Aufgabensammlung Analysis I 9783486705539, 9783486705430

Der erste Teil dieses Buchs enthält Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis 1. Im zweiten Teil finden sich Lösungen bzw. L

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Aufgabensammlung Analysis I
 9783486705539, 9783486705430

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Aufgabensammlung Analysis I von Prof. Dr. Friedmar Schulz

Oldenbourg Verlag München

Prof. Dr. Friedmar Schulz war – nach Studium, Promotion und Habilitation in Mathematik – zunächst als Gastprofessor an verschiedenen Universitäten tätig, u.a. an der University of Minnesota, Minneapolis (USA); University of Iowa, Iowa City (USA); University of Kentucky, Lexington (USA); Australian National University, Canberra (Australien); University of Queensland, St. Lucia (Australien) und der Zhejiang University, Hangzhou (China). Seit 1994 ist er Professor für Mathematik an der Universität Ulm, wo er von 1995-1997 auch Dekan der Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften war. Seit 1998 ist er zudem außerordentlicher Professor der Changsha Railway University, Changsha, China. Professor Schulz ist Hauptherausgeber der im Oldenbourg Verlag erscheinenden Zeitschrift “Analysis. International mathematical journal of analysis and its applications”.

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

© 2011 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mönch Herstellung: Constanze Müller Einbandgestaltung: hauser lacour Gesamtherstellung: Grafik + Druck GmbH, München Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706. ISBN 978-3-486-70543-0

Vorwort ¨ Der erste Teil des vorliegenden Bandes enth¨alt Ubungsaufgaben zur Analysis 1. 1 ¨ Die Gliederung entspricht meinem Lehrbuch . Das L¨osen von Ubungsaufgaben ist ein wesentlicher Bestandteil des Studiums, der Leser sollte deshalb m¨oglichst viele Aufgaben selbst¨andig bearbeiten. Dabei w¨ unsche ich viel Spaß. Im zweiten Teil finden sich L¨osungen zu einigen ausgesuchten Aufgaben sowie L¨ osungshinweise zu einigen weiteren. Die L¨osungen sind anf¨anglich zum Teil sehr ausf¨ uhrlich dargestellt, sp¨atere L¨osungen sind skizzenhafter, sie stellen also keine Musterl¨osungen dar und sollten vom Leser vervollst¨andigt werden. Ich bitte, mir durch Zusendung von Verbesserungsvorschl¨agen, Korrekturen und von ganz besonders sch¨onen L¨osungen bei der Verbesserung des Bandes zu helfen. L versehen, Aufgaben, die teilweise Aufgaben mit L¨ osungen sind mit einem ○ T H und Aufgaben, fur gelost sind, mit einem ○, solche mit Hinweisen mit einem ○ ¨ ¨ die eine L¨osung und ein Hinweis zu einem weiteren L¨osungsweg angegeben ist, A (f¨ sind mit einem ○ ur Alternative) versehen. Dies stellt allerdings keine strikte Trennung dar.

Ich m¨ochte mich bei Frau A. Lesle, Frau H. Runckel und Herrn Dr. J.-W. Liebezeit herzlich bedanken f¨ ur die Erstellung des Manuskripts. Jan hat uns immer kundig unterst¨ utzt, die Abbildungen erstellt und die endg¨ ultige LATEXGestaltung u ur dieses Engagement danke ich ihm besonders. ¨bernommen. F¨

Ulm

1

F. Schulz, Analysis 1, Oldenbourg Wissenschaftsverlag

Friedmar Schulz

Inhaltsverzeichnis I

Aufgaben

1

0

Mengen, Relationen und Abbildungen

3

0.1

Naive Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2

Geordnete Paare und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.3

Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.4

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1

Grundlagen der Analysis

9

1.1

Die nat¨ urlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Abz¨ahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4

Angeordnete K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

Das Archimedische Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6

Folgen in einem angeordneten K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7

Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2

Das System der reellen Zahlen

2.1

Axiomatische Einf¨ uhrung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Dezimalbruchentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3

Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

Weitere Vollst¨ andigkeitsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5

H¨aufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6

Das erweiterte reelle Zahlensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

21

VIII

Inhaltsverzeichnis

3

Unendliche Reihen

29

3.1

Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2

Vergleichskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3

Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4

Partielle Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5

Der Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6

Doppelfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7

Doppelreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.8

Produkte von Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4

Stetige Funktionen einer Variablen

4.1

Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2

Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3

Der Limes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4

Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5

Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6

Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.7

Gleichm¨ aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.8

Der Weierstraßsche Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.9

Reihen von Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5

Differentialrechnung einer Variablen

5.1

Differenzierbare Funktionen einer Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2

Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3

Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4

Die de L’Hospitalschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5

Differentiation von Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.6

H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.7

Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.8

Konvexit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

39

49

Inhaltsverzeichnis

IX

6

Die elementaren transzendenten Funktionen

61

6.1

Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2

Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3

Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4

Die allgemeine Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.5

Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.6

Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.7

Die Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.8

Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7

Integralrechnung

7.1

Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2

Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.3

Partielle Integration und Substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.4

Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.5

Klassen elementar integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8

Das Riemannsche Integral

8.1

Das Riemann-Darbouxsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2

Die Riemannsche Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3

Klassen integrierbarer Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.4

Eigenschaften integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . 76

8.6

Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.7

Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.8

Das Integralkriterium und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.9

Grenzwerts¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A

Mengensysteme, Relationen und Partitionen

A.1

Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2

Indizierte Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

67

71

83

X

Inhaltsverzeichnis

A.3

¨ Aquivalenzrelationen und Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.4

Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

B

Konstruktion der reellen Zahlen

B.1

Cauchy-Folgen in einem angeordneten K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.2

Definition der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.3

Der angeordnete K¨ orper der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.4

Der Dedekindsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.5

Das Hilbertsche Programm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C

Elementare komplexe Analysis

C.1

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

C.2

Unendliche Reihen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

C.3

Komplexe Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

C.4

Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

C.5

Komplex differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

C.6

Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

C.7

Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

C.8

Der Logarithmus und die allgemeine Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

C.9

Der Fundamentalsatz der Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

C.10

Integration komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

II

L¨ osungen und Hinweise

87

89

97

0

Mengen, Relationen und Abbildungen

99

0.1

Naive Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

0.2

Geordnete Paare und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

0.3

Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

0.4

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1

Grundlagen der Analysis

1.1

Die nat¨ urlichen Zahlen und das Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 107

107

Inhaltsverzeichnis

XI

1.2

Abz¨ahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.3

K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.4

Angeordnete K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.5

Das Archimedische Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.6

Folgen in einem angeordneten K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

1.7

Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2

Das System der reellen Zahlen

2.1

Axiomatische Einf¨ uhrung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.2

Dezimalbruchentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.3

Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.4

Weitere Vollst¨ andigkeitsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.5

H¨aufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.6

Das erweiterte reelle Zahlensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3

Unendliche Reihen

3.1

Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.2

Vergleichskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.3

Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.4

Partielle Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.5

Der Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.6

Doppelfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.7

Doppelreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.8

Produkte von Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4

Stetige Funktionen einer Variablen

4.1

Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2

Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.3

Der Limes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.4

Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.5

Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

123

133

143

XII

Inhaltsverzeichnis

4.6

Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.7

Gleichm¨ aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.8

Der Weierstraßsche Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.9

Reihen von Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5

Differentialrechnung einer Variablen

5.1

Differenzierbare Funktionen einer Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.2

Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3

Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.4

Die de l’Hospitalschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.5

Differentiation von Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.6

H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.7

Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.8

Konvexit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6

Die elementaren transzendenten Funktionen

6.1

Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.2

Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.3

Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.4

Die allgemeine Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.5

Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.6

Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.7

Die Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.8

Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7

Integralrechnung

7.1

Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.2

Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3

Partielle Integration und Substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.4

Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.5

Klassen elementar integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

153

163

169

Inhaltsverzeichnis

XIII

8

Das Riemannsche Integral

173

8.1

Das Riemann-Darbouxsche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.2

Die Riemannsche Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.3

Klassen integrierbarer Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.4

Eigenschaften integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.5

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . 176

8.6

Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.7

Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.8

Das Integralkriterium und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.9

Grenzwerts¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

A

Mengensysteme, Relationen und Partitionen

A.1

Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.2 A.3

Indizierte Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 ¨ Aquivalenzrelationen und Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.4

Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

B

Konstruktion der reellen Zahlen

B.1

Cauchy-Folgen in einem angeordneten K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.2

Definition der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.3

Der angeordnete K¨ orper der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.4

Der Dedekindsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

B.5

Das Hilbertsche Programm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

C

Elementare komplexe Analysis

C.1

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

C.2

Unendliche Reihen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

C.3

Komplexe Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

C.4

Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

C.5

Komplex differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

C.6

Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

179

183

185

XIV

Inhaltsverzeichnis

C.7

Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

C.8

Der Logarithmus und die allgemeine Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

C.9

Der Fundamentalsatz der Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

C.10

Integration komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Teil I

Aufgaben

1

0

Mengen, Relationen und Abbildungen

0.1

Naive Mengenlehre

0.1.1 Sei A eine Teilmenge der nat¨ urlichen Zahlen N. Man formuliere die Negation zu folgenden Aussagen: (i)

L Jedes Element a ∈ A ist eine gerade Zahl. ○

(ii) Jedes Element a ∈ A ist durch 4 oder durch 5 teilbar. L Jedes Element a ∈ A ist durch 4 und durch 5 teilbar. (iii) ○

(iv) Es gibt ein Element a ∈ A, das durch 5 teilbar ist. 0.1.2 Die Aussage Jede nat¨ urliche Zahl n von der Form n = 4 ⋅ k, k ∈ N, ist ” gerade“ schreibe man folgendermaßen (i)

L Falls n . . . , dann ist n . . . . ○

(ii) H¨ochstens dann, wenn n . . . , dann ist n . . . . L n . . . ist notwendig daf¨ (iii) ○ ur, dass n . . . .

(iv) n . . . ist hinreichend daf¨ ur, dass n . . . . 0.1.3 X, Y seien Mengen. Man beweise: L X ∪Y = Y ⇔ X ⊂ Y . (i) ○

(ii) X ∩ Y = Y ⇔ Y ⊂ X.

4

0 Mengen, Relationen und Abbildungen

0.1.4 F¨ ur Mengen X, Y, Z beweise man die Distributivgesetze und deMorganschen Regeln: (i)

L X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ). ○

(ii) X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ). L Z ∖ (X ∪ Y ) = (Z ∖ X ) ∩ (Z ∖ Y ). (iii) ○

(iv) Z ∖ (X ∩ Y ) = (Z ∖ X ) ∪ (Z ∖ Y ). 0.1.5 F¨ ur Mengen X, Y, Z beweise man die Formeln L X ∖ (X ∖ Y ) = X ∩ Y . (i) ○

(ii) (X ∪ Y ) ∖ Z = (X ∖ Z ) ∪ (Y ∖ Z ). 0.1.6 F¨ ur jedes n ∈ N bezeichne Xn eine Menge. Gilt dann f¨ ur die Mengen ∞



X ∶= ⋂ ( ⋃ Xk ) , n=1 k=n





Y ∶= ⋃ ( ⋂ Xk ) n=1 k=n

eine Beziehung der Form X ⊂ Y , Y ⊂ X oder X = Y ? Dabei ist ∞

ur ein k ≥ n } = { x ∣ es gibt ein k ≥ n mit x ∈ Xk } , ⋃ Xk ∶= { x ∣ x ∈ Xk f¨ k =n ∞

ur alle k ≥ n } = { x ∣ f¨ ur alle k ≥ n gilt x ∈ Xk } . ⋂ Xk ∶= { x ∣ x ∈ Xk f¨

k=n

0.1.7 Es seien Xn , Ym f¨ ur n, m ∈ N Mengen. Man zeige: ∞



n=1

m =1





L ( ⋃ Xn ) ∖ ( ⋃ Ym ) = ⋂ ( ⋃ (Xn ∖ Ym )). (i) ○

m=1 n=1







n=1

m=1

m,n=1

(ii) ( ⋃ Xn ) ∖ ( ⋂ Ym ) = ⋃ (Xn ∖ Ym ). 0.1.8 Es seien Xnm f¨ ur n, m ∈ N Mengen. Man zeige: ∞



L (i) ○ ⋂ ( ⋃ Xnm ) =

n=1 m=1







m1 ,m2 ,m3 ,... n=1



(ii) ⋃ ( ⋂ Xnm ) = n=1 m=1

( ⋂ Xnmn ).





( ⋃ Xnmn ).

m1 ,m2 ,m3 ,... n=1

0.2 Geordnete Paare und Relationen

0.2

5

Geordnete Paare und Relationen

H Man zeige anhand eines Beispiels, dass das geordnete Paar (x, y ) f¨ 0.2.1 ○ ur x ∈ X und y ∈ Y nicht durch (x, y ) = { x, { y } } erkl¨art werden kann. L F¨ 0.2.2 (i) ○ ur Mengen X, Y, Z beweise man:

(X ∩ Y ) × Z = (X × Z ) ∩ (Y × Z ). (ii) Ist X eine Menge, so heißt ∆(X ) ∶= { (x, y ) ∈ X 2 ∣ x = y } die Diagonale in X 2 . Man beweise f¨ ur zwei Mengen X, Y : X ⊂ Y ⇔ ∆( X ) ⊂ ∆( Y ) .

0.3

Abbildungen

L I ∶= { x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 1 } sei das Einheitsintervall in den reellen Zahlen. 0.3.1 ○ Welche der folgenden Relationen f1 , f2 , f3 , f4 ⊂ I × R definieren Funktionen von I nach R (und welche nicht):

f1 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ x2 + y 2 = 1 } , f2 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y − x3 = 0 } , f3 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y 3 − xy = 0 } , f4 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y 2 − 2y + 1 = 0 } . Man gebe drei Funktionen g1 , g2 , g3 ⊂ I × R an, so dass g1 ∪ g2 ∪ g3 = f3 gilt. 0.3.2 Sei f eine Abbildung von X in Y und seien A, B Teilmengen von X. Man zeige die folgenden Eigenschaften des Bildes: (i)

L Aus A ⊂ B folgt f (A) ⊂ f (B ). ○

(ii) f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ). L f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). (iii) ○

(iv) Anhand eines Beispiels zeige man, dass im Allgemeinen f (A ∩ B ) ≠ f (A) ∩ f (B ).

6

0 Mengen, Relationen und Abbildungen

0.3.3 Sei f eine Abbildung von X in Y und seien A′ , B ′ Teilmengen von Y . Dann gelten die folgenden Eigenschaften des Urbildes: (i)

′ ′ −1 L Aus A ⊂ B folgt f ○ (A′ ) ⊂ f −1 (B ′ ).

(ii) f −1 (A′ ∪ B ′ ) = f −1 (A′ ) ∪ f −1 (B ′ ). −1 L f (iii) ○ (A′ ∩ B ′ ) = f −1 (A′ ) ∩ f −1 (B ′ ).

(iv) Aus A′ ⊂ B ′ folgt f −1 (B ′ ∖ A′ ) = f −1 (B ′ ) ∖ f −1 (A′ ). 0.3.4 Seien f ∶ X → Y und g ∶ Y → Z Abbildungen und seien A ⊂ X und A′′ ⊂ Z. Dann gelten die folgenden Beziehungen: L (g ○ f )(A) = g (f (A)), (i) ○

(ii) (g ○ f )−1 (A′′ ) = f −1 (g −1 (A′′ )).

0.4

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

0.4.1 X, Y seien Mengen, f ∶ X → Y sei eine Abbildung. Man zeige: L f ist injektiv ⇔ f¨ (i) ○ ur alle y ∈ Y enth¨alt die Menge (X × { y })∩ f h¨ochstens ein Element.

(ii) f ist surjektiv ⇔ f¨ ur alle y ∈ Y enth¨ alt die Menge (X × { y })∩ f mindestens ein Element. ′ ′ ′ ′ ′ L X = { a, b, c, d, e }, Y = { a , b , c , d , e } seien 5-elementige Mengen. 0.4.2 (i) ○ Welche der folgenden Abbildungen f, g ∶ X → Y sind injektiv, surjektiv oder bijektiv (bzw. welche sind nicht injektiv, surjektiv, bijektiv)?

f ∶= { (a, d′ ), (b, b′ ), (c, a′ ), (d, d′ ), (e, a′ ) } , g ∶= { (a, e′ ), (b, c′ ), (c, d′ ), (d, b′ ), (e, a′ ) } ? (ii) Welche der Abbildungen f, g, h ∶ R → R sind injektiv, surjektiv oder bijektiv (bzw. welche sind es nicht)? f (x) ∶= x2 ,

g (x) ∶= x + ∣x∣ ,

h(x) ∶= x ⋅ ∣x∣ ?

0.4 Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

7

0.4.3 X, Y, Z seien Mengen, f ∶ X → Y und g ∶ Y → Z seien Abbildungen. Man zeige: (i) Sind f und g injektiv (bzw. surjektiv), so ist auch g ○ f injektiv (bzw. surjektiv). (ii) Sind f und g bijektiv, so gilt

( g ○ f ) −1 = f −1 ○ g −1 . 0.4.4 Sei f eine Abbildung von X in Y und seien A ⊂ X und A′ ⊂ Y . Dann gelten die folgenden Aussagen: −1 L f (i) ○ (f (A)) ⊃ A. Ist f injektiv, dann ist f −1 (f (A)) = A.

(ii) f (f −1 (A′ )) = A′ ∩ Im f . Ist f surjektiv, dann gilt f (f −1 (A′ )) = A′ . 0.4.5 Sei f ∶ X → Y eine bijektive Abbildung. F¨ ur jede Teilmenge A′ ⊂ Y stimmt dann das Urbild von A′ bez¨ uglich f mit dem Bild von A′ bez¨ uglich der Inversen −1 f ∶Y →X u ¨berein. Beide Mengen werden mit f −1 (A′ ) bezeichnet. T Man beweise die folgenden Aussagen: 0.4.6 ○

(i) Eine Abbildung f ∶ X → Y ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksinverse besitzt, d. h., wenn eine Abbildung g` ∶ Y → X existiert mit g` ○ f = idX . (ii) f ∶ X → Y ist genau dann surjektiv, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt, d. h., eine Abbildung gr ∶ Y → X mit f ○ gr = idY . 0.4.7 (i) X, Y seien Mengen, R ⊂ X × Y sei eine Relation von X nach Y und R−1 ∶= { (y, x) ∈ Y × X ∣ (x, y ) ∈ R } sei die inverse Relation zu R. Man zeige: R und R−1 sind genau dann Abbildungen, wenn R eine bijektive Abbildung ist. (ii) Man gebe eine Relation R1 ⊂ R2 an, wo R1 eine Funktion und R1−1 keine Funktion ist. Analog finde man eine Relation R2 ⊂ R2 , die keine Funktion ist, wo jedoch R2−1 eine Funktion ist.

1

Grundlagen der Analysis

1.1

Die natu¨rlichen Zahlen

1.1.1 Man beweise durch vollst¨ andige Induktion f¨ ur alle n ∈ N: n

(i)

2 2 2 2 L 1 + 2 + ... + n = ∑ k = ○ k =1

n(n + 1)(2n + 1) . 6 2

2

n n( n + 1) (ii) 1 + 2 + . . . + n = ∑ k = ( ) = ( ∑ k) . 2 k =1 k =1 3

(iii)

3

3

n

3

n 1 1 1 1 n + + ... + =∑ = . 1⋅2 2⋅3 n(n + 1) k=1 k (k + 1) n + 1

L 1− (iv) ○

n 1 (−1)2n+1 2n (−1)k+1 1 1 1 + ... + =∑ =∑ = + ... + . 2 2n k n+1 2n k =1 k =1 n + k

n

(v) ∑ k ⋅ k! = (n + 1)! − 1. k =0

(vi) n < 2n ≤ (n + 1)!. Dabei ist n! ∶= 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ n. A (i) F¨ 1.1.2 ○ ur welche n ∈ N gilt n2 < 2n ? Man beweise die Behauptung durch vollst¨andige Induktion.

(ii) Man zeige: F¨ ur alle p ∈ N gibt es ein N ∈ N, so dass np < 2n f¨ ur alle n ∈ N, n ≥ N. 1.1.3 Man zeige die folgenden Behauptungen: (i)

Sei q ∈ N, q ≠ 1. F¨ ur alle n ∈ N0 ist dann n

k ∑q = k =0

q n+1 −1 q −1

q n+1 − 1 . q−1

∈ N und es gilt

10

1 Grundlagen der Analysis

(ii) Sei q ∈ N0 . Dann gilt f¨ ur alle n ∈ N die Ungleichung q n ≥ 1 + n(q − 1). (iii) Sei q ∈ N, q ≠ 1. Zu jedem a ∈ N gibt es dann ein n ∈ N mit q n ≥ a. n

4 L Man stelle ∑ k durch einen rationalen Ausdruck in n dar. 1.1.4 ○ k =1

1.1.5 Man suche den Fehler bei folgender Schlussweise: Behauptung: Je endlich viele Zahlen a1 , a2 , . . . , an sind einander gleich. Beweis durch vollst¨ andige Induktion: Induktionsanfang: n = 1. Es gilt a1 = a1 , da jede Zahl sich selbst gleich ist. Nun sei die Behauptung f¨ ur je n Zahlen richtig. Dann zeigen wir, dass sie auch f¨ ur n + 1 Zahlen richtig ist. Nach Induktionvoraussetzung gilt n¨ amlich a1 = a2 = . . . = an und a2 = . . . = an = an+1 . Daraus folgt a1 = a2 = . . . = an+1 , w. z. b. w.

1.2

Abz¨ahlbarkeit

1.2.1 Sei f ∶ { 1, . . . , n } → { 1, . . . , m } eine bijektive Abbildung. Man zeige, dass dann n = m folgt. 1.2.2 Seien X und Y endliche Mengen. Man zeige, dass dann L ∣X ∣ + ∣Y ∣ = ∣X ∪ Y ∣ + ∣X ∩ Y ∣, (i) ○

(ii) ∣X △ Y ∣ = ∣X ∣ + ∣Y ∣ − 2 ∣X ∩ Y ∣ gelten. Dabei ist X △ Y ∶= (X ∪ Y ) ∖ (X ∩ Y ) die symmetrische Differenz von X und Y . 1.2.3 Seien X = { x1 , . . . , xn }, Y = { y1 , . . . , ym } zwei endliche Mengen, n, m ∈ N. Sei R ⊂ X × Y . Man zeige, dass n

m

i=1

j =1

∣R∣ = ∑ ∣{ y ∈ Y ∣ (xi , y ) ∈ R }∣ = ∑ ∣{ x ∈ X ∣ (x, yj ) ∈ R }∣ .

1.2 Abz¨ahlbarkeit

11

1.2.4 Sei X eine Menge mit n Elementen. (i)

H Man bestimme die Anzahl der Teilmengen von X. ○

(ii) Man zeige, dass die Anzahl der bijektiven Abbildungen f ∶ X → X gleich n! ∶= 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ n ist. L F¨ (iii) ○ ur 0 ≤ k ≤ n ist die Anzahl der verschiedenen k-elementigen Teilmengen von X gleich n n! ( ) ∶= , k (n − k )!k!

dabei setzen wir 0! ∶= 1. (iv) Man zeige und interpretiere die Formel n n 2n = ∑ ( ) . k =0 k

1.2.5 Man zeige die folgenden Behauptungen: (i)

Z ist abz¨ahlbar unendlich.

(ii) Ist X eine abz¨ ahlbar unendliche und Y eine endliche Menge, so sind auch X ∪ Y und X ∖ Y abz¨ ahlbar unendliche Mengen. (iii) Die Vereinigung abz¨ ahlbar vieler abz¨ ahlbarer Mengen ist abz¨ahlbar. L Sei q ∈ N, q ≠ 1 und sei a ∈ N0 . Man zeige: Es gibt ein n ∈ N0 1.2.6 ○ und eindeutig bestimmte Zahlen a0 , a1 , . . . , an ∈ N0 mit 0 ≤ ak < q f¨ ur alle k = 0, 1, . . . , n, so dass

n

a = ∑ ak q k . k =0

1.2.7 F¨ ur eine Teilmenge A ⊂ N0 sei χA ∶ N0 → { 0, 1 }, χA (x) = {

1 0

f¨ ur x ∈ A f¨ ur x ∈/ A,

die charakteristische Funktion. Man zeige: Die durch ∞

f (A) ∶= ∑ χA (k )2k k =0

definierte Abbildung f bildet die Menge A aller endlichen Teilmengen von N0 bijektiv auf N0 ab.

12

1.3

1 Grundlagen der Analysis

K¨orper

H Man zeige, dass durch 1.3.1 ○

a c ad + cb + ∶= , b d bd

a c ac ⋅ ∶= b d bd

auf Q Operationen + und ⋅ eindeutig definiert werden, durch die (Q, +, ⋅) zu einem(kommutativen) K¨ orper wird. 1.3.2 Man zerlege folgende Ausdr¨ ucke in Faktoren, von denen jeder linear ist: (i)

2 L x + 4x − 5, ○

(ii) x2 − 5x + 6, 2 2 L x − 6xy + 8y , (iii) ○

(iv) 8x2 − 2xy − 15y 2 . 1.3.3 F¨ ur alle a ∈ K zeige man die Identit¨at n

(1 − a)2 ∑ kak−1 = 1 − (n + 1)an + nan+1 . k =1

1.3.4 Man beweise die Formel n n+1 m ( ) = ∑ ( ). k+1 m=k k H F¨ 1.3.5 ○ ur 0 ≤ ` ≤ k ≤ n zeige man

n k n n−` ( )( ) = ( )( ). k ` ` k−` 1.3.6 Durch die Rekursionsformeln n n+1 )Bk = 0, ∑( k k =0

B0 = 1

werden die Bernoullischen Zahlen Bk definiert. Man berechne B1 bis B10 . 1.3.7 Man beweise f¨ ur nicht-negative ganze Zahlen n und p: n−1

p ∑k =

k =1

1 p p+1 )B` np+1−` . ∑( p + 1 `=0 `

Hierbei sind B` die Bernoullischen Zahlen.

1.4 Angeordnete K¨ orper

13

L Durch Vertauschen der Summationsreihenfolge berechne man einen 1.3.8 ○ Ausdruck in n f¨ ur 2n ⎛n−∣n−k∣ 2n − 2` ⎞ ) . ∑ ∑ ( k−` ⎠ k=0 ⎝ `=0

1.3.9 Man berechne einen Ausdruck in n f¨ ur 2n k 2n H ∑ (−1) ( (i) ○ ), 2k k =0 2n 2n (ii) ∑ (−1)k ( ). 2k − 1 k=1

1.4

Angeordnete K¨orper

L Seien a, b, c ∈ K. Dann gilt 1.4.1 ○

ax2 + 2bxy + cy 2 ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ K genau dann, wenn a, c ≥ 0 und ac − b2 ≥ 0. 1.4.2 Man beweise: F¨ ur a, b, c ∈ K gelten die Ungleichungen 2 2 2 L a + b + c + ab + bc + ac ≥ 0, (i) ○

(ii) ∣a + b∣ + ∣b + c∣ + ∣c + a∣ ≤ ∣a∣ + ∣b∣ + ∣c∣ + ∣a + b + c∣. H Sei a ∈ K. Man bestimme alle x ∈ K, welche die Gleichung 1.4.3 ○

∣x + 3a∣ − ∣x − a∣ = 2a erf¨ ullen. 1.4.4 Sei A ⊂ K eine Teilmenge. Sei

−A ∶= { −a ∣ a ∈ A } , 1 1 ∶= { ∣ a ∈ A } falls 0 ∉ A. A a (i)

Man zeige: Existiert min A, so existiert max(−A) und es gilt max(−A) = − min A. Gilt auch die Umkehrung?

14

1 Grundlagen der Analysis

Man beweise ¨ahnliche Aussagen f¨ ur (ii)

min(−A) = − max A,

(iii)

max A1 =

1 min A ,

(iv)

min A1 =

1 max A .

1.4.5 Man zeige die folgenden Behauptungen: (i) F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ∈ N und jedes a ∈ K, a ≥ −1 gilt

(1 + a)n ≥ 1 + na, wobei f¨ ur n > 1 die Gleichheit genau dann gilt, wenn a = 0. (ii) F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ∈ N und jedes a ∈ K, a ≥ −1 gilt

(1 + a)n ≥ 1 + na + (n − 1)a2 . 1.4.6 F¨ ur n ∈ N, n > 1, zeige man: (i) (1 −

1 n 1 ) >1− . 2 n n

(ii) (1 +

1 n−1 1 n ) < (1 + ) . n−1 n

1.4.7 F¨ ur alle n ∈ N zeige man die Ungleichung n

n 2 n! > ( ) . 2 1.4.8 F¨ ur a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ 0, b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn ≥ 0 zeige man: n

(i)

∑ (ak − a` )(bk − b` ) ≥ 0, k,`=1 n

n

n

k=1

k =1

k=1

A (ii) ○ ( ∑ ak ) ⋅ ( ∑ bk ) ≤ n ∑ ak bk .

1.4.9 Es seien a1 , . . . , an Zahlen in einem angeordneten K¨orper mit ak > 0 f¨ ur alle k. Man zeige durch vollst¨ andige Induktion folgende Ungleichung n

n

k =1

k =1

( ∑ ak ) ( ∑ a−k 1 ) ≥ n2 .

1.5 Das Archimedische Axiom

15

H Es seien a, b, c positive Zahlen, deren Summe 1 ergibt. Man zeige, 1.4.10 ○ dass 1 1 1 ( − 1) ( − 1)) ( − 1) ≥ 8. a b c

1.4.11 F¨ ur a1 , . . . , an ≥ 0, oder falls −1 ≤ a1 , . . . , an ≤ 0 zeige man: n

n

k=1

k=1

(i) ∏ (1 + ak ) ≥ 1 + ∑ ak , n

(ii) ∏ (1 + ak ) ≤ k=1

1 n

∏ ( 1 − ak )

k =1



1 n

1 − ∑ ak

n

falls ∑ ak < 1. k=1

k =1

H Jeder angeordnete K¨ 1.4.12 ○ orper K besitzt unendlich viele (verschiedene) Elemente.

1.5

Das Archimedische Axiom

A Man zeige: Zu jedem ε > 0 gibt es ein N = N (ε) ∈ N mit 1.5.1 ○

(1 +

1 n ) ≤ 1 + ε f¨ ur alle n ≥ N. n2

Man gebe ein N (ε) explizit an.

1.6

Folgen in einem angeordneten K¨orper

1.6.1 Die Folge (an )n∈N sei definiert durch an ∶= 1 + q + . . . + q n , wobei q ∈ K, 0 < q < 1. Man zeige, dass (an )n∈N eine konvergente Folge ist und bestimme ihren Grenzwert. 1.6.2 Man untersuche die folgenden Folgen (an )n∈N auf Konvergenz und bestimme die Grenzwerte a ∈ K (falls sie existieren). Welche divergenten Folgen besitzen konvergente Teilfolgen? an ∶=

2n2 + 3n − 8 , 3n2 + 2

(ii) an ∶=

n n k −∑ , 2 k =1 n + 2

(i)

16

1 Grundlagen der Analysis

(−1)n n2 + 1 , n2 + 3n + 2 n (iv) an ∶= n , 2 (iii) an ∶=

(v) an ∶=

np , p ∈ N, 2n

H an+1 ∶= (vi) ○

a2n + 2 , a0 ∶= 0. 3

1 In (i) gebe man f¨ ur ε = 12 und ε = 20 jeweils die kleinste nat¨ urliche Zahl N = N (ε) an, so dass ∣an − a∣ < ε f¨ ur alle n ≥ N gilt. L Sei (an )n∈N eine konvergente Folge und sei a ∶= lim an . Sei 1.6.3 ○

n→∞

An ∶=

1 n ur n ∈ N. ∑ ak f¨ n k =1

(i) Man zeige, dass die Folge (An )n∈N konvergent ist mit lim An = a. n→∞

(ii) Man gebe eine divergente Folge (an )n∈N an, f¨ ur welche die zugeh¨orige Folge (An )n∈N konvergiert. H Sei (an )n∈N eine Zahlenfolge und sei An ∶= 1.6.4 ○

lim (an + An ) = 2a, so konvergiert (an )n∈N gegen a.

1 n

n

∑ ak . Man zeige: Gilt

k =1

n→∞

(0)

1.6.5 Sei (an )n∈N eine Zahlenfolge. Sei an ∶= an und a(nk) ∶=

1 n (k−1) f¨ ur k ∈ N. ∑a n `=1 `

(k )

(k+1)

Man zeige: Wenn (an ) konvergiert, so auch (an n∈N ist falsch f¨ ur k = 0 und sogar f¨ ur alle k.

)

n∈N

. Die Umkehrung

L F¨ 1.6.6 ○ ur k, ` ∈ N sei ak` ∈ K, ak` ≥ 0. F¨ ur ` > k sei ak` = 0. F¨ ur festes ` sei

k

(ak` )k∈N eine Nullfolge. F¨ ur festes k sei ∑ ak` ≤ 1. Man zeige: Ist (b` )`∈N eine `=1

Nullfolge, dann ist auch (ck )k∈N , k

ck ∶= ∑ ak` b` , `=1

eine Nullfolge.

