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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP
Sistemas de Bibliotecas da UNICAMP /
Bibliotecário: Maria Lúcia Nery D. de Castro – CRB-8ª / 1724
B294b Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi

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Adalberto B. M. S. Bassi ______________________________________

Bases da Mecânica e da Termodinâmica dos Meios Contínuos

Universidade Estadual de Campinas Instituto de Química Campinas 2011

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP Sistemas de Bibliotecas da UNICAMP / Diretoria de Tratamento da Informação Bibliotecário: Maria Lúcia Nery D. de Castro – CRB-8ª / 1724

B294b

Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bases da mecânica e da termodinâmica dos meios contínuos / Adalberto B. M. S. Bassi. -- Campinas, SP: UNICAMP/Instituto de Química, 2011. “Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)” 1. Termodinâmica. 2. Química. 3. Físico-química. I. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Química. II. Título. CDD – 541.369 – 540 – 541.3

ISBN 978-85-268-0948-2 (Suporte: Papel) ISBN 978-85-268-0949-9 (Suporte: Internet)

Palavras Chave: Mecânica; Termodinâmica; Meios Contínuos; Álgebra Tensorial; Análise Tensorial; Termomecânica; Não Linearidade; Materiais; Matemática Aplicada; Físico-Química Keywords: Mechanics; Thermodynamics; Continuous Media; Tensor Algebra; Tensor Analysis; Thermomechanics; Non Linearity; Materials; Applied Mathematics; Physical Chemistry Equipe: Capa: Giancarlo M. Stein dos Santos Editor: João Carlos de Andrade Universidade Estadual de Campinas Instituto de Química Caixa Postal 6154 13084-970 Campinas (SP) 2011© Adalberto B. M. S. Bassi Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)

Sobre o Autor Adalberto B. M. S. Bassi nasceu em 1945, em Niter´oi, RJ e formou-se Qu´ımico Industrial em 1966, pela antiga Escola Nacional de Qu´ımica da Universidade do Brasil, hoje Escola de Qu´ımica da UFRJ. Fez p´os-gradua¸c˜ao no Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas e ingressou no corpo docente do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1970, onde permanece at´e o presente momento. Doutorou-se pelo Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1976, com uma tese na ´area de interpreta¸c˜ao, por meios mecˆanico-quˆanticos, de intensidades roto-vibracionais de mol´eculas em estado gasoso. Em 1977, fez p´osdoutorado junto ao Quantum Theory Project da University of Florida e, posteriormente, nesta mesma ´area foram defendidos, sob sua orienta¸c˜ao, trabalhos de mestrado e doutorado. Dedicou-se, ent˜ao, a diversas atividades acadˆemico-administrativas, entre as quais destacam-se a de Diretor do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP e a de Pr´o-Reitor de Ensino de Gradua¸c˜ao da mesma Universidade. Ultimamente, restringe suas atividades acadˆemico-administrativas apenas a fun¸c˜oes eletivas de representa¸c˜ao, junto aos ´org˜aos colegiados superiores do Instituto e da Universidade, porque prioriza a pesquisa, a orienta¸c˜ao e o ensino em Mecˆanica e Termodinˆamica dos Meios Cont´ınuos, bem como em Termodinˆamica dos Processos Homogˆeneos.

i

Preˆ ambulo A mecˆanica dos meios cont´ınuos ´e um desenvolvimento da antiga mecˆanica dos fluidos, a qual n˜ao considerava a segunda lei da termodinˆamica. Ambas s˜ao ciˆencias para o mundo macrosc´opico, ou seja, como tamb´em faz qualquer outra ciˆencia cl´assica, por causa da utiliza¸c˜ao do c´alculo diferencial e integral, elas extrapolam o comportamento macrosc´opico para regi˜oes microsc´opicas, onde na verdade tal comportamento n˜ao ocorre. Ali´as, a confirma¸c˜ao experimental da corre¸c˜ao dos resultados obtidos mediante esta extrapola¸c˜ao, em todas as ciˆencias cl´assicas, foi o principal motivo porque tantos excelentes cientistas do passado defenderam ardorosamente a continuidade da mat´eria. Hoje, sabe-se que esta extrapola¸c˜ao ´e correta desde que sejam considerados exclusivamente os seus resultados no mundo macrosc´opico. A mecˆanica dos meios cont´ınuos, por´em, n˜ao ´e s´o um aperfei¸coamento da mecˆanica dos fluidos. Ao incorporar a segunda lei e, em consequˆencia, propriedades como a energia de Gibbs, ela mostra suas profundas ra´ızes na termodinˆamica cl´assica. Por´em, ao contr´ario desta mas como faz a mecˆanica newtoniana, a mecˆanica dos meios cont´ınuos considera que os valores das grandezas materiais variam no tempo e no espa¸co. Por isto, os seus processos n˜ao s˜ao homogˆeneos e atemporais, como os da termodinˆamica cl´assica. Tamb´em por isto, ela n˜ao est´a restrita a processos limites, nem a apenas interligar estados de equil´ıbrio. Ela pretende que o seu modelo represente o mundo macrosc´opico real de modo muito mais pr´oximo e detalhado do que o faz o modelo da termodinˆamica cl´assica. Por outro lado, o uso intenso de funcionais constitutivos evidencia a absor¸c˜ao, por parte da mecˆanica dos meios cont´ınuios, dos conceitos b´asicos da termodinˆamica dos processos irrevers´ıveis. Estas duas ra´ızes s˜ao t˜ao fundamentais quanto aquela na mecˆanica dos fluidos. A elas ´e adicionado o arsenal matem´atico que a an´alise tensorial disponibiliza, facilitando um enfoque pragm´atico e computacional extremamente u ´til para a engenharia dos materiais. A uni˜ao de teorias que se sintetizou na mecˆanica dos meios cont´ınuos apresenta um enorme potencial, inclusive porque a an´alise tensorial ´e uma poderosa ferramenta matem´atica moderna, absolutamente n˜ao dispon´ıvel na ´epoca em que a termodinˆamica cl´assica foi desenvolvida. De acordo com a mecˆanica dos meios cont´ınuos, o que se conserva ´e a energia total, n˜ao ´e a energia interna. A conserva¸c˜ao da energia ´e colocada como um dos pilares desta ciˆencia, junto com as conserva¸c˜oes da massa e dos momentos linear e angular. Por outro lado, frequentemente a segunda lei da termodinˆamica ´e tratada como uma mera condi¸c˜ao limitante, a ser inclu´ıda na constru¸c˜ao dos funcionais constitutivos. Por isto, embora a existˆencia das mencionadas ra´ızes termodinˆamicas, este nome nem sempre ´e associado `a mecˆanica dos meios cont´ınuos. Ali´as, os t´ıtulos das sete referˆencias b´asicas listadas na bibliografia evidencia a diversidade de nomes usados para designar esta ciˆencia. Este autor prefere manter associadas as palavras mecˆanica e termodinˆamica, como fazem os

