Analisi zero. La matematica non è un problema 8838650543, 9788838650543

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LA MATEMATICA NON E UN PROBLEMA

ANALISI ZERO

Titolo originale: Bob Miller's Calcfor the Clueless Copyright© 1998 McGraw-Hill Companies, Inc. Copyright © 1999 McGraw-Hill Libri Italia srl via Ripamonti, 89 20139 Milano I diritti di traduzione, di riproduzione, di memorizzazione elettronica e di adattamento totale e parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i paesi. Nomi e marchi citati nel testo sono generalmente depositati o registrati alle rispettive case produttrici.

McGraw-Hill

~

A Dil1ision o(ThtMrGNw·IHJJCompanies ~

Editor: Alberto Kratter Thaler Redazione: Chiara Tartara Produzione: Gino La Rosa Traduzione: Chiara Rossignoli Impaginazione: Tecnograf srl - Trezzo sull'Adda (Mi) Stampa: Cromografica Europea - Rho (Mi)

ISBN 88 386 5054-3 t• edizione settembre 1999 Printed in Italy 1234567890CROCR09321 09

INDICE Allo studente CAPITOLO l

CAPITOLO 1

lx Rette Equazione della retta

1

Equazioni di secondo grado

9

Scomposizione in fattori Formula quadratica

9 10

Disequazioni lineari e quadratlche

15

Disequazioni lineari Disequazioni quadratiche

15 16

CAPITOLO 4

Valori assoluti

13

CAPITOLO 5

Potenze negative e frazionarie

17

CAPITOLO 6

Un po' di geometria

33

CAPITOLO 7

Distanza di due punti, circonferenza, parabola

37

Parabola

39

CAPITOLO 3

CAPITOLO 8

Funzioni

43

Qualche trasformazione delle funzioni y = x e y 1

CAPITOLO 9

=x

3

58

Trigonometria

61

La misura degli angoli Multipli di 30°, 45° e 60°

61 63

VI

l N DICE

Grafici delle funzioni trigonometriche Equazioni trigonometriche Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche Angoli doppi o dimezzati, somma o differenza di due angoli Funzioni trigonometriche inverse Teoremi sui triangoli qualsiasi

66 77 82 83

90 95

CAPITOLO l O Logaritmi

l Ol

CAPITOLO l l Coniche

Il l

CAPITOLO 12 Sistemi di equazioni

127

Sistemi lineari: due equazioni, due incognite Sistemi lineari: tre equazioni , tre incognite Sistemi non lineari

127 133 135

CAPITOLO Il Problemi verbali

145

CAPITOLO 14 Quiz

155

Frazioni Disequazioni Un test di prova

155 156 157

PRESENTAZIONE Prima di tutto, una parola per cercare di chiarire che cosa questo libro non è: non è un libro di testo di matematica, con il suo linguaggio rigoroso e il suo usuale apparato di definizioni, teoremi e dimostrazioni; e non è neppure il solito eserciziario, con le centinaia e centinaia di problemi, svolti e da svolgere. Che cos'è dunque? Potremmo dire così: è un'occasione per incontrare (sia pure solo nelle pagine di un libro) un grande insegnante, e per farsi guidare e sostenere da lui nel primo impatto con la matematica in università. Questo è il compito che Bob Miller si è assunto, con entusiasmo e dedizione, nei suoi oltre trent'anni di insegnamento: aiutare gli studenti a "sopravvivere alla matematica". Bob Miller non insegna in un'università d'élite. Il City College of New York è una scuola come tante, che avverte acutamente il problema della "mortalità" studentesca, e la matematica è una delle cause principali di questa mortalità: gli studenti affrontano il primo esame di Analisi matematica con paura e trepidazione; se subiscono un insuccesso, si scoraggiano, perdono il passo ... e spesso ciò prelude all 'abbandono degli studi. Bob Miller, in tutta la sua carriera di insegnante, ha cercato di combattere questa sindrome; non con la scorciatoia, ingannevole e controproducente, di corsi ed esami più facili, ma con il rimedio autentico di una grande passione didattica , che gli consente di mettersi nei panni dello studente, di prevenire i suoi dubbi e le sue incertezze, di aiutarlo a superare i trabocchetti- e forse, alla fine, di infondergli un po' del proprio amore per la matematica.

VIli

PRESENTAZIONE

Questi libri derivano dall'esperienza didattica di Bob Miller e sono quasi - o almeno vorrebbero essere - una versione stampata delle sue lezioni: ci auguriamo che aiutino a combattere quella paura della matematica che, anche nel nostro Paese, è uno dei peggiori incubi degli studenti - e una delle principali cause di mortalità (negli studi!).

ALLO STUDENTE

Questo libro è stato scritto per te; non per il tuo insegnante, non per i tuoi compagni, né per i tuoi vicini di casa, ma solo ed esclusivamente per te. Ho cercato di essere più chiaro possibile, nelle spiegazioni cosi come negli esempi; tuttavia, anche se detesto doverlo riconoscere, non sono perfetto. Se ti accadesse di trovare qualche punto nel libro che ti è incomprensibile, o di notare qualche errore o qualche significativa mancanza, ti prego di farmelo sapere; cercherò di rimediare nella prossima edizione. E ora, mettiamoci al lavoro; vedrai che la matematica non è poi cosi brutta (né cosi difficile) come te l'hanno descritta ...

ZIA MENTI

visto l'inizio della scrittura di questi libri, ma non hanno potuto vederne la conclusione. Infine, un grazie a tre grandi amici, tre persone che mi hanno sostenuto nei momenti più difficili: Gary Pitkofsky, David Schwinger e Keith Ellis.

CAPITOLO

l

RETTE

Probabilmente avete già imparato a rappresentare punti e rette sul piano. Ricordiamo ora brevemente come si disegna una retta di cui sia data l'equazione; poi affronteremo il problema inverso (e un po' più difficile), ossia determinare quale equazione corrisponde a una certa retta nel piano.

EQUAZIONE DELLA RETTA Guardando un'equazione, dovremmo accorgerci immediatamente se si tratta di una retta. Infatti ogni equazione della forma ax + by + c = O, essendo a, h e c dei numeri (a e h non simultaneamente uguali a zero). rappresenta una retta. Naturalmente anche ax +by= c è l'equazione di una retta, essendo riconducibile alla forma precedente. Le lettere x e y rappresentano le incognite (o variabili), mentre a, h e c sono dei numeri fissati, detti coefficienti delle incognite. iiji#IQI·MI

Per verificare di aver capito bene, consideriamo alcune equazioni e domandiamoci se si tratta di rette. A. 3x- 4y = 7

CAPITOLO l

B.

5x= 9

c.

x/3- y/7 = 7

D. 3/x + 5/y = 9

E.

xy= 7

F. x 2

-

3y = 5

Dunque, le prime tre equazioni rappresentano delle rette (non c'è problema se i coefficienti sono negativi, o in forma frazionaria, o se, come nel secondo caso, b si annulla- purché non si annulli anche a). Le rimanenti tre equazioni non corrispondono a rette: nella quarta, le incognite compaiono al denominatore di frazioni, nella quinta sono moltiplicate tr~ loro, nell'ultima una delle due è elevata a un esponente diverso dall'unità. PENDENZA

Definizione. Si dice pendenza di una retta il valore di m= (y2- Ytl/(x2 - Xt). Dunque la lettera m rappresenta il rapporto sopra indicato. I numerini 1 e 2 all'indice delle incognite si riferiscono a due punti sulla retta, il punto 1 e il punto 2; x 1 , x2, y 1 e y2 sono dei numeri, non più delle variabili (lo vedremo meglio nell'Esempio 2). La pendenza può essere scritta anche nella forma m= !iyl!lx, dove !i, la lettera greca delta, rappresenta la variazione della variabile scritta subito dopo. Pertanto m si ottiene dividendo la variazione della variabile y per quella della variabile x. IJij#IQI·Wi

Troviamo la pendenza dei segmenti che congiungono le seguenti coppie di punti (o meglio, la pendenza delle rette cui appartengono tali segmenti). A. (2,3) e (6,12) B. (4,-3) e (-1,3)

Rette

C. (1,3) e (6,3)

D. (2,5) e (2,8) Otteniamo A. (2,3) e (6,12)

ii

i i

X1Y1

X2Y2

m=

Y2- Y1

x2- x1

=

12-3 9 =6-2 4

B. (4,-3) e (-1,3)

i i

i i

X1 Y1

X2 Y2

_ Y2 - Y1 _

m-

x2 -

X1

-

3 - (-3) _ 6 --1 - 4 -5

C. (1,3) e (6,3)

m= (3 - 3)/6 - 1) = 0/5 =O

D. (2,5) e (2,8)

m= (8- 5)/(2- 2) = 3/0

Anzitutto, osservate che è indifferente quale punto scegliete come punto 1 o come punto 2: il risultato non cambierebbe, scambiandoli. Badate ai segni: per esempio, nel caso B, il segno negativo della formula di m trasforma (-3) in 3. Nel caso D accade poi un fatto preoccupante: m non è definito, perché il denominatore si annulla; si dice in tal caso che la pendenza è infinita. Nei disegni sottostanti, dopo aver tracciato sul piano due rette, una orizzontale, l'asse delle x, e una verticale, l'asse delle y, abbiamo rappresentato le coppie di punti (per esempio, (2,3) è il punto la cui "longitudine" e "latitudine" rispetto agli assi sono rispettivamente 2 e 3).

L ---+

(6,1~)

(~.3)

~-+--

.n (-1,3) ~

-~~-

(4,-3)

Immaginiamo ora di percorrere ciascun segmento seguendo, come indica la freccia, la direzione rappresen-

3

CAPITOLO l

tata dall'asse delle x. Nel caso A, la pendenza è positiva e si tratta di "salire" lungo il segm~nto; nel caso B, la pendenza è negativa e si "scende"; nel caso C (m= O) il segmento è orizzontale; infine, nel caso D, la pendenza è infinita e il segmento è verticale. INTERIEZIONI CON GLI ASSI

Definizione. Il punto in cui una retta interseca l'asse delle x è il punto tale che y = O; quello in cui essa interseca l'asse delle y è tale che x= O. iijj#IQI•Wi

Data 3x- 4y = 12, trovate le intersezioni con gli assi e disegnate la retta. Posto y =O nell'equazione della retta, ottengo 3x = 12, da cui x = 4; pertanto il punto di intersezione con l'asse delle x è (4,0). Per x= O, abbiamo -4y = 12, ossia y = -3; l'intersezione con l'asse delle y è (0,-3). La retta è mostrata nel seguente disegno.

Notate che basta conoscere due punti appartenenti a una retta, per poterla disegnare; in particolare, le due intersezioni con gli assi sono le più facili da calcolare. Vi sono però tre casi in cui una retta ha solo un'intersezione. Vediamo un esempio di ciascun caso: x= 3 è una retta verticale, come tutte quelle aventi equazione "x uguale a un certo valore"; y = 5 è una retta orizzontale, come tutte quelle aventi equazione "y uguale a un certo valore"; y = 3x ha un'unica intersezione, e con entrambi gli assi,

Rette

in (0,0); per disegnare una retta di questo tipo, basta individuare un qualsiasi altro punto, per esempio ponendo x= 2, da cui y = 6: oltre che per (0,0), la retta passa per (2,6).

Disegniamo le tre rette ora considerate.

Ora che sappiamo disegnare una qualsiasi retta di cui conosciamo l'equazione, ci poniamo n·problema inverso: trovare l'equazione di una retta assegnata. Per ottenere il risultato, posso procedere in due modi diversi. Il primo metodo parte dall'equazione della retta nella forma y = mx + b (ho risolto rispetto a y l 'equazione ax +by= c, che era la forma implicita data inizialmente), dove m è la pendenza, b l'intersezione con l'asse y (per verificarlo, basta porre x = 0). Il secondo metodo si basa sulla definizione di m, da cui si può ricavare m = (y - y 1)/(x - x 1 ), dove m e il punto (x~>y 1 ) sono fissati, mentre (x, y) rappresenta un punto variabile sulla retta. Spiegherò i due metodi ricorrendo a un esempio.

