Algèbre - tous les chapitres 1 à 10
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French Pages 1999
Table of contents :
Mode d'emploi de ce Traité
Introduction
chapitre Ⅰ — Structures Algébriques — 1970
table des matières
§ ⒈ Lois de composition; associativité; commutativité
⒈ Lois de composition
⒉ Composé d'une séquence d'éléments
⒊ Lois associatives
⒋ Parties stables. Lois induites
⒌ Éléments permutables. Lois commutatives
⒍ Lois quotients
§ ⒉ Élément neutre; éléments simplifiables; éléments inversibles
⒈ Élément neutre
⒉ Éléments simplifiables
⒊ Éléments inversibles
⒋ Monoïde des fractions d'un monoïde commutatif
⒌ Applications: I. Entiers rationnels
⒍ Applications: II. Multiplication des entiers rationnels ..
⒎ Applications: III. Puissances généralisées
⒏ Notations
§ ⒊ Actions
⒈ Actions
⒉ Parties stables pour une action. Action induite
⒊ Action quotient
⒋ Distributivité
⒌ Distributivité d'une loi interne par rapport à une autre .
§ ⒋ Groupes et groupes à opérateurs
⒈ Groupes
⒉ Groupes à opérateurs
⒊ Sous-groupes
⒋ Groupes quotients
⒌ Décomposition d'un homomorphisme
⒍ Sous-groupes d'un groupe quotient
⒎ Le théorème de Jordan-Hôlder
⒏ Produits et produits fibres
⒐ Sommes restreintes
⒑ Groupes monogènes
§ ⒌ Groupes opérant sur un ensemble
⒈ Monoïde opérant sur un ensemble
⒉ Stabilisateur, fixateur
⒊ Automorphismes intérieurs
⒋ Orbites
⒌ Ensembles homogènes
⒍ Ensembles principaux homogènes
⒎ Groupe des permutations d'un ensemble fini
§ ⒍ Extensions, groupes résolubles, groupes nilpotents
⒈ Extensions
⒉ Commutateurs
⒊ Suite centrale descendante, groupes nilpotents
⒋ Suite dérivée, groupes résolubles
⒌ /^-groupes
⒍ Sous-groupes de Sylow
⒎ Groupes nilpotents finis
§ ⒎ Monoïdes libres, groupes libres
⒈ Magmas libres
⒉ Monoïdes libres
⒊ Somme amalgamée de monoïdes
⒋ Application aux monoïdes libres
⒌ Groupes libres
⒍ Présentations d'un groupe
⒎ Groupes et monoïdes commutatifs libres
⒏ Notation exponentielle
⒐ Relations entre les divers objets libres
§ ⒏ Anneaux
⒈ Anneaux
⒉ Conséquences de la distributivité
⒊ Exemples d'anneaux
⒋ Homomorphismes d'anneaux
⒌ Sous-anneaux
⒍ Idéaux
⒎ Anneaux quotients
⒏ Sous-anneaux et idéaux dans un anneau quotient
⒐ Multiplication des idéaux
⒑ Produit d'anneaux
⒒ Décomposition directe d'un anneau
⒓ Anneaux de fractions
§ ⒐ Corps
⒈ Corps
⒉ Anneaux intègres
⒊ Idéaux premiers
⒋ Le corps des nombres rationnels
§ ⒑ Limitesprojectives et inductives
⒈ Systèmes projectifs de magmas
⒉ Limites projectives d'actions
⒊ Systèmes inductifs de magmas
⒋ Limite inductive d'actions
exercices
Exercices du § ⒈
Exercices du § ⒉
Exercices du § ⒊
Exercices du § ⒋
Exercices du § ⒌
Exercices du § ⒍
Exercices du § ⒎
Exercices du § ⒏
Exercices du § ⒐
Exercices du § ⒑
Note historique
Bibliographie
chapitre Ⅱ — Algèbre Linéaire — 1970
table des matières
§ ⒈ Modules
⒈ Modules; espaces vectoriels; combinaisons linéaires
⒉ Applications linéaires
⒊ Sous-modules; modules quotients
⒋ Suites exactes
⒌ Produits de modules
⒍ Somme directe de modules
⒎ Intersection et somme de sous-modules
⒏ Sommes directes de sous-modules
⒐ Sous-modules supplémentaires
⒑ Modules de longueur finie
⒒ Familles libres. Bases
⒓ Annulateurs. Modules fidèles. Modules monogènes
⒔ Changement de l'anneau des scalaires
⒕ Multimodules
§ ⒉ Modules d'applications linéaires. Dualité
⒈ Propriétés de HomAE, F relatives aux suites exactes
⒉ Modules projectifs
⒊ Formes linéaires; dual d'un module
⒋ Orthogonalité
⒌ Transposée d'une application linéaire
⒍ Dual d'un module quotient. Dual d'une somme directe. Bases duales
⒎ Bidual
⒏ Équations linéaires
§ ⒊ Produits tensoriels
⒈ Produit tensoriel de deux modules
⒉ Produit tensoriel de deux applications linéaires
⒊ Changement d'anneau
⒋ Opérateurs sur un produit tensoriel; produits tensoriels comme multimodules
⒌ Produit tensoriel de deux modules sur un anneau commutatif
⒍ Propriétés de 𝐄 ⨂𞁕 𝐅 relatives aux suites exactes
⒎ Produits tensoriels de produits et de sommes directes
⒏ Associativité du produit tensoriel
⒐ Produit tensoriel de familles de multimodules
§ ⒋ Relations entre produits tensoriels et modules d'homomorphism.es
⒈ Les isomorphismes 𝐇𝐨𝐦𞁓❨𝐄 ⨂𞁕 𝐅⸴ 𝐆❩ ⟶ 𝐇𝐨𝐦𞁕❨𝐅⸴ 𝐇𝐨𝐦𞁓❨𝐄⸴ 𝐆❩❩ et 𝐇𝐨𝐦𞁞❨𝐄 ⨂𞁕 𝐅⸴ 𝐆❩ ⟶ 𝐇𝐨𝐦𞁕❨𝐄⸴ 𝐇𝐨𝐦𞁞❨𝐅⸴ 𝐆❩❩