1.6 Folgen in einem angeordneten K¨ orper (k )

17 (n)

1.6.7 Sei (an ) f¨ ur alle k ∈ N eine Nullfolge. Ist (an ) stets eine Nulln∈N n∈N folge? Gibt es ein Gegenbeispiel? 1.6.8 Sei M die Menge aller Folgen (an )n∈N , f¨ ur die an entweder 0 oder 1 ist. Man zeige: M ist eine nicht-abz¨ ahlbare Menge. 1.6.9 Sind ak` , k, ` ∈ N, nicht-verschwindende reelle Zahlen, dann gibt es eine Folge (bk )k∈N positiver Zahlen, so dass f¨ ur alle ` ∈ N gilt: bk = 0. k→∞ ak` lim

1.6.10 F¨ ur p, n ∈ N setze man n

Snp ∶= ∑ k p = 1p + 2p + . . . + np . k =1

(i)

Man zeige, dass f¨ ur alle a ∈ K: p + 1 p −k )a k =0 k + 1 p + 1 p −1 = (p + 1)ap + ( )a + . . . + 1. 2 p

(1 + a)p+1 − ap+1 = ∑ (

H Man zeige die Identit¨ (ii) ○ at

p p + 1 p −k (n + 1)p+1 − 1 = ∑ ( )Sn k =0 k + 1 p + 1 p −1 = (p + 1)Snp + ( )Sn + . . . + Sn0 . 2

(iii) Hieraus berechne man Sn0 , Sn1 , Sn2 , Sn3 . (iv) Man beweise die Limesrelation Snp 1 = . n→∞ np+1 p+1 lim

18

1 Grundlagen der Analysis

L Sei a ∈ K gegeben. Man setze a0 ∶= a und 1.6.11 ○

an+1 ∶=

2an + 1 an + 2

f¨ ur n ∈ N0 und untersuche die folgenden Fragen: (i)

Unter der Annahme ak ≠ −2 f¨ ur k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 leite man eine Formel f¨ ur an her, in welcher nur der Startwert a0 = a vorkommt.

(ii) Man gebe eine Bedingung an die Startwerte an, so dass die Folge wohldefiniert ist. (iii) Konvergiert die Folge? T Man betrachte die rekursiv definierte Folge 1.6.12 ○

an ∶=

an−2 an−1 f¨ ur n ≥ 2 2an−2 − an−1

zu gegebenen Startwerten a0 und a1 und untersuche die folgenden Fragen: (i)

Unter der Annahme 2ak−2 − ak−1 ≠ 0 f¨ ur k = 2, . . . , n leite man eine Formel f¨ ur an her, in der nur die Startwerte vorkommen.

(ii) Man gebe eine Bedingung an die Startwerte an, so dass die Folge wohldefiniert ist. (iii) Konvergiert die Folge? L Einem Krug, der 1 Liter eines Gemisches aus Wasser und Wein 1.6.13 ○ enth¨alt, werden p Liter (0 < p < 1) entnommen und durch reines Wasser ersetzt. Von dieser neuen Mischung werden p Liter aus dem Krug gegossen und durch reinen Wein ersetzt. Dieses (Doppel-) Verfahren wird fortgesetzt. Man zeige, dass das Mischungsverh¨ altnis von Wein zu Wasser konvergiert und bestimme seinen Grenzwert.

1.7 Vollst¨andigkeit

1.7

19

Vollst¨andigkeit

1.7.1 Indem man die Definition einer Cauchy-Folge nachpr¨ uft, untersuche man, welche Folgen Cauchy-Folgen und welche keine sind: n ) , n − 1 n∈N √ L ( (ii) ○ n)n∈N . (i) (

Dabei nehme man an, dass



n f¨ ur alle n ∈ N existiert.

1.7.2 Man zeige, dass es keine rationale Zahl gibt mit x2 = 10 bzw. x2 = 15. 1.7.3 Durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n zeige man: (i) Es gibt eine Folge (xn )n∈N0 der Form n

dk k 10 k=0

xn = ∑ mit dk ∈ { 0, 1, . . . , 9 }, so dass

x2n ≤ 2 < (xn +

1 2 ) . 10n

(ii) F¨ ur alle n ≥ N gilt xN ≤ xn < xn +

1 1 < xN + N . n 10 10

2

Das System der reellen Zahlen

2.1

Axiomatische Einfu¨hrung der reellen Zahlen

L Sei a eine irrationale Zahl. Dann gibt es zu jeder nat¨ 2.1.1 ○ urlichen Zahl n ∈ N eine ganze Zahl m ∈ Z, so dass die Ungleichung

∣a −

m 1 ∣< n 2n

besteht. F¨ ur welche reellen Zahlen a gilt diese Behauptung? 2.1.2 F¨ ur die reelle Zahl a ∈ R und die nat¨ urliche Zahl N ∈ N bestehe die Ungleichung 0 < a < N1 . Dann gibt es eine nat¨ urliche Zahl n ∈ N, n ≥ N , so dass

∣a −

1 1 ∣< 2 n n

gilt. 2.1.3 Es seien a1 , a2 , . . . , an (n ≥ 2) reelle Zahlen aus dem Intervall [a, b], a < b. (i) Man zeige: Es gibt zwei ganze Zahlen k, ` ∈ { 1, 2, . . . , n } mit k ≠ ` und

∣ak − a` ∣ ≤ λ(n) ∶=

b−a . n−1

(ii) Man zeige, dass die Aussage von Teil (i) falsch wird, wenn λ(n) durch eine positive Zahl λ′ (n) < λ(n) ersetzt wird. H Es sei a irrational, a > 0. Man zeige, dass es zu jedem N ∈ N eine 2.1.4 ○ rationale Zahl m n mit 1 ≤ n ≤ N gibt, so dass

∣a −

m 1 ∣< . n n(N + 1)

2.1.5 Es seien a1 , . . . , an reelle Zahlen und [a, b], a < b, ein vorgegebenes Intervall. Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit

∣ξ − ak ∣ ≥

b−a f¨ ur k = 1, . . . , n. 2(n + 1)

22

2 Das System der reellen Zahlen

2.1.6 Sei a irrational. Dann gibt es eine Folge von rationalen Zahlen ( pqkk ) k∈N mit qk → +∞ f¨ ur k → ∞ und

∣a −

pk 1 ∣ < 2 f¨ ur alle k ∈ N. qk qk

L Man zeige: Die Menge der dyadischen Zahlen der Form 2.1.7 ○ k ∈ N, liegt dicht in R.

2.2

` 2k ,

` ∈ Z,

Dezimalbruchentwicklung

2.2.1 Sei q ∈ N, q ≠ 1. Sei ferner (an )k∈N eine Folge in N0 mit 0 ≤ ak < q f¨ ur alle k ∈ N. Man zeige, dass die Folge (sn )n∈N , n

sn ∶= ∑ ak q −k k =1

gegen eine reelle Zahl konvergiert. 2.2.2 Wie lauten die Dualbruchentwicklungen von

7 64

und 15 ?

H Eine reelle Zahl a = d0 , d1 d2 . . . mit d0 ∈ Z und dk ∈ { 0, 1, . . . , 9 } f¨ 2.2.3 ○ ur k ∈ N hat eine periodische Dezimalbruchentwicklung, falls es zwei Zahlen `, p ∈ N gibt, so dass dk+p = dk f¨ ur alle k ∈ N, k > ` ist (falls a = d0 , d1 . . . d` d`+1 . . . d`+p d`+1 . . . d`+p d`+1 . . .). Man schreibt dann auch

a = d0 , d1 . . . d` d`+1 . . . d`+p . Zu zeigen ist: Eine reelle Zahl besitzt genau dann eine periodische (oder endliche) Dezimalbruchentwicklung, wenn sie rational ist.

2.3

Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl

T Sind a, b, c rationale Zahlen, die der Gleichung 2.3.1 ○

√ √ √ a 2+b 3+c 5=0 gen¨ ugen, so gilt a = b = c = 0.

2.3 Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl

23

L Eine Zahl h, 0 < h < 1, teilt das Einheitsintervall [0, 1] gem¨ 2.3.2 ○ aß dem goldenen Schnitt, wenn 1 h = h 1−h gilt.

(i) Man zeige: Es gibt genau eine reelle Zahl h, 0 < h < 1, mit dieser Eigenschaft. Man bestimme h. (ii) Das Verh¨altnis g = 1−hh heißt goldener Schnitt. Man bestimme g und zeige, dass g irrational ist. (iii) Man konstruiere h mit Zirkel und Lineal. ∞ H Sei (fn ) 2.3.3 ○ n=0 die durch die Rekursion

fn+1 ∶= fn + fn−1 f¨ ur n ∈ N, f0 ∶= 0, f1 ∶= 1 definierte Folge der Fibonacci-Zahlen und sei g der goldene Schnitt. Man zeige: fn+1 → g f¨ ur n → ∞, fn ∞

d. h. die rationale Zahlenfolge ( ffnn+1 )

n=0

approximiert die irrationale Zahl g.

2.3.4 Es sei (fn )∞ ann=0 die Folge der Fibonacci-Zahlen. Man zeige durch vollst¨ dige Induktion f¨ ur alle n ∈ N: √ n √ n 1 ⎛ 1+ 5 1− 5 ⎞ fn = √ ( ) −( ) . 2 2 ⎠ 5⎝

√ 2.3.5 Sei a ∈ R, a > 0. Man untersuche, ob die Folge ( n a)n∈N monoton ist. √ √ √ Dann vergleiche man lim n a und lim 2n a. So zeige man: lim n a = 1. n→∞

n→∞

n→∞

2.3.6 Sei (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit an → a > 0 f¨ ur n → ∞. Man zeige, dass dann √ n an → 1 f¨ ur n → ∞. 2.3.7 Es seien (an )n∈N , (bn )n∈N zwei Folgen nicht-negativer reeller Zahlen. Sei An ∶=

an + bn , 2

Gn ∶=



an bn f¨ ur n ∈ N.

Man zeige: Ist (An )n∈N eine Nullfolge, so auch (Gn )n∈N . Gilt auch die Umkehrung?

24

2 Das System der reellen Zahlen

2.3.8 Man zeige durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber m: Ist n = 2m , m ∈ N, und sind a1 , . . . , an ≥ 0, so gilt die Ungleichung ¿ n Á 1 n n À Gn ∶= Á ∏ ak ≤ An ∶= ∑ ak . n k =1 k =1 L F¨ 2.3.9 ○ ur alle n ∈ N zeige man die Ungleichung √ √ 2 n n 0, und sei µ ∈ R. Man zeige: 2.3.10 ○

nµ = 0. n→∞ (1 + a)n lim

H F¨ 2.3.11 ○ ur alle a1 , . . . , an ∈ R und µ, ν ∈ R mit 0 < µ < ν zeige man die Ungleichung

n

1 ν

ν

n

µ

1 µ

( ∑ ∣ak ∣ ) ≤ ( ∑ ∣ak ∣ ) . k =1

2.4

k =1

Weitere Vollsta¨ndigkeitsprinzipien

2.4.1 Man zeige: n

(i) Der Grenzwert lim (1 + nx ) existiert f¨ ur alle x ∈ R. n→∞

(ii) F¨ ur alle x ∈ Q gilt die Grenzwertbeziehung lim (1 +

n→∞

x n ) = ex . n

2.4.2 Man untersuche die Folge (an )n∈N , an ∶= (1 −

1 n ) , n2

auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert. 2.4.3 Untersuche die Folge an ∶=

√ √ n+1− n

auf ihr Konvergenzverhalten und bestimme ggf. ihren Grenzwert. Falls (an )n∈N gegen a konvergiert, so bestimme man ein N ∈ N, so dass

∣an − a∣ < 10−6 f¨ ur alle n ≥ N.

2.4 Weitere Vollst¨ andigkeitsprinzipien

25

2.4.4 Sei a > 0 und sei x0 ∈ R+ beliebig. Man betrachte die durch xn+1 ∶=

1 a (xn + ) 2 xn

f¨ ur n ∈ N rekursiv definierte Folge (xn )n∈N . (i)

L Man zeige f¨ ○ ur alle n ∈ N, dass

xn > 0,

x2n ≥ a,

und folgere hieraus, dass lim xn = n→∞



xn ≥ xn+1

a ist.

√ (ii) Sei εn ∶= xn − a der Fehler der Approximation. Man zeige f¨ ur alle n ∈ N die Ungleichung ε2 εn+1 < √n 2 a und folgere hieraus die Fehlerabsch¨ atzung 2n

√ ε1 εn+1 < 2 a ( √ ) 2 a

.

(iii) F¨ ur a = 2, 3 und x1 = 2 sch¨ atze man die Fehler ε2 , . . . , ε6 ab. 2.4.5 Sei p ∈ N, und sei a ∈ R, a ≥ 0. Sei durch 1 a xn+1 ∶= (1 − ) xn + p−1 f¨ ur n ∈ N p pxn eine Folge (xn )n∈N rekursiv definiert mit x1 ∶= 1 + a. Man zeige, dass (xn )n∈N gegen eine Zahl x ≥ 0 mit xp = a konvergiert. L Es sei a ≥ −1 gegeben. Man setze a0 ∶= a und 2.4.6 ○

an+1 ∶=

2an + 1 an + 2

f¨ ur n ∈ N. Man untersuche, ob die Folge (an )n∈N wohldefiniert, beschr¨ankt, monoton und konvergent ist und bestimme ggf. den Grenzwert.

26

2 Das System der reellen Zahlen

2.4.7 Sei (cn )n∈N definiert durch cn ∶= − (i)

3n + 1 f¨ ur n ∈ N. 3n − 1

Man zeige, dass cn ↑ −1 f¨ ur n → ∞.

Sei (an )n∈N die Folge aus Aufgabe 2.4.6. Man zeige: (ii) Gilt ck < an < ck+1 f¨ ur k ∈ N, k ≥ 2, n ∈ N0 , so gilt ck−1 < an+1 < ck . (iii) F¨ ur −2 = c1 < an < c2 = − 54 , n ∈ N0 , gilt an+1 < −2. (iv) F¨ ur an < −2 folgt, dass an+1 > 1. (v) Gilt a < −1, a ≠ ck f¨ ur alle k ∈ N, so gilt an → 1 f¨ ur n → ∞. H Sei die Folge (an )n∈N rekursiv definiert durch 2.4.8 ○

an+1 ∶= 1 +

1 f¨ ur n ∈ N an

mit Startwert a1 = 1. Man zeige: Die Teilfolge (a2k−1 )k∈N ist monoton wachsend, die Teilfolge (a2k )k∈N f¨ allt monoton. Beide Teilfolgen konvergieren gegen denselben Grenzwert, welcher die positive Wurzel der Gleichung x2 − x − 1 = 0 ist. 2.4.9 Man bestimme sup {

2m m +n

∣ m, n ∈ N }. Gibt es ein Maximum?

2.4.10 F¨ ur n, m ∈ N sei In ∶= [−1 +

1 1 1 1 , 1 − ] = { x ∈ R ∣ −1 + ≤ x ≤ 1 − } , n n n n m

Jm ∶= ⋃ In , n=1



J ∶= ⋃ In . n=1

Man bestimme sup Jm f¨ ur alle m ∈ N und sup J. 2.4.11 F¨ ur a, b, c, d ∈ R bestimme man, wenn m¨oglich, Supremum und Infimum der Menge A = { x ∈ R ∣ a ≤ x(x + c) + d ≤ b } . H Sei I ∶= { x ∈ R ∣ −1 ≤ x ≤ 1 } und sei f ∶ I → R, y = f (x) mit f (−1) = 2.4.12 ○ −1 und f (1) = 1. Falls x, x′ ∈ I und x < x′ ist, dann sei f (x) < f (x′ ). Man zeige: Es gibt genau ein x0 ∈ I, so dass f (x) < 0 f¨ ur x < x0 und f (x) > 0 f¨ ur x > x0 .

2.5 H¨aufungswerte

27

L Ein Dedekindscher Schnitt ist ein geordnetes Paar (A, B ) von nicht2.4.13 ○ leeren Teilmengen A, B von R mit A ∪ B = R, f¨ ur das gilt

a < b f¨ ur alle a ∈ A, b ∈ B. Man zeige: Jeder Dedekindsche Schnitt (A, B ) besitzt genau eine Trennungszahl t ∈ R, d. h. eine Zahl t mit a ≤ t ≤ b f¨ ur alle a ∈ A, b ∈ B. 2.4.14 Man folgere aus dem Axiom vom Dedekindschen Schnitt: (i) Sei a ∈ R, a ≥ 0. Dann gibt es genau eine reelle Zahl x = √ √ (ii) F¨ ur zwei reelle Zahlen a, b mit 0 ≤ a ≤ b gilt a < b.

2.5

√ a ≥ 0 mit x2 = a.

H¨aufungswerte

2.5.1 Man betrachte die Folgen (an )n∈N definiert durch (i)

an ∶= (−1)n+1 (1 +

L a2k ∶= 2 − (ii) ○

(iii) a2k ∶= (−1)k

1 ) f¨ ur n ∈ N . n

1 , a2k−1 ∶= 0 f¨ ur k ∈ N. 22k

k+1 3 , a2k−1 ∶= ( k12 − 1) f¨ ur k ∈ N. k

1 k 1 k +1 (iv) a2k ∶= (− ) + (− ) , a2k−1 ∶= (−1)k 1+1 1 f¨ ur k ∈ N. k! 2 3 (v) an ∶=



n m.

n n n ] die gr¨oßte ganze Zahl − [ ] f¨ ur n ∈ N, dabei ist m ∈ N und [ m m m

Man zeige: (i)

(an )n∈N ist beschr¨ankt.

(ii) Bestimme inf { an ∣ n ∈ N } und sup { an ∣ n ∈ N }. (iii) Man bestimme die Menge H der H¨ aufungswerte sowie den lim inf an und lim sup an f¨ ur die Folgen (an )n∈N . n→∞

n→∞

28

2 Das System der reellen Zahlen

(iv) F¨ ur a ∈/ H bestimme man d = d(a) > 0 und N = N (a), so dass

∣an − a∣ ≥ d f¨ ur n ≥ N. L Man betrachte die Folge (an )n∈N mit 2.5.2 ○

n − (k−21)k (k − 1)k k (k + 1) an ∶= , wobei k = k (n) ∈ N mit 1, indem man die Abschnitte

n+1



k=2n +1

1 kµ

betrachtet.

3.1.6 F¨ ur alle ak ∈ R, k ∈ N und µ, ν ∈ R mit 0 < µ < ν zeige man die Ungleichung ∞

ν

1 ν



µ

1 µ

( ∑ ∣ak ∣ ) ≤ ( ∑ ∣ak ∣ ) . k =1

k =1

3.1.7 Sei (ak )k∈N eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen, so dass die Reihe ∞

∑ ak konvergiert. Man zeige, dass dann die Reihe

k=1

√ ak ∑ k =1 k ∞

konvergiert.

3.2 Vergleichskriterien

3.2

31

Vergleichskriterien

3.2.1 Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: (i)

∞ √ √ L ∑ ( ○ k + 1 − k ),

k=1 ∞

(ii)



∑ k=1

√ k+1− k √ , k+1

(iii)

k+1 , k=1 2k + 1

(iv)

2k 2 − 1 , 2 k=1 k − 3k + 4

(v)

k2 + 1 , k=1 (k + 1)(k + 2)(k + 3)

(vi)

∑√



∑ ∞

∑ ∞

∑ ∞

1

, k 2 + 2k √ ∞ k (vii) ∑ , 4 k +1 k=1 k=1

1 1 k (e − (1 + ) ). k k=1 k ∞

L ∑ (viii) ○



3.2.2 Man zeige die Konvergenz der Reihe ∑

k =1

1 kµ

f¨ ur µ ∈ R, µ ≥ 2, mit Hilfe des

Majorantenkriteriums. 3.2.3 Sei (an )n∈N eine Cauchy-Folge. Dann gibt es eine Teilfolge (ank )k∈N mit

∣ank − ank+1 ∣
0 f¨ ur alle k ∈ N. Weiter gebe es Zahlen c, d > 0 mit c ≤ ∞



k=1

k =1

≤ d f¨ ur alle k ∈ N. Man zeige: Dann sind die Reihen

∑ ak und ∑ bk entweder beide konvergent oder beide divergent.

3.2.6 Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: (i)

∞ 2k − 1 ∑ √ k, k=1 ( 2)

(ii)

k2 , k k =1 2 ∞



2k , k=1 k! ∞

(iii) ∑

∞ 3 (−1)k (iv) ∑ ak mit a1 ∶= 1, ak+1 ∶= ( + ) ak , 4 2 k =1

2k ⋅ k! , k k =1 k ∞

(v)

L ∑ ○



(vi) ∑ ( k =1 ∞

(vii) ∑ ( k =1

k+1 k ) , 2k + 1 2k−1 k ) . 3k − 1

H Man zeige, dass 3.2.7 (i) ○

n

1 1 ∣< , n!n k=0 k!

∣e − ∑

(ii) Man berechne mit Hilfe dieser Absch¨atzung die Dezimalbruchentwicklung von e bis (einschließlich) der 4. Stelle nach dem Komma.

3.3 Potenzreihen

33

H Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: 3.2.8 ○

∞ 2k 1 ∑ ( ) k. k=1 k 4

3.2.9 Sei (ak )k∈N eine Folge reeller Zahlen, welche einer Absch¨atzung der Form

∣ak ∣ ≤

c f¨ ur alle k ∈ N k ∞

mit einer Konstanten c > 0 gen¨ ugt. Man betrachte die unendliche Reihe ∑ ak = k =1

(sn )n∈N ,

n

sn ∶= ∑ ak f¨ ur alle k ∈ N k =1

und die Folge (Sn )n∈N der arithmetischen Mittel der Partialsummen Sn ∶=

1 (s1 + s2 + . . . + sn ). n

Man zeige: Wenn die Folge (Sn )n∈N konvergiert, dann konvergiert auch die un∞

endliche Reihe ∑ ak und es gilt die Gleichheit der Grenzwerte: k =1



∑ ak = lim sn = lim Sn . k =1

3.3

n→∞

n→∞

Potenzreihen

3.3.1 Man berechne den Konvergenzradius R der folgenden Potenzreihen: ∞

(i)

∑ kx

k −1

,

k=1 ∞

(ii)

L ∑ √ ○

k=0 ∞

(iii)



xk k+2

,

√ k kx ,

k=1 ∞

(iv)

∑ (−1) k=1

k

x2k , (2k )!

34

3 Unendliche Reihen 2k 3k x , k=1 k ∞

(v)

L ∑ ○

(vi)

2k k x , k=0 k! ∞

∑ ∞

(vii) ∑ ak xk , a2`−1 = 0, a2` = 2` f¨ ur ` ∈ N, k =0 ∞

(viii) ∑ xk! , k=1 ∞

(ix)

2 k L ○ ∑k x , k =0

(x)

∞ 2k k L ∑ ( ○ )x . k=0 k

Die Reihe (ix) untersuche man auch auf Konvergenz f¨ ur ∣x∣ = R. L F¨ 3.3.2 ○ ur welche x ≠ 0 konvergiert die Reihe

k ? k k=1 x ∞



∞ L Es sei (fn ) 3.3.3 ○ n=0 die Folge der Fibonacci-Zahlen. Man betrachte die Potenzreihe ∞

P (x) ∶= ∑ fk+1 xk k =0

und zeige: (i) P hat den Konvergenzradius g1 , dabei ist g der goldene Schnitt. (ii) F¨ ur ∣x∣
1 und β > 1 und konvergiert,

falls α = β > 0. Die Reihe divergiert, falls α ≠ β und α < 1 oder β < 1. 3.4.4 Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz k(k+1) 2

(−1) ∑ k k =1 ∞

(i)

k(k+1) 2

(−1) √ (ii) ∑ ∞

k =1

,

k

k(k+1) 2

(−1) 2k k =0 ∞

(iii) ∑ ∞

,

(iv) ∑ (−1)

k(k+1) 2

, k.

k =1

3.5

Der Umordnungssatz

T Man zeige: Die Reihe 3.5.1 ○

(−1)k+1 1 1 1 = 1 − + − + −... k 2 3 4 k =1 ∞

s ∶= ∑

konvergiert, jedoch nicht absolut, und es ist 12 < s < 1. Durch geeignetes Umordnen der Reihe erh¨ alt man den Grenzwert 3s 2.

3.6 Doppelfolgen

37 ∞



k =1

`=1

3.5.2 Sei (ak )k∈N eine Folge reeller Zahlen, so dass die Reihe ∑ a′k = ∑ ak` f¨ ur jede bijektive Abbildung k ∶ N → N, k (`) = k` , konvergiert (gegen eine ∞

reelle Zahl). Man zeige, dass die Reihe ∑ ak dann absolut konvergiert und alle k =1

Umordnungen denselben Wert haben: ∞



k =1

k =1

′ ∑ ak = ∑ ak .

3.6

Doppelfolgen

3.6.1 Man untersuche die folgenden Doppelfolgen (ak` )k,`=1 auf Konvergenz und bestimme ggf. den Doppellimes und die iterierten Grenzwerte: ∞

(i)

ak` =

k2

L ak` = (ii) ○

(iii) ak` = (iv) ak` =

3.7

1 , + `2 k + `2 , k`2 k+` , − `2 ) + 3

2(k 2

k 2 − `2 . k 2 + `2

Doppelreihen ∞

L Man zeige, dass die Doppelreihe 3.7.1 ○ ∑

k,`=2

1 k`

konvergent ist und berechne

die Doppelsumme. 3.7.2 Man zeige die folgenden Behauptungen: ∞

H Die Reihe ∑ (i) ○

`=1 `≠k

(ii) Es sei ak` =

1 k2 −`2

1 k 2 −` 2

konvergiert f¨ ur k ∈ N gegen − 4k3 2 .

f¨ ur k ≠ `, akk = 0. Dann gilt ∞







∑ ( ∑ ak` ) = − ∑ ( ∑ ak` ) ≠ 0. k=0 `=0

`=0 k=0

38

3 Unendliche Reihen

3.7.3 Man gebe eine Doppelfolge (ak` )∞ k,`=1 an, so dass ∞ ∞

∞ ∞

∑ ∑ ak` = 0,

∑ ∑ ak` = 1.

k=1 `=1

`=1 k=1

H Sei τ (k ) die Anzahl der nat¨ 3.7.4 ○ urlichen Teiler von k ∈ N. Man zeige, dass f¨ ur ∣x∣ < 1 gilt:



∑x k =1

k k2 1 + x 1 − xk

∞ ∞ xk k = τ ( k ) x = xk⋅` . ∑ ∑ k 1 − x k=1 k =1 k,`=1 ∞

=∑

3.8

Produkte von Reihen

3.8.1 (i)

L Man zeige, dass f¨ ○ ur alle x, x′ ∈ R:

(−1)k k=1 (2k )! ∞

sin x sin x′ = − ∑

2k−1

∑ `=1 ` ungerade

2k ( )x` (x′ )2k−` . `

L Zusammen mit der entsprechenden Formel f¨ (ii) ○ ur cos x cos x′ folgere man hieraus das Additionstheorem f¨ ur Cosinus:

cos(x + x′ ) = cos x cos x′ − sin x sin x′ f¨ ur alle x, x′ ∈ R. (iii) Man beweise das Additionstheorem f¨ ur Sinus: sin(x + x′ ) = sin x cos x′ + cos x sin x′ f¨ ur alle x, x′ ∈ R. ∞

k H Sei P (x) = ∑ ak x eine f¨ 3.8.2 ○ ur ∣x∣ < R konvergente Potenzreihe mit a0 ≠ 0. k =0

Man zeige, dass dann

1 P ( x)

eine Potenzreihendarstellung der Form ∞ 1 = ∑ bk xk P (x) k=0

˜ mit einem geeigneten R ˜ > 0 besitzt. f¨ ur ∣x∣ < R

4

Stetige Funktionen einer Variablen

4.1

Reelle Funktionen

4.1.1 Man bestimme Definitions- und Wertebereich der Funktion f (x) = x2 +



x4 + 1 +

L F¨ 4.1.2 ○ ur x ≥ 0 sei

f (x) ∶=



1 √ . x2 − x4 + 1

x − x.

Man bestimme ein x+ ≥ 0, so dass f (x) ≤ f (x+ ) f¨ ur alle x ≥ 0. L Sei f ∶ R → R eine f¨ 4.1.3 ○ ur alle x ∈ R definierte monotone Funktion, welche der Cauchyschen Funktionalgleichung

f (x + x′ ) = f (x) + f (x′ ) f¨ ur alle x, x′ ∈ R gen¨ ugt. Man zeige, dass es eine Zahl c ∈ R gibt, so dass f (x) = cx f¨ ur alle x ∈ R. 4.1.4 Sei c > 0. Man zeige, dass die Exponentialfunktion auf dem Intervall [−c, c] dehnungsbeschr¨ ankt ist und bestimme eine Lipschitz-Konstante. Wann ist exp x kontrahierend auf [−c, c]?

4.2

Polynome und rationale Funktionen n

k L Ein Polynom P (x) = ∑ ak x , a0 , a1 , . . . , an ∈ R, ist genau dann ge4.2.1 ○ k =0

rade, d. h. es gilt P (x) = P (−x) f¨ ur alle x ∈ R, wenn ak = 0 f¨ ur alle ungeraden Indizes k.

40

4 Stetige Funktionen einer Variablen

4.2.2 Man beweise, dass das Polynom P (x) ∶= xn + ax + b f¨ ur gerades n h¨ ochstens zwei und f¨ ur ungerades n h¨ochstens drei verschiedene (reelle) Nullstellen besitzt. 4.2.3 Man berechne die Partialbruchzerlegungen von (i)

x5 + 1 , x4 + x2

(ii)

x6 + 1 , x4 − x2 − 2x + 2

1 , − 2x2 + 1 x L (iv) ○ , 4 x +4 (iii)

(v) (vi)

x4

x5

− x4

1 , − 2x2 + x − 1

+ 2x3

2x3 − 3x . x6 − 1

4.3

Der Limes einer Funktion

4.3.1 Sei a ∈ R, a ≠ +1, −2. Man bestimme die Grenzwerte x2 − ax − 2x + 2a , x→a (x − a)(x + 2)(x − 1) √ 1 + x2 − 1 L lim (ii) ○ . x→0 x (i) lim

4.3.2 Unter Benutzung der Reihendarstellungen der Exponentialfunktion und von Cosinus und Sinus zeige man: (i)

exp x − 1 = 1, x→0 x lim

cos x − 1 = 0, x→0 x

(ii) lim

4.4 Stetige Funktionen

41

sin x = 1. x→0 x

(iii) lim

L Definiert man f (x) f¨ 4.3.3 ○ ur 0 < x < 1 durch die Gleichung

sin x =

x(60 − 7x2 ) + x7 f (x), 60 + 3x2

so konvergiert f (x) f¨ ur x → 0. Man berechne diesen Grenzwert.

4.4

Stetige Funktionen

4.4.1 Sei f ∶ R → R eine reelle Funktion, dann heißt die Menge Ω = Ω(f ) ∶= { ω ∈ R ∣ ω ist Periode von f } der Periodenmodul von f . Man zeige: (i)

ω, ω ′ ∈ Ω ⇒ ω + ω ′ ∈ Ω sowie ω ∈ Ω, k ∈ Z ⇒ kw ∈ Ω.

(ii) Ist 0 ein H¨aufungspunkt von Ω, so ist jede reelle Zahl H¨aufungspunkt von Ω. (iii) Sei 0 ein H¨aufungspunkt von Ω und sei f stetig, dann ist f eine Konstante. (iv) Sei Ω ≠ ∅ und sei 0 kein H¨ aufungspunkt von Ω, dann ist ω0 ∶= inf { ω ∈ Ω ∣ ω > 0 } ∈ Ω und es gilt Ω = { kw0 ∣ k ∈ Z } . 4.4.2 F¨ ur x ∈ I ∶= { x ∈ R ∣ 0 < x < +∞ } sei 1 f (x) ∶= x + . x Zu jedem a ∈ I und jeder ε-Umgebung Iε (b) = { ∣y − b∣ < ε }, b = f (a) bestimme man eine δ-Umgebung Iδ (a) = { ∣x − a∣ < δ }, so dass f (Iδ (a)) ⊂ Iε (b). 4.4.3 (i)

Man zeige: F¨ ur a, b ∈ R gilt 1 max { a, b } = (a + b + ∣a − b∣). 2

(ii) Man zeige: Die Funktion f ∶ R → R, f (x) = ∣x∣ ist stetig.

