Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik: Mit Lösungen und ausführlichen Lösungswegen

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Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik: Mit Lösungen und ausführlichen Lösungswegen

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Hagmann Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik

Weitere Titel aus dem Programm Elektrotechnik

Gert Hagmann

Grundlagen der Elektrotechnik

Das bewährte Lehrbuch für Studierende der Elektrotechnik und anderer technischer Studiengänge ab 1. Semester

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Gert Hagmann

Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik Mit Lösungen und ausführlichen Lösungswegen sowie 228 Abbildungen

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Die bewährte Hilfe für Studierende der Elektrotechnik und anderer technischer Studiengänge ab dem 1. Semester

fiUL� � AULA-Verlag

Prof. Dr.-lng. Gert Hagmann Fachbereich Elektrotechnik Fachhochschule Münster

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National­ bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet unter http://dnb.d-nb.de abrufbar.

15., durchgesehene und korrigierte Auflage 2012 © 1986,2012, AULA-Verlag GmbH, Verlag für Wissenschaft und Forschung, Wiebelsheim www.verlagsgemeinschaft.com

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außer­ halb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Vervielfältigungen auf fotomechanischem Wege (Fotokopie, Mikrokopie), Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elek­ tronischen und digitalen Systemen (CD-ROM, DVD, Internet etc.). Druck und Verarbeitung: Media-Print Informationstechnologie GmbH, Paderborn Printed in Germany/lmprime en Allemagne ISBN 978-3-89104-759-0

Vorwort

Die Erarbeitung der verschiedenen Gebiete der Grundlagen der Elektrotechnik ist ohne die Durchrechnung einer großen Anzahl von Beispielen nicht denkbar. Die­ ser Tatsache soll durch den vorliegenden Band Rechnung getragen werden. Das Buch stellt der Leserin und dem Leser eine umfangreiche Sammlung von ausge­ wählten Beispielen zu den betreffenden Stoffgebieten zur Verfügung. Für jede Aufgabe ist ein ausführlich beschriebener Lösungsweg angegeben. Aufgaben- und Lösungstext sind deutlich voneinander getrennt, sie sind jedoch nicht, wie vielfach üblich, an verschiedenen Stellen des Buches angeordnet. Da­ durch wird es der Leserin und dem Leser möglich, entweder die Aufgabe selb­ ständig zu lösen oder aber in bequemer Weise aus dem nachfolgenden Text einen Lösungsweg zu ersehen. Hierbei sei angemerkt, dass für viele Aufgaben auch an­ dere Lösungswege möglich sind. Der Verfasser gibt jeweils demjenigen Lö­ sungsweg den Vorzug, der ihm am geeignetsten erscheint und der zum Erlernen wichtiger in der Elektrotechnik verwendeter Lösungsverfahren von Bedeutung ist. Die Reihenfolge der Beispiele entspricht der Kapitelfolge des vom Verfasser herausgegebenen, im gleichen Verlag erschienenen Lehrbuchs "Grundlagen der Elektrotechnik". In jedem Abschnitt sind zunächst einfachere und anschließend Aufgaben mit einem höheren Schwierigkeitsgrad angegeben. Dadurch wird der Leserin und dem Leser das Einarbeiten in die Stoffgebiete der einzelnen Abschnit­ te erleichtert. Jede Aufgabe hat ein eigenständiges Problem zum Inhalt. Die vorliegende fünfzehnte Auflage stellt eine korrigierte Fassung der bisheri­ gen Ausgabe dar. Dem AULA-Verlag gilt mein Dank für die ausgezeichnete Zusammenarbeit. Gert Hagmann

Inhalt

Einführende Grundlagen .................................................................................... 1 2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen ........................................................ 1 5 3 Das elektrische Feld ......................................................................................... 70 4 Das elektrische Strömungsfeld ....................................................................... 1 10 5 Das magnetische Feld ..................................................................................... 1 19 6 Wechselstromgrundlagen und einfache Wechselstromkreise ........................ l 74 7 Berechnung von Wechselstromnetzen ........................................................... 194 8 Ortskurven

........................................................ ............................. .................

252

9 Tief- und Hochpässe ....................................................................................... 269 1 0 Schwingkreise ................................................................................................ 280 1 1 Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise ......................................... 296 1 2 Drehstromtechnik ........................................................................................... 310 1 3 Nichtsinusförmige periodische Vorgänge ...................................................... 334 14 Schaltvorgänge ............................................................................................... 349 Literaturverzeichnis .............................................................................................. 389 Sachverzeichnis .................................................................................................... 390

1 Einführende Grundlagen

Aufgabe 1 . 1

A=

I=

12 A . In einem Kupferdraht von 2,5 mm2 Querschnitt fließt der Strom Wie groß ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der freien Elektronen im Leiter? (Die Dichte der freien Elektronen beträgt1 8,47 · 1 0 1 9 mm-3 . Die La­ dung eines Elektrons hat den Betrag 1,602 · 10- 9 As. )

n =v

e=

Lösung

t

v·t

Jedes freie Elektron legt in einer Zeit den (mittleren) Weg l = zurück. In der gleichen Zeit wird der Drahtquerschnitt A an einer beliebigen Stelle von dem in dem Volumen · · enthaltenen Ladung (Ladungsbetrag) A ·I

V= =A v t Q =p V = enV = enAvt durchflossen. Hierbei stellt p = e n die Ladungsdichte das ist die in einer Vo­ lumeneinheit des Leiters enthaltene Ladung der vorhandenen freien Elektronen ·

-

dar. Damit ergibt sich für den fließenden Strom

I = Qt = enAv.

Hieraus erhalten wir die gesuchte mittlere Strömungsgeschwindigkeit der freien Elektronen als 12A 0,35 mm/ s. 2 1 9 1 602 · 10- As · 8 47 · 1 0 1 9 mm-3 2,5 mm

v = enI A = --

Aufgabe 1 .2

d=

'



'

n=

=

Ein Freileitungsseil aus Kupfer besteht aus 37 einzelnen Leitern mit je 2,03 mm Durchmesser. Der spezifische Widerstand des Materials beträgt p = 1 7,6· 1 0-9 nm . Wie groß ist der Widerstand R des Seiles je km Leitungslänge?

2

I

Einfiihrende Grundlagen

Lösung

Bei dem Leiterquerschnitt 2 2 A = n d 7t = 37 · (2,03 mm) · 7t = I20 mm2 4 4 und der Leiterlänge l = I km = I000 m beträgt der gesuchte Widerstand R=

9 m = O I47 n = I47 mn = 1 7,6- I0- Qm6 · IOOO · A I 20· I0- m2

pl

'

Aufgabe 1 .3

Die Kupferwicklung eines Motors hat bei der Temperatur .9 1 = 20 o C den Wider­ stand R1 = 0,324 n . Er steigt nach längerer Betriebszeit der Maschine auf R2 = 0,382 n . Der Temperaturkoeffizient des Leitermaterials beträgt bei der an­ gegebenen Ausgangstemperatur a 20 = 3,9 · 1 0 -3 K- 1 • Welche mittlere Temperatur .9 2 stellt sich in der Wicklung ein? Lösung

Aus

erhalten wir die gesuchte Temperatur als

Aufgabe 1 .4

In welchem Temperaturbereich ( .9 21 . ... .922 ) kann ein Präzisionswiderstand ver­ wendet werden, wenn sich sein Widerstandswert um höchstens p = ± 0,01 % ge­ Wert ändern darf und der Temperatur­ genüber dem bei .9 1 = 20 o C vorhandenen koeffizient a 20 = 4,0 · 1 0 -5 K - 1 beträgt.

1

EinfUhrende Grundlagen

3

Lösung

Bezeichnen wir den bei .91 = 20 °C vorhandenen Widerstand als R, so darf seine Änderung höchstens f:J.R = p R

betragen. Aus R +f:J.R = R+pR = R (1+a20·ß.9)

erhalten wir die zulässige Temperaturänderung f:J..9 =

--4 = ± 1,0·150 1 = ± 2,5 K. azo 4,0·10- K-

...f!_

Damit ergeben sich für die gesuchten Grenztemperaturen die Werte

.9zz = .91 + lt:J..91 = 20 oc + 2,5 K = 22,5 °C. Aufgabe 1 .5

Zwei Widerstände aus verschiedenen Materialien sollen in einen Isotierblock ein­ gegossen und dadurch auf gleicher Temperatur gehalten werden. Für eine Aus­ gangstemperatur von .91 = 20 °C betragen die Temperaturkoeffizienten der Mate­ rialien a1 = 4,0·10-5 K - 1 und a2 = - 1,0· 10-5 K - 1 . Wie groß müssen die einzelnen Widerstände R1 und R2 bei .91 = 20 o C sein, damit der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung - unabhängig von der Tempera­ tur - R = 60 n beträgt? Lösung

Für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung gilt bei .91 = 20 °C und nach einer Änderung der Temperatur um f:J..9

1 Einfilhrende Grundlagen

4

Setzen wir beide Gleichungen gleich, so erhalten wir die Beziehung Hieraus folgt

Wir setzen diesen Ausdruck in die anfangliehe Gleichung R = R1 + R2 ein und lö­ sen die sich dadurch ergebende Beziehung nach R1 auf. Es ergibt sich 60 0 = 12 0 . 1 + 4,0/1,0 Damit wird

Aufgabe 1 .6

Die an einem Elektrowärmegerät liegende Gleichspannung wird von U1 = 220 V auf U2 = 23 5 V vergrößert. Der Widerstand des Gerätes kann als konstant ange­ nommen werden. Um wie viel Prozent steigt die umgesetzte Leistung? Lösung

Bezeichnen wir den Widerstand des Gerätes als R, so beträgt die in Wärme umge­ setzte elektrische Leistung bei der Gleichspannung U1

und bei der Gleichspannung U2

1

5

Einführende Grundlagen

Damit wird

= � = ( UU1 ) = (222o35 vV)

U /R � u1 /R

P2

2

2

2

= 1,14.

Die umgesetzte Leistung steigt also um den Faktor 1 , 14 und somit um 14 % . Aufgabe 1 .7

=

Die von einem Widerstand (R) aufgenommene Leistung soll um p 25% verrin­ gert werden. Um wie viel Prozent ist die anliegende Gleichspannung herabzusetzen? Lösung

Liegt der Widerstand R an einer Gleichspannung U1, so nimmt er die Leistung

= R2

� � auf. Soll er bei einer Gleichspannung U2 eine um P2 aufnehmen, so muss gelten P2

= R = (1 2 u2

-

-

p)�

p

= 25%

geringere Leistung

1 R

= ( 1 - p) u

2

- .

Hieraus erhalten wir

Damit wird U2 u]

= �1 - = ..)1 - 0,25 = 0,866 . p

Die anliegende Gleichspannung muss also auf 86,6 % des ursprünglichen Wertes gebracht und somit um 13,4% herabgesetzt werden.