ii

t´ıtulos da primeira e quarta referˆencias. Isto parece correto porque come¸ca-se a perceber uma baixa utiliza¸c˜ao do potencial antes mencionado, n˜ao sob o enfoque da engenharia ou do desenvolvimento de “softwares”, mas sim sob o aspecto conceitual f´ısico-qu´ımico. De fato, feita exce¸c˜ao a numerosos trabalhos puramente matem´aticos, parece haver pouco interesse em tentar melhorar o entendimento dos conceitos fundamentais em que se baseia a mecˆanica dos meios cont´ınuos. Pelo contr´ario, percebe-se a tendˆencia de apenas aplic´a-los, de modo cada vez mais eficiente e produtivo, naquilo que j´a se sabe conduz a resultados experimentalmente corretos. Logo, estreitar a associa¸c˜ao entre a mecˆanica e a termodinˆamica, a primeira fortemente matem´atica e a segunda intensamente conceital, parece proveitoso para esta ciˆencia. Talvez, um dos maiores motivos deste aparente desinteresse esteja nos conhecimentos matem´aticos necess´arios para uma precisa compreens˜ao conceitual do que as equa¸c˜oes refletem. De fato, trata-se de uma base matem´atica incomum entre qu´ımicos e at´e mesmo entre f´ısicos, a n˜ao ser nos seus aspectos puramente operacionais. O objetivo deste texto ´e ajudar na aquisi¸c˜ao desta base matem´atica conceitual, sem a qual ´e realmente imposs´ıvel entender o significado f´ısico das equa¸c˜oes utilizadas pela mecˆanica dos meios cont´ınuos. Este texto n˜ao se destina a matem´aticos, mas sim a leitores que possuam conhecimentos apenas operacionais, ou rudimentares, de c´alculo diferencial e integral. Ele inicia-se com um longo cap´ıtulo de ´algebra e c´alculo tensorial, seguido por um cap´ıtulo de cinem´atica onde alguns conceitos f´ısicos come¸cam a aparecer. A parte fundamental do segundo cap´ıtulo ´e a sua se¸c˜ao sobre movimento, mas a compreens˜ao deste conceito exige a leitura das se¸c˜oes anteriores, principalmente da primeira. A u ´ltima se¸c˜ao deste cap´ıtulo ´e um pouco mais complexa, mas n˜ao pode deixar de ser entendida, porque ser´a usada em cap´ıtulos posteriores. O terceiro cap´ıtulo, sobre balanceamento, engloba a conceitua¸c˜ao f´ısica principal. No u ´ltimo cap´ıtulo s˜ao colocadas algumas no¸c˜oes b´asicas sobre os funcionais constitutivos. Este texto segue, em suas linhas gerais, o apˆendice e os primeiros trˆes cap´ıtulos da segunda referˆencia citada procurando, por´em, ser mais acess´ıvel para o leitor n˜ao matem´atico. Devido `a forte admira¸c˜ao do autor pela pen´ ultima referˆencia, este texto ´e inevitavelmente influenciado por ela. Sofre, tamb´em, as consequˆencias de ser o autor muito interessado na termodinˆamica dos processos homogˆeneos, que ´e uma vis˜ao temporal da termodinˆamica cl´assica, muito u ´til no estudo de estados da mat´eria homogˆeneos, mas n˜ao est´aveis, tais como vidros, l´ıquidos superresfriados etc. A primeira referˆencia ´e extremante atual e abrangente. A u ´ltima, por causa da proposi¸c˜ao da desigualdade de Clausius-Duhem, ´e geralmente considerada o marco inicial da mecˆanica e termodinˆamica dos meios cont´ınuos. Sem dem´erito para dezenas de outras excelentes referˆencias, o autor considera as sete selecionadas como os marcos principais desta teoria. Campinas, janeiro de 2011.

iii

Sum´ ario 1 An´ alise Tensorial Elementar 1.1 S´ımbolos, Fun¸c˜ao e Funcional, Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2 Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Produto Interno de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem . . . . 1.2.5 Transposi¸c˜ao de Tensor Simples, de Segunda Ordem e Troca entre ´Indice e Super´ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Composi¸c˜ao de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Tensor de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Regras para Transforma¸c˜ao de Componentes de Vetor e de Tensor de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Determinante e Tra¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Produto Interno, Invers˜ao, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.11 Elemento de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.12 Produto Externo e Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.13 Teoremas para a Mecˆanica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . . 1.2.14 Espa¸co Euclideano de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 C´alculo Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Diferencia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Aplica¸c˜oes da Diferencia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Derivadas Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Operadores para a Mecˆanica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . .

33 36 41 45 50 51 51 58 66 70 75

2 Cinem´ atica 2.1 Configura¸c˜ao e Deforma¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Gradiente de Deforma¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deforma¸c˜ao 2.1.3 Mudan¸ca de Configura¸c˜ao Referencial . . . . . . . . . 2.2 Tra¸c˜ao e Rota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tra¸c˜ao e Rota¸c˜ao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Conceito B´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Descri¸c˜oes Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . 2.5 Deforma¸c˜ao Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82 82 84 87 87 89 94 94 95 99

iv

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

1 1 8 8 9 10 12 17 20 21 22 25

2.6

2.5.1 Conceito e Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Velocidade de Altera¸c˜ao da Tendˆencia de Deforma¸c˜ao . Mudan¸ca de Estrutura Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Transforma¸c˜ao Euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Transforma¸c˜oes Galileiana e R´ıgida Independente de t . 2.6.3 Aplica¸c˜oes para Grandezas Cinem´aticas . . . . . . . . . 2.6.4 Derivada Temporal Corotacional . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

