Allgemeine Zahlenlehre, nach streng wissenschaftlichen Principien bearbeitet: Nebst einem Anhange, enthaltend die Elemente der numerischen Rechnens mit der großen Anzahl von Beispielen und Rechnungskunstgriffen [Reprint 2022 ed.] 9783112666203, 9783112666197

Table of contents :
Vorrede
Inhalts-Verzeichniß
Allgemeine Zahlenlehre
Erster Abschnitt
Zweiter Abschnitt. 20 - 28
Zweiter Abschnitt. 29 - 40
Zweiter Abschnitt. 41 - 52
Anhang

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Allgemeine

Z a h l e n 1 e h r e, nach streng wissenschaftlichen Principien bearbeitet,

nebst einem Anhänge, enthaltend

die Elemente des numerischen Rechnens mit einer großen

Anzahl von Beispielen und Rechnungökunstgriffen, verfaßt von

Dr. F. A. H. Willing, Lehrer der Mathematik.

Berlin, Druck und Verlag von Georg Reimer. 1851.

Vorrede. Vorliegendes Werk hat das eigenthümliche Schicksal er­

fahren, daß der Verfasser kurz vor Vollendung desselben aus

dem Leben geschieden ist, ohne daß sich unter seinen Manuscripten

eine Angabe über den von ihm gewünschten Titel, noch eine Vorrede oder ein Jnhaltsverzeichniß

funden haben.

z« seinem Buche vorge­

Von dem Verleger aufgefordert, das Fehlende

zu ergänzen, übernahm ich diese letzte Hinterlassenschaft des mir

einst befreundeten Verfassers, und habe ich, gestützt auf den

Rath des leider jetzt ebenfalls verstorbenen Professor Jacobi

und anderer Gelehrten, diesem Werke die Gestalt gegeben, in der es hier dem mathematischen Publicum vorgelegt wird. In der Absicht des Verfassers lag es, sein Buch in zwei

Abtheilungen zu bringen, deren erste den theoretischen Theil,

die allgemeinen Gesetze der sieben Operationen in der Urzahlen­ lehre und an den Rechnungsformen, der zweite die Realisirung

dieser Gesetze an den bestimmt angegebenen Zahlen enthalten sollte.

Da sich jedoch der Inhalt der zweiten Abtheilung dem

theoretischen Theil nicht genau anpassen ließ, indem sich die

numerischen Anwendungen nur auf die vier ersten, nicht aber

auf die drei höheren Operationen erstrecken konnten,

welche

letzteren, wie z. B. die Berechnung der Logarithmen ganz andere

nicht im Plane dieses Werkes liegende theoretische Kenntnisse vorauösctzcn: so schien es mir so wie Denen, welche ich um

Rach befragte, geeigneter, eine andere Fassung zu wählen und

die für die zweite Abtheilung bestimmten Gegenstände in einem

besonderen Anhänge als Elemente des numerischen Rechnens

abzuhandeln.

Dieser Anhang, welcher sich demnach mit den

Regeln (der Realisirung) des numerischen Addirens, Subtrahirens, Multiplicirens und Dividirens beschäftigt, ist reich an

praktischen Kunstgriffen und Rechnungsvortheilen und einer gro­

ßen Menge von Uebungs-Beispielen. —

Bei der Wahl des

Titels leitete mich zum Theil die Bekanntschaft mit früherenAr-

beiten desselben Verfassers.

Das von mir angefertigte Jnhalts-

verzeichniß wird Denen erwünscht sein, welche sich in dem Buche zurecht finden oder über bestimmte Gegenstände belehren wollen,

da der Verfasser es leider unterlassen hat, die einzelnen Para­

graphen mit geeigneten Ueberschriften zu versehen. Indem ich mir die schwierige Aufgabe gestellt habe, mich möglichst in den Geist des Verfassers hineinzudenken, um ein in seinen Theilen harmonirendes Ganze zu erhalten, wünschte ich jedoch keinesweges, daß das hier Gesagte als mein eigenes mathematisches

angesehen würde,

Glaubenöbekenntniß

da ich

im Gegentheil in wesentlichen Punkten von den Ansichten des

Verfassers abweiche.

Dessenungeachtet dürfte vorliegendes Werk

den zahlreichen Mathematikern aus der Schule des Verfassers

namentlich wegen seiner scharfen Begriffsbestimmungen und der auf dieselben

gegründeten neuen

Bezeichnungen

sowohl

zur

Selbstbelehrung als für den Unterricht angelegentlich empfohlen werden.

Alt-Schöneberg im Juli 1851.

