les deux compartiments, les osmolarités initiales des ions Na + et Cl− sont : [Na+ ] 1,0 = [Cl−] 1,0 = [Na+ ]2,0 = [Cl − ]2,0 =

c1 M(NaCl)

Soit numériquement : [Na+ ]1,0 = [Cl −] 1,0 = [Na+ ]2,0 = [Cl− ] 2,0 =

5, 85 = 100 mosmol.L−1 58, 5

5.3 Phénomènes électriques (1) 10 mmol.L −1 de protéinate de sodium, soit : On ajoute dans le compartiment  20 × 10 = 200 mEq.L −1 de protéinate (charge z = −20)   et   200 mosmol.L −1 d’ions Na+

Remarque : Un excès d’ions Na + dans (1) entraîne sa diffusion vers (2) et pour préserver l’électroneutralité des ions Cl − diffusent aussi de (1) vers (2). 58, 5 L’apport de protéinate de sodium dans (1) va donc produire un transfert de x mosmol.L − d’ions Na+ et Cl − de (1) vers (2). Après diffusion, les osmolarités deviennent :   [Na+ ]1, eq = − x 100 + 200  (quantité initiale) (apportée par le protéinate de sodium) (quantité qui a diffusé)  − x 100  [Cl −]1, eq =  (quantité initiale) (quantité qui a diffusé)  + 100 + x  [Na ]2, eq = (quantité initiale) (quantité qui a diffusé)   [Cl −] 100 + x  2, eq = (quantité initiale)

(quantité qui a diffusé)

À l’équilibre, la relation de Donnan permet d’écrire :

[Na +]1, eq .[Cl−]1, eq = [Na +] 2, eq .[Cl− ] 2, eq Soit,

(300 − x )(100 − x) = (100 + x) 2

Après développement, on obtient l’équation en x :

30 000 − 400 x + x2 = 10 000 + 200x + x 2 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Ou encore :

600 x = 20 000, d’où x = 33, 3 mosmol.L−1

À l’équilibre, les osmolarités des ions dans les deux compartiments sont donc :   [Na+ ]1, eq = 266, 7 mosmol.L−1   [Cl −]1, eq = 66, 7 mosmol.L−1   [Na+ ]2, eq = 133, 3 mosmol.L−1   [Cl −]2, eq = 133, 3 mosmol.L −1 2. La différence de potentiel est : RT [Na + ]2,eq DV = V 2 − V1 = − ln F [Na + ]1,eq

Application numérique : DV = V2 − V 1 = −

8, 314 × 300 133, 3 = 0, 0179 V, soit 17, 9 mV ln 96 500 266, 7

91

92

Chap. 5. Transports transmembranaires

5.4 ULTRAFILTRATION 5.4.1 Flux du solvant. Filtration Une différence de pression hydrostatique DP s’exerçant de part et d’autre d’une membrane est susceptible d’entraîner un flux de liquide même dans le cas où il n’y a aucune différence de concentration de part et d’autre de la membrane (Fig.5.12). membrane ΔP

eau + soluté

QV

Flux d’eau

(1)

eau + soluté (2)

Figure 5.12 Initialement, les compartiments (1) et (2) contiennent les mêmes concentrations en soluté. Si une surpression DP est exercée sur le compartiement (2), un flux d’eau se produit de (2) vers (1) tel que :     Q V = LP .S.DP   soit  J V = L P.DP   

Q V : débit volumique en m3 . s −1 J V : densité du flux volumique en m. s−1 L P : coefficient de filtration ou perméabilité hydraulique de la membrane en m2 . kg −1 . s S : surface en m 2 DP: surpression en Pa

Ce phénomène correspond à la filtration et le coefficient LP caractérise le comportement de la membrane vis-à-vis du solvant (l’eau). L’osmose inverse est un système de purification de l’eau contenant des matières en solution par un système de filtrage très fin qui ne laisse passer que les molécules d’eau. Considérons de l’eau comportant des solutés, particulièrement du sel. Si l’on met deux solutions de concentrations différentes de chaque côté d’une membrane filtre, l’eau franchit celle-ci jusqu’à ce que les concentrations s’équilibrent : c’est le phénomène de l’osmose. En exerçant une pression hydrostatique (entre 50 et 80 bars), on dépasse la pression osmotique et on force l’eau à franchir la membrane dans un sens,

5.4 Ultrafiltration ce qui permet d’obtenir d’un côté un plus grand volume (environ 70 % à partir de l’eau de mer océanique) d’une eau dont les solutés sont plus dilués (donc d’une eau plus pure), et de l’autre côté un plus petit volume d’une eau plus concentrée, qui sert de piston.

5.4.2 Ultrafiltration Plaçons dans le compartiment (1) de l’eau pure et dans le compartiment (2) de l’eau pure contenant un soluté (une solution). Il apparaît un flux osmotique du solvant de (1) vers (2) qui fait augmenter la pression dans (2). Si l’on exerce à l’aide d’un piston une pression P qui compense la pression osmotique π, le flux de convection compense exactement le flux osmotique et par conséquent le flux net est nul. Dans le cas où la pression P est supérieure à la pression osmotique π, le flux net correspond à un flux convectif du solvant de (2) vers (1) : on dit qu’il y a ultrafiltration ou osmose inverse (Fig.5.13). membrane P>π

Flux d’eau

eau (1)

eau + soluté (2)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 5.13

5.4.3 Ultrafiltration capillaire. Équilibre de Starling Le plasma est séparé du liquide interstitiel par la paroi des capillaires sanguins (capillaires perméables aux micromolécules et à l’eau qui joue le rôle de solvant). Le secteur interstitiel contient peu de protéines et ne développe donc pas de pression oncotique. Les protéines plasmatiques jouant le rôle de soluté donnent naissance à une pression oncotique πonc. L’existence de la pression oncotique se traduit par un appel d’eau attirée par le plasma en provenance des espaces intercellulaires (Fig.5.14). Le tableau ci-dessous donne les valeurs des différentes pressions : Capillaire artériel Capillaire veineux Pression oncotique

Pa (en mmHg) PV (en mmHg) πonc (en mmHg)

32 12 28

93

94

Chap. 5. Transports transmembranaires

• Au niveau de l’artère et à l’entrée du capillaire, Pa > πonc : l’eau sort du capil-

laire vers les espaces intercellulaires. Le solvant filtre donc de l’intérieur vers l’extérieur : il y a ultrafiltration (ou osmose inverse) sous l’effet d’une pression de filtration P f =P a − πonc. • Au niveau de la veine et à la sortie du capillaire, PV < π onc : l’eau va de ces espaces vers le capillaire. Le solvant filtre donc de l’extérieur vers l’intérieur : il y onc a osmose directe sous l’effet d’une pression de résorption Pr = π onc − PV .

capillaire artériel

P a > π onc

P V < πonc

capillaire

liquide interstitiel ultrafiltration

capillaire veineux

osmose

Figure 5.14

Globalement, les deux flux s’équilibrent dans le temps : le volume interstitiel reste constant mais avec un renouvellement permanent. La pression de filtration étant égale à la pression de résorption, donc :  P f = Pr , soit Pa − π onc = πonc − PV  Équilibre de Starling

(5.21)

Ce phénomène physico-chimique, portant sur l’eau, contribue aux échanges de petites molécules entre les secteurs corporels par convection à travers les membranes.

Exercices 1 On considère le dispositif de la figure 5.8. Montrer que la dissolution d’un soluté S à la concentration C S entraîne, à l’équilibre, une pression osmotique donnée par : π = RT C S , relation de Vant’Hoff.

2 Deux cuves (1) et (2) sont séparées par une membrane. Indiquer pour chacun des cas suivants (a ou b ou c), en justifiant, dans quelle cuve le niveau du liquide va monter.

Exercices Cuve Membrane hémiperméable Membrane dialysante Membrane sélective (perméable à l’urée) a) (1) (2) b) (1) (2) c) (1) (2)

On donne : a) (1) : contient une solution aqueuse d’urée à 18 g.L−1 (masse molaire M = 60 g. mol−1 ), (2) : contient de l’eau. b) (1) : contient une solution aqueuse de glucose à 72 g.L−1 (masse molaire M = 180 g. mol−1), (2) : contient une solution aqueuse d’albumine à 72 g.L−1 (masse molaire M = 70 000 g. mol−1 ). c) (1) : contient une solution aqueuse d’urée à 36 g.L−1 (masse molaire M = 60 g. mol−1 ), (2) : contient une solution aqueuse de glucose à 108 g.L−1 (masse molaire M = 180 g. mol−1).

3 1. Donner l’expression du potentiel chimique dans le cas d’un gaz parfait puis pour une solution.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

2. Applications. a) Déterminer la variation du potentiel chimique d’un soluté lorsque sa concentration dans l’eau passe de Ci = 0, 1 mol.L −1 à C f = 0, 2 mol.L−1 , à la température θ = 27 ◦ C. b) En déduire, dans ce cas, la variation du potentiel chimique de l’eau.

4 On observe dans le plasma d’un malade les concentrations suivantes : NaCl : 7, 0 g.L −1 ; ur e´ e : 4, 5 g.L −1 1. Calculer l’osmolarité du plasma de ce malade. Comparer sa valeur à celle d’un plasma normal. 2. Calculer l’abaissement cryoscopique de ce plasma.

5 Osmométrie : mesure de la masse molaire des protéines. Les phénomènes d’osmose permettent la détermination de la masse molaire des protéines (macromolécules).

95

96

Chap. 5. Transports transmembranaires On désire déterminer la masse molaire d’une protéine. Pour cela, on prépare trois solutions aqueuses à différentes concentrations massiques. Le dispositif utilisé, l’osmomètre de Dutrochet, est représenté par la figure 5.15.

h solution de protéines solvant membrane

Figure 5.15 Le tableau ci-dessous donne les différentes hauteurs obtenues, à la températures de 20 ◦C, pour chacune des concentrations : c(g.L−1) h(cm)

5 1,95

15 6,25

25 11,1

Déterminer la masse molaire de la protéine. Données. g = 9, 81 m. s−2 , R = 8, 32 J. mol−1 . K −1, masse volumique de l’eau : ρ = 1 000 kg. m−3 .

6 Deux compartiments sont séparés par une membrane semi-perméable, perméable à l’eau et aux petits ions, imperméable au glucose et aux protéines. Le compartiment (1) contient 0,5 L d’eau et le compartiment (2) 1,5 L d’eau. La température est de 27 ◦C. On introduit 1287 mg de NaCl dans le compartiment (2). Les ions diffusent jusqu’à l’équilibre entre les deux compartiments. 1. Déterminer la concentration en Na+ dans le compartiment (2). 2. Calculer la valeur de la pression osmotique dans le compartiment (2). 3. En déduire, en degré, la valeur de l’abaissement cryoscopique dans le compartiment (1).

Questions à choix multiples

Questions à choix multiples 1 On prépare deux solutions aqueuses, l’une de chlorure de sodium (N aCl), l’autre de chlorure de potassium ((K Cl) de même molarité (500 mmol.L−1). Les numéros atomiques sont de 11 pour le sodium et 19 pour le potassium. Quelles sont les propositions exactes ?

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ 1. L’osmolarité de la solution de K Cl est supérieure à celle de la solution de N aCl. ❑ 2. La conductivité électrique de la solution de K Cl est supérieure à celle de la solution de N aCl. ❑ 3. La concentration pondérale en volume de la solution de K Cl est supérieure à celle de la solution de N aCl. ❑ 4. La concentration équivalente de la solution de K Cl est inférieure à celle de la solution de N aCl. ❑ 5. L’abaissement cryoscopique de la solution de K Cl est plus important que celui de la solution de N aCl. L’énoncé suivant est commun aux questions 2, 3 et 4. On a dosé dans le sang d’un patient l’ensemble des cations, le glucose et l’urée et mesuré l’abaissement cryoscopique de son sérum. Les résultats obtenus sont les suivants :      + N a = 145 mosmol.L −1 , K + = 5 mosmol.L −1, Ca 2+ = 2, 5 mosmol.L −1,  2+    Mg = 1, 5 mosmol.L −1, glucose = 1 g.L−1 , [urée] = 1, 8 g.L −1 et Dθ = −0, 60 ◦ C. Données. – Paramètres biologiques moyens normaux :  +     N a = 150 mosmol.L −1 , K + = 5 mosmol.L−1 , Ca 2+ = 2, 5 mosmol.L−1 ,  2+    Mg = 1, 5 mosmol.L −1, glucose = 1 g.L−1, [urée] = 0, 3 g.L−1 , [Protéinémie] = 75 g.L−1 , Hématocrite = 45 %. – Constante cryoscopique de l’eau : KC = 1, 86 ◦C.L.osmol −1. – Masses molaires : Glucose : 180 g. mol−1 , urée : 60 g. mol−1.

2 La concentration équivalente totale du sérum de ce patient est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

312 meq.L−1. 158 meq.L−1. 156 meq.L−1. 323 meq.L−1. 316 meq.L−1.

97

98

Chap. 5. Transports transmembranaires 3 L’osmolarité efficace du sérum de ce patient est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

292, 6 mosmol.L−1 . 322, 6 mosmol.L−1 . 312 mosmol.L −1. 30 mosmol.L−1 . 287 mosmol.L −1.

4 Le même patient présente une protéinémie à 85 g.L−1 et un hématocrite de 49 %. Ce patient est en état : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

De déshydratation intracellulaire. D’hyperhydratation extracellulaire. De déshydratation extra et intacellulaire. D’hyperhydratation intracellulaire et de déshydratation extracellulaire. D’hyperhydratation extra et intracellulaire.

5 Un récipient est séparé en deux compartiments de volumes égaux, par une membrane dialysante, imperméable aux seules macromolécules. On verse dans les deux compartiments une même solution de chlorure de sodium de molarité 430 mmol.L−1. On dissout ensuite dans le compartiment (1) du protéinate de sodium. Lorsque la dissolution du protéinate de sodium et l’équilibre des ions entre les deux compartiments sont réalisés, on mesure en (1) les osmolarités :  +   N a (1) = 445 mosmol.L−1 et Cl − (1) = 425 mosmol.L−1 . Quelles sont les concentrations des deux ions diffusibles dans le compartiment (2) à l’équilibre ?

430

 − Cl (2)(en mosmol.L −1)

❑ 2.

445

425

❑ 3.

445

435

❑ 4.

435

435

❑ 5.

425

425

❑ 1.



N a+



(2)

(en mosmol.L−1 )

430

6 Flux de molécules de soluté entre compartiments ; loi de Fick ❑ 1. Un gradient de concentration constitue une force motrice. ❑ 2. Un transport permanent indépendant du temps est un exemple d’état stationnaire.

Corrigés ❑ 3. Un état stationnaire est thermodynamiquement irréversible. ❑ 4. Un état stationnaire correspond à une situation de non équilibre. ❑ 5. Le flux de molécules est proportionnel au gradient de concentration.

7 Échanges liquidiens entre le sang et les tissus (modèle capillaire de Starling) ❑ 1. La pression hydrostatique dans le capillaire diminue depuis le coté artériolaire jusqu’à la terminaison veinulaire. ❑ 2. La pression hydrostatique sanguine tend à faire sortir du capillaire l’eau et les solutés. ❑ 3. La pression interstitielle transmurale s’oppose à la pression hydrostatique intra capillaire. ❑ 4. La pression osmotique du capillaire s’oppose à la sortie de l’eau vers les tissus. ❑ 5. La pression osmotique efficace du capillaire est avant tout due à l’albumine plasmatique.

Corrigés Exercices 1 Le potentiel chimique du solvant dans le compartiment (1) est : (1) μ(1) Solvant = gSolvant + RT ln X Solvant

(5.22)

Dans le compartiment (2) n’existe que le solvant à l’état pur, donc : (2) μ (2) Solvant = gSolvant

(5.23)

Si P et T étaient identiques, les relations précédentes (relations 5.22 et 5.23) montrent qu’on est en présence d’une situation de non-équilibre : du solvant doit donc passer du compartiment (2) vers le compartiment (1). Le fait d’avoir ajouté du soluté dans (1) a augmenté le désordre de la solution et par suite a diminué l’énergie libre du solvant. L’équilibre n’est donc pas possible à T et P constants. L’équilibre n’est atteint que s’il existe une différence de température ou de pression de part et d’autre de la membrane. L’expérience montre que la température est la même dans les deux compartiments : il existe donc une différence de pression π appelée pression osmotique.

99

100

Chap. 5. Transports transmembranaires Expression de la différence de pression π. Si on désigne par X S la fraction molaire du soluté alors X S + X solvant = 1, soit X solvant = 1 − X S . Comme X solvant  1 (pour les solutions diluées), alors ln Xsolvant = ln(1 − X S) ≈ −X S . La relation 5.20 devient : (1) μ(1) Solvant = g Solvant − RT X S

L’équilibre des deux phases impose : (2) μ(1) solvant ( T , P + π ) = μsolvant ( T , P )

Soit,

(1) (2) gsolvant (T , P + π) − RT X S = g solvant (T , P )

(1) ou encore, gsolvant (T , P + π) − g (2) solvant ( T , P ) = RT X S Comme (définition d’une dérivée)



∂g ∂P



T

(1) (2) gsolvant (T , P + π ) − gsolvant (T , P ) = ( P + π) − P

en combinant les relations 5.24 et 5.25, on obtient : 

∂g ∂P



T

× π = RT X S

On a vu que G = RT [φ(T ) + ln P ] (relation 2.23, chapitre 2), soit pour une mole g = RT [φ(T ) + ln P ] . En dérivant l’expression précédente, on obtient : 

∂g ∂P



T

= RT ×

Pour un gaz parfait (et pour une mole) : P =

1 P

RT RT =V donc, V P

et par suite :  Ainsi,

∂g ∂P



=V T

V × π = RT X S ou encore π =

RT X S = RT CS V

(5.24)

(5.25)

Corrigés 2 Dressons d’abord un tableau avec les différentes valeurs de concentrations molaires pour chacune des situations : Cuve

Concentration molaire ( mol.L −1)

a)

(1)

3, 0.10−1 solvant

b)

(2) ×(1)

c)

4, 0.10−1V

(2)

1, 0.10−3

(1)

6, 0.10 −1

(2)

6, 0.10−1

Prenons le cas d’une membrane semi-perméable ou membrane hémiperméable, c’est-à-dire une membrane qui laisse passer librement l’eau mais arrête complètement tous les corps dissous (soluté). Notons par : h1 : la dénivellation dans la cuve (1), h2 : la dénivellation dans la cuve (2), Dans un tel cas (Fig. 5.16), on a :

h1

Dh = h1 -h2

h2 urée + eau

eau eau

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

(1)

(2)

urée + eau (solution moins concentrée) (1)

Etat initial

eau (2)

Etat final (état d'équilibre)

Figure 5.16 Spontanément l’eau passe du compartiment (2) vers le compartiment (1) et lorsque l’équilibre est atteint, on observe une dénivellation Dh = h2 − h 1 correspondant à une variation de pression π telle que : π = ρ g Dh où ρ représente la masse volumique de la solution et g l’intensité de la pesanteur. Ainsi, dans le cas a), on observe une dénivellation dans le compartiment (1). En reprenant les définitions des différentes membranes, on obtient les résultats suivants :

101

102

Chap. 5. Transports transmembranaires Membrane hémiperméable

Membrane dialysante

Membrane sélective (perméable à l’urée)

a)

Dans (1)

h1 =h 2

h 1=h2

b)

Dans (1)

Dans (2)

Dans (1)

h1 =h 2

Dans (2)

Car C1 >C2

c)

h1 =h2 Car C1 =C2

3 1. Différentes expressions du potentiel chimique - Cas des solutions idéales. • Cas des gaz :

– Pour un gaz parfait : μ(T , P) = μ0(T ) + RT ln – Pour un mélange de gaz parfaits :

P P0

Le potentiel chimique du gaz i est donné par : μi (T , P ) = μ0i (T ) + RT ln

Pi , P0

Pi : pression partielle du gaz i

• Pour une solution aqueuse diluée :

μ S = μ0S(T ) + RT ln

C = μ 0S + RT ln C, pour C0 = 1 mol.L−1 C0

2. Applications. a) On a, d’après l’expression du potentiel chimique : μS,1 = μ0S + RT ln C1

et μ S,2 = μ 0S + RT ln C2 .

La variation du potentiel chimique est donc : Dμ S = μS,2 − μ S,1 = RT ln

C2 , C1

soit numériquement : DμS = 8, 32 × 300 × ln 2  1 730 J. mol−1 . b) Pour le solvant (l’eau), on a μeau = μ i + RT ln X i et μeau = μ f + RT ln X f , où Xi et X f représentent les fractions molaires de l’eau à l’état initial et final. ne ne Xi = et X f = . ne + n1 n e + n2

Corrigés L’égalité des potentiels chimiques donne : μi + RT ln X i = μ f + RT ln X f , soit : Xf n e + n1 μ f − μi = RT ln = RT ln Xi n e + n1

4 1. Calcul de l’osmolarité du plasma du malade. N aCl  N a + + Cl− Pour un coefficient de dissociation α = 1, ω1 = 2C ne + n1 ne 7 +,n02 Comme M(NaCl)= 58, 5 g. mol−1 , alors C1 =  1, 2.10−1 mol.L −1 58, 5 −1 −1 −1 et ω1 = 2, 4.10 mol.L soit 240 mosmol.L • Pour l’urée : 4, 5 M(urée) = 60 g. mol−1 et C 2 = ω2 = = 7, 5.10 −2 mol.L−1 soit 60 75 mosmol.L−1 . L’osmolarité du plasma est donc ω = ω1 + ω2 soit ω = 315 mosmol.L−1. • Pour NaCl :

2. On a Dθ = −K C ω, Dθ < 0. Numériquement : Dθ = −1, 86 × 315.10−3 = −0, 586 ◦ C.

5 La pression osmotique est donnée par la relation Vant’Hoff,

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

⎧ C : Concentration molaire du soluté, ⎪ ⎪ ⎨ S π : pression osmotique en Pa, π = RT C S avec R : constante des gaz parfaits, ⎪ ⎪ ⎩ T : température en kelvin.

La concentration molaire et la concentration massique sont liées par la relacs . tion C S = M cs cS Ainsi, π = RT , soit M = RT π M Transformons les hauteurs h (en cm) en équivalent pression (en Pa). D’après la relation fondamentale de l’hydrostatique (cf.chapitre 6), on a DP = π = ρgh. On obtient donc le tableau suivant : c (g.L −1 ou kg.m−3 ) π (Pa)

5

15

25

191

613

1 089

cS , avec R = 8, 32 J. mol −1 . K−1 et T = 20 ◦C = 293 K, π D’où le tableau de valeurs : La masse molaire de la protéine est donc : M = 59, 81 kg. mol−1 . On a M = RT

103

104

Chap. 5. Transports transmembranaires c (g.L−1 ) π (Pa) M (g.L−1)

5

15

25

191

613

1 089

63, 81

59, 65

55, 96

Remarque cs est en toute rigueur vérifiée si CS −→ 0 (loi limite). M cS M est la limite, quand C S −→ 0, de RT . π On peut donc proposer la solution suivante : cS Tracer RT en fonction de C S puis en déduire la valeur de M. π La relation π = RT

6 1. La quantité de matière apportée en chlorure de sodium est : n(NaCl) =

1, 287 = 2, 2.10−2 mol 58, 5

Dans les deux compartiments, les osmolarités initiales des ions Na+ et Cl− sont : [Na + ]1,0 = [Cl −] 1,0 = 0 et [Na+ ]2,0 = [Cl−]2,0 =

2, 2.10 −2 4, 4.10−2 = osmol.L−1 3/2 3

Remarque L’excès d’ions Na+ et Cl− dans (2) entraîne leur diffusion vers (1). La diffusion va produire un transfert de x mol d’ions Na+ et Cl− de (2) vers (1). Après diffusion, les quantités de matières deviennent :   n(Na +)1, eq = x  (quantité qui a diffusé)   n(Cl−)1, eq = x  (quantité qui a diffusé)   (Na +)2, eq = 2, 2.10 −2 − x  (quantité qui a diffusé) (quantité initiale)   n(Cl−)2, eq = 2, 2.10−2 − x  (quantité qui a diffusé) (quantité initiale) À l’équilibre, la relation de Donnan permet d’écrire :

[Na+] 1, eq .[Cl− ]1, eq = [Na+ ]2, eq .[Cl −]2, eq

Soit, 

x 0, 5

2

=



2, 2.10−2 − x 1, 5

2

Corrigés Après développement, on obtient l’équation en x : 9x 2 = 4, 84.10−4 − 4, 4.10 −2x + x 2 Ou encore :

8x 2 + 4, 4.10 −2 x − 4, 84.10−4 = 0     Le discrimant D de l’équation du second degré est : D = 17, 424.10−3 . La solution positive est :  −4, 4.10−2 + 17, 424.10 −3 x= = 5, 5.10−3 2×8 À l’équilibre, donc :    [Na +]1, eq =     [Cl−] 1, eq =     [Na +]2, eq =     [Cl−] 2, eq = 

les osmolarités des ions dans les deux compartiments sont 5, 5.10 −3 = 11 mosmol.L−1 = 11 meq.L−1 0, 5 5, 5.10 −3 = 11 mosmol.L−1 = 11 meq.L−1 0, 5 16, 5.10 −3 = 11 mosmol.L−1 = 11 meq.L−1 1, 5 16, 5.10 −3 = 11 mosmol.L−1 = 11 meq.L −1 1, 5

2. D’après la relation de Vant’Hoff, on peut écrire : π = RTCS , CS = [Na +]2, eq = [Cl − ]2, eq

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Numériquement : π = 0, 082 × 300 × 11.10−3 = 0, 27 atm. Remarque

Si on prend R = 8, 314 J. K−1 . mol−1, C S sera en mol. m −3, soit pour notre exemple CS = 11 mol. m−3 . Par suite : π = 8, 314 × 300 × 11 = 2, 74.104 Pa, soit 0, 27 atm. On rappelle que : 1 atm = 1, 013.105 Pa. 3. Comme π = RTC S et Dθ = −KC C S , alors : Dθ = −K

π RT

K C représente la constante cryoscopique du solvant. Pour l’eau : K C  1, 86 K.mol −1 .L. 0, 27 Application numérique : Dθ = −1, 86 × = −0, 02 ◦ C 0, 082 × 300 L’abaissement cryoscopique dans le compartiment (1) est de 0, 02 ◦ C.

105

106

Chap. 5. Transports transmembranaires

Questions à choix multiples Question

1

2

3

4

5

6

7

1.

❑

❑

❑ ✗

❑

❑

✗ ❑

✗ ❑

2.

❑ ✗

❑

❑

❑

❑

✗ ❑

✗ ❑

3. ❑ ✗ ❑ ❑ ❑ ❑ ✗ ❑ ✗ ❑ L’abaissement cryoscopique dans le compartiment (1) est de 0, 02 C. 4. ❑ ❑ ❑ ✗ ❑ ✗ ❑ ✗ ❑ ✗ ❑ 5.

❑

✗ ❑

❑

❑

❑

✗ ❑

✗ ❑

Propriétés mécaniques des solutions

Plan Cours 6.1 Statique des fluides 6.2 Dynamique des fluides 6.3 Dynamique des fluides réels 6.4 Les phénomènes de surface QCM et exercices Corrigés

6

Objectifs • Connaître et savoir appliquer :

– la relation fondamentale de l’hydrostatique,

– le théorème de Bernoulli, – les lois de Stokes, de Laplace et de Jurin, • Connaître la transition du régime laminaire au régime turbulent. • Savoir calculer un débit ainsi

qu’une perte de charge par unité de longueur.

Cours Les notions de mécanique des fluides et des phénomènes de surface sont largement abordés dans le livre de physique de la même collection. Ne sont traités dans ce chapitre que des rappels et quelques applications biologiques et médicales.

6.1 STATIQUE DES FLUIDES 6.1.1 Loi fondamentale de l’hydrostatique Considérons une portion de fluide, de forme cylindrique, en équilibre, soumise au seul champ de pesanteur (Fig. 6.1).

108

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions z F’ z’

isobare P’

M’

g = cste

G

P z

isobare P

M

F O

y

x

Figure 6.1

Cette portion de fluide cylindrique est soumise : • aux forces latérales dues aux forces pressantes normales et dont la résultante est

nulle ;

→ −

− →

• aux deux forces F et F  exercées sur les deux surfaces de base aux points M et

M , normales à ces deux surfaces et dirigées vers l’intérieur du cylindre ; → − • au poids P de la portion de fluide cylindrique. La condition d’équilibre du cylindre de fluide s’écrit : → − − − − → → → P + F + F = 0

La projection des deux membres de l’équation précédente selon un axe vertical dirigé vers le haut donne : −P − F  + F = 0 Si S représente la surface de base du cylindre et ρ la masse volumique du fluide alors :   P = mg = ρV g = ρShg   F1 = P S   F = PS et par suite :

−ρShg − P  S + P S = 0

soit : DP = −ρgh

  DP = P  − P  et avec    h = z −z

L’unité de pression est le Pascal ( Pa) ou N. m−2.

(6.1)

6.1 Statique des fluides Autres unités : • le bar : 1 bar = 10 5 Pa,

• l’atmosphère : 1 atm = 1, 013 bar = 1, 013.10 5 Pa,

• le millimètre de mercure : 1 mmHg = 133, 3 Pa (unité utilisée pour la mesure de

pression artérielle), • le centimètre d’eau : vaut environ 98 Pa (utilisé pour mesurer la pression veineuse). Remarque D’après la relation fondamentale de l’hydrostatique, DP = −ρgh (relation 1), on voit bien qu’à une profondeur de 10 m dans l’eau, il correspond une variation de pression de DP = 1000 × 9, 81 × 10 = 0, 981.10 5 Pa, soit environ 1 atm.

6.1.2 Applications Les accidents de plongée sous-marine Les accidents de plongée sous-marine sont nombreux et variés. En effet, les surpressions DP suite aux plongées en profondeur peuvent créer : • des accidents dans les diverses cavités gazeuses organiques :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

– dans l’estomac, les gaz comprimés peuvent provoquer des hématomes avec dilatation gastrique ; – dans les poumons, la pression de l’air inspiré par le plongeur devient si forte qu’elle peut provoquer un œdème pulmonaire. En effet, une augmentation de pression provoque la transsudation du plasma sanguin à travers les parois des capillaires et par suite l’innondation des alvéoles et du tissu interstitiel pulmonaire.

• des embolies capillaires (voir application : loi de Laplace)

Mesure de la pression artérielle La pression artérielle correspond à la mesure de surpression par rapport à la pression atmosphérique. La relation précédente (relation 1) explique les variations de pression qui existent entre les différents points du corps humain (Fig. 6.2). • Pour un sujet couché où h  0 (z est le même en tout point du corps), la pression

artérielle moyenne est la même en tout point et vaut à peu près 13 kPa (100 mmHg). Cette pression correspond à la surpression développée par le ventricule gauche par rapport à la pression atmosphérique. • Pour un sujet en position verticale, la pression au niveau du cœur reste toujours égale à environ 13 kPa, diminue jusqu’à 9 kPa au niveau de la tête et atteint 27 kPa dans l’artère pédieuse.

109

110

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions (au niveau du cerveau)

9,3 kPa

13,1 kPa

13,3 kPa

(au niveau du cœur)

26,8 kPa

(au niveau des pieds)

13,3 kPa 13,2 kPa

Figure 6.2 Ainsi, pour que la mesure soit reproductible et comparable d’un sujet à l’autre, il faut que la pression artérielle soit prise sur un sujet couché.

6.2 DYNAMIQUE DES FLUIDES 6.2.1 Équation de continuité Soit un fluide incompressible s’écoulant dans une canalisation de section variable. Le débit volumique s’écrit : QV =

dV dt

avec

d V = S.dl

En régime stationnaire (écoulement permanent) et dans le cas d’un fluide incompressible, le débit volumique se conserve, soit : QV =

dV = Sv = cste dt

avec

v=

dl dt

Pour un volume V 0 délimité par deux sections S1 et S 2, le flux entrant est égal au flux sortant : Q V 1 = Q V 2 , soit S1v1 = S2v2 (6.2) (équation de continuité)

6.2.2 Théorème de Bernoulli Un fluide parfait incompressible s’écoule dans une canalisation de section variable (Fig. 6.3). Pendant la durée dt, la masse de fluide enfermée entre les sections (S 1) et (S1 ) se retrouve entre (S2) et (S 2 ). Tout se passe comme si la masse dm du fluide, enfermée entre (S1 ) et (S2 ), passe en dt entre (S1 ) et (S2 ).

6.3 Dynamique des fluides réels z S2

S'2

z2

S'1 1

2

z1

S1

v1

0 z'

x'

v2

x

Figure 6.3 On a : dm = ρS 1v 1dt = ρS 2 v2dt Le théorème de l’énergie cinétique, appliqué au fluide de masse dm, conduit à : 1 1 P1 + ρgz1 + ρv21 = P2 + ρgz2 + ρv22 2 2 soit :

1 P + ρgz + ρv 2 = cste , 2

(Théorème de Bernoulli)

(6.3)

(Le long d’une même ligne de courant)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

6.3 DYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS 6.3.1 Viscosité Pour un fluide réel, l’écoulement est dit laminaire s’il se fait sous forme de lames parallèles glissant les unes sur les autres avec frottement (Fig. 6.4). y

f

a) fluide parfait z

b) fluide réel Fluide en mouvement

Figure 6.4

x

111

112

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions Pour un écoulement unidirectionnel (par exemple selon O x ), la composante tangentielle f (force de viscosité) est proportionnelle à l’aire S de contact entre les deux ∂v lames liquides et au gradient , soit : ∂y ∂v f = ηS ∂y ∂v représente la variation de vitesse relative entre deux lames voisines du fluide. ∂y η : coefficient de viscosité du fluide en Pa.s. Unité de viscosité : le poiseuille (Pl) 1Pl = 1 Pa.s.

6.3.2 Écoulements laminaires et turbulents La présence de la viscosité entraîne donc, lors de l’écoulement régulier d’un fluide dans un tube horizontal, une différence de pression entre les extrémités de ce tube : c’est à dire qu’on observe une perte de charge. On peut mettre en évidence cette perte de charge, pour un fluide visqueux, à l’aide du dispositif de la figure 6.5. y Prises de pression

0

P1

P2 < P1

P3 < P2

x1

x2

x3

x

Figure 6.5 On constate que la pression diminue proportionnellement à la distance parcourue par le fluide. Lors de son écoulement, un fluide peut présenter deux régimes d’écoulement : un écoulement laminaire ou un écoulement turbulent. La transition du régime laminaire au régime turbulent dépend d’un facteur : le nombre de Reynolds Re,   ρ : masse volumique du fluide en kg. m−3,   v : vitesse d’écoulement en m. s−1 , vD  Re = ρ (6.4)  D : diamètre du tube en m, η  ( Re est un nombre sans dimension)  η : viscosité du fluide en kg. m−1. s −1.

6.3 Dynamique des fluides réels La transition du régime laminaire au régime turbulent s’observe pour : Re  Rec = 2000 (Fig. 6.6). laminaire

Re

turbulent

   Figure 6.6  η : viscosité du fluide en kg. m

Re c

0

.s

.

Écoulements laminaires. Loi de Poiseuille

Un écoulement est dit laminaire si les couches de fluide glissent les unes sur les autres sans se mélanger. Dans le cas d’un écoulement laminaire d’un fluide dans une conduite cylindrique horizontale (Fig. 6.7), de longueur L et de rayon R, on montre que la vitesse v(r), à une distance r de l’axe du cylindre, est : DP 2 (R − r 2 ) 4ηL

v(r ) =

(6.5)

(profil de vitesse parabolique)

r v(r) 0

x

Figure 6.7

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

ou v(r ) = vmax



r2 1− 2 R



,

avec

vmax =

DP 2 R 4ηL

(6.6)

La couche de fluide en contact direct avec la paroi du tube a donc une vitesse nulle (adhérence à la paroi) alors qu’elle est maximale sur l’axe du cylindre. La vitesse moyenne dans une telle conduite est : vmax vmoy = 2 Le débit volumique est donné par Q V = vmoy S et comme S = π R2 , alors : QV =

πDP R 4 (Formule de Poiseuille) 8ηL

(6.7)

DP = P1 − P2, représente la différence de pression (ou surpression) entre les deux extrémités du tube de rayon R et de longueur L. DP représente la perte de charge par unité de longueur. Pour un tube horizontal,

113

114

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions Résistance à l’écoulement. On définit la résistance à l’écoulement par la grandeur R : R=

8ηL 128ηL = , 4 πR πD4

soit

R=

(avec D =2 R : diamètre du tube)

DP QV

(6.8)

• Dans le cas d’un système L de conduits en série, les résistances à l’écoulement

s’ajoutent :

RT =

n  i=1

Ri = R1 + R2 + ...

(6.9)

• Dans le cas d’un système de conduits en parallèles la résistance totale à l’écoule-

ment est donnée par :

n

 1 1 1 1 = = + + ... RT Ri R 1 R2

(6.10)

i=1

Application : modèle de la circulation pulmonaire. • Le sang arrive par le cœur droit, passe par les capillaires, en contact avec les

alvéoles pulmonaires, et ressort par le cœur gauche (Fig. 6.8.a) La circulation systémique est constituée de différents réseaux : – le réseau artériel : Artère−→ Artérioles −→ Capillaires, – le réseau veineux : Capillaires −→ Veinules −→ Veine

• Le lit pulmonaire est formé d’un réseau de capillaires schématisé ci-dessous

(Fig. 6.8.b) : l’arbre circulatoire

a)

coeur droit

. . . . . .

b)

coeur gauche

poumons

. . .

. . .

(artérioles) (capillaires) (veinules)

Artère

Veine . . . . . .

Figure 6.8

. . .

. . .

6.3 Dynamique des fluides réels ➤ Les capillaires C’est au niveau de ce système que vont se produire les échanges entre le sang et le tissu par l’intermédiaire du milieu interstitiel. • Le débit sanguin dans les capillaires est réglable. Ceci se fait à la jonction entre

•

•

• •

artériole et capillaire par le sphincter pré-capillaire qui va s’ouvrir ou se fermer en fonction des besoins métaboliques. Le diamètre d’un capillaire est le même que celui d’un globule rouge (7 mm) voire plus petit. Ainsi, les globules rouges vont se déformer pour progresser dans le capillaire rendant ainsi la zone de contact plus élevée ce qui facilitera les échanges gazeux entre le tissu et le sang. La vitesse du fluide sanguin dans les capillaires est faible, de l’ordre de 0, 5 mm. s−1 , ce qui entraîne un temps de contact plus élevé alors que dans l’aorte, elle est de 50 cm. s−1, c’est à dire 1000 fois plus élevée. Le volume sanguin dans les capillaires est faible : de 150 à 200 mL (volume des capillaires pulmonaire). La surface de section de l’ensemble des capillaires est de 2000 à 3000 cm2 alors que celle de l’aorte est 2 à 3 cm2 , c’est à dire 1000 fois plus faible.

6.3.3 Loi de Stokes

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Loi de Stokes dans le cas d’un écoulement laminaire On s’intéresse, ici, au mouvement d’un objet dans un fluide visqueux. Un corps solide, en mouvement dans un fluide visqueux, reçoit de la part du fluide, une force qui s’oppose à son mouvement : la force de freinage ou force de frottement. Dans le cas d’un écoulement laminaire, l’expérience montre que cette force est proportionnelle à la vitesse, soit − → → f = −λ− v

(6.11)

( f en N, v en m. s−1 et λ en kg. s −1 )

La constante de proportionnalité λ dépend de la taille et de la forme de l’objet ainsi que de la viscosité moléculaire du fluide η. Pour une sphère de rayon r, on montre que λ = 6πηr et donc : − → → v f = −6πηr − (loi de Stokes)

(6.12)

Remarque Pour des écoulements turbulents, la force de viscosité est proportionnelle à v 2 .

115

116

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions Application : mesure de la vitesse de sédimentation ➤ Vitesse de sédimentation Pratiquement, elle correspond à la mesure de la colonne de plasma qui surmonte les globules rouges qui ont sédimenté au fond d’un tube lorsque le sang est rendu incoagulable. Cette hauteur se mesure à la première et à la deuxième heure de l’examen. Elle augmente dans de nombreuses maladies. La vitesse de sédimentation est un examen de routine que l’on demande fréquemment. Ce test est très sensible mais pas spécifique d’une maladie déterminée. ➤ Le modèle Le sang peut être considéré comme une suspension de globules rouges (ou hématies) dans le plasma de viscosité η = 1, 46.10−3 Pa. s. Les globules rouges seront considérés comme sphériques de rayon moyen r = 2, 7 mm. Masses volumiques en kg. m−3 : Masse volumique des globules rouges : ρ0 = 1100 kg. m−3 Masse volumique du plasma : ρ = 1020 kg. m−3 g = 9, 8 m. s −2. ➤ L’étude physique Chaque particule (un globule rouge) de masse m et de rayon r est soumise à son → − − → → poids P = m− g , à la poussée d’Archimède F A et à la force de frottement fluide → − → f = −6πηr− v. Pour une particule sphérique de rayon r et de masse volumique ρ0 , 4 − → → → g. P = m− g = πr 3 ρ0 − 3 4 − → → La poussée d’Archimède est donnée par F A = − πr 3 ρ− g (elle correspond au poids 3 du fluide déplacé). 4 En appliquant la relation fondamentale à une particule de masse m = πr 3 ρ0, on 3 obtient : → → − − → − → v d− = P + FA + f m dt soit : → v 4 3 d− 4 4 → → → = πr 3ρ0− g − πr 3 ρ− v πr ρ0 g − 6πηr − dt 3 3 3 La projection selon un axe vertical (on suppose que les chutes sont verticales) donne : 4

πr 3 ρ0

4

dv =

4 πr 3 ρ 0g − πr 3 ρg − 6πηrv

6.4 Les phénomènes de surface Lorsque le régime permanent est atteint (la vitesse limite est atteinte ; v = vlim = cste), l’équation précédente devient : 4 3 4 πr ρ0 g − πr 3 ρg − 6πηrvlim = 0 3 3 Soit 3

dt vlim3 =

2(ρ0 − − ρ) gr 2 9η 3

−

Numériquement : vlim =

2 × (1100 − 1020) × 9, 8 × (2, 7.10−6 )2  0, 87 mm. s−1, −3 9 × 1, 46.10

soit environ 3, 14 mm/ h ➤ Les résultats Pour un sujet nomal, la vitesse de sédimentation est de : • Première heure : inférieure à 10 mm/ h (soit une colonne inférieure à 10 mm)

• Deuxième heure : 20 à 25 mm/ h la deuxième heure (soit une colonne de 20 à

25 mm).

6.4 LES PHÉNOMÈNES DE SURFACE

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

6.4.1 La tension superficielle Considérons une fine pellicule d’un liquide (membrane rectangulaire élastique), de largeur l et de longueur L , tendue entre deux tiges horizontales dont l’une est fixe (Fig. 6.9). → − Pour agrandir sa surface S, il faut appliquer une force F sur l’extrémité mobile. dS = ldx

l F

dx Figure 6.9

117

118

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions L’énergie dépensée pour accroître cette surface de d S = ldx est : dE dep = γd S (γ : tension superficielle de la membrane)

(6.13)

→ −→ − Pour un faible allongement d x , on peut supposer F = cste et donc : → − → − → δW ( F ) = F .(d x − u ) = Fdx → − Comme dE dep = δW ( F ), alors γldx = Fdx. Il s’ensuit que : F = γl ou F γ= l

( F en N, l en m et γ en N. m−1)

  La tension superficielle est donc la force, par unité de   longueur, qu’exerce le liquide sur la paroi qui le limite. (6.14)

6.4.2 Application : la méthode des gouttes. Un compte-gouttes est constitué d’un tube en verre cylindrique de rayon interne r. L’extrémité du compte-gouttes est chargée par un liquide de tension superficielle γ. Par pression moderée sur le réservoir, le liquide descend par le tube capillaire et la goutte grossit. À un certain moment, il se forme un étranglement, puis la goutte se rompt et tombe (Fig. 6.10). Toutes les gouttes ont-elles même masse et comment mesurer la tension superficielle γ Figure 6.10 du liquide à partir de la masse d’une goutte ? La goutte liquide est soumise à deux forces : → − • sont poids P , variable car la masse de la goutte augmente au fur et à mesure que le liquide sort du tube, de valeur : P = mg • la résultante des forces de tension superficielle de valeur :

F = γ.l = γ × 2πr ; l = 2πr représente la longueur de la membrane élastique Il n’y a pas déchirure tant que la résultante des forces de tension superficielle reste supérieure au poids de la goutte, soit : γ × 2πr > mg

6.4 Les phénomènes de surface Lorsque le liquide est chassé hors du tube, la masse de la goutte augmente jusqu’à ce que : mg > γ × 2πr Ainsi, il y a déchirure de la membrane élastique superficielle et la goutte se détache et tombe. Le même processus se déroulera pour les gouttes suivantes, et toutes les gouttes auront donc la même masse (condition × de la déchirure de la membrane élastique). Une méthode statique montre que le poids de la goutte est donné par la formule approchée : mg = k γr (Loi de Tate) ; où k est une constante Pour mesurer la valeur de la tension superficielle, il suffit donc de mesurer la masse d’une goutte (par pesée) puis en déduire la valeur de γ.

6.4.3 Loi de Laplace pour une membrane sphérique Surpression dans une goutte liquide. Pour une goutte sphérique d’un liquide, de rayon r, il correspond une surpression DP à l’intérieur de la goutte : DP = Pint − Pext =

(pour une goutte liquide)

2γ r

(6.15)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Remarque • Pour une goutte liquide, DP est positif : on pénètre dans le liquide par une interface convexe (Fig. 6.11). • Pour un ménisque, DP est négatif : on pénètre dans le liquide par une interface concave. ΔP = P int - Pext P ext

Pext

P int

Pint

ΔP > 0

ΔP < 0

Figure 6.11

119

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions Application médicale : l’embollie capillaire.

2γ r1

P1 = Pa +

(6.16)

flux sanguin

Lorsqu’un plongeur se trouve à une certaine profondeur, la pression est augmentée (d’après la relation DP = −ρgh) de 1 atm pour 10 m de profondeur. Par exemple : le gaz pulmonaire sera à une pression de 5 atm si le plongeur est à 40 m. La quantité d’air dissous dans le sang va donc être multipliée par 5, et il se dissout 5 fois plus d’azote dans le sang. Celui-ci n’est pas utilisé et reste présent. Si le plongeur remonte brutalement à la surface, la concentration de gaz dissous diminue et revient à sa valeur initiale ; il y aura pour un litre 4 × 0, 012, soit environ 50 cm3 d’azote qui se remet à l’état gazeux en formant des bulles dans les capillaires sanguins. Au contact des capillaires, la bulle gazeuse se déforme et la pression artérielle l’aplaP P 2 2 tit en amont et elle s’allonge donc en aval (Fig. 6.12). P P 1 1 Chaque bulle entraîne une diminution de la Pa Pa pression artérielle. Si Pa représente la pression artérielle, la pression à l’intérieur de la bulle est : flux sanguin

120

En aval de la bulle, la pression P2 s’écrit : 2γ r2

P2 = Pa −

(6.17)

Figure 6.12 Un grand nombre de bulles va bloquer la circulation et être responsable d’embolies gazeuses. ΔP = P int - P ext

Surpression dans une bulle.

P ext

Dans ce cas (on traverse deux interfaces airliquide), la suppression est donnée par : DP = Pint − Pext

(pour une bulle)

4γ = r

(6.18)

liquide

Pint

r

air air

ΔP > 0

6.4.4 Liquides en contact d’un solide

Figure 6.13

Angles de raccordement Soit une goutte liquide, en équilibre, sur une surface solide horizontale. Il faut considérer trois interfaces : gaz/liquide, gaz/solide et liquide/solide (Fig. 6.14).

6.4 Les phénomènes de surface L’angle θ, appelé angle de raccordement ou angle de mouillage, est donné par la relation : γ solide − γ liq./solide cos θ = (6.19) γ liq.

dfliq. air

δRN df solide I

Liquide θ dfliq./solide

Solide Il traduit l’équilibre entre les forces de tension superficielle dues aux interacdP tions des molécules aux interfaces gaz/Figure 6.14 liquide, gaz/solide et liquide/solide. Il dépend de la nature des trois phases mises en présence ainsi que de l’état de propreté et du degré de polissage de la paroi solide. La force de tension superficielle résultante, exercée sur le liquide dans le plan tangent à la surface du liquide est dirigée vers le solide. Si l’angle de mouillage est presque nul, θ  0, on dit que le mouillage est pratiquement parfait.

Application

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Le gerris, ou araignée d’eau, est un insecte aquatique carnivore. À l’aide de ses six pattes, il peut se mettre en équilibre et glisser rapidement à la surface des eaux douces (Fig. 6.15). La patte de l’insecte en contact avec l’eau correspond à une interface liquide/solide. Cette interface est donc le siège d’une force de tension superficielle qui tend à diminuer sa surface.

F1

F2

Figure 6.15 La tension superficielle, ou énergie d’interface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux solide/liquide. Cet effet permet au gerris de se déplacer sur l’eau.

121

122

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions

6.4.5 Ascension capillaire. Loi de Jurin Capillarité Si on plonge un tube capillaire dans de l’eau, on observe que l’eau monte dans le tube. De plus, la surface libre de l’eau dans le capillaire n’est pas plane et horizontale. Cette ascension de l’eau, dans le capillaire, caractérise les phénomènes de capillarité et s’explique par la dépression qui accompagne la traversée du ménisque. Ce phénomène dépend des grandeurs relatives des forces de cohésion et d’adhésion des substances. air air Ainsi l’eau monte dans un tube paroi paroi capillaire alors que le mercure solide solide θ s’abaisse (Fig. 6.16). Le degré θ d’ascension (ou d’abaissement) mercure eau d’un liquide est lié à la tension superficielle ainsi qu’à l’angle de raccordement θ et au rayon r du capillaire. Figure 6.16

Loi de Jurin Considérons un liquide mouillant dans lequel on plonge un tube capillaire de rayon r (Fig. 6.17).

h

r

R θ

θ

Figure 6.17 La hauteur d’ascension h , de l’eau, et l’angle de raccordement θ sont liés par la relation : 2γ cos θ h= ρgr (Loi de Jurin)

Exercices

Exercices 1 (Extrait du sujet de Concours PCEP1, Poitiers-Juin 2000).

On rappelle la formule de Poiseuille relative à la dynamique des fluides réels : QV =

π PA − P B 4 π DP 4 R = R , avec DP = P A − PB l 8η 8η l

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

1. Un réservoir de grande dimension contient de l’eau de masse volumique ρ = 1 g. cm−3 . Le liquide s’écoule à travers un tube horizontal AB de diamètre d = 1 mm et de longueur l = 15 cm. La surface libre du liquide dans le réservoir se trouve à une hauteur h = 20 cm au dessus du tube et sa variation est négligeable lorsque l’eau s’écoule. Cette eau est recueillie dans un récipient jaugé qui se trouve rempli d’un volume V = 25 cm3 au bout d’une durée Dt = 78 s. a) Calculer la viscosité de l’eau.

h

l

Figure 6.18

b) On remplace l’eau par un autre liquide dont on veut déterminer la viscosité ; sa masse volumique est ρ = 0, 97 g. cm−3 . On effectue une mesure du temps de remplissage du même volume V = 25 cm3, tous les autres paramètres restant identiques. On trouve Dt  = 129 s. Calculer la viscosité de ce liquide. 2. Au cours d’une transfusion sanguine, le flacon est placé à 1, 30 mètre au dessus du bras du patient. L’aiguille servant à la transfusion a un diamètre de 0, 3 mm et une longueur de 2 cm ; on suppose qu’elle est placée horizontalement. Le volume transfusé en une minute est de 3, 5 cm3 . On néglige la variation de la surface libre du liquide et la pression sanguine du patient ; la masse volumique du sang est ρ = 1, 06 g. cm−3. a) Calculer la viscosité du sang. b) Supposons qu’un astronaute ait besoin d’une transfusion sanguine sur la lune où l’accélération de la pesanteur est g = 1, 62 m. s−2 . Si l’on utilise le même appareillage et si l’on souhaite le même débit (3, 5 cm3 en une minute), à quelle hauteur au dessus du bras faudra-t-il placer le flacon ? c) La réponse ci-dessus paraît-elle facilement réalisable ? Proposer une autre solution permettant de conserver le même débit avec un flacon placé à

123

124

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions 1, 30 m au dessus du bras sachant que les aiguilles de perfusion ont toutes la même longueur de 2 cm. Donner la nouvelle valeur du paramètre qui a été modifié. Sur la terre, l’accélération de la pesanteur est g = 9, 81 m. s−2 .

2 Modélisation de l’irrigation sanguine d’un organe. On peut modéliser l’irrigation sanguine d’un organe par un ensemble de N capillaires, placés en parallèle entre une artère où la pression est DP + P0 et une veine où la pression est P0, DP représente la surpression et P0 la pression dans une veine. organe

capillaire . . . . . .

. . . . . .

P0 + ΔP

P0

Artère

Veine . . . . . .

. . . . . .

L

Figure 6.19 Dans un capillaire, la vitesse d’écoulement du sang dépend de la distance r de l’axe du capillaire selon la loi :   r2 v(r ) = vmax 1 − 2 R où vmax représente la vitesse d’écoulement du sang sur l’axe du capillaire et R le rayon d’un capillaire. Données :  longueur : L = 1 cm – Pour un capillaire rayon : R = 10 m – Surpression : DP = 100 mmHg – Viscosité du sang : η = 3.10−3 Pa. s. 1. En supposant que tous les capillaires soient identiques, déterminer le débit volumique Q V dans un capillaire. 2. Déterminer la vitesse moyenne vmoy puis la vitesse axiale vmax du sang dans un capillaire. 3. Évaluer le nombre N de capillaires sachant que la vitesse moyenne du sang dans l’artère est v A = 0, 25 m. s−1 et que la section de l’artère est SA = 20 mm 2.

Exercices 4. Déterminer le volume sanguin que peut contenir cet organe puis en déduire le temps nécessaire pour son renouvellement.

3 Un liquide, de densité d = 1, 1, s’élève à une hauteur h = 1 cm, dans un tube de verre vertical de rayon intérieur r = 0, 05 cm.

1. Calculer la constante capillaire γ de ce liquide en admettant qu’il mouille parfaitement le verre. 2. On emploie ce liquide pour souffler une bulle de 8 cm de diamètre. a) Quelle est la différence de pression de l’air à l’intérieur et à l’extérieur de cette bulle lorsque son rayon est de 4 cm ? b) Quel travail total faut-il dépenser pour l’amener à cette dimension finale R = 4 cm en supposant que la pression extérieure P reste constante et égale à 1 atmosphère ? On admettra que la section du tube employé pour gonfler la bulle a une surface absolument négligeable devant celle de la bulle. c) En déduire le travail nécessaire pour souffler une bulle de savon de rayon r = 10 cm. On donne : tension superficielle d’une solution de savon à 20 ◦ C : γ = 25.10 −3 N. m−2 .

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

4 Le flux sanguin d’une artère de gros

calibre d’un chien est détourné dans un tube de Venturi horizontal. La partie la plus large du tube a une section droite SA = 0, 08 cm2 , égale à celle de l’artère. La section droite de la partie rétrécie est SB = 0, 04 cm 2 . La chute de pression dans le tube rétréci est DP = 25 Pa (mesurée par la dénivellation h).

h

SA

SB

Figure 6.20

1. Calculer la vitesse du sang dans l’artère. 2. Calculer le débit sanguin. On donne : masse volumique du sang : ρ = 1, 06 g. cm−3.

5 Un compte-gouttes est constitué d’un tube en verre cylindrique de rayon externe r1 = 1, 2 mm et de rayon interne r2 = 0, 3 mm. 1. On étudie l’équilibre d’une goutte à la partie inférieure du compte-gouttes. Les deux interfaces eau/air sont hémisphériques. Les points A et B d’une part, C et D d’autre part sont infiniment voisins.

125

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions

r2 A h

1

B

r

126

C D

h

Figure 6.21 a) Exprimer les différences de pression PA − PB , PC − PD et P C − PB . b) En déduire l’expression de la hauteur d’eau h dans le canal central. c) Application numérique : calculer h.

2. On remplit le compte-gouttes d’un liquide et on s’intéresse à la chute des gouttes de ce liquide. On supposera les gouttes sphériques de rayon r1 et qu’au moment de la chute d’une goutte, sa masse m est telle que : m=K

r1γ (loi approchée de Tate) g

a) Quelle est la dimension de K ? b) Calculer la valeur de K sachant que le compte-gouttes délivre N = 24 gouttes d’eau par cm3 à la température de l’expérience. c) Un patient doit absorber 1 mg/jour d’un médicament sous la forme d’une solution hydro-alcoolique dont la concentration en principe actif est de 3 mg.mL−1 . Calculer le nombre de gouttes, mesuré avec le compte-gouttes précédent, que le patient doit absorber par jour. On donne : • À la température de l’expérience :

eau

solution hydro-alcoolique

Masse volumique

ρ = 1, 00.10 3 kg. m−3

ρ 1 = 0, 904.103 kg. m −3

Tension superficielle

γ = 73.10−3 N. m−1

γ 1 = 22.10−3 N. m−1

• Valeur du champ de pesanteur : g = 9, 81 m. s−2 .

Exercices 6 Dans cet exercice, le sang sera considéré comme un fluide visqueux dont la viscosité est η = 2, 08.10−3 Pa. s.

Dans l’aorte, de diamètre d = 2, 6 cm, le débit sanguin moyen est Q V = 80 cm3. s −1 . La vitesse d’écoulement du sang dépend de la distance r à l’axe de l’artère selon la loi : •

v(r ) =

v0 2 (R − r 2 ) ; profil parabolique 2 R

où v0 est la vitesse suivant l’axe du vaisseau sanguin et R le rayon de celui-ci. 1. Préciser en quels points de la section droite de l’aorte sont observées les vitesses maximale vmax et minimale v min. Quelle est la valeur de cette dernière ? 2. Démontrer la relation qui existe entre le débit volumique Q V et la vitesse v 0 suivant l’axe. 3. Calculer la vitesse maximale vmax . 4. Définir et calculer la vitesse moyenne v = vmoy du sang dans l’aorte. 5. À partir de la formule de Poiseuille : QV =

π DP 4 R 8η L

calculer la chute de pression (ou perte de charge) par unité de longueur.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

7 Les hématies peuvent être considérées, en première approximation, comme des

sphères de rayon R = 5.10−6 m et de masse volumique ρS = 1300 kg. m −3. À 20 ◦ C, dans un tube à essai vertical, elles sont en suspension dans le plasma sanguin de masse volumique ρL = 1027 kg. m−3 et de coefficient de viscosité η = 1, 81.10−3 Pa. s. Ces hématies sédimentent sous la seule action du champ de pesanteur de valeur g = 9, 81 m. s−2. 1. Faire le bilan des forces appliquées à une hématie et écrire, sans la résoudre, l’équation du mouvement de celle-ci. 2. En déduire la vitesse limite vlim de sédimentation. 3. Au bout d’une heure, quelle est la hauteur de la zone claire, donc dépourvues d’hématies, dans la partie supérieure du tube à essai maintenu verticalement en permanence ? On rappelle que le module de la force de résistance exercée sur un solide sphérique animé d’un mouvement de vitesse v dans un lique visqueux est fR = 6πηRv loi de Stokes).

127

128

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions

Questions à choix multiples (Extraits d’annales, janvier 1998 et 1999 - Université Bordeaux 2)

1 L’énoncé suivant est commun aux questions 1 et 2. Soit une conduite horizontale dans laquelle circule un fluide considéré comme parfait. La conduite présente un rétrécissement de 3 cm de long et un diamètre égal au quart de celui du segment 1 (Fig. 6. 22).

1

2

3

Figure 6.22 En amont du rétrécissement la vitesse dans la conduite est v1 = 28 cm. s−1 et la pression est P1 = 130 mmHg. On donne : les diamètres : d1 = d 3 = 2 cm 1 mmHg = 133 Pa masse volumique du fluide : ρ = 103 kg. m−3 ❑ 1. La vitesse du fluide dans le segment 2 est supérieure à 280 cm. s−1. ❑ 2. La perte de charge entre les segments 1 et 3 est proportionnelle à la longueur du segment 2. ❑ 3. Il se produit entre les segments 1 et 2 une chute de pression de plus de 10 kPa. ❑ 4. Q 3 > Q 2 > 5, 3 L/min. ❑ 5. Le passage du segment 1 au segment 2 augmente la résistance à l’écoulement d’un facteur 100.

2 On assimile maintenant la conduite horizontale à l’aorte thoracique, dans laquelle circule donc du sang. Le rétrécissement est une malformation congénitale. On donne : ρ = 103 kg. m −3 , η = 3.10−3 Pa. s

❑ 1. La mesure de pression directe dans le segment 2 est réalisée par cathétérisme rétrograde à partir de l’artère fémorale. ❑ 2. En considérant des écoulements laminaires dans les segments 1 et 2, les pertes de charge sur des longueurs identiques de ces deux segments sont telles que DP1 = 0, 0625DP2.

Questions à choix multiples ❑ 3. Un souffle serait entendu dans le segment 2 de façon permanente au-delà d’une vitesse moyenne de 6 m. s−1. ❑ 4. La résistance à l’écoulement due à la malformation serait réduite en administrant au patient un traitement abaissant la viscosité. ❑ 5. Le taux de cisaillement dans le segment 2 est supérieur à celui dans le segment 1.

3 L’énoncé suivant est commun aux questions 3, 4, 5 et 6. On considère qu’un organe est irrigué par un ensemble de capillaires supposés identiques, de longueur L = 1 cm et de rayon R = 10 μm, placés entre une artère où la pression est de 110 mmHg et une veine où la pression est de 12 mmHg. On donne : viscosité du sang : η = 3.10−3 Pa. s. 1 mmHg = 133 Pa. s. Le débit du sang dans un capillaire est de : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

1, 7.10−7 mm3 . s−1. 1, 7.10−3 mm3 . s−1. 1, 7.10−2 mm3 . s−1. 1, 7.10+1 mm3 . s −1. 1, 7.10+5 mm3 . s −1.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

La vitesse maximale du sang dans un capillaire est d’environ : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

5 mm. s−1 . 0, 5 cm. s−1 . 1 cm. s−1. 5 cm. s−1. 10 cm. s−1 .

4 La section de l’artère étant de 20 mm2 et la vitesse moyenne du sang dans l’artère de 25 cm. s−1 , on calcule un nombre de capillaires irriguant l’organe d’environ : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

3.10 6. 3.10 5. 3.10 4. 3.10 3. 3.10 2.

129

130

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions 5 Dans ce type de modèle, quelle devrait être la longueur de l’artère pour que sa résistance à l’écoulement soit équivalente à la résistance totale à l’écoulement dans les capillaires ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

environ 13.1010 km. environ 1, 3.106 km. environ 8 km. environ 13 m. environ 8 m.

Corrigés Exercices 1 1. a) Déterminons la différence de pression PA − PB = DP.

La pression au point A , point au fond du réservoir est donnée par la relation fondamentale de l’hydrostatique, soit PA = Patm + ρgh . Comme PB = Patm (B, point extérieur du tube), alors PA−P B = DP = ρgh . π PA − PB 4 R , alors Comme Q V = l 8η π P A − PB 4 π ρgh 4 η= R = R 8Q V 8Q V l l

Application numérique. V 25.10 −6 , soit Q V = = 3, 2.10−7 m3/ s QV = Dt 78 et par suite η=

3, 14 1 000 × 9, 81 × 0, 20 × × (0, 5.10−3)4  1.10−3 Pa. s. −7 8 × 3, 2.10 0, 15

b) pour ρ = 0, 97 g. cm−3 = 970 kg. m−3 et Dt  = 129 s, on trouve Q V = 1, 94.10−7 m 3 / s et η  1, 6.10−3 Pa. s. 3, 5.10−6 2. a) On a QV = = 5, 83.10−8 m3 / s, 60 ρ = 1, 06 g. cm−3 = 1 060 kg. m−3 et h = 1, 30 m Numériquement η  2, 3.10−3 Pa. s. g b) Comme g = 1, 62 = , donc diviser g par 6 revient à multiplier h par 6, 6 soit une hauteur de 7, 8 m.

Corrigés c) Une hauteur de 7, 8 m n’est pas réalisable dans la pratique. Il faut donc modifier le rayon R de l’aiguille. Soit R le rayon de la nouvelle aiguille. Pour un même débit, on peut écrire : g π ρgh 4 π ρg h 4 R = R , soit R 4 = R 4  g 8η l 8η l Numériquement on trouve R   0, 23 mm.

2 1. Le débit volumique est donné par la formule de Poiseuille, QV =

πDP R 4 . 8ηL

Comme DP = 100 mmHg, alors DP = 1, 32.104 Pa (On rappelle que 760 mmHg = 1.105 Pa). Numériquement : QV =

3, 14 × 1, 32.10 4 × (10.10−6 )4  1, 73.10−12 m3. s−1, −3 −2 8 × 3.10 × 1.10

soit 1, 73.10−9 L. s−1

2. Le débit volumique dans un capillaire est tel que : QV . πR2 Numériquement :

Q V = v moy Scapillaire = v moy × π R 2

Soit, vmoy =

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

vmoy

=

1, 73.10 −12 = 5, 5.10−3 m. s −1 , −6 2 3, 14 × (1.10 )

soit 5, 5 mm. s−1. Comme vmax = 2v moy , alors vmax = 1, 1 cm. s −1 . DP 2 R. On a vmax = 4ηL Application numérique. 1, 32.104 × (10.10−6 )2 vmax = = 0, 011 m. s −1 , soit 1, 1 cm. s−1 −3 −2 4 × 3.10 × 1.10 La vitesse moyenne de l’écoulement du sang dans un capillaire est : vmax vmoy = , soit numériquement vmoy = 5, 5 mm. s−1 . 2 Remarque On aurait pu calculer la vitesse maximale à partir de la relation vmax = puis ensuite en déduire vmoy.

DP 2 R 4ηL

131

132

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions 3. Si Q V 0 représente le débit du sang dans l’artère, Q V le débit dans un capillaire et N le nombre total de capillaires, alors : Q V0 = N QV soit,

N=

QV0 QV

Application numérique. Q V 0 = v A S A, soit numériquement Q V 0 = 0, 25×20.10−6 = 5.10−6 m 3. s −1 . 5.10−6 Le nombre total de capillaires est donc : N =  2, 89.106 , soit 1, 73.10−12 environ 2, 9 millions de capillaires. 4. Le volume sanguin correspond au volume total des N capillaires. – Le volume d’un capillaire supposé parfaitement cylindrique est : Vc = πR 2 L – Volume des N capillaires : VT = N Vc = πN R2 L Soit numériquement, VT = 3, 14 × 2, 89.106 × (10.10 −6) 2 × 10 −2  9, 1.10−6 m 3,

soit 9, 1 cm3 . Le débit sanguin au niveau de l’artère étant

Q V 0 = 5.10−6 m3. s −1 = 5 cm3 . s −1, il en résulte donc un temps minimal pour le renouvellement total du sang VT 9, 1 de : t = , soit numériquement t = = 1, 82 s. Q V0 5

3 1. Écrivons que la différence de pression à la traversée du ménisque, donnée

par la loi de Laplace, équilibre la pression due à une hauteur h de liquide de masse volumique ρ. On a : 2γ = ρgh (6.20) r Remarque On aurait pu faire intervenir l’énergie superficielle et envisager un déplacement virtuel élémentaire dh du liquide, qui correspond à une diminution de l’énergie superficielle, soit γ × 2πr × dh, et entraîne une augmentation de l’énergie potentielle πr 2 dh × ρgh. ρghr Ainsi γ= (6.28) 2

Corrigés 2. a) La loi de Laplace donne : DP =

4γ R

(6.22)

b) Le calcul direct à partir du travail des forces de pression conduit à :   R 4γ W = DP .d v = 4πr 2dr = 8πγ R2 (6.23) r 0

Remarque L’énergie superficielle de la bulle donne directement sans intégration, le travail : Esup = γS = γ × 2 × 4π R2 = 8πγ R2 (6.24)

c) D’après la question précédente Esup = 8πγr2,

soit numériquement, Esup = 8×3, 14×25.10 −3×(10.10−2 )2 = 6, 28.10−3 J.

