Asset Management mit Immobilienaktien [1 ed.] 9783896442864, 9783896732866

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SCHRIFTENREIHE FINANZIERUNG UND BANKEN Herausgeber: Prof. Dr. Detlev Hummel

Tobias Hofmann

Asset Management mit Immobilienaktien

Verlag Wissenschaft & Praxis

Asset Management mit Immobilienaktien

SCHRIFTENREIHE FINANZIERUNG UND BANKEN Herausgegeben von Prof. Dr. Detlev Hummel

Band 11

Tobias Hofmann

Asset Management mit Immobilienaktien

Verlag Wissenschaft & Praxis

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN 3-89673-286-2 © Verlag Wissenschaft & Praxis Dr. Brauner GmbH 2006 D-75447 Sternenfels, Nußbaumweg 6 Tel. 07045/930093 Fax 07045/930094

Alle Rechte vorbehalten Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany

Geleitwort Der vorliegende elfte Band unserer Schriftenreihe ergänzt das breite Spektrum unterschiedlicher Forschungsthemen an der Universität Potsdam. Hier erneut eine Arbeit aus dem Kapitalmarktbereich mit dem Schwerpunkt Strukturierung von Aktienportfolios. Die Diversifikation verschiedener Asset - Klassen und Bildung effizienter Portfolios bleibt eine besondere Herausforderung für das Asset Management. Wissenschaftliche Untersuchungen versuchen seit Jahrzehnten diversifizierte Ertrags- und Risikokalküle zu modellieren und daraus Fondskonzepte abzuleiten, welche unter neuen Marktbedingungen erfolgreich sein könnten. Optimierungsversuche mit verschiedenen Asset – Klassen unter Einbeziehung von Immobilien sind zwar nicht neu. Hofmann wirft in der vorliegenden Arbeit aber die Frage auf, inwiefern ein bestimmter Anteil von Immobilieninvestments im Vergleich zu „reinen“ Aktien- oder Rentenanlagen effiziente Portfolios bilden können. Er knüpft dabei an bisherige Untersuchungen über Immobilienaktien-Indices als Surrogate für Immobilien an. Der Autor beschränkt sich dabei auf Aktienportfolios und misst den Einfluss deutscher Immobilienaktien auf die Asset Allocation und deren Auswirkungen auf das Risiko und die Rendite effizienter Portfolios. Der empirische Teil der Arbeit zielt mit einem besonderen Ansatz darauf ab, die Zusammensetzung von effizienten Portfolios bei unterschiedlichen Risikopräferenzen zu bestimmen. Die Analysen zeigen, dass solche Portfolios mit Immobilienaktien ex ante ein geringeres Risiko aufweisen als diejenigen nur mit Standardaktien. Effizientere Portfolios mit Immobilienaktien ergaben sich vor allem bei riskanteren Strategien, wie die Überprüfung anhand zweidimensionaler Performancemessungen zeigt. Damit wird die allgemeine Vermutung widerlegt, dass eine Beimischung von Immobilienaktien eher für konservative Investoren nützlich sein könnte. Weniger scheue Investoren haben demnach eher eine Chance, die von Hofmann hier untersuchte Anlagestrategie erfolgreich umzusetzen. Es wird durch eine eigenständige empirische Leistung gezeigt, inwiefern sich bestimmte Erkenntnisse der Kapitalmarkttheorie auch im Zusammenhang neuer Marktentwicklungen nutzen lassen. Die vorliegenden Untersuchungen verdeutlichen zudem, dass Immobilienaktien sowohl auf dem amerikanischen wie auf dem deutschen Markt mit ausgewählten Indices ein interessantes Diversifikationspotential haben. Immobilienaktien stehen jedoch wenig mit Immobilienmärkten im Zusammenhang und weisen ein höheres Risiko auf. Sie sind vorrangig von den typischen Einflussfaktoren der Aktienmärkte bestimmt.

Der Herausgeber wünscht dem geneigten Leser vor allem Anregung und Nutzen für die Entwicklung künftiger Forschungen und vielleicht sogar Hinweise für die Umsetzung spezieller Portfoliostrategien in die Praxis. Prof. Dr. Detlev Hummel

Vorwort Immobilienaktien rücken verstärkt in den Fokus von Anlegern. Ihre Auswirkung auf die Portfolio-Performance ist bisher auf Grund der fehlenden Datenbasis nicht untersucht worden. In der vorliegenden Arbeit erfolgt dies zum ersten Mal, indem die Performance ex ante effizienter Portfolios gemessen wird. In Deutschland gibt es im Unterschied zu anderen Ländern keine legale Abgrenzung von Immobilienaktiengesellschaften und herkömmlichen Aktiengesellschaften. Sie muß ausschließlich über die Geschäftstätigkeit der Gesellschaft erfolgen. In der vorliegenden Arbeit beruht die Auswahl der deutschen Immobilienaktien auf der Zusammensetzung des Deutschen Immobilienaktienindex. Dieser wurde durch das Bankhaus Ellwanger & Geiger, dem Herausgeber des Indices, zur Verfügung gestellt. Für die tatkräftige Unterstützung durch das Bankhaus möchte ich mich an dieser Stelle bedanken. Besonderer Dank gilt auch meinem Doktorvater Prof. Dr. Detlev Hummel, der mir im Rahmen meiner wissenschaftlichen und fachlichen Betreuung wertvolle Anregungen für die Ausgestaltung der Arbeit gab. In den Diskussionen mit ihm und den Mitarbeitern seines Lehrstuhls ist die Idee einer Fokussierung der Arbeit auf Single-Asset-Portfolios gewachsen. Die Arbeit ergänzt dadurch Untersuchungen zu Multi-Asset-Portfolios, die bisher Immobilienaktienindices vor allem als Proxy für Immobilien berücksichtigen. Das großzügige Entgegenkommen durch meine Arbeitgeberin, der ERGO Versicherungsgruppe AG, hat wesentlich zum Gelingen der Arbeit beigetragen. Durch die ERGO Versicherungsgruppe AG hatte ich auch Zugang zu den notwendigen Informationsquellen für die Arbeit. Insbesondere sind dabei die Herren Dr. Franz Wilhelm Hopp und Dr. Joachim Girnth zu erwähnen. Ebenso gebührt Michael Endress mein besonderer Dank für seine tatkräftige Unterstützung beim Korrekturlesen der Arbeit. Die Zeit für die Entstehung der Arbeit ging jedoch vor allem zu Lasten meiner Familie. Deshalb gilt Ihnen, vor allem meiner lieben Frau Hannika und meinen Kindern Maximilian und Benjamin, besonderer Dank. Ihre Geduld und die Unterstützung von Hannika waren Voraussetzung und Ansporn für die Abfassung der Dissertation. Düsseldorf, im März 2006

Tobias Hofmann

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS ................................................................................ 9 ANHANGSVERZEICHNIS ............................................................................ 13 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ...................................................................... 14 TABELLENVERZEICHNIS........................................................................... 17 TEIL I: EINLEITUNG................................................................................ 19 1. AUSGANGSLAGE ..................................................................................... 19 2. ASSET ALLOCATION ............................................................................... 21 2.1. Assetklassendiversifikation .............................................................. 24 2.2. Aktien-Portfoliomanagement mit Immobilienaktien ....................... 30 3. ZIEL DER ARBEIT ................................................................................... 33 4. VORGEHEN UND AUFBAU DER ARBEIT .................................................. 35 5. METHODIK UND DATENBASIS ................................................................ 39 TEIL II: THEORETISCHE GRUNDLAGEN........................................... 41 6. PORTFOLIOTHEORETISCHE GRUNDLAGEN ........................................... 41 6.1. Annahmen über das Wahlverhalten der Investoren und die Eigenschaften des Marktes ............................................................... 41 6.2. Die erwartete Rendite und das Risiko von Portfolios ...................... 43 6.3. Der Zwei-Anlagen-Fall..................................................................... 44 6.4. Die Menge aller Portfolios ............................................................... 49 6.5. Modelle zur Bestimmung des effizienten Randes ............................ 50 6.5.1. Das Standardmodell von Markowitz .......................................... 51 6.5.2. Das Standardmodell zuzüglich risikolosem Zinssatz ................. 52 6.5.2.1. Portfoliorendite und -risiko bei riskanter und risikoloser Anlage..................................................................................... 52 6.5.2.2. Das Modell .............................................................................. 55 6.5.2.3. Das Separationstheorem .......................................................... 59 6.5.2.4. Aufnahme und Anlage von Kapital zu unterschiedlichen Zinssätzen ............................................................................... 59 6.5.3. Das Standardmodell zuzüglich Leerverkäufe............................. 61 7. MODELLE ZUR SCHÄTZUNG DER RENDITEERWARTUNG UND DES RISIKOS................................................................................................... 65 7.1. Das Modell der „vollen Kovarianz-Matrix“..................................... 65 7.1.1. Annahmen ................................................................................... 65 7.1.2. Schätzwerte für das Modell ........................................................ 66 7.1.3. Das Portfolio-Optimierungsmodell ............................................ 67 7.2. Ein-Faktor-Modell bzw. das Marktmodell ....................................... 69 7.2.1. Annahmen ................................................................................... 71

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7.2.2. Wertpapierspezifische Rendite und Risiko................................. 72 7.2.2.1. Schätzung von α-und β-Faktoren............................................ 73 7.2.2.2. Systematische und unsystematische Risiken .......................... 75 7.2.2.3. Zuverlässigkeit und Güte der Schätzung................................. 76 7.2.3. Die erwartete Portfoliorendite, das Portfoliorisiko und der Diversifikationseffekt ................................................................. 78 7.2.4. Das Portfolio-Optimierungsmodell ............................................ 80 7.3. Vergleich von „voller Kovarianz-Matrix“ und „Single-Index Model“ .............................................................................................. 87 8. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN PORTFOLIOTHEORIE UND CAPITAL ASSET PRICING MODEL ......................................................................... 89 8.1. Die Kapitalmarktlinie ....................................................................... 90 8.2. Die Wertpapiermarktlinie ................................................................. 92 8.3. Der Zusammenhang zwischen Capital Asset Pricing Model und Marktmodell ..................................................................................... 95 9. QUADRATISCHE OPTIMIERUNG ............................................................. 97 9.1. Der „Critical Line - Algorithmus“.................................................... 98 9.1.1. Kuhn-Tucker-Bedingungen ........................................................ 99 9.1.2. „Critical Line“ für ein bekanntes Portfolio............................... 104 9.1.3. Segmente und Schranken der „Critical Line“........................... 106 9.1.4. Angrenzende effiziente Segmente ............................................ 108 9.2. Rendite und Risiko effizienter Portfolios eines Segments ............. 110 9.3. Beschränkung einzelner Aktien...................................................... 111 TEIL III: BESTIMMUNG EX ANTE EFFIZIENTER PORTFOLIOS............................................................................. 117 10. AUFBAU DER UNTERSUCHUNG ............................................................. 117 10.1. Die Schätzperiode........................................................................... 119 10.2. Der Untersuchungszeitraum ........................................................... 120 10.3. Das Anlageuniversum..................................................................... 121 10.3.1. Die Standardwerte..................................................................... 121 10.3.2. Die Immobilienaktien ............................................................... 124 10.4. Voraussetzungen zur Anwendung des Ein-Index-Modells ............ 126 10.4.1. Annahmen über die Stationarität der Zeitreihen....................... 126 10.4.2. Schätzung der Markt- und Aktienrendite sowie der Kovarianz-Matrix...................................................................... 131 10.4.2.1. Auswahl des Proxy für den Markt........................................ 132 10.4.2.2. Schätzung der β-Faktoren..................................................... 134 10.4.2.3. Die Kovarianz-Matrix .......................................................... 137 10.4.2.4. Schätzung der Aktien- und Marktrendite ............................. 140 11. DIE ZUSAMMENSETZUNG EX ANTE EFFIZIENTER PORTFOLIOS .......... 145

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11.1. Effiziente Portfolios aus Standardwerten ohne Leerverkäufe........ 145 11.1.1. Die erste Halteperiode .............................................................. 145 11.1.1.1. Der effiziente Rand............................................................... 145 11.1.1.2. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 146 11.1.1.3. Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios unter Vorgabe einer Renditeerwartung.......................................... 148 11.1.2. Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung ... 150 11.1.2.1. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 151 11.1.2.2. Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung.......................................... 154 11.1.3. Vergleich der Asset Allocation................................................. 156 11.2. Effiziente Portfolios aus Standardwerten und Immobilienaktien .. 157 11.2.1. Die erste Halteperiode .............................................................. 158 11.2.1.1. Der effiziente Rand............................................................... 158 11.2.1.2. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 160 11.2.1.3. Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung.......................................... 162 11.2.2. Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung ... 164 11.2.2.1. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 165 11.2.2.2. Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung.......................................... 167 11.2.3. Vergleich der Asset Allocation................................................. 168 11.3. Effiziente Portfolios aus mindestens zehn Standardwerten ........... 170 11.3.1. Die erste Halteperiode .............................................................. 171 11.3.1.1. Der effiziente Rand............................................................... 171 11.3.1.2. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 172 11.3.1.3. Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios unter Vorgabe einer Renditeerwartung ............... 172 11.3.2. Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung ... 175 11.3.2.1. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 176 11.3.2.2. Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung................... 178 11.3.3. Vergleich der Asset Allocation................................................. 179 11.4. Effiziente Portfolios aus mindestens zehn Standardwerten und Immobilienaktien............................................................................ 180 11.4.1. Die erste Halteperiode .............................................................. 180 11.4.1.1. Der effiziente Rand............................................................... 180 11.4.1.2. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 182 11.4.1.3. Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung................... 183

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Inhaltsverzeichnis

11.4.2. Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung ... 186 11.4.2.1. Das Minimum-Varianz-Portfolio ......................................... 186 11.4.2.2. Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung................... 188 11.4.3. Vergleich der Asset Allocation................................................. 189 TEIL IV: ÜBERPRÜFUNG DER PORTFOLIOSTRATEGIEN EX POST............................................................................................. 193 12. VERGLEICHBARKEIT DER EFFIZIENTEN PORTFOLIOS EX POST .......... 193 13. ZWEIDIMENSIONALE PERFORMANCEMESSUNG .................................. 197 13.1. Das ex post Alpha bzw. die Differenzrendite (Jensen-Alpha) ....... 197 13.2. Die Reward-to-Variability Ratio (Sharpe-Ratio) ........................... 199 14. PERFORMANCE DER PORTFOLIOSTRATEGIEN .................................... 201 14.1. Modell ohne Leerverkäufe (Modell I)............................................ 201 14.1.1. Die Performance der risikoarmen Fonds .................................. 202 14.1.2. Die Performance offensiver Fonds ........................................... 206 14.2. Modell ohne Leerverkäufe, aber Beschränkung der Aktien (Modell II) ...................................................................................... 212 14.2.1. Die Performance der risikoarmen Fonds .................................. 212 14.2.2. Die Performance offensiver Fonds ........................................... 217 TEIL V: ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT ..................................... 223 ANHANG ................................................................................................... 233 LITERATURVERZEICHNIS....................................................................... 273

Anhangsverzeichnis

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Anhangsverzeichnis Anhang I:

Sektorunterteilung der Standardwerte gemäß Deutsche Börse AG: ................................................................. 233

Anhang II:

Minimale und maximale Schätzer für das Aktienrisiko in 36 Schätzperioden ........................................... 234

Anhang III:

Minimale und maximale αˆ - und βˆ -Faktoren in 36 Schätzperioden.......................................................................... 235

Anhang IV:

µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell I)................................................. 236

Anhang V:

µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell I) ............................................... 237

Anhang VI:

µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell II) ............................................... 238

Anhang VII:

µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell II) .............................................. 239

Anhang VIII: Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell I)................................................. 240 Anhang IX:

Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell I) ............................................... 244

Anhang X:

Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell II) ............................................... 248

Anhang XI:

Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell II) .............................................. 252

Anhang XII: Fondsentwicklung (Anlageuniversum I, Modell I) .................. 256 Anhang XIII: Fondsentwicklung (Anlageuniversum II, Modell I)................. 260 Anhang XIV: Fondsentwicklung (Anlageuniversum I, Modell II)................. 264 Anhang XV: Fondsentwicklung (Anlageuniversum II, Modell II) ............... 268

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Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis Abb. 1:

Diversifikationsebenen der Asset Allocation im weiteren Sinn..... 23

Abb. 2:

Untersuchungen zur Asset Allocation im US-amerikanischen Markt............................................................................................... 26

Abb. 3:

Aufbau der Arbeit........................................................................... 37

Abb. 4:

Indifferenzkurven bei exponentieller und quadratischer Nutzenfunktion ............................................................................... 42

Abb. 5:

Rendite-Risiko-Kombinationen im µσ - und σµ -Raum für zwei Anlagen .................................................................................. 45

Abb. 6:

Menge aller Portfolios im

Abb. 7:

Renditeerwartung und Risiko bei risikolosem Zins und riskanter Anlage.............................................................................. 54

Abb. 8:

Kombinationen von risikolosem Zins und riskanten Portfolios..... 55

Abb. 9:

Effizienter Rand unter Berücksichtigung der Anlage und der Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zins................................. 58

Abb. 10:

Effizienter Rand bei unterschiedlichem Zins für Anlage und Aufnahme von Kapital.................................................................... 60

Abb. 11:

Effizienter Rand mit Leerverkäufen (Modell von Black) .............. 63

Abb. 12:

Zusammenhang zwischen Aktien- und Marktrendite .................... 74

Abb. 13:

Diversifikationseffekt bei naiver Portfoliostrategie ....................... 80

µσ

-Raum .............................................. 50

Abb. 14:

Die Kapitalmarktlinie ..................................................................... 91

Abb. 15:

Wertpapiermarktlinie in der Kovarianz- und Beta-Version........... 94

Abb. 16:

x und η einer „Critical Line“ ........................................................ 107

Abb. 17:

Zusammensetzung von Anlageuniversum I und II in Deutschland zwischen Januar 2000 und Dezember 2002 ............ 123

Abb. 18:

Anzahl Aktien in Anlageuniversum I und II (36 Halteperioden) .............................................................................. 125

Abb. 19:

Durchschnittliche α -Faktoren für Januar 2000 bis Dezember 2002 .............................................................................................. 142

Abbildungsverzeichnis

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Abb. 20:

Minimum-Varianz-Portfolio in 36 Halteperioden (Anlageuniversum I, Modell I)..................................................... 152

Abb. 21:

Ex ante effiziente Ränder (Anlageuniversum I, Halteperiode 16 und 32) ..................................................................................... 156

Abb. 22:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum I, Modell I)......................... 157

Abb. 23:

Anteil der Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell I, Januar 2000) .............................................................................. 159

Abb. 24:

Minimum-Varianz-Portfolio in 36 Halteperioden (Anlageuniversum II, Modell I) ................................................... 166

Abb. 25:

Anteil Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell I, 36 Halteperioden) ......................................................................... 168

Abb. 26:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum II, Modell I) ....................... 169

Abb. 27:

Minimum-Varianz-Portfolios in 36 Halteperioden (Anlageuniversum I, Modell II) ................................................... 177

Abb. 28:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum I, Modell II) ....................... 179

Abb. 29:

Anteil der Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell II, Januar 2000)............................................................................. 181

Abb. 30:

Minimum-Varianz-Portfolio in 36 Halteperioden (Anlageuniversum II, Modell II) .................................................. 187

Abb. 31:

Anteil der Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell II, 36 Halteperioden)..................................................................... 190

Abb. 32:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum II, Modell II)...................... 191

Abb. 33:

Effiziente Ränder aus Anlageuniversum I und II......................... 194

Abb. 34:

Effiziente Portfolios mit Anlageuniversum I und II..................... 195

Abb. 35:

Zwei Darstellungen des Jensen-Alpha ......................................... 198

Abb. 36:

Erwartete, erklärte und beobachtete Renditen risikoarmer Fonds (Modell I)........................................................................... 202

Abb. 37:

Entwicklung der risikoarmen Fonds (Modell I) ........................... 203

Abb. 38:

“Characteristic Line” ex post für risikoarme Fonds (Modell I) ... 204

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Abbildungsverzeichnis

Abb. 39:

Sharpe-Ratio der risikoarmen Fonds (Anlageuniversum I und II, Modell I) .................................................................................. 205

Abb. 40:

Erwartete, erklärte und beobachtete Renditen riskanter Fondsstrategie (Modell I) ............................................................. 207

Abb. 41:

Entwicklung riskanter Fonds (Modell I) ...................................... 208

Abb. 42:

Sharpe-Ratios in offensiven Strategien (Modell I)....................... 211

Abb. 43:

Erwartete, erklärte und beobachtete Rendite der risikoarmen Fonds (Modell II).......................................................................... 213

Abb. 44:

Entwicklung der riskoarmen Fonds (Modell II)........................... 214

Abb. 45:

„Characteristic Line“ ex post für risikoarme Fonds (Modell II).. 215

Abb. 46:

Sharpe-Ratio im risikoarmen Fonds (Anlageuniversum I und II, Modell II) ................................................................................. 216

Abb. 47:

Erwartete, erklärte und beobachtete Renditen riskanter Fondsstrategien (Modell II) .......................................................... 218

Abb. 48:

Entwicklung riskanter Fonds (Modell II) ..................................... 219

Abb. 49:

Sharpe-Ratios in offensiven Strategien (Modell II) ..................... 221

Abb. 50:

Zusammenfassung Portfolio-Performance ................................... 228

Tabellenverzeichnis

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Tabellenverzeichnis Tab. 1:

Renditeerwartung und Risiko von Portfolios aus zwei Anlagen.... 45

Tab. 2:

Nicht-Stationarität der monatlichen Kurse im Zeitraum zwischen Januar 1995 und Dezember 1999 ................................. 128

Tab. 3:

Stationarität der monatlichen diskreten Renditen im Zeitraum von Januar 1995 bis Dezember 1999............................................ 130

Tab. 4:

Maximaler t-Wert der Standardwerte in den Beobachtungsperioden.................................................................. 131

Tab. 5:

Schätzer für β -Faktoren und Volatilitäten (Schätzperiode Januar 1995 bis Dezember 1999) ................................................. 135

Tab. 6:

Kovarianz-Matrix für die Halteperiode Januar 2000 für Standardwerte und Immobilienaktien (Angaben in %)................ 139

Tab. 7:

Schätzer für α -Faktoren (Schätzperiode Januar 1995 bis Dezember 1999) ........................................................................... 141

Tab. 8:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell I) ....................................................................................... 147

Tab. 9:

DAX-äquivalentes, GG- und Tangential-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell I)............................................ 149

Tab. 10:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum I, Modell I) .... 151

Tab. 11:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell I) ....................................................................................... 161

Tab. 12:

DAX-äquivalentes, GG- und Tangential-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell I) .......................................... 163

Tab. 13:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum II, Modell I) ... 165

Tab. 14:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell II)...................................................................................... 173

Tab. 15:

DAX-äquivalentes und GG-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell II) ................................................... 174

Tab. 16:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum I, Modell II) ... 175

Tab. 17:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell II)...................................................................................... 184

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Tab. 18:

Tabellenverzeichnis

DAX-äquivalentes und GG-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell II) .................................................. 185

Tab. 19:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum II, Modell II).. 186

Tab. 20:

Volatilität und Rendite der Portfolios in den 36 Halteperioden (Anlageuniversum I und II, Modell I) .......................................... 201

Tab. 21:

Volatilität und Rendite der Portfolios in den 36 Halteperioden (Anlageuniversum I und II, Modell II)......................................... 212

Tab. 22:

Asset Allocation in effizienten Portfolios nach Sektoren (Modell I)...................................................................................... 225

Tab. 23:

Asset Allocation in effizienten Portfolios nach Sektoren (Modell II) .................................................................................... 226

1. Ausgangslage

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TEIL I: Einleitung 1.

Ausgangslage

Grundsätzlich hat jeder Anleger die Möglichkeit, sein Kapital in unterschiedlich riskante Anlagen zu investieren. Sein Risiko bzw. die Unsicherheit besteht darin, dass die erwartete Rendite bei der gewählten Kapitalanlage nicht eintritt. Als Assetklassen werden in aller Regel Zinsträger, Aktien und Rohstoffe betrachtet. Diese Differenzierung ist vor dem Hintergrund der unterschiedlichen Investitionsvolumina, der Fungibilität und der vermeintlich unterschiedlichen Risiken nachvollziehbar.1 Diverse Autoren haben bereits Untersuchungen zur optimalen Gewichtung der verschiedenen Assetklassen mit dem Ziel durchgeführt, den Anteil von Immobilien zu quantifizieren. Alle Untersuchungen basieren dabei auf der Annahme, dass nicht nur die Maximierung der Renditeerwartung, sondern auch das Portfoliorisiko die Anlageentscheidung der Investoren beeinflusst. Markowitz2 stellte fest, dass Anlageentscheidungen nicht allein durch die Maximierung der Renditeerwartung getroffen werden. In diesem Fall würde jeder Investor sein Kapital in die Anlage mit der höchsten Renditeerwartung investieren.3 Das Verhalten der Investoren zeigt jedoch, dass sie ihre Kapitalanlagen mischen. Markowitz weist nach, dass es unter Berücksichtigung der Renditeerwartung und des Portfoliorisikos von Vorteil ist, die Kapitalanlagen zu mischen.4 Der Vorteil gegenüber anderen Portfolios ist entweder bei gleicher Renditeerwartung durch ein kleineres Risiko oder bei gleichem Risiko durch eine höhere Renditeerwartung gegeben. Effiziente Portfolios sind dadurch gekennzeichnet, dass durch keine andere Kombination der Anlagen ein kleineres Risiko bei gleicher Renditeerwartung bzw. eine höhere Renditeerwartung bei gleichem Risiko existiert. Die Gewichtung der einzelnen Anlagen richtet sich dann nach der Risikopräferenz des Anlegers. Bei der Untersuchung von Assetklassen werden die effizienten Portfolios mit Indicesals Proxy für die Entwicklung der jeweiligen Assetklasse konstruiert. 1

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Das Risiko von Rentenpapieren und von Immobilien wird grundsätzlich geringer eingeschätzt als das Risiko von Aktien. Vgl. Markowitz (1952), S. 78. Das Risiko der Anlagen kann in diesem Fall durch risikoadjustierte Diskontfaktoren berücksichtigt werden. Vgl. Markowitz (1952), S. 82.

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TEIL I: Einleitung

Damit die Gewichtung der Assetklassen effizient ist, wird implizit vorausgesetzt, dass die verwendeten Indices ebenso ein effizientes Portfolio innerhalb ihrer Assetklasse darstellen. Gleichzeitig muss ein entsprechender Index auch durch den Anleger nachgebildet werden können.5 In diesen Untersuchungen wird der Frage nachgegangen, wie groß der Anteil von Immobilien im Vergleich zu Aktien- oder Rentenanlagen in effizienten Portfolios sein sollte. Diese Fragestellung ist Bestandteil der Assetklassendiversifikation und innerhalb des Asset-Allocation-Prozesses in der strategischen Asset Allocation angesiedelt. Im Unterschied zur strategischen Asset Allocation ist im Rahmen des Aktien-Portfoliomanagements bzw. der taktischen Asset Allocation die Gewichtung der einzelnen Aktien im Fokus des Prozesses. Durch die Verbriefung der Immobilienanlagen in Form von Aktien rückt auch diese Assetklasse in den Fokus des Aktien-Portfoliomanagements. Des Weiteren wird voraussichtlich auch die fiskalische Behandlung der Immobilienaktien ähnlich transparent sein wie die alternativen indirekten Immobilienanlagen. So fordert die „Initiative Finanzstandort Deutschland“, die Besteuerung von Immobilienaktien zukünftig an dem Konzept der Real Estate Investment Trusts (REIT)6 zu orientieren. Die Besteuerung würde dann nur noch auf Anlegerebene und nicht mehr wie bisher auch auf Gesellschaftsebene erfolgen.7 Dadurch wären neben den offenen und geschlossenen Immobilienfonds8 auch die Immobilienaktien weitestgehend steuerlich transparent.9 Die vorliegende Arbeit betrachtet ausschließlich das Aktien-Portfoliomanagement. Dabei soll der Einfluss deutscher Immobilienaktien auf die Asset Allocation und deren Auswirkungen auf das Risiko und die Rendite effizienter Portfolios bestimmt werden.

5 6 7 8

9

Vgl. Günther (1998), S. 175 ff. Zur Regulierung der REIT’s vgl. Schreier (2002), S. 61 ff., oder Väth (1999), S. 225 ff. Vgl. Initiative Finanzstandort Deutschland, Abschlussbericht S. 5 vom 31.12.2005. Zur steuerlichen Behandlung der geschlossenen Immobilienfonds vgl. Köhler (1998), S. 446 - 449 oder Schreier (2002), S. 112 - 121. Das Immobilienanlageprodukt ist steuerlich transparent, sofern es weitgehend wie die ImmobilienDirektanlage behandelt wird, dann ist eine steuerliche Benachteiligung ausgeschlossen. Offene Immobilienfonds sind bereits weitestgehend transparent. Vgl. Väth (1999), S. 76. Das Transparenzprinzip der offenen Immobilienfonds wurde auch im Investmentsteuergesetz beibehalten. Vgl. BVI Bundesverband Investment und Asset Management (2004), S. 28 f.

2. Asset Allocation

2.

21

Asset Allocation

Als Asset Allocation wird die Aufteilung des Kapitals auf verschiedene Anlageformen verstanden. Die Diversifikation erfolgt auf unterschiedlichen Ebenen. Sofern das Anlageuniversum international mehrere Assetklassen umfasst, erfolgt eine Länder-, Assetklassen- und Währungsdiversifikation. Mehrere Untersuchungen haben gezeigt, dass eine Aufteilung der Kapitalanlagen auf mehrere Assetklassen, mehrere Länder bzw. unterschiedliche Währungen die Effizienz der Portfolios steigern kann. Steiner und Bruns10 stellen den Effekt der Länderdiversifikation durch den Vergleich der beiden folgenden Portfolios dar: Das erste Portfolio besteht aus amerikanischen Aktien, Anleihen, Geldmarktpapieren und Gold, das zweite aus den Anlagen des ersten Portfolios zuzüglich ausländischer Aktien, Anleihen und Geldmarktpapieren. Sie betrachten dabei das durchschnittliche Risiko und die Rendite zwischen 1960 und 1984.11 Dabei wurde die Perspektive eines USamerikanischen Investors eingenommen und alle Renditen in US-$ gemessen. Es zeigt sich, dass das varianzminimale Portfolio eine Standardabweichung von 2,56 % und eine Rendite von 6,62 % hatte, hingegen das auf die USA beschränkte Portfolio eine Standardabweichung von 3,07 % und eine Rendite von 6,53 %. Obwohl das Risiko des international diversifizierten Portfolios geringer ist, wird eine höhere Rendite erzielt. Für jedes Risiko kann eine höhere Rendite mit international diversifizierten Portfolios erzielt werden. Im dargestellten Beispiel sind Risiko und Rendite auf der Basis des US-$ ermittelt. Die Wechselkursschwankungen zwischen dem US-$ und den ausländischen Währungen sind somit in der ermittelten Rendite enthalten. In diesem Fall besteht auch ein Währungsrisiko. Ohne eine Währungsabsicherung ergibt sich aus der Sicht eines amerikanischen Anlegers bei steigendem US-$ dann eine höhere und bei fallendem US-$ eine niedrigere Anlagerendite als in der lokalen Währung der ausländischen Anlage. Die Aufteilung des Kapitals auf bestimmte Währungen wird als Währungsdiversifikation bezeichnet. Steiner und Bruns zeigen gleichfalls, dass durch bestimmte Kombinationen aus Gold, Aktien, Anleihen und Anlagen am Geldmarkt in aller Regel die Effizienz gegenüber der alleinigen Anlage in einer dieser Assetklassen gesteigert werden

10 11

U.a. Steiner, Bruns (2002), S. 95 - 100, Solnik (1974), 48 - 54. Die Daten stammen aus Ibbotson, Siegel, Love (1985), S. 17.

22

TEIL I: Einleitung

kann.12 Eine Rendite von ca. 7,6 % kann bei einem Risiko von 6,7 % mit einem diversifizierten Portfolio erzielt werden. Hingegen beträgt die Rendite einer Anleihe nur 5,7 % bei einem vergleichsweise höheren Risiko von 7 %. Investiert ein deutscher Anleger ausschließlich in deutsche Kapitalanlagen, reduziert sich auf der Makroebene sein Diversifikationspotenzial auf die Assetrisiken. Wird das Anlagespektrum auf den europäischen Währungsraum erweitert, können zusätzlich Länderrisiken diversifiziert werden. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich deutsche Aktien einbezogen, so dass aus der Sicht eines deutschen Anlegers keine Währungsrisiken existieren noch Länderrisiken berücksichtigt werden. Die verschiedenen Diversifikationspotenziale sind in der Abb. 1 systematisiert dargestellt. Die Assetklassen-, Länder- und Währungsdiversifikationen werden auch als strategische Asset Allocation bezeichnet. Die Aufteilung des Vermögens auf diesen Ebenen erfolgt in aller Regel als weitreichende zeitliche und inhaltliche Entscheidung. Die strategische Asset Allocation bestimmt das Ausgangsportfolio, das den langfristigen Anlagepräferenzen des Investors entspricht. Sie wird auf der Basis historischer Risiko-/ Renditeanalysen ermittelt. Hingegen ist die taktische Asset Allocation in aller Regel kurzfristig. Sie stellt die eigentliche Auswahl der Anlageobjekte dar. Bei Aktien kann neben einer Titeldiversifikation auch ein Diversfikationseffekt durch die Aufteilung des Kapitals auf unterschiedliche Branchen bzw. Sektoren erzielt werden. Bei Rentenanlagen sind entsprechende Effekte durch die Aufteilung des Vermögens beispielsweise auf unterschiedliche Schuldnerarten, Bonität der Schuldner und Laufzeiten zu erzielen. Im Rahmen der Immobilienanlage lassen sich die Risken durch unterschiedliche Nutzungsarten, geographische Lagen und die Mieterstruktur der Immobilien diversifizieren. Das Diversifikationspotenzial bei Aktien und Immobilien besteht dabei aus den unsystematischen Risiken der Anlageobjekte. So können branchen- und unternehmensspezifische Risiken sowie immobilienspezifische Risiken diversifiziert werden. Unter idealtypischen Verhältnissen mit homogenen Erwartungen ist die Asset Allocation aller Investoren identisch. In der Praxis sind jedoch unterschiedlich strukturierte Portfolios zu beobachten, diese dürfen allein auf Grund aufsichtsrechtlicher Bestimmungen nur eine bestimmte Struktur aufweisen. In aller Regel ist im ersten Schritt des Asset Allocation Prozess eine Aufteilung zwischen den 12

Ausnahme ist dabei grundsätzliche die Assetklasse mit der höchsten Rendite, da diese selbst durch Kombinationen mehrerer Anlagen nicht weiter gesteigert werden kann.

2. Asset Allocation

23

Assetklassen als strategische Asset Allocation und in einem zweiten Schritt die Aufteilung innerhalb der Assetklassen als taktische Asset Allocation vorgesehen.

Assetklassen (Asset Allocation i.e.S.) Strategische Asset Allocation

Länder (Country Allocation)

Währungen (Currency Allocation)

Asset Allocation i.w.S.

Branchen Schuldnerklassen Laufzeiten Taktische Asset Allocation Titel Emittenten

Aktien Anleihen Immobilien Gold Kunstwerke etc. Deutschland USA Japan Großbritannien Hongkong etc. US-$ DM SFR £ etc. Kaufhäuser Brauereien Öffentl. Schuldner Private Schuldner kurzfr. Papiere langfr. Papiere Ford Motor Kawasaki Steel Bayer Weltbank KfW US Government etc.

Diversifikationsebenen der Asset Allocation i.w.S.

Quelle:

In Anlehnung an Steiner, M., Bruns C., (2002), S. 90.

Abb. 1:

Diversifikationsebenen der Asset Allocation im weiteren Sinn

Organisatorisch sind das Immobilien- und das Aktien-Portfoliomanagement institutioneller Investoren voneinander getrennt. Die Entscheidung über die strategische Asset Allocation wird auf der Makroebene getroffen. Die Umsetzung der Strategie erfolgt durch das Portfoliomanagement im Rahmen der taktischen Asset Allocation. Im Folgenden sind zunächst die Ergebnisse bisheriger Untersuchungen von Immobilienaktienindices als Surrogat für Immobilien als Assetklasse beschrieben. Anschließend wird die Immobilienaktie im Kontext der taktischen Asset Allocation des Aktien-Portfoliomanagements dargestellt.

24

TEIL I: Einleitung

2.1.

Assetklassendiversifikation

In der englischsprachigen Literatur wird die Aufteilung der Portfolios auf verschiedene Assetklassen als „Multi Asset Portfolio“ bezeichnet. Als Assetklassen werden „homogene“ Anlageobjekte wie Aktien, Anleihen, Immobilien, Edelmetalle, Rohstoffe etc. charakterisiert, deren Entwicklung von denselben Einflussfaktoren bestimmt ist. Die Assetklassen werden dabei zumeist in standardisiert (traditionelle Anlageobjekte) und nicht-standardisiert (nichttraditionelle Anlageobjekte) handelbare Anlagen unterteilt. Standardisiert handelbar sind u.a. Aktien, Anleihen, Geldmarktanlagen, Edelmetalle etc., wohingegen Immobilien, Antiquitäten, Kunst etc. nicht standardisiert handelbar sind. Die traditionellen Anlageobjekte unterscheiden sich vor allem durch stärkere Marktineffizienzen von den nicht-traditionellen Anlageobjekten. Üblicherweise beschränkt sich die Diversifikation in der Praxis auf die standardisiert handelbaren Anlagegattungen, da für diese börsentäglich Marktpreise gestellt werden. Im Zentrum der Assetklassendiversifikation stehen deshalb die Anlagegattungen Aktien, Anleihen, kurzfristige Termingelder und Geldmarktpapiere.13 Nicht standardisiert handelbare Anlagegattungen werden durch standardisiert handelbare Anlagegattungen ersetzt. Assetklassen wie Immobilien werden dann bspw. durch entsprechende Substitute in Form von Immobilienfonds oder Immobilienaktien einbezogen. Verschiedene Untersuchungen wurden im Zusammenhang mit der Assetklassendiversifikation und Immobilienaktienindices veröffentlicht.14 Um effiziente Portfolios zu ermitteln, werden entweder unterschiedliche Indices zur Messung des Risikos und der Rendite für sämtliche Immobilienanlageobjekte diskutiert, oder lediglich der Anteil von Immobilienaktien als Anlageobjekt in „Mixed Asset Portfolios“ quantifiziert. Letztere Untersuchungen erfassen ausschließlich die standardisiert handelbaren Anlagen. Zur Messung der Rendite und des Risikos von Immobilien stehen sowohl „Appraisal Based Indices“15 als auch Immobilienaktienindices zur Verfügung. Obwohl beide Indices die Entwicklung von Immobilien widerspiegeln, sind sie kaum miteinander korreliert. Diese geringe Korrelation ist auf mehrere Gründe zurückzuführen:

13 14 15

Vgl. Steiner, Bruns (2002) für das US-amerikanische Portfolio S. 95, für das internationale Portfolio S. 99. Der Großteil der Untersuchungen arbeitete bisher auf der Basis von US-Daten. Vgl. Jandura (2003), S. 81 ff. Eine detaillierte Beschreibung von „Appraisal Based Indices“ und Aktienindices für Immobilienanlagen ist bei Maurer, Sebastian, Stephan (2000) oder Thomas (1997) zu finden.

2. Asset Allocation

25

Zum einen wird davon ausgegangen, dass die Immobilienaktienindices stark durch Entwicklungen am Aktienmarkt verzerrt sind und somit den Immobilienmarkt nicht korrekt abbilden. Zum anderen erfolgt bei „Appraisal Based Indices“ durch die Vergangenheitsorientierung der Bewertung und die meist weit auseinander liegenden Bewertungszeitpunkte ein Glättungseffekt in der Zeitreihe. Dieser Glättungseffekt führt zeitreihenanalytisch zu einer autokorrelierten Entwicklung der „Appraisal Based Indices“. Darüber hinaus spiegeln die „Appraisal Based Indices“ im Gegensatz zu den Immobilienaktienindices ausschließlich mit Eigenkapital finanzierte Immobilien wider. Unabhängig von der Diskussion eines geeigneten Proxy für den Immobilienmarkt zeigen alle Untersuchungen, dass die Korrelationen von Immobilienaktienindices mit den Indices anderer Assetklassen deutlich kleiner als eins sind. Die in verschiedenen Arbeiten ermittelten Korrelationen zwischen „Appraisal Based Indices“, Immobilienaktienindices, Rentenindices und Aktienindices sind Abb. 2 zu entnehmen. Je kleiner die Korrelation zwischen den Assetklassen, desto größer ist das Diversifikationspotenzial im Portfolio. So zeigt Giliberto16, dass im Zeitraum zwischen 1978 und 1991 die Rendite der Portfolios aus Aktien und Renten 13,7 % p.a. bei einer Volatilität von 11,6 % beträgt. Bei Berücksichtigung von Immobilienaktien hätte Ende Oktober 1991 bei gleichem Risiko eine Rendite von 13,9 % p.a. erzielt werden können. In diesem Portfolio hat der NAREIT-Equity Index17 als Proxy für Immobilienaktien einen Anteil von 20 %, der S&P 500 als Proxy für den Aktienmarkt 62 % und der SBBI18 als Proxy für den Rentenmarkt 18 %. Giliberto geht jedoch davon aus, dass die Volatilität des NAREIT EquityIndex nicht nur durch den Immobilienmarkt, sondern auch durch den Aktienmarkt beeinflusst ist. Deshalb bereinigt er zur Schätzung des Anteils der Immobilien in effizienten Portfolios die Entwicklung des NAREIT Equity-Index um den Einfluss des Aktienmarktes und bestimmt dann die Volatilität dieser Zeitreihe sowie die Korrelationen zwischen ihr und den anderen Assetklassen. Durch die Adjustierung des NAREIT Equity–Index ändert sich die Asset Allocation in den Portfolios. Im Ergebnis haben die Immobilien dann einen Anteil von 19 %, Aktien 50 % und Rentenanlagen 31 %. Ende Oktober 1991 beträgt die Renditeerwartung dann rd. 13,8 % bei gleicher Volatilität.

16 17 18

Vgl. Giliberto (1993), S. 94 - 99. NAREIT-Equity Index steht für den Index der National Association for Real Estate Investment Trusts. SBBI steht für Salomon Brothers Broad Investment Grade Bond Index.

26

TEIL I: Einleitung

Autor (Erscheinungsjahr)

Intervall

Zeitraum

Korrelation Index

Index

Ergebnis ρ

Giliberto (1993)

vierteljährlich

Jan 1978 bis Sep 1991

NAREIT NAREIT NAREIT

S&P 500 SBBI* NCREIF

0,66 0,35 0,11

Greer (1997)

vierteljährlich

Jun 1978 bis Dez 1995

NCREIF NAREIT NCREIF NAREIT Bonds

S&P 500 S&P 500 Bonds / Gov** Bonds / Gov** S&P 500

0,06 0,68 0,18 0,34 0,40

Gordon / Canter / Webb (1998)

vierteljährlich

1984 bis 1997

NAREIT

S&P 500

0,54

Brueggeman / Fisher (2002)

vierteljährlich

1978 bis 2000

NCREIF NCREIF NCREIF NAREIT NAREIT NAREIT

S&P 500 SBHGB*** T-Bills S&P 500 SBHGB*** T-Bills

-0,06 -0,15 0,47 0,60 0,49 0,00

Brounen / Eichholtz (2003)

vierteljährlich

1987 bis 2002

NCREIF GPR US NCREIF NCREIF GPR US NCREIF NCREIF GPR US NCREIF

S&P 500 S&P 500 GPR US S&P 500 S&P 500 GPR US S&P 500 S&P 500 GPR US

-0,03 0,52 -0,12 -0,15 0,75 -0,15 0,18 0,29 -0,10

1987 bis 1993

1994 bis 2002

* Salomon Brothers Broad Investment Grade Bond Index ** Lehman long T-Bond, 1981 - 1995. Ibbotson Associates 1978 - 1980. *** Salomon Brothers High Grade Corporate Bond Index

Quelle:

Diverse Autoren19

Abb. 2:

Untersuchungen zur Asset Allocation im US-amerikanischen Markt

Brounen, Eicholtz20 verwenden zur Optimierung des Portfolios aus Aktien, Immobilien und Rentenanlagen das arithmetische Mittel der vierteljährlichen Renditen im Zeitraum zwischen 1986 und 2002. Zur Schätzung der Renditeerwartung und der Volatilität für Aktien dient der S&P 500, für die Rentenanlagen der JP Morgan Bond Index. Hingegen verwenden sie zur Schätzung der erwarteten Immobilienrendite und deren Volatilität zwei unterschiedliche Indices. Die Renditeerwartung schätzen sie mit Hilfe des

19

20

Vgl. Giliberto (1993), S. 94 - 99, Greer (1997), S. 86 - 91, Gordon, Canter, Webb (1998), S. 83 - 91, Brueggeman, Fisher (2002), S. 602, Brounen, Eicholtz (2003), S. 129 - 137. Vgl. Brounen, Eichholtz (2003), S. 129 – 137.

2. Asset Allocation

27

NCREIF21-Index, die Volatilität und die Korrelation mit Hilfe des GPR General US-Index22. Im Unterschied zum GPR General US-Index ist der NCREIF-Index ein „Appraisal Based Index“. Zur Schätzung der Volatilität wird der Immobilienaktienindex noch um den Einfluss des Aktienmarktes adjustiert. Hingegen schätzen sie die Korrelationen zwischen den Immobilienanlagen und den Aktienbzw. Rentenanlagen mit dem unadjustierten Immobilienaktienindex. Der Anteil der Immobilien beträgt im Portfolio mit der höchsten Sharpe-Ratio (Tangential-Portfolio) 9,6 %. Mit diesem Portfolio wird die höchste Risikoprämie je Risikoeinheit (Sharpe Ratio) erzielt. Auf Rentenanlagen entfallen rund 58,3 % und auf Aktien rund 32,1 %. Ende 2002 beträgt die erwartete Portfoliorendite dann 10,3 % p.a. bei einer Volatilität von 10,1 %. Darüber hinaus bestimmen sie auch das effiziente Portfolio mit dem kleinsten Risiko (Minimum-VarianzPortfolio bzw. MV-PF). Ende 2002 beträgt die Renditeerwartung für dieses Portfolio 9,6 % p.a. bei einem Risiko von 8,9 %. Die Gewichtung der Assetklassen in diesem Portfolio zeigt, dass über die Hälfte des Portfolios aus Rentenanlagen besteht. Der Anteil der Aktien und der Immobilien beträgt jeweils über 10 %.23 Andere Autoren untersuchen den Einfluss von Immobilienaktien auf WertpapierPortfolios. Bspw. zeigen Gordon, Canter, Webb24, dass sich mit Hilfe internationaler Immobilienaktien die Effizienz von Portfolios aus US-Anleihen, US-Aktien und US-Immobilienaktien deutlich verbessern lässt. Die Berücksichtigung ausländischer Immobilienaktien führte für den Untersuchungszeitraum zwischen 1984 und 1997 dazu, dass im effizienten Portfolio mit dem geringsten Risiko (MV-PF) bei einer vierteljährlichen Rendite von 3 % das Risiko um 46 Basispunkte reduziert werden konnte. Noch extremer ist der Unterschied in riskanteren Portfolios. Ausgehend von einem effizienten Portfolio aus US-Bonds, US-Aktien und US-Immobilienaktien mit einer Rendite von rd. 4,5 % pro Quartal und einer Volatilität von 7,5 % wurde dieses mit den effizienten Portfolios unter Berücksichtigung ausländischer Immobilienaktien mit gleicher Rendite respektive gleichem Risiko verglichen. Mit dem international diversifizierten Portfolio hätte bei gleichem Risiko eine um 108 Basispunkte höhere Rendite erzielt werden können, bei gleicher Rendite wäre das Risiko um 245 Basispunkte geringer 21

22

23

24

Russell-NCREIF Property Index steht für den Index des National Council for Real Estate Investment Fiduciaries. GPR General US-Index steht für Global Property Research General US Index. Er umfasst alle börsennotierten Immobiliengesellschaften in den USA. Auf eine Darstellung der genauen Gewichtung wird verzichtet, da die Summe der Anteile größer eins entspricht und keine Annahmen zu einer Kapitalaufnahme getroffen wurde. Ohne entsprechende Kapitalaufnahme wäre dieses Ergebnis jedoch unplausibel. Vgl. Gordon, Canter, Webb (1998), S. 83 - 91.

28

TEIL I: Einleitung

ausgefallen. Eine Gewichtung der Assets wird in dieser Untersuchung jedoch nicht dargestellt. Fisher, Brueggeman25 stellen dar, dass sich das ex post effiziente Portfolio mit dem geringsten Risiko (MV-PF) zwischen 1978 und 2000 auf Basis der vierteljährlichen Renditen zu jeweils 20 % aus Immobilienaktien (NAREIT) und Aktien (S&P 500) sowie zu 50 % aus Rentenpapieren (SBHG26) zusammensetzt. In dem Modell werden nur 90 % in riskante Anlagen investiert, denn es ist die Annahme getroffen, dass grundsätzlich 10 % als risikolose Anlage gehalten werden. Für den deutschen Markt untersuchen Maurer, Sebastian27 das Diversifikationspotenzial von Immobilienaktien im Vergleich zu offenen Immobilienfonds. Sie ermitteln geringe Korrelationen zwischen dem Immobilienaktienindex respektive dem Index für offene Immobilienfonds und dem DAX28 bzw. dem REXP. Gleichzeitig sind auch der Index der offenen Immobilienfonds und der Immobilienaktienindex kaum korreliert und nicht einmal signifikant von Null verschieden. Maurer, Sebastian definieren drei unterschiedliche Portfolios aus diesen Indices, wobei entweder der Immobilienaktienindex oder der Index für offene Immobilienfonds berücksichtigt wird: -

das naive gleich gewichtete Portfolio (GGP)

-

das effiziente Portfolio mit dem geringsten Risiko (MV-PF)

-

das effiziente Portfolio mit gleichem Risiko wie das naiv gleich gewichtete Portfolio (GRP)

Durch die Restrukturierung der Portfolios in den 192 Monaten zwischen Januar 1981 und Dezember 1996 erhalten sie unterschiedliche Wertentwicklungen für die einzelnen Portfolios. Die Renditeerwartung und das Risiko der Indices schätzen sie auf Basis der 60 vorangegangenen Monate. Im Durchschnitt beträgt der Anteil der Immobilienaktien im GRP 41 % und im MV-PF 6 %. Der REXP29 hat im MVPF, der Immobilienaktienindex im GRP den höchsten Portfolioanteil. Im MV-PF ist der Anteil der Immobilienaktien kleiner und die Überschussrendite je Risikoeinheit (Sharpe Ratio) höher als im GRP. Sofern die offenen Immobilienfonds anstatt der Immobilienaktien berücksichtigt werden, setzt sich das MV-PF allein aus den offenen Immobilienfonds zusammen. Sie weisen die niedrigste Volatilität aller berücksichtigten Anlagemöglichkeiten auf. Bei ihrer 25 26 27 28 29

Vgl. Brueggeman, Fisher, (1997), S. 692 - 705. SBHG steht für Salomon Brothers High Grade Corporate Bond Index. Vgl. Maurer, Sebastian (1999), S. 169 - 193. DAX ist der Deutsche Aktienindex für die 30 größten Standardwerte der Deutsche Börse AG. REXP ist der Performance-Index für deutsche Staatsanleihen der Deutsche Börse AG.

2. Asset Allocation

29

Berücksichtigung ist im MV-PF die höchste Sharpe Ratio zu beobachten. Da der Optimierung die Mittelwerte, Volatilitäten und Korrelationen der 60 vorangegangenen Monate zu Grunde liegen, können die Immobilienaktien zumindest ex post zur Diversifikation des GRP beitragen. Maurer, Sebastian kommen zu der Erkenntnis, dass Immobilienaktien in konservativen Portfolios unbedeutend sind und eher in aggressiven Portfolios zur Erhöhung von Renditechancen dienen. Hofmann, Hübner, Schwaiger, Winkler30 ermitteln für die 72 überlappenden Perioden von Januar 1993 bis Dezember 1998, mit jeweils 48-monatiger Haltedauer, die Zusammensetzung dreier unterschiedlicher effizienter Portfolios. Als Proxy für die Immobilienaktien wird der DIMAX31, für Rentenpapiere der REXP und der PEXP32 und für Aktien der DAX verwendet. Im MV-PF sind durchschnittlich 14 % Immobilienaktien, 0 % Aktien und 86 % Rentenanlagen enthalten. Im Tangential-Portfolio entfallen 3 % auf Immobilienaktien, 96 % auf Rentenanlagen und 1 % auf Aktien. Im effizienten Portfolio, das eine vergleichbare Rendite wie das naive Portfolio aufweist, sind Rentenanlagen mit 66 % und Aktien mit 34 % gewichtet. Im Vergleich zu den Portfolios ohne Berücksichtigung von Immobilienaktien kann zumindest im MV-PF und im Tangential-Portfolio eine Verbesserung der Sharpe Ratio erzielt werden. Es zeichnet sich auch bei den Untersuchungen zum deutschen Markt ab, dass die Korrelationen zwischen den Immobilienaktien und dem Aktienmarkt größer sind als die Korrelationen zwischen Immobilienfonds und Aktienmarkt. Ein direkter Vergleich der Korrelationen zwischen DAX und Immobilienaktien sowie der Korrelationen zwischen DAX und offenen Immobilienfonds wird durch Beck33 vorgenommen. Er ermittelt in Abhängigkeit von der Länge der Untersuchungsperiode Korrelationen zwischen Immobilienaktien und dem DAX von 0,3745 für die monatlichen Renditen über 10 Jahre, 0,5915 über 5 Jahre und 0,5737 über 3 Jahre. Für die gleichen Untersuchungsperioden ermittelt er hingegen für die offenen Immobilienfonds und den DAX Korrelationen von 0,1416 für 10 Jahre, 0,1049 für 5 Jahre und 0,3317 für 3 Jahre. Bei einem Vergleich von Immobilienaktien und offenen Immobilienfonds ist grundsätzlich zu beachten, dass die Bewertung der Immobilien eines Immobilienfonds auf Gutachten und nicht auf Marktpreisen basiert. Somit existieren bei dieser Betrachtung ähnliche Bedenken wie bei den „Appraisal Based Indices“.

30 31

32 33

Vgl. Hofmann, Hübner, Schwaiger, Winkler (2003), S. 1 - 42. DIMAX steht für Deutscher Immobilienaktienindex und wird vom Bankhaus Ellwanger & Geiger veröffentlicht. PEXP ist der Performance-Index für Pfandbriefe der Deutsche Börse AG. Vgl. Beck (2000), S. 202 ff.

30

TEIL I: Einleitung

Die Ergebnisse zeigen, dass Immobilienaktien sowohl auf dem amerikanischen als auch auf dem deutschen Markt mit den gewählten Indices ein Diversifikationspotenzial darstellen. Die ermittelten Anteile weichen in den einzelnen Untersuchungen jedoch deutlich voneinander ab. Dies ist vor allem auf die Verwendung unterschiedlicher Indices, die Verwendung unterschiedlicher Schätzund Halteperioden sowie auf die unterschiedlichen Untersuchungszeiträume zurückzuführen. Die Untersuchungen zeigen auch, dass Immobilienaktien mit direkten Immobilieninvestments kaum korreliert sind und ein höheres Risiko aufweisen. Die höheren Korrelationen zwischen den Immobilienaktienindices und den Aktienindices deuten darauf hin, dass die Entwicklung von Immobilienaktien besser durch die Entwicklung des Aktienmarktes erklärt wird als durch die Entwicklung des Immobilienmarktes. Es wird deshalb davon ausgegangen, dass Immobilienaktien am Aktienmarkt anderen Bewertungskriterien unterworfen sind als Immobilien am Immobilienmarkt. Insofern wird im Rahmen dieser Arbeit das Diversifikationspotenzial von Immobilienaktien mit Hilfe herkömmlicher Verfahren zur Schätzung der erwarteten Aktienrendite und ihrer Risiken im Rahmen des Aktien-Portfoliomanagements untersucht.

2.2.

Aktien-Portfoliomanagement mit Immobilienaktien

Im Unterschied zum „Multi Asset Portfolio“ erfolgt die taktische Asset Allocation innerhalb einer Assetklasse. In der englischsprachigen Literatur werden entsprechende Portfolios als „Single Asset Portfolio“ bezeichnet. Ziel der taktischen Asset Allocation ist die Erzielung einer Überrendite durch Über- oder Untergewichtung einzelner Anlageobjekte innerhalb der jeweiligen Assetklasse. Überrenditen können nur erzielt werden, sofern keine homogenen Erwartungen existieren. In der Realität kann hiervon in aller Regel ausgegangen werden. Die Diversifikation innerhalb der Assetklassen erfolgt bei Aktien durch die Aufteilung des Vermögens auf unterschiedliche Branchen bzw. Sektoren, bei Renten auf unterschiedliche Arten von Schuldnern34, Laufzeiten und Bonitätseinstufungen der Schuldner. Analog kann das Kapital im Rahmen des Immobilien-Portfoliomanagements in unterschiedliche Nutzungsarten, geographische Lagen und Mieterstrukturen investiert werden. Durch die Streuung der Anlagen werden die unsystematischen Risiken weitestgehend diversifiziert und sind nicht mehr durch den Anleger zu tragen. 34

Bspw. private Schuldner, öffentliche Schuldner

2. Asset Allocation

31

Verschiedene Untersuchungen in den USA zeigen, dass zwischen unterschiedlich genutzten Immobilien geringe Korrelationen bestehen. Firstenberg, Ross, Zisler35 fanden zwischen 1978 und 1985 Korrelationen zwischen Apartments, Hotels, Büro-, Wohn- und Industrieimmobilien von -0,01 und 0,65. Zu ähnlichen Ergebnissen gelangten Ziering, Stoesser36 für den Zeitraum zwischen 1972 und 1994. Ebenso wurden von Firstenberg, Ross, Zisler37 geringe Korrelationen zwischen verschiedenen Regionen festgestellt. Sie unterteilten die USA in Nord, Ost, Süd und Midwest und stellten Korrelationen zwischen den Regionen von 0,04 bis 0,46 fest. Die Wertentwicklung eines Immobilienvermögens ist im Falle einer ausreichenden Diversifikation weniger stark von regionalen, lokalen und ggfs. immobilienspezifischen Risiken geprägt.38 Die entsprechende Diversifikation kann bei Immobilien über die Direktanlage, mit offenen Immobilienfonds als Publikums- oder Spezialfonds, mit geschlossenen Immobilienfonds oder Immobilienaktien erfolgen.39 Um die gewünschte Diversifikation auf der Ebene der Anlageobjekte zu erzielen, muss bei den kollektiven, von Dritten gemanagten Anlageformen die Kontinuität ihrer Immobilien-Portfoliostrategie gewährleistet sein. Ohne entsprechende Sicherheit wäre die Diversifikation des Anlegers nach geographischer Lage und Nutzungsart eher ein Zufallsprodukt. Insbesondere institutionelle Investoren mit entsprechend professionellem Anlageprozess und finanziellen Möglichkeiten können im Immobilienbereich die Diversifikation ggfs. auch ohne kollektive Anlageformen wie Aktien und Fonds erzielen. Somit sind sie umso sensitiver gegenüber unerwünschten Managementmaßnahmen. Ihr notwendiges Vertrauen ist nur zu gewinnen, sofern sie über Möglichkeiten zur Bestimmung bzw. Einflussnahme auf die Immobilien-Portfoliostrategie verfügen. Ist dies nicht gegeben, ist auch eine Anlage in kollektive Immobilienanlagen im Rahmen des Immobilien-Portfoliomanagements nicht sinnvoll. Die standardisierte Handelbarkeit von Immobilienaktien ermöglicht es, auch dem Aktien-Portfoliomanager, in Immobilienanlagen zu investieren. Durch die Titeldiversifikation kann er bspw. bei Vorgabe einer Renditeerwartung das Risiko des Portfolios minimieren, indem er nicht allein in eine Aktie, sondern bewusst in mehrere Aktien investiert. Sein gesamtes Portfoliorisiko setzt sich aus marktabhängigen und marktunabhängigen bzw. unternehmensspezifischen Risiken zusammen. Durch eine 35 36 37 38 39

Vgl. Sachsenmaier (2001), S. 655, mit Verweis auf Firstenberg, Ross, Zisler (1988), S. 22 - 34. Vgl. Sachsenmaier (2001), S. 655, mit Verweis auf Ziering, Stoesser (1997), S. 21 - 35. Vgl. Sachsenmaier (2001), S. 657, mit Verweis auf Firstenberg, Ross, Zisler (1988), S. 22 - 34. Vgl. Lieblich (1995), S. 1017. Ein Überblick über die Immobilienanlageprodukte liefert Bone-Winkel (1998), S. 516 ff.

32

TEIL I: Einleitung

bewusste Mischung seiner Anlagen kann er die Höhe der markt- und der unternehmensspezifischen Risiken reduzieren. Das Gesamtrisiko des Portfolios setzt sich letztlich aus den Risiken der im Portfolio enthaltenen Aktien zusammen. Es kann mit Hilfe historischer Daten durch die Volatilität der Aktienrenditen gemessen werden. Die gesamten Schwankungen der Aktienrendite zeigen dabei die systematischen und die unsystematischen Risiken der Gesellschaft auf. Beide Risiken können mit Hilfe der linearen Regression gemessen werden, wobei die Aktienrendite von der Marktrendite abhängt. Der systematische Anteil entspricht der erklärten Varianz und der unsystematische Anteil der nicht erklärten Varianz. Systematische Risiken spiegeln unter anderem die Besteuerung, die Zinsentwicklung, Konjunkturzyklen, Marktrisikoprämien und Inflation wider.40 Unsystematische Risiken resultieren unter anderem aus Branchenentwicklungen, regionale Entwicklungen sowie unternehmensspezifischen Risiken bspw. durch das Management oder die Arbeitnehmerschaft. Entsprechend kann das Risiko der Immobilienaktien in eine systematische und eine unsystematische Komponente zerlegt werden. Sofern die erwartete Rendite allein von den systematischen Risiken einer Aktie abhängt, lässt sie sich in Abhängigkeit von der erwarteten Marktrendite schätzen. Grundsätzlich wird der Portfoliomanager darauf achten, dass die Aktiengesellschaften, in die er investiert, eine bestimmte Marktkapitalisierung und eine ausreichende Liquidität auf dem Sekundärmarkt aufweisen. Sollte dies nicht gegeben sein, wird er den Marktpreis sowohl beim Kauf als auch beim Verkauf beeinflussen. Bei einem Kauf würde auf Grund des geringen Gesamtangebotes der Kurs steigen, bei einem Verkauf auf Grund der geringen Nachfrage sinken. Beides stellt für den Portfoliomanager einen Nachteil dar.

40

Vgl. Sachsenmaier (2001), S. 654.

3. Ziel der Arbeit

3.

33

Ziel der Arbeit

Die Literaturrecherche ergab, dass sich die bisherigen Untersuchungen zu Immobilienaktien ausschließlich mit Fragestellungen der Assetklassendiversifikation befassen. Teilweise wurden die Immobilienaktien als eigene Assetklasse und teilweise als Proxy für Immobilien berücksichtigt. Die vorliegende Arbeit ergänzt die bisherigen Untersuchungen, indem die Immobilienaktien im Rahmen von „Single Asset Portfolios“ betrachtet werden. Sie stellen damit keine eigene Assetklasse bzw. einen Proxy für Immobilienanlagen dar, sondern sind eine mögliche Investitionsalternative für einen Aktien-Portfoliomanager. Die Aufgabe des Aktien-Portfoliomanagers ist es, effiziente Kombinationen aus Renditeerwartung und Risiko mit einem Portfolio zu erzielen. Verschiedene Kombinationen können durch eine unterschiedliche Gewichtung der Aktien im Portfolio erreicht werden. Die erwartete Rendite und das damit verbundene Risiko hängen von den Präferenzen des Investors ab. Die Präferenzen von Investoren sind verschieden und können bspw. darin bestehen, den DAX oder ein naiv gleich gewichtetes Portfolio als Benchmark zu schlagen, ein möglichst geringes Risiko einzugehen, die Risikoprämie zu maximieren oder eine maximale Portfoliorendite zu erzielen. In Abhängigkeit von der Präferenz sind die Aktien dann im Portfolio unterschiedlich zu gewichten. Ziel der Arbeit ist es, die Zusammensetzung von Portfolios bei unterschiedlichen Präferenzen zu bestimmen. Dabei werden die Portfolios zum einen aus Standardwerten und zum anderen aus Standardwerten und Immobilienaktien gebildet. Da Immobilien vor allem als sichere Kapitalanlage wahrgenommen werden, müssten das marktspezifische Risiko und die Rendite der Immobilienaktien vor dem Hintergrund der Kapitalmarkttheorie gering ausfallen. Es wäre also zu erwarten, dass sie vor allem für riskoaverse Investoren attraktiv sind. Mit steigendem Portfoliorisiko müsste der Anteil der Immobilienaktien dann sinken. Ggfs. sind Immobilienaktien daher eine attraktive Investitionsalternative für AktienPortfoliomanager, sofern durch ihre Berücksichtigung andere Risiko-RenditeKombinationen als mit Standardwerten erzielt werden können. Zusätzlich wird die Performance der Portfolios ex post gemessen, da die Portfoliobildung auf Annahmen über die zukünftige Renditeentwicklung der Aktien beruht. Dabei werden die ex ante geschätzten Portfoliorenditen und -risiken mit den beobachteten Renditen und Volatilitäten mittels Performancemessung überprüft. Die unterschiedliche Performance der verschiedenen Portfolios kann dann zum einen auf Über- oder Unterbewertungen einzelner

34

TEIL I: Einleitung

Aktien und zum anderen auf unterschiedlich hohe unsystematische Risiken zurückgeführt werden. Analysiert wird somit der Einfluss von Immobilienaktien auf die Portfolio-Performance, gleichzeitig wird die Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos von Immobilienaktien mittels des Marktmodells beurteilt. Die Arbeit zielt darauf ab, die Unterschiede in der Performance zwischen Portfolios aus Standardwerten und Portfolios unter zusätzlicher Berücksichtigung von Immobilienaktien zunächst ex ante zu schätzen und anschließend ex post zu quantifizieren.

4. Vorgehen und Aufbau der Arbeit

4.

35

Vorgehen und Aufbau der Arbeit

Nach der Einleitung sind im zweiten Teil der Arbeit die portfoliotheoretischen Grundlagen dargestellt. Es existieren unterschiedliche Modelle zur Bestimmung des effizienten Randes als dem geometrischen Ort aller effizienten Portfolios. Obwohl alle Modelle auf der entscheidungstheoretischen Grundlage zum Wahlverhalten bei Unsicherheit beruhen, unterscheidet sich die Form des effizienten Randes auf Grund weiterer Annahmen. Diese betreffen die Möglichkeiten zum Leerverkauf von Aktien, die Existenz eines risikolosen Zinssatzes und die Möglichkeit zur Aufnahme von Fremdkapital. Analytisch sind die Renditeerwartungen, das Risiko und die Korrelationen der Aktien zu bestimmen. Diese Parameter werden mit Hilfe von Schätzverfahren ermittelt, die im Kapitel 7 im zweiten Teil der Arbeit skizziert werden. Hier stehen wiederum mehrere Modelle zur Verfügung: Zum einen das Modell der „vollen Kovarianz“, das auf historisch beobachteten Renditen, Volatilitäten und Korrelationen basiert, und zum anderen die Faktor-Modelle. Im Unterschied zum „vollen Kovarianz“Modell werden in den Faktor-Modellen systematische und unsystematische Risiken bestimmt, mit deren Hilfe die Korrelationsstruktur geschätzt wird. Die Aktienrendite wird dabei als Prozess aufgefasst, der durch einen bestimmten Einflussfaktor fremd bestimmt wird. Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Portfoliotheorie und dem Capital Asset Pricing Model (CAPM). Dieser Zusammenhang wird in Kapitel 8 verdeutlicht. Mit Hilfe des CAPM kann die Aktienbewertung ex post analysiert werden. Dem Anleger sind weder die Zusammensetzungen effizienter Portfolios noch deren Risiko-Rendite-Kombinationen bekannt. Er hat allenfalls eine unsichere Renditeerwartung bezüglich einzelner Aktien und eine Meinung über den Zusammenhang zwischen der Markt- und der Kursentwicklung dieser Aktien. Um eine erwartete Portfoliorendite zu erzielen, kann er sein Portfolio auf Basis dieser Informationen zusammensetzen. Die Zusammensetzung der effizienten Portfolios kann dann mit Hilfe des von Markowitz entwickelten „Critical Line-Algortihmus“ bestimmt werden. Er wird in Kapitel 9 beschrieben. Im dritten Teil werden vier unterschiedliche Portfoliostrategien definiert. Sie basieren auf der revolvierenden Restrukturierung von Portfolios mit unterschiedlich hohen Renditeerwartungen. Diese werden zunächst aus Standardwerten (Anlageuniversum I) und anschließend aus Standardwerten und Immobilienaktien

36

TEIL I: Einleitung

(Anlageuniversum II) gebildet. Die Portfoliostrategie kann durch einen Fondsmanager in seinem Fonds umgesetzt werden. Die erwartete Rendite und das Risiko der einzelnen Aktien werden mit Hilfe des Marktmodells geschätzt. Auf der Grundlage dieser Parameter folgt dann die Bestimmung der Zusammensetzung der effizienten Portfolios mit dem „Critical Line-Algorithmus“. Dabei wird berücksichtigt, dass Aktien nicht leer verkauft41 werden können. Vor dem Hintergrund der Kapitalmarkttheorie erhält der Investor ausschließlich eine Risikoprämie für die Übernahme von systematischen Risiken. Die unsystematischen Risiken lassen sich nur durch eine ausreichende Aktienmischung im Portfolio diversifizieren. Neben dem Modell ohne Leerverkäufe wird deshalb zusätzlich ein Modell mit der Bedingung aufgestellt, dass mindestens 10 Aktien im Portfolio enthalten sind. Dadurch wird eine Diversifikation der unsystematischen Risiken modell-spezifisch erzwungen. Die Ergebnisse basieren zunächst auf einer ex ante Analyse. Damit ist noch nicht gewährleistet, dass die Portfoliostrategien auch ex post die erwartete Entwicklung realisieren. Sie werden deshalb im vierten Teil der Arbeit einer Überprüfung unterzogen. Die Rendite sowie die Volatilität der Fonds aus Anlageuniversum I und II werden für jede Portfoliostrategie bestimmt. Zur Messung der PortfolioPerformance werden die Reward-to-Variability und das Jensen Alpha herangezogen. Die Fonds werden miteinander sowie mit der passiven Anlage im DAX bzw. einer Anlage in einem naiven Portfolio, in dem alle Aktien gleich gewichtet sind, verglichen. Zum Schluss erfolgt im fünften Teil die Würdigung und Diskussion der Ergebnisse. Dabei wird insbesondere kritisch auf die Methodik zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos eingegangen. Die folgende Grafik fasst den Aufbau sowie die Vorgehensweise der einzelnen Teile der Arbeit zusammen.

41

Bei einem Leerverkauf („short selling“) verkauft ein Anleger Aktien, ohne sie zu besitzen. In aller Regel leiht sich der Leerverkäufer die Wertpapiere am Leihemarkt. Bei Fälligkeit der Wertpapierleihe muss er sich mit den Wertpapieren am Kassamarkt eindecken, um das Leihgeschäft glattstellen zu können. Er spekuliert somit auf sinkende Kurse zwischen dem Tag des Leerverkaufs und der Fälligkeit der Wertpapierleihe. Ein liquider Leihemarkt ist jedoch für Immobilienaktien nicht bekannt. Des Weiteren ist es für Kapitalanlagegesellschaften gemäß § 59 InvG und Versicherungen verboten, Leerverkäufe durchzuführen.

4. Vorgehen und Aufbau der Arbeit

TEIL II:

37

Theoretische Grundlagen

Grundlagen der Portfoliotheorie Abgrenzung der Portfoliotheorie zur Kapitalmarkttheorie „Critical Line-Algorithmus“ zur Bestimmung der effizienten Portfolios

TEIL III:

Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Schätzung der markt- und aktienspezifischen Rendite sowie des markt- und aktienspezifischen Risikos Theorie:

Ein-Index-Modell

Methodik:

Lineare Einfachregression

4 Portfoliostrategien (36 revolvierende Portfoliorestrukturierungen) mit unterschiedlich hoher Renditeerwartung

Ermittlung der Aktiengewichte in den effizienten Portfolios Theorie: Markowitz / Sharpe Methode: „Critical Line-Algorithmus“ Vorgehen: Zwei „Investment Opportunity Sets“ Anlageuniversum II (Standardwerte und Immobilienaktien)

Anlageuniversum I (Standardwerte) Modell I

Modell II

Modell I

Modell II

• Ohne • Ohne • Ohne • Ohne Leerverkäufe Leerverkäufe Leerverkäufe Leerverkäufe • Max. 10 % d. • Max. 10 % d. PF-verm. in PF-verm. in einer Aktie einer Aktie

TEIL IV:

36 Perioden

36 Perioden

36 Perioden

36 Perioden

Ö144 PF

Ö144 PF

Ö144 PF

Ö144 PF

Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

• Portfoliorendite • Portfoliovolatilität • Bestimmtheitsmaß

• Differenzrendite (Jensen Alpha) • Reward-to-Variability Ratio (Sharpe-Maß) Zusammenfassung

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 3:

Aufbau der Arbeit

5. Methodik und Datenbasis

5.

39

Methodik und Datenbasis

Zur Bestimmung der effizienten Portfolios wird das Ein-Index-Modell von Sharpe angewandt. In diesem Modell wird davon ausgegangen, dass die Entwicklung von Aktien allein durch die Marktentwicklung erklärbar ist. Die Marktentwicklung ist jedoch nicht zu beobachten, so dass ein Proxy zur Schätzung dieser Entwicklung anzuwenden ist. Hierfür wird in aller Regel ein marktbreiter Aktienindex verwendet. Dieser sollte weitestgehend den gesamten Aktienmarkt abdecken und die Aktien entsprechend ihrer Marktkapitalisierung gewichten. Der CDAX erfüllt diese Kriterien vergleichsweise gut und wird deshalb in der vorliegenden Untersuchung als Proxy zu Grunde gelegt. Die monatlichen Levels des CDAX wurden Reuters 3000 Xtra entnommen. Sie liegen für den Zeitraum vom 30.12.1994 bis zum 30.12.2002 vor. Die Kurshistorien der Aktien für den gleichen Zeitraum wurden der Datenbank von Datastream entnommen. Dabei stehen zwei unterschiedliche Zeitreihen für die Kurshistorien einer Aktie zur Verfügung. Beide sind um Bezugsrechterlöse adjustiert. Eine der beiden Kurszeitreihen berücksichtigt darüber hinaus auch die Dividendenzahlungen der jeweiligen Aktiengesellschaft, so dass mit Hilfe dieser Zeitreihen nicht nur die Kurs-, sondern auch die Gesamtperformance der Aktie gemessen werden kann. Aus zwei Gründen wird die Kurshistorie mit entsprechender Adjustierung der Dividendenzahlungen angewendet: Zum einen orientiert sich der Anleger nicht an der Kurs-, sondern an der Gesamtperformance einer Aktie, zum anderen fließen ebenfalls die Dividendenzahlungen bei der Ermittlung der CDAX-Level ein. Entsprechende Kurshistorien können aus der Datenbank von Thomson Datastream mit Hilfe der ISIN42 und des Zusatzes (RI) abgerufen werden. Zur Bestimmung von Überschussrenditen über dem risikolosen Zinssatz r f wurde der Ein-Monats-Euribor43 Geldmarktsatz als risikoloser Zinssatz angenommen. Auch er wurde mit Hilfe des Codes EIBXR1M der Datenbank von Thomson Datastream entnommen. Da dieser Zinssatz annualisiert ausgewiesen ist, wurde er zunächst auf eine monatliche Zinsperiode umgerechnet. Mit Hilfe dieser Daten können für alle Aktien durch Regression der Aktien- auf die Marktentwicklung sowohl die aktienspezifische Rendite α als auch die Marktsensitivität β geschätzt werden. Bei zusätzlicher Berücksichtigung eines

42 43

ISIN steht für International Security Identification Number. Euribor steht für European Interbank Offered Rate.

40

TEIL I: Einleitung

Schätzers für den Gesamtmarkt lassen sich dann die Aktienrenditen und die Kovarianzen der Aktien untereinander bei Annahme des Ein-Index-Modells schätzen. Das gesamte Aktienrisiko setzt sich aus dem markt- und aktienspezifischen Risiko zusammen. Das marktspezifische Risiko kann mit Hilfe des Marktrisikos und der Marktsensitivität β geschätzt werden. Für das aktienspezifische Risiko hingegen wird ein weiterer Schätzer benötigt. Dieser lässt sich mit Hilfe der bereits oben erwähnten Regressionsanalyse ermitteln. Sofern alle n aktienspezifischen Renditen α , n Marktsensitivitäten β und n aktienspezifischen Risiken sowie die Marktrendite und das Marktrisiko geschätzt sind, kann mit Hilfe des „Critical Line-Algorithmus“ von Markowitz die Zusammensetzung effizienter Portfolios bestimmt werden. Die Anwendung des Algorithmus erfolgte im Rahmen der Arbeit mit Hilfe des Programmcode von Todd.44 Auf der Basis der zur Verfügung stehenden Datenreihen ist der Schätzzeitraum ausreichend lang zu wählen, so dass eine Übernahme von Marktrisiken grundsätzlich mit einer positiven Erwartung für die Marktentwicklung verbunden ist. Weiterhin bedarf es einer ausreichenden Anzahl an Beobachtungsperioden, um die Performance sowie die erklärten und nicht erklärten Abweichungen der Portfolios ex post quantifizieren zu können. Damit diese beiden Voraussetzungen erfüllt sind, wurden eine Schätzperiode von 60 Monaten und eine Halteperiode von einem Monat gewählt. Insgesamt ergeben sich somit vor dem Hintergrund der 96 Monate (8 Jahre) umfassenden Datenhistorie 36 Halteperioden.

44

Vgl. Markowitz (2000), S. 301 ff.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

41

TEIL II: Theoretische Grundlagen 6.

Portfoliotheoretische Grundlagen

Die Portfoliotheorie basiert auf Annahmen über den Markt und das Wahlverhalten von Investoren. Die Annahmen über das Wahlverhalten beruhen dabei auf den entscheidungstheoretischen Grundlagen zur Bewertung von Investitionen bei Unsicherheit.

6.1.

Annahmen über das Wahlverhalten der Investoren und die Eigenschaften des Marktes

Der modernen Portfoliotheorie liegen Wahlverhalten der Investoren zu Grunde:45

die

folgenden

Annahmen

zum

Der Investor hat einen Anlagehorizont von einer Periode. 1. Der Anleger maximiert den Nutzen der unsicheren Portfoliorendite U(r). Dabei tritt kein Sättigungseffekt ein. Die erste Ableitung der Nutzenfunktion ist somit positiv. 2. Der Anleger ist risikoscheu (risikoavers). Dies impliziert, dass bei gleicher Renditeerwartung die Anlage mit geringerem Risiko bevorzugt wird. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion ist negativ. 3. Die Anleger wenden das µσ-Prinzip an. Sie beurteilen die Wertpapiere mit Hilfe der Renditeerwartung und ihrer Streuung. Dabei kann sowohl die Standardabweichung als auch die Varianz verwendet werden. 4. Die 2. und 3. Annahme zusammengenommen bedeuten, dass die Nutzenfunktion einen positiven, abnehmenden Grenznutzen aufweist. Die 4. Annahme ist unter bestimmten Umständen mit dem Bernoulli-Prinzip46 vereinbar. Es besagt, dass bei Entscheidungen unter Unsicherheit der Erwartungswert der Nutzenfunktion (Erwartungsnutzen) zu maximieren ist. Hieraus resultieren unter bestimmten Bedingungen Präferenzfunktionen, die nur von der erwarteten Rendite und dem Risiko abhängen. 45

46

Verschiedene Autoren haben diese bereits zusammengefasst. Vgl. u.a. Auckenthaler (1994), S. 154 f., Uhlir, Steiner (2001), S. 134 -136, Alexander, Sharpe (1989), S. 109 – 119. Vgl. Franke, Hax (2004), S. 298 – 301.

42

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Die Präferenzfunktion normalverteilter Renditen und exponentieller Nutzenfunktion lautet:

[ (

U = − exp − a µ − 0,5aσ 2

)]

Die Präferenzfunktion beliebig verteilter Renditen und quadratischer Nutzenfunktion lautet:

(

U = aµ + b σ 2 + µ 2

)

Beide bilden eine Schar von Indifferenzkurven im (µσ)-Raum. Aus Abb. 4 ist zu erkennen, dass für die Präferenzfunktion normalverteilter Renditen bei konstantem Risiko σ durch eine Erhöhung der Renditeerwartung ein höheres Nutzenniveau erreicht wird. Gleiches gilt für die der quadratischen Nutzenfunktion zugeordneten Präferenzfunktion im Bereich für µ < - a/2b. Indifferenzkurven normalverteilter Renditen und exponentieller Nutzenfunktion Standardabweichung σ

Standardabweichung σ

Indifferrenzkurven bei beliebig verteilten Renditen und quadratischer Nutzenfunktion

Renditeerwartung µ

-a/2b

Quelle:

In Anlehnung an Franke, Hax (2004), S. 308 f.

