Bessel and Related Functions: Volume 2 Numerical Results 9783110682472, 9783110681635
Bessel functions have the peculiarity of being functions of two independent variables: argument and order. They have bee
200 109 11MB
English Pages 560 Year 2020
Polecaj historie
![A Treatise on the Theory of Bessel Functions [2 ed.]
052106743X, 0521093821](https://dokumen.pub/img/200x200/a-treatise-on-the-theory-of-bessel-functions-2nbsped-052106743x-0521093821.jpg)
![Mittag-leffler functions, related topics and applications. [2 ed.]
9783662615492, 3662615495](https://dokumen.pub/img/200x200/mittag-leffler-functions-related-topics-and-applications-2nbsped-9783662615492-3662615495.jpg)
Table of contents :
Contents
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Bessel and Modified Bessel Functions
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Struve, Modified Struve, Anger and Weber Functions
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions, Their First and Second Derivatives with Respect to the Order
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives with Respect to the Order of the Integral Bessel Functions
Index
Citation preview
Alexander Apelblat Bessel and Related Functions
Also of interest Bessel and Related Functions. Mathematical Operations with Respect to the Order Volume : Theoretical Aspects Alexander Apelblat, ISBN ----, e-ISBN (PDF) ----, e-ISBN (EPUB) ----, Set-ISBN ---- Combinatorial Functional Equations. Basic Theory Yanpei Liu, ISBN ----, e-ISBN (PDF) ----, e-ISBN (EPUB) ---- Combinatorial Functional Equations. Advanced Theory Yanpei Liu, ISBN ----, e-ISBN (PDF) ----, e-ISBN (EPUB) ---- Tensor Numerical Methods in Scientific Computing Series: Radon Series on Computational and Applied Mathematics Boris N. Khoromskij, ISBN ----, e-ISBN (PDF) ----, e-ISBN (EPUB) ---- Fractional-Order Equations and Inclusions Series: Radon Series on Computational and Applied Mathematics Michal Fečkan, JinRong Wang, Michal Pospíšil, ISBN ----, e-ISBN (PDF) ----, e-ISBN (EPUB) ----
Alexander Apelblat
Bessel and Related Functions Mathematical Operations with Respect to the Order Volume 2: Numerical Results
Author Prof. Dr. Alexander Apelblat Ben-Gurion University of the Negev Department of Chemical Engineering Beer Sheva, Israel [email protected]
ISBN 978-3-11-068163-5 e-ISBN (PDF) 978-3-11-068247-2 e-ISBN (EPUB) 978-3-11-068347-9 Library of Congress Control Number: 2020933852 Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available on the Internet at http://dnb.dnb.de. © 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston Cover image: Anon. (2010). Tinted detail of Friedrich Wilhelm Bessel [digital image]. http://www.dspace.cam.ac.uk/handle/1810/224200. University of Cambridge, Institute of Astronomy Library. CC BY 4.0. Licence: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Typesetting: Integra Software Services Pvt. Ltd. Printing and binding: CPI books GmbH, Leck www.degruyter.com
To Ira and Yoram
Contents 1
Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Bessel and Modified Bessel Functions 1 1.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind 2 1.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind 35 1.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function of the First Kind 74 1.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function of the Second Kind 109
2
Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Struve, Modified Struve, Anger and Weber Functions 141 2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Struve Functions 141 2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the modified Struve Functions 175 2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Anger Functions 210 2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Weber Functions 245
3
Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions, Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 281 3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 281 3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 315 3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 349 3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 389
4
Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives with Respect to the Order of the Integral Bessel Functions 429 4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 429
VIII
Contents
4.2 4.3 4.4
Index
Integral Bessel Functions of the Second Kind and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 463 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order 502 The Bessel and Related Functions with the Same Argument and Order 541 551
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Bessel and Modified Bessel Functions The earliest short table of the first and second derivatives with respect to the order of the Bessel function Jν(t) was published in 1935 by Airey [42, 43, for list of References see Part 1]. He calculated ∂Jν(t)/∂ν and ∂2Jν(t)/∂ν2 with the argument of the Bessel function at steps t = 1, 2, 3, . . . , 20, but with the order ν in short ranges, t – 1 ≤ ν ≤ t + 1. The table is constructed with 0.1 intervals and four places of decimals. Airey also mentioned, in references, the existence of his tabulation from 1928, where values of the first derivatives are reported with respect to the order for ν equals ± 1/2 and 3/2. Lee and Radosevich [55] in 1960 calculated to four places the first derivatives with respect to the order for ν equals k + 1/4, k + 1/3, k + 2/3 and k + 3/4, k = 0, 1, 2, 3, 4 and 1 ≤ t ≤ 15 in 0.5 intervals. With the same precision, Erber and Gordon [49] in 1963 reported the first derivatives of the modified Bessel function of the first kind ∂Iν(t)/∂ν for ± 1/3 with 0 ≤ t ≤ 1 in 0.01 intervals, and with 1 ≤ t ≤ 5 in 0.05 intervals. From the literature search, it is evident that only a small number of tabulations of derivatives with respect to the order of the Bessel functions exist and these tables have rather accidental, sporadic character. In the case of the integral Bessel functions, even functions themselves are tabulated in a very limited form. In the Abramowitz–Stegun handbook [9], only the Bessel functions with zero order are tabulated. Their integrands are (1 – J0(t))/t, (1 – I0(t))/t, Y0(t)/t and K0(t)/t, and the integration limits vary in 0 ≤ t ≤ 5 region in 0.1 intervals. The Kelvin functions berν(t), beiν(t), kerν(t) and keiν(t) and their derivatives with respect to the argument t were tabulated by McLachlan [22] for integer orders n = 1–5 and arguments 0–10, mainly for the zero order. Considering this unfortunate situation in the literature, I decided to prepare in systematic way a set of tables, where the first, the second and the third derivatives are given with respect to the order of the Bessel functions, the modified Bessel functions, the Struve functions, the modified Struve functions and the Anger and Weber functions (Chapter 2). In the case of the integral Bessel functions (Chapter 4) and the Kelvin functions (Chapter 3), these functions, their first and second derivatives with respect to the order are tabulated. The orders cover 0 ≤ ν ≤ 5 range, with 0.05 intervals. The arguments of functions lie in 0.05 ≤ t ≤ 5 range with 0.05 intervals for t ≤ 1.0, and with 1.0 intervals for t > 1.0. These ranges of ν and t give the most characteristic patterns of computed derivatives and functions as can be observed from graphical representations presented in this book. Values of derivatives in tables are presented in the form to preserve six significant figures coming from computations. Numerical calculations were performed by using MATHEMATICA program. https://doi.org/10.1515/9783110682472-001
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
2
Derivatives with respect to the order were mainly calculated by determination of integrals in the integral representations of Bessel functions. In other cases, calculations were performed directly, by applying the central-difference formulas of order O(h4) with h = 0.001, with the Bessel and related functions taken from MATHEMATICA. The consistency of both methods of calculations was checked and was found to be very satisfactory. The reliability of calculations was also confirmed by comparison of results presented in Tables 1.1–1.6, reported by Airey [42, 43], Lee and Radosevich [55] and Erber and Gordon [49].
1.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind Changes in values of the first, second and third derivatives with respect to the order of the Bessel function of the first kind are limited, and occur only when ν and t are small. As can be observed in the following figures, the functional form of these derivatives is rather simple. Using MATHEMATICA program, the derivatives with respect to the order of the Bessel function of the first kind were determined by applying the following integral representations: ∂ Jν ðzÞ 1 = ∂ν π
ðπ t sinðz sin t −ν tÞdt 0
1 + π
e
t2 cosðz sin t −ν tÞ dt
1 + π
1 + π
½t sinðπ νÞ − π cosðπ νÞ dt
ðπ
∂ Jν ðzÞ 1 =− 2 ∂ν π
∂ Jν ðzÞ 1 =− ∂ν3 π
−z sinh t − νt
0
2
3
(1:1:1)
∞ ð
0 ∞ ð
(1:1:2) e
−z sinh t − νt
½ðπ − t Þ sinðπ νÞ + 2 πt cosðπ νÞ dt 2
2
0
ðπ t3 sinðz sin t −ν tÞ dt 0 ∞ ð
e
(1:1:3) −z sinh t − νt
½ðt − 3π tÞ sinðπ νÞ + ðπ − 3π t Þ cosðπ νÞ dt 3
2
3
2
0
Similar to the first derivatives, the second derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂2Jν(t)/∂ν2 vary for small values of the order and argument, and they tend to be zero for larger values of ν and t (Figures 1.1 and 1.2).
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
3
0.0 –0.5
∂Jv(t) ∂v
–1.0 –1.5 –2.0 0.0 0.2 0.4 0.6
t
0.8
1.0
1.0 0.0
2.0
3.0
4.0
Figure 1.1: First derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂Jν(t)/∂ν as a function of ν and t.