3 Balanceamento 3.1 Equa¸c˜oes de Balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equa¸c˜oes de Balanceamento na Configura¸c˜ao Corrente . 3.1.2 Equa¸c˜oes de Balanceamento na Configura¸c˜ao Referencial 3.1.3 Compatibilidade Cinem´atica da Superf´ıcie Singular . . . 3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Momentos Linear Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 For¸ca e Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Tensor de Tra¸c˜ao de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Balanceamento de Momentos Linear e Angular . . . . . . 3.3.5 Balanceamento de Energia Cin´etica . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Balanceamento de Energias Total e Interna . . . . . . . . 3.4 Equa¸c˜oes Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Equa¸c˜oes de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descri¸c˜ao 3.4.2 Condi¸c˜oes de Fronteira do Corpo . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Equa¸c˜oes de Campo em Estrutura Referencial Arbitr´aria 4 Princ´ıpios B´ asicos das Teorias Constitutivas 4.1 Campos B´asicos, Fun¸c˜oes e Funcionais Constitutivos 4.2 Princ´ıpio de Objetividade Material . . . . . . . . . . 4.2.1 Conceito Fundamental . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Aplica¸c˜ao `a Configura¸c˜ao Referencial . . . . . 4.2.3 Aplica¸c˜ao a Classes Particulares de Materiais 4.3 Material Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

99 101 104 104 107 108 111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Material . . . . . . . . . .

112 112 112 118 122 123 126 126 128 129 131 133 135 139 139 141 142

. . . . . .

145 145 147 147 148 150 151

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Cap´ıtulo 1 An´ alise Tensorial Elementar 1.1

S´ımbolos, Fun¸c˜ ao e Funcional, Matriz

Nota¸c˜ ao 1.1.1 (S´ımbolos) O campo dos n´ umeros reais ´e representado por = R 21 e e Interpreta¸c˜oes an´alogas valem para R ao os outros dois componentes n˜ao 1 3 e R3 2 , que s˜ nulos do tensor antissim´etrico, correspondentes ao mesmo vetor axial. Foi efetuado um estudo das interpreta¸c˜oes geom´etricas dos tensores de tra¸c˜ao infie que respectivamente s˜ nitesimal, Ee e de rota¸c˜ao infinitesimal, R, ao as partes sim´etrica e antissim´etrica do gradiente referencial de deslocamento, H. Tratamento semelhante pode ser feito usando-se o gradiente espacial de deslocamento, h. Por´em, h = 1 − F −1 e H = F −1 diferem apenas em o(2), conforme pode ser mostrado efetuando-se o desenvolvimento em s´erie de F −1 , em termos de F . Portanto, numa deforma¸c˜ao suficientemente e tem-se h = H. Tem-se, ainda, as express˜ pequena para que se possa considerar E = E, oes para componentes dos tensores de tra¸c˜ ao e de rota¸c˜ ao infinitesimais, em termos de derivadas do vetor deslocamento em coordenadas cartesianas da configura¸c˜ao corrente,

Eei j

1 = 2

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

!

e

93

e R ij

1 = 2

∂ui ∂uj − ∂xj ∂xi

!

.

(2.24)

2.4 2.4.1

Movimento Conceito B´ asico

Desde o in´ıcio do presente cap´ıtulo, a vari´avel tempo foi utilizada apenas para explicar, nos primeiros par´agrafos da subse¸c˜ao 2.1.1, o conceito de estrutura referencial, ou observador. Isto ocorreu porque, devido ao fato de serem espa¸cos produtos ambos os espa¸cos entre si relacionados por meio do observador de Newton, φ, existe uma fun¸c˜ao que, ao ser aplicada ao corpo material B, produz uma imagem de B no espa¸co euclideano de pontos tridimensional E. Tal fun¸c˜ao, de um para um em B e v´alida em qualquer instante, foi chamada configura¸c˜ao. A teoria desenvolvida at´e a este ponto do texto ´e consequˆencia da existˆencia da fun¸c˜ao configura¸c˜ao e, por isto, independe da vari´avel tempo, logo ´e atemporal. A perda conceitual envolvida em toda teoria atemporal ´e devida ao fato de que, evidentemente, numa teoria atemporal perdem a separa¸c˜ao temporal eventos que, numa teoria temporal, ocorrem em instantes distintos. Por exemplo, para a teoria atemporal at´e agora desenvolvida, as configura¸c˜oes arbitr´arias de B poderiam ser distinguidas entre si por meio da aplica¸c˜ao, ao s´ımbolo χ, de um ´ındice identificador. Neste caso, o valor do ´ındice n˜ao seria o valor da vari´avel tempo, mas sim uma identifica¸c˜ao da configura¸c˜ao considerada. Mas, na teoria temporal, a cada instante t, pertencente a determinado intervalo temporal, corresponde uma u ´nica configura¸c˜ao. Logo, para o mencionado intervalo, o valor t indica qual ´e a configura¸c˜ao considerada, por isto mesmo chamada configura¸c˜ao corrente. O s´ımbolo χ(·, t) (defini¸c˜ao de fun¸c˜ao e funcional 1.1.1) ´e mais apropriado do que o uso de t como um ´ındice, uma vez que t ´e uma vari´avel que se altera de modo cont´ınuo. Al´em disto, o uso de t como ´ındice ter´a um outro significado, que ser´a apresentado na subse¸c˜ao 2.5.1. Na teoria temporal a fun¸c˜ao espacial χ(·, t) ´e uma configura¸c˜ao, assim como, na teoria atemporal, a fun¸c˜ao espacial χ, que pode ser grafada χ(·), ´e uma configura¸c˜ao. Constitui-se a u ´nica diferen¸ca na determina¸c˜ao, por meio do valor t, de qual ´e a configura¸c˜ao, ou seja, desaparece a fun¸c˜ao χ(·), considerada v´alida em qualquer instante, sendo substitu´ıda pela fun¸c˜ao χ(·, t), espec´ıfica para o instante t. Uma sequˆencia temporal cont´ınua de configura¸c˜oes χ(·, t) : B → E ´e, por defini¸c˜ao, um movimento de B, simbolizado por 



χ = χ(·, t) : B → E| χ(·, t) varia continuamente para t# < t < t# , t ∈ < . Note que o s´ımbolo χ passa a ter, a partir deste ponto do texto, significado distinto do anterior, apresentado na primeira subse¸c˜ao. Altera¸c˜oes an´alogas ocorrer˜ao com outros s´ımbolos, mas a mudan¸ca de significado n˜ao mais ser´a destacada. Evidentemente, como a fun¸c˜ao espacial configura¸c˜ao χ(·, t) varia continuamente para t# < t < t# , o mesmo acontece com a imagem do corpo B em E. O conjunto χ de fun¸c˜oes, chamado movimento, ´e uma fun¸c˜ao espacial-temporal χ : B × < → E,

tal que

x = χ(X, t).

