Aprenda Teoria de Galois (em 24 horas!) [version 15 Jan 2019 ed.]

Table of contents :
Extensões algébricas......Page 1
Imersões......Page 2
Automorfismos e Extensões Galoisianas......Page 3
Exemplos......Page 4
Gauß e o heptadecágono regular......Page 5
Grupos......Page 6
Anéis......Page 9
Corpos......Page 13

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Aprenda Teoria de Galois (em 24 horas!) 2 Eduardo Tengan Suponhamos que vocˆ e est´ a em uma ilha deserta. De repente, vocˆ e sente uma vontade irresist´ıvel de calcular cos 2π . Como obter 17 ´1 `

2π cos

c b b b ? ? ? ? ? 17 ` 34 ´ 2 17 ` 2 17 ` 3 17 ´ 34 ´ 2 17 ´ 2 34 ` 2 17

“ 17

16

utilizando somente cocos, folhas, pedras, galhos, areia e teoria de ´ o que aprenderemos a seguir, vendo alguns dos resultaGalois? E dos b´ asicos desta teoria. Para simplificar a exposi¸c˜ ao, enunciaremos v´ arios resultados somente para Q, por´ em ´ e f´ acil ver que as provas se estendem ipsis literis para corpos de caracter´ıstica 0. Para maiores detalhes e outras abordagens, consulte qualquer livro ´ de Algebra como os listados na bibliografia, em particular o livro (a ´ ser lan¸cado em breve) Algebra exemplar, em coautoria com o professor S´ ergio Tadao Martins; uma vers˜ ao preliminar da parte de grupos encontra-se dispon´ıvel no site Open Math Notes da AMS, em https://www.ams.org/open- math- notes/omn- view- listing?listingId=110718

1

Gloss´ ario Estrutura Conjunto

Grupo Grupo abeliano Anel Anel comutativo

Defini¸ c˜ ao miojo cole¸c˜ ao de objetos, ditos elementos do conjunto conjunto em que se pode multiplicar e dividir grupo em que a multiplica¸c˜ ao ´ e comutativa conjunto em que se pode somar, subtrair e multiplicar anel com multiplica¸c˜ ao comutativa

Dom´ınio

anel comutativo em que se pode cancelar

Ideal

subconjunto de m´ ultiplos em um anel

Corpo

anel em que se pode dividir por a ‰ 0

Morfismo

substitui¸c˜ ao

Automorfismo

mudan¸ca de vari´ aveis

Exemplos H, N ou ta, b, ♥u pQˆ , ¨q, pZ, `q, pSn , ˝q ou pGLn pRq, ¨q pRˆ , ¨q ou pZ{nZ, `q pZ, `, ¨q ou pMn pRq, `, ¨q pZ, `, ¨q ou pR, `, ¨q pZ, `, ¨q ou pZ{pZ, `, ¨q com p primo 3Z em Z pQ, `, ¨q ou pZ{pZ, `, ¨q com p primo ϕ : Z Ñ Z{2Z com ϕpnq “ paridade de n ϕ : C Ñ C com ϕpzq “ z

As defini¸c˜ oes oficiais destes termos encontram-se no apˆ endice, juntamente com uma listagem dos enunciados (sem prova) dos principais teoremas.

Polinˆ omios sim´ etricos

Lema 1. Seja A um dom´ınio. Se f pxq P Arxs, qualquer polinˆ omio sim´ etrico nas ra´ızes de f pxq tamb´ em pertence a A.

Seja A um anel comutativo e denote por Arx1 , . . . , xn s o anel dos polinˆ omios nas vari´ aveis x1 , . . . , xn com coeficientes em A. O primeiro conceito de que necessitaremos ´ e o de polinˆ omio sim´ etrico: um polinˆ omio em Arx1 , . . . , xn s ´ e sim´ etrico se ele n˜ ao se altera quando intercambiamos duas de suas vari´ aveis. Provavelmente os polinˆ omios sim´ etricos mais simples s˜ ao os chamados polinˆ omios sim´ etricos elementares:

? 1˘ 5 s˜ ao ra´ızes de x2 ´ x ´ 1 P Zrxs, temos que 2 ˜ ? ¸n ˜ ? ¸n 1` 5 1´ 5 ` PZ 2 2

Por exemplo, como

para todo n P N.

s 1 “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn s2 “ x1 x2 ` x1 x3 ` ¨ ¨ ¨ ` xn´1 xn

3

.. . sn “ x1 . . . xn´1 xn Utilizando os polinˆ omios sim´ etricos elementares, ´ e f´ acil produzir outros polinˆ omios sim´ etricos, tais como s2 ` s3 , s21 sn e, em geral, qualquer polinˆ omio em s1 , s2 , . . . , sn . O fato interessante ´ e que esta ´ ea u ´ nica maneira de produzir polinˆ omios sim´ etricos. A demonstra¸ca ˜o ´ e simples e a reproduzimos aqui. Em primeiro lugar, ordenamos os monˆ omios segundo uma ordem grau-lexicogr´ afica, isto ´ e, diremos que β1 β2 αn βn 1 α2 axα 1 x2 . . . xn ą bx1 x2 . . . xn

pa, b P A, αi , βi P Nq

se ř ř (a) o grau αi do primeiro monˆ omio for maior do que o grau βi do segundo; ou (b) caso contr´ ario, se os graus forem iguais, o primeiro for lexicograficamente maior do que o segundo (em outras palavras, existe um k tal que αi “ βi para 1 ď i ă k e αk ą βk ). O termo l´ıder de um polinˆ omio ´ e o maior de seus monˆ omios (juntamente com seu coeficiente). Por exemplo, o termo l´ıder de

`

`

2x21 x3

`

2x22 x1

`

2x22 x3

`

2x23 x1

`

2x23 x2

(1)

´ e 2x21 x2 . Agora, dado um polinˆ omio sim´ etrico ppx1 , . . . , xn q, seja αn 1 α2 cxα ıder. J´ a que p ´ e sim´ etrico, devemos ter 1 x2 . . . xn o seu termo l´ α1 ě α2 ě ¨ ¨ ¨ ě αn . Utilizando os polinˆ omios sim´ etricos elementares, podemos construir outro polinˆ omio sim´ etrico com mesmo termo αn´1 ´αn αn 1 ´α2 α2 ´α3 l´ıder: basta tomar csα s2 . . . sn´1 sn . Agora 1 α

n´1 1 ´α2 α2 ´α3 p ´ csα s2 . . . sn´1 1

´αn αn sn

´ e um polinˆ omio sim´ etrico com termo l´ıder menor. Repetindo o processo quantas vezes for necess´ ario, obteremos eventualmente 0, ou seja, desta forma teremos escrito p como polinˆ omio em s1 , s2 , . . . , sn . No exemplo (2) acima, temos f px1 , x2 , x3 q ´ 2s1 s2 “ 4x1 x2 x3 ` x1 ` x2 ` x3 com termo l´ıder 4x1 x2 x3 ă 2x21 x2 . Continuando o processo, obtemos finalmente f px1 , x2 , x3 q “ 2s1 s2 ` 4s3 ` s1 A partir da express˜ ao ź px ´ xi q “ xn ´ s1 xn´1 ` s2 xn´2 ´ ¨ ¨ ¨ ` p´1qn sn 1ďiďn

temos um importante corol´ ario do resultado acima:

Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos. Um elemento α P L ´ e alg´ ebrico sobre K se α ´ e raiz de um polinˆ omio n˜ ao nulo em Krxs (que podemos supor ser mˆ onico, dividindo pelo coeficiente l´ıder). Se α P L ´ e alg´ ebrico, seu polinˆ omio minimal sobre K ´ e o polinˆ omio mˆ onico ppxq P Krxs de menor grau para o qual ppαq “ 0. Cada elemento alg´ ebrico α P L possui um u ´nico polinˆ omio minimal sobre K, como consequˆ encia do Teorema 2 (Menor divide). Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos e seja α P L alg´ ebrico sobre K. Seja ppxq P Krxs o polinˆ omio minimal de α sobre K. Dado qpxq P Krxs, temos qpαq “ 0 ðñ ppxq | qpxq Em particular, o polinˆ omio minimal ppxq P Krxs de α sobre K pode ser caracterizado como o (´ unico) polinˆ omio mˆ onico irredut´ıvel em Krxs que admite α como raiz. Demonstra¸c˜ ao. Dividindo qpxq por ppxq, obtemos qpxq “ apxq ¨ ppxq ` rpxq

f px1 , x2 , x3 q “ 10x1 x2 x3 ` x1 ` x2 ` x3 2x21 x2

Extens˜ oes alg´ ebricas

com rpxq “ 0 ou deg rpxq ă deg ppxq

Substituindo x por α na igualdade acima, conclu´ımos que rpαq “ 0; sendo ppxq o polinˆ omio minimal de α, n˜ ao podemos ter deg rpxq ă deg ppxq, logo rpxq “ 0 e portanto ppxq divide qpxq. Em particular, se um polinˆ omio mˆ onico e irredut´ıvel qpxq P Krxs admite α como raiz, ent˜ ao de ppxq | qpxq temos qpxq “ ppxq, o que prova a caracteriza¸c˜ ao do polinˆ omio minimal acima. Dois elementos α, α1 P L alg´ ebricos sobre K s˜ ao ditos conjugados sobre K se α, α1 possuem o mesmo polinˆ omio minimal sobre K ou, equivalentemente, se s˜ ao ra´ızes de um mesmo polinˆ omio irredut´ıvel? em Krxs. Por exemplo, ˘i s˜ ao conjugados sobre Q, assim como 2 ˘ 3. Ra´ızes conjugadas ter˜ ao um importante papel no que segue. Dizemos que a extens˜ ao L Ě K ´ e alg´ ebrica se todo elemento de L ´ e alg´ ebrico sobre K. Por exemplo, considere (um corpo, prove!) ? ? ? def Qr 3s “ Q ` Q 3 “ ta ` b 3 | a, b P Qu ? ? A extens˜ ao Qr 3s Ě Q ´ e alg´ ebrica, pois α “ a ` b 3 (a, b P Q) ´ e raiz do polinˆ omio com coeficientes em Q ? ? px ´ pa ` b 3qqpx ´ pa ´ b 3qq “ x2 ´ 2ax ` a2 ´ 3b2 P Qrxs O lema 1 acima possui o seguinte

Corol´ ario 3. Sejam M Ě L Ě K extens˜ oes de corpos. Se M Ě L e L Ě K s˜ ao extens˜ oes alg´ ebricas, ent˜ ao M Ě K tamb´ em ´ e alg´ ebrica (isto ´ e mais dif´ıcil de enunciar do que provar!) Demonstra¸c˜ ao. Dado α P M , queremos mostrar que α ´ e alg´ ebrico sobre K. Como α ´ e alg´ ebrico sobre L, temos que α ´ e raiz de um polinˆ omio αn ` ln´1 ¨ αn´1 ` ln´2 ¨ αn´2 ` ¨ ¨ ¨ ` l0 “ 0

pli P Lq

Cada li ´ e alg´ ebrico sobre K; seja pi pxq P Krxs seu polinˆ omio minimal. Considere o produto ź ` n ˘ 1 1 P pxq “ x ` ln´1 ¨ xn´1 ` ln´2 ¨ xn´2 ` ¨ ¨ ¨ ` l01 l1n´1 ,l1n´2 ,...,l10

em que li1 percorre todas as ra´ızes de pi pxq, i.e., os conjugados de li . Obviamente os coeficientes do polinˆ omio P pxq s˜ ao express˜ oes sim´ etricas das ra´ızes de pi pxq e portanto pertencem a K. Como P pαq “ 0 conclu´ımos que α ´ e de fato alg´ ebrico sobre K.

4

Extens˜ oes simples

Uma extens˜ ao de corpos L Ě K ´ e simples se L “ Kpαq, ou seja, se L´ e gerado sobre K por um u ´nico elemento α P L. Isto quer dizer que qualquer elemento de L “ Kpαq ´ e uma fun¸c˜ ao racional (i.e., o quociente de dois polinˆ omios) em α com coeficientes em K. Se, al´ em disso, α´ e alg´ ebrico sobre K, ´ e suficiente utilizar express˜ oes polinomiais: Teorema 4. Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos e seja α P L alg´ ebrico sobre K, com polinˆ omio minimal ppxq P Krxs de grau d. Ent˜ ao qualquer elemento de Kpαq ´ e um polinˆ omio em α com coeficientes em K de grau no m´ aximo d ´ 1: Kpαq “ K ` Kα ` Kα2 ` ¨ ¨ ¨ ` Kαd´1 Para provar o teorema, basta mostrar que um elemento qualquer f pαq{gpαq P Kpαq

pf, g P Krxs, gpαq ‰ 0q

pode ser escrito como um polinˆ omio em α com coeficientes em K. Da´ı, se ppxq “ xd ` ad´1 xd´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a0 , podemos utilizar recursivamente a rela¸c˜ ao ppαq “ 0 ðñ αd “ ´ad´1 αd´1 ´ ¨ ¨ ¨ ´ a0 para reduzir o grau em α at´ e no m´ aximo d ´ 1. Sendo α1 “ α, α2 , . . . , αd os d conjugados de α, a ideia ´ e “racionalizar o denominador” gpαq na express˜ ao acima multiplicando-o pelo produto de seus conjugados, de modo a obter ź N “ gpαi q 1ďiďd

em que ω “ e2πi{3 , uma raiz c´ ubica primitiva da?unidade. ? No?denominador, obtemos uma express˜ ao sim´ etrica em 3 5, ω 3 5, ω 2 3 5, as ra´ızes do polinˆ omio x3 ´ 5 P Qrxs. Ap´ os algumas contas, obtemos o n´ umero racional ? ? ? ? ? ? def 3 3 3 3 3 3 N “ p1 ` 5 ` 2 25qp1 ` ω 5 ` 2ω 2 25qp1 ` ω 2 5 ` 2ω 25q

As propriedades do mapa de conjuga¸c˜ ao τ: CÑC a ` bi ÞÑ a ´ bi

pa, b P Rq

que utilizamos implicitamente no racioc´ınio acima s˜ ao

“ 176 Por outro lado, M ´ e uma express˜ ao sim´ etrica em ω do polinˆ omio

? ? 3 5, ω 2 3 5, ra´ızes

? ? ? x3 ´ 5 3 3 3 ? “ x2 ` 5x ` 25 P Qr 5srxs x´ 35 ? ? ? 3 5s “ Q`Q 3 5`Q 3 25 formado pecujos coeficientes est˜ ao no anel Qr ? 3 las express˜ oes polinomiais em 5 com coeficientes em Q. Novamente ? pelo lema 1, temos M P Qr 3 5s e, de fato, ap´ os algumas contas, ? ? ? 3 3 3 M “ ´9 ` 19 5 ´ 25 P Qr 5s Finalmente, obtemos a bonita express˜ ao ? ? ? ? ´53 ` 151 3 5 ´ 45 3 25 p7 ´ 2 3 5qM 3 “ P Qr 5s β“ N 176 A prova do teorema no caso geral ´ e an´ aloga, ou seja, mostramos que ś f pα q gpα q f pαq 1 i ś 2ďiďd “ P Krαs “ K ` Kα ` Kα2 ` ¨ ¨ ¨ ` Kαd´1 gpαq 1ďiďd gpαi q ś observando que o denominador N “ 1ďiďd gpαi q ´ e uma express˜ ao polinomial sim´ e trica nos conjugados de α, logo pertence a K, enś quanto M “ 2ďiďd gpαi q ´ e sim´ etrica nas ra´ızes de ppxq{px ´ αq P Krαsrxs, logo pertence a Krαs. A prova est´ a quase completa. O que est´ a faltando? Falta mostrar que N ‰ 0! Ou seja, que se gpαq ‰ 0 ent˜ ao gpαi q ‰ 0 para todo i “ 1, 2, . . . , d. Mas isto segue do seguinte corol´ ario imediato do menor divide: Corol´ ario 5 (Conjugados s˜ ao algebricamente indistingu´ıveis). Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos e sejam α, α1 P L elementos alg´ ebricos sobre K, conjugados entre si. Dado f P Krxs, temos f pαq “ 0 ðñ f pα1 q “ 0 Apesar da aparˆ encia inocente, o u ´ltimo corol´ ario ´ e muito importante e nos conduz ao pr´ oximo conceito de nosso estudo: imers˜ oes.

5

Imers˜ oes

Sabendo que ` ˘ ˙ ˆ p2 ` iq ¨ 43 ´ 5i 1 276099 ´ 158443i 1 ` 5i ` ¨ “ 2 ´ 3i 7 7 ` 13i 79352

que ´ e um elemento de K pelo lema 1. Por exemplo, dado ? ? 7´235 3 ? ? β“ P Qp 5q 1 ` 3 5 ` 2 3 25

vocˆ e pode dizer o valor de ` ˘ ˆ ˙ p2 ´ iq ¨ 34 ` 5i 1 1 ´ 5i ` ¨ ? 2 ` 3i 7 7 ´ 13i

multiplicamos o numerador e denominador desta fra¸ca ˜o por ? ? ? ? def 3 3 2 3 2 3 M “ p1 ` ω 5 ` 2ω 25qp1 ` ω 5 ` 2ω 25q

´ f´ E acil! Como a segunda express˜ ao ´ e conjugada da primeira, n˜ ao precisamos repetir as contas novamente, a resposta ´ e simplesmente p276099 ` 158443iq{79352. Este fenˆ omeno merece uma aten¸c˜ ao maior.

