Ampliació de Mecànica. Resolucions de qüestions i problemes 84-920850-9-6

Table of contents :
Portada
......Page 1
Contingut
......Page 3
Qüestions d'enllaços i potències virtuals. Recull A......Page 5
Qüestions Globals. Recull B......Page 9
Problemes......Page 15
Resolucions del recull A
......Page 17
Resolucions del recull B
......Page 23
Resolucions dels problemes
......Page 33
Respostes dels reculls de qüestions
......Page 35
Resultats dels problemes
......Page 36

Citation preview

________________________________________________________

ampliació de MECÀNICA resolucions de qüestions i problemes

________________________________________________________ Amb 23 qüestions i 2 problemes

Joaquim Agulló i Batlle Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona

Aquest llibre ha esta escrit a Palau Sardiaca, Alt Empordà el mes d’agost de 2005

PUBLICACIONS

OK

PUNT

Barcelona

Dr. J. Agulló i Batlle Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona Diagonal, 647. 08028 BARCELONA

Ampliació de MECÀNICA. Resolucions de qüestions i problemes. Vol.1 1a edició Els dibuixos han estat fets per l’autor © 2006 per l’autor Edita:Publicacions OK PUNT, 2006 Gran Via Carles III, 55 08028 Barcelona

Imprimeix: cpda-etseib Diagonal, 647 08028 Barcelona

I.S.B.N.: 84-920850-9-6 Dipòsit Legal: B.5.030-2006

Queda rigorosament prohibida, sense l’autorització escrita del titular del copyright i sota les sancions establertes en les lleis, la reproducció total o parcial d’aquesta obra per qualsevol mitjà o procediment, incloses la reprografia i el tractament informàtic.

CONTINGUT

AMPLIACIÓ DE MECÀNICA. Reculls de qüestions A B

7 qüestions d’enllaços i Pot. Virt.

1

Resolucions

13

16 qüestions globals

5

Resolucions

19

Problemes PA PB

Potències virtuals – Lagrange

11

Resolució

29

Vibracions – Dinàmica percusiva

12

Resolució

30

Respostes de les qüestions Resultats dels problemes

31 32

NOTA: El temari, així com la terminologia i notació, corresponen als textos del mateix autor: “MECÀNICA de la partícula i del sòlid rígid” (OK PUNT, 2002), “MECÁNICA de la partícula y del sólido rígido” (OK PUNT, 2002) “Introducció a la MECÀNICA analítica, percussiva i vibratòria”, (OK PUNT, 1997).

Aquesta publicació recull una experiència de més de tres dècades de docència de mecànica en la que ha contribuït tot el professorat que al llarg del temps ha format part de l’equip docent. Mereix, però, un reconeixement explícit la col·laboració de la professora Ana Barjau en el plantejament de les directrius docents de la publicació.. L’autor, Barcelona. Gener de 2006.

III

1

ENLLAÇOS i POTÈNCIES VIRTUALS. RECULL

ròtules esfèriques

A

1 En la supensió de la roda posterior d’un automòbil, es proposa la substitució de la ròtula esfèrica de O per una junta de creuera. Què es pot afirmar a propòsit de possibles redundàncies i mal condicionament (MC)?

O xassís

q p

A B C D E

q' p' eix de la roda

No hi hauria redundància. Hi hauria 1 redundància però sense MC. Hi hauria 2 redundàncies i 1 grau de MC. Hi hauria 1 redundància i 1 grau de MC. Hi hauria 1 redundància i 2 graus de MC.

2 En un sòlid que té diversos enllaços amb el terra, s’observa que si se suprimeix una restricció d’enllaç el sòlid passa a tenir un grau de llibertat que no tenia. A propòsit de la redundància i mal condicionament (MC) associats a l’enllaç que es suprimeix es pot concloure: A B C D E

No és redundant. És redundant però sense MC. És redundant amb 1 grau de MC. O no és redundant, o és redundant amb 1 grau de MC. O no és redundant, o és redundant amb més d’1 grau de MC.

r'

L

L

L r ròtula esfèrica

3 Es proposa la substitució de les 3 frontises d’una porta pels 3 enllaços representats a la figura constituïts per barres amb ròtules esfèriques als extrems. Un extrem unit a la porta i l’altre unit al marc. Què es pot afirmar a propòsit de la redundància i del possible mal condicionament (MC)? A B C D E

No hi Hi ha Hi ha Hi ha Hi ha

ha redundància ni MC. 2 redundàncies però no hi ha MC. 2 redundàncies i 2 graus de MC. 2 redundàncies i 3 graus de MC. 2 redundàncies i 4 graus de MC.

2

QÜESTIONS D’ENLLAÇOS i POT. VIRT

4 En el sistema de la figura les barres formen triàngles isòscels. El motor està inactiu i a l’articulació Q hi ha un parell Γ frec de frec sec suficient per mantenir el sistema en repòs en la configuració θ 0 . La partícula P té massa m. Les altres masses i resistències passives són negligibles. Quin és el mínim valor per a Γ frec ?

g L

P, m

L L

O

θ0

Q motor no llisca

Γ frec

A B C D E

g L

P, m

L

Γ

roda

L

O

θ

Q

5 En el sistema de la qüestió anterior, el motor que actua entre barra i roda passa a aplicar a la roda –que no llisca sobre el terra i té un radi R = L 2 – un parell Γ adequat per fer augmentar l’angle θ amb velocitat angular θ˙ constant. Quant val Γ ?

motor no llisca

Γ frec

mgL cos θ 0 mg2 L cos θ 0 mgL cot θ 0 mg2 L cot θ 0 mgL(1 + sin θ 0 )

A B C D E

( ) 2( mgL cos θ + Γ ) (1 + 4 sin θ ) 2( mgL cos θ + Γ ) (1 + 8 sin θ ) 2( mgL cot θ + Γ ) (1 + 4 tan θ ) 2( mgL + Γ + mL θ˙ ) (1 + 4 sin θ ) 2 mgL sin θ + Γ frec (1 + 4 cos θ ) frec

frec

frec

2

2

frec

6 En el sistema de la qüestió anterior, quin és el mòdul de la força horitzontal d’enllaç que cadascuna de les barres de longitud L tramet a la corresponent barra de longitud 2L? A B C D E

Γ frec (2 L sin θ ) Γ frec ( L sin θ )

(Γ (Γ (Γ

)

frec

+ 2Γ ( L sin θ )

frec

+ Γ ( L sin θ )

frec

+ 2Γ − mgL cos θ ( L sin θ )

)

)

RECULL A

sòlid

enllaç de creuera enllaç prismàtic enllaç de creuera

7* Es vol immobilitzar, respecte al terra i sense mal condicionament, el moviment d'un sòlid a l'espai. Es preten fer-ho per mitjà d'elements d'enllaç entre terra i sòlid com el representat a la figura, format per un enllaç prismàtic amb enllaços de creura als extrems. És possible? Quants enllaços caldrien? A B C

D

terra

És possible i en calen 3. És possible i en calen 6 No és possible perquè amb 2 d'aquests enllaços es pot impedir la rotació del sòlid, i si se'n posen més hi hauria redundància. No és possible perquè amb 3 d'aquests enllaços es pot impedir la rotació del sòlid, i si se'n posen més hi hauria redundància.

[resolució a la pàg. 13]

3

5

QÜESTIONS GLOBALS. RECULL

1 La placa de la figura està subjectada als punts fixos P, Q, R i S per mitjà de les 4 barres amb ròtules esfèriques en els dos extrems. Quin és el nombre de redundàncies i el grau de mal condicionament del conjunt dels 4 enllaços?