Dr. G. Eisenstein, Privatdoccnt a. d. Universität

äu

Berlin.

Jnhalts-Verzeichniß.

ibisioo

Urzahlenlehre Erster Abschnitt. §. Ibis 5. - 6 — 7.

Erklärung der einfachsten Begriffe. . Zahlenverbindungen durch Addition

....................

1—3 3—9 9—19

- 8 — 9.

Multiplikation

- 10 — 11. - 12 — 13.

Potenziren................................................................ Subtraktion

19— 30 30—46

- 14 — 15. - 16 — 17.

Division

46— 81 81—100

- 18 — 19.

Radication

100 — 126

Logarithmation.

126 — 131

Wissenschaftliche Einheit

Schlußfragen über die Urzahlenlehre.

.

.

131 — 160

Zweiter Abschnitt.

Verallgemeinerung der Urzahlenlehre an den Rechnungsformen...........................

161 — 586

Verallgemeinerung der Gesetze der vier ersten

Operationen. Verallgemeinerung der Gesetze des Addirens und Sub-

- 20.

trahirens.............................................................................. - 21—22.

subtractiver Ausdruck; Null; pos. und neg. Zahl.

- 23. - 24

.

Verallgemeinerung der Gesetze des Multiplicirens und Dividirens..................................................................

25.

161-174

Specialfälle der formellen Differenz; additiver und

. . Subtraktion und

Specialsälle des formellen Quotienten; Bruch.

- 26 -28.

Mischungsgesetze

- 29 — 34.

Multiplikation.................................................................... Mischungsgesetze aller vier Operationen......................

der

Addition,

174-192

192-206 206 -229

229—269 269 — 383

Inhalts-Verzeichnis

VI

Verallgemeinerung der Gesetze des Potenzirens, Radicirens und Logarithmirens. §.35— 37. - 38 — 40.

Ganze Potenzen Differenz-Potenzen

- 41—43. - 44 - 45.

Absolute Wurzeln. Reelle Potenzen.

- 46 — 48. - 49—51.

Wurzeln mit gebrochenem und irrationalem Radicator. Allgemeines Logarithmiren

- 52.

Schlußbemerkungen

Leite 383 — 429

429—479 479 — 515

.

515 — 533 533 — 543 543 — 571 571—586

Anhang enthaltend die Elemente des nume­

rischen Rechnens

587 — 897

- 53.

Erklärung der Zahlensysteme

- 54.

Darstellung der Zahl durch Ziffern nach dem dekadischen

- 55.

System Addition beliebig vieler gegebener numerischer Zahlen.

- 56. - 57.

Subtraktion einer kleineren Zahl von einer größeren. Multiplikation zweier gegebener Zahlen

- 58.

- 59.

Dekadische Division Proben für die vier Operationen

- 60.

Vortheile und Sicherheitsregeln bei der numerischen Addition.

-61.

Vortheile und Sicherheitsregeln bei der Subtraktion. .

- 62.

Multiplikation mit ein- und zweiziffrigem Multiplikator.

- 63.

Verkürzte Multiplikation im Allgemeinen

587 — 594

. .

594 — 604 604 — 612 612-616 616 — 623

.................................

623 — 638

638 — 651 .

651—660

660 — 668 668- 687 687 — 732 732—759

- 64.

Verkürzte Multiplikation für specielle Formen der Faktoren.

- 65.

Fernere Beispiele der verkürzten Multiplikation.

.

759 — 762

- 66.

Methode, die Ziffern des Produktes unmittelbar zu bilden.

762 — 778

- 67.

Vereinfachung des Falles, wenn Multiplikand und Multi­

.

.

778 - 793

plikator einander gleich sind - 68.

Vortheile bei dem gewöhnlichen Verfahren

plikation.

der Multi­

.................................................................

793 — 821 821 — 844

69. - 70.

Methoden der Division Specielle Vortheile beim Dividiren.

......

844 — 859

- 71. -72.

Divisionen für Divisoren von der Form 10'"— i. . . . ----- 10'" — k. . . .

859 — 878 878—884 884- 888

- 73.

-

-----

k. 10*"

1.

- 74.

-

-----

k.10"'

p.

- 75.

--------

10'"+ 1.

. .

. . .

.

888 890 890 - 897

Allgemeine Zahlenlehre. Erster Abschnitt.

u r z a h l e n l e h r e.