⒉ L'homomorphisme 𝐄* ⨂𞁕 𝐅 ⟶ 𝐇𝐨𝐦𞁕❨𝐄⸴ 𝐅❩
⒊ Trace d'un endomorphisme
⒋ L'homomorphisme 𝐇𝐨𝐦𞁞❨𝐄₁⸴ 𝐅₁❩ ⨂𞁞 𝐇𝐨𝐦𞁞❨𝐄₂⸴ 𝐅₂❩ ⟶ 𝐇𝐨𝐦𞁞❨𝐄₁ ⨂𞁞 𝐄₂⸴ 𝐅₁ ⨂𞁞 𝐅₂❩
§ ⒌ Extension de l'anneau des scalaires
⒈ Extension de l'anneau des scalaires d'un module
⒉ Relations entre restriction et extension de l'anneau des scalaires
⒊ Extension de l'anneau d'opérateurs d'un module d'homomorphismes
⒋ Dual d'un module obtenu par extension des scalaires
⒌ Un critère de finitude
§ ⒍ Limites projectives et limites inductives de modules
⒈ Limites projectives de modules
⒉ Limites inductives de modules
⒊ Produit tensoriel de limites inductives
§ ⒎ Espaces vectoriels
⒈ Bases d'un espace vectoriel
⒉ Dimension des espaces vectoriels
⒊ Dimension et codimension d'un sous-espace d'un espace vectoriel
⒋ Rang d'une application linéaire
⒌ Dual d'un espace vectoriel
⒍ Équations linéaires dans les espaces vectoriels
⒎ Produit tensoriel d'espaces vectoriels
⒏ Rang d'un élément d'un produit vectoriel
⒐ Extension des scalaires d'un espace vectoriel
⒑ Modules sur les anneaux intègres
§ ⒏ Restriction du corps des scalaires dans les espaces vectoriels
⒈ Définition des 𝐊’-structures
⒉ Rationalité pour un sous-espace
⒊ Rationalité pour une application linéaire
⒋ Formes linéaires rationnelles
⒌ Applications aux systèmes linéaires
⒍ Plus petit corps de rationalité
⒎ Critères de rationalité
§ ⒐ Espaces affines et espaces projectifs
⒈ Définition des espaces affines
⒉ Calcul barycentrique
⒊ Variétés linéaires affines
⒋ Applications linéaires affines
⒌ Définition des espaces projectifs
⒍ Coordonnées homogènes
⒎ Variétés linéaires projectives
⒏ Complétion projective d'un espace affine
⒐ Prolongement des fonctions rationnelles
⒑ Applications linéaires projectives
⒒ Structure d'espace projectif
§ ⒑ Matrices
⒈ Définition des matrices
⒉ Matrices sur un groupe commutatif
⒊ Matrices sur un anneau
⒋ Matrices et applications linéaires
⒌ Produit par blocs
⒍ Matrice d'une application semi-linéaire
⒎ Matrices carrées
⒏ Changements de bases
⒐ Matrices équivalentes; matrices semblables
⒑ Produit tensoriel de matrices sur un anneau commutatif
⒒ Trace d'une matrice
⒓ Matrices sur un corps
⒔ Équivalence des matrices sur un corps
§ ⒒ Modules et anneaux gradués
⒈ Groupes commutatifs gradués
⒉ Anneaux et modules gradués
⒊ Sous-modules gradués
⒋ Cas d'un groupe des degrés ordonné
⒌ Produit tensoriel gradué de modules gradués
⒍ Modules gradués d'homomorphismes gradués
appendice. Pseudomodules
⒈ Adjonction d'un élément unité à un pseudo-anneau
⒉ Pseudomodules
exercices
Exercices du § ⒈
Exercices du § ⒉
Exercices du § ⒊
Exercices du § ⒋
Exercices du § ⒌
Exercices du § ⒍
Exercices du § ⒎
Exercices du § ⒏
Exercices du § ⒐
Exercices du § ⒑
Exercices du § ⒒
Exercice de l'Appendice
chapitre Ⅲ — Algèbres tensorielles, Algèbres Extérieures, Algèbres Symétriques — 1970
table des matières
§ ⒈ Algèbres
⒈ Définition d'une algèbre
⒉ Sous-algèbres. Idéaux. Algèbres quotients
⒊ Diagrammes exprimant l'associativité et la commutativité
⒋ Produits d'algèbres
⒌ Restriction et extension des scalaires
⒍ Limites projectives et limites inductives d'algèbres
⒎ Bases d'une algèbre. Table de multiplication
§ ⒉ Exemples d'algèbres
⒈ Algèbres d'endomorphismes
⒉ Algèbres de matrices
⒊ Algèbres quadratiques
⒋ Algèbres cayleyenncs
⒌ Construction d'algèbres cayleyennes. Quaternions
⒍ Algèbre d'un magma, d'un monoïde, d'un groupe
⒎ Algèbres libres
⒏ Définition d'une algèbre par générateurs et relations
⒐ Algèbres de polynômes
⒑ Algèbre large d'un monoïde
⒒ Séries formelles sur un anneau commutatif.
§ ⒊ Algèbres graduées
⒈ Algèbres graduées
⒉ Sous-algèbres graduées, idéaux gradués d'une algèbre graduée
⒊ Limites inductives d'algèbres graduées
§ ⒋ Produits tensonels d'algèbres
⒈ Produit tensoriel d'une famille finie d'algèbres
⒉ Caractérisation universelle des produits tensoriels d'algèbres
⒊ Modules et multimodules sur les produits tensoriels d'algèbres
⒋ Produit tensoriel d'algèbres sur un corps
⒌ Produit tensoriel d'une famille infinie d'algèbres
⒍ Lemmes de commutation
⒎ Produit tensoriel d'algèbres graduées relativement à des facteurs de commutation
⒏ Produit tensoriel d'algèbres graduées de mêmes types..