6

I

Einführende Grundlagen

Aufgabe 1 .8

Ein elektrisches Heizgerät ist über einen Energiezähler angeschlossen, dessen Ty­ penschild die Angabe "1 kWh 2 75 Ankerumdrehungen" enthält. Die Zählerkon­ stante beträgt also C = 75 UlkWh. Weiche Leistung P nimmt das Gerät auf, wenn der Anker des Energiezählers für n = 3 volle Umdrehungen die Zeit t = 1 ,0 min benötigt? Lösung

In der angegebenen Zeit nimmt das Heizgerät die Energie W = -n = C

3 = 0 040 kWh 75 U/kWh '

auf. Damit beträgt die gesuchte Leistung p

= W 0,040 kWh 2,40 kW. t 1Q h 60 =

=

Aufgabe 1 .9

Ein elektrischer Wasserkocher mit der Leistungsaufnahme P = 1200 W i st t = 6 min lang eingeschaltet und erwärmt dabei m = 1 kg Wasser von .9 1 = 14 ° C auf .9 2 = 100 ° C . Die spezifische Wärmekapazität des Wassers beträgt c = 4190 J/(kg· K) . Wie groß ist der Wirkungsgrad 77 des Erwärmungsvorganges? Lösung

Das Gerät nimmt in der angegebenen Zeit die elektrische Energie W'j

= Pt = 1200 W- 360 s = 4,32 · 1 05 Ws

auf. Der hiervon dem Wasser zugeführte Anteil beträgt mit 1 J 1 Ws =

1 · W2 = mc(.92 - .9 1 ) = 1 kg -4190 - (100 - 14) ° C = 3,60· 105 Ws . kg-K

I

7

Einfuhrende Grundlagen

Damit ist der Wirkungsgrad 3,60 · 105 Ws = 0,8 = 34. U7i 4,32 · 1 05 Ws

7] = W2

--

Aufgabe 1 . 1 0

.91 =

P

Bei einem elektrischen Durchlauferhitzer mit der Leistungsaufnahme = 15 kW beträgt die Temperatur des einlaufenden Wassers 1 5 °C. Das Wasser fließt mit einem Volumenstrom von = 8,0 · 1 0-5 m 3 /s durch das Gerät. Auf welche Temperatur wird das Wasser erwärmt, wenn ein Wirkungsgrad von 77 = 1 angenommen wird? (Die spezifische Wärmekapazität des Wassers be­ trägt = 4190 Jj(kg·K) , seine Dichte p 1 0 3 kg/ m 3 .)

.92

qv

c

Lösung

=

t

Innerhalb einer Zeit fließt durch das Gerät eine Wassermenge mit der Masse

m=qvpt,

der bei dem Wirkungsgrad 77 = 1 die Energie

W =Pt

zugeführt wird. In der gleichen Masse ist nach dem Erwärmungsvorgang die Energie gespeichert. Durch Gleichsetzen wird Hieraus folgt (durch Umstellen der Gleichung nach

.92 )

8

I

Aufgabe 1 . 1 1

Einführende Grundlagen

A .

In einem Kupferdraht mit = 1,0 mm2 Querschnitt fließt fiir die Dauer von 1,0 s der Strom I = 50 A Die Leitfähigkeit des Materials beträgt K = 57 · 106 Sjm , seine SQezifische Wärmekapazität c = 390 J/(kg· K) und seine Dichte 8 9, · 103 kg/ m3 . Wie groß ist der Temperaturanstieg im Leiter, wenn die Wärmeabgabe an die Umgebung und die durch die Erwärmung bedingte Widerstandserhöhung ver­ nachlässigt werden?

t=

p=

1'1..9

Lösung

Bei einer Drahtlänge I ist der Widerstand des Leiters

R =-KA'-.

Dem Leiter wird die Energie

zugefuhrt und in seiner Masse

m = Alp

gespeichert. Für die so gespeicherte Energie gilt auch

W =mct'1..9 = Alp cM} .

Durch Gleichsetzen wird

I 2 -KA1-t = Alp c!1..9 .

Hieraus erhalten wir den sich ergebenden Temperaturanstieg im Leiter als 57 · 1 06

!1..9 = 12 6, K .

s



m

J ' kg · 390 -( 1 ,0 · 10-6 m2 )2 ·8,9 · 1 03 3 m

kg · K

I

9

Einfuhrende Grundlagen

Aufgabe 1 . 1 2

Ein Gleichstrommotor arbeitet zur Wirkungsgradbestimmung auf eine Bremse, an deren Hebelarm r 0,5 m die Bremskraft F = 75 N wirkt. Die Drehzahl des Mo­ tors beträgt n = 1450 U/min, die anliegende Spannung U = 220 V und der aufge­ nommene Strom 30 A. Wie groß ist der Wirkungsgrad 7] der Maschine?

= I=

Lösung

Der Motor nimmt die Leistung Pt

I

= U = 220 V · 30 A = 6600 W

auf. Bei der Drehzahl n = 1450 1/min = 24,2 1/s und der sich daraus ergebenden Winkelgeschwindigkeit m = 2 rrn =2 · rr·24,2 1/s = 1 52 1/s sowie dem abgegebenen Drehmoment M = F r = 75 N · 0,5 m = 37,5 N m beträgt die vom Motor abgegebene Leistung P2 = Mm = 37,5 Nm· 1 52 l/s = 5700 W . Damit ist der Wirkungsgrad der Maschine = P2 = 5700 W = 0-863_ 6600 W ' 1]

PI

Aufgabe 1 . 1 3 m

Ein von einem Elektromotor angetriebener Kran soll die Masse = 1200 kg mit der Geschwindigkeit2 v = 0,5 m/s gegen die Erdanziehung anheben (Erdbeschleu­ nigung g = 9,8 1 'rn/ s ). Welche Leistung muss der Motor abgeben, wenn der Gesamtwirkungsgrad der mechanischen Übertragungseinrichtung 7] = 0,5 beträgt?

P

I

10 Lösung

m

g

Einfuhrende Grundlagen

m g.

Auf die Masse wirkt bei der Erdbeschleunigung die Gewichtskraft F = Bewegt man sie mit der Geschwindigkeit v entgegengesetzt der Erdanziehung, so ist dazu die Leistung = · · v erforderlich. Bei dem Wirkungsgrad ergibt sich daher die erforderliche Motorleistung als 2 = = = 1200 kg ·9,81 m/s ·0,5 m/s 1 1,8 · 103 W = 1 1,8 kW. 0,5

P' m g P P'17 mgv 17

17

Aufgabe 1 . 14

qy

Eine von einem Elektromotor 3angetriebene Pumpe soll Wasser mit einem Volu­ = 0,030 m /s gegen die Erdanziehung um2 die Förderhöhe menstrom von = 1 5 m anheben. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,8 1 m/ s , die Dichte des Wassers 10 3 kg/ m 3 . Welche Leistung muss der Motor abgeben, wenn für die Förderung des Was­ sers ein Wirkungsgrad von = 0, 7 angenommen wird?

h

p=

P 17

Lösung

t ·t ·p m p qy h

= m ·g = qy ·t ·p ·gqy t, G 17

Innerhalb einer Zeit wird eine Wassermenge mit dem Volumen V = · der Masse =V = und der Gewichtskraft um die Höhe angehoben. Bei einem Wirkungsgrad muss der Motor in der gleichen Zeit daher die Energie ·

W = Gh17 = qytp17 gh

abgeben. Damit beträgt die erforderliche Motorleistung 0,030 (m 3 /s) · 103 (kg/ m3 ) · 9,8 1 (m/s2 ) . 1 5 m ' 0,7

P = tW = qyp17 gh =

P = 6,3 1 · 1 03 W = 6,3 1 kW .

Aufgabe 1 . 1 5

Bei einer realen (widerstandsbehafteten) elektrische Quelle beträgt die Leerlauf­ spannung U0 = 12,0 V (Bild l . l a). Liefert die Quelle einen Strom von I = 15 A ,

I

11

EinfUhrende Grundlagen

so beträgt die Klemmenspannung U 1 1,5 V (Bild 1 . 1 b). Die (als lineare Schal­ tung anzusehende) Quelle soll durch die in Bild l . l c und in Bild l . l d angegebe­ nen Ersatzschaltungen dargestellt werden. a) Welche Werte sind fiir die Quellenspannung Uq und den Innenwiderstand Ri der Ersatzschaltung nach Bild 1 . 1 c erforderlich? b) Welche Werte ergeben sich fiir den Quellenstrom Iq und den Innenleitwert Gi der Ersatzschaltung nach Bild 1 . 1 d? =

IT .

d)

Ersatzschaltungen für (widerstandsbehafte) elektrische Quellen. a) Gegebene Quelle im Leerlauf, b) Gegebene Quelle im belasteten Zustand, c) Ersatzschaltung als Reihenschaltung einer Konstantspannungsquelle und eines Widerstandes, d) Ersatzschaltung als Parallelschaltung einer Konstantstromquelle und eines Leitwertes

Bild 1.1

Lösung

a) Vergleicht man die in den Bildern l .l a und l . l c angegebenen Schaltungen im unbelasteten Zustand, so findet man durch das Gleichsetzen der dabei auftre­ tenden Klemmenspannungen (Leerlaufspannungen) fiir die gesuchte Quellen­ spannung das Ergebnis Wird die in Bild l . l c angegebene Schaltung mit dem gleichen Widerstand R belastet wie die Schaltung nach Bild 1 . 1 b, so müssen auch die fließenden Strö­ me in beiden Schaltungen gleich sein. Zudem müssen die beiden auftretenden Klemmenspannungen übereinstimmen. Daher finden wir den gesuchten In­ nenwiderstand als R·

I

=

uq - u I

= (12 • 0 - l 1,5) v = 33'3 · 10- 3 n = 33 3 mn . 15 A ' --

b) Werden die in den Bildern l . l c und l . ld dargestellten Schaltungen kurzge­ schlossen, so müssen die beiden auftretenden Kurzschlussströme den gleichen Wert haben. Daher erhalten wir durch Gleichsetzen dieser Kurzschlussströme das Ergebnis

12

1 EinfUhrende Grundlagen

uq Iq ==R-1

1 2,0 V == 360 A ' 0,0333 Q

G

wobei Iq den gesuchten Quellenstrom in Bild l . l d darstellt. Zur Bestimmung des gesuchten Innenleitwertes i vergleichen wir die in den Bildern l . l c und 1 . 1 d dargestellten Schaltungen im unbelasteten Zustand. Durch Gleichsetzen der dann auftretenden Klemmenspannungen (Leerlaufspannungen) erhalten wir die Gleichung

G-

I Uq ==__g_ I

Hieraus folgt für den gesuchten Innenleitwert

Aufgabe 1 . 1 6

Eine reale Spannungsquelle soll nach Bild 1 .2 durch die Reihenschaltung einer Konstantspannungsquelle (mit der Quellenspannung Uq ) und eines Innenwider­ standes (Ri ) dargestellt werden. Die Quelle möge zum einen nach Bild 1 .2a durch einen Widerstand R1 1 0,0 n und zum anderen nach Bild 1 .2b durch einen Wi­ derstand R2 == 6,0 n belastet werden. Die dabei vorhandenen Klemmenspannun­ gen seien U1 == 1 0,0 V (Bild 1 .2a) und U2 9,0 V (Bild l .2b). Wie groß sind der Innenwiderstand Ri und die Quellenspannung Uq der Span­ nungsquelle? ==

==

a) Bild 1 .2

Uq� b)

Zur Bestimmung des Innenwiderstandes (R;) und der Quellenspannung (Uq) einer realen Spannungsquelle

1

13

EinfUhrende Grundlagen

Lösung

Der von der Spannungsquelle gelieferte Strom beträgt bei dem Belastungswider­ stand R1 = 10,0 0 I1

= U1 = 10,0 V = 1 'O A R1 10,0 0

und bei dem Belastungswiderstand R2 = 6,0 0 I2

= U2 = 9,0 V = 1 '5 A . R2 6,0 0

Bei der Berechnung des Innenwiderstandes Ri der Spannungsquelle gehen wir von der Überlegung aus, dass die Stromdifferenz �I = I2 - I1 zu einer an Ri auf­ tretenden Spannungsdifferenz �U = U1 - U2 führt. Daher ergibt sich der Innen­ widerstand als Ri

= �U = U1 - U2 = (10,0 - 9,0) V = 2,0 0 . �I I2 - I1 ( 1 ,5 - l ,O) A --

Die Quellenspannung hat somit den Wert Uq = U1 + I1 Ri = 1 0,0 V + 1,0 A ·2,0 0 = 1 2,0 V . Aufgabe 1 . 1 7

Eine (reale) Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand Ri = 2,0 0 soll nach Bild 1 .3 mit einem Außenwiderstand Ra belastet werden. Welchen Wert muss Ra mindestens haben, damit sich die Klemmenspannung Ubeim Anschließen des Außenwiderstandes höchsten um p = 0,1 % ändert?