1. Erklär ung. Das unterschiedslose leere nur mit sich allein übereinstimmende Etwas sei mit 1 bezeichnet und heiße Einheit. 2. Erklärung. Da durch solche nichts weiter gegeben ist, als 1 ist 1, so entsteht durch die fortwährende Rückkehr derselben zu ihrem Begriffe 1, 1, 1, . . . — *)

welche endlose Reihe der wiederholten Einheit Einheiten-Schema heißen möge. 3. Erklärung. Dasselbe ist aber nur wieder dadurch, daß es einzelne unmittelbar auf einander folgende Inbegriffe der wiederholten Einheit unterscheiden läßt, wodurch die Reihe

(1, l/)> (1/1/

(1/1/1/1/)} (1,1,1,1/1/)> - • • ~~

entsteht, für deren Glieder späterhin bezüglich 2; 3; 4j gesetzt werden kann.

5;

• . .

Dieselbe heiße Zahlenreihe, jedes ihrer Glieder Zahl, und diese heiße kleiner oder größer in Rücksicht einer andern, je nach­ dem sie letzterer voran oder nachsteht; es giebt demnach eine kleinste Zahl, nämlich 2, aber keine größte. Um aber zu finden, was von allen Zahlenverbindungen — Ab­ hängigkeiten — gilt, wollen wir die Buchstaben irgend eines Alpha­ bets, z. B. a, b, c, . . ., ak **) zur Bezeichnung allgemeiner oder *) Die Punkte mögen den Fortgang ausdrücken, und das Zeichen ins Endlose statt finden soll.

daß er

**) Das Zeichen «k (ausgesprochen « tief k) möge in der Verbindung: a, b, c,. .., b) oder (a b, a (a+b+..•+«„,) +(p+q+—+^k) = ®+b+."+a4-p4-q+...+/?m+k i d. h. „Sind zwei Summen zu einander addirt, so darf man die Bogen auf einmal fortlaffen," Bemerk. Diese Wahrheit gilt allgemein, wenn auch ein Ausdruck beliebig durch die Addition vermittelst der Bogen (Klammern), zusam­ mengesetzt ist, d. h. man darf beim Addiren beliebig Bogen setzen oder fortlassen, wenn nur immer alles addirt wird.

Beispiele.

1) [a+(p+x)] + [(b + m) + ((t+c)+f] + (k + w)4-u] — a + b + c+f+k+m + p + t + u+w+x; 2) q + [v+[g + (m + (n + p))]+[(h + k)+[(a+ b)+(c+d)]]J — a + b + c + d + g+h+k+m + n + p + q+v.

2) Um G. (g+tt) zu finden, sei a — b die gegebene Gleichung, und c der mit ihr durch die Addition zu verbindende Ausdruck. Da jede Gleichung (in ihrer Ursprünglichkeit), also auch a = b nichts wei­ ter als ein Zeichen für die Übereinstimmung jedes Ausdrucks mit sich

selbst ist, so hat man zu a = a oder zu a ist a den Ausdruck c, wie gefordert, durch die Addition zu verbind?«, und erhält a+c ist a + c, oder da a in der Gleichung a — k> die Form b angenommen hat, a + c ist b + c, d. h. a+c -e b + c. Man hat demnach d- h-

(a = b} + c •—, a + c = b + c; , „ Zu einander gleichen Ausdrucken a, b ein und denselben Aus­ druck c addirt, giebt wieder einander gleiche Ausdrücke: a + c

= b + c."

8

Urzahlenlehre. 3) Es fragt sich nun wieder rückwärts (indirekt), wenn a+c —

b + c vorausgesetzt ist, ob dann auch a = b sein muß.

Ist dies nicht der Fall, so kann a entweder größer oder kleiner

als b sein.

Die Unmöglichkeit dieser Annahme a^b (a i(l entweder

größer oder wenn dies nicht ist kleiner b) nachzuzeigen, erfordert, wie der erste Schritt zeigt, daß wir vorher G. (u+a) gefunden haben. Man hat deshalb aus

[a > b} + c •—) {a = b + x} + c, nach 7. Erkl. u. Lehrs. 2.), a + c — (b + c)+x •—y a + c2>b+c; d- h. „Ist a größer als b, und addirt man zu beiden c, so ist erstere

Summe a + c größer als letztere b + c, obet a+ c^> b + c." Jetzt erst, nachdem das Gesetz für ti + a gefunden ist, sind wir im Stande aus der Voraussetzung a + c — b + c die Beziehung des

a zu b zu entnehmen.

Wäre nämlich a nicht — b, also a entweder

b, so hätte man a+c entweder ^b + c, was gegen die Vor­

aussetzung a+c = b + c streitet; mithin kann a von b nicht verschie­

den sein, d. h. man hat aus a+c — b + c allemal a = b. Ebenso fragt es sich aber auch, ob, wenn a + c > b + c gegeben

ist, dann auch a^> b sein muß?