Abb. 4:

Indifferenzkurven bei exponentieller und quadratischer Nutzenfunktion

Renditeerwartung µ

Somit folgt aus Annahme 4, dass die 5. und 6. Annahme alternativ betrachtet werden können: 5. Der Anleger trifft seine Anlageentscheidungen anhand einer exponentiellen Nutzenfunktion, die Renditen der Wertpapiere sind normalverteilt. 6. Der Anleger trifft seine Anlageentscheidung anhand einer quadratischen Nutzenfunktion U(r) = ar + br2 mit a > 0 und b < 0. Dabei kann jedoch nur der aufsteigende Ast bis µ < - a/2b relevant sein. Die letzte Annahme zum Wahlverhalten der Investoren lautet:

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

43

7. Der Investor kann die erwartete Rendite, die Varianzen sowie die Kovarianzen der Wertpapiere untereinander ermitteln. Über den Markt und die riskanten Anlagen werden die folgenden Annahmen getroffen: 8. Die Wertpapiere sind beliebig teilbar. Es können kleinste Teile von den Anlagen erworben werden. 9. Es existieren keine Transaktionskosten, Steuern oder sonstigen Restriktionen, welche die Renditen beeinflussen. 10. Der Investor ist Preisnehmer und wird durch seine Kauf- oder Verkaufaufträge keinen Einfluss auf den Preis der Wertpapiere ausüben. 11. Leerverkäufe sind ausgeschlossen. In verschiedenen Modellen werden noch weitere Annahmen getroffen bzw. einzelne Annahmen geändert. Sie sind in den entsprechenden Kapiteln aufgeführt.

6.2.

Die erwartete Rendite und das Risiko von Portfolios

Die erwartete Portfoliorendite µ PF wird als gewogener Durchschnitt der erwarteten Renditen aller im Portfolio enthaltenen Wertpapiere µ i ermittelt. Dabei entspricht xi dem Anteil des Wertpapiers i im Portfolio. Gemäß der Annahme 11 in Kapitel 6.1 sind Leerverkäufe ausgeschlossen, so dass für die erwartete Portfoliorendite gilt: n

µ PF = ∑ x i µ i

(1)

i =1

2 aus n unterschiedlichen Aktien entspricht nur in Die Varianz eines Portfolios σ PF Ausnahmefällen der Summe der einzelnen Varianzen σ i2 . Dies ist jedoch nur theoretisch der Fall, sofern sich alle Wertpapiere vollkommen unabhängig voneinander entwickeln. Auf Grund der zu beobachtenden korrelierenden Entwicklungen von Aktienrenditen ist dieser Fall unrealistisch. Neben den Varianzen der Wertpapierrenditen sind zusätzlich noch die Kovarianzen bzw. Korrelationen der Renditen untereinander zu berücksichtigen.47

wobei

47

n

n −1 n

i =1

i =1 j > i

2 σ PF = ∑ x i2σ i2 + 2 ∑ ∑ x i x j σ i , j

(2)

Cov(ri , rj ) = σ i , j

Zur Herleitung der Formel vgl. Markowitz (2000), S. 18 f. oder Uhlir, Steiner (2001), S. 137 f.

44

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Teilweise wird der Zusammenhang zwischen den Wertpapieren auch durch die Korrelation angegeben. Wegen

ρi , j =

Cov(ri , rj )

σ iσ j

gilt für die Portfoliovarianz (3)

n

n −1 n

i =1

i =1 j > i

2 σ PF = ∑ x i2σ i2 + 2 ∑ ∑ x i x j σ i σ j ρ i , j

2 Aus (2) und (3) ist zu erkennen, dass die Portfoliovarianz σ PF sowohl von den 2 Varianzen σ i der einzelnen Wertpapiere i als auch von den Kovarianzen σ i, j bzw. Korrelationen ρi, j der Wertpapiere untereinander beeinflusst wird. Dies wird im Folgenden exemplarisch durch den Zwei-Anlagen-Fall dargestellt.

6.3.

Der Zwei-Anlagen-Fall

Die Ausprägung der Effizienzkurve lässt sich beispielhaft mit zwei Anlagen verdeutlichen. Das Risiko σ i und die Renditeerwartung µ i betragen dabei für Anlage 1 µ1 = 5 % und σ 12 = 15 % ( σ 1 = 38,7 %), für Anlage 2 µ 2 = 9 % und σ 22 = 20 % ( σ 2 = 44,7 %). Je nach Gewichtung der Anlagen 1 und 2 ergibt sich im Portfolio ein anderes Risiko-Renditeprofil. Neben den Varianzen der Aktien beeinflussen die Kovarianzen bzw. die Korrelationen das Portfoliorisiko. So ergeben sich in Abhängigkeit vom Korrelationskoeffizienten unterschiedliche µσ -Kombinationen. In Tab. 1 sind Portfolios aus den beiden Anlagen dargestellt, hierbei werden unterschiedliche Korrelationen zwischen den beiden Anlagen angenommen. Das Risiko σi und die Renditeerwartung µi der jeweiligen Anlagen sind unverändert. Grafisch kann der Zusammenhang zwischen dem Risiko und der Renditeerwartung im µσ -Raum und im σµ -Raum dargestellt werden. Die möglichen Kombinationen zwischen den beiden Anlagen sehen dann in Abhängigkeit von ihrer Korrelation (Portfolio 1, 2 und 3) aus wie in Abb. 5 dargestellt.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

45

Portfolio 1

Portfolio 2

Portfolio 3

ρ1,2=1

ρ1,2= - 1

ρ1,2=0

Mögliche

Gewichtung

Varianten

Anlage 1

Anlage 2

µPF

σPF

µPF

σPF

µPF

σPF

1

100%

0%

5,00%

38,73%

5,00%

38,73%

5,00%

38,73%

2

80%

20%

5,80%

39,93%

5,80%

22,04%

5,80%

32,25%

3

60%

40%

6,60%

41,13%

6,60%

5,35%

6,60%

29,33%

4

53%

46%

6,82%

41,30%

6,82%

0,00%

6,82%

29,20%

5

40%

60%

7,40%

42,32%

7,40%

11,34%

7,40%

30,98%

6

20%

80%

8,20%

43,52%

8,20%

28,03%

8,20%

36,61%

7

0%

100%

9,00%

44,72%

9,00%

44,72%

9,00%

44,72%

Tab. 1:

Renditeerwartung und Risiko von Portfolios aus zwei Anlagen B

ρ1,2= -1 ρ1,2=0

ρ1,2=1

A

Risiko σPF

In Anlehnung an Auckenthaler (1994), S. 158.

Renditeerwartung µ

Quelle:

Α

ρ1,2=1

Β

ρ1,2=0

ρ1,2= −1

Risiko σPF

Rendite µ

Quelle:

In Anlehnung an Auckenthaler (1994), S. 158, bzw. Perridon, Steiner (1993), S. 24448.

Abb. 5:

Rendite-Risiko-Kombinationen im µσ - und σµ -Raum für zwei Anlagen

48

In der 11. Auflage des Buches von Perridon, Steiner (2002) ist der σµ -Raum nicht mehr dargestellt.

46

TEIL II: Theoretische Grundlagen

A entspricht dabei dem Portfolio, das zu 100 % aus Anlage 1 besteht, B besteht zu 100 % aus Anlage 2. Die Verbindungslinien zwischen A und B stellen alle Kombinationen aus den beiden Wertpapieren dar. Aus den Diagrammen ist zu erkennen, dass das Risiko eines Portfolios aus den Anlage 1 und 2 umso stärker reduziert werden kann, je kleiner die Korrelation zwischen den beiden Anlagen ist. Dieser Effekt lässt sich formal bei zwei Anlagen unter Berücksichtigung von (2) nachvollziehen. Danach kann die Varianz bzw. das Risiko des Portfolios wie folgt ermittelt werden: (4)

2 σ PF = x12σ12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ1,2 = x12σ12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ1σ 2 ρ1,2 bzw.

(5)

σ PF = x12σ12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ1,2 = x12σ12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ1σ 2 ρ1,2

Zur Analyse des Diversifikationseffektes werden vier mögliche Korrelationen zwischen den beiden Anlagen betrachtet. Neben den bereits im Diagramm dargestellten Fällen der vollständig positiven und negativen Korrelation sowie der Unkorreliertheit wird zusätzlich noch der Fall 0 < ρ1,2 < 1 betrachtet. Fall 1 (ρ1,2 = 1): Sofern die Wertpapiere perfekt miteinander korrelieren, liegen alle Portfolios auf einer Geraden, die zwischen den beiden Anlagen verläuft.49 Somit ist die erwartete Portfoliorendite linear vom Portfoliorisiko σPF abhängig. Die Gerade lässt sich im µσ -Raum wie folgt ermitteln: ⎛

⎞ ⎛µ −µ ⎞

µ −µ

µ PF = ⎜⎜ µ2 − 1 2 σ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟σ PF σ −σ σ −σ ⎝

1

2

⎠ ⎝

1

2

⎠

Die Volatilität σ PF des Portfolios gemäß (5) entspricht in diesem Fall dem gewichteten Mittel der Volatilitäten der einzelnen Aktien und stellt sich formal wie folgt dar:

49

Bei einer Korrelation von 1 beträgt die Volatilität des Portfolios

σ PF = x12 σ 12 + 2 x1 x 2 σ 1 σ 2 + x 22 σ 22 Setzt man nun x2 = 1 − x1 , dann gilt: σ PF = x12 σ12 + 2 x1( 1 − x1 )σ1σ 2 + ( 1 − x1 )2 σ 22 Dies wiederum entspricht:

σ PF = x1σ1 + ( 1 − x1 )σ 2 , so dass x1 =

σ PF − σ 2 gilt. σ1 − σ 2

Eingesetzt in die Gleichung für µ PF = x1 µ1 + (1 − x1 )µ 2 ergibt sich nach Umformungen die lineare Beziehung zwischen σPF und E(rPF): ⎛ ⎞ ⎛µ −µ ⎞ µ −µ µ PF = ⎜⎜ µ2 − 1 2 σ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟σ PF σ1 − σ 2 ⎠ ⎝ σ1 − σ 2 ⎠ ⎝

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

σ PF = x12σ12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ1σ 2 =

(x1σ 1 + x2σ 2 )2

47

= x1σ 1 + x2σ 2

Das risikominimale Portfolio besteht somit ausschließlich aus der Aktie mit der kleinsten Volatilität. Fall 2 (ρ1,2 = -1): Im Portfolio 2 sind die Wertpapiere negativ korreliert. Aus Abb. 5 geht hervor, dass das gesamte Risiko vernichtet werden kann. Gleichzeitig ist die Renditeerwartung im Vergleich zu einer vollständigen Investition in Anlage 1 (Portfolio A) höher. Es lässt sich analog zum Vorgehen in Fußnote 49 zeigen50, dass alle Kombinationen der Anlagen 1 und 2 auf zwei Geraden liegen. Die beiden Geraden lassen sich im µσ -Raum wie folgt ermitteln: Entweder: oder:

⎛

µ −µ

⎛µ − µ ⎞

⎞

2 ⎟⎟σ PF µ PF = ⎜⎜ µ2 − 1 2 σ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 σ1 − σ 2 ⎠ ⎝ σ1 − σ 2 ⎠ ⎝

⎛

µ −µ

⎞

⎛ µ −µ

⎞

2 ⎟⎟σ PF µ PF = ⎜⎜ µ2 − 1 2 σ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 − σ1 − σ 2 ⎝ ⎠ ⎝ − σ1 − σ 2 ⎠

Die Kombinationen der beiden Wertpapiere sind somit linear vom Portfoliorisiko σPF abhängig. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt, wie in Abb. 5 dargestellt, auf der Ordinate.51 Das Gewicht der beiden Anlagen im risikominimalen Portfolio lässt sich dann aus (5) unter Berücksichtigung, dass σ PF = 0 in Abhängigkeit vom Risiko σ 1 und σ 2 der beiden Anlagen ermitteln:

x1 =

σ2 bzw. x2 = 1 − x1 σ1 + σ 2

Im Unterschied zu Fall 1 besteht das risikominimale Portfolio somit nicht vollständig aus Anlage 1, sondern aus einer Mischung zwischen Anlage 1 und 2. Fall 3 (ρ1,2 = 0): Sind die beiden Anlagen unkorreliert, lässt sich (5) für das Portfoliorisiko wie folgt zusammenfassen:

50

Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 73.

51

Vgl. Abb. 5.

48

TEIL II: Theoretische Grundlagen

σ PF = x12σ12 + ( 1 − x1 )2σ 22 Den Anteil x1 der Anlage 1 im risikominimalen Portfolio erhält man, indem die Ableitung nach x1 und Null gesetzt wird. Er ist dann abhängig von den Varianzen σ 12 und σ 22 der beiden Anlagen:

x1 =

σ 22 σ 22 + σ12

Die Anlage 2 hat einen Anteil von x2=1-x1. Im Unterschied zu Fall 1 und 2 lässt sich die Lage der effizienten Portfolios bei unkorrelierten Wertpapieren nicht mehr linear in Abhängigkeit vom Portfoliorisiko σ PF in Abb. 5 darstellen. Das risikominimale Portfolio besteht in diesem Fall analog zu Fall 2 nicht aus dem varianzminimalen Wertpapier, sondern aus einer Mischung zwischen Anlage 1 und 2. Sofern die Anlagen weder vollständig (positiv oder negativ) korreliert noch vollkommen unkorreliert sind, ist ein allgemeiner Lösungsweg zu verwenden.

Fall 4 (0 < ρ1,2 < 1): Die Lösung in diesem Fall kann grundsätzlich auch für Korrelationen zwischen -1 und 0 angewendet werden. In der Realität dürfte jedoch zumeist der Fall einer positiven Korrelation zwischen 0 und 1 zu beobachten sein. Das risikominimale Portfolio erhält man, indem x 2 durch (1 - x1 ) in (5) ersetzt und anschließend minimiert wird. Dies erfolgt durch Ableitung des Portfoliorisikos σ PF nach x1:

[

2 2 2 ∂σ PF ⎛ 1 ⎞ 2 x1σ1 − 2σ 2 + 2 x1σ 2 + 2σ1σ 2 ρ1,2 − 4 x1σ1σ 2 ρ1,2 =⎜ ⎟ 1/ 2 ∂x1 ⎝ 2 ⎠ x12σ12 + ( 1 − x1 )2σ 22 + 2 x1( 1 − x1 )σ1σ 2 ρ1,2

[

]

]

.

Durch Nullsetzen und Umformen der Gleichung nach x1 erhält man den Anteil der Anlage 1 im risikominimalen52 Portfolio:

x1 =

σ 22 − σ1σ 2 ρ1,2 σ 22

+ σ12 − 2σ1σ 2 ρ1,2

Im Unterschied zu den vorherigen Portfolios in den Fällen 1 bis 3 ist in dieser Gleichung neben den Volatilitäten σ 1 und σ 2 bzw. den Varianzen σ 12 und σ 22 der Aktien auch die Korrelation ρ1, 2 zwischen den beiden Aktien heranzuziehen. 52

Um tatsächlich das Minimum zu erhalten, muss zusätzlich auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, dass die zweite Ableitung positiv ist.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

49

Aus den 4 Fällen ist zu erkennen, dass durch die Mischung der beiden Anlagen eine Risikoreduktion erfolgen kann, sofern diese nicht vollkommen positiv miteinander korreliert sind. Je geringer die Korrelation ausfällt, desto größer ist die Risikoreduktion. Die isolierte Betrachtung einzelner Anlagen kann zu falschen Entscheidungen führen. So besteht das risikominimale Portfolio nicht unbedingt aus der Anlage mit der geringsten Varianz, sondern aus einer Mischung verschiedener Anlagen. Allein durch eine naive Diversifikation kann das Risiko reduziert werden. Die Höhe ist von der Korrelation der Anlagen abhängig. In der Realität werden zumeist Korrelationen zwischen 0,5 und 0,9 beobachtet,53 so dass eine gewisse Risikoreduktion zu erwarten ist.

6.4.

Die Menge aller Portfolios

Im Zwei-Anlagen-Fall ist zu erkennen, dass nur im Fall 1 in Kapitel 6.3 bei perfekt positiv korrelierten Wertpapieren die Menge aller möglichen Portfolios auf einer Linie im µσ -Raum liegen (vgl. Abb. 5). Ansonsten liegen sie oberhalb der Verbindungslinie AB auf einer konkaven bzw. konvexen Kurve im µσ -Raum bzw. im σµ -Raum. Werden mehr als zwei Wertpapiere berücksichtigt, liegen die möglichen Portfolios nicht mehr auf einer Linie, sondern decken eine Fläche im Raum ab. Diese Fläche ist im µσ -Raum wiederum links durch eine konkave Linie und im σµ -Raum durch eine konvexe Kurve begrenzt. In Abb. 6 sind die Portfolios A und B dargestellt. Das Portfolio A hat dabei die Eigenschaft, dass kein Portfolio ein geringeres Risiko aufweist. Es ist das Minimum-Varianz-Portfolio bzw. risikominimale Portfolio. Das Portfolio B hingegen weist die Eigenschaft auf, dass kein anderes Portfolio existiert, das einen höheren Ertrag erwarten lässt. Es besteht allein aus der Aktie mit der höchsten Renditeerwartung.

53

Vgl. Uhlir, Steiner (2001), S. 167.

x B C

x

Renditeerwartung µ

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Risiko σ

50

D x

B

x

Ax

xC

x x

A

D

Renditeerwartung µ

Risiko σ

Quelle:

In Anlehnung an Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 172 bzw. Sharpe (1964), S. 429.

Abb. 6:

Menge aller Portfolios im µσ -Raum

Insgesamt entspricht die Fläche aller möglichen Portfolios normalerweise der Form eines Regenschirms. In Abhängigkeit von den betrachteten Wertpapieren kann diese Fläche nach rechts oder links, oben oder unten versetzt sowie breiter oder dünner sein.54 Von der Menge aller möglichen Kombinationen interessiert den Anleger auf Grund des µσ -Prinzips ausschließlich die Menge der effizienten Portfolios. Zur Ermittlung effizienter Portfolios existieren verschiedene Modelle. Sie unterscheiden sich durch die Annahmen über den Renditeprozess. Die Zusammensetzung der effizienten Portfolios lässt sich dann über den „Critical Line-Algorithmus“ ermitteln.

6.5.

Modelle zur Bestimmung des effizienten Randes

Zur Bestimmung effizienter Portfolios existieren verschiedene Modelle zur Portfoliooptimierung. Sie unterscheiden sich dabei zum einen durch die Annahmen über die Möglichkeiten zum Leerverkauf von Aktien und zum anderen über die Annahme zur Möglichkeit der Aufnahme bzw. Anlage von Kapital zum risikolosen Zinssatz. Die Modelle sind in den folgenden Abschnitten dargestellt. 54

Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 172. Hierbei gibt es Ausnahmen. Bspw. kann es sein, dass die unteren Begrenzungen nicht kurvenförmig, sondern linear verlaufen. Dies ist jedoch nicht weiter von Interesse, da im Rahmen der Portfoliooptimierung der effiziente Rand interessiert, der davon nicht betroffen ist.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

6.5.1.

51

Das Standardmodell von Markowitz

Das Modell von Markowitz beruht auf den im Kapitel 6.1 getroffenen Annahmen. Nach dem µσ-Prinzip sind alle Portfolios zu ermitteln, die entweder bei gegebener Renditeerwartung das geringste Risiko oder bei gegebenem Risiko die höchste Renditeerwartung aufweisen. In der Abb. 6 erfüllen alle Portfolios auf dem Rand zwischen A (Minimum-Varianz-Portfolio) und B (renditemaximierendes Portfolio bzw. Aktie mit der höchsten Renditeerwartung) diese Bedingung. Obwohl die Portfolios C und D in Abb. 6 auf dem Rand der Menge aller möglichen Portfolios liegen, sind sie nicht effizient. Für diese beiden Portfolios sowie allen Portfolios innerhalb des umrissenen Randes existieren alternative Portfolios entweder mit einer höheren Renditeerwartung und gleichem Risiko (bspw. Portfolio B gegenüber C) oder gleicher Renditeerwartung und geringerem Risiko (bspw. Portfolio A gegenüber D). Analytisch lassen sich die effizienten Portfolios ermitteln, indem die Portfoliovarianz minimiert und als Nebenbedingung die Renditeerwartung vorgegeben wird. Darüber hinaus sind das Verbot von Leerverkäufen sowie die Vollinvestition des gesamten Kapitals zu berücksichtigen. Die Portfoliovarianz ergibt sich gemäß (2). Das gesamte Modell sieht dann wie folgt aus: Zielfunktion: n

n −1 n

i =1

i =1 j > i

2 σ PF = ∑ xi2σ i2 + 2 ∑ ∑ xi x jσ i , j → Min!

unter den Nebenbedingungen: n

µ PF = ∑ x i µ i I =1

n

∑ xi i =1

=1

xi ≥ 0 Die erste Nebenbedingung spiegelt dabei die Renditeerwartung, die zweite die Vollinvestition und die dritte das Verbot von Leerverkäufen wider. Zur Lösung des Modells hat Markowitz55 den „Critical Line-Algorithmus“56 vorgestellt. Dabei

55 56

Vgl. Markowitz (1956), S. 111 - 133. Vgl. Kapitel 9.1.

52

TEIL II: Theoretische Grundlagen

wird zunächst mit Hilfe des Simplexverfahrens57 das Portfolio mit dem maximalen Ertrag bestimmt. Anschließend kann dann mit Hilfe des „Critical LineAlgorithmus“ die Zusammensetzung der Portfolios für einzelne Segmente auf dem effizienten Rand ermittelt werden. Innerhalb der Segmente verändern sich die Gewichte der enthaltenen Aktien proportional, die Zusammensetzung der Portfolios ändert sich jedoch nicht.

6.5.2. Das Standardmodell zuzüglich risikolosem Zinssatz Tobin58, Sharpe59 und Lintner60 erweitern das Standardmodell von Markowitz um die Annahme der Existenz eines risikolosen Zinssatzes. Markowitz61 bezeichnet es deshalb auch als Tobin-Sharpe-Lintner-Modell. In diesem Modell kann der Anleger Kapital zum risikofreien Zinssatz rf sowohl aufnehmen als auch anlegen. Durch Einführung dieser zusätzlichen Prämisse ändert sich die Form des effizienten Randes und stellt letztlich eine Gerade im µσ -Raum dar. Die entsprechende Herleitung ist in Kapitel 6.5.2.1 dargestellt. Das Modell zur Bestimmung der effizienten Portfolios bzw. der Zusammensetzung der riskanten Portofolios ist in Kapitel 6.5.2.2 formuliert. Darüber hinaus reduziert sich die Mischungsproblematik der Anlagen auf die Verteilung des Kapitals zwischen risikoloser Anlage und riskantem Tangential-Portfolio. Diese Reduktion des Asset Allocation-Prozesses ist im Separationstheorem in Kapitel 6.5.2.3 zusammengefasst.

6.5.2.1.

Portfoliorendite und -risiko bei riskanter und risikoloser Anlage

Unter der Annahme, dass der Investor den Anteil x in riskante Anlagen und den Anteil (1-x) in risikolose Anlagen investiert, berechnet sich die Portfoliorendite wie folgt: (6)

µ PF = xµ r + (1 − x )rf ⇔ µ PF = rf + x(µr − rf )

µ r spiegelt dabei die Portfoliorendite der riskanten Anlagen, r f den risikolosen Zinssatz und µ PF die Portfoliorendite aus riskanter und risikoloser Anlage wider. x kann dabei Werte größer als 1 annehmen. In diesem Fall würde Kapital durch den Investor aufgenommen und in den riskanten Anlagen investiert werden. 57

58 59 60 61

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 185 - 191. Ein numerisches Beispiel ist in Rudolf (1996), S. 49 - 52 gegeben. Vgl. Tobin (1958), S. 65 - 86. Vgl. Sharpe (1964), S. 425 - 442. Vgl. Lintner (1965), S. 13 – 37. Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 38.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

53

Die Varianz des Portfolios62 aus risikoloser und riskanter Anlage ermittelt sich dann gemäß (7)

2 2 σ PF = x 2σ r2 + (1 − x ) σ 2f + 2 x(1 − x )σ r , f ,

wobei σ r das Risiko der riskanten Anlage, σ f die Standardabweichung der risikolosen Anlage und σ r, f die Kovarianz zwischen den riskanten Anlagen und der risikolosen Anlage darstellt. Da r f per Definition risikolos ist, gilt:

σ 2f = σ r , f = 0 , so dass sich die Portfoliovarianz gemäß (7) vereinfachen lässt: 2 σ PF = x 2σ r2 bzw. σ PF = xσ r

Das Portfoliorisiko in Form der Standardabweichung ist somit eine lineare Funktion ausschließlich in Abhängigkeit von der Gewichtung der riskanten Anlage und deren Risiko. x stellt dabei den Anteil der riskanten Anlagen im Portfolio dar. Umgekehrt ist der Anteil der riskanten Anlagen im Portfolio abhängig vom Verhältnis zwischen Portfoliorisiko und Risiko der riskanten Anlagen. Dies stellt sich formal wie folgt dar: (8)

x=

σ PF σr

Wird dieser Ausdruck in (6) eingesetzt, ist zu erkennen, dass die erwartete Portfoliorendite linear vom Risiko des Portfolios aus risikoloser und riskanter Anlage σ PF und dem Risiko der riskanten Anlagen σ r abhängt. (9)

µ PF = rf +

σ PF (µr − rf ) ⇔ µ PF = rf + (µr − rf )σ PF , σr σr

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 7 grafisch dargestellt. Der Ordinatenabschnitt der Geraden zwischen rf und Q beträgt rf und die Steigung (µQ-rf)/σQ. Q entspricht einem Portfolio, das allein aus riskanten Anlagen besteht. Portfolios, die auf der Geraden rechts vom Portfolio Q liegen, bestehen aus riskanten Anlagen und einer zusätzlichen Aufnahme von Kapital durch den Anleger. Links von Q bestehen die Portfolios aus riskanten Anlagen und risikoloser Anlage.

62

Vgl. Gleichung (4).

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Renditeerwartung µ

54

Q'

Aufnahme

µQ

Q

Anlage rf

σQ

Standardabweichung σ

Quelle:

In Anlehnung an Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 86.

Abb. 7:

Renditeerwartung und Risiko bei risikolosem Zins und riskanter Anlage

Entspricht Q einem effizienten Portfolio im Standardmodell von Markowitz, so ist die Effizienz im Modell von Tobin-Sharpe-Lintner nur gegeben, sofern das Portfolio Q dem Tangentialpunkt der Geraden und dem effizienten Rand des Standardmodells entspricht. Ist Q irgendein anderer Punkt auf dem effizienten Rand, so lassen sich Portfolios mit einer höheren Renditeerwartung bei gleichem Portfoliorisiko erreichen, bei gleicher Renditeerwartung ergibt sich ein geringeres Portfoliorisiko. In Abb. 8 ist das Portfolio Q kein effizientes Portfolio, denn es existiert ein Portfolio auf der Geraden zwischen rf und TP, das bei gleichem Risiko eine höhere Renditeerwartung bzw. ein geringeres Risiko bei gleicher Renditeerwartung hat.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

Renditeerwartung µ

55

TP' Q'

P'

TP

Q P rf

Standardabweichung σ Quelle:

In Anlehnung an Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 87.

Abb. 8:

Kombinationen von risikolosem Zins und riskanten Portfolios

Die Gerade durch rf und TP entspricht der Tangente an den effizienten Rand der riskanten Anlagen. TP wird als Tangential-Portfolio bezeichnet. Die Tangente maximiert die Steigung der Geraden mit dem Ordinatenabschnitt rf und der Steigung (µr-rf)/σr.

6.5.2.2.

Das Modell

Die Investoren können zum risikolosen Zinssatz rf ihr Kapital anlegen oder zusätzlich Kapital aufnehmen. rf ist risikolos, so dass seine Varianz bzw. Standardabweichung Null entspricht. Die Kovarianz mit riskanten Wertpapieren ist ebenso Null.

56

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Im Vergleich zum Standardmodell von Markowitz ändert sich dadurch die Formulierung der Nebenbedingungen. Neben der ersten Nebenbedingung, dass die gesuchte Lösung die Renditeerwartung des Investors erfüllt, wird eine zweite Nebenbedingung im Modell aufgenommen. Die zweite Nebenbedingung fordert, dass xn+1 positiv ist, sofern der Investor zum risikolosen Zinssatz das Kapital aufnimmt, und negativ, wenn er das Kapital zum risikolosen Zins anlegt. Der risikolose Zinssatz wird dabei mit µn+1=-rf angegeben. Somit wird im Fall der Aufnahme (positives xn+1) die Portfoliorendite um die Zinsbelastung reduziert und bei Anlage (negatives xn+1) um den Zinsertrag erhöht (s. erste Nebenbedingung im folgenden Modell). Die Portfoliovarianz als Zielfunktion kann wie im Standardmodell ermittelt werden. xn+1 ist nicht zu berücksichtigen, da das Risiko und die Kovarianzen des risikolosen Zinssatzes Null entsprechen und somit die Portfoliovarianz nicht beeinflussen. Formal sieht das Modell wie folgt aus: Zielfunktion: n

n −1 n

i =1

i =1 j > i

2 σ PF = ∑ xi2σ i2 + 2 ∑ ∑ xi x jσ i , j → Min!

unter den Nebenbedingungen: n +1

µ PF = ∑ x i µ i I =1

n

n

i =1

i =1

∑ xi = 1 + xn +1 bzw. ∑ xi − xn +1 = 1 x i ≥ 0 für i = 1 bis n; x n +1 ≥ −1 Verschiedene Autoren63 schlagen statt einer Minimierung der Portfoliovarianz eine Maximierung von θ als Zielfunktion vor. Das Modell sieht dann wie folgt aus:

63

Bspw. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 100, oder Hübner, Schwaiger, Winkler (2003), S. 565 576.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

57

Zielfunktion:

θ=

µr − rf → Max! σ PF

unter den Nebenbedingungen: n

∑ xi i =1

=1

xi ≥ 0 Der Zähler der Zielfunktion θ entspricht der Differenz zwischen der Rendite des riskanten Portfolios und dem risikolosen Zinssatz. Der Nenner ist die Quadratwurzel der Portfoliovarianz gemäß (2) und entspricht somit der Standardabweichung des riskanten Portfolios. θ stellt die Steigung der Geraden in Abb. 8 durch rf dar. Durch die Maximierung der Zielfunktion θ wird somit die Steigung dieser Geraden maximiert. Im Maximum entspricht die Lösung demnach dem Tangential-Portfolio TP. Bei Betrachtung von µr − rf als Risikoprämie wird diese im Tangential-Portfolio je Risikoeinheit maximiert. Sowohl das Minimierungsproblem der Portfoliovarianz als auch das Maximierungsproblem der Risikoprämie je Risikoeinheit sind quadratische Optimierungsprobleme und beinhalten Nicht-Negativitätsbedingungen im ersten Modell in der dritten bzw. im zweiten Modell in der zweiten Nebenbedingung. Sie können deshalb nicht allein über ihre partiellen Ableitungen durch die Lagrange-Methode gelöst werden. Es sind zusätzlich die Kuhn-Tucker-Bedingungen zu erfüllen.64 Wie bereits oben angemerkt, entwickelte Markowitz zur Lösung dieser Probleme den „Critical Line-Algorithmus“. In der vorliegenden Arbeit wurde der Programmcode von Todd65 verwendet. Dieser setzt den „Critical Line-Algorithmus“ von Markowitz um und beruht somit auf dem ersten Modell, das die Zielfunktion in Form der Portfoliovarianz minimiert. Die Menge der effizienten Portfolios ändert sich durch die Aufnahme des risikolosen Zinssatzes: Aus Abb. 9 geht hervor, dass anstatt der bisherigen konkaven Form die effizienten µσ -Kombinationen bei den getroffenen An-nahmen aus einer Geraden im µσ -Raum bestehen. Der risikolose Zins ist eine effiziente Anlage, da es kein Portfolio mit einem geringeren Risiko gibt. Wie bereits aus Abb. 8 hervorgeht, dominiert der Strahl zwischen rf und TP alle anderen Kombinationen aus risikoloser Anlage und

64 65

Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 105 f. Zur Beschreibung des verwendeten Programms, vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 301 – 337.

58

TEIL II: Theoretische Grundlagen

riskanten Wertpapieren. Die Menge der effizienten Portfolios ist somit durch die folgende Gerade beschrieben:

Renditeerwartung µ

(10)

⎛µ −r µ PF = rf + ⎜⎜ TP f ⎝ σ TP

⎞ ⎟⎟σ PF ⎠

Mit Aufnahme von Kapital zum rf

TP' E

TP

Ohne Aufnahme von Kapital zum rf

rf

Standardabweichung σ Quelle:

In Anlehnung an Alexander, Francis (1986), S. 83.

Abb. 9:

Effizienter Rand unter Berücksichtigung der Anlage und der Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zins

Ist nur die Anlage zum risikolosen Zinssatz möglich, entspricht der effiziente Rand rechts vom Tangential-Portfolio dem effizienten Rand des Standardmodells.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

6.5.2.3.

59

Das Separationstheorem

Durch die Aufnahme des risikolosen Zinssatzes in das Modell lässt sich die Zusammensetzung aller effizienten Portfolios auf die risikolose Anlage und das Tangential-Portfolio reduzieren. Unabhängig von der Risikopräferenz der Investoren lassen sich die Zusammensetzung und die Gewichtung der riskanten Anlagen bestimmen. Allein durch die Kombination von risikoloser Anlage und Tangential-Portfolio setzen sich alle effizienten Portfolios zusammen. Die Gewichtung und Zusammensetzung des Tangential-Portfolios ist davon nicht betroffen. So teilt sich der Investmentprozess in zwei Phasen auf:66 1. Die Ermittlung des optimalen Portfolios aus riskanten Anlagen 2. Die Aufnahme oder Anlage von Kapital zum risikolosen Zins, damit das optimale Portfolio auf der Geraden rfTP in Abb. 9 erreicht wird. Diese Trennung zwischen der Asset Allocation von riskanten Kapitalanlagen und den optimalen Portfolios aus riskanten Portfolios und risikoloser Anlage wird als Separationstheorem oder Tobin Separation67 bezeichnet. Die Investoren mit geringer Risikotoleranz halten dann Portfolios aus einer Kombination von risikolosem Zinssatz und Tangential-Portfolio. Hingegen werden Investoren mit einer hohen Risikotoleranz ausschließlich das TangentialPortfolio halten und ggfs. durch zusätzliche Aufnahme von Kapital ihre riskanten Positionen weiter erhöhen. Die Zusammensetzung des Tangential-Portfolios ist dabei von den Erwartungen der Investoren abhängig. Sofern die Erwartungen der Investoren differieren, kann auch die Zusammensetzung der Tangential-Portfolios unterschiedlich ausfallen.68

6.5.2.4.

Aufnahme und Anlage von Kapital zu unterschiedlichen Zinssätzen

Bisher wurde in diesem Modell angenommen, dass die Aufnahme und die Anlage von Kapital zum riskolosen Zinssatz rf,Anl erfolgt. Als risikolos werden hierbei zumeist kurzfristige Staatspapiere betrachtet, da ihnen keine Ausfall- und Marktpreisrisiken durch Zinsschwankungen beigemessen werden. Die Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz ist für die meisten Investoren jedoch nicht möglich. Sofern sie Kapital aufnehmen, haben sie einen höheren Zins rAufn zu zahlen. Somit gilt: rAufn>rf,Anl

66 67 68

Vgl. Sharpe (1964), S. 433. Vgl. Markowitz (2000), S. 38, Alexander, Sharpe (1989), S. 168 f. Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 294.

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Renditeerwartung µ

60

L B TAufn TAnl

rAufn rf, Anl

Standardabweichung σ Quelle:

In Anlehnung an Alexander, Francis (1986), S. 68.

Abb. 10:

Effizienter Rand bei unterschiedlichem Zins für Anlage und Aufnahme von Kapital

Die Linie L von rf,Anl durch TAnl in Abb. 10 entspricht dem effizienten Rand der Abb. 9 unter Annahme des gleichen Zinssatzes zur Anlage und Aufnahme von Kapital. TAnl liegt dabei auf dem effizienten Rand des Standardmodells von Markowitz und ist der Tangentialpunkt. Sofern der risikolose Zinssatz nicht rf,Anl, sondern rAufn entsprechen würde, entspricht die Linie B von rAufn durch TAufn dem effizienten Rand. Auch TAufn liegt dabei auf dem effizienten Rand des Standardmodells von Markowitz und ist der Tangentialpunkt. Da der Investor kein Kapital zum risikolosen Zins aufnehmen kann, sind Portfolios auf der Linie rf,Anl TAnl oberhalb des Portfolios TAnl nicht zu erreichen.

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

61

Ebenso kann er sein Kapital nicht risikolos zum Zins rAufn anlegen, so dass Portfolios auf der Linie rAufn durch TAufn unterhalb von TAufn nicht zu erreichen sind. Der effiziente Rand besteht dann aus drei Segmenten. rf, Anl bis TAnl und TAnl bis TAufn sind zwei Segmente. Das dritte Segment beginnt bei TAufn und ist nach oben theoretisch nicht begrenzt, da unendlich viel Kapital zu rAufn aufgenommen und in das Portfolio TAufn investiert werden kann.

6.5.3.

Das Standardmodell zuzüglich Leerverkäufe

Dieses Modell wird in verschiedenen Arbeiten auch als das Modell von Black bezeichnet.69 Es unterscheidet sich vom Standardmodell dadurch, dass es annahmegemäß Leerverkäufe von Aktien zulässt. Die Anlage und Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zins wird in diesem Modell nicht berücksichtigt. Ansonsten stimmen die Annahmen in diesem Modell mit den Annahmen des Standardmodells überein. Durch Leerverkäufe können Investoren zusätzlich Kapital erhalten und dieses gleichzeitig in weitere riskante Anlagen investieren. Die Menge der effizienten Portfolios in diesem Modell ist ähnlich der Menge der effizienten Portfolios im Tobin-Sharpe-Lintner-Modell. Obwohl keine risikolose Anlage existiert, kann möglicherweise ein risikoloses Portfolio durch eine geeignete Mischung riskanter Anlagen gebildet werden. Zwar erscheinen die Annahmen von Black zunächst unrealistisch, dennoch sind sie von großer theoretischer Bedeutung. Mit ihrer Hilfe konnte Black70 verschiedene Aussagen über die Bewertung von riskanten Assets im Gleichgewicht treffen, ohne dabei Annahmen über die Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zins zu treffen. Unter der Annahme, dass Leerverkäufe möglich sind, wird das Standardmodell von Markowitz71 reduziert. Es wird die dritte Nebenbedingung x ≥ 0 nicht mehr berücksichtigt. Die Zielfunktion besteht weiterhin aus der Portfoliovarianz und wird minimiert. Das Modell entspricht dann einer konvexen nicht-linearen Optimierung mit Gleichungen als Nebenbedingungen. Insgesamt wird die Lösung dadurch wesentlich vereinfacht und kann mit Hilfe der Lagrange-Methode72 gelöst werden. Das Problem kann wie folgt aufgestellt werden:

69 70 71 72

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 11 oder Ulschmid (1994), S. 21 f. Vgl. Black (1972), S. 444 - 455. Vgl. Kapitel 6.5.1. Vgl. Ohse (1998), S. 252 f.

62

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Zielfunktion: n

n −1 n

i =1

i =1 j > i

2 σ PF = ∑ xi2σ i2 + 2 ∑ ∑ xi x jσ i , j → Min!

unter den Nebenbedingungen: n

µ PF = ∑ x i µ i i =1

n

∑ xi i =1

=1

Die Menge der Portfolios ist Abb. 11 zu entnehmen, sie besteht aus allen Portfolios rechts unterhalb des eingezeichneten Randes. Im Vergleich zum effizienten Rand im Standardmodell von Markowitz verschiebt sich dieser Rand nach links und ist nach oben nicht begrenzt. Seine Form ist im µσ -Raum weiterhin konkav. Durch den Leerverkauf von Aktien mit geringer Renditeerwartung und gleichzeitigem Kauf von Aktien mit hoher Renditeerwartung lässt sich ein Portfolio mit unendlich hoher Renditeerwartung bilden.

Renditeerwartung µ

6. Portfoliotheoretische Grundlagen

Standardabweichung σ Quelle:

In Anlehnung an Elton, Gruber, Brown, Goetzman (2003), S. 85.

Abb. 11:

Effizienter Rand mit Leerverkäufen (Modell von Black)

63

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

7.

65

Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

Zur Anwendung der dargestellten Portfolio-Optimierungsmodelle sind die Renditeerwartungen, die Varianzen und die Kovarianzen der Anlagen zu schätzen. Hierzu existieren unterschiedliche Modelle, die in diesem Kapitel vorgestellt werden. Differenziert werden kann dabei grundsätzlich zwischen dem Modell der vollen Kovarianz-Matrix und den Faktor-Modellen. Die Faktor-Modelle lassen sich in Ein- und Multi-Faktor-Modelle unterteilen. Sofern die Faktoren aus Indices bestehen, werden sie Index-Modelle genannt. Insbesondere das Ein-Index-Modell ist eines der bekanntesten Modelle. Ein Spezialfall des Ein-Index-Modells ist das Marktmodell, dem ein bestimmter Marktindex als Faktor zu Grunde gelegt wird. Die Modellauswahl hängt letztlich von den getroffenen Annahmen über die Renditeentwicklung und die Varianz bzw. die Kovarianz der Wertpapiere ab. Diese Parameter sind dann mit unterschiedlichen Methoden zu schätzen. Auf Grund der Verbreitung wird nur das Marktmodell als Ein-Faktor-Modell vorgestellt. Die Mehr-Faktor-Modelle hingegen werden in dieser Untersuchung nicht herangezogen, da sie sich in Theorie und Praxis als schwer analysierbar herausstellen. Das Kapitel beginnt mit der Darstellung der Annahmen der Modelle und der Methode zur Schätzung der Renditeerwartung, der Varianzen und der Kovarianzen. Danach erfolgt die Formulierung der Portfolio-Optimierungsmodelle unter Anwendung des jeweiligen Modells. Mit Hilfe dieser Schätzer können dann mit dem „Critical Line-Algorithmus“ alle effizienten Portfolios bestimmt werden. Der Algorithmus wird in Kapitel 9.1 vorgestellt.

7.1. 7.1.1.

Das Modell der „vollen Kovarianz-Matrix“ Annahmen

Das Modell geht von der Annahme aus, dass alle vergangenheitsbezogenen Werte einer stationären Verteilung unterliegen. Dabei schwanken die Renditen der Wertpapiere um ihren Mittelwert. Die Rendite zum Zeitpunkt t des Wertpapiers i entspricht somit:

rit = µi + ε it

66

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Die zufälligen Abweichungen entsprechen dabei einer Zufallsvariable mit einem Erwartungswert von Null. Um effiziente Portfolios ermitteln zu können, sind daher die paarweisen Kovarianzen der Wertpapiere σ i , j und die Varianzen σ i2 und die Erwartungswerte µ i für die Wertpapierrenditen zu schätzen. Darüber hinaus wird unterstellt, dass Rendite, Varianzen und Kovarianzen der n Aktien einer stationären Verteilung unterliegen.

7.1.2.

Schätzwerte für das Modell

Bei einer stationären Verteilung können die Werte mit ihren historisch beobachteten Größen geschätzt werden, so dass insgesamt -

n erwartete Renditen

-

n Varianzen

-

n(n-1)/2 Kovarianzen

zu ermitteln sind. Dabei ist jedes einzelne Element der Kovarianz-Matrix separat zu schätzen. Das Modell wird deshalb auch als „volles Kovarianz-Modell“ bezeichnet.73 Formal sind die Werte für die erwarteten Renditen, die Varianzen und die Kovarianzen wie folgt aus n Beobachtungen zu bestimmen:74 (11)

µˆ i =

1 n ∑ rit n t =1

(12)

σˆ i2 =

1 ´n ∑ (ri ,t − µˆ i )2 bzw. σˆ i = σˆ i2 n − 1 t =1

(13)

σˆ i , j =

1 ´n ∑ (ri ,t − µˆ i )(rj ,t − µˆ j ). n − 1 t =1

µˆ i stellt dabei das arithmetische Mittel, σˆ i2 die Varianz und σˆ i , j die Kovarianz

der n Beobachtungen dar.

Bei Verwendung dieser Schätzwerte kann mit Hilfe des „Critical LineAlgorithmus“ der gesamte effiziente Rand als Ort aller effizienten Risiko-RenditeKombinationen ermittelt werden. Gleichzeitig kann bei gegebener Renditeerwartung die Gewichtung der einzelnen Aktien im effizienten Portfolio bestimmt werden.

73

74

Im Unterschied zum „vollen Kovarianz-Modell“ existieren weitere Modelle, wie zum Beispiel das Marktmodell, in dem nur die Diagonale der „Kovarianz-Matrix“ zu schätzen ist. Diese Modelle werden auch als Diagonal-Modelle bezeichnet. Vgl. Kapitel 7.2. Vgl. Alexander, Francis (1986), S. 73, Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 165.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

67

Die Anzahl der Schätzwerte steigt mit dem Umfang der betrachteten Aktien stark an. Insgesamt sind 2n + n(n-1)/2 Werte zu schätzen. Bei 50 Aktien sind dann 1.325 Schätzungen und bei 100 Aktien bereits 5.150 Schätzungen notwendig. Ende 2003 waren allein in Deutschland 829 inländische Aktiengesellschaften an den deutschen Börsen notiert75, so dass bei einer Berücksichtigung aller Aktien insgesamt 344.864 Schätzungen benötigt würden.

7.1.3.

Das Portfolio-Optimierungsmodell

Zur Herleitung des effizienten Randes ist das Portfoliorisiko bei Vorgabe einer erwarteten Portfoliorendite zu minimieren. Im Standardmodell von Markowitz76 ist nur die Bedingung der Vollinvestition und die erwartete Portfoliorendite in Form einer Gleichung integriert. Es können jedoch grundsätzlich weitere Gleichungen in das Modell aufgenommen werden. Es lässt sich dann wie folgt formulieren: Zielfunktion: 2 σ PF = x' Vx → Min!

unter den Nebenbedingungen: Erzielung einer bestimmten Rendite

µ' x = rPF Lineare Gleichheitsbedingungen

Ax = b Keine Leerverkäufe

x≥0 Dabei enthält der Vektor x ∈ ℜn die Gewichte der einzelnen Aktien, µ ∈ ℜn die erwartete Rendite je Aktie und V ∈ ℜ n×n die Varianzen und Kovarianzen der n Aktien. Die Dimension des Vektors A ist von der Anzahl der aufgenommenen Nebenbedingungen abhängig. Er hat jedoch mindestens n Spalten. Die erste Nebenbedingung stellt sicher, dass die gesuchte Lösung auch ein Portfolio darstellt, das den Renditeerwartungen des Investors entspricht. In der zweiten Nebenbedingung unterscheidet sich das Modell geringfügig vom Standardmodell von Markowitz. Sie stellt lineare Gleichungen als Nebenbedingungen dar. Sofern neben der Vollinvestition weitere m - 1 lineare Gleich75 76

Vgl. DAI Factbook 2004, S. 02-1. Vgl. Kapitel 6.5.1.

68

TEIL II: Theoretische Grundlagen

ungen im Modell aufgenommen werden, entspricht A ∈ ℜmxn einem Vektor mit m Zeilen und n Spalten. Durch lineare Gleichungen können bspw. einzelne Anlagen, die aus bestimmten Gründen nicht disponibel sind, im Portfolio fixiert werden.77 Sofern nur die vollständige Investition des Kapitals als Nebenbedingung existiert, lassen sich die linearen Nebenbedingungen Ax = b durch eine einzige lineare Nebenbedingung mit dem Vektor A ∈ ℜ1×n und dem Skalar b = 1 darstellen. Die Summe der Anteile aller Aktien entspricht dann 100 %.

A = (1 L 1) , b = 1 Dieses Problem lässt sich mit Hilfe des „Critical Line-Algorithmus“ lösen.78 Dazu sind bei n Aktien die Kovarianz-Matrix V ∈ ℜnxn , der Vektor µ ∈ ℜn der Renditeerwartung und die Matrizen der m linearen Gleichungen der zweiten Nebenbedingung A ∈ ℜ mxn und b ∈ ℜm aufzustellen. Unter Anwendung der „vollen Kovarianz-Matrix“ mit den Schätzern für µ i gemäß (11), für σ i2 gemäß (12) und für σ i , j gemäß (13) sieht das PortfolioOptimierungsmodell dann wie folgt aus: Zielfunktion:

2 σ PF

⎛ σˆ 12 σˆ 1, 2 L σˆ 1, n ⎞ ⎟⎛ x ⎞ ⎜ σˆ 2,1 σˆ 22 σˆ 2, n ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ M = x' Vx = ( x1 L x n )⎜ M O M ⎟⎜ x ⎟ n⎠ ⎝ ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ σˆ n ,1 σˆ n , 2 L σˆ n ⎠

unter den Nebenbedingungen:

77

78

Bspw. kann ein Fondsmanager der Weisung unterliegen, einzelne Aktien im Bestand auf Grund übergeordneter strategischer Überlegungen weder abzubauen noch aufzustocken. Vgl. Kapitel 9.1.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

69

Die erwartete Portfoliorendite:

⎛ µˆ 1 ⎞ * µ PF = x' µ = ( x1 L x n )⎜⎜ M ⎟⎟ = µ PF ˆ µ ⎝ n⎠ der Vollinvestition (bzw. bei m linearen Gleichungen als Nebenbedingungen)

⎛ a1,1 a a1, 2 L a1, n ⎞ ⎜ ⎟⎛ x ⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ x1 ⎞ a 2,1 a 2, 2 a 2, n ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (1 L 1)⎜ M ⎟ = 1 bzw. M = M ⎜ M O M ⎟⎜ x ⎟ ⎜ b ⎟ ⎝ ⎝ xn ⎠ ⎜a ⎟ n⎠ ⎝ m⎠ ⎝ m,1 a m, 2 L a m, n ⎠ Keine Leerverkäufe

x≥0 Die Anwendung der Schätzer gemäß (11), (12) und (13) im Modell der „vollen Kovarianz-Matrix“ führt ex post zum effizienten Rand in der betrachteten Periode. Die Lösung gibt alle Kombinationen aus Wertpapieren an, die zur vorgegebenen Rendite das kleinste Risiko aufweisen.

7.2.

Ein-Faktor-Modell bzw. das Marktmodell

Den Faktor-Modellen liegt die Annahme zu Grunde, dass sich die Entwicklung der Aktienrenditen durch bestimmte Einflüsse erklären lassen. Die erwartete Aktienrendite, die Varianzen und die Kovarianzen werden dann mit Hilfe der erwarteten Faktorentwicklung bestimmt. Ein-Faktor- und Mehrfaktor-Modelle unterscheiden sich durch die Anzahl der Einflussfaktoren. Unter den Ein-FaktorModellen ist das Marktmodell am weitesten verbreitet. Grundsätzlich können hierbei als Faktor u.a. die Wachstumsrate des Bruttosozialproduktes, Wachstumsraten der Industrieproduktion oder die Zinsentwicklung herangezogen werden.79 Formal lässt sich der Zusammenhang wie folgt darstellen:

ri = α i + βi F + ε i

β i spiegelt dabei die Sensitivität der Aktie i gegenüber dem Faktor F wider. α i entspricht der faktorunabhängigen bzw. aktienspezifischen Rendite und ε i ist eine zufällige Abweichung. Üblicherweise werden Aktienrenditen durch einen Marktindex modelliert. In der Literatur wird deshalb die Meinung vertreten, dass ein solches Modell auch als

79

Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 260.

70

TEIL II: Theoretische Grundlagen

„Single-Index Model“ oder Marktmodell bzw. „Market Model“ bezeichnet werden kann.80 Einige Autoren sehen jedoch einen Unterschied zwischen dem Marktmodell bzw. „Market Model“ und den Ein-Faktor-Modellen bzw. „Single-Index Models“. Der Unterschied zwischen dem Marktmodell und den Ein-Faktor-Modellen besteht zunächst darin, dass im Marktmodell das Marktportfolio als Faktor vorgeschrieben ist. Hingegen kann in Ein-Faktor-Modellen grundsätzlich auch ein anderer Einflussfaktor bestimmt werden. Insofern lässt sich das Marktmodell als Spezialfall des Ein-Faktor-Modells betrachten.81 Einige Autoren treffen im Marktmodell andere Annahmen als im Ein-Faktor-Modell. Bei den letzteren wird die Annahme zu Grunde gelegt, dass der Zusammenhang zwischen den Aktienrenditen allein durch ihre Sensitivitäten mit dem Faktor bestimmt ist.82 Diese Annahme wird von mehreren Autoren83 für das Marktmodell nicht getroffen, so dass sie genau darin den Unterschied zwischen dem Ein-IndexModell mit einem breiten Marktindex und dem Marktmodell sehen. Andere Autoren hingegen treffen diese Annahme explizit im Marktmodell, so dass es in diesem Fall als Ein-Faktor-Modell bezeichnet werden kann.84 Gemeinsam ist den Beschreibungen des Marktmodells, der empirische Ansatz, der die Schätzung und Erklärung künftiger bzw. vergangener Aktienrenditen darstellt.85 Beides erfolgt mit Hilfe der linearen Einfachregression.86 Das Marktmodell kann also grundsätzlich als Spezialfall eines Ein-Faktor-Modells bezeichnet werden, sofern die Annahmen bezüglich des Zusammenhangs zwischen den Aktienrenditen und dem Einflussfaktor entsprechend der Überlegungen in Kapitel 7.2.1 getroffen werden. Die Bezeichnung Marktmodell wird deshalb im weiteren Verlauf der Arbeit im Sinne eines Faktormodells verwendet.

80 81 82 83

84

85 86

Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 132 oder Zimmermann (1997), S. 18 f. Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 260, Uhlir, Steiner (2001), S. 170, Ulschmid (1994), S. 34-36. Vgl. hierzu Kapitel 7.2.1. „The market model is identical to the single index model except that the assumptions that cov(eiej) = 0 is not made.“ S. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 152. Steiner, Bruns treffen auch nicht die Annahme unkorrelierter unsystematischer Risiken, sondern sehen im Marktmodell die Zielsetzung, „den Vergangenheits-Zusammenhang zwischen der Rendite eines einzelnen Wertpapiers und einem Marktindex zu ermitteln und gegebenenfalls mit Hilfe des gewonnenen Zusammenhangs zukünftige Renditen des Wertpapiers zu schätzen.“ S. Steiner, Bruns (2002), S. 37. Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 239 und S. 260, Alexander, Francis (1986), S. 75, bzw. Steiner, Uhlir (2001), S. 171. Vgl. Steiner, Bruns (2002), S. 37 - 39, Uhlir, Steiner (2001), S. 173 - 179. Vgl. Uhlir, Steiner (2001), S. 173 - 179, Steiner, Bruns (2002), S. 37 - 39, Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 271 f., und Poddig, Grothmann, Schäfer (1998), S. 408 - 411.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

7.2.1.

71

Annahmen

Grundlage des Marktmodells ist es, dass die Aktienrenditen linear durch die Entwicklung des Marktportfolios als Faktor erklärt werden. Das Modell stellt sich dann wie folgt dar: (14):

ri = α i + βi rM + ε i

Der erklärende Faktor entspricht der Rendite rM des Marktportfolios. Die erwartete Rendite des Marktportfolios stellt dabei eine Zufallsvariable dar. Die Rendite der Aktie i setzt sich somit linear aus der marktunabhängigen Rendite αi, der marktabhängigen Rendite βi rM und der titelspezifischen zufälligen Abweichung εi zusammen. Folgende Annahmen werden in dem Modell bezüglich der Zufallsvariablen rM und εi getroffen:87 1. E (εi ) = 0 Die zufälligen Abweichungen haben einen Erwartungswert von Null 2. Var (rM ) = σ M2 und Var (ε i ) = σ ε2i Die Rendite rM des Marktportfolios ist eine Zufallsvariable. Ihre Varianz beträgt dabei σ M2 . Die zufälligen Abweichungen der Aktienrendite i beträgt σ ε2i . 3. Cov(ε i ; rM ) = E [(εi − E (εi )) ⋅ (rM Die zufälligen Abweichungen Rendite des Marktportfolios Zusammenhang zwischen den und den Abweichungen des E (rM ) .

− E (rM ))] = 0 εi sind von den zufälligen Abweichungen der unabhängig. Das heißt, es existiert kein zufälligen Abweichungen der Aktienrendite εi Marktportfolios von seinem Erwartungswert

4. Cov(ε i , ε j ) = E (εi ⋅ ε j ) = 0 Diese Annahme88 besagt, dass die zufälligen Abweichungen der Aktien untereinander unkorreliert sind. In dieser Annahme zeigt sich die Aussage, dass ausschließlich das Marktportfolio die Renditen der Aktien erklärt. Neben diesem Faktor gibt es keine weiteren systematischen Einflussfaktoren. Ein

87 88

Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 133, Uhlir, Steiner (2001), S. 171. In dieser Annahme sehen verschiedene Autoren einen Unterschied zwischen Markt- und Single-Index Modell. Vgl. bspw. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 152, in der deutschsprachigen Literatur erwähnen bspw. Steiner, Bruns (2002), S. 37 - 39 diese Annahme auch nicht im Zusammenhang mit dem Marktmodell. Andere Autoren wie bspw. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 260, oder Alexander, Francis (1986), S. 75, in der deutschsprachigen Literatur bspw. Steiner, Uhlir (2001), S. 171 betrachten diese Annahme als Teil des Marktmodells.

72

TEIL II: Theoretische Grundlagen

zusätzlicher Faktor würde in den zufälligen Abweichungen der Aktien i und j zum Ausdruck kommen, indem diese miteinander korreliert wären. Unter Berücksichtigung dieser Annahmen sind die Renditeerwartungen, die Varianzen und die Kovarianzen der Aktien zu bestimmen. Im Vergleich zum Modell der „vollen Kovarianz-Matrix“ lässt sich dadurch der Aufwand zur Ermittlung der erwarteten Portfoliorendite und -varianz reduzieren.89

7.2.2.

Wertpapierspezifische Rendite und Risiko

Unter Beachtung der getroffenen Annahmen lassen sich die folgenden Zusammenhänge für die erwartete Rendite, die Varianz der Aktie i sowie die Kovarianzen der Aktien untereinander wie folgt darstellen:90 1. Erwartungswert der Wertpapierrendite i (15)

µi = E (ri ) = α i + βi µ M wobei µ i die erwartete Rendite der Aktie i, µ M den Erwartungswert der Rendite des Marktportfolios und α i die aktienspezifische Rendite darstellt. β i ist die Marktsensitivität der Aktie i. α i wird dabei auch als unsystematische Rendite (wertpapierbezogene Komponente) und βi µ M als systematische Rendite (marktbezogene Komponente) bezeichnet.91

2. Varianz der Wertpapierrendite i (16)

σ i2 = Var (ri ) =

β 2σ 2

M 1i23

marktabhängiges Risiko

+

σ ε2i

{

marktunabhängiges Risiko

wobei σ M2 die Varianz des Marktportfolios, β i die Sensitivität der Aktie i gegenüber dem Marktportfolio und σ ε2i die Varianz der zufälligen Abweichungen der Aktie i darstellt. 3. Kovarianzen zwischen den Wertpapierrenditen i und j (17)

σ i , j = Cov(ri , rj ) = βi β jσ M2

Die Renditeerwartung der Aktie i ist gemäß (15) eine lineare Funktion von der Entwicklung des Marktportfolios. Um Aussagen über die Wertpapierrendite und das Risiko treffen zu können, sind Kenntnisse über die α - und β -Faktoren not-

89 90

91

Vgl. hierzu auch Kapitel 7.3. Zur analytischen Herleitung vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 133 - 135, in der deutschsprachigen Literatur Steiner, Uhlir (2001), S. 170 - 172, Steiner, Bruns (2002), S. 18 f., Auckenthaler (1994), S. 174 - 176. Vgl. Steiner, Uhlir (2001), S. 170.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

73

wendig. In Kapitel 7.2.2.1 ist dargestellt, wie sie mittels der OLS-Methode92 geschätzt werden. Die Varianz der Aktie i gemäß (16) setzt sich auf Grund der getroffenen Annahmen aus dem marktabhängigen Risiko mit βi2σ M2 und dem marktunabhängigen Risiko mit σ ε2i zusammen. Beide Größen sind vor einer Anwendung im Rahmen der Portfoliooptimierung zunächst zu schätzen. Auch dies kann mittels der OLSMethode erfolgen. Das Vorgehen ist in Kapitel 7.2.2.2 dargestellt. Die Kovarianz gemäß (17) ergibt sich allein auf Grund der Sensitivitäten β i der Aktien gegenüber dem Marktportfolio. Die marktunabhängigen Risiken der Aktien haben darauf keinen Einfluss. Die Maßstäbe zur Messung der Güte und der Zuverlässigkeit der OLS-Methode sind Gegenstand des Kapitels 7.2.2.3.

7.2.2.1.

Schätzung von α-und β-Faktoren

Die Schätzung der beiden Parameter α i und β i kann erfolgen, indem der Zusammenhang zwischen Marktportfolio und Aktienrendite als Regressionsmodell aufgefasst wird. Als Proxy für das Marktportfolio wird dabei ein marktbreiter Wertpapierindex zu Grunde gelegt. Ausgangspunkte für die Schätz-ung der α - und β -Faktoren sind die in der Vergangenheit beobachteten Wertepaare von Indexrendite rM ,t und Aktienrendite ri ,t . Dazu wird eine Regressionsgerade durch die Punktwolke ri ,t , rM ,t gelegt, so dass die Summe der quadrierten Abweichungen ∑ ε it2 minimiert wird. Abb. 12 stellt den Zusammenhang zwischen der Aktienrendite ri ,t und der Indexrendite rM ,t zu unterschiedlichen Zeitpunkten t dar. Die nicht erklärte Abweichung entspricht im Zeitpunkt t1 dem Wert ε i ,t1 und im Zeitpunkt t2 dem Wert ε i ,t 2 .

92

OLS steht für “ordinary least squares” und wird vielfach auch als „Kleinst Quadrate“-Methode, KQMethode, Methode der kleinsten Quadrate oder im Fall eines einzigen Einflussfaktors auch als lineare Einfachregression bezeichnet. Eine ausführliche Beschreibung der Methode ist in von Auer (2003), S. 47 63, Backhaus, Erichson, Plinke, Weiber (2000), S. 2 - 69 oder Bleymüller, Gehlert, Gülicher (2002), S. 139 154 zu finden.

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Aktienrendite ri,t

74

β i=y/x εit1

εit2 αi

Indexrendite rM,t Quelle:

In Anlehnung an Steiner, Bruns (2002), S. 39.

Abb. 12:

Zusammenhang zwischen Aktien- und Marktrendite

Im Marktmodell wird die Regressionsgerade als „Characteristic Line“93 oder „Security Charateristic Line“94 bezeichnet. Die Schätzwerte für α i und β i lassen sich dann mittels der OLS-Methode bestimmen.95 Die Marktsensitivität β i der Aktie i entspricht: T

(18)

βˆi =

∑ (rit − µi )(rMt − µM ) σˆ i,M t =1 T

2 ∑ (rMt − µ M )

=

σˆ M2

t =1

93 94 95

Vgl. Alexander, Sharpe (1989), S. 189 -191. Vgl. Bodie, Kane, Marcus (2002), S. 297. Vgl. Alexander, Francis (1986), S. 77, Steiner, Uhlir (2001), S. 174. Eine analytische Herleitung der OLSSchätzung ist bei von Auer (2003), S. 53 -54 zu finden.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

75

Die aktienspezifische Rendite α i entspricht:

αˆ = µi − βˆµ M

(19)

T ist die Anzahl der Beobachtungen. µ M entspricht dem arithmetischen Mittel der T Beobachtungen für rM . Werden der Zähler und der Nenner in (18) durch T-1 dividiert, dann entspricht der Nenner des Quotienten für β i der Kovarianz zwischen Aktien- und Marktrendite σˆ i, M und der Zähler der Varianz der Marktrendite σˆ M2 . Je größer die Kovarianz zwischen Aktien- und Marktrendite ausfällt, desto größer wird die Sensitivität der Aktie gegenüber dem Markt eingeschätzt. Unter Berücksichtigung der Schätzwerte für α i und β i kann mit Hilfe der erwarteten Rendite des Marktportfolios die Renditeerwartung für die Aktie i bestimmt werden.

µi = αˆi + βˆi µ M

(20)

Zur Schätzung der erwarteten Rendite und des Risikos vom Marktportfolio werden analog zur „vollen Kovarianz-Matrix“ der empirische Mittelwert gemäß (11) und die empirische Varianz gemäß (12) in Kapitel 7.1.2 herangezogen.

7.2.2.2.

Systematische und unsystematische Risiken

Neben der Schätzung von αi und βi lassen sich mit Hilfe der linearen Regression weitere Analysen zum Risiko der Aktien durchführen. In (16) wurde bereits dargestellt, dass sich das Aktienrisiko aus einer marktabhängigen und einer marktunabhängigen Komponente zusammensetzt. Die marktunabhängigen Risiken entsprechen den zufälligen mittleren quadrierten Abweichungen σ ε2i der Wertpapierrendite. Durch die Regression der Wertpapierrendite auf die Rendite des Wertpapierindex lässt sich die Residuenvarianz σˆ ε2i ermitteln. Sie gibt an, wie stark die beobachteten Aktienrenditen um die Regressionsgerade streuen. Bei einem Stichprobenumfang von T Beobachtungen kann sie wie folgt bestimmt werden:96 (21)

σˆ ε2i =

( (

1 T ∑ rit − αˆi + βˆi rMt T − 2 t =1

))

2

Sofern die Aktienrendite exakt durch die Marktrendite erklärt ist, würde σˆ ε2i Null entsprechen. Dann würden keine weiteren Einflussfaktoren bzw. firmenspezifische Risiken existieren. In der Realität wird deshalb nur ein Teil der Rendite96

Vgl. zur Schätzung der wertpapierspezifischen Risiken bspw. Steiner, Uhlir (2001), S. 175, Alexander, Francis (1986), S. 77, Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 139 - 142.

76

TEIL II: Theoretische Grundlagen

schwankung von Aktien durch die Marktrendite erklärt. Die nicht erklärten Abweichungen spiegeln sich in der Residuenvarianz der Aktienrenditen wider und werden als Schätzer für die firmenspezifischen Risiken interpretiert.97 Ein Schätzer für die Varianz der Wertpapierrendite ergibt sich dann im Regressionsmodell mit Hilfe der Schätzer für βˆ und für das Marktrisiko σˆ M2 gemäß98

σˆ i2 = βˆi2σˆ M2 + σˆ ε2i

(22)

Dabei stellt σˆ i2 das Gesamtrisiko der Aktie dar. Das marktspezifische bzw. systematische Risiko einer Aktie lässt sich dann auch als Differenz zwischen dem Gesamtrisiko und dem aktienspezifischen Risiko schätzen.

βˆi2σˆ M2 = σˆ i2 − σˆ ε2i

(23)

Eine weitere Möglichkeit zur Schätzung des unsystematischen Risikos ergibt sich aus

σˆ ε2i = σˆ i2 − βˆi2σˆ M2 .

(24)

Sofern die Schätzer für β i, σ M2 und σ i2 vorliegen, kann das unsystematische Risiko der Aktie i bestimmt werden.

7.2.2.3.

Zuverlässigkeit und Güte der Schätzung

Für die Güte der Schätzung kann das Bestimmtheitsmaß als Beurteilungskriterium herangezogen werden. Dabei sind die im Modell erklärten Abweichungsquadrate (die systematischen Risiken) ins Verhältnis zu den gesamten Abweichungsquadraten der Aktienrenditen zu setzen.

R2 =

=

erklärte Abweichungsquadrate = gesamte Abweichungsquadrate gesamte Abweichungsquadrate - nicht erklärte Abweichungsquadrate gesamte Abweichungsquadrate

Die mittleren nicht erklärten Abweichungsquadrate (die unsystematischen Aktienrisiken) sind durch die nicht erklärte Varianz der Aktienrendite i σ ε2i in (21) und die gesamten mittleren Abweichungsquadrate (gesamtes Aktienrisiko) durch

97

98

Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 476 bzw. Alexander, Francis (1986), S. 77, Uhlir, Steiner (2001), S. 172. Hieraus resultiert eine geringfügige Abweichung zum Schätzer der Varianz aus einer Stichprobe historischer Daten. Vgl. Steiner, Uhlir (2001), S. 171 f.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

77

die Varianz der Rendite von Aktie i σ i2 in (22) gegeben. In Anlehnung an diese Definitionen lässt sich das Bestimmtheitsmaß somit als (25)

R2 =

σˆ i2 − σˆ ε2i σˆ i2

ermitteln. Der Zähler entspricht dabei der Varianz der Aktienrenditen abzüglich der nicht erklärten Varianz der Aktienrenditen. Diese Differenz ist in das Verhältnis zur Varianz der Aktienrendite i gesetzt. Darüber hinaus ist die Renditevarianz auch durch βi2σ i2 gegeben, so dass das Bestimmtheitsmaß ebenfalls wie folgt ermittelt werden kann: 2

(26)

σˆ R 2 = βˆi2 M2 . σˆ i

Dieser Ausdruck gibt den Anteil der marktabhängigen Varianz βˆi2σˆ M2 im Verhältnis zur gesamten Varianz des Wertpapiers σˆ i2 wider. Da αˆ und βˆ nicht die wahren Faktoren α und β widerspiegeln, stellen sie nur einen Schätzer dar. Ein Kriterium zur Bestimmung der Zuverlässigkeit der Schätzer ist durch den Standardfehler gegeben. Durch ihn kann ein Konfidenzintervall angegeben werden, das zu einer definierten Wahrscheinlichkeit den wahren β-Faktor abdeckt. Je breiter das Konfidenzintervall zu einem vorgegebenen Konfidenzniveau ist, desto unzuverlässiger ist die Schätzung. Der Standardfehler ermittelt sich wie folgt:99 (27)

sβˆ = i

σˆ ε2i

(T − 1)σˆ M2

,

wobei σˆ ε2i der nicht erklärten Varianz gemäß (21) entspricht. Das Konfidenzintervall zu dem üblichen Signifikanzniveau von 5% von α = 5 % beträgt dann: (28)

Pr( βˆi − tT − 2, 1−α / 2 sβˆ < βi < βˆi + tT − 2, 1−α / 2 sβˆ ) = 1 − α i

i

Da s βˆ einer t-Verteilung folgt entspricht t dem 97,5 %-Quantil bei T-2 i Freiheitsgraden der t-Verteilung. Das heißt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der wahre β-Faktor innerhalb des bestimmten Intervalls. Je enger das Intervall ist, desto zuverlässiger wird der Schätzer sein. Je größer die Anzahl der Beobachtungen, desto größer ist der Nenner in (27). Gleichzeitig wird der 99

Im wertpapierspezifischen Kontext ist die Bestimmung des Standardfehlers bei Uhlir, Steiner (2001), S. 179 beschrieben. Die Bestimmung von Intervallschätzern für β bei unbekanntem 89 - 97 zu finden.

σ2

ist in von Auer (2003), S.

78

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Standardfehler kleiner. Durch die Verwendung eines ausreichenden Stichprobenumfangs kann also der Standardfehler reduziert werden.

7.2.3.

Die erwartete Portfoliorendite, das Portfoliorisiko und der Diversifikationseffekt

Der Erwartungswert der Portfoliorendite ergibt sich gemäß (1) aus der gewichteten Summe der Erwartungswerte µ i der n Aktien. Die Gewichte xi entsprechen dabei dem relativen Anteil der Aktie i im Portfolio. Unter Beachtung des Erwartungswertes der Rendite einer Anlage gemäß (15) kann die erwartete Portfoliorendite100 im Marktmodell dann wie folgt ermittelt werden: n

n

i =1

i =1

µ PF = ∑ xiα i + ∑ xi βi µ M

(29)

Sie setzt sich aus der Summe der gewichteten Eigenrenditen α i und der Summe der gewichteten systematischen Renditen βi µ M zusammen. Die Portfoliovarianz gemäß (2) ist unter Berücksichtigung von (16) und (17) im Marktmodell dann wie folgt bestimmbar: 2 σ PF =

(30)

n

∑ xi2 β i2σ M2

+

n

n

∑ xi2σ ε2

i

1 24 i =1 4243 i =4 1 1 3 marktabhängiges Risiko marktunabhängiges Risiko 144444424444443

n

+ ∑ ∑ x i x j β i β j σ M2

Eigenvarianz

i =1 j =1

j ≠i 14 442444 3 giges Risiko 1marktabhän 4442 444 3 gewichtete Kovarianzen

Sie setzt sich aus drei Teilsummen zusammen. Die beiden ersten Teilsummen stellen die Eigenvarianz der Aktien dar. Diese ist in die Summe der gewichteten marktabhängigen (systematischen) und marktunabhängigen (unsystematischen) Risiken zerlegbar. Die dritte Teilsumme stellt die gewichteten Kovarianzen dar. Dadurch muss nur noch eine wesentlich geringere Anzahl an Kovarianzen im Vergleich zur „vollen Kovarianz-Matrix“ geschätzt werden. Statt der n(n-1)/2 Kovarianzen sind nur noch die n Zusammenhänge zwischen den einzelnen Aktien und dem Markt zu schätzen. Sowohl die erwartete Portfoliorendite gemäß (29) als auch die Portfoliovarianz gemäß (30) können weiter zusammengefasst werden. Mit α PF und β PF als gewichtete Summen der α i und β i , beträgt die erwartete Portfoliorendite:

µ PF = α PF + β PF µ M

(31) 100

Formal lässt sich der Ausdruck in (29) unter Berücksichtigung des Marktmodells folgendermaßen herleiten:

µ

PF

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

= E(rPF ) = ∑ xi E(ri ) = ∑ xi E(αi + βi rM + εi ) = ∑ xi αi + ∑ xi βi E(rM )

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

79

und die Portfoliovarianz:101 2 σ PF =

(32)

2 β PF σ M2

n

∑ xi2σ ε2

+

123

marktabhängiges Risiko

i

i =4 1 24 1 3

marktunabhängiges Risiko

Beide, das marktabhängige (systematische) und das marktunabhängige (unsystematische) Risiko der Portfoliovarianz lassen sich somit im Vergleich zu (30) durch die beiden Summanden in (32) vereinfacht dargestellen. Bei Betrachtung einer naiven Strategie, ist die Portfoliovarianz noch weiter zusammen zu fassen. Dabei wird zu gleichen Teilen in n Aktien investiert. Die Portfoliovarianz ergibt sich dann aus (32) mit xi = 1/n als

⎛1⎞ i =1 ⎝ n ⎠ n

2

2 2 2 σ PF = β PF σ M2 + ∑ ⎜ ⎟ σ ε2i = β PF σ M2 +

Der Term

n

1

∑ n σ ε2 i =1

i

1 n 1 2 ∑ σε . n i =1 n i

entspricht dabei den durchschnittlichen marktunabhängigen

Risiken bzw. Residuenvarianzen. Je mehr Aktien im Portfolio enthalten sind, 1 n 1 desto kleiner wird der Ausdruck 1/n und somit auch der Ausdruck ∑ σ ε2i . n i =1 n Abb. 13 zeigt den Kontext graphisch. Könnte in eine unendliche Anzahl an Aktien investiert werden, so strebt dieser Wert gegen Null und die Portfoliovarianz bzw. die Standardabweichung gegen den Wert 2 2 σ PF = β PF σ M2

σ PF = β PFσ M

bzw.

Dieser Zusammenhang spiegelt den Diversifikationseffekt wider. Die marktunabhängigen Risiken σ ε2i können bei einer großen Anzahl an Aktien vernichtet werden. Aus diesem Grund werden diese Risiken auch als diversifizierbare Risiken und die marktabhängigen Risiken β PFσ M als nicht-diversifizierbare Risiken bezeichnet.102

101

n

n

n

2 Die Gleichung (30) lässt sich umformen in σ PF = ∑ ∑ x i x j β i β j σ M2 + ∑ x i2σ ε2 bzw. i =1 j =1 i =1 n n n ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎛ ⎞ 2 σ PF = ⎜ ∑ xi β i ⎟⎜ ∑ x j β j ⎟σ M2 + ∑ xi2σ ε2 , wobei β PF = ⎜ ∑ xi β i ⎟ = ⎜ ∑ x j β j ⎟ . i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ j =1 ⎝ i =1 ⎠⎝ j =1 ⎠ ⎠ Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 139. i

i

102

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Portfoliovarianz

80

unsystematisches Risiko

Quelle:

In Anlehnung an Auckenthaler (1994), S. 143.

Abb. 13:

Diversifikationseffekt bei naiver Portfoliostrategie

26

25

24

23

21

20

19

18

17

Anzahl Aktien 16

15

14

13

12

11

9

10

8

7

6

5

4

systematisches Risiko

22

2 PF σ M

3

2

2

1

β

In der Abb. 13 stellt die untere Grenze das marktabhängige Risiko dar. Das systematische Risiko hingegen wird mit steigender Anzahl diversifiziert. Entspricht das Portfolio dem Marktportfolio, dann hat β PF den Wert 1, das nicht diversifizierbare Risiko des Portfolios entspricht dem Marktrisiko σ M2 .

7.2.4.

Das Portfolio-Optimierungsmodell

Analog zum Vorgehen in Kapitel 7.1.3 ist auch bei Anwendung des Marktmodells das Portfolio-Optimierungsproblem in Form des Standardmodells von Markowitz103 zu lösen. Zur Lösung des Modells104 sind bei n Aktien zunächst die Kovarianz-Matrix V ∈ ℜnxn , der Vektor für die Renditeerwartungen µ ∈ ℜn und die Matrizen A ∈ ℜmxn und b ∈ ℜm der m Gleichungen als lineare Restriktionen Ax = b aufzustellen. V ∈ ℜnxn und µ ∈ ℜn können mit Hilfe der Schätzwerte gemäß Kapitel 7.2.2.1 und Kapitel 7.2.2.2 bestimmt werden. Die Anzahl der Zeilen m des Vektors A ∈ ℜmxn ist wiederum von der Anzahl der Restriktionen in 103 104

Vgl. Kapitel 6.5.1. Zur Lösung des Modells mit Hilfe des „Critical Line-Algorithmus“ vgl. Kapitel 9.1.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

81

Form linearer Gleichungen abhängig. In aller Regel wird von der Vollinvestition ausgegangen, so dass diese Nebenbedingung mindestens eine Gleichung enthält. Im folgenden Problem ist die zweite Nebenbedingung alternativ dargestellt: Zum einen ist ausschließlich die Vollinvestition und zum anderen sind zusätzlich weitere m-1 lineare Gleichungen als zweite Nebenbedingung aufgenommen. Das Portfolio-Optimierungsmodell unter Anwendung des Marktmodells ist dann wie folgt zu formulieren: Zielfunktion: 2 = x' Vx = σ PF

⎛ β12σ M2 + σ ε21 β1 β2σ M2 ⎜ 2 2 2 2 = ( x1 L xn )⎜ β 2 β1σ M β 2 σ M + σ ε 2 ⎜ M M ⎜ 2 2 β β σ β β n 2σ M ⎝ n 1 M

⎞ ⎟⎛ x1 ⎞ L β 2 β nσ ⎟⎜ M ⎟ → Min! ⎟⎜ x ⎟ O M 2 2 2 ⎟⎝ n ⎠ L βn σ M + σ ε n ⎠ L

β1 βn σ M2

2 M

unter den Nebenbedingungen: 1. Die erwartete Portfoliorendite:

⎛ x1 ⎞

* µ PF = µ' x = (µ 1 L µ n )⎜⎜ M ⎟⎟ = µ PF x ⎝ n⎠

2. der Vollinvestition bzw. bei m linearen Gleichungen als Nebenbedingung

⎛ a1,1 a1, 2 L a1, n ⎞ ⎜ ⎟ x b ⎛ x1 ⎞ a 2, n ⎟⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎜ ⎟ (1 L 1)⎜ M ⎟ = 1 bzw. ⎜ a 2,1 a 2, 2 M = M O M ⎟⎜ x ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜ M n m ⎝ xn ⎠ ⎜a L a m, n ⎟⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a , 1 , 2 m m ⎝ 3. Keine Leerverkäufe

x≥0 Für die erwartete Rendite µi als auch für die Parameter αi, βi und die unsystematischen Risiken σ ε2i sind die ermittelten Schätzwerte aus Kapitel 7.2.2.1 und Kapitel 7.2.2.2 zu verwenden. In der Diagonalen der Matrix V ∈ ℜnxn können dann die Schätzer für die Varianzen gemäß (16) eingesetzt werden. Die restlichen Elemente der Matrix entsprechen den Kovarianzen gemäß (17). Der Vektor µ ∈ ℜn setzt sich aus den Renditeerwartungen gemäß (15) zusammen.