4 1. En dessous de chaque prise de pression, les lignes de courant sont rectilignes et parallèles (Fig. 6.23). z

z’ A

A’

h z’ B

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

o

SA

B’

A

B

SB

z’

Figure 6.23 Dans chaque prise de pression, on peut appliquer la relation fondamentale de l’hydrostatique, soit • Entre A et A  : P A − P A = ρgz A, soit P A = Patm + ρgz A car PA = P atm • Entre B et B  : P B − PB = ρgz B , soit P B = Patm + ρgzB car PB = Patm

On applique le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant passant par A et B, 1 1 PA + ρgz A + ρv 2A = PB + ρgz B + ρv 2B 2 2 1 1 Comme z A = z B , alors PA + ρv 2A = PB + ρv2B 2 2

133

134

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions On remplace PA et PB par leur expression : 1 1 Patm + ρgz A + ρv 2A = Patm + ρgz B + ρv 2B 2 2 d’où, ρgz A +

1 2 1 ρv A = ρgzB + ρv 2B, ou encore : 2 2 z A

1 v2A 1 v 2B  = zB + + 22 g 22 g

On a h = zA − z B . De plus, comme DP = ρgh (d’après la relation fondamentale de l’hydrostatique), alors : DP z A − z B = h = ρg En combinant les deux relations précédentes, on en déduit :  2  2 1 v v DP B z A − zB = h = − A = g 2 g ρg La conservation du débit donne : QV = S Av A = SB vB avec S B < S A =⇒ v B > v A       (rétrécissement)

C’est à dire : v B = v A

(accélération)

SA SB

D’où : ⎛

1⎜ ⎜ ⎜ 2⎝

et par suite :

SA vA SB g

2

−

⎞

v 2A ⎟ ⎟

1 v 2A

⎟= g⎠ 2 g



SA SB

2



−1

  DP   2   2gh ρ = vA =    2   2  SA  SA −1 −1 SB SB    2 × 25  1 060 = 0, 125 m.s−1 Numériquement : vA =     0, 08 2 −1 0, 04

=

DP ρg

Corrigés   DP  2  ρ 2. Q V = S A v A = SA    2  SA SB

−1

• vA = 0, 125 m. s−1

  • SA = 0, 08 cm = 0, 08.10−4 m2 2

Q V = 0, 125 × 0, 08.10−4 = 1, 0.10−6 m3 . s −1 soit 1 mL. s−1.

5 1. a) Surpression dans une goutte liquide. Pour une goutte sphérique d’un liquide, de rayon r2, il correspond une surpression DP à l’intérieur de la goutte : PB − PA = −

2γ r2

De même, pour les points C et D : PD − PC = −

2γ r1

Pour un ménisque, DP est négatif : on pénètre dans le liquide par une interface concave. b) D’après la relation fondamentale de l’hydrostatique, on a : PC − PB = ρg(h + r1)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Des relations précédentes, on tire : PC = P D + D’où :



2γ PD + r1



2γ ; r1

−



PB = PA −

2γ PA − r2



2γ r2

= ρg(h + r1)

Comme PA = PD = Patm , alors : 2γ 2γ + = ρg(h + r1 ) ; r1 r 2

2γ soit h = ρg



1 1 + r 1 r2



− r1

c) Application numérique :   2 × 73.10 −3 1 1 h= + −1, 2.10−3  6, 1.10−2 m, 1, 00.10 3 × 9, 81 1, 2.10−3 0, 30.10−3 soit environ 6, 1 cm

135

136

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions 2. a) Équation dimentionnelle de K . mg r1 γ . Comme m = K , alors K = γr1 g D’où : [m] × [g] [K] = [γ] × [r1]

On a : [m] = M [g] = L .T −2 [r1 ] = L M .L .T −2 [ F] = = = M .T −2 [γ] L [L] Ainsi : M × ( L .T −2 ) [K] = =1 (M .T −2 ) × L K a pour dimension 1 et n’a donc pas d’unité. b) La masse volumique est ρ = 1, 00.103 kg. m−3 = 1, 00 g. cm−3. Si N représente le nombre de gouttes par cm3, alors la masse d’une goutte est : ρ m= N 1 Soit numériquement : m =  41, 7 mg. 24 1.10 −3 × 9, 81 mg 24 Comme K = , alors : K =  4, 67 γr1 73.10−3 × 1, 2.10 −3

3. Le patient doit absorber 1 mg d’un médicament dont la concentration en principe actif est de 3 mg.mL−1 . Si N1 représente le nombre de gouttes que le patient doit absorber, alors la masse m 1 d’une goutte est : ρ m1 = 1 3N 1 Comme pour la question précédente, la masse d’une goutte vérifie la loi approchée de Tate, soit : ρ r1 γ 1 m1 = 1 = K g 3N 1 et par suite : ρ 1g N1 = 3K r 1 γ1 Application numérique : N1 =

0, 904 × 9, 81 = 24. 3 × 4, 67 × 1, 2 × 22.10 −3

Corrigés 6 1. La vitesse maximale est observée pour r = 0, soit vmax = v0 et la vitesse minimale pour r = R , soit vmin = 0. 2. Considérons des molécules se déplaçant à la même vitesse, donc celles qui sont à la même distance r de l’axe du cylindre. × 4, 67 × , 2 v( ×r22.10 Soit une portion du cylindre de3longueur dl1= )dt et de surface de base d S (Fig. 6.24). dl = v(r).dt dS = 2πrdr r

Figure 6.24 Comme S = πr2 alors d S = 2πr dr , et le volume d V du cylindre élémentaire est donc : d V = d S.dl = 2πr dr × v(r )dt = 2πrv(r )dr dt

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Le débit volumique élémentaire d QV s’écrit : d QV =

dV = 2πrv(r )dr dt

avec

v (r) =

v0 2 (R − r 2) 2 R

On intègre l’équation précédente, pour r variant entre 0 et R QV =



R 0

2πrvdr =



0

R

 v0  2πr 2 R 2 − r 2 dr = 2πv0 R



0

R

  r3 r − 2 dr R

Soit : Q V = 2πv0



r2 r4 − 2 4R 2

R 0

= 2πv0



 πv0 R 2 R2 R2 = − 2 4 2

La vitesse maximale est donc : v max = v0 =

2QV πR2

137

138

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions 3. Application numérique : R = 1, 3 cm ; Q V = 80 cm3. s−1 : vmax = v 0 =

2 × 80  30 cm. s−1 . 2 π × (1, 3)

4. La vitesse moyenne est liée au débit volumique par la relation : Q V = vmoy S = vmoy .π R2 Comme QV =

πv 0 R 2 2

alors : vmoy .π R2 =

v0 πv0 R 2 , soit vmoy = v = avec v0 = vmax 2 2

Application numérique : vmoy = v = 5. Comme QV = alors :

30 = 15 cm. s −1. 2

π DP 4 R 8η L

DP 8η = QV πR 4 L

Application numérique : Q V = 80 cm 3. s−1 = 80.10−6 m3. s −1 et R = 1, 3 cm = 1, 3.10−2 m : DP 8 × 2, 08.10−3 = 80.10 −6 ×  1, 5.10−2 Pa. m−1. −2 4 π × (1, 3.10 ) L

7 1. Le système étudié sera une hématie de masse m et de centre d’inertie G. Le réferentiel d’étude sera un réferentiel lié au laboratoire, supposé galiléen. → − → La particule de masse m et de rayon R est soumise à son poids P = m − g,à − → − → → v la poussée d’Archimède F et à la force de frottement fluide f = −6πηR − A

R

(Fig. 6.25). Pour une particule sphérique de rayon R et de masse volumique ρS , → − 4 → → g. P = m− g = π R3 ρ S− 3 − → 4 → g La poussée d’Archimède est donnée par F A = − π R 3 ρ L − 3

Corrigés z' O k

g fR FA

− 3 P = mg

z

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 6.25 4 On applique la relation fondamentale, à une particule de masse m = πR 3ρ S , 3 soit : → → − − → − → v d− = P + FA + f R m dt → − − → − → En remplaçant P + FA + f R par leur expression, on obtient : → v 4 3 d− 4 4 → → → = πR 3ρ S − g − π R3 ρL − v πR ρ S g − 6πη R − dt 3 3 3 ou encore : → v 4 3 d− 4 → → v = πR 3 (ρS − ρL )− π R ρS g + 6πη R − dt 3 3 On projette selon un axe vertical (les chutes sont verticales) : 4 3 dv 4 πR ρ S + 6πη Rv = πR3 (ρS − ρL )g dt 3 3 L’équation précédente est une équation différentielle du premier ordre, à coefficient constant et avec second membre. 2. Lorsque le régime permanent est atteint (v = cste et précédente devient :

dv = 0), l’équation dt

2 3 2 πR ρ S g − πR 3ρ L g − 3πη R v lim = 0 3 3

139

140

Chap. 6. Propriétés mécaniques des solutions Soit vlim =

2(ρ S − ρL ) 2 gR 9η

Numériquement : vlim =

2 × (1 300 − 1 027) × 9, 8 × (5.10 −6)2  8, 22.10−6 m. s−1 , 9 × 1, 81.10−3− − 3 3

soit environ 29, 6 mm/ h 3. Comme v = 29, 6 mm/ h, la distance parcourue par les hématies durant 1 h est de 29, 6 mm. La hauteur de la zone claire est donc de 29, 6 mm.

Questions à choix multiples   S1 R1 1 1. ✗ ❑ Équation de continuité : S 1v1 = S 2v2 avec S2 = car R2 = . On 16 4 trouve v2 = 448 cm. s −1 . 2. ❑ Le fluide étant considéré comme parfait, il n’y a donc pas de perte de charge. 1 1 3. On calcule P1 − P2 à partir de P1 + ρgz 1 + ρv12 = P2 + ρgz2 + ρv 22 . On 2 2 trouve P1 − P2 = 9, 99 kPa. 4. ❑ Le débit est constant. 5. ❑ Fluide parfait.

2 1. ✗ ❑

DP1 r 42 = 2. ❑ : = 0, 0039. DP2 r 41 3. ✗ ❑ 4. ✗ ❑ 5. ✗ ❑

3 2. DP = 98 mmHg. π × 10 −8 × 98 × 133 Q= = 1, 7.10−3 mm3. s −1. 8 × 3 × 10−3 × 10

4 3. On a Q = Sv. vmax =2v moy , soit vmax =2

1, 7 × 10 =10, 8 mm. s−1 , donc environ 1 cm. s −1. π

5 1. Débit dans l’artère : Q = 5 000 mm 3. s −1. Le nombre de capillaires est : N =

5 000 = 3.106. −3 1, 7.10

Corrigés 1 N(capillaires) = . Ra Rc Résistance à l’écoulement : 8ηL a • artère : Ra = , πR 4a 8ηL c • capillaire : R c = . πR 4c  4 Ra 1 1, 7.10 × × Lc . D’où L a = N Rc  20 Comme N = 106 , Ra = mm et Rc = 10−2 mm, π −2 alors L c = 10 m et La  13 m.

6 4. On a

141

7

Biophysique cardiaque

Plan Cours 7.1 Biomécanique cardiaque 7.2 Contrôle automatique biophysique du débit cardiaque - loi de starling 7.3 La mesure des paramètres hémodynamiques 7.4 Les bruits du cœur QCM et exercices Corrigés

Objectifs • Comprendre la loi de Starling et

ses implications

• Savoir calculer le travail du myo-

carde ventriculaire • Connaître et comprendre : – l’évolution des pressions intraventriculaires au cours du cycle cardiaque, – les méthodes d’évaluation de la fraction d’éjection ventriculaire – les méthodes d’évaluation ou de mesure du débit cardiaque • Connaître les bruits du cœur nor-

maux et leur origine • Comprendre la genèse des anomalies de ces bruits et leur intérêt diagnostique (valvulopathies)

Cours Le cœur est un muscle creux, en forme de cône, qui joue le rôle d’une pompe aspirante et refoulante : il appelle dans ses cavités le sang qui circule dans les veines, et les chasse dans les artères. En dépit des périodes de repos constituées par les diastoles, le muscle cardiaque est, de tous les muscles de l’organisme, celui qui est soumis au plus dur travail.

7.1 Biomécanique cardiaque

7.1 BIOMÉCANIQUE CARDIAQUE Le sang est un liquide visqueux. L’énergie nécessaire pour compenser la perte de charge sous forme de chaleur est apportée par la pompe cardiaque.

7.1.1 Anatomie fonctionnelle du cœur Le cœur est une double pompe : le cœur droit assure la circulation pulmonaire, le cœur gauche la circulation systémique. Chaque corps de pompe comporte deux cavités : oreillette et ventricule. Les ventricules fournissent l’énergie nécessaire à la circulation du sang (Fig. 7.1). Veine cave

Artère pulmonaire

Veines pulmonaires

OD

OG

V. tricuspide

V. mitrale

VD sigmoïdes

VG sigmoïdes

Aorte

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 7.1 Cœur droit et cœur gauche apparaissent comme des entités fonctionnelles distinctes : le régime de pression est différent. Leur fonctionnement est par contre lié : contractions des oreillettes G et D synchrones, contractions des ventricules synchrones. Compte tenu de la disposition en série du système circulatoire ils doivent assurer un même débit. Les valves : sont des structures membraneuses dont le fonctionnement est purement passif (elles n’obéissent qu’aux différences de pression existantes entre leurs deux faces). Elles imposent un seul sens à la circulation sanguine : Valves sigmoïdes pulmonaires Valve tricuspide Valves sigmoïdes aortiques Valve mitrale

V D −→ A P O D −→ V D V G −→ AO OG −→ V G

En pathologie, l’hémodynamique peut être perturbée pour plusieurs raisons : • maladie du muscle (cardiopathies ischémiques, non obstructives, obstructives)

caractérisée par une diminution de la contractilité ; • maladies valvulaires : conséquences d’infections (endocardite) ; – rétrécissement mitral – insuffisance mitrale

143

144

Chap. 7. Biophysique cardiaque – rétrécissement aortique – insuffisance aortique – insuffisance tricuspidienne • les troubles du rythme.

7.1.2 Le travail cardiaque Diagramme pression-volume des ventricules Le travail mécanique du cœur peut être évalué à partir du diagramme pressionvolume des ventricules. Exemple du ventricule gauche (Fig. 7.2). Pression intraventriculaire (kPa) D

24

C

18 12 6

A

B 80

160 Volume ventriculaire (cm 3)

Figure 7.2 Le cycle cardiaque peut être divisé en quatre phases : • AB, phase de remplissage : le ventricule double de volume à pression sensible-

ment constante voisine de zéro. • BC, phase de contraction cardiaque isovolumétrique : la tension des fibres musculaires augmente la pression intracavitaire sans variation de volume. Cette mise en tension n’entraîne pas de travail mécanique. • CD, phase d’éjection : quand la pression dans le ventricule devient égale à la pression dans l’aorte, l’éjection commence. • DA, phase de relachement isométrique : le muscle relâche sa tension et la pression chute brutalement. Le travail mécanique fourni par le ventricule est égal à la surface incluse dans le diagramme.

7.1 Biomécanique cardiaque Dans les conditions normales de repos, la puissance fournie est de 1,1 W pour le ventricule gauche et 0,2 W pour le ventricule droit soit 1,3 W au total. En cas d’exercice musculaire le débit peut être multiplié par 4 et la pression par 1,5. La puissance demandée au cœur est multipliée par 6 soit 8 W environ.

Travail de mise en tension cardiaque et rendement mécanique Le travail mécanique du cœur n’est qu’une partie de l’énergie requise à son fonctionnement. Tout muscle requiert en effet de l’énergie pour se contracter même si aucun travail n’est fourni : la mise en tension des fibres musculaires du cœur dépense de l’énergie. Ainsi un muscle soumis à une force de tension T pendant un temps Dt consomme une énergie proportionnelle au produit T Dt . Le travail de mise en tension est donc :  t2 T dt (7.1) DW = α t1

Au cours d’une contraction cardiaque, l’énergie totale requise (charge totale du cœur) vaut :   PdV + α T dt (7.2) où



PdV représente le travail fourni

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

D’où la notion de rendement mécanique du cœur :  PdV  r=  PdV + α T dt

(7.3)

Le rendement mécanique est très faible, de l’ordre de 3 % au repos. Il peut atteindre 15 % à l’effort. L’essentiel de l’énergie est utilisée à mettre le cœur sous-tension.

Tous les facteurs qui accroissent la pression sanguine et la fréquence cardiaque accroissent la charge cardiaque totale : émotion, anxiété, tension nerveuse, exposition au froid peuvent solliciter le cœur de façon aussi intense qu’un effort musculaire.

Relation entre tension du myocarde et pression intraventriculaire Le terme T dans l’équation précédente correspond à la tension superficielle des parois myocardiques. On peut appliquer au muscle cardiaque la loi de Laplace   1 1 P=T + (7.4) R R

145

146

Chap. 7. Biophysique cardiaque Si on admet que la tension T est proportionnelle à l’épaisseur e du muscle cardiaque, le muscle doit posséder plus faible quand la courbure est forte, autre une épaisseur  1 1 ment dit le produit e + doit rester constant. R 1 R2 C’est ce que l’on peut vérifier anatomiquement (pointe du cœur). Les valeurs trouvées pour e sont de 0,055 pour le ventricule  droit etde 0,36 pour le ventricule gauche. Leur rapport correspond au rapport des pressions ventriculaires. R1 R2 L’insuffisance cardiaque s’accompagne d ’une dilatation du cœur donc d’une diminution des courbures. Pour exercer une pression du même ordre, le muscle doit augmenter sa tension ce qui entraîne une diminution du rendement mécanique du cœur et donc une augmentation de la fatigue cardiaque.

7.2 CONTRÔLE AUTOMATIQUE BIOPHYSIQUE DU DÉBIT CARDIAQUE - LOI DE STARLING La finalité du cœur est d’assurer un certain débit sanguin. Ce débit est de l’ordre de 5 à 6 L.min −1. Il dépend de la taille et du poids du sujet, c’est pourquoi on définit : • l’index cardiaque : ou débit par unité de surface corporelle exprimé en

mL.min−1 .m−2 ou en L.min−1 . m−2. • l’indice de débit : qui correspond au rapport du débit cardiaque sur le VST (volume sanguin total du sujet). Il correspond à la fréquence à laquelle le VST circule dans l’organisme : valeurs normales # 1,2 à 1,3 min−1 . Le débit cardiaque peut s’exprimer par D = fC × VE

(7.5)

où fC , représente la fréquence cardiaque, VE : le volume d’éjection ou volume de sang éjecté par le ventricule par systole. Lors du cycle cardiaque les volumes ventriculaires passent par des maxima (volume télédiastolique ou volume en fin de remplissage) et par des minima (volume télésystolique ou voleme en fin d’éjection). Peut être défini à partir de ces volumes un paramètre important en hémodynamique : la fraction d’éjection ( f E) fE =

VT D − VT S V = E VT D VT D

(7.6)

(les valeurs normales varient entre 50 % et 70 %). Si le lit vasculaire était rigide et donc de volume fixe le débit des deux pompes serait systématiquement le même . Le lit vasculaire étant élastique , il est nécessaire d’avoir un contrôle afin de conserver l’égalité entre les débits droit et gauche. À titre d’exemple, si le ventricule droit avait

7.2 Contrôle automatique biophysique du débit cardiaque... un débit de 1/1 000 supérieur au débit gauche, en trois heures environ 1 litre de sang s’accumulerait dans la circulation pulmonaire entrainant un œdème pulmonaire pouvant causer la mort par étouffement. Le mécanisme qui permet l’ajustement automatique des deux débits a été mis en évidence par Starling. Sur une préparation expérimentale cœur-poumons , il a représenté la courbe qui exprime le volume d’éjection systolique en fonction du volume télédiastolique (Fig. 7.3). volume d'éjection systolique

compensation

décompensation contractibilité normale coeur hypocontractile

domaine physiologique Ve

Volume télédiastolique

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 7.3 Dans le domaine physiologique, toute augmentation du volume diastolique entraîne une augmentation du volume d’éjection : une augmentation fortuite du débit droit induit une augmentation du volume de remplissage du ventricule gauche donc une augmentation compensatoire du volume d’éjection donc du débit. Au delà d’un certain volume diastolique critique (V C) ce mécanisme s’inverse : il y a décompensation (les deux débits ne sont plus égaux). Ce mécanisme s’explique par deux phénomènes : • la force de contraction de la fibre musculaire augmente avec la longueur initiale

du moins jusqu’à une certaine valeur limite. Au delà, la force de contraction musculaire diminue légèrement ; • d’après la loi de Laplace, lorsque le volume ventriculaire augmente à tension constante, la pression développée diminue (décroissance de la courbe). À l’état normal, le débit du ventricule est égal au débit de remplissage (ou retour veineux). D’après la courbe de Starling, le débit d’éjection est fonction du volume diastolique de remplissage, lui même proportionnel à la pression télédiastolique du ventricule égale à cet instant à la pression dans l’oreillette car la valve mitrale est encore ouverte . Le retour veineux varie avec le gradient moyen entre le lit vasculaire et l’oreillette : P V - P télédiast.

147

148

Chap. 7. Biophysique cardiaque Ces variations sont représentées sur la courbe (Fig. 7.4) : Q (débit de retour veineux)

P0

pression télédiastolique

Figure 7.4 Si l’on trace sur un même graphique les variations du débit d’éjection et du retour veineux en fonction de la pression télédiastolique du ventricule, l’état de régime permanent est représenté par le point de croisement des deux courbes (Fig. 7.5). débit

r e tou rv ein

eux

coe ur no rm al hypoco ntract il e eur o c

P1

P2

pression télédiastolique

Figure 7.5 En cas d’insuffisance cardiaque, on voit que la pression télédiastolique est augmentée ( P 2 > P1). Cette augmentation de pression est à l’origine d’une augmentation de volume du ventricule. Si cette augmentation de volume dépasse le volume critique il y a décompensation avec stase du sang en amont du ventricule. Le traitement de l’insuffisance cardiaque consiste à renforcer le muscle cardiaque défaillant par des médicaments (tonicardiaques ≈ digitaliques) et à diminuer le volume sanguin par des diurétiques (diminution du volume télédiastolique).

7.3 La mesure des paramètres hémodynamiques

7.3 LA MESURE DES PARAMÈTRES HÉMODYNAMIQUES 7.3.1 La mesure des pressions et des volumes La mesure des pressions La technique la plus classique consiste à introduire dans un vaisseau distal une sonde souple, opaque aux rayons X pour pouvoir suivre sa progression. Cette sonde ou cathéter est poussée jusque dans les cavités cardiaques. On la laisse se remplir de sang et ainsi permettre la transmission des pressions intracardiaques jusqu’à son extrémité externe. L’extrémité est reliée à un système de mesure des pressions et à un système d’enregistrement après amplification des signaux (Fig. 7.6).

capteur

ampli.

enregistrement

Coeur

Figure 7.6 Il y a lieu de distinguer :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

• le cathétérisme droit : on pénètre dans la circulation par une veine médiane du

pli du coude, voire par la veine jugulaire externe, la sous-clavière ou la fémorale. Le cathéter progresse dans le sens du courant sanguin et son extrémité atteint l’oreillette droite, puis le ventricule droit, puis l’artère pulmonaire et ses branches où elle se bloque. • le cathétérisme gauche : on pénètre dans la circulation gauche par une artère, le plus souvent l’artère fémorale. On atteint l’aorte, le ventricule gauche, rarement l’oreillette gauche. cathétérisme droit

cathétérisme gauche

OG OD

AO

AP VG

VD

Figure 7.7

149

150

Chap. 7. Biophysique cardiaque Les résultats La cavité la plus intéressante est le ventricule gauche, véritable pièce noble du cœur. En choisissant un sujet type dont le cœur bat à 65 pulsations par min, nous obtenons un cycle cardiaque durant 0,92 seconde. Les pressions sont exprimées en mmHg ou en cmHg. Comme dans les vaisseaux, les pressions sont de type hydrostatique et de type cinétique. Il faut de plus faire intervenir la pression due à la contraction des fibres myocardiques. Les différents évènements sont périodiques, on prendra pour origine des temps t = 0 le début de la diastole (le V G vient d’éjecter dans l’aorte un certain volume de sang). • Pendant les 0,04 s qui suivent le début de la diastole, le myocarde ventriculaire

gauche commence à se relâcher :

– les pressions ventriculaire gauche et aortique diminuent à la même vitesse ; – les valves sigmoïdes aortiques sont bien ouvertes : V G et aorte constituent une cavité unique, il n’y a pas de différence de pression, le sang éjecté est déjà parti en périphérie. Le ventricule gauche contient un volume de sang résiduel postéjection appelé volume télésystolique, il n’ y a pas eu de variation de volume : cette phase est la protodiastole. • Au temps t = 0,04 s : fin de la protodiastole, la pression intraventriculaire gauche

devient inférieure à la pression aortique (l’aorte ne possède pas la même capacité de relâchement) : les valves sigmoïdes aortiques se ferment. Cette fermeture est contemporaine d’un bruit audible : le B2. Le V G est alors complètement clos. • Pendant les 0,08 s qui suivent : le relâchement ventriculaire se poursuit autour d’une cavité close, la pression chute très vite, le volume de la cavité reste inchangé : cette phase est la phase de relâchement (ou relaxation) isovolumique. • Pendant la systole venticulaire gauche précédent le t0 , l’oreillette gauche était en diastole, elle se remplissait de sang, la valve mitrale étant fermée ; ce remplissage a continué pendant la protodiastole et le relâchement isovolumique. La pression augmente dans l’oreillette gauche alors que la pression diminue dans le V G. Quand P OG > PV G la valve mitrale s’ouvre, le ventricule gauche commence à se remplir. • Le remplissage du V G va durer 0,46 s, il s’effectue d’abord passivement :

– phase de remplissage rapide : 0,11 s, ainsi 80 % du volume d’éjection passe de l’OG dans le V G. – phase de remplissage lent : 0,25 s, on note que la pression hydrostatique augmente dans le V G par accumulation du sang mais comme le relâchement continue la pression totale P ne varie pas. – puis se produit la systole auriculaire : évènement bref (0,10 s) qui n’apporte que très peu de sang mais assez pour que PV G > P OG : la valve mitrale se ferme.

7.3 La mesure des paramètres hémodynamiques

Cette fermeture s’accompagne d’un bruit audible : le B1.

P (mm Hg) R P R R D I

4

12

R L

23

S A

48

T C D I

58 65 70

diastole

E L

E R

79

systole

V (mL)

92

T 1 s 100

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

FS OM B2

FM B1

OS

Figure 7.8 Diagramme pression-volume obtenu par cathétérisme du ventricule gauche P D : protodiastole E L : éjection lente R I : relaxation isovolumique F S : fermeture des sigmoïdes R R : remplissage rapide O M : ouverture de la mitrale R L : remplissage lent F M : fermeture de la mitrale S A : systole auriculaire O S : ouverture des sigmoïdes T D : télédiastole P : pression exprimée en tors (courbe pleine) C I : contraction isovolumique V : volume exprimé en cm3 (courbe pointillée) E R : éjection rapide T : temps exprimé en (0.01 s) × 100

La cavité est à nouveau close. • Pendant 0,07 s tout va rester dans l‘état, le V G contient alors environ 0,2 l de

sang, c’est le volume maximum dénommé télé diastolique. Cette phase est la télédiastole qui termine la diastole ; celle-ci a duré 0.65 s, elle est encadrée à quelques centièmes de seconde près par les deux bruits B1 et B2.

La systole se déclenche brutalement. La pression augmente très vite dans cette cavité close pendant la phase de contraction isovolumique. En 0,05 s, la PV G atteint une valeur supérieure à la P aortique. Les valves sigmoïdes aortiques s’ouvrent, le volume d’éjection va commencer à être éjecté dans l’aorte.

151

152

Chap. 7. Biophysique cardiaque • L’éjection va durer 0,22 s :

– pendant 0,05 s le V G éjecte 80 % du volume d’éjection (phase d’éjection rapide) la pression continue à monter mais moins vite que précédemment – puis arrive la phase d’éjection lente qui dure 0,13 s pendant laquelle la pression diminue.

• Le V G a expulsé son volume d’éjection : on se retrouve au temps t = 0.

Les mesures des volumes et de leurs variations ➤ L’angiocardiographie C’est une technique radiologique (méthode par transmission X) qui permet la réalisation d ’ images des cavités cardiaques et des gros vaisseaux ; elle est dite sélective quand elle est réalisée par cathétérisme. Comme toutes les techniques de radiodiagnostic, elle nécessite plusieurs composantes (Fig. 7.9).

émetteur

objet

détecteur (écran fluorescent)

ampli de brillance

caméra

Figure 7.9 Il est possible de calculer les volumes ventriculaires en les assimilant à une ellipsoïde de révolution (Fig. 7.10).

I

L

l

Figure 7.10 ⎧ ⎨ L : longueur du grand axe π V = L × l × I avec l : longuer du petit axe dans le plan frontal ⎩ 6 I : longueur du petit axe dans le plan axial

7.3 La mesure des paramètres hémodynamiques Pour calculer ce volume avec précision, il faut réaliser deux incidences lors de l’angiocardiographie (Fig. 7.11). (O A D 30◦, O AG 60◦ ) pour déterminer les trois axes. ⎩ L’ O A D 30◦ permet de calculer le grand axe L et le petit axe dans le plan axial I ; l’O AG 60 ◦ permet d’accéder à l (petit axe dans le plan frontal) et à I (petit axe dans le plan axial).

OAD 30° OAG 60°

Figure 7.11

L’enregistrement à cadence rapide des images après injection de produit de contraste nous permet de choisir deux couples d’images : • l’un correspondant au volume ventriculaire maximum (télédiastole) ;

• l’autre correspondant au volume ventriculaire minimum (télésystole).

Dans ces conditions connaissant le facteur de grandissement de la chaîne d’enregistrement on déduit : • le volume télédiastolique VT D ; • le volume télésystolique : VT S ; • le volume d’éjection : VE ; • la fraction d’éjection f E .

π .L max .lmax .lmax 6 π VT S = L min.l min .l min 6 VE = VT D − VT S V T D − VT S fE = VT D

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

avec :

VT D =

(7.7) (7.8) (7.9) (7.10)

➤ L’angiocardiographie isotopique La description détaillée de la méthode sera vue dans le chapitre sur l’imagerie scintigraphique. Il s’agit d’une méthode par émission. Le sang du patient est rendu temporairement radioactif pour la durée de l’examen. La radioactivité détectée au niveau des ventricules est proportionnelle à leur volume. (après correction du bruit de fond et de l’atténuation) La fraction d’éjection est donnée par : fE =

Act(diastole) − Act (systole) Act(diastole)

(7.11)

153

154

Chap. 7. Biophysique cardiaque

7.3.2 Le débit cardiaque - Techniques de mesure Le débit cardiaque est le volume de sang exprimé en litre ou en m L, qui est éjecté par chaque ventricule en une minute : Il est symbolisé par D ou Q. Il est donné par la relation : D = VE × f E (7.12) Le volume d’éjection V E peut être déterminé par l’imagerie mais cette appréciation nécessite des approximations. Les méthodes par cathétérisme sont agressives mais restent plus précises.

Méthode des indicateurs diffusibles Elle est basée sur la loi de Fick. La quantité q d’indicateur prélevée par un organe par unité de temps est q = QA− QV (7.13) où Q A représente la quantité de traceur qui arrive au pôle artériel de l’organe et Q V la quantité de l’indicateur qui ressort de l’organe et ceci par unité de temps. Comme Q A = D × Ca et Q B = D × C v avec q = Q A − Q B , alors q D= (7.14) C a − Cv

Dans le cas du C O 2, l’organe d’extraction est le système pulmonaire ; le débit du cœur droit est égal au débit du cœur gauche (Fig. 7.12). OD

OG

Veine

Aorte VD

VG

Poumons Ca

Cv

Cv

q

Figure 7.12 La quantité q de C O2 extraite du sang peut se mesurer dans l’air expiré à condition que le rythme respiratoire reste constant, la valeur de Ca peut être mesurée sur un échantillon prélevé par cathétérisme au niveau de l’artère pulmonaire et Cv dans un échantillon prélevé au niveau artériel systémique. Remarque On peut aussi utiliser un gaz exogène qui s’échange en sens inverse à condition de modifier la relation car l’organe doit être considéré devient un organe d’apport et C v > C a, et dans ce cas le débit cardiaque est donné par : q D= (7.15) Cv − C a

7.3 La mesure des paramètres hémodynamiques Utilisation d’un traceur non diffusible La mesure utilise le principe de Stewart-Hamilton (principe de dilution). Le débit est évalué en regard d’un point B où sont effectués des prélèvements après avoir injecté l’indicateur en un point A (Fig. 7.13).

B

A injection

prélèvement

Figure 7.13 Pour mesurer le débit cardiaque, on considère que le cœur (ou le ventricule), est situé entre les deux points A et B. On considère les trois paramètres accessibles : q : quantité d’indicateur injectée en A, sous forme d’embole (injection quasiinstantanée) ; C : concentration du traceur au point B du prélèvement ; θ : temps mis par la totalité de l’indicateur pour passer au point B.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Au point A l’indicateur est injecté pendant le temps t, il se trouve dans un volume V = D ×t On suppose que l’indicateur reste parfaitement groupé entre A et B , t = θ, et que la section reste constante (Fig. 7.14). -----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

A

B

injection

prélèvement

Figure 7.14 Dans ces conditions, on peut écrire :

q (7.16) C avec C la concentration de l’indicateur dans le volume V qui apparaît uniforme. q Donc D= (7.17) Cθ D = V ×θ =

(relation de Stewart Hamilton simplifiée)

155

156

Chap. 7. Biophysique cardiaque Le produit Cθ représente la surface S située sous la courbe C = f (t ), donc l’intégrale sous la courbe de concentration (Fig. 7.15). C(t)

C

S = C.θ

0

θ

t

Figure 7.15 En pratique entre A et B l’indicateur se disperse (diffusion, turbulence, fragmentation ... ). L’équation de Stewart Hamilton s’écrit alors : q D= θ (7.18) C (t )dt

0

Si l’indicateur n’est pas soumis à recirculation C (t ) = 0 en dehors du temps θ et on peut écrire : q (7.19) D= ∞ C (t )dt 0

En pratique deux types de courbe C (t ) peuvent être obtenues selon le type d’indicateur (Fig. 7.16) : C(t)

C(t)

C(t)=A.e -λt

0

θ

t

C(t)=A.e-λt

0

sans recirculation

θ

t

avec recirculation

Figure 7.16 La nature exponentielle de la courbe décroissante permet l’extrapolation de la surface sous la courbe.

7.4 Les bruits du cœur Indicateurs utilisables colorant mesure par colorimétrie radioactivité compteur gamma chaleur thermocouple électrolytes forts mesure de résistivité

7.4 LES BRUITS DU CŒUR Le fonctionnement du cœur met en mouvement : • le myocarde dont les fibres se tendent et se relâchent ; • les valves qui s’ouvrent et se ferment ;

• les cordages qui se tendent et se détendent ;

• le sang qui progresse d’une cavité à l’autre.

Ces structures en mouvement rapide et brusque génèrent des ébranlements mécaniques à l’origine des bruits du cœur. Leur étude peut se faire soit par auscultation soit par phonocardiographie.

7.4.1 L’auscultation L’analyse par l’oreille (stéthoscope) présente des limites : • limite en intensité : certaines vibrations ne sont pas entendues. L’ausculation des

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

sujets maigres est plus facile que celle des sujets obèses. • limite en discrimination temporelle : difficulté d’auscultation d’un cœur qui bat vite. Il n’existe à priori pas de limite en fréquence pour ces bruits puisque leur spectre en fréquence s’étale de 30 à 600 Hz (domaine audible). À l’état normal, l’oreille n’entend que deux bruits dans le cycle. B 1 : fermeture des valves auriculo-ventriculaire (tricuspide, mitrale) ; B 2 : fermeture des valves sigmoïdes (pulmonaire, aortique). Ils encadrent la systole et la diastole (Fig. 7.17). systole

B1

petit silence

diastole

B2

B1

Figure 7.17

grand silence

B2

157

158

Chap. 7. Biophysique cardiaque Le trajet des vibrations privilégie certains points de la paroi thoracique qui permettent une écoute plus spécifique de certains générateurs. Ce sont les foyers d’auscultation. • Foyer mitral : intersection de la verticale médioclaviculaire gauche et 5e espace

intercostal. • Foyer tricuspide : sous l’appendice xiphoïde. • Foyer aortique : bord droit du sternum au niveau du 2e espace intercostal droit. • Foyer pulmonaire : bord gauche du sternum, au niveau du 2 e espace intercostal gauche.

7.4.2 La phonocardiographie La technique permet d’enregistrer les bruits du cœur, d’apprécier leur amplitude et leur fréquence. On détecte toutes les vibrations et notamment deux bruits supplémentaires B3 et B4 (Fig. 7.18). Les bruits anormaux sont mieux analysés.

B2

B3

B4

B1

Figure 7.18 L’analyse du tracé montre que : 1. B1 est généré par cinq composantes : • H F mitrale : (290 à 450 Hz). Mise en tension de la valve mitrale avec tension • • • •

des cordages mitraux et fermeture de la mitrale. H F tricuspide : (290 à 450 Hz). Mise en tension de la valve tricuspide avec tension des cordages tricuspides et fermeture des tricuspides. B F pariétale : (36 à 45 Hz). Lors de la contraction isovolumique, les fibres, mises en tension sur un volume incompressible, vibrent. B F liquidienne : (110 à 140 Hz). Elle est due à l’accélération du sang quand s’ouvrent les sigmoïdes. B F liquidienne : issue de la décélération du sang lorsque la pression ventriculaire baisse.

7.4 Les bruits du cœur 2. B2 a deux composantes : • H F : (360 à 570 Hz). Elle est due à la fermeture des valves sigmoïdes. • B F : due à la décélération de la colonne sanguine (peu intense).

3. B3 a une composante B F due à l’impact du sang, en provenance des oreillettes, sur les parois ventriculaires. Rarement audible (sujet jeune). 4. B4 provient de la contraction des oreillettes (basses intensité et fréquence) jamais audible. H F : haute fréquence, B F : basse fréquence.

7.4.3 Les bruits audibles anormaux Le plus souvent surajoutés mais parfois liés aux modifications d’un bruit physiologique. Exemple Une valve mitrale durcie ( sclérosée ) claque à l’ouverture. Les bruits d’une certaine durée, générés pendant la diastole ou la systole sont appelés des souffles. Ils sont consécutifs à des turbulences sanguines, en rapport avec des détériorations valvulaires. Exemples pour le cœur gauche I A insuffisance aortique ; R M rétrécissement mitral ; I M insuffisance mitrale, R A rétrécissement aortique (Fig. 7.19). diastole

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

FA B2

OM

systole FM OA FA OM B1 B2 IA

RM

IM

RA

Les Les zones zones grisées grisées représentent représentent ent les les souffles souffles et et leur leur intensité intensité représent

Figure 7.19

159

160

Chap. 7. Biophysique cardiaque • Rétrécissement : soudure des commissures, l’ouverture valvulaire devient étroite.

• Insuffisance : destruction partielle des bords libres empêchant leur fermeture par-

faite entraînant des régurgitations.

Exercices 1 Soit un ventricule gauche dont le cycle présente les caractéristiques suivantes : V T D = 150 mL, F E = 60 % Pressions en début de contraction en fin de contraction iso volumétrique en fin d’éjection

: 1 kPa : 11 kPa : 16 kPa

Calculer 1. En joules, l’énergie mécanique développée par ce ventricule à chaque cycle. 2. La puissance mécanique correspondante en watts en se basant sur une fréquence cardiaque à 120 pulsations par minute.

2 Le diagramme pression volume d’un ventricule gauche est schématisé de la manière suivante (Fig. 7.20) :

Pression

D

25 kPa

C

15 kPa

1 kPa

A

B

70 mL

150 mL

Figure 7.20

Volume

Exercices 1. À quelles phases du cycle cardiaque correspondent les différents segments AB, BC , C D et D A ? 2. Calculer le travail mécanique délivré par ce ventricule au cours d’un cycle cardiaque. 3. La fréquence cardiaque étant de 70 pulsations par minute, la puissance consommée pour la mise en tension des fibres musculaires du ventricule étant de 15 Watts, calculer le rendement mécanique du ventricule.

3 Mesure du débit cardiaque par la méthode de STEWART-HAMILTON Un volume de 10 mL de sérum physiologique à la température de 30 ◦C est injecté sous forme d’embole en amont du cœur, un thermocouple endoartériel enregistre en aval du cœur l’évolution de la température sanguine, égale à 37 ◦ C avant injection. L’intégrale de la courbe de variation thermique donne une baisse de température égale à 1,4 . 10−2 ◦C, moyennée sur un intervalle de temps de 1 minute. Calculez le débit cardiaque de ce patient en litres par minute.

4 Mesure du débit cardiaque par la méthode de STEWART-HAMILTON On mesure le débit cardiaque en injectant 2 g d’un colorant restant dans la circulation pendant toute la durée de la mesure. La courbe des variations de concentration de l’indicateur, en aval d’un ventricule, aprés suppression de la recirculation, est tracée ci-dessous (Fig. 7.21) ; elle délimite une surface égale à une aire rectangulaire tracée en surimpression.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

c (mg/mL)

1

0,5

48 s

Figure 7.21 Calculez le débit cardiaque en mL.min−1

temps (s)

161

162

Chap. 7. Biophysique cardiaque

Questions à choix multiples 1 Choisissez parmi les données auscultatoires des valvulopathies suivantes celles qui sont exactes IA = insuffisance aortique IM = insuffisance mitrale RM = rétrécissement mitral RA = rétrécissement aortique. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4.

L’IA génère un souffle systolique. L’IM génère un souffle systolique. Le RM génère un souffle systolique. Le RA génère un souffle systolique qui débute à l’ouverture des sigmoïdes aortiques. ❑ 5. Le RA génère un souffle systolique qui va jusqu’au B2.

Corrigés Exercices 1 1. Soit VE le volume d’éjection, VT D le volume télédiastolique et VT S le volume télésystolique. La fraction d’éjection du ventricule est : ( fE ) = 60 % =

VE (V − VT S ) = TD VT D VT D

Le VT D = 150 mL, donc le V E = VT D × f E = 90 mL Le VT S (en mL) est égal à (150 − 90) ou encore 150 × (1 − 0, 60) = 60 mL L’énergie mécanique W correspond à l’aire du diagramme ventriculaire pression volume, soit W (en J) = (11 − 1).103 × (150 − 60).10 −6  1 + (16 − 11).10 3 × (150 − 60).10 −6 2 = 12, 5.10 3 × 90.10 −6 = 1, 125 J.

Corrigés 2. La puissance est égale à l’énergie développée en joules rapportée au temps (1 s). Le pouls est ici à 120 pulsations par minute, soit 2 cycles par seconde donc la puissance mécanique est égale à (2 × 1, 125) J/ s, soit 2, 25 W.

2 1. Les différentes phases sont représentées dans le tableau ci-dessous : AB BC CD DA

× remplissage contraction isovolumétrique éjection relaxation isovolumétrique (ou relâchement isométrique)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

2. Soit VE le volume d’éjection, VT D le volume télédiastolique et VT S le volume télésystolique. Le VT D = 150 mL, le VT S = 70 mL donc le VE = V T D − VT S = 80 mL. L’énergie mécanique W correspond à l’aire du diagramme ventriculaire pression volume, soit : W (en J) = (15 − 1).103 × (150 − 70).10−6  1 3 −6 + (25 − 15).10 × (150 − 70).10 2 = 19.103 × 80 × 10−6 = 1,52 J. 3. La puissance est égale à l’énergie développée en joules rapportée au temps (1 s). Le pouls est ici à 70 pulsations par minute, soit 1, 17 cycles par seconde, donc la puissance mécanique est égale à (1, 17 × 1.52) J/ s soit 1,78 W. 1,78 Le rendement mécanique est donc de = 0,12. 15 Il n’ y a donc que 12 % de l’énergie consommée par ce ventricule qui sert à propulser le sang dans les artères

3 L’intégrale sous la courbe représente la perte de calories induite par la dilution

de 10 mL à 30 ◦ C dans le volume sanguin (à 37 ◦C) qui circule en une minute (débit cardiaque). La capacité calorifique du sang est assimilable à celle de l’eau . Rappel : 1 calorie augmente de 1 ◦C la température de 1 g d’eau (assimilé à un volume de 1 mL).   L’embole gagne un DT = 37 − 1, 4.10 −2 − 30 = 6.984 ◦ C. On suppose que la chaleur perdue par le volume sanguin est égale en valeur absolue, à celle gagnée par l’embole

163

164

Chap. 7. Biophysique cardiaque En valeur absolue on peut donc écrire : DT1 × masse1 = DT2 × masse2 En assimilant la masse en g au volume en mL, on a : Nombre de calories perdues par le sang = 1, 4.10−2 × V = 6.984 × 10 mL. Le volume de dilution V est donc égal à 4 989 mL Le débit sanguin calculé est donc de 4 989 mL/min

4 Le débit D est numériquement égal à la quantité injectée par la surface sous la courbe, soit

D= 

2 000 2 000 = = 5 000 mL.min−1 48 0, 4 0, 5 × 60

Questions à choix multiples 1 1. ❑

2. ✗ ❑ 3. ❑ 4. ✗ ❑ 5. ✗ ❑

L’activité électrique du cœur - ECG

Plan

Objectifs

Cours 8.1 Cellule myocardique isolée 8.2 Au niveau du cœur entier 8.3 Les dérivations de l’ECG 8.4 L’axe électrique du cœur 8.5 L’interprétation de l’ECG QCM et exercices Corrigés

8

• L’activité électrique du cœur -

ECG. • Comprendre la genèse du signal de l’ECG, de la cellule au corps entier • Connaître les dérivations et l’aspect du tracé de l’ECG normal • Savoir calculer rapidement l’axe

électrique du coeur

Cours Le recueil et l’analyse des courants générés par le cœur est l’électrocardiogramme ou ECG.

8.1 CELLULE MYOCARDIQUE ISOLÉE Au repos, il existe une différence de la répartition des ions de part et d’autre de la membrane (Fig. 8.1) :  + Na est essentiellement extracellulaire K+ est essentiellement intracellulaire

Une ATPase membranaire (pompe à sodium) refoule l’ion N a+ à l’extérieur de la cellule et l’échange contre un ion K + qui pénètre dans la cellule. Quand un stimulus électrique arrive au niveau de la membrane cellulaire, il interrompt l’activité de la pompe à sodium.

166

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +++++++++++++++++++++++++ + + +

K+

Na+

Na+

K+

Figure 8.1 Cellule myocardique au repos. Les ions Na+ pénètrent alors dans la cellule et une inversion du potentiel membranaire apparaît : la cellule s’est dépolarisée. Les ions K+ sortent du milieu intracellulaire plus lentement que les ions Na+ ne sont rentrés : des charges positives s’accumulent à l’extérieur qui redevient positif. La cellule se repolarise puis intervient le redémarrage de l’ATPase NaK (Fig. 8.2). + 30 mV

0 Entrée ions Na+

Sortie ions K+

{

Retour à polarisation initiale

- 90 SYSTOLE

Figure 8.2

8.1.1 Variations de potentiel en un point de la cellule Pour étudier ce phénomène, on place une électrode exploratrice intracellulaire et une autre électrode extracellulaire de référence (potentiel nul). Aussi en tout point de la cellule, les variations de potentiel se traduisent par une onde monophasique appelée courbe de potentiel d’action.

8.1 Cellule myocardique isolée

8.1.2 Variations de la différence de potentiel entre les extrémités de la cellule On enregistre simultanément et séparément les variations du potentiel au niveau des deux points A et A (Fig. 8.3).

G

G

A

A'

Figure 8.3 Le potentiel d’action en A  est le même qu’en A mais avec un certain retard. Il apparaît ainsi une d .d . p. entre A et A, pendant la propagation de la dépolarisation et de la repolarisation. (8.1) d .d . p. = V A (t ) − VA (t) C’est une onde diphasique constituant l’électrocardiogramme de la fibre isolée (Fig. 8.4) : • le premier accident correspond à la dépolarisation (bref, amplitude marquée) ;

• le second accident se produit pendant la repolarisation (plus long, amplitude

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

moindre et de sens inverse). Potentiel en A

Potentiel en A'

d.d.p. entre A et A'

Onde de dépolarisation

Onde de repolarisation

Figure 8.4

167

168

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG

8.1.3 La cellule assimilée à un dipôle Pendant la dépolarisation comme pendant la repolaristaion, la surface externe de la cellule est séparée en deux parties : l’une négative (dépolarisée), l’autre positive (repolarisée). Durant ces phases, la cellule peut donc être assimilée à un dipôle, soit deux charges ponctuelles électriques (+q , −q ) de signes opposés et séparées d’une distance l (Fig. 8.5). A

μ = q.l

u

O

-q

A' +q

Figure 8.5 À tout instant, ce dipôle est défini par : • son centre : le point O ;

• sa direction : la droite passant par les deux charges −q et +q ; • son sens : de la charge −q vers la charge +q ; • son moment dipolaire : μ = |q | l.

Ce dipôle peut être représenté par un vecteur ayant pour origine le point O. Ce vecteur est dit vecteur équivalent. Il varie au cours de la dépolarisation et de la repolarisation : on est amené à considérer un vecteur équivalent instantané. Il passe par un maximum à mi-dépolaristaion et à mi-repolarisation et d’une manière générale, il varie comme la d .d . p. aux bornes de la fibre musculaire (Fig. 8.6).

V.R.

Repos

t V.D.

Figure 8.6

D

R

V.D. : en voie de dépolarisation, V.R. : en voie de repolarisation, D : dépolarisation complète, R : repolarisation complète.

La différence de potentiel à distance Considérons deux points A et B situés à distance de la cellule. Quelle est la différence de potentiel enregistrée entre ces deux points ?

8.1 Cellule myocardique isolée Le potentiel créé par le dipôle au point A (Fig. 8.7) s’écrit : 1 VA = 4π0



+q −q + d2 d1



=

1 q (d1 − d2 ) d1 d2 4π0

(8.2)

B

d' 2

d'

d'1

A

d1 d2

d β α

M a

-q

N

a

O

+q

x

Figure 8.7 Si d , d1 et d2 sont très grands par rapport à 2a, on peut donc écrire : d 1d 2  d 2 De même,

d1 = d + a cos α

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Il en résulte que : Ainsi,

et

d2 = d − cos α

d1 − d2 = 2a cos α VA =

(8.3)

1 2qa cos α 1 μ cos α = 4π0 4π0 d 2 d2

De la même façon, on peut montrer que : VB =

1 μ cos β 4π0 d 2

(8.4)

Si θ représente l’angle que fait la droite (AB) avec la direction du dipôle (Fig. 8.8), on peut admettre que : (VA − V B )t = Fμ cos θ (8.5) Ainsi la différence de potentiel enregistrée entre deux points éloignés d’une même cellule myocardique est proportionnelle au module du vecteur instantané projeté orthogonalement sur la droite passant par les deux points où sont placées les électrodes de recueil. Cette droite devient alors un axe de dérivation.

169

170

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG A

B

θ d

d' α M

β O N

Figure 8.8 L’amplitude des tracés (Fig. 8.9) dépend : • de la norme (ou module) du vecteur instantané ;

• de l’angle que fait la direction de ce vecteur avec la direction de dérivation, le sens

des accidents dépend des sens respectifs du vecteur projeté et de la dérivation. V + t

Figure 8.9

8.2 AU NIVEAU DU CŒUR ENTIER L’excitation peut se propager de cellule en cellule, le cœur entier peut être ainsi assimilé à un dipôle unique pendant les phases de dépolarisation et de repolarisation. L’excitation macroscopique du cœur peut ainsi être représentée à tout instant par un vecteur instantané unique, comme la cellule myocardique isolée. Il existe cependant deux différences.

8.2.1 Les potentiels d’action n’ont pas la même durée à la base qu’à la pointe Ils sont plus brefs au niveau de la pointe. Lorsqu’on réalise l’ECG des ventricules, ceci revient à enregistrer une d .d . p. entre un point d’une cellule de la base et de la pointe.

8.2 Au niveau du cœur entier Le tracé obtenu par différence algébrique des deux courbes de potentiel d’action reste une courbe diphasique, mais l’onde de repolaristaion ventriculaire a le même sens que l’onde de dépolarisation (Fig. 8.10).

PA à la base

PA à la pointe

Dépolarisation

Repolarisation

Figure 8.10 Les ventricules se dépolarisent par la base et se repolarisent par leur pointe.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

8.2.2 Les vecteurs instantanés changent sans cesse de direction Dans le cœur, l’excitation suit un chemin complexe (Fig. 8.11). Elle naît dans le nœud sinusal (ou nœud de KEITH et FLACK) au niveau de la partie supérieure de l’oreillette droite. L’activation se transmet de proche en proche dans l’oreillette droite puis dans la gauche. Elle atteint le nœud auriculo ventriculaire (NAV ou nœud d’ASCHOFF et TAWARA) situé à la partie inférieure de la cloison inter auriculaire. Au niveau de ce nœud, l’activation marque un temps d’arrêt (8 à 12/100 s). Elle est ensuite très rapidement transmise à la pointe par le faisceau de His (spécialisé dans la conduction) et ses branches droite et gauche, l’excitation remonte ensuite de cellule en cellule, de la pointe des ventricules vers la base. Le temps d’arrêt de l’activation au niveau du NAV conduit à séparer chronologiquement l’excitation des oreillettes et celle des ventricules. On distingue ainsi quatre événements dans le cycle cardiaque : • dépolarisation auriculaire ; • repolarisation auriculaire ;

• dépolarisation ventriculaire ; • repolarisation ventriculaire.

171

172

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG

Noeud de Keith et Flack

Noeud d'Aschoff et Tawara

Faisceau de His

Figure 8.11 Pour figurer par exemple la dépolarisation ventriculaire, il faut considérer tous les vecteurs instantanés successifs. Les extrémités de ces vecteurs constituent une boucle vectorielle qui se déroule dans l’espace dans le sens anti-horaire (ou sens trigonométrique) (Fig. 8.12). Il existe en fait quatre boucles qui se succèdent dont trois seulement sont individualisables. La boucle de dépolarisation ventriculaire noie la boucle de repolarisation auriculaire. L’électrocardiogramme résulte de la projection de ces trois boucles sur des axes orientés qui constituent les dérivations (Fig. 8.13).

Figure 8.13

V5

V1

V2

V3

Figure 8.12

V4

8.3 Les dérivations de l’ECG Exemple de tracé électrique obtenu dans le plan frontal (Fig. 8.14) : • la boucle de dépolarisation auriculaire se traduit par l’onde P ;

• la boucle de dépolarisation ventriculaire et repolarisation auriculaire se traduit par

le complexe QRS ; • la boucle de repolarisation ventriculaire se traduit par l’onde T. 0

P

1 0

0 R

b 2 a

0 Q

3

S T

0

Figure 8.14 L’ensemble de ces tracés constitue l’ECG (Fig.15) : R

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

DA Repos pas de PA

P

RV pas de PA segment Q

PQ

Figure 8.15

pas de PA S

T

segment

ST

PA : potentiel d’action, RV : repolarisation ventriculaire, DA : dépolarisation QRS : onde de dépolarisation auriculaire, ventriculaire.

8.3 LES DÉRIVATIONS DE L’ECG Ce sont par définition des droites orientées passant par les points au niveau desquels sont placées les électrodes. La forme et l’amplitude de l’ECG dépend de la direction et de l’orientation de ces dérivations.

173

174

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG Un seul tracé ne peut donner qu’une traduction parcellaire de l’activité électrique du cœur, on multiplie donc les dérivations. Celles-ci ont été uniformisées avec 12 dérivations. Ce sont : • 3 dérivations bipolaires des membres ou standard ; • 3 dérivations unipolaires des membres ; • 6 dérivations précordiales.

8.3.1 Les dérivations périphériques Les dérivations bipolaires ou standard (au nombre de trois) Elles sont dites bipolaires car chaque dérivation permet l’enregistrement d’une d .d . p. entre deux endroits des membres. Ces endroits sont le poignet droit, le poignet gauche, la cheville gauche. Il y a trois combinaisons possibles (Fig. 8.16) : • poignet droit - poignet gauche D1 ;

• poignet droit - cheville gauche D2 ;

• poignet gauche - cheville gauche D3.

Le poignet droit est toujours relié au pôle négatif, la cheville gauche au pôle positif.

-

D1

+

-

D2

+

-

D3

+

Figure 8.16 Les membres ne sont en fait que des conducteurs. On peut considérer comme identiques les dérivations : • épaule droite - épaule gauche D1 ; • épaule droite - pubis D2 ;

• épaule gauche - pubis D3.

Grossièrement ces trois points peuvent être considérés équidistants du cœur, c’est pourquoi on a l’habitude de représenter ces dérivations sous forme d’un triangle

8.3 Les dérivations de l’ECG équilatéral dont le cœur occupe le centre O : c’est le triangle d’EINTHOVEN (Fig. 8.17). Le centre O est considéré comme étant au potentiel zéro ; c’est l’origine des vecteurs. Bayley a proposé un autre mode de réprésentation des dérivations à l’aide de trois axes orientés passant par le point O : c’est le tri axe de BAYLEY (Fig. 8.18). Ces dérivations sont situées dans un plan frontal. Les tracés obtenus dans ces trois dérivations résultent de la projection des trois boucles vectorielles sur un plan frontal puis de la projection des boucles projetées sur les trois axes orientés que sont D1, D2 et D3 (Fig. 8.19). On rappellera que lorsque le vecteur instantané est perpendiculaire à la dérivation, la d .d . p. est nulle.

D1

-

b

+ + --

D1

Epaule droite

+ + --

Epaule gauche D2

D3

+

Pubis

Figure 8.17

-

-

D3

D2

- D1

+ O

+

+

Figure 8.18

D1

d

c © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

D2

D3

D2

a

+

+

D3

Figure 8.19

Les dérivations unipolaires des membres Elles comportent une électrode exploratrice successivement placée au niveau de trois endroits (poignet gauche, poignet droit, cheville gauche) et une électrode dite de référence ou indifférente assimilable au potentiel 0.

175

176

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG ➤ Le montage de Goldberger (Fig. 8.20)

-

-

+

aVR

-

+

aVL

aVF

+

Figure 8.20 L’électrode indifférente est réalisée en court-circuitant les deux électrodes non exploratrices. Avec ce montage les déflexions sont appelées aV R, aV L , aV F . Les dérivations sont également situées dans le plan frontal et elles sont les bissectrices des trois angles du triangle. Avec les dérivations standards elles construisent un double tri axe (Fig. 8.21, Fig. 8.22.) aVR

aVL

60˚

aVR O

aVR

aVL

b

aVL

aVF

d aVL

aVR

+

+

-

+

-

+

D III

+

aVF

Figure 8.21

D2

a

D3

c

DI

aVF

+

D II

Figure 8.22

aVF

8.3 Les dérivations de l’ECG

8.3.2 Les dérivations précordiales Ce sont les dérivations rapprochées unipolaires. L’électrode exploratrice est placée sur des points bien précis de la paroi thoracique. V1 = bord droit du sternum du 4e espace intercostal (EIC) ; V2 = bord gauche du sternum à hauteur du 4e EIC ; V3 = entre V2 et V4 ; V4 = intersection de la verticale médioclaviculaire gauche avec la 5e EIC ; V5 = intersection de la verticale axillaire antérieure gauche avec l’horizontale passant par V4 ; V6 = intersection de la verticale axillaire moyenne gauche avec l’horizontale passant par V4. On y ajoute parfois : V7 = intersection de la ligne axillaire postérieure gauche avec l’horizontale passant par V4 ; V8 = intersection de la verticale passant par la pointe de l’omoplate gauche avec l’horizontale V4 ; V9 = intersection de la verticale paravertébrale gauche avec l’horizontale V4 . On notera qu’elles se situent dans un plan grossièrement horizontal (Fig. 8.23). V1

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

V3

O

V6 V5

V5 V1

V3

Figure 8.23

V6

177

178

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG

8.4 L’AXE ÉLECTRIQUE DU CŒUR Si l’on voulait déterminer précisément cet axe, il faudrait faire la somme de tous les n  → − vecteurs instantanés représentatifs de l’excitation, soit Vi . i=1

En pratique, on procède à des approximations : ainsi pour déterminer l’axe électrique, on se servira des dérivations frontales, c’est-à-dire périphériques. • La dépolarisation ventriculaire est l’événement prédominant dans la propagation

de l’excitation : on se servira donc uniquement des complexes ventriculaires rapides dans la détermination de l’axe. • On peut admettre que la direction générale de la propagation de l’excitation se confond avec le plus grand vecteur projeté sur les dérivations, donc des plus grandes amplitudes sur le tracé de chaque dérivation. On se servira donc de la plus grande amplitude des complexes rapides pour deux dérivations dans le plan frontal (D1, D2, D 3, aV L, aV R, aV F) Déterminer l’axe électrique du cœur revient à chercher le vecteur instantané qui permet de retrouver les amplitudes sur les deux dérivations considérées.

Exemple (Fig. 8.24) D1 20 mm D2 20 mm

D1

axe électrique du coeur

D3

D2

Figure 8.24 On place les vecteurs projetés D1 et D2 dans le tri axe de Bayley. On trace les perpendiculaires à D1 et D2 à partir de l’extrémité des deux vecteurs projetés, le point d’intersection est l’extrémité de l’axe électrique du cœur.

8.4 L’axe électrique du cœur Les différents axes (Fig. 8.25) On les définit par l’angle qu’ils font avec l’horizontale ; il est convenu que l’angle est positif sous l’horizontale et négatif au dessus. On distingue : • l’axe droit +90◦ < α < +120 ◦ (axe de la première enfance, sujet longiligne) ; • l’axe vertical +60◦ < α < +90◦ ; • l’axe moyen +30 ◦ < α < +60◦ ;

• l’axe gauche −30 ◦ < α < +30◦ (c’est l’axe de l’adulte après 40 ans, de l’obèse

et de la femme enceinte).

- 30°

0

gauche

moyen droit

+ 30° Axes normaux

vertical + 60°

+ 120° + 90°

Figure 8.25

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Pour déterminer très rapidement la direction de l’axe électrique du cœur, on peut chercher dans quelles dérivations l’onde R devient nulle ou quasi-nulle : l’axe électrique a une direction perpendiculaire à celle de la dérivation (méthode approximative mais très rapide) (Fig. 8.26).

aVL

aVR

60 ˚

D3

projection nulle sur aVL D1

D2 aVF

Figure 8.26

179

180

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG

8.5 L’INTERPRÉTATION DE L’ECG 1. Le rythme cardiaque est normalement sinusal. Chaque complexe ventriculaire est précédé d’une onde P. 2. Les accidents du tracé et les intervalles. • L’onde P : onde de dépolarisation auriculaire arrondie et symétrique, de faible ampli-

tude (0, 1 à 0, 3 mV), brève (100 ms), toujours positive sauf en aV R (toujours négative), et en V1 , V2 , D3 (parfois négative). La durée est comprise entre 0, 08 s et 0, 10 s. • L’intervalle auriculo-ventriculaire : c’est le segment P Q ou P R quand Q est absente. Il correspond au temps de conduction auriculo-ventriculaire ; sa durée va de 120 à 200 ms. Il est toujours isolélectrique. • Le complexe ventriculaire ou onde de dépolarisation ventriculaire. Il comporte plusieurs composantes et il est convenu de désigner : – par des lettres majuscules les composantes dont l’amplitude est supérieure ou égale à 5 mm (0, 5 mV), – par des minuscules celles dont l’amplitude est inférieure à 5 mm (0, 5 mV), – la première déflexion négative par Q ou q, – la première déflexion positive par R ou r, – la déflexion négative succédant à R, par S ou s . + 0,5 mV 0 - 0,5 mV QS

QS crocheté QR

Qr

qRS

qrS

QRs

rs

Rs

rS

rsr'

RsR'

Rsr'

rsR'

rSr'

Figure 8.27 La durée moyenne du complexe est de 80 ms et elle ne doit pas dépasser 100 ms. Dans les dérivations frontales a. l’amplitude ne doit pas dépasser 25 mm (2, 5 mV), b. il doit exister au moins une dérivation où l’amplitude maximale est supérieure à 5 mm,

Questions à choix multiples c. l’amplitude de Q ne doit jamais dépasser le quart de celle de R et sa durée ne doit pas excéder 40 ms. Dans les dérivations précordiales a. q est rencontré en V4, V 5, V6. b. C’est en V 1 que r a l’amplitude la plus faible, son amplitude augmente jusqu’à V4 le plus souvent puis diminue à nouveau, ou évolue de r à R. c. S est plus grand que r en V 1, atteint un maximum en V2 puis s’amenuise. Ainsi de V1 à V6 , on passe de r S à q R S. • Le segment ST ou segment RT quand S n’existe pas.

Dans les dérivations périphériques et dans les précordiales gauches (V4 , V5, V 6) le segment est isolélectrique, on ne s’éloigne que de 1 mm au maximum de la ligne isoléctrique. Dans les précordiales droites V1 , V2 et V3, le segment est parfois un peu surélevé. • L’onde T : onde de repolarisation ventriculaire.

L’onde T est positive sauf : – en aV R, toujours négative ; – en D3, parfois négative ; – en V1 , souvent négative ; – en V2 , assez souvent négative. C’est une onde asymétrique.

Questions à choix multiples 1 Un électrocardiogramme enregistré dans les conditions standard (vitesse papier : 25 mm. s−1) fait apparaître un rythme régulier avec un espace de 12 mm entre deux complexes successifs. La fréquence cardiaque est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

75 pulsations par minute. 100 pulsations par minute. 125 pulsations par minute. autre réponse. 83 pulsations par minute.

181

182

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG 2 Un électrocardiogramme enregistré dans les conditions standard fait apparaître un rythme régulier avec un espace de 10 mm entre deux complexes successifs. La fréquence cardiaque est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

75 pulsations par minute. 100 pulsations par minute. 150 pulsations par minute. 9 000 pulstations par heure. Autre réponse.

3 Le complexe rapide correspondant à l’activité ventriculaire peut revêtir différents aspects. Sur l’enregistrement suivant (Fig. 8.28), la dénomination du complexe est :

+ 0,5 mV 0 - 0,5 mV

Figure 8.28 ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

q R R S. Q R R S. q R crocheté S. Qr R  S. q R Rs.

4 Le complexe rapide correspondant à l’activité ventriculaire peut revêtir différents aspects. Sur l’enregistrement suivant (Fig. 8.29), la dénomination du complexe est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

S Rq R Q . Q Rs R S. Q Rs R S . qr sr s  . Q Rsr  S .

Questions à choix multiples

+ 0,5 mV 0 - 0,5 mV

Figure 8.29

5 Le complexe rapide correspondant à l’activité ventriculaire peut revêtir différents aspects. Quelle est la dénomination du comlexe composé de la succession suivante : • Une onde négative d’amplitude supérieure à 0, 5 mV. • Une onde positive d’amplitude supérieure à 0, 5 mV.

• Une onde descendante dont le point le plus bas est à +0, 3 mV. • Une onde positive dont le point le plus haut est à +0, 8 mV.

• Une onde négative dont le point le plus bas est à −0, 8 mV.

❑ 1. q R R S. ❑ 2. q R R S. ❑ 3. Q R crocheté R S. ❑ 4. Q R crocheté S. ❑ 5. Q Rr  S.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

6 Le complexe rapide correspondant à l’activité ventriculaire peut revêtir différents aspects. Quelle est la dénomination du comlexe composé de la succession suivante : • Une onde négative d’amplitude égale à 0, 4 mV.

• Une onde positive dont le point le plus haut est à +1, 5 mV.

• Une onde négative dont le point le plus bas est à −0, 4 mV. • Une onde positive dont le point le plus haut est à +0, 8 mV.

• Une onde négative dont le point le plus bas est à −0, 4 mV.

❑ 1. q R Rs. ❑ 2. q R crocheté R s. ❑ 3. q Rs R s . ❑ 4. q Rs R  S . ❑ 5. q Rsr s .

183

184

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG 7

(1)

Dans le triangle d’Einthoven (Fig. 8.30) : ❑ 1. (1) correspond à la dérivation D1. ❑ 2. (2) correspond à la dérivation D2.

(2)

(3)

❑ 3. (3) correspond à la dérivation D3. ❑ 4. (2) correspond à la dérivation D3. ❑ 5. (3) correspond à la dérivation D2.

Figure 8.30

8 Une dérivation EC G donne des complexes ventriculaires de type r S R . Cela signifie que : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

La première déflexion est négative. La première déflexion est positive. L’onde R est crochetée. L’amplitude de r est inférieure en valeur absolue à celle de S. S est la première déflexion positive suivant une onde r.