⒐ Algèbres anticommutatives et algèbres alternées
§ ⒌ Algèbre tensorielle, tenseurs
⒈ Définition de l'algèbre tensorielle d'un module
⒉ Propriétés fonctorielles de l'algèbre tensorielle
⒊ Extension de l'anneau des scalaires
⒋ Limite inductive d'algèbres tensorielles
⒌ Algèbre tensorielle d'une somme directe. Algèbre tensorielle d'un module libre. Algèbre tensorielle d'un module gradué
⒍ Tenseurs et notation tensorielle
§ ⒍ Algèbre symétrique
⒈ Définition de l'algèbre symétrique d'un module
⒉ Propriétés fonctorielles de l'algèbre symétrique
⒊ Puissance symétrique 𝒏-ème d'un module et applications multilinéaires symétriques
⒋ Extension de l'anneau des scalaires
⒌ Limite inductive d'algèbres symétriques
⒍ Algèbre symétrique d'une somme directe. Algèbre symétrique d'un module libre. Algèbre symétrique d'un module gradué
§ ⒎ Algèbre extérieure
⒈ Définition de l'algèbre extérieure d'un module
⒉ Propriétés fonctorielles de l'algèbre extérieure
⒊ Anticommutativité de l'algèbre extérieure
⒋ Puissance extérieure w-ème d'un module et applications multilinéaires alternées
⒌ Extension de l'anneau des scalaires
⒍ Limites inductives d'algèbres extérieures
⒎ Algèbre extérieure d'une somme directe. Algèbre extérieure d'un module gradué
⒏ Algèbre extérieure d'un module libre
⒐ Critères d'indépendance linéaire
§ ⒏ Déterminants
⒈ Déterminant d'un endomorphisme
⒉ Caractérisation des automorphismes d'un module libre de dimension finie
⒊ Déterminant d'une matrice carrée
⒋ Calcul d'un déterminant
⒌ Mineurs d'une matrice
⒍ Développements d'un déterminant
⒎ Application aux équations linéaires
⒏ Cas d'un corps commutatif.
⒐ Le groupe unimodulaire 𝐒𝐋❨𝒏⸴ 𝖠❩
⒑ Le 𝖠[𝖷]-module associé à un endomorphisme de 𝖠-module
⒒ Polynôme caractéristique d'un endomorphisme
§ ⒐ Normes et traces
⒈ Normes et traces relatives à un module
⒉ Propriétés des traces et normes relatives à un module ..
⒊ Norme et trace dans une algèbre
⒋ Propriétés des normes et traces dans une algèbre
⒌ Discriminant d'une algèbre
§ ⒑ Dérivations
⒈ Facteurs de commutation III.116⒉ Définition générale des dérivations
⒊ Exemples de dérivations
⒋ Composition des dérivations
⒌ Dérivations d'une algèbre 𝙰 dans un 𝙰-bimodule
⒍ Dérivations d'une algèbre
⒎ Propriétés fonctorielles
⒏ Relations entre dérivations et homomorphismes d'algèbres
⒐ Prolongement de dérivations
⒑ Problème universel pour les dérivations: cas non commutatif
⒒ Problème universel pour les dérivations: cas commutatif
⒓ Propriétés fonctorielles des K-différentielles
§ ⒒ Cogèbres, produits de formes multilinéaires, produits intérieurs et dualité
⒈ Cogèbres
⒉ Coassociativité, cocommutativité, counité
⒊ Propriétés des cogèbres graduées de type 𝐍
⒋ Bigèbres et bigèbres gauches
⒌ Les duals gradués 𝗧❨𝙽❩*ᵍʳ, 𝗦❨𝙼❩*ᵍʳ et ∧❨𝙼❩*ᵍʳ
⒍ Produits intérieurs: cas des algèbres
⒎ Produits intérieurs: cas des cogèbres
⒏ Produits intérieurs: cas des bigèbres
⒐ Produits intérieurs entre 𝗧❨𝙼❩ et 𝗧❨𝙼*❩, 𝗦❨𝙼❩ et 𝗦❨𝙼*❩, ∧❨𝙼❩ et ∧❨𝙼*❩
⒑ Exploitation des produits intérieurs pour le cas d'un module libre de type fini
⒒ Isomorphismes entre ∧ᵖ❨𝙼❩ et ∧ⁿ⁻ᵖ❨𝙼*❩ pour un module libre 𝙼 de dimension 𝒏
⒓ Application au sous-espace associé à un 𝒑-vecteur
⒔ 𝒑-vecteurs purs. Grassmanniennes
appendice. Algèbres alternatives. Octonions
⒈ Algèbres alternatives
⒉ Algèbres caylcyennes alternatives
⒊ Octonions
exercices
Exercices du § ⒈
Exercices du § ⒉
Exercices du § ⒊
Exercices du § ⒋
Exercices du § ⒌
Exercices du § ⒍
Exercices du § ⒎
Exercices du § ⒏
Exercices du § ⒐
Exercices du § ⒑
Exercices du § ⒒
Exercices de l'Appendice
Note historique des chap. II et III
Bibliographie
Index des notations
Index terminologique
chapitre Ⅳ — Polynômes et Fractions Rationnelles — 1981
table des matières
§ ⒈ Polynômes
⒈ Définition des polynômes
⒉ Degrés
⒊ Substitutions
⒋ Différentielles et dérivations
⒌ Diviseurs de zéro dans un anneau de polynômes
⒍ Division euclidienne des polynômes à une indéterminée
⒎ Divisibilité des polynômes à une indéterminée
⒏ Polynômes irréductibles
§ ⒉ Zéros des polynômes
⒈ Racines d'un polynôme à une indéterminée. Multiplicité
⒉ Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine
⒊ Fonctions polynomiales sur un anneau intègre infini
§ ⒊ Fractions rationnelles
⒈ Définition des fractions rationnelles
⒉ Degrés
⒊ Substitutions
⒋ Différentielles et dérivations
§ ⒋ Séries formelles
⒈ Définition des séries formelles. Ordre
⒉ Topologie sur l'ensemble des séries formelles. Familles sommables
⒊ Substitutions
⒋ Séries formelles inversibles
⒌ Formule de Taylor pour les séries formelles
⒍ Dérivations de l'algèbre des séries formelles
⒎ Résolution des équations dans un anneau de séries formelles
⒏ Séries formelles sur un anneau intègre
⒐ Corps des fractions de l'anneau des séries formelles en une indéterminée sur un corps
⒑ Exponentielle et logarithme
§ ⒌ Tenseurs symétriques et applications polynomiales
⒈ Traces relatives