Wäre nun a nicht größer b, so

könnte a b + c vorausge­

setzt haben.

Es kann also a weder gleich, noch kleiner als b sein,

weshalb a > b ist. 4) Ebenso hat man leicht für G. (g' + g)

{a = b} + {c — d) ■—, a+c = b + d, und es leuchtet ein, daß wenn a + c = b + d gegeben ist, nicht noth­ wendig a = b und c — d zu sein braucht.

Bemerk. Für die übrigen Aufgaben g + S, h + S, 11 + g, 11' + u übersieht man leicht die folgenden Beziehungen. 1) {a = b} + (c+d + ...)t_v + (c+d + ...) = b+(c + d+ ...); 2) {a>b}+ (c + d+ ...)*—>a + (c+d+...)>b + (c + d + ...);

9

Urzahlenlehre.

3) {a = b)+'{c>d}

)a + c>b + d;

4) {a>b} + {c>d}

a + c> h+d.

Schlußbemerk.

Im Vorhergehenden ist namentlich gelehrt:

1) Man darf in beliebiger Ordnung addiren a+b = b + a; die Bogen dürfen fortgelassen oder hinzugefügt werden.

2) Aus

a = b und c = c a + c — b + c.

3) AuS

a b und c = c a+c >• b + c.

4) Ist

a b und c >• d a+c > b + d.

5) Außerdem sind noch die indirekten Sätze von g+a und n+a, und die bedingten indirekten von g'+g und « u festzuhalten.

8. Erklärung u. Lehrsatz.

Das Addiren an sich, wie es sich

an der Summe a+b + c+... + «k entwickelt, so wie auch das bezogene

Addiren, welches an den Aufgaben (Beziehungen) g+

a, u + a, rc.

auftrat, ist nun hiermit vollendet; aber es ist auch gleichzeitig mit dem

Abgeschlossensein dieser Gedankengruppe eine neue eröffnet, indem wir wieder zur Quelle aus denen diese Aufgaben entsprangen, d. h. zur

Summe zurückkehren müssen um den einzelnen Fall des Addirens in a+b + c + ...+«k zu betrachten, wo alle Summanden einander

gleich sind. Ist nämlich

gesetzt,

ein und derselbe Ausdruck a so oft als Summand

wie ein anderer

z. B. k anzeigt, und

hat

man demnach

a + a + a + ... + ak, so leuchtet ein, daß man mit solchen Summen,

wegen ihrer großem

Einförmigkeit,

offenbar

dann leichter operiren

kann, wenn dafür ein kürzeres Zeichen, welches wir aus a und k zu­ sammensetzen müssen, wie z. B. ak oder a.k oder axk, einführen.

Jedes dieser Zeichen ak, a.k oder axk, in untrennbarer Verbin­

dung mit seinem Begriffe, heiße ein Produkt, a der Multipli­

kand *) und k der Multiplikator desselben, und werde a mal k,

*) Oder a der Produktand und k der Produktator.

10

Urzahlrnlehre.

oder a multiplizirt mit k ausgesprochen; ferner ist a bereits mit k multiplizirt, nachdem ak hingeschrieben ist. Endlich heiße die beim Bilden und Vollenden des Produkts in

uns erzeugte Thätigkeit „Multiplikation." Da das Produkt ak blos ein kürzeres Zeichen für die Summe

a+a + a+... + ak ist, und da jede Summefnach 6. Erkl. u. Lehrs.) also auch diese, nämlich a + a + a + ... + ak eindeutig ist, so ist auch

das ihr gleiche Produkt ak eindeutig, oder bezeichnet in jedem Augen­ blicke nur eine einzige Zahl, welche jedoch (eben weil ak der Reprä­ sentant der Summe a + a + ...+ ak ist) von a und k abhängt.

Das

Produkt ab ist in Rücksicht der Glieder - Anzahl ein spezielles, es treibt

sich wie folgt zum Allgemeinen hin: Nachdem a mit b multiplizirt ist, kann man, da ab eine Zahl

bezeichnet, dies Produkt wieder mit c multipliziren, welches giebt (ab)c, so kann man fortfahren und erhält

(. ,.(((a.b).c).d)...)a;

oder wenn man hier wieder übereinkommt, die Bogen, welche wie hier,

blos die unmittelbare Multiplikations-Folge andeuten, fortzulas­ sen, so hat man

a.b.c.dx...X«, d. h. ein Produkt von beliebig vielen Gliedern a, b, c,..., a.