9 Une dérivation EC G donne des complexes ventriculaires de type r S R . Cela signifie que : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

L’amplitude de r est supérieure à 0, 5 mV. L’amplitude de r est inférieure à 0, 5 mV. L’amplitude de R est toujours inférieure à 1 mV. L’amplitude de R est toujours supérieure à 1 mV. L’amplitude de R peut être comprise entre 0, 5 et 1 mV.

10 L’axe électrique d’un cœur dont l’amplitude du complexe ventriculaire est égale à −1, 5 mV sur aV R et +1, 5 mV sur aV L est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

−30 ◦ 0◦ +30◦ +60◦ +90◦

11 L’axe électrique d’un cœur dont l’amplitude du complexe ventriculaire est nulle sur D3 et positive sur D2 est : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

−30 ◦ 0◦ +30◦ +60◦ +90◦

Corrigés

Corrigés Questions à choix multiples 25 12

1 3. 125 B P M , ce qui correspond à 60 ×

25 . 10 4. correspond 9 000 bat/heure : 150 × 60 = 9 000

2 3. 150 B P M , ce qui correspond à 60 × Question

3

4

7

8

9

1.

❑

❑

✗ ❑

❑

❑

2.

❑

❑

✗ ❑

✗ ❑

✗ ❑

3.

❑ ✗

✗ ❑

✗ ❑

❑

❑

4.

❑

❑

❑

✗ ❑

❑

5.

❑

❑

❑

❑

✗ ❑

5 4. R crocheté + 0,5 mV 0 - 0,5 mV Q

S

Figure 8.31

6 1.

R R' + 0,5 mV 0 - 0,5 mV

q

Figure 8.32

s

185

186

Chap. 8. L’activité électrique du cœur - ECG 10 2. aVR

aVL

axe du coeur

Figure 8.33

11 3.

D1 + 30°

D3

D2

Figure 8.34

Le noyau et les transformations nucléaires

Plan Cours 9.1 Le noyau atomique 9.2 Stabilité des noyaux 9.3 La radioactivité 9.4 Les réactions nucléaires provoquées QCM et exercices Corrigés

9

Objectifs • Connaître :

– l’équivalence masse-énergie, – la loi de décroissance

• Savoir :

– écrire l’équation d’une réaction nucléaire et appliquer les lois de conservation. – calculer une énergie de liaison. – utiliser l’expression de la loi de décroissance. – calculer une masse à partir d’une activité et inversement. – calculer l’énergie dégagée par une réaction nucléaire.

• Expliquer le principe de datation

et déterminer l’âge d’un objet.

Cours C’est par la méthode photographique, qu’Henri Becquerel, en 1896, découvrit la radioactivité. Un peu plus tard (1898), Marie Curie, grâce à la méthode quantitative de la chambre d’ionisation, démontra que cette émission spontanée est une propriété atomique du noyau d’uranium. Les applications de la radioactivité sont nombreuses et variées : emploi de traceurs en médecin, biologie et en chimie, datation par les radionucléides...

188

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires

9.1 LE NOYAU ATOMIQUE 9.1.1 Les nucléons Les noyaux atomiques sont des assemblages de nucléons de deux types : les protons et les neutrons. • Les protons : découverts en 1910 par E. Rutherford. Ils portent une charge élé-

mentaite q p = +e. • Les neutrons : découverts en 1932 par J. Chadwick. Ils sont électriquement neutres. Les caractéristiques de ces particules, comparées à celles de l’électron, sont données dans le tableau ci-dessous :

Proton Neutron

Masse au repos

Charge

(en kg)

(en C) −27

1, 6724.10

−27

1, 6747.10

1, 6.10

m me

q |qe |

(Rapport des masses)

(Rapport des charges)

1836

+1

1839

0

−19

0

Le nombre de protons que contient le noyau est appelé nombre de charges, ou numéro atomique ; il est noté Z. Un noyau à Z protons porte la charge + Ze. Le nombre total des nucléons (protons + neutrons) est appelé nombre de masse ; il est noté A. Le nombre de neutrons est donc N = A - Z (N, Z et A sont des entiers). Remarque On pense actuellement que les nucléons sont constitués de particules élémentaires « hypothétiques » de charge électrique fractionnaire : les quarks Il existe six types (ou « saveurs ») de quarks :

Nom charge électrique symbole

bas (down)

haut (up)

étrange (strange)

charme (charm)

1 − e 3 d

2 + e 3 u

1 − e 3 s

2 + e 3 c

beauté (beauty) ou bottom 1 − e 3 b

sommet (top) ou truth 2 + e 3 t

Les nucléons seraient la combinaison de deux types de quarks : quarks up et quarks down. On vérifie ainsi : • pour un proton de charge +e : p = u + u + d ,

• pour un neutron de charge nulle : n = u + d + d .

9.1 Le noyau atomique

9.1.2 Les nucléides L’ensemble des noyaux qui possèdent le même nombre de protons et le même nombre de neutrons est appelé un nucléide. Un nucléide X est noté : Nombre de masse de l’isotope le plus abondant

•

A

Numéro atomique

Z

X

A : nombre de masse ou nombre de nucléons Z : nombre de charge ou nombre de protons

symbole de l’élément chimique

Exemple Un noyau de sodium constitué de 23 nucléons (11 protons et 12 neutrons) sera noté 23 11 Na.

9.1.3 Isotopes, isotones, isobares • On appelle isotopes d’un élément chimique, les nucléides ayant le même nombre

de protons et des nombres de neutrons différents : les nucléides A ZX et isotopes.

A Z

X sont

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

À un même numéro atomique Z correspondent en général plusieurs isotopes. • Sur le diagramme N = f (Z) (Fig. 9.1) :

1. Les nucléides placés sur une même verticale ont le même Z : ce sont des isotopes. 2. Les nucléides placés sur une même horizontale ont le même N = A - Z : ce sont des isotones. 3. Les nucléides placés sur une même perpendiculaire à la première bissectrice ont le même A : ce sont des isobares.

Exemple 16 8O

: 8 protons + 8 neutrons

17 8O

: 8 protons + 9 neutrons

18 8O

: 8 protons + 10 neutrons

sont isotopes.

189

N

=

isotopes

Z

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires

N

190

isotones

Z = 13

A

14 N = 13 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

= 32 iso s re ba

A

=

16

Z

Figure 9.1 • Le nombre de masse A est un entier pour un isotope : sa valeur est voisine de la

masse atomique relative m a .

La masse atomique relative ma d’un élément est la moyenne des masses isotopiques relatives mi , soit  ma = x i mi (9.1) i (xi : pourcentages des différents isotopes)

9.1.4 Masse d’un noyau Le noyau représente pratiquement toute la masse de l’atome (environ 99,75 %). Grâce à la spectrographie de masse on peut mesurer avec précision la masse isotopique relative d’un ion et en déduire par la suite (connaissant le nombre d’électrons de l’ion) la masse du noyau A Z X. Pour exprimer les masses, nous utiliserons l’unité de masse atomique (u.m.a.) de symbole u. L’unité de masse atomique est par convention le douzième de la masse de l’atome isotope 12 du carbone (isotope le plus abondant), soit 1u = Comme mi

ou encore :

  1 mi 126C 12

12  12 , où N A représente le nombre d’Avogadro, alors 6C = NA 1 1u = = 1, 66055.10−24 g NA 1 g = 6, 022.10 23 u

(9.2)

(9.3)

9.1 Le noyau atomique Correspondance entre l’unité de masse atomique et le MeV/c2. La relation d’Einstein s’écrit : E0 = m 0c2 , où E0 représente l’énergie de masse et m 0 la masse au repos. Pour m = u, on obtient : E 0 = uc 2, soit 1 u =

E0 c2

Numériquement : 1 u  931 MeV.c −2

(9.4)

9.1.5 Rayon du noyau Les expériences montrent que les noyaux atomiques sont presques sphériques et que le volume V du noyau est proportionnel au nombre de masse A, soit V = A.V0 (V0 : volume d’un nucléon) 4 3 πr . 3 0 • Pour un noyau supposé sphérique : si r représente son rayon alors son volume V 4 est : V = πr 3. 3 • Pour un nucléon : si r 0 représente son rayon alors son volume V 0 est : V0 =

4 4 Comme V = A.V0 alors πr 3 = A × πr 03 3 3 soit, 1 r = r0 A 3

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

(r0 =1,2 fm)

(9.5)

où 1 fm (femtomètre, anciennement le fermi) = 10 −15 m. Les noyaux atomiques ont des rayons de quelques fermis alors que les atomes ont ra des rayons de quelques angströms (1 Å = 10−10 m), soit donc un rapport :  105 : r l’atome a une structure lacunaire.

9.1.6 Masse volumique du noyau La masse volumique du noyau est : ρ=

m noyau Vnoyau

4 Comme m noyau  m A, où m est la masse d’un nucléon, et Vnoyau = A× πr03, alors : 3 m 3m ρ= 4 3 = 4πr 3 πr

191

192

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires Application numérique : Avec m  1, 67.10−27 kg, r0 = 1, 2 fm = 1, 2.10 −15 m, on trouve ρ  2, 3.1017 kg. m−3 soit une densité d = 2, 3.10 14. La masse volumique du noyau est extrêmement grande et à peu près la même pour tous les noyaux. Remarque De telles densités sont inobservables3àπr l’échelle sauf dans certaines πmacroscopique, 0 0 étoiles (étoiles à neutrons) et les pulsars.

9.2 STABILITÉ DES NOYAUX 9.2.1 Les noyaux stables Le noyau est un assemblage de protons et de neutrons. Les protons, particules de charges positives, se repoussent électriquement et les forces gravitationnelles qui s’exercent entre les nucléons, forces attractives, sont négligeables devant les forces électriques. Pour rendre compte de la cohésion du noyau et l’existence de noyaux stables, il faut donc faire intervenir une autre force qui lie les nucléons. Cette force fut découverte par le physicien japonais Hideki Yukawaen 1935. Elle est attractive et s’exerce entre les nucléons indépendamment de la charge. Elle est de très courte portée (distances de quelques fermis) et extrêmement intense (interaction forte). Cependant, parmi les isotopes possibles d’un élément, certains sont instables et se décomposent spontanément : ce sont des nucléides radioactifs. Parmi les 1500 nucléides connus, environ 275 sont stables. Un nucléide est qualifié de stable s’il ne subit aucune modification au cours du temps et instable (radioactif) s’il est susceptible à tout moment de subir un chanN = A-Z gement. noyaux émetteurs β− La stabilité des noyaux est liée à la proportion des protons et neutrons noyaux émetteurs β+ qu’ils renferment. noyaux stables La figure 9.2 donne le diagramme de stabilité des noyaux. Les noyaux, apparemment stables, se groupent autour d’une courbe régulière qui se confond avec la première bissectrice (pour Z < 30) : ces 0 Z noyaux contiennent à peu près autant Figure 9.2 de protons que de neutrons.

9.2 Stabilité des noyaux

9.2.2 Énergie de liaison La masse d’un noyau est toujours inférieure à la somme des masses de ses nucléons. Le défaut de masse est donné par la relation d’Einstein : El = Dm.c2

(9.6)

(El : énergie de liaison en J, Dm : défaut de masse en kg, c : célérité de la lumière en m.s−1 )

L’énergie de liaison El (ou énergie de cohésion) représente l’énergie qu’il faut fournir à un noyau pour le séparer en ses nucléons. Soit un nucléide A Z X constitué de Z protons et de A - Z neutrons. Déterminons l’énergie qu’il faut fournir à un noyau pour le séparer en Z protons et N = A - Z neutrons. Imaginons le schéma de la figure 9.3.

El

{

A nucléide Z X au repos Z protons et (A-Z) neutrons au repos

Figure 9.3

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Le défaut de masse est :

et

    Dm = m f inale − m initiale = Zm p + (A - Z)mn − m A ZX    2 E l = (Z m p + (A - Z)m n ) − m A ZX c

Pour comparer les noyaux entres eux, il faut déterminer l’énergie moyenne de liaison par nucléon, soit :    2 (Z m p + (A - Z)m n) − m A ZX c El /A = A

(9.7)

(El /A : énergie de liaison par nucléon)

Pour la plupart des nucléides, El /A est proche de 8 MeV/nucléon. La figure 9.4 (courbe d’Aston) représente E l/A en fonction de A : elle montre que les éléments de masse atomique moyenne sont les plus stables.

193

194

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires El /A (MeV/nucléon)

8 fusion

fission

noyaux stables E l < 8 MeV/nucléon

0

20

190

A

Figure 9.4

Remarque En général les noyaux légers et lourds présentent une énergie de liaison par nucléon plus faible que celle des noyaux moyens. Ils ont donc tendance, soit spontanément, soit sous l’action d’une cause extérieure, à se souder (fusion) ou à se scinder (fission).

9.3 LA RADIOACTIVITÉ 9.3.1 Introduction En 1896, Henri Becquerel, physicien français (1852, 1908) et prix Nobel (1902), découvre fortuitement la radioactivité naturelle. Il constata qu’un sel d’uranium posé à l’obscurité sur une plaque photographique enveloppée d’un papier noir provoquait son impression. Pour expliquer l’impression de la plaque, bien qu’elle fut protégée, il supposa l’existence d’émission spontanée et de façon permanente, par le sel d’uranium, d’un rayonnement dont les propriétés ressemblent à celle des rayons de Röntgen (physicien allemand qui découvrit les rayons X en 1895) : ils traversent certains corps opaques. Il donna à ce phénomène nouveau le nom de radioactivité. Un peu plus tard (1898), Marie Curie, grâce à la méthode quantitative de la chambre d’ionisation, démontra que cette émission spontanée est une propriété atomique du noyau d’uranium : l’intensité du rayonnement émis est proportionnelle au nombre d’atomes d’uranium. D’autres mesures révèlent que certains mineraux d’uranium sont plus radioactifs que l’uranium métallique (mesures faites à masses égales) : elle en conclut avec Pierre Curie, que ces échantillons devaient contenir un élément inconnu, beaucoup plus radioactif que l’uranium. Ce fut l’origine de la découverte et de l’isolement du radium.

9.3 La radioactivité

9.3.2 Définition de la radioactivité Certains nucléides instables peuvent se tranformer spontanément au cours du temps : ils se désintègrent en émettant d’autres particules, suivies parfois, d’un rayonnement électromagnétique. De tels nucléides sont dits radioactifs et les transformations correspondantes sont : • des réactions nucléaires spontanées : elles ne nécessitent pas d’intervenant exté-

rieur ; • inéluctables : chaque noyau finira par se désintégrer ; • aléatoires : on ne peut prévoir la date de désintégration d’un noyau ; • indépendantes des paramètres usuels (pression, température,...) ainsi que de la combinaison chimique dont le noyau fait partie.

9.3.3 Rayonnement des corps radioactifs Becquerel, puis Rutherford analysèrent le rayonnement des corps radioactifs en posant sur une plaque photographique du sel d’uranium ou de radium. Le principe est représenté sur la figure 9.5. L’ensemble peut être soumis à un champ magnétique → − → − intense B ou un champ électrique E . α γ

β

+ B

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

échantillon radioactif

β

}

vide

creuset en plomb

a) action d'un champ magnétique sur le rayonnement émis par l'échantillon radioactif.

+ + + + +E + + échantillon radioactif

γ α -

}

vide

creuset en plomb

b) action d'un champ électrique sur le rayonnement émis par l'échantillon radioactif.

Figure 9.5

9.3.4 Lois générales de conservation La radioactivité est un phénomène nucléaire spontané et vérifie, comme toutes les autres réactions nucléaires, les quatre lois de conservation : • conservation de la quantité de mouvement ; • conservation de l’énergie ;

195

196

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires • conservation de la charge électrique ;

• conservation du nombre de nucléons.

9.3.5 Les différentes radioactivités Il existe de nombreux modes de transformations, • les phénomènes primaires : •

1. la radioactivité α : c’est l’émission d’un noyau d’hélium 42 H e, 2. la radioactivité β − : c’est l’émission d’électrons

0 −1e

3. la radioactivité β + : c’est l’émission de positrons +10e 4. la capture électronique C.E. • les phénomènes secondaires :

1. le rayonnement γ : c’est l’émission de photons γ. Ils sont de nature électromagnétique et proviennent de la désexcitation d’un noyau excité, 2. la conversion interne C.I.

La radiactivité α Ce phénomène radioactif est caractéristique des noyaux lourds (A > 200). L’équation-bilan de la désintégration α est : A ZX

−→

A-4 Z-2Y

+ 42He + Eα

(9.8)

L’émission γ Des photons γ sont émis lorsque le noyau fils, obtenu dans un état excité, passe à un autre état excité ou à l’état fondamental. Les photons γ émis sont très énergétiques (énergies de l’ordre du MeV) et leurs énergies sont quantifiées : ils présentent un spectre d’émission discontinu. L’émission γ accompagne généralement les radioactivités α, β− et β +. Exemple La désintégration du bismuth bilan :

212 83 Bi

212 83Bi

fournit du thallium

−→

208 81 Tl

208 81Tl

suivant l’équation-

+ 42 He

L’analyse par action d’un champ magnétique du rayonnement émis montre que les particules α ne possèdent pas la même énergie cinétique. De plus ces énergies sont quantifiées.

9.3 La radioactivité Le diagramme de la figure 9.6 donne les différents niveaux du thallium : Niveaux d'énergie du nucléide 208 81Tl (en MeV) 212 83

Bi

0,62 0,49 0,47 0,33 0,04 0

Figure 9.6 Remarque Dans certains cas, le noyau fils peut rester un certain temps dans son état excité avant de passer à l’état fondamental : ce noyau se trouve dans un état métastable appelé un isomère. Le retour à l’état fondamental est appelé une transformation isomérique.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Les transformations isobariques Elles correspondent aux transformations β −, β + et à la capture électronique. L’instabilité de tels noyaux est due soit à un excès de neutrons, soit à un excès de protons. Les noyaux père et fils sont sur la même ligne isobarique : ils ont le même nombre de masse A mais leur nombre de charge Z diffère d’une unité. ➤ La radioactivité β − La radioactivité β − correspond à la désintégration d’un noyau avec émission d’un électron : elle est caractéristique des noyaux trop riches en neutrons. Tout se passe comme si un neutron se tranforme spontanément en un proton avec émisssion d’un électron et d’un antineutrino (Fig. 9.7). • L’équation-bilan de la désintégration β− est : A ZX

−→

∗ A Z + 1Y

+

0 −1 e

+ν

suivie généralement d’une émission γ : ∗ A Z + 1Y

−→

A Z + 1Y

+γ

(9.9)

197

198

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires 0 -1e

+

N = A-Z

ν

1 n 0

1 p 1

+

0 -1e

−→

Schéma de désintégration : (1)

(1)

N

+ν

N-1

β− (2)

A ZX 0

Z

β− (2)

Z+1

Z

A Z +1 Y

Figure 9.7 • La condition énergétique pour qu’une émission β − se produise est : A M( A Z X) − M(Z + 1Y) > 0

(9.10)

• L’énergie maximale libérée au cours d’une désintégration β − est : (M(A ZX)

Remarques

  2 A c X) − M( Y) Elib(β− ) = M( A Z Z+1

et

M( Z A+ 1Y)

: masses atomiques des éléments

AX Z

(9.11)

et Z A+ 1 Y)

• L’énergie libérée est répartie de façon aléatoire entre les deux particules e − et

ν : le spectre du rayonnement β− est un spectre continu. • Le nouveau nucléide formé Z A+ 1Y se rapproche ainsi de la zone de stabilité (Fig. 9.7). ➤ La radioactivité β +

Elle correspond à la désintégration d’un noyau avec émission d’un positon et d’un neutrino : elle s’observe pour des nucléides artificiels qui présentent un défaut de neutrons par rapport aux nucléides stables. Elle est donc caractéristique des noyaux trop riches en protons (Fig. 9.8). • L’équation-bilan de la désintégration β+ est : A ZX

−→

A ∗ Z - 1Y

+

0 +1e

+ν

(9.12)

Les noyaux fils ZA- 1Y obtenus peuvent être dans un état excité ; la désintégration s’accompagne alors d’une émission γ : ∗ A Z - 1Y

−→

A Z-1Y

+γ

9.3 La radioactivité 0e +1

+

1 1

ν 1 n 0

p

0 + +1e + ν

Schéma de désintégration : (1)

−→

(2)

N+1

β+ (1)

N

A ZX

1,02 MeV

(2)

N = A-Z

A Z -1

0

β+

Z -1

Z

Z

Y

Figure 9.8 • La condition énergétique pour qu’une émission β + se produise est : A M(A Z X) − M(Z - 1 Y) > 2m e

(9.13)

• L’énergie maximale libérée au cours d’une désintégration β + est :

  2 A X) − M( Y) − 2m Elib(β+ ) = M(A c e Z Z-1

A A (M(A Z X) et M(Z - 1 Y) : masses atomiques des éléments Z X et

A Z - 1 Y,

(9.14)

m e : masse d’un électron)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

• De même que pour les β−, l’énergie libérée est répartie de façon aléatoire entre

les deux particules e+ et ν : le spectre du rayonnement β + est un spectre continu. • Les particules β+ ont une durée de vie très courtes. Il peut arriver que le positon émis (l’anti-électron) rencontre un électron du nuage électronique : il se produit alors une annihilation de matière, avec émission d’au moins deux photons : e + + e − −→ γ + γ ➤ La capture électronique (C.E.) Au cours d’une capture électronique, Z varie d’une unité alors que A reste constant. La capture électronique se rapproche de la radioactivité β+ mais avec un processus différent. En effet, le noyau radioactif capte un électron des couches internes (le plus souvent de la couche K) selon la réaction : A ZX

+

0 −1 e

−→

A Z - 1Y

+ν

(9.15)

199

200

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires Exemple : la capture K Elle correspond à la capture d’un électron de la couche K (Fig. 9.9). Cette capture laisse un "trou" (vacance) dans la couche qui sera comblée par un électron du cortège électronique ; la transition électronique sera suivie d’une émission caractéristique d’un rayon X ou d’un électron Auger.

ν e- (K, L, ..)

(1)

e-

+

K (2)

1 p 1

A ZX

0 + -1e

1 n 0

A Z -1

Y

+ν

Figure 9.9 • La condition énergétique de la capture électronique est :

 El A M( A X) − M( Y) > 2 , où El représente l’énergie de liaison du noyau Z Z-1 c (9.16) • L’énergie maximale libérée au cours d’une C.E. est :   2 A c − El . X) − M( Y) (9.17) Elib(K) = M( A Z Z-1 

A A A (M(A Z X) et M( Z - 1 Y) : masses atomiques des éléments Z X et Z - 1 Y)

➤ La conversion interne (C.I.) Suite à une désintégration α ou β, le noyau fils se trouve dans un état excité. Le retour à l’état fondamental est généralement suivi d’un rayonnement γ. Dans certain cas, le noyau fils retrouve cet état fondamental par un autre processus appelé conversion interne. L’énergie excédentaire du noyau fils dans l’état excité est transférée à un des électrons orbitaux. Cet électron est donc expulsé de l’atome avec une énergie cinétique EC telle que : EC = E désexcitation − El (Edésexcitation : correspond à l’énergie du photon γ, El : énergie de laison de l’électron expulsé)

(9.18)

Les deux processus (désexcitation γ et C.I.) existent en concurrence pour un même noyau excité (Fig. 9.10).

9.3 La radioactivité E (en MeV)

Schéma de désintégration :

137 55 Cs 1,180 β− 0,662

(91,5 %) 137Ba 56

(8,5 %) γ (90 %)

C.I. (10 %)

0 137 Ba (état fondamental) 56

Figure 9.10

9.3.6 Décroissance radioactive Loi d’évolution

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Les noyaux instables d’une espèce donnée ne se transmutent pas tous en même temps. Il est impossible de prévoir quand l’un des noyaux se désintégrera. En revanche, chaque noyau est caractérisé par une probabilité définie de désintégration. Si N représente le nombre de noyaux d’une espèce donnée, le nombre de noyaux ayant subi une désintégration pendant la durée Dt est λN Dt , où λ représente la probabilité de désintégration d’un noyau par unité de temps, appelée constante radioactive. La variation d N du nombre N pendant la durée dt s’écrit donc : d N = −λN dt ou −

dN = λN dt

(9.19)

Équation qui s’intègre facilement : t

N = N0 e−λt = N 0 e −τ , soit ln N (t ) = ln N 0 − λt (τ =λ1 , constante de temps en s)

(9.20)

dN repésente le nombre de désintégrations par unité de temps et est noté A, appelé dt activité de l’espèce radioactive. On a donc : dN = λN (9.21) A=− dt −

L’activité est le nombre moyen de désintégrations par seconde. L’unité légale de l’activité est le Becquerel de symbole Bq. Un Becquerel correspond à une désintégration par seconde.

201

202

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires Autre unité d’activité : le curie, c’est celle de 1 gramme de radium, 1 Ci = 3, 7.1010 Bq (Becquerel)

(9.22)

(1 Bq =1 désintégration/seconde)

Le nombre de noyaux d’un échantillon radioactif décroît exponentiellement avec le temps (Fig. 9.11). lnN(t)

N(t) (Nombre de noyaux) lnN 0

N0

N(t) = N 0.e -λt

lnN(t) = lnN 0 - λt

ln( N 0) 2

N0 2

N0 4

τ 0

2T

T

0

t

3T

T

2T

3T

t

Figure 9.11

Période radioactive On appelle période ou demi-vie d’un nucléide radioactif, l’intervalle de temps T (noté aussi t1/2) au bout duquel la moitié des noyaux s’est désintégrée. Si N représente le nombre de noyaux à la date t, au bout d’une durée T le nombre N de noyaux restants est , soit 2 N (t + T ) =

N (t ) 2

Si N0 représente le nombre de noyaux à la date t0 = 0, alors : N (t ) = N0 e−λt et N (t + T ) = N 0e−λ(t +T ) d’où

e−λ(t +T ) 1 = 2 e−λt

soit e −λT =

1

ou T =

ln 2

(9.23)

9.3 La radioactivité Remarque 1 , telle que la probabilité pour que l’atome se désintègre soit égale λ à 1, est appellée durée de vie moyenne du nucléide radioactif : elle correspond à la N0 durée au bout de laquelle le nombre de noyaux restants est , où e représente la e base des logarithmes népériens. La durée τ =

2

λ

9.3.7 Désintégrations successives Considérons la désintégration radioactive A −→ B, où B est lui même radioactif et le produit de désintégration est C. Posons : λA et λ B : constantes radioactives respectives de A et B. N A0 : nombre de noyaux de l’espèce A à la date t0 = 0. N A, N B et NC : nombre de noyaux des espèces A, B et C à la date t. Schématisons la situation par : A N A0 NA

à l’instant t0 = 0 à l’instant t • Loi de disparition de A :

−

λA

−→

B 0 NB

λB

−→

C 0 NC

d NA = λAN A dt

(9.24)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Équation différentielle qui s’intègre facilement : N A = N A0e−λA t

(9.25)

• Loi d’évolution de B.

B se forme suite à la désintégration de A et se désintègre en C , d’où : dNB = soit

−λ B N Bdt + λ A N A dt Nombre de noyaux de B désintégrés Nombre de noyaux de A désintégrés d NB + λB N B = λ A NA dt

(9.26)

(9.27)

Comme N A = N A0 e−λ A t , alors : d NB

+ λ B N B = λ AN A0 e−λA t

(9.28)

203

204

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires La solution est : NB =

 λ A N A0  −λ A t − e −λB t e λB − λ A

(9.29)

• Écrivons la loi d’évolution de C.

À tout instant, on a : NA + N B + NC = N A0 (loi de conservation). Donc,   λB λ A N C = N A0 dt e −λ At + e−λ B t 1− λ B − λA λB − λ A

(9.30)

La figure 9.12 donne l’évolution des nombres de noyaux de A, B et C. (Nombre de noyaux) NA0 NC NA

NB

0

t

Figure 9.12 Cas particuliers : • Si λ A  λ B alors λ B est négligeable devant λ A, et on a rapidement N B  N A0 .

• Si λ A  λ B alors λ A est négligeable devant λ B et e−λ B t tend rapidement vers

zéro. La relation 9.29 devient N B =

λA NA , soit : λB

λ NB T = A = B NA TA λB (un équilibre radioactif est alors établi et

NB NA

(9.31)

est indépendant du temps)

9.3.8 Les familles radioactives Il existe trois familles radioactives naturelles : • Famille de l’uranium : l’ancêtre est l’uranium

238 92U.

Elle comprend 17 éléments dont le radium et le polonium, dernier élément actif de la série qui, émettant un noyau d’hélium 42He, engendre un noyau de plomb stable 206 82Pb.

9.3 La radioactivité • Famille du thorium : l’ancêtre est le thorium 232 90Th.

Elle comprend 12 éléments et aboutit à l’isotope du plomb 208 82Pb. 235 • Famille de l’actinium : l’ancêtre est l’uranium 92 U, aboutit à 207 82 Pb.

9.3.9 Quelques applications de la radioactivité La datation 82

De toutes les méthodes radiochronologiques, la plus connue est la datation par le carbone 14. Dans la haute atmosphère, l’action des neutrons dus au rayonnement cosmique sur l’azote 14N engendre du carbone 14C selon la réaction : 1 0n

+

14 7N

−→

14 6C

+ 11 H ; réaction (1)

Aussitôt formé, le carbone 146C s’oxyde avec l’oxygène pour donner du CO 2 qui se mélange avec le reste de l’atmosphère et participe ainsi au cycle de la matière vivante. Le carbone 146C est radioactif β − : 14 6C

−→

14 7N

+

0 -1 e ;

réaction (2)

C’est le chimiste et physicien Américain William Frank Libby (prix Nobel en 1960) qui a montré qu’un équilibre s’établit entre sa production par la réaction (1) et sa disparition (désintégration) par la réaction (2). Le rapport carbone 14 / carbone 12 est à peu près constant, soit :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

N( 14C) r0 = 12 = ctse = 10 −12 N( C) Un organisme vivant échange du carbone (sous forme de CO2 ) avec l’atmosphère. Ainsi cet organisme contient du carbone avec une proportion : N( 14 C) r = 12 N( C) À sa mort, il n’y a plus d’échange de carbone avec l’atmosphère : la quantité de carbone 14 diminue, donc r diminue. Comme N( 12 C) reste constant, alors r suit la même loi de décroissance que N(14 C), soit : r (t ) = r0 e−λt N(14C) De la mesure de r (t ) = 12 , on peut donc déduire l’âge de l’organisme. N( C)

205

206

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires Exemple La mesure de l’activité d’un morceau prélevé d’une momie donne r = 6.10 −13. De r (t ) = r 0e−λt , on déduit t, soit : 1 r t = − ln λ r0 La constante radioactive du carbone 14 est : λ = 1, 24.10 −4 an−1 . L’âge de la momie est donc : 1 6.10 −13 ln = 4 120 ans t=− 1, 24.10 −4 10 −12

En médecine : emploi des traceurs. On administre au patient une petite quantité d’un isotope radioactif afin de suivre le métabolisme de l’atome correspondant. Un tissu sain peut être différencié d’un tissu malade par variation de la vitesse de fixation d’un élément qui lui est spécifique. La scintigraphie (voir chapitre 15) utilise une petite quantité de radioéléments qui sont injectés par voie veineuse et se fixent préférentiellement sur l’organe à étudier. L’isotope émet des rayonnements, recueillis et analysés par une gamma-caméra couplée à un ordinateur. Cette technique très sensible est utilisée dans l’exploration de la thyroïde, du squelette (scintigraphie osseuse) ou en cardiologie pour évaluer le fonctionnement du cœur (tomoscintigraphie myocardique).

9.4 LES RÉACTIONS NUCLÉAIRES PROVOQUÉES Ces réactions sont obtenues par choc de particules projectiles sur des noyaux cibles. Les particules projectiles sont le plus souvent : • des protons,

• des neutrons, • des noyaux légers (noyaux de deutérium, noyaux d’hélium,...).

9.4.1 Exemples de réactions nucléaires La première réaction nucléaire provoquée, réalisée au laboratoire, fut celle observée en 1919 par le physicien anglais Ernest Rutherford. Il bombarda un gaz d’azote par des noyaux d’hélium et le bilan de la réaction est : 14 7N

+

4 2 He

−→

17 8O

+

1 1H

(Réaction par choc de noyaux d’hélium)

Un peu plus tard Rutherford établit que des réactions du même type peuvent se produire entre des noyaux d’hélium et des noyaux légers. Ainsi, en prenant pour cible une feuille d’aluminium, il observa : 27 13Al

+

4 2 He

−→

30 14Si

+ 11H

9.4 Les réactions nucléaires provoquées

9.4.2 Réactions de fission Les découvertes de la radioactivité artificielle et des réactions nucléaires provoquées par chocs de neutrons ont conduit à celle de la fission. La fission est la partition d’un noyau massif, sous l’impact d’un neutron, en noyaux plus petits, appelés fragments de fission. Quel que soit le mode de fission, la réaction s’accompagne d’un dégagement d’éner−→ gie de l’ordre de 200 MeV dû à la perte de masse et libère des neutrons rapides, deux ou trois en général. L’énergie libérée se trouve en grande partie sous forme d’énergie cinétique des noyaux produits. En effet, les noyaux « fragments » qui, une fois séparés l’un de l’autre, se repoussent par suite de leur charge positive et acquièrent ainsi une énergie cinétique de recul. Exemples de réactions de fission : 1. 10 n + 235 92 U−→

94 38Sr

+ 140 54Xe +

2. 10 n + 235 92 U−→

95 39Y

+ 138 53 I +

210n

+ énergie.

(neutrons rapides)

3 10n

+ énergie.

(neutrons rapides)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Remarque La fission consomme un neutron mais en produit plus de deux qui sont disponibles pour de nouvelles fissions. Il peut donc s’amorcer une réaction en chaîne qui peut se propager dans toute la masse de manière explosive : c’est la bombe atomique. Mais si l’on parvient à modérer, à freiner cette propagation, il est possible de construire des piles atomiques.

9.4.3 Réactions de fusion Une réaction de fusion est la réunion de deux noyaux légers, de faible énergie de liaison, pour former des noyaux plus lourds, d’énergie de liaison par nucléon plus élevée. Pour réaliser la fusion de deux noyaux, il faut vaincre la répulsion coulombienne pour les mettre en contact : il faut donc fournir de l’énergie cinétique, de l’ordre 100 keV, par élévation de température. Cela implique d’opérer à des températures de l’ordre de 108 K pour obtenir une agitation thermique suffisante. À de telles températures, la matière est à l’état de plasma : mélange en équilibre de noyaux, chargés positivement, et d’électrons. Exemples de réactions de fusion : 1. 2.

2 1H 7 3 Li

+ 31H−→ 42 He + 10 n + énergie. + 21 H−→ 2 42 He + 10n + énergie.

207

208

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires

Exercices 1 Le radium 226 se désintègre en émettant un noyau d’helium, selon la réaction : 226 88 Ra

−→

222 Z Rn

+

A 2 He

+ Eα

La période radioactive du radium est T = 1 621 ans. 1. Déterminer A et Z. Sachant que le noyau fils est à l’état excité, quelle émission accompagne sa désexcitation ? 2. Le radium 226 88 Ra est un élément radioactif qui, par désintégrations successives de type α et β−, conduit à un isotope stable du plomb 206 82 Pb. Déterminer le nombre de désintégrations de type α et celui de type β− pour 206 le passage du nucléide 226 88Ra au nucléide 82 Pb. 3. Soit N (t ) la population d’un échantillon de radium 226 à la date t et N0 la population à t = 0. Établir l’expression de la loi d’évolution de N (t ). 4. Évaluer l’activité d’un gramme de radium 226.

2 Pour traiter certaines maladies, un praticien utilise une source contenant du cobalt, élément radioactif. La masse de la source est m 0 = 10 mg.

À la date t = 0, la source ne contient que 1% d’éléments radioactifs. 1. Déterminer, à l’instant t = 0, le nombre d’atomes radioactifs contenus dans la source. 2. Quel est le nombre d’atomes radioactifs restant au bout de 5 ans ? puis au bout de 35 ans ? 3. Au bout de combien d’années ce praticien pourra-t-il se servir de cette source pour soigner ses patients ? On donne : • Masse molaire du cobalt : M = 60 g. mol−1 ,

• nombre d’Avogadro : NA = 6, 02.1023 mol−1, • période ou demi-vie du cobalt : T = 5 ans.

• La source sera utilisable tant que le nombre de noyaux radioactifs contenus

dans la source est supérieur ou égale à 10% du nombre initial.

Exercices 3 (Concours PH1. Poitiers, juin 1996) Le césium 137 (137 55 Cs), après ingestion, se dissémine dans tout le corps avec une prédilection pour la moelle des os, accroissant ainsi les risques de cancers et de leucémies. Ce radioélément est un émetteur β− qui se transforme en baryum 137. 1. Écrire l’équation de désintégration du césium 137 en présentant tous les produits formés et toutes les particules émises. 2. Calculer en MeV l’énergie libérée par la désintégration d’un noyau de césium 137 3. Le césium 137 se transforme en baryum 137 soit directement, soit par passage par un état intermédiaire qui est un état excité comme l’indique la figure 9.13. E ( en keV) 137 55 Cs

622

état excité

état fondamental

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

0

Figure 9.13 a) Quel phénomène accompagne le passage de l’état excité à l’état fondamental ? b) Donner toutes les caractéristiques de la particule ou du rayonnement émis lors de ce passage. On donne : masse du noyau de 137 Ba : 136, 8750 u ; masse du noyau de 137 Cs : 136, 8768 u ; masse de l’électron : me = 5, 5.10 −4 u ; si δm = 1 u, on a δ m .c2 = 931, 5 MeV (c : célérité de la lumière) ; constante de Planck : h = 6, 63.10−34 J. s ; 1 eV = 1, 6.10 −19 J.

209

210

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires 4 (d’après sujet national, septembre 1988) Dans cet exercice, les données suivantes seront utiles : noyau masse (en u)

7 3 Li

1 1H

1 0n

4 2 He

14 7N

17 8O

7,0158

1,0073

1,0087

4,0015

14,0031

16,9991

1 u = 931 MeV.c −2 1. On considère le noyau de lithium : 73 Li. Définir l’énergie de liaison (ou de cohésion) de ce noyau, puis déterminer sa valeur en MeV. 2. Des noyaux de lithium 73Li sont bombardés par des protons. On obtient seulement des particules α. a) Écrire l’équation de la réaction nucléaire en énonçant les lois utilisées. b) On détecte, en plus des particules α, un rayonnement γ. Expliquer l’origine de ce rayonnement. c) Déterminer l’énergie libérée par la réaction nucléaire, en précisant sous quelle forme apparaît cette énergie. 3. Les particules α précédentes sont utilisées pour transformer des noyaux d’azote 147N, immobiles, en des noyaux d’oxygène 178 O. a) Écrire l’équation de cette réaction, en précisant quel autre noyau apparaît. b) Déterminer la variation de masse au cours de cette réaction. Conclure.

5 (Concours PH1. Poitiers) L’iode 131 (131 53 I) est ingéré lors de la consommation de végétaux contaminés ou de lait d’animaux ayant absorbé ces végétaux. L’iode passe ensuite dans le sang et se fixe sur la thyroïde. 1. Après l’accident de Tchernobyl, un litre de lait a présenté une activité, due à l’iode 131, de 440 Bq. Calculer le nombre de noyaux de 131 53 I présents dans 131 ce litre de lait sachant que la période radioactive de 53I est de 8,1 jours. 2. Une personne absorbe un demi-litre de ce lait contaminé. Les noyaux d’iode 131 disparaissent par transformation radioactive avec une période physique TP et par élimination métabolique avec une période biologique TB. a) Démontrer qu’en fait l’iode 131 disparaît avec une période effective Te telle que : 1 1 1 = + . Te TP T B b) Calculer la période effective d’élimination de l’iode 131 sachant que TB = 180 h.

Exercices 3. Calculer le temps au bout duquel le nombre de noyaux radioactifs 131 présents dans l’organisme de la personne n’est plus que le centième du nombre initial de noyaux absorbés.

6 On injecte dans le sang d’un individu un volume v1 d’une solution contenant, au moment de l’injection, n1 moles de sodium 21 Na par litre. Au bout d’une durée τ après l’injection, un volume v2 de sang est prélevé au patient. Un dosage montre qu’il reste n 2 moles de sodium 21 Na par litre.

1. Donner l’expression littérale du volume sanguin v (en litres) du patient en le considérant comme un système monocompartimental. 2. Application numérique : • constante radioactive du sodium 21 Na : λ = 1, 28.10−5 s−1 , • v1 = 10 cm3 , v2 = 10 cm 3 ,

• n1 = 1, 0.10 −3 mol, n2 = 1, 6 .10−8 mol, • τ = 5h .

7 Principe de la datation par le carbone 14 Le carbone 14 est radioactif β− avec une période de 5730 ans. 1. Écrire l’équation de la réaction nucléaire relative à la désintégration radioactive du carbone 14. 2. Présenter en quelques lignes une utilisation du carbone 14.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

3. Quelle est l’activité en curie d’un gramme de carbone 14 ? 4. Le carbone 14 est assimilé comme le carbone 12 (nucléide stable) par les plantes au cours de la synthèse chlorophyllienne. Pendant toute leur vie, la proportion de carbone 14 reste très stable dans les plantes. Dans un échantillon de bois vivant, on détecte un atome de carbone 14 pour 1012 atomes N(14 C) de carbone 12, soit 12 = 10−12 . N( C) Dans un morceau ancien (bois mort), on constate qu’il n’y a plus qu’un atome de carbone pour 10, 5.1012 atomes de carbone 12. Déterminer l’âge de ce morceau de bois.

8 Le molybdène 99 42Mo de période physique T1 = 67 h donne après désintégra99 tion β− du technétium 99m Tc) dont la période 43 Tc (état excité métastable du physique est T2 = 6 h Le technétium 99m Tc, par transformation isomérique, aboutit au technétium 99 Tc stable.

1. Donner le schéma de filiation. 2. Calculer l’énergie maximale libérée au cours de la désintégration β− .

211

212

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires 3. Déterminer l’expression littérale du temps tmax correspondant à l’instant où l’activité du 99m 43 Tc est maximale. Quelle est la signification physique de tmax ? Calculer tmax. On donne : • masses atomiques en u.m.a. 99 99 42Mo : 98, 130362, 43Tc : 98, 128902. 99 • Énergie de transition : 99m 43 Tc−→ 43Tc, E = 140 keV. • 1 u = 931, 5 MeV.c −2.

9 L’iode 125 est obtenu à partir du xenon 125 selon la réaction : 125 54 Xe

−→

125 53 I

0 −1 e

−→

+ +10 e + énergie

La période radioactive est T1 = 18 h. L’iode 125 se décompose en tellure par capture électronique selon l’équation : 125 53I

+

125 52 Te

+ énergie

La période radioactive est T2 = 60 jours. 1. Présenter en quelques lignes la capture électronique. 2. On dispose, à la date t = 0, d’un échantillon contenant uniquement une quantité N0 de xenon 125. Établir à partir de quelle date et pour quelle durée τ l’échantillon renfermera moins de 90% d’iode 125.

Questions à choix multiples 1 Le radium 226 88 Ra est un élément radioactif qui, par désintégrations successives de type α et β− , conduit à un isotope stable du plomb 206 82Pb On donne : • masses atomiques en u.m.a. : 226 88 Ra

: 226, 0960, 222 86Rn : 222, 0869, m n = 1, 008665, m p = 1, 007276

4 2 He

: 4, 0039,

• 1 u = 931, 5 MeV.c−2 .

• nombre d’Avogadro : N A = 6, 02.10 23 mol−1. • Période du radium 226 88Ra : T = 1620 ans.

❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Après une seule désintégration α, on aboutit au radon. L’énergie dégagée par la réaction précédente est de 5, 22 MeV Pour aboutir au plomb, il faut 5 désintégrations β− et 3 désintégrations α. L’énergie de liaison du radium 226 est de 1621 MeV L’activité d’un gramme de radium est d’environ 3, 6.1010 Bq.

Questions à choix multiples 2 Le nucléide teur α.

211 85 At,

un des isotopes radioactifs de l’astate, est un élément émet-

❑ 1. Le noyau fils possède 207 nucléons. ❑ 2. Le nombre de noyaux radioactifs contenus dans un échantillon de 10 μg est de 2, 85.1016. 3. À une date origine t = 0, on dispose d’un échantillon contenant N0 noyaux de 211 85 At radioactifs ; à une date t on détermine le nombre N de noyaux non désintégrés. On obtient le tableau suivant : t (en h) 0 2 4 6 10 15 20 N 1, 0.10 18 8, 2.10 17 6, 8.1017 5, 6.1017 3, 8.10 17 2, 3.1017 1, 4.1017 ❑ a) La période radioactive de 211 85 At est de 7, 13 h. ❑ b) L’activité de l’échantillon à la date t = 10 h est de 2, 7.1013 Bq. ❑ c) Au bout de 3 jours il ne restera que 5, 1.10 15 noyaux.

3 Le manganèse 54 25Mn se désintègre par capture électronique et son noyau évolue

vers un niveau excité du chrome 54 Cr à 835 keV puis, par désexcitation γ, on aboutit au chrome stable. On donne : • masses atomiques en u.m.a. : 54 25Mn

: 53, 94036,

54 24 Cr −2

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

• 1 u = 931, 5 MeV.c

: 53, 93888, m n = 1, 008665, m p = 1, 007276.

.

❑ 1. L’énergie de liaison par nucléon du manganèse est 8, 50 MeV/nucléon. ❑ 2. Le schéma de désintégration du manganèse est (Fig. 14) : Schéma de désintégration : 54 25 Mn (1) C.E. 54 * Cr 24 835 keV

54 Cr 24

(2)

Figure 9.14 ❑ 3. La réaction de désintégration du manganèse s’écrit : 0 −1 e

+

54 25 Mn

−→

54 24 Cr

213

214

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires ❑ 4. Un photon visible est émis lors de la désexcitation du noyau fils ❑ 5. La longueur d’onde du photon précédent vaut 1, 48 nm − 4 Le sodium 24 11 Na est radioactif, émetteur β . À la date t = 0 (origine des dates),

on dispose d’un échantillon de masse m = 4, 0 mg. Données : • Numéro atomique de quelques éléments : −→ Élément Z

Fluor 9

Néon 10

Sodium 11

Magnésium 12

Aluminium 13

• Période radioactive du sodium 24 11Na : T = 11 h 48 min, • masse de 24 11 Na : 23, 990 96 u,

• masse du noyau fils : 23, 985 04 u,

• masse de l’électron : 5, 486.10−4 u.

❑ 1. L’équation bilan de la désintégration de 24 11Na est : 24 11 Na

−→

24 12Mg

+ β− + ν

❑ 2. Cette désintégration s’accompagne aussi d’émission de photons γ. ❑ 3. Un des photons γ émis possède une énergie de 2, 758 MeV. La longueur d’onde de ce photon est λ = 4, 5.10−13 m ❑ 4. Après une durée de 44 h24 min, il ne restera que 0, 5 mg de cet échantillon. ❑ 5. L’énergie dégagée lors d’une désintégration est de 5 MeV.

5 Le nucléide

60 27Co,

utilisé en radiothérapie, se désintègre spontanément en donnant l’isotope 60 du nickel (Ni). + ❑ 1. Le nucléide 60 27 Co est un émetteur β . ❑ 2. La masse d’un échantillon de cobalt 60 pur ayant pour activité A0 = 1, 0.1010 Bq est 2, 4.10 −4 g. ❑ 3. L’activité de l’échantillon au bout de 1 an est 7, 9.109 Bq. 4. La désintégration d’un noyau de cobalt s’accompagne de l’émission de photons d’énergie 1, 33 MeV et 1, 17 MeV. Lors d’une radiothérapie, seuls les rayons γ sont utilisés. Leur puissance est de 100 μW. ❑ a) Les rayons γ ont des fréquences de l’ordre de 1015 Hz. ❑ b) L’activité de la source utilisée est de 2, 5.10 8 Bq

Données : Célérité de la lumière : c = 3.108 m.s−1 .

Questions à choix multiples Unité de masse atomique : 1 u = 1, 67.10−27 kg. 1 eV = 1, 6.10 −19 J. Numéros atomiques : Co : Z = 27 ; Ni : Z = 28. Période du nucléide 60 27Co : 5,3 ans. Constante d’Avogadro : NA = 6, 02.1023 mol−1 .

6 Par une réaction de type (n,γ ) utilisant une cible constituée de Chrome 50 stable (50 Cr), on obtient un radioélément X. Caractériser le radioélément. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Le nombre de neutrons de X est 30. Le nombre de protons de la cible et de X sont les mêmes. Le nombre de proton de X est 25. X est du Chrome 51. X est du Manganèse 51.

7 Obtention du radioélément X

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ 1. La particule incidente doit être accélérée pour franchir la barrière de potentiel. ❑ 2. La cible peut être placée dans un réacteur nucléaire. ❑ 3. La cible doit être soumise à un flux de neutrons. ❑ 4. Un cyclotron doit être disponible à proximité immédiate. ❑ 5. Le principe des générateurs isotopiques appelés « vaches » repose sur ce type de réaction.

8 Le radioélément X obtenu, de masse égale à 50,944768 u.m.a., se désintègre pour donner un élément Y stable de numéro atomique 23 et de masse égale à 50,943962 u.m.a.. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4.

Dans la représentation N = f (Z), X est à gauche de la zone de stabilité. La réaction X −→ Y s’accompagne de l’émission d’une particule β− . La réaction X −→ Y est une transformation isobarique. La réaction X −→ Y a comme conséquence l’émission de 2 photons gamma d’annihilation. ❑ 5. La réaction X −→ Y n’est possible que par capture électronique.

9 Lois de la radioactivité Une activité de 1 Curie correspond à 3, 7.1010 Bq. La période de X est de 27,7 jours.

215

216

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires ❑ 1. La constante radioactive précédée du signe moins représente la probabilité de désintégration par unité de temps. ❑ 2. Il est nécessaire de séparer le radioélément X de la cible pour mettre en évidence sa radioactivité. ❑ 3. Le temps nécessaire pour que 99, 9% des atomes de X se désintègrent est de l’ordre de 665 heures. ❑ 4. La masse de X correspondant à une activité de 1 Curie est d’environ 10 μg. ❑ 5. La constante radioactive de X est d’environ 30 ns−1 .

Corrigés Exercices 1 1. L’équation-bilan de la réaction de désintégration α est : 226 88 Ra

−→

222 ZRn

+

A 2 He

+ Eα

Au cours d’une réaction nucléaire, il y a conservation du nombre de masse et conservation du nombre de charge, donc : ⎧ ⎧ ⎨ 226 = 222 + A ⎨ A=4 et , soit et ⎩ ⎩ 88 = Z + 2 Z = 86 La désexcitation du noyau fils

222 86Rn

s’accompagne d’une émission γ.

2. S’il n’est pas utile de connaître l’ordre des transformations, le bilan global de la filiation en considérant une désintégration fictive au cours de laquelle toutes les particules sont émises est : 226 206 4 0 88 Ra −→ 82Pb + x 2 He + y−1e (x désintégrations α et y désintégrations β− )

D’après les lois de conservation, on a : ⎧ ⎧ 226 = 206 + 4 x ⎨ ⎨ x=5 et , soit et ⎩ ⎩ 88 = 82 + 2x − y y=4 Il y a eu 5 désintégrations α et 4 désintégrations β −.

Corrigés 3. Si N (t ) représente le nombre de noyaux d’un élément radioactif non désintégrés présent à l’instant t, alors à l’instant t + dt , ce nombre sera N + d N où d N représente le nombre de noyaux désintégrés durant dt. dN Par suite, comme d N < 0 : d N = −λN dt et = −λdt. N Intégrons :  N  t dN = −λdt N N0 0 par suite :

ln

N = −λt ou N = N0e −λt N0

4. L’activité est le nombre moyen de désintégrations par seconde, soit : A=−

dN = λN dt

Déterminons le nombre de noyaux contenus dans un gramme de radium. Le nombre de noyaux d’un échantillon de masse m et de masse molaire M est :   N : nombre de noyaux   m : masse de l’échantillon en g m N = N A  en g. mol−1 M  M : masse molaire de l’échantillon  N A : nombre d’Avogadro en mol−1 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Ainsi, N ( 226 88 Ra) =

m

M(

226 88Ra)

N A.

1 ×6, 022.10 23  2, 664.1021 noyaux. 226, 025 ln 2 La constante radioactive λ est : λ = . T Comme T = 1621 ans, alors λ = 1, 355.10−11 s−1. Par suite : A = 2, 664.1021 × 1, 355.10 −11  3, 6.1010 Bq. Cette activité correspond environ à 1 Ci : c’est celle de 1 g de radium 226. Numériquement : N( 226 88Ra) =

Complément : dynamique de la réaction

226 88Ra

1. Déterminer l’énergie libérée par la réaction. On donne : masse du noyau 226 88 Ra : 226, 0960 u ; 222 masse du noyau 86 Rn : 222, 0869 u ;

−→

222 86 Rn

+ 42He + Eα.

217

218

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires masse du noyau 42 He : 4, 0039 u ; 1 u = 931 MeV.c −2 = 1, 66055.10−24 g ; 1 eV = 1, 6.10−19 J. 2. En utilisant la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie, déterminer l’énergie cinétique de la particule α puis en déduire sa vitesse. Corrigé du complément 1. L’énergie libérée par la réaction nucléaire est donnée par la relation d’Einstein : Elibérée = Dm.c 2   222 4 où Dm = m ( 226 Ra) − m( Rn) + m( He) 88 86 2 Soit numériquement : Dm = 5, 2.10−3 u. Comme 1 u = 931 MeV.c−2, alors Elibérée = 4, 84 MeV.

2. Déterminons les énergies cinétiques du noyau fils

222 86Rn

et de la particule α.

➤ Conservation de la quantité de mouvement Le noyau père

226 88 Ra

étant repos. 226 88 Ra

  

(état initial) − → − p→= 0

−→

Ra

222 86 Rn



+ 42 He  

(état final) − − → p→ Rn + p He

→ − p→ État initial : − Ra = 0 . −→ p→ État final : − Rn + p He.

→ −→ − p→ La conservation du vecteur quantité de mouvement donne : − Rn + pHe = 0 . D’où : → − → − v→ m Rn− Rn + m α vα = 0 soit : vRn =

mα vα m Rn

Numériquement : vRn = 1, 8.10−2vα La vitesse de recul du noyau fils est très faible devant celle de la particule α. ➤ Conservation de l’énergie L’énergie libérée par la réaction nucléaire se trouve sous forme d’énergie cinétique des produits de la réaction, soit :

1 ECRn = m Rn v2Rn 2

Elibérée = ECRn + ECα  2 1 1 mα mα mα = m Rn × m α vα2 = ECα vα = m Rn m Rn 2 m Rn 2

Corrigés Ainsi Elibérée

m = α ECα + E Cα = m Rn

Par suite E Cα =

  mα 1+ ECα m Rn

Elibérée  Elibérée α 1+ m mRn

 formed’énergie cinétique, la quasi-totalité Les particules α emportent, sous × E de El’énergie libérée. Rn Rn Rn Application numérique : 4, 84 ECα =  4, 75 MeV et ECRn = 4, 84 − 4, 75 = 0, 09 MeV. 1 + 1, 8.10 −2 Vitesse des particules α. L’énergie cinétique des particules α est : ECα = D’où : vα =

1 m αvα2 2



2

E Cα mα

Soit numériquement :

vα =



4, 75 × 10 6 × 1, 6.10−19 2×  1, 5.107 m. s−1 −27 4, 0039 × 1, 66.10

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

2 1. Le nombre total de noyaux (ou d’atomes) contenus dans la source, à la date t = 0, est :

N 0,tot. =

m0 NA M

10.10 −3 × 6, 02.1023 = 1, 0.1020 noyaux. 60 Le nombre de noyaux radioactifs N0 ne représente que 1 % du nombre de noyaux total N0,tot. , il s’ensuit donc : N 0 = 1, 0.10 18 noyaux. soit numériquement, N0,tot. =

2. D’après la loi de décroissance, N (t ) = N0e −λt . ln 2 t t ln 2 Comme λ = , alors N (t ) = N 0e− T t = N 0e − T ln 2 = N 0 × 2 − T . T Numériquement : • pour t 1 = 5 ans, N (t1 ) = 1, 0.1018 × 2−1 = 5, 0.1017 noyaux,

• pour t 2 = 35 ans, N (t2 ) = 1, 0.1018 × 2 −7 = 7, 8 .1015 noyaux,

219

220

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires 3. 10 % du nombre initial N0 correspondent à N1 = 1, 0.1017 noyaux. Déterminons la date t au bout de laquelle il ne reste que 10 % de noyaux radioactifs. N (t ) N (t ) = e−λt soit ln Comme N (t ) = N0 e−λt , alors = −λt N0 N0 N0 N0 1 T = Ou encore t = ln × ln . λ N (t ) ln 2 N ( t ) • × 5 Numériquement : t = × ln 10  16, 6 années. ln 2

3 1. Le Césium 137 est émetteur β− ; l’équation de désintégration s’écrit : 137 55

Cs −→

A ∗ ZY

+

0 −1 e

+ ν

Les lois de conservation du nombre de masse et du nombre de charge permettent d’écrire : ⎧ ⎧ ⎨ 137 = A + 0 ⎨ A = 137 et d’où et ⎩ ⎩ 55 = Z − 1 Z = 56 ∗ Le noyau fils est donc le Baryum 137 56 Ba , noyau qui peut passer par un état excité. Au cours de la transformation, il y a émission d’un électron e− , d’un antineutrino et éventuellement de l’émission d’un photon γ (photon émis suite ∗ à la désexcitation du noyau fils 137 56 Ba ).

2. L’énergie libérée est donnée par la relation :   2 137 Elibérée = M(137 55 Cs) − M( 56 Ba) .c Calculons la perte de masse Dm :

Dm = 136, 8768 − 136, 8750 = 1, 80.10−3 u. Comme 1 u correspond à une énergie de 931, 5 MeV, alors : Elibérée = 1, 80.10−3 × 931, 5  1, 68 MeV 3. a) Le phénomène qui accompagne le passage de l’état excité à l’état fondamental est l’émission d’un photon γ. b) L’énergie d’un photon est donnée par : c c E = hν = h , soit λ = h E λ Le diagramme énergétique indique une énergie de 622 keV.

Corrigés Numériquement : λ = 6, 63.10

−34

3.108 ×  2, 0.10−12 m, soit λ = 2, 0 pm. 3 −19 622 × 10 ×, 6.10

4 1. L’énergie de liaison El (ou énergie de cohésion) représente l’énergie qu’il faut fournir à un noyau pour le séparer en ses nucléons. On a :   2 El = (Zm p + (A − Z)m n) − m (A Z X) c , soit numériquement :

El = (3 × 1, 0073 + 4 × 1, 0087 − 7, 0158) × 931 = 38, 078 MeV.

L’énergie moyenne de liaison par nucléon est : El/A = 5, 44 MeV/nucléon.

Remarque E l/A est inférieure à 8 MeV/nucléon : le noyau de lithium 73Li est un noyau instable.

2. a) L’équation-bilan de la réaction s’écrit : 7 3 Li

+ 11 H −→ x42 He

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Au cours d’une réaction nucléaire, il y a : ⎧ conservation de la quantité de mouvement, ⎪ ⎪ ⎨ conservation de l’énergie, conservation de la charge électrique, ⎪ ⎪ ⎩ conservation du nombre nucléons.

La conservation du nombre de charge et du nombre de masse donne : ⎧ ⎨ 7 + 1 = 4x et , soit x = 2 ⎩ 3 + 1 = 2x Il y a eu 2 noyaux α formés.

b) Les noyaux α formés sont dans un état excité. Leur désexcitation s’accompagne d’une émission γ. c) L’énergie libérée par la réaction nucléaire est donnée par la relation d’Einstein : 2 Eli ber´ ee ´ = Dm .c où Dm représente le défaut de masse, soit :   Dm = m( 73Li) + m(11H) − 2m (42He) (masse initiale)

(masse finale)

221

222

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires Numériquement : Elibérée = ((7, 0158 + 1, 0073) − 2 × 4, 0015) × 931  74, 6 MeV. L’énergie libérée par la réaction est emportée par les noyaux d’hélium sous forme d’énergie cinétique. 3. a) L’équation-bilan de cette réaction est :   14 4 17 7 N + 2 He −→ 8 O +

A ZX

La conservation du nombre de charge et du nombre de masse donne : A = 1 et Z = 1, soit 14 4 17 1 7 N + 2 He −→ 8 O + 1 H

b) La variation de masse est :

Dm = (14, 0031 + 4, 0015) − (16, 9991 + 1, 0073) = −1, 8.10−3 u On a Dm < 0 : la masse initiale est donc inférieure à la masse finale. Cela représente un gain de masse.

5 1. L’activité A d’une espèce radioactive est donnée par la relation :

dN = λN , où λ représente la constante radioactive et N le nombre dt de noyaux de l’espèce radioactive. A Ainsi, le nombre de noyaux est : N = . λ ln 2 AT Comme λ = alors N = . T ln 2 Application numérique : A=−

N=

440 × 8, 1 × 24 × 3600  4, 44.108 noyaux. ln 2

2. a) Dans ce cas, la variation du nombre de noyaux est telle que : d N = −(d N P + d NB ) = −(λ P N dt + λB N dt ) Si λe représente la constante radioactive effective, alors d N = −λ e N dt

Ainsi : λe = λ P + λB , soit

1 1 1 T PT B = + ou encore Te = Te TP T B T P + TB

Application numérique : TP = 8, 1 j, T B = 180 h, Te =

(8, 1 × 24 × 3 600) × (180 × 3 600)  336 462 s, soit Te = 3, 89 j (8, 1 × 24 × 3 600) + (180 × 3 600)

Corrigés 3. La loi de décroissance radioactive donne : N (t ) = N0 e−λet N0 N0 1 = N0 e−λet soit = e−λ e t . , on a : 100 100 100 Te 1 1 Ainsi ln ln 100 = ln 100. = −λet , d’où t = 100 × × ln 2 λe × 336462 Numériquement : t = ln 100  25, 87 j. ln 2 Pour N (t ) =

6 1. À la date t = 0, le nombre N (0) de noyaux de 21Na est donné par : N (0) = n1 (v1 .10−3) × N A À la date t = τ , le nombre N (τ ) est donné par la relation : N (τ ) = N (0).e −λτ

( N (τ ) correpond au volume v, volume sanguin prélevé en L)

Les n2 moles de sodium 21 Na, soit n2N A atomes, correspondent donc au prélèvement de volume v2 (en L). Ainsi : v2 .10−3 n 2 NA = N(τ ) v (proportionnalité entre les nombres d’atomes et les volumes)

D’où

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

v=

v2 .10−3 n1 N(τ ) = v1v 2 .10−6e −λτ n2 N A n2

2. Application numérique : Pour τ = 5 h = 18000 s

1, 0.10 −3 −6 −1,28.10 −5×18000 × e v= × 10 × 10 × 10  4,96 L 1, 6.10 −8

7 1. La radioactivité β− émet des électrons et des antineutrinos, l’équation de la réaction nucléaire est :

14 6C

−→

0 −1 e

+

A ZX

+ν

avec A = 14 et Z = 6 − (−1) = 7. L’élément de numéro atomique Z = 7 correspond à l’azote 147N, d’où : 14 6C

−→

0 −1 e

+

14 7N

+ν

223

224

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires 2. Une utilisation du carbone 14 est la mesure des âges : on peut dater des objets vieux de 1 000 à environ 60 000 ans par dosage du carbone 14. Le carbone 14 est constamment produit par l’atmosphère par bombardement de l’azote 147N par des neutrons cosmiques. Le carbone formé est radioactif β− . 3. Le nombre de noyaux contenus dans 1 gramme de carbone 14 est : −→ 1 N= × 6, 022.10 23  4, 3.10 22 noyaux. 14 ln 2 L’activité A est : A = λN = N. T Comme T = 5730 ans = 1, 8.1011 s alors : ln 2 A= × 4, 3.1022 = 1, 65.10 11 Bq soit environ 4, 45 Ci. 11 1, 8.10 4. D’après la loi de décroissance radioactive, on a : N N = N0 e−λt ou ln = −λt. N0 N N0 1 T = L’âge du morceau de bois est donc : t = − ln ln . λ N0 N ln 2 Application numérique : N = 10, 5.1012 et N0 = 10 12, par suite : 5 730 10,5.10 12 t= ln  19 440 ans. ln 2 1012

8 1. Le schéma de filiation est (Fig. 9.15) : Schéma de désintégration : 99 42 Mo (1) β99m 43 Tc E = 140 keV (2) 99 Tc 43

Figure 9.15

γ

Corrigés Utilisations du 99m 43 Tc : • le technétium

99m 43Tc,

émetteur γ, est utilisé comme traceur (marqueur) 3 en médecine nucléaire : il est utilisé dans les des scintigraphies tous 4 organes confondus. • Il peut être utilisé seul ou lié à un vecteur organique (l’ensemble constituant alors un traceur). • En scintigraphie thyroïdienne, il est utilisé sous forme ionique « native » pour visualiser des nodules (tumeurs cervicales soit bénignes soit + malignes). La forme ionique « native » est la forme (TcO− 4 , Na ). L’ion − pertechnetate TcO− 4 est capté par les transporteurs d’iodures I présents à la surface des thyréocytes. 2. L’énergie maximale libérée au cours de la désintégration β− est :   2 99 c −E Mo) − M( Tc) − 2m Eli b(β − ) = Dm.c 2 − E = M(99 e 42 43 Numériquement : Elib(β− ) = (98, 130362 − 98, 128902) × 931, 5 − 0, 14 = 1, 22 MeV.