τ pz1 ` z2 q “ τ pz1 q ` τ pz2 q

(2)

τ pz1 z2 q “ τ pz1 qτ pz2 q

(3)

τ pzq “ z para todo z P R

(4)

Sejam L1 Ě K e L2 Ě K duas extens˜ oes de corpos. Dizemos que uma fun¸ca ˜o τ : L1 ãÑ L2 ´ e uma K-imers˜ ao se satisfaz as propriedades (1), (2) e (31 ) τ pzq “ z para z P K. Uma K-imers˜ ao ´ e sempre injetora (exerc´ıcio!). Note ainda que se α P L1 ´ e alg´ ebrico sobre K, raiz do polinˆ omio n˜ ao nulo f pxq P Krxs, ent˜ ao τ pαq tamb´ em ´ e raiz de f pxq: f pαq “ 0 ùñ τ pf pαqq “ 0 ùñ f pτ pαqq “ 0 Em outras palavras temos o Princ´ıpio do Picles: uma K-imers˜ ao conserva ra´ızes de um mesmo polinˆ omio em Krxs. ¨ ˛ τ˝

‚“

Agora estamos prontos para caracterizar as K-imers˜ oes de uma extens˜ ao alg´ ebrica simples L “ Kpαq Ě K. Como α gera L sobre K, tudo o que precisamos para descrever uma K-imers˜ ao σ : L ãÑ L1 ´ e dizer quem ´ e a imagem σpαq P L1 de α. A discuss˜ ao acima restringe as possibilidades aos conjugados de α. Ent˜ ao por que n˜ ao tentar definir σprpαqq “ rpα1 q, em que α1 P L1 ´ e qualquer conjugado de α em L1 e rpαq ´ e uma fun¸c˜ ao polinomial em α (vide teorema 4)? Bem, em primeiro lugar, h´ a v´ arias maneiras de se escrever um elemento de Kpαq como express˜ ao polinomial em α (por exemplo i “ i2 ` i ` 1 “ i5 ), de modo que a fun¸c˜ ao acima pode n˜ ao estar bem definida. Al´ em disso, ainda precisamos garantir que a fun¸ca ˜o acima ´ e de fato uma K-imers˜ ao. Mas gra¸cas ao corol´ ario 5, temos que rpαq “ spαq (isto ´ e, α´ e raiz de rpxq ´ spxq P Krxs) se, e s´ o se, rpα1 q “ spα1 q. Desta forma, podemos de fato definir uma fun¸c˜ ao via σ : L ãÑ L1 rpαq ÞÑ rpα1 q Al´ em disso, se temos uma igualdade de express˜ oes polinomiais em α da forma rpαqspαq “ tpαq, ent˜ ao rpα1 qspα1 q “ tpα1 q, ou seja, σ preserva produto: rpαqspαq “ tpαq ùñ σprpαqqσpspαqq “ σptpαqq Analogamente, σ preserva soma. Resumimos este importante resultado, que enunciamos para K “ Q por simplicidade: Teorema 6 (Picles geral). Se α P C ´ e raiz de um polinˆ omio irredut´ıvel ppxq P Qrxs de grau d, ent˜ ao existem exatamente d Q-imers˜ oes de Qpαq em C, dadas por σpαq “ α1 , em que α1 ´ e qualquer raiz de ppxq.

6

Teorema do elemento primitivo

Tendo em vista a descri¸c˜ ao completa das imers˜ oes de extens˜ oes simples de Q dada pelo teorema 6, o que podemos dizer sobre outras extens˜ oes? Felizmente, podemos reduzir nosso estudo ao caso anterior: Teorema 7 (Elemento Primitivo). Seja L “ Q pγ1 , γ2 , . . . , γn q o corpo gerado por elementos γi P C alg´ ebricos sobre Q. Ent˜ ao existe um elemento θ P L tal que L “ Qpθq. ´ suficiente provar o resultado para n “ 2 j´ E a que o caso geral segue por indu¸ca ˜o. Ent˜ ao vamos supor que L “ Qpα, βq. Sejam ppxq, qpxq P Qrxs os polinˆ omios minimais de α e β, respectivamente, e α1 “ α, α2 , . . . , αr e β1 “ β, β2 , . . . , βs os conjugados destes elementos (com r “ deg ppxq e s “ deg qpxq) sobre Q. Bem, se queremos um u ´nico gerador sobre Q para L “ Qpα, βq, por que n˜ ao tentar um elemento da forma θ “ α ` cβ com c P Qˆ ? Neste caso, claramente θ P Qpα, βq, logo Qpθq Ď Qpα, βq, e para provar a inclus˜ ao oposta basta mostrar que α P Qpθq, pois da´ı β “ pθ ´ αq{c P Qpθq tamb´ em, logo L “ Qpα, βq Ď Qpθq. Queremos portanto mostrar que, para algum c P Qˆ e θ definido como acima, existe um polinˆ omio mpxq P Qrxs tal que α “ mpθq. Neste caso, se θ1 ´ e um conjugado de θ, aplicando a Q-imers˜ ao dada def

por θ ÞÑ θ1 ` a igualdade α “ mpθq, conclu´ımos que α1 “ mpθ1 q ser´ a um conjugado de α pois imers˜ oes preservam conjugados. Mas quem s˜ ao os conjugados de θ? Podemos encontrar facilmente um polinˆ omio em Qrxs que admite θ como raiz. Pelo lema 1, ź px ´ αi ´ cβj q P Qrxs tpxq “

Exemplo 8. O corpo (verifique!) ? ? ? ? ? Qp 2, 3q “ Q ` Q 2 ` Q 3 ` Q 6 ? ? ? “ ta ` b 2 ` c 3 ` d 6 | a, b, c, d P Qu ? ? ´ pode ? ser ? gerado por θ “ 2 ` 3 sobre Q. E claro que Qpθq Ď Qp 2, 3q; para mostrar a inclus˜ ao oposta, observe que ? ? ? ? θ3 ´ 9θ θ3 “ 11 2 ` 9 3 “ 9θ ` 2 2 ùñ 2 “ P Qpθq 2 ? ? ? ? Logo 3 “ θ ´ 2 P Qpθq tamb´ em?e portanto Qp 2, 3q Ď Qpθq. ? Os conjugados de θ est˜ ao entre ˘ 2 ˘ 3. Considere o polinˆ omio ? ? ? ? ? ? ? ? px ´ 2 ´ 3qpx ´ 2 ` 3qpx ` 2 ´ 3qpx ` 2 ` 3q “ x4 ´ 10x2 ` 1 P Qrxs ` ˘ Como ele n˜ ao tem ra´ızes racionais e nenhum de seus 42 “ 6 fatores de grau 2 est´ a em Qrxs, omio ´ e irredut´ıvel ? ımos que este polinˆ ? conclu´ ao exatamente os conjugados de θ. em Qrxs e portanto ˘ 2 ˘ 3 s˜ Agora que sabemos que toda extens˜ ao alg´ ebrica finitamente gerada de um corpo K de caracter´ıstica 0 ´ e simples, podemos definir o grau de uma extens˜ ao: se L “ Kpαq e o polinˆ omio minimal de α sobre K tem grau d, dizemos que a extens˜ ao L Ě K tem grau d, em s´ımbolos d “ rL : Ks. Observe que esta no¸c˜ ao coincide com a no¸ca ˜o usual rL : Ks “ dimK L, em que L ´ e visto como um K-espa¸co vetorial: basta tomar 1, α, α2 , . . . , αd´1 como base. Em particular, a no¸c˜ ao de grau est´ a bem definida, isto ´ e, independe da escolha do elemento gerador α. O grau ´ e multiplicativo no seguinte sentido:

i,j

Assim, os conjugados de θ formam um subconjunto de tαi `cβj u, e seriam exatamente estes elementos se soub´ essemos que tpxq ´ e irredut´ıvel em Qrxs (o que, infelizmente, n˜ ao precisa ocorrer). Ainda assim, ´ e poss´ıvel construir um polinˆ omio mpxq P Qrxs tal que mpαi `cβj q “ αi . Vejamos como. Escolhemos c P Q tal que os rs elementos αi ` cβj s˜ ao todos distintos entre si. Para construir mpxq P Krxs tal que mpαi ` cβj q “ αi , basta utilizar o polinˆ omio interpolador de Lagrange correspondente: para 1 ď u ď r e 1 ď v ď s, considere o polinˆ omio mˆ onico de grau rs ´ 1 ź def hu,v pxq “ px ´ αi ´ cβj q pi,jq‰pu,vq 1ďiďr 1ďjďs

cujas ra´ızes s˜ ao todos os αi ` cβj com exce¸c˜ ao de αu ` cβv . Pela escolha de c, temos que hu,v pαu ` cβv q ‰ 0 enquanto hu,v pαi ` cβj q “ 0 se pi, jq ‰ pu, vq. Assim, o polinˆ omio ÿ hi,j pxq def mpxq “ ¨ αi h pαi ` cβj q i,j 1ďiďr 1ďjďs

satisfaz mpαi ` cβj q “ αi ; al´ em disso, seus coeficientes s˜ ao sim´ etricos com rela¸c˜ ao a α1 , α2 , . . . , αr e β1 , β2 , . . . , βs , logo mpxq P Qrxs, o que termina a prova. A prova acima vale para todos os corpos de caracter´ıstica 0, mas em caracter´ıstica positiva existem extens˜ oes alg´ ebricas finitamente geradas que n˜ ao s˜ ao simples. Eis um ponto em que utilizamos uma simplifica¸c˜ ao da teoria geral ao trabalharmos com o corpo base Q.

Lema 9 (Graus). Se E Ě L Ě K s˜ ao extens˜ oes de corpos, ent˜ ao rE : Ks “ rE : LsrL : Ks A demonstra¸c˜ ao ´ e simples: se ωi ´ e uma base de E sobre L e τj , uma base de L sobre K, ´ e f´ acil verificar que ωi τj ´ e uma base de E sobre K.

7

Automorfismos e Extens˜ oes Galoisianas

Dada uma extens˜ ao de corpos L Ě K, um K-automorfismo de L ´ e uma K-imers˜ ao σ : L Ñ L cuja imagem ´ e o pr´ oprio L. Em particular, K-automorfismos s˜ ao bijetores, cujos inversos s˜ ao tamb´ em K-automorfismos. Dois K-automorfismos podem ser compostos, originando um novo K-automorfismo, e ´ e f´ acil ver que o conjunto de todos os K-automorfismos de L formam um grupo com a opera¸c˜ ao de composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes. De agora em diante, vamos trabalhar no caso em que K “ Q ou um corpo de caracter´ıstica 0, de modo que possamos utilizar todos os resultados anteriores (teoremas 6 e 7). Dada uma extens˜ ao alg´ ebrica finitamente gerada L Ě K, h´ a no m´ aximo rL : Ks tais Kautomorfismos. Se L “ Kpαq e todos os conjugados de α pertencem a L, ent˜ ao haver´ a exatamente rL : Ks automorfismos, dados por σpαq “ α1 , em que α1 ´ e um conjugado de α. Se isto ocorrer, diremos que L ´ e uma extens˜ ao galoisiana de K. Neste caso, denotamos

o grupo de K-automorfismos de L por GalpL{Kq. Assim, para uma extens˜ ao galoisiana L Ě K, | GalpL{Kq| “ rL : Ks O jeito mais f´ acil (de fato, o u ´nico jeito) de se obter uma extens˜ ao galoisiana ´ e acrescentar a K todas as ra´ızes α1 , α2 , . . . , αn de um polinˆ omio ppxq P Krxs; neste caso, qualquer K-imers˜ ao de L “ K pα1 , α2 , . . . , αn q permuta as ra´ızes de ppxq, j´ a que p pσ pαi qq “ e um K-automorfismo σ pp pαi qq “ 0. Assim, σpLq “ L e portanto σ ´ de L. Exemplo 10. • C Ě R ´ e Galois e GalpC{Rq “ tid, σu em que id ´ e a identidade e σ ´ e a conjuga¸c˜ ao complexa. ? ? ? • Qp 3q “ Q ` Q 3 Ě Q ´ e Galois e GalpQp 3q{Qq “ tid, σu em ? ? que id ´ e a identidade e σp 3q “ ´ 3. ? ? • Qp?2, ?3q Ě ?Q ´ e ?Galois e pelo exemplo 8 temos Qp 2, ?3q ? “ Qp 2 ` 3q. Assim, h´ ? ?a 4 automorfismos em GalpQp ? ?2, 3q{Qq, que levam 2 ` 3 em seus conjugados ˘ 2 ˘ 3. Eles podem ser assim descritos: ? ? GalpQp 2, 3q{Qq “ tid, σ, τ, σ ˝ τ u em que id ´ e a identidade e ? ? σp 2q “ 2 ? ? σp 3q “ ´ 3

? ? τ p 2q “ ´ 2 ? ? τ p 3q “ 3

def

def

Note que σ 2 “ σ ˝ σ “ id, τ 2 “ id e στ? “? σ ˝ τ “ τ σ. Estas rela¸c˜ oes determinam o grupo GalpQp 2, 3q{Qq (que ´ e isomorfo ao grupo aditivo Z{2Z ˆ Z{2Z). Exemplo 11 (Extens˜ oes ciclotˆ omicas). Seja p um primo e seja esima da unidade. As p ´ 1 ra´ızes ζp “ e2πi{p , uma raiz primitiva p-´ p-´ esimas da unidade ζp , ζp2 , ζp3 , . . . , ζpp´1 s˜ ao conjugadas entre si sobre Q, pois s˜ ao ra´ızes do polinˆ omio f pxq “ xp´1 ` xp´2 ` ¨ ¨ ¨ ` x ` 1, irredut´ıvel em Qrxs (pelo crit´ erio de Eisenstein 105 e o lema de Gauß 104 aplicados a f px ` 1q). Assim, Qpζp q Ě Q ´ e Galois e cada a “ 1, 2, . . . , p ´ 1 define um Qautomorfismo σa : Qpζp q Ñ Qpζp q ζp ÞÑ ζpa Logo | GalpQpζp q{Qq| “ p ´ 1. Como pσa ˝ σb qpζp q “ σa pζpb q “ ζpab ùñ σa ˝ σb “ σab mod p temos um isomorfismo de grupos «

pZ{pZqˆ Ñ GalpQpζp q{Qq a ÞÑ σa pZ{pZqˆ

Note que ´ e um grupo c´ıclico, gerado por uma raiz primitiva m´ odulo p. Por exemplo, pZ{7Zqˆ “ x3y e assim GalpQpζ7 q{Qq “ xσy ´ e um grupo c´ıclico de ordem 6, gerado pelo Q-automorfismo dado por σpζ7 q “ ζ73 .

? Exemplo 12. Seja L “ Qpi, 4 5q. Temos que L Ě Q ´ e Galois (gerado pelas ra´ızes de x4 ´ 5) e rL : Qs “ 8. Vocˆ e poder´ a verificar que σp

σpiq “ ´i ? ? 4 4 5q “ 5

ρp

ρpiq “ i ? ? 4 4 5q “ i 5

definem Q-automorfismos de L e que estes dois elementos geram GalpL{Qq, mais precisamente GalpL{Qq “ tid, ρ, ρ2 , ρ3 , σ, σρ, σρ2 , σρ3 u ? Olhando para a a¸c˜ ao sobre os geradores i e 4 5 de L sobre Q, ´ e f´ acil 2 4 ´1 verificar que σ “ ρ “ id e que σρσ “ ρ . Por exemplo, σρσpiq “ σρp´iq “ σp´iq “ i “ ρ´1 piq ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 σρσp 5q “ σρp 5q “ σpi 5q “ ´i 5 “ ρ´1 p 5q (verifica-se que GalpL{Qq ´ e isomorfo ao grupo diedral D4 , o grupo de simetrias do quadrado: ρ corresponde a uma rota¸ca ˜o de 90˝ no sentido anti-hor´ ario e σ, a uma reflex˜ ao com eixo por dois v´ ertices opostos de um quadrado). Exemplo 13. Se L “ Q px1 , . . . , xn q ´ e o corpo das fun¸ c˜ oes racionais em x1 , . . . , xn com coeficientes em Q e K “ Q ps1 , s2 , . . . , sn q, o subcorpo das fun¸ co ˜es racionais sim´ etricas, temos que as permuta¸c˜ oes das vari´ aveis x1 , . . . , xn definem K-automorfismos de L. Al´ em disso, como estas vari´ aveis s˜ ao as ra´ızes de ź px ´ xi q “ xn ´ s1 xn´1 ` s2 xn´2 ´ ¨ ¨ ¨ ` p´1qn sn P Krxs 1ďiďn

temos que L “ Kpx1 , x2 , . . . , xn q ´ e uma extens˜ ao galoisiana de K. Claramente, GalpL{Kq – Sn .

Teorema 15 (Teorema Fundamental da Teoria de Galois). Seja L Ě K uma extens˜ ao galoisiana. H´ a uma bije¸c˜ ao entre os subcorpos intermedi´ arios E de L Ě K e os subgrupos de GalpL{Kq, dada por ! ) ! ) subgrupos subcorpos intermedi´ arios ÐÑ H ď GalpL{Kq E de L Ě K H

Teorema Fundamental

A ideia da teoria de Galois ´ e classificar extens˜ oes de corpos atrav´ es de seus grupos de automorfismos. Vejamos como. Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos. Podemos associar, para cada subcorpo intermedi´ ario E (isto ´ e, L Ě E Ě K), o subgrupo do grupo de K-automorfismos de L que s˜ ao tamb´ em E-automorfismos de L, ou seja, o subgrupo dos automorfismos que fixam cada elemento de E. Reciprocamente, a cada subgrupo H do grupo de automorfismos de L sobre K, associamos o seu corpo fixo H def

L “ tx P L | σpxq “ x @σ P Hu ´ natural conjecturar que as duas correspondˆ E encias acima s˜ ao inversas uma da outra, o que ´ e verdade se exigirmos que L Ě K seja galoisiana. Neste caso, L ´ e uma extens˜ ao galoisiana de E e temos que o grupo associado a E ´ e nada mais nada menos do que GalpL{Eq. Antes de provarmos este fato, vamos deixar registrado o seguinte artif´ıcio, que nos ajuda a “criar” elementos no subcorpo fixo por um subgrupo do grupo de Galois. Lema 14 (Truque das o ´rbitas). Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos e seja G “ AutpL{Kq o grupo de K-automorfismos de L. Seja θ P L e H ď G um subgrupo finito. Ent˜ ao ź def f pxq “ px ´ σpθqq P LH rxs σPH

Em particular, o polinˆ omio minimal de θ sobre LH divide f pxq.

