Bijektive Abbildungen auf der Menge der Partitionen einer natürlichen Zahl

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Bijektive Abbildungen auf der Menge der Partitionen einer natürlichen Zahl

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- 1 Bayreuther Math. Schr. 19 (1981), 1-59

Abb Brjektive Abbildungen auf der Menge der Partitionen eine; natürligäeg_ägbl von

Dieter Stockhofe, Aachen

Inhaltsverzeichni

Seite

Einleitung

2

Bezeichnungen

5

51

Graphische Darstellung von Partitionen;

q—modulare Diagramme 52

6

Konstruktion einer bijektiven Abbiidung Lq auf der Menge aller Partitionen

15

53

Einige Abzählsätze für Partitionen

33

54

Der Speziaifall q = 2

39

55

Die Fixpunkte von Lq

47

56

Permutationsgruppen auf P(n)

51

Literaturveräeichnis

58

Einleitung

Die Theorie der Partitionen versteht man als ein TeilTeil; gebiet der additiven 2ahlentheorie. Erste Fragestellungen,]

die zu dieser Theorie führten, tauchen bereits im Yittelalä ter auf; als ihr Begründer jedoch gilt L. Euler. E: liefer;j te Viele wesentliche Beiträge zu dieser Theorie, bevor sie dann von Cauchy, Jacobi, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Rade-

macher und vielen anderen Mathematikern weiterentwickelt wurde.

'

Es zeigte sich bald, daß Partitionen in der Mathe-

matik immer häufiger auch dort eine Rolle spielen, wo es um die Parametrisierung und Klassifikation mathematischer Objekte geht, wie zum Beispiel der endlichen abelschen

Gruppen oder der irreduziblen Darstellungen der sy:metrischen und vollen linearen Gruppen.

Die Untersuchung der Frage, wie oft sich eine positive ganze Zahl n als Summe von positiven ganzen Zahlen n = n" + ... + nw ,

w E N,-

schreiben läßt (zwei Summen werden dabei als gleich angesehen, sofern sie sich nur in der Reihenfolge ihrer Summanden unterscheiden), führt auf den Begriff der Partition einer

natürlichen Zahl und gibt Anlaß zu folgender Definition: Eine Partition a ist eine endliche Folge positiver ganzer Zahlen U

:=

(01,

.--1

uw)

so daß u12u23...2uw

"

WEIN,

ist. Die 31 sind die Teile von a, w ist die Weite der Part‘tion &.

: heißt eine Partition von n,

la! ist.

P(n)

2

:=

falls

“i = n

bezeichnet die Menge aller Partitionen von n. Wir

setzen noch

P(O)

:= {0}.

Ein wichtiger Gegenstand dieser Theorie ist die Abzählung von Teilmengen

T ; P(n)‚

deren Elemente sich durch

gewisse Eigenschaften auszeichnen‚ und der Vergleich soldher Teilmengen im Hinblick auf ihre Mächtigkeit. Die Beweismethoden sind zum Teil kombinatorischer Art,

zum Teil ana-

lytischer Art, analytisch in erster Linie dort, wo es um die Untersuchung erzeugender Funktionen geht.

In dieser Arbeit wird der kombinatorische Aspekt im Vordergrund stehen. Für alle natürlichen Zahlen

ru q € N

werden in 52 bijektive Abbildungen Lq,n auf P(n) konstruiert, aus denen dann in 53 und 54 Abzählsätze hergeleitet werden. So ergibt sich beispielsweise folgende Anzahlaussage für

Partitionen:

Bezeichnet |m|q die größte durch q teilbare ganze Zahl, die kleiner oder gleich m ist und a' die zu « konjugierte Partition, so ist für alle

nen a von n mit und

.

xq(a).= «&

k‚l € Wo die Anzahl aller Partitio-

wq(m)== la1 -u2|q + Ia2—-a3lq + ..

'

'

u&+1'ta2q

-

°5q+1 *

zahl aller Partitionen 8 von n mit

wq(e) = 1 .

...