P Q S

REDUNDÀNCIES

R A B C D E

R

B

GRAU MAL CONDICIONAMENT

0 1 1 2 2

0 2 3 2 3

2 La màquina portàtil de fer forats té l’eix del motor longitudinal i el rotor gira en el mateix sentit que la broca. Si s’introdueix un moviment d’inclinació de la broca com l’indicat, l’extrem del mànec experimenta alguna tendència a desviar-se?

Q

P S sentit del canvi d'inclinació

No Sí, Sí, Sí, Sí,

cap cap cap cap

cable

2L 2L

2L

m

L

a a a a

P Q R S

3 El bloc de massa m és suportat per l’utilatge format per barres articulades que formen paral·lelògrams. Quina és la força normal d’enllaç als punts de subjecció?

g

θ

A B C D E

A

(5/2) mg tanθ

B

(5/2) mg cotθ

C

(7/2) mg tanθ

D

(7/2) mg cotθ

E

(9/4) mg tanθ

6

QÜESTIONS GLOBALS

4 El moviment de la placa és frenat pel corró l’eix del cual está unit a terra per un basculant. El corró és solidari al disc de fre que rep el parell de frenada Γ aplicat des d’un suport articulat a l’eix del corró i que no gira perquè està retingut per la barra PP’ que té ròtules esfèriques als extrems. Quin és el valor de la força normal d’enllaç en el contacte corró-placa?

g L

L

Γ→corró m v placa

P

Q'

P'

P

A B C D E

m

2L

2L

ωP

diferencial central

ωm

P'

ωQ

ω1 ω 2 Q

ωP' ωQ'

mg + (2Γ/L) mg -(2Γ/L)

E

mg + (Γ/2L)

Q

P 30° m

O

C D

i a la barra PQ en l’extrem P. Les dues barres són mantingudes en posició horitzontal per la barra prima PP’, amb articulacions a P i P’, i pel cable QQ’. Quina és la força que fa la barra PP’?

cable

30°

mg + (Γ/L) mg - (Γ/L)

5 La barra OP està articulada a la paret en el punt O

g

P'

A B

Q'

mg (3/2) mg 2 mg (5/2) mg 3 mg

6 En un automòbil amb tracció a les quatre rodes (d’igual radi) i amb diferencial central, es i verifica ω 1 = λ (ω P + ω P' ) , ω 2 = λ ω Q + ω Q'

(

)

ω m = η1ω 1 + η2ω 2 . Si es negligeixen les inèrcies a

la rotació de les rodes i del elements de la transmissió, així com les seves resistències passives, quina és la relació Fp FQ entre les forces motrius de les rodes P i Q? A B C D E

η1 η2 η2 η1 (η1 − η2 )λ2 (η1 − η2 ) λ2 (η2 − η1 )λ2

RECULL B

R

ϕ1 1

tor

mo

tor

mo

2

ϕ2

7 Un vehicle de magatzem està motoritzat per dues rodes motrius coaxials que no llisquen sobre el terra i que estan propulsades per motors independents que introdueixen les velocitats ϕ˙ 1 i ϕ˙ 2 . En els extrems del vehicle hi ha rodes autoorientables que fan de sòlids auxiliars d’enllaç i que són equivalents a topalls sense frec amb el terra. Es poden trobar les equacions del moviment directament com a equacions de Lagrange ordinàries? A B C

Sí. No, perquè el sistema és no conservatiu. No, perquè el sistema està descrit per velocitats associades a pseudocoordenades. D No, perquè hi ha graus de llibertat de sòlid lliure. E No, perquè el sistema és no holònom.

8 En un ascensor la flexibilitat i dissipació energètica del cable estan representats per les dues molles i l’amortidor indicats a la figura. Es prenen x i y com a coordenades generalitzades per formular les equacions de Lagrange. Quina és la força generalitzada, per a la coordenada y, associada a la força de l’amortidor?

g k x y

c

k'

A B C D E

m

k' k

−2c(2 y˙ − x˙ ) − c( y˙ − x˙ ) −cy˙ −2cy˙ −4cy˙

9 En el sistema de la figura hi ha dos eixos flexibles torsionalment, de constants k i k’ respectivament. Els altres elements són rígids, giren al voltant dels seus eixos i tenen inèrcia a la rotació. Quina és la dimensió i quin és el rang de la matriu de rigidesa per a l’estudi de les petites pertorbacions al voltant de l’estat de repòs amb els eixos lliures de torsió? dimensió A B C D

3 3 4 4

rang 1 3 1 2

7

8

QÜESTIONS GLOBALS E

L1

A B C

L2

D E

m2

Q

2L

2L

No. Només si les 2 masses són iguals, les longituds poden ser diferents. Només si les 2 longituds són iguals, les masses poden ser diferents. Només si les 2 masses i les 2 longituds són iguals. Ho és sempre.

11 En un pla horitzontal llis hi ha la placa quadrada homogènia inicialment en repòs. Si s’aplica la percussió P representada, per a quin valor de x el moviment just després és de rotació al voltant del punt Q? A B C D E

m P L x

e

llis

α

3

10 Un pèndol doble està format per dues partícules de masses m1 i m2. Pot ser un mode propi el moviment oscil·latori amb les dues masses alineades?

g

m1

5

(1/2) L (2/3) L (5/6) L (7/9) L (5/8) L

12 Es desitja que una partícula que cau verticalment respecte al terra, passi a tenir velocitat horitzontal després de col·lidir amb un pla inclinat fix. Si el coeficient de restitució de la col.lisió és e, quin ha de ser l’angle α d’inclinació del pla? A B C D E

e (45°) arc sin (e) arc sin ( e ) arc tan (e) arc tan( e )

RECULL B

Q m col·lisió amb e

v0 const Q' T

v0

45°

13 La partícula Q, que cau verticalment respecte al terra, col·lideix, en la posició Q’, amb el pla inclinat a 45° que es trasllada horitzontalment respecte al terra amb velocitat v0 constant. A l’instant de la col·lisió la velocitat de la partícula també és v0. Quin és, en funció del coeficient de restitució e de Newton, el valor del treball fet per l’actuador percussiu que garanteix la continuïtat de la velocitat del pla mòbil? m v02 (1+e) m v02 (1+e)/ 2 m v02 (1+e) 2 m v02 (1+e)/2 m v02 (1+e) 2

A B C D E

T

9

14 El corró de radi R i massa m té l’eix fix en el braç i rodola sense lliscar sobre el suport cilíndric fix. El braç és de massa negligible. Si trobant-se el sistema en repòs s’aplica la percussió P representada, quina velocitat angular passa a tenir el braç? (es suggereix l’aplicació del formalisme lagrangià percussiu).

2R m

A B C D E

2R P

15 S’aplica la percussió P a la placa representada a la figura, que es troba en repòs. P és perpendicular al pla de la placa. La direcció de la velocitat angular “just després” és la de la recta:

m

P

0 (1/2) P/(mR) P/(mR) (2/3) P/(mR) 2 P/(mR)

2L

L 4L

t 1 2L

s r

P

p

q

A B C D E

p q r s t

10

QÜESTIONS GLOBALS

g

x

k

k

y

16* En el sistema de la figura, que és representatiu d'un ascensor, la flexibilitat del cable està representada per les dues molles de constant k. La massa de la cabina és m, en tant que la inèrcia dels altres elements és negligible. Què es pot afirmar a propòsit de la invertibilitat de la matriu d'inèrcia per a l'estudi de les petites oscil·lacions al voltant de la posició d'equilibri x=y=0? A

m

B C D

És invertible sempre. Ho garanteix el Principi de la Determinació. Només és invertible si el cable no llisca. Només és invertible si el cable llisca. No és invertible perquè s'ha sobresimplificat la descripció de la inèrcia.