(2.25)

Enquanto o s´ımbolo χ(X, t) indica que tanto o valor X como o valor t s˜ao fornecidos, sendo a fun¸c˜ao espacial-temporal movimento χ = χ(·, ·) a eles aplicada e disto resultando como imagem o ponto χ(X, t) = x, o s´ımbolo χ(·, t) indica que apenas o valor t ´e fornecido, sendo a fun¸c˜ao espacial-temporal movimento χ = χ(·, ·) a ele aplicada e disto resultando 94

como imagem a fun¸c˜ao χ(·, t), que aplicada ao corpo B produz a imagem dele em E, no instante t (tal imagem ´e o conjunto dos pontos x). Isto confirma que χ(·, t) ´e a fun¸c˜ao espacial configura¸c˜ao, que produzir´a x se for aplicada a X. Tem-se, tamb´em, a representa¸c˜ ao do movimento de B por meio da sequˆencia temporal cont´ınua de deforma¸c˜oes, em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao referencial κ, a qual, assim como acontece com o corpo material B, permanece independente do tempo e v´alida em qualquer instante, 



χκ = χκ (·, t) : Bκ → B t | χκ (·, t) = χ(·, t) ◦ κ−1 varia cont. para t# < t < t# , t ∈ < , onde B t ´e a imagem do corpo B na configura¸c˜ao χ(·, t). Assim como acontece com o conjunto χ de fun¸c˜oes (que ´e o movimento), tamb´em o conjunto χκ de fun¸c˜oes (que ´e a representa¸c˜ao do movimento) ´e uma fun¸c˜ao espacial-temporal χκ : Bκ × < → E,

x = χκ (X, t) = χ(κ−1 (X), t).

tal que

(2.26)

Note que, para um ponto fixo X da imagem da configura¸c˜ao referencial, o conjunto das imagens x = χκ (X, t) da fun¸c˜ao temporal χκ (X, ·) : < → E forma uma curva no espa¸co euclideano de pontos. Tal curva, chamada caminho ou trajet´ oria do ponto X ∈ Bκ , ou do ponto X do corpo B, ´e, respectivamente, a imagem da fun¸c˜ao temporal χκ (X, ·), ou da fun¸c˜ao temporal χ(X, ·). Os vetores velocidade, v e acelera¸c˜ ao , a do ponto X s˜ao, por defini¸c˜ao, respectivamente a primeira e a segunda derivada temporal da posi¸c˜ao deste ponto, quando esta se altera ao longo do caminho percorrido pelo ponto X ∈ Bκ , ou seja, v : Bκ × < → V

tal que

v(X, t) =

∂χκ (X, t) ∂t

a : Bκ × < → V

tal que

a(X, t) =

∂ 2 χκ (X, t) , ∂t2

e

(2.27) (2.28)

onde V ´e o espa¸co de transla¸c˜ao de E e χκ (X, t) ´e deriv´avel em rela¸c˜ao a t, o mesmo ocorrendo com a sua derivada temporal. Por outro lado, χκ (X, t) ´e deriv´avel em rela¸c˜ao a X, produzindo a express˜ao do gradiente de deforma¸c˜ ao da configura¸c˜ao corrente no instante t, configura¸c˜ao esta grafada χ(·, t), em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao referencial κ, no ponto material X da imagem desta u ´ltima, Fκ (X, t) = ∇ χκ (·, t) . X

(2.29)

Na atemporalidade, a eq. 2.29 se reduz `a eq. 2.4. A partir deste ponto do texto, ser´a implicitamente considerado que as fun¸c˜oes satisfazem as condi¸c˜oes necess´arias para que as opera¸c˜oes indicadas possam ser efetuadas, sem que isto precise ser de cada vez afirmado.

2.4.2

Descri¸ c˜ oes Material e Espacial

Os vetores velocidade (eq. 2.27) e acelera¸c˜ao (eq. 2.28), bem como o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸c˜ao (eq. 2.29), s˜ao exemplos de quantidades f´ısicas atribu´ıdas 95

a cada ponto de um corpo material, quantidades estas cujos valores variam de ponto para ponto do citado corpo e, dado um ponto fixo X (logo, dado um ponto fixo X), variam com a altera¸c˜ao exclusivamente temporal de x = χκ (X, t) (eq. 2.26), ou seja, variam a medida que o ponto X prossegue no seu caminho, definido pela fun¸c˜ao temporal χκ (X, ·). Embora a modifica¸c˜ao temporal destes dois vetores e tensor dependa apenas da altera¸c˜ao temporal de x = χκ (X, t), existem outras quantidades f´ısicas cujas modifica¸c˜oes temporais, al´em de dependerem da altera¸c˜ao temporal de x = χκ (X, t), tamb´em dependem diretamente do instante considerado. O estudo de tais quantidades pode basear-se em dois enfoques alternativos, os quais levam `as mesmas conclus˜oes: • enfocando-se inicialmente como evolui o valor da quantidade considerada, ao longo do caminho percorrido pelo ponto X ∈ Bκ , como efetuado no final da subse¸c˜ao anterior para os vetores velocidade e acelera¸c˜ao e conforme poderia ser efetuado para o tensor gradiente da deforma¸c˜ao (obtendo-se a correspondente derivada parcial temporal), ou • enfocando-se inicialmente como se altera o valor da quantidade considerada, de ponto para ponto da imagem da configura¸c˜ao corrente do corpo. O primeiro enfoque corresponde `a descri¸c˜ao material, ou referencial, ou lagrangeana da quantidade, enquanto que o segundo ´e chamado descri¸c˜ao espacial, ou euleriana. Para melhor apresentar estas duas descri¸c˜oes, considere uma configura¸c˜ao referencial κ e uma quantidade f´ısica cujos valores Q perten¸cam a um espa¸co W . Na descri¸c˜ao material, os valores Q s˜ao definidos, em rela¸c˜ao ao movimento χ do corpo material B, por meio da fun¸c˜ao temporal f (X, ·) : < → W . Seja f = {f (X, ·)} o conjunto espacial cont´ınuo de tais fun¸c˜oes temporais, que engloba todos os pontos de Bκ e somente estes pontos. Tem-se, ent˜ao, f : Bκ × < → W,

tal que Q = f (X, t).