=

x q(e)

1 = k

...

= k

' gleich der An —

und

Der Fall

q = 2 verdient besonderes Interesse, da sichf

hier unter anderem als Spezialfälle bekannte Identitäten von Euler, Sylvester und Fine ergeben.

In 55 schließlich wird eine Abzählformel für die Fix— ; punkte von Lq ' n angegeben, und in 56 wird gezeigt, daß die E . C

Bijektionen L1 n’

..., L

I

n-1,n

die volle symmetrische Gruppe: 'j

auf P(n) erzeugen. Da der Beweis konstruktiv ist, kann zu

eine Folge natürlicher natürlicher

jeder bijektiven Abbildung f von P(n) Zahlen

q1‚

..., qr

mit

r € N,

werden,

so daß sich f in der Form ' q1'n

1 $ gi S n- 1

. .

%

angegeben

.

' ä

L .

c.rln

schreiben läßt.

Herrn Prof. Dr. A. Kerber möchte ich für wertvolle Anregungen und Hinweise zu dieser Arbeit herzlich danken.

:

Bezeichnungen

&: u {o} (1, 2, ..., n} Anzahl der Elemente der Menge M a ist ein Teller von b

identische Abbildung auf der Menge M U ist eine Cntergruppe von V

U

U ist isomorph zu V (als Gruppe) symmetrische Gruppe auf der Menge M

s“n

.

Diedergruppe der Ordnung 2n

aus 1.9 in 5 die Menge

5,11 := {u€5 | p°=p, [«]; hat k singuläre Spalten und l singuläre Zeilen! .

Ganz analog wie in 1.10 und den Bemerkungen dazu sind auch die Mengen 3; 1 , 3f1 , 5k 1

usw. als Vereinigungen der

Menge: 312 1 zu verstehen. Ebenso wie P2° ist auch die Menge T>'g° einelementig, denn 2.15

=

fi\'° := ((r-1)q+ p1‚(r—2)q + ”z' ... . n r )

01

ist das einzige Element von 38°. Aus 2.15 folgt sofort:

%

|?n'°lq=(g) .' In Analogie zu 1.19 läßt sich jede Partition

« € 5

in der Form

n =?;f +qäs

\]

2.1

mit eindeutig bestimmten Partitionen

4338 € 3°, (= P°)

N

«€ € 3_ °

und

schreiben. Das Diagramm [qzslq besteht

also aus den singulären Zeilen von [a];. Offensichtlich ist an genau dann ein Element von 53 1 , wenn 3} ein Element von 58 ° und q’äs ein Element von 3?1

Anmerkung:

Die Zerlegung von

ist.

u E ?

gemäß 1.19 ist im all-

gemeinen nicht mit der Zerlegung von a in 2.17 identisch. Am Beispiel der Partition

o

:=

(8,1)

sieht man sofort, daß für

q = 3

af = (2,1)

_';f = (5,1)

und

und

-

_ 24

qas = (6) ist. Hingegen ist

q3's = (3).

Unmittelbar einzusehen ist das folgende Lemma:

2.18 Lemma:

r 6 No , p e N:q—1

Für alle 5

0

_

o

. P-$r

'

no

—+ P .

o '

ist die Abbildung?

definiert durch

‚°(q5) = ii" u q6, bijektiv, und es gilt für

alle

k en„ , (‚36 € 933:

(i)

le°(qö)l

9

= (;) + m

(ii) Ju»; „) =

"D PRO

. D

Wegen 2.10 kann jede flache Partition a in der Form

«(= mp

\0

2.1 mit

p = p

G.

v q8

und eindeutig bestimmten

ben werden. Dabei ist

qE € P° -Sr

geschrie-

qß = (ao)_1(a). Zusammen mit 2.18

folgt daher, daß durch die Vorschrift

2.20

' = wq(m ' °V q8) wq(c)

==Np m

eine bijektive Abbildung w& von P_

0

U q5

auf 5_

o definiert wird.

wé ist also diejenige Abbildung, deren Einschränkung auf P?° jeweils das Diagramm 29

°St

___) 'f° ' .° /' /'

Up

/

/’ /' P9 ' 0

kommutativ ergänzt.