Ra

Zur Bestimmung der zulässigen Belastung einer realen (widerstandsbehafteten) Spannungsquelle

Bild 1 .3

I

14

Einführende Grundlagen

Lösung

Beim Anschließen des Außenwiderstandes Ra nach Bild 1 .3 sinkt die Klemmen­ spannung von dem Wert Uq auf den Wert

wobei Uq die Quellenspannung der Spannungsquelle darstellt. Da U nur um p = 0,1 % kleiner als Uq sein darf, muss weiterhin U = (1 - p) Uq sein. Durch Gleichsetzen erhalten wir

Hieraus ergibt sich der für den Außenwiderstand erforderliche Mindestwert als 1

Ra = -pR-1

p

1 - o,oo 1 . 2 o n 1998 n. 0,00 1 ' =

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Aufgabe 2 . 1

Die in Bild a angegebene Schaltung mit den Widerständen R1 = 30 n , = 50 n , R3 = 40 n , R4 = 50 n und R5 = 1 0 n liegt an der Spannung V. Es sind die Ströme /1 bis !4 zu bestimmen.

2.1

R2

U= 24

a) Bild 2.1

b)

c)

Schaltungsbeispiel zur Berechnung von elektrischen Strömen

Lösung

Wir fassen die beiden in Bild 2.la in Reihe liegenden Widerstände R4 und R5 zum Ersatzwiderstand

zusammen und erhalten dadurch die in Bild 2. 1 b dargestellte Schaltung. Hierin liegen die Widerstände R2, R3 und R45 parallel. Deren Ersatzwiderstand erhalten wu aus 1 = 0,061 7 s 1 =1 +1 + 1 = 1 + 1 + Ra R2 R3 R45 50 n 40 n 60 n -

--

--

--

16

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

als n ''a

=

1 = 16 2 0. ' 0,061 7 s

Es entsteht die Schaltung nach Bild 2. 1 c. Hieraus ergibt sich U

I -

I - Rl + Ra

24 V = 0 5 1 9 A = 5 1 9 mA . (30 + 16,2) n '

Damit erhalten wir in Bild 2. 1 c die Teilspannung = 11 Ra = 0,5 1 9 A · 16,2 Q = 8,42 V .

Ua

Mit diesem Wert finden wir aus Bild 2. 1 b die Ströme I2

I3

I4

= Ua = 8,42 V = 0' 1 68 A = 168 mA 50 Q R2 = Ua = 8,42 V = 0 2 1 1 A = 2 1 l mA 40 0 ' R3 =

Ua R4s

'

'

= 8,42 V = 0, 140 A = 140 mA . 60 Q

Aufgabe 2.2

Die in Bild 2.2a angegebene Schaltung mit U 48 V enthält die Widerstände = 90 n , R2 = so n , R3 = 40 n und R4 = 60 n . Wie groß ist der Zweigstrom Ix ? =

R1

a)

b) Bild 2.2

Schaltungsbeispiel zur Berechnung eines Zweigstrornes. a) Tatsächliche Schaltung, b) gleiche Schaltung in veränderter (übersichtlicherer) Darstellung

17

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen Lösung

Aus Bild 2.2a ist ersichtlich, dass die Widerstände R2 und � parallel liegen und diese Parallelschaltung mit R3 in Reihe geschaltet ist. Der Widerstand R1 liegt di­ rekt an der Spannung U. Wir können daher die in Bild 2.2a dargestellte Schaltung durch die in Bild 2.2b angegebene ersetzen. Hieraus ergibt sich der Strom I1

Mit

= !!._ = 48 V = 0'533 A . R1 90 0

wird 48 V = 0 714 A . (40 + 27,3) 0 ' Damit finden wir aus Bild 2.2b mit U2 4

= I3 R24 = 0,7 14 A · 27,3 0 1 9,5 V =

den Strom I4

= U24 = 19,5 V = 0'324 A . � 60 0

Den gesuchten Strom erhalten wir aus Bild 2.2b als Ix

= I1 + I4 = (0,533 + 0,324) A 0,857 A = 857 mA . =

Aufgabe 2.3

Die in Bild 2.3a dargestellte Schaltung enthält die Widerstände R1 = 260 0 , = 140 0 und R3 = 400 0. Zu der Anordnung soll nach Bild 2.3b ein vierter Widerstand R4 parallel geschaltet und dadurch der Gesamtwiderstand um p = 4 % verkleinert werden. Welchen Wert muss der Widerstand � haben?

R2

2

18

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

0

b) Veränderung des Gesamtwiderstandes einer Widerstandsanordnung. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit verkleinertem Gesamtwiderstand

Bild 2.3

Lösung

Der Gesamtwiderstand der Schaltung nach Bild 2.3a beträgt R=

(R1 + R2 ) R3 ( 260 + 140) · 400 n 200 n = . R1 + R2 + R3 260 + 140 + 400 =

Durch Zuschalten des Widerstandes R4 nach Bild 2.3b soll R um p 4% ver­ kleinert werden. Es muss also =

(1- p) R

R · "l)4 =R + R4

sein. Hieraus erhalten wir den gesuchten Widerstand als 14

= 1 - P R = 1 - 0•04 . 200 n = -4800 n . p 0,04

Aufgabe 2.4

Die Schaltung nach Bild 2.4 enthält zwei Glühlampen, die bei der Spannung U1 = U2 = 1 1 5 V die Leistungen � = 60 W und P2 = 1 00 W aufnehmen. Der Widerstand R soll so gewählt werden, dass bei U = 230 V beide Glühlampen an der gleichen Spannung liegen. Welcher Wert ist fiir den Widerstand R erforderlich? Lösung

Beide Glühlampen liegen dann an der gleichen Spannung, wenn

2

19

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

ist.

R

u� Bild 2.4

Schaltung zur Erzielung einer gleichmäßigen Spannungsaufteilung an in Reihe geschalteten Glühlampen

Hieraus erhalten wir den gesuchten Widerstand als

2 R __!!j_ P2 - 11 =

=

2

(1 1 5 V) = 33U1. ( 100 - 60) W

Aufgabe 2.5

U

Eine Spannungsteilerschaltung soll bei einer Eingangsspannung von = 60 V so ausgelegt werden, dass im unbelasteten Zustand (Bild 2.5a) die Ausgangsspan­ = 10 V ist und im Kurzschlussfall (Bild 2.5b) der Strom / K = 1,0 A nung fließt. Welche Werte sind für die Teilwiderstände und erforderlich?

U2

a)

R1 R2

b)

Bild 2.5

u�

Spannungsteilerschaltung a) im unbelasteten, b) im kurzgeschlossenen Zustand

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

20 Lösung

Aus Bild 2.5b erhalten wir für den oberen Teilwiderstand In Bild 2.5a gilt nach der Spannungsteilerregel

u2 = u R2 R1 +R2 Hieraus erhalten wir durch Umstellen nach R2 für den unteren Teilwiderstand

R1 = l O V · 60 Q = 12 n . R2 = U2 2 60 V - I 0 V U U

Aufgabe 2.6

Eine Spannungsteilerschaltung nach Bild 2.6 liegt an der Eingangsspannung U = 1 00 V. Der Gesamtwiderstand des Teilers beträgt R = R1 +R2 = 400 n . Aus­ gangsseitig ist ein Belastungswiderstand R8 = 800 n angeschlossen, an dem die Spannung U2 = 40 V liegen soll.

Rs Bild 2.6

Spannungsteilerschaltung im belasteten Zustand (R6 = Belastungswiderstand)

Wie groß müssen die Teilwiderstände R1 und R2 sein? Lösung

Aus Bild 2.6 ist ersichtlich, dass die Widerstände R2 und R8 parallel liegen. Da­ her erhalten wir mit RP = R2 R8/(R2 + R8) nach der Spannungsteilerregel für die Ausgangsspannung

21

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen R2 R B P = U R2 +RB U2 = U Rz R B R1 +R R+ P R2 +R B R

=U

R2 R B R1 R2 +R1R B +R2 R B

Mit R1 =R -R2 wird daraus

Wir stellen diese Gleichung nach R2 um und erhalten dadurch die quadratische Gleichung Ri +

(�

)

R B -R R 2 -RR B

=

0.

Nach dem Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte wird

(--

2 1 00V 8 00 n - 4oo R2 + 4 0V

)

n

R 2 - 4oo

n . 8oo n = o ,

2 Ri +16 00Q·R2 - 32 00000 = 0 .

Daraus ergibt sich der untere Teilwiderstand, wenn wir berücksichtigen, dass die­ ser nur positiv sein kann, als

Der obere Teilwiderstand wird somit R1 = R -R2

=

(4 00 -18 0)Q

=

220Q .

Aufgabe 2.7

Eine Spannungsteilerschaltung nach Bild 2.7a mit der Eingangsspannung U ent­ hält die Widerstände R1 = 12 0Q und R2 = 36 0Q. Beim Anschließen des Belas­ tungswiderstandes R B soll sich die Ausgangsspannung U2 höchstens um p = 1 0% ändern.

