Bauelemente des Flugzeuges [2. Aufl. Reprint 2019] 9783486773132, 9783486773118

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
I. Statik des ebenen Fachwerkes
II. Biegung
III. Verdrehung
IV. Biegungsverdrehung
V. Knickung und Knickbiegung
Sachverzeichnis

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H.Wagner

• G.Kimm

Bauelemente des Flugzeuges n a c h Vorlesungen v o n

Dr.-Ing. Herbert Wagner ehemals o. Professor u n d Leiter des Flugtechnischen I n s t i t u t s an der Technischen Hochschule Berlin b e a r b e i t e t von

Dr.-Ing. Gotthold Kimm BerKn-Karlshorst

2. A u f l a g e Mit 280 Bildern

M ü n c h e n und B e r l i n 1942 V e r l a g v o n R. O l d e n b o u r g

Copyright 1940 by R. Oldenbourg, München und Berlin Manuldruck von F. Ulimann G. m. b. H., Zwickau/Sa. Printed in Germany

Vorwort. Der Unterricht über „Bauelemente des Flugzeuges" besteht zu einem großen Teil aus Konstruktionsübungen. In den Vorlesungen werden die für die Konstruktion erforderlichen Grundlagen gebracht, die sich in Betrachtungen über die allgemeine Festigkeit und den Kraft verlauf sowie die Darlegung besonderer Rechenverfahren für die im Flugzeugbau übliche Bauweise gliedern. Schließlich sind die Werkstoffragen zu behandeln. Im vorliegenden Buch sind nur die allgemeinen Festigkeitsfragen in der für die Studenten der ersten Semester geeigneten Form wiedergegeben. Es ist beabsichtigt, in allfälligen späteren Auflagen den Stoff zu erweitern. Herrn Dr.-Ing. Kimm, der den Lehrstuhl seit meiner Beurlaubung und meinem späteren Ausscheiden von der Technischen Hochschule zu Berlin betreut, danke ich bestens für die seiner Initiative entspringende Bearbeitung des vorliegenden Buches. Berlin, im März 1940. H. Wagner.

Inhaltsverzeichnis. Seile

I. Statik de» ebenen Faclmerks A. Der s t a t i s c h träger

bestimmte !

13 ebene

Fachwerk-

1. Knoten mit dem Boden verbunden a) Ein Knoten b) Der einfache Fachwerkträger a) Erforderliche Stabzahl ß ) Stabkraftermittlung c) Der allgemein aufgebaute Fachwerkträger . . a) Erforderliche Stabzahl ß) Stabkraftermittlung 2. Scheibe mit dem Boden verbunden a) Erforderliche Stabzahl b) Stabkraftermittlung 3. Knoten und Scheiben mit dem Boden verbunden a) Erforderliche Stabzahl b) Stabkraftermittlung , B. Die s t a t i s c h

bestimmte

Fachwerkscheibe.

13 13 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 10

.

19

Die einfache Fachwerkscheibe Die allgemein aufgebaute Fachwerkscheibe . . . Das Superpositionsgesetz Aufbau und Stabkraftermittlung a) Einfache Fachwerkscheibe b) Allgemein aufgebaute Fachwerkscheibe a) Zwei Scheiben, durch drei Stäbe verbunden ß ) Drei Scheiben, durch je zwei Stäbe verbunden (Dreigelenkbogen) y) Stabvertauschung: Methode von Henneberg c) Analytische Methode 8. Vorgang bei Stabkraftermittlung 9. Cremonaplan

19 20 21 23 23 23 23

4. 5. 6. 7.

C.

13

Formänderung Fachwerke

statisch

bestimmter

10. Williotscher Verschiebungsplan 11. Verschiebung nach Maxwell und Mohr

ebener

. . . .

25 26 27 27 28 29 29 32

—

6

—

Seite

D. S t a t i s c h u n b e s t i m m t e e b e n e F a c h w e r k e . . . 12. Nicht vorgespannte, statisch unbestimmte Fachwerke ' a) Einfach statisch unbestimmtes Fachwerk . . b) Zweifach statisch unbestimmtes Fachwerk . . 13. Lösung statisch unbestimmter Fachwerke mit Hilfe des Verschiebungsplans 14. Statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk mit Vorspannung E. A l l g e m e i n e Fachwerk

Betrachtungen

über

das

ebene

15. Symmetriebetrachtungen bei ebenen Fachwerken 16. Gründe für den statisch unbestimmten Aufbau von Flugzeugbaugliedern 17. Formänderungsarbeit von ebenen Fachwerken . . 18. Betrachtungen über die Steifigkeit von ebenen Fachwerken 19. Satz vom Minimum der Formänderungsarbeit II. Biegung

37 37 37 40 41 42 43 43 48 49 51 55 58

A. A l l g e m e i n e s ü b e r S c h w e r p u n k t e , T r ä g h e i t s m o m e n t e u n d T r ä g h e i t s r a d i e n von F l ä c h e n .