[resolució a la pàg. 19]

11

PROBLEMES

PA [POTÈNCIES VIRTUALSLAGRANGE]

g

REL

1 2L

IG

L

ωREL Γ→rotor G r

T O

θ

k

c' r

I'G

C J

no llisca

1 2L

L

R

llisca amb frec viscós de coef. c

El trineu de la figura, que té moviment pla, està propulsat per un corró motriu. El motor que l’impulsa té l’estàtor fix al bastidor del trineu i el rotor és solidari a la politja de radi r que, per mitja de la corretja, mou la politja –també de radi r– solidària al corró motriu. La massa conjunta del bastidor i rotor és m, el moment d’inèrcia del bastidor a G és I G i el del rotor I' G ,. La massa dels altres elements, així com les resistències passives a les articulacions, són negligibles.

Inicialment el sistema es troba en repòs permanent amb θ = θ 0 sense que actuï el motor. Per a aquest estat:

1. Determineu la força de repulsió que fa la molla. Posteriorment passa a actuar el motor però el corró motriu llisca amb frec viscós i no s’aconsegueix que l’esquí del davant iniciï el moviment. L’evolució de θ i ω és general. Per a aquestes circumstàncies: 2.

Formuleu els torsors de forces d’inèrcia de D’Alembert i la força de frec viscós que el corró motriu rep del terra. Podeu dibuixar-les com a vectors amb indicació de l’expressió del seu valor. 3. Determineu la força generalitzada Fθ* associada a la força de frec viscós que el corró motriu rep del terra. 4. Trobeu l’equació del moviment que el mètode de les potències virtuals planteja per a ω. 5. Anomeneu Fm i Fa les forces de repulsió de la molla i de l’amortidor, i trobeu l’expressió de la força normal d’enllaç que el corró rep del terra.

[resolució a la pàg. 29]

12

PROBLEMES

PB [VIBRACIONS-DINÀMICA PERCUSSIVA]

g R

Q

P [percussió] m

ψ ϕ' O no llisca

ϕ 30°

k R

En el sistema de la figura el disc de massa m pot girar sense frec al voltant del seu eix. L’eix del disc té l’extrem O fix a terra per mitjà d’una ròtula esfèrica i és solidari de la roda que no llisca al damunt del pla horitzontal que passa per O. Entre el disc i la roda actua una molla torsional de constant k. La massa de l’eix i roda, així com les resistències passives a les articulacions, són negligibles. Inicialment el sistema es troba en repòs permanent amb ψ = ϕ = 0 , que és configuració d’equilibri. Determineu:

1. La matriu d’inèrcia i la matriu de rigidesa per a l’estudi de les petites pertorbacións de l’estat d’equilibri inicial. 2. Les freqüències i modes propis de vibració, i feu una descripció del moviment corresponent a cada mode propi. 3. Les velocitat angulars ψ˙ 0 i ϕ˙ 0 que s’estableixen si, trobant-se el sistema en repòs a la configuració d’equilibri ψ = ϕ = 0 , s’aplica, en el punt més alt del disc, la percussió P indicada.

[resolució a la pàg. 30]

13

RESOLUCIONS DEL RECULL

A1 O O'

O

A

Idea: Les redundàncies apareixen quan la suma de les restriccions cinemàtiques dels enllaços parcials superen les de la seva composició. El mal condicionament apareix quan la geometria dels enllaços parcials introdueix restriccions addicionals al moviment.

O'

• La barra amb una junta de creurea en l’extrem unit al xassís i una ròtula esfèrica en l’extrem unit al suport de la roda suprimeix 1 GL del suport respecte el xassís: la velocitat de O’ en la direcció de la ϕP barra. (A partir del xassís la junta de creurea permet 2 GL i la ròtula esfèrica n’afageix 3 més ⇒ aquest enllaç permet 2+3=5 GL al suport ϕQ de la roda respecte el xassís i n’elimina per tant 6-5=1). pla de v(O') • Aquest enllaç parcial és, doncs, equivalent a la barra amb dues O' ròtules esfèriques als extrems, que també elimina el grau de llibertat de la velocitat de O’ en la direcció de la barra (El fet que, a partir del pla de v(O') O' xassís, la primera ròtula esfèrica permeti 3 Gl i la segona altres 3 no ha d’enganyar: dels 6 GL permesos, un correspon a la rotació de la barra al voltant del seu eix i no correspon per tant a un GL del suport de la roda respecte al xassís) • Pel que fa a l’altre enllaç parcial, el creat pel trapezi que uneix el suport de la roda al xassís, suprimeix 4 GL perquè el seu primer eix permet 1 GL i el segón n’afageix un altre, de manera que permet 2 GL al suport i intrudueix per tant 6-2=4 restriccions. • No hi redundància perquè la barra elimina una velocitat que és permesa per l’altre enllaç parcial. El trapezi limita v(O' ) a un pla perpendicular als seus eixos de rotació; la barra limita v(O' ) a un pla perpendicular a la barra; ⇒ O’ es pot moure amb 1GL corresponent a la velocitat en la direcció de la intersecció d’aquest dos plans. • No hi ha mal condicionament perquè no hi ha redundància. Per altra banda és fàcil comprovar que la geometria del enllaços parcials permet el desplaçament finit del suport fent ús del GL que té respecte el xassís: el trapezi condiciona O’ a trobar-se damunt del pla perpendicular als seus eixos; la barra condiciona O’ a trobar-se damunt d’una superfície esfèrica de centre O i radi igual a la longitud de la barra. O’ es pot moure finitament damunt de la circumferència intersecció del pla i de l’esfera. [A] ALTERNATIVA. Anàlisi funcional. Els enllaços redundants estan sotmesos a estrictes exigències de precisió dimensional. En el seu muntatge poden aparèixer, per causa d’errors de fabricació, dificultats que forcen a deformar les peces i introdueixen tensions de muntatge.

xassís

Si primer es fa el muntatge de l’enlláç del trapezi i després s’articula la barra al suport de la roda, a l’hora de fixar l’extrem de la junta de creuera al xassís no es presenta cap problema derivat d’errors de fabricació. La mobilitat en les tres direccions de l’extrem de la junta de creuera i la seva direccionabilitat garanteixen que es pugui fixar, malgrat pugui haver-hi errors, com ara, en la longitud de la barra o en la posició d’un punt d’anclatge en el xassís. No hi ha, doncs, redundància i en conseqüència tampoc no hi mal condicionament.

14

A2

QÜESTIONS D’ENLLAÇOS i POT. VIRT.

Idea: La suma de restriccions cinemàtiques dels enllaços parcials, Σrp , així com el nombre de restriccions globals, rg (que tenen en compte la geometria dels enllaços parcials), són iguals –si no hi ha redundància– o superiors al nombre rs de restriccions cinemàtiques resultants de la composició de les dels enllaços parcials. La diferència Σrp − rs –que és el nombre de redundàncies– i la diferència rg − rs –que és el grau de mal condicionament– són valors independents l’un de l’altre. Cal que hi hagi redundància perquè hi hagi mal condicionament però pot no haver-n’hi.

Si es parteix del sistema sense l’enllaç objecte d’estudi –que introdueix una sola restricció cinemàtica–, el sistema té un cert nombre n de GL (i pot tenir redundàncies així com mal condicionament). En introduir l’enllaç:

• Si l’enllaç no és redundant amb els que ja existeixen (suprimeix una velocitat que era possible), elimina 1 GL del sistema, i en no ser redundant no introdueix mal condicionament. En suprimir-lo el sistema guanya un GL i per tant aquesta és una opció vàlida. • Si l’enllaç és redundant amb els que ja existeixen (suprimeix una velocitat que ja ha estat eliminada pels altre enllaços) pot introduir 1 o més graus de mal condicionament (que serien additius als que ja existissin, si és el cas). Si introduís 1 grau de mal condicionamment –la geometria de l’enllaç suprimeix la utilització d’1 GL–, en suprimir l’enllaç el sistema guanya un GL i per tant aquesta és també una opció vàlida. • Així doncs, o bé l’enllaç no es redundant amb la resta, o bé ho és i introdueix 1 grau de mal condicionament. [D]

A3 OPCIÓ 1.