3.0
1 2.0
2 ∂2Jv(t) ∂v2
1.0 0.0
3 –1.0
5
8
7
6
4 –2.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Figure 1.2: Second derivatives of the Bessel function of the first kind with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.25; 3 – t = 0.50; 4 – t = 1.0; 5 – t = 2.0; 6 – t = 3.0; 7 – t = 4.0; 8 – t = 5.0.
Third derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂3Jν(t)/∂ν3, presented in Figures 1.3 and 1.4, show a more oscillatory character than lower derivatives, but essentially their behaviour is similar. It is worthwhile to note
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
4
that with increasing value of the order ν, for small arguments t (Figure 1.4) they have nearly zero value for ν > 1 (Figure 1.5).
3.0 2.0 1.0
∂2Jv(t) ∂v2
0.0 –1.0 –2.0 0.0 0.2 0.4
t
0.6 0.8 1.0
1.0
3.0
2.0
4.0
0.0
Figure 1.3: Second derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂2Jν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
8.0
5 0.0
–8.0
∂3Jv(t) ∂v3
4 3
–16.0 –24.0
2
–32.0
1 –40.0 0.0
0.5
1.0
1.5
Figure 1.4: Third derivatives of the Bessel function of the first kind with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.10; 3 – t = 0.15; 4 – t = 0.20; 5 – t = 0.25.
5
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
4 2 0 ∂3Jv(t) ∂v3
–2 –4 –6 –8 –10 0.0 0.2 0.4
t
0.6 0.8 1.0 0.0
1.0
3.0
2.0
4.0
5.0
Figure 1.5: Third derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂3Jν(t)/∂ν 3 as a function of ν and t.
Table 1.1: First derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂Jν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
6
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
7
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
8
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.1 (continued ) t ν
.
.
.
. . .
.
.
.
−.
−. −. −.
−. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
9
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
10
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
11
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
12
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
13
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.1 (continued ) t ν . .
.
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
15
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
Table 1.2: Second derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂2Jν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
−. . . . . . . . . . . . .
16
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.2 (continued ) t ν
.
.
.
. .
.
.
.
. .
. .
. .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
21
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . .
.
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
. .
. .
. .
23
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
24
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
25
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
Table 1.3: Third derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind ∂3Jν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
26
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
27
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
t ν . .
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
28
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
29
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
30
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
31
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
32
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
.
t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . .
33
1.1 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the First Kind
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
34
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.3 (continued ) t ν . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . −.
. . . . . . . −.
. . . . . . −. −.
. . . . . −. −. −.
. . . . . . . −.
. . . . . . . . .
1.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind First three derivatives with respect to the order of the Bessel function of the second kind were determined directly using the central-difference formulas of order O(h4) with h = 10−3. The Bessel functions of the second kind Yν(t) were taken from MATHEMATICA program: ∂ Yν ðtÞ − Yν + 2 h ðtÞ + 8Yν + h ðtÞ − 8Yν − h ðtÞ + Yν − 2 h ðtÞ = ∂ν 12 h
(1:2:1)
∂ 2 Yν ðtÞ − Yν + 2 h ðtÞ + 16Yν + h ðtÞ − 30 Yν ðtÞ + 16 Yν − h ðtÞ − Yν − 2 h ðtÞ = ∂ ν2 12 h2
(1:2:2)
∂ 3 Yν ðtÞ − Yν + 3 h ðtÞ + 8Yν + 2 h ðtÞ − 13Yν + h ðtÞ 13Yν − h ðtÞ − 8Yν − 2 h ðtÞ + Yν − 3 h ðtÞ = + ∂ν3 8h3 8h3 (1:2:3) As shown in Figure 1.6, derivatives of the Bessel function of the second kind with respect to the order have a very large negative values for large ν and t.
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
36
0 –1,000
∂Yv(t) ∂v
–2,000 –3,000
0.0 0.2 0.4 0.6 t
0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 1.6: First derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the second kind ∂Yν(t)/∂ν as a function of ν and t.
Behaviour of second and third derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the first kind is very similar to that of the first derivatives (Figures 1.7 and 1.8).
0 –400 –800
𝜕 2Y
𝜈(t)
𝜕𝜈2
–1,200 –1,600
0.0 0.2 0.4 0.6 t
0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 1.7: Second derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the second kind ∂2Yν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
37
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
0
–200
𝜕 3Y𝜈(t) 𝜕𝜈3
–400
–600
0.0 0.2 0.4 t
0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 1.8: Third derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the second kind ∂3Yν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
Table 1.4: First derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the second kind ∂Yν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
38
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −,
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,.
39
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −,
t ν . .
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
40
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
41
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
42
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
43
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
44
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
45
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
46
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
47
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
49
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
Table 1.5: Second derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the second kind ∂2Yν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −.
50
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −,
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
51
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −. −.E+ −.
52
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.5 (continued ) t ν . . . .
. −. −.E+ −. −.
.
.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
. −. −. −. −.E+
. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
53
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
54
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
55
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
56
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
.
.
.
t ν . .
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
57
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
58
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
59
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
60
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
61
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.6: Third derivatives with respect to the order of the Bessel functions of the second kind ∂3Yν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
63
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −.
. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −,
64
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+
−. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −.
−.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −.
−, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
65
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,.
66
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −, −, −, −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −, −, −, −,
t ν . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
. −. −. −. −.
. . −. −. −.
. . . −. −.
67
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
68
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
69
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −, −,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
70
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
71
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
.
.
.
−. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
72
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1.2 Derivatives with Respect to the Order of the Bessel Function of the Second Kind
Table 1.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
74
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.6 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
1.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function of the First Kind Derivatives with respect to the order of the modified Bessel function of the first kind were determined using MATHEMATICA program by applying the following integral representations: ðπ
∂ Iν ðzÞ 1 =− ∂ν π
t ez cos t sinðν tÞ dt + 0
1 π
∞ ð
e −z cosh t − νt ½t sinðπ νÞ − π cosðπ νÞ dt
0
(1:3:1) ∂ 2 Iν ðzÞ 1 =− ∂ν2 π
ðπ t2 ez cos t cosðν tÞ dt 0
1 + π ∂ 3 Iν ðzÞ 1 = ∂ν3 π
∞ ð
(1:3:2) e −z cosh t − ν t ½ðπ2 − t2 Þ sinðπ νÞ + 2 π t cosðπ νÞ dt
0
ðπ t3 ez cos t sinðν tÞ dt 0
1 − π
∞ ð
(1:3:3) e −z cosh t − ν t ½ðt3 − 3π2 tÞ sinðν tÞ + ðπ3 − 3 π t2 Þ cosðν tÞ dt
0
The form of derivatives with respect to the order of the modified Bessel function of the first kind differ from those of the first kind ∂Jν(t)/∂ν and higher derivatives (Tables 1.7–1.12). Figures 1.9–1.17 show that these derivatives tend quickly to zero for small values of the order ν and argument t.
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
75
0.0
1
5 4
–0.5
𝜕I𝜈(t)
3
𝜕𝜈 –1.0
2 –1.5
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Figure 1.9: First derivatives of the modified Bessel function of the first kind with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.25; 3 – t = 0.50; 4 – t = 1.0; 5 – t = 1.50.
0.0 –0.5
𝜕I𝜈(t) 𝜕𝜈
–1.0 –1.5 –2.0 0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 1.10: First derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂Iν(t)/∂ν as a function of ν and t.
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
76
0.0
–2.0 𝜕I𝜈(t) 𝜕𝜈
–4.0 –6.0 0.0 1.0 2.0 3.0
t
4.0 5.0
0.0
2.0
1.0
4.0
3.0
5.0
Figure 1.11: First derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂Iν(t)/∂ν as a function of ν and t.
8.0
1 6.0
𝜕2I𝜈(t) 𝜕𝜈2
4.0 2.0
2
0.0 –2.0 0.0
3 4 5 0.5
1.0
1.5
2.0
Figure 1.12: Second derivatives of the modified Bessel function of the first kind with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.25; 3 – t = 0.50; 4 – t = 1.0; 5 – t = 1.50.
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
4.0
2.0
𝜕2I𝜈(t) 𝜕𝜈2
0.0
–2.0
0.0
3.0 0.2
0.4
t
2.0 0.6
1.0
0.8 1.0 0.0
Figure 1.13: Second derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂2Iν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
8.0
4.0 𝜕2I
𝜈(t)
𝜕𝜈2
0.0 –4.0 0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 1.14: Second derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂2Iν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
77
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
78
8.0
3 4 5 0.0
2
𝜕3I𝜈(t) 𝜕𝜈
3
–8.0
1 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figure 1.15: Third derivatives of the modified Bessel function of the first kind with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.25; 3 – t = 0.50; 4 – t = 1.0; 5 – t = 1.50.
5.0
𝜕3I𝜈(t) 𝜕𝜈3
0.0
–5.0 –10.0 0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8
1.0
1.0
2.0
3.0
0.0
Figure 1.16: Third derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂3Iν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
79
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
0.0
𝜕3I𝜈(t) 𝜕𝜈3
–5.0
–10.0
0.0 1.0 2.0 3.0 t
4.0 5.0
1.0
0.0
4.0
3.0
2.0
Figure 1.17: Third derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂3Iν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
Table 1.7: First derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂Iν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
80
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
81
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . .
.
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
82
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
83
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
84
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
85
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
86
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
87
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
88
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
89
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.7 (continued ) t ν . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
Table 1.8: Second derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂2Iν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. . . . . . . . .
−. −. . . . . . . .
−. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. . . . . .
−. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. . . .
92
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
. . . . . .
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
97
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
Table 1.9: Third derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the first kind ∂3Iν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
100
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
101
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
102
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
103
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
104
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
105
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
106
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function: First Kind
107
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
109
1.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function of the Second Kind Using MATHEMATICA program, derivatives with respect to the order of the modified Bessel function of the second kind were determined by applying the following integral representations: ∂ Kν ðzÞ = ∂ν
∞ ð
∂ 2 Kν ðzÞ = ∂ν2 ∂ 3 Kν ðzÞ = ∂ν3
te −z cosh t sinhðνtÞ dt
0 ∞ ð
0 ∞ ð
(1:4:1)
t2 e −z cosh t coshðν tÞ dt
(1:4:2)
t3 e −z cosh t sinhðν tÞ dt
(1:4:3)
0
In calculated range of the order ν and the argument t, contrary to other derivatives with respect to the order of the Bessel functions, the derivatives of the modified Bessel functions of the second kind have complex form with distinct extremal values (Figures 1.18–1.20).
1 × 106 8 × 105 6 × 105
𝜕K𝜈(t) 𝜕𝜈
4 × 105 2 × 105 0.0 0.2 0.4 0.6 t
0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 1.18: First derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the second kind ∂Kν(t)/∂ν as a function of ν and t.
110
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
1 × 106 8 × 105
𝜕2K𝜈(t) 𝜕𝜈2
6 × 105 4 × 105 2 × 105 0.0 0.2 0.4
t
0.6 0.8
2.0
1.0
1.0 0.0
4.0
3.0
5.0
Figure 1.19: Second derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the second kind ∂2Kν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
1 × 106 8 × 105
𝜕3K𝜈(t) 𝜕𝜈3
6 × 105 4 × 105 2 × 105 0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 1.20: Third derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the second kind ∂3Kν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
111
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
Table 1.10: First derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the second kind ∂Kν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . .E+ . . . .
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . . .E+
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , . E+ . . . . . . . . . . .E+ . .
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . .
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , , .E+
. . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , ,
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
113
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . .E+ . . . . . . . .E+ . .
. . . . . . . . . .E+ . . . . .
. . . . . . . . .E+ . . . . . .
. . . . . .E+ . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .E+ . . .
, , , , .E+ . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,.
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
115
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , , .E+ .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,
t ν . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
116
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
117
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
118
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . .
.
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
119
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table 1.11: Second derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the second kind ∂2Kν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
121
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , ,
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. , , , , , , , .E+ . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . .E+ . . . . . .
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . .E+ . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . . . . . .E+ . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , .E+ .
. . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , ,
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
123
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . .
. . . .E+ . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .E+ . .
. . . . . . . .
. , , , .E+ . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
125
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
126
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
127
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
128
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . .
.
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
129
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table 1.12: Third derivatives with respect to the order of the modified Bessel functions of the second kind ∂3Kν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
131
Table 1.12 (continued ) t ν
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , ,
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,.
132
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
, , , .E+ . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . .E+ . × . . . . . . . .E+ . .
,. ,. ,. , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . . .E+ . . . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . . . . . . .E+ .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , , .E+ . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
133
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . .
. . . . . . .E+ . .
.
.
. . .E+ . . . . .
. .E+ . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . .E+ . . .
. . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
135
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , , .E+ . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , , , , .E+ .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , , , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , , , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. , , , ,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,
t ν . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
136
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
137
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
138
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.12 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Derivatives with Respect to the Order of the Modified Bessel Function
139
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
1 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 1.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Struve, Modified Struve, Anger and Weber Functions Derivatives with respect to the order of these Bessel-related functions are not tabulated in literature. The results presented here cover 0 ≤ ν ≤ 5 range, with 0.05 intervals. The arguments of functions are in 0.05 ≤ t ≤ 5 range, with 0.05 intervals for t ≤ 1.0 and with 1.0 intervals for t > 1.0. Calculations were performed using MATHEMATICA program. Derivatives with respect to the order were calculated by evaluation of integrals demonstrating the Anger and Weber integral representations. In other cases, they were performed directly by using the central-difference formulas of order O(h4) with h = 0.001, when the involved functions were taken from MATHEMATICA program.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Struve Functions Derivatives with respect to the order of the Struve functions were determined using central-difference formulas of order O(h4) with h = 10−3. The Struve functions Hν(t) were taken from MATHEMATICA program: ∂ Hν ðtÞ − Hν + 2 h ðtÞ + 8Hν + h ðtÞ − 8Hν − h ðtÞ + Hν − 2 h ðtÞ = ∂ν 12h
(2:1:1)
∂ 2 Hν ðtÞ − Hν + 2 h ðtÞ + 16Hν + h ðtÞ − 30Hν ðtÞ + 16Hν − h ðtÞ − Hν − 2 h ðtÞ = ∂ν2 12 h2
(2:1:2)
∂ 3 Hν ðtÞ − Hν + 3 h ðtÞ + 8Hν + 2 h ðtÞ − 13 Hν + h ðtÞ = ∂ ν3 8h3
(2:1:3)
13 Hν − h ðtÞ − 8Hν − 2 h ðtÞ + Hν − 3 h ðtÞ + 8h3
Functional behaviour of derivatives with respect to the order of the Struve functions resembles the Bessel functions of the first kind; the oscillatory character is damped and it tends to zero values with an increase in the order ν and the argument t (see Figures 2.1–2.18; Tables 2.1–2.12).
https://doi.org/10.1515/9783110682472-002
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
142
1.2 6 0.8 𝜕H(t)
4
0.4
𝜕
5
3
0.0 1
2
–0.4
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.1: First derivatives of the Struve function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.50; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
0.1 0.0 –0.1
∂Hν(t)
–0.2
∂ν
–0.3 –0.4 –0.5
0.0
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0 0.0
Figure 2.2: First derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂Hν(t)/∂ν as a function of ν and t.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
143
1.0 0.8 0.6 ∂Hν(t) ∂ν
0.4 0.2 0.0 –0.2 –0.4
0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
4.0
3.0
5.0
Figure 2.3: First derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂Hν(t)/∂ν as a function of ν and t.
1.2 0.8 0.4
1 2
𝜕2H(t) 0.0 𝜕2
4
–0.4 –0.8
6
3
–1.2 0.0
5
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.4: Second derivatives of the Struve function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.50; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
144
0.6 0.4 0.2
𝜕2H
(t)
𝜕2
0.0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8
0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
2.0
1.0
0.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.5: Second derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂2Hν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
1.0 0.5
∂2H(t) 0.0 ∂2
–0.5 –1.0 0.0 1.0 2.0 t 3.0 4.0 5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.6: Second derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂2Hν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
145
2.0
2 1.0
∂3H(t) ∂3
3 5
1 0.0
–1.0
4 6
–2.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.7: Third derivatives of the Struve function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.50; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
1.5 1.0 0.5
∂3Hv(t) ∂ν3
0.0 –0.5 –1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Figure 2.8: Third derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂3Hν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
146
2.0 1.0
∂3H (t) ∂3
0.0 –1.0 0.0 1.0
2.0
t
3.0
4.0 5.0 0.0
1.0
3.0
2.0
4.0
5.0
Figure 2.9: Third derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂3Hν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
Table 2.1: First derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂Hν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
147
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
148
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.1 (continued ) t ν
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
149
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
150
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
151
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
152
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
153
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
154
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
155
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
Table 2.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
156
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.2: Second derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂2Hν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
157
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.2 (continued ) t ν
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
159
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
−. . . . . . . .
−. −. . . . . . .
−. −. −. . . . . .
−. −. −. −. . . . .
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
161
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
163
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . .
.
.
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
. . . . . . .
.
.
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
164
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
165
Table 2.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table 2.3: Third derivatives with respect to the order of the Struve functions ∂3Hν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
166
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
167
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
168
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.3 (continued ) t ν
.
.
.
. . . . .
.
.
.
