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German Pages [59] Year 1981
- 1 Bayreuther Math. Schr. 19 (1981), 1-59
Abb Brjektive Abbildungen auf der Menge der Partitionen eine; natürligäeg_ägbl von
Dieter Stockhofe, Aachen
Inhaltsverzeichni
Seite
Einleitung
2
Bezeichnungen
5
51
Graphische Darstellung von Partitionen;
q—modulare Diagramme 52
6
Konstruktion einer bijektiven Abbiidung Lq auf der Menge aller Partitionen
15
53
Einige Abzählsätze für Partitionen
33
54
Der Speziaifall q = 2
39
55
Die Fixpunkte von Lq
47
56
Permutationsgruppen auf P(n)
51
Literaturveräeichnis
58
Einleitung
Die Theorie der Partitionen versteht man als ein TeilTeil; gebiet der additiven 2ahlentheorie. Erste Fragestellungen,]
die zu dieser Theorie führten, tauchen bereits im Yittelalä ter auf; als ihr Begründer jedoch gilt L. Euler. E: liefer;j te Viele wesentliche Beiträge zu dieser Theorie, bevor sie dann von Cauchy, Jacobi, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Rade-
macher und vielen anderen Mathematikern weiterentwickelt wurde.
'
Es zeigte sich bald, daß Partitionen in der Mathe-
matik immer häufiger auch dort eine Rolle spielen, wo es um die Parametrisierung und Klassifikation mathematischer Objekte geht, wie zum Beispiel der endlichen abelschen
Gruppen oder der irreduziblen Darstellungen der sy:metrischen und vollen linearen Gruppen.
Die Untersuchung der Frage, wie oft sich eine positive ganze Zahl n als Summe von positiven ganzen Zahlen n = n" + ... + nw ,
w E N,-
schreiben läßt (zwei Summen werden dabei als gleich angesehen, sofern sie sich nur in der Reihenfolge ihrer Summanden unterscheiden), führt auf den Begriff der Partition einer
natürlichen Zahl und gibt Anlaß zu folgender Definition: Eine Partition a ist eine endliche Folge positiver ganzer Zahlen U
:=
(01,
.--1
uw)
so daß u12u23...2uw
"
WEIN,
ist. Die 31 sind die Teile von a, w ist die Weite der Part‘tion &.
: heißt eine Partition von n,
la! ist.
P(n)
2
:=
falls
“i = n
bezeichnet die Menge aller Partitionen von n. Wir
setzen noch
P(O)
:= {0}.
Ein wichtiger Gegenstand dieser Theorie ist die Abzählung von Teilmengen
T ; P(n)‚
deren Elemente sich durch
gewisse Eigenschaften auszeichnen‚ und der Vergleich soldher Teilmengen im Hinblick auf ihre Mächtigkeit. Die Beweismethoden sind zum Teil kombinatorischer Art,
zum Teil ana-
lytischer Art, analytisch in erster Linie dort, wo es um die Untersuchung erzeugender Funktionen geht.
In dieser Arbeit wird der kombinatorische Aspekt im Vordergrund stehen. Für alle natürlichen Zahlen
ru q € N
werden in 52 bijektive Abbildungen Lq,n auf P(n) konstruiert, aus denen dann in 53 und 54 Abzählsätze hergeleitet werden. So ergibt sich beispielsweise folgende Anzahlaussage für
Partitionen:
Bezeichnet |m|q die größte durch q teilbare ganze Zahl, die kleiner oder gleich m ist und a' die zu « konjugierte Partition, so ist für alle
nen a von n mit und
.
xq(a).= «&
k‚l € Wo die Anzahl aller Partitio-
wq(m)== la1 -u2|q + Ia2—-a3lq + ..
'
'
u&+1'ta2q
-
°5q+1 *
zahl aller Partitionen 8 von n mit
wq(e) = 1 .
...
=
x q(e)
1 = k
...