58

20. Bestimmung von Schwerpunkten und Trägheitsmomenten für beliebige Querschnittsformen . . a) Schwerpunkt b) Trägheitsmomente c) Trägheitsradius d) Achsenverschiebung e) Achsendrehung

58 58 59 59 60 60

21. Tips für die praktische Berechnung von Trägheitsmomenten

62

a) Einfache Querschnittsformen 62 b) Komplizierte Querschnittsformen . . . . . . 64 c) Tips für ausgezeichnete Querschnitte . . . . • 66 B. D e r g e r a d e B i e g u n g s b a l k e n 22. Beziehung zwischen äußeren und inneren Kräften bei reiner Biegung a) Einfache Biegung b) Schiefe Biegung

» in Richtung von G. 3

Satz: Verlängert sich in einem Fachwerk ein Stab um A l, so verschiebt sich ein Punkt 1 des Fachwerks um x —•

AI - U

wobei U die Stabkraft infolge der am Punkt 1 in Richtung von x wirkenden Kraft G ist. Der Einfachheit halber wird G = 1 angenommen, mithin ist U_ AI • u x — AlG (u = Stabkraft für Einheitsbelastung G = 1, beide dimensionslos). B e i s p i e l l l ; l . Gegeben: Löngenänderungen A l der Stäbe. Gesucht: Verschiebung des Punktes 1 in Richtung jr. Man bringt am Knoten 1 in Richtung j die Einheitsbelastung G = 1 an. Stabkräfte hierzu heißen u. 1. Nur Stab a ändere seine Länge um Ala\ mithin: xa = un • A la. Bild 35. B e s t i m m u n g d e r Verschiebung eines F a e h w e r k k n o t e n s n a c h Maxwell Mohr.

xb = Ii b • A /¡, usw.

Ges^mtverschiebung: X

= xa

xb

xc

x = Zu-Al

2. Nur Stab b ändere seine Länge um Al b ; mithin:

. . . = ¡V Ala +ub= ZS-

Alb+

u-r = E o • l/E • u

. ( 1 1 ; 1)

Formaler Rechnungsgang: Bestimme: 1. die Längenänderung AI für alle Stäbe infolge der Lasten P ; 2. die Stabkräfte u infolge G = 1 in Richtung der gesuchten Verschiebungskomponenten (Cremonaplan); 3. die Verschiebung x = ZA l • u.

— 35 — Vergleich von W i l l i o t s V e r s c h i e b u n g s p l a n mit M a x w e l l - M o h r . Gibt Verschiebungsvektoren Gibt nur Verschiebungskomaller Knoten ponente eines Knotens Geht auch für nicht einfache Geht nur für einfach aufgeFachwerke baute Fachwerke Geht auch für räumliches Geht nur für ebenes FachFachwerk werk Schematische Arbeit. Da m a n bei Berechnung statisch unbestimmter Systeme (vgl. unten) nur eine Verschiebungskomponente braucht, gibt Maxwell-Mohr für diesen Fall nicht weniger als der Verschiebungsplan. B e i s p i e l 11; 2: Gegeben: Äußere Belastung P. Gesucht: Verschiebung von 1 in j-Richtung. Gang der Rechnung: Ermittlung der Stabkräfte S unter äußeren Kräften P (Cremonaplan).

Bild 36a b i s c.

Berechnungsbeispiel: Bestimmung der Verschiebung F a c h w e r k k n o t e n s n a c h Maxwell M o h r .

Querschnitte entsprechend Stabkräften S festlegen. Berechnung von r — -=—7 bzw. von r • E = -r E-f f

eines

— 36 — Ermittlung der Stabkräfte u für G = 1 (Cremonaplan). 1

x — -g • ZE • S -u-r. Stab a

b c d e f

i

cm

W

t

s kg

cm» c m - 1

85 820 85 150 100 438 68 522 115 — 610 7 6 — 350

à l 2 2 3 2

E•S•u

u

kg c m - 1

• r

28,3 1,96 85 0,27 50 0,94 34 1,33 38,4 — 1,95 38 — 1,44

45 500 3 400 21400 23 600 45 600 19 100 = 600 x-E--= E • 2 S • u • r158 Tabelle 11; 1. 158600 = 0,212 cm 750000

=

B e i s p i e l 11; 3: Wieviel verschiebt sich der Punkt 5 in Richtung der Kraft P infolge von P (Bild 37) ?

S = P-u, x = ZS-u-r=ZP-u2-r

= P- Zu2 • r

B e i s p i e l 11; 4 : Fachwerkscheibe. Wie groß ist die Änderung x der Entfernung zweier Knoten bei der Fachwerkscheibe infolge Belastung durch die Gleichgewichtsgruppe P (Stabkräfte S) (Bild 38) ? Wir denken uns die Fachwerkscheibe gelagert (insbesondere auch einen der beiden in Frage stehenden Knoten festgehalten). Wir bringen an den beiden Knoten, deren Abstandsänderung gesucht wird, die Gleichgewichtsgruppe G — 1 an (Stabkräfte u). Bild 3 7 . Berechnungsbeispiel : Fachwerkträger.