−.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
169
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
170
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
171
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
172
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.1 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
173
Table 2.3 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
Table 2.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the modified Struve Functions The modified Struve functions Lν(t) were taken from MATHEMATICA program and their derivatives with respect to the order were evaluated by using the centraldifference formulas of order O(h4) with h = 10−3: ∂ Lν ðtÞ − Lν + 2 h ðtÞ + 8 Lν + h ðtÞ − 8Lν − h ðtÞ + Lν − 2 h ðtÞ = ∂ν 12 h
(2:2:1)
∂ 2 Lν ðtÞ − Lν + 2 h ðtÞ + 16Lν + h ðtÞ − 30Lν ðtÞ + 16 Lν − h ðtÞ − Lν − 2 h ðtÞ = ∂ν2 12 h2
(2:2:2)
∂ 3 Lν ðtÞ − Lν + 3 h ðtÞ + 8Lν + 2 h ðtÞ − 13 Lν + h ðtÞ = ∂ ν3 8h3 +
13 Lν − h ðtÞ − 8Lν − 2 h ðtÞ + Lν − 3 h ðtÞ 8h3
(2:2:3)
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
176
2.0
2
1
0.0
3
4
–2.0
∂L(t) ∂
5 6
–4.0 –6.0 –8.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.10: First derivatives of the modified Struve function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.50; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
0.6
0.4
∂L(t) ∂ 0.2
0.0 0.0
0.2
0.4
t
0.6
0.8 1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.11: First derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂Lν(t)/∂ν as a function of ν and t.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
177
0.0
–2.0
∂L(t) ∂
–4.0 –6.0 0.0
1.0
2.0
t
3.0
4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.12: First derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂Lν(t)/∂ν as a function of ν and t.
4.0 2.0
3
1
0.0 ∂2L(t) ∂2
2
4
–2.0
5
–4.0 –6.0 –8.0 0.0
6
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.13: Second derivatives of the modified Struve function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.50; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
178
0.6 0.5 0.4
∂2L(t)
0.3
∂
0.2
2
0.1 0.0 0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
1.0
0.0
3.0
2.0
4.0
Figure 2.14: Second derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂2Lν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
2.0 0.0
∂2L(t) –2.0 ∂ 2 –4.0 –6.0
0.0 1.0 t
2.0
3.0 4.0 5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.15: Second derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂2Lν(t)/ ∂ν2 as a function of ν and t.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
6
4.0
∂3L(t) ∂3
179
5
2.0 4 3
2
0.0 1
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.16: Third derivatives of the modified Struve function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.50; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
1.5 1.0 0.5 ∂3L(t) ∂3
0.0 –0.5 –1.0
0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
Figure 2.17: Third derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂3Lν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
180
4.0 3.0 2.0
𝜕3L(t) 𝜕 3
1.0 0.0
–1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
4.0
3.0
5.0
Figure 2.18: Third derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂3Lν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
Table 2.4: First derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂Lν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
181
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
182
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.4 (continued ) t ν
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
183
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
184
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
185
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
186
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
187
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
188
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
189
Table 2.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
190
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.5: Second derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂ 2Lν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
191
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.5 (continued ) t ν
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
193
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
−. . .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
195
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
197
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
198
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
199
Table 2.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.6: Third derivatives with respect to the order of the modified Struve functions ∂3Lν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
201
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
202
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.6 (continued ) t ν
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
203
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
204
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . .
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
205
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
206
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
207
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
209
Table 2.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
210
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Anger Functions Derivatives with respect to the order of the Anger functions were evaluated using MATHEMATICA program by applying the following integral representations: ∂ J ν ðzÞ 1 =− ∂ν π
ðπ
∂ 2 J ν ðzÞ 1 =− 2 ∂ν π ∂ J ν ðzÞ 1 = ∂ν3 π 3
t sinðνt − z sin tÞ dt
(2:3:1)
0
ðπ t2 cosðν t − z sin tÞ dt
(2:3:2)
0
ðπ t3 sinðνt − z sin tÞ dt
(2:3:3)
0
In the case of these functions, it is evident that in their oscillatory form, their values are smaller as ν and t increase and they tend to near zero values (Figures 2.19–2.36).
2.0
3 1.0
𝜕J(t) 𝜕
4
5
6
0.0
2
–1.0
1 –2.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.19: First derivatives of the Anger function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
211
1.0 0.5 𝜕J(t) 0.0 𝜕 –0.5 –1.0
0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
0.0
2.0
1.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.20: First derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂Jν(t)/∂ν as a function of ν and t.
1.0 0.5
𝜕J(t) 𝜕
0.0 –0.5 –1.0
0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.21: First derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂Jν(t)/∂ν as a function of ν and t.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
212
4.0
1
2.0
5
𝜕2J(t) 𝜕
2
6
0.0
4 –2.0
3 2
–4.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.22: Second derivatives of the Anger function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2.0 1.0
𝜕2J(t) 𝜕 2
0.0
–1.0 –2.0 –3.0 0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.23: Second derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂2Jν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
213
2.0 1.0
𝜕2J(t) 𝜕 2
0.0 –1.0 –2.0 –3.0
0.0 1.0 2.0 t 3.0 4.0 5.0 0.0
2.0
1.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.24: Second derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂2Jν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
8.0 1
4.0
2 3
𝜕3J(t) 3 𝜕
6
0.0
4
5 –4.0
–8.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.25: Third derivatives of the Anger function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 5 – t = 5.0.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
214
8.0 6.0 4.0
𝜕3J(t)
2.0
𝜕3
0.0
–2.0 –4.0
t
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
0.0
3.0
2.0
4.0
5.0
Figure 2.26: Third derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂3Jν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
8.0 6.0 4.0
𝜕3J(t) 3 𝜕
2.0 0.0
–2.0 –4.0 0.0 1.0 2.0 t 3.0
4.0
5.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.27: Third derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂3Jν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
215
Table 2.7: First derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂Jν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
216
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
217
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
218
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
219
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . .
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
220
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
221
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
222
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
223
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
225
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
Table 2.8: Second derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂2Jν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
226
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
227
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
228
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
229
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
t ν . .
.
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
230
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
231
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
232
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
233
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
234
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
235
Table 2.9: Third derivatives with respect to the order of the Anger functions ∂3Jν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
236
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
237
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
239
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
t ν . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
240
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
241
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
242
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
243
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
245
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order of the Weber Functions Derivatives with respect to the order of the Weber functions were determined using MATHEMATICA program by applying the following integral representations: ∂ Eν ðzÞ 1 =− ∂ν π
ðπ
∂ 2 Eν ðzÞ 1 =− ∂ν2 π ∂ 3 Eν ðzÞ 1 = ∂ν3 π
t cosðν t − z sin tÞ dt
(2:4:1)
0
ðπ t2 sinðνt − z sin tÞdt
(2:4:2)
0
ðπ t3 cosðνt − z sin tÞ dt
(2:4:3)
0
Oscillatory form of these derivatives is similar to that observed in the case of Anger functions.
1.0
1
6 0.0
𝜕E(t)
4
3
𝜕
5
–1.0
2 –2.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.28: First derivatives of the Weber function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
246
1.0 0.5 0.0
𝜕E(t) 𝜕
–0.5 –1.0 –1.5
t
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.29: First derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂Eν(t)/∂ν as a function of ν and t.
1.0 0.5
𝜕E(t) 𝜕
0.0 –0.5 –1.0 –1.5 0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.30: First derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂Eν(t)/∂ν as a function of ν and t.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
2.0
247
4
1.0
6
5
0.0 𝜕2E(t) 𝜕
2
3
–1.0 –2.0
2
–3.0
1 –4.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.31: Second derivatives of the Weber function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2.0 1.0
𝜕2E(t) 𝜕 2
0.0
–1.0 –2.0 –3.0 0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.32: Second derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂2Eν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
248
2.0 1.0 𝜕2E(t) 2 𝜕
0.0 –1.0 –2.0
0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0
0.0
1.0
3.0
2.0
4.0
5.0
Figure 2.33: Second derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂2Eν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
8.0 3
1
4.0 4 𝜕3E(t) 𝜕 3
6
0.0
–4.0
–8.0 0.0
5 2
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.34: Third derivatives of the Weber function with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
8.0
𝜕3E(t) 𝜕 3
4.0 0.0 –4.0
0.0 0.2 0.4 t 0.6
0.8 1.0
2.0
1.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.35: Third derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂3Eν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
8.0
𝜕3E(t) 𝜕 3
4.0
0.0 –4.0
0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.36: Third derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂3Eν(t)/∂ν3 as a function of ν and t.
249
250
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.10: First derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂Eν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
251
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
252
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
253
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
254
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
t ν . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
255
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
256
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
257
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
259
Table 2.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
260
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.11: Second derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂2Eν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
261
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
263
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
264
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
265
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
266
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
267
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
268
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
269
Table 2.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
270
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.12: Third derivatives with respect to the order of the Weber functions ∂3Eν(t)/∂ν3. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
271
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
272
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
273
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
275
Table 2.12 (continued ) t ν . .
.
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
276
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
277
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
.
.
.
−. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
278
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 First, Second and Third Derivatives with Respect to the Order
279
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
2 Numerical Results – Tabulation of First, Second and Third Derivatives
Table 2.12 (continued ) t ν . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −.
. . . . −.
. . . . −.
. . . . −.
. . . −. −.
. . . −. −.