⒉ Définition des tenseurs symétriques
⒊ Produit dans les tenseurs symétriques
⒋ Puissances divisées
⒌ Tenseurs symétriques sur un module libre
⒍ Le foncteur 𝗧𝗦
⒎ Coproduit dans les tenseurs symétriques
⒏ Relations entre 𝗧𝗦❨𝐌❩ et 𝗦❨𝐌❩
⒐ Applications polynomiales homogènes
⒑ Applications polynomiales
⒒ Relations entre 𝗦❨𝐌*❩, 𝗧𝗦❨𝐌❩*ᵍʳ et 𝐏𝐨𝐥❨𝐌. 𝐀❩
§ ⒍ Fonctions symétriques
⒈ Polynômes symétriques
⒉ Fractions rationnelles symétriques
⒊ Séries formelles symétriques
⒋ Sommes de puissances
⒌ Fonctions symétriques des racines d'un polynôme
⒍ Résultant
⒎ Discriminant
exercices
Exercices du § ⒈
Exercices du § ⒉
Exercices du § ⒊
Exercices du § ⒋
Exercices du § ⒌
Exercices du § ⒍
chapitre Ⅴ — Corps Commutatifs — 1981
table des matières
§ ⒈ Corps premiers. Caractéristique
⒈ Corps premiers
⒉ Caractéristique d'un anneau et d'un corps
⒊ Anneaux commutatifs de caractéristique 𝒑
⒋ Anneaux parfaits de caractéristique 𝒑
⒌ Exposant caractéristique d'un corps. Corps parfaits
⒍ Caractéristique des polynômes à différentielle nulle
§ ⒉ Extensions
⒈ La structure d'extension
⒉ Degré d'une extension
⒊ Adjonction
⒋ Extensions composées
⒌ Extensions linéairement disjointes 242
§ ⒊ Extensions algébriques
⒈ Éléments algébriques d'une algèbre
⒉ Extensions algébriques
⒊ Transitivité des extensions algébriques. Corps algébriquement fermé dans un surcorps
§ ⒋ Extensions algébriquement closes
⒈ Corps algébriquement clos
⒉ Extensions de décomposition
⒊ Clôture algébrique d'un corps
§ ⒌ Extensions radicielles
⒈ Éléments radiciels
⒉ Extensions radicielles
§ ⒍ Algèbres étales
⒈ Indépendance linéaire des homomorphismes
⒉ Indépendance algébrique des homomorphismes
⒊ Algèbres diagonalisables et algèbres étales
⒋ Sous-algèbres d'une algèbre étale
⒌ Degré séparable d'une algèbre commutative
⒍ Caractêrisation différentielle des algèbres étales
⒎ Algèbres réduites et algèbres étales
§ ⒎ Extensions algébriques séparables
⒈ Extensions algébriques séparables
⒉ Polynômes séparables
⒊ Éléments algébriques séparables
⒋ Théorème de l'élément primitif
⒌ Propriétés de stabilité des extensions algébriques séparables
⒍ Un critère de séparabilité
⒎ Fermeture algébrique séparable
⒏ Clôture séparable d'un corps
⒐ Degrés séparable et inséparable d'une extension de degré fini V. 44
§ ⒏ Normes et traces
⒈ Rappels
⒉ Normes et traces dans les algèbres étales
⒊ Normes et traces dans les extensions de degré fini
§ ⒐ Éléments conjugués et extensions quasi-galoisiennes
⒈ Prolongement d'isomorphismes
⒉ Extensions conjuguées. Éléments conjugués
⒊ Extensions quasi-galoisiennes
⒋ Extension quasi-galoisienne engendrée par un ensemble
§ ⒑ Extensions galoisiennes
⒈ Définition des extensions galoisiennes
⒉ Groupe de Galois
⒊ Topologie du groupe de Galois
⒋ Descente galoisienne
⒌ Cohomologie galoisienne
⒍ Le théorème d'Artin
⒎ Le théorème fondamental de la théorie de Galois
⒏ Changement du corps de base
⒐ Théorème de la base normale
⒑ T-ensembles finis et algèbres étales
⒒ Structure des extensions quasi-galoisiennes
§ ⒒ Extensions abéliennes
⒈ Extensions abéliennes et clôture abélienne
⒉ Racines de l'unité
⒊ Racines primitives de l'unité
⒋ Extensions cyclotomiques
⒌ Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
⒍ Extensions cycliques
⒎ Dualité des 𝐙∕𝐧𝐙-modules
⒏ Théorie de Kummer
⒐ Théorie d'Artin-Schreier
§ ⒓ Corps finis
⒈ Structure des corps finis
⒉ Extensions algébriques d'un corps fini
⒊ Groupe de Galois de la clôture algébrique d'un corps fini
⒋ Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
§ ⒔ Extensions radicielles de hauteur ≤ 𝟏
⒈ Parties 𝒑-libres et 𝒑-bases
⒉ Différentielles et 𝒑-bases
⒊ Correspondance entre sous-corps et algèbres de Lie de dérivations
§ ⒕ Extensions Transcendantes
⒈ Familles algébriquement libres. Extensions pures
⒉ Bases de transcendance
⒊ Degré de transcendance d'une extension
⒋ Prolongement d'isomorphismes
⒌ Extension agébriquement disjointes
⒍ Familles algébriquement libres d'extension
⒎ Extensions de type fini
§ ⒖ Extensions Séparables
⒈ Caractérisation des éléments nilpotents d'un anneau
⒉ Algèbres séparages
⒊ Extensions séparabes
⒋ Critère de séparabilité de MacLane
⒌ Extensions d'un corps parfait
⒍ Caractérisation de la séparabilité par les automorphismes
§ ⒗ Critères Différentiels de Séparabilité
⒈ Prolongement des dérivationsː cas des anneaux
⒉ Prolongement des dérivationsː cas des corps
⒊ Dérivations dans les corps de caractéristique 𝟎
⒋ Dérivations dans les extensions séparables
⒌ Indice d'une application linéaire
⒍ Propriétés différentielles des extensions de type fini
⒎ Bases de transcendance séparantes
§ ⒘ Extensions Régulières
⒈ Compléments sur la fermeture algébrique séparables
⒉ Produit tensoriel d'extensions
⒊ Algèbres absolument intègres
⒋ Extensions régulières
⒌ Caractérisations des extensions régulières
⒍ Application aux extensions composées
exercices
Exercices du § 1.