82

TEIL II: Theoretische Grundlagen

In der Literatur wird dieses Modell meist nicht mit einer „vollen KovarianzMatrix“, sondern als Diagonal-Modell dargestellt.105 Dabei sind in der KovarianzMatrix nur die Elemente der Diagonalen von Null unterschieden. Die Herleitung dieses Modells erfolgt über den Renditeprozess der Aktie i. Im Fall des Marktmodells entspricht dieser gemäß (14) für die Aktie i: (14) ri = α i + βi rM + ε i , wobei ε i eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert E (ε i ) = 0 und der Varianz σ ε2i darstellt.106 Die Rendite des Marktportfolios M wird ebenso als Prozess der Form (33) rM = α n +1 + ε n +1 aufgefasst, wobei α n +1 einen Parameter und ε n +1 eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert E (ε n +1 ) = 0 und der Varianz σ ε2n +1 = σ M2 darstellt. Unter den in Kapitel 7.2.1 getroffenen Annahmen ergeben sich dann, wie in Kapitel 7.2.2 dargestellt, die Renditeerwartung und die Varianz der Aktie i sowie die Kovarianz der Aktie i mit der Aktie j dann als: (15)

µi = E (ri ) = α i + βi µ M

(16) σ i2 = Var (ri ) = βi σ M2 + σ ε2i 2

2 (17) σ i , j = Cov (ri , rj ) = βi β jσ M

Die Portfoliorendite entspricht den gewichteten Aktienrenditen, wobei das Gewicht xi der Aktie i ihrem Anteil im Portfolio entspricht. Es gilt somit:

xi ri = xi (α i + β i rM + ε i ) = xi

(1 αi + ε i ) 424 3

aktienspezifische Rendite

+ xi

β{ i rM

marktspezifische Rendite

Die Aktienrendite ist in die aktien- und in die marktspezifische Rendite aufgeteilt. Die Portfoliorendite lässt sich daher als Summe der gewichteten aktien- und marktspezifischen Renditen bestimmen: n ⎞ ⎛ n rPF = ∑ xi (α i + ε i ) + ⎜ ∑ xi βi ⎟rM i =1 ⎠ ⎝ i =1

Dieser Ausdruck kann als Investition in n+1 Anlagen aufgefasst werden. Sharpe107 interpetiert dabei die Portfoliorendite als die gewichteten Renditen unter-

105 106 107

Vgl. Sharpe (1963), S. 281 - 284. Vgl. Kapitel 7.2.1. Vgl. Sharpe (1963), S. 282.

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

83

schiedlicher „basic securities“ und eines Index. Die Gewichtung des Index entspricht dabei n

x n +1 = ∑ x i β i i =1

Unter Berücksichtigung von (33) lässt sich die Portfoliorendite wie folgt ermitteln: n

n +1

i =1

i =1

rPF = ∑ xi (α i + ε i ) + xn +1 (α n +1 + ε n +1 ) =

∑ xi (α i + ε i )

bzw. als Erwartungswert n +1

µ PF = ∑ xiα i . i =1

Unter Heranziehung der bereits in Kapitel 7.2.1 dargestellten Annahmen betragen die aktienspezifischen Varianzen σ ε2i , die Varianz des Marktportfolios σ ε2n +1 bzw. σ M2 sowie die Kovarianzen zwischen den aktienspezifischen Renditen Cov (ε i , ε j ) = 0 für i ≠ j und zwischen den markt- und aktienspezifischen Renditen Cov (ε i , ε n +1 ) = 0 . Daraus lässt sich das Portfoliorisiko wie folgt ermitteln:

2 σ PF

⎛ σ ε2 0 ⎞ ⎟⎛ x ⎞ ⎜ 1 O ⎟⎜ 1 ⎟ n +1 2 2 ⎜ = ( x1 L x n +1 )⎜ 2 ⎟⎜ M ⎟ = ∑ x i σ ε i . σ εn ⎟⎝ x n +1 ⎠ i =1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 σ ε n +1 ⎠ ⎝ n

Hierbei ist die zusätzliche Nebenbedingung xn +1 = ∑ xi βi zu beachten, das i =1 gesamte Modell stellt sich wie folgt dar:

84

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Modell I: Zielfunktion:

2 σ PF

⎛ σ ε21 0 ⎜ O = ( x1 L x n +1 )⎜⎜ σ ε2n ⎜⎜ σ M2 ⎝ 0 n +1

n

i =1

i =1

⎞ ⎟⎛ x ⎞ ⎟⎜ M1 ⎟ = ⎟⎜ ⎟ ⎟⎟⎝ x n +1 ⎠ ⎠

= ∑ x i2σ ε2i = ∑ x i2σ ε2i + x n2+1σ n2+1 → Min! unter den Nebenbedingungen: 1. Die erwartete Portfoliorendite

(α 1

L αn

⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ α n +1 )⎜ xM ⎟ = µ PF ⎜ n ⎟ ⎝ x n +1 ⎠

2. der Vollinvestition

⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ (1 L 1 0)⎜ xM ⎟ = 1 ⎜ n ⎟ ⎝ xn +1 ⎠ 3. modellspezifische Restriktion

(β 1

L βn

⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ − 1)⎜ M ⎟ = 0 ⎜ xn ⎟ ⎝ x n +1 ⎠

4. keine Leerverkäufe

xi ≥ 0 für alle i = 1 bis n + 1

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

85

Das auf Seite 81 dargestellte Modell und Modell I als Diagonal-Modell führen zu identischen Lösungen. In aller Regel wird zur Ermittlung des effizienten Randes das Diagonal-Modell angewendet, da die Kovarianz-Matrix mit deutlich geringerem Aufwand zu bestimmen ist. Bei der Anwendung des Programmcodes von Todd108 werden die Modelle ebenso in Form des Diagonal-Modells aufgestellt. Entsprechend sind bei Anwendung von Modell I und Modell II die Kovarianz-Matrizen nur in Diagonalform dargestellt. Die Lösungen von Modell I können aus einer einzigen Aktie bestehen109, sofern keine weiteren Ungleichungen in das Modell integriert sind. Die Lösung existiert aus der Aktie mit der höchsten Renditeerwartung und wird als renditemaximierendes Portofolio bezeichnet. Sie ist µσ -effizient, da bei Ausschluss von Leerverkäufen kein Portfolio mit höherer Renditeerwartung im Anlageuniversum gebildet werden kann. Im nachfolgenden Modell II sind entsprechende Ungleichungen in die 4. Nebenbedingung integriert. Sie bewirken, dass einzelne Aktien auf maximal 10 % des Portfoliovermögens beschränkt sind. Das Modell II ist auf der folgenden Seite skizziert. Durch die zusätzliche Aufnahme der vierten Nebenbedingung werden alle Aktien auf maximal 10 % des Portfoliovolumens beschränkt. Grundsätzlich ist auch denkbar, alle Aktien einer Branche auf einen maximalen Umfang zu beschränken, indem die Summe über alle Aktien einer Branche kleiner einer Begrenzung k sein muß. Die entsprechende Restriktion wird jedoch im Forschungskontext der Arbeit nicht vorgenommen, so dass Modell II nur mit der zusätzlichen Beschränkung der einzelnen Aktie auf maximal 10 % des Portfolios aufgestellt ist.

108 109

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 301 - 333. Vgl. Kapitel 6.4.

86

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Modell II: Zielfunktion:

2 σ PF

⎛ σ ε21 0 ⎜ O = ( x1 L x n +1 )⎜⎜ σ ε2n ⎜⎜ σ M2 ⎝ 0 n +1

n

i =1

i =1

⎞ ⎟⎛ x ⎞ ⎟⎜ M1 ⎟ = ⎟⎜ ⎟ ⎟⎟⎝ x n +1 ⎠ ⎠

= ∑ x i2σ ε2i = ∑ x i2σ ε2i + x n2+1σ n2+1 → Min! unter den Nebenbedingungen: 1. die erwartete Portfoliorendite

(α 1

L αn

⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ α n +1 )⎜ xM ⎟ = µ PF ⎜ n ⎟ ⎝ x n +1 ⎠

2. der Vollinvestition

⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ (1 L 1 0)⎜ xM ⎟ = 1 ⎜ n ⎟ ⎝ xn +1 ⎠ 3. modellspezifische Restriktion

(β 1

L βn

⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ − 1)⎜ M ⎟ = 0 ⎜ xn ⎟ ⎝ x n +1 ⎠

4. Beschränkung der Aktien auf maximal 10 % des Portfolios

0 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛1 Kx = ⎜ O ⎟⎜ M ⎟ ≤ 0,1 mit K ∈ ℜn×n ⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 ⎠⎝ x n ⎠ ⎝0 5. keine Leerverkäufe

x i ≥ 0 für alle i = 1 bis n + 1

7. Modelle zur Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos

7.3.

87

Vergleich von „voller Kovarianz-Matrix“ und „Single-Index Model“

Insgesamt sind zur Ermittlung der Portfoliovarianz statt n(n-1)/2 Kovarianzen nur noch n Sensitivitäten in Form der β-Faktoren und die Indexvarianz zu schätzen. Gegenüber dem Modell der „vollen Kovarianz-Matrix“ reduziert sich die Anzahl der zu schätzenden Parameter von n(n+3)/2110 auf 3n+2111 Parameter. Im Fall von 50 Aktien sind im Vergleich zum Modell der „vollen Kovarianz-Matrix“ dann statt 1.325 nur noch 152 Schätzwerte zu ermitteln. Bei 100 Aktien reduzieren sich die Schätzwerte von 5.150 auf 302. Unter Berücksichtigung des gesamten deutschen Aktienmarktes müssten dann statt 344.864 nur noch 2.489 Schätzwerte ermittelt werden.

110

111

Entspricht den n Renditeerwartungen und n Varianzen der Aktien sowie den n(n-1)/2 paarweisen Kovarianzen. n α-Faktoren als aktienspezifische Rendite, n β-Faktoren und n Varianzen der Aktien sowie der Renditeerwartung und der Varianz des Marktes.

8. Zusammenhang zwischen Portfoliotheorie und Capital Asset Pricing Model 89

8.

Zusammenhang zwischen Portfoliotheorie und Capital Asset Pricing Model

Die bisher dargestellten Modelle I und II dienen zur Bestimmung der Zusammensetzung von Portfolios unter den in Kapitel 6.1 getroffenen Annahmen. Im Unterschied zu diesen Modellen wird durch das Capital Asset Pricing Model (CAPM) als Gleichgewichtsmodell ein Risikomaßstab für alle Anlagen hergeleitet sowie die Renditeerwartung in Abhängigkeit vom Risiko der Aktien im Kapitalmarktgleichgewicht bestimmt.112 Ein Gleichgewicht liegt vor, wenn sich Angebot und Nachfrage ausgleichen. Am Anfang und am Ende der Periode bildet sich somit für jedes Asset ein markträumender Preis. Darüber hinaus werden noch weitere Annahmen zum Kapitalmarkt getroffen:113 1. Alle Investoren haben den gleichen Anlagehorizont 2. Der Kapitalmarkt ist vollkommen114: 3. Der Markt ist friktionslos. Es existieren keine Steuern, keine Transaktionskosten. Die Wertpapiere sind unendlich teilbar. 4. Es herrscht vollständige Konkurrenz. Der Investor hat durch seine Kauf- und Verkaufaufträge keinen Einfluss auf den Preis und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen. 5. Alle Informationen sind frei und sofort verfügbar. Der Markt ist informationseffizient. 6. Die Anleger verhalten sich rational, das heißt, sie maximieren entsprechend des Bernoulli-Prinzips ihren Erwartungsnutzen 7. Der risikolose Zinssatz ist für alle Investoren gleich hoch 8. Die Anleger haben homogene Erwartungen. Ihre Renditeerwartungen, die Einschätzung der Risiken einzelner Anlagen sowie des Zusammenhangs zwischen einzelnen Anlagen stimmen überein. 9. Alle Assets sind über den Markt frei zu beziehen. Neben Wertpapieren kann somit auch bspw. Humankapital bezogen werden. 112 113

114

Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 292. Vgl. u.a. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 292 f., Auckenthaler (1994), S. 182 f., Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 228 f. Vgl. Steiner, Bruns (2002), S. 3. Die einzige zusätzliche Annahme gegenüber dem Markowitz-Modell ist unter dem Aspekt des vollkommenen Kapitalmarktes die vollständige und sofortige Verfügbarkeit der Informationen.

90

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Vor dem Hintergrund dieser restriktiven Annahmen konnten Sharpe115, Lintner116 und Mossin117 nachweisen, dass ein einziger Risikomaßstab für riskante Anlagen existiert, der auch gleichzeitig die Renditeerwartung der Investoren für einzelne riskante Anlagen bestimmt.

8.1.

Die Kapitalmarktlinie

Im Standardmodell, erweitert um die Aufnahme und Anlage von Kapital zum risikolosen Zinssatz, wurde das Separationstheorem in Kapitel 6.5.2.3 dargestellt. Die Investoren halten Portfolios, die sich aus riskanten Anlagen und einer risikolosen Anlage zusammensetzen. Die Zusammensetzung der riskanten Anlage entspricht dabei dem Tangential-Portfolio. Durch die zusätzliche Annahme der homogenen Erwartungen folgt, dass alle Investoren ihre Tangential-Portfolios sowohl identisch zusammensetzen als auch innerhalb der riskanten Portfolios die Anlagen identisch gewichten. Wenn alle Investoren identische Tangential-Portfolios halten, muss das Tangential-Portfolio aus allen am Markt gehandelten riskanten Anlagen bestehen. Die Gewichtung einer riskanten Anlage entspricht dann ihrem Anteil am Gesamtwert aller riskanten Anlagen. Aus diesem Grund wird im CAPM das Portfolio der riskanten Anlagen nicht Tangential-, sondern Marktportfolio genannt. Der effiziente Rand gemäß Standardmodell zuzüglich Aufnahme und Anlage von Kapital zum risikolosen Zinssatz ist dann für alle Investoren identisch. Er stellt den Zusammenhang zwischen dem übernommenen Risiko und der Renditeerwartung der Investoren dar. Das übernommene Risiko wiederum ist abhängig von der Gewichtung von risikoloser Anlage und Marktportfolio des Investors. Die Gerade von rf durch M wird als Kapitalmarktlinie bezeichnet und bildet den Ort aller effizienten Portfolios im Kapitalmarktgleichgewicht. Die Steigung der Geraden KML entspricht der Differenz von erwarteter Marktrendite und risikolosem Zins im Verhältnis zum Marktrisiko. Der Ordinatenabschnitt entspricht rf. Formal lässt sich die Kapitalmarktlinie wie folgt darstellen:118 (34)

115 116 117 118

µ PF = rf +

(µM − rf )σ σM

PF

Vgl. Sharpe (1964), S. 425 - 442. Vgl. Lintner (1965), S. 31 - 37. Vgl. Mossin (1966), S. 768 - 783. Vgl. u.a. Steiner, Bruns (2002), S. 23 und Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 295.

8. Zusammenhang zwischen Portfoliotheorie und Capital Asset Pricing Model 91

Renditeerwartung µ

Die Steigung (µM-rf)/σM kann als der erwartete Preis für die Übernahme von Marktrisiken interpretieret werden. Somit teilt sich unter den getroffenen Annahmen die erwartete Portfoliorendite µPF in zwei Komponenten auf: in rf als Zeitwert des Geldes und in den Preis für das Marktrisiko (µM-rf)/σM multipliziert mit dem übernommenen Risiko σPF.119

KML E M

µM

rf

σM Quelle:

In Anlehnung an Auckenthaler (1994), S. 185.

Abb. 14:

Die Kapitalmarktlinie

Standardabweichung σ

Die Kapitalmarktlinie trifft jedoch noch keine Aussage über die erwartete Rendite und das Risikomaß für einzelne riskante Anlagen. Dieser Zusammenhang lässt sich über die Wertpapiermarktlinie aufzeigen. 119

Vgl. Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2003), S. 296 und Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 233.

92

8.2.

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Die Wertpapiermarktlinie

Einzelne Wertpapiere stellen im Gleichgewicht ineffiziente Portfolios dar und liegen in Abb. 14 unterhalb der Kapitalmarktlinie. Diese stellt den Zusammenhang zwischen der Renditeerwartung von Portfolios – die aus dem Marktportfolio als riskanter Anlage und der risikolosen Anlage bestehen und dem Marktrisiko σ M dar. Das relevante Risikomaß zur Bestimmung der Renditeerwartung eines einzelnen Wertpapiers im Gleichgewicht ist über die Herleitung der Wertpapiermarktlinie darstellbar. Unter der Annahme, dass ein riskantes Portfolio sich mit dem Anteil (1-xi) aus dem Marktportfolio und mit dem Anteil xi aus der Aktie i zusammensetzt, lassen sich die Renditeerwartung und die Standardabweichung des Portfolios wie folgt ermitteln:

µ PF = (1 − xi )µ M + xi µi σ PF =

(1 − xi )2σ M2 + xi2σ i2 + 2(1 − xi )xiσ iM

Der Einfluss auf die Renditeerwartung und die Standardabweichung von marginalen Änderungen des Anteils xi der Aktie i auf das gesamte Portfolio ist über die Ableitung der beiden Gleichungen nach xi zu ermitteln.

∂µ PF = µi − µ M ∂xi

(

∂σ PF ⎛ 1 ⎞ 2 xiσ i2 − 2σ M2 + 2 xiσ M2 + 2σ iM − 4 xiσ iM =⎜ ⎟ 1 ∂xi ⎝2⎠ (1 − xi )2 σ M2 + xi2σ i2 + 2(1 − xi )xiσ iM 2

(

)

)

Im Marktgleichgewicht ist die Aktie i im Verhältnis ihrer Marktkapitalisierung zum Gesamtwert aller riskanten Anlagen im Marktportfolio enthalten. Eine Änderung des Anteils der Aktie i hätte somit eine Störung des Gleichgewichts zur Folge. Im Gleichgewicht muss der zusätzliche Anteil xi der Aktie i im riskanten Portfolio also Null entsprechen. Ist der Anteil größer Null, entspricht das riskante Portfolio nicht mehr dem Marktportfolio. Die Ableitungen vereinfachen sich dann zu:

∂µ PF = µi − µ M ∂xi

(

)

σ − σ M2 ∂σ PF ⎛ 1 ⎞ − 2σ M2 + 2σ iM =⎜ ⎟ = iM 1 σM ∂xi ⎝2⎠ 2 2

(σ ) M

8. Zusammenhang zwischen Portfoliotheorie und Capital Asset Pricing Model 93

Im Marktgleichgewicht entspricht die Grenzrate der Substitution von Risiko und Renditeerwartung für riskante Anlagen dem Quotienten dieser beiden Ableitungen. Dieser Quotient ist das Austauschverhältnis von erwarteter Rendite und Risiko und gibt an wie viel zusätzliches Risiko, bei einer bestimmten Steigerung der Renditeerwartung, in Kauf zu nehmen ist. (35)

∂µ PF / ∂xi (µi − µ M )σ M = ∂σ PF / ∂xi σ iM − σ M2

Dieses Austauschverhältnis muss im Tangentialpunkt, da dieser das Marktportfolio widerspiegelt, genau der Steigung der Kapitalmarktlinie entsprechen. So können die Steigung aus (34) (µM-rf)/σM und (35) gleich gesetzt werden:

µ M − rf (µi − µ M )σ M = σM σ iM − σ M2 Durch die Auflösung dieser Gleichung nach der erwarteten Rendite µi erhält man die Wertpapiermarktlinie120 oder „Security Market Line“ (SML): (36)

σ µi = rf + (µ M − rf ) iM σ M2

In Abb. 15 entspricht die Gerade der Kovarianz-Version. Sie hat den Ordinatenabschnitt rf und die Steigung (µ M − r f )/ σ M2 . Daher ist von Unternehmen, die eine höhere Kovarianz mit dem Markt aufweisen, eine höhere Rendite zu erwarten als von Unternehmen mit einer geringeren Kovarianz. Tritt keine Kovarianz zwischen einem Unternehmen und dem Markt auf, wird der risikolose Zins als Rendite erwartet, obwohl mit dieser Anlage ein Risiko verbunden ist. Der Grund liegt darin, dass diese Anlage nicht zum Risiko des Marktportfolios beiträgt.121

120

121

Die Wertpapiermarktlinie wird von verschiedenen Autoren auch als Wertpapierlinie bezeichnet. Vgl. Perridon, Steiner (2002), S. 275, Steiner, Bruns (2002), S. 308 - 310. Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 235.

94

TEIL II: Theoretische Grundlagen

µι

Kovarianz - Version

µι SML

M

SML

M

µM

µM

rf

rf

σ2M

Beta - Version

σιΜ

1,0

Quelle:

In Anlehnung an Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 235.

Abb. 15:

Wertpapiermarktlinie in der Kovarianz- und Beta-Version

βι

Die Wertpapiermarktlinie gemäß Gleichung (36) kann auch in seiner Beta-Version dargestellt werden. Es gilt,

βi =

σ iM . σ M2

Dieser Ausdruck entspricht dem Beta-Koeffizienten. Er ist ein Maß für die Sensitivität zwischen der erwarteten Aktienrendite und der erwarteten Marktrendite. Die Gleichung kann in (36) eingesetzt werden. Dann gilt für die Wertpapiermarktlinie: (37) (38)

µi = rf + (µ M − rf )βi bzw. µi − rf = (µ M − rf )βi

Die Differenz zwischen der erwarteten Aktien- bzw. Marktrendite und dem risikolosen Zinssatz wird als erwartete Überschussrendite bezeichnet und als Risikoprämie interpretiert. Die Gleichung (38) wird deshalb auch Wertpapiermarktlinie in der Risikoprämienschreibweise genannt. Im Vergleich zwischen Kovarianz- und Beta-Version (vgl. Abb. 15) ist zu erkennen, dass sich die Steigungen der beiden Versionen nicht entsprechen. In der Kovarianz-Version entspricht sie (µM-rf)/σM in der Beta-Version µM-rf. Ist das Beta einer Aktie βi = 1, dann entspricht die erwartete Rendite der Marktrendite. Bei

8. Zusammenhang zwischen Portfoliotheorie und Capital Asset Pricing Model 95

einem βi > 1 wird eine höhere Rendite und bei einem βi < 1 eine geringere Rendite im Vergleich zum Marktportfolio erwartet. Das Beta eines Portfolios setzt sich aus den gewichteten Betas der Anlagen zusammen. Die Gewichtung erfolgt dabei entsprechend der Anteile im Portfolio: N

β PF = ∑ xi βi i =1

Ebenso entspricht die Renditeerwartung des Portfolios den gewichteten Renditeerwartungen der einzelnen Anlagen. Somit liegt nicht nur jede Aktie sondern auch jedes Portfolio im Kapitalmarkgleichgewicht auf der Wertpapiermarktlinie. Alle effizienten Portfolios liegen auf der Kapitalmarktlinie, ineffiziente Portfolios hingegen nur auf der Wertpapiermarktlinie.

8.3.

Der Zusammenhang zwischen Capital Asset Pricing Model und Marktmodell

Im Marktmodell werden der α- und der β-Faktor mit Hilfe der Zeitreihenregression geschätzt.122 Der α-Faktor entspricht dabei dem Ordinatenabschnitt, der β-Faktor der Steigung der Regressionsgeraden. Damit das Marktmodell und das CAPM übereinstimmen, müssen die Annahmen zum CAPM123 in der Realität zutreffen. Im Unterschied zum Marktmodell enthält die Wertpapiermarktlinie als zentrale Bewertungsgleichung des CAPM keinen α-Faktor. CAPM und Marktmodell können also nur dann übereinstimmen, wenn der α-Faktor einen bestimmten Wert annimmt. Die erwartete Rendite des Marktmodells entspricht gemäß (15):

µi = E (ri ) = α i + βi µ M Durch die Ergänzung des risikolosen Zinssatzes rf auf beiden Seiten und Umformung folgt:

µi − r f = α i + β i µ M − r f = α i + βi rf − rf + βi (µ M − rf ) = α i − rf (1 − βi ) + βi (µ M − rf ) 14 4244 3 α i*

122 123

Vgl. Kapitel 7.2.2.1. Vgl. S. 89 f.

96

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Der Erwartungswert des Marktmodells124 entspricht unter bestimmten Bedingungen genau der Wertpapiermarktlinie im CAPM. Gemäß (37) bzw. (38) sieht die Wertpapiermarktgleichung wie folgt aus:

µi = rf + (µ M − rf )βi

µi − rf = βi (µ M − rf ) Das heißt, so lange α i* = 0 bzw. α i = rf (1 − βi ) ist, stimmt das Marktmodell mit der Wertpapiermarktlinie überein. Diese Bedingung ist nur erfüllt, sofern der Kapitalmarkt ex post im Gleichgewicht ist. Ist α i > rf (1 − βi ) , so könnte mit der Aktie unabhängig von der Marktentwicklung eine Überrendite erzielt werden. Die Aktie ist somit in der jeweiligen Periode unterbewertet. Analoges gilt, sofern α i < rf (1 − βi ) ist. In diesem Fall wird mit der Aktie unabhängig vom Markt eine geringere Rendite als bei Gültigkeit des CAPM erzielt. Die Aktie ist somit zu Beginn der Periode überbewertet. Unter der Annahme, dass sowohl der risikolose Zinssatz in aller Regel positiv ist und (1-β) -meist kleiner eins bzw. der β -Faktor größer Null ist werden die α Faktoren sich überwiegend in der Nähe von Null bewegen. Ein Asset dessen α Faktor systematisch über dem im Gleichgewicht geltenden Faktor liegen würde, weist eine höhere erwartete Rendite auf als es durch die Wertpapiermarktlinie im Gleichgewicht postuliert ist.

124

Das Marktmodell in der Form ri ,t − r f ,t = α i + β i rM , t + ε i , t wird auch zum Teil als Überschussrendite-Version des Marktmodells oder als Marktmodell in der „Risikoprämienschreibweise“ bezeichnet. Vgl. Zimmermann (1997), S. 20, oder Ulschmid (1994), S. 60.

9. Quadratische Optimierung

9.

97

Quadratische Optimierung

Das Standardmodell von Markowitz hat eine quadratische Form. Ohne den Ausschluß von Leerverkäufen durch die Restriktion xi ≥ 0, können die Lösungen mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren-Methode125 gefunden werden. Im Fall ohne Leerverkäufe entspricht das Modell dem Modell von Black.126 Dabei wird die Portfoliovarianz bei gegebener Renditeerwartung minimiert. Zur Lösung dieses Problems ist die Lagrange-Funktion zu bilden und anschließend deren Optimum zu bestimmen. Die Lagrange-Funktion lautet: (39)

L(x, λ , λE ) = x' Vx − λ (x' e − 1) − λE (x' µ − rPF )

Bei Berücksichtigung von n Aktien stellt x ∈ ℜn den Vektor der Anteile je Aktie im Portfolio, V ∈ ℜnxn die Kovarianz-Matrix, µ ∈ ℜn den Vektor der n Renditeerwartungen und e ∈ ℜn einen Vektor dar, dessen Elemente alle Eins betragen. Zur Ermittlung des Optimums müssen die ersten partiellen Ableitungen nach x und λE Null gesetzt werden. Bei n Aktien resultieren somit n+1 Gleichungen für die n+1 Variablen x und λE. Damit kann auch eine Lösung für den jeweiligen Anteil der Aktie i im effizienten Portfolio ermittelt werden. Die Elemente des Vektors x können auch negative Werte annehmen und sind dann als Leerverkauf der entsprechenden Aktie zu interpretieren. Der gesamte effiziente Rand ergibt sich durch die Variation von rPF . Sofern keine Leerverkäufe zugelassen sind, ist das Optimierungsproblem nicht mehr mit der Lagrange-Multiplikatoren-Methode zu lösen. Neben den linearen Gleichungen zur erwarteten Portfoliorendite und der Vollinvestition ist im Portfolio-Optimierungsmodell dann zusätzlich die Ungleichung xi ≥ 0 aufzunehmen. Markowitz entwickelte für diese Problemstellung den „Critical LineAlgorithmus“. Voraussetzung zur Anwendung des Algorithmus ist jedoch die Kenntnis eines effizienten Portfolios. Sofern neben der Leerverkaufrestriktion keine weiteren Nebenbedingungen existieren, besteht das renditemaximierende Portfolio allein aus der Aktie mit der höchsten Renditeerwartung. Bestehen weitere Restriktionen in Form von Ungleichungen kann ein effizientes Portfolio

125 126

Die Methode ist bspw. in Ohse (1998), S. 306 ff beschrieben. Vgl. Kapitel 6.5.3. Das Standardmodell zuzüglich Leerverkäufe.

98

TEIL II: Theoretische Grundlagen

mit Hilfe des Simplexverfahrens ermittelt werden.127 Dazu sind bei m Ungleichungen zusätzlich m Schlupfvariablen in das Modell aufzunehmen.

9.1.

Der „Critical Line - Algorithmus“

Ausgehend von einem bekannten effizienten Portfolio, bspw. dem renditemaximierenden Portfolio, lässt sich der gesamte effiziente Rand mit Hilfe des „Critical Line-Algorithmus“ ermitteln. Markowitz128 nutzt dabei Erkenntnisse von Kuhn und Tucker zur nicht-linearen Optimierung und wendet diese zur Lösung des Portfolio-Optimierungsproblems an. Unter Berücksichtigung dieser Bedingung reduziert sich das Problem auf eine lineare Beziehung, die sog. „Critical Line“, in Abhängigkeit des Parameters λ E . Die „Critical Line“ kann jedoch erst aufgestellt werden, wenn ein effizientes Portfolio bekannt ist. Die Bedingungen von Kuhn-Tucker und die Herleitung der „Critical Line“ sind in Kapitel 9.1.1 dargestellt. Anschließend wird in Kapitel 9.1.2 das Vorgehen zur Bestimmung der „Critical Line“ für ein bekanntes effizientes Portfolio beschrieben. Durch die Variation von λ E ändert sich die Gewichtung der Aktien und damit verbunden auch das Risiko und die Renditeerwartung der Portfolios. Gleichzeitig kann jedoch durch die Variation von λ E auch eine der Kuhn-Tucker-Bedingungen verletzt werden. In diesem Fall ändert sich die Zusammensetzung des Portfolios für weiter steigendes bzw. sinkendes λ E . Zwei Fälle sind hierbei zu unterscheiden: Entweder wird eine bisher nicht im Portfolio enthaltene Aktie aus dem Anlageuniversum aufgenommen oder eine bisher enthaltene Aktie aus dem Portfolio entfernt. Die Entscheidung zur Aufnahme oder Entfernung kann durch die Betrachtung der verletzten Bedingung erfolgen. Die Zusammensetzung des effizienten Portfolios für steigendes bzw. sinkendes λ E ist dann bekannt, so dass die „Critical Line“ bestimmt werden kann. Solange durch Variation von λ E keine der Kuhn-Tucker-Bedingungen verletzt wird, ändert sich die Zusammensetzung des Portfolios nicht. Das Intervall [ λunten , λoben ] wird als Segment des effizienten Randes129 bezeichnet, sofern für sinkendes λ E erst bei λ E = λunten und für steigendes λ E für λ E = λoben eine der Kuhn-Tucker-Bedingungen verletzt wird. Effiziente Portfolios innerhalb eines Segmentes enthalten zwar die gleichen Aktien, allerdings mit unterschiedlicher Gewichtung. λunten und λoben werden als 127

128 129

Eine Beschreibung des Simplexverfahrens findet sich u.a. in Domschke, Drexl (2002), S. 20 ff, oder Ellinger, Beuermann, Leisten (2001), S. 25 ff. Die Anwendung im Rahmen der Portfoliotheorie ist bei Rudolf (1996) beschrieben. Vgl. Markowitz (1991), S. 321 f., mit Verweis auf Kuhn, Tucker (1951), S. 481 - 492. Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 157 - 161.

9. Quadratische Optimierung

99

Unter- und Obergrenze für λE bezeichnet. Die Portfolios an den Grenzen der Intervalle werden Eck- bzw. Corner-Portfolios genannt. Die Bestimmung der Segmente und ihrer Schranken werden in Kapitel 9.1.3 erklärt. Abschließend wird in Kapitel 9.1.4 auf die Zusammensetzung der Portfolios zwischen angrenzenden effizienten Segmenten in Form der Corner-Portfolios eingegangen. Um den gesamten effizienten Rand zu ermitteln, ist λE zu einem bekannten effizienten Portfolio zu bestimmen. Anschließend sind die Intervallgrenzen des Segmentes zu identifizieren. Durch entsprechende Aufnahme bzw. Entfernung der Aktien in den Corner-Portfolios lassen sich die „Critical Lines“ sukzessive für die Segmente des effizienten Randes darstellen. Der Algorithmus wird so lange fortgeführt bis entweder λE Null entspricht oder keine Aktie mehr ausgeschlossen werden kann. 9.1.1.

Kuhn-Tucker-Bedingungen

Zur Lösung des Optimierungsproblems wird zunächst das Standardmodell von Markowitz betrachtet, wobei neben der erwarteten Portfoliorendite nicht nur die Vollinvestition, sondern zusätzlich weitere Gleichungen als Nebenbedingung zugelassen sind. Das Problem sieht dann wie folgt aus: Zielfunktion: 2 σ PF = x' Vx → Min!

unter den Nebenbedingungen:

µ' x = rPF Ax = b x≥0 Die erste Nebenbedingung gibt den Zusammenhang zwischen erwarteter Portfoliorendite und den gewichteten Anteilen der Aktien im optimalen Portfolio wieder. Die zweite Nebenbedingung enthält die m Nebenbedingungen in Form von Gleichungen. Sie setzen sich aus den m Restriktionen für die Portfoliogewichte der n Aktien zusammen. Somit gilt A ∈ ℜmxn . Der Spaltenvektor b ∈ ℜm steht für die rechte Seite der Gleichung. Unter dieser Nebenbedingung wird u.a. der Anteil des zu investierenden Investitionsbudgets erfasst. Darüber hinaus können durch diese Restriktion beispielsweise fixierte Anteile einzelner Aktien innerhalb des Portfolios in das Modell integriert werden. In den Untersuchungen wird jeweils das gesamte Budget der Investoren investiert, so dass die Summe der Portfoliogewichte xi über alle Aktien n Eins ergeben muss. Sofern neben dieser Bedingung keine weiteren linearen Restriktionen mit aufgenommen werden, vereinfacht sich die zweite Nebenbedingung wiederum zu e' x = 1 , wobei

100

TEIL II: Theoretische Grundlagen

die n Elemente des Vektor e Eins entsprechen. Die dritte Nebenbedingung enthält die Leerverkaufrestriktion. Nach der dritten Nebenbedingung kann der Vektor x keine negativen Werte annehmen, so dass im vorliegenden Fall die Leerverkäufe ausgeschlossen sind. Der Algorithmus von Markowitz130 beruht auf der Überlegung, dass eine Lösung des Optimierungsproblems die Bedingungen von Kuhn-Tucker131 erfüllen muss. Die Bedingungen für ein Minimum bei m linearen Restriktionen beziehen sich dabei auf die Lagrange-Funktion des Optimierungsproblems: Erstens müssen die Ableitungen der Lagrange-Funktion nach λi Null entsprechen (vgl. (40), 1. Bedingung). Zweitens dürfen die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nach xi (vgl. (40), 2. Bedingung) nicht negativ sein. Drittens müssen die partiellen Ableitungen nach xi positiv sein, sofern xi einen Wert von Null annimmt bzw. müssen die partiellen Ableitungen nach xi Null entsprechen, sofern xi einen positiven Wert annimmt (vgl. (40), 3. Bedingung). Viertens können die LagrangeMultiplikatoren jegliche reele Zahl annehmen, hingegen darf xi nicht negativ sein (vgl. (40), 3. Bedingung bzw. Fußnote 131 der Arbeit). Formal sehen die Bedingungen wie folgt aus:

130 131

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 151 - 179. Markowitz bezieht sich dabei auf Kuhn, Tucker (1951), S. 481 - 492. Sie zeigen, dass der Vektor x ∈ ℜ n die Funktion f = 1 / 2xVx + γ' x unter den Nebenbedingungen Ax = b und x ≥ 0 genau dann minimiert, wenn (a) Ax = b und x ≥ 0 (b) ein Vektor λ existiert, so dass gilt 1) η j ≥ 0 für j = 1 bis n

2) η j x J = 0 für j = 1 bis n

η j ist dabei die partielle Ableitung ∂L / ∂x j von L(x, λ ) = 1 / 2xVx + γ' x + λ' Ax . Das Vorzeichen der Lagrange-Multiplikatoren λ ist dabei irrelevant. Vgl. Markowitz (1991), S. 321 f.

9. Quadratische Optimierung

101

(40) Kuhn-Tucker-Bedingungen132: 1.

∂L ≥ 0 für i = 1 bis n ∂xi

2.

∂L = 0 für i = 1 bis m ∂λi

3.

∂L ∂L = 0 ⇔ x i > 0 für i = 1 bis n > 0 ⇔ x i = 0 und ∂xi ∂xi

4.

xi ≥ 0 für i = 1 bis n ; λi ∈ ℜ für i =1 bis m

Die zu optimierende Lagrange-Funktion133 des Modells sieht wie folgt aus: (41)

Lagrange-Funktion:

L(x, λ, λE ) =

1 x' Vx + λ' (Ax − b ) − λE (µ' x − rPF ) → Min! 2

Dabei entspricht x ∈ ℜn dem Vektor der Aktiengewichte. Die formale Darstellung der Kuhn-Tucker-Bedingungen bringt im Rahmen der Portfoliooptimierung zum Ausdruck, dass die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach xi dann Null sein muss, wenn die Aktie i im Portfolio enthalten und somit ihr Gewicht xi positiv ist (3. Bedingung). Sofern die Aktie i nicht im Portfolio enthalten ist, muß ihr Anteil xi Null entsprechen. Die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach xi muss dann jedoch positiv sein. Wäre xi nicht auf positive Werte beschränkt, könnte die Lagrange-Funktion weiter verbessert werden. Entsprechend sind in den Modellen ohne das Verbot von Leerverkäufen effiziente Ränder mit höherem Nutzenniveau zu erzielen. Im µσ -Raum bedeutet dies, dass der effiziente Rand unter Einbezug von Leerverkäufen links vom effizienten Rand bzw. im σµ -Raum rechts vom effizienten Rand bei Ausschluss von Leerverkäufen liegt.134 Die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion in (41) nach xi lassen sich bei n Aktien als Vektor η ∈ ℜn mit

132 133

134

Vgl. Kistner (1988), S. 112, und Markowitz (1991), S. 321 f. Markowitz formt die Lagrange-Funktion L(x, λ , λ E ) = x' Vx + λ (Ax − b ) + λ E (µ' x − rPF ) zu der im Text dargestellten Funktion um. Dadurch ändert sich einerseits das Vorzeichen der Konstanten λ E , und andererseits wird die zu minimierende Funktion x' Vx mit dem Faktor 0,5 multipliziert. Das Minimum des Problems wird dadurch jedoch nicht beeinflusst. Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 128, bzw. Fußnote 131 der vorliegenden Arbeit. Vgl. Abb. 6.

102

TEIL II: Theoretische Grundlagen

⎛ ∂L ∂L ∂L ⎞ ⎟ η' = ⎜⎜ , ,...., ∂xn ⎟⎠ ⎝ ∂x1 ∂x2 und nach λj für die m Bedingungen als Vektor κ '∈ ℜm mit

⎛ ∂L ∂L ∂L ⎞ ⎟ κ' = ⎜⎜ , ,...., ∂λm ⎟⎠ ⎝ ∂λ1 ∂λ2 darstellen. Die Kuhn-Tucker-Bedingungen gemäß (40) lauten für das Problem dann:135 (42)

Kuhn-Tucker-Bedingungen ∂L = η = (V A')⎛⎜ x ⎞⎟ − λE µ ≥ 0 ⎝λ⎠ ∂x

∂L = µ' x = rPF ∂λE ∂L = κ = Ax = b ∂λ η > 0 ⇔ x = 0 und η = 0 ⇔ x > 0 x ≥ 0; λ ∈ ℜ n 135

Die partiellen Ableitungen lassen sich wie folgt zusammenfassen: ⎛ σ 12 σ 1, 2 ... σ 1, n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ 1 1 σ σ 22 ... σ 2 , n ⎟⎜ x 2 ⎟ ⎜ ⎟ x' Vx = (x1 x 2 ... x n )⎜ 2 ,1 ⎜ : : ⎟⎜ : ⎟ 2 2 2 ⎟⎜ x ⎟ , vgl. von Auer (2003), S. 146. ⎜σ ⎝ n ,1 σ n , 2 ... σ n ⎠⎝ n ⎠ ∂ (x' Vx) = Vx ⇒ ∂x ⎛ a1,1 a1, 2 ... a1, n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ λ1 a1,1 + λ 2 a 2 ,1 + ... + λ n a n ,1 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ a a 2 , 2 ... a 2 , n ⎟⎜ x 2 ⎟ ⎜⎜ λ1 a1, 2 + λ 2 a 2 , 2 + ... + λ n a n , 2 ⎟⎟⎜ x 2 ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ λ ' Ax = (λ1 λ 2 ... λ n )⎜ 2,1 : ⎟⎜ : ⎟ ⎜ : ⎜ : ⎟⎜ : ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜a ⎝ n ,1 a n , 2 ... a n , n ⎠⎝ x n ⎠ ⎝ λ1 a1, n + λ 2 a 2 , n + ... + λ n a n , n ⎠⎝ x n ⎠ ⎛ λ1 a1,1 + λ 2 a 2 ,1 + ... + λ n a n ,1 ⎞ ∂ (λ ' Ax) ⎜ λ1 a1, 2 + λ 2 a 2 , 2 + ... + λ n a n , 2 ⎟ ⎟ = A' λ =⎜ ⇒ : ∂x ⎟ ⎜ ⎜ λ a + λ a + ... + λ a ⎟ 2 n,2 n n,n ⎠ ⎝ 1 1, n ⎛ x1σ 12 + x 2σ 2 ,1 + ... + x n σ n ,1 ⎞ ⎛ λ1 a1,1 + λ 2 a 2 ,1 + ... + λ n a n ,1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ∂L λ a + λ 2 a 2, 2 + ... + λ n a n , 2 ⎟ − λE µ = Vx + A' λ − λ E µ = ⎜ x1 a1, 2 + x 2 σ 2 + ... + x n σ n , 2 ⎟ + ⎜ 1 1, 2 : ⎜ ⎟ ∂x : ⎟ ⎜ ⎜ x σ + x σ + ... + x σ 2 ⎟ ⎜ λ1 a1, m + λ 2 a 2 , m + ... + λ n a n , m ⎟ n n ⎠ 2 2, n ⎠ ⎝ ⎝ 1 1, n = (V A')⎛⎜ x ⎞⎟ − λ E µ ⎝λ⎠

9. Quadratische Optimierung

103

Es existieren somit n Ungleichungen in der ersten Bedingung und m + 1 Gleichungen in der zweiten Bedingung. Unter der Annahme, dass alle Aktien im effizienten Portfolio enthalten sind, müssen alle partiellen Ableitungen nach xi ( η ∈ ℜn ) Null entsprechen. Ansonsten wäre die dritte Bedingung ηi = 0 ⇔ x i > 0 nicht für alle Aktien i = 1 bis n erfüllt. Das Gleichungssystem der Kuhn-TuckerBedingungen sieht dann wie folgt aus:136

⎛ V A' ⎞⎛ x ⎞ − λ ⎛ µ ⎞ = ⎛ 0 ⎞ ⎜ A 0 ⎟⎜ λ ⎟ E ⎜ 0 ⎟ ⎜ b ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

µ' x = rPF Bis auf die partielle Ableitung nach λE sind die beiden ersten Kuhn-TuckerBedingungen im ersten Ausdruck zusammengefasst. Die dritte und die vierte Bedingung sind auf Grund der Annahme, dass alle Aktien im Portfolio enthalten sind, erfüllt. Bei Variation von λE müssen die Bedingungen nach Kuhn-Tucker weiterhin eingehalten werden, da sonst die dritte Bedingung (Nicht-Negativität der partiellen Ableitung nach xi) verletzt wird. Sofern V ∈ ℜn×n , A ∈ ℜ mxn , b ∈ ℜm und µ ∈ ℜn bekannt sind, lässt sich die Matrix M ∈ ℜ(n + m)×(n + m) als

M = ⎛⎜ V A' ⎞⎟ ⎝A 0 ⎠

(43)

definieren und die inverse Matrix M −1 berechnen.137 Durch Umformungen138 lässt sich der erste Ausdruck dann wie folgt darstellen:

µ M −1M⎛⎜ x ⎞⎟ − λE M −1 ⎛⎜ ⎞⎟ = M −1 ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎝λ⎠ ⎝b⎠ ⎝0⎠

⇔

⎛ x ⎞ = M −1 ⎛ 0 ⎞ + λ M −1 ⎛ µ ⎞ ⎜λ⎟ ⎜b⎟ E ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mit

µ α = M −1 ⎛⎜ 0 ⎞⎟ und β = M −1 ⎛⎜ ⎞⎟ b ⎝ ⎠ ⎝0⎠

(44) gilt dann: (45)

136 137

138

⎛x⎞ = α + λ β ⎜λ⎟ E ⎝ ⎠

Vgl. Rudolf (1996), S. 17. Damit die inverse Matrix M-1 berechnet werden kann, muß M regulär sein. Markowitz zeigt, dass die Regularität von M gegeben ist. Vgl. Markowitz (1991), S. 324 - 329. Vgl. Rudolf (1996), S. 18.

104

TEIL II: Theoretische Grundlagen

α und β stellen dabei Spaltenvektoren mit n + m Elementen dar. (45) zeigt den linearen Zusammenhang zwischen den Portfoliogewichten und dem LagrangeMultiplikator λE.139 Zusätzlich ist jedoch bei der Lösung des Gleichungssystems zu berücksichtigen, dass die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nach xi gemäß der ersten Bedingung nicht negativ werden. Die Lösung gemäß (45) muß somit die Ungleichung der ersten Bedingung weiterhin erfüllen: η = (V A')⎛⎜ x ⎞⎟ − λE µ = (V A')(α + λE β ) − λE µ ≥ 0 ⎝λ⎠

(46)

Unter Berücksichtigung von (47)

γ = (V A')α

(48)

δ = (V A')β − µ

kann (46) dann als

η = γ + λE δ ≥ 0

(49)

zusammengefasst werden. (45) und (49) ergeben zusammen die durch Markowitz140 definierte „Critical Line“:

⎛x⎞ ⎜ λ ⎟ = ⎛⎜ α ⎞⎟ + λ ⎛⎜ β ⎞⎟ ⎜ η⎟ ⎝ γ ⎠ E ⎝ δ ⎠ ⎝ ⎠

(50)

Für die Portfoliogewichte xi und die partiellen Ableitungen ηi gilt gemäß der dritten Bedingung in (40), dass entweder xi = 0 und ηi > 0 oder xi > 0 und ηi = 0 für alle i = 1 bis n gilt. Für alle Werte von λE, die sowohl (49) als auch x ≥ 0 erfüllen, stellen die Lösungen ein effizientes Portfolio dar. Ist ein effizientes Portfolio bekannt, lässt sich das damit verbundene λ∗E ermitteln. 9.1.2.

„Critical Line“ für ein bekanntes Portfolio

Das Anlageuniversum lässt sich, sofern ein effizientes Portfolio bekannt ist, in zwei Mengen unterteilen: Entweder sind die Aktien im effizienten Portfolio enthalten ( xi ∈ in ) oder sie sind nicht im effizienten Portfolio enthalten ( xi ∈ out ). Die Gewichte xi der enthaltenen Aktien entsprechen xini . Da die Portfoliovarianz und die Portfoliorendite allein durch die Varianzen, Kovarianzen und Renditen der im Portfolio enthaltenen Aktien xi ∈ in bestimmt sind, können die KovarianzMatrix und der Rendite-Vektor vereinfacht werden. Sind Aktien nicht im

139

140

Diesen linearen Zusammenhang bezeichnet Markowitz als die „Critical Line“. Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 156. Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 159 f.

9. Quadratische Optimierung

105

bekannten Portfolio enthalten, können die Zeilen- und Spaltenvektoren dieser Aktien durch Einheitsvektoren in der Kovarianz - Matrix V ersetzt werden. Die Varianzen der enthaltenen Aktien σ ini , j (i = j für alle i,j = 1 bis n) sowie deren Kovarianzen σ ini , j (i ≠ j für i = 1 bis n) bleiben in der Matrix Vin berücksichtigt.141 Das Element i für alle i = 1 bis n des Rendite-Vektors µ in entspricht Null, sofern die Aktie i nicht im Portfolio enthalten ist, und µi, sofern sie Bestandteil des Portfolios ist. Im Vektor A werden alle Elemente auf Null gesetzt, sofern sie sich auf Aktien beziehen, die nicht im Portfolio enthalten sind. Die Portfoliovarianz, die Portfoliorendite sowie die Restriktionen lauten dann im Modell: Zielfunktion: 2 σ PF = x' Vin x in

unter den Nebenbedingungen:

µ'in x = rPF Ain x = b xi = 0 ⇔ x i ∈ out Der Vektor b bleibt in seiner ursprünglichen Form bestehen, da diese Nebenbedingung auch im bekannten effizienten Portfolio erfüllt sein muss. Das Gleichungssystem kann dann analog zur Vorgehensweise in Kapitel 9.1.1 in die lineare Form gemäß (45) überführt werden, so dass gilt: (51)

⎛ x ⎞ = α + λ β ≥ 0 mit ⎜λ⎟ in E in ⎝ ⎠

µ ⎛ V A'in ⎞ α in = M in−1⎛⎜ o ⎞⎟ und βin = M in−1 ⎛⎜ in ⎞⎟ wobei M in = ⎜ in ⎟ b 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Ain 0 ⎠ Entsprechend lassen sich auch die Gleichungen (46) - (49) analog aufstellen:

ηin = γ in + λE δin ≥ 0 mit γ in = (V A')α in δin = (V A')βin − µ Das bekannte effiziente Portfolio erfüllt diese Bedingungen. Dabei ist zu beachten, dass nicht Vin ∈ ℜn×n , A in ∈ ℜmxn und µin ∈ ℜn sondern V ∈ ℜn×n , A ∈ ℜ mxn und µ ∈ ℜn zur Ermittlung von γ in und δ in zu berücksichtigen sind. Durch 141

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 177 - 181.

106

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Variation von λE können weitere Portfolios ermittelt werden, so lange für alle i gilt, dass xi ≥ 0 und ηi ≥ 0 sind. Sobald jedoch durch die Aktie i eine der beiden Bedingungen verletzt wird, sind die Kuhn-Tucker-Bedingungen nicht mehr erfüllt. Eine Verletzung kann entstehen, sofern xi oder eine der partiellen Ableitungen ηi negativ wird. Das Portfolio an den Schranken von λE wird Corner-Portfolio genannt. Der effiziente Rand wird durch diese segmentiert.142 9.1.3.

Segmente und Schranken der „Critical Line“

Gemäß der dritten Bedingung in (42) dürfen alle xi und ηi auf der „Critical Line“ nicht negativ sein. Sofern einer dieser Werte bei Variation von λE für die Aktie i negativ wird, sind die Kuhn-Tucker-Bedingungen nicht mehr erfüllt. Die Identifikation der kritischen Werte kann für alle n Aktien über die „Critical Line“ erfolgen. Für alle n Aktien lassen sich die kritischen Werte für xi und ηi für i = 1 bis n ermitteln, indem bei den einzelnen Gleichungen xi = αini + λE βini und ηini = γini + λE δini aus (51) für alle i Null gesetzt und diese nach λΕ aufgelöst werden. Eine untere Begrenzung λunten ist dann gegeben, wenn für sinkendes λΕ entweder xi oder ηi negativ wird. Eine obere Begrenzung λoben ist gegeben, sofern für steigendes λΕ entweder xi oder ηi negativ wird. In Abb. 16 sind die einzelnen Linien grafisch dargestellt.

142

Vgl. Rudolf (1996), S. 21.

9. Quadratische Optimierung

107

x4 η5

η2

x3 x1 η6

η6

λd

λb λa = λlow

x1 x3

λE

λc = λhigh

η5

Quelle:

In Anlehnung an Markowitz, Todd (2000), S. 159.

Abb. 16:

x und η einer „Critical Line“

η2 x4

In Abb. 16 ist zu erkennen, dass für sinkendes λΕ, die Werte für x1, x3 sowie η5 und η6, hingegen für steigendes λΕ, die Werte für x4 und η2 negativ werden. Wird einer der Werte bei steigendem bzw. sinkendem λΕ negativ, so sind die KuhnTucker-Bedingungen in (40) verletzt. Somit ist die minimale obere Grenze und die maximale untere Grenze zu ermitteln. Formal ergeben sich die Grenzen wie folgt:143

143

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 158.

108

TEIL II: Theoretische Grundlagen

Untere Grenze:

- αi ⎧ ⎪ λa = ⎨max β i >0 βi

⎪⎩− ∞ wenn β i ≤ 0

-γi ⎧ ⎪ λb = ⎨max δ i >0 δ i

λunten = max(λa , λb )

-γi ⎧ ⎪ λd = ⎨min δ i 0 ⇔ x i = 0 in (40) verletzt. Damit diese weiterhin erfüllt bleibt, ist die Aktie i in das Portfolio aufzunehmen. Markowitz144 führt aus, dass angrenzende Segmente den Schnittpunkt zweier „Critical Lines“ darstellen. In diesem Schnittpunkt nimmt auf der einen „Critical Line“ das Gewicht xi der Aktie i zum einzigen Mal für λΕ den Wert Null an. Gleichzeitig nimmt für dieses λΕ die partielle Ableitung ηi zum einzigen Mal den Wert Null auf der angrenzenden „Critical Line“ an. Das heißt die Zusammensetzung der Portfolios und die Gewichtung der Aktien stimmen an den Grenzen der Segmente auf dem effizienten Rand überein. Sobald die untere Schranke bei Betrachtung von sinkendem λΕ den Wert λunten = ∞ annimmt bzw. bei Betrachtung von steigendem λΕ die obere Schranke den Wert λoben = ∞, wird der Algorithmus abgebrochen. In diesen Fällen wird keine der Optimalitätsbedingungen in (40) verletzt. Es ist weder eine weitere Aktie in das Portfolio mit aufzunehmen, noch muss eine Aktie aus dem Portfolio entfernt werden. So lange xi und ηi nicht kleiner Null sind, können mit Hilfe der entsprechenden „Critical Line“ die effizienten Portfolios durch das Intervall λunten ≤ λE ≤ λoben ermittelt werden. Dies hat zur Folge, dass die „Critical Line“ nur für ein begrenztes Intervall von λE Gültigkeit besitzt. Die Intervallgrenzen lassen sich somit durch die Null-Stellen der Gleichungen xi = αi + λEβi und ηi = γi + λEδi aus (51) definieren. Da die „Critical Line“ gemäß (50) nur in einem bestimmten Bereich für λE gültig ist, ist die jeweils obere und untere Grenze des Intervalls λunten ≤ λE ≤ λoben für λE zu suchen. Sofern ein effizientes Portfolio bekannt ist, kann der gesamte effiziente Rand ermittelt werden. Mit Hilfe der bekannten V, A, b und µ lassen sich der entsprechende Multiplikator λE, sowie die obere und die untere Schranke für λE bestimmen. Das Intervall [λunten; λoben] entspricht einem effizienten Segment. Zusammenfassend, kann der effiziente Rand eines Anlageuniversums in fünf Schritten ermittelt werden: 1. Ermittlung eines effizienten Portfolios. 2. Aufstellung der initialen Matrix M in mit Vin , A in sowie den Vektoren µ in , b und Bestimmung der Segmentgrenzen der „Critical Line“. 144

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 171.

110

TEIL II: Theoretische Grundlagen

3. Aufstellung weiterer Matrizen M in mit Vin , A in sowie den Vektoren µ in , b für die jeweils angrenzenden Segmente, bis keine Beschränkung mehr für λ E besteht. 4. Ermittlung der Corner-Portfolios. 5. Bestimmung der erwarteten Portfoliorendite und des -risikos.

9.2.

Rendite und Risiko effizienter Portfolios eines Segments

Ein direkter Vergleich der Renditedifferenz bzw. des Risikounterschiedes zwischen zwei Portfolios kann nur erfolgen, sofern den beiden das gleiche Risiko bzw. die gleiche Renditeerwartung zu Grunde liegt. In aller Regel stimmt die Renditeerwartung der Corner-Portfolios unterschiedlicher Anlageuniversen nicht überein. In der bisherigen Darstellung wurde nur die Zusammensetzung der Portfolios in Abhängigkeit von λ E aufgezeigt. Im Folgenden wird ausgeführt, wie sich die Zusammensetzung effizienter Portfolios zu einer vorgegebenen Renditeerwartung bestimmen lässt. Unter Berücksichtigung der „Critical Line“ gemäß (50) müssen zunächst beide Seiten mit dem transponierten Vektor µ' multipliziert werden. Dabei werden nicht alle Gleichungen der „Critical Line“ gemäß (50), sondern nur die ersten n Gleichungen berücksichtigt, so dass anstatt der Vektoren α ∈ ℜn + m und β ∈ ℜn + m die Vektoren α∗ ∈ ℜn und β∗ ∈ ℜn einbezogen werden. Es gilt dann: (52)

x = α ∗ + λE β ∗

und

µ PF = µ' x = µ' (α∗ + λE β∗ ) = µ' α∗ + λE µ' β∗ { { c0

c1

Die linke Seite der Gleichung entspricht der erwarteten Portfoliorendite. Aus der Multiplikation von µ' α∗ und µ' β ∗ ergeben sich die Skalare c0 und c1, so dass sich λ E wie folgt darstellen lässt: (53)

λE =

µ PF c1

−

c0 c1

Wird (53) in (52) für die ersten n Gleichungen der „Critical Line“ eingesetzt, so ergibt sich:

9. Quadratische Optimierung

111

⎛µ c ⎞ ⎛ c ⎞ β∗ x = α∗ + β∗ ⎜⎜ PF − 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ α∗ − β∗ 0 ⎟⎟ + µ PF c1 ⎠ ⎝ c1 ⎠ { c1 ⎝ c1 14243

(54)

b0

b1

Der erste Ausdruck b 0 und und der zweite Ausdruck b 1 entsprechen einem Vektor mit n Elementen. Mit ihrer Hilfe kann die Gewichtung der Aktien im effizienten Portfolio in Abhängigkeit von der vorgegebenen Renditeerwartung bestimmt werden. Die Varianz des Portfolios lässt sich ebenso auf Grund der Linearität der Anteile innerhalb eines Segmentes ermitteln. Sie lautet dann unter Berücksichtigung von (52) wie folgt: 2 σ PF = x' Vx = (b 0 + b1 µ PF )' V (b 0 + b1 µ PF ) = b 0 ' V (b 0 + b1µ PF ) + b1 ' µ PF V (b 0 + b1 µ PF ) = b 0 ' Vb 0 + µ PF b 0 ' Vb1 + µ PF b1 ' Vb 0 + µ PF b1 ' Vb1 µ PF 2 = b 0 ' Vb 0 + µ PF (b 0 ' Vb1 + b1 ' Vb 0 ) + µ PF b1 ' Vb1

123 a0

144 42444 3 a1

123 a2

a0, a1 und a2 entsprechen wiederum einem Skalar, so dass die Varianz der Portfolios in Abhängigkeit von der erwarteten Portfoliorendite dargestellt werden kann: 2 2 σ PF = a0 + a1µ PF + a2 µ PF

(55)

Die Werte für a0, a1 und a2 werden im verwendeten Programmcode von Todd145 automatisch ausgegeben. Aus (54) lässt sich für eine bestimmte Renditeerwartung die Zusammensetzung des optimalen Portfolios ermitteln. Mit (55) kann dann die entsprechende Portfoliovarianz bzw. Portfoliovolatilität als Quadratwurzel bestimmt werden.

9.3.

Beschränkung einzelner Aktien

In aller Regel wird in einem Portfolio mehr als eine Aktie gehalten, um die unsystematischen Risiken zu diversifizieren. Methodisch gesehen fallen jedoch immer mehr Aktien aus den effizienten Portfolios, bis zuletzt im Corner-Portfolio mit der höchsten Rendite nur noch eine Aktie enthalten ist. Das heißt, insbesondere Portfolios mit hoher erwarteter Rendite haben eine vergleichsweise geringe Anzahl an Aktien. Es ist jedoch davon auszugehen, dass ein Investor auch bei hoher Renditeerwartung eine Diversifikation der unsystematischen Risiken

145

Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 317.

112

TEIL II: Theoretische Grundlagen

anstrebt. Durch die Aufnahme zusätzlicher Ungleichungen in das Modell lässt sich der Umfang einzelner Aktien im Portfolio beschränken. Wird jede Aktie bspw. auf den Maximalanteil von 10 % begrenzt, sind mindestens zehn Aktien in jedem Portfolio enthalten. Die Beschränkung kann durch eine „kleiner gleich“Restriktion erfolgen. Durch die Aufnahme dieser Ungleichungen enthält das Modell somit neben der Leerverkaufrestriktion weitere Ungleichungen. Die „kleiner gleich“-Restriktion lässt sich wie folgt darstellen: Kx ≤ k ,146

wobei K ∈ ℜn×n die betroffenen Aktien definiert, k ∈ ℜn den maximalen Anteil der Aktie i im effizienten Portfolio benennt und n die Anzahl der Aktien im Anlageuniversum. Sollen durch die „kleiner gleich“-Restriktionen einzelne Aktien auf ein Maximalvolumen beschränkt werden147, entspricht K ∈ ℜn×n der Einheitsmatrix, sofern alle Aktien im effizienten Portfolio enthalten sind. Das gesamte Modell sieht dann wie folgt aus: Zielfunktion: 2 σ PF = x' Vx → Min!

unter den Nebenbedingungen:

µ' x = µ PF Ax = b Kx ≤ k

x≥0 Dieses Modell lässt sich lösen, indem die Ungleichung in der dritten Nebenbedingung durch eine Gleichung der Form Kx + z = k mit z ∈ ℜn als Schlupfvariable ersetzt und gleichzeitig die Bedingung z ≥ 0 mit in das Modell aufgenommen wird. Das Modell lautet dann wie folgt:

146

147

Bspw. kann die Begrenzung einer Aktie i auf maximal 10 % erfolgen, in dem ai xi ≤ 0,1 als Ungleichung in das Modell aufgenommen wird. Bspw. könnten auch Grenzen für Sektoren definiert werden, indem die Summe aller Aktien aus dem Sektor restringiert wird.

9. Quadratische Optimierung

113

Zielfunktion: 2 σ PF = x' Vx → Min!

unter den Nebenbedingungen:

µ' x = µ PF Ax = b Kx + z = k x, z ≥ 0

Die Lagrange-Funktion zu diesem Problem heißt dann:

L(x, s ) =

1 x' Vx + λ 1 ' (Ax − b ) + λ 2 ' (Kx + z − k ) − λE µ 2

und die Kuhn-Tucker-Bedingungen sehen wie folgt aus:

∂L = Vx + A' λ 1 + K ' λ 2 − λE µ ≥ 0 ∂x ∂L = λ2 ≥ 0 ∂z ∂L = Ax = b ∂λ 1 ∂L = Kx + z = k ∂λ 2 ∂L ∂L >0⇔x=0 = 0 ⇔ x > 0 bzw. ∂x ∂x ∂L ∂L = 0 ⇔ x > 0 bzw. >0⇔x=0 ∂z ∂z x, z ≥ 0 Entsprechend der Vorgehensweise in Kapitel 9.1.2 kann die „Critical Line“ aufgestellt werden. Dabei ist die Matrix M ggfs. noch weiter zu modifizieren, damit ihre Invertierbarkeit sichergestellt ist.148 Die grundsätzliche Vorgehensweise ist hiervon jedoch nicht betroffen. Die „Critical Line“ stellt sich in diesem Fall wie folgt dar:

148

Vgl. Rudolf (1996), S. 41 - 44.

114

TEIL II: Theoretische Grundlagen

⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎜ z ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ λ ⎟ = α + λ Eβ ⎝λ⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎝ λ2 ⎠ ⎛ ∂L ⎞ ⎜ ⎟ η = ⎜ ∂x ⎟ = γ + λ Eδ ⎜ ∂L ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠

()

Analog zur Vorgehensweise in Kapitel 9.1.3 sind die Grenzen des Segmentes zu bestimmen. Die Grenzen sind durch x und z sowie durch die beiden partiellen Ableitungen nach x und z gegeben (3. Kuhn-Tucker-Bedingung). Bei Aufstellung der Matrix M in ist zu beachten, dass sie nicht nur um eine Spalte, sondern um die Anzahl der Ungleichungen zu erweitern ist. Für eine detaillierte Beschreibung zur Umsetzung wird an dieser Stelle auf die Literatur verwiesen.149 Ist die Aktie i mit dem Gewicht xi ( i ∈ IN ) im Portfolio enthalten und stellt xi die untere Grenze für λE=λunten bei sinkendem λE dar, dann ist die Aktie im angrenzenden Segment nicht mehr enthalten. Strebt die partielle Ableitung nach xi gegen Null, ist die Aktie i im angrenzenden Segment enthalten und bei der Formulierung von M für dieses Segment zu berücksichtigen. Im Unterschied zum Algorithmus ohne die Beschränkung einzelner Aktien sind durch die zusätzlich aufgenommenen Ungleichungen die Bedingungen bezüglich z und der partiellen Ableitung nach z zu beachten. Strebt zm gegen Null und stellt die untere Grenze für sinkendes λE dar, so ist keine Schlupfvariable mehr (zm=0) in der betroffenen Gleichung m im angrenzenden Segment enthalten. Ohne die Beschränkung könnten dann Portfolios mit einem höheren Nutzen für den Anleger in diesem Segment gebildet werden. Sofern nur eine im Portfolio enthaltene Aktie von der Restriktion betroffen ist, wird sie im angrenzenden Segment mit dem maximalen Anteil im Portfolio enthalten sein. Strebt hingegen für sinkendes λE die partielle Ableitung nach zm gegen Null, so ist im angrenzenden Segment die Schlupfvariable zm in der Gleichung m enthalten. In diesem Fall sind die von der Restriktion m betroffenen Aktien beeinflusst. Ist nur eine Aktie des Portfolios von der Beschränkung betroffen, ist sie zunächst mit dem Maximalanteil im Portfolio enthalten, der dann im angrenzenden Segment abnimmt.

149

Vgl. Markowitz (1991), S. 170 ff. Ein numerisches Beispiel ist in Rudolf (1996), S. 49 ff. gegeben.

9. Quadratische Optimierung

115

Sofern alle Aktien i für i = 1 bis n auf einen maximalen Anteil von 10 % des Portfolios beschränkt werden sollen, ist die Matrix K wie folgt definiert:

0⎞ ⎛1 K n×n = ⎜ O ⎟ ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝0 Die dritte Bedingung lautet dann wie folgt: 0⎞ ⎛1 Kx = ⎜ O ⎟x ≤ 0,1 ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝0 Jede einzelne Aktie wird dadurch auf maximal 10 % des Portfolios beschränkt. Im Ergebnis bedeutet dies, dass die Corner-Portfolios dadurch gekennzeichnet sind, dass in ihnen für sinkendes λE die Aktie i das Portfolio verlässt, sofern xi die untere Grenze darstellt. Stellt die partielle Ableitung nach xi die untere Grenze dar, wird die Aktie i im Portfolio aufgenommen. Im Falle der Begrenzung durch zm erreicht eine Aktie ihren Maximalanteil von 10 % und im Falle der Begrenzung durch die partielle Ableitung nach zi sinkt der Anteil der Aktie i unter den Maximalanteil von 10 %.

10. Aufbau der Untersuchung

117

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios 10. Aufbau der Untersuchung Ziel der Arbeit ist es, festzustellen, inwiefern durch Immobilienaktien das Risiko effizienter Portfolios reduziert werden kann. Dieses Risiko steigt mit zunehmender Renditeerwartung an. Da Immobilien im Allgemeinen als risikoarme Anlagen betrachtet werden, sind zwei Fragestellungen mit der Aufnahme der Immobilienaktien in das Anlageuniversum verbunden: 1. Kann durch die Aufnahme eine Risikoreduktion erzielt werden? 2. Ist die Risikoreduktion ggfs. von der Höhe der Renditeerwartung der Investoren abhängig? Zur Beantwortung werden im Untersuchungszeitraum vier unterschiedliche Portfoliostrategien verfolgt. Die Strategien basieren dabei auf den vier folgenden Portfolios: -

-

-

-

dem ex ante effizienten Portfolio mit dem geringsten Risiko. Es wird als Minimum-Varianz-Portfolio bezeichnet. dem ex ante effizienten Portfolio, das eine identische Renditeerwartung wie der DAX aufweist. Es wird als DAX-äquivalentes Portfolio bezeichnet. dem ex ante effizienten Portfolio, das eine identische Renditeerwartung wie das naive gleich gewichtete Portfolio aufweist. Es wird als GG-Portfolio bezeichnet. dem ex ante effizienten Portfolio, das die höchste erwartete Überschussrendite je Risikoeinheit aufweist. Es wird als Tangential-Portfolio bezeichnet.

Alle Portfolios werden unter Anwendung des „Critical Line-Algorithmus“ ermittelt. Ziel ist es, die Zusammensetzung und die Gewichtung der Aktien in diesen Portfolios zu bestimmen. Im ersten Schritt erfolgt die Bildung dieser Portfolios allein aus deutschen Standardwerten (Anlageuniversum I). Im zweiten Schritt wird das Anlageuniversum dann um die Immobilienaktien erweitert (Anlageuniversum II). Dabei werden neben dem Verbot von Leerverkäufen zunächst keine weiteren Restriktionen im Modell berücksichtigt (Modell I). Grundsätzlich könnte auch das

118

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

renditemaximierende Portfolio bestimmt werden. Es besteht jedoch im Modell I aus einer einzigen Aktie und weist auf Grund der fehlenden Diversifikation ein hohes unsystematisches Risiko auf. Da im Kapitalmarktgleichgewicht die unsystematischen Risiken dem Investor nicht vergütet werden, wird dieses Portfolio in Modell I nicht ermittelt. Stattdessen wird als riskantes Portfolio das TangentialPortfolio bestimmt. Sofern keine weiteren Restriktionen in das Modell aufgenommen werden, können in diesem Modell grundsätzlich einzelne Aktien überproportional hoch gewichtet sein. Ggfs. sind die titelspezifischen Risiken nur in geringem Umfang diversifiziert. Aus diesem Grund wird ein zweites Modell aufgestellt. Im zweiten Modell wird das Volumen je Aktie auf maximal 10 % des Portfoliovermögens beschränkt (Modell II). Insgesamt sind im Modell II mindestens zehn Aktien enthalten, so dass hierdurch bereits eine vergleichsweise gute Diversifikation der titelspezifischen Risiken erzielt wird. Zudem wird in Modell II statt des Tangential-Portfolios das renditemaximierende Portfolio bestimmt. In diesem Fall setzt es sich aus den zehn Aktien mit der höchsten Renditeerwartung zusammen. Die Portfolio-Selection-Modelle sind Ein-Perioden-Modelle. Bei ihnen unterscheidet sich die Gewichtung der Aktien am Ende einer Halteperiode von der zu Beginn im Portfolio. Dies ist auf die unterschiedliche Kursentwicklung der Aktien und die hieraus resultierende Gewichtsverlagerung zurückzuführen. Auf Grund der veränderten Struktur stellt das Portfolio dann kein effizientes Portfolio mehr dar. Als Halteperiode wird der Untersuchung ein Monat zu Grunde gelegt. Zur Darstellung der unterschiedlichen Risiko/Rendite-Kombinationen ist eine einzelne Halteperiode als Beobachtung nicht ausreichend. Es werden deshalb 36 aufeinander folgende Halteperioden betrachtet. Für jede dieser Halteperioden werden die Portfolios neu gebildet. Die revolvierenden Restrukturierungen der einzelnen Portfolios können auf diese Weise auch als unterschiedlich riskante Portfoliostrategien aufgefasst werden. Dabei weist qua definitionem die Strategie auf der Basis des Minimum-Varianz-Portfolios das kleinste Risiko auf. Im Modell I stellt die Strategie auf der Basis des Tangential-Portfolios die riskanteste Strategie dar, im Modell II das renditemaximierende Portfolio. Das Risiko der Strategien, basierend auf DAX-äquivalentem Portfolio und GG-Portfolio ist untereinander nicht eindeutig ordinal skalierbar. Teilweise ist in den 36 Halteperioden das DAX-äquivalente Portfolio riskanter als das GG-Portfolio und vice versa. Nachdem die Portfolios bestimmt sind, können anschließend die Strategien auf Basis des Anlageuniversums I und des Anlageuniversums II überprüft werden. Bei der Betrachtung des DAX-äquivalenten Portfolios bzw. des GG-Portfolios lässt sich zusätzlich überprüfen, inwiefern diese Strategien tatsächlich einen Vorteil

10. Aufbau der Untersuchung

119

gegenüber einer Anlage im DAX bzw. einer revolvierend naiv gleich gewichteten Restrukturierung der Portfolios erzielen könnten. Diese Portfolios werden wegen ihrer kapitalmarkttheoretischen und praktischen Relevanz gewählt. Die kapitalmarkttheoretische Bedeutung des TangentialPortfolios ist in Kapitel 6.5.2.3 beschrieben. Die praktische Relevanz des Minimum-Varianz-Portfolios ist dadurch gegeben, dass mit einer vergleichsweise geringen Volatilität an den höheren Renditeerwartungen von Eigenkapitalinvestitionen im Vergleich zu Fremdkapitalinvestitionen partizipiert werden kann. Das renditemaximierende Portfolio wird bestimmt, damit ein Vergleich der unterschiedlichen Zusammensetzung von effizienten Portfolios mit hohen Risiken bzw. mit geringen Risiken vorgenommen werden kann. Dabei steht die Gewichtung der Immobilienaktien in den jeweiligen Portfolios im Mittelpunkt der Betrachtungen. Bevor die effizienten Portfolios bestimmt werden, sind zunächst die Länge der Schätzperiode (vgl. Kapitel 10.1) und das Anlageuniversum (vgl. Kapitel 10.3) zu bestimmen. Damit das Ein-Index-Modell angewendet werden kann, sind die zu Grunde liegenden Zeitreihen auf Stationarität zu überprüfen. Nur dann können mit Hilfe der OLS-Methode150 die α- und β-Faktoren geschätzt werden (vgl. Kapitel 10.4). Anschließend werden mit der erwarteten Marktrendite und dem Marktrisiko die Kovarianz-Matrix aufgestellt sowie die Schätzer für die erwarteten Aktienrenditen ermittelt. In Kapitel 11 sind die Ergebnisse aus den Modellen I und II nach Anlageuniversum I und II differenziert dargestellt.

10.1.

Die Schätzperiode

Im Ein-Index-Modell dient die Schätzperiode zur Schätzung der α- und ßFaktoren sowie der markt- und der unternehmensspezifischen Risiken. Bei der Wahl der Schätzperiodenlänge sind grundsätzlich folgende Aspekte zu berücksichtigen: -

Rendite-Intervall

-

Aktualität der Daten

-

Stichprobenumfang

Für ein möglichst kurzes Rendite-Intervall spricht einerseits, dass bei einer gegebenen Schätzperiodenlänge ein großer Stichprobenumfang im Vergleich zu

150

Zur OLS-Methode vgl. Fußnote 92.

120

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

längeren Rendite-Intervallen besteht. Andererseits wurde in verschiedenen Untersuchungen die Annahme der Normalverteilung für Tages- und Wochenrenditen eher verworfen als für monatliche Rendite-Intervalle.151 Auch vor dem Hintergrund der teilweise sehr geringen Sekundärmarktliquidität der Immobilienaktien und der damit verbundenen geringen Handelstätigkeit können kurze Rendite-Intervalle zu einer Verzerrung führen. Eine Ausweitung des Rendite-Intervalls hat somit auch eine Ausweitung der Schätzperiode zur Folge. Eine Schätzperiode für monatliche Renditen müsste über 20 Jahre betragen, um den gleichen Stichprobenumfang wie eine einjährige Schätzperiode für tägliche Renditen zu erhalten. Gegen eine entsprechend lange Schätzperiode spricht zum einen die fehlende Aktualität der verwendeten Daten, zum anderen der begrenzte Umfang der Zeitreihen. Grundsätzlich ist deshalb auch eine Reduktion des Stichprobenumfangs denkbar. Diese Reduktion hat zur Folge, dass die Schätzung von ß einen größeren Standardfehler und somit auch ein breiteres Konfidenzintervall hat.152 Insgesamt vermindert sich die Zuverlässigkeit der Schätzung. Ein gängiges Verfahren ist die Verwendung einer Schätzperiode von 60 Monaten mit einmonatigen Rendite-Intervallen. Teilweise werden auch einjährige Schätzperioden mit einem täglichen Rendite-Intervall bevorzugt. Insbesondere vor dem Hintergrund der Liquidität von Immobilienaktien liegen dieser Untersuchung monatliche Renditen zu Grunde. Durch die Länge der Schätzperiode von 60 Monaten wird sichergestellt, dass ein ausreichender Stichprobenumfang gewährleistet ist.

10.2.

Der Untersuchungszeitraum

Die Untersuchung umfasst 36 Schätz- und Halteperioden. Dabei erstreckt sich die Halteperiode auf einen Monat. Die erste Schätzperiode umfasst den Zeitraum von Januar 1995 bis Dezember 1999, die letzte Schätzperiode den Zeitraum zwischen Dezember 1998 und November 2002. Die erste Halteperiode beginnt am 1. Januar 2000 und endet am 31. Januar 2000, die letzte beginnt am 1. Dezember 2002 und endet am 31. Dezember 2002.

151

152

Vgl. Ulschmid (1994), S. 285 zeigt insbesondere, dass mit Hilfe einer Selektion von Ausreißern die Normalverteilung künstlich erzeugt werden kann. Vgl. (27) für den Standardfehler und (28) für das Konfidenzintervall. Mit steigendem Stichprobenumfang steigt der Nenner in (27), so dass der Standardfehler insgesamt kleiner wird.

10. Aufbau der Untersuchung

10.3.

121

Das Anlageuniversum

Zur Untersuchung der unterschiedlichen Entwicklung von Portfolios aus Standardwerten und Portfolios aus Standardwerten und Immobilienaktien werden Anlageuniversum I und II definiert. Das Anlageuniversum I umfasst die Standardwerte, während das Anlageuniversum II die Standardwerte zuzüglich der Immobilienaktien beinhaltet. Als Standardwerte werden die im DAX und als Immobilienaktien die im DIMAX153 erfassten Unternehmen betrachtet. Die Aktien des DAX und des DIMAX werden dann berücksichtigt, wenn sie die drei folgenden Kriterien erfüllen: -

-

Sie müssen zu Beginn der Halteperiode im Index enthalten sein Die Kurshistorie muss mindestens für die vorangegangenen 60 Monate vorliegen Die Aktien müssen eine ausreichende Liquidität im Untersuchungszeitraum aufweisen

Als Kriterium für eine ausreichende Sekundärmarktliquidität wird die Anzahl der Tage mit Handelsumsätzen an den deutschen Börsen zu Grunde gelegt. Sofern ein Umsatz an über 80 % der Handelstage stattgefunden hat, wird die Aktie als liquide erachtet. 10.3.1.

Die Standardwerte

Die Zusammensetzung des DAX variiert im Untersuchungszeitraum. Grundsätzlich weisen alle enthaltenen Aktien eine ausreichende Liquidität auf, da der jeweilige Umsatz dieser Aktien ein entscheidendes Aufnahmekriterium im DAX darstellt. Anfang Januar 2000 werden von 30 im DAX enthaltenen Gesellschaften fünf nicht berücksichtigt. Die Kurszeitreihen dieser Aktien stehen nicht vollständig zur Verfügung, da sie entweder aus einer Fusion154 hervorgegangen sind, oder ihre Erstemission im Untersuchungszeitraum erfolgt155. Für den Untersuchungszeitraum ergeben sich die folgenden Änderungen in der Zusammensetzung des DAX und somit auch im Anlageuniversum:

153

154

155

Die Zusammensetzug des Deutschen Immobilienaktien-Index (DIMAX) sowie die Änderung seiner Zusammensetzung durch Aufnahmen und Streichungen einzelner Aktien sind unter www.privatbank.de [28. März 2005] abrufbar. Adidas-Salomon AG, DaimlerChrysler AG. Die Degussa-Hüls AG ist auch aus einer Fusion hervorgegangen. Für diese Gesellschaft wurde jedoch die Kurshistorie der ehemaligen Degussa AG fortgeführt. Deutsche Telekom AG, Fresenius Medical Care AG und Metro AG.

122

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Im Februar 2000 ist die Mannesmann AG aufgrund der Übernahme durch die Vodafone plc. aus dem DAX gefallen. Stattdessen wird die EPCOS AG in den DAX aufgenommen. Diese Gesellschaft wird jedoch erst kurz vorher emittiert, so dass in den Beobachtungsperioden keine Kurshistorie vorliegt. Die Anzahl der berücksichtigten Standardwerte sinkt auf 24. Im Juni 2000 fusionierten die VIAG AG und die Veba AG zur E.ON AG. Beide sind zu diesem Zeitpunkt im DAX enthalten, so dass die Infineon AG neu in den Index aufgenommen wird. Da auch die Infineon AG erst kurz zuvor emittiert wird, steht in den Beobachtungsperioden keine Kurshistorie zur Verfügung. Ab Juli 2000 werden somit insgesamt 23 Standardwerte berücksichtigt. Ab Mitte November 2000 umfasst die Kurshistorie der Adidas-Salomon AG den gesamten Beobachtungszeitraum, so dass diese Gesellschaft mit in die Untersuchung einbezogen wird und ab Dezember 2000 wieder 24 Gesellschaften einbezogen sind. Im Frühjahr 2001 wird die Deutsche Post AG emittiert und in den DAX aufgenommen. Für diese Gesellschaft ist die KarstadtQuelle AG aus dem Index gefallen. Wiederum auf Grund der fehlenden Kurshistorie reduziert sich die Anzahl der betrachteten Standardwerte auf 23 Werte. Ab August 2001 haben die Metro AG, ab November 2001 die Fresenius Medical Care AG und ab Dezember die Deutsche Telekom AG eine ausreichende Kurshistorie, so dass die Gesamtzahl der berücksichtigten Aktien zunächst auf 24, dann auf 25 und zuletzt auf 26 Aktien anwächst.