Trovate l'equazione della retta passante per i punti (2,3) e (7 ,11) e scrivetela in forma implicita. Primo metodo: calcolo m = 8/5 e sostituendolo nell'equazione della retta ottengo y = (8/5)x + b; sapendo che la retta passa per (2,3), posso sostituire poi alla x e alla y, rispettivamente, tali valori; ottengo b = -(1/5). Secondo metodo: calcolo anche qui m= 8/5. Conoscendo

5

CAPITOLO l

m e un punto per cui passa la retta, posso usare la formula indicata, ottenendo un'espressione che è l'equazione cercata. I singoli passaggi sono presentati qui di seguito (la prima colonna si riferisce al primo metodo, la seconda al secondo): m=

(11-3)

8

(11- 3) 8 m= (7- 2) =s

=(7- 2) 5

y=mx+b

Y- Yt m=-x- X 1

y=(:)x+b

8

5

3

y- 3 x- 2

-=--

=(: )(2) + b

8(x- 2) = 5(y- 3) 8x- 16 = 5y- 15 8x- 5y = 1

3=(156)+b

b=3-~=~-~=-.!. 5

y=(:)x-

5

5

5

~

5y =8x -1 -8x + 5y = -1 o 8x- 5y = 1 Il secondo metodo mi sembra migliore, anche perché non genera tutte le frazioni in cui ci si imbatte applicando l'altro. Lavorando con le frazioni, si rischia spesso di sbagliare. La "superiorità" del secondo metodo vale nella grande maggioranza dei casi. Io darò indifferentemente l'equazione della retta in forma implicita o esplicita, ma vi consiglio di esercitarvi a passare da una forma all'altra. lijj#iifii·M

Scrivete l'equazione della retta con pendenza pari a 3, intersezione con l'asse y pari a 7. Se considero l'equazione in forma esplicita, la soluzione

Rette

è immediata: da y = mx + b, con m = 3 e b = 7, ottengo y = 3x+ 7.

lijj#IQI·M·i

Scrivete l'equazione della retta con pendenza pari a -4, intersezione con l'asse x pari a 9. So che m = -4 e che la retta passa per il punto (9,0); usando il secondo metodo ottengo

y-0

-4=--

x-9

iijj#IQI•MJ

A. Scrivete l'equazione della retta parallela a 3x + 4y = 5 e passante per il punto (6, 7). B. Scrivete l'equazione della retta perpendicolare a 3x + 4y = 5 e passante per il punto (8, -9). (Ricordo che rette parallele hanno la stessa pendenza, mentre rette perpendicolari hanno pendenze l'una reciproca dell'altra, cambiata di segno.) In entrambi i casi, dobbiamo risolvere rispetto a y. Da 3x + 4y = 5 si ricava 4y = -3x +5 ossia y = (-3/4)x + 5/4. In questo modo abbiamo ottenuto la pendenza, che è il coefficiente di x, -3/4. A. La retta parallela a quella data ha la stessa pendenza, m= -3/4, e deve passare per (6, 7); la sua equazione si ottiene da -3

y-7

4

x-6

-=-B. La retta perpendicolare a quella data ha per pendenza l'opposto del reciproco di -3/4, ossia 4/3, e deve passare per (8, -9); la sua equazione si ottiene da 4

y- (-9) x-8

-=~--

3

4 3

y+ 9 x- 8

-=--

7

CAPITOLO

2

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Anche le equazioni di secondo grado (o quadratiche) come quelle di primo grado del Capitolo precedente sono probabilmente un argomento a voi già familiare, ma non possiamo tralasciarlo.

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Ricordo che se il prodotto di due numeri è nullo, almeno uno dei due deve essere nullo. In formule, se a · h = O, allora a =O o h= O (legge di annullamento del prodotto). lijj#IQI·MI (x-4)(x+5)=0

Vale x - 4 = O, ossia x = 4, oppure x + 5 = O, ossia x= -5. Le due soluzioni sono 4 e -5. iiij#IQI·Mi x(x- 4)(x + 7)(2x- 9)(3x + 1) =O

non è un'equazione di secondo grado, ma è molto semplice. Ponendo uguale a zero ciascun fattore, si ottengono le soluzioni x= O, x= 4, x= -7, x= 9/2 e x= -1/3.

IO

CAPITOLO 2

liji#iii·MI x 2 - 2x = 8

(porto "tutto da una parte" e metto in ordine decrescente di esponente) x2

-

2x- 8 =O

(raccolgo in fattori, e poi annullo dascun fattore) (x - 4)(x + 2) = O Pertanto x= 4 e x= -2.

IIJi#IQI•Mi x3

-

7x2

-

8x = O

(un'equazione di terzo grado, o cubica: in generale ha tre soluzioni) x(x - 8)(x + 1) = O Pertanto x= O, x= 8, x= -1.

liji#IQI·Mi (x - 2)(x- 3) = 2

(sembrerebbe innocua, a un'occhiata superfidale, ma per poter applicare la legge di annullamento del prodotto, l'espressione al primo membro deve essere uguagliata a O; intanto eseguo il prodotto) x2

-

5x + 6 = 2

(porto tutto da una parte) x2

-

5x + 4 =O

(scompongo di nuovo in fattori) (x - 4)(x - 1) = O

Le soluzioni sono 4 e 1. Se non siete già abili nella scomposizione in fattori, è opportuno che vi esercitiate bene!

FORMULA QUADRATICA Cosa si può fare se non è possibile scomporre in fattori un'equazione? Se è un'equazione quadratica, si può ri-

Equazioni di secondo grado

correre a una formula. La ricaveremo, non solo perché è istruttivo, ma anche perché vi potrebbe essere richiesto di farlo. Prima della dimostrazione, premettiamo alcune considerazioni. Un quadrato perfetto è un'espressione del tipo x2 + 2kx + k2 = (x + k)2. Vediamo come costruire un quadrato perfetto partendo da un'espressione del tipo x2 + ax. Se il coefficiente di x2 è 1, come in questo caso, prendo la metà del coefficiente di x (ossia la metà di a, che è a/2) e lo elevo al quadrato ottenendo a2 /4. Allora se sommo a x2 + ax quest'ultimo termine ottengo un quadrato perfetto. Infatti x 2 + ax + a 2/4 può essere scomposto nel prodotto di due fattori entrambi uguali a (x+ a/2), ossia è pari a (x+ a/2)2. Per esempio, vogliamo trasformare x 2 + 10x in un quadrato perfetto ossia, come si dice, completare il quadrato. La metà di 10 è 5, che elevato al quadrato dà 25; pertanto otteniamo x 2 + 10x + 25 = (x+ 5)(x + 5) =(x+ 5) 2• Detto ciò, torniamo al nostro problema. Per maggiore chiarezza, risolveremo fianco a fianco, su due colonne, l'equazione 3x 2 - 7x- 6 =O e la generica equazione quadratica ax 2 + bx + c. 3x2 - 7x- 6 =O

ax 2 + bx +c= O

(divido per il coefficiente di xl)

3x 2

7x

6

O

-3- - -= 3 3 3

ax 2 bx c O -+-+-=a a a a

(porto dall'altra parte il termine che non contiene x) 2

bx

-c

x +-=a a (completo il quadrato prendendo la metà del coeflìciente di x, elevandolo al quadrato, e sommando/o a entrambi i membri)

x2_ 7x + 3

2= (-!...)2+ 2 x2+ bx + (~)2 = (~)z _.!: (-!__) 6 6 a 2a 2a a

Il

Il

CAPITOLO 2

(scompongo in fattori il primo membro, sommo i due addendi del secondo) 2 ( x_ ~) = 49 + ~ = 121 6 36 36 36

(estraggo lo radice quadrato di entrambi i membri)

b Yb 2 - 4ac x= 2a :t: 2a

7 11 x--=::t:6

6

(isolo x e poi ricavo le due soluzioni, o radici)

-b Yb 2 - 4ac x= 2a :t: 2a

7 11 x=-::t:6

6

7

11

18

7

11

4

Xt=-+-=-=3 6 6 6 -2

Xz=---=--=6 6 6 3

-b + v'b 2 - 4ac Xt= 2a

Xz =

-b - Vb 2 - 4ac 2a

Il risultato che abbiamo appena dimostrato, la formula quadratica, stabilisce che data un'equazione ax 2 + bx +c =O, con a non nullo, le sue radici sono x=

-b :t: Yb 2 - 4ac 2a

dove a rappresenta il coefficiente di x2 , b quello di x e c è il termine in cui non compare l'incognita. Vediamo subito alcuni esempi. lijj#IQI·M·i

Risolvere 3x 2 - 7x- 6 = Omediante la formula quadratica. Vale a= 3, b = -7, c= -6 e pertanto

Equazioni di secondo grado

-(-7) :t v(-7) 2 - 4(3)(-6)

x= x=

2(3) 7 ±

v'i2i 6

Come avevamo già scoperto, x = 3 e x = -2/3. Osservate che la formula, la cui dimostrazione è un po' macchinosa, è invece semplice da usare. Inoltre notate che l'espressione data può essere scomposta in fattori, ossia 3x 2 - 7x- 6 = (3x + 2)(x- 3) =O. Anche in questo caso si giunge alle soluzioni x = 3 e x = -2/3. E allora perché complicarsi la vita con la formula quadratica, se potevamo già giungere così alla soluzione? Perché la formula può essere impiegata anche quando è impossibile scomporre in fattori l'espressione di secondo grado.

''''*'"'·•

Sia data 2x 2 + 5x + 1 = O. Non è possibile scomporre in fattori l'espressione al primo membro. Poiché a = 2, b = 5 e c= 1, otteniamo -5 :t

x

=

x=

V52 -

4(2)(1)

2(2) -5 ± Vt7 4

In questi casi, la formula quadratica è indispensabile. liji#IQI·M:I

3x 2 + 5x + 7 =O. a= 3, b = 5, c= 7. -5 :t x=

V5

2 -

2(3)

4(3)(7)

-5 :t V-59 -5 ± iv's9 = 2(3) = 6

Nell'ultimo passaggio è comparso il simbolo i; vale per definizione V-1 = i da cui V-59=

V-iv'59= i v'59

Dunque i è un nuovo "tipo" di numero, detto numero im-

Il

l 8

''''*'"'·*'

(x- 2)(x- 4)(x- 6)(x- 8) S O

17

18

CAPITOLO 3

Questa è in effetti una disequazione di grado maggiore del secondo, la cui soluzione richiederebbe lunghi calcoli, ma vi mostrerò subito un metodo più rapido. Inizio a tracciare lo schema ponendo un cerchietto pieno sui numeri 2, 4, 6 e 8, poiché il prodotto può essere nullo. Ponendo x= 9 ottengo (9- 2)(9- 4)(9- 6)(9- 8), prodotto di termini tutti positivi, che non può risultare né negativo né nullo; pertanto l'intervallo dato da x> 8 non è soluzione. Pongo x= 7; tutti i fattori risultano positivi tranne 7- 8, il loro prodotto è negativo, e l'intervallo 6 ~x~ 8 appartiene alla soluzione. Per x= 5, i fattori negativi sono due, 5-8 e 7- 8; risultando positivo il prodotto, 4 < x < 6 non appartiene alla soluzione. Per x = 3, tre fattori risultano negativi, quindi l'intervallo dato da 2 ~ x ~ 4 appartiene alla soluzione. Per x= 1, ho quattro fattori negativi, dunque x< 2 non appartiene alla soluzione. In conclusione, la soluzione è data da 2~x~4

6~x~8

cui corrisponde lo schema

Il risultato può essere raggiunto in modo ancora più semplice. Se tutti i fattori hanno esponente unitario (o più in generale dispari), allora negli intervalli consecutivi il prodotto dato è alternativamente positivo e negativo. Pertanto, individuati i valori in corrispondenza dei quali il prodotto si annulla (2, 4, 6 e 8), e stabilito che x> 8 non è parte della soluzione, allora 6 ~ x ~ 8 è parte della soluzione, 4 0 (x- 7)(x - 9) -

Disequazioni lineari e quadratlche

Metto un cerchietto pieno su 1, 3 e 5 perché la frazione, ossia il suo numeratore, si può annullare, e un cerchietto vuoto su 5 e 9 perché il denominatore di una frazione non deve mai annullarsi. Ora basta sostituire un valore, per esempio x= 10. Poiché tutti i fattori risultano in corrispondenza positivi, la frazione è positiva, e l'intervallo dato da x> 9 è parte della soluzione. Essendo gli esponenti tutti dispari (in particolare, unitari), da questo risultato posso ricavare, senza ulteriori conti, la situazione in tutti gli altri intervalli: 7 ~ x ~ 9 non è soluzione, 5 ~ x < 7 lo è, 3 < x < 5 no, 1 ~ x ~ 3 sl e infine x < 1 no. La soluzione è data dall'unione di intervalli 5~x9

e può essere rappresentata dal seguente schema ....__.

e.--:

0::=+

l

5

(j

3

7

In generale, si tratta di individuare i punti in cui i fattori dell'espressione data si annullano (in questo caso 1, 3, 5, 7 e 9) e di rappresentarli mediante cerchietti pieni o vuoti secondo i casi, individuando cosl gli intervalli dei quali si determina poi algebricamente se appartengono o meno alla soluzione. lijj#IQI·M·J 2x- 5 --->1 x-3

2x-5_ 1 > 0 x-3

2x-5 x-3

x-3 x-3

x-2 x-3

------=-->0

Ponendo x =5 e osservando che questo valore soddisfa la disequazione data, essendo gli esponenti tutti unitari, possiamo concludere subito che la soluzione è x3

19

10

CAPITOLO 3

o con il consueto schema.

lijj#IQI•M 2x- 6 x- 2 x-3 -x-3

--- 8 appartiene alla soluzione. Per x = 7 i fattori sono ancora tutti positivi, e anche 6 ~ x < 8 appartiene alla soluzione. Per x= 5 un termine è negativo, (x- 6) 5 = (5- 6) 5 , quindi l'espressione data è negativa; l'intervallo 4 8 appartengono alla soluzione, mentre x = 8 non è soluzione; viceversa, mentre x =4 è soluzione, i valori immediatamente alla sua sinistra e alla sua destra non lo sono: è un valore "isolato" della soluzione. Situazioni di questo tipo accadono quando in un'espressione compaiono esponenti sia pari sia dispari.