-25-

Wegen 1.19 und 2.17 kann wé zu einer bijektiven Abbildung wq von P auf ? fortgesetzt werden, indem man für beliebiges

a E ?

2.21

wq(a)

== wé(uf) + qas

setzt. Damit läßt sich nun zusammenfassend der folgende Satz formulieren:

2.22 Satz:

Die in 2.21 bzw. 2.20 definierte Abbildung

°q : P —+ 5

ist bijektiv, und es gilt für

alle k‚l‚r eu„ , ;) emä_‚ , a e p“: ' , u) _lwqtanq

' .

f 11_1)_ ' °g“’ko 1)

=

r (2)

_.

; up

. Im p lq.+.lulq

Pk41".

.

Beweise; Die Anzabl der Teile von"; stimmt - laut Ken-_ struktion von °q - mit der Anzahl der Teile von Oq(al über-

ein; Da die Zahl der regulären Teile bei Anwendung von °q auf « unverändert bleibt,

ist 4 genau dann ein Element von

Pk- , wenn wq(a) in 'i>'k _ liegt. Alles übrige folgt aus 2.10 und 2.18. e

d)

Eine Verallgemeinerung der konjugierenden Abbildunn

auf 3 Wegen 2.17 und 2.18 kann jede Partition 7 aus 3 in eindeutiger Weise in der Form

v= (Fu? Uqö) +q mit

laubt

p = pY

und

q6 € P

o °Sr

geschrieben werden. Dies er-

uns, mit 1.3 durch die Festsetzung

_

2.23

Alp

N

cq(v) - (m + q6') U qv; eine Abbildung Cq auf 5 zu definieren.

(q?; := q(7s)')

2.24 Beisgiel:

Sei

q 1 5

und

qqqqq:l [?]q*'= .

q q q

g 3

' Dann ist

_

“-‘ [qfislq

q

__:q

und

'

l und

[qö]

[q6']

q

=

9

=

°—' q q

q q q

.

und folglich



[qv']

5 q

q q

q

q

bzw.

qq_'a

'„-

Also ist

=

[m” + qö'l' =

q

q.2. q q

und somit

q

1

qqc21qi q q _

[Cq(V)]; = "q q

.

q q

1 Man überlegt sich leicht, daß das Diagramm [Cq(x)]; auch durch

2.23'

81: Spiegelung aller Einheiten von [Y]; an der Hauptdiagonalen von [v]; undVertauschung der Resteinheiten o„ mit °r+1-v

für1£v5ä' aus [Y]; entsteht. An“and von 2.23' ergibt sich also das Bild von 1 aus aus 2.24 unter Cq auch wie folgt:

9 q q

qqi m

Hamann

N

m

mm

.a.a.n

ßnaana

_l

m

lN£)a

Hanna

[Y]

* =

__.

[Cq(v)lq.

(In vielen Fällen ist es zweckmäßig, die Definition 2.23'

zu benutzen.) Anmerkung:

Die durch 2.23' gegebene Abbildungsvorschrift

ist für Diagramme [y]q mit -1 € ? \ P

nicht sinnvoll, da

ein Diagramm mit zwei Resteinheiten in einer Zeile durch Anwendung von 81

(und 82) in ein Diagramm mit zwei Rest-

einheiten in einer Spalte umgewandelt würde.

2.25 Satz:

Die durch 2.23 bzw. 2.23' definierte Abbildung

Cq : 3 —+ 5

ist bijektiv, und es gilt für alle4

k,1‚rgn„ , p €Nä_1z "P 0 1) _— 31k (1) _ cq(1>k

(ii)

c; = id; .

Beweis: ‚Da es gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge S1 und 82 angewendet werden, und da zweimalige Anwendung

von 51 bzw. 52 auf ein Diagramm [7]; nichts verändert, ist

ca = idä. Teil (1) der Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition von Cq.