Epcos AG

01.03.2000

Infineon AG

E.ON AG

01.07.2000

GAG Immobilien AG Hamborner AG IVG Immobilien AG WCM Grundbesitz- und Beteil 4 Kurshistorie nicht ausreichend

Beginn der Halteperiode:

24

23

5

01.06.2000 Deustsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG

Anzahl Aktien im Anlageuniversum: 25

Münchener Rückvers. AG RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG) Veba AG Veba AG gestrichen VIAG AG VIAG AG gestrichen Mannesmann AG Mannesmann AG gestrichen Volkswagen AG

KarstadtQuelle AG Linde AG Lufthansa AG MAN AG Metro AG

Fresenius Medical Care AG Henkel KGaA

Deutsche Telekom AG Dresdner Bank AG

BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG DaimlerChrysler AG Degussa-Hüls AG Deutsche Bank AG

Beginn der Halteperiode: 01.01.2000 Adidas-Salomon AG Allianz AG

24

01.12.2000 Adidas-Salomon AG

23

KarstadtQuelle AG gestrichen

Deutsche Post AG

01.04.2001

Metro AG MLP AG

24

Dresdner Bank AG gestrichen

01.08.2001

25

Fresenius Medical Care AG

01.11.2001

26

Deutsche Telekom AG

01.12.2001

01.10.2002

26

Degussa AG gestrichen

Altana AG

10. Aufbau der Untersuchung

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 17:

Zusammensetzung von Anlageuniversum I und II in Deutschland zwischen Januar 2000 und Dezember 2002

123

124

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Ab Oktober 2002 wird die Degussa AG durch die Altana AG im DAX ersetzt. Da die Altana AG eine ausreichende Kurshistorie besitzt, ändert sich die Anzahl der betrachteten Aktien nicht. Abb. 17 gibt einen Überblick über die einbezogenen Standardwerten in den jeweiligen Halteperioden. 10.3.2.

Die Immobilienaktien

Zur Abgrenzung der Immobilienaktien wird auf die Kriterien des E&G Deutscher Immobilienaktien-Index (DIMAX) zurückgegriffen. In ihm werden alle deutschen Gesellschaften erfasst, die die folgenden Kriterien erfüllen: Mindestens 75 % vom Umsatz und vom Ertrag müssen aus dem Immobiliengeschäft stammen. Als Immobiliengeschäft werden u.a. Vermietung und Verpachtung, Immobilienverwaltung, Immobilienhandel, Projekt-entwicklung und Immobilienberatung definiert. Die Aktie des Unternehmens muss im amtlichen Handel, im geregelten Markt oder im Freiverkehr notiert sein.156 Somit können grundsätzlich alle Aktien berücksichtigt werden, sofern sie eine entsprechende Sekundärmarktliquidität aufweisen. Im Unterschied zu den Standardwerten muss zusätzlich gegeben sein, dass die Unternehmen während der gesamten Schätzperiode im DIMAX enthalten sind. Dadurch wird sichergestellt, dass das Unternehmen zwischenzeitlich nicht eine andere Geschäftstätigkeit verfolgt. Ggfs. würde dies die Schätzung der Renditeerwartung und des Risikos verzerren. Beide würden nicht mehr ausschließlich die Entwicklung einer Immobilienaktie widerspiegeln.157 Im DIMAX sind Ende 1999 insgesamt 53 Aktien enthalten, davon jedoch nur 36 im gesamten Zeitraum zwischen 1995 und 1999.158 Von diesen 36 Gesellschaften haben nur fünf einen ausreichenden Streubesitz und werden regelmäßig gehandelt:159 die Deutsche Beamtenvorsorge Immobilien AG, die GAG Immobilien AG, die Hamborner AG, die IVG Immobilien AG sowie die WCM 156 157

158

159

Vgl. www.privatbank.de [Stand Mai 2005] Bspw. wurden die Hacker-Pschorr Beteiligungs-AG und die Horten AG Anfang 1998 im DIMAX aufgenommen. Vor ihrer Aufnahme war ihre Geschäftstätigkeit noch nicht in entsprechendem Ausmaß auf die immobilienspezifische Geschäftstätigkeit ausgerichtet. Obwohl die Gesellschaften im DIMAX enthalten sind, stehen die Kurszeitreihen der folgenden Aktien nicht vollständig zur Verfügung: Nymphenburg Immobilien AG, Nordag AG und die DBVI AG. Für die folgenden Gesellschaften stehen überhaupt keine Zeitreihen zur Verfügung: Haus und Heim AG, Tempelhofer Feld AG und Terraingesellschaft Teltow AG. Die Daten zur Sekundärmarktliquidität in der Untersuchung werden mit Hilfe von Reuters 3000 Xtra ausgewertet. Sofern die Aktien in über 80 % der Handelstage Umsätze an einer deutschen Börse erbringen, werden sie als liquide erachtet. Der Streubesitz wird anhand der Meldungen gem. § 21 Abs. 1 Wertpapierhandelsgesetz überprüft. Danach ist das Über- oder Unterschreiten von 5 %, 10 %, 25 %, 50 % oder 75 % eines Käufers der betroffenen Gesellschaft zu melden. Die Gesellschaft hat dies wiederum in ihrem Geschäftsbericht auszuweisen, sobald ihr dies vom Käufer mitgeteilt wird.

10. Aufbau der Untersuchung

125

Anzahl Aktien

Grundbesitz und Beteiligungs-AG. Obwohl die Deutsche Beamtenvorsorge Immobilien AG einen vergleichsweise großen Streubesitz hat, kann ihre Aktie zunächst nicht berücksichtigt werden, da die Kurshistorie zu diesem Zeitpunkt noch keine 60 Monate umfasst. Erst ab Ende Mai 2000 steht eine 60 Monate umfassende Kurshistorie zur Verfügung, so dass dieser Wert ab Juni 2000 berücksichtigt wird. Insgesamt sind also im Januar 2000 die GAG Immobilien AG, die Hamborner AG, die IVG Immobilien AG und die WCM Beteiligungsund Grundbesitz-AG berücksichtigt. 35

30 4

4

25

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

20

15 25 25 24 24 24 24 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 23 23 23 23 23 24 24 24 24 23 23 23 23 24 24 24 10

5

Standardwerte

1.111.02

01.12.2002

01.10.2002

01.09.2002

01.08.2002

01.07.2002

01.06.2002

01.05.2002

01.04.2002

01.03.2002

01.02.2002

01.01.2002

01.12.2001

01.11.2001

01.10.2001

01.09.2001

01.08.2001

01.07.2001

01.06.2001

01.05.2001

01.04.2001

01.03.2001

01.02.2001

01.01.2001

01.12.2000

01.11.2000

01.10.2000

01.09.2000

01.08.2000

01.07.2000

01.06.2000

01.05.2000

01.04.2000

01.03.2000

01.02.2000

01.01.2000

0

Immobilienaktien

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 18:

Anzahl Aktien in Anlageuniversum I und II (36 Halteperioden)

In den folgenden Jahren bis 2002 haben sich weitere Aktiengesellschaften auf die Immobilientätigkeit fokussiert bzw. werden erst in diesem Zeitraum als Immobilienaktien emittiert. Bis auf die Deutsche Beamtenvorsorge Immobilien AG kann jedoch keine weitere Gesellschaft in die Untersuchung einbezogen werden. Obwohl die Deutsche Euroshop AG, die Deutsche Wohnen AG und die AIG International Real Estate KGaA in der Untersuchungsperiode die Liquiditätsanforderungen erfüllen, fehlt bei allen die Kurshistorie innerhalb der Beobachtungsperioden, da alle erst nach 1999 emittiert werden. Unter Berücksichtigung der Datenverfügbarkeit, der Indexzusammensetzung und der Liquidität umfassen die Investment Opportunity Sets zu Beginn der jeweiligen Halteperioden unterschiedlich viele Aktien. Abb. 18 gibt die Anzahl der im

126

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Anlageuniversum enthaltenen Aktien zu Beginn der einzelnen Halteperioden wieder.

10.4. 10.4.1.

Voraussetzungen zur Anwendung des Ein-IndexModells Annahmen über die Stationarität der Zeitreihen

Der Untersuchung liegen die Kurse aus dem Zeitraum von Ende Dezember 1994 bis Dezember 2002 zu Grunde. Voraussetzung für die Untersuchung ist die Stationarität der Zeitreihen. Bei Anwendung von nicht stationären Zeitreihen können Scheinzusammenhänge wegen stochastischer Trends durch die Regressionsanalyse modelliert werden. Dies hat zur Folge, dass auf signifikante Zusammenhänge geschlossen wird, obwohl eigentlich gar kein Zusammenhang besteht.160 „Die Einhaltung der Stationaritätseigenschaft sämtlicher Zeitreihen ist eine zentrale Voraussetzung für die Anwendung der Regressionsanalyse.“161 Zur Überprüfung der Stationaritätseigenschaften wird der Augmented Dickey-FullerTest (ADF-Test)162 für die Kursreihen durchgeführt. Im Test werden die Kurse K t −1 auf die Differenz ∆Kt = Kt − K t −1 regressiert. Auf Grund theoretischer Überlegungen wird ein Modell mit einer Regressionskonstante α, aber ohne Zeittrendkomponente verwendet. (56)

∆Kt = α + δK t −1 + ε t

Das Modell ist mit der „Random Walk“-Hypothese in seiner Submartingale Form vereinbar.163 Die Idee der „Random Walk“-Hypothese lässt sich aus der Theorie informationseffizienter Märkte herleiten.164 Nach dieser Theorie spiegeln sich ohne zeitliche Verzögerung alle Informationen in den Kursen der Unternehmen wider. Der innere Wert eines Unternehmens wird nur durch zukünftige und somit bisher unbekannte Informationen beeinflusst. Kursschwankungen um den inneren Wert sind demzufolge rein zufällig. Die Regressionskonstante α gibt die risikoadäquate Verzinsung des Kapitals wieder. Die Zeitreihe ist stationär, wenn δ signifikant kleiner als Null ist. Ist δ nicht signifikant kleiner Null, wird davon ausgegangen, dass δ den Wert Null annimmt. Somit wird die Hypothese δ = 0 (Nicht-Stationarität) gegen die Hypothese δ < 0 160

161 162 163 164

In diesem Kontext wird auch von „Spurious Regressions“ gesprochen. Vgl. Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 360. s. Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 373. Der Test ist beschrieben in Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 368 ff. Vgl. Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 110, und Steiner, Bruns (2002), S. 42. Vgl. Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 109, mit Verweis auf Fama (1970) und Fama (1991).

10. Aufbau der Untersuchung

127

(Stationarität) getestet. Die Hypothese der Nicht-Stationarität kann nicht abgelehnt werden, sofern die Gegenthese der Stationarität nicht statistisch signifikant ist. δ ist dann statistisch signifikant kleiner Null, sofern der t - Wert der Regression kleiner ist als der kritische Wert von Dickey-Fuller. Sofern die Kurse einem „Random Walk“ folgen, kann die Hypothese der NichtStationarität für die Kurszeitreihen nicht abgelehnt werden, da dieser nicht stationär ist. Der Test ist nur valide, sofern die Residuen nicht autokorreliert sind. Bei Autokorrelation werden sukzessive weitere zeitverzögerte endogene Variablen in die Regression mit aufgenommen. Maximal werden bis zu drei verzögerte endogene Variablen zusätzlich aufgenommen. Auf Grund der theoretischen Überlegungen zur „Random Walk“-Hypothese ist davon auszugehen, dass nicht die Kurse, sondern die Renditezeitreihen stationär sind. Entsprechend wird der Test auch für die diskreten Renditen durchgeführt. Die Regressionsgleichung lautet dann: (57)

∆rt = α + δrt −1 + ε t

Die Stationarität für die Renditezeitreihen ist gegeben, sofern für die Renditezeitreihen die Hypothese δ = 0 (Nicht-Stationarität) abgelehnt und die Hypothese δ < 0 (Stationarität) signifikant ist. Der Test wird für alle in der Halteperiode berücksichtigten Werte vorgenommen. Dabei wurden die 61 vorangegangenen Kurse bzw. Renditen auf Stationarität überprüft. In Abhängigkeit von der Halteperiode werden zwischen 28 und 31 Zeitreihen für die Aktien und jeweils eine für den CDAX in den 36 Beobachtungsperioden untersucht. In der folgenden Tab. 2 sind die Ergebnisse des Tests auf Stationarität für die 29 Kurszeitreihen und den CDAX beispielhaft für die Beobachtungsperiode von Januar 1995 bis Dezember 1999 zusammengefasst.

128

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Anzahl der Regressoren neben Regressionskonstante

CDAX GAG Immobilien AG Hamborner AG IVG Immobilien AG WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG Allianz AG BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG Degussa AG Deutsche Bank AG Dresdner Bank AG EON AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Linde AG Lufthansa AG MAN AG Münchener Rückvers. AG RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG VIAG AG Mannesmann AG Volkswagen AG

k=1

k=2

t-Wert

empirische r DWWert

-0,4782 -1,1962 -0,8599 -0,3093 2,5457 -0,5358 -0,0416 -0,8408 -0,8374 -1,0948 -0,7000 -1,7070 -0,2091 -0,6250 -1,7753 -1,2636 -1,8604 -1,9443 -0,5907 -0,4314 -0,2384 -1,7346 -0,6338 -0,6066 2,2307 0,5501 1,0052 -1,3554 3,7730 -1,3952

1,6412 1,9162 2,3450 1,7658 2,0251 2,1277 2,0421 1,9222 2,4652 1,9124 1,9566 2,0305 2,0031 2,1076 1,9783 2,4309 2,2406 2,0113 1,5020 2,1485 2,1675 1,8678 1,3495 2,1599 2,1025 1,7002 2,0165 1,5853 1,6759 1,8333

t-Wert

k=3

empirische r DWWert

1,0738

1,8613

1,1056

1,8523

1,0597

1,8140

1,2687

1,6076

0,4937

1,8798

t-Wert

1,3741

k=4

empirische r DWWert

1,6661

t-Wert

1,3795

empirische r DWWert

1,6869

Eigenschaft

nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär kein valider ADF-Test nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär nicht stationär

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 2:

Nicht-Stationarität der monatlichen Kurse im Zeitraum zwischen Januar 1995 und Dezember 1999

Der t-Wert ist mit den kritischen Werten von Dickey-Fuller (DF-Wert) zu vergleichen. Dieser beträgt für das 5 %-Quantil bei einer Regressionskonstante und ohne Trend für 60 Beobachtungen -2,9101.165 Der DF-Wert bei einer zusätzlichen endogenen Variablen beträgt -3,4396, bei zwei -3,8858 und bei drei 4,2851. Zur Überprüfung der Autokorrelation wird der Durbin-Watson-Test durchgeführt.166 Der Durbin-Watson-Wert (DW-Wert) ist abhängig von der Anzahl der Regressionsparameter. Bei einem Umfang von 60 Beobachtungen und 2 Regressionsparametern sowie einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % entspricht die Obergrenze für den kritischen Bereich zur Annahme der Freiheit von Autokorrelation 1,62. Für DW-Werte im Intervall zwischen 1,62 und 2,38 kann demnach mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % die Freiheit von Autokorrelation angenommen werden. Bei 3 Regressionsparametern entspricht der 165 166

Der Wert wurde Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 771 entnommen. Eine Beschreibung des Tests ist u.a. in Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 331 ff., von Auer (2003), 388 ff. und Backhaus, Erichson, Plinke, Weiber (2000), S. 39 f., zu finden.

10. Aufbau der Untersuchung

129

kritische Bereich dem Intervall zwischen 1,65 und 2,35, bei 4 Regressionsparametern dem Intervall zwischen 1,69 und 2,31. k entspricht der Anzahl der Regressionsparameter ohne die Regressionskonstante, wobei k=1 dem Modell ohne verzögerte endogene Variable entspricht. Die Hypothese, dass die Zeitreihen der Kurse nicht stationär sind, kann für keine Aktie abgelehnt werden. Teilweise sind die Residuen bei Anwendung des ADFTest autokorreliert, so dass diese Tests nicht valide sind. In diesen Fällen werden zusätzlich noch bis zu drei endogene Variablen in die Regressionsgleichungen aufgenommen. Von den 30 Kurszeitreihen können für die Zeitreihe der SAP AGKurse keine validen Testergebnisse erzielt werden, da selbst bei drei endogenen Variablen noch keine eindeutige Aussage über die Autokorrelationen der Residuen getroffen werden kann. Die Durbin-Watson-Teststatistik liegt nicht nahe genug bei 2. Insgesamt kann für 29 Zeitreihen die Hypothese der Nicht-Stationarität nicht abgelehnt werden. Die Untersuchung der Renditezeitreihen zeigt, dass diese stationär sind. Üblicherweise werden Regressionen mit Zeitreihen von Aktienrenditen mit einer Regressionskonstante, aber ohne Zeittrendkomponente durchgeführt.167 Wiederum sind die Ergebnisse für den Beobachtungszeitraum von Januar 1995 bis Dezember 1999 beispielhaft in Tab. 3 dargestellt.

167

Vgl. Poddig, Dichtl, Petersmeier (2003), S. 371.

130

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Gesellschaft t-Wert CDAX GAG Immobilien AG Hamborner AG IVG Immobilien AG WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG Allianz AG BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG Degussa AG Deutsche Bank AG Dresdner Bank AG E.ON AG seit Juni 2000 (ehemals Veba AG) Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Linde AG Lufthansa AG MAN AG Münchener Rückvers. AG RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG) VIAG AG Mannesmann AG Volkswagen AG

-6,2171 -7,3043 -9,0937 -6,2780 -7,1411 -8,6935 -8,1692 -7,7269 -9,7987 -7,9213 -7,7627 -8,0924 -8,5416 -8,7553 -7,5607 -10,1760 -9,1150 -8,1755 -6,1064 -8,3891 -9,0095 -7,1798 -6,3349 -7,8076 -8,5521 -6,9951 -7,0564 -6,3256 -7,0585 -7,3698

diskrete Rendite empirischer Eigenschaft DW-Wert 2,0591 stationär 2,0098 stationär 2,0201 stationär 1,9712 stationär 2,0016 stationär 1,9199 stationär 1,9575 stationär 1,9666 stationär 1,9230 stationär 1,9549 stationär 1,9503 stationär 1,9040 stationär 1,7856 stationär 1,9855 stationär 1,9799 stationär 1,9275 stationär 1,8934 stationär 1,9846 stationär 1,9347 stationär 1,8087 stationär 1,9173 stationär 1,8682 stationär 1,8054 stationär 2,0043 stationär 1,9090 stationär 1,9130 stationär 1,9813 stationär 1,9185 stationär 1,9789 stationär 1,9740 stationär

Quelle:

Eigene Berechnungen

Tab. 3:

Stationarität der monatlichen diskreten Renditen im Zeitraum von Januar 1995 bis Dezember 1999

Wie aus Tab. 3 zu erkennen ist, sind alle Zeitreihen ausnahmslos stationär. Sofern eine Aktie im Anlageuniversum berücksichtigt ist, wird der ADF-Test für die Zeitreihe der Aktienrenditen in der entsprechenden Beobachtungsperiode durchgeführt. In Tab. 4 ist der maximale t-Wert für das δ aus allen Beobachtungsperioden aufgeführt.

10. Aufbau der Untersuchung

131

Maximale t - Werte Dt. Beamtenvorsorge Immobilienholding AG GAG Immobilien AG Hamborner AG Adidas-Salomon AG Allianz AG Altana AG BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG Degussa AG Deutsche Bank AG Deutsche Telekom AG Dresdner Bank AG E.ON AG seit Juni 2000 (ehemals Veba AG) Fresenius Medical Care AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG

-7,9204 -4,6440 -8,3847 -7,6690 -5,7047 -7,9322 -8,1692 -7,1065 -7,7236 -7,8839 -7,4356 -8,0924 -8,4698 -6,3298 -8,5740 -7,3478 -4,1854 -9,7674 -9,0993

IVG Immobilien AG WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG

-5,9662 -4,1750

Linde AG Lufthansa AG MAN AG Metro AG MLP AG Münchener Rückvers. AG RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG) Veba AG VIAG AG Mannesmann AG Volkswagen AG

-7,8122 -4,8605 -8,3891 -7,5843 -4,7077 -6,3474 -6,6404 -5,1747 -6,8684 -7,4076 -6,4822 -6,2616 -7,1746 -6,2024 -7,0263 -6,9203

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 4:

Maximaler t-Wert der Standardwerte in den Beobachtungsperioden168

Die maximalen t-Werte der Beobachtungszeiträume sind kleiner als die kritischen DF-Werte. Darüber hinaus sind alle Regressionsresiduen frei von Autokorrelation, so dass die Tests valide sind. Folglich gilt für alle Schätzzeiträume, dass die Hypothese der Nicht-Stationarität abgelehnt und die Alternativ-Hypothese der Stationarität für die Zeitreihen der Renditen angenommen werden kann. Im Rahmen des Marktmodells erfolgt somit die Regression der Aktienrenditen auf die Marktindexrenditen und nicht der Kurse auf das Marktindexlevel.169 10.4.2.

Schätzung der Markt- und Aktienrendite sowie der KovarianzMatrix

Die Rendite und die Kovarianz-Matrix müssen geschätzt werden, um anschließend die optimalen Portfolios mit Hilfe des „Critical Line-Algorithmus“ ermitteln zu können. Die Renditeerwartung der Aktien ist von der erwarteten Marktrendite 168

169

Es werden nur die t-Werte in den Schätzperioden berücksichtigt, sofern die Aktien auch in der Halteperiode im Anlageuniversum berücksichtigt sind. Auf einen Ausweis der einzelnen Werte für δ, den Standardfehler von δ und den t-Wert je Aktie für die 36 Schätzperioden wird verzichtet. Teilweise ist in der Literatur zu sehen, dass unter dem „Single-Index Model“ die Beziehung mit absoluten Werten und unter dem „Markt-Modell“ die Beziehung mit Renditen zu verstehen ist. Vgl. Ulschmid (1994), S. 32, mit Verweis auf Hielscher (1990), S. 43 - 48 (mittlerweile in Hielscher (1999), S. 62 - 69) und Rodewald (1974), S. 19 - 21. Die Anwendung der Regressionsanalyse wäre dann jedoch mit dem Risiko der Modellierung von Scheinzusammenhängen behaftet.

132

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

abhängig.170 Zur Ermittlung der erwarteten Aktienrendite sind die aktienspezifischen Renditen α , die Marktsensitivitäten β sowie die erwartete Rendite des Marktes µ M zu bestimmen. Die β -Faktoren der Aktien zeigen die Sensitivität eines Unternehmens gegenüber den Schwankungen des Gesamtmarktes. Die Schätzung der Sensitivität erfolgt mit Hilfe der Regressionsanalyse, indem die historischen Aktienrenditen auf die Marktänderungen regressiert werden. Zur Durchführung der Regression erfolgt zunächst in Kapitel 10.4.2.1 die Auswahl eines Proxy für den Markt. Für das Optimierungsproblem sind darüber hinaus das aktienspezifische Risiko σ ε2i und das Marktrisiko σ M2 zu schätzen. Die Ergebnisse der Schätzungen werden in Kapitel 10.4.2.2 dargestellt. Gleichzeitig sind die Ursachen für die Höhe der systematischen und unsystematischen Risiken von Immobilienaktien aufgeführt. Anschließend wird in Kapitel 10.4.2.3 die Kovarianz-Matrix für das Modell aufgestellt. Hierbei wird die Möglichkeit zur Anlage von Kapital zum risikolosen Zinssatz angenommen, verwendet wird der Ein-Monats-Euribor zu Beginn der jeweiligen Halteperiode. 10.4.2.1.

Auswahl des Proxy für den Markt

Im Ein-Index-Modell wird davon ausgegangen, dass nur ein Faktor existiert, der Einfluss auf die Renditeentwicklung eines Unternehmens hat. Grundsätzlich ist jedoch eine Vielzahl von Faktoren denkbar, so bspw. das Bruttosozialprodukt, die Industrieproduktion usw. Auf Grund der theoretischen Überlegungen im Kapitalmarktgleichgewicht zum CAPM sowie im Ungleichgewicht zur „Characteristic Line“ wird hierzu in aller Regel das Marktportfolio herangezogen. Im Kapitalmarktgleichgewicht wird allein das marktspezifische Risiko einer Aktie vergütet. Zur Schätzung von β sollte demzufolge ein Proxy verwendet werden, der das Marktportfolio möglichst gut abbildet. Das Marktportfolio erfüllt zwei grundlegende Eigenschaften: Es enthält alle mit ihrem jeweiligen Anteil am Gesamt-Marktwert gewichteten riskanten Assets, und es ist µσ -effizient. Da das Marktportfolio nicht beobachtbar ist, wird üblicherweise ein Aktienindex als Proxy herangezogen.171 In Abhängigkeit vom betrachteten Anlageuniversum werden dabei Indices berücksichtigt, die möglichst viele Assets und Assetklassen mit ihrer Marktgewichtung beinhalten. Sowohl das Marktmodell als auch das CAPM gehen von einem Marktfaktor aus, der die Entwicklung der Aktie beeinflusst. So besagt das CAPM, dass allein die Sensitivität einer Aktie gegen170 171

Vgl. Kapitel 7.2.1. Eine ausführliche Diskussion der Wirkung unterschiedlicher Indices ist in Zimmermann (1997), S. 91 - 97.

10. Aufbau der Untersuchung

133

über dem Marktportfolio für die Renditeerwartung der Aktie entscheidend ist. Die Übernahme sonstiger Risiken spiegelt sich in der Renditeerwartung nicht wider. In Deutschland existieren verschiedene Indices wie bspw. der FAZ-Index, der DAX, der CDAX und der DAFOX. Sie unterscheiden sich durch die Anzahl der erfassten Werte, in der Ermittlung als Kurs- oder Performance-Index und in der Gewichtung einzelner Aktien im Index. So erfasst der CDAX alle deutschen Werte des Amtlichen Handels, des Geregelten Marktes und des Neuen Marktes, die im elektronischen Handel (XETRA) an der Frankfurter Wertpapierbörse gelistet sind.172 Hingegen sind im DAX ausschließlich die 30 größten Unternehmen nach Umsatz und Marktkapitalisierung enthalten. Der FAZ-Index erfasst 100 und der DAFOX alle am Amtlichen Handel zugelassenen Aktien. Die Gewichtung der einzelnen Aktien erfolgt im DAX und CDAX nach der Marktkapitalisierung und beim DAFOX nach dem Grundkapital. Sie werden nach der Formel von Laspeyre berechnet. Im FAZ-Index sind die Aktien ebenfalls kapitalgewichtet, der Index wird jedoch nach der Formel von Paasche bestimmt. Bei der Berechnung nach Paasche wird die Performance des kapitalgewichteten Aktienportfolios im Berichtszeitpunkt mit den Kursänderungen gegenüber dem Basiszeitpunkt bewertet. Nach Laspeyre wird die Performance des kapitalgewichteten Aktienportfolios zum Basiszeitpunkt mit den Kursänderungen zwischen Basis- und Berichtszeitpunkt ermittelt.173 Der DAX, der CDAX und der DAFOX sind als Performance-Indices konzipiert und beachten Bezugsrechterlöse und Dividendenzahlungen. Der FAZ-Index berücksichtigt hingegen nur Kapitalveränderungen, aber keine Dividendenzahlungen. Durch die Erfassung des Großteils der in Deutschland gehandelten Aktien und der Gewichtung der Gesellschaften nach ihrer Marktkapitalisierung bildet der CDAX das Marktportfolio am besten ab. Entsprechend wird dieser Index in der Untersuchung als Proxy für den Gesamtmarkt zu Grunde gelegt. Trotzdem ist anzumerken, dass neben Aktien keine anderen riskanten Assets enthalten sind, die jedoch theoretisch auch im Marktportfolio enthalten sind.

172

173

Vgl. Deutsche Börse AG (2002), S. 6. Zwischenzeitlich besteht der CDAX aus allen Werten des Prime und des General Standards. Dadurch misst er die Entwicklung des gesamten deutschen Aktienmarktes und eignet sich für Analysezwecke. Vgl. Deutsche Börse AG (2005), S. 8. Vgl. Bleymüller, Gehlert, Gülicher (2002), S. 181f.

134

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

10.4.2.2.

Schätzung der β-Faktoren

In Kapitel 7.2.2 wurde die Methodik zur Schätzung der wertpapierspezifischen Rendite und Risiken dargestellt. Dies erfolgt durch die Schätzung der β -Faktoren mit Hilfe der OLS-Methode. Die OLS-Methode wird mit dem Befehl RGP(Y_Werte;X_Werte;Konstante;Stats) in Microsoft EXCEL durchgeführt. Für das Argument Y_Werte wird der Spaltenvektor der diskreten Aktienrenditen, für X_Werte der Spaltenvektor der diskreten Indexrenditen des CDAX, für Konstante und für Stats jeweils der Wert „WAHR“ angegeben. EXCEL gibt dann die folgenden Werte zurück: -

α - und β -Faktor

-

das Bestimmtheitsmaß R2

-

Standardfehler für α und β

-

Standardfehler der Regression

-

Freiheitsgrade der Regression

-

F-Statistik

-

Summe der erklärten Abweichungsquadrate

-

Summe der nicht erklärten Abweichungsquadrate

Die Bestimmtheitsmaße R2, die Varianzen und die Volatilität auf monatlicher Basis sowie die unsystematischen Risiken sind für alle berücksichtigten Immobilienaktien und Standardwerte in Tab. 5 für die erste Schätzperiode ausgewiesen. Das unsystematische Risiko σ ε2i wird dabei als Quotient aus der „Summe der nicht erklärten Abweichungsquadrate“ und der „Freiheitsgrade der Regression“ ermittelt.174 Die Schätzperiode erstreckt sich über den Zeitraum von Januar 1995 bis Dezember 1999. Es ist zu erkennen, dass sowohl die β-Faktoren als auch das Bestimmtheitsmaß R2 bei den Standardwerten wesentlich höher als bei den Immobilienaktien ausfallen. Entsprechend fällt auch das unsystematische Risiko σ ε2i im Verhältnis zur Varianz σ i2 bei den Immobilienaktien höher aus als bei den Standardwerten. Die relativ geringen β-Faktoren der Immobilienaktien zeigen die geringe Marktsensitivität der Immobilienaktien im Vergleich zu den Standardwerten.

174

Vgl. Kapitel 7.2.2.2.

10. Aufbau der Untersuchung

2

135

0,68% 4,07% 3,49% 10,54% 58,00% 48,15% 62,33% 34,80% 51,49% 41,05% 47,36% 66,27% 48,62% 20,33% 40,26% 23,31% 29,84% 39,10% 45,98% 43,66% 19,74% 35,89% 48,44% 53,45% 42,81% 43,67% 9,98% 45,54% 49,89%

Varianz p.m. 0,0116 0,0030 0,0054 0,0098 0,0056 0,0061 0,0055 0,0082 0,0089 0,0053 0,0095 0,0075 0,0096 0,0043 0,0085 0,0078 0,0053 0,0064 0,0067 0,0089 0,0041 0,0145 0,0047 0,0086 0,0070 0,0053 0,0043 0,0090 0,0095

Volatilität p.m. 10,78% 5,45% 7,35% 9,90% 7,50% 7,81% 7,45% 9,07% 9,44% 7,27% 9,73% 8,67% 9,82% 6,54% 9,22% 8,84% 7,31% 8,02% 8,19% 9,41% 6,40% 12,03% 6,85% 9,26% 8,34% 7,31% 6,56% 9,48% 9,73%

σε2 p.m. 0,0117 0,0029 0,0053 0,0089 0,0024 0,0032 0,0021 0,0055 0,0044 0,0032 0,0051 0,0026 0,0050 0,0035 0,0052 0,0061 0,0038 0,0040 0,0037 0,0051 0,0033 0,0094 0,0025 0,0041 0,0040 0,0031 0,0039 0,0050 0,0048

4,69% 42,00%

0,0074 0,0072

8,37% 8,41%

0,0072 0,0042

β-Faktor

R

GAG Immobilien AG Hamborner AG IVG Immobilien AG WCM Beteiligungs- und Grundbesitz AG Allianz AG BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG Degussa AG Deutsche Bank AG Dresdner Bank AG VEBA AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Linde AG Lufthansa AG MAN AG Münchener Rückversicherungs-AG RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG VIAG AG Mannesmann AG Volkswagen AG

0,1734 0,2149 0,2684 0,6286 1,1170 1,0605 1,1498 1,0470 1,3254 0,9113 1,3100 1,3801 1,3392 0,5764 1,1441 0,8343 0,7813 0,9805 1,0862 1,2164 0,5561 1,4102 0,9325 1,3244 1,0670 0,9442 0,4053 1,2513 1,3441

Durchschnitt der Immobilienaktien Durchschnitt der Standardwerte

0,3213 1,0598

Quelle:

Eigene Berechnungen

Tab. 5:

Schätzer für β -Faktoren und Volatilitäten (Schätzperiode Januar 1995 bis Dezember 1999)

Einerseits könnte die Konzentration auf die Immobilienbranche und auf die - in aller Regel mit Immobilien assoziierten - geringen Risiken zurückzuführen sein. Dadurch wären die geringen β -Faktoren der Immobilienaktien nachvollziehbar. Andererseits ist im Vergleich zu den Standardwerten das Risiko ähnlich hoch, jedoch das Bestimmtheitsmaß R2 vergleichsweise gering. Dies kann entweder als ein hohes unsystematisches Risiko dieser Gesellschaften oder als ein falsch bzw.

136

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

nicht ausreichend spezifiziertes Modell interpretiert werden. Indexmodelle gehen jedoch explizit von der Annahme aus, dass die Entwicklung der Rendite allein von der Indexentwicklung abhängt. Die geringen Bestimmtheitsmaße R2 sind folglich als unsystematische Risiken zu interpretieren. Die vergleichsweise geringen Bestimmtheitsmaße R2 der Immobilienaktien können auf die folgenden Gründe zurückgeführt werden:175 -

-

die fokussierte Ausrichtung auf die Immobilienbranche, die zum Teil geringe Transparenz auf Grund fehlender „Investor Relations“ dieser Unternehmen. So haben bspw. nur die IVG Immobilien AG und die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG einen „Designated Sponsor“ an der Deutschen Börse AG. Die „Designated Sponsors“ sind verpflichtet, laufend An- und Verkaufskurse der jeweiligen Aktien verbindlich zu stellen. Darüber hinaus werden Unternehmensstudien über Immobilienaktienunternehmen nur sehr unregelmäßig durch Research-Abteilungen von Banken veröffentlicht. Unterschiede zwischen regionalen Märkten

o Unterschiedliche Beschäftigungs- und Wachstumsraten o Unterschiedliche demografische Trends o Einkommensniveau und –wachstum o Leerstandsraten -

Unterschiede zwischen lokalen Märkten

o Unterschiedliche Beschäftigungs- und Wachstumsraten o Unterschiedliche demografische Trends o Einkommensniveau und –wachstum o Baukosten o Space Utilization Rate -

Regionale und lokale unterschiedliche Besteuerung sowie Regulierungen

o Unterschiede zwischen den einzelnen Immobilien o Baulicher Zustand (Bauqualität, Größe, Alter etc.) o Lage, Nachbarschaft, Vermietung (Mietermix, Mieterbonität, Mietanpassungen) o Qualität des Immobilien-Managements 175

Vgl. Lieblich (1995), S. 998 - 1058.

10. Aufbau der Untersuchung

137

o Finanzierung o Unterschiedliche regionale Immobilienzyklen Trotz des ähnlich hohen Risikos von Immobilienaktien und Standardwerten ist das Risiko der Immobilienaktien größtenteils auf unsystematische bzw. aktienspezifische Risiken σ ε2 zurückzuführen. Das marktabhängige Risiko β 2σ M2 ist hingegen relativ gering, so dass das Bestimmtheitsmaß R2 klein ausfällt. Auf Grund der niedrigen marktabhängigen Risiken der Immobilienaktien ist zu erwarten, dass ihr Anteil insbesondere in Portfolios mit geringem Risiko hoch ist. Die für Standardwerte ermittelten β -Faktoren weisen im Vergleich mit früheren Studien ähnliche Ergebnisse auf. Insbesondere die konjunkturunabhängigen Standardwerte wie die Versorger Veba AG, VIAG AG, RWE AG haben geringe β -Faktoren. Hingegen sind die β -Faktoren von Finanz- und Technologiewerten wie Deutsche Bank AG, Dresdner Bank AG bzw. SAP AG und Siemens AG vergleichsweise hoch. Mit Hilfe der aktienspezifischen Risiken, der β -Faktoren und der geschätzten Marktvolatilität bzw. Varianz lässt sich die Kovarianz-Matrix für Modell I und Modell II ermitteln.176 10.4.2.3.

Die Kovarianz-Matrix

In der Kovarianz-Matrix sind die Indexvarianz und die Aktienrisiken zu erfassen. Im Ein-Index-Modell sind die Kovarianzen über βi β jσ M2 und die Varianzen als βi2σ M2 + σ ε2i zu ermitteln.177 Die Varianz ist somit in die systematische und unsystematische Varianz unterteilt. Durch die Regressionsanalyse werden die nicht erklärten Abweichungen ermittelt. Diese entsprechen der Summe der quadrierten Abweichungen. Die Division dieser Summe durch die Anzahl der Freiheitsgrade der Regression ergibt dann das unsystematische Risiko σ ε2i der Aktie i. Bei Anwendung des Diagonal-Modells sind nur die Elemente in der Diagonalen der Kovarianz-Matrix ungleich Null und entsprechen den Werten der aktienspezifischen Risiken.178 Das letzte Element entspricht der Varianz des Marktes als Einflussfaktor. Als Schätzer für das Marktrisiko in der Halteperiode wird die Varianz des CDAX in den 60 vorangegangenen Monaten verwendet. Die Kovarianz-Matrix V zur Lösung des Optimierungsproblems lässt sich dann im Diagonal-Modell wie folgt aufstellen:

176 177 178

Vgl. Kapitel 7.2.4. Vgl. Gleichung (16) bzw. (17). Vgl. Kapitel 7.2.4.

138

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

⎛ σ ε21 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2 σε2 ⎜ ⎟ ⎟ V=⎜ O ⎜ ⎟ 2 σ ε1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ σ ⎝ CDAX ⎠ Unter Verwendung der durchschnittlichen nicht erklärten Abweichungsquadrate der Regressionen als aktienspezifische Risiken aus Tab. 5 und einer Varianz von 0,26 % für den CDAX ergibt sich die in Tab. 6 aufgeführte Kovarianz-Matrix V für die erste Halteperiode. Auf Grund der Symmetrie wird nur die untere Dreiecksmatrix dargestellt. Diese Matrix ist eine (30 x 30)-Matrix und enthält die 29 aktienspezifischen Risiken sowie die Varianz des CDAX. Für alle 36 Halteperioden wird eine entsprechende Kovarianz-Matrix aus den vorangegangenen 60 Monaten ermittelt. Die Matrizen werden nicht einzeln dargestellt. Im Anhang II sind jedoch die minimalen und die maximalen unsystematischen bzw. aktienspezifischen Risiken in den 36 Schätzperioden als Schätzer für die 36 Halteperioden aufgeführt. Die Varianz bzw. die Volatilität des CDAX schwankt in den 36 Schätzperioden zwischen 0,26 % und 0,49 % bzw. 5,06 % und 7,02 %. Zur Ermittlung des effizienten Randes sind noch zusätzlich der Vektor µ und die Matrix A aufzustellen. Da sich A aus der zweiten und dritten Nebenbedingungen in Modell I und Modell II zusammensetzt, sind deren Elemente bereits durch die geschätzten β -Faktoren bestimmt.179 Zur Vorgabe der erwarteten Portfoliorendite sind in der ersten Nebenbedingung die Elemente des Vektors µ zu bestimmen. Der Vektor setzt sich aus den erwarteten Aktienrenditen zusammen. Bei Anwendung des Diagonal-Modells sind jedoch statt der erwarteten Aktienrenditen die aktienspezifischen Renditen und die erwartete Marktrendite zu verwenden.180

179 180

Vgl. Modell I und Modell II in Kapitel 7.2.4. Vgl. Modell I und Modell II in Kapitel 7.2.4.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

i,j

0,2614

GAG Immobilien AG 0,4826 0,0000

2

Hamborner AG 0,4980 0,0000 0,0000

3

IVG Immobilien AG 0,3942 0,0000 0,0000 0,0000

4

WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG 0,3058 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5

Allianz AG 0,4045 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6

BASF AG 0,4062 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

7

Bayer AG 0,2462 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

8

Bayerische HypoVereinsbank AG 0,9445 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

9

BMW AG 0,3343 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

10

Commerzbank AG 0,5079 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

11

Degussa AG 0,3687 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

12

Deutsche Bank AG 0,3982 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

13

Dresdner Bank AG 0,3817 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

14

Veba AG 0,6092 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

15

Henkel KGaA 0,5166 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

16

KarstadtQuelle AG

0,3462 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

17

Linde AG

0,5040 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

18

Lufthansa AG

0,2578 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

19

MAN AG

0,5072 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

20

Münchener Rückvers. AG

0,3172 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

21

RWE AG

0,4402 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

22

SAP AG

0,5462 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

23

Schering AG

0,2124 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

24

Siemens AG

0,3221 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

25

ThyssenKrupp AG

0,2402 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

26

TUI AG

0,8920 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

27

VIAG AG

0,5298 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

28

Mannesmann AG

0,2896 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

29

Volkswagen AG

1,1748 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

30

CDAX

1

10. Aufbau der Untersuchung

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 6:

Kovarianz-Matrix für die Halteperiode Januar 2000 für Standardwerte und Immobilienaktien (Angaben in %)

139

140

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

10.4.2.4.

Schätzung der Aktien- und Marktrendite

Die Rendite einer Aktie setzt sich im Marktmodell aus der aktienspezifischen und der marktspezifischen Rendite zusammen. Letztere ergibt sich aus der Sensitivität der Aktie gegenüber dem Markt und der Rendite des Marktportfolios. Die aktienspezifische Rendite α und die Marktsensitivität β werden durch die bereits in Kapitel 10.4.2.2 angewendeten OLS-Methode geschätzt. Die Renditeerwartung einer Aktie ist abhängig von der erwarteten Marktrendite. Sofern der empirische Mittelwert als Schätzer für die Entwicklung des CDAX herangezogen wird, entspricht der Schätzer für die Renditeerwartung der Aktie µˆ i dem empirischen 1 n Mittelwert ∑ ri ,t ihrer beobachteten Renditen. Falls ein vom arithmetischen n t =1 Mittelwert des CDAX abweichender Schätzer für die Entwicklung des CDAX herangezogen wird, resultiert auch für die Aktienrendite ein vom empirischen Mittelwert abweichender Erwartungswert. Wie in Kapitel 7.2.4 dargestellt, besteht der Vektor zur Bestimmung der erwarteten Portfoliorendite in der ersten Nebenbedinung der Diagonal-Modelle nicht aus den Erwartungswerten der Aktienrendite µ i , sondern aus den aktienspezifischen Renditen α i aller Aktien i im Anlageuniversum und der erwarteten Marktrendite µ M .181 Wird α i wiederum mittels OLS-Methode182 und die Renditeerwartung des Marktes µ M mit Hilfe des empirischen Mittelwertes auf Basis der 60 vorangegangenen Monate geschätzt, ergeben sich folgende Werte für die erste Schätzperiode von Januar 1995 bis Dezember 1999:

181 182

Vgl. Modell I bzw. Modell II in Kapitel 7.2.4. Zur Schätzung von α vgl. Kapitel 7.2.2.1.

10. Aufbau der Untersuchung

141

α-Faktor GAG Immobilien AG Hamborner AG IVG Immobilien AG WCM Beteiligungs- und Grundbesitz AG Allianz AG BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG Degussa AG Deutsche Bank AG Dresdner Bank AG VEBA AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Linde AG Lufthansa AG MAN AG Münchener Rückversicherungs-AG RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG VIAG AG Mannesmann AG Volkswagen AG Durchschnitt der Immobilienaktien Durchschnitt der Standardwerte

2,11% 0,61% 1,02% 4,37% -0,01% 0,52% -0,02% 0,55% -0,32% 0,17% -0,80% -0,55% -0,13% 0,28% -0,17% -0,47% -0,57% 0,11% -0,50% 0,43% 0,31% 1,96% 0,05% 0,39% -0,22% 0,24% 0,78% 2,32% -0,29% 2,03% 0,16%

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 7:

Schätzer für α -Faktoren (Schätzperiode Januar 1995 bis Dezember 1999)

Die minimalen und maximalen α -Faktoren in den 36 Schätzperioden sind für alle im Anlageuniversum I und II enthaltenen Aktien dem Anhang III zu entnehmen. Die durchschnittlichen α-Faktoren der Immobilienaktien sowie der Standardwerte sind in Abb. 19 dargestellt.

142

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

α-Faktor

2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5%

Jan 00 Feb 00 Mrz 00 Apr 00 Mai 00 Jun 00 Jul 00 Aug 00 Sep 00 Okt 00 Nov 00 Dez 00 Jan 01 Feb 01 Mrz 01 Apr 01 Mai 01 Jun 01 Jul 01 Aug 01 Sep 01 Okt 01 Nov 01 Dez 01 Jan 02 Feb 02 Mrz 02 Apr 02 Mai 02 Jun 02 Jul 02 Aug 02 Sep 02 Okt 02 Nov 02 Dez 02

0,0%

Immobilienaktien

Standardwerte

Quelle:

Eigene Berechnungen

Abb. 19:

Durchschnittliche α -Faktoren für Januar 2000 bis Dezember 2002

Es ist zu erkennen, dass die α -Faktoren der Immobilienaktien im Vergleich zu den α-Faktoren der Standardwerte höher sind. Gleichzeitig sind ihre β -Faktoren kleiner als die der Standardwerte. Unter Berücksichtigung der Zusammenhänge zwischen Marktmodell und CAPM sind hohe α -Faktoren theoretisch durch geringe β -Faktoren begründet.183 Andererseits sind die hohen α -Faktoren der Immobilienaktien kritisch zu beurteilen, da im Kapitalmarktgleichgewicht (1 − β )rf dem α -Faktor entsprechen muss. Bei einem β -Faktor nahe Null entspricht der α -Faktor annähernd dem risikolosen Zinssatz rf. Sofern als Proxy der Euribor für einmonatige Termingelder herangezogen wird, beträgt der durchschnittliche Zins in diesem Zeitraum 0,4 % p.m.184 Sofern der α -Faktor der „Characteristic Line“ des Wertpapiers größer als (1 − β )rf ist, hat das Wertpapier unabhängig vom Markt eine Überrendite erzielt und ist unter Annahme effizienter Märkte zu Beginn der Schätzperiode unterbewertet. So deuten die α -Faktoren auf eine Unterbewertung der Immobilienaktien in allen Schätzperioden hin, da der Euribor für einmonatige Termingelder in allen Perioden unterhalb der ermittelten α -Faktoren liegt. Hingegen sind die Standardwerte erst ab Juni 2000 auf einem relativ hohen Niveau. Dies lässt auf eine Unterbewertung der Standardwerte in 183 184

Vgl. Kapitel 8.3. Ermittelt auf Basis des arithmetischen Mittels des monatlichen Euribor zwischen Januar 1995 und Dezember 1998. Euribor steht für „Euro Interbank Offered Rate“. Die Zeitreihe für den Euribor ist der Datenbank von Thomson Datastream entnommen.

10. Aufbau der Untersuchung

143

den entsprechenden Schätzperioden schließen. Hiervon sind die Schätzperioden für die Haltezeiträume ab Juni 2000 bis Dezember 2002 betroffen. Im Marktmodell werden keine Annahmen bezüglich des Gleichgewichts am Kapitalmarkt getroffen, zum Investitionszeitpunkt kann ein Investor nicht beurteilen, ob sich der Kapitalmarkt im Gleichgewicht befindet. Wider besseres Wissens werden somit die Schätzer für α zur Bestimmung der Elemente des Vektors in der ersten Nebenbedingung zur Vorgabe der erwarteten Portfoliorendite für die Optimierung der Portfolios verwendet. In der ersten Haltperiode setzt sich der Vektor aus den 29 α -Faktoren der Aktien sowie der erwarteten Rendite für den CDAX zusammen. Auf der Basis des Schätzzeitraumes von Januar 1995 bis Dezember 1999 entspricht die erwartete Rendite des CDAX 1,82 % p.m.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

145

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios Kapitel 11 beschäftigt sich mit der Zusammensetzung der ex ante effizienten Portfolios unter Anwendung der Modelle I und II für das Anlageuniversum I und II. Einleitend sind in Kapitel 11.1.1 alle effizienten Portfolios aus Standardwerten in der ersten Halteperiode aufgeführt. Das heißt, neben den für die Portfoliostrategien ermittelten Portfolios sind für diese Halteperiode alle weiteren CornerPortfolios beschrieben. Anschließend werden in Kapitel 11.1.2 die Portfolios für die revolvierenden Portfoliostrategien, im Verlauf der 36 Halteperioden im Modell I aufgelistet. Dabei wird die Gewichtung der einzelnen Aktien in diesen Portfolios quantifiziert. Im Anschluss folgen in Kapitel 11.2.1 und 11.2.2 entsprechende Darstellungen für das Anlageuniversum II. Die Zusammensetzung der Portfolios in Modell II erfolgt analog der Zusammensetzung in den Kapiteln 11.3.1 und 11.3.2 für das Anlageuniversum I und in den Kapiteln 11.4.1 und 11.4.2 für das Anlageuniversum II. Zur besseren Überschaubarkeit der Ergebnisse werden die Aktien nach Branchen gruppiert. Die Branchenzuordnung erfolgt gemäß der Klassifizierung der Deutschen Börse AG.185 Diese Zuordnung ist in Anhang I dargestellt.

11.1. 11.1.1. 11.1.1.1.

Effiziente Portfolios aus Standardwerten ohne Leerverkäufe Die erste Halteperiode Der effiziente Rand

Als Anlageuniversum dienen die 25 Standardwerte wie in Abb. 17 dargestellt. Die Zusammensetzung der Corner-Portfolios vom 31. Dezember 1999 sind Tab. 8 zu entnehmen, während diejenigen der DAX-, GG- und Tangential-Portfolios aus Tab. 9 hervorgehen. Der Vektor der Renditeerwartung enthält die geschätzten aktienspezifischen Renditen α aus Tab. 7 sowie die geschätzte Rendite des CDAX in Höhe von 1,82 % p.m. als Proxy für den Markt. Die KovarianzMatrix186 wird mit den geschätzten aktienspezifischen Risiken σ ε2i aus Tab. 5 und der geschätzten Varianz des CDAX in Höhe von 0,2614 gebildet. Ebenso sind in

185 186

Vgl. Deutsche Börse AG (2002), S. 7. Vgl. Tab. 6.

146

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Tab. 5 die geschätzten β -Faktoren für die modellspezifische Nebenbedingung187 in Modell I enthalten. Das renditemaximierende Portfolio entspricht dem CornerPortfolio 1, das Minimum-Varianz-Portfolio dem Corner-Portfolio 17 in Tab. 8. Die Corner-Portfolios sind somit nach der Höhe ihrer Renditeerwartung nummeriert. Unter den getroffenen Annahmen des Ein-Index-Modells lassen sich effiziente Portfolios mit einer Renditeerwartung von 1,4 % p.m. bis 4,6 % p.m. bei einer Standardabweichung zwischen 4,07 % und 9,53 % bilden. Die Anzahl der enthaltenen Aktien liegt dabei zwischen einer und zwölf Aktien. 11.1.1.2.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

In jedem der Corner-Portfolios ändert sich die Zusammensetzung des effizienten Portfolios. Entweder ist im benachbarten Segment eine Aktie mehr oder eine weniger enthalten. Das Minimum-Varianz-Portfolio beinhaltet die folgenden neun Aktien: Commerzbank, Veba, KarstadtQuelle, Linde, Lufthansa, RWE, Schering, TUI und VIAG188. Auffällig ist der hohe Anteil an Aktien des Sektors Utilities & Telecommunication von über 68 % des Portfolios. Die Renditeerwartung entspricht 1,4 % p.m. bei einer Standardabweichung von 4,07 %. Mit steigender Renditeerwartung ist zunächst nur eine andere Gewichtung der Aktien im Portfolio vorzunehmen. Sofern die erwartete Rendite über 1,42 % p.m. liegt, ist zusätzlich die Aktie der HypoVereinsbank AG mit heranzuziehen. Analog sind ab einer Renditeerwartung über 1,43 % p.m. (Corner-Portfolio 15), 1,46 % p.m. (Corner-Portfolio 14) und 1,69 % p.m. (Corner-Portfolio 13) sukzessive die Aktien der BASF AG, der Mannesmann AG und der SAP AG in das Portfolio aufzunehmen. Durch die zusätzliche Aufnahme ist das Risiko besser diversifiziert als durch reine Umschichtung der im Minimum-Varianz-Portfolio enthaltenen Aktien.

187 188

Vgl. Kapitel 7.2.4. Die VIAG AG und die Veba AG sind zu diesem Zeitpunkt noch nicht zur E.ON AG fusioniert.

Henkel KGaA

Veba AG

Dresdner Bank AG

Deutsche Bank AG

Degussa AG

Commerzbank AG

BMW AG

Bayerische HypoVereinsba

Bayer AG

BASF AG

Allianz AG

a2

a1

a0

σ

µPF

CP Num 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,0 3,7 4,2 4,5 4,9

KarstadtQuelle AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,6 4,4 7,5 8,5 9,1 10,1

Linde AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8,5 10,3 14,2 14,5 17,1 17,3 18,7 19,9 20,3 20,4 20,7

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,4 1,5 2,1 2,3 2,1 2,0 1,5

Lufthansa AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

MAN AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Münchener Rückvers. AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,7 10,3 12,0 16,0 16,3 18,9 19,1 20,4 21,6 22,0 22,2 22,4

RWE AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3,0 3,3 5,0 5,2 5,9 6,3 6,1 5,9 5,5

0,0 29,9 27,1 26,0 22,0 20,9 13,8 12,1 7,7 7,2 3,5 3,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

SAP AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,4 3,4 3,7 5,3 6,2 6,2 6,0 5,7

Schering AG

0,0 0,0 0,0 1,0 3,3 3,5 4,0 4,0 3,7 3,6 3,0 2,8 2,0 1,0 0,4 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Siemens AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

ThyssenKrupp AG

0,0 0,0 0,0 0,0 3,9 4,4 5,6 5,6 5,2 5,1 4,1 3,9 2,6 1,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,2 3,6 3,8 5,0 5,0 5,4 5,3 4,9 4,6 3,9

TUI AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 100,0 0,0 70,1 9,0 63,9 11,5 61,5 18,0 52,8 19,0 50,5 22,6 35,3 23,3 31,5 24,6 22,1 24,7 21,1 25,4 13,3 25,4 12,3 25,3 5,9 25,3 0,0 25,3 0,0 25,3 0,0 25,2 0,0

VIAG AG

35552,09 9,94 9,06 8,36 6,57 5,85 5,66 5,47 5,21 5,14 4,41 4,17 5,21 16,88 23,14 32,45

Mannesmann AG

-3255,22 -0,50 -0,42 -0,36 -0,22 -0,17 -0,16 -0,15 -0,13 -0,13 -0,10 -0,09 -0,13 -0,47 -0,64 -0,91

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Volkswagen AG

74,52 0,01 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01

SAP AG VIAG AG HypoVereinsbank AG BASF AG RWE AG Veba AG TUI AG Commerzbank AG Schering AG Lufthansa AG Linde AG KarstadtQuelle AG SAP AG + Mannesmann AG + BASF AG + HypoVereinsbank AG +

Änderung in CP

1 4,60% 9,53% 2 4,58% 8,78% 3 4,30% 8,15% 4 4,20% 7,93% 5 3,87% 7,25% 6 3,78% 7,06% 7 3,07% 5,80% 8 2,91% 5,53% 9 2,48% 4,93% 10 2,43% 4,87% 11 2,08% 4,49% 12 2,03% 4,44% 13 1,69% 4,19% 14 1,46% 4,08% 15 1,43% 4,07% 16 1,42% 4,07% 17 1,40% 4,07% Aktiengewichte in %

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

Quelle:

Eigene Berechnung unter Verwendung des Programmcodes von Todd (2000)

Tab. 8:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell I)

147

148

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Ist die erwartete Rendite höher als 2,03 % p.m., können sukzessive die Aktien der KarstadtQuelle AG (Corner-Portfolio 12), Linde AG (Corner-Portfolio 11), Lufthansa AG (Corner-Portfolio 10), Schering AG (Corner-Portfolio 9), Commerzbank AG (Corner-Portfolio 8), TUI AG (Corner-Portfolio 7), Veba AG (Corner-Portfolio 6), RWE AG (Corner-Portfolio 5), BASF AG (Corner-Portfolio 4), HypoVereinsbank AG (Corner-Portfolio 3), VIAG AG189 (Corner-Portfolio 2) und SAP AG (Corner-Portfolio 1) nicht mehr im Portfolio berücksichtigt werden. 11.1.1.3.

Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios unter Vorgabe einer Renditeerwartung

Das DAX-äquivalente und das GG-Portfolio entsprechen keinem der CornerPortfolios. Ihre Zusammensetzung und Volatilität lassen sich über die erwartete Portfoliorendite und die entsprechenden Corner-Portfolios, wie in Kapitel 9.2 dargestellt, bestimmen. Die Parameter a0, a1 und a2 in Tab. 8 entsprechen den Parametern aus Gleichung (55), so dass sich das Risiko der effizienten Portfolios zwischen den Corner-Portfolios vergleichsweise einfach ermitteln lässt. Die Parameter werden automatisch im Programm von Todd190 generiert. Die Zusammensetzung und Gewichtung der Aktien im DAX-äquivalenten und im GG-Portfolio sind gemäß Gleichung (54) bestimmt. Dafür ist zunächst das Segment zu ermitteln, auf dem das DAX-äquivalente bzw. das GG-Portfolio liegt, indem die erwartete Rendite der Corner-Portfolios mit der erwarteten Rendite des DAXäquivalenten bzw. des GG-Portfolios verglichen wird. Beide Portfolios liegen auf dem Segment, dessen Corner-Portfolios an der unteren Grenze eine geringere und an der oberen Grenze eine höhere Renditeerwartung als das DAX-äquivalente bzw. das GG-Portfolio haben. Dann können die Vektoren b 0 und b1 des Segmentes mit Hilfe der Parameter c 0 und c1 sowie der Vektoren α∗ und β ∗ bestimmt und anschließend die Gewichtung aller Aktien ermittelt werden.191 c 0 und c1 sowie die Vektoren α∗ und β ∗ sind in Tab. 9 für das Segment des DAXäquivalenten bzw. des GG-Portfolios aufgeführt. Die Gewichtung der Aktien im Portfolio ergibt sich gemäß der Gleichung (54) in Abhängigkeit von der erwarteten Rendite des DAX und des naiv gleich gewichteten Portfolios.

189 190 191

Die VIAG AG und die Veba AG sind zu diesem Zeitpunkt noch nicht zur E.ON AG fusioniert. Vgl. Markowitz, Todd (2000), S. 317. Vgl. Kapitel 9.2.

c1:

-0,130 5,142

a1:

0,194

0,013

c1:

-0,362 8,357

a1:

0,120

0,022

σPF

7,38% µPF: 3,94% Gewichtung in %:

a2:

c0:

0,007

a0:

α* β*

Tangential-Portfolio

σPF

4,59% µPF: 2,19% Gewichtung in %:

a2:

c0:

0,003

a0:

0,000 0,000

4,1

4,4

3,1

0,241 -1,418

0,000 0,000

0,000 0,000

3,0

2,8

0,147 -0,804

3,1

0,015 0,354

0,000 0,000

0,000 0,000

5,0

0,000 0,000

4,5

0,090 -0,962

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

17,0

0,000 0,000

16,3

0,230 -1,414

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Henkel KGaA

0,019 0,534

Veba AG

0,230 -1,414

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

KarstadtQuelle AG

0,000 0,000

Dresdner Bank AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Linde AG

α* β*

Deutsche Bank AG

0,000 0,000

0,000 0,000

1,0

0,046 -0,761

1,3

0,046 -0,761

Lufthansa AG

DAX-äquivalentes Portfolio

Degussa AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

MAN AG

0,194

Commerzbank AG

0,090 -0,962

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Münchener Rückvers. AG

c1:

BMW AG

0,000 0,000

0,000 0,000

18,1

0,248 -1,408

18,8

0,248 -1,408

RWE AG

-0,130 5,142

Bayerische HypoVereinsbank AG

0,015 0,354

22,8

0,011 1,463

4,6

-0,050 2,035

3,6

-0,050 2,035

SAP AG

4,50% µPF: 2,09% Gewichtung in %:

Bayer AG

0,000 0,000

0,000 0,000

2,5

0,103 -1,652

3,3

0,103 -1,652

Schering AG

σPF

BASF AG

0,019 0,534

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Siemens AG

a2:

Allianz AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

ThyssenKrupp AG

a1:

0,013

0,000 0,000

4,6

0,077 -0,667

4,9

0,077 -0,667

TUI AG

c0:

16,7

0,518 -2,368

25,2

0,268 -0,350

25,3

0,268 -0,350

VIAG AG

0,003

54,6

0,082 3,126

15,7

-0,046 4,291

13,6

-0,046 4,291

Mannesmann AG

a0:

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Volkswagen AG

α* β*

GG-Portfolio

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios 149

Quelle:

Eigene Berechnungen

Tab. 9:

DAX-äquivalentes, GG- und Tangential-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell I)

150

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Die Renditeerwartung des DAX-äquivalenten Portfolios beträgt 2,19 % p.m., sie ist höher als die Renditeerwartung des GG-Portfolios mit 2,09 % p.m. Beide liegen jedoch auf dem gleichen Segment zwischen Corner Portfolio 10 und 11. Sie bestehen aus den elf Aktien BASF, HypoVereinsbank, Commerzbank, Veba192, Lufthansa, RWE, SAP, Schering, TUI, VIAG193 und Mannesmann. Die Gewichtung der einzelnen Aktien unterscheidet sich dabei zwischen den beiden Portfolios nur geringfügig. Mit steigender Renditeerwartung nimmt der Anteil der Aktien aus den Sektoren Utilities & Telecommunication ab und das Gewicht der Aktien von Mannesmann AG und von SAP AG zu. Im Tangential-Portfolio sind fünf Aktien enthalten. Es besteht zu 54,6 % aus der Mannesmann AG, zu 22,8 % aus der SAP AG und zu 16,7 % aus der VIAG AG und befindet sich auf dem Segment zwischen dem fünften und sechsten CornerPortfolio. Die erwartete Rendite des Portfolios entspricht 3,94 % p.m. und seine Standardabweichung beträgt 7,38 %. Beim Tangential-Portfolio wird die höchste Risikoprämie für das übernommene Marktrisiko erwartet. Auf Grund der geringen Anzahl an Aktien ist dieses Portfolio jedoch mit hohen unsystematischen Risiken behaftet. 11.1.2.

Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung

In den 36 Halteperioden ändert sich in den effizienten Portofolios die Gewichtung der Aktien. Zum einen ist dies auf die sich verändernde, wechselnde Zusammensetzung des Anlageuniversums I, zum anderen auf die unterschiedlichen Entwicklungen der Aktien innerhalb der Schätzperioden zurückzuführen. Der Einfluss der Schätzperioden ist zu relativieren, da es sich um überlappende Perioden mit 60 Beobachtungen handelt. So basieren die Schätzer für die α- und β-Faktoren, das Marktrisiko und die Renditeerwartung von zwei aufeinander folgenden Schätzperioden auf 59 gleichen Beobachtungen. Die erwartete Portfoliorendite µ PF und das Risiko σ PF des Minimum-Varianz, des DAX-äquivalenten, des GG- und des Tangential-Portfolios der 36 Halteperioden sind in Anhang IV dargestellt. In der folgenden Tab. 10 sind jeweils nur die minimalen und maximalen Renditeerwartungen und Standardabweichungen der Portfolios aufgeführt.

192 193

Die VIAG AG und die Veba AG sind zu diesem Zeitpunkt noch nicht zur E.ON AG fusioniert. Vgl. Fußnote 192.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

Minimum Maximum Durchschnitt

Minimum-Varianz-PF µPF σPF 0,24% 3,66% 1,64% 4,45% 1,12% 3,98%

DAX-äquiv. PF µPF σPF 0,24% 3,89% 2,49% 5,16% 1,50% 4,27%

GG-PF µPF σPF 0,26% 3,90% 2,13% 4,50% 1,53% 4,26%

151

Tangential-PF µPF σPF 1,22% 4,57% 4,23% 7,77% 2,50% 6,25%

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 10:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum I, Modell I)

In den folgenden Kapiteln werden zunächst die Risiken und die Renditeerwartung sowie die Zusammensetzung der Portfolios in den jeweiligen Strategien erläutert. Anschließend wird die Asset Allocation in den Portfolios verglichen. 11.1.2.1.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

Das Minimum-Varianz-Portfolio hat per Definition die kleinste Standardabweichung. Sie schwankt in den 36 Halteperioden zwischen 3,66 % und 4,45 %. Die erwarteten Portfoliorenditen liegen zwischen 0,24 % p.m. und 1,64 % p.m. Die Anzahl der enthaltenen Aktien schwankt zwischen neun und 17 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Portfoliovarianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt in den 36 Halteperioden zwischen 38,6 % und 50,7 %.194 Die Zusammensetzung der Minimum-Varianz-Portfolios in den Halteperioden 1 bis 36 ist in Abb. 20 skizziert. Dabei sind die einzelnen Aktien entsprechend der Sektorunterteilung durch die Deutsche Börse AG farblich markiert.195 Ihre Gewichtung ist Anhang VIII zu entnehmen. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Werte der Sektoren Chemicals & Pharma, Utilities & Telecommunication sowie Machinery & Industrials dominieren.196

194 195 196

Zur Berechnung wird das marktunabhängige Risiko zum Gesamtrisiko gemäß (32) ins Verhältnis gesetzt. s. Anhang I. Vgl. Deutsche Börse AG (2002), S. 7. Die Zuordnung der Aktien zu den Sektoren ist Anhang I zu entnehmen.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Jan 00 Feb 00 Mrz 00 Apr 00 Mai 00 Jun 00 Jul 00 Aug 00 Sep 00 Okt 00 Nov 00 Dez 00 Jan 01 Feb 01 Mrz 01 Apr 01 Mai 01 Jun 01 Jul 01 Aug 01 Sep 01 Okt 01 Nov 01 Dez 01 Jan 02 Feb 02 Mrz 02 Apr 02 Mai 02 Jun 02 Jul 02 Aug 02 Sep 02 Okt 02 Nov 02 Dez 02 Halteperiode

Lufthansa AG Volkswagen AG TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG) VIAG AG RWE AG E.ON AG (ehemals Veba AG) ThyssenKrupp AG MAN AG Linde AG Siemens AG SAP AG Schering AG Degussa AG Fresenius Medical Care AG Bayer AG BASF AG Altana AG Münchener Rückvers. AG Allianz AG Metro AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Adidas-Salomon AG Commerzbank AG Bayerische HypoVereinsbank AG

152 TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 20:

Minimum-Varianz-Portfolio in 36 Halteperioden (Anlageuniversum I, Modell I)

Anteil im Portfolio

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

153

Wesentliche Unterschiede in der Zusammensetzung zeigen sich in den Halteperioden Juli 2000, Dezember 2000, August 2001, Oktober 2001, November 2001 und Oktober 2002. Bis auf die Änderung im Oktober 2001 resultieren sie aus unterschiedlichen Zusammensetzungen des Anlageuniversums.197 Im Juli 2000 ist das Gewicht der Gesellschaften aus dem Sektor Utilities & Telecommunication zurückgegangen. Die VIAG AG und die Veba AG fusionieren zu diesem Zeitpunkt zur EON AG. Somit ist in diesem Sektor ab Juli 2000 im Anlageuniversum ein Unternehmen weniger enthalten. In der Halteperiode Dezember 2000 ist zum ersten Mal eine ausreichende Kurshistorie für Adidas-Salomon AG (Consumer & Retail), im August 2001 für die Metro AG (Consumer & Retail) und im November 2001 für die Fresenius Medical Care AG (Pharma) vorhanden. Alle drei Titel sind ab dem Zeitpunkt ihrer Berücksichtigung im Minimum-VarianzPortfolio vertreten. Im Oktober 2002 wird zusätzlich die Altana AG (Pharma) im Anlageuniversum berücksichtigt. Auch dieser Wert ist ab diesem Zeitpunkt im Minimum-Varianz-Portfolio enthalten. Auffällig ist der Rückgang der Sektoren Automobile & Transportation sowie Banks & Financial Services im Oktober 2001. Er ist auf die deutlich geringeren Renditeerwartungen für diese Gesellschaften ab Oktober 2001 zurückzuführen. Insbesondere für die Aktie der Lufthansa AG im Sektor Automobiles & Transportations und die Aktien der Commerzbank198 AG sowie der HypoVereinsbank AG im Sektor Banks & Financial Services wird eine deutlich geringere Rendite erwartet. Ursache für diesen Rückgang sind die Terroranschläge auf das World Trade Center in New York und das Pentagon in Washington D.C. am 11. September 2001. Dadurch ist die Renditeerwartung in den folgenden Perioden auf Grund der methodischen Vorgehensweise zur Schätzung der α - und β -Faktoren mittels OLS-Methode199 stark von diesem Ereignis geprägt.200 Die im Vergleich zur Vorperiode deutlich verminderte Renditeerwartung dieser Aktien hat zur Folge, dass ihre Gewichtung im Modell geringer ausfällt. Ab diesem Zeitpunkt haben sie kaum noch einen nennenswerten Anteil im MinimumVarianz-Portfolio.

197 198 199 200

Vgl. Kapitel 10.3, Abb. 17. Die Aktie der Commerzbank AG ist jedoch nicht im Minimum-Varianz-Portfolio enthalten. Vgl. Fußnote 92. Bspw. ist der α -Faktor der Aktie der HypoVereinsbank AG von 0,0066 auf 0,0014 gesunken, so dass eine wesentlich geringere firmenspezifische Rendite erwartet wird. Das marktspezifische Risiko in Form des β – Faktors steigt hingegen von 0,8199 auf 0,9591.

154

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

11.1.2.2.

Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung

In den Schätzperioden liegt die Renditeerwartung des DAX-äquivalenten und des GG-Portfolios bis Mitte 2002 deutlich über der Renditeerwartung des MinimumVarianz-Portfolios. Danach geht die Renditeerwartung sowohl für den DAX als auch für das gleich gewichtete Portfolio zurück. Der Grund liegt in der Schätzmethodik. Durch den deutlichen Rückgang des DAX zwischen März 2000 und den Halteperioden in 2002 fallen verstärkt negative Renditebeobachtungen in die Schätzperiode für die Renditeerwartung des DAX. Entsprechend sinkt auch die erwartete Rendite für den DAX. Da sich der DAX aus den Standardwerten zusammensetzt, ist auch die Renditeerwartung des gleich gewichteten Portfolios rückläufig. Die erwartete Rendite schwankt dabei im DAX-äquivalenten Portfolio zwischen 0,24 % p.m. und 2,49 % p.m., im GG-Portfolio zwischen 0,26 % p.m. und 2,13 % p.m. Das Risiko der Portfolios ist hierbei nur geringfügig höher als im MinimumVarianz-Portfolio.201 Je nach Renditeerwartung wird entweder das Risiko des DAX-äquivalenten Portfolios oder des GG-Portfolios höher eingeschätzt. Die Standardabweichung schwankt im DAX-äquivalenten Portfolio zwischen 3,89 % und 5,16 % und im GG-Portfolio zwischen 3,90 % und 4,50 %. In den 36 Halteperioden schwankt die Anzahl der im DAX-äquivalenten Portfolio enthaltenen Werte zwischen zehn und 17 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz bewegt sich dabei in den 36 Halteperioden zwischen 26,1 % und 50,7 %. Das GG-Portfolio enthält zwischen zehn und 16 Aktien. In diesem Portfolio ist der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Varianz ähnlich hoch und schwankt zwischen 28,0 % und 47,7 %. Das DAX-äquivalente und das GG-Portfolio unterscheiden sich vom MinimumVarianz-Portfolio in den ersten 30 (bis einschließlich Juni 2002) bzw. 33 (bis September 2002) Halteperioden. In den letzten sechs Halteperioden ist das DAXäquivalente Portfolio und in den letzten drei das GG-Portfolio ineffizient, da die mit diesen Portfolios verbundene Renditeerwartung unterhalb der des MinimumVarianz-Portfolios liegt. Für diese Perioden wird zur Durchführung der Portfoliostrategien das Minimum-Varianz-Portfolio zu Grunde gelegt. Entsprechend setzen sich das DAX-äquivalente und das GG-Portfolio in den letzten drei bzw. sechs Perioden genau wie das Minimum-Varianz-Portfolio zusammen. In den ersten beiden Halteperioden sind, im Unterschied zum Minimum-VarianzPortfolio, die Mannesmann AG (Machinery & Industrials) sowie die SAP AG

201

Vgl. Anhang IV.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

155

(Software & Technology) im DAX-äquivalenten und im GG-Portfolio enthalten. Die Mannesmann AG wird auf Grund der Übernahme durch Vodafone plc ab der dritten Halteperiode nicht mehr berücksichtigt. Die Allianz AG und die Münchener Rückversicherungsgesellschaft AG als Werte aus dem Sektor Insurance haben im GG-Portfolio ein Gewicht von bis zu 30,6 % bzw. im DAXäquivalenten bis zu 16,4 %. Mit dem verwendeten Modell erreicht das Tangential-Portfolio die höchste erwartete Überschussrendite im Verhältnis zur Standardabweichung des Portfolios.202 Die erwartete Rendite liegt in allen Halteperioden deutlich über den Erwartungen der anderen betrachteten Portfolios.203 Sie schwankt zwischen 1,22 % p.m. und 4,23 % p.m. Das Risiko ist jedoch auch deutlich höher als in den anderen Portfolios und schwankt zwischen 4,57 % und 7,77 %. Die Zusammensetzung des Tangential-Portfolios ändert sich im Vergleich mit den anderen betrachteten Portfolios deutlich stärker. Das mit diesem Modell gebildete Portfolio enthält in den 36 Halteperioden zwischen 4 und 12 Aktien. Die Anzahl der im Tangential-Portfolio enthaltenen Aktien hängt dabei von der Lage des Portfolios auf dem effizienten Rand ab. Es kann sowohl in der Nähe des Portfolios mit der maximalen Rendite als auch in der Nähe des Minimum-VarianzPortfolios liegen. Daher ist die Zusammensetzung der Tangential-Portfolios wesentlich heterogener ausgeprägt als die Zusammensetzung der Minimum-Varianz Portfolios.204 In Abb. 21 sind die effizienten Ränder exemplarisch für die 16. und die 32. Halteperiode abgebildet.

202

203 204

Es spiegelt jedoch nicht das Marktportfolio wider und ist somit strikt von dem im CAPM zu Grunde gelegten Marktportfolio zu trennen. Im Unterschied zum angewandten Modell wird im CAPM vorausgesetzt, dass alle Investoren homogene Erwartungen haben. Vgl. Kapitel 8. Vgl. Anhang VI. Vgl. die Zusammensetzung der Tangential-Portfolios in Anhang VIII.

Standardabweichung

156

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

16% 14%

SAP AG

12%

WCM Beteiligungsund Grundbesitz-AG

10% 8%

TP für Halteperiode 32

6% 4%

TP für Halteperiode 16 MV-PF

MV-PF

2% 0% 0,0%

0,5%

1,0%

Effiziente PF in HP 16

1,5%

2,0% Effiziente PF in HP 32

2,5%

3,0%

3,5%

Renditeerwartung p.m.

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 21:

Ex ante effiziente Ränder (Anlageuniversum I, Halteperiode 16 und 32)

Auf Grund der geringen Mischung schwankt der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz im Vergleich zu den anderen Portfolios relativ stark zwischen 24,3 % und 72,1 %. 11.1.3.

Vergleich der Asset Allocation

Die durchschnittliche Zusammensetzung des Minimum-Varianz-, des DAXäquivalenten, des GG- sowie des Tangential-Portfolios in den 36 Halteperioden ist dem Diagramm in Abb. 22 zu entnehmen. Insgesamt sind die Sektoren Machinery & Industrials, Utilities & Telecommunication sowie Retail & Consumer stärker im Minimum-Varianz-Portfolio als in den riskanteren Portfolios mit höherer Renditeerwartung gewichtet. Im DAX-äquivalenten und im GG-Portfolio gewinnen die Unternehmen aus dem Insurance-Sektor an Bedeutung (durchschnittlich 7,9 % im DAX-äquivalenten Portfolio bzw. 8,4 % im GG-Portfolio). Der Anteil der Sektoren Chemicals & Pharma hat ebenfalls mit 23,6 % im DAX-äquivalenten Portfolio bzw. mit 24,0 % im GG-Portfolio ein stärkeres Gewicht als im Minimum-Varianz-Portfolio. Das effiziente GG-Portfolio weicht deutlich von der naiven Strategie ab, in der alle Werte des Anlageuniversums enthalten sind. Die Anzahl der enthaltenen

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

157

Aktien schwankt in der naiven Strategie somit zwischen 23 und 26 Werten.205 Im GG-Portfolio sind hingegen nur zwischen 10 und 16 Aktien enthalten. 100% 90%

0,0% 17,9%

2,0% 9,7%

0,7% 8,7%

10,1%

70%

36,9%

37,4%

5,0%

5,9%

5,1%

5,5%

7,9%

8,4%

30%

2,6% 6,1% 0,7%

20%

17,4%

23,6%

24,0%

12,0%

9,8%

9,3%

DAX-äquiv. PF

GG-PF

40%

14,5% 7,3%

43,3%

50%

8,2%

3,0%

80%

60%

8,3%

17,3%

12,5% 10,2%

16,3%

Software & Technology Machinery & Industrials Utilities & Telecommunication Banks & Financial Services Automobile & Transportation Insurance Chemicals & Pharma Retail & Consumer

16,3%

8,2% 36,4%

17,8%

10% 0% MV-PF

3,2% Tangential-PF

10,5% naives GG-PF

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 22:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum I, Modell I)

Ebenso wird deutlich, dass der Anteil der Sektoren Chemicals & Pharma, Banks & Financial Services, Insurance und Software & Technology im Tangential-Portfolio höher ist als in den anderen Portfolios.

11.2.

Effiziente Portfolios aus Standardwerten und Immobilienaktien

Analog zum Aufbau in Kapitel 11.1 werden die Portfolios zunächst in der ersten und anschließend in allen 36 Halteperioden beschrieben. Im Unterschied zum vorherigen Kapitel sind jetzt auch die Immobilienaktien im Anlageuniversum enthalten.

205

Vgl. Kapitel 10.3.

158

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

11.2.1. 11.2.1.1.

Die erste Halteperiode Der effiziente Rand

In der ersten Halteperiode sind 25 Standardwerte und vier Immobilienaktien im Anlageuniversum II enthalten.206 Die Schätzer für die α -Faktoren der 29 Aktien entsprechen den Werten in Tab. 7. Die erwartete Rendite des CDAX als Proxy für den Markt beträgt 1,82 % p.m.207 und die Varianz 0,261 % bzw. die Standardabweichung 5,11 %208. Die β -Faktoren und die geschätzten unternehmensspezifischen Risiken entsprechen den Werten in Tab. 5. Die Zusammensetzung der Corner-Portfolios ist der Tab. 11 auf Seite 161 zu entnehmen. Im Modell I existieren 20 Corner-Portfolios für das Anlageuniversum II. Es lassen sich dabei Portfolios mit einer Renditeerwartung zwischen 1,52 % p.m. und 5,52 % p.m. bilden. Die Standardabweichung der Portfolios liegt zwischen 3,18 % und 9,98 %. Die Anzahl der enthaltenen Aktien schwankt zwischen einer und 14 Aktien209. Das Gewicht der Immobilienaktien ist in der ersten Halteperiode im MinimumVarianz-Portfolio mit 51,7 % am geringsten.210 Gleichzeitig besteht das Portfolio mit der höchsten Renditeerwartung allein aus der Aktie der WCM Beteiligungsund Grundbesitz-AG. In diesem Fall ist jedoch keine Diversifikation der unsystematischen Risiken gegeben. Da sich die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG während der Schätzperiode mit 5,52 % p.m. am besten von allen Aktien im Anlageuniversum entwickelt, ist mit dieser Aktie die höchste Renditeerwartung verbunden. Ihr Anteil steigt somit deutlich in den Portfolios mit hoher Renditeerwartung an. Die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG wird in die Untersuchung einbezogen, da sie im DIMAX enthalten ist. Ihre Entwicklung wird jedoch zumeist nicht mit der Immobilientätigkeit, sondern mit ihrem Beteiligungsgeschäft in Verbindung gebracht.211 Ein Großteil des Vermögens dieser Gesellschaft setzt sich aus Beteiligungen an der Spar Handelsgesellschaft AG, der AVA AG und der Württembergische Versicherungs-AG zusammen.212 Es ist davon auszugehen, dass 206 207 208 209

210 211 212

Vgl. Kapitel 10.3. Vgl. Kapitel 10.4.2.4. Vgl. Kapitel 10.4.2.3. 14 Aktien sind in den Corner-Portfolios 14 und 15 enthalten. Im Segment zwischen diesen beiden Portfolios sind dann insgesamt 15 Aktien enthalten, da in Corner-Portfolio 14 die Linde AG aufgenommen wird, und ab dem Corner-Portfolio 15 die BASF AG nicht mehr enthalten ist. Im Corner-Portfolio 20 beträgt der Anteil der Immobilienaktien 51,7 %. Vgl. Bankhaus Ellwanger & Geiger (2000), S. 345. In den letzten Jahren hat das Unternehmen bedeutende Anteile an der Commerzbank AG und den Klöckner Werke AG gehalten. Vgl. WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG (2003), S. 106.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

159

ihre Kursentwicklung stark durch diese „immobilienfremden“ Vermögensgegenstände beeinflusst ist. Aus diesem Grund werden die Ergebnisse differenziert dargestellt: Die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG wird als Immobilienaktie und als Standardwert ausgewiesen. In Abb. 23 sind die Gewichtungen der Immobilienaktien im Verhältnis zu den Standardwerten als Stabdiagramme dargestellt. Dabei wird zwischen dem Anteil der Immobilienaktien und dem Anteil der Standardwerte differenziert und alle Corner-Portfolios mit sinkender Renditeerwartung abgetragen. Damit auch gleichzeitig der Effekt der Umschichtungen auf die Renditeerwartung der Portfolios erkennbar ist, sind die erwarteten Portfoliorenditen auf der rechten Skala zusätzlich abgetragen.