CAPITOLO

4

VALORI ASSOLUTI

Esistono due diverse definizioni di valore assoluto; le darò entrambe, anche se useremo solo la prima. VALORE ASSOLUTO

Definizione. Vale x>O xO; l-31 = -(-3) = 3, poiché -3 < O; l O l = O. Il valore assoluto potrebbe anche essere definito nel seguente modo lxi=W

Per esempio l-61 =

v'Hi)2 = v36 = 6

Elenchiamo ora alcune proprietà del valore assoluto (per rendersi conto della loro plausibilità, provate a sostituire alle lettere dei numeri, verificando la validità delle proprietà indicate). ll

24

CAPITOLO 4

Proprietà 1. l ab l = l a l l h l . , 2. lal Propneta b

lal se h * O =TbT'

Proprietà 3. l a -h l = l h - a l Proprietà 4 (disuguaglianza triangolare). l a + h l :5 lal + lbl Commentiamo l'ultima proprietà, la più interessante. Se a e h sono entrambi nulli o entrambi positivi o entrambi negativi, allora la disuguaglianza si riduce a un'uguaglianza. Se invece, per esempio, fosse a= 6 e h= -2, vale la disuguaglianza. Voi potreste obiettare: ma perché accontentarmi di una disuguaglianza? Be', intanto non posso ottenere di meglio; e poi, in certi casi si riesce a dimostrare che vale al tempo stesso x :5 y e y :5 x, e si giunge così alla conclusione che x= y. Un modo un po' subdolo per arrivare all'uguaglianza ... Ma vediamo alcuni esempi. iijj#iili·MI lx-41 =6

Per definizione vale x - 4 = 6 o x - 4 = -6, poiché sia 6 sia -6 hanno 6 come valore assoluto. Le soluzioni sono x= 10 e x= -2. Se invece ricorressi alla definizione mediante la radice quadrata, dovrei eseguire molti più calcoli: (x- 4) 2

=6

(x- 4) 2

= 36

x2

-

2

Bx + 16 = 36

x 2 - Bx- 20 =O Scomponendo in fattori, ottengo (x- 10)(x + 2) =O, da cui le soluzioni 10 e -2.

Valori assoluti

lijj#IQI·Mi l3x- 71 =O.

La soluzione è unica, -3x- 7 =O, ossia x= 7/3. ESEMPIO 1

14x + 71

= -5.

Non c'è alcuna soluzione, poiché il valore assoluto non è mai negativo. IIJi#IQI·MI lx-81 iO l'ipotenusa di misurar= 2, i cateti misurano l e V3, da cui x= -1 e y = -VJ (devo cambiare segno sia all'ascissa sia all'ordinata), da cui cos 240° =x/r = -1/2 e sen 240° =y/r =-VJ/2. iijj#IQI·M

Calcolare seno e coseno dell'angolo A = 135° = 31t/4. Vale 135° =90° + 45° = 180°- 45°. Dunque abbiamo a che fare con il triangolo indicato in figura, di lati (l, l, Vz). Poiché y = l, vale sen 135° = ltV'2; da x = -1 ricavo cos 135° = -1tv2". iijj#IQI•M·J

-l

Calcolare tang 330° = tang ll1t/6. Vale 330° =90° + 90° + 90° + 60° =360°- 30°; individuato così il triangolo in figura, vediamo che x= 3 112 e y =l, da cui segue tang 330° = y/x = -1/3t12.

TriJonometrla

65

Dagli esempi precedenti possiamo vedere che, dato l'angolo di misura e, a esso sono collegati gli angoli 180°- e nel secondo quadrante, 180° + e nel terzo quadrante e 360°- e nel quarto quadrante. Il legame tra questi angoli è dovuto al fatto essi individuano triangoli uguali, cosicché se non fosse per il segno le funzioni trigonometriche assumerebbero lo stesso valore. Per esempio cos 60° = 1/2 cos 120° = cos (180°- 60°) = -1/2 cos 240° = cos (180° + 60°) = -1/2 cos 300° = cos (360° - 60°) = 1/2 Non cercate di imparare a memoria nemmeno queste relazioni; è molto meglio se vi esercitate a ricavarle dalla posizione del triangolo. I due esempi che seguono chiedono invece di ricavare le funzioni trigonometriche una dall'altra senza determinare la misura dell'angolo (sapendo solo in quale quadrante si trova). lijj#IQI•M

Sapendo che cotang A = -7/6 e che A si trova nel IV quadrante, determinare quanto valgono in A le altre funzioni trigonometriche. Nel quarto quadrante x è positiva e y negativa. Ricordando che cotang A= x/y, posso porre x= 7 e y = -6. Per conseguenza valer= [7 2 + (-6) 2 ) 112 = 85 112 • Ottengo sen A= y/r= -6/85 112 , cosA= xlr= 7/85 112 , tang A =y/x = -617, sec A= r/x = 85 112 /7, cosec A= r/y = 85 112 /(-6).

A

liij#IQI•M:i

Sapendo che sen B = 5/13 e che B si trova nel II quadrante, calcolare cosec B e sec B. Osservo che per definizione cosec B = r/y = 1/(y/r) = 1/sen B. ossia la cosecante è il reciproco del seno: senza ulteriori conti posso concludere che cosec B = 13/5! Per calcolare la secante devo invece ricavare il valore di x. Posto y = 5 e r = 13, vale (per il teorema ·di Pitagora) x 2

5 _.__-:-:-.....::llllt---J'----

66

CAPITOLO 9

+5 2 = 13 2 , da cui x=± 144 112 = ± 12. Delle due soluzioni prendo solo x= -12, perché nel secondo quadrante x è negativo. Pertanto vale sec B = r/x = 13/(-12).

Se vi ricordate le teme pitagoriche, riconoscete qui la tema (5, 12, 13). liji#IQI·M·j

Calcolate tutte le funzioni trigonometriche dell'angolo di 270° = 37t/2.

Per ogni angolo che sia multiplo di 90° il punto P si trova su uno degli assi; in questo caso ci troviamo sul semiasse y negativo. Posto r = 1, il punto P ha coordinate (0, -1), ossia x= O e y = -1.

{0,-1)

x

o

r

1

x

o

y

-1

r

1

y -1 sin 2 70° = - = - = -1

cos 2 70° = - = - = o

y -1 tan 270° =- = - (non è definita)

cot 270° =-=-=O

r

x

1

o

37t r 1 . = - = - (non è defimta) 2 x o

sec -

csc 2 70° = - = - = -1 y -1

Osservate che per ogni angolo multiplo di 90° due funzioni trigonometriche si annullano, due non sono definite e le rimanenti due valgono o entrambe -1 o entrambe +1.

GRAFICI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Tracciamo ora i grafici delle funzioni seno, coseno e tangente (i grafici della secante e della cosecante si tracciano in modo analogo a quelli del seno e coseno, quello della cotangente in modo analogo a quello della tangente). Purtroppo dobbiamo cambiare notazione. Fin qui abbiamo considerato una circonferenza con centro nell'origine e raggio r, e un angolo A che individua su di essa un punto di ascissa x e ordinata y. Abbiamo poi definito

Trl1onometrla

le funzioni trigonometriche mediante x e y (e ovviamente r). Ora invece vogliamo tracciare il grafico delle funzioni trigonometriche al variare dell'angolo A; dunque da questo momento l'ascissa x è l'angolo, l'ordinata y è il valore assunto in corrispondenza dalla funzione trigonometrica. Per esempio y = sen x è la funzione che all'angolo di misura x associa il corrispondente valore del seno. Thtte le funzioni trigonometriche sono periodiche, ossia si ripetono immutate dopo un certo intervallo; in formula, vale f(x +p)= f(x) per ogni x, e se p è il più piccolo valore positivo per cui ciò accade, p è il periodo. Il periodo delle funzioni seno, coseno, secante e cosecante è 360° ossia 21t; il periodo della tangente e della cotangente è 180° ossia 1t. Provo a tracciare per punti il grafico approssimato della funzione y = sen x nell'intervallo tra O e 360°; sostituendo a x i valori oo, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°,135°,150°,180°,210°,225°,240°,270°,300°,315°, 330° , 360° e congiungendo i punti cosi ottenuti.

_:~~· Questo non è tutto il grafico di sen x, ma solo il "pezzo" compreso tra oo e 360°; sapendo che la funzione è periodica di periodo 360°, per ottenere il grafico completo dobbiamo immaginare di "ricopiare" questo pezzo tra 360° e 720°, tra -360° e 0°, e cosl via, infinite volte, su tutto l'asse x. Procedendo nello stesso modo per y = cos x si ricava il grafico seguente.

-l

Per il grafico di y = tang x sostituisco gli ste~si valori di x ma solo fino a 180°, e congiungo i punti cosl ottenuti.

67

68

CAPITOLO 9

,=

qo·

(Ho segnato in particolare l'ordinata di 45°, ossia tang 45°

=1.) C'è un asintoto (una retta cui il grafico della funzione da un certo punto in poi si avvicina sempre più senza mai toccarla). (Una definizione rigorosa di asintoto potrà essere data solo nell'ambito dell'Analisi.) Osservo anche che sull'asse x stiamo riportando la misura in gradi degli angoli, mentre in Analisi si preferisce la misura in radianti; adottiamo per il momento questo espediente poco ortodosso, finché non avremo preso familiarità con la trigonometria. Conoscendo i grafici delle funzioni trigonometriche, possiamo ricavarne quelli di semplici trasformazioni di tali funzioni, considerando quattro elementi: l'oscillazione, il periodo, la traslazione orizzontale e quella verticale. L'oscillazione di una funzione è la differenza tra il più grande e il più piccolo valore raggiunti dalla funzione. Per esempio, le funzioni seno e coseno hanno oscillazione 2. Se una funzione è illimitata verso l'alto o verso il basso, ossia raggiunge valori sempre più grandi o sempre più piccoli senza "fermarsi", come accade per esempio alle funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante, la sua oscillazione non è definita (anche questo concetto potrà essere precisato meglio solo nello studio dell'Analisi). Le funzioni del tipo y = k sen x o y = k cos x hanno oscillazione pari al doppio del valore assoluto di k, come vediamo nei successivi esempi.

Trigonometria

ESEMPIO

l O

Tracciare il grafico di y = 10 sen x. Il grafico è simile a quello di sen x, tranne il fatto che il massimo è 10 e il minimo -10.

360

ESEMPIO

l l

Tracciare il grafico di y = -4 cos x. Rispetto alla funzione cos x, l'oscillazione è 8 e il grafico è "capovolto".

Vediamo ora un altro tipo di trasformazione. ESEMPIO

l 2

Tracciare il grafico di y = sen 5x. L'oscillazione è la stessa di sen x, ossia 2; il periodo è 360°/5 =no. Considero per la funzione se n x i punti di ascissa oo, 90°, 180°, 270° e 360° e li divido per 5; ottengo 0°, 18°, 36°, 54° e no. A questi punti assegno la stessa ordinata che sen x assegnava ai punti precedenti; ottengo cosi il grafico di sen 5x.

-1

ESEMPIO

11

Traccio il grafico di y = -7 cos 2x. Rispettc;> a cos x, l'o-

69

70

CAPITOLO 9

scillazione è 14, il grafico è capovolto e il periodo è 360°/2 = 180°.

Dividendo per 2 i valori delle ascisse 0°, 90°, 180°, 270° e 360°, ottengo rispettivamente 0°, 45°, 90°, 135° e 180°, cui associo le ordinate delle ascisse precedenti. 7

-7 ESEMPIO

l l

Tracciare il grafico di y = 4 tang 3x. L'oscillazione è infinita, il periodo è 180°/3 = 60°. Divido per 3 i valori delle ascisse 0°, 45°, 90°, 135° e 180°, ottenendo 0°, 15°, 30°, 45° e 60°; l'asintoto, che prima era x= 90°, ora è x= 30°. Nel grafico mostriamo il punto x = 15° = n/12, cui corrisponde l'ordinata y = 4 tang 3x = 4 tang 3(15°) = 4 tang 45° = 4(1) = 4. l l l l l

(n/101,4)

Osservo che mentre le funzioni y = sen kx o y = cos kx hanno periodo 360° /l k l , la funzione y = tang kx ha periodo 180°/l k l. ESEMPIO

l S

Tracciare il grafico della funzione y = 5 sen (3x + 120°). Riscrivo la funzione data come y = 5 sen 3(x + 40°). L'oscillazione è 10, il periodo 360°/3 = 120°. Divido per 3 le ascisse oo, 90°, 180°, 2 70° e 360°, ottenendo 0°, 30°, 60°, 90° e 120°. n termine 40° sommato all'argomento del

Tr11onometrla

seno provoca uno spostamento verso sinistra di 40°. Pertanto dobbiamo sottrarre 40° agli angoli precedenti: oo 40°, 30°-40°, 60°-40° e cosi via, ottenendo -40°,-10°, zoo, 50° e 80°. Per convincerci meglio, proviamo a sostituire un valore. Se per esempio x = -40°, vale y = 5 sen 3(-40° + 40°) = 5 sen oo = 0°.

ESEMPIO

16

Tracciare il grafico di y = 1Z cos (10x- Z0°). Raccogliendo "dentro il coseno", posso riscrivere la fun:zione data come y = 1Z cos 10(x -Z 0 ). L'oscillazione è Z4. Il periodo è 360°/10 = 36°; alle solite ascisse 0°, 90°, 180°, Z70° e 360° corrispondono in questo caso le ascisse 0°, 9°, 18°, 27° e 36°.lnfine, c'è una traslazione verso destra di 2°, quindi i punti precedenti diventano (sommando 2° a ciascuno): 2°, 11°, 20°, 29° e 38°.

ESEMPIO

l 7

Tracciare il grafico di y = sen (1/2 x+ 50°). Posso riscrivere la funzione data come y = sen 1/2 (x+ 100°). La sua oscillazione è 2, il periodo 360°/(1/2) = 720° ed è traslata verso sinistra di 100°. Gli angoli 0°, 90°, 180°, 270° e 360° diventano 0°, 180°, 360°, 540° e 720°. A questi ultimi valori devo sottrarre 100°: ottengo -100°. 80°. 260°. 440° e 620°.