A segunda entre as equa¸c˜oes acima destacadas, an´aloga `as eqs. 2.27, 2.28 e 2.29, ´e a descri¸c˜ao material da quantidade f´ısica cujo valor ´e Q ∈ W . J´a a descri¸c˜ao espacial da mesma quantidade ´e dada pela fun¸c˜ao espacial fe(·, t) : Bt → W . Considerando a 



sequˆencia temporal cont´ınua de tais fun¸c˜oes, grafada fe = fe(·, t) , tem-se fe : Bt × < → W,

tal que Q = fe(x, t) .

Evidentemente, Q = fe(x, t) = fe(χκ (X, t), t) = f (X, t).

(2.30)

Na mecˆanica dos meios cont´ınuos, a eq. 2.30 ´e escrita por meio da simbologia (an´aloga `a utilizada na termodinˆamica tradicional) f = f (X, t) = f (x, t), onde Q foi substitu´ıdo por f e fe(x, t) foi substitu´ıdo por f (x, t). Esta simbologia simplificada pode causar equ´ıvocos, especialmente quando forem envolvidas diferencia¸c˜oes. Tais equ´ıvocos podem ser evitados escrevendo-se explicitamente as vari´aveis envolvidas, como por exemplo em ∂f (X, t)/∂t, para a derivada temporal na descri¸c˜ao material e 96

∂f (x, t)/∂t, para a derivada temporal na descri¸c˜ao espacial. Como as duas descri¸c˜oes s˜ao igualmente diferenci´aveis, tanto em rela¸c˜ao ao tempo quanto em rela¸c˜ao ao ponto (X ou x conforme o caso), a diferen¸ca entre elas se reduz a uma simples troca entre X e x. Por´em, abandonando a simbologia matem´atica rigorosa, para evitar os mencionados equ´ıvocos a mecˆanica dos meios cont´ınuos introduz s´ımbolos espec´ıficos, a seguir apresentados (as quais, na verdade, n˜ao precisariam existir). Tem-se, assim, os s´ımbolos: 1. Para derivada parcial temporal de f (X, t), df ∂f (X, t) f˙ = = , dt ∂t onde, em df /dt, evidentemente f representa a fun¸c˜ao temporal f (X, ·), a qual ´e uma fun¸c˜ao local. Note que o adjetivo “local” indica “num determinado ponto fixo do corpo B”, logo num determinado ponto fixo da imagem de alguma configura¸c˜ao referencial do corpo. Portanto, fixado um ponto do corpo, df /dt ´e a derivada u ´nica de uma fun¸c˜ao temporal. 2. Para o gradiente, no ponto X, de f (X, t), Gradf = ∇ f (·, t), X e analogamente Div para a divergˆencia e Rot para o rotacional. 3. Para derivada parcial temporal de f (x, t), ∂f ∂f (x, t) = . ∂t ∂t 4. Para o gradiente, no ponto x, de f (x, t), gradf = ∇x f (·, t), e analogamente div para a divergˆencia e rot para o rotacional. As rela¸c˜oes entre estas nota¸c˜oes s˜ao de grande importˆancia. Sendo v dado pela eq. 2.27 tem-se, respectivamente para f = ψ, onde ψ ´e um escalar e para f = u, onde u ´e um vetor: ∂ψ ∂u u˙ = ψ˙ = + (gradψ) · v, + (gradu)v e (2.31) ∂t ∂t Gradψ = F T gradψ, Gradu = (gradu)F. (2.32) Nas eqs. 2.31, a derivada parcial ∂f /∂t informa a tendˆencia de varia¸c˜ao temporal de f no ponto x, considerando nula a tendˆencia de altera¸c˜ao temporal na localiza¸c˜ao deste ponto. Esta ´e, portanto, a derivada a que se refere o item 3. Logo, ∂f /∂t 6= 0 indica que f apresenta a dependˆencia temporal direta citada no primeiro par´agrafo desta subse¸c˜ao. Por outro lado, a derivada u ´nica f˙ informa a tendˆencia de varia¸c˜ao temporal de f no ponto x, levando por´em em considera¸c˜ao a tendˆencia de altera¸c˜ao temporal na localiza¸c˜ao

97

deste ponto, dada pelos segundos termos dos segundos membros das eqs. 2.31. Por esta raz˜ao, f˙ ´e a derivada a que se refere o item 1, que engloba a tendˆencia total de varia¸c˜ao de f com t, neste instante, para um determinado ponto fixo do corpo B. O tensor de segunda ordem Fκ (X, t) = ∇ χκ (·, t) (eq. 2.29), ao ser aplicado a um X vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸c˜ao referencial, produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸c˜ao corrente (eq. 2.7 e 2.8). Por outro lado, o tensor de segunda ordem Fκ−1 (x, t) = ∇x χ−1 κ (·, t), ao ser aplicado a um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸c˜ao corrente, produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸c˜ao referencial. O tensor FκT (X, t), embora ainda relacionado a ∇ χκ (·, t) assim X como Fκ (X, t), por causa da transposi¸c˜ao ´e aplicado a um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸c˜ao corrente e produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸c˜ao referencial (ao contr´ario de Fκ−1 (x, t), o tensor FκT (X, t) n˜ao se relaciona a ∇x χ−1 κ (·, t)). Por isto, enquanto que F pode ser aplicado a um vetor diferen¸ca cujos componentes contravariantes se refiram `a base natural (cα (X))3α=1 (eq. 2.6), F T pode ser aplicado a um vetor cujos componentes covariantes se refiram `a base natural (ci (x))3i=1 , com ´e o caso do vetor gradψ = ∇x ψ(·, t), o que esclarece alguns aspectos fundamentais da primeira entre as eqs. 2.32. Quanto `a segunda equa¸c˜ao, se o tensor de segunda ordem gradu for fornecido j=3 k=3 k=3 j k na base mista (cj (x) ⊗ ck (x))j=3 j=1 k=1 , ou na base covariante (c (x) ⊗ c (x))j=1 k=1 , a composi¸c˜ao (gradu)F fornecer´a o resultado indicado. Para o caso espec´ıfico em que u = v tem-se, usando a eq. 2.27, o gradiente material da velocidade, ∂ ∂ ∂ Gradv = ∇ v(·, t) = ∇ χκ (·, t) = ∇ χκ (·, t) = F (X, t) = F˙ , X X ∂t ∂t X ∂t onde foi usada a eq. 2.29 na pen´ ultima igualdade. Logo, Gradv = F˙