5%

80% 70%

4%

60% 3%

50% 40%

Anteil im Portfolio

90%

Renditeerwartung p.m.

Anteil im Portfolio

6%

100%

6%

90% 5%

80% 70%

4%

60%

Renditeerwartung p.m.

Immobilienaktien ohne WCM

Immobilienaktien mit WCM AG 100%

3%

50% 40%

2%

30%

2%

30%

20%

1%

10%

20%

1%

10%

0%

0% 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0%

0% 1

2

3

IAG

Standardwerte

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Corner-Portfolio

Corner-Portfolio

Renditeerwartung

IAG ohne WCM

Standardwerte mit WCM

Renditeerwartung

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 23:

Anteil der Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell I, Januar 2000)

Insbesondere bei Berücksichtigung der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG als Standardwert ist der Anstieg des Anteils der Immobilienaktien mit sinkender Renditeerwartung zu erkennen. Da der Anteil der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG im Minimum-Varianz-Portfolio rund 3,9 % beträgt, entfallen ohne ihre Berücksichtigung 47,8 % auf Immobilienaktien (Corner-Portfolio 20 in Tab. 11). Dieser Anteil sinkt dann kontinuierlich mit steigender Renditeerwartung. Erst ab einer Renditeerwartung über 5,10 % p.m. sind in den effizienten Portfolios keine Immobilienaktien mehr enthalten. Neben der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG sind dann nur die Werte der SAP AG (Software & Technology) und der Mannesmann AG (Machinery & Industrials) zu berücksichtigen.

160

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

11.2.1.2.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

Das Minimum-Varianz-Portfolio entspricht dem Corner-Portfolio 20 in Tab. 11 und setzt sich aus 12 Aktien zusammen. Dazu gehören die Aktien der folgenden Gesellschaften: GAG Immobilien AG, Hamborner AG, WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG, Commerzbank AG, Veba AG, KarstadtQuelle AG, Linde AG, RWE AG, Schering AG, TUI AG und VIAG AG. Mit 51,7 % entfällt ein großer Anteil auf die Immobilienaktien, mit 38,9 % auf die Gesellschaften aus dem Sektor der Utilities & Telecommunication. Die erwartete Portfoliorendite entspricht dann 1,52 % p.m. bei einer Standardabweichung von 3,18 %. Mit Ausnahme von Corner-Portfolio 17 sind mit steigender Renditeerwartung zunächst die Aktien der Mannesmann AG, der HypoVereinsbank AG, der SAP AG und der BASF AG im Portfolio zu berücksichtigen. Durch ihre Aufnahme kann das Risiko mit steigender Renditeerwartung besser diversifiziert werden als durch eine andere Gewichtung der Aktien, die bereits im Minimum-VarianzPortfolio enthalten sind. Bei einer Renditeerwartung über 2 % p.m. (CornerPortfolio 17) würde eine weitere Berücksichtigung der KarstadtQuelle AG zu ineffizienten Portfolios führen. Sofern die erwartete Rendite größer als 2,08 % p.m. ist, kann ein geringeres Risiko erreicht werden, wenn sukzessive die Aktien der folgenden Gesellschaften nicht mehr in den Portfolios berücksichtigt werden: Linde AG, Schering AG, BASF AG, TUI AG, Commerzbank AG, HypoVereinsbank AG, Veba AG, RWE AG, Hamborner AG, VIAG AG, IVG Immobilien AG, GAG Immobilien AG, SAP AG und MAN AG.

100,0 86,0 55,3 45,7 42,2 39,9 29,1 27,9 18,6 16,1 15,9 13,9 12,9 12,4 12,3 12,1 11,5 10,2 8,7 3,9

Henkel KGaA

Veba AG

Dresdner Bank AG

Deutsche Bank AG

Degussa AG

Commerzbank AG

BMW AG

Bayerische HypoVereinsbank AG

Bayer AG

BASF AG

Allianz AG

IVG Immobilien AG

Hamborner AG

GAG Immobilien AG

a2

a1

a0

σPF

µPF

CP Num 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,4 1,0 2,1

KarstadtQuelle AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6,1 7,7 7,8 8,8 9,3 9,5 9,6 9,6 9,8 10,2 10,6 11,5

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,7 1,5 2,5 4,8

Linde AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Lufthansa AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

MAN AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Münchener Rückvers. AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,9 1,3 1,5 1,5 1,6 1,7 1,8 2,0 1,4

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 7,1 8,7 8,8 9,9 10,3 10,5 10,6 10,7 10,9 11,2 11,7 12,6

RWE AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 11,9 11,8 11,0 10,3 6,9 6,5 2,9 1,9 1,8 0,8 0,4 0,2 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

SAP AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,3 0,3 0,4 0,6 0,9 1,2 0,9

Schering AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Siemens AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

ThyssenKrupp AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,7 1,0 1,2 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 0,3

TUI AG

0,0 0,0 0,0 0,0 5,3 7,1 11,2 11,5 12,9 13,2 13,2 13,4 13,5 13,5 13,5 13,5 13,6 13,6 13,6 13,7

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,7 9,5 10,0 12,8 13,6 13,6 14,0 14,2 14,3 14,3 14,3 14,4 14,5 14,6 14,8

VIAG AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,4 13,4 19,7 21,4 21,5 22,6 23,2 23,4 23,5 23,6 23,8 24,3 25,0 27,1

0,0 14,0 32,8 31,1 29,1 27,4 19,3 18,3 10,1 7,8 7,7 5,7 4,8 4,3 4,1 3,9 3,3 1,8 0,0 0,0

Mannesmann AG

0,0 -17,66 175,46 0,0 -14,90 149,86 0,0 -1,83 21,80 11,3 -0,45 7,25 12,4 -0,25 5,03 12,5 -0,14 3,84 11,5 -0,11 3,39 11,3 -0,09 3,14 9,7 -0,09 3,13 9,3 -0,09 3,00 9,2 -0,08 2,94 8,9 -0,08 2,94 8,7 -0,08 2,83 8,6 -0,07 2,55 8,6 -0,07 2,55 8,5 -0,08 2,87 8,4 -0,08 2,76 8,2 -0,08 2,79 7,9 -0,14 4,55 7,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Volkswagen AG

0,45 0,38 0,04 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Mannesmann AG SAP AG GAG Immobilien AG IVG Immobilien AG VIAG AG Hamborner AG RWE AG Veba AG HVB AG Commerzbank AG TUI AG BASF AG Schering AG Linde AG BASF AG + SAP AG + KarstadtQuelle AG HVB AG + Mannesmann AG +

Veränderung in CP

1 5,52% 9,98% 2 5,39% 8,96% 3 5,10% 7,51% 4 4,77% 6,77% 5 4,55% 6,39% 6 4,38% 6,12% 7 3,53% 4,85% 8 3,43% 4,72% 9 2,62% 3,79% 10 2,40% 3,60% 11 2,39% 3,59% 12 2,21% 3,46% 13 2,13% 3,40% 14 2,08% 3,38% 15 2,07% 3,37% 16 2,05% 3,36% 17 2,00% 3,33% 18 1,89% 3,28% 19 1,76% 3,22% 20 1,52% 3,18% Aktiengewichte in %

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG

Quelle:

Eigene Berechnung unter Verwendung des Programmcodes von Todd (2000)

Tab. 11:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell I)

161

162

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

11.2.1.3.

Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung

Die Zusammensetzung des DAX-äquivalenten und des GG-Portfolios ist Tab. 12 zu entnehmen. Beide lassen sich wiederum mit Hilfe der Vektoren α * und β * sowie der Parameter c 0 und c1 ermitteln.213 Das Portfoliorisiko wurde mit Hilfe der im Programm generierten Parameter a0, a1 und a2 sowie dem Erwartungswert der Portfoliorendite bestimmt.214 In der folgenden Beschreibung wird die WCM Beteiligungs- und Grundbesitzgesellschaft AG nicht in den Anteil der Immobilienaktien eingerechnet. Sie hat in der ersten Halteperiode die höchste Renditeerwartung, so dass sie in den Portfolios mit hoher Renditeerwartung ein besonders hohes Gewicht aufweist. Es ist bereits an ihrer Gewichtung im Tangential-Portolio in Tab. 12 mit über 34 % zu erkennen. Die Renditeerwartung im GG-Portfolio entspricht 2,17 % p.m. Da mit CornerPortfolio 12 eine höhere und mit Corner-Portfolio 13 eine geringere Renditeerwartung verbunden ist, besteht das GG-Portfolio aus einer Linearkombination dieser beiden Corner-Portfolios. Die Standardabweichung wird mit den Parametern a0, a1 und a2 von Corner-Portfolio 13 ermittelt und beträgt 3,43 %. Der Anteil der Immobilienaktien entspricht 45,1 %. Auf die Werte aus dem Sektor Utilities & Telecommunication entfallen 33,3 %. Darüber hinaus hat auch die Aktie der Mannesmann AG (Machinery & Industrial) mit über 5 % einen signifikanten Anteil im Portfolio. Insgesamt sind 13 Aktien enthalten. Die Renditeerwartung des DAX-Index entspricht 2,19 % p.m. Das DAXäquivalente Portfolio liegt somit im gleichen Segment wie das GG-Portfolio und setzt sich ebenfalls aus der Linearkombination der Corner-Portfolios 12 und 13 zusammen. Die Standardabweichung entspricht 3,44 % und ist geringfügig höher als im GG-Portfolio. Der Anteil der Immobilienaktien beträgt ohne Berücksichtigung der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG als Immobilienaktie rund 45,0 %. Insgesamt sind auch hier 13 Aktien im Portfolio enthalten, es ergeben sich nur minimale Veränderungen in der Gewichtung der einzelnen Werte im Vergleich zum GG-Portfolio.

213 214

Vgl. Kapitel 9.2. Vgl. Gleichung (55) in Kapitel 9.2.

c1:

σPF 5,40% Gewicht in %:

-0,340

0,261

0,018

µPF: 3,92%

a1:

a2:

c0:

c1:

0,003

-0,141 3,838

a0:

α* β*

Tangential-Portfolio

3,44% Gewicht in %:

σPF

0,028

µPF: 2,19%

-0,083 2,943

a1:

a2:

c0:

0,002

a0:

8,8

12,0

0,094 0,318

22,8

6,8

0,369 -3,779

13,4

9,4

0,193 -1,245

13,4

34,0

0,079 3,268

13,6

0,212 -3,890

0,000 0,000

0,000 0,000

0,0

0,000 0,000

0,0

-0,002 0,131

0,000 0,000

0,000 0,000

0,3

0,000 0,000

0,3

0,003 0,036

0,000 0,000

0,000 0,000

1,1

0,000 0,000

1,0

-0,021 1,602

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Degussa AG

13,5

Commerzbank AG

-0,021 1,602

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Deutsche Bank AG

0,128 0,331

BMW AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Dresdner Bank AG

22,9

Bayerische HypoVereinsbank AG

0,003 0,036

0,000 0,000

8,9

0,052 1,930

9,1

0,052 1,930

Veba AG

0,186 2,143

Bayer AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Henkel KGaA

8,8

BASF AG

-0,002 0,131

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

KarstadtQuelle AG

0,102 -0,715

Allianz AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Linde AG

µPF: 2,17%

WCM Beteiligungsund Grundbesitz-AG

0,212 -3,890

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Lufthansa AG

α* β*

IVG Immobilien AG

0,128 0,331

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

MAN AG

DAX-äquivalentes Portfolio

Hamborner AG

0,186 2,143

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Münchener Rückvers. AG

a2:

GAG Immobilien AG

0,102 -0,715

0,000 0,000

10,0

0,062 1,937

10,1

0,062 1,937

RWE AG

σPF 3,43% Gewicht in %:

0,028

8,5

0,003 1,031

0,7

0,042 -1,781

0,6

0,042 -1,781

SAP AG

-0,340

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Schering AG

c0:

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Siemens AG

c1:

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

ThyssenKrupp AG

0,002

0,000 0,000

0,8

-0,018 1,339

0,9

-0,018 1,339

TUI AG

-0,083 2,943

6,4

0,229 -2,068

14,1

0,126 0,771

14,1

0,126 0,771

VIAG AG

a1:

23,0

0,033 2,474

5,5

0,129 -3,833

5,2

0,129 -3,833

Mannesmann AG

a0:

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Volkswagen AG

α* β*

GG-Portfolio

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

Quelle:

Eigene Berechnungen

Tab. 12:

DAX-äquivalentes, GG- und Tangential-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell I)

163

164

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Das Tangential-Portfolio besteht aus sieben Aktien. 28,1 % des Portfolios entfallen dabei auf Immobilienaktien, 23 % auf die Mannesmann AG und 6,4 % auf die VIAG AG. Es liegt auf dem Segment zwischen dem siebten und achten Corner-Portfolio. Mit dem Portfolio ist eine Renditeerwartung von 3,92 % p.m. und eine Standardabweichung von 5,40 % verbunden. Die Renditeerwartung weicht nur geringfügig von der Renditeerwartung des Tangential-Portfolios aus Standardwerten ab, jedoch ist das Portfoliorisiko rund 200 Basispunkte geringer. Zusammenfassend ist für die erste Halteperiode aus Tab. 11 zu erkennen, dass sich vor allem durch eine hohe Gewichtung der Immobilienaktien und der Aktien aus dem Sektor Utilities & Telecommunication effiziente Portfolios mit geringem Risiko und entsprechend geringerer Renditeerwartung erzielen lassen. Eine hohe erwartete Portfoliorendite geht im Modell I hingegen mit einer hohen Gewichtung der Aktien der Mannesmann AG, der SAP AG und der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG einher. 11.2.2.

Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung

Ohne Berücksichtigung der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG als Immobilienaktie fällt der Anteil der Immobilienaktien kontinuierlich mit steigender Renditeerwartung. Auch die zusätzliche Aufnahme der Deutschen Beamtenvorsorge Immobilienholding AG und der Auswechslung einzelner Standardwerte hat hierauf keinen wesentlichen Einfluss. Die Schätzer für die Renditen µ PF und das Risiko σ PF des Minimum-Varianz-, des DAX-äquivalenten, des GG- und des Tangential-Portfolios in den 36 Halteperioden für das Anlageuniversum II sind in Anhang V dargestellt. In der folgenden Tab. 13 sind wiederum jeweils nur die minimalen und maximalen Renditeerwartungen und Standardabweichungen der Portfolios aufgeführt. Im Vergleich zu Tab. 10 ist ersichtlich, dass nur die Renditeerwartung im DAXäquivalenten Portfolio mit dem vergleichbaren Portfolio aus Standardwerten übereinstimmt. Bei der Strategie auf der Basis des DAX-äquivalenten Portfolios wird im Modell angenommen, dass die Renditeerwartung des DAX immer dem Durchschnitt seiner 60 vorangegangenen Monatsrenditen entspricht. Somit ist die Renditeerwartung unabhängig vom Anlageuniversum. Die unterschiedlichen Renditeerwartungen in den anderen Portfolios resultieren aus der zusätzlichen Berücksichtigung der Immobilienaktien.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

165

Das Risiko der Portfolios aus Anlageuniversum I und Anlageuniversum II unterscheidet sich im Gegensatz zur Renditeerwartung in allen Portfolios. Sofern das Modell die zukünftige Entwicklung der Portfolios beschreibt, hat das DAXäquivalente Portfolio durch die Aufnahme der Immobilienaktien bei gleicher Renditeerwartung ein geringeres Risiko als das DAX-äquivalenten Portfolio aus Standardwerten.

Minimum Maximum Durchschnitt

Minimum-Varianz-PF µPF σPF 0,24% 2,54% 1,61% 3,18% 0,95% 2,79%

DAX-äquiv. PF µPF σPF 0,24% 2,55% 2,49% 3,63% 1,49% 3,11%

GG-PF µPF σPF 0,29% 2,77% 2,19% 3,43% 1,53% 3,15%

Tangential-PF µPF σPF 1,29% 3,86% 4,10% 6,97% 2,40% 4,71%

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 13:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum II, Modell I)

In den folgenden Kapiteln wird zunächst die Strategie der revolvierenden Restrukturierung des Minimum-Varianz-Portfolios vorgestellt. Anschließend werden die Strategien auf der Basis des DAX-äquivalenten, des GG- und des Tangential-Portfolios erläutert. Zuletzt erfolgt der Vergleich der Asset Allocation bei unterschiedlichen Strategien. 11.2.2.1.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

Im Vergleich zu den Ergebnissen in Tab. 10 unterscheiden sich die Renditeerwartungen im Minimum-Varianz-Portfolio nur geringfügig. Sie schwanken zwischen 0,24 % p.m. und 1,61 % p.m. statt zwischen 0,24 % p.m. und 1,64 % p.m ohne Immobilienaktien. Das minimale Portfoliorisiko mit 2,54 % und das maximale Portfoliorisiko mit 3,18 % sind jedoch deutlich geringer als das entsprechende minimale und maximale Portfoliorisiko (Standardabweichung 3,66 % bzw. 4,45 %) im Minimum-Varianz-Portfolio aus Anlageuniversum I. In den Minimum-Varianz-Portfolios aus Anlageuniversum II sind zwischen 11 und 20 Aktien enthalten. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt dabei zwischen 57,4 % und 78,2 %. In Abb. 24 ist allein die Gewichtung des Minimum-Varianz Portfolios dargestellt, wobei die Aktie der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG als Immobilienaktie ausgewiesen wird. Die Gewichtung der einzelnen Aktien in den verschiedenen Perioden ist Anhang IX zu entnehmen.

215

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Jan 00 Feb 00 Mrz 00 Apr 00 Mai 00 Jun 00 Jul 00 Aug 00 Sep 00 Okt 00 Nov 00 Dez 00 Jan 01 Feb 01 Mrz 01 Apr 01 Mai 01 Jun 01 Jul 01 Aug 01 Sep 01 Okt 01 Nov 01 Dez 01 Jan 02 Feb 02 Mrz 02 Apr 02 Mai 02 Jun 02 Jul 02 Aug 02 Sep 02 Okt 02 Nov 02 Dez 02

Halteperiode

Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG

GAG Immobilien AG

Hamborner AG

IVG Immobilien AG

WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG

Bayerische HypoVereinsbank AG

Commerzbank AG

Henkel KGaA

Adidas-Salomon AG

KarstadtQuelle AG

Metro AG

Münchener Rückvers. AG

Allianz AG

Schering AG

Altana AG

BASF AG

Fresenius Medical Care AG

ThyssenKrupp AG

MAN AG

Degussa AG

Linde AG

VIAG AG

RWE AG

E.ON (ehemals Veba AG)

Volkswagen AG

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

Lufthansa AG

166 TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 24:

Minimum-Varianz-Portfolio in 36 Halteperioden (Anlageuniversum II, Modell I)215

Die WCM Grundbesitz- und Beteiligungs-AG ist unter dem Sektor Banks & Financial Services ausgewiesen.

Anteil im Portfolio

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

167

Abb. 24 zeigt, dass in allen Halteperioden ein bedeutender Anteil des MinimumVarianz Portfolios aus Immobilienaktien besteht.216 Mit der Aufnahme der Deutschen Beamtenvorsorge Immobilienholding AG in der sechsten Halteperiode hat sich der Immobilienanteil tendenziell erhöht. Er bewegt sich im MinimumVarianz-Portfolio zwischen 48,0 % und 65,3 %. 11.2.2.2.

Das Tangential-Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung

Ab Juni 2002 weist das DAX-äquivalente sowie ab Oktober 2002 auch das GGPortfolio die gleiche Zusammensetzung auf wie das Minimum-Varianz-Portfolio. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Renditeerwartungen für das DAXäquivalente Portfolio und das GG-Portfolio kleiner sind als für das MinimumVarianz-Portfolio. In diesen Fällen wird zur Durchführung der Portfoliostrategien die Gewichtung des Minimum-Varianz-Portfolios übernommen. Die beiden GG-Portfolios mit der minimalen bzw. maximalen Renditeerwartung sind in Anlageuniversum II größer als in Anlageuniversum I. In beiden Portfolios ist die durchschnittliche Renditeerwartung der berücksichtigten Immobilienaktien höher als die der Standardwerte. Gleichzeitig ist jedoch das minimale bzw. maximale Portfoliorisiko mit 2,77 % bzw. 3,43 % der GG-Portfolios aus Anlageuniversum II deutlich geringer als das vergleichbare Portfoliorisiko mit 3,90 % bzw. 4,50 % aus Anlageuniversum I. Die Anzahl der im Portfolio enthaltenen Werte schwankt zwischen 12 und 19 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz liegt dabei zwischen 49,6 % und 75,4 %. Der Anteil der Immobilienaktien bewegt sich im GG-Portfolio zwischen 45,5 % und 65,5 %. Das DAX-äquivalente Portfolio hat per Definition die gleiche Renditeerwartung wie in der Vergleichsuntersuchung ohne Immobilienaktien. Die maximale und minimale Standardabweichung der ex ante effizienten Portfolios ist jedoch mit 2,55 % bzw. 3,63 % geringer als die Standardabweichung von 3,89 % bzw. 5,16 % in den Portfolios ohne Immobilienaktien. Die Anzahl der im Portfolio enthaltenen Werte schwankt zwischen 10 und 20 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt zwischen 48,6 % und 75,4 %. Der Anteil der Immobilienaktien bewegt sich im DAXäquivalenten Portfolio zwischen 44,0 % und 65,3 %. Die Renditeerwartung des Tangential-Portfolios schwankt zwischen 1,29 % p.m. und 4,10 % p.m., die Standardabweichung zwischen 3,86 % und 6,97 %. Das Portfolio maximiert das Sharpe-Maß. Unter Berücksichtigung der Immobilien216

Vgl. Anhang IX.

168

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

aktien tendiert dieses zwischen 0,145 und 0,687, es ist somit gegenüber dem minimalen und maximalen Sharpe-Maß der Portfolios ohne Immobilienaktien mit 0,124 und 0,522 deutlich gestiegen. Die Anzahl der im Portfolio enthaltenen Werte pendelt zwischen sechs und 15 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt zwischen 41,9 % und 74,4 %. Der Anteil der Immobilienaktien bewegt sich im Tangential-Portfolio zwischen 18,6 % und 63,4 %. Die Gewichtung der einzelnen Aktien innerhalb des DAX-äquivalenten Portfolios, des GG-Portfolios und des Tangential-Portfolios ist Anhang IX zu entnehmen. 11.2.3.

Vergleich der Asset Allocation

In aller Regel ist das Tangential-Portfolio riskanter als das DAX-äquivalente und das GG-Portfolio. Aus Abb. 25 geht hervor, dass gleichzeitig der Anteil der Immobilienaktien im Tangential-Portfolio tendenziell geringer ist als in den anderen Portfolios. Am höchsten ist der Anteil im Minimum-Varianz-Portfolio. 70%

60%

50%

40%

30%

20%

MV-PF

Tangential-PF

GG-PF

Dez 02

Nov 02

Sep 02

Okt 02

Jul 02

Aug 02

Jun 02

Apr 02

Mai 02

Mrz 02

Jan 02

Feb 02

Dez 01

Nov 01

Sep 01

Okt 01

Jul 01

Aug 01

Jun 01

Apr 01

Mai 01

Mrz 01

Jan 01

Feb 01

Dez 00

Nov 00

Sep 00

Okt 00

Jul 00

Aug 00

Jun 00

Apr 00

Mai 00

Mrz 00

Jan 00

Feb 00

10%

DAX-äquiv. PF

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 25:

Anteil Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell I, 36 Halteperioden)

Im Tangential-Portfolio ist die Anzahl der enthaltenen Aktien kleiner als in den anderen Portfolios. Dieser Sachverhalt ist auch im Anlageuniversum I zu beobachten. Je weniger Aktien eine höhere Renditeerwartung als der risikolose Zinssatz aufweisen, desto geringer ist die Anzahl der im Tangential-Portfolio

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

169

enthaltenen Aktien. Die Anzahl bewegt sich zwischen sechs und 15 Aktien und ist letztlich vom Segment abhängig, auf dem das Tangential-Portfolio liegt. In Anhang IX ist zu erkennen, dass sich die Zusammensetzung der TangentialPortfolios ab Juli 2002 verändert. Dabei steigt ab Juli 2002 zum einen der Anteil des Sektors Automobiles & Transportation, zum anderen der Anteil der Chemicals & Pharma jeweils zu Lasten des Anteils der Immobilienaktien.217 Die Betrachtung der durchschnittlichen Zusammensetzung der Portfolios im Zeitverlauf soll die unterschiedliche Gewichtung der einzelnen Sektoren in den vier Portfolios verdeutlichen. Darüber hinaus ist zum Vergleich der durchschnittliche Anteil der Aktien im naiv gleich gewichteten Portfolio dargestellt. 100%

7,7%

90% 80% 70% 60%

0,4% 3,2%

2,4%

18,2%

17,8%

2,5% 1,7% 3,6%

3,2% 1,8% 4,0%

20,9% 0,8% 2,1% 0,1% 6,3% 4,9%

10,6%

11,1%

3,6%

3,1%

3,0% 1,4% 4,9% 7,0% 3,7% 8,2% 20,1% 13,7%

Software & Technology Machinery & Industrials Utilities & Telecommunication Banks & Financial Services Automobile & Transportation Insurance Chemicals & Pharma Consumer & Retail IAG

6,9%

40% 30%

8,4% 13,7%

1,5%

50%

6,9% 10,5%

57,3%

56,3%

56,3%

14,7% 50,2%

20%

8,6%

10%

16,6%

0% MV-PF

DAX-äqui. PF

GG-PF

T-PF

naives GG-PF

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 26:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum II, Modell I)

Abb. 26 zeigt, dass in den Portfolios das Gewicht der Immobilienaktien vergleichsweise hoch ist. Der Anteil der Unternehmen aus den Sektoren Utilities & Telecommunication, Machinery & Industrials sowie der Immobilienaktien nimmt mit steigender Renditeerwartung und dem damit verbundenen Risikoanstieg ab. Der Anteil der Unternehmen in den Sektoren Banks & Financial Services und Chemicals & Pharma hingegen steigt. In den Strategien auf der Basis des Minimum-Varianz-Portfolios, des DAXäquivalenten und des GG-Portfolios sind vor allem Immobilienaktien und die 217

Vor allem die Aktie der Schering AG ist in dieser Halteperiode um über 10 % höher gewichtet als in den voran gegangenen Halteperioden. Vgl. Anhang IX.

170

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Werte aus den Sektoren Utilities & Telecommunication überdurchschnittlich stark im Vergleich zum naiv, gleich gewichteten Portfolio vertreten. Im Tangential-Portfolio sind hingegen neben den Immobilienaktien die Aktien der Sektoren Insurance und Chemicals & Pharma überdurchschnittlich hoch gewichtet. Im Unterschied zum Anteil der Aktien aus den Sektoren Insurance und Chemicals & Pharma sinkt jedoch der Anteil der Immobilienaktien im Vergleich zu ihrem Anteil in den drei anderen Portfoliostrategien. Bis auf die Aktie der Deutschen Beamtenvorsorge Immobilienholding AG sind die Immobilienaktien überdurchschnittlich hoch im Tangential-Portfolio gewichtet.218 Der Anteil der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG ist besonders hoch. Er allein beträgt in den Perioden durchschnittlich 17,2 %. In aller Regel wird ein Investor die unsystematischen Risiken in TangentialPortfolios, aufgrund der geringen Anzahl an enthaltenen Aktien nicht eingehen. Er wird sein Kapital auf eine Mindestanzahl an Aktien verteilen bzw. nur einen bestimmten Anteil seines Vermögens in eine Aktie investieren. Mit steigender Renditeerwartung ist in den dargestellten effizienten Portfolios der Kapitel 11.1 und 11.2 eine absteigende Anzahl an Aktien enthalten. Im Portfolio mit der höchsten Renditeerwartung ist letztendlich nur noch eine einzelne Aktie vertreten. Dies hat zur Folge, dass in den Portfolios mit vergleichsweise hoher Renditeerwartung die unsystematischen Risiken kaum diversifiziert sind. Aus diesem Grund ist in der folgenden Untersuchung der Anteil einer Aktie am Portfolio auf maximal 10 % beschränkt. Durch die Begrenzung in dieser Höhe werden einerseits die titelspezifischen Risiken bereits vergleichsweise gut diversifiziert219, andererseits heben sie sich noch ausreichend von den naiv gleich gewichteten Portfolios ab.

11.3.

Effiziente Portfolios aus mindestens zehn Standardwerten

Generell ist zu beobachten, dass die Investoren ihr Kapital auf mehrere Aktien verteilen. Hierdurch versuchen sie ihr Risiko zu diversifizieren. Je mehr Aktien im Depot enthalten sind, desto geringer fällt das unsystematische Risiko der Gesamtinvestition aus. Im Unterschied zur Bestimmung der Zusammensetzung der effizienten Portfolios im vorangegangen Kapitel wird deshalb in den folgenden Kapiteln eine zusätzliche Restriktion in das Modell aufgenommen.

218

219

Vgl. die Zusammensetzung des Tangential-Portfolios in Anlageuniversum II unter Anwendung von Modell I in Anhang XIII. Vgl. Kapitel 7.2.3.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

11.3.1. 11.3.1.1.

171

Die erste Halteperiode Der effiziente Rand

Das Anlageuniversum I besteht wie in Kapitel 11.1.1 beschrieben aus 25 Standardwerten. Die Kovarianz-Matrix V, der Vektor zur Bestimmung der erwarteten Portfoliorendite in der ersten Nebenbedingung sowie der Vektor der modellspezifischen dritten Nebenbedingung wird in Modell II220 gleich wie in Modell I bestückt. Das heißt, der Renditevektor setzt sich aus den in Tab. 7 ausgewiesenen α -Faktoren und der geschätzten Renditeerwartung des CDAX zusammen. Die Kovarianz-Matrix V besteht aus den unternehmensspezifischen Risiken σ ε2i aus Tab. 5 sowie der geschätzten Varianz des CDAX. Ebenso ist die dritte Nebenbedingung in Modell II mit den geschätzten β –Faktoren aus Tab. 5 bestückt. Durch die Aufnahme weiterer Nebenbedingungen221 in Form von Ungleichungen lässt sich der Anteil der Aktien auf einen maximalen Anteil am Portfolio beschränken. Wird hierzu jede Aktie auf maximal 10 % beschränkt, so sind grundsätzlich mindestens 10 Aktien im Portfolio enthalten. So besteht auch das renditemaximierende Portfolio nicht wie in Modell I nur aus einer, sondern aus zehn Aktien. Mit steigender Risikoaversion und entsprechend sinkender Renditeerwartung kann sich die Anzahl der in den Portfolios enthaltenen Aktien erhöhen. In Tab. 14 sind 41 Corner-Portfolios für die 25 Standardwerte dargestellt. Es lassen sich effiziente Portfolios mit einer Renditeerwartung zwischen 1,57 % p.m. und 2,81 % p.m. bei einer Standardabweichung zwischen 4,48 % und 6,75 % bestimmen. Die Anzahl der enthaltenen Aktien schwankt zwischen 10 und 14 Werten. Im Unterschied zu den Ergebnissen in Tab. 8 existieren in diesem Modell nicht nur 17, sondern 41 Corner-Portfolios. Die höhere Anzahl resultiert aus der Aufnahme der „kleiner gleich“-Restriktion zur Beschränkung der Aktien auf maximal 10 % des Portfoliovermögens. Durch die Restriktion ist ein Corner-Portfolio in Modell II dadurch definiert, dass eine Aktie im benachbarten Segment entweder nicht mehr im effizienten Portfolio enthalten ist oder zusätzlich aufgenommen wird auf 10 % im Portfolio beschränkt wird, oder keine Beschränkung mehr existiert, da ihr Anteil unter 10 % sinkt.222

220 221 222

Vgl. Modell I auf S. 84 und Modell II auf S. 86 in Kapitel 7.2.4. Vgl. vierte Nebenbedingung in Modell II auf S. 86. Vgl. Kapitel 9.3.

172

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Der Grund für die Verletzung entsprechender Restriktion im „Critical LineAlgorithmus“ und die Konsequenzen für die Portfoliozusammensetzung sind in der rechten Spalte in Tab. 14 angegeben. 11.3.1.2.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

Das Minimum-Varianz-Portfolio besteht aus 14 Aktien. Davon sind die Aktien der VEBA AG, der VIAG AG und der RWE AG aus dem Sektor der Utilities & Telecommunication sowie die Aktien der Commerzbank AG und der TUI AG auf 10 % beschränkt. Darüber hinaus ist die Aktie der KarstadtQuelle AG mit einem Anteil von knapp unter 10 % enthalten. Das restliche Portfolio besteht aus den Aktien der folgenden Gesellschaften: Allianz AG, BASF AG, HypoVereinsbank AG, Lufthansa AG, MAN AG und ThyssenKrupp AG. Ihr Anteil beträgt bis auf die Aktie der Lufthansa AG jeweils unter 5 %. Die Renditeerwartung ist 1,57 % p.m. bei einer Standardabweichung von 4,48 %. Mit steigender Renditeerwartung sind die Aktien von Mannesmann AG, SAP AG, Münchener Rückversicherungsgesellschaft AG, Siemens AG, Bayer AG, Dresdner Bank AG, Volkswagen AG und BMW AG der Reihe nach aufzunehmen. Hingegen dürfen die Aktien der Gesellschaften MAN AG, Allianz AG, ThyssenKrupp AG, KarstadtQuelle AG, Linde AG, Schering AG, E.ON AG, RWE AG, Commerzbank AG, VIAG AG, Lufthansa AG und TUI AG mit steigender Renditeerwartung nicht mehr berücksichtigt werden. Die Aktie der Allianz AG ist zunächst ab Corner-Portfolio 38, das heißt bei einer Renditeerwartung von über 1,76 % p.m., nicht mehr in den effizienten Portfolios enthalten. Gleichwohl ist sie dann wiederum ab einer erwarteten Rendite von über 2,61 % p.m. (Corner-Portfolio 17) in den effizienten Portfolios vertreten. 11.3.1.3.

Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios unter Vorgabe einer Renditeerwartung

Die Zusammensetzung des GG- und des DAX-äquivalenten Portfolios sind Tab. 15 zu entnehmen. Das GG-Portfolio setzt sich aus 13 Aktien zusammen. Dabei sind jeweils 10 % in die Aktien der Commerzbank AG, Veba AG, RWE AG, TUI AG, VIAG AG und Mannesmann AG investiert. Das restliche Vermögen wird in die Aktien der BASF AG, HypoVereinsbank AG, KarstadtQuelle AG, Linde AG, Lufthansa AG, SAP AG und Schering AG angelegt. Das Gewicht dieser Aktien ist jeweils kleiner als 10 %. Die erwartete Portfoliorendite beträgt 2,09 % p.m. und die Standardabweichung 4,76 %.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Veba AG

Dresdner BankAG

Deutsche BankAG

Degussa AG

CommerzbankAG

BMWAG

Bayerische HypoVereinsbankAG

Bayer AG

BASFAG

AllianzAG 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Henkel KGaA

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,5 4,3 4,7 5,3 7,7 8,2 8,5 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 1,6 2,4 2,9 4,2 5,2 5,2 5,5 6,6 7,7 8,5 9,9

KarstadtQuelle AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,4 8,0 2,3 1,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 1,0 3,1 4,7 5,6 8,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Linde AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,2 0,2 0,4 0,9 1,0 3,9 4,0 3,7 3,3 3,1 2,5 1,1 1,1 1,1 1,4 1,6 2,1 4,1 4,3 4,4 4,6 4,6 4,7 4,8 5,0 5,0 5,3 5,9 5,9 6,0 6,6 7,2 7,5 7,5

Lufthansa AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,9 2,1

MANAG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,2 6,0 6,2 6,2 5,9 5,8 5,2 4,0 4,0 4,0 4,5 4,9 5,7 8,8 9,1 9,4 9,6 9,7 9,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,4 9,1 8,1 7,8 6,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,8 1,4 0,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Münchener Rückvers. AG

10,0 3,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,7 4,2 6,1 6,4 7,0 9,6 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

RWEAG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 7,6 7,2 7,0 6,9 6,9 6,6 5,9 5,5 5,2 4,5 4,4 4,4 4,5 4,4 4,2 3,9 2,9

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,3 8,7 8,6 7,7 5,8 4,4 3,5 1,3 0,2 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

SAPAG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,1 7,1 6,8 4,2 3,5 1,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,5 6,9 7,4 7,9 8,3 8,3 8,5 9,2 9,8 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Schering AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,0 8,3 7,8 6,7 6,6 6,6 6,6 6,4 6,1 5,7 4,1

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,4 7,9 5,9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Siemens AG

0,0 6,5 5,8 5,7 6,3 8,1 8,1 6,1 5,8 4,6 4,2 4,0 3,5 3,0 1,7 0,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,7 1,0 0,5

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,2 1,1 1,9 2,4 2,9

ThyssenKrupp AG

a2 17502,38 4553,38 12321,47 2148,67 4419,28 1340,00 224,28 286,35 221,49 160,08 150,65 326,87 82,08 57,76 68,04 85,20 133,69 95,33 42,49 54,67 31,97 51,47 41,01 37,39 65,60 13,59 13,82 9,36 8,47 8,04 8,07 8,46 8,58 4,59 4,39 5,59 7,17 6,97 6,29 30,36

0,0 0,0 4,2 4,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 7,6 7,4 7,4 7,5 7,7 8,1 9,8 9,8 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

TUI AG

a1

-981,01 -253,64 -689,21 -118,82 -245,59 -73,81 -11,58 -15,01 -11,42 -8,05 -7,53 -17,14 -3,95 -2,65 -3,19 -4,09 -6,62 -4,62 -1,90 -2,52 -1,36 -2,35 -1,82 -1,64 -2,99 -0,51 -0,52 -0,31 -0,27 -0,25 -0,25 -0,27 -0,27 -0,12 -0,11 -0,15 -0,21 -0,20 -0,18 -0,95

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3,7 4,0 6,9 9,4 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 7,7 7,7 7,2 4,9 2,3 0,0 0,0

Mannesmann AG

a0

13,75 3,54 9,64 1,65 3,42 1,02 0,15 0,20 0,15 0,10 0,10 0,23 0,05 0,03 0,04 0,05 0,08 0,06 0,02 0,03 0,02 0,03 0,02 0,02 0,04 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01

VIAGAG

6,75% 6,66% 6,59% 6,59% 6,46% 6,44% 6,44% 6,29% 6,28% 6,17% 6,07% 6,04% 5,88% 5,82% 5,67% 5,59% 5,57% 5,55% 5,47% 5,44% 5,43% 5,36% 5,34% 5,27% 5,09% 5,08% 5,05% 5,03% 5,02% 4,97% 4,86% 4,79% 4,75% 4,67% 4,59% 4,59% 4,58% 4,54% 4,51% 4,48% 4,48%

σ

10,0 10,0 10,0 10,0 3,7 1,9 1,9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Volkswagen AG

2,81% 2,81% 2,80% 2,80% 2,79% 2,79% 2,79% 2,77% 2,77% 2,75% 2,73% 2,73% 2,69% 2,68% 2,64% 2,61% 2,61% 2,60% 2,57% 2,56% 2,56% 2,53% 2,52% 2,49% 2,39% 2,38% 2,36% 2,34% 2,34% 2,29% 2,20% 2,12% 2,08% 1,98% 1,86% 1,86% 1,84% 1,76% 1,68% 1,60% 1,57%

µP F

Veränderung in den CP Allianz TUI AG BMW AG + VW AG 10 % + TUI AG 10 % Lufthans a AG VIAG AG VW AG + Bayer AG 10 % + Dres dner Bank 10 % + Commerzbank AG VIAG AG 10 % RWE AG Veba AG Dres dner Bank AG + Bayer AG + Allianz AG + TUI AG 10 % + MR AG 10 % + RWE AG 10 % Siemens AG 10 % + Veba AG 10 % Schering AG HVB AG 10 % + Siemens AG + SAP AG 10 % + TUI AG 10 % Linde AG Kars tadtQuelle AG BASF AG 10 % Commerzbank AG 10 % MR AG + Schering AG 10 % Mannes mann AG 10 % + Thys senKrupp AG Linde AG 10 % SAP AG + Allianz AG MAN AG Mannes mann AG +

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

Quelle:

Eigene Berechnung unter Verwendung des Programmcodes von Todd (2000)

Tab. 14:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell II)

173

CPNum

c1 :

4,85% Gewicht in %:

σPF

0,124

0,016

µPF: 2,19%

-0,253 8,074

a1:

a2:

c0 :

0,004

a0:

Allianz AG

α* β*

0,0

0,0

0,000 0,000

BASF AG

DAX-äquivalentes Portfolio

7,9

8,9

0,027 1,228

Bayer AG

0,118

0,000 0,000

Bayerische HypoVereinsbank AG

c1 :

5,3

5,9

0,021 0,754

BMW AG

µPF: 2,09%

0,000 0,000

Commerzbank AG

-0,269 8,457 10,0

10,0

0,100 0,000

Degussa AG

4,76% Gewicht in %: 0,000 0,000

Deusche Bank AG

σPF

0,000 0,000

Dresdner Bank AG

a2:

0,000 0,000

Veba AG

10,0

10,0

0,100 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Hankel KGaA

0,100 0,000

1,6

0,089 -1,438

2,7

0,090 -1,355

KarstadtQuelle AG

0,000 0,000

3,3

0,170 -2,722

5,3

0,173 -2,597

Linde AG

0,000 0,000

4,9

0,062 -0,275

5,0

0,056 -0,127

Lufthansa AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

MAN AG

0,100 0,000

0,5

-0,044 0,983

0,0

0,000 0,000

Münchener Rückvers. AG

0,000 0,000

10,0

0,100 0,000

10,0

0,100 0,000

RWE AG

0,013 0,868

5,6

-0,065 2,410

3,7

-0,077 2,498

SAP AG

0,000 0,000

9,3

0,140 -0,939

9,9

0,132 -0,711

Schering AG

0,014 1,424

0,000 0,000

0,000 0,000

Siemens AG

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

ThyssenKrupp AG

a1:

0,016

10,0

0,100 0,000

10,0

0,100 0,000

TUI AG

c0 :

10,0

0,100 0,000

10,0

0,100 0,000

VIAG AG

0,004

10,0

0,100 0,000

10,0

0,100 0,000

Mannesmann AG

a0:

0,000 0,000

0,000 0,000

Volkswagen AG

β*

GG-Portfolio α*

174 TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 15:

DAX-äquivalentes und GG-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum I, Modell II)

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

175

Für das DAX-äquivalente Portfolio beträgt die erwartete Portfoliorendite 2,19 % p.m. bei einer Standardabweichung von 4,85 %. Es liegt auf dem angrenzenden Segment zum GG-Portfolio. Der Unterschied zum GG-Portfolio ist die zusätzliche Berücksichtigung der Münchener Rückversicherungs-gesellschaft AG mit einem Anteil von 0,52 %. Ansonsten sind die gleichen Aktien wie im GG-Portfolio enthalten. Die Gewichtung der Werte unterscheidet sich dabei nur geringfügig. So haben die Aktien der BASF AG, HypoVereinsbank AG und SAP AG ein etwas höheres Gewicht, und die Aktien der KarstadtQuelle AG, Linde AG, Lufthansa AG, und Schering AG ein etwas geringeres Gewicht im Vergleich zum GGPortfolio. Die gleichen Aktien wie im GG-Portfolio sind auf 10 % des Anlagevolumens beschränkt. Das renditemaximierende Portfolio entspricht Corner-Portofolio 1 in Tab. 14 und besteht aus den zehn Aktien mit den höchsten Renditeerwartungen. Dies sind die Aktien der BASF AG, Bayer AG, HypoVereinsbank AG, BMW AG, Dresdner Bank AG, Münchener Rückversicherungsgesellschaft AG, SAP AG, Siemens AG, Mannesmann AG und Volkswagen AG. Die Renditeerwartung beträgt 2,81 % p.m. bei einer Standardabweichung von 6,75 %. Im Vergleich zum MinimumVarianz-Portfolio fällt auf, dass im renditemaximierenden Portfolio kein Unternehmen aus dem Sektor Utilities & Telecommunication enthalten ist. Gleichzeitig sind in diesem Portfolio jedoch die Aktien von SAP AG und Siemens AG als Unternehmen aus dem Sektor Software & Technology enthalten, die wiederum nicht im Minimum-Varianz-Portfolio vertreten sind. 11.3.2.

Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung

Die erwartete Rendite µ PF und das Risiko σ PF des Minimum-Varianz, des DAXäquivalenten, des GG- und des renditemaximierenden Portfolios in den 36 Halteperioden sind dem Anhang VI zu entnehmen. Durch die zusätzliche Restriktion der einzelnen Aktien auf ein Maximalgewicht von 10 % unterscheiden sich die erwarteten Portfoliorenditen von den Ergebnissen in Tab. 10.

Minimum Maximum Durchschnitt

Minimum-Varianz-PF µPF σPF 0,27% 3,88% 1,70% 4,70% 1,22% 4,24%

DAX-äquiv. PF µPF σPF 0,27% 4,01% 2,49% 5,33% 1,51% 4,46%

GG-Portfolio µPF σPF 0,27% 4,03% 2,13% 4,76% 1,53% 4,45%

rend.max-PF µPF σPF 0,91% 5,95% 2,91% 8,03% 2,23% 6,83%

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 16:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum I, Modell II)

176

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

In Tab. 16 sind wiederum jeweils nur die minimalen und maximalen Renditeerwartungen und Standardabweichungen der Portfolios in den 36 Halteperioden aufgeführt. 11.3.2.1.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

Das Minimum-Varianz-Portfolio hat wiederum gemäß Definition die geringste Standardabweichung aller Portfolios. Sie schwankt zwischen 3,88 % und 4,70 %. Die erwartete Portfoliorendite liegt in den 36 Halteperioden zwischen 0,27 % p.m. und 2,01 % p.m. Die Zusammensetzung des ex ante Minimum-Varianz-Portfolios ist in Abb. 27 dargestellt. Die einzelnen Sektoren sind farblich markiert. Die exakte Gewichtung der einzelnen Aktien ist Anhang X zu entnehmen. Deutliche Verschiebungen sind wie bereits in Modell I mit Anlageuniversum I223 in den Perioden Juli 2000, Dezember 2000, April 2001, August 2001, Oktober 2001, November 2001 und Oktober 2002 zu beobachten. Bis auf die Verschiebungen im Oktober 2001 sind sie auf Änderungen im Anlageuniversum zurückzuführen.224 Die Änderungen im Oktober 2001 sind ebenfalls Auswirkungen der Terroranschläge in den USA im September 2001.225 Aus Abb. 28 ist zudem abzulesen, dass die Portfolios vor allem aus den Unternehmen der Sektoren Chemicals & Pharma, Utilities & Telecommunication, Retail & Consumer sowie Machinery & Industrials bestehen. Die Anzahl der im Minimum-Varianz-Portfolio enthaltenen Aktien schwankt zwischen 13 und 19 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt in den Minimum-Varianz-Portfolios zwischen 16,4 % und 31,6 %.

223 224 225

Vgl. Kapitel 11.1.2. Vgl. Kapitel 10.3. Vgl. Kapitel 11.1.2.

Anteil im Portfolio

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Jan 00 Feb 00 Mrz 00 Apr 00 Mai 00 Jun 00 Jul 00 Aug 00 Sep 00 Okt 00 Nov 00 Dez 00 Jan 01 Feb 01 Mrz 01 Apr 01 Mai 01 Jun 01 Jul 01 Aug 01 Sep 01 Okt 01 Nov 01 Dez 01 Jan 02 Feb 02 Mrz 02 Apr 02 Mai 02 Jun 02 Jul 02 Aug 02 Sep 02 Okt 02 Nov 02 Dez 02

Halteperiode

Lufthansa AG Volkswagen AG TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG) VIAG AG RWE AG E.ON AG (ehemals Veba AG) ThyssenKrupp AG MAN AG Linde AG Degussa AG Siemens AG SAP AG Schering AG Fresenius Medical Care AG Bayer AG BASF AG Altana AG Münchener Rückvers. AG Allianz AG Metro AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Adidas-Salomon AG Commerzbank AG Bayerische HypoVereinsbank AG

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios 177

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 27:

Minimum-Varianz-Portfolios in 36 Halteperioden (Anlageuniversum I, Modell II)

178

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

11.3.2.2.

Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung

Die Renditeerwartung des GG-Portfolios unterscheidet sich vom MinimumVarianz-Portfolio nur in den ersten 31 Halteperioden (bis einschließlich Juli 2002).226 Sie liegt zwischen 0,27 % p.m. und 2,13 % p.m. und ist durchschnittlich mit 1,51 % p.m. höher als die im Minimum-Varianz-Portfolio. Gleichzeitig zeigt auch die Höhe der Standardabweichung von 4,03 % bis 4,76 %, dass diese im Durchschnitt höher ausfällt. Die Anzahl der im Portfolio enthaltenen Aktien bewegt sich zwischen 13 und 18 Werten. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt in den Halteperioden zwischen 13,8 % und 30,4 %. Die Renditeerwartung des DAX-äquivalenten Portfolios unterscheidet sich vom Minimum-Varianz-Portfolio nur in den ersten 29 Halteperioden (bis einschließlich Mai 2002).227 Die Renditeerwartung dieses Portfolios liegt zwischen 0,27 % p.m. und 2,49 % p.m., sie ist durchschnittlich mit 1,44 % p.m. etwas kleiner als die des GG-Portfolios. Die Standardabweichung hingegen schwankt zwischen 4,01 % und 5,33 %. Die Anzahl der im Portfolio enthaltenen Aktien bewegt sich zwischen 12 und 19. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz bewegt sich in den Halteperioden zwischen 13,9 % und 30,9 %. Sobald sich die Reihenfolge der erwarteten Aktienrenditen ändert, setzt sich das renditemaximierende Portfolio in den aufeinander folgenden Perioden unterschiedlich zusammen. Das Portfolio besteht aus den zehn Aktien mit den höchsten Renditeerwartungen. Die erwartete Rendite der renditemaximierenden Portfolios pendelt zwischen 0,91 % p.m. und 2,91 % p.m. Die Standardabweichung liegt in den 36 Halteperioden zwischen 5,95 % und 8,03 %. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt in den Halteperioden zwischen 10,7 % und 16,0 %.

226

227

In Modell I ist das GG-Portfolio aus dem Anlageuniversum II erst in der 34. Halteperiode ineffizient. Die Renditeerwartung für das Minimum-Varianz-Portfolio in Modell I beträgt 0,24 % p.m. (Halteperiode 32) und 0,32 % p.m. (Halteperiode 33), hingegen beträgt die Renditeerwartung in Modell II für das MinimumVarianz-Portfolio 0,31 % p.m. (Halteperiode 32) und 0,46 % p.m (Halteperiode 33). Die unterschiedlichen Renditeerwartungen im Minimum-Varianz-Portfolio sind auf die zusätzliche Beschränkung in Modell II zurückzuführen. Da die Renditeerwartung des naiv gleich gewichteten Portfolios 0,29 % p.m. (Halteperiode 32) und 0,49 % p.m. (Halteperiode 33) beträgt, ist das GG-Portfolio in Modell II zwar in Halteperiode 32 ineffizient, aber in Halteperiode 33 wieder effizient. Im DAX-äquivalenten Portfolio in Modell I aus Anlageuniversum II ist das DAX-äquivalente Portfolio erst in der Halteperiode 32 ineffizient. Dies ist wiederum auf die unterschiedlichen Renditeerwartungen im Minimum-Varianz-Portfolio von Modell I und II zurückzuführen. In Modell II beträgt die Renditeerwartung 0,79 % p.m. in der Halteperiode 30 und 0,59 % p.m. in der Halteperiode 31. Beim DAX beträgt sie hingegen 0,77 % p.m. und 0,50 % p.m. in diesen Halteperioden.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

11.3.3.

179

Vergleich der Asset Allocation

Die exakte Gewichtung der einzelnen Aktien in den Portfolios für die 36 Halteperioden ist Anhang X zu entnehmen. 0,7%

100% 90%

2,5% 16,6%

8,2%

21,3%

21,7%

1,4%

21,7%

12,5%

Utilities & Telecommunication Banks & Financial Services

10,2%

Automobile & Transportation Insurance

23,1%

60% 50%

6,3%

7,9%

9,8%

10,6%

11,1% 11,2%

11,5%

14,7%

23,6% 24,0%

Chemicals & Pharma Retail & Consumer

14,7% 3,7%

40% 30%

16,3%

5,1%

Software & Technology Machinery & Industrials

20,0% 0,6%

80% 70%

9,9%

10,4%

16,3%

8,2%

22,7%

20%

17,8% 19,2%

10%

18,2%

14,8%

14,5% 6,4%

0% MV-PF

DAX-äqui. -PF

GG-PF

rend.max PF

10,5%

naives GG-PF

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 28:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum I, Modell II)

Im Vergleich zum naiv gleich gewichteten Portfolio ist das Minimum-VarianzPortfolio durch einen überdurchschnittlichen Anteil der Sektoren Machinery & Industrials, Utilities & Telecommunication, Chemicals & Pharma sowie Retail & Consumer gekennzeichnet. Die Zusammensetzung der GG-Portfolios unterscheidet sich von der Zusammensetzung des Minimum-Varianz-Portfolios vor allem durch die geringere Gewichtung der Aktien aus den Sektoren Retail & Consumer mit 14,5 % sowie Machinery & Industrial mit 10,4 %. Gleichzeitig gewinnen die Anteile der Banks & Financial Services mit 7,9 % sowie Insurance mit 11,5 % an Bedeutung. Die größten Anteile entfallen wie im Minimum-Varianz-Portfolio auf die Sektoren Chemicals & Pharma und Utilities & Telecommunication. Das DAX-äquivalente Portfolio unterscheidet sich nur geringfügig vom GGPortfolio. Auffallend ist, dass der Sektor Software & Telecommunication an Bedeutung gewinnt.

180

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Im renditemaximierenden Portfolio grenzt sich die Gewichtung deutlich von den anderen Portfolios ab. Insbesondere die Sektoren Software & Technology, Banks & Financial Services, Insurance und Automobile & Transportation bekommen mehr Einfluss. Die Sektoren Utilities & Telecommunication sowie Machinery & Industrial sind hingegen vernachlässigbar klein.

11.4.

Effiziente Portfolios aus mindestens zehn Standardwerten und Immobilienaktien

Analog zum Aufbau der Kapitel 11.1 bis 11.3 werden im Folgenden die Portfolios zunächst in der ersten Halteperiode und anschließend in allen 36 Halteperioden beschrieben. Im Unterschied zum vorherigen Kapitel sind nun die Immobilienaktien im Anlageuniversum enthalten. 11.4.1. 11.4.1.1.

Die erste Halteperiode Der effiziente Rand

Das Anlageuniversum besteht analog zu Kapitel 11.2.1 aus den 25 Standardwerten und den vier Immobilienaktien. Die Schätzer für die α -Faktoren entsprechen den Werten aus Tab. 7, die Rendite des CDAX als Proxy für den Markt beträgt 1,82 % p.m.228 Die β -Faktoren und die unternehmensspezifischen Risiken entsprechen den Werten in Tab. 5, die Varianz bzw. die Volatilität für den CDAX entspricht 0,26 % bzw. 5,11 %.229 Die Kovarianz-Matrix V sowie die Vektoren der Nebenbedingungen werden analog zum Vorgehen in Kapitel 11.3.1.1 bestückt, wobei zusätzlich die Parameter der Immobilienaktien eingefügt werden. In Modell II existieren 39 Corner-Portfolios. Es lassen sich effiziente Portfolios für Renditeerwartungen zwischen 1,76 % p.m. und 3,19 % p.m. bilden. Die Standardabweichungen der Portfolios variieren zwischen 3,50 % und 6,06 %. Die Anzahl der enthaltenen Aktien schwankt zwischen zehn Aktien230 und 16 Aktien231. In Kapitel 11.2.1 wurde die Zusammensetzung der Portfolios differenziert betrachtet, indem die Aktie der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG zum einen als Immobilienaktie und zum anderen als Standardwert berücksichtigt wurde. Es war zu erkennen, dass ohne eine Berücksichtigung der WCM

228 229 230 231

Vgl. Kapitel 10.4.2.4. Vgl. Kapitel 10.4.2.3. Zehn Aktien sind vor allem in den Portfolios mit hoher Renditeerwartung enthalten 16 Aktien sind in den Corner-Portfolios 32, 33 und 34 enthalten.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

181

Beteiligungs- und Grundbesitz-AG als Immobilienunternehmen der Anteil der Immobilienaktien mit steigender Renditeerwartung kontinuierlich fällt, bei einer Berücksichtigung der Anteil aber ansteigt. Die zusätzliche Beschränkung der Aktien auf maximal 10 % in Modell II führt dazu, dass der Anteil der Immobilienaktien sowohl mit als auch ohne Berücksichtigung der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG als Immobilienaktie mit sinkender Renditeerwartung zunächst kontinuierlich auf 40 % steigt. Sofern jedoch eine geringere Rendite als 1,92 % p.m. erwartet wird, sinkt ihr Anteil wieder geringfügig. Das Minimum-Varianz-Portfolio besteht zu 36,7 % aus Immobilienaktien. Analog ist in Abb. 29 die Zusammensetzung der Corner-Portfolios in zwei Stabdiagrammen dargestellt. Ohne Berücksichtigung der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG steigt der Anteil der Immobilienaktien mit sinkender Renditeerwartung. Entsprechend fällt auch das Risiko dieser Portfolios geringer aus. Ab Corner-Portfolio 18 ist der Anteil der Immobilienaktien am höchsten. Die Renditeerwartung zwischen den Corner-Portfolios 1 und 18 unterscheidet sich um 0,31 % p.m., die Standardabweichung hingegen bereits um 1,42 %. Das heißt, die Diversifikation mit Immobilienaktien hat vor allem Einfluss auf das Portfoliorisiko. Hingegen ist die erwartete Portfoliorendite von der geänderten Asset Allocation weniger stark betroffen. Immobilienaktien ohne WCM

Immobilienaktien mit WCM AG 100%

3,5%

100%

3,5%

90%

90%

3,0%

3,0%

2,0%

50% 1,5%

40% 30%

1,0%

Anteil im Portfolio

60%

Renditeerwartung

2,5%

70% 60%

2,0%

50% 1,5%

40% 30%

1,0%

20%

20% 0,5% 10% 0,0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

0%

0,5% 10% 0%

0,0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Anteil im Portfolio

2,5%

70%

Renditeerwartung

80%

80%

Corner-Portfolio

Corner-Portfolio

IAG

Standardwerte

Renditeerwartung

IAG ohne WCM

Standardwerte mit WCM

Renditeerwartung

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 29:

Anteil der Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell II, Januar 2000)

Wird die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG auch als Immobilienaktie betrachtet, so reduziert sich der Anteil der Immobilienaktien ab Corner-Portfolio

182

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

36 geringfügig. Der Unterschied im Portfoliorisiko zwischen dem CornerPortfolio 36 und dem Minimum-Varianz-Portfolio ist hierbei marginal. 11.4.1.2.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

Das Minimum-Varianz-Portfolio entspricht dem Corner-Portfolio 39 in Tab. 17. Es setzt sich aus 13 Aktien zusammen und beinhaltet die Immobilienaktien GAG Immobilien AG, Hamborner AG und IVG Immobilien AG zu je 10 % und die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG mit rund 6,7 %. Von den Standardwerten sind die Aktien der Veba AG, RWE AG, VIAG AG zu je 10 % und die Aktien der Commerzbank AG, KarstadtQuelle AG, Linde AG, Lufthansa AG, Schering AG und TUI AG mit weniger als 10 % enthalten. Unterteilt nach Sektoren entfallen somit 36,7 % auf Immobilienaktien, 30 % auf Utilities & Telecommunication, 5,8 % auf Banks & Financial Services, 4,7 % auf Commercial & Retail, 9,8 % auf Machinery & Industrial, 6,6 % auf Automobile & Transportation und 6,3 % auf Chemicals & Pharma. Die erwartete Rendite entspricht 1,76 % p.m. bei einer Standardabweichung von 3,5 %. Bei einer höheren Renditeerwartung wird das Portfolio sukzessive um folgende Aktien erweitert: HypoVereinsbank AG, BASF AG, Mannesmann AG, SAP AG, Münchener Rückversicherungsgesellschaft AG, Siemens AG, TUI AG, Dresdner Bank AG, Bayer AG und Volkswagen AG.232 Das heißt, in den effizienten Portfolios sind zusätzlich jeweils zwei Aktien aus den Sektoren Banks & Financial Services, Chemicals & Pharma, Software & Technology und Automobile & Transportation sowie jeweils eine aus den Sektoren Machinery & Industrial und Insurance enthalten. Die folgenden Aktien werden mit steigender Renditeerwartung nicht mehr berücksichtigt: KarstadtQuelle AG, Linde AG, Lufthansa AG, Schering AG, Commerzbank AG, Veba AG, RWE AG, TUI AG233, Hamborner AG, VIAG AG, IVG Immobilien AG und Bayer AG. Die Anzahl der Unternehmen in den effizienten Portfolios sinkt somit in den Sektoren Commercial & Retail, Machinery & Industrial, Automobile & Transportation, Banks & Financial Services jeweils um einen Wert, in den Sektoren Chemicals & Pharma sowie Immobilienaktien um zwei Werte, im Sektor Utilities & Telecommunication um drei Werte. Bei Betrachtung der Stückzahlen nehmen vor allem der Sektor Utilities & Telecommunication und die Immobilienaktien ab, während die Sektoren Banks & Financial Services, Software & Technology und Automobile & Transportation an Gewicht zunehmen. 232

233

In Corner-Portfolio 2 in Tab. 17 wird als letzter Wert die BMW AG aufgenommen. Dies ist auf Rundungsfehler im Algorithmus zurückzuführen. Vgl. Markowitz, Todd (2000). Obwohl die effizienten Portfolios diese Aktie im Renditeintervall zwischen 3,05 % p.m. (Corner-Portfolio 14) und 3,18 % p.m. (Corner-Portfolio 4) nochmals enthalten, ist sie kein Bestandteil des renditemaximierenden Portfolios.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

11.4.1.3.

183

Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung

Das naive gleich gewichtete Portfolio hat eine Renditeerwartung von 2,17 % p.m. Das GG-Portfolio liegt dabei auf dem Segment zwischen den Corner-Portfolios 33 und 34. Aus Tab. 18 ist zu entnehmen, dass es sich zu je 10 % aus den Immobilienaktien der GAG Immobilien AG, Hamborner AG, IVG Immobilien AG, WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG und den Aktien aus dem Sektor Utilities & Telecommunication der Veba AG, VIAG AG und der RWE AG zusammensetzt. Darüber hinaus sind die Aktien der BASF AG, HypoVereinsbank AG, Commerzbank AG, KarstadtQuelle AG, Linde AG, Lufthansa AG, SAP AG, Schering AG, TUI AG und Mannesmann AG mit einem Anteil von weniger als 10 % enthalten. Bei der erwarteten Portfoliorendite von 2,17 % p.m. entspricht die Standardabweichung im GG-Portfolio 3,64 %. Die Renditeerwartung des DAX entspricht 2,19 % p.m., so dass auch das DAXäquivalente Portfolio im gleichen Segment wie das GG-Portfolio liegt. Es unterscheidet sich vom GG-Portfolio weder in der Zusammensetzung noch durch die Aktien mit einem Anteil von 10 % im Portfolio, sondern ausschließlich in der Gewichtung einzelner Aktien, deren Anteil kleiner als 10 % ist. So haben die Aktien der BASF AG, HypoVereinsbank AG, SAP AG und Mannesmann AG ein etwas höheres Gewicht, die Aktien der Commerzbank AG, KarstadtQuelle AG, Linde AG, Lufthansa AG, Schering AG und TUI AG ein etwas geringeres Gewicht als im GG-Portfolio. Die Standardabweichung des DAX-äquivalenten Portfolios entspricht 3,65 % und ist nur geringfügig höher als im GG-Portfolio. Das Portfolio mit der höchsten Renditeerwartung besteht aus den Aktien der folgenden Gesellschaften: GAG Immobilien AG, WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG, BASF AG, HypoVereinsbank AG, Dresdner Bank AG, Münchener Rückversicherungsgesellschaft AG, SAP AG, Siemens AG, Mannesmann AG und Volkswagen AG. Die Renditeerwartung entspricht 3,19 % p.m. bei einer Standardabweichung von 6,06 %. Im Vergleich zum MinimumVarianz-Portfolio ist die Gewichtung der Sektoren Banks & Financial Services und Software & Technology wesentlich höher, der Anteil der Sektoren Utilities & Telecommunication sowie der Anteil der Immobilienaktien wesentlich geringer.

Commerzbank AG

BMW AG

Bayer AG

BASF AG

Allianz AG

WCM Beteiligungs- und Grundb

IVG Immobilien AG

Hamborner AG

GAG Immobilien AG

a2

a1

a0

σPF

µPF

CP Num

-4,51

Degussa AG

-2,06 -1,61 -1,24 -1,22 -5,06 -1,61 -1,17 -1,06 -1,02 -1,31 -0,46 -0,53 -0,55 -0,73 -0,61 -0,59 -0,38 -0,16 -0,14 -0,19 -0,71 -0,17 -0,18 -0,19

Deutsche Bank AG

0,07

Dresdner Bank AG 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 7,2 5,8 0,8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,2 5,6 7,0 8,0 8,7 9,8 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Veba AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Henkel KGaA

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,7 3,3 3,6 4,1 4,6 4,9

KarstadtQuelle AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,6 0,9 1,2 1,9 2,0 2,4 2,5 4,0 4,1 4,2 5,0 5,6 5,6 5,7 5,8 5,8

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,4 0,6 3,7 6,7 7,4 8,3 9,3 9,8

Linde AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 1,1 1,1 1,7 2,1 2,1 2,1 2,2 2,1

Lufthansa AG

0,03 0,02 0,02 0,02 0,07 0,02 0,02 0,01 0,01 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,0 7,5 7,5 7,5 7,2 6,6 5,0 4,4 3,8 3,5 3,3 3,3 3,2 3,2 2,3 2,2 2,2 1,7 1,0 0,6 0,4 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

MAN AG

0,0 0,0 0,0 6,5 5,2 4,3 2,5 1,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,2 7,9 5,8 5,8 5,8 5,3 4,5 2,3 1,5 0,7 0,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Münchener Rückvers. AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 7,4 6,5 5,5 5,1 4,8 4,7 4,6 4,5 3,2 3,0 3,0 2,2 1,0 0,4 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,2 2,5 6,9 8,3 9,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

RWE AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,0 7,7 7,5 6,8 6,6 2,8 2,4 2,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

SAP AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,8 7,4 6,7

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,2 2,7 2,8 2,9 4,4 5,6 5,7 6,0 6,2 6,3

Schering AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,2 5,9 7,1 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 6,8 6,7 6,7 5,9 4,7 1,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Siemens AG

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,8 3,2 9,9 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

ThyssenKrupp AG

10,0 147463,53 10,0 10,0 9232,75 10,0 2049,18 10,0 4475,36 10,0 288,96 10,0 197,28 10,0 131,95 10,0 145,30 10,0 175,77 10,0 387,43 10,0 10,0 79,75 10,0 10,0 39,40 10,0 32,08 10,0 25,82 10,0 25,43 10,0 92,16 10,0 32,26 10,0 24,59 10,0 22,64 10,0 21,92 10,0 27,33 10,0 11,16 10,0 12,59 10,0 12,93 10,0 16,43 10,0 14,15 10,0 13,79 10,0 9,38 10,0 4,67 10,0 4,33 10,0 5,46 10,0 18,89 10,0 4,96 10,0 5,17 10,0 5,35 10,0

0,0 0,0 0,0 0,0 4,8 5,7 5,4 5,7 5,4 3,2 3,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,4 0,6 1,6 1,9 1,9 2,1 2,5 2,6 3,0 3,0 4,0 4,0 4,0 4,5 4,7 4,6 4,6 4,6 4,5

TUI AG

-586,72 -129,20 -283,32 -17,47 -11,67 -7,57 -8,40 -10,27 -23,22

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,7 6,0 7,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

VIAG AG

-9403,99

10,0 10,0 Bayer AG 10,0 10,0 BMW AG + 10,0 10,0 Volkswagen AG 10 % + 10,0 3,5 TUI AG 10,0 0,0 Volkswagen AG + 10,0 0,0 IVG Immobilien AG 10,0 0,0 Dresdner Bank AG 10 % + 10,0 0,0 VIAG AG 10,0 0,0 Bayer AG + 10,0 0,0 IVG Immobilien AG 10 % 10,0 0,0 Dresdner Bank AG + 10,0 0,0 VIAG AG 10 % 10,0 0,0 Hamborner AG 10,0 0,0 TUI AG + 10,0 0,0 Münchener Rück AG 10 % + 10,0 0,0 HVB AG 10 % + 10,0 0,0 Siemens AG 10 % + 10,0 0,0 TUI AG 10,0 0,0 Hamborner AG 10 % 10,0 0,0 RWE AG 10,0 0,0 Veba AG 10,0 0,0 BASF AG 10 % + 10,0 0,0 Commerzbank AG 10,0 0,0 Siemens AG + 10,0 0,0 SAP AG 10 % + 10,0 0,0 RWE AG 10 % 10,0 0,0 Münchener Rück AG + 10,0 0,0 Veba AG 10 % 10,0 0,0 Schering AG 10,0 0,0 Lufthansa AG 10,0 0,0 Linde AG 10,0 0,0 Mannesmann AG 10 % + 9,8 0,0 KarstadtQuelle AG 5,1 0,0 SAP AG + 0,0 0,0 Mannesmann AG + 0,0 0,0 WCM Bet.- u. Grdstk.-AG 10 % + 0,0 0,0 BASF AG + 0,0 0,0 HVB AG + 0,0 0,0

Mannesmann AG

9,32 2,04 4,49 0,27 0,18 0,11 0,12 0,15 0,35

Volkswagen AG

149,93

Änderung in den CPs

1 3,19% 6,06% 2 3,19% 6,06% 3 3,19% 6,06% 4 3,18% 5,97% 5 3,18% 5,90% 6 3,18% 5,89% 7 3,16% 5,80% 8 3,13% 5,61% 9 3,12% 5,49% 10 3,07% 5,23% 11 3,06% 5,19% 12 3,05% 5,14% 13 3,05% 5,14% 14 3,05% 5,14% 15 3,05% 5,14% 16 3,03% 5,10% 17 3,00% 4,98% 18 2,88% 4,65% 19 2,88% 4,64% 20 2,88% 4,64% 21 2,86% 4,59% 22 2,83% 4,51% 23 2,71% 4,24% 24 2,66% 4,16% 25 2,64% 4,12% 26 2,60% 4,06% 27 2,55% 3,99% 28 2,54% 3,98% 29 2,52% 3,95% 30 2,52% 3,94% 31 2,40% 3,82% 32 2,38% 3,80% 33 2,38% 3,79% 34 2,13% 3,61% 35 1,94% 3,52% 36 1,92% 3,52% 37 1,86% 3,51% 38 1,79% 3,50% 39 1,76% 3,50% Aktiengewichte in %

184 TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

Bayerische HypoVereinsbank AG

Quelle:

Eigene Berechnung, unter Verwendung des Programmcodes von Todd (2000)

Tab. 17:

Corner-Portfolios im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell II)

c 1:

a1:

0,231

0,016

σPF

3,65% µPF: 2,19% Gewichtung in %:

a2:

c 0:

0,002

-0,141 4,330

a0:

10,0

10,0

10,0

10,0

0,100 0,000

10,0

10,0

0,100 0,000

0,000 0,000

2,3

2,4

0,005 0,750

0,0

0,0

0,000 0,000

1,8

1,8

0,006 0,478

0,0

0,0

0,000 0,000

C o m m e rz b a n k A G

10,0

4,9

4,8

0,068 0,000 -0,798 0,000

0,000 0,000

D re s d n e r B a n k A G

0,000 0,000

0,000 0,000

10,0

0,100 0,000

10,0

0,100 0,000

V eba A G

0,100 0,000

D e u ts c h e B a n k A G

0,000 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Henk el K G aA

10,0

Degus s a A G

0,068 0,000 -0,798 0,000

3,2

1,7

1,3

2,9

1,6

0,052 0,101 0,031 0,000 -1,596 -2,938 -0,610 0,000

1,4

0,052 0,101 0,031 0,000 -1,596 -2,938 -0,610 0,000

K a rs ta d tQ u e lle A G

0,100 0,000

BMW AG

0,000 0,000

L in d e A G

α* β*

B a y e ris c h e H y p o V e re in s b a n k A G

0,006 0,478

L u fth a n s a A G

DAX-äquivalentes Portfolio

B ay er A G

0,000 0,000

MAN AG

0,231

BASF AG

0,005 0,750

0,000 0,000

0,000 0,000

M ü n c h e n e r R ü c k ve rs . AG

c 1:

A llia n z A G

0,000 0,000

10,0

0,100 0,000

10,0

0,100 0,000

RW E AG

-0,141 4,330

W C M B e te ilig u n g s u n d G ru n d b e s itz -A G

0,100 0,000

4,2

0,0

0,5

4,1

0,0

-0,047 0,076 0,000 2,153 -1,431 0,000

0,3

-0,047 0,076 0,000 2,153 -1,431 0,000

SAP AG

3,64% µPF: 2,17% Gewichtung in %:

IV G Im m o b ilie n A G

0,100 0,000

S c h e rin g A G

σPF

H a m b o rn e r A G

0,100 0,000

S ie m e n s A G

a2:

G A G Im m o b ilie n A G

0,100 0,000

0,000 0,000

0,000 0,000

Th y s s e n K ru p p A G

a1:

0,016

10,0

4,4

10,0

0,056 0,100 -0,484 0,000

4,5

0,056 0,100 -0,484 0,000

TU I A G

c 0:

V IA G A G

0,002

0,0

6,2

0,0

-0,047 0,000 4,477 0,000

5,8

-0,047 0,000 4,477 0,000

M annes m ann A G

a0:

V o lk s w a g e n A G

α* β*

GG-Portfolio

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 18:

DAX-äquivalentes und GG-Portfolio im Januar 2000 (Anlageuniversum II, Modell II)

185

186

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

11.4.2.

Die Zusammensetzung bei revolvierender Restrukturierung

In der ersten Halteperiode sinkt der Anteil der Immobilienaktien in den effizienten Portfolios mit steigender Renditeerwartung. Auch die zusätzliche Aufnahme der Deutschen Beamtenvorsorge Immobilienholding AG in der sechsten Halteperiode (einschließlich Juni 2000) und die Auswechslung einzelner Standardwerte haben hierauf keinen Einfluss. Die Schätzer für die Rendite µ PF und das Risiko σ PF des Minimum-Varianz-, des GG-, des DAX-äquivalenten und des renditemaximierenden Portfolios sind für die 36 Halteperioden in Anhang VII dargestellt. In der folgenden Tab. 19 sind nur die minimalen und maximalen Renditeerwartungen und Standardabweichungen der Portfolios in allen Halteperioden aufgeführt. Sie unterscheiden sich von den bisher betrachteten Strategien entweder modell-bedingt oder durch das differierende Anlageuniversum. Von daher resultieren andere Erwartungswerte und Standardabweichungen für die Portfolios in den einzelnen Halteperioden.234 Minimum Maximum Durchschnitt

Minimum-Varianz-PF µPF σPF 0,31% 2,83% 1,78% 3,50% 1,14% 3,12%

DAX-äquiv. PF µPF σPF 0,31% 3,02% 2,49% 3,91% 1,51% 3,36%

GG-PF µPF σPF 0,31% 3,08% 2,19% 3,64% 1,54% 3,38%

rend.max PF µPF σPF 1,05% 5,45% 3,30% 7,65% 2,48% 6,55%

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 19:

Renditeerwartung und Risiko (Anlageuniversum II, Modell II)

11.4.2.1.

Das Minimum-Varianz-Portfolio

Im Vergleich zu den effizienten Portfolios aus Anlageuniversum I235 ist die erwartete Portfoliorendite des Minimum-Varianz-Portfolios im Minimum um vier Basispunkte höher und im Maximum um 23 Basispunkte geringer. Das Risiko des Portfolios mit Immobilienaktien ist jedoch bedeutend geringer. Die Standardabweichung bewegt sich zwischen 2,83 % im Minimum und 3,50 % im Maximum. Ohne Immobilienaktien liegt die Standardabweichung zwischen 3,88 % und 4,70 %. Die Anzahl der im Portfolio enthaltenen Werte schwankt im Anlageuniversum mit Immobilienaktien zwischen 13 und 21 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz bewegt sich zwischen 34,7 % und 50,4 %. 234

235

Vgl. Tab. 10 für Anlageuniversum I im Modell I, Tab. 13 für Anlageuniversum II Modell I und Tab. 16 für Anlageuniversum I im Modell II. Die Renditeerwartung und das Risiko in allen Halteperioden sind für Modell I in Anhang IV und Anhang V, für Modell II in Anhang VI und Anhang VII tabelliert. Vgl. Tab. 16 in Kapitel 11.3.2.

Anteil im Portfolio

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Halteperiode

Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG

GAG Immobilien AG

Hamborner AG

IVG Immobilien AG

WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG

Bayerische HypoVereinsbank AG

Commerzbank AG

Deutsche Bank AG

MLP AG

Dresdner Bank AG

Metro AG

Adidas-Salomon AG

Henkel KGaA

KarstadtQuelle Ag

Münchener Rückvers. AG

Allianz AG

Schering AG

Altana AG

BASF AG

Fresenius Medical Care AG

Bayer AG

Degussa AG

Siemens AG

SAP AG

ThyssenKrupp AG

Linde AG

MAN AG

VIAG AG

E.ON (später Veba AG)

RWE AG

Volkswagen AG

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

Lufthansa AG

BMW AG

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios 187

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 30:

Minimum-Varianz-Portfolio in 36 Halteperioden (Anlageuniversum II, Modell II)

Jan 00 Feb 00 Mrz 00 Apr 00 Mai 00 Jun 00 Jul 00 Aug 00 Sep 00 Okt 00 Nov 00 Dez 00 Jan 01 Feb 01 Mrz 01 Apr 01 Mai 01 Jun 01 Jul 01 Aug 01 Sep 01 Okt 01 Nov 01 Dez 01 Jan 02 Feb 02 Mrz 02 Apr 02 Mai 02 Jun 02 Jul 02 Aug 02 Sep 02 Okt 02 Nov 02 Dez 02

188

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

In Abb. 30 sind die Aktien wiederum nach der Zugehörigkeit zu den Sektoren gemäß Sektordefinition der Deutschen Börse AG markiert.236 Durch die Aufnahme der Immobilienaktien in das Anlageuniversum haben die Immobilienaktien im Modell I einen Anteil im Minimum-Varianz-Portfolio von bis zu 65,3 %.237 Durch die zusätzliche 10 %-Restriktion reduziert sich der Anteil und schwankt nur noch zwischen 33,6 % und 41,9 %. In Abhängigkeit von der Halteperiode sind vier oder fünf Immobilienaktien im Anlageuniversum berücksichtigt. Die Hamborner AG und die IVG Immobilien AG sind in allen 36 Halteperioden und die Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG in ihrem gesamten Erfassungszeitraum mit dem Maximalanteil von 10 % im Minimum-Varianz-Portfolio enthalten. Hingegen ist in Abb. 30 in Verbindung mit Anhang XI erkenntlich, dass die Anteile der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG in jeder Halteperiode und die der GAG Immobilien AG ab März 2000 unterhalb der Maximalgrenze von 10 % des Anlagevermögens liegen.238 11.4.2.2.