71

72

CAPITOLO 9

ESEMPIO

3y- 12

18

=6 sen (3x- 60°)

(questa equazione nelle due incognite x e y de~nisce implicitamente una funzione; risolvendo rispetto a y ricavo la forma esplicita della funzione) 3y = 6 sen 3(x- 20°) + 12

(divido entrambi i membri per 3; attenzione a non toccare il 3 che sta "dentro" il seno!) y

= 2 sen 3(x -

20°) + 4

Voglio ora tracciare il grafico di questa funzione. L'oscillazione è pari a 4, il periodo è 360°/3 = 120° e il grafico è traslato verso destra di 20°. Pertanto da 0°, 90°, 180°, 270° e 360° ottengo 0°, 30°, 60°, 90° e 120°, da cui a loro volta 20°, 50°, 80°, 110° e 140°. Infine, l'intero grafico è traslato verso l'alto di 4. 6

Naturalmente se avessi avuto --4 anziché +4, ossia la funzione fosse stata y = 2 sen 3(x -20°)- 4, la traslazione di 4 sarebbe avvenuta verso il basso. La parte della trigonometria che segue, quella delle "formule", è importante, ma un po' difficile: richiede uno sforzo di comprensione e anche una certa pratica. Anzitutto definiamo cosa sia un'identità. IDENTITÀ

Definizione. Si dice identità un'equazione che risulti verificata per ogni valore delle incognite per cui essa è definita.

Trl1onometrla

ESEMPIO

19

L'equazione 2x + 3x = 5x è un'identità: due volte x più tre volte x fa sempre cinque volte x, qualsiasi sia x. ESEMPIO

20

L'equazione 4/x + 5/x = 9/x non è definita per x = O, mentre è verificata per ogni valore "lecito" (ossia non nullo) di x, pertanto è un'identità. Le più importanti identità trigonometriche sono le seguenti: 1. (sen x)(cosec x)= 1 2. (cos x)(sec x)= 1 3. (tang x)(cotang x) = 1 L'identità 1 può essere scritta anche come sen x= 1/cosec x oppure cosec x= 1/sen x; in altri termini, seno e cosecante di uno stesso angolo sono l'uno il reciproco dell'altro. Lo stesso vale per le identità 2 e 3: anche coseno e secante da un lato, e tangente e cotangente dall'altro, sono l'uno il reciproco dell'altro. 4. tang x= sen x/cos x 5. cotang x= cos x/sen x

L'identità 5 può essere ricavata dalla 4, servendoci della "scoperta" appena fatta, che la cotangente di un angolo è il reciproco della tangente dello stesso angolo. 6. sen 2 x + cos 2 x = 1

Dall'identità 6 si può ricavare sen 2 x= 1- cos 2 x oppure cos2 x = 1- sen2 x. 7. 1 + tang 2 x= sec 2 x (oppure tang 2 x= sec 2 x -1)

8. 1 + cotang2 x = cosec2 x (oppure cotang2 x = cosec 2 x -1)

È molto importante capire e ricordare bene queste identità.

73

74

CAPITOLO 9

Vi potrà capitare di dover risolvere delle identità trigonometriche; i passi da fare per giungere alla conclusione non sono sempre così evidenti come quando si tratta di risolvere un'equazione- a volte, anche senza commettere errori, si può prendere una strada che non porta da nessuna parte. Ecco qui alcuni suggerimenti: 1. è sempre meglio partire dal lato "più complicato", te-

nendo conto del fatto che l'addizione di funzioni trigonometriche è più difficile della moltiplicazione, che gli angoli "multipli" sono più difficili di quelli "singoli" (per esempio sen 2x è "peggio" di tang x), e infine che in molti casi il secondo membro è quello più brutto ... 2. fate le cose "ovvie", come sommare le frazioni, svol-

gere le parentesi, elevare al quadrato 3. "spezzate" le frazioni che hanno una somma al nu-

meratore e un solo termine al denominatore, ricordando che vale l'uguaglianza a b c (a+ b +c)/d= d+ d+ d 4. se riconoscete una identità trigonometrica, usatela 5. se da una parte c'è una sola funzione trigonometrica,

cercate di esprimere anche l'altro membro in termini di tale funzione 6. raccogliete in fattori 7. come "ultima spiaggia", provate a moltiplicare per

una qualche funzione numeratori e denominatori, sperando di ottenere qualcosa di meglio ... 8. infine, provate a trasformare tutte le funzioni trigo-

nometriche in seni e coseni. Quest'ultimo metodo funziona spesso, ma quasi altrettanto spesso rende il problema più complicato; perciò non vi consiglio di partire direttamente da questo, come fanno alcuni. ·Non c'è altro da fare che esercitarsi, dunque cominciamo.

Trl1onometrla

ESEMPIO

21

Verificare che vale l'identità tang x - tang x = 2 cosec x 1 + sec x 1 - sec x (considero il primo membro; sommo le frazioni)

(tang x)(1 - sec x)- (tang x)(1 + sec x) (1 + sec x)(1 - sec x)

=

(eseguo i prodotti al numeratore e al denominatore)

tang x - (tang x)(sec x) - tang x- (tang x)(sec x) 1- sec 2 x

=

(sommo i termini simili al numeratore)

·-2(tang x)(sec x) -tang2 x

=

(divido numerotore e denominatore per -tang x, scrivo la funzione tangente in termini di seno e coseno, semplifico di nuovo)

2 sec x 2/ cos x 2 = = - - = 2 cosec x tang x sen x/ cos x sen x Quella che ho ottenuto è veramente un'identità, quindi l'esercizio è felicemente concluso! ESEMPIO

22

Dimostrare cos x+ sen x- sen 3 x - - - - - - - - - = cotang x + cos 2 x sen x (spezzo la frazione)

cos x sen x

sen x sen x

--+---

sen 3 x sen x

=

(uso le identità trigonometriche)

cotang x+ 1- sen 2 x= cotang x+ cos 2 x È un'identità.

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CAPITOLO 9

ESEMPIO 21

Dimostrare

(raccolgo in fattori al primo membro, il più complicato)

(sen 2 x - cos 2 x)(sen 2 x + cos 2 x) = sen 2 x - cos 2 x Ricordando che vale sen 2 x+ cos 2 x= l, l'identità è già provata. ESEMPIO 2-l

Dimostrare cos4 x - 2 cos 2 x + 1 = sen4 x (sostituisco cos lx

=l -

sen lx)

(1 - sen 2 x) 2 - 2(1 - sen 2 x)+ 1 = 1 - 2 sen 2 x + sen4 x - 2 + 2 sen 2 x + 1 = sen4 x (ora basta sommare i termini simili!) ESEMPIO 2S

Dimostrare sen x 1- cos x =---1 + cos x sen x (metodo "ultimo spiaggia": al primo membro moltiplico numeratore e denominatore per l - cos x, e spero che funzioni)

(se n x)( 1 - cos x) (1 + cos x)(l - cos x)

=

(non conviene eseguire il prodotto al numeratore del primo membro, dovendo dimostrare l'uguaglianza col secondo membro dove al numeratore c'è solo l - cos x)

(sen x)(1- cos x) 1- cos 2 x (sen x)(1 - cos x)

= 1- cos x sen x

=----

TriJonomet rla

EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Si risolvono come le equazioni algebriche, naturalmente le soluzioni non sono valori delle funzioni trigonometriche ma valori degli angoli (per esempio se ho risolto rispetto a sen x questa non è ancora la soluzione, devo ricavarne i valori di x). Cerco di dare un esempio dei diversi tipi. ESEMPIO 26

Risolvere 2 sen x- 3112 =O (isolo sen x) 31/2

sen x=-2

(il seno è positivo, quindi sono nel l o nel Il quadrante; disegno i triangoli in corrispondenza dei quali il seno vale 3 11212)

~=lél04~ fS él1t

l

3

-l

Posso concludere che le soluzioni sono due, x = 7t/3 e x= 27t/3? No, le soluzioni sono infinite; ricordando infatti che la funzione seno è periodica di periodo 27t, essa assume il valore 3 112/2 infinite volte, per x = 7t/3, x= 7t/3 + 27t, x = (7t/3 + 27t) + 27t, e cosi via. Tutte queste soluzioni possono essere "riassunte" con la scrittura x= 7t/3 + 2k7t, dove k assume i valori O, 1, 2, 3, ... ma anche -1, -2, -3, ... Ragionando allo stesso modo per l'altra soluzione, ottengo x= 27t/3 + 2k7t, k =O,± 1, ± 2, ± 3, ... Se però mi limitassi a considerare un solo periodo, ossia cercassi le soluzioni dell'equazione data, per esempio, tra O e 27t, allora sile soluzioni sarebbero le due che avevo inizialmente supposto. Nel prossimo esempio faremo proprio cosi.

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CAPITOLO 9

ESEMPIO 17

Risolvere nell'intervallo tra O e 27t l'equazione 2 sen x cos x - cos x = O (raccolgo il fattore comune)

(cos x)(2 sen x- 1) =O 1/d.

MI\. l ::

t=30",150~ 'lr/b, 57r/6 ~ l

fS Nell'intervallo richiesto le soluzioni sono x= n/2

x= 37t/2

x= n/6

x= 5n/6

Osserviamo che quando il seno o il coseno valgono 1, -1 o O l'angolo è un multiplo di n/2 (90°). È facile ricavarlo dal grafico delle due funzioni, cercando i massimi, i minimi o le intersezioni con gli assi. ESEMPIO

lU

Risolvere l'equazione 2 sen2 x - sen x - 1 = O (scompongo in fattori)

(2 sen x+ 1)(sen x - 1) = O (risolvo rispetto a sen x)

senx=-1/2

senx=1

-1

-l

t

= d.IO", 330" ll'lr/6

71r/b,

Le soluzioni sono x = n/2 + 2kn

x = 77t/6 + 2k1t

con k =O,± 1, ± 2, ± 3, ...

x= 117t/6 + 2k1t

Trl1onometrla

ESEMPIO 29

3

sen 2 x - 5 sen x + 2 = O

(3 sen x- 2)(sen x- 1) =O

sen x= 1

sen x= 2/3 (positivo: I e II quadrante)

Come già visto, la soluzione di sen x= 1 è x= n/2 + 2kn

(k =o,± 1, ± 2, ± 3, ... )

Per contro, gli angoli x il cui seno è 2/3 possono essere calcolati solo in modo approssimato. Indicato con a quello nel primo quadrante e con li quello nel secondo, le rimanenti soluzioni sono x= a+ 2kn (usando una calcolatrice, trovo che a è circa 42°, quindi Pè circa 180° - 42° = 138°). ESEMPIO lO

2 sen3 x - sen x

=O

sen x (2 sen 2 x- 1) =O sen x= O

sen 2 x= 1/2 ossia sen x= ± t/2 112

Quante soluzioni! Poiché il seno si annulla in O, 1t, 21t, ... e in -Tt, -2Tt, ... vale anzitutto x= k1t

e poi x= n/4 + 2k1t x= 51t/4 + 2k1t

x

= 3Tt/4 + 2k1t x= 7n/4 + 2kn

(come al solito k è intero, ossia k =O,± 1, ± 2, ± 3, ... ). ESEMPIO l l

cos2 x + cos x - 1 =O (uso lo formulo quodrotico)

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CAPITOLO 9

-b ± (b 2 - 4ac)1 12 -1 ± [1- 4(1)(-1))1 12 cos x= 2a = 2(1)

=

-1 ± 5112 2

=

-1 ± 2,24 2

La radice quadrata di 5 è circa 2,24, quindi le due soluzioni sono circa -1,62 e 0,62. La prima però non va bene, poiché il coseno non vale mai meno di -1. L'altro valore del coseno è accettabile ed essendo positivo appartiene al primo o al quarto quadrante. Indicate con a e J3 le misure dei rispettivi angoli nel I e nel IV quadrante, le soluzioni sono x= J3 + 2k1t

x= a+ 2k1t

(k =o, ± 1, ± 2, ± 3, ... )

Il valore approssimato di a è circa 52°, quello di J3 circa 360° - 52° = 308°. ESEMPIO

12

Risolvere tra O e 21t l'equazione sen2 x + cos x - 1 = O (ricorro allo sostituzione sen 2 x= l - cos2 x)

(1 - cos 2 x) + cos x - 1 = O - cos2 x + cos x = o - cos x (cos x - 1) = o cos x= o

x=O ESEMPIO

cos x =1

x= 1tl2

x= 31t/2

ll

tang 2 x + sec x - 1 = O (sostituisco toni x

=seè x -

l)

(sec 2 x - 1) + sec x - 1 = O

Trigonometria

sec 2 x + sec x - 2 = O (sec x+ 2)(sec x- 1) =O sec x= -2

secx=1

(trasformo nel coseno) cos x= -1/2

cos x= 1

~.~.• o

l

= 1.;10" e 0140"

x = 2rt/3 + 2krt (k intero)

l=

o·

x = 4rt/3 + 2krt

x = o +2krt = 2krt

ESEMPIO l--1

sen x + cosec x = 2 se n x + 1l sen x = 2 sen 2 x + 1 = 2 sen x sen2 x - 2 sen x + 1 = O (sen 2 x- 1)2 =O sen x= 1 x = rt/2 + 2krt (k intero) Concludiamo con un esempio un po' più complicato. ESEMPIO lS