3. On peut schématiser la situation par : 99 42Mo

à l’instant t0 = 0 à l’instant t

N0 N1

λ

1 −→

99m 43 Tc

0 N2

λ

2 −→

99 43Tc

0 N3

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

On reconnaît ici une désintégration successive, et on peut donc écrire : N2 =

 λ1 N0  −λ1 t e − e−λ2t , λ2 − λ1

N 2 : nombre de noyaux de 99m 43 Tc à la date t. La date tmax correspond à la date t pour laquelle Comme N2 =

d N 2(t ) = 0. dt

 λ 1 N 0  −λ 1t − e −λ2t , alors e λ 2 − λ1

λ 1 N0 d N 2 (t ) = (−λ 1e −λ1t + λ2 e−λ2t ) λ 2 − λ1 dt

d N2 (t ) = 0 si −λ1 e−λ 1t + λ 2e−λ2t , soit dt λ 1 e−λ 1t = λ 2e −λ2 t ou

λ1 = e−(λ2−λ1 )tmax pour t = tmax λ2

225

226

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires Finalement, tmax Comme

1 = ln λ2 − λ 1



λ2 λ1



λ2 T ln 2 ln 2 = 1 , λ2 = et λ1 = , alors : λ1 T2 T2 T1   1 T1   ln tmax = λ 21 T2 ln 2 T2 − T11

La date tmax correspond à la date t pour laquelle

d N2 (t ) = 0 : c’est à dire à dt

un équilibre radioactif. L’équilibre radioactif correspond à un état stationnaire du noyau 99m 43Tc tel que le nombre de noyaux produits soit égal au nombre de noyaux détruits.   1 67 Numériquement : tmax = ln  22, 9 h. 1 6 ln 2( 16 − 67 )

9 1. Capture électronique. Au cours d’une capture électronique, Z varie d’une unité alors que A reste invariant : cette réaction nucléaire spontanée se rapproche de la désintégration β mais avec un processus très différent. En effet, le noyau radioactif capte un électron des couches internes du cortège électronique (le plus souvent la couche K ) selon la réaction : A ZX

+

0 −1e

−→

A Z - 1Y

+ν

Ce processus correspond à une interaction d’un proton du noyau radioactif (noyau instable) et d’un électron atomique selon l’équation : 1 1

p +

0 −1 e

−→ 10n + ν

2. On reconnait ici une désintégration successive selon le schéma :

à l’instant t0 = 0 à l’instant t

Xe N0 NXe

λ1

−→

I 0 NI

λ2

−→

Le nombre de noyau d’iode à la date t est donné par : NI =

 λ 1 N0  −λ1t − e −λ2 t e λ2 − λ1

Te 0 NTe

Corrigés Pour NI = 0, 90N0 , on a : 0, 90N0 =

 λ1 N0  −λ1 t − e−λ 2t e λ 2 − λ1

Comme T1 = 18 h et T2 = 60 jours, alors : ⎧ ln 2 ⎪  ⎪   07.10−5 s −1 ⎨ λ1 = λ1  1, T1 − soit numériquement λ2 − λ1 ln 2 ⎪ λ2  1, 34.10−7 s −1 ⎪ ⎩ λ2 = T2

On remarque que λ1  λ2 (λ1 = 80λ2 ), donc e−λ1t négligeable devant e−λ2t et par suite : N I = N 0e−λ2 t Pour NI = 0, 90N0 , on a : 0, 90N0 = N 0e −λ2t

soit

t=−

1 ln 0, 9 λ2

Numériquement : t  788036 s soit 219 h ou 9,12 jours. L’évolution de NI (t) est donnée par la figure 9.16. NI (t)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

N0 0,9N 0

0

t1

t2

t

tmax

Figure 9.16 La date tmax correspond à la date t pour laquelle Comme NI =

 λ1 N0  −λ 1t − e −λ2t , e λ2 − λ1

d N I (t ) = 0. dt

227

228

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires d NI (t ) λ 1N 0 = (−λ1e −λ1 t + λ 2 e−λ 2t ) dt λ 2 − λ1 d NI (t ) = 0 si −λ 1 e−λ 1t + λ 2e−λ2t , soit : dt λ1 λ1e−λ1 t = λ2 e−λ 2t ou = e−(λ 2−λ1)tmax pour t = tmax λ2 Finalement :     λ2 1 − λ2 − λ1 tmax = λ − λ ln λ alors

2

1

1

Numériquement : tmax = 414 753 s soit environ 115 h. Ainsi La durée τ est : τ = 2(t2 − t max ) soit numériquement τ = 208 h

Questions à choix multiples 222 4 1 1. ✗ ❑ : 226 88 Ra−→ 86Rn + 2 He

2. ❑ : E liberée = 4, 84 MeV. 3. ❑ : 5α et 4β − 4. ✗ ❑ 5. ✗ ❑

2 1. ✗ ❑

2. ✗ ❑ 3. a) ✗ ❑ b) ❑ : environ 1, 03.10 13 Bq c) ❑ : environ 9, 08.10 14 noyaux

3 1. ✗ ❑

2. ❑ : le schéma de désintégration est (Fig. 9.17) : Schéma de désintégration :

(1)

54 25 Mn C.E. 54 * Cr 24 835 keV

(2)

54 Cr 24

Figure 9.17

Corrigés ∗ 0 54 0 54 54 3. ❑ : préciser −1 e + 54 25 Mn −→ 24 Cr , soit −1 e + 25Mn −→ 24 Cr + ν 4. ❑ : un photon appartenant au domaines des rayons X. 5. ❑ : λ = 1, 48 pm

4 1. ✗ ❑ : On utilise les lois de conservation : 24 11 N a

0 −→ 24 12 Mg +−1 e + ν

2. ✗ ❑ : Le processus de désintégration β− est généralement suivi d’une désexcitation du noyau fils avec émission de photons γ. 1240 3. ✗ ❑ : En utilisant la relation E (en eV) = on trouve λ (en nm) λ(en nm) 1240 =  4, 5.10−4 nm, soit 4, 5.10 −13 m. 2, 758.106 4. ❑ : la relation m = m 0 e−λt donne m = 0, 295 mg 5. ✗ ❑ : E lib = Dm.c 2

5 1. ❑ : émetteur β − 2. ✗ ❑ : A = λN =

ln 2 mN A T M

3. ❑ 4. a) ❑ : de l’ordre de 1020 Hz b) E(γ ) = 2, 5 MeV. ET P = , donc ET = 100.10−6 J. Dt

100.10−6 Le nombre de photons émis est donc : N = = 2, 5.108 6 −19 2, 5.10 × 1, 6.10

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

6 1. ❑ : X comporte 26 neutrons 2. ✗ ❑ : X comporte 24 protons 3. ❑ 4. ✗ ❑ 5. ❑ X est du chrome 51

7 1. ❑, la particule incidente est un neutron

2. ✗ ❑ 3. ✗ ❑ 4. ❑, le cyclotron accélère des particules chargées et non des neutrons. 5. ❑, dans un générateur se produit une filiation.

8 1. ❑ : X est à droite de la zone de stabilité car le nombre de charge Z de Y est

inférieur à celui de X. 2. ❑ : β+ et/ou C.E. 3. ✗ ❑ 4. ❑ : seule C.E. est possible car la différence des masses équivaut à 0, 75 MeV. 5. ✗ ❑

229

230

Chap. 9. Le noyau et les transformations nucléaires 9 1. ❑ : λ représente la probabilité.

2. ❑ 3. ❑ : 6 648 heures 4. ✗ ❑ : il faut calculer λ à partir de A = λ N , puis on cherche m sachant que N m= M NA 5. ❑ : λ = 29.10−8 s.

Interactions des rayonnements avec la matière

Plan Cours 10.1Les interactions des particules chargées avec la matière 10.2Atténuation des photons x et γ 10.3Application : la production des rayons x

10

Objectifs • Connaître :

– l’effet photoélectrique, – l’effet Compton, – la loi de Duane et Hunt

• Savoir calculer :

– un transfert linéique d’énergie (T.L.E),

QCM et exercices

– une couche de atténuation (C.D.A),

Corrigés

– les fréquences des raies

demi-

Cours Les rayonnements agissent sur les tissus, composés essentiellement d’eau. Qu’il s’agisse d’électrons, de rayons X ou de rayons γ, leurs effets sur la matière vivante sont l’ionisation (on parle donc de rayonnements ionisants), c’est à dire un arrachement d’électrons et l’excitation ou un changement d’état interne. Lors de l’ionisation, si l’énergie est suffisante, les électrons émis agissent comme des électrons secondaires et ionisent, ou excitent, à leur tour d’autres molécules. Ces molécules sont généralement instables et se scindent en radicaux libres.

232

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière

10.1 LES INTERACTIONS DES PARTICULES CHARGÉES AVEC LA MATIÈRE 10.1.1 Les courbes d’absorption Le dispositif de la figure 10.1 permet l’étude de l’absorption des particules chargées par la matière. Collimateurs Source émettrice de particules chargées

Détecteur

φt

φ0

Substance absorbante d'épaisseur x variable

Figure 10.1 Les courbes d’absorption observées dépendent de la nature des particules chargées (Fig. 10.2). Cependant, l’étude de ces courbes montre que le faisceau incident est totalement absorbé à partir d’une certaine épaisseur R (la portée) qui est variable selon la nature du matériau et celle du rayonnement. Cas des particules α et p 1 φ0

φt

φt φ0

0,5 portée

x Cas des particules e- et e +

φ0

φt φ0

R

x

électrons monoénergétiques

φt β

portée R

x

Figure 10.2

x

10.1 Les interactions des particules chargées... Remarque les particules lourdes (α, protons) sont peu ou pas absorbées en début de parcours, mais elles cèdent la quasi-totalité de leur énergie en fin de parcours (pour x  R). En revanche, les particules légères (électrons) sont absorbées tout le long du parcours.

10.1.2 Trajectoire et portée Une particule chargée traversant un milieu subit des interactions coulombiennes. Ces interactions entraînent une diminution de l’énergie de la particule et peuvent provoquer des déviations de la trajectoire (Fig 10.3).

a) Cas des particules lourdes Trajectoire

R (portée) b) Cas des particules légères

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 10.3 Le tableau ci-dessous donne les valeurs de quelques portées, dans l’air et dans l’eau, pour les électrons, les protons et les particules α d’énergies de 1 à 10 MeV. Énergie (MeV)

Proton

Particule α

R (cm)

(dans l’eau)

4, 1.10

0, 41

3, 0

1, 4.10 3

1, 5

10

4, 2.103

5, 2

1, 0

2, 3

2, 3.10−3

3, 0

14

1, 4.10 −2

10

1, 1.102

0, 12

1, 0

0, 57

5, 3.10 −4

3, 0

1, 7

1, 7.10 −3

10

∼ 11

1, 1.10−2

1, 0 Électron

R (cm)

(dans l’air) 2

233

234

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière

10.1.3 Les interactions élémentaires Les pertes d’énergie dans la matière se traduisent par des phénomènes de nature et d’importance variables qui dépendent des particules et du matériau concernés. Les principaux processus schématisés sur la figure 10.4 sont : • ionisations, excitations et transferts thermiques par interactions avec les électrons ; • diffusion inélastique si l’énergie est échangée au voisinage du noyau : cela entraîne

un changement de trajectoire des particules et ∼l’émission d’un rayonnement de freinage ; • diffusion élastique pour des particules légères : cela se traduit par des déviations de trajectoires sans échange d’énergie ; • réactions nucléaires pour des particules lourdes et très énergétiques. interaction avec un électron : - ionisation (e- secondaire) - excitation - transferts thermiques

a) Cas des particules chargées lourdes α, p

hν α, p α, p

diffusion inélastique, rayonnement de freinage (hν) négligeable (sauf E très élevée). b) Cas des particules chargées légères

interaction avec un électron : - ionisation (e- secondaire) - excitation - transferts thermiques

e- , e+ hν e- , e+ e- , e+

diffusion élastique

diffusion inélastique, rayonnement de freinage (hν) (important pour E et Z élevés).

Figure 10.4

10.1.4 Échanges élémentaires d’énergie Différents processus sont observés selon la valeur de l’énergie DQ échangée au cours d’une interaction entre une particule et le cortège électronique du matériau qu’elle traverse : ➤ Ionisation Si DQ > El (où E l représente l’énergie de liaison électron-noyau), l’électron est arraché de la strucure atomique et l’atome est ionisé. L’électron secondaire, porteur de l’énergie DQ−E l , transfère son énergie à la matière, très localement si DQ−El est faible, à distance si DQ−E l est plus élevé (électrons secondaires d’énergie supérieure à 100 eV).

10.1 Les interactions des particules chargées... ➤ Excitation Si El > DQ > Ee (où E e représente l’énergie d’excitation), l’électron ne peut être arraché mais l’énergie DQ est suffisante pour exciter la structure électronique. ➤ Transferts thermiques Si DQ < Ee , l’énergie transférée ne peut contribuer qu’à augmenter les énergies de vibration et rotation des structures moléculaires, c’est à dire augmenter l’agitation thermique du matériau.

10.1.5 Les grandeurs caractéristiques des interactions Énergie perdue et énergie absorbée Dans un volume DV de matière où se produisent des interactions (Fig. 10.5), si ⎧ Q 0 représente l’énergie incidente ⎪ ⎪ ⎨ DQ abs. représente l’énergie absorbée alors Q0 = DQ abs.+ DQ ray. + Q trans. DQ ray. représente l’énergie rayonnée ⎪ ⎪ ⎩ Q trans. représente l’énergie transmise AQ trans. : Energie transmise

Volume AV

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Q0 : Energie incidente AQ ray. : Energie rayonnée

Figure 10.5 L’énergie perdue DQ perdue par le rayonnement dans le volume DV est DQ perdue = DQ abs. + DQ ray.

(10.1)

La figure 10.6 montre la répartition entre énergie absorbée et énergie rayonnée dans l’eau (muscle) et le plomb. Remarque C’est l’énergie absorbée localement DQ abs. qui est à l’origine des effets locaux des rayonnements ionisants, notamment des effets biologiques.

235

236

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière pertes (en MeV.cm-1 )

Plomb ( ) eau-muscle (

1000

)

énergie absorbée

100 10

* 1 * 0,1

ie énerg

0,01

née

rayon

0,001 0

0,1

1

10

100

(énergie)

Figure 10.6

Pouvoir linéique de ralentissement Il représente l’énergie perdue par la particule par unité de parcours dans la matière, soit : d Q perdue S= (10.2) dx

Transfert linéique d’énergie T . L . E . Le T . L . E . représente l’énergie absorbée par la matière par unité de parcours de la particule, soit : d Q abs. T .L .E . = (10.3) dx La figure 10.7 donne quelques ordres de grandeurs du T . L . E . pour les électrons dans différents matériaux. T.L.E. (en MeV.cm-1) 100 Plomb

10

eau-muscle 1 0,1 0,01 air 0,001 0

0,1

1

Figure 10.7

10

100 (énergie)

10.2 Atténuation des photons x et γ Ionisation spécifique ou pouvoir ionisant J C’est le nombre d’ionisations d N créées par unité de parcours de la particule, soit : dN J= (10.4) dx Le pouvoir ionisant J est plus élevé dans les matériaux denses et aux faibles énergies (Fig. 10.8) Nombre d'ionisations / cm

107

106

Plomb

105

eau-muscle

104 103 air

102

10 0

0,1

1

10

100 (énergie)

Figure 10.8

Relation entre S et J

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

De S =

d Q perdue dN et J = on en déduit : dx dx d Q perdue S=J dN

(10.5)

d Q perdue = w représente l’énergie perdue en moyenne par la particule pour créer dN une ionisation dans la matière. w dépend du milieu, mais est quasi indépendant de l’énergie du rayonnement. w est de l’ordre de 34 eV pour l’eau. où

10.2 ATTÉNUATION DES PHOTONS X ET γ 10.2.1 Les courbes d’atténuation Le dispositif expérimental est identique à celui décrit dans le cas des particules chargées. Si le rayonnement incident est constitué de photons X ou γ , le phénomène d’absorption totale au delà d’une certaine épaisseur traversée n’est plus observé. Pour des rayonnements monoénergétiques, on observe une atténuation caractérisée par une

237

238

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière Ft où F 0 et Ft représentent respectivement les F0 flux incident et transmis (Fig. 10.9). variation exponentielle du rapport

Cas des photons X, γ 1 φ0

φt

x

φt φ0 φ t = φ 0.e -μx

0,5

0 x1/2 ( C.D.A.)

x

Figure 10.9 On montre que : Ft = F 0 e−μx

(10.6)

(μ : coefficient linéique d’atténuation en cm−1 si x (épaisseur de l’écran) est en cm)

Si le milieu est caractérisé par son coefficient d’atténuation massique μm = représente la masse volumique de la substance absorbante, alors :

μ , où ρ ρ

Ft = F 0 e−μm X , avec X = ρx (en g. cm−2 )

10.2.2 Couche de demi-atténuation (C.D.A.) Elle représente l’épaisseur, noté x 12 , nécessaire pour atténuer la moitié du faisceau incident. F0 Soit, pour x = x 1 , Ft = 2 2 F0 Ft Et comme ln = −μx , alors ln 2 = −μx 12 F0 F0 1 d’où ln = −μx 12 , 2 ln 2 soit x 12 = (10.7) μ Remarque Si on remplace dans l’expression F t = F0 e−μx , μ par 2 − ln x x

F t = F0 e

1 2

= F0 e−n ln 2 =

ln 2 , on obtient la relation : x 12

1n F0 x = F ×( ) , avec n = (nombre de C.D.A.) 0 x12 2n 2 (10.8)

10.2 Atténuation des photons x et γ Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de C . D . A. pour des photons γ d’énergies de 0, 1 à 5 MeV. Eau

E

(cm −1)

μ μm = ρ

0, 1 0, 5 1 5

0, 17 0, 097 0, 07 0, 03

0, 17 0, 097 0, 07 0, 03

(MeV)

μ

(cm2 . g−1 )

x 12

(cm)

Aluminium μ μ μm = ρ (cm −1 ) (cm 2. g −1 )

4 0, 432 7, 2 0, 229 9, 9 0, 162 23 0, 0756

0, 16 0, 085 0, 060 0, 028

x 12

(cm)

μ (cm−1 )

1, 60 56, 7 3, 02 1, 70 4, 28 0, 791 9, 17 0, 174

Plomb μ μm = ρ (cm 2. g−1 )

5, 0 0, 15 0, 070 0, 042

x 12

(cm)

0, 01 0, 41 0, 87 1, 46

10.2.3 Les interactions élémentaires Les photons X ou γ transfèrent leur énergie par des processus dont l’importance dépend de leur énergie et de la nature de la matière (Fig. 10.10) : Effet photoélectrique hν' hν hν

e-

Diffusion Compton

hν' = hν (effet Mössbauer)

hc' hν' = hν (excitation nucléaire)

o onucléaire) hν (photonucléaire)

hν hν

ecréation de paire e+

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

hν diffusion élastique (diffusion Rayleigh)

Figure 10.10 • Le photon peut céder toute son énergie : c’est l’absorption totale par effet photo-

électrique (E P), création de paires (C P) ou réaction photo-nucléaire si l’énergie est suffisante. • Il peut échanger partiellement son énergie : c’est l’absorption partielle par diffusion Compton (C D), ou excitation nucléaire. • Il peut ne subir qu’une déviation sans échange d’énergie : c’est le cas de la diffusion Rayleigh ou l’effet Mössbauer. On envisagera par la suite les cas les plus souvent rencontrés pour des énergies peu élevées : l’effet photoélectrique, la diffusion Compton, la création de paires et la diffusion Rayleigh.

239

240

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière L’effet photoélectrique Un photon incident d’énergie E photon i ncident = hν intéragit avec un électron d’un atome (Fig. 10.11) et lui transmet la totalité de son énergie. L’électron est éjecté avec une énergie cinétique Ec telle que : (10.9)

Ec = E photon i ncident − El (El : énergie de liaison de l’électron)

électron éjecté

Kα photon incident d'énergie hν KKββ

K L M

Figure 10.11 Remarque Il y a effet photoélectrique si E photon i ncident > E l . La lacune électronique provoquée par l’émisssion de l’électron est comblée par un électron d’une couche supérieure : cette transition électronique provoque, soit l’émission d’un photon de fluorescence, soit l’émission d’un électron Auger (Fig. 10.12). X(L α) {EL - EM}

{EK - EL } - EM

X(Lα) {E K - EL } E* = {EK - EL } K

K

L

L

M

M

Fluorescence X

Electrons Auger

Energies caractéristiques de l'élément fils

Energies caractéristiques de l'élément fils

Figure 10.12

10.2 Atténuation des photons x et γ La diffusion Compton C’est une collision élastique entre un photon et un électron faiblement lié (Fig. 10.13). L’énergie de liaison est négligeable devant l’énergie hν1 du photon incident.

photon diffusé d'énergie hν2

θ φ

e

qu

éri

ph

éri

p on ctr éle ecté éj

phot o d'én n inciden ergie t hν 1

Figure 10.13 La conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie donnent : ⎧ − → − → → − − → ⎪ ´ r on ⎨ p photon + p ´elect r on = p photon + p elect (avant le choc)

(avant le choc)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

(après le choc)

  ⎪ ´ r on = E photon + Eelect ⎩ E photon + Eelect ´ r on

(10.10)

(après le choc)

La résolution du système montre que les longueurs d’onde des photons incident et diffusé sont liées par la relation : h h λ 2 − λ1 = (1 − cos θ) = λc (1 − cos θ) où λC = (10.11) mc mc ν1 h représente la longueur d’onde Compton, λ1 = la longueur d’onde du λC = mc c ν2 photon incident, λ2 = celle du photon diffusé, m la masse de l’électron et c la c célérité de la lumière. Remarques • Le photon diffusé peut provoquer à son tour un autre effet Compton ou, si son énergie est suffisante, être absorbé par effet photo électrique. • L’électron éjecté perd son énergie par excitation et ionisation.

241

242

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière La création de paires Elle se produit au voisinage d’un champ électrique, en général celui créé par le noyau de l’atome et parfois celui d’un électron. Pour un photon incident d’énergie E photon i ncident ≥ 1, 02 MeV, il se produit une matérialisation de ce dernier en deux antiparticules e − et e + qui sont émises avec une énergie cinétique égale à : E photon i ncident − 2m 0 c2 Ec = 2 − + (m0 : masse au repos de e

et e , c : célérité de la lumière dans le vide)

Ces deux particules perdent leur énergie par ionisation et excitation et une fois son énergie dissipée, le positon s’annihile avec un électron avec émission de deux photons γ d’énergie 0, 511 MeV, émis à 180◦ l’un de l’autre (Fig. 10.14).

on

tr lec

photon γ d’énergie 511 keV

s mi

é

é

photon incident d'énergie hν

positon

émis

annihilation du positon avec un électron

(noyau)

photon γ d’énergie 511 keV

Figure 10.14

10.2.4 Importance relative des interactions élémentaires Les probabilités d’interaction des photons par l’un des processus décrits ci-dessus, dépendent de l’énergie. Chacun de ces processus contribue à l’atténuation : le coefficient d’atténuation total se décompose en la somme des coefficients partiels d’atténuation attribués respectivement à chacun des processus. Il peut se mettre sous la forme : μ=

μ ph + μC + μp + μR (par effet photoélectrique) (par effet Compton) (par création de paires) (par diffusion Rayleigh) (10.12)

soit, pour le coefficient d’atténuation massique μm μph μ C μ p μ R μ μm = = + + + ρ ρ ρ ρ ρ

(10.13)

10.3 Application : la production des rayons x Remarque Pour la diffusion Compton, on prend en compte deux termes : un pour l’absorption μ C (a ) μC (d ) . et l’autre pour la diffusion ρ ρ

cm2/g d'eau

L’abaque de la figure 10.15 donne les valeurs de coefficient d’atténuation massique pour les rayons γ dans l’eau (le muscle) en fonction de l’énergie du rayonnement. ρ

10

ρ

8 6 4 3 2

ρ

Eau

ρ

ρ

1

nua tion

le tota

8 6 4 3 2

atté

pt ion

0.1

or abs

8 6 4 3 2

tota

le

d fi

0.01 8 6 4 3 2

0.001 0.01 2 3

0.1

1

fus

i on ab s C o orpt i on m Co pt mp on to n

2 3

10

2 3

100

Figure 10.15

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

10.3 APPLICATION : LA PRODUCTION DES RAYONS X C’est le physicien Allemand Wilhelm Conrad Röntgen qui découvrit les rayons X en 1895 à Wûrzburg. Ils sont obtenus en bombardant une surface métallique par des électrons de grande énergie cinétique.

10.3.1 Principe Des électrons émis par un filament chauffé (émission thermoélectronique) dans un tube à vide sont accélérés par un champ électrique intense créé par une tension accélératrice de plusieurs dizaines de kV, maintenue entre le filament (la cathode) et la cible métallique (l’anode). Le schéma de la figure 10.16 donne le principe du tube de « Coolidge ». Les électrons ainsi accélérés viennent heurter la cible et arrachent des électrons des couches profondes. Si un électron de la couche K (n = 1) est éjecté, un électron d’une couche supérieure (par exemple la couche L (n = 2)) vient combler le trou.

243

244

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière

Rayons X

Anode

Cathode Tube sous vide

H.T.

Figure 10.16 Cette transition électronique sera suivie par l’émission d’un photon d’énergie : (10.14)

E photon = E2 − E 1 = hν 2→1

10.3.2 Spectre d’émission Le rayonnement X émis est constitué d’un spectre continu et d’un spectre de raies (Fig.10.17). I

Kβ Kα

Figure 10.17 ➤ Le spectre continu • Il est dû au freinage du faisceau d’électrons dans la matière.

λ

10.3 Application : la production des rayons x Il existe une longueur d’onde λmin qui ne dépend que de la tension d’accélération U des électrons : λmin =

hc eU

soit :

λmin(en nm) =

1, 24 U(en kV)

(Loi de Duane et Hunt)

• Son intensité dépend des conditions du fonctionnement du tube. Le graphe ci-

dessous (Fig.10.18) donne les variations de l’intensité I en fonction de la longueur • d’onde λ pour une anticathode de tungstène pour différentes tensions.

I U = 50 kV

U = 40 kV U = 30 kV

0,2

0,6

λ

  Au maximum d’intensité,   la longueur d’onde λmax   est telle que :  3  λ max  λmin  2

Figure 10.18

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

➤ Le spectre de raies Il est caractéristique de la nature de l’anode. Énergie E Les raies sont émises par les atomes ionisés et constituent les groupes appelés K , L , M,.... Lα Lβ Par exemple, pour les raies K : un électron de la couche K est arraché, un électron Kα Kβ Kγ d’une couche plus externe L , M , N ... vient alors la compléter. La transition entraîne l’émission des radiations Kα , K β , K γ ... Figure 10.19 (Fig.10.19). Par exemple, les fréquences des raies Kα et K β sont données par :    ν Kα = E L − E K  h  et    ν = E M − EK  Kβ h

(n →∞) N M L

K

245

246

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière À cause des spins des électrons, les raies sont en fait constituées de multiplets. Pour la raie Kα , on observe un doublet de raies, K α1 et K α2 (Fig.10.20). Les fréquences des raies sont données par la loi de Moseley

L Kα1

j = 3/2 j =1/2

Kα2 K j =1/2

Figure 10.20

       

ν : fréquence de la radiation en Hz, √ Z : numéro atomique de l’élément constituant l’anode, ν = a( Z − σ ) σ : constante d’écran a : constante qui dépend de la série (10.15) La constante d’écran σ représente la différence entre le numéro atomique Z de l’élément et son numéro atomique effectif. Exemples • pour la raie K α , σ = 1

• pour la raie L α , σ = 7, 4.

 3c R H • pour la série K α : a = où c représente la célérité de la lumière et R H 4 la constante de Rydberg.

10.3.3 Spectre d’absorption • Un faisceau de rayons X traversant la matière est atténué.

• L’intensité I d’un faisceau, après traversée d’une épaisseur x , d’un matériau absor-

bant de coefficient d’absorption linéique μ est donnée par :

I (x ) = I 0e−μx , I 0 : intensité initiale du faisceau Remarque Si  le matériau absorbant comporte plusieurs types d’atomes, on remplace μ par μi . i

• L’expérience montre que l’absorption dépend de la longueur d’onde λ et du

numéro atomique Z de l’élément constituant l’anode. • L’évolution de μ en fonction de λ est représentée sur la figure 10.21.

Exercices

μ (m-1)

K

L I L II

LIII

λ (m)

Figure 10.21 Sur ce graphe, on note des « pics » d’absorption correspondant aux seuils de l’effet photoélectrique λK , λ L ... Ces longueurs d’onde vérifient la loi de Moseley.

Exercices 1 Déterminer l’énergie minimale du photon entraînant la création de paire électron-positon.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

2 Des rayons X de longueur d’onde λ = 120 pm sont diffusés par un écran en

carbone. Déterminer le déplacement Compton puis la longueur d’onde des photons diffusés pour des photons détectés sous les angles θ1 = 45 ◦ et θ2 = 90◦ On rappelle que le déplacement Compton est donné par Dλ = λ2 − λ1 = λc (1 − cos θ) où λC =

h mc

λ1 : longueur d’onde du photon incident, λ2 : longueur d’onde du photon diffusé dans la direction θ.

3 Un positon e+ d’énergie cinétique Ec = 1 MeV heurte un électron e − , considéré comme immobile.

1. Le positon est-il relativiste ? Si oui, en déduire sa vitesse v en fonction de la célérité de la lumière c.

247

248

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière 2. Le choc provoque l’annihilation des deux particules e+ et e− avec apparition de deux photons. Au cours de la collision, on considère qu’il y a conservation de l’énergie totale ainsi que du vecteur quantité de mouvement des deux particules. a) Sachant que les deux photons formés ont même énergie, déterminer alors l’expression de leur longueur d’onde λ. Calculer numériquement λ. b) Les deux photons sont émis dans deux directions faisant entre elles un angle θ. Donner l’expression de θ en fonction de Ec et E0 (énergie de masse d’un électron ou d’un positon) puis calculer sa valeur. On donne : • charge élémentaire : e = 1, 6.10−19 C,

• énergie de masse d’un électron ou d’un positon : E0 = m0 c2 = 0, 5 MeV.c −2, • constante de Planck : h = 6, 62.10−34 J. s,

• célérité de la lumière dans le vide : c = 3, 0.108 m. s −1 .

4 Un faisceau de photons d’intensité I0 traverse une substance d’épaisseur e. Après traversée d’une épaisseur x de cette substance, l’intensité passe de I0 à I telle que : I = I 0 e −μx où μ représente le coefficient linéique d’atténuation caractéristique de la substsance. 1. Déterminer l’épaissseur d’un écran en plomb nécessaire pour atténuer 90 % de l’intensité d’un faisceau de photons. 2. Pour ces mêmes photons, déterminer l’épaisseur d’un écran de plomb qui ne laisse passer que 1 photon sur 1 000. 3. Un faisceau monochromatique de photons γ traverse un écran de fer. Déterminer le pourcentage d’atténuation après traversée d’une épaisseur e1 = 10 cm. On donne : • C.D.A. du plomb : x 1 = 3, 00 mm, 2

• coefficient d’atténuation massique pour le fer : μ m =

μ = 4, 14.10−3 cm 2. g −1, ρ

• masse volumique du fer : ρ = 7 700 kg. m−3 .

5 Dans un tube de Coolidge, des électrons émis par la cathode (filament chauffé)

sont accélérés par une haute tension U. Ces électrons heurtent l’anode en cuivre.

Questions à choix multiples

249

L’analyse du spectre d’émission montre que le fond continu présente une longueur d’onde minimale λmin. Exprimer λmin en fonction de U.

6 Trois anodes de matériaux différents sont bombardées par des électrons. Les longueurs d’onde des raies Kα pour ces différentes anodes sont regroupées dans le tableau ci-dessous : Anode λ Kα (pm) (1) 180 (2) 154 (3) 22, 5 Pour cette série de raies, la loi de Moseley peut être exprimée sous la forme : √ ν = 5, 00.107(Z − b) avec b  1, 13 Déterminer la nature du métal constituant chaque anode.

7 Un tube à rayons X à anticathode (anode) de tungstène fonctionne sous une tension U = 80 kV.

1. Calculer l’énergie cinétique en keV des électrons à leur arrivée sur l’anticathode puis en déduire leur vitesse. 2. Déterminer l’énergie maximale des photons X émis et leur longueur d’onde minimale λmin correspondante. 3. Déterminer, en keV, l’énergie des photons X du rayonnement de freinage le plus probable.

Questions à choix multiples 1 Dans un tube à vide, la tension appliquée entre anode (nickel, Z = 28) et cathode est U = 250 V. Le déplacement des électrons provoque un courant anodique d’intensité I = 6, 4 mA. On rappelle que pour la √ série K α, les7 fréquences des radiations sont données par la loi de Moseley : ν = 5, 00.10 ( Z − 1, 13). ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

L’énergie cinétique des électrons à leur arrivée à l’anode est Ec = 250 eV. L’énergie cinétique des électrons à leur arrivée à l’anode est Ec = 4, 0.10 −17 J. La longueur d’onde de la raie Kα vaut 1, 79 Å. Le nombre d’électrons par seconde, arrivant sur l’anode, est N = 4.1016. La puissance dissipée sur l’anode est P = 0, 6 W.

250

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière 2 Un mélange de fer et d’un matériau inconnu est bombardé par un faisceau d’électrons. La longueur d’onde des raies Kα obtenue est donnée dans le tableau ci-dessous : Longueur d’onde de la raie K α (en pm) Fer Matériau inconnu 194 229 Pour cette série de raies, la loi de Moseley peut être exprimée sous la forme : √ ν = 5, 00.107( Z − 1, 13) ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3.

La constante 1, 13 est liée à la nature du matériau. La fréquence correspond à la raie Kα pour le fer est ν = 1.55.1016 Hz. √ 7 La relation ν = 5 , 00 . 10 ( Z − 1, 13) est équivalente à la relation  1 = 2, 88.103 ( Z − 1, 13). λ ❑ 4. Le matériau inconnu est du titane car son numéro atomique Z est égal à 22. ❑ 5. Le matériau inconnu est du chrome car son numéro atomique Z est égal à 24.

3 À énergie égale, quelle est, parmi les particules ci-dessous, celle qui a le T . L . E . maximal ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

électron. α. proton. positon. aucune des propositions ci-dessus.

Corrigés Exercices 1 Les deux antiparticules (électron-positon) de masse m ont une énergie de masse E = mc 2. L’énergie totale de la paire (e− , e +) est donc ET = 2mc2. L’énergie du photon incident entraînant la création de la paire (e− , e + ) est Ephoton i ncident = hν. La conservation de l’énergie donne E photon i ncident = 2mc 2 soit numériquement : E photon i ncident = 2× 9, 1.10−31 ×(3.10 8 )2  1, 64.10−13 J ou encore 1, 02 MeV.

Corrigés La longueur d’onde d’un tel photon est telle que : λ = Application numérique. λ =

6, 62.10 −34 × 3.108 1, 64.10 −13

hc E photon i ncident = 1, 21.10−12 m soit

1, 21 pm ou 1, 21.10−3 nm. De tels photons font partie des rayons γ ou des rayons X très courts. Remarque la longueur d’onde λ se calcule aussi aisément à partir de la relation : λ=

1 240 E

(10.16)

(λ en nm et E en eV)

soit numériquement : λ (en nm) =

1 240 = 1, 21.10−3 . 6 1, 02.10

2 Déterminons la longueur d’onde Compton.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

h 6, 62.10−34 , soit numériquement λC =  2, 42.10 −12 m. λC = −31 8 mc 9, 31.10 × 3, 0.10 Le déplacement Compton est donné par : Dλ = λ2 − λ1 = λc(1 − cos θ), soit numériquement :  Dλ = 2, 42.10−12 × (1 − cos 45) = 7, 09.10 −13 m, pour θ1 = 45◦ Dλ = 2, 42.10−12 × (1 − cos 90) = 2, 42.10 −12 m, pour θ2 = 90◦

La longueur d’onde du photon diffusé est donnée par λ2 = λ1 + Dλ, soit numériquement  λ2 = 1, 20.10−10 + 7, 09.10 −13  1, 21.10−10 m λ2 = 1, 20.10−10 + 2, 42.10 −12  1, 22.10−10 m

3 1. Calculons le rapport

Ec . E0

1 Ec = = 2. E0 0, 5 Ce rapport est très supérieur à 0, 01 (soit 1/100), le positon doit donc être considéré comme relativiste. L’énergie totale d’une telle particule est donnée par : E = Ec + E0 . Comme E 2 = p2 c2 + E02 (où p représente la quantité de mouvement de la particule, alors   E 2 − E02 2 2 . pc = E − E 0 , soit p = c v pc De plus, comme β = = E c

251

252

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière  E 2 − E02



E 2 − E02

√

Ec (Ec + 2E0 (10.17) E Ec + E 0 Ec + E0 √ 1(1 + 2 × 0, 5) Application numérique. v = 3, 0.108 ×  2, 8.108 m. s −1. 1 + 0, 5 pc c= v= E

alors,

c=c

=c

2. a) La conservation de l’énergie donne : (E 0 + Ec) + (positon)

Ainsi,

E0

(électron au repos)

λ=

= 2hν = 2h

c λ

2hc 2E 0 + E c

(10.18)

2 × 6, 62.10−34 × 3, 0.10 8  1, 2.10−12 m (photons −19 (2 × 0, 5 + 1) × 1, 6.10 du domaine des rayons γ). Numériquement, λ =

b) Exprimons la conservation de la quantité de mouvement : − → p +

(positon)

− → 0

(électron au repos)

=

− → p1

(photon 1)

+

− → p2

(photon 2)

(10.19)

Supposons les deux photons émis dans les directions faisants les angles α et β avec l’axe O x (Fig. 10.22). y

p1 e+ x'

v

eO

α x

β p2

y'

Figure 10.22 La projection de la relation 10.19 selon O x et Oy donne :  (1) p = p1 cos α + p2 cos β (selon O x ) (2) 0 = p1 sin α − p2 sin β (selon Oy)

(10.20)

Corrigés

253

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Les deux photons ayant même énergie, ils ont donc même quantité de mouvement, soit p1 = p 2 . θ Il en résulte donc, d’après la relation 10.20 (2) : α = β = . 2 θ La relation 10.20 (1) entraîne : p = 2 p1 cos α = 2 p1 cos , soit 2 θ p cos = 2 2p1 h Pour un photon, on a p = . λ 2E0 + Ec h Donc p1 = p 2 = = . 2c λ   √ 2 2 (E 0 + Ec )2 − E 20 E − E0 Ec (2E 0 + E c) = = . Pour le positon, p = c c c √ Ec (2E0 + Ec ) √ E c (2E 0 + Ec ) θ c = . Ainsi, cos = 2E 0 + Ec 2 2E 0 + Ec 2 2c √ √ 1(2 × 0, 5 + 1) 2 θ θ π = Application numérique. cos = , soit = rad 2 2 × 0, 5 + 1 2 2 4 π c’est à dire θ = rad. 2 Remarques • Dans le cas d’une collision à l’arrêt (Ec = 0 et l’énergie totale des deux particules correspond donc à deux fois l’énergie de masse d’un électron), les photons émis emportent chacun une énergie de 0, 511 MeV et ils sont émis dans la même direction à θ = π rad (voir paragraphe, création de paires). • Cas d’une collision en vol (l’énergie totale est supérieure à deux fois l’énergie de

masse d’un électron), on peut obtenir tout état final permis par la conservation d’énergie et d’impulsion. Au LEP, les physiciens ont pu obtenir après collision d’un positon et d’un électron de 45 GeV chacun, des particules Z , des quarks b, c, s , u , d et de nombreuses autres particules. Dans le cas où l’on obtient des photons, ceux-ci auront, chacun, la moitié de l’énergie totale.

4 1. On a 90 % d’atténuation, donc I = Ainsi

10 I0 . 100

I 1 10 = , soit = e−μx = I0 100 10 1 1 ln = −μx ou encore x = ln 10 10 μ

254

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière Comme μ =

ln 2 ln 2 (car x 12 = ), alors μ x 12 x1 ln 10 x = 2 × ln 10 = x 12 ln 2 ln 2

numériquement, x = 3, 00.10−3 ×

ln 10  9, 97.10−3 m, soit 9, 97 mm. ln 2

x 1 2. On a vu que I = I0 × ( )n, avec n = (nombre de C.D.A.). 2 x 12 1 1 1 Comme ( ) 10 = , alors on déduit qu’un écran d’épaisseur  2 1 024 1 000 x = 10x 12 ne laisse passer qu’un photon sur 1 000. 3. On a I = I0 e −μm X , avec X = ρx (en g. cm−2 ). Pour x = e1 = 10 cm, X = 7, 7 × 10 = 77 g. cm−2 . I = e−μm X , De I = I0 e−μm X, il vient I0 −3 I = e−4,14.10 ×77 = 0, 712 soit numériquement : I0 Cela correspond à une atténuation du faisceau de 28, 8 %.

5 Les électrons accélérés par la tension U possèdent l’énergie cinétique Ec = eU.

Si, pour un électron donné, toute son énergie cinétique sert à l’émission de photons X, alors ces photons seront les plus énergétiques possédant une fréquence νmax telle que c Ec = eU = hν max = h λ min Ainsi

λmin =

hc eU

Comme h = 6, 62.10−34 J. s c = 3.10 8 m. s −1 e = 1, 6.10−19 C alors soit encore

1, 24.10 −6 λmin U 1, 24 λmin (en nm) = U(en kV) =

(Loi de Duane et Hunt)

Remarque si, seulement une partie de l’énergie cinétique des électrons sert à l’émission de photons X, alors ces photons seront moins énergétiques que les précédents et possèdent donc une fréquence ν < νmax , soit une longueur d’onde λ > λ min .

Corrigés Les longueurs d’ondes des photons X émis par rayonnement de freinage satisfont donc à la relation : λ(en nm) ≥

1, 24 U(en kV)

6 La fréquence ν et la longueur d’onde λ étant liées par la relation ν = peut donc écrire la loi empirique de Moseley sous la forme :   c 1 = 5, 00.107( Z − 1, 13) soit = 2, 88.103( Z − 1, 13) λ λ  1 . Pour chaque longueur, exprimons λ On obtient le tableau :  1 Anode (m −1/2 ) λ Kα (1)

7, 45.104

(2)

8, 06.104

(3)

21, 1.104

c , on λ



1 = 2, 88.10 3( Z − 1, 13), on obtient λ Z − 1 et par suite les valeurs de Z, d’où le tableau : © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

En reportant ces valeurs dans l’équation

Anode

Z calculé

(1)

∼ 27, 0

(2) (3)

∼ 29, 1

∼ 74, 4

L’élément peut être identifié en comparant la valeur de Z calcule´ à la valeur de Z tabul ´e, on obtient ainsi pour chaque anode : Anode

Z calculé

Nature du métal de l’anode

(1)

∼ 27, 0

Cobalt

∼ 74, 4

Tungstène

(2) (3)

∼ 29, 1

Cuivre

255

256

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière 7 1. L’énergie cinétique des électrons est égale au travail de la force électrique (voir chapitre 7 du manuel de physique), soit : → − E c = W ( f électrique ) = |qU | Soit numériquement : Ec = 80 keV. La tension accélératrice est supérieure à 5 kV, les électrons sont donc relativistes. 1 En effet, si on applique la relation Ec = mv2 = |qU |, soit : 2  2 |qU | v= m  2 × 1, 6.10−19 × 80.10 3 on obtient v = = 1, 68.108 m. s−1 , valeur supé−31 9, 1.10 rieure à 0, 14c (c : célérité de la lumière dans le vide). Il faut donc apporter des corrections relativistes. La variation d’énergie du système est telle que :   E i = mc2  → − et E f − Ei = W ( f électrique ) = |qU | avec   E f = mc2 + E c

Numériquement : Ei = 9, 1.10 −31 × (3.108 )2 = 8, 19.10−14 J = 0, 511 MeV E f = 0, 511 + 0, 080 = 0, 591 MeV.  Comme E f = (mc2 )2 + ( pc)2 , alors : pc =



E2f − (mc2)2

Application numérique :  pc = 0, 5912 − 0, 5112 = 0, 297 MeV et p = 0, 297 MeV/c La vitesse de la particule relativiste est telle que :

v pc pc = , soit v = .c Ef Ef c Numériquement : v =

0, 297 × 3.108  1, 508.108 m. s−1. 0, 591

Corrigés Autre méthode : En mécanique relativiste : • La masse de toute particule matérielle augmente avec la vitesse v de la particule selon la loi :   m0 : masse de la particule au repos   et  1   m = m0  : masse de la particule à la vitesse v  2 v  1− 2  c • il y a équivalence entre la masse m et l’énergie totale E du système :

E =mc2

Pour l’électron animé de la vitesse v, les relations précédentes donnent :   E = mc2  E = Ec + m 0c 2 avec  et  Ec = |qU | D’où : Ec = |qU | = mc 2 − m 0 c 2 = (m − m 0 )c 2 Comme m = m 0  ⎛

⎜ 1  m 0 c2 ⎜ ⎝

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

1−

, alors v2 1− 2 c ⎞

v2 c2

Ainsi

1

⎛

⎟ ⎜ ⎜ − 1⎟ = | qU | , soit ⎠ ⎝ 1

et par suite

 

v2 1− 2 c

= 1+

cos

1 

⎞

⎟ |qU | − 1⎟ ⎠ = m 0 c2 2 v 1− 2 c

|qU | m 0 c2

v2 = c2

1 |qU | 1+ m 0c 2 En élevant au carré les deux membres de l’équation précédente, il vient : ⎛ ⎞2 ⎛ ⎞2 v2 ⎜ 1− 2 = ⎜ ⎝ c

1−

⎟ 1 ⎟ , |qU | ⎠ 1+ m0 c2

soit

⎜ v2 ⎜ = 1 − ⎝ c2

⎟ 1 ⎟ |qU | ⎠ 1+ m 0 c2

257

258

Chap. 10. Interactions des rayonnements avec la matière D’où :

Numériquement :  ⎛    ⎜  8 v = 3.10 × 1 − ⎜ ⎝ 

 ⎛    ⎜  ⎜ v = c 1 − ⎝ 

⎞2

⎟ 1 ⎟ |qU | ⎠ 1+ m 0c 2

1 1, 6.10−19 × 80.103 1+ 9, 1.10−31 × (3, 0.10 2)2

⎞2

⎟ ⎟  1, 508.108 m. s−1 . ⎠

2. Si, pour un électron donné, toute son énergie cinétique sert à l’émission de photons X, alors ces photons seront les plus énergétiques possédant une fréquence ν max telle que : Ec = eU = hν max = 80 keV Comme νmax =

c λ min

, alors λmin =

hc eU

Numériquement : h = 6, 62.10 −34 J. s c = 3.108 m. s −1 e = 1, 6.10−19 C λmin =

1, 24.10 −6 = 0, 0155 nm 80.103

Remarque On aurait pu appliquer directement la loi de Duane et Hunt, soit 1, 24 U(en kV)

λ min (en nm) =

3. La longueur d’onde correspondant au maximum d’intensité est λmax = 1, 5.λmin , soit λ max = 0, 0233 nm L’énergie du photon correspond est donc : Ephoton X = h

c λmax

Corrigés Soit numériquement : Ephoton X = 6, 62.10 soit 53, 3 keV.

−34

3.108 = 8, 524.10−15 J, × −9 0, 0233.10

Remarque Cette énergie, en keV, se calcule directement à partir de la relation : λ=

1 240 E

(λ en nm et E en eV)

Questions à choix multiples 1 1. ✗ ❑

2. ✗ ❑ 3. ❑ ; λ = 1, 50 Å 4. ✗ ❑ 5. ❑ ; P = 0, 6 W

2 1. ❑, correspond à la constante d’écran σ. 2. ❑ ν = 1.55.1018 Hz 3. ✗ ❑ 4. ❑ 5. ✗ ❑

3 particule α : réponse 2.

259

11

La détection des rayonnements ionisants Plan

Cours 11.1Émulsion photographique autoradiographie 11.2La thermoluminescence 11.3La calorimétrie 11.4L’effet cerenkov 11.5Les compteurs à gaz ou compteurs à décharge 11.6Les compteurs à scintillation 11.7Les détecteurs à semi-conducteurs 11.8Principe d’une chaîne de détection

Objectifs • Connaître :

– les différents détecteurs, – le principe d’une chaîne de détection

• Savoir :

– établir la relation entre le taux de comptage et l’activité d’une source radioactive, – exploiter un spectre – calculer le rendement de comptage d’une installation

11.9Le comptage 11.10 La spectrométrie QCM et exercices Corrigés

Cours En perdant leur énergie dans la matière, les rayonnements ionisants y laissent des « traces » qui peuvent être exploitées pour mesurer ces rayonnements, c’est-à-dire, détecter leur nature et leur intensité. Choisir un mode de détection dépend de l’application que l’on veut en faire. Ainsi l’imagerie médicale utilise des détecteurs à scintillations, la radioprotection, des détecteurs à ionisation, des émulsions photographiques, la thermoluminescence, etc.

11.1 Émulsion photographique - autoradiographie

11.1 ÉMULSION PHOTOGRAPHIQUE - AUTORADIOGRAPHIE Les particules ionisantes ont la propriété d’impressionner les émulsions photographiques. C’est grâce à cette propriété que la radioactivité fut découverte par Becquerel en 1892. Cette propriété a été mise à profit pour développer les techniques d’autoradiographie très répandues notamment dans le domaine de la recherche. On peut ainsi obtenir des images de la répartition de protéines marquées par un radioisotope émetteur β − après électrophorèse ou de la répartition de molécules d’intérêt biologique dans des coupes minces de tissus.

11.2 LA THERMOLUMINESCENCE C’est un phénomène physique qui se traduit par la propriété qu’ont certains cristaux d’émettre de la lumière lorsqu’on les chauffe, à condition qu’ils aient été au préalable soumis à une irradiation naturelle ou artificielle par des rayonnements ionisants. La quantité de lumière émise est proportionnelle à la dose d’irradiation reçue. Cette propriété est utilisée notamment dans les dosimètres thermoluminescents utilisés en radioprotection.

11.3 LA CALORIMÉTRIE Elle permet de mesurer les quantités de chaleur échangées dans un milieu (l’eau par exemple) par effet des radiations ionisantes. Par apport d’une quantité de chaleur Q, l’élévation de température Dθ d’une quantité de matière m dont la capacité calorifique est C est donnée par : © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Dθ =

Q mC

(11.1)

Cette technique est utilisée en dosimétrie.

11.4 L’EFFET CERENKOV L’effet Cerenkov se produit lorsque des particules chargées traversent un milieu avec une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière dans ce milieu. C’est un phénomène d’onde de choc identique à l’onde de choc acoustique produite par un avion qui vole à une vitesse supérieure à la vitesse du son : ceci se traduit par l’émission de photons lumineux. Les compteurs Cerenkov détectent et mesurent les rayonnements particulaires très énergétiques.

261

262

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants

11.5 LES COMPTEURS À GAZ OU COMPTEURS À DÉCHARGE Ils sont basés sur le principe de la colDétecteurs à gaz + lecte et de la mesure des charges électriques produites par ionisation lors de l’interaction des rayonnements ionisants avec la matière. Ce sont des condensateurs électriques : l’une des anode armatures de forme cylindrique, la air ou autre gaz cathode, est portée au pôle négatif cathode et mise à la terre, l’autre, l’anode est un fil longitudinal dans l’axe du Figure 11.1 cylindre porté à un potentiel positif V (Fig. 11.1). La cavité est remplie de gaz souvent à pression réduite. Un rayonnement qui traverse le compteur crée n ionisations. N électrons sont collectés sur l’anode et produisent une impulsion électrique, témoin de l’absorption d’énergie dans le compteur : N dépend de la différence de potentiel U = V .

Les modes de fonctionnement du compteur à gaz La figure 11.2 montre les variations du signal S en fonction de V (tension en volts) enregistré par un compteur à gaz pour deux rayonnements d’énergie initiale E1 et E2 (E2 > E1). Signal S A

B

C

D

E

F

E2 E1

100

300

1000 1100

Figure 11.2

1500 V (en volts)

• Région A : la différence de potentiel est faible, les recombinaisons électrons /ca-

tions sont importantes, N < n . • Région B : chambre d’ionisation. Les recombinaisons sont négligeables, tous les électrons sont collectés. L’amplitude de l’impulsion est constante et indépendante de V , elle dépend de l’énergie déposée dans le compteur. Cependant, la sensibilité

11.6 Les compteurs à scintillation

•

• •

•

est faible dans ce mode de fonctionnement qui ne permet de détecter en pratique que des particules α ou des protons. Région C : compteur proportionnel. Des ionisations secondaires s’ajoutent à l’ionisation primaire et le nombre d’électrons collectés est proportionnel à n, N = k .n ; le coefficient multiplicatif k dépend de V , et est indépendant de n . L’amplitude de l’impulsion est proportionnelle à l’énergie déposée dans le compteur. Ce mode de fonctionnement permet la détection et le comptage de particules de faible énergie et des photons X et γ. Région D : k n’est plus indépendant de n, c’est un régime de semi proportionnalité ; aucun compteur ne fonctionne dans ce mode. Région E : compteur Geiger-Müller. Chaque ionisation primaire entraîne une avalanche d’ions secondaires ; le gaz est quasi-totalement ionisé ; le nombre de charges collectées ne dépend pas du nombre d’ionisations primaires ; l’amplitude de l’impulsion est constante quelle que soit l’énergie déposée dans le compteur. Le compteur fonctionne en tout ou rien. Ce mode de fonctionnement est bien adapté à la recherche de radioactivité, dans le cas de contamination accidentelle par exemple. Région F : détecteur instable du fait de décharges permanentes ; le compteur est inutilisable dans cette zone.

On définit l’efficacité ou rendement du compteur comme le rapport du « nombre de particules provoquant des ionisations sur le nombre de rayonnements pénétrant dans le compteur ». Ce nombre est égal à 1 pour les particules lourdes, α, protons. Il est proche de 1 pour les électrons. Il est très faible, inférieur à 1 %, pour les X et les γ.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

11.6 LES COMPTEURS À SCINTILLATION Ils sont basés sur le principe de la collecte et de la mesure de photons de désexcitation lumineux émis par une substance scintillante solide ou liquide après absorption de l’énergie d’un rayonnement. Le scintillateur est associé à un tube photomultiplicateur (Fig. 11.3). Il est constitué : • d’une photocathode qui absorbe les photons et émet des électrons ; • d’un tube comprenant de nombreuses électrodes, les dynodes, dont le rôle est de multiplier le nombre d’électrons émis par la photocathode. Le signal recueilli par le détecteur est proportionnel à l’intensité lumineuse émise par le scintillateur, donc à l’énergie déposée dans ce dernier. Il existe différents types de scintillateurs. • Les scintillateurs minéraux sont des monocristaux transparents à la lumière conte-

nant des impuretés ou activateurs. Dans cette catégorie on trouve les monocristaux d’iodure de sodium activé au thallium, N a I (T l), très utilisés en médecine nucléaire. Ils sont particulièrement adaptés au comptage des rayons X et γ.

263

264

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants • Les scintillateurs organiques solides adaptés à la détection et au comptage des

rayonnements α, β . L’anthracène, le naphtalène et le stilbène sont les plus utilisés. • Les scintillateurs organiques liquides au sein desquels on place les échantillons à compter. Ce sont des cocktails à base de substances organiques comme le toluène ou le xylène. Ils sont utilisés pour la détection des électrons, des rayons X et γ de très faible énergie. γ

Scintillateur Photocathode

R R R R

vers les dynodes

R

Dynode

R

. . . . R

Anode RP

Figure 11.3

11.7 LES DÉTECTEURS À SEMI-CONDUCTEURS Le principe est basé sur les propriétés électriques des jonctions p-n qui apparaissent lorsque sont accolés des monocristaux semi conducteurs de types n et p. Les détecteurs à semi conducteurs sont plus sensibles que les détecteurs à gaz ou que les scintillateurs. Ils fonctionnent à très basse température.

11.8 PRINCIPE D’UNE CHAÎNE DE DÉTECTION Quel que soit le détecteur, une chaîne de détection (Fig. 11.4) comprend au minimum : • un amplificateur qui adapte, en l’amplifiant, le signal de sortie du détecteur à l’électronique de traitement du signal ; • un circuit de mise en forme du signal avant son traitement par l’ensemble de comptage. S’ajoutent à cet ensemble de base, et suivant les applications : • un sélecteur de coïncidence ou d’anti-coïncidence qui permet de retenir ou de rejeter certains signaux en fonction de leur simultanéité ou non ; • un sélecteur d’amplitude qui sélectionnera les signaux en fonction de leur amplitude.

11.9 Le comptage Détecteur

Mise en forme

Ampli

Echelle comptage Ordinateur

H.T

Figure 11.4

La figure 11.5 montre le principe de fonctionnement d’un sélecteur d’amplitude. À la sortie du circuit de mise en forme, le signal divisé en deux, est dirigé vers les discriminateurs haut et bas qui ne laisse passer que les signaux supérieurs à un seuil déterminé. Les réponses des discriminateurs sont filtrées par un circuit anticoïncidence. Le signal 1 ne franchit pas les discriminateurs, le signal 2 est éliminé par le circuit anti-coïncidence, seul le signal 3 est détecté.

S + ΔS seuil haut

sélecteur

signal anticoïncidence

comptage

ampli S seuil bas

S + ΔS S

1

2

3

Figure 11.5

11.9 LE COMPTAGE

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

11.9.1 Relation entre taux de comptage et activité Soit A l’activité d’une source de rayonnements. L’activité est exprimé en becquerel, nombre de désintégrations par seconde (D P S). On utilise également le nombre de désintégrations par minute (D P M). Le nombre d’impulsions par unité de temps ou taux de comptage détecté par une chaîne de comptage est exprimé en I P S, impulsions par seconde ou C P M, nombre de coups par minute. Le nombre de rayonnements par unité de temps n détecté par le compteur n’est pas égal à l’activité de la source. Le rapport entre les deux définit le rendement r de la détection n (11.2) r= A r est inférieur à 1 et dépend de paramètres liés à la source de rayonnement, au détecteur, à l’électronique associée et à l’environnement (Fig. 11.6).

265

266

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants détecteur

source géométrie nature mode de désintégration

nature géométrie

rendement

électronique

environnement

bruit de fond temps mort

rayonnements parasites géométrie du comptage

Figure 11.6

Bruit de fond ou mouvement propre En absence de source radioactive, tout détecteur enregistre des impulsions qui proviennent de rayonnements naturels parasites, telluriques et cosmiques mais aussi de signaux émis par l’électronique. Soit n B F ce nombre d’impulsions enregistrées par unité de temps. Le nombre d’impulsions spécifiques d’une source radioactive est : nS = n enr . − n B F (n enr . : nombre total d’impulsions enregistrées)

(11.3)

Temps mort du compteur C’est la période réfractaire τ pendant laquelle le compteur ne peut détecter un autre rayonnement. Suivant leur nature et l’électronique associée on distingue deux types de détecteurs, les détecteurs paralysables et non paralysables (Fig. 11.7). 6 impulsions temps

Détecteur

3 impulsions détectées temps

Paralysable

4 impulsions détectées Non paralysable temps

Paralysable :

n=

N 1 + Nτ

Non paralysable : n = N.e -Nτ

{

n : nombre d'événements mesurés N : nombre d'événements dans le détecteur

Figure 11.7

11.9 Le comptage Efficacité du détecteur C’est le rapport entre le nombre d’événements qui se produisent dans le détecteur et le nombre de rayonnements qui le pénètrent (Fig. 11.8).

Géométrie du comptage

ε=

nombre d'événements

S

nombre de RI pénétrants

Figure 11.8 Efficacité du détecteur.

Elle détermine le rapport entre le nombre de rayonnements qui pénètrent dans le détecteur et le nombre de rayonnements émis par la source (Fig. 11.9). D Ω S Si V est l’angle solide entre la source et le détecteur (cas d’une source ponctuelle), ce rapport est V Figure 11.9 Géométrie du comptage. (cas d’une source ponctuelle 4π isotrope). Le rapport entre impulsions enregistrées et activité d’une source dépend également de la géométrie de la source, du mode de désintégration et de la géométrie (forme et épaisseur du détecteur). La mesure absolue de l’activité d’une source nécessite la connaissance du rendement du dispositif de comptage. En pratique ce dernier est déterminé en mesurant le taux de comptage d’une source dont l’activité est connue.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

11.9.2 Les fluctuations statistiques Considérations théoriques La désintégration d’un corps radioactif est un phénomène aléatoire qui obéit à une loi de Poisson. La particularité de cette loi est que la valeur moyenne est égale à la variance. La probabilité d’observer N i désintégrations pendant l’intervalle de temps Dt est donnée par : −m Ni e Pr ob( N i ) = m . (11.4) Ni! où m est la moyenne observée sur des mesures répétées pendant le même intervalle de temps Dt. Si la durée du comptage est assez grande, on peut montrer que la loi de Poisson tend vers une loi de Gauss, soit : Pr ob( N i ) = √

1 2

−m ) − ( N i2m 2

.e

2

(11.5)

267

268

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants Ces considérations théoriques sont également valables lorsque l’on s’intéresse au nombre d’impulsions mesurées avec une chaîne de comptage et dans les mêmes conditions expérimentales. La figure 11.10 montre la répartition des impulsions enregistrées au cours de 2 500 mesures effectuées dans les mêmes conditions. La loi de Gauss de moyenne 30, 7 i ps et d’écart type 5, 55 i ps décrit parfaitement les résultats. Fréquence 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

m = 30,7 s = 5,55

10

Gauss

20

30

40

50

comptage

Figure 11.10

Incertitude et précision statistiques des comptages Elles découlent des propriétés de la loi de Gauss. • Si N est le nombre d’impulsions observées pendant la durée Dt, il y a 95 % de

chances pour que la vraie valeur inconnue soit dans l’intervalle : √ √ N − 2 N, N + 2 N

(11.6)

Ainsi : – l’erreur absolue (ou incertitude statistique) est : √ DN = 2 N

(11.7)

– l’erreur relative (ou précision statistique) esty : √ DN 2 N = N N

(11.8)

• Incidence sur les taux de comptage.

Si N impulsions sont mesurées pendant le temps t, le taux de comptage est : n=

N t

(11.9)

11.10 La spectrométrie • L’erreur statistique sur n est :

√ 2 N Dn = t

(11.10)

√ 2 N Dn = (c’est la même que sur N ) n N

(11.11)

• La précision statistique sur n est :

Remarque plus le nombre d’impulsions N est grand, meilleure est la précision statistique. En pratique, pour améliorer la précision statistique d’une mesure, il suffit d’augmenter la durée du comptage.

11.10 LA SPECTROMÉTRIE C’est l’opération qui consiste à classer les événements qui se produisent dans un DN détecteur, selon leur énergie, et tracer la courbe en fonction de E où E est l’énerDE gie absorbée par le détecteur. Cette opération n’est réalisable qu’avec les compteurs qui donnent un signal dont l’amplitude est proportionnelle à l’énergie absorbée dans le détecteur. Elle nécessite une chaîne de détection comprenant un système de sélection d’amplitude comme décrit par exemple dans le paragraphe 8. Nous nous limiterons à la spectrométrie γ réalisée avec des détecteurs à scintillation.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

11.10.1 Spectres γ théoriques Soit une source de rayonnements γ mono énergétiques. Les événements élémentaires dans le détecteur et les incidences sur le spectre d’absorption sont portés sur la figure 11.11. Au total, quel que soit l’événement primaire, E P , DC ou C P, l’énergie du photon γ est complètement ou partiellement absorbée. • Si l’absorption est totale, l’événement correspondant est comptabilisé sur le spectre au niveau de l’énergie hν du photon γ incident ; c’est le pic d’absorption totale centré sur l’énergie caractéristique du photon γ émis par la source. • Si l’absorption est partielle par échappement de photons γ secondaires ou de photons X de désexcitation du cortège électronique des atomes du détecteur, l’événement est comptabilisé sur le spectre au niveau de l’énergie absorbée, soit : hν−(hν Compton ou hν annihilation ou hν X ). L’échappement des photons X de désexcitation donne sur le spectre un pic centré sur : h ν − hν X . L’échappement de γ Compton dont les énergies varient de 0 à E max se traduit par un spectre continu entre 0 et Emax (énergie maximale de l’électron Compton) appelé spectre Compton. Les diffusions multiples donnent des impulsions comprises entre Emax et hν.

269

270

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants L’échappement d’un ou deux γ d’annihilation de 0, 511 MeV donne des pics situés à 0, 511 ou 1, 02 MeV du pic d’absorption totale. Effet photoélectrique

Diffusion Compton

Création de paires

γ (hν) γ (hν)

X

e-

ee-

Absorption totale : Eγ

γ (hν) e+ e

Absorption totale : Eγ

γ (hν)

γ (hν)

Echappement après diffusion e - simple. Absorption partielle : Eγ -hν D

γ (hν) Absorption e - partielle : Eγ -E X

e+ e

γ (hν)

X

ee-

Absorption totale : Eγ

Simple échappement . Absorption partielle : Eγ -0,511 MeV

γ (hν) Echappement après diffusions multiples Absorption partielle : Eγ -hνD

double échappement . Absorption partielle : Eγ -1,02 MeV

ee+

Figure 11.11.a.

hν - E X Front Compton

hν - 0,511 MeV hν - 1,02 MeV

spectre Compton

Front Compton

spectre Compton Emax hν

Energie < 1,02 Mev

Emax hν Energie > 1,02 MeV

Figure 11.11.b.

Remarques • l’importance relative du spectre Compton et du pic d’absorption totale est étroitement liée à la géométrie du détecteur. Les échappements diminuent lorsque la taille du détecteur augmente, diminuant aussi l’importance du spectre Compton ; • lorsque la source émet des photons γ d’énergies différentes, chacun d’entre eux contribue à un pic d’absorption totale et à un spectre Compton.

11.10 La spectrométrie

11.10.2 Spectres γ réels Pics supplémentaires Ils ont deux origines (Fig. 11.12). ➤ La source • Émission de deux rayonnements γ détectés simultanément et donnant sur le spectre

un pic somme ; • Émission de rayonnements X de désexcitation du cortège électronique du noyau fils. ➤ L’environnement du détecteur • X de désexcitation du matériau environnant le détecteur, souvent du plomb qui

protège des rayonnements parasites. • γ Compton diffusé par le matériau entourant le détecteur, c’est le pic de rétro diffusion. • γ d’annihilation de 0, 511 MeV après une création de paire dans l’environnement du détecteur.

rétrodiffusion PE EX

DC

S EX CP

hν

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

EX source

pic somme

EX ext. 0,511 MeV

Figure 11.12

Élargissement des pics Deux causes sont à l’origine de l’élargissement des pics : • l’une est la dispersion naturelle, mais faible, de l’énergie du γ émis ; • l’autre est due aux fluctuations statistiques qui existent à tous les niveaux de la chaîne de détection : réponses variables du détecteur à énergie absorbée constante, de la photocathode, des dynodes et du bruit de fond de l’électronique. Cet élargissement est fonction de la chaîne de détection, mais aussi de l’énergie des γ à mesurer. La dispersion se mesure par la résolution et le pouvoir de résolution. Il s’agit respectivement de la largeur à mi hauteur du pic d’absorption totale, et de cette largeur divisée par l’énergie sur laquelle est centrée le pic (Fig. 11.13).

271

272

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants Impulsions par unité de temps N

{

Résolution : ΔE Pouvoir de résolution : ΔE/E

N/2

ΔE

E

énergie

Figure 11.13

Applications de la spectrométrie γ ➤ Identification des radio-isotopes Chaque radio-isotope possède sa « carte d’identité γ ». Un radioisotope présentant un pic d’absorption totale à 662 k eV, un front Compton à 375 k eV et un pic étroit en début du spectre (X du noyau fils, le baryum), ne peut être que le 137Cs. En pratique, pour reconnaître des radio-isotopes et à fortiori des mélanges de radioisotopes, on utilise des détecteurs à haut pouvoir de résolution comme les détecteurs à semi-conducteurs. ➤ Réglage des appareils de mesures En pratique, en biologie et en imagerie médicale, tout appareil de mesure possède un spectromètre γ. Ceci permet : • de calibrer le système, c’est-à-

dire d’amener la réponse maximale (taux d’impulsion maximal) sur l’énergie du γ de la source à détecter ; • de se placer dans des conditions de mesure telles que le rapport signal spécifique sur bruit de fond est optimal ; ceci est réalisé en utilisant une fenêtre de comptage qui permet de ne mesurer que les impulsions d’absorption totale (Fig. 11.14).

Impulsions par unité de temps Fenêtre de comptage

bruit de fond énergie

Figure 11.14

Exercices

Exercices 1 1. Établir la relation entre le signal de sortie d’un photomultiplicateur (Ne , nombre d’électrons) et l’énergie E a absorbée dans le scintillateur. On notera par :

• w : énergie d’un photon de fluorescence émis dans le scintillateur ; • Ea :énergie absorbée dans le scintillateur ;

• f : rendement de fluorescence. Il correspond au nombre de photons de

fluorescence émis sur le nombre de photons potentiels si toute l’énergie absorbée est réémise sous forme de photons de fluorescence ; • C : rendement de collecte par la photocathode, il représente le nombre de photons collectés sur nombre de photons émis ; • ρ : rendement de conversion de la photocathode, il représente le nombre d’électrons émis sur le nombre de photons de fluorescence collectés ; • n : nombre de dynodes du photomultiplicateur ; • g : facteur multiplicatif moyen d’une dynode, nombre d’électrons émis sur nombre d’électrons absorbés. 2. Application numérique. Calculer les nombres d’électrons émis par la photocathode et collectés en sortie du photomultiplicateur et les charges électriques correspondantes avec les données suivantes. Conclure.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

w = 2 eV ; f = 10 % ; C = 90 % ; ρ = 20 % ; n = 10 ; g = 10 ; Ea = 200 k eV.

2 Établir la relation entre le taux d’impulsions γ mesurées par une chaîne de détection et l’activité d’une source de radioactivité. On désignera par : • f : •r : •ε: •τ :

• n BF • nS :

• nT :

facteur géométrique, il représente le nombre de rayonnements γ pénétrant le détecteur sur le nombre de rayonnements γ émis par la source ; rendement γ de la source, c’est à dire le nombre de rayonnements γ émis sur le nombre de désintégrations ; efficacité du détecteur, il représente le nombre d’événements dans le détecteur sur le nombre de rayonnements γ pénétrant ; temps mort du compteur supposé paralysable ; :taux de comptage du bruit de fond ; taux de comptage spécifique de la source de radioactivité ; taux de comptage brut, source plus bruit de fond.

273

274

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants 3 On désire mesurer l’activité γ de deux sources S1 et S2. Pour cela, on procède d’abord à un étalonnage et on trouve :

• l’activité γ de la source étalon est AE = 1, 5.10 3 Bq • nombre total d’impulsions mesurées : 54 020 • temps de mesure : 1 min

Les mesures sur les deux sources donnent : Pour la source S1 : • temps de mesure : 3 min,

• nombre total d’impulsions mesurées : 13 020.

Pour la source S2 : • temps de mesure : 5 min,

• nombre total d’impulsions mesurées : 280.

1. Sachant que le bruit de fond de la chaîne de mesure est de 20 i pm (impulsions par min), déterminer alors l’activité γ de ces deux sources. 2. Reprendre les calculs de la question 1 sans tenir compte du bruit de fond de la chaîne de mesure.