Das renditemaximierende Portfolio und weitere Portfolios bei Vorgabe einer Renditeerwartung

Die minimale und die maximale Renditeerwartung im naiv gleich gewichteten Portfolio aus Anlageuniversum II ist, wie bereits in Kapitel 11.2.2.2 dargelegt, größer als im Anlageuniversum ohne Immobilienaktien. Die Standardabweichung der effizienten GG-Portfolios fällt jedoch im Anlageuniversum mit Immobilienaktien im Minimum um 95 Basispunkte und im Maximum um 112 Basispunkte geringer aus. Die Anzahl der enthaltenen Werte schwankt zwischen 14 und 21 Aktien. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz bewegt sich zwischen 33,3 % und 47,6 %. Die maximale Renditeerwartung im DAX-äquivalenten Portfolio ist wiederum bei beiden Opportunity Sets identisch. Die minimale Renditeerwartung in dieser Strategie entspricht der minimalen Renditeerwartung des Minimum-VarianzPortfolios. Dies resultiert aus dem Umstand, dass das DAX-äquivalente Portfolio gegen Ende 2002 dem Minimum-Varianz-Portfolio gleichgesetzt wird. In dieser Periode ist die Renditeerwartung des DAX kleiner als die Renditeerwartung des Minimum-Varianz-Portfolios. Im Vergleich zum DAX-äquivalenten Portfolio aus Standardwerten ist die Standardabweichung im Anlageuniversum mit Immobilienaktien geringer, sie schwankt zwischen 3,02 % und 3,91 % statt zwischen 4,01 %

236 237 238

Vgl. Anhang I. Vgl. Kapitel 11.2.2.1. Vgl. die Zusammensetzung der Minimum-Varianz-Portfolios unter Anwendung von Modell II im Anlageuniversum II in Anhang XI.

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

189

und 5,33 % wie in den Portfolios aus Standardwerten239. Im Portfolio sind zwischen 14 und 21 Aktien enthalten. Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz bewegt sich zwischen 33,1 % und 50,4 %. Die renditemaximierenden Portfolios unterscheiden sich in beiden Opportunity Sets. In Anlageuniversum II ist sowohl das Minimum mit 1,05 % p.m. als auch das Maximum mit 3,3 % p.m. größer als im Anlageuniversum I.240 Die Ursache liegt in der unterschiedlichen Zusammensetzung des renditemaximierenden Portfolios in Anlageuniversum I und II. In den zehn Aktien sind ein oder zwei Immobilienaktien enthalten.241 Der Anteil der marktunabhängigen Varianz an der gesamten Portfoliovarianz schwankt zwischen 14,6 % und 26,1 %. 11.4.3.

Vergleich der Asset Allocation

Die Gewichtung der einzelnen Aktien innerhalb des Minimum-Varianz-, des DAX-äquivalenten, des GG- und des renditemaximierenden Portfolios ist Anhang XI zu entnehmen. In der Abb. 30 auf Seite 187 ist die Gewichtung des MinimumVarianz-Portfolios in den 36 Halteperioden dargestellt. Der unterschiedliche Anteil von Immobilienaktien im Minimum-VarianzPortfolio, im DAX-äquivalenten Portfolio, im GG-Portfolio und im renditemaximierenden Portfolio ist in Abb. 31 grafisch dargestellt. Im Ergebnis ist im Modell II zu erkennen, dass die Portfolios mit geringerer Renditeerwartung einen höheren Anteil an Immobilienaktien als das renditemaximierende Portfolio aufweisen. Der Anteil der Immobilienaktien bewegt sich im Minimum-VarianzPortfolio zwischen 33,6 % und 41,9 %, im GG-Portfolio von 34,2 % bis 48,9 %, im DAX-äquivalenten Portfolio von 34,2 % bis 42,8 % und in den Portfolios mit der höchsten Renditeerwartung zwischen 10 % und 20 %. In der Halteperiode Juni 2000 ist ein sprunghafter Anstieg des Anteils der Immobilienaktien im Minimum-Varianz- und GG-Portfolio zu erkennen. Dies ist auf die Hinzunahme der Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG zurückzuführen. Ansonsten resultieren die Anteilsschwankungen aus geänderten Erwartungen bezüglich der Rendite und der geschätzten Standardabweichungen. Das Gewicht der Immobilienaktien ist im Minimum-Varianz-Portfolio größtenteils in den Halteperioden bis Mai 2002 bzw. bis Juli 2002 geringer als im DAX239 240

241

Vgl. Tab. 16 in Kapitel 11.3.2. Die minimale erwartete Portfoliorendite des renditemaximierenden Portfolios im Anlageuniversum aus Standardwerten beträgt 0,91 % p.m., die maximale 2,91 % p.m. Vgl. Tab. 16 in Kapitel 11.3.2. Größtenteils sind die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG und die GAG Immobilien AG in diesem Portfolio enthalten. In den letzten drei Halteperioden sind die GAG Immobilien AG und die IVG Immobilien AG in diesem Portfolio enthalten. Vgl. die Zusammensetzung des renditemaximierenden Portfolios im Anlageuniversum aus Standardwerten und Immobilienaktien in Anhang XI.

190

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

äquivalenten bzw. GG-Portfolio. Obwohl die Aktie der Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG im DAX-äquivalenten sowie im GG-Portfolio unter 10 % sinkt, steigt der Immobilienaktienanteil in diesen Portfolios auf Grund der höheren Gewichtung der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG. Per Saldo resultiert hieraus eine höhere Gewichtung der Immobilienaktien im DAXäquivalenten und GG-Portfolio als im Minimum-Varianz-Portfolio. Im renditemaximierenden Portfolio ist hingegen ihr Anteil deutlich auf maximal 20 % gesunken. 50% 40% 30% 20% 10%

Jan 00 Feb 00 Mrz 00 Apr 00 Mai 00 Jun 00 Jul 00 Aug 00 Sep 00 Okt 00 Nov 00 Dez 00 Jan 01 Feb 01 Mrz 01 Apr 01 Mai 01 Jun 01 Jul 01 Aug 01 Sep 01 Okt 01 Nov 01 Dez 01 Jan 02 Feb 02 Mrz 02 Apr 02 Mai 02 Jun 02 Jul 02 Aug 02 Sep 02 Okt 02 Nov 02 Dez 02

0%

MV-PF

GG-PF

DAX-äquiv. PF

rend.max PF

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 31:

Anteil der Immobilienaktien in effizienten Portfolios (Modell II, 36 Halteperioden)

Ab Juni 2002 setzen sich das Minimum-Varianz- und das DAX-äquivalente Portfolio und ab Oktober 2002 auch das GG-Portfolio identisch zusammen. Dies ist auf die geringe Renditeerwartung für den DAX und das naiv gleich gewichtete Portfolio zurückzuführen. Diese ist kleiner als die erwartete Rendite für das Minimum-Varianz-Portfolio. In diesen Fällen wird die Gewichtung der Aktien aus dem Minimum-Varianz-Portfolio übernommen. Neben den Immobilienaktien sind vor allem die Sektoren Utilities & Telecommunication, Chemicals & Pharma sowie Machinery & Industrials im Minimum-Varianz-Portfolio, DAX-äquivalenten Portfolio und GG-Portfolio vertreten. Der Anteil der Sektoren Machinery & Industrial sowie Utilities &

11. Die Zusammensetzung ex ante effizienter Portfolios

191

Telecommunication sinkt jedoch, je höher die erwartete Portfoliorendite und gleichzeitig das Portfoliorisiko steigen. In diesem Fall nimmt der Anteil des Sektors Chemicals & Pharma zu. 100% 12,1%

0,1%

0,9%

5,2%

5,8%

90% 80%

50% 40%

2,0% 4,6% 0,5% 13,4% 9,3%

20,9%

4,0% 3,2% 5,2%

3,4% 3,1% 5,0%

20,3%

13,7%

15,0%

10,6%

13,6%

6,9%

12,2%

6,8%

0,6% 0,0%

6,1%

8,6% 13,6%

Software & Technology Machinery & Industrials Utilities & Telecommunication Banks & Financial Services Automobile & Transportation Insurance Chemicals & Pharma Consumer & Retail IAG

14,9%

30% 20%

10,4%

21,3% 21,7%

70% 60%

6,8% 20,0%

15,8% 36,5%

41,2%

38,9%

10%

3,1%

8,7%

17,5%

16,5%

rend.max PF

naives GG-PF

0% MV-PF

GG-PF

DAX-äqui. PF

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 32:

Zusammensetzung der Portfolios bei revolvierender Restrukturierung (Anlageuniversum II, Modell II)

Im Vergleich zum naiv gleich gewichteten Portfolio ist zu erkennen, dass im Minimum-Varianz-Portfolio neben den Immobilienaktien die Werte aus den Sektoren Utilities & Telecommunication, Retail & Consumer und Machinery & Industrials mit überdurchschnittlich hohem Anteil enthalten sind. Im GG-Portfolio sind die Unternehmen der Sektoren Machinery & Industrials sowie Retail & Consumer nur noch unterdurchschnittlich vertreten. Im Unterschied zu diesen vergleichsweise risikoaversen Portfolios sind in den renditemaximierenden Portfolios neben den Immobilienaktien die Unternehmen aus den Sektoren Software & Technology, Banks & Financial Services, Insurance und Chemicals & Pharma überdurchschnittlich enthalten. Der Anteil der Immobilienaktien fällt jedoch deutlich kleiner als in den anderen effizienten Portfolios aus. Er resultiert

192

TEIL III: Bestimmung ex ante effizienter Portfolios

aus den hohen Renditeerwartungen gegenüber der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG und der GAG Immobilien AG.242

242

Für diese Aktien ergaben sich hohe Schätzer für die aktienspezifischen Renditen. Insgesamt ist die Renditeerwartung für diese Aktien unabhängig von der erwarteten Marktrendite hoch.

12. Vergleichbarkeit der effizienten Portfolios ex post

193

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post 12. Vergleichbarkeit der effizienten Portfolios ex post In Kapitel 11 wurden zunächst die erwartete Rendite und das Risiko im MinimumVarianz-Portfolio, im DAX-äquivalenten Portfolio, im GG-Portfolio und im Tangential- bzw. renditemaximierenden Portfolio geschätzt und die Asset Allocation in den Portfolios bestimmt. Die Asset Allocation erfolgte im ersten Schritt mit Anlageuniversum I ohne Immobilienaktien und danach mit Anlageuniversum II mit Immobilienaktien. Da das Ein-Index-Modell auf Renditeerwartungen und Risiken beruht, ist ex post die tatsächliche Entwicklung der Portfoliostrategien zu überprüfen. Dabei sind die Renditen und die Volatilitäten der Portfoliostrategien aus Anlageuniversum I mit den Portfoliostrategien aus Anlageuniversum II zu vergleichen. Die Strategie auf der Grundlage der revolvierenden Restrukturierung des Minimum-Varianz-Portfolios stellt ex ante die Strategie mit dem kleinsten Risiko dar. Die Strategien mit dem höchsten Risiko basieren im Modell I auf dem Tangential-Portfolio und im Modell II auf dem renditemaximierenden Portfolio. Das Risiko der Strategien, basierend auf dem DAX-äquivalenten und dem GG-Portfolio, liegt zwischen diesen Extremen. Sofern Immobilienaktien ein zusätzliches Diversifikationspotenzial darstellen, müssten die Portfolios aus Anlageuniversum II eine geringere Volatilität als die vergleichbaren Strategien im Anlageuniversum I aufweisen. Gleichzeitig sind die Portfolios aus beiden Opportunity Sets nur dann exakt vergleichbar, wenn sie die gleiche Renditeerwartung aufzeigen. Die zusätzliche Diversifikation lässt sich dann, wie in Abb. 33 dargestellt, durch die Differenz des Portfoliorisikos messen. Die gleiche Renditeerwartung in Anlageuniversum I und II weisen jedoch nur die Portfoliostrategien auf der Basis des DAX-äquivalenten Portfolios auf. In allen anderen Strategien weichen sie voneinander ab.

Rend.max PF

Naives DAX PF

Naives GG-PF Naives GG-PF GG-PF

MV-PF MV-PF

Rend.max PF

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Risiko

194

DAX-äquiv. PF

DAX-äquiv. PF GG-PF

Effizienzkurve aus Standardwerten

E(r)

Mögliche Effizienzkurve aus Standardwerten und Immobilienaktien

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 33:

Effiziente Ränder aus Anlageuniversum I und II

Die möglichen Abweichungen sowie die unterschiedlichen Ausprägungen des effizienten Randes in Anlageuniversum I und II sind in Abb. 34 skizziert. Aus Abb. 34a) geht hervor, dass im Minimum-Varianz-Portfolio mit Immobilienaktien die erwartete Rendite geringer, gleich oder höher als ohne Immobilienaktien sein kann. Es hat jedoch grundsätzlich ein geringeres Risiko, da Anlageuniversum II das Anlageuniversum I nur ergänzt. Hingegen kann im renditemaximierenden Portfolio gemäß Abb. 34b) die erwartete Rendite im Anlageuniversum II entweder gleich oder größer sein als in den renditemaximierenden Portfolios aus Anlageuniversum I. Das Risiko kann dabei sowohl kleiner als auch größer ausfallen. In Abb. 34c) ist zu erkennen, dass nur im DAXäquivalenten Portfolio die gleiche Renditeerwartung in beiden Investment Opportunity Sets vorliegt. Ebenso geht daraus hervor, dass im GG-Portfolio die gleiche Rendite wie im naiv gleich gewichteten Portfolio des jeweiligen Anlageuniversums zu erwarten ist. Dabei sollte das Risiko im GG-Portfolio mit Immo-

12. Vergleichbarkeit der effizienten Portfolios ex post

195

a) Minimum-Varianz-Portfolio

b) renditemaximierendes Portfolio

Risiko

Risiko

bilienaktien kleiner sein als im GG-Portfolio ohne Immobilienaktien. Dies gilt unabhängig von der Volatilität der naiven Portfolios. Abb. 34d) zeigt, dass im Tangential-Portfolio fast alle Konstellationen denkbar sind. Allein die Alternative einer gleichen bzw. kleineren Renditeerwartung mit größerem Risiko in Anlageuniversum II gegenüber Anlageuniversum I ist nicht möglich.

rend.max PF

MV-PF

E(r) Effizienzkurve aus Standardwerten Mögliche Effizienzkurven aus Standardwerten und Immobilienaktien

E(r) Effizienzkurve aus Standardwerten Mögliche Effizienzkurven aus Standardwerten und Immobilienaktien

d) Tangential-Portfolio

Risiko

Naives DAX PF

Naives GG-PF aus Standardwerten Naives GG-PF mit Immobilienaktien

Risiko

c) GG- und DAX-äquiv. Portfolio

T PF GG-PF DAX-äquiv. PF GG-PF E(r) Effizienzkurve aus Standardwerten Mögliche Effizienzkurven aus Standardwerten und Immobilienaktien

E(r) Effizienzkurve aus Standardwerten Mögliche Effizienzkurven aus Standardwerten und Immobilienaktien

Quelle:

Eigene Darstellung

Abb. 34:

Effiziente Portfolios mit Anlageuniversum I und II

Ex ante werden die Renditen im Marktmodell als Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ i in Abhängigkeit von der Marktrendite und dem Risiko σ i bzw. σ i2 aufgefasst. Der Investor trifft seine Anlageentscheidung unter Berücksichtigung des Risikos und der Renditeerwartung. Entsprechend können die Strategien nicht allein durch die erzielte Rendite, sondern müssen unter Berücksichtigung des Risikos beurteilt werden. Dies kann mit Hilfe der zweidimensionalen Performancemessung erfolgen. Hierunter fallen unter anderem das ex

196

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

post Alpha bzw. die Differenzrendite243, die Reward-to-Volatility Ratio244 und die Reward-to-Variability Ratio245. Die Reward-to-Volatility Ratio und das ex post Alpha bzw. die Differenzrendite führen zum gleichen Ergebnis, solange eine Outoder Underperformance gegenüber dem Markt dargestellt werden soll. Bei der Bestimmung des ex post Alpha lassen sich hingegen weitere wichtige Informationen gewinnen, so dass im Folgenden dieses Performancemaß und die Rewardto-Variability Ratio bestimmt werden.

243

244

245

Das ex post Alpha wird in der Literatur auch als Jensen-Alpha bezeichnet, da es durch Michael C. Jensen in seinem Artikel „The Performance of Mutual Funds in the Period 1945 - 1964“ entwickelt wurde. Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 839 Fußnote 5, mit Verweis auf Jensen (1968), S. 389 - 416. Die Reward-to-Volatility Ratio wird in der Literatur auch als Treynor-Maß bezeichnet, da sie durch Jack L. Treynor in seinem Artikel „How to Rate Management of Investment Funds“ entwickelt wurde. Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 843, Fußnote 9, mit Verweis auf Treynor (1965), S. 63 - 75. Die Reward-to-Variability Ratio wird in der Literatur auch als Sharpe-Maß bezeichnet, da sie durch William F. Sharpe in seinem Artikel „Mutual Fund Performance“ entwickelt wurde. Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 844, Fußnote 10, mit Verweis auf Sharpe (1966), S. 119 - 138.

13. Zweidimensionale Performancemessung

197

13. Zweidimensionale Performancemessung 13.1.

Das ex post Alpha bzw. die Differenzrendite (JensenAlpha)

Das ex post Alpha wird in der Literatur zumeist als Jensen-Alpha bezeichnet, da es durch Jensen entwickelt wurde.246 Das Jensen-Alpha misst die Selektionsfähigkeit von Fondsmanagern im Vergleich mit einer Benchmark. In der vorliegenden Arbeit orientiert sich die Aktienselektion der Fondsmanager an den revolvierenden Restrukturierungsstratgien. Mit Hilfe der linearen Einfachregression werden die beobachteten Überschussrenditen der Fonds rPF ,t − r f ,t auf die beobachteten Überschussrenditen der Benchmark rBM ,t − r f ,t in den 36 Halteperioden regressiert. Durch die Regression werden die α JA - und die β PF -Faktoren der Fonds erhalten. (58)

rPF ,t − r f ,t = α JA + β PF (rBM ,t − r f ,t ) + ε t

Die Regressionsgerade lässt sich wie in Abb. 35 skizziert entweder als Überschussrendite des Portfolios in Abhängigkeit von der Überschussrendite der Benchmark oder als die Rendite des Portfolios in Abhängigkeit vom β -Faktor darstellen. Als Benchmark können bspw. das naiv gleich gewichtete Portfolio, der DAX oder der CDAX dienen. Sofern die Benchmark ein marktnaher Index ist, wird dieser auch weitestgehend µσ -effizient sein.247 Der β -Faktor entspricht den systematischen Risiken gegenüber dem jeweils gewählten Index. Die Benchmark selbst ist eine 45-Grad-Linie durch den Ursprung und hat einen β -Faktor von Eins. Kombinationen aus der Benchmark und dem risikolosen Zinssatz gehen ebenso durch den Ursprung, haben jedoch eine geringere Steigung als die Benchmark selbst. Eine höhere Steigung ist bei einer Kreditaufnahme zum risikolosen Zinssatz und einer Investition in das Benchmarkportfolio möglich. Bei der Kombination der risikolosen Anlage mit dem Benchmarkportfolio existieren keine unspezifischen Risiken und ε t entspricht immer Null.

246 247

Vgl. Fußnote 243 dieser Arbeit. So verwenden bspw. Sharpe, Alexander, Bailey den S&P 500 zur Schätzung der Marktrendite. Vgl. Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 837.

Rendite

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

rPF - rf

198

positiver α-Faktor

positiver α-Faktor negativer α-Faktor

negativer α-Faktor

rCDAX - rf rf

β

Quelle:

Linkes Diagramm eigene Darstellung, rechtes Diagramm in Anlehnung an Steiner, Bruns (2002), S. 611.

Abb. 35:

Zwei Darstellungen des Jensen-Alpha

Die Abweichungen in Form des Störterms ε t geben die spezifischen Risiken des jeweiligen Fonds gegenüber der Benchmark wieder. Sie treten auf, wenn das Portfolio von der Benchmark abweicht. Die Abweichungen werden bspw. bei aktiv gemanagten Fonds bewusst herbeigeführt, um eine positive Differenzrendite gegenüber der Benchmark zu erzielen. Die Steigung ist bei aktiv gemanagten Fonds kleiner Eins und geht durch den Ursprung, sofern eine defensive Strategie verfolgt wird. Ist die Steigung größer Eins, verfolgt der Portfoliomanager eine offensive Strategie. In beiden Fällen geht die „Characteristic Line“ durch den Ursprung, sofern der Fondsmanager weder positive noch negative Eigenschaften in der Titelselektion aufweist. Hat er hingegen positive bzw. negative Selektionseigenschaften, ist der α -Faktor positiv bzw. negativ. Die „Characteristic Line“ verschiebt sich dabei parallel nach oben bzw. unten. Bei einem positiven α -Faktor erzielt der Portfoliomanager ex post eine Rendite oberhalb und bei einem negativen α -Faktor unterhalb der Wertpapiermarktlinie. Die Interpretation der Ergebnisse ist bei fallenden Märkten im Rendite- β -Raum schwer nachvollziehbar, da dann negative Überschussrenditen fallende Wertpapiermarktlinien markieren. Aus diesem Grund erfolgt die Darstellung der Portfolio-Überschussrenditen in Abhängigkeit von den Überschussrenditen der Benchmark.

13. Zweidimensionale Performancemessung

199

Durch die Differenzrendite kann die Über- oder Unterlegenheit des Fondsmanagements gegenüber passiv gemanagten Fonds, die bspw. den DAX oder naive Portfolios nachbilden, beurteilt werden.

13.2.

Die Reward-to-Variability Ratio (Sharpe-Ratio)

Die Reward-to-Variability Ratio wird in der Literatur zumeist als Sharpe-Ratio bezeichnet, da sie durch Sharpe entwickelt wurde.248 Hintergrund der Sharpe-Ratio ist die Überlegung, dass nicht allein die Rendite, sondern zusätzlich auch das Risiko der Strategie ex post in der Beurteilung des Anlageerfolges zu berücksichtigen ist. Die Strategien sind unter der Annahme vergleichbar, dass eine Anlage bzw. Aufnahme zum risikolosen Zinssatz r f erfolgt und in ein riskantes Portfolio investiert wird. Je nach betrachteter Strategie werden dabei das Minimum-Varianz-Portfolio, das DAX-äquivalente Portfolio, das GG-Portfolio oder das Tangential-Portfolio bzw. das renditemaximierende Portfolio aus Anlageuniversum I und II zu Grunde gelegt. Die Sharpe-Ratio misst die Überschussrendite des Portfolios je Einheit Gesamtrisiko in Form der Standardabweichung. (59)

RVARPF =

1 n ∑ (rPF ,t − rf ,t ) n t =1

σ PF

,

wobei rPF ,t die Rendite des Portfolios und rf ,t den risikolosen Zinssatz in den n = 36 Halteperioden bezeichnet. Für rf ,t wurde der Ein-Monats-Euribor249 zum jeweiligen Zeitpunkt t verwendet. Sofern die Strategien mit Immobilienaktien höhere Sharpe-Ratios aufweisen, wird eine höhere Überschussrendite je Risikoeinheit in diesen Portfolios erzielt. Portfolios mit Immobilienaktien sind dann gegenüber den Portfolios ohne Immobilienaktien superior.

248 249

Vgl. Fußnote 245 dieser Arbeit. Vgl. Kapitel 5, S. 39.

14. Performance der Portfoliostrategien

201

14. Performance der Portfoliostrategien In den Kapiteln 14.1 und 14.2 sind die monatlichen beobachteten Portfoliorenditen und deren Volatilität in den 36 Halteperioden der jeweiligen Strategien in Modell I und II dargestellt. Die Performance der Portfoliostrategien wird mit den zweidimensionalen Performancemaßen gemessen. Dabei wird die Inferiorität bzw. Superiorität der Strategien mit Immobilienaktien überprüft. Zunächst wird die Entwicklung der revolvierenden Restrukturierung des Minimum-Varianz-Portfolios aus Anlageuniversum I und II unter Verwendung von Modell I in Kapitel 14.1.1 untersucht. Dem schließt sich in Kapitel 14.1.2 ein Überblick über die Entwicklung der riskanteren Portfoliostrategien in Form der revolvierenden Restrukturierung des GG-, DAX-äquivalenten und TangentialPortfolios an. Analog erfolgen die Untersuchungen für Modell II in Kapitel 14.2.1 und Kapitel 14.2.2.

14.1.

Modell ohne Leerverkäufe (Modell I)

Die Rendite und die Volatilität der Portfolios in Modell I für Anlageuniversum I und II sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: Standardwerte (Anlageuniversum I) Ø diskr. Rendite

MV-PF DAX-äquiv. PF GG-PF Tangential-PF DAX naiv GG naiv

-0,53% -0,63% -0,62% -0,86% -2,12% -1,10%

σ 6,12% 5,66% 5,75% 7,83% 8,14% 7,91%

Standardwerte & Immobilienaktien (Anlageuniversum II) Ø diskr. Rendite

-0,31% -0,88% -0,96% -1,83% -2,12% -1,07%

σ 3,36% 3,27% 3,56% 5,69% 8,14% 7,16%

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 20:

Volatilität und Rendite der Portfolios in den 36 Halteperioden (Anlageuniversum I und II, Modell I)

Die Ergebnisse weichen deutlich von den erwarteten Renditen sowie von den in den Schätzperioden ermittelten Portfoliovolatilitäten ab.250 Dies ist auf die starke Abweichung der beobachteten von der erwarteten Marktrendite zurückzuführen. 250

Vgl. Tab. 10 und Tab. 13.

202

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

In den 36 Halteperioden ist der CDAX als Proxy für den Markt insgesamt um durchschnittlich -1,99 % p.m. bei einer Volatilität von 7,45 % deutlich gefallen. Im nächsten Kapitel wird die Performance der Portfoliostrategien erläutert. Dabei wird zwischen risikoarmen Fonds (basierend auf der revolvierenden Restrukturierung des Minimum-Varianz-Portfolios) und riskanten Fonds (basierend auf der revolvierenden Restrukturierung des DAX-äquivalenten, des GG- sowie des Tangential-Portfolios) differenziert. 14.1.1.

Die Performance der risikoarmen Fonds

Die erklärten und beobachteten Renditen der Portfolios sind in Abb. 36 dargestellt. Die entsprechenden Portfolio-αs und Portfolio-βs sowie die nicht erklärten Abweichungen sind in Anhang XII und Anhang XIII tabelliert. Anlageuniversum I (Standardwerte)

Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

10%

10%

5%

5%

0%

0%

-5%

-5%

-10%

-10%

-15%

-15%

erklärte Portfoliorendite

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Apr 00

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

Apr 00

-20%

-20%

erklärte Portfoliorendite

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 36:

Erwartete, erklärte und beobachtete Renditen risikoarmer Fonds (Modell I)

Im Fonds mit Anlageuniversum I wird eine geringere Rendite bei einer volatileren Entwicklung als mit Anlageuniversum II erzielt. Die Rendite mit Anlageuniversum I beträgt -0,53 % p.m. (-0,72 % p.m. als geometrische Durchschnittsrendite) bei einer Volatilität von 6,12 %, mit Anlageuniversum II -0,31 % p.m. (0,37 % p.m. als geometrische Durchschnittsrendite) bei einer Volatilität von 3,36 % in den 36 Halteperioden. Die Entwicklung beider Fonds ist in Abb. 37 dargestellt. Zum Vergleich ist auch die Entwicklung auf der Basis der erklärten Portfoliorenditen abgetragen.

14. Performance der Portfoliostrategien

130%

130%

110%

110%

90%

90%

203

Dez 02

Jun 02

Sep 02

Mrz 02

Dez 01

Jun 01

Sep 01

Mrz 01

Dez 00

Jun 00

Sep 00

Dez 02

Jun 02

Sep 02

Mrz 02

Dez 01

Jun 01

Sep 01

Mrz 01

Dez 00

Jun 00

Sep 00

Mrz 00

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

Mrz 00

70%

70%

beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 37:

Entwicklung der risikoarmen Fonds (Modell I)

Tatsächlich ist bei den risikoarmen Fonds die Volatilität mit Immobilienaktien (Anlageuniversum II) geringer und die beobachtete Rendite geringfügig höher als ohne Immobilienaktien (Anlageuniversum I). Trotzdem sind die in Tab. 10 und Tab. 13 erwarteten Portfoliorenditen nicht realisiert worden. Aus Abb. 36 ist abzulesen, dass das Modell die erwarteten Portfoliorenditen weder mit Anlageuniversum I noch mit Anlageuniversum II für den Untersuchungszeitraum gut widerspiegelt. Die Erwartungswerte für die Marktrendite schwanken zwischen 0,27 % p.m. und 2,49 % p.m. Tatsächlich hatte der Markt im Untersuchungszeitraum von Anfang 2000 bis Ende 2002 ein arithmetisches Mittel von -1,99 % p.m. und eine Volatilität von 7,45 % bzw. eine Varianz von 0,56 %. Der β -Faktor des Fonds mit Anlageuniversum I wird grundsätzlich höher geschätzt als der β -Faktor des Fonds mit Anlageuniversum II. In den Schätzperioden schwankt er für die Fonds mit Anlageuniversum I zwischen 0,4326 und 0,6211, für die Fonds mit Anlageuniversum II zwischen 0,1870 und 0,4064.251 Ex post ergibt sich der β -Faktor der Fonds aus der Regressionsgleichung (58). Die „Characteristic Lines“ sind in Abb. 38 dargestellt. Der β -Faktor beträgt 0,5752 für den Fonds mit Anlageuniversum I und 0,2478 für den Fonds mit Anlageuniversum II. Der Standardfehler liegt im Fonds mit Anlageuniversum I bei 0,1003, im Fonds mit Anlageuniversum II bei 0,0644. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit rund 66,7 %, dass der wahre β -Faktor zwischen 0,4748 und 0,6754

251

Vgl. Anhang XII für Anlageuniversum I und Anhang XIII für Anlageuniversum II.

204

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

im Fonds mit Anlageuniversum I und zwischen 0,1834 und 0,3122 im Fonds mit Anlageuniversum II liegt.252 Anlageuniversum I 25%

-25%

2

R = 0,4919

rPF - rf= 0,2478(rCDAX - rf) - 0,0006

20%

R = 0,3034

15%

10%

10%

5%

5%

0% -5% -5%

-15%

25%

15%

-10% -15% -20% -25%

rCDAX - rf

5%

15%

25%

rPF - rf

rPF - rf

20%

Anlageuniversum II

rPF - rf= 0,5752(rCDAX - rf) + 0,0048

-25%

2

0% -15%

-5% -5%

5%

15%

25%

-10% -15% -20% -25% rCDAX - rf

Quelle:

Eigene Berechnung, Darstellung in Anlehnung an Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 841.

Abb. 38:

“Characteristic Line” ex post für risikoarme Fonds (Modell I)

Das Bestimmtheitsmaß R2 ist mit 49,2 % im Fonds mit Anlageuniversum I höher als im Fonds mit Anlageuniversum II.253 In diesem Fonds sind nur 30,3 % der Renditevarianz erklärt.254 Somit sind wesentlich mehr Abweichungen im Fonds mit Anlageuniversum II nicht durch den CDAX erklärt als im Fonds mit Anlageuniversum I. Das bedeutet, dass die bereits ex ante höher eingeschätzten unsystematischen Risiken von Immobilienaktien sich auch ex post in den nicht erklärten Abweichungen des Fonds mit Anlageuniversum II wiederfinden. Selbst die größere Aktienanzahl des Fonds mit Anlageuniversum II führt nicht zur Reduktion der nicht erklärten Abweichungen, obwohl zunächst eine bessere Diversifikation der titelspezifischen Risiken zu erwarten wäre.255 Die Differenzrendite zwischen dem CDAX und dem Fonds mit Anlageuniversum I beträgt 0,48 % p.m. bzw. mit Anlageuniversum II -0,01 % p.m.256 Das könnte 252

253 254 255 256

Der Quotient

β − E (β ) ist eine t-verteilte Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeit, dass E (β ) im Intervall se(β )

⎛ β − E (β ) ⎞ ≤ 1⎟⎟ = 67,6% . zwischen [β − t ⋅ se(β ); β + t ⋅ se(β )] liegt, beträgt bei 34 Freiheitsgraden Pr⎜⎜ − 1 ≤ se(β ) ⎝ ⎠ Vgl. Anhang XII. Vgl. Anhang XIII. Vgl. Kapitel 7.2.3. Vgl. Anhang XII für Anlageuniversum I und Anhang XIII für Anlageuniversum II.

14. Performance der Portfoliostrategien

205

bedeuten, dass der Fondsmanager, der bewusst keine Immobilienaktien berücksichtigt, eine positive, hingegen derjenige, der sie einbezieht, eine negative Selektionsfähigkeit aufweist. Beide Werte sind jedoch statistisch nicht signifikant von Null verschieden, so dass diese Aussage zu relativieren ist. Bei einer Differenzrendite von Null würden beiden Fondsmanagern weder positive noch negative Selektionsfähigkeiten testiert. 0,5%

0,0% 0% Rendite p.m.

-0,5%

2%

4% 6% Fonds AU II

8%

10%

12%

Fonds AU I

-1,0%

-1,5%

-2,0%

Volatilität σ

Quelle:

Eigene Berechnung, Darstellung in Anlehnung an Scholz, Wilkens (2004), S. 5.

Abb. 39:

Sharpe-Ratio der risikoarmen Fonds (Anlageuniversum I und II, Modell I)

Aus Abb. 39 ist ersichtlich, dass die Sharpe-Ratio im Fonds mit Anlageuniversum II kleiner ausfällt als die Sharpe-Ratio im Fonds mit Anlageuniversum I. Bei gleicher Überschussrendite und gleicher Marktsensitivität fällt die Sharpe-Ratio in Baisse-Phasen, das heißt sofern negative Überschussrenditen erzielt werden, mit steigendem unsystematischem Risiko höher aus. Am Bestimmtheitsmaß ist zu erkennen, dass das unsystematische Risiko des Fonds aus Anlageuniversum II

206

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

höher ausfällt. Trotzdem ist die Sharpe-Ratio mit -0,189 geringer ausgefallen als im Fonds aus Anlageuniversum I mit -0,140. Das geringere Sharpe-Maß des Fonds mit Immobilienaktien ist vor allem auf die vergleichsweise geringere portfoliospezifische Differenzrendite zurückzuführen. Somit wird trotz der besseren Rendite und der geringeren Volatilität im Fonds mit Anlageuniversum II eine schlechtere Überschussrendite je Risikoeinheit erzielt. Ein Anleger hätte folglich besser Kombinationen aus dem risikolosen Zinssatz und dem Fonds mit Anlageuniversum I gebildet als mit dem Fonds aus Anlageuniversum II.257 14.1.2.

Die Performance offensiver Fonds

Ein anderes Bild ergibt sich in den Fonds, die eine Strategie entsprechend des DAX-äquivalenten, GG- und Tangential-Portfolios verfolgen. Die Fonds mit Anlageuniversum I haben sowohl höhere Volatilitäten (DAX-äquivalente Portfolios 5,66 %, GG-Portfolios 5,75 %, Tangential-Portfolios 7,83 %) als auch höhere Renditen (DAX-äquivalente Portfolios -0,63 % p.m., GG-Portfolios -0,62 % p.m., Tangential-Portfolios -0,86 % p.m.) als vergleichbare Fonds mit Anlageuniversum II. Bei Berücksichtigung der Immobilienaktien beträgt die Volatilität der Fonds 3,28 % beim DAX-äquivalenten Portfolio, 3,56 % beim GGPortfolio und 5,69 % beim Tangential-Portfolio. Ihre durchschnittliche monatliche Rendite ist -0,87 % p.m. (DAX-äquivalente Portfolios), -0,96 % p.m. (GGPortfolios) bzw. -1,83 % p.m. (Tangential-Portfolios). Die erwarteten, erklärten und beobachteten Renditen der Fonds sind in den sechs Diagrammen der Abb. 40, ihre Entwicklung in Abb. 41 zusammengefasst.

257

Diese Interpretation wird in der Literatur teilweise kritisiert, da es zunächst nicht ersichtlich ist, dass ein Fonds mit höherer Rendite und geringerer Volatilität schlechter als ein Fonds mit niedrigerer Rendite und höherem Risiko beurteilt wird. Dieses Phänomen wird auch als „The Negative ‚Excess Return’ Dilemma“ bezeichnet. Vgl. Wilkens, Scholz (2004), S. 6, mit Verweis auf Platinga (1999), S. 24.

14. Performance der Portfoliostrategien

auf der Basis des DAX-äquivalenten Portfolios

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

Jul 02

Ok t 02

Jan 02

Ap r 02

Jul 01

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

erklärte Portfoliorendite

Ok t 01

Jan 01

Ap r 01

Jul 00

Ok t 00

Jan 00

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

20% 15% 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20%

erklärte Portfoliorendite

auf der Basis des GG-Portfolios Anlageuniversum I (Standardwerte)

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Jan 00

Apr 00

Jul 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 02

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

erklärte Portfoliorendite

erklärte Portfoliorendite

auf der Basis des Tangential-Portfolios Anlageuniversum I (Standardwerte)

erklärte Portfoliorendite

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

Jul 02

erklärte Portfoliorendite

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 40:

Erwartete, erklärte und beobachtete Renditen riskanter Fondsstrategie (Modell I)

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Apr 00

Jan 00

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Apr 00

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

Jul 00

Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

20% 15% 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20%

20% 15% 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20%

Okt 00

c)

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Apr 00

erwartete Portfoliorendite beobachtete Portfoliorendite

Apr 01

Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

20% 15% 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20%

Jul 00

20% 15% 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20%

Okt 00

b)

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Jan 00

Apr 00

Okt 00

Anlageuniversum I (Standardwerte)

20% 15% 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20%

Ap r 00

a)

207

208

a)

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Strategie auf der Basis des DAX-äquivalenten Portfolios

160%

160%

140%

140% 120%

120%

100%

100%

80% 80%

60%

60%

Dez 02

Sep 02

Mrz 02

Jun 02

Dez 01

Sep 01

Mrz 01

Dez 00

Jun 01

Dez 02

Sep 02

Jun 02

Mrz 02

Dez 01

Sep 01

Jun 01

Mrz 01

Dez 00

Sep 00

Mrz 00

Dez 02

Sep 02

Jun 02

Mrz 02

Dez 01

40%

Sep 01

40% Jun 01

60%

Mrz 01

80%

60%

Dez 00

100%

80%

Sep 00

120%

100%

Jun 00

140%

120%

Mrz 00

160%

140%

Jun 00

Strategie auf der Basis des GG-Portfolios

160%

beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 41:

Entwicklung riskanter Fonds (Modell I)

Dez 02

Sep 02

Jun 02

Mrz 02

Dez 01

Sep 01

Jun 01

Mrz 01

Dez 00

Sep 00

Dez 02

Sep 02

Jun 02

Mrz 02

Dez 01

Sep 01

40% Jun 01

60%

40%

Mrz 01

80%

60%

Dez 00

100%

80%

Sep 00

120%

100%

Jun 00

140%

120%

Mrz 00

160%

140%

Mrz 00

Strategie auf der Basis des Tangential-Portfolios

160%

Jun 00

c)

Sep 00

Mrz 00

Dez 02

Jun 02

Sep 02

Mrz 02

Dez 01

Jun 01

Sep 01

Mrz 01

Dez 00

Jun 00

Sep 00

Mrz 00

beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

b)

Jun 00

40%

40%

14. Performance der Portfoliostrategien

209

Es ist zu erkennen, dass die Fonds mit Anlageuniversum I volatiler sind als entsprechende Fonds mit Anlageuniversum II. Darüber hinaus wird auch die höhere Volatilität der Fonds auf der Basis des Tangential-Portfolios gegenüber den Fonds auf der Basis der DAX-äquivalenten und GG-Portfolios ersichtlich. Dies ist auf die geringeren Portfolio-β’s der DAX-äquivalenten und der GGPortfolios zurückzuführen. In den Fonds mit Anlageuniversum I beträgt das ex ante geschätzte Portfolio-β des DAX-äquivalenten Portfolios zwischen 0,4326 und 0,8510, das des GG-Portfolios zwischen 0,4456 und 0,7371 und das des Tangential-Portfolios zwischen 0,5101 und 1,1863.258 Analog zu den Beobachtungen im risikoarmen Fonds sind die Portfolio-β’s somit größer als diejenigen im Anlageuniversum II. Sie schwanken mit Anlageuniversum II in den DAX-äquivalenten Portfolios zwischen 0,1964 und 0,4630, im GG-Portfolio zwischen 0,1970 und 0,4466 und im Tangential-Portfolio zwischen 0,3396 und 0,7441.259 Ex post stimmt die Rangfolge der β -Faktoren mit den ex ante geschätzten Faktoren überein. In Abhängigkeit von der verfolgten Strategie des Fonds betragen die β -Faktoren (bzw. die Standardfehler) im Anlageuniversum I260 -

auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios:

0,6137 (0,0766)

-

auf der Basis der GG-Portfolios:

0,5949 (0,0841)

-

auf der Basis der Tangential-Portfolios:

0,8077 (0,1153)

im Anlageuniversum II

261

-

auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios:

0,2774 (0,0583)

-

auf der Basis der GG-Portfolios:

0,3055 (0,0629)

-

auf der Basis der Tangential-Portfolios:

0,5596 (0,0891)

Durch die Regression wird nur ein Schätzer des wahren β -Faktors erhalten. Wie an den Standardfehlern jedoch zu erkennen ist, sind die Marktsensitivitäten der Fonds auf der Basis der DAX-äquivalenten und der GG-Portfolios sehr ähnlich. Hingegen liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von 67 % die β -Faktoren dieser beiden Strategien und der β -Faktor der Strategie auf der Basis des Tangential-

258 259 260 261

Vgl. Anhang XII. Vgl. Anhang XIII. Vgl. Anhang XII. Vgl. Anhang XIII.

210

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Portfolios innerhalb von Konfidenzintervallen262, die sich nicht überschneiden. Dies gilt sowohl für die Fonds mit Anlageuniversum I als auch für diejenigen mit Anlageuniversum II. Auf eine Abbildung der „Characteristic Lines“ wird an dieser Stelle verzichtet. Das Bestimmtheitsmaß R2 der Regression beträgt für die Fonds mit Anlageuniversum I in der DAX-äquivalenten Strategie 65,4 %, in der GG-Portfolio Strategie 59,6 % und in der Tangential-Portfolio Strategie 59,1 %.263 Im Gegensatz hierzu fallen die entsprechenden Maße für die Fonds mit Anlageuniversum II kleiner aus. Sie betragen in der DAX-äquivalenten Strategie 40,0 %, in der GGPortfolio Strategie 41,0 % und in der Tangential-Portfolio Strategie 53,7 %.264 Analog zur Beobachtung bei den risikoarmen Fonds sind die Fondsrenditen mit Anlageuniversum II schlechter durch den CDAX erklärt als diejenigen mit Anlageuniversum I. Nur in der Strategie auf der Basis des Tangential-Portfolios werden die Renditen des Fonds mit Anlageuniversum II annähernd gut wie in den Fonds mit Anlageuniversum I erklärt. Bei dieser Strategie ist der Anteil der Immobilienaktien im Fonds am kleinsten. Die Differenzrendite265 beträgt in den Fonds mit Anlageuniversum I (Anlageuniversum II) in der DAX-äquivalenten Strategie 0,47 % (-0,56 %), in der GGPortfolio Strategie 0,43 % (-0,58 %) und in der Tangential-Portfolio Strategie 0,69 % (-0,86 %). Dabei ist jedoch keiner der Faktoren zum 95 %- noch zum 90 %Konfidenzintervall signifikant von Null verschieden. Trotzdem ist ersichtlich, dass die Schätzer der α -Faktoren vor allem für die Immobilienaktien zu hoch sind. Entsprechend könnte die schlechte Performance auf die vergleichsweise schlechte Titelselektion zurückgeführt werden. Die Beimischung der Immobilienaktien durch den Portfoliomanager des Fonds mit dem Anlageuniversum II ist in diesem Fall als negative Selektionsfähigkeit einzustufen. Offensichtlich hat bei Betrachtung der Portfolios die Aktie der WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG einen stark negativen Einfluss auf die Performance dieser Fonds. In den Fonds mit Anlageuniversum II ist sie mit einer überdurchschnittlich hohen Gewichtung enthalten. Ihr Anteil in den Strategien auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios beträgt bis zu 18,9 %, auf der Basis der GG-Portfolios bis zu 13,5 % und auf der Basis des Tangential-Portfolios bis zu rund 35,7 %. Im risikoarmen Fonds mit Anlageuniversum II ist der Einfluss dieser Aktie auf die Portfoliorendite nicht zu erkennen, da ihr Anteil dort ver262

263 264 265

Der

β -Faktor

liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von rd. 67 % innerhalb des Konfidenzintervalls [ β -

se( β ); β +se( β )]. Vgl. Anhang XII. Vgl. Anhang XIII. Vgl. Anhang XII für Anlageuniversum I und Anhang XIII für Anlageuniversum II.

14. Performance der Portfoliostrategien

211

gleichsweise gering ist.266 Der α-Faktor der WCM Grundbesitz- und BeteiligungsAG267 schwankt in den Schätzperioden zwischen 0,3 % und 4,4 %, obwohl er in der Halteperiode -3,3 % beträgt. In diesem Fall ist die Aktie im Januar 2000 deutlich überbewertet. Die Sharpe-Ratio bringt in allen Strategien wiederum die vergleichsweise hohen, nicht durch den CDAX erklärten Abweichungen zum Ausdruck. Sie fällt für die Fonds mit Anlageuniversum II deutlich schlechter aus und beträgt in den Fonds mit Anlageuniversum I (Anlageuniversum II) in der DAX-äquivalenten Strategie 0,168 (-0,367), in der GG-Portfolio Strategie -0,164 (-0,361) und in der Tangential-Portfolio Strategie -0,152 (-0,379). Die Sharpe-Ratios sind in Abb. 42 dargestellt, wobei der durchschnittliche risikolose Zinssatz r f wiederum 0,32 % p.m. beträgt. Rendite p.m.

0,0%

-0,5% -1,0%

0%

2%

4% DAX-äq. PF

6%

8%

GG-PF

10%

T angentialPF

Rendite p.m.

Anlageuniversum I

0,5%

Anlageuniversum II 0,5% 0,0%

-1,0%

-1,5%

-1,5%

-2,0%

-2,0%

Volatilität σ

0%

2%

4%

6%

8%

10%

-0,5% DAX-äq. PF

GG-PF

T angentialPF

Quelle:

Eigene Berechnung, Darstellung in Anlehnung an Scholz, Wilkens (2004), S. 5.

Abb. 42:

Sharpe-Ratios in offensiven Strategien (Modell I)

Volatilität σ

Der Unterschied zwischen den Fonds mit Anlageuniversum I und II fällt bei den riskanten Strategien deutlicher aus als in den risikoarmen Fonds. Beim Vergleich der Fonds mit unterschiedlichem Anlageuniversum existiert kein Fonds, dessen Rendite höher ist und der gleichzeitig eine geringere Volatilität aufweist. Zwischen den Fonds im jeweiligen Anlageuniversum sind die Unterschiede in der Sharpe-Ratio nur marginal. 266

267

Im Februar 2000 hat die Aktie ihren maximalen Anteil im Minimum-Varianz-Portfolio in Höhe von 6,9 %. Ab Dezember 2000 schwankt der Anteil dieser Aktie jedoch nur noch zwischen 0 % und 1,34 %. Vgl. Anhang IX. Vgl. Anhang III.

212

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Wie bereits in den risikoarmen Strategien ist die Sharpe-Ratio der Portfolios aus Standardwerten auch in den riskanten Strategien grundsätzlich höher als die der Portfolios mit Immobilienaktien. Da das unsystematische Risiko der Portfolios mit Immobilienaktien höher ist als in den Portfolios mit Standardwerten, resultiert die Unterlegenheit wiederum aus dem geringeren Jensen-Alpha dieser Portfolios.

14.2.

Modell ohne Leerverkäufe, aber Beschränkung der Aktien (Modell II)

Die Rendite und die Volatilität der Portfolios in den 36 Halteperioden in Modell II für beide Investment Opportunity Sets sind Tab. 21 zu entnehmen:

MV-PF DAX-äquiv. PF GG-PF rend.max PF DAX naiv GG naiv

Anlageuniversum I (Standardwerte) Ø diskr. Rendite σ -0,85% 6,35% -0,83% 6,07% -0,89% 6,03% -1,36% 8,37% -2,12% 8,14% -1,10% 7,91%

Anlageuniversum II (Standardwerte & Immobilienaktien) Ø diskr. Rendite σ -0,64% 4,46% -0,94% 4,09% -1,03% 4,18% -1,72% 8,31% -2,12% 8,14% -1,07% 7,16%

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 21:

Volatilität und Rendite der Portfolios in den 36 Halteperioden (Anlageuniversum I und II, Modell II)

Analog zu den Ergebnissen in Kapitel 14.1 weichen die erwarteten Renditen sowie die in den Schätzperioden ermittelten Portfoliovolatilitäten in Modell II von der beobachteten Entwicklung der Portfolios ab. Der Grund ist wiederum die schlechte Erklärung der Marktrendite in den 36 Halteperioden durch das arithmetische Mittel der CDAX-Renditen in den sechzig vorangegangenen Monaten. In den beiden folgenden Kapiteln werden zunächst die Entwicklung der Portfoliostrategien auf der Basis der Minimum-Varianz-Portfolios und anschließend die Entwicklung der riskanteren Strategien erklärt. 14.2.1.

Die Performance der risikoarmen Fonds

In den risikoarmen Fonds ist durch die Beschränkung der einzelnen Aktien auf maximal 10 % des Fondsvolumens die Rendite kleiner als unter Verwendung von Modell I. Wie in Tab. 21 dargestellt, beträgt sie im Fonds mit Anlageuniversum I 0,85 % p.m. (-1,05 % p.m. geometrische Durchschnittsrendite) und im Fonds mit

14. Performance der Portfoliostrategien

213

Anlageuniversum II -0,64 % p.m. (-0,74 % p.m. geometrische Durchschnittsrendite). Gleichzeitig beträgt die Volatilität des Fonds mit Anlageuniversum I 6,35 %, ist damit größer als im Fonds mit Anlageuniversum II. Die Volatilität dieses Fonds beträgt 4,46 %. Die geringere Volatilität des Fonds mit Anlageuniversum II ist aus der folgenden Abb. 43 ersichtlich. Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

Anlageuniversum I (Standardwerte) 10%

10%

5%

5%

0%

0%

-5%

-5% -10%

-10%

-15%

-15%

erklärte Rendite

beobachtete Rendite

erwartete Rendite

erklärte Rendite

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Apr 00

erwartete Rendite

Apr 00

-20%

-20%

beobachtete Rendite

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 43:

Erwartete, erklärte und beobachtete Rendite der risikoarmen Fonds (Modell II)

Aus Abb. 44 geht hervor, dass im Fonds mit Anlageuniversum II auch in diesem Modell ein höherer Vermögensendwert als im Fonds mit Anlageuniversum I erzielt wurde. Die Abweichungen von den ursprünglich erwarteten Renditen resultieren aus der insgesamt rückläufigen Marktentwicklung in den 36 Halteperioden. Die geschätzten β-Faktoren schwanken im Fonds mit Anlageuniversum I zwischen 0,5584 und 0,8018, im Fonds mit Anlageuniversum II zwischen 0,3370 und 0,5530.

Dez 02

Jun 02

Sep 02

Dez 01

Mrz 02

Jun 01

Sep 01

Dez 00

Mrz 01

Jun 00

Dez 02

Jun 02

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

Sep 02

Dez 01

Mrz 02

60% Jun 01

60% Sep 01

80%

Dez 00

80%

Mrz 01

100%

Jun 00

100%

Sep 00

120%

Mrz 00

120%

Sep 00

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Mrz 00

214

beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 44:

Entwicklung der riskoarmen Fonds (Modell II)

Ex post ist der β -Faktor mit Hilfe der Regression gemäß (58) bestimmt und die „Characteristic Line“ in Abb. 45 dargestellt. Der β -Faktor beträgt 0,6668 für den Fonds mit Anlageuniversum I und 0,4296 für den Fonds mit Anlageuniversum II. Der Standardfehler liegt im Fonds mit Anlageuniversum I bei 0,0909 und im Fonds mit Anlageuniversum II bei 0,0710.268 Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit rund 66,7 %, dass der wahre β -Faktor zwischen 0,5759 und 0,7577 im Fonds mit Anlageuniversum I bzw. zwischen 0,3586 und 0,5006 im Fonds mit Anlageuniversum II liegt.269 Die Differenzrendite270 zwischen dem CDAX und dem Fonds mit Anlageuniversum I beträgt 0,38 % p.m., zwischen dem CDAX und dem Fonds mit Anlageuniversum II 0,03 % p.m. Beide Werte sind jedoch statistisch nicht signifikant von Null verschieden, so dass auch in diesem Fall eine Aussage über die positiven Selektionsfähigkeiten der Fondsmanager zu relativieren ist. Beide Fondsmanager weisen weder positive noch negative Selektionsfähigkeiten auf.

268 269 270

Vgl. Anhang XIV für Anlageuniversum I und Anhang XV für Anlageuniversum II. Zur analytischen Herleitung des Konfidenzintervalls vgl. Fußnote 252 der Arbeit. Vgl. Anhang XIV für Anlageuniversum I und Anhang XV für Anlageuniversum II.

14. Performance der Portfoliostrategien

Anlageuniversum II

Anlageuniversum I 25%

-25%

-15%

25%

y = 0,6668(r CDAX-rf)+0,0038 R2 = 0,613

20%

15%

15%

10%

10%

5%

5%

0% < -5% -5%

5%

15%

25%

r PF - r f

r PF - r f

20%

215

-25%

-15%

0% -5% -5%

y = 0,4296(r CDAX-rf)+0,0003 R2 = 0,5182

5%

-10%

-10%

-15%

-15%

-20%

-20%

-25% rCDAX - r f

-25% rCDAX - r f

15%

Quelle:

Eigene Berechnung, in Anlehnung an Sharpe, Alexander, Bailey (1999), S. 841.

Abb. 45:

„Characteristic Line“ ex post für risikoarme Fonds (Modell II)

25%

Das Bestimmtheitsmaß R2 für die Fonds zeigt, dass die Rendite bei Anlageuniversum I (R2 = 61,3 %) besser durch den CDAX erklärt ist als bei Anlageuniversum II (R2 = 51,8 %). Im Vergleich zu den risikoarmen Fonds in Modell I ist der Fonds mit Anlageuniversum II unter Verwendung von Modell II besser erklärt.271 Das bedeutet, dass die bereits ex ante wesentlich höher eingeschätzten unsystematischen Risiken der Immobilienaktien sich ex post in den Fonds widerspiegeln. Durch die modellspezifische Beschränkung der einzelnen Aktien in Modell II wird eine deutliche Reduktion der nicht erklärten Abweichungen auch ex post erzielt. Der Vergleich der Fonds-Portfolios macht ersichtlich, dass insbesondere die Beschränkung der Deutschen Beamtenvorsorge Immobilienholding AG, der Hamborner AG und der IVG Immobilien AG auf 10 % des Portfoliovermögens272 sowie die stärkere Gewichtung der Standardwerte zur Reduktion der nicht erklärten Abweichungen in dieser Strategie führt. 271

272

Vgl. Kapitel 14.1.1. Das Bestimmtheitsmaß des risikoarmen Fonds mit Anlageuniversum II beträgt im Modell I 30, 3 %. Diese Aktien haben im Minimum-Varianz-Portfolio unter Anwendung von Modell I im Anlageuniversum II in fast allen Halteperioden ein Gewicht von über 10 %. Die maximale Gewichtung der Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG beträgt 21,9 %, der Hamborner AG 38,7 % und der IVG Immobilien AG 14,8 %. Vgl. Anhang IX bzw. Anhang XI.

216

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Rendite p.m.

Die Sharpe-Ratio beträgt im Fonds mit Anlageuniversum I -0,184 und mit Anlageuniversum II -0,216. Wie in Abb. 46 deutlich wird, ist wiederum der Fonds mit Anlageuniversum I dem mit Anlageuniversum II superior. Im Vergleich zum Fonds mit Immobilienaktien im Modell I ist die Sharpe-Ratio ebenfalls gesunken. Diese Reduktion ist durch zwei gegenläufige Effekte zu erklären: das höhere Jensen-Alpha führt ceteris paribus zu einer höheren Überschussrendite und somit auch zu einer größeren Sharpe-Ratio des Fonds aus Modell II. Die geringeren unsystematischen Risiken dieses Fonds führen jedoch gleichzeitig auch zu einer Reduktion der Sharpe-Ratio in Baisse-Phasen. Der negative Effekt der geringeren unsystematischen Risiken in Modell II hat somit einen stärkeren Einfluss auf die Sharpe-Ratio als das höhere Jensen-Alpha des Fonds.273

0,5% 0,0% 0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

-0,5% MV-PF AU II -1,0%

MV-PF AU I

-1,5% -2,0% -2,5%

Volatilität σ

Quelle:

Eigene Berechnung, Darstellung in Anlehnung an Scholz, Wilkens (2004), S. 5

Abb. 46:

Sharpe-Ratio im risikoarmen Fonds (Anlageuniversum I und II, Modell II)

273

Vgl. Kapitel 14.1.1. Die Sharpe-Ratio beträgt im risikoarmen Fonds mit Anlageuniversum II -0,189.

14. Performance der Portfoliostrategien

217

Erneut ist jedoch das Dilemma zu sehen, dass der Fonds mit Anlageuniversum II zwar eine geringere Volatilität und eine höhere Rendite aufweist, jedoch insgesamt eine geringere Sharpe-Ratio. In diesem Fall lassen sich wieder höhere Renditen durch die Kombination der risikolosen Anlage und dem Fonds mit Anlageuniversum I erzielen als durch die Kombination der risikolosen Anlage und dem Fonds mit Anlageuniversum II. 14.2.2.

Die Performance offensiver Fonds

Die Fonds mit Anlageuniversum I weisen wieder höhere Volatilitäten aus als entsprechende Fonds mit Anlageuniversum II. Sie betragen in Abhängigkeit von der verfolgten Strategie 6,07 % beim DAX-äquivalenten Portfolio, 6,03 % beim GG-Portfolio und 8,37 % beim renditemaximierenden Portfolio. Die durchschnittliche monatliche Rendite beträgt -0,83 % p.m. (DAX-äquivalentes Portfolio), -0,89 % p.m. (GG-Portfolio) und -1,36 % p.m. (renditemaximierendes Portfolio). Die Volatilität der entsprechenden Fonds mit Anlageuniversum II beträgt 4,09 % beim DAX-äquivalenten Portfolio, 4,18 % beim GG-Portfolio und 8,31 % beim renditemaximierenden Portfolio. Die durchschnittliche monatliche Rendite beträgt -0,94 % p.m. (DAX-äquivalentes Portfolio), -1,03 % p.m. (GG-Portfolio) und -1,72 % p.m. (renditemaximierendes Portfolio). Die erwarteten, erklärten und beobachteten Renditen sowie die Entwicklung der Fonds mit Anlageuniversum I und II aller Strategien sind in den Diagrammen der Abb. 47 und Abb. 48 skizziert. Sie geben die geringere Volatilität der Fonds mit Anlageuniversum II gegenüber entsprechenden Fonds mit Anlageuniversum I wider. Ebenso zeigen sie die höhere Volatilität der Strategien auf der Grundlage der renditemaximierenden Portfolios gegenüber den Strategien auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios und GG-Portfolios. Analog zu Modell I ist zu erkennen, dass die Fonds mit den ex ante niedrigsten β Faktoren auch ex post die geringste Sensitivität gegenüber dem CDAX aufweisen. Ex ante schwankt das Portfolio-β dieser Portfolios im Anlageuniversum I zwischen 0,5584 und 0,9397 (DAX-äquivalente Portfolios), 0,5584 und 0,8711 (GG-Portfolios) sowie 1,0061 und 1,2518 (renditemaximierende Portfolios).274 Im Anlageuniversum II bewegen sich die entsprechenden Portfolio-β‘s zwischen 0,3370 und 0,6045 (DAX-äquivalente Portfolios), 0,3476 und 0,5809 (GGPortfolios) sowie 0,9115 und 1,0985 (renditemaximierende Portfolios).275

274 275

Vgl. Anhang XIV. Vgl. Anhang XV.

218

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

a)

auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

Anlageuniversum I (Standardwerte)

20% 15% 10% 5%

20% 15% 10% 5%

erwartete Rendite

b)

erklärte Rendite

erwartete Rendite

beobachtete Rendite

erklärte Rendite

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Apr 00

-20%

Okt 00

-15%

Jan 00

-10%

Apr 00

0% -5% -10% -15% -20%

0% -5%

beobachtete Rendite

auf der Basis der GG-Portfolios Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

Anlageuniversum I (Standardwerte) 20%

20% 15%

15%

10% 5% 0% -5%

10% 5% 0% -5%

erwartete Rendite

c)

erklärte Rendite

beobachtete Rendite

erwartete Rendite

erklärte Rendite

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Apr 00

-20%

Jan 00

-15%

Apr 00

-10% -15% -20%

-10%

beobachtete Rendite

auf der Basis der renditemaximierenden Portfolios Anlageuniversum II (Standardwerte und IAG)

Anlageuniversum I (Standardwerte)

20% 15%

20% 15%

10% 5%

10% 5%

0% -5% -10%

0% -5% -10%

erwartete Rendite

erklärte Rendite

beobachtete Rendite

erklärte Rendite

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 47:

Erwartete, erklärte und beobachtete Renditen riskanter Fondsstrategien (Modell II)

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

erwartete Rendite

Okt 00

Jan 00

Jul 02

Okt 02

Jan 02

Apr 02

Jul 01

Okt 01

Jan 01

Apr 01

Jul 00

Okt 00

Jan 00

Apr 00

-20%

Apr 00

-15% -20%

-15%

beobachtete Rendite

14. Performance der Portfoliostrategien

D ez 0 2

Ju n 0 2

Sep 0 2

D ez 0 1

M rz 0 2

Ju n 0 1

Sep 0 1

D ez 0 0

beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

b)

M rz 0 1

M rz 0 0

Dez 02

Jun 02

Sep 02

Dez 01

Mrz 02

40% Jun 01

60%

40% Sep 01

60%

Dez 00

80%

Mrz 01

100%

80%

Jun 00

120%

100%

Sep 00

140%

120%

Mrz 00

160%

140%

Ju n 0 0

auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios

160%

Sep 0 0

a)

219

auf der Basis der GG-Portfolios

160%

160%

140%

140%

120%

120%

100%

100%

80%

80% 60%

60%

D ez 0 2

Ju n 0 2

Sep 0 2

D ez 0 1

M rz 0 2

Ju n 0 1

Sep 0 1

D ez 0 0

M rz 0 1

Sep 0 0

beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

c)

Ju n 0 0

Dez 02

Jun 02

Sep 02

Dez 01

Mrz 02

Jun 01

Sep 01

Dez 00

Mrz 01

Sep 00

Jun 00

Mrz 00

M rz 0 0

40%

40%

auf der Basis der renditemaximierenden Portfolios

160%

160%

140%

140%

120%

120%

100%

100%

80%

80% 60%

60%

erklärte Rendite Standardwerte & Immobilienaktien beobachtete Rendite Standardwerte & Immobilienaktien

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 48:

Entwicklung riskanter Fonds (Modell II)

Dez 0 2

Ju n 0 2

Sep 0 2

Dez 0 1

M rz 0 2

Ju n 0 1

Sep 0 1

Dez 0 0

M rz 0 1

Sep 0 0

Ju n 0 0

Dez 02

Jun 02

Sep 02

Dez 01

Mrz 02

Jun 01

Sep 01

Dez 00

Mrz 01

Sep 00

Jun 00

Mrz 00

beobachtete Rendite Standardwerte erklärte Rendite Standardwerte

M rz 0 0

40%

40%

220

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Ex post stimmt die Rangfolge der β -Faktoren mit den ex ante geschätzten Faktoren überein. In Abhängigkeit von der verfolgten Strategie betragen die β Faktoren (Standardfehler) im Anlageuniversum I276 -

auf Basis der DAX-äquivalenten Portfolios:

0,7039 (0,0702)

-

auf Basis der GG-Portfolios:

0,6740 (0,0766)

-

auf Basis der renditemaximierenden Portfolios:

1,0571 (0,0648)

Anlageuniversum II

277

-

auf Basis der DAX-äquivalenten Portfolios:

0,4337 (0,0575)

-

auf Basis der GG-Portfolios:

0,4251 (0,0624)

-

auf Basis der renditemaximierenden Portfolios:

1,0373 (0,0698)

Mit den Standardfehlern lassen sich wiederum Konfidenzintervalle angeben, innerhalb derer der wahre β -Faktor zu einer vorgegebenen Vertrauenswahrscheinlichkeit liegt. Bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 75 % beträgt das Intervall [ β - se( β ); β + se( β )]. Es ist deutlich, dass die Rangfolge der β Faktoren zwischen den Strategien, basierend auf den DAX-äquivalenten und den GG-Portfolios, nicht signifikant ist. Hingegen ist der Unterschied zwischen den Strategien auf der Basis der renditemaximierenden Portfolios und den Strategien auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios bzw. GG-Portfolios klar zu erkennen. Ebenso sind die Unterschiede zwischen entsprechenden Strategien mit unterschiedlichem Anlageuniversum eindeutig. Analog zu Kapitel 14.1.2 wird auf eine Abbildung der „Characteristic Lines“ verzichtet. Das Bestimmtheitsmaß R2 der Regression beträgt für die Fonds mit Anlageuniversum I je nach verfolgter Strategie 74,7 % (DAX-äquivalente Portfolios), 69,5 % (GG-Portfolios) und 88,7 % (renditemaximierende Portfolios). Das entsprechende Bestimmtheitsmaß R2 der Fonds mit Anlageuniversum II beträgt 62,6 % (DAX-äquivalente Portfolios), 57,7 % (GG-Portfolios) und 86,7 % (renditemaximierende Portfolios). Die Differenzrendite beträgt in den Fonds mit Anlageuniversum I (Anlageuniversum II) in der Strategie auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios 0,48 % (-0,26 %), auf der Basis der GG-Portfolios 0,35 % (-0,36 %) und auf der Basis der renditemaximierenden Portfolios 0,77 % (0,36 %). Keiner der α Faktoren ist jedoch zu den üblichen Signifikanzniveaus von 5 % und 10 % von 276 277

Vgl. Anhang XIV. Vgl. Anhang XV.

14. Performance der Portfoliostrategien

221

Null verschieden.278 Somit lassen sich aus den α -Faktoren weder positive noch negative Rückschlüsse auf den Einbezug der Immobilienaktien in die Titelselektion durch einen Fondsmanager ziehen.

Anlageuniversum I

0,5% 0,0% -0,5%

0%

-1,0% -1,5%

2%

4%

6%

DAX-äq. PF

8%

10%

GG-PF rend.max PF

-2,0% -2,5%

Rendite p.m.

Rendite p.m.

Die nicht durch den CDAX erklärten Varianzen haben in diesem Modell vor allem im Fonds mit Anlageuniversum II abgenommen. Die titelspezifischen Risiken sind hier wesentlich besser diversifiziert. Gleichzeitig sind die nicht erklärten Varianzen in den Fonds mit Anlageuniversum II weiterhin höher als in den Fonds mit Anlageuniversum I. Die Sharpe-Ratio ist jedoch in den Fonds mit Anlageuniversum II weiterhin deutlich kleiner als in den Fonds mit Anlageuniversum I. Anlageuniversum II

0,5% 0,0% 0%

2%

4%

6%

-1,0%

GG-PF

10%

DAX-äq. PF

-1,5% -2,0%

Volatilität σ

8%

-0,5%

-2,5%

Quelle:

Eigene Berechnung, Darstellung in Anlehnung an Scholz, Wilkens (2004), S. 5.

Abb. 49:

Sharpe-Ratios in offensiven Strategien (Modell II)

rend.max PF

Volatilität σ

In den Fonds mit Anlageuniversum I betragen die Sharpe-Ratios in Abhängigkeit von der verfolgten Strategie -0,190 (DAX-äquivalente Portfolios), -0,201 (GGPortfolios) und -0,201 (renditemaximierende Portfolios). Sie haben sich somit gegenüber den Ratios der Fonds unter Verwendung von Modell I verschlechtert. Im Unterschied dazu haben sich die Ratios in den Fonds mit Anlageuniversum II gegenüber entsprechenden Fonds aus Modell I verbessert. Sie betragen -0,309 (DAX-äquivalente Portfolios), -0,323 (GG-Portfolios) und -0,247 (renditemaximierende Portfolios). Trotzdem liegen sie noch immer unter den vergleichbaren Werten der Fonds mit Anlageuniversum I und stellen inferiore Fonds dar. 278

Die entsprechenden t-Werte betragen für den α -Faktor auf der Basis der DAX-äquivalenten Portfolios mit Anlageuniversum I (Anlageuniversum II) 0,8869 (-0,5833), auf der Basis der GG-Portfolios 0,5892 (0,7571) und auf der Basis der renditemaximierenden Portfolios 1,5371 (0,6605). Der kritische t-Wert zum Signifikanzniveau von 10 % bei 34 Freiheitsgraden für einen zweiseitigen Hypothesentest beträgt 1,6909 bzw. -1,6909.

222

TEIL IV: Überprüfung der Portfoliostrategien ex post

Unter Verwendung von Modell II ergibt sich in diesen Fällen auch nicht das Dilemma, dass ein Fonds eine höhere Rendite und eine geringere Volatilität ausweist und trotzdem als inferior eingestuft wird. Alle Fonds mit Anlageuniversum I erzielen eine höhere Rendite als vergleichbare Fonds mit Anlageuniversum II. Die kleineren Sharpe-Ratios der Fonds mit Anlageuniversum I aus Modell II gegenüber entsprechenden Fonds aus Modell I sind auf die höheren unsystematischen Risiken der Fonds aus Modell I zurückzuführen. Das Jensen-Alpha der Fonds fällt in beiden Modellen ähnlich groß aus. Die Sharpe-Ratios der Fonds aus Anlageuniversum II in Modell II fallen hingegen gegenüber vergleichbaren Fonds aus Modell I höher aus. Obwohl die unsystematischen Risiken deutlich kleiner sind, ist auf Grund des höheren Jensen-Alpha die Sharpe-Ratio der Fonds mit Immobilienaktien in Modell II gestiegen.

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

223

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit In der Literatur sind bisher nur Untersuchungen zu finden, die den Anteil von Immobilienaktien neben Aktien und Rentenpapieren in Mixed-Asset Portfolios quantifizieren. Zur Bestimmung des Anteils der Assetklasse in Portfolios mit unterschiedlich hoher Rendite bzw. Renditeerwartung werden herkömmliche Indices als Proxy für die jeweilige Assetklasse herangezogen. Untersuchungen über den Anteil von Immobilienaktien in „Single Asset Portfolios“ wurden im Kontext der Literatur-Recherche nicht gefunden. Sofern in den Untersuchungen die Analysen ex post durchgeführt wurden, ist die Effizienz der Portfolios bei Berücksichtigung von Immobilienaktien ausnahmslos gestiegen. Das heißt, entweder ist bei gleichem Risiko eine höhere Rendite oder die gleiche Rendite bei einer geringeren Volatilität im jeweiligen Untersuchungszeitraum erzielt worden. Die Anteile von Immobilienaktien in den effizienten Portfolios variieren dabei zum Teil sehr, da die Untersuchungen zum einen über unterschiedliche Zeiträume gehen und zum anderen sich auf unterschiedliche Märkte beziehen. Weder aus den Untersuchungen für den us-amerikanischen noch aus den Untersuchungen für den deutschen Markt geht hervor, dass Immobilienaktien vor allem in konservativen, das heißt, in Portfolios für Anleger mit hoher Risikoaversion, ein besonders hohes Gewicht aufweisen sollten. In einigen Analysen ist genau das Gegenteil zu erkennen. So wird in der Untersuchung von Gordon, Canter, Webb279 gerade in den riskanten Portfolios die Rendite durch die Berücksichtigung von Immobilienaktien gesteigert. Ebenso ist auch der Anteil der Immobilienaktien in der Untersuchung von Maurer, Sebastian280 im MinimumVarianz-Portfolio geringer als in den effizienten Portfolios mit höherer Renditeerwartung. Die praktische Operationalisierung der Ergebnisse dieser Untersuchungen ist kritisch zu beurteilen. Entsprechende Asset Allocation sollte nur erfolgen, sofern die empirischen Renditen, Varianzen und Kovarianzen auch in Zukunft erwartet werden. Entwickeln sich die Indices anders als ex ante erwartet, weicht die realisierte Portfolio-Performance ggfs. deutlich von der erwarteten Performance ab. So zeigen bspw. die Ergebnisse von Maurer und Sebastian, dass in den Portfolios mit dem höchsten Immobilienaktienanteil die realisierten Renditen deutlich kleiner waren als die geschätzten Renditeerwartungen. Darüber hinaus kann ein einzelner Investor die angewandten Indices nur bedingt nachbilden. 279 280

Vgl. Gordon, Canter, Webb (1998), S. 90. Vgl. Maurer, Sebastian (1999), S. 181.

224

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

Teilweise wurden Indices verwendet, die aus Aktien mit sehr geringer Marktliquidität zusammengesetzt waren. Bspw. bestand der DIMAX größtenteils aus Gesellschaften, deren Aktien zwar börsennotiert, jedoch nur selten gehandelt werden. Mit der vorliegenden Arbeit wurde das Ziel verfolgt, den Anteil von Immobilienaktien im „Single Asset Portfolio“ zu ermitteln und die Unterschiede in der Entwicklung von „Single Asset Portfolios“ mit und ohne Immobilienaktien zu quantifizieren. Andere Assetklassen wie bspw. Rentenpapiere oder Commodities wurden nicht berücksichtigt. Die Entwicklung aller Aktien, inklusive der Immobilienaktien, wurde unter Anwendung des Marktmodells geschätzt. Die Schätzung erfolgte durch die OLSMethode, indem die historischen Renditezeitreihen der Aktien auf die Rendite des CDAX in der 60 Monate umfassenden Schätzperiode regressiert wurden. Der Fokus richtete sich darauf, die Performanceunterschiede zwischen den Portfolios mit Immobilienaktien und den Portfolios ohne Immobilienaktien zu messen. Dabei wurde zwischen Anlageuniversum I und Anlageuniversum II unterschieden: Im Anlageuniversum I waren ausschließlich Standardwerte und in Anlageuniversum II zusätzlich Immobilienaktien enthalten. Für jedes Anlageuniversum wurde die Zusammensetzung von vier Portfolios mit unterschiedlicher Renditeerwartung (Strategien) unter den Annahmen des Ein-Index-Modells ermittelt. Die Bestimmung der Aktiengewichtung innerhalb der Portfolios erfolgt mit Hilfe des „Critical Line-Algorithmus“ von Markowitz. Die vorgegebene Renditeerwartung für zwei Portfolios orientierte sich dabei an einer Benchmark: im DAX-äquivalenten Portfolio an der Renditeerwartung des DAX und im GGPortfolio an der Renditeerwartung für das naiv gleich gewichtete Portfolio des jeweiligen Anlageuniversums. Die Renditeerwartungen beider Benchmarks unterschieden sich jedoch nur marginal. Neben dem DAX-äquivalenten Portfolio und dem GG-Portfolio wurden das Minimum-Varianz-Portfolio und das TangentialPortfolio gebildet. Das Minimum-Varianz-Portfolio hatte grundsätzlich die geringste und das Tangential-Portfolio grundsätzlich die höchste Renditeerwartung. Zusätzlich wurde ein zweites Modell mit der weiteren Bedingung aufgestellt, dass nicht mehr als 10 % des Vermögens in eine Aktie investiert wird. Ziel war hier, eine bessere Diversifizierung der titelspezifischen Risiken als in Modell I zu erreichen. In Modell II waren die Renditeerwartungen des DAX-äquivalenten und des GG-Portfolios identisch mit entsprechenden Portfolios aus Modell I. Das Portfolio mit der geringsten Renditeerwartung war wiederum das MinimumVarianz-Portfolio. Statt des Tangential-Portfolios wurde das renditemaximierende

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

225

Portfolio gebildet. Das renditemaximierende Portfolio entspricht per Definition dem Portfolio mit der höchsten Renditeerwartung. Für beide Modelle wurden in 36 aufeinander folgenden Monaten ab Januar 2000 bis Dezember 2002 alle vier Portfolios je Anlageuniversum ermittelt und einen Monat gehalten. Durch die monatliche Restrukturierung änderte sich die Gewichtung und Zusammensetzung der einzelnen Portfolios in den Halteperioden. Bei Betrachtung der Zusammensetzung zeigt es sich, dass einzelne Aktien resp. Sektoren überproportional in bestimmten Portfolios enthalten waren. Diese sind für Modell I in Tab. 22 dargestellt. Als Ergebnis lässt sich festhalten, dass in den risikoarmen Portfoliostrategien mit Anlageuniversum I vor allem Aktien der Unternehmen aus den Sektoren Utilities & Telecommunication, Machinery & Industrials, Retail & Consumer überproportional in Relation zum gleich gewichteten Portfolio enthalten sind. In den Strategien auf der Basis der DAX-äquivalenten und der GG-Portfolios sind neben den Aktien der Unternehmen aus dem Sektor Utilities & Telecommunication die Aktien von Unternehmen aus den Sektoren Chemicals & Pharma enthalten. Darüber hinaus steigt der Anteil von Aktien aus dem Sektor Insurance. In der Strategie auf der Basis des Tangential-Portfolios sind dann die Aktien der Unternehmen aus den Sektoren Chemicals & Pharma, Insurance, Software & Technology überproportional enthalten. Anlageuniversum I MV-PF GG- / T-PF DAX-äq. PF

Modell I

Immobilienaktien Automobiles & Transportation Banks & Financial Services Chemicals & Pharmaceuticals Consumer & Retail Insurances Machinery & Industrials Software & Technology Utilities & Telecommunications

x

x x

Anlageuniversum II MV-PF GG- / T-PF DAX-äq. PF x x x

x

x

x

x

x x x

x

x

x

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 22:

Asset Allocation in effizienten Portfolios nach Sektoren (Modell I)

Die Asset Allocation hat sich unter Berücksichtigung von Anlageuniversum II deutlich verschoben. Die Immobilienaktien waren in allen Portfolios über-

226

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

proportional enthalten. Zudem waren in der risikoarmen Strategie auf der Basis des Minimum-Varianz-Portfolios nur noch Aktien der Unternehmen aus dem Sektor Utilities & Telecommunication in Relation zum gleich gewichteten Portfolio vertreten. Ein ähnliches Bild ergab sich für die Strategien auf der Basis der DAX-äquivalenten und der GG-Portfolios. In den Tangential-Portfolios waren neben den Immobilienaktien auch Aktien aus den Sektoren Chemicals & Pharma sowie Insurance enthalten. In Tab. 23 ist die Asset Allocation unter Verwendung von Modell II in Abhängigkeit von der verfolgten Strategie dargestellt. Auch hier zeigt sich, dass in den risikoarmen Portfoliostrategien mit Anlageuniversum I neben den bereits in Modell I überproportional gewichteten Aktien von Unternehmen aus den Sektoren Utilities & Telecommunication, Machinery & Industrials und Retail & Consumer ebenso diejenigen aus dem Sektor Chemicals & Pharma überproportional gewichtet wurden. In den Strategien auf der Basis der DAX-äquivalenten und der GG-Portfolios sind neben den Aktien von Unternehmen aus dem Sektor Utilities & Telecommunication, Consumer & Retail und Chemicals & Pharma zusätzlich Aktien aus dem Sektor Insurance überproportional enthalten. Der Sektor Machinery & Industrials ist nur noch unterproportional vertreten. In der Strategie auf der Basis der renditemaximierenden Portfolios sind die Aktien von Unternehmen aus den Sektoren Software & Technology, Banks & Financial Services, Insurance und Chemicals & Pharma überproportional gewichtet. Anlageuniversum I MV-PF GG- / Rendmax. DAX-äq. PF PF

Modell II

Immobilienaktien Automobiles & Transportation Banks & Financial Services Chemicals & Pharmaceuticals Consumer & Retail Insurances Machinery & Industrials Software & Technology Utilities & Telecommunications

x x

x x x

Anlageuniversum II MV-PF GG- / Rendmax. DAX-äq. PF PF x x x

x x

x x x

x

x

x

x x x

x

x x

x

Quelle:

Eigene Berechnung

Tab. 23:

Asset Allocation in effizienten Portfolios nach Sektoren (Modell II)

Bei Berücksichtigung der Immobilienaktien hat sich die Asset Allocation in Modell II wiederum deutlich verschoben. In allen Strategien waren die Immobilienaktien wieder überproportional enthalten. In der risikoarmen Strategie waren

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

227

nur noch Aktien aus den Sektoren Utilities & Telecommunication und Consumer & Retail überproportional in Relation zum gleich gewichteten Portfolio vertreten. Die Gewichtung der DAX-äquivalenten Portfolios unterschied sich wiederum nur geringfügig von der Gewichtung der GG-Portfolios. In diesen Portfolios waren die gleichen Sektoren überproportional enthalten wie im Minimum-Varianz-Portfolio. In der Strategie auf der Basis der renditemaximierenden Portfolios waren die Immobilienaktien weiterhin überdurchschnittlich stark vertreten, jedoch im Verhältnis zum Modell I in einem deutlich geringeren Umfang. Daneben waren vor allem die Sektoren Software & Technology, Banks & Financial Services, Insurance und Chemicals & Pharma überproportional enthalten. Unabhängig vom angewandten Modell wurde für die Portfolios mit Immobilienaktien eine geringere Marktsensitivität (Portfolio-β) erwartet als für die Portfolios aus Standardwerten. In beiden Modellen können die Portfolios in drei Cluster mit unterschiedlich hohen Marktsensitivitäten unterteilt werden. In Modell I besteht das erste Cluster mit der geringsten erwarteten Marktsensitivität ausschließlich aus Portfolios mit Immobilienaktien: Es beinhaltet die Minimum-Varianz-, die DAX-äquivalenten und die GG-Portfolios. Das zweite Cluster besteht aus den Minimum-Varianz-, den DAX-äquivalenten und den GGPortfolios aus Standardwerten sowie den Tangential Portfolios mit Immobilienaktien. Die mit Abstand höchste Marktsensitivität wurde für die Tangential Portfolios aus Standardwerten erwartet. In Modell II setzen sich die Cluster ähnlich zusammen. Die geringsten Marktsensitivitäten weisen wiederum die Minimum-Varianz-, die DAX-äquivalenten und die GG-Portfolios mit Immobilienaktien auf. Das zweite Cluster hingegen besteht ausschließlich aus den entsprechenden Portfolios mit Standardwerten. Die erwartete Marktsensitivität der renditemaximierenden Portfolios aus Anlageuniversum I und II ist in diesem Modell vergleichbar. Diese Erwartungen spiegeln sich auch in den beobachteten Volatilitäten der Portfolios wider. In Abb. 50 ist die Performance aller Portfolios aus beiden Modellen dargestellt. So fallen die Volatilitäten der Portfolios aus Modell I kleiner aus als in Modell II, wobei gleichzeitig das wesentlich höhere unsystematische Risiko an den geringeren Bestimmtheitsmaßen der Portfolios unter Anwendung von Modell I zu erkennen ist. Bei identischer Marktsensitivität resp. identischem Portfolio- β und gleicher Rendite weisen im Kapitalmarktgleichgewicht die Portfolios mit geringen unsystematischen Risiken eine höhere Sharpe-Ratio auf als Portfolios mit hohen unsystematischen Risiken. In normalen Börsenphasen könnte die Auswirkung der unsystematischen Risiken durch den Vergleich der SharpeRatios verdeutlicht werden. In Baisse-Phasen ist die „Risikoprämie“ hingegen negativ, so dass sich mit steigendem Risiko die Sharpe-Ratio erhöht.