Zunächst ist zu finden, was überhaupt vom Produkt a.b oder vom Multipliziren gilt.

Bekannte zurücksührend

Nun ist aber

das Unbekannte auf das

ab — a + a + a+ ... +.ab.

Für jede

Summe, also auch für diese a + a + a+... + ab gilt, daß man in

beliebiger Ordnung addiren darf.

Am ab hat man, die rechte Seite

der vorstehenden Gleichung betrachtend, jede der a Einheiten b mal gedacht; die erste unter diesen a Einheiten b mal gedacht, giebt b; die zweite der a Einheiten b mal, giebt wieder b, und so erhalten

wir also b Einheiten so oft, wie a Einheiten enthält, oder b + b +... + ba

oder ba.

Es ist also ab = ba.

Oder so:

1 + 1 + • • • + la — a; 1 ^1 + 1 + • • • + la — a; f ab =

(1 + 1+ ... + la — a)b

11

Urzahlenlthre.

In jeder der Vertikalreihen rechts

stehen b Einheiten; solcher

Vertikalreihen sind a, also hat man b-s-b-j-b« = ba; d. h.

„Zwei Ausdrücke a und b dürfen in beliebiger Ordnung mul-

tiplizirt werden,

oder a mit b multiplizirt, stellt so viele

Einheiten vor, wie b mit a multiplizirt."

Untersucht man nun, ob dies sich hier zeigende Gesetz, daß näm­ lich ab = ba ist,

auch noch stattsindet für ein Produkt von beliebig

vielen Gliedern, so wird man zunächst mit Nothwendigkeit darauf ge­

führt, zu finden, ob es noch für (ab)c gilt.

Es ist deshalb

(ab)c ----- ab + ab +... + (ab)c — (»+»+... + ab) + (a+a+... + ab)+... + (a+a+...+ab)c. Addirt man nun alle ersten Summanden dieser c Summen rechts,

so kommt a+a + ... + ac, d. h. ac.

Ebenso durch Addition aller

zweiten Summanden kommt wieder a + a+--- + ac oder ac; mithin

erhält man ac so oft, wie Summanden in der Summe a + a4-...4-ab sind, d. h. b mal.

Es ergiebt sich also

ac + ac +... + (ac)b oder (ab)c — (ac)b.

Um nun zu untersuchen, ob das Multipliziren in beliebiger Ord­

nung noch für jedes Produkt statt findet, sei das allgemeine a.b.cx

... X «.ß.y gegeben, und es fragt sich demnach, ob je zwei beliebige un­ mittelbar neben einander stehende Glieder ihre Stelle in abc x... X «ßr

vertauschen dürfen.

Diese Glieder mögen

aber vorkommen wo sie

wollen, so sind hier nur drei Fälle zu unterscheiden, nämlich erstens

„Verwechselung der beiden äußersten Glieder a, b zur Linken," zwei­ tens „Verwechselung der beiden äußersten Glieder ß, y zur Rechten,"

und endlich drittens „Verwechselung zweier Glieder, die zwischen dem äußersten zur Linken, nämlich a, und dem äußersten zur Rechten, nämlich y stehen."

Für den ersten Fall:

a.b.cx...X«.ß.y — (a.b).cX...X«.^.y = (b.a).cX...Xa./?.y = (weil die Bogen um b.a nur die unmittelbare Multiplikations-Folge andeuten) b.a.cx...X«./?.y, also ist

a.b.cx...Xtt .ß.y ----- b.a.c X...X«.ß.yt

12

Urzahlenlehre.

Für den zweiten:

A.b. CX...Xa.ß.y = (a.b.cx...X«)#7 =, nach a.b.c = a.c.b, (a.b.cX.-.Xa)-/./? — a.b.cX...Xa.y.ß

a.b.cx... X«

— a.b.cX.-.Xa.y.^.

Für den dritten: a.b.cX...Xp.qX...Xa./?.y — (a.b.cX...Xp.q)X...X «.ß.y =

(a.b.cx..Xq.p)X...X«.^.y nach dem zweiten Fall: = a.b.cX...Xq.pX...X«./?7 •—> a.b.cX...Xp.qX...Xa./?./ = a.b.cX...Xq.pX...Xa./?.y;

d. h. „In dem Produkte a.b.cx...X«./$./ dürfen zwei beliebige

neben einander stehende Glieder ihre Plätze mit einander

vertauschen, oder man darf in willkürlicher Ordnung multipliziren." Wahrend also jedes Produkt als Abhängigkeit seiner Glieder er­ scheint , ist es zu gleicher Zeit unabhängig von deren Folge **).