ÐÑ

Qpζq Y Qpζ 2 ` ζ 3 q Y Q

ÐÑ ÐÑ

Para determinar o polinˆ omio minimal de ζ 2 ` ζ 3 sobre Q, basta utilizar o truque das o ´rbitas; os coeficientes do pr´ oximo polinˆ omio s˜ ao σ-invariantes, logo pertencem a Q: `

˘` ˘ ˘` ˘ ` x ´ pζ 2 ` ζ 3 q x ´ σpζ 2 ` ζ 3 q “ x ´ pζ 2 ` ζ 3 q x ´ pζ 4 ` ζq

H ÞÝÑ L

“ x2 ` x ´ 1

GalpL{Eq ÐÝß E Demonstra¸c˜ ao. Seja E um subcorpo de intermedi´ ario de L Ě K. Come¸camos mostrando que a associa¸ca ˜o

O polinˆ omio minimal de ζ sobre Qpζ 2 `ζ 3 q ´ e obtido da mesma forma: ` ˘ ` ˘ ` ˘ px ´ ζq x ´ σ 2 pζq “ px ´ ζq x ´ ζ 4 “ x2 ` 1 ` ζ 2 ` ζ 3 x ` 1

def

E ÞÑ H “ GalpL{Eq ÞÑ LGalpL{Eq “ LH LH

´ e a identidade. Pela defini¸ca ˜o, sabemos que Ě E. Para mostrar a inclus˜ ao reversa, escrevemos L “ Epθq pelo teorema do elemento primitivo 7. Seja ppxq P Erxs o polinˆ omio minimal de θ sobre E e sejam θ1 “ θ, θ2 , . . . , θr as ra´ızes conjugadas de θ, que pertencem a L pois L Ě E ´ e uma extens˜ ao galoisiana. Os automorfismos em H “ GalpL{Eq s˜ ao dados por σi pθq “ θi , i “ 1, 2, . . . , r. Agora, seja ` P LH e escreva ` “ lpθq para algum polinˆ omio lrxs P Erxs. Temos `“

8

t1u X t1, σ 2 u X t1, σ, σ 2 , σ 3 u

A prova do lema ´ e uma aplica¸c˜ ao do “gira-gira”: se σ P H, ent˜ ao τ ÞÑ στ ´ e uma bije¸ca ˜o de H em H, ou seja, aplicando σ ao produto que define f pxq, apenas permutamos seus fatores, logo seus coeficientes s˜ ao invariantes por H.

1 ÿ lpθ1 q ` lpθ2 q ` ¨ ¨ ¨ ` lpθr q PE σp`q “ r σPH r

que ´ e um elemento de E j´ a que ´ e uma express˜ ao sim´ etrica das ra´ızes θi de ppxq P Erxs. Portanto LH Ď E, assim, LH “ E. Em seguida, dado um subgrupo H ď GalpL{Kq, devemos mostrar que a associa¸c˜ ao

Utilizando estes dois polinˆ omios, juntamente com o fato de ζ 2 ` ζ 3 “ 2 cos 4π{5 ă 0 e =pζq “ sen 2π{5 ą 0, podemos calcular ´1 ´ ζ `ζ “ 2 2

3

? 5

e

ζ“

? ´1` 5 2

b `i

? 5` 5 2

2

Exemplo 17. Vimos antes que o grupo de Galois da extens˜ ao ? ? ` ? ? ˘ def e G “ Gal Qp 2, 3q{Q “ tid, σ, τ, στ u em que Qp 2, 3q Ě Q ´ σ e τ s˜ ao dados por ? ? σp 2q “ 2 ? ? σp 3q “ ´ 3

? ? τ p 2q “ ´ 2 ? ? τ p 3q “ 3

Os subgrupos de G est˜ ao representados pelo seguinte reticulado ou diagrama de Haße, em que um tra¸co indica a rela¸c˜ ao de continˆ encia (com subgrupos maiores desenhados abaixo) e os n´ umeros indicam os ´ındices do subgrupo menor dentro do maior:

def

H ÞÑ E “ LH ÞÑ GalpL{LH q “ GalpL{Eq ´ e a identidade. Claramente H Ď GalpL{Eq. Novamente, escrevemos L “ Epθq. Pelo truque das o ´rbitas (lema 135), sabemos que θ ´ e raiz de um polinˆ omio em Erxs de grau |H|, logo | GalpL{Eq| “ rL : Es ď |H|. Da inclus˜ ao anterior, conclu´ımos que H “ GalpL{Eq.

tidu 2 xτ y

Exemplos

Um ditado popular diz 1 exemplo ą 103 palavras ent˜ ao deixe-me tentar desta maneira. Exemplo 16. Seja ζ “ e2πi{5 . Pelo exemplo 11, sabemos que GalpQpζq{Qq “ tid, σ, σ 2 , σ 3 u em que σpζq “ ζ 2 (pois 2 ´ e uma raiz primitiva m´ odulo 5). Os subgrupos de GalpQpζq{Qq s˜ ao portanto t1u, t1, σ 2 u e t1, σ, σ 2 , σ 3 u. Os corpos fixos correspondentes est˜ ao listados a seguir:

2

xσy 2

9

2

2

xστ y 2

G Cada um destes subgrupos?corresponde a um subcorpo intermedi´ ario, ? a saber, o subcorpo de Qp 2, 3q fixo (ponto a ponto) pelos elementos do subgrupo. O diagrama nos diz ? que ? h´ a exatamente 3 subcorpos?intermedi´ de Q e Qp 2, 3q e ´ e f´ acil “chut´ a-los”: ? arios diferentes ? Qp 2q, Qp 3q e Qp 6q. Agora s´ o falta determinar qual ? corpo corresponde a qual subgrupo, em?´ e f´ acil: σ fixa 2, logo fixa ? ? o que tamb´ Qp 2q em; τ fixa ? 3, logo fixa Qp 3q tamb´ em; finalmente, στ ? tamb´ fixa 6 e portanto Qp 6q. Resumindo, temos o diagrama de corpos (desenhado na ordem da correspondˆ encia), em que os n´ umeros representam os graus das extens˜ oes:

? ? Qp 2, 3q 2 2 2 ? ? ? Qp 3q Qp 2q Qp 6q 2

2

Os u ´nicos subcorpos “n˜ ao ´ obvios” s˜ ao os fixos por xσρy e xσρ3 y. Mas podemos encontr´ a-los usando o truque das ´ orbitas. Por exemplo, para o subcorpo fixo por xσρy, temos ? ? ? ? 4 4 4 4 5 ` σρp 5q “ p1 ´ iq 5 P Qpi, 5qxσρy

2 Q

Exemplo 18. ? Vimos no exemplo 12 que o grupo de Galois da extens˜ ao Qpi, 4 5q Ě Q ´ e isomorfo a D4 “ xρ, σy, que ´ e gerado pelos Q-automorfismos σ (reflex˜ ao) e ρ (rota¸c˜ ao) dados por σpiq “ ´i ? ? 4 4 σp 5q “ 5

ρpiq “ i ? ? 4 4 ρp 5q “ i 5

O reticulado de subgrupos de D4 ´ e ilustrado a seguir (aqui xgy ´ e o subgrupo gerado por g):

Logo, pelo lema de Graus, ? ? ` 4 ˘ 4 rQ p1 ´ iq 5 : Qs | rQpi, 5qxσρy : Qs “ rD4 : xσρys “ 4 ? ˘ ` e para concluir que rQ p1 ´ iq 4 5 : Qs “ 4, e portanto que ? ? ? ˘ ` ˘ ` 4 4 Qpi, 5qxσρy “ Q p1´iq 5 , basta mostrar que rQ p1´iq 4 5 : Qs - 2, ? 4 ao pertence a nenhuma extens˜ ao quadr´ atica ou seja, que p1 ´ iq 5 n˜ de Q. Mas, pelo reticulado de subgrupos de D4 e a correspondˆ encia ? de Galois, a u ´nica extens˜ ao quadr´ atica de Q contida em Qpi, 4 5qxσρy ? ? 2 4 xρ ,σρy 2 ´ e Qpi, ?5q “ Qpi 5q. Agora, basta checar ao fixa ? ? que ρ n˜ p1 ´ iq 4 5 para concluir que Qpi 5q ‰ Qpp1 ´ iq 4 5q: ? ? ? ` ` 4 ˘ 4 4 ˘ ρ2 p1 ´ iq 5 “ ρ p1 ´ iqi 5 “ ´p1 ´ iq 5

tidu xσy

xσρ2 y

xρ2 y

xσρy

10

xσρ3 y

Gauß e o heptadec´ agono regular

O pr´ oximo exemplo ´ e devido a Gauß; ele mostra que ´ e poss´ıvel construir o pol´ıgono regular de 17 lados apenas com r´ egua e compasso (ver teorema 124 do apˆ endice). Seja ζ “ e2πi{17 . Pelo exemplo 11 h´ a um isomorfismo

xσ, ρ2 y xρy xσρ, ρ2 y D4

«

pZ{17Zqˆ Ñ GalpQpζq{Qq

Os subcorpos intermedi´ arios correspondentes s˜ ao: Qpi,

Qp

? 4

5q

Qpi

? 4

5q

Qpi,

? 4

? 4

5q

Qpp1 ´ iq

5q Qpp1 ` iq

? 4

5q

2i

Sendo Li “ Qpζqxσ y para i “ 0, 1, . . . , 4, obtemos portanto uma torre de extens˜ oes quadr´ aticas ?

Qp 5q

?

Qpiq

Qpi 5q

Qpζq “ L4 Ą L3 Ą L2 Ą L1 Ą L0 “ Q

prLi`1 : Li s “ 2q

Vamos determinar explicitamente estes subcorpos intermedi´ arios utilizando o truque das ´ orbitas: • L1 “ Qpαq em que Q

´ f´ E acil adivinhar v´ arios dos subcorpos acima e, utilizando as descri¸c˜ oes expl´ıcitas dos automorfismos ρ e σ e os graus das extens˜ oes, determinar suas posi¸c˜ oes corretas no diagrama.?Por exemplo, como ? rQpi 4 5q : Qs “ 4?(pois o polinˆ omio minimal de i 4 5 sobre Q ´ e x4 ´5), sabemos que Qpi 4 5q deve ser colocado no “segundo andar”, onde moram todos os corpos intermedi´ arios de grau 4 sobre Q. Por outro lado, de ? ? ? ? 4 4 4 4 σρ2 pi 5q “ σρp´ 5q “ σp´i 5q “ i 5 ? ? 2 vemos que Qpi 4 5q Ď Qpi, 4 5qxσρ y e comparando graus, conclu´ımos que esta inclus˜ ao ´ e uma igualdade.

def

α “ ζ ` ζ ´1 ` ζ 2 ` ζ ´2 ` ζ 4 ` ζ ´4 ` ζ 8 ` ζ ´8 “ 2 cos

4

´ e a soma da σ 4 -´ orbita de ζ (j´ a que σ 4 pζq “ ζ 3 “ ζ ´4 ). Como γ P L2 por constru¸ca ˜o e rL2 : L1 s “ 2, basta mostrar que γ R L1 para concluir que L2 “ L1 pγq. E, de fato, γ n˜ ao ´ e σ 2 -invariante: 16π 4π def δ “ σ 2 pγq “ ζ 8 ` ζ ´8 ` ζ 2 ` ζ ´2 “ 2 cos ` 2 cos ă0 17 17 8

• L3 “ L2 pζ ` ζ ´1 q. De fato, como σ 8 pζq “ ζ 3 “ ζ ´1 , σ 8 fixa ζ ` ζ ´1 “ 2 cosp2π{17q. Por outro lado, σ 4 pζ ` ζ ´1 q “ ζ 4 ` ζ ´4 “ 2 cos

2π 4π 8π 16π ` 2 cos ` 2 cos ` 2 cos ą0 17 17 17 17

e portanto ζ ` ζ ´1 R L2 . Assim, L3 “ L2 pζ ` ζ ´1 q. Temos portanto uma torre de extens˜ oes quadr´ aticas L4 “ Qpζq Ą L3 “ L2 pζ`ζ ´1 q Ą L2 “ L1 pγq Ą L1 “ Qpαq Ą L0 “ Q Note que todas estas extens˜ oes quadr´ aticas s˜ ao automaticamente Galois e que i GalpLi`1 {Li q “ tid, σ 2 |Li`1 u Portanto α, γ e 2 cosp2π{17q “ ζ ` ζ ´1 s˜ ao respectivamente as ra´ızes dos polinˆ omios quadr´ aticos

gpxq “ px ´ γqpx ´ σ 2 pγqq “ px ´ γqpx ´ δq P L1 rxs def

hpxq “ px ´ 2 cosp2π{17qqpx ´ σ 4 p2 cosp2π{17qqq P L2 rxs Vamos determinar express˜ oes expl´ıcitas para α, γ e 2 cosp2π{17q resolvendo estas equa¸co ˜es. Para isto, utilizaremos diversas vezes a identidade 1 ` ζ ` ζ 2 ` ¨ ¨ ¨ ` ζ 16 “ 0 p˚q • Multiplicando p˚q por ζ ´8 obtemos 1 ` ζ ` ζ ´1 ` ζ 2 ` ζ ´2 ` ¨ ¨ ¨ ` ζ 8 ` ζ ´8 “ 0 ðñ α ` β “ ´1 O produto αβ consiste em uma soma com 64 termos da forma ζ ˘n com n um dos valores (m´ odulo 17) na seguinte tabela: ` 3 5 6 7

1 4 6 7 8

2 5 7 8 ´8

def

β “ σpαq “ ζ 3 ` ζ ´3 ` ζ 6 ` ζ ´6 ` ζ 5 ` ζ ´5 ` ζ 7 ` ζ ´7 6π 12π 10π 14π ` 2 cos ` 2 cos ` 2 cos ă0 17 17 17 17

4 7 ´8 ´7 ´6

8 ´6 ´4 ´3 ´2

´1 2 4 5 6

´2 1 3 4 5

´4 ´1 1 2 3

´8 ´5 ´3 ´2 ´1

Novamente por p˚q, αβ “ ´4. Logo

2

´ e a soma da σ 2 -´ orbita de ζ (j´ a que σ 2 pζq “ ζ 3 “ ζ 9 “ ζ ´8 ). Como α P L1 (pois ´ e σ 2 -invariante) e como rL1 : Qs “ 2, basta mostrar que α R Q para concluir que L1 “ Qpαq. Mas isto segue do fato de α n˜ ao ser fixo por σ:

“ 2 cos

8π 2π ‰ 2 cos “ ζ ` ζ ´1 17 17

def

subgrupos 1 ď xσ 8 y ď xσ 4 y ď xσ 2 y ď xσy “ GalpQpζq{Qq ordens 1 2 4 8 16 def

2π 8π ` 2 cos ą0 17 17

def

Assim, GalpQpζq{Qq ´ e gerado pelo Q-automorfismo dado por σpζq “ ζ 3 , j´ a que 3 ´ e raiz primitiva m´ odulo 17. H´ a exatamente um u ´nico subgrupo de ordem d para cada divisor positivo d de 16: ? 4

def

γ “ ζ ` ζ ´1 ` ζ ´4 ` ζ 4 “ 2 cos

f pxq “ px ´ αqpx ´ σpαqq “ px ´ αqpx ´ βq P Qrxs

a ÞÑ pζ ÞÑ ζ a q

5q

• L2 “ L1 pγq em que

f pxq “ x2 ` x ´ 4 e assim

? ? ´1 ` 17 ´1 ´ 17 β“ 2 2 (aqui ´ e necess´ ario utilizar o fato de que α ą 0 e β ă 0 para decidir quem ´ e quem, pois do ponto de vista alg´ ebrico dois conjugados sobre Q s˜ ao indistingu´ıveis). α“

• Temos γ ` δ “ α. Por outro lado, γδ ´ e a soma de 16 termos da forma ζ n com n mod 17 uma entrada na tabela: ` 2 8 ´2 ´8

1 3 ´8 ´1 ´7

4 6 ´5 2 ´4

´1 1 7 ´3 8

´4 ´2 4 ´6 5

Logo γδ “ ´1 por p˚q. Assim,

e como γ ą 0 temos a ? ? ? ´1 ` 17 ` 34 ´ 2 17 α ` α2 ` 4 “ γ“ 2 4 • Temos hpxq “

´ γx ` ν em que

def

ν “ σpγq “ ζ 3 ` ζ ´3 ` ζ ´5 ` ζ 5 “ 2 cos

´1 `

2π

c b b b ? ? ? ? ? 17 ` 34 ´ 2 17 ` 2 17 ` 3 17 ´ 34 ´ 2 17 ´ 2 34 ` 2 17

“ 17

16

que mostra que o heptadec´ agono regular ´ e construt´ıvel com r´ egua e compasso!