= k
' gleich der An —
und
Der Fall
q = 2 verdient besonderes Interesse, da sichf
hier unter anderem als Spezialfälle bekannte Identitäten von Euler, Sylvester und Fine ergeben.
In 55 schließlich wird eine Abzählformel für die Fix— ; punkte von Lq ' n angegeben, und in 56 wird gezeigt, daß die E . C
Bijektionen L1 n’
..., L
I
n-1,n
die volle symmetrische Gruppe: 'j
auf P(n) erzeugen. Da der Beweis konstruktiv ist, kann zu
eine Folge natürlicher natürlicher
jeder bijektiven Abbildung f von P(n) Zahlen
q1‚
..., qr
mit
r € N,
werden,
so daß sich f in der Form ' q1'n
1 $ gi S n- 1
. .
%
angegeben
.
' ä
L .
c.rln
schreiben läßt.
Herrn Prof. Dr. A. Kerber möchte ich für wertvolle Anregungen und Hinweise zu dieser Arbeit herzlich danken.
:
Bezeichnungen
&: u {o} (1, 2, ..., n} Anzahl der Elemente der Menge M a ist ein Teller von b
identische Abbildung auf der Menge M U ist eine Cntergruppe von V
U
U ist isomorph zu V (als Gruppe) symmetrische Gruppe auf der Menge M
s“n
.
Diedergruppe der Ordnung 2n
aus 1.9 in 5 die Menge
5,11 := {u€5 | p°=p, [«]; hat k singuläre Spalten und l singuläre Zeilen! .
Ganz analog wie in 1.10 und den Bemerkungen dazu sind auch die Mengen 3; 1 , 3f1 , 5k 1
usw. als Vereinigungen der
Menge: 312 1 zu verstehen. Ebenso wie P2° ist auch die Menge T>'g° einelementig, denn 2.15
=
fi\'° := ((r-1)q+ p1‚(r—2)q + ”z' ... . n r )
01
ist das einzige Element von 38°. Aus 2.15 folgt sofort:
%
|?n'°lq=(g) .' In Analogie zu 1.19 läßt sich jede Partition
« € 5
in der Form
n =?;f +qäs
\]
2.1
mit eindeutig bestimmten Partitionen
4338 € 3°, (= P°)
N
«€ € 3_ °
und
schreiben. Das Diagramm [qzslq besteht
also aus den singulären Zeilen von [a];. Offensichtlich ist an genau dann ein Element von 53 1 , wenn 3} ein Element von 58 ° und q’äs ein Element von 3?1
Anmerkung:
Die Zerlegung von
ist.
u E ?
gemäß 1.19 ist im all-
gemeinen nicht mit der Zerlegung von a in 2.17 identisch. Am Beispiel der Partition
o
:=
(8,1)
sieht man sofort, daß für
q = 3
af = (2,1)
_';f = (5,1)
und
und
-
_ 24
qas = (6) ist. Hingegen ist
q3's = (3).
Unmittelbar einzusehen ist das folgende Lemma:
2.18 Lemma:
r 6 No , p e N:q—1
Für alle 5
0
_
o
. P-$r
'
no
—+ P .
o '
ist die Abbildung?
definiert durch
‚°(q5) = ii" u q6, bijektiv, und es gilt für
alle
k en„ , (‚36 € 933:
(i)
le°(qö)l
9
= (;) + m
(ii) Ju»; „) =
"D PRO
. D
Wegen 2.10 kann jede flache Partition a in der Form
«(= mp
\0
2.1 mit
p = p
G.
v q8
und eindeutig bestimmten
ben werden. Dabei ist
qE € P° -Sr
geschrie-
qß = (ao)_1(a). Zusammen mit 2.18
folgt daher, daß durch die Vorschrift
2.20
' = wq(m ' °V q8) wq(c)
==Np m
eine bijektive Abbildung w& von P_
0
U q5
auf 5_
o definiert wird.
wé ist also diejenige Abbildung, deren Einschränkung auf P?° jeweils das Diagramm 29
°St
___) 'f° ' .° /' /'
Up
/
/’ /' P9 ' 0
kommutativ ergänzt.