(2.33)

e, usando a segunda eq. 2.32, tem-se (gradv)F = F˙ , ou, para o gradiente espacial da velocidade , gradv = F˙ F −1 . (2.34) Re-escrevendo a eq. 2.26, x = χκ (X, t), sob a forma x = x(X, t) (em analogia a f = ˙ f (X, t)) e usando a simbologia apresentada no item 1, eq. 2.27 mostra que v = x. ¨ . Portanto, usando a segunda entre as eqs. 2.31 Analogamente, obt´em-se a = v˙ = x chega-se `a express˜ao da acelera¸c˜ ao em fun¸c˜ ao da velocidade, a=

∂v + (gradv)v. ∂t

(2.35)

Ser˜ao a seguir apresentadas, sem demonstra¸c˜ao, duas u ´teis equa¸c˜oes complementares: GradJ = J div(F T ) Div(JF −T ) = 0

e

div(J −1 F T ) = 0;

gradJ = −J Div(F −T ).

e 98

(2.36) (2.37)

Um tipo importante de movimento, definido por meio da eq. 2.26, ´e dado por χκ (X, t) = x◦ (t) + Q(t)(X − X◦ ),

(2.38)

onde Q(t) ´e um tensor ortogonal dependente do tempo. Para este movimento demonstrase que ¨◦ + w ˙ 0 × (x − x◦ ) + w0 × (w0 × (x − x◦ )), v = x˙ ◦ + w0 × (x − x◦ ) e a = x onde a velocidade angular w0 ´e definida como o vetor axial do tensor antissim´etrico QQ˙ T , ou seja, w0 =< QQ˙ T >. Demonstra-se, tamb´em, que neste movimento a forma (comprimento e ˆangulo) de qualquer elemento material n˜ao se altera. Por isto, ele ´e chamado movimento r´ıgido. Outro tipo importante ´e o movimento harmˆ onico, descrito pelo campo de acelera¸c˜ao, na descri¸c˜ao espacial, a(x, t) = k 2 xex + k 2 yey ,

(2.39)

onde (ex , ey ) ´e a base natural do sistema de coordenadas cartesianas bidimensional.

2.5 2.5.1

Deforma¸c˜ ao Relativa Conceito e Exemplo

A eq. 2.25 definiu o movimento por meio da fun¸c˜ao espacial-temporal χ : B × < → E, tal que x = χ(X, t), ou x0 = χ(X, τ ), (2.40) onde a vari´avel x foi substitu´ıda por x0 e a vari´avel t foi substitu´ıda τ . Esta substitui¸c˜ao foi feita para permitir que a fun¸c˜ao espacial χ(·, τ ) , que ´e configura¸c˜ao no instante τ , seja comparada com a configura¸c˜ao correspondente a um instante referencial t, χ(·, t), embora κ : B → E, tal que X = κ(X), continue sendo uma configura¸c˜ao referencial atemporal. Deseja-se, portanto, comparar configura¸c˜oes em momentos τ anteriores e posteriores ao instante t (o qual pode, por exemplo, ser o instante corrente). Assim como as eqs. 2.26 representam o movimento por meio da fun¸c˜ao χκ : Bκ × < → E, que ´e uma sequˆencia temporal cont´ınua de deforma¸c˜oes em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao referencial atemporal κ, pode-se representar o movimento por meio da sequˆencia temporal cont´ınua de deforma¸c˜ oes relativas χt : Bt × < → E,

tal que x0 = χt (x, τ ) = χ(χ−1 (x, t), τ ) = χκ (χ−1 κ (x, t), τ ),

(2.41)

onde a fun¸c˜ao espacial χt (·, τ ) = χ(·, τ ) ◦ χ−1 (·, t) = χκ (·, τ ) ◦ χ−1 e a κ (·, t) : Bt → Bτ ´ deforma¸c˜ao relativa no instante τ . Em analogia ao gradiente de deforma¸c˜ao apresentado pela eq. 2.29, define-se o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸c˜ ao relativa, Ft (x, τ ) = ∇x χt (·, τ ) ,

(2.42)

que ´e o gradiente de deforma¸c˜ao da configura¸c˜ao χ(·, τ ), referente ao instante τ , em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao χ(·, t), relativa ao momento t, no ponto x da imagem desta u ´ltima configura¸c˜ao. Evidentemente, Ft (x, t) = 1 . (2.43) 99

Por outro lado, de acordo com a eq. 2.29 tem-se Fκ (X, t) = ∇ χκ (X, t) e Fκ (X, τ ) = X ∇ χκ (X, τ ). Usando estas duas express˜oes e a eq. 2.42 obt´em-se X Fκ (X, τ ) = Ft (x, τ )Fκ (X, t) .

(2.44)

Por exemplo, seja um movimento no plano x-y, dado em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao referencial κ (eqs. 2.26) e considerando-se, para todas as configura¸c˜oes, o sistema de coordenadas cartesianas. Considere o movimento espec´ıfico dado por x = χκ (X, Y, t) = (X et , Y (t + 1)) , onde X = (X, Y ).

(2.45)

Em termos de fun¸c˜oes de deforma¸c˜ao an´alogas `a eq. 2.3, tem-se x = χxκ (X, Y, t) = X et e y = χyκ (X, Y, t) = Y (t + 1), logo X = x e−t e Y = y/(t + 1), ou −t X = χ−1 κ (x, y, t) = (x e ,

y ). t+1

Usando a eq. 2.41, calcula-se a deforma¸c˜ao relativa −t x0 = χκ (χ−1 κ (x, y, t), τ ) = χκ (x e ,

y τ +1 , τ ) = (x eτ −t , y) . t+1 t+1

Aplicando as eqs. 2.6 a este caso especial tem-se F = F xX ex ⊗ ex + F xY ex ⊗ ey + F yX ey ⊗ ex + F yY ey ⊗ ey , onde (ex , ey ) ´e a base natural do sistema de coordenadas cartesianas e F xX = ∂χxκ /∂X = et , F xY = ∂χxκ /∂Y = 0, F yX = ∂χyκ /∂X = 0 e F yY = ∂χyκ /∂Y = t+1. Portanto, Fκ (t) = et ex ⊗ ex + (t + 1) ey ⊗ ey . Por outro lado, aplicando a eq. 2.42 a este caso especial tem-se, considerando a pen´ ultima equa¸c˜ao destacada, Ft (τ ) =