11

Exerc´ıcios

1. Escreva x2 y 2 ` y 2 z 2 ` z 2 x2 e x3 y ` xy 3 ` x3 z ` xz 3 ` y 3 z ` yz 3 em termos de polinˆ omios sim´ etricos elementares. 2. Dado um polinˆ omio f pxq P Krxs com ra´ızes α1 , . . . , αn , , seu def ś 2 discriminante ´ e ∆f “ ao 1ďiăjďn pαi ´ αj q , uma express˜ sim´ etrica das ra´ızes de f . Mostre que os discriminantes de x3 ` px ` q, x4 ` px2 ` r e x4 ` qx ` r s˜ ao respectivamente ` ˘ ` ˘2 iguais a ´ 4p3 ` 27q 2 , 16r p2 ´ 4r e ´27q 4 ` 256r3 . 3. Mostre que cos 20˝ e cosp2π{7q s˜ ao alg´ ebricos sobre Q. Determine os polinˆ omios minimais sobre Q. 1 em

(g) x3 ` 27x ´ 4

(a) x2 ´ x ` 1 (b)

x8

´2

(h)

x3

SX “ tf : X Ñ X | f ´ e bijetoru juntamente com a opera¸c˜ ao ˝ (composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes) ´ e um grupo, chamado de grupo sim´ etrico. Quando X “ t1, 2, . . . , nu, abreviaremos SX por Sn . Temos |Sn | “ n! e Sn ´ e abeliano apenas para n “ 1, 2. H´ a v´ arias maneiras de se representar uma permuta¸c˜ ao. Por exemplo, considere π P S5 dada por πp1q “ 3, πp2q “ 4, πp3q “ 1, πp4q “ 5, πp5q “ 2 Podemos representar π de uma das seguintes formas: (a) Nota¸c˜ ao por matriz 2 ˆ 5 ˆ ˙ 1 2 3 4 5 π“ 3 4 1 5 2 que corresponde pictoricamente a 1 2 3 4 5

`x`1

(i) x3 ` 3x ` 14

(d) x3 ` x2 ´ 2x ´ 1

gpxq “ px ´ γqpx ´ δq “ x2 ´ αx ´ 1

cos

ĚQ

2p1 `

(c) x4 ´ 2x2 ´ 2

Finalmente, juntando tudo, obtemos a singela express˜ ao

(d)

Qpe2πi{13 q

7. Calcule o grupo de Galois do corpo gerado pelas ra´ızes dos seguintes polinˆ omios sobre Q.

Aplicando σ a

Como ζ ` ζ ´1 ´ e uma raiz positiva de hpxq, temos a γ ` γ 2 ´ 4ν 2π 2 cos “ ζ ` ζ ´1 “ 17 2

a ? (c) Qp 2 ` 2q Ě Q

? a ? ? ? ? 3q 5 ` 5 ` p 6 ´ 2qp 5 ´ 1q 16 6. Seja f pxq P Krxs e suponha que seu discriminante ∆f seja um quadrado perfeito no corpo K. Mostre que o grupo de Galois do corpo gerado pelas ra´ızes de f sobre K s´ o cont´ em permuta¸c˜ oes pares destas ra´ızes.

6π 10π ` 2 cos ą0 17 17

obtemos que ν “ σpγq e σpδq s˜ ao ra´ızes de g σ pxq “ x2 ´βx´1 P L1 rxs e portanto a a ? ? β ` β2 ` 4 ´1 ´ 17 ` 34 ` 2 17 ν“ “ 2 4

(iv) (Comutatividade) Para quaisquer a, b P G, a ¨ b “ b ¨ a. ent˜ ao dizemos que este grupo ´ e abeliano1 . Exemplo 20 (Grupo sim´ etrico). Seja X um conjunto. Ent˜ ao

(a) Qpcos 20˝ q Ě Q ? ? ? (b) Qp 2, 3, 5q Ě Q

5. Prove: cos 3˝ “

gpxq “ x2 ´ αx ´ 1 P L1 rxs

x2

4. Mostre que as seguintes extens˜ oes s˜ ao Galois e determine o grupo de Galois correpondente. Encontre todos os subcorpos intermedi´ arios.

(e) x3 ´ 3x ` 1

(j) x3 ´ 21x ` 7

(f) x3 ´ 2

(k) x3 ´ 3x2 ` 1

1 2 3 4 5

(b) Nota¸ca ˜o por produto de ciclos disjuntos π “ p13qp245q “ p245qp13q “ p31qp452q “ p245qp13q

8. Mostre que se ppxq ´ e irredut´ıvel em Qrxs, seu grupo de Galois (i.e., o grupo de Galois da extens˜ ao de Q gerada por suas ra´ızes) ´ e transitivo: se r e r1 s˜ ao ra´ızes de ppxq, existe um automorfismo tal que σprq “ r1 . 9. Mostre que se um polinˆ omio f pxq P Qrxs de grau 3 ´ e tal que o grupo de Galois de seu corpo de ra´ızes sobre Q ´ e c´ıclico de ordem 3, ent˜ ao f pxq s´ o tem ra´ızes reais.

12 12.1

Apˆ endice Grupos

Defini¸ c˜ ao 19. Um grupo pG, ¨q ´ e um par formado por um conjunto G e uma opera¸c˜ ao bin´ aria, chamada produto, GˆGÑG pa, bq ÞÑ a ¨ b, que satisfaz os seguintes trˆ es axiomas: (i) (Associatividade) Para quaisquer a, b, c P G, pa ¨ bq ¨ c “ a ¨ pb ¨ cq. (ii) (Existˆ encia de elemento neutro) Existe um elemento e P G tal que, para todo a P G, a ¨ e “ e ¨ a “ a.

correspondente ao grafo 4 2

1

3

(c) Nota¸c˜ ao por matriz de permuta¸ca ˜o ¨ 0 0 1 ˚0 0 0 ˚ Tπ “ ˚1 0 0 ˝0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

5

˛ 0 1‹ ‹ 0‹ 0‚ 0

Defini¸ c˜ ao 21. Um grupo G ´ e dito c´ıclico se ele puder ser gerado por um u ´nico elemento g P G (em geral, h´ a v´ arios geradores g): def

G “ xgy “ g Z “ tg n | n P Zu Defini¸ c˜ ao 22. Dado um grupo pG, ¨q, um subconjunto H Ď G ´ e um subgrupo de G (nota¸c˜ ao: H ď G) se satisfaz (i) H ‰ H; (ii) H ´ e fechado por produto: a, b P H ùñ a ¨ b P H; e (iii) H ´ e fechado por inverso: a P H ùñ a´1 P H.

(iii) (Existˆ encia de inverso) Dado a P G, existe um elemento a´1 P G tal que a ¨ a´1 “ a´1 ¨ a “ e.

Note que o subconjunto H faz jus ao nome “subgrupo” visto que, por (ii), a opera¸c˜ ao ¨ de G se restringe a uma opera¸ca ˜o bin´ aria ¨ : H ˆ H Ñ H e faz do par pH, ¨q um leg´ıtimo grupo.

Se, al´ em dos trˆ es axiomas acima, o grupo pG, ¨q satisfaz

Defini¸ c˜ ao 23. Seja G um grupo e seja g P G.

homenagem ao matem´ atico norueguˆ es Niels Henrik Abel (1802–1829), que tamb´ em d´ a nome ao prestigioso prˆ emio Abel.

(a) a ordem |G| do grupo G ´ e a cardinalidade de G (i.e., a quantidade de elementos em G). (b) a ordem do elemento g P G ´ e a ordem do subgrupo c´ıclico xgy. Equivalentemente, a ordem de g ´ e o menor inteiro d ą 0 tal que g d “ e (ou infinita se tal d n˜ ao existe). Lema 24 (Menor divide). Sejam G um grupo e g P G um elemento com ordem finita d ą 0. Ent˜ ao g n “ e ðñ d | n

pn P Zq

Defini¸ c˜ ao 25. Sejam G um grupo e H ď G um subgrupo. Um transladado a ` esquerda de H, i.e., um subconjunto de G da forma λg pHq “ g ¨ H “ tgh | h P Hu

para algum g P G

´ e chamado de classe lateral ` a esquerda ou coclasse ` a esquerda de H. Analogamente, uma classe lateral ` a direita ou coclasse ` a direita de H ´ e um subconjunto de G da forma ρg pHq “ H ¨ g para algum g P G. Denotaremos os conjuntos das coclasses de H a ` def

esquerda e ` a direita respectivamente por G{H “ tg ¨ H | g P Gu e

«

(iii) Um automorfismo de G ´ e um isomorfismo ϕ : G Ñ G. O conjunto de todos os automorfismos de G ´ e denotado def

«

AutpGq “ tϕ : G Ñ G | ϕ ´ e automorfismo u

Teorema 26 (Lagrange). Seja G um grupo e seja H ď G um subgrupo. Ent˜ ao as classes laterais a ` esquerda de H equiparticionam G, i.e., (i) As classes laterais ` a esquerda de H formam uma parti¸ca ˜o de G. (ii) Quaisquer duas classes laterais a ` esquerda de H tˆ em mesma cardinalidade. Em particular, se G ´ e finito, ent˜ ao |G| ´ e um m´ ultiplo de |H|. Mais precisamente, |G| “ d ¨ |H| com d “ |G{H|:

g1 H g2 H g3 H ¨ ¨ ¨ gd H

def

g1 N ¨ g2 N “ g1 g2 N e´ e um grupo com a opera¸c˜ ao de composi¸ca ˜o de fun¸co ˜es ˝. A pr´ e-imagem do subgrupo trivial de H ´ e um subgrupo de G, chamado de kernel ou n´ ucleo de ϕ:

´ f´ E acil verifical que esta opera¸c˜ ao n˜ ao depende de dos representantes de classe gi de gi N . Dizemos que G{N ´ e o quociente de G m´ odulo N . Este grupo quociente vem equipado de f´ abrica com um morfismo quociente ou morfismo de proje¸ c˜ ao

def

ker ϕ “ ϕ´1 peq “ tg P G | ϕpgq “ eu Lema 30 (Kernel e injetividade). Seja ϕ : G Ñ H um morfismo de grupos. Ent˜ ao ϕ ´ e injetor se, e s´ o se, ker φ “ teu. Exemplo 31 (Conjuga¸ca ˜o). Seja G um grupo e fixe g P G. Ent˜ ao

π : G  G{N g ÞÑ gN Claramente π ´ e sobrejetor. Dado g P G, πpgq ser´ a frequentemente denotado por uma das seguintes nota¸c˜ oes: πpgq “ gN “ rgs “ g mod N “ g

κg : G Ñ G x ÞÑ gxg ´1 ´ e um automorfismo de G, chamado de conjuga¸ c˜ ao por g.

def

HzG “ tH ¨ g | g P Gu.

Seja G um grupo e seja N IJ G um subgrupo normal. Podemos definir no conjunto das classes laterais G{N “ N zG uma opera¸c˜ ao bin´ aria induzida pelo produto em G:

Exemplo 32 (Morfismo paridade). Considere o polinˆ omio ź def pxi ´ xj q dpx1 , . . . , xn q “

Com esta nota¸c˜ ao podemos por exemplo escrever a defini¸c˜ ao do produto em G{N como g 1 ¨ g 2 “ g1 ¨ g2 (g1 , g2 P N ). Intuitivamente, esta constru¸ca ˜o do grupo quociente corresponde a “igualar” ou “identificar” elementos em uma mesma coclasse gN entre si, de modo que π “comprime” gN em um u ´nico “ponto” g P G{N (da´ı o nome proje¸c˜ ao): gN

1ďiăjďn

N

Note que um elemento σ P Sn age sobre d, permutando suas vari´ aveis:

π

def

σpdpx1 , . . . , xn qq “ dpxσp1q , . . . , xσpnq q. E como σ permuta tamb´ em os subconjuntos ti, ju Ď t1, . . . , nu de dois elementos, os fatores de σpdq s˜ ao os mesmos de d a menos de sinal, logo ź σpdq “ pxσpiq ´ xσpjq q “ ˘d 1ďiăjďn

Definimos o morfismo paridade Π : Sn Ñ t˘1u por Πpσq “ σpdq{d. Denotamos Πpσq tamb´ em por p´1qσ e dizemos que σ ´ e par (respectivamente ´ımpar) se Πpσq “ 1 (respectivamente Πpσq “ ´1). O n´ ucleo de Π ´ e chamado de grupo alternante e ´ e denotado An .

hN G

g

e

G{N h

Teorema 35 (Teorema da Correspondˆ encia). Sejam G um grupo e N IJ G um subgrupo normal. Seja π : G  G{N o morfismo de proje¸c˜ ao. Ent˜ ao π induz uma bije¸ca ˜o entre subgrupos do quociente G{N e subgrupos de G contendo N : tH ď G{N u ÐÑ tH ď G tais que N ď H ď Gu H ÞÝÑ π ´1 pHq πpHq ÐÝß H

Corol´ ario 27 (tamb´ em chamado de “Lagrange”). Seja G um grupo finito. Ent˜ ao a ordem de qualquer elemento g P G divide n “ |G|. Em particular, para todo g P G, temos g n “ e. Defini¸ c˜ ao 28. Dados dois grupos pG, ¨q e pH, ˚q, um homomorfismo (ou simplesmente morfismo) ϕ : G Ñ H ´ e uma fun¸c˜ ao que preserva produtos, i.e., ϕpa ¨ bq “ ϕpaq ˚ ϕpbq (a, b P G). Defini¸ c˜ ao 29. Sejam G e H dois grupos. (i) Um isomorfismo ϕ : G Ñ H ´ e um morfismo de grupos bijetor (a fun¸c˜ ao inversa ϕ´1 : H Ñ G ´ e tamb´ em um isomorfismo automaticamente). Denotaremos um isomorfismo entre G e H « por ϕ : G Ñ H. (ii) Dizemos que G e H s˜ ao isomorfos (nota¸ca ˜o: G – H ou G « H) se existe algum isomorfismo entre eles (pode haver mais de um isomorfismo). Intuitivamente, dois grupos isomorfismos s˜ ao o “mesmo” a menos do nome de seus elementos. 2O

Lema 33 (Crit´ erios de paridade). Seja σ P Sn . (i) Uma tranposi¸c˜ ao pijq ´ e ´ımpar. (ii) As transposi¸c˜ oes geram2 Sn . Assim, uma permuta¸ca ˜o π ´ e par (respectivamente ´ımpar) se π ´ e o produto de um n´ umero par (respectivamente ´ımpar) de transposi¸co ˜es. Em particular, para um r-ciclo σ “ pa1 a2 a3 . . . ar q, temos p´1qσ “ p´1qr`1 . Ou seja, ciclos de tamanho par s˜ ao ´ımpares e ciclos de tamanho ´ımpar s˜ ao pares. (iii) Se Tσ ´ e a matriz de permuta¸c˜ ao correspondente a σ, p´1qσ “ det Tσ Defini¸ c˜ ao 34. Seja G um grupo. Um subgrupo N ď G ´ e chamado normal (nota¸c˜ ao: N IJ G) se ele ´ e est´ avel pela conjuga¸ca ˜o κg (ver exemplo 31) para qualquer elemento g P G, i.e., κg pN q “ gN g ´1 Ď N

que ´ e esperado: podemos obter qualquer permuta¸c˜ ao de n objetos trocando dois objetos de lugar por vez

pg P Gq

Esta bije¸c˜ ao preserva inclus˜ ao e subgrupos normais: dados subgrupos H i ď G{N e subgrupos correspondentes Hi “ π ´1 pH i q ď G contendo N , temos H 1 ď H 2 ðñ H1 ď H2 H 1 IJ G{N ðñ H1 IJ G Teorema 36 (Propriedade universal do quociente). Sejam G e H dois grupos e seja N IJ G um subgrupo normal de G. Seja π : G  G{N o morfismo de proje¸c˜ ao correspondente. Ent˜ ao dar um morfismo φ : G{N Ñ H ´ e equivalente a dar um morfismo φ : G Ñ H que “mata” N , i.e., tal que φpN q “ e. Ou ainda: dado φ : G Ñ H que “mata” N , existe um u ´nico morfismo φ : G{N Ñ H gN ÞÑ φpgq fazendo o seguinte diagrama comutar:

φ

G

Lema 40. Dar uma a¸c˜ ao G ü X equivale a dar uma fun¸c˜ ao

H

«

π

GˆX ÑX

D!φ

Teorema 37 (Teorema do Isomorfismo). Seja φ : G Ñ H um morfismo de grupos. Ent˜ ao φ induz um isomorfismo G « Ñ im φ φ: ker φ g ÞÑ φpgq Exemplo 38. Considere o seguinte morfismo sobrejetor de grupos abelianos aditivos π : Z{5Z ˆ Z{5Z  Z{5Z pa, bq ÞÑ a ´ b representado graficamente a seguir. O kernel deste morfismo ´ e dado pelos elementos na “diagonal”: ker π “ tpa, aq P Z{5Z ˆ Z{5Z | a P Z{5Zu. Note que π induz uma bije¸c˜ ao entre classes laterais do kernel e elementos da imagem: as classes laterais s˜ ao precisamente as “fibras” de π. Cada fibra tem a mesma cardinalidade | ker π| e h´ a tantas fibras quanto elementos na imagem; como as fibras de π particionam Z{5Z ˆ Z{5Z, temos visivelmente uma “verifica¸ca ˜o emp´ırica” do teorema do n´ ucleo-imagem: im π| |loomoon ker π| ¨ |loomoon

|Z{5Z ˆ Z{5Z| “ 25 “ 5 ¨ 5 “ loooooooomoooooooon

umero tamanho de n´ cada fibra de fibras

tamanho do dom´ınio

4 3 2 1 0

0

1

1

2

2

π

3

3

4

4

Defini¸ c˜ ao 39. Sejam G um grupo e X um conjunto. Uma a¸ c˜ ao de G sobre X ´ e um morfismo de grupos α : G Ñ SX . Aqui, como de praxe, SX denota o grupo sim´ etrico de X. Intuitivamente, α associa a cada g P G uma bije¸ca ˜o αpgq : X Ñ X, que “age” sobre X, permutando seus elementos. Denotamos uma a¸ca ˜o de G sobre X por α

GüX

ou simplesmente

Stabpg ¨ xq “ g Stabpxqg ´1

pg, xq ÞÑ g ¨ x

G{N

0

(ii) (F´ ormula de Mudan¸ ca de Base) Para g P G e x P X, temos

GüX

(deixando α subentendido)

(i) (A¸c˜ ao trivial do elemento neutro) Para todo x P X, 1 ¨ x “ x. (ii) (Associatividade da a¸c˜ ao) Para quaisquer x P X, g, h P G, pg ¨ hq ¨ x “ g ¨ ph ¨ xq

´ Teorema 44 (Teorema da Orbita-estabilizador). Seja G ü X uma a¸c˜ ao do grupo G sobre o conjunto X. Dado x P X, h´ a uma bije¸ca ˜o entre o conjunto das classes laterais a ` esquerda de Stabpxq e a o ´rbita de x:

Defini¸ c˜ ao 41. Seja G ü X uma a¸ca ˜o de um grupo G sobre um conjunto X. Para um elemento x P X e um subconjunto H Ď G, definimos

ψ : G{ Stabpxq Ñ G ¨ x

(i) a ´ orbita de x (nota¸c˜ ao: G ¨ x) como sendo o subconjunto de X obtido fazendo G agir sobre x: def

g ¨ Stabpxq ÞÑ g ¨ x Logo o tamanho da o ´rbita de x ´ e igual ao ´ındice de seu estabilizador |G ¨ x| “ rG : Stabpxqs. Em particular, se G ´ e finito,

G ¨ x “ tg ¨ x P X | g P Gu |G ¨ x| “ |G|{| Stabpxq| (ii) o estabilizador ou grupo de isotropia de x (nota¸c˜ ao: Stabpxq ou Gx ) como sendo o subgrupo de G que estabiliza x: def

(Intuitivamente: o tamanho da o ´rbita de x ´ e igual ao tamanho m´ aximo |G| dividido pelo n´ umero de “repeti¸co ˜es” | Stabpxq|).