-25-
Wegen 1.19 und 2.17 kann wé zu einer bijektiven Abbildung wq von P auf ? fortgesetzt werden, indem man für beliebiges
a E ?
2.21
wq(a)
== wé(uf) + qas
setzt. Damit läßt sich nun zusammenfassend der folgende Satz formulieren:
2.22 Satz:
Die in 2.21 bzw. 2.20 definierte Abbildung
°q : P —+ 5
ist bijektiv, und es gilt für
alle k‚l‚r eu„ , ;) emä_‚ , a e p“: ' , u) _lwqtanq
' .
f 11_1)_ ' °g“’ko 1)
=
r (2)
_.
; up
. Im p lq.+.lulq
Pk41".
.
Beweise; Die Anzabl der Teile von"; stimmt - laut Ken-_ struktion von °q - mit der Anzahl der Teile von Oq(al über-
ein; Da die Zahl der regulären Teile bei Anwendung von °q auf « unverändert bleibt,
ist 4 genau dann ein Element von
Pk- , wenn wq(a) in 'i>'k _ liegt. Alles übrige folgt aus 2.10 und 2.18. e
d)
Eine Verallgemeinerung der konjugierenden Abbildunn
auf 3 Wegen 2.17 und 2.18 kann jede Partition 7 aus 3 in eindeutiger Weise in der Form
v= (Fu? Uqö) +q mit
laubt
p = pY
und
q6 € P
o °Sr
geschrieben werden. Dies er-
uns, mit 1.3 durch die Festsetzung
_
2.23
Alp
N
cq(v) - (m + q6') U qv; eine Abbildung Cq auf 5 zu definieren.
(q?; := q(7s)')
2.24 Beisgiel:
Sei
q 1 5
und
qqqqq:l [?]q*'= .
q q q
g 3
' Dann ist
_
“-‘ [qfislq
q
__:q
und
'
l und
[qö]
[q6']
q
=
9
=
°—' q q
q q q
.
und folglich
„
[qv']
5 q
q q
q
q
bzw.
qq_'a
'„-
Also ist
=
[m” + qö'l' =
q
q.2. q q
und somit
q
1
qqc21qi q q _
[Cq(V)]; = "q q
.
q q
1 Man überlegt sich leicht, daß das Diagramm [Cq(x)]; auch durch
2.23'
81: Spiegelung aller Einheiten von [Y]; an der Hauptdiagonalen von [v]; undVertauschung der Resteinheiten o„ mit °r+1-v
für1£v5ä' aus [Y]; entsteht. An“and von 2.23' ergibt sich also das Bild von 1 aus aus 2.24 unter Cq auch wie folgt:
9 q q
qqi m
Hamann
N
m
mm
.a.a.n
ßnaana
_l
m
lN£)a
Hanna
[Y]
* =
__.
[Cq(v)lq.
(In vielen Fällen ist es zweckmäßig, die Definition 2.23'
zu benutzen.) Anmerkung:
Die durch 2.23' gegebene Abbildungsvorschrift
ist für Diagramme [y]q mit -1 € ? \ P
nicht sinnvoll, da
ein Diagramm mit zwei Resteinheiten in einer Zeile durch Anwendung von 81
(und 82) in ein Diagramm mit zwei Rest-
einheiten in einer Spalte umgewandelt würde.
2.25 Satz:
Die durch 2.23 bzw. 2.23' definierte Abbildung
Cq : 3 —+ 5
ist bijektiv, und es gilt für alle4
k,1‚rgn„ , p €Nä_1z "P 0 1) _— 31k (1) _ cq(1>k
(ii)
c; = id; .
Beweis: ‚Da es gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge S1 und 82 angewendet werden, und da zweimalige Anwendung
von 51 bzw. 52 auf ein Diagramm [7]; nichts verändert, ist
ca = idä. Teil (1) der Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition von Cq.