=

SS-u-r.

Da die Stabkräfte S und u unabhängig von der gedachten Lagerung sind, gilt auch x = SS -u-r unabhängig von der gedachten Lagerung.' Die Lagerung können wir also in der Rechnung sparen.

Stabkräfte S unter Gleichgewichtsgruppe P. Bild 38.

S t a b k r ä f t e u unter Gleicligewichtsgruppe G = 1.

B e s t i m m u n g der Abstandsänderung zweier Knoten einer Fachwerkscheibe n a c h Maxwell Mohr.

D . Statisch unbestimmte ebene Fachwerke. 12. Nicht vorgespannte, statisch unbestimmte Fachwerke. Einfach (nfach) statisch unbestimmt heißt: Es ist ein Stab (sind n-Stäbe) mehr vorhanden, als für statisch bestimmten, d. h. geometrisch eindeutigen Aufbau erforderlich ist (sind). a) E i n f a c h s t a t i s c h u n b e s t i m m t e s

Fachwerk.

Als »überzähliger« Stab kann jeder beliebige Stab angesehen werden, z. B. Stab 1—4. Der überzählige Stab sei so lang, daß er beim Zusammenbau des Fachwerks genau zwischen Knoten 1 und 4 paßt. Dann besteht keine Vorspannung in belastungsfreiem Zustand. B e z e i c h n u n g e n . Denkt man sich den überzähligen Stab a n e i n e m E n d e g e l ö s t , so bezeich- Bild 39. E i n f a c h statisch un bestimmte Fachwerkscheibe. net m a n dieses »Fachwerk« als »Hauptnetz«. S t a b k r ä f t e i m H a u p t n e t z werden wie im Bild 40 bezeichnet: E r k l ä r u n g : Man bringt die äußeren Kräfte P an. Wie groß sind die Stabkräfte ? Die Aufgabe ist statisch (d. h. allein mit Gleichgewichtsbedingungen) nicht lösbar, da mehr unbekannte Stabkräfte als Gleiehgewichtsbedingungen vorhanden sind.

38 — F ü r jede beliebige Größe der Stabkraft X im »überzähligen« Stab gibt es einen Gleichgewichtszustand, d. h. Stabkräfte in den übrigen Stäben, die untereinander und mit den

3) S t a b k r ä f t e u n t e r ä u ß e r e r L a s t P heißen S 0 .

b) S t a b k r ä f t e . u n t e r d e r GleichgeW i c h t s g r u p p e G = 1 ( a n g e b r a c h t an d e r gelösten Stelle in R i c h t u n g des überzähligen Stabes) heißen u.

c) Diese Belastung d u r c h die Gleichg e w i c h t s g r u p p e X r u f t int ü b e r z ä h ligen S t a b die K r a f t X, in den a n d e r e n S t ä b e n die K r ä f t e X • u h e r v o r .

d) S t a b k r ä f t e u n t e r P u n d X gleichz*itig (endgültige S t a b k r ä f t e ) . h e i ß e n S = S„ + X • u.

Bild 40.

B e z e i c h n u n g d e r S t a b k r ä f t e im

Hauptnetz.

äußeren Kräften an jedem Knoten Gleichgewicht ergeben. Um die wirkliche Größe von X zu bestimmen, muß die Deformation des Fachwerks betrachtet werden.

P Bild 41.

Z u r S t a b k r a f t e r n i i t t l u n g bei e i n e r e i n f a c h s t a t i s c h Kachwerkscliei be..

unbestimmten

Man löst den überzähligen Stab an einem Ende und bringt dann die äußere Belastung P an. Infolge der Deformation der Stäbe wird jetzt der überzählige Stab nicht mehr an den gelösten Knoten passen. Man bringt nun die zwei Kräfte X

— 39 — an der gelösten Stelle in solcher Größe an, daß sich die Stelle wieder verbinden läßt, daß also die Änderung x der E n t f e r n u n g der beiden P u n k t e der Lösungsstelle unter der gleichzeitigen W i r k u n g von P und X Null ist. Nach Gleichung 11; 1 ist: Ex = 0 = EA l • u = ES • u • r — E (»S^-)- X • u) • u • r = ES0 • u • r - f - X Eu2 • r Die S t a b k r a f t im überzähligen Stab ist also: E S0u- r Eu2

(12; 1)

Die S t a b k r ä f t e in den übrigen Stäben sind: S = S0 + X • ii. Solche gleichzeitig a u f t r e t e n d e Längungen A l in den Stäben, die für eine (bzw. für jede) gelöst gedachte Stelle die Verschiebung x = EA l - u = 0 ergeben, bilden einen »möglichen Deformationszustand«. B e i s p i e l 12; 1: Gegeben: Querschnitt f und Längen l aller Stäbe, also auch r =

Äußere Belastung P. E j Gesucht: Sämtliche Stabkräfte.

Bild 42. B e r e c h n u n g s b e i s p i e l : E i n f a c h s t a t i s c h u n b e s t i m m t e F a c h w e r k s c h e i b e .