Exercices du § 2.
Exercices du § 3.
Exercices du § 4.
Exercices du § 5.
Exercices du § 6.
Exercices du § 7.
Exercices du § 8.
Exercices du § 9.
Exercices du § 10.
Exercices du § 11.
Exercices du § 12.
Exercices du § 13.
Exercices du § 14.
Exercices du § 15.
Exercices du § 16.
Exercices du § 17.
Note Historique ❨chapitres Ⅳ et Ⅴ❩
Bibliographie
chapitre Ⅵ — Groupes et Corps Ordonnés — 1981
table des matières
§ ⒈ Groupes Ordonnés. Divisibilité
⒈ Définition des monoïdes et groupes ordonnés
⒉ Monoïdes et groupes préordonnés
⒊ Éléments positifs
⒋ Groupes filtrants
⒌ Relations de divisibilité dans un corps
⒍ Opérations élémentaires sur les groupes ordonnés
⒎ Homomorphismes croissants de groupes ordonnés
⒏ Bornes supérieure et inférieure dans un groupe ordonné
⒐ Groupes réticulés
⒑ Le théorème de décomposition
⒒ Partie positive et partie négative
⒓ Éléments etrangers
⒔ Éléments extrémaux
§ ⒉ Corps Ordonnés
⒈ Anneaux ordonnés
⒉ Corps ordonnés
⒊ Extensions de corps ordonnés
⒋ Extensions algébriques de corps ordonnés
⒌ Corps ordonnés maximaux
⒍ Caractérisation des corps ordonnés maximaux. Théorème d'EuIer-Lagrange
⒎ Espaces vectoriels sur un corps ordonné
exercices
Exercices du § 1.
Exercices du § 2.
chapitre Ⅶ — Modules sur les Anneaux Principaux — 1981
table des matières
§ ⒈ Anneaux principaux
⒈ Définition d'un anneau principal
⒉ Divisibilité dans les anneaux principaux
⒊ Décomposition en facteurs extrémaux dans les anneaux principaux
⒋ Divisibilité des entiers rationnels
⒌ Divisibilité des polynômes à une indéterminée sur un corps..
§ ⒉ Modules de torsion sur un anneau principal
⒈ Modules sur un produit d'anneaux
⒉ Décomposition canonique d'un module de torsion sur un anneau principal
⒊ Applications : I. Décomposition canonique des nombres rationnels et des fractions rationnelles à une indéterminée
⒋ Applications : II Groupe multiplicatif des entiers inversibles modulo a
§ ⒊ Modules libres sur un anneau principal
§ ⒋ Modules de type fini sur un anneau principal
⒈ Sommes directes finies de modules monogènes
⒉ Contenu d'un élément d'un module libre
⒊ Facteurs invariants d'un sous-module
⒋ Structure des modules de type fini
⒌ Calcul des facteurs invariants
⒍ Applications linéaires de modules libres, et matrices sur un anneau principal
⒎ Groupes commutatifs de type fini
⒏ Modules indécomposables. Diviseurs élémentaires
⒐ Dualité des modules de longueur finie sur un anneau principal
§ ⒌ Endomorphismes des espaces vectoriels
⒈ Le module associé à un endomorphisme
⒉ Valeurs propres et vecteurs propres
⒊ Invariants de similitude d'un endomorphisme
⒋ Endomorphismes trigonalisables
⒌ Propriétés du polynôme caractéristique : trace et déterminant
⒍ Polynôme caractéristique du produit tensoriel de deux endomorphismes
⒎ Endomorphismes diagonalisables
⒏ Endomorphismes semi-simples et absolument semi-simples.