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions, Their First and Second Derivatives with Respect to the Order The Kelvin functions ber(t), bei(t), ker(t) and kei(t) and their first derivatives with regard to argument t were tabulated by McLachlan in his book Bessel Functions for Engineers [22] in 0 ≤ ν ≤ 10 range with 0.10 intervals. For the same range of t, he also gave values of bern(t), bein(t), kern(t) and kein(t) with n = 1, 2, 3, 4 and 5. In MATHEMATICA program, the Kelvin functions are available for any argument t and order ν. Similarly as in cases of other functions, the Kelvin functions are presented here in 0 ≤ ν ≤ 5 range with 0.05 intervals, and arguments t are in 0.05 ≤ t ≤ 5 range with 0.05 intervals for t ≤ 1.0 and with 1.0 intervals for t > 1.0. The first and second derivatives with respect to the order of the Bessel functions were always calculated by using the central-difference formulas of order O(h4) with h = 0.001.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order Applying the central-difference formulas of order O(h4) with h = 10−3, derivatives with respect to the order of the Kelvin function (Figures 3.1–3.18) of the first kind were evaluated using MATHEMATICA program (Tables 3.1–3.6): ∂ berν ðtÞ −berν+2 h ðtÞ + 8berν+ h ðtÞ − 8berν−h ðtÞ + berν−2 h ðtÞ = ∂ν 12 h
(3:1:1)
∂ 2 berν ðtÞ −berν+2 h ðtÞ + 16berν+h ðtÞ − 30 berν ðtÞ + 16berν−h ðtÞ − berν−2 h ðtÞ = ∂ ν2 12 h2
(3:1:2)
https://doi.org/10.1515/9783110682472-003
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
282
6.0
3.0 2 ber(t)
0.0
5 1
3
4
–3.0
6 –6.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.1: The Kelvin functions berν(t) plotted as a function of the order ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
0.8
0.4 ber(t)
0.0 –0.4 0.0 0.2 0.4 t
0.6 0.8 1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Figure 3.2: The Kelvin functions berν(t) as a function of ν and t.
5.0
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
283
4.0 2.0 0.0 ber(t)
–2.0 –4.0 –6.0 0.0 1.0 2.0 3.0
t
4.0 5.0 0.0
2.0
1.0
4.0
3.0
5.0
Figure 3.3: The Kelvin functions berν(t) as a function of ν and t.
12.0
6 6.0
5
𝜕ber (t) 𝜕
4 2
0.0
1 3 –6.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.4: First derivatives of the Kelvin functions berν(t) with respect to the order ν as a function of ν at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
284
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
1.0
0.0 𝜕ber(t) 𝜕
–1.0 –2.0 –3.0 0.0 0.2 0.4 t
0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.5: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂berν(t)/∂ν as a function of ν and t.
10.0
5.0 𝜕ber(t) 𝜕
0.0
–5.0 0.0 1.0 t
2.0 3.0 4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.6: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂berν(t)/∂ν as a function of ν and t.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
285
18.0 6 12.0
5
6.0 𝜕2ber(t) 2 𝜕
4
1 0.0
3
2
–6.0 –12.0 –18.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.7: Second derivatives of the Kelvin functions berν(t) with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
4.0
𝜕2ber(t)
0.0
𝜕𝜈2 –4.0 0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.8: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2berν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
286
16.0
8.0 д2ber(t)
0.0
д𝜈2 –8.0 –16.0
t
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.0
0.0
3.0
2.0
4.0
5.0
Figure 3.9: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2berν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
Table 3.1: The Kelvin functions berν(t). t ν . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
287
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
289
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
290
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
291
Table 3.1 (continued ) t ν
.
. . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
. . . . . . .
.
.
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
292
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
293
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
294
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
295
Table 3.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.2: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂berν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
297
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
298
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.2 (continued ) t ν
.
.
. . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . .
.
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
299
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
300
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
t ν . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
301
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
302
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
303
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −.
. . . . −.
. . . . −.
. . . . −.
. . . . −.
. . . . −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
305
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
Table 3.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
Table 3.3: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2berν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
−. . . . . . . . . . . .
−. −. . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. . . . . . . .
306
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
307
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
308
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.3 (continued ) t ν
.
.
.
. .
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
309
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
310
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
311
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
312
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . .
.
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
−. .
. .
. .
3.1 The Kelvin Functions berν(t), and Their First and Second Derivatives
313
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
314
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
315
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
Table 3.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order These derivatives with respect to the order were evaluated directly, by using the central-difference formulas of order O(h4) with h = 10−3. The Kelvin functions beiν(t) were taken from MATHEMATICA program: ∂ beiν ðtÞ −beiν+2 h ðtÞ + 8beiν+ h ðtÞ − 8beiν−h ðtÞ + beiν−2 h ðtÞ = ∂ν 12h
(3:2:1)
∂ 2 beiν ðtÞ −beiν+2 h ðtÞ + 16beiν+ h ðtÞ − 30beiν ðtÞ + 16beiν−h ðtÞ − beiν−2 h ðtÞ = ∂ ν2 12 h2
(3:2:2)
Functional form of berν(t) and beiν(t) functions and their derivatives with respect to the order is similar.
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
316
6.0
3.0 3 bei(t) 0.0 1
2
4
5 –3.0 6 –6.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.10: The Kelvin functions beiν(t) plotted as a function of the order ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
0.8 0.6 0.4 bei(t)
0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 t
0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Figure 3.11: The Kelvin functions beiν(t) as a function of ν and t.
5.0
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
317
4.0 2.0 0.0 bei(t) –2.0 –4.0 0.0 1.0 2.0 t
3.0 4.0 5.0
0.0
2.0
1.0
4.0
3.0
5.0
Figure 3.12: The Kelvin functions beiν(t) as a function of ν and t.
12.0 8.0 6 4.0 𝜕bei (t) 𝜕𝜈
2
–4.0 –8.0 –12.0 0.0
3
1
0.0 4 5
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.13: First derivatives of the Kelvin functions beiν(t) with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
318
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
1.5 1.0 0.5 𝜕bei(t) 𝜕𝜈
0.0 –0.5 –1.0 0.0 0.2 0.4 0.6
t
0.8 1.0
0.0
1.0
4.0
3.0
2.0
5.0
Figure 3.14: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂beiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
10.0
5.0 𝜕bei(t) 𝜕𝜈
0.0
–5.0
0.0 1.0 t
2.0 3.0 4.0 5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.15: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂beiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
319
20.0
6 10.0
5 𝜕2ber(t) 2 𝜕
2
0.0
1 4
3 –10.0
–20.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.16: Second derivatives of the Kelvin functions beiν(t) with respect to the order ν as a function of ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 1.0; 3 – t = 2.0; 4 – t = 3.0; 5 – t = 4.0; 6 – t = 5.0.
2.0 0.0 –2.0 𝜕2bei(t) 2
𝜕
–4.0 –6.0 –8.0 0.0 0.2 0.4 t
0.6 0.8 1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.17: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2beiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
320
10.0 5.0 𝜕2bei(t)
0.0
𝜕2 –5.0 –10.0 –15.0 0.0 1.0 2.0 t
3.0 4.0 5.0
0.0
1.0
3.0
2.0
4.0
5.0
Figure 3.18: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2beiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
Table 3.4: The Kelvin functions beiν(t). t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
321
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
322
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
323
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
324
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
325
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
326
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
327
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
328
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
329
Table 3.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
330
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.4 (continued ) t ν . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
−. . . .
Table 3.5: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂beiν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
331
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
332
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
333
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
335
Table 3.5 (continued ) t ν . . .
. . . .
. . . .
.
.
. . .
.
.
. . .
. . .
. . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
336
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
337
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
338
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
339
Table 3.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.6: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2beiν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
341
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.6 (continued ) t ν
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
343
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
344
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
345
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
346
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 The Kelvin Functions beiν(t), and Their First and Second Derivatives
347
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
348
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
349
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
Table 3.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order The first and second derivatives with respect to the order were evaluated using the central-difference formulas of order O(h4) with h = 10−3, and the Kelvin functions kerν(t) were taken from MATHEMATICA program: ∂ kerν ðtÞ −kerν+2 h ðtÞ + 8kerν+ h ðtÞ − 8kerν−h ðtÞ + kerν−2 h ðtÞ = ∂ν 12 h
(3:3:1)
∂ 2 kerν ðtÞ −kerν+2 h ðtÞ + 16kerν+ h ðtÞ − 30kerν ðtÞ + 16kerν−h ðtÞ − kerν−2 h ðtÞ = ∂ν2 12 h2
(3:3:2)
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
350
The behaviour of the Kelvin functions kerν(t) and its derivatives with respect to the order is complicated (Tables 3.7–3.9), and the functions have large positive and negative values which depend strongly on ν and t (Figures 3.19–3.24). 1,500 1,000 500 0
ker(t)
–500 0.0 0.2 0.4 0.6
t
0.8 1.0 0.0
1.0
2.0
4.0
3.0
5.0
Figure 3.19: The Kelvin functions kerν(t) as a function of ν and t.
3,000 2,000 1,000 ker(t)
0 –1,000 0.0 1.0 t
2.0 3.0 4.0 5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Figure 3.20: The Kelvin functions kerν(t) as a function of ν and t.
5.0
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
1,500 1,000 500 𝜕ker(t) 𝜕
0 –500 0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.21: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂kerν(t)/∂ν as a function of ν and t.