L ö s u n g : Man löst irgendeinen S t a b an einem Ende (nach Möglichkeit bewahrt m a n dabei die Symmetrie). X

=-

E S0- u • r Zu2 -r

12

7

Endgültige S t a b k r ä f t e S = S0 + X- u.

=

1,71kg.

— 40 — r Stab cm kg1

u

S. kg

a

2

3/f2~

b

1

sin

c

2

3/V2

d

1

e

3

3/y 2 0

f

1

—3

-

m

-1/V2

-1/V2 -1/V2

So ur cm

kg

3

1

0,91

— —

1,5 3

0,5

0,91

1

0,91

—

1,5 0

0,5

0,91

3

3 1

— 12

7

—

2 S0 ur =

S = S, + X-u

—

—1 —1

u" r cm kg- 1

1,71 — 1,29

= 2 u2r

Tabelle 12; 1.

B e m e r k u n g . Diese Aufgabe, bei gegebenen Stabquerschnitten die Stabkräfte im statisch unbestimmten System zu bestimmen, ist leicht zu lösen. Die Aufgabe des Konstrukteurs ist aber: Für gegebene äußere Belastungsgruppen den Fachwerkaufbau und die Stabquerschnitte f so zu wählen, daß das Fachwerk möglichst leicht wird. Da selbst nach Wahl des Aufbaues wegen der noch unbekannten Stabquerschnitte f die Stabkräfte nicht aus obigen Gleichungen ermittelt werden können, kann diese schwierige Aufgabe nur durch'geschicktes, den besonderen Bedingungen angepaßtes Probieren gelöst werden: 1. Man muß den wirklichen Gleichgewichtszustand (d. h. die Stabkräfte) so schätzen (wählen), daß die zugehörigen Stabquerschnitte f ein möglichst leichtes Fachwerk ergeben und die zugehörigen Stablängungen voraussichtlich angenähert einen »möglichen DeformationSzustand« bilden. 2. Mit diesen Querschnitten f aus obigen Gleichungen neue Stabkräfte S berechnen und dann die Querschnitte f verbessern. 3. Mit diesen neuen Querschnitten die Rechnung wiederholen usw., bis Übereinstimmung mit den zulässigen Spannungen erzielt ist. Je besser der ursprüngliche Gleichgewichtszustand geschätzt war, um so schneller führt die Rechnung zum Ziel. b) Z w e i f a c h s t a t i s c h u n b e s t i m m t e s

Fachwerk.

Z w e i ü b e r z ä h l i g e S t ä b e . Bildung des Hauptnetzes durch Lösen der überzähligen Stäbe an einem Ende.

— 41 Unter der gleichzeitigen Wirkung der äußeren Kräfte P und der Stabkräfte X und Y in den überzähligen Stäben müssen die Verschiebungen x und y Null sein. Im Hauptnetz heißen: u die Stabkräfte infolge X = 1 v

»

»

»

Y = 1

Endgültige Stabkräfte S =.S0 -f X • ii + Y • v. Aus Gl. (11; 1) erhält man hiermit:

Bild 43. Zweifach statisch unbestimmte Fachwerkscheibe.

x = Z S • r • u = Z S0 - r • u + X • Z r • u? + Y -Zr-u-v = 0 y = Z S • r • v =r Z S0- r • v + X • Z r • uv + Y • Zr • v2 =0 . . . (12; 2a und b) Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich die beiden Unbekannten X und Y ermitteln. 13. Lösung statisch unbestimmter Fachwerke mit Hilfe des Verschiebungsplans. Bekannt: 1. Äußere Kräfte, l 2. r = der Stäbe. E-f L ö s u n g : Man löst einen Stab am Ende und erhält in diesem Hauptnetz die Stabkräfte Für die zugehörigen Längungen Al0 = - r der Stäbe erhält- man durch einen Verschiebungsplan die Änderung der Entfernung x0 an der gelösten Stelle. Für die Kräfte »Eins « an der Trennungsstelle erhält man mit den Stablängungen A lu = u • r aus einem Verschiebungsplan /To XnrloY.iinrf -v d i e Ä n d e r u n g xu.

BIM 44a u. b. z u r Lösung statisch unbestimmter Fachwerke mit Hilfe des Verschiebungsplans.