Cerco tra O e 2rt le soluzioni dell'equazione sen x - 3112 cos x = 1 (isolo lo funzione trigonometrico più "brutto", quello il cui coefficiente è uno radice quadrato) sen x- 1 = 3 112 cos x (elevo al quadrato e poi sviluppo) (sen x- 1) 2 = (3 112 cos x) 2

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CAPITOLO 9

sen 2 x- 2 sen x+ 1 = 3 cos 2 x

(sostituisco cos2 x = l - sen2 x) sen 2 x- 2 sen x+ 1 = 3 (1- s.en 2 x) 4 sen 2 x - 2 se n x - 2 = O 2 (2 sen x+ 1)(sen x - 1) = O sen x= 1 x= x/2

sen x= -1/2 x= 71t/6

x= 11x/6

Avendo elevato al quadrato, possiamo aver introdotto soluzioni estranee all'equazione di partenza; dobbiamo verificarle sostituendole in tale equazione. x= x/2:

sen x/2 - 3112 cos x/2 = 1 1 -O = 1 (verificata)

x= 7x/6:

sen 7x/6- 3112 cos 7x/6 = 1 - 1/2- 3112 ( - 3112 /2) = 1 da cui- 1/2 + 3/2 = 1 (verificata)

x= llx/6: sen 11x/6 - 3112 cos llx/6 = l - 1/2- 3112 (+ 3112 /2) = 1 da cui- 1/2- 3/2 = 1 (non verificata:- 2 *l) Pertanto le soluzioni (comprese tra O e 21t) sono x= x/2

x= 7rc/6

DOMINIO E CODOMINIO DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Dominio

y = sen x y = cos x y = tang x y = cotang x y=secx y = cosec x

tutti i numeri reali tutti i numeri reali tutti i reali tranne x/2 + kx tutti i reali tranne kx come tang x come cotang x

Codominio

-1 s; y s; +1 -1 s;ys;+1 tutti i numeri reali tutti i numeri reali tutti i reali tranne -1 < y < 1 come sec x

Trigonometria

Commentiamo un po' questa tabella. Le funzioni tang x= sen x/ cos x

sec x= 1/cos x

sono definite ovunque fuorché nei punti in cui si annulla il denominatore, ossia x= x/2 + kx (k intero); allo stesso modo per le funzioni cotangente e cosecante si devono escludere i valori che annullano il seno, ossia si deve porre x'* kx (k intero). Le funzioni secante e cosecante sono rispettivamente le reciproche di coseno e seno, e questo giustifica il fatto che il loro codominio sia dato da tutti i valori minori o uguali a -1, e maggiori o uguali a +1.

ANGOLI DOPPI O DIMEZZATI, SOMMA O DIFFERENZA DI DUE ANGOLI Dovrei elencare ora una serie di formule trigonometriche, che vi sono forse già tristemente note. Potete prenderle come dogma, oppure parvi il problema se siano vere o no; penso che sia meglio se vedete la dimostrazione di almeno una di queste. Vogliamo esprimere cos (A- B) tramite funzioni trigonometriche che contengano solo o l'angolo A o l'angolo B. Dobbiamo fare un nuovo cambio di notazione, tornando a quella iniziale: considero un cerchio con centro nell'origine e raggio unitario (la sua equazione è x2 + y2 = 1) e un angolo di misura A cui corrisponde sulla circonferenza il punto (x, y). Poiché r = 1, vale sen A= ylr= y cosA= x/r =x come indicato nella seguente figura.

83

~

CAPITOLO 9

Nella figura successiva indichiamo gli angoli A, B e A B, e poi tracciamo le corde che congiungono i punti (cos A, sen A), (cos B, sen B) e (cos (A- B), sen (A- B)). Ricordiamo dalla Geometria che ad angoli al centro uguali corrispondono corde uguali. Poniamo allora la condizione di uguaglianza tra la corda che congiunge (cosA, sen A) e (cos B, sen B), e quella che congiunge (cos (A- B), sen (A- B)) e (1, O). Posto (cosA, sen A)= (x" y 1 ), (cos B, sen B)= (x 2 , y 2 ), (cos (A- B), sen (A- B))= (x3 , y 3 ) e (1, O)= (Xt, y4), abbiamo (distanza tra due punti) (eo&

A.

&eli.

/V

(x2- x1J2 + (y2- Y1l 2 = (x.- xJ) 2 + (y.- y3)2

[cos (A- B)- 1] 2 + [sen (A- B)- 0] 2 =(cosA- cos B) 2 + (sen A- sen B) 2 (oro basterà risolvere rispetto o cos (A- 8) per ottenere lo formulo cercato)

sen 2 (A - B) + cos 2 (A - B) - 2 cos (A - B) + 1 = sen 2 A+ cos 2 A+ sen2 B + cos 2 B - 2(cos A)(cos B) - 2(sen A)(sen B) (applico tre volte lo formulo sen lx + cos lx

= l)

1 - 2 cos (A - B) + 1 = 1 + 1 - 2(cos A)(cos B) - 2(sen A) (sen B) (e ricordando che uno più uno fa due ...)

2 - 2 cos (A - B) = 2 - 2(cos A)(cos B) - 2(sen A)(sen B) (sottraggo l o entrambi i membri e poi li divido per -l)

cos (A- B)= cosA cos B + sen A sen B

Trigonometria

Dimostrata questa, spero che prenderete per buone le rimanenti formule (del resto, le dimostrazioni potete travarie in ogni libro di 1ìigonometria). Ho scelto questa per due motivi: per far vedere che nulla ha a che fare con la proprietà distributiva, e per convincervi che il calcolo di questo coseno richiede davvero, anche se sembra strano, di calcolare non solo dei coseni ma anche dei seni. Siamo pronti per scrivere tutte le formule (compresa quella appena dimostrata). sen (A+ B)= sen A cos B +cosA sen B sen (A - B) = sen A cos B - cos A sen B cos (A+ B)= cosA cos B- sen A sen B cos (A- B)= cosA cos B + sen A sen B tang (A+ B)=

tang A+ tang B 1 - tang A tang B

tang (A+ B)=

tang A- tang B 1 + tang A tang B

sen(A/2) = ± [(1- cos A)/2)1 12 oppure sen 2 A/2 = (1 - cos A)/2 cos(A/2) = ± [(1 + cos A)/2]1 12 oppure cos2 A/2 = (1 + cos A)/2 tang(A/2) = ± [(1- cos A)/(1 + cos A)P 12 = (1- cos A)/sen A= sen A/(1 +cosA) cos 2A = cos 2 A- sen 2 A= 2 cos 2 A- 1 = 1- 2 sen 2 A sen 2A = 2 sen A cos A _ 2 tang A tang 2A - 1 - tang 2 A Ed ecco un ulteriore (e ultimo) elenco di formule. sen (n/2- A)= cosA

cos (n/2 - A) = sen A

sen (n - A) = sen A

sen (-B)=- sen B

cos (-B)= cos B

tang (-B)=- tang B

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CAPITOLO 9

2 sen A cos B-= sen (A+ B)+ sen (A- B) 2 cos A sen B = sen (A + B) - sen (A - B) 2 cos A cos B = cos (A+ B) + cos (A- B) 2 sen A sen B =- cos (A+ B)+ cos (A- B) sen C+ sen D= 2 sen 1/2(C +D) cos 1/2 (C -D) sen C- sen D= 2 cos 1/2(C +D) sen 1/2 (C -D) cos C+ cos D = 2 cos 1/2(C +D) cos 1/2 (C- D) cos C - cos D = - 2 sen 1/2(C + D) sen 1/2 (C - D) Vediamo finalmente alcuni esempi. ESEMPIO

16

Dati cos A= 4/5 con A nel IV quadrante e sen B = -5/13 con B nel III, determinare sen 2B, cos 2A, tang (A - B), sen A/2 e cos A/2. Anzitutto disegno i triangoli coinvolti. Notate che sia (3, 4, 5) sia (5, 12, 13) sono teme pitagoriche.

Vediamo che sen A= -3/5, tang A= -3/4, cos B = -12/13 e tang B = 5/12. Non mi resta che sostituire i valori nella formula giusta. 120 sen 2B = 2 sen B cos B = 2( --5 )(-12) -- = 13 13 169 cos 2A = cos2 A - sen2 A =

7 (S4)2 - (-3 S )2 = 2S

tan (A_ B) = tang A- tang B g 1 + tang A tang B

Trltonometrla

Nelle formule di sen A/2 e cos A/2 compare il segno ±; dobbiamo stabilire se il segno è positivo o negativo. L'angolo A si trova nel IV quadrante, ossia 37t/2 < A < 21t, da cui 37t/4 < A/2 < 1t; quindi A/2 appartiene al II quadrante, in cui il seno è positivo e il coseno negativo. Pertanto A)-[(1-cosA)]t'z_ [ 2 sen ( 2 -

4 )]1/2

(1

2

5

- ( 1 )1/2 - 101/2 - -1010

cos

(~)=-[(l+ ~s A)r =-[ (l :t)

r

= -(~)1/2 = -3(10)1/2 10 10 ESEMPIO

17

Calcoliamo il seno dell'angolo di 75° in tre modi diversi. 1. sen (75°) = sen (45° + 30°) = sen 45° cos 30° 2il2 )( 31/2) + ( 21/2 )( 1) +cos45° sen 30°= ( 2 2 2 2

= sen 120° cos 45°- cos 120° sen 45°

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88

CAPITOLO 9

Dimostrare che quest'ultimo valore è uguale ai due precedenti non è banale (si deve far ricorso ai famigerati radicali doppi), ma vi assicuro che è cosl. ESEMPIO 18

Calcolare sen A sapendo che tang 2A = -24/7 e che 2A appartiene al II quadrante. Anzitutto osserviamo che se 2A si trova nel secondo quadrante, A si trova nel primo. 2 tang A Ricordando la formula tang 2A = 1 _ tang 2 A ottengo -24 2 tang A =-1- tang2 A 7 14 tang A= -24(1- tang 2 A) 24 tang 2 A - 14 tang A - 24 = O 2(3 tang A- 4)(4 tang A+ 3) =O tang A= -3/4

tang A= 4/3

Il primo valore non mi interessa, perché cerco A nel primo quadrante (dove la tangente è positiva); dal secondo ricavo sen A= 4/5 (dunque si tratta di una terna pitagorica (3, 4, 5)). ESEMPIO 19

Provare che vale la formula sen

(1t -

A) = sen A

La dimostrazione è banale: sen (n - A) = sen 1t cos A - cos (- 1)(sen A)= sen A.

1t

sen A = (O)(cos A) -

ESEMPIO .tO

Dimostriamo anche la formula sen (A+ B)- sen (A- B)= 2 cosA sen B

Tr11onometrla

Vale infatti sen (A+ B) - sen (A -B) = sen A cos B + cos A sen B - (sen A)(cos B)+ (cos A)(sen B) = 2 cosA sen B ESEMPIO 4 l

Dimostriamo che vale sen 3A = 3 sen A- 4 sen3 A Questo è un po' più lungo. sen 3A = sen (2A + A) = sen 2A cos A + cos 2A sen A = 2 sen A cosA cosA+ sen A (1- 2 sen2 A) = 2 sen A (1- sen2 A)+ sen A (1- 2 sen2 A) (saltando qualche passaggio)

= 3 sen A - 4 sen3 A Nelle equazioni con angoli doppi o tripli, possono verificarsi due situazioni: l'angolo doppio o triplo se ne va, oppure bisogna tenerlo. Vediamo un esempio del primo tipo, e di seguito uno del secondo tipo. ESEMPIO -12

Risolvo l'equazione cos 2x + sen x = O Posso sostituire cos 2x usando la formula in cui compare sen x. 1- 2 sen2 x+ sen x= O - 2 sen2 x+ sen x+ 1 =O -1(2 sen x+ 1)(sen x- 1) =O sen x= -1/2

sen x= 1

Le soluzioni le conosciamo già, ma non è ·male ripetere il

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CAPITOLO 9

ragionamento (se l'avete scordato, disegnate di nuovo i triangoli). Vale x= 71tl6 + 2k1t x= 111t/6 + 2k1t x= 1t/2 + 2k1t (k intero) ESEMPIO -ll

Risolvo rispetto ad A compreso tra 0° e 360° l'equazione sen 3A =1/2 Se è A compreso tra 0° e 360°, allora 3A deve essere compreso tra 0° e 1080°. Posso dunque accettare solo i seguenti valori 3A = 30°

3A = 30° + 360° = 390° 3A = 30° + 720° = 750°

3A = 150°

3A = 150° + 360° = 510° 3A = 150° + 720° = 870°

da cui rispettivamente A= 10°

A= 130°

A= 250°

A=50°

A= 170°

A= 290°

Diversamente dall'esempio precedente, qui abbiamo mantenuto l'angolo multiplo 3A, abbiamo risolto rispetto a esso e solo a questo punto rispetto ad A. Inoltre dato il vincolo che A sia compreso tra oo e 360°, non posso accettare come soluzione valori di 3A troppo grandi (e nemmeno negativi): per esempio, avendo trovato che 30° è una soluzione, posso solo sommarvi un angolo giro (ottenendo 390°) o due angoli giri (ottenendo 750°), mentre aggiungendone tre avrei 30° + 1080° che è già troppo.