Offensichtlich ist für q = 1
3 = p und c1 mit der in
51 definierten konjugierenden Abbildung C identisch.
_28_ 28 -
_e_)__ Die Bijektion !.
Vermöge der in 2.21 definierten Abbildung °q läßt sich die Bijektion Cq von 5 auf P "verlagern":
„[,
P————-D !'
Damit kommen wir nun zum Hauptresultat dieses
Paragraphen:
2.26 Satz:
Die Abbildung Lq := wq " qq ist eine Bijektion Bijektion auf der Menge aller Partitionen P, und es gilt für alle
(1)
k‚l,r €N°
r
, 9 EN q_1‚a€Pz
q(_a)lq = lczlq
. D .. 9 _ pl“ _Lq(pkl) (li)
(iii) Lq2 = idP Beweis:
(1) folgt aus 2.22 (i) , denn für
7 e 5
ist
|Cq(y)lq = |q . (ii) gilt wegen 2.22 (ii)
und 2.25 (i) .
(iii) folgt aus 2.25 (ii) .
Im folgenden betrachten wir oft die Einschränkung von
Lq auf P(n) . Wir schreiben dann kurz L
beachte, daß wegen 2.26 (i.) und (ii)
qm
für L
qlP(m'
Lq(P(n)) = P(n)
(Man
ist.)
?.
-
-
29
Schließlich seien noch einige Spezialfälle angeführt:
2.27 ist
Sei
o = (p1‚ ..., pr)
ND = o P P
und wqip p
d ann
Lq(a) = Cq(a)
2.28
Für
q = 1
her wegen 2.27
und
91 < p2 < ..; < °r' Dann
= 1
sten, daß sich die Abbildungen Lq für
1
als Verallge-f
meinerungen der konjugierenden Abbildung C interpretieren ; lassen, da Lq so etwas wie Vertauschung von q-singulären
Spalten bzw. q
“n—2
.
Damit ist Teil (ii) der Behauptung bewiesen, denn für r1=3
ist L 1, n = ((13)(3))
und L 2‚n = ((2‚1)(3)) .
Der Beweis von 6.3 für: 1 S i S n-3 und n z 6 erfolgt
durch Induktion nach 1: Die Behauptung ist richtig für i = n-3= Wir haben näm-
lich n n-3 = “n-2 ü {(n-3‚13)‚(n-3,2,1),(n-3‚3)} und damit
L n—3,n = ((n-3,13)(n-2‚12)) (fln-3,2‚1)(n—1‚1)) ((n-3,3)(n)) wegen 6.5 und 6.6. Da
L
n-3,n'Ln—2‚n'Ln-1 ‚n
ein Zyklus der
Länge 7 (= Inn_3l) ist, erzeugt dieser zusammen mit Ln-1
‚n
die symmetrische Gruppe S 3 (8 S7)‚
Angenommen, die Behauptung gelte für i-+1
Wegen 6.4 gibt es dann ein
“0 € ni+1
mit
(1 +1 $ n-—3).
L1 n ( ao) = “o . ]
Da für festes mit
m € 9
"0 € a
(In! 2 2)
die symmetrische Gruppe S
zu zeigen, daß für alle
0 € Qi
liegt. Für
9
erzeugen, genügt es
die Transposition (a‚a°) in
0 € fli+1
ist dies bereits
aufgrund der Induktionsvoraussetzung erfüllt. Für a € 01 \ fl 1+1
indes ist wegen 6.6
Li‚n(°) € fli+1 und
-
_ 54
folglich 2
(a‚a°) = (Li‚n(°) 'Li,n(°o))
__ L
im
-1 € = sP(n)
.f 5.
und ll
"h
@
f : A —+ B
eine Folge natürlicher Zahlen
1 5 91 $ n-1
m
mit
'
Da der Beweis von 6.3 konstruktiv ist, läßt
sich zu jeder bijektiven Abhildung
A„ B ; Pin)
, n = 5 : 1 =1
richtig.