3,000
𝜕ker(t) 𝜕
2,000
1,000 0
0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.22: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂kerν(t)/∂ν as a function of ν and t.
351
352
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
3,000 2,000 𝜕ker(t) 𝜕2
1,000 0 0.0
0.2
0.4 t
0.6
0.8
1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.23: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2kerν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
2,000
1,000 𝜕2ker(t) 𝜕 2
0 –1,000 0.0 1.0 2.0 t
3.0 4.0 5.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.24: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2kerν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
353
Table 3.7: The Kelvin functions kerν(t). t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
354
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −,. −,. −, −, −, −, −, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −.
. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − −,, −,, −,, −,, −,, −,, − − − −.E+ −.
. . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − −,,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
355
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ .E+ . .E+ . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −,, ,, .E+ . . .E+ . .
.
.
.
−,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,. ,, ,, .E+ . . .
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,,. ,, ,, ,,
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
356
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
357
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,,
−. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. −. . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
.
t ν . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
358
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
359
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
360
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . .
. . . ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
. . . ,. ,. ,. ,.
. . . . ,. ,. ,.
. . . . . . ,. ,.
. . . . . . . ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
361
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
362
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
363
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
364
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
365
Table 3.8: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂kerν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
366
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,,. ,,. −,. −,, −,, −,, −,, −.E+ −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −,. −,. −,. −,. −,. −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,v −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,,
. . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. . . . −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
367
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −.E+ .E+ . . . .E+ . . . . .
. −. −. − .E+ . .E+ . . . . . .E+ . .
.
.
.
−,, −,, ,,. ,, ,, .E+ . . . . .E+ . . .
−,. −,. ,. ,, ,, ,, ,, .E+ . . . . . .
−,. −,. ,. ,. ,, ,, ,, ,v ,, ,, .E+ . .
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
368
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
369
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,,
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
370
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
371
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . ,. ,. ,.
372
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . .
. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
373
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
374
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . ,. ,.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
375
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
376
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
377
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
Table 3.9: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2kerν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,. −,,. −,, −,, −.E+ −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −.E+
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,,. ,,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. ,,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − − − − − − − − − − −,. ,,
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, ,, ,,
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,,
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
379
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
. .E+ .E+ . . .E+ . . . . . .E+ . . . .
.
.
.E+ .E+ . . . . .E+ . . . . . . . .
.E+ . . . . .E+ . . . . . . . . .E+
. ,, ,, .E+ . . . . . . . .E+ . . . .
. ,, ,, ,, ,, ,, .E+ . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .
380
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
381
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,. .E+ . . . . .
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,. ,. .E+
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −.
382
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
383
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. −. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
384
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . .
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
385
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
386
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
−. −. −. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
−. −. −. . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . −. −.
3.3 The Kelvin Functions kerν(t), and Their First and Second Derivatives
387
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
388
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
389
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order The Kelvin functions keiν(t) (Tables 3.10–3.12) exist in MATHEMATICA program. Their first and second derivatives with respect to the order were determined directly using the central-difference formulas of order O(h4) with h = 10−3. The functional form of these functions resembles those of kerν(t) functions (Figures 3.25–3.30): ∂ keiν ðtÞ −keiν+2 h ðtÞ + 8keiν+ h ðtÞ − 8 keiν−h ðtÞ + keiν−2 h ðtÞ = ∂ν 12 h
(3:4:1)
∂ 2 keiν ðtÞ −keiν+2 h ðtÞ + 16keiν+ h ðtÞ − 30keiν ðtÞ + 16keiν−h ðtÞ − keiν−2 h ðtÞ = ∂ ν2 12 h2
(3:4:2)
800
400
0
kei(t)
–400
0.0 0.2 t
0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Figure 3.25: The Kelvin functions keiν(t) as a function of ν and t.
5.0
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
390
3,000 2,000 1,000 kei(t)
0 –1,000 –2,000 0.0 1.0 2.0 3.0
t
4.0 5.0
1.0
0.0
4.0
3.0
2.0
5.0
Figure 3.26: The Kelvin functions keiν(t) as a function of ν and t.
800 400 𝜕kei(t) 𝜕
0 –400 –800 0.0
0.2
0.4 t
2.0
0.6
3.0
4.0
5.0
1.0
0.8 1.0
0.0
Figure 3.27: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂keiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
391
4,000
2,000 𝜕kei(t)
0
𝜕
–2,000 0.0 1.0 2.0 t
3.0 4.0 5.0
2.0
1.0
0.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.28: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂keiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
1,000
500
𝜕2kei(t)
0
2
𝜕
–500
0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 3.29: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2keiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
392
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
3,000
2,000 𝜕2kei(t) 𝜕2
1,000 0 0.0 1.0 2.0 t 3.0
4.0 5.0
0.0
1.0
3.0
2.0
4.0
5.0
Figure 3.30: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2keiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
Table 3.10: The Kelvin functions keiν(t). t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
393
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
394
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −.E+ −. −. −. −. −. −,, ,. .E+ . . . .E+ . . . . . .E+ . . . . . . . . .
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,, ,, ,, ,, .E+ . . . . . . . .E+ . . . . . .
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, .E+ . . . . . . .
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
−. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
t ν . .
.
.
.
.
.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
−. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
395
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
396
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . ,. ,.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
397
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . .
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,,
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
398
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
399
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,.
t ν . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
400
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
401
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
402
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.10 (continued ) t ν
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
403
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
404
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.10 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
Table 3.11: First derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂keiν(t)/∂ν. t ν . . . . .
.
.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −.
.
.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
405
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
406
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
,. . −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − −. + −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,, .E+ . .E+ . . . . . .E+ . . . . . .
. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −, , ,, ,, ,, .E+ . . . . . . .E+ . . . .
−. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, .E+ . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
407
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . .
. . .E+ . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. .E+ . . . . . . . .
. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
408
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
409
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −,. −. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
.
.
−. −. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
−. . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
−. . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
410
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
411
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. .
412
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.11 (continued ) t ν . .
. ,. ,.
.
.
,. .
,. .
. . .
. . −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
413
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . .
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
414
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . . . −.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
415
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
416
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.11 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
417
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
Table 3.12: Second derivatives with respect to the order of the Kelvin functions ∂2keiν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
418
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
,. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . .E+ . . . .E+ . . . . . . .E+ .
−. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,, −,. ,, ,, ,, .E+ . . . . . .E+ . . . . . .
−. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, .E+ . . . . . . . .
−. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, .E+ . . .
−. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
419
Table 3.12 (continued ) t ν
.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . −.
.
.
.
.
. . . . .E+ . . . . .E+ . −. −.E+
. .E+ . . . . . . . .E+ −. −.E+ −.
. . . . . . . . . ,, −.E+ −. −.
,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, −,, −,, −.E+ −.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
420
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. . ,. ,.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. . ,. ,.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −. −. −. . . ,. ,.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . ,. ,.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . ,.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
421
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,. −,, −,, −,, −.E+
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, , , −,. −,. −,, −,, −,,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −,. −,. −,, −,, −,,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −,. −,. −,. −,, −,,
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −. −,. −,. −,. −,. −,.
.
.
t ν . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
422
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
423
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. −. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . −. −,. −,. −,.
424
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.12 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,.
−,. −,. −,.
−,. −,. −,.
−,. −,. −,.
−,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −.
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
425
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . .
426
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . . −. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . . . −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 The Kelvin Functions keiν(t), and Their First and Second Derivatives
427
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428
3 Numerical Results – Tabulation of the Kelvin Functions
Table 3.12 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives with Respect to the Order of the Integral Bessel Functions The Bessel and Related Functions of the Same Argument and Order As already mentioned, the integral Bessel functions are tabulated in the Abramowitz– Stegun handbook [9], but only those Bessel functions that have zero order. Their integrands are (1 − J0(t))/t, (1 − I0(t))/t, Y0(t)/t and K0(t)/t, and the integration limits vary in 0 ≤ t ≤ 5 region in 0.1 intervals. The integral Bessel functions Jiν(t), Yiν(t) and Kiν(t) were calculated using the integration program of MATHEMATICA. They are presented here in 0 ≤ ν ≤ 5 range, with 0.05 intervals, and arguments t are in 0.05 ≤ t ≤ 5 range, with 0.05 intervals for t ≤ 1.0 and with 1.0 intervals for t > 1.0. The first and second derivatives with respect to the order of the integral Bessel functions were always calculated by using the central-difference formulas of order O(h4) with h = 0.001.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order Integral Bessel functions Jiν(t) are defined by ∞ ð
Jiν ðzÞ =
Jν ðtÞ dt t
(4:1:1)
z
They were calculated by applying MATHEMATICA program, and their derivatives with respect to the order of the integral Bessel function of the first kind were determined using the central – difference formulas: ∂ Jiν ðtÞ − Jiν + 2 h ðtÞ + 8Jiν + h ðtÞ − 8Jiν − h ðtÞ + Jiν − 2 h ðtÞ = ∂ν 12 h
(4:1:2)
∂ 2 Jiν ðtÞ − Jiν + 2 h ðtÞ + 16Jiν + h ðtÞ − 30 Jiν ðtÞ + 16 Jiν − h ðtÞ − Jiν − 2 h ðtÞ = ∂ ν2 12 h2
(4:1:3)
Changes in values of the integral Bessel functions and the first and second derivatives are important only for small values of the order ν (see Figures 4.1–4.9; Tables 4.1–4.3).
https://doi.org/10.1515/9783110682472-004
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
430
3.0
1
2.5 2.0
Ji𝜈 (t)
2
1.5
3
1.0 0.5
4
0.0 0.0
6
5 1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.1: The integral Bessel functions of the first kind Jiν(t) plotted as a function of the order ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.25; 3 – t = 0.50; 4 – t = 0.75; 5 – t = 1.0; 6 – t = 1.5.