Offensichtlich ist für q = 1

3 = p und c1 mit der in

51 definierten konjugierenden Abbildung C identisch.

_28_ 28 -

_e_)__ Die Bijektion !.

Vermöge der in 2.21 definierten Abbildung °q läßt sich die Bijektion Cq von 5 auf P "verlagern":

„[,

P————-D !'

Damit kommen wir nun zum Hauptresultat dieses

Paragraphen:

2.26 Satz:

Die Abbildung Lq := wq " qq ist eine Bijektion Bijektion auf der Menge aller Partitionen P, und es gilt für alle

(1)

k‚l,r €N°

r

, 9 EN q_1‚a€Pz

q(_a)lq = lczlq

. D .. 9 _ pl“ _Lq(pkl) (li)

(iii) Lq2 = idP Beweis:

(1) folgt aus 2.22 (i) , denn für

7 e 5

ist

|Cq(y)lq = |q . (ii) gilt wegen 2.22 (ii)

und 2.25 (i) .

(iii) folgt aus 2.25 (ii) .

Im folgenden betrachten wir oft die Einschränkung von

Lq auf P(n) . Wir schreiben dann kurz L

beachte, daß wegen 2.26 (i.) und (ii)

qm

für L

qlP(m'

Lq(P(n)) = P(n)

(Man

ist.)

?.

-

-

29

Schließlich seien noch einige Spezialfälle angeführt:

2.27 ist

Sei

o = (p1‚ ..., pr)

ND = o P P

und wqip p

d ann

Lq(a) = Cq(a)

2.28

Für

q = 1

her wegen 2.27

und

91 < p2 < ..; < °r' Dann

= 1

sten, daß sich die Abbildungen Lq für

1

als Verallge-f

meinerungen der konjugierenden Abbildung C interpretieren ; lassen, da Lq so etwas wie Vertauschung von q-singulären

Spalten bzw. q

“n—2

.

Damit ist Teil (ii) der Behauptung bewiesen, denn für r1=3

ist L 1, n = ((13)(3))

und L 2‚n = ((2‚1)(3)) .

Der Beweis von 6.3 für: 1 S i S n-3 und n z 6 erfolgt

durch Induktion nach 1: Die Behauptung ist richtig für i = n-3= Wir haben näm-

lich n n-3 = “n-2 ü {(n-3‚13)‚(n-3,2,1),(n-3‚3)} und damit

L n—3,n = ((n-3,13)(n-2‚12)) (fln-3,2‚1)(n—1‚1)) ((n-3,3)(n)) wegen 6.5 und 6.6. Da

L

n-3,n'Ln—2‚n'Ln-1 ‚n

ein Zyklus der

Länge 7 (= Inn_3l) ist, erzeugt dieser zusammen mit Ln-1

‚n

die symmetrische Gruppe S 3 (8 S7)‚

Angenommen, die Behauptung gelte für i-+1

Wegen 6.4 gibt es dann ein

“0 € ni+1

mit

(1 +1 $ n-—3).

L1 n ( ao) = “o . ]

Da für festes mit

m € 9

"0 € a

(In! 2 2)

die symmetrische Gruppe S

zu zeigen, daß für alle

0 € Qi

liegt. Für

9

erzeugen, genügt es

die Transposition (a‚a°) in

0 € fli+1

ist dies bereits

aufgrund der Induktionsvoraussetzung erfüllt. Für a € 01 \ fl 1+1

indes ist wegen 6.6

Li‚n(°) € fli+1 und

-

_ 54

folglich 2

(a‚a°) = (Li‚n(°) 'Li,n(°o))

__ L

im

-1 € = sP(n)

.f 5.

und ll

"h

@

f : A —+ B

eine Folge natürlicher Zahlen

1 5 91 $ n-1

m

mit

'

Da der Beweis von 6.3 konstruktiv ist, läßt

sich zu jeder bijektiven Abhildung

A„ B ; Pin)

, n = 5 : 1 =1

richtig.