Gx “ Stabpxq “ tg P G | g ¨ x “ xu (iii) o subconjunto fixo por H como sendo o subconjunto de X formado pelos pontos em X fixos por todos os elementos de H:

Exemplo 42 (Colora¸ co ˜es). Seja T o triˆ angulo equil´ atero de v´ ertices ? p1, 0q, p´1{2, ˘ 3{2q e considere o seu grupo de simetrias, o grupo diedral D3 “ tid, ρ, ρ2 , σ, ρσ, ρ2 σu em que ρ denota a rota¸c˜ ao no plano de 120˝ no sentido anti-hor´ ario e centro na origem e σ, a reflex˜ ao com rela¸ca ˜o ao eixo x. O grupo D3 age sobre os v´ ertices de T , permutando-os. O grupo D3 age tamb´ em sobre o conjunto X das 23 “ 8 colora¸c˜ oes dos v´ ertices de T com duas cores, azul e vermelho. Por exemplo, ´ ¯ ρ2 ¨ “ “σ¨ Stab “ tid, ρ2 σu Esta a¸c˜ ao D3 ü X possui 4 o ´rbitas: ! ) ! ) ! ; ;

)

!

) ;

;

Por exemplo, temos o seguinte diagrama para uma ´ orbita: ρ, ρσ

id, ρ2 σ

ρ2 ,ρσ ρ, σ

2

id, σ

ρ ,σ

Defini¸ c˜ ao 45. Seja p um n´ umero primo. Um grupo finito G ´ e um p-grupo se |G| “ pn para algum inteiro n ě 1. Do teorema de o ´rbita-estabilizador e o fato de as ´ orbitas formarem parti¸ca ˜o, temos

def

X H “ tx P X | h ¨ x “ x para todo h P Hu

e, seguindo a tradi¸ca ˜o, em vez de αpgqpxq escrevemos simplesmente g ¨ x (g P G, x P X). A princ´ıpio, pode parecer um pouco confuso utilizar um mesmo s´ımbolo ¨ para denotar tanto o produto em G quanto a a¸c˜ ao de g P G sobre um elemento x P X. Mas esta escolha ´ e proposital, j´ a que desta forma, temos uma segunda defini¸c˜ ao equivalente de a¸c˜ ao de grupo, dada pelo seguinte

(iii) As o ´rbitas de G ü X formam uma parti¸c˜ ao do conjunto X.

que satisfaz os seguintes dois mnemˆ onicos axiomas:

Teorema 46 (Teorema do Ponto Fixo para p-grupos). Seja p um primo e seja P um p-grupo. Seja P ü X uma a¸c˜ ao de P sobre um conjunto finito X. Ent˜ ao def

X P “ tx P X | gx “ x para todo g P P u, o conjunto dos pontos fixos desta a¸ca ˜o, satisfaz |X P | ” |X| pmod pq Em particular, se p - |X| ent˜ ao existe pelo menos um ponto x P X fixo por todo g P P . Exemplo 47. Seja p um n´ umero primo e seja P um p-grupo. Seja ZpP q o centro de P (i.e., o subgrupo formado pelos elementos de P que comutam com todos os elementos de P ). Ent˜ ao ZpP q ´ e n˜ ao trivial. De fato, seja P ü P a a¸c˜ ao de conjuga¸ca ˜o (um elemento g P P age via x ÞÑ gxg ´1 ). Temos que ZpP q ´ e o conjunto dos pontos fixos de P . Assim, pelo teorema do ponto fixo, |ZpP q| ” |P | ” 0 pmod pq. Como 1 P ZpP q, |ZpP q| ą 0 e portanto |ZpP q| ě p.

ρ2 ,ρ2 σ

id, ρσ

ρ, ρ2 σ

Lema 43. Seja G ü X uma a¸c˜ ao do grupo G sobre o conjunto X. (i) Para qualquer x, Stabpxq ď G.

Teorema 48 (Lema de Burnside). Sejam G um grupo finito e X um conjunto finito. Dada uma a¸ca ˜o G ü X, o n´ umero total de o ´rbitas desta a¸ca ˜o ´ e igual ao n´ umero m´ edio de pontos fixos por elementos de G: 1 ÿ n´ umero de o ´rbitas “ |X g | |G| gPG

Demonstra¸c˜ ao. Podemos contar o n´ umero de ´ orbitas associando a cada elemento de x P X um “peso” inversamente proporcional ao tamanho de sua ´ orbita: ÿ 1 p˚q n´ umero de ´ orbitas “ |G ¨ x| xPX De fato, dada uma ´ orbita G ¨ x1 “ tx1 , . . . , xn u de tamanho n, cada xi contribui com peso 1{n na soma p˚q, logo esta ´ orbita contribui com n ¨ p1{nq “ 1 em p˚q. Pelo teorema da o ´rbita-estabilizador 44, a soma p˚q ´ e igual a ÿ xPX

12.2

An´ eis

Defini¸ c˜ ao 53. Um anel ´ e uma tripla pA, `, ¨q formada por um conjunto A e duas opera¸c˜ oes bin´ arias

ÿ | Stabpxq| 1 1 ÿ “ “ | Stabpxq| |G ¨ x| |G| |G| xPX xPX

Assim, para terminar a prova basta mostrar que ÿ ÿ |X g | | Stabpxq| “

um 3-Sylow (respectivamente um 5-Sylow) de G, logo basta encontrar um elemento que n˜ ao pertence a nenhum 3-Sylow ou 5-Sylow, que ter´ a a ordem desejada 15. Pelos teoremas de Sylow temos n3 ” 1 pmod 3q e n3 | 5, logo n3 “ 1. Da mesma forma, n5 “ 1. Sejam P e Q respectivamente os u ´nicos 3-Sylow e 5-Sylow de G. Ent˜ ao |GrpP YQq| ě 15´3´5 ą 0 e portanto qualquer g P GrpP YQq ‰ H ter´ a ordem 15.

`: A ˆ A Ñ A

(soma)

pa, bq ÞÑ a ` b

¨: A ˆ A Ñ A

(produto)

pa, bq ÞÑ a ¨ b

p˚˚q

satisfazendo os seguintes axiomas: (i) pA, `q ´ e um grupo abeliano (defini¸ca ˜o 19), escrito aditivamente;

o que segue de uma contagem dupla, pois ambos os lados contam o n´ umero de pares pg, xq P G ˆ X tais que g ¨ x “ x.

(ii) pA, ¨q ´ e um mon´ oide (associatividade e elemento neutro), escrito multiplicativamente.

gPG

xPX

Defini¸ c˜ ao 49. Seja p um primo e seja G um grupo finito. Seja pe a maior potˆ encia de p que divide |G|, i.e., |G| “ pe m com p - m. Um p-subgrupo P ď G com |P | “ pe ´ e chamado de um p-Sylow de G. Exemplo 50. Seja p um primo. Considere o subgrupo U Tn pFp q ď GLn pFp q formado pelas matrizes unitriangulares superiores: $¨ , ˛ 1 ˚ ˚ ¨¨¨ ˚ ’ / ’ / ’˚0 1 ˚ ¨ ¨ ¨ ˚‹ / & . ˚ ‹ U Tn pFp q “ ˚ P GL pF q ‹ .. . n p . . . .. ‚ ’ / ˝ ’ / . ’ / % 0 0 0 ¨¨¨ 1

(iii) (Distributividade ` a esquerda e ` a direita) Para quaisquer elementos a, b, c P A, a ¨ pb ` cq “ a ¨ b ` a ¨ c e pb ` cq ¨ a “ b ¨ a ` c ¨ a Se, al´ em dos axiomas acima, o anel pA, `, ¨q satisfaz (iv) (Comutatividade do produto) Para quaisquer a, b P A, a ¨ b “ b¨a dizemos que pA, `, ¨q ´ e um anel comutativo. Defini¸ c˜ ao 54. Seja A um anel. Um elemento u P A ´ e uma unidade se u possui inverso multiplicativo, i.e., se existe v P A tal que uv “ vu “ 1. O conjunto de todas as unidades de A def

Aˆ “ tu P A | Dv P A tal que uv “ vu “ 1u

Como cada uma das npn ´ 1q{2 entradas ˚ pode assumir qualquer valor em Fp , |U Tn pFp q| “ pnpn´1q{2 . Por outro lado,

forma um grupo multiplicativo pAˆ , ¨q, chamado grupo das unidades de A.

|GLn pFp q| “ ppn ´ 1qppn ´ pqppn ´ p2 q . . . ppn ´ pn´1 q

Exemplo 55 (Inteiros de Gauß). O anel dos inteiros de Gauß ´ eo

“ p1`2`¨¨¨`n´1 ¨ ppn ´ 1qppn´1 ´ 1qppn´2 ´ 1q . . . pp ´ 1q “ pnpn´1q{2 ¨ (n´ umero n˜ ao divis´ıvel por p)

N : Zris Ñ N

Assim, U Tn pFp q ´ e um p-Sylow de GLn pFp q. Teorema 51 (Sylow). Seja p um primo e seja G um grupo finito cuja ordem ´ e um m´ ultiplo de p, digamos |G| “ pe m com p - m. (i) G cont´ em ao menos um p-Sylow. (ii) G cont´ em um subgrupo de ordem pr para todo r ď e; al´ em disso, qualquer p-subgrupo de G est´ a contido em algum p-Sylow. (iii) Todos os p-Sylows de G s˜ ao conjugados entre si. (iv) Seja np a quantidade de p-Sylows em G. Ent˜ ao np ” 1

pmod pq

e

def

subanel de C dado por Zris “ Z ` Zi “ ta ` bi | a, b P Zu (um reticulado em C). Definimos a chamada fun¸ c˜ ao norma via (quadrado da distˆ ancia ` a origem)

np | m

Exemplo 52. Mostremos que todo grupo G de ordem 15 ´ e c´ıclico, ou seja, que G possui pelo menos um elemento de ordem 15. Pelo teorema de Lagrange 27, a ordem de um elemento de G ´ e um divisor de 15. Um elemento de ordem 3 (respectivamente 5) gera

z “ a ` bi ÞÑ |z|2 “ zz “ a2 ` b2

pa, b P Zq

A principal propriedade da fun¸c˜ ao norma N ´ e ser multiplicativa, j´ a que o mesmo vale para o valor absoluto em C: N pαβq “ N pαqN pβq pα, β P Zrisq. Por isso, a fun¸ca ˜o norma nos ajuda a calcular Zrisˆ . De fato, se α P Zrisˆ ent˜ ao existe β P Zris tal que αβ “ 1 ùñ N pαβq “ N p1q ðñ N pαqN pβq “ 1

Defini¸ c˜ ao 56. Seja A um anel. Um elemento a P A ´ e chamado de (i) nilpotente se existe um inteiro n ą 0 tal que an “ 0; (ii) idempotente se a2 “ a (e portanto an “ a para todo inteiro n ą 0). Os elementos 0, 1 s˜ ao ditos idempotentes triviais. (iii) divisor de zero ` a esquerda (respectivamente divisor de zero ` a direita) se existe b ‰ 0 em A tal que ab “ 0 (respectivamente ba “ 0). Um elemento que ´ e simultaneamente divisor de zero ` a esquerda e a ` direita ´ e chamado de divisor de zero. (note em particular que todo elemento nilpotente a P A ´ e automaticamente um divisor de zero). Defini¸ c˜ ao 57. Um anel comutativo D ´ e um dom´ınio de integridade ou simplesmente dom´ınio se D ‰ 0 (D n˜ ao ´ e o anel zero) e o u ´nico divisor de zero em D ´ e 0, ou seja, a ¨ b “ 0 ùñ a “ 0

α P Zrisˆ ðñ N pαq “ 1 ðñ α P t˘1, ˘iu e portanto Zrisˆ “ t˘1, ˘iu.

b“0

pa, b P Dq

j´ a que a ¨ x “ a ¨ y ðñ a ¨ px ´ yq “ 0. Defini¸ c˜ ao 58. Um anel A ´ e um (i) anel de divis˜ ao se Aˆ “ A r t0u, ou seja, se A ‰ 0 e todo elemento n˜ ao nulo de A ´ e uma unidade. (ii) corpo se A ´ e um anel de divis˜ ao comutativo. O lema da academia de gin´ astica afirma: “Corpo ´ e dom´ınio”. Al´ em disso, se n ą 0, temos Z{nZ ´ e dom´ınio ðñ n ´ e primo ðñ Z{nZ ´ e corpo Exemplo 59 (Corpos finitos). Seja p um n´ umero primo. O anel dos inteiros m´ odulo p ´ e um corpo finito, que doravante denotaremos por def

Fp “ Z{pZ “ t0, 1, 2, . . . , p ´ 1u. Note que Z{4Z n˜ ao ´ e um corpo, j´ a que 2 n˜ ao ´ e uma unidade neste anel. Existe por´ em um corpo com 4 elementos, denotado F4 . A ideia ´ e imitar a constru¸c˜ ao de C a partir de R, em que um s´ımbolo i satisfazendo i2 “ ´1 ´ e “acrescentado” a R. Para obter F4 a partir de F2 , criamos um s´ımbolo α satisfazendo a equa¸c˜ ao p˚q α2 “ α ` 1 e definimos F4 “ F2 ` F2 ¨ α “ t0, 1, α, 1 ` αu em que as opera¸co ˜es de soma e produto s˜ ao efetuadas m´ odulo 2, levando-se em conta a rela¸c˜ ao p˚q. Por exemplo,

ðñ N pαq “ N pβq “ 1 j´ a que N pαq, N pβq P N. Escrevendo α “ a ` bi com a, b P Z temos que N pαq “ 1 ðñ a2 ` b2 “ 1 tem solu¸c˜ oes pa, bq “ p˘1, 0q ou pa, bq “ p0, ˘1q, ou seja, α “ ˘1, ˘i, e todas estas solu¸co ˜es s˜ ao de fato unidades. Resumindo,

ou

(ou equivalentemente a ‰ 0 e b ‰ 0 ùñ a ¨ b ‰ 0). Note que, em um dom´ınio D, vale a regra do cancelamento # a‰0 ùñ x “ y pa, x, y P Dq a¨x“a¨y

α ¨ p1 ` αq “ α ` α2 “ α ` α ` 1 “ 2α ` 1 “ 1 Assim, obtemos as seguintes tabelas de soma e produto e vemos que todo elemento n˜ ao nulo possui inverso multiplicativo: ` 0 1 α 1`α

0 0 1 α 1`α

1 1 0 1`α α

α α 1`α 0 1

1`α 1`α α 1 0

¨ 0 1 α 1`α

0 0 0 0 0

1 0 1 α 1`α

α 0 α 1`α 1

1`α 0 1`α 1 α

O pr´ oximo lema diz essencialmente que “dom´ınios pequenos” s˜ ao necessariamente corpos. Lema 60. Seja D um dom´ınio. (i) Se D ´ e finito ent˜ ao D ´ e um corpo.

(i) (o 1 n˜ ao faz nada) Para todo m P M , 1 ¨ m “ m.