Da x0 -f- X • xu = 0 sein muß, ist X —

• xu B e m e r k u n g : Den Verschiebungsplan verwendet man meist nur zur Kontrolle, ob die nach Maxwell-Mohr ermittelten Stabkräfte s — S + X •u einen möglichen Deformationszustand bilden. 14. Statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk mit Vorspannung. W i e groß sind die unter der Belastung P auftretenden Stabkräfte S, wenn das Kabel im belastungsfreien Zustand eine Vorspannung K v besitzt. Bei der Ermittlung von Ä'2 ist zu beachten, daß die Verschiebung des Knotens A nur durch die zusätzlichen StabFar = 3152 ~ Den aus der statisch unbestimmten Rechnung erhaltenen, für die symmetrische Belastung gültigen Stabkräften sind noch die Stabkräfte aus der antisymmetrischen Belastung zu überlagern. Die für die Dimensionierung maßgebenden Stabkräfte sind in Spalte 10 eingetragen. Die hiernach neu festgelegten Stabquerschnitte weisen gegenüber den geschätzten nur eine größte Abweichung von 8,4% (Stab h) auf 1 ). Da die Stabquerschnitte aus konstruktiven Gründen immer nur angenähert den Stabkräften angepaßt werden können und außerdem bei Druckstäben die zulässigen Spannungen je nach der Größe der angenommenen Verkrümmung um mehr als 10% schwanken, kann man diese Abweichungen als vernachlässigbar betrachten. Für den Konstrukteur ist also bereits die Schätzung der Stabquerschnitte als ausreichend anzusehen. Die statisch unbestimmte Rechnung wäre nur für einen Festigkeitsnachweis einer endgültigen Konstruktion erforderlich. 16. Gründe für den statisch unbestimmten Aufbau von Flugzeugbaugliedern. a) Statisch unbestimmt ist oft einfacher, leichter oder gibt größere Sicherheit bei Bruch eines Baugliedes. 1. Gewichtsersparnis bei verteilter oder wechselnder Last. Großes Baugewicht bei stetig verteilter Belastung und statisch l ) Man beachte, daß für diesen Stab der Unterschied zwischen den geschätzten und den errechneten Stabkräften für die symmetrische Belastung allein 110 °/0 beträgt.

.,. m i H t m i n H H ti i

nicht lt

so

I

J

,

sondern

i I I H H I I H, H• U M

[I1 M I |

Bild 51a u. b. Träger mit verteilter Belastung. Gewichtsersparnis durch statisch unbestimmte Bauweise.

— 49 — bestimmter Bauweise. Konstruktion.

Leichter wird statisch

unbestimmte

2. Größere Sicherheit, z. B . Motorbock (Vibrationen). Beim Bruch eines Baugliedes ist die verbleibende Konstruk-

Bild 52 u. 53. l l o t o r b o c k und vielholmiger F l ü g e l ( J u n k e r s ) : Größere S i c h e r heit bei s t a t i s c h u n b e s t i m m t e r B a u w e i s e .

tion meistens noch stabil; nur die Sicherheit gegen Bruch ist vermindert. b) Symmetrischer Aufbau bedingt oftmals statisch unbestimmten Aufbau (eine Diagonale würde schon ausreichen).

Türpfosten

statisch bestimmt B i l d 54. F l u g b o o t s p a n t : Statisch unbestimmter Aufbau aus Symmetriegründen.

wegen T ü r p f o s t e n s t a t i s c h unbestimmt

B i l d 55. Flugbootspant: Statisch unbestimmter Aufbau aus Baulichkeltsgründen.

- c) Aus Baulichkeitsgründen sind Bauglieder vorhanden, die man nicht vermeiden kann (z. B. Türpfosten). 17. Formänderungsärbeit von ebenen Fachwerken. Ein an einem Ende gehaltener Stab wird am freien Ende mit einer allmählich von 0 bis S anwachsenden Stabkraft belastet. Hierbei wird der Stab um einen, linear mit S zunehmenden, Betrag AI gelängt. Trägt man die zu jeder Längung A l gehörige Stabkraft S über AI als Abszisse auf, so gibt die Fläche zwischen der K i m m , Flugzeug.

4

— 50 — Abszisse und der Kurve S = f (AI) die von der anwachsenden Stabkraft auf dem Wege AI geleisteten Arbeit an. Mit den Bezeichnungen: / = ursprüngliche Länge des Stabes, f = Querschnitt des Stabes, und

wird die äußere Formänderungsarbeit: -

1—

i

2

c

,

.

^

2

I i i _ l

iE:/

2

(17; 1)

2

Ef

Dieser äußeren Formänderungsarbeit entspricht eine innere Formänderungsarbeit der inneren Stabspannkräfte o • f = S: 2" Mit f-l=

'

E

I

E

V = Volumen des Stabes ist: A*i

-

1 o2 - V ' 2 E

(17; 2)

Da die Stabkraft S bzw. die Stabspannung a in der zweiten Potenz auftritt, ist die Formänderungsarbeit immer positiv.

Bilrl 56. Zur Forniänderungsarbeit von ebenen Fachwerken.

B e i s p i e l 17; 1: Die Holme eines Flugzeugs wiegen G — 100 kg (Duraluminium : E = 0,7 • 10« kg/cm«; y = 2,8 g/cm3). Sie erfahren im Fluge eine Spannung von a = 1000 kg/cm2.

Wie groß ist ihre Formänderungsarbeit ? 100•1000 7 1 o2 • V = ~ 2 E

2,8

= 35700 cm3.