Anàlisi cinemàtica.

r'

Idea: El nombre de redundàncies és l’escreix de la suma de restriccions cinemàtiques dels enllaços parcials Σrp

L

respecte al nombre rs de restriccions cinemàtiques de la seva composició. Hi ha mal condicionament –o redundància tangent– si el nombre rg de restriccions “globals” –que tenen en compte la

L

geometria dels enllaços– supera rs .

L r

Ω

• Cada enllaç parcial elimina 1 GL corresponent a la velocitat vertical del corresponent punt de la porta ⇒ Σrp = 3 .

• La composició de restriccions parcials en un punt de l’eix "superposició" "global"

d’articulació de la porta seguiex eliminant el mateix GL, rs = 1, hi ha doncs 3-1=2 redundàncies. • L’anàlisi global posa de manifest que la porta només té el grau de llibertat de rotació vertical, rg = 6 − 1 = 5 > 1, hi ha, doncs, mal condicionament (amb grau 4).

[E]

RESOLUCIONS RECULL A

15

OPCIÓ 2. Anàlisi a partir dels torsors d’enllaç. Idea: El nombre de redundàncies coïncideix amb el nombre d’indeterminacions d’incógnites d’enllaç, que és l’escreix de la suma de les incógnites dels enllaços parcials Στ p respecte al nombre τ s de restriccions cinemàtiques de la

r'

seva composició. Hi ha mal condicionament si el nombre τ g de restriccions “globals” –que tenen en compte la geometria dels enllaços– supera rs .

• El torsor d’enllaç de cada enllaç parcial es limita a 1 incógnita: la força vertical vertical ⇒ Στ p = 3 . r

"composició"

• La composició dels torsors d’enllaç parcials en un punt de l’eix

"global"

d’articulació de la porta seguiex segueix limitant-se a la força vertical, τ s = 1 , hi ha doncs 3-1=2 indeterminacions o redundàncies. L’anàlisi global posa de manifest que la porta només té el grau de llibertat de rotació vertical, i per tant el torsor global té 5 incógnites τ g = 5 > 1 , hi ha, doncs, mal condicionament (amb grau 4). [E]

OPCIÓ 3. Anàlisi funcional. Idea: Els enllaços redundants estan sotmesos a estrictes exigències de precisió dimensional.En el seu muntatge poden aparèixer dificultats, per causa d’errors de fabricació en nombre igual, com a mínim, al de redundàncies. (El mal condicionament en pot incrementar el nombre). Hi ha mal condicionament si l’aplicació de forces finites es tradueix en la necessitat de forces d’enllaç que tendeixen a ∞.

• Si dues de les barres són més curtes –en quantitats diferents– del que correspon estrictament al disseny, només es podrà muntar un enllaç parcial i apareixen dues dificultats de muntatge –cadascuna de les altres dues barres s’hauria d’allargar de manera independent–. ⇒ hi ha redundància. • L’aplicació, com ara, d’una força horitzontal en el pla de la porta es tradueix en forces de mòdul ∞ als enllaços –en realitat forces molt intenses que per mitjà d’inclinacions molt petites de les barres originen la component horitzontal que equilibra la força aplicada. ⇒ hi ha mal condicionament. De fet hi ha quatre components del torsor global d’enllaç –tantes com grau de mal condicionament o de redundància tangent– que provenen de les forces d’enllaç verticals que tendeixen a ∞, són les associades als moviments impedits per la geometria dels enllaços (són les representades en gris a la figura). • El conjunt d’enllaços presenta, doncs, redundància i hi ha mal condicionament. En haver-hi mal condicionament la determinació del nombre de redundàncies a partir de les dificultats de muntatge demana una anàlisi més aprofundida. (com la que es pot trobar a la resolució de la qüestió1 del recull B, pàg. 19). [E]

16

QÜESTIONS D’ENLLAÇOS i POT. VIRT.

A4

Idea: Aplicació del mètode de les potències virtuals al cas estàtic –sense forces d’inèrcia de D’Alembert– i amb un moviment virtual compatible amb tots els enllaços.

mg

L L θ0 Γ frec min θ0

mov. virtual

• El moviment virtual està definit per θ˙ * compatible emb tots els

θ*2L

enllaços. A la figura estan representades les velocitats virtuals que tenen potència virtual associada. L’equació del mètode és:

θ* O

• Les forces i moments a tenir en compte són: el pes i els parells de frec mínim Γ frec min (ació i reacció) que, en impedir el moviment de disminució de θ , tenen els sentits mostrats a la figura .

θ0

[

θ˙ * − mg2 L sin θ 0 + 2Γ frec

θ*

⇒ Γ frec

A5 mg

Γ frec mov. virt.

θ

θ*2L θ* O

no llisca

Ω*Tbarra= θ* Ω*Troda= 8θ*sinθ

]= 0

= mgL cos θ 0 .

[A]

Idea: Aplicació del mètode de les potències virtual amb un moviment virtual compatible amb tots els enllaços.

Γ barra Γ roda

θ

min

min

• Les forces i moments a tenir en compte són el pes, el parell motor Γ (acció i reacció) i els parells de frec Γ frec , que en oposarse al moviment de θ creixent, tenen els sentits mostrats a la figura.

• El moviment virtual està definit per θ˙ * compatible emb tots els enllaços. A la figura estan representades les velocitats virtuals que tenen potència virtual associada. L’equació del mètode és:

[

]

θ˙ * − mg2 L sin θ 0 − 2Γ frec + Γ 8 sin θ + Γ = 0

θ θ*

4Lθ*sinθ

⇒ Γ (1 + 8 sin θ ) = mg2 L cos θ 0 + 2Γ frec

(

)

⇒ Γ = 2 mgL cos θ + Γ frec (1 + 8 sin θ ) .

[C]

RESOLUCIONS RECULL A

A6

Γ barra Γ roda

mg

F

θ

L

repòs*

θ

2θ*Lsinθ Q

θ*

repòs*

Q'

S

un moviment virtual que trenqui l’enllaç corresponent a la incógnita d’enllaç a determinar i compatible amb la resta dels enllaços.

• Les forces i moments a tenir en compte són els mateixos

• El moviment virtual trenca l’enllaç horitzontal entre les dues

mov. virt.

O

Idea: Aplicació del mètode de les potències virtual amb

considerats per trobar l’equació del moviment – pes, parell motor Γ (acció i reacció) i els parells de frec Γ frec – més la força horitzontal d’enllaç entre una barra de longitud L i una barra de longitud 2L.

Γ frec

F

17

θ*Lcosθ

barres. D’entre les múltiples opcions possibles, una de gran simplicitat és la que mante fixes les barres de longitud 2L en tant que desplaça horitzontalment l’extrem Q de la barra de longitud L i manté fix Q’. Es formula convenientment per mitjà de θ˙ * que implica una velocitat horitzontal 2Lθ˙ * sin θ de Q i una velocitat de desccens vertical Lθ˙ * cos θ de S. L’equació del mètode és:

[

]

θ˙ * F 2 L sin θ 0 − 2Γ frec = 0 . ⇒ F = Γ frec ( L sin θ ) .

[B]

NOTA: L’aplicació del mètode trencant l’enllaç a Q’ en comptes de Q conduiria òbviament al mateix resultat.

sòlid

O

-1 GL de rotació

enllaç de creuera enllaç prismàtic

M 1 moment d'enllaç

enllaç de creuera

A7*

Idea: Per immobilitzar un sòlid cal eliminar els seus 3 GL de desplaçament i els 3GL de rotació.