Aus

diesem Grunde mögen die Glieder eines Produkts den gemeinschaftli­ chen Namen Faktoren führen**).

’) Hiernach ist der (in 6. Erkl. u. Lchrs. Bemerk.) allgemeine Fall zn vermitteln. **) Um a.b = b.a abzuleiten, kann man auch so schließen: Sind a und b einander gleich, so ist augenfällig ab = ba, weil a.a = a.a ist. Sind a und b von einander verschieden, so muß einer dieser Ausdrücke

(z. B. a) größer als der andere sein. Es sei also a = b-b x, so fragt es sich, ob (b+x)b = b(b-f-x) ist.

Setzt man hier 8.» und a.a voraus, oder entwickelt sie gleich mit, so wird (b-bx).b = b.(b + x) sein, sobald x.b — b.x ist. Ist x — b, so ist kein *Zweisel. Ist hingegen z. B. x noch größer als b, so sei wieder x = b-f-y,

und man hat also zu zeigen, ob (b + y)b = b (b + y), d. h. ob yb = by ist, wo aber wieder x > y ist u. s. f. Auf diese Weise fortschließend gelangt man zu der Frage, ob t.l = I.t ist, von welcher leicht die Bejahung ein­ leuchtet. Hat man ferner gezeigt, daß (ab) c = (ac)b ist, so läßt sich das Multipliziren in beliebiger Ordnung (wenn der Begriff der Subtraktion voraus­ gesetzt wird) auch so darthun: Stellen Mm und Nm zwei Produkte von den nämlichen m Gliedern, aber

bei jedem in andrer Ordnung mit einander verbunden vor, und setzt man vor­ aus, daß es überhaupt bei Produkten von m—2 und m — I Gliedern nicht auf ihre Ordnung in Betreff der Bedeutung des Produkts ankommt, so hat

13

Urzahlenlehrt. 9. Aufgaben u. Lehrsätze.

Wir wissen nun freilich was vom

Multipliziren an sich selbst gilt, wo nämlich in a.b = b.a sowohl

a als auch b allgemein gedacht sind.

Das Gesetz verlangt aber auch

für die einzelnen Fälle modifizirt zu werden, wo a, b die Form einer

Summe oder eines Produktes annimmt, oder a und b zugleich in diese

Formen übergehn.

(p

Dann kann

bedeutet Produkt)

auch

das Produkt mit

a, s, p

durch die Addition verbunden werden, eben

weil auch diese Operation verlangt, für solche Fälle erweitert zu werden. Endlich ist auch noch der Begriff des Multiplizirens auf die Gleichung

und Ungleichung zu beziehn.

Auf diese Weise formirt sich aus dem

Multipliziren an sich das bezogene Multipliziren, und alle diese besonderen Ausgaben des Multiplizirens gehen also hervor, indem man

a, s, g, ii, p

wechselseitig durch die Addition und Multiplikation

mit einander verbindet.

Dieselben sind daheb

a, u, s, 8, p + a, P + S, P+g, P+wi, a a, s . a, s a, ii. a, s'. s, s ■ 11 . s, 8'-8, n.g, «ii

P

P P P P ii P

P - a, - s. 8, - p - P,

man, wenn a und ß bezüglich die äußersten Glieder zur Rechten in Mm und N,n bezeichnen,

Mm — F.«, N,n= G.ß,

wo F und G Produkte von m—1 Glieder repräsentiren. Nun ist aber nach der Voraussetzung F = v./? und G — u.a, wo v und u Produkte von denselben m—2 Gliedern darstellen, weshalb

v = u sein muß. Man hat nun Mln = F.« = (v.ß).a und Nln - G.ß - (n.a).A

mithin, da (a.b)c — (a.c)b vorausgesetzt wird Mm = Nln,

d. h. für zwei Produkte von gleich vielen und denselben Gliedern ist ihre Folge willkürlich, weil dies schon für ein Produkt von 2 und 3 Gliedern erwie­ sen ist, mithin nach diesen Schlüffen auch für eins von vier Glieder gilt u.s.w.

14

Urzahlenlehre. 1) Von p

a gilt was von jeder Summe gilt, a + p = p4-a,

und ist p gegeben,

so darf man die Faktoren verwechseln.

für p + s und p + p.

Eben so

Ferner G. (g + p) | G. (g + a) und

@. (u+p) | ®. (ii+a) | ®. (g+a).