1 10002 • 35700 = 25500 cm kg = 255 m kg. 2 0,7 • 106

— 51 — B e i s p i e l 17; 2: Gegeben: Fachwerk mit äußerer Belastung P und Stabkonstanten r — -J- 7 für alle Stäbe. E-f Gesucht: Formänderungsarbeit des Fachwerks und Verschiebung x des Knoten 1 in Richtung von P. L ö s u n g : Stabkräfte S unter Belastung P bestimmen (z. B. Cremonaplan). Bilä 57. Zur B e s t i m m u n g der Die innere Formänderungs- Verschiebaug eines Fachwerkknotens mittels der Formarbeit des gesamten Fachwerks änderungsarbeit. ist gleich der Summe der Formänderungsarbeiten der einzelnen Stäbe infolge der Stabkräfte S, also * A( = ~2 Z S2-r. Da A\ = Aa ist, gilt auch: 1 1 ZS2 • r = P • x. Löst man nach x auf, so erhält 2t A man die gesuchte Verschiebung: 1 x = -p E S^-r. g Bezeichnet man mit u = — die Stabkräfte infolge einer Belastung »1« an Stelle von P, so erhält man durch Erweiterung P

mit -yr P :

/ — f l ) können n u r Querk r ä f t e ( V ) w i r k e n . Die D e formationsbedingung isl:

Es treten nur Längsf a l t e auf. Momente sind an allen S t e l l e n gleich Null.

• ds • y.

Bild 131.

9 = 0 = 1 eTJ Berechnungsbeispiel: Einfach symmetrischer Rahmen mit veränderlichem T r ä g h e i t s m o m e n t , beliebig b e l a s t e t .

Die Ermittlung der Beanspruchung für den antisymmetrischen Belastungsteil wird analytisch durchgeführt, da die Krümmungsflächen sich sehr einfach angeben lassen. 0 ^ - ^ . d s - y — ^ - d s - y ,

I

M

T

3-V5Q3 d

"

v

=

0 =

2

-2Ti£-

502-150

1

3"

10 •150 2 •50 2-1 5875 1

=

n

r

.

y^SO

1

2-5

10.-150-50-25 5 , , „, =

'

d. h. 3

2_

3

, 30 • 50® 2-5

g

y 2 = 3 0 — 1 4 , 3 = 15,7 kg. 15

I«

+ I Bild I 3 ! a .

i*

Zur B e s t i m m u n g d e r K r ü m m u n g s f l ä c h e n für den a n t i s y m m e t r i s c h e n Belastungsanteil.

— 113 — B e i s p i e l 29; 7: Zweifach symmetrischer Rahmen mit konstantem Trägheitsmoment, symmetrisch zur einen Achse belastet. Die zur senkrechten Achse symmetrisch zur senk- symmetrisch zur senksymmetrische Belastung rechten Achse, symme- rechten Achse, antisymwird zerlegt in die Bela- trjsch zur waagerechten metrisch zur waagerechAchse, ten Achse. stungsanteile :

p/2 ergibt kein Moment, sondern n u r Druckkräfte im Ring. Beanspruchung infolge PI2 wie im Beispiel 29; 5.

ImAntisymmetrieschnitt kann nur eine Querkraft (Y) wirken. Die Deformationsbedingung ist: ,)

ds - y.

E-J

Bild 132. Zweifach symmetrischer Rahmen mit konstantem Trägheitsmoment, symmetrisch zur einen Achse belastet.

Tip für die Rechnung bei gleichmäßig verteilter Belastung. Für einen einseitig eingespannten Kreisbogen belastet durch die gleichmäßig verteilte Last p gilt: Resultierende von p bis zur Stelle 1. H =

p - 2 r

! i n

T

Moment an der Stelle 1. —

R •

• sin Ty

— p •

=

p •

2 r2

sin*

2 r ( l — cos a). 2

Die verteilte Belastung p ist in bezug auf den Momentenverlauf (aber nicht bezüglich des Querkraftverlaufs) identisch mit einer am freien Ende angreifenden Einzelkraft X = p • r, denn es ist M x = X • r (1 — cos x ) p • r2 (1 — cos a). K i m m , Flugzeug.

Bild 133. Zum Tip f ü r die Berechnung desMomentenverlaufs bei gleichmäßig verteilter Belastung.

8

— 114 — Anwendung auf den antisymmetrischen Lastanteil (Bild 132). Die Det'ormationsbedingung für die Stelle L ist: t) = 0. Man muß die Wirkungslinie so legen, daß F1-yi

= Fi-

y2.

Bild 134. Zur Bestimmung der Krümmungsfläche für den antisymmetrischen Belastungsanteil u n t e r Anwendung des Tips.

Die Größe von R findet man aus dem Krafteck. Da Größe und Richtung von R bekannt sind, kann jetzt das Moment, für jede Stelle angegeben werden.