• L’enllaç creat per la barra prismàtica telescòpica amb juntes de creuera als extrems elimina 1 GL de rotació. • Amb 3 enlllaços d’aquesta mena es poden eliminar els 3 GL de rotació del sòlid, però els que s’hi afegeixin seran redundants perquè eliminen rotacions que ja han estat eliminades. Amb enllaços d’aquesta mena no es poden eliminar els 3 GL de desplaçament.

Idea: Per immobilitzar un sòlid cal introduir enllaços que terra

componguin un torsor d’enllaç amb les 3 components de força i les 3 de moment.

• L’enllaç creat per la barra prismàtica telescòpica amb juntes de creuera als extrems pot introduir una component de moment d’enllaç. • Amb 3 enlllaços d’aquesta mena es poden introduir les 3 components de moment, però els que s’hi afegeixin crearan indeterminació perquè afegiran més incógnites de moment. Amb enllaços d’aquesta mena no es poden introduir les 3 components de força. [D]

19

RESOLUCIONS DEL RECULL

B1 OPCIÓ 1.

B

Anàlisi cinemàtica.

Idea: El nombre de redundàncies és l’escreix de la suma de restriccions cinemàtiques dels enllaços parcials Σrp

Σrp=4

-1

-1 -1

-1

rs=3

rg=6

respecte al nombre rs de restriccions cinemàtiques de la seva composició. Hi ha mal condicionament –o redundància tangent– si el nombre rg de restriccions “globals” –que tenen en compte la geometria dels enllaços– supera rs .

• Cada enllaç parcial elimina 1 GL de la placa, corresponent a la velocitat en la direcció de la barra ⇒ Σrp = 4 .

• La composició de restriccions parcials en un punt del pla de la placa elimina les dues components de la velocitat en el pla de la placa i la rotació al voltant de l’eix perpendicular a la placa –els 3 "composició" "global" GL del moviment de la placa en el seu pla– ⇒ rs = 3 , hi ha doncs 43=1 redundància. • L’anàlisi global posa de manifest que la placa queda immobilitzada, rg = 6 > 3 , hi ha, doncs, 63=3 graus de mal condicionament. [C]

OPCIÓ 2. Anàlisi a partir dels torsors d’enllaç.

Στp=4

1 1 1

τs=3

Idea: El nombre de redundàncies coïncideix amb el nombre de indeterminacions d’incógnites d’enllaç, que és l’escreix de la suma de les incógnites dels enllaços parcials Στ p respecte al nombre τ s de restriccions cinemàtiques de la

1

τg=6

seva composició. Hi ha mal condicionament si el nombre τ g de restriccions “globals” –que tenen en compte la geometria dels enllaços– supera rs .

"composició" "global"

• El torsor d’enllaç de cada enllaç parcial es limita a 1 incógnita: la força en la direcció de la barra ⇒ Σt p = 4 .

• El torsor d’enllaç composició dels torsors d’enllaç parcials en un punt del pla de la placa té les dues components en el pla de la placa i el moment perpendicular a la placa, ⇒ τ s = 3 , hi ha doncs 43=1 indeterminació o redundància. L’anàlisi del torsor global posa de manifest que té les 6 components, τ g = 6 > 3, hi ha, doncs, 6-3=3 graus de mal condicionament.

[C]

20

QÜESTIONS GLOBALS

OPCIÓ 3. Anàlisi funcional. P [δ ] P

δS

δQ

S

δR R

Q

S

P

Idea: Els enllaços redundants estan sotmesos a estrictes exigències de precisió dimensional. En el seu muntatge poden aparèixer dificultats, per causa d’errors de fabricació en nombre igual, com a mínim, al de redundàncies. (El mal condicionament en pot incrementar el nombre). Hi ha mal condicionament si l’aplicació de forces finites es tradueix en la necessitat de forces d’enllaç que tendeixen a ∞.

? • Si les 4 barres són més curtes –en quantitats δ P , δ Q , δ R , δ S diferents– del que correspon estrictament al disseny, la primera barra –com ara la P– es podrà muntar sense dificultat, però poden apareixer P ?1 S dificultats de muntatge per completar la resta dels enllaços. • Si a continuació s’introdueixen els enlllaços de les barres Q i R, hi ha mobilitat suficient per fer el muntatge sense dificultat –cada barra ?3 ?2 elimina una velocitat possible, no són redundants. Amb això la placa ha perdut els 3 GL del moviment en el seu pla. A l’hora de muntar la R Q barra S apareix una dificultat de muntage. Hi ha doncs 1 redundància. • Si en comptes de fer el muntatge de les barres Q i R es passa a er el de la barra S ja apareix una dificultat de muntage. A continuació, en procedir al muntatge de les barres Q i R, apreixen dues noves dificultats de muntage. En aquest cas, però, aquestes dificultats no es corresponen a noves redundàncies perquè les velocitats que eliminen les barres Q i S han estat eliminades prèviament per redundància tangent –o per condicions d’enllaç mal condicionades–. Així doncs, hi ha 1 única redundància. R

Q

• Una vegada fet el muntatge, l’aplicació d’una força perpendicular a pla de la placa o d’un moment

en el seu pla ocasiona forces d’enllaç → ∞ en les barres –per tal de proveir la resultat normal a la placa o el moment en el seu pla que l’equilibri–. Hi ha, doncs, mal condicionament . • Com que hi ha 3 maneres independents d’originar forces d’enllaç → ∞ , hi ha 3 graus de mal condicionament. [C]

≈Mext(G)

Q

B2 ≈GK Ω

≈GK

Idea: Tendeix a girar en sentit oposat al del moment que cal aplicar, moment que ve determinat pel Teorema del Moment Cinètic aplicat a G.

La inèrcia important és la del rotor i la seva rotació ràpida és la que té al voltant del seu eix ⇒ GK ≈ en la direcció de l’eix del rotor i amb el mateix sentit que la Ω . •

sentit del canvi d'inclinació

• El canvi d’inclinació fa canviar la direcció de GK ⇒ GK ≈ perpendicular a l’eix del rotor i en el sentit del canvi de direcció.

•

• D’acord amb el TMC(G) cal un moment exterior Mext (G) = GK que és ≈ perpendicular al pla definit per l’eix del rotor i l’eix tranvesal a la màquina. El fet d’haver d’aplicar aquest moment per garantir el canvi d’inclinació evidencia una tendència de l’extrem del mànec a desplaçar-se en la direcció i sentit Q –si deixés d’aplicar-se el parell el mànec és desplaçaria de bon començament vers Q. [C]

RESOLUCIONS RECULL B

B3

mg

2L

NN N

2L N

L

• El moviment virtual està definit per θ˙ * que trenca la condició d’enllaç del contacte entre les puntes de la pinça i el bloc –les puntes passan a tenir velocitat virtual Lθ˙ * sin θ vers l’interior del bloc– . La compatibilat de l’enllaç de no lliscament entre les puntes i el bloc ⇒ que el bloc tingui la mateixa velocitat virtual vertical 7Lθ˙ * cos θ que les puntes de la pinça. L’equació del mètode és:

repòs*

θ

θ*

• Les forces i moments a tenir en compte són: la força normal N d’enllaç, el pes i la força del cable.

mg

moviment virtual

Idea: Aplicació del mètode de les potències virtuals al cas estàtic –sense forces d’inèrcia de D’Alembert– i amb un moviment virtual que trenqui la condició d’enllaç corresponent a la incógnita d’enllaç que es vol trobar i compatible amb la resta dels enllaços.