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE Se vi siete dimenticati le funzioni inverse, prima di procedere tornate al Capitolo 8. Dovreste ricordare che l'inversa esiste quando dominio e codominio sono legati da una corrispondenza biunivoca (per esempio, quando una funzione tende a diventare sempre più grande o sempre

Trigonometria

più piccola). Per verificare l'invertibilità di una funzione, avevamo introdotto il criterio della retta orizzontale (ogni retta orizzontale deve intersecare il grafico al più in un punto). È evidente che la funzione seno non soddisfa questo criterio, dunque non è invertibile.

Per ottenere una funzione invertibile, devo restringere il suo dominio: la considererò solo per x compreso tra -7t/2 e 7t/2. ARCOSENO

Definizione. Per -7t/2 ~x :5; 7t/2 la funzione y =sen x ammette inversa, che sarà indicata con arcsen x (si legge "arcoseno di x"), tale che arcsen x= y se nella funzione di partenza sen y =x. Il suo dominio è -1 :5; x :5; 1 e il codominio -7t/2 :5; y :5; 7t/2. ESEMPIO -l-l

Calcolare arcsen 1/2. Stiamo cercando l'angolo il cui seno è 1/2; naturalmente tale angolo è unico ed è compreso tra -7t/2 e 7t/2 (appartiene al I quadrante se positivo, al IV se negativo). Poiché sen 1t/6 = 1/2 e 1t/6 si trova nel I quadrante, la risposta è arcsen 1/2 = 1t/6. ESEMPIO -lS

Calcolare arcsen- 1

(

;1~2 )

L'angolo cercato deve appartenere al IV quadrante, dunque è negativo, ossia è -7t/4. Scriviamo ora dominio e dominio delle principali funzioni trigonometriche inverse, arcoseno, arcocoseno e arcotangente.

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CAPITOLO 9

Funzione y y y

=arcsen x =arccos x =arctang x

Dominio

Codominio

1 1

-7t/2 ~ y ~ 7t/2

ogni numero reale

-'Tt/2 < y < 7t/2

-1 -1

~x~ ~x~

O~y~7t

Notate che arcsen e arccos variano tra -7t/2 e 7t/2, ossia si trovano o nel I o nel III quadrante; per contro arccos varia tra O e 7t, ossia si trova o nel I o nel II quadrante. ESEMPIO -16

Calcolare arctang- 1 1 e arctang- 1 (-1/3 112 ).

-----j41'

LA • 7f/4

Le soluzioni sono rispettivamente 7t/4 e -7t/6. ESEMPIO -17

Calcolare arccos- 1 (1/2) e arccos- 1 (-3 112 /2).

Le soluzioni sono rispettivamente 7t/3 e 57t/6. ESEMPIO -18

Calcolare sec (arctang 5/7). Attenzione, è una funzione composta: stiamo cercando la secante dell'angolo la cui tangente è 5/7. Tracciamo nel I quadrante un triangolo la cui tangente vale 5/7; il raggio vale r = (72 + 52)1'2 = 741/2 e pertanto la secante sarà r/x = 74 112 /7. ESEMPIO -19

Calcoliamo cotang (arcsen- 1 v). Si tratta di trovare la cotangente dell'angolo il cui seno è v.

Trigonometria

Traccio il triangolo. Il seno è y/r = v/1. Poiché vale y =v e, per il teorema di Pitagora, x = (1 - v2)' 12 , la cotangente sarà x/y = (1 - v2)1'2fv. ESEMPIO SO

Calcolare sen (arccos-1 p+ arcsen-1 q). Pongo A = arccos- 1 p

B = arcsen-1 q

da cui cosA= p

sen B =q

Disegno entrambi i triangoli.

Stiamo cercando sen (A+ B)= sen A cos B +cosA sen B = (1- p2)1/2(1- q2)1/2 + pq. Se l'angolo che stiamo considerando appartiene al I quadrante, x e y sono positive, pertanto coincidono con le misure dei lati del triangolo (vedi la figura).

j

Posso allora riscrivere le funzioni trigonometriche in funzione dei lati del triangolo rettangolo. sen A= y/r =cateto opposto ad A/ipotenusa cosA= x/r =cateto adiacente ad A/ipotenusa tang A= y/x =cateto opposto ad A/cateto adiacente ad A cotang A= xly =cateto adiacente ad A/cateto opposto ad A

93

94

CAPITOLO 9

sec A= r/x = ipotenusa/cateto adiacente ad A cosec A= r/y = ipotenusa/cateto opposto ad A Vediamo due esempi di problemi di questo tipo più "geometrico". Prima però dobbiamo definire due modi in cui lo stesso angolo può comparire nei problemi fisici: come angolo di elevazione, dal basso in alto, o come angolo di depressione, dall'alto verso il basso (sono rispettivamente i due angoli della seguente figura).

ESEMPIO

S l

Un uomo guarda in giù dalla cima di un faro alto 120 piedi e vede una barca con un angolo di depressione di 20°. Quanto dista la barca dal faro?

Vale cotang 20° =x/120, da cui x = 120 cotang 20° che vale circa 330. ESEMPIO Sl

Pippo si trova a 200 metri da una casa su cui si trova un'antenna. L'angolo di elevazione della base dell'antenna è 70°, quello della cima dell'antenna è 78°. Quanto è alta l'antenna? Le incognite sono due, l'altezza della casa e quella dell'antenna. Per semplificare i conti, cerco di mettere l'incognita che non ci interessa (l'altezza della casa) al nu-

Trlgo no met:rl.a

meratore; per questo scelgo la tangente. tang 78° = (x+ y) 200

da cui

x + y = 200 tang 78°

tang 70°= l 200

da cui

y = 200 tang 70°

La soluzione è x = 200 (tang 78° - tang 70°)

ossia circa 394 metri (un'antenna molto alta!).

TEOREMI SUl TRIANGOLI QUALSIASI I seguenti teoremi riguardano triangoli qualunque (non

necessariamente rettangoli). TEOREMA DEl SENI

Definizione. Indicati con a, b, c i lati di un triangolo, con A, B, C i rispettivi angoli opposti, vale a/sen A= b/sen B = c/sen C

Il teorema dei seni ci è utile quando conosciamo due angoli e un lato, oppure due lati e l'angolo opposto a uno di tali lati. Nel primo caso, dai due angoli si ricava il terzo; poiché tutti gli angoli e un lato sono fissati, la soluzione è unica (è un unico triangolo). Nel secondo caso, possono verificarsi tre situazioni: non esiste alcun triangolo che corrisponde ai requisiti, o ne esiste uno, o ne esistono due. Vediamo tutti questi casi negli esempi successivi. ESEMPIO Sl

Dato un triangolo con A= 56°, B = 73° e a= 20, trovare C, be c. Conosco due angoli e un lato. Il terzo angolo lo ricavo immediatamente: c= 180°- (56° + 73°) = 51°

95

96

CAPITOLO 9

Applicando a/sen A= b/sen B ottengo 20/sen 56° = b/sen 73° b = 20 sen 73°/sen 56° ossia b vale circa 263. Allo stesso modo, applicando a/sen A = c/sen C ho 20/sen 56° = c/sen 51 o c= 20 sen 51°/sen 56° ossia c vale circa 19. ESEMPIO

S-l

Dato un triangolo con a= 10, A= 30° e b =50, trovare c, Be C. Conosco due lati e un angolo. Applicando a/sen A = b/ se n B ottengo 10/sen 30° = 50/sen B sen B =50 sen 30°/10 ma facendo i conti, risulta che sen B dovrebbe valere circa 2,5. Questo è impossibile, dunque i dati iniziali non rappresentano un triangolo. ESEMPIO S S

Dato un triangolo con A= 135°, a= 70 e b =50, trovare c, Be C. Conosco due lati e un angolo. Applicando a/sen A= b/sen B ottengo 70/sen 135° = 50/sen B sen B =50 sen 135°/70 = 1/2 e pertanto B = 30°

oppure

B = 180°- 30° = 150°

Per B = 30°, vale A -1 B = 165° (da cui C= 15°), mentre A + B = 285°: il secondo valore di B non è accettabile perché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

Trlaonometrla

Riassumendo, so che A= 135°, B = 30°, C= 15°, a= 70 e b=50. Infine applicando a/sen A = c/sen C ottengo 70/sen 135° = c/sen 15° c= 70 sen 15°/sen 135° che vale circa 26. ESEMPIO S6

Considero un triangolo di lati e, d, f con i rispettivi angoli opposti E, D, F, dove C = 30°, c = 5 e d = 7; trovare i rimanenti dati. Applicando c/sen C= d/sen D ottengo 5/sen 30° = 7/sen D sen D= 7 sen 30°/5 ossia circa 0,7. Pertanto D= 45°

.oppure

D= 180°- 45° = 135°

Per D = 45° vale C + D = 75° (da cui E = 105°); per D= 135° vale C+ D= 165° (da cui E= 15°), Diversamente dall'esempio precedente, entrambi i valori di D sono accettabili: i dati iniziali sono compatibili con due diversi triangoli. Per il primo, vale C= 30°, D= 45°, E= 105°, c= 5 e d= 7. Da e/sen 105° = 5/sen 30° ricavo che il lato e misura circa 9,7. Per il secondo triangolo, vale C= 30°, D= 135°, E= 15°, c= 5 e d= 7. Da e/sen 15° = 5/sen 30° ricavo che il lato e misura circa 2,6. ESEMPIO S7

L'angolo tra Zeb e Sam dal punto di vista di Don è 70°, quello tra Don e Zeb (dal punto di vista di Sam) è 62°, e Zeb e Sam distano fra loro 70 metri. Qual è la distanza fra Don e Sam? L'angolo col vertice in Zeb è 48°. Da z/sen 48° = 70/sen 70° ricavo che z misura circa 55 metri. ·

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98

CAPITOLO 9

IL TEOREMA DEL COSENO

Definizione. Con la stessa notazione del teorema precedente, vale c2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C Questo teorema è utile quando conosciamo i tre lati, oppure due lati e l'angolo compreso (in entrambi i casi, il triangolo assegnato da questi dati è unico). ESEMPIO

SB

Considero un triangolo con a= 3, b = 5 e c= 7. Applicando c2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ottengo 72 = 32 +5 2 - 2(3)(5) cos c 15 =- 30 cos c cos C=-1/2 C= 120° (Il quadrante) Ora che ho quattro dati, posso applicare il teorema dei seni per ricavare gli altri due. 3/sen A= 7/sen 120° A=22° Il terzo angolo si ricava immediatamente B = 180°- (22° + 120°) = 38° ESEMPIO

S9

Considero un trhmgolo di lati x, y, z e rispettivi angoli opposti X, Y, Z, dove x= 10, y = 20, Z = 40°; trovo i rimanenti dati. Applicando z2 = x 2 + y2 - 2xy cos Z ottengo z2 = 102 + 202 - 2(10)(20) cos 40° da cui ricavo z = 13, 9. Ora applico il teorema dei seni 13,9/sen 40° = 10/sen X sen X= 10 (sen 40°)/13,9

Trl1onometrla

X= arcsen-1 (10 sen 40°/13,9) = 28°

Infine vale Y = 180°- (28° + 40°) = 112° ESEMPIO 60

Un aereo vola verso est per 200 chilometri, poi gira di 25° verso nord e percorre 130 chilometri. Dopo ciò, a quanti chilometri si trova dal punto di partenza? x 2 = 2002 + 1302 - 2(200)(130) cos 155° x=323

Dunque l'aereo dista 323 chilometri dal punto di partenza.

99

CAPITOLO

l O

LOGARITMI

A calcolare i logaritmi ci pensano le calcolatrici; dunque non si tratta di fare conti complicati, ma di capire bene la definizione e le proprietà. LOGARITMO

Definizione. Diciamo che y è il logaritmo in base h di x, e scriviamo y =1ogb x

quando y è l'esponente che dobbiamo dare a h per ottenere x, ossia quando bY=x (x è l'argomento del logaritmo, b, come già detto, è la sua base). Dunque il logaritmo è l'esponente nell'espressione bY= x; se i logaritmi sono esponenti, allora le proprietà dei logaritmi derivano da quelle delle potenze, come vedremo. iiji#IQI·MI

Dimostro che vale log5 25 = 2 Infatti per definizione log2 25 = 2 significa 5 2 = 25, che è vera. 101

101

CAPITOLO l O

''''*'"'·*' Scriviamo 43 = 64 mediante il logaritmo. La base è 4, l'esponente 3 e il risultato 64, pertanto log. 64 = 3

Calcolo log16 64 Essendo questa l'incognita, pongo log 16 64 =x. Per la definizione di logaritmo vale 16X = 64 (2 4 )X = 26 24 X= 26 Poiché le basi sono uguali , devono esserlo anche gli esponenti, quindi 4x = 6 da cui x= 3/2 lijj#IQI·MI

Risolviamo rispetto a x log9 x= -3/2 Per definizione vale 1 1 1 x= g-3/2 = - - = 1/(91/2)3 =- = 9 312

33

27

iijj#IQI·Mi

Risolvo lo8x 32 =5 Da x 5 = 32 ricavo x = 32 115 ossia x=2

Ora che abbiamo familiarizzato un po' con la definizione di logaritmo, vediamo quali valori possono assumere la base b, l'argomento x e il logaritmo stesso y. La base può essere negativa? No, perché per esempio (-2)1 12 non è un numero reale (bensl immaginario). Può

L01arltml

essere nulla? No, perché o• o vale O o addirittura non è definito (rispettivamente per a> O e a~ O) e pertanto in generale non c'è modo di ottenere da una base nulla, elevandola a una qualsiasi potenza, il valore dell'argomento x. Infine la base non può nemmeno valere 1, perché P= 1 per qualsiasi a. In conclusione, la base è un numero positivo e diverso da 1. Di solito si sceglie per base o il numero 10 o il numero e (un numero decimale illimitato che incontrerete nel corso di Analisi e che vale circa 2,7). Per brevità, se la base è il numero 10 si scrive log anziché log 10 , se la base è il numero e si scrive ln anziché log., (e invece di dire "logaritmo in base e" si può dire "logaritmo naturale"). Data una base b positiva e diversa da 1, al variare di x il logaritmo y = loSt, x rappresenta una funzione. Pertanto, cercare quali valori possono assumere l'argomento x e il logaritmo y è la stesso che cercare quali sono il dominio e il codominio della funzione. Ricordo che il logaritmo è un esponente, quindi può assumere qualsiasi valore reale (positivo, negativo o nullo); questo è il codominio. Poiché la base è positiva, indipendentemente dal valore dell'esponente l'argomento (ossia il risultato dell'elevazione a potenza) sarà sempre positivo. Pertanto il dominio è rappresentato dai soli valori positivi di x. Passiamo ora alle proprietà dei logaritmi.