D. Die Festigkeit von Biegungsträgern. 30. Allgemeine Betrachtungen. Da die Bruchlast beim Biegungsträger im allgemeinen bestimmt ist durch die größte, in der Randfaser auftretende Längsspannung, liegt es nahe, die aus einem Zerreißversuch ermittelte Bruchspannung als zulässige Grenze einzuführen. Für diejenigen Werkstoffe, für die Zug- und Druckspannungen gleich hoch liegen (Walz- und Schmiedeteile), wählt man für die Bestimmung der zulässigen Beanspruchung den Zugversuch, der sich durch eine große Einfachheit in der Versuchsdurchführung auszeichnet. Werkstoffe, für die die Bruchspannung auf Zug und Druck verschieden hoch liegt (Holz, Guß), müssen zwangsläufig auch einem Druckversuch unterworfen werden. (Auf die Herabminderung der zulässigen Druckspannungen bei schlanker Ausbildung der Bauteile wird in diesem Abschnitt nicht eingegangen.) Für die Beurteilung der Zulässigkeit dieses Verfahrens sollen zunächst die durch einen Zugversuch ermittelten

— 115 — Zusammenhänge zwischen den Spannungen und Formänderungen erläutert werden. 31. Spannungs-Dehnungsdiagramm. Beim Zugversuch werden beim allmählichen Aufbringen der Belastung die zu jeder Last P gehörigen Längungen AI des Stabes fortlaufend oder auch nur für einzelne Laststufen gemessen. Mit den vor Belastung gemessenen Werten für die Meßlänge l und den Querschnitt f des Stabes errechnet man die Spannung: a = - y

und

die zugehörige Dehnung: AI ^ e = —j~ • Trägt man die Spannungen in Abhängigkeit von den Dehnungen Bild 135. Spannungs-Dehnungsdiagramm für einen Zugstab. auf, so erhält man das Spannungs-Dehnungsdiagramm, das z. B für Dural die in Bild 135 wiedergegebene typische Gestalt aufweist. Für die Abhängigkeit der Dehnungen von den Spannungen lassen sich danach folgende charakteristische Grenzen feststellen. ap = Proportionalitätsgrenze. Bis zu dieser Spannung ist die Dehnungszunahme direkt proportional der Spannungszunahme. Dieses lineare Verhalten wird ausgedrückt durch das Hookesche Gesetz - r - = E — const oder auch a= E • e. de Die vom Werkstoff abhängige Größe E -wird mit Elastizitätsmodul bezeichnet und besitzt die Dimension einer Spannung (kg/cm 2 ). Setzt man die Dehnung £ = - ^ • = 1; d. h. Al — l, so ist a —

E-1.

Man kann also den Elastizitätsmodul als die Spannung definieren, bei der der Stab um den Betrag seiner ursprünglichen Länge gelängt wird.

8*

—

116

—

aE = Elastizitätsgrenze. Bis zu dieser Spannung nimmt der Stab nach dem Entlasten seine ursprüngliche Länge ein, d. h. es treten keine bleibenden Dehnungen auf. Wegen der Schwierigkeit der Bestimmung dieser ^Grenze hat man diese so festgelegt, daß nach dem Entlasten die bleibende Dehnung e oa.

Bild 136 c. Einfluß der Querschnittsform auf den Größenunterschied zwischen der — aus einem Biegebruchversuch ermittelten — rechnerischen Bruchspannung or und der wirklichen Bruchfestigkeit a«.

der Außenfaser die zulässige Zugfestigkeit überschritten wird. Die aus diesem Bruchmoment unter Zugrundelegung einer M linearen Spannungsverteilung errechnete Spannung o r = ist immer größer als die wirkliche Zugfestigkeit aB, und zwar ist der Unterschied um so größer, je geringer der im Bereich hoher Spannungen liegende Teil des Querschnitts ist, wie es aus den beiden Extremfällen (Bild 136c) leicht ersichtlich ist.

c) Z u s a m m e n f a s s u n g . Die Behinderung der Querdehnung und die Überschreitung der Elastizitätsgrenze ergeben zusammen eine unter Umständen erhebliche Erhöhung der aus einem Biegebruchversuch errechneten Spannung gegenüber der wirklichen Zugfestigkeit. Die rechnerische Biegefestigkeit ist in starkem Maße von der Querschnittsform abhängig, wie es an den folgenden Querschnitten erläutert wird. a. Bei aufgelösten Querschnitten wird die Querdehnung kaum behindert. Die hohen Spannungen treten in einem großen Bereich auf. Es ist also a r nicht viel größer als a g . b. Beim schmalen hohen Rechteck ist der Bereich hoher Längsspannungen gegenüher a kleiner; Unterschied zwischen or und o„ etwas größer als bei a. c. Bei diesen Querschnitten ist im Bereich der hohen Längsspannungen die Querdehnung stark behindert; Bereich hoher Längsspannungen außerdem klein. ar sehr viel größer als a„. d. Bei sehr dünnwandigen Querschnitten ist aT = aBl\ sie schalten jedoch für diese Be- Bild 137. Zum E i n f l u ß der Querauf die Größe der trachtungen aus, da sich ihre schnittsformen rechnerischen Bruchspannung. Bruchfestigkeit nach der Verbeulungsgefahr an der Druckseite richtet. Im Flugzeugbau wählt man jedoch die zulässige Spannung nicht größer als die Zugfestigkeit aB. Andernfalls würden bei den auf Biegung beanspruchten Elementen plastische Deformationen früher eintreten als bei den durch reine Längskräfte belasteten Baugliedern.