2L

θ

21

θ˙ * [ − mg7 L cos θ − 2 NL sin θ ] = 0 7Lsinθ

Lθ*sinθ

Lcosθ

⇒ N=

7 mgL cot θ . 2

[D]

7Lθ*cosθ

B4 Γ→corró Γ→suport

Idea: Aplicació del mètode de les potències virtuals amb un moviment virtual que trenqui l’enllaç corresponent a la incógnita d’enllaç a determinar i compatible amb la resta dels enllaços.

mg •

• En no haver-hi a(G) ni α corró –en rigor GK – el torsor de forces d’inèrcia de D’Alembert és nul. Les forces i moments a tenir en compte són: la força normal d’enllaç N, el pes, i el parell del fre Γ (acció i reacció).

v N moviment virtual L L

Ω*suport = = ω* 2

ω*

• El moviment virtual ha de trencar l’enllaç del contacte entre ω*L

O

CIRsuport

Q

Q'

ω*L

corró i placa. D’entre les múltiples opcions possibles es pot considerar: rotació virtual ω * del basculant al voltant de O, translació vertical del corró amb ω * L i, en no trencar altre enllaç que el del contacte corró-placa, el suport de la mordaça de fre gira al voltant del seu CIR –intersecció de la recta del basculant amb la de la barra QQ’– amb ω * 2 . L’equació del mètode és:

ω * [ NL − mgL − Γ (1 2)] = 0 . ⇒ N = mg +

1Γ . 2 L

[E]

22

QÜESTIONS GLOBALS

B5

Idea: Aplicació del mètode de les potències virtuals al cas estàtic –sense forces d’inèrcia de D’Alembert– i amb un moviment virtual que trenqui la condició d’enllaç corresponent a la incógnita d’enllaç a determinar i compatible amb la resta dels enllaços.

P' FP

30°

• Les forces i moments a tenir en compte són: la força d’enllaç F

mg

mg

d’enllaç que el tirant aplica al punt P d’articulació entre les barres i els pesos.

moviment virtual repòs*

• El moviment virtual ha de trencar l’enllaç entre el tirant i el punt P d’articulació P entre les barres i no n’ha de trencar cap altre. L’únic que verifica aquestes condicions consisteix en la rotació ω * de la barra OP al voltant de O. Amb això P baixa amb v * ( P) = ω * 2 L i els pesos ho fan amb ω * L . L’equació del mètode és:

P' Q

P

O

ω* ω*L 2L

ωP*r

ω*2L

ω*L

ω * [ F 2 L sin 30 º −2 mgL] = 0

2L

⇒ F = 2 mg .

[C]

B6

Idea: Aplicació del mètode de les potències virtuals amb un moviment virtual que trenqui l’enllaç corresponent a la incógnita d’enllaç a determinar i compatible amb la resta d’enllaços.

roda P ωP*

FP

ωm*=η1λωP* Γm

• Pel que fa als torsor de forces de D’Alembert, en

ω1*=λωP*

ωm*=η2λωQ* roda Q Γm

ω2*=λωQ*

ωQ* ωQ*r FQ

negligir la inèrcia a la rotació de les rode només caldria considerar les forces d’inèrcia aplicades als centres d’inèrcia de les rodes i els torsors d’inèrcia del xassís i altres elements, però no cal preocupar-se’n perquè els moviments virtuals es limitaran a la rotacióo de les rodes al voltant del seu eix, de manera que cap d’aquests torsors faria potència virtual. Les forces i moments a tenir en compte són: les forces d’enllaç FP i FQ de propulsió, respectivament, de les rodes P i Q, i el parell motor (acció i reacció).

• Per trobar FP cal trencar la condició d’enllaç de no patinament de la roda P i cap altre, cosa que s’aconsegueix amb la ω P * d’aquesta roda i amb la resta de les rodes en repòs. Amb això, el punt de contacte llisca enrere amb ω P * r i l’eix motriu gira amb η1λω P * L’equació del mètode és: ω P * [ − FP r + η1λΓ m ] = 0 ⇒ FP = η1λ (Γ m r )

• De manera anàloga: FQ = η2 λ (Γ m r ) . Així doncs FP FQ = η1 η2 .

[A]

RESOLUCIONS RECULL B

23

B7 Idea:

Per formular les equacions del moviment directament com a equacions Lagrange ordinàries cal que el sistema sigui holònom i descrit per coordenades independents i les seves derivades temporals primeres. És holònom si té tantes CI com GL. És no holònom si hi ha més CI que GL, és a dir, si el sistema pot fer intervenir, tot maniobrant, unes possibilitats de moviment que no té de manera directa.

P1

y

R θ v

r

ϕ1

O

θ

ϕ2

P3

P2

L L

• El sistema és no holònom i per tant les seves equacions del

moviment no poden ser trobades directament com a equacions de Lagrange ordinàries. [E] • És no holònom perquè els canvis finits ∆ϕ P i ∆ϕ Q no defineixen de manera unívoca la configuració final. Amb uns mateixos valor de ∆ϕ P i ∆ϕ Q es poden fer infinites maniobres que condueixen a configuracions final diferents pel que fa la posició de O, com són la P1, la P2 o la P3 . Així com el canvi d’orientació ∆θ del vehicle sí que esta definit per ∆ϕ P i ∆ϕ Q perquè x

θ˙ = (r 2 L)(ϕ˙ 2 − ϕ˙ 1 ) –i per tant ∆θ = (r 2 L)( ∆ϕ˙ 2 − ∆ϕ˙ 1 ) –, no passa el mateix amb el canvi de

posició

de

O.

Les

integrals

t

∆x = ∫ v(O) cos θdt 0

i

t

∆y = ∫ v(O) sin θdt 0

–amb

v(O) = (1 2)r(ϕ˙ 1 + ϕ˙ 2 ) – condueixen a la posició final de O en funció de com variin relativament al llarg del temps v i θ˙ . Idea: La potència virtual W˙ *[ F ] en el moviment virtual q˙ i * és el producte q˙ i * Fqi *

B8 Famort = k x y

k'

c

c(2y-x)

2y-x x

x

• Cal formular la força de l’amortidor per al moviment real –és a

dir amb x˙ i y˙ – i calcular la seva potència virtual en el moviment virtual y˙ * . El factor de y˙ * és la Fy *.

y

• La velocitat y˙ allarga l’amortidor amb velocitat 2 y˙ , en tant que

x y 2y

x˙ l’escurça amb velocitat x˙ . Així doncs la velocitat d’allargament de l’amortidor és vallarg = 2 y˙ − x˙ i la seva força d’atracció és

Fatrac.

moviment virtual:

amort

= c(2 y˙ − x˙ ).

• En el moviment virtual y˙ * , la velocitat virtual d’allargament de l’amortidor és 2 y˙ * . La potència virtual feta per la força de l’amortidor és

2y* repòs*

W˙ y˙* = y˙ * [ −2c(2 y˙ − x˙ )]

y*

: ⇒ Fy * = −2c(2 y˙ − x˙ ) .

y* 2y*

[A]

24

QÜESTIONS GLOBALS

B9

θ'2

θ'1 θ1

nombre n de GL del sistema, el seu rang és el nombre de modes propis vibratoris, que és igual a n menys el nombre de modes propis de sòlid lliure o de mecanisme. Els modes propis de sòlid lliure o de mecanisme corresponen als moviments independents que no impliquen augment d’energia potencial. Quan aquesta està associada a elements flexibles corresponen als GL del sistema si les rigideses es fan tendir a ∞.

θ2

k' k

• Els GL del sistema es poden descriure per mitjà de les velocitats angulars θ˙1 i . θ˙1' dels extrems de la barra de rigidesa k i de les velocitats angulars θ˙2 i . θ˙2 ' dels extrems de la barres de rigidesa

moviments de mecanisme

  

θ2

  

θ1

k'→∞

k→∞

k' . La velocitat angular de la corona i la del rotor d’eix rígid són formes lineals de θ˙2 ' de la roda central i de θ˙1' del suport portasatèl·lits. La dimensió de [ K ] és doncs 4. • Si les rigideses k i k' de barres → ∞ el sistema té els dos GL de mecanisme θ˙1 i θ˙2 . Així doncs el rang de [ K ] és 4-2=2. [D]

B10

L1

θ m1gθ m2gθ forces actuants

m1Ω2L1θ

Idea: En el moviment vibratori segons un mode propi totes les partícules del sistema es mouen sinusoïdalment, en fase o en oposició de fase, amb la freqüència Ω del mode. En aquest moviment cada partícula ha de rebre la dosi de força de valor mΩ 2 per l’amplitud δ de l’oscil·lació que correspon a la partícula.