∂( τ +1 y) ∂( τ +1 y) ∂(x eτ −t ) ∂(x eτ −t ) ex ⊗ ex + ex ⊗ ey + t+1 ey ⊗ ex + t+1 ey ⊗ ey , ∂x ∂y ∂x ∂y

ou

τ +1 ey ⊗ ey . t+1 Evidentemente, a express˜ao de Fκ (τ ) ´e obtida substituindo-se t por τ na express˜ao de Fκ (t). Fazendo τ = t na express˜ao de Ft (τ ), percebe-se que a eq. 2.43 ´e satisfeita. Sustituindo-se as express˜oes de Fκ (τ ), Ft (τ ) e Fκ (t) na eq. 2.44, percebe-se que ela, tamb´em, ´e satisfeita. Na subse¸c˜ao 2.4.1 foi informado que o caminho ou trajet´oria ´e o conjunto das imagens x = χκ (X, t) da fun¸c˜ao temporal χκ (X, ·) : < → E. Logo, para este caso espec´ıfico o caminho ´e dado pela eq. 2.45, considerando-se fixo o ponto X. Mas, para X 6= 0, o tempo pode ser eliminado nas fun¸c˜oes de deforma¸c˜ao x = X et e y = Y (t + 1), obtendo-se ´ltima equa¸c˜ao fornece y = Y (ln Xx + 1). Logo, para o ponto fixo X com X 6= 0, a u a coordenada y referente a cada coordenada x e v.v., evidentemente correspondendo x = (x, y) a algum instante t n˜ao diretamente explicitado pela equa¸c˜ao. Mas, se X = 0, ent˜ao x = 0 e y = Y (t + 1), sendo portanto imposs´ıvel eliminar a vari´avel t. As fun¸c˜oes de deforma¸c˜ao ainda mostram que, neste caso especial, a configura¸c˜ao referencial ´e a Ft (τ ) = eτ −t ex ⊗ ex +

100

configura¸c˜ao corrente no instante t = 0. Como outro exemplo, demonstra-se que o campo de velocidades v(x, t) = u(y) ex , (2.46) denominado escoamento newtoniano, apresenta o gradiente de deforma¸c˜ao relativa Ft (τ ) = 1 + (τ − t)

2.5.2

du ex ⊗ ey . dy

(2.47)

Velocidade de Altera¸c˜ ao da Tendˆ encia de Deforma¸c˜ ao

A eq. 2.29 define o gradiente de deforma¸c˜ao, o qual mede a tendˆencia de deforma¸c˜ao da configura¸c˜ao corrente no instante t, em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao referencial, no ponto X da imagem desta u ´ltima. Uma medida da velocidade de altera¸c˜ao desta tendˆencia de deforma¸c˜ao ´e o valor da derivada temporal material F˙ κ (X, t), no instante t (item 1 da subse¸c˜ao 2.4.2). Mas, de acordo com a eq. 2.33, F˙ κ (X, t) = Gradv, onde Gradv ´e o gradiente material (item 2 da subse¸c˜ao 2.4.2) da velocidade v, sendo esta u ´ltima definida pela eq. 2.27. Esta equa¸c˜ao mostra que v ´e a velocidade de altera¸c˜ao, no instante t, da posi¸c˜ao x ocupada pelo ponto material X naquele momento t. Logo, Gradv mede a tendˆencia de modifica¸c˜ao desta velocidade, dentro da imagem da configura¸c˜ao corrente referente ao instante t, em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao referencial, no ponto X da imagem desta u ´ltima. A igualdade entre estes dois conceitos, expressa pela eq. 2.33, ´e matematicamente ∂ ∂ explicada pela troca de ordem de deriva¸c˜ao, ou seja ∂t ∇ χκ (·, t) = ∇ ∂t χκ (·, t). X X Uma an´aloga igualdade conceitual prov´em da eq. 2.34, gradv = F˙ κ (X, t)Fκ−1 (X, t). De acordo com o item 4 da subse¸c˜ao 2.4.2, gradv mede a tendˆencia de modifica¸c˜ao espacial da velocidade num ponto x da imagem da configura¸c˜ao corrente, no instante t que corresponde `a configura¸c˜ao corrente. Faz-se, portanto, necess´ario mostrar qual ´e o significado da composi¸c˜ao de F˙ κ (X, t) com Fκ−1 (X, t). Para isto, considerando o gradiente de deforma¸c˜ao relativa apresentado pela eq. 2.42, pode-se definir L(x, t) =

∂ Ft (x, τ )|τ =t = F˙ t (x, τ )|τ =t = F˙ t (x, t) , ∂τ

(2.48)

onde a segunda igualdade ser´a justificada no pr´oximo par´agrafo e ∂ Ft (x, τ )/∂ τ ´e uma medida da velocidade de altera¸c˜ao, no instante τ , da tendˆencia de deforma¸c˜ao da configura¸c˜ao referente ao instante τ em rela¸c˜ao `a configura¸c˜ao corrente no momento t, no ponto x da imagem desta u ´ltima. Portanto, L(x, t) ´e uma medida da velocidade de altera¸c˜ao, no instante t, da tendˆencia de deforma¸c˜ao da configura¸c˜ao corrente no momento t, em rela¸c˜ao a ela mesma, no ponto x da imagem desta configura¸c˜ao. No in´ıcio da subse¸c˜ao 2.4.2 foi colocado que Fκ (X, t) varia com t apenas devido `a

101

altera¸c˜ao temporal de x = χκ (X, t) (eq. 2.25) e, no item 1 daquela subse¸c˜ao, foi mostrado que este fato pode ser simbolizado por F˙ κ (X, t) = ∂Fκ (X, t)/∂t. Analogamente, Ft (x, τ ) varia com τ apenas devido `a altera¸c˜ao temporal de x0 = χt (x, τ ) (eq. 2.41). Logo, pela mesma raz˜ao que F˙ κ (X, t) = ∂Fκ (X, t)/∂t, tem-se que F˙ t (x, τ ) = ∂ Ft (x, τ )/∂ τ , ou seja, o gradiente local da deforma¸c˜ao relativa ´e uma fun¸c˜ao u ´nica do tempo, o que justifica a segunda igualdade na eq. 2.48. De acordo com a eq. 2.44, Fκ (X, τ ) = Ft (x, τ )Fκ (X, t). Derivando em rela¸c˜ao a τ tem-se, ent˜ao, F˙ t (τ ) = F˙ (τ )F −1 (t). Mas, de acordo com a eq. 2.34, F˙ (τ ) = (gradv(τ ))F (τ ), logo F˙ t (τ ) = (gradv(τ ))F (τ )F −1 (t). Usando novamente a eq. 2.44, obt´em-se F˙ t (τ ) = (gradv(τ ))Ft (τ ). Como Ft (t) = 1 (eq. 2.43), tem-se F˙ t (t) = gradv(t) ou, de acordo com a eq. 2.48, L = gradv .