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120

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Gestaltet sich bei kompliziert aufgebauten Konstruktionsteilen die Berechnung zu schwierig oder ist der Kraftverlauf nicht eindeutig zu überblicken, so wird die Berechnung in Praxis durch einen Versuch ersetzt oder zumindest bekräftigt. Ist in solchen Fällen die Bruchbeanspruchung zum größten Teil durch Biegespannungen gegeben, und weist der Bruchquerschnitt die unter Bild 137 c charakterisierte Form auf, so ist es notwendig, die Bruchlast durch Schätzen auf einen solchen zulässigen Wert zu reduzieren, daß die danach errechnete Bruchspannung mit der Zugfestigkeit aB ungefähr übereinstimmt.

E. Schubverbände von Biegungsträgem. 33. Vergleichende Betrachtung zwischen Fachwerk- und Schubwandträger. Der Forderung nach geringem Gewicht Rechnung tragend, legt man im allgemeinen beim Biegungsbalken den Querschnitt möglichst in den Bereich hoher Spannungen, d. h. in die Randfaser. Als Grenzfall eines solchen Biegungsbalkens erhält man den Schubwandträger, bestehend aus zwei großquerschnittigen Gurten, die durch einen dünnen Steg verbunden sind. Die Längskräfte im Steg eines derartigen Schubwandträgers sind einmal wegen des geringen Querschnittsanteils des Steges, zum andernmal wegen der im Mittel geringen Spannungen vernachlässigbar klein. Dem Steg fällt lediglich die Aufgabe eines Schubverbandes zu, wie z. B. dem Fachwerkverband eines Fachwerkträgers mit geraden durchlaufenden Randstäben (Gurten). Man erkennt dies am besten durch eine vergleichende Betrachtung von einem Fachwerkträger und einem Schubwandträger mit parallelen Gurten. a) F a c h w e r k t r ä g e r m i t p a r a l l e l e n G u r t e n . Die Aufgaben, die den einzelnen Baugliedern (Gurte, Schubverband) zufallen, werden deutlich bei einer Stabkraftermittlung (Gleichgewichtsbetrachtung) offenbar. a) Bestimmung der Gurtkräfte (Ritterschnittverfahren).

Man denkt sich nacheinander Schnitte durch die Knoten (1, 2 usw.) gelegt und die in den Schnittstellen wirkenden

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121

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inneren Kräfte als äußere Kräfte angebracht. Vernachlässigt man hier wie auch im folgenden die Biegesteifigkeit der Knoten, so ergibt das Momentengleichgewicht um den jeweilig betrachteten Knoten (Bild 138a): Z M = 0: L x (l) EM--

: 0 : Lo

=

Q-x,

h Q-Xt

h

(2)

=

h

Ll-\-AL.

Man erkennt: Die Größe der Gurtkräfte ist von der Größe des äußeren Moments abhängig.

MK

ü

Bild 138b. Bestimmung der Kräfte im Schubverband aus dem Gleichgewicht der horizontalen Kräfte.

L

t

~

jo

Bild 138a. Bild 138c. Bestimmung der Kräfte Bestimmung der Gurtkräfte beim Fach- im Schubverband aus dem Gleichwerkträger mit parallelen Gurten. gewicht der vertikalen Kräfte.

ß) Bestimmung der Kräfte im Schubverband. 1. Man denkt sich die einzelnen Knoten nacheinander herausgeschnitten und durch die inneren Kräfte ins Gleichgewicht gesetzt. Aus dem Gleichgewicht in horizontaler Richtung findet man z. B. für Knoten 2 (Bild 138b): Zx

=

0:

L2 — L! ==/)«,

+

Dal

=

AL.

Der Unterschied der Gurtkräfte links und rechts von einem Knoten entspricht den horizontalen Komponenten der Stabkräfte des Schubverbandes. (Bemerkung: Die Diagonalkräfte lassen sich auch aus den für die einzelnen Knoten gezeichneten Kraftecken ermitteln.) 2. Man führt neben einem Knoten einen Schnitt durch den Träger. Das Gleichgewicht in vertikaler Richtung ergibt: I Z

=

0:

D

z l

= Q .

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—

Die Vertikalkomponente jeder Diagonalstabkraft spricht der äußeren Querkraft.

ent-

b) S c h u b w a n d t r ä g e r m i t p a r a l l e l e n G u r t e n . Die analogen Beziehungen findet man auch beim Schubwandträger, wenn man für diesen voraussetzt, daß der Steg so dünn, ist, daß die in ihm auftretenden Längskräfte gegen die Gurtkräfte vernachlässigbar klein sind. Desgleichen sei vorausgesetzt, daß die Gurthöhe klein sei gegen die Trägerhöhe, die Änderung der Längskraft über die Gurthöhe also vernachlässigbar sei.