•

L2

m2Ω2(L1+L2)θ forces necessàries

(petites oscil·lacions)

Idea: La dimensió de la matriu de rigidesa [ K ] és igual al

Les petites oscil·lacions d’un mode vibratori de freqüència Ω amb les dues masses alineades demanarien –en la direcció tangencial del moviment– una força m1 L1θ˙˙ = − m1Ω 2 L1θ sobre la partícula de massa m1 i una força m1 ( L1 + L2 )θ˙˙ = = − m2 Ω 2 ( L1 + L2 )θ sobre la partícula de massa m2

•

Com que les barres d’unió només poden fer força en la seva direcció –que és normal al moviment– l’única força que actua en la direcció tangencial és la projecció tangencial del pes de cada partícua. Es disposa doncs de m1 gθ per a la massa m1 i de m1 gθ per a la massa m2 .

Com que g no pot ser iguala Ω 2 L1 i a Ω 2 ( L1 + L2 ) al mateix temps, el moviment oscil·latori amb les dues masses alineades no pot ser un mode vibratori. [A]

•

RESOLUCIONS RECULL B

B11

OPCIÓ 1. A partir dels centres de percussió. Idea: Dos centres de percussió conjugats Q i Q’ verifiquen

3L

Q

I G = mhh' on h és la distància de Q a G i h' la de Q’ a G. L-x

m P

25

• Per a la percussió P aplicada, un centre de percussió –el Q’– es troba en el peu de la perpendicular des de G a la recta d’aplicació de P , i l’altre –el Q– , que és el que fa de CIR just després de l’aplicació de P , és a la banda oposada de G a la distància que verifica la relació dels centres de percusssió conjugats. • I G = (2 3)mL2 , G Q ' = L − x , G Q = 3L . I G = m O Q O Q ' ⇒

Q' L

x

(2 3)mL2 = m3 L( L − x )

⇒ x = ( 7 9) L .

[D]

OPCIÓ 2. Aplicació dels teoremes vectorials. CIR

Ω= 3P(L-x)

Idea: La celeritat de G ha de ser el producte de la Ω s

2mL2

per la distància de G al CIR. P v= m

3L

• TQM: P(L-x) P

x

m, IG=(2/3)mL2

v = P m. P( L − x ) 3P( L − x ) • TMC(G): Ω s = . = IG 2 mL2 2 L2 7 s ⇒ x = L. • v = Ω 3L ⇒ 3L = 3( L − x ) 9

B12 normal ev0cosα v0cosα

v0sinα llis

v0

α

[D]

Idea: Les velocitats normals, de separació i d’apropament, es relacionen per mitja de la hipòtesi de Newton.: vns = evva .

• vna = v0 cos α ⇒ vns = ev0 cos α • Però si la velocitat final és horitzontal, la vns s’ha de ralacionar amb la velocitat tangencial v0 sin α per mitjà de la tan α : vns = v0 sin α tan α ⇒ ev0 cos α = v0 sin α tan α ⇒ e = tan 2 α ⇒ α = arctan e .

[E]

26

QÜESTIONS GLOBALS

B13

Idea: El treball fet per un actuador percussiu és el producte de la seva velocitat per la percussió que aplica, amb signe + si ambdós tenen el mateix sentit i signe – si és oposat.

REL

just abans

R AB

normal

T

v0

const

• La velocitat de l’actuador és v0 . La percussió Pa que aplica es

-var

v0

vAB

vREL v0√2

v0 45°

vns ev0√2

Pn=m(1+e)v0√2

v0√2

pot trobar a partir de l’increment de la quantitat de moviment de la partícula. • A la Ref. R solidària a l’obstacle mòbil (que és galileana), –considerada con a REL i la Ref. T com a AB– la velocitat d’incidència de la partícula es troba com a suma de la v AB de descesns i −v ar horitzontal, ambdues de valor v0 . Com que la inclinació del pla és de 45º, v REL és ⊥ al pla ⇒ vna = v0 2 .

• La velocitat final a la Ref. R és la velocitat normal de separació que, d’acord amb la hipòtesi de Newton, és vns = evna ev0 2 .

vna

• La percussió Pa aplicada per l’actuador és igual a l’increment

horitzontal m(1 + e)v0 de la quantitat de moviment de la partícula.

• Així doncs Wa = m(1 + e)v02 .

B14 T

CIR

m

P

Ωroda T =2ω 2R ω2R ω

ω* ω*4R

2R

[A]

Idea: El formalisme Lagrangia: {∆u} = [ M ]−1 {P *} ,

on [ M ] és la matriu d’inèrcia i {P *} el vector de percussions generalitzades.

• [ M ] és la matriu de l’expressió T = 21 {u}T [ M ]{u} de l’energia

cinètica. Com que només hi ha 1 GL, [ M ] es redueix a un escalar M. • Si es pren com a velocitat generalitzada la velocitat angular ω del braç: v(G ) = ω 2 R i Ω roda = 2ω :

T = (1 2)m 4ω 2 R 2 + (1 2)(1 2)mR 2 4ω 2 = (1 2)6 mR 2ω 2 ⇒ M = 6 mR 2 • Per al moviment virtual ω * la “potència virtual” feta per P és W˙ * = ω * [ P 4 R] ⇒ P* = P 4 R .

• Com que es parteix del repòs la velocitat angular final del braç és ω=

P4 R 2 P = . 6 mR 2 3 mR

[D]

RESOLUCIONS RECULL B

B15 4I

I

PL

PL

PL 4I

Idea: Versió percussiva del TMC(G) per un sòlid: ∆Ω Ωs = II G−1 M perc (G) .

• Els eixos longitudinal i transversal de la placa són direccions

P

PL I

27

1 2L

Ω s

*B16

centrals d’inèrcia (DCI) amb moments d’inèrcia I i 4I , respectivament. • El moment de la percussió P té components d’igual valor PL en els dos eixos de la placa. Ω igual al quocient • El moment sobre cada DCI origina un ∆Ω del moment aplicat pel corresponent moment central d’inèrcia. Com que es parteix del repòs: ⇒ component PL I en l’eix longitudinal i PL 4 I en l’eix transversal. Així doncs la Ω s que adquireix la placa té la direcció s. [D]

Idea: En rigor [ M ] és definida positiva perquè qualsevol

moviment del sistema implica energia cinètica T > 0 . Però si se sobresimplifica la descripció de la inèrcia del sistema poden existir moviments que no tinguin energia cinètica associada. En tal cas [ M ] és semidefinida positiva, amb tants valors propis nuls com GL sense energia cinètica associada hi hagi.

x

k

k

x

y y

1(x+y) 2

m

• El bloc té moviment de translació vertical amb velocitat (1 2)( x˙ + y˙ ) i T=

11 2 m( x˙ + y˙ ) 24

x˙

y˙ , la seva energia cinètica és 11 m 1 1 ˙˙ ⇒ [ M ] =  . = m x˙ 2 + y˙ 2 + 2 xy 24 4 1 1

per tant, en funció de

(

i

)

• [ M ] és semidefinida positiva amb rang=1. Aquest fet és indicatiu que hi ha un GL sense energia cinètica associada, que en aquest cas correspon a y˙ = − x˙ , es tracta doncs d’una sobresimplificació de la descripció de la inèrcia del sistema. En haver-hi un sol grau de llibertat amb energia cinètica associada –la translació vertical del bloc– és incorrecte descriure el moviment del sistema per mitjà de 2 GL. [D]

NOTA: Si no hi ha lliscament entre politja i cable, les oscilacions de rotació de la politja correspondrien a un mode propi vibratori amb freqüència pròpia Ω → ∞ . La introducció de la inèrcia a la rotació de la politja resoldria el problema del caràcter semidefinit de [ M ].