⒐ Décomposition de Jordan
exercices
Exercices du § ⒈
Exercices du § ⒉
Exercices du § ⒊
Exercices du § ⒋
Exercices du § ⒌
Note historique des chapitres Ⅵ et Ⅶ
Bibliographie
chapitre Ⅷ — Modules et Anneaux Semi-simples — 2012
table des matières
Introduction
§ ⒈ Modules artiniens et modules noethériens
⒈ Modules artiniens et modules noethériens
⒉ Anneaux artiniens et anneaux noethériens
⒊ Contremodule
⒋ Polynôme coefficients dans un anneau noethérien
Exercices
§ ⒉ Structure des modules de longueur finie
⒈ Anneaux locaux
⒉ Décomposition de Weyr-Fitting
⒊ Modules indécomposables et modules primordiaux
⒋ Modules semi-primordiaux
⒌ Structure des modules de longueur finie
Exercices
§ ⒊ Modules simples
⒈ Modules simples
⒉ Le lemme de Schur
⒊ Sous-modules maximaux
⒋ Modules simples sur un anneau artinien
⒌ Classes de modules simples
Exercices
§ ⒋ Modules semi-simples
⒈ Modules semi-simples
⒉ L’homomorphism ⊕ᵢ𝐇𝐨𝐦𞁕❨𝐌⸴𝐍ᵢ❩ ⟶ 𝐇𝐨𝐦𞁕❨𝐌⸴⊕ᵢ𝐍ᵢ❩
⒊ Quelques opérations sur les modules
⒋ Modules isotypiques
⒌ Description d’un module isotypique
⒍ Composants isotypiques d’un module
⒎ Description d’un module semi-simple
⒏ Multiplicités et longueurs dans les modules semi-simples
Exercices
§ ⒌ Commutation
⒈ Commutant et bicommutant d’un module
⒉ Modules générateurs
⒊ Bicommutant d’un module générateur
⒋ Contremodule d’un module semi-simple
⒌ Théorème de densité
⒍ Applicatio la théorie des corps
Exercices
§ ⒍ Équivalence de Morita des modules et des algèbres
⒈ Commutant et dualité
⒉ Modules générateurs et modules projectifs de type fini
⒊ Bimodules inversibles et équivalence de Morita
⒋ Correspondance de Morita des modules
⒌ Ensembles ordonnés de sous-modules
⒍ Autres propriétés préservées par la correspondance de Morita
⒎ Équivalence de Morita des algèbres
Exercices
§ ⒎ Anneaux simples
⒈ Anneaux simples
⒉ Modules sur un anneau simple
⒊ Degrés
⒋ Idéaux des anneaux simples
Exercices
§ ⒏ Anneaux semi-simples
⒈ Anneaux semi-simples
⒉ Modules sur un anneau semi-simple
⒊ Facteurs d’un anneau semi-simple
⒋ Idempotents et anneaux semi-simples
Exercices
§ ⒐ Radical
⒈ Radical d’un module
⒉ Radical d’un anneau
⒊ Lemme de Nakayama
⒋ Relèvements d’idempotents
⒌ Couverture projective d’un module
Exercices
§ ⒑ Modules sur un anneau artinien
⒈ Radical d’un anneau artinien
⒉ Modules sur un anneau artinien
⒊ Modules projectifs sur un anneau artinien
Exercices
§ ⒒ Groupes de Grothendieck
⒈ Fonctions additives de modules
⒉ Groupe de Grothendieck d’un ensemble additif de module
⒊ Utilisation des suites de composition
⒋ Le groupe de Grothendieck 𝐑❨𝐀❩
⒌ Changement d’anneaux
⒍ Le groupe de Grothendiec 𝐑𞁚❨𝐀❩
⒎ Structure multiplicative dans 𝐊❨𝒞❩
⒏ Le groupe de Grothendiec 𝐊₀❨𝐀❩
⒐ Le groupe de Grothendiec 𝐊₀❨𝐀❩ d’un anneau artinie
⒑ Changement d’anneau pou 𝐊₀❨𝐀❩
⒒ Réciprocité de Frobenius
⒓ Cas des anneaux simples
Exercices
§ ⒓ Produit tensoriel de modules semi-simples
⒈ Modules semi-simples sur un produit tensoriel d’algèbre
⒉ Produit tensoriel de modules simples
⒊ Produit tensoriel d’algèbres commutatives semi-simples
⒋ Radical d’un produit tensoriel d’algèbres
⒌ Produit tensoriel de modules semi-simples
⒍ Produit tensoriel d’algèbres semi-simples
⒎ Extension des scalaires dans les modules semi-simples
Exercices
§ ⒔ Algèbres absolument semi-simples
⒈ Modules absolument semi-simples
⒉ Algèbres sur un corps séparablement clos
⒊ Algèbres absolument semi-simples
⒋ Caractérisation des modules absolument semi-simple
⒌ Dérivations des algèbres semi-simples
⒍ Cohomologie des algèbres
⒎ Cohomologie des algèbres absolument semi-simples
⒏ Scindage des algèbres artiniennes
Exercices
§ ⒕ Algèbres centrales et simples
⒈ Algèbres centrales et simples
⒉ Deux lemmes sur les bimodules
⒊ Théorèmes de conjugaison
⒋ Automorphismes des algèbres semi-simples
⒌ Sous-algèbres simples des algèbres simples
⒍ Sous-algèbres commutatives maximales
⒎ Sous-algèbres étales maximales
⒏ Sous-algèbres diagonalisables des algèbres simples
Exercices
§ ⒖ Groupes de Brauer
⒈ Classes d’algèbres
⒉ Définition du groupe de Brauer
⒊ Changement de corps
⒋ Exemples de groupes de Brauer
Exercices
§ ⒗ Autres descriptions du groupe de Brauer
⒈ extensions de groupes
⒉ Image inverse d’un -extension
⒊ Image directe d’un -extension
⒋ Loi de groupe sur les classes d -extensions
⒌ Description cohomologique
⒍ Restriction et corestriction
⒎ Algèbres galoisiennes
⒏ Opérations sur les algèbres galoisiennes
⒐ Produits croisés
⒑ Application au groupe de Brauer
⒒ Indice et exposant
Exercices
§ ⒘ Normes et traces réduites
⒈ Compléments sur les polynômes caractéristiques
⒉ Normes et traces réduites
⒊ Propriétés des normes et traces réduites
⒋ La norme réduite est une fonction polynomiale
⒌ Transitivité des normes et traces réduites
⒍ Normes réduites et déterminants