(ii) Se K Ď D ´ e um subcorpo de D e D tem dimens˜ ao finita como K-espa¸co vetorial, ent˜ ao D tamb´ em ´ e um corpo. Defini¸ c˜ ao 61. Sejam A e B dois an´ eis. (i) Um homomorfismo ou morfismo de an´ eis ´ e uma fun¸c˜ ao ϕ : A Ñ B que preserva somas, produtos e 1: para quaisquer a1 , a2 P A, ϕpa1 `a2 q “ ϕpa1 q`ϕpa2 q, ϕpa1 ¨a2 q “ ϕpa1 q¨ϕpa2 q, ϕp1A q “ 1B . Em outras palavras, ϕ ´ e simultaneamente um morfismo de grupos entre pA, `q e pB, `q e um morfismo de mon´ oides entre pA, ¨q e pB, ¨q. «

(ii) Um isomorfismo ϕ : A Ñ B ´ e um morfismo de an´ eis que ´ e bi« jetor; como em grupos, a fun¸c˜ ao inversa ϕ´1 : B Ñ A tamb´ em ´ e um isomorfismo. Dois an´ eis A e B s˜ ao isomorfos (nota¸c˜ ao « A – B ou A « B) se existe um isomorfismo ϕ : A Ñ B entre eles (em geral n˜ ao u ´nico). «

(iii) Um automorfismo de um anel A ´ e um isomorfismo ϕ : A Ñ A. O conjunto de todos os automorfismos de A ´ e denotado AutpAq e forma um grupo com a opera¸ca ˜o de composi¸ca ˜o de fun¸c˜ oes. (iv) O kernel ou n´ ucleo de um morfismo de an´ eis ϕ : A Ñ B ´ e o def

ideal (ver defini¸ca ˜o 63) kerpϕq “ ϕ´1 p0q “ ta P A | ϕpaq “ 0u. Como para grupos, temos que o morfismo de an´ eis ϕ : A Ñ B ´ e injetor se, e s´ o se, ker ϕ “ t0u. Defini¸ c˜ ao 62. Seja D um dom´ınio D. O “menor corpo” Frac D contendo D, o chamado corpo de fra¸ co ˜es de D, ´ e o corpo obtido “invertendo-se” os elementos n˜ ao nulos de D. Precisamente: seja S “ tpa, bq | a, b P D, b ‰ 0u, ´ f´ e defina em S a rela¸c˜ ao „ por pa, bq „ pc, dq ðñ ad “ bc. E acil ver que „ ´ e uma rela¸ca ˜o de equivalˆ encia; definimos Frac D “ S{„. Por motivos de sanidade psicol´ ogica, denotamos a classe de pa, bq pela “fra¸c˜ ao” a{b, de modo que em Frac D temos a c “ ðñ ad “ bc pa, b, c, d P D, b, d ‰ 0q b d Temos que Frac D ´ e um corpo com as seguintes opera¸c˜ oes de soma e produto: a c a¨d`b¨c a c a¨c ` “ e ¨ “ b d b¨d b d b¨d Defini¸ c˜ ao 63. Dado um anel A, I Ď A ´ e um ideal ` a esquerda de A se I ´ e fechado por combina¸c˜ oes A-lineares ` a esquerda. Isto ´ e, a1 , a2 P A,

Defini¸ c˜ ao 64. Seja A um anel. Um A-m´ odulo ` a esquerda M ´ e um grupo abeliano pM, `q juntamente com uma fun¸ca ˜o ¨ : A ˆ M Ñ M , chamada multiplica¸ c˜ ao escalar, satisfazendo os seguintes axiomas:

x1 , x2 P I ñ a1 x1 ` a2 x2 P I.

Analogamente se define um ideal ` a direita de A. Se I Ď A ´ e um ideal a ` esquerda e a ` direita de A, ent˜ ao I ´ e dito um ideal (bilateral) de A. Se A for comutativo, denotaremos por def

pa1 , . . . , an q “ A ¨ a1 ` ¨ ¨ ¨ ` A ¨ an o ideal (bilateral) gerado por a1 , . . . , an . Um ideal da forma paq, gerado por um u ´nico elemento a, ser´ a chamado de ideal principal.

(ii) (pseudo-associatividade) Para quaisquer a, b P A, m P M , pa ¨ bq ¨ m “ a ¨ pb ¨ mq. (iii) (distributividade vetorial) Para quaisquer a P A, m, n P M , a ¨ pm ` nq “ a ¨ m ` a ¨ n. (iv) (distributividade escalar) Para quaisquer a, b P A, m P M , pa ` bq ¨ m “ a ¨ m ` b ¨ m. Se k ´ e um corpo, um k-m´ odulo V ´ e tamb´ em chamado de k-espa¸ co vetorial; os elementos de V s˜ ao ditos vetores enquanto os de k, escalares. Defini¸ c˜ ao 65. Seja A um anel e seja M um A-m´ odulo a ` esquerda. (a) Uma combina¸ c˜ ao A-linear (` a esquerda) de m1 , . . . , mr P M ´ e uma express˜ ao da forma a1 ¨ m1 ` ¨ ¨ ¨ ` ar ¨ mr P M, em que a1 , . . . , ar P A. Denotaremos o conjunto de todas as combina¸c˜ oes A-lineares a ` esquerda de m1 , . . . , mr por A ¨ m1 ` ¨ ¨ ¨ ` A ¨ mr . (b) O conjunto B “ tmi P M | i P Iu ´ e um conjunto gerador de M se, para todo x P M , existem i1 , . . . , in P I e α1 , . . . , αn P A tais que n ÿ αj mij . x“ j“1

Dizemos tamb´ em que B ´ e linearmente independente (LI) se, para todo subconjunto finito ti1 , . . . , in u Ď I e elementos α1 , . . . , αn P A, temos n ÿ

αj mij “ 0 ðñ α1 “ . . . “ αn “ 0.

Assim, pN, `q ´ e um subgrupo de pM, `q e a multiplica¸ca ˜o escalar de M se restringe a N , fazendo de N um A-m´ odulo a ` esquerda. A defini¸ca ˜o para m´ odulos ` a direita ´ e an´ aloga, trocando todas as ocorrˆ encias da palavra “esquerda” por “direita”. Exemplo 69. A partir de uma fam´ılia de A-m´ odulos tMi uiPI a ` esquerda, podemos construir dois novos A-m´ odulos a ` esquerda: ś (i) o produto direto iPI Mi que, como conjunto, ´ e igual ao produto cartesiano dos Mi , sendo a soma e o produto escalar feitas componente a componente; À (ii) a soma direta e o subm´ odulo do produto direto iPI Mi que ´ cujos elementos s˜ ao as tuplas pmi qiPI “quase nulas”, i.e., com mi ‰ 0 apenas para um n´ umero finito de ´ındices i. Em e finito, ent˜ ao ś particular, À observe que se o conjunto de ´ındices I ´ iPI Mi “ iPI Mi . Defini¸ c˜ ao 70. Seja A um anel e sejam M e N dois A-m´ odulos a ` esquerda. (i) Uma fun¸ca ˜o f : M Ñ N ´ e um morfismo de A-m´ odulos se f ´ e A-linear, i.e., f preserva combina¸c˜ oes A-lineares: f pa1 m1 ` a2 m2 q “ a1 f pm1 q ` a2 f pm2 q

pai P A, mi P M q

«

(ii) Dizemos que um morfismo f : M Ñ N ´ e um isomorfismo se f « for bijetor; neste caso, o mapa inverso f ´1 : N Ñ M tamb´ em ´ e um morfismo de A-m´ odulos ` a esquerda. Denotaremos o conjunto de todos os morfismos de A-m´ odulos entre M e N por HomA pM, N q. Defini¸ c˜ ao 71. Seja A um anel. Dado um ideal bilateral I Ď A, definimos em A a rela¸c˜ ao de congruˆ encia m´ odulo I via

j“1

Se B ´ e um conjunto LI e gerador, dizemos que B ´ e base de M . Se B ´ e um conjunto gerador finito, dizemos que M ´ e finitamente gerado. Nem todo m´ odulo possui uma base. Por exemplo, o Z-m´ odulo Z{4Z n˜ ao possui base, pois n˜ ao h´ a subconjuntos LI em Z{4Z: 4m “ 0 para todo m P Z{4Z. Entretanto, note que Z{4Z possui as bases t1u e t3u quando visto como um pZ{4Zq-m´ odulo. Defini¸ c˜ ao 66. Se o A-m´ odulo ` a esquerda M possui uma base, dizemos que M ´ e livre.

a”b

pmod Iq ðñ a ´ b P I

pa, b P Aq

(lˆ e-se a ´ e congruente a b m´ odulo I). Lema 72. Sejam A um anel e I um ideal bilateral. (i) A rela¸ca ˜o de congruˆ encia m´ odulo I ´ e uma rela¸c˜ ao de equivalˆ encia em A: para quaisquer a, b, c P A, temos (a) (reflexividade) a ” a pmod Iq; (b) (simetria) a ” b pmod Iq ðñ b ” a pmod Iq;

Exemplo 67. Todo anel A ´ e um A-m´ odulo ` a esquerda livre com base t1u. De modo um pouco mais geral, o m´ odulo An ´ e livre com a base canˆ onica te1 , . . . , en u, em que ei “ p0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0q (1 na i-´ esima coordenada). Defini¸ c˜ ao 68. Seja A um anel e seja M um A-m´ odulo a ` esquerda. Um A-subm´ odulo N de M ´ e um subconjunto N Ď M que ´ e fechado por combina¸c˜ oes A-lineares ` a esquerda: a1 , a2 P A,

n1 , n2 P N ùñ a1 ¨ n1 ` a2 ¨ n2 P N.

(c) (transitividade) se a ” b pmod Iq e b ” c pmod Iq ent˜ ao a ” c pmod Iq. (ii) A rela¸c˜ ao de congruˆ encia m´ odulo I ´ e compat´ıvel com as opera¸c˜ oes de soma e produto do anel A, no seguinte sentido: # # a ” b pmod Iq a ` c ” b ` d pmod Iq ùñ c ” d pmod Iq ac ” bd pmod Iq

A classe de equivalˆ encia do elemento a P A ´ e o “transladado” a ` I de I, que ser´ a denotado por uma das seguintes maneiras:

f : Z  Zris{p2 ` iq

def

a ` I “ a mod I “ a “ ras “ ta ` x | x P Iu Denotaremos o conjunto quociente pela rela¸c˜ ao de equivalˆ encia m´ odulo I por def

A{I “ ta ` I | a P Au Podemos dar uma estrutura de anel para o conjunto A{I definindo

def

pa ` Iq ¨ pb ` Iq “ pa ¨ bq ` I

pa, b P Aq

ou, mais sugestivamente, na nota¸c˜ ao por barras, def

a`b “ a`b

def

e

a¨b “ a¨b

a ÞÑ ras M maximal ùñ M primo

«

induz um morfismo f : Z{5Z Ñ Zris{p2 ` iq dado por a ÞÑ ras que, como mostraremos a seguir, ´ e um isomorfismo. Primeiro, observe que f ´ e sobrejetor, j´ a que qualquer inteiro de Gauß a ` bi P Zris (a, b P Z) ´ e congruente a um inteiro m´ odulo 2 ` i: de fato, como 2`i”0

def

pa ` Iq ` pb ` Iq “ pa ` bq ` I,

O conjunto de todos os ideais primos de A ´ e chamado de espectro de A e ´ e denotado Spec A. De (i) e do lema anterior (juntamente com o lema da academia de gin´ astica), temos

Exemplo 75. O morfismo natural

pmod p2 ` iqq ðñ i ” ´2

pmod p2 ` iqq

temos ra ` bis “ ra ´ 2bs em Zris{p2 ` iq. Segundo, ker f “ 5Z: como 5 “ p2 ` iqp2 ´ iq temos ker f Ě 5Z; reciprocamente, a P ker f ðñ a “ p2 ` iq ¨ γ para algum γ P Zris

pa, b P Aq

Por (ii) no lema anterior, as opera¸c˜ oes em A{I est˜ ao de fato bem definidas, isto ´ e, n˜ ao dependem da escolha dos representantes de classe a, b: se a “ c e b “ d ent˜ ao a ` b “ c ` d e a ¨ b “ c ¨ d. O anel A{I ´ e chamado de anel quociente de A por I. Os elementos neutros da soma e do produto s˜ ao respectivamente 0 “ I e 1 “ 1 ` I. Intuitivamente, A{I ´ e o anel obtido a partir de A “igualando-se” elementos que diferem por um elemento em I. Em particular, todos os elementos de I s˜ ao “igualados” a zero. O anel quociente vem equipado de f´ abrica com um morfismo quociente ou morfismo proje¸ c˜ ao, que ´ e o morfismo de an´ eis sobrejetor dado por: π : A  A{I

ùñ N paq “ N p2 ` iqN pγq ðñ a2 “ 5N pγq ùñ 5 | a2 em Z ùñ 5 | a em Z e portanto ker f Ď 5Z. Exemplo 76. Seja a P Q. Temos um isomorfismo f:

Qrxs « ÑQ px ´ aq

Teorema 73 (Correspondˆ encia). Se I ´ e um ideal de A, a proje¸c˜ ao π : A Ñ A{I estabelece uma bije¸ca ˜o entre ideais de A contendo I e ideais do quociente A{I: tideais de A que cont´ em Iu Ø tideais de A{Iu J ÞÑ J{I “ πpJq π ´1 pJ 1 q Ðß J 1 Teorema 74 (Propriedade universal do quociente). Dados um morfismo de an´ eis f : A Ñ B e um ideal bilateral I Ď kerpf q de A, existe um u ´nico morfismo de an´ eis f : A{I Ñ B tal que f pa ` Iq “ f paq para todo a P A, isto ´ e, tal que o diagrama abaixo comuta: A

f

B

π f

A{I

Defini¸ c˜ ao 77. Seja A um anel. Um ideal bilateral I ‰ A ´ e dito maximal se satisfaz uma das (logo todas) as seguintes condi¸co ˜es equivalentes: (i) ele ´ e maximal com rela¸ca ˜o a ` inclus˜ ao no conjunto dos ideais pr´ oprios de A: se J Ď A ´ e qualquer ideal de A, ent˜ ao I Ď J ùñ J “ I ou J “ A (ii) A{I ´ e um anel simples, isto ´ e, seus u ´nicos ideais s˜ ao 0 e A{I. A equivalˆ encia entre (i) e (ii) segue diretamente do teorema da correspondˆ encia 73. Lema 78. Seja A ‰ 0 um anel.

px1 , x2 q,

(i) O anel A possui ideais maximais.

...,

px1 , x2 , . . . , xn q P Spec krx1 , . . . , xn s

j´ a que krx1 , x2 , . . . , xn s{px1 , . . . , xi q – krxi`1 , xi`2 , . . . , xn s s˜ ao todos dom´ınios. Destes ideais primos, apenas px1 , . . . , xn q ´ e maximal. Teorema 82 (Teorema Chinˆ es dos Restos). Seja A um anel comutativo. Sejam I1 , . . . , In ideais de A dois a dois comaximais (i.e., i ‰ j ùñ Ii ` Ij “ A). Ent˜ ao I1 X ¨ ¨ ¨ X In “ I1 I2 ¨ ¨ ¨ In e o morfismo A A A « A “ Ñ ˆ ¨¨¨ ˆ I1 I2 ¨ ¨ ¨ In I1 X ¨ ¨ ¨ X In I1 In a mod I1 X ¨ ¨ ¨ X In ÞÑ pa mod I1 , . . . , a mod In q ´ e um isomorfismo. Defini¸ c˜ ao 83. Seja D um dom´ınio e sejam a, b P D. Escrevemos a | b (lˆ e-se a divide b ou b ´ e m´ ultiplo de a) se existe c P D tal que b “ ac. Em outras palavras, no mundo ideal, “conter ´ e dividir”: a | b ðñ paq Ě pbq Defini¸ c˜ ao 84. Seja D um dom´ınio. Dizemos que a, b P D s˜ ao associados se satisfazem uma das (logo todas) seguintes condi¸c˜ oes equivalentes: (i) existe u P Aˆ tal que a “ bu (i.e., se a e b diferem multiplicativamente por uma unidade) (ii) a | b e b | a (iii) paq “ pbq Defini¸ c˜ ao 85. Seja D um dom´ınio e seja π P D com π ‰ 0 e π R Dˆ . (i) Dizemos que π ´ e irredut´ıvel se, para a, b P D, π “ ab ùñ a P Dˆ ou b P Dˆ Ou seja, π ´ e irredut´ıvel se s´ o possui fatora¸co ˜es triviais em D: todo divisor de π ´ e associado ou a 1 ou a π. (ii) Dizemos que π ´ e primo se pπq ´ e um ideal primo, i.e., se π | ab ùñ π | a ou π | b

(ii) Seja I ‰ A um ideal de A. Ent˜ ao I est´ a contido em algum ideal maximal.

(note que pπq ‰ D automaticamente pois estamos supondo π R Dˆ .)

Lema 79. Se A ´ e um anel comutativo, o ideal I de A ´ e maximal se, e somente se, A{I ´ e um corpo.

Em Z, as no¸c˜ oes de irredut´ıvel e primo se confundem, mas elas s˜ ao distintas em geral. Por outro lado, temos a seguinte implica¸c˜ ao:

Defini¸ c˜ ao 80. Seja A um anel comutativo. Um ideal P Ă A ´ e primo se satisfaz uma (logo todas) das seguintes condi¸co ˜es equivalentes:

Lema 86. Seja D um dom´ınio e seja π P D com π ‰ 0 e π R Dˆ . Se π ´ e primo, ent˜ ao π ´ e irredut´ıvel.