42

4 Stetige Funktionen einer Variablen

(iii) Seien f1 , . . . , fn ∶ R → R stetige Funktionen. Man zeige: Die Funktion max { f1 , . . . , fn } ∶ R → R mit max { f1 , . . . , fn } (x) ∶= max { f1 (x), . . . , fn (x) } ist stetig. (iv) Ist die Funktion (sup fk ) (x) = sup { fk (x) ∣ k ∈ N } stetig, wenn fk ∶ R → R k∈N

f¨ ur k ∈ N stetige Funktionen sind? 4.4.4 (i) Man zeige, dass die Funktion f ∶ Q → R,

0 f (x) ∶= { 1

√ f¨ ur x ≤ 2 √ f¨ ur x > 2

stetig ist. (ii) Seien f, g ∶ R → R stetige Funktionen mit f (x) = g (x) f¨ ur alle x ∈ Q. Man zeige, dass dann f (x) = g (x) f¨ ur alle x ∈ R gilt. 4.4.5 Sei f ∶ R → R definiert durch

⎧ ⎪ ⎪1 f (x) ∶= ⎨ q ⎪ ⎪ ⎩0

falls x = pq , p ∈ Z, teilerfremd falls x irrational

Man zeige, dass f in allen irrationalen Punkten stetig ist, aber in allen rationalen Punkten unstetig ist. 4.4.6 Sei ϕ ∶ N → [0, 1] ∩ Q bijektiv. Ferner sei f ∶ [0, 1] → R definiert durch f (x) ∶=

1 . k k∈N∶ϕ(k) 0. Man zeige: Es gibt ein x0 , a ≤ x0 ≤ b, so dass f (x) ≤ 0 f¨ ur x < x0 und f (x) ≥ 0 f¨ ur x > x0 . Ist f streng monoton, so ist x0 eindeutig bestimmt. 4.6.3 Aus der Funktionalgleichung f¨ ur den Logarithmus leite man die Formel √ p p q log x q = log xp = log x q f¨ ur alle p ∈ Z, q ∈ N und x > 0 her. Hieraus folgere man, dass f¨ ur alle µ ∈ R, x > 0: xµ = exp(µ log x). L Sei (an )n∈N eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen. Man zeige, 4.6.4 ○ dass die Folge (Gn )n∈N , ¿ n Á n À Gn ∶= Á ur n ∈ N, ∏ ak f¨

k =1

konvergent ist mit lim Gn = lim an . n→∞

n→∞

4.7 Gleichm¨aßige Konvergenz

4.7

45

Gleichm¨aßige Konvergenz

T Sei (fk )k ∈N definiert durch 4.7.1 ○

fk (x) ∶= bzw. fk (x) ∶=

kx f¨ ur k ∈ N, x ∈ R 1 + (kx)2

k2 x f¨ ur k ∈ N, x ∈ R. 1 + kx + k 4 x2

(i) Man zeige: F¨ ur alle x ∈ R ist lim fk (x) = 0. k→∞

(ii) Konvergiert (fk )k∈N gleichm¨ aßig auf R? 4.7.2 Sei f ∶ R → R stetig in 0. F¨ ur k ∈ N sei fk ∶ R → R definiert durch fk (x) ∶= f ( xk ). Man zeige: (i)

(fk )k∈N konvergiert punktweise gegen die konstante Funktion g ∶ R → R, g (x) ∶= f (0).

(ii) (fk )k∈N konvergiert genau dann gleichm¨aßig gegen g, wenn f = g gilt. (iii) F¨ ur jede beschr¨ ankte Teilmenge A ⊂ R konvergieren die Einschr¨ankungen (fk ∣ ) gleichm¨ aßig gegen g ∣A . A

k∈N

4.7.3 Sei D ⊂ R. fk ∶ D → R, k ∈ N, sei eine gleichm¨aßig konvergente Folge gleichm¨aßig stetiger Funktionen. Man zeige, dass dann die Grenzfunktion gleichm¨aßig stetig ist. 4.7.4 Sei X ∶= Cb0 (D, R) die Menge aller reellwertigen, stetigen und beschr¨ankten Funktionen auf D ⊂ R. F¨ ur f ∈ X sei

∥f ∥ ∶= sup ∣f (x)∣ x∈D

und f¨ ur f, g ∈ X sei

(i)

d(f, g ) ∶= ∥f − g ∥ .

Man zeige, dass ∥ ∥ ∶ X → R eine Norm und d ∶ X × X → R eine Metrik ist.

(ii) Man zeige: (fk )k∈N konvergiert genau dann bez¨ uglich der Supremumsnorm ∥ ∥, wenn (fk )k∈N gleichm¨aßig auf D gegen ein f ∶ D → R konvergiert. (iii) Man zeige, dass (X, ∥ ∥) vollst¨ andig ist.

46

4 Stetige Funktionen einer Variablen

4.7.5 Sei (fk )k∈N eine Folge von stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1] mit den folgenden Eigenschaften: (i) Die Funktionen (fk )k∈N sind gleichm¨ aßig beschr¨ankt, d. h., es gibt ein L ≥ 0, so dass ∣fk (x)∣ ≤ M f¨ ur alle x ∈ [0, 1], k ∈ N. (ii) Die Funktionen (fk )k∈N sind gleichm¨aßig Lipschitz-stetig, d. h., es gibt ein L ≥ 0, so dass

∣fk (x) − fk (x′ )∣ ≤ L ∣x − x′ ∣ f¨ ur alle x, x′ ∈ [0, 1], k ∈ N. Man zeige, dass eine Teilfolge (fk` )`∈N existiert, die gleichm¨aßig konvergiert. 4.7.6 Eine Funktion f ∶ D → R ∪ { +∞ } heißt im Punkt a ∈ D nach unten halbstetig, wenn es zu jedem c < f (a) ein δ > 0 gibt mit f (x) > c f¨ ur alle x ∈ D, ∣x − a∣ < δ. Sei (fk )k∈N eine Folge von nach unten halbstetigen Funktionen auf D ⊂ R. Man zeige, dass die obere Einh¨ ullende f (x) ∶= sup fk (x) auch von unten halbstetig k∈N

ist. 4.7.7 Man zeige: Eine Funktion f ∶ [0, 1] → R∪{ +∞ } ist genau dann nach unten halbstetig, wenn es eine Folge (fk )k∈N von stetigen Funktionen fk ∶ [0, 1] → R gibt mit fk ↗ f f¨ ur k → ∞.

4.8

Der Weierstraßsche Approximationssatz

4.8.1 F¨ ur n ∈ N und k = 0, 1, . . . , n und 0 ≤ x ≤ 1 sei n Bkn (x) = ( )(1 − x)n−k xk k das k-te Bernstein-Polynom vom Grad n. Man zeige: Jedes Polynom P vom Grad n l¨asst sich eindeutig darstellen in der Form n

P (x) = ∑ bk Bkn (x) f¨ ur alle x ∈ [0, 1] k =0

mit (eindeutig bestimmten) Zahlen b0 , b1 , . . . , bn . √ H Sei w ∶ [0, 1] → R, w (x) = 4.8.2 ○ x, die Wurzelfunktion auf dem Intervall ∞ [0, 1]. Sei (Pn )n=0 die durch P0 ≡ 0 und 1 Pn+1 (x) ∶= Pn (x) + (x − Pn (x))2 f¨ ur x ∈ [0, 1] 2 rekursiv definierte Folge von Polynomen Pn ∶ [0, 1] → R. Man zeige, dass Pn (x) ↗ w(x) gleichm¨ aßig f¨ ur alle x ∈ [0, 1].

4.9 Reihen von Funktionen

4.9

47

Reihen von Funktionen

4.9.1 Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz. F¨ ur welche x ∈ R stellen sie stetige Funktionen dar? xk , 2 k =1 k ∞

(i)

f (x) ∶= ∑



L f (x) ∶= ∑ (ii) ○

k =1

k2

1 , − x2

x , 2 k=1 k (1 + kx ) ∞

(iii) f (x) ∶= ∑

ak 1 , 2k 4 k=1 k! 1 + a x ∞

(iv) f (x) ∶= ∑

1 . x k =1 k ∞

(v) f (x) ∶= ∑

4.9.2 F¨ ur jedes x ∈ R ist die Reihe ∞

f (x) ∶= ∑ √ k=1

x k (1 + kx2 )

konvergent, aber im Intervall [−1, +1] ist die Konvergenz nicht gleichm¨aßig. ∞



k=0

k=0

4.9.3 Seien ∑ ak xk und ∑ bk xk f¨ ur ∣x∣ < R konvergente Potenzreihen und sei

(xl )l∈N eine Punktfolge mit xl ≠ 0 f¨ ur alle l ∈ N und xl → 0 f¨ ur l → ∞. Weiterhin sei ∞



k =0

k =0

k k ur alle l ∈ N. ∑ ak xl = ∑ bk xl f¨

Man zeige, dass dann ak = bk f¨ ur alle k ∈ N0 gilt.

48

4 Stetige Funktionen einer Variablen ∞

4.9.4 Die Potenzreihe f (x) = ∑ ak xk habe einen positiven Konvergenzradius k=0

R > 0. Man beweise: n

(i) F¨ ur n ∈ N sei Tn f (x) ∶= ∑ ak xk . Dann gilt k =0

lim

x→0

f (x) − Tn f (x) = 0. n ∣x∣

(ii) Falls nicht alle ak = 0 sind, dann gibt es ein ε > 0, so dass f (x) ≠ 0 f¨ ur alle 0 < ∣x∣ < ε. (Mit anderen Worten, wenn es eine Nullfolge (x` )`∈N gibt mit 0 < ∣x` ∣ < R, f (x` ) = 0 f¨ ur alle ` ∈ N, dann ist ak = 0 f¨ ur alle k ∈ N0 ). L Ausgehend von der Formel 4.9.5 ○



P (x) = ∑ fk+1 xk = k =0

1 1 f¨ ur ∣x∣ < , 2 1−x−x g

wobei g der goldene Schnitt ist, berechne man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung von 1−x1−x2 die Fibonacci-Zahlen (fn )n∈N . 4.9.6 Seien fnk , fk ∶ D → R reelle Funktionen. F¨ ur festes k ∈ N sei glm in n

fnk (x) ÐÐÐÐ→ fk (x), ∣fnk (x)∣ ≤ ak ∞

f¨ ur alle x ∈ D. Außerdem sei ∑ ak < +∞. Man zeige, dass dann k=0





k=0

k =0

lim ∑ fnk (x) = ∑ fk (x) glm. f¨ ur alle x ∈ D.

n→∞

5

Differentialrechnung einer Variablen

5.1

Differenzierbare Funktionen einer Variablen

H Man bestimme die Ableitungen der Funktionen exp x, cos x, sin x f¨ 5.1.1 ○ ur alle a ∈ R.

5.1.2 Sei f (x) ∶= x2 + 7x + 2. Man berechne f ′ (a) f¨ ur alle a ∈ R nur unter Benutzung der Definition der Ableitung. 3 L Sei f (x) = x f¨ 5.1.3 ○ ur x ∈ R.

(i) Man bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt (a, f (a)) f¨ ur beliebiges a ∈ R. (ii) Auf dem Graphen von f finde man alle Punkte (a, f (a)), in welchen die Tangente parallel zu der Sekante ist, die die Punkte (−1, −1) und (2, 8) verbindet. 5.1.4 Man bestimme die Gleichung der Geraden, welche die Parabel y = x2 − 2x + 2 ber¨ uhrt und die y-Achse bei y = −1 schneidet. 5.1.5 Man berechne eine Approximation f¨ ur vom Taschenrechner angegebenen Wert.



2 0,99+(0,99)2

und vergleiche mit dem

L Sei b > 1. Man beweise die folgenden Aussagen: 5.1.6 ○

(i)

1

Die Folge (a+n )n∈N , a+n ∶=

b 2 n −1

Die Folge (a−n )n∈N , a−n ∶=

b

1 2n − 1n 2

, f¨ allt streng monoton.

−1 , − 21n

w¨ achst streng monoton.

(ii) Die Folgen (a+n )n∈N und (a−n )n∈N konvergieren in R. (iii) Es gilt die Gleichheit der Grenzwerte: lim a+ n→∞ n

= lim a−n . n→∞

50

5 Differentialrechnung einer Variablen

5.1.7 Es sei f (x) ∶= {

max0≤t≤x ∣t2 − t − 2∣ f¨ ur x ≥ 0 maxx≤t≤0 ∣t2 − t − 2∣ f¨ ur x < 0.

Man zeichne den Verlauf von f und berechne die Ableitung von f , sofern diese existiert. 5.1.8 Sei f ∶ R → R gegeben durch

⎧ ⎪ 0 f¨ ur − ∞ < x ≤ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 2 f (x) ∶= ⎨x f¨ ur 0 < x ≤ 1 √ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ur 1 < x < +∞. ⎩ (x + 1) − 3 f¨ Man gebe an, in welchen Punkten f differenzierbar ist. √

5.1.9 Sei f (x) ∶= 1+xx −1 f¨ ur x ≠ 0. Ist f in 0 differenzierbar? Man untersuche die Ableitung f ′ ggf. auf Stetigkeit. 2

5.1.10 Es sei f (x) ∶= {

x2 cos x1 0

f¨ ur x ≠ 0 f¨ ur x = 0.

Man zeige, dass f u ¨berall differenzierbar ist, dass aber f ′ in x = 0 nicht stetig ist. 5.1.11 F¨ ur n ∈ N sei f (x) ∶= {

xn sin x1 0

f¨ ur x ≠ 0 f¨ ur x = 0.

(i) Man zeige: F¨ ur n = 1 ist f stetig, aber weder f ′ (0+ ) noch f ′ (0− ) existieren. (ii) Wie oft ist f f¨ ur n ≥ 2 differenzierbar und stetig differenzierbar? 5.1.12 Man untersuche, ob die Funktionen fn (x) ∶= {

x2 sin x1n 0

f¨ ur x ≠ 0 f¨ ur x = 0

f¨ ur n = 1, 2, 3 stetig in 0 oder differenzierbar in 0 sind und ob die Ableitung fn′ stetig in 0 ist, falls sie dort existiert. 5.1.13 Sei f ∶ [0, 1] → R definiert durch

⎧ ⎪ ⎪ 12 f (x) ∶= ⎨ q ⎪ ⎪ ⎩0

f¨ ur x = pq , p ∈ Z, q ∈ N, teilerfremd, f¨ ur x irrational oder x = 0 oder x = 1.

Wo ist f stetig, wo differenzierbar?

5.2 Ableitungsregeln

51

5.1.14 Sei I = (0, 1) und sei f ∶ I → R stetig differenzierbar in I. Sei außerdem ∣f ′ (x)∣ ≤ M f¨ ur alle x ∈ I. Man zeige, dass f dann gleichm¨aßig stetig in I ist und es existieren lim f (x) und lim f (x). x→0

x→1

5.1.15 Die Funktion f sei auf einem offenen Intervall I erkl¨art und im Punkt a ∈ I differenzierbar. Weiter sei f (a) = a und ∣f ′ (a)∣ < 1. Man zeige: Dann gibt es ein δ > 0, so dass f¨ ur ∣x0 − a∣ < δ die Konvergenz der Folge (xn )n∈N0 , xn+1 ∶= f (xn ), gegen a folgt. 5.1.16 Die Funktion f sei auf einem offenen Intervall I definiert und in a ∈ I differenzierbar. Weiter gebe es ein x0 ∈ I, so dass die durch xk+1 ∶= f (xk ), k ∈ N0 , erkl¨arte Folge gegen a konvergiert, ohne dass xk = a wird. Man zeige, dass dann

∣f ′ (a)∣ ≤ 1.

5.2

Ableitungsregeln

5.2.1 Seien p, q ∈ N. Man berechne die Ableitung der Funktion √ f (x) ∶= p+q (1 − x)p (1 + x)q . 5.2.2 F¨ ur differenzierbares f ∶ I → R mit f (x) ≠ 0 f¨ ur alle x ∈ I ist die logarithmische Ableitung Lf erkl¨ art durch Lf (x) ∶=

f ′ (x) f¨ ur alle x ∈ I. f ( x)

Man leite eine Produkt-, eine Quotienten- sowie eine Kettenregel her. 5.2.3 Man stelle fest, welche der folgenden Funktionen eine Umkehrfunktion besitzen und bestimme diese ggfs. Falls m¨oglich, bestimme man die Ableitung der Umkehrfunktion sowohl direkt, als auch mit Hilfe der Umkehrformel: 3 L f (x) = x + x + 1 f¨ ○ ur alle x ∈ R, √ (ii) g (x) = x2 ⋅ 1 − x2 f¨ ur ∣x∣ ≤ 1, √ (iii) h(x) = x4 − x2 f¨ ur x ≥ 1.

(i)

5.2.4 Man bestimme alle in einem Punkt a ∈ R differenzierbaren Funktionen f ∶ R → R sowie alle auf ganz R differenzierbaren Funktionen f ∶ R → R, die f¨ ur jedes x ∈ R die Gleichung f 2 (x)(1 + f 2 (x)x2 ) = x2 erf¨ ullen.

52

5.3

5 Differentialrechnung einer Variablen

Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz

5.3.1 F¨ ur x ≥ 0 sei

f (x) ∶=



x − x.

Man bestimme ein x+ ≥ 0, so dass f (x) ≤ f (x+ ) f¨ ur alle x ≥ 0. L Seien a, b > 0, µ > 1. Sei 5.3.2 ○

f (x) ≤ ax + bx1−µ f¨ ur alle x > 0. Man zeige, dass dann 1

1

f (x) ≤ ca1− µ b µ gilt mit einer Konstanten c, die nur von µ abh¨angt. Man gebe ein c = c(µ) an. ′ ′ 5.3.3 Der Abstand √ zweier Punkte (x, y ) und (x , y ) in der Ebene ist nach Pythagoras gleich (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 . Wir betrachten die Parabel

P ∶= { (x, y ) ∈ R2 ∣ x = y 2 } und suchen denjenigen Punkt in P , f¨ ur welchen der Abstand zum Punkt (−1, 0) minimal wird. Das ist offensichtlich der Punkt (0, 0). Wir wollen die Methode der Ableitung an diesem Beispiel erproben: Wir suchen das Minimum der Funktion (x + 1)2 + y 2 (d. h. des Quadrates des Abstandes von (x, y ) ∈ P zum Punkt (−1, 0)) unter der Nebenbedingung y 2 = x, also das Minimum von f (x) ∶= (x + 1)2 + x. Differenzieren und Nullsetzen der Ableitung ergibt aber keineswegs die richtige Antwort. Man erkl¨ are diesen Widerspruch und schlage eine bessere Vorgehensweise vor. 5.3.4 Die Funktion f ∶ I → R sei stetig in I = [a, b], a < b und differenzierbar in (a, b). Außerdem existiere der rechtsseitige Limes xlim f ′ (x). Man zeige: Dann →a x> a

ist f an der Stelle a rechtsseitig differenzierbar und es gilt f ′ (a+ ) = xlim f ′ (x). →a x> a

5.3.5 Sei I = [0, +∞). f und g seien stetig differenzierbare Funktionen auf I. Sei f (0) = g (0) und f ′ (x) ≥ g ′ (x) f¨ ur alle x ∈ I. Man zeige: (i) Dann ist f (x) ≥ g (x) f¨ ur alle x ∈ I. (ii) Gilt zus¨atzlich f ′ (0) > g ′ (0), dann ist f (x) > g (x) f¨ ur alle x > 0.

5.4 Die de L’Hospitalschen Regeln

53

n

5.3.6 Ist f (x) ∶= ∑ ak xk ein Polynom vom Grad n auf R und gilt f¨ ur zwei k =0

Zahlen a < b, dass f (x) = 0 f¨ ur a < x < b, so ist f (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ R. 5.3.7 Sei I ∶= [0, +∞). Sei f ∶ I → R stetig differenzierbar in I. Sei f (x) = f ′ (x) f¨ ur alle x ∈ I und sei f (0) = 1. Man zeige: Dann gilt f (x) ≥ max { 1, x } f¨ ur alle x ≥ 0. n

5.3.8 Seien a1 , . . . , an ∈ R. Man suche das x ∈ R, so dass ∑ (x − ak )2 zum Minik =1

mum wird. (Sehr wichtig f¨ ur die Mittelwert“-Bildung bei Messreihen! Warum ” wohl?) 5.3.9 Sei f ∶ R → R differenzierbar mit lim f ′ (x) = c ∈ R. Dann ist auch x→∞

f (x) = c. x→∞ x lim

5.3.10 Die Funktion f ∶ R → R sei differenzierbar und es gebe eine Konstante c > 0, so dass ∣f ′ (x)∣ ≤ c ∣f (x)∣ f¨ ur alle x ∈ R gilt. Man zeige: Dann ist f entweder gleich Null oder verschwindet nirgends. ′ H Sei f ∶ I → R differenzierbar in I = [a, b], a < b, mit f (x) ≠ 0 f¨ 5.3.11 ○ ur alle x ∈ I. Man zeige: Dann ist f streng monoton auf I. A Sei f ∶ I → R differenzierbar in I = [a, b], a < b und es gelte f (a) = 0, 5.3.12 ○ f (b) > 0, f ′ (b) < 0. Man zeige, dass es dann ein ξ ∈ (a, b) gibt mit f ′ (ξ ) = 0.

5.4

Die de L’Hospitalschen Regeln

5.4.1 Man berechne:

∑k=1 (−1)k xk , ∞ x→0 ∑k=1 xk x L √ (ii) ○ lim , x→∞ x + 1 + x2 ∞

(i)

lim

x2 (x2 + 1) √ (iii) lim √ , x→0 1 + x2 − 1 − x2 x3 − x2 + x − 1 . x→0 7x2 − 6x − 1

(iv) lim

54

5 Differentialrechnung einer Variablen

5.4.2 Man berechne nach de L’Hospital: lim (

(i)

x→0

1 1 − ), sin x x

e x + e −x − 2 , x→0 x − log(1 + x)

(ii) lim

2

sin x 3/x (iii) lim ( ) , x→0 x eax f¨ ur a, µ > 0. x→∞ xµ

(iv) lim

5.4.3 Sei f (x) ∶= x2 sin x1 und g (x) ∶= sin x f¨ ur alle x ∈ R. Man untersuche, ob die Grenzwerte f (x) f ′ ( x) lim , lim ′ x→0 g (x) x→0 g (x) existieren und bestimme sie gegebenenfalls. 5.4.4 Man beweise die folgende einfache Version der de L’Hospitalschen Regel: Ist lim f ′ (x) = a, so auch lim f (xx) = a. Dies gilt auch f¨ ur a = +∞. x→∞

5.5

x→∞

Differentiation von Folgen und Reihen

5.5.1 Sei fn (x) ∶= log (log(. . . (log x) . . .)) . ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ n-mal

(i) Wo ist fn (x) definiert und differenzierbar? Berechne die Ableitung. (ii) Man zeige, dass lim

x→∞

fn+1 (x) = 0. fn (x)

5.5.2 F¨ ur x > 0 und n ∈ N sei

√ n fn (x) ∶= 2n ( 2 x − 1) .

Dann ist durch f (x) ∶= lim fn (x) eine f¨ ur alle x > 0 differenzierbare Funktion f n→∞ erkl¨art, welche die Funktionalgleichung f (xx′ ) = f (x) + f (x′ ) f¨ ur alle x, x′ > 0 erf¨ ullt.

5.6 H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel

55

5.5.3 Man bestimme die Summen folgender Reihen in ihrem Konvergenzintervall: ∞

k L ∑ (k + 1)x , (i) ○ k =0

(k + 1)(k + 2) k x . 2 k=0 ∞

(ii) ∑

5.5.4 Man berechne den Wert der Reihen k2 , k k =1 2 ∞

T ∑ (i) ○

1 . k k=1 k2 ∞

L ∑ (ii) ○

5.5.5 Man zeige mit Hilfe der Reihendarstellungen f¨ ur Cosinus und Sinus, dass cos′ x = sin x, sin′ x = cos x f¨ ur alle x ∈ R. 5.5.6 Man zeige, dass die Reihe sin(k 2 x) k2 k =1 ∞



eine stetige Funktion darstellt. Ist sie differenzierbar? 5.5.7 Sei ϕ(x) ∶= ∣x∣ f¨ ur x ∈ [−1, +1] zu einer Funktion auf ganz R erweitert durch ϕ(x + 2) = ϕ(x). Sei ∞ 3 k f (x) ∶= ∑ ( ) ϕ(4k x). k=0 4

Man zeige: f ist auf ganz R stetig, aber f¨ ur kein x ∈ R differenzierbar.

5.6

H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel

5.6.1 Sei f ∶ I → R differenzierbar. Sei M f (x) ∶= (M f )′ (x) = 1 f¨ ur alle x mit M f (x) = 0.

f ( x) f ′ ( x)

5.6.2 Man zeige: Die Funktion 3

f (x) ∶= x ⋅ ∣x∣

ist auf R dreimal, aber nicht viermal differenzierbar.

f¨ ur f ′ (x) ≠ 0. Man zeige:

56

5 Differentialrechnung einer Variablen

5.6.3 Sei f ∶ R → R gegeben durch f (x) ∶= {

x2 sin x1 0

f¨ ur x ≠ 0 f¨ ur x = 0.

Man zeige, dass f in 0 einmal, aber nicht zweimal differenzierbar ist. 5.6.4 Im Intervall I = (a, b), a < b, sei die Funktion f dreimal differenzierbar und die erste Ableitung verschwinde nirgends. Außerdem sei f ′ (x)f ′′′ (x) − 3(f ′′ (x))2 = 0 f¨ ur alle a < x < b. Man zeige: Dann ist die Umkehrfunktion von f ein Polynom vom Grade ≤ 2. L Ist die Funktion f ∶ (a, b) → R zweimal stetig differenzierbar, so gilt 5.6.5 ○ f¨ ur alle a < x < b:

f ′′ (x) = lim

h→0

f (x) − 2f (x + h) + f (x + 2h) . h2

5.6.6 Sei I = [a, b) ⊂ R. Die Funktionen f, g ∶ I → R seien in I (n − 1)-mal stetig differenzierbar und im Inneren ˚ I n-mal differenzierbar. Dann gibt es zu jedem x ∈ I, x ≠ a, ein ξ zwischen a und x, so dass n−1 (k) f (k) (a) g (a) (x − a)k ) g (n) (ξ ) = f (n) (ξ ) (g (x) − ∑ (x − a)k ) . k! k! k =0 k =1

n−1

(f (x) − ∑

5.6.7 Sei I = [a, b), a < b. Die Funktionen f, g ∶ I → R seien in I (n − 2)-mal stetig differenzierbar, in ˚ I (n − 1)-mal differenzierbar und es existieren die Ableitungen f (n) (a), g (n) (a). Außerdem sei f (a) = f ′ (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0, g (a) = g ′ (a) = . . . = g (n−1) (a) = 0, es sei aber g (n) (a) ≠ 0. Dann ist f (x) f (n) (a) = (n) . x→a g (x) g (a) lim

5.6.8 Definiert man f (x) f¨ ur 0 < x < 1 durch die Gleichung sin x =

x(60 − 7x2 ) + x7 f (x), 60 + 3x2

so konvergiert f (x) f¨ ur x → 0. Man berechne diesen Grenzwert.

5.6 H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel

57

H Ausgehend von der Formel 5.6.9 ○



k ∑ fk+1 x = k=0

f¨ ur ∣x∣ < g1 , wobei g = Zahlen (fn )∞ n=0 .

√ 1+ 5 2

1 1 − x − x2

der goldene Schnitt ist, berechne man die Fibonacci-

H Man zeige, dass die Funktion f (x) = 5.6.10 ○ gebung von 0 eine Reihenentwicklung der Form

f (x) =

x exp x−1

in einer geeigneten Um-

∞ x Bk k =∑ x exp x − 1 k=0 k!

besitzt und leite eine Rekursionsformel f¨ ur die Koeffizienten Bk her. ∞

k L Man transformiere die geometrische Reihe ∑ x auf den Mittelpunkt 5.6.11 ○ k =0

a = − 12 .

5.6.12 F¨ ur k ∈ N sei A(k ) die Anzahl der Gitterpunkte des R3 , die auf dem Dreieck x + y + z = k, x, y, z ≥ 0, liegen. F¨ ur geeignete x beweise man die Formel ∞



k=1

k =1

3

k k ∑ A(k )x = ( ∑ x ) ,



3

berechne das Cauchy-Produkt ( ∑ x ) und damit A(k ). k

k=1

x

5.6.13 Die Ableitungen von f (x) ∶= ee lassen sich in der Gestalt n

x

f (n) (x) = ∑ ank ee

+kx

k =1

schreiben. Man stelle Rekursionsformeln f¨ ur die ank auf und stelle f (x) als Potenzreihe in x dar: einmal durch Einsetzen von y = ex in ey , sodann durch direkte Berechnung der Koeffizienten mit obenstehender Formel. Welche Beziehungen ergeben sich durch Koeffizientenvergleich? 5.6.14 Man betrachte die Taylor-Formel

√ x x2 x3 1+x=1+ − + + R. 2 8 16 F¨ ur ∣x∣ ≤ 15 zeige man die Restgliedabsch¨ atzung ∣R∣ < 14 ⋅ 10−3 und berechne damit √ √ 5 und 7 bis auf einen Fehler von 10−3 .

58

5 Differentialrechnung einer Variablen

L Sei p ∈ N. Man berechne die Taylor-Reihe von 5.6.15 ○

f ( x) =

√ p

1+x

um a = 1 und zeige durch Absch¨ atzung des Restgliedes, dass diese in einer Umgebung von a gegen die Funktion konvergiert. 5.6.16 Man bestimme die Taylor-Reihe T f (0, x) mit Entwicklungspunkt 0 von 1 , 1 − x − x2 + x3 √ log(x + 1 + x2 ) A f (x) ∶= √ (ii) ○ . 1 + x2 (i) f (x) ∶=

5.6.17 Man zeige: Die Funktion cos(k 2 x) 2k k =1 ∞

f (x) ∶= ∑

ist unendlich oft differenzierbar f¨ ur alle x ∈ R, aber die Taylor-Reihe um 0 hat den Konvergenzradius 0. n

5.6.18 Sei f (x) ∶= ∣x∣ f¨ ur alle x ∈ R, n ∈ N ungerade. Man zeige: f ist in 0 nur endlich oft differenzierbar∞und kann nicht durch eine in einem Intervall um 0 konvergente Potenzreihe ∑ ak xk = f (x) dargestellt werden. k=0



L Man zeige, dass e = ∑ 5.6.19 ○

k =0

1 k!

irrational ist.

5.6.20 Wie viele Summanden der Reihe xk k=0 k! ∞

exp x = ∑

braucht man, um exp x auf 3 Dezimalstellen nach dem Komma genau zu kennen f¨ ur ∣x∣ ≤ 2 ? 5.6.21 Man zeige: f (x) ∶= {

ur x > 0 exp (− x13 ) f¨ 0 f¨ ur x ≤ 0

ist auf R beliebig oft differenzierbar.

5.7 Lokale Extrema

59

5.6.22 Man berechne die Taylor-Reihe T f (0, x) mit Entwicklungspunkt 0 der Funktion exp (− x12 ) f¨ ur x ≠ 0 f (x) ∶= { 0 f¨ ur x = 0. 5.6.23 Sei f ∶ I → R eine zweimal differenzierbare Funktion auf dem offenen Intervall I = (0, +∞). ′′ L Sind M0 , M2 ∈ R ∪ { +∞ } obere Schranken von ∣f ∣ und ∣f ∣, dann zeige (i) ○ man die Ungleichung √ ∣f ′ (x)∣ ≤ 2 M0 M2 f¨ ur alle x ∈ I.

(ii) Man zeige: Bleibt f ′′ f¨ ur x → b beschr¨ ankt und gilt f (x) → 0 f¨ ur x → b, so folgt, dass f ′ (x) → 0 f¨ ur x → b. 5.6.24 Die Funktion f ∶ R → R sei zweimal stetig differenzierbar. Ferner gebe es Konstanten M, M ′ > 0, so dass 2

2

2

∣f (x)∣ ≤ M, ∣f ′ (x)∣ + ∣f ′′ (x)∣ ≤ M ′ f¨ ur alle x ∈ R gilt. Man zeige, dass dann 2

2

∣f (x)∣ + ∣f ′ (x)∣ ≤ max { M, M ′ } .

5.7

Lokale Extrema

5.7.1 Man beweise, dass das Polynom P (x) ∶= xn + ax + b f¨ ur gerades n h¨ochstens zwei und f¨ ur ungerades n h¨ochstens drei verschiedene (reelle) Nullstellen besitzt. 5.7.2 Sei f ∶ I → R dreimal differenzierbar in I = (0, 1) und alle Ableitungen der Ordnung ≤ 3 seien im Punkte a ∈ (0, 1) stetig mit f ′ (a) = 0, f ′′ (a) = 0, f ′′′ (a) ≠ 0. Man zeige, dass dann in a kein relatives Extremum vorliegt. H Man zeige: Unter allen dem Einheitskreis einbeschriebenen gleich5.7.3 ○ schenkligen Dreiecken besitzt das gleichseitige den gr¨oßten Fl¨acheninhalt und den gr¨oßten Umfang. Diese Eigenschaften gelten nur f¨ ur das gleichseitige Dreieck.

60

5.8

5 Differentialrechnung einer Variablen

Konvexit¨at

√ L Sei f (x) ∶= (1 + x) 5.8.1 ○ 1 − x2 f¨ ur ∣x∣ ≤ 1. Man bestimme die Nullstellen von f , die lokalen und globalen Minima und Maxima. Wo ist f monoton wachsend, wo monoton fallend, wo konvex, wo konkav, wo liegen die Wendepunkte? Man bestimme lim f ′ (x) und skizziere den Graphen von f . x→±1

5.8.2 Sei f (x) ∶= xx = ex log x f¨ ur x > 0. Man bestimme die Nullstellen von f , die lokalen und globalen Minima und Maxima. Wo ist f konvex, wo konkav, wo liegen die Wendepunkte? Man bestimme lim f (x), lim f ′ (x) und lim f ′ (x) und x→0

x→∞

x→0

skizziere den Graphen von f . H Sei I ⊂ R ein Intervall und sei f ∶ I → R positiv und konkav. Man 5.8.3 ○ zeige, dass dann f1 konvex ist.