Proprietà 1. Vale 1ogb xy =1ogb x + lo8b y lijj#IQI·M·J

log 6 = log (2)(3) = log 2 + log 3

Proprietà 2. Vale 1ogb (m/n) = lo8b m - 1ogb n lijj#iii·M

log (4/3) = log 4 -log 3

103

104

CAPITOLO l O

Proprietà 3. Vale lo8h xP = p 1ogb x liji#IQI•i:l

log 32 = log 2 5 = 5 log 2 Le prime tre proprietà sono quelle che incontrerete più spesso in seguito. Perciò è importante che capiate bene i due seguenti esempi. lijj#IQI·M·i

Riscriviamo in modo da sbarazzarci degli esponenti l'espresssione

In(":~). Il logaritmo dei fattori al numeratore "diventa" una somma di logaritmi, quello dei fattori al denominatore "diventa" una differenza di logaritmi e infine gli esponenti vanno "davanti" al logaritmo come coefficienti moltiplicativi. Ottengo 4

In a + ~ In b - 6 In c - 7 In d

ESEMPIO

l O

Riscriviamo come unico logaritmo 5 log h- 7log c- 8log p- 4 log j + (3/4) log k + log v.

l'inverso del caso precedente). L'argomento di ogni logaritmo preceduto dal segno più va al numeratore, quello di ogni logaritmo preceduto dal segno meno va al denominatore, i coefficienti vanno dentro il logaritmo come esponenti. Ottengo (è

Proprietà 4. Vale

1ogb b = 1 poiché b 1 = b (per esempio, log7 7 = log 10 =In e = 1).

Lo1arltml

Proprietà 5. Vale

lo8b 1 =O poiché b0 = 1 (per esempio, log9 1 = log 1 = In 1 = O). Proprietà 6. Per m < n vale

In m< In n (per esempio, In 2 1). ESEMPIO

l l

Risolviamo rispetto a x log5 (x 112 ) = log5

(2~- 3)

Per la Proprietà 7 vale x 112 = 2x- 3

(elevo al quadrato, ricordando che dovrò poi procedere alla verifica, ossia alla sostituzione delle soluzioni ottenute nell'equazione iniziale) (x 112 ) 2 = (2x- 3) 2 4x 2

-

x= 4x 2

-

12x + 9

13x + 9 =O

(4x-9)(x-1)=0 x= 9/4

x= 1

Procedo alla verifica della soluzione x= 9/4. log 5 (9/4) 112 J log5 [2(9/4)- 3] log5 (3/2) = log5 (3/2)

105

106

CAPITOLO l O

È accettabile. Passo all'altra soluzione, x= 1.

logs (1)1' 2 ! log5 [2(1) - 3] logs 1

* logs (-1)

Pertanto ho una sola soluzione, x= 9/4. Proprietà 8. Vale blO(!bX =X

(per esempio, e1nx =x). Per la Proprietà 8, potete interpretare b1'x come nient'altro che un modo bizzarro per scrivere x (purché naturalmente x sia positivo). Proprietà 9. Vale

loSb bx =x (per esempio In ex= x). Proprietà 1O. Vale

l

1ogb c 08ct C

= lOSb d

(per esempio log5 7 = ESEMPIO

~OSto 7 ). OSto 5

12

(4)' 3X+Z=28 (divido entrambi i membri per 4) 3X+2 = 7

(prendo il logaritmo di entrambi i membri, in modo da "trasformare" la potenza in coeffidente moltiplicativo usando la Proprietà 3)

(x+ 2) log 3 = log 7 (a questo punto ho una semplidssima equazione di primo grado nell'incognita x, poiché log 3 e log 2 sono dei numeri!)

Lo1arltml

x log 3 + 2 log 3 = log 7 log 7- 2log 3 x= ____:::......,--~log 3 (con la cakolatrice trovo che x vale drca -0,23). ESEMPIO

l 1

Risolviamo

(prendo il logaritmo di entrambi i membri) (3x- 6) log 5 = (8x + 9) log 7

=8x log 7 + 9 log 7 8x log 7 = 6 log 5 + 9 log 7

3x log 5 - 6 log 5 3x log 5 -

= 6 log 5 + 9log 7

x(3 log 5-8 log 7)

x

= 6 log 5 + 9 log 7

---:--=----:--'~

3 log 5 - 8 log 7

ESEMPIO

l l

Risolviamo log2 x+ log2 (x- 2) = 3 (applico la Proprietà l)

log m + log n = log mn (ora uso la

de~nizione

di logaritmo)

log2 x(x - 2) = 3

x 2 - 2x- 8 =O (x - 4)(x + 2)

=O

La soluzione x= -2 non è accettabile, l'argomento di un logaritmo non può essere negativo o nullo. Per contro x= 4 è soluzione dell'equazione iniziale, poiché se eseguo la verifica ottengo log2 4 + log2 (4- 2) =log2 4 + log2 2 = 2 + 1

=3

107

ESEMPIO

l S

Risolviamo log (x - 3) - log 4 = 2 (applico la Proprietà 2)

log (x - 3)/4 = 2 (ora uso la de~nizione di logaritmo; ricordo che la scrittura "log" sottintende la base l O)

(x- 3)/4 = 102 x- 3 =400 x=403 ESEMPIO

l 6

Vi potrebbero capitare dei problemi in cui è coinvolto l'interesse composto, come nella formula A= P(1 + r/n) 01 dove A è il montante, P il capitale, r il tasso di interesse annuo, n il numero di capitalizzazioni annue e t il numero di anni. Supponiamo di investire 1000 euro all'interesse del 20%. Se il numero di capitalizzazioni in un anno è 4, quando il montante raggiungerà 4000 euro? Vale A= 4000, P= 1000, r = 0,20 e n= 4, mentre t è l'incognita. Applicando la precedente formula ottengo 4000 = 1000(1 + 0,20/4)41 da cui dividendo entrambi i membri per 1000 e poi prendendone i logaritmi 4

= (1,05)

41

log 4 = 4t log 1,05 t= (log 4)/(4log 1,05) ossia t è circa 7 ,1. Dunque in soli 7,1 anni quadruplica il capitale inizialebasta trovare un investimento che dia l 'interesse del 20% ...

Logaritmi

ESEMPIO

l 7

Se la vita media di una sostanza radioattiva è di 8 giorni e se inizialmente ne abbiamo 10 chilogrammi (attiva), dopo quanto tempo ne resteranno attivi solo 3 chili? La formula del decadimento radioattivo è data da A= Ao (1/2) 118 dove A = quantità attuale, A 0 = quantità iniziale, t = tempo. Controllo se i dati sono coerenti con la formula; sostituendo t= 8 ottengo A= 10(1/2)818 = 10(1/2) = 5, che è appunto metà della quantità iniziale. Ora posso rispondere alla domanda. Vale 3 = 10(1/2)118 0,3 = (1/2) 118 log 0,3 = log (1/2) 118 t= 8 log 0,3/log 0,5 ossia t è circa 13,9 giorni.

109

CAPITOLO

l l

CONICHE

È fondamentale capire la relazione tra un'equazione e la

curva che essa rappresenta, esercitandosi a collegare le proprietà algebriche e quelle geometriche. Ciò facilita del resto la comprensione di tutta l'Analisi. Vedremo qui un'intera famiglia di curve, dette coniche. Due, circonferenza e parabola, le conosciamo già, poi ci sono ellisse e iperbole. Perché si chiamano coniche? Perché si ottengono intersecando un cono rotondo illimitato con un piano non passante per il vertice. Secondo la posizione del piano si ottiene: una circonferenza se il piano è perpendicolare all'asse del cono; un'ellisse se il piano non è perpendicolare all'asse e genera una curva chiusa che "tocca" tutta la superficie del cono una parabola se il piano è parallelo all'asse del cono; un'iperbole se il piano non è parallelo all'asse e genera una curva aperta. Della circonferenza abbiamo già parlato nel Capitolo 7. Ora completiamo la trattazione sulla parabola che avevamo fatto in quel capitolo. PARABOLA

Definizione. Si dice parabola l'insieme dei punti equidistanti da un punto (fuoco) e da una retta (direttrice).

112

CAPITOLO Il

Nella figura seguente F rappresenta il fuoco e V il vertice, ossia il punto sulla parabola più vicino alla direttrice (o al fuoco, dato che sono equidistanti). La definizione implica FV = VR, FP1 = P 1 Rtt FP2 = P 2 R2 e cosl via.

Voglio ricavare dalla definizione l'equazione della parabola. Suppongo che il vertice sia nel punto (0, O) e che il fuoco sia in (0, c); per conseguenza la direttrice ha equazione y =-c. Considero un generico punto P(x, y) sulla parabola; per definizione vale FP = PQ. Il punto Q ha la stessa ascissa di P, ossia x, e appartenendo alla direttrice ha ordinata -c; pertanto le sue coordinate sono (x, -c). La lunghezza del segmento PQ si ottiene semplicemente come differenza tra l'ordinata di P e l'ordinata di Q, ossia y - (-c) = y + c. Devo ora calcolare anche la lunghezza del segmento PF e infine porre la condizione di uguaglianza tra la lunghezza di PF e quella di PQ. Ottengo (x- 0)2 + (y- c)Z

= (y + c)Z

da cui sviluppando i quadrati ~.;.:__o~l'(•t'J)

x 2 + y2 - 2cy + c 2 = y2 + 2cy + c 2 e infine sommando i termini simili x 2 =4cy

Nello schema di pagina seguente presentiamo i quattro modi diversi in cui si può presentare una parabola con vertice nell'origine.

coniche

Vertice Fuoco

Direttrice Equazione

(0,0)

(O,c)

y=-c

x 2 = 4cy

(0,0)

(0,-c)

y=c

x2 = -4cy

(0,0)

(c,O)

x=-c

y2 = 4cx

(0,0)

(-c,O)

x=c

y2 =-4cx

(O,e)

La prima è quella che abbiamo appena ricavato; le altre si ricavano dalla prima: la seconda sostituendo y con -y, la terza scambiando x e y, e la quarta scambiando x e y e poi sostituendo x con -x.

IIJI#IQI·M• Tracciamo il grafico di

y2 = -7x indicando vertice, fuoco e direttrice. Riconosciamo una parabola del quarto tipo, secondo lo schema precedente. Il vertice è naturalmente l'origine. Da -7 = -4c ricavo c= 7/4. Pertanto il fuoco è (-7/4, O) e la direttrice ha equazione x= 7/4. iijj#IQI·Mi

Tracciamo il grafico di (y- 3) 2 =-7(x + 2)

Per capire di cosa si tratta, ricordiamo, nel caso della circonferenza, la differenza tra x2 + y2 = 25 e (x -3)2+ (y + 6)2 = 25. La forma è diversa? No. Il raggio è diverso? No. È cambiata solo la posizione: ora il centro è nel punto (3,6) anziché in (0, 0). Tornando alla nostra parabola, è cambiata solo la posizione del vertice, che non si trova più nell'origine ma in (-2, 3).

Da -7 = -4c ricavo ancora c= 7/4. Per contro il fuoco è (-2- 7/4, 3) e la direttrice ha equazione x= -2 + 7/4.

j

113

114

CAPITOLO Il

IIJI#IQI·Mi

Tracciare il grafico della parabola 2x2 + 8x + 6y + 10 =O (divido per il coefliciente dir)

x 2 + 4x + 3y + 5 = O {do uno porte tutti i termini dipendenti dolio variabile che compare ol secondo grado- in questo coso x- i rimanenti dall'altro porte)

x 2 + 4x = -3y - 5 (sommo o entrombi i membri il termine che completo il quadrato)

x 2 + 4x + 4 = -3y - 5 + 4 (scompongo in fattori)

(x+ 2)2 =-3y- 1 (raccolgo il coefliciente dello variabile ol secondo membro, anche se ne risulto uno frazione)

(x+2J2=-3(y+

~)

Vale V(-2, -1/3); da 4c = 3 ricavo c = 3/4 quindi F(-2, -1/3- 3/4). L'equazione della direttrice è y = -1/3 + 3/4.