Man wendet also bei die­

sen in der ersten Horizontalreihe vorkommenden Ausgaben die vom

Addiren gelehrten Gesetze an, und weiter findet sich in dieser Allge­

meinheit nichts heraus. 2) Für a'. a haben wir schon a'.a — a.a'. 3) ®. (s. a) | ®. (s 4- s 4~ • • • sÄ). Man hat (a-|-b-|-c4-... —}-ötic)ni.

Dies Produkt bezeichnet eine Summe von m Summanden, jeder ist

a+b + c+ ... + «k, enthält also so viele Einheiten, wie a,b,c,...,«k zusammengenommen.

Jeder einzelne dieser m Summanden enthält

das a, b, c,...,«k einmal, also enthalten alle m Summanden das a,b,c,...,«k auch m mal; man hat demnach (a+b+c + ... + «j4*b4~c4~- - -4-«k)m; also da man in b. Ord. addiren darf, und in allen diesen m Summen das a, m mal, das b ebenfalls m mal..., endlich das « auch m mal vorkommt:

=(a4-a4-...4-am)4-(*’4-b4-—4-bu>)4-(c4-c4-—4-cm)4-—4-(«4-«4-—4-«m)k = am 4-bm 4-cm 4-... 4-(«m)k,

oder (a4-b4-c4-»-*4-«k)m — am4-bm4'Cm4---.4-(a®1)k;

d. h. „Ist eine Summe a4-b4-c4-...4-«k mit einem Ausdruck m

multiplizirt, so sind dadurch eben so viele Einheiten bezeich­

net, alö wenn man jeden der Summanden a, b, c,..., ak mit m einzeln multiplizirt und aus diesen Produkten am,

bm, cm,..., («m)k die Summe am 4- bm 4- cm 4-... 4- (arn)k gebildet hat."

Oder, von rechts nach links gelesen: „Hat man eine Summe am 4-bm 4-cm 4-.. .4- (am)k, in der jeder ihrer Summanden

ein Produkt ist, und haben alle

diese Produkte einen gemeinschaftlichen Faktor m,

so hat

man eben so viele Einheiten vorgestellt, nachdem man die

15

Urzahlenlehre.

Summe a4-b4-c4-...4-ak aus den nicht gemeinschaftli­ chen Faktoren mit dem gemeinschaftlichen Faktor m multiplizirt hat."

4) G. (s'. s) | G. (s.»).

Es sei

(a + b + c+...4-ak).(h + v + u + ...+^m)

gegeben. Dies Produkt bezeichnet Ii4-v4-u4-.. ,4-ßn Summen, deren jede a + b + c-|-.-- + «k ist. Man hat also a 4-b 4- c 4-... 4- «k @in= heilen so oft, wie h und v und u und . . . und ß,n anzeigt, d. h. a + b + c + ...+«k erst h mal, dann noch v mal, dann noch u mal . . . dann noch ß mal, oder es ist (a+b + c + ... + ak)-(h+v+u -|-...+^m) — (a+b+c+.-.+at). h+ (a+b+c+.„4-ak).v+... +(a+b+c+...+«Jl)A

nach 9. 3), = ah + bh + ch 4-... + oh + av + bv+cv 4-... 4-«v4- au4-bu4- cu

4- •..

4*• • • + aß-\- bß 4” vß 4-... 4* “ßk.m *

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(a 4- b 4- c 4* • • • 4- «k) • (h 4-v 4- u4- • • • 4- ßm) — ah4-bh4-ch 4-... 4- ah 4- av4- bv 4- cv 4-... 4- av 4-au4-bu4-cu

4-au4-...4"&ß4"bß-f-cß+... + aßk.m *)>

d. h.

„Sind zwei Summen a4-b4-c4-...4-«k und h4-v4-u4-...-\-ßm mit einander multiplizirt, so hat man dadurch eben so viele Einheiten vorgestellt, als wenn man jeden einzelnen Sum­ manden der einen Summe mit jedem einzelnen Summan­ den der andern multiplizirt, und alle so entstandenen Pro­ dukte zu einer Summe verbindet." Bemerk. Hieraus ist auch leicht zu entnehme«, wie man ein Produkt aus beliebig vielen Summen auf Einmal**) in eine Summe umforme» kann. *) Denn man hat ja jeden der k Summanden so oft wie in anzeigt, also k + k4-...4-km oder k.m einzelne Produkte.

**) Dies Gesetz ist ganz elementar, setzt die Kombinatorische - Analysis durchaus nicht voraus, und ist unmittelbar auf

(a + b++•••) anwendbar.

+ •••)*... X (x + y+z+...)

Urzahlenlehre.