5.8.4 Sei I ⊂ R ein offenes Intervall, f ∶ I → R zweimal differenzierbar in I mit f ′′ (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ I. Man zeige: (i)

f (x) ≥ f (a) + f ′ (a)(x − a) f¨ ur alle x ∈ I,

(ii) f ((1 − t)x′ + tx′′ ) ≤ (1 − t)f (x′ ) + tf (x′′ ) f¨ ur alle x′ , x′′ ∈ I und alle t ∈ [0, 1]. (iii) f (t1 x1 + . . . + tn xn ) ≤ t1 f (x1 ) + . . . + tn f (xn ) f¨ ur alle x1 , . . . , xn ∈ I und alle t1 , . . . , tn ≥ 0 mit t1 + . . . + tn = 1. 5.8.5 Seien µ, ν ∈ R, µ, ν > 0 mit µ + ν = 1. Man zeige: (i) F¨ ur a ≥ 0 gilt f (x) ∶= (1 + x)µ (1 + a)ν − 1 + xµ aν ≥ 0 f¨ ur a ≤ x < +∞. (ii) F¨ ur a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ≥ 0 gilt: n

∑ k =1

aµk bνk

n

µ

n

ν

≤ ( ∑ ak ) ( ∑ bk ) . k =1

k=1

6

Die elementaren transzendenten Funktionen

6.1

Die Exponentialfunktion

6.1.1 Man l¨ose die folgenden Anfangswertprobleme durch Potenzreihenansatz: (i)

′′ ′ L y + xy = 0, y (0) = 1, y (0) = 0. ○

(ii) y ′′ + y ′ − xy 2 = 0, y (0) = 2, y ′ (0) = 1. (iii) y ′′ + ex y = 0, y (0) = 2, y ′ (0) = 1. 6.1.2 (i) Man verifiziere: Die Potenzreihe ∞

y (x) ∶= ∑ (−1)k k =0

x2k+1 k!(k + 1)!22k+1

gen¨ ugt der Differentialgleichung x2

d2 y dy +x + (x2 − 1)y = 0. dx2 dx

(6.1)

(ii) Man gewinne umgekehrt eine L¨ osung y (x) der Differentialgleichung (6.1) ∞

durch Potenzreihenansatz y (x) = ∑ ak xk , d. h., man gehe mit diesem Ank =0

satz in die Differentialgleichung ein und gewinne durch Koeffizientenvergleich eine Rekursionsformel. 6.1.3 Sei b > 0. Man zeige die Existenz des Grenzwerts bh − 1 h→0 h lim

auf elementarem Weg ohne Verwendung des Logarithmus.

62

6 Die elementaren transzendenten Funktionen

6.2

Die Hyperbelfunktionen

6.2.1 (i) Man bestimme die Potenzreihenentwicklungen von cosh x und sinh x um 0. (ii) Man l¨ose die Differentialgleichung y ′′ = y durch Potenzreihenansatz und bestimme die L¨ osungen zu den Anfangsbedingungen y (0) = 1, y ′ (0) = 0 und y (0) = 0, y ′ (0) = 1. 6.2.2 (i) Man nehme an, dass die Funktion f (x) ∶= { e 1

x

x−

1

f¨ ur x ≠ 0 f¨ ur x = 0

in eine Potenzreihe um 0 entwickelbar ist und leite eine Rekursionsformel f¨ ur ihre Koeffizienten her. (ii) Mit Hilfe von (i) leite man eine Potenzreihenentwicklung f¨ ur die Funktion f (x) ∶= x coth x = x

ex + e−x ex − e−x

in einer Umgebung von 0 her. H Man bestimme die Umkehrfunktionen von y = cosh x und y = sinh x 6.2.3 ○ auf geeigneten Intervallen.

6.3

Der Logarithmus

L Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von 6.3.1 ○ √ log(x + 1 + x2 ) √ f (x) ∶= 1 + x2

um 0 indem man eine Differentialgleichung herleitet, sie durch Potenzreihenansatz ∞ g (x) = ∑ ak xk k=0

l¨ost und dann zeigt, dass f = g in einer geeigneten Umgebung von 0 gilt. 6.3.2 F¨ ur die hyperbolischen Funktionen cosh x und sinh x beweise man die Additionstheoreme und untersuche, wo sich diese Funktionen umkehren lassen. Berechne diese Umkehrfunktionen.

6.4 Die allgemeine Potenz

6.4

63

Die allgemeine Potenz

L Sei µ ∈ R. Man berechne die Taylor-Reihe von 6.4.1 ○

f (x) = (1 + x)µ mit Entwicklungspunkt a = 0 und zeige durch Absch¨atzung des Restgliedes, dass diese in einer Umgebung von 0 gegen die Funktion konvergiert. 6.4.2 F¨ ur welche µ, ν ∈ R konvergiert 1



∑ k =2

k µ logν

k

?

6.4.3 Man zeige, dass f¨ ur x ∈ [0, 1] f (x)k k! k =0 ∞

xx = ∑

gilt, wobei f ∶ [0, 1] → R eine stetige Funktion ist.

6.5

Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus

6.5.1 F¨ ur alle x ∈ R zeige man die Identit¨ aten (i)

cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x,

(ii) sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x,

√ π π 3 (iii) und beweise cos = sin = . 6 3 2 6.5.2 Man beweise die Formeln (i) cos 5x = 16 cos5 x − 20 cos3 x + 5 cos x, x ∈ R. (ii) cos

2π 2 ⋅ 2π (n − 1)2π + cos + . . . + cos = −1, n ∈ N, n ≥ 2. n n n

64

6 Die elementaren transzendenten Funktionen

L F¨ 6.5.3 (i) ○ ur alle n ∈ N und alle x ∈ R mit sin x2 ≠ 0 zeige man, dass

sin (n + 12 ) x 1 + cos x + cos 2x + . . . + cos nx = . 2 2 sin x2 (ii) Man berechne n

4 ∑ k cos kx. k=1

6.5.4 Man berechne n

(i) ∑ cos2 (kx), k=0 n

(ii) ∑ cos kx ⋅ sin kx. k=0

6.5.5 Man untersuche, ob die Reihe cos k 2 x auf [−π, +π ] k2 k =1 ∞



gleichm¨aßig konvergiert. Gilt dies auch f¨ ur die Reihe d cos k 2 x ( )? k2 k=1 dx ∞



6.5.6 Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe ∞

k ∑ sin k ⋅ x . k=0

6.5.7 Sei f (x) ∶= sin((x + 1)2 ) − sin(x2 ). Man bestimme lim inf f (x) und lim sup f (x). x→∞

x→∞

6.5.8 F¨ ur x > 0 sei

sin x . x Man zeige: Die Ableitung von f besitzt nur abz¨ahlbar viele Nullstellen x1 < x2 < . . . mit f ′′ (xk ) < 0 und die Folge (f (xk ))k∈N konvergiert f¨ ur k → ∞. f (x) ∶= cos x +

6.6 Tangens und Cotangens

6.6

65

Tangens und Cotangens

L Man zeige die Ungleichung 6.6.1 ○

2 sin x + tan x ≥ 3x f¨ ur 0 ≤ x
1 und w¨ achst monoton von 0 nach π2 , wenn y von 1 nach +∞ w¨achst. H Man zeige, dass sich jede stetige Funktion f ∶ [−π, π ] → R mit f (−π ) = 6.7.3 ○ f (π ) im Intervall [−π, π ] gleichm¨ aßig durch trigonometrische Polynome“ der ” Form

n

P (t) = a0 + ∑ (ak cos kt + bk sin kt) k=1

mit a0 , ak , bk ∈ R f¨ ur k = 1, . . . , n approximieren l¨asst.

6.8

Polarkoordinaten

H Seien a, b, α, ω ∈ R. Man skizziere die Bilder Im f der folgenden Abbil6.8.1 ○ dungen f ∶ R → R2 , f (t) = (x(t), y (t)) f¨ ur t ∈ R:

(i)

x(t) = a cos ωt , y (t) = b cos(ωt + α),

(ii) x(t) = a cos ωt , y (t) = b cos 2ωt, (iii) x(t) = a cos 2ωt , y (t) = b cos 3ωt. 6.8.2 Sei x(t) = cos ω1 t, y (t) = cos ω2 t mit ωω12 irrational. Seien x0 , y0 , ε ∈ R fest gew¨ahlt mit ∣x0 ∣ ≤ 1, ∣y0 ∣ ≤ 1 und ε > 0. Man zeige, dass ein L existiert mit

∣x(L) − x0 ∣ < ε und ∣y (L) − y0 ∣ < ε.

7

Integralrechnung

7.1

Stammfunktionen

7.1.1 Man bestimme Stammfunktionen zu L (i) ○

1 , µ ∈ R, µ ≠ 1, x logµ x

(ii) cos x sinµ x, µ ∈ R.

7.2

Grundintegrale

7.2.1 Man bestimme Stammfunktionen zu arcsin x L √ (i) ○ , 1 − x2 √ log (x + 1 + x2 ) √ (ii) . 1 + x2

7.3

Partielle Integration und Substitution

7.3.1 Man bestimme Stammfunktionen zu (i)

x2 cos x,

(ii) xn eax , a ∈ R, n ∈ N, (iii) e−x cos(5x), (iv)

x , sin2 x

(v) arctan x, n H x log x, n ∈ N0 . (vi) ○

68

7 Integralrechnung

7.3.2 Man finde eine geeignete Substitution und bestimme Stammfunktionen zu (i)

1 1 sin , 2 x x

(ii)

1 1 sin , x x

√ (iii) x2 a2 − x2 , a > 0, arcsin x (iv) √ , 1 − x2 (v)

x arcsin x √ . 1 − x2

L (vi) ○

(vii)

1 . x log x

1 . x log x ⋅ log(log x) n

7.3.3 Sei P (x) = ∑ ak xk ein Polynom vom Grad n und sei µ ∈ R ∖ { 0 }. k =0

n

(i)

Man zeige, dass es ein Polynom Q(x) = ∑ bk xk vom Grad n gibt mit k =0

µx µx ur alle x ∈ R. ∫ P (x)e dx = Q(x)e f¨

(ii) Man bestimme eine Rekursionsformel zur Berechnung der bk aus den ak . (iii) Hieraus berechne man das Integral 4 2x ∫ (13x + 5x − 3)e dx.

7.4 Integration rationaler Funktionen

7.4

69

Integration rationaler Funktionen

7.4.1 Man bestimme Stammfunktionen zu den in Aufgabe 4.2.3 angegebenen rationalen Funktionen (i)

x5 + 1 , x4 + x2

(ii)

x6 + 1 , x4 − x2 − 2x + 2

1 , x4 − 2x2 + 1 x L (iv) ○ , 4 x +4 (iii)

(v) (vi)

x5

− x4

1 , − 2x2 + x − 1

+ 2x3

2x3 − 3x . x6 − 1

7.5

Klassen elementar integrierbarer Funktionen

7.5.1 Man bestimme Stammfunktionen zu (i) (ii)

x+ x−

√ √

1 + x2 1 + x2

,

1 √ , x 1 − x2

L (iii) ○

1 cos2 x − cos x − 6

,

8

Das Riemannsche Integral

8.1

Das Riemann-Darbouxsche Integral

8.1.1 Sei I ∶= [0, 1 + a] ⊂ R, a > 0. Sei f ∶ I → R definiert durch f (x) ∶= {

ax f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 a − (x − 1) f¨ ur 1 ≤ x ≤ a + 1.

F¨ ur eine geeignete Folge von Partitionen (πk )k∈N von I berechne man s(πk , f ) und S (πk , f ). (Elementargeometrisch: ∫I f (x)dx = a(a2+1) ) b

8.1.2 Man berechne das Integral ∫a xp dx, indem man das Intervall [a, b], a < b, in n gleiche Teile einteilt und dann zur Grenze u ¨bergeht. Man behandle wenigstens die F¨alle p = 3, 4. Dabei darf man die Riemann-Integrierbarkeit von xp u ¨ber [a, b] benutzen. b

µ L Sei 0 < a < b und sei µ ∈ R. Man berechne das Integral ∫ x dx, indem 8.1.3 ○ a man das Intervall [a, b] in geometrischer Progression in n Teile einteilt und dann zur Grenze u ¨bergeht. Dabei darf man die Riemann–Integrierbarkeit von xµ u ¨ber [a, b] benutzen. n

8.1.4 F¨ ur alle n ∈ N berechne man das Integral ∫1 x1 dx n¨aherungsweise mit ein nem Fehler ≤ 1 und zeige, dass lim ∫1 x1 dx = +∞. Die Riemann-Integrierbarkeit n→∞

von

8.2

1 x

u ¨ber [1, n] darf benutzt werden.

Die Riemannsche Definition b

L Man berechne das Integral ∫ cos x dx, indem man das Intervall [a, b], 8.2.1 ○ a a < b, in n gleiche Teile einteilt und dann zur Grenze u ¨bergeht. Dabei darf man die Tatsache benutzen, dass cos x u ¨ber [a, b] Riemann-integrierbar ist.

72

8 Das Riemannsche Integral

8.2.2 Sei f ∶ [0, 1] → R definiert durch f (0) ∶= 0 und f (x) ∶=

1 1 1 f¨ ur alle < x ≤ , n ∈ N. n+2 n+1 n

(i) Man zeige, dass f Riemann-integrierbar ist. (ii) Mit Hilfe der Formel 1 1 = 2a(a + 1) k=0 (a + k )(a + k + 1)(a + k + 2) ∞



1

f¨ ur alle a ∈ R ∖ { 0, −1, −2, . . . } berechne man ∫0 f (x)dx = 14 .

8.3

Klassen integrierbarer Funktionen

8.3.1 Sei α ∶ [0, 1] → R stetig und monoton, f ∶ [0, 1] → R stetig. F¨ ur eine Partition π ∶ 0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 von [0, 1] sei n

S (π, α, f ) ∶= ∑ Mk (α(xk ) − α(xk−1 )) , k =1 n

s(π, α, f ) ∶= ∑ mk (α(xk ) − α(xk−1 )) , k =1

dabei ist Mk ∶=

sup xk−1 ≤x≤xk

f (x),

mk ∶=

inf

xk−1 ≤x≤xk

f (x).

Man zeige: F¨ ur alle ε > 0 gibt es eine Partition π von [0, 1], so dass

∣S (π, α, ϕ) − s(π, α, ϕ)∣ < ε. 1

Zusatzfrage: Wie muss man das Riemann-Stieltjes-Integral“ ∫0 f (x) dα(x) er” 1 kl¨aren, damit f¨ ur α(x) = x das Riemann-Integral ∫0 f (x) dx herauskommt? 8.3.2 Man untersuche, ob die Funktion f ∶ R → R,

⎧ q −1 ⎪ ⎪ f (x) ∶= ⎨ q ⎪ ⎪ ⎩1

f¨ ur x = pq , p ∈ Z, q ∈ N, teilerfremd f¨ ur x irrational

u ¨ber das Intervall [0, 1] Riemann-integrierbar ist.

8.4 Eigenschaften integrierbarer Funktionen

73

8.3.3 Seien f, g ∶ [a, b] → R, a < b, Funktionen von beschr¨ankter Variation. Man zeige, dass die Funktionen f + g, f ⋅ g, λf f¨ ur λ ∈ R, f + , f − , ∣f ∣, max { f, g } und min { f, g } ebenfalls von beschr¨ ankter Variation sind. 8.3.4 Sei f ∈ BV (I ), I = [a, b]. Man zeige die folgenden Aussagen: (i)

f ∣[a,c] ∈ BV ([a, c]) und f ∣[c,b] ∈ BV ([c, b]) f¨ ur alle c ∈ [a, b] und es gilt die Identit¨at: Vab (f ) = Vac (f ) + Vcb (f ).

(ii) Die Funktion g (x) ∶= Vax (f ) ist auf I monoton wachsend. Ebenso sind die Funktionen g ± f monoton wachsend auf I. H Es gilt die Darstellung f = g − h mit zwei monoton wachsenden Funk(iii) ○ tionen g, h ∶ I → R.

(iv) Gilt umgekehrt f = g − h mit zwei monoton wachsenden Funktionen g, h ∶ I → R, so zeige man, dass f dann von beschr¨ankter Variation auf I ist. 8.3.5 Man zeige: Die Funktion f (x) ∶= {

f¨ ur x ≠ 0 f¨ ur x = 0

x cos x1 0

ist auf [0, 1] stetig, aber nicht von beschr¨ ankter Variation. Wie verh¨alt es sich mit der Funktion x sin x1 f¨ ur x ≠ 0 g (x) ∶= { 0 f¨ ur x = 0?

8.4

Eigenschaften integrierbarer Funktionen

8.4.1 Sei f eine beschr¨ ankte reelle Funktion auf [a, b] mit f 2 Riemann-integrierbar. Folgt daraus, dass f Riemann-integrierbar ist? Man nehme an, dass f 3 Riemann-integrierbar ist. Folgt dann, dass f Riemann-integrierbar ist? L Sei I = [a, b], a < b. Sei f ∶ I → R stetig differenzierbar. Sei 8.4.2 ○

S ∶= { x ∈ [a, b] ∣ f ′ (x) = 0 } und T ∶= f (S ) = { y ∈ R ∣ y = f (x) f¨ ur ein x ∈ S } . Man zeige: Dann gibt es zu jedem ε > 0 endlich viele kompakte, nicht-ausgeartete Intervalle I1 , . . . , In ⊂ R, n = n(ε), mit n

n

k =1

k =1

T ⊂ ⋃ Ik und ∑ ∣Ik ∣ < ε.

74

8 Das Riemannsche Integral

8.4.3 Sei π ∶ 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 eine Partition des Intervalls [0, 1]. Sei f ∶ [0, 1] → R eine Funktion, die im Inneren (tk−1 , tk ) eines jeden Teilintervalls [tk−1 , tk ] konstant ist. Man zeige: Dann ist F (x) ∶= ∫

x 0

f (t) dt

eine in x stetige Funktion auf [0, 1]. 8.4.4 Sei I ⊂ R ein abgeschlossenes, nicht ausgeartetes Intervall. Die Funktionen f, g ∶ I → R seien stetig mit f ≥ g und f (x0 ) > g (x0 ) f¨ ur ein x0 ∈ I. Man zeige: (i) ∫ f (x) dx > ∫ g (x) dx. I

I

(ii) Anwendung: Sei k ≥ 0 gerade und ` ∈ N, dann ist k +` k ∫ sin x dx < ∫ sin x dx. I

I

8.4.5 Man beweise die folgende Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung: (i) Seien f, g ∶ I → R, I = [0, 1], Treppenfunktionen mit endlich vielen Spr¨ ungen, dann gilt √ f ( x ) g ( x ) dx ≤ ∫ ∫ f 2 (x) dx ⋅ ∫ g 2 (x) dx. I

I

I

(ii) Seien f, g ∶ I → R stetige Funktionen. Man zeige auch in diesem Fall die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. (iii) Wann gilt das Gleichheitszeichen? 8.4.6 Sei V = C 0 ([0, 1]) der Vektorraum der stetigen Funktionen f ∶ [0, 1] → R. (i) Man zeige, dass durch

(f, g ) ∶= ∫

1 0

f (x)g (x) dx

ein Skalarprodukt auf V erkl¨ art ist. (ii) Sei

∥f ∥2 ∶=



(f, f )

8.4 Eigenschaften integrierbarer Funktionen

75

und

∥f ∥∞ ∶= sup ∣f (x)∣ . 0≤x≤1

Man zeige, dass ∥⋅∥2 , ∥⋅∥∞ ∶ V → R Normen sind mit

∥f ∥2 ≤ ∥f ∥∞ und es gibt kein c > 0, so dass

∣f ∣∞ ≤ c ∥f ∥2 f¨ ur alle f ∈ V. H Sei f ∶ I → R, I = [0, 1], eine Treppenfunktion mit endlich vielen 8.4.7 (i) ○ Spr¨ ungen. Dann gilt f¨ ur alle ν, µ ∈ R mit 0 < µ < ν die Ungleichung

ν

1 ν

µ

1 µ

(∫ ∣f (x)∣ dx) ≤ (∫ ∣f (x)∣ dx) . I

I

(ii) Man zeige diese Ungleichung auch f¨ ur stetige Funktionen f ∶ I → R. 8.4.8 Sei I = [a, b], a < b, sei f ∶ I → R Riemann-integrierbar und sei M ≥ 0. Man zeige: Wenn es ein y0 ∈ R gibt, so dass

∣f (x) − y0 ∣ ≤ M f¨ ur alle x ∈ I, dann gilt

∣∫

b a

f (x) dx − (b − a)y0 ∣ ≤ M (b − a).

H Sei I = [a, b], a < b und seien f, g ∶ I → R Riemann-integrierbar und 8.4.9 ○ monoton nicht fallend, dann gilt:

b



a

f (x)dx ∫

b a

g (x)dx ≤ (b − a) ∫

b a

f (x)g (x)dx.

L Sei f ∶ R → R eine Funktion, welche auf jedem kompakten Intervall 8.4.10 ○ beschr¨ankt und Riemann-integrierbar ist und welche die Cauchysche Funktionalgleichung f (x + x′ ) = f (x) + f (x′ ) f¨ ur alle x, x′ ∈ R

erf¨ ullt. Man zeige, dass dann f (x) = cx mit einer Konstanten c ∈ R gilt.

76

8 Das Riemannsche Integral

8.5

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

8.5.1 Seien a, b ∈ R, a ≠ b, a ≠ 0, b ≠ 0, a, b ∈/ [1, d], d > 1. Man bestimme A, B, C ∈ R so, dass 1 A B C = + + x(x − a)(x − b) x x − a x − b d

gilt und berechne ∫1

dx x(x−a)(x−b) .

L Man bestimme eine Stammfunktion von 8.5.2 ○ Wert von 1 x dx. ∫ 4 −1 x + 4

x x4 + 4

und berechne so den

8.5.3 (i) F¨ ur 0 < ∣x∣ < 1 zeige man: x



0

n dt (−1)k+1 k =∑ x + Rn (x) mit lim Rn (x) = 0. n→∞ 1 + t k=1 k

(−1)k+1 = log 3 − log 2. k2k k=1 ∞

(ii) ∑

8.5.4 Sei f ∶ [a, b] → R, a < b dreimal stetig differenzierbar. Setze A(f ) ∶=

b−a a+b (f (a) + 4f ( ) + f (b)) . 6 2

(i) Es gilt

∣∫

b a

f (x) dx − A(f )∣ ≤ S

(b − a)4 1152

mit S = sup { ∣f (3) (x) − f (3) (x′ )∣ ∣ x, x′ ∈ [a, b] }. 3

(ii) Ist f (x) = ∑ ak xk ein Polynom vom Grad ≤ 3, so gilt k =0

b



a

f (x) dx = A(f ).

8.6 Integralformeln

8.6

77

Integralformeln

8.6.1 Man berechne die folgenden Integrale: ∞

(i) ∫

0 1

(ii) ∫

0 1

(iii) ∫

0

xn e−x dx f¨ ur n ∈ N,

f (x) dx f¨ ur f (x) ∶= ∫ g (y ) dy f¨ ur g (y ) ∶= ∫

1 0

y 2 − x2 dy, (x2 + y 2 )2

y 2 − x2 dx. (x2 + y 2 )2

1 0 1

2 n H Man berechne ∫ (1 − t ) dt f¨ 8.6.2 (i) ○ ur einige n ∈ N. 0 H Man zeige: (ii) ○

1



8.7

0

(1 − t2 )n dt =

(n!)2 4n . (2n + 1)!

Uneigentliche Integrale

8.7.1 Sei I = [a, b), a ∈ R, b ∈ R ∪ { +∞ }, a < b. Sei f ∶ I → R auf jedem kompakten Teilintervall [a, c], a < c < b beschr¨ankt und Riemann-integrierbar. b c Man zeige: Das uneigentliche Integral ∫a f (x)dx = lim− ∫a f (x)dx existiert genau c →b

dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein a < c < b gibt, so dass gilt:

∣∫

d c

f (x)dx∣ < ε f¨ ur alle c < d < b.

8.7.2 Was ist hier falsch? +1 dx x

Behauptung: ∫−1

= 0.

−ε dx x

Beweis: Es ist ∫−1

−1 dx ∣x∣

1 dx x .

= ∫ −ε

lim (∫

ε→0

= − ∫ε −ε

−1

Also ist

1 dx dx +∫ ) = lim 0 = 0. ε→0 x x ε

8.7.3 F¨ ur welche µ ∈ R sind die uneigentlichen Integrale 1



0

xµ dx,





xµ dx,

1

endlich? Man bestimme jeweils deren Wert.





0

e−µt dt

78

8 Das Riemannsche Integral 1 1 x

8.7.4 Man entscheide, ob das uneigentliche Integral ∫0

sin x1 dx existiert.

8.7.5 Man berechne das uneigentliche Integral π



0

log(sin x) dx,

π

indem man auf das Integral ∫02 log(sin 2x) dx die Substitutionsregel und die Additionstheoreme anwendet. 8.7.6 Man zeige die folgenden Behauptungen: (i)

∣∫

x+2π x

x+2π ∣sin t∣ sin t dt∣ ≤ π ∫ dt f¨ ur x > 0. t t2 x b

(ii)

lim lim ∫ a→+∞ b→+∞ ∞

(iii) ∫

0

a

sin t dt = 0. t

b sin t sin t dt ∶= lim lim ∫ dt = c mit 0 < c < +∞. a→+∞ b→+∞ a t t

(iv) F¨ ur I (x) ∶= ∫



0

sin xt dt gilt: t

I (x) = +c f¨ ur x > 0 und I (x) = −c f¨ ur x < 0. L Man zeige die Identit¨ 8.7.7 ○ at





0

∞ sin x cos x dx = ∫ dx. 1+x (1 + x)2 0

H F¨ 8.7.8 ○ ur x ≥ 0 sei

I (x) ∶= ∫

x+ 1 x

cos(t2 ) dt.

Man zeige: (x+1) sin s sin((x + 1)2 ) sin(x2 ) − +∫ ds, 2(x + 1) 2x x2 4s3/2 2

(i)

I (x) =

(ii) ∣I (x)∣ ≤ (iii) I (x) =

1 f¨ ur x > 0, x

sin((x + 1)2 ) − sin(x2 ) const + R(x) mit ∣R(x)∣ ≤ f¨ ur x > 0. 2x x2

(iv) Man entscheide, ob das Integral ∫0 cos(t2 ) dt konvergiert. ∞

8.8 Das Integralkriterium und Anwendungen

79

8.7.9 Man betrachte das uneigentliche Integral Γ(x) ∶= ∫



0

tx−1 e−t dt f¨ ur x > 0

und zeige die folgenden Behauptungen: Γ(x) exisitiert f¨ ur alle x > 0,

(i)

(ii) Γ(x + 1) = xΓ(x) f¨ ur alle x > 0, (iii) Γ(n + 1) = n! f¨ ur alle n ∈ N0 . 8.7.10 (i) Man zeige, dass das Integral I (a) ∶= ∫

dx +a



x2

0

f¨ ur a ≥ 1 gleichm¨ aßig konvergiert und berechne I (a). (ii) F¨ ur n ∈ N beweise man: ∞



8.8

0

2 dx 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ (2n − 1) π = cos2n t dt = . ∫ (x2 + 1)n+1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ . . . ⋅ 2n 2 0 π

Das Integralkriterium und Anwendungen

H F¨ 8.8.1 ○ ur welche µ, ν ∈ R existiert das uneigentliche Integral





2

dx xµ logν

x

?

8.8.2 Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: 1 µ , µ > 0, k=2 k log k ∞

(i) ∑

1 . k log k ⋅ log (log k ) k =2 ∞

H ∑ (ii) ○

n

8.8.3 Konvergiert die Folge ( ∑

k=1

1 k

− log n)

?

n∈N

8.8.4 Man zeige die asymptotische Gleichheit 2n 4n ( )≅ √ f¨ ur n → ∞. n πn

80

8.9

8 Das Riemannsche Integral

Grenzwerts¨atze

8.9.1 Sei fk ∶ [0, 1] → R definiert durch

⎧ ⎪ k2 x f¨ ur 0 ≤ x ≤ k1 ⎪ ⎪ ⎪ 2 fk (x) ∶= ⎨2k − k x f¨ ur k1 ≤ x ≤ k2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f¨ ur k2 ≤ x ≤ 1 ⎩0 f¨ ur k ∈ N. Man zeige, dass lim fk (x) = 0, dass also die Folge (fk )k∈N punktweise k→∞

gegen die Nullfunktion f ∶ [0, 1] → R, f (x) ≡ 0 konvergiert, dass aber 1

lim ∫ k→∞

0

fk (x) dx ≠ ∫

1 0

lim fk (x) dx.

k→∞

H Sei (fk )k ∈N , fk ∶ [a, b] → R, eine gleichm¨ 8.9.2 ○ aßig konvergente Folge von stetigen Funktionen, a < b, k ∈ N. Weiter seien (ak )k∈N und (bk )k∈N konvergente Folgen in [a, b]. Man zeige, dass dann

bk

lim ∫ k→∞

ak

fk (x) dx = ∫

lim bk

k→∞

lim ak

lim fk (x) dx.

k→∞

k→∞

8.9.3 Seien (fk )k∈N und (gk )k∈N zwei Folgen beschr¨ankter, Riemann–integrierbarer Funktionen auf einem kompakten Intervall I = [a, b], a < b, mit fk ↘ f , gk ↘ g und f ≥ g. Man zeige, dass dann b

lim ∫ k→∞

a

fk (x) dx ≥ lim ∫ k→∞

b a

gk (x) dx.

8.9.4 Es gibt eine Folge (fk )k∈N von stetigen Funktionen fk ∶ [0, 1] → R mit 1 f0 (x) = 0, fk+1 (x) ≥ fk (x) f¨ ur alle x ∈ [0, 1] und k ∈ N0 , ∫0 fk (x) dx ≤ 1 und lim fk (x) = +∞ f¨ ur alle x ∈ Q ∩ (0, 1). k→∞

8.9.5 Sei f ∶ [a, b] → R eine integrierbare Treppenfunktion (mit abz¨ahlbar vielen Spr¨ ungen). Man zeige: b

lim ∫ k→∞ b

lim ∫ k→∞

a

a

f (x) sin kx dx = 0,

f (x) ∣sin kx∣ dx =

b 2 ∫ f (x) dx. π a

8.9 Grenzwerts¨atze

81

8.9.6 (i) Man berechne f¨ ur alle k, ` ∈ N:



π 2

0

sin kx ⋅ sin `x dx und ∫

2π 0

cos kx ⋅ sin `x dx.

(ii) Sei f ∶ [0, 2π ] → R stetig und sei n ∈ N. F¨ ur welche a1 , . . . , an ∈ R wird die Funktion Sn (a1 , . . . , an ) ∶= ∫

2π 0

2

n

(f (x) − ∑ ak sin kx) dx k =1

zum Minimum? 8.9.7 (i)

T Man zeige: ○

x

lim



n→∞

0 1



0

(1 − t2 )n dt (1 − t2 )n dt

T Man zeige: (ii) ○

x

lim

+1 f¨ ur x > 0 ={ −1 f¨ ur x < 0.

s

2 n ∫ ∫ (1 − t ) dt ds 0

0

1

n→∞



0

= ∣x∣

(1 − t ) dt 2 n

f¨ ur ∣x∣ ≤ 1 sogar gleichm¨ aßig. (iii) Man zeige: Es gibt eine Folge von Polynomen (Pn )n∈N , mit denen man die Funktion f (x) = ∣x∣ auf [−1, +1] gleichm¨aßig approximieren kann. 8.9.8 F¨ ur f ∈ C 0 ([−1, 1]) zeige man die Limesrelation 1

lim ∫

ε→0

− 1 ε2

ε π f (x) dx = f (0). 2 +x 2

8.9.9 Man zeige: π ∞



0

∞ sin kx 1 dx = 2 . ∑ 3 4 k=1 k k=1 (2k − 1)



H Man zeige die Identit¨ 8.9.10 ○ at

1



0

(−1)k+1 . kk k=1 ∞

xx dx = ∑

82

8 Das Riemannsche Integral

8.9.11 Die Funktionen fk ∶ (0, 1) → R seien stetig differenzierbar. Wann gilt ′





( ∑ fk (x)) = ∑ fk′ (x)? k=0

k =0

8.9.12 Sei I ⊂ R ein kompaktes Intervall und sei (fk )∞ k=0 eine Folge stetiger, nicht-negativer Funktionen auf I. Man zeige: (i) Gilt fk (x) ≥ fk+1 (x) ≥ 0 und lim fk (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ I, so konvergiert k→∞

(fk )∞ aßig auf I gegen Null. k=0 gleichm¨ ∞

(ii) Existiert f (x) ∶= ∑ fk (x) f¨ ur alle x ∈ I und stellt eine stetige Funktion dar, k=0

so gilt ∞



∫ ∑ fk (x) dx = ∑ ∫ fk (x) dx. I k =0

k =0

I

8.9.13 Seien I ⊂ Rn ein kompaktes, nicht-ausgeartetes Intervall und h ∶ I → R eine beschr¨ankte, Riemann-integrierbare Funktion. Sei weiter C 0 (I ) die Menge der stetigen Funktionen auf I, C 0 (I ) ∶= { f ∶ I → R ∣ f stetig }, und sei schließlich L = Lh ∶ C 0 (I ) → R definiert durch Lh (f ) ∶= ∫ f (x)h(x) dx. I

Man zeige die folgenden Aussagen: (i)

L ist ein lineares Funktional auf C 0 (I ), d. h. f¨ ur alle a, b ∈ R gilt L(af + bg ) = aLf + bLg.