(2.49)

A eq. 2.49, proveniente da eq. 2.34, indica a igualdade entre as interpreta¸c˜oes conceituais de gradv e de L, ambas apresentadas no par´agrafo anterior. Como, de acordo com a subse¸c˜ao 2.1.1, as estruturas referenciais, ou observadores, s˜ao de um para um no corpo material β, n˜ao apenas o gradiente de deforma¸c˜ao F tem inversa (eq. 2.5), como tamb´em existe a transforma¸c˜ao linear inversa do gradiente de deforma¸c˜ao relativa Ft (x, τ ), definido pela eq. 2.42. Portanto, de acordo com o teorema da decomposi¸c˜ao polar 1.2.10, h´a dois tensores sim´etricos (defini¸c˜ao de tensores sim´etrico e antissim´etrico 1.2.18) de defini¸c˜ao positiva (defini¸c˜ao de tensor de defini¸c˜ao positiva, negativa e semi-defini¸c˜ao 1.2.43), Ut e Vt e um tensor ortogonal (defini¸c˜ao de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30), Rt , determinados de modo u ´nico a partir de Ft , tais que Ft = Rt Ut = Vt Rt ,

Ut =

q

FtT Ft

,

Vt =

Rt Ut RtT

=

q

Ft FtT

e Rt = Ft Ut−1 , (2.50)

analogamente ao definido para a decomposi¸c˜ao polar do tensor de deforma¸c˜ao F (eqs. 2.11). Continuando a analogia, Ut ´e o tensor direito de estiramento relativo, Vt ´e o tensor esquerdo de estiramento relativo e Rt ´e o tensor de rota¸c˜ ao relativa. As interpreta¸c˜oes f´ısicas destes tensores tamb´em s˜ao an´alogas `as ent˜ao efetuadas, valendo coment´arios e equa¸c˜oes an´alogas, inclusive no que se refere `a defini¸c˜ao dos tensores de tra¸c˜ ao relativa de Cauchy-Green direito e esquerdo, respectivamente grafados Ct e Bt . Para τ = t, de acordo com a eq. 2.43 tem-se Ft = FtT = 1 . Logo, considerando as eqs. 2.50, Ut (t) = Vt (t) = Rt (t) = 1 . Mantendo x e t constantes e derivando em rela¸c˜ao a τ a primeira entre as eqs. 2.50, obt´em-se F˙ t (τ ) = Rt (τ )U˙ t (τ ) + R˙ t (τ )Ut (τ ). Impondo τ = t nesta express˜ao e usando a u ´ltima express˜ao destacada, bem como a eq. 2.48, tem-se L(t) = U˙ t (t) + R˙ t (t) .

(2.51)

Como Ut ´e sim´etrico tem-se a · Ut (τ )b = b · Ut (τ )a. Como os vetores a e b s˜ao arbitr´arios, eles podem independer de τ , logo o fato de Ut ser sim´etrico implica em a · U˙ t (τ )b = b · U˙ t (τ )a, o que indica que U˙ t (τ ) ´e um tensor sim´etrico. Analogamente, R˙ t (τ ) ´e um tensor antissim´etrico. Portanto, de acordo com o coment´ario 1.2.46, sobre decomposi¸c˜ao cartesiana, a eq. 2.51 mostra a decomposi¸c˜ao de L(t) em suas partes 102

sim´etrica e antissim´etrica. Logo, definindo o tensor estirante D(t) = U˙ t (t) = DT (t)

(2.52)

W (t) = R˙ t (t) = −W T (t) ,

(2.53)

e o tensor rotativo as eqs. 2.49, 2.51, 2.52 e 2.53 mostram que 1 D = (gradv + gradvT ) 2

1 W = (gradv − gradvT ) . 2

e

(2.54)

De acordo com a nota¸c˜ao para vetor associado a tensor antissim´etrico 1.2.9 e o coment´ario 1.2.37, sobre propriedades do vetor axial, o vetor axial associado ao tensor antissim´etrico W ´e grafado < W >. Define-se o vetor axial w, chamado vorticidade, tal que w =< −2W >= rotv,

(2.55)

onde a u ´ltima igualdade ´e devida `a defini¸c˜ao de rotacional de campo vetorial 1.3.12. O tensor direito de tra¸c˜ao relativa de Cauchy-Green ´e dado por Ct (τ ) = FtT (τ )Ft (τ ) ,

(2.56)

em analogia `a primeira entre as eq. 2.13. Os tensores de Rivlin-Ericksen, grafados An (x, t), s˜ao as n-´esimas derivadas temporais de Ct (τ ) aplicadas ao instante τ = t, An (x, t) =

(n) Ct (x, t)

∂n = n Ct (x, τ )|τ = t , ∂τ

n = 1, 2, 3, . . . .

(2.57)

Para n = 1 tem-se A1 (x, t) = C˙ t (x, t) = F˙ tT (x, t) + F˙ t (x, t) = LT + L , onde a primeira igualdade ´e justificada da mesma forma que a segunda igualdade na eq. 2.48, a segunda igualdade ´e obtida usando as eqs. 2.56 e 2.43 e a u ´ltima ´e devida `a eq. 2.48. Usando a eq. 2.49 e a primeira entre as eqs. 2.54, a equa¸c˜ao antes destacada produz A1 = 2D .

(2.58)

Demonstra-se, ainda, que v˙ =

∂v 1 ∂v 1 + grad(v · v) + 2 W v = + grad(v · v) + w × v ∂t 2 ∂t 2

(2.59)

e que, para o campo de velocidades dado pela eq. 2.46 (escoamento newtoniano), tem-se du A1 = (ex ⊗ ey + ey ⊗ ex ) , dy

du A2 = 2 dy

!2

103

(ey ⊗ ex )(ex ⊗ ey )

e A3 = 0. (2.60)

2.6 2.6.1

Mudan¸ca de Estrutura Referencial Transforma¸ c˜ ao Euclideana

Conforme apresentado na subse¸c˜ao 2.1.1, uma estrutura referencial de Newton, φ, ´e uma fun¸c˜ao que, ao ser aplicada a um conjunto corpo-instante pertencente a W, produz uma imagem em E ×