4 Les données sont celles de l’exercice précédent (exercice 3). On demande d’établir l’expression de l’activité des deux sources S1 et S2 en fonction de l’activité A de la source étalon.

5 Le schéma de désintégration simplifié du radioélément contenu dans les sources S1 et S2 dont il est question dans les exercices précédents est le suivant (Fig. 11.15) : X

60% β− 40%

γ 80%

C.I. 20%

Y

Figure 11.15 Déterminer le nombre de désintégrations qui se produisent par seconde dans la source en fonction de l’activité γ mesurée.

6 Les données sont les mêmes que pour l’exercice 3. 1. Calculer les incertitudes sur chacune des mesures.

Exercices 2. Que devient la précision sur l’activité de S2 lorsque le temps de comptage est de 20 min ? Conclure. On donne : La précision sur le taux de comptage du bruit de fond est de 1 %. On rappelle que les incertitudes sur le résultat de mesures indépendantes associées sont données par :  • Si R = A + B ou R = A − B alors DR = (DA )2 + (DB)2  DR DA 2 DB 2 A = ( • Si R = ou R = A × B alors ) +( ) B R A B

7 Le béryllium 7, 74 Be se trans-

7 4 Be (55 j)

7 3 Li

forme en lithium 7, stable par capture électronique. Le schéma de désintégration simplifié est donné ci-contre (Fig. 11.16). Quelles caractéristiques peuton attendre sur le spectre γ du 7 4 Be réalisé avec un détecteur à scintillation ?

K

12% 88%

0,48 MeV γ

0 7 4 Li (stable)

Figure 11.16 60 8 Même question que l’exercice précédent : 60 27 Co se transforme en 28N i par dés-

intégration β − . Le schéma de désintégration simplifié est (Fig. 11.17) :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

60 Co (5,24 ans) 27

β− 2,50 MeV γ 1,33 MeV γ

60 Ni (stable) 28

Figure 11.17

0

275

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants 9 Le spectre γ obtenu avec un scintillateur N a I et le schéma de désintégration

Nombre d'impulsions par seconde

simplifié du césium 137 sont donnés ci-dessous (Fig. 11.18).

Césium 137 Spectre γ NaI

30 keV

137

Cs 92%

β−

660 keV

8% γ

90% 137

C.I. 10%

Ba

énergie

Figure 11.18 1. À quoi correspondent les pics à 660 keV et 30 keV ? 2. À quoi correspond le décrochement marqué d’une flèche ? Calculer l’énergie correspondante. Estimer la résolution et le pouvoir de résolution.

10 Le spectre γ obtenu avec un scintillateur N a I et le schéma de désintégration simplifié du sodium 22 est donné ci-dessous (Fig. 11.19). Nombre d'impulsions par seconde

276

Sodium 22 Spectre γ NaI

511 keV

22 Na

β+, K 4 3

1200 keV

1

2

γ 22

Ne

énergie

Figure 11.19 1. À quoi correspondent les pics à 1 200 keV et 511 keV ? 2. À quoi correspondent les éléments du spectre notés 1, 2, 3 et 4 ? Calculer les valeurs théoriques correspondant à ces éléments. Vérifier sur le spectre après avoir déterminé l’échelle en énergie. 3. Estimer la résolution et le pouvoir de résolution.

Questions à choix multiples

Questions à choix multiples 1 À propos de la détection des rayonnements ionisants à l’aide d’un compteur à gaz. ❑ 1. Le détecteur d’un compteur à gaz est constitué d’un gaz scintillant. ❑ 2. En régime de fonctionnement sous le mode « chambre d’ionisation » on peut réaliser de la spectrométrie γ. ❑ 3. En régime de fonctionnement sous le mode « compteur proportionnel », l’amplitude de l’impulsion enregistrée est proportionnelle à l’énergie déposée dans le détecteur. ❑ 4. En régime de fonctionnement sous le mode « compteur proportionnel », l’amplitude de l’impulsion ne dépend pas du nombre d’ionisations primaires. ❑ 5. En régime de fonctionnement sous le mode « Geiger-Müller », l’amplitude de l’impulsion ne dépend pas du nombre d’ionisations primaires.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

2 À propos d’une chaîne de détection γ. ❑ 1. Le scintillateur émet des électrons après absorption de l’énergie des rayonnements ionisants. ❑ 2. La photocathode émet autant d’électrons qu’elle absorbe de photons de fluorescence. ❑ 3. À la sortie du photomultiplicateur, le signal est proportionnel à l’énergie déposée dans le détecteur. ❑ 4. Le sélecteur de coïncidence détecte des γ qui perdent simultanément leur énergie dans le détecteur. ❑ 5. Le sélecteur d’anti-coïncidence rejette certains signaux transmis par l’amplificateur.

3 À propos de la spectrométrie γ. ❑ 1. Le pic d’absorption totale correspond aux événements de type « effet photoélectrique » dans le scintillateur. ❑ 2. En supposant un scintillateur de taille infinie, le spectre γ serait uniquement composé de pics d’absorption totale. ❑ 3. Le spectre Compton correspond à l’absorption dans le scintillateur de photons diffusés Compton. ❑ 4. Un pic d’absorption supplémentaire centré sur 511 k eV est la conséquence d’une interaction à l’extérieur du détecteur. ❑ 5. Un pic supplémentaire centré sur 1, 02 MeV est la conséquence d’une interaction de type « création de paire » dans le scintillateur.

277

278

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants

Corrigés Exercices 1 1. Le nombre de photons de fluorescence théorique est tel que : n ph.,th ´eo =

Ea w

Le nombre de photons réellement crées dans le scintillateur est donc : n ph. = f × n ph.,th ´eo = f

Ea w

Comme C représente le rendement de collecte de la photocathode, alors le nombre de photons collectés par la photocathode s’écrit : nph, coll = C f

Ea w

Il en résulte donc un nombre d’électrons émis par la photocathode égal à : ne = ρn ph, coll = ρC f

Ea w

Le facteur multiplicatif d’une dynode étant égal à g, n dynodes en série ont un pouvoir multiplicatif égal à gn. Ea D’où : Ne = g nρC f w 2. Application numérique. Le nombre d’électrons émis par la photocathode (signal primaire) est : ne = ρn ph, coll = ρC f

Ea w

200.103 soit numériquement : n e = 0, 20 × 0, 90 × 0, 10 × = 1 800 2 Ce qui correspond à une charge de 1 800 × 1, 6.10−19  2, 9.10 −16 C. Le nombre d’électrons collectés en sortie du photomultiplicateur est N e = g nρC f

Ea = gn × n e w

soit numériquement : Ne = 1010 × 1 800 = 1, 8.1013

Corrigés Ce qui correspond à une charge de 1, 8.1013 × 1, 6.10−19 = 2, 9.10−6 C. La charge émise par la photocathode serait trop faible pour être exploitable par une chaîne de mesure. D’où l’intérêt du système multiplicateur qui amène le signal à un niveau exploitable en multipliant de façon considérable le signal primaire (facteur de 1010).

2 Si n R représente le taux de comptage corrigé du temps mort, alors on peut écrire : nT 1 − nT Il en résulte donc un taux de comptage spécifique ou nombre d’événements dans le détecteur de : nR =

n S = nR − n BF Le taux de rayonnements γ pénétrant le détecteur sera donc de : nS nP = ε Comme f représente le facteur géométrique, alors nP nγ = f

n γ : taux de rayonnements γ émis par la source ou activité γ de la source

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Le nombre de désintégrations par unité de temps s’écrit donc : nγ A= r nT − nB F 1 − nT soit, A= εfr

3 1. Déterminons le rendement de comptage r de l’installation. Le nombre d’impulsions spécifiques de la source étalon est : N S,´et = 54 020 − 20 = 54 000 54 000 soit, = 900 ips (impulsions par seconde) 60 900 Le rendement r vaut donc : r = = 0, 600 soit r = 60 % 1 500 • Activité de la source S1 Le nombre d’impulsions spécifiques est : NS1 = 13 020 − 3 × 20 = 12 960 12 960 Soit, = 72 ips. 3 × 60 72 L’activité γ de la source S1 est donc AS1 = = 120 Bq 0, 6

279

280

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants • Activité de la source S2

Le nombre d’impulsions spécifiques est : NS2 = 280 − 5 × 20 = 180 180 Soit, = 0, 60 ips. 5 × 60 0, 60 L’activité γ de la source S2 est donc AS2 = = 1, 0 Bq. 0, 600 2. Si on ne tient pas compte du bruit de fond de la chaîne de mesure, on aura un nombre d’impulsions spécifiques de NS,et´ = 54 020 54 020 Soit = 900, 33 ips. 60 900, 33 Il en résulte donc, pour la source étalon, un rendement r = = 0, 6002 1 500 soit r = 60, 02 %. • Activité de la source S1 Le nombre d’impulsions spécifiques enregistrées par seconde : 13 020 = 72, 33 ips. 3 × 60 72, 33 L’activité γ de la source S1 est donc AS1 = = 120, 5 Bq. 0, 6002 DA 120, 5 − 120 = Cela correspond à un écart relatif de  0, 004 soit A 120 0, 4 % • Activité de la source S2 280 Le nombre d’impulsions enregistrées par seconde est : = 1, 55 ips. 5 × 60 1, 55 L’activité γ de la source S2 est donc AS2 = = 2, 58 Bq. 0, 6002 DA 2, 58 − 1, 0 = Cela correspond à un écart relatif de  1, 58 soit 158 %. A 1, 0 Conclusion : lorsque les taux de comptage sont importants, le bruit de fond est sans conséquence significative sur le résultat de la mesure et peut donc être négligé. En revanche, si les activités à mesurer sont faibles (de l’ordre de grandeur du bruit de fond) il faut tenir compte de la valeur du bruit de fond.

4 Soit n T , E et nT ,S les taux de comptage totaux enregistrées pour l’étalon et pour la source inconnue dans les mêmes conditions de mesure et soit r le rendement de comptage dans ces conditions. Si nB F représente le bruit de fond, alors :   L’activité de la source étalon est A E = r n T , E − nB F

Corrigés L’activité de la source inconnue est AS = r (n T ,S − n B F ) AS En effectuant le rapport , il vient : AE   n T ,S − n B F  AS = A E  n T ,E − n B F Si nT , E et n T ,S sont très grands devant n B F , il vient : AS = A E

n T ,S nT , E

Application numérique. 54 020 Etalonnage : nT , E =  900, 3 ips, 60 20 Bruit de fond : nB F = = 0, 33 ips, 60 13 020 Source S1 : n T ,S =  72, 3 ips, d’où 3 × 60 72, 3  120 Bq AS1 = 1 500 × 900, 3 280 Source S2 : n T ,S = = 0, 93 ips, d’où 300 AS2 = 1 500 ×

0, 93 − 0, 33  1, 0 Bq 900, 3

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

5 Sur 100 désintégrations β− , 60 aboutissent sur un état excité du noyau fils Y. Sur ces 60 noyaux excités, 80 %, soit 48 se désexcitent par émission d’un rayonnement γ. L’activité γ notée Aγ représente donc 48 % du nombre de désintégrations du noyau X. Aγ L’activité totale de X est donc A = 0, 48 Application numérique. 120 Source S1 : activité totale AS1 = = 250 dps (désintégrations par seconde 0, 48 ou Bq). 1, 0 Source S2 : activité totale AS2 =  2, 1 dps (désintégration par seconde 0, 48 ou Bq).

6 Soient : N T le nombre d’impulsions enregistrées pendant le temps t. N S le nombre d’impulsions spécifiques enregistrées pendant le temps t.

281

282

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants N B F le nombre d’impulsions du bruit de fond pendant le temps t. nT le taux de comptage total. nS le taux de comptage spécifique. nB F le taux de comptage du bruit de fond.  Ainsi : N S = NT − N B F et DN S = (DNT )2 + (DN B F )2 On a toujours DN B F = 0, 01 × N B F = 0, 01nB F × t où t représente le temps de comptage.  Comme DNT = 2 N T .   alors DNS = (2 N T )2 + (0, 01n B F × t)2 . Déterminons la précision sur nS : Dn S DN S = Comme nS NS  √ DnS (2 NT ) 2 + (0, 01n B F × t) 2 = alors . nS NS Etalonnage : Pour t = 1 min ; n B F = 20 coups/ min, NT = 54 020 et NS = 54 000, on a :  √ DNS = (2 54 020)2 + (0, 01 × 20 × 1) 2 = 464, 8 et

Dn S DN S 464, 8 = = = 0, 86 %. nS NS 54 000

Par conséquent, la précision sur le rendement r est de 0, 86 % (r =

nS ) 1 500

• Mesure sur S1 :

On a t = 3 min ; n B F = 20 coups/ min, N T = 13 020 et N S = 12 960.  √ Ainsi DN S = (2 13 020)2 + (0, 01 × 20 × 3) 2 = 228, 2 228, 2 Dn S DN S = = = 1, 76 %. nS NS 12 960 Précision sur l’activité de la source DA Dn S Dr nS = Comme A = alors + r nS r A DA Soit numériquement = 1, 76 % + 0, 86 % = 2, 62 % A Et

• Mesure sur S2 :

On a t = 5 min ; n B F = 20 coups/ min, N T = 280 et NS = 180.  √ Ainsi DN S = (2 280)2 + (0, 01 × 20 × 5)2 = 33, 5

Corrigés Dn S DN S 33, 5 = = = 18, 6 %. nS NS 180 Précision sur l’activité de la source Dn S Dr DA = + A nS r DA Soit numériquement = 18, 6 % + 0, 86 % = 19, 46 %. A Pour un temps de comptage de 20 min. On peut supposer que les nombres d’impulsions spécifique et total sont multiplié en moyenne par 4. On a t = 20 min ; n B F = 20 coups/ min, N T = 1 120 et N S = 720.  √ Ainsi DN S = (2 1 120)2 + (0, 01 × 20 × 20)2 = 67 Et

Dn S DN S 67 = = = 9, 3 %. nS NS 720 Précision sur l’activité de la source DA Dn S Dr = + nS r A DA Soit numériquement = 9, 3 % + 0, 86 % = 10, 16 %. A Conclusion : la précision est améliorée lorsque le temps de comptage est augmenté. Ce principe permet d’adapter les temps de comptage des sources radioactives en fonction de la précision désirée sur la mesure des activités. Et

7 • Le pic d’absorption totale du γ de désexcitation de 7 Li centré sur l’énergie de 480 k eV.

• Le front Compton au niveau de 313 k eV : énergie maximale transférée à © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

l’électron Compton, soit

E max, electron ´ Compton =

Eγ m0 c2 1+ 2Eγ

• Le pic de rétro diffusion au niveau de Eγ − 313 = 167 k eV.

8 • On a des pics d’absorption totale des deux photons γ de désexcitation de 60

N i , centrés sur 1, 33 MeV et 2, 5 − 1, 33 = 1, 17 MeV.

• Les fronts Compton sont respectivement à 1, 15 et 0, 96 MeV. • Les rétro diffusions sont respectivement centrées sur 1, 33−1, 15 = 0, 18 MeV

(180 k eV) et 1, 15 − 0, 96 = 0, 19 MeV (190 k eV). Ces deux effets sont confondus sur le spectre.

• Le pic somme est centré sur 1, 33 + 1, 17 = 2, 50 MeV : il sera apparent si

l’activité est suffisante.

283

Chap. 11. La détection des rayonnements ionisants Remarques i) Ces deux pics sont plus ou moins superposés suivant la résolution du détecteur. ii) Le front Compton à 1, 15 est confondu avec le pic à 1, 17 MeV. Un exemple est donné ci-dessous (Fig. 11.20). 1,17 MeV Nombre d'impulsions par seconde

284

Cobalt 60 Spectre γ NaI

1,33 MeV

0,19 MeV

2,50 MeV Energie

Figure 11.20

9 1. Le pic à 660 k eV correspond à l’absorption totale du rayonnement γ de désexcitation de 137 Ba.

2. Le pic de 30 k eV correspond aux rayonnements X émis par désexcitation de la structure électronique de 137 Ba après désexcitation de sa structure nucléaire par C . I . (conversion interne). Le décrochement doit correspondre au front Compton caractéristique des Eγ énergies maximales transmises aux électrons Compton, soit . m 0c 2 1+ 2Eγ L’application aux rayons γ de 660 k eV donne 476 k eV. Résolution : DE : elle correspond à la largeur, exprimée en k eV, à mihauteur du pic d’absorption totale. DE . Le pouvoir de résolution correspond à E La mesure sur le spectre donne DE =55 k eV. DE 55 = Ainsi = 0, 08 soit 8 %. E 660

10 1. Le pic à 1 200 k eV correspond à l’absorption totale du rayon γ de désexcitation de 22 N a.

2. Le pic à 511 k eV : les positons émis par le 22N a s’annihilent avec des électrons à l’extérieur du détecteur ; une partie des rayons γ d’annihilations

Corrigés correspondant perdent leur énergie dans le détecteur ; le pic à 511 k eV correspond à l’absorption totale de cette énergie. Compte tenu du schéma de désintégration proposé, les pics 2 et 3 doivent correspondre à des pics parasites : pic 1 : pic somme de γ de désexcitation du 22 N a et de γ d’annihilation ; pic 4 : γ Compton rétro diffusé après un effet Compton à l’extérieur du détecteur, effet à transfert maximal d’énergie à l’électron Compton. Les éléments 2 et 3 doivent correspondre aux fronts Compton relatifs respectivement aux γ de 1 200 keV et aux γ d’annihilation. Calculs Pic somme 1 : centré sur 1 200 + 511 = 1 711 k eV. 1 200 Eγ Front Compton 2 : = = 990 k eV. 511 m 0c 2 1+ 1+ 2 400 2Eγ Eγ 511 = = 340 k eV. 2 511 m 0c 1+ 1+ 1 022 2Eγ Rétro diffusion 4 : 511 − 340 = 171 k eV. Vérification sur le spectre : Mesurer les énergies correspondant à 1, 2, 3 et 4 après avoir déterminé l’échelle en énergie : h en keV/cm. Front Compton 3 :

3. Résolution et pouvoir de résolution DE = 45 keV, soit

DE = 8, 8 %. E

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Questions à choix multiples 1 1. ❑.

2. ❑ (manque de sensibilité pour les γ ; vrai pour les particules lourdes α, protons) 3. ✗ ❑. 4. ❑. 5. ✗ ❑. Question

2

3

1.

❑

❑

2.

❑

✗ ❑

3.

❑ ✗

❑

4.

❑

✗ ❑

5.

❑ ✗

✗ ❑

285

12

Effets biologiques des rayonnements ionisants

Plan Cours 12.1Dosimétrie des faisceaux de photons (x et γ) 12.2Cas des faisceaux de particules chargées 12.3Doses équivalente et efficace 12.4Effets biologiques des rayonnements ionisants

Objectifs • Connaître

les caractéristiques d’un faisceau de photons.

• Savoir établir la relation le

KERMA et la fluence

• Savoir calculer :

– une dose absorbée et une dose équivalente,

– un débit de dosé absorbée et un débit de dose équivalent

12.5Les effets déterministes 12.6Les effets stochastiques QCM et exercices Corrigés

Cours Un faisceau de particules ou de photons interagit avec la matière par des processus élémentaires décrits dans le chapitre 10 qui aboutissent à des dépôts d’énergie. Cette énergie absorbée est à l’origine des effets biologiques déterministes précoces et des effets stochastiques tardifs (cancers, effets génétiques) observés dans les tissus irradiés. La dosimétrie a pour objectif d’évaluer l’énergie absorbée par la matière.

12.1 Dosimétrie des faisceaux de photons (x et γ)

12.1 DOSIMÉTRIE DES FAISCEAUX DE PHOTONS (X ET γ) 12.1.1 Caractéristiques d’un faisceau de photons Définitions Soit une source émettrice de photons X ou γ. L’émission est caractérisée par : ➤ La distribution spectrale Elle correspond aux proportions des énergies représentées dans le faisceau émis par une source. Cette notion sera prise en compte pour les faisceaux polyénergétiques. Nous considérons pour la suite que les faisceaux de photons monoénergétiques d’énergie notée E. ➤ Le flux de photons Il représente le nombre de photons émis par unité de temps, soit : d N(t ) N˙ (t ) = (nombre de photons/s) dt ➤ Le flux énergétique Il correspond à l’énergie totale transportée par le faisceau par unité de temps, soit : F(t ) = N˙ (t )E

(12.1)

(F(t) en W)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

➤ L’énergie totale émise pendant la durée T Elle est donnée par : W =



T

F(t )dt

(12.2)

0 (W en J)

➤ L’intensité énergétique dans une direction donnée

dS

Elle est égale au flux énergétique élémentaire d F(t ) émis dans l’angle solide élémentaire dV dans une direction donnée (Fig. 12.1), soit : I (t ) =

d F(t ) dV

( I (t) en W/ sr)

(12.3)

P r=

S

SP

dΩ = dS r2

Figure 12.1 dV : angle solide sous lequel est vu l’élément de surface dS du point O.

287

288

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants ➤ L’éclairement énergétique au point P C’est le rapport du flux d’énergie d F(t ) qui traverse la surface élémentaire d S, soit : E (t ) =

d F(t ) dS

(12.4)

( E (t) en W. m −2 )

➤ La fluence énergétique au point P Elle représente l’énergie totale qui traverse l’élément de surface d S pendant la durée T , soit :  T E(t )dt (12.5) F= 0 ( F en J. m−2)

Remarque L’éclairement et la fluence énergétique décroissent comme le carré de la distance entre la source et la surface considérée.

12.1.2 Énergies transférées et énergies absorbées Nous nous intéressons à une sphère élémentaire de masse dm , située au sein d’un matériau (Fig. 12.2). dWi

P dWd dW t dW t = dWi - dW d

Figure 12.2 ➤ Énergie et dose transférée – Le KERMA L’énergie dWt transférée dans la sphère par les photons est la différence entre l’énergie incidente dWi et l’énergie dWd des photons diffusés ou qui n’ont pas subit d’interaction. Ce transfert est définit par le K E R M A (Kinetic Energy Released per unit Mass) : K =

dWt dm

(12.6)

(K en Gy (Gray) ou J. kg −1 )

Cette grandeur prend en compte toute l’énergie transférée, même si une partie de celle-ci s’échappe de la sphère élémentaire.

12.1 Dosimétrie des faisceaux de photons (x et γ) ➤ Énergie et dose absorbée L’énergie déposée dans la sphère élémentaire correspond à des transferts qui se sont produits dans ou à l’extérieur de cette dernière (Fig. 12.3). (3)

(1) (2)

dW 1

dW 3

P

dW 2

dW a = dW 1 + dW 2 + dW 3

Figure 12.3 La dose absorbée D est l’énergie déposée par unité de masse, soit : D=

dW a dm

(12.7)

(D en Gy)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Lorsque la sphère élémentaire est loin des surfaces libres du matériau par rapport au parcours moyen des électrons secondaires, on peut montrer qu’il y a compensation entre les événements qui se produisent à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère. Il y a équilibre électronique et égalité entre KERMA et dose absorbée. Cette situation est particulièrement intéressante car il existe une relation simple entre le KERMA et la fluence énergétique qui peut s’appliquer à la dose absorbée (voir exercice 1).

12.1.3 Débit de dose absorbée • Le débit : il représente la fraction de dose absorbée par unité de temps, soit :

J (t ) =

dD dt

(12.8)

J (t )dt

(12.9)

( J en Gy. s −1 )

• La dose absorbée pendant la durée T est :

D=



T 0

Pour un débit constant, soit J (t ) = J = cste, alors D = J T Le débit de dose absorbée a une incidence importante sur les effets biologiques des rayonnements ionisants.

289

290

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants

12.1.4 Cas de la dosimétrie in vivo Lorsque la source est à l’intérieur de l’organisme, le débit de dose dépend de la période effective T du radioélément. Cette dernière est donnée par :   T : période physique 1 1 1  P = + ou λ = λ P + λ B   TB : période biologique T TP T B

(12.10)

où λ P et λ B représentent les constantes radioactive et d’élimination biologique et λ la constante de décroissance effective. Dans ce cas : • Le débit de dose n’est pas constant, et décroit selon la loi :

J (t ) = J0e −λt

(12.11)

• La dose totale absorbée vaut :

D=



∞ 0

J (t )dt = J0

T ln 2

(12.12)

12.2 CAS DES FAISCEAUX DE PARTICULES CHARGÉES On utilise les grandeurs définies pour les faisceaux de photons. En irradiation interne, dans le cas des émissions β −, on utilise l’expression suivante du débit de dose,   E − : énergie moyenne des β− en MeV,  β J (t ) = 21, 31Eβ− C (t ) avec   C (t ) : concentration du radioélément en mCi.g−1 (12.13)

12.3 DOSES ÉQUIVALENTE ET EFFICACE L’énergie absorbée par la matière est indépendante de la nature du rayonnement. Cependant l’expérience prouve qu’à énergie absorbée constante les effets biologiques dépendent étroitement de la nature du rayonnement, et en particulier de son pouvoir ionisant. De plus, l’expérience acquise sur les effets stochastiques tardifs induits par des expositions du corps entier aux rayonnements ionisants montre qu’à une dose équivalente identique, les organes ou tissus répondent de manière différente suivant leur nature. Les grandeurs dose équivalente et dose efficace ont été introduites pour prendre en compte l’impact des doses absorbées sur les effets biologiques suivant la nature des rayonnements et suivant la nature des organes ou tissus irradiés.

12.3 Doses équivalente et efficace La dose équivalente quantifie la nocivité relative des rayonnements suivant leur type. La dose efficace est une estimation des risques à long terme de développement d’effets stochastiques. Elle est utilisée uniquement en radioprotection dans le domaine des faibles doses cumulées au cours de l’existence.

12.3.1 Dose équivalente La dose équivalente prend en compte le pouvoir d’ionisation : c’est la dose absorbée pondérée par un facteur de pondération wr : (12.14)

H T , R = wr D T , R

L’indice T fait référence au tissu considéré et l’indice R au rayonnement. La dose équivalente est exprimée en sievert (symbole Sv) pour la distinguer de la dose absorbée. Le tableau ci-dessous indique les valeurs usuelles du facteur wr suivant la nature des rayonnements :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Rayonnement

Facteur de qualité

Photons

1

Électrons

1

Neutrons

de 5 à 20 selon l’énergie

Protons

5

Alpha

20

12.3.2 Dose efficace La dose efficace E e f f , exprimée en sievert, prend en compte les effets à long terme suivant la nature des tissus et organes : c’est la somme des doses équivalentes déposées dans les organes et tissus irradiés pondérées par un facteur de pondération tissulaire wt qui dépend des effets stochastiques tardifs, E ef f =



wt H T , R = wr



wt D T , R

(12.15)

Lorsque l’irradiation est homogène (DT , R = cste), l’expression ci-dessus devient : Ee f f = w r



wt DT , R = wr D R



w t = wr D R = H R

Le tableau page suivante donne les valeurs de wr pour les tissus et organes :

(12.16)

291

292

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants Tissu ou organe Peau Surfaces osseuses Vessie Thyroïde Sein Foie Œsophage Reste de l’organisme Poumon Estomac Moelle osseuse rouge Colon Gonades Total

wt 0, 01 0, 01 0, 05 0, 05 0, 05 0, 05 0, 05 0, 05 0, 12 0, 12 0, 12 0, 12 0, 20 1

12.3.3 Ordre de grandeur de l’irradiation moyenne en France par an et par habitant • Irradiation naturelle moyenne (2, 5 mSv) :

– externe par rayonnements cosmiques : 0, 35 mSv (0, 2 mSv au niveau de la mer, 1, 1 mSv à 3 000 m d’altitude), – externe tellurique : 0, 45 mSv, – interne par inhalation (surtout le radon 222) : 1, 4 mSv, – interne par ingestion (surtout le potassium 40) : 0, 35 mSv. • Irradiation artificielle moyenne : 1 mSv essentiellement les utilisations médicales,

pour l’industrie du nucléaire elle est inférieure à 0, 01 mSv.

12.4 EFFETS BIOLOGIQUES DES RAYONNEMENTS IONISANTS L’action biologique des rayonnements ionisants commence par les effets chimiques élémentaires d’ionisations, d’excitations et d’échanges thermiques avec la matière vivante. Suivant la nature de l’irradiation (rayonnement, dose, débit de dose), le type de cellule ou de tissu ou la susceptibilité du sujet, ces effets primaires aboutissent à des effets pathologiques ou non à plus ou moins long terme. Deux types d’effets sont observés : 1. les effets déterministes qui surviennent de façon précoce (quelques heures à quelques jours) pour des doses fortes ; 2. les effets stochastiques (aléatoires), tardifs (quelques années) observés pour des fortes doses, une fois passé l’effet déterministe, mais surtout liés aux faibles doses.

12.4 Effets biologiques des rayonnements ionisants

12.4.1 Les effets chimiques des radiations ionisantes Ils apparaissent en quelques microsecondes. Ils se traduisent par l’ionisation ou l’excitation des molécules d’intérêt biologique, directement par les rayonnements ou indirectement par les produits de la radiolyse de l’eau (70 % en poids du corps humain).

La radiolyse de l’eau Elle produit en particulier des radicaux libres très réactifs oxydants, ·O H , ·H O 2, H2 O2 et réducteur ·H (Fig. 12.4). Parmi ces espèces, le radical hydroxyle est le plus réactif, capable de rompre les liaisons C − H , de se fixer sur les doubles liaisons, d’ioniser les molécules d’intérêt biologique, et de former en présence d’oxygène des radicaux peroxyle très réactifs. C’est l’effet oxygène recherché en radiothérapie. En général, les structures cellulaires sont assez résistantes aux effets des produits de la radiolyse de l’eau, sauf l’ADN. . H O + e2

+ H2O

. OH + H+

H2O*

H2O Ionisations et excitations secondaires puis hydratation

e-aq

Effet initial

désexcitation

10 -12 s

. OH + .H

H2 O

bilan : .OH, H +, e- , .H aq

Réactions secondaires

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

.OH, H +, e - , .H, . HO , H O , H 2 2 2 2 aq

Altération des molécules d'intérêt biologique

Figure 12.4

Les altérations de l’ADN Les altérations directes de l’ADN par les radiations ionisantes ou indirectes par l’intermédiaire des produits de la radiolyse de l’eau aboutissent à 5 grands types de modifications : 1. addition de produits de la peroxydation des lipides ; 2. dégradation des bases ; 3. création de sites abasiques ; 4. pontage ADN-protéines ; 5. rupture simple brin ou double brin. C’est la rupture double brin qui est la plus toxique pour la cellule.

293

294

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants

12.4.2 Les effets cellulaires des radiations ionisantes Bien que toutes les molécules d’intérêt biologiques soient sensibles aux radiations ionisantes, le devenir d’une cellule irradiée dépend de sa capacité à réparer les altérations de son ADN et en particulier les ruptures simple et double brins. Arrêt du cycle

ADN Pas de réparation

réparation fautive

Réparation fidèle

Effet létal Mutation non létale

Survie cellulaire normale

Mort cellulaire non contrôlée (nécrose)

Pathologie tissulaire

Mort cellulaire programmée (apoptose)

Anomalie héréditaire

Cancer

Elimination par le système immunitaire

Figure 12.5 La capacité de réparation dépend de nombreux paramètres, certains sont propres à la nature de la cellule (contenu enzymatique, état physiologique...), d’autres sont fonctions de la nature du rayonnement, de la dose absorbée, du débit de dose. La figure 12.5 schématise le devenir de la cellule après irradiation. • Aux très faibles doses et débit de dose, les réparations sont fidèles et la cellule

survit normalement. • Aux fortes doses, les systèmes de réparation sont débordés et la mort cellulaire non contrôlée aboutit à des pathologie tissulaires (effets déterministes). • Pour les doses intermédiaires, le nombre de réparations fautives s’accumule (fonction de la nature de la cellule et de la dose). Elles conduisent soit à la mort cellulaire non contrôlée, soit à la mort cellulaire programmée (apoptose), soit à des mutations non létales induisant les effets stochastiques (anomalies héréditaires et cancers), ou dans le meilleur des cas à l’élimination par le système immunitaire.

12.5 LES EFFETS DÉTERMINISTES Ce sont les effets précoces dont la gravité dépend de la dose. Ils ne se produisent systématiquement que lorsque la dose absorbée atteint une valeur seuil. Compte tenu de la variabilité individuelle, le seuil est déterminé dans une population et correspond à une fourchette comprise entre D0 , dose en dessous de laquelle aucun sujet ne présente d’effet, et D100 (dose au dessus de laquelle tous les sujets présentent l’effet). On définit la dose D50 pour laquelle 50 % de la population présente l’effet.

12.5 Les effets déterministes

12.5.1 Les courbes effet-dose ou de survie cellulaire Ce sont des courbes expérimentales réalisées sur des populations cellulaires homogènes. Elles permettent de quantifier la proportion de cellules ayant subi un effet étudié, mort cellulaire par exemple, en fonction de la dose administrée. On rencontre expérimentalement 3 types de courbes, qui peuvent s’interpréter par des modèles mathématiques : théorie des cibles. On suppose, par exemple, que la cellule contient une cible létale d’emblée (elle doit être atteinte une ou plusieurs fois pour entraîner la mort cellulaire) et/ou une ou plusieurs cibles sublétales (elles doivent être toutes atteintes une ou plusieurs fois pour entraîner la mort cellulaire). Ces modèles sont faux sur le plan biologique mais expliquent la forme des courbes de survie expérimentales.

Principaux types de courbes observées ➤ Type exponentiel (Fig. 12.6) Il concerne la survie de virus, de cellules simples comme les bactéries, les cellules souches hématopoïétiques, ou les irradiations avec des T L E élevés. 10

S (en échelle ln)

1

0,1

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

0,01

0,001 0

2

4

6

8

10

12 Dose (en Gy)

Figure 12.6 Si S est le taux de survie, D la dose administrée, on a : S = ke −αD La radiosensibilité est caractérisée par D0, dose létale moyenne pour laquelle la pro1 portion de cellules indemnes est égale à (37 % de survie) ou par la dose létale 50 : e D 50 = D 0 ln 2 (50 % de survie). S peut s’écrire : −

S = ke

D D0

295

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants Le type exponentiel s’explique par le modèle d’une cible létale d’emblée. Il correspond du point de vue biologique à des systèmes qui n’ont pas la capacité de réparation. ➤ Les courbes de survie avec épaulement Le début de la courbe est incurvée avec une pente à l’origine nulle ou non, et une partie distale linéaire ou continûment incurvée. Ce type correspond à des systèmes qui présentent une capacité de réparation des lésions sublétales. Deux exemples sont donnés sur les figures 12.7 et 12.8. 10

1 cible létale d'emblée n cibles sub-létales

Droite de pente 1/D0

Radiosensibilité : 1D 0 et D 0 S (en échelle ln)

1 tangente de pente 1/1D0 0,1 S = e-D/1D 0(1-(1-e-D/D 0)n ) 0,01

0,001 0

2

4

6

8

10

12 Dose (en Gy)

Figure 12.7

Modèle quadratique 1 cible 1 coup et 1 cible 2 coups

10

Radiosensibilité α S (en échelle ln)

296

1 2 S = e-(αD +βD )

0,1

0,01

0,001 0

2

4

6

8

10

Figure 12.8

12 Dose (en Gy)

Les facteurs qui influencent les courbes effet-dose Ce sont : 1. Le contenu en ADN : les cellules riches en ADN sont plus radiosensibles.

12.5 Les effets déterministes 2. La nature et l’énergie du rayonnement : les capacités de réparation des lésions sublétales diminuent lorsque le pouvoir ionisant du rayonnement augmente. La radiosensibilité d’un type cellulaire est d’autant plus élevée que le T L E du rayonnement est élevé (origine du facteur de pondération wr ). 3. Le débit de dose : les capacités de réparation des lésions sublétales diminuent lorsque le débit de dose augmente. La radiosensibilité augmente avec le débit de dose. 4. Le fractionnement de la dose : lorsque la dose est délivrée en plusieurs fois, les lésions sublétales ont le temps de se réparer entre les fractions. Plus le fractionnement est important et plus la radiosensibilité diminue (même résultat que le débit de dose). 5. Le cycle cellulaire : c’est dans les phases de division (G2 et M) que les cellules sont le plus radiosensibles. Elles le sont beaucoup moins (facteur 10) en phase de repos (G0). 6. L’oxygénation : les cellules hypoxiques sont moins radiosensibles que les cellules oxygénées dans lesquelles la synthèse de radicaux libres très toxiques est favorisée. Chacun de ces facteurs a des conséquences importantes, que ce soit en radiopathologie ou en radiothérapie.

12.5.2 Les effets tissulaires Le tableau ci-dessous montre les doses aiguës ou étalées (radiothérapie) de survenue d’effets biologiques dans des organes ayant subit une irradiation localisée.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Organe Peau

Dose aiguë (en Gy) 4−8 5 − 20 > 25 Testicules 0, 3 − 6 Ovaires 12 − 15 Moelle osseuse 2−5 Œil 10 − 20 Poumons 25 (15jours) Cœur 50 (dose fractionnée) Rein 30 (qlq. semaines) Tube digestif 30 − 50 (qlq. semaines) Foie 30 Moelle épinière 40 Encéphale 12 Tronc cérebral

Effet Erythème Epidermite Nécrose Azoospermie (temporaire ou définitive) Ménopause artificielle Aplasie médullaire Cataracte à terme Pneumonie radique Myocardite, péricardite Radionéphrite, HTA Ulcérations, radio-mucites Hépatite Myélite, paraplégie Œdème

297

298

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants Les effets précoces qui surviennent sur les organes les plus radiosensibles (moelle osseuse, tube digestif) permettent d’établir le diagnostic suite à une irradiation accidentelle. En cas d’irradiation globale à très forte dose (supérieure à 12 − 15 Gy), la plupart des symptômes décrit ci-dessus n’ont pas le temps de se manifester, le patient meurt d’œdème cérébral.

12.5.3 Conséquences sur l’organisme en cas d’irradiation aiguë En fonction de la dose administrée : * 0, 25 Gy : aucune manifestation symptomatique. * 0, 25 à 1 Gy : discrète diminution réversible des lymphocytes. * 1 à 2 Gy : dans les 6 à 48 h, leucopénie, thrombopénie, nausées, céphalées ; guérison spontanée. * 2 à 5 Gy diminution importante des lymphocytes (50 %), nausées et vomissements, pancytopénie dans les 15 à 30 jours. * 5 à 15 Gy : aplasie médullaire importante, troubles digestifs et neurologiques graves, pronostic réservé. * supérieure 15 Gy : irradiation létale dans la plupart des cas, manifestations neurologiques immédiates.

12.5.4 Les dommages sur les chromosomes Mutations géniques non observables Elles sont la conséquence des réparations fautives. Elles sont à l’origine des effets stochastiques.

Anomalies de structure Elles sont observables par des techniques microscopiques. Ce sont les aberrations chromosomiques (les 2 chromatides sont atteints) et les aberrations chromatidiques (1 seul chromatide est atteint). Parmi les aberrations chromosomiques, le dicentrique intéresse particulièrement le radiobiologiste. Il s’agit d’une anomalie instable dont la fréquence d’apparition spontanée est bien connue. La fréquence d’apparition augmente sous l’effet des rayonnements ionisants en fonction de la dose. La détection des dicentriques dans les lymphocytes est un bon indicateur d’une irradiation récente (quelques années) et un moyen fiable de mesure des doses absorbées si elles sont toutefois supérieures à 0, 25 Gy.

12.6 Les effets stochastiques

12.6 LES EFFETS STOCHASTIQUES Ce sont des effets tardifs (cancers, effets héréditaires) qui se manifestent de façon aléatoires (susceptibilité individuelle), dont la gravité est constante quelle que soit la dose administrée. La probabilité d’apparition des effets stochastiques augmente avec la dose reçue. Ils s’expriment en terme d’excès de risque par rapport à l’incidence générale observée dans les populations témoins. L’effet cancérigène des radiations ionisantes est démontré par des études épidémiologiques prospectives et rétrospectives : • survivants d’Hiroshima et Nagasaki : 86 500 personnes suivies depuis 1947 ayant

• • • •

reçus entre 5 mSv et 3 Sv avec une dose moyenne de 200 mSv pour un débit de dose moyen de 1 Sv/s ; expositions médicales : patients traités par radiothérapie pour des affections non cancéreuses ou pour des tumeurs malignes ; expositions professionnelles : peintres de cadrans lumineux, mineurs exposés au radon, travailleurs du nucléaire ; populations soumises à des irradiations naturelles élevées ; plus récemment, les populations du voisinage de Tchernobyl.

Les résultats connus :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

• au dessous de 200 mSv, pas de mise en évidence jusqu’à présent d’excès de can-

cers. • au dessus de 500 mSv, la fréquence des cancers augmente avec la dose. • les délais d’apparition sont en moyenne de 2 à 3 ans pour les leucémies et de 5 à 30 ans pour les autres cancers ; • pas de mise en évidence d’excès d’effets héréditaires jusqu’à présent.

Ces résultats sont utilisés par la Commission Internationale de Protection Radiologique (CIPR) pour établir les normes de radioprotection pour les travailleurs du nucléaire et les populations. Les estimations des risques des faibles doses se font par extrapolation linéaire des risques connus pour les fortes doses, en supposant qu’il n’existe pas de seuil, contrairement au cas des effets déterministes. Ainsi, le risque estimé d’apparition d’un cancer mortel selon la nature du rayonnement est de l’ordre de 5.10−5 à 10−5 pour la vie entière par mSv reçu. Rapporté à l’incidence des cancers dans la population, on attend 5 à 10 cancers supplémentaires sur les 30 000 cancers observés dans une population de 100 000 personnes ayant reçu 1 mSv dans leur vie entière.

299

300

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants

Exercices 1 Compléments sur le KERMA et la dose absorbée. 1. Établir la relation entre le KERMA, ou la dose absorbée dans les conditions d’équilibre énergétique, et la fluence énergétique. 2. Quel est le rapport des KERMA ou des doses absorbées pour une fluence donnée dans deux milieux différents ?

2 Une source supposée ponctuelle émet dans le vide, pendant la durée τ , des photons γ mono-énergétiques (énergie ε en MeV) dans toutes les directions de l’espace (Fig. 12.9). On suppose son activité γ constante et égale à A. dS

P SP r=

dΩ = dS r2

S

Figure 12.9 On s’intéresse aux caractéristiques énergétiques de la source. 1. Exprimer en fonction de A et τ , a) Le flux total de photons.

b) Le flux énergétique total. c) L’énergie totale émise pendant τ. d) L’intensité de la source. 2. Quelle est la fluence énergétique au niveau de la surface d S située à la dis dS  tance d de la source et vue de celle-ci sous l’angle solide dV dV = 2 ? d 3. Que devient la fluence si la distance à la source est doublée ? 4. Que devient la fluence énergétique si la source est dans l’eau (coefficient linéique d’atténuation pour γ d’1 MeV, μa = 0, 07 cm −1). Quels sont les F eau rapports des fluences à 10 cm et à 1 m de la source ? Fvide

Exercices 3 On reprend la source étudiée dans l’exercice 2. Un individu est placé à la distance d de la source.

1. Quels sont la dose absorbée, le débit de dose absorbée, la dose équivalente et le débit de dose équivalente ? 2. Quelles sont les doses efficaces au niveau de chacun des organes ? 3. À quelle distance, la dose absorbée est-elle divisée par 10 ? Application numérique. A = 3, 7.104 M Bq, soit 1 Ci, ε = 1 MeV, τ = 1 h, d = 1 m.

4 1. Reprendre les questions 1) et 2) de l’exercice 2 et la question 1) de l’exercice 3 dans le cas où l’activité A(t) de la source décroît. On notera par A0 l’activité initiale et λ la constante radioactive.

2. Quelle est la dose absorbée par l’individu évoqué dans l’exercice 3 ? Application numérique. A0 = 3, 7.104 M Bq, avec dans un cas la période égale à 1 h et dans un autre cas la période égale à 10 h.

5 Un radioélément émetteur β− est réparti de façon homogène dans un organe de

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

masse m. L’activité initiale est A0 . La période de décroissance radioactive est notée TR , la période de décroissance biologique TB .

Dans ces conditions, une estimation du débit de dose à l’intérieur de l’organe à un instant t est par donné par :   A(t) : activité à la date t (en Bq),   m : masse de l’organe en kg, A(t )  J (t ) = ε avec   ε : énergie moyenne des β− (en J) m  ( J (t) : en Gy/s)  t : le temps en s

1. Justifier la relation J (t ) = 21, 31εC (t ) (en Gy/ h) avec ε en MeV, C (t ) en m Ci/ g, et t en h. On rappelle que 1 Ci = 3, 7.1010 Bq, et 1 eV = 1, 6.10−19 J. 2. Établir l’expression de la dose absorbée. Application numérique. TR = 8 j , T B = 15 j, ε = 0, 2 MeV, A0 = 1 m Ci et m = 10 g.

6 On étudie la radiorésistance d’un mélange de deux populations cellulaires C1 et C2 .

Les résultats expérimentaux sont regroupés dans le tableau ci-après :

301

302

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants Dose (en Gy) N Survie N0

0

1

2

3

4

5

7

10

1

0, 7

0, 5

0, 4

0, 3

0, 25

0, 20

0, 16

Dose (en Gy) N Survie N0

15

20

25

30

35

40

50

0, 12

0, 09

0, 07

0, 055

0, 043

0, 034

0, 020

Quelles sont les caractéristiques des deux populations cellulaires, D 0 et proportion dans le mélange ?

Questions à choix multiples 1 À propos de la dosimétrie. ❑ 1. Le KERMA et la dose absorbée ont même signification. ❑ 2. L’unité de dose absorbée correspond à une énergie absorbée égale à 1 joule par unité de volume. ❑ 3. L’unité de dose équivalente est le sievert (Sv). ❑ 4. La dose efficace est la dose qui provoque à coup sûr la survenue d’un cancer. ❑ 5. En cas d’ingestion d’un radioélément, la dose absorbée dépend de sa période effective.

2 À propos de l’irradiation moyenne en France. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

L’irradiation naturelle moyenne est de l’ordre de 25 mSv. L’irradiation naturelle moyenne est de l’ordre de 2, 5 mSv. L’irradiation naturelle moyenne est de l’ordre de 0, 25 mSv. L’irradiation médicale moyenne est de l’ordre de 1 mSv. L’irradiation médicale moyenne est de l’ordre de 10 mSv.

3 À propos des effets biologiques des radiations ionisantes. ❑ 1. Le radical ·O H , produit de la radiolyse de l’eau, est très oxydant. ❑ 2. Les effets déterministes des radiations ionisantes sont dus à des réparations fautives de l’ADN. ❑ 3. Les cellules hypoxiques sont plus radiorésistantes que les cellules oxygénées. ❑ 4. L’augmentation du débit de dose augmente la radiosensibilité. ❑ 5. Le tissu cardiaque est plus radiosensible que la moelle osseuse.

Corrigés 4 À propos des courbes de survie cellulaire. ❑ 1. Les cellules hématopoïétiques présentent des courbes de survie exponentielles. ❑ 2. Plus la pente à l’origine d’une courbe de survie est faible et plus la radiorésistance est élevée. ❑ 3. La présence d’un épaulement sur une courbe de survie montre que les cellules ont des capacités de réparation. ❑ 4. La partie distale d’une courbe de survie avec épaulement correspond à un type de cellules moins radiorésistantes. ❑ 5. L’épaulement d’une courbe de survie d’un type cellulaire donné a tendance à disparaître lorsque le T L E des rayonnements ionisants augmente.

Corrigés Exercices 1 1. Soit dWt l’énergie transmise par un faisceau de photons dans une épaisseur

d x de matière. Si μt est le coefficient linéique de transfert d’énergie (à ne pas confondre avec le coefficient linéique d’atténuation) et Ei l’énergie incidente, alors dWt = μt Ei d x L’expression précédente s’écrit aussi : dWt =

μt Ei ρd x ρ

où ρ représente la masse volumique de l’échantillon et

μt le coefficient masρ

sique de transfert d’énergie. μ dm dm dm = Comme ρ = , alors dWt = t Ei (12.17) ρ dS dV d Sdx dW t Par définition, le KERMA correspond à : K = dm E μ Ei μ = t F où F = i est la fluence énergétique. Soit, K = t ρ dS ρ dS À l’équilibre électronique, la dose absorbée s’écrit aussi D=

μa μ F où a représente le coefficient massique d’absorption (12.18) ρ ρ

303

304

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants 2. Soient deux milieux (1) et (2) de masses volumique ρ1 et ρ2 . Les dans ces deux milieux s’écrivent : ⎧ dosesabsorbées  μa ⎪ ⎪ F : dans le milieu (1) ⎨ D1 = ρ 1   μa ⎪ ⎪ F : dans le milieu (2) ⎩ D2 = ρ 2     μa μa ρ ρ D2 =  2 ou encore D2 = D1  2 Soit μa μa D1 ρ 1 ρ 1

(12.19)

Commentaires : Les coefficients massiques de transfert ou d’absorption sont donnés dans des tables. La relation ci-dessus permet donc de calculer pour une fluence donnée, les doses absorbées dans un milieu quelconque, connaissant la dose absorbée dans un milieu de référence, en général l’air.

2 1. a) Par définition, l’activité représente le nombre de photons émis par unité de temps, ainsi : A=

dN = N˙ (t ) dt

b) Comme F(t ) = N˙(t )E, et 1 MeV = 1, 6.10−19 × 106 = 1, 6.10 −13 J, alors F 0 = 1, 6.10 −13εA, F0 en W c) L’énergie totale émise pendant la durée τ s’écrit : W0 = F 0τ = 1, 6.10−13 εAτ , W0 en J

(12.20)

d) L’angle solide correspondant à tout l’espace qui entoure la source est 4π sr ( sr : stéradians), ainsi : I0 =

F0 1, 6.10 −13εA = , I 0 en W. sr −1 4π 4π

(12.21)

2. Si W0 représente l’énergie totale émise de façon isotrope par la source dans tout l’espace environnant (correspondant à l’angle solide de 4π sr), l’énergie qui traverse la surface élémentaire d S s’écrit donc : 1, 6.10 −13 εAτ dV = dWS = W 0 dS 4π 4πd 2

(12.22)

où dV représente l’angle solide sous lequel le contour de d S est vu du point S.

Corrigés La fluence F est donnée par F =

dW S , soit : dS

1, 6.10 −13 εAτ F= , F en J. m −2 2 4πd

(12.23)

3. La fluence varie comme l’inverse du carré de la distance (relation 12.21). Si cette dernière est multipliée par 2, la fluence sera divisée par 4. Remarque Ce résultat est connu sous le nom de loi de l’inverse du carré de la distance. À l’équilibre électronique, la dose absorbée est proportionnelle à la fluence (voir exercice 1). La loi de l’inverse du carré de la distance s’applique aussi aux doses absorbées. En corollaire, on peut dire que l’éloignement est un bon moyen de radioprotection. 4. Si la source est dans l’eau, il faut tenir compte de l’atténuation du faisceau entre la source et la surface élémentaire d S située à la distance d. Si W0 représente l’énergie totale émise par la source pendant la durée τ , l’énergie qui traverse d S devient, dWS = W 0

dV −μa d e 4π

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

et par suite, la fluence F s’écrit : dW S 1, 6.10−13 εAτ −μa d = F= e dS 4πd 2

Comme

F eau Fvide

⎧ Feau ⎪ à d = 10 cm, = 0, 5 ⎪ ⎪ ⎨ Fvide = e −μa d , alors et ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ à d = 1 m, Feau = 9.10−4 F vide

3 Nous prendrons comme valeur du coefficient massique d’absorption celui de l’eau, (

μa )eau = 0, 07 cm 2 . g−1 (70 % d’eau dans le corps humain). ρ

1. La dose absorbée totale est : D=

μa μ 1, 6.10−13 εAτ F= a , D en Gy 4πd2 ρ ρ

305

306

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants Attention à la cohérence des unités,

μa doit être exprimé en m2. kg −1 . ρ

Application numérique. D=

0, 007 × 1, 6.10−13 × 1 × 3, 7.104 × 106 × 3 600 = 0, 0119 Gy, (4π × 12 )

soit 11, 9 mGy.

dD 0, 011 9 , soit J = = 3, 3.10−6 = 3, 3 μ Gy/s. dt 3 600 Pour les rayonnements γ de 1 MeV, le facteur de qualité est égal à 1. d De D’où, De = 11, 9 mSv et Je = = 3, 3.10−6 = 3, 3 μ Sv/s dt Le débit de dose est J =

2. Il suffit de reprendre le tableau 3 du cours présentant les facteurs de pondération tissulaire et de multiplier la dose par chacun d’eux. 3. En appliquant la règle de l’inverse du carré de la distance, on peut écrire : 1 1 Dd = 2 = , d’où d 2 = 10, soit d = 3, 2 m D1 m d 10

4 1. Question 1) de l’exercice 2 : a) Au temps t : N˙ (t ) = A(t ) b) Au temps t : F0 (t ) = 1, 6.10 −13εA(t ).  T  T F0 (t )dt = 1, 6.10 −13ε c) W0 = A(t )dt. 0

0

Si A0 est l’activité à t = 0 et λ la constante de décroissance radioactive, alors A(t ) = A 0e −λt . Et par suite τ 1, 6.10−13 ε  −λt τ −λt −13 W0 = 1, 6.10 ε e A 0e dt = A0 0 −λ 0  1, 6.10−13 ε  = A0 1 − e−λτ . λ F0 (t ) 1, 6.10−13εA = . 4π 4π Question 2) de l’exercice 2 : dV dS = W0 On a dWS = W0 . 4π 4πd 2   1, 6.10−13 εA0 1 − e−λτ dWS 1 = = W0 Donc F = dS 4πd 2 4πd2 λ

d) Au temps t : I (t ) =

Corrigés 2. Question 1) de l’exercice 3. μ Comme D = a F, alors : ρ   μ a 1, 6.10−13 εA 0 1 − e−λτ D= . 4πd 2λ ρ ln 2 Pour une période T = 1 h : λ = = 0, 693 h −1 = 1, 925.10−4 s−1 . T   −13 × 1 × 3, 7.1010 1 − e−0,693,×1 1, 6.10 D = 0, 007 × = 8, 57 mGy 4π × 1 2 × 1, 925.10 −4 (inférieure évidemment à la dose calculée à activité constante) ln 2 Pour T = 10 h : λ = = 0, 0693 h−1 = 1, 925.10 −5 s−1 . T   1, 6.10−13 × 1 × 3, 7.1010 1 − e−0,0693,×1 D = 0, 007 × = 11, 47 mGy 4π × 12 × 1, 925.10−5 (équivalent à la dose calculée à activité constante). Si le temps d’exposition est faible par rapport à la période de la source (en pratique 1/10) on peut estimer les doses en considérant l’activité constante.

5 1. Comme J (t ) = ε

A(t ) , alors : m

    A(t ) J (t ) = 3 600 × ε avec  m (en Gy/h)  

Soit :

J (t ) = 3 600 × 1, 6.10−13 ×

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

(en Gy/h)

     avec    

A(t) en Bq, m en kg, ε en J t en s

3, 7.107 × A(t ) = 21, 31εC (t ) 103 m

A(t) en m Ci, m en g, ε en MeV t en h C (t ) en m Ci/ g

2. Pour calculer la dose absorbée il faut tenir compte de la période effective du radioélément, décroissance radioactive plus décroissance biologique. ln 2

− À un instant donné, C (t ) = C0 e−λt = C 0e TE 1 1 1 = avec + . TE TR T B La dose absorbée, calculée sur toute la vie (en pratique sur un temps infini), est donnée par la relation :  ∞ D= J (t )dt 0

t

307

Chap. 12. Effets biologiques des rayonnements ionisants ln 2

− Comme J (t ) = 21, 31εC (t) et C (t ) = C 0e TE , alors

D = 21, 31C 0ε



∞

ln 2

t

e− TE dt = t

21, 31C0 εTE ln 2

0 (avec ε en MeV, T E en h et C0 en m Ci/ g)

Application numérique. A0 C0 = , soit C 0 = 0, 1 m Ci/ g. m T ETB 1 1 1 = Comme + , alors T E = . TE TR TB TE + T B 8 × 15 Numériquement TE = = 125, 21 h 8 + 15 21, 31 × 0, 1 × 0, 2 × 125, 21 et D = = 77 Gy. ln 2

6 La survie totale S est la somme des survies S1 de la population (1) et S2 de la

population (2) Le graphe ci-dessous (Fig. 12.10) donne la représentation graphique de la survie S en fonction de la dose D (avec échelle log en ordonnées)

1 Survie S (échelle log)

308

0,1

0,01

0

10

20

30

30

40 Dose en Gy

Figure 12.10 La partie distale (D > 20 Gy) est linéaire en représentation semi-logarithmique. Elle correspond à la survie S2 d’une seule population, la plus radiorésistante. L’équation de la droite est : log S 2 = 0, 25 − 0, 022D Soit, S2 = 0, 25e −0,05D La contribution S1 dans la première partie de la courbe (D < 20 Gy) est maintenant calculable : S1 = S (mesurée) −S2(calculée pour chaque dose). Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous.

Corrigés Dose en Gy S mesurée S2 calculée S1 calculée

0 1 0, 25 0, 75

1 0, 7 0, 24 0, 46

2 0, 5 0, 23 0, 27

3 0, 4 0, 215 0, 185

4 0, 3 0, 205 0, 095

5 0, 25 0, 195 0, 055

7 0, 20 0, 176 0, 024

Survie S (échelle log)

La figure 12.11 donne la représentation graphique de la décomposition de S en S1 et S2 . S

1 0,75 0,25

S1

0,1

S2

0,01

0

10

20

30

30

40 Dose en Gy

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 12.11 Les points sont alignés sur la droite d’équation : log S1 = 0, 75 − 2, 2 D , Soit S1 = 0, 75e−0,5 D La survie du mélange est donnée par : S = 0, 75e −0,5 D + 0, 25e −0,05D Le mélange est composé à 75 % de cellules de radiorésistance caractérisée par D 0 = 2 Gy et de 25 % de cellules de radiorésistance caractérisée par D 0 = 20 Gy.

Questions à choix multiples Question

1

2

3

4

1.

❑

❑

❑ ✗

✗ ❑

2.

❑

✗ ❑

❑

✗ ❑

3.

❑ ✗

❑

❑ ✗

✗ ❑

4.

❑

✗ ❑

✗ ❑

❑

5.

❑ ✗

❑

❑

✗ ❑

309

13

Ondes sonores et audition

Plan Cours 13.1Propriétés des ondes sonores 13.2L’audition subjective 13.3L’audition objective QCM et exercices Corrigés

Objectifs • Comprendre les principales pro-

priétés des ondes sonores, afin de réaliser des calculs simples notamment d’atténuation.

• Comprendre le fonctionnement

de l’oreille qui effectue la transduction de ces ondes mécaniques en sons perceptibles par le cerveau.

• connaître les modes d’explora-

tions permettant de dépister l’existence et la nature des surdités.

Cours 13.1 PROPRIÉTÉS DES ONDES SONORES L’onde sonore est une onde mécanique progressive qui se propage dans un milieu matériel élastique (gaz, liquides, solides) mais ne se propage pas dans le vide comme les ondes électromagnétiques. On distingue : • les sons purs : qui sont sinusoïdaux ;

• les sons complexes : qui sont des sons périodiques ; • les bruits : qui sont des sons non périodiques.

13.1 Propriétés des ondes sonores

13.1.1 Les sons purs Onde plane sinusoïdale Il est possible de générer une telle onde avec un piston animé d’un mouvement de va et vient sinusoïdal à l’intérieur d’un tuyau de longueur infinie. Si l’on fait abstraction de l’agitation moléculaire, les molécules proches du piston vont osciller autour d’une position l’équilibre avec un mouvement identique à celui du piston. Ce mouvement va être communiqué aux molécules voisines si bien que les oscillations vont se propager de proche en proche à la célérité c du son. L’onde sonore peut aussi être considérée comme une onde de pression qui se propage à la célérité c. En effet, les mouvements de molécules entraînent dans le tube des zones de compression où les molécules du gaz sont plus serrées et des zones de dilatation où celles-ci sont plus espacées (Fig. 13.1). La pression d’un gaz étant directement proportionnelle au nombre de molécules par unité de volume, les zones de compression correspondent à des zones de surpression et les zones de dilatation à des zones de dépression. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

{ {

. . . . . . . . . . . . . . . .

zone de zone de dilatation compression

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 13.1 On définit la pression acoustique p par :  P M : pression instantanée du fluide, au point M, p = PM − P0 avec P0 : pression du fluide à l’équilibre. ( p : presssion acoustique) (13.1) p représente donc, également, la valeur instantanée des variations de pression au point M. • La pression acoustique p est directement proportionnelle à la vitesse des molé-

cules, soit

p = Zv

(13.2)

Z : impédance acoustique du milieu. Elle représente une résistance à la propagation de l’onde. • On montre aussi que : Z = ρc (13.3) où ρ est la masse volumique du milieu et c la célérité du son dans ce même milieu. La vitesse du son est directement liée au coefficient d’élasticité du milieu, elle est plus élevée dans les liquides que dans les gaz et encore plus élevée dans les solides. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de c et Z dans différents milieux.

311

312

Chap. 13. Ondes sonores et audition Milieu

c : célérité du son (m.s −1)

◦

Air (à 0 C) Air (à 15 ◦C) Liège Eau (à 15 ◦ C) Eau de mer Bois Acier

Z : Impédance acoustique (kg.m−2.s −1)

330 340 500 1 430 1 500 4 000 6 000

430 440 1, 10.105 1,43.10 6 1,56.106 3,50.106 4,50.107

Énergie acoustique et puissance surfacique Considérons une onde plane se propageant dans un gaz et soit une molécule M de ce gaz à un instant t quelconque. L’énergie totale ET de cette molécule est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. Cette énergie totale au moment où la molécule passe par sa position d’équilibre est égale à l’énergie cinétique maximale, soit eT = e c(max) =

1 2 mv 2 max

(13.4)

➤ Flux ou puissance sonore Si l’on considère un tuyau infini de section S et de longueur l = ct , le flux d’énergie qui traverse une section du tube représente l’énergie contenue dans le volume V = S × ct . Le flux a les dimensions d’une puissance et s’exprime en watts. ➤ Intensité sonore Soit S une surface perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde sonore et Wr la puissance sonore reçue au niveau de cette surface S (Fig. 13.2).

Emetteur sonore Surface S r

Figure 13.2

Récepteur

13.1 Propriétés des ondes sonores On appelle puissance surfacique ou intensité sonore physique, le flux d’énergie par unité de surface d’onde, soit I =

Wr S

(13.5)

(W r en W, S en m2 et I en W. m−2 )

L’onde sphérique En acoustique, généralement la source sonore est placée dans un milieu homogène et émet dans toutes les directions. Si le milieu est isotrope, l’onde produite est une onde sphérique. Si la source S émet avec une puissance W et s’il n’existe pas de phénomène d’absorption, la puissance surfacique à une distance r de la source est : I =

W 4πr 2

(13.6)

La puissance surfacique est donc inversement proportionnelle au carré de la distance à la source.

Échelle logarithmique des décibels

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Pour comparer la puissance surfacique de deux sons, il est d’usage d’en faire le rapport. En raison de l’étendue numérique de ce rapport qui peut atteindre 1012, on utilise généralement une échelle logarithmique. Cette échelle présente aussi l’avantage de mieux coïncider avec la sensation d’intensité sonore. En échelle logarithmique on parle de niveau sonore. ➤ Définitions • Le niveau sonore L d’un son de puissance surfacique W par rapport à un son de puissance surfacique W 0 est égal en bels (B) à : L = log

W W0

• Le bel étant une unité très grande on utilise le décibel (dB), et par suite :

L = 10 log

W W0

(13.7)

(L en décibels (dB))

où W0 représente une puissance de référence égale à 10−12 W. m −2 (seuil d’audibilité à la fréquence de 1 000 Hz pour le sujet normal). Dans ce cas, on parlera de dB absolus.

313

314

Chap. 13. Ondes sonores et audition Si par contre W0 correspond au seuil d’audibilité pour le sujet normal à une autre fréquence du son, on parlera de dB relatifs. À 1 000 Hz les dB absolus correspondent aux dB relatifs. Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de niveaux sonores en dB absolus. Exemples limite d’audibilité voie chuchotée conversation normale automobile en ville arme à feu avion de chasse à réaction

dB absolus 0 20 60 80 120 140

Remarque le niveau sonore L n’est pas une grandeur additive. En revanche, la puissance sonore W et l’intensité sonore I sont des grandeurs additives. Exemple Deux sources sonores émettant deux sons de niveaux sonores respectifs L 1 = 90 dB et L 1 = 80 dB ne donneront pas un son résultant de niveau sonore L = 170 dB. En effet, ⎧ W1 ⎧ ⎪ L1 ⎪ L 1 = 10 log ⎪ ⎪ 10 W = W .10 ⎨ ⎨ 1 0 W0 et et Comme alors ⎪ ⎪ L2 ⎩ ⎪ W ⎪ W2 = W0 .10 10 ⎩ L 2 = 10 log 2 W0  L1  L2 et par suite W = W 1 + W2 = W 0 10 10 + 10 10 Le niveau sonore résultant L est :

 L1  L2 W L = 10 log = 10 log 10 10 + 10 10 W0  90  80 10 10 Soit numériquement : L = 10 log 10 + 10 = 90, 4 dB ➤ Exemples numériques 1 – Augmentation du niveau sonore lorsque la puissance est multipliée par 10 ou par 100 : a) W2 = 10W 1

13.1 Propriétés des ondes sonores Déterminons : L 2 − L 1 : L 2 − L 1 = 10 log

W2 = 10 log 10 = 10 dB W1

b) W2 = 100W 1 L 2 − L1 = 10 log

W2 = 10 log 100 = 10 log 10 2 = 20 log 10 = 20 dB W1

2 – Augmentation du niveau sonore obtenue par addition de deux sons identiques : Si W2 = 2W1, alors

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

L 2 − L1 = 10 log

W2 2W1 = 10 log = 10 log 2 = 3 dB W1 W1

3 – Variation du niveau sonore lorsque l’on double l’éloignement par rapport à une source placée en un milieu isotrope :  à la distance r1 : puissance W1, Hypothèse : à la distance r2 = 2r 1 : puissance W2 ⎧ k ⎪ W1 = 2 ⎪ ⎪ ⎪ r1 ⎨ W2 r2 1 et = 12 = On a : d’où ⎪ 4 W1 r2 ⎪ k ⎪ ⎪ ⎩ W2 = 2 r2  2 W2 r1 1 Ainsi L2 − L 1 = 10 log = 10 log = 10 log 2 = −6 dB W1 r2 2 Remarque le signe (–) traduit la perte en décibels.

Phénomènes liées à la propagation des ondes • Comme la lumière, lors du passage d’un milieu (1) vers un milieu (2), l’onde

sonore est soumise aux phénomènes de réflexion et de réfraction (Fig. 13.3).

Les lois de Descartes sont applicables aux ondes sonores, et on a : ⎧ ⎪ ⎪ i1 = r ⎪ ⎨ et c1 , c 2 : célérités du son dans les milieux (1) et (2) ⎪ ⎪ sin i 1 sin i2 ⎪ ⎩ =

315

316

Chap. 13. Ondes sonores et audition

i1

milieu (1)

r

milieu (2) i2

Figure 13.3 • Point de vue énergétique, on a : W1 = Wr + W2

Wr Wt et de transmission peuvent s’exprimer en foncWi Wi tion des impédances acoustiques Z1 et Z 2 des deux milieux. Les pouvoirs de réflexion

Pour une incidence normale à la surface de séparation : i1 = 0, r = 0, i2 = 0. Le facteur de réflexion est

Wr (Z − Z 2 )2 = 1 Wi (Z1 + Z 2) 2

(13.8)

Wt 4Z 1 Z 2 = (13.9) (Z 1 + Z 2) 2 Wi Les formules sont symétriques en Z 1 et Z2 . On peut considérer deux cas particuliers : Le facteur de transmission est :

a) Si Z 1 est équicalent à Z2 : l’énergie est transmise en quasi-totalité. b) Si Z 1  Z2 ou Z 2  Z1 : l’énergie est réfléchie en quasi-totalité et dans le cas où Z 1  Z 2 on peut faire l’approximation suivante : Wt Wt Z1 4Z 1 Z2 4Z 1 Z2 = =  =4 2 2 Wi Wi Z2 (Z1 + Z 2) (Z 2)

(13.10)

Exemple : interface air-eau Milieu (1) air : c1 = 340 m. s −1, ρ = 1,3 kg. m−3 , Z1 = 440 (S.I) Milieu (2), eau : c2 = 1 430 m. s−1 , ρ = 103 kg. m −3, Z 1 = 143.104 (S.I) Wr = 0,9987 Wi

et

Wt = 0,0013 Wi

Les liquides de l’oreille interne ayant une impédance très voisine de celle de l’eau, un millième de l’énergie devrait être transmise de l’oreille externe à l’oreille

13.1 Propriétés des ondes sonores interne. En réalité, il n’en est rien car l’oreille moyenne joue un rôle d’adaptateur d’impédance.