(i) A{P ´ e um dom´ınio; Aqui, π : A  A{I ´ e o mapa de proje¸ca ˜o πpaq “ a ` I. Temos ainda kerpf q “ kerpf q{I e impf q “ impf q. Assim, f induz um isomorfismo « f : A{ kerpf q Ñ impf q.

px1 q,

ppxq ÞÑ ppaq induzido pelo morfismo sobrejetor f : Qrxs  Q dado pela “avalia¸ca ˜o em a”: ppxq ÞÑ ppaq. Para ver isto, note que ker f “ px ´ aq do crit´ erio da raiz (lema 91).

a ÞÑ a Intuitivamente, π “comprime” todos os elementos de uma mesma classe de equivalˆ encia em A em um u ´nico ponto de A{I (da´ı o nome proje¸c˜ ao). Como para grupos, temos

Exemplo 81. Se k ´ e um corpo, ent˜ ao

(ii) P ´ e um ideal pr´ oprio (i.e., P ‰ A) e, para quaisquer a, b P A, ab P P ùñ a P P ou b P P

Defini¸ c˜ ao 87. Um dom´ınio D ´ e dito dom´ınio de fatora¸ c˜ ao u ´ nica (DFU) ou dom´ınio fatorial se todo elemento n˜ ao nulo d P D pode ser escrito como produto de irredut´ıveis de maneira u ´nica a menos da ordem dos fatores e de associados, ou seja,

(a) (Existˆ encia da fatora¸ca ˜o) d “ π1 π2 . . . πm com πi irredut´ıveis; (b) (Unicidade da fatora¸c˜ ao) Se d “ ρ1 ρ2 . . . ρn ´ e outra fatora¸ca ˜o em irredut´ıveis ρi , ent˜ ao h´ a a mesma quantidade de fatores m “ n e existe uma permuta¸ca ˜o σ P Sm tal que πi ´ e associado a ρσpiq para i “ 1, . . . , m “ n. Lema 88. Seja D um DFU e seja π P D com π ‰ 0 e π R Dˆ . Ent˜ ao se π ´ e primo se, e s´ o se, π ´ e irredut´ıvel. Defini¸ c˜ ao 89. Seja D um DFU e sejam d1 , . . . , dn P D, n˜ ao todos iguais a 0. (i) Um m´ aximo divisor comum (mdc) de d1 , . . . , dn ´ e um divisor comum d de d1 , . . . , dn com a propriedade de que se a ´ e tamb´ em um divisor comum de d1 , . . . , dn ent˜ ao a | d. (ii) Um m´ınimo m´ ultiplo comum (mmc) de d1 , . . . , dn ´ e um m´ ultiplo comum m de d1 , . . . , dn com a propriedade de que se a ´ e tamb´ em um m´ ultiplo comum de d1 , . . . , dn ent˜ ao m | a. Em outras palavras: um mdc (respectivamente mmc) de d1 , . . . , dn ´ e um elemento m´ aximo (respectivamente m´ınimo) com respeito a ` rela¸c˜ ao de divisibilidade no conjunto dos divisores comuns (respectivamente m´ ultiplos comuns) de d1 , . . . , dn . Lema 90 (Crit´ erio da raiz racional). Seja D um DFU e seja k “ Frac D. Dado um polinˆ omio f pxq “ an xn ` an´1 xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a0 P Drxs se r{s P K (r, s P D, s ‰ 0 e mdcpr, sq “ 1) ´ e uma raiz de f pxq ent˜ ao s | an e r | a0 . Em particular, se f pxq ´ e mˆ onico, toda raiz de f pxq em K pertence a D. Lema 91 (Crit´ erio da raiz). Seja K um corpo e sejam f pxq P Krxs e a P K. (i) f paq P K ´ e igual ao resto da divis˜ ao de f pxq por x ´ a. Em particular, f paq “ 0 ðñ x ´ a | f pxq. (ii) Se f pxq ´ e n˜ ao nulo, ent˜ ao f pxq possui no m´ aximo deg f pxq ra´ızes em K. Defini¸ c˜ ao 92. (i) Um par pD, ρq formado por um dom´ınio D e uma fun¸ca ˜o ρ : D r t0u Ñ N ´ e chamado de dom´ınio euclidiano (DE) se D possui “divis˜ ao euclidiana” com rela¸c˜ ao ao “tamanho euclidiano” ρ, i.e., se dados a, b P D com b ‰ 0, existem q, r P D (quociente e resto, respectivamente) satisfazendo a “ bq ` r com r “ 0 ou ρprq ă ρpbq Note que n˜ ao exigimos a unicidade do quociente q e do resto r na defini¸ca ˜o acima, apenas a existˆ encia dos mesmos. Na tabela a seguir, resumimos os principais exemplos de DEs e suas respectivas fun¸c˜ oes “tamanho euclidiano”. Aqui, k denota um corpo qualquer e p, um n´ umero primo.

3 cuidado:

Anel

Tamanho Euclidiano

Z krxs kJtK Zp Zris Zrωs

ρpaq “ |a| grau valoriza¸ca ˜o t-´ adica vt valoriza¸ca ˜o p-´ adica vp norma N pαq “ |α|2 norma N pαq “ |α|2

Veremos a seguir que todo DE ´ e um DFU. A aritm´ etica nos DEs da tabela acima ´ e dada por

(iii) todo subconjunto S ‰ H de subm´ odulos de M tem um elemento maximal em S com rela¸c˜ ao a inclus˜ ao.

DE

Grupo de Unidades

Irredut´ıveis (a menos de associados)

Teorema 99. Seja A um anel e seja M um A-m´ odulo finitamente gerado. Se A ´ e noetheriano, ent˜ ao M ´ e noetheriano.

Z

t˘1u

krxs

kˆ

Defini¸ c˜ ao 100. Um dom´ınio D ´ e dito dom´ınio de ideais principais (DIP) se todo ideal de D ´ e principal (i.e., gerado por um u ´nico elemento).

kJtK Zp

tf P kJtK | vt pf q “ 0u tf P Zp | vp pf q “ 0u

n´ umeros primos polinˆ omios mˆ onicos irredut´ıveis t p 1 ` i; n´ umeros primos p ” 3 pmod 4q; a ˘ bi com a2 ` b2 “ p n´ umero primo tal que p ” 1 pmod 4q 1 ´ ω; n´ umeros primos p ” 5 pmod 6q; a ˘ bi com a2 ´ ab ` b2 “ p n´ umero primo tal que p ” 1 pmod 6q

Zris

t˘1, ˘iu

Zrωs

t˘1, ˘ω, ˘ω 2 u

Lema 93. Seja pD, ρq um DE.

Teorema 101. Seja D um dom´ınio. Ent˜ ao D´ e DE ùñ D ´ e DIP ùñ D ´ e DFU DFUs DIPs DEs

Teorema 102 (Gauß). Seja D um dom´ınio. Ent˜ ao D´ e um DFU ùñ Drxs ´ e um DFU

(i) (Menor divide) Todo ideal de D ´ e principal. (ii) (Lema primordial) Todo irredut´ıvel de D ´ e primo. Lema 94 (Euclides). Em um DE D, sejam a, b P D com b ‰ 0. Suponha que a “ bq ` r. Ent˜ ao mdcpa, bq “ mdcpb, rq. Defini¸ c˜ ao 95. Um anel comutativo A ´ e dito noetheriano se satisfaz qualquer uma das seguintes propriedades equivalentes: (i) todo ideal I Ď A ´ e finitamente gerado; (ii) toda cadeia ascendente de ideais estabiliza, isto ´ e, dada uma cadeia de ideais I0 Ď I1 Ď I2 Ă I3 Ď ¨ ¨ ¨ ent˜ ao Ii “ Ii`1 para todo i " 0 suficientemente grande; (iii) todo conjunto S ‰ H de ideais possui um elemento que ´ e maximal3 em S com rela¸c˜ ao a ` inclus˜ ao. Corpos e DEs s˜ ao noetherianos pois todos seus ideais s˜ ao principais (pelo menor divide, 93). Lema 96. Seja D um dom´ınio noetheriano. Se todo irredut´ıvel de D for primo ent˜ ao D ´ e um DFU. Teorema 97 (Teorema da base de Hilbert). Seja A um anel comutativo. Ent˜ ao A noetheriano implica Arxs noetheriano. Consequentemente, toda ´ algebra finitamente gerada sobre um anel noetheriano ´ e noetheriana. Defini¸ c˜ ao 98. Seja A um anel comutativo. Um A-m´ odulo M ´ e dito noetheriano se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes equivalentes: (i) todo subm´ odulo N Ď M ´ e finitamente gerado. (ii) toda cadeia ascendente de subm´ odulos estabiliza, isto ´ e, se N1 Ď N2 Ď N2 Ď ¨ ¨ ¨ ´ e uma cadeia de subm´ odulos de M , ent˜ ao existe i0 ě 1 tal que Ni “ Ni0 para todo i ě i0 .

note que este elemento maximal em S n˜ ao necessariamente ´ e um ideal maximal em A

Defini¸ c˜ ao 103. Seja D um DFU e seja f P Drxs um polinˆ omio n˜ ao nulo. Dizemos que f ´ e primitivo se seus coeficientes tˆ em mdc igual a 1 (ou mais precisamente, associado a 1). Em outras palavras, f ´ e primitivo se n˜ ao existe um irredut´ıvel π P D que divide todos os seus coeficientes. Lema 104 (Lema de Gauß). Seja D um DFU e seja K “ Frac D. (i) Se f pxq, gpxq P Drxs s˜ ao primitivos ent˜ ao f pxq¨gpxq ´ e primitivo. (ii) Seja f pxq P Drxs um polinˆ omio primitivo. Ent˜ ao f pxq irredut´ıvel em Krxs ðñ f pxq irredut´ıvel em Drxs Teorema 105 (Crit´ erio de Eisenstein). Seja D um DFU. Seja π P D um irredut´ıvel e seja ppxq “ an xn ` an´1 xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a0 P Drxs um polinˆ omio primitivo tal que π - an , π | ai para i “ 0, 1, . . . , n ´ 1 e π 2 - a0 . Ent˜ ao ppxq ´ e irredut´ıvel em Drxs, logo pelo lema de Gauß tamb´ em em Krxs, em que K “ Frac D. Teorema 106. Sejam A um DIP e M um m´ odulo livre de posto n, isto ´ e, M – An . Se N ´ e um subm´ odulo de M , ent˜ ao N ´ e livre. Mais especificamente, existe uma base te1 , . . . , en u de M , um inteiro n˜ ao negativo k ď n e d1 , d2 , . . . , dk P A tais que td1 e1 , d2 e2 , . . . , dk ek u ´ e uma base de N . Teorema 107. Seja A um DIP e seja M um m´ odulo finitamente gerado sobre A. Ent˜ ao (a) (Fatores invariantes) M – Ar ˆ A{pa1 q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ A{pam q para certos inteiros r, m ě 0 e elementos n˜ ao nulos a1 , a2 ,. . . , am de A que n˜ ao s˜ ao unidades e que satisfazem a1 | a2 | ¨ ¨ ¨ | am . Os inteiros r e m s˜ ao unicamente determinados e os elementos a1 , . . . , am s˜ ao unicamente determinados a menos de associados.

(b) (Divisores elementares) r

M –A ˆ

Defini¸ c˜ ao 114. O grau rL : Ks de uma extens˜ ao de corpos L Ě K ´ e 1 A{ppα 1 q

ˆ ¨¨¨ ˆ

n A{ppα n q

para um certo inteiro r ě 0 e potˆ encias de primos (n˜ ao necesαn 1 sariamente distintos) pα e unicamente 1 , . . . , pn . O inteiro r ´ determinado, e as potˆ encias de primos s˜ ao unicamente determinadas a menos de associados.

12.3

Corpos

Dado um corpo K, a caracter´ıstica de K, em s´ımbolos char K, ´ eo menor inteiro n ą 0 tal que def

n¨1 “ 1 ` 1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 “ 0 em K loooooooomoooooooon n vezes

ou char K “ 0 se tal inteiro n ą 0 n˜ ao existe. Se char K ą 0 ent˜ ao char K ´ e necessariamente um n´ umero primo. Lema 108 (Sonho de todo estudante). Seja K um corpo com p “ char K ą 0. Ent˜ ao, para quaisquer a, b P K, pa ` bqp “ ap ` bp . Defini¸ c˜ ao 109. Sejam L Ě K uma extens˜ ao de corpos e θ1 , . . . , θn P L. Denotamos por (i) Krθ1 , . . . , θn s o subanel de L gerado por θ1 , . . . , θn sobre K, i.e., o subanel de L (ou mais precisamente a sub-K-´ algebra) formado por todas as express˜ oes polinomiais em θ1 , . . . , θn com coeficientes em K: ( def Krθ1 , . . . , θn s “ f pθ1 , . . . , θn q | f P Krx1 , . . . , xn s

def

a dimens˜ ao de L visto como K-espa¸co vetorial: rL : Ks “ dimK L. Dizemos que a extens˜ ao L Ě K ´ e finita se rL : Ks ă 8. Lema 115. Seja k um corpo finito e seja p “ char k ą 0 (um n´ umero primo). Ent˜ ao |k| ´ e uma potˆ encia de p. Defini¸ c˜ ao 116. Uma extens˜ ao de corpos L Ě K ´ e dita uma extens˜ ao simples se L pode ser gerado (como corpo, ver defini¸ca ˜o 109) por um u ´nico elemento sobre K: L “ Kpθq para algum θ P L. Lema 117 (Construindo extens˜ oes alg´ ebricas simples). Seja K um corpo qualquer e seja ppxq P Krxs um polinˆ omio irredut´ıvel de grau d “ deg ppxq ą 0. Ent˜ ao o anel quociente ` ˘ def L “ Krxs{ ppxq “ K ` K ¨ x ` ¨ ¨ ¨ ` K ¨ xd´1 ` ˘ ´ e um corpo. Via o morfismo natural K ãÑ Krxs{ ppxq , L ´ e uma extens˜ ao finita de K de grau rL : Ks “ d e uma base de L sobre K ´ e 1, x, x2 , . . . , xd´1 . Corol´ ario 118. Seja L Ě K uma extens˜ ao simples de corpos, digamos L “ Kpθq com θ P L. Se θ ´ e transcendente sobre K, ent˜ ao L – Kpxq. Por outro lado, se θ ´ e alg´ ebrico sobre K com polinˆ omio minimal mpxq P Krxs de grau d “ deg mpxq, temos: (i) H´ a um isomorfismo K-linear de an´ eis ` ˘ « Krxs{ mpxq Ñ Krθs f pxq ÞÑ f pθq (ii) O subanel de L gerado por θ sobre K ´ e um corpo, logo

(ii) Kpθ1 , . . . , θn q o subcorpo de L gerado por θ1 , . . . , θn sobre K, ou seja, o corpo de fra¸co ˜es do dom´ınio Krθ1 , . . . , θn s: def

Kpθ1 , . . . , θn q “ Frac Krθ1 , . . . , θn s Defini¸ c˜ ao 110. Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos. Seja θ P L. (i) Dizemos que θ ´ e alg´ ebrico sobre K se existe um polinˆ omio n˜ ao nulo f pxq P Krxs tal que f pθq “ 0. Caso contr´ ario, dizemos que θ ´ e transcendente sobre K. (ii) A extens˜ ao L Ě K ´ e dita alg´ ebrica se todo elemento de L ´ e alg´ ebrico sobre K. Caso contr´ ario, dizemos que L Ě K ´ e uma extens˜ ao transcendente. Defini¸ c˜ ao 111. Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos e seja θ P L um elemento alg´ ebrico sobre K. O polinˆ omio mˆ onico mpxq P Krxs de menor grau tal que mpθq “ 0 ´ e chamado de polinˆ omio minimal de θ sobre K. Lema 112 (Menor divide). Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos. Seja θ P L alg´ ebrico sobre K e seja mpxq P Krxs seu polinˆ omio minimal sobre K. Ent˜ ao # f pxq P Krxs ùñ mpxq | f pxq f pθq “ 0 Lema 113. Seja θ um elemento alg´ ebrico sobre K e seja mpxq P Krxs um polinˆ omio mˆ onico. Ent˜ ao mpxq ´ e o polinˆ omio minimal de θ se, e s´ o se, mpθq “ 0 e mpxq ´ e irredut´ıvel em Krxs.

Teorema 121 (Crit´ erio de algebricidade). Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos e seja θ P L. Ent˜ ao θ´ e alg´ ebrico sobre K ðñ rKpθq : Ks ă 8 Corol´ ario 122 (Algebricidade). Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos. (i) L Ě K finita ùñ L Ě K alg´ ebrica (mas, em geral, a rec´ıproca ´ e falsa). (ii) O conjunto de todos os elementos de L que s˜ ao alg´ ebricos sobre K forma um subcorpo de L. Em outras palavras, α, β P L alg´ ebricos sobre K α ùñ α ˘ β, αβ, pβ ‰ 0q alg´ ebricos sobre K β (iii) (Transitividade) “Alg´ ebrico sobre alg´ ebrico ´ e alg´ ebrico”: # M Ě L alg´ ebrica e ùñ M Ě K alg´ ebrica L Ě K alg´ ebrica Defini¸ c˜ ao 123. Um n´ umero α P R ´ e dito construt´ıvel se |α| ´ e o comprimento de um segmento que pode ser obtido a partir de um segmento de tamanho 1 (o “segmento de referˆ encia”) utilizando apenas constru¸c˜ oes com r´ egua (sem marca¸c˜ ao) e compasso. Denotaremos o conjunto de todos os n´ umeros construt´ıveis por C. Teorema 124 (Construtibilidade). Um n´ umero α P R ´ e construt´ıvel se, e s´ o se, existe uma torre de extens˜ oes de corpos K0 “ Q Ď K1 Ă K2 Ă ¨ ¨ ¨ Ă Kn

L “ Kpθq “ Krθs (iii) A extens˜ ao L Ě K ´ e finita com rL : Ks “ d; uma base de L sobre K ´ e dada por 1, θ, θ2 , . . . , θd´1 .

com α P Kn e rKi`1 : Ki s “ 2 para todo i. Em particular, se α ´ e construt´ıvel ent˜ ao rQpαq : Qs ´ e necessariamente uma potˆ encia de 2.

Teorema 119 (Lema de Graus). Sejam M Ě L Ě K extens˜ oes de corpos com rM : Ls “ n e rL : Ks “ m. Se τ1 , . . . , τn ´ e uma base de M sobre L e se ω1 , . . . , ωm ´ e uma base de L sobre K ent˜ ao os mn elementos τi ωj com 1 ď i ď n e 1 ď j ď m formam uma base de M sobre K. Em particular, rM : Ks “ rM : Ls ¨ rL : Ks.

Defini¸ c˜ ao 125. Seja K um corpo e seja f pxq P Krxs um polinˆ omio de grau n ě 1. Um corpo L contendo K ´ e dito um corpo de decomposi¸ c˜ ao ou corpo de ra´ızes de f pxq sobre K se f pxq se fatora completamente em fatores lineares em Lrxs e L ´ e gerado pelas ra´ızes de f pxq sobre K, i.e., podemos escrever

Lema 120 (Transporte paralelo). Sejam K, L, M subcorpos de um corpo Ω. Suponha que L Ě K e M Ě K com rL : Ks ă 8. Seja LM o comp´ osito de L e M em Ω (i.e., o menor subcorpo de Ω contendo L e M ). LM L

ďrL:Ks

M K Ent˜ ao a extens˜ ao LM Ě M ´ e finita, com rLM : M s ď rL : Ks. Em particular, se M Ě K tamb´ em ´ e uma extens˜ ao finita, ent˜ ao rLM : Ks ď rL : Ks ¨ rM : Ks com igualdade sempre que mdcprL : Ks, rM : Ksq “ 1.

f pxq “ px ´ θ1 q . . . px ´ θn q

pθi P Lq

e L “ Kpθ1 , . . . , θn q Em outras palavras, o corpo de ra´ızes de f pxq sobre K ´ e o corpo gerado sobre K por todas as ra´ızes de f pxq. Defini¸ c˜ ao 126. Um corpo Ω ´ e dito algebricamente fechado se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes equivalentes: (i) toda extens˜ ao alg´ ebrica L Ě Ω ´ e trivial (i.e., L “ Ω); (ii) os u ´nicos polinˆ omios irredut´ıveis em Ωrxs s˜ ao os lineares, i.e., os da forma ax ` b (a, b P Ω com a ‰ 0); (iii) todo polinˆ omio ppxq P Ωrxs de grau n ě 1 se fatora como um produto de n fatores lineares em Ωrxs; (iv) todo polinˆ omio ppxq n˜ ao constante em Ωrxs possui raiz em Ω.