29

RESOLUCIONS DELS PROBLEMES v*sep=Lθ∗cosθ0

Lθ∗ T

θ*

F0 θ0

PA

[enunciat a la pàg.11]

1 . Per al mov. virt θ˙ * comp. amb els enllaços

Lsinθ0

(sense actuació del motor):

mg

θ˙ * [ − mgL cos θ 0 + F0 L cos θ 0 ] = 0 ; F0 = mg ω+θ

2. G del conjunt té moviment circular amb θ (t ) al

IG' (ω+θ) Lθ T

θ

Lθ θ

O

voltant de O. L’acceleració angular del bastidor és θ˙˙ i la del rotor ω˙ + θ˙˙ genèricament en el mateix sentit. (torsor de D’alembert a la figura)

mLθ2

2

IGθ

G mLθ

Des de la Ref. R’ el rotor i el corró són vistos amb la mateixa vel. angular perquè les dues politges tenen el mateix radi. En conseqüència seran vistos amb vel. angular igual en qualsevol referència. Per a la ref. T, aquesta és ω + θ˙ . La velocitat de J és igual a la de C

ω+θ R'

T

ω+θ

θ θ

O

(

C J

2Lθsinθ

rotació i que és de sentit oposat. (F a la Fig.).

R(ω+θ)

F=c[R(ω+θ)-2Lθsinθ]

2Lcosθ

3. Per a θ˙ * compatible amb els enllaços:

θ∗

vllisc * = θ˙ * ( R − 2 L sin θ ) i per tant:

θ∗

θ∗

T

)

2Lθ˙ sin θ més la R ω + θ˙ provinent de la

[

]

W˙ * Fθfrec =

θ 2Lθ∗sinθ

[

((

)

θ˙ * −( R − 2 L sin θ )c R ω + θ˙ − 2 Lθ˙ sin θ

Rθ∗

[

]

)]

≡ θ˙ * Fθfrec * 4. Per a ω * compatible amb els enllaços:

[

(

)

((

)

)]

ω * Γ − I' G ω˙ + θ˙˙ − cR R ω + θ˙ − 2 Lθ˙ sin θ = 0

((

)

I' G ω˙ + I' G θ˙˙ = Γ − cR R ω + θ˙ − 2 Lθ˙ sin θ

5. Per a Ω * aplicat al basculant, i mov. vertical

Ω∗ LR sinθ

de Ω∗

T

O

J,

que

implica

rotació

Ω * ( L R) sin θ de sentit oposat:

1 ∗ Ω L 2

Ω∗L

θ

C basculant

)

J N

del

corró

Ω *[ NL cos θ − ( Fm + Fa )( L 2) cos θ

(

) (

− Γ ( L R) sin θ + I' G ω˙ + θ˙˙ ( L R) sin θ ] = 0 1 1 N = ( Fm + Fa ) + Γ − I' G ω˙ + θ˙˙ tan θ 2 R

(

))

amb

30

RESOLUCIONS DELS PROBLEMES

PB

I= 1 mR2+mR2= 5 mR2 4

2

4

I= 1 mR2 2

1

α=

[enunciat a la pàg.12]

1. L’energia cinètica pot ser calculada com de rotació al voltant de O, amb:

30°

ψ

ψ˙ sin α − ϕ˙  2 0 0  1   Ω disc =  ψ˙ cos α  ; [ IO ] = mR 2 0 5 0    4   0 0 0 5      2 1 mR ˙ ˙ sin α T= ψ˙ 2 2 + 3 cos 2 α + 2ϕ˙ 2 − 4ψϕ 2 4

{

R

O

m

ϕ

}

[ (

R

mR 2 2 + 3 cos 2 α [M] =  4  −2 sin α

EI

Ω

k

ϕ

U=

O

ϕ '= 2 ψ

30°

]

−2 sin α  mR 2 17 −4  = 2  16 −4 8 

Com que l’EI de la roda és la recta horitzontal que passa per O, ϕ˙ ' = ψ˙ sin α = 2ψ˙ . En conseqüència l’angle girat per la roda és ϕ' = 2ψ , i l’angle de torsió de la molla: 2ψ − ϕ .

ψ ψ

)

ϕ'= 2 ψ

1  4 −2  2 k (2ψ − ϕ ) → [ K ] = k   2 −2 1 

Det[ K ] = 0 ; rang[ K ] = 1, hi haurà doncs 1 mode propi de sòlid lliure o mecanisme i 1 mode propi vibratori.

2.

[ M ]−1 =

2 15mR 2

2k 8 4  4 17 ; [ D] = 5mR 2  

 8 −4  −6 3   

 λ1 = 0 → ω 1 = 0 8 − λ −4   2 Det  = 0 → λ − 11λ = 0 ;  22 k  λ 11 → ω 2 =  −6 3 − λ   2 = 5mR 2

 λ1 = 0 → ϕ p = 2ψ p 1   1  ; { p1 } =   , { p2 } =  →   2  −0, 75 λ 2 = 11 → ϕ p = −0, 75ψ p { p1 } és de mecanisme i { p2 } és vibratori de freqüència ω 2 rad ⋅ s −1: ϕ es mou en oposició de fase respecte a ψ i amb amplitud 3/4.

ϕp =

3.

8−λ ψp 4

v(Q) = ψ˙R(cos α − sin α ) + ϕ˙R . El W * de P per a ψ˙ * i ϕ˙ * porta a: Wψ * = ψ˙ * [ PR(cos α − sin α )] ≡ ψ˙ * Pψ * ; Wϕ * = ϕ˙ * [ PR] ≡ ϕ˙ * Pϕ *

P ψ˙ 0  −1  ψ  ˙  = [M] P ϕ 0   ϕ

* 2 P  4 3  P 0, 924  = =  *  15mR 2 3 + 15 mR  2, 46 

31

RESPOSTES DELS RECULLS DE QÜESTIONS

A

B

1

A

C

2

D

C

3

E

D

4

A

E

5

C

C

6

B

A

7

D

E

8

A

9

D

10

A

11

D

12

E

13

A

14

D

15

D

17

D

32

RESULTATS DELS PROBLEMES

PA

1.

F0 = mg

2. M(G)

IG' (ω+θ) mLθ2

G

T

O

θ

IGθ

del rotor

M(G) del bastidor

mLθ

F=c[R(ω+θ)-2Lθsinθ]

força de frec viscós

3. 4. 5.

PB

1.

2.

[F

]

((

)

* = −( R − 2 L sin θ )c R ω + θ˙ − 2 Lθ˙ sin θ I' G ω˙ + I' G θ˙˙ = Γ − cR R ω + θ˙ − 2 Lθ˙ sin θ 1 1 N = ( Fm + Fa ) + Γ − I' G ω˙ + θ˙˙ tan θ 2 R θfrec

(

mR 2 [M] = 16 4 [K ] = k  −2

((

(

)

))

)

)

17 −4  −4 8    −2  1 

λ1 = 0 → ω 1 = 0 λ 2 = 11 → ω 2 =

;

22 k 5mR 2

;

{ p1 } = 2 1

  1 { p2 } = −0, 75  

{ p1 } és de mecanisme i { p2 } és vibratori de freqüència

ω 2 rad ⋅ s −1 :

ϕ es mou en oposició de fase respecte a ψ i amb amplitud 3/4. 3.

ψ˙ 0  P 0, 924   . ˙ = ϕ 0  mR  2, 46 