3.0 2.5 2.0
Ji𝜈(t)
1.5 1.0 0.5 0.0 0.0
0.2
0.4 t
0.6
0.8
1.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.2: The integral Bessel functions of the first kind Jiν(t) as a function of ν and t.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
1.5 1.0
Jiv (t)
0.5 0.0 –0.5 0.0 1.0
2.0
t
3.0
4.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
5.0 0.0
Figure 4.3: The integral Bessel functions of the first kind Jiν(t) as a function of ν and t.
1.0 0.0 ∂Jiν(t)
–1.0
∂ν
4 6 3
5
2
–2.0 –3.0 –4.0 0.0
1 1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.4: First derivatives of the integral Bessel functions of the first kind with respect to the order ∂Jiν(t)/∂ν plotted as a function of the order ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.25; 3 – t = 0.50; 4 – t = 0.75; 5 – t = 1.0; 6 – t = 1.5.
431
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
432
0.5 0.0 ∂Jiν(t) ∂ν
–0.5 –1.0 –1.5 –2.0 0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
1.0
0.0
3.0
2.0
Figure 4.5: First derivatives of the integral Bessel functions of the first kind with respect to the order ∂Jiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
1.0 0.5 0.0
∂Jiv (t) ∂v
–0.5 –1.0 –1.5 –2.0 0.0 1.0 2.0 t 3.0 4.0 5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.6: First derivatives of the integral Bessel functions of the first kind with respect to the order ∂Jiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
433
5.0 1
4.0 3.0 ∂2Jiν(t) 2.0 ∂ν2
1.0 0.0 –1.0
2
6
3
5
–2.0 0.0
4
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.7: Second derivatives of the integral Bessel functions of the first kind with respect to the order ∂2Jiν(t)/∂ν2 plotted as a function of the order ν, at constant values of argument t. 1 – t = 0.05; 2 – t = 0.25; 3 – t = 0.50; 4 – t = 0.75; 5 – t = 1.0; 6 – t = 1.5.
4.0
2.0
∂2Ji𝜈(t) ∂2
0.0
–2.0 0.0
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1.0
5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0
Figure 4.8: Second derivatives of the integral Bessel functions of the first kind with respect to the order ∂2Jiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
434
2.0 1.5 𝜕2Ji(t) 𝜕2
1.0 0.5 0.0 –0.5
0.0 1.0 2.0 3.0 t 4.0 5.0 0.0
1.0
3.0
2.0
4.0
Figure 4.9: Second derivatives of the integral Bessel functions of the first kind with respect to the order ∂2Jiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
Table 4.1: The integral Bessel functions of the first kind Jiν(t). t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
435
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
437
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
438
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
439
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
440
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.1 (continued ) t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
441
Table 4.1 (continued ) t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . .
442
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
443
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.1 (continued ) t ν . . . . . .
.
.
. . . . . .
. . . . . .
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Table 4.2: First derivatives with respect to the order of the integral Bessel functions of the first kind ∂Jiν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
445
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
446
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
t ν . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −.
. . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
447
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
448
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
449
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
−. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
450
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
451
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
452
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
453
Table 4.2 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.3: Second derivatives with respect to the order of the integral Bessel functions of the first kind ∂ 2Jiν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
455
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . −. . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
457
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
458
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. . . . . . . . . . .
t ν . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
459
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . .
460
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 The Integral Bessel Functions of the First Kind
461
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
463
Table 4.3 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order Integral Bessel functions Yiν(t) were calculated by applying MATHEMATICA program from their definition: ∞ ð
Yiν ðzÞ =
Yiν ðtÞ dt t
(4:2:1)
z
Their derivatives with respect to the order of the integral Bessel function of the second kind were determined using the following expressions (Figures 4.10–4.12; Tables 4.4–4.6):
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
464
∂ Yiν ðtÞ − Yiν + 2 h ðtÞ + 8 Yiν + h ðtÞ − 8Yiν − h ðtÞ + Yiν − 2 h ðtÞ = ∂ν 12 h
(4:2:2)
∂ 2 Yiν ðtÞ − Yiν + 2 h ðtÞ + 16Yiν + h ðtÞ − 30 Yiν ðtÞ + 16Yiν − h ðtÞ − Yiν − 2 h ðtÞ = ∂ν2 12 h2
(4:2:3)
0
–500
Yi(t) –1,000 –1,500
0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0 0.0
1.0
4.0
3.0
2.0
5.0
Figure 4.10: The integral Bessel functions of the second kind Yiν(t) as a function of ν and t.
0 –250
𝜕Yi(t) 𝜕
–500 –750 0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.11: First derivatives of the integral Bessel functions of the second kind with respect to the order ∂Yiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
465
0
–1,000 𝜕2Yi(t) 𝜕2
–2,000
0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.12: Second derivatives of the integral Bessel functions of the second kind with respect to the order ∂2Yiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
Table 4.4: The integral Bessel functions of the second kind Yiν(t). t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
466
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
467
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − − −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − − − −.E+ −. −. −. −. −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − −
−. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − −
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
.
.
t ν . . . .
.
.
.
−. −. −. −.
. −. −. −.
. . −. −.
. . . .
. . . .
468
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
469
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
470
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
471
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
472
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
473
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
474
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
475
Table 4.4 (continued ) t ν . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
−. −. −. −.
.
.
.
−. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
476
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
477
Table 4.4 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −.
Table 4.5: First derivatives with respect to the order of the integral Bessel functions of the second kind ∂Yiν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
478
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
479
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − − −.E+ −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
480
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.5 (continued ) t ν
.
. . . .
−. −. −. −.
. − − − −
.
.
.
−,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
481
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
482
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
483
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
484
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
485
Table 4.5 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
−. −. −.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
486
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
487
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
488
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
489
Table 4.5 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
490
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.6: Second derivatives with respect to the order of the integral Bessel functions of the second kind ∂2Yiν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
491
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − − −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − − − −.E+ −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − −
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
492
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
− − − − −.E+ −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
− − − − − − − − − − − − −.E+ −. −. −.
−,. −,. −,. −,. −,. − − − − − − − − − − −
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
493
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
494
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. − − − − −
−. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
t ν . . . . . .
.
.
.
.
.
−. . . . . .
−. −. −. . . .
−. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
495
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
496
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
497
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −,. −,. −,. −,. −,.
−. −. −. −. −. −. −. −,. −,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −.
498
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
499
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
.
.
t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
500
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4.2 Integral Bessel Functions of the Second Kind
501
Table 4.6 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
502
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind and Their First and Second Derivatives with Respect to the Order Integral modified Bessel functions Kiν(t) are defined by ∞ ð
Kiν ðzÞ =
Kiν ðtÞ dt t
(4:3:1)
z
and they were calculated directly by applying MATHEMATICA program (Figures 4.13– Figures 4.15; Tables 4.7–4.9). First and second derivatives with respect to the order of the integral modified Bessel function of the second kind were determined using the following expressions: ∂ Kiν ðtÞ − Kiν + 2 h ðtÞ + 8Kiν + h ðtÞ − 8Kiν − h ðtÞ + Kiν − 2 h ðtÞ = ∂ν 12h
(4:3:2)
∂ 2 Kiν ðtÞ − Kiν + 2 h ðtÞ + 16Kiν + h ðtÞ − 30Kiν ðtÞ + 16Kiν − h ðtÞ − Kiν − 2 h ðtÞ = ∂ν2 12 h2
(4:3:3)
1×106 8×105 6×105 Ki𝜈 (t)
4×105 2×105 0 0.0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.13: The integral modified Bessel functions of the second kind Kiν(t) as a function of ν and t.
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
503
1×106 8×105 𝜕Ki (t) 𝜕
6×105 4×105 2×105 0 0.0 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1.0
1.0
0.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.14: First derivatives of the integral modified Bessel functions of the second kind with respect to the order ∂Kiν(t)/∂ν as a function of ν and t.
1×106 8×105 ∂2Kiv (t) ∂v2
6×105 4×105 2×105 0 0.0
0.2
0.4 t
0.6
0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.15: Second derivatives of the integral modified Bessel functions of the second kind with respect to the order ∂2Kiν(t)/∂ν2 as a function of ν and t.
504
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.7: The integral modified Bessel functions of the second kind Kiν(t). t ν
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
505
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. .E+ . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
506
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . .
. . .E+ . . . . . . . . . .E+ . . .
.
.
.
.
.E+ . . . . . . . . .
,. ,. .E+
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
507
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
508
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
509
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
510
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
511
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
513
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
514
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
515
Table 4.7 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
516
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.7 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Table 4.8: First derivatives with respect to the order of the integral modified Bessel functions of the second kind ∂Kiν(t)/∂ν. t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
517
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. .E+ . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
518
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . .E+ . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . .E+
.E+ . . . . . . . . . . .E+ . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. .E+ . . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
519
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
521
Table 4.8 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
522
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
523
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
524
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
525
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.8 (continued ) t ν . .
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
527
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
528
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.8 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table 4.9: Second derivatives with respect to the order of the integral modified Bessel functions of the second kind ∂2Kiν(t)/∂ν2. t ν . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
529
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
530
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.E+ . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . .E+ . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. .E+ . . . . . . . . . . .E+ . . . . . . . . . .
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. .E+ . . . . . . . . . . .E+
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. .E+ . . . .
. . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
531
Table 4.9 (continued ) t ν . .
. . .
.
.
.E+ .
. .
. . .
.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
532
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
533
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
534
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
535
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,. ,. ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,.
536
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.9 (continued ) t ν . . .
.
.
.
.
.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
,. ,. ,.
t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
537
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
538
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ,.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t ν . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The Integral Modified Bessel Functions of the Second Kind
539
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.9 (continued ) t ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 The Bessel and Related Functions with the Same Argument and Order
541
4.4 The Bessel and Related Functions with the Same Argument and Order There are no tabulations of the Bessel and related functions with the same argument and order in the literature. Evidently, such values, but only in limited range, are available in tables of considered functions. Here, in systematic way, they are presented for the first time. The following functions Jν(ν), Yν(ν), Iν(ν), Kν(ν), Hν(ν), Lν(ν), Jν(ν), Eν(ν), berν(ν), beiν(ν), kerν(ν), keiν(ν), Jiν(ν), Yiν(ν) and Kiν(ν).are tabulated and plotted in figures. Usually, these functions are monotonic descending or rising curves (Figures 4.16, 4.17 and 4.19), or they have an oscillatory character (Figures 4.17 and 4.18).
4.0
4
2.0
3
1
0.0 2
–2.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.16: Functions with the same argument and order 1 – Jν(ν); 2 – Yν(ν); 3 – Iν(ν); 4 – Kν(ν).
2.0 2
1.5
1.0 3 1
0.5 4
0.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.17: Functions with the same argument and order 1 – Hν(ν); 2 – Lν(ν); 3 – Jν(ν); 4 – Eν(ν).
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
542
2.0 3
1.0 1
0.0 2
–1.0
4
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.18: Functions with the same argument and order 1 – berν(ν); 2 – beiν(ν); 3 – kerν(ν); 4 – keiν(ν).
4.0 3
2.0
1
0.0 2
–2.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 4.19: Functions with the same argument and order 1 – Jiν(ν); 2 – Yiν(ν); 3 – Kiν(ν).
543
4.4 The Bessel and Related Functions with the Same Argument and Order
Table 4.10: The Bessel functions with the same argument and order Jν(ν), Yν(ν), Iν(ν) and Kν(ν). ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jν(ν)
Yν(ν)
Iν(ν)
Kν(ν)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
544
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.10 (continued ) ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jν(ν)
Yν(ν)
Iν(ν)
Kν(ν)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 The Bessel and Related Functions with the Same Argument and Order
545
Table 4.10 (continued ) ν . . . . . . . . . . . . .
Jν(ν)
Yν(ν)
Iν(ν)
Kν(ν)
. . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Table 4.11: The Struve, Anger and Weber functions with the same argument and order Hν(ν), Lν(ν), Jν(ν) and Eν(ν). ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hν(ν)
Lν(ν)
Jν(ν)
Eν(ν)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
546
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.11 (continued ) ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hν(ν)
Lν(ν)
Jν(ν)
Eν(ν)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 The Bessel and Related Functions with the Same Argument and Order
547
Table 4.11 (continued ) ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hν(ν)
Lν(ν)
Jν(ν)
Eν(ν)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
548
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.12: The Kelvin functions with the same argument and order berν(ν), beiν(ν), kerν(ν) and keiν(ν). ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
berν(ν)
beiν(ν)
kerν(ν)
keiν(ν)
. . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 The Bessel and Related Functions with the Same Argument and Order
549
Table 4.12 (continued ) ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
berν(ν)
beiν(ν)
kerν(ν)
keiν(ν)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
−. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −.
. . . . . . . . . . . . . . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . .
. . . −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550
4 Numerical Results – Tabulation of Functions, First and Second Derivatives
Table 4.12 (continued ) ν . . . . . . . . . . . .
berν(ν)
beiν(ν)
. . . . . . . . . . . .
kerν(ν)
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . .
. . . . . . . . . . . .
keiν(ν) . . . . . . . −. −. −. −. −.
Table 4.13: The integral Bessel functions with the same argument and order Jiν(ν), Yiν(ν) and Kiν(ν). ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jiν(ν)
Yiν(ν)
Kiν(ν)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. −. . . . . −.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index Anger function – first derivatives with respect to order 210, 211, 215–224 – functions of equal order and argument 210, 212, 213, 545–547 – integral representation 141, 210 – second derivatives with respect to order 210, 212, 213, 225–234 – third derivatives with respect to order 210, 213, 214, 235–244 Bessel function of the first kind – first derivatives with respect to order 1–3, 5–15 – functions of equal order and argument 2–4, 543–545 – integral representation 2 – second derivatives with respect to order 1–4, 15–25 – third derivatives with respect to order 1–5, 25–35 Bessel function of the second kind – central-difference formula approximation 35 – first derivatives with respect to the order 35–49 – functions of equal order and argument 543–545 – second derivatives with respect to the order 35, 36, 49–61 – third derivatives with respect to the order 35, 37, 62–74 Integral Bessel function of the first kind – central-difference formula approximation 429 – first derivatives with respect to order 429, 431, 432, 444–453 – functions of equal order and argument 430, 431, 433, 550 – second derivatives with respect to order 429, 433, 434, 454–463 – tabulation of the function 434–444 Integral Bessel function of the second kind – central-difference formula approximation 463
https://doi.org/10.1515/9783110682472-005
– first derivatives with respect to order 463, 477–489 – functions of equal order and argument 541–542, 550 – second derivatives with respect to order 463, 465, 490–501 – tabulation of the function 465–477 Kelvin function of the first kind – central-difference formula approximation 281 – first derivatives with respect to order 281, 283–281 – functions of equal order and argument 541–542, 548–550 – second derivatives with respect to order 281, 284–286 – tabulation of the function 286–315 Kelvin function of the second kind – central-difference formula approximation 315 – first derivatives with respect to order 315, 317–318 – functions of equal order and argument 541–542, 548–550 – second derivatives with respect to order 315, 319–320 – tabulation of the function 320–349 Modified Bessel function of the first kind – first derivatives with respect to order 74–76, 79–89 – functions of equal order and argument 74–76, 78 – integral representation 74 – second derivatives with respect to order 74, 76, 77, 89–98 – third derivatives with respect to order 74, 78, 79, 99–108 Modified Bessel function of the second kind – first derivatives with respect to order 109, 111–120 – functions of equal order and argument 109 – integral representation 109
552
Index
– second derivatives with respect to the order 109, 110, 120–130 – third derivatives with respect to the order 109, 110, 130–140 Modified integral Bessel function of the second kind – central-difference formula approximation 502 – first derivatives with respect to order 502, 503, 516–528 – functions of equal order and argument 541–542, 550 – second derivatives with respect to order 502, 503, 528–540 – tabulation of the function 504–516 Modified Kelvin function of the first kind – central-difference formula approximation 349 – first derivatives with respect to the order 349, 351–352 – functions of equal order and argument 541–542, 548–550 – second derivatives with respect to the order 349,352 – tabulation of the function 353–388 Modified Kelvin function of the second kind – central-difference formula approximation 389 – first derivatives with respect to the order 389, 390–391 – functions of equal order and argument 541–542, 548–550 – second derivatives with respect to the order 389, 391–392 – tabulation of the function 392–428
Modified Struve function – central-difference formula approximation 175 – first derivatives with respect to the order 175, 177, 180–189 – functions of equal order and argument 176, 177, 179 – second derivatives with respect to the order 175, 177, 190–199 – third derivatives with respect to the order 175, 179, 180, 200–209 Struve function – central-difference formula approximation 141 – first derivatives with respect to the order 141–143, 146–155 – functions of equal order and argument 141–143, 145, 545–547 – second derivatives with respect to the order 141, 143, 144, 156–165 – third derivatives with respect to the order 141, 145, 146, 165–175 Weber function – first derivatives with respect to the order 245, 246, 250–259 – functions of equal order and argument 245, 247, 248, 545–547 – integral representation 245 – second derivatives with respect to the order 245, 247, 248, 260–269 – third derivatives with respect to the order 245, 248, 249, 270–280