Teorema 127. Dado um corpo K, existe uma extens˜ ao alg´ ebrica K alg Ě K com K alg algebricamente fechado, u ´nico a menos de Kisomorfismo. Defini¸ c˜ ao 128. Sejam K um corpo e θ P K alg . Seja mpxq P Krxs ao o polinˆ omio minimal de θ sobre K. As ra´ızes de mpxq em K alg s˜ chamadas de conjugados de θ sobre K. Defini¸ c˜ ao 129. Sejam L Ě K e M Ě K duas extens˜ oes de corpos. (i) Uma K-imers˜ ao σ : L ãÑ M ´ e um morfismo de corpos que satisfaz σpaq “ a para todo a P K, ou seja, ´ e uma imers˜ ao σ : L ãÑ M que faz o seguinte diagrama comutar: σ

L

M

inclus˜ ao

inclus˜ ao

K Observe que uma imers˜ ao σ : L ãÑ M ´ e uma K-imers˜ ao se, e s´ o se, ela for K-linear. «

(ii) Um K-automorfismo σ : L Ñ L ´ e um automorfismo de L que ´ e uma K-imers˜ ao (i.e., um automorfismo de L que ´ e K-linear). O conjunto de todos os K-automorfismos de L def

«

AutK pLq “ tσ : L Ñ L | σ ´ e um K-automorfismo u ´ e um grupo com a opera¸ca ˜o de composi¸c˜ ao de fun¸co ˜es ˝. Seja ϕ : K ãÑ L uma imers˜ ao de corpos. Dado um polinˆ omio f pxq “ an xn ` an´1 xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a0 P Krxs denotamos por ϕ

def

n

f pxq “ ϕpan q ¨ x ` ϕpan´1 q ¨ x

n´1

` ¨ ¨ ¨ ` ϕpa0 q P Lrxs

«

• σ : K Ñ K 1 um isomorfismo de corpos; • Kpθq Ě K uma extens˜ ao simples;

Podemos resumir o teorema pictoricamente da seguinte forma: se G “ GalpL{Kq e H ď G ent˜ ao

• L1 Ě K 1 uma extens˜ ao qualquer de corpos;

L

• f pxq P Krxs o polinˆ omio minimal de θ sobre K. Kpθq

L1 M “ LH

inclus˜ ao

inclus˜ ao

K

sempre Galois com H“GalpL{M q

rL:M s“|H|

σ ˜

σ «

K1

Temos uma bije¸c˜ ao Ξ entre extens˜ oes σ ˜ : Kpθq ãÑ L1 de σ e ra´ızes de f σ P K 1 rxs em L1 , dada por " * ˇ ( « imers˜ oes σ ˜ : Kpθq ãÑ L1 Ξ: Ñ θ1 P L1 ˇ f σ pθ1 q “ 0 com σ ˜ |K “ σ σ ˜ ÞÑ σ ˜ pθq Assim, h´ a tantas imers˜ oes σ ˜ : Kpθq ãÑ L1 estendendo σ quanto ra´ızes de f σ em L1 .

Galois ðñ HIJG

rM :Ks“rG:Hs

(neste K

Observe que se L Ě K ´ e Galois, L sendo corpo de ra´ızes sobre K de um polinˆ omio separ´ avel f pxq P Krxs, ent˜ ao L tamb´ em ser´ a corpo de ra´ızes sobre M deste mesmo polinˆ omio f pxq P Krxs Ď M rxs, logo a extens˜ ao do topo L Ě M ´ e sempre Galois.

σpM q

Defini¸ c˜ ao 132. Seja K um corpo e seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos. (i) Um polinˆ omio f pxq P Krxs ´ e dito separ´ avel se n˜ ao possui ra´ızes m´ ultiplas no fecho alg´ ebrico K alg de K. (ii) A extens˜ ao L Ě K ´ e dita Galois ou galoisiana se L ´ e o corpo de ra´ızes (sobre K) de algum polinˆ omio separ´ avel f pxq P Krxs. Para uma extens˜ ao Galois L Ě K, escrevemos GalpL{Kq no lugar de AutK pLq e chamamos GalpL{Kq de grupo de Galois desta extens˜ ao. (iii) Dado um subgrupo H ď AutK pLq, denotamos o subcorpo fixo por H por

K

ϕ : Krxs Ñ Lrxs

Lema 135 (Truque das ´ orbitas). Seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos e seja G “ AutK pLq. Seja θ P L e H ď G um subgrupo. Ent˜ ao ź def px ´ σpθqq P LH rxs f pxq “

f pxq ÞÑ f ϕ pxq que, por simplicidade de nota¸c˜ ao, ainda denotaremos por ϕ. Embora quase uma tautologia, o seguinte Princ´ıpio do Picles resume toda a ideia central da teoria de Galois: automorfismos preservam ra´ızes conjugadas. Lema 130 (Princ´ıpio do Picles ou Ra´ızes em Conserva). Seja ϕ : K ãÑ L uma imers˜ ao de corpos e seja f pxq P Krxs. O morfismo ϕ conserva ra´ızes: se θ P K ´ e raiz de f pxq P Krxs ent˜ ao ϕpθq P L ´ e raiz de f ϕ pxq P Lrxs: ` ˘ f pθq “ 0 ùñ f ϕ ϕpθq “ 0 pθ P Lq Em particular, se L Ě K ´ e uma extens˜ ao alg´ ebrica de corpos, ent˜ ao σ P AutK pLq preserva ra´ızes conjugadas sobre K: ¨ ˛ σ˝

‚“

LH “ tθ P L | σpθq “ θ para todo σ P Hu Corol´ ario 133. Seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos. Ent˜ ao | AutK pLq| ď rL : Ks com igualdade se L Ě K for Galois. Teorema 134 (Teorema Fundamental da Teoria de Galois). Seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos Galois. Temos uma bije¸ca ˜o natural ! ) ! ) subgrupos subcorpos intermedi´ arios Γ: ÐÑ H ď GalpL{Kq M de L Ě K H ÞÝÑ LH

σPH

Em particular, o polinˆ omio minimal de θ sobre LH divide f pxq. Teorema 136 (Extens˜ oes radicais s˜ ao c´ıclicas). Seja K um corpo e seja r P Ną0 . Suponha que K contenha todas as ra´ızes r-´ esimas da unidade, i.e., que |µr pKq| “ r. Considere uma extens˜ ao radical de K da forma def

L “ Kpβq Ě K

def

pα “ β r P Kq

com β ‰ 0. Ent˜ ao L Ě K ´ e Galois e h´ a um morfismo injetor de grupos GalpL{Kq ãÑ µr pKq σ ÞÑ σpβq{β

GalpL{M q ÐÝß M sendo a extens˜ ao intermedi´ aria “superior” L Ě M sempre Galois com rL : M s “ | GalpL{M q| enquanto a extens˜ ao intermedi´ aria “inferior” M Ě K satisfaz rM : Ks “ rGalpL{Kq : GalpL{M qs e M Ě K Galois ðñ GalpL{M q IJ GalpL{Kq Se M Ě K ´ e Galois, temos um isomorfismo natural induzido pela restri¸c˜ ao: «

GalpL{Kq{GalpL{M q Ñ GalpM {Kq Lema 131 (Lema Fundamental da Teoria de Galois). Sejam

M L

def

o polinˆ omio obtido aplicando-se ϕ aos coeficientes de f pxq. Note que ϕ : K ãÑ L induz um morfismo de an´ eis

caso GalpM {Kq“G{H )

σ ÞÑ σ|M

Em particular, GalpL{Kq ´ e um grupo c´ıclico cuja ordem divide r. Lema 137 (Crit´ erio da `derivada). ˘Um polinˆ omio f pxq P Krxs ´ e separ´ avel se, e s´ o se, mdc f pxq, f 1 pxq “ 1. Em particular, se f pxq ´ e irredut´ıvel em Krxs, ent˜ ao f pxq ´ e separ´ avel se, e s´ o se, f 1 pxq ‰ 0. Corol´ ario 138. Sejam K um corpo e f pxq P Krxs um polinˆ omio irredut´ıvel (i) Se char K “ 0 ent˜ ao f pxq ´ e sempre separ´ avel.

L

(ii) Se char K “ p ą 0 ent˜ ao f pxq ´ e insepar´ avel se, e s´ o se, existe gpxq P Krxs tal que f pxq “ gpxp q. Em particular, qualquer polinˆ omio n˜ ao constante f pxq P Krxs pode ser escrito como n f pxq “ hpxp q para algum n P N e algum polinˆ omio separ´ avel hpxq P Krxs. Defini¸ c˜ ao 139. Dada uma extens˜ ao alg´ ebrica de corpos L Ě K, diremos que um elemento θ P L ´ e separ´ avel sobre K se seu polinˆ omio minimal sobre K for separ´ avel. Diremos que L Ě K ´ e separ´ avel se todo elemento θ P L for separ´ avel; caso contr´ ario, dizemos (surpresa!) que esta extens˜ ao ´ e insepar´ avel. Defini¸ c˜ ao 140. Dizemos que um corpo K ´ e perfeito se char K “ 0 ou p “ char K ą 0 e o morfismo de Frobenius Φ : K ãÑ K θ ÞÑ θ

p

´ e sobrejetor (i.e., todo elemento de K ´ e uma p-´ esima potˆ encia), logo um automorfismo de K. Lema 141. Toda extens˜ ao alg´ ebrica L Ě K de um corpo perfeito K ´ e separ´ avel. Teorema 142 (Crit´ erio imersivo de separabilidade). Seja σ : K ãÑ Ω uma imers˜ ao fixada de um corpo K em um corpo algebricamente fechado Ω (por exemplo, a inclus˜ ao de K em um fecho alg´ ebrico Ω “ K alg ). Seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos e seja N pL; K; σq o n´ umero de imers˜ oes σ ˜ : L ãÑ Ω estendendo σ, como no diagrama a seguir. L inclus˜ ao

σ ˜

Ω σ

K Ent˜ ao N pL; K; σq ď rL : Ks com igualdade se, e s´ o se, L Ě K ´ e separ´ avel. Corol´ ario 143. Sejam M Ě L Ě K extens˜ oes alg´ ebricas de corpos. (i) (“Separ´ avel sobre separ´ avel ´ e separ´ avel”) M ĚK ´ e separ´ avel ðñ M Ě L e L Ě K s˜ ao separ´ aveis

(i) O tra¸co ´ e K-linear e a norma ´ e multiplicativa: para todo β1 , β2 P L e α1 , α2 P K,

puramente insepar´ avel

TrL{K pα1 β1 ` α2 β2 q “ α1 TrL{K pβ1 q ` α2 TrL{K pβ2 q

˜ K

NL{K pβ1 ¨ β2 q “ NL{K pβ1 q ¨ NL{K pβ2 q

separ´ avel

K

Em particular, se α P K ent˜ ao

˜ ´ O corpo K e chamado de fecho separ´ avel de K em L.

TrL{K pαq “ nα

NL{K pαq “ αn

(ii) (Transitividade) Sejam M Ě L Ě K extens˜ oes finitas de corpos. Temos

(i) dado um polinˆ omio irredut´ıvel f pxq P Krxs, se f pxq possui uma raiz θ P L, ent˜ ao f pxq se fatora completamente em fatores lineares em Lrxs.

(iii) Suponha que L Ě K seja separ´ avel e sejam σ1 , σ2 , . . . , σn as K-imers˜ oes de L em um fecho alg´ ebrico K alg de K (ver 142). Para todo β P L temos ÿ ź TrL{K pβq “ σi pβq e NL{K pβq “ σi pβq

(ii) L ´ e fechado por K-conjugados: dado θ P L, todos os conjugados (em K alg ) sobre K de θ pertencem a L.

TrM {K “ TrL{K ˝ TrM {L

e

NM {K “ NL{K ˝ NM {L

1ďiďn

1ďiďn

(iii) L ´ e o corpo de ra´ızes de alguma fam´ılia de polinˆ omios S Ď Krxs. Corol´ ario 148 (A¸c˜ ao transitiva sobre conjugados). Seja L Ě K uma extens˜ ao quase-Galois finita de corpos. Se α, β P L s˜ ao conjugados sobre K, ent˜ ao existe σ P AutK pLq tal que σpαq “ β. Teorema 149. Seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos. As seguintes condi¸co ˜es s˜ ao equivalentes:

Defini¸ c˜ ao 154. Seja K um corpo e seja ppT q P KrT s. Dizemos que ppT q ´ e sol´ uvel por radicais se existe uma torre radical def

K0 “ K Ă K1 Ă K2 Ă ¨ ¨ ¨ Ă Ks r

(Ki`1 “ Ki pδi q, δi i P Ki para algum ri P Ną0 ) em que Ks cont´ em o corpo de ra´ızes de ppT q sobre K0 .

(a) L Ě K ´ e normal e separ´ avel; (b) L ´ e o corpo de ra´ızes sobre K de um polinˆ omio separ´ avel f pxq P Krxs; (c) | AutK pLq| “ rL : Ks. Se estas condi¸co ˜es s˜ ao satisfeitas, diremos que L Ě K ´ e uma extens˜ ao Galois. Teorema 150. Seja p um n´ umero primo e seja n ě 1 um inteiro. Ent˜ ao existe um corpo finito Fq com q “ pn elementos, u ´nico a menos de isomorfismo. Mais precisamente, para cada n P N positivo, existe um u ´nico corpo intermedi´ ario Fq de Falg p Ą Fp com rFq : Fp s “ n, a saber, o corpo de ra´ızes do polinˆ omio f pxq “ xq ´ x P Fp rxs. Teorema 151 (Ra´ızes da unidade). Seja k um corpo e seja G um subgrupo finito de kˆ (i.e., G ´ e um grupo finito de ra´ızes da unidade em k, pelo teorema de Lagrange). Ent˜ ao G ´ e c´ıclico.

Teorema 144 (Teorema do Elemento Primitivo). Seja L Ě K uma extens˜ ao finita separ´ avel de corpos. Ent˜ ao L Ě K ´ e uma extens˜ ao simples, i.e., existe um elemento θ P L tal que L “ Kpθq.

Defini¸ c˜ ao 152. Seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos. A norma NL{K : L Ñ K e o tra¸ co TrL{K : L Ñ K s˜ ao os mapas definidos por

Lema 146 (Fecho separ´ avel). Seja L Ě K uma extens˜ ao alg´ ebrica ˜ Ď L dos elede corpos de caracter´ıstica p ą 0. O subconjunto K mentos separ´ aveis sobre K forma um subcorpo de L. Al´ em disso, a ˜ ´ sub-extens˜ ao L Ě K e puramente insepar´ avel:

e

Defini¸ c˜ ao 147. Seja L Ě K uma extens˜ ao alg´ ebrica e seja K alg um fecho alg´ ebrico de L (e portanto tamb´ em de K pelo corol´ ario 122). A extens˜ ao L Ě K ´ e dita normal ou quase-Galois se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes equivalentes:

(ii) Se L “ Kpθ1 , . . . , θn q ent˜ ao θ1 , . . . , θn s˜ ao separ´ aveis sobre K se, e s´ o se, a extens˜ ao L Ě K ´ e separ´ avel. Em particular, o corpo de ra´ızes de um polinˆ omio separ´ avel d´ a origem a uma extens˜ ao separ´ avel.

Defini¸ c˜ ao 145. Seja L Ě K uma extens˜ ao de corpos de caracter´ıstica p ą 0. Dizemos que L Ě K ´ e puramente insepar´ avel se para todo θ P L existe um n P N (que depende de θ) tal que n Φn pθq “ θp P K (aqui, Φ : L ãÑ L denota o morfismo de Frobenius).

e

NL{K pβq “ detpmβ q

e

TrL{K pβq “ Trpmβ q

pβ P Lq

em que mβ denota a aplica¸ca ˜o K-linear de L em L dada pela multiplica¸c˜ ao por β: mβ : L Ñ L x ÞÑ βx Lema 153. Seja L Ě K uma extens˜ ao finita de corpos de grau n “ rL : Ks.

Teorema 155 (Abel-Ruffini). Sejam L “ Cpx1 , . . . , xn q e K “ Cpe1 , . . . , en q, em que e1 , . . . , en denotam os polinˆ omios sim´ etricos elementares nas vari´ aveis x1 , . . . , xn . O polinˆ omio gen´ erico de grau ně5 def

ppT q “ pT ´ x1 qpT ´ x2 q . . . pT ´ xn q “ T n ´ en´1 T n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn en P KrT s n˜ ao ´ e sol´ uvel por radicais.

Referˆ encias [1] Artin, Algebra [2] Dummit e Foote, Abstract Algebra [3] Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra ´ [4] Garcia e Lequain, Algebra: um Curso de Introdu¸ca ˜o [5] Gallian, Abstract Algebra [6] Hadlock, Field theory and its classical problems [7] Herstein, Topics in Algebra [8] Jacobson, Basic Algebra I [9] Lang, Algebra ´ [10] Martins e Tengan, Algebra exemplar [11] Stewart, Galois Theory