ELLISSE

Definizione. Dati due punti F1 e F2 dettifuochi, l'ellisse è l'insieme dei punti P(x, y) tali che la somma delle loro distanze dai due fuochi è costante, ossia è soddisfatta l'uguaglianza PF, + PF2 = 2a. Supponiamo che i due fuochi si dispongano sull'asse x; pertanto le coordinate di F1 e F2 sono (c, O) e (-c, O),

Coniche

e come si vede facilmente la loro distanza è 2c. Vale naturalmente 2a > 2c da cui a > c. Forse avete già visto l'eq1;1azione dell'ellisse, ma magari non avete mai visto come la si dimostra: è un utile esercizio, e lo vediamo subito. PF1 + PF2 =2a (distanza tra due punti)

v'(x- (-c))2 + (y- 0) 2 + V(x- c) 2 + (y- 0) 2 = 2a (isolo uno radice ed elevo entrambi i membri al quadrato)

[V(x + c) 2 + y2 ] 2 = [2a- V(x- c)Z + y2)2 (faedo un po' di conti)

x2 + 2cx + c 2 + y2 =4a 2 + x2 - 2cx + c 2 + y 2 - 4aV(x- c) 2 + y2 (sommo i termini simili e isolo il radicale)

4aV(x- c) 2 + y2 =4a 2 - 4cx (divido entrambi i membri per 4 e poi li elevo al quadrato)

[aV(x- c) 2 + y 2 ] 2 = (a2 - cx) 2 (ancoro un po' di algebra)

a2 (x 2 - 2cx + c 2 + y2 ) = a4 - 2a 2cx + c 2 x2 8 zxz _ czxz + 8 zyz =8 4 _ 8 zcz (raccolgo xl tra i primi due addendi, al tra gli ultimi due e divido entrambi i membri per (al- c?)al)

(pongo al- c? = b2, scritturo ledto poiché abbiamo già richiesto a > c, cosicché la differenza tra i due quadrati al primo membro è positivo e può essere scritto come un quadrato)

115

116

CAPITOLO Il

Da a 2 - c 2 = h2 si ricava a 2 = h 2 + c 2 e pertanto a 2 > h 2, da cui segue a> b (supposto che sia anche b > 0). T

U'hO)~U!t.O)

~ T'

(O,b)

(-a, O)

Non abbiamo ancora finito; vogliamo precisare cosa rappresentano a e b. Per definizione vale PF 1 + PF2 = 2a, dove P è un qualsiasi punto sull'ellisse. Considerando per esempio il punto T, intersezione dell'ellisse con il semiasse y positivo, vale TF1+TF2 =Za

(a, O)

da cui ricaviamo, essendo per simmetria TF1 = TF 2 , TF1 = TF2 =a Da a 2 - c 2 = h 2 segue OT =OT' =h cosicché le coordinate di T sono (O, b) e quelle di T' sono (0, -b). Voglio ora determinare le coordinate dei punti U e U', intersezioni con l'asse x; indicando per il momento con x l'ascissa di U, vale UF 2 =x- c

UF 1 =x+ c

da cui ricavo (sempre partendo da UF 1 + UF 2 = 2a) x- c+ x+ c= 2a 2x= 2a x=a quindi V ha coordinate (a, 0), U' ha coordinate (-a, 0). In conclusione abbiamo trovato che c = semidistanza tra i fuochi b = lunghezza del semiasse minore a = lunghezza del semiasse maggiore = distanza di ciascun fuoco dal vertice maggiore (±a, O)= intersezioni con l'asse x= vertici maggiori (0, ±b)= intersezioni con l'asse y =vertici minori (±c, O) = fuochi

coniche

117

I fuochi si trovano sempre sull'asse maggiore, detto anche asse focale. I risultati precedenti valgono solo per a >b. Vedremo presto cosa accade se invece a < b. IIJJ#IQI·MI

Disegniamo l'ellisse di equazione x 2 /7 +y 2/5

(0,/5)

=1

Per y =O ottengo i vertici maggiori (±7 112 , 0), per x= O i vertici minori (0, ±5 112 ); vale c= (7- 5) 112 , quindi i fuochi sono (±2 112 , 0).

(-./7,0)

(0,-./5)

Disegniamo

(0,./U))

x2 y2 -+-=1 5 26

(0,).2i)

In questo caso vale a < b: i fuochi si dispongono lungo l'asse y (che è quindi l'asse maggiore). Pertanto le coordinate dei fuochi sono ora (0, ±c), mentre i vertici maggiori e minori restano rispettivamente (±a, O) e (0, ±b). Facciamo i conti. I vertici sono (±5 112 , O) e (0, ±26 112 ). e da c= (26- 5)' 12 segue che i fuochi sono (0, ±21 112 ). ESEMPIO 6

(x- 6)2 + (y + 4) 2 7 5

=1

È la stessa ellisse dell'Esempio 4, ma non ha più il cen-

tro nell'origine, bensì nel punto (6, -4). I vertici maggiori sono (6 ± 7112 , -4), quelli minori (6, -4 ± 5112 ), i fuochi sono (6 ± 2 112 , -4). Confrontate questi risultati con quelli dell'Esempio 4 per vedere in che modo le nuove coordinate del centro li hanno modificati.

(-./5,0)

(./5,0)

118

CAPITOLO l l

(b- ./7,-4)

(6,-4-./5)

ESEMPIO 6

SECONDA VEHSIONE

(x- 6)z + (y+4)z = 1 5

7

C'è un secondo modo per localizzare i semiassi, più semplice. Poiché il centro di questa ellisse è nel punto di coordinate (6, -4), i vertici si trovano lungo la retta orizzontale y = -4 e lungo la retta verticale x = 6. Posto y =-4 ottengo (x- 6) 2 7

---+

(-4

+ 4) 2 5

=1

(x- 6)2 +O= 1 7 (x- 6)2

x- 6

=7 = ±7 112

Pertanto vale x = 6 ± 7112 , quindi i vertici maggiori hanno coordinate (6 ± 7112 , -4). Per il semiasse minore, ragionando allo stesso modo ottengo

(6 -6)2 + (y+4)2 7

=1

5

.

o+ (y + 4)2 = 1 5 (y + 4)2 = 5

y +4

= ±51/2

Coniche

Pertanto vale y =-4 ± 5 112 , quindi i vertici minori hanno coordinate (6, -4 ± 5 112 ). Per le stesse ragioni i fuochi, che appartengono sempre all'asse maggiore, sono (6 ± 2 112 , -4).

IIJI#iili·MI Disegniamo l'ellisse 4x2 + 5y2 + 30y - 40x + 45

=O

(Metto in ordine i termini contenenti le incognite e porto dall'altra parte le costanti)

4x2 - 40x + 5y2 + 30y =-45 (raccolgo i coeflidenti di xl e yl, sommo a entrambi i membri i termini che completano i due quadrati)

4[ x2 - 10x +

(-~o

rJ

+ 5[ y 2 + 6y + (

~

rJ 2

10) =-45 + 4 ( -2-

+5

(6)2

2

(faccio i conti e divido entrambi i membri per l 00)

4(x- 5) 2 100

--'---+

5(y + 3)2 100 =-100 100

(x- 5) 2 + (y + 3)2 = 1 25 20

Il centro è (5, -3). Il coefficiente più grande è quello al denominatore della x, pertanto i fuochi si dispongono lungo l'asse orizzontale. I vertici maggiori sono (5 ± 25 112 , -3), quelli minori (5, -3 ± 20 112 ). Vale c = (25 - 20)' 12 quindi i fuochi hanno coordinate (5 ± 5 112 , -3). (Naturalmente posso scrivere 5 al posto di 25 112 ; l'ho lasciato cosi solo per ricordarvi da dove proviene.)

119

IlO

CAPITOLO Il

(5,-3 -PJ)

IPERBOLE

Definizione. Si dice iperbole l'insieme dei punti P tali che PF1- PF2 = 2a Procedendo come per l'ellisse (ma non lo rifaremo) si arriverebbe a dimostrare che l'equazione dell'iperbole è x2fa2 - y21b2

=1

dove a 2 + b 2 = c 2 • I vertici sono (±a, 0), gli asintoti hanno equazione y = ±(b/a)x. (Ho già dato una definizione intuitiva di asintoto nel Capitolo 9, nel caso della funzione tangente; la definizione rigorosa richiede nozioni del corso di Analisi.)

Coniche

liij#i:ll·lil

Disegniamo l'iperbole x 2 /7- y2 /11

=1

Per y = O ricavo i vertici (±7 112 , O); valendo c = (7 + 11) 112 il fuoco ha coordinate (±18112 , O); gli asintoti hanno equazione y = ±(11 11217112 )x. Osservate che l'iperbole non interseca l'asse y: infatti per x= O si ottengono le soluzioni y = ±(-11)112 , che sono immaginarie.

(fig,O)

lijj#IQI·M·j

Disegniamo l'iperbole

y2 /5- x 2 /9 = 1 I vertici sono (0, ±5 112 ); valendo c= (5 + 9)1 12 il fuoco ha coordinate (0, ±14 112 ); gli asintoti hanno equazione y = ±( 51,2fg1'2)x. Rispetto alle precedenti, questa iperbole è "ruotata" in modo che i fuochi si trovano sull'asse y anziché sull'asse x. In generale, questo si verifica quando l'equazione ha la forma - xz/a2 + yz/b2 = 1 ossia il coefficiente della variabile x ha segno negativo

Ili

122

CAPITOLO l l

mentre quello della y ha segno negativo (diversamente dall'ellisse, non conta in questo caso il valore numerico dei coefficienti ma solo il loro segno). ESEMPIO

IO

Disegniamo l'iperbole (y- 6)2/5 - (x+ 7) 2 /9

=1

È la stessa iperbole dell'Esempio 9, ma il suo centro (il punto di intersezione degli asintoti) non è più l'origine bensl il punto (-7, 6). I vertici sono spostati verso sinistra di 7 e verso l'alto di 6, pertanto sono (-7, 6 ± 5 112 ); lo stesso vale per i fuochi, che hanno coordinate (-7, 6 ± 14112 ); infine gli asintoti hanno equazione y- 6 = ±(5 112 /9 112 ){x + 7).

l=

ESEMPIO

l O

-7

SECONDA VERSIONE

Considero ancora l'iperbole ~(y:--_...;6):-2 - (x + 7)2 5 9

=1

e come nel caso dell'ellisse la disegno con un procedimento alternativo. Poiché il centro è nel punto di coordinate (-7, 6), l'asse focale è ora la retta verticale x = 6. Per trovare i vertici pongo x =6, ottenendo

Coniche

(y- 6)2 - (-7 + 7)2 5 . 9

=1

(y- 6) 2 = 5

da cui y = 6 ± 5 112 , quindi i punti hanno ora coordinate (-7, 6 ± 5 112 ). Per la stessa ragione vale (-7, 6 ± 14 112 ). ESEMPIO

l l

Disegniamo l'iperbole 25x 2 - 4y 2 + 50x- 12y + 116 =O

(-1,-1- jg) (-1.-]-m)--r7~-• l=

-1

Come per l'ellisse dell'Esempio 7, completo il quadrato; qui però c'è un segno "meno". 25x 2 + 50x- 4y 2 - 12y =-116

25(x + 1)2 -100

123

124

C A P l T O LO l l

( y + ~)2 ~-2;. ___

25

-

(x+ 1)2 4

=1

Il centro è (-1, -3/2), i vertici (-1, -3/2 ± 25 112 ), i fuochi (-1, -3/2 ± 29 112 ) e infine le equazioni degli asintoti y + 3/2 = ± (25 112 /4 112 )(x + 1). Potreste anche incontrare il problema in un certo senso "inverso" rispetto al precedente: non quello di disegnare una curva di cui conoscete l'equazione, bensl quello di ricavare l'equazione di una curva da alcuni dati. ESEMPIO

Y 5, potrei credere che valga x 2 > x (anche se per x = 1 vale 12 = 1, quindi è perlomeno x 2 ~x). Ma avrei torto, perché per O < x < 1 la situazione si "capovolge", e risulta x > x 2 • Infatti, per esempio (1/2)2 = 1/4 < 1/2: talvolta l'elevazione al quadrato rende i numeri più piccoli! Cosa accade per x =O? Come per x = 1, vale x 2 =x. E per x< O? Qui il confronto diventa "impari", tra x, che è negativo e x 2 , che è in ogni caso positivo, cosicché indubbiamente x 2 > x.

Quiz

IIJI#iili·MI

Confrontare x e Vx. Anche in questo caso si tratta di stabilire se è più grande x, oppure se è più grande Vx, oppure se ciò dipende dal valore di x; e anche in questo caso la risposta giusta è la terza. Per x> 1 risulta x> Vx (per esempio 9 > 9112 ). Per x = 1 si ottiene 1 = l, quindi x = Vx. Per O < x < 1 risulta Vx > x (attenzione!). Per x = O vale O = O, quindi x = Vx. E per x < O? In questo caso il confronto non è nemmeno possibile, per la semplice ragione che Vx non è definita (non esiste la radice di indice pari di un numero negativo).

UN TEST DI PROVA Provate a rispondere al seguente test (non usate la calcolatrice, altrimenti non vi serve a nulla). I primi 11 sono confronti; per ogni riga, in corrispondenza dei valori indicati a sinistra, dovete confrontare i valori assunti dall'espressione della colonna A e da quella della colonna B e dare una delle seguenti quattro risposte: rispondete (A) se secondo voi A > B, (B) se B > A, (C) se A = B e infine (D) se non si verifica nessuno dei tre casi. A B al az 1. 2. x> 2000

Yx+v2

Vx+2

3. 73