(ii) Es gibt ein K > 0, so dass f¨ ur alle f, g ∈ C 0 (I ) gilt:

∣L(f ) − L(g )∣ ≤ K sup ∣f (x) − g (x)∣ . x∈I

(iii) Ist (fn )n∈N eine Folge in C 0 (I ), die gleichm¨aßig gegen f ∈ C 0 (I ) konvergiert, so konvergiert (L(fn ))n∈N gegen L(f ) f¨ ur n → ∞. 8.9.14 Es gibt genau eine stetige Funktion f ∶ [0, 1] → R mit f (t) dt f¨ ur alle 0 ≤ x ≤ 1. 1+x+t 8.9.15 Es gibt genau eine stetig differenzierbare Funktion f ∶ [0, 1] → R mit f (0) = 1 und 1 + f (x) f ′ (x) = f¨ ur alle 0 ≤ x ≤ 1. 1 + x2 f (x) = ∫

1

0

A

Mengensysteme, Relationen und Partitionen

A.1

Mengensysteme

A.1.1 A, B seien folgende Teilmengen der nat¨ urlichen Zahlen N: A ∶= { x ∈ N ∣ x = 1 } ,

B ∶= { x ∈ N ∣ x = 1, 2 oder 3 } .

Man gebe s¨amtliche Elemente der Potenzmengen P(B ), P(P(A)) an. L F¨ A.1.2 ○ ur zwei Mengen X, Y beweise man:

X ⊂ Y ⇔ P(X ) ⊂ P(Y ).

A.2

Indizierte Familien

A.2.1 Sei f eine Abbildung von X in Y und sei (Aλ )λ∈Λ eine Familie von Teilmengen von X. Dann gilt: (i) f ( ⋃ Aλ ) = ⋃ f (Aλ ), λ∈Λ

λ∈Λ

L f ( ⋂ Aλ ) ⊂ ⋂ f (Aλ ). (ii) ○

λ∈Λ

λ∈Λ

A.2.2 Sei f eine Abbildung von X in Y und sei (A′λ )λ∈Λ eine Familie von Teilmengen von Y . Dann gilt: (i) f −1 ( ⋃ A′λ ) = ⋃ f −1 (A′λ ), λ∈ Λ

λ∈ Λ

(ii) f −1 ( ⋂ A′λ ) = ⋂ f −1 (A′λ ). λ∈ Λ

λ∈ Λ

84

A Mengensysteme, Relationen und Partitionen

A.3

¨ Aquivalenzrelationen und Partitionen

A.3.1 Man pr¨ ufe nach, welche der folgenden Relationen R in Z reflexiv, transitiv oder symmetrisch sind (k, ` ∈ Z) : kR` genau dann, wenn (i)

k ≤ `,

(ii) k − ` ist ein Vielfaches von 3, (iii) k ⋅ ` > 0. ¨ Man gebe gegebenenfalls die Aquivalenzklassen an. A.3.2 p ≠ 1 sei eine feste nat¨ urliche Zahl. F¨ ur r ∈ { 0, 1, . . . , p − 1 } sei Ar ∶= { n ∈ Z ∣ es gibt ein q ∈ Z mit n = p ⋅ q + r } . (i)

Man zeige:

Zp ∶= { Ar ∣ r = 0, 1, . . . , p − 1 } ist eine Partition von Z. ¨ L Ist folgende Relation R auf Z eine Aquivalenzrelation: (ii) ○ nRm ∶⇔ n − m ist ein Vielfaches von p? Welche Partition liefert R gegebenenfalls? ¨ L Man pr¨ (iii) ○ ufe, ob folgende Relation R auf Z eine Aquivalenzrelation ist: nRm ∶⇔ n + m ist ein Vielfaches von p. A.3.3 Es sei R ∶= { ((m, n), (k, `)) ∈ (Z × N) × (Z × N) ∣ m` = nk } . ¨ Man zeige, dass R eine Aquivalenzrelation auf Z ∖ N ist. ¨ Die Menge Q der Aquivalenzklassen nennt man die Menge der rationalen Zahlen. Statt [(m, n)] schreibt man auch m n. A.3.4 X, Y seien Mengen mit X ⊂ Y . Man beweise: Durch A ∼ B ∶⇔ A ∩ X = B ∩ X, A, B ∈ P(Y ) ¨ wird auf P(Y ) eine Aquivalenzrelation gegeben.

¨ A.3 Aquivalenzrelationen und Partitionen

85

A.3.5 Sei X ≠ ∅. Man zeige, dass dann durch A ∼ B ∶⇔ A und B sind gleichm¨achtig ¨ eine Aquivalenzrelation auf P(X ) gegeben ist. A.3.6 RR bezeichne die Menge aller Abbildungen f ∶ R → R. F¨ ur f, g ∶ R → R sei f ∼ g ∶⇔ ∃r > 0 ∶ f ∣[−r,r] = g ∣[−r,r] . ¨ Dabei ist [−r, r] = { x ∈ R ∣ ∣x∣ ≤ r }. Man zeige: ∼ ist eine Aquivalenzrelation auf RR . A.3.7 X sei eine nicht-leere Menge. X X sei die Menge aller Abbildungen f ∶ X → X. F¨ ur f, g ∶ X → X sei f ∼ g ∶⇔ ∃h ∈ X X bijektiv ∶ f = h ○ g ○ h−1 . ¨ Man zeige, dass ∼ eine Aquivalenzrelation auf X X ist. A.3.8 (i) Man zeige: Auf R wird durch x ∼ y ∶⇔ x − y ∈ Z, x, y ∈ R ¨ ¨ eine Aquivalenzrelation definiert. Zu x ∈ R gebe man die Aquivalenzklasse Rx = [x] an, zu der x geh¨ ort. (ii) f ∶ R → R sei eine Funktion. Man gebe eine notwendige und hinreichende Bedingung (an f ) an, dass eine Funktion g ∶ R/∼ → R existiert mit f (x) = g (π (x)), x ∈ R. Dabei ist π ∶ R → R/∼ , x ↦ Rx , die Projektion von R auf die Quotientenmenge R/∼ . L Es sei f ∶ R → R definiert durch A.3.9 ○

f (x) ∶= k f¨ ur k ≤ x < k + 1, k ∈ Z. Auf R sei durch

x ∼ x′ ∶⇔ f (x) = f (x′ )

¨ eine Aquivalenzrelation ∼ definiert. (i)

Man finde das Bild Im f von f in R.

¨ (ii) Man konstruiere ein Repr¨ asentantensystem A der Aquivalenzrelation ∼. Welche Klasseneinteilung liefert ∼?

86

A Mengensysteme, Relationen und Partitionen

(iii) Man konstruiere eine surjektive Abbildung f1 ∶ R → A, eine bijektive Abbildung f2 ∶ A → Im f und eine injektive Abbildung f3 ∶ Im f → R mit f = f3 ○ f2 ○ f1 . A.3.10 X sei eine nicht-leere Menge und R sei eine Relation in X, die symmetrisch und transitiv ist. ¨ (i) Man zeige: R ist genau dann eine Aquivalenzrelation, wenn es zu jedem ′ ′ x ∈ X ein x ∈ X gibt mit (x, x ) ∈ R. (ii) Man gebe ein Beispiel f¨ ur eine Menge X mit einer Relation R, die symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist. A.3.11 p ≠ 1 sei eine feste nat¨ urliche Zahl. Nach Aufgabe A.3.2 wird durch n ∼ m ∶⇔ ∃q ∈ Z ∶ n − m = p ⋅ q ¨ ¨ auf Z eine Aquivalenzrelation definiert. F¨ ur n ∈ Z bezeichne n ∶= [n] die Aquivalenzklasse, in der n liegt. Man beweise: (i)

Gilt n ∼ k, m ∼ `, so auch n + m ∼ k + ` und n ⋅ m ∼ k ⋅ `.

(ii) Durch n + m ∶= n + m, n ⋅ m ∶= n ⋅ m wird auf Zp ∶= Z/∼ eine Addition + und eine Multiplikation ⋅ definiert. (iii) (Zp , +, ⋅) ist ein kommutativer Ring mit Einselement (d. h. es gelten die Axiome eines K¨ orpers außer, dass ein a ∈ Zp evtl. kein Inverses besitzt).

A.4

Ordnungsrelationen

L Sei p ∈ N. Man zeige: Auf der Menge A.4.1 (i) ○

Tp ∶= { n ∈ N ∣ n ist ein Teiler von p } definiert Rp ∶= { (m, n) ∈ Tp × Tp ∣ m teilt n } eine Ordnung (Halbordnung). (ii) Man gebe eine notwendige und hinreichende Bedingung (an p) daf¨ ur an, dass Rp auf Tp eine lineare (d. h. vollst¨andige) Ordnung liefert.

B

Konstruktion der reellen Zahlen

B.1

Cauchy-Folgen in einem angeordneten K¨orper

L Sei (an )n∈N eine Cauchy-Folge und (bn )n∈N eine Folge mit an − bn → 0 B.1.1 ○ f¨ ur n → ∞. Man zeige: Dann ist (bn )n∈N eine Cauchy-Folge.

B.2

Definition der reellen Zahlen

H Man gebe Folgen rationaler Zahlen an, welche die Eulersche Zahl e B.2.1 ○ repr¨asentieren.

B.3

Der angeordnete K¨orper der reellen Zahlen

B.3.1 Es seien (an )n∈N , (bn )n∈N , (a′n )n∈N , (b′n )n∈N Cauchy-Folgen rationaler Zahlen mit

(an )n∈N ∼ (a′n )n∈N ,

(bn )n∈N ∼ (b′n )n∈N .

Man zeige: Dann sind (an + bn )n∈N , (a′n + b′n )n∈N , (an ⋅ bn )n∈N , (a′n ⋅ b′n )n∈N CauchyFolgen und es gilt:

(an + bn )n∈N ∼ (a′n + b′n )n∈N ,

(an ⋅ bn )n∈N ∼ (a′n ⋅ b′n )n∈N .

′ L Seien (an )n∈N , (a )n∈N Folgen rationaler Zahlen. (an )n∈N sei vom B.3.2 ○ n ′ positiven Typ und (an )n∈N ∼ (an )n∈N . Man zeige direkt: Dann ist auch (a′n )n∈N vom positiven Typ.

B.4

Der Dedekindsche Satz

H Man zeige direkt, dass die reellen Zahlen die Archimedische EigenB.4.1 ○ schaft besitzen.

88

B.5

B Konstruktion der reellen Zahlen

Das Hilbertsche Programm

B.5.1 (i) Man zeige, dass die Menge { 1 } ∪ { x ∈ R ∣ x ≥ 2 } induktiv ist. H Man zeige: Es gibt kein m ∈ N ∶ 1 < m < 2. (ii) ○

B.5.2 Man zeige, dass die folgenden Mengen induktiv sind: (i) { n ∈ N ∣ n − 1 ∈ N }, H { n ∈ N ∣ es gibt kein m ∈ N ∶ n < m < n + 1 }. (ii) ○ H Sei n ∈ N. Man zeige: Zwischen n und n + 1 liegt keine nat¨ B.5.3 ○ urliche Zahl.

C

Elementare komplexe Analysis

C.1

Komplexe Zahlen

C.1.1 Man bestimme den Real- und Imagin¨arteil der Zahlen (i)

z3,

(ii) z −1 f¨ ur z ≠ 0, (iii) (1 + i)n + (1 − i)n , n ∈ N, (iv)

z+1 , z ≠ 1. z−1

C.1.2 Man beweise f¨ ur zwei komplexe Zahlen z, z ′ die Gleichung 2

2

2

2

∣z + z ′ ∣ + ∣z − z ′ ∣ = 2 ∣z ∣ + 2 ∣z ′ ∣ und gebe eine geometrische Interpretation. ∣ z −z ′ ∣

C.1.3 Sei d(z, z ′ ) ∶= 1+∣z −z ′ ∣ f¨ ur z, z ′ ∈ C. Man zeige: d definiert eine Metrik auf C. Man gebe die Kreisscheiben Kr (a) ∶= { z ∈ C ∣ d(z, a) < r } f¨ ur a ∈ C und r > 0 an. C.1.4 Man betrachte die Menge aller Punkte z ∈ C, so dass (i)

1 ∣ ∣ > 1, z

(ii)

1 Re ( ) = 1, z

(iii)

Re(z 2 ) ≤ 3,

(iv)

Im(z 2 ) < 2,

(v)

∣z − a∣ + ∣z − b∣ ≤ 1, a, b ∈ C,

90

C Elementare komplexe Analysis



z−1 ∣ < 1, z+1

(vii) ∣

z−i ∣ < 1, z+i

(viii) ∣

z−a ∣ = c, a, b ∈ C, 0 < c < 1, z−b

(vi)

z−a ∣ < 1 f¨ ur ∣a∣ < 1, z⋅a−1

(ix)



(x)

∣z ∣ = 4 ∣z − 1∣,

(xi)

∣z ∣ = 1 + ∣z − 2∣.

Man schreibe diese Gleichungen oder Ungleichungen in reellen Koordinaten und zeichne die Mengen. C.1.5 Seien 2

A ∶= { z ∈ C ∣ ∣z ∣ + Im z < 1 } , B ∶= { z ∈ C ∣ Re z − 3 Im z < −6 } . Man bestimme dist (A, B ). C.1.6 Seien ak` ∈ C mit ak` = a`k , k, ` = 1, 2. Dann gilt n

∑ ak` zk z ` ≥ 0 k,`=1 2

genau dann, wenn a11 , a22 ≥ 0 und a11 a22 − ∣a12 ∣ ≥ 0. C.1.7 F¨ ur a1 , . . . , a4 , b1 , . . . , b4 ∈ R gilt die Identit¨at

(a21 + . . . + a24 ) (b21 + . . . + b24 ) = c21 + . . . + c24 mit c1 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 , c2 = a1 b2 − a2 b1 + a3 b4 − a4 b3 , c3 = a1 b3 − a2 b4 − a3 b1 + a4 b2 , c4 = a1 b4 + a2 b3 − a3 b2 − a4 b1 .

C.2 Unendliche Reihen komplexer Zahlen C.1.8 Man berechne einen Ausdruck in n f¨ ur 2n k 2n H ∑ (−1) ( (i) ○ ), 2k k =0 2n 2n (ii) ∑ (−1)k ( ). 2k −1 k=1

C.1.9 Man bestimme die H¨ aufungspunkte der Folgen (an )n∈N , (i)

an ∶= in , n

1+i (ii) an ∶= ( √ ) . 2 √ n 1+i 3 (iii) an ∶= ( ) . 2 C.1.10 Man bestimme den Grenzwert der durch an+1 =

1 1 (an + ) f¨ ur n ∈ N 2 an

rekursiv definierten Folge. Dabei gelte f¨ ur den Startwert Re a1 > 0.

C.2

Unendliche Reihen komplexer Zahlen

C.2.1 Man bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: zk



(i)

∑√ k =0

k+2

,

2k 3k z , k =1 k ∞

(ii) ∑ ∞

(iii) ∑ z k! , k =0

zk , k k=0 (2 + i) ∞

L ∑ (iv) ○



(v) ∑ k =1

zk k

(k + ki )

,

91

92

C Elementare komplexe Analysis ∞

2

(vi) ∑ k (log k) z k . k =1 ∞

C.2.2 Man gebe Beispiele von Potenzreihen P (z ) = ∑ ak z k mit Konvergenzrak =0

dius 1 derart an, dass P (z ) (i)

f¨ ur alle z ∈ C mit ∣z ∣ = 1 konvergiert;

(ii) f¨ ur alle z ∈ C mit ∣z ∣ = 1 divergiert; (iii) f¨ ur einige z ∈ C mit ∣z ∣ = 1 konvergiert und f¨ ur andere divergiert. C.2.3 Sei (ak )k∈N eine Folge komplexer Zahlen mit Re ak ≥ 0. Ferner konvergiere 2 ∞ ∞ ∞ ∑k=1 ak und ∑k=1 a2k . Man beweise, dass dann auch ∑k=1 ∣ak ∣ konvergiert. C.2.4 Es sei ak` ∶=

1 k+i`

f¨ ur k, ` ∈ N. F¨ ur welche p ∈ N konvergiert die Doppelreihe ∞

p ∑ ak` k,`=1

absolut?

C.3

Komplexe Polynome und rationale Funktionen

L Sei a ∈ C. Man bestimme die Wurzeln der Gleichung C.3.1 (i) ○

z 2 = a. (ii) Man zeige: Jedes komplexe Polynom zweiten Grades besitzt eine Nullstelle.

C.4

Komplexe Funktionen

C.4.1 Man betrachte die Funktionen (i)

H f1 (z ) ∶= ○

Re z , 1 + ∣z ∣

(ii) f2 (z ) ∶=

Re z , ∣z ∣

(iii) f3 (z ) ∶=

(Re z )2 , ∣z ∣

C.5 Komplex differenzierbare Funktionen (iv) f4 (z ) ∶=

Re(z 2 ) , ∣z 2 ∣

(v) f5 (z ) ∶=

(Re z 2 )2 ∣z 2 ∣

93

f¨ ur z ∈ C, z ≠ 0 und definiere fk (0) ∶= 0 f¨ ur k = 1, . . . , 5. Welche dieser Funktionen ist in 0 stetig erg¨ anzt worden?

C.5

Komplex differenzierbare Funktionen

C.5.1 F¨ ur z = x + iy ∈ C sei z = x − iy. Sei f ∶ C → C holomorph. Man zeige, dass auch g (z ) ∶= f (z ) in C holomorph ist. T Sei f ∶ C → C holomorph. Man zeige, dass dann die folgenden AussaC.5.2 ○ gen ¨aquivalent sind:

(i)

Re f = const,

(ii) f = const, (iii) ∣f ∣ = const, (iv) f ist in C holomorph. 2

C.5.3 In welchen Punkten ist f (z ) = ∣z ∣ komplex differenzierbar? C.5.4 Die Menge der komplexen Zahlen z = x + iy, x, y ∈ R, deren Realteil x nicht verschwindet, ist kein Gebiet in C.

C.6

Die Exponentialfunktion

C.6.1 Man zeige, dass ∣exp z ∣ = exp (Re z ) f¨ ur alle z ∈ C und folgere hieraus, 2 dass ∣exp(it)∣ = 1 f¨ ur alle t ∈ R. L Man bestimme inf ∣exp z ∣. C.6.2 ○

∣z ∣≤r

94

C Elementare komplexe Analysis

C.7

Die trigonometrischen Funktionen

C.7.1 Man bestimme sup ∣sin z ∣. ∣Re z ∣≤r ∣Im z ∣≤r L F¨ C.7.2 (i) ○ ur alle z ∈ C, z ≠ kπ, k ∈ Z und f¨ ur alle n ∈ N zeige man die Identit¨at

n

∑ exp(2ikz ) = k =1

sin nz exp(i(n + 1)z ). sin z

n

(ii) Hieraus leite man geschlossene Ausdr¨ ucke f¨ ur die Summen ∑ cos kz und k=1

n

∑ sin kz her.

k=1

C.7.3 F¨ ur die komplexen Zahlen 1+i a1 ∶= √ , 2

a2 ∶=



3−i

bestimme man r1 , r2 ∈ R+ , −π < ϕ1 , ϕ2 ≤ +π mit z1 ⋅ z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z1 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). z2

C.8

Der Logarithmus und die allgemeine Potenz

C.8.1 F¨ ur alle µ ∈ C und ∣z ∣ < 1 zeige man, dass ∞ µ (1 + z )µ = ∑ ( )z k . k=0 k

i L Man gebe alle Werte von i an. C.8.2 ○

C.9 Der Fundamentalsatz der Algebra

C.9

95

Der Fundamentalsatz der Algebra

C.9.1 Eine komplexe Zahl ε heißt n-te Einheitswurzel, wenn εn = 1 ist. Man zeige:

(i)

1 + ε + ε2 + . . . + εn−1 = {

n f¨ ur ε = 1 0 f¨ ur ε ≠ 1.

(ii) Das Produkt aller n-ten Einheitswurzeln ist gleich (−1)n+1 , die Summe ist gleich 0. (iii) Man dr¨ ucke die 3. und 4. Einheitswurzeln durch Quadratwurzeln aus. n

k T Man zeige: Zu jedem Polynom P (z ) = ∑ ak z C.9.2 ○ vom Grade n ≥ 1 und k =0

jedem ε > 0 gibt es ein R > 0, so dass f¨ ur alle ∣z ∣ > R gilt: n

n

(1 − ε) ∣an ∣ ∣z ∣ < ∣P (z )∣ < (1 + ε) ∣an ∣ ∣z ∣ . C.9.3 Sei n ∈ N0 und z ∈ C. Man bestimme alle L¨osungen der Gleichung z = z n .

C.10

Integration komplexer Funktionen

C.10.1 Man berechne die Partialbruchzerlegungen von

(i)

z6 + 1 , z 4 − z 2 − 2z + 2

(ii)

1 , z 4 − 2z 2 + 1

L (iii) ○

(iv)

z5

z4

z , +4

− z4

1 − 2z 2 + z − 1

+ 2z 3

nach dem in Satz C.3.6 beschriebenen Verfahren und integriere die Darstellungen.

96

C Elementare komplexe Analysis

P (z ) C.10.2 Es sei R(z ) = Q eine rationale Funktion. P (z ) und Q(z ) seien zwei (z ) komplexe Polynome vom Grad m und n mit m ≤ n − 2. Seien z1 , . . . , zk die paarweise verschiedenen Nullstellen von Q(z ) und c1 , . . . , ck seien die zugeh¨origen Residuen. Es sei Q(x) ≠ 0 f¨ ur x ∈ R. Man zeige: Dann existiert das uneigentliche +∞ Integral ∫−∞ R(x) dx und es gelten die Gleichungen +∞



k

R(x) dx = 2πi

−∞



cj und ∑ cj = 0.

j ∶Im cj >0

j =1

C.10.3 Man betrachte das uneigentliche Integral Γ(z ) ∶= ∫



0

tz −1 e−t dt f¨ ur Re z > 0

und zeige die folgenden Behauptungen: (i)

Γ(z ) existiert f¨ ur alle z ∈ C, Re z > 0,

(ii) Γ(z + 1) = zΓ(z ) f¨ ur alle z ∈ C, Re z > 0, (iii) Γ(n + 1) = n! f¨ ur alle n ∈ N0 .

Teil II

L¨ osungen und Hinweise

97

0

Mengen, Relationen und Abbildungen

0.1

Naive Mengenlehre

0.1.1 (i)

Es gibt ein Element a ∈ A, welches eine ungerade Zahl ist.

(iii) Die logische Negation der Aussage lautet: Es gibt ein Element a ∈ A, welches nicht durch 4 oder nicht durch 5 teilbar ist. Dies ist aber ¨aquivalent zu: Es gibt ein Element a ∈ A, welches nicht durch 20 teilbar ist. (Denn eine Zahl ist genau dann durch 4 und durch 5 teilbar, wenn sie durch 20 teilbar ist.) 0.1.2 (i) Falls n von der Form n = 4 ⋅ k, k ∈ N ist, dann ist n eine gerade nat¨ urliche Zahl. (iii) n ist eine gerade nat¨ urliche Zahl ist notwendig daf¨ ur, dass n von der Form n = 4 ⋅ k, k ∈ N ist. (Ist n von der Form n = 4 ⋅ k, k ∈ N, dann ist n notwendigerweise eine gerade nat¨ urliche Zahl.) 0.1.3 (i) ⇒“: Sei X ∪ Y = Y . Zu zeigen ist, dass X ⊂ Y . Um dies zu beweisen, ” w¨ahlen wir x ∈ X. Dann ist x ∈ X ∪ Y = Y (nach Voraussetzung), also x ∈ X ⇒ x ∈ Y , womit die behauptete Inklusion X ⊂ Y bewiesen ist.

⇐“: Sei X ⊂ Y . Wir behaupten, dass dann X ∪ Y = Y gilt. Sei x ∈ X ∪ Y . ” Dann ist x ∈ X oder x ∈ Y . Ist x ∈ X, so folgt aus der Voraussetzung, dass dann x ∈ Y , was im anderen Fall sowieso gilt. Also folgt aus x ∈ X ∪ Y in jedem Fall, dass x ∈ Y , womit die Inklusion X ∪ Y ⊂ Y bewiesen ist. Nat¨ urlich gilt immer die Inklusion Y ⊂ X ∪ Y und deshalb insgesamt die Gleichheit X ∪ Y = Y , womit alles gezeigt ist. 0.1.4 (i)

(I) Wir zeigen zun¨ achst die Inklusion X ∪ (Y ∩ Z ) ⊂ (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ).

Es gilt x ∈ X ∪ (Y ∩ Z ) ⇔ x ∈ X oder x ∈ Y ∩ Z. 1. Fall: Gilt x ∈ X, so folgt, dass x ∈ X ∪ Y und x ∈ X ∪ Z, weil beides Obermengen von X sind, also dass x ∈ (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ). 2. Fall: Gilt x ∈ Y ∩ Z, so ist x ∈ Y und x ∈ Z, also x ∈ Y ∪ X und x ∈ Z ∪ X und damit x ∈ (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ), und die behauptete Inklusion ist gezeigt.

100

0 Mengen, Relationen und Abbildungen (II) Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen, w¨ahlen wir x ∈ (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ). Dann gilt x ∈ X ∪ Y und x ∈ X ∪ Z. Wir unterscheiden nun zwei disjunkte F¨ alle, d. h. es gilt entweder der 1. Fall oder es gilt der 2. Fall: 1. Fall: Ist x ∈ X, so gilt nat¨ urlich, dass x ∈ X ∪ (Y ∩ Z ), weil dies eine Obermenge von X ist. 2. Fall: Ist x ∉ X, so folgt aus x ∈ X ∪ Y , dass dann x ∈ Y und genauso aus x ∈ X ∪ Z, dass x ∈ Z gilt. Somit geh¨ort in diesem Fall x zu Y und zu Z, also gilt x ∈ Y ∩ Z ⊂ (Y ∩ Z ) ∪ X. In jedem Fall ist also x ∈ X ∪ (Y ∩ Z ), womit auch die Inklusion

(X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ) ⊂ X ∪ (Y ∩ Z ) und somit insgesamt die Gleichheit

(X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ) = X ∪ (Y ∩ Z ) gezeigt ist. (iii) Zun¨achst gilt x ∉ X ∪ Y ⇔ x ∉ X und x ∉ Y. ¨ Deshalb haben wir die Aquivalenzen x ∈ Z ∖ (X ∪ Y ) ⇔ x ∈ Z und x ∉ X ∪ Y ⇔ x ∈ Z und x ∉ X und x ∉ Y ⇔ x ∈ Z ∖ X und x ∈ Z ∖ Y ⇔ x ∈ (Z ∖ X ) ∩ (Z ∖ Y ), weshalb Z ∖ (X ∪ Y ) = (Z ∖ X ) ∩ (Z ∖ Y ). 0.1.5 (i) Zun¨achst gilt x ∈ X ∖ Y ⇔ x ∈ X und x ∉ Y und deshalb x ∉ X ∖ Y ⇔ x ∉ X oder x ∈ Y. Daher k¨onnen wir schließen: x ∈ X ∖ (X ∖ Y ) ⇔ x ∈ X und x ∉ X ∖ Y ⇔ x ∈ X und x ∉ X oder x ∈ Y ⇔ x ∈ X und x ∈ Y ⇔ x ∈ X ∩ Y,

0.1 Naive Mengenlehre

101

womit die Mengengleichheit X ∖ (X ∖ Y ) = X ∩ Y gezeigt ist. ¨ 0.1.7 (i) Es gelten die Aquivalenzen ∞



x ∈ ( ⋃ Xn ) ∖ ( ⋃ Ym ) n=1

m =1





n=1

m=1

⇔ x ∈ ( ⋃ Xn ) und x ∉ ( ⋃ Ym ) ⇔ ∃n ∈ N ∶ x ∈ Xn und ∀m ∈ N ∶ x ∉ Ym ⇔ ∀m ∈ N ∃n ∈ N (welches evt. von m abh¨angig ist): x ∈ Xn ∖ Ym ∞

⇔ ∀m ∈ N ∶ x ∈ ⋃ (Xn ∖ Ym ) n=1





⇔ x ∈ ⋂ ( ⋃ (Xn ∖ Ym )) . m=1 n=1

Damit ist die Mengengleichheit ∞



n=1

m =1





( ⋃ Xn ) ∖ ( ⋃ Ym ) = ⋂ ( ⋃ (Xn ∖ Ym )) m=1 n=1

gezeigt. 0.1.8 (i) Es gilt ∞



x ∈ ⋂ ( ⋃ Xnm ) n=1 m=1

⇔ ∀n ∈ N ∃m ∈ N (welches evt. von n abh¨angig ist): x ∈ Xnm ⇔ ∃ Zahlen m1 , m2 , m3 , . . . ∶ x ∈ X1m1 , x ∈ X2m2 , x ∈ X3m3 , . . . ⇔ ∃m1 , m2 , m3 , . . . ∶ ∀n ∈ N ∶ x ∈ Xnmn ∞

⇔ ∃m1 , m2 , m3 , . . . ∶ x ∈ ⋂ Xnmn n=1

⇔x∈



( ⋂ Xnmn ) ,



m1 ,m2 ,m3 ,... n=1

womit die behauptete Identit¨ at ∞



⋂ ( ⋃ Xnm ) =

n=1 m=1

bewiesen ist.





( ⋂ Xnmn )

m1 ,m2 ,m3 ,... n=1

102

0 Mengen, Relationen und Abbildungen

0.2

Geordnete Paare und Relationen

0.2.1 Hinweis: Man betrachte zum Beispiel die Mengen X = { { 1 } , { 2 } } und Y = { 1, 2 }. 0.2.2 (i) Es gilt x = (x1 , x2 ) ∈ (X ∩ Y ) × Z ⇔ x1 ∈ X ∩ Y und x2 ∈ Z ⇔ x1 ∈ X und x1 ∈ Y und x2 ∈ Z ⇔ (x1 , x2 ) ∈ X × Z und (x1 , x2 ) ∈ Y × Z ⇔ x = (x1 , x2 ) ∈ (X × Z ) ∩ (Y × Z ), womit die Behauptung bewiesen ist.

0.3

Abbildungen

0.3.1 (I) f1 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ x2 + y 2 = 1 } definiert keine Funktion von I nach R, denn es gilt (0, 1) ∈ f1 und (0, −1) ∈ f1 , womit der vertikale Linientest verletzt ist: ∃x ∈ I, n¨amlich x = 0 und zwei y1 , y2 ∈ R, y1 ≠ y2 , n¨amlich y1 = 1, y2 = −1 mit (x, y1 ) ∈ f1 und (x, y2 ) ∈ f2 . (II) f2 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y − x3 = 0 } definiert eine Funktion von I nach R, denn • ∀x ∈ I ∃y ∈ R, n¨ amlich y ∶= x3 mit (x, y ) ∈ f2 , • ∀y, y ′ ∈ R ∶ (x, y ) ∈ f2 und (x, y ′ ) ∈ f2 ⇒ y = x3 = y ′ . Also gilt der vertikale Linientest. (III) f3 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y 3 − xy = 0 } definiert keine Funktion von I nach R, denn (1, 1) ∈ f3 und (1, −1) ∈ f3 . (IV) f4 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y 2 − 2y + 1 = 0 } definiert eine Funktion von I nach R, denn es gilt 2 0 = y 2 − 2y + 1 = (y − 1) ⇔ y = 1. Damit ist f4 = { (x, y ) ∈ I × R ∣ y = 1 } und es gilt der vertikale Linientest, n¨amlich: ∀x ∈ I ∃!y ∈ R, n¨ amlich y = 1 mit (x, y ) ∈ f4 . (V) Die Relationen g1 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y = 0 } , √ g2 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y = x } , √ g3 ∶= { (x, y ) ∈ I × R ∣ y = − x }

0.3 Abbildungen

103

stellen Funktionen von I nach R dar. Wegen 0 = y 3 − xy = y (y 2 − x) ⇔ y = 0 oder y 2 − x = 0 √ √ ⇔ y = 0 oder y = + x oder y = − x gilt offensichtlich, dass g1 ∪ g2 ∪ g3 = f3 . 0.3.2 (i) Sei A ⊂ B. Wir zeigen, dass dann f (A) ⊂ f (B ). Sei y ∈ f (A) ∪ Y . Dann gibt es ein x ∈ A mit y = f (x). Wegen A ⊂ B ist x ∈ B, weshalb es ein x ∈ B gibt mit y = f (x), d. h. y ∈ f (B ), womit die Behauptung bewiesen ist. (iii) Wir zeigen, dass f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). Sei y ∈ f (A ∩ B ). Dann gibt es ein x ∈ A ∩ B mit y = f (x). Also gibt es ein xA ∈ A, n¨amlich xA = x mit y = f (xA ), und es gibt ein xB ∈ B, n¨amlich xB = x mit y = f (xB ). Das bedeutet aber, dass y ∈ f (A) und y ∈ f (B ), d. h. y ∈ f (A) ∩ f (B ), womit alles gezeigt ist. 0.3.3 (i) Sei A′ ⊂ B ′ . Wir behaupten, dass dann f −1 (A′ ) ⊂ f −1 (B ′ ) gilt. Sei x ∈ f −1 (A′ ). Das bedeutet, dass f (x) ∈ A′ . Wegen A′ ⊂ B ′ gilt f (x) ∈ B ′ und deshalb x ∈ f −1 (B ′ ) wie behauptet. ¨ (iii) Wir zeigen, dass f −1 (A′ ∩ B ′ ) = f −1 (A′ ) ∩ f −1 (B ′ ): Es gelten die Aquivalenzen x ∈ f −1 (A′ ∩ B ′ ) ⇔ f (x) ∈ A′ ∩ B ′ ⇔ f (x) ∈ A′ und f (x) ∈ B ′

⇔ x ∈ f −1 (A′ ) und x ∈ f −1 (B ′ ) ⇔ x ∈ f −1 (A′ ) ∩ f −1 (B ′ ), woraus die Behauptung folgt. ¨ 0.3.4 (i) Es gilt (g ○ f )(A) = g (f (A)): Wir haben die Aquivalenzen z ∈ (g ○ f )(A) ⇔ ∃x ∈ A ∶ z = (g ○ f )(x) = g (f (x)) ⇔ ∃x ∈ A ∶ z ∈ g ({ f (x) }) ⊂ g (f (A)) nach Aufgabe 0.3.2(i), denn wegen x ∈ A gilt f (x) ∈ f (A) und deshalb { f (x) } ⊂ f (A).