13.1.2 Les sons complexes (ou musicaux) Il s’agit de sons périodiques mais dont l’élongation, de même que la pression, n’est plus une simple fonction sinusoïdale du temps (Fig. 13.4). y(t)

T

T

t (s)

Figure 13.4 Décomposition d’un son complexe en sons purs ➤ Théorème de Fourier

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Toute fonction périodique du temps, de fréquence f peut être décomposée de façon unique en une somme de fonctions sinusoïdales du temps, de fréquence f , 2 f , 3 f ..., soit : f (t ) = a0 + a 1 sin(2π f t + ϕ 1 ) + a2 sin(2π × 2 f t + ϕ 2) + ... + a n sin(2π × n f t + ϕn ) + ... (13.11) ou encore f (t ) = a0 + a1 sin(ωt + ϕ1 ) + a 2 sin(2ωt + ϕ2 ) + ... + an sin(nω t + ϕn ), avec ω = 2π f (13.12) Un son complexe de fréquence f est donc la somme de plusieurs sons purs : • un son pur de fréquence f , appelé « fondamental »,

• des sons purs de fréquences 2 f , 3 f ,... n f ,...appelés harmoniques.

Remarques • le fondamental est donc l’harmonique de rang 1 ; • la fréquence du son complexe est égale à celle du fondamental qui le constitue.

317

318

Chap. 13. Ondes sonores et audition Exemple Soient deux signaux sinusoïdaux y 1 et y2 , de fréquences respectives f 1 = f et ⎧ f 2 = 2 f tels que : ⎪ ⎨ y1 = 2 sin(2π f t) et ⎪ ⎩ y2 = 2 sin(2π × 2 f × t) La résultante y S = y1 + y2 est une fonction : • périodique, de fréquence f ; • non sinusoïdale.

La figure 13.5 donne une représentaion graphique de y 1, y2 et yS = y1 + y2. y1, y 2

T

2T

T

2T

t (s)

ys = y1 + y2

t (s)

Figure 13.5

➤ Spectre d’amplitude (analyse harmonique) Le spectre d ’amplitude est la représentation graphique de l’analyse spectrale : en abscisse est représentée la fréquence et en ordonnée l’amplitude de chaque composante (Fig. 13.6). Si l’amplitude du fondamental est nulle, c’est le second harmonique qui est le son le plus grave audible avec pour fréquence 2 f . Les harmoniques impairs apparaissent alors comme des fractions de la fréquence 2 f . Si celle ci est prise comme fondamentale, ces harmoniques impairs sont appelés partiels.

13.1 Propriétés des ondes sonores amplitude a

0

f

2f

3f

4f

5f

6f

7f

8f

fréquence (Hz)

Figure 13.6

13.1.3 Les bruits Les bruits sont des sons non périodiques, en général de courte durée (bruits transitoires). L’étude de leur spectre montre que plus la durée est brève, plus leur spectre est étendu, avec une multitude de composantes (Fig. 13.7). Lorsque le nombre de composantes n’est pas trop grand, les bruits conservent un caractère musical (bruits musicaux). À l’opposé, il existe des bruits à spectre continu dont un cas particulier, le bruit blanc. bruit musical

amplitude a

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

0

fréquence (Hz)

amplitude a

bruit à spectre continu

0

fréquence (Hz)

amplitude a

bruit blanc

0

fréquence (Hz)

Figure 13.7

319

Chap. 13. Ondes sonores et audition

13.2 L’AUDITION SUBJECTIVE Les paramètres physiques décrivant une onde sonore sont donc au nombre de trois : l’intensité sonore (puissance surfacique), la fréquence et le spectre d’amplitude. À ces propriétés physiques correspondent des sensations : Caractéristique du son Intensité sonore Fréquence Spectre d’amplitude

Perception Sonie Hauteur Timbre

La mesure directe d’une sensation est impossible, cependant ou peut noter que les sensations croissent moins vite que le stimulus qui leur donne naissance. ➤ Loi de Weber et Fechner Loi fondée sur des faits expérimentaux. Soit P un stimulus qui provoque une sensation S ; D P la variation de stimulus minimale pour provoquer une variation minimale DS. La variation relative du stimulus est proportionnelle à la varition minimale de la sensation, soit DP = kD S (13.13) P ou encore

S = K log P

(13.14)

13.2.1 La hauteur ou tonie L’oreille humaine n’est pas sensible à toutes les fréquences (Fig. 13.8).

16 infrasons

aigus

500

{

médium

{

graves

{

320

3000 domaine audible

20000

fréquence (Hz) ultrasons

Figure 13.8 La limite supérieure du domaine audible est variable d’un individu à l’autre mais s’abaisse avec l’âge (presbyacousie) (Fig. 13.9). Les espèces animales possèdent des domaines audibles distincts : les chauves-souris entendent les ultrasons.

13.2 L’audition subjective L (dB) 20 ans 30 ans 40 ans 50 ans 60 ans f (Hz)

Figure 13.9 ➤ Seuil différentiel de hauteur C’est la différence minimale de fréquence entre deux sons, émis successivement, perçus par une même oreille. Ainsi, pour deux fréquences f  et f  , le seuil différentiel de hauteur est : D f = f  − f 

(13.15) Df . D f augmente avec f . D’où l’utilisation du seuil différentiel relatif de hauteur f Un individu moyen perçoit dès la fréquence de 50 Hz un seuil différentiel relatif de 1 Df = = 0,0125 appelé le coma des musiciens. f 80 C’est dans le domaine de 400 à 4 000 Hz que l’oreille est la plus sensible aux difféDf 1 = . rences de fréquence f 300

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

➤ Intervalle Lorsque deux sons de fréquences différentes sont émis simultanément, ils constituent un accord. Cet accord est conservé si le rapport des fréquences est conservé : les musiciens disent alors que l’intervalle des deux sons reste constant. Pour deux sons de fréquences respectives f1 et f 2 , leur écart H de fréquence (hauteur relative) est donné par : f2 H = 1 000 log (13.16) f1 Exemple

(H en savart)

Un octave correspond à 300 Savarts.

13.2.2 La sonie La sonie ou sensation de son fort ou faible est liée essentiellement à la puissance surfacique de l’onde sonore, elle varie en fonction de la fréquence.

321

322

Chap. 13. Ondes sonores et audition ➤ Sensibilité de l’oreille à la sonie Le seuil absolu d’intensité ou seuil liminaire d’audition est la plus faible valeur de puissance qui produit une sensation sonore ; il varie avec la fréquence. Sa recherche pour les différentes fréquences audibles est le but de l’audiométrie. Il existe également pour chaque fréquence un seuil douloureux ou valeur de la puissance surfacique créant une sensation douloureuse. Chez l’individu normal, le maximum de sensibilité est situé entre 1 000 et 3 000 Hz. ➤ Échelle des décibels absolus On rappelle que la puissance de référence est le seuil liminaire d’audition à la fréquence de 1 000 Hz soit 10−12 W. m−2 . ➤ Échelle des décibels relatifs La puissance surfacique de référence est prise égale au seuil de liminaire d’audition pour la fréquence considérée. Exemple numérique Soit un son de fréquence 250 Hz et de puissance surfacique de 10 −6 W. m −2 . Déterminons son niveau sonore en dB absolus et en décibels relatifs sachant que le seuil liminaire d’audition à 250 Hz est de 10 −10 W. m−2 . En db absolus : 60 dB En dB relatifs : 40 dB ➤ Échelle des phones Le phone, unité particulière, de sensation sonore est défini par rapport à un son pur de 1 000 Hz. L’intensité sonore exprimée en phones est par définition, numériquement égale au niveau sonore absolu (ou relatif) du son de1 000 Hz qui produit la même sensation chez des individus considérés comme normaux. ➤ Courbes isophonantielles L’intensité sonore en phones peut-être approximativement mesurée à l’aide d’un sonomètre, appareil utilisant ces courbes isophonantielles (non parallèles entre elles contrairement aux courbes en dB relatifs). ➤ Seuil différentiel de sonie (audition non simultanée) Définition C’est la différence minimale de puissance surfacique entre deux sons émis successivement, perçus par une même oreille et qui permet à celle-ci de noter une augmentation de puissance, soit un seuil différentiel de sonie.

13.3 L’audition objective

13.2.3 Le timbre Cette qualité est liée au spectre d’amplitude d’un son, à sa richesse en harmoniques et en partiels. Ainsi l’oreille est capable de différencier deux sons identiques en hauteur et en intensité mais émis par deux instruments différents. En plus du spectre d’amplitude interviennent les transitoires qui correspondent à l’attaque et à l’extinction du son.

13.2.4 Écoute binaurale L’écoute binaurale d’un son permet de déterminer la direction dans laquelle se trouve la source émettrice. Un degré de déplacement angulaire de la source sonore dans le plan sagittal est perceptible alors que 10 degrés représentent le minimum détectable si la source est déplacée dans le plan frontal. Cette orientation auditive est due essentiellement à deux facteurs : ➤ Différence d’intensité Due à l’ombre portée par la tête pour les fréquences supérieures à 3 000 Hz (λ < 12 cm dans l’air). ➤ Différence de phase En cas de diffraction pour les fréquences inférieures à 800 Hz (λ > 45 cm).

13.3 L’AUDITION OBJECTIVE

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

13.3.1 Rappels anatomiques • L’oreille externe est constituée du pavillon de l’oreille et du conduit auditif

externe. • L’oreille moyenne communique avec le rhinopharynx par la trompe d’Eustache (égalisation des pressions avec l’oreille externe). • Le tympan présente une analogie avec la membrane d’un haut-parleur et est de forme conique. Cette membrane est élastique et les déplacements sont plus amples au centre, au niveau du manche du marteau. Les déplacements du tympan donnent aux deux premiers osselets des mouvements de rotation. L’apophyse lenticulaire de l’enclume entraîne l’étrier qui s’enfonce plus ou moins dans la fenêtre ovale avec un mouvement davantage de rotation que de translation. • Rôle de l’oreille moyenne : Il s’agit d’un rôle d’adaptation d’impédance entre l’oreille externe (milieu aérien) et l’oreille interne (milieu aqueux) de manière à transmettre efficacement l’énergie acoustique à travers cette interface entre les deux milieux.

323

324

Chap. 13. Ondes sonores et audition Le système fonctionne un peu comme une presse hydraulique avec en plus un effet de levier. Le gain en pression mécanique est ainsi compris entre 15 et 20. Ce rôle est crucial : la suppression des osselets entraîne une perte auditive d’environ 25 à 30 dB. • L’oreille interne peut être divisée en deux parties : – les canaux semi-circulaires (nerf vestibulaire) interviennent dans l’équilibre, – la cochlée ou limaçon (nerf cochléaire) interviennent pour l’audition.

La cochlée Elle présente la forme d’un tube osseux enroulé à la manière d’un limaçon autour d’un axe conique creux : la columelle. Elle est divisée suivant sa longueur par deux cloisons qui délimitent entre elles une sorte de canal : la rampe cochléaire ou canal cochléaire. À l’intérieur de cette dernière se trouve l’organe sensoriel proprement dit ou organe de Corti. Au-dessous de la rampe cochléaire, se trouve la rampe tympanique, au-dessus se situe la rampe vestibulaire. Ces deux rampes sont remplies de périlymphe dont la composition est voisine du LCR, la rampe cochléaire est remplie d’endolymphe de composition chimique voisine du liquide intracellulaire. Sur une coupe transverse la rampe cochléaire apparaît de forme triangulaire. Un de ses côtés est formé par la membrane basilaire dont la structure est fibreuse et élastique ; celle-ci s’étend de la lame spirale osseuse interne au ligament spiral qui forme avec la paroi osseuse, le deuxième côté externe du canal. Le troisième côté est constitué par une fine membrane, la membrane de Reissner. La rampe cochléaire se termine du côté apical par un cul de sac qui n’atteint pas tout à fait le sommet du tube osseux et laisse un passage, l’hélicotréma, entre les rampes vestibulaire et tympanique. À la base de la rampe vestibulaire s’ouvre la fenêtre ovale obstruée par l’étrier, à la base de la rampe tympanique s’ouvre la fenêtre ronde obstruée par une simple membrane. L’organe de Corti est disposé sur toute la surface de la membrane basilaire de la base à l’hélicotréma. Il est formé de cellules ciliées et de la membrane tectoriale. Les terminaisons sensibles du nerf auditif se répartissent entre les différentes cellules ciliées.

13.3.2 Mécanisme de l’audition : modèle de Von Bekesy Lorsqu’un son sinusoïdal continu de fréquence f est produit par le diapason au niveau de la fenêtre ovale, une onde longitudinale se propage dans la rampe vestibulaire puis en sens inverse dans la rampe tympanique après avoir franchi l’hélicotréma et atteint la fenêtre ronde (zone d’expansion ) sans qu’il y ait de réflexion donc sans l’établissement d’ondes stationnaires.

13.3 L’audition objective Les mouvements liquidiens créent sur la membrane basilaire une onde transversale à partir de la fenêtre ovale et qui meurt avant d’en atteindre l’extrémité. Plus la fréquence du son est élevée, plus la portion vibrante de la membrane basilaire est limitée et plus le maximum de vibration est près de la fenêtre ovale et inversement pour les sons graves. Les cellules auditives étroitement solidaires de la membrane basilaire sont soumises à des mouvements. Les cils des cellules acoustiques mêlés aux fibres de la membrane tectoriale subissent un mouvement périodique de cisaillement. Les fibres des neurones acoustiques en relation synaptique avec les cellules auditives sont l’objet d’excitation ayant la même fréquence que le son incident. Seuls les neurones en relation avec la portion vibrante de membrane basilaire sont excités et avec plus ou moins d’intensité. ➤ Message de hauteur À chaque fréquence du son excitateur correspond un paquet de fibres, bien localisé pour les fréquences élevées, de moins en moins localisé lorque la fréquence décroît. Ainsi pour une fréquence de 5 000 Hz les potentiels d’action sont enregistrés dans une zone très localisée de la partie haute du nerf, pour une fréquence de 500 Hz ils sont enregistrés dans une large région de la partie moyenne du nerf et que pour une fréquence de 50 Hz pratiquemment toute la partie inférieure est concernée. ➤ Messages de sonie

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Aucun potentiel d’action n’est enregistré sur une des fibres concernées si la puissance surfacique est inférieure au seuil. Lorsque la puissance surfacique croît, la fréquence des potentiels d’action croît de 20/sec au seuil d’audition à 800/sec pour 60 dB et plus. Une fibre ne peut pas transporter plus de 800 potentiels d’action par seconde en raison de sa période réfractaire.

13.3.3 Examens de la fonction auditive : audiométrie L’audiométrie ou examen de la fonction auditive, a trois objectifs : diagnostiquer, évaluer et suivre l’évolution, voire la correction d’une surdité.

Audiométrie tonale liminaire But : rechercher les seuils liminaires d’audition pour un certain nombre de sons purs de fréquence étalée dans le spectre audible par conduction osseuse (CO) et en conduction aérienne (CA). ➤ Conduction aérienne L’étude commence par l’exploration à l’aide d’un casque de la meilleure oreille pour la fréquence de 1 000 Hz puis successivement pour les fréquences aiguës jusqu’à 10 000 Hz et graves jusqu’à 125 Hz.

325

326

Chap. 13. Ondes sonores et audition ➤ Conduction osseuse Son étude nécessite l’utilisation d’un vibreur placé sur la mastoïde. Les différentes fréquences sont explorées dans le même ordre que pour la conduction aérienne mais la plage étudiée est moins étendue (de 250 à 6 000 Hz). L’assourdissement de l’oreille controlatérale est ici indispensable pour un bruit blanc, car dix dB d’écart suffisent alors à celle-ci pour percevoir le son. Deux sortes de conduction osseuse sont à distinguer : • la conduction osseuse relative (C.O.R.) lorsque le vibrateur émet dans l’atmo-

sphère une partie du son qui sera captée par voie aérienne, • la conduction osseuse absolue (C.O.A.) après élimination de cette participation aérienne par obturation du conduit auditif externe.

➤ Les différents types de surdité a) Surdité de transmission : elle est caractérisée par l’intégrité de l’oreille interne, une absence de perte par conduction osseuse, une perte pour toutes les fréquences par voie aérienne prépondérante pour les graves. b) Surdités de perception : les pertes sont à peu près identiques par les deux voies aériennes et osseuses, les aigus étant le plus souvent touchés [vieillards, origine toxique (aminosides), traumatique ou infectieuse]. c) Surdité mixte : c’est l’association des deux types précédents dont le type est l’otite moyenne chronique avec une perte par voie aérienne beaucoup plus importante que par voie osseuse. ➤ Expressions particulières a) Indice ”0” de Sullivan : normalement la conduction osseuse absolue est supérieure de 10 à 15 dB à la conduction osseuse relative pour les fréquences inférieures à 2 000 Hz fréquence à partir de laquelle elles se confondent. L’indice ”0” de Sullivan (ou d’occlusion) additionne les écarts trouvés pour les fréquences 250, 500 et 1 000 Hz. Il est normalement supérieur à 30 dB mais tend vers 0 dans les surdités de transmission. b) L’épreuve de Rinné acoumétrique : elle consiste à placer le pied d’un diapason vibrant sur la mastoïde d’un sujet puis lorsque le sujet signale qu’il n’entend plus le son, l’extrémité vibrante du diapason est portée devant le conduit auditif externe : • l’épreuve est positive si le son est à nouveau perçu (intégrité de l’oreille externe

et moyenne), • l’épreuve est négative si le son n’est pas réentendu (lésion de l’oreille externe ou moyenne).

c) L’épreuve de Rinné audiométrique : elle consiste à comparer les courbes de conduction aérienne et de conduction osseuse relative qui sont superposables chez le sujet normal. Le Rinné est alors dit nul. Il est dit négatif si la courbe osseuse est meilleure que la courbe aérienne, donc en cas de surdité de transmission.

13.3 L’audition objective d) Weber audiométrique : pour cette épreuve, le vibrateur est placé au milieu du front et l’intensité est fixée 15 dB au dessus du seuil liminaire d’audition. Normalement le son perçu est localisé au niveau de la ligne médiane ; une latéralisation du son est obtenue du côté de l’oreille malade en cas de surdité de transmission, saine en cas de surdité de perception.

Audiométrie tonale supraliminaire L’audiométrie tonale supraliminaire consiste à rechercher avec des sons d’intensités supérieures aux seuils d’audition, les distorsions des sensations sonores qui accompagnent le phénomène de recrutement caractéristique des surdités de perception. Le phénomène de recrutement a été décrit en 1928 par Fowler. Il s’agit d’une surdité avec compression du champ auditif pouvant aller jusqu’à une diminution du seuil douloureux par rapport au sujet normal. ➤ Surdité à prédominance unilatérale Le test de Fowler met bien en évidence la compression du champ auditif en cas de surdité à prédominance unilatérale. Il consiste à rechercher pour chaque fréquence entre 250 et 4 000 Hz l’égalité de sensation sonore entre les deux oreilles en augmentant progressivement de 10 dB. Ces résultats sont reportés sur un graphique (Fig. 13.10). L’absence de recrutement se traduit par une parallèle à la première bissectrice, un recrutement est signé par une courbe se rapprochant de la première bissectrice qui peut même être coupée en cas de sur-recrutement. L (dB)

men t

80

rec ru

60

tem en t

sur r ecru te

OD (oreille droite)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

100

ité

ns

40

d ur

s

, sa

e

al

m or

n

té di

sa

ru ec r s

n

r

su

20

20

t en

m te

40

50

60

80

OG (oreille gauche)

Figure 13.10

100 L (dB)

327

328

Chap. 13. Ondes sonores et audition ➤ Surdité bilatérale sans prédominance 1. Test de Lûscher : le test de Lûscher consiste à moduler un son de 20 dB d’une variation d’amplitude de 5 dB, puis à diminuer l’intensité de modulation jusqu’à ce que ce son soit perçu comme continu c’est-à-dire jusqu’à 1, 2 dB chez le sujet normal. Une valeur inférieure témoigne d’un recrutement. 2. Sisi-test : (short increment sensitority index) consiste à envoyer un son pur de 20 dB au dessus du seuil d’audition dont l’intensité varie par paliers. Le nombre de sauts d’intensité détectés par le patient est normalement inférieur à 20 % et supérieur à 60 % en cas de recrutement.

Audiométrie vocale L’audiométrie vocale teste l’intelligibilité du langage. Elle consiste à faire répéter au patient des listes de mots émis à des intensités étagées de cinq dB en cinq dB. Résultats : pour chaque intensité sonore est noté le pourcentage d’intelligibilité, c’est à dire le rapport du nombre de mots compris et répétés, sur le nombre de mots prononcés. Normalement 20 dB de gain suffisent pour passer de 0 à 100 % d’intelligibilité (courbe sigmoïde) (Fig. 13.11). L’indice vocal ou seuil d’intelligibilité déterminé par l’intersection de la courbe avec la barre des 50 % d’intelligibilité et compté en décibels au partir d’une origine fixée arbitrairement au point d’inflexion de la sigmoïde normale. % d'intelligibilité 100%

Seuil d'intelligibilité

50%

10

5

10

15

20

20

25

30

30

35

Figure 13.11

Indice vocal

40

45

50

L (dB)

Exercices

Exercices 1 Un nageur assis au bord d’une piscine couverte perçoit un bruit continu d’origine aérienne de 100 dB absolus, que l’on suppose homogène dans tout le volume aérien de la piscine. On suppose que l’interface eau-cérumen n’atténue pas les sons et que la puissance acoustique transmise de l’air vers l’eau est homogène en tout point du bassin.

Sachant qu’une interface air-eau ne laisse passer qu’un millième de l’énergie incidente et que la conduction osseuse atténue de 20 dB l’intensité du son perçu par rapport à la conduction aérienne, déterminer, lorsque le nageur plonge dans l’eau : 1. L’intensité sonore perçue dans le cas où il y a persistance d’une bulle d’air au contact des deux tympans. 2. L’intensité sonore perçue dans le cas d’une entrée en contact de l’eau avec les deux tympans. 3. L’intensité sonore perçue dans le cas où il y a présence d’un bouchon de cérumen dans le conduit auditif externe (CAE) droit (provoque une atténuation de 40 dB), l’eau étant en contact du tympan gauche et du cérumen à droite. 4. L’intensité sonore perçue dans le cas où il y a présence de 2 bouchons de cérumen dans les 2 CAE (atténuation de 40 dB), l’eau étant en contact du cérumen.

2 Un compresseur qui produit l’air destiné à un marteau piqueur émet à lui seul,

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

selon une symétrie sphérique, un son de 100 dB absolus mesuré à 5 mètres. 1. Déterminer l’intensité sonore en W. m−2 du son audible à la distance r1 = 5 m, puis à la distance r2 = 50 m. 2. Même question que la 1, mais pour les distances r3 = 0,5 m et r4 = 500 m. 3. On désire déterminer le niveau sonore, en dB, du bruit audible à l’intérieur d’une voiture située à la distance r du compresseur. On suppose que : • le bruit pénétrant dans la voiture ne passe que par les vitres,

• que l’atténuation en dB par une interface air/verre est de 15 dB,

• que les vitres de la voiture (simple vitrage) sont fermées et le moteur

arrêté (aucune autre source que le bruit du compresseur).

a) Déterminer le niveau sonore L 1 à l’intérieur de la voiture pour r 1 = 5 m. b) Même question pour r2 = 50 m. 4. Sachant que la conduction osseuse absolue atténue, par rapport à la conduction aérienne, d’un facteur 1 000, l’intensité d’un son perçu et que la

329

330

Chap. 13. Ondes sonores et audition congestion bilatérale des trompes d’Eustache par un rhume fait perdre 15 dB en conduction aérienne, déterminer le niveau sonore perçu par un passager enrhumé à l’intérieur de la voiture située à la distance r2 = 50 m. 5. Même question que la 4 (vitres fermées, moteur arrêté, passager enrhumé), mais en positionnant la voiture à la distance r1 = 5 m du compresseur et en allumant l’autoradio qui génère dans la voiture un son uniforme de puissance sonore Wradio = 10 −5 W. m −2.

Questions à choix multiples 1 Lorsque un son arrive perpendiculairement à l’interface entre deux milieux d’impédance acoustique différente Z1 et Z 2 : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

(Z 1 − Z 2) 2 . Le facteur de réflexion est égal à (Z 1 + Z2 )2 Z 1 Z2 . Le facteur de transmission est égal à 4 (Z 1 + Z 2 ) (Z 1 − Z 2) . Le facteur de réflexion est égal à (Z 1 + Z2 ) Z1 Z 2 . Le facteur de transmission est égal à 4 (Z 1 − Z 2 )2 Z1 Z 2 . Le facteur de transmission est égal à 4 (Z 1 + Z 2 )2

2 En audition subjective : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

La sensation est proportionnelle au logarithme du stimulus. La sensation est proportionnelle à l’inverse du logarithme du stimulus. Le stimulus est égal au logarithme de la sensation. La sensation est égale à la racine carrée du stimulus. La sensation est proportionnelle au stimulus.

3 En audition subjective : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Le savart quantifie la capacité de discrimination en tonie d’un son. Un octave correspond à 300 savarts. Un octave correspond à 30 savarts. Le phone quantifie la capacité de discrimination en hauteur d’un son. Un octave correspond à 300 phones.

Questions à choix multiples 4 En audition subjective : ❑ 1. Le phone quantifie la sensation de sonie. ❑ 2. L’échelle des phones est définie par rapport à un son pur de 1 000 Hz. ❑ 3. Chez un individu normal, un son de 1 000 Hz d’intensité 60 dB absolus correspond à une sensation de 60 phones. ❑ 4. Les courbes isophonantielles ne sont pas parallèles entre elles. ❑ 5. Les courbes isophonantielles ne sont pas parallèles aux courbes en décibels relatifs.

5 En audition subjective : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Le savart quantifie la capacité de discrimination en sonie d’un son. La loi de Weber et Fechner s’applique. Un savart correspond à 300 octaves. Le timbre correspond au spectre des fréquences et de leurs amplitudes. La sensation de tonie correspond à la hauteur d’un son.

6 ❑ 1. La décomposition d’un son complexe en sons purs par le théorème de ❑ 2. ❑ 3.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ 4.

❑ 5.

Fourier est unique. Un son complexe de fréquence f possède en général une composante fondamentale sinusoïdale pure de même fréquence. Un son complexe de fréquence f possède en général plusieurs composantes harmoniques sinusoïdales pures de fréquences multiples entières de f . Un son complexe de fréquence f possède en l’absence de fondamental plusieurs composantes harmoniques sinusoïdales pure fréquences multiples demi-entières de f . Plus un bruit est bref plus son spectre de fourier est riche en composantes.

7 ❑ 1. Un bruit blanc possède un spectre continu borné en plateau. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Un bruit blanc possède un spectre discontinu borné. Un bruit blanc sert à assourdir l’oreille non explorée en audiométrie. Un bruit musical possède un spectre discontinu borné. La presbyacousie se caractérise par une perte d’audition dans les sons de haute fréquence.

8 ❑ 1. À 40 ans un individu normal présente un déficit de perception significatif pour les sons de fréquence supérieure à 8 000 Hz. ❑ 2. En écoute binaurale, un déplacement angulaire de la source sonore de 10 degrés dans le plan frontal est le minimum perceptible.

331

332

Chap. 13. Ondes sonores et audition ❑ 3. En écoute binaurale, un déplacement angulaire de la source sonore de 1 degré dans le plan frontal est le minimum perceptible. ❑ 4. En écoute binaurale, un déplacement angulaire de la source sonore de 10 degrés dans le plan sagittal est le minimum perceptible. ❑ 5. En écoute binaurale, un déplacement angulaire de la source sonore de 1 degré dans le plan sagittal est le minimum perceptible. L’énoncé suivant est commun aux questions 9 à 15. Un compresseur qui produit l’air destiné à un marteau piqueur émet à lui seul, selon une symétrie sphérique, un son de 100 dB absolus mesurés à 5 mètres.

9 La puissance surfacique sonore en Watts·m−2 du son audible à différentes distances est égale à : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

10−2 Watts·m−2 à 5 mètres. 10−2 Watts·m−2 à 50 mètres. 10−4 Watts·m−2 à 5 mètres. 10−4 Watts·m−2 à 50 mètres. 1, 2, 3 et 4 sont fausses.

10 Même question que la précédente ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

10−2 Watts·m−2 à 0,5 mètres. 1 Watt·m−2 à 0,5 mètres. 10−4 Watts·m−2 à 0,5 mètres. 10−6 Watts·m−2 à 500 mètres. 1, 2, 3, 4 sont fausses.

Questions 11 à 12 On considère que le bruit pénétrant dans la voiture ne passe que par les vitres et on suppose que l’atténuation par une interface air/verre est de 15 dB.

11 Le bruit audible à l’intérieur d’une voiture, dont les vitres (simple vitrage) sont

fermées et le moteur arrêté (aucune autre source de bruit que le compresseur), est égal à : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

100 dB à 5 mètres. 70 dB à 5 mètres. 85 dB à 5 mètres. 50 dB à 5 mètres. 1, 2, 3 et 4 sont fausses.

Questions à choix multiples 12 Le bruit audible à l’intérieur d’une voiture dont les vitres (simple vitrage) sont fermées, est égal à : ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

100 dB à 50 mètres. 70 dB à 50 mètres. 85 dB à 50 mètres. 50 dB à 50 mètres. 35 dB à 50 mètres.

13 Sachant que la conduction osseuse absolue atténue, par rapport à la conduction

aérienne, d’un facteur 1 000 l’intensité du son perçu et que la congestion bilatérale des trompes d’Eustache par un rhume fait perdre 15 dB en conduction aérienne, quelle est l’intensité sonore perçue par un passager de l’automobile enrhumé (vitres fermées) ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

20 dB à 50 mètres. 70 dB à 50 mètres. 55 dB à 50 mètres. 50 dB à 50 mètres. 1, 2, 3 et 4 sont fausses.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

14 Même question que la précédente ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

65 dB à 50 mètres. 35 dB à 50 mètres. 55 dB à 5 mètres. 45 dB à 500 mètres. 1, 2, 3 et 4 sont fausses.

15 Même question que les deux précédentes, mais en positionnant la voiture à 5

mètres du compresseur et en allumant l’autoradio qui génère dans la voiture un son uniforme de 10−5 Watts·m−2 . ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

70 dB 55 dB 73 dB 58 dB Autre réponse

333

334

Chap. 13. Ondes sonores et audition Questions de cours

16 Impact de la surdité en France. ❑ 1. Depuis 1982, la surdité est la première maladie professionnelle. ❑ 2. Les baladeurs vendus en France sont limités à 100 dB en puissance de sortie maximale depuis l’arrêté du ministère de la santé du 24/7/98. ❑ 3. La législation du travail limite la durée maximale d’exposition à un bruit supérieur à 118 dB, à 25 minutes par semaine. ❑ 4. La législation du travail limite la durée maximale d’exposition à un bruit compris entre 108 et à 112 dB, à 25 minutes par jour. ❑ 5. 5 millions de français, dont 3 millions ont plus de 55 ans, souffrent de troubles de l’audition.

17 Audiométrie tonale supraliminaire. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Le test de Fowler explore le phénomène de recrutement. Le test de Lüscher explore le phénomène de recrutement. Le SISI-test explore le phénomène de recrutement. Le test de Fowler explore une surdité à prédominance unilatérale. Le phénomène de recrutement est caractéristique des surdités de transmission.

Corrigés Exercices 1 1. Le bruit ambiant étant de 100 dB, et comme une interface air/eau atté-

nue d’un facteur de 103, soit de 30 dB, dans l’eau il ne reste donc que : 100 − 30 = 70 dB. La bulle d’air au contact du tympan rajoute une interface eau/air (Fig. 13.12). Le son passant par le tympan est théoriquement égal à (100−30)−30 = 40 dB. Mais, la tête est immergée dans l’eau, donc les vibrations de l’eau sont transmises à la boîte crâniènne (et notamment à la mastoïde). Elles donnent donc lieu à une conduction osseuse jusqu’à l’oreille interne. Or par cette voie, la perte n’est que de 20 dB (selon l’énoncé), cette voie d’audition prend donc le dessus sur celle du tympan. On obtient ainsi un son perçu de niveau sonore : L 1 = (100 − 30) − (air/eau)

20

(conduction osseuse)

= 50 dB

Corrigés crâne

bulle d'air tympan conduit auditif externe

oreille externe

Figure 13.12 2. L’eau est en contact des deux tympans, donc il n’y a pas de perte à partir de l’eau, le son perçu sera donc de : L 2 = 100 − 30 = 70 dB 3. L’eau est maintenant en contact du tympan gauche, le son est perçu par la cochlée gauche (qui court-circuite la droite où l’atténuation est plus intense) : le son perçu sera donc de :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

L3 = 100 − 30 = 70 d B 4. Les deux bouchons rajoutent 40 dB d’atténuation pour la voie aérienne (tympanique) ; cela entraînerait une perte théorique de 30 + 40 = 70 dB. Mais, comme pour la question 1, c’est la conduction osseuse qui prend le relais : l’intensité perçue sera donc de : L 4 = (100 − 30) − (air/eau)

20

(conduction osseuse)

= 50 dB

2 1. On a un niveau sonore de 100 dB absolus à 5 m. Comme L1 = 10 log

L1 W1 alors W1 = W0 × 10 10 W0 100

soit numériquement W1 = 10 −12 × 10 10 = 10−2 W. m−2 . L’atténuation par la distance varie en fonction de l’inverse du carré de la  2 r1 distance, soit W2 = W 1 r2 Ainsi, pour r1 = 5 m, r 2 = 50 m et W1 = 10−2 W. m−2 , on a  2 5 W2 = 10−2 × = 10−4 W. m −2 50

335

Chap. 13. Ondes sonores et audition 2. Même raisonnement que la question 1 :  2 r1 À r3 = 0, 5 m, W 3 = W1 , soit numériquement W3 = 1 W. m−2 . r3  2 r1 À r4 = 500 m, W4 = W1 , soit numériquement W4 = 10−6 W. m−2 . r4 3. a) À l’extérieur de la vitre, et à 5 m du compresseur, on a un niveau sonore L 1 = 100 dB. Le son passe deux interfaces (air/verre puis verre/air) pour pénétrer dans la voiture (Fig. 13.13). vitre

{

336

son natif

son atténué

interface air/verre

interface verre/air

Figure 13.13 La perte sera donc de 2 × 15 = 30 dB. Le niveau sonore à l’intérieur de la voiture sera donc de Lint = L ext − 2 × 15, soit numériquement L 1,int = 100 − 30 = 70 dB. À la distance r2 = 50 m, le bruit entrant dans la vitre est atténué par la distance (voir question 1). Il a une puissance sonore W2 = 10−4 W. m−2 , 10 −4 soit un niveau sonore L 2 = 10 log −12 = 80 dB 10 La perte au passage de la vitre étant toujours de 30 dB, le niveau sonore à l’intérieur de la voiture et à 50 m du compresseur sera L 2,int = 80 − 30 = 50 dB 4. À 50 m, le son dans la voiture a un niveau sonore de 50 dB. Le rhume entraîne une perte de conduction aérienne bilatérale de 15 dB La conduction osseuse ne peut pas prendre le relais car une atténuation d’un facteur 1 000 correspond à 30 dB de perte. Le son perçu a donc un niveau sonore L 2,int = 50 − 15 = 35 dB

Corrigés 5. La voiture est à 5 m, le son provenant du compresseur, à l’intérieur de la voiture, a un niveau sonore L1,int = 70 dB Avec l’autoradio, on additionne un son de puissance sonore Wradio = 10−5 W. m −2 . La puissance sonore résultante est Wr = W1,int + Wradio . W1,int On a L1,int = 10 log W0 Donc

W1,int = W 0 × 10

L 1,int 10

70

Soit numériquement, W1,int = 10−12 × 10 10 = 10−5 W. m −2 et donc W r = 2.10−5 W. m−2 2.10−5 Le niveau sonore résultant est L r = 10 log = 73 dB 10 −12 Le rhume en fait perdre 15 dB, il reste donc 73 − 15 = 58 dB perçus par l’individu.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Questions à choix multiples Question

1

2

4

5

6

7

8

9

1.

❑ ✗

✗ ❑

✗ ❑

❑

❑ ✗

❑ ✗

✗ ❑

❑ ✗

2.

❑

❑

✗ ❑

❑ ✗

✗ ❑

❑

❑ ✗

❑

3.

❑

❑

✗ ❑

❑

❑ ✗

✗ ❑

❑

❑

4.

❑

❑

✗ ❑

❑ ✗

✗ ❑

❑ ✗

❑

✗ ❑

5.

❑ ✗

❑

✗ ❑

❑ ✗

✗ ❑

❑ ✗

✗ ❑

❑

Question

10

11

12

13

14

15

16

17

1.

❑

❑

❑

❑

❑

❑

✗ ❑

❑ ✗

2.

❑ ✗

✗ ❑

❑

❑

❑ ✗

❑

✗ ❑

❑ ✗

3.

❑

❑

❑

❑

✗ ❑

❑

❑

❑ ✗

4.

❑ ✗

❑

✗ ❑

❑

❑

❑ ✗

❑

✗ ❑

5.

❑

❑

❑

✗ ❑

❑

❑

❑ ✗

❑

3 1. et 2. On rappelle que : • le savart est relatif à la tonie (fréquence) • le phone est relatif à la sonie (la puissance sonore perçue).

337

14

Optique et anomalies de la vision Plan

Cours 14.1Les troubles dioptriques des yeux 14.2Méthodes d’examen des caractéristiques oculaires 14.3Le rôle de la rétine dans la vision des couleurs QCM et exercices Corrigés

Objectifs • Comprendre

et retenir l’origine des anomalies visuelles : géométriques (dioptriques), de l’accomodation (presbytie) rétiniennes (dyschromatopsies)

• Savoir choisir et calculer le mode

de correction des troubles dioptriques de l ’œil (lunettes ou verre de contact), ainsi que de la presbytie.

Cours Les notions d’optique géométrique sont abordées dans le livre de physique de la même collection auquel on se référera.Quelques rappels pourront cependant être abordés. Les anomalies de la vision ont principalement deux origines : • l’une liée aux caractéristiques géométriques de l’œil : ce sont les troubles diop-

triques de l ’œil, qui ont pour conséquence une vision floue par mauvaise convergence des rayons lumineux sur la rétine. • l’autre liée à des anomalies rétiniennes : troubles de la vision des couleurs, en général d’origine génétique.

14.1 LES TROUBLES DIOPTRIQUES DES YEUX Pour que la vision soit nette, le système optique doit être à même de former sur la rétine une image nette de l’objet. Deux types de troubles peuvent se produire : • l’œil est capable de réaliser le stigmatisme : on parlera d’amétropies sphériques ;

14.1 Les troubles dioptriques des yeux • l’œil ne réalise pas le stigmatisme car il ne possède pas de symétrie de révolution :

il est incapable de donner d’un objet ponctuel une image ponctuelle, on parle alors d’astigmatisme.

14.1.1 Les amétropies sphériques On distingue deux types d’amétropies sphériques : la myopie et l’hyperopie (ou hypermétropie).

La myopie Le myope est un individu qui possède une bonne vision de près et une mauvaise vision de loin. Dans la myopie, le punctum remotum (P . R.) est situé en avant de l’œil à distance finie. Il est réel. Le foyer image F  est situé en avant de la rétine (Fig. 14.1).

P.R.

P.P.

S F'

dm D

Figure 14.1

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Pour un œil myope au repos, l’image se forme sur la rétine si le faisceau incident est divergent (Fig. 14.2).

P.R.

P.P.

S

dm D

Figure 14.2 Par définition on appelle degré d’amétropie la proximité du punctum remotum, soit D ◦ d’amétropie =

1 P

P . R.

où P P . R représente la position du P . R .

(14.1)

339

340

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision D◦ d’amétropie −1δ −2δ −4δ

P P . R. −1 m −0, 50 m −0, 25 m

L’hyperopie ou hypermétropie. Le sujet hyperope a une mauvaise vision de près et en général une bonne vision de loin. Le punctum remotum est situé en arrière du sommet de l’œil : Il est virtuel (Fig. 14.3).

P.P.

P.R.

S F'

Figure 14.3 L’œil étant au repos, pour que l’image se forme sur la rétine il faut que le faisceau qui arrive soit déja convergent au niveau du P . R. (Fig. 14.4).

P.P.

P.R.

S

Figure 14.4 Le degré d’amétropie d’un œil hyperhope est positif puisque le punctum remotum est situé en arrière de l’œil. D◦ d’amétropie 1δ 2δ 4δ

PP.R.

+1 m +0, 50 m +0, 25 m

14.1.2 Correction des amétropies Correction par des verres de lunettes Le but de la correction est de ramener le punctum remotum de l’association (œil + verre correcteur) à l’infini comme pour un œil normal.

14.1 Les troubles dioptriques des yeux Le principe général de correction des amétropies sphériques est de placer devant l’œil une lentille mince dont le foyer image coïncide avec le punctum remotum de l’œil ( P . R .). Dans ces conditions l’image finale se forme sur la rétine si l’œil est au repos.

Correction de la myopie L’œil myope est trop convergent : il doit être corrigé par un verre divergent (Fig. 14.5). (verre correcteur)

S

rétine

P.R.

Figure 14.5 En décomposant :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

• l’objet à l’infini (position du P . R . pour un œil normal) est à l’origine d’un fais-

ceau de lumière parallèle. La lentille correctrice (divergente) en donne une image virtuelle au niveau de son foyer image, donc au niveau du punctum remotum de l’œil myope, • cette image virtuelle sert d’objet virtuel pour l’œil. Placé au punctum remotum de l’œil cet objet virtuel va donner par rapport au dioptre équivalent une image nette sur la rétine.

La puissance du verre de lunette est sensiblement égale au degré d’amétropie de l’œil. En réalité, comme il existe une petite distance entre le sommet du dioptre et le centre optique de la lentille correctrice, cette puissance différe un peu du degré d’amétropie. Exemple Soit un œil myope dont le degré d’amétropie est de −5 δ. Quelle est avec précision la correction de cet œil par un verre de lunette placé à a = 1 cm de l’œil ? 1 La position du P . R . est donnée par : P P . R. = ◦ D d’amétropie 1 Numériquement : P P . R. = = −0, 20 m. −5 Le verre correcteur étant à 1 cm de l’œil (Fig. 14.6), donc f  = P P . R. + a = −0, 19 m.

341

342

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision (verre correcteur)

-0,19 m rétine

P.R. -0,20 m F'

-0,01 m

Figure 14.6 La puissance du verre correcteur est : P= Soit numériquement : P =

1 f

(14.2)

1 = −5, 29 δ. −0, 19

Correction de l’hyperopie L’œil hyperope manque de convergence : sa correction se fera donc par une lentille convergente. On place devant l’œil une lentille mince dont le foyer image coïncide avec le punctum remotum de l’œil (Fig. 14.7). (verre correcteur)

rétine

P.R. F'

Figure 14.7 Le mécanisme de la formation de l’image est identique au cas précédent. Exemple Soit un œil hyperope dont le degré d’amétropie est de +3 δ Déterminons la puissance du verre correcteur sachant que celui-ci est placé à a = 1 cm en avant du sommet de l’œil (Fig. 14.8).

14.1 Les troubles dioptriques des yeux (verre correcteur)

rétine

P.R. F'

Figure 14.8 Le degré d’amétropie étant de +3 δ, donc P

P . R.

Le verre correcteur est placé à 1 cm de l’œil. Comme f  = P P . R. + a, alors f  = +0, 34 m.

=

1 = +0, 33 m. 3

La puissance du verre correcteur est donc : P = P = +2, 94 δ

1 , soit numériquement f

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Correction par des lentilles ou verres de contact Les lentilles de contact sont de petites lentilles minces appliquées sur la cornée. Le rayon de la partie concave de la lentille doit être égal au rayon de courbure du dioptre cornéen antérieur. Les verres de contact apportent un meilleur champ de vision avec des effets de profondeur moins importants qu’avec des verres classiques. Ils ne comportent ni rayures ni salissures (nettoyage par les larmes et les clignements de paupière) et donnent une transparence excellente.

Figure 14.9 Exemple Un œil peut être représenté par un dioptre équivalent dont le rayon de courbure est R = 6 mm. L’indice du milieu de l’œil est de 1, 3. La distance sommet du dioptre-rétine est de 20 mm.

343

344

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision 1. Quel est le degré d’amétropie de cet œil ? Quelle est la nature de l’amétropie ? 2. Quelle est la valeur du rayon de courbure du verre de contact correcteur sachant que l’indice de celui-ci est de 1, 5 ? Quelle est la puissance du verre de contact seul ? On supposera que les sommets des dioptres sont confondus. La puissance d’une lentille est donnée par :   1 1 P = (n − 1) + (14.3) R1 R 2 avec R < 0 s’il s’agit d’une face concave et R > 0 s’il s’agit d’une face convexe.

rétine

R2 R1

Figure 14.10 1. Calcul de la position du ponctum remotum et du degré d’amétropie. La formule de conjugaison appliquée au dioptre sphérique, donne : n2 n1 n − n1 = 2 − , avec A image de A à travers le dioptre de rayon R  R SA SA (14.4) Application numérique. L’image A  se forme sur la rétine, donc 1, 3 1 1, 3 − 1 − P . R. = 20 6 P

d’où :

1 P

P . R.

= 0, 015, soit P P . R. = 67 mm

Le degré d’amétropie vaut : D ◦ d’amétropie = Soit numériquement, D ◦ d’amétropie =

1 P P . R.

1 = +15 δ 0, 067

L’œil est donc hyperope. 2. Calcul des rayons de courbure. Le rayon de courbure interne du verre de contact R2 est le même que le rayon de courbure de la cornée donc de 6 mm.

14.1 Les troubles dioptriques des yeux Calculons dans un premier temps la position de l’objet virtuel qui donne, par rapport au dioptre verre de contact-œil, une image sur la rétine. On a : −

1, 5 1, 3 1, 3 − 1, 5 = + (d’après la formule de conjugaison) p 20 6

d’où :

1, 5 = 0, 098 p

soit :

p = 15, 3 mm

Cet objet virtuel correspond à l’image virtuelle donnée par le dioptre air-verre de contact d’un point à l’infini (nouveau P . R.de l’œil corrigé) : ce point correspond au foyer image de ce dioptre. n 2 R1 On a : f = n2 − n 1 d’où soit numériquement :

R1 = f 

n2 − n 1 n2 R 1 = 5, 1 mm

Calculons la puissance de la lentille de contact seule :   1 1 D = (1, 5 − 1) + , soit D = 15 δ 0, 0051 −0, 006

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

14.1.3 L’astigmatisme Définition L’œil ne possède plus une symétrie de révolution : d’un point objet lumineux il n’est pas capable de fournir une image pontuelle (déformation cornéenne). On distingue : • l’astigmatisme irrégulier : par exemple une cornée qui a subi des traumatismes

(blessures, brûlures,...)

La seule correction possible est la restitution d’une courbure uniforme à la cornée grace à un verre de contact. • l’astigmatisme régulier :

Il existe deux méridiens principaux perpendiculaires, entre lesquels la puissance varie de manière continue. La différence de puissance entre les deux méridiens principaux est appelée « degré d’astigmatisme ».

345

346

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision L’œil astigmate régulier On distingue : • l’astigmatisme dit « conforme à la règle » où le méridien vertical possède la plus

forte puissance, le méridien horizontal la plus faible puissance. • l’astigmatisme dit « non conforme à la règle » où le méridien vertical possède la plus faible puissance, le méridien horizontal la plus forte puissance. L’œil possède donc deux puissances différentes selon deux méridiens : on peut définir deux pseudo-punctum remotum. Le pseudo-punctum remotum vertical est le point conjugué de la rétine par rapport à la puissance du méridien vertical. On peut utiliser la formule des dioptres sphériques pour en calculer la position. Celui-ci peut être défini également comme étant le point où il faut placer un objet ponctuel pour que sa pseudo-image horizontale se forme sur la rétine. De la même manière, on peut définir un pseudo-punctum remotum horizontal par rapport à la puissance du méridien horizontal.

Correction des astigmates Il faut rendre à l’œil une puissance égale dans toutes les directions et faire en sorte que lorsque l’œil corrigé au repos forme d’un point objet à l’infini, une image sur la rétine. Ceci est réalisé à l’aide de lentilles cylindriques ou sphéro-cylindriques. Le principe de correction est le même que pour les amétropies sphériques mais il faut raisonner dans deux plans perpendiculaires. Exemple Considérons un œil astigmate myope composé caractérisé par : • un pseudo-punctum remotum horizontal à P . PH = −50 cm du sommet du

dioptre. • un pseudo-punctum remotum vertical à P . R V = −25 cm du sommet du dioptre. 1. Calculons le degré d’astigmatisme de cet œil. 2. Déterminons la puissance du verre correcteur. 1. Le degré d’astigmatisme est :     1 1  − D ◦ (d’astigmatisme) =  P .R V P .P H 

   1  1 =2δ Soit numériquement, D (d’astigmatisme) =  − −0, 25 −0, 50  ◦

(14.5)

14.1 Les troubles dioptriques des yeux 2. La correction. Représentons les différents éléments sur la figure 14.11.

rétine

S P.R H -50 cm

P.RV -25 cm

1 cm PH

PV

Figure 14.11

La puissance du verre correcteur est P: H = Soit numériquement : P H =

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

(14.6)

1 fV

(14.7)

1 = −2, 04 δ. −0, 49 PV =

Soit numériquement : P V =

1 f H

1 = −4, 17 δ −0, 24

14.1.4 La presbytie Elle est consécutive au vieillissement du cristallin qui perd de son élasticité. Elle se traduit par une diminution de l’amplitude d’accommodation ; on parle de presbytie lorsque cette amplitude devient inférieure à 4 δ. Elle survient aux alentours de 45 ans en moyenne. L’amplitude d’accomodation, exprimée en dioptries, représente la différence des proximités respectives du P . R. et du P . P ., soit A = R − P , avec R =

1 P P . R.

et P =

1 P P.P.

(14.8)

Le presbyte simple Il n’a pas de troubles dioptriques pré-existant. Le presbyte simple a donc son punctum remotum à l’infini.

347

348

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision A = 1 dt

-1m A = 2 dt

- 50 cm

P.R. à - ∞

S A = 3 dt

rétine

- 33 cm

A = 4 dt

-25 cm

Figure 14.12

Le myope presbyte Son punctum remotum est à distance finie en avant de l’œil. Exemple Soit un myope presbyte possédant un degré d’amétropie de −1 δ et une amplitude d’accomodation A = 2 δ (Fig. 14.13). Le P . R. est situé à −1 m de S. Déterminons la position du P . P . Comme A = R − P , alors P = R − A. Soit numériquement : P = −1 − 2 = −3 δ, c’est-à-dire P P . P . = −33 cm Le P . P . est donc situé à 33 cm de S. P.R. -1m

P.P.

S

rétine

- 33 cm

Figure 14.13 En fait ce patient peut voir des objets nettement entre −1 m et −0, 33 m. Mais en réalité son plan de lecture confortable est plus éloigné que −33 cm car à cette distance il est obligé d’accommoder au maximum et l’œil se fatigue vite. Pour lire dans des conditions confortables, l’œil ne doit utiliser que la moitié de son amplitude d’accommodation. Le plan de lecture est situé à : A PL = R − = −1 − 1 = −2 δ, soit à −50 cm du sommet S du dioptre. 2 Dans ces conditions, on peut dire que pour ce myope presbyte, la vision de près est défectueuse.

14.1 Les troubles dioptriques des yeux L’hyperope presbyte La presbytie aggrave les conséquences de l’hyperopie. La diminution de l’amplitude d’accommodation fait que le P . P . est encore plus éloigné de S, voire lui aussi virtuel. Exemple Soit un œil hyperope presbyte possédant un degré d’amétropie de +3 δ et une amplitude d’accommodation A de 2 δ (Fig. 14.14). 1 Le punctum remotum P . R. est situé à (+ D) soit à +0, 33 m de S. 3 R désigne la proximité du remotum et P celle du proximum (en dioptries) Le P . P . est situé à : A = R − P , soit P = R − A. Numériquement, P = 3 − 2 = 1 δ, soit un P . P . situé à +1 m de S (en arrière de l’œil). Le P . R . et le P . P . sont tous les deux virtuels : ce sujet ne peut voir aucun objet réel de manière nette.

{

parcours d'accomodation

S

rétine

P.R. + 33 cm

P.P. +1m

Figure 14.14

La correction de la presbytie © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

➤ Correction d’un presbyte simple Seule la vision de près doit être corrigée. Cela se fait avec une lentille dont la puissance est telle que l’œil n’utilise que la moitié de son amplitude d’accommodation, pour voir nettement un plan de lecture confortable, situé à−25 cm. Ce sujet n’utilisera donc ses lunettes que pour la vision de près (lecture notamment). Exemple Soit un œil presbyte simple dont l’amplitude d’accommodation A est de 2 δ. Quelle est la puissance du verre correcteur pour la vision de près ? 1 = −0, 50 m de S (Fig. 14.15). 2 L’œil, lorsqu’il utilise la moitié de son amplitude d’accomodation, met au point sur un objet situé à : A Pob = R − = −1 δ, soit à une distance de −1 m. 2 Le P . R. est à l’infini, le P . P . est situé à −

349

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision (plan de lecture à - 25 cm de S)

{

350

(lentille)

P.R.

P 0 A/2)

-∞

-1m

P.P. - 0,5 m

O

S

rétine

p' = -99 cm p = -24 cm

Figure 14.15 Le verre correcteur est convergent. La puissance du verre sera calculée à partir de la formule des lentilles : 1 1 1 1 = − = − =P p p f f Soit numériquement : P =

(14.9)

1 1 − = 3, 15 δ. −0, 99 −0, 24

➤ Correction d’une presbytie associée à une amétropie On utilise des verres à puissance variable dits « progressifs » : la puissance diminue graduellement lorsque l’on passe du bord inférieur (correction de près) au bord supérieur (correction de loin) de la lentille. Le principe de calcul est le même que pour l’exemple précédent.

14.2 MÉTHODES D’EXAMEN DES CARACTÉRISTIQUES OCULAIRES 14.2.1 Les méthodes subjectives Elles reposent sur l’appréciation par le sujet des difficultés visuelles ressenties à la présentation de divers tests : on essaie selon les résultats obtenus, des corrections différentes jusqu’à obtenir celle qui apporte le meilleur confort visuel au sujet. Ces tests reposent essentiellement sur la lecture d’optotypes (lettres ou symboles de forme et dimension standardisées). Ils permettent de mesurer l’acuité visuelle.

14.2.2 Les méthodes objectives Elles ne réclament pas la collaboration du sujet et reposent sur des principes d’optique géométrique qui les rendent applicables à n’importe quel cas.

14.2 Méthodes d’examen Skiascopie Principe : on s’arrange pour obtenir tout d’abord un point lumineux sur la rétine du sujet : si ce dernier n’accomode pas et d’après le principe du retour inverse de la lumière, les rayons émanant de ce point vont être réfractés par les milieux antérieurs de l’œil et vont venir se rejoindre au niveau du remotum. Il suffit alors de déterminer ce point pour en déduire très simplement la nature et le degré de l’amétropie recherchée. Sujet et observateur se trouvent situés à 1 mètre l’un de l’autre. La lumière émanant d’une source S située légèrement en arrière du sujet et réfléchie par un miroir plan (tenu par l’observateur) et percé d’un trou central par lequel l’observateur peut voir l’œil examiné. En faisant effectuer au miroir une petite rotation autour d’un axe vertical ou horizontal, la tache lumineuse refléchie sur le visage du sujet va se déplacer par exemple de haut en bas. L’observateur observe l’éclairement de la pupille. Trois cas peuvent se produire : 1. Le sujet est myope de plus d’une dioptrie : Lorsque le P . R. est situé entre le patient et l’observateur, la pupille s’éclaire en sens inverse du déplacement de la tache lumineuse. 2. Le sujet est myope de moins de 1 δ et n’accomode pas :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Lorsque le P . R . est situé au delà de l’observateur, la pupille s’éclaire dans le même sens que se déplace la tache lumineuse sur le visage. 3. Sujet myope exactement de 1 δ˜ : Lorsque l’observateur est situé au punctum remotum de l’œil, il observera l’illumination brusque de la pupille. Ce phénomène très particulier a reçu le nom « d’ombre de masse ». On peut mettre à profit ce phénomène pour déterminer le degré d’amétropie d’un œil quelconque (animal, nourrisson). En effet, il suffira d’intercaler une lentille de puissance convenable (convergente ou divergente) pour obtenir l’illumination brusque. Lorsque celle-ci est obtenue, cela veut dire que l’œil a été rendu artificiellement myope de −1 dioptrie. Le degré d’amétropie est alors égal à : R = P − 1, où P représente la puissance de la lentille intercalée (R : degré d’amétropie en dioptries)

(14.10)

La kératométrie (mesure du degré d’astigmatisme) Pour un même objet la taille de l’image fournie par un miroir convexe sera proportionnelle au rayon de courbure du miroir. L’ophtalmomètre de Javal et Schiotz (ou kératomètre) utilise ce principe. Cet appareil se compose : • d’une lunette dont l’axe passe par le sommet antérieur de l’œil,

351

352

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision • de deux mires A et B qui peuvent se déplacer symétriquement par rapport à l’axe

optique de la lunette et qui éclairent le dioptre antérieur de la cornée sur laquelle la lumière se réfléchit.

L’image de ces mires donnée par le dioptre antérieur de la cornée, agissant comme miroir convexe, aura une taille dont les dimensions varieront en fonction du rayon de courbure de la cornée. Le chevauchement de ces mires est comparé dans deux positions angulaires à 90 ◦. S’il existe un astigmatisme, le degré de chevauchement va varier. Les positions extrêmes sont repérées et l’écart en dioptries entre les deux méridiens peut ainsi être évalué.

14.3 LE RÔLE DE LA RÉTINE DANS LA VISION DES COULEURS L’image formée sur la rétine par la réfraction des rayons lumineux est constituée d’un flux de photons qui traverse les différentes couches de la rétine atteignant les récepteurs (cônes et bâtonnets) qui sont à l’origine de l’influx nerveux.

14.3.1 Les zones de la rétine ➤ La rétine centrale La fovéa centralis est une petite dépression au centre de la fovéa. À ce niveau, la rétine est pratiquement réduite à une seule couche de cellules réceptrices : ce sont exclusivement des cônes qui sont reliés chacun à une seule cellule bipolaire et à une seule cellule ganglionnaire. À mesure que l’on s’éloigne de la fovéa le nombre de bâtonnets augmente alors que les cônes diminuent en nombre. ➤ La rétine périphérique Elle est caractérisée par une prédominance considérable des bâtonnets. Plusieurs cellules réceptrices sont reliées à une seule cellule ganglionnaire définissant ainsi un champ réceptif ou territoire indépendant. Ces variations histologiques expliquent les variations de l’acuité visuelle maximale à la fovéa et la plus grande sensibilité de la rétine périphérique où les bâtonnets agissent de façon coopérative dans un même territoire indépendant.

14.3.2 Rôle des cônes et des bâtonnets Leurs rôles apparaissent très differents. ➤ L’effet PURKINJE Purkinje (physiologiste hongrois) a observé qu’en vision crépusculaire la couleur bleue apparaissait plus lumineuse que la couleur rouge.

14.3 Le rôle de la rétine dans la vision des couleurs À faible niveau d’éclairement, l’œil apparait donc plus sensible aux petites longueurs d’ondes. Ceci peut être mis en évidence en comparant les courbes d’efficacité lumineuse à fort éclairement (vision photopique) et à faible éclairement (vision scotopique). En utilisant de la lumière monochromatique on cherche tout d’abord à déterminer la longueur d’onde pour laquelle l’œil est le plus sensible. Puis pour la longueur d’onde de sensibilité maximum, on demande à un groupe d’individus reconnus normaux d’estimer la sensation d’intensité lumineuse obtenue avec une énergie lumineuse Eλm .On demande ensuite au groupe d’estimer, pour chaque longueur d’onde, l’énergie nécessaire Eλ qui provoque la même sensation d’intensité lumineuse. Pour chaque longueur d’onde, on peut ainsi définir un coefficient d’intensité lumineuse Vλ tel que : Eλm Vλ = (14.11) Eλ Les courbes d’efficacité lumineuse sont la représentation graphique de Vλ en fonction de la longueur d’onde λ (Fig. 14.16). Vλ

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

400

500

600

λ (en nm)

Figure 14.16 : faible éclairement (vision scotopique) : fort éclairement (vision photopique) ➤ Influence du niveau d’intensité lumineuse sur l’acuité visuelle L’acuité visuelle n’est pas identique en vision diurne (haut niveau d’éclairement) et en vision nocturne (bas niveau d’éclairement) (Fig. 14.17). Au total : les bâtonnets nombreux au niveau de la rétine périphérique apparaissent beaucoup plus sensibles au bas niveau d’éclairement que les cônes. Ils ne sont pas sensible au rouge (effet Purkinje) et assurent pratiquement une vision en noir et blanc au très bas niveau d’éclairement. Leur rôle devient prépondérant en vision crépusculaire, essentiel en vision nocturne. Les cônes très nombreux au niveau de la macula sont responsables d’une acuité visuelle élevée et de la vision des couleurs en vision diurne.

353

354

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision 1

acuité visuelle (vision diurne)

0,5

(vision nocturne)

côté temporal

0

côté nasal

Figure 14.17

➤ Les pigments des cônes Il a été mis en évidence au niveau des différents cônes, trois maxima d’absorption correspondant aux couleurs bleue, verte et rouge. Ceci évoque l’existence de trois types de cônes. L’existence des trois pigments (dénommés : cyanolabe, chlorolabe et érythrolabe) dans les cônes est à l’origine de la perception des couleurs.

14.3.3 Les troubles de la vision des couleurs La vision des couleurs chez l’homme est trichromatique. Toutes les teintes apparaissent comme un mélange de trois couleurs fondamentales ( rouge, vert et bleu ) exprimées avec des luminosités différentes. Les troubles de la vision des couleurs apparaissent donc directement liés à la richesse et à la fonctionnalité des différents types de récepteurs. On peut distinguer : 1. Les monochromatopsies • L’achromatopsie dite « normale » : ne survient que chez 1 sujet pour 30 000 environ. La vision n’est due qu’aux seuls bâtonnets : les cônes ne sont pas fonctionnels. La courbe de visibilité de ces sujets est la courbe scotopique. Ils ne connaissent donc pas l’effet Purkinje. Ils sont photophobiques et redoutent les fortes luminances qui les éblouissent. Leur acuité visuelle est très médiocre. Cette anomalie porte également le nom de nyctalopie. • L’achromatopsie dite « anormale » : beaucoup plus rare (1 pour 10 000 000 sujets).

La vision par les cônes est conservée, l’acuité visuelle est parfaite ainsi que la courbe d’efficacité lumineuse. Il s’agit d’un dysfonctionnement au niveau du système nerveux central.

Exercices 2. Les dichromatopsies : Les dichromates appelés encore daltoniens synthétisent leur vision colorée à partir de deux primaires. Les dichromatismes s’interprètent en admettant qu’une des trois espèces de cônes manque, ce qui amène à distinguer trois types de dichromates : • Les protanopes ou dichromate type Dalton : aveugles au rouge (anérythropes) qui

ne conservent que les cônes bleus et verts. Leur courbe de visibilité ne dépasse pas 650 nm. • Les deutéranopes ou dichromate type Nagel : aveugles au vert (achloropes). Leur courbe de visibilité est voisine de la normale mais ils confondent le gris et le poupre ou avec du vert feuille ; le vert et l’orangé. • Les tritanopes : aveugles au bleu (acyanopes). L’anomalie est extrêmement rare avec une mauvaise discrimination des couleurs dans le bleu et le vert. 3. Les trichromatopsies anormales Elles représentent 8 % de la population et les deux tiers de toutes les dyschromatopsies. Ces sujets sont trivariants mais ils manquent de sensibilité au niveau d’une des couleurs primaires. On distingue : • les protanomaux : manque de sensibilité dans le rouge ;

• les deutéranomaux : manque de sensibilité dans le vert ; • les tritanomaux : manque de sensibilité dans le bleu.

Les anomalies de la vision des couleurs sont d’origine génétique. Elles peuvent être dépistées au moyen de tests de différentiation (dénomination) des couleurs.

Exercices 1 Un œil emmétrope, quand il n’accomode pas, voit nettement un objet situé à

l’infini (P . R . à l’infini). En accomodant et pour un sujet âgé de 20 ans, cet œil peut voir nettement tout objet placé entre l’infini et une distance minimale de vision distincte dm  12, 5 cm (le P . P . est à 12, 5 cm). Le P . P . de l’œil d’un patient est à 1 m devant cet œil.

Déterminer la vergence du verre correctif que doit utiliser ce patient pour voir nettement un objet à 25 cm, en accomodant au maximum et en négligeant la distance verre-sommet du dioptre.

355

356

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision 2 Un patient presbyte, de 80 ans, a son P . P . et son P . R . situés respectivement à 2 m et à 4 m en avant de son œil. Déterminer l’amplitude d’accomodation ou amplitude dioptrique de cet œil.

3 Le système optique constitué par l’œil peut être assimilé à une lentille mince convergente (L) de distance focale f  . Les images nettes se forment sur le plan rétinien situé à une distance a = 1, 5 cm derrière le centre optique O de cette lentille.

1. Un patient est myope : le point le plus éloigné de son œil qu’il peut voir nettement est situé à 30 cm en avant du point O. Déterminer la vergence C de la lentille (L) assimilable à l’œil de ce patient ? 2. Un praticien veut corriger la myopie de son patient en équipant l’œil d’une lentille de contact correctrice (Lc ). Pour simplifier, on admettra que ce système des deux lentilles se comporte deux lentilles accolées (L) et (Lc ). Avec sa lentille de contact, le patient voit nettement, sans fatigue, un objet plat situé à l’infini. a) Quelle est la nature de la lentille correctrice ? b) Déterminer la vergence Cc de cette lentille.

Questions à choix multiples Extrait d’annales - Janvier 2004, CHU Poitiers. L’énoncé suivant est commun aux questions 1 et 2. On fait regarder un sujet à travers des lunettes opaques percées de très nombreux trous de très petit diamètre. Grâce à ce dispositif :

1 ❑ 1. L’acuité visuelle d’un myope bien corrigé est améliorée. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

L’acuité visuelle d’un myope non corrigé est dégradée. L’acuité visuelle d’un emmétrope est inchangée. L’acuité visuelle d’un hyperope bien corrigé est inchangée. L’acuité visuelle d’un hyperope non corrigé est améliorée.

2 ❑ 1. L’acuité visuelle d’un sujet atteint de rétinite pigmentaire est améliorée. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

L’acuité visuelle d’un presbyte est améliorée pour la vision lointaine. L’acuité visuelle d’un presbyte est améliorée pour la vision proche. L’acuité visuelle d’un sujet nyctalope est améliorée. L’acuité visuelle d’un emmétrope est améliorée pour la vision de loin.

Questions à choix multiples 3 Un œil est représenté par un dioptre équivalent dont le rayon de courbure est de 6 mm. L’indice oculaire est n = 1, 33. La distance sommet du dioptre rétine est de 20, 5 mm. Quelle est (en dioptries) le degré de l’amétropie ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

+10, 12 δ. +15 δ. +9, 88 δ. −9, 88 δ. +9, 88.10−3 δ.

4 Astigmatismes : on définit le P . R H comme étant le pseudo punctum remotum

dans le méridien horizontal et le P . RV comme étant le pseudo punctum remotum dans le méridien vertical. Quelles sont les réponses exactes ? ❑ 1. le P . R H est en avant du P . RV dans l’astigmatisme myopique composé conforme. ❑ 2. le P . R H est en avant du P . RV dans l’astigmatisme myopique composé non conforme. ❑ 3. le P . RH est dans le plan rétinien dans l’astigmatisme hyperopique simple non conforme. ❑ 4. une droite verticale est vue nettement par un astigmate hyperopique simple non conforme sans aucun effort d’accommodation. ❑ 5. une droite horizontale est vue nettement par un astigmate hyperopique simple non conforme de 1 δ grâce à un effort d’accommodation (sujet âgé de 15 ans).