228

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

Modell I 1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

MV-PF

DAX-äq. PF MV-PF

-0,5%

-1,0%

GG-PF Tangential-PF

DAX-äq. PF

0%

9%

Rendite in % p.m.

Rendite in % p.m

0% 0,0%

1%

2%

Modell II 3% 4% 5%

-0,5%

MV-PF DAX-äq. PF

-1,0%

GG-PF

GG-PF -1,5%

-1,5%

6%

7%

8%

9%

0,0%

DAX-äq. PF MV-PF GG-PF rend.max PF rend.max PF

Tangential-PF -2,0%

-2,0%

Volatilität

Volatilität σ Anlageuniversum I

Anlageuniversum II

Anlageuniversum I

Quelle:

Eigene Berechnung

Abb. 50:

Zusammenfassung Portfolio-Performance

Anlageuniversum II

Trotzdem zeigen die Sharpe-Ratios der unterschiedlichen Strategien, dass mit Immobilienaktien grundsätzlich eine schlechtere Rendite je Risikoeinheit erzielt wurde als in den Strategien mit Standardwerten. Dieses Ergebnis ist umso signifikanter, da die vergleichsweise höheren unsystematischen Risiken in den Portfolios mit Immobilienaktien in Baisse-Phasen die Sharpe-Ratio erhöhen. Obwohl die Portfolios mit Immobilienaktien höhere unsystematische Risiken aufweisen, fallen die Sharpe-Ratios im Vergleich zu den Portfolios mit Standardwerten wesentlich schlechter aus. Die geringeren Sharpe-Ratios sind somit auf die Überschussrenditen zurückzuführen. Sie fallen mit Immobilienaktien wesentlich kleiner aus als mit Standardwerten. Unter den Annahmen des Ein-Index Modells müsste jedoch gerade in den Portfolios mit hoher Marktsensitivität die marktspezifische Rendite und somit auch die Aktienrendite in Baisse-Phasen deutlich kleiner als in den Portfolios mit geringer Marktsensitivität ausfallen. Trotz der geringen Marktsensitivität in den Portfolios mit Immobilienaktien war deren Überschussrendite wesentlich kleiner als in den Portfolios mit Standardwerten. Entsprechend müssen die aktienspezifischen Renditen dieser Portfolios wesentlich schlechter ausgefallen sein als geschätzt. Diese Vermutung wird durch das Jensen-Alpha belegt. Das Jensen-Alpha für die Portfolios mit Immobilienaktien war zu großen Teilen negativ. Die darin enthaltenen Aktien waren folglich zu Beginn der Halteperiode überbewertet. Vor allem in den DAX-äquivalenten, GG- und Tangential-Portfolios unter Anwendung von Modell I fiel das Jensen-Alpha besonders klein aus. Die starke Abweichung von den geschätzten portfoliospezifischen Renditen (Portfolioα) war auf die schlechte Schätzung der aktienspezifischen Rendite mittels Markt-

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

229

modell zurückzuführen. Die α -Faktoren wurden offensichtlich für die Immobilienaktien schlechter geschätzt als für die Standardwerte. In Modell II waren diese Abweichungen auch zu erkennen. Sie hatten jedoch einen deutlich geringeren Umfang. Dies war allein auf das geringere Gewicht der Immobilienaktien, das aus der modellspezifischen Beschränkung der einzelnen Aktien in diesen Portfolios resultiert, zurückzuführen. Es stellt sich somit die Frage, ob es überhaupt sinnvoll ist, die Renditeerwartung von Immobilienaktien mit dem Marktmodell als Schätzverfahren zu ermitteln. Sowohl der α -Faktor als auch der β -Faktor sind vor allem für Immobilienaktien kritisch zu beurteilen. Die zu hoch geschätzten α -Faktoren hatten nicht nur ein negatives Jensen-Alpha zur Folge, sondern waren auch Ursache für die hohe Gewichtung der Immobilienaktien in den Portfolios. Die vergleichsweise hohen aktienspezifischen Renditen dieser Aktien in Verbindung mit den geringen marktspezifischen Risiken und den geringen Kovarianzen281 waren der Grund dafür, dass die Immobilienaktien auch in Portfolios mit hoher Renditeerwartung überproportional enthalten waren. Die aktienspezifische Rendite kann nach der Kapitalmarkttheorie im Marktmodell nur dann hoch ausfallen, wenn das Unternehmen eine geringere Marktsensitivität aufweist. Dabei kann sie jedoch nicht höher als der risikolose Zinssatz sein. Die geschätzten aktienspezifischen Renditen für die Immobilienaktien waren jedoch deutlich über dem vergleichbaren risikolosen Zinssatz zu Beginn der Halteperioden. Somit stellte weniger die Schätzung des Risikos mit Hilfe des Ein-Index Modells ein Problem dar, sondern vielmehr die Schätzung der aktienspezifischen Renditen, was zu der vergleichsweise schlechten Performance der Portfolios mit Immobilienaktien führte. Bei der Überprüfung des Marktmodells für Immobilienaktien ist zu erkennen, dass phasenweise nur eine der untersuchten Immobilienaktien zu den üblichen Konfidenzintervallen von Null verschieden war. Nur die WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG wies in allen Schätzperioden zum Konfidenzniveau von 90 % einen signifikant von Null verschiedenen β -Faktor auf. Hingegen waren die β Faktoren der GAG Immobilien AG und der Hamborner AG zu keinem Zeitpunkt zum Konfidenzintervall von 90 % von Null verschieden.282 Ein Einfluss der

281

282

Unter den Annahmen des Ein-Index-Modells ist die Kovarianz zweier Wertpapierrenditen nur durch den Marktfaktor erklärt. Vgl. Kapitel 7.2.1. Der kritische t-Wert für einen zweiseitigen Hypothesentest beträgt 1,6716 (2,0017) bei 58 Freiheitsgraden und einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 90 % (95 %). Sofern die empirische t-Statistik dann nicht im

230

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

Marktentwicklung auf die Rendite dieser Aktien kann somit nicht statistisch signifikant angenommen werden. Insgesamt lassen sich zwei wesentliche Erkenntnisse aus der Untersuchung ableiten: Zum einen kann die Aktienrendite der Immobilienaktien nicht auf der Basis des Marktmodells geschätzt werden, da dies zu einer Fehleinschätzung der aktienspezifischen Rendite führt und hieraus eine Übergewichtung von Immobilienaktien in den effizienten Portfolios resultiert. Für Standardwerte lassen sich mit dem Marktmodell deutlich bessere Ergebnisse erzielen. In den Beobachtungsperioden weichen ihre aktienspezifischen Renditen weniger stark von der Gleichgewichtsrendite nach dem CAPM ab. Zum anderen sollten Immobilienaktien ausschließlich in gut diversifizierte Portfolios aufgenommen werden. Nur dann lassen sich ihre hohen titelspezifischen Risiken in ausreichendem Umfang diversifizieren, so dass ihr Anteil an den Gesamtrisiken nicht wesentlich höher ist als in Portfolios aus Standardwerten. Bevor jedoch eine Anlage erfolgt, sollte die Renditeerwartung der Immobilienaktien nicht mit dem Marktmodell, sondern durch andere Bewertungsverfahren geschätzt werden. Inwiefern hierbei bspw. die Bewertung der Aktien mit dem Net Asset Value-Verfahren und die Schätzung der Renditeerwartung zu besseren Ergebnissen führen kann, ist noch zu erforschen. Die Daten für das Net Asset Value-Verfahren sind für deutsche Immobilienaktiengesellschaften bisher nicht veröffentlicht worden, daher konnte der Zusammenhang zwischen dem Net Asset Value einer Gesellschaft und der Renditeentwicklung ihrer Aktien empirisch nicht überprüft werden. Ein Vergleich mit der Sharpe-Ratio des DAX bzw. der naiv gleich gewichteten Portfolios ist auf Grund der Börsen-Baisse nur bedingt aussagekräftig. So fällt die Sharpe-Ratio dieser Benchmarks nur teilweise besser aus als in den Portfolios mit Immobilienaktien. Die geringere Sharpe-Ratio der aktiv gemanagten Portfolios mit Immobilienaktien ist jedoch eindeutig auf die schlechte Schätzung der aktienspezifischen Renditen zurückzuführen: Obwohl dieses Portfolio höhere unsystematische Risiken als die Benchmarks aufweist ist ihre Sharpe-Ratio kleiner. Dies kann in Baisse-Phasen wiederum nur aus der vergleichsweise schlechten Überschussrendite resultieren. Als Fazit ist festzuhalten, dass sich die Volatilität von Fonds mit Immobilienaktien stark reduzieren lässt, aber die Fonds, zumindest im Untersuchungszeitraum, eine

Intervall [-1,6716; 1,6716] ([-2,0017; 2,0017]) liegt, kann die Null-Hypothese, nach der der β -Faktor von Null verschieden ist, nicht signifikant abgelehnt werden.

TEIL V: Zusammenfassung und Fazit

231

schlechte Performance bei der Berücksichtigung der Gesamtrisiken aufweisen. Soll eine Anlage in Immobilienaktien erfolgen, ist es empfehlenswert, diese nur vorzunehmen, wenn bereits eine gute Portfoliodiversifikation vorliegt. Vor dem Hintergrund, dass nicht jeder institutionelle Investor in Rentenpapiere investieren kann, können Aktienportfolios bei entsprechender Selektionsfähigkeit des Fondsmanagers mit deutlich geringerer Volatilität gebildet werden. Die Sharpe-Ratio wird dann vor allem durch die erzielte Überschussrendite der Portfolios beeinflusst, da die unsystematischen Risiken auch mit Immobilienaktien vergleichsweise gut zu diversifizieren sind.

Anhang

233

Anhang Anhang I:

Sektorunterteilung der Standardwerte gemäß Deutsche Börse AG:283

FIRMA

Sektor

BMW AG Daim lerChrysler AG Lufthansa AG TUI AG (ehem als Preussag AG) Volkswagen AG Bayerische HypoVereinsbank AG Com m erzbank AG Deutsche Bank AG Dresdner Bank AG MLP AG Altana AG BASF AG Bayer AG Degussa AG Fresenius Medical Care AG Hoechst AG Schering AG Adidas-Salom on AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Metro AG Allianz AG Münchener Rückvers. AG Linde AG MAN AG Mannesm ann AG ThyssenKrupp AG Infineon Technologies AG SAP AG Siem ens AG Deutsche Telekom AG E.ON AG (ehem als Veba AG) RWE AG VIAG AG

Autom obile & Transportation Autom obile & Transportation Autom obile & Transportation Autom obile & Transportation Autom obile & Transportation Banks & Financial Services Banks & Financial Services Banks & Financial Services Banks & Financial Services Banks & Financial Services Chem icals & Pharm a Chem icals & Pharm a Chem icals & Pharm a Chem icals & Pharm a Chem icals & Pharm a Chem icals & Pharm a Chem icals & Pharm a Consum er & Retail Consum er & Retail Consum er & Retail Consum er & Retail Insurance Insurance Machinery & Industrials Machinery & Industrials Machinery & Industrials Machinery & Industrials Software & Technology Software & Technology Software & Technology Utilities & Telecom munication Utilities & Telecom munication Utilities & Telecom munication Utilities & Telecom munication

283

Die Unterteilung beruht auf einer Auflistung von Januar 2003. Zu diesem Zeitpunkt waren die Aktien der Veba AG, der VIAG AG, der Mannesmann AG, der Hoechst AG, der Degussa AG und der Dresdner Bank AG aus verschiedenen Gründen nicht mehr an der Deutschen Börse gelistet. Ihre Zuordnung konnte jedoch auf Grund ihrer Historie problemlos zu den entsprechenden Sektoren erfolgen.

234

Anhang

Anhang II: Minimale und maximale Schätzer für das Aktienrisiko in 36 Schätzperioden284 Varianz σ2

Volatilität σ

unsystematisches 2 Risiko σε Min Max

Min

Max

Min

Max

0,23%

0,50%

4,81%

7,04%

0,22%

0,50%

1,16% 0,19% 0,49%

2,41% 0,30% 0,68%

10,78% 4,35% 7,02%

15,52% 5,52% 8,23%

1,17% 0,19% 0,50%

2,39% 0,31% 0,64%

0,98%

2,27%

9,90%

15,06%

0,89%

1,81%

1,19% 0,54% 0,98% 0,60% 0,55% 0,82% 0,89% 0,53% 0,95% 0,75% 1,81% 0,96% 0,48% 1,00% 0,75% 0,78% 0,53% 0,62% 0,63% 1,08% 1,68%

1,36% 1,00% 1,07% 0,76% 1,01% 1,56% 1,26% 1,35% 1,09% 1,26% 2,11% 1,13% 0,58% 2,21% 0,87% 1,03% 0,63% 1,20% 1,13% 1,30% 3,35%

10,90% 7,38% 9,90% 7,74% 7,45% 9,04% 9,44% 7,27% 9,73% 8,67% 13,47% 9,82% 6,92% 9,98% 8,65% 8,84% 7,31% 7,87% 7,92% 10,41% 12,94%

11,66% 9,98% 10,36% 8,71% 10,03% 12,50% 11,22% 11,62% 10,44% 11,23% 14,52% 10,64% 7,64% 14,86% 9,32% 10,16% 7,97% 10,97% 10,62% 11,41% 18,31%

1,18% 0,24% 0,97% 0,32% 0,21% 0,55% 0,44% 0,32% 0,51% 0,26% 1,30% 0,50% 0,44% 0,94% 0,52% 0,61% 0,38% 0,40% 0,37% 0,91% 1,08%

1,28% 0,49% 1,06% 0,48% 0,50% 0,81% 0,78% 0,69% 0,85% 0,55% 1,65% 0,72% 0,51% 1,93% 0,66% 0,93% 0,58% 0,74% 0,73% 1,03% 1,67%

Münchener Rückversicherungs-AG

0,77%

0,99%

8,79%

9,94%

0,50%

0,62%

RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG Veba AG VIAG AG Mannesmann AG Volkswagen AG

0,41% 1,45% 0,47% 0,86% 0,69% 0,53% 0,43% 0,43% 0,90% 0,95%

0,67% 3,41% 0,67% 2,06% 1,29% 1,16% 0,50% 0,44% 0,90% 1,19%

6,40% 12,03% 6,85% 9,26% 8,28% 7,31% 6,54% 6,56% 9,48% 9,73%

8,20% 18,46% 8,17% 14,35% 11,37% 10,75% 7,04% 6,67% 9,50% 10,93%

0,33% 0,94% 0,24% 0,41% 0,40% 0,31% 0,35% 0,39% 0,50% 0,48%

0,56% 1,71% 0,50% 0,70% 0,84% 0,70% 0,46% 0,43% 0,50% 0,83%

Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG GAG Immobilien AG Hamborner AG IVG Immobilien AG WCM Beteiligungs- und Grundbesitz AG Adidas-Salomon AG Allianz AG Altana AG BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG Degussa AG Deutsche Bank AG Deutsche Telekom AG Dresdner Bank AG EON Fresenius Medical Care AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Linde AG Lufthansa AG MAN AG Metro AG MLP AG

284

Die Schätzer für die β -Faktoren wurden nur berücksichtigt, sofern die entsprechenden Aktien in der Halteperiode im Anlageuniversum enthalten waren.

Anhang

235

Anhang III: Minimale und maximale αˆ - und βˆ -Faktoren in 36 Schätzperioden285 Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG GAG Immobilien AG Hamborner AG IVG Immobilien AG WCM Beteiligungs- und Grundbesitz AG Adidas-Salomon AG Allianz AG Altana AG BASF AG Bayer AG Bayerische HypoVereinsbank AG BMW AG Commerzbank AG Degussa AG Deutsche Bank AG Deutsche Telekom AG Dresdner Bank AG EON Fresenius Medical Care AG Henkel KGaA KarstadtQuelle AG Linde AG Lufthansa AG MAN AG Metro AG MLP AG Münchener Rückversicherungs-AG RWE AG SAP AG Schering AG Siemens AG ThyssenKrupp AG TUI AG Veba AG VIAG AG Mannesmann AG Volkswagen AG

285

α-Faktor Min Max -0,69% -0,04% 0,53% 2,17% 0,30% 0,97% 0,49% 1,76% 0,31% 4,42% -0,03% 1,15% -0,47% 0,84% 1,92% 2,36% 0,14% 1,13% -0,34% 0,78% -1,05% 1,37% -0,71% 1,84% -1,42% 0,36% -1,26% 0,16% -1,21% 0,94% -0,66% 0,68% -0,78% 0,91% 0,16% 0,70% -0,75% 0,65% -0,47% 1,16% -0,90% 0,15% -0,90% 0,31% -0,13% 1,07% -0,66% 0,38% -0,20% 0,87% 1,10% 3,44% 0,43% 1,74% -0,16% 1,04% 0,52% 2,10% -0,29% 1,61% -0,04% 1,86% -0,91% 0,27% -0,49% 0,85% 0,20% 1,04% 0,62% 1,18% 2,32% 2,39% -0,61% 0,74%

β-Faktor Min Max -0,0078 0,2600 0,1500 0,4410 -0,0564 0,2213 0,0080 0,3022 0,4797 1,0073 0,3089 0,5129 0,8615 1,1170 0,2350 0,2668 0,7254 1,0696 0,9192 1,1505 0,7266 1,2425 0,9459 1,3254 0,9048 1,1701 0,7246 1,3100 1,1785 1,4263 0,9688 1,2508 1,1738 1,3392 0,3307 0,4475 0,3927 0,7992 0,5386 1,1441 0,5699 0,8343 0,3574 0,7847 0,6627 1,0273 0,7324 1,0862 0,6585 0,8027 1,3788 1,8696 0,7826 1,2164 0,2544 0,5561 1,3688 1,8754 0,5578 0,9628 1,3244 1,7488 0,8793 1,0736 0,7657 0,9778 0,3753 0,5764 0,3019 0,4094 1,2513 1,2579 0,8385 1,3441

Die Schätzer der Aktien wurden nur berücksichtigt, sofern die Aktien in der Halteperiode im Anlageuniversum enthalten waren.

236

Anhang

Anhang IV: µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell I) Halteperiode 1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

MV-PF µPF 1,40 1,31 1,21 1,54 1,45 1,47 1,32 1,36 1,40 1,47 1,62 1,64 1,57 1,45 1,35 1,22 1,26 1,27 1,31 1,38 1,29 1,05 1,06 0,94 0,99 0,89 0,73 0,82 0,82 0,76 0,63 0,24 0,42 0,44 0,64 0,48

(Angaben in % p.m.)

σPF 4,07 4,06 3,98 3,75 3,75 3,66 4,01 4,00 4,01 3,97 3,92 3,75 3,78 3,73 3,77 3,88 3,92 3,92 3,92 3,84 3,87 4,13 4,04 3,99 3,99 3,93 3,89 3,96 3,97 3,95 3,91 4,39 4,38 4,45 4,40 4,31

GG-PF µPF 2,09 2,06 1,88 2,13 2,01 1,94 1,89 1,90 1,94 1,93 2,04 1,97 1,93 1,89 1,80 1,73 1,78 1,82 1,74 1,86 1,72 1,33 1,47 1,47 1,51 1,41 1,20 1,27 1,17 1,05 0,76 0,26 0,47 0,44 0,64 0,48

σPF 4,50 4,47 4,46 4,15 4,14 3,98 4,34 4,31 4,37 4,21 4,13 3,90 3,96 4,09 4,11 4,27 4,31 4,33 4,20 4,15 4,19 4,25 4,31 4,41 4,42 4,39 4,30 4,41 4,24 4,18 3,96 4,39 4,38 4,45 4,40 4,31

DAX-äquiv. PF µPF σPF 2,19 4,59 2,27 4,66 2,36 5,16 2,49 4,67 2,36 4,69 2,21 4,45 2,19 4,77 2,13 4,63 2,16 4,69 2,09 4,38 2,19 4,30 2,04 3,98 1,94 3,97 1,88 4,08 1,71 3,99 1,62 4,13 1,69 4,19 1,70 4,17 1,64 4,08 1,62 3,93 1,40 3,89 1,04 4,13 1,24 4,10 1,18 4,10 1,24 4,11 1,13 4,04 0,87 3,93 1,01 4,06 0,92 3,99 0,77 3,95 0,63 3,91 0,24 4,39 0,42 4,38 0,44 4,45 0,64 4,40 0,48 4,31

Tangential-PF µPF σPF 3,94 7,38 4,23 7,57 3,16 6,79 2,80 5,28 2,55 5,08 2,27 4,61 2,58 5,61 2,55 5,50 2,57 5,58 2,64 5,38 2,60 5,01 2,42 4,59 2,30 4,57 2,21 4,78 2,27 5,09 2,38 5,73 2,53 5,92 2,57 5,93 2,37 5,47 3,14 6,40 2,86 6,42 2,80 7,01 2,85 7,18 3,04 7,77 3,01 7,67 2,82 7,61 2,51 7,45 2,57 7,71 2,35 7,19 1,83 6,48 1,52 6,08 1,22 7,67 1,49 6,69 1,51 6,28 1,83 6,54 1,79 6,88

Anhang

237

Anhang V: µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell I) Halteperiode 1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

MV-PF µPF 1,52 1,61 1,36 1,56 1,51 1,13 1,05 1,03 1,06 1,12 1,16 1,23 1,15 1,12 1,10 1,07 1,09 1,06 1,06 1,08 1,06 0,90 0,84 0,81 0,84 0,78 0,69 0,69 0,71 0,69 0,44 0,24 0,32 0,37 0,42 0,46

(Angaben in % p.m.)

σPF 3,18 3,18 3,06 2,89 2,89 2,59 2,75 2,77 2,77 2,74 2,72 2,68 2,68 2,70 2,72 2,76 2,77 2,77 2,75 2,73 2,73 2,85 2,80 2,80 2,80 2,76 2,75 2,75 2,75 2,73 2,54 2,83 2,82 2,81 2,78 2,77

GG-PF µPF 2,17 2,13 1,96 2,19 2,09 1,94 1,88 1,88 1,91 1,92 1,99 1,91 1,86 1,88 1,81 1,75 1,79 1,80 1,73 1,82 1,72 1,36 1,48 1,49 1,52 1,42 1,22 1,24 1,17 1,05 0,76 0,29 0,49 0,37 0,42 0,48

σPF 3,43 3,41 3,29 3,15 3,12 2,98 3,20 3,21 3,23 3,11 3,13 3,10 3,17 3,26 3,16 3,21 3,24 3,31 3,24 3,25 3,20 3,12 3,28 3,33 3,35 3,30 3,18 3,28 3,12 3,05 2,84 2,84 2,89 2,81 2,78 2,77

DAX-äquiv. PF µPF σPF 2,19 3,44 2,27 3,50 2,36 3,63 2,49 3,42 2,36 3,37 2,21 3,25 2,19 3,56 2,13 3,48 2,16 3,50 2,09 3,28 2,19 3,33 2,04 3,26 1,94 3,28 1,88 3,26 1,71 3,05 1,62 3,06 1,69 3,12 1,70 3,17 1,64 3,12 1,62 3,04 1,40 2,88 1,04 2,88 1,24 3,01 1,18 3,04 1,24 3,01 1,13 2,94 0,87 2,81 1,01 2,96 0,92 2,84 0,77 2,75 0,50 2,55 0,24 2,83 0,32 2,82 0,37 2,81 0,42 2,78 0,46 2,77

Tangential-PF µPF σPF 3,92 5,40 4,10 5,57 3,60 5,29 3,22 4,36 2,99 4,21 2,64 3,87 2,78 4,49 2,86 4,59 2,83 4,56 2,81 4,30 2,70 4,09 2,43 3,87 2,28 3,86 2,31 4,00 2,39 4,10 2,44 4,36 2,47 4,39 2,41 4,36 2,23 4,13 2,61 4,56 2,44 4,42 2,30 4,73 2,45 5,07 2,50 5,20 2,46 5,13 2,32 5,07 2,02 4,81 1,97 4,93 1,87 4,63 1,51 4,18 1,35 4,82 1,29 6,97 1,42 5,59 1,38 5,30 1,67 5,71 1,40 4,71

238

Anhang

Anhang VI: µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell II) Halteperiode 1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

MV-PF µPF 1,57 1,46 1,38 1,70 1,62 1,60 1,52 1,50 1,53 1,57 1,69 1,70 1,66 1,58 1,50 1,38 1,42 1,46 1,46 1,50 1,40 1,11 1,17 1,09 1,13 1,03 0,85 0,91 0,88 0,83 0,65 0,27 0,47 0,36 0,58 0,56

(Angaben in % p.m.)

σPF 4,48 4,46 4,33 4,01 4,00 3,95 4,27 4,23 4,24 4,20 4,13 3,90 3,93 3,88 3,90 4,06 4,09 4,09 4,10 4,03 4,05 4,48 4,34 4,31 4,30 4,23 4,18 4,27 4,29 4,28 4,29 4,67 4,58 4,70 4,68 4,66

GG-PF µPF 2,09 2,06 1,88 2,13 2,01 1,94 1,89 1,90 1,94 1,93 2,04 1,97 1,93 1,89 1,80 1,73 1,78 1,82 1,74 1,86 1,72 1,33 1,47 1,47 1,51 1,41 1,20 1,27 1,17 1,05 0,76 0,27 0,47 0,36 0,58 0,56

σPF 4,76 4,75 4,67 4,28 4,26 4,19 4,47 4,45 4,52 4,40 4,32 4,03 4,05 4,15 4,13 4,33 4,41 4,41 4,31 4,28 4,31 4,58 4,54 4,62 4,63 4,61 4,55 4,66 4,61 4,49 4,34 4,67 4,58 4,70 4,68 4,66

DAX-äquiv. PF µPF σPF 2,19 4,85 2,27 4,94 2,36 5,33 2,49 4,77 2,36 4,78 2,21 4,61 2,19 4,92 2,13 4,78 2,16 4,84 2,09 4,60 2,19 4,51 2,04 4,12 1,94 4,06 1,88 4,13 1,71 4,01 1,62 4,19 1,69 4,24 1,70 4,23 1,64 4,18 1,62 4,07 1,40 4,05 1,11 4,48 1,24 4,36 1,18 4,33 1,24 4,34 1,13 4,27 0,87 4,18 1,01 4,31 0,92 4,30 0,83 4,28 0,65 4,29 0,27 4,67 0,47 4,58 0,36 4,70 0,58 4,68 0,56 4,66

rend.max.-PF µPF σPF 2,81 6,75 2,91 6,72 2,58 6,54 2,80 6,04 2,66 6,11 2,54 5,95 2,56 6,06 2,58 6,28 2,62 6,28 2,62 6,28 2,70 6,19 2,56 6,31 2,52 6,31 2,48 6,26 2,38 6,35 2,35 6,37 2,44 6,40 2,47 6,47 2,38 6,44 2,62 6,62 2,45 6,76 2,10 7,12 2,30 7,28 2,32 7,43 2,40 7,44 2,27 7,40 2,02 7,41 2,06 7,43 1,96 7,53 1,77 7,43 1,52 7,18 0,93 7,62 1,22 7,50 0,91 7,59 1,25 7,98 1,23 8,03

Anhang

239

Anhang VII: µ PF und σ PF effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell II) Halteperiode 1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

MV-PF µPF 1,76 1,69 1,59 1,78 1,70 1,44 1,38 1,35 1,38 1,43 1,48 1,44 1,34 1,33 1,29 1,23 1,26 1,25 1,24 1,26 1,22 1,07 1,04 0,98 1,00 0,91 0,79 0,81 0,83 0,79 0,59 0,31 0,46 0,46 0,62 0,58

(Angaben in % p.m.)

σPF 3,50 3,48 3,34 3,12 3,12 2,83 3,05 3,05 3,05 3,02 2,98 2,90 2,91 2,93 2,95 3,02 3,04 3,04 3,03 2,99 3,00 3,24 3,15 3,14 3,13 3,07 3,04 3,05 3,05 3,02 3,02 3,45 3,42 3,45 3,41 3,37

GG-PF µPF 2,17 2,13 1,96 2,19 2,09 1,94 1,88 1,88 1,91 1,92 1,99 1,91 1,86 1,88 1,81 1,75 1,79 1,80 1,73 1,82 1,72 1,36 1,48 1,49 1,52 1,42 1,22 1,24 1,17 1,05 0,76 0,31 0,49 0,46 0,62 0,58

σPF 3,64 3,62 3,47 3,27 3,25 3,08 3,29 3,30 3,34 3,25 3,25 3,19 3,25 3,35 3,31 3,38 3,41 3,47 3,39 3,42 3,37 3,39 3,45 3,52 3,54 3,50 3,42 3,52 3,36 3,28 3,15 3,45 3,43 3,45 3,41 3,37

DAX-äquiv. PF µPF σPF 2,19 3,65 2,27 3,71 2,36 3,91 2,49 3,60 2,36 3,56 2,21 3,39 2,19 3,71 2,13 3,61 2,16 3,65 2,09 3,43 2,19 3,47 2,04 3,34 1,94 3,36 1,88 3,35 1,71 3,20 1,62 3,24 1,69 3,29 1,70 3,33 1,64 3,28 1,62 3,20 1,40 3,06 1,07 3,24 1,24 3,22 1,18 3,20 1,24 3,23 1,13 3,16 0,87 3,06 1,01 3,18 0,92 3,07 0,79 3,02 0,59 3,02 0,31 3,45 0,46 3,42 0,46 3,45 0,62 3,41 0,58 3,37

rend.max.-PF µPF σPF 3,19 6,06 3,30 5,91 2,97 5,81 3,14 5,51 3,00 5,45 2,87 5,54 2,84 5,56 2,86 6,00 2,90 6,20 2,91 6,17 2,95 6,08 2,78 6,10 2,71 6,13 2,75 6,24 2,64 5,88 2,63 6,34 2,71 6,34 2,72 6,35 2,61 6,38 2,83 6,57 2,70 6,64 2,40 6,98 2,60 7,17 2,66 7,20 2,72 7,13 2,56 7,08 2,28 7,22 2,23 7,46 2,15 7,23 1,94 7,13 1,64 7,27 1,05 7,65 1,34 7,54 1,05 7,08 1,34 7,19 1,34 7,18

Bayerische HypoVereinsbank AG

Bayer AG

BASF AG

Altana AG

Allianz AG

Adidas-Salomon AG

Angaben in %

14,7 12,7 12,3

Commerzbank AG

0,0

Degussa AG 0,5 1,0 1,3 1,6 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,6 2,0 1,2 1,4 1,4 1,1 1,5 1,0 0,6 1,1 1,8 2,9 3,5

E.ON AG (ehemals Veba AG)

0,2 0,3 0,6 0,8 1,1 1,7 1,8 2,6 1,5 1,4 0,2

Fresenius M edical Care AG 8,9 8,7 8,9 9,1 8,5 7,1 7,3 6,2 5,2 5,4 6,3 4,6 3,6 0,5

Henkel KGaA

7,7 7,8 7,6 7,8 7,5 7,3 7,3 7,6 7,9 8,3 7,2 6,0 5,7 5,4 5,9 5,5 5,7 5,7 5,8 5,9 7,4 7,2 7,5 6,2 5,8

KarstadtQuelle AG

0,0 0,4 0,7 1,5 1,6 1,7 1,9 2,3 1,8 1,9 2,0 2,3 2,5 2,3 2,3 2,2 3,1 3,1 4,5 4,3 4,8 4,9 5,3 5,8 5,6 5,8 6,2 5,4 6,3 6,6 8,1 9,0 10,9

Linde AG

1,4 1,5 1,2 2,3 2,5 2,6 2,7 3,1 2,7 3,7 4,1 4,5 5,2 4,6 4,6 4,5 4,8 5,4 6,1 6,1 6,9 7,0 6,2 5,6 5,1 5,1 5,2 4,4 3,1 3,2 3,0 3,6 3,5

Lufthansa AG 1,5 2,1 1,1 1,9 1,6 3,9 5,5 6,1 6,1 6,3 6,2 6,7 7,4 7,6 7,0 7,1 7,6 7,7 6,9 6,8 5,6

M etro AG 2,7 3,1 2,7 2,6 2,5 2,6 2,5 2,9 3,6 3,6 4,0 3,3 4,4 4,9 1,9 0,9 0,9

M ünchener Rückvers. AG 0,5 1,6 3,3

0,3 0,4 1,1 0,4 0,4 1,6 0,5 0,5 0,6 0,2 0,2 0,0 0,1

22,4 21,3 22,5 19,3 18,6 18,8 22,0 21,6 21,0 20,3 20,3 17,8 17,8 18,1 17,9 19,2 19,0 18,9 18,9 19,5 19,2 22,2 21,7 21,9 21,9 21,8 21,4 21,4 21,8 21,8 21,7 20,8 17,8 14,6 15,1 16,7

5,7 4,9 2,8 3,9 4,8 5,7 8,3 8,8 9,0 11,2 12,1 10,3 8,1 8,4 7,2 8,9 9,2 8,8 8,8 8,8 8,1 12,0 10,3 10,1 10,1 10,0 10,6 12,2 12,9 12,8 13,4 10,0 9,8 9,6 10,7 11,0 0,0

0,8 0,6 0,7 0,5 0,3 0,3

0,6 1,0 1,1 0,3 0,5

1,6 2,6 1,7

0,5

3,9 4,1 6,7 7,5 7,0 3,5 4,7 4,8 4,3 4,0 4,3 3,8 4,0 3,7 3,1 3,1 3,2 3,3 2,8 2,7 3,4 1,2 0,6 0,3 0,4 1,0 1,1 0,9 0,3

25,2 25,1 23,8 21,5 21,5 21,4

0,2 0,7 0,6 0,7 1,1 1,4 1,4 1,3 1,3 1,2 1,3 1,0 0,2

Volkswagen AG

0,2 0,5

0,4 3,6 3,0 4,1 5,2 5,7 5,6 5,5 4,7 5,4 4,3 4,1 4,9 4,4 3,8 3,8 3,4 3,3 3,7 2,0 1,7 1,1 1,0 1,4 1,4 1,1 0,6 0,4

M AN AG

10,1 9,8 11,2 12,3 12,6 13,2 16,2 15,9 16,0 16,0 15,4 14,9 15,1 14,8 15,2 14,9 14,7 14,8 14,9 14,5 14,5 16,3 15,2 14,4 14,4 14,9 15,3 15,7 15,4 15,2 16,6 18,1 18,3 17,2 19,1 18,9

RWE AG

4,9 5,0 6,0 4,9 5,3 5,8 6,4 6,3 6,2 6,9 6,8 6,5 5,7 4,9 4,7

Schering AG

20,7 21,2 19,2 17,2 17,4 17,7 20,7 19,6 19,8 19,9 19,1 17,9 18,3 18,0 17,0 18,3 18,7 18,7 19,0 18,9 19,1 21,9 20,8 21,6 21,5 20,7 20,1 20,5 20,7 21,3 21,4 19,9 18,6 18,8 19,1 19,5

ThyssenKrupp AG

5,5 6,1 2,4 1,0 1,5 0,7 2,1 1,9 2,2 1,0 0,3

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

0,3 2,4 3,0 3,1 3,2 4,5 4,1 4,4 3,8 4,1 3,4 3,1 3,1 4,2 4,4 4,6 4,5 4,7 2,7 2,0

VIAG AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

240 Anhang

Anhang VIII: Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell I)

Minimum-Varianz-Portfolio M annesmann AG

Veba AG

Siemens AG

SAP AG

M LP AG

Infineon AG

Epcos AG

Dresdner Bank AG

Deutsche Telekom AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

DaimlerChrysler AG

BM W AG

Bayer AG

BASF AG

Altana AG

Allianz AG

Adidas-Salomon AG

Angaben in %

14,7 12,7 12,3

Bayerische HypoVereinsbank AG

0,9 0,4 0,2

BMW AG

7,0 7,2 7,7 7,2 4,5 4,5 4,8 4,6 6,4 6,1 4,8 3,6 3,8 4,8 3,8 3,2 2,2 3,1 4,4 5,2 7,3 6,8 7,5 6,2 5,8

Degussa AG 0,1 2,7 3,0

0,0 0,1

1,6 2,5 2,4 2,6 2,7 3,6 3,5 3,0 2,0 2,2 1,7 2,3 4,0 4,3 1,9 0,9 0,9

Metro AG

1,3

0,7

0,1

5,5 4,1 1,2 3,3 5,7 6,2 5,8 3,6 4,5 1,4

MLP AG

1,3 0,8

Fresenius Medical Care AG 6,5 5,1 5,2 4,2 1,9 1,7 3,4 1,1 2,7 5,0 5,3 4,6 3,6 0,5

2,5 2,7 3,0 0,7 0,1 0,4

2,2 0,6 1,6 2,1 1,4

18,8 17,9 15,4 12,4 10,8 13,1 16,0 16,2 17,0 16,5 18,0 15,9 15,1 11,4 10,8 13,2 13,8 13,0 16,3 18,9 18,8 22,2 20,0 18,5 19,0 18,7 17,0 17,3 19,1 18,0 20,8 20,6 17,5 14,6 15,1 16,7 0,1

0,2 1,5

3,6 3,0 7,3 4,9 2,8 0,4

3,3 1,3 0,7 3,2 9,2 13,7 19,2 19,2 19,7 21,5 21,0 18,2 15,2 17,1 13,5 16,2 17,3 18,6 18,2 16,4 16,6 18,3 19,5 21,5 20,6 22,2 24,4 24,5 25,2 23,5 18,0 10,9 11,7 9,6 10,7 11,0 1,0

1,8 1,6 1,4

0,1 1,4 0,9 1,6 2,3 1,1 0,6 0,6 3,0 1,7 1,2 3,8

4,9 3,8 5,9 6,9 6,1

25,3 13,6 25,7 13,2 24,6 21,8 22,0 23,1

0,6 0,5 1,4 0,8 0,9 1,0 1,7 1,8 2,2 2,5 1,1 1,3 0,1

Volkswagen AG

1,8 2,7 3,1 2,4 3,1 1,7 1,6 0,3

Commerzbank AG 2,1 0,3 1,1 5,2 5,9 4,8 7,3 6,7 8,6 8,2 5,0 7,3 5,0 5,0 3,8 5,2 6,7 6,3 10,9 7,9 7,9 6,9 6,2 10,4 9,4 8,8 9,5 13,5 17,7 17,3 17,2 19,1 18,9

MAN AG

1,9 1,3 1,8

E.ON AG (ehemals Veba AG)

0,3 1,3 1,3

Henkel KGaA 0,0 0,5 1,6 2,2 3,4 3,1 3,5 2,6 2,7 3,7 5,0 5,4 4,9 3,3 2,1 4,4 4,9 6,0 5,3 4,4 4,5 3,7 5,8 6,1 6,5 8,2 6,4 6,6 7,4 8,1 9,0 10,9

KarstadtQuelle AG 3,0 7,2 7,9 6,7 6,5 7,1 7,6 6,9 7,1 6,4 6,0 6,8 10,7 10,0 12,0 12,9 12,7 11,0 6,9 8,3 7,6 9,0 9,7 9,6 8,6 8,2 9,4 9,0 6,8 3,4 1,8 3,8

Siemens AG

2,4

Linde AG 1,3 1,7 2,0 2,6 1,6 6,2 7,4 7,5 6,3 6,7 5,3 7,7 9,5 8,8 6,7 5,5 3,7 5,7 5,0 4,9 3,0

Lufthansa AG

0,6

Münchener Rückvers. AG

0,0

RWE AG

17,0 18,8 17,1 15,0 15,9 16,7 18,7 19,1 19,0 19,2 17,5 17,3 17,3 14,5 12,7 12,9 12,1 11,5 13,9 15,4 15,6 20,2 18,0 16,6 17,1 17,0 15,8 16,3 17,7 17,4 21,2 19,8 18,6 18,8 19,1 19,5

SAP AG

5,0 5,4 4,4

Schering AG

3,0 4,1 6,5 7,3 8,8 8,4 9,9 8,6 10,3 7,4 7,3 5,7 5,2 6,9 9,8 9,7 10,0 8,2 8,5 2,0 1,1

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

4,1 1,5 5,2 8,2 7,3 6,7 7,3 7,1 5,4 4,6 5,4 4,5 7,4 8,2 8,8 7,8 7,6 6,6 5,2 5,5 6,0 5,9 4,4 4,1 2,4 4,4 3,9 4,4 3,6 8,2 6,4 3,5 4,1 3,0 3,6 3,5

VIAG AG

2,6 5,3 5,3 2,0 3,6 3,8 3,0 2,1 2,0 1,3 1,3 0,3 2,0 2,4 2,9 3,3 5,5 1,4 2,4 0,5

Mannesmann AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 241

GG-Portfolio

Veba AG

ThyssenKrupp AG

Infineon AG

Epcos AG

Dresdner Bank AG

Deutsche Telekom AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

DaimlerChrysler AG

Bayerische HypoVereinsbank AG

Bayer AG

BASF AG

Altana AG

Allianz AG

Adidas-Salomon AG

Angaben in %

1,0 0,4 0,1

BMW AG

6,8 7,2 7,7 7,3 5,2 5,1 5,4 5,4 7,0 7,6 7,2 4,8 4,7 5,2 4,8 4,8 3,9 5,0 5,8 5,9 7,4 7,2 7,5 6,2 5,8

Degussa AG

Linde AG 4,1 3,5 7,1 8,0 5,3 8,9 7,2 6,8 6,5 7,7 9,7 11,8 16,3 11,5 10,8 10,1 10,2 13,6 12,2 13,6 14,9 16,6 18,1 18,3 17,2 19,1 18,9

0,4

1,0

0,2 0,5

0,3

0,9

0,8 2,4 2,0

0,3

2,2 3,0 2,7 2,9 3,0 3,5 3,4 3,1 3,0 3,3 3,9 3,3 4,4 4,9 1,9 0,9 0,9

Metro AG

1,0 1,8 2,9 3,5

Fresenius Medical Care AG 7,8 6,7 6,8 6,3 6,2 4,2 6,3 6,0 5,2 5,4 6,3 4,6 3,6 0,5

KarstadtQuelle AG 0,8 1,1 2,1 0,6 0,2 1,3

0,6 1,2 0,7

1,2

MLP AG

0,0

0,2 2,0

Henkel KGaA 0,5 1,7 3,3 3,1 3,6 2,7 2,7 3,7 4,5 4,9 4,5 3,2 2,2 4,2 3,9 4,5 5,3 5,1 5,1 4,8 6,1 6,3 6,2 6,4 5,4 6,3 6,6 8,1 9,0 10,9

0,1

MAN AG

5,3 7,3 7,2 5,2 6,3 4,7 7,8 9,5 8,8 6,8 6,0 4,4 6,3 5,6 5,9 5,0

1,5

0,5 1,6 3,3

0,6

0,3 1,4

8,2

0,5

0,1 0,2 1,5 2,4 1,6 1,3 1,2 3,2 2,1 2,1 3,8 1,2 0,2 0,4 0,5 2,0 1,7 1,9 0,3

4,6 2,9 2,5 5,3 3,0

25,2 15,7 25,4 17,1 23,5 21,1 20,6 22,1

0,1 0,2 1,4 0,8 0,9 1,0 1,7 1,8 2,1 2,3 1,3 1,6 0,8 0,2

Volkswagen AG

1,7 1,9 2,1 1,7 2,0 0,9 0,7

Commerzbank AG

0,1 1,0 2,0 2,1

E.ON AG (ehemals Veba AG) 18,1 4,6 2,5 16,7 4,8 8,2 15,1 7,0 11,0 0,7 2,4 9,1 9,7 5,3 5,0 16,1 10,6 3,1 24,5 12,9 2,9 22,7 14,1 4,7 22,9 15,0 1,2 24,3 17,0 0,9 23,8 15,4 19,9 15,0 15,4 11,6 16,9 12,3 12,3 14,6 14,8 14,8 15,9 14,5 16,5 17,0 16,0 19,1 13,9 19,0 11,3 22,2 12,0 20,9 15,7 19,9 17,4 20,1 17,0 20,0 17,5 19,9 16,0 19,0 19,6 21,1 16,6 21,6 13,5 21,7 13,4 20,8 10,0 17,8 9,8 14,6 9,6 15,1 10,7 16,7 11,0

Siemens AG

0,6

Lufthansa AG 4,1 12,3 13,3 12,7 12,2 12,1 11,6 10,3 9,3 8,6 7,6 7,0 10,4 7,9 9,5 10,7 10,0 8,6 4,8 3,4 1,6 5,6 6,6 6,6 5,6 3,5 6,1 2,8

Münchener Rückvers. AG

1,0 0,9

RWE AG

16,3 17,8 13,3 12,4 12,5 12,8 16,0 18,1 17,6 18,7 16,8 17,1 17,2 14,6 13,6 14,2 13,4 13,3 15,3 16,7 18,0 21,9 19,5 18,8 19,0 18,7 18,7 18,3 19,9 21,2 21,4 19,9 18,6 18,8 19,1 19,5

SAP AG

4,5 4,5 2,3

Schering AG

3,1 4,5 7,6 9,2 12,1 10,9 12,5 10,1 12,2 8,2 8,2 6,2 5,2 6,8 8,8 8,7 9,1 7,4 7,7 2,5 1,9

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

4,4 1,3 5,9 11,1 9,7 7,8 8,9 8,0 5,2 4,6 5,9 4,8 7,5 8,1 8,1 7,4 7,2 6,3 5,2 5,7 5,9 6,1 5,8 6,0 4,9 5,9 5,5 5,5 4,9 5,5 4,4 3,1 3,2 14,7 3,0 12,7 3,6 12,3 3,5

VIAG AG

1,1 7,3 7,3 1,2 4,5 4,5 2,8 2,1 2,2 1,5 1,3 0,3 1,9 2,3 2,8 3,1 5,0 1,9 2,1 0,2

Mannesmann AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

242 Anhang

DAX-äquivalentes Portfolio

Veba AG

ThyssenKrupp AG

Infineon AG

Epcos AG

Dresdner Bank AG

Deutsche Telekom AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

DaimlerChrysler AG

Allianz AG

Adidas-Salomon AG

Angaben in %

45,4 47,5 52,0

Altana AG

4,0

6,1

4,6 7,6

10,7 12,0 43,9 26,3 14,3 20,3 19,6

4,5 1,5

2,6

E.ON AG (ehemals Veba AG)

1,2 5,9

Dresdner Bank AG 0,9

3,8

1,6 2,5 3,5 0,5 0,6

Henkel KGaA 6,0 4,2 4,1 17,2 8,4 9,5

2,4 3,8 0,6

1,2 1,4 2,7 2,3 1,9 3,7 7,0 7,3 5,3 2,2 1,4 7,2 10,3 8,1 4,3

30,0 27,2 32,1 30,3 33,8 33,9 30,3 25,5 27,7 23,4 10,5 5,6 0,8

MLP AG

1,2

Bayer AG

3,0

BMW AG

1,1 4,3 4,1 0,6 1,5 4,0 7,4 8,8 5,9 8,5 5,6 4,3 1,5

Lufthansa AG

1,0 0,1

BASF AG

4,7 5,2 7,2 5,5

Bayerische HypoVereinsbank AG 2,8 0,4

16,7 54,6 12,6 55,0 17,5 19,6 19,0 21,8

0,9 0,3 0,5 2,2

0,2

Volkswagen AG

0,3 0,2

Münchener Rückvers. AG

4,8 4,1 3,4

RWE AG

8,4 7,5 0,7 2,4 2,9

SAP AG

22,8 8,9 22,2 19,8 29,1 19,6 18,3 0,8 17,0 15,5 12,5 8,8 2,7 13,5 3,2 6,1 16,4 2,5 18,8 8,2 29,5 5,5 20,3 0,6 9,3 28,0 3,9 16,8 4,6 11,5 27,4 8,3 19,6 3,0 9,4 36,4 16,9 9,8 7,1 33,0 17,9 9,9 30,3 17,0 8,0 23,7 19,1 3,9 3,2 22,7 22,3 19,1 28,6 0,8 4,4 23,8 28,5 2,5 10,2 24,7 28,6 1,6 8,7 30,0 25,1 8,9 5,0 30,4 16,1 13,9 1,7 27,5 19,8 14,7 0,7 28,4 22,2 13,0 31,5 24,0 7,9 2,7 34,4 22,0 0,7 6,8 36,7 20,8 4,1 7,8 33,3 17,7 2,6 11,5 37,9 15,3 10,7 43,9 18,9 12,8 39,0 22,3 1,2 5,5 47,6 18,7 4,2 45,4 18,2 2,1 46,5 51,2 50,4 31,8 22,7 21,9 2,5

Schering AG

2,1 9,1 9,7 11,7 8,0 12,1 11,7 12,1 10,6 13,5 12,5 9,6 4,8 1,2

Siemens AG

2,8 1,3 7,6 10,6 13,5 11,4 15,2 12,2 15,4 10,7 10,4 8,3 6,5 8,9 15,6 15,7 15,3 11,5 12,8

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

4,3 13,3 10,2 7,9 8,4 7,3 2,0 1,6 5,0 5,1 10,5 9,7 12,2 8,0 7,1 5,7 2,2 0,3 0,2

VIAG AG

3,1

Mannesmann AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 243

Tangential-Portfolio

Veba AG

ThyssenKrupp AG

Metro AG

MAN AG

Linde AG

KarstadtQuelle AG

Infineon AG

Fresenius Medical Care AG

Epcos AG

Deutsche Telekom AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

Degussa AG

DaimlerChrysler AG

Commerzbank AG

A didas-Salomon A G

W C M B eteiligungs- und G rundbesitz-A G

IV G Immobilien A G

H amborner A G

G A G Immobilien A G

D eutsche B eamtenvorsorge Immobilienholding A

A ngaben in %

0,1 0,2 0,7 0,1 0,1

A llianz A G

3,8 3,8 3,9 4,0 3,7 3,6 3,5 3,6 3,9 4,1 3,3 2,7 2,6 2,5 2,8 2,6 2,6 2,6 2,6 2,4 2,8 2,8 2,8 2,3 2,2

A ltana A G

5,7 4,9 4,9

B A SF A G

D egussa A G

Fresenius Medical C are A G 4,1 4,1 4,2 4,3 4,1 3,2 3,3 2,8 2,1 1,9 2,3 1,6 1,2

0,2 0,2 0,0

1,1 1,3 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 1,1 1,5 1,4 1,6 1,3 1,3 1,6 0,3 0,0

Metro A G

0,1 0,6 0,6 1,0

0,1 0,3 0,4 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4 0,5 0,5 0,1 0,2 0,2 0,1 0,3 0,1

1,4 1,1 1,0 1,5 1,9 1,8 1,7 1,4 2,1 1,6 1,6 2,1 1,8 1,5 1,5 1,3 1,3 1,4 0,3 0,3

12,6 11,4 12,6 11,0 10,7 8,8 9,8 9,9 9,6 9,2 9,4 8,8 8,7 9,3 9,1 9,5 9,3 9,2 0,1 9,1 9,7 9,4 0,1 10,3 10,2 10,5 10,5 10,6 10,6 10,1 10,2 10,2 9,1 8,2 0,5 7,0 5,4 5,7 6,4 1,1 1,9 1,1 2,8 2,9 3,0 4,3 4,6 4,5 3,4 3,8 3,1 3,9 4,0 3,9 3,9 3,9 3,5 5,0 4,3 4,2 4,3 4,3 4,7 5,3 5,6 5,5 5,4 3,2 3,2 3,1 3,7 3,8

0,9 0,4 0,9 0,4

0,3 1,0 2,8 3,7 3,5 0,5 1,1 1,4 1,2 1,0 1,2 1,3 1,5 1,5 1,1 1,1 1,1 1,2 1,0 0,9 1,3

14,8 14,6 13,5 12,4 12,5 10,3

0,2 0,3 0,4 0,3 0,3 0,3 0,4 0,1

V olksw agen A G

0,2 0,5 1,2 1,5 1,7 2,0 1,7 1,7 1,7 1,9 2,2 2,1 2,2 2,6 2,7 2,4 2,1 1,7 1,6 1,7 1,6 0,2 0,3 0,3 0,8 0,5

H enkel K G aA 0,0 0,1 0,1 0,3 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,7 0,7 0,7 1,2 1,2 1,6 1,6 1,9 1,9 2,2 2,5 2,3 2,3 2,5 2,1 1,9 2,1 2,8 3,2 4,0

0,4 0,3 0,8 1,7 2,0 2,0 2,0 2,0 2,8 3,3 3,6 3,2 3,2 3,4 3,4 3,0 3,0 2,4

0,1

MA N A G

0,1

4,8 3,3 6,0 6,9 7,1 6,0 6,9 7,1 7,2 7,1 7,1 7,3 7,3 7,5 7,7 7,3 7,1 7,1 7,1 7,1 7,0 7,4 7,0 6,7 6,7 7,1 7,4 7,3 7,1 7,0 6,9 7,0 7,2 6,5 7,3 7,3

ThyssenK rupp A G

0,0 0,1

B ayerische H ypoV ereinsbank A G

0,1

C ommerzbank A G

21,9 20,0 19,1 19,1 18,2 17,6 15,5 15,5 15,4 14,5 14,6 14,5 14,4 14,4 13,9 14,0 16,0 15,6 15,4 15,4 15,0 14,8 14,9 14,8 14,6 12,5 15,2 15,1 15,9 15,6 15,2

E.O N (ehemals V eba A G ) 2,1 1,5 3,1 2,5 2,8 2,4 2,4 2,6 2,5 2,9 3,0 3,1 2,6 2,3 2,2

K arstadtQ uelle A G

11,5 11,5 10,5 9,7 9,9 8,2 9,2 8,9 8,9 8,9 8,7 8,8 8,9 9,2 8,6 9,0 9,0 9,0 9,1 9,3 9,3 10,0 9,7 10,2 10,2 9,9 9,8 9,5 9,6 9,8 8,9 7,7 7,2 7,0 7,3 7,6

Linde A G

1,4 2,3

Lufthansa A G

0,7 1,3 1,5 0,9 1,6 1,4 1,5 1,1 1,2 1,2 1,1 1,2 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 1,0 0,6

Münchener R ückvers. A G

3,9 6,9 4,6 4,2 3,8 2,1 2,6 2,3 2,3 2,3 2,2 1,2 0,8 0,8 1,2 1,2 1,3 1,3 1,1 0,8 1,3 1,2 1,0 1,0 1,0 1,0 0,9 1,3 1,3 1,5 0,9

RWE AG

13,7 13,7 13,6 13,5 13,6 11,1 12,4 12,6 12,8 12,7 12,8 12,7 12,5 12,6 13,3 13,9 14,2 14,6 14,7 14,7 14,8 13,1 12,5 12,1 12,0 12,2 12,1 12,2 12,3 12,5 9,0 9,1 8,9 7,6 7,7 7,6

Schering A G

27,1 25,6 25,8 25,1 25,1 20,5 23,0 23,0 22,9 23,8 23,5 22,7 23,1 23,1 23,4 23,9 24,1 24,0 24,2 23,5 23,6 26,2 25,8 25,5 25,5 24,9 24,6 25,0 24,8 24,6 34,7 38,4 38,5 38,7 38,0 38,6

TU I A G seit 2003 (ehemals Preussag A G )

7,0 7,6 6,7 5,7 5,6 4,5 5,1 5,0 5,0 4,8 4,7 3,3 3,8 1,7 1,5 1,6 1,7 1,7 1,8 1,8 1,8 2,0 2,0 2,0 2,0 2,1 2,2 3,1 3,2 3,1 2,6 2,5 2,4 2,1 2,3 2,1

V IA G A G

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

244 Anhang

Anhang IX: Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell I)

Minimum-Varianz-Portfolio Mannesmann A G

V eba A G

Siemens A G

SA P A G

MLP A G

Infineon A G

Epcos A G

D resdner B ank A G

D eutsche Telekom A G

D eutsche Post A G

D eutsche B ank A G

D aimlerC hrysler A G

B MW A G

B ayer A G

A didas-Salomon A G

WC M B eteiligungs- und G rundbesitzAG

IV G Immobilien A G

H amborner A G

D eutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding A G

G A G Immobilien A G

A ngaben in %

A ltana A G

5,7 4,9 5,4

3,5 4,1 0,9 2,1 0,3 0,8 0,7

1,1 1,3

0,3 0,1

D egussa A G 0,1

0,9 0,1 1,6 1,2

0,4

0,4 0,1 0,3 0,0

0,1

0,4 0,5 1,1 1,2 0,8

0,0 0,7

Metro A G

0,1

Fresenius Medical Care A G 2,1 1,2 1,3 0,7

0,6

6,0 4,1 2,7 3,7 4,6 5,0 4,4 2,8 3,9 1,8

MLP A G

0,2

0,2 0,9 1,1 0,8 1,6 1,0 0,9

0,2 0,5 0,0

K arstadtQ uelle A G

0,3 0,7 2,5

BMW A G 0,4

H enkel K G aA 0,2 1,0 0,9 1,4 0,9 1,0 1,5 2,3 2,2 2,1 1,2 0,3 2,0 2,2 2,0 1,6 0,7 0,7 0,4 1,9 2,1 2,4 3,8 3,4 2,6 4,0 2,8 3,2 4,0

0,1 0,5 0,1 2,3 2,8 2,9 2,3 2,4 1,9 4,0 5,7 4,7 3,2 2,1 0,8 2,1 1,5 1,4 0,1

Lufthansa A G

0,4

Linde A G 0,7 1,7 1,1 0,6 0,5 1,6 1,2 2,0 2,0 2,3 1,9 2,3 3,7 1,6 1,3 0,1 0,0 1,0 1,2 1,9 0,8 1,6 0,7 0,7 3,7 2,7 2,3 2,3 1,0 6,2 4,9 6,5 7,3 7,0

10,1 0,6 9,3 0,6 1,7 9,1 1,8 3,0 7,4 1,3 0,6 2,2 6,7 0,1 3,8 2,1 7,2 5,7 3,6 6,9 9,6 3,7 7,7 9,4 3,2 8,3 0,5 9,6 3,7 7,7 11,6 3,8 9,4 12,2 5,1 8,5 12,7 5,8 7,9 10,8 6,0 6,5 9,9 5,2 5,9 7,0 6,3 6,4 8,2 7,2 6,6 9,0 7,9 6,0 10,8 7,6 8,2 11,5 4,8 10,3 10,7 5,2 9,9 9,8 4,5 10,5 9,9 5,5 9,4 11,2 5,4 8,2 11,8 5,2 8,6 11,2 4,7 8,6 0,3 12,4 4,2 7,2 13,5 5,4 7,4 0,8 13,9 5,2 8,6 14,4 4,2 7,3 13,7 4,4 8,0 14,0 0,2 7,9 5,1 1,5 6,2 7,4 5,4 3,1 5,7 3,7 6,0 4,1 1,2

0,7

0,3

0,9 0,1 2,6 3,3 2,9

14,1 5,2 14,0 5,6 13,4 12,4 12,4 12,6

0,4 0,3 0,5 0,9

0,2

V olksw agen A G

0,5 1,4 1,0 2,6 1,9 2,8 2,3 2,0

3,8 4,1 4,7 4,0 2,1 2,0 2,1 1,7 3,0 2,7 0,8 0,6 1,0 1,9 1,2 0,8

A llianz A G 9,1 9,8 9,3 8,4 8,9 8,9 8,7 9,6 9,5 9,5 9,1 9,7 9,7 8,4 6,8 6,1 5,4 4,8 6,0 7,2 7,2 8,4 7,6 6,5 6,8 7,3 6,4 6,6 7,5 6,7 8,9 7,6 7,3 7,0 7,3 7,3

MA N A G

0,3 0,5 0,0

BA SF A G

1,4 1,4

Bayerische H ypoV ereinsbank A G

4,9 7,1 5,3 4,7 4,5 2,2 3,9 2,1 0,5 1,3 4,0 3,7 2,6 3,0 2,9 3,4 9,2 6,9 7,3 6,6 6,7 6,9 5,3 6,2 5,5 4,9 14,0 11,9 15,9 15,6 14,9

Commerzbank A G 1,1 1,3 1,1

E.O N (ehemals V eba A G )

0,3 1,1 2,5 3,4 4,0 3,8 5,0 4,2 5,1 3,6 3,9 3,4 3,1 3,6 5,3 4,9 5,3 4,4 5,1 0,1

Münchener R ückvers. A G

1,0 3,2 2,7 2,1 2,7 2,6 1,6 1,1 2,2 1,9 4,6 4,0 4,3 3,2 3,2 2,8 1,9 2,1 2,2 0,3

RW E A G

0,0

SA P A G

13,4 12,8 13,5 13,3 12,5 11,1 11,9 11,9 12,1 10,6 10,4 8,3 8,1 9,4 8,6 8,9 9,3 9,4 8,4 6,2 7,2 5,9 7,8 8,3 8,3 8,1 7,2 7,7 6,9 6,3 3,2

Schering A G

13,5 13,5 13,0 12,8 13,1 12,1 13,3 13,5 14,2 14,0 14,0 14,5 13,9 15,0 17,2 19,1 18,4 17,7 17,2 17,7 18,2 13,9 13,7 12,6 11,5 11,5 13,0 13,0 13,8 14,0 9,2 9,4 10,3 7,6 7,7 7,6

TU I A G seit 2003 (ehemals Preussag AG)

22,9 23,0 21,5 19,4 20,7 19,7 20,2 19,8 19,8 21,8 20,8 18,3 19,1 19,3 20,7 20,3 20,7 21,2 21,0 20,5 21,1 26,6 24,3 25,8 26,5 26,7 27,0 26,9 25,4 25,4 31,6 38,7 38,3 38,7 38,0 38,7

V IA G A G

8,8 8,8 8,8 7,2 6,9 6,9 7,5 7,2 6,9 6,3 5,8 2,7 2,3 3,7 3,0 3,3 3,2 3,2 3,2 2,9 3,6 3,5 4,3 4,7 4,6 5,0 4,3 3,9 4,6 5,0 5,0 3,3 3,9 2,1 2,3 2,2

Mannesmann A G

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 245

GG-Portfolio

V eba A G

ThyssenK rupp A G

Siemens A G

Infineon A G

Epcos A G

D resdner B ank A G

D eutsche Telekom A G

D eutsche Post A G

D eutsche Bank A G

D aimlerChrysler A G

Bayer A G

IVG Immobilien AG

Hamborner AG

GAG Immobilien AG

Angaben in %

Adidas-Salomon AG

Allianz AG

Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG

Altana AG

5,7 4,9 4,9

0,2 1,4 1,7 1,4 1,0 2,4 2,2 0,2 0,3 0,3 0,8 0,5

Degussa AG 0,6 1,0

Fresenius Medical Care AG 2,5 2,2 2,3 0,8 1,9 1,8 1,3 1,9 2,3 1,6 1,2

2,8 1,5 1,4 2,5 2,5 2,5 2,9 2,5 1,9 2,1 2,8 3,2 4,0

KarstadtQuelle AG 0,2

3,2 3,4 6,1 4,5 4,8 6,0 6,0 7,0 7,2 6,5 7,3 7,3

1,3 1,3 1,2 0,7 0,9 1,2 0,9 1,3 1,6 0,3 0,0

0,4 1,1 0,7 0,8

Metro AG

0,5

BASF AG 0,2 0,7 0,7 0,5 1,2 0,7 0,6

0,8 0,1 1,2 1,1 2,3 4,3 2,7 2,2 1,1 1,0 2,5 3,7 5,6 3,0

Linde AG

0,1 0,0 0,3 0,7 2,3

Bayer AG 0,1

0,0 1,0 0,8 1,4 0,8 1,0 1,5 2,1 2,1 1,9 1,1 0,4 2,0 2,0 2,0 1,8

1,3

1,3 1,3 1,9 1,3

3,8 0,7

MLP AG

2,2 1,9 2,0 1,0 1,6 2,4 2,2 2,8 2,8 2,8 2,3 2,2

3,8 4,1 4,7 4,0 2,4 2,3 2,3 2,0 3,3 3,3 2,5 1,4

BMW AG 0,4 0,7

Henkel KGaA 2,3 2,6 2,8 1,9 2,3 1,4 4,1 5,9 4,7 3,3 2,3 1,2 2,3 1,7 1,9 1,4

0,7 1,3 4,9 3,4 1,9 0,1 0,7 0,6 1,5 0,3 0,5 3,7 6,6 11,6 10,9 11,0 12,9 14,0 14,2 11,6 9,9 6,6 7,5 8,4 9,8 10,5 9,2 7,5 7,0 9,2 10,4 9,1 9,5 8,4 11,3 10,2 7,6 7,1 3,2 3,2 3,1 3,7 3,8

Schering AG

0,4 0,6

Lufthansa AG 0,0

10,0 0,2 8,5 3,7 6,1 4,7 5,5 3,8 4,2 3,5 5,9 5,4 5,2 5,1 6,8 4,3 7,7 4,6 7,3 5,0 9,0 6,3 8,4 6,6 7,7 6,0 6,5 4,4 6,4 5,1 7,0 6,1 7,0 6,7 6,5 6,7 8,3 3,8 10,2 3,3 9,7 1,9 10,4 3,9 9,7 4,4 10,9 3,6 9,4 3,0 9,4 1,7 9,4 3,8 8,5 2,5 9,5 0,6 9,5 0,9 9,0 8,2 0,5 7,0 5,4 5,7 6,4 0,2

0,8

0,1 0,1 0,0

1,5

0,8

0,3 0,1

1,2 2,6 1,8

14,1 5,5 13,7 7,1 12,6 12,1 11,9 13,0

0,5 0,4 0,5 0,8 0,0 0,2

0,1

Volkswagen AG

1,4 0,3 0,5 3,2 6,1 5,3 4,3 4,6 5,6 7,8 13,6 9,8 12,9 9,9 10,0 11,7 8,6 10,5 12,5 11,3 15,2 15,1 15,9 15,6 15,2

WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG 8,9 9,0 7,6 7,5 7,8 8,5 8,0 9,5 9,5 9,5 8,9 9,8 9,7 8,4 7,1 6,7 6,0 5,5 6,5 7,8 8,2 9,5 8,4 10,3 8,3 8,5 8,6 7,9 8,7 9,2 9,0 7,7 7,2 7,0 7,3 7,6

Siemens AG

0,9 0,9 0,1 1,5

Bayerische HypoVereinsbank AG

1,9 1,7

Commerzbank AG 1,0 0,5 0,3

E.ON (ehemals Veba AG)

0,3 1,0 2,9 3,9 4,9 4,6 6,0 4,8 5,9 3,9 4,4 3,8 3,2 3,6 4,8 4,4 4,8 4,1 4,7 0,5 0,2

Münchener Rückvers. AG

1,3 4,1 3,2 2,6 3,2 2,9 1,5 1,1 2,3 1,9 4,9 4,0 4,1 3,1 3,1 2,7 2,0 2,3 2,6 1,8 0,8

RWE AG

13,6 14,2 18,9 17,3 16,7 14,6 15,7 14,6 14,9 12,4 12,6 9,6 9,0 9,4 7,6 7,4 8,2 8,2 7,4 5,0 4,8 3,0 5,7 5,2 5,7 5,4 3,4 5,6 4,1 2,7 1,4

SAP AG

13,4 13,4 12,3 12,4 12,7 12,1 13,4 13,7 14,5 14,2 14,1 14,8 14,0 15,0 16,7 18,1 17,8 17,2 16,8 17,0 16,6 13,3 13,2 13,5 11,7 11,7 12,4 12,6 13,0 12,9 9,1 9,1 8,9 7,6 7,7 7,6

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

22,8 22,2 18,3 16,8 18,2 18,5 18,6 18,7 18,7 21,4 19,5 17,3 18,6 19,3 21,1 21,0 21,2 21,6 21,4 21,2 22,0 26,3 24,6 27,4 26,0 25,7 25,4 26,0 24,9 24,8 34,2 38,4 38,5 38,7 38,0 38,6

VIAG AG

8,8 9,1 9,9 7,8 7,5 7,7 8,5 7,8 7,5 6,6 6,0 2,5 2,1 3,7 2,8 3,0 3,0 3,0 3,0 2,6 2,9 2,5 3,5 3,6 3,7 3,8 3,0 3,6 3,9 3,6 3,1 2,5 2,4 2,1 2,3 2,1

Mannesmann AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

246 Anhang

DAX-äquivalentes Portfolio

Veba AG

ThyssenKrupp AG

MAN AG

Infineon AG

Epcos AG

Dresdner Bank AG

Deutsche Telekom AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

DaimlerChrysler AG

IVG Immobilien AG

Hamborner AG

GAG Immobilien AG

Angaben in %

34,0 33,8 35,7 27,8 27,1 22,7 25,3 26,5 26,1 23,7 21,1 15,3 14,2 16,5 17,6 18,6 18,4 17,4 15,4 12,3 14,0 15,3 18,2 18,6 17,9 17,4 16,4 15,7 15,5 13,2 7,9

WCM Beteiligungs- und Grundbesitz-AG

9,4 8,7 8,9 10,8 11,1 10,6 11,5 11,5 12,9 12,6 12,3 14,5 13,1 15,0 19,6 23,7 21,4 18,7 17,6 19,0 20,3 11,8 12,1 9,5 7,2 6,3 9,8 9,9 12,7 13,5 5,6 1,9 14,3 5,4 6,6 6,3

Adidas-Salomon AG

Altana AG

2,2 35,7 40,2 32,5 1,4

4,4 7,8 31,5 17,7 9,5 15,9 11,4

Dresdner Bank AG 0,1

2,3

0,2 0,8 1,0

2,3 2,4 1,5 11,5 5,4 7,2

0,4 0,7

3,7 6,4 4,0 1,1

17,7 14,0 15,7 15,3 16,2 16,5 14,5 11,8 13,7 10,8 4,5 3,3

MLP AG

0,3

1,0 2,9 3,3 1,7 3,5 2,2 1,5

Henkel KGaA 0,3 0,3 0,3 1,0 2,7 2,5 1,4

1,3 0,5

0,6 0,2 4,9 8,3 7,7 6,2 3,5

1,8 0,7 5,4 6,3 5,2 1,9

1,0

RWE AG

1,0 4,5

Bayer AG 0,3

BMW AG 0,7 1,2

Lufthansa AG 1,2 0,7 0,3

1,4 2,1 4,2 4,0 5,5 1,3 1,1 0,7

0,9 4,2 3,8 2,0

0,7

6,0 2,4 7,1 14,9 0,5 14,5 13,4 1,8 19,3 19,2 19,7 15,7 13,2 9,5 11,2 11,9 15,8 17,1 15,7 14,2 14,5 17,1 17,2 15,6 18,1 21,2 19,8 23,8 22,7 33,0 37,2 35,7 23,2 18,0 12,9

Schering AG

0,9 1,5 6,1 4,4 5,4 2,3 1,8 1,4

E.ON (ehemals Veba AG) 3,9 4,4 5,9 3,6 6,4 5,8 5,9 5,7 8,7 8,3 5,5 1,9

8,5 9,4 13,4 8,5 5,9 2,3 3,5 4,3 5,4 3,9 3,2

Siemens AG

1,8

BASF AG 5,3 3,7 2,5 2,7 2,2

Münchener Rückvers. AG 0,1 7,5 8,8 7,2 6,3 9,3 10,6 8,0 9,5 9,1 11,1 11,0 10,9 11,7 14,1 14,3 15,1 14,0 8,7 9,5 9,4 11,1 9,3 8,8 7,2 6,0 8,6 10,0 8,6 12,3

6,4 23,0 4,9 25,6 7,8 10,6 10,1 12,3

0,1

Volkswagen AG

0,5

3,0 3,6 4,5 3,0

Allianz AG

2,0 1,8

Bayerische HypoVereinsbank AG 2,0 4,9 6,6 5,7 7,8 6,2 7,8 4,8 5,4 4,7 3,7 4,5 8,2 7,5 7,4 5,6 6,9

SAP AG

6,8 5,2 5,4 8,4 10,9 13,2 10,0 8,1 8,3 11,6 10,3 9,9 11,8 11,8 12,1 10,9 12,2 14,0 13,5 11,5 13,1 21,1 15,4 19,6 22,7 23,2 23,5 22,9 19,9 21,5 9,2 0,6 2,3 8,2 4,1 25,3

VIAG AG

12,0 12,3 13,4 9,1 8,7 9,0 10,1 9,4 8,5 7,4 5,9 1,3 0,2 5,0 4,3 5,0 4,7 4,4 4,3 3,7 5,4 5,9 7,3 8,2 7,9 8,5 6,9 4,0 6,0 7,3 11,0 27,2 16,4 12,6 7,9 10,3

Mannesmann AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 247

Tangential-Portfolio

Veba AG

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

ThyssenKrupp AG

Metro AG

MAN AG

Linde AG

KarstadtQuelle AG

Infineon AG

Fresenius Medical Care AG

Epcos AG

Deutsche Telekom AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

Degussa AG

DaimlerChrysler AG

Commerzbank AG

Deutsche Beamtenvorsorge Immobilienholding AG

B M W AG

B ayerische Hypo Vereinsbank AG

B ayer AG

B ASF AG

Altan a AG

Allianz AG

Adidas-Salomon AG

Angaben in %

1,8

C ommerzbank AG

Deutsche Telekom AG 0,1

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,5 8,4 8,2 8,6 8,5 7,1 2,8

Fresenius M ed ical C are AG

0,3 0,5

Degussa AG

0,4

E.ON AG (ehemals Veba AG) 1,8

2,1 2,3 3,7 6,7 5,8 7,6 8,3 8,7 8,6 8,6 7,8 7,5 6,1 5,8 6,6 6,3 5,6 5,6 5,1 5,0 5,4 4,7 4,7 4,0 3,8 4,0 3,9 3,8 3,3 3,1 2,6 3,3 3,3 2,6 3,4 3,3 3,8 4,3 4,8 4,8 4,9 4,9 4,6 5,0 6,2 6,3 6,9 6,2 7,4 7,5 6,1 4,6 5,3

M etro AG

1,0 0,1 0,5 0,5

Henkel KGaA

1,0 1,3 1,3 1,3

Karstad tQuelle AG

0,2 0,2 0,5 0,7 0,7 1,0 1,6

Lind e AG

0,0 0,0 0,1 0,6 0,3 1,4 1,9 2,3 2,5 2,5 2,5 2,5 2,4 2,4 2,8 4,3 3,6 3,9 3,8 3,3 3,6 3,2 2,9 3,5 4,4 5,8 6,1

Lu fth an sa AG 7,5 7,3 4,6 4,8 4,4 7,3 8,8 9,3 9,2 9,7 9,5 9,1 9,7 10,0 9,1 9,6 10,0 10,0 9,4 9,2 7,9 2,0

M AN AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,3 0,3 0,0 0,8 1,5 1,6 2,4 1,6 1,7 4,4 3,4 3,5 3,5 2,7 2,6 2,6 3,0 2,5 3,4 5,6 7,1 2,6 2,8 4,3

0,4 0,1

M ün chener Rü ck vers. AG

9,9 9,3 9,6 7,4 7,9 8,9 8,9 8,6 8,5 9,4 9,5 8,3 7,2 6,3 6,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

R WE AG

1,4 1,6 2,0 2,6 3,4 3,3 3,4 3,7 4,0 3,0 3,1 3,3 3,5 4,0 3,7 3,7 3,6 4,7 4,8 8,1 7,9 8,7 8,8 9,1 9,5 9,5 10,0 10,0 9,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 9,2 8,5 9,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Scherin g AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,1 0,9 0,7 0,7 0,9 0,6

2,9 2,6 4,8 5,2 4,0 1,9 2,5 2,9 3,0 2,2 2,7 1,0 1,9 1,7 1,8 1,7 1,4 1,4 0,7 0,8 1,1 0,5 0,6

Th yssen Krupp AG

10,0 10,0 6,9 4,0 4,6 3,9 5,3 4,9 5,2 3,8 3,0 1,5 1,1 0,6

0,5 0,7

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 6,9 8,0 7,8 6,9 6,6 7,0 5,6 5,7 5,5 4,6 4,9 5,0 5,0 4,5 4,3 5,2 3,9 3,4 3,2 3,4 3,6 3,6 3,7 3,0 2,6 3,3 1,6 0,5

TUI AG seit 20 03 (ehemals Preu ssag AG)

2,9 3,7 5,2 5,2 5,4 5,7 6,9 6,3 6,6 6,0 6,1 4,9 4,5 4,5 5,6 6,2 6,4 6,2 6,4 4,1 3,3 0,9

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

VIAG AG

0,5 4,1 1,6 3,3 1,9 2,6 2,2 4,2 2,2 4,4 0,7 4,3 1,8 5,3 1,8 5,4 1,9 5,4 2,3 5,5 2,3 5,8 9,4 2,0 4,7 9,5 1,9 5,5 9,3 2,2 6,1 9,4 2,3 6,4 9,4 3,0 7,7 9,1 3,6 6,9 9,1 3,7 6,9 9,5 4,7 6,8 9,9 3,3 7,1 10,0 3,2 7,9 10,0 3,5 10,0 8,8 1,9 10,0 8,5 2,2 10,0 8,1 2,3 10,0 8,7 2,5 10,0 8,0 1,7 10,0 8,5 1,3 10,0 8,7 2,0 10,0 8,8 2,1 10,0 9,1 0,4 9,6 10,0 8,1 9,5 7,5 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,1 1,5 1,9

0,3 0,5

0,3 0,6 1,0 1,1 1,4 1,9 1,5 1,6 2,0 2,3 2,5 2,4 2,3 2,2 2,4 2,0 2,0 0,7 0,5 0,4 1,3 1,2 0,5

Volkswagen AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

248 Anhang

Anhang X: Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum I, Modell II)

Minimum-Varianz-Portfolio M ann esmann AG

Veba AG

Siemens AG

SAP AG

M LP AG

In fin eon AG

Ep co s AG

Dresdner B an k AG

Deutsche Post AG

Deutsche B an k AG

DaimlerChrysler AG

Bayerische HypoVereinsbank AG

Bayer AG

BASF AG

Altana AG

Allianz AG

Adidas-Salomon AG

Angaben in % 3,4 5,8 6,1

Deutsche Telekom AG 0,1

Fresenius Medical Care AG 9,9 8,1 8,2 6,9 4,4 4,5 6,0 4,1 5,7 8,2 8,6 8,5 7,1 2,8 0,9

0,8 0,6 1,9

1,2 1,1 3,3 3,3 2,6 3,4 3,3

0,1 0,3 1,6 1,0

0,4 0,8 1,6

2,6 3,6 5,1 5,0 5,0 5,9 5,7 5,4 4,6 4,8 5,4 5,8 7,4 7,5 6,1 4,6 5,3

Metro AG

1,8

Degussa AG 1,8

0,5

Dresdner Bank AG 0,4

0,5

1,8 0,1

5,7 4,4 1,9 4,4 7,3 7,6 7,5 5,4 5,8 4,3 0,5

MLP AG

0,1 2,8 1,3 0,4

BMW AG 4,3 2,8 4,6 4,9 4,2 1,5 1,6

MAN AG

2,3 2,0 0,9

Commerzbank AG

8,3 8,7 8,5 7,6 5,1 5,2 5,1 5,4 7,9 7,6 8,2 6,0 6,1 7,0 5,9 5,3 4,6 5,3 7,8 8,8 10,0 9,5 10,0 10,0 10,0

E.ON AG (ehemals Veba AG)

0,4

Henkel KGaA

0,6 1,5 2,9 2,9 0,3 0,2 3,0 3,0 5,0 4,3 5,3 3,9 2,5 1,1 0,5 0,2 0,8 0,6 0,9 3,6 3,1 2,7 6,8 1,1

KarstadtQuelle AG 4,4 7,4 7,7 6,8 7,8 8,7 8,9 8,7 10,0 9,0 8,7 7,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,4 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,4 5,6 7,1 2,6 2,8 4,3