Exercices
§ ⒙ Algèbres simples sur un corps fini
⒈ Polynômes sur un corps fini
⒉ Algèbres simples sur un corps fini
Exercices
§ ⒚ Algèbres de quaternions
⒈ Propriétés générales des algèbres de quaternions
⒉ Centre des algèbres de quaternions
⒊ Simplicité des algèbres de quaternions
⒋ Critères pour qu’une algèbre de quaternions soit un corp
⒌ Algèbres sur un corps ordonné maximal
Exercices
§ ⒛ Représentations linéaires des algèbres
⒈ Représentations linéaires des algèbres
⒉ Dual restreint d’une algèbre
⒊ Coefficients d’un module
⒋ Dual restreint et coefficients matriciels
⒌ Dual d’une algèbre semi-simple
⒍ Caractère d’une représentation
⒎ Coefficients d’un ensemble de classes de module
⒏ Structure de cogèbre sur le dual restreint
Exercices
§ 21. Représentations linéaires des groupes finis
⒈ Représentations linéaires
⒉ Le théorème de Maschke
⒊ Représentations induites et coïnduites
⒋ Représentations et groupe de Grothendieck
⒌ Formule d’inversion de Fourier
⒍ Relations d’orthogonalité de Schur
⒎ Relation d’orthogonalité des caractères
⒏ Fonctions centrales sur un groupe fini
⒐ Cas des groupes commutatifs
⒑ Caractères et groupes de Grothendieck
⒒ Dimension des représentations simples
⒓ Changement de corps de base
⒔ Représentations linéaires complexes
Exercices
Appendice ⒈ Algèbres sans élément unité
⒈ Idéaux réguliers
⒉ Adjonction d’un élément unité
⒊ Radical d’une algèbre
⒋ Théorème de densité
Exercices
Appendice ⒉ Déterminants sur un corps non commutatif
⒈ Une généralisation des formes multilinéaires alternées
⒉ Un théorème d’unicité
⒊ Déterminant d’un automorphisme
⒋ Déterminant d’une matrice carrée
⒌ Le groupe unimodulaire
Exercices
Appendice ⒊ Le théorème des zéros de Hilbert
Appendice ⒋ Trace d’un endomorphisme de rang fini
⒈ Applications linéaires de rang fini
⒉ Trace d’un endomorphisme de rang fini
Exercices
Note Historique
Bibliographie
Index des notations
Index terminologique
chapitre Ⅸ — Formes Sesquilinéaires et Formes Quadratiques — 1959
table des matières
§ ⒈ Formes sesquilinéaires
⒈ Applications bilinéaires
⒉ Applications sesquilinéaires
⒊ Orthogonalité. Sommes directes d'applications bilinéaires ou sesquilinéaires
⒋ Changement d'anneaux de base
⒌ Quelques identités
⒍ Formes bilinéaires et sesquilinéaires. Rang
⒎ Forme inverse d'une forme bilinéaire ou sesquilinéaire
⒏ Adjoint d'un homomorphisme
⒐ Produits tensoriels et puissances extérieures de formes sesquilinéaires
⒑ Calculs matriciels
§ ⒉ Discriminant d'une forme sesquilinéaire
§ ⒊ Formes hermitiennes et formes quadratiques
⒈ Formes hermitiennes et s-liermitieiines
⒉ Modules sur une extension quadratique
⒊ Formes bilinéaires associées à une forme lierinitienne
⒋ Formes quadratiques
§ ⒋ Sous-espaces totalement isotropes. Théorème de Witt
⒈ Sous-espaces isotropes
⒉ Décomposition de Witt
⒊ Théorème de Witt
§ ⒌ Propriétés spéciales aux formes bilinéaires alternées
⒈ Réduction des formes bilinéaires alternées
⒉ Pfafïien d'une matrice alternée
⒊ Groupe symplectique
§ ⒍ Propriétés spéciales aux formes hermitiennes
⒈ Bases orthogonales
⒉ Groupe unitaire et groupe orthogonal
⒊ Projecteurs orthogonaux et involutions
⒋ Symétries dans le groupe orthogonal
⒌ Groupe des similitudes
⒍ Géométrie hermitienne
§ ⒎ Formes hermitiennes et corps ordonnés
⒈ Formes hermitiennes positives
⒉ La loi d'inertie
⒊ Réduction d'une l'orme par rapport à une l'orme lierinitienne positive
§ ⒏ Types de formes quadratiques
⒈ Types de formes quadratiques
⒉ Groupe des types de formes quadratiques
⒊ Anneau des types de formes quadratiques
§ ⒐ Algèbres de Clifïord
⒈ Définition et propriété universelle de l'algèbre de Clifïord
⒉ Quelques opérations dans l'algèbre tensorielle
⒊ Base de l'algèbre de Clifïord
⒋ Structure de l'algèbre de Clifford
⒌ Groupe de Clifford
§ ⒑ Angles
⒈ Similitudes directes dans un plan
⒉ Trigonométrie plane
⒊ Angles
⒋ Secteurs angulaires
Note historique
Index des notations
Index terminologique
Définitions du chapitre Ⅸ
chapitre Ⅹ — Algèbre Homologique — 1980
table des matières
§ ⒈ Compléments d'algèbre linéaire
⒈ Diagrammes commutatifs
⒉ Le diagramme du serpent
⒊ Modules plats
⒋ Modules de présentation finie
⒌ Homomorphismes d’un module de présentation finie
⒍ Structure des modules plats
⒎ Modules injectifs
⒏ Modules cogénérateurs injectifs
⒐ Enveloppes injectives
⒑ Structure des modules injectifs
§ ⒉ Complexes de A-modules
⒈ Complexes de A-modules
⒉ Opérations sur les complexes
⒊ L’homomorphisme de liaison et la suite exacte d’homologie.
⒋ Homotopies
⒌ Complexes scindés
⒍ Cône et cylindre d’un morphisme de complexes
⒎ Le cône d’un morphisme injectif; nouvelle définition de l’homomorphisme de liaison
⒏ Caractéristiques d’Euler-Poincaré
⒐ Complexes de modules à droite, complexes de multimodules.