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

5 Quelle(s) est (sont) la (les) proposition(s) correcte(s) concernant la tache aveugle ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

La tache aveugle n’est sensible à aucune stimulation. La tache aveugle n’est aveugle qu’en vision photopique. La tache aveugle n’est aveugle qu’en vision scotopique. La tache aveugle est sensible aux contrastes de luminance. La tache aveugle est responsable du scotome central.

6 L’utilisation de l’ophtalmomètre de JAVAL a pour but : ❑ 1. d’explorer l’acuité visuelle. ❑ 2. de tester les capacités d’accommodation. ❑ 3. de vérifier si les rayons de courbure de la cornée sont identiques dans tous les plans. ❑ 4. d’apprécier l’ordre de grandeur du degré d’astigmatisme. ❑ 5. de réaliser un examen du fond d’œil.

357

358

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision 7 Quelle est l’acuité visuelle d’un sujet dont la rétine est capable de séparer 2

points images séparés par une distance supérieure ou égale à 5 μm , sachant que la distance rétine centre optique de l’œil est de 17, 2 mm ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

10/10. 1/10. 5/10. 0, 5/10. autre réponse.

8 Presbytie : on demande de calculer la puissance minimale d’un verre placé 1 cm

en avant du point S qui permet la lecture confortable à 25 cm, pour un presbyte simple dont l’amplitude d’accommodation n’est plus que de deux dioptries. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

+3, 15 δ. −3, 15 δ. +4, 16 δ. +1 δ. autre réponse.

9 À propos de la tache aveugle de la rétine. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

La tache aveugle est responsable du scotome central. La tache aveugle n’est aveugle qu’en vision photopique. La tache aveugle n’est aveugle qu’en vision scotopique. La tache aveugle est la zone de convergence des fibres nerveuses. optiques La tache aveugle n’est sensible à aucune stimulation lumineuse.

10 Quelle est l’acuité visuelle d’un sujet dont la rétine est capable de séparer 2 points images séparés par une distance d  50 μm, sachant que la distance rétine centre optique de l’œil et a = 17,2 mm ? ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

10/10. 1/10. 5/10. 0,5/10. Autre réponse.

Corrigés 11 On fait regarder un sujet à travers des lunettes opaques percées de très nombreux trous de très fin diamètre, grâce à ce dispositif sténopéique : ❑ 1. L’acuité visuelle d’un presbyte est améliorée pour la vision lointaine. ❑ 2. L’acuité visuelle d’un presbyte est améliorée pour la vision proche. ❑ 3. L’acuité visuelle d’un emmétrope de 20 ans est inchangée pour la vision à 30 cm. ❑ 4. L’acuité visuelle d’un sujet nyctalope est améliorée. ❑ 5. L’acuité visuelle d’un emmétrope est améliorée pour la vision de loin.

12 Vision des couleurs et ses anomalies. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 2.

Les protanopes sont aveugles au vert. Les deutéranopes sont aveugles au rouge. Les tritanopes sont aveugles au bleu. Les dichromates type Dalton sont anérythropes. Les dichromates type Nagel sont achloropes.

Corrigés Exercices

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

1 On applique la relation de conjugaison, soit    p = −1 m, 1 1 1  = − avec  p = −0, 25 m   p p f

Numériquement, 1 1 1 = − = 3 δ. f −1 −0, 25 Il faut donc utiliser un verre convergent de vergence C = +3 δ.

2 On rappelle que l’amplitude dioptrique est donnée par :   D = P . R. (distance maximale de vision distincte)  1 1 − A= avec  et D dm  d m = P . P . (distance minimale de vision distincte)

1 1 − = 0, 25 δ. 2 4 Ce sujet est légérement myope mais n’accomode presque plus. Application numérique. A =

359

360

Chap. 14. Optique et anomalies de la vision 3 1. Soit A le P . R . de l’œil de ce patient, et soit A  l’image de A à travers la (L)

lentille (L), A −→ A  D’après la relation de conjugaison, on a : O A − O A 1 1 1 =  = C, soit C = − f O A OA O A × O A Application numérique. O A = −30 cm, O A  = a = +1, 5 cm, −0, 30 − 0, 015 Donc C= = +70 δ (−0, 30) × (0, 015)

2. a) Une myopie se corrige à l’aide d’une lentille divergente.

b) Soit C ens la vergence du système des deux lentilles accolées. Avec la lentille correctrice, le patient voit, sans fatigue, un objet situé à l’infini, donc d’après la relation de conjugaison, et comme O A −→ −∞ (donc 1 −→ 0), alors : OA Cens =

1 1 = a O A

1 = 66, 67δ. 0, 015 On a un système de deux lentilles accolées, donc : Cens = C + C c Ainsi, Cc = C ens − C. Numériquement : Cc = 66, 67 − 70 = −3, 33 δ. Soit numériquement : Cens =

Questions à choix multiples Question

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1.

❑

❑

❑

✗ ❑

✗ ❑

❑

✗ ❑

✗ ❑

❑

❑

❑

❑

2.

❑

❑

❑

❑

❑

❑

❑

❑

❑

✗ ❑

✗ ❑

❑

3.

❑ ✗

✗ ❑

✗ ❑

❑

❑

✗ ❑

❑

❑

❑

❑

❑ ✗

❑ ✗

4.

❑ ✗

❑

❑

✗ ❑

❑

❑ ✗

❑

❑

✗ ❑

❑

❑

✗ ❑

5.

❑ ✗

❑

❑

✗ ❑

❑

❑

❑

❑

❑ ✗

❑

❑

✗ ❑

Imagerie par isotopes radioactifs

Plan Cours 15.1Radiopharmaceutiques 15.2Appareillages de détection

15

Objectifs • Imagerie par isotopes radioactifs

• Connaître les termes traceurs,

marqueurs

15.3Réalisation des examens scintigraphiques

• Connaître le principe de base

15.4Traitement mathématique des images numériques

• Comprendre le traitement mathé-

d’un appareillage de détection

matique des images numériques

QCM et exercices Corrigés

Cours Les images ainsi obtenues sont appelées scintigraphies et font l’objet du volet diagnostique d’une spécialité médicale : la médecine nucléaire. Les scintigraphies sont aussi des images dites d’émission car produites à l’aide de photons X ou gamma émis par des isotopes radioactifs introduits dans le corps humain. Ces photons sont détectés par un appareillage externe. Ces appareillages sont équipés de dispositifs scintillants, en général cristallins, qui absorbent ces photons énergétiques en restituant de la lumière sous forme de point scintillant. De là provient le terme de scintigraphie. Ces isotopes sont de période relativement courte (ordres de grandeur compris entre la minute et la semaine). L’administration peut se faire par injection, ingestion ou inhalation selon l’organe exploré.

362

Chap. 15. Imagerie par isotopes radioactifs Les images obtenues sont de type numérique et se prêtent donc aux traitements mathématiques, par le biais d’un matériel informatique. Elles permettent ainsi une approche dynamique et fonctionnelle, voire métabolique contrairement aux méthodes d’imagerie purement anatomique (radiographies, scanner,...)

15.1 RADIOPHARMACEUTIQUES Les produits radioactifs administrés chez l’homme sont assimilés par la législation à des médicaments d’où leur appellation : radiopharmaceutique. Il s’agit de molécules ou de particules qui servent de vecteurs et que l’on appelle des traceurs. Ce traceur transporte un marqueur, atome radioactif, qui en permettra la localisation anatomique et la quantification de la fixation par un organe. Le traceur assure quant à lui la biodistribution dans un ou plusieurs organes. Parfois c’est le radionucléide seul qui joue les deux rôles (iode radioactif par exemple pour la thyroïde).

15.1.1 Les traceurs La distribution du traceur au niveau des organes est consécutive à plusieurs phénomènes, parfois associés : • Phénomènes passifs (traceurs vasculaires...).

• Phénomènes métaboliques actifs (iodures, thallium, norcholesterol, glucose...). • Phénomènes excrétoires (traceurs à sécrétion urinaire ou salivaire...) :

• Fixation sur des récepteurs ou des transporteurs cellulaires (neuromédiateurs),

• Fixation par réaction antigène-anticorps spécifique (anticorps monoclonaux diri-

gés contre des antigènes présents à la surface des cellules pathologiques).

15.1.2 Les marqueurs Le marqueur peut être le traceur lui-même (iodure, gaz rare) ou être fixé sur le traceur par substitution, par complexation ou chélation. Ces marqueurs radioactifs émettent des photons gamma (ou des rayons X pour certains) d’énergie comprise entre 80 et 511 k eV pour permettre la détection externe. Ces émissions sont accompagnées pour certains radioéléments par des rayonnements particulaires qui ne contribuent pas à l’imagerie, mais augmentent la dosimétrie induite (exemples : bêta- de l’iode 131, électrons de conversion interne, électrons Auger,...). Leur période doit être adaptée au phénomène métabolique concerné.

15.2 Appareillages de détection Exemples 99m

T c (6 h) I (13 h) 131 I (8 j ) 201 T l (3 j) 18 F (109 min) 11 C (20 min) ; 123

Les marqueurs sont produits : • soit au sein de réacteurs nucléaires médicaux ;

• soit par des cyclotrons (iode 123, fluor 18. . . ) ; • soit encore à l ’aide de générateurs contenant le père radioactif de l’élément qui

sera administré au patient : (exemple du technétium issu de la filiation du molybdène 99).

15.2 APPAREILLAGES DE DÉTECTION 15.2.1 Gamma-caméra standard

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Cet appareil a été décrit dans son principe au milieu du 20e siècle. C‘est lui qui détecte le rayonnement émis par les organes et en constitue l’image scintigraphique. Il est mis en oeuvre pour l’imagerie utilisant des émetteurs gamma classiques (Technétium 99m...). Il se compose (Fig. 15.1) : • d’un blindage qui protége du rayonnement indésirable ; • d’un collimateur qui sélectionne la direction des photons incidents ;

• d’un cristal scintillant qui absorbe les photons énergétiques et restitue de la lumière

(scintillation) ;

• d’un guide de lumière qui transmet ces photons scintillants vers une batterie de

photomultiplicateurs qui vont transformer ce signal lumineux en signaux électriques, amplifiés, localisés, puis numérisés et dirigés vers un systéme informatique qui génére et stocke des matrices de nombres à l’origine des images numériques restituées sur un système de visualisation (station de travail).

Ces images numériques seront archivées sur un disque dur et pourront être restituées telles quelles (image de la répartition de la radioactivité dans un organe) ou faire l’objet d’un traitement mathématique (algorithme) pour en extraire de l’information (quantification, tomographie, génération de courbes d’activité...)

363

364

Chap. 15. Imagerie par isotopes radioactifs

énergie x y

Numérisation (x,y,énergie)

x

Photomultiplicateurs cristal NaI

y

+1

collimateurs

L'émission

Figure 15.1

15.2.2 Caméras dédiées : détecteurs tomographiques de positons Il s’agit des tomographes à émission de positons (TEP) ou de leur forme plus rudimentaire, la caméra TEDC (tomographie d’émission à détection en coincidence) Certaines scintigraphies font appel à des isotopes émetteurs bêta plus. Il s’agit d’explorations nécessitant des petites molécules organiques (glucose, neuromédiateur,...) pour lesquelles la chélation d’un métal ou la complexation d’un traceur est inapplicable. Seules des petites molécules de taille et forme stéréochimique peu ou pas modifiées vont être reconnues par des enzymes, des récepteurs ou des transporteurs membranaires. Pour réaliser cette imagerie métabolique, la seule solution est le recours à la substitution au sein de ces molécules d’atomes de carbone, d’oxygène ou d’azote par leurs isotopes radioactifs, ou par du fluor. Or ces atomes légers ne possèdent pas d’isotopes émetteurs gamma mais seulement bêta plus ou bêta moins. Ces particules chargées sont rapidement arrêtées par les tissus. Mais les bêta plus donnent lieu à annihilation et à la genèse deux gamma de 511 keV émis en coincidence, qui sortent de l’organisme et peuvent ainsi être détectés à l’extérieur par un systéme adéquat d’imagerie. Trois types d’appareillage ont ainsi été développés : • Caméra TEDC (CDET en anglais) : gamma caméra double ou triple tête modi-

fiée avec un cristal d’iodure de sodium plus épais (le 511 KeV est très pénétrant) et un circuit de détection en coincidence des paires de photons de 511 keV, qui permet la collimation électronique en lieu et place de la collimation standard. Ces machines ne sont pas complètement dédiées, car elles peuvent aussi réaliser des scintigraphies standard (avec des émetteurs monophotoniques), en utilisant des collimateurs métalliques. • TEP en nid d’abeille : équivalent à 6 têtes de gamma caméras disposées en symétrie hexagonale.

15.3 Réalisation des examens scintigraphiques • TEP en anneau : détecteur circulaire, composé de très nombreux cristaux et pos-

sédant une correction d’atténuation par source radioactive externe.

Ces dernières machines utilisent d’autres cristaux scintillants plus absorbants (BGO, GSO ou LSO), mieux adaptés que le cristal de N a I aux hautes énergies.

15.2.3 Détecteurs hybrides Ce sont des machines qui associent un TEP circulaire et un TDM (scanner). Il s’agit donc de l’association entre deux imageries, l’une fonctionnelle et métabolique (TEP) l’autre anatomique (TDM). Le TDM sert à la fois : • à la correction d’atténuation,

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

• et au repérage anatomique précis des foyers hyperfixants visualisés par le TEP.

La coexistence de ces deux imageries réalisées en chaînage lors du même examen facilite grandement la fusion d’images. Ce sont les machines de dernière génération dont les hôpitaux français s’équipent de plus en plus depuis 2001. Elles sont très couteuses (2 à 3 millions d’euros) mais assurent des performances optimales. Les applications les plus nombreuses sont en cancérologie. Une seule molécule dispose de l’autorisation de mise sur le marché (AMM) depuis 1998 en France. Ce radiopharmaceutique est le 2 deoxy-glucose marqué au fluor 18 (FDG). Cet isotope 18 du fluor est un produit de cyclotron, il est émetteur β + . Il est intégré par synthèse chimique rapide automatisée dans une molécule de glucose où il prend la place du radical −O H sur le carbone 2. Les cellules cancéreuses ont un métabolisme glycolytique plus intense que la plupart des tissus sains et vont donc concentrer en plus grande quantité cette molécule. De nombreuses tumeurs malignes pourront ainsi être visualisées par le TEP, à l’exception de formes peu agressives de cancers à croissance lente. Des fixations physiologiques existent toutefois (cerveau, muscles, urine,...) D’autres molécules marquées au fluor 18 ou au carbone 11 sont en cours d’évaluation. Elles pourront être utilisées à l’avenir en cancérologie (nucléotides, acides aminés,...). D’autres applications neurologiques ou cardiologiques existent dans les pays développés mais ne sont pas encore prises en charge en France.

15.3 RÉALISATION DES EXAMENS SCINTIGRAPHIQUES Ces trois catégories de détecteurs pourront produire différents types d’images numériques en fonction du mode d’acquisition choisi. • Mode statique : imagerie en 2 dimensions par simple projection du volume

exploré

365

366

Chap. 15. Imagerie par isotopes radioactifs • Mode dynamique : une série d’images est acquise,

– soit pour suivre la progression du traceur (temps angiographique ou néphrographique,...) – soit pour synchroniser la fixation sur un signal physiologique (ECG), – soit en mode liste : tous les paramètres (x , y , t , énergie) sont enregistrés pour chaque photon détecté, image par image et permettront un traitement mathématique ultérieur plus précis, mais cette méthode mobilise beaucoup les ressouces du calculateur et de l’espace disque. • Mode balayage : rendu nécessaire pour explorer de grands secteurs anatomiques

(corps entier). • Mode tomographique monophotonique (scintigraphie classique en coupes) ou biphotonique en coincidence (avec les émetteurs de positons). L’enregistrement se fait selon une géométrie circulaire autour du patient, sous forme de projections multiples. Des images en coupes sagittales, frontales ou trans-axiales voire réorientées pourront ainsi être obtenues. Un seul exemple d’image dynamique sera développé ici pour compléter le chapitre 7 sur la biophysique cardiaque, et illustrer le caractère fonctionnel de cette technique d’imagerie.

L’angiocardiographie isotopique Le but principal est de calculer la fraction d’éjection du ventricule pour apprécier la valeur fonctionnelle du myocarde. Mais d’autres informations sur la cinétique de la paroi myocardique peuvent en être extraites. Les globules rouges du patient sont marqués avec un isotope radioactif, de période courte (Technétium 99 m). Le sang du patient est donc rendu temporairement radioactif pour la durée de l’examen. Les rayons gamma émis au niveau des cavités cardiaques sont détectés par la caméra à scintillation (Fig. 15.2) qui réalise l’image et la stocke sous forme d’une matrice carrée (Fig. 15.3). L’angiocardiographie isotopique ou ventriculographie isotopique nécessite une synchronisation sur l’activité électrique du cœur (ECG). Le cycle cardiaque est fragmenté en 8 ou 16 intervalles de temps égaux. Chaque tranche de temps est ensuite sommée sur plusieurs cycles (400 environ) de manière à obtenir de 8 à 16 images pour un cycle cardiaque moyen. Ce sont donc 8 ou 16 matrices qui sont obtenues au final par cette sommation et cette synchronisation, pendant les 400 cycles de l’acquisition. La radioactivité détectée au niveau des ventricules est proportionnelle à leur volume (après correction du bruit de fond et de l’atténuation).

15.4 Traitement mathématique des images numériques La fraction d’éjection sera calculée par la formule déjà vue (chapitre 7) : FE =

activité télédiastole-activité télésystole activité télédiastole

Ces paramètres sont directement accessibles au niveau de l’image numérisée en traçant une zone d’intérêt qui isole une partie de la matrice correspondant à la silhouette du ventricule. Une sommation des photons reçus dans cette zone nous donnera un nombre proportionnel au volume de sang contenu dans le ventricule. Une courbe sur le cycle moyen obtenu pourra être tracée (en joignant les 8 ou 16 points), elle présente grossièrement l’aspect d’une sinusoïde. Des traitements mathématiques pourront lui être ensuite appliqués pour en extraire d’autres paramètres (dérivées, phase, amplitude, etc). Le résultat en sera l’obtention d’images calculées, appelées encore images paramétriques et non plus seulement une simple silhouette anatomique de l’activité présente dans le ventricule. Cet examen illustre la richesse de l’information que les techniques scintigraphiques apportent dans l’approche fonctionnelle de l’imagerie. N colonnes

Image

{

N lignes cristal NaI

Organe

Image numérique représentant la silhouette du co eur en OAG. Une case située à l'intersection d'une ligne et d'une colonne de la matrice s'appelle un pixel; il s'agit d'un élément unitaire de l'image numérique. Elle est représentée par un nombre au sein de la matrice N N.

+

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

collimateur

Figure 15.2

Figure 15.3

15.4 TRAITEMENT MATHÉMATIQUE DES IMAGES NUMÉRIQUES La numérisation des images permet de les stocker sur un support informatique sous formes de matrices de nombres et de leur appliquer ensuite des opérateurs géométriques ou algébriques, pour en extraire de l’information. Les progrès de la puissance des matériels informatiques permettent désormais de lancer des algorithmes complexes avec des temps de calculs raisonnables. Ces calculs peuvent aller des opérations les plus simples aux plus complexes. Nous évoquerons ci-dessous une liste des plus couramment appliqués.

367

368

Chap. 15. Imagerie par isotopes radioactifs

15.4.1 Codage couleur du signal vidéo La correspondance entre les valeurs numériques de la matrice image et la traduction en termes d’intensité ou de codage des couleurs fait l’objet d’une transformation. Elle peut prendre de multiples aspects (linéaire, logarithmique, hyperbolique,...) et s’accompagner de seuils. Ces choix dépendent de la dynamique des valeurs de la matrice et du type de contraste que l’on souhaite obtenir. Ici il y a une modulation du signal vidéo mais pas d’intervention mathématique sur les valeurs des données brutes.

15.4.2 Lissage, filtrage, seuillage Les images obtenues sont bruitées, et l’on peut améliorer leur lisibilité ou adoucir leur aspect par un ajustement des valeurs de chaque pixel en tenant compte des valeurs des pixels voisins. Ces calculs font appel à des opérateurs additifs, soustractifs ou multiplicatifs appliqués à la matrice originelle.

15.4.3 Région d’intérêt C’est simplement la sélection graphique d’un ou plusieurs sous-ensembles de la matrice image. Sur ces sous-ensembles seront appliquées l’une ou l’autre des opérations mathématiques décrites ici.

15.4.4 Soustraction du bruit de fond Elle s’applique en général sur une région d’intérêt où l’on effectue une quantification.

15.4.5 Correction de sensibilité L’inégalité de réponse à un même signal de différentes zones (photomultiplicateurs) des têtes de gamma caméras fait l’objet d’un ajustement à l’aide de matrices d’homogénéité établies lors de contrôles de qualité.

15.4.6 Correction d’atténuation en tomographie Elle tient compte de l’épaisseur des tissus traversés et rehausse les valeurs des pixels situés en profondeur. En TEP, on utilise soit une source radioactive soit le TDM dans les machines hybrides.

15.4.7 Reconstruction tomographique L’acquisition de projections angulaires multiples en scintigraphie nécessite l’application d’algorithmes complexes pour restituer la distribution volumique de la radioactivité, et obtenir ainsi des coupes reconstruites dans différents plans de l’espace. Deux grandes catégories d’algorithmes sont utilisées : • Méthodes par rétro projection filtrée. • Méthodes itératives.

Exercices Les méthodes itératives donnent souvent de meilleures images, moins bruitées mais nécessitent des calculateurs puissants. Elles sont utilisées préférentiellement en TEP.

15.4.8 Série dynamique, courbes, images paramétriques L’enregistrement de plusieurs images sur une même région d’intérêt permet de suivre et de quantifier la progression du traceur dans une structure vasculaire, tubulaire ou dans un compartiment anatomique. Ces calculs peuvent se faire sur les données brutes ou sur des matrices qui ont déjà subi d‘autres opérations mathématiques (lissage, filtrage,...). Une sommation de toutes les images peut être réalisée sur une autre matrice finale. Chaque pixel représentera ainsi la valeur d’une caractéristique de la courbe d’activité obtenue à partir du signal de ce pixel sur chacune des images intermédiaires. On obtiendra ici une image « calculée » appelée encore image paramétrique (valeur d’un extremum, valeur d’une dérivée, phase d’une sinusoïde,...)

Exercices 1 Fraction d’éjection ventriculaire Une ventriculographie isotopique, enregistrée avec une matrice 64 × 64 donne les résultats suivants :

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Les activités sont calculées en coups (cps : nombre d’événements comptabilisés) dans la zone d’intérêt (ZI) du ventricule gauche. • En télé systole : taille ZITS = 80 pixels.

Activité totale de la zone = 5 000 cps. • En télé diastole : taille ZITD = 110 pixels.

Activité totale de la zone = 11 100 cps. Et dans une zone extra cardiaque adjacente de taille = 60 pixels, activité moyenne par pixel = 10. On néglige l’atténuation. Calculez la fraction d’éjection FE de ce ventricule.

2 Efficacité de détection Une source de 10 μ Ci d’un émetteur gamma pur mono énergétique, placée à 30 cm de la tête d’une gamma caméra donne lieu à une image où sont comptabilisés en 20 min, 60 000 événements (1 événement = 1 photon détecté). Calculez l’efficacité globale de cette détection.

369

370

Chap. 15. Imagerie par isotopes radioactifs

Questions à choix multiples 1 Traitement de l’image ❑ 1. Un lissage diminue le bruit aléatoire dans une image numérique. ❑ 2. La sécrétion des urines peut être suivie au moyen d’une étude scintigraphique dynamique avec des régions d’intérêt pyelocalicielles. ❑ 3. La correction d’atténuation par TDM est employée en TEP sur des machines non hybrides. ❑ 4. La correction d’atténuation atténue la fixation des noyaux gris centraux en tomoscintigraphie cérébrale. ❑ 5. La reconstruction tomographique d’un volume en TEP utilise le plus souvent un algorithme itératif.

2 ❑ 1. La reconstruction des coupes par méthode itérative en TEP est rapide car elle nécessite peu de ressources informatiques.

❑ 2. La rétro projection filtrée est la technique la plus employée pour reconstruire les images en tomoscintigraphie mono photonique. ❑ 3. Une caméra de type CDET (ou TEDC) utilise des collimateurs en plomb pour identifier la direction des photons de 511 k eV émis en coïncidence. ❑ 4. Le FDG marqué au fluor 18 est produit à l’aide d’un cyclotron et sert à explorer des lésions tumorales bénignes. ❑ 5. Le cerveau sain fixe le 18-FDG de façon physiologique.

3 ❑ 1. Les traceurs injectés en scintigraphie sont des émetteurs β moins purs. ❑ 2. Un traceur marqué au carbone 11 se comporte comme une source de photons gamma d’énergie égale à 140 k eV. ❑ 3. Une caméra à positons utilise une collimation électronique pour identifier la direction des photons de 511 k eV émis en coïncidence. ❑ 4. Le FDG marqué au fluor 18 a été le seul produit radio pharmaceutique utilisable en TEP clinique en France de 1998 à 2005, car disposant d’une AMM. ❑ 5. Les muscles qui se contractent fixent le 18-FDG de façon physiologique.

Corrigés

Corrigés Exercices 1 On suppose que les volumes sont proportionnels à l’activité, Volume = k. Activité (cps), et que l’activité de la zone adjacente est une bonne estimation du bruit de fond. V T D − VT S . Rappel : f E = VT D Calculs de VT D et VT S . V T D = k× activité corrigée de la ZITD V T S = k× activité corrigée de la ZITS Donc : fE = k

acZ I T D − acZ I T S acZ I T D − acZ I T S = k.acZ I T D acZ I T D

Comme : acZ I T D = activité totale de Z I T D − bruit de fond = 11 100 − (110 × 10) = 10 000 cps

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

et

acZ I T S = activité totale de Z I T S − bruit de fond = 5 000 − (80 × 10) = 4 200 cps

alors : fE =

10 000 − 4 200 = 0, 58 (valeur normale) 10 000

2 Rappel 1 Ci = 37 G Bq Nombre total de désintégrations (une désintégration génère ici un photon) = 10 × 37 000 × 20 × 60 = 444 000 000 Le rendement global est r=

60 000 1 = = 0, 000135, 444 000 000 7 400

soit 0, 013 %.

371

372

Chap. 15. Imagerie par isotopes radioactifs

Questions à choix multiples Question

1

2

3

1.

❑ ✗

❑

❑

2.

❑ ✗

✗ ❑

❑

3.

❑

❑

✗ ❑

4.

❑

❑

✗ ❑

5.

❑ ✗

✗ ❑

✗ ❑

Bases physiques de l’échographie, applications

Plan Cours 16.1Propriétés physiques des ultrasons - physique acoustique 16.2Formation des échos impédance acoustique 16.3Atténuation du faisceau ultrasonore 16.4Imagerie médicale à l’aide des ultrasons 16.5L’échographie doppler QCM et exercices Corrigés

16

Objectifs • Connaître :

– les propriétés d’une onde ultarsonore – les expressions d’une impédance acoustique, – les expressions d’un coefficient de réflexion et de transmission

• Comprendre :

– la formation des échos, – le principe de l’échographie et de l’image échographique.

• Connaître

l’effet Doppler et savoir calculer : – une variation relative de fréquence – une vitesse à partir d’une variation de fréquence

Cours Les ondes ultrasonores sont de même nature que les ondes sonores. Elles ont une fréquence supérieure à 20 000 Hz et sont donc inaudibles par l’oreille humaine. Elles se propagent dans les tissus et se réfléchissent en partie à chaque fois qu’elles changent de milieu. La technique de l’échographie utilise la réflexion et la transmission d’ondes ultrasonores de fréquences élevées (2 MHz à 15 MHz) par les différents milieux du corps. Le principe est mis en œuvre en médecine pour certains diagnostics : suivi du développemement du fœtus, ...

374

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications

16.1 PROPRIÉTÉS PHYSIQUES DES ULTRASONS - PHYSIQUE ACOUSTIQUE 16.1.1 Onde acoustique. Équation de propagation La propagation d’une onde plane dans un « tuyau sonore », long cylindre rempli d’un gaz supposé parfait, peut être produite, par exemple, par une membrane d’un haut parleur situé à une extrémité du cylindre (Fig. 16.1). u( x ,t ) membrane

P

P' u(x+dx,t) x+u(x,t)

x+dx

x

x+dx+u(x+dx,t)

x

dx+du

dx

Figure 16.1 Un rapide déplacement de la membrane provoque une compression dans une tranche du fluide. Cette tranche se détend, reprend sa position initiale et comprime par la suite la tranche voisine : chaque tranche revient à sa position intiale. • L’onde sonore est une onde mécanique qui peut se propager dans l’air ou dans • • • •

d’autres milieux. En se propageant, elle crée une onde de compression du milieu de propagation. Au cours de la propagation, il n’y a pas transport de matière : chaque tranche revient à sa position initiale. La propagation se fait avec transport d’énergie. Une vibration de la membrane à la période T se propage à la célérité constante et fait vibrer toutes les "tranches" du fluide avec la même période.

L’onde sonore qui se propage à l’intérieur du cylindre correspond à une petite modification de la pression. Si P0 représente la pression du fluide à l’équilibre alors P (x , t ), pression à la date t et à la position x, s’écrit P (x , t ) = P0 + p, p : pression acoustique

(16.1)

Pour des ondes unidimensionnelles se propageant suivant l’axe O x avec l’amplitude u o et dans le cas d’une excitation harmonique sinusoïdale, le mouvement des particules peut être décrit par une fonction du type : u (x , t ) = u 0 sin(ωt − kx)

La vitesse de vibration des particules est : v(x , t ) =

∂ u (x , t)

= u 0ω cos(ωt − kx)

(16.2)

16.1 Propriétés physiques des ultrasons - physique acoustique et l’accélération vérifie l’équation : a(x , t ) =

∂ v(x , t) ∂ 2 u (x , t ) = = −ω2u 0 sin(ωt − kx) = −ω 2 u (x , t ) 2 ∂t ∂t u¨ (x , t ) + ω 2 u (x , t ) = 0, où a(x , t ) = u¨ (x , t )

Soit,

(16.3)

(équation différentielle de l’oscillateur harmonique)

Remarque 

x • La fonction u ( x , t ) = f t ± satisfait à l’équation aux dérivées partielles : c 1 ∂2 u (x , t ) ∂ 2u (x , t ) = 2 , où c représente la célérité de l’onde ∂x2 ∂t 2 c

(16.4)

On montre que la célérité de l’onde, appellée aussi vitesse de phase, est donnée par : ω c = vϕ = (16.5) k (c est caractéristique du milieu élastique)

• u ( x , t ) permet de connaître à tout instant l’état vibratoire de la région du milieu

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

élastique situé à une distance x de la source d’excitation. • La vitesse de vibration des particules autour de leur position d’équilibre, ∂ u (x , t) v(x , t ) = , est différente de la célérité c de l’onde. Elle dépend de ∂t l’excitation et non de la nature du milieu. Pour une fréquence donnée, elle est proportionnelle à u0 . • L’analyse de la fonction u ( x , t ) montre que l’onde progressive périodique possède une double périodicité : – une période temporelle T , – une période spatiale λ = cT , appelée longueur d’onde Ainsi, la longueur d’onde λ représente la longueur dont se propage le mouvement vibratoire au cours d’une période T • Dans le cas d’un milieu non absorbant, l’équation de propagation d’une déformation longitudinale est donnée par l’équation d’onde : 1 ∂2u (x , t ) ∂2u (x , t ) ρ ∂ 2 u (x , t ) = = ∂x 2 ∂t2 E c 2 ∂t2

(16.6)

(ρ : masse volumique du mileu, E : module d’Young)

Il s’ensuit que : c=



E ρ

(16.7)

La célérité d’une onde sonore ne dépend donc que de la nature du milieu.

375

376

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications • Pour la propagation d’ondes sonores dans un fluide, on peut montrer aisément

que :

c=



1 χS ρ

(16.8)

(χS : coefficient de compressibilité adiabatique, ρ : masse volumique)

La célérité est fonction de l’inertie (c dépend de ρ) et de l’élasticité (c dépend de E).

16.1.2 Énergie transportée par une onde ultrasonore ➤ Une onde ultrasonore qui se propage transporte de l’énergie Considérons un élément de volume δV , de masse m, oscillant de part et d’autre d’une position d’équilibre. L’énergie totale eT de ce système est à chaque instant : e T = ec + e p

(ec : énergie cinétique, e p : énergie potentielle)

Dans le cas de l’oscillateur harmonique non amorti, l’énergie totale se conserve, et on a : eT = ec + e p = cste Prenons le cas d’une onde sinusoïdale où la position, u(x , t ), est donnée par : u (x , t ) = u 0 sin(ωt − kx) la vitesse de vibration des particules, v(x , t ) =

du(x , t ) , est : dt

v(x , t ) = u 0ω cos(ωt − kx) avec u 0ω = v0 = vmax Si u (x , t ) = 0 alors v(x , t ) = v0 = v max. Il en résulte donc : e T = ec + e p = ec max =

1 2 1 mv0 = mω2 u20 2 2

(16.9)

➤ Densité d’énergie La densité d’énergie, ou énergie par unité de volume, s’écrit donc : E=

eT 1 1 = ρv20 = ρω2 u 20 V 2 2 (E : densité d’énergie)

L’énergie transportée par l’onde se propage à la célérité c, célérité de l’onde.

(16.10)

16.2 Formation des échos - impédance acoustique ➤ Intensité acoustique On appelle intensité acoustique I , l’énergie qui traverse l’unité de surface pendant l’unité de temps, soit eT I = S Dt Dans le cas d’une onde sonore se propageant le long d’un tube cylindrique de section S et de longueur l = cDt , la relation précédente devient : I =c

eT eT =c Sl V

eT , il en résulte donc : V  1 1 1 I = cE = ρcω2 u20 = ρcv20 , avec ω = 2πν et c = 2 2 χS ρ

Comme E =

(16.11)

( I exprimée en W. m −2 )

16.2 FORMATION DES ÉCHOS - IMPÉDANCE ACOUSTIQUE

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

16.2.1 Réflexion et transmission des ondes ultrasonores Une onde acoustique qui traverse, sous un angle d’incidence i 1, la surface de séparation (S) de deux milieux (1) et (2) de propriétés acoustiques différentes, donne naissance, à l’interface, à une onde réfléchie dans la direction r et à une onde transmise dans la direction i 2 (Fig. 16.2). Comme pour les ondes lumineuses, les angles i1 , i2 et r sont liés par les relations : i 1 = r, pour la réflexion et sin i1 sin i 2 = , pour la réfraction c1 c2

S1

R

N'

i1 r I + (Σ) i2

(16.12) S2

(16.13)

(c1 : célérité de l’onde dans le milieu (1), c 2 : célérité de l’onde dans le milieu (2))

N

Figure 16.2

16.2.2 L’écho ultrasonore L’écho correspond au signal enregistré lorsqu’une partie de l’énergie du faisceau incident est réfléchie vers la sonde. Deux cas peuvent se présenter. • Toute l’énergie est réfléchie : aucune onde ultrasonore ne se propage au delà de

l’obstacle qui se comporte donc comme un écran.

377

378

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications • L’énergie réfléchie est plus faible : le faisceau est atténué au passage de l’obstacle

et d’autres échos plus lointains vont pouvoir être enregistrés. La connaissance de la célérité des ondes U . S . dans le corps humain donne la position de l’obstacle formant l’écho par rapport à la sonde.

16.2.3 Impédance acoustique L’impédance acoustique Z (ou résistance acoustique) d’un milieu parcourue par une onde progressive est une grandeur caractéristique de la nature de ce milieu. Elle mesure la facilité de déformation du milieu. Si P (x , t ) représente la pression en x à l’instant t dans le milieu, la surpression p(x , t ) s’écrit : p(x , t ) = P (x , t ) − P0 ,

P0 : pression du fluide à l’équilibre

(16.14)

Par analogie électrique, la surpression p(x , t ) et l’impédance Z du milieu sont liées par la relation : p(x , t ) = Z v(x , t ) (16.15) Pour une onde sonore, ou ultrasonore, se déplaçant dans un milieu, de masse volumique ρ, à la célérité c, on montre que : Z = ρc, pour une onde progressive de la forme f (x − ct ) et Z = −ρc, pour une onde progressive de la forme g(x + ct) Ces relations ne sont valables que pour des ondes acoustiques planes. Dans le cas général, notamment le cas des ondes sphériques, l’impédance acoustique est une grandeur complexe, dont les termes réel et imaginaire dépendent de la distance à la source. En ultrasonographie médicale, les ondes utilisées sont sensiblement planes.  E Comme la célérité dépend aussi du milieu par la relation c = , l’équation de ρ l’impédance acoustique peut donc s’écrire : √ Z = ρc = E ρ

(16.16)

et dans le cas d’un fluide de coefficient de compressibilité adiabatique χ S,  1 et donc c= χS ρ  ρ Z = ρc = (16.17) χS

16.2 Formation des échos - impédance acoustique Le tableau suivant donne les valeurs de Z pour l’air et quelques tissus biologiques : Tissu

Masse volumique ( kg. m −3)

z ( kg. m −2. s−1)

Air Sang Squelette Cerveau Tissu adipeux Reins Foie Poumon Muscle Rate Eau

1, 29 1 060 1 380 − 1 810 1 030 920 1 040 1 060 400 1 070 1 060 1 000

400 1, 62.10 6 7, 80.10 6 1, 55.10 6 − 1, 66.106 1, 35.10 6 1, 62.10 6 1, 64.10 6 − 1, 68.106 0, 260.10 6 1, 65.10 6 − 1, 74.106 1, 65.10 6 − 1, 67.106 1, 52.10 6

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

16.2.4 Coefficients de réflexion et de transmission On associe à une onde acoustique progressive une énergie, dite énergie acoustique, celle-ci étant d’autant plus élevée que l’onde est plus intense. Lorsqu’une onde ultrasonore traverse l’interface séparant deux milieux matériels (1) et (2), de célérités c 1 et c2 et d’impédances acoustique Z 1 et Z 2 différentes, on observe, comme dans le cas des ondes lumineuses, qu’une partie de l’énergie incidente est réfléchie vers (1) et qu’une partie est transmise dans le milieu (2). On définit les coefficients de réflexion R1/2 et de transmission T1/2 de l’énergie acoustique de l’onde incidente sur le dioptre (S) par les relations : Er Et R1/2 = et T1/2 = Ei Ei où Ei , E r et E t représentent les énergies acoustiques, au niveau du dioptre (S), des ondes progressives incidente, réfléchie et transmise. Pour l’étude de la réflexion des ultrasons à l’interface entre deux milieux (1) et (2), appelé dioptre, on utilise le modèle unidimensionnel (Fig. 16.3). on affectera les indices i , r et t aux grandeurs physiques associées respectivement aux ondes incidente, réfléchie et transmise : • dans le milieu (1) (respectivement (2)), de masse volumique ρ 1 (respectivement

ρ2 ), la célérité du son est c1 (respectivement c2 ) ; • une onde progressive incidente décrite par la surpression p i (x − c 1t), arrive sur le dioptre (S) à l’abscisse x0 sous incidence normale ; • cette onde donne naissance à une onde progressive réfléchie de surpression pr (x + c1t) et à une onde progressive transmise de surpression pt (x − c2t).

379

380

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications

membrane

F1

F2 x

x+dx

x

dx

Figure 16.3 On admet que R1/2 et T1/2 vérifient les relations :

R1/2 =

et soit,



vr (x 0 + ct ) vi (x 0 − ct)

2

=



ρ1 c1 − ρ 2c 2 ρ 1 c1 + ρ2c2

2

=



R1/2 + T1/2 = 1 T1/2 = 1 − R1/2 =

4Z 1 Z 2 (Z 1 + Z 2 )2

Z 1 − Z2 Z 1 + Z2

2

(16.18)

(16.19) (16.20)

Application pratique à l’échographie Considérons, par exemple, une onde ultrasonore à travers une interface tissu-air. On a Z air = 400 kg. m−2. s −1 et Ztissu mou = 1, 6.10 6 kg. m−2. s−1 , il en résulte donc  2 Z 1 − Z2 que : R1/2 =  0, 999 et T1/2 = 1 − 0, 999 = 1/1 000. Z1 + Z 2 Er Et Comme R 1/2 = et T1/2 = , on peut donc conclure qu’environ 1/1 000 de Ei Ei l’énergie sera transmise et que 99, 9 % sera réfléchie. Dans l’organisme, formé principalement de milieux riches en eau, l’onde ultrasonore rencontrant une interface entre deux milieux d’impédances acoustiques très différentes (l’os, des calcifications ou des organes remplis d’air tels que poumons, tube digestif), subira une importante réflexion. L’interruption de la propagation de l’onde au niveau de telles structures entraîne la formation d’une « ombre acoustique ». Lors d’une échographie, il est donc nécessaire d’éviter la présence d’un film d’air entre la transducteur sonde et la peau du sujet, faute de quoi une gel peau très faible quantité d’énergie ultrasonore serait transmise au sujet et rendrait l’examen imposfaisceau d'ultrasons sible. En pratique, on utilise un gel de contact que le praticien interpose entre la sonde et la peau : ainsi, il sert d’interface entre la peau et Figure 16.4 la sonde réalisant un véritable adaptateur d’impédance (Fig.16.4).

16.3 Atténuation du faisceau ultrasonore

16.3 ATTÉNUATION DU FAISCEAU ULTRASONORE 16.3.1 Absorption d’une onde acoustique Outre l’atténuation induite par les interfaces traversées, deux autres phénomènes interviennent : l’inertie, le frottement des particules entre elles ainsi que la non élasticité des chocs entraînent une atténuation du faisceau U .S . Dans un milieu hétérogène et isotrope, la densité d’énergie E(x ) associée à un faisceau ultrasonore diminue en fonction de la distance x selon la loi : E (x ) = E0 e−αx

(16.21)

(E 0 : énergie initiale émise par la source et α en m−1 )

où α représente le coefficient d’absorption linéaire du milieu considéré. Il caractérise la capacité du milieu à absorber l’énergie du faisceau et à la dissiper sous forme de chaleur. On montre que α est proportionnel au carré de la fréquence, soit   f : fréquence de l’onde α = k f 2 , avec  (16.22) k : constante du milieu Remarque Une onde ultrasonore sera d’autant plus absorbée par les tissus que sa fréquence est élevée. Exemples 1. Doubler la fréquence f des ondes U .S . revient à multiplier par 2 le coefficient d’atténuation, la portée du faisceau sera donc réduite de moitié.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

2. 50 % de l’énergie des ondes U . S . est absorbée tous les : ⎧ ⎨ 4 cm à la fréquence f = 1 MHz, 2 cm à la fréquence f = 2, 5 MHz, ⎩ 0, 5 cm à la fréquence f = 7 MHz.

16.3.2 Atténuation par diffusion Si le faisceau arrive sur une interface (obstacle) dont les dimensions sont voisines ou inférieures à la longueur d’onde λ des ondes U . S. ou si l’interface présente des reliefs irréguliers dont la taille est voisine de λ, le phénomène de diffusion devient prépondérant. On observe, soit une diffusion de l’onde U . S . (diffusion analogue à la diffusion Rayleigh des O.E.M.), soit une réflexion diffuse. Les phénomènes de diffusion deviennent de plus en plus importants lorsque la longueur d’onde augmente : d’où l’intérêt d’utiliser des longueurs d’ondes faibles, c’est à dire des fréquences élevées.

381

382

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications

16.4 IMAGERIE MÉDICALE À L’AIDE DES ULTRASONS 16.4.1 Principe de l’échographie La célérité des ondes U S dans les tissus humains est à peu près constante et vaut environ 1 500 m. s−1. Selon la profondeur de l’organe à explorer, le praticien choisit la sonde émettrice dont la fréquence varie de 5 à 20 MHz. À ces fréquences, les ondes U S sont très directives et elles permettent donc de viser des points très précis d’organes selon des lignes appelées lignes de tir (Fig. 16.5). peau organe à explorer

faisceau d'ultrasons ligne de tir

sonde A

B

C

Figure 16.5 Un dispositif électronique déclenche la fonction réception ou émission et l’appareil permet donc la mesure des temps tA , tB et tC et par suite les distances dA , dB et d C . La figure 16.6 donne les échos recueillis sur l’organe exploré. amplitude

t0 = 0

tA

tB

t 0 : émission de la salve ultrasonore t A : date de réception de l'onde réfléchie en A

tC

temps

tB : date de réception de l'onde réfléchie en B tC : date de réception de l'onde réfléchie en C

Figure 16.6

16.4 Imagerie médicale à l’aide des ultrasons Remarque L’intensité de l’onde réfléchie est fonction de la perméabilité de la paroi rencontrée : • Si le faisceau ultrasonore arrive sur une structure liquidienne (kyste, vésicule,...),

on observe un renforcement en arrière de la structure. En effet, à l’intérieur du liquide le faisceau est moins atténué que dans les structures avoisinantes : il en résulte une intensité ultrasonore proportionnellement plus importante en arrière de la zone liquidienne, par rapport aux tissus voisins. • En revanche, lorsque le faisceau arrive sur un obstacle de forte impédance acoustique par rapport aux structures avoisinantes (lithiases,...) on observe un cône d’ombre en arrière de l’obstacle (Fig. 16.7) : il n’y a pratiquement pas d’ultrasons en arrière de l’obstacle (ombre acoustique ou cône d’ombre). faisceau d'ultrasons

a) cas d'une structure liquidienne faisceau d'ultrasons

b) cas d'un obstacle

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 16.7

16.4.2 L’image échographique L’imagerie échographique permet d’obtenir la visualisation de multiples organes. Pour constituer une image ultrasonographique il faut effectuer plusieurs tirs ultrasonores. Par exemple, l’obtention de 25 images par seconde nécessite 160 tirs séparés de 250 ms. Les images obtenues sont de type anatomique et aident au diagnostic de pathologies. La figure 16.8 donne le principe de construction d’une image réalisée en mode B :

A

B

écran peau organe à explorer

sonde

B A

faisceau d'ultrasons

θ

balayage

Figure 16.8

383

384

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications Exemples

Figure 16.9 Échographies abdominales visualisant l’image d’un foie.

Figure 16.10 Échographies abdominales visualisant l’image d’un rein.

16.5 L’ÉCHOGRAPHIE DOPPLER La connaissance de la variation de fréquence entre l’onde émise et l’onde reçue permet la mesure de la vitesse d’un écoulement sanguin. En effet, des ondes U . S. dirigées vers un vaisseau sont réfléchies par les globules rouges (les érythrocytes) avec un changement de fréquence proportionnel à la vitesse de l’écoulement sanguin (celle des érythrocytes).

16.5 L’échographie doppler

16.5.1 L’effet Doppler Rappelons les principaux résultats dans le cas où la source (émetteur ultrasonore) est en mouvement à la vitesse v et le récepteur est fixe : • Lorsque la source se déplace dans la même direction que le récepteur :

la fréquence fr perçue par le récepteur d’onde ultrasonore est différente de la fréquence d’émission f : fr = f

c , c : célérité du son dans le milieu c−v

(16.23)

Il en résulte une variation relative de fréquence de : v Df = f c

(16.24)

(lorsque v reste très petit devant c)

− • Lorsque la direction du faisceau d’ultrasons fait un angle θ avec la vitesse → v, vitesse de propagation de l’obstacle, on a :   v fr  f 1 + 2 cos θ , f : fréquence de l’onde émise par le transducteur c (16.25)

La variation relative de fréquence est : v Df = 2 cos θ f c

(16.26)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Exemple Cas d’un faisceau d’ultrasons envoyé par une sonde sur un vaisseau où circulent des cellules sanguines (hématies) (Fig. 16.11).

transducteur gel

peau

faisceau d'ultrasons eau

vaiss

θ

v

ties

héma

Figure 16.11 Remarques • On observe une augmentation de la fréquence si les interfaces (les hématies) se rapprochent de la source et une diminution de la fréquence si les interfaces s’éloignent de la source. • La mesure du décalage de fréquence, D f , nous renseigne donc sur la vitesse d’écoulement du sang.

385

386

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications L’exploration Doppler est donc une technique vélocimétrique.

16.5.2 Vélocimétrie Doppler à émission continue Le signal Doppler peut être émis et reçu de façon continue : c’est le Doppler continu. Ce type d’examen utilise 2 cristaux au niveau du même capteur : un premier cristal qui permet l’émission du faisceau ultrasonore et l’autre la réception du signal réfléchi. Un appareil effectue la comparaison des deux fréquences et un démodulateur va extraire, en continu la fréquence Doppler. Applications L’intérêt de la méthode est de dépister des sténoses artérielles (retrécissement du diamètre artériel), et de les quantifier. L’augmentation de la vitesse au niveau de la sténose est d’autant plus grande que la sténose est serrée. En effet, le sang est incompressible et le débit ne peut être conservé que par accélération temporaire de l’écoulement à ce niveau (Bernouilli).

16.5.3 Vélocimétrie à émission pulsée Le système du Doppler pulsé est caractérisé par l’émission d’une salve repétée d’ultrasons délivrée par un cristal unique qui joue à la fois le rôle d’émetteur et de récepteur. Le délai entre deux salves détermine la fréquence de répétition. L’appareillage du Doppler pulsé procède donc à une succession de mesures ponctuelles dans le temps et durant l’intervalle séparant deux émissions successives une « porte de réception » des échos est aménagée. Entre deux impulsions, le signal réfléchi est analysé pendant une durée très courte que l’on peut appeler la fenêtre d’écoute. Le délai entre la fin de l’impulsion et le début de la fenêtre d’écoute détermine la profondeur sélectionnée d’analyse du signal Doppler : c’est la profondeur du volume d’échantillonnage. Le temps d’analyse du signal réfléchi, c’est à dire la largeur de la fenêtre d’écoute, détermine la taille du volume d’échantillonnage. Exemple Si l’émission se fait pendant l’intervalle de temps [t0 , t1] et si la réception n’est autorisée que pendant l’intervalle de temps [t2 , t3 ] (intervalle définisant la « fenêtre d’écoute »), ⎧ on peut ainsi explorer : c(t2 − t1) ⎪ ⎪ = une profondeur minimale d’exploration : d ⎪ min ⎨ 2 et ⎪ ⎪ c(t − t0) ⎪ ⎩une profondeur maximale d’exploration : dmax = 3 2 où c représente la célérité du son dans les tissus. Les deux profondeurs d min et dmax délimitent une fenêtre d’exploration.

Exercices

Exercices 1 Mesure de la vélocité d’un écoulement sanguin par la technique d’échographie par effet Doppler. Un transducteur émet un faisceau d’ultrasons de fréquence f0 = 3 MHz et les échos perçus associés aux ondes réfléchies sur les hémathies (globules rouges) donnent une fréquence fr légèrement différente. Une observation par échographie de l’aorte, sous un angle θ = 60◦ , donne une variation de fréquence D f = fr − f0 = 2 000 Hz. Déterminer la vitesse des hémathies dans l’aorte sachant que la célérité des ondes U .S . dans les milieux biologiques est c = 1 500 m. s−1.

2 Une sonde Doppler émet des ondes U.S. à la fréquence f = 7,500 MHz. La célérité c des ondes U S dans l’eau et dans le sang est de l’ordre de 1 500 m. s −1.

1. Calculer la variation de fréquence Doppler pour un angle d’incidence de 60◦ par rapport à l’axe du déplacement du sang et une vitesse de 1, 0 m. s−1 . 2. Pour quelle valeur de la célérité c, la variation de fréquence Doppler est de l’ordre de 2 000 Hz, c’est-à-dire facilement audible ? 3. Quelle gamme de fréquences observe-t-on si la vitesse du sang varie dans un vaisseau de 0 à 0, 5 m. s−1, toujours pour un angle de 60 ◦ ?

3 On veut explorer un organe superficiel tel qu’une thyroïde qui est un organe sous-cutané dont le diamètre antéro-postérieur n’excède pas 40 mm. La sonde dite superficielle de l’échographe bidimensionnel que l’on utilise émet des ondes U . S de fréquence f = 12 MHz sous forme de pulses dont la fréquence de répétition est f r = 20 kHz. La vitesse du son dans les tissus mous est de l’ordre de 1 500 m. s −1. La sonde est-elle adaptée pour l’exploration de cet organe ?

Questions à choix multiples 1 Pour un son qui arrive perpendiculairement à l’interface entre 2 milieux d’impédance acoustique différente Z 1 et Z 2 : (Z 1 − Z 2) 2 . ❑ 1. Le facteur de réflexion est égal à (Z 1 + Z2 )2 4Z 1Z 2 . ❑ 2. Le facteur de transmission est égal à (Z + Z )

387

388

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications (Z 1 − Z 2) . (Z 1 + Z2 ) 4Z 1 Z 2 . ❑ 4. Le facteur de transmission est égal à (Z 1 − Z 2) 2 4Z 1 Z 2 ❑ 5. Le facteur de transmission est égal à . (Z 1 + Z 2 )2 ❑ 3. Le facteur de réflexion est égal à

2 Ultrasons utilisés en échographie. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Leur propagation présente un haut degré de directivité. Leur propagation présente un faible degré de directivité. Plus la fréquence est élevée plus la directivité est faible. Plus la fréquence est élevée plus la directivité est forte. Plus la fréquence est élevée plus l’absorption est faible.

3 En imagerie échographique. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Un kyste liquidien génère un cône d’ombre. Un kyste liquidien génère un renforcement postérieur du faisceau US. Une calcification génère un cône d’ombre. Une calcification génère un renforcement postérieur du faisceau US. L’image est constituée à partir de la réflexion des US par les interfaces.

4 En échographie dans les tissus vivants. ❑ 1. ❑ 2. ❑ 3. ❑ 4. ❑ 5.

Plus la longueur d’onde est courte, meilleure est la résolution. Plus la longueur d’onde est courte plus la résolution est mauvaise. Les hautes fréquences pénètrent mieux que les basses fréquences. Les basses fréquences pénètrent mieux que les hautes fréquences. Plus la fréquence est élevée plus la divergence du faisceau est forte.

5 Une sonde Doppler émet un faisceau d’U . S . à la fréquence f = 1, 5 MHz, le récepteur recoit une fréquence f 1. Pour un angle angle d’incidence de 60 ◦ par rapport à l’axe du déplacement du sang, on mesure une vitesse du sang dans le vaisseau exploré de v = 0, 5 m. s−1. La célérité des ondes U .S . dans les tissus biologiques est c = 1 500 m. s−1 . 1. L’écart de fréquence mesuré est : ❑ a) D f = 750 Hz,

❑ b) D f = 500 Hz.

2. La fréquence f 1 vaut : ❑ a) 1, 49 MHz,

❑ b) 1 499 kHz,

❑ c) 1 499, 5 kHz.

Corrigés

Corrigés Exercices 1 La fréquence fr de l’onde réfléchie détectée par le transducteur est donnée par :



 v fr = f 0 1 + 2 cos θ c v soit, fr = f 0 + f0 × 2 cos θ c v Ainsi : fr − f 0 = f 0 × 2 cos θ c fr − f0 c et donc : v= × f0 2 cos θ 1 500 2 000 × Numériquement : v = = 1, 0 m. s−1 . 6 3.10 2 × cos 60 On trouve bien que v  c.

2 1. La fréquence f r détectée par le transducteur est   v fr = f 0 1 + 2 cos θ c v D f = fr − f 0 = f 0 × 2 cos θ c 1 Numériquement : D f = 7,500.106 × 2 × × cos θ = 5 000 Hz. 1 500 v 2. Comme D f = fr − f0 = f0 × 2 cos θ, alors c Ainsi :

c = f0 soit numériquement : c = 7, 5.106× élevée dans les tissus).

2v cos θ Df

2 × 1, 0 × cos 60 = 3 750 m. s −1 (valeur 2 000

3. Déterminons les fréquences extrêmes observées pour 0 m. s−1< v < 0, 5 m. s−1.   v On a fr = f0 1 + 2 cos θ , c ⎧ fr1 = f0 = 7,500 MHz pour v = 0 m. s−1 ⎪ ⎪ ⎨   et d’où 0,5 ⎪ ⎪ = 7,505 MHz pour v = 0,5 m. s−1 ⎩ fr2 = f0 1 + 2 × 1 500

389

390

Chap. 16. Bases physiques de l’échographie, applications 3 Si d représente la profondeur de pénétration des ondes U .S , alors entre deux salves, la distance parcourue 2d (pour un aller-retour) est telle que : 2d = vTr =

v fr

Application numérique. f r = 20 kHz = 20 000 Hz et c = 1 500 m. s−1 . 1 500 Donc : d = = 0,037 5 m soit 3,75 cm 2 × 20 000 La sonde choisie est donc bien adaptée pour l’exploration de la thyroïde.

Questions à choix multiples Question

1

2

3

4

5

1.

❑ ✗

✗ ❑

❑

✗ ❑

a) ❑ b) ✗ ❑

2.

❑

❑

✗ ❑

❑

a) ❑ b) ❑ c) ✗ ❑

3.

❑

❑

✗ ❑

❑

4.

❑

✗ ❑

❑

✗ ❑

5.

❑ ✗

❑

✗ ❑

❑

Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN

Plan Cours 17.1Les nombres quantiques 17.2Électromagnétisme 17.3Les bases physiques de la RMN 17.4Notions d’imagerie RMN QCM et exercices Corrigés Corrigés Corrigés Corrigés

17

Objectifs • Résonance magnétique nucléaire.

Imagerie RMN

• Connaître :

– les différents nombres quantiques, – les bases physiques de la RMN

• Comprendre :

– l’effet Zeeman, – le principe de la résonance magnétique

• Savoir calculer une fréquence de

précession de Larmor

Cours L’existence de moments cinétiques pour les particules chargées donne naissance à un moment magnétique. Le principe de l’IRM est basé sur cette propriété. L’IRM repose sur l’utilisation d’un champ magnétique intense qui agit sur les molécules d’eau des tissus. Les noyaux des atomes d’hydrogène s’orientent dans la même direction comme des petits aimants : ils se mettent en résonance. Soumis à un rayonnement électromagnétiques de fréquence appropriée (fréquences radio), les atomes retrouvent leur mobilité et restituent de l’énergie. Dès l’arrêt de l’impulsion radio, on a un retour à l’état d’équilibre : les protons réémettent l’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques correspondant au signal RMN. Ces signaux sont ensuite analysés par ordinateur.

392

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN

17.1 LES NOMBRES QUANTIQUES 17.1.1 Le Nombre quantique principal L’énergie de l’électron est quantifiée : elle dépend d’un entier n qui prend les valeurs 1, 2, 3,... n s’appelle le nombre quantique principal. À chaque valeur de n correspond une énergie En.

17.1.2 Nombre quantique secondaire L’observation des raies spectrales montre que chacune de ces raies est en réalité formée de plusieurs raies. Ce fait peut s’interpréter en introduisant un autre nombre quantique : le nombre quantique secondaire ou azimutal, noté l. Il caractérise la forme de la trajectoire (ellipse). C’est un entier qui prend toutes les valeurs de 0 à n − 1, soit : 0 ≤l ≤ n−1 (l entier)

(17.1)

Le nombre quantique secondaire quantifie la norme du moment cinétique : L= Exemple

 h l (l + 1) avec  = 2π

(17.2)

Pour n = 4, on obtient les états l = 0, l = 1, l = 2, et l = 3. Ces quatre états sont désignés par les lettres s, p , d , et f , termes d’origine spectroscopique. l 0 1 2 3 État s p d f sharp principal diffuse fondamental

17.1.3 Nombre quantique magnétique → − Si on applique un champ magnétique B sur l’atome d’hydrogène, l’observation spectrale indique un éclatement des raies précédentes en plusieurs autres raies : c’est l’effet Zeeman. Ce phénomène s’explique par l’introduction d’un troisième nombre quantique : le nombre quantique magnétique, notée ml . Il est tel que : −l ≤ m l ≤ +l (m entier)

(17.3)

17.1 Les nombres quantiques Le nombre quantique ml quantifie la projection du moment cinétique, par exemple selon Oz : L z = ml  (17.4) Exemple Pour l = 3, on obtient les valeurs de m l et L z (Fig. 17.1). Lz ml = 3

+3h 3h 3h

ml = 2

+ 2h 2h

ml = 1

+h 0

ml = 00

-h -h

ml = -1 -1

-2h -2h

ml = -2

-3h -3h

m l = -3

Figure 17.1

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

17.1.4 Nombre quantique magnétique de spin Les interprétations de certaines expériences ont conduit à admettre que l’électron possède une quantité supplémentaire : le spin, qu’on interprète dans une vision classique comme une rotation sur lui-même. Pour interpréter un certain nombre de faits théoriques et expérimentaux, il faut admettre que les particules possèdent un moment cinétique intrinsèque, le moment → − de spin S . Le nombre de spin s quantifie la norme du moment de spin : S=



s (s + 1)

(17.5)

√ 1 3 L’électron a un spin s = et par suite S =  . Deux possibilités sont offertes à 2 2 l’électron (Fig. 17.2). Ce moment de rotation de l’électron est quantifié, c’est le moment cinétique de spin, noté m s : 1 ms = ±

393

394

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN

z

z

e-

e-

Figure 17.2 → − Le nombre quantique m s quantifie la projection du moment cinétique de spin S , par exemple selon Oz : S z = ms  Exemple

√ 1 3 1 Dans le cas de l’électron s = , et par suite S =  et S z = ±  (Fig. 17.3). 2 2 2 Sz

+ 1 hh 2

m s = +1/2

0

- 1 hh 2

m s = -1/2

Figure 17.3 Remarque Pour un électron dans l’atome, son moment cinétique total sera la somme vecto→ − → − rielle de son moment cinétique orbital L et de son moment cinétique de spin S , soit : → − − → − → J = L + S (17.6) De la même façon, la norme du moment cinétique total et sa projection selon Oz sont quantifiées, soient :  J = j ( j + 1) , avec l − s ≤ j ≤ l + s (17.7) et

J z = m j  avec − j ≤ m j ≤ + j

(17.8)

17.2 Électromagnétisme

17.2 ÉLECTROMAGNÉTISME 17.2.1 Action d’un champ magnétique sur une particule chargée → Une particule de charge q, de masse m, évoluant à la vitesse − v dans une région de → − l’espace où règne un champ magnétique B , subit l’action d’une force magnétique − → FL (Fig. 17.4) donnée par : − → → − → v ∧ B FL = q − (17.9) − → ( FL, force de Lorentz)

⎧ → − → v et B , ⎨ sa direction : perpendiculaire au plan formé par − − → → − − → → − FL F son sens : le trièdre (q v , B , L) est un trièdre direct, ⎩ son intensité : FL = |q v B sin α| FL qv

B

B

α

v

α

v

qv

FL

(a)

(b)

Figure 17.4 (a) particule de charge q > 0 ; (b) particule de charge q < 0.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

17.2.2 Action d’un champ magnétique sur un élément de circuit → − Un élément de circuit électrique dl parcouru par un courant d’intensité I et placé → − −→ dans un champ magnétique B est soumis à une force d F donnée par : −→ → − − → dl ∧ d− F = I B (17.10) → (d F, Force de Laplace)

→ − 17.2.3 Action d’un champ magnétique B sur un circuit fermé Moment magnétique → − Un circuit fermé indéformable, de surface orientée S , parcouru par un courant d’in→ − tensité I et placé dans un champ magnétique B (Fig. 17.5) est soumis à un ensemble de forces magnétiques de résultante nulle et dont le couple de forces magnétiques est donné par : → − − → − (17.11) μ ∧B G =→

395

396

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN − → μ représente le vecteur moment magnétique du circuit. − → → − → μ = I S = I S− n

Par définition,

− → → ( S représente le vecteur surface et − n le vecteur unitaire de la normale à la surface S )

(17.12)

B

μ = IS.n

Γ=μ^B

θ

μ = μ.n

S = S.n , S : vecteur surface

Ι I

Figure 17.5 Dans le cas d’un champ magnétique uniforme, un tel circuit sera soumis, en général, à des effets de rotation : le circuit va pivoter pour tendre vers une position d’équilibre → − → de sorte que − μ soit parallèle à B . On distinguera les deux positions d’équilibre :  → − → position d’équilibre stable : − μ et B de même sens, → − → position d’équilibre instable : − μ et B de sens contraire.

Énergie potentielle d’interaction → Un moment magnétique − μ placé dans une région de l’espace où règne un champ → → − − → − → magnétique B subit un moment de couple de force G = − μ ∧ B. L’énergie potentielle d’interaction d’un tel système est : → − → Ep = −− μ. B

(17.13)

17.3 LES BASES PHYSIQUES DE LA RMN 17.3.1 Moments magnétiques de particules chargées La rotation de l’électron autour du noyau engendre un courant circulaire d’inten→ − ev → → sité I = ainsi qu’un moment cinétique orbital L = − r ∧ (m e− v ) de norme 2πr L = m evr , où m e représente la masse de l’électron, v la vitesse de l’électron en rotation autour du proton et r le rayon de l’orbite (Fig. 17.6).

17.3 Les bases physiques de la RMN

L k

(p)

I = ev 2πr n

(e - )

τ

(trajectoire circulaire)

v

Figure 17.6 L’existence de moments cinétiques orbitaux pour les particules chargées donne naissance à un moment magnétique. On définit : • Pour l’électron dans l’atome :

– un moment magnétique orbital : −e − → → − − → μe = L =γL 2m e

(17.14)

−e (γ= 2m représente le rapport gyromagnétique)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

e

– un moment magnétique de spin : → − → = −e − μ S S me

(17.15)

− → ( S est un moment cinétique intrinsèque dont la norme est liée au nombre quantique de spin s )

• Pour le proton :

– un moment magnétique orbital : − →= μ p

→ → − e − L =γL 2m p

(17.16)

(γ= 2me p représente le rapport gyromagnétique)

– un moment magnétique de spin − − →= e → μ S S mp

(17.17)

397

398

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN En conclusion : on retiendra, pour une particule, de masse m et de charge q, en rotation sur une orbite circulaire de rayon r : → − • son moment cinétique L : → − − → r ∧ m− v L =→ → • son moment magnétique orbital − μ : q − → → − μ = L 2m →: • son moment magnétique de spin − μ S → →= q − − μ S S m Remarques → − → 1. Le moment magnétique orbital − μ et le moment cinétique L sont antiparallèles pour l’électron et parallèles pour le proton (Fig. 17.7).

L

L

μp == e L 2mp

(e- )

Figure 17.7

v

μ e == - e L 2me

(a) électron de charge −e → − → − μe et L sont antiparallèles

(p) v

(b) proton de charge +e → − → − μ e et L sont parallèles

2. Bien que le neutron ne possède pas de charge électrique, il possède lui aussi, comme l’électron et le proton, un moment magnétique.

17.3.2 Magnétons et facteur de Landé Magnéton de Bohr La Mécanique quantique introduit une quantification du moment cinétique :   n : nombre quantique principal, n = 1, 2, 3, .. L = l (l + 1) avec l : nombre quantique secondaire, 0 ≤ l ≤ n − 1 (17.18) Remarque La relation 17.18 montre que le moment cinétique L est quantifié et il en est de → − même de sa projection L z , projection de L par rapport à Oz.