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,7 0,2 0,9

1,4 1,0

0,3 2,1 0,8 0,3

3,7 2,8 5,9 3,6 1,8 0,2

9,9 7,3 5,8 6,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,8 1,3

0,5 0,7

2,2 1,6 3,5 2,3 3,5 3,4 1,7 2,0 2,0 4,5 3,5 2,8 5,6 3,6 2,2 2,5 2,6 4,7 4,7 4,9 2,9 2,8 3,5 1,6 0,5

10,0 8,3 9,9 9,7 8,9 0,8 1,9

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

0,1 1,5 1,9

0,3 0,3

0,6 1,9 1,7 2,8 1,9 1,9 1,8 2,1 3,0 3,5 3,8 2,6 2,4 1,1 1,8

0,3

Volkswagen AG

1,7 0,3 0,9 0,7 3,6 4,2 3,9 2,4 0,4 0,9

Linde AG

1,3 2,3 3,5 4,0 5,2 5,0 5,5 4,2 4,0 5,0 5,5 7,2 6,8 4,9 3,9 6,0 6,6 10,0 9,1 8,2 8,1 7,1 9,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Lufthansa AG 5,0 5,0 4,7 4,4 3,6 9,3 10,0 10,0 9,1 9,6 8,3 10,0 10,0 10,0 7,4 7,1 5,1 7,1 7,1 7,1 5,0

Münchener Rückvers. AG

5,3 5,6 4,7 6,3 4,6 5,8 9,0 9,7 8,0 9,5 9,5 10,0 10,0 5,7 8,2 5,7 5,9 3,5 6,1 9,6 9,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

RWE AG

2,7 2,8 2,0

SAP AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Schering AG

10,0 10,0 7,7 2,1 4,6 3,0 5,2 4,4 4,7 1,2

ThyssenKrupp AG

5,3 6,4 8,2 8,3 9,9 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,9 7,8 6,5 8,4 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 3,4 2,4

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

7,9 4,4 7,2 9,5 8,9 9,6 10,0 9,9 8,2 7,6 8,8 7,1 9,3 10,0 9,5 10,2 10,0 9,0 8,1 7,8 8,4 10,0 9,8 9,6 7,5 9,1 8,9 10,0 9,3 10,0 10,0 8,1 7,5 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

VIAG AG

3,0 5,6 6,5 6,8 4,6 6,6 6,6 5,7 5,0 5,1 3,8 3,3 1,8 2,7 4,8 5,4 5,7 8,8 3,3 4,4 5,6 3,4 2,1 2,2 1,1

Mannesmann AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 249

GG-Portfolio

Veba AG

Siemens AG

Infineon AG

Epcos AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

DaimlerChrysler AG

BMW AG

Bayerische HypoVereinsbank AG

Bayer AG

BASF AG

Altana AG

Allianz AG

Adidas-Salomon AG

Angaben in % 0,2 2,8 1,1 2,0 3,5 4,4 5,8 6,1

Deutsche Telekom AG 0,1

10,0 10,0 10,0 9,8 10,0 7,0 10,0 9,5 8,4 8,2 8,6 8,5 7,1 2,8

Fresenius Medical Care AG

1,8

Degussa AG 0,3 2,7 4,3 2,0 0,9

2,9 2,6 6,0 5,4 8,3 10,0 6,2 10,0 9,9 8,6 8,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 1,8

0,7 0,3

2,3 1,4 1,5 1,1 1,6 2,8 5,3 4,7 3,2 2,7 2,3 2,7 3,6 2,7 2,8 3,1 2,6 3,3 3,3 2,6 3,4 3,3

0,4

3,3 4,3 4,8 5,0 5,1 5,5 5,4 5,1 5,4 6,1 6,9 6,2 7,4 7,5 6,1 4,6 5,3

Metro AG

0,8

0,3

1,8 2,2 2,7 2,1 0,7 2,3

0,0 0,4

0,4

0,1 0,9 0,6

0,3

0,9 0,5

ThyssenKrupp AG

1,0

Commerzbank AG 2,3

MAN AG 1,6 2,1 1,1

MLP AG

0,4

E.ON AG (ehemals Veba AG) 10,0 5,6 9,3 10,0 6,1 5,5 5,2 10,0 10,0 6,6 10,0 5,2 1,5 6,5 9,9 10,0 1,4 10,0 5,8 10,0 2,9 10,0 5,3 10,0 3,2 10,0 5,0 10,0 0,7 10,0 5,6 10,0 2,1 10,0 3,6 10,0 10,0 2,8 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,5 0,7

0,2 2,2 1,5 3,3 3,5 2,5 2,7 2,6 4,5 3,7 3,9 5,2 3,9 3,3 3,3 3,5 4,7 3,9 4,9 3,2 2,6 3,3 1,6 0,5

10,0 7,8 4,6 8,3 6,3

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

0,1 1,5 1,9

0,3 0,5

0,1 1,9 2,0 3,2 2,1 1,9 1,8 2,2 2,6 3,0 3,2 2,3 2,7 2,0 2,0 0,6 0,8 0,8 0,5 1,1 0,2

Volkswagen AG

2,4 1,9 0,7

Henkel KGaA

0,7

KarstadtQuelle AG

1,6 3,4 4,3 5,7 5,9 6,1 4,6 4,0 4,9 4,9 5,7 5,8 4,4 3,6 5,8 4,8 8,1 8,5 8,7 8,6 8,4 9,6 10,0 10,0 10,0 9,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Linde AG

0,2 1,1 2,3 2,7 4,6 4,3 1,1 0,3 2,8 1,8 2,4 2,7 2,8 1,5 1,4

Lufthansa AG 0,5 6,9 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,0 10,0 7,4 9,5 10,0 10,0 9,6 5,9 1,9 4,4 6,7 8,3 8,8 8,0 4,3 9,5 5,0 2,5 3,4 5,6 7,1 2,6 2,8 4,3

Münchener Rückvers. AG

4,9 4,6 3,2 5,1 2,1 10,0 10,0 10,0 8,9 10,0 7,9 10,0 10,0 10,0 7,8 7,6 6,0 7,9 7,7 8,3 7,9 2,0

RWE AG

3,3 2,0

SAP AG

1,6 0,9

Schering AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Siemens AG

10,0 9,6 7,2 0,9 3,8 1,2 4,8 3,8 4,0 0,7

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

5,9 7,5 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,7 6,6 8,2 8,9 9,4 10,0 8,6 9,0 4,1 3,3 0,9

VIAG AG

8,9 3,9 5,1 9,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 6,7 10,0 10,0 10,0 9,5 10,0 6,8 9,1 6,4 8,9 6,0 9,9 8,1 4,5 8,0 8,6 3,3 9,4 8,5 1,8 9,9 8,0 2,6 8,6 6,4 3,7 8,8 6,0 4,7 9,1 6,3 4,9 8,0 6,9 6,8 7,3 8,8 3,9 8,0 10,0 3,3 8,0 10,0 3,5 10,0 8,0 2,8 10,0 7,4 2,8 10,0 7,5 2,9 10,0 7,2 2,7 10,0 7,5 1,7 10,0 6,2 1,5 10,0 8,2 2,4 10,0 8,8 2,1 10,0 9,1 0,4 9,6 10,0 8,1 9,5 7,5 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Mannesmann AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

250 Anhang

DAX-äquivalentes Portfolio

Veba AG

Infineon AG

Epcos AG

Dresdner Bank AG

Deutsche Post AG

Deutsche Bank AG

DaimlerChrysler AG

Allianz AG

Angaben in % 10,0

Deutsche Telekom AG

Altana AG 10,0

E.ON AG (ehemals Veba AG) 10,0 10,0 10,0 10,0

Fresenius Medical Care AG 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0

10,0

10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Metro AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0

10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

MLP AG

10,0

BASF AG 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0

10,0

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

10,0

Bayer AG 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Henkel KGaA

10,0 10,0

BMW AG 10,0

Lufthansa AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Bayerische HypoVereinsbank AG 10,0 10,0 10,0

Schering AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Deutsche Bank AG 10,0 10,0

Dresdner Bank AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Münchener Rückvers. AG

10,0

SAP AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Siemens AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0

10,0

10,0

10,0 10,0 10,0 10,0

Mannesmann AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Volkswagen AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 251

Renditemaximierendes Portfolio

VIAG AG

Veba AG

ThyssenKrupp AG

RWE AG

MAN AG

Linde AG

KarstadtQuelle AG

Infineon AG

Epcos AG

Deutsche Post AG

Degussa AG

DaimlerChrysler AG

Commerzbank AG

Adidas-Salomon AG

B a y erisch e Hy p o Ve re in sb an k AG

B A SF A G

Alta n a A G

Allia n z A G

Ad id a s-Sa lo m o n AG W C M B e teilig u n g su n d G ru n d b e sitz -A G

IVG Im m o b ilie n A G

Ha m b o rn e r AG

GA G Im m o b ilie n AG

De u tsc h e B e am te n v o rso rg e

An g a b en in %

0,2 0,3 0,7 1,2 1,2 1,9 1,1 0,9 0,3

C o m m erz b an k AG

5,6 5,6 5,8 5,9 5,7 5,5 5,6 5,8 6,1 6,4 6,0 4,8 4,6 4,4 4,7 4,4 4,4 4,4 4,5 4,7 6,0 5,6 5,7 4,7 4,6

D e g u ssa A G 0,1 0,6 0,9 1,1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,2 1,7 1,0 1,2 1,1 0,9 1,2 0,8 0,5 0,9 1,6 2,5 2,7

E .O N (sp äte r V e b a A G)

1,2 1,4 0,6 1,4 1,5 1,5 1,5 1,7 1,5 2,4 2,9 3,2 3,9 3,4 3,4 3,3 3,6 4,0 5,2 4,9 5,7 5,7 5,0 4,5 3,9 3,9 4,0 3,8 2,8 2,5 10,0 2,1 9,6 2,8 9,7 2,9

Fresen iu s M ed ic al C are AG 7,2 7,1 7,2 7,3 6,8 5,4 5,6 4,8 4,2 4,4 4,9 3,5 2,7 0,4

0,1 0,4 0,4 1,0 0,9 1,0 1,1 1,3 1,0 1,2 1,4 1,5 1,8 1,6 1,6 1,6 2,3 2,3 3,8 3,5 3,9 4,0 4,3 4,6 4,3 4,5 4,8 4,5 5,2 5,1 6,1 6,9 8,6

He n k el K Ga A

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Ka rsta d tQu e lle A g 4,9 4,8 5,4 4,1 4,5 4,3 4,6 4,4 4,4 4,9 4,9 4,6 4,0 3,7 3,4

9,8 9,3 9,8 10,0 10,0 9,9 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

L in d e A G

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

2,1 2,5 1,3 1,7 1,5 2,7 3,8 4,2 4,1 4,3 4,2 4,6 5,2 5,7 5,2 5,4 5,7 5,8 5,2 5,2 4,2 0,1

L u fth a n sa A G

5,8 6,1 2,5 0,9 1,4 0,2 1,3 1,0 1,2 0,3 0,8 3,1 2,6 2,9 3,6 3,9 3,8 3,7 3,2 3,7 2,9 3,0 3,5 3,3 2,8 2,8 2,6 2,5 2,7 1,7 1,5 1,0 0,9 1,1 1,1 0,9 0,5 0,4 0,2 0,4 0,4

M AN AG

0,7 2,3 2,5 2,7 2,3 3,2 2,8 3,0 2,6 2,6 2,2 2,1 2,3 3,0 3,3 3,4 3,4 3,5 2,0 1,4

M e tro AG 2,0 2,3 2,3 2,1 2,1 2,1 2,0 2,3 2,8 2,7 3,1 2,8 3,6 3,8 1,3 0,7 0,8

M ü n ch e n er R ü ck v e rs. AG 6,3 5,4 3,1 3,4 4,2 4,0 5,8 6,0 6,1 7,8 8,1 7,1 5,6 6,3 5,2 6,7 6,9 6,6 6,6 6,7 6,1 10,0 8,3 8,2 8,2 8,0 8,5 9,4 9,9 9,8 10,0 8,3 7,6 7,1 8,2 8,7 0,3 0,3 0,4 0,3 0,1 0,1

0,2

0,2 0,5 0,5

1,7 2,3 1,5

4,5 4,4 6,1 6,3 6,0 2,4 3,3 3,2 2,9 2,6 2,8 2,5 2,7 2,7 2,1 2,3 2,4 2,4 2,1 2,0 2,5 1,1 0,5 0,3 0,4 0,8 0,9 0,7 0,3 0,0 0,6

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

0,2 0,2 0,4 0,7 0,9 1,0 0,9 0,9 0,9 1,0 0,7 0,2

V o lk sw ag e n A G

0,6 1,5 2,6

0,2 0,2 0,8 0,3 0,2 1,4 0,5 0,5 0,5 0,2 0,2 0,1 0,1

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

R W E AG

6,7 6,8 7,2 6,1 5,6 3,6 4,0 3,8 3,8 3,8 3,7 2,0 1,5 1,4 1,9 2,0 2,2 2,2 2,0 1,5 2,2 2,5 2,1 2,0 2,1 2,0 1,8 2,3 2,4 2,7 2,0

Sch e rin g AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

T h y sse n Kru p p AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Veba AG T UI A G se it 2 0 0 3 (e h e m als Preu ssag AG )

10,0 10,0 9,8 8,1 8,0 6,9 7,9 7,7 7,6 7,4 7,1 4,8 5,6 2,6 2,3 2,6 2,6 2,6 2,8 2,8 2,9 3,6 3,5 3,4 3,4 3,6 3,6 4,9 5,2 5,1 5,0 5,2 4,8 4,3 4,5 4,2

VIA G AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

252 Anhang

Anhang XI: Zusammensetzung effizienter Portfolios (Anlageuniversum II, Modell II)

Minimum-Varianz-Portfolio M a n n e sm a n n A G

Siem e n s AG

SAP AG

M L P AG

In fin eo n AG

E p co s AG

Dre sd n e r B a n k A G

De u tsc h e T e le k o m AG

De u tsc h e Po st A G

De u tsc h e B an k AG

Da im lerC h ry sle r AG

B M W AG

B a y er A G

Alta n a AG

Allian z AG

W C M B e te ilig u n g su n d G ru n d b esitz-AG

Ad id a s-Salo m o n AG

IVG Im m o b ilien AG

Ham b o rn e r AG

GAG Im m o b ilie n A G

Deu tsc h e B ea m ten v o rso rg e

An g ab e n in %

B ay e r AG 0,2

Deg u ssa AG 2,5 2,2

4,4 4,1 3,5 2,7 0,4

0,1 0,4

1,0 1,5 1,0

0,4

0,7 1,4 1,5 1,4 1,4 2,1 2,1 1,7 0,7 1,1 0,1 0,7 3,6 3,3 1,3 0,7 0,8

M etro AG

1,8 0,6

Frese n iu s M e d ica l C are AG 4,1 3,0 3,1 2,3 0,3 0,2 1,6

0,3 0,8 1,8 1,7 2,2 1,5 1,5 1,9 2,7 2,8 2,6 1,7 0,9 3,0 3,1 4,4 3,2 2,2 2,3 1,9 3,5 3,7 4,4 5,7 5,8 5,2 5,6 6,1 6,9 8,6

1,8 1,0 0,7 0,2

5,7 3,5 1,6 2,8 4,0 4,6 4,4 3,1 4,3 2,3

M L P AG

0,8 0,5

0,1 0,8 1,1 0,7 1,6 1,0 1,2

0,6 0,7

B M W AG 0,3

0,0

Hen k e l KGaA

1,5

1,7 2,0 1,8 1,6 1,1 3,4 4,0 4,2 3,6 3,9 3,3 5,3 6,7 5,7 4,3 3,1 1,9 3,4 2,7 2,9 1,3 0,9 2,8 3,7 2,6 2,9 4,3 4,5 4,2 4,8 4,6 5,6 5,9 6,1 5,3 6,8 7,7 8,5 8,3 5,6 6,1 6,2 6,5 6,4 6,4 5,9 5,8 7,2 7,4 5,9 5,2 1,5 2,8

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,3 9,2 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,7 8,3 9,1 9,4 8,8 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

4,2 2,9 1,9 2,3 5,7 7,7 10,0 10,0 0,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,3 9,9 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,7 10,0 10,0 10,0 10,0 8,3 8,8 7,1 8,2 8,7

0,3 0,2 2,0 1,4

0,6 0,4 0,3

1,4 0,4 0,0 2,2

1,0 0,3

0,4

4,5 3,8 5,3 5,1 4,7

10,0 5,8 10,0 6,1 10,0 10,0 10,0 10,0

0,7 0,2 0,2 0,1 0,7 0,6 0,8 1,2 0,3 0,6

Vo lk swa g en AG

0,2 0,2 0,7 1,2 3,3 0,2 0,8

B ASF AG

4,8 5,0 5,6 5,1 3,1 3,1 3,2 2,8 4,4 4,1 3,3 2,0 2,2 3,1 2,3 1,8 0,8 1,6 2,4 3,3 6,0 5,2 5,7 4,7 4,6

B ay e risc h e Hy p o Verein sb a n k AG 3,2 3,4 3,3 3,5 3,3 1,6 2,0 3,0 2,6 3,9 4,0 4,3 3,9 4,1 5,8 3,5 3,3 2,1 2,2 3,4 3,5 7,5 4,4 4,5 3,7 3,3 6,4 5,3 5,0 4,5 7,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

M AN AG

1,2 1,4 1,1 0,6 0,8 0,2

C o m m e rzb a n k AG

8,0 10,0 8,4 7,8 8,3 6,2 7,5 6,1 4,2 4,9 7,7 7,6 6,5 7,2 7,3 7,6 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,6 10,0 9,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

E .ON (sp ä ter Ve b a AG) 1,4 1,6 1,3

Karstad tQ u elle Ag

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,2 8,7 8,1 7,6 9,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

L in d e AG

4,9 5,3 3,4

L u fth an sa AG

1,8 2,8 4,2 4,5 5,1 4,8 6,1 5,3 6,6 4,8 5,1 4,3 3,6 4,1 6,0 5,8 6,2 5,3 6,1 0,9 0,1

M ü n ch en e r R ü ck v e rs. AG

2,3 1,0 2,8 4,6 3,9 3,2 3,8 3,8 2,8 2,4 3,4 2,9 5,3 4,7 5,1 4,2 4,1 3,8 3,0 3,6 3,6 3,9 1,9 1,5 0,1 2,0 1,6 2,0 1,7 5,6 6,7 2,8 3,0 10,0 2,1 9,6 2,8 9,7 2,9

R W E AG

1,2 2,6 2,4

SAP AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 8,9 8,2 9,6 9,3 9,8 10,0 10,0 9,0 7,0 8,2 7,0 8,5 9,2 9,2 9,3 9,0 9,4 8,8 8,1 4,0

Sch e rin g AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

T UI A G se it 2 0 0 3 (eh e m als Pre u ssa g AG )

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

VIAG AG

10,0 10,0 10,0 8,9 8,7 8,4 8,9 8,6 8,5 7,9 7,3 3,5 3,3 4,0 3,4 3,9 3,8 3,8 3,8 3,6 4,4 4,7 5,1 5,6 5,5 6,0 5,6 5,3 6,2 6,6 6,6 5,2 5,1 4,3 4,5 4,2

M an n esm an n AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 253

GG-Portfolio

Veb a A G

T h y ssen K ru p p AG

Siem e n s AG

In fin eo n AG

E p c o s AG

Dre sd n e r B an k AG

Deu tsc h e T ele k o m AG

Deu tsc h e Po st AG

Deu tsc h e B a n k AG

Daim lerC h ry sler AG

Alta n a AG

Allian z AG

Ad id as-Salo m o n AG

W C M B eteilig u n g su n d G ru n d b esitz-AG

IVG Im m o b ilien AG

Ham b o rn er AG

Deu tsch e B eam ten v o rso rg e

GAG Im m o b ilie n A G

An g ab en in %

B ay er AG 0,5 0,1 0,5 0,6 0,3 1,0 0,6 0,7

Deg u ssa AG

M AN AG 0,4 0,2 0,4 0,4

0,6

0,8 1,7

0,2

1,0 1,9 2,3 1,9 1,9 2,3 2,2 2,2 1,4 2,3 3,1 2,8 3,6 3,8 1,3 0,7 0,8

M etro AG

0,9 1,6 2,5 2,7

Fresen iu s M ed ical C are AG 5,6 5,1 4,9 4,6 5,4 1,6 4,3 4,8 4,2 4,4 4,9 3,5 2,7 0,4

0,1 0,8

0,2 0,7 0,2

2,0

0,3

3,2

M L P AG

0,3

1,7

Hen k el KGaA 0,9 2,2 2,0 2,7 1,8 1,5 1,9 2,5 2,6 2,3 1,6 0,9 2,8 2,8 3,8 3,6 3,4 3,4 3,2 4,4 4,1 4,5 4,8 4,5 5,2 5,1 6,1 6,9 8,6

4,0 4,7 0,4 4,6 3,7 2,3 4,2 2,3 3,4 3,1 5,7 3,1 7,0 4,2 5,7 6,3 4,3 4,6 3,4 4,2 2,3 3,2 3,5 3,3 2,9 4,9 3,3 7,1 2,9 10,0 0,1 8,1 8,2 7,3 7,3 10,0 7,0 9,5 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

0,7

1,6 1,7

10,0 10,0 7,5 5,9 3,9 8,2 7,0 9,1 10,0 10,0 10,0 10,0 9,9 8,7 8,7 9,7 9,7 9,3 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 0,6 10,0 1,5 10,0 2,6 10,0 10,0 10,0 10,0 1,6 7,3 7,9 6,8 5,4 8,3 7,5 6,7 6,7 6,7 7,4 6,8 6,0 4,5 5,5 6,5 7,1 7,1 4,4 3,2 1,4 4,0 3,8 4,3 3,6 1,4 5,7 2,6

0,5 1,3 9,0 6,3 4,3 0,8 2,0 1,6 2,7 0,9 0,8 6,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 7,7 9,1 9,9 10,0 10,0 10,0 9,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,8 10,0 8,3 7,6 7,1 8,2 8,7

4,1 1,9 3,6

1,1 0,9 0,8 0,1 0,0 0,6

1,4 0,5 0,5 2,4 1,1

1,0 0,5 0,1

4,4 3,4 2,2 3,6 2,5

10,0 6,2 10,0 8,4 10,0 10,0 10,0 10,0

1,0 0,2 0,1 0,1 0,7 0,6 0,8 1,1 0,3 0,7 0,2 0,2

0,0

Vo lk swag en AG

0,2 0,3 0,7 1,1 3,0 0,4 1,1 0,3

B ASF AG

4,8 5,0 5,6 5,1 3,4 3,3 3,4 3,1 4,6 5,1 6,0 3,4 3,5 3,7 3,4 3,8 1,8 3,5 4,5 4,7 6,0 5,6 5,7 4,7 4,6

B ay erisch e Hy p o Verein sb an k AG 0,4 1,3 1,6

B M W AG

1,2 1,9 1,2 3,9 0,9 4,6 4,1 4,2 6,7 9,8 9,3 8,3 8,9 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

C o m m erzb an k AG 2,9 1,9

Siem en s AG

0,2

E .ON (sp äter Veb a AG) 1,3 0,8

Karstad tQ u elle Ag

10,0 10,0 10,0 9,1 9,7 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,4 9,3 8,6 8,2 9,4 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

L in d e AG

4,8 4,8 1,6

L u fth an sa AG

1,8 3,1 5,0 5,8 7,4 6,4 8,6 6,7 8,3 5,8 6,2 4,9 3,9 4,1 5,5 5,3 5,6 4,9 5,6 1,2 0,9

M ü n ch en er R ü ck v ers. AG

2,4 1,0 3,6 6,7 5,6 4,6 5,8 5,0 3,5 2,9 4,3 3,4 5,8 4,7 4,8 4,0 3,9 3,5 2,9 3,5 3,9 5,2 3,7 4,0 3,1 3,8 3,9 2,9 3,4 4,0 3,8 2,8 2,5 10,0 2,1 9,6 2,8 9,7 2,9

R W E AG

0,3 4,0 3,8 0,6 2,6 2,5 1,7 1,1 1,5 0,4

SAP AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,2 9,5 8,2 8,3 8,8 8,8 7,9 5,6 5,1 2,5 5,5 5,6 6,2 5,9 3,3 7,6 4,5 2,7 2,0

Sch erin g AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

T UI A G seit 2 0 0 3 (eh em als Preu ssag AG )

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

VIAG AG

10,0 10,0 10,0 10,0 9,9 9,9 10,0 9,8 9,6 8,7 7,9 3,4 3,1 4,0 3,2 3,6 3,6 3,5 3,6 3,3 3,5 3,6 4,3 4,4 4,6 4,8 3,9 5,1 5,4 5,1 5,0 5,2 4,8 4,3 4,5 4,2

M an n esm an n AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

254 Anhang

DAX-äquivalentes Portfolio

Veb a A G

T h y ssen K ru p p AG

In fin eo n AG

E p co s AG

Dresd n er B an k AG

Deu tsch e T elek o m AG

Deu tsch e Po st AG

Deu tsch e B an k AG

Daim lerC h ry sler AG

B ayer AG

B ASF AG

Altana AG

Allianz AG

WCM Beteiligungsund Grundbesitz-AG

IVG Immobilien AG

GAG Immobilien AG

Angaben in %

10,0 10,0 10,0

B ayerische HypoVereinsbank AG 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0

10,0 10,0 10,0

Lufthansa AG 10,0 10,0 10,0

M etro AG 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

M LP AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0

10,0

Henkel KGaA

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

TUI AG seit 2003 (ehemals Preussag AG)

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

B M W AG 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Schering AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Deutsche B ank AG 10,0 10,0 10,0

Dresdner B ank AG

10,0

M ünchener R ückvers. AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

SAP AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Siemens AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

10,0 10,0 10,0

M annesmann AG

10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0

Volkswagen AG

1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

Anhang 255

Renditemaximierendes Portfolio

VIAG AG

Veba AG

ThyssenKrupp AG

R WE AG

M AN AG

Linde AG

KarstadtQuelle Ag

Infineon AG

Fresenius M edical Care AG

Epcos AG

E.ON (später Veba AG)

Deutsche Telekom AG

Deutsche Post AG

Degussa AG

DaimlerChrysler AG

C ommerzbank AG

Adidas-Salomon AG

Hamborner AG

Deutsche B eamtenvorsorge

256

Anhang

Anhang XII: Fondsentwicklung (Anlageuniversum I, Modell I) Minimum-Varianz-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,27% 0,6211 1.2.00 0,11% 0,6190 1.3.00 0,00% 0,5857 1.4.00 0,33% 0,5639 1.5.00 0,30% 0,5634 1.6.00 0,50% 0,5138 1.7.00 0,21% 0,5998 1.8.00 0,28% 0,6005 1.9.00 0,30% 0,6022 1.10.00 0,44% 0,5804 1.11.00 0,56% 0,5768 1.12.00 0,76% 0,5228 1.1.01 0,73% 0,5277 1.2.01 0,65% 0,5182 1.3.01 0,63% 0,5184 1.4.01 0,52% 0,5319 1.5.01 0,52% 0,5387 1.6.01 0,53% 0,5388 1.7.01 0,61% 0,5336 1.8.01 0,72% 0,5139 1.9.01 0,73% 0,5080 1.10.01 0,66% 0,4987 1.11.01 0,60% 0,4735 1.12.01 0,51% 0,4637 1.1.02 0,54% 0,4635 1.2.02 0,48% 0,4539 1.3.02 0,42% 0,4477 1.4.02 0,47% 0,4535 1.5.02 0,51% 0,4482 1.6.02 0,51% 0,4445 1.7.02 0,49% 0,4326 1.8.02 0,31% 0,5089 1.9.02 0,39% 0,5209 1.10.02 0,60% 0,4773 1.11.02 0,70% 0,4723 1.12.02 0,53% 0,4456

Überschußrendite beobachtete beobachtet erklärte Rendite rPF - rf rBM - rf CDAX Euribor 2,82% 0,26% 2,56% -8,29% 1,95% 11,68% 0,27% 11,41% 2,18% 7,04% -2,65% 0,28% -2,93% 9,65% -1,21% -2,06% 0,30% -2,36% -1,62% -0,88% -7,24% 0,32% -7,56% 3,04% -3,87% 0,26% 0,34% -0,08% -5,21% 0,43% 1,82% 0,36% 1,46% 7,84% 1,32% 1,73% 0,36% 1,37% 2,14% 1,26% -5,87% 0,39% -6,26% -0,69% -3,12% 0,11% 0,39% -0,28% 3,80% 0,32% -5,71% 0,40% -6,11% 5,05% -3,04% -3,88% 0,40% -4,28% -2,64% -1,98% 3,26% 0,40% 2,87% -0,42% 2,13% -8,27% 0,39% -8,66% -3,11% -4,50% -3,92% 0,39% -4,32% -7,37% -2,01% 4,99% 0,38% 4,61% 5,50% 3,13% 1,38% 0,39% 0,99% 1,75% 1,04% -2,52% 0,37% -2,89% 1,18% -1,19% -4,72% 0,37% -5,09% -1,24% -2,45% -8,26% 0,37% -8,63% -3,06% -4,49% -15,12% 0,36% -15,48% -13,44% -8,43% 10,93% 0,31% 10,62% 4,04% 6,59% 3,08% 0,30% 2,78% -0,30% 2,08% 2,46% 0,28% 2,18% 0,77% 1,73% 1,19% 0,27% 0,91% 1,71% 1,00% -6,01% 0,28% -6,28% -2,77% -3,14% 10,22% 0,27% 9,95% 7,16% 6,20% -5,56% 0,28% -5,83% -3,21% -2,88% -3,08% 0,27% -3,35% -0,26% -1,45% -7,32% 0,28% -7,60% -2,27% -3,90% -17,48% 0,28% -17,76% -17,69% -9,74% 3,40% 0,27% 3,13% 5,30% 2,27% -20,00% 0,27% -20,27% -14,25% -11,19% 5,76% 0,27% 5,49% 5,15% 3,63% 6,31% 0,27% 6,04% -1,61% 3,95% -13,53% 0,26% -13,79% -7,66% -7,45% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,48% 0,5752 0,1003 49,2%

Anhang

257

DAX-äquivalentes Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,81% 0,7549 1.2.00 0,80% 0,7641 1.3.00 0,60% 0,8510 1.4.00 0,65% 0,7765 1.5.00 0,75% 0,7859 1.6.00 0,86% 0,7149 1.7.00 0,74% 0,7826 1.8.00 0,76% 0,7581 1.9.00 0,77% 0,7649 1.10.00 0,89% 0,6805 1.11.00 0,95% 0,6733 1.12.00 1,04% 0,5903 1.1.01 1,01% 0,5931 1.2.01 0,92% 0,6227 1.3.01 0,87% 0,6027 1.4.01 0,80% 0,6219 1.5.01 0,82% 0,6284 1.6.01 0,82% 0,6280 1.7.01 0,86% 0,5945 1.8.01 0,90% 0,5563 1.9.01 0,82% 0,5279 1.10.01 0,66% 0,4987 1.11.01 0,75% 0,4996 1.12.01 0,70% 0,5080 1.1.02 0,74% 0,5099 1.2.02 0,68% 0,5031 1.3.02 0,55% 0,4740 1.4.02 0,63% 0,4939 1.5.02 0,60% 0,4619 1.6.02 0,52% 0,4460 1.7.02 0,49% 0,4326 1.8.02 0,31% 0,5089 1.9.02 0,39% 0,5209 1.10.02 0,60% 0,4773 1.11.02 0,70% 0,4723 1.12.02 0,53% 0,4456

Überschußrendite beobachtete beobachtet erklärte Rendite rPF - rf rBM - rf CDAX Euribor 2,82% 0,26% 2,56% -2,81% 2,05% 11,68% 0,27% 11,41% 7,95% 7,47% -2,65% 0,28% -2,93% 5,34% -1,33% -2,06% 0,30% -2,36% -2,29% -0,98% -7,24% 0,32% -7,56% -2,18% -4,17% 0,26% 0,34% -0,08% 1,72% 0,42% 1,82% 0,36% 1,46% 6,54% 1,37% 1,73% 0,36% 1,37% -1,13% 1,31% -5,87% 0,39% -6,26% 2,56% -3,37% 0,11% 0,39% -0,28% 2,31% 0,30% -5,71% 0,40% -6,11% 2,33% -3,28% -3,88% 0,40% -4,28% -2,00% -2,15% 3,26% 0,40% 2,87% -4,17% 2,23% -8,27% 0,39% -8,66% -2,93% -4,84% -3,92% 0,39% -4,32% -5,81% -2,18% 4,99% 0,38% 4,61% 3,77% 3,30% 1,38% 0,39% 0,99% 1,76% 1,08% -2,52% 0,37% -2,89% 1,46% -1,30% -4,72% 0,37% -5,09% -1,96% -2,65% -8,26% 0,37% -8,63% -3,60% -4,82% -15,12% 0,36% -15,48% -12,87% -9,03% 10,93% 0,31% 10,62% 4,04% 6,99% 3,08% 0,30% 2,78% -0,90% 2,18% 2,46% 0,28% 2,18% 0,60% 1,81% 1,19% 0,27% 0,91% 0,96% 1,03% -6,01% 0,28% -6,28% -2,86% -3,38% 10,22% 0,27% 9,95% 6,50% 6,58% -5,56% 0,28% -5,83% -2,85% -3,11% -3,08% 0,27% -3,35% -0,69% -1,58% -7,32% 0,28% -7,60% -2,24% -4,19% -17,48% 0,28% -17,76% -17,69% -10,43% 3,40% 0,27% 3,13% 5,30% 2,39% -20,00% 0,27% -20,27% -14,25% -11,97% 5,76% 0,27% 5,49% 5,15% 3,84% 6,31% 0,27% 6,04% -1,61% 4,18% -13,53% 0,26% -13,79% -7,66% -7,99% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,47% 0,6137 0,0766 65,4%

258

Anhang

GG-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,75% 0,7371 1.2.00 0,65% 0,7288 1.3.00 0,39% 0,7210 1.4.00 0,81% 0,6871 1.5.00 0,62% 0,6806 1.6.00 0,79% 0,6086 1.7.00 0,58% 0,7031 1.8.00 0,64% 0,6962 1.9.00 0,66% 0,7030 1.10.00 0,79% 0,6483 1.11.00 0,86% 0,6429 1.12.00 0,99% 0,5770 1.1.01 1,00% 0,5909 1.2.01 0,93% 0,6257 1.3.01 0,93% 0,6262 1.4.01 0,87% 0,6498 1.5.01 0,88% 0,6503 1.6.01 0,90% 0,6582 1.7.01 0,93% 0,6184 1.8.01 1,09% 0,6034 1.9.01 1,07% 0,5960 1.10.01 0,90% 0,5328 1.11.01 0,93% 0,5492 1.12.01 0,92% 0,5723 1.1.02 0,95% 0,5711 1.2.02 0,90% 0,5717 1.3.02 0,82% 0,5543 1.4.02 0,84% 0,5628 1.5.02 0,82% 0,5132 1.6.02 0,76% 0,5094 1.7.02 0,61% 0,4500 1.8.02 0,33% 0,5109 1.9.02 0,45% 0,5270 1.10.02 0,60% 0,4773 1.11.02 0,70% 0,4723 1.12.02 0,53% 0,4456

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% -3,57% 1,96% 11,41% 7,00% 7,22% -2,93% 8,66% -1,31% -2,36% -1,65% -0,97% -7,56% 0,08% -4,06% -0,08% -0,84% 0,39% 1,46% 6,97% 1,30% 1,37% -0,97% 1,25% -6,26% 1,54% -3,29% -0,28% 2,88% 0,27% -6,11% 3,19% -3,20% -4,28% -2,10% -2,11% 2,87% -4,09% 2,14% -8,66% -2,92% -4,72% -4,32% -5,47% -2,13% 4,61% 3,41% 3,17% 0,99% 1,73% 1,02% -2,89% 1,40% -1,28% -5,09% -2,18% -2,59% -8,63% -4,69% -4,70% -15,48% -11,21% -8,77% 10,62% 4,50% 6,75% 2,78% -1,04% 2,09% 2,18% 0,64% 1,73% 0,91% 0,05% 0,98% -6,28% -3,63% -3,30% 9,95% 6,23% 6,35% -5,83% -3,08% -3,04% -3,35% -2,10% -1,56% -7,60% -1,66% -4,09% -17,76% -18,48% -10,13% 3,13% 5,61% 2,29% -20,27% -14,09% -11,63% 5,49% 5,15% 3,70% 6,04% -1,61% 4,03% -13,79% -7,66% -7,77%

α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,43% 0,5949 0,0841 59,6%

Anhang

Tangential-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 1,87% 1,1342 1.2.00 1,93% 1,1868 1.3.00 0,91% 1,0879 1.4.00 0,93% 0,8665 1.5.00 0,80% 0,8536 1.6.00 0,87% 0,7456 1.7.00 0,85% 0,9312 1.8.00 0,90% 0,9116 1.9.00 0,90% 0,9217 1.10.00 1,19% 0,8244 1.11.00 1,16% 0,7829 1.12.00 1,26% 0,6813 1.1.01 1,19% 0,7019 1.2.01 1,07% 0,7425 1.3.01 1,20% 0,7680 1.4.01 1,25% 0,8570 1.5.01 1,31% 0,8823 1.6.01 1,35% 0,8784 1.7.01 1,32% 0,8020 1.8.01 1,99% 0,8974 1.9.01 1,88% 0,8908 1.10.01 2,09% 0,8933 1.11.01 1,95% 0,9232 1.12.01 2,08% 1,0086 1.1.02 2,03% 0,9998 1.2.02 1,93% 1,0012 1.3.02 1,84% 0,9855 1.4.02 1,80% 1,0073 1.5.02 1,73% 0,9016 1.6.02 1,37% 0,8416 1.7.02 1,27% 0,7704 1.8.02 1,35% 0,8650 1.9.02 1,46% 0,7770 1.10.02 1,69% 0,5101 1.11.02 1,90% 0,5189 1.12.02 1,84% 0,5180

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% 11,88% 2,76% 11,41% 17,56% 9,90% -2,93% -0,69% -1,68% -2,36% -2,83% -1,22% -7,56% -3,06% -5,42% -0,08% 2,31% 0,62% 1,46% 5,68% 1,86% 1,37% -1,18% 1,79% -6,26% 3,15% -4,37% -0,28% -1,22% 0,46% -6,11% -1,27% -4,25% -4,28% -2,45% -2,77% 2,87% -5,56% 3,00% -8,66% -3,12% -6,31% -4,32% -4,31% -2,80% 4,61% 2,63% 4,41% 0,99% 1,35% 1,48% -2,89% 0,23% -1,65% -5,09% -3,90% -3,43% -8,63% -10,74% -6,28% -15,48% -7,59% -11,82% 10,62% 10,08% 9,26% 2,78% 1,71% 2,93% 2,18% 0,27% 2,45% 0,91% -2,04% 1,42% -6,28% -6,83% -4,39% 9,95% 11,07% 8,72% -5,83% -6,67% -4,03% -3,35% -14,21% -2,02% -7,60% -6,11% -5,45% -17,76% -22,07% -13,66% 3,13% 10,00% 3,21% -20,27% -10,45% -15,69% 5,49% 8,69% 5,12% 6,04% -6,47% 5,57% -13,79% -6,56% -10,45%

α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,69% 0,8077 0,1153 59,1%

259

260

Anhang

Anhang XIII: Fondsentwicklung (Anlageuniversum II, Modell I) Minimum-Varianz-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,78% 0,4062 1.2.00 0,83% 0,4064 1.3.00 0,60% 0,3664 1.4.00 0,81% 0,3476 1.5.00 0,80% 0,3459 1.6.00 0,60% 0,2795 1.7.00 0,51% 0,3033 1.8.00 0,48% 0,3064 1.9.00 0,51% 0,3063 1.10.00 0,60% 0,2970 1.11.00 0,62% 0,2978 1.12.00 0,75% 0,2834 1.1.01 0,71% 0,2791 1.2.01 0,68% 0,2841 1.3.01 0,71% 0,2826 1.4.01 0,70% 0,2795 1.5.01 0,70% 0,2802 1.6.01 0,67% 0,2792 1.7.01 0,70% 0,2719 1.8.01 0,73% 0,2697 1.9.01 0,77% 0,2636 1.10.01 0,70% 0,2506 1.11.01 0,61% 0,2382 1.12.01 0,58% 0,2390 1.1.02 0,60% 0,2391 1.2.02 0,57% 0,2348 1.3.02 0,53% 0,2356 1.4.02 0,52% 0,2288 1.5.02 0,55% 0,2276 1.6.02 0,56% 0,2240 1.7.02 0,38% 0,1870 1.8.02 0,27% 0,2268 1.9.02 0,31% 0,2311 1.10.02 0,44% 0,2009 1.11.02 0,44% 0,1970 1.12.02 0,48% 0,1964

Überschußrendite beobachtete beobachtet erklärte Rendite rPF - rf rBM - rf CDAX Euribor 2,82% 0,26% 2,56% -4,75% 0,57% 11,68% 0,27% 11,41% -2,12% 2,77% -2,65% 0,28% -2,93% 4,85% -0,79% -2,06% 0,30% -2,36% 0,51% -0,65% -7,24% 0,32% -7,56% 3,52% -1,94% 0,26% 0,34% -0,08% -0,62% -0,08% 1,82% 0,36% 1,46% 0,04% 0,30% 1,73% 0,36% 1,37% 1,67% 0,28% -5,87% 0,39% -6,26% -1,30% -1,61% 0,11% 0,39% -0,28% -1,27% -0,13% -5,71% 0,40% -6,11% 4,03% -1,58% -3,88% 0,40% -4,28% -0,97% -1,12% 3,26% 0,40% 2,87% 0,55% 0,65% -8,27% 0,39% -8,66% -1,65% -2,21% -3,92% 0,39% -4,32% -2,01% -1,13% 4,99% 0,38% 4,61% 2,87% 1,08% 1,38% 0,39% 0,99% 0,58% 0,18% -2,52% 0,37% -2,89% 2,17% -0,78% -4,72% 0,37% -5,09% -1,53% -1,32% -8,26% 0,37% -8,63% -0,82% -2,20% -15,12% 0,36% -15,48% -7,23% -3,90% 10,93% 0,31% 10,62% -0,38% 2,57% 3,08% 0,30% 2,78% 0,15% 0,63% 2,46% 0,28% 2,18% 0,37% 0,48% 1,19% 0,27% 0,91% 1,34% 0,16% -6,01% 0,28% -6,28% -1,86% -1,62% 10,22% 0,27% 9,95% 3,09% 2,40% -5,56% 0,28% -5,83% -1,49% -1,51% -3,08% 0,27% -3,35% 1,34% -0,89% -7,32% 0,28% -7,60% -4,74% -1,95% -17,48% 0,28% -17,76% -12,21% -4,46% 3,40% 0,27% 3,13% 2,51% 0,71% -20,00% 0,27% -20,27% -3,57% -5,09% 5,76% 0,27% 5,49% -0,67% 1,30% 6,31% 0,27% 6,04% 2,25% 1,44% -13,53% 0,26% -13,79% -5,56% -3,48% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

-0,06% 0,2478 0,0644 30,3%

Anhang

261

DAX-äquivalentes Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 1,37% 0,4493 1.2.00 1,38% 0,4630 1.3.00 1,44% 0,4463 1.4.00 1,53% 0,4423 1.5.00 1,48% 0,4318 1.6.00 1,46% 0,3982 1.7.00 1,33% 0,4628 1.8.00 1,32% 0,4519 1.9.00 1,34% 0,4502 1.10.00 1,38% 0,4043 1.11.00 1,41% 0,4254 1.12.00 1,32% 0,4265 1.1.01 1,25% 0,4390 1.2.01 1,23% 0,4243 1.3.01 1,20% 0,3709 1.4.01 1,14% 0,3626 1.5.01 1,17% 0,3714 1.6.01 1,16% 0,3881 1.7.01 1,15% 0,3740 1.8.01 1,15% 0,3640 1.9.01 1,05% 0,3163 1.10.01 0,83% 0,2710 1.11.01 0,94% 0,3074 1.12.01 0,93% 0,2724 1.1.02 0,94% 0,3072 1.2.02 0,87% 0,2954 1.3.02 0,69% 0,2632 1.4.02 0,79% 0,2915 1.5.02 0,74% 0,2603 1.6.02 0,64% 0,2386 1.7.02 0,44% 0,1992 1.8.02 0,27% 0,2268 1.9.02 0,31% 0,2311 1.10.02 0,44% 0,2009 1.11.02 0,44% 0,1970 1.12.02 0,48% 0,1964

Überschußrendite beobachtete beobachtet erklärte Rendite rPF - rf rBM - rf CDAX Euribor 2,82% 0,26% 2,56% -2,56% 0,15% 11,68% 0,27% 11,41% -0,52% 2,61% -2,65% 0,28% -2,93% 3,52% -1,37% -2,06% 0,30% -2,36% -0,99% -1,21% -7,24% 0,32% -7,56% -0,50% -2,66% 0,26% 0,34% -0,08% -4,76% -0,58% 1,82% 0,36% 1,46% 4,10% -0,15% 1,73% 0,36% 1,37% 0,16% -0,18% -5,87% 0,39% -6,26% 0,83% -2,29% 0,11% 0,39% -0,28% -3,21% -0,64% -5,71% 0,40% -6,11% -3,38% -2,25% -3,88% 0,40% -4,28% -2,39% -1,74% 3,26% 0,40% 2,87% -0,68% 0,24% -8,27% 0,39% -8,66% 0,74% -2,96% -3,92% 0,39% -4,32% -3,25% -1,76% 4,99% 0,38% 4,61% 1,19% 0,72% 1,38% 0,39% 0,99% 0,54% -0,28% -2,52% 0,37% -2,89% 1,49% -1,36% -4,72% 0,37% -5,09% -1,98% -1,97% -8,26% 0,37% -8,63% -1,30% -2,95% -15,12% 0,36% -15,48% -7,52% -4,85% 10,93% 0,31% 10,62% 0,00% 2,39% 3,08% 0,30% 2,78% -0,44% 0,21% 2,46% 0,28% 2,18% 0,10% 0,05% 1,19% 0,27% 0,91% 0,92% -0,30% -6,01% 0,28% -6,28% -2,33% -2,30% 10,22% 0,27% 9,95% 2,54% 2,20% -5,56% 0,28% -5,83% -1,26% -2,18% -3,08% 0,27% -3,35% 0,62% -1,49% -7,32% 0,28% -7,60% -5,01% -2,67% -17,48% 0,28% -17,76% -12,86% -5,48% 3,40% 0,27% 3,13% 2,51% 0,31% -20,00% 0,27% -20,27% -3,57% -6,18% 5,76% 0,27% 5,49% -0,67% 0,96% 6,31% 0,27% 6,04% 2,25% 1,12% -13,53% 0,26% -13,79% -5,56% -4,38% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

-0,56% 0,2774 0,0583 40,0%

262

Anhang

GG-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 1,35% 0,4466 1.2.00 1,27% 0,4452 1.3.00 1,13% 0,4036 1.4.00 1,31% 0,4060 1.5.00 1,28% 0,3953 1.6.00 1,26% 0,3622 1.7.00 1,12% 0,4095 1.8.00 1,14% 0,4130 1.9.00 1,16% 0,4117 1.10.00 1,24% 0,3816 1.11.00 1,26% 0,3951 1.12.00 1,23% 0,4006 1.1.01 1,20% 0,4196 1.2.01 1,23% 0,4246 1.3.01 1,27% 0,3871 1.4.01 1,24% 0,3843 1.5.01 1,25% 0,3884 1.6.01 1,24% 0,4077 1.7.01 1,22% 0,3915 1.8.01 1,30% 0,4011 1.9.01 1,31% 0,3721 1.10.01 1,11% 0,3260 1.11.01 1,14% 0,3538 1.12.01 1,15% 0,3587 1.1.02 1,17% 0,3638 1.2.02 1,11% 0,3517 1.3.02 1,00% 0,3288 1.4.02 0,98% 0,3446 1.5.02 0,96% 0,3069 1.6.02 0,88% 0,2989 1.7.02 0,67% 0,2740 1.8.02 0,32% 0,2324 1.9.02 0,48% 0,2547 1.10.02 0,44% 0,2009 1.11.02 0,44% 0,1970 1.12.02 0,50% 0,1975

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% -2,67% 0,20% 11,41% -0,70% 2,91% -2,93% 4,22% -1,47% -2,36% -0,39% -1,30% -7,56% 0,85% -2,89% -0,08% -3,74% -0,60% 1,46% 2,68% -0,13% 1,37% 0,33% -0,16% -6,26% 0,34% -2,49% -0,28% -2,84% -0,66% -6,11% -1,93% -2,45% -4,28% -2,05% -1,89% 2,87% -0,65% 0,30% -8,66% 0,74% -3,22% -4,32% -3,52% -1,90% 4,61% 0,82% 0,83% 0,99% 0,53% -0,28% -2,89% 1,34% -1,46% -5,09% -2,06% -2,13% -8,63% -1,66% -3,22% -15,48% -7,50% -5,31% 10,62% 0,92% 2,67% 2,78% -0,57% 0,27% 2,18% -0,39% 0,09% 0,91% 0,60% -0,30% -6,28% -3,04% -2,50% 9,95% 2,39% 2,46% -5,83% -1,43% -2,36% -3,35% -0,79% -1,60% -7,60% -6,04% -2,90% -17,76% -15,47% -6,00% 3,13% 3,41% 0,38% -20,27% -4,12% -6,77% 5,49% -0,67% 1,10% 6,04% 2,25% 1,27% -13,79% -5,53% -4,79%

α-Faktor ex post: -0,58% β-Faktor ex post: 0,3055 se(β): 0,0629 R2: 41,0%

Anhang

Tangential-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 2,62% 0,7077 1.2.00 2,66% 0,7441 1.3.00 2,32% 0,6223 1.4.00 2,04% 0,5488 1.5.00 1,92% 0,5234 1.6.00 1,74% 0,4767 1.7.00 1,70% 0,5830 1.8.00 1,79% 0,5928 1.9.00 1,75% 0,5911 1.10.00 1,86% 0,5379 1.11.00 1,72% 0,5355 1.12.00 1,55% 0,5182 1.1.01 1,43% 0,5357 1.2.01 1,49% 0,5350 1.3.01 1,69% 0,5065 1.4.01 1,76% 0,5192 1.5.01 1,73% 0,5382 1.6.01 1,65% 0,5480 1.7.01 1,55% 0,5196 1.8.01 1,85% 0,5939 1.9.01 1,84% 0,5428 1.10.01 1,85% 0,5661 1.11.01 1,87% 0,6014 1.12.01 1,92% 0,6146 1.1.02 1,87% 0,6066 1.2.02 1,79% 0,6014 1.3.02 1,63% 0,5658 1.4.02 1,51% 0,5913 1.5.02 1,50% 0,5246 1.6.02 1,25% 0,4651 1.7.02 1,16% 0,5778 1.8.02 1,39% 0,7053 1.9.02 1,39% 0,6123 1.10.02 1,53% 0,4325 1.11.02 1,73% 0,4620 1.12.02 1,43% 0,3396

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% 3,96% 0,57% 11,41% 3,42% 5,52% -2,93% -0,03% -2,50% -2,36% -2,79% -2,18% -7,56% -3,75% -5,09% -0,08% -4,42% -0,91% 1,46% 5,75% -0,05% 1,37% -0,37% -0,10% -6,26% 1,42% -4,36% -0,28% -6,37% -1,02% -6,11% -6,64% -4,28% -4,28% -4,13% -3,25% 2,87% -1,67% 0,74% -8,66% 1,71% -5,71% -4,32% -3,38% -3,28% 4,61% -1,16% 1,72% 0,99% 0,13% -0,31% -2,89% -0,22% -2,48% -5,09% -2,61% -3,71% -8,63% -3,75% -5,69% -15,48% -8,20% -9,52% 10,62% 5,11% 5,08% 2,78% 0,74% 0,69% 2,18% -1,76% 0,36% 0,91% -0,24% -0,35% -6,28% -5,16% -4,38% 9,95% 4,46% 4,71% -5,83% -3,19% -4,13% -3,35% -6,35% -2,74% -7,60% -9,83% -5,11% -17,76% -21,82% -10,80% 3,13% 10,30% 0,89% -20,27% -10,71% -12,21% 5,49% 3,99% 2,21% 6,04% -4,02% 2,52% -13,79% -6,14% -8,58%

α-Faktor ex post: -0,86% β-Faktor ex post: 0,5596 se(β): 0,0891 R2: 53,7%

263

264

Anhang

Anhang XIV: Fondsentwicklung (Anlageuniversum I, Modell II) Minimum-Varianz-Portfolio Halteperiode 1.1.00 1.2.00 1.3.00 1.4.00 1.5.00 1.6.00 1.7.00 1.8.00 1.9.00 1.10.00 1.11.00 1.12.00 1.1.01 1.2.01 1.3.01 1.4.01 1.5.01 1.6.01 1.7.01 1.8.01 1.9.01 1.10.01 1.11.01 1.12.01 1.1.02 1.2.02 1.3.02 1.4.02 1.5.02 1.6.02 1.7.02 1.8.02 1.9.02 1.10.02 1.11.02 1.12.02

ex ante Schätzer Überschußrendite beobachtete Rendite für beobachtet erklärte rPF - rf rBM - rf CDAX Euribor α β 0,11% 0,8011 2,82% 0,26% 2,56% -8,94% 2,09% -0,09% 0,8018 11,68% 0,27% 11,41% 0,73% 7,98% -0,18% 0,7499 -2,65% 0,28% -2,93% 8,11% -1,58% 0,19% 0,6993 -2,06% 0,30% -2,36% -0,87% -1,20% 0,20% 0,6946 -7,24% 0,32% -7,56% -0,20% -4,66% 0,36% 0,6586 0,26% 0,34% -0,08% -4,89% 0,32% 0,18% 0,7226 1,82% 0,36% 1,46% 5,80% 1,35% 0,21% 0,7164 1,73% 0,36% 1,37% 1,53% 1,29% 0,23% 0,7174 -5,87% 0,39% -6,26% -1,32% -3,80% 0,35% 0,6965 0,11% 0,39% -0,28% 2,20% 0,19% 0,42% 0,6882 -5,71% 0,40% -6,11% 3,71% -3,70% 0,67% 0,6057 -3,88% 0,40% -4,28% -2,25% -2,48% 0,70% 0,6098 3,26% 0,40% 2,87% 1,42% 2,29% 0,65% 0,6027 -8,27% 0,39% -8,66% -2,52% -5,40% 0,67% 0,5911 -3,92% 0,39% -4,32% -7,99% -2,50% 0,56% 0,6216 4,99% 0,38% 4,61% 5,05% 3,45% 0,55% 0,6277 1,38% 0,39% 0,99% 1,75% 1,04% 0,58% 0,6278 -2,52% 0,37% -2,89% -1,04% -1,55% 0,64% 0,6272 -4,72% 0,37% -5,09% -1,96% -3,02% 0,71% 0,6094 -8,26% 0,37% -8,63% -3,48% -5,38% 0,73% 0,5997 -15,12% 0,36% -15,48% -16,71% -9,95% 0,60% 0,6417 10,93% 0,31% 10,62% 6,22% 7,46% 0,59% 0,5920 3,08% 0,30% 2,78% 1,25% 2,23% 0,54% 0,5862 2,46% 0,28% 2,18% 0,90% 1,83% 0,56% 0,5869 1,19% 0,27% 0,91% 2,20% 0,99% 0,51% 0,5742 -6,01% 0,28% -6,28% -2,87% -3,81% 0,46% 0,5644 10,22% 0,27% 9,95% 8,36% 7,01% 0,47% 0,5668 -5,56% 0,28% -5,83% -4,00% -3,51% 0,49% 0,5666 -3,08% 0,27% -3,35% 0,48% -1,86% 0,52% 0,5635 -7,32% 0,28% -7,60% -5,48% -4,69% 0,47% 0,5660 -17,48% 0,28% -17,76% -16,85% -11,46% 0,35% 0,6014 3,40% 0,27% 3,13% 3,50% 2,46% 0,45% 0,5892 -20,00% 0,27% -20,27% -15,64% -13,14% 0,56% 0,5584 5,76% 0,27% 5,49% 5,62% 4,03% 0,65% 0,5615 6,31% 0,27% 6,04% 4,40% 4,41% 0,62% 0,5625 -13,53% 0,26% -13,79% -8,34% -8,82% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,38% 0,6668 0,0909 61,3%

Anhang

265

DAX-äquivalentes Portfolio Überschußrendite Halte- ex ante Schätzer beobachtete periode für beobachtet erklärte Rendite rPF - rf rBM - rf CDAX Euribor α β 1.1.00 0,58% 0,8799 2,82% 0,26% 2,56% -4,18% 2,28% 1.2.00 0,52% 0,9057 11,68% 0,27% 11,41% 5,47% 8,51% 1.3.00 0,42% 0,9397 -2,65% 0,28% -2,93% 5,56% -1,58% 1.4.00 0,66% 0,8437 -2,06% 0,30% -2,36% -1,69% -1,18% 1.5.00 0,64% 0,8415 -7,24% 0,32% -7,56% -3,68% -4,84% 1.6.00 0,72% 0,7913 0,26% 0,34% -0,08% 0,32% 0,42% 1.7.00 0,60% 0,8570 1,82% 0,36% 1,46% 6,38% 1,51% 1.8.00 0,64% 0,8298 1,73% 0,36% 1,37% -0,94% 1,44% 1.9.00 0,62% 0,8444 -5,87% 0,39% -6,26% -1,00% -3,92% 1.10.00 0,71% 0,7794 0,11% 0,39% -0,28% 2,25% 0,28% 1.11.00 0,78% 0,7699 -5,71% 0,40% -6,11% 1,62% -3,82% 1.12.00 0,93% 0,6585 -3,88% 0,40% -4,28% -0,12% -2,53% 1.1.01 0,93% 0,6413 3,26% 0,40% 2,87% -2,44% 2,50% 1.2.01 0,87% 0,6543 -8,27% 0,39% -8,66% -2,07% -5,61% 1.3.01 0,85% 0,6184 -3,92% 0,39% -4,32% -6,65% -2,56% 1.4.01 0,77% 0,6492 4,99% 0,38% 4,61% 3,84% 3,72% 1.5.01 0,77% 0,6605 1,38% 0,39% 0,99% 1,25% 1,18% 1.6.01 0,78% 0,6591 -2,52% 0,37% -2,89% 0,43% -1,55% 1.7.01 0,80% 0,6432 -4,72% 0,37% -5,09% -2,35% -3,10% 1.8.01 0,81% 0,6230 -8,26% 0,37% -8,63% -3,52% -5,59% 1.9.01 0,74% 0,5998 -15,12% 0,36% -15,48% -16,65% -10,42% 1.10.01 0,60% 0,6417 10,93% 0,31% 10,62% 6,22% 7,96% 1.11.01 0,66% 0,5954 3,08% 0,30% 2,78% 0,53% 2,44% 1.12.01 0,62% 0,5916 2,46% 0,28% 2,18% 0,59% 2,02% 1.1.02 0,66% 0,5904 1,19% 0,27% 0,91% 1,14% 1,12% 1.2.02 0,61% 0,5846 -6,01% 0,28% -6,28% -3,26% -3,94% 1.3.02 0,49% 0,5663 10,22% 0,27% 9,95% 8,27% 7,48% 1.4.02 0,58% 0,5910 -5,56% 0,28% -5,83% -3,99% -3,63% 1.5.02 0,52% 0,5694 -3,08% 0,27% -3,35% -0,01% -1,88% 1.6.02 0,52% 0,5635 -7,32% 0,28% -7,60% -5,48% -4,87% 1.7.02 0,47% 0,5660 -17,48% 0,28% -17,76% -16,85% -12,02% 1.8.02 0,35% 0,6014 3,40% 0,27% 3,13% 3,50% 2,68% 1.9.02 0,45% 0,5892 -20,00% 0,27% -20,27% -15,64% -13,79% 1.10.02 0,56% 0,5584 5,76% 0,27% 5,49% 5,62% 4,34% 1.11.02 0,65% 0,5615 6,31% 0,27% 6,04% 4,40% 4,73% 1.12.02 0,62% 0,5625 -13,53% 0,26% -13,79% -8,34% -9,23% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,48% 0,7039 0,0702 74,7%

266

Anhang

GG-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,52% 0,8632 1.2.00 0,38% 0,8711 1.3.00 0,18% 0,8228 1.4.00 0,49% 0,7584 1.5.00 0,47% 0,7513 1.6.00 0,60% 0,7110 1.7.00 0,46% 0,7651 1.8.00 0,52% 0,7615 1.9.00 0,52% 0,7818 1.10.00 0,63% 0,7397 1.11.00 0,70% 0,7291 1.12.00 0,88% 0,6409 1.1.01 0,92% 0,6395 1.2.01 0,88% 0,6580 1.3.01 0,92% 0,6378 1.4.01 0,83% 0,6795 1.5.01 0,82% 0,6908 1.6.01 0,85% 0,6968 1.7.01 0,86% 0,6728 1.8.01 1,01% 0,6645 1.9.01 1,00% 0,6566 1.10.01 0,81% 0,6567 1.11.01 0,85% 0,6279 1.12.01 0,85% 0,6461 1.1.02 0,88% 0,6439 1.2.02 0,83% 0,6506 1.3.02 0,76% 0,6438 1.4.02 0,77% 0,6529 1.5.02 0,73% 0,6337 1.6.02 0,71% 0,6096 1.7.02 0,57% 0,5767 1.8.02 0,35% 0,6014 1.9.02 0,45% 0,5892 1.10.02 0,56% 0,5584 1.11.02 0,65% 0,5615 1.12.02 0,62% 0,5625

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% -5,06% 2,08% 11,41% 4,86% 8,04% -2,93% 8,23% -1,63% -2,36% -1,60% -1,24% -7,56% -1,59% -4,75% -0,08% -1,54% 0,29% 1,46% 5,89% 1,33% 1,37% -1,77% 1,27% -6,26% -0,93% -3,87% -0,28% 2,65% 0,16% -6,11% 2,78% -3,77% -4,28% -0,57% -2,53% 2,87% -2,31% 2,28% -8,66% -2,03% -5,49% -4,32% -6,20% -2,56% 4,61% 3,63% 3,45% 0,99% 1,43% 1,01% -2,89% 0,49% -1,60% -5,09% -2,61% -3,08% -8,63% -4,74% -5,47% -15,48% -14,27% -10,09% 10,62% 6,19% 7,51% 2,78% -0,03% 2,22% 2,18% 0,32% 1,82% 0,91% -0,20% 0,96% -6,28% -4,02% -3,89% 9,95% 8,39% 7,05% -5,83% -4,55% -3,58% -3,35% -2,10% -1,91% -7,60% -4,64% -4,77% -17,76% -17,37% -11,62% 3,13% 3,50% 2,46% -20,27% -15,64% -13,32% 5,49% 5,62% 4,04% 6,04% 4,40% 4,42% -13,79% -8,34% -8,95%

α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,35% 0,6740 0,0766 69,5%

Anhang

267

Renditemaximierendes Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,54% 1,2468 1.2.00 0,49% 1,2518 1.3.00 0,14% 1,1815 1.4.00 0,43% 1,0956 1.5.00 0,38% 1,1109 1.6.00 0,57% 1,0500 1.7.00 0,56% 1,0710 1.8.00 0,57% 1,1162 1.9.00 0,59% 1,1156 1.10.00 0,69% 1,0952 1.11.00 0,70% 1,0922 1.12.00 0,70% 1,0959 1.1.01 0,80% 1,0865 1.2.01 0,82% 1,0759 1.3.01 0,89% 1,0640 1.4.01 0,95% 1,0574 1.5.01 0,98% 1,0583 1.6.01 0,99% 1,0688 1.7.01 0,99% 1,0641 1.8.01 1,22% 1,0916 1.9.01 1,24% 1,0901 1.10.01 1,24% 1,0915 1.11.01 1,23% 1,0875 1.12.01 1,26% 1,1142 1.1.02 1,31% 1,1145 1.2.02 1,28% 1,1140 1.3.02 1,26% 1,1144 1.4.02 1,21% 1,1023 1.5.02 1,19% 1,1118 1.6.02 1,17% 1,0936 1.7.02 1,17% 1,0482 1.8.02 1,09% 1,0788 1.9.02 1,17% 1,0693 1.10.02 1,26% 1,0061 1.11.02 1,39% 1,0498 1.12.02 1,32% 1,0513

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% 0,34% 3,48% 11,41% 4,87% 12,83% -2,93% 1,45% -2,33% -2,36% -3,57% -1,73% -7,56% -5,12% -7,22% -0,08% 2,50% 0,68% 1,46% 7,09% 2,31% 1,37% 2,13% 2,21% -6,26% -1,90% -5,85% -0,28% -1,64% 0,47% -6,11% -4,28% -5,69% -4,28% -0,52% -3,75% 2,87% 3,97% 3,80% -8,66% -6,41% -8,38% -4,32% -1,55% -3,80% 4,61% 6,36% 5,64% 0,99% 2,61% 1,81% -2,89% -2,77% -2,29% -5,09% -6,49% -4,61% -8,63% -7,26% -8,35% -15,48% -17,21% -15,60% 10,62% 11,77% 12,00% 2,78% 5,00% 3,71% 2,18% 4,63% 3,07% 0,91% -1,41% 1,74% -6,28% -6,26% -5,87% 9,95% 11,11% 11,29% -5,83% -7,27% -5,40% -3,35% -7,22% -2,77% -7,60% -9,02% -7,27% -17,76% -22,28% -18,00% 3,13% 6,03% 4,07% -20,27% -21,75% -20,66% 5,49% 12,50% 6,57% 6,04% 4,46% 7,16% -13,79% -13,46% -13,81%

α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,77% 1,0571 0,0648 88,7%

268

Anhang

Anhang XV: Fondsentwicklung (Anlageuniversum II, Modell II) Minimum-Varianz-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,75% 0,5530 1.2.00 0,63% 0,5500 1.3.00 0,57% 0,4945 1.4.00 0,78% 0,4665 1.5.00 0,74% 0,4692 1.6.00 0,70% 0,3925 1.7.00 0,56% 0,4440 1.8.00 0,56% 0,4426 1.9.00 0,57% 0,4428 1.10.00 0,68% 0,4262 1.11.00 0,70% 0,4227 1.12.00 0,78% 0,3895 1.1.01 0,73% 0,3895 1.2.01 0,72% 0,4016 1.3.01 0,74% 0,3972 1.4.01 0,69% 0,4095 1.5.01 0,69% 0,4123 1.6.01 0,67% 0,4128 1.7.01 0,71% 0,4086 1.8.01 0,74% 0,3988 1.9.01 0,79% 0,3902 1.10.01 0,75% 0,4078 1.11.01 0,68% 0,3770 1.12.01 0,63% 0,3738 1.1.02 0,64% 0,3727 1.2.02 0,59% 0,3607 1.3.02 0,55% 0,3554 1.4.02 0,54% 0,3465 1.5.02 0,59% 0,3411 1.6.02 0,61% 0,3370 1.7.02 0,48% 0,3406 1.8.02 0,36% 0,4068 1.9.02 0,44% 0,4058 1.10.02 0,59% 0,3661 1.11.02 0,66% 0,3583 1.12.02 0,61% 0,3476

Überschußrendite beobachtete beobachtet erklärte Rendite rBM - rf rPF - rf CDAX Euribor 2,82% 0,26% 2,56% -6,14% 1,13% 11,68% 0,27% 11,41% -1,34% 4,93% -2,65% 0,28% -2,93% 5,17% -1,23% -2,06% 0,30% -2,36% -0,89% -0,98% -7,24% 0,32% -7,56% 1,57% -3,21% 0,26% 0,34% -0,08% -3,62% 0,00% 1,82% 0,36% 1,46% 2,98% 0,66% 1,73% 0,36% 1,37% 1,28% 0,62% -5,87% 0,39% -6,26% -0,91% -2,65% 0,11% 0,39% -0,28% -0,76% -0,09% -5,71% 0,40% -6,11% 2,26% -2,59% -3,88% 0,40% -4,28% -1,90% -1,80% 3,26% 0,40% 2,87% 3,69% 1,26% -8,27% 0,39% -8,66% -1,83% -3,69% -3,92% 0,39% -4,32% -4,04% -1,82% 4,99% 0,38% 4,61% 3,61% 2,01% 1,38% 0,39% 0,99% 0,95% 0,46% -2,52% 0,37% -2,89% 1,01% -1,21% -4,72% 0,37% -5,09% -1,18% -2,15% -8,26% 0,37% -8,63% -1,54% -3,67% -15,12% 0,36% -15,48% -10,78% -6,62% 10,93% 0,31% 10,62% 2,72% 4,60% 3,08% 0,30% 2,78% 0,43% 1,23% 2,46% 0,28% 2,18% -0,26% 0,97% 1,19% 0,27% 0,91% 1,99% 0,43% -6,01% 0,28% -6,28% -2,11% -2,67% 10,22% 0,27% 9,95% 4,83% 4,31% -5,56% 0,28% -5,83% -1,80% -2,47% -3,08% 0,27% -3,35% 0,84% -1,41% -7,32% 0,28% -7,60% -5,58% -3,23% -17,48% 0,28% -17,76% -15,02% -7,59% 3,40% 0,27% 3,13% 4,33% 1,38% -20,00% 0,27% -20,27% -9,74% -8,68% 5,76% 0,27% 5,49% 1,98% 2,39% 6,31% 0,27% 6,04% 1,13% 2,63% -13,53% 0,26% -13,79% -6,01% -5,89% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,03% 0,4296 0,0710 51,8%

Anhang

269

DAX-äquivalentes Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 1,12% 0,5841 1.2.00 1,12% 0,5961 1.3.00 1,11% 0,6045 1.4.00 1,29% 0,5516 1.5.00 1,24% 0,5474 1.6.00 1,29% 0,4862 1.7.00 1,15% 0,5582 1.8.00 1,16% 0,5397 1.9.00 1,16% 0,5465 1.10.00 1,21% 0,4990 1.11.00 1,24% 0,5168 1.12.00 1,23% 0,4790 1.1.01 1,18% 0,4832 1.2.01 1,15% 0,4746 1.3.01 1,09% 0,4446 1.4.01 1,04% 0,4438 1.5.01 1,06% 0,4501 1.6.01 1,05% 0,4654 1.7.01 1,05% 0,4495 1.8.01 1,04% 0,4437 1.9.01 0,96% 0,4019 1.10.01 0,75% 0,4078 1.11.01 0,86% 0,3871 1.12.01 0,82% 0,3837 1.1.02 0,86% 0,3870 1.2.02 0,79% 0,3766 1.3.02 0,63% 0,3585 1.4.02 0,79% 0,3882 1.5.02 0,68% 0,3472 1.6.02 0,61% 0,3370 1.7.02 0,48% 0,3406 1.8.02 0,36% 0,4068 1.9.02 0,44% 0,4058 1.10.02 0,59% 0,3661 1.11.02 0,66% 0,3583 1.12.02 0,61% 0,3476

Überschußrendite beobachtete beobachtet erklärte Rendite rBM - rf rPF - rf CDAX Euribor 2,82% 0,26% 2,56% -4,12% 0,85% 11,68% 0,27% 11,41% 1,47% 4,69% -2,65% 0,28% -2,93% 3,30% -1,53% -2,06% 0,30% -2,36% -1,63% -1,28% -7,24% 0,32% -7,56% -1,18% -3,54% 0,26% 0,34% -0,08% -3,49% -0,29% 1,82% 0,36% 1,46% 4,36% 0,37% 1,73% 0,36% 1,37% -0,46% 0,33% -5,87% 0,39% -6,26% 0,32% -2,97% 0,11% 0,39% -0,28% -1,67% -0,38% -5,71% 0,40% -6,11% -2,68% -2,91% -3,88% 0,40% -4,28% -1,84% -2,11% 3,26% 0,40% 2,87% 0,10% 0,98% -8,27% 0,39% -8,66% -0,32% -4,01% -3,92% 0,39% -4,32% -3,40% -2,13% 4,99% 0,38% 4,61% 2,02% 1,74% 1,38% 0,39% 0,99% 0,59% 0,17% -2,52% 0,37% -2,89% 1,22% -1,51% -4,72% 0,37% -5,09% -1,78% -2,47% -8,26% 0,37% -8,63% -1,64% -4,00% -15,12% 0,36% -15,48% -9,54% -6,97% 10,93% 0,31% 10,62% 2,72% 4,35% 3,08% 0,30% 2,78% -0,09% 0,95% 2,46% 0,28% 2,18% -0,63% 0,69% 1,19% 0,27% 0,91% 1,27% 0,14% -6,01% 0,28% -6,28% -2,47% -2,98% 10,22% 0,27% 9,95% 4,33% 4,06% -5,56% 0,28% -5,83% -1,79% -2,79% -3,08% 0,27% -3,35% 0,43% -1,71% -7,32% 0,28% -7,60% -5,58% -3,56% -17,48% 0,28% -17,76% -15,02% -7,96% 3,40% 0,27% 3,13% 4,33% 1,10% -20,00% 0,27% -20,27% -9,74% -9,05% 5,76% 0,27% 5,49% 1,98% 2,12% 6,31% 0,27% 6,04% 1,13% 2,36% -13,53% 0,26% -13,79% -6,01% -6,24% α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

-0,26% 0,4337 0,0575 62,6%

270

Anhang

GG-Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 0,75% 0,5809 1.2.00 0,63% 0,5782 1.3.00 0,57% 0,5244 1.4.00 0,78% 0,4906 1.5.00 0,74% 0,4857 1.6.00 0,70% 0,4263 1.7.00 0,56% 0,4724 1.8.00 0,56% 0,4768 1.9.00 0,57% 0,4851 1.10.00 0,68% 0,4591 1.11.00 0,70% 0,4709 1.12.00 0,78% 0,4504 1.1.01 0,73% 0,4643 1.2.01 0,72% 0,4749 1.3.01 0,74% 0,4612 1.4.01 0,69% 0,4681 1.5.01 0,69% 0,4694 1.6.01 0,67% 0,4875 1.7.01 0,71% 0,4675 1.8.01 0,74% 0,4827 1.9.01 0,79% 0,4549 1.10.01 0,75% 0,4270 1.11.01 0,68% 0,4231 1.12.01 0,63% 0,4288 1.1.02 0,64% 0,4306 1.2.02 0,59% 0,4250 1.3.02 0,55% 0,4143 1.4.02 0,54% 0,4258 1.5.02 0,59% 0,3895 1.6.02 0,61% 0,3774 1.7.02 0,48% 0,3602 1.8.02 0,36% 0,4068 1.9.02 0,44% 0,4064 1.10.02 0,59% 0,3661 1.11.02 0,66% 0,3583 1.12.02 0,61% 0,3476

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% -4,31% 0,73% 11,41% 0,65% 4,49% -2,93% 5,16% -1,61% -2,36% -1,16% -1,37% -7,56% 0,29% -3,58% -0,08% -2,59% -0,40% 1,46% 3,14% 0,26% 1,37% -0,19% 0,22% -6,26% 0,01% -3,02% -0,28% -1,73% -0,48% -6,11% -1,07% -2,96% -4,28% -1,98% -2,18% 2,87% 0,13% 0,85% -8,66% -0,32% -4,05% -4,32% -3,63% -2,20% 4,61% 1,68% 1,59% 0,99% 0,53% 0,06% -2,89% 1,10% -1,59% -5,09% -1,84% -2,53% -8,63% -2,03% -4,03% -15,48% -8,73% -6,95% 10,62% 3,03% 4,15% 2,78% -0,31% 0,82% 2,18% -0,77% 0,56% 0,91% 0,46% 0,02% -6,28% -3,75% -3,04% 9,95% 3,66% 3,87% -5,83% -2,03% -2,84% -3,35% -1,25% -1,79% -7,60% -6,17% -3,60% -17,76% -16,40% -7,91% 3,13% 4,33% 0,97% -20,27% -9,58% -8,98% 5,49% 1,98% 1,97% 6,04% 1,13% 2,20% -13,79% -6,01% -6,23%

α-Faktor ex post: -0,36% β-Faktor ex post: 0,4251 se(β): 0,0624 R2: 57,7%

Anhang

Renditemaximierendes Portfolio Halte- ex ante Schätzer periode für α β 1.1.00 1,22% 1,0795 1.2.00 1,26% 1,0588 1.3.00 0,89% 1,0076 1.4.00 1,07% 0,9618 1.5.00 1,06% 0,9441 1.6.00 1,11% 0,9379 1.7.00 1,09% 0,9387 1.8.00 0,97% 1,0503 1.9.00 0,93% 1,0858 1.10.00 1,03% 1,0663 1.11.00 1,02% 1,0554 1.12.00 1,01% 1,0423 1.1.01 1,07% 1,0393 1.2.01 1,17% 1,0274 1.3.01 1,36% 0,9215 1.4.01 1,30% 1,0105 1.5.01 1,32% 1,0055 1.6.01 1,32% 1,0054 1.7.01 1,30% 1,0086 1.8.01 1,49% 1,0397 1.9.01 1,57% 1,0289 1.10.01 1,59% 1,0299 1.11.01 1,58% 1,0438 1.12.01 1,66% 1,0511 1.1.02 1,71% 1,0322 1.2.02 1,64% 1,0276 1.3.02 1,56% 1,0569 1.4.02 1,38% 1,0985 1.5.02 1,44% 1,0345 1.6.02 1,37% 1,0199 1.7.02 1,30% 1,0369 1.8.02 1,21% 1,0702 1.9.02 1,29% 1,0611 1.10.02 1,37% 0,9115 1.11.02 1,46% 0,9228 1.12.02 1,43% 0,9182

beobachtete Rendite CDAX Euribor 2,82% 0,26% 11,68% 0,27% -2,65% 0,28% -2,06% 0,30% -7,24% 0,32% 0,26% 0,34% 1,82% 0,36% 1,73% 0,36% -5,87% 0,39% 0,11% 0,39% -5,71% 0,40% -3,88% 0,40% 3,26% 0,40% -8,27% 0,39% -3,92% 0,39% 4,99% 0,38% 1,38% 0,39% -2,52% 0,37% -4,72% 0,37% -8,26% 0,37% -15,12% 0,36% 10,93% 0,31% 3,08% 0,30% 2,46% 0,28% 1,19% 0,27% -6,01% 0,28% 10,22% 0,27% -5,56% 0,28% -3,08% 0,27% -7,32% 0,28% -17,48% 0,28% 3,40% 0,27% -20,00% 0,27% 5,76% 0,27% 6,31% 0,27% -13,53% 0,26%

Überschußrendite beobachtet erklärte rBM - rf rPF - rf 2,56% 3,40% 3,01% 11,41% 4,28% 12,19% -2,93% -1,96% -2,68% -2,36% -3,28% -2,10% -7,56% -4,87% -7,49% -0,08% 0,47% 0,27% 1,46% 6,24% 1,87% 1,37% 1,43% 1,77% -6,26% -1,54% -6,13% -0,28% -3,37% 0,07% -6,11% -6,73% -5,98% -4,28% -1,89% -4,08% 2,87% 4,81% 3,33% -8,66% -6,04% -8,63% -4,32% -3,59% -4,12% 4,61% 3,68% 5,13% 0,99% 2,40% 1,38% -2,89% -3,10% -2,64% -5,09% -3,67% -4,93% -8,63% -5,00% -8,60% -15,48% -14,28% -15,70% 10,62% 11,63% 11,37% 2,78% 6,42% 3,24% 2,18% 2,15% 2,62% 0,91% 0,17% 1,30% -6,28% -7,47% -6,16% 9,95% 9,85% 10,68% -5,83% -7,27% -5,70% -3,35% -7,82% -3,12% -7,60% -11,20% -7,53% -17,76% -25,81% -18,06% 3,13% 5,99% 3,60% -20,27% -22,00% -20,67% 5,49% 11,79% 6,05% 6,04% 4,10% 6,62% -13,79% -11,68% -13,95%

α-Faktor ex post: β-Faktor ex post: se(β): R2:

0,36% 1,0373 0,0698 86,7%

271

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Schriftenreihe Finanzierung und Banken Herausgeber: Prof. Dr. Detlev Hummel Band

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Band 7:

Roland Hübner: Terminbörsliche Immobilienderivate für Deutschland; 2002. Philip Steden: Marktorientierte Bankenregulierung. Eine ökonomische Analyse unter besonderer Berücksichtigung der Einlagensicherung, 2002. Marc Brüning: Corporate Finance als europäische Option im mittelstandsorientierten Bankgeschäft, 2002. Peter Claudy: Projektfinanzierungen in Emerging Markets. Eine institutionenökonomische Analyse, 2002. Sven Deglow: Vertriebs-Controlling in Bausparkassen. Aufgaben und Instrumente einer Controlling-Konzeption zur Koordination der Vertriebswege, 2003. David Mbonimana: Internationalisierungsstrategien von Banken – Kooperation versus Akquisition. Eine historische und vergleichende Analyse am Beispiel deutscher Großbanken, 2005. Julia Plakitkina: Bankenstrukturen und Systemrisiken – eine ökonomische Analyse Russlands im internationalen Vergleich, 2005.

Band 8:

Florian Bolte: Auswirkungen des Schuldenmanagements auf Renditedifferenzen zwischen Anleihen öffentlicher Emittenten des Euro-Währungsgebietes, 2005.

Band 9:

Annett Ullrich: Finanzplatz Berlin – Entstehung und Entwicklung, 2005.

Band 10:

Holger Blisse: Stärkung der Kreditgenossenschaften durch verbundbezogenes Eigenkapital der Mitglieder. Ein Beitrag zur Corporate Governance-Diskussion, 2006.

Band 11:

Tobias Hofmann: Asset Management mit Immobilienaktien, 2006.