Algebraic Structures Groups, Rings and Fields - מבנים אלגבריים, חבורות, חוגים ושדות [1 ed.] 9789657763346, 9789657763353

Table of contents :
שערים
עטיפה קדמית
חצי שער
שער
זכויות יוצרים וקרדיטים
תוכן עניינים
הקדמה
חלק א: תורת החבורות
1: מושגים בסיסיים
2: פעולה של חבורה על קבוצה
3: הומומורפיזמים וחבורות מנה
4: חבורות תמורות
5: חבורות p ומשפטי סילו
6: סדרות נורמליות וסדרות הרכב
7: תורת המבנה של חבורות אבליות נוצרות סופית
8: מילה על חבורות חופשיות
חלק ב: תורת החוגים
9: חוגים: מושגי יסוד
10: חוגים קומוטטיביים
חלק ג: תורת השדות ותורת גלואה
11: הרחבת שדות: מושגים בסיסיים
12: בניות בסרגל ובמחוגה
13: מבוא לתורת גלואה
14: ספרביליות
15: נורמליות
16: המשפט היסודי של תורת גלואה
17: מסקנות מתורת גלואה
18: פתרון פולינומים באמצעות רדיקלים
19: דרגת הטרנסצנדנטיות של הרחבה
נספחים
שימושים: אלגוריתמים להצפנה וקודים מתקני שגיאות
הלמה של צורן
הוכחה אנליטית למשפט היסודי של האלגברה
מפתח

Citation preview

‫הספר פותח לקורא העברי צוהר לעולם המופלא של האלגברה‪ ,‬ותואם את תוכנית‬ ‫הלימודים בנושא לשנים ב' וג' בחוגים למתמטיקה ברוב מוסדות ההשכלה הגבוהה‬ ‫בארץ‪ .‬כמו כן הוא הכנה מתאימה לתחומים מתקדמים יותר כגון תורת ההצגות‪,‬‬ ‫חבורות לי‪ ,‬גיאומטריה אלגברית ותורת המספרים‪.‬‬ ‫"הספר כתוב בהרבה השראה‪ ,‬החל מסגנון הכתיבה הקולח‪ ,‬דרך בחירת ההוכחות‬ ‫והנושאים לכל אורך הספר‪ ,‬ועד לתכנונו הכללי‪ ,‬שהוא מרהיב‪ .‬ניכר מאמץ מתוכנן‬ ‫ועקבי של המחברים להעלות את הקורא מעל לרמה של הפרטים הטכניים ולעמת‬ ‫פרופ' יאיר גלזנר‪ ,‬אוניברסיטת בן־גוריון‬ ‫אותו עם מהות העניין‪".‬‬ ‫הפרופסורים אהוד דה שליט ואלכס לובוצקי נמנים עם סגל מכון איינשטיין‬ ‫למתמטיקה באוניברסיטה העברית למעלה משלושים שנה‪ .‬דורון פודר קיבל‬ ‫את תואר הדוקטור מהאוניברסיטה העברית ונמנה היום עם סגל בית הספר‬ ‫למתמטיקה של אוניברסיטת תל אביב‪.‬‬

‫אהוד דה שליט אלכס לובוצקי דורון פודר | מבנים אלגבריים‬

‫חבורות‪ ,‬חוגים ושדות הם אבני הבניין של האלגברה המודרנית כפי שהתגבשה‬ ‫במאתיים השנים האחרונות‪ ,‬ומשמשים כלים חשובים בכל ענפי המתמטיקה‪.‬‬ ‫ספר זה בונה בצורה שיטתית ומסודרת את יסודות האלגברה המודרנית‪ ,‬כהמשך‬ ‫לקורס ראשון באלגברה לינארית‪ .‬הפרקים העיקריים של הספר עוסקים בתורת‬ ‫החבורות‪ ,‬תורת החוגים ותורת השדות (כולל תורת גלואה)‪ .‬משובצים בו תרגילים‬ ‫רבים‪ ,‬וכן מדגם שימושים במדעי המחשב‪.‬‬

‫מבנים‬ ‫אלגבריים‬

‫חבורות‪ ,‬חוגים ושדות‬

‫אהוד דה שליט אלכס לובוצקי דורון פודר‬

‫‪www.magnespress.co.il‬‬

‫מחיר מומלץ‪ 78 :‬ש“ח‬

‫‪1/23/18 11:30 AM‬‬

‫עיצוב העטיפה‪ :‬אמרי זרטל‬

‫‪algebra cover sofi.indd 1‬‬

‫מבנים אלגבריים‬ ‫חבורות‪ ,‬חוגים ושדות‬

‫עמוד ריק‬

‫מבנים אלגבריים‬ ‫חבורות‪ ,‬חוגים ושדות‬

‫אהוד דה שליט‬ ‫אלכס לובוצקי‬ ‫דורון פודר‬

‫הוצאת ספרים ע"ש י"ל מאגנס‪ ,‬האוניברסיטה העברית‪ ,‬ירושלים‬

‫‪Algebraic Structures: Groups, Rings and Fields‬‬ ‫‪Ehud de Shalit, Alexander Lubotzky, Doron Puder‬‬ ‫ההפצה‪ :‬הוצאת מאגנס‬ ‫ת"ד ‪ ,39099‬ירושלים ‪ ,9139002‬טל' ‪ ,02-6586659‬פקס' ‪02-5660341‬‬ ‫‪www.magnespress.co.il‬‬

‫©‬ ‫כל הזכויות שמורות‬ ‫להוצאת ספרים ע"ש י"ל מאגנס‬ ‫האוניברסיטה העברית‬ ‫ירושלים תשע"ח‪2018/‬‬

‫אין לשכפל‪ ,‬להעתיק‪,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לתרגם‬ ‫לאחסן במאגר מידע‪ ,‬לשדר או לקלוט‬ ‫בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני‪ ,‬אופטי‪ ,‬מכני‬ ‫או אחר כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה‪.‬‬ ‫שימוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר זה‬ ‫אסור בהחלט אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל‪.‬‬

‫מסת"ב ‪ISBN 978-965-7763-34-6‬‬ ‫‪eBook ISBN 978-965-7763-35-3‬‬ ‫נדפס בישראל‬

‫לנאוה‬ ‫לירדנה‬ ‫ולאמיר‬

‫עמוד ריק‬

‫תוכן העניינים‬ ‫הקדמה‬

‫חלק א‪:‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪1‬‬

‫תורת החבורות‬

‫‪1‬‬

‫מושגים בסיסיים‬ ‫‪ 1.1‬דוגמאות לחבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.1.1‬חבורת התמורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.1.2‬החבורה הדיהדרלית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dn‬‬ ‫‪ 1.1.3‬חבורות מטריצות והחבורות הקלאסיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.1.4‬מכפלה ישרה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.2‬איזומורפיזם של חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.3‬חבורות סופיות ולוח הכפל שלהן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.4‬קבוצות יוצרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.4.1‬חבורות צקליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.4.2‬גרף קיילי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.5‬חבורת האוטומורפיזמים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.6‬מחלקות של תת‪-‬חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.6.1‬משפט לגרנז' ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 1.7‬תת‪-‬חבורה נורמלית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪34‬‬

‫‪2‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ 2.1‬משפט מסלול‪-‬מייצב ‪. . . . . . .‬‬ ‫‪ 2.2‬מחלקות צמידות ‪. . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 2.3‬המשמר )נורמליזטור( של תת‪-‬חבורה‬ ‫‪ 2.4‬משפט קושי ‪. . . . . . . . . . .‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪37‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪3‬‬

‫הומומורפיזמים וחבורות מנה‬ ‫‪ 3.1‬הומומורפיזם של חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.2‬חבורות מנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.3‬משפטי האיזומורפיזם ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.3.1‬משפט האיזומורפיזם ה‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-‬‬ ‫‪ 3.3.2‬משפט ההתאמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.3.3‬משפט האיזומורפיזם ה‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-‬‬ ‫‪ 3.3.4‬משפט האיזומורפיזם ה‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-‬‬ ‫‪ 3.4‬חבורות פשוטות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 3.5‬עוד על מכפלה ישרה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪52‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪4‬‬

‫חבורות תמורות‬ ‫‪ 4.1‬תמורות בכתיב מחזורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 4.2‬מחלקות הצמידות של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn‬‬ ‫‪ 4.3‬סימן של תמורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪75‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪80‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫פשטות ‪ An‬בעבור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n ≥ 5‬‬

‫‪85‬‬

‫‪5‬‬

‫חבורות ‪ p‬ומשפטי סילו‬ ‫‪ 5.1‬חבורות‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p-‬‬ ‫‪ 5.2‬משפטי סילו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 5.2.1‬חבורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p · q‬‬

‫‪89‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪95‬‬

‫‪6‬‬

‫סדרות נורמליות וסדרות הרכב‬ ‫‪ 6.1‬סדרות הרכב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.2‬משפט ז'ורדן‪-‬הולדר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.2.1‬משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.3‬חבורות פתירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.3.1‬החבורה הנגזרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.3.2‬הסדרה הנגזרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.3.3‬קריטריון נוסף לפתירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.3.4‬דוגמה‪ :‬כל החבורות מסדר > ‪ 60‬הן פתירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 6.4‬חבורות נילפוטנטיות וסדרות מרכזיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪97‬‬ ‫‪97‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪115‬‬

‫‪7‬‬

‫‪118‬‬ ‫תורת המבנה של חבורות אבליות נוצרות סופית‬ ‫‪ 7.1‬חבורות אבליות חופשיות ‪119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 7.2‬חבורות אבליות נוצרות סופית ‪124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪8‬‬

‫‪129‬‬ ‫מילה על חבורות חופשיות‬ ‫‪ 8.1‬יוצרים ויחסים ‪134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪4.4‬‬

‫חלק ב‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫תורת החוגים‬

‫חוגים‪ :‬מושגי יסוד‬ ‫‪ 9.1‬הגדרה ודוגמאות ‪. . . . . . .‬‬ ‫‪ 9.2‬הומומורפיזמים של חוגים ‪. . .‬‬ ‫‪ 9.3‬אידאלים ‪. . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 9.4‬חוגי מנה ‪. . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 9.5‬משפטי האיזומורפיזמים לחוגים‬

‫‪137‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ 10‬חוגים קומוטטיביים‬ ‫‪ 10.1‬תחום שלמות ושדה שברים ‪. . . . .‬‬ ‫‪ 10.2‬חילוק‪ ,‬חברות ופריקות בתחום שלמות‬ ‫‪ 10.3‬אידאלים מקסימליים ‪. . . . . . .‬‬ ‫‪ 10.4‬אידאלים ראשוניים ‪. . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 10.5‬משפט השאריות הסיני לחוגים ‪. . . .‬‬ ‫‪ 10.6‬תחום אוקלידי ‪. . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 10.7‬תחום ראשי ‪. . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 10.8‬תחום פריקות חד‪-‬ערכית ‪. . . . . .‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪139‬‬ ‫‪139‬‬ ‫‪146‬‬ ‫‪148‬‬ ‫‪152‬‬ ‫‪155‬‬ ‫‪157‬‬ ‫‪157‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪163‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪167‬‬ ‫‪171‬‬ ‫‪175‬‬

‫‪ 10.9‬חוגי מנה של חוג הפולינומים מעל שדה ‪179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 10.10‬מבוא לשדות סופיים ‪181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 10.11‬קריטריונים לאי‪-‬פריקות של פולינומים ‪184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫חלק ג‪:‬‬

‫תורת השדות ותורת גלואה‬

‫‪ 11‬הרחבת שדות‪ :‬מושגים בסיסיים‬ ‫‪ 11.1‬השדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 11.2‬הרחבת שדות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 11.3‬הרחבות אלגבריות ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 11.4‬שדות סגורים אלגברית ‪. . . . . . . .‬‬ ‫‪ 11.5‬משפט אודות החבורה הכפלית של שדה‬

‫‪189‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪191‬‬ ‫‪191‬‬ ‫‪193‬‬ ‫‪195‬‬ ‫‪202‬‬ ‫‪205‬‬

‫‪207‬‬ ‫‪ 12‬בניות בסרגל ובמחוגה‬ ‫‪ 12.1‬בניות בסיסיות ‪207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 12.2‬בניות בסרגל ובמחוגה בשפה אלגברית ‪211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 13‬מבוא לתורת גלואה‬ ‫‪ 13.1‬חבורת האוטומורפיזמים של שדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 13.2‬חבורת האוטומורפיזמים של הרחבת שדות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 13.2.1‬חבורת האוטומורפיזמים של הרחבות אלגבריות פשוטות ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 13.2.2‬חבורת האוטומורפיזמים של הרחבות צקלוטומיות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 13.3‬שדה פיצול של פולינום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 13.4‬התאמת גלואה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪218‬‬ ‫‪218‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪221‬‬ ‫‪223‬‬ ‫‪224‬‬ ‫‪226‬‬

‫‪232‬‬ ‫‪ 14‬ספרביליות‬ ‫‪ 14.1‬פולינומים ספרביליים והרחבות ספרביליות ‪232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 14.2‬הרחבת שיכונים של שדות ‪236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪240‬‬ ‫‪ 15‬נורמליות‬ ‫‪ 15.1‬הרחבות נורמליות ‪240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 15.2‬הרחבות גלואה ‪242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 15.3‬עוד על שדות פיצול ‪243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪245‬‬ ‫‪ 16‬המשפט היסודי של תורת גלואה‬ ‫‪ 16.1‬קריטריון נוסף להרחבת גלואה סופית ‪245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 16.2‬המשפט היסודי ‪247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 17‬מסקנות מתורת גלואה‬ ‫‪ 17.1‬שדות סופיים ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 17.2‬פולינומים צקלוטומיים ומצולעים משוכללים‬ ‫‪ 17.3‬הרחבות פשוטות ומשפט האיבר הפרימיטיבי‬ ‫‪ 17.4‬המשפט היסודי של האלגברה ‪. . . . . . .‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪254‬‬ ‫‪254‬‬ ‫‪257‬‬ ‫‪263‬‬ ‫‪264‬‬

‫‪ 18‬פתרון פולינומים באמצעות רדיקלים‬ ‫‪ 18.1‬הרחבות רדיקליות‪-‬פשוטות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 18.2‬הרחבות רדיקליות וחבורות גלואה פתירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 18.3‬פולינום בלתי פתיר מעל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q‬‬ ‫‪ 18.4‬המשוואה הפולינומיאלית הכללית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 18.4.1‬הנוסחה הכללית למשוואה ריבועית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 18.4.2‬הנוסחה הכללית למשוואה מעוקבת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 18.4.3‬עוד על פולינומים סימטריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 18.5‬חבורות גלואה של פולינומים ממעלה ≥ ‪ 4‬מעל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . Q‬‬ ‫‪ 18.6‬רדיקלים בשדות ממציין ראשוני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪267‬‬ ‫‪269‬‬ ‫‪273‬‬ ‫‪276‬‬ ‫‪278‬‬ ‫‪281‬‬ ‫‪282‬‬ ‫‪286‬‬ ‫‪288‬‬ ‫‪292‬‬

‫‪ 19‬דרגת הטרנסצנדנטיות של הרחבה‬

‫‪294‬‬

‫נספחים‬

‫‪299‬‬

‫‪ A‬שימושים‪ :‬אלגוריתמים להצפנה וקודים מתקני שגיאות‬ ‫‪ A.1‬אלגוריתמים פומביים להצפנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ A.1.1‬האלגוריתם של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RSA‬‬ ‫‪ A.1.2‬אלגוריתם ההצפנה של רבין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ A.2‬קודים מתקני שגיאות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ A.2.1‬קוד ריד‪-‬סולומון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ A.2.2‬האלגוריתם של שמיר לשיתוף‪-‬סוד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬

‫‪301‬‬ ‫‪301‬‬ ‫‪301‬‬ ‫‪303‬‬ ‫‪305‬‬ ‫‪306‬‬ ‫‪307‬‬

‫‪ B‬הלמה של צורן‬

‫‪308‬‬

‫‪ C‬הוכחה אנליטית למשפט היסודי של האלגברה‬

‫‪310‬‬

‫מפתח‬

‫‪311‬‬

‫הקדמה‬

‫‪xi‬‬

‫הקדמה‬ ‫האלגברה המודרנית )כפי שהתפתחה בראשית המאה ה‪ (20-‬שואפת לכנס תחת קורת‪-‬גג אחת דוגמאות‬ ‫שונות בעלות סממנים דומים‪ ,‬לזקק את המשותף להן באמצעות אקסיומות המגדירות מבנה אלגברי‪,‬‬ ‫ולהוכיח משפטים כלליים על אותו מבנה‪ ,‬שיהיו ישימים בכל אחת מהדוגמאות‪ .‬בקורסים באלגברה‬ ‫לינארית למדנו על שדות ועל מרחבים וקטוריים‪ .‬ראינו כיצד תובנות מאנליזה וקטורית ב‪ R2 -‬או ב‪R3 -‬‬ ‫ניתנות להכללה גם למרחבים וקטוריים מעל שדות סופיים‪ ,‬או למרחבים אינסוף‪-‬ממדיים‪.‬‬ ‫בחלק הראשון של הספר נעסוק במושג החבורה‪ ,‬שהוא מושג מרכזי ברבים מענפי המתמטיקה והמדע‬ ‫בכלל‪ .‬אי אפשר להתקדם היום בתורת המספרים‪ ,‬בפיזיקה של אנרגיות גבוהות או בקריסטלוגרפיה בלי‬ ‫תורת החבורות‪ .‬תורת החבורות התבררה ככל‪-‬כך מרכזית לענפי הגאומטריה השונים‪ ,‬עד שפליקס קליין‬ ‫ניסה להעמיד עליה את כל יסודות הגאומטריה ב"תכנית ארלנגן" )‪ (Erlangen‬שפרסם בשנת ‪.1872‬‬ ‫בחלקו השני של הספר נכיר מושג נוסף – החוג – שגם לו תפקיד מרכזי ברוב תחומי המתמטיקה‪,‬‬ ‫ובמיוחד בתורת המספרים ובגיאומטריה אלגברית‪.‬‬ ‫בחלק השלישי נדון בתורת השדות וביהלום שבכתר – תורת גלואה‪ .‬תורה זו פותחה במאה ה‪19-‬‬ ‫על‪-‬ידי מספר מתמטיקאים שעיקריים שבהם נילס אבל )‪ (Abel‬ואווריסט גלואה )‪ .(Galois‬האחרון מצא‬ ‫את מותו הטראגי בגיל ‪ ,21‬אבל הספיק להשאיר מורשת ששינתה את פני האלגברה המודרנית והשפיעה‬ ‫רבות על תחומים רבים במתמטיקה‪ .‬תורה זו‪ ,‬שגילתה קשר עמוק בין שני נושאים לכאורה שונים‪ :‬פתרון‬ ‫משוואות פולינומיאליות מעל שדות מחד ותורת החבורות מאידך‪ ,‬מהווה את אחת מפסגות ההישגים של‬ ‫המתמטיקה לאורך הדורות‪ .‬היא גם זו המאגדת את חלקי הספר ליחידה אחת‪.‬‬ ‫בהצגת הנושאים השונים השתדלנו לפרט ולהביא את מרבית ההוכחות המרכזיות במלואן‪ .‬אולם‬ ‫במכוון השארנו לעתים חלקים מההוכחה לעבודה עצמית כתרגילים‪ .‬מעבר לחיסכון במקום‪ ,‬הקורא‬ ‫ישכיל‪ ,‬לטעמנו‪ ,‬אם יהיה שותף פעיל בקריאה ויפתור לאורך הדרך את התרגילים שהצגנו‪ ,‬אם מעט ואם‬ ‫הרבה‪ .‬חלק מהנושאים מוצג על‪-‬ידי תרגילים בלבד‪.‬‬ ‫לכל אורך הדרך‪ ,‬דוגמאות ומקרים פרטיים יהוו חלק חשוב מפיתוח התורה‪ .‬מעבר לעניין שיש ביישומים‬ ‫של המשפטים הכלליים במקרים פרטיים‪ ,‬יש בדוגמאות אלו כדי לעורר שאלות חדשות ולכוון את התפתחות‬ ‫המקצוע‪.‬‬ ‫החומר המכוסה בספר מתאים לתכנית הלימודים בקורסי "מבנים אלגבריים" באוניברסיטה העברית‪,‬‬ ‫אולם נסיוננו מראה שלא ניתן לכסות את כולו בהרצאות בכיתה‪ .‬אנו ממליצים להשאיר חלק מן הנושאים‬ ‫לשיעורי התרגול )למשל‪ ,‬סעיפים ‪ 18.4.3 ,18.4.2 ,17.3 ,15.3 ,10.8 ,6.4 ,6.3.4 ,3.5‬ו‪ .(18.5-‬ייתכן אף שמורים‬ ‫ייאלצו לוותר כליל על חלק מהנושאים‪ ,‬איש איש על פי טעמו והעדפותיו‪ ,‬ועל‪-‬פי רמת הכיתה‪ .‬עם זאת‪,‬‬ ‫אנו מאמינים שהספר מאפשר לתלמיד הרוצה בכך ללמוד בעצמו את כלל החומר‪.‬‬ ‫ספר זה נכתב מתוך תחושה שהספרות העברית הקיימת בנושא המבנים האלגבריים הנלמדים כאן היא‬ ‫מצומצמת מדי‪ ,‬והחומר בסיסי מכדי לשלוח תלמידים לספרות הלועזית‪ .‬עם זאת‪ ,‬ספרי הלימוד באנגלית‬ ‫העוסקים במבנים אלגבריים הם רבים וחלקם מצוינים‪ .‬לאלו הרוצים להעמיק בחומר ולקרוא על נושאים‬ ‫שאינם מטופלים בספר הנוכחי‪ ,‬אנחנו ממליצים על הספרים הבאים‪An Introduction to the Theory :‬‬ ‫‪ of Groups‬מאת ‪) J. J. Rotman‬עבור נושא החבורות(‪ ,‬הספרים ‪ Abstract Algebra‬ו‪Topics in Algebra-‬‬ ‫מאת ‪ ,I. N. Herstein‬הספר ‪ Basic Algebra I‬של ‪ ,Jacobson‬ספרו המקיף של ‪ S. Lang‬ששמו ‪,Algebra‬‬ ‫הספר המודרני יותר ‪ Abstract Algebra‬מאת ‪ D. S. Dummit‬ו‪ ,R. M. Foote-‬וכן ספרו המצוין של‬ ‫‪ I. Stewart‬שעוסק בתורת השדות ובתורת גלואה‪ ,‬שכותרתו ‪ .Galois Theory‬ספרים אלו כתובים ברמות‬ ‫שונות של הרחבה‪ ,‬העמקה וקצב‪ ,‬אך אנו בטוחים שכל תלמיד שיחפוץ בכך יוכל למצוא בהם ספר לטעמו‪.‬‬

‫‪xii‬‬

‫הקדמה‬

‫חובתנו הנעימה להודות לרבים וטובים שסייעו בידינו בכתיבת ספר זה‪ .‬שלמי תודה לעובדי הוצאת‬ ‫מאגנס ובראשם יהונתן נדב המנכ"ל ורם גולדברג‪ ,‬שניצח על מלאכת ההפקה‪ ,‬על שיתוף פעולה פורה‬ ‫ומקצועי‪ .‬הוקרתנו המיוחדת ליאיר גלזנר ולשופט הנוסף של הספר שנותר בעילום שם‪ ,‬אשר עשו עבודת‬ ‫שיפוט מקיפה ומעמיקה‪ ,‬העירו הערות רבות ומועילות וסייעו בידינו ללטש את הגרסא הסופית של הספר‪.‬‬ ‫אורטל פלדמן סייע בידינו רבות בחלק הטכני של הכתיבה‪ .‬שינויים רבים בספר היו פועל יוצא של הערותיו‬ ‫החשובות של אורי ברזנר‪ .‬רבים אחרים סייעו בידינו‪ ,‬אם על‪-‬ידי סיכומי הרצאות‪ ,‬הצעת תרגילים או עצה‬ ‫טובה‪ ,‬אם באמצעות הפניה לחומרים נוספים או מציאת טעויות בגרסאות הקודמות )הטעויות‬ ‫הנותרות – באחריותנו בלבד( ועוד‪ .‬מבין הרבים נזכיר את ליאור ברי‪-‬סורוקר‪ ,‬יתיר הלוי‪ ,‬יונתן הרפז‪,‬‬ ‫יונתן יהלום‪ ,‬ספי לדקני‪ ,‬אבינעם מן‪ ,‬אורי פרזנצ'בסקי‪ ,‬יובל קפלן וענר שלו‪ .‬נודה‪ ,‬לבסוף‪ ,‬לתלמידינו‬ ‫הרבים במשך השנים שמהם השכלנו יותר מכולם‪.‬‬

‫חלק א‪:‬‬

‫תורת החבורות‬

1

‫‪1‬‬

‫מושגים בסיסיים‬

‫הגדרה ‪ 1.1‬תהא ‪ A‬קבוצה‪ .‬פעולה בינארית על ‪ A‬היא פונקציה מהמכפלה הקרטזית ‪ A×A‬אל ‪ ,A‬כלומר‬ ‫פונקציה המתאימה לכל זוג סדור של איברים מ‪ A-‬איבר חדש מ‪.A-‬‬ ‫נהוג לסמן את הפעולה הבינארית ב‪ ,◦ ,·-‬או ∗‪ ,‬ולפעמים ב‪.+-‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫בכל אחת מהדוגמאות הבאות נתונה קבוצה ‪ G‬ופעולה בינארית ‪:(x, y) 7→ x ◦ y ,G × G → G 1‬‬ ‫‪#‬‬

‫הפעולה הבינארית ‪x ◦ y‬‬

‫הקבוצה ‪G‬‬

‫)‪Z (1‬‬

‫חיבור‬

‫)‪(2‬‬

‫}‪R∗ = R − {0‬‬

‫כפל‬

‫)‪(3‬‬

‫}‪Zn = {0, 1, . . . , n − 1‬‬

‫חיבור מודולו ‪n‬‬

‫)‪(4‬‬

‫המטריצות הממשיות ההפיכות ‪2 × 2‬‬

‫כפל מטריצות‬

‫)‪(5‬‬

‫תמורות של }‪{1, 2, 3‬‬

‫הרכבת תמורות‬

‫)‪(6‬‬

‫תנועות קשיחות של דף משבצות אינסופי המעבירות אותו לעצמו‬

‫הרכבת תנועות‬

‫)‪(7‬‬

‫סיבובים של הספֵירה ברדיוס ‪ 1‬במרחב‬

‫הרכבת סיבובים‬

‫)‪(8‬‬

‫תנועות קשיחות של הקוביה המעבירות אותה לעצמה‬

‫הרכבת תנועות‬

‫בדוגמאות )‪ (8)-(5‬הפעולה הבינארית ‪ x ◦ y‬היא הרכבה של טרנספורמציות מטיפוס מסוים )תמורות‪,‬‬ ‫תנועות קשיחות‪ ,‬סיבובים(‪ .‬הכלל הוא "בצע קודם את ‪ y‬ואחר‪-‬כך את ‪ ,"x‬ויש לבדוק ש‪ x ◦ y-‬גם היא‬ ‫טרנספורמציה מאותו טיפוס‪.‬‬ ‫דוגמאות )‪ (8)-(6‬באות מתחום הגאומטריה‪ ,‬ודורשות מעט הסברים‪ .‬תנועה קשיחה של המישור‪,‬‬ ‫למשל‪ ,‬היא טרנספורמציה של המישור לעצמו המשמרת אורכים וזוויות‪ ,‬למשל‪ :‬הזזה‪ ,‬סיבוב סביב נקודה‬ ‫כלשהי או שיקוף בציר כלשהו‪ .‬האם תוכלו לחשוב על תנועות קשיחות משלושת הסוגים הללו המעבירות‬ ‫את השריג של דף המשבצות לעצמו? האם תוכלו למצוא דוגמה לתנועה קשיחה כזו שאיננה מאחד משלושת‬ ‫הסוגים הללו?‬ ‫באשר לדוגמה )‪ ,(7‬הספירה מרדיוס ‪ 1‬במרחב היא‬ ‫ ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪.S 2 = (x, y, z) x2 + y 2 + z 2 = 1 ⊂ R3‬‬

‫‪1‬כאשר מדובר על פונקציה כלשהי‪ ,‬נהוג להשתמש בסימון "→‪ "7‬כדי לתאר את הפונקציה על‪-‬ידי פעולתה על איבר במקור‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫הסימון ‪ (x, y) 7→ x ◦ y‬פירושו שכל איבר )‪ (x, y‬במקור‪ ,‬המכפלה הקרטזית ‪ ,G × G‬עובר לאיבר ‪ x ◦ y‬בתמונה‪.G ,‬‬

‫פעולה בינארית‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫מושגים בסיסיים‬

‫ניתן לתאר סיבובים של הספירה בשני אופנים‪ .‬באופן הקלאסי‪ ,‬סיבוב מוגדר באמצעות ציר סיבוב‪ :‬ישר‬ ‫שעובר דרך הראשית‪ ,‬ומסומן על‪-‬ידי ‪ ,0 ̸= v ∈ R3‬וכן זווית סיבוב‪ ,‬שמוגדרת על‪-‬ידי )‪.θ ∈ [0, 2π‬‬ ‫הסיבוב מוגדר על‪-‬ידי "כלל היד הימנית"‪ :‬אם אגודל יד ימין מצביע בכיוון הווקטור ‪ ,v‬כל נקודה של‬ ‫הספירה נעה על‪-‬פני מעגל הניצב ל‪ ,v-‬בזווית ‪ θ‬ובכיוון האצבעות‪.‬‬

‫)‪SO (3‬‬

‫במתמטיקה מודרנית יותר מתארים סיבוב של הספירה כטרנספורמציה לינארית אורתוגונלית ‪ 2‬ב‪R3 -‬‬ ‫עם דטרמיננטה ‪ .1‬קבוצה זו של טרנספורמציות מסומנת ‪ .SO (3) 3‬ואכן אלו אותם מושגים‪:‬‬ ‫משפט ‪ 4 1.2‬טרנספורמציה לינארית של ‪ R3‬היא סיבוב במובן הקלאסי‪ ,‬כלומר סיבוב סביב ציר‪ ,‬אם ורק‬ ‫אם היא אורתוגונלית עם דטרמיננטה ‪.1‬‬ ‫העובדה שהרכבה של שני סיבובים )סביב צירים שונים!( גם היא סיבוב‪ ,‬אינה שקופה כלל ועיקר‪ ,‬והוכחה‬ ‫ישירה שלה אינה פשוטה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬העובדה שהרכבת שתי טרנספורמציות אורתוגונליות עם דטרמיננטה‬ ‫‪ 1‬גם היא טרנספורמציה ב‪ SO (3)-‬היא עובדה קלה‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬שתי מטריצות אורתוגונליות ‪ 3 × 3‬מעל‬ ‫‪ ,R‬כלומר מתקיים ‪ ,BB t = I, AAt = I‬אז‪:‬‬ ‫‪, (AB)(AB)t = ABB t At = AIAt = AAt = I‬‬ ‫כלומר‪ ,‬גם ‪ AB‬אורתוגונלית‪ .‬בנוסף אם )‪ ,A, B ∈ SO (3‬אזי‬ ‫‪. det (AB) = det (A) · det (B) = 1 · 1 = 1‬‬ ‫משפט ‪ 1.2‬מאפשר לתרגם שאלה גאומטרית על הרכבת תנועות לשאלה אלגברית על כפל מטריצות‪ .‬דוגמה‬ ‫זאת ממחישה את התועלת שבהפעלת כלים מן האלגברה המודרנית‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.3‬בכל אחת מהדוגמאות )‪ (6)-(4‬הוכיחו שהאוסף ‪ G‬סגור תחת הפעולה שהוגדרה‪ :‬כלומר‪ ,‬אם‬ ‫‪ x, y ∈ G‬אז גם ‪.x ◦ y ∈ G‬‬ ‫‪2‬נזכיר שטרנספורמציה לינארית נקראת אורתוגונלית אם המטרציה ‪ A‬המתארת אותה בבסיס הטנדרטי מקיימת ‪.AAt = I‬‬ ‫‪3‬האותיות ‪ SO‬הן ראשי התיבות של ‪ ,Special Orthogonal‬כלומר טרנספורמציות לינאריות מיוחדות )דהיינו‪ ,‬עם דטרמיננטה‬ ‫‪ (1‬ואורתוגונליות‪ .‬הספרה ‪ 3‬מציינת שאלו טרנספורמציות לינאריות על המרחב התלת ממדי‪.‬‬ ‫‪4‬משפט זה מוכח לרוב בפרק על מכפלה פנימית בלימודי אלגברה לינארית‪ .‬לא נביא הוכחה שלו כאן‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫מושגים בסיסיים‬

‫לדוגמאות )‪ (8)-(1‬יש מן המשותף‪:‬‬ ‫• בכולן הפעולה הבינארית שהוגדרה אסוציאטיבית‪ ,‬כלומר מקיימת שלכל ‪:x, y, z ∈ G‬‬ ‫‪.x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z‬‬ ‫• בכולן ישנו ב‪ G-‬איבר מיוחד‪ ,‬שיסומן ‪ ,e‬המקיים לכל ‪:x ∈ G‬‬ ‫‪.x ◦ e = e ◦ x = x‬‬ ‫• בכולן יש לכל ‪ x ∈ G‬איבר הפכי יחיד‪ ,‬שיסומן לרוב ‪ ,x−1‬המקיים‬ ‫‪.x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.4‬בכל אחת מהדוגמאות )‪ (8)-(1‬מצאו את האיבר המיוחד ‪ .e‬בנוסף‪ ,‬מצאו איבר ‪ x ∈ G‬השונה‬ ‫מ‪ e-‬ואת ההפכי שלו‪.‬‬ ‫בדוגמאות )‪ (3)-(1‬הפעולה שהוגדרה חילופית )קומוטטיבית(‪ :‬לכל ‪ x, y ∈ G‬מתקיים ‪.x ◦ y = y ◦ x‬‬ ‫אולם בדוגמאות )‪ (8)-(4‬הפעולה אינה חילופית‪.‬‬

‫פעולה חילופית‬

‫תרגיל ‪ 1.5‬בכל אחת מהדוגמאות )‪ (8)-(4‬מצאו ‪ x, y ∈ G‬שבעבורם ‪.x ◦ y ̸= y ◦ x‬‬

‫לדוגמאות )‪ (8)-(1‬יש תכונות דומות‪ ,‬על אף שהן מגיעות מענפים שונים של המתמטיקה‪ .‬מתוך שאיפה‬ ‫לזקק מהן את המשותף אנו מגיעים למושג החבורה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.6‬חבורה )‪ (group‬היא קבוצה ‪ G‬ביחד עם פעולה בינארית ◦ על ‪ G‬המקיימות את האקסיומות‬ ‫הבאות‪:‬‬ ‫)‪ (i‬אסוציאטיביות )חוק הקיבוץ(‪:‬‬ ‫לכל ‪.x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z :x, y, z ∈ G‬‬ ‫)‪ (ii‬קיום איבר יחידה‪:‬‬ ‫קיים איבר ‪ e ∈ G‬כך שלכל ‪.x ◦ e = e ◦ x = x :x ∈ G‬‬ ‫)‪ (iii‬קיום הפכי‪:‬‬ ‫לכל ‪ x ∈ G‬קיים ‪ y ∈ G‬כך שמתקיים‪.x ◦ y = y ◦ x = e :‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.7‬החבורה ‪ G‬נקראת אבלית )גם‪ :‬קומוטטיבית‪ ,‬חילופית( אם בנוסף מתקיים גם‪:‬‬ ‫)‪ (iv‬חילופיות )קומוטטיביות(‪:‬‬ ‫לכל ‪.x ◦ y = y ◦ x :x, y ∈ G‬‬ ‫להלן נשמיט לעתים את הסימן ◦ ונכתוב ‪ xy‬בעבור ‪.x ◦ y‬‬

‫הערה ‪ 1.8‬לעתים מציינים בהגדרת המושג חבורה גם את אקסיומת "הסגירות"‪ ,‬שלפיה ‪ x ◦ y ∈ G‬לכל‬ ‫‪ .x, y ∈ G‬אולם בהגדרה שלנו אקסיומה זו נובעת מהגדרתה של ◦ כפעולה בינארית‪:‬‬ ‫‪◦:G×G→G‬‬

‫חבורה‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫מושגים בסיסיים‬

‫למה ‪1.9‬‬ ‫‪ .1‬איבר היחידה של חבורה הוא יחיד‪.‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫כלל הצמצום‬

‫‪ .2‬לכל איבר בחבורה קיים הפכי יחיד‪ .‬נהוג לסמן את ההפכי של ‪ x ∈ G‬בסימון ‪.x−1‬‬ ‫‪ .3‬כלל הצמצום‪:‬‬ ‫)א( מתוך ‪ xa = ya‬נובע ‪.x = y‬‬ ‫)ב( מתוך ‪ ax = ay‬נובע ‪.x = y‬‬ ‫‪= x .4‬‬

‫‪−1‬‬

‫) ‪.(x−1‬‬

‫‪.(x · y)−1 = y −1 · x−1 .5‬‬ ‫‪ .6‬לכל ‪ a, b ∈ G‬קיימים ‪ x, y ∈ G‬כך ש‪ a · x = b-‬ו‪.y · a = b-‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ .1‬נניח כי ‪ e1 , e2 ∈ G‬שניהם איברי יחידה בחבורה‪ .‬לפי ההגדרה‪ ,‬מתקיים אז ‪.e1 = e1 e2 = e2‬‬ ‫‪ .2‬נניח כי הן ‪ y‬והן ‪ z‬הפכיים של ‪ .x‬נקבל כי‬ ‫‪.y = ey = (zx) y = z (xy) = ze = z‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ ,xa = ya‬אזי‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪.x = x (aa ) = (xa)a = (ya) a = y (aa ) = y‬‬ ‫הוכחה דומה מראה כי אם ‪ ax = ay‬אזי ‪.x = y‬‬ ‫‪ .4‬לפי ההגדרה של ‪ x−1‬מתקיים‬ ‫‪, xx−1 = x−1 x = e‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫אך מכך נובע כי ‪ x‬הוא ההפכי של ‪ .x−1‬כאמור‪ ,‬ההפכי הוא יחיד ומסומן ) ‪.(x−1‬‬ ‫‪ .5‬שוויון זה נובע מכך ש‪-‬‬

‫וכן‬

‫‪(xy) (y −1 x−1 ) = ((xy) y −1 ) x−1‬‬ ‫‪= (x (yy −1 )) x−1‬‬ ‫‪= (xe) x−1‬‬ ‫‪= xx−1‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪−1 −1‬‬

‫‪−1 −1‬‬

‫‪(y x ) (xy) = ((y x ) x) y‬‬ ‫‪= (y −1 (x−1 x)) y‬‬ ‫‪= (y −1 e) y‬‬ ‫‪= y −1 y‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪ .6‬ניקח ‪ x = a−1 b‬ואז‪ ,‬אכן‬ ‫‪.ax = a (a−1 b) = (aa−1 ) b = eb = b‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬בעבור ‪ y = ba−1‬מתקיים ‪.ya = b‬‬

‫דוגמאות לחבורות‬

‫‪1.1‬‬

‫‪7‬‬

‫הערה ‪ 1.10‬כפל באיבר של החבורה‪ ,‬מימין או משמאל‪ ,‬מגדיר תמורה על איברי החבורה‪ .‬כלומר‪ ,‬אם‬ ‫‪ a ∈ G‬אזי הפונקציות ‪ f1 , f2 : G → G‬המוגדרות על‪-‬ידי ‪ f1 (g) = ga‬ו‪ f2 (g) = ag-‬הן פונקציות‬ ‫חח"ע )חד‪-‬חד‪-‬ערכיות( ועל‪ .‬ניתן להיווכח בכך‪ ,‬למשל‪ ,‬מקיומן של הפונקציות ההפכיות‪ :‬הפונקציה‬ ‫‪ g 7→ ga−1‬היא הפכית ל‪ ,f1 -‬והפונקציה ‪ g 7→ a−1 g‬היא הפכית ל‪.f2 -‬‬ ‫תרגיל ‪1.11‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי בהגדרת המושג חבורה ניתן להחליף את האקסיומה השלישית‪ ,‬זו של קיום הפכי‪,‬‬ ‫באקסיומה החלשה יותר של קיום הפכי משמאל‪ .‬כלומר‪ ,‬מספיק לדרוש כי לכל ‪ x ∈ G‬קיים‬ ‫‪ y ∈ G‬כך ש‪.yx = e-‬‬ ‫‪ .2‬באופן דומה‪ ,‬הוכיחו כי ניתן להחליף את האקסיומה השניה )קיום איבר יחידה( באקסיומה החלשה‬ ‫יותר של קיום יחידה מימין‪ .‬כלומר‪ ,‬מספיק לדרוש כי קיים ‪ e ∈ G‬כך שלכל ‪.x ◦ e = x x ∈ G‬‬ ‫)הניחו כאן כי האקסיומה השלישית כן נתונה במלואה‪ :‬לכל איבר קיים הפכי דו‪-‬צדדי‪(.‬‬ ‫‪ .3‬הראו כי לעומת שני הסעיפים הקודמים‪ ,‬לא ניתן להחליש את שתי האקסיומות‪ ,‬השניה והשלישית‪,‬‬ ‫בו זמנית באופן המצוין‪ .‬כלומר‪ ,‬קבוצה ‪ A‬עם פעולה בינארית אסוציאטיבית שבה יש יחידה ימנית‬ ‫ולכל איבר יש הפכי משמאל‪ ,‬היא לאו דווקא חבורה‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬התבוננו בקבוצה ‪ A‬עם פעולה ◦ המקיימת ‪ a ◦ b = a‬לכל ‪.a, b ∈ A‬‬ ‫הערה ‪ 1.12‬אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬נוהגים לסמן את פעולת החבורה גם בסימון ‪ ,+‬ואז את איבר היחידה ‪ e‬מסמנים‬ ‫‪ ,0‬ואת ‪ x−1‬מסמנים ‪ .−x‬אם ‪ G‬אינה אבלית‪ ,‬לא נהוג להשתמש בסימון החיבורי לפעולת החבורה‪.‬‬

‫הגדרה ‪ 1.13‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬תת‪-‬קבוצה ‪ H ⊆ G‬תקרא תת‪-‬חבורה )‪ (subgroup‬של ‪ G‬אם ‪ H‬אינה ריקה‬ ‫והיא סגורה ביחס לפעולת הכפל וההפכי )כלומר‪ ,‬לכל ‪ x, y ∈ H‬מתקיים ‪ x ◦ y ∈ H‬וכן ‪.(x−1 ∈ H‬‬ ‫אם ‪ H‬תת‪-‬חבורה של ‪ G‬נכתוב ‪.H ≤ G‬‬

‫במלים אחרות‪ H ,‬היא תת‪-‬חבורה של ‪ G‬אם היא חבורה ביחס לצמצום הפעולה הבינארית המוגדרת על‬ ‫‪ G‬ל‪ .H × H-‬לעתים תת‪-‬חבורה מכונה בעברית גם חבורה חלקית‪.‬‬ ‫תרגיל ‪1.14‬‬ ‫‪ .1‬הראו כי אם ‪ H ≤ G‬אז איבר היחידה ‪ e‬של ‪ G‬מוכל ב‪.H-‬‬ ‫‪ .2‬הראו כי אם ‪ H ≤ G‬אזי ‪ H‬אמנם חבורה ביחס לפעולה הבינארית שמוגדרת על ‪.G‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו כי אם ‪ H‬תת‪-‬קבוצה לא ריקה של ‪ G‬שמקיימת שלכל ‪ x, y ∈ H‬גם ‪ ,xy −1 ∈ H‬אז‬ ‫‪.H ≤ G‬‬

‫‪1.1‬‬

‫דוגמאות לחבורות‬

‫ראינו כבר כמה דוגמאות לחבורות בעמוד ‪ .3‬כעת נעשיר את הדוגמאות הללו ונציין שורה של חבורות‬ ‫בעלות חשיבות‪:‬‬

‫תת‪-‬חבורה‬ ‫‪H≤G‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪8‬‬

‫דוגמאות לחבורות‬

‫‪ .1‬החבורה הטריוויאלית‪.e ◦ e = e ,G = {e} :‬‬ ‫‪ .2‬חבורת השלמים ביחס לחיבור‪ G = Z :‬עם ‪) x ◦ y = x + y‬ובמקרה זה ‪.(e = 0‬‬ ‫‪ .3‬החבורה החיבורית של שדה נתון ‪ :F‬כאן ‪ ,G = F‬הפעולה היא ‪ ,x ◦ y = x + y‬איבר היחידה‬ ‫הוא איבר האפס וההפכי של ‪ x‬הוא ‪.−x‬‬ ‫בהמשך הספר נעסוק בשדות באופן מעמיק ורחב יותר‪ .‬כרגע נזכיר רק כמה שדות המוכרים לנו‬ ‫כבר‪:‬‬ ‫• שדה המספרים הרציונליים המסומן ‪Q‬‬ ‫• שדה המספרים הממשיים המסומן ‪R‬‬ ‫• שדה המספרים המרוכבים המסומן ‪C‬‬ ‫‪Fp‬‬

‫• לכל מספר ראשוני ‪ ,p‬הקבוצה }‪ Zp = {0, 1, . . . , p − 1‬עם פעולות החיבור והכפל מודולו‬ ‫‪ p‬מהווה שדה‪ .‬נהוג לסמנו גם כ‪ Fp -‬על מנת להדגיש כי זהו שדה )בניגוד ל‪ ,Zn -‬שאינו שדה‬ ‫כאשר ‪ n‬אינו ראשוני‪ ,‬הגם שחבורתו החיבורית עדיין חבורה(‪.‬‬ ‫‪ .4‬החבורה הכפלית של שדה ‪) x ◦ y = x · y ,G = F ∗ = F − {0} :F‬ואז ‪ e = 1‬וההפכי של ‪x‬‬ ‫הוא ההפכי בשדה ‪(x−1‬‬ ‫‪ .5‬מרחב וקטורי ‪ V‬מעל שדה ‪ F‬עם חיבור וקטורים כפעולה בינארית )מה היחידה? ומה ההפכי של‬ ‫‪(?v ∈ V‬‬

‫תרגיל ‪ 1.15‬האם החבורה הכפלית של שדה ‪ F‬היא תת‪-‬חבורה של החבורה החיבורית שלו?‬

‫החבורות בדוגמאות ‪ 5-1‬הן חבורות אבליות‪ .‬שימו לב ש‪ Z-‬היא תת‪-‬חבורה של ‪ ,R‬ו‪ R-‬היא תת‪-‬חבורה של‬ ‫‪ R2‬אם‪ ,‬למשל‪ ,‬אנחנו מזהים את ‪ R‬עם ציר ה‪ x-‬במישור‪ .‬דוגמאות אלה מראות שתת‪-‬חבורה של מרחב‬ ‫וקטורי )או של שדה( אינה בהכרח תת‪-‬מרחב וקטורי )או תת‪-‬שדה(‪.‬‬

‫תרגיל ‪1.16‬‬ ‫‪ .1‬הראו כי אם ‪ H ≤ G‬ו‪ K ≤ H-‬אז ‪.K ≤ G‬‬ ‫‪ .2‬הראו כי אם ‪ H ≤ G‬ו‪ K ≤ G-‬אז ‪.H ∩ K ≤ G‬‬ ‫‪ .3‬מהן כל תת‪-‬החבורות של ‪ ?Z‬מהי ‪) ?3Z ∩ 5Z‬כאן ‪ 3Z‬מסמן את קבוצת השלמים שהם כפולות של‬ ‫‪ ,{3m | m ∈ Z} :3‬ובאופן כללי ‪ nZ‬מסמן את קבוצת השלמים שהם כפולות של ‪(.n‬‬

‫נעבור כעת לדוגמאות של חבורות לא אבליות‪:‬‬

‫‪1.1‬‬

‫דוגמאות לחבורות‬

‫‪1.1.1‬‬

‫‪9‬‬

‫חבורת התמורות‬

‫‪ .6‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬תמורה )או פרמוטציה‪ (permutation ,‬על ‪ X‬היא פונקציה חד‪-‬חד‪-‬ערכית מ‪ X-‬על‬ ‫עצמה‪ ,‬ואוסף התמורות מסומן ‪ .SX‬אם ‪ σ, τ‬תמורות‪ ,‬ההרכבה ‪ σ ◦ τ‬מוגדרת כרגיל על‪-‬ידי‬

‫תמורה‬ ‫‪SX‬‬

‫))‪(σ ◦ τ ) (x) = σ (τ (x‬‬ ‫וגם היא תמורה )בדקו זאת(‪ .‬תמורת הזהות ‪ e‬מוגדרת על ידי ‪ e (x) = x‬לכל ‪ ,x ∈ X‬והתמורה‬ ‫ההפכית ‪ σ −1‬על‪-‬ידי ‪ .σ (y) = x ⇐⇒ σ −1 (x) = y‬קבוצת התמורות ‪ SX‬היא חבורה ביחס‬ ‫לפעולות אלה‪.‬‬ ‫כאשר }‪ SX ,X = {1, . . . , n‬מסומנת גם כ‪ .Sn -‬מספר האיברים בה הוא !‪ .n‬אחת הדרכים‬ ‫המקובלות לסמן את התמורה ‪ α‬היא זו‪:‬‬ ‫)‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪α (1) α (2) . . . α (n‬‬