2

22

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Wie groß muss der Belastungswiderstand R8 mindestens sein?

a) Bild 2.7

b) Zur Bestimmung der Mindestgröße des Belastungswiderstandes einer Spannungsteilerschaltung. a) Spannungsteiler im unbelasteten Zustand, b) Spannungsteiler im belasteten Zustand

Lösung

Aus Bild 2. 7a ergibt sich die Ausgangsspannung im unbelasteten Zustand nach der Spannungsteilerregel als R U2 = U 2 = U 360 n = 0' 75 · U. R1 + R2 (120 + 360) Q Im belasteten Zustand nach Bild 2.7b liegen die beiden Widerstände R2 und R8 parallel. Bezeichnen wir den Ersatzwiderstand dieser Parallelschaltung als RP , so gilt fiir die im belasteten Zustand vorhandene Ausgangsspannung

Da U2 ' höchstens um p = I 0% kleiner sein darf als U2 , muss gelten Durch Gleichsetzen wird ( l - p) · U2 = U � R1 + Rp Wir stellen diese Gleichung nach RP und erhalten mit p = 10% = 0,10 und U2 = o,75 u R p = (1 - p) U2 Rl = (1 - 0,10) · 0,75 · U · 120Q = 249,2Q . u -(1- p) u2 u -(1 - 0,l0) · 0,75 · U

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

23

Außerdem ist

Stellen wir diese Gleichung nach R8 um, so erhalten wir den gesuchten, mindes­ tens erforderlichen Belastungswiderstand als R2Rp 360 · 249,2 O = S 1 0 = Rs = 0. R2 � 360 - 249,2 Aufgabe 2.8

Bei der in Bild 2.8a angegebenen Schaltung mit den Widerständen R1 = 20 0 , = 200 0 , R3 = 100 0 und R4 = 1 5 0 lässt sich die Ausgangsspannung U2 durch Verstellen des am Widerstand R3 vorhandenen Abgriffs A verändern. Die Eingangsspannung beträgt U = 24 V . Zwischen welchen zwei Werten U2 1 und U22 kann U2 verändert werden?

R2

h, Iu,

h Iu"

Schaltung zum Einstellen einer Spannung. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltungszustand bei kleinstrnöglicher Ausgangsspannung, b) Schaltungszustand bei größtmöglicher Ausgangsspannung

Bild 2.8

Lösung

Die Ausgangsspannung erreicht ihren kleinsten Wert, wenn sich der Abgriff A am unteren Ende von R3 befindet (Bild 2.8b ). In diesem Fall können wir die Wider­ stände R2 , R3 und R4 zum Gesamtwiderstand

2

24

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

zusammenfassen. Damit erhalten wir in Bild 2.8b fiir die an R4 (und somit gleich­ zeitig an der Reihenschaltung von R2 und R3 ) liegende Spannung nach der Span­ nungsteilerregel

Die kleinste einstellbare Spannung beträgt damit

Befindet sich der Abgriff A am oberen Ende von R3 (Bild 2.8c), so erhalten wir, wenn wir die Widerstände R2 , R3 und R4 zum dann vorhandenen Gesamtwider­ stand R R R 200 · (100 + 1 5) = Rb = 2 ( 3 + 4 ) = 0 73'0 0 R2 + R3 + R4 200 + 1 00 + 1 5 zusammenfassen, die größte einstellbare Spannung als Rb = 24 V 73•0 n = 1 8 8 V . U22 = U ' R1 + Rb (20 + 73,0) 0 Aufgabe 2.9

l

Ein Gleichstrommotor soll nach Bild 2.9a über eine zweiadrige Leitung der Länge = 60 m an eine Spannungsquelle angeschlossen werden. Der Querschnitt jeder Leitungsader beträgt = 6 mm2 , der spezifische Widerstand des Leitermaterials (Kupfer) p = 1 7,6 · 1 0-9 Om . Der Motor gibt bei der anliegenden Spannung U 220 V und dem Wirkungsgrad 7J = 0,78 die Leistung P = 5,0 kW ab. Welche Spannung U' muss am Leitungseingang herrschen, damit der Gleich­ strommotor an U 220 V liegt?

A

=

=

Lösung

Die Anordnung kann durch die in Bild 2.9b angegebene Ersatzschaltung wieder­ gegeben werden, wobei R den Gesamtwiderstand der beiden Adern der Leitung darstellt. Der vom Gleichstrommotor benötigte und somit im Stromkreis fließende Strom beträgt I

=

_!____ = U

7J

5000 W 29 1 A . ' 220 V · 0,78 =

25

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen





U'

U'

a)

b) Versorgung eines Gleichstrommotors über eine zweiadrige Leitung. a) Tatsächliche Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung

Bild 2.9

Die beiden in der Leitung vorhandenen Adern haben insgesamt den Widerstand R=

2/

A

p

9 = 2 60 m - 1 7 , 66 · m1 02- Qm = 0' 352 n . 6 - 10·

Damit erhalten wir die am Leitungseingang erforderliche Spannung als U ' = U + I R = 220 V + 29 , 1 A 0,352 n = 230 V . ·

Aufgabe 2 . 1 0

Ein Verbraucher nimmt bei der anliegenden Spannung U = 500 V die Leistung P = 25 kW auf. Er soll nach Bild 2. 1 Oa über eine zweiadrige Leitung der Länge I = 200 m an eine Spannungsquelle angeschlossen werden. Die Leitungsadern sind aus Kupfer mit dem spezifischen Widerstand p = 1 7,6 · 1 o-9 nm . Wie groß muss der Querschnitt jeder Leitungsader mindestens sein, damit die in der Leitung auftretende Verlustleistung nicht größer als p = 7 % von P wird?

A

a)

I�

..-

-z

--

b)

Bild 2.10 Versorgung eines Verbrauchers (mit der Leistung P) über eine zweiadrige Leitung. a) Tatsächliche Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung (R =Leitungswiderstand)

2

26

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Lösung

Die Anordnung kann durch die in Bild 2. 1 Ob angegebene Ersatzschaltung wieder­ gegeben werden, wobei R den Gesamtwiderstand der beiden Adern der Leitung darstellt. Der vom Verbraucher benötigte und somit im Stromkreis fließende Strom beträgt 3 = P = 25 · 1 0 W = 50 A . U 500 V

I

Den Gesamtwiderstand beider Adern der Leitung können wir darstellen durch R = 2/ p

A'

so dass die in der Leitung auftretende Verlustleistung durch

angegeben werden kann. Da diese höchsten p = 7 Pv = p P sein. Durch Gleichsetzen wird

%

von P betragen darf, muss

Hieraus erhalten wir den gesuchten Mindestquerschnitt jeder Leitungsader als 2 · 1 0-9Qm = 10 . 1 0-6 m2 = 10mm2 . = I 2 /p = (50 Af 2 · 200 m · 1 7,6 pP 0,07 · 25 · 1 03 W

A

--

Aufgabe 2.1 1

Die in Bild 2. 1 1 a dargestellte Schaltung enthält die Widerstände R1 = 50 Q , R2 = 45 Q , R3 = 40 n , R4 = 55 n und R5 = 60 Q . Die vorhandene Spannungs­ quelle liefert die Spannung U = 48 V . Wie groß ist der Strom x?

I

Lösung

Aus Bild 2. 1 1 a ist ersichtlich, dass die Widerstände R1 , R2 und R3 parallel lie­ gen. Mit dieser Parallelschaltung liegt der Widerstand R4 in Reihe. Der Wider-

2

27

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

stand R5 liegt direkt parallel zur Spannungsquelle. Wir können daher die gegebe­ ne Schaltung so darstellen, dass sich die Anordnung nach Bild 2.1 1 b ergibt.

u� b)

a)

Bild 2.11 Schaltungsbeispiel zur Berechnung eines Zweigstromes. a) Gegebene Schaltung, b) gleiche Schaltung, j edoch in veränderter (anschaulicherer) Darstellung

Zur Berechnung des gesuchten Stromes R1 , R2 und R3 zu

Ix

fassen wir zunächst die Widerstände

1 1 1 1 0 = 14,9 0 -+-+50 45 40 zusammen. Durch Anwendung der Spannungsteilerregel erhalten wir für in Bild 2. 1 1b gekennzeichnete Spannung Ua den Wert Ua

= U Ra = 48 V 14•9 = 1 0,2 V . R4 + Ra (55 + 14,9) 0

O

Damit ergibt sich aus Bild 2. 1 1 b der gesuchte Strom als

Aufgabe 2 . 1 2

Die Schaltung nach Bild 2.12a enthält die Widerstände R1 = 55 0, R2 = 40 0 , R3 = 45 Q , J4 = 50 0 und R5 = 60 Q . Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) der Anordnung.

28

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

a) Bild 2.12 Beispiel einer Widerstandsanordnung (zur Bestimmung des Gesamtwiderstandes). a) Tatsächliche Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung Lösung

In der Schaltung nach Bild 2. 1 2a ist eine Zusammenfassung von einzelnen Wider­ ständen in der bisher durchgefiihrten Form nicht möglich. Zu einer Lösung ge­ langt man dadurch, dass man eine Stern-Dreieck-Umwandlung vornimmt. Im vorliegenden Fall können wir beispielsweise die aus den Widerständen R1, R2 und R3 bestehende Dreieckschaltung in eine elektrisch gleichwertige Stern­ schaltung umwandeln. Es entsteht dadurch die in Bild 2. 12b dargestellte Anord­ nung mit den Widerstandswerten 55 . 40 0 = 1 5 7 0 ' 55 + 40 + 45 '

40 . 45 0 = 12 9 0 ' 55 + 40 + 45

'

45 . 55 0 = 1 7,7 0 . 55 + 40 + 45 Der gesuchte Gesamtwiderstand beträgt damit

R

= 1 5,7 0 + ( 1 7,7 + 50) · ( 1 2,9 + 60) o = 50,8 o. 1 7,7 + 50 + 12,9 + 60 --

Aufgabe 2 . 1 3

Die in Bild 2. 1 3a dargestellte Schaltung mit den Widerständen R1 = 15 0, = 20 0, R 3 = 25 0, R4 = 30 0 und R5 = 35 0 soll bezüglich der Punkte 1 , 2 und 3 durch die in Bild 2. 13c angegebene Dreieckschaltung ersetzt werden.

R2

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

29

Welche Werte sind für die Widerstände R12 , R23 und R3 1 erforderlich?

a)

3

b)

c)

Bild 2.13 Umwandlung einer Widerstandsanordnung in eine Dreieckschaltung. a) Gegebene Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Schaltung, c) elektrisch gleichwertige Dreieckschaltung Lösung

Wir wandeln zunächst die in Bild 2. 13a aus den Widerständen R1 , R2 und R3 be­ stehende Sternschaltung in eine elektrisch gleichwertige Dreieckschaltung um, so dass die in Bild 2. 13b dargestellte Schaltung entsteht. Es ergeben sich die Wi­ derstände 47,0 0 , R12 = R1 + R2 + R1 R2 = 1 5 0 + 20 0 + 1 5 · 20 0 = -25 R3 --

--

R,23 = R2 + R3 + R2 R3 = 20 o + 25 o + 20 · 25 o = 78,3 o, R1 15 --

--

Hierbei stellt R1 2 bereits einen der in Bild 2. 1 3c gesuchten Widerstände dar. Fas­ sen wir jetzt noch in Bild 2. 1 3b zum einen R'23 und R5 sowie zum anderen R'3 1 und R4 zusammen, so erhalten wir die beiden anderen gesuchten Widerstände . R23 = R'23 Rs = 78,3 35 o = 24'2 o R'23 +R5 78,3 + 35 '

30

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Aufgabe 2 . 1 4

Die in Bild 2.14a dargestellte Schaltung enthält die Widerstände R1 = 25 0, R2 = 30 0 , R3 = 35 0, R4 = 40 0, R5 = 45 0 und R6 = 50 0 . Die vorhandene Spannungsquelle liefert die Spannung U 36 V. Wie groß ist die Spannung Ux? =

a)

b)

Bild 2.14 Schaltungsbeispiel zur Berechnung einer Teilspannung. a) Tatsächliche Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung

Lösung

Wir wandeln die in Bild 2.14a aus den Widerständen Rl> R2 und R3 bestehende Sternschaltung in eine elektrisch gleichwertige Dreieckschaltung um. Die glei­ che Umwandlung nehmen wir für die aus den Widerständen � , R5 und � ge­ bildete Sternschaltung vor. Auf diese Weise erhalten wir die in Bild 2.14b darge­ stellte Anordnung. Aus ihr ersehen wir, dass die Widerstände R23 und R64 paral­ lel zur Spannungsquelle liegen und daher keinen Einfluss auf die Höhe der Span­ nung Ux haben. Diese Widerstände brauchen daher nicht berechnet zu werden. Für die übrigen Widerstände erhalten wir

45 · 50 R5 � R5 6 = R5 + � + -- = 45 0 + 50 0 + -- 0 = 1 5 1,3 0 . 40 R4

31

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Aus Bild 2. 14b ist ersichtlich, dass die Widerstände R12 und �5 parallel liegen. Das Gleiche gilt für die Widerstände R31 und R56 . Daher erhalten wir mit Ra

=

Rl2 �5 R1 2+R45

Rb =

R31R 56 R31 +R56

=

76,4 · 12 1,0 n = 46,8 n , 76,4 + 12 1,0

=

89,2 · 1 5 1,3 n = 56,1 n 89,2 + 1 5 1,3

durch Anwendung der Spannungsteilerregel die gesuchte Spannung als 46•8 Ra Ux = U = 36 V 46,8 + 56, 1 Ra +Rb

=

1 6,4 V . --

Aufgabe 2 . 1 5

Die in Bild 2. 1 5a dargestellte Schaltung enthält zwei Spannungsquellen, die die Spannungen U1 = 48 V und U2 = 36 V liefern. Die vorhandenen Widerstände haben die Werte R1 3,0 Q und R3 = 6,0 Q . Es sind alle in der Schaltung auftretende Ströme (Zweigströme) zu bestimmen. =

a) Bild 2.15 Schaltung mit zwei Spannungsquellen. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragenen Bezugs- und Umlaufpfeilen Lösung

Wir lösen die Aufgabe durch unmittelbare Anwendung der Kirchhoff'schen Ge­ setze. Dazu fiihren wir zunächst für die gesuchten Ströme Bezeichnungen ein und wählen hierfür die Symbole 11 , 12 und /3 . Weiterhin geben wir für die Ströme Bezugspfeile mit beliebig angenommenen Richtungen vor und tragen diese ent­ sprechend Bild 2. 1 5b in die gegebene Schaltung ein. Die Richtungspfeile (Be-

2

32

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

zugspfeile) der Spannungen I 1 R1 und I3 R3 erhalten in Bild 2. 1 5b die gleiche Richtung wie die entsprechenden Strompfeile. Weiterhin tragen wir in die vor­ handenen Maschen (Bild 2. 1 5b) Umlaufpfeile (mit beliebig angenommener Um­ laufrichtung) ein. Jetzt stellen wir mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze drei Gleichungen auf. So gilt in Bild 2. 1 5b nach dem ersten Kirchhoff'schen Gesetz (2. 1 ) Durch Anwendung des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes erhalten wir aus Bild 2. 1 5b für die linke Masche, wenn wir diese entsprechend der Richtung des einge­ tragenen Umlaufpfeils durchlaufen, (2.2) Analog dazu ergibt sich für die rechte Masche

(2.3)

Aus diesen drei Gleichungen lassen sich die gesuchten Ströme bestimmen. So folgt aus Gl. (2.2) I 1 = U1 - U2 = (48 - 36) V = 4-'0A R1 3,0Q und aus Gl. (2.3) I3 = U2 = 36 V = 6 0A. R3 6,o n -' Damit fmden wir durch Anwendung von Gl. (2. 1 ) Da alle Werte positiv sind, stimmt der (tatsächliche) Richtungssinn der Ströme mit den Richtungen der in Bild 2. 1 5b eingetragenen Bezugspfeile überein. Aufgabe 2 . 1 6

Zwei (reale) Spannungsquellen mit den Quellenspannungen Uq1 = Uq 2 = 12 V sowie den Innenwiderständen Ri I = 1,0 n und � 2 = 1,5 n werden parallel ge­ schaltet und nach Bild 2. 16a mit dem Widerstand R 2,4 n belastet. Wie groß sind die Ströme I1 , I2 und I? =

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

33 I R

Bild 2.16 Ersatzschaltbild zweier parallel geschalteter (realer) Spannungsquellen (mit angeschlossenem Belastungswiderstand R). a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragenen Umlaufpfeilen

Lösung

Wir lösen die Aufgabe durch unmittelbare Anwendung der Kirchhoff'schen Ge­ Mit Hilfe dieser Gesetze können wir für die drei gesuchten Ströme drei Gleichungen aufstellen. Aus Bild 2. 1 6a erhalten wir nach dem ersten Kireh­ hoffsehen Gesetz setze.

/1 + 12 - 1 = 0 .

Zur Anwendung des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes tragen wir zunächst in die vorhandenen Maschen nach Bild 2. 16b Umlaufpfeile (mit beliebig angenommener Umlaufrichtung) ein. Durchlaufen wir die Maschen entsprechend der Richtung der eingetragenen Umlaufpfeile, so erhalten wir Uq i - / IRil + l2Ri 2 - Uq 2 = 0 , Uq 2 - I2Ri2 - IR = O .

Ordnen wir die Gleichungen nach den drei Unbekannten wir das Gleichungssystem

/1 , 12

und I, so erhalten

/1 + 12 - 1 = 0 , /1 Ri l - !2Ri2 = Uq l - Uq 2 , I2Ri2 + IR = Uq 2 ·

Dieses können wir in Matrizenschreibweise folgendermaßen darstellen:

Setzen wir die gegebenen Werte ein, so wird daraus

34

lj

- 1,5 0 Q . 1,5 2,4

[� l [ � l =

I

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

V.

12

Die Lösungen dieses Gleichungssystems ermitteln wir direkt mit einem dafiir ge­ eigneten Taschenrechner. Die Lösungen lauten I1

= 2AO A ,

I2

= 1,60 A ,

I

= 4,00 A .

Aufgabe 2 . 1 7

Der in Bild 2. 1 7a dargestellten Masche eines Netzwerkes werden die Ströme IA = 4,0 A und IB = 10,0 A zugefiihrt, so dass der abfließende Strom Ic = 14,0 A beträgt. Die beiden vorhandenen Spannungsquellen liefern die Span­ nungen U1 = 8,0 V und U2 = 6,0 V . Die Widerstände haben die Werte R1 = 1,0 Q , R2 = 2,0 Q und R3 = 0,5 Q . Von welchen Strömen werden die Widerstände R1 bis R3 durchflossen?

Ic Is a) Bild 2.17 Masche eines Netzwerkes. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragenen Bezugspfeilen und eingetragenem Umlaufsinn Lösung

Wir geben fiir die drei gesuchten Ströme die Symbole I1 , I2 , I3 vor und wählen die Richtungen der Bezugspfeile dieser Ströme entsprechend Bild 2.1 7b. Danach stellen wir drei Gleichungen auf. So gilt fiir die beiden linken Knotenpunkte nach dem ersten Kirchhoffschen Gesetz

I B - Iz - I3

=0.

35

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz gilt flir die vorliegende Masche, wenn wir diese entsprechend dem in Bild 2. 1 7b eingetragenen Umlaufsinn durchlaufen, - I3R3+ I2 R2 + U2 - h R , - u, = 0 . Aus diesen drei Gleichungen wird durch Ordnen nach den Unbekannten und I3

I1 , I2

I, - h = IA , I2 + I3 = Is , - I1 R1 + I2 R2 - I3R3 = U1 - U2 .

[

l [][ l

Setzen wir in diese Gleichungen die gegebenen Werte ein und stellen dann das sich so ergebene Gleichungssystem in Matrizenschreibweise dar, so erhalten wir I

0

-I

I'

0 I 1 Q· - 1,0 2,0 - 0,5

I2 = I3

4,0 I 0,0 V . 2,0

Die Lösungen lauten I1

= 8,0 A ,

I2

=6 0 A , ,

I3 = 4,0 A .

Aufgabe 2 . 1 8

Das in Bild 2. 1 8a dargestellte Netzwerk enthält zwei Spannungsquellen mit den Spannungen U1 = 90 V und U2 = 1 20 V . Die vorhandenen Widerstände haben die Werte R1 = 24 Q, R2 = 10 Q , R3 = 20 Q , R4 = 30 Q und R5 = 50 Q . Welche Ströme I1 und I2 werden von den beiden Spannungsquellen geliefert?

Bild 2.18 Netzwerk mit zwei Spannungsquellen. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragenen Bezugspfeilen und eingetragenen Maschenströmen

2

36

Lösung

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Wir lösen die Aufgabe nach dem Maschenstromverfahren. Dazu führen wir zu­ nächst fiir die in den Widerständen R3 , R4 und R fließenden Ströme die Be­ zeichnungen 13 , 14 und ein und geben fiir diese die Bild 2. 1 8b eingetragenen - willkürlich angenommenen - Richtungen vor (Bezugssinn der Ströme). Die Ströme und fassen wir gleichzeitig als Maschenströme auf. Wir stellen fiir die drei vorhandenen Maschen durch Anwendung des zweiten Kireh­ hoffsehen Gesetzes drei Maschengleichungen auf und durchlaufen dazu die Ma­ schen entsprechend den Richtungen der in Bild 2. 1 8b eingetragenen Maschen­ ströme. So ergibt sich für die linke Masche

/1 , /2 /3

5

/5

fiir die rechte Masche

und für die mittlere Masche Aus diesen drei Gleichungen wird durch Ordnen nach den Unbekannten und h

/1 , /2

Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir (in Matrizenschreibweise)

[ 540 600 -30]50 [/I21 ] [ 90 l -30 50 1 00 0 Q

·

h

=

1 20 V .

Die Lösungen fiir die beiden gesuchten Ströme lauten

2

37

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Aufgabe 2 . 1 9

Das in Bild 2. 19a dargestellte Netzwerk enthält vier Spannungsquellen, die die Spannungen U1 = 36 V , U2 = 30 V , U3 = 24 V und U4 1 2 V liefern. Die vor­ handenen Widerstände haben die Werte R1 = 25 n , R2 = 45 n , R3 40 n , R4 = 35 Q und R5 = 30 n . Es sind alle Zweigströme zu bestimmen. =

=

Rs

a) Bild 2.19 Netzwerk mit vier Spannungsquellen. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragenen Bezugspfeilen und eingetragenen Maschenströmen Lösung

Wir lösen die Aufgabe nach dem Maschenstromverfahren. Dazu führen wir zu­ nächst für die gesuchten Zweigströme die Bezeichnungen I1 bis I5 ein und geben für diese nach Bild 2. 19b willkürlich Richtungen vor (Bezugssinn der Ströme). Die Ströme I1 , h und I5 fassen wir gleichzeitig als Maschenströme auf. Wir stellen für die drei vorhandenen Maschen durch Anwendung des zweiten Kirch­ hoff' schen Gesetzes drei Maschengleichungen aufund durchlaufen dazu die Ma­ schen entsprechend den Richtungen der in Bild 2. 19b eingetragenen Maschen­ ströme. So ergibt sich für die linke Masche I1 R1 - U1 + U2 + (I1 - h ) R2

für die mittlere

Masche

0

= ,

und für die rechte Masche Aus diesen drei Gleichungen wird durch Ordnen nach den Unbekannten und I5

ft ,

I3

2

38

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir (in [-4570 -45120 0 -35 Die Lösungen lauten 1t=124mA, h =60mA, 15 = 21 7 mA Damit bet2ragen die1 beiden übrigen Zweigströme in Bild 2. 1 9b / = 13 -1 = 60 mA -124 mA 64 mA ' 14 = 15 -13 = 21 7 mA-60 mA 1 57 mA. DiSpannungen e in Bild 2.U210a= 1dar0 gestUe2l t=50e Schaltundung Uent3 h=älUt4funf= U5Spannungs qeuelfern.len,Jederdie dedier = 20 l i vorEshandenen s e chs Wi d er s t ä nde ( R bi s R6) hat ei n en Wer t von 1 0 1 sind alle auftretenden Zweigströme zu bestimmen. Winäcrhslötsen didiee Aufgesugcabehtennach dem die Bezeichnungen 11Dazubis 1fü6 heirennundwir zu­ge­ benStröme)für di. Diesee StStrröömemenach11 , 1Bi2 lundd 2.210b3 fwiasl kenürwilicrh glRiecichthzeiungentig alvors der aufKir.chhoff' Wir stseclhenen füGesr dieetzdreseidrvorei handenen Maschen durcaufh Anwendung desaufezwein dazuten und dur c h l sdicehensMastrcöhenme. Soenterspgreibchendt sich dendiRieclhtinkeungenoberdere Masin cBiheld 2.20b eingetragenen Ma­ Matrizenschreibweise)

==

Aufgabe 2.20

V

V,

V

n.

Lösung

für

Maschenstromverfahren. Zweigströme

Maschengleichungen

für

(Bezugssinn Maschenströme

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

39

fiir die linke untere Masche und fiir die rechte Masche

Bild 2.20 Netzwerk mit fünf Spannungsquellen. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragenen Bezugspfeilen und eingetragenen Maschenströmen

Ausund diesen drei Gleichungen wird durch Ordnen nach den Unbekannten /3

[

Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir (in 30 - 10 - 1 0 30 - 10 - 10

/1 , 12

Matrizenschreibweise)

2

40 Die Lösungen lauten Damit betragen die übr3,ig2en5 AZwei-2,g0s0trAöme1i,n25BiA,ld 2.20b 3,25 A -2,75 A 0,50 A, I4 = I2 - I3 =

=

I5 = I2 - I1 =

=

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Aufgabe 2.21

Dinunge SchalU tu1ng20 nachundBileidn2.e2Stl aroentmquelhält leie,nediSpannungs qmuelle mi1 5t0der Quelliefleernst.pDian­e e den St r o vorhandenen Wi250derstände haben die Werte 200 und Welcher Strom wird von der Spannungsquelle geliefert? =

V

R2 = R3 = R6 =

mA I= R1 = � = R5 =

n.

n

I0

Bild 2.21 Netzwerk mit einer Spannungs- und einer Stromquelle. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragenen Maschenströmen

Lösung

nach demZweigströme und nach Dabei Bild 2.fa2sl benalwis r die iWin rBilöldse2.n 2dilea Aufeingetgaberagenen Maschenstromverfahren.

10

I

Ma-

2

41 en wir ein. diVone beidenden vioberer eienngefüMashchenrten nachMa­ Bischldens2.tr2ö1menb dieauf.istMasderDescSthensrWeiomtrtöemerberenefüitshundrbekannt der Aufg-Uabe nur drei Maschengleichungen. Si. eDaherlautenbenötdiigeenlinwikeruntedireeMasLöscuheng die linke obere Masche und die rechte obere Masche Hieraus wird durch Ordnen nach=U den Unbekannten und = 0, Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir (in [-200450 -200650 -250l [ ] [1 57,5] 0 -250 700 30 alHiseraus erh=al426ten wir den in Bild 2.2 1a von der Spannungsquelle gelieferten Strom Dispaennungen Schaltung nach60 BiV,ldU2.2 2=502a entV hundält drei Spannungs qeuelzweilen Stmirtomquel den Quellen,ledin­e 80 V s o wi die St40röme 2,305 A und 35 1,8 A lie50fern. Die Wi55derstundände haben45die Werte Es sind alle Zweigströme bestimmen. Die Berechnung von Gleichstromkreisen

sehenströme

I

I1

I2

für

für

für

+ (10 - I1 ) R4 + (I0 - I ) R6 = 0 ,

für

für

I0 , I1

I0 (R4 + R6 ) - I1 R4

I2

+ I R6 ,

- I0 R4 + I1 (R1 + R3 + R4 ) - I2R3

- I1 R3 + I2 (R2 + R3 + R5 ) = I R5 .

Matrizenschreibweise)

o

I0

I0 n . I1 = I2

o

v.

mA .

Aufgabe 2.22

R1 =

U1 = I7 = Q , R2 =

U3 = I8 = Q , R3 = Q , R4 = Q , R5 = zu

Q

R6 =

Q.

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

42

Bild 2.22 Netzwerk mit drei Spannungs- und zwei Stromquellen. a) Gegebene Schaltung, h) Schaltung mit eingetragenen Bezugspfeilen und eingetragenen Maschenströmen

Lösung

Winächsr lötsen didiee Aufgesugchtabeennach dem nach Bild 2.22b RichtDabeiungengebenvor (Bwiezugsr zu­­ shandenen inn der StMasröme)chen. Ferndieeglr füeichherenZahlwir an Maschenströmenein,notwobeiwendig idist.eWivierrwäh­vor­ lsecnhensdietrvonömedenausStundromquelgebenlen geldiieesfeerditeeniStn Birömeld 2.22bundeingetirnagenen jedemUmlFallaalufwege s Ma­ vorlaufwege . Weitemüsrhinsesnehenso gewähl wir diet Stwerrödmeen, dasunds sie nichalstMasdurcchhensdietrvorömehandenen an. DereStnrUm­om­ ten Wege eingetra­ gen.quelVonlen denführviene.rIneinBigefüld 2.h2rt2ben sMasind cdihense trödimenese sStinrdömebergewähl eitzweis zweiMaschenglund eichun­be­ kannt . Daher benöt i g en wi r zur Lös u ng der Auf g abe nur gen. Sie lauten den Umlaufweg des Maschenstromes und den Umlaufweg des Maschenstromes (Umlaufstromes) Hieraus wird, wenn wir nach den Unbekannten und ordnen, Maschenstromverfahren. Zweigströme Maschenströme

fiir

fiir

I7

I1

fiir

I8

I2

fiir

( 17

I1

fiir

fiir

I2

I1

I2

I8 )

2

43

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

I1 ( R1 + R4 + Re, ) - I2 Re, = U1 + I7 R4 , - I1 Re, + I2 ( R2 + R3 + R5 + Re, ) = U2 + U3 + I7 Rs - Ig ( R3 + Rs ) .

Durch Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich (in [ 1 3 5 -45J n · [ I' ] = [1 85J v. -45 1 65 1 06 Die Lösungen lauten

Matrizenschreibweise)

I2

Damit erhalten wir die übrigen Zweigströme in Bild 2.22b 1,1 1 1,80 A 2,91 A, 2,50 -1,74 A 0,76 A, U1+ 1,80-2,50 A 0,41 A, 1,74 -1,1 1 A 0,63 A. DiQuele ilnensBipannung ld 2.23a darg60estVel tunde SchaleinetuStngromquel enthältleei, dinee Spannungs quelle1,2miAt lderie­ den St r o m fert. Di40e vorundhandenen50 Widerstände haben die Werte 60 1 5 Wie groß ist der von der Spannungsquelle gelieferte Strom AushandenenBild 2.St2r3aomquelist erlesiclihtegen.lich,Widasrskönnen die Widesderhstaländeb diese Parundal elscparhalatul engl als vor(wi­­ derstandsbehaftete) Stromquelle auffas en und in eine (widerstandsbehaftete) für

I3 = I2 + Ig = (

+

14 = h - I1 = (

I5 = I2 + I8 - I7 = (

16 = I, - I2 = (

) =

) =

) =

) =

Aufgabe 2.23

U=

R3 =

n

R4 =

R1 =

n.

I= n , R2 =

I0 ?

Lösung

R3

R4

zur

n,

2

44 2.Spannungs 23b mit quelle umwandeln. Auf diese Weise entsteht die Schaltung nach Bild U R34 1,2 A 22,2 Q 26,7 V . q

=I

=

Die Berechnung von G Ieichstromkreisen

=

·

�u

Io

b)

a)

�Uq

Bild 2.23 Netzwerk mit einer Spannungs- und einer Stromquelle. a) Gegebene Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung

Aus Bild 2.23b erg60ebenV sich die Ströme 1 R1 60Q 1'00 A U-R R34 160-26, 5,0 22,72 V =0,90A. Damit beträgt der gesucht1,0e0 St0,ro9m0 A 1,90 A. ld 2.24aUdarg1 2esVtelstoewiSchale zweitungStrentomquelhält leien,nediSpannungs quelle mi4,t0derA QuelundDi1e ilnensBipannung e di e St r ö me R Wi2se groß2,is0t Ader40Stlierfo,emi4?rn.R3 Di20e vorundhandenen R4 1 Widerstände haben dte Werte I = !!_ =

Iz =

z+

=

Uq

I0 = I1 + I2 = (

'

= ( (

)

+

+

)

)n =

Aufgabe 2.24

=

I9 2 =

n , R2 =

=

n

I9.1 =

=

n

= on.

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

45 b)

a)

Bild 2.24 Netzwerk mit einer Spannungs- und zwei Stromquellen. a) Gegebene Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung

Lösung

Wizunächsr lösetnvondiedenAufvorgabehandenen nach demWiderständen deren Leitwerte. WiDazur erbihalldtenen widier Werte 1 =-=--=40 250 mS ' =-= 400 =25mS ' = -=1 1 010 = 100mS. Weistandterhinbesfasteehenden wirReidiehausenscderhaltvorunghalandenen Spannungs queletele) Spannungs und dem Wiquelderle­ s ( w i d er s t a nds b ehaft auf.StromquelWir lwandel e um. Esn 1ents2ieVstienhteidinee SchalelektturingschnachgleiBichwerld 2.t2ig4be mi(wtiderstandsbehaftete) = = 200 = 0'60 A. des Knoten alesnpotenzialverfahrausens. Iwählm vorenliewigenden r in BiFalld l2.neh­24b eimennBeienwiderderr dafürvorAnwendung handenen Knot enpunkt 0.diWeie vonterhdenin führübreignenwiKnotr enpunkten (im voreilien­. DasgendensindFaldilejseinnidendgdasenKnotSpannungen, 1 und 2) zumSieBezugs pnachfunkt ozeilgendgen.füInr dasBildauf2.2z4bu­ ssitneldende GlundeichungsdisdieyseKnottePunktm edinseepUnbekannt annungen. bi l d en en.SiDanach ste-beil en widenr füeirndigete Knotragenenen­ punkt e 1 und 2 di e Knot e ngl e i c hungen auf. e l a ut e n Bezugspfeilen -für den Punkt 1 Knotenpotenzialverfahren.

G1

I

R1

G2

I

R2

G4

R4

I

--

--

R3

Iq 3 !!_ R3

Bezugsknoten

U10

U20

Knotenspannungen

2

46 und den Punkt 2 Setzen wir in diese Gleichungen die sich aus Bild 2.24b ergebenden Beziehungen ein und ordnen nach den Unbekannten, so erhalten wir . Durch Einsetzen der Zahlenwerte wird daraus (in [ 1 90 -1 50] mS . [ ] [4600] mA . -1 50 175 1400 Die Lösungen l94aut4en , Damit erhalten wir den gesuchten Strom 94,4 - 0, 1 S 0,55 A. DiQuele ilnensBipannung ld 2.25a darges24tel te SchalsowietungzweienthälSttroeimquelne Spannungs queldiele miStrtöderme l e n, di e einWien eWe1 5gr0rotmAßvonistundder1 00Strom 250 liefern. Jeder der vorhandenen Widerstände hat Wizunächsr lösetnaldileeWiAufdergsabetändenachdurcdemh ihre Leitwerte dar Dazu stel,eusn wwi.)r. Wir geben die auftretenden Zweigströme nach Bild 2.25b Richtungen vor Die Berechnung von Gleichstromkreisen

für

U10 ( GI + G3 + G4 ) - U20 ( G3 + G4 ) = Iq 1 + Iq 3 ,

- U10 { G3 + G4 ) + U20 ( G2 + G3 + G4 ) = Iq 2 - Iq 3

Matrizenschreibweise)

U1 0 U20

U10 =

=

U20 = 88,9 V .

V,

für

14 = ( U10 - U20 ) G4 = (

88,9) V ·

=

Aufgabe 2.25

Iql

U=

19.2

=

12.

V

=

mA

16 ?

Lösung

Knotenpotenzialverfahren.

für

( G1 = 1/ R1 , G2 = 1/ R2

2

47 (Bezugs2, 3sinundn der4. StWählröme)en undwir denbezeiPunktchnen dialesfuBezugs nf vorhpandenen Knotso seinnpunkt e mit unkt aus , d ervon ist nurberdreieitsKno­be­ kartenglmteund,icshungen o dass widi(furezurrKnotdiBese ePunktnstimpannungen munge 2, 3derundderübr4)igSchalenaufKnotztuusng.teensl Hiepnannungen brauchen. Diese Glei­ chungen lauten fur den Punkt 2 fur den Punkt 3 und fur den Punkt 4 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

0, 1 ,

U30

0

U40

U

U , U20 ,

b)

a) Mit den sich aus Bild 2.25b ergebenden Beziehungen

Bild 2.25 Schaltung mit einer Spannungs- und zwei Stromquellen. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit eingetragen Bezugspfeilen

/2 = (U2o - U3o ) G2 ,

!3 = (U3o - U4o ) G3 ,

15 = (U - U30) G5 ,

16 = (u- U40) G6

wiundrd darauors,dwennnen, wir die Gleichungen zudem nach den Unbekannten ( + I+ + + I+ U40 )

U20 ( G, G2) - U30 G2 =

q1

U G1 ,

- U20 G2 U30 ( G2 G3 + G5) - U40 G3 = q2 U G5 ,

U20 , U30

2

48 jSetederzenLeiwitwr erdite 1Zahl/(1 00enwe0) =rte1 0eimSn, sbeto errähgtal,te(inn wir, wenn wir berücksichtigen, dass [-1200 -1300 -100j mS· [ ] [349090] 0 -1 0 30 240 Die Lösungen lauten = 37,2 V, = 35,3 V , = 1 9,8 V. Damit beträgt der gesuchte Strom = = (24,0 -1 9,8)V · 1 0 mS = 42 mA. Die Berechnung von Gleichstrornkrei.sen

Matrizenschreibweise)

U20 U30 U40

U20

U30

=

mA .

U40

I6 (U - U40) G6

Aufgabe 2.26

DiQuele ilnenBispannung ld 2.26a dar= g3es6 tVel tunde SchaleinetuStngromquel enthällte,eidinee Spannungs quel=l2,e 4miAt ldeier­ den St r o m fert=400 . Die vorundhandenen=600.Widerstände haben die Werte = 30 , = 50 0, Wie groß ist der Strom U

R3

R1

R4

I 0 R2

Ix ?

a)

b)

c)

Bild 2.26 Schaltung mit einer Spannungs· und einer Stromquelle. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung bei I = 0, c) Schaltung bei U = 0

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

49 Wisetzrelnöswienr dizunächs e Aufgtabeden durvonchderAnwendung dese gelieferten Strom als 0 an. Dazu St r o mquel l durdemchglenteicshenteht eldieektSchalrischentungPotnachenziBiall,ds2.o 2das6b.s DardieinWiliedgenerstäalndele KnotenpunktundHie aufer­ stromlos sind. Der Wi36dVerstand liegt an der Spannung U. Daher ist = = 300 = l'20 A sWiDanacetzdtermishttäwindederrdFoldiege,vondasundders diSpannungs e Schalparatluenglq, uelwährnachle egelBindlidederf2.er2tWie6cSpannung entderssttaendht. HialsekurrUinzlgesie0gencange­hldiose­ sen und somit stromlos ist. Wir fas en die Widerstände und zu zusstandammen.flieDurßendench Anwendung finden wir den im Wider­ Strom als der 24 + =2,4 A 50 + 24 0 =0,78A. tHiräegrnt saochmiwert = den beide=Ströme+ und überlagert. Der gesuchte Strom be­ 1,20 0,78 A 1,98 A. DiQuele ilnensBipannung ld 2.27aUdarg12es0teVl teundSchaleinteungStroentmquelhältleei, ndieeSpannungs quelle1,5miAt lderie­ den St r o m fert. Di10e00.vorhandenen Widerstände haben die Werte 60 0, 90 0 und Wie groß ist der Strom Winächsr lötsdenen divone AufdergStaberonachmqueldemle gelieferten Strom als = 0 an.DazuHiersdeurtzcenh entwirstzu­eht die Schaltung nach Bild 2.27b. Die vorhandenen Widerstände fas en wir zu Lösung

Überlagerungsverfahrens.

I=

R2 , R3

R1

Ix l !!.__ R1

.

=

R2 , R3

R4

R3

R1 R4

Stromteilerregel

R2

R34 Ix2 = I R2 R34

)

o

(

( Ix l

Ix Ix l + Ix 2 (

)

Ix 2 )

=

Aufgabe 2.27

=

R1 =

R3 =

Ix ?

Lösung

Überlagerungsverfahren.

I

I= R2 =

R4

2

50

Die Berechnung von G Ieichstromkreisen

zusammen, so dass 1 20V 2 beträgt.

= OO A Ix l = _!!_ = ' R123 60 Q

b)

a)

c)

Bild 2.27 Schaltung mit einer Spannungs- und einer Stromquelle. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung bei I = 0, c) Schaltung bei U = 0 U=0

an,schlSetentoszsenetn,ehtwisodir dasdanac e Schals h tdiuundnge vonnachderparBiSpannungs ladl e2.l 2li7c.egen.HiqueleMirilnte iHigelstlfderieefederrWite dSpannung erstand alskurzge­er­ halten wir DurStrocmh als der beide Ströme und finden wir den gesuchten R1

lx2 = l

R3

R2

Stromteilerregel

R2 9o n = 1,5 A ( ) = 0,90 A . 60 + 90 n R1 + R2

Überlagerung

Ux l

Ix2 )

fx = lx l - lx2 = 2,00 A - 0,90 A = l,I O A .

Aufgabe 2.28

DiQuele ilnensBipannung ld 2.28a UdargesteVl te sSchalowietudinge entWihdälertsteiändene Spannungsquelle mit der und Die Schaltung sol bezüglich der Punkte und R3 = 60 n

= 1 20 R4 = 3 0 n .

R1 = 40 n , R2 = 50 n , A 8

2 51 dursetzcthwereindeen.elektrisch gleichwertige nach Bild 2.28d er­ erfWelorderchelich?Werte sind die Quellenspannung und den Innenwiderstand R Die Berechnung von Gleichstromkreisen

Ersatzspannungsquelle

für

a)

Uq

b)

i

d)

c)

Bild 2.28 Umwandlung einer gegebenen Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung zur Bestimmung der Quellenspannung, c) Schaltung zur Bestimmung des lnnenwiderstandes, d) Ersatzspannungsquelle Lösung

ist eglneiAchunddeijBenilieggten. ZurSpannung, die indideresergegebenen Die Queltunglezwinspsannung Schal c hen den Punkt Ber e chnung betrachten wir Bild 2.28b. Darin fas en wir die Widerstände R1 , R2 und Spannung R3 zu zusammen, so dass wir den1 20im Widerstand R4 fließenden Strom (36+3o)n 182 A erhalten. Durch Anwendung der St r o mt e i l e r e gel fi n den wi r 60 n =0,727A. 12 = 14 R1 +RR32 +R3 = 1.82A (40+50+60)n Damit beträgt die gesuchte1 R 1 20 0,727(vAer·g5l0. Binld 2.83,268b) 22 U 9.

für

V

=

·

Quellenspannung

Uq = UAB = U -

=

V-

=

V.

2

52 Zur Besqtiuelmmungle durcdesh eiInnenenwiKurdzsercshltaundess verbindung.ersetzEsen entwirstienhtBidilde Schal2.28atudinge Spannungs nachist gleBiiclhddem2.28c.gesDeruchthieneriInnnenwi zwischenderstdenand.PunktZu seeinner BesundtiBmmung liegendefasWiendwiersrtand nächst die Widerstände und zu Die Berechnung von Gleichstromkreisen

l?j

A

zu­

R4

R1 , R3

für

zusammen. Damit erhalten wir den

Innenwiderstand

Aufgabe 2.29

DiQuele ilnensBipannung ld 2.29a darg48esteVl tesoSchalwie tudinge entWihdälertsteiändene Spannungsquelle mi8t der t2.e29cund40erseBtzdurt werchdeien.ne eleundktrisch gleichwerDitigee Schaltung sol bezüglich dernachPunk­Bild erfWelorderchelich?Werte sind die Quellenspannung und den Innenwiderstand R3 =

A

n,

U



=

=

1 00 n

R5 = 120 n .

für

R1 = 60 n , R2 = 0 n ,

Ersatzspannungsquelle

Ri

Uq

b)

a)

c)

Bild 2.29 Umwandlung einer gegebenen Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung zur Bestimmung des lnnenwiderstandes, c) Ersatzspannungsquelle

Lösung

DiPunkte gesenuchtunde QuelB lileegenden nspannungSpannung.istZugleiihcrherderBerienchnung Bild 2.fa2s9aenzwiwisrczunächs hen dent die Widerstände und zu A

Uq

R2 , R4

R5

2

53 R245 = R2 + RR44+RR55 = 80 + 11000+10 · 1 2200 = 1 34'5 zuszusaammen. mmen, sDio eersehrR3alWiteRnd4wiersrtand40lie. gt34par5 al el zu R3. Fassen wir beide Widerstände R2345 - R3 + R22545 - 40 +1134,, 5 - 30 8 ler egel fin(udennd damiwir tdidieeingesBiulchtd 2.e 29a zwi­ sDurchenchdenAnwendung Punktals en AderundSpannungs B liegendeteiSpannung Uq =U R, R+2R3425345 =48 V (6030,+ 30,8 !18) =16,3 V. Zur Besqtiuelmmungle durdesch eiInnenenwiKurzdserchlstaundess verbRiindung.ersetzEsen entwirstienhtBidilde Schal2.29atudinge Spannungs nachist gleBiiclhddem2.29b.gesDeruchthienerIninnenwizwisdchenerstadennd. MiPunktt en A und B liegende Widerstand 1Ri R,1 --R2145 +-=--+ 1R3 601 1 34,15 + --401 =49,1 · 1 0-3 -=-+ finden wir den gesu1chten als R = 49,1 ·10-3 = 2o,4 DiQuele ilnensBipannung ld 2.30aUdar=g60estVel undte SchaleinetuStngromquel enthältleei, din1ee Spannungs quel=l0,e 4miAt lderie­ den St r o m = = ferWit. Die egrvoroßhisandenen Wi d er s t ä nde haben di e Wer t e R 45 und R 55 2 t der Strom Zurnen Löswiruzunäcng derhsAuft dengabeWidfüerhrsetanndwirRei2 nvone der Schaltung ab und beseint.imDazumentrvonen­ Die Berechnung von Gleichstromkreisen

A �t

-

n

n

n

A ' H

·

Quellen­

spannung)

n

n

n

s

n

Innenwiderstand

i

n.

s

Aufgabe 2.30

n

I2 ?

Lösung

Ersatzspannungsquelle

I

n.

2 54 demgleichwerverblteigibenendenErsatNzsetpzannungs werk (Bqiuelld l2.e3nach0b) diBieldGr2.ö3ßen0c. U und R. der elektrisch Die Berechnung von Gleichstromkreisen q

b)

a)

Bild 2.30 Schaltungsbeispiel zur Netzwerkberechnung durch Anwendung der Ersatzspannungsquelle. a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit abgetrenntem Widerstand R2, c) Ersatzspannungsquelle der letztgenannten Schaltung

annung Uqundistsglomieicth der in Bild 2.30b zwischen den Punkten A undDiBe lQueliegendenlenspSpannung Uq =U+IR1 =60V + 0,4 A· 450=78V. derWistadnderstRiandistuntgleeirchderdemVorinausBisledtz2.ung,30bdaszwissmanchendidene Spannungs Punkten A­ undquelDerlBe durlIinenenwi genden offene Leitcuhng.einEse Kurgiltzssocmihluts verbindung ersetzt und die Stromquelle durch eine sDaherchlWiosrderen,gderibstosWiiflcihedßtderersitnagesndihumR2chtdereinStglrBieoimlcdheal2.sSt30cromanwidie einErdersattzastpsannungs ächlichenquelSchalle ange­tung. 45+5578 V 0 = 0,78A. (

)

--

Aufgabe 2.31

In derquelin leBinlddie2.Spannungen 3 1 a dargest1eUl t1en= 1Schal30 Vtuundng lUie2fe=rn36diV.e beiDideenvoräußerhandenenen Span­Wi­ nungs derIn derständemit habendi e WerteqRuel=1le fl5i00,eßt derR2St=1rom000,I= 1R230=900 und R4=600. l e r e n Spannungs mA. Wie groß ist die Quellenspannung U3 der mit leren Spannungsquelle?

2 Die Berechnung von GIeichstromkreisen

55

Bild 2.31 Schaltung mit drei Spannungsquellen. a) Gegebene Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung

Lösung

Wispannunge r führenn undnachInBinenwild 2.d3er1sbtäzweinde betragen ein. Ihre Quellen­ 1 0 00 V 150 + R1 + ( 1 00) 0 2 V 11550+0· 110000 0=6000' Ersatzspannungsquellen

Uq 1 = U1

R2

R2

=

1 30

=

5

,0

,

. 60 90 + 90+ 60 36' Aus der sich aus Bild 2.3 1 b ergebenden Maschengleichung fmden wir die gesuchte Spannung als 52,0 -14,4 0,1 2 A · (60,0 + 36,0) 0 26,1 R12· =

U3

=

R3 f4 R3 R4

V

o

=

V-

=

o o.

=

V.

2 Die Berechnung von Gleichstromkreisen

56 Aufgabe 2.32

DiQuele ilnensBiplannungen d 2.32a dargeste60l teVSchalundtung ent1 2hälV.t zweiDie Spannungs quelWilendermisttändeden vor h andenen haben wera) Welden,dicheredasWerWers ertedit iestmaxidenmalWiundmöglderisctheandLeisteurDerngforaufndWierldiicmerh?mtsta.nd sol so eingestel t b) Wie groß ist die Leistung die von maximal aufgenommen werden kann? U2 = R2 = 65 n .

U1 = R1 = 75 n

R3

R3 R3

fiir

P,

Schaltungsbeispiel zur Erläuterung des Begriffs ,.Leistungsanpassung". a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit abgetrenntem Widerstand R3, c) Ersatzspannungsquelle der letztgenannten Schaltung

Bild 2.32

Lösung

R3 Uq

Zurund Lösbestuingmmender vonAufgdeaber vertrebnnenleibendenwir zunächs tungin Bi(Bldild2.2.32a32b)dendiWie Grderößenstand undab Schal t deDireelQuelektrliesnschpglannung eichwertigienst gleich der in Bild 2.32b zwinachscBihenldden2.32c.Punkten A und B liegenden Spannung. Mi60Vt 0429 A wird diese Spannung 1 2 0,429 A 39,9 derWistdaerndstandistuntgleericderh demVorianusBiseltdzung,2.32bdaszwis beischende Spannungs den PunktqenuelA­ undlenDerdurB lIcinehnenwi genden den gesuchtKuren zInscnenwihlus vdererbstiannddungenals ersetzt werden. Auf diese Weise finden wir

Ri

ErsatzspannungsqueUe

Uq

ul I12 -Rl + R2

(75 + 65) n

uq = U2 + I12 R2

=

Ri

v+

=

·

·

65 n

=

v.

2 Die Berechnung von GIeichstromkreisen R·

Rl R2 Rl + R2

7 5 . 65 n 7 5 + 65

57 n.

34,8 a) Wischlrdosderen, Wiso dlieregtstaanndihm diane gldieeicErhesaSpannung tzspannungswiequelin derle itnatBisächlld i2.chen32c Schalange­­ tung nach Bild 2.34,382a. Er nimmt somit die größte Leistung dann auf, wenn bet r ä gt . Man s p r i c ht dann von b) LeiDiestiunng.dieSiseembeFalträlgtdemwegenWiderstand(Bildzugefü 2.32c)hrte Leistung ist die gesuchte I

=

=

=

R3

R3 Ri =

n

=

Leistungsanpassung.

R3 Ri

R3

=

Aufgabe 2.33

DiQuele ilnensBipannung ld 2.33a Udarges3 tel teundSchaldituengWientderhälsttändeeine Spannungs quelle mi1 0t0der 80 era) diWele1maxi2c0hermWerundal möglt ist iche1den50LeiWistuDerdngersaufntWianddiermsmttaernd. fordersloiclh?so eingestel t werden, dass b) Wie groß ist die Leistung die von maximal aufgenommen werden kann? =

R3

=

R4

0

=

für

6V n

R5

.

R1

=

0, R2

P,

}s Uq � � }s B

�--- 'A

b)

c)

B

Schaltungsbeispiel zur Erläuterung des Begriffs "Leistungsanpassung". a) Gegebene Schaltung, b) Schaltung mit abgetrenntem Widerstand Rs, c) Ersatzspannungsquelle der letztgenannten Schaltung

Bild 2.33

0,

R5 R5

R

a)

=

2 Die Berechnung von Gleichstrornkreiseo

58 Lösung

Zur Lösung der Aufgabe trennen wir zunächst in Bild 2.33a den Widerstand R5 von der Schaltung ab und bestimmen von dem verbleibendem Netzwerk (Bild 2.33b) die Größen Uq und Ri der elektrisch gleichwertigen Ersatzspannungs­ queUe nach Bild 2.33c. Die Quellenspannung Uq ist gleich der in Bild 2.33b zwischen den Punkten A und B liegenden Spannung. Zu deren Berechnung fassen wir zunächst die Wider­ stände R2 , R3 und R4 zu

zusammen. Damit erhalten wir die Ströme 36 V = 0 235 A (so + 73,0) o ' und (durch Anwendung der Stromteilerregel) I34 = 11

1 00 0 R2 = 63 6 · 10- 3 A . = 0 235 A 0 100 + 120 1 50 ) R2 + R3 + � ' + ( '

Die gesuchte Quellenspannung beträgt

Der Innenwiderstand Ri ist gleich dem in Bild 2.33b zwischen den Punkten A und B liegenden Widerstand unter der Voraussetzung, dass man sich die Span­ nungsqueUe durch eine Kurzschlussverbindung ersetzt denkt. Zu seiner Berech­ nung fassen wir zunächst die Widerstände R1 , R2 und R3 zu

SO . l OO

R, R2 R 0 + 120 0 = 164 4 0 R123 -+ 3 ' 80 + 1 00 R1 + R2 =

zusammen. Damit wird R Ri = m � R123 + R4

=

164,4 . 150 o 7 8,4 o . 164,4 + 1 50 =

a) Schließt man den Widerstand R5 in Bild 2.33c an die Ersatzspannungsquelle an, so nimmt er dann die größte Leistung auf, wenn er den Wert

2

59

Die Berechnung von Gleichstromkreisen

hat. Es besteht dann Leistungsanpassung. b) Die in diesem Fall dem Widerstand R5 zugefiihrte Leistung ist die gesuchte Leistung. Sie beträgt wegen R5 =R. (Bild 2.33c)

Aufgabe 2.34

Die in Bild 2.34a dargestellte Schaltung enthält eine Spannungsquelle mit der Quellenspannung U 72 V . Die vorhandenen Widerstände haben die Werte R1 40 n , R2 45 n , R3 55 n und R4 65 n . Die Schaltung soll bezüglich der Punkte A und B durch eine Ersatzstromquelle nach Bild 2.34c ersetzt wer­ den. Welcher Quellenstrom Iq und welcher Innenleitwert Gi sind erforderlich? =

=

=

u�

=

=

u� a)

'------- --