⒑ Exemple: complexe de de Rham
§ ⒊ Résolutions
⒈ Prolongement de morphismes de complexes
⒉ Résolutions
⒊ La résolution libre canonique
⒋ La résolution injective canonique
⒌ Résolutions de type fini
⒍ Résolutions projectives minimales
⒎ Résolutions graduées
⒏ La résolution standard
⒐ Résolutions et groupes de Grothendieck
§ ⒋ Produits de torsion
⒈ Produit tensoriel de deux complexes
⒉ Produits tensoriels et homotopie
⒊ Produit tensoriel par un complexe plat borné à droite
⒋ Définition et premières propriétés du produit de torsion
⒌ Les homomorphismes de liaison et les suites exactes
⒍ Modules plats et produits de torsion
⒎ Formule de KÜünneth
⒏ Complexes bornés et plats sur un anneau nœthérien
⒐ Généralisation aux complexes de multimodules
§ ⒌ Modules d’extensions
⒈ Complexes d’homomorphismes
⒉ Complexes d’homomorphismes et homotopies
⒊ Définition et premières propriétés des modules d’extensions
⒋ Les homomorphismes de liaison et les suites exactes
⒌ Modules projectifs, modules injectifs et modules d’extensions
⒍ Formule des coefficients universels
⒎ Généralisation aux complexes de multimodules; les isomorphismes canoniques
§ ⒍ Utilisation de résolutions non canoniques ...
⒈ Calcul des modules 𝐓𝐨𝐫ᴬ❨𝐏⸴ 𝐌❩ et 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐌⸴ 𝐍❩
⒉ Calcul des applications 𝐓𝐨𝐫ᴬ❨𝒈⸴ 𝒇❩ et 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝒇⸴ 𝒉❩
⒊ Calcul des homomorphismes de liaison
⒋ Finitude des modules d’extensions et de torsion
⒌ Les homomorphismes 𝐓𝐨𝐫ᴮ❨𝐏⸴ 𝐍❩⊗𞁕𝐐 → 𝐓𝐨𝐫ᴮ❨𝐏⸴ 𝐍⊗𞁕𝐐❩ et 𝐄𝐱𝐭𞁓❨𝐌⸴ 𝐍❩⊗𞁕𝐐 → 𝐄𝐱𝐭𞁓❨𝐌⸴ 𝐍⊗𞁕𝐐❩
⒍ Les homomorphismes 𝐓𝐨𝐫ᴮ❨𝐏⸴ 𝐍⊗𞁕𝐐❩ → 𝐓𝐨𝐫ᴬ❨𝐏⊗𞁓𝐍⸴ 𝐐❩ et 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐐⸴ 𝐇𝐨𝐦𞁓❨𝐍⸴ 𝐌❩❩ → 𝐄𝐱𝐭𞁓❨𝐍⊗𞁕𝐐⸴ 𝐌❩
⒎ Les homomorphismes 𝐁 ⊗𞁕 𝐓𝐨𝐫ᴬ❨𝐄⸴ 𝐅❩ → 𝐓𝐨𝐫ᴮ❨𝐄⊗𞁕𝐁⸴ 𝐁⊗𞁕𝐅❩ et 𝐁⊗𞁕𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐄⸴ 𝐅❩ → 𝐄𝐱𝐭𞁓❨𝐁⊗𞁕𝐄⸴ 𝐁⊗𞁕𝐅❩
⒏ Application : homologie et cohomologie des groupes
§ ⒎ Produit de composition
⒈ L’homomorphisme 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐍⸴ 𝐏❩ ⊗ 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐌⸴ 𝐍❩ → 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐌⸴ 𝐏❩
⒉ Les sept calculs du produit de composition
⒊ La classe associée à une suite exacte
⒋ Propriétés de la classe associée à une suite exacte
S. Relation entre suites exactes et éléments de 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐌⸴ 𝐍❩
⒍ Produit de composition et homomorphismes de liaison des modules d’extensions
⒎ L’homomorphisme 𝐄𝐱𝐭𞁕❨𝐏⸴ 𝐐❩ ⊗ 𝐓𝐨𝐫ᴬ❨𝐏⸴ 𝐌❩ → 𝐓𝐨𝐫ᴬ❨𝐐⸴ 𝐌❩
⒏ Produits de composition et homomorphismes de liaison des produits de torsion
⒐ Calcul des produits de composition par décalage de résolutions
§ ⒏ Dimension homologique
⒈ Dimension projective d’un module
⒉ L’homomorphisme 𝐓𝐨𝐫ᴬₙ❨𝐏⸴ 𝐌❩ → 𝐇𝐨𝐦𞁕❨𝐄𝐱𝐭𞁕ⁿ❨𝐌⸴ 𝐀❩⸴ 𝐏❩
⒊ Dimension homologique d’un anneau
⒋ Anneaux de dimension homologique 𝟎
⒌ Anneaux de dimension homologique 𝟏
⒍ Dimension homologique des anneaux de polynômes
⒎ Dimension homologique des modules gradués
§ ⒐ Complexes de Koszul
⒈ Les complexes 𝐊❨𝒖❩⸴ 𝐊․❨𝒖⸴ 𝐂❩⸴ 𝐊˙❨𝒖⸴ 𝐂❩
⒉ Fonctorialité
⒊ Exemple 1 : le complexe 𝗦❨𝐋❩ ⊗𞁕 𝝠❨𝐋❩
⒋ Fxemple 2 : le cas d’un module libre
S. Exemple 3 : le cas 𝐋 ＝ 𝐀
⒍ Familles complètement sécantes
⒎ Un critère pour les suites complètement sécantes
⒏ Démonstration du théorème 𝟏 : première partie
⒐ Démonstration du théorème 𝟏 : deuxième partie
⒑ Classe d’extensions associée à une suite régulière
exercices
Exercices du § ⒈
Exercices du § ⒉
Exercices du 8 ⒊
Exercices du § ⒋
Exercices du § ⒌
Exercices du § ⒍
Exercices du § ⒎
Exercices du § ⒏
Exercices du § ⒐
Index des notations
Index terminologique