104

0 Mengen, Relationen und Abbildungen

0.4

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

0.4.1 (i) f ∶ X → Y ⇔ ∀y ∈ Y ⇔ ∀y ∈ Y ⇔ ∀y ∈ Y ⇔ ∀y ∈ Y

ist injektiv gibt es h¨ ochstens ein x ∈ X mit y = f (x) gibt es h¨ ochstens ein (x, y ) ∈ X × { y } mit y = f (x) gibt es h¨ ochstens ein (x, y ) ∈ (X × { y }) ∩ f enth¨ alt die Menge (X × { y }) ∩ f h¨ochstens ein Element.

0.4.2 (i) (I) f ∶= { (a, d′ ), (b, b′ ), (c, a′ ), (d, d′ ), (e, a′ ) } ist eine Abbildung von X nach Y . f ist nicht injektiv, denn es gilt d′ = f (a) = f (d), d. h. d′ ∈ Y besitzt zwei (verschiedene) Urbilder, n¨amlich a und d. f ist nicht surjektiv, denn c′ ∈ Y besitzt kein Urbild: Die Paare (a, c′ ), (b, c′ ), (c, c′ ), (d, c′ ), (e, c′ ) geh¨oren alle nicht zu f . Damit ist f auch nicht bijektiv. (II) g ∶= { (a, e′ ), (b, c′ ), (c, d′ ), (d, b′ ), (e, a′ ) } ist eine injektive und surjektive, also auch bijektive Abbildung. Jedes y ∈ Y besitzt genau ein Urbild, n¨amlich g −1 ({ a′ }) = e, . . . , g −1 ({ e′ }) = a. Die inverse Abbildung lautet g −1 = { (a′ , e), (b′ , d), (c′ , b), (d′ , c), (e′ , a) } . 0.4.4 (i) Sei x ∈ A. Setze y ∶= f (x). Dann ist x ∈ f −1 ({ y }) und y ∈ f ({ x }) ⊂ f (A), also gilt { y } ⊂ f (A). Mit Aufgabe 0.3.3(i) folgt, dass x ∈ f −1 ({ y }) ⊂ f −1 (f (A)), was zu zeigen war. Sei x ∈ f −1 (f (A)). Dann gibt es ein y ∈ f (A) mit y = f (x). Aus y ∈ f (A) folgt aber, dass es ein x′ ∈ A gibt mit y = f (x′ ). Ist f injektiv, so folgt, dass x = x′ ∈ A ist, womit alles gezeigt ist. 0.4.6 (i) Sei f injektiv. Wir definieren eine Abbildung g` ∶ Y → X wie folgt: F¨ ur jedes y ∈ Im f sei g` (y ) ∶= x, wobei x ∈ X das eindeutig bestimmte Urbild von y ist. Ist y ∉ Im f , so sei g` (y ) ∶= x0 mit einem festen x0 ∈ X. Dann folgt f¨ ur jedes x ∈ X:

(g` ○ f )(x) = g` (f (x)) = g` (y ) = x = idX (x), d. h. es gilt g` ○ f = idX . g` ist also linksinvers zu f . Umgekehrt folgt aus der Relation g` ○ f = idX , dass f injektiv ist.

0.4 Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

105

(ii) Sei f surjektiv. Wir definieren dann eine Abbildung gr ∶ Y → X wie folgt: F¨ ur jedes y ∈ Y sei gr (y ) ∶= x, wobei x ∈ X ein beliebiges, aber fest gew¨ahltes Urbild von y ist. Dann gilt f¨ ur alle y ∈ Y

(f ○ gr )(y ) = f (gr (y )) = f (x) = y = idY (y ), d. h. es gilt f ○ gr = idY . gr ist also rechtsinvers zu f . Umgekehrt folgt aus f ○ gr = idY , dass f surjektiv ist.

1

Grundlagen der Analysis

1.1

Die natu¨rlichen Zahlen und das Induktionsprinzip

1.1.1 (i)

Beweis von n

2 ∑k = k =1

n(n + 1)(2n + 1) 6

(1.1)

f¨ ur alle n ∈ N durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n: n

(I) Induktionsanfang: Wegen ∑ k 2 = 1 = k =1

1⋅(1+1)(2⋅1+1) 6

gilt die Formel (1.1)

f¨ ur n = 1. (II) Induktionsschluss: Sei n ∈ N, und sei die Formel (1.1) f¨ ur dieses n richtig. Aus dieser Induktionsannahme folgt, dass n+1

n

k =1

k=1

2 2 2 ∑ k = ∑ k + (n + 1)

n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 (n + 1)(2n2 + 7n + 6) = 6 (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) = . 6 Damit ist die Formel (1.1) auch f¨ ur n + 1 richtig. (III) Nach dem Induktionsprinzip gilt (1.1) daher f¨ ur alle n ∈ N.

=

(iv) F¨ ur alle n ∈ N gilt:

n 1 (−1)k+1 =∑ . k k =1 k =1 n + k 2n



Beweis durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n: (I) Induktionsanfang: F¨ ur n = 1 gilt (1.2) wegen 1 (−1)k+1 1 1 1 =1− = = ∑ . k 2 2 k =1 n + k k =1 2



(1.2)

108

1 Grundlagen der Analysis (II) Induktionsschluss: Sei n ∈ N, und sei (1.2) f¨ ur dieses n wahr. Hieraus folgt, dass 2(n+1)

∑ k =1

(−1)k+1 2n (−1)k+1 1 1 =∑ + − k k 2n + 1 2n +2 k =1 n

1 1 1 + − n + k 2n + 1 2n +2 k =1

=∑

n −1

1 1 1 + − 2n + 1 2n + 2 k =0 n + k + 1

=∑

n +1

1 1 2 + − n + k + 1 n + 1 2n +2 k=1

=∑

n +1

1 , k =1 ( n + 1 ) + k

=∑ d. h. (1.2) gilt auch f¨ ur n + 1.

(III) Nach dem Induktionsprinzip gilt (1.2) daher f¨ ur alle n ∈ N. 1.1.2 (i) n = 1 oder n ≥ 5. (ii) (I) Zun¨achst zeigt man durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber p, dass 2p + 3 ≤ p2 + 2p ≤ 2p+1 f¨ ur p ∈ N, p ≥ 2. (II) Sei p ∈ N, p ≥ 2. Wegen Teil (I) gilt dann f¨ ur alle n ∈ N mit 2p+1 ≤ n < 2p+2 , dass

p

np < (2p+2 ) = 2p(p+2) ≤ 2(2

p+1

)

≤ 2n .

(III) Ist n ≥ 2p+2 , so betrachte man die Progression 2p+2 = 2(p+1)+1 < 2(p+1)+2 = 2(p+2)+1 < 2(p+2)+2 = 2(p+3)+1 < . . . . Deshalb gibt es genau ein p′ ∈ N, p′ ≥ p + 1 mit ′



2 p +1 ≤ n < 2 p +2 . Mit Teil (II) folgt, dass ′

np < np < 2n .

1.1 Die nat¨ urlichen Zahlen und das Induktionsprinzip

109

(IV) Insgesamt gilt also die Ungleichung np < 2n f¨ ur alle n ∈ N, n ≥ N ∶= 2p+1 . Vergleiche auch die L¨ osung der Aufgabe 2.3.10 f¨ ur einen alternativen Beweis einer versch¨arften Version oder auch die folgende Alternative: (ii)’ (I) Zun¨achst zeigt man die folgenden Hilfsbehauptungen durch vollst¨andige Induktion u ur alle p ∈ N: ¨ber p f¨ p + 1 ≤ 2p ,

(1.3)

p ≤ 20

(1.4)

2

p −1

,

k+1 ≤ p + 1, k k=0 20 p



(1 +

(1.5)

p 1 p k+1 ) ≤ . ∑ p k 20 k=0 20

(1.6)

Der Induktionsschritt des Beweises von (1.6) geschieht mit Hilfe von (1.5) folgendermaßen:

(1 +

p +1 1 1 p 1 ) ≤ ( 1 + ) (1 + p+1 ) p + 1 p 20 20 20 p p k+1 k+1 ≤∑ + ∑ k +p +1 k 20 20 k =0 k =0

k+1 . k k=0 20

p +1

≤∑

(II) Sei n = N ∶= 20p . Dann folgt aus (1.4), dass 2

p−1

np = 20p < (220 )20

p

= 220 = 2n .

Damit gilt die Behauptung, n¨ amlich np < 2n f¨ ur n = N. (III) Sei die Behauptung f¨ ur ein n ≥ N wahr. Dann folgt mit Hilfe von (1.6) und (1.3), dass n+1 p p 1 p ) ⋅ n ≤ (1 + p ) ⋅ 2n n 20 p p k+1 n 1 ≤∑ ⋅ 2 ≤ ∑ k ⋅ 2n k k=0 20 k=0 10

(n + 1)p = (

(p+1)-mal

³¹¹ ¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ ¹µ 11 . . . 1 n 2 ⋅ 10p n = ⋅2 ≤ ⋅ 2 = 2n+1 . 10p 10p

110

1 Grundlagen der Analysis (IV) Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung daher f¨ ur alle n ≥ N .

1.1.4 Wir berechnen zun¨ achst

(k + 1)5 − k 5 = 5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k + 1. Summation u ¨ber k von 1 bis n ergibt n

(n + 1)5 − 1 = ∑ ((k + 1)5 − k 5 ) k =1 n

n

n

k =1

k =1

n

= 5 ∑ k 4 + 10 ∑ k 3 + 10 ∑ k 2 + 5 ∑ k + n k=1

k =1 n

und hieraus, unter Benutzung der Gaußschen Formel ∑ k = k=1

n(n+1) 2

sowie der

Aufgaben 1.1.1(i) und (ii), dass n(n + 1) 5 ∑ k = (n + 1) − (n + 1) − 10 ( ) 2 k =1 n

4

2

5

− 10

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) −5 6 2

n+1 (6(n + 1)4 − 6 − 15n2 (n + 1) − 10n(2n + 1) − 15n) 6 n( n + 1) (6n3 + 9n2 + n − 1) = 6 n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1) = 6 √ √ √ √ √ √ n(n + 1)(2n + 1)( 12n + 3 + 7)( 12n + 3 − 7) = . 12

=

1.2

Abz¨ahlbarkeit

1.2.2 (i) Es gilt

⋅ X ∩ Y ), X = (X ∖ Y )∪( ⋅ Y ∩ X ), Y = (Y ∖ X )∪( ⋅ Y ∖ X )∪( ⋅ X ∩ Y ), X ∪ Y = (X ∖ Y )∪( dabei bedeutet ∪⋅ disjunkte Vereinigung. Daraus folgt

∣X ∣ = ∣X ∖ Y ∣ + ∣X ∩ Y ∣ , ∣Y ∣ = ∣Y ∖ X ∣ + ∣Y ∩ X ∣ , ∣X ∪ Y ∣ = ∣X ∖ Y ∣ + ∣Y ∖ X ∣ + ∣X ∩ Y ∣ = ∣X ∣ + ∣Y ∣ − ∣X ∩ Y ∣ .

1.2 Abz¨ahlbarkeit

111

1.2.4 (i) Hinweis: Man beweise durch vollst¨andige Induktion u ¨ber n, dass ∣P(X )∣ = 2n gilt, dabei ist P(X ) = { A ∣ A ⊂ X } die Potenzmenge von X, d. h. die Menge aller Teilmengen von X. F¨ ur den Induktionsschritt w¨ahle man ein x ∈ X und zerlege P(X ) in die Mengen P1 ∶= { A ∣ A ⊂ X, x ∈ A } , P2 ∶= { B ∣ B ⊂ X, x ∉ B } . (iii) Sei m = [ nk ] die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von X = { x1 , . . . , xn } und sei Y ∶= { A ⊂ X ∣ ∣A∣ = k } = { A1 , . . . , Am } . Wir betrachten die Menge R ∶= { (x, A) ∈ X × Y ∣ x ∈ A } = { (x, A) ∣ x ∈ A ⊂ X, ∣A∣ = k } . Aufgrund von Aufgabe 1.2.3 gilt dann m

m

j =1 m

j =1

∣R∣ = ∑ ∣{ x ∈ X ∣ (x, Aj ) ∈ R }∣ = ∑ ∣{ x ∈ X ∣ x ∈ Aj }∣ n = ∑ k = km = k [ ] . k j =1 Andererseits ist n

∣R∣ = ∑ ∣{ A ∈ Y ∣ (xi , A) ∈ R }∣ i=1 n

= ∑ ∣{ A ⊂ X ∣ ∣A∣ = k, xi ∈ A }∣ i=1 n

n−1 n−1 = ∑[ ] = n[ ]. k−1 k−1 i=1 Daraus folgt die Rekursion n n−1 n [ ]= [ ] k k k−1 f¨ ur 1 ≤ k ≤ n. Mit der Startbedingung [ n1 ] = n folgt, dass n(n − 1) ⋅ . . . ⋅ (n − k + 1) n n [ ]= =( ) k k! k

(1.7)

f¨ ur 1 ≤ k ≤ n. Weil die leere Menge die einzige Menge mit 0 Elementen ist, welche in X enthalten ist, gilt die Bedingung (n0 ) = 1 f¨ ur n ≥ 0. Insgesamt gilt (1.7) also f¨ ur 0 ≤ k ≤ n.

112

1 Grundlagen der Analysis

1.2.6 (I) Eindeutigkeit: a = 0 besitzt f¨ ur alle n ∈ N (wegen ak ≥ 0) nur die Darstellung n

a = ∑ ak q k mit a0 = . . . = an = 0. k =0

Sei a ≠ 0, d. h. a ∈ N. F¨ ur n ∈ N besitze a die Darstellungen n

n

k =0

k =0

a = ∑ ak q k = ∑ bk q k , a0 , . . . , an , b0 , . . . , bn ∈ N0 , 0 ≤ ak , bk < q f¨ ur k = 0, 1, . . . , n. Dann gilt n

n

k =1

k =1

k k ∑ ak q − ∑ bk q = b0 − a0 ≤ b0 < q.

Gilt b0 ≥ a0 , so ist n

n

k=1

k =1

0 ≤ ∑ ak q k−1 − ∑ bk q k−1 < 1. Weil der mittlere Term ganzzahlig ist, muss er Null sein, d. h. es gilt n

∑ ak q

k −1

k=1

n

= ∑ bk q k−1 , k =1

was auch im Fall b0 < a0 analog gezeigt werden kann. Induktiv folgt, dass n

∑ ak q k=`

k −`

n

= ∑ bk q k−` k =`

f¨ ur ` = 1, . . . , n und hieraus, dass an = bn , . . . , a1 = b1 gilt und schließlich auch, dass a0 = b0 . (II) Gilt n

m

k =0

k =0

a = ∑ ak q k = ∑ bk q k und ist z. B. n > m, dann setze bm+1 = . . . = bn ∶= 0. Dann folgt aus n

n

k =0

k =0

a = ∑ ak q k = ∑ bk q k mit Hilfe von Teil (I), dass am+1 = . . . = an = 0 sein muss.

1.3 K¨orper

113

(III) Existenz: Sei n ∈ N. Wir setzen A = Aq ∶= { 0, 1, . . . , q − 1 } und An+1 ∶= A × . . . × A . ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ (n+1)-mal

Wir betrachten die Abbildung n

f ∶ An+1 → N0 , f (a0 , a1 , . . . , an ) ∶= ∑ ak q k . k=0

Dann gilt mit Aufgabe 1.1.3(i), dass n

∣f (a0 , a1 , . . . , an )∣ ≤ (q − 1) ∑ q k = q n+1 − 1. k=0

Also bildet f An+1 in Bn+1 ∶= { 0, 1, . . . , q n+1 − 1 } ab. Nach Teil (I) ist f injektiv und, weil sowohl An+1 als auch Bn+1 q n+1 -elementig sind, auch surjektiv. Ist a ∈ N0 , so w¨ahle n ∈ N gem¨ aß Aufgabe 1.1.3(iii), so dass q n+1 − 1 ≥ a gilt. Dann ist a ∈ Bn+1 , und wegen der Surjektivit¨ at von f gibt es dann a0 , a1 , . . . , an ∈ N0 mit 0 ≤ ak ≤ q − 1, so dass n

a = f (a0 , a1 , . . . , an ) = ∑ ak q k , k=0

womit die Existenz einer Darstellung gezeigt ist.

1.3

K¨orper

1.3.1 Hinweis: Zu zeigen ist: Seien a, a′ , c, c′ ∈ Z, b, b′ , d, d′ ∈ N mit a a′ = , b b′

c c′ = . d d′

Dann gilt a c a′ c′ + = + , b d b′ d′

a c a′ c′ ⋅ = ⋅ . b d b′ d′

(Außerdem sind die K¨ orperaxiome zu verifizieren.)

114

1 Grundlagen der Analysis

1.3.2 Unter Benutzung der quadratischen Erg¨anzungsformel x2 + 2bx + c = x2 + 2bx + (b2 − b2 ) + c

= (x + b)2 + (c − b2 ) und der binomischen Formel

(a + b)(a − b) = a2 − b2 berechnen wir: (i)

x2 + 4x − 5 = x2 + 2 ⋅ 2x + 4 − 4 − 5

= (x + 2)2 − 9 = ((x + 2) + 3)((x + 2) − 3) = (x + 5)(x − 1). (iii) x2 − 6xy + 8y 2 = x2 − 2 ⋅ 3yx + 9y 2 − 9y 2 + 8y 2

= (x − 3y )2 − y 2 = ((x − 3y ) + y )((x − 3y ) − y ) = (x − 2y )(x − 4y ). 1.3.5 Hinweis: Man verwende Aufgabe 1.2.3. 1.3.8 Sind ak` Zahlen, so ist 2n n−∣n−k∣



∑ ak` = a00 + (a10 + a11 ) + (a20 + a21 + a22 ) + . . .

k=0

`=0

+ (an0 + an1 + . . . + ann ) + (an+1 0 + an+1 1 + . . . + an+1 n−1 ) + . . . + (a2n−1 0 + a2n−1 1 ) + a2n 0 n 2n−`

= ∑ ∑ ak` , `=0 k=`

wie man aus dem folgenden Schema erkennt: a00 a10 a20 . . . an0 a11 a21 . . . an1 a22 . . . an2 ⋮ ⋮ ann

an+1 0 . . . a2n−1 0 a2n 0 an+1 1 . . . a2n−1 1 an+1 2 . . . ⋮ an+1 n−1

1.4 Angeordnete K¨ orper

115

Diese Formel beweist man durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n. Damit ist mit Aufgabe 1.2.4(iv): 2n n−∣n−k∣

∑ k=0

n 2n−` 2n − 2` 2n − 2` )=∑ ∑ ( ) ∑ ( k−` k−` `=0 `=0 k=` n 2n−2` n 2n − 2` =∑ ∑ ( ) = ∑ 22n−2` k `=0 k=0 `=0

1 4n+1 − 1 = . ` 3 `=0 4 n

= 4n ∑

1.3.9 (i) Hinweis: Man berechnet f¨ ur n = 0, 1, . . . , 6, dass

⎧ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 2n ⎪ n k ∑ (−1) ( ) = ⎨2 ⎪ 2k ⎪ k =0 n ⎪ ⎪ ⎩−2

f¨ ur n = 2m + 1, m ∈ N f¨ ur n = 4m, m ∈ N0 f¨ ur n = 4m + 2, m ∈ N0

2n

und beweist diese Formel durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber m.

1.4

Angeordnete K¨orper

1.4.1 (I) Zun¨achst berechnen wir f¨ ur a ≠ 0: ax2 + 2bxy + cy 2 = a (x2 + 2

= a ((x +

by by 2 by 2 x + ( ) − ( ) + cy 2 ) a a a

b 2 ac − b2 2 y) + y ). a a2

(II) Sei a, c ≥ 0, ac − b2 ≥ 0. Im Fall a ≠ 0 folgt dann aus Teil (I), dass ax2 + 2bxy + cy 2 ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ K. Im Fall a = 0 folgt aus 0 = ac ≥ b2 , dass b = 0 ist, weshalb auch in diesem Fall ax2 + 2bxy + cy 2 = cy 2 ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ K. (III) Gilt ax2 + 2bxy + cy 2 ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ K, so folgt im Fall a ≠ 0 aus Teil (I) durch Setzen von x = 1, y = 0, dass a ≥ 0. Durch 2 Setzen von x = − ab , y = 1 folgt, dass ac − b2 ≥ 0 und hieraus, dass c ≥ ba ≥ 0.

116

1 Grundlagen der Analysis

Im Fall a = 0 folgt durch Setzen von x = 0, y = 1, dass c ≥ 0 und durch Setzen von x = −1, y = cb (im Fall c ≠ 0), dass 2b2 ≤ b2 , was nur f¨ ur b = 0 richtig ist. Ist auch c = 0, so folgt durch Setzen von x = ±1, y = 1, dass ±b ≥ 0, weshalb auch in diesem Fall b = 0 sein muss. In jedem Fall folgt also, dass a, c ≥ 0, ac − b2 ≥ 0. 1.4.2 (i) Es gilt a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac 1 1 1 = (a2 + 2ab + b2 ) + (a2 + 2ac + c2 ) + (b2 + 2bc + c2 ) 2 2 2 = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 ≥ 0. 1.4.3 Hinweis: Man unterscheide die F¨ alle a > 0, a = 0 und a < 0. Im Fall a > 0 unterscheide man die Unterf¨ alle x < −3a, −3a ≤ x ≤ a und x > a. F¨ ur eine alternative, zeichnerische L¨ osung bringe man die Kurven y = ∣x − 3a∣ und y = ∣x − a∣ + 2a zum Schnitt. 1.4.8 (ii) Man folgere die Ungleichung (ii) aus (i). Ein anderer Beweis von (ii) erfolgt durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n. Hierzu zeigen wir zun¨achst den Fall n = 2: Es ist

(a1 + a2 )(b1 + b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2 ≤ 2(a1 b1 + a2 b2 ) genau dann, wenn a1 b2 + a2 b1 ≤ a1 b1 + a2 b2 , was wiederum genau dann gilt, wenn 0 ≤ (a1 − a2 )(b1 − b2 ). Mit demselben Trick wird der Induktionsschluss so ausgef¨ uhrt: n +1

n+1

n+1

n+1

k=1

k =1

k =2 n +1

k =2

( ∑ ak ) ⋅ ( ∑ bk ) = (a1 + ∑ ak ) ⋅ (b1 + ∑ bk ) n +1

≤ a1 b1 + ∑ (a1 bk + ak b1 ) + n ∑ ak bk k=2 n +1

k =2 n +1

k=2 n+1

k=2

≤ a1 b1 + ∑ (a1 b1 + ak bk ) + n ∑ ak bk = (n + 1) ∑ ak bk . k =1

1.5 Das Archimedische Axiom

117

1.4.10 Hinweis: Verwende Aufgabe 1.4.9. 1.4.12 Hinweis: Man zeige dies, indem man die Ungleichung des arithmetischen Mittels a+b a< < b f¨ ur a, b ∈ K, a < b, 2 benutzt sowie die Tatsache, dass 0, 1 ∈ K und 0 ≠ 1.

1.5

Das Archimedische Axiom

1.5.1 Man gebe eine L¨ osung unter Verwendung von Aufgabe 1.4.11(ii) an. Hier ist eine Alternative: Sei n ≥ 2. Weil − n21+1 > −1 ist, folgt aus der Bernoullischen Ungleichung, dass n

n n2 1 n n2 − n + 1 = ( ) = ( 1 − ) > 1 − = , n n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 (1 + n12 )

1

also

(1 +

1 n n2 + 1 n 1 ) < =1+ 2 0, dass

(1 +

1 1 ) 0. W¨ ahle m = m(ε) ∈ N, so dass ∣ak − a∣ < w¨ahle N = N (ε, m) ∈ N, N ≥ m, so dass

∣a1 − a∣ + . . . + ∣am − a∣
0. W¨ ahle zun¨ achst m ∈ N, m ≥ 2: ∣b` ∣ < 2ε f¨ ur ` ≥ m. Sei dann B ∶= max { ∣b1 ∣ , . . . , ∣bm−1 ∣ } und w¨ ahle N ∈ N, N ≥ m ∶ ak` < 2(m−ε 1)B f¨ ur k ≥ N und ` = 1, . . . , m − 1. Dann folgt f¨ ur k ≥ N , dass k

∣ck ∣ = ∣ ∑ ak` b` ∣ `=1 m −1

k

`=1

`=m

≤ ∑ ak` ∣b` ∣ + ∑ ak` ∣b` ∣ ≤ B (m − 1) max { ak1 , . . . , ak m−1 } +
0: ∀N ∈ N ∃n, m ≥ √ √ N : ∣ n − m∣ ≥ ε. W¨ ahle dazu ε = 1. F¨ ur beliebiges N ∈ N sei n = N 2 , m = (N + 1)2 . Dann gilt √ √ √ √ ∣ n − m∣ = ∣ N 2 − (N + 1)2 ∣ = 1 ≥ ε.

2

Das System der reellen Zahlen

2.1

Axiomatische Einfu¨hrung der reellen Zahlen

2.1.1 (I) F¨ ur m ∈ N sei Im ∶= [m − 12 , m + 12 ). Dann gilt

R = ⊍ Im , m∈Z

d. h. R = ⋃ Im , Im ∩ Im′ = ∅ f¨ ur m ≠ m′ . Ist also a ∈ R irrational und n ∈ N, so m∈Z

gibt es ein m ∈ Z mit na ∈ ˚ Im = (m − 12 , m + 12 ), d. h. es gilt

∣a −

m 1 ∣< . n 2n

(II) Die Behauptung gilt nicht f¨ ur rationale Zahlen a = pq , p ∈ Z, q ∈ N, p ungerade, q gerade. F¨ ur alle anderen reellen Zahlen gilt die Behauptung. Denn seien p ∈ Z, q, n ∈ N. Dann gibt es ein m ∈ Z mit p m 1 ∣ − ∣< q n 2n

(2.1)

genau dann, wenn ∣np − mq ∣ < 2q . Sei Imq ∶= [mq − 2q , mq + 2q ). Wegen mq + (m + 1)q − 2q haben wir dann R = ⊍ Imq .

q 2

=

m∈Z

Also gilt (2.1) genau dann, wenn np ∈ ˚ Imq f¨ ur ein m ∈ Z. Aber es gilt ∣ pq − f¨ ur alle m ∈ Z genau dann, wenn np − mq = 2q f¨ ur ein m ∈ Z, also wenn p 2m + 1 = f¨ ur ein m ∈ Z. q 2n Damit gilt die Behauptung genau f¨ ur diese Zahlen nicht. 2.1.4 Hinweis: Man verwende Aufgabe 2.1.3.

m n∣



1 2n

124

2 Das System der reellen Zahlen

2.1.7 Sei x ∈ R und sei ε > 0. W¨ ahle k ∈ N, so dass wir genau dann ` 1 ∣x − k ∣ < k , 2 2 wenn ` − 1 < 2k x < ` + 1

1 2k

< ε gilt. F¨ ur l ∈ Z haben

gilt. W¨ahlen wir also ` ∈ Z mit dieser Eigenschaft, dann ist

∣x −

2.2

` 1 ∣ < k < ε. k 2 2

Dezimalbruchentwicklung

2.2.3 Hinweis: Die Summenformel der endlichen geometrischen Reihe kann hilfreich sein.

2.3

Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl

2.3.1 (I) 1. Fall: Angenommen c ≠ 0. Dann gilt √ √ √ √ √ a 2 b 3 a 2+b 3+c 5=0 ⇔ + = −1, c 5 c 5 also haben wir dann 1=

2 a 2 3 b 2 2 √ ab ( ) + ( ) + 6 2. 5 c 5 c 5 c

Hieraus folgt, dass a ≠ 0 oder b ≠ 0 (denn sonst w¨ urden ja a und b gleichzeitig verschwinden, was nicht sein kann). Ist a ≠ 0, so folgt, dass auch b ≠ 0 ist, √ √ 2 c 2 denn sonst w¨are ja 5 = − a , aber 5 ist irrational. Genauso folgt aus b ≠ 0, dass a ≠ 0 sein muss. Insgesamt haben wir also, dass a ≠ 0 und b ≠ 0 und wie vorausgesetzt c ≠ 0. Daraus folgt aber, dass

√ was nicht sein kann, denn muss c = 0 sein.

6=

c2 − 25 a2 − 35 b2 , 2ab

√ 6 ist irrational. Also ist die Annahme falsch. Es

¨ (II) Ahnlich argumentiert man in den F¨ allen b ≠ 0 und a ≠ 0. Damit ist gezeigt: √ √ √ ∀a, b, c ∈ Q ∶ a 2 + b 3 + c 5 = 0 ⇒ a = b = c = 0.

2.3 Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl 2.3.2 (I) F¨ ur h ∈ R, h ≠ 0, 1, gilt

1 h

=

h 1−h

125

genau dann, wenn

1 2 5 0 = h2 + h − 1 = (h + ) − , 2 4 d. h. f¨ ur h =

√ −1± 5 . 2

Genau f¨ ur

√ 5−1 h= 2 gilt 0 < h < 1. (II) Wir berechnen

√ h 1 2 5+1 g= = =√ = . 1−h h 2 5−1 √ Angenommen g ∈ Q. Dann folgt, dass 5 = 2g − 1 ∈ Q ein Widerspruch ist. (III) Nach Teil (I) ist 1 2 5 1 2 (h + ) = = 12 + ( ) . 2 4 2 Also ist h + 12 nach dem Satz von Pythagoras die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 1 und 12 . Damit ist h + 12 und dann h mit Zirkel und Lineal konstruierbar (vergleiche Abbildung 2.1).

1 2

1 2

h

h

h

1−h

1

Abbildung 2.1: Zur Konstruktion des goldenen Schnittes, Aufgabe 2.3.2

126

2 Das System der reellen Zahlen

2.3.3 Hinweis: Durch vollst¨ andige Induktion zeige man zun¨achst, dass f¨ ur alle n ∈ N: fn+1 1 1 ∣ − g∣ = ⋅ . fn fn g n 2.3.9 Die Behauptung gilt offensichtlich f¨ ur n = 1. F¨ ur n ≥ 2 folgt aus der binomischen Formel √ n √ k n ⎛ 2⎞ n ⎛ 2⎞ 1+ = ∑( ) n⎠ n⎠ ⎝ k =0 k ⎝ n 2 >1+( ) 2 n n( n − 1) 2 =1+ =n 2 n und hieraus die Behauptung. 2.3.10 Sei k ∈ N, 1 < 2k ≤ n fest gew¨ ahlt. Dann ist n − k + 1 ≥ folgt aus der binomischen Formel, dass

n 2

und deshalb

n n n n (1 + a) = ∑ ( )ak > ( )ak k k=0 k

n(n − 1) ⋅ . . . ⋅ (n − k + 1) k a k! n k ak ≥( ) . 2 k!

=

Gilt k ≥ µ + 1, µ ∈ R, so folgt nµ 2k k! µ−k < n (1 + a)n ak const ≤ → 0 f¨ ur n → ∞. n Die Wahl von k ist m¨ oglich, denn f¨ ur µ ∈ R sei N ∈ N so gew¨ahlt, dass N ≥ 2µ + 4 und dann k ∈ N mit µ + 1 ≤ k ≤ µ + 2. Dann gilt obige Rechnung f¨ ur alle n ∈ N, n ≥ N. 0
0 ein N ∈ N mit np ≤ ε2n f¨ ur alle n ∈ N, n ≥ N.

2.4 Weitere Vollst¨ andigkeitsprinzipien

127

2.3.11 Hinweis: Man setze n

1 µ

µ

A ∶= ( ∑ ∣ak ∣ ) k=1

und betrachte dann bk ∶=

2.4

ak A.

Weitere Vollsta¨ndigkeitsprinzipien

2.4.4 (i) Nat¨ urlich ist xn > 0 f¨ ur alle n ∈ N0 . Sei n ∈ N0 . Gilt x2n ≤ a2 , so ist x2n+1 = Im Fall x2n > a2 ist Ungleichung, dass

x2n −a 2x2n

1 2 a2 a a2 (xn + 2a + 2 ) ≥ + 2 ≥ a. 4 xn 2 4xn

> −1/2 > −1 und deshalb folgt aus der Bernoullischen 2

x2n+1 =

=

1 a 2 1 a (xn + ) = x2n ( + 2 ) 4 xn 2 2xn x2n (1 −

≥ x2n (1 −

x2n − a ) 2x2n

2

x2n − a ) = a. x2n

Damit gilt x2n ≥ a f¨ ur alle n ∈ N. Hieraus folgt, dass xn+1 − xn =

1 a ( − xn ) ≤ 0 2 xn

f¨ ur alle n ∈ N. Nach dem Monotonieprinzip konvergiert die Folge (xn )n∈N gegen ein x ∈ R+ mit x2 ≥ a. Aus der definierenden Relation der Folge (xn )n∈N folgt durch Grenz¨ ubergang n → ∞ die Relation 1 a (x + ) 2 x √ f¨ ur den Grenzwert x, d. h. es gilt x = a. x=

2.4.6 (I) Sei a > −1. Dann gilt an > −1 f¨ ur alle n ∈ N0 , weshalb an ≠ −2 und an+1 f¨ ur alle n ∈ N0 wohldefiniert ist. Begr¨ undung: F¨ ur alle n ∈ N0 gilt 2an + 1 an+1 = > −1 ⇔ an > −1. an + 2

128

2 Das System der reellen Zahlen

(II) Gilt a < 1, so ist

an < 1 f¨ ur alle n ∈ N0 ,

gilt a > 1, so ist

an > 1 f¨ ur alle n ∈ N0 .

Dies gilt wegen an+1 =

2an + 1 < 1 ⇔ an < 1 an + 2

bzw. an+1 > 1 genau dann, wenn an > 1. (III) Im Fall a < 1 ist

an < an+1 f¨ ur alle n ∈ N0

und im Fall a > 1 gilt

an+1 < an f¨ ur alle n ∈ N0 .

Dies folgt mit Hilfe von (I) und (II) aus an < an+1 =

2an + 1 ⇔ a2n < 1 an + 2

bzw. an+1 < an genau dann, wenn a2n > 1. (IV) Falls an → a∗ ∈ R, dann ist a∗ = ±1, denn es gilt an+1 =

2an + 1 ⇔ an+1 (an + 2) = 2an + 1 an + 2

und der Grenz¨ ubergang n → ∞ liefert (a∗ )2 = 1, also a∗ = ±1. (V) F¨ ur a = −1 ist an = −1 f¨ ur alle n ∈ N0 , und deshalb gilt dann an → −1. F¨ ur a = 1 ist an = 1 f¨ ur alle n ∈ N0 , weshalb an → 1. Ist a > −1, a ≠ 1, so folgt aus dem Monotonieprinzip die Konvergenz an → a∗ ∈ R. Es gilt a∗ > −1 nach (I), (II) und (III), weshalb a∗ = 1 ist. 2.4.8 Hinweis: Man kann die Folge der Differenzen (an+1 − an )n∈N betrachten. 2.4.12 Hinweis: Sei A0 ∶= { x ∈ I ∣ f (x) = 0 }. Man unterscheide die F¨alle A0 enth¨alt mindestens zwei Elemente, A0 enth¨alt genau ein Element und A0 = ∅, in welchem Fall man die Mengen A+ ∶= { x ∈ I ∣ f (x) > 0 } und A− ∶= { x ∈ I ∣ f (x) < 0 } betrachtet.

2.5 H¨aufungswerte

129

2.4.13 (I) Eindeutigkeit: Sind t, t′ , t < t′ zwei Trennungszahlen, dann folgt aus ′ t < t+2t < t′ , dass t + t′ ∈A∩B 2 im Widerspruch zu a < b f¨ ur alle a ∈ A, b ∈ B. (II) Existenz: Seien a ∈ A und b ∈ B. Man setze I0 ∶= [a, b] und betrachte die Intervalle a+b a+b (1) (2) I1 = [a, ] , I1 = [ , b] . 2 2 (2)

(1)

Falls a2+b ∈ A, so sei I1 ∶= I1 und falls a2+b ∈ B, dann sei I1 ∶= I1 . Das Verfahren wird auf I1 angewandt und iteriert. Wir erhalten eine Intervallschachtelung (In )n∈N , In = [an , bn ] mit

∣In ∣ =

b−a und an ∈ A, bn ∈ B. 2n

Daraus folgt die Existenz genau eines t ∈ R mit t ∈ In f¨ ur alle n ∈ N. Es bleibt zu zeigen, dass t eine Trennungszahl des Schnittes (A, B ) ist: Sei b′ ∈ B. Dann gilt b′ ≥ t, denn anderenfalls w¨ are b′ < t. Wegen an → t g¨abe es ein N ∈ N mit b′ < aN ≤ t. Analog gilt a′ ≤ t f¨ ur alle a ∈ A.

2.5

H¨aufungswerte

2.5.1 (ii) (I) Es gilt a2k → 2 f¨ ur k → ∞ und a2k−1 → 0 f¨ ur k → ∞. Deshalb ist (an )n∈N beschr¨ ankt und es gilt inf { an ∣ n ∈ N } = min { an ∣ n ∈ N } = 0, sup { an ∣ n ∈ N } = max { an ∣ n ∈ N } = 2. Weiterhin ist lim inf an = 0, lim sup an = 2 n→∞

n→∞

sowie { 0, 2 } ⊂ H. (II) Zu zeigen ist die Inklusion H ⊂ { 0, 2 }. Wir zeigen: a ∉ { 0, 2 } ⇒ a ∉ H, d. h. a ∈ R, a ≠ 0, a ≠ 2 ⇒ a ∉ H. Sei also a ∈ R, a ≠ 0, a ≠ 2. Setze 2d ∶= min { ∣a∣ , ∣a − 2∣ } = dist(a, H ). F¨ ur n = 2k, k ∈ N haben wir

∣an − 2∣ = ∣2 −

1 1 1 − 2∣ = n ≤ N n 2 2 2

130

2 Das System der reellen Zahlen f¨ ur n ≥ N , weshalb

∣a − an ∣ ≥ ∣a − 2∣ − ∣2 − an ∣ ≥ 2d −

1 >d 2N

genau dann, wenn 2N > d1 , also f¨ ur N ∶= min { n ∈ N ∣ 2n > k ∈ N gilt an = 0, also ∣a − an ∣ = ∣a∣ ≥ 2d > d.

1 d

}. F¨ ur n = 2k − 1,

Insgesamt ist also

∣a − an ∣ ≥ d f¨ ur n ≥ N und daher a ∉ H, womit die Inklusion H ⊂ { 0, 2 } bewiesen ist. 2.5.2 Zun¨achst bemerken wir, dass das System der Intervalle

{ Ik ∶= (

(k − 1)k k (k + 1) , ]∣k ∈N} 2 2

eine Partition von R+ = (0, +∞) ist, d. h. es gilt ∞

R+ = ⋃ Ik ,

Ik ∩ I` = ∅ f¨ ur k ≠ `.

k =1

Ist also n ∈ N, so gibt es genau ein k = k (n) mit n ∈ Ik . Die Folge (an )n∈N ist also wohldefiniert. Weiterhin gilt f¨ ur n ∈ Ik , dass 0 0. W¨ ahle N ∈ N so, dass n2 ∣an+1 − an ∣ < ε/2 f¨ ur n ≥ N . Wegen ∞



k =1

1 k2

≤ 2 gilt dann f¨ ur alle n > m ≥ N : n−1

∣an − am ∣ = ∣ ∑ (ak+1 − ak )∣ k=m n−1 2

k ∣ak+1 − ak ∣ k2 k=m

≤ ∑
δ

g (x) ∶= {

−w(x) ±w(x)

f¨ ur ∣x − a∣ ≤ δ f¨ ur ∣x − a∣ > δ

und

im Punkt x = a stetig, und dies sind auch alle im Punkt x = a stetigen Funktionen (welche die Gleichung (4.1) erf¨ ullen). (IV) Die 4 Funktionen f1,2 (x) ∶= ±w(x), w(x) f3 (x) ∶= { −w(x)

f¨ ur x ≥ 0 f¨ ur x < 0,

f4 (x) ∶= −f3 (x) f¨ ur alle x ∈ R sind genau diejenigen auf ganz R stetigen Funktionen, welche (4.1) erf¨ ullen. 4.4.13 Aufgrund von Satz 4.4.5 ist f stetig in D = { x ∈ R ∣ x ≠ ±1 }. Sei g (x) ∶= 1 ̃ r ∶= { x ∈ R ∣ ∣x∣ ≥ r }. Sei ε > 0. F¨ ̃ r gilt dann ur x ≠ 0. Sei D ur alle x, x′ ∈ D x2 f¨

∣g (x) − g (x′ )∣ = ≤

∣(x′ )2 − x2 ∣ 2

2

∣x∣ ∣x′ ∣ ∣x∣ + ∣x′ ∣

=

∣x + x′ ∣ ∣x − x′ ∣ 2

2

∣x∣ ∣x′ ∣

∣x − x′ ∣ 2 2 ∣x∣ ∣x′ ∣ ε 2 ≤ 3 ∣x − x′ ∣ < r 2 f¨ ur ∣x − x′ ∣ < δ ∶=

r3 4 ε.

Hieraus folgt, dass

∣f (x) − f (x′ )∣ < ε ∀x, x′ ∈ Dr , ∣x − x′ ∣ < δ.

148

4.5

4 Stetige Funktionen einer Variablen

Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen

4.5.1 Seien (xn )n∈N , (x′n )n∈N in zwei Folgen in I mit xn → 1, x′n → 1 f¨ ur n → ∞. Wir betrachten die Folge (f (xn ))n∈N . Da f in I gleichm¨aßig stetig ist, gibt es zu jedem  > 0 ein δ = δ (ε) > 0, so dass

∣f (xn ) − f (xm )∣ < ε f¨ ur ∣xn − xm ∣ < δ. Da (xn )n∈N eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem δ > 0 ein N = N (δ ), so dass

∣xn − xm ∣ < δ f¨ ur n, m ≥ N. So folgt, dass

∣f (xn ) − f (xm )∣ < ε falls n, m ≥ N (δ ()) ist. Also ist (f (xn ))n∈N eine Cauchy-Folge in R und deshalb konvergent. Ebenso ist (f (x′n ))n∈N eine Cauchy-Folge. Weil lim x′n = lim xn = 1 ist, gibt es zu jedem n→∞

δ > 0 ein N ′ = N ′ (δ ), so dass

n→∞

∣xn − x′n ∣ < δ f¨ ur n ≥ N ′ . Also ist

∣f (xn ) − f (x′n )∣ < ε f¨ ur ∣xn − x′n ∣ < δ (ε) und deshalb folgt, dass

∣f (xn ) − f (x′n )∣ < ε f¨ ur n ≥ N ′ (δ (ε)). Also ist lim f (x′n ) = lim f (xn ),

n→∞

n→∞

weshalb der Grenzwert F (1) ∶= lim f (x) x→1

wohldefiniert ist. Diese Stetigkeit von F rechnet man sofort nach. 4.5.3 Es sei g (x) ∶= x − f (x) f¨ ur x ∈ [a, b]. Dann gilt g (a) = a − f (a) ≤ 0,

g (b) = b − f (b) ≥ 0,

weil a ≤ f (x) ≤ f (b) f¨ ur alle x ∈ [a, b]. 1. Fall: Gilt g (a) = 0 oder g (b) = 0, so folgt f (a) = a oder f (b) = b und wir k¨onnen x0 = a oder x0 = b setzen. 2. Fall: Ist g (a) ≠ 0 und g (b) ≠ 0, d. h. g (a) < 0 und g (b) > 0, so folgt 0 ∈ (g (a), g (b)) und nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano existiert ein x0 ∈ (a, b) mit g (x0 ) = 0, d. h. es gilt f (x0 ) = x0 .

4.6 Monotone Funktionen

149

4.5.4 Hinweis: Sei 1 + x die L¨ ange der Mittelsenkrechten auf die Basis des Dreiecks. Geh¨ort der Mittelpunkt des √ Kreises zum Dreieck, so ist x√> 0. Der Fl¨ a cheninhalt ist dann gleich ( 1 + x ) 1 − x2 und der Umfang gleich 2 1 − x2 + √ 2 2(1 + x) (vergleiche Abbildung 4.1).



2(1 + x)

1

x



1 − x2

Abbildung 4.1: Zu Aufgabe 4.5.4

4.6

Monotone Funktionen

4.6.1 (I) F¨ ur 0 < x < x′ gilt x(1 + x′ ) < x′ (1 + x), also f (x) < f (x′ ). F¨ ur x < x′ < 0 ′ gilt x(1 − x′ ) < x′ (1 − x), weshalb f (x) = 1−xx < 1−xx′ = f (x′ ). F¨ ur x < 0 < x′ gilt ′ f (x) < f (0) = 0 < f (x ). Deshalb ist f streng monton wachsend auf R. (II) Es gilt x 1 = lim 1 = −1, x→−∞ x→−∞ 1 − x x→−∞ x −1 x 1 = 1. lim f (x) = lim = lim 1 x→∞ x→∞ 1 + x x→∞ x +1 lim f (x) = lim

Nach dem Hauptsatz u ¨ber monotone Funktionen ist f ∶ R → (−1, 1) deshalb bijektiv.

150

4 Stetige Funktionen einer Variablen

(III) F¨ ur x > 0 gilt y = f (x) > 0, weshalb y = f (x) =

x y ⇔ x = f −1 ( y ) = . 1+x 1−y

F¨ ur x < 0 ist y = f (x) < 0, weshalb y = f (x) =

x y ⇔ x = f −1 ( y ) = . 1−x 1+y

Damit ist die Umkehrfunktion f −1 ∶ (−1, 1) → R gegeben durch f −1 ( y ) =

y . 1 − ∣y ∣

4.6.4 Aus an → 0 folgt sofort, dass Gn → 0. Sei also an → a > 0. Dann gilt log an → log a und deshalb

1 n

n

∑ log ak → log a. Aus der inversen Relation

k =1

exp(log x) = x f¨ ur alle x > 0 und der Funktionalgleichung f¨ ur den Logarithmus folgt, dass

¿ ¿ n n Á Á ⎛ ⎞ n n À ∏ ak = exp log Á À Gn = Á ∏ ak ⎝ ⎠ k =1 k =1 n 1 = exp ( log ∏ ak ) n k=1

= exp (

1 n ∑ log ak ) n k=1

→ exp(log a) = a.

4.7

Gleichm¨aßige Konvergenz

4.7.1 Wir betrachten nur die Folge (fk )k∈N , fk (x) ∶=

kx 1+(kx)2

f¨ ur k ∈ N, x ∈ R.

(i) F¨ ur x = 0 gilt fk (0) = 0 f¨ ur alle k ∈ N. F¨ ur festes x ≠ 0 hingegen haben wir fk (x) =

kx = 1 + (kx)2

1 k

x → 0, + kx2

da k1 + kx2 → ∞ f¨ ur k → ∞. Deshalb gilt also f¨ ur alle x ∈ R die punktweise Konvergenz der Folge (fk )k∈N gegen die Grenzfunktion f (x) ≡ 0.

4.8 Der Weierstraßsche Approximationssatz

151

(ii) W¨ urde die Folge (fk )k∈N gleichm¨ aßig auf R konvergieren, so w¨ urde sie gleichm¨aßig gegen den punktweisen Limes f (x) ≡ 0 konvergieren und man h¨atte, dass lim (sup ∣fk (x)∣) = lim (sup ∣fk (x) − f (x)∣) = 0.

k→∞

Wegen fk ( k1 ) =

k→∞

x∈R

x∈R

f¨ ur alle k ∈ N ist aber

1 2

1 lim inf (sup ∣fk (x)∣) ≥ , k→∞ 2 x∈R weshalb die Folge (fk )k∈N nicht gleichm¨aßig konvergiert.

4.8

Der Weierstraßsche Approximationssatz

4.8.2 Hinweis: Man zeige zun¨ achst, dass √ 0 ≤ Pn (x) ≤ Pn+1 (x) ≤ x f¨ ur alle x ∈ [0, 1] und alle n ∈ N. Man verwende außerdem den Satz von Dini.

4.9

Reihen von Funktionen

4.9.1 (ii) Sei N ∈ N0 . Dann schreiben wir formal: 2N +1 ∞ 1 1 1 = + . ∑ ∑ 2 − x2 2 − x2 2 − x2 k k k k =1 k=1 k=2N +2 ∞



2N +1

Die Summe ∑

k=1

1 k 2 − x2

ist f¨ ur x ≠ ±1, 2, . . . , 2N + 1 stetig. F¨ ur ∣x∣ < N + 1,

k ≥ 2N + 2 sch¨ atzen wir ab: k 2 − x2 > k 2 − (N + 1)2 > k 2 − weshalb 0< ∞

Wegen



k=2N +2

2 k2

k2

k2 k2 = , 2 2

1 2 < 2 f¨ ur ∣x∣ < N + 1, k ≥ 2N + 2. 2 −x k

< +∞ ist die Summe





k=2N +2

1 k 2 − x2

nach dem Weierstraß-

schen M -Test daher f¨ ur ∣x∣ < N + 1 gleichm¨aßig konvergent und stellt deshalb

152

4 Stetige Funktionen einer Variablen ∞

eine stetige Funktion dar. F¨ ur alle N ∈ N0 ist also ∑

k=1



x ≠ ±1, 2, . . . , N stetig, d. h. die Reihe ∑

k =1

reich D = (R ∖ Z) ∪ { 0 } stetig.

1 k 2 − x2

1 k 2 − x2

f¨ ur ∣x∣ < N + 1,

ist in ihrem Definitionsbe-

√ 1 1 5−1 f¨ u r ∣ x ∣ < = 2 g 2 √. Die √ 1 − x− x ± 5−1 . Deshalb gilt f¨ ur ∣x∣ < 52−1 : 2

4.9.5 Laut Aufgabe 3.3.3(ii) ist P (x) = der Gleichung x2 + x − 1 sind x1,2 = 1 = 1 − x − x2 (x −

Wurzeln

−1 √

5−1 2 ) (x +

√ 5 +1 2 )

1 1 =√ √ +√ √ 5 ( 52−1 − x) 5 ( 52+1 + x) √ √ √ √ k k 5+1 ∞ 5+1 5−1 ∞ 1− 5 = √ ∑( x) + √ ∑ ( x) . 2 2 2 5 k =0 2 5 k=0 Hieraus folgt, dass

√ k +1 √ k +1 ⎞ k 1 ⎛ 1+ 5 1− 5 ) −( ) x ∑ fk+1 x = ∑ √ ( 2 2 ⎠ 5⎝ k=0 k =0 ∞

f¨ ur alle ∣x∣ < folgt, dass



k

5−1 2 .



Aus dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen (Aufgabe 4.9.3)

√ k +1 √ k +1 ⎞ 1 ⎛ 1+ 5 1− 5 fk+1 = √ ( ) −( ) 2 2 ⎠ 5⎝

f¨ ur alle k ∈ N0 . Deshalb gilt

√ n √ n 1 ⎛ 1+ 5 1− 5 ⎞ fn = √ ( ) −( ) 2 2 ⎠ 5⎝ f¨ ur alle n ∈ N. (Man vergleiche auch Aufgabe 2.3.4.)

5

Differentialrechnung einer Variablen

5.1

Differenzierbare Funktionen einer Variablen

5.1.1 Hinweis: Man benutze Aufgabe 4.3.2. 5.1.3 (i) Wegen f ′ (x) = 3x2 ist τa (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) = a3 + 3a2 (x − a) = 3a2 x − 2a3 die Tangente im Punkt (a, f (a)). (ii) Die Sekante durch die Punkte (−1, −1) und (2, 8) ist σ (x) = −1 +

8 − (−1) (x − (−1)) = 3x + 2. 2 − (−1)

Die Steigung ist 3. Gesucht sind alle Punkte (a, f (a)) mit f ′ (a) = 3, d. h. 3a2 = 3, also a = ±1. In den Punkten (−1, −1) und (1, 1) ist die Tangente parallel zu σ. 5.1.6 (i)

Wegen b > 1 haben wir f¨ ur alle n ∈ N: 1

0
a−n > 0. 1 n+1 n+1 − 2n1+1 − 2 2 b b +1 2n

(ii) Es gilt 1

b− 2n − 1 a−n = − < 1, 1 a+n b 2n − 1 1

1

1

denn aus 0 < (x − 1)2 = x2 − 2x + 1 folgt mit x = b 2n , dass 1 − b− 2n < b 2n − 1. Deshalb sind die Folgen (a±n )n∈N beschr¨ankt. Nach dem Monotonieprinzip konvergieren sie daher in R und es gilt lim a− n→∞ n

≤ lim a+n . n→∞

154

5 Differentialrechnung einer Variablen

(iii) Die Gleichheit der Grenzwerte folgt aus: 1

a+n

5.2

− a−n

=

b 2n − 1 1 2n

1

+

1 − b 2n



1 2n

1 b

1 2n

1 = a+n (1 − 2√ ) → 0 f¨ ur n → ∞. n b

Ableitungsregeln

5.2.3 (i) (I) Wegen f ′ (x) = 3x2 + 1 > 0 f¨ ur alle x ∈ R ist f streng monoton wachsend auf R. Außerdem gilt lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞. Nach x→+∞ x→−∞ dem Zwischenwertsatz von Bolzano ist f ∶ R → R bijektiv. Also existiert die Umkehrfunktion f −1 ∶ R → R und sie ist auf R stetig und differenzierbar und es gilt nach der Umkehrformel ′

(f −1 ) (y ) =

1 f ′ (x)



= x=f −1 (y )

1 1 ∣ = −1 2 . − 1 + 1 x=f (y) 3f (y ) + 1

3x2

(II) Berechnung der Umkehrfunktion: Es gilt y = x3 + x + 1 ⇔ x3 + x + (1 − y ) = 0. F¨ ur gegebenes y ∈ R ist also die nach Teil (I) eindeutige reelle Wurzel der Gleichung x3 + x +(1 − y ) = 0 zu bestimmen. Diese findet man als Cardanosche L¨osungsformel in jeder Formelsammlung. Es gilt ¿ √ Á 3 y − 1 1 y−1 2 1 Á À f −1 ( y ) = x = + +( ) − √ . √ 2 27 2 3 y −1 y −1 2 1 ( 2 ) 3 2 + 27 + Die direkte Berechnung der Ableitung kann nun erfolgen.

5.3

Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz

5.3.2 Es ist f ′ (x) = a + (1 − µ)bx−µ = 0 genau dann, wenn 1

b µ x = x0 ∶= (µ − 1) ( ) . a ′ ′ Wegen f (x) < 0 f¨ ur x < x0 und f (x) > 0 f¨ ur x > x0 gilt 1 µ

1

1

1

f (x) ≤ f (x0 ) = (µ − 1) µ a1− µ b µ + (µ − 1)

1−µ µ

1

1

1

1

a1− µ b µ ≥ ca1− µ b µ

5.4 Die de l’Hospitalschen Regeln f¨ ur alle x > 0 mit

155

1

c ∶= min { (µ − 1) µ , (µ − 1)

1−µ µ

}.

5.3.11 Hinweis: Man benutze den Zwischenwertsatz von Darboux. 5.3.12 Man gebe eine L¨ osung unter Verwendung des Darbouxschen Zwischenwertsatzes an. Hier ist eine Alternative: Wegen f ′ (b) < 0 gibt es ein x1 ∈ (a, b) mit f (x1 ) > f (b): Denn sonst w¨ are ja f (x) ≤ f (b) f¨ ur alle x ∈ (a, b) und deshalb f ′ (b) = f ′ (b− ) ≥ 0. Nach dem Satz von Weierstraß gibt es ein x+ ∈ [a, b] mit y + = f (x+ ) ≥ f (x) f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Wegen f (x+ ) ≥ f (x1 ) > f (b) > f (a) muss x+ ∈ (a, b) sein. Nach dem Satz von Fermat gilt deshalb f ′ (x+ ) = 0.

5.4

Die de l’Hospitalschen Regeln

5.4.1 (ii) Wegen lim x = +∞, lim (x + x→∞

x→∞

Es gilt (x) = 1 und

√ 1 + x2 ) = +∞ liegt der Fall



”∞

“ vor.



(x +



x 1 1 + x2 )′ = 1 + √ =1+ √ 2 1+x 1+

1 x2

f¨ ur x > 0. Wegen

(x)′ 1 √ = lim x→∞ (x + 1 + x2 )′ x→∞ 1 + √ 1 1+

=

lim

1 x2

1 2

gilt nach der de l’Hospitalschen Regel, dass x 1 √ = . x→∞ x + 1 + x2 2 lim

Dies kann man allerdings unmittelbar einsehen!

5.5

Differentiation von Folgen und Reihen ∞

5.5.3 (i) Weil die Potenzreihe ∑ xk f¨ ur ∣x∣ < 1 konvergiert, kann sie dort gliedk =0

weise differenziert werden, weshalb f¨ ur ∣x∣ < 1: ∞



∑ (k + 1)x = ∑ kx k =0

k

k =1

k −1





= (∑ x ) = ( k =0

k

1 ′ −1 ) = . 1−x (1 − x)2

156

5 Differentialrechnung einer Variablen

5.5.4 (i) Es gilt k 2 k ∞ k (k + 1) k ∞ k k x =∑ x − ∑ kx . k 2k k=1 2 k =1 k =1 2 ∞



Dann zeige man f¨ ur ∣x∣ < 2, dass ′′

∞ ∞ k (k + 1) k−1 k+1 k xk+1 x = ( x ) = ( ) . ∑ ∑ ∑ k k 2k k=1 k =1 2 k =1 2 ′



(ii) F¨ ur ∣x∣ < 1 gilt ′

∞ ∞ xk 1 ( ∑ ) = ∑ x k −1 = ∑ x k = = (− log(1 − x))′ . 1−x k=1 k k =1 k =0 ∞

Nach dem Identit¨ atssatz f¨ ur differenzierbare Funktionen ist daher xk = − log(1 − x) + const. ∑ k =1 k ∞

F¨ ur x = 0 ergibt sich const = 1. Daher ist 1 1 = − log + 1 = 1 + log 2. k 2 k=1 k2 ∞



5.6

H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel

5.6.5 Es gilt f ′ (x + h) − f ′ (x) h→0 h (f (x + h + k ) − f (x + h)) − (f (x + k ) − f (x)) = lim lim . h→0 k→0 hk

f ′′ (x) = lim

Deshalb setzen wir f (x) − 2f (x + h) + f (x + 2h) h2 (f (x + 2h) − f (x + h)) − (f (x + h) − f (x)) = h2 ϕ(h) − ϕ(0) = , h2

∆2 ∶=

5.6 H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel

157

wobei ϕ(t) = ϕx,h (t) ∶= f (x + h + t) − f (x + t). Zweimalige Anwendung des Mittelwertsatzes liefert ϕ ′ ( τ ) f ′ ( x + τ + h) − f ′ ( x + τ ) = h h = f ′′ (ξ ) → f ′′ (x) f¨ ur h → 0.

∆2 =

Dabei ist 0 < τ < h, x < x + τ < ξ < x + τ + h < x + 2h. 5.6.9 Hinweis: Man berechne zun¨ achst die Partialbruchzerlegung von Die Aufgaben 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4 und 3.3.3 k¨onnen n¨ utzlich sein.

1 1−x−x2 .

5.6.10 Hinweis: Die Existenz der Reihenentwicklung folgt aus Aufgabe 3.8.2. Zur Herleitung der Rekursionsformel schreibe man x = exp x − 1

1 ∞



k =0

Damit ist

xk (k+1)!

=

1+

x 2!

1 . 2 + x3! + . . .

∞ ∞ Bk k xk x ) (∑ ) = 1 = ∑ cn xn n=0 k=0 k! k=0 (k + 1)! ∞

(∑

mit c0 = 1 und cn = 0 f¨ ur n ∈ N. Man zeige, dass der Cauchysche Produktsatz anwendbar ist und leite dann die in Aufgabe 1.3.6 angegebene Rekursionsformel n n+1 )Bk = 0, B0 = 1 ∑( k k =0

f¨ ur die Bernoullischen Zahlen her. 5.6.11 F¨ ur ∣x + 12 ∣ < ∞

k ∑x = k =0

1 2

1 = 1−x

gilt:

3 2

∞ 1 2 1 2 k +1 1 k = ⋅ = ( ) ( x + ) . ∑ 2 − (x + 12 ) 3 1 − 23 (x + 12 ) k=0 3

Diese Reihe erh¨ alt man auch durch Berechnung der Ableitungen von

(

1 (k ) k! ) = , 1−x (1 − x)k+1

weshalb ∞ 1 k =∑ ∑x = 1 − x k =0 k =0 ∞

k! k +1 ( 32 )

k!

1 k ∞ 2 k +1 1 k (x + ) = ∑ ( ) (x + ) . 2 2 k =0 3

1 1−x :

158

5 Differentialrechnung einer Variablen

5.6.15 (I) F¨ ur x ≠ −1 berechnen sich die Ableitungen von f (x) =

√ p 1 + x zu

1 1 f ′ (x) = (1 + x) p −1 , p 1 1 1 f ′′ (x) = ( − 1) (1 + x) p −2 , p p ⋮ 1 1 1 1 f (k) (x) = ( − 1) ⋅ . . . ⋅ ( − k + 1) (1 + x) p −k . p p p

Mit der Definition

µ µ(µ − 1) ⋅ . . . ⋅ (µ − k + 1) ( ) ∶= k k!

f¨ ur µ ∈ R, k ∈ N und (µ0 ) ∶= 1 gilt dann 1

1

f (k) (x) = k!( p )(1 + x) p −k k sowie

1

1

f (k) (1) = k!( p )2 p −k , k weshalb ∞ 1 1 f (k) (1) (x − 1)k = ∑ ( p )2 p −k (x − 1)k k! k =0 k =0 k ∞

T f (1, x) = ∑

∞ 1 1 x−1 k = 2p ∑ (p) ( ) 2 k =0 k

die (formale) Taylor-Reihe von f mit dem Entwicklungspunkt a = 1 ist. Mit Hilfe des Quotientenkriteriums u uft man leicht, dass T f (1, x) f¨ ur ∣x − 1∣ < 2, also ¨berpr¨ f¨ ur −1 < x < 3 konvergiert. (II) Nach dem Taylorschen Satz gilt f¨ ur alle x > −1 und alle n ∈ N die Darstellung n−1 1 1 x−1 k f ( x) = 2 p ∑ ( p ) ( ) + Rn (1, x) 2 k =0 k mit dem Restglied Rn (1, x) =

1 1 f (n) (ξ ) (x − 1)n = ( p )(1 + ξ ) p −n (x − 1)n , n! n

5.6 H¨ohere Ableitungen und die Taylorsche Formel

159

dabei ist ξ = 1 + t(x − 1) mit einem t ∈ (0, 1). F¨ ur ∣x − 1∣ < 1, also f¨ ur 0 < x < 2 sch¨atzen wir ab: Dort ist 0 < ξ < 2, weshalb 1

1

3 p −n < (1 + ξ ) p −n < 1. Weiterhin gilt 1 (p)

n

Also haben wir

=

1 p

1



1 p

−1 2

⋅ ... ⋅

1 p

−n+1 n

< 1.

n

∣Rn (1, x)∣ ≤ ∣x − 1∣ → 0 f¨ ur n → ∞ f¨ ur ∣x − 1∣ < 1. In dem Intervall (0, 2) stellt die Taylor-Reihe T f (1, x) die Funktion f (x) deshalb dar. 5.6.16 (ii) Zun¨ achst zeigt man, dass √ √ 1 + x2 − x log(x + 1 + x2 ) 1 x ′ f (x) = = − f (x). 3 2 2 1+x 1 + x2 (1 + x ) 2 Also haben wir die Differentialgleichung

(1 + x2 )f ′ (x) + xf (x) = 1.

(5.1)

Durch Differenzieren folgt hieraus, dass

(1 + x2 )f ′′ (x) + 3xf ′ (x) + f (x) = 0. Durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber k ∈ N erh¨alt man hieraus die Relation k −1

(1 + x2 )f (k+1) (x) + (2k + 1)xf (k) (x) + ∑ (2` − 1)f (k−1) (x) = 0. `=0 k −1

Wegen ∑ (2` − 1) = k 2 folgt hieraus die Rekursion `=0

f (k+1) (0) = −k 2 f (k−1) (0) f¨ ur k ∈ N mit den Anfangsbedingungen f (0) = 0, f ′ (0) = 1 und daraus, dass f (2k) (0) = 0, f (2k+1) (0) = (−1)k (2 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ (2k ))2

160

5 Differentialrechnung einer Variablen f¨ ur k ∈ N. Damit ist ∞

T f (0, x) = x + ∑ (−1)k k =1

2 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ (2k ) 2k+1 x 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ (2k + 1)

die (formale) Taylor-Reihe von f um 0. Man zeigt leicht, dass sie f¨ ur ∣x∣ < 1 konvergiert. Um zu zeigen, dass die Taylor-Reihe die Funktion f auch tats¨achlich darstellt, kann man das Restglied berechnen und absch¨atzen! Dies kann allerdings auch gezeigt werden, indem man die Differentialgleichung (5.1) durch Potenzreihenansatz ∞

g (x) = ∑ ak xk k=0

l¨ost (bzw. verifiziert, dass Tf (5.1) l¨ ost) und dann zeigt, dass f (x) = g (x) f¨ ur ∣x∣ < 1 durch Betrachten des Quotienten fg((xx)) f¨ ur x ≠ 0. 5.6.19 Angenommen e sei rational, also e = Taylor-Formel gilt dann:

m n

mit m, n ∈ N, n ≥ 2. Nach der

xk exp(ξ ) n+1 + x (n + 1)! k=0 k! n

exp(x) = ∑

f¨ ur alle x ∈ R, dabei ist ξ = tx mit einem t ∈ (0, 1). Hieraus folgt insbesondere, dass n m 1 exp(ξ ) = e = exp(1) = ∑ + n (n + 1)! k=0 k! mit einem ξ, 0 < ξ < 1, also n exp(ξ ) n! = (n − 1)!m − ∑ ∈ N. n+1 k=0 k!

Andererseits ist aber 0
0 f¨ ur ∣x∣ < 1. (III) Es gilt f ′ (x) = 0 f¨ ur ∣x∣ < 1 ⇔ x = 12 . Wegen Teil (II) liegt bei x =

( 12 )

lokales und globales Maximum vor, n¨ amlich f = und globale Minima vor (Satz von Weierstraß).

√ 3 3 4 .

1 2

ein

Bei x = ±1 liegen lokale

(IV) F¨ ur −1 < x < 12 gilt f ′ (x) > 0, deshalb ist f dort streng monoton wachsend. F¨ ur 12 < x < 1 ist f streng monoton fallend.

162

5 Differentialrechnung einer Variablen

(V) Es gilt f ′′ (x) = 0 f¨ ur ∣x∣ < 1 ⇔ x = (VI) F¨ ur −1 < x < konkav.



1− 3 2

√ 1− 3 2 .

Dort liegt ein Wendepunkt vor.

ist f ′′ (x) > 0, also f konvex, f¨ ur

√ 1− 3 2

< x < 1 ist f

(VII) Wir berechnen 1 − x − 2x2 (x + 1)(−2x + 1) √ √ = lim √ 2 x→−1 x →− 1 1+x 1−x 1−x √ x + 1(−2x + 1) √ = lim =0 x→−1 1−x

lim f ′ (x) = lim

x→−1

√ x + 1(−2x + 1) √ lim f (x) = lim = −∞. x→1 x→1 1−x Vergleiche Abbildung 5.1 sowie



y √ 3 3 4

1 √

f ( 1−2 3 )

−1

√ 1− 3 2

0

1 2

1

x

Abbildung 5.1: Zu Aufgabe 5.8.1

5.8.3 Hinweis: f ist nicht als differenzierbar vorausgesetzt, deshalb kann man nicht wie folgt argumentieren: Es gilt f′ 1 ′ ( ) = − 2, f f ′′ 1 f 2 f ′′ − 2f (f ′ )2 2(f ′ )2 − f f ′′ ( ) =− = . f f4 f3 ′′

Ist also f ′′ ≤ 0, so gilt ( f1 ) ≥ 0.

6

Die elementaren transzendenten Funktionen

6.1

Die Exponentialfunktion ∞

6.1.1 (i) L¨osungsansatz: y (x) = ∑ ak xk . Dann ist k =0 ∞



k =2

k=0

0 = y ′′ + xy = ∑ k (k − 1)ak xk−2 + ∑ ak xk+1 ∞

= 2a2 + ∑ ((k + 3)(k + 1)ak+3 + ak ) xk+1 . k =0

Hieraus folgt durch Koeffizientenvergleich die Rekursion ak a k +3 = − f¨ ur k = 0, 1, 2, . . . . (k + 3)(k + 1) Zusammen mit a2 = 0 und den Anfangsbedingungen a0 = y (0) = 1, a1 = y ′ (0) = 0 folgt hieraus, dass ak = 0 f¨ ur k ≠ 3`, ` = 0, 1, 2, . . . und durch vollst¨andige Induktion beweist man f¨ ur ` = 0, 1, 2, . . ., dass

(−1)` 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ . . . ⋅ (3` − 1)3` 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ . . . ⋅ (3(` − 1) + 1) = (−1)` (3`)!

a3` =

` −1

= (−1)

∏ (3m + 1)

` m=0

.

(3`)!

Umgekehrt konvergiert die Potenzreihe k −1 ∞

y (x) = ∑ (−1) k =0

∏ (3` + 1)

k `=0

(3k )!

xk

nach dem Quotientenkriterium f¨ ur alle x ∈ R absolut und l¨ost das Anfangswertproblem y ′′ + xy = 0, y (0) = 1, y ′ (0) = 0.

164

6.2

6 Die elementaren transzendenten Funktionen

Die Hyperbelfunktionen

6.2.3 Hinweis: Man substituiert u = ex und fasst die Gr¨oße u als Unbekannte auf. Die so entstehenden quadratischen Gleichungen werden f¨ ur u aufgel¨ost durch √ u = y ± y 2 − 1, √ u = y + y 2 + 1. Beim cosh x ist nur y ≥ 1 zul¨ assig. Wenn man zu Logarithmen u ¨bergeht, erh¨alt man √ x = log(y ± y 2 − 1), √ x = log(y + y 2 + 1).

6.3

Der Logarithmus

6.3.1 Zun¨achst zeigt man, dass f ′ ( x) =

√ 1 x − log (x + 1 + x2 ) . 2 2 3 / 2 1+x (1 + x )

Damit l¨ost f die Differentialgleichung

(1 + x2 )y ′ (x) + xy (x) = 1

(6.1)

mit der Anfangsbedingung y (0) = f (0) = 0. ∞

Durch Potenzreihenansatz g (x) = ∑ ak xk erh¨alt man durch formales Rechnen, k =0

dass ∞



k =1

k =0

1 = (1 + x2 ) ∑ kak xk−1 + ∑ ak xk+1 ∞

= a1 + ∑ ((k + 2)ak+2 + (k + 1)ak ) xk+1 k =0

und durch Koeffizientenvergleich, dass a1 = 1, ak+2 = −

k+1 ak f¨ ur k ∈ N0 . k+2

Zusammen mit der Anfangsbedingung g (0) = a0 = 0 folgt hieraus, dass a2k = 0, a2k+1 = (−1)k

2 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ 2k f¨ ur k ∈ N. 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ (2k + 1)

6.3 Der Logarithmus

165

Tats¨achlich ist ∞

g (x) ∶= x + ∑ (−1) k =1

2 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ (2k ) 2k+1 x 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ (2k + 1)

eine f¨ ur ∣x∣ < 1 konvergente L¨ osung der Differentialgleichung (6.1) die der Anfangsbedingung y (0) = g (0) = 0 gen¨ ugt. Um zu zeigen, dass f (x) = g (x) f¨ ur ∣x∣ < 1 gilt, gehen wir so vor: Zun¨achst l¨ost die Differenz f − g die Gleichung

(1 + x2 )y ′ (x) + xy (x) = 0.

(6.2)

Andererseits wird diese Gleichung gel¨ ost durch h(x) ∶= √

1 1 + x2

.

Diese L¨osung findet man z. B., indem man die Gleichung auf die Form

(log y (x)) = ′

y ′ ( x) x 1 2x =− =− 2 y (x) 1+x 2 1 + x2

bringt und integriert: 1 2x 1 1 log y (x) = − ∫ dx = − log(1 + x2 ) = log √ . 2 2 1+x 2 1 + x2 f −g h ,

Aus (6.2) folgt f¨ ur den Quotienten

dass

(f − g )′ f − g = , h′ h also gilt

(

f −g ′ ) =0 h

und damit ist f − g = ch mit einer Konstanten c. Wegen (f − g )(0) = 0 und h(0) = 1 muss c = 0 sein. Damit ist f (x) = g (x) f¨ ur ∣x∣ < 1.

166

6.4

6 Die elementaren transzendenten Funktionen

Die allgemeine Potenz

6.4.1 (I) F¨ ur x ≠ −1 berechnen sich die Ableitungen von f (x) = (1 + x)µ zu µ f (k) (x) = µ(µ − 1) ⋅ . . . ⋅ (µ − k + 1)(1 + x)µ−k = k!( )(1 + x)µ−k , k weshalb

f (k ) ( 0) k ∞ µ k x = ∑ ( )x k! k =0 k =0 k ∞

T f (0, x) = ∑

die (formale) Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a = 0 ist. Mit Hilfe des Quotientenkriteriums u uft man leicht, dass T f (0, x) f¨ ur ∣x∣ < 1 konvergiert. ¨berpr¨ (II) Nach dem Taylorschen Satz gilt f¨ ur alle x > −1 und alle n ∈ N die Darstellung n−1 µ f (x) = ∑ ( )xk + Rn (0, x) k =0 k mit dem Restglied Rn (0, x) =

f (n) (ξ ) n µ x = ( )(1 + ξ )µ−n xn , n! k

dabei ist ξ = tx mit einem t ∈ (0, 1). F¨ ur ∣x∣ < 1 ∣ξ ∣ < 2 , weshalb f¨ ur n > µ

1 2

sch¨atzen wir ab: Dort ist auch

3 µ−n 1 µ−n ( ) < (1 + ξ )µ−n < ( ) = 2n−µ 2 2 gilt. Also haben wir µ µ n n ∣Rn (0, x)∣ ≤ 2n−µ ( ) ∣x∣ = 2−µ ( ) ∣2x∣ . n n Aufgrund von Teil (I) ist ∞ µ 1 k ur ∣x∣ < . ∑ ( )(2x) < +∞ f¨ k 2 k =0

Deshalb haben wir

∣Rn (0, x)∣ → 0 f¨ ur n → ∞ f¨ ur ∣x∣ < 12 . In dem Intervall (− 12 , 12 ) stellt die Taylor-Reihe T f (0, x) deshalb die Funktion dar.

6.5 Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus

6.5

167

Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus n

6.5.3 (i) Wir multiplizieren die Summe ∑ cos kx mit 2 sin x2 , benutzen die Fork =1

mel sin(x + x′ ) − sin(x − x′ ) = 2 cos x sin x′ f¨ ur x, x′ ∈ R und erhalten 2 sin

n n x n x 1 1 ∑ cos kx = 2 ∑ cos kx sin = ∑ (sin (k + ) x − sin (k − ) x) 2 k =1 2 k=1 2 2 k=1 n n−1 1 1 = ∑ sin (k + ) x − ∑ sin (k + ) x 2 2 k =1 k=0 1 x = sin (n + ) x − sin . 2 2

Hieraus folgt, dass sin (n + 12 ) x 1 n + ∑ cos kx = . 2 k=1 2 sin x2

6.6

Tangens und Cotangens

6.6.1 F¨ ur 0 ≤ x
0 f¨ ur 0 ≤ x < f ′ (x) = 2 cos x +

π 2

haben wir

1 −3≥0 cos2 x

genau dann, wenn g (x) ∶= 2 cos3 x + 1 − 3 cos2 x ≥ 0. Es ist aber g (0) = 0 und wegen 0 < cos x ≤ 1, sin x ≥ 0 haben wir g ′ (x) = −6 cos2 x sin x + 6 cos x sin x = 6 cos x sin x(1 − cos x) ≥ 0 f¨ ur 0 ≤ x < π2 . Daraus folgt, dass g (x) ≥ 0, also f ′ (x) ≥ 0, weshalb schließlich f (x) ≥ 0 f¨ ur 0 ≤ x < π2 . Dies ist die behauptete Huygenssche Ungleichung 2 sin x + tan x ≥ 3x f¨ ur 0 ≤ x
0, dass

(logν x) = ′

ν ν 1−µ logν −1 x = = , 1−ν x x logµ x x log x

falls wir ν = 1 − µ setzen. Damit ist 1 log1−µ x 1−µ eine Stammfunktion von

7.2

1 x logµ x

f¨ ur µ ≠ 1.

Grundintegrale

7.2.1 (i) Es ist ′

arcsin x arcsin2 x √ = arcsin x(arcsin x)′ = ( ) . 2 1 − x2 Also ist

7.3

arcsin2 x 2

eine Stammfunktion von

arcsin x √ . 1−x2

Partielle Integration und Substitution

7.3.1 (vi) Hinweis: Mit f (x) = log x und g ′ (x) = 1 berechnen wir durch partielle Integration, dass

∫ log xdx = ∫ 1 ⋅ log xdx 1 = x ⋅ log x − ∫ x ⋅ dx x = x(log x − 1).

170

7 Integralrechnung ¨ Ahnlich beweist man f¨ ur n ∈ N0 die Formel n ∫ x log xdx =

xn+1 1 (log x − ). n+1 n+1

7.3.2 (vi) Wir substituieren x = et . Dann gilt t = log x,

dx = et . dt

Hieraus folgt

∫ also



7.4

dx et dt ∣ t =∫ = log t, x log x x=e et t dx = log t∣ = log(log x). t=log x x log x

Integration rationaler Funktionen

7.4.1 (iv) Es ist (vergleiche Aufgabe 4.2.3(iv)) x4

x 1 1 =− + . 2 2 +4 4(x + 2x + 2) 4(x − 2x + 2)

Integration liefert



7.5

x 1 dx 1 dx dx = − ∫ 2 + ∫ 2 x4 + 4 4 x + 2x + 2 4 x − 2x + 2 1 dx 1 dx =− ∫ + ∫ 2 4 (x + 1) + 1 4 (x − 1)2 + 1 1 = (arctan(x − 1) − arctan(x + 1)) . 4

Klassen elementar integrierbarer Funktionen

7.5.1 (iii) Zun¨ achst berechnen wir die Nullstellen des Polynoms P (t) = t2 − t − 6 und die Partialbruchzerlegung von P 1(t) : Es ist 1 1 A B = = + t2 − t − 6 (t − 3)(t + 2) t − 3 t + 2 genau dann, wenn 1 = (A + B )t + (2A − 3B ).

7.5 Klassen elementar integrierbarer Funktionen

171

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das System A+B =0 2A − 3B = 1, was durch A = 15 , B = − 15 gel¨ ost wird. Damit ist



dx cos2 x − cos x − 6

=

1 dx 1 dx − ∫ . ∫ 5 cos x − 3 5 cos x + 2

Diese Integrale sind vom Typ ∫ R(cos x, sin x)dx und werden durch die Substitution x = 2 arctan t bzw. t = tan x2 gel¨ost. Es gilt: cos x = und

1 − t2 , 1 + t2

sin x =

2t 1 + t2

dx 2 = . dt 1 + t2

Damit ist



dx =∫ cos x − 3

1 1−t2 1+t2

2dt dt = −∫ 2 2 2t + 1 −31+t

dt 1 ds = −√ ∫ 2 ∣ √ √ 2 s + 1 s= 2t 2 ( 2t) + 1 √ 1 1 = − √ arctan s∣s=√2t = − √ arctan 2t. 2 2

= −∫

¨ Ahnlich ist



dx dt 2 = 2∫ 2 = ∫ cos x + 2 t +3 3

dt 2

( √t3 ) + 1

2 ds 2 =√ ∫ 2 ∣ t = √ arctan s∣ t s= √3 s + 1 s= √3 3 3 2 t = √ arctan √ . 3 3 Als Endergebnis ergibt sich:



√ dx 1 2 t √ = − arctan 2t − √ arctan √ . 2 cos x − cos x − 6 5 2 5 3 3

8

Das Riemannsche Integral

8.1

Das Riemann-Darbouxsche Integral

√ 8.1.3 F¨ ur k ∈ N sei q = qk = k ab . Wir betrachten die geometrische Progression πk : a < aq < aq 2 < . . . < aq k = b und berechnen die Untersumme f¨ ur µ > 0 (f¨ ur µ < 0 ist dies die Obersumme): k

k

`=1

`=1 k

s(πk , f ) = ∑ m` ∣I` ∣ = ∑ (aq `−1 )µ (aq ` − aq `−1 ) k −1

= aµ+1 (q − 1) ∑ (q `−1 )µ q `−1 = aµ+1 (q − 1) ∑ (q µ+1 )` `=1

= aµ+1 (q − 1)

`=0 µ +1

1 − (q ) b = aµ+1 (1 − ( ) µ + 1 1−q a

= (bµ+1 − aµ+1 )

µ+1 k

)

q−1 1 − q µ +1

1−q bµ+1 − aµ+1 → 1 − q µ+1 µ+1

f¨ ur k → ∞, also f¨ ur q → 1 zum Beispiel nach der de l’Hospitalschen Regel. Deshalb ist b bµ+1 − aµ+1 µ . ∫ x dx = µ+1 a

8.2

Die Riemannsche Definition

8.2.1 F¨ ur k ∈ N sei h =

b−a k .

Wir betrachten die ¨aquidistante Partition πk :

a < a + h < a + 2h < . . . < a + kh = b. Als Zwischenstellen w¨ ahlen wir ξ` = a + (` − 1)h +

h 1 = a + (` − ) h ∈ [a + (` − 1)h, a + `h] = I` 2 2

174

8 Das Riemannsche Integral

f¨ ur ` = 1, . . . , k. Die Riemannsche Approximationssumme ist dann k k 1 σ (πk , f ) = ∑ f (ξ` ) ∣I` ∣ = h ∑ cos (a + (` − ) h) . 2 `=1 `=1

Wir multiplizieren mit 2 sin h2 . Unter Benutzung der Formel sin(x + x′ ) − sin(x − x′ ) = 2 cos x sin x′ f¨ ur x, x′ ∈ R erhalten wir k h 1 h 2 sin σ (πk , f ) = 2h ∑ cos (a + (` − ) h) sin 2 2 2 `=1 k

= h ∑ (sin(a + `h) − sin(a + (` − 1)h)) `=1 k

k −1

= h ( ∑ sin(a + `h) − ∑ sin(a + `h)) `=1

`=0

= h(sin b − sin a). Wegen lim

x→0

sin x x

= 1 ergibt sich hieraus, dass σ (πk , f ) =

h (sin b − sin a) → sin b − sin a 2 sin h2

b

f¨ ur h → 0. Damit ist ∫a cos x dx = sin b − sin a.

8.3

Klassen integrierbarer Funktionen

8.3.4 (iii) Hinweis: Man setze g (x) ∶= Vax (f ), h(x) ∶= g (x) − f (x), dabei ist Vax (f ) die Totalvariation von f auf [a, x].

8.4

Eigenschaften integrierbarer Funktionen

8.4.2 Sei das Intervall I = [a, b] in n gleich große abgeschlossene Teilintervalle Ik = [xk−1 , xk ] zerlegt. Unter diesen Intervallen seien J1 , . . . , Jm diejenigen, in

8.4 Eigenschaften integrierbarer Funktionen

175

denen f ′ jeweils mindestens eine Nullstelle ξ1 , . . . , ξm hat. Dann gilt m

m

S ⊂ ⋃ J` ,

T ⊂ ⋃ f (J` ),

`=1

`=1

dabei ist f (J` ) = { y ∈ R ∣ y = f (x) f¨ ur ein x ∈ J` } ein abgeschlossenes Intervall, weil das stetige Bild eines abgeschlossenen Intervalls ein abgeschlossenes Intervall ist. Nach dem Mittelwertsatz kann man die L¨ange von f (J` ) so absch¨atzen:

∣f (J` )∣ = max ∣f (x) − f (x′ )∣ ′ x,x ∈J`

≤ max ∣x − x′ ∣ ⋅ ∣f ′ (ξ )∣ ′ x,x ,ξ ∈J`

≤ ∣J` ∣ ⋅ max ∣f ′ (ξ )∣ . ξ ∈J`

Sei ε > 0. Aufgrund der gleichm¨ aßigen Stetigkeit von f ′ auf I kann n ∈ N so gew¨ahlt werden, dass ε max ∣f ′ (ξ )∣ = max ∣f ′ (ξ ) − f ′ (ξ` )∣ < . ξ ∈ J` ξ ∈J` b−a Also folgt

m

m

ε ∣J` ∣ < ε. `=1 b − a

∑ ∣f (J` )∣ ≤ ∑ `=1

Damit ist T wie behauptet enthalten in einer endlichen Vereinigung von Intervallen der Intervallsumme < ε. 8.4.7 (i) Hinweis: Man verwende Aufgabe 2.3.11 8.4.9 Hinweis: Man verwende Aufgabe 1.4.8(ii) 8.4.10 Durch Integration der Funktionalgleichung f (x + x′ ) = f (x) + f (x′ ) bez¨ uglich x′ von 0 bis y hat man x+ y



x

f (t) dt = ∫

y 0

f (x + x′ ) dx′ = yf (x) + ∫

y 0

f (x′ ) dx′ .

Hieraus ergibt sich die Beziehung yf (x) = ∫

x+ y 0

f (t) dt − ∫

x 0

f (t) dt − ∫

y 0

f (t) dt.

Genauso ist die rechte Seite gleich xf (y ) bzw. weil sie symmetrisch in x und y ist. Damit haben wir f¨ ur alle x, y ≠ 0, dass f (x) f (y ) = = f (1) = c x y ist. Wegen f (0) = 0 folgt damit die Behauptung, n¨amlich f (x) = cx f¨ ur alle x ∈ R.

176

8 Das Riemannsche Integral

8.5

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

8.5.2 Mit Aufgabe 7.4.1(iv) ist funktion von x4x+4 . Damit ist 1



−1

1 4 (arctan(x

− 1) − arctan(x + 1)) eine Stamm-

1 x 1 dx = ( arctan ( x − 1 ) − arctan ( x + 1 ))∣ −1 x4 + 4 4 1 = (− arctan 2 − arctan(−2)) = 0, 4

was man nat¨ urlich sofort einsieht.

8.6

Integralformeln 1

8.6.2 (i) Hinweis: F¨ ur kleine n ∈ N rechnet man ∫0 (1 − t2 )n dt mit der binomischen Formel aus. (ii) Hinweis: F¨ ur n ∈ N beliebig verwendet man die Substitution t = sin x. Dann ist π 1



0

(1 − t2 )n dt = ∫

2

cos2n+1 x dx.

0

F¨ ur dieses Integral leitet man durch zweimalige partielle Integration die Rekursionsformel 2n+1 x dx = ∫ cos

1 2n 2n−1 cos2n x sin x + x dx ∫ cos 2n + 1 2n + 1

her.

8.7

Uneigentliche Integrale

8.7.7 Mit u = 1+1x und v ′ = cos x berechnen wir f¨ ur alle c > 0 durch partielle Integration, dass c



0

Wegen c



0

c sin x cos x sin x c dx = ∣ −∫ dx 1+x 1+x 0 0 (1 + x)2 c sin x sin c = −∫ dx. 1+c 0 (1 + x)2

1+c 1 ∣sin x∣ 1 dx ≤ dt = 1 − ≤1 ∫ 2 (1 + x)2 t 1 + c 1

8.8 Das Integralkriterium und Anwendungen

177

x c f¨ ur alle c > 0 konvergiert das Integral ∫0 (1sin dx (absolut) und weil sin ur + x) 2 1+c → 0 f¨ ∞ cos x c → ∞ folgt, dass auch das Integral ∫0 1+x dx konvergiert (aber nicht absolut) und es gilt die Gleichheit der Grenzwerte: ∞





0

∞ sin x cos x dx = ∫ dx. 1+x ( 1 + x) 2 0

8.7.8 Hinweis: Man substituiere s = t2 und integriere anschließend partiell.

8.8

Das Integralkriterium und Anwendungen

8.8.1 Hinweis: Vergleiche Aufgabe 6.4.2. 8.8.2 (ii) Hinweis: Man verwende Aufgabe 7.3.2(vii).

8.9

Grenzwerts¨atze

8.9.2 Hinweis: Man betrachte zun¨ achst den Spezialfall, dass fk (x) = f (x) f¨ ur alle k ∈ N und dass ak = c f¨ ur ein festes c ∈ [a, b] und alle k ∈ N gilt. 8.9.7 (i) Durch Umformung zeigt man, dass x



0 1



0

(1 − t2 )n dt

1

=1−

(1 − t ) dt 2 n



x 1



0

(1 − t2 )n dt (8.1)

(1 − t ) dt 2 n

f¨ ur x > 0. Wir sind also fertig, wenn f¨ ur ε > 0 ein N = N (ε, x) existiert, so dass f¨ ur x > 0 gilt: 1



x 1



0

(1 − t2 )n dt

< ε f¨ ur n ≥ N.

(1 − t ) dt 2 n

Es ist aber: 1



0

(1 − t2 )n dt ≥ ∫

1 0

(1 − t)n dt = ∫

1 0

tn dt =

1 n+1

sowie 1



x

(1 − t2 )n dt ≤ (1 − x)(1 − x2 )n ≤ (1 − x2 )n+1 .

178

8 Das Riemannsche Integral F¨ ur x = 1 ist nichts zu zeigen, f¨ ur x = 0 nichts behauptet. F¨ ur 0 < x < 1 gilt: n+1 n+1 (n + 1)(1 − x2 )n+1 = ≤ , 2 2 x2 n+1 (1 + 1−x2 ) (n + 1) n2 ( 1−xx2 ) wenn man in der binomischen Entwicklung des Nenners nur das zweite Glied ber¨ ucksichtigt. Es folgt: 1



x 1



0

(1 − t2 )n dt (1 − t2 )n dt



2 1 − x2 2 1 ⋅ ≤ ⋅ 2 0. Man w¨ ahle N ∈ N, so dass ε ε ∣an − am ∣ < , ∣an − bn ∣ < 3 3 f¨ ur n, m ≥ N . Dann folgt

∣bn − bm ∣ ≤ ∣bn − an ∣ + ∣an − am ∣ + ∣am − bm ∣ < ε f¨ ur n, m ≥ N , womit (bn )n∈N eine Cauchy-Folge ist.

B.2

Definition der reellen Zahlen

B.2.1 Hinweis: (an )n∈N und (bn )n∈N mit n

1 , k! k =0

an ∶= ∑

bn ∶= (1 +

1 n ) n

sind Beispiele rationaler Zahlenfolgen, welche die Eulersche Zahl e repr¨asentieren.

B.3

Der angeordnete K¨orper der reellen Zahlen

B.3.2 Weil (an )n∈N vom positiven Typ ist, gibt es ein c ∈ Q, c > 0 und ein N ∈ N mit an > c f¨ ur n ≥ N. Sei ε = c′ ∶= 2c . Wegen (a′n )n∈N ∼ (an )n∈N gibt es ein N ′ ∈ N, N ′ ≥ N , so dass

∣an − a′n ∣ < Es folgt, dass

c c > = c′ f¨ ur n ≥ N ′ . n 2 eine Folge vom positiven Typ. a′n > an −

Damit ist (a′n )n∈N

c f¨ ur n ≥ N ′ . 2

184

B.4

B Konstruktion der reellen Zahlen

Der Dedekindsche Satz

B.4.1 Hinweis: Sei α = [(an )n∈N ] ∈ R, an = pqnn , pn ∈ Z, qn ∈ N f¨ ur n ∈ N. Man zeige, dass dann i(aN + 1) = [(aN + 1)`∈N ] > α gilt f¨ ur N ∈ N geeignet groß, dabei ist (aN + 1)`∈N die konstante Folge aN + 1, aN + 1, aN + 1, . . ..

B.5

Das Hilbertsche Programm

B.5.1 (ii) Hinweis: Man benutze den ersten Teil der Aufgabe. B.5.2 (ii) Hinweis: Man benutze den ersten Teil der Aufgabe und B.5.1(ii). B.5.3 Hinweis: Man benutze B.5.2(ii).

C

Elementare komplexe Analysis

C.1

Komplexe Zahlen

C.1.8 (i) Hinweis: Man addiere die Ausdr¨ ucke (1 + z )2n und (1 − z )2n f¨ ur z reell und anschließend f¨ ur z rein imagin¨ ar. So erh¨alt man die Formel (vergleiche auch Aufgabe 1.3.9(i)) 2n k 2n 2k 2n ∑ (−1) ( )t = Re(1 + it) , 2k k=0

also

⎧ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 2n ⎪ n k ∑ (−1) ( ) = ⎨2 ⎪ 2k ⎪ k =0 n ⎪ ⎪ ⎩−2 2n

f¨ ur n ungerade, f¨ ur n = 4m, m ∈ N0 , f¨ ur n = 4m + 2, m ∈ N0 .

Letzteres kann man durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n beweisen und einsehen, wenn man die komplexe Exponentialfunktion kennt: Es ist 1 + i = √ 2 exp ( π4 i).

C.2

Unendliche Reihen komplexer Zahlen ∞

C.2.1 (iv) Es ist ∑

k=0

zk (2+i)k



= ∑ ak z k mit ak = (2 + i)−k . Wegen k =0

√ k

ist lim

k→∞

√ k

∣ak ∣ =

√1 5

und R =

∣ak ∣ =

1 1 =√ ∣2 + i∣ 5

√ 5 ist damit der gesuchte Konvergenzradius.

Dies kann man auch so einsehen: ∞ zk z k = ( ) ∑ k k=0 (2 + i) k =0 2 + i ∞



ist als geometrische Reihe f¨ ur ∣ 2z+i ∣ < 1, also f¨ ur ∣z ∣
R gilt



a0 1 a1 1 an−1 1 + + ... + ∣ < ε. n n − 1 an z an z an z

Hieraus folgt die Behauptung.

C.10

Integration komplexer Funktionen

C.10.1 (iii) Zun¨ achst bestimmen wir die Produktdarstellung des Nenners z 4 + 4. Es ist √ √ √ √ z 4 + 4 = (z 2 + 2i)(z 2 − 2i) = (z + −2i)(z − −2i)(z + 2i)(z − 2i) √ √ √ √ √ √ √ √ = (z + 2i i)(z − 2i i)(z + 2 i)(z − 2 i). Nun ist



π 1 i = ei 4 = √ (1 + i), 2 √ 1 i i = √ (−1 + i), 2

deshalb haben wir z 4 + 4 = (z − 1 + i)(z + 1 − i)(z + 1 + i)(z − 1 − i). Die Partialbruchzerlegung von

z4

z z 4 +4

lautet also

z C1 C2 C3 C4 = + + + . +4 z−1+i z+1−i z+1+i z−1−i

Multiplikation mit (z − 1 + i)(z + 1 − i)(z + 1 + i)(z − 1 − i) liefert z = C1 (z + 1 − i)(z 2 − 2i) + C2 (z − 1 + i)(z 2 − 2i)

+ C3 (z 2 + 2i)(z − 1 − i) + C4 (z 2 + 2i)(z + 1 + i) = (C1 + C2 + C3 + C4 )z 3 + ((C1 − C2 − C3 + C4 ) + (−C1 + C2 − C3 + C4 )i)z 2 + 2(−C1 − C2 + C3 + C4 )iz + 2((−C1 + C2 + C3 − C4 ) + (−C1 + C2 − C3 + C4 )i).

C.10 Integration komplexer Funktionen

191

Der Koeffizientenvergleich liefert C1 + C2 + C3 + C4 = 0, C1 − C2 − C3 + C4 = 0, −C1 + C2 − C3 + C4 = 0, i C1 + C2 − C3 − C4 = , 2 −C1 + C2 + C3 − C4 = 0, −C1 + C2 − C3 + C4 = 0. Es folgt, dass 2(C1 − C2 ) = 0, 2(C1 + C2 ) = 2i , also C1 = C2 = 8i . Außerdem ist 2(−C3 + C4 ) = 0, 2(C3 + C4 ) = − 2i , also C3 = C4 = − 8i . Die Partialbruchzerlegung lautet also z i i i i = + − − . z 4 + 4 8(z − 1 + i) 8(z + 1 − i) 8(z + 1 + i) 8(z − 1 − i) Integration liefert



x4

x i dx = (log(x − 1 + i) + log(x + 1 − i) − log(x + 1 + i) − log(x − 1 − i)) +4 8 i ⎛1 x−1 = log((x − 1)2 + 1) + i arctan 8⎝2 −1 1 x+1 log((x + 1)2 + 1) + i arctan 2 1 1 x+1 2 − log((x + 1) + 1) − i arctan 2 −1 1 x − 1⎞ − log((x − 1)2 + 1) − i arctan 2 1 ⎠

+

1 = (− arctan(−x + 1) − arctan(x + 1) 8 + arctan(−x − 1) + arctan(x − 1)) 1 = (arctan(x − 1) − arctan(x + 1)). 4 Man vergleiche dies mit der reellen L¨ osung aus den Aufgaben 4.2.3(iv) und 7.4.1(iv).