17.3 Les bases physiques de la RMN On introduit le nombre quantique magnétique m l tel que −l ≤ m l ≤ +l, avec L z = ml  .  e Dans le cas de l’électron μe = L et comme L = l (l + 1) , alors : 2m e e  = μe l (l + 1) (17.19) 2me  e soit, μ e = μ B l (l + 1), avec μB = (17.20) 2me (μ B : moment élémentaire, le magnéton de Bohr)

− μe (selon oz, par exemple) est également quantifiée, et on peut La projection de → écrire : e μ ez = − m l , soit μ ez = −μB ml 2m e

Magnéton nucléaire Comme pour le magnéton de Bohr, on définit le magnéton nucléaire, unité dans laquelle s’exprime les mesures des moments magnétiques, par : e μN = (17.21) 2m p On admet que pour le proton et le neutron, les moments magnétiques nucléaires sont donnés par : (17.22) μp = 2, 7928μ N et μn = −1, 9130μN

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Facteur de Landé → μ e et un moment magnéPour un électron possédant un moment magnétique orbital − → − tique de spin S , son moment magnétique total s’écrit : −e − → − → − → μ = (L +2S) (17.23) 2m e Soit encore μ − → → − − → − → → − μ = −g B J avec J = L + S et g (le facteur de Landé) (17.24)  Remarques • Pour un atome donné, dans l’état ( j , l , s ), le facteur de Landé g est donné par : j ( j + 1) + s (s + 1) − l(l + 1) g =1+ 2 j ( j + 1) Le facteur de Landé g dépend donc de la configuration électronique de l’atome. • Le tableau ci-dessous donne les valeurs de g pour quelques particules élémentaires : Particule g

électron 2, 0023

proton 5, 5857

neutron −3, 8263

399

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN

17.3.3 Les propriétés magnétiques du noyau Mouvement de précession de Larmor → Un noyau ou un atome possédant un moment magnétique nucléaire − μ et un moment → − − → − → cinétique total J = L + S se comporte donc comme un petit aimant. Comme précédemment, on peut écrire :   γ : rapport gyromagnétique,  → − → − μ μ → − μ = γ J = −g B J avec γ = g B  g : facteur caractéristique de l’état    de l’atome (facteur de Landé) (17.25) Remarques → → − − • Si J = 0 alors → − − → • Si J = 0 alors

→ − − → μ = 0 : l’atome est diamagnétique, → − → − μ = 0 : l’atome est paramagnétique.

Dans un composé organique, contenant donc plusieurs atomes paramagnétiques, le moment magnétique résultant s’écrit : − → − → → M= μ , où − μ représente le moment magnétique nucléaire du constituant i i

i

i

− → (M : moment magnétique macroscopique)

(17.26)

− • En l’absence de champ magnétique extérieur, les différents → μ i sont orientés au − → → → − μ i = 0 (Fig. 17.8). hasard de sorte que M = − i

μ μ μ

μ

μ

400

μ μμ

μ

μ μ

μ

μ

Figure 17.8

μ

17.3 Les bases physiques de la RMN • Lorsque le composé organique est placé dans une région où règne un champ

− → magnétique intense B0 (Fig. 17.9), chaque noyau sera donc soumis à un couple → − de forces G i , tel que : → − → − → μi ∧ B 0 Gi = − B0

μμi

Figure 17.9 Cela entraîne un mouvement de précession (Fig. 17.10), dit mouvement de préces− → → μi tournent autour du vecteur champ B0 et sion de Larmor : les différents moments − − → − → le moment magnétique résultant M = μ i est non nul. i

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Fréquence de précession de Larmor − → → Dans le champ B0 , la particule de moment magnétique − μ et de moment cinétique → − − → − − → μ ∧ B0 . total J subit le couple G = → En appliquant le théorème du moment cinétique, on obtient : → − → − − → dJ dJ − → → =− μ ∧ B0 G = , soit dt dt

(17.27)

→ − → μ = γ J , alors : Comme − → − μ μ d→ − → 1 d− − → − → → μ ∧ B0 = μ ∧ B0 = γ− , soit γ dt dt

(17.28)

→ μ d− − → • Déterminons le produit scalaire μ . . dt → μ d− − → − → → − → → → → =− μ ∧ B0) = 0 car les vecteurs − μ ∧ B0 sont orthogonaux. μ. μ .(γ − μ et γ−

401

402

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN → − → d− μ • Déterminons le produit scalaire B0 . . dt → μ − → d− Pour la même raison B0 . = 0. dt En conclusion : ⎧ → μ d− ⎪ − → → ⎪ = 0, il en résulte que − μ  = μ reste constant, ⎨ μ. dt → ⎪ μ → d− → − ⎪ → ⎩ − μ .B0 reste constant. B 0. = 0, entraîne que − dt − → → Le mouvement est donc une rotation de − μ autour de B (Fig. 17.10). 0

B0

μ

O

Figure 17.10 → μ d− − → − → → → μ ∧ B0 = −γ B0 ∧ − = γ− μ. De plus, dt Et comme (d’après le théorème du moment cinétique ), → μ d− → − = −− ω ∧→ μ, dt − → → − alors, ω = −γ B0 , soit ω = γ B 0 Ou encore,

ν0 =

γ B0 2π

(17.29) (17.30)

(ν 0 : fréquence de précession de Larmor)

L’effet Zeeman − → Un champ magnétique B0 parallèle à Oz intéragit avec des atomes paramagnétiques. L’énergie d’interaction est : → − − E p = −→ μ . B 0 = −μz B0 = −γ Jz B0

(17.31)

17.4 Notions d’imagerie RMN Le moment cinétique total étant lui aussi quantifié, on peut donc écrire :

Ainsi :

Jz = m j  avec − j ≤ m j ≤ + j

(17.32)

E p = −γ B0m j

(17.33)

(Ep est quantifiée)

Comme il y a 2 j + 1 valeurs de m j pour j donné, alors un niveau atomique éclate en 2 j + 1 sous-niveaux : les spectres seront donc modifiés. Exemple 1 1 1 : cela implique deux états, m j = + et m j = − . 2 2 2 − → En présence d’un champ magnétique B0 (Fig. 17.11), les niveaux d’énergie seront donc séparés de : (17.34) DE p = γ B 0 Pour le proton, j =

γ B0 (d’après la relation 17.30), alors : 2π DE p = γ B 0 = hν0 , ν 0 : fréquence de précession de Larmor

Comme ν 0 =

(17.35)

E P2 E P0

Δ EP = γ h B0 E P1

En l'absence de champ magnétique

En présence d'un champ magnétique

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Figure 17.11 Remarque DE p est proportionnelle à μp et à B0.

17.4 NOTIONS D’IMAGERIE RMN 17.4.1 Principe de la résonance magnétique • Loi de distribution de Bolztmann

Une population N d’atomes, dans l’état d’énergie En, en équilibre thermique à la température T , est donnée par la loi de Boltzmann : En

N = Ae − kB T où A une constante

(k B représente la constante de Boltzmann et T la température absolue en kelvin)

(17.36)

La probabilité d’occupation d’un niveau m j , d’énergie E p = −γ B0m j, est donc proportionnelle à : Ep

e− kB T = e

γ B 0m j kB T

403

404

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN • On a vu que lorsque de la matière, contenant des atomes paramagnétiques, est

− → placée dans une région où règne un champ magnétique extérieur B0 , les moments − → magnétiques nucléaires s’orientent par rapport à B0 et décrivent un mouvement de − → → → − γ B0 précession à la fréquence ν 0 = de sorte que M = − μ i = 0 . 2π i − → 1 De plus, en présence de B0 , deux états de spin correspondant à m s = ± , ont des 2 énergies différentes (l’effet Zeeman).

Pour le proton : ⎧ DE p 1 ⎪ ⎪ , pour m s = + ⎨ Ep1 = − 2 2 avec DEp = γ B0 . ⎪ DE 1 p ⎪ ⎩ Ep2 = + , pour m s = − 2 2 Si N représente le nombre de spin total, alors, à l’équilibre thermique, les nombres de DE p DE p spins, N 1 et N 2, se trouvant dans les états d’énergies − et + , sont donnés par : 2 2 ⎧ DE p ⎪ 2kB T ⎪ e ⎪ ⎪ N 1 = N DE p ⎪ DEp ⎪ − 2k T ⎪ 2kB T ⎪ B e +e ⎨ DE N1 − p , soit (17.37) = e kB T (N1 > N 2) et ⎪ N 2 ⎪ DE ⎪ − 2k pT ⎪ ⎪ B e ⎪ ⎪ ⎪ DEp ⎩ N 2 = N − DE p e 2k BT + e 2kB T (Loi de répartition de Boltzmann)

Les calculs montrent qu’à température ordinaire et pour un champ extérieur B 0 = 1 T, N 1 ≈ N2 : il n’existe donc qu’un faible excès de noyaux dans le niveau inférieur (niveau d’énergie E p1 ) (Fig. 17.12). EP2 P2 ms = -1/2 E P0

E P = γ h B0 ΔE

absence de champ (niveau dégénéré) E P1 P1 ms = +1/2 En présence d'un champ magnétique B0

Figure 17.12

17.4 Notions d’imagerie RMN − → L’ensemble des spins à l’état fondamental, se combinent en une aimantation M ayant − → même direction et même sens que B 0. Cependant cette aimantation résultante est trop faible pour être détectée (Fig. 17.13). Protons dans l'état ms = + 1/2

B0 M O

Protons dans l'état ms = - 1/2

Figure 17.13 Le principe de la résonance magnétique est d’appliquer à l’échantillon à examiner, − → placé sous un champ magnétique statique B 0, une impulsion d’onde électromagnétique de fréquence ν. Si l’énergie de ces photons, Ephoton = hν, est telle que : DE p = hν, soit ν = ν 0 =

γ B0 , (ν 0 : fréquence de Larmor) 2π

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

alors les photons sont absorbés et excitent des protons à l’état ms = −

1 (donc 2

1 d’énergie E p2 ) vers l’état m s = + (d’énergie E p1) : c’est le phénomène de résonance 2 magnétique nucléaire. Ces ondes, de fréquences appartenant au domaine des fréquences radio, sont obte− → − → nues par l’application d’un champ B1, faible par rapport à B0, contenu dans un plan − → perpendiculaire à B0 et tournant à la fréquence ν. − → − → L’effet du champ B1 est de faire basculer l’aimantation M d’un angle θ, proportionnel au temps d’application de l’impulsion. Le vecteur aimantation aura donc deux composantes : une composante transversale et une composante longitudinale (Fig. 17.14). Ainsi : − → −−→ − → M = MT + M L γ B0 Pour la fréquence ν = ν 0 = (ν 0 : fréquence de Larmor), l’aimantation résul2π − → − → tante M prend alors un mouvement de précession autour de B1 : c’est le phénomène de résonance magnétique.

405

406

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN z

B0 M(z) ML θ

M M(y)

M(x) x

ML

y

Champ B1 tournant à la fréquence ν

B1

Figure 17.14 Les phénomènes de relaxation : Dès l’arrêt de l’impulsion radio, on a un retour à l’état d’équilibre : les protons réémettent l’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques correspondant au signal RMN.

17.4.2 Imagerie RMN L’imagerie IRM est une technique très complexe qui nécessite l’application d’un champ magnétique intense agissant sur les noyaux d’hydrogène des molécules d’eau des tissus : ces noyaux s’orientent comme des petits aimants dans la même direction du champ. Lorsque ces noyaux sont soumis à un rayonnement électromagnétique de fréquence égale à la fréquence de Larmor, ils se mettent en résonance : les atomes retrouvent leur mobilité puis restituent leur énergie sous forme d’un signal. Leur localisation est obtenue en ajoutant un gradient directionnel sur le champ magnétique − → B 0. La fréquence de résonance des protons est alors modifiée suite à la variation du champ magnétique. Les signaux sont ensuite analysés par ordinateur. Des procédés d’exploration par balayage permettent d’obtenir de minces couches d’organes. Un traitement informatique complexe permet de combiner plusieurs coupes anatomiques obtenues sous différents angles et donnent des images en 3D. En modifiant les paramètres d’acquisition, le praticien peut modifier le contraste en jouant sur les temps de relaxation. Les figures ci-dessous représentent les images obtenues par résonance magnétique nucléaire d’une coupe de cerveau : séquences T2 (Fig. 17.15) et séquences T1 (Fig. 17.16).

17.4 Notions d’imagerie RMN

Figure 17.16

Figure 17.15

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

La figure 17.17 montre une coupe frontale en IRM pondérée (imageur Philips 1,5 T). L’examen a été réalisé pour des douleurs persistantes post-traumatiques de la cheville sans anomalie visible sur les radiographies standard. L’IRM révèle un petit arrachement osseux de la malléole interne, conduisant à plâtrer le sujet.

Figure 17.17

407

408

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN

Exercices 1 L’électron de l’atome d’hydrogène décrit une trajectroire circulaire de rayon r à la fréquence de rotation f = 6, 60.1015 Hz.

1. Déterminer l’intensité i du courant équivalent au déplacement de l’électron sur son orbite circulaire. → 2. Déterminer le vecteur moment magnétique − μ de l’électron puis l’exprimer → − en fonction du moment cinétique L . − → → − 3. L’atome est placé dans un champ magnétique uniforme B0 = B0 k . Déterminer l’énergie d’interaction entre le moment magnétique de l’électron − → → − μe et le champ B0.

2 1. Calculer la valeur du magnéton de Bohr puis celle du magnéton nucléaire. 2. En déduire les valeurs des moments magnétiques du proton et du neutron. On donne : m e = 9, 1.10−31 kg, m p = 1, 67.10−27 kg, e = 1, 6.10−19 C,  = 1, 054.10−34 J. s.

3 1. Déterminer le rapport gyromagnétique pour le proton 11 H − → 2. un proton 11 H est soumis à un champ extérieur B0 d’intensité 1 T. Calculer la fréquence de résonance.

Corrigés Exercices 1 1. De la relation i = résulte que :

dq (l’intensité du courant étant un débit de charge), il en dt i=

(T =

1 f

qe = qe f = −e f T

étant la durée que met l’électron pour faire un tour complet)

Numériquement, on trouve i = −1, 6.10−19 × 6, 60.1015  −1, 1.10−3 A.

Corrigés 2. Le moment magnétique d’une spire de surface S, parcourue par un courant → − → μ = i S , soit pour l’électron : d’intensité i est − → − → − → − → → μ = i S = i S− n , où S = S− n est le vecteur surface de la boucle de courant. e

Comme i = −e f et S = πr2 , alors : → → − μ e = −e f × πr 2 × − n

(17.38)

Dans le cas d’un mouvement uniforme, la vitesse linéaire de l’électron est 2πr = 2πr f . v= T evr − → − → μe = − Ainsi : n (17.39) 2 Le moment cinétique de l’électron est par définition : → − − → → L =→ r ∧ (m e − v ) = m e vr − n (17.40) En combinant les relations 17.39 et 17.40, on trouve : → e − − → μe = − L 2m e 3. L’énergie potentielle d’interaction est donnée par : − → → E p = −− μ e . B0 → μe = − Comme −

e − → L , alors : 2m e Ep =

→− → e − e L . B0 = B 0 Lz 2m e 2m e

(17.41)

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

− → (L z représente la projection de L par rapport à Oz )

En introduisant le nombre quantique magnétique ml tel que −l ≤ m l ≤ +l, on peut écrire L z = ml  et par suite : Ep =

eB0  ml 2m e

2 1. On a vu que : e , 2m e e • pour le magnéton nucléaire : μN = . 2m p ⎧ −24 2 ⎨ μ B = 9, 27.10 A. m et Application numérique. , μ B = 1 840μ N ⎩ −27 2 μ N = 5, 05.10 A. m • Pour le magnéton de Bohr : μB =

409

410

Chap. 17. Résonance magnétique nucléaire Imagerie RMN 2. Comme μ p = 2, 7928μ N et μn = −1, 9135μN , alors : ⎧ −26 A. m 2 ⎨ μ p = 1, 41.10 et ⎩ μn = −9, 66.10 −27 A. m 2 Le signe (−) de μn indique que moment magnétique et spin sont opposés.

3

→ On a vu qu’une particule de moment magnétique − μ placée dans un champ − → − → − → B0 possède l’énergie E p = − μ . B0 (d’après la relation 17.13). 1 1 De plus, pour le proton, j = : cela implique deux états, m j = + et 2 2 1 mj = − . 2 − → En présence d’un champ magnétique B0, un état d’énergie se sépare en deux niveaux (effet Zeeman) : un état (spin vers le haut) et un état (spin vers le bas). ⎧ ⎨ • l’état de spin vers le haut (m s = +1/2) a une énergie E p1 = −μp B0, et ⎩ • l’état de spin vers le bas (ms = −1/2) a une énergie E p2 = +μ p B0. De sorte que : Comme,

DEp = 2μp B0

DE p = γ 11 H  B0 (d’après la relation 17.34)

alors :

2μ p  2 × 1, 41.10−26 = = 2, 675.10 8 Hz. T −1, soit −34 1, 054.10 γ11 H =

soit numériquement, γ11 H 267, 5 MHz. T−1.

2. La fréquence de résonance ν est telle que : DE p = hν avec DE p = 2μp B 0 De la relation précédente, on déduit : 2μ p B0 ν= h γ 1H B0 ou encore : ν = ν0 = 1 (d’après la relation 17.30) 2π Numériquement : Pour B0 = 1 T, on trouve : 2 × 1, 41.10 −26 ν=  4, 26.107 Hz soit 42, 6 MHz. −34 6, 62.10

Annale 1

Annales Poitiers - Janvier 2011

Questions à choix multiples A1 1 Quelles sont les propositions exactes ? ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D.

❑ E.

Lorsqu’un photon de 322 keV interagit avec le cortège électronique d’un atome, le phénomène le plus fréquent est la diffusion Compton. Au cours de la diffusion Compton, l’énergie du photon incident est intégralement absorbée, et le photon disparaît. Lorsqu’un atome de silicium (Z = 14) est ionisé dans sa couche K, il se désexcite préférentiellement par émission Auger. Les seules transitions électroniques pouvant donner lieu à une émission X sont celles pour lesquelles le nombre quantique orbital de l’électron effectuant la transition ne varie pas. Un photon de 982 keV peut se matérialiser en une paire électronpositon.

A1 2 Lorsque, dans un tube radiologique, on irradie l’anticathode de tungstène (Z = 74) par un faisceau d’électrons accélérés par une haute tension de 20 kV : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Les électrons incidents n’interagissent qu’avec les électrons périphériques des atomes de tungstène. L’essentiel de l’énergie rayonnée par l’anticathode correspond au rayonnement de freinage. On retrouve dans le spectre du rayonnement émis les raies X caractéristiques du tungstène. L’énergie maximale du rayonnement émis est de 20 keV. Les atomes de tungstène se désexcitent plus souvent par effet Auger que par émission X.

412

Annale 1 A1 3 Les niveaux d’énergie électronique occupés de l’atome d’aluminium (Z = 13), dans son état fondamental, se répartissent comme suit : K : −1,560 keV LI : −116 eV LII et LIII : −73,5 eV (moyenne des deux sous couches) MI : −3 eV MII : −2, 3 eV (seule sous couche occupée) ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le spectre X de l’aluminium présente une raie à 1,444 keV. Le spectre X de l’aluminium présente un doublet vers 1,486 keV. L’atome d’aluminium ionisé dans sa couche K se désexcite plus souvent par émission X que par émission Auger. Le spectre X de l’aluminium présente une raie à 113,7 eV. Un photon de 2 keV peut ioniser l’atome d’aluminium.

A1 4 Lorsqu’un appareil d’imagerie établit un isomorphisme entre son plan objet et son plan image : ❑ A. ❑ B.

❑ C.

❑ D. ❑ E.

L’image d’un objet ne dépend pas de sa position dans le plan objet. L’image que l’appareil donne de deux objets placés simultanément dans le plan objet est la somme ou la superposition des images fournies par chacun de ces objets séparément. À tout point du plan objet l’appareil fait correspondre un point et un seul dans le plan image (centre de la fonction de dispersion ponctuelle du point objet considéré), et réciproquement. La fonction de dispersion ponctuelle est indépendante de la position dans le plan objet du point dont elle est l’image. Lorsqu’on multiplie l’intensité ou la luminosité d’un objet par un facteur k, l’intensité de son image est multipliée par le même facteur.

A1 5 Lorsqu’un appareil d’imagerie est linéaire : ❑ A. ❑ B.

❑ C.

❑ D. ❑ E.

L’image d’un objet ne dépend pas de sa position dans le plan objet. L’image que l’appareil donne de deux objets placés simultanément dans le plan objet est la somme ou la superposition des images fournies par chacun de ces objets séparément. À tout point du plan objet l’appareil fait correspondre un point et un seul dans le plan image (centre de la fonction de dispersion ponctuelle du point objet considéré), et réciproquement. La fonction de dispersion ponctuelle est indépendante de la position dans le plan objet du point dont elle est l’image. Lorsqu’on multiplie l’intensité ou la luminosité d’un objet par un facteur k, l’intensité de son image est multipliée par le même facteur.

Annale 1 A1 6 Lorsqu’un appareil d’imagerie remplit la condition d’isoplanéité : ❑ A. ❑ B.

❑ C.

❑ D. ❑ E.

L’image d’un objet ne dépend pas de sa position dans le plan objet. L’image que l’appareil donne de deux objets placés simultanément dans le plan objet est la somme ou la superposition des images fournies par chacun de ces objets séparément. À tout point du plan objet l’appareil fait correspondre un point et un seul dans le plan image (centre de la fonction de dispersion ponctuelle du point objet considéré), et réciproquement. La fonction de dispersion ponctuelle est indépendante de la position dans le plan objet du point dont elle est l’image. Lorsqu’on multiplie l’intensité ou la luminosité d’un objet par un facteur k, l’intensité de son image est multipliée par le même facteur.

A1 7 Lorsqu’on utilise une gamma caméra pour réaliser une scintigraphie : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Positionner le collimateur de la caméra au plus près de l’organe à étudier permet d’optimiser la sensibilité et la résolution. On augmente la résolution en remplaçant le collimateur standard par un collimateur dont les canaux ont un diamètre supérieur. On augmente la sensibilité en remplaçant le collimateur standard par un collimateur dont les canaux ont un diamètre supérieur. On diminue la résolution en remplaçant le collimateur standard par un collimateur dont les canaux sont plus longs. La transeptalisation dégrade la résolution.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

A1 8 Après avoir enregistré une scintigraphie rénale statique chez un patient, on

dessine une région d’intérêt autour d’un de ses reins, et une région de bruit de fond adjacente à ce rein. La surface de la région rénale est de 634 pixels et contient 43 652 coups. La surface de la zone de bruit de fond est de 142 pixels et contient 885 coups. Quelle est l’activité rénale corrigée du bruit de fond ? ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

42 767 coups. 39 700 coups. 43 645 coups. 43 454 coups. Aucun des résultats précédents.

A1 9 Caractéristiques d’une image analogique en radiologie. ❑ A. ❑ B.

Variation continue des paramètres spatiaux x et y. Variation continue du noircissement du film.

413

414

Annale 1 ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Aucune possibilité simple de traitement de l ’image. La résolution géométrique est excellente. Le noircissement varie linéairement avec le nombre de photons X reçus.

A1 10 Caractéristiques d’une image numérique en radiologie. ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Peut être assimilée à une matrice rectangulaire de nombres. Contient N pixels = L x C = (nombre de lignes multiplié par nombre de colonnes). La fréquence spatiale maximale de l’image est égale à l’inverse de la taille du pixel. Un pixel est l’intersection d’une ligne et d’une colonne. Les fréquences spatiales élevées correspondent aux détails de l’image les plus petits.

A1 11 Avantages de l’image numérique en médecine nucléaire. ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Résolution en intensité plus étendue. Même type de support numérique des images. Approche quantitative possible (régions d’intérêt). Permet de générer d’autres images par traitement mathématique. Exige une identification univoque des images.

A1 12 Tomodensitométrie de la tête (scanner cérébral). ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le plan sagittal sépare l’avant de l’arrière. Le plan sagittal sépare la gauche de la droite. Le plan sagittal sépare le haut du bas. L’ensemble des transformées de Radon constitue le sinogramme. Le théorème central de la transformée de Fourrier permet de reconstruire l’image initiale à partir de l’ensemble de ses transformées de radon.

L’énoncé suivant est commun aux questions 13 à 17 ULTRASONS : Voici une coupe échographique axiale médiane récurrente de la région sus-pubienne passant par la vessie. En admettant que les paramètres de réglage de l’image soient corrects (fréquences, profondeur, focalisation et gain).

Annale 1

A1 13 ❑ A. Le phénomène visualisé en arrière de la vessie est un cône d’ombre. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le phénomène visualisé en arrière de la vessie est un renforcement postérieur. Ce phénomène est dû à l’accélération des ultrasons traversant un milieu liquidien. Ce phénomène est lié à la direction du faisceau ultrasonore et disparaît si on modifie l’orientation de la sonde. À cause de ce phénomène, on ne peut visualiser aucune structure à l’intérieur de la vessie.

A1 14 À propos des artéfacts ultrasonores.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

La modification de la fréquence ultrasonore à l’émission les fait disparaître. Ils sont uniquement en rapport avec le phénomène de diffusion. Diminuer le gain (puissance ultrasonore à l’émission) réduit le phénomène de renforcement postérieur. Diminuer le gain (puissance ultrasonore à l’émission réduit le phénomène de cône d’ombre Ils sont utiles au diagnostic en échographie.

A1 15 ❑ A. Les fréquences basses permettent d’explorer les organes superficiels. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Les fréquences basses permettent d’explorer les organes profonds. Le mode harmonique fait que le réception du signal (fréquence rétrodiffusée) doit se faire à 2 fois la fréquence émise. Le mode harmonique fait que le réception du signal (fréquence rétrodiffusée) doit se faire à 0,5 fois la fréquence émise. Le mode harmonique n’est utilisable qu’avec des fréquences élevées.

415

416

Annale 1 A1 16

À propos du mode Doppler couleur conventionnel : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Il détecte uniquement les flux circulants. Il permet d’apprécier la perméabilité des vaisseaux. Il permet d’appréhender le sens de circulation par rapport à l’orientation du faisceau ultrasonore et l’angle d’insonation. Il n’existe pas d’artéfact avec ce mode. L’échelle de vitesse (PRF) permet d’adapter la vitesse d’exploration à la vitesse dans la lumière des vaisseaux.

A1 17 En considérant la coupe échographique de la question 16, où on visualise la

partie inférieure du foie, l’espace de Morrison et le rein droit, en admettant que les paramètres d’exploration échographique et Doppler soient correctement réglés : ❑ A. ❑ B. ❑ C.

❑ D. ❑ E.

On peut apprécier correctement la vascularisation rénale dans la fenêtre couleur considérée. On peut y différentier la vascularisation veineuse de la vascularisation artérielle. L’interface foie/rein est correctement visualisée en mode B parce que les ultrasons sont transmis par le parenchyme hépatique avec une énergie suffisante (peu d’atténuation). Les ultrasons sont totalement transmis dans le parenchyme hépatique sans énergie rétro-diffusée. Les ultrasons sont totalement réfléchis dans le parenchyme hépatique.

Annale 1 A1 18 Le schéma de désintégration incomplet du

99

Mo (molybdène) est donné ci-

dessous :

99 57 42Mo

67 h

99m

Tc56

6h

0,142 Mev 0,140 Mev 0 99

Tc 56

❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

2,1. 105 ans

Il s’agit d’une transformation isobarique. Elle est de type β− avec transformation dans le noyau de Mo d’un proton en neutron et émission d’un électron. Le noyau de Tc contient 99 nucléons et x protons. m signifie qu’il y a en moyenne 99 nucléons dans le noyau de Tc. x = 41.

A1 19 Interactions des particules chargées avec la matière : ❑ A. ❑ B. ❑ C.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ D. ❑ E.

L’ionisation spécifique ne dépend que de la nature de la particule. Le transfert linéique d’énergie (TLE) dépend de l’énergie de la particule. Les rayonnements de freinage sont des rayonnements X monoénergétiques. La création de paire est l’une des interactions élémentaires des particules chargées avec la matière. L’ionisation et l’excitation sont les deux principales interactions élémentaires des particules chargées avec la matière.

A1 20 Le tableau ci-après donne le parcours moyen R de particules chargées (électrons, protons et α) dans l’air et l’eau pour différentes énergies.

électron

proton

alpha

énergie (Mev) 1 3 10 1 3 10 1 3 10

R air (cm) 405 1 400 4 200 2,3 14 115 0,57 1,7 10,5

R eau (mm) 4,1 15 52 0,023 0,14 1,2 0,0053 0,017 0,11

417

418

Annale 1 On en conclut que : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Les électrons sont moins pénétrants que les particules α. Les protons sont plus pénétrants que les particules α. Les parcours augmentent environ d’un facteur 10 quand les énergies des particules augmentent elles aussi d’un facteur 10. Le pouvoir absorbant de l’eau est environ 100 fois plus faible que celui de l’air, toutes particules et énergies confondues. Dans l’eau, le transfert linéique d’énergie (TLE) des particules α est plus grand que celui des électrons.

A1 21 La loi d’atténuation des photons est donnée par I = I 0e −μx où I et I 0 sont respectivement les intensités transmise et incidente. ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

μ est le coefficient linéaire de diffusion. μ est le coefficient linéaire d’absorption. μ est le coefficient linéaire d’atténuation. μ est la somme des coefficients linéaires d’absorption et de transfert. CDA = μln 2 où CDA représente la couche de demi atténuation et ln 2, le logarithme népérien de 2.

A1 22 Parmi les interactions élémentaires des photons X ou γ avec la matière on trouve : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

L’effet photoélectrique. La production de paires électron/photon X. La diffusion Compton. L’annihilation électron positon. L’émission de photons γ de 511 keV après annihilation d’un électron Compton

A1 23 Sur la figure ci-après sont reportés les résultats de l’étude de l’influence du débit de dose sur la survie d’un même type de cellule. ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D.

0, 095 Gy/h est un débit de dose plus grand que 7, 3 Gy/mn. À dose absorbée égale, 6 Gy par exemple, la survie augmente quand le débit de dose diminue. Au contraire, à dose absorbée égale, 6 Gy par exemple, la survie augmente quand le débit de dose augmente. Les cellules sont plus radiorésistantes lorsque le débit de dose diminue.

Annale 1 ❑ E.

Au contraire, les cellules sont plus radiosensibles lorsque le débit de dose diminue.

Fraction de cellules survivantes S

10 0 0,095 Gy/h

10 -1

0,195 Gy/h 0,32 Gy/h 0,0327 Gy/min 0,169 Gy/min 0,449 Gy/min

10 -2

1,1 Gy/min

10 -3

10 -4 0

2,3 Gy/min

2

4

6

8

10

12

14

0

Dose absorbée (Gy)

A1 24 Quelle(s) proposition(s) sont exactes ? ❑ A. ❑ B.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ C. ❑ D. ❑ E.

Les mutations sont à l’origine des effets déterministes. La dose létale 50 % est de l’ordre de 4 à 5 Gy en irradiation aiguë corps entier. La gravité des effets déterministes dépend de la dose absorbée. Les tissus hématopoïétique sont les plus radiosensibles. Le dénombrement des chromosomes dicentriques permet une estimation de la dose reçue après une irradiation ancienne (plusieurs dizaines d’années).

A1 25 Quelle(s) proposition(s) sont exactes ? ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

La dose efficace est la dose pour laquelle un effet stochastique se déclare à coup sûr. La gravité des effets stochastiques est indépendante de la dose absorbée. La probabilité, ou le risque de survenue d’un cancer radio-induit, augmente quand la dose efficace augmente. L’exposition médicale est la principale source d’exposition aux rayonnements ionisants artificiels. L’exposition aux rayonnements ionisants naturels est de l’ordre de 2,5 mSv.

419

420

Annale 1

Corrigés Questions à choix multiples Réponses Poitiers janvier 2011

A 11 A et C

A1 2 B, C et D

A 13 B, D et E

A1 4 C

A 15 B et E

A1 6 A et D

A 17 A et C

A1 8 B

A 19 A, B, C et D

A 1 10 A, B, C, D et E A 111 A, B, C, D et E A112 B, D et E

A1 13 B et C

A1 14 C et E

A 115 B et C

A116 A, B, C et E

A1 17 A, B et C

A1 18 A et C

A 119 B et E

A120 B, D et E

A1 21 C

A1 22 A et C

A 123 B et D

A124 B, C et D

A1 25 B, C, D et E

Annale 2

Annales Poitiers - Juin 2011

Questions à choix multiples A2 1 Les niveaux d’énergie électroniques occupés dans l’état fondamental de l’atome de soufre (Z = 16) sont situés à : −2, 472 keV ; −229 eV ; −165 eV ; −164 eV ; −16 eV ; −8 eV ; −4 eV

Un atome de soufre ayant été ionisé par éjection d’un de ses électrons de la couche K, l’ion excité correspondant : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Se désexcitera le plus souvent par émission Auger. Pourra se désexciter en émettant un photon de 2, 472 keV. Pourra se désexciter en émettant un photon de 2, 307 keV. Pourra se désexciter en émettant un photon de 2, 456 keV. Pourra se désexciter en émettant un photon de 2, 464 keV.

A2 2 Lors de l’interaction d’un photon avec un atome, s’il se produit un effet photoélectrique : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le photon est dévié en perdant de l’énergie. Le photon est complètement absorbé. Le photon se matérialise en une paire électron-positon. L’atome émet un électron. Le photon est dévié sans perdre d’énergie.

A2 3 Lorsqu’un photon de 511 keV interagit avec un atome, le type d’interaction le plus probable est : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

La diffusion Thomson. L’effet photoélectrique. La diffusion Compton. La création de paire. Aucune des réponses précédentes.

422

Annale 2 A2 4 Lorsqu’un photon de 2,3 MeV interagit avec un atome, le type d’interaction le plus probable est : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

La diffusion Thomson. L’effet photoélectrique. la diffusion Compton. la création de paire. Aucune des réponses précédentes.

L’énoncé suivant est commun aux questions 5, 6 et 7 On enregistre une image scintigraphique statique des reins d’un patient en format 256 × 256 par une acquisition de 10 minutes. Dans les zones d’intérêt délimitant les contours des projections des reins, le nombre moyen de photons par pixel est de 25.

A2 5 Quelle est la valeur moyenne du rapport signal/bruit dans les zones rénales ? ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

25. 12,5. 5. 10. 2,5.

A2 6 Cette valeur étant jugée insuffisante, on veut améliorer le rapport S/B d’un

facteur 2. Pour cela, on peut modifier le format de l’image sans refaire l’acquisition. Quel format d’image devra t’on utiliser ? ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

64 × 64. 128 × 128. 512 × 512. 1 024 × 1 024. Aucun des formats précédents.

A2 7 Pour améliorer le rapport S/B, on peut également refaire une acquisition. Quelle devrait être la durée de l’acquisition permettant de doubler la valeur du rapport S/B par rapport à la première acquisition en conservant le format 256 ? ❑ A. ❑ B. ❑ C.

5 mn. 15 mn. 20 mn.

Annale 2 ❑ D. ❑ E.

30 mn. 40 mn.

A2 8 L’image fournie par un appareil d’imagerie est le produit de convolution de

l’objet qu’elle représente par la fonction de dispersion ponctuelle de l’appareil à condition que cet appareil : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Définisse un isomorphisme point à point entre le plan objet et le plan image. Possède une résolution suffisante. Soit linéaire. Possède la propriété d’isoplanéité. Possède une sensibilité élevée.

A2 9 caractéristiques d’une image analogique en radiologie ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Variation continue des paramètres spatiaux x et y. Variation continue du noircissement du film. Aucune possibilité simple de traitement de l ’image. La résolution géométrique est excellente. Le noircissement varie linéairement avec le nombre de photons X reçus.

A2 10 Caractéristiques d’une image numérique en radiologie

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Peut être assimilée à une matrice rectangulaire de nombres. Contient N pixels = L x C = (nombre de lignes multiplié par nombre de colonnes). La fréquence spatiale maximale de l’image est égale à l’inverse de la taille du pixel. Un pixel est l’intersection d’une ligne et d’une colonne. Les fréquences spatiales élevées correspondent aux détails de l ’image les plus petits.

A2 11 Avantages de l’image numérique en médecine nucléaire ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Résolution en intensité plus étendue. Même type de support numérique des images. Approche quantitative possible (régions d’intérêt). Permet de générer d’autres images par traitement mathématique. Exige une identification univoque des images.

423

424

Annale 2 A2 12 Tomodensitométrie de la tête (scanner cérébral) ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le plan frontal sépare l’avant de l’arrière. Le plan frontal sépare la gauche de la droite. Le plan frontal sépare le haut du bas. L’ensemble des transformées de Radon constitue le sinogramme. Le théorème central de la transformée de Fourrier permet de reconstruire l’image initiale à partir de l’ensemble de ses transformées de radon.

Corrigés Questions à choix multiples Réponses Poitiers juin 2011

A 11 A, C et E

A 12 B et D

A1 3 C

A 14 D

A 15 C

A1 6 B

A 17 E

A 18 A, C et D (les

A1 9 A, B, C et D

A1 10 A, B, C, D et E

A111 A, B, C, D et E

items B et E peuvent être ou non cochés, sans incidence)

A1 12 A, D et E

Annale 3

Annales Poitiers - Janvier 2012

Questions à choix multiples Données : Les logarithmes népériens sont notés ln, les logarithmes décimaux log Perméabilité magnétique du vide μ 0 = 4π·10 −7 T · m· A −1 Masses molaires : glucose : 180 g/mol

urée : 60 g/mol

L’énoncé suivant est commun aux questions A31 à A 33 : On a dosé dans le sang d’un patient les éléments suivants : [N a+] = 152 mosm/L [K +] = 6 mosm/L [Ca ++ ] = 3 mosm/L [Mg ++ ] = 2 mosm/L [Protéinémie] = 80 g/L

[glucose] = 1 g/L Hématocrite : 49 %

[urée] = 3, 6 g/L

A3 1 Quelle est la concentration équivalente totale du plasma de ce patient ? ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

168 meq/L. 336 meq/L. 326 meq/L. 163 meq/L. Aucune des réponses précédentes n’est correcte.

A3 2 On a mesuré le Dθ cryoscopique du sérum de ce patient : Dθ = −0, 67 ◦C. L’osmolarité totale du sérum de ce patient est : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

336 mosm/L. 326 mosm/L. 305 mosm/L. 353 mosm/L. 360 mosm/L.

426

Annale 3 A3 3 L’osmolarité efficace du sérum de ce patient est : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

360 mosm/L. 326 mosm/L. 354 mosm/L. 353 mosm/L. 300 mosm/L.

A3 4 Un plongeur sous marin respire en bouteilles un mélange gazeux d’hélium (He) et d’oxygène (O2 ) en proportions relatives telles que la fraction molaire de O2 non dissocié égale 0,20 dans le mélange gazeux. Sachant que le plongeur ne doit pas prendre de risque avec sa santé : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Il pourra descendre plus profondément qu’avec un mélange où l’azote remplace l’hélium. Il pourra descendre moins profondément qu’avec un mélange où l’azote remplace l’hélium. La pression partielle de l’hélium = 4 fois celle de l’oxygène dans le mélange respiré. Il pourra ralentir son rythme respiratoire une fois descendu en profondeur. Il risque moins de subir la maladie des caissons qu’avec des bouteilles d’air comprimé.

A3 5 Par temps très froid, il apparaît un voile gazeux blanchâtre devant la bouche lorsque qu’un sujet expire : ❑ A. ❑ B. ❑ C.

❑ D. ❑ E.

Ce gaz visible est en réalité un aérosol de vapeur d’eau à saturation et de gouttelettes d’eau. Ce gaz visible est composé exclusivement d’un mélange de N2, de CO2, et d’O2 . Cette visibilité tient à la chute de la tension de vapeur saturante d’un des composants du mélange gazeux expiré, avec la température (froid extérieur). Cette visibilité est due à un changement de phase d’un des composants gazeux expirés. Ce phénomène est le signe d’une pollution à l’ozone (O3 ) fréquente l’hiver dans l’air ambiant.

A3 6 Un électrocardiogramme enregistré dans les conditions standard de vitesse fait apparaître un rythme régulier avec un espacement de 20 mm entre deux complexes successifs. Quelle est la fréquence cardiaque ?

Annale 3 ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

60 pulsations par minute. 120 pulsations par minute. 75 pulsations par minute. 3 600 pulsations par heure. Autre réponse.

A3 7 L’ axe électrique d’un cœur dont l’amplitude du complexe ventriculaire est de même module mais négative sur aVR et positive sur aVF est égal à : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

−30 ◦ . 0 ◦. + 30 ◦. + 60 ◦. + 90 ◦.

A3 8 Une dérivation ECG donne des complexes ventriculaires de type RSR’. Cela signifie que : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

L’ amplitude de R est supérieure à 0, 5 mV. L’ amplitude de R est inférieure à 0, 5 mV. L’ amplitude de R’ est toujours inférieure à 1 mV. L’ amplitude de R’ est toujours supérieure à 1 mV. L’ amplitude de R’ peut être comprise entre 0, 5 et 1 mV.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

A3 9 Généralités sur les noyaux. Cochez la ou les proposition(s) exacte(s). ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

L’uma (unité de masse atomique) est la masse d’un nucléon. Les isotopes sont des atomes dont les noyaux ont le même numéro atomique. Les isotopes sont des atomes radioactifs. Les isobares sont des noyaux de même nombre de masse. La masse d’un noyau est supérieure à la somme des masses de ses constituants.

A3 10 Interactions des particules chargées avec la matière. Cochez la ou les proposition(s) exacte(s) : ❑ A. ❑ B.

L’ionisation spécifique dépend de l’énergie des particules. Le transfert linéique d’énergie (TLE) dépend de l’énergie des particules.

427

428

Annale 3 ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le transfert linéique d’énergie (TLE) ne dépend pas de la nature des particules. Effet photo électrique et création de paires sont deux interactions élémentaires des particules chargées avec la matière. Ionisation et excitation sont deux interactions élémentaires des particules chargées avec la matière.

A3 11 La loi d’atténuation des photons par la matière est donnée par I = I 0e−μx

où I et I0 sont respectivement les intensités transmises et incidentes. Si le coefficient linéaire d’atténuation μ est égal à 5 cm −1, alors la couche de demi atténuation CDA est égale à : ❑ A.

5 cm.

❑ B.

5 cm −1.

❑ D.

ln 2 cm. 5

❑ E.

5 cm. ln 2

❑ C.

2 mm.

A3 12 Le tableau ci-dessous donne le parcours moyen R de particules chargées (électrons, protons et α) dans l’air et l’eau pour différentes énergies.

électron

proton

alpha

énergie (Mev) 1 3 10 1 3 10 1 3 10

R air (cm) 405 1 400 4 200 2,3 14 115 0,57 1,7 10,5

R eau (mm) 4,1 15 52 0,023 0,14 1,2 0,0053 0,017 0,11

On en conclut que : ❑ A. Les électrons sont plus pénétrants que les particules α. ❑ B. Les protons sont plus pénétrants que les particules α. ❑ C. Les électrons d’énergie 1 MeV perdent en moyenne 0, 0025 MeV par cm de parcours dans l’air. ❑ D. Les parcours augmentent d’un facteur 10 quand les énergies des particules augmentent elles aussi d’un facteur 10, toutes particules et énergies confondues. ❑ E. Le pouvoir absorbant de l’eau est environ 100 fois plus fort que celui de l’air, toutes particules et énergies confondues.

A3 13 Un organe a été irradié par des électrons et des particules α. Les doses déli-

vrées sont respectivement de 100 mGy par les électrons et de 10 mGy par les particules α. Le facteur de qualité est égal à 1 pour les électrons et 20 pour les particules α. Le facteur de pondération tissulaire de l’organe est égal à 0, 01.

Annale 3 Dans ces conditions : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

La dose équivalente est 110 mGy. La dose équivalente est 110 mSv. La dose équivalente est 300 mSv. La dose efficace est 300 mSv. La dose efficace est 3 mSv.

A3 14 Les résultats de l’étude de l’influence du débit de dose sur la survie d’un

même type de cellules sont reportés sur la figure ci-dessous. Cochez la ou les proposition(s) exacte(s).

Fraction de cellules survivantes S

10 0 0,095 Gy/h

10 -1

0,195 Gy/h 0,32 Gy/h 0,0327 Gy/min 0,169 Gy/min 0,449 Gy/min

10 -2

1,1 Gy/min

10 -3

10 -4 0

2,3 Gy/min

2

4

6

8

10

12

14

0

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Dose absorbée (Gy)

❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

0, 095 Gy/h est un débit de dose plus grand que 7, 3 Gy/mn. À dose absorbée égale, 6 Gy par exemple, la survie diminue quand le débit de dose augmente. Un taux de survie identique (0, 1 par exemple) est obtenu pour des doses d’autant plus grandes que le débit de dose est faible. Les cellules résistent mieux lorsque le débit de dose diminue. Les cellules sont plus radiosensibles lorsque le débit de dose diminue.

A3 15 La fluence à 1m d’une source de rayonnements γ est de 106 photons/cm2/s ; à 1 km, la fluence est égale à : ❑ A. ❑ B. ❑ C.

106 photons/cm 2 /s. 103 photons/cm 2 /s. 1 photon/cm2/s.

429

430

Annale 3 ❑ D. ❑ E.

10−3 photon/cm 2/s. 10−6 photon/cm 2/s.

A3 16 Quelle(s) proposition(s) sont exactes ? ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Un effet stochastique se déclare à coup sûr lorsque la dose efficace est atteinte. La gravité des effets stochastiques est constante et indépendante de la dose. Le risque de survenue d’un cancer radioinduit est indépendant de la dose. En France, l’exposition médicale est la principale source d’exposition aux rayonnements ionisants artificiels. L’exposition aux rayonnements ionisants naturels est de l’ordre de 25 mSv.

A3 17 Un réseau est éclairé en incidence normale par un faisceau de lumière paral-

lèle monochromatique de longueur d’onde λ = 342 nm. L’angle entre le faisceau diffracté à l’ordre 1 et le faisceau incident est égal à 22 ◦ : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le faisceau diffracté à l’ordre 2 fait un angle de 44 ◦ avec le faisceau incident. Le faisceau diffracté à l’ordre 2 a une longueur d’onde égale à 684 nm. Le faisceau diffracté à l’ordre 2 a une longueur d’onde égale à 171 nm. Le faisceau diffracté à l’ordre 3 n’existe pas. Il manque au moins une donnée pour calculer les angles des faisceaux diffractés aux ordres supérieurs à 1.

A3 18 Un rayon lumineux monochromatique traverse une lentille convergente placée dans le vide : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

La longueur d’onde est plus petite à l’intérieur de la lentille qu’à l’extérieur. La fréquence de l’onde est plus grande à l’intérieur de la lentille qu’à l’extérieur. La fréquence de l’onde est plus grande après traversée de la lentille. La vitesse de l’onde est plus petite après traversée de la lentille. La vitesse de l’onde est identique avant et après la lentille.

Annale 3 A3 19 Dans les conditions de Gauss : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Les angles d’incidence sont faibles. On ne considère que la lumière visible. Les rayons sont peu inclinés par rapport à l’axe du montage. On n’utilise que des lentilles convergentes. Tous les rayons sont parallèles.

A3 20 On place un objet réel sur l’axe optique d’une lentille mince convergente de 10 cm de distance focale. L’objet et la lentille sont séparés de 15 cm : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

La lentille donne une image virtuelle de l’objet. L’image est inversée par rapport à l’objet. L’image est à 15 cm de l’objet. L’image est à 45 cm de l’objet. Dans ce montage, le grandissement de la lentille est égal à −2.

A3 21 Le champ magnétique produit par courant électrique continu circulant dans un fil rectiligne très long : ❑ A. ❑ B. ❑ C.

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

❑ D. ❑ E.

Est orienté parallèlement au fil. Est orienté perpendiculairement au fil. Est orienté toujours dans le même sens quelque soit le sens de circulation du courant électrique dans le fil. A un module proportionnel à l’intensité du courant électrique. A un module qui augmente quand la distance par rapport au fil augmente.

A3 22 On considère une petite spire circulaire et plate, dans laquelle circule un courant électrique continu, pour modéliser un dipôle magnétique. Le plan de la spire est plat et contient la spire. Choisir la ou les propositions correctes : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Plongée dans un champ magnétique uniforme la spire s’oriente de façon à avoir son plan parallèle au champ magnétique. Plongée dans un champ magnétique uniforme la spire s’oriente de façon à avoir son plan perpendiculaire au champ magnétique. Le vecteur moment magnétique est parallèle au plan de la spire. Le vecteur moment magnétique est perpendiculaire au plan de la spire. Si on supprime le courant électrique dans la spire, le moment magnétique se retourne de 180˚.

431

432

Annale 3 A3 23 En résonance magnétique nucléaire du noyau d’hydrogène : ❑ A.

❑ B.

❑ C. ❑ D.

❑ E.

Les spins nucléaires de ces noyaux sont orientés tous dans la même direction et le même sens sous l’action du champ magnétique uniforme. Les spins nucléaires de ces noyaux sont orientés tous dans la même direction et avec des sens opposés sous l’action du champ magnétique uniforme. Les spins nucléaires de ces noyaux ne peuvent pas s’orienter dans le champ magnétique uniforme car ils ne sont pas ferromagnétiques. Pour enregistrer un signal, il faut préalablement provoquer un déséquilibre entre les spins nucléaires par apport d’énergie sous forme d’onde électromagnétique. La fréquence de résonance des noyaux est uniquement fonction du nombre de noyaux présents dans l’échantillon.

A3 24 Un noyau d’hydrogène a une fréquence de résonance de 200, 13 MHz dans

un champ magnétique de 4, 7 T. Pour quel champ magnétique aura t’il une fréquence de résonance de 500, 13 MHz ? (choisir la valeur la plus proche) : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

1, 9 T. 3, 13 T. 11, 7 T. 19, 0 T. 21, 22 T.

A3 25 Dans un spectre RMN, on peut extraire une information des paramètres qui sont : ❑ A. ❑ B. ❑ C. ❑ D. ❑ E.

Le déplacement chimique. L’intensité des pics. La multiplicité des pics. La polarité des pics. La surface des pics.

Corrigés

433

Corrigés Questions à choix multiples Réponses Poitiers janvier 2012

A 11 B

A1 2 E

A 13 E

A1 4 A, C, D et E

A 15 A, C et D

A1 6 C

A 17 D

A1 8 A et E

A 19 B et D

A 1 10 A, B et E

A 111 D

A112 A, B, C et E

A1 13 C et E

A 1 14 B, C et D

A 115 C

A116 B et D

A1 17 D

A1 18 A et E

A 119 A et C

A120 B, D et E

A1 21 B et D

A1 22 B et D

A 123 B et D

A124 C

A1 25 A, B, C et E

Index

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

A

abaissement cryoscopique, 95, 97 absorption, 232, 246, 262, 269 achlorope, 355 acide, 32 benzoïque, 50, 55 chlorhydrique, 38, 53 de Brönsted, 34 faible, 37, 39, 55 fixe, 46 fort, 37, 38, 50, 53, 58 volatil, 46 acidose métabolique, 47 respiratoire, 46 activité, 201, 202, 265 acuité visuelle, 352, 353 acyanope, 355 ADN, 293 aimantation, 405 résultante, 405 alcalose, 52 métabolique, 47 respiratoire, 46 amétropie sphérique, 338 ampholyte, 33, 34 amphotère, 33, 34 amplitude d’accommodation, 347, 349 anérythrope, 355 angiocardiographie, 152 isotopique, 153, 366

angle de mouillage, 121 de raccordement, 121, 122 annihilation, 270, 271 application de la radioactivité, 205 artère fémorale, 128 astigmatisme, 339, 345 conforme à la règle, 346 irrégulier, 345 non conforme à la règle, 346 régulier, 345 ATPase membranaire, 165 atténuation, 237 par diffusion, 381 audiométrie, 325 tonale liminaire, 325 tonale supraliminaire, 327 vocale, 328 audition objective, 323 subjective, 320 autoprotolyse de l’eau, 11 axe électrique du cœur, 178, 179

B

base, 33 de Brönsted, 34 faible, 40, 58 forte, 40, 41 bâtonnet, 352, 353 Becquerel, 201, 261 bel, 313

436

Index Bernoulli théorème de, 110 boucle de courant, 409 boucle vectorielle, 172, 175 Brönsted, 32 bruit, 310, 319 de fond, 266, 271, 368 du cœur, 157

C

caméra TEDC, 364 caméra TEDC (tomographie d’émission à détection en coincidence), 364 capillaire, 124 capillarité, 122 capture électronique, 199, 200 cathétérisme droit, 149 gauche, 149 C . D . A., 239, 254 célérité de l’onde, 375 cellule bipolaire, 352 ganglionnaire, 352 Chadwick J., 188 chaîne de détection, 264 champ magnétique, 395, 396 changement irréversible, 20 cochlée, 324 codage couleur, 368 coefficient d’absorption linéaire, 381 d’absorption linéique, 246 d’atténuation, 242 massique, 243 d’ionisation de Van’t Hoof, 10 de compressibilité adiabatique, 378 de dissociation, 39, 51, 103 de Henry, 45, 51 de solubilité, 4 linéique d’atténuation, 248 collimateur, 363 collision élastique, 241 coma des musiciens, 321 comptage, 265

compteur à gaz, 262 à scintillation, 263 Geiger-Müller, 263 proportionnel, 263 concentration équivalente, 9, 97 massique, 3 molaire, 3 particulaire, 8 molale, 3 pondérale, 4, 97 conduction aérienne, 325 osseuse, 326 absolue, 326 relative, 326 conductivité électrique, 6, 97 molaire, 6 cône, 352, 353 d’ombre, 383, 388 constante cryoscopique, 81, 86, 97 d’acidité, 37, 54 d’ionisation, 37 d’équilibre, 24 ébullioscopique, 81 radioactive, 201 contraction cardiaque isovolumétrique, 144 conversion interne, 200 correction d’atténuation, 365, 368 de la presbytie, 349 de sensibilité, 368 des amétropies, 340 des astigmates, 346 couche de demi-atténuation, 238 couple acide-base, 37 acide/base, 33 de forces magnétiques, 395 rédox, 60 régulateur, 48, 52 courbe de dosage, 43 effet-dose, 295

Index création de paire, 239, 242, 271 électron-positon, 247 cristal scintillant, 363 cryoscopie, 81

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

D

datation, 205 datation par le carbone 14, 205 débit cardiaque, 154 de dose, 289 de particules, 75 sanguin, 115 volumique, 110, 113 décalage de fréquence, 385 décibel absolu, 322 relatif, 322 décroissance radioactive, 201 défaut de masse, 193 degré d’amétropie, 339, 340 degré d’avancement, 23 demi-pile à hydrogène, 64 demi-vie d’un nucléide radioactif, 202 densité d’énergie, 376, 381 déplacement Compton, 247, 251 dépolarisation auriculaire, 171, 173 ventriculaire, 171, 172, 180 dérivation, 172, 173 bipolaire, 174 de l’ECG, 173 frontale, 180 précordiale, 174, 177, 181 unipolaire, 174, 175 désintégration successive, 203 détecteur, 266, 269, 271 à scintillation, 269 paralysable, 266 détecteur hybride, 365 deutéranomal, 355 deutéranope, 355 diacide, 39, 58 diagramme de Davenport, 44, 45, 50 pression-volume, 144, 151

diamagnétique, 400 dibase, 40, 55 forte, 55 dicentrique, 298 dichromate type Dalton, 355 type Nagel, 355 dichromatopsie, 355 différence de potentiel, 167 de pression, 125 diffusion, 243, 381 à travers une membrane, 77 Compton, 239, 241 élastique, 234 inélastique, 234 Rayleigh, 239 dioxyde de carbone, 32, 44, 49, 50, 53 dipôle, 168, 169 distribution Gaussienne, 80 spectrale, 287 domaine d’Henderson-Hasselbach, 43 de prédominance, 38 Donnan équilibre de, 88 phénomène, 88 relation de, 91 Doppler continu, 386 pulsé, 386 dosage, 41 dose équivalente, 291 absorbée, 289 efficace, 291 transférée, 288 dosimétrie, 261 droite d’équilibration, 57, 58 normale d’équilibration, 46, 52 durée de vie moyenne du nucléide radioactif, 203 dynamique des fluides, 110 dynamique des fluides réels, 111

437

438

Index

E

ébullioscopie, 80 ECG, 173, 180 échange protonique, 34 échelle logarithmique des décibels, 313 écho, 377, 382 échographie, 380, 382 éclairement énergétique, 288 écoulement laminaire, 112, 113, 115 sanguin, 385, 387 turbulent, 112 effet cellulaire, 294 Cerenkov, 261 Compton, 241 déterministe, 292 Doppler, 385, 387 Mössbauer, 239 photoélectrique, 239–241 Purkinje, 352, 353 stochastique, 292 tissulaire, 297 Zeeman, 392, 404, 410 efficacité du détecteur, 267 électrocardiogramme, 172 électrode à gaz, 64 de premier type, 64 de référence, 69 de second type, 64 de troisième type, 65 normale d’hydrogène, 70 électrolyte, 5 faible, 7 fort, 6 électron Auger, 240 embollie capillaire, 120 émetteur β +, 365 émetteur bêta plus, 364 émission γ, 196 emploi des traceurs, 206 énergie absorbée, 235 acoustique, 379 d’interaction, 402, 408 de liaison, 193, 241

interne, 21 libre, 22 moyenne de liaison par nucléon, 193, 221 potentielle d’interaction, 396, 409 rayonnée, 235 superficielle, 132 transmise, 235 enthalpie, 22 libre, 22, 26, 66, 71 molaire, 26 partielle, 22 épreuve de Rinné acoumétrique, 326 audiométrique, 326 équation de continuité, 110 de diffusion, 78 de propagation, 375 différentielle de l’oscillateur harmonique, 375 équilibre à travers une membrane, 83 équilibre de Starling, 93, 94 équivalence, 41, 49, 54 erreur statistique, 269 état excité, 196 fondamental, 196 standard, 25 excès de risque, 299 excitation, 234, 235 nucléaire, 239

F

facteur de Landé, 399 de pondération, 291 tissulaire wt , 291 de réflexion, 387 de transmission, 387 faible dose, 294 faisceau de His, 171 famille de courbes isobare, 45 de droites d’équilibration du C O2 , 45 radioactive, 204 FDG, 365

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Index fenêtre d’écoute, 386 d’exploration, 386 ovale, 324 ronde, 324 Fick première loi de, 75 seconde loi de, 79 filtrage, 368 filtration, 92 fluence énergétique, 288 fluide, 128 incompressible, 110 parfait, 110 réel, 111, 123 visqueux, 115 flux d’électrodiffusion, 78 de convection, 93 de particules, 75 de photons, 287 énergétique, 287 osmotique, 93 fonction de Gibbs, 22 force de Laplace, 395 de Lorentz, 395 de viscosité, 112 électromotrice, 67, 72 magnétique, 395 formule de Nernst, 63, 71 de Poiseuille, 123, 131 forte dose, 294 fovéa, 352 centralis, 352 Fowler, 327 fraction d’éjection, 146, 153, 367 molaire, 4, 25 fréquence de Larmor, 405, 406 de précession de Larmor, 402 de résonance, 408, 410 Doppler, 386

G H

gamma-caméra, 363 gaz parfait, 30 gradient de concentration, 77 Gray, 288

hauteur, 325 hélicotréma, 324 Henri Becquerel, 194 Hideki Yukawa, 192 hyperhope, 340 hyperope presbyte, 349 hyperopie ou hypermétropie, 340, 342

I

image en 3D, 406 numérique, 365, 367 paramétrique, 369 imagerie échographique, 383 IRM, 406 impédance acoustique, 311, 378, 383 impulsion, 265 incertitude statistique, 268 index cardiaque, 146 indice 0 de Sullivan, 326 de débit, 146 insuffisance cardiaque, 146, 148 intensité énergétique, 287 acoustique, 377 sonore, 312, 314 interaction forte, 192 ion hydrogénocarbonate, 32, 45, 48–50, 54, 56 ionisation, 234 primaire, 263 secondaire, 263 spécifique, 237 IRM pondérée, 407 irradiation artificielle, 292 naturelle, 292 isobare, 46, 189 normale, 46

439

440

Index isotone, 189 isotope, 189

K L

kératométrie (mesure du degré d’astigmatisme), 351 KERMA, 288, 289

liaison hydrogène, 2 ligne de tir, 382 liquide biologique, 36 lissage, 368 lit pulmonaire, 114 loi d’action de masse, 24 de distribution de Bolztmann, 403 de Duane et Hunt, 254 de Fick, 75, 154 de Guldberg et Waage, 24 de Henry, 4 de Jurin, 122 de Laplace, 119, 133, 147 de Moseley, 249, 250 de Raoult, 81, 83 de starling, 146 de Stokes, 115 de Vant’Hoff, 87 de Weber et Fechner, 320 Loi fondamentale de l’hydrostatique, 107 longueur d’onde, 375, 381 Compton, 251

M

magnéton de Bohr, 398, 408, 409 nucléaire, 399, 408, 409 marqueur, 362 masse d’un noyau, 190 volumique du noyau, 191 mélange idéal, 26, 30

membrane basilaire, 325 dialysante, 83, 88–90, 98 hémiperméable, 83, 86, 101 sélective, 83 semi-perméable, 83 méridien horizontal, 346 vertical, 346 mesure cryoscopique, 86 méthode d’examen des caractéristiques oculaires, 350 des gouttes, 118 itérative, 368 objective, 350 subjective, 350 milieu acide, 36 basique, 36 biologique, 44 tamponné, 44 mode B, 383 modèle de la circulation pulmonaire, 114 module d’Young, 375 molalité, 3 molarité, 3 moment cinétique, 392 de spin, 393 intrinsèque, 393 orbital, 394, 396 total, 403 dipolaire, 2 magnétique, 396, 397, 401 de spin, 397, 399 macroscopique, 400 nucléaire, 400 orbital, 397, 399 résultant, 401 total, 399 monoacide, 32 monobase, 33 monochromatopsie, 354 mouvement de précession, 401, 404, 405 de Larmor, 401

Index mouvement propre, 266 myope presbyte, 348 myopie, 339, 341

N

niveau sonore, 313, 314 nœud auriculo ventriculaire, 171 sinusal, 171 nombre d’oxydation, 61, 69 de charges, 188 de masse, 188, 190 quantique magnétique, 399 magnétique de spin, 393 principal, 392 secondaire, 392 noyaux stabilité des, 192 nucléide, 189 numéro atomique, 188 nyctalopie, 354

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

O

octave, 321 ombre acoustique, 383 ombre de masse, 351 onde acoustique progressive, 379 de compression, 374 P, 180 progressive, 378 périodique, 375 réfléchie, 377 sinusoïdale, 376 sonore, 374, 377 transmise, 377 ultrasonore, 376, 380 ophtalmomètre, 351 oreille externe, 323 interne, 324 moyenne, 323 organe de Corti, 324 oscillateur harmonique non amorti, 376

osmolarité, 95, 97 du plasma, 103 efficace, 98 osmomètre de Dutrochet, 96 osmométrie, 95 osmose, 95 osmose inverse, 92–94 oxydant, 60 oxydation, 60, 62

P

paramagnétique, 400 pente de la droite d’équilibration, 45 perception des couleurs, 354 période radioactive, 202 spatiale, 375 temporelle, 375 perte de charge, 112, 113, 128 pH sanguin, 32 p H , 35–37, 39, 40, 42–44, 48, 50–52 sanguin, 44, 49, 53 phase homogène, 25 liquide idéale, 25 phénomène de surface, 117 primaire, 196 secondaire, 196 phone, 322 photomultiplicateur, 263 photon de fluorescence, 240 scintillant, 363 X , 237, 239 pic d’absorption, 270–272 de rétro diffusion, 271 somme, 271 pile, 66, 67, 69, 70, 72 de concentration, 67 pKa , 37, 44, 48, 52, 54 pKe , 35

441

442

Index plasma, 54 d’un malade, 95 normal, 95 sanguin, 49 point équivalent, 41 point normal, 46 Poiseuille formule de, 113 polyacide, 32 polybase, 33 pompe à sodium, 165 pont électrolytique, 66 salin, 66 portée, 232, 233 potentiel, 66, 70 chimique, 21, 22, 31, 84, 95, 99, 102 standard, 25 d’électrode, 65 d’action, 166, 170 d’oxydation, 62 membranaire, 166 rédox, 71, 72 transmembranaire, 90 pouvoir ionisant, 237 linéique de ralentissement, 236 tampon, 43, 45 précision statistique, 268, 269 presbyacousie, 320 presbyte simple, 347 presbytie, 347 associée à une amétropie, 350 pression acoustique, 311, 374 artérielle, 109, 110 mesure de la, 109 de filtration, 94 de résorption, 94 de vapeur saturante, 82 oncotique, 88, 93 osmotique, 80, 83–85, 87, 92–94, 99, 103 calcul de la, 84 mesure de la, 85 partielle, 102 partielle en C O 2, 45, 46 sanguine, 123

produit ionique de l’eau, 35 protanomal, 355 protanope, 355 pseudo-image horizontale, 346 pseudo-punctum remotum horizontal, 346 vertical, 346 puissance, 341 sonore, 312, 314 surfacique, 313 punctum remotum, 339–341, 348

Q R

quarks down, 188 up, 188

radiactivité α, 196 radical libre, 293 radioactivité, 194, 195 β + , 198 − β , 197 radiolyse de l’eau, 293 radiopharmaceutique, 362, 365 radioprotection, 299 radiosensibilité, 295 rampe cochléaire, 324 tympanique, 324 vestibulaire, 324 rapport gyromagnétique, 400, 408 rayon du noyau, 191 rayon X, 243, 247 rayonnement de freinage, 255 réaction acido-basique, 34 d’oxydo-réduction, 60, 62 de dosage, 49, 54 de fission, 207 de fusion, 207 nucléaire, 234 nucléaire provoquée, 206 photo-nucléaire, 239 rédox, 65

© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit

Index reconstruction tomographique, 368 recrutement, 327 réducteur, 60 réduction, 60, 62 réflexion, 377 diffuse, 381 réfraction, 377 régime stationnaire, 76, 110 région d’intérêt, 368 relachement isométrique, 144 relation d’Einstein, 191 d’Henderson-Hasselbach, 44 de Vant’Hoff, 84, 94, 103 fondamentale de l’hydrostatique, 103, 130 rendement du compteur, 263 mécanique, 145 réparation fautive, 294 repolarisation auriculaire, 171 ventriculaire, 171, 173 résistance à l’écoulement, 114 résonance, 406 résonance magnétique, 405 nucléaire, 405, 406 rétine, 352 rétro projection filtrée, 368 Reynolds nombre de, 112 Rutherford E., 188 rythme cardiaque, 180

S sang

artériel, 53 normal, 49 savart, 321 scintigraphie, 361 scintillateur, 263 sélecteur, 264 séquences T1, 406 séquences T2, 406 sérum, 97

seuil différentiel de hauteur, 321 de sonie, 322 seuillage, 368 sievert, 291 signal RMN, 406 Sisi-test, 328 skiascopie, 351 solution idéale, 25 tampon, 43, 44 son complexe, 310, 317 pur, 310 sonde émettrice, 382 Doppler, 388 sonie, 321, 325 Sören Sörensen, 35 sortes de conduction osseuse, 326 soude, 42 spectre Compton, 270 d’absorption, 246, 269 spectrométrie γ, 269, 272 spin, 393 statique des fluides, 107 Stewart-Hamilton, 155 sujet normal, 52 surdité de perception, 326 de transmission, 326 mixte, 326 surpression dans une bulle, 120 dans une goutte liquide, 119 survie cellulaire, 295 système, 20 fermé, 20, 22, 30 isolé, 20 ouvert, 20

T

tampon, 50, 51 bicarbonate, 44 intracellulaire, 44 phosphate, 44

443

444

Index tangente d’Henderson-Hasselbach, 43 taux de comptage, 265 taux de dissociation, 7, 8 TDM, 365 température d’ébullition, 80 de congélation, 80 temps de relaxation, 406 temps mort du compteur, 266 tension superficielle, 117, 118, 121 TEP, 364 test de Fowler, 327 de Lûscher, 328 théorème de Bernoulli, 111 du moment cinétique, 401 thermoluminescence, 261 timbre, 323 tissus biologique, 379 T . L . E ., 236, 250 tomographe à émission de positons (TEP), 364 tonie, 320 tonométrie, 82 traceur, 362 trajectoire, 233 transfert linéique d’énergie, 236 thermique, 234 transformation réversible, 20 transfusion sanguine, 123 travail cardiaque, 144 des forces de pression, 87 osmotique, 86, 87 rénal, 87 tri axe de Bayley, 175, 178 triangle d’Einthoven, 175 trichromatopsie anormale, 355 tritanomal, 355 tritanope, 355 trouble, 46, 47 acido-basique, 46 d’origine métabolique, 47

d’origine respiratoire, 46 dioptrique, 338 tube de Coolidge, 243, 248 tympan, 323

U V

ultrafiltration, 92–94 capillaire, 93 unité de masse atomique, 190

valence, 5 variation de fréquence Doppler, 387 de potentiel, 166 vecteur équivalent instantané, 168 instantané, 169–172, 175, 178 moment magnétique, 408 ventriculographie isotopique, 366 verres de lunettes, 340 viscosité, 111, 123 de l’eau, 123 du sang, 123 vision des couleurs, 352, 354 photopique, 353 scotopique, 353 vitesse de phase, 375 de sédimentation, 116, 117 de vibration, 374, 376

W Z

Weber audiométrique, 327

zone de diffusion, 77