16 Es sei z. B.

(a + b + c).(f+g).(h + k)

gegeben. Man multiplizire die ersten Summanden aller gegebenen Summen mit einander; dies giebt afh. Hierin setze man statt deS ersten Summanden a der ersten Summe, alle übrigen Summanden der ersten Summe, und addire die erhaltenen Produkte bfh, cfh zu afh, dies giebt afh + bfh + cfh. Hierin setze man wieder statt des ersten Summanden f der zweiten Summe, die noch übrigen der zweiten Summe, d. h. statt f jetzt g, und addire das Erhaltene zu afh+bfh + cfh, so kommt afh + bfh + cfh + agh + bgh + cgh. Hierin statt h endlich k gesetzt, und wieder zum Vorigen advirt, giebt afh+bfh + cfh+agh+bgh + cgh + afk +bfk+cf k+agk+bgk+cgk.

Auf diese Weise kann man für (a +b +... + alu). (c + d +... +^n) (f + g + • • • + 7v) X...X(x + y + ...+ sk)v auf einmal die diesem Produkte gleiche Summenform, von mnp x».. X kv Gliedern, entwickeln.

Beispiele. 1) (a+b) (c + d) (f + g) (h + k) (m + n) —

a. c.f.h.m + b. c.f.h.m + a. d.f.h.m + b. d.f.h.m + a. c.g.h.m + b. c.g.h.m + a. d.g.h.m + b. d.g.h.m +

a.c.f.k.m + b.c.f.k.m + a.d.f.k.m + b.d.f.k.m + a.c.g.k.m + b.c.g.k.m + a.d.g.k.m + b.d.g.k.m +

a. c.f.h.n + a.c.f.k.n b. c.f.h.n + b.c.f.k.n a. d.f.h.n + a.d.f.k.n b.d.f.h.n + b.d.f.k.n a.c.g.h.n + a.c.g.k.n b.c.g.h.n + b.c.g.k.n a.d.g.h.n + a.d.g.k.n b.d.g.h.n + b.d.g.k.n.

+ + + + + + +

2) (a + b + c)(d+f)(g + h)(k + m+n) — a.d.g.k+b.d.g.k+c.d.g.k+a.f.g.k+b.f,g.k+c.f.g.k+ a .d.h .k + b.d.h.k+c.d.h.k + a.f.h.k+b.f.h.k + c.f.h.k+ a.d.g.m + b.d.g.m + c.d.g.m + a.f.g.m + b.f.g.m + c.f.g.m+ a.d.h .m + b. d.h.m + c.d.h.m+a.f.h.m + b.f.h.m + c.f.h.m+ a.d.g.n + b.d.g.n + c.d.g.n + a.f.g.n + b.f.g.n + c.f.g.n+ a.d.h.n + b.d.h.n + c,d.h.n + a.f.h.n + b.f.h.n +c.f.h.n. Auf dem gewöhnlichen Wege muß man z. B. 99 einzelne Multiplikationen

machen, wenn 100 solcher Ausdrücke mit einander multiplizirt sind, und erhält dann endlich das Resultat, was hier auf einmal erfolgt. Dies Gesetz findet man in seiner Art zuerst entwickelt in meiner Wissen­ schaft der Math., Berlin bei Dümler 1838. Dort findet sich auch der voll­ ständige Beweis.

3) (a.b + c).(f.g + h.k)[((m + n)p + t)x] — b.f.g.m.p.x + c.f.g.m.p.x 4- a.b.h.k.m.p.x + c.h.k.m.p.x + a. a.b.f.g.n .p.x + c.f.g.n .p.x + a.b.h.k.n .p.x + c.h.k.n .p.x + a. b.f.g.t.x + c.f.g.t. x + a,b.h.k.t,x -|- c.h.k.t.x. 4) [(b + d.e).(g + i.k)].(l + n) + (c.t + p).(q+r)(v+y) — b. g.l + d.e.g.l4-b.i.k.l4-d.e.i.k.l + b.g.n + d.e.g.n + b. i.k.n+d.e.i.k.n+c.t.q.v + p.q.v+c.t.r.v + p.r.v + c. t.q.y + p.q.y + c.t.r.y + p.r.y. 5) P. (i + g) + q • (b + c)J. [(e. f+d). (n . u + w). s] =

n.u.d.b.s.q + w.d.b.s.q + n.u.e.f.b.s.q + w.e.f.b.s.q + n.u.d.c.s.q + w.d.c.s.q+n.u.e.f.c.s.q 4-w.e.f. c.s.q+ n.u.d.i.s.5+w.d.i.s.5+n.u.e.f.i.s.5 + w.e.f.i.s. ö-sn.u.d.g.s.