‫(‬ ‫=‪α‬‬

‫בהמשך )פרק ‪ (4‬נדון בהרחבה בחבורה ‪ Sn‬ונפגוש דרכים אחרות לסימון תמורות‪.‬‬

‫תרגיל ‪ 1.17‬לאילו ערכי ‪ n ∈ N‬החבורה ‪ Sn‬היא אבלית?‬ ‫‪1.1.2‬‬

‫החבורה הדיהדרלית ‪Dn‬‬

‫‪ .7‬יהי ‪ P‬מצולע משוכלל בעל ‪ n‬צלעות )‪ .(n ≥ 3‬החבורה הדיהדרלית )‪ Dn (dihedral‬היא חבורת‬ ‫הסימטריות של ‪ .P‬כלומר‪ ,‬זו חבורה שאיבריה הם התנועות הקשיחות של ‪ P‬שמעבירות אותו‬ ‫לעצמו‪ .‬כדי להיטיב להבין זאת‪ ,‬נדמיין שיש בידינו גזיר קרטון בצורת מצולע משוכלל בעל ‪ n‬צלעות‪.‬‬ ‫גזיר הקרטון מונח על שולחן‪ ,‬ואנו מרשים להרימו ולהשיבו לשולחן בדרכים שונות‪ ,‬ובלבד שבסוף כל‬ ‫תזוזה הוא ישוב למיקום חופף למיקומו המקורי‪ .‬לדוגמה‪ ,‬ניתן לסובב את המצולע )נניח‪ ,‬עם כיוון‬ ‫‪ 2πk‬מעלות לכל }‪ ,k ∈ {0, 1, . . . , n − 1‬או להפוך אותו )לשקפו( סביב ציר סימטריה‬ ‫השעון( ב‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫כלשהו‪.‬‬

‫למעשה‪ ,‬כפי שתראו בתרגיל שלהלן‪ ,‬דוגמאות אלה ממצות את כל איברי ‪.Dn‬‬

‫‪Dn‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪10‬‬

‫דוגמאות לחבורות‬

‫תרגיל ‪1.18‬‬ ‫‪ .1‬מצאו את כל איברי ‪ Dn‬בעבור ‪ n = 3‬ובעבור ‪) n = 4‬מצאו דרך לתאר כל אחד מהם(‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי יש ב‪ Dn -‬בדיוק ‪ 2n‬איברים לכל ‪.n ≥ 3‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו כי כל איבר של ‪ Dn‬הוא או סיבוב או שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו )על איבר הזהות‬ ‫ניתן לחשוב כעל סיבוב בזווית של ‪ .(0‬כמה איברים יש מכל סוג?‬ ‫‪1.1.3‬‬

‫חבורות מטריצות והחבורות הקלאסיות‬

‫) ‪GLn (F‬‬

‫‪ .8‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬נסמן ב‪ GLn (F )-‬את אוסף המטריצות ההפיכות בגודל ‪ n × n‬מעל ‪ .F‬נגדיר‬ ‫‪ .A ◦ B = AB‬היחידה היא ‪) e = I‬מטריצת היחידה(‪ ,‬וההפכי של המטריצה ‪ A‬הוא המטריצה‬ ‫ההפכית ‪ .A−1‬בהגדרות אלו ) ‪ GLn (F‬הוא חבורה הנקראת החבורה הלינארית הכללית מדרגה‬ ‫‪ n‬מעל ‪ .(General Linear Group) F‬אם ‪ n = 1‬מתקבלת מחדש החבורה ∗ ‪ .F‬אם ‪,2 ≤ n‬‬ ‫) ‪ GLn (F‬אינה קומוטטיבית )הוכיחו זאת!(‪.‬‬

‫) ‪SLn (F‬‬

‫‪ SLn (F ) = {A ∈ GLn (F ) | det A = 1} .9‬היא תת‪-‬חבורה של ) ‪) GLn (F‬הוכיחו!(‪ ,‬הנקראת‬ ‫החבורה הלינארית המיוחדת מדרגה ‪ n‬מעל ‪.(Special Linear Group) F‬‬ ‫‪ ,SLn (Z) .10‬אוסף המטריצות בגודל ‪ n × n‬עם מקדמים שלמים ודטרמיננטה ‪ ,1‬הוא תת‪-‬חבורה של‬ ‫)‪ ,SLn (Q‬על אף ש‪ Z-‬אינו שדה‪.‬‬

‫תרגיל ‪ 1.19‬הוכיחו כי אמנם )‪ SLn (Z‬היא תת‪-‬חבורה של )‪.SLn (Q‬‬ ‫חבורות כמו בדוגמאות ‪ 10-8‬נקראות חבורות מטריצות‪ .‬דרך חשובה נוספת לקבל חבורת מטריצות היא‬ ‫להצטמצם רק לאותן מטריצות המשמרות תבנית בילינארית ‪ 5‬מסוימת‪:‬‬

‫טענה ‪ 1.20‬יהי ‪ F‬שדה‪) V = F n ,‬מרחב העמודות מאורך ‪ n‬מעל ‪ (F‬ו‪ B : V × V → F -‬תבנית‬ ‫בילינארית‪ .‬נסמן‬ ‫} ‪, G = GL (V, B) = {g ∈ GLn (F ) | B (gu, gv) = B (u, v) ∀u, v ∈ V‬‬ ‫אזי )‪ GL (V, B‬תת‪-‬חבורה של ) ‪.GLn (F‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ברור כי ‪ .I ∈ G‬אם ‪ g, h ∈ G‬ו‪ u, v ∈ V -‬אז‬ ‫)‪B (ghu, ghv) = B (hu, hv) = B (u, v‬‬ ‫‪5‬נזכיר כי תבנית בילינארית היא פונקציה ‪ ,B : V × V → F‬כאשר ‪ V‬מרחב ווקטורי מעל השדה ‪ ,F‬המקיימת לינאריות‬ ‫בכל אחד משני המשתנים בנפרד‪ .‬למשל‪ ,‬לינאריות במשתנה הימני פירושה שלכל ‪ u, v1 , v2 ∈ V‬ולכל ‪ α1 , α2 ∈ F‬מתקיים‬ ‫) ‪.B (u, α1 v1 + α2 v2 ) = α1 B (u, v1 ) + α2 B (u, v2‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪11‬‬

‫דוגמאות לחבורות‬ ‫ולכן גם ‪ .gh ∈ G‬כמו‪-‬כן‬ ‫)‪B (g −1 u, g −1 v) = B (gg −1 u, gg −1 v) = B (u, v‬‬

‫ולכן ‪.g −1 ∈ G‬‬ ‫נזכיר כי תבנית ריבועית ניתנת לתיאור גם על‪-‬ידי מטריצה‪ :‬למשל‪ ,‬מטריצה ‪ A‬בגודל ‪ n × n‬מעל השדה‬ ‫‪ F‬מתארת תבנית בי‪-‬לינארית ‪ B‬על ידי‬ ‫‪B (u, v) = ut Av‬‬ ‫לכל ‪ ,u, v ∈ F n‬כאשר וקטור השורה ‪ ut‬הוא השחלוף )‪ (transpose‬של וקטור העמודה ‪.u‬‬ ‫הנה שתי דוגמאות ספציפיות‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∑‬ ‫= )‪ B (u, v‬המכפלה הפנימית הסטנדרטית‪ .‬החבורה ‪ G‬נקראת החבורה‬ ‫‪ F = R .11‬ו‪ui vi -‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫האורתוגונלית ומסומנת ‪ .On‬המטריצות בחבורה נקראות מטריצות אורתוגונליות ומתקיים‬ ‫‪ A ∈ On‬אם ורק אם ‪.AAt = I‬‬

‫‪On‬‬

‫‪ .12‬יהי ‪ F‬שדה כלשהו‪ n = 2m ,‬והתבנית ‪ B‬נתונה על‪-‬ידי המטריצה‬ ‫)‬

‫‪0‬‬ ‫‪Im‬‬ ‫‪−Im 0‬‬

‫כלומר‬ ‫) ‪(ui vm+i − um+i vi‬‬

‫‪m‬‬ ‫∑‬

‫(‬

‫= )‪B (u, v‬‬

‫‪i=1‬‬

‫שימו לב כי )‪ .B (u, v) = −B (v, u‬החבורה )‪ G = GL (V, B‬נקראת החבורה הסימפלקטית‬ ‫ומסומנת ) ‪.Sp2m (F‬‬

‫) ‪Sp2m (F‬‬

‫תרגיל ‪ 1.21‬נניח כי התבנית ‪ B‬נתונה על‪-‬ידי המטריצה ) ‪ .B = (bij‬הוכיחו כי‬ ‫}‪.GL (V, B) = {g ∈ GLn (F ) | g t Bg = B‬‬

‫חבורה חשובה נוספת היא החבורה האוניטרית‪:‬‬ ‫‪ .13‬נתבונן במכפלה הפנימית הסטנדרטית על ‪Cn‬‬ ‫‪ui vi‬‬

‫‪n‬‬ ‫∑‬

‫= ⟩‪⟨u, v‬‬

‫‪i=1‬‬

‫ונגדיר את החבורה האוניטרית ‪ Un‬כך‪:‬‬ ‫}‪.Un = {g ∈ GLn (C) | ⟨gu, gv⟩ = ⟨u, v⟩ ∀u, v‬‬

‫‪Un‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪12‬‬

‫איזומורפיזם של חבורות‬

‫תרגיל ‪1.22‬‬ ‫‪ .1‬הראו כי ‪ Un‬היא אמנם תת‪-‬חבורה של )‪.GLn (C‬‬ ‫‪ .2‬הראו כי ‪ g ∈ Un‬אם ורק אם ‪) g · g t = I‬כאשר ‪ g‬מתקבלת מ‪ g-‬על‪-‬ידי הצמדה מרוכבת איבר‪-‬‬ ‫איבר(‪.‬‬ ‫‪ .3‬האם דוגמה זאת היא מקרה פרטי של החבורות שסומנו )‪?GL (V, B‬‬ ‫החבורות‬ ‫הקלאסיות‬

‫חלק מן החבורות שתוארו בדוגמאות שלעיל נקראות גם החבורות הקלאסיות‪ :‬אלו הן ‪,On ,SLn ,GLn‬‬ ‫‪ Sp2m‬ו‪.Un -‬‬

‫‪1.1.4‬‬

‫מכפלה ישרה‬

‫בהינתן שתי חבורות ‪ G‬ו‪ ,H-‬ניתן ליצור מהן חבורה חדשה באופן הבא‪:‬‬ ‫מכפלה ישרה‬

‫הגדרה ‪ 1.23‬תהיינה ‪ G, H‬חבורות‪ .‬המכפלה הישרה שלהן )‪ ,(direct product‬המסומנת ‪ ,G × H‬היא‬ ‫החבורה‬ ‫}‪G × H = {(g, h) | g ∈ G, h ∈ H‬‬ ‫עם כפל שמוגדר קואורדינטה‪-‬קואורדינטה‪:‬‬ ‫) ‪. (g1 , h1 ) (g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.24‬הוכיחו כי מכפלה ישרה של שתי חבורות היא אמנם חבורה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬החבורה ‪ Z2 × Z2‬היא חבורה בת ארבעה איברים‪:‬‬ ‫})‪. {(0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1‬‬ ‫ניתן להכליל את הבנייה גם ליותר משתי חבורות‪ ,‬ולקבל מכפלה ישרה של החבורות ‪ ,G1 , . . . , Gn‬שתסומן‬ ‫‪.G1 × . . . × Gn‬‬ ‫בהמשך )משפט ‪ (3.40‬נתאר קריטריון שייאפשר לנו להבחין בכך שלחבורה נתונה יש למעשה מבנה של‬ ‫מכפלה ישרה של תת‪-‬חבורות שלה‪.‬‬

‫‪1.2‬‬

‫איזומורפיזם של חבורות‬

‫נתבונן בחבורה ‪) Z2‬המספרים ‪ 0, 1‬עם פעולת החיבור מודולו ‪ (2‬ובתת‪-‬החבורה ∗‪.{1, −1} ≤ R‬‬ ‫לכאורה‪ ,‬אלו שתי חבורות שונות‪ :‬קבוצות האיברים שלהן שונות זו מזו וממילא הפעולות שונות זו מזו‪.‬‬ ‫אולם‪ ,‬למעשה‪ ,‬הן דומות למדי‪ .‬אם נבנה את לוח הכפל שלהן )על לוח הכפל ידובר ביתר פירוט בסעיף ‪,(1.3‬‬ ‫נקבל‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ 1.2‬איזומורפיזם של חבורות‬ ‫‪−1‬‬

‫‪+ (mod 2) 0 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫ו‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 −1‬‬ ‫‪−1 1‬‬

‫·‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬

‫ניתן לראות כי לשתי החבורות יש בדיוק אותו מבנה‪ ,‬והדבר היחיד שמשתנה הוא "שמות האיברים" )ושם‬ ‫הפעולה(‪ .‬כלומר‪ ,‬לו קראנו לאיבר ‪ 0‬של ‪ Z2‬בשם "‪ "1‬ולאיבר ‪ 1‬בשם "‪ ,"−1‬היינו מקבלים את החבורה‬ ‫}‪ {1, −1‬עם פעולת הכפל‪ .‬לכן‪ ,‬אנחנו חושבים על חבורות אלו כעל חבורות שקולות‪ ,‬או באופן פורמלי‪,‬‬ ‫כעל חבורות איזומורפיות‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.25‬תהיינה ‪ G‬ו‪ H-‬חבורות‪ .‬העתקה ‪ φ : G → H‬תקרא איזומורפיזם אם היא מקיימת‪:‬‬ ‫• ‪ φ‬חח"ע )חד‪-‬חד‪-‬ערכית(‬ ‫• ‪ φ‬על‬ ‫• ‪ φ‬שומרת על הפעולה‪ ,‬כלומר‪ :‬לכל ‪.φ(x ◦ y) = φ (x) ◦ φ (y) ,x, y ∈ G‬‬

‫‪6‬‬

‫∼ ‪.G‬‬ ‫אם קיימת העתקה כזו‪ G ,‬ו‪ H-‬תקראנה איזומורפיות‪ ,‬ונסמן‪= H :‬‬ ‫במלים אחרות‪ ,‬החבורות ‪ G‬ו‪ H-‬נקראות איזומורפיות אם הן אותה חבורה עד כדי שינוי שמות‪.‬‬ ‫∼ ‪ ,Z2‬לפי האיזומורפיזם‬ ‫לדוגמה‪ ,‬אם נסמן ב‪ H-‬את החבורה שאיבריה }‪ {1, −1‬ושהוזכרה לעיל‪ ,‬אז ‪= H‬‬ ‫‪ φ : Z2 → H‬שמוגדר על‪-‬ידי ‪ .φ (0) = 1, φ (1) = −1‬במקרה זה האיזומורפיזם ‪ φ‬הוא יחיד‪ ,‬אולם‬ ‫בדרך‪-‬כלל ייתכנו איזומורפיזמים שונים בין שתי חבורות איזומורפיות נתונות‪.‬‬

‫תרגיל ‪1.26‬‬ ‫‪ .1‬הראו כי אם ‪ φ : G → H‬איזומורפיזם‪ ,‬אז גם ההעתקה ההפוכה ‪ φ−1 : H → G‬היא‬ ‫איזומורפיזם‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי החבורה החיבורית )‪ (R, +‬איזומורפית לחבורת הממשיים החיוביים עם פעולת הכפל‬ ‫)· ‪) (R>0 ,‬רמז‪ :‬יש איזומורפיזם שניתן על‪-‬ידי פונקציה מוכרת(‪ .‬הראו שיש אינסוף איזומורפיזמים‬ ‫שונים בין שתי החבורות הללו‪.‬‬

‫תרגיל ‪1.27‬‬ ‫‪ .1‬הראו ששלוש החבורות ‪ S3 ,D3‬ו‪ GL2 (F2 )-‬איזומורפיות זו לזו‪.‬‬ ‫‪ .2‬הראו שלכל ‪ Dn ,n ≥ 4‬אינה איזומורפית ל‪ ,Sn -‬אבל ‪ Dn‬כן איזומורפית לתת‪-‬חבורה של ‪.Sn‬‬

‫‪6‬שימו לב שבתנאי האחרון הכפל בצד שמאל של השוויון הוא ב‪ G-‬בעוד שזה בצד ימין הוא ב‪.H-‬‬

‫איזומורפיזם‬

‫‪14‬‬

‫‪1.3‬‬

‫סדר של חבורה‬

‫לוח כפל‬

‫חבורות סופיות ולוח הכפל שלהן‬

‫‪1.3‬‬

‫חבורות סופיות ולוח הכפל שלהן‬

‫הגדרה ‪ 1.28‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬מספר האיברים ב‪ G-‬נקרא הסדר )‪ (order‬של ‪ G‬ומסומן |‪.|G‬‬

‫חבורה סופית היא חבורה שמספר איבריה סופי‪ ,‬כלומר חבורה מסדר סופי‪ .|G| < ∞ :‬במקרה כזה לוח‬ ‫הכפל של ‪ G‬נותן את כל המידע על אודותיה‪ .‬אם } ‪) G = {e, g2 , g3 , . . . , gn‬ואז ‪ ,(|G| = n‬לוח הכפל‬ ‫ייראה כך‪:‬‬ ‫‪gn‬‬

‫‪...‬‬

‫‪g3‬‬

‫‪g2‬‬

‫‪e‬‬

‫◦‬

‫‪gn‬‬ ‫‪g2 gn‬‬ ‫‪g3 gn‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪gn gn‬‬

‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪g3‬‬ ‫‪g2 g3‬‬ ‫‪g3 g3‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪gn g3‬‬

‫‪g2‬‬ ‫‪g2 g2‬‬ ‫‪g3 g2‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪gn g2‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪g2‬‬ ‫‪g3‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪gn‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪g2‬‬ ‫‪g3‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪gn‬‬

‫‪...‬‬

‫מכלל הצמצום )ומהערה ‪ (1.10‬נובע שבכל עמודה ובכל שורה של לוח הכפל מופיעים כל איברי ‪ G‬בסדר‬ ‫מסוים‪ ,‬ועל כן לוח הכפל הוא מעין "ריבוע קסם" ‪ .7‬נשים לב גם כי השורה והעמודה של ‪ e‬נקבעות מיד‪.‬‬ ‫ננסה כעת לבנות חבורות באופן מלאכותי על‪-‬ידי בניית לוחות הכפל שלהן‪ .‬אם לוח הכפל הוא ריבוע קסם‬ ‫מהצורה המתוארת לעיל‪ ,‬די לבדוק שהפעולה הבינארית המתקבלת היא אסוציאטיבית על מנת לוודא‬ ‫שהגדרנו חבורה )מדוע?(‪.‬‬ ‫הלקח העיקרי שנקבל מניסיון זה הוא עד כמה קשה לפעול בצורה זו‪ ,‬וכי הדרך "הנכונה" לקבל חבורות‬ ‫היא מתוך מופעים טבעיים שלהן ‪ -‬כחבורות מספרים‪ ,‬מטריצות‪ ,‬תמורות‪ ,‬סימטריות וכן הלאה ‪ -‬ולא‬ ‫באופן מלאכותי על‪-‬ידי בניית לוחות כפל‪.‬‬ ‫ברור כי כל חבורה מסדר ‪ 1‬נראית כך‪:‬‬ ‫‪e‬‬

‫◦‬

‫‪e‬‬

‫‪e‬‬

‫וכי כל חבורה מסדר ‪ 2‬תראה כך‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫◦‬

‫‪e‬‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x e‬‬ ‫כדי להבין את המבנה של חבורה }‪ G = {e, x, y‬מסדר ‪ ,3‬עלינו להשלים את הריבוע‬ ‫‪e‬‬

‫◦‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪y y‬‬

‫כך שיתקבל ריבוע קסם‪ ,‬ויש רק דרך אחת לעשות זאת )למשל‪ x ◦ y ̸= x ,‬וגם ‪ x ◦ y ̸= y‬ולכן ‪,(x ◦ y = e‬‬ ‫‪7‬לוח עם תכונות שכאלה מכונה גם "ריבוע לטיני"‪.‬‬

‫‪1.3‬‬

‫‪15‬‬

‫חבורות סופיות ולוח הכפל שלהן‬

‫ומקבלים‪:‬‬ ‫◦‬

‫‪e‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x y‬‬ ‫‪y y e‬‬

‫בדיקה פשוטה יחסית מעלה שזה אכן לוח כפל של חבורה‪ .‬למשל‪ x (xy) = xe = x ,‬ו‪(xx) y = yy = x-‬‬ ‫והראנו אסוציאטיביות של המכפלה ‪ .xxy‬למעשה‪ ,‬זהו בדיוק לוח הכפל של החבורה ‪ Z3‬שהגדרנו לעיל‪,‬‬ ‫עם פעולת חיבור מודולו ‪ :3‬אם ניקח ‪ e = 0, x = 1, y = 2‬נקבל את לוח הכפל שלעיל )שימו לב שנקבל‬ ‫אותו לוח כפל גם אם ניקח ‪.(e = 0, x = 2, y = 1‬‬ ‫כאשר ‪ ,|G| = 4‬ונסמן }‪ ,G = {e, x, y, z‬יש כבר יותר אפשרויות‪.‬‬ ‫◦‬

‫‪e‬‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪y y‬‬ ‫‪z z‬‬

‫כמובן‪ ,x ◦ x ̸= x ,‬ונותרנו עם שלוש אפשרויות לערך של ‪:x ◦ x‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫◦‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫◦‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x e‬‬ ‫‪y y‬‬ ‫‪z z‬‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x y‬‬ ‫‪y y‬‬ ‫‪z z‬‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x z‬‬ ‫‪y y‬‬ ‫‪z z‬‬

‫‪e‬‬

‫‪e‬‬

‫‪e‬‬

‫◦‬

‫ובהכרח‪:‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪e/x x/e‬‬ ‫‪x/e e/x‬‬

‫‪e‬‬

‫◦‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪e x‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪y z‬‬ ‫‪z y‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪z‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪e e x y‬‬ ‫‪x x y z‬‬ ‫‪y y z e‬‬ ‫‪z z e x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪e‬‬

‫◦‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y z‬‬ ‫‪e y‬‬ ‫‪z x‬‬ ‫‪x e‬‬

‫‪x‬‬

‫‪e‬‬

‫◦‬

‫‪e e x‬‬ ‫‪x x z‬‬ ‫‪y y e‬‬ ‫‪z z y‬‬

‫הטבלה השמאלית יכולה להתקבל מהטבלה האמצעית על‪-‬ידי החלפת תפקידים בין ‪ y‬ל‪ .z-‬כלומר‪,‬‬ ‫שתי הטבלאות הללו מתארות אותה חבורה‪ ,‬עד כדי שינוי שמות האיברים‪ ,‬דהיינו עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬גם החבורה המתקבלת מן האופציה המודגשת בטבלה הימנית איזומורפית לשתיים הללו )ניקח‬ ‫את הטבלה האמצעית ונחליף בין ‪ x‬ל‪ .(y-‬האופציה הבלתי מודגשת בטבלה הימנית היא כבר שונה‪ .‬כדי‬ ‫לראות מדוע‪ ,‬שימו לב‪ ,‬למשל ששם‪ ,‬בניגוד לטבלאות האחרות‪ ,‬כל איבר בריבוע שווה ל‪ .e-‬אילו היה‬ ‫איזומורפיזם ‪ φ‬מחבורה שכזו לחבורה אחרת‪ ,‬אזי מתוך‬ ‫) (‬ ‫‪φ (g)2 = φ g 2 = φ (e) = e‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪16‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫היינו מסיקים שגם בחבורה האחרת כל איבר בריבוע הוא היחידה‪.‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬קיימות לכל היותר שתי חבורות שונות מסדר ‪ ,4‬עד כדי איזומורפיזם‪ .‬האמנם שתי האפשרויות‬ ‫הנותרות מגדירות חבורה? לכאורה‪ ,‬אנו צריכים לבדוק כי כל אחת משתי הפעולות הבינאריות שבנינו היא‬ ‫אסוציאטיבית‪ .‬אולם למעשה‪ ,‬אלו פעולות של חבורות מוכרות‪ :‬דוגמה לחבורה מהסוג שבו ריבוע כל איבר‬ ‫הוא היחידה היא החבורה ‪ .Z2 × Z2‬דוגמה לחבורה מהטיפוס השני היא ‪ .Z4‬בדיקה פשוטה מראה כי‬ ‫למעשה בנינו את לוחות הכפל של שתי החבורות המוכרות הללו‪ ,‬עד כדי שינוי שמות האיברים‪ .‬הניתוח‬ ‫דלעיל מראה שעד כדי איזומורפיזם אלו כל החבורות האפשריות מסדר ‪.4‬‬ ‫כאשר ‪ |G| = 5‬השיטה של בניית חבורה מתוך לוח הכפל שלה כבר קשה למדי ליישום ואינה שופכת‬ ‫אור על הבעיה‪ .‬בפרט‪ ,‬קשה להבין מתוכה את העובדה )שתוכח להלן‪ ,‬מסקנה ‪ (1.84‬שעד כדי איזומורפיזם‬ ‫יש רק חבורה אחת מסדר ‪.5‬‬

‫תרגיל ‪ 1.29‬לצורך תרגיל זה נקבע סימונים לאיברי ‪ ,D3‬חבורת הסימטריה של משולש צווה צלעות △‪.‬‬ ‫איבר הזהות יסומן ‪ .e‬סיבוב ב‪ 120◦ -‬ימינה יסומן ‪ y‬וסיבוב ב‪ 120◦ -‬שמאלה ‪ .x‬שלושת השיקופים‬ ‫יסומנו |‪  ,‬ו‪ -‬בהתאם לציר הסימטריה שמגדיר אותם‪ .‬תוך שימוש בסימנים אלה‪ ,‬כתבו את לוח הכפל‬ ‫המלא של ‪.D3‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.30‬בתרגיל זה נבנה את לוח הכפל של ‪ ,D4‬חבורת הסימטריה של הריבוע‪ .‬יהי ‪ σ ∈ D4‬סיבוב‬ ‫ב‪) 90◦ -‬עם כיוון השעון‪ ,‬נניח(‪ ,‬ויהי ‪ τ ∈ D4‬שיקוף כלשהו‪.‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי שמונת איברי החבורה הם בדיוק ‪) e, σ, σ 2 , σ 3‬ארבעת הסיבובים( ו‪τ, τ σ, τ σ 2 , τ σ 3 -‬‬ ‫)ארבעת השיקופים(‪.‬‬ ‫‪ .2‬לאיזה משמונת האיברים הללו שווה המכפלה ‪?στ‬‬ ‫‪ .3‬תוך שימוש בשמונת השמות הללו לאיברי ‪ ,D4‬כתבו את לוח הכפל של החבורה‪.‬‬ ‫ניתן למלא לוח כפל בגודל ‪ .8 × 8‬לחילופין‪ ,‬ניתן גם למלא את לוח הכפל הפרמטרי הבא‪:‬‬ ‫‪τ σj‬‬

‫‪σj‬‬ ‫‪σi‬‬ ‫‪τ σi‬‬

‫)בעבור }‪ .(i, j ∈ {0, 1, 2, 3‬למשל‪ ,‬בתא השמאלי העליון יופיע ‪.σ (i+j) mod 4‬‬

‫‪1.4‬‬

‫⟩‪⟨S‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫תהי ‪ G‬חבורה ותהי ‪ S ⊆ G‬תת‪-‬קבוצה כלשהי‪ .‬אוסף כל איברי ‪ G‬המתקבלים מ"מלים" המורכבות‬ ‫מאיברי ‪ S‬ומהפכיהם מסומן ‪:⟨S⟩ 8‬‬ ‫}‪. ⟨S⟩ = {xε11 · xε22 · . . . · xεnn | n ∈ N, εi = ±1, xi ∈ S‬‬ ‫האוסף ⟩‪ ⟨S‬כולל גם את היחידה ‪ ,e‬המתקבלת פורמלית בתור המילה הריקה‪ ,‬כלומר המילה שבאורך‬ ‫‪.n = 0‬‬ ‫‪8‬כאשר רושמים את איברי הקבוצה במפורש‪ ,‬לעתים במקום לכתוב ⟩} ‪ ,⟨{x1 , . . . , xr‬נכתוב ⟩ ‪.⟨x1 , . . . , xr‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪17‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫טענה ‪ 1.31‬האוסף ⟩‪ ⟨S‬הוא תת‪-‬חבורה של ‪.G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,e ∈ ⟨S⟩ ,‬ואם‬

‫‪δm‬‬ ‫‪xε11 xε22 . . . xεnn , y1δ1 y2δ2 . . . ym‬‬ ‫⟩‪∈ ⟨S‬‬

‫אז גם‬ ‫‪δm‬‬ ‫‪.xε11 xε22 . . . xεnn ◦ y1δ1 y2δ2 . . . ym‬‬ ‫⟩‪∈ ⟨S‬‬

‫לבסוף‪,‬‬ ‫‪2 −ε1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(xε11 xε22 . . . xεnn )−1 = x−ε‬‬ ‫‪. . . x−ε‬‬ ‫⟩‪∈ ⟨S‬‬ ‫‪2 x1‬‬ ‫‪n‬‬

‫ולכן גם ההפכי נמצא ב‪.⟨S⟩-‬‬

‫הגדרה ‪ 1.32‬לכל ‪ ,S ⊆ G‬תת‪-‬החבורה ⟩‪ ⟨S‬נקראת תת‪-‬החבורה הנוצרת על ידי ‪.S‬‬ ‫אם ‪ ⟨S⟩ = G‬נאמר כי ‪ S‬היא קבוצת יוצרים של ‪.G‬‬ ‫נציג עכשיו דרך שקולה להגדיר את תת‪-‬החבורה הנוצרת על‪-‬ידי ‪ .S‬לשם כך נשים לב תחילה כי חיתוך של‬ ‫אוסף כלשהו של תת‪-‬חבורות הוא תת‪-‬חבורה )כבר ציינו כי חיתוך של שתי תת‪-‬חבורות הוא תת‪-‬חבורה(‪:‬‬ ‫טענה ‪ 1.33‬אם ‪ {Hα }α∈A‬אוסף כלשהו של תת‪-‬חבורות של ‪ G‬אז גם ‪Hα‬‬

‫∩‬

‫= ‪ H‬היא תת‪-‬חבורה‪.‬‬

‫‪α∈A‬‬

‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ e ∈ Hα ,‬לכל ‪ α‬ולכן ‪ e ∈ H‬ובפרט ‪ H‬אינה ריקה‪ .‬אם ‪ a, b ∈ H‬אז ‪ a, b ∈ Hα‬לכל‬ ‫‪ α‬ולכן ‪ ab ∈ Hα‬לכל ‪ .α‬לפיכך ‪ .ab ∈ H‬באותו אופן‪ ,‬אם ‪ a ∈ H‬אז ‪ a ∈ Hα‬לכל ‪ α‬ולכן ‪a−1 ∈ Hα‬‬ ‫לכל ‪ ,α‬כלומר‪.a−1 ∈ H ,‬‬

‫נסמן ˆ‬ ‫ב‪ S-‬את חיתוך כל תת‪-‬החבורות של ‪ G‬שמכילות את ‪.S‬‬ ‫מסקנה ‪ Sˆ 1.34‬היא תת‪-‬חבורה של ‪.G‬‬

‫טענה ‪.Sˆ = ⟨S⟩ 1.35‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ⟨S⟩ ,‬היא תת‪-‬חבורה של ‪ G‬שמכילה את ‪ ,S‬ולכן ⟩‪ Sˆ ≤ ⟨S‬לפי הגדרת ˆ‪ .S‬מצד שני‪Sˆ ,‬‬ ‫היא תת‪-‬חבורה המכילה את ‪ .S‬לכן היא מכילה גם את }‪ ,S −1 = {s−1 | s ∈ S‬ולפיכך את כל המכפלות‬ ‫של איברים מ‪ S-‬ומ‪ ,S −1 -‬כלומר את כל ⟩‪.⟨S‬‬

‫הדרך הראשונה להגדיר את ⟩‪" ⟨S‬מלמטה" היא קונסטרוקטיבית ומציפה על פני השטח שאלות כגון מהו‬ ‫אורך המילה המינימלי הדרוש כדי לתאר איבר מסוים בעזרת קבוצת יוצרים נתונה‪ ,‬או )אם ‪ S‬סופית(‬

‫תת‪-‬החבורה הנוצרת‬

‫קבוצת יוצרים‬

‫‪1.4‬‬

‫‪18‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫מהי ההתנהגות האסימפטוטית של מספר האיברים בחבורה שהמילה הקצרה ביותר שמתארת אותם היא‬ ‫מאורך ‪ n‬כאשר ∞ → ‪ .n‬לעומתה‪ ,‬ההגדרה של ‪ Sb‬מספקת "הוכחת קיום" לא קונסטרוקטיבית‪ .‬יחד עם‬ ‫זאת‪ ,‬לסוג כזה של הגדרה‪-‬הוכחה יש חשיבות כללית באלגברה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬נתבונן בחבורת הסימטריות של הריבוע — החבורה הדיהדרלית ‪ ,D4‬ונשתמש בשמות האיברים‬ ‫שקבענו בתרגיל ‪ .1.30‬תת‪-‬החבורה שנוצרת על‪-‬ידי ‪ ,σ‬הסיבוב ב‪ 90◦ -‬עם כיוון השעון‪ ,‬תסומן ⟩}‪ ⟨{σ‬או‬ ‫פשוט ⟩‪ ,⟨σ‬והיא מורכבת מאוסף כל המלים באותיות ‪ σ‬ו‪ .σ −1 -‬כמובן‪ ,‬אם במילה מסוימת מופיע הרצף‬ ‫‪ σ · σ −1‬או הרצף ‪ ,σ −1 · σ‬ניתן לצמצמו לפי האסוציאטיביות בחבורה‪ ,‬ולקבל מילה קצרה יותר שמתארת‬ ‫אותו איבר בחבורה‪ .‬אחרי כל הצמצומים מסוג זה‪ ,‬ניוותר רק עם מלים מהצורה ‪ σ m‬עם ‪ .m ∈ Z‬למשל‪:‬‬ ‫‪σ −1 · σ · σ −1 · σ −1 · σ −1 · σ = σ −1 · e · σ −1 · σ −1 · σ‬‬ ‫‪= σ −1 · σ −1 · σ −1 · σ‬‬ ‫‪= σ −1 · σ −1 · e‬‬ ‫‪= σ −1 · σ −1‬‬ ‫‪= σ −2‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬מכיוון ש‪ ,σ 4 = e-‬ברור כי‬ ‫‪. . . = σ −7 = σ −3 = σ = σ 5 = σ 9 = . . .‬‬ ‫וכן‬ ‫‪= ...‬‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=σ =σ =σ‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪=σ‬‬

‫‪−6‬‬

‫‪... = σ‬‬

‫וכן הלאה‪ .‬לכן‪ ⟨σ⟩ ,‬מכילה רק ארבעה איברים שונים‪ σ 2 ,σ ,e :‬ו‪ ,σ 3 -‬כלומר זו תת‪-‬החבורה שמכילה‬ ‫בדיוק את כל הסיבובים‪ .‬כמובן‪ ,‬גם ⟩ ‪ ⟨σ, σ 2‬זו אותה תת‪-‬חבורה‪ :‬הרי כל איבר ששווה למילה ב‪ σ-‬וב‪σ 2 -‬‬ ‫שווה גם למילה ב‪ σ-‬לבדה‪ .‬לעומת זאת‪ ⟨σ, τ ⟩ ,‬זו כבר תת‪-‬חבורה גדולה יותר‪ ,‬ולמעשה זו החבורה ‪D4‬‬ ‫כולה‪ :‬בסימוני תרגיל ‪ ,1.30‬ברור שכל אחד משמונת איברי החבורה ‪ e, σ, σ 2 , σ 3 , τ, τ σ, τ σ 2 , τ σ 3‬הוא‬ ‫מילה בקבוצת יוצרים זו‪.‬‬ ‫תרגיל ‪1.36‬‬ ‫‪ .1‬מצאו קבוצת יוצרים לחבורה ‪.D3‬‬ ‫‪ .2‬לכל אחד משמונת איברי ‪ D4‬מצאו את תת‪-‬החבורה הנוצרת על‪-‬ידו‪.‬‬ ‫‪ .3‬אילו איברים כוללת תת‪-‬החבורה ⟩ ‪ ⟨σ 2 , τ‬של ‪?D4‬‬ ‫‪1.4.1‬‬ ‫חבורה צקלית‬

‫חבורות צקליות‬

‫הגדרה ‪ 1.37‬חבורה ‪ G‬נקראת צקלית )גם‪ :‬מעגלית‪ (cyclic ,‬אם היא נוצרת על‪-‬ידי איבר יחיד‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬חבורת השלמים ‪ Z‬עם )פעולת החיבור( היא צקלית‪ :‬היא נוצרת על‪-‬ידי האיבר ‪ ,1‬כלומר ⟩‪,Z = ⟨1‬‬ ‫ולמעשה גם ⟩‪ .Z = ⟨−1‬גם החבורה ‪) Zn‬החבורה שאיבריה }‪ {0, 1, . . . , n − 1‬עם פעולת החיבור מודולו‬ ‫‪ (n‬היא צקלית‪ .Zn = ⟨1⟩ :‬להלן נחקור בייתר פירוט את מבנה החבורות ‪ Z‬ו‪ Zn -‬ונראה שלמעשה‪ ,‬אלו‬ ‫הן הדוגמאות היחידות לחבורות צקליות‪.‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪19‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫חבורת השלמים ‪ :Z‬יוצרים ותת‪-‬חבורות‬ ‫כעת נפנה להבין אילו תת‪-‬חבורות של ‪ Z‬נוצרות מתת‪-‬קבוצות שונות‪ .‬בעבור }‪ S = {3‬נקבל ‪.⟨S⟩ = 3Z‬‬ ‫בעבור }‪ S = {0‬נקבל }‪ .⟨S⟩ = {0‬בעבור }‪ T = {5, 7‬נקבל ‪ :⟨T ⟩ = Z‬נוכל לקבל את ‪ 1‬על‪-‬ידי‪ ,‬למשל ‪,9‬‬ ‫‪ ,3 · 5 − 2 · 7 = 1‬ולכן נוכל לקבל את כל איברי ‪ .Z‬כלומר‪ T ,‬היא קבוצת יוצרים של ‪ .Z‬עם זאת‪ ,‬כאמור‪,‬‬ ‫‪ Z‬צקלית‪ ,‬כלומר יש לה גם קבוצות יוצרים קטנות יותר‪ ,‬בנות איבר אחד‪) .Z = ⟨1⟩ = ⟨−1⟩ :‬למעשה‪,‬‬ ‫קל לראות ש‪ 1-‬ו‪ −1-‬הם המספרים היחידים שיוצרים לבדם את ‪ Z‬כולה‪(.‬‬ ‫מסתבר שלא רק ‪ Z‬עצמה צקלית‪ ,‬אלא גם כל תת‪-‬חבורה שלה‪:‬‬ ‫למה ‪ 1.38‬כל תת‪-‬חבורה ‪ H‬של ‪ Z‬היא צקלית‪ .‬יתר על כן‪ ,‬ישנו ‪ d ≥ 0‬יחיד כך ש‪.H = ⟨d⟩-‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ H ≤ Z‬תת‪-‬חבורה של ‪ .Z‬אם }‪ H = {0‬הטענה ברורה‪ .‬אחרת‪ ,‬יש ב‪ H-‬איברים חיוביים‬ ‫)מדוע?(‪ ,‬ויהי ‪ d > 0‬האיבר החיובי הקטן ביותר ב‪ .H-‬נראה כי ⟩‪.H = ⟨d‬‬ ‫מחד‪ ,‬ברור כי ⟩‪ .H ≥ ⟨d‬מאידך‪ ,‬יהי ‪ .a ∈ H‬נחלק את ‪ a‬ב‪ d-‬עם שארית ונקבל‬ ‫‪a = dq + r‬‬ ‫עם ‪ q, r ∈ Z‬ו‪ .0 ≤ r < d-‬מכיוון ש‪ a, d ∈ H-‬גם ‪ ,r = a − dq ∈ H‬אבל ‪ d‬הוא המספר החיובי‬ ‫המינימלי ב‪ H-‬ולכן בהכרח ‪ .r = 0‬כלומר‪ a = dq ,‬ולכן ⟩‪ .a ∈ ⟨d‬קיבלנו כי ⟩‪.H ≤ ⟨d‬‬ ‫∈ ‪.d‬‬ ‫לבסוף‪ d ,‬הוא יחיד כי לכל מספר חיובי ‪ c‬שגדול ממנו‪/ ⟨c⟩ ,‬‬ ‫מכיוון שתת‪-‬החבורה שנוצרת על‪-‬ידי ‪ 1 ≤ d ∈ Z‬היא פשוט ‪ ,dZ‬כלומר הכפולות השלמות של ‪ ,d‬נסיק‪:‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.39‬תת‪-‬החבורות של ‪ Z‬הן }‪ ,{0‬וכן ‪ dZ‬לכל ‪ d‬טבעי‪.‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬כל תת‪-‬חבורה לא טריוויאלית של ‪ Z‬איזומורפית ל‪.Z-‬‬ ‫∼ ‪ dZ‬לכל ‪ d‬טבעי‪ .‬קל לבדוק כי ההעתקה ‪ φ : Z → dZ‬המוגדרת על‪-‬ידי‬ ‫הוכחה‪ :‬נותר להוכיח כי ‪= Z‬‬ ‫‪ r 7→ dr‬היא איזומורפיזם‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.40‬מחלק משותף מקסימלי )מ‪.‬מ‪.‬מ‪ (.‬או ‪ (greatest common divisor) gcd‬של שני מספרים‬ ‫שלמים ‪ a, b ∈ Z‬הוא מספר ‪ d ∈ Z‬המקיים ⟩‪.⟨d⟩ = ⟨a, b‬‬ ‫אם מוסיפים את התנאי ש‪ ,d ≥ 0-‬אזי ה‪ gcd-‬הוא יחיד ‪ 10‬ומסומן )‪ gcd (a, b‬או ביתר פשטות )‪.(a, b‬‬ ‫אם ‪ gcd (a, b) = 1‬אומרים ש‪ a-‬ו‪ b-‬הם מספרים זרים )‪.(coprime‬‬ ‫למשל‪ ,(4, 6) = 2 ,‬אך ללא דרישת האי‪-‬שליליות גם ‪ −2‬הוא ‪ gcd‬של ‪ 4‬ו‪.6-‬‬ ‫טענה ‪ 1.41‬אם )‪ d = gcd (a, b‬אז ‪ d‬הוא צירוף במקדמים שלמים של ‪ a‬ו‪ .b-‬כלומר‪ ,‬קיימים ‪x, y ∈ Z‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪.xa + yb = d‬‬

‫‪9‬נדגיש כי סימון הכפל במשוואה ‪ 3 · 5 − 2 · 7 = 1‬הוא רק קיצור לחיבור חוזר בחבורה‪ ,‬ואינו פעולה בחבורה עצמה‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫‪ 3 · 5‬הוא קיצור בעבור ‪.5 + 5 + 5‬‬ ‫‪10‬לפי למה ‪.1.38‬‬

‫‪gcd‬‬ ‫)‪(a, b‬‬ ‫מספרים זרים‬

‫‪1.4‬‬

‫‪20‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫הוכחה‪ :‬הטענה נובעת מכך שלפי הגדרת ה‪ ,d ∈ ⟨a, b⟩ ,gcd-‬אך מכיוון ש‪ Z-‬אבלית‪ ,‬איברי ⟩‪ ⟨a, b‬הם‬ ‫בדיוק‬ ‫}‪. ⟨a, b⟩ = {ma + nb | m, n ∈ Z‬‬

‫כפי שמראה הטענה הבאה‪ gcd ,‬של שני מספרים‪ ,‬כשמו כן הוא‪ ,‬הוא מחלק משותף מקסימלי‪ .‬יתר על כן‪,‬‬ ‫תכונה זו יכולה לשמש הגדרה חלופית בעבורו‪:‬‬ ‫טענה ‪ 1.42‬יהיו ‪ ,a, b ∈ Z‬לא שניהם אפס‪ .‬אזי ‪ d ∈ Z‬הוא ‪ gcd‬של ‪ a‬ו‪ b-‬אם ורק אם מתקיימים שני‬ ‫התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ d | a .1‬ו‪ d) d | b-‬הוא מחלק משותף(‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ z ∈ Z‬מקיים ‪ z | a‬ו‪ ,z | b-‬אז ‪ d) z | d‬הוא מחלק משותף מקסימלי ‪.(11‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח תחילה כי ⟩‪ .⟨d⟩ = ⟨a, b‬תת‪-‬החבורה ⟩‪ ⟨d‬מורכבת בדיוק מכל הכפולות של ‪ ,d‬כלומר‬ ‫}‪, ⟨d⟩ = {md | m ∈ Z‬‬ ‫והרי ⟩‪ .a, b ∈ ⟨d‬לכן ‪ a‬ו‪ b-‬הם כפולות של ‪ ,d‬דהיינו ‪ d|a‬ו‪ .d|b-‬בעבור ‪ ,z ∈ Z‬אם ‪ z | a‬ו‪ z | b-‬הרי ש‪-‬‬ ‫‪z | ma + nb‬‬ ‫לכל ‪ m, n ∈ Z‬ובפרט ‪ z|d‬לפי הטענה הקודמת‪.‬‬ ‫מאידך‪ ,‬נניח כי ‪ d‬מקיים את שני התנאים שבטענה‪ .‬עלינו להוכיח כי ⟩‪ .⟨d⟩ = ⟨a, b‬לפי למה ‪,1.38‬‬ ‫ישנו ‪ d′ ∈ Z‬המקיים ⟩‪ ,⟨d′ ⟩ = ⟨a, b‬ואז ‪ d′‬הוא ‪ gcd‬של ‪ a‬ו‪ .b-‬כפי שראינו זה עתה ‪ ,‬נובע מכך כי ‪d′ | a‬‬ ‫ו‪ d′ | b-‬ולפי המקסימליות של ‪) d‬כמחלק משותף( ‪ .d′ | d‬בנוסף‪ ,‬מכך ש‪ d | a-‬ו‪ d | b-‬נובע כי ⟩‪a, b ∈ ⟨d‬‬ ‫ולכן ⟩ ‪ ,⟨d⟩ ≥ ⟨a, b⟩ = ⟨d′‬כלומר ⟩‪ ,d′ ∈ ⟨d‬דהיינו ‪ .d | d′‬קיבלנו כי ‪ d‬ו‪ d′ -‬מחלקים זה את זה‪ ,‬ולכן‬ ‫בהכרח ‪ ,d = ±d′‬ובפרט ⟩‪.⟨d⟩ = ⟨d′ ⟩ = ⟨a, b‬‬ ‫הטענה האחרונה מראה שעל מנת להבין מהי תת‪-‬החבורה הנוצרת על‪-‬ידי ‪ ,a, b ∈ Z‬די למצוא את המחלק‬ ‫המשותף המקסימלי שלהם מבין המחלקים המשותפים‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.43‬איזו תת‪-‬חבורה נוצרת על‪-‬ידי ‪ ?a1 , . . . , ar ∈ Z‬נסחו והוכיחו טענה שמרחיבה את טענה‬ ‫‪ 1.42‬למספר סופי כלשהו של איברים מ‪.Z-‬‬ ‫מושג חשוב נוסף‪ ,‬קרוב ברוחו למושג ה‪ ,gcd-‬הוא ה‪.lcm-‬‬ ‫‪lcm‬‬

‫הגדרה ‪ 1.44‬יהיו ‪ a, b ∈ Z‬שונים מאפס‪ .‬איבר ‪ k ∈ Z‬נקרא כפולה משותפת מינימלית )כ‪.‬מ‪.‬מ( או ‪lcm‬‬ ‫)‪ (least common multiple‬של ‪ a‬ו‪ ,b-‬אם מתקיימים שני התנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪ a | k .1‬ו‪ k) b | k-‬הוא כפולה משותפת(‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ z ∈ Z‬הוא כפולה של ‪ a‬ושל ‪ ,b‬אז ‪ k) k | z‬הוא כפולה משותפת מינימלית(‪.‬‬ ‫‪11‬המילה מקסימלי מתייחסת לכאן לסדר החלקי של השלמים הנובע מיחס החלוקה‪ :‬מספר ‪ x‬נחשב גדול מ‪ y-‬או שווה לו אם‬ ‫ורק אם ‪.y|x‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪21‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫לדוגמה‪ ,‬ל‪ 4-‬ו‪ 6-‬יש שתי כפולות מינימליות‪ 12 :‬ו‪ .−12-‬אם נצטמצם רק לכפולות חיוביות‪ ,‬ניוותר רק‬ ‫עם ‪ 12‬ונוכל לכתוב ‪.lcm (4, 6) = 12‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.45‬יהיו ‪ a, b ∈ Z‬שונים מאפס‪.‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי יש ‪ 0 ≤ k ∈ Z‬יחיד שהוא ‪ lcm‬של ‪ a‬ו‪) .b-‬כאמור‪ k ,‬זה יסומן )‪(.lcm (a, b‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי ‪.lcm (a, b) · gcd (a, b) = ab‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו כי ⟩)‪.⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = ⟨lcm (a, b‬‬ ‫החבורה ‪ :Zn‬יוצרים ותת‪-‬חבורות‬ ‫כדוגמה נוספת‪ ,‬ננסה להבין עתה אילו איברים יוצרים לבדם את החבורה ‪) Zn‬כזכור‪ ,‬זו החבורה שאיבריה‬ ‫}‪ {0, 1, . . . , n − 1‬עם פעולת החיבור מודולו ‪ .(n‬ברור כי ⟩‪ .Zn = ⟨1‬למעשה‪,‬‬ ‫טענה ‪ 1.46‬לכל ‪:0 ≤ a ≤ n − 1‬‬ ‫‪.⟨a⟩ = ⟨(a, n)⟩ .1‬‬ ‫‪ Zn = ⟨a⟩ .2‬אם ורק אם ‪.(a, n) = 1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נכתוב‪ ,‬כמקובל‪ ,a ≡ b mod n ,‬על‪-‬מנת לציין שקילות מודולו ‪ .n‬ראינו )טענה ‪ (1.41‬כי קיימים‬ ‫‪ x, y ∈ Z‬כך ש‪-‬‬ ‫)‪.xa + yn = (a, n‬‬ ‫אבל אז‬ ‫‪, xa ≡ (a, n) mod n‬‬ ‫כלומר‪ ,‬בחבורה ‪ (a, n) ∈ ⟨a⟩ ,Zn‬ולכן ⟩‪ .⟨(a, n)⟩ ≤ ⟨a‬מצד שני‪ (a, n) | a ,‬ולכן ⟩)‪ a ∈ ⟨(a, n‬ולפיכך‬ ‫⟩)‪ .⟨a⟩ ≤ ⟨(a, n‬אם כן‪.⟨a⟩ = ⟨(a, n)⟩ ,‬‬ ‫כעת ברור כי אם ‪ (a, n) = 1‬אז ‪ .⟨a⟩ = ⟨1⟩ = Zn‬מאידך‪ ,‬אם ‪ (a, n) = d ≥ 2‬אזי‪ ,‬בפרט‪.d | n ,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫קל לראות כי במקרה זה }‪ ⟨a⟩ = ⟨d⟩ = {0, d, 2d, . . . , n − d‬וזו תת‪-‬חבורה ממש )לא כל ‪ (Zn‬בת‬ ‫‪d‬‬ ‫איברים‪.‬‬ ‫אם כן‪ ,‬המספרים שיוצרים לבדם את ‪ Zn‬הם המספרים בין ‪ 1‬ל‪ n-‬שזרים ל‪ .n-‬במלים אחרות‪ ,‬אלו‬ ‫השאריות הזרות ל‪ n-‬מבין השאריות המתקבלות בחלוקה ב‪ .n-‬נהוג לסמן את מספר השאריות הזרות‬ ‫ל‪ n-‬ב‪ .φ (n)-‬הפונקציה הזו‪ ,φ ,‬נקראת פונקציית אוילר )‪ ,(Euler‬על שם המתמטיקאי הנודע לאונרד‬ ‫אוילר שהגדיר אותה בשנת ‪ .1763‬למשל‪ φ (10) = 4 ,‬שכן השאריות הזרות ל‪ 10-‬הן ‪ 7, 3, 1‬ו‪.9-‬‬ ‫כדוגמה קונקרטית‪ ,‬נסתכל ב"חבורת השעון"‪ ,‬הלוא היא ‪ .Z12‬התרשים הבא‪ ,‬שמתאר את כל תת‪-‬‬ ‫החבורות של ‪ Z12‬נקרא שריג תת‪-‬החבורות‪ .‬מצוינות בו כל תת‪-‬החבורות של ‪ ,Z12‬ומן הקווים הישרים‬ ‫ניתן להבין אילו תת‪-‬חבורות מוכלות באילו תת‪-‬חבורות‪ .‬בנוסף‪ ,‬ציינו בעבור כל תת‪-‬חבורה את כל קבוצות‬ ‫היוצרים מגודל אחת )או אפס(‪) .‬כמובן‪ ,‬יש גם קבוצות יוצרים גדולות יותר‪ .‬למשל‪(.⟨2⟩ = ⟨4, 6⟩ :‬‬ ‫ארבעה איברים ב‪ Z12 -‬יוצרים )כל אחד לבדו( את ‪ Z12‬עצמה‪ .‬במלים אחרות‪ .φ (12) = 4 ,‬שמונת איברי‬ ‫החבורה האחרים יוצרים תת‪-‬חבורות קטנות יותר‪.‬‬

‫)‪φ (n‬‬

‫שריג תת‪-‬‬ ‫החבורות‬

‫‪1.4‬‬

‫‪22‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫⟩‪Z12 = ⟨1⟩ = ⟨−1⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7‬‬

‫‪g‬‬ ‫‪ggggg‬‬ ‫‪ggggg‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪gg‬‬ ‫‪ggggg‬‬

‫⟩‪{0, 2, 4, 6, 8, 10} = ⟨2⟩ = ⟨10‬‬

‫⟩‪⟨9‬‬

‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫= ⟩‪{0, 3, 6, 9} = ⟨3‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫⟩‪⟨4⟩ = ⟨8‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫⟩‪{0, 6} = ⟨6‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪PP‬‬

‫= }‪{0, 4, 8‬‬

‫⟩‪{0} = ⟨∅⟩ = ⟨0‬‬

‫לכל תת‪-‬חבורה של ‪ Z12‬מעניין להתמקד במספר הקטן ביותר שיוצר אותה‪ .‬פרט לתת‪-‬החבורה‬ ‫הטריוויאלית‪ ,‬האיברים שנמצא הם ‪ 4, 3, 2, 1‬ו‪ .6-‬אלו הם בדיוק המחלקים של ‪) 12‬פרט ל‪ 12-‬עצמו‪,‬‬ ‫שעליו ניתן לחשוב כאילו הוא יוצר את תת‪-‬החבורה הטריוויאלית }‪ .({0‬תופעה זו אינה מקרית‪:‬‬ ‫טענה ‪ 1.47‬כל תת‪-‬חבורה לא‪-‬טריוויאלית של ‪ Zn‬היא צקלית והיא מהצורה ⟩‪ ⟨d‬כאשר ‪.d|n‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.48‬הוכיחו את טענה ‪ .1.47‬יתר על כן‪ ,‬הוכיחו כי בסימוני הטענה‪ ,‬תת‪-‬החבורה ⟩‪ ⟨d‬איזומורפית‬ ‫לחבורה ‪.Z nd‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.49‬כמה יוצרים יש לחבורה הצקלית מסדר ‪ ?11‬מצאו את כל תת‪-‬החבורות של חבורה זו‪.‬‬ ‫∼ ‪ Zmn‬אם ורק אם ‪.gcd (m, n) = 1‬‬ ‫משפט ‪) 1.50‬משפט השאריות הסיני( ‪= Zm × Zn‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.51‬הוכיחו את משפט השאריות הסיני‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬אם ‪ (m, n) = 1‬מצאו איבר במכפלה הישרה ‪ Zm × Zn‬מסדר ‪ .mn‬אם ‪ (m, n) > 1‬הראו כי‬ ‫‪ lcm (m, n) < mn‬והסיקו ש‪ Zm × Zn -‬איננה צקלית‪.‬‬ ‫משפט השאריות הסיני הוא משפט בסיסי ביותר במתמטיקה‪ ,‬ובהמשך )בסעיף ‪ (10.5‬נראה שיש לו הכללות‬ ‫חשובות גם מחוץ לעולם המספרים השלמים‪ .‬התרגיל הבא מראה כיצד המשפט הזה מאפשר לנו להבין‬ ‫טוב יותר את ערכי פונקצית אוילר‪:‬‬ ‫תרגיל ‪1.52‬‬ ‫‪ .1‬מהו )‪?φ (20‬‬ ‫‪ .2‬יהיו ‪ m‬ו‪ n-‬טבעיים זרים‪ .‬הוכיחו כי לכל שארית ‪ k‬בחלוקה ב‪) m-‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ 0 ≤ k ≤ m − 1‬או‬ ‫לכל ‪ (k ∈ Zm‬ולכל שארית ‪ r‬בחלוקה ב‪ ,n-‬ישנה שארית יחידה ‪) 0 ≤ t ≤ mn − 1‬או ‪(t ∈ Zmn‬‬ ‫כך ש‪ (t mod m) = k-‬ו‪.(t mod n) = r-‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪23‬‬

‫קבוצות יוצרים‬ ‫‪ .3‬הסיקו כי אם ‪ (m, n) = 1‬אז )‪.φ (mn) = φ (m) · φ (n‬‬ ‫‪ .4‬מצאו נוסחא בעבור ) ‪ φ (pe‬לכל ‪ p‬ראשוני ו‪ e-‬טבעי‪.‬‬ ‫‪ .5‬הסיקו כי אם הראשוניים שמחלקים את ‪ n‬הם ‪) p1 , . . . , ps‬ללא חזרות(‪ ,‬אזי‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.φ (n) = n · 1 −‬‬ ‫‪· 1−‬‬ ‫‪· ... · 1 −‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪ps‬‬

‫תרגיל ‪ 1.53‬יהיו ‪ .a1 , . . . , ar ∈ Zn‬הוכיחו כי ⟩‪ ⟨a1 , . . . , ar ⟩ = ⟨d‬כאשר ‪ d‬הוא המחלק המשותף‬ ‫המקסימלי של ‪ a1 , . . . , ar‬ושל ‪) n‬כלומר‪ d | ai ,d | n ,‬לכל ‪ i‬ואם ‪ z‬גם הוא מחלק את ‪ n‬ואת ‪ ai‬לכל ‪i‬‬ ‫אז ‪.(z | d‬‬ ‫תרגיל ‪1.54‬‬ ‫‪ .1‬נניח כי ‪ .d | n‬הוכיחו כי יש בדיוק‬ ‫⟩‪.⟨d‬‬

‫)‪(n‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪ φ‬איברים ב‪ Zn -‬שיוצרים )כל אחד לבדו( את תת‪-‬החבורה‬

‫‪ .2‬הסיקו שלכל ‪ n‬טבעי מתקיים‬ ‫‪φ (d) = n‬‬

‫∑‬

‫‪.‬‬

‫‪d|n‬‬

‫הטבעיים‬ ‫המחלקים‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫הוא‬ ‫הסכום‬ ‫כאשר‬ ‫∑‬ ‫)למשל‪(. d|6 φ (d) = φ (1) + φ (2) + φ (3) + φ (6) = 1 + 1 + 2 + 2 = 6 ,‬‬

‫של‬

‫‪.n‬‬

‫חבורות צקליות כלליות‬ ‫עד כה נתקלנו בחבורות צקליות משני סוגים‪ ,Z :‬שהיא חבורה צקלית אינסופית‪ ,‬ו‪ Zn -‬שהן משפחה‬ ‫)אינסופית( של חבורות צקליות סופיות‪ .‬להלן נראה כי אלו‪ ,‬למעשה‪ ,‬החבורות הצקליות ואין בלתן‪.‬‬ ‫טענה ‪ 1.55‬חבורה צקלית היא אבלית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ⟩‪ .G = ⟨g‬כלומר }‪) G = {g n | n ∈ Z‬אולי עם חזרות(‪ .‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪g n ◦ g m = g n+m = g m+n = g m ◦ g n‬‬ ‫)ושימו לב שהשוויונות הללו נכונים גם כאשר ‪ n‬ו‪/‬או ‪ m‬שליליים(‪.‬‬

‫תרגיל ‪ 1.56‬הוכיחו כי הכיוון ההפוך של הטענה האחרונה אינו נכון‪ .‬כלומר‪ ,‬הוכיחו שיש חבורות אבליות‬ ‫שאינן צקליות‪.‬‬ ‫תהי ‪ G‬חבורה כלשהי ו‪ .g ∈ G-‬לפי ההגדרה‪ ,‬תת‪-‬החבורה ⟩‪ ⟨g‬היא צקלית‪ .‬ההגדרה הבאה קשורה לסדר‬ ‫של חבורה זו‪:‬‬

‫הגדרה ‪ 1.57‬תהי ‪ G‬חבורה ויהי ‪ .g ∈ G‬הסדר )‪ (order‬של ‪ ,g‬המסומן ‪ ,|g| 12‬הוא המספר הטבעי‬

‫סדר של איבר‬

‫‪24‬‬

‫‪1.4‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫המינימלי ‪ 1 ≤ n‬המקיים ‪ .g n = e‬אם אין ‪ n‬כזה‪ ,‬אומרים ש‪ g-‬איבר מסדר אינסופי‪.‬‬

‫)והסדר של ‪ ,0‬כמו של איבר היחידה בכל חבורה‪,‬‬ ‫למשל‪ ,‬בתוך ‪ ,Z‬הסדר של כל איבר)פרט לאפס הוא ∞(‬ ‫‪1 2 3 4 5‬‬ ‫הוא ‪ .(1‬הסדר של התמורה ‪∈ S5‬‬ ‫הוא ‪) 6‬ודאו זאת(‪.‬‬ ‫‪2 1 4 5 3‬‬

‫טענה ‪ 1.58‬הסדר של ‪ g‬שווה לסדר של תת‪-‬החבורה אותה הוא יוצר‪ ,‬כלומר‪.|⟨g⟩| = |g| ,‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נזכיר כי }‪ .⟨g⟩ = {g m | m ∈ Z‬אם ‪ |g| = n‬ו‪ m = qn+r-‬כאשר ‪ 0 ≤ r < m‬אזי ‪,g m = g r‬‬ ‫ולכן יש לכל היותר ‪ n‬איברים שונים ב‪ ,⟨g⟩-‬כלומר ‪ .|⟨g⟩| ≤ n‬מצד שני‪ ,‬האיברים ‪e = g 0 , g 1 , . . . , g n−1‬‬ ‫שונים זה מזה‪ ,‬כי אם ‪ ,0 ≤ x < y < n ,g x = g y‬נקבל ‪ ,g y−x = e‬ו‪ ,1 ≤ y − x < n-‬בסתירה לבחירת‬ ‫‪ .n‬לכן יש בדיוק ‪ n‬איברים ב‪ ,⟨g⟩-‬כלומר ‪.|⟨g⟩| = n‬‬ ‫אם ∞ = |‪ ,|g‬אותו טיעון מגלה שכל האיברים ‪) e = g 0 , g 1 , g 2 , . . .‬ולמעשה גם ‪ (g −1 , g −2 , . . .‬שונים‬ ‫זה מזה ולכן גם ⟩‪ ⟨g‬חבורה אינסופית‪.‬‬ ‫∼ ‪.G‬‬ ‫טענה ‪ 1.59‬אם ‪ G‬צקלית מסדר אינסופי אז ‪= Z‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ⟩‪ G = ⟨x‬חבורה צקלית אינסופית‪ .‬נגדיר העתקה ‪ φ : Z → G‬על‪-‬ידי‬ ‫‪.φ (m) = xm‬‬ ‫ברור כי ‪ φ‬היא על‪ ,‬שכן‪ ,‬לפי ההגדרה‪ .G = {xm | m ∈ Z} ,‬בנוסף‪ ,‬מתקיים ∞ = |‪,|x| = |⟨x⟩| = |G‬‬ ‫ולכן ‪ xm ̸= e‬לכל ‪ .0 ̸= m ∈ Z‬יתר על כן‪ ,‬אם ‪ m ̸= n‬אז ‪ ,xm ̸= xn‬כי אם ‪ xm = xn‬נקבל ‪,xm−n = e‬‬ ‫בסתירה‪ .‬לפיכך ‪ φ‬היא גם חח"ע‪ .‬לבסוף‪ φ ,‬משמרת את הפעולה הבינארית שכן‬ ‫)‪φ (m + n) = xm+n = xm · xn = φ (m) · φ (n‬‬ ‫‬ ‫ולפיכך היא איזומורפיזם‪.‬‬ ‫טענה ‪ 1.60‬חבורה צקלית מסדר ‪ n‬איזומורפית ל‪.Zn -‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.61‬הוכיחו את טענה ‪.1.60‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.62‬תת‪-‬חבורה של חבורה צקלית היא צקלית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראינו זאת בעבור ‪) Z‬למה ‪ (1.38‬ובעבור ‪) Zn‬טענה ‪ ,(1.47‬וזה עתה ראינו שעד כדי איזומורפיזם‪,‬‬ ‫אלו הן החבורות הצקליות היחידות‪.‬‬

‫‪12‬לעתים מסמנים את הסדר של ‪ g‬גם ב‪.o (g)-‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪25‬‬

‫קבוצות יוצרים‬

‫תרגיל ‪1.63‬‬ ‫‪ .1‬בעבור ‪ g, h ∈ G‬בעלי סדר סופי המקיימים ‪ ,gh = hg‬הוכיחו ש‪-‬‬ ‫)|‪, |gh| | lcm (|g| , |h‬‬ ‫ומצאו דוגמה שבה ‪ gh = hg‬ו‪.|gh| ̸= lcm (|g| , |h|) -‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫= ‪ ,B‬איברים ב‪ ,GL2 (R)-‬יש סדרים סופיים‪,‬‬ ‫= ‪ A‬ול‪-‬‬ ‫‪ .2‬הראו של‪-‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪−1 0‬‬ ‫אך ל‪ AB-‬יש סדר אינסופי‪ .‬איך זה מתיישב עם הסעיף הקודם של התרגיל?‬ ‫‪1.4.2‬‬

‫גרף קיילי‬

‫בסעיף זה נתאר דרך גיאומטרית שימושית לתאר חבורה נתונה ולהבין אם וכיצד היא נוצרת על‪-‬ידי תת‪-‬‬ ‫קבוצה נתונה ‪ .S‬האובייקט הגאומטרי הוא גרף מכוון ‪ 13‬שנקרא גרף קיילי על שם המתמטיקאי האנגלי‬ ‫‪ .Cayley‬בהינתן חבורה ‪ G‬ותת‪-‬קבוצה ‪ ,S ⊆ G‬נסמן ב‪ Cay (G, S)-‬את הגרף שמתאר מה קורה לכל‬ ‫איבר ב‪ G-‬כאשר כופלים אותו )מימין( באיבר מ‪ S-‬או בהפכי שלו‪ .‬ביתר דיוק‪ Cay (G, S) ,‬מוגדר כדלקמן‪:‬‬ ‫• הקדקודים של )‪ Cay (G, S‬הם איברי ‪.G‬‬ ‫• לכל ‪ g ∈ G‬ולכל ‪ s ∈ S‬ישנה קשת )‪ ,(g, gs‬כלומר קשת מכוונת שנמתחת מהקדקוד ‪ g‬לקדקוד‬ ‫‪.g · s‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬בשרטוט הבא מתוארים שלושה גרפי קיילי שונים )ביחס לתת‪-‬קבוצות שונות( של החבורה ‪:Z6‬‬ ‫בשרטוט הימני מופיע )}‪ ,Cay (Z6 , {1‬גרף קיילי של ‪ Z6‬ביחס לקבוצת היוצרים }‪ .{1‬באמצע מסורטט‬ ‫)}‪ — Cay (Z6 , {3, 4‬לשם נוחות ההתמצאות‪ ,‬את הקשתות המתאימות "לכפל" מימין באיבר ‪) 3‬במקרה‬ ‫זה‪ ,‬נכון יותר לומר "חיבור"‪ ,‬שכן הפעולה בחבורה היא פעולת החיבור מודולו ‪ ,(6‬ציירנו כחץ רציף רגיל‪,‬‬ ‫ואת אלו המתארות "כפל" ב‪ 4-‬ציירנו כחץ שבור ובצבע שונה‪ .‬משמאל מופיע )}‪.Cay (Z6 , {2‬‬

‫תרגיל ‪1.64‬‬ ‫‪ .1‬שרטטו את )} ‪ Cay (D4 , {σ, τ‬ואת )} ‪) Cay (D4 , {σ 2 , τ‬סימוני האיברים כבתרגיל ‪.(1.30‬‬ ‫‪ .2‬תארו את )}‪ ,Cay (Z, {1‬את )}‪ Cay (Z, {−2‬ואת )}‪.Cay (Z, {2, 3‬‬ ‫‪ .3‬תארו את )})‪.Cay (Z × Z, {(1, 0) , (0, 1‬‬

‫‪13‬גרף מכוון הוא אובייקט שמורכב מקבוצת קדקודים )צמתים( ‪ V‬ומקבוצת קשתות )צלעות( מכוונות ‪ .E ⊆ V × V‬הקשת‬ ‫‪ (u, v) ∈ E‬מסומנת לרוב בחץ היוצא מהקדקוד ‪ u‬לעבר הקדקוד ‪.v‬‬

‫גרף קיילי‬

‫‪1.5‬‬

‫‪26‬‬

‫חבורת האוטומורפיזמים‬

‫תרגיל ‪ 1.65‬מסילה בגרף היא טיול לאורך מספר סופי של קשתות מקדקוד כלשהו ‪ u‬לקדקוד ‪ .v‬אנחנו‬ ‫מניחים שניתן לצעוד על גבי קשתות גם נגד כיוון החץ שעליהן‪ .‬למשל‪ ,‬בגרף )}‪ Cay (Z6 , {3, 4‬שמסורטט‬ ‫לעיל‪ ,‬יש מסילה בת שתי קשתות מהקדקוד ‪ 5‬לקדקוד ‪ 4‬העוברת דרך הקדקוד ‪ :2‬אפשר לצעוד ראשית‬ ‫דרך הקשת שמתארת חיבור ‪ 3‬לקדקוד ‪ 2‬ואחר‪-‬כך להמשיך‪ ,‬נגד הכיוון‪ ,‬לאורך הקשת שמתארת חיבור ‪4‬‬ ‫אל הקדקוד ‪.4‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי כל מסילה ב‪ Cay (G, S)-‬מהקדקוד ‪ e‬לקדקוד ‪ g‬מתאימה למילה באיברי ‪) S‬והפכיהם(‬ ‫שמתארת את ‪.g‬‬ ‫‪ .2‬העזרו בגרף קיילי )} ‪ Cay (D4 , {σ, τ‬ששרטטתם בתרגיל הקודם כדי למצוא את המילה הקצרה‬ ‫ביותר בקבוצת היוצרים } ‪) {σ, τ‬והפכיהם( שמתארת כל איבר ב‪.D4 -‬‬ ‫‪ .3‬למה מתאימה מסילה מהקדקוד ‪ g‬לקדקוד ‪?h‬‬ ‫‪ .4‬גרף נקרא קשיר אם בין כל שני קדקודים בו יש מסילה‪.‬‬ ‫הוכיחו כי )‪ Cay (G, S‬קשיר אם ורק אם ‪ S‬יוצרת את ‪.G‬‬

‫‪1.5‬‬

‫חבורת האוטומורפיזמים‬

‫בסעיף זה נציג דרך נוספת ליצור דוגמאות מעניינות חדשות של חבורות‪.‬‬ ‫כל חבורה היא‪ ,‬כמובן‪ ,‬איזומורפית לעצמה‪ :‬הרי העתקת הזהות היא איזומורפיזם לכל דבר ועניין‪.‬‬ ‫אולם לרוב ישנם איזומורפיזמים נוספים‪ ,‬לא טריוויאליים‪ ,‬בין חבורה לעצמה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬החבורה ‪Z3‬‬ ‫)המספרים ‪ 0, 1, 2‬עם פעולת החיבור מודולו ‪ (3‬איזומורפית לעצמה גם דרך האיזומורפיזם ‪φ : Z3 → Z3‬‬ ‫הבא‪ ,‬שאיננו הזהות‪:‬‬ ‫‪φ (0) = 0, φ (1) = 2, φ (2) = 1‬‬ ‫)ודאו שזה אכן איזומורפיזם(‪ .‬להעתקה שכזו שמור שם מיוחד‪:‬‬ ‫אוטומורפיזם‬ ‫‪Aut G‬‬

‫הגדרה ‪ 1.66‬איזומורפיזם מחבורה ‪ G‬לעצמה נקרא אוטומורפיזם של ‪.G‬‬ ‫קבוצת האוטומורפיזמים של ‪ G‬מסומנת ‪.Aut G‬‬

‫למעשה‪ ,‬לקבוצת האוטומורפיזמים של חבורה נתונה יש בעצמה מבנה טבעי של חבורה‪:‬‬

‫טענה ‪ 1.67‬הקבוצה ‪ Aut G‬מהווה חבורה ביחס לפעולת ההרכבה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬ההרכבה ‪ ψ ◦ φ‬של שני אוטומורפיזם ‪ φ, ψ ∈ Aut G‬נותנת העתקה חח"ע ועל מ‪G-‬‬ ‫לעצמה‪ .‬הרכבה זו היא למעשה אוטומורפיזם בעצמה משום שהיא גם שומרת על הפעולה של ‪:G‬‬ ‫))‪. (ψ ◦ φ) (ab) = ψ (φ (ab‬‬ ‫))‪= ψ (φ (a) φ (b‬‬ ‫))‪= ψ (φ (a)) ψ (φ (b‬‬ ‫)‪= (ψ ◦ φ) (a) (ψ ◦ φ) (b‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪27‬‬

‫חבורת האוטומורפיזמים‬

‫כמו כל הרכבת פונקציות‪ ,‬זו פעולה אסוציאטיבית‪ .‬היחידה היא‪ ,‬כמובן‪ ,‬אוטומורפיזם הזהות‪ .‬לבסוף‪,‬‬ ‫לכל אוטומורפיזם‪ ,‬באשר הוא איזומורפיזם‪ ,‬קיים הפכי בדמות ההעתקה ההפוכה לו )ראו תרגיל ‪.(1.26‬‬

‫תרגיל ‪1 1.68‬‬ ‫∼ ‪.Aut Z4‬‬ ‫‪ .1‬מצאו את כל האוטומורפיזמים של ‪ ,Z4‬והוכיחו כי ‪= Z2‬‬ ‫∼ ‪.Aut Z5‬‬ ‫‪ .2‬מצאו את כל האוטומורפיזמים של ‪ ,Z5‬והוכיחו כי ‪= Z4‬‬ ‫∼ ‪.Aut Z‬‬ ‫‪ .3‬מצאו את כל האוטומורפיזמים של ‪ ,Z‬והוכיחו כי ‪= Z2‬‬ ‫∼ ) ‪.Aut (Z2 × Z2‬‬ ‫‪ .4‬מצאו את כל האוטומורפיזמים של ‪ Z2 × Z2‬והוכיחו כי ‪= S3‬‬ ‫‪ .5‬מצאו את כל האוטומורפיזמים של ‪ ,Q+‬החבורה החיבורית של המספרים הרציונליים‪ ,‬והוכיחו כי‬ ‫∼ ‪.Aut Q+‬‬ ‫∗‪= Q‬‬ ‫דוגמה‪Aut Zn :‬‬ ‫הזכרנו לעיל את }‪ Zn = {0, 1, . . . , n − 1‬כחבורה ביחס לפעולת החיבור מודולו ‪ .n‬למעשה‪ ,‬על‬ ‫קבוצה זו מוגדר גם כפל‪ ,‬הלוא הוא כפל מודולו ‪ .n‬עם זאת‪ ,‬הכפל אינו מגדיר מבנה של חבורה על ‪Zn‬‬ ‫)ולרוב גם לא על }‪ ,(Zn \ {0‬משום שלא לכל איבר יש הפכי‪ .‬למשל‪ ,‬ב‪ ,Z10 -‬לאיבר ‪ 5‬אין הפכי כפלי‪.‬‬ ‫אולם אם נצטמצם לאיברים ההפיכים בכפל בתוך ‪ Zn‬נקבל חבורה כפלית‪:‬‬ ‫למה ‪1 1.69‬‬ ‫‪ .1‬לאיבר ‪ a ∈ Zn‬יש הפכי כפלי אם ורק אם ‪.(a, n) = 1‬‬ ‫‪ .2‬קבוצת השאריות הזרות ל‪ ,n-‬המסומנת ‪ ,Z∗n‬מהווה חבורה ביחס לכפל‪.‬‬ ‫כזכור‪ ,‬את מספר השאריות הזרות ל‪ n-‬מסמנים ב‪) φ (n)-‬ראו עמוד ‪ ,(21‬כלומר )‪ .|Z∗n | = φ (n‬לדוגמה‪,‬‬ ‫‪ φ (10) = 4‬ו‪ .Z∗10 = {1, 3, 7, 9}-‬החבורה הכפלית ‪ Z∗10‬היא בת ארבעה איברים ומסתבר שהיא‬ ‫איזומורפית ל‪ ,Z4 -‬שכן היא נוצרת על‪-‬ידי ‪) Z∗10 = ⟨3⟩ :3‬ודאו זאת!(‪.‬‬ ‫הוכחת למה ‪ :1.69‬אם ‪ (a, n) = 1‬אז לפי טענה ‪ ,Zn = ⟨a⟩ 1.46‬ובפרט ‪ 1‬הוא כפולה של ‪ a‬ב‪ ,Zn -‬כלומר‬ ‫קיים ‪ x ∈ Z‬כך ש‪-‬‬ ‫‪x · a = |a + a +‬‬ ‫‪{z. . . + a} ≡ 1 mod n‬‬ ‫‪ x‬פעמים‬

‫ואז )‪ (x mod n‬הוא הפכי כפלי של ‪ a‬ב‪ .Zn -‬מצד שני‪ ,‬אם קיים ‪ x ∈ Z∗n‬כך ש‪-‬‬ ‫‪, x · a ≡ 1 mod n‬‬ ‫פירוש הדבר שקיים ‪ y ∈ Z‬כך ש‪ ,xa − yn = 1-‬ואז‬ ‫‪(a, n) | xa − yn = 1‬‬ ‫ולכן ‪.(a, n) = 1‬‬ ‫כדי להראות את )‪ ,(2‬נזכיר שכפל מודולו ‪ n‬הוא אסוציאטיבי‪ :‬בעבור ‪x, y, z ∈ Z‬‬ ‫)‪[(x mod n) (y mod n)] (z mod n) = (xyz mod n‬‬ ‫])‪= (x mod n) [(y mod n) (z mod n‬‬

‫‪Z∗n‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪28‬‬

‫מחלקות של תת‪-‬חבורות‬

‫בנוסף‪ 1 ∈ Z∗n ,‬הוא היחידה הכפלית‪ ,‬ואם ‪ ,a ∈ Z∗n‬אזי קיים ‪ x ∈ Zn‬המקיים )‪ ,a · x ≡ 1 (mod n‬אך‬ ‫‬ ‫אז גם ‪ ,x ∈ Z∗n‬ולכן ל‪ a-‬יש הפכי ב‪.Z∗n -‬‬ ‫כעת יהי ‪ θ : Zn → Zn‬אוטומורפיזם‪ .‬קל לראות ש‪ θ-‬נקבע לחלוטין לפי התמונה של ‪ ,1‬שכן‬ ‫)‪θ (x) = θ (1) + . . . + θ (1) = (θ (1) · x mod n‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪ x‬פעמים‬

‫כלומר‪ ,‬האוטומורפיזם ‪ θ‬הוא פשוט הכפלה ב‪) θ (1)-‬מודולו ‪ .(n‬בנוסף‪ ,‬שוויון זה מראה כי התמונה של ‪θ‬‬ ‫היא ⟩)‪ ,⟨θ (1‬אבל ‪ θ‬הוא על‪ ,‬ולכן בהכרח ‪) θ (1) ∈ Z∗n‬ראו טענה ‪ .(1.46‬מצד שני‪ ,‬אם ‪ ,θ (1) ∈ Z∗n‬אזי ‪θ‬‬ ‫הוא על‪ ,‬ולכן גם חח"ע‪ ,‬כלומר זהו אכן איזומורפיזם )ברור גם כי יש לו הפכי‪ :‬הכפלה ב‪ .(θ (1)−1 -‬מכיוון‬ ‫שהרכבת האוטומורפיזמים ‪ ψ ◦ θ‬כמוה כהכפלה ב‪ ,ψ (1) · θ (1)-‬אנחנו מקבלים‪:‬‬ ‫∼ ‪.AutZn‬‬ ‫‪= Z∗n‬‬

‫‪1.6‬‬

‫מחלקות של תת‪-‬חבורות‬

‫בסעיף זה נפגוש את אחד המושגים החשובים ביותר בתורת החבורות‪ :‬מחלקות של תת‪-‬חבורות‪.‬‬ ‫מחלקה‬

‫הגדרה ‪ 1.70‬תהיינה ‪ G‬חבורה ו‪ H ≤ G-‬תת‪-‬חבורה שלה‪ .‬מחלקה שמאלית )‪ (left coset‬של ‪ H‬ב‪G-‬‬ ‫היא תת‪-‬קבוצה של ‪ G‬מהצורה‬ ‫}‪gH = {gh | h ∈ H‬‬

‫נציג‬

‫בעבור ‪ g ∈ G‬כלשהו‪ .‬כל ‪ g ′ ∈ gH‬נקרא נציג של המחלקה השמאלית ‪.gH‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬מחלקה ימנית )‪ (right coset‬של ‪ H‬ב‪ G-‬היא תת‪-‬קבוצה של ‪ G‬מהצורה‬ ‫}‪Hg = {hg | h ∈ H‬‬ ‫בעבור ‪ g ∈ G‬כלשהו‪ .‬כל ‪ g ′ ∈ Hg‬נקרא נציג של המחלקה הימנית ‪.Hg‬‬ ‫אם נבחר ‪ ,g = h ∈ H‬המחלקות שנקבל הן ‪ H‬עצמה‪:‬‬ ‫‪Hh = hH = H‬‬ ‫)ודאו שאתם מבינים מדוע(‪ .‬ניתן לחשוב על מחלקה שמאלית )ימנית‪ ,‬בהתאמה( של ‪ H‬כעל "הזזה" של‬ ‫איברי ‪ H‬על‪-‬ידי כפל משמאל )מימין( באיזשהו ‪ .g ∈ G‬שימו לב כי המחלקות הימניות והשמאליות הן‬ ‫תת‪-‬קבוצות של ‪ G‬אך פרט למחלקה ‪ eH = He = H‬אינן תת‪-‬חבורות )מדוע?(‪ .‬בנוסף‪ ,‬תמיד מתקיים‬ ‫‪ g ∈ gH‬ו‪.g ∈ Hg-‬‬

‫‪G/H‬‬ ‫‪G\H‬‬

‫הגדרה ‪ 1.71‬קבוצת המחלקות השמאליות של ‪ H‬ב‪ G-‬מסומנת ‪.G/H‬‬ ‫קבוצת המחלקות הימניות של ‪ H‬ב‪ G-‬מסומנת ‪.H\G‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪29‬‬

‫מחלקות של תת‪-‬חבורות‬

‫טענה ‪ 1.72‬כל שתי מחלקות שמאליות הן זרות או מתלכדות‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ‪ H ≤ G‬ו‪ ,g1 , g2 ∈ G-‬אז או‬ ‫∅ = ‪ g1 H ∩ g2 H‬או ‪) .g1 H = g2 H‬דהיינו‪ ,‬הפירוק למחלקות שמאליות מגדיר יחס שקילות על ‪— G‬‬ ‫ראו גם סעיף ‪(.2.1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם המחלקות ‪ g1 H‬ו‪ g2 H-‬אינן זרות‪ ,‬הרי שישנו איבר משותף‪ ,‬כלומר קיימים ‪ h1 , h2 ∈ H‬כך‬ ‫ש‪-‬‬ ‫‪.g1 h1 = g2 h2‬‬ ‫מכאן נובע כי ‪ :g1 H ⊆ g2 H‬אכן‪ ,‬לכל ‪,h ∈ H‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) ‪( −1‬‬ ‫)‬ ‫) ‪( −1‬‬ ‫(‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪(g‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪(g‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‬ ‫‪h‬‬ ‫‪.g1 h = g1 h1 h−1‬‬ ‫‪∈ g2 H‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫} ‪| {z1‬‬ ‫‪∈H‬‬

‫באופן סימטרי‪ ,‬גם ‪ g1 H ⊇ g2 H‬ולכן במקרה זה שתי המחלקות מתלכדות‪.‬‬ ‫הוכחה דומה תראה טענה מקבילה גם בעבור מחלקות ימניות‪ :‬כל שתי מחלקות ימניות של ‪ H‬הן זרות או‬ ‫מתלכדות‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.73‬תהי ‪ .H ≤ G‬אזי החבורה ‪ G‬היא איחוד זר של המחלקות השמאליות של ‪.H‬‬ ‫הוכחה‪ :‬העובדה ש‪ G-‬היא איחוד כל המחלקות נובעת‪ ,‬למשל‪ ,‬מכך ש‪ .g ∈ gH-‬האיחוד הוא זר לפי‬ ‫הטענה הקודמת‪.‬‬ ‫כמובן‪ G ,‬היא איחוד זר גם של המחלקות הימניות של ‪.H‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה מסוים‪ ,‬ויהי ‪ W ≤ V‬תת‪-‬מרחב וקטורי‪ .‬בפרט‪ V ,‬הוא‬ ‫חבורה )אבלית( ביחס לחיבור וקטורים‪ ,‬ו‪ W -‬תת‪-‬חבורה שלו‪ .‬המחלקות השמאליות של ‪ W‬הן היישריות‬ ‫)תת‪-‬מרחבים אפיניים( מהצורה‬ ‫} ‪v + W = {v + w | w ∈ W‬‬ ‫בעבור ‪ v ∈ V‬כלשהו‪ .‬כאשר‪ ,‬למשל‪ V = R2 ,‬ו‪ W -‬הוא תת‪-‬מרחב חד‪-‬ממדי‪ ,‬היישריות‪ ,‬או המחלקות‬ ‫השמאליות של ‪ ,W‬הן אוסף הישרים במישור המקבילים ל‪.W -‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪30‬‬

‫מחלקות של תת‪-‬חבורות‬

‫ניתן לבדוק מתי שתי מחלקות שמאליות )או שתיים ימניות( מתלכדות בכמה אופנים‪:‬‬ ‫טענה ‪ 1.74‬תהיינה ‪ G‬חבורה ו‪ H ≤ G-‬תת‪-‬חבורה‪ .‬התנאים הבאים שקולים בעבור ‪:g1 , g2 ∈ G‬‬ ‫‪g1 H = g2 H .1‬‬ ‫‪g2 ∈ g1 H .2‬‬ ‫‪ .3‬קיים ‪ h ∈ H‬כך ש‪g1 h = g2 -‬‬ ‫‪g1−1 g2 ∈ H .4‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬גם התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫‪Hg1 = Hg2 .1‬‬ ‫‪g2 ∈ Hg1 .2‬‬ ‫‪ .3‬קיים ‪ h ∈ H‬כך ש‪hg1 = g2 -‬‬ ‫‪g2 g1−1 ∈ H .4‬‬

‫תרגיל ‪ 1.75‬הוכיחו את הטענה האחרונה‪.‬‬ ‫אינדקס‬

‫הגדרה ‪ 1.76‬האינדקס של ‪ H‬ב‪ ,G-‬המסומן ]‪ [G : H‬הוא מספר המחלקות השמאליות של ‪ H‬ב‪:G-‬‬ ‫‪def‬‬

‫|‪[G : H] = |G/H‬‬

‫שימו לב שגודל זה אינו בהכרח סופי‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בכל חבורה מסדר אינסופי‪ ,‬האינדקס של תת‪-‬החבורה‬ ‫הטריוויאלית }‪ {e‬הוא אינסופי‪ .‬מצד שני‪ ,‬האינדקס של ‪ H‬ב‪ G-‬יכול להיות סופי גם אם ‪ G‬אינסופית‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ .1‬נתבונן בחבורה ‪ Z‬ובתת‪-‬החבורה שלה }‪ .3Z = {3m | m ∈ Z‬יש בדיוק שלוש מחלקות שמאליות‪,‬‬ ‫כלומר האינדקס של תת‪-‬החבורה הוא שלוש‪ .[Z : 3Z] = 3 :‬המחלקות הן ‪,3Z, 1+3Z, 2+3Z 14‬‬ ‫אבל יכולנו לקחת כנציגים‪ ,‬למשל‪ ,‬גם את ‪ ,−3, 4, −1‬בהתאמה‪.‬‬ ‫של ‪:S3‬‬ ‫‪ .2‬נתבונן בתת‪-‬החבורה הבאה‬ ‫( {‬ ‫( )‬ ‫})‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪H = e,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2 3 1‬‬ ‫‪3 1 2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫שכוללת את יתר שלושת‬ ‫ל‪ H-‬יש שתי מחלקות שמאליות‪ :‬היא עצמה והמחלקה ‪H‬‬ ‫‪1 3 2‬‬ ‫האיברים של ‪) S3‬בדקו זאת!(‪ .‬לפיכך ‪.[G : H] = 2‬‬ ‫‪14‬הסימון ‪ n + kZ‬משמעו }‪ .n + kZ = {n + km | m ∈ Z‬מכיוון שהפעולה בחבורה ‪ Z‬מסומנת לרוב בסימן החיבור‪ ,‬אנו‬ ‫כותבים פה גם את המחלקות בכתיב "חיבורי" מתאים‪ ,‬עם סימן הפלוס‪.‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪31‬‬

‫מחלקות של תת‪-‬חבורות‬

‫מדוע בחרנו להגדיר את האינדקס של תת‪-‬חבורה באמצעות מספר המחלקות השמאליות דווקא‪ ,‬ולא‬ ‫הימניות? מסתבר שאין לכך חשיבות והיינו מקבלים אותה תוצאה לו השתמשנו תחת זאת במחלקות‬ ‫הימניות‪:‬‬ ‫משפטון ‪ 1.77‬תהיינה ‪ G‬חבורה ו‪ H ≤ G-‬תת‪-‬חבורה שלה‪ .‬אזי מספר המחלקות הימניות של ‪ H‬ב‪G-‬‬ ‫שווה למספר המחלקות השמאליות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נגדיר העתקה חח"ע ועל בין אוסף המחלקות השמאליות לבין אוסף המחלקות הימניות‪ ,‬על ידי‬ ‫‪gH 7→ Hg −1‬‬ ‫נשים לב שהעתקה זו מוגדרת היטב‪ ,‬שכן‬ ‫‪g1 H = g2 H‬‬ ‫‪g1−1 g2 ∈ H‬‬ ‫‪( −1 )−1‬‬ ‫‪g1 g2‬‬ ‫‪∈H‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪g2 g1 ∈ H‬‬ ‫‪Hg2−1 = Hg1−1‬‬

‫⇒⇐‬ ‫⇒⇐‬ ‫⇒⇐‬ ‫⇒⇐‬

‫למעשה‪ ,‬אותה שרשרת שקילויות )בכיוון השני( מוכיחה גם שההעתקה היא חח"ע‪ .‬לבסוף‪ ,‬ההעתקה היא‬ ‫על משום שכל מחלקה ימנית ‪ Hg‬מתקבלת )כתמונה של ‪.(g −1 H‬‬ ‫שימו לב שהמשפטון האחרון תופס גם כאשר החבורה ‪ G‬אינסופית‪ .‬במקרה זה ייתכן שהחבורה ‪ H‬היא‬ ‫אינסופית אבל האינדקס ]‪ ,[G : H‬כלומר מספר המחלקות השמאליות‪ ,‬הוא סופי‪ .‬המשפטון מראה שגם‬ ‫במקרה זה האינדקס שווה למספר המחלקות הימניות‪.‬‬ ‫הערה ‪ 1.78‬אזהרה‪ :‬לרוב ‪ ,gH ̸= Hg‬ומחלקה ימנית אינה מחלקה שמאלית‪ ,‬כלומר בהינתן ‪,g1 ∈ G‬‬ ‫המחלקה ‪ Hg1‬שונה מ‪ g2 H-‬לכל ‪ .g2 ∈ G‬כדוגמה‪ ,‬הבה נתבונן בחבורה הדיהדרלית ‪) D3‬שכפי שראינו‬ ‫בתרגיל ‪ 1.27‬היא איזומורפית ל‪ .(S3 -‬זו חבורת הסימטריות של משולש שווה‪-‬צלעות △‪ ,‬וכמו בתרגיל‬ ‫‪ ,1.29‬נסמן את איבריה על‪-‬ידי‬ ‫} ‪, {e, y, x, |, ,‬‬ ‫כאשר ‪ e‬הוא איבר הזהות‪ y ,‬הוא סיבוב ב‪ 120◦ -‬עם כיוון השעון‪ x ,‬סיבוב ב‪ 120◦ -‬נגד כיוון השעון‪,‬‬ ‫ו‪  ,|-‬ו‪ -‬מסמנים את שלושת השיקופים בהתאם לציר הסימטריה שמגדיר אותם‪ .‬השרטוטים הבאים‪,‬‬ ‫למשל‪ ,‬מתארים את האיברים | )מימין( ו‪.x-‬‬ ‫‪• 1‬‬ ‫‪

 111‬‬ ‫ ‬ ‫‪

 111‬‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫

‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫‪o  /‬‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬

‫‪•2‬‬

‫•‪1‬‬

‫‪•1‬‬ ‫‪

111‬‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫

‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫◦‪

 120‬‬ ‫ ‬ ‫•‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫

‬ ‫‪3‬‬

‫‪•2‬‬

‫•‪1‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪32‬‬

‫מחלקות של תת‪-‬חבורות‬

‫תת‪-‬חבורה אחת של ‪ S3‬היא }| ‪ .H = {e,‬ואז ‪ .[G : H] = 3‬המחלקות הימניות הן אלו‪:‬‬ ‫}| ‪H = {e,‬‬ ‫} ‪H x = {x,‬‬ ‫} ‪H y = {y,‬‬ ‫המחלקות השמאליות‪ ,‬פרט למחלקה ‪ ,H‬שונות‪:‬‬ ‫}| ‪H = {e,‬‬ ‫} ‪x H = {x,‬‬ ‫} ‪. y H = {y,‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬גם }‪ N = {e, x, y‬היא תת‪-‬חבורה‪ ,‬ויש לה בדיוק שתי מחלקות ימניות ושתיים‬ ‫שמאליות‪ .‬קל לבדוק כי במקרה זה המחלקות הימניות הן | ‪ N, N‬והן שוות למחלקות השמאליות‬ ‫‪ .N, N‬לתת‪-‬חבורות עם תכונה זו יש חשיבות רבה‪ ,‬כפי שנראה להלן )בסעיף ‪.(1.7‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.79‬תהיינה ‪ K ≤ H ≤ G‬חבורות‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫]‪. [G : K] = [G : H] · [H : K‬‬ ‫‪1.6.1‬‬

‫משפט לגרנז'‬

‫טענה ‪ 1.80‬מספר האיברים בכל מחלקה שמאלית ‪ gH‬ובכל מחלקה ימנית ‪ Hg‬הוא |‪.|H‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח בעבור מחלקה שמאלית ‪ -‬ההוכחה למחלקה ימנית תחקה אותה‪ .‬ההעתקה ‪ h 7→ gh‬היא‬ ‫העתקה של ‪ H‬על ‪ .gH‬היא חח"ע בגלל כלל הצמצום‪:‬‬ ‫‪.gh1 = gh2 ⇒ h1 = h2‬‬

‫נניח כי ‪ G‬סופית‪ ,‬וכי ‪ g1 H, . . . , gr H‬הן כל המחלקות השמאליות של ‪ H‬ב‪ ,G-‬כלומר ‪gi H 15‬‬

‫‪i=1‬‬

‫מטענה ‪ 1.80‬נובע כי |‪ ,|G| = r · |H‬וקיבלנו את המשפט הבסיסי הבא‪:‬‬

‫משפט לגרנז'‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫משפט ‪) 1.81‬לגרנז'‪ (Lagrange ,‬אם ‪ G‬חבורה סופית ו‪ H ≤ G-‬אזי |‪ |H| |G‬והמנה‬ ‫המחלקות השמאליות )או הימניות( של ‪ H‬ב‪ ,G-‬כלומר‪:‬‬ ‫]‪= [G : H‬‬

‫‪r‬‬ ‫⨿‬

‫= ‪.G‬‬

‫|‪|G‬‬ ‫|‪|H‬‬

‫שווה למספר‬

‫|‪|G‬‬ ‫|‪|H‬‬

‫למשפט לגרנז' יש כמה מסקנות חשובות‪ .‬ראשית‪ ,‬ראינו כבר כי |⟩‪ ,|g| = |⟨g‬כלומר כי הסדר של האיבר‬ ‫‪ g ∈ G‬שווה לסדר של תת‪-‬החבורה שהוא יוצר‪ .‬לפיכך‪,‬‬ ‫‪15‬הסימן‬

‫⨿‬

‫מסמל איחוד זר‪.‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪33‬‬

‫מחלקות של תת‪-‬חבורות‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫מסקנה ‪ 1.82‬אם ‪ |G| = n‬אז לכל ‪.|g| n :g ∈ G‬‬ ‫לכן גם‪:‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.83‬אם ‪ |G| = n‬אז לכל ‪.g n = e ,g ∈ G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .|g| = m‬לפי המסקנה הקודמת‪ n = mk ,‬לאיזשהו ‪ ,k ∈ N‬ולכן‬ ‫‪.g n = (g m )k = ek = e‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.84‬יהי ‪ p‬מספר ראשוני‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל חבורה מסדר ‪ p‬היא צקלית‪.‬‬ ‫‪ .2‬יש בדיוק חבורה אחת מסדר ‪ ,p‬עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬ ‫‪ .3‬יתר על כן‪ ,‬תת‪-‬החבורות היחידות של חבורה זו הן היא עצמה ו‪.{e}-‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה מסדר ראשוני ‪ ,p‬ויהי ‪ .e ̸= g ∈ G‬ממסקנה ‪ 1.82‬נובע כי ‪ ,|g| p‬אבל ‪|g| > 1‬‬ ‫ולכן ‪ ,|g| = p‬כלומר ‪ ⟨g⟩ = G‬ו‪ G-‬צקלית‪ .‬הטענה השנייה נובעת מכך לפי טענה ‪ .1.60‬כעת תהי ‪H ≤ G‬‬ ‫תת‪-‬חבורה לא טריוויאלית‪ .‬כלומר‪ H ,‬מכילה איבר ‪ g ̸= e‬כלשהו‪ .‬אך כמו קודם‪ ,H ≥ ⟨g⟩ = G ,‬ולכן‬ ‫‪.H = G‬‬

‫עוד תוצאה קלאסית היא‪:‬‬ ‫מסקנה ‪) 1.85‬המשפט הקטן של פרמה‪ (Fermat ,‬יהיו ‪ p‬ראשוני ו‪ .a ∈ Z-‬אם ‪ ,(a, p) = 1‬אז‬ ‫)‪.ap−1 ≡ 1 (mod p‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בחבורה הכפלית ‪ F∗p‬של השדה בן ‪ p‬האיברים יש ‪ p − 1‬איברים‪ .‬לפיכך ולפי מסקנה ‪,1.83‬‬ ‫‪Fp‬‬

‫מתקיים ‪) xp−1 = 1‬שוויון בשדה!( לכל ‪ .x ∈ F∗p‬אך שוויון בשדה זה הוא כמו שוויון ב‪ ,Z-‬מודולו ‪ .p‬לכל‬ ‫‪ ,a ∈ Z‬נסמן ב‪ r-‬את השארית שלו בחלוקה ב‪ ,p-‬והרי ‪ .r ̸= 0 ⇐⇒ (a, p) = 1‬לפיכך‪ ,‬אם ‪,(a, p) = 1‬‬ ‫אז‬ ‫)‪.ap−1 ≡ rp−1 ≡ 1 (mod p‬‬

‫מסקנה ‪ 1.86‬אם ‪ p‬ראשוני אזי מתקיים לכל ‪ a ∈ Z‬כי‬ ‫)‪.ap ≡ a (mod p‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.87‬הוכיחו את משפט אוילר שמכליל את המשפט הקטן של פרמה‪ :‬אם ‪ (a, N ) = 1‬אזי‬ ‫‪.aφ(N ) ≡ 1 mod N‬‬ ‫‪16‬בפונקציית אוילר ) ‪ φ (N‬נתקלנו כבר בעמוד ‪.21‬‬

‫‪16‬‬

‫‪1.7‬‬

‫‪34‬‬

‫תת‪-‬חבורה נורמלית‬

‫את המשפט הקטן של פרמה ואת משפט אוילר שמכליל אותו‪ ,‬נפגוש שוב‪ ,‬בין היתר‪ ,‬בנספח ‪ ,A‬כאשר נתאר‬ ‫את אלגוריתמי ההצפנה של ‪ RSA‬ושל רבין‪.‬‬

‫‪1.7‬‬ ‫‪N EG‬‬

‫תת‪-‬חבורה נורמלית‬

‫הגדרה ‪ 1.88‬תת‪-‬חבורה ‪ N‬של ‪ G‬נקראת נורמלית אם לכל ‪g ∈ G‬‬ ‫‪.gN = N g‬‬ ‫במצב זה נסמן ‪.N E G 17‬‬

‫תרגיל ‪ 1.89‬הראו כי אם ‪ N ≤ G‬ו‪ [G : N ] = 2-‬אז ‪.N E G‬‬ ‫אם ‪ H ≤ G‬תת‪-‬חבורה‪ ,‬לכל ‪ g ∈ G‬גם‬ ‫}‪gHg −1 = {ghg −1 | h ∈ H‬‬ ‫תת‪-‬חבורה‪ ,‬שכן‬

‫(‬ ‫)‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪= (gh1 g −1 ) gh−1‬‬ ‫‪= gh1 h−1‬‬ ‫‪∈ gHg −1‬‬ ‫‪2 g‬‬ ‫‪2 g‬‬

‫‪−1‬‬

‫) ‪(gh1 g −1 ) (gh2 g −1‬‬

‫)היזכרו בתרגיל ‪ 1.14‬סעיף ‪.(3‬‬

‫תת‪-‬חבורות‬ ‫צמודות‬

‫הגדרה ‪ 1.90‬תת‪-‬חבורות ‪ H1 , H2 ≤ G‬נקראות צמודות )‪ (conjugate‬אם קיים ‪ g ∈ G‬כך ש‪-‬‬ ‫‪.H2 = gH1 g −1‬‬

‫נותיר לקורא לבדוק כתרגיל שזהו יחס שקילות על קבוצת תת‪-‬החבורות של ‪.G‬‬ ‫טענה ‪ 1.91‬תהי ‪ .N ≤ G‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫‪ gN = N g .1‬לכל ‪ ,g‬כלומר ‪ N‬נורמלית‪.‬‬ ‫‪ ,G/N = N \G .2‬כלומר קבוצת המחלקות הימניות שווה לקבוצת המחלקות השמאליות‪.‬‬ ‫‪ gN g −1 = N .3‬לכל ‪ ,g‬כלומר אין ל‪ N -‬תת‪-‬חבורות צמודות פרט לעצמה‪.‬‬ ‫‪.∀g ∈ G, ∀n ∈ N gng −1 ∈ N .4‬‬

‫הוכחה‪ :‬ראשית נוכיח )‪ .(2) ⇔ (1‬אם )‪ (1‬מתקיים‪ ,‬אז ודאי שכל מחלקה ימנית היא גם שמאלית‬ ‫ולהפך‪ ,‬ולכן )‪ (2‬מתקיים‪ .‬אם )‪ (2‬מתקיים‪ ,‬אזי המחלקה השמאלית ‪ gN‬היא גם מחלקה ימנית‪ .‬מכיוון‬ ‫‪17‬לעתים מסמנים גם ‪ ,N ▹ G‬אך בספרים מסוימים סימון זה פרושו ש‪ N -‬היא תת‪-‬חבורה נורמלית ממש‪ ,‬כלומר ‪.N ̸= G‬‬

‫‪1.7‬‬

‫‪35‬‬

‫תת‪-‬חבורה נורמלית‬

‫שמחלקה זו מכילה את ‪ ,g‬אזי ‪ g‬יכול לשמש כנציג‪ ,‬כלומר זו המחלקה ‪ ,N g‬וקיבלנו את )‪.(1‬‬ ‫כעת נראה )‪ .(1) ⇐ (4) ⇐ (3) ⇐ (1‬אם )‪ (1‬מתקיים‪ ,‬אז לכל ‪,g ∈ G‬‬ ‫ ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪, gN g −1 = N gg −1 = ngg −1 n ∈ N = {n | n ∈ N } = N‬‬ ‫כלומר )‪ (3‬מתקיים‪ .‬הגרירה )‪ (4) ⇐ (3‬ברורה‪ .‬לבסוף‪ ,‬נניח כי )‪ (4‬מתקיים‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ g ∈ G‬ולכל‬ ‫‪ ,n ∈ N‬קיים ‪ n′ ∈ N‬כך ש‪ ,gng −1 = n′ -‬כלומר ‪ .gn = n′ g‬בכך הראינו כי ‪ .gN ⊆ N g‬אם נכתוב‬ ‫את )‪ (4‬בעבור האיבר ‪ g −1‬נקבל ‪ n′′ = g −1 ng ∈ N‬או ‪ ng = gn′′ ∈ gN‬ולכן גם ‪ ,gN ⊇ N g‬והראינו‬ ‫את )‪.(1‬‬

‫הטענה האחרונה מספקת לנו קריטריונים שונים להכריע אם תת‪-‬חבורה ‪ N ≤ G‬היא נורמלית‪ .‬בפועל‪,‬‬ ‫תנאי )‪ (4‬הוא על‪-‬פי רוב התנאי הקל ביותר לבדיקה‪.‬‬

‫תרגיל ‪ 1.92‬הוכיחו את הקריטריון הנוסף הבא‪ :‬תת‪-‬חבורה ‪ N ≤ G‬היא נורמלית אם ורק אם‬ ‫‪ gN g −1 ⊆ N‬לכל ‪) .g ∈ G‬אל תניחו שום הנחת סופיות‪(.‬‬ ‫נפנה עתה להגדרה שקולה נוספת של תת‪-‬חבורה נורמלית‪ .‬כזכור‪ ,‬סימנו את חבורת האוטומורפיזמים‬ ‫של חבורה כללית ‪ G‬ב‪ .Aut G-‬מבין האוטומורפיזמים ישנו סוג מיוחד‪ :‬אוטומורפיזם ההצמדה באיבר‬ ‫‪ ,φγ : G → G ,γ ∈ G‬המוגדר על‪-‬ידי‬ ‫‪.φγ (g) = γgγ −1‬‬ ‫להלן )תרגיל ‪ (1.94‬תתבקשו לוודא שזהו אמנם אוטומורפיזם‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.93‬אוטומורפיזם המוגדר על‪-‬ידי הצמדה באיבר של החבורה נקרא אוטומורפיזם פנימי‬ ‫)‪ .(inner automorphism‬קבוצת האוטומורפיזמים הפנימיים מסומנת ע"י ‪.Inn G‬‬

‫לדוגמה‪ ,‬אם ‪ G‬אבלית‪ ,‬כל האוטומורפיזמים הפנימיים הם הזהות‪ ,‬ולפיכך }‪.Inn G = {id‬‬

‫תרגיל ‪ 1.94‬תהי ‪ G‬חבורה‪ .‬הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪ φγ : G → G .1‬הוא אמנם אוטומורפיזם‪.‬‬ ‫‪ φ−1‬וכן ‪ ,φδ ◦ φγ = φδγ‬ולכן ‪ Inn G‬מהווה תת‪-‬חבורה של ‪.Aut G‬‬ ‫‪γ = φγ −1 .2‬‬ ‫‪.Inn G E Aut G .3‬‬ ‫כעת ניתן להגדיר תת‪-‬חבורה נורמלית באופן נוסף‪ ,‬דרך הפעולה של החבורה ‪ Inn G‬על ‪.G‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.95‬תהיינה ‪ G‬חבורה ו‪ N ≤ G-‬תת‪-‬חבורה‪ .‬הוכיחו כי ‪ N E G‬אם ורק אם כל אוטומורפיזם‬ ‫פנימי ‪" φ ∈ Inn G‬שומר" על ‪ ,N‬כלומר מקיים ‪.φ (N ) = N‬‬

‫‪Inn G‬‬

‫‪1.7‬‬

‫‪36‬‬

‫תת‪-‬חבורה נורמלית‬

‫תרגיל ‪ 1.96‬התבוננו בחבורה ‪ G = Z2 × Z2‬ותנו דוגמה לתת‪-‬חבורה נורמלית ‪ N E G‬שאיננה נשמרת‬ ‫על‪-‬ידי כלל איברי )‪.Aut (G‬‬ ‫תרגיל ‪ 1.97‬תהי )‪ .G = GL2 (R‬נגדיר ) ‪ .φ (g) = (g −1‬הוכיחו ש‪ φ-‬אוטומורפיזם שאינו אוטומורפיזם‬ ‫פנימי‪) .‬רמז‪ :‬למטריצות צמודות יש אותם ערכים עצמיים‪(.‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪2‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬

‫באחדות מן הדוגמאות לחבורות שהבאנו )למשל‪ ,‬בסעיף ‪ ,(1.1‬החבורה ‪ G‬התקבלה באופן טבעי כמשפחה‬ ‫של העתקות מסוימות מקבוצה ‪ X‬לעצמה ופעולת החבורה הייתה הרכבה‪ .‬ההגדרה הבאה מכלילה‬ ‫דוגמאות אלה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.1‬תהי ‪ G‬חבורה ותהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬פעולה )‪ (action‬של ‪ G‬על ‪ X‬היא פונקציה ‪G × X → X‬‬ ‫המסומנת‬ ‫‪(g, x) 7→ g.x‬‬ ‫ומקיימת‪:‬‬ ‫‪ e.x = x .1‬לכל ‪x ∈ X‬‬ ‫‪ g. (h.x) = (gh) .x .2‬לכל ‪ x ∈ X‬ולכל ‪.g, h ∈ G‬‬ ‫נוהגים לתאר את הפעולה בתרשים כך‪:‬‬ ‫‪h.y‬‬

‫‪/‬‬

‫‪h‬‬

‫‪y‬‬

‫ואז האקסיומה השניה דלעיל מתוארת כך‪:‬‬ ‫‪/ h.x‬‬ ‫‪EE gh‬‬ ‫‪EE‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪EE‬‬ ‫ "‪E‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪x EE‬‬

‫‪(gh) .x‬‬ ‫אינטואיטיבית‪ ,‬כל איבר ‪ g ∈ G‬מגדיר העתקה מהקבוצה ‪ X‬לעצמה ‪) x 7→ g.x‬העתקה שבציור מתוארת‬ ‫על‪-‬ידי חצים או קווי‪-‬זרימה(‪ ,‬ואם מרכיבים את ההעתקה המוגדרת על‪-‬ידי ‪ g‬על ההעתקה המוגדרת על‪-‬ידי‬ ‫‪ ,h‬מתקבלת ההעתקה המוגדרת על‪-‬ידי ‪.gh‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ GLn (R) = {A ∈ Mn (R) | det A ̸= 0} .1‬פועלת על ‪ :Rn‬המטריצה )‪ A ∈ GLn (R‬פועלת על‬ ‫וקטור העמודה ‪ v ∈ Rn‬על‪-‬ידי כפל של מטריצה בווקטור‪.A.v := Av ,‬‬ ‫‪ .2‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ .‬חבורת התמורות ‪ SX‬פועלת על ‪.X‬‬ ‫‪ .3‬החבורה‬ ‫{‬ ‫(‬ ‫ )‬ ‫}‬ ‫ ‬ ‫ ‪cos θ − sin θ‬‬ ‫= ‪SO (2) = Rθ‬‬ ‫)‪ θ ∈ [0, 2π‬‬ ‫ ‬ ‫‪sin θ cos θ‬‬

‫פעולת חבורה‬ ‫על קבוצה‬

‫‪1‬‬

‫‪38‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬

‫‪2‬‬

‫פועלת על ‪ R2‬באמצעות כפל מטריצה בווקטור עמודה‪ .‬גיאומטרית‪ Rθ .v ,‬הוא סיבוב סביב הראשית‬ ‫של הווקטור ‪ v‬בזווית ‪ θ‬נגד כיוון השעון‪.‬‬ ‫ניתן להגדיר פעולה של )החבורה החיבורית של( ‪ R‬על ‪ R2‬שמוגדרת לכל ‪θ ∈ R‬‬ ‫דומה‪( ,‬‬ ‫‪ .4‬באופן )‬ ‫‪x‬‬ ‫על‪-‬ידי‬ ‫ו‪∈ R2 -‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫()‬

‫‪cos θ − sin θ‬‬ ‫‪sin θ cos θ‬‬

‫)‬

‫(‬ ‫=‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫(‬ ‫‪θ.‬‬

‫)ודאו שהגדרה זו מקיימת את אקסיומות הפעולה(‪.‬‬ ‫‪ .5‬כל חבורה ‪ G‬פועלת על עצמה במספר דרכים )ואז היא משמשת הן בתפקיד החבורה והן בתפקיד‬ ‫הקבוצה(‪ .G × G → G :‬הפעולה הבסיסית ביותר היא על‪-‬ידי כפל משמאל‪ ,‬כלומר‪ ,‬אם ‪g ∈ G‬‬ ‫)‪ G‬בתפקיד החבורה( ו‪) x ∈ G-‬כאן ‪ G‬בתפקיד הקבוצה(‪ ,‬נגדיר‬ ‫‪g.x := gx‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫כפל בתוך ‪G‬‬

‫פעולת ‪ g‬על ‪x‬‬

‫האקסיומות )‪ (1‬ו‪ (2)-‬מהגדרה ‪ 2.1‬לעיל נובעות מאקסיומות היחידה והאסוציאטיביות ב‪,G-‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬בהמשך נראה פעולות נוספות של ‪ G‬על עצמה‪.‬‬ ‫‪ .6‬החבורה }‪ (g 2 = e) Z2 = {e, g‬פועלת על ‪ R3‬על‪-‬ידי שיקוף במישור ה‪:xy-‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g.  y  =  y ‬‬ ‫‪e.  y  =  y ‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪z‬‬

‫‪−z‬‬

‫‪z‬‬

‫‪ .7‬חבורת האוטומורפיזם ‪ Aut G‬פועלת על החבורה ‪ G‬על ידי אוטומורפיזמים‪) .‬כאן ‪ G‬היא בתפקיד‬ ‫הקבוצה בלבד‪ ,‬בעוד ש‪ Aut G-‬היא החבורה‪(.‬‬ ‫הערה ‪ 2.2‬אם ‪ H ≤ G‬ו‪ G-‬פועלת על ‪ ,X‬אזי צמצום הפעולה ל‪ H-‬מגדיר פעולה של ‪ H‬על ‪ .X‬למשל‪,‬‬ ‫דוגמה )‪ (3‬לעיל היא הצמצום של הפעולה של )‪ GL2 (R‬מדוגמה )‪ (1‬לתת‪-‬החבורה )‪) .SO (2‬וראו תרגיל‬ ‫‪ 2.7‬להלן‪(.‬‬

‫טענה ‪ 2.3‬אם ‪ G‬פועלת על ‪ ,X‬אזי הפעולה של כל איבר ‪ g ∈ G‬היא תמורה על ‪ .X‬כלומר‪ ,‬הפונקציה‬ ‫‪ πg : X → X‬המוגדרת על‪-‬ידי ‪ πg (x) = g.x‬היא חח"ע ועל‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הפונקציה ‪ πg‬חח"ע כי אם ‪ g.x = g.y‬אז ‪ .x = g −1 . (g.x) = g −1 . (g.y) = y‬בנוסף לכך‪πg ,‬‬ ‫על כי לכל ‪,x ∈ X‬‬ ‫)‪.x = g. (g −1 .x) = πg (g −1 .x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪39‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬ ‫אם ‪ G‬פועלת על ‪ ,X‬נגדיר יחס על איברי ‪ X‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ ⇐⇒ x ∼ y‬קיים ‪ g ∈ G‬כך ש ‪.g.x = y‬‬

‫משפט ‪ 2.4‬יחס זה הוא יחס שקילות )כלומר‪ ,‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנזיטיבי(‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬זהו יחס רפלקסיבי שכן לכל ‪ x ∈ X‬מתקיים ‪ e.x = x‬ולכן ‪ .x ∼ x‬זהו יחס סימטרי משום‬ ‫שאם ‪ ,x ∼ y‬אזי קיים ‪ g ∈ G‬כך ש‪ ,g.x = y-‬אך אז ‪ g −1 .y = g −1 . (g.x) = x‬ולכן ‪ .y ∼ x‬לבסוף‪ ,‬זהו‬ ‫יחס טרנזיטיבי משום שאם ‪ x ∼ y‬ו‪ ,y ∼ z-‬פירוש הדבר שקיימים ‪ g, h ∈ G‬כך ש‪,h.y = z, g.x = y-‬‬ ‫ואז‬ ‫‪, (hg) .x = h. (g.x) = h.y = z‬‬ ‫כלומר ‪.x ∼ z‬‬

‫נזכיר שיחס שקילות על קבוצה מגדיר פירוק של הקבוצה לאיחוד זר של מחלקות השקילות‪ ,‬ולהפך ‪ -‬פירוק‬ ‫של קבוצה לאיחוד זר של תת‪-‬קבוצות מגדיר יחס שקילות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.5‬מחלקת השקילות של ‪ x ∈ X‬תחת היחס שהוגדר לעיל נקראת המסלול )‪ (orbit‬של ‪ x‬ומסומנת‬ ‫)‪:O (x‬‬ ‫}‪O (x) = {g.x | g ∈ G‬‬

‫)‪O (x‬‬

‫קבוצת המסלולים מסומנת כ‪.G\X-‬‬

‫‪G\X‬‬

‫במלים אחרות‪ ,‬המסלול של ‪ x‬הוא כל אותם איברים ב‪ X-‬שניתן "להגיע" אליהם מ‪ x-‬על‪-‬ידי פעולת ‪:G‬‬ ‫)‪⇐⇒ y ∈ O (x‬‬

‫‪∃g ∈ G s.t. g.x = y‬‬

‫כל איבר )‪ y ∈ O (x‬נקרא נציג של המסלול‪.‬‬

‫נציג של מסלול‬

‫לדוגמה‪ ,‬הנה המסלולים בפעולות שהוזכרו לעיל‪:‬‬ ‫‪ .1‬בפעולת )‪ GLn (R‬על ‪ Rn‬יש שני מסלולים‪ Rn \ {0} :‬ו‪ .{0}-‬לשם כך די להראות שלכל שני‬ ‫וקטורים ‪ u, v ̸= 0‬יש מטריצה הפיכה ‪ g‬המעבירה את ‪ u‬ל‪ .v-‬נשאיר עובדה זאת כתרגיל פשוט‬ ‫באלגברה לינארית‪.‬‬ ‫‪ .2‬בפעולת ‪ SX‬על ‪ X‬יש מסלול יחיד‪ X :‬כולה )לכל ‪ x, y ∈ X‬מצאו ‪ π ∈ SX‬עם ‪.(π (x) = y‬‬ ‫ )‬ ‫}‬ ‫‪a 2‬‬ ‫‪ .3‬בפעולת )‪ SO (2‬על ‪ R2‬יש אינסוף מסלולים‪ :‬כל המעגלים סביב האפס ‪ a + b2 = r‬‬ ‫ ‪b‬‬ ‫בעבור ‪ r > 0‬כלשהו‪ ,‬ו‪ {0}-‬עצמו‪ .‬כדי להשתכנע בכך יש להראות שני דברים‪ :‬ראשית‪ ,‬שאם‬ ‫({‬

‫‪2‬‬

‫‪40‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬

‫)‪( ′‬‬ ‫) ‪ ab′ = g. (ab‬בעבור )‪ ,g ∈ SO2 (R‬אזי ‪ .(a′ ) 2 + (b′ )2 = a2 + b2‬שנית‪ ,‬שאם תנאי זה מתקיים‪,‬‬ ‫קיימת )‪ g ∈ SO (2‬כנ"ל‪ .‬שוב נשאיר את ההוכחה כתרגיל בגיאומטריה אנליטית במישור‪.‬‬ ‫‪ .4‬קל לראות כי בפעולה של ‪ R‬שהגדרנו על ‪ R2‬מתקבלים בדיוק אותם מסלולים כמו בפעולת )‪SO (2‬‬ ‫על ‪.R2‬‬ ‫‪ .5‬בפעולת ‪ G‬על עצמה על‪-‬ידי כפל משמאל‪ ,‬המסלול היחיד הוא ‪ G‬כולה‪ .‬אכן‪g = g.e ∈ O (e) ,‬‬ ‫לכל ‪.g‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ .6‬בפעולת השיקוף של ‪ Z2‬על ‪ R3‬שהוגדרה לעיל‪ ,‬יש מסלולים בני נקודה אחת‪ ,  y  :‬וכל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫היתר בני שתי נקודות‪.(z ̸= 0)  y  ,  y  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ .7‬בפעולת ‪ Aut G‬על ‪ G‬המסלול של כל איבר ‪ x ∈ G‬הוא כל איברי ‪ G‬שהם תמונות של ‪ x‬דרך‬ ‫איזשהו אוטומורפיזם של ‪ .G‬מכיוון שאיבר היחידה של ‪ G‬תמיד נשלח לעצמו בכל אוטומורפיזם‪,‬‬ ‫הוא מהווה מסלול בעצמו‪ .‬כדוגמה מפורטת יותר‪ ,‬נתבונן ב‪ .G = Z10 -‬ראינו כבר )סעיף ‪ (1.5‬כי‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫‪ a ∈ Z10‬מתאים האוטומורפיזם ‪φa : G → G‬‬ ‫∼ ‪ ,Aut Z10‬כאשר לכל‬ ‫}‪= {1, 3, 7, 9‬‬ ‫‪= Z10‬‬ ‫המוגדר על‪-‬ידי כפל ב‪ .a-‬קל לראות כי המסלולים בפעולת ‪ Aut Z10‬על ‪ Z10‬הם לפיכך‪:‬‬ ‫}‪{5‬‬

‫}‪{1, 3, 7, 9‬‬

‫}‪{0‬‬

‫}‪{2, 4, 6, 8‬‬

‫תרגיל ‪ 2.6‬נשים לב שבדוגמה האחרונה‪:‬‬ ‫• כל האיברים במסלול נתון הם בעלי אותו סדר‪,‬‬ ‫• ולהפך‪ ,‬כל שני איברים מאותו סדר הם באותו מסלול‪.‬‬ ‫הראו שהתכונה הראשונה מבין השתיים נכונה בכל חבורה ‪) G‬בפעולת ‪ Aut G‬עליה(‪ ,‬אך התכונה השניה‬ ‫אינה מאפיינת כל חבורה‪) .‬רמז‪ :‬התבוננו‪ ,‬למשל‪ ,‬בחבורה הדיהדרלית ‪(.D4‬‬ ‫תרגיל ‪2.7‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי אם ‪ G‬פועלת על קבוצה ‪ X‬ו‪ H ≤ G-‬אז הצמצום של הפעולה לאיברי ‪ H‬נותן אמנם‬ ‫פעולה של ‪ H‬על ‪.X‬‬ ‫‪ .2‬כפי שראינו‪ G ,‬פועלת על עצמה על‪-‬ידי כפל משמאל‪ .g.x = gx :‬מה המסלולים של פעולה זו‬ ‫כאשר היא מצומצמת לפעולה של תת‪-‬חבורה ‪?H‬‬ ‫‪ .3‬תנו דוגמה לחבורה ‪ G‬שבה כפל מימין אינו פעולה‪ .‬כלומר‪ ,‬ההעתקה ‪ (g, x) 7→ xg‬אינה מגדירה‬ ‫פעולה‪.‬‬ ‫‪ .4‬הוכיחו כי ‪ G‬פועלת על עצמה על‪-‬ידי כפל מימין בהפכי‪) .g.x = xg −1 :‬הסעיף הקודם מבהיר מדוע‬ ‫צריכים להשתמש כאן בהפכי(‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪41‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬ ‫‪ .5‬מה המסלולים של הפעולה מהסעיף הקודם כאשר היא מצומצמת לפעולה של ‪?H‬‬

‫תרגיל ‪ 2.7‬מראה כי‪ ,‬למעשה‪ ,‬הרעיון של מסלולים של פעולה מכליל‪ ,‬בין היתר‪ ,‬גם את מושג המחלקות‬ ‫הימניות והשמאליות של תת‪-‬חבורה‪ .‬בין היתר‪ ,‬ניתן להבין ממנו כיצד הסימון ‪) H\G‬קבוצת המחלקות‬ ‫הימניות של ‪ H‬ב‪ ,G-‬הגדרה ‪ (1.71‬אינו אלא מקרה פרטי של הסימון ‪) G\X‬קבוצת המסלולים בפעולת ‪G‬‬ ‫על ‪ ,X‬הגדרה ‪ .(2.5‬מיד נראה כיצד כמה מהעובדות שפגשנו בנוגע למחלקות של תת‪-‬חבורות נכונות באופן‬ ‫כללי יותר למסלולים של פעולות כלליות‪.‬‬ ‫מכיוון שבהינתן יחס שקילות על קבוצה‪ ,‬הקבוצה היא איחוד זר של מחלקות השקילות תחת אותו‬ ‫יחס‪ ,‬נקבל ממשפט ‪ 2.4‬את המסקנה הבאה‪:‬‬

‫מסקנה ‪ 2.8‬אם ‪ G‬פועלת על קבוצה ‪ ,X‬אזי ‪ X‬היא איחוד זר של המסלולים שלה‪.‬‬

‫מסקנה זאת מיושמת פעמים רבות במקרה שבו ‪ X‬קבוצה סופית‪ .‬אם ישנם ב‪ X-‬בדיוק ‪ r‬מסלולים שונים‬ ‫) ‪ ,O (x1 ) , . . . , O (xr‬נקבל‬ ‫‪r‬‬ ‫∑‬ ‫= |‪. |X‬‬ ‫|) ‪|O (xi‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫זו נוסחה טריוויאלית‪ ,‬לכאורה‪ ,‬שהשלכותיה בקומבינטוריקה מרחיקות לכת‪) .‬ראו‪ ,‬למשל‪ ,‬תרגיל ‪.(2.23‬‬

‫הגדרה ‪ 2.9‬בפעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ ,X‬המייצב )‪ (stabilizer‬של ‪ ,x ∈ X‬המסומן ‪ ,Gx‬הוא אוסף‬ ‫כל איברי ‪ G‬שמעבירים את ‪ x‬לעצמו ‪:1‬‬ ‫}‪Gx := {g ∈ G | g.x = x‬‬

‫שימו לב שבעוד שהמסלול של ‪" x‬חי" )כלומר הוא תת‪-‬קבוצה( בתוך הקבוצה ‪ ,X‬המייצב ‪" Gx‬חי" בתוך‬ ‫החבורה ‪!G‬‬ ‫טענה ‪ 2.10‬המייצב ‪ Gx‬הוא תת‪-‬חבורה של ‪.G‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ברור כי ‪ e ∈ Gx‬שכן ‪.e.x = x‬‬ ‫אם ‪ g, h ∈ Gx‬אזי ‪ (gh) .x = g. (h.x) = g.x = x‬ולכן ‪.gh ∈ Gx‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬אם ‪ g ∈ Gx‬אז ‪ g −1 .x = g −1 . (g.x) = x‬ועל כן ‪.g −1 ∈ Gx‬‬

‫‪1‬לעתים מסמנים את המייצב של ‪ x‬בסימון )‪ StabG (x‬או בקיצור )‪ ,StG (x‬מלשון ‪.Stabilizer‬‬

‫‪Gx‬‬

‫‪2‬‬

‫‪42‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬

‫דוגמאות‬ ‫‪ .1‬בפעולת ‪ Sn‬על }‪ {1, . . . , n‬המייצב של }‪ {n‬הוא תת‪-‬החבורה של התמורות שמקבעות את ‪.n‬‬ ‫תת‪-‬חבורה זו איזומורפית לחבורה ‪ ,Sn−1‬על ידי ההעתקה המצמצמת את פעולתה של תמורה‬ ‫המקבעת את ‪ n‬לקבוצה }‪ .{1, . . . , n − 1‬ואכן‪ ,‬כל תמורה ב‪ Sn−1 -‬מתקבלת מתמורה יחידה‬ ‫‪ n ‬וההתאמה הזאת משמרת את פעולת ההרכבה‪.‬‬ ‫המקבעת את‬ ‫של ‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .2‬המייצב של ‪  . ‬בפעולת )‪ GLn (R‬על ‪ R‬הוא תת‪-‬החבורה‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ ≤ GLn (R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫∗‬ ‫∗‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∗ ‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫∗‬ ‫∗‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∗‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.H = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫זו תת‪-‬חבורה לפי טענה ‪ ,2.10‬אבל ודאו ישירות שאכן זו תת‪-‬חבורה‪.‬‬ ‫‪ .3‬בתחילת הספר )בעמוד ‪ (4‬נתקלנו כבר בחבורה )‪ ,SO (3‬חבורת הטרנספורמציות הלינאריות‬ ‫האורתוגונליות עם דטרמיננטה ‪ 1‬מ‪ R3 -‬לעצמו‪ .‬כפי שראינו‪ ,‬אלו הם בדיוק הסיבובים הקשיחים‬ ‫של הספירה הדו‪-‬ממדית ‪) S 2‬הספירה ברדיוס ‪ 1‬בתוך ‪ .(R3‬על כן‪ ,‬החבורה )‪ SO (3‬פועלת על נקודות‬ ‫הספירה ‪.S 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ .w‬כפי שראינו‪ ,‬כל טרנספורמציה ב‪SO (3)-‬‬ ‫נביט‪ ,‬למשל‪ ,‬במייצב של הווקטור ‪0  ∈ S 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שקולה לסיבוב של הספירה בזווית )‪ θ ∈ [0, 2π‬סביב וקטור ‪ 0 ̸= v ∈ R‬נתון )לפי כלל היד‬ ‫הימנית‪ ,‬נניח(‪ .‬אם הזווית ‪ θ‬היא אפס‪ ,‬זוהי טרנספורמציית הזהות‪ .‬אחרת‪ ,‬יש רק שתי נקודות‬ ‫בספירה שמיוצבות על‪-‬ידי הסיבוב‪ :‬שתי נקודות החיתוך של הספירה עם הישר ‪ .Rv‬מכאן קל‬ ‫לראות כי רק סיבובים סביב ציר ה‪ z-‬מייצבים את ‪ .w‬במלים אחרות‪ ,‬אלו הם סיבובים של מישור‬ ‫ה‪ ,xy-‬כלומר טרנספורמציות לינאריות אורתוגונליות מיוחדות של מישור ה‪ .xy-‬לפיכך‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‪ cos θ − sin θ 0‬‬ ‫∼ )‪. (SO (3))w =  sin θ cos θ 0  θ ∈ [0, 2π‬‬ ‫)‪= SO (2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תרגיל ‪2.11‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי‪ ,‬בדוגמה האחרונה‪ ,‬המייצב שמצאנו אכן איזומורפי ל‪.SO (2)-‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו ישירות‪ ,‬מבלי להתבסס על משפט ‪ ,1.2‬כי אמנם ‪ (SO (3))w‬הוא תת‪-‬החבורה שמצאנו‪.‬‬ ‫‪ .3‬מצאו את המייצב של וקטור כללי ‪ .u ∈ S 2‬הוכיחו כי גם מייצב זה איזומורפי ל‪.SO (2)-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪43‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬

‫נציין כעת כמה מושגים חשובים שמסייעים לאפיין פעולות שונות של חבורות על קבוצות‪:‬‬

‫הגדרה ‪ 2.12‬הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬נקראת טרנזיטיבית אם יש לה רק מסלול אחד‪.‬‬

‫פעולה‬ ‫טרנזיטיבית‬

‫כלומר‪ ,‬אם אפשר להגיע מכל איבר ב‪ X-‬לכל איבר אחר ב‪ X-‬על‪-‬ידי פעולת איברי ‪ .G‬למשל‪ ,‬הפעולות של‬ ‫‪ SX‬על ‪ X‬היא טרנזיטיבית‪ ,‬בעוד שפעולת ‪ Aut G‬על ‪ G‬איננה טרנזיטיבית‪ :‬איבר היחידה של ‪ G‬תמיד‬ ‫נשלח לעצמו ‪.2‬‬ ‫נשים לב שאם ‪ G‬פועלת על ‪ ,X‬ו‪ Y = O (y)-‬מסלול‪ ,‬אזי ‪ G‬פועלת גם על ‪ Y‬ופעולה זאת‪ ,‬המתקבלת‬ ‫מצמצום המרחב למסלול בודד‪ ,‬היא בעליל טרנזיטיבית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.13‬הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬נקראת ‪-2‬טרנזיטיבית אם לכל ‪ x1 , x2 ∈ X‬ולכל ‪ y1 , y2 ∈ X‬כך‬ ‫ש‪ x1 ̸= x2 -‬ו‪ ,y1 ̸= y2 -‬קיים ‪ g ∈ G‬המקיים‬

‫פעולה ‪-2‬‬ ‫טרנזיטיבית‬

‫‪g.x1 = y1‬‬ ‫‪.g.x2 = y2‬‬ ‫במלים אחרות‪ ,‬ניתן "להגיע" דרך פעולת ‪ G‬מכל זוג סדור של איברים שונים ב‪ X-‬לכל זוג סדור אחר‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬פעולת ‪ Sn‬על }‪ {1, . . . , n‬היא ‪-2‬טרנזיטיבית לכל ‪ .n ≥ 1‬באופן דומה‪ ,‬ניתן להגדיר מהי פעולה‬ ‫‪-k‬טרנזיטיבית לכל ‪) k ≥ 1‬טבעי‪ ,‬כמובן(‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.14‬הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬נקראת נאמנה )‪ (faithful‬אם רק היחידה פועלת על ‪ X‬באופן טריוויאלי‪,‬‬ ‫כלומר כתמורת הזהות‪.‬‬

‫פעולה נאמנה‬

‫דהיינו‪ ,‬הפעולה נקראת נאמנה אם לכל ‪ e ̸= g ∈ G‬קיים ‪ x ∈ X‬כך ש‪ .g.x ̸= x-‬לדוגמה‪ ,‬פעולת‬ ‫)‪ GLn (R‬על ‪ Rn‬שתוארה לעיל היא נאמנה‪ :‬כל מטריצה הפיכה פרט ליחידה מעבירה וקטור כלשהו‬ ‫ב‪ Rn -‬לווקטור אחר )מדוע?(‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬פעולת ‪ R‬על ‪) R2‬דוגמה )‪ (4‬לעיל( איננה נאמנה‪ :‬האיברים‬ ‫}‪ {2πik | k ∈ Z‬פועלים טריוויאלית על ‪.R2‬‬

‫הגדרה ‪ 2.15‬נקודת שבת )‪ (fixed point‬של ‪ g ∈ G‬בפעולתה על ‪ X‬היא ‪ x ∈ X‬כך ש‪ .g.x = x-‬נקודת‬ ‫שבת של הפעולה היא נקודת שבת משותפת לכל ‪.g ∈ G‬‬

‫במלים אחרות‪ x ,‬היא נקודת שבת של הפעולה אם ורק אם }‪ ,O (x) = {x‬או לחילופין ‪ .Gx = G‬לדוגמה‪,‬‬ ‫בפעולת ‪ Aut G‬על ‪ ,G‬איבר היחידה ‪ e‬של ‪) G‬כאן בתפקיד הקבוצה‪ ,‬כזכור( הוא לעולם נקודת שבת של‬ ‫הפעולה‪.‬‬ ‫‪2‬לשם דיוק‪ ,‬הפעולה של ‪ Aut G‬על ‪ G‬היא טרנזיטיבית אם ורק אם ‪ G‬היא החבורה הטריוויאלית‪.‬‬

‫נקודת שבת‬

‫‪44‬‬ ‫פעולה חופשית‬

‫‪2‬‬

‫פעולה של חבורה על קבוצה‬

‫הגדרה ‪ 2.16‬הפעולה של ‪ G‬על ‪ X‬נקראת חופשית )‪ (free‬אם המייצב של כל איבר ב‪ X-‬הוא טריוויאלי‪,‬‬ ‫כלומר שווה ל‪.{e}-‬‬

‫דהיינו‪ ,‬לאף איבר ב‪ ,G-‬פרט ליחידה‪ ,‬אין נקודות שבת בפעולתו על ‪ .X‬פעולה חופשית היא בפרט נאמנה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬הפעולה של ‪ G‬על עצמה על‪-‬ידי כפל משמאל היא חופשית‪ .‬כפי שראינו‪ ,‬בפעולת )‪ GLn (R‬על ‪Rn‬‬ ‫יש מייצבים לא טריוויאליים‪ ,‬ולכן היא איננה חופשית‪.‬‬

‫תרגיל ‪ 2.17‬בעבור הפעולות הבאות )רובן הוזכרו בדוגמאות שלעיל(‪ ,‬קבעו אם הן טרנזיטיביות;‬ ‫‪-2‬טרנזיטיביות; נאמנות; חופשיות‪ .‬כמו כן‪ ,‬ציינו אם יש לפעולות אלו נקודות שבת‪.‬‬ ‫‪ .1‬הפעולה הטבעית של ‪ Sn‬על }‪.{1, . . . , n‬‬ ‫‪ .2‬הפעולה של ‪ Sn‬על זוגות )לא סדורים( של שני איברים שונים מתוך }‪.{1, . . . , n‬‬ ‫‪ .3‬הפעולה של ‪ Dn‬על קדקודי מצולע משוכלל עם ‪ n‬צלעות‪.‬‬ ‫‪ .4‬הפעולה של )‪ GLn (R‬על ‪ Rn‬על‪-‬ידי כפל מטריצה בווקטור עמודה‪.‬‬ ‫‪ .5‬הפעולה של )‪ SO (2‬על ‪.R2‬‬ ‫‪ .6‬הפעולה של ‪ R‬על ‪ C‬על‪-‬ידי ‪) x.z = eix z‬הראו ראשית שזו פעולה(‪.‬‬ ‫‪ .7‬פעולת חבורה כלשהי ‪ G‬על עצמה על‪-‬ידי כפל משמאל‪.‬‬ ‫‪ .8‬פעולת )‪ SO (3‬על הספירה ‪.S 2‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.18‬בכל אחת מהפעולות הבאות‪ ,‬ציינו בעבור האיברים הנתונים מהם המסלול והמייצב שלהם‪,‬‬ ‫ומה גודליהם‪.‬‬ ‫‪ .1‬הפעולה הטבעית של ‪ Sn‬על }‪ .{1, . . . , n‬האיברים‪.1, n :‬‬ ‫‪ .2‬הפעולה של ‪ Sn‬על זוגות )לא סדורים( של איברים שונים מתוך }‪ .{1, . . . , n‬איבר‪.{1, 2} :‬‬ ‫‪ .3‬הפעולה של ‪ Dn‬על קודקודי מצולע משוכלל עם ‪ n‬צלעות‪ .‬איבר‪ :‬אחד הקדקודים )תארו במלים‬ ‫את המייצב ואת המסלול של קדקוד נתון‪(.‬‬ ‫‪ .4‬הפעולה של )‪ SO (2‬על ‪ .R2‬איבר‪.(x ∈ R) (x, 0) :‬‬ ‫‪ .5‬הפעולה של ‪ R‬על ‪ C‬על‪-‬ידי ‪ .x.z = eix z‬איבר‪) z ∈ C :‬כלומר‪ ,‬כל איבר שהוא(‪.‬‬ ‫תרגיל ‪2.19‬‬ ‫‪ .1‬נניח כי החבורה ‪ G‬פועלת על הקבוצה ‪ .X‬הגדירו פעולה של ‪ G‬על המכפלה הקרטזית ‪.X × X‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי ‪ G‬פועלת ‪-2‬טרנזיטיבית על ‪ X‬אם ורק אם יש לה בדיוק ‪ 2‬מסלולים בפעולתה על ‪.X ×X‬‬ ‫מהם ‪ 2‬המסלולים במקרה זה?‬ ‫תרגיל ‪ 2.20‬הוכיחו כי ‪ G‬פועלת ‪-2‬טרנזיטיבית על ‪ X‬אם ורק אם לכל ‪ x ∈ X‬המייצב ‪ Gx‬פועל‬ ‫טרנזיטיבית על }‪.X \ {x‬‬

‫‪2.1‬‬

‫‪2.1‬‬

‫‪45‬‬

‫משפט מסלול‪-‬מייצב‬

‫משפט מסלול‪-‬מייצב‬

‫המשפט הבא‪ ,‬שקושר בין הגדלים של המסלול‪ ,‬המייצב והחבורה כולה‪ ,‬מכליל את משפט לגרנז'‪ ,‬והוא בעל‬ ‫חשיבות רבה‪.‬‬ ‫משפט ‪) 2.21‬משפט מסלול‪-‬מייצב( תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ .X‬לכל ‪ x ∈ X‬ישנה התאמה‬ ‫חח"ע בין איברי המסלול )‪ O (x‬לבין המחלקות השמאליות של המייצב ‪ Gx‬בתוך ‪ .G‬לכן מתקיים‬ ‫] ‪ .|O (x)| = [G : Gx‬בפרט‪ ,‬אם ‪ G‬סופית‪,‬‬ ‫|)‪, |G| = |Gx | · |O (x‬‬ ‫וגודל המסלול מחלק את גודל החבורה‪.‬‬

‫הוכחה‪ :‬נגדיר פונקציה מקבוצת המחלקות השמאליות ‪ G/Gx‬ל‪ O (x)-‬על‪-‬ידי‬ ‫‪.gGx 7→ g.x‬‬ ‫מכיוון שהגדרנו את הפונקציה על‪-‬ידי הנציג ‪ g‬של המחלקה ‪ ,gGx‬יש לוודא ראשית שהפונקציה מוגדרת‬ ‫היטב‪ .‬כלומר‪ ,‬יש לבדוק שאם נבחר נציג אחר למחלקה ‪) g ′ ∈ gGx‬ואז הרי ‪ (gGx = g ′ Gx‬ההגדרה תתן‬ ‫אותו איבר ב‪ .O (x)-‬ואכן‪ ,‬אם ‪ g ′ Gx = gGx‬אז ‪ g ′ = gh‬בעבור ‪ h ∈ Gx‬כלשהו‪ ,‬ואז‬ ‫‪.g ′ .x = (gh) .x = g. (h.x) = g.x‬‬ ‫כעת יש לבדוק שהפונקציה שהגדרנו חח"ע ועל‪ .‬היא על )‪ O (x‬לפי הגדרת )‪ .O (x‬היא חח"ע משום שאם‬ ‫‪ g.x = g ′ .x‬אז ‪ ,x = (g −1 g ′ ) .x‬כלומר ‪ g −1 g ′ ∈ Gx‬וזה שקול לכך ש‪ .g ′ Gx = gGx -‬בכך הראינו כי‬ ‫אמנם ] ‪.|O (x)| = [G : Gx‬‬ ‫אם ‪ G‬סופית‪ ,‬נקבל ממשפט לגרנז' ומהאמור לעיל כי‬ ‫|‪|G‬‬ ‫|)‪= [G : Gx ] = |O (x‬‬ ‫| ‪|Gx‬‬ ‫ומכאן הנוסחה שבמשפט‪.‬‬ ‫הלמה הבאה‪ ,‬שמסתמכת על משפט מסלול‪-‬מייצב‪ ,‬שימושית עד מאוד בבעיות ספירה רבות‪ .‬על אף שמה‪,‬‬ ‫היא לא נתגלתה על‪-‬ידי ברנסייד‪ .‬האחרון רק הזכיר אותה באחד מספריו וייחס את גילויה דווקא‬ ‫לפרובניוס‪ .‬היא מקשרת בין מספר המסלולים בפעולה לבין מספר נקודות השבת של איברי החבורה‬ ‫השונים )ראו הגדרה ‪ .(2.15‬לצורך הלמה‪ ,‬נסמן ב‪ fix (g)-‬את קבוצת נקודות השבת של ‪ g ∈ G‬בפעולת‬ ‫החבורה ‪ G‬על קבוצה נתונה ‪.X‬‬ ‫למה ‪) 2.22‬הלמה של ברנסייד( תהי ‪ G‬חבורה סופית שפועלת על קבוצה סופית ‪ .X‬אזי מספר המסלולים‬ ‫בפעולה שווה לממוצע מספר נקודות השבת של איברי ‪ .G‬כלומר‪ ,‬מספר המסלולים הוא‬ ‫∑ ‪1‬‬ ‫|)‪|fix (g‬‬ ‫‪|G| g∈G‬‬

‫‪.‬‬

‫)‪fix (g‬‬

‫‪46‬‬

‫‪2.1‬‬

‫משפט מסלול‪-‬מייצב‬

‫תרגיל ‪ 2.23‬הוכיחו את הלמה של ברנסייד‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬חשבו את גודל קבוצת הזוגות }‪ {(g, x) ∈ G × X | g.x = x‬בשני אופנים‪ :‬בראשון עברו על‬ ‫איברי ‪ G‬ומנו לכל ‪ g ∈ G‬את ה‪-x-‬ים התואמים; בשני‪ ,‬עברו על איברי ‪ ,X‬מצאו לכל ‪ x ∈ X‬ביטוי‬ ‫בעבור מספר ה‪-g-‬ים התואמים‪ ,‬והשתמשו במשפט מסלול‪-‬מייצב‪.‬‬ ‫הבעיה הבאה מדגימה עד כמה שימושית יכולה להיות הלמה של ברנסייד בבעיות ספירה‪ :‬נניח שאנו‬ ‫מעוניינים להרכיב מחרוזת )שרשרת חרוזים( עם בדיוק ‪ n‬חרוזים‪ .‬יש בידינו חרוזים מ‪ q-‬סוגים שונים‬ ‫)למשל‪ ,‬ב‪ q-‬צבעים שונים(‪ .‬כמה מחרוזות שונות באפשרותנו להרכיב? למשל‪ ,‬אם ‪ n = 3‬ו‪,q = 2-‬‬ ‫המחרוזות האפשריות הן אלו‪:‬‬

‫ויש בדיוק ‪ 4‬כאלה‪ .‬במקרה זה קל להשתכנע מדוע אלו בדיוק המחרוזות האפשריות‪ ,‬אך אם נרצה לספור‪,‬‬ ‫למשל‪ ,‬מחרוזות באורך ‪ 10‬עם ‪ 7‬חרוזים‪ ,‬יהיה זה קשה הרבה יותר למצוא ישירות מהן כל המחרוזות‪.‬‬ ‫ובכן‪ ,‬מסתבר שניתן לפתור את השאלה גם באמצעות הלמה של ברנסייד‪ ,‬ודרך זו תהיה נוחה הרבה‬ ‫יותר מהדרך הנאיבית כאשר ‪ n‬ו‪ q-‬גדולים‪ .‬לשם כך‪ ,‬נסמן ב‪ Xn,q -‬את קבוצת המחרוזות "הדבוקות לדף"‬ ‫באורך ‪ n‬ועם ‪ q‬סוגי חרוזים אפשריים‪) .‬כל המחרוזות ב‪ Xn,q -‬מורכבות ממצולע משוכלל בן ‪ n‬צלעות‬ ‫ובזווית קבועה‪ ,‬כך שבסך‪-‬הכל יש ‪ q n‬איברים ב‪ (.Xn,q -‬למשל‪ ,‬שלוש המחרוזות הבאות ב‪ X6,3 -‬שונות זו‬ ‫מזו‪ ,‬על אף שבמציאות הן כולן אותה מחרוזת‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫כעת‪ ,‬החבורה הדיהדרלית ‪ Dn‬פועלת על הקבוצה ‪ Xn,q‬באופן טבעי‪ ,‬וכל מחרוזת במציאות מתאימה‬ ‫למסלול בפעולה זו )השתכנעו בכך!(‪ .‬כלומר‪ ,‬מספר המחרוזות במציאות שווה בדיוק למספר המסלולים‬ ‫בפעולת ‪ Dn‬על ‪ ,Xn,q‬דהיינו ל‪.|Dn \Xn,q |-‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬נשתמש בלמה של ברנסייד כדי לחשב את מספר המסלולים בפעולת ‪ D3‬על ‪ ,X3,2‬קבוצת‬ ‫המחרוזות "הדבוקות לדף" באורך ‪ 3‬ועם שני סוגי חרוזים‪ .‬לשם כך‪ ,‬עלינו להבין כמה נקודות שבת יש‬ ‫לכל איבר ב‪ .D3 -‬איבר היחידה‪ ,‬כרגיל‪ ,‬מקבע את כל איברי הקבוצה במקום‪ ,‬כלומר יש לו ‪ 8‬נקודות שבת‪.‬‬ ‫אם ‪ σ ∈ D3‬הוא סיבוב‪ ,‬הרי שקל לראות שהוא מקבע מחרוזת מ‪ X3,2 -‬רק אם כל חרוזיה שווי‪-‬צבע‪,‬‬ ‫כלומר יש לו ‪ 2‬נקודות שבת‪ .‬לבסוף‪ ,‬כל שיקוף ‪ τ ∈ D3‬משאיר את אחד החרוזים במקום ומחליף בין‬ ‫השניים האחרים‪ .‬על כן‪ ,‬מחרוזת ב‪ X3,2 -‬היא נקודת שבת של ‪ τ‬אם ורק אם שני החרוזים המוחלפים‬ ‫הם שווי צבע‪ .‬יש לפיכך ‪ 4‬נקודות שבת ל‪ ,τ -‬שכן יש שני צבעים אפשריים בעבור זוג החרוזים המתחלפים‬ ‫ושני צבעים אפשריים לחרוז השלישי‪ .‬לפיכך‪ ,‬ממוצע מספר נקודות השבת הוא )זכרו שיש במקרה זה שני‬

‫‪2.2‬‬

‫‪47‬‬

‫מחלקות צמידות‬

‫סיבובים ושלושה שיקופים(‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(8 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4) = 4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪,‬‬

‫כפי שכבר ראינו לעיל בספירה ישירה‪.‬‬ ‫תרגיל ‪2.24‬‬ ‫‪ .1‬העזרו בלמה של ברנסייד על מנת לחשב את מספר המחרוזות השונות באורך ‪ 4‬עם שני סוגי חרוזים‪,‬‬ ‫כלומר את | ‪.|D4 \X4,2‬‬ ‫‪ .2‬חשבו את | ‪ |D3 \X3,q‬כפונקציה של ‪) .q‬בדקו את עצמכם‪ :‬האם התשובה שקיבלתם היא אמנם‬ ‫מספר שלם לכל ‪(?q‬‬ ‫‪ .3‬חשבו את | ‪ |D4 \X4,q‬כפונקציה של ‪.q‬‬ ‫‪ .4‬חשבו את מספר המחרוזות באורך ‪ 10‬עם ‪ q‬סוגי חרוזים שונים‪ .‬כמה מחרוזות יש‪ ,‬בפרט‪ ,‬כאשר‬ ‫‪?q = 7‬‬

‫‪2.2‬‬

‫מחלקות צמידות‬

‫ראינו כבר כי כל חבורה ‪ G‬פועלת על עצמה על‪-‬ידי כפל משמאל וכן על‪-‬ידי כפל מימין בהפכי‪ .‬פעולה חשובה‬ ‫נוספת של ‪ G‬על עצמה היא פעולת ההצמדה‪ .‬בפעולה זו פועל האיבר ‪ g ∈ G‬על ‪ x ∈ G‬בו‪-‬זמנית הן על‪-‬ידי‬ ‫כפל משמאל ב‪ g-‬והן על‪-‬ידי כפל מימין ב‪:g −1 -‬‬

‫הצמדה‬

‫‪g ∗ x = gxg −1‬‬ ‫)ודאו כי זאת אמנם פעולה!(‪.‬‬

‫הגדרה ‪ 2.25‬המסלול של ‪ x ∈ G‬תחת פעולת ההצמדה נקרא מחלקת הצמידות )‪ (conjugacy class‬של ‪x‬‬ ‫ומסומן ‪:xG‬‬ ‫ ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪xG := gxg −1 g ∈ G‬‬

‫‪xG‬‬

‫שני איברים בחבורה שמצויים באותה מחלקת צמידות נקראים צמודים‪.‬‬ ‫הרכָּז ‪ (centralizer) 3‬של ‪ x‬ומסומן )‪:CG (x‬‬ ‫המייצב של ‪ x‬בפעולה זו נקרא ַ‬

‫איברים צמודים‬

‫}‪CG (x) := {g ∈ G | gxg −1 = x‬‬

‫מסקנה ‪ 2.26‬אם ‪ G‬סופית‪ ,‬אזי לכל ‪x‬‬

‫ ‬ ‫ ‪. |G| = |CG (x)| · xG‬‬

‫הוכחה‪ :‬זהו מקרה פרטי של משפט מסלול‪-‬מייצב )משפט ‪.(2.21‬‬ ‫הרכָּז נקרא לעתים בעברית גם ְמ ַרכֵּז‪.‬‬ ‫‪ַ 3‬‬

‫ַרכָּז‬

‫‪2.2‬‬

‫‪48‬‬

‫מחלקות צמידות‬

‫הרכז של ‪ x‬הוא תת‪-‬חבורה הכוללת בדיוק אותם איברים שמתחלפים עם ‪ ,x‬כלומר אלו שמקיימים‬ ‫‪ .xg = gx‬מכיוון שהיחידה מתחלפת עם כל איבר‪ .CG (e) = G ,‬לעתים ישנם איברים נוספים כאלה‪:‬‬

‫מרכז של חבורה הגדרה ‪ 2.27‬המֶ ְרכָּז )‪ (center‬של החבורה ‪ ,G‬המסומן ‪ Z (G) 4‬הוא תת‪-‬החבורה של ‪ G‬שמורכבת מכל‬ ‫איברי ‪ G‬שמתחלפים עם כל היתר‪:‬‬ ‫}‪Z (G) := {x ∈ G | gx = xg ∀g ∈ G‬‬

‫במלים אחרות‪ ,‬איברי המרכז הם נקודות השבת של פעולת ‪ G‬על עצמה על‪-‬ידי הצמדה — האיברים ב‪G-‬‬ ‫שהמסלול שלהם בפעולת ההצמדה‪ ,‬כלומר מחלקת הצמידות‪ ,‬כוללים אותם בלבד‪:‬‬ ‫‪.x ∈ Z (G) ⇐⇒ xG = {x} ⇐⇒ CG (x) = G‬‬

‫תרגיל ‪ 2.28‬ודאו כי אמנם ‪ .Z (G) ≤ G‬הוכיחו כי‪ ,‬יתר על כן‪.Z (G) E G ,‬‬

‫דוגמאות‬ ‫• כאשר ‪ G‬אבלית‪ ,‬כל האיברים מתחלפים אלה עם אלה ועל כן לכל ‪ CG (x) = G ,x ∈ G‬ו‪-‬‬ ‫}‪ .xG = {x‬כמו כן‪.Z (G) = G ,‬‬ ‫• נתבונן בחבורה הדיהדרלית ‪ .D3‬זכרו כי סימנו את האיברים ב‪) {e, y, x, |, , }-‬ראו עמוד‬ ‫‪ .(31‬נחשב‪ ,‬למשל‪ ,‬את מחלקת הצמידות של השיקוף ‪ .‬מובן ש‪ -‬מתחלף עם ‪ e‬ועם עצמו‪.‬‬ ‫הצמדה בסיבוב ‪ x‬תתן‪:‬‬ ‫| = ‪x ·· x−1 = x ·· y‬‬ ‫ובאופן דומה הצמדה ב‪ y-‬תתן‬ ‫ = ‪y ·· y−1 = y ·· x‬‬ ‫ההצמדה בשני השיקופים  ו‪ |-‬תתן אותם איברים שוב‪ .‬לפיכך‬ ‫}  ‪()D3 = {  , | ,‬‬ ‫חישובים דומים יראו כי בחבורה ‪ D3‬יש שלוש מחלקות צמידות‪:‬‬ ‫}  ‪{e} , {x, y} , {  , | ,‬‬ ‫הרכזים הם אלו‪:‬‬ ‫‪CD3 (y) = {e, x, y} CD3 (x) = {e, x, y} CD3 (e) = D3‬‬ ‫} ‪CD3 () = {e,‬‬ ‫} | ‪CD3 ( | ) = {e,‬‬ ‫} ‪CD3 () = {e,‬‬ ‫)שימו לב להתקיימותו של משפט מסלול‪-‬מייצב במקרה זה(‪ .‬המרכז של ‪ D3‬הוא‪ ,‬לפיכך‪ ,‬טריוויאלי‪:‬‬ ‫}‪.Z (D3 ) = {e‬‬ ‫‪4‬מקור האות ‪ Z‬במילה הגרמנית למרכז‪.Zentrum :‬‬

‫‪2.2‬‬

‫‪49‬‬

‫מחלקות צמידות‬

‫• את פעולת ההצמדה בחבורה )‪ GLn (C‬אתם מכירים‪ :‬המטריצות ‪ A‬ו‪ BAB −1 -‬נקראות דומות‬ ‫בצורת ז'ורדן‪.‬‬ ‫מטריצה (‬ ‫)או צמודות(‪ .‬משפט ז'ורדן מראה כי בכל מחלקת צמידות של )‪ GLn (C‬יש )‬ ‫‪λ 1‬‬ ‫)‪,(λ ∈ C‬‬ ‫למשל‪ ,‬ב‪ ,GL2 (C)-‬בכל מחלקת צמידות יש בדיוק מטריצה אחת מהצורה‬ ‫‪0 λ‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪λ 0‬‬ ‫‪λ 0‬‬ ‫)‪λ ̸= δ‬‬ ‫)‪ ,(λ ∈ C‬או בדיוק מטריצה אחת‬ ‫או מטריצה אחת מהצורה‬ ‫‪0 δ‬‬ ‫‪0 λ‬‬ ‫ב‪ ,(C-‬עד כדי חילוף בין ‪ λ‬ל‪ .δ-‬החשיבות של משפט ז'ורדן היא אם כן )א( בבחירת נציגים פשוטים‬ ‫למחלקות הצמידות של )‪ ,GLn (C‬ו‪)-‬ב( במיון מחלקות הצמידות הנ"ל באמצעות הנציגים‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.29‬מצאו את מחלקות הצמידות של ‪ .D4‬מהו המרכז ) ‪) ?Z (D4‬נזכיר כי את טבלת הכפל מצאנו‬ ‫בתרגיל ‪.(1.30‬‬ ‫איבריה‬ ‫תרגיל ‪ 2.30‬חבורת הקווטרניונים זו חבורה המסומנת ‪) Q‬ולעתים גם ‪ Q8‬או ‪.(H‬‬ ‫הם }‪ ,{±1, ±i, ±j, ±k‬כשהכפל מוגדר על‪-‬פי ‪ ,i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1‬וכך שכפל ב‪ −1-‬משנה את‬ ‫סימן האיבר )כלומר‪ ,−1 · i = i · (−1) = −i ,‬וכן הלאה(‪ .‬ניתן להשלים את טבלת הכפל על‪-‬פי תכונות‬ ‫החבורה‪ .‬למשל‪ ,‬ההפכי של ‪ k‬הוא ‪ −k‬שהרי‬ ‫‪k · (−k) = k · k · (−1) = (−1) · (−1) = 1‬‬ ‫ואזי את ‪ ij‬ניתן לחשב מתוך כך ש‪ ijk = −1-‬ולכן ‪.ij = −1 · k −1 = (−1) · (−k) = k‬‬ ‫‪ .1‬הראו ש‪ Q-‬איננה אבלית )רמז‪ :‬הראו ש‪ ij = k-‬ו‪.(ji = −k-‬‬ ‫‪ .2‬הראו ש‪ Q-‬איננה איזומורפית ל‪.D4 -‬‬ ‫‪ .3‬מצאו את )‪) Z (Q‬המרכז של ‪.(Q‬‬ ‫‪ .4‬מצאו את כל תתי החבורות של ‪ Q‬וציינו אילו מהן נורמליות‪.‬‬ ‫‪ .5‬מצאו את מחלקות הצמידות ב‪.Q-‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.31‬תהי ‪ G‬חבורה הפועלת על קבוצה ‪ .X‬הראו כי מייצבים של נקודות שונות באותו מסלול הם‬ ‫תת‪-‬חבורות צמודות‪ .‬ליתר דיוק‪:‬‬ ‫‪.Gg.x = gGx g −1‬‬

‫תרגיל ‪ 2.32‬תהי ‪ G‬חבורה סופית ונסמן ב‪ C-‬את מספר מחלקות הצמידות בה‪ .‬הוכיחו כי מספר הזוגות‬ ‫הסדורים של איברים מתחלפים ב‪ G-‬שווה ל‪ C-‬כפול הסדר של ‪ .G‬כלומר‪,‬‬ ‫|‪. |{(x, y) ∈ G × G | xy = yx}| = C · |G‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪2.3‬‬

‫‪50‬‬

‫‪2.3‬‬

‫המשמר )נורמליזטור( של תת‪-‬חבורה‬

‫המשמר )נורמליזטור( של תת‪-‬חבורה‬

‫תהי ‪ G‬חבורה ותהי ‪ H ≤ G‬תת‪-‬חבורה‪ .‬כפי שראינו בדיון שקדם להגדרה ‪ ,1.90‬לכל ‪ ,g ∈ G‬הקבוצה‬ ‫ ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪gHg −1 = ghg −1 h ∈ H‬‬ ‫היא תת‪-‬חבורה של ‪ ,G‬והיא צמודה ל‪.H-‬‬ ‫קל לראות כי‪ ,‬למעשה‪ G ,‬פועלת על אוסף תת‪-‬החבורות שלה על‪-‬ידי הצמדה‪:‬‬ ‫‪.g ◦ H = gHg −1‬‬ ‫אכן‪ ,‬מתקיים ‪ 1 ◦ H = H‬ו‪.g1 ◦ (g2 ◦ H) = (g1 g2 ) ◦ H-‬‬

‫)‪NG (H‬‬

‫המשַׁ מֵּ ר )נורמליזטור‪,‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.33‬המייצב של תת‪-‬חבורה ‪ H‬תחת פעולת הצמדה זו של ‪ G‬נקרא ְ‬ ‫‪ (normalizer‬של ‪ ,H‬ומסומן )‪.NG (H‬‬ ‫כלומר‪,‬‬

‫ ‬ ‫}‬ ‫‪.NG (H) = g ∈ G gHg −1 = H‬‬ ‫{‬

‫כמו כל מייצב‪ NG (H) ,‬הוא תת‪-‬חבורה של ‪.G‬‬ ‫פעולת ‪ G‬על תת‪-‬החבורות שלה על‪-‬ידי הצמדה מספקת לנו הגדרה נוספת למושג "תת‪-‬חבורה נורמלית"‪.‬‬ ‫טענה ‪ 2.34‬תהיינה ‪ G‬חבורה ו‪ H-‬תת‪-‬חבורה‪ .‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫• ‪ ,H E G‬כלומר‪ H ,‬היא תת‪-‬חבורה נורמלית של ‪.G‬‬ ‫• ‪ H‬היא נקודת שבת של פעולת ההצמדה של ‪ G‬על תת‪-‬החבורות שלה‪.‬‬ ‫• ‪.NG (H) = G‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.35‬הוכיחו את הטענה האחרונה‪.‬‬

‫)‪CG (H‬‬

‫הרכָּז של ‪ H‬ב‪ .G-‬הרכז של ‪,H‬‬ ‫כדאי לציין שלצד המשמר של תת‪-‬חבורה ‪ ,H‬קיים מושג דומה אך שונה‪ַ :‬‬ ‫שמסומן )‪ ,CG (H‬מורכב מאוסף איברי ‪ G‬שמתחלפים עם כל איברי ‪:H‬‬ ‫ ‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫‪.CG (H) = g ∈ G ghg −1 = h ∀h ∈ H‬‬ ‫)השוו עם הרכז של איבר — הגדרה ‪ (.2.25‬שימו לב שהרכז של ‪ H‬מוכל במשמר של ‪ ,H‬אך ההכלה‬ ‫ההפוכה לאו דווקא מתקיימת‪ :‬אם )‪ ,g ∈ NG (H‬פירוש הדבר שלכל ‪ .ghg −1 ∈ H ,h ∈ H‬לעומת‬ ‫זאת‪ ,‬השייכות של ‪ g‬לרכז )‪ CG (H‬היא בעלת משמעות חזקה יותר‪ :‬לכל ‪ ,h ∈ H‬ההצמדה ‪ ghg −1‬אינה‬ ‫רק שייכת ל‪ ,H-‬אלא שווה ל‪ h-‬עצמו‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.36‬הוכיחו כי )‪) H E NG (H‬בפרט‪ ,‬נמקו מדוע )‪ ,(H ≤ NG (H‬וכי )‪ NG (H‬היא תת‪-‬החבורה‬ ‫הגדולה ביותר ש‪ H-‬נורמלית בתוכה‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.37‬מצאו דוגמה לחבורה ‪ G‬ולתת‪-‬חבורה ‪ H ≤ G‬כך ש‪NG (H)-‬‬

‫)‪.CG (H‬‬

‫‪2.4‬‬

‫‪51‬‬

‫משפט קושי‬

‫תרגיל ‪ 2.38‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬בעבור חבורה ‪ G‬ו‪ ,g ∈ G-‬מתקיים )⟩‪) CG (g) = NG (⟨g‬הרכז של ‪g‬‬ ‫הוא המנרמל של החבורה שהוא יוצר(‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.39‬הוכיחו שאם )‪ K ≤ NG (H‬אזי ‪) H · K‬ראו הגדרה ‪ (3.14‬תת‪-‬חבורה של ‪.G‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.40‬תהיינה ‪ G‬חבורה ו‪ H-‬תת‪-‬חבורה שלה‪ .‬הוכיחו כי )‪.CG (H) E NG (H‬‬

‫‪2.4‬‬

‫משפט קושי‬

‫ממשפט לגרנז' הסקנו )מסקנה ‪ (1.82‬שאם ‪ G‬חבורה סופית ו‪ x ∈ G-‬אזי הסדר של ‪ x‬מחלק את הסדר של‬ ‫‪:G‬‬ ‫|‪. |x| | |G‬‬ ‫האם לכל מחלק ‪ r‬של |‪ |G‬נוכל למצוא איבר בסדר המתאים? מובן שלא‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ G‬אינה צקלית‪ ,‬אין‬ ‫אף איבר שסדרו |‪ .|G‬אך אולי ניתן תמיד למצוא תת‪-‬חבורה מסדר ‪ ?r‬גם כאן התשובה שלילית ‪ .5‬עם‬ ‫זאת‪ ,‬המשפט הבא שמיוחס ל‪ Cauchy-‬מבטיח כי אם ‪ r‬ראשוני‪ ,‬התשובה לשתי השאלות הללו חיובית‪:‬‬ ‫משפט ‪) 2.41‬קושי( אם ‪ G‬חבורה סופית ו‪ p-‬הוא מספר ראשוני כך ש‪ ,p | |G|-‬אזי קיים ב‪ G-‬איבר מסדר‬ ‫‪.p‬‬ ‫במלים אחרות‪ ,‬קיימת ב‪ G-‬תת‪-‬חבורה מסדר ‪ ,p‬שנוצרת‪ ,‬כמו כל חבורה מסדר ראשוני‪ ,‬על‪-‬ידי איבר מסדר‬ ‫‪.p‬‬ ‫תרגיל ‪ 2.42‬הוכיחו את משפט קושי‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬תהי‬ ‫}‬ ‫‪g0 , g1 , . . . , gp−1 ∈ G‬‬ ‫× ‪⊆ |G × G‬‬ ‫}‪{z. . . × G‬‬ ‫‪g0 · g1 · . . . · gp−1 = e‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ) ‪(g0 , g1 , . . . , gp−1‬‬

‫{‬ ‫= ‪.X‬‬

‫‪ p‬פעמים‬

‫החבורה הצקלית ‪ Zp‬פועלת על ‪ X‬על‪-‬ידי הזזה צקלית‪ :‬בעבור ‪,a ∈ Zp‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪a. (g0 , g1 , . . . , gp−1 ) = g(0+a)mod p , g(1+a)mod p , . . . , g(p−1+a)mod p‬‬ ‫הראו כי מספר נקודות השבת של הפעולה מתחלק ב‪ p-‬ועל כן )‪ (e, e, . . . , e‬אינה נקודת השבת היחידה‬ ‫של פעולה זו‪.‬‬

‫‪5‬כפי שנראה בפרק ‪ 5‬להלן‪ ,‬משפטי סילו מבטיחים שאם ‪ r‬הוא חזקת ראשוני אז תמיד קיימת תת‪-‬חבורה מסדר ‪.r‬‬

‫משפט קושי‬

‫‪ 3‬הומומורפיזמים וחבורות מנה‬ ‫‪3.1‬‬

‫הומומורפיזם של חבורות‬

‫לכל סוג של מבנה אלגברי מתאים סוג מיוחד של העתקה ש"מכירה" את המבנה האלגברי ושומרת עליו‪.‬‬ ‫כך‪ ,‬למשל‪ ,‬בין מרחבים ווקטוריים מעל שדה ‪ ,F‬יש העתקה לינארית‪ :‬זו העתקה ש"מכירה" את פעולות‬ ‫חיבור הווקטורים והכפל בסקלר ו"שומרת" עליהן ))‪ φ (v + u) = φ (v) + φ (u‬ו‪.(φ (λv) = λφ (v)-‬‬ ‫העתקות מעין אלה נקראות באופן כללי "הומומורפיזם"‪ ,‬מן המלים היווניות ‪") homos‬אותו דבר"( ו‪-‬‬ ‫‪") morphe‬צורה" או "מבנה"(‪.‬‬

‫הומומורפיזם‬ ‫מונומורפיזם‬

‫אפימורפיזם‬

‫הגדרה ‪ 3.1‬העתקה ‪ φ : G → H‬בין חבורות שמקיימת‬ ‫)‪φ (ab) = φ (a) φ (b‬‬ ‫לכל ‪ a, b ∈ G‬נקראת הומומורפיזם )של חבורות( ‪.1‬‬ ‫• הומומורפיזם ‪ φ‬ייקרא מונומורפיזם‪ ,‬או שיכון‪ ,‬אם ‪ φ‬חח"ע‪.‬‬ ‫נהוג להשתמש בסימון ‪ φ : G ,→ H‬לציון מונומורפיזם‪.‬‬ ‫• הומומורפיזם ‪ φ‬ייקרא אפימורפיזם אם ‪ φ‬על‪.‬‬ ‫נהוג להשתמש בסימון ‪ φ : G  H‬לציון אפימורפיזם‪.‬‬ ‫• הומומורפיזם ‪ φ‬ייקרא איזומורפיזם ‪ 2‬אם ‪ φ‬חח"ע ועל ‪.3‬‬ ‫∼‬ ‫נהוג להשתמש בסימון ‪ φ : G → H‬לציון איזומורפיזם‪.‬‬

‫טענה ‪ 3.2‬תהיינה ‪ G, H‬חבורות ויהי ‪ φ : G → H‬הומומורפיזם‪ .‬אזי‬ ‫‪.φ (e) = e .1‬‬ ‫‪.φ (g ) = (φ (g))−1 .2‬‬ ‫‪−1‬‬

‫שימו לב שהסימון ‪ e‬בסעיף הראשון בטענה מופיע בשני מובנים שונים‪ :‬באגף שמאל ‪ e‬מציין את היחידה‬ ‫של החבורה ‪ ,G‬ואילו באגף ימין את היחידה של החבורה ‪ .H‬בדומה‪ ,‬בסעיף השני סימון ההפכי ‪()−1‬‬ ‫מסמן הפכי בחבורה ‪ G‬באגף שמאל והפכי בחבורה ‪ H‬באגף ימין‪.‬‬ ‫הוכחת טענה ‪ φ (e) = φ (e · e) = φ (e) · φ (e) :3.2‬ולאחר צמצום נקבל )‪.e = φ (e‬‬ ‫השוויון השני נכון כי ‪ ,φ (g −1 ) · φ (g) = φ (g −1 · g) = φ (e) = e‬והפכי בחבורה הוא יחיד‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬הומומורפיזם מחבורה לעצמה ‪ φ : G → G‬נקרא גם אנדומורפיזם‪.‬‬ ‫‪2‬את מושג האיזומורפיזם הקדמנו והגדרנו כבר בהגדרה ‪ 1.25‬לעיל‪.‬‬ ‫∼‬ ‫‪3‬כזכור‪ ,‬איזומורפיזם מחבורה לעצמה ‪ φ : G → G‬נקרא גם אוטומורפיזם — ראו הגדרה ‪.1.66‬‬

‫‬

‫‪53‬‬

‫‪ 3.1‬הומומורפיזם של חבורות‬ ‫דוגמאות‬ ‫ההעתקות הבאות הן הומומורפיזמים‪:‬‬

‫‪ .1‬אם ‪ H ≤ G‬אז העתקת ההכלה ‪ (h 7→ h) i : H → G‬היא מונומורפיזם‪.‬‬ ‫‪ .2‬תהי ⟩‪ G = ⟨g‬חבורה צקלית‪ .‬קיים אפימורפיזם ‪ φ : Z → G‬המוגדר על‪-‬ידי ‪ .φ (n) = g‬אכן‪,‬‬ ‫)‪.φ (n + m) = g n+m = g n · g m = φ (n) · φ (m‬‬ ‫‪ .3‬ההעתקה )‪ φ : R → SO2 (R‬המוגדרת על ידי‬ ‫‪n‬‬

‫)‬

‫‪cos θ − sin θ‬‬ ‫‪sin θ cos θ‬‬

‫(‬ ‫= )‪φ (θ‬‬

‫היא אפימורפיזם‪.‬‬ ‫‪ .4‬ההעתקה }‪ φ : D3 → {±1‬המוגדרת על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫‪ g=e‬או ‪ g‬סיבוב‬ ‫‪ g‬שיקוף‬

‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬

‫{‬ ‫= )‪φ (g‬‬

‫אף היא אפימורפיזם‪) .‬זכרו כי איברי ‪ D3‬הם הסימטריות של משולש שווה‪-‬צלעות – ראו הערה‬ ‫‪(.1.78‬‬ ‫∗‬ ‫‪ .5‬הדטרמיננטה ‪) det : GLn (F ) → F‬בעבור שדה ‪ F‬כלשהו( היא אפימורפיזם )מדוע?(‪.‬‬ ‫‪ .6‬ההעתקה ) ‪ φ : F → GL2 (F‬המוגדרת על ידי‬ ‫)‬

‫‪1 a‬‬ ‫‪0 1‬‬

‫(‬ ‫= )‪φ (a‬‬

‫בעבור שדה כלשהו ‪ F‬היא שיכון של החבורה החיבורית של ‪ F‬בתוך ) ‪.GL2 (F‬‬ ‫‪ .7‬בפסקה שלפני הגדרה ‪ ,1.93‬הגדרנו את העתקת ההצמדה ‪ φγ : G → G‬באיבר ‪ γ‬בחבורה ‪.G‬‬ ‫העתקה זו‪ ,‬שמוגדרת על‪-‬ידי‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪, φγ (g) = γgγ‬‬ ‫היא איזומורפיזם‪ ,‬ולמעשה אוטומורפיזם )שנקרא‪ ,‬כאמור‪ ,‬אוטומורפיזם פנימי(‪.‬‬ ‫‪ .8‬ההעתקה ‪ γ 7→ φγ‬ששולחת כל איבר בחבורה ‪ G‬לאוטומורפיזם ההצמדה בו‪ ,‬היא הומומורפיזם‬ ‫מ‪ G-‬ל‪ .Aut G-‬תמונת הומומורפיזם זה כוללת את כל האוטומורפיזמים הפנימיים מן הדוגמה‬ ‫הקודמת‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 3.3‬הוכיחו כי הדוגמה האחרונה היא אמנם הומומורפיזם‪ .‬האם זהו מונומורפיזם?‬ ‫‪ .9‬כל פעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ X‬מתאימה להומומורפיזם מ‪ G-‬לחבורת התמורות ‪ ,SX‬ולהפך‪.‬‬ ‫ננסח זאת במפורש בטענה הבאה‪:‬‬

‫‪ 3.1‬הומומורפיזם של חבורות‬

‫‪54‬‬

‫טענה ‪ 3.4‬בהינתן פעולה של חבורה ‪ G‬על קבוצה ‪ ,X‬ההעתקה ‪ φ : G → SX‬שמוגדרת על‪-‬ידי‬ ‫‪φ (g) (x) = g.x‬‬ ‫היא הומומורפיזם‪.‬‬ ‫מאידך‪ ,‬בהינתן הומומורפיזם ‪ ,ψ : G → SX‬הפונקציה הבאה ‪G × X → X‬‬ ‫)‪g.x = ψ (g) (x‬‬ ‫מגדירה פעולה של ‪ G‬על ‪.X‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬התאמות אלו הפכיות זו לזו‪.‬‬

‫הוכחה‪ :‬עלינו להראות כי )‪ (i‬בהינתן פעולה אכן קיבלנו הומומורפיזם‪ (ii) ,‬בהינתן הומומורפיזם קיבלנו‬ ‫פעולה ו‪ (iii)-‬ההתאמות הללו הפכיות זו לזו‪ .‬למעשה )‪ (iii‬ברור מן ההגדרות שלעיל‪ ,‬ונותר להראות את‬ ‫)‪ (i‬ואת )‪ .(ii‬אכן‪ ,‬בהינתן פעולה ראינו כבר )טענה ‪ (2.3‬כי הפעולה של כל ‪ g ∈ G‬היא תמורה על ‪ ,X‬כלומר‬ ‫‪ φ (g) ∈ SX‬כנדרש‪ .‬בנוסף‪ φ ,‬הוא אמנם הומומורפיזם‪:‬‬ ‫‪φ (g1 g2 ) (x) = (g1 g2 ).x‬‬ ‫)‪= g1 . (g2 .x‬‬ ‫)‪= φ(g1 ) (g2 .x‬‬ ‫)‪= (φ (g1 ) φ (g2 )) (x‬‬ ‫וקיבלנו את )‪ .(i‬אם ‪ ψ : G → Sx‬הומומורפיזם‪ ,‬אזי ההגדרה לעיל אכן נותנת פעולה‪:‬‬ ‫‪, e.x = ψ (e) (x) = id (x) = x‬‬ ‫וכן‬ ‫)‪(g1 g2 ) .x = ψ (g1 g2 ) (x‬‬ ‫)‪= (ψ (g1 ) ψ (g2 )) (x‬‬ ‫))‪= ψ (g1 ) (ψ (g2 ) (x‬‬ ‫)‪= g1 . (g2 .x‬‬

‫תרגיל ‪ 3.5‬הראו כי פעולה של חבורה על קבוצה היא נאמנה אם ורק אם ההומומורפיזם המתאים הוא‬ ‫מונומורפיזם‪.‬‬

‫תכונה חשובה נוספת של הומומורפיזמים היא שהם "סגורים להרכבה"‪:‬‬

‫טענה ‪ 3.6‬יהיו ‪ φ : G → H‬ו‪ ψ : H → K-‬הומומורפיזמים‪ .‬אזי גם ההרכבה ‪ ψ ◦ φ : G → K‬היא‬ ‫הומומורפיזם‪.‬‬

‫‪ 3.1‬הומומורפיזם של חבורות‬ ‫הוכחה‪:‬‬

‫‪55‬‬

‫))‪(ψ ◦ φ) (ab) = ψ (φ (ab‬‬ ‫))‪= ψ (φ (a) φ (b‬‬ ‫))‪= ψ (φ (a)) ψ (φ (b‬‬ ‫)‪= (ψ ◦ φ) (a) (ψ ◦ φ) (b‬‬

‫תכונה חשובה זו עומדת גם בבסיס ההגדרה של ‪ ,Aut G‬חבורת האוטומורפיזמים של ‪ .G‬העובדה שניתן‬ ‫להרכיב אוטומורפיזמים ולקבל אוטומורפיזם מאפשרת להגדיר מבנה של חבורה עליהם‪) .‬העובדה‬ ‫שמצטמצמים להומומורפיזמים מחבורה ‪ G‬לעצמה מבטיחה שניתן להרכיב כל שניים מהם זה עם זה‪,‬‬ ‫והצמצום לאוטומורפיזמים מבטיח שלכל אחד יש הפכי‪(.‬‬

‫הגדרה ‪ 3.7‬יהי ‪ φ : G → H‬הומומורפיזם‪ .‬המקור של היחידה‪ ,φ−1 (e) ,‬נקרא הגרעין )‪ (kernel‬של‬ ‫ההומומורפיזם‪ ,‬ומסומן ‪ .kerφ‬באופן מפורש‬ ‫}‪. ker φ = {g ∈ G | φ (g) = e‬‬ ‫אוסף התמונות של איברי ‪ ,φ (G) ,G‬נקרא התמונה )‪ (image‬של ‪ ,φ‬ומסומן ‪:Imφ‬‬ ‫}‪.Im φ = φ (G) = {φ (g) | g ∈ G‬‬

‫טענה ‪ 3.8‬יהי ‪ φ : G → H‬הומומורפיזם‪ .‬אזי‬ ‫‪ .1‬הגרעין של ‪ φ‬הוא תת‪-‬חבורה נורמלית‪.ker φ E G :‬‬ ‫‪ .2‬התמונה של ‪ φ‬היא תת‪-‬חבורה‪.Imφ ≤ H :‬‬ ‫שימו לב כי התמונה של ‪ φ‬לאו דווקא נורמלית‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ H ≤ G‬תת‪-‬חבורה שאינה נורמלית‪ ,‬התמונה‬ ‫של הומומורפיזם ההכלה ‪ i : H → G 4‬אינה נורמלית‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫הוכחת טענה ‪ :3.8‬יהיו ‪ ,g1 , g2 ∈ ker φ‬אזי ‪ φ g1 g2−1 = φ (g1 ) φ (g2 )−1 = e · e = e‬ולכן‬ ‫‪ ,g1 g2−1 ∈ ker φ‬והראנו כי ‪ .ker φ ≤ G‬כעת‪ ,‬לכל ‪ g ∈ ker φ‬ו‪ ,x ∈ G-‬מתקיים‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪φ xgx−1 = φ (x) φ (g) φ x−1 = φ (x) · e · φ (x)−1 = e‬‬ ‫ולכן ‪ xgx−1 ∈ ker φ‬והראנו כי ‪.ker φ E G‬‬ ‫באשר ל‪ ,Imφ-‬יהיו ‪ ,h1 , h2 ∈ Imφ‬כלומר קיימים ‪ g1 , g2 ∈ G‬כך ש‪ .φ (g1 ) = h1 , φ (g2 ) = h2 -‬ואז‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪φ g1 g2−1 = φ (g1 ) φ (g2 )−1 = h1 h−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ,h1 h−1‬והראנו שזו תת‪-‬חבורה של ‪.H‬‬ ‫ולכן ‪2 ∈ Imφ‬‬

‫‬

‫‪4‬הומומורפיזם ההכלה של תת‪-‬חבורה מראה כי כל תת‪-‬חבורה היא תמונה של הומומורפיזם‪ .‬ביחד עם הסעיף השני של טענה‬ ‫‪ 3.8‬קיבלנו כי ‪ H ⊆ G‬היא תת‪-‬חבורה אם ורק אם היא תמונה של הומומורפיזם‪.‬‬

‫‪kerφ‬‬

‫‪Imφ‬‬

‫‪ 3.1‬הומומורפיזם של חבורות‬

‫‪56‬‬

‫תרגיל ‪ 3.9‬הוכיחו כי גרעין ההומומורפיזם ‪ G → Aut G‬שמוגדר על‪-‬ידי ‪) γ 7→ φγ‬ראו עמוד ‪ (53‬הוא‬ ‫)‪.Z (G‬‬ ‫למעשה‪ ,‬הטענה הכללית הבאה נכונה גם היא‪:‬‬

‫טענה ‪ 3.10‬יהי ‪ φ : G1 → G2‬הומומורפיזם ותהיינה ‪ H1 ≤ G1‬ו‪ H2 ≤ G2 -‬תת‪-‬חבורות‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫• ) ‪ ,φ (H1‬התמונה של ‪ ,H1‬היא תת‪-‬חבורה של ‪.G2‬‬ ‫• ) ‪ ,φ−1 (H2‬המקור של ‪ ,H2‬הוא תת‪-‬חבורה של ‪.G1‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬אם ‪ H2 E G2‬אז גם ‪.φ−1 (H2 ) E G1‬‬ ‫תרגיל ‪ 3.11‬הוכיחו את טענה ‪.3.10‬‬ ‫טענה ‪ 3.12‬ההומומורפיזם ‪ φ : G → H‬הוא מונומורפיזם‪ ,‬כלומר חח"ע‪ ,‬אם ורק אם }‪.ker φ = {e‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הכיוון )⇐( ברור‪ .‬כעת נניח כי }‪ ,ker φ = {e‬ויהיו ‪ g1 , g2 ∈ G‬שמקיימים ) ‪.φ (g1 ) = φ (g2‬‬ ‫אזי‬ ‫) ‪( −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪, φ g1 g2 = φ (g1 ) φ (g2 ) = e‬‬ ‫כלומר ‪ g1 g2−1 ∈ ker φ‬ולכן ‪ ,g1 g2−1 = e‬כלומר ‪ ,g1 = g2‬והראנו כי ‪ φ‬חח"ע‪.‬‬ ‫הגרעין של הומומורפיזם משחק תפקיד חשוב לא רק כאשר הגרעין טריוויאלי ‪ .5‬מסתבר שהתמונה של‬ ‫איבר נקבעת לפי המחלקה של הגרעין שהוא משתייך אליה‪:‬‬ ‫למה ‪) 3.13‬למת הגרעין( יהי ‪ φ : G → H‬הומומורפיזם ויהי ‪ N = ker φ E G‬הגרעין‪ .‬אזי יש התאמה‬ ‫חח"ע ‪ 6‬בין איברי התמונה ‪ Imφ‬לבין המחלקות ‪ G/N‬של ‪ N‬ב‪.G-‬‬ ‫כלומר‪ φ (g1 ) = φ (g2 ) ,‬אם ורק אם ‪ ,g1 N = g2 N‬כלומר אם ורק אם ‪ g1‬ו‪ g2 -‬נמצאים באותה מחלקה‬ ‫של ‪.N‬‬ ‫מכיוון ש‪ N E G-‬היא תת‪-‬חבורה נורמלית‪ ,‬אין צורך לציין אם מדובר במחלקות ימניות או שמאליות‪:‬‬ ‫אלו הרי אותן מחלקות בשני המקרים‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫הוכחת למה ‪ g1 N = g2 N ⇐⇒ g1−1 g2 ∈ N ⇐⇒ φ g1−1 g2 = e ⇐⇒ φ (g1 ) = φ (g2 ) :3.13‬‬ ‫סיב‬

‫באופן כללי‪ ,‬כאשר יש פונקציה בין שתי קבוצות ‪ ,f : A → B‬סיב )באנגלית‪ (fiber :‬של הפונקציה‬ ‫‪5‬זכרו כי תת‪-‬חבורה נקראת טריוויאלית אם היא שווה ל‪.{e}-‬‬ ‫‪ 6‬שימו לב ש"התאמה חח"ע בין שתי קבוצות" פירושה שיש פונקציה חח"ע ועל מאחת הקבוצות לרעותה‪.‬‬

‫‪3.2‬‬

‫‪57‬‬

‫חבורות מנה‬

‫הוא תת‪-‬קבוצה של ‪ A‬שהיא קבוצת המקורות של איבר ב‪ ,B-‬כלומר תת‪-‬קבוצה מהצורה‬ ‫}‪.f −1 (b) = {a ∈ A | f (a) = b‬‬ ‫למת הגרעין אומרת‪ ,‬במלים אחרות‪ ,‬שהסיבים של ההומומורפיזם ‪ φ : G → H‬הם בדיוק המחלקות‬ ‫של הגרעין ‪ .N‬מיד נראה כי במקרה זה יש לקבוצת המחלקות של הגרעין‪ ,G/N ,‬מבנה של חבורה‪ ,‬וכי‬ ‫ההתאמה של למה ‪ 3.13‬היא למעשה איזומורפיזם‪.‬‬

‫‪3.2‬‬

‫חבורות מנה‬

‫בסעיף זה נכיר את מושג המפתח של חבורת מנה‪ .‬חבורת מנה היא דרך נוספת לקבל חבורה קטנה יותר‬ ‫מחבורה נתונה ‪ ,G‬כפי שניתן לעשות עם תת‪-‬חבורות‪ .‬כפי שתת‪-‬חבורות של ‪ G‬סיפקו לנו מידע על המבנה‬ ‫של ‪) G‬למשל‪ ,‬משפט לגרנז' מראה לנו שאם ‪ H‬תת‪-‬חבורה של ‪ G‬אזי הסדר של ‪ G‬מתחלק ב‪ ,(|H|-‬כך‬ ‫גם חבורות מנה מספקות לנו מידע רב על אודות החבורה המקורית‪ .‬למשל‪ ,‬כפי שנראה במשפט ההתאמה‬ ‫להלן )משפט ‪ ,(3.31‬החלק העליון של שריג תת‪-‬החבורות של ‪ G‬משתקף בשריגים של חבורות מנה שלה‬ ‫)כשם שהחלק התחתון משתקף בשריגים של תת‪-‬חבורות של ‪.(G‬‬ ‫במקרה של תת‪-‬חבורה‪ ,‬על מנת לקבל אובייקט אלגברי קטן יותר‪ ,‬צמצמנו את המבט לתת‪-‬קבוצה‬ ‫של איברי ‪ .G‬במקרה של חבורת‪-‬מנה‪ ,‬לעומת זאת‪ ,‬מקבלים אובייקט קטן יותר באמצעות קיבוצם של‬ ‫איברים שונים בתוך ‪ G‬ביחד‪ ,‬למחלקות שקילות‪ ,‬כאשר כל מחלקה היא איבר יחיד של האובייקט החדש‪.‬‬ ‫הקושי כאן נובע מכך שעל האיברים החדשים‪ ,‬שכל אחד מהם הוא‪ ,‬בתורו‪ ,‬מקבץ של כמה איברים של ‪,G‬‬ ‫אנו רוצים להגדיר מבנה של חבורה‪.‬‬ ‫ישנן שתי דרכים לתאר בצורה מדויקת יותר מהן חבורות מנה‪ .‬הדרך הראשונה מסתמכת על‬ ‫הומומורפיזם נתון מ‪ G-‬לחבורה אחרת‪ .‬למעשה‪ ,‬כפי שנראה להלן‪ ,‬חקר של חבורות מנה כמוהו כחקר של‬ ‫הומומורפיזמים שמקורם ‪ .G‬ובכן‪ ,‬כל הומומורפיזם ‪ φ : G → H‬בין חבורות‪ ,‬מגדיר חלוקה של איברי‬ ‫‪ G‬לסיבים )כזכור‪ ,‬אלה תת‪-‬קבוצות של ‪ G‬מהצורה )‪ φ−1 (h‬לכל ‪ .(h ∈ Im φ‬כפי שראינו בלמת הגרעין‬ ‫לעיל‪ ,‬סיבים אלו הם בדיוק המחלקות של הגרעין של ‪:φ‬‬

‫‪3.2‬‬

‫‪58‬‬ ‫‪g2ker φ‬‬

‫חבורות מנה‬

‫‪g1ker φ‬‬

‫‪ker φ‬‬

‫‪g1‬‬

‫‪G‬‬

‫‪eG‬‬

‫‪g2‬‬

‫‪φ‬‬

‫)‪φ(g2‬‬

‫‪eH‬‬

‫)‪φ(g1‬‬

‫‪H‬‬

‫נרצה להגדיר מבנה של חבורה על קבוצת הסיבים‪ .‬נשים לב שיש התאמה חח"ע בין הסיבים של ‪ φ‬ב‪G-‬‬ ‫לבין האיברים ב‪ ,Im φ-‬שהיא‪ ,‬כזכור‪ ,‬תת‪-‬חבורה של ‪ .H‬על‪-‬כן‪ ,‬ניתן להגדיר מבנה של חבורה על קבוצת‬ ‫חדשים‬ ‫הסיבים לפי מבנה החבורה ‪ .Im φ‬כלומר‪ ,‬פשוט "נעתיק" את מבנה החבורה ‪ ,Im φ‬וניתן שמות ‪1‬‬ ‫לאיברים‪ :‬את האיבר ‪ h ∈ Im φ‬יחליף הסיב שמעליו )‪.φ−1 (h‬‬

‫כפל קבוצתי‬

‫עם זאת‪ ,‬את ההגדרה הפורמלית של חבורת מנה של ‪ G‬נשמור דווקא לדרך השניה לתאר מושג זה‪.‬‬ ‫חשוב להדגיש שכפי שנראה להלן )משפט ‪ ,3.29‬משפט האיזומורפיזם הראשון(‪ ,‬שתי ההגדרות שקולות‪.‬‬ ‫בדרך השניה מתבוננים בתת‪-‬חבורה נורמלית נתונה ‪ ,N E G‬ומגדירים ישירות מבנה של חבורה על קבוצת‬ ‫המחלקות שלה ב‪ .G-‬לקראת הגדרה זו נכיר תחילה את מושג הכפל הקבוצתי שישמש אותנו בהמשך‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.14‬תהיינה ‪ A, B ⊆ G‬תת‪-‬קבוצות‪ .‬הכפל )הקבוצתי( של ‪ A‬ב‪ B-‬מוגדר כ‪-‬‬ ‫}‪A · B = {a · b | a ∈ A, b ∈ B‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬למשל‪ ,‬לתכונות הבאות‪:‬‬ ‫• |‪|A · B| ≤ |A| · |B‬‬ ‫• )‪(A · B) · C = A · (B · C‬‬ ‫• אם ‪ H‬תת‪-‬חבורה‪ ,‬אז ‪.H · H = H‬‬ ‫• לעומת זאת‪ ,‬בעבור שתי תת‪-‬חבורות שונות ‪ ,H1 , H2 ≤ G‬המכפלה הקבוצתית ‪ H1 ·H2‬לרוב אינה‬ ‫תת‪-‬חבורה‪.‬‬

‫למה ‪ 3.15‬אם ‪ N E G‬אזי כפל שתי מחלקות של ‪ N‬הוא שוב מחלקה של ‪ ,N‬ומתקיים‬ ‫‪. (g1 N ) · (g2 N ) = g1 g2 N‬‬

‫‪3.2‬‬

‫חבורות מנה‬

‫הוכחה‪:‬‬

‫‪59‬‬

‫) ‪(g1 N ) · (g2 N ) = (N g1 ) · (g2 N‬‬ ‫‪= (N g1 g2 ) · N‬‬ ‫‪= (g1 g2 N ) · N‬‬ ‫‪= (g1 g2 ) N · N‬‬ ‫‪= g1 g2 N‬‬

‫את המחלקה ‪ gN‬נסמן לעתים ב‪) g-‬כאשר ברור מן ההקשר מהי ‪.(N‬‬

‫מסקנה ‪ 3.16‬אם נסמן ‪ ,g = gN‬אזי כפל המחלקות ניתן על‪-‬ידי‬ ‫‪.g1 · g2 = g1 g2‬‬ ‫בפרט‪ ,‬כאשר כופלים מחלקות מספיק בפועל לכפול נציגים‪ ,‬ומכפלת המחלקות היא המחלקה המיוצגת‬ ‫על‪-‬ידי מכפלת הנציגים‪ .‬יתר על כן‪ ,‬המכפלה אינה תלויה בבחירת הנציגים‪.‬‬ ‫טענה ‪ 3.17‬תהי ‪ N E G‬תת‪-‬חבורה נורמלית‪ .‬אוסף המחלקות של ‪ ,N‬שמסומן‪ ,‬כזכור‪ ,G/N ,‬מהווה‬ ‫חבורה עם פעולת הכפל של מחלקות‪.‬‬

‫הוכחה‪ :‬ראינו בלמה ‪ 3.15‬כי כפל מחלקות נותן מחלקה‪ ,‬והאסוציאטיביות נובעת מהאסוציאטיביות של‬ ‫כפל תת‪-‬קבוצות‪ .‬איבר היחידה הוא ‪ N‬שכן מתקיים לכל ‪ g ∈ G‬כי‬ ‫‪, (gN ) · N = N · (gN ) = gN‬‬ ‫וההפכי של המחלקה ‪ gN‬הוא המחלקה ‪ ,g −1 N‬שהרי‬ ‫‪. (gN ) · (g −1 N ) = gg −1 N = eN = N‬‬

‫הגדרה ‪ 3.18‬מבנה זה של חבורה על המחלקות ‪ G/N‬נקרא חבורת מנה )‪.(quotient group‬‬

‫הערה ‪3.19‬‬ ‫‪ .1‬חשוב לזכור כי ‪ G/N‬חבורה רק אם ‪ N‬נורמלית‪.‬‬ ‫‪ .2‬שימו לב שאם ‪ N‬אינה נורמלית ב‪ ,G-‬מסמנים ב‪ G/N -‬את קבוצת המחלקות השמאליות של ‪ N‬ב‪-‬‬ ‫‪) G‬וב‪ N \G-‬את קבוצת המחלקות הימניות(‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬כאשר ‪ N‬נורמלית ב‪ ,G-‬הסימון ‪G/N‬‬ ‫משמש הן לקבוצת המחלקות השמאליות והן לחבורת המנה שאיבריה הם המחלקות השמאליות‪,‬‬ ‫אך מוגדר עליהן גם כפל‪.‬‬ ‫‪ .3‬זכרו כי מספר המחלקות של ‪ N‬ב‪ G-‬שווה לאינדקס ] ‪ .[G : N‬בפרט‪ ,‬אם ∞ < ] ‪ ,[G : N‬חבורת‬ ‫המנה סופית‪.‬‬

‫חבורת מנה‬

‫‪3.2‬‬

‫‪60‬‬

‫חבורות מנה‬

‫תרגיל ‪ 3.20‬הוכיחו כי למה ‪ 3.15‬מספקת תנאי שקול להיותה של ‪ N‬נורמלית‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הראו כי אם ‪ N ≤ G‬היא תת‪-‬חבורה שאינה נורמלית‪ ,‬אז יש שתי מחלקות שמאליות ‪g1 N, g2 N‬‬ ‫כך ש‪.(g1 N ) · (g2 N ) ̸= g1 g2 N -‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ .1‬לכל ‪ n‬טבעי‪ .nZ E Z ,‬איבריה של חבורת המנה ‪ Z/nZ‬הם המחלקות‬ ‫}‪, {nZ, 1 + nZ, . . . , n − 1 + nZ‬‬ ‫וכמובן מתקיים‬ ‫‪. (m + nZ) + (q + nZ) = m + q + nZ‬‬ ‫חבורת מנה זו איזומורפית לחבורה ‪) Zn‬מדוע?(‪.‬‬ ‫‪ .2‬תת‪-‬חבורת הסיבובים של ‪ D3‬היא נורמלית‪ .N = {e, x, y} E D3 :‬חבורת המנה ‪ D3 /N‬היא‬ ‫בגודל ‪ ,2‬וזו טבלת הכפל שלה‪:‬‬ ‫‪N τN‬‬ ‫‪, N‬‬ ‫‪N τN‬‬ ‫‪τN τN N‬‬ ‫כאשר ‪ τ‬מסמן את אחד השיקופים ) ‪  ,‬או |(‪ .‬כמובן‪ ,‬היא איזומורפית ל‪.Z2 -‬‬ ‫‪ .3‬נתבונן ב‪ ,D4 -‬חבורת הסימטריות של הריבוע‪ .‬בסימוני תרגיל ‪ ,1.30‬וכפי שראינו בתרגיל ‪,2.29‬‬ ‫המרכז של ‪ D4‬הוא } ‪ .Z = Z (D4 ) = {e, σ 2‬מכיוון שהמרכז הוא לעולם תת‪-‬חבורה נורמלית‪,‬‬ ‫אנו מקבלים חבורת מנה ‪ ,D4 /Z‬וגודלה‬ ‫| ‪|D4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= =4‬‬ ‫|‪|Z‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ]‪. [D4 : Z‬‬

‫ארבעת האיברים של חבורת המנה הם המחלקות של ‪) Z, σZ, τ Z, τ σZ :Z‬ודאו שאמנם אלה‬ ‫המחלקות השונות(‪ .‬לוח הכפל של חבורת המנה נראה אפוא כך )מילאנו רק חלק מן התאים בלוח(‪:‬‬ ‫‪τ σZ‬‬

‫‪τZ‬‬ ‫‪τZ‬‬

‫‪σZ‬‬

‫‪σZ‬‬ ‫‪σZ‬‬ ‫‪Z‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪σZ‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪σZ‬‬ ‫‪τZ‬‬ ‫‪τ σZ‬‬

‫‪3.2‬‬

‫‪61‬‬

‫חבורות מנה‬ ‫למשל‪ ,(σZ) (σZ) = σ 2 Z = {e, σ 2 } = Z ,‬או‬ ‫‪(τ σZ) (τ Z) = (τ στ ) Z‬‬ ‫‪= τ (στ ) Z‬‬ ‫‪= τ (τ σ 3 ) Z‬‬ ‫‪= σ3Z‬‬ ‫}‪= {σ 3 , σ‬‬ ‫‪= σZ‬‬

‫)ראו גם תרגיל ‪.(1.30‬‬ ‫‪ .4‬כל מרחב וקטורי הוא‪ ,‬בפרט‪ ,‬חבורה )אבלית( שהפעולה בה היא חיבור וקטורים‪ .‬אם ‪ V‬מרחב‬ ‫וקטורי מעל שדה ‪ F‬ו‪ W ≤ V -‬תת‪-‬מרחב‪ ,‬אזי המנה ‪ V /W‬היא חבורה שגם היא מרחב‪-‬וקטורי‬ ‫מעל ‪ .F‬איברי החבורה ‪ V /W‬הם המחלקות של ‪ ,W‬שהן בדיוק היישריות )תת‪-‬המרחבים‬ ‫האפיניים( שהן הזזות של ‪ v + W :W‬בעבור ‪.v ∈ V‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪v+W‬‬ ‫‪v+u‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪v+u+W‬‬

‫‪u‬‬

‫‪u+W‬‬ ‫למשל‪ ,‬אם ‪ V = R2‬ו‪ W -‬הוא ישר‪ ,‬אזי האיברים של ‪ V /W‬הם הישרים המקבילים ל‪ .W -‬הסכום‬ ‫של היישריות )כלומר‪ ,‬המחלקות( ‪ v + W‬ו‪ v + W -‬הוא ‪.v + u + W‬‬

‫תרגיל ‪3.21‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי אמנם יש ל‪ V /W -‬מבנה של מרחב‪-‬וקטורי‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬עליכם להגדיר את פעולת חיבור הווקטורים ואת פעולת הכפל בסקלרים מהשדה‪ .‬אחת‬ ‫מהן היא בדיוק הפעולה שמוגדרת על חבורת המנה‪ .‬את השניה יש להגדיר ולוודא שהיא אמנם‬ ‫מקיימת את האקסיומות של מרחב‪-‬ווקטורי‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי ‪.dim V /W = dim V − dim W‬‬ ‫תרגיל ‪ 3.22‬השלימו את לוח הכפל דלעיל של חבורת המנה ) ‪.D4 /Z (D4‬‬ ‫לאיזו חבורה מוכרת איזומורפית חבורת מנה זו? הוכיחו את תשובתכם‪.‬‬

‫‪3.3‬‬

‫‪62‬‬

‫משפטי האיזומורפיזם‬

‫רשמו את שריג תת‪-‬החבורות המלא של חבורת מנה זו‪.‬‬

‫הומומורפיזם‬ ‫ההטלה‬

‫טענה ‪ 3.23‬תהי ‪ ,N E G‬ונגדיר ‪ π : G → G/N‬על‪-‬ידי ‪ .π (g) = g‬זהו אפימורפיזם )הומומורפיזם‬ ‫על(‪ ,‬וגרעינו הוא ‪.N‬‬ ‫הומומורפיזם זה נקרא הומומורפיזם ההטלה או ההומומורפיזם הקאנוני‪.‬‬

‫תרגיל ‪ 3.24‬הוכיחו את טענה ‪.3.23‬‬

‫מסקנה ‪ 3.25‬תהי ‪ N ≤ G‬תת‪-‬חבורה‪ .‬אזי ‪ N E G‬אם ורק אם ‪ N‬היא גרעין )של הומומורפיזם כלשהו(‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬את הכיוון האחד הוכחנו בטענה ‪ ;3.8‬את ההפוך בטענה ‪.3.23‬‬ ‫תרגיל ‪3.26‬‬ ‫‪ .1‬תהיינה ‪ H, K ≤ G‬תת‪-‬חבורות‪ .‬הוכיחו כי ‪ HK‬היא תת‪-‬חבורה אם ורק אם ‪.HK = KH‬‬ ‫‪ .2‬הראו כי אם ‪ H ≤ G‬ו‪ N E G-‬אזי ‪.HN ≤ G‬‬ ‫תרגיל ‪ 3.27‬הוכיחו כי אם ‪ N E G‬ו‪ S-‬קבוצת יוצרים של ‪ ,G‬אז‬ ‫}‪S = {g | g ∈ S‬‬ ‫קבוצת יוצרים של ‪.G/N‬‬ ‫תרגיל ‪ 3.28‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ ,‬ויהיו ‪ W, W ′‬תת‪-‬מרחבים וקטוריים של ‪ V‬כך ‪ 7‬ש‪.V = W ⊕ W ′ -‬‬ ‫∼‬ ‫הוכיחו כי הצמצום של הומומורפיזם ההטלה ‪ V → V /W‬ל‪ W ′ -‬נותן איזומורפיזם ‪.W ′ → V /W‬‬

‫‪3.3‬‬

‫משפטי האיזומורפיזם‬

‫שלושת משפטי האיזומורפיזם‪ ,‬ביחד עם משפט ההתאמה‪ ,‬הם משפטים קלאסיים ובעלי חשיבות‬ ‫מכרעת בתורת החבורות‪ .‬גרסאות של משפטים אלה תקפות גם בעבור מבנים אלגבריים מורכבים יותר‬ ‫כמו חוגים )סעיף ‪ 9.5‬להלן(‪.‬‬ ‫‪3.3.1‬‬

‫משפט האיזומורפיזם ה‪I-‬‬

‫בסעיף ‪ 3.2‬הגדרנו חבורת מנה של ‪ G‬באמצעות כפל קבוצתי של מחלקות‪ .‬קודם לכן‪ ,‬התייחסנו להגדרה‬ ‫המסתמכת על המבנה האלגברי של תמונת הומומורפיזם מ‪ .G-‬כאמור‪ ,‬משפט האיזומורפיזם הראשון‬ ‫מוכיח את השקילות בין שתי ההגדרות האלה‪.‬‬ ‫משפט ‪) 3.29‬משפט האיזומורפיזם ה‪ (I-‬יהי ‪ φ : G → H‬הומומורפיזם‪ .‬אזי‬ ‫∼ ‪.G/ ker φ‬‬ ‫‪= Imφ‬‬ ‫‪7‬נזכיר כי הסימון ‪ V = W ⊕ W ′‬פירושו ש‪ V -‬הוא סכום ישר של ‪ W‬ו‪ ,W ′ -‬כלומר שמתקיים ‪ V = W + W ′‬וכן‬ ‫} {‬ ‫‪.W ∩ W ′ = 0‬‬

‫‪3.3‬‬

‫‪63‬‬

‫משפטי האיזומורפיזם‬

‫יתר על כן‪ ,‬האיזומורפיזם נתון על‪-‬ידי ‪ φ : G/ ker φ → Imφ‬המוגדר על‪-‬ידי )‪ ,φ (g) = φ (g‬ומתקיים‬ ‫‪φ=φ◦π‬‬ ‫כאשר ‪ π‬הוא הומומורפיזם ההטלה ‪ .π : G → G/ ker φ‬בדיאגרמה‪:‬‬ ‫‪/H‬‬ ‫‪v:‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪φ vv‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪vv‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪φ‬‬

‫‪G HH‬‬

‫‪HH‬‬ ‫‪HHπ‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪H#‬‬

‫‪G/ ker φ‬‬

‫הוכחה‪ :‬ראינו כבר בלמת הגרעין )למה ‪ (3.13‬כי ‪ φ‬מוגדר היטב )כלומר‪ ,‬התמונה של המחלקה ‪ gN‬אינה‬ ‫תלויה בנציג ‪ ,(g‬וכי הוא חח"ע‪ .‬ברור גם כי הוא על ‪ .Imφ‬לבסוף‪ ,‬זהו הומומורפיזם כי‬ ‫) ‪.φ (g1 ) φ (g2 ) = φ (g1 ) φ (g2 ) = φ (g1 g2 ) = φ (g1 g2 ) = φ (g1 · g2‬‬ ‫קל לראות כי אכן ‪.φ = φ ◦ π‬‬

‫דוגמאות‬ ‫‪ .1‬ההומומורפיזם ‪ φ : Z → Zn‬המוגדר על‪-‬ידי )‪ φ (x) = (x mod n‬הוא על וגרעינו הוא ‪.nZ‬‬ ‫לפיכך‪,‬‬ ‫∼ ‪, Z/nZ‬‬ ‫‪= Zn‬‬ ‫כפי שכבר הבחנו בדוגמה ‪ 1‬בעמוד ‪.60‬‬ ‫‪ .2‬נתבונן בהעתקה‬ ‫}‪f : R → S 1 = {z ∈ C | |z| = 1‬‬ ‫המוגדרת ‪ 8‬על‪-‬ידי ‪ .f (x) = e2πix‬זהו הומומורפיזם שכן )‪ ,e2πix · e2πiy = e2πi(x+y‬והוא אף על‪.‬‬ ‫גרעינו הוא ‪ ,Z‬ולפיכך‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∼ ‪.R/Z‬‬ ‫‪=S‬‬ ‫‪ .3‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬כבר ציינו כי הומומורפיזם הדטרמיננטה ∗ ‪ det : GLn (F ) → F‬הוא על‪ .‬גרעינו‪,‬‬ ‫תת‪-‬החבורה של המטריצות עם דטרמיננטה ‪ ,1‬מסומן כזכור ) ‪ .SLn (F‬לכן‪:‬‬ ‫∼ ) ‪.GLn (F ) /SLn (F‬‬ ‫∗‪= F‬‬ ‫∼ ‪ .Inn G‬דהיינו‪ ,‬הראו כי חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של ‪G‬‬ ‫תרגיל ‪ 3.30‬הוכיחו כי )‪= G/Z (G‬‬ ‫איזומורפית למנה של ‪ G‬במרכז שלה‪.‬‬ ‫‪8‬אם טרם נתקלתם בחזקות עם מעריך מרוכב‪ ,‬ניתן לחשוב על ‪ eix‬כמוגדר כך‪.eix = cos x + i sin x :‬‬

‫‪3.3‬‬

‫‪64‬‬ ‫‪3.3.2‬‬

‫משפטי האיזומורפיזם‬

‫משפט ההתאמה‬

‫ראינו כי אם ‪ ,N E G‬אזי ניתן לקבל חבורה חדשה‪ :‬חבורת המנה ‪ .G/N‬אך מהן כל תת‪-‬החבורות‬ ‫של ‪ ?G/N‬ומי מבינן נורמליות? המשפט הבא מראה שאם אנחנו מכירים היטב את תת‪-‬החבורות של ‪G‬‬ ‫עצמה‪ ,‬נוכל ללמוד מכך על כלל תת‪-‬החבורות של חבורת המנה‪.‬‬ ‫משפט ההתאמה משפט ‪) 3.31‬משפט ההתאמה( תהי ‪ G‬חבורה ו‪ N E G-‬תת‪-‬חבורה נורמלית‪ .‬אז יש התאמה חח"ע בין‬ ‫תת‪-‬החבורות של ‪ G/N‬לבין תת‪-‬החבורות של ‪ G‬שמכילות את ‪:N‬‬ ‫} ‪{K | K ≤ G/N‬‬

‫}‪{H | N ≤ H ≤ G‬‬

‫→←‬

‫ההתאמה נתונה על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫‪H = π(H) = H/N‬‬

‫→‪7−‬‬

‫‪H‬‬

‫‪K‬‬

‫[‪←−‬‬

‫)‪π −1 (K‬‬

‫כאשר ‪ π : G → G/N‬הוא הומומורפיזם ההטלה הקאנוני‪.‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬התאמה זו שומרת על יחסי הכלה‪ ,‬נורמליות ואינדקסים‪ .‬כלומר‪ :‬בעבור תת‪-‬חבורות‬ ‫‪ H1 , H2 ≤ G‬המכילות את ‪ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫• ‪ H1 ≤ H2‬אם ורק אם ‪) H1 ≤ H2‬שמירת יחסי הכלה(‪ ,‬ובמקרה זה‪ ,‬יתר על כן‪,‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪[H2 : H1 ] = H2 : H1‬‬ ‫)שמירת אינדקסים(‪.‬‬ ‫• ‪ H1 E H2‬אם ורק אם ‪) H1 E H2‬שמירת יחסי נורמליות(‪.‬‬ ‫כדי להבין את משפט ההתאמה‪ ,‬כדאי לחשוב עליו "בצורה גרפית"‪ ,‬דרך השריגים של תת‪-‬החבורות‪ .‬מצד‬ ‫אחד‪ ,‬ישנו השריג המלא של חבורת המנה ‪ .G/N‬מצד שני‪ ,‬בתוך השריג של ‪ ,G‬אנחנו מתבוננים רק בתת‪-‬‬ ‫השריג שנמצא "מעל ‪:"N‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪HH‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪ww‬‬ ‫‪ww‬‬ ‫‪ww‬‬

‫}‬

‫‪G/N‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪vv‬‬ ‫‪vv‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪vGv‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪GG‬‬

‫‪eG/N‬‬

‫{‬

‫‪G AN‬‬ ‫‪p}}p} AAAN N‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪AA N N‬‬ ‫}‬ ‫‪AA‬‬ ‫}}} ‪p p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪A N N‬‬ ‫}@}‬ ‫‪p:‬‬ ‫@@‬ ‫~‬ ‫‬ ‫‪:‬‬ ‫@@‬ ‫~~‬ ‫‬ ‫@@‬ ‫~~‬ ‫‪:‬‬ ‫~‬ ‫‬ ‫@‬ ‫‪:‬‬ ‫~~‬ ‫‬ ‫‪:‬‬ ‫‬ ‫‪N‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‬ ‫‪:‬‬ ‫‬ ‫‪:‬‬ ‫ ‪:‬‬ ‫}‪{e‬‬

‫כמובן‪ ,‬הגדלים של החבורות המקוריות ב‪ G-‬שונים מאלו של החבורות המתאימות במנה ‪ .G/N‬אבל‬ ‫המשפט אומר שבכל מה שקשור ליחסים בין תת‪-‬החבורות‪ ,‬הכל זהה‪ .‬בפרט‪ ,‬השריג הימני ייראה זהה‬ ‫לחלק העליון‪ ,‬הלא‪-‬מקווקו‪ ,‬של השריג השמאלי‪.‬‬

‫‪3.3‬‬

‫‪65‬‬

‫משפטי האיזומורפיזם‬

‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ H ≤ G‬תת‪-‬חבורה כך ש‪ .N ≤ H ≤ G-‬ברור )ראו טענה ‪ (3.10‬כי )‪ π (H‬תת‪-‬חבורה של‬ ‫‪ .G/N‬לפי אותה טענה נובע גם כי לכל ‪ π −1 (K) ,K ≤ G/N‬היא תת‪-‬חבורה של ‪ ,G‬וברור כי היא מכילה‬ ‫את ‪ .N = ker π‬עדיין צריך להראות כי זו התאמה חח"ע‪ ,‬ולשם כך די להראות ש‪π −1 (π (H)) = H-‬‬ ‫ו‪.π (π −1 (K)) = K-‬‬ ‫השוויון הראשון נובע מלמת הגרעין )למה ‪ :(3.13‬מכיוון ש‪ H-‬תת‪-‬חבורה המכילה את ‪ ,N‬היא איחוד‬ ‫זר של מחלקות של ‪) N‬כלומר‪ ,‬אינה מכילה חלקי מחלקות(‪ .‬נסמן‬ ‫⨿‬ ‫= ‪,H‬‬ ‫‪hi N‬‬ ‫‪i∈I‬‬

‫ואז לפי למת הגרעין‪,‬‬ ‫ ‬ ‫⨿ )}‬ ‫= ‪hi i ∈ I‬‬ ‫‪hi N = H‬‬

‫{(‬

‫))‬ ‫‪= π −1‬‬

‫‪hi N‬‬

‫‪i∈I‬‬

‫⨿‬

‫( (‬ ‫‪π‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪(π (H)) = π‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪.π‬‬

‫‪i∈I‬‬

‫השוויון השני‪ ,π (π −1 (K)) = K ,‬נובע פשוט מכך ש‪ π-‬היא על‪ ,‬ואינו קשור לעובדה שמדובר‬ ‫בחבורות‪ :‬לכל פונקציה ‪ f : A  B‬מ‪ A-‬על ‪ ,B‬ולכל ‪ C ⊆ B‬מתקיים ‪.f (f −1 (C)) = C‬‬ ‫כעת נוכיח שהתאמה זו אמנם שומרת את התכונות המצוינות‪ .‬ראשית‪ ,‬ברור כי היא שומרת על יחסי‬ ‫הכלה בין תת‪-‬חבורות‪ :‬שהרי אם ‪ H1 ≤ H2‬אז כמו כל העתקה‪ ,‬גם ‪ π‬מקיים ש‪-‬‬ ‫‪,H1 = π (H1 ) ⊆ π (H2 ) = H2‬‬ ‫וכך גם להפך‪.‬‬ ‫שנית‪ ,‬במצב זה‪ ,‬יהיו ‪ {gi }i∈I‬נציגים למחלקות השמאליות של ‪ H1‬ב‪ ,H2 -‬כלומר |‪.[H2 : H1 ] = |I‬‬ ‫נטען כי }‪ {gi | i ∈ I‬נציגים למחלקות השמאליות של ‪ H1‬ב‪ H2 -‬ומכאן נסיק כי‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫] ‪. H2 : H1 = |I| = [H2 : H1‬‬ ‫אכן‪ ,‬אם ‪ xH1‬מחלקה של ‪ H1‬בתוך ‪ ,H2‬ונניח כי ‪ gi‬הנציג של המחלקה ‪ ,xH1‬אז ‪ ,gi−1 x ∈ H1‬ולכן‬ ‫‪ ,gi −1 x ∈ H1‬כלומר ‪ .gi H1 = xH1‬באופן דומה מראים כי ה‪-gi -‬ים הם נציגים של מחלקות שונות‪ :‬אם‬ ‫‪ ,(i, j ∈ I) gi H1 = gj H1‬אזי ‪ ,gi −1 gj ∈ H1‬ולכן ‪ gi−1 gj ∈ H1‬או ‪ ,gi H1 = gj H1‬כלומר ‪.gi = gj‬‬ ‫באשר לשמירה על יחסי הנורמליות‪ :‬נניח כי ‪ H1 ≤ H2 ≤ G‬ותהיינה ‪ .h ∈ H1 ,g ∈ H2‬אזי‬ ‫‪ghg −1 = ghg −1‬‬ ‫) (‬ ‫ולכן אם ‪ ,H1 E H2‬בוודאי ‪ ,H1 E H2‬ואם ‪ H1 E H2‬אזי ‪ ghg −1 ∈ H1‬ומכיוון ש‪π −1 H1 = H1 -‬‬ ‫נקבל ש‪ ,ghg −1 ∈ H1 -‬כלומר ‪.H1 E H2‬‬ ‫כדי להבהיר את העניין‪ ,‬הבה נסתכל בדוגמה קונקרטית‪ .‬החבורה שלנו תהיה ‪ ,G = D4‬החבורה‬ ‫הדיהדרלית מסדר ‪ ,8‬ובתוכה ניקח את המרכז שלה‪ ,‬שהוא כמובן תת‪-‬חבורה נורמלית‬ ‫⟩ ‪Z = Z (D4 ) = ⟨σ 2‬‬ ‫)אנו משתמשים בסימונים שטבענו בתרגיל ‪ σ :1.30‬הוא סיבוב ב‪ 90◦ -‬מעלות ו‪ τ -‬הוא אחד השיקופים‪.‬‬

‫‪3.3‬‬

‫‪66‬‬

‫משפטי האיזומורפיזם‬

‫בפרט‪ σ 2 ,‬הוא סיבוב ב‪ .180◦ -‬ראו גם תרגיל ‪ .(2.29‬ראשית נשרטט את שריג תת‪-‬החבורות של ‪:D4‬‬ ‫‪n D4 QQQQ‬‬ ‫‪QQQ‬‬ ‫‪nnn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪QQQ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪QQQ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪nnn‬‬

‫} ‪{e, τ σ, σ 2 , τ σ 3‬‬

‫⟩‬

‫‪NNN‬‬ ‫‪NNN‬‬ ‫‪NNN‬‬ ‫‪NN‬‬

‫‪3‬‬

‫‪nn‬‬ ‫‪nnn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪nnn‬‬

‫} ‪{e, τ, σ 2 , τ σO2‬‬

‫⟩‪⟨σ‬‬

‫⟩ ‪⟨σ 2‬‬

‫⟩‪⟨τ σ‬‬ ‫‪gg ⟨τ σ‬‬ ‫‪ggggg‬‬ ‫‪nnn‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪nnn‬‬ ‫‪ggggg‬‬ ‫‪nngngggggggg‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ngngggg‬‬

‫‪OOO‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪OOO‬‬ ‫‪rrr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪OOO‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪OO‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪rr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫‪⟨τ ⟩ WWWWW‬‬ ‫‪⟨τ σ ⟩ P‬‬ ‫‪WWWW‬‬ ‫‪PPP‬‬ ‫‪WWWW‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪WWWW‬‬ ‫‪WWWW PPPPP‬‬ ‫‪WWWW PP‬‬ ‫‪WWWWP‬‬

‫}‪{e‬‬

‫אם נתמקד רק בתת‪-‬החבורות שמכילות את ‪ ,Z‬נקבל את תת‪-‬השריג הבא‪:‬‬ ‫‪n D4 QQQQ‬‬ ‫‪QQQ‬‬ ‫‪nnn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪QQQ‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪QQQ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪n‬‬

‫} ‪{e, τ σ, σ 2 , τ σ 3‬‬

‫‪nnn‬‬ ‫‪nnn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nnn‬‬

‫⟩‪⟨σ‬‬

‫} ‪{e, τ, σ 2 , τ σO2‬‬

‫‪OOO‬‬ ‫‪OOO‬‬ ‫‪OOO‬‬ ‫‪OO‬‬

‫⟩ ‪Z = ⟨σ 2‬‬

‫והוא אכן נראה בדיוק כמו שריג תת‪-‬החבורות של חבורת המנה‪ ,‬שמצאתם בתרגיל ‪.3.22‬‬ ‫}‪D4 /Z = {Z, τ Z, σZ, τ σZ‬‬

‫⟩‪⟨τ σZ‬‬

‫‪SSS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪kkk‬‬ ‫‪kkk‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪kkk‬‬ ‫‪kkk‬‬

‫⟩‪⟨σZ‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪kkk‬‬ ‫‪kkk‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪kkk‬‬ ‫‪kkk‬‬ ‫‪⟨τ Z⟩ SS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪SSS‬‬ ‫‪SS‬‬

‫}‪{e} = {Z‬‬

‫תרגיל ‪ 3.32‬הראו שאמנם ההתאמה שנותן משפט ההתאמה אכן שולחת את כל אחת מתת‪-‬החבורות בתת‪-‬‬ ‫השריג של ‪ D4‬לתת‪-‬חבורה שנמצאת במיקום המתאים בשרטוט בשריג של המנה ‪.D4 /Z‬‬ ‫משפט ההתאמה מבטיח ששני השריגים ייראו אותו דבר — זה גלום בהתאמה עצמה בין קבוצות תת‪-‬‬ ‫החבורות וכן בשמירה על יחסי ההכלה‪ .‬אך‪ ,‬יתר על כן‪ ,‬המשפט מבטיח שכל האינדקסים ויחסי הנורמליות‬ ‫בין זוגות מתאימים של חבורות יהיו זהים‪ .‬למשל‪ ,‬בדוגמה שלנו החבורה ‪ G/Z‬היא אבלית‪ ,‬ועל כן כל תת‪-‬‬ ‫החבורות נורמליות בחבורה הגדולה וכן בכל תת‪-‬חבורה שמכילה אותן‪ .‬זה אומר שתיאור זה נכון גם‬ ‫לתת‪-‬השריג של החבורה הגדולה ‪ ,D4‬ולמשל ‪ .⟨σ⟩ E D4‬לגבי האינדקסים‪ ,‬מתקיים‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬ ‫]}‬ ‫[‬ ‫{‬ ‫‪. [D4 /Z : ⟨τ Z⟩] = D4 : e, τ, σ 2 , τ σ 2 = 2‬‬

‫‪3.3‬‬ ‫‪3.3.3‬‬

‫‪67‬‬

‫משפטי האיזומורפיזם‬ ‫משפט האיזומורפיזם ה‪III-‬‬

‫בהינתן חבורה ‪ G‬ניתן לקבל חבורות חדשות‪ ,‬חבורות מנה‪ ,‬על‪-‬ידי חלוקה בתת‪-‬חבורות נורמליות של ‪.G‬‬ ‫האם ניתן לקבל חבורות חדשות על‪-‬ידי כך שנחזור על תהליך זה פעמיים‪ ,‬כלומר באמצעות לקיחת "חבורת‬ ‫מנה של חבורת מנה"? נסתכל ב‪ .G/N -‬לפי משפט ההתאמה‪ ,‬תת‪-‬חבורה נורמלית בה היא מהצורה ‪K/N‬‬ ‫בעבור ‪ ,N ≤ K E G‬ולכן השאלה היא אם ) ‪ (G/N ) / (K/N‬היא חבורה "חדשה"‪ .‬המשפט הבא טוען‬ ‫שלא — זו למעשה החבורה ‪:G/K‬‬ ‫משפט ‪) 3.33‬משפט האיזומורפיזם ה‪ (III-‬תהי ‪ G‬חבורה‪ N, K E G ,‬תת‪-‬חבורות נורמליות כך ש‪-‬‬ ‫‪ .N ≤ K‬אזי ‪ K/N E G/N‬ומתקיים‬ ‫∼ ) ‪(G/N ) / (K/N‬‬ ‫‪= G/K‬‬

‫הוכחה‪ :‬נגדיר הומומורפיזם ‪ φ : G/N → G/K‬על‪-‬ידי ‪ .φ (gN ) = gK‬נשים לב ש‪ φ-‬מוגדר היטב‬ ‫משום ש‪-‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪.g1 K = g2 K ⇐ g1 g2 ∈ K ⇐ g1 g2 ∈ N ⇐ g1 N = g2 N‬‬ ‫קל לראות ש‪ φ-‬אכן הומומורפיזם‪ ,‬וברור כי הוא על‪ .‬הגרעין שלו הוא בדיוק כל המחלקות ‪ gN‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ ,g ∈ K‬כלומר המחלקות שמוכלות ב‪ ,K-‬כלומר ‪) K/N‬ולכן ‪ ,K/N E G/N‬אם כי הנורמליות נובעת‬ ‫גם ממשפט ההתאמה(‪ .‬משפט האיזומורפיזם הראשון נותן כעת את התוצאה הדרושה‪.‬‬ ‫משפט האיזומורפיזם השלישי מתייחס רק למקרה פרטי מסוים של משפט ההתאמה‪ :‬אם ‪ H‬היא תת‪-‬‬ ‫חבורה נורמלית של ‪ G‬שמכילה את ‪ ,N ≤ H E G :N‬אזי היא מתאימה לתת‪-‬החבורה ‪ H = H/N‬של‬ ‫חבורה המנה ‪ .G/N‬משפט האיזומורפיזם השלישי קובע שבמקרה זה‪ ,‬המנה ‪ G/H‬איזומורפית למנה‬ ‫של תת‪-‬החבורות המתאימות בחבורת המנה‪ ,‬כלומר למנה ‪.G/H = G/N / H/N‬‬ ‫‪G/N‬‬

‫‪DD‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪DD‬‬ ‫‪zz‬‬ ‫‪DD‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪DD‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪DD‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪zCz‬‬ ‫‪H/N‬‬ ‫‪CC‬‬ ‫{{‬ ‫‪CC‬‬ ‫{{‬ ‫‪CC‬‬ ‫{‬ ‫‪CC‬‬ ‫{{‬ ‫‪C‬‬ ‫{{‬ ‫{‬ ‫{‬ ‫}‬

‫‪eG/N‬‬

‫‪s G =L‬‬ ‫‪s  ===L L‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪E === L L‬‬ ‫ ‪s‬‬ ‫ ‪s‬‬ ‫==‬ ‫‪L‬‬ ‫‪s‬‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫{‬ ‫= )‪µ (d‬‬

‫∑‬

‫‪.‬‬

‫‪d|n‬‬

‫‪ .2‬תהי )‪ (A, +‬חבורה אבלית ו‪ g : N → A-‬פונקציה כלשהי‪ .‬נגדיר פונקציה חדשה ‪f : N → A‬‬ ‫על‪-‬ידי‬ ‫∑‬ ‫= )‪.f (n‬‬ ‫)‪g (d‬‬ ‫‪d|n‬‬

‫)‪∑ (n‬‬ ‫= )‪ g (n‬לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫הוכיחו את נוסחת ההיפוך של מביוס‪f (d) :‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d|n‬‬ ‫∑‬ ‫‪ .3‬בתרגיל ‪ 1.54‬ראינו כי )‪ n = d|n φ (d‬כאשר ‪ φ‬היא פונקצית אוילר‪ .‬מצאו ביטוי מפורש ל‪φ (n)-‬‬ ‫באמצעות נוסחת ההיפוך של מביוס‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 17.14‬ספירת הפולינומים המתוקנים האי‪-‬פריקים ממעלה ‪ n‬ב‪:Fq [x]-‬‬ ‫‪ .1‬יהי ‪ Fq‬השדה הסופי מגודל ‪ q‬ויהי ]‪ f ∈ Fq [x‬אי‪-‬פריק‪ .‬הוכיחו כי ‪ f‬מחלק את ‪− x‬‬ ‫אם מעלת ‪ f‬מחלקת את ‪.n‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי‬ ‫∏∏‬ ‫‪qn‬‬ ‫)‪fd (x‬‬ ‫=‪x −x‬‬

‫‪qn‬‬

‫‪ x‬אם ורק‬

‫‪d|n fd‬‬

‫כאשר המכפלה נלקחת על כל הפולינומים ‪ fd‬המתוקנים האי‪-‬פריקים ממעלה ‪ d‬המחלקת את ‪.n‬‬ ‫∑‬ ‫‪ .3‬יהי ‪ Nd‬מספר הפולינומים המתוקנים האי‪-‬פריקים ממעלה ‪ d‬מעל ‪ .Fq‬הראו כי ‪.q n = d|n dNd‬‬ ‫הקודם‪(.‬‬ ‫בסעיף‬ ‫)רמז‪:‬‬ ‫)‬ ‫השתמשו‪( n‬‬ ‫∑‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .4‬הסיקו כי ‪q‬‬ ‫‪.Nn = n‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d|n‬‬

‫‪ .5‬חשבו את ‪ Nd‬בעבור ‪.d = 1, . . . , 6‬‬ ‫‪ .6‬הסיקו מסעיף ‪ 4‬כי ‪ Nn > 0‬לכל ‪) n‬כלומר‪ ,‬כפי שהוכחנו באופן אחר במסקנה ‪ 17.10‬ובתרגיל ‪17.12‬‬ ‫לעיל‪ ,‬לכל ‪ n‬יש פולינום אי‪-‬פריק ממעלה ‪ n‬מעל ‪(.Fq‬‬

‫‪17.2‬‬

‫פולינומים צקלוטומיים ומצולעים משוכללים‬

‫אחת הבעיות הגיאומטריות שהטרידו את היוונים הקדמונים‪ ,‬לצד חלוקת זווית לשלוש זוויות שוות‪ ,‬ריבוע‬ ‫המעגל או הכפלת הקוביה‪ ,‬הייתה שאלת המצולעים המשוכללים‪ :‬בהינתן מספר טבעי ‪ ,n‬האם ניתן לבנות‬ ‫באמצעות סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן ‪ n‬צלעות )להלן‪-n ,‬מצולע משוכלל(? בתרגיל ‪ 12.24‬התבקשתם‬ ‫להוכיח שניתן לבנות מצולעים משוכללים בני ‪ 8 ,6 ,5 ,4 ,3‬ו‪ 10-‬צלעות‪ ,‬וכי לא ניתן לבנות מצולעים‬ ‫משוכללים בני ‪ 7‬או ‪ 9‬צלעות‪ .‬בתרגיל ‪ 16.14‬הראתם כי כאשר ‪ n = p‬הוא ראשוני‪ ,‬ניתן לבנות ‪-p‬מצולע‬ ‫משוכלל אם ורק אם ‪ p‬הוא ראשוני פרמה‪ ,‬כלומר מהצורה ‪ .2m + 1‬בסעיף זה ניתן פתרון מלא לבעיה‪,‬‬ ‫ונחקור אגב כך משפחה חשובה של פולינומים ב‪ ,Q [x]-‬הפולינומים הצקלוטומיים‪.‬‬

‫)‪µ (n‬‬

‫‪ 17.2‬פולינומים צקלוטומיים ומצולעים משוכללים‬

‫‪258‬‬

‫ראשית‪ ,‬נשים לב כי היכולת לבנות בסרגל ובמחוגה ‪-n‬מצולע משוכלל שקולה ליכולת לבנות את‬ ‫) (‬ ‫‪) cos 2π‬ראו הגדרה ‪ .(12.10‬הרי אם ניתן לבנות ‪-n‬מצולע משוכלל‪ ,‬ניתן גם למצוא )לבנות(‬ ‫המספר‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪( 2π‬‬ ‫) ‪( 2π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫את מרכזו‪ ,‬ולכן גם זווית של ‪ n‬ואת המספר ‪ .cos n‬מצד שני‪ ,‬אם ניתן לבנות את ‪ ,cos n‬ניתן‬ ‫‪ 2π‬ולכן גם ‪-n‬מצולע משוכלל‪) .‬ודאו שאתם מסוגלים להשלים את פרטי הטיעון הזה‪(.‬‬ ‫לבנות את הזווית‬ ‫‪n‬‬ ‫המשפט המרכזי שלמדנו כאשר עסקנו לראשונה בבניות בסרגל ובמחוגה הוא זה‪ :‬מספר ‪ α ∈ R‬ניתן‬ ‫לבנייה )משתי נקודות במרחק ‪ 1‬זו מזו(‪ ,‬אם ורק אם הוא שייך לשדה הרחבה ‪ K‬של ‪ ,Q‬שמתקבל מ‪Q-‬‬ ‫על‪-‬ידי סדרת הרחבות ריבועיות )משפט ‪) .(12.16‬בתרגיל ‪ 17.35‬להלן‪ ,‬ניתן חיזוק קל למשפט זה‪ (.‬עלינו‬ ‫) (‬ ‫‪.cos 2π‬‬ ‫לבדוק אפוא מתי תנאי זה מתקיים במקרה של‬ ‫‪n‬‬ ‫) (‬ ‫‪ cos 2π‬שייך לשדה הרחבה של ‪ Q‬שמתקבל מ‪ Q-‬על‪-‬ידי סדרת הרחבות ריבועיות‪,‬‬ ‫טענה ‪ 17.15‬המספר‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2πi‬‬ ‫אם ורק אם הדבר נכון בעבור המספר המרוכב ‪ ,ζn = e n‬שורש היחידה ה‪-n-‬י‪.‬‬ ‫) (‬ ‫הוכחה‪ :‬מספיק להוכיח כי אם ‪ K‬שדה הרחבה של ‪ Q‬שמכיל את אחד מבין‬ ‫‪ cos 2π‬או ‪ ,ζn‬אזי ‪ K‬עצמו‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪( 2π‬‬ ‫או הרחבה ריבועית שלו‪ ,‬מכילים את המספר האחר‪ .‬ואמנם‪ ,‬אם ‪ ζn ∈ K‬אז גם ‪ ,cos n ∈ K‬שכן‬ ‫)‬

‫(‬

‫‪ζn + ζn‬‬ ‫‪ζn + ζn−1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪( 2π‬‬ ‫) ‪( 2π‬‬ ‫) (‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫אזי‬ ‫‪,cos‬‬ ‫מאידך‪ ,‬אם ‪∈ K‬‬ ‫‪ ζn = cos 2π‬הוא שורש של הפולינום הריבועי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬

‫)‬ ‫]‪x + 1 ∈ K [x‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪. cos‬‬

‫(‬ ‫‪, x − 2 cos‬‬ ‫‪2‬‬

‫ולכן שייך ל‪ K-‬או להרחבה ריבועית שלו‪.‬‬ ‫בפרט‪ ,‬מעניין להבין מה דרגת ההרחבה ]‪ .[Q (ζn ) : Q‬לשם כך‪ ,‬עלינו להבין מהו הפולינום המינימלי של‬ ‫‪ .ζn‬כמובן‪ ζn ,‬הוא שורש של הפולינום ‪ ,xn − 1‬שיתר שורשיו הם ‪ ,0 ≤ i ≤ n − 1 ,ζni‬כלומר‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪x − ζni‬‬

‫‪n−1‬‬ ‫∏‬

‫= ‪,x − 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i=0‬‬

‫ולכן הפולינום המינימלי של ‪ ζn‬מחלק את ‪ .xn − 1‬כאשר ‪ n‬ראשוני‪ ,‬ראינו )דוגמה ‪ (10.103‬כי פולינום זה‬ ‫מתפרק לשני גורמים אי‪-‬פריקים‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪.xp − 1 = (x − 1) xp−1 + xp−2 + . . . + 1‬‬ ‫אם ‪ n‬פריק‪ ,‬המצב מורכב יותר‪ .‬ראשית‪ ,‬בין השורשים ‪ ζni‬מצויים גם כל שורשי הפולינומים ‪ xd − 1‬לכל‬ ‫‪ ,d | n‬ולפיכך‬ ‫‪d‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.x − 1 | x − 1‬‬ ‫למשל‪ ,‬השורשים של ‪ x6 − 1‬כוללים גם את שורשי היחידה השלישיים‪ ,‬ומתקיים ‪ .x3 − 1 | x6 − 1‬יתר על‬ ‫כן‪ ,‬בפירוק של ‪ x6 − 1‬לגורמים אי‪-‬פריקים נמצא בהכרח את הפולינום המינימלי של כל אחד משורשיו‪.‬‬ ‫אנחנו כבר יודעים כי הפולינום המינימלי של ‪ ζ60 = 1‬הוא ‪ ,x − 1‬של ‪ ζ63 = −1‬הוא ‪ x + 1‬ושל ‪ζ62 = ζ3‬‬ ‫ו‪ ζ64 = ζ32 -‬הוא ‪ .x2 + x + 1‬השורשים הנותרים‪ ,‬במקרה דנן ‪ ζ6‬ו‪ ,ζ65 -‬הם אלו שמתאימים לחזקה ‪i‬‬ ‫הזרה ל‪.6-‬‬ ‫‪i‬‬ ‫השורשים ‪ ζn‬עם ‪ (i, n) = 1‬הם בדיוק שורשי היחידה הפרימיטיביים מסדר ‪) n‬ראו הגדרה ‪,(13.22‬‬

‫‪17.2‬‬

‫פולינומים צקלוטומיים ומצולעים משוכללים‬ ‫‪n‬‬

‫‪259‬‬

‫‪m‬‬

‫כלומר‪ ,‬הם מקיימים ‪ (ζni ) = 1‬אבל ‪ (ζni ) ̸= 1‬לכל ‪ .1 ≤ m ≤ n − 1‬במלים אחרות‪ ,‬שורש‬ ‫יחידה פרימיטיבי מסדר ‪ n‬הוא מספר שהסדר שלו בחבורה הכפלית ∗‪ C‬הוא ‪ .n‬לאחר שנחלק את ‪xn − 1‬‬ ‫בפולינומים המינימליים שמתאימים לשורשי יחידה מסדר קטן מ‪ ,n-‬ניוותר עם פולינום ששורשיו הם‬ ‫בדיוק השורשים הפרימיטיביים‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 17.16‬הפולינום הצקלוטומי ה‪-n-‬י הוא‬

‫‪Φn‬‬

‫שימו לב שמעלת ‪ Φn‬היא )‪ . φ (n‬למשל‪ ,‬בעבור ‪ n‬ראשוני‬ ‫‪xp − 1‬‬ ‫‪= xp−1 + xp−2 + . . . + 1‬‬ ‫‪x−1‬‬

‫= ‪, Φp‬‬

‫ובעבור ‪ n = 6‬נקבל‬ ‫‪x6 − 1‬‬ ‫‪= x2 − x + 1‬‬ ‫)‪(x − 1) (x + 1) (x2 + x + 1‬‬

‫(‬ ‫)‬ ‫= ‪.Φ6 = (x − ζ6 ) x − ζ65‬‬

‫תרגיל ‪ 17.17‬חשבו את ‪ Φn‬בעבור ‪.1 ≤ n ≤ 10‬‬ ‫מיד נראה כי הפולינום הצקלוטומי הוא הפולינום המינימלי של ‪ ζn‬מעל ‪ Q‬ולפיכך )‪.[Q (ζn ) : Q] = φ (n‬‬ ‫תחילה‪ ,‬נרצה להראות שהוא בכלל פולינום ב‪ ,Q [x]-‬כלומר שמקדמיו רציונליים‪ .‬שימו לב שההרחבה‬ ‫‪ Q(ζn )/Q‬היא הרחבה צקלוטומית מעל ‪ ,Q‬מקרה פרטי של סוג ההרחבות שפגשנו בסעיף ‪ .13.2.2‬בפרט‪,‬‬ ‫כל שורשי הפולינום המינימלי של ‪ ζn‬הם חזקות של ‪ ,ζn‬ולפיכך מוכלים ב‪ .Q (ζn )-‬לכן ) ‪ Q (ζn‬הוא שדה‬ ‫הפיצול של הפולינום המינימלי של ‪ ,ζn‬ו‪ Q(ζn )/Q-‬הרחבה נורמלית‪ .‬כהרחבה אלגברית של שדות ממציין ‪0‬‬ ‫היא גם ספרבילית ולכן גלואה‪.‬‬ ‫∗‬ ‫‪Q(ζ‬‬ ‫ראינו )משפטון ‪ (13.24‬כי )‪ G = Gal ( n )/Q‬איזומורפית לתת‪-‬חבורה של )‪ ,(Z/nZ‬וכי כל אוטומורפיזם‬ ‫ב‪ G-‬מפעיל תמורה על שורשי היחידה הפרימיטיביים מסדר ‪ ,n‬תמורה הנתונה על‪-‬ידי ‪ ζni 7→ ζnia‬עם‬ ‫∗)‪) a ∈ (Z/nZ‬מדוע זו תמורה?(‪ .‬בפרט‪ ,‬כל אוטומורפיזם ב‪ G-‬שומר על הפולינום הצקלוטומי ‪,Φn‬‬ ‫כלומר‪ ,‬מקבע את מקדמיו‪ .‬מכך ש‪ Q(ζn )/Q-‬הרחבת גלואה‪ ,‬שדה השבת שלה הוא שדה הבסיס של ההרחבה‪,‬‬ ‫הלוא הוא ‪ .Q‬ולכן‪,‬‬ ‫מסקנה ‪.Φn ∈ Q [x] 17.18‬‬ ‫את המסקנה האחרונה ניתן להוכיח גם ללא שימוש בתורת גלואה‪ ,‬כפי שמתואר בתרגיל הבא‪:‬‬ ‫תרגיל ‪17.19‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי ‪.x − 1 = d|n Φd‬‬ ‫‪ .2‬הסיקו‪ ,‬תוך שימוש באינדוקציה‪ ,‬כי ]‪.Φn ∈ Q [x‬‬ ‫∏‬

‫‪n‬‬

‫אם כן‪ ζn ,‬הוא שורש של הפולינום הצקלוטומי ‪ Φn‬שמקדמיו רציונליים‪ .‬אך האם ‪ Φn‬הוא‪-‬הוא הפולינום‬ ‫המינימלי של ‪ ,ζn‬כלומר האם הוא אי‪-‬פריק? להלן נוכיח כי התשובה חיובית‪ Φn :‬אי‪-‬פריק ולפיכך הוא‬ ‫הפולינום המינימלי של ‪ ζn‬ו‪ .[Q (ζn ) : Q] = φ (n)-‬מכך ינבע כי זהו גם גודלה של חבורת גלואה‬

‫‪ 17.2‬פולינומים צקלוטומיים ומצולעים משוכללים‬

‫‪260‬‬

‫)‪ .Gal (Q(ζn )/Q‬פירושו של דבר‪ ,‬שבמקרה הפרטי של הרחבות צקלוטומיות של ‪ ,Q‬חבורת גלואה זו‬ ‫איזומורפית לחבורה ∗)‪ (Z/nZ‬כולה‪ .‬חשוב לציין שהעובדה ש‪ Φn -‬אי‪-‬פריק כלל אינה מובנת מאליה‪,‬‬ ‫וההוכחה שנראה מיד מחוכמת למדי‪.‬‬ ‫משפט ‪ 17.20‬לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‬ ‫‪ Φn ∈ Z [x] .1‬והמקדם המוביל שלו הוא ‪.1‬‬ ‫‪ Φn .2‬הוא אי‪-‬פריק‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬נראה את )‪ (1‬באינדוקציה על ‪) n‬הטענה נכונה טריוויאלית בעבור ‪ ,n = 1‬ולמעשה‬ ‫∏‬ ‫נוכחנו בה גם לכל ‪ n‬ראשוני(‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,17.19‬אם נסמן ‪ f = d|n, d̸=n Φd‬אזי‬ ‫)‪(20‬‬

‫‪xn − 1 = Φ n · f‬‬

‫וכל הפולינומים הללו ב‪ .Q [x]-‬לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬כל הגורמים במכפלה שמגדירה את ‪ f‬הם פולינומים‬ ‫מתוקנים עם מקדמים שלמים‪ ,‬ולפיכך כך גם ‪ f‬עצמו‪ .‬מכיוון שהמעלה של ‪ Φn‬היא )‪ ,φ (n‬מעלתו של‬ ‫‪ f‬היא )‪ .n − φ (n‬השוואת המקדמים של ‪ xn‬בשני האגפים של )‪ (20‬מראה כי המקדם המוביל של‬ ‫‪ Φn‬הוא ‪ .1‬ניזכר כעת במסקנה ‪ ,10.97‬שהסקנו מהוכחת הלמה של גאוס‪ .‬לפי מסקנה זו‪ ,‬כל פירוק‬ ‫של פולינום במקדמים שלמים )כאן‪ (xn − 1 ,‬למכפלת פולינומים ב‪ Q [x]-‬היא למעשה פירוק למכפלת‬ ‫פולינומים ב‪) ,Z [x]-‬כלומר‪ ,‬אם ‪ xn − 1 = q · r‬כאשר ]‪ ,q, r ∈ Q [x‬אז קיים מספר רציונלי ‪ α‬כך‬ ‫ש‪ .(αq, α−1 r ∈ Z [x]-‬לכן קיים ‪ α ∈ Q‬כך ש‪ .αΦn , α−1 f ∈ Z [x]-‬אך במקרה זה לשני הפולינומים‬ ‫בפירוק יש מקדם מוביל שהוא ‪ ,1‬ולפיכך ‪ ,α, α−1 ∈ Z‬כלומר ‪ α = ±1‬ובהכרח שני הפולינומים כבר‬ ‫ב‪.Z [x]-‬‬ ‫כעת נראה כי ‪ Φn‬אי‪-‬פריק‪ .‬יהי ]‪ g ∈ Q [x‬הפולינום המינימלי של ‪ ζn‬מעל ‪ .Q‬בפרט‪ ,‬מתקיים ‪g | Φn‬‬ ‫)ועלינו להראות שהם למעשה שווים(‪ .‬נניח כי‬ ‫‪.Φn = g · h‬‬ ‫בדיוק כמו קודם‪ ,‬הן ‪ Φn‬והן ‪ g‬הם פולינומים עם מקדם מוביל ‪ ,1‬ולכן כך גם ‪ ,h‬ולפי מסקנה ‪ ,10.97‬נקבל‬ ‫כי ]‪.g, h ∈ Z [x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫מטרתנו היא להראות ש‪ ζn -‬הוא שורש של ‪ g‬לכל ‪ i‬שמקיים ‪ .(i, n) = 1‬יהי ‪ p‬ראשוני שזר ל‪-‬‬ ‫‪ .n‬נראה כי אם ‪ α‬שורש של ‪ g‬אז בהכרח גם ‪ αp‬שורש של ‪ .g‬טענה זו תסיים את ההוכחה‪ ,‬שכן לכל‬ ‫‪ i‬שזר ל‪ n-‬מתקיים ‪ i = p1 p2 · . . . · pr‬מכפלת ראשוניים הזרים ל‪ ,n-‬ואז ‪, . . . ,(ζnp1 )p2 ,ζnp1 ,ζn‬‬ ‫‪ (ζnp1 p2 ...pr−1 )pr = ζni‬כולם שורשים של ‪.g‬‬ ‫נניח‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי ‪ α‬שורש של ‪ g‬ו‪ p-‬זר ל‪ .n-‬ברור כי ‪ αp‬שורש של ‪ Φn‬ונניח בשלילה שהוא שורש של‬ ‫)‪ .h (x‬אזי ‪ α‬שורש של ) ‪ .h (xp‬מכיוון ש‪ g-‬הוא הפולינום המינימלי של ‪ ,α‬מתקיים ) ‪,g (x) | h (xp‬‬ ‫כלומר‬ ‫)‪(21‬‬

‫)‪h (xp ) = g (x) k (x‬‬

‫עם ]‪ .k (x) ∈ Z [x‬כעת נסתכל על השוויון )‪ (21‬מודולו ‪ ,p‬כלומר נתייחס לכל הפולינומים כאל פולינומים‬ ‫(‬ ‫‪)p‬‬ ‫]‪ ,h, g, k ∈ Fp [x‬וברור שעדיין מתקיים השוויון‪ .‬ב‪ Fp [x]-‬מתקיים )‪ ,h (xp ) = h (x‬ולפיכך‬ ‫‪)p‬‬ ‫(‬ ‫)‪. h (x) = h (xp ) = g (x) k (x‬‬ ‫כזכור )מסקנה ‪ Fp [x] ,(10.52‬הוא תחום ראשי‪ ,‬ובפרט תחום פריקות חד‪-‬ערכית‪ ,‬ועל כן יש ל‪ h (x)-‬ול‪-‬‬

‫‪17.2‬‬

‫‪261‬‬

‫פולינומים צקלוטומיים ומצולעים משוכללים‬

‫)‪ g (x‬גורם משותף‪ .‬אותו גורם מופיע פעמיים בפירוק של‬ ‫)‪, Φn (x) = g (x) h (x‬‬ ‫ולכן ‪ Φn‬אינו ספרבילי‪ .‬אבל ]‪ Φn (x) | xn − 1 ∈ Fp [x‬ואז גם ]‪ xn − 1 ∈ Fp [x‬אינו ספרבילי‪ .‬אולם‬ ‫בתוך ]‪ ,Fp [x‬כאשר ‪ p‬זר ל‪,n-‬‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫‪( n‬‬ ‫‪x − 1, (xn − 1)′ = xn − 1, nxn−1 = 1‬‬ ‫וזו סתירה‪.‬‬ ‫למשפט האחרון כמה מסקנות שכבר הזכרנו לעיל‪:‬‬ ‫מסקנה ‪ 17.21‬שדה הפיצול של ‪ Φn‬מעל ‪ Q‬הוא ) ‪.Q (ζn‬‬ ‫)‪ ,[Q (ζn ) : Q] = φ (n‬ומתקיים‬

‫ההרחבה‬

‫‪Q(ζn )/Q‬‬

‫היא גלואה מממד‬

‫∗‬ ‫∼ )‪.Gal (Q(ζn )/Q‬‬ ‫)‪= (Z/nZ‬‬

‫כעת נוכל לענות סופסוף על השאלה אלו מצולעים משוכללים ניתן לבנות באמצעות סרגל ומחוגה‪:‬‬ ‫משפט ‪ 17.22‬מצולע משוכלל בעל ‪ n‬צלעות ניתן לבנייה באמצעות סרגל ומחוגה אם ורק אם‬ ‫‪n = 2 e p1 p2 . . . pr‬‬ ‫כאשר }‪ e ∈ N ∪ {0‬ו‪ p1 , . . . , pr -‬הם ראשוני פרמה שונים זה מזה‪ ,‬כלומר מהצורה ‪.pi = 2mi + 1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪-n Pn‬מצולע משוכלל שאורך צלעו ‪ .1‬לפי הדיון לעיל )ובפרט טענה ‪ Pn ,(17.15‬ניתן לבנייה‬ ‫באמצעות סרגל ומחוגה אם ורק אם ‪ ζn‬שייך להרחבה של ‪ Q‬המתקבלת כמגדל הרחבות ריבועיות‪ .‬לפי‬ ‫משפט ‪ 17.20‬שראינו זה עתה‪,‬‬ ‫)‪. [Q (ζn ) : Q] = deg Φn = φ (n‬‬ ‫נניח כי הפירוק של ‪ n‬לראשוניים הוא‬ ‫‪n = pα1 1 · . . . · pakk‬‬ ‫כאשר ‪ p1 , . . . , pk‬ראשוניים שונים‪ .‬לפי התכונות של פונקציית אוילר )ראו תרגיל ‪,(1.52‬‬ ‫‪(pi − 1) pαi i −1‬‬

‫‪k‬‬ ‫∏‬

‫= )‪.φ (n‬‬

‫‪i=1‬‬

‫אם ‪ Pn‬ניתן לבנייה‪ ,‬הרי שבהכרח ]‪ [Q (ζn ) : Q‬הוא חזקת ‪ ,2‬ואילוץ זה מוביל אותנו בדיוק לתנאים‬ ‫המצוינים במשפט‪ :‬הראשוני ‪ 2‬יכול להופיע בחזקה כלשהי‪ ,‬ראשוני פרמה יכול להופיע בחזקה ‪ 1‬לכל‬ ‫היותר )אחרת ‪ pαi i −1‬אינו חזקת ‪ ,(2‬וכל ראשוני אחר לא יכול להופיע כלל )אחרת הגורם ‪ pi − 1‬אינו חזקת‬ ‫‪.(2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫מאידך‪ ,‬אם ‪ n‬מקיים את תנאי המשפט הרי שהממד ]‪ [Q (ζn ) : Q‬הוא חזקת ‪ 2‬ונסמן ‪.φ (n) = 2‬‬ ‫כפי שראינו לעיל‪ Q(ζn )/Q ,‬הרחבת גלואה )ואפילו אבלית(‪ .‬מספיק להראות כי ) ‪ Q (ζn‬מתקבלת מ‪ Q-‬כמגדל‬

‫‪262‬‬

‫‪ 17.2‬פולינומים צקלוטומיים ומצולעים משוכללים‬

‫∗‬ ‫∼ )‪ G = Gal (Q(ζn )/Q‬יש‬ ‫הרחבות ריבועיות‪ ,‬או באופן שקול‪ ,‬לפי משפט גלואה‪ ,‬כי לחבורה )‪= (Z/nZ‬‬ ‫סדרה של תת‪-‬חבורות‬

‫)‪(22‬‬

‫‪{e} ≤ H1 ≤ H2 ≤ . . . ≤ Hs−1 ≤ G‬‬

‫כך ש‪ .|Hi | = 2i -‬שימו לב ש‪ G-‬היא חבורת‪) 2-‬כלומר‪ ,‬חבורה מסדר שהוא חזקת ‪ ,(2‬ולכן קיומה של‬ ‫סדרת תת‪-‬חבורות ‪ Hi‬כנ"ל נובע מהעובדה שבכל חבורת‪ p-‬יש תת‪-‬חבורה מאינדקס ‪) p‬משפטון ‪ 5.6‬שהוכח‬ ‫שוב כמסקנה ‪ .(6.32‬עובדה זו מבטיחה‪ ,‬באינדוקציה‪ ,‬את קיומן של תת‪-‬חבורה ‪ Hs−1‬מהגודל המתאים‪,‬‬ ‫ובתוכה ‪ Hs−2‬מהגודל המתאים‪ ,‬וכן הלאה‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 17.23‬יהי ‪ p > 2‬ראשוני‪ ,‬ויהי ‪ P‬מצולע במישור בעל ‪ p‬צלעות באורכים רציונליים‪ ,‬שכל זוויותיו‬ ‫שוות‪.‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי ‪ P‬הוא מצולע משוכלל‪ ,‬כלומר שכל צלעותיו שוות אורך‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬בטאו את ‪ Ap‬באמצעות ‪ ζ = e2πi/p‬והאורכים ‪mi‬‬

‫‪ .2‬הראו כי הטענה ב‪ (1)-‬איננה נכונה בלי ההנחה ש‪ p-‬ראשוני‪.‬‬ ‫‪ .3‬הראו כי הטענה ב‪ (1)-‬איננה נכונה בלי ההנחה של‪ P -‬יש צלעות באורכים רציונליים‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 17.24‬משפט קלאסי של דיריכלה )‪ (Dirichlet‬אומר שאם ‪ a‬ו‪ n-‬מספרים טבעיים זרים‪ ,‬אזי יש‬ ‫אינסוף ראשוניים ‪ p‬המקיימים )‪ .p ≡ a (mod n‬במלים אחרות‪ ,‬בסדרה החשבונית ‪a, a+n, a+2n, . . .‬‬ ‫יש אינסוף ראשוניים‪ .‬בתרגיל זה ובזה שאחריו נוכיח כמה מקרים פרטיים של המשפט ונשתמש‪ ,‬בין היתר‪,‬‬ ‫בפולינומים צקלוטומיים‪.‬‬ ‫‪ .1‬הסבירו מדוע התנאי שלפיו ‪ a‬ו‪ n-‬זרים הוא הכרחי‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו את משפט דיריכלה בעבור ‪ n = 4‬ו‪ ,a = 3-‬וכן עבור ‪ n = 3‬ו‪.a = 2-‬‬ ‫רמז‪ :‬כדי להוכיח שישנם אינסוף ראשוניים בכלל‪ ,‬ניתן להניח בשלילה שיש מספר סופי‪ ,‬להכפיל‬ ‫את כולם ולהוסיף ‪.1‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו כי אם )‪ p ≡ 3 (mod 4‬אז )‪ (−1‬איננו ריבוע בשדה ‪) Fp‬כלומר‪ ,‬לא קיים ‪ x ∈ Fp‬כך‬ ‫ש‪.(x2 = −1-‬‬ ‫‪ .4‬יהי ‪ n‬שלם זוגי ו‪ p-‬ראשוני‪ .‬הוכיחו כי אם ‪ p | n2 + 1‬אז )‪.p ≡ 1 (mod 4‬‬ ‫‪ .5‬הוכיחו את משפט דיריכלה בעבור ‪ n = 4‬ו‪.a = 1-‬‬ ‫תרגיל ‪ 17.25‬בתרגיל זה נכליל את ההוכחה מהתרגיל הקודם ונראה כי לכל ‪ n‬טבעי יש אינסוף מספרים‬ ‫ראשוניים ‪ p‬המקיימים )‪.p ≡ 1 (mod n‬‬ ‫‪ .1‬הראו כי לכל ‪ n‬המקדם החופשי של הפולינום הצקלוטומי ‪ Φn‬הוא ‪ 1‬או ‪.−1‬‬ ‫‪ .2‬היזכרו כי ]‪) Φn ∈ Z [x‬משפט ‪ .(17.20‬הוכיחו כי יש אינסוף ראשוניים המחלקים לפחות אחד מבין‬ ‫המספרים }‪.{Φn (m) | m ∈ Z‬‬

‫‪17.3‬‬

‫‪263‬‬

‫הרחבות פשוטות ומשפט האיבר הפרימיטיבי‬

‫‪ .3‬הוכיחו כי אם ‪ p - n‬אבל )‪ p | Φn (m‬אז )‪.p ≡ 1 (mod n‬‬ ‫מחלק את ‪ .n‬אם הסדר קטן‬ ‫הדרכה‪ :‬הסבירו מדוע ‪ ,p | mn − 1‬והסיקו כי הסדר של ‪m‬‬ ‫מ‪ ,n-‬או אז ‪ p | mk − 1‬עם ‪ k | n‬ו‪ ,k < n-‬אך במקרה זה ‪ m‬הוא שורש כפול של ]‪xn − 1 ∈ Fp [x‬‬ ‫וקבלו סתירה‪.‬‬ ‫‪ .4‬הסיקו כי יש אינסוף מספרים ראשוניים ‪ p‬המקיימים )‪.p ≡ 1 (mod n‬‬ ‫ב‪Fp∗ -‬‬

‫‪17.3‬‬

‫הרחבות פשוטות ומשפט האיבר הפרימיטיבי‬

‫כזכור‪ ,‬הרחבה פשוטה של שדות היא כזו הנוצרת על‪-‬ידי איבר אחד‪ ,‬ואיבר שכזה נקרא איבר פרימיטיבי‬ ‫של ההרחבה )הגדרה ‪ .(11.33‬כלומר‪ ,‬בהרחבה ‪ L/K‬יש איבר פרימיטיבי אם ורק אם היא פשוטה‪.‬‬ ‫בכמה מהדיונים שעלו עד כה במהלך הלימוד של תורת השדות‪ ,‬התייחסנו תחילה להרחבות פשוטות‬ ‫ורק אחר‪-‬כך עברנו לטפל בהרחבות סופיות כלליות‪ ,‬שראינו כמגדל של הרחבות פשוטות‪ .‬מסתבר שבמקרים‬ ‫רבים‪ ,‬כל הרחבה סופית היא פשוטה‪ ,‬כלומר נוצרת על‪-‬ידי איבר יחיד )פרימיטיבי(‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫) √‬ ‫) √ √(‬ ‫תרגיל ‪ 17.26‬הוכיחו כי השדה ‪ Q 2, 3‬הוא בעצם הרחבה פשוטה של ‪ Q‬ושווה ל‪3 -‬‬ ‫)רמז‪ :‬אחת הדרכים להראות זאת מסתמכת על הניתוח שעשינו לשדה זה החל בעמוד ‪.(228‬‬

‫‪2+‬‬

‫√(‬

‫‪.Q‬‬

‫משפט האיבר הפרימיטיבי להלן יראה כי למעשה‪ ,‬כל הרחבה סופית של שדות ממציין ‪ 0‬היא פשוטה‪,‬‬ ‫ובאופן כללי יותר‪ ,‬כל הרחבה סופית ספרבילית היא כזו‪ .‬תחילה‪ ,‬ניתן אפיון חשוב של הרחבות פשוטות‪.‬‬ ‫משפט ‪ 17.27‬הרחבה סופית ‪ L/K‬היא פשוטה אם ורק אם יש בה מספר סופי של שדות ביניים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח תחילה כי )‪ L = K (α‬היא הרחבה פשוטה‪ .‬יהי ]‪ f ∈ K [x‬הפולינום המינימלי של ‪ .α‬יהי‬ ‫‪ F‬שדה ביניים ‪ ,K ⊆ F ⊆ L‬ו‪ g ∈ F [x]-‬הפולינום המינימלי של ‪ α‬מעל ‪ .F‬אזי ‪ g‬מחלק את ‪ f‬ב‪F [x]-‬‬ ‫ובפרט ב‪ .L [x]-‬יהי ‪ F ′‬השדה הנוצר מעל ‪ K‬על‪-‬ידי המקדמים של ‪ .g‬אזי ‪ ,F ′ ⊆ F‬והפולינום המינימלי‬ ‫של ‪ α‬מעל ‪ F ′‬הוא עדיין ‪ ,g‬כמובן‪ .‬אך מכאן‬ ‫] ‪, [L : F ′ ] = [F ′ (α) : F ′ ] = deg (g) = [F (α) : F ] = [L : F‬‬ ‫ולפיכך ‪ .F = F ′‬קיבלנו שכל שדה ביניים ‪ K ⊆ F ⊆ L‬נוצר מעל ‪ K‬על‪-‬ידי המקדמים של איזה פולינום‬ ‫מתוקן שמחלק את ‪ f‬ב‪ .L [x]-‬מכיוון שיש מספר סופי של מחלקים שכאלו‪ ,‬יש מספר סופי של שדות‬ ‫ביניים‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫כעת נניח כי ל‪ /K -‬יש מספר סופי של שדות ביניים ונראה כי זו הרחבה פשוטה‪ .‬אם ‪ K‬סופי‪ ,‬גם ‪L‬‬ ‫סופי‪ ,‬ולכן החבורה הכפלית ∗‪ L‬היא צקלית )משפט ‪ .(11.49‬כל יוצר של החבורה ∗‪ L‬הוא בברור גם יוצר‬ ‫של ‪ L‬מעל ‪.K‬‬ ‫נניח מעתה ש‪ K-‬אינסופי‪ .‬יהי ‪ α ∈ L‬כך ש‪ K (α)-‬הרחבה פשוטה מקסימלית‪ ,‬כלומר‪ ,‬שאינה מוכלת‬ ‫ממש באף הרחבה פשוטה אחרת של ‪ K‬בתוך ‪ .L‬אם‪ ,‬בשלילה‪ L/K ,‬איננה הרחבה פשוטה‪ ,‬אזי )‪K (α‬‬ ‫איננה ‪ L‬כולו‪ .‬יהי )‪ ,β ∈ L \ K (α‬ונתבונן בשדות‬ ‫)‪K (α + tβ‬‬ ‫בעבור ‪ .t ∈ K‬מכיוון ש‪ K-‬אינסופי‪ ,‬יש אינסוף איברים מהצורה ‪ ,α + tβ‬אך השדות המתקבלים הם‬ ‫כולם שדות ביניים בין ‪ K‬ל‪ L-‬ולכן יש רק מספר סופי של כאלה‪ .‬בפרט‪ ,‬יש שני איברים שונים שיוצרים‬ ‫את אותו שדה‪:‬‬ ‫)‪.K (α + t1 β) = K (α + t2 β‬‬

‫‪17.4‬‬

‫‪264‬‬

‫המשפט היסודי של האלגברה‬

‫)‪2 β‬‬ ‫‪) β = (α+t1 β)−(α+t‬זכרו‬ ‫נסמן שדה זה ב‪ .F -‬הוא מכיל הן את ‪ α + t1 β‬והן את ‪ ,α + t2 β‬ועל כן את‬ ‫‪t1 −t2‬‬ ‫כי ‪ (t1 , t2 ∈ K ⊆ F‬ואת ‪ .α = (α + t1 β) − t1 β‬כלומר‪ F ,‬היא הרחבה פשוטה של ‪ K‬בתוך ‪ ,L‬שהיא‬ ‫גדולה יותר מ‪ ,K (α)-‬וזו סתירה‪ .‬לפיכך‪ L/K ,‬היא בהכרח הרחבה פשוטה ו‪.K (α) = L-‬‬

‫בהוכחת משפט האיבר הפרימיטיבי נעשה שימוש גם בלמה הבאה‪:‬‬ ‫למה ‪ 17.28‬אם ‪ L/K‬הרחבה ספרבילית סופית‪ ,‬יש הרחבה סופית ‪ M‬של ‪ L‬כך ש‪ M/K -‬הרחבת גלואה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי ) ‪ .L = K (α1 , . . . , αr‬יהיו ‪ f1 , . . . , fr‬הפולינומים המינימליים מעל ‪ K‬של היוצרים‪,‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬לפי הגדרת הספרביליות‪ ,‬כל אחד מהפולינומים הללו ספרבילי‪ .‬מכיוון שאלו פולינומים אי‪-‬‬ ‫פריקים מתוקנים‪ ,‬כל שניים מהם זהים או זרים‪ .‬יהי ‪ f‬המכפלה של ה‪-fi -‬ים‪ ,‬ללא חזרות‪ .‬אזי ]‪f ∈ K [x‬‬ ‫ספרבילי בעצמו‪ .‬ניתן להגדיר את ‪ M‬כשדה הפיצול של ‪ f‬מעל ‪ ,L‬וקל לראות כי הוא אז גם שדה הפיצול‬ ‫של ‪ f‬מעל ‪ .K‬ההרחבה ‪ M/K‬היא גלואה כשדה פיצול של פולינום ספרבילי )משפט ‪.(15.9‬‬ ‫משפט ‪) 17.29‬משפט האיבר הפרימיטיבי( כל הרחבה ספרבילית סופית היא פשוטה‪.‬‬ ‫בפרט‪ ,‬כל הרחבה סופית של שדה ממציין ‪ 0‬היא פשוטה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ L/K‬הרחבת שדות ספרבילית וסופית‪ .‬לפי הלמה‪ ,‬קיימת הרחבה סופית ‪ M‬של ‪ L‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ M/K‬גלואה‪ .‬החבורה ) ‪ Gal (M/K‬היא סופית )סדרה שווה ל‪ ,([M : K]-‬ועל כן יש לה מספר סופי של‬ ‫תת‪-‬חבורות‪ .‬לפי משפט גלואה‪ ,‬ניתן להסיק שיש גם מספר סופי של שדות ביניים ‪ ,K ⊆ F ⊆ M‬ולכן‪,‬‬ ‫בפרט‪ ,‬מספר סופי של שדות ביניים ‪ .K ⊆ F ⊆ L‬לפי משפט ‪ 17.27‬שראינו זה עתה‪ L/K ,‬היא פשוטה‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 17.30‬הרחבת שדות סופית שאינה פשוטה‪:‬‬ ‫יהיו ‪ p‬ראשוני‪ L = Fp (x, y) ,‬שדה הפונקציות הרציונליות בשני משתנים ו‪ K = Fp (x , y )-‬תת‪-‬שדה‬ ‫של ‪.L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי ‪.[L : K] = p‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי אין בהרחבה זו איבר פרימיטיבי )כלומר‪ ,‬ש‪ L-‬איננו הרחבה פשוטה של ‪.(K‬‬ ‫‪ .3‬הוכיחו כי )‪ K (x + ay‬הוא שדה ביניים לכל ‪ ,a ∈ K‬וכי לכל ‪ a‬מקבלים שדה ביניים שונה‪.‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪17.4‬‬

‫‪p‬‬

‫המשפט היסודי של האלגברה‬

‫כפי שהבטחנו לעיל‪ ,‬תורת גלואה מאפשרת לנו לתת הוכחה למשפט רב‪-‬חשיבות באלגברה‪ ,‬שלפיו שדה‬ ‫המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית‪ .‬נדגיש כי למשפט‪ ,‬המכונה לעתים קרובות "המשפט היסודי‬ ‫של האלגברה"‪ ,‬ישנן גם הוכחות אנליטיות לחלוטין‪ ,‬שאינן מסתמכות על תורת גלואה‪ ,‬כדוגמת ההוכחה‬ ‫שבנספח ‪ .C‬זכרו שבדוגמאות שונות לעיל הנחנו כבר את המשפט היסודי של האלגברה‪ ,‬אולם לא עשינו‬ ‫זאת בשעה שפיתחנו את תורת השדות ואת תורת גלואה באופן כללי‪.‬‬ ‫כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות שלכל פולינום עם מקדמים מרוכבים יש שורש מרוכב‪ .‬נפתח‬ ‫בציון מספר עובדות שתשמשנה אותנו בהוכחה‪ .‬נזכיר כי לפי מסקנה ‪ 11.42‬לכל ]‪ f ∈ R [x‬ממעלה אי‪-‬‬ ‫זוגית יש שורש ממשי‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ 17.31‬אין ל‪ R-‬הרחבת שדות לא‪-‬טריוויאלית מממד אי‪-‬זוגי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי קיימת ‪ L/R‬הרחבה לא טריוויאלית מממד אי‪-‬זוגי‪ .‬יהי ‪ α ∈ L\R‬איבר כלשהו‪ .‬ההרחבה‬ ‫∈ ‪ (α‬ואי‪-‬זוגי )כי הוא מחלק את ]‪ .([L : R‬לכן הפולינום‬ ‫]‪ [R (α) : R‬היא מממד גדול מאחת )כי ‪/ R‬‬ ‫המינימלי ‪ mα‬של ‪ α‬מעל ‪ R‬הוא ממעלה אי‪-‬זוגית‪ .‬בפרט‪ mα ,‬הוא אי‪-‬פריק מעל ‪ ,R‬אבל זו סתירה לטענה‬

‫‪17.4‬‬

‫‪265‬‬

‫המשפט היסודי של האלגברה‬

‫הקודמת‪) .‬שימו לב שיכולנו‪ ,‬לחילופין‪ ,‬להשתמש כאן במשפט האיבר הפרימיטיבי ולקחת מראש איבר‬ ‫‪ α ∈ L‬שיוצר את ‪ L‬מעל ‪(.R‬‬ ‫טענה ‪ 17.32‬לפולינום ריבועי מעל ‪ C‬יש שורש ב‪ ,C-‬ולכן אין ל‪ C-‬הרחבות ריבועיות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לפי הנוסחה לפתרון משוואות ממעלה שניה‪ ,‬סיפוח של שורש של הפולינום ממעלה שניה‬ ‫]‪ ax2 + bx + c ∈ C [x‬שקול לסיפוח של השורש של ‪) .b2 − 4ac‬רמזנו כבר לעובדה זו בתרגיל ‪ .(11.12‬לכן‬ ‫הטענה תנבע מכך שלכל מספר מרוכב יש שורש מרוכב‪ .‬טענה זו ברורה כאשר מתבוננים במספר המרוכב‬ ‫√‬ ‫‪θ‬‬ ‫בהצגה פולרית‪ :‬השורש של ‪ r · eiθ‬הוא ‪. r · ei 2‬‬ ‫משפט ‪) 17.33‬המשפט היסודי של האלגברה( שדה המרוכבים ‪ C‬הוא סגור אלגברית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תחילה נראה שלכל ]‪ f ∈ R [x‬יש שורש ב‪ .C-‬יהי ‪ K‬שדה הפיצול של )‪ f · (x2 + 1‬מעל ‪.R‬‬ ‫בפרט‪ ,‬שדה זה מכיל את ‪ i‬ועל כן את ‪ .R (i) = C‬ההרחבה ‪ K/R‬היא נורמלית )כשדה פיצול( וספרבילית‬ ‫)כי המציין הוא אפס(‪ ,‬ועל כן גלואה‪ .‬נסמן ב‪ G = Gal (K/R)-‬את חבורת גלואה המתאימה‪ ,‬ונשים לב ש‪-‬‬ ‫|‪.2 = [C : R] | [K : R] = |G‬‬ ‫תהי ‪ P‬חבורת ‪-2‬סילו של ‪ ,G‬ו‪ M -‬שדה הביניים המתאים לה לפי התאמת גלואה‪ .‬האינדקס של ‪ P‬זר‬ ‫ל‪ ,2-‬ולכן ] ‪ [M : R] = [G : P‬אי‪-‬זוגי‪ .‬לפי מסקנה ‪ ,17.31‬בהכרח ‪ ,M = R‬ולכן ‪ ,P = G‬כלומר ‪ G‬היא‬ ‫חבורת‪) 2-‬חבורה מסדר ‪ 2m‬עם ‪ m‬טבעי(‪ .‬כעת תהי ‪ H‬תת‪-‬החבורה של ‪ G‬שמתאימה לשדה הביניים ‪.C‬‬ ‫כמובן‪ ,‬גם ‪ H‬היא חבורת‪ ,2-‬ועל כן יש לה תת‪-‬חבורה מכל סדר שהוא חזקת ‪ 2‬קטנה יותר )ראו משפטון‬ ‫‪ .(5.6‬בפרט‪ ,‬אם ‪ ,|H| > 1‬יש ל‪ H-‬תת‪-‬חבורה מאינדקס ‪ ,2‬שתתאים‪ ,‬לפי התאמת גלואה‪ ,‬להרחבה‬ ‫ריבועית של ‪ ,C‬אך זו תהי סתירה לטענה ‪ .17.32‬לפיכך ‪ H‬זו חבורה טריוויאלית ו‪ .K = C-‬קיבלנו כי ‪f‬‬ ‫מתפצל לחלוטין בתוך ‪.C‬‬ ‫}‪{id‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪H‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪yy 2‬‬

‫אי‪-‬זוגי‬

‫‪G‬‬

‫‪K0‬‬

‫‪00‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪M 000‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪00‬‬

‫‪C‬‬

‫}}‬ ‫}}‬ ‫}‬ ‫}‬ ‫‪}} 2‬‬

‫אי‪-‬זוגי‬

‫‪R‬‬

‫לבסוף‪ ,‬עלינו להראות שגם כל פולינום ב‪) C [x]-‬ולא רק ב‪ (R [x]-‬מתפצל ב‪ .C [x]-‬יהי ]‪ .g ∈ C [x‬נשים‬ ‫לב כי הפולינום ‪ g · g‬הוא למעשה פולינום ממשי‪ ,‬שכן הוא שווה להצמדה של עצמו‪:‬‬ ‫‪.g · g = g · g = g · g = g · g‬‬ ‫לכן ‪ g · g‬מתפצל בתוך ‪ ,C‬ובפרט גם ‪ g‬מתפצל ב‪.C-‬‬ ‫תרגיל ‪ 17.34‬יהיו ‪ Ω‬שדה ו‪ K-‬ו‪ L-‬תת‪-‬שדות שלו‪ .‬הקומפוזיטום של ‪ K‬ו‪ L-‬מוגדר כתת‪-‬השדה הקטן‬ ‫ביותר של ‪ Ω‬שמכיל את ‪ K‬ואת ‪ L‬ומסומן ‪.KL‬‬

‫הקומפוזיטום‬

‫‪266‬‬

‫‪17.4‬‬

‫המשפט היסודי של האלגברה‬

‫‪ .1‬הוכיחו כי הקומפוזיטום ‪ KL‬מוגדר היטב‪ ,‬כלומר שיש רק תת‪-‬שדה אחד של ‪ Ω‬שמכיל את ‪ K‬ואת‬ ‫‪ L‬ואשר הוא מינימלי ביחס להכלה עם תכונה זו‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחו כי אם ‪ K‬ו‪ L-‬הרחבות סופיות של שדה ‪ F‬אזי‬ ‫] ‪. [KL : F ] ≤ [K : F ] · [L : F‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪.7‬‬

‫דוגמה שבה‬

‫תנו דוגמה שבה לא מתקיים שוויון באי‪-‬שוויון האחרון )כלומר‪,‬‬ ‫] ‪.([KL: F ] < [K: F ] · [L: F‬‬ ‫‪KL‬‬ ‫‪L‬‬ ‫נניח כי ‪ K/F‬הרחבת גלואה וכי ‪ /F‬הרחבה כלשהי )אפילו טרנסצנדנטית(‪ .‬הוכיחו כי ‪ /L‬היא‬ ‫הרחבת גלואה וכי יש שיכון של חבורות ) ‪.Gal (KL/L) ,→ Gal (K/F‬‬ ‫∼ )‪.Gal (KL/L‬‬ ‫הוכיחו כי אם ‪ K/F‬הרחבת גלואה ו‪ [L : F ]-‬זר ל‪ ,[K : F ]-‬אז ) ‪= Gal (K/F‬‬ ‫הוכיחו כי יש שיכון של חבורות‬ ‫כעת נניח כי ‪ K/F‬ו‪ L/F -‬שתיהן הרחבות גלואה‪.‬‬ ‫) ‪.Gal (KL/F ) ,→ Gal (K/F ) × Gal (L/F‬‬ ‫הראו כי אם‪ ,‬בנוסף‪ ,‬הסדרים ] ‪ [K : F‬ו‪ [L : F ]-‬זרים‪ ,‬אזי השיכון הזה הוא איזומורפיזם‪.‬‬ ‫הגדירו מהו הקומפוזיטום של השדות ‪ K1 , . . . , Kn‬כאשר ‪.K1 , . . . , Kn ⊆ Ω‬‬

‫תרגיל ‪ 17.35‬בתרגיל זה נוכיח את הטענה הבאה‪:‬‬ ‫‪ α ∈ R‬ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה אם ורק אם )‪ Q (α‬עצמו מתקבל כמגדל הרחבות ריבועיות של ‪.Q‬‬ ‫שימו לב שבפרק ‪ 12‬ראינו )משפט ‪ (12.16‬כי מספר ‪ α ∈ R‬ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה מתוך קבוצת‬ ‫נקודות ‪ S‬אם ורק אם ‪ α‬שייך לשדה הרחבה של )‪ Q (S‬שמתקבל מ‪ Q-‬על‪-‬ידי סדרת הרחבות ריבועיות‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬התנאי החזק יותר שאנו מוכיחים בתרגיל זה הכרחי אף הוא‪ ,‬אולם בפרק ‪ 12‬עוד לא היו בידינו‬ ‫הכלים להוכיחו‪.‬‬ ‫‪ .1‬יהי ) ‪ F = Q (α1 , α2 , . . . , αr‬הרחבה אלגברית סופית של ‪ Q‬בתוך ‪ .C‬הוכיחו כי יש מספר סופי‬ ‫של שיכונים של ‪ F‬בתוך ‪.C‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ .2‬יהיו ‪ F1 = F, F2 , . . . , Fm‬כל התמונות של השיכונים האפשריים של ‪ F‬ב‪ ,C-‬ויהי ‪ F‬הקומפוזיטום‬ ‫של כולם‪ .‬הוכיחו כי ‪ Fˆ/Q‬זו הרחבת גלואה‪.‬‬ ‫‪ .3‬הראו כי אם ‪ F‬מתקבל מ‪ Q-‬על‪-‬ידי סדרת הרחבות ריבועיות‪ ,‬אזי כך גם ˆ‪.F‬‬ ‫) (‬ ‫‪ .4‬בתנאי סעיף )‪ ,(3‬נסמן ‪ .G = Gal Fˆ/Q‬הוכיחו כי ‪ G‬מכילה סדרה נורמלית של חבורות‬ ‫}‪ G = Hn D Hn−1 D . . . D H0 = {e‬שכולן נורמליות ב‪ ,G-‬והאינדקס בין כל שתיים‬ ‫סמוכות הוא ‪.2‬‬ ‫‪ .5‬לכל תת‪-‬חבורה ‪ ,J ≤ G‬הראו כי ‪ G = JHn D JHn−1 D . . . D JH0 = J‬זו סדרה של‬ ‫תת‪-‬חבורות עם אינדקס ≥ ‪ 2‬בין כל שתיים סמוכות‪.‬‬ ‫‪ .6‬נניח כי ‪ .β ∈ F‬הוכיחו כי )‪ Q (β‬מתקבל מ‪ Q-‬כמגדל של הרחבות ריבועיות‪) .‬רמז‪ :‬הסתכלו על‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‪(.J = Gal Fˆ/Q(β‬‬ ‫‪ .7‬הסיקו כי אכן מספר ‪ α ∈ R‬ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה אם ורק אם )‪ Q (α‬מתקבל כמגדל של‬ ‫הרחבות ריבועיות של ‪.Q‬‬

‫‪18‬‬

‫פתרון פולינומים באמצעות רדיקלים‬

‫כל תלמיד תיכון מכיר את הנוסחה לחישוב שורשים של הפולינום ממעלה שניה ‪ ,ax2 + bx + c‬הנכונה‬ ‫לפולינומים מעל כל שדה‪ ,‬ובלבד שהמציין יהיה שונה מ‪ :2-‬השורשים הם‬ ‫√‬ ‫‪−b ± b2 − 4ac‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫נוסחה זו הייתה ידועה כבר לבבלים בסביבות שנת ‪ 1600‬לפני הספירה‪ .‬נוסחאות דומות )אם כי מסובכות‬ ‫פי כמה( התגלו בתחילת המאה ה‪ 17-‬באיטליה בעבור פולינומים ממעלה שלישית ובעבור פולינומים ממעלה‬ ‫רביעית‪ .‬למשל‪ ,‬כל משוואה ממעלה שלישית ניתן להמיר למשוואה מהצורה ‪ ,x3 + px + q = 0‬ואחד‬ ‫‪1‬‬ ‫משלושת הפתרונות שלה הוא אז‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪1 3 −27‬‬ ‫‪3√ 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪q+‬‬ ‫‪12p + 81q 2 +‬‬ ‫‪q−‬‬ ‫‪12p3 + 81q 2‬‬ ‫)‪(23‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הגילוי של הנוסחאות הללו על‪-‬ידי ‪ Fontana − Tartaglia ,del Ferro‬ו‪ Ferrari-‬ואווירת הסודיות סביבן‬ ‫מהווים פרק מרתק בהיסטוריה של תקופת הרנסנס‪ .‬תוכלו לקרוא עוד על כך בהקדמה ההיסטורית לספר‬ ‫‪ Galois Theory‬מאת ‪.Ian Stewart‬‬ ‫ומה לגבי משוואה ממעלה חמישית? האם משוואה כללית ממעלה חמישית או יותר )בנעלם אחד(‪,‬‬ ‫למשל‪ ,‬המשוואה‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, ax + bx + cx + dx + ex + f = 0‬‬ ‫עם מקדמים מהשדה ‪ ,K‬ניתנת לפתרון באופן דומה? נבהיר למה כוונתנו באומרנו "באופן דומה"‪ :‬השאלה‬ ‫היא אם יש אפשרות לבטא מי מהפתרונות של המשוואה באמצעות סקלרים מ‪ K-‬ומקדמי המשוואה‬ ‫ותוך שימוש איטרטיבי בארבע פעולות השדה )חיבור‪ ,‬נגדי‪ ,‬כפל והפכי( ובפעולת הוצאת השורש )מכל סדר‬ ‫שהוא(‪ .‬פתרון שכזה של המשוואה נקרא "פתרון באמצעות רדיקלים"‪.‬‬ ‫√‬ ‫נשים לב ש‪ 3-‬אינו אלא סימון לפתרון של המשוואה ‪ x2 − 3 = 0‬מעל ‪ ,Q‬שכמובן לא יכולנו להציג‬ ‫√ √‬ ‫כמספר רציונלי‪ .‬כך גם ‪ 4 3 , 3 3‬וכן הלאה‪ ,‬אינם אלא סימונים לפתרונות לא‪-‬רציונליים של משוואות‬ ‫מעל ‪ .Q‬לכאורה‪ ,‬ניתן היה להמציא סימון מיוחד‪ ,‬למשל‬ ‫) ‪, ♡ (a, b, c, d, e, f‬‬ ‫בעבור פתרון של ‪ , ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex+f = 0‬אך אז היינו מוצאים עצמנו עם סימונים לרוב‪ ,‬שאין‬ ‫בהם כל טעם‪ ,‬שכן הם אינם חסכוניים יותר מלומר "יהי ‪ α‬שורש של ‪ ."...‬מדוע‪ ,‬אם כן‪ ,‬הוקדש עניין מיוחד‬ ‫לפתרון באמצעות פעולת הוצאת השורש‪ ,‬בניגוד לצירוף פתרונות של משוואות פולינומיאליות אחרות?‬ ‫נראה שיש לכך סיבות היסטוריות וסמי‪-‬מתמטיות גם יחד‪ .‬הסיבה ההיסטורית היא שכבר מתקופות‬ ‫√‬ ‫מוקדמות ידוע היה ששורשים )‪ , 2‬למשל(‪ ,‬הם בדרך‪-‬כלל מספרים אי‪-‬רציונליים‪ .‬מצד שני‪ ,‬התברר כי‬ ‫סימון זה כבר מספיק כדי לבטא את כלל הפתרונות של משוואות פולינומיאליות ממעלה שניה‪ ,‬ומאוחר‬ ‫√‬ ‫יותר אף משוואות ממעלות שלוש וארבע‪ .‬לכן התבקש להוסיף גם את הסימון לשפה המתמטית‪ ,‬ובאופן‬ ‫טבעי עלתה אז השאלה אם די בכך‪ ,‬כלומר אם ניתן לבטא כל מספר אלגברי מעל ‪ Q‬באמצעות מספרים‬ ‫רציונליים‪ ,‬ארבע פעולות השדה‪ ,‬וכן סיפוח של פתרונות של המשוואות מהצורה ‪.xn − a = 0‬‬ ‫למעשה‪ ,‬שתי שאלות דומות אך שונות זו מזו התעוררו עקב ההתקדמות שחלה במאה ה‪ 17-‬בחקר‬ ‫הפתרונות של משוואות פולינומיאליות‪:‬‬ ‫‪1‬להלן‪ ,‬בסעיף ‪ ,18.4.2‬נראה כיצד ניתן לפתח נוסחה זו‪.‬‬

‫פתרון‬ ‫באמצעות‬ ‫רדיקלים‬

‫‪18‬‬

‫‪268‬‬

‫פתרון פולינומים באמצעות רדיקלים‬

‫‪ .1‬נוסחה כללית לפתרון משוואה ממעלה ≤ ‪:5‬‬ ‫השאלה הראשונה נוגעת לקיומה של נוסחה כללית לפתרונות של משוואות ממעלה חמישית מעל שדה‬ ‫נתון ‪) K‬היסטורית התעניינו המתמטיקאים בעיקר בשדה ‪ .(Q‬רק ב‪ ,1824-‬בחלוף כ‪ 200-‬שנים מאז גילוי‬ ‫הנוסחאות המתאימות למשוואות ממעלה ≥ ‪) 4‬ולאחר ניסיונות כושלים מצד מתמטיקאים רבים למצוא‬ ‫נוסחאות למשוואות ממעלות גבוהות יותר(‪ ,‬הצליח אבל )‪ (Abel‬להוכיח שאין נוסחה כללית דומה בעבור‬ ‫משוואה ממעלה חמישית‪ .‬כלומר‪ ,‬אין הצגה כללית של הפתרונות באמצעות רדיקלים‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬מסקנה ‪ 18.23‬שנראה בהמשך תאמר דבר כללי הרבה יותר‪ :‬לכל שדה ‪) K‬ממציין אפס( ולכל‬ ‫‪ ,n ≥ 5‬המשוואה הכללית ממעלה ‪ n‬מעל ‪ K‬אינה ניתנת לפתרון באמצעות רדיקלים‪ .‬את המשוואה‬ ‫הכללית נסמן כך‪:‬‬ ‫)‪(24‬‬

‫‪f = xn − s1 xn−1 + s2 xn−2 − . . . + (−1)n sn = 0‬‬

‫)הסימנים המתחלפים הם מוסכמה שההגיון שבה יובהר בהמשך(‪ .‬כדי לבטא את העובדה שאנו מעוניינים‬ ‫בנוסחה כללית‪ ,‬שאינה עושה כל שימוש בתכונות אלגבריות מסוימות של מקדמי משוואה מסוימת‪ ,‬נתייחס‬ ‫למקדמים ‪ s1 , . . . , sn‬כאל מספרים טרנסצנדנטיים "ובלתי תלויים אלגברית" ‪ 2‬מעל השדה ‪ .K‬כלומר‪,‬‬ ‫נביט בשדה‬ ‫) ‪M = K (s1 , . . . , sn‬‬ ‫של הפונקציות הרציונליות ב‪ n-‬משתנים מעל ‪ .K‬יהי ‪ α‬שורש של המשוואה )‪ (24‬בהרחבה )‪ M (α‬של ‪.M‬‬ ‫נראה להלן שהפולינום ‪ f‬אי‪-‬פריק ב‪ ,M [x]-‬ולכן‬ ‫∼ )‪.M (α‬‬ ‫) ‪= M [x] / (f‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬נראה כי אם ‪ ,n ≥ 5‬אזי לא ניתן לבטא את ‪ α‬באמצעות איברי ‪ ,M‬ארבע פעולות השדה והוצאת‬ ‫שורשים‪ ,‬או באופן שקול באמצעות איברי ‪ ,K‬המקדמים ‪ ,s1 , . . . , sn‬ארבע פעולות השדה ופעולת הוצאת‬ ‫השורש‪ .‬את ניתוח הפולינום ‪ f‬מעל השדה ‪ K‬והמענה לשאלת הנוסחה הכללית לפתרון משוואות ממעלה‬ ‫‪ ,n ≥ 5 ,n‬נדחה לסעיף ‪.18.4‬‬ ‫‪ .2‬פתרון משוואות ספציפיות באמצעות רדיקלים‪:‬‬ ‫כמובן‪ ,‬גם בהעדר נוסחה כללית לפתרון משוואות ממעלה חמישית‪ ,‬ישנן משוואות מסוימות שניתן לפתור‬ ‫באמצעות הוצאת רדיקלים‪ .‬למשל‪ ,‬כל משוואה מהצורה ‪ .ax5 +b = 0‬למעשה‪ ,‬ההוכחה של אבל השאירה‬ ‫מקום לאפשרות שכל משוואה ממעלה חמישית מעל ‪ Q‬ניתן לפתור באמצעות רדיקלים‪ ,‬גם אם לא בנוסחה‬ ‫כללית‪ .‬גם לאחר ההישג המרשים של אבל נותרה אפוא פתוחה השאלה הבאה‪ :‬נניח שאנו מתחילים בשדה‬ ‫‪ Q‬ומרשים להגדילו בכל צעד על‪-‬ידי סיפוח שורשים של משוואות מהצורה ‪ .xn − a = 0‬האם די בצעדים‬ ‫מסוג זה על מנת להגיע ל)שדה המכיל( כל מספר אלגברי נתון מעל ‪?Q‬‬ ‫כמובן‪ ,‬ניתן לשאול שאלה זהה לגבי כל שדה התחלתי שהוא‪ .‬אך לשדות שונים יש התנהגות שונה‬ ‫מאוד מנקודת מבט זו‪ .‬למשל‪ ,‬אם מתחילים ב‪ ,C-‬אזי מכיוון שהוא סגור אלגברית‪ ,‬איננו זקוקים אפילו‬ ‫לרדיקלים‪ :‬כל הפתרונות של כל המשוואות מכל מעלה מצויים כבר בשדה ההתחלתי עצמו‪ .‬גם אם שדה‬ ‫הבסיס שלנו הוא ‪ ,R‬כל משוואה ניתנת לפתרון באמצעות רדיקלים‪ :‬למעשה‪ ,‬שורשים ריבועיים מספיקים‬ ‫כאן‪ .‬גם מעל שדה סופי ‪ ,K‬כל משוואה ניתנת לפתרון באמצעות רדיקלים‪ :‬אם ‪ α‬הוא שורש של איזשהו‬ ‫]‪) f ∈ K [x‬באיזושהי הרחבה של ‪ ,(K‬אזי )‪ K (α‬סופי גם הוא‪ .‬מכיוון שהחבורה הכפלית של )‪K (α‬‬ ‫‪2‬את ההגדרה המדויקת של מונח זה ניתן בפרק ‪.19‬‬

‫‪18.1‬‬

‫‪269‬‬

‫הרחבות רדיקליות‪-‬פשוטות‬

‫צקלית )משפט ‪ ,(11.49‬כל איבר‪ ,‬ו‪ α-‬בפרט‪ ,‬מקיים ‪ αN = 1‬לאיזה ‪) N‬שעשוי להיות גדול ממעלת ‪ .(f‬על‬ ‫כן ‪ α‬הוא שורש ‪-N‬י של ‪ ,1‬וניתן לספחו ל‪ K-‬לפי הכללים שניסחנו‪.‬‬ ‫המצב שונה בתכלית כאשר עוברים למשוואות מעל השדה ‪ .Q‬עוד בטרם מותו בגיל ‪ 20‬בשנת ‪,1832‬‬ ‫הוכיח גלואה שמעל ‪ Q‬יש משוואות שלא ניתן לפתור באמצעות רדיקלים‪) .‬עובדה זו לבדה גוררת את‬ ‫המשפט של אבל‪ ,‬כמובן(‪ .‬מבחינה זו‪ ,‬השדה ‪ Q‬מורכב הרבה יותר מהדוגמאות שנסקרו לעיל של ‪,C‬‬ ‫‪ R‬ושדות סופיים‪ .‬למען האמת‪ Q ,‬מורכב באופן יוצא מן הכלל בנקודה זו‪ :‬חלק ניכר מתחום המחקר‬ ‫המתמטי שמכונה "תורת המספרים" עוסק בחקר הרחבות סופיות של ‪.Q‬‬ ‫למעשה‪ ,‬השאלה הקודמת — שאלת קיומה של נוסחה כללית לפתרון משוואות ממעלה נתונה — אינה‬ ‫אלא מקרה פרטי של השאלה הנוכחית‪ :‬כפי שהראה הדיון הקצר שערכנו סביבה‪ ,‬יש נוסחה כללית לפתרון‬ ‫באמצעות רדיקלים של משוואות ממעלה ‪ n‬מעל השדה ‪ ,K‬אם ורק אם יש פתרון באמצעות רדיקלים‬ ‫למשוואה המסוימת‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪n−2‬‬ ‫‪x − s1 x‬‬ ‫‪+ s2 x‬‬ ‫‪− . . . + (−1) sn = 0‬‬ ‫מעל השדה המסוים ) ‪ M = K (s1 , . . . , sn‬של הפונקציות הרציונליות ב‪ n-‬משתנים מעל ‪.K‬‬ ‫התוצאה מרחיקת הלכת של גלואה הייתה זו‪ :‬משוואה נתונה מעל שדה ‪ K‬ממציין ‪ 0‬ניתנת לפתרון‬ ‫באמצעות רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום )הגדרה ‪ (16.16‬היא פתירה ‪ -‬ראו משפט ‪18.10‬‬ ‫להלן‪ .‬היה זה אחד ההישגים המרשימים ביותר של המתמטיקה במאה ה‪ .19-‬להלן )סעיף ‪ (18.3‬נראה כי‬ ‫ישנם פולינומים מעל ‪ Q‬שחבורת גלואה שלהם איננה פתירה ) ‪ ,S5‬למשל(‪ ,‬ועל כן הם אינם ניתנים לפתרון‬ ‫באמצעות רדיקלים‪.‬‬ ‫שדות ממציין אפס לעומת שדות ממציין ראשוני‬ ‫התורה של פתרון פולינומים באמצעות רדיקלים פשוטה יותר מעל שדות ממציין אפס‪ .‬יחד עם זאת‪,‬‬ ‫רוב התורה נותרת בעינה כאשר מנתחים הרחבות של שדות ממציין ‪ p‬ובלבד שדרגות ההרחבה זרות ל‪-‬‬ ‫‪ ,p‬ובאמצעות מספר התאמות הכרחיות‪ ,‬ניתן להכילה על פולינומים מכל דרגה והרחבות מכל סדר מעל‬ ‫שדות ממציין ראשוני‪ .‬על מנת לפשט את הדברים‪ ,‬במהלך מרבית הדיון בפרק זה נצטמצם למקרה של‬ ‫שדות ממציין אפס‪ .‬בסעיף ‪ ,18.6‬שחותם את הפרק‪ ,‬נרמוז על ההתאמות הדרושות לתורה על מנת להכילה‬ ‫על שדות ממציין ראשוני‪.‬‬

‫‪18.1‬‬

‫הרחבות רדיקליות‪-‬פשוטות‬

‫ראשית‪ ,‬נגדיר באופן מסודר מושג שהוזכר כבר בהקדמה לפרק זה‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 18.1‬הרחבת שדות ‪ L/K‬נקראת רדיקלית )שורשונית( אם ‪ L‬מתקבל מ‪ K-‬על‪-‬ידי סיפוח חוזר של‬ ‫שורשים‪ .‬כלומר‪ L = K (α1 , . . . , αr ) ,‬ולכל ‪ 1 ≤ i ≤ r‬קיים ‪ Ni‬טבעי כך ש‪-‬‬

‫הרחבה רדיקלית‬

‫) ‪.αiNi ∈ K (α1 , . . . , αi−1‬‬ ‫הסדרה ‪ α1 , . . . , αr‬נקראת סדרה רדיקלית של ההרחבה‪.‬‬ ‫ההרחבה ‪ L/K‬נקראת רדיקלית‪-‬פשוטה אם היא מתקבלת על‪-‬ידי סיפוח שורש אחד ‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪ 1+2‬שייך להרחבה הרדיקלית ) ‪ Q (α1 , α2 , α3‬של ‪ ,Q‬כאשר‬ ‫לדוגמה‪ ,‬המספר‬ ‫‪1−71/5‬‬

‫סדרה רדיקלית‬

‫‪3‬‬

‫הרחבה‬ ‫רדיקלית‬ ‫‪-‬פשוטה‬

‫‪3‬שימו לב שהרחבה רדיקלית‪-‬פשוטה היא גם רדיקלית וגם פשוטה‪ ,‬אך ההפך לאו דווקא נכון‪ :‬גם אם להרחבה רדיקלית‬ ‫יש איבר פרימיטיבי‪ ,‬איבר זה אינו בהכרח שורש של איבר של ‪ ,K‬וכלל לא מחויב המציאות שיש איבר פרימיטיבי שהוא שורש‬ ‫של איבר של ‪.K‬‬ ‫‪L/K‬‬

‫‪18.1‬‬

‫‪270‬‬

‫‪∈Q‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪∈ Q (α1‬‬

‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪1+α1‬‬ ‫‪1−α2‬‬

‫=‬

‫) ‪∈ Q (α1 , α2‬‬

‫הרחבות רדיקליות‪-‬פשוטות‬

‫= ‪α13‬‬ ‫‪α25‬‬ ‫‪.α32‬‬

‫יהי ‪ K‬שדה ממציין אפס‪ ,‬ונתבונן בהרחבה )‪ K (α‬המתקבלת כאשר מספחים אליו שורש של הפולינום‬ ‫‪ .xN − b‬כמובן‪ K(α)/K ,‬הרחבה ספרבילית )כמו כל הרחבת שדות ממציין ‪ .(0‬בפרט‪ ,‬היא גלואה אם ורק‬ ‫אם היא נורמליות‪.‬‬ ‫הרחבה צקלית‬

‫הגדרה ‪ 18.2‬ההרחבה ‪ L/K‬נקראת צקלית אם היא גלואה ובעלת חבורת גלואה צקלית‪.‬‬ ‫)השוו עם המושג של הרחבה אבלית‪ ,‬שבו נתקלנו בתרגיל ‪ (.16.10‬מכיוון שכל השורשים של ‪ xN −b‬נבדלים‬ ‫זה מזה בכפל בשורשי יחידה מסדר ‪ ,N‬ההרחבה ‪ K(α)/K‬היא שדה הפיצול של ‪ xN − b‬אם ורק אם היא‬ ‫זהו בפרט המצב‪ ,‬כמובן‪ ,‬כאשר ‪ K‬עצמו מכיל כבר את שורשי‬ ‫מכילה את כל שורשי היחידה ה‪-N -‬יים‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫היחידה ה‪-N -‬יים‪ .‬נשתמש כאן בסימון ‪ b‬לתאר שורש כלשהו‪ ,‬אך מסוים‪ ,‬של הפולינום ‪.x − b‬‬ ‫) √(‬ ‫משפטון ‪ 18.3‬יהי ‪ K‬שדה ממציין ‪ 0‬שמכיל את כל שורשי היחידה מסדר ‪ .N‬אזי ההרחבה ‪L = K N b‬‬ ‫בעבור ‪ b ∈ K‬היא צקלית מעל ‪ K‬ומסדר שמחלק את ‪.N‬‬ ‫‪L‬‬ ‫ספרבילית כי(‪K‬‬ ‫שכן היא(שדה הפיצול של הפולינום ‪) xN − b‬היא‬ ‫)‬ ‫הוכחה‪ :‬ההרחבה ‪ /K‬היא גלואה )‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ממציין ‪ .(0‬לכל ) ‪ ,σ ∈ Gal (L/K‬גם ‪ σ N b‬הוא שורש של פולינום זה‪ ,‬ולפיכך ‪σ N b = ζσ N b‬‬ ‫בעבור ‪ ,ζσ‬שורש יחידה מסדר ‪ N‬התלוי ב‪ .σ-‬בכך הגדרנו העתקה מ‪ Gal (L/K )-‬לתוך חבורת שורשי‬ ‫היחידה ה‪-N -‬יים ∗ ‪:WN ≤ K‬‬ ‫‪σ 7→ ζσ‬‬

‫)ודאו שאתם מבינים מדוע ‪ WN‬היא אמנם חבורה(‪ .‬למעשה‪ ,‬העתקה זו היא הומומורפיזם‪ :‬מכיוון שכל‬ ‫שורשי היחידה הללו בתוך ‪ ,K‬הם נקודות שבת של כל ‪ .σ‬לפיכך‪ ,‬לכל ) ‪ σ, τ ∈ Gal (L/K‬מתקיים‬ ‫) √(‬ ‫) √ (‬ ‫) √(‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪, στ‬‬ ‫‪b = σ ζτ b = ζτ σ‬‬ ‫‪b = ζτ ζσ b = ζσ ζτ b‬‬ ‫√‬ ‫כלומר ‪ .ζστ = ζσ ζτ‬יתר על כן‪ ,‬גרעין ההומומורפיזם מורכב מהאוטומורפיזמים שמקבעים את ‪, N b‬‬ ‫כלומר מהזהות בלבד‪ .‬לפיכך ) ‪ Gal (L/K‬משוכנת בתוך ‪ .WN‬כמו כל תת‪-‬חבורה סופית של החבורה‬ ‫הכפלית של שדה‪ WN ,‬היא צקלית )ראו משפט ‪ .(11.49‬לפיכך גם ) ‪ Gal (L/K‬צקלית‪ ,‬והסדר שלה מחלק‬ ‫את ‪) |WN | = N‬הפולינום ‪ xN − 1‬ספרבילי מעל שדה ממציין ‪ 0‬ועל כן בעל ‪ N‬שורשים שונים(‪.‬‬ ‫מסתבר שגם המשפט ההפוך נכון‪ ,‬כלומר‪ ,‬עם אותן הנחות על שדה הבסיס ‪ ,K‬כל הרחבה צקלית היא‬ ‫רדיקלית‪-‬פשוטה‪ .‬בהוכחת הכיוון ההפוך נזדקק לעובדה הבאה‪:‬‬ ‫למה ‪ 18.4‬לכל שדה ‪ ,L‬איברי )‪ Aut (L‬הם בלתי‪-‬תלויים לינארית מעל ‪.L‬‬ ‫דהיינו‪ ,‬אם )‪ σ1 , . . . , σm ∈ Aut (L‬אוטומורפיזמים שונים וקיימים ‪ α1 , . . . , αm ∈ L‬שבעבורם‬ ‫‪α1 σ1 (ω) + . . . + αm σm (ω) = 0‬‬ ‫לכל ‪ ,ω ∈ L‬אזי ‪.α1 = . . . = αm = 0‬‬

‫‪18.1‬‬

‫‪271‬‬

‫הרחבות רדיקליות‪-‬פשוטות‬

‫הוכחה‪ :‬נניח כי יש תלות לינארית‪ ,‬וכי התלות הקטנה ביותר מערבת ‪ m‬אוטומורפיזמים‪ .‬כלומר‪ ,‬כל‬ ‫‪ m − 1‬אוטומורפיזמים הם בלתי‪-‬תלויים לינארית‪ ,‬אך קיימת תלות של )‪ .σ1 , . . . , σm ∈ Aut (L‬תהי‬ ‫‪α1 σ 1 + . . . + αm σ m = 0‬‬ ‫התלות‪ .‬בפרט‪ ,‬כל ה‪-αi -‬ים שונים מאפס‪ .‬יהי ‪ ω0 ∈ L‬איבר שבעבורו ) ‪) σ1 (ω0 ) ̸= σm (ω0‬קיים איבר‬ ‫כזה‪ ,‬אחרת ‪ .(σ1 = σm‬לכל ‪ ω ∈ L‬מתקיים‬ ‫‪, α1 σ1 (ω0 ω) + . . . + αm σm (ω0 ω) = 0‬‬ ‫כלומר‪,‬‬ ‫)‪(25‬‬

‫‪.α1 σ1 (ω0 ) σ1 (ω) + . . . + αm σm (ω0 ) σm (ω) = 0‬‬

‫אם נכפיל את התלות ‪ α1 σ1 (ω) + . . . + αm σm (ω) = 0‬ב‪ σm (ω0 )-‬נקבל שלכל ‪ w‬ב‪L-‬‬ ‫‪.α1 σm (ω0 ) σ1 (ω) + . . . + αm σm (ω0 ) σm (ω) = 0‬‬ ‫ואם נחסר מהמשוואה האחרונה את )‪ ,(25‬נקבל שלכל ‪,w ∈ L‬‬ ‫‪.α1 [σm (ω0 ) − σ1 (ω0 )] σ1 (ω) + . . . + αm−1 [σm (ω0 ) − σm−1 (ω0 )] σm−1 (ω) = 0‬‬ ‫קיבלנו תלות לינארית של ‪ σ1 , . . . , σm−1‬שבה המקדם של ‪ σ1‬איננו אפס‪ ,‬וזו סתירה למינימליות של ‪.m‬‬

‫שורשי היחידה מסדר ‪ .N‬כל הרחבה צקלית של ‪K‬‬ ‫כל √ (‬ ‫משפטון ‪ 18.5‬יהי ‪ K‬שדה ממציין ‪ 0‬שמכיל את )‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ K‬עם ‪.b ∈ K‬‬ ‫מדרגה ‪ N‬היא הרחבה רדיקלית‪-‬פשוטה מהצורה ‪b‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ L‬הרחבה צקלית מדרגה ‪ N‬של ‪ K‬ויהי ‪ σ‬יוצר של החבורה הצקלית ) ‪) .Gal (L/K‬זכרו כי‪,‬‬ ‫בפרט‪ L/K ,‬גלואה‪ ,‬ולכן חבורת גלואה היא מסדר השווה לדרגת ההרחבה‪ ,‬כלומר ל‪ (.N -‬לכל ‪ β ∈ L‬ולכל‬ ‫שורש יחידה ‪ ζ‬מסדר ‪ ,N‬נסמן ב‪ (β, ζ) ∈ L-‬את האיבר‬ ‫)‪. (β, ζ) = β + ζσ (β) + ζ 2 σ 2 (β) + . . . + ζ N −1 σ N −1 (β‬‬ ‫נציין שאיבר זה מכונה הרזולבנטה )‪ (resolvent‬של לגרנז'‪ .‬נבחר את ‪ ζ‬להיות שורש יחידה פרימיטיבי‪,‬‬ ‫כלומר יוצר של חבורת שורשי היחידה ‪) WN‬ראו הגדרה ‪ (13.22‬ונניח כי ‪ .(β, ζ) ̸= 0‬נראה כי תחת הנחה‬ ‫זו )‪ (β, ζ‬הוא רדיקל שיוצר את השדה ‪ L‬מעל ‪.K‬‬ ‫אם נפעיל את ‪ σ‬על )‪ (β, ζ‬נקבל‬ ‫)‪σ ((β, ζ)) = σ (β) + ζσ 2 (β) + ζ 2 σ 3 (β) + . . . + ζ N −1 σ N (β‬‬ ‫‪= σ (β) + ζσ 2 (β) + ζ 2 σ 3 (β) + . . . + ζ N −1 β‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫)‪= ζ −1 β + ζσ (β) + ζ 2 σ 2 (β) + . . . + ζ N −1 σ N −1 (β) = ζ −1 (β, ζ‬‬ ‫בפרט‪,‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪N‬‬

‫)‪(β, ζ) = (β, ζ‬‬

‫‪−N‬‬

‫)‬ ‫‪=ζ‬‬

‫‪N‬‬

‫(‬

‫)‪, σ (β, ζ‬‬

‫‪18.1‬‬

‫‪272‬‬

‫הרחבות רדיקליות‪-‬פשוטות‬

‫כלומר‪ ,‬האיבר ‪ (β, ζ)N‬נשמר על‪-‬ידי ‪ σ‬ועל כן על‪-‬ידי כל ) ‪ ,Gal (L/K‬ולפיכך שייך לשדה השבת של החבורה‬ ‫כולה‪ ,‬הלוא הוא ‪.K‬‬ ‫אם כן‪ K ((β, ζ)) ,‬היא הרחבה רדיקלית‪-‬פשוטה מהצורה המבוקשת )איבר שחזקה ‪-N‬ית שלו שייכת‬ ‫נשים לב ש‪ (β, ζ)-‬אינו נשמר על‪-‬ידי אף לא אחד מבין ‪ ,σ, σ 2 , . . . , σ N −1‬שכן‬ ‫ל‪.(K-‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪L‬‬ ‫)‪ , σ ((β, ζ)) = ζ (β, ζ‬ולפיכך אינו שייך לאף שדה‪-‬ביניים של ההרחבה ‪ , /K‬שהיא כזכור‪ ,‬גלואה‪.‬‬ ‫לפיכך ‪.K ((β, ζ)) = L‬‬ ‫נותר להראות כי קיים ‪ β ∈ L‬כך ש‪ .(β, ζ) ̸= 0-‬לשם כך נשתמש בלמה האחרונה שהראתה‬ ‫שהאוטומורפיזמים ‪ σ 0 , σ 1 , . . . , σ N −1‬אינם תלויים לינארית מעל ‪ ,L‬ובפרט‬ ‫‪.σ 0 + ζσ + ζσ 2 + . . . + ζ N −1 σ N −1 ̸= 0‬‬ ‫פירוש הדבר שישנו ‪ β ∈ L‬שמקיים‬ ‫‪(β, ζ) = σ 0 (β) + ζσ (β) + ζ 2 σ 2 (β) + . . . + ζ N −1 σ N −1 (β) ̸= 0‬‬ ‫כנדרש‪.‬‬

‫הרחבת‬ ‫‪Kummer‬‬

‫הערה ‪ 18.6‬משפטונים ‪ 18.3‬ו‪ 18.5-‬מהווים חלק מתורת קומר )‪ (Kummer‬שחוקרת הרחבות אבליות של‬ ‫שדות‪ .‬ההרחבות הרדיקליות הפשוטות שניתחנו כאן מהוות מקרה פרטי של הרחבות קומר‪ .‬אם שדה ‪K‬‬ ‫מכיל את כל שורשי היחידה ה‪-N -‬יים באשר ‪ N‬זר למציין של ‪) K‬אם מציין זה סופי(‪ ,‬אזי הרחבת גלואה‬ ‫‪ L/K‬תקרא קומר אם חבורת גלואה המתאימה היא אבלית עם אקספוננט ‪ ,N‬כלומר כל איבריה מקיימים‬ ‫‪.σ N = 1‬‬ ‫אם נזנח את ההנחה בדבר קיומם של שורשי יחידה ב‪ ,K-‬נקבל כי שדה הפיצול של ‪ xN − b‬מעל ‪ K‬אינו‬ ‫מתאים בהכרח לחבורה צקלית‪ ,‬אך בהכרח כן מתאים לחבורה פתירה‪:‬‬ ‫מסקנה ‪ 18.7‬יהיו ‪ K‬שדה ממציין ‪ b ∈ K ,0‬ו‪ L-‬שדה הפיצול של ‪ xN − b‬מעל ‪ .K‬אזי ) ‪ Gal (L/K‬היא‬ ‫חבורה פתירה‪.‬‬ ‫נעיר שכשדה פיצול של פולינום ספרבילי‪ L/K ,‬אמנם הרחבת גלואה‪ .‬בנוסף‪ ,‬נזכיר כי חבורה ‪ G‬נקראת‬ ‫פתירה אם קיימת סדרה נורמלית‬ ‫}‪G = G0 D G1 D . . . D Gr = {e‬‬ ‫של תת‪-‬חבורות כך שהמנות ‪ Gi /Gi+1‬אבליות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ) ‪ G = Gal (L/K‬חבורת גלואה של ההרחבה‪ .‬נסמן ב‪ α1 , . . . , αN -‬את שורשי ‪xN − b‬‬ ‫ב‪ .L-‬ואז ‪ 1 = αα11 , αα12 , . . . , ααN1‬הם ‪ N‬שורשי יחידה שונים בתוך ‪ .L‬כלומר‪ L ,‬מכיל גם את כל שורשי‬ ‫היחידה ה‪-N -‬יים‪ ,‬ועל כן גם ‪ xN − 1‬מתפצל בו‪ .‬יהי ‪ K ′‬שדה הפיצול של ‪ xN − 1‬מעל ‪) K‬ובתוך ‪.(L‬‬ ‫תת‪-‬החבורה ) ‪ H = Gal (L/K ′‬היא צקלית לפי משפטון ‪ .18.3‬כמובן‪ ,‬גם ‪ K ′/K‬גלואה‪ ,‬למשל כי ‪xN − 1‬‬ ‫ספרבילי‪ .‬כפי שראינו במשפטון ‪ ,13.24‬חבורת גלואה ) ‪ Gal (K ′/K‬היא אבלית )למעשה‪ ,‬היא איזומורפית‬ ‫לתת‪-‬חבורה של ∗)‪ .((Z/N Z‬לבסוף‪ ,‬לפי המשפט היסודי של גלואה‪ H E G ,‬ו‪-‬‬ ‫∼ ) ‪.Gal (K ′/K‬‬ ‫‪= G/H‬‬

‫‪18.2‬‬

‫‪273‬‬

‫הרחבות רדיקליות וחבורות גלואה פתירות‬

‫בכך הראנו כי הסדרה הנורמלית }‪ G D H D {e‬היא סדרה נורמלית עם מנות אבליות בעבור ‪ ,G‬ולכן ‪G‬‬ ‫פתירה‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫}‪{e‬‬ ‫צקלית‬

‫‪H‬‬

‫‪K′‬‬ ‫אבלית‬

‫‪G‬‬

‫‪18.2‬‬

‫‪K‬‬

‫הרחבות רדיקליות וחבורות גלואה פתירות‬

‫נזכיר כי אנו מעוניינים להבין מתי פולינום ניתן לפתרון על‪-‬ידי רדיקלים‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 18.8‬נאמר כי פולינום ]‪ f ∈ K [x‬ניתן לפתרון באמצעות רדיקלים אם יש ל‪ K-‬הרחבה רדיקלית‬ ‫שבה ‪ f‬מתפצל‪.‬‬ ‫למה ‪ 18.9‬נניח כי ‪ K‬שדה ממציין ‪ 0‬וכי ]‪ f ∈ K [x‬ניתן לפתרון על‪-‬ידי רדיקלים‪ .‬אזי שדה הפיצול של ‪f‬‬ ‫מוכל בהרחבה רדיקלית של ‪ K‬שהיא גלואה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ L‬הרחבה רדיקלית של ‪ K‬שבה ‪ f‬מתפצל‪ .‬נניח כי ) ‪ L = K (α1 , . . . , αr‬עם ‪α1 , . . . , αr‬‬ ‫סדרה רדיקלית‪ .‬יהיו ‪ m1 , . . . , mr‬הפולינומים המינימליים של ה‪-αi -‬ים מעל ‪ ,K‬ותהי ]‪m ∈ K [x‬‬ ‫מכפלתם‪ .‬יהי ‪ M‬שדה הפיצול של ‪ m‬מעל ‪ .K‬אזי ‪ M/K‬הוא גלואה כשדה פיצול מעל שדה ממציין ‪,0‬‬ ‫וברור כי ‪ .L ⊆ M‬נראה כי ‪ M‬אף הוא הרחבה רדיקלית של ‪.K‬‬ ‫יהי ‪ βi ∈ M‬שורש של הפולינום ‪ .mi‬בפרט‪ ,‬השדות ) ‪ K (αi‬ו‪ K (βi )-‬איזומורפיים‪ ,‬וניתן להרחיב‬ ‫את האיזומורפיזם ביניהם לאיזומורפיזם ‪ σ‬של ‪ M‬כולו‪) .‬הטיעון כאן הוא סטנדרטי‪ :‬האיזומורפיזם‬ ‫∼‬ ‫=‬ ‫) ‪ τ : K (αi ) → K (βi‬הוא בפרט שיכון של ) ‪ K (αi‬לתוך ‪ ,M‬הסגור האלגברי של ‪ .M‬לכן ניתן להרחיב‬ ‫את ‪ τ‬לשיכון ‪ σ : M → M‬של ‪ M‬כולו‪ .‬לבסוף‪ ,‬מכיוון ש‪ M/K -‬גלואה‪ ,‬כל שיכון של ‪ M‬לתוך ‪ M‬שמרחיב‬ ‫את הזהות על ‪ ,K‬הוא בהכרח אוטומורפיזם של ‪ — M‬ראו משפט ‪ .15.3‬ברור כי‬ ‫‪σL = σ (K (α1 , . . . , αi , . . . , αr )) = K (σα1 , . . . , σαi , . . . , σαr ) ⊆ M‬‬ ‫איזומורפי ל‪) L-‬דרך ‪ ,(σ‬ולכן גם ‪ σL‬הרחבה רדיקלית‪ .‬בפרט‪ ,‬ניתן לספח את ‪ βi‬כחלק מסדרה רדיקלית‬ ‫‪ σα1 , . . . , σαi = βi , . . . , σαr‬מעל ‪ .K‬מכאן ברור כי ניתן לבנות סדרה רדיקלית ליצירת ‪ M‬מעל ‪.K‬‬ ‫יש בידינו כעת כל הרכיבים הדרושים להוכחת הקשר היסודי שמצא גלואה בין הרחבות רדיקליות לבין‬ ‫חבורות פתירות‪ .‬נזכיר כי חבורת גלואה של פולינום היא חבורת האוטומורפיזמים של שדה הפיצול שלו‬ ‫)מעל שדה הבסיס — הגדרה ‪.(16.16‬‬ ‫משפט ‪ 18.10‬יהי ‪ K‬שדה ממציין ‪ .0‬פולינום ]‪ f ∈ K [x‬ניתן לפתרון באמצעות רדיקלים אם ורק אם‬ ‫חבורת גלואה של הפולינום היא פתירה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח תחילה כי ‪ f‬ניתן לפתרון באמצעות רדיקלים ונוכיח כי חבורת גלואה שלו פתירה‪.‬‬ ‫צעד ‪ :I‬יהי ‪ L′‬שדה הפיצול של ‪ f‬מעל ‪ .K‬לפי למה ‪ L′ ,18.9‬מוכל בתוך הרחבת גלואה רדיקלית ‪.L/K‬‬ ‫נסמן ב‪ H ≤ Gal (L/K )-‬את תת‪-‬החבורה המתאימה ל‪ .L′ -‬לפי משפט גלואה‪ ,‬מכיוון ש‪ L′/K -‬גלואה‪,‬‬

‫פתרון פולינום‬ ‫באמצעות‬ ‫רדיקלים‬

‫‪274‬‬

‫‪18.2‬‬

‫הרחבות רדיקליות וחבורות גלואה פתירות‬

‫) ‪ H E Gal (L/K‬והמנה ‪ Gal (L/K ) /H‬היא חבורת גלואה של ‪ ,L′/K‬כלומר חבורת גלואה של ‪ .f‬כלומר‪,‬‬ ‫עלינו להוכיח ש‪ Gal (L/K ) /H-‬פתירה‪ .‬מכיוון שזו מנה של ) ‪ ,Gal (L/K‬די להוכיח ש‪ Gal (L/K )-‬פתירה‬ ‫)משפט ‪ (6.30‬ואת זאת נעשה להלן‪ .‬למעשה‪ ,‬ניתן לשכוח בשלב זה את ‪ :f‬אנו נוכיח כי להרחבת גלואה‬ ‫רדיקלית מתאימה חבורה פתירה‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫צעד ‪ :II‬תהי ‪ α1 , . . . , αr‬סדרה רדיקלית בעבור ההרחבה ‪ , /K‬ויהיו ‪ Ni‬טבעיים המקיימים‬ ‫) ‪ .αiNi = bi ∈ K (α1 , . . . , αi−1‬יהיו ‪ N‬מספר טבעי המתחלק בכל ה‪-Ni -‬ים‪ ,‬ו‪ ζ-‬שורש יחידה פרימיטיבי‬ ‫מסדר ‪) N‬מעל ‪ .(K‬ההרחבה )‪ L (ζ‬מכילה‪ ,‬אם כן‪ ,‬את כל שורשי היחידה ה‪-N -‬יים מעל ‪ ,K‬ולפיכך גם‬ ‫את כל שורשי היחידה ה‪-Ni -‬יים‪ ,‬לכל ‪ .i‬ההרחבה ‪ L(ζ)/K‬גם היא הרחבת גלואה רדיקלית‪ :‬ברור כי היא‬ ‫רדיקלית )פשוט נצרף את ‪ ζ‬לסדרה הרדיקלית של ‪ ;(L‬כדי להשתכנע שהיא גלואה‪ ,‬ניתן לשים לב שאם‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪ L‬שדה הפיצול של הפולינום ‪ g‬מעל ‪ ,K‬אז )‪ L (ζ‬היא שדה הפיצול של ‪) xN − 1 g‬הספרביליות נובעת‬ ‫מכך שהמציין הוא אפס(‪ .‬שוב‪ ,‬מכיוון ש‪ L/K -‬גלואה‪ ,‬חבורת גלואה שלה היא מנה של ) ‪ ,Gal (L(ζ)/K‬ודי‬ ‫להוכיח כי החבורה האחרונה היא גלואה‪.‬‬ ‫צעד ‪ :III‬נסתכל במגדל ההרחבות‬ ‫)‪K ⊆ K (ζ) = K0 ⊆ K1 ⊆ . . . ⊆ Kr = L (ζ‬‬ ‫כך ש‪) .Ki = Ki−1 (αi )-‬ודאו שאתם מבינים מדוע אכן )‪ .(Kr = L (ζ‬נכתוב ) ‪ ,G = Gal (L(ζ)/K‬נסמן‬ ‫ב‪ Gi ≤ G-‬את תת‪-‬החבורה המתאימה ל‪ ,Ki -‬וכך נקבל‪ ,‬לפי משפט גלואה‪ ,‬סדרה של תת‪-‬חבורות של ‪G‬‬ ‫)‪(26‬‬

‫}‪G ≥ G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr = {e‬‬

‫)שימו לב שהפעם ‪ G ≥ G0‬והן לאו דווקא שוות זו לזו(‪ .‬ההרחבה‬ ‫חבורת גלואה אבלית( לפי משפטון ‪ .13.24‬לפי משפט גלואה‪ G D G0 ,‬וכן‬

‫‪K(ζ)/K‬‬

‫היא גלואה ואבלית )בעלת‬

‫∼ ‪G/G0‬‬ ‫) ‪= Gal (K(ζ)/K‬‬ ‫ועל כן מנה זו אבלית‪ .‬יתר ההרחבות במגדל‪ ,Ki/Ki−1 ,‬הן צקליות )גלואה עם חבורת גלואה צקלית( לפי‬ ‫משפטון ‪ .18.3‬לפי משפט גלואה‪ ,‬פירוש הדבר ש‪ Gi−1 D Gi -‬וכי‬ ‫∼ ‪Gi−1 /Gi‬‬ ‫) ‪= Gal (Ki/Ki−1‬‬ ‫ולכן המנות ‪ Gi−1 /Gi‬צקליות‪ ,‬ובפרט אבליות ‪ .4‬מכאן שהסדרה )‪ (26‬היא סדרה נורמלית עם מנות אבליות‬ ‫בעבור ‪ .G‬לפיכך‪ G ,‬פתירה‪.‬‬ ‫מאידך‪ ,‬נניח כי חבורת גלואה של ‪ f‬היא פתירה‪ ,‬ונראה כי ‪ f‬ניתן לפתרון על‪-‬ידי רדיקלים‪.‬‬ ‫צעד ‪ :I‬לפי הנתון‪ ,‬אם ‪ L‬שדה הפיצול של ‪ f‬מעל ‪ K‬אז ) ‪ Gal (L/K‬היא פתירה )שימו לב ש‪ L/K -‬בהכרח‬ ‫נסמן‬ ‫‪.(charK‬‬ ‫הרחבת גלואה‪ ,‬שכן היא נורמלית כשדה פיצול וספרבילית כי ‪= 0‬‬ ‫|) ‪ ,N = [L : K] = |Gal (L/K‬ויהי ‪ ζ‬שורש יחידה פרימיטיבי מסדר ‪ N‬מעל ‪ .K‬ההרחבה ‪L(ζ)/K‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫גם היא גלואה‪ L (ζ) :‬הוא שדה הפיצול של ‪ xN − 1 f‬מעל ‪ .K‬נסמן ) ‪ G = Gal (L(ζ)/K‬וב‪ H-‬את‬

‫‪4‬משפט גלואה כפי שמופיע בספר זה )משפט ‪ (16.6‬מתייחס רק לתת‪-‬הרחבות של שדה הבסיס )‪ K‬במקרה זה( ולא להרחבות של‬ ‫שדה‪-‬ביניים ) ‪ Ki−1‬במקרה זה(‪ ,‬אך ניתן להתייחס‪ ,‬למשל‪ ,‬להרחבה ‪ Ki/Ki−1‬בתוך הרחבת גלואה ‪.L(ζ)/Ki−1‬‬

‫‪18.2‬‬

‫‪275‬‬

‫הרחבות רדיקליות וחבורות גלואה פתירות‬

‫תת‪-‬החבורה המתאימה ל‪.L-‬‬ ‫}‪{e‬‬

‫)‪L (ζ‬‬

‫‪H‬‬

‫‪L‬‬

‫‪G‬‬

‫‪K‬‬

‫∼ ‪ .G/H‬החבורה ‪ H‬היא‬ ‫לפי משפט גלואה והעובדה ש‪ L/K -‬גלואה‪ ,‬מתקיים ‪ H E G‬ו‪= Gal (L/K )-‬‬ ‫אבלית )ראו משפטון ‪ (13.24‬ובפרט פתירה‪ .‬המנה ‪ G/H‬פתירה לפי הנתון‪ .‬לפי משפט ‪ ,6.30‬גם‬ ‫) ‪ G = Gal (L(ζ)/K‬פתירה )משפט זה גורס‪ ,‬בין היתר‪ ,‬שאם ‪ A E B‬חבורות ו‪ A-‬ו‪ B/A-‬פתירות אז‬ ‫גם ‪ B‬פתירה(‪.‬‬ ‫צעד ‪ :II‬נתבונן גם בהרחבה הצקלוטומית )‪ ,K (ζ‬ונרצה להראות ש‪.[L (ζ) : K (ζ)] | N -‬‬ ‫)‪L (ζ‬‬

‫‪GG‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪? GG‬‬

‫||‬ ‫||‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫||‬ ‫‪L CC‬‬ ‫‪CC‬‬ ‫‪CC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N CC‬‬

‫)‪K (ζ‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪vv‬‬ ‫‪vv‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪vv‬‬

‫‪K‬‬

‫נשים לב ש‪ L (ζ)-‬הוא הקומפוזיטום של ‪ L‬ושל )‪) K (ζ‬ראו הגדרה בתרגיל ‪ .(17.34‬מכך ש‪ L/K -‬גלואה‬ ‫נובע )לפי תרגיל ‪ (17.34‬כי גם )‪ L(ζ)/K(ζ‬גלואה וכי חבורת גלואה של )‪ L(ζ)/K(ζ‬ניתנת לשיכון בתוך חבורת‬ ‫גלואה של ‪ .L/K‬לכן |))‪ |Gal (L(ζ)/K(ζ‬מחלק את ‪ ,N‬ולפיכך גם ])‪ [L (ζ) : K (ζ‬מחלק את ‪.N‬‬ ‫השדה )‪ K (ζ‬הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬הרחבה רדיקלית של ‪ ,K‬לפי ההגדרה‪ ,‬ותהי‬ ‫צעד ‪:III‬‬ ‫)‪L(ζ‬‬ ‫‪ J = Gal ( /K(ζ)) ≤ G‬תת‪-‬החבורה המתאימה לו‪ .‬כמו כל תת‪-‬חבורה של חבורה פתירה‪ ,‬גם ‪J‬‬ ‫פתירה )ודאו שאתם מבינים מדוע(‪ .‬כפי שראינו בלמדנו על חבורות פתירות סופיות )למשל‪ ,‬טענה ‪,(6.28‬‬ ‫יש לפיכך ל‪ J-‬סדרה נורמלית עם מנות צקליות )לדוגמה‪ ,‬כל סדרת הרכב שלה(‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫}‪J = J0 D J1 D . . . D Jr = {e‬‬ ‫עם ‪ Ji /Ji+1‬צקלית‪ .‬יהי ‪ Ki‬שדה השבת המתאים ל‪:Ji -‬‬ ‫‪{e} = Jr‬‬

‫‪L (ζ) = Kr‬‬

‫צקלית‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫צקלית‬

‫‪J1‬‬

‫‪K1‬‬

‫צקלית‬

‫‪J = J0‬‬

‫‪K (ζ) = K0‬‬ ‫רדיקלית‬

‫‪G‬‬

‫‪K‬‬

‫‪18.3‬‬

‫‪276‬‬

‫פולינום בלתי פתיר מעל ‪Q‬‬

‫לכל ‪ 1 ≤ i ≤ r‬נסמן ] ‪ Ni = [Ki : Ki−1‬ונשים לב ש‪ Ni |N -‬כי‬ ‫‪. [Ki+1 : Ki ] | [L (ζ) : K (ζ)] | [L : K] = N‬‬ ‫מכיוון ש‪ K (ζ)-‬מכיל את כל שורשי היחידה מסדר ‪ ,N‬הוא )וכמובן ‪ (Ki−1‬מכילים בפרט את כל שורשי‬ ‫היחידה מסדר ‪ .Ni‬כעת נוכל להפעיל את משפטון ‪ 18.5‬ולקבל כי ההרחבה ‪ Ki/Ki−1‬היא רדיקלית )ואפילו‬ ‫רדיקלית‪-‬פשוטה(‪ .‬מכאן נובע כי ‪ L(ζ)/K‬היא הרחבה רדיקלית‪ ,‬ולכן ‪ f‬ניתן לפתרון באמצעות רדיקלים‪.‬‬

‫‪18.3‬‬

‫פולינום בלתי פתיר מעל ‪Q‬‬

‫לפי המשפט של גלואה שזה עתה הוכחנו )משפט ‪ ,(18.10‬כדי לתת דוגמה לפולינום שאינו פתיר על‪-‬ידי‬ ‫רדיקלים‪ ,‬מספיק למצוא דוגמה לפולינום שלשדה הפיצול שלו יש חבורת גלואה לא פתירה‪ .‬כפי שראינו‪,‬‬ ‫ישנם שדות שבהם לא ניתן להשיג זאת )למשל שדה סגור אלגברית או שדה סופי(‪ .‬להלן נעשה זאת עם‬ ‫השדה ‪ ,Q‬אך תחילה נזכיר כמה עובדות מתורת החבורות‪.‬‬ ‫ראשית‪ ,‬היזכרו שחבורת התמורות הזוגיות ‪ An‬היא פשוטה לכל ‪) n ≥ 5‬משפט ‪ ,(4.31‬ושמכך נובע‬ ‫שהחבורה ‪ Sn‬היא לא‪-‬פתירה לכל ‪.n ≥ 5‬‬ ‫למה ‪ 18.11‬יהי ‪ p‬ראשוני‪ .‬תהיינה ‪ σ ∈ Sp‬תמורה שהיא ‪-p‬מחזור ו‪ τ ∈ Sp -‬תמורה שהיא חילוף‪ .‬אזי‬ ‫‪.⟨σ, τ ⟩ = Sp‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי )‪ τ = (a b‬ונכתוב את ה‪-p-‬מחזור של ‪ σ‬כ‪,(a c1 c2 . . . cr−1 b cr+1 . . . cp−1 )-‬‬ ‫כלומר ‪ ,σ r (a) = b‬עם ‪ .1 ≤ r ≤ p − 1‬גם ‪ σ r‬הוא ‪-p‬מחזור‪ ,‬מהצורה )‪ .σ r = (a b . . .‬עד כדי שינוי‬ ‫שמות‪ ,‬אנחנו כעת במצב הנתון בתרגיל ‪ ,4.12‬שבו הראתם כי ‪ ,⟨σ r , τ ⟩ = Sp‬ולפיכך גם ‪.⟨σ, τ ⟩ = Sp‬‬ ‫תרגיל ‪ 18.12‬הראו כי הלמה האחרונה אינה נכונה ל‪ Sn -‬כאשר ‪ n‬אינו ראשוני‪) .‬כלומר‪ ,‬מצאו דוגמה‬ ‫נגדית לכל ‪ n‬שאינו ראשוני‪ .‬השוו עם תרגיל ‪(.4.12‬‬ ‫למה ‪ 18.13‬יהיו ‪ p‬ראשוני ו‪ f ∈ Q [x]-‬פולינום אי‪-‬פריק ממעלה ‪ ,p‬ונניח כי בתוך ‪ C‬יש ל‪ f -‬בדיוק ‪p − 2‬‬ ‫שורשים ממשיים ועוד ‪ 2‬שורשים מרוכבים‪ .‬אזי חבורת גלואה של ‪ f‬היא ‪.Sp‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ L‬שדה הפיצול של ‪ f‬ו‪ .G = Gal (L/Q)-‬כפי שראינו )במשפט ‪ G ,(13.31‬איזומורפית לתת‪-‬‬ ‫חבורה של ‪ Sp‬דרך פעולתה על שורשי ‪ .f‬אם ‪ α‬שורש של ‪ ,f‬אז ‪ ,[Q (α) : Q] = p‬ולכן‬ ‫|‪.p | [L : Q] = |G‬‬ ‫מכאן נסיק‪ ,‬באמצעות משפט קושי )משפט ‪ ,(2.41‬שיש ב‪ G-‬איבר מסדר ‪ .p‬התמורות היחידות מסדר ‪p‬‬ ‫ב‪ Sp -‬הן ‪-p‬מחזורים‪ ,‬ועל כן ‪ G‬מכילה ‪-p‬מחזור‪.‬‬ ‫יהי )‪ τ ∈ Aut (C/Q‬אוטומורפיזם ההצמדה )של מספרים מרוכבים‪ ,‬כלומר ‪ .(z 7→ z‬מכיוון ש‪L/Q-‬‬ ‫השורשים‬ ‫נורמלית‪ τ ,‬משמר את ‪) L‬אם כי לא נקודתית‪ ,‬וראו תרגיל ‪ ,(15.6‬וכמובן‪ ,‬הוא מקבע את ‪p − 2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫הממשיים‪ .‬מאידך‪ ,‬הוא חייב להחליף בין שני השורשים המרוכבים )שהם צמודים‪ ,‬לפיכך(‪ .‬לכן ‪,τ ∈ G‬‬ ‫‪L‬‬ ‫ומהווה חילוף ב‪ .G-‬לפי הלמה הקודמת‪.G = Sp ,‬‬ ‫דוגמה ‪ 18.14‬נתבונן בפולינום‬ ‫‪f = x − 6x + 3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪18.3‬‬

‫פולינום בלתי פתיר מעל ‪Q‬‬

‫‪277‬‬

‫מעל ‪ .Q‬לפי קריטריון אייזנשטיין )עם ‪ f ,(p = 3‬אי‪-‬פריק‪ .‬מכיוון שלנגזרת ‪ f ′ = 5x4 − 6‬יש שני‬ ‫שורשים ממשיים‪ ,‬שנסמנם ‪ ,±θ‬ומתקיים )‪ ,f (−θ) > 0 > f (θ‬קל לראות של‪ f -‬יש בדיוק שלושה‬ ‫שורשים ממשיים‪.‬‬

‫‪θ‬‬ ‫‪-θ‬‬

‫על כן‪ ,‬פולינום זה מקיים את תנאי הלמה האחרונה‪ ,‬וחבורת גלואה שלו היא ‪ .S5‬בפרט‪ ,‬חבורה זו‬ ‫אינה פתירה ולפיכך ‪ f‬אינו ניתן לפתרון על‪-‬ידי רדיקלים‪.‬‬ ‫הדוגמה האחרונה מראה שיש פולינומים ממעלה חמישית מעל ‪ Q‬שלא ניתן לפתור באמצעות רדיקלים‪.‬‬ ‫מסקנה מיידית היא הבאה‪:‬‬ ‫מסקנה ‪) 18.15‬משפט אבל( אין נוסחה כללית לפתרון פולינומים ממעלה חמישית מעל ‪ Q‬באמצעות‬ ‫רדיקלים‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ 18.16‬לא כל הרחבה אלגברית סופית היא רדיקלית )אפילו לא מעל שדות ממציין ‪.(0‬‬ ‫במלים אחרות‪ ,‬סיפוח שורשים של פולינומים מהצורה ‪ xN −b‬אינו מספיק כדי להגיע לכל הרחבה אלגברית‬ ‫סופית‪.‬‬ ‫∼ )‪.Gal (L/Q‬‬ ‫תרגיל ‪ 18.17‬נראה כי לכל ראשוני ‪ p‬יש הרחבת גלואה ‪ L‬של ‪ Q‬עם ‪= Sp‬‬ ‫‪ .1‬יהיו ‪ k1 < k2 < . . . < kp−2‬מספרים זוגיים‪ ,‬ויהי ‪ m > 0‬זוגי נוסף‪ .‬נגדיר‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) ‪, h (x) = x2 + m (x − k1 ) (x − k2 ) . . . (x − kp−2‬‬ ‫ויהי }‪) r = min {|h (a)| | a ∈ R, h′ (a) = 0‬או ‪ r = 1‬אם הנגזרת לעולם אינה מתאפסת(‪.‬‬ ‫הוכיחו כי ‪.0 < r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬יהי ‪ n ∈ N‬אי‪-‬זוגי גדול מספיק כך ש‪ , n < r-‬ונגדיר ‪ .f (x) = h (x) − n‬הוכיחו כי )‪f (x‬‬ ‫∼ )‪) .Gal (L/Q‬רמז‪ :‬התבוננו‬ ‫מקיים את תנאי למה ‪ 18.13‬ועל כן שדה הפיצול שלו‪ ,L ,‬מקיים ‪= Sp‬‬ ‫ב‪(.nf (x)-‬‬ ‫‪ .3‬הסיקו שלכל חבורה סופית ‪ H‬יש הרחבות סופיות ‪ Q ⊆ K ⊆ M‬כך ש‪ M/K -‬הרחבת גלואה‬ ‫∼ ) ‪.Gal (M/K‬‬ ‫ו‪= H-‬‬ ‫הערה ‪ 18.18‬אילו חבורות סופיות ניתן לקבל כחבורות של הרחבות גלואה מעל ‪ ?Q‬ראינו זה עתה בתרגיל‬ ‫כי ניתן לקבל את ‪ Sp‬לכל ‪ p‬ראשוני‪ .‬בסעיף ‪ 17.2‬ראינו כי להרחבה הצקלוטומית ה‪-n-‬ית של ‪ Q‬מתאימה‬ ‫חבורת גלואה איזומורפית ל‪ .(Z/nZ)∗ -‬למעשה‪ ,‬ניתן להראות שכל חבורה אבלית סופית מתקבלת‬ ‫כחבורת גלואה מעל ‪) Q‬ראו תרגיל ‪ 18.19‬להלן(‪ ,‬ויתר על כן — זה קורה רק כתת‪-‬הרחבות של ההרחבות‬ ‫הצקלוטומיות )זהו משפט של ‪ .(Kronecker-Weber‬המתמטיקאי הרוסי שפרביץ' )‪ (Shafarevich‬הוכיח‬

‫‪18.4‬‬

‫‪278‬‬

‫המשוואה הפולינומיאלית הכללית‬

‫שכל חבורה פתירה ניתנת למימוש כחבורת גלואה מעל ‪ .Q‬למעשה‪ ,‬נכון לזמן כתיבת ספר זה‪ ,‬אין דוגמה‬ ‫לחבורה סופית שידוע שאינה מתקבלת כחבורת גלואה מעל ‪ .Q‬עם זאת‪ ,‬השאלה הכללית אם אמנם כל‬ ‫חבורה סופית מתקבלת כך‪ ,‬שאלה הקרויה ‪ ,Inverse Galois Problem‬עודנה פתוחה‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 18.19‬בתרגיל זה נוכיח כי לכל חבורה אבלית סופית ‪ A‬יש הרחבת גלואה ‪ L/Q‬המקיימת‬ ‫∼ )‪ .Gal (L/Q‬בהוכחה נשתמש במקרה פרטי של המשפט הקלאסי של דיריכלה שהוכחנו בתרגיל‬ ‫‪= A‬‬ ‫‪ :17.25‬לכל ‪ n‬טבעי יש אינסוף ראשוניים המקיימים )‪ .p ≡ 1 (mod n‬במלים אחרות‪ ,‬בסדרה החשבונית‬ ‫‪ n + 1, 2n + 1, 3n + 1, . . .‬יש אינסוף ראשוניים‪.‬‬ ‫∼ )‪.Gal (L/Q‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי אם ‪ A = Zn‬חבורה צקלית‪ ,‬אז יש הרחבת גלואה המקיימת ‪= A‬‬ ‫הדרכה‪ :‬השתמשו במקרה הפרטי של משפט דיריכלה‪ ,‬במסקנה ‪ 17.21‬לגבי שדה הפיצול של הפולינום‬ ‫הצקלוטומי ‪ Φp‬ובמשפט ‪.11.49‬‬ ‫∗‬ ‫‪ .2‬הוכיחו שכל חבורה אבלית סופית היא מנה של חבורה מהצורה )‪.(Z/nZ‬‬ ‫הדרכה‪ :‬היזכרו שכל חבורה אבלית סופית היא מהצורה ‪) Zm1 × Zm2 × . . . × Zmr‬משפט ‪.(7.16‬‬ ‫הסיקו ממשפט דיריכלה שישנם ראשוניים שונים ‪ p1 , . . . , pr‬כך ש‪ ,pi ≡ 1 mod mi -‬והשתמשו‬ ‫במסקנה ‪.10.40‬‬ ‫‪ .3‬הסיקו‪ ,‬בהסתמך על מסקנה ‪ ,17.21‬כי לכל חבורה אבלית סופית ‪ A‬יש הרחבת גלואה ‪ L/Q‬המקיימת‬ ‫∼ )‪.Gal (L/Q‬‬ ‫‪=A‬‬

‫‪18.4‬‬

‫המשוואה הפולינומיאלית הכללית‬

‫בתחילת הפרק הנוכחי הצגנו שתי שאלות מרכזיות שעולות סביב הנושא של פתרון פולינומים באמצעות‬ ‫רדיקלים‪ .‬המשפט המרכזי שהוכחנו לעיל‪ ,‬משפט ‪ ,18.10‬גרס שלפחות בעבור שדות ממציין אפס‪ ,‬פולינום‬ ‫נתון ניתן לפתרון על‪-‬ידי רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה שלו )כלומר‪ ,‬של שדה הפיצול שלו( היא פתירה‪.‬‬ ‫בכך‪ ,‬ביחד עם דוגמה פשוטה של פולינום מעל ‪ Q‬עם חבורת גלואה בלתי פתירה‪ ,‬הסקנו כי התשובה לשאלה‬ ‫השניה שלילית‪ :‬לא כל הרחבה אלגברית סופית היא הרחבה רדיקלית‪.‬‬ ‫השאלה האחרת‪ ,‬הראשונה‪ ,‬נסובה על קיומה של נוסחה לפתרון משוואה פולינומיאלית כללית ממעלה‬ ‫‪ n‬מעל שדה נתון ‪ K‬בעבור ‪ .n ≥ 5‬למעשה‪ ,‬גם על השאלה הראשונה ענינו באופן חלקי בפרק הקודם‪:‬‬ ‫ראינו כי לפחות מעל ‪ ,Q‬כאשר ‪ ,n = 5‬אין נוסחה כללית כזו )שאם לא כן כל פולינום ספציפי היה ניתן‬ ‫לפתרון על‪-‬ידי רדיקלים‪ ,‬כלומר הייתה לו חבורת גלואה פתירה‪ ,‬בסתירה לדוגמה ‪ .(18.14‬יתר על כן‪ ,‬תרגיל‬ ‫‪ 18.17‬הראה שאין נוסחה כללית למשוואה הפולינומיאלית ממעלה ‪ p‬מעל ‪ ,Q‬לכל ‪ p ≥ 5‬ראשוני‪.‬‬ ‫עם זאת‪ ,‬טרם ענינו על השאלה השניה במלואה‪ :‬עוד לא פסלנו את האפשרות לקיומה של נוסחה‬ ‫רדיקלית כללית לפתרון פולינומים ממעלה ‪ n‬מעל ‪ ,Q‬כאשר ‪ n ≥ 5‬ואינו ראשוני‪ ,‬ולא פסלנו את קיומה‬ ‫של נוסחה כזו ל‪ n ≥ 5-‬כלשהו מעל שדות אחרים‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪ K‬סגור אלגברית‪ ,‬כל פולינום ספציפי‬ ‫כמובן ניתן לפתרון על‪-‬ידי רדיקלים‪ ,‬אך אין להסיק מכך על קיומה של נוסחה כללית‪ .‬כך גם אם ‪ K‬שדה‬ ‫סופי‪ :‬כל איבר בהרחבה סופית של שדה סופי הוא בעצמו שורש יחידה ולכן מתקבל בהרחבה רדיקלית‪,‬‬ ‫אך מכאן לא נובעת קיומה של נוסחא כללית‪.‬‬ ‫בסעיף זה נענה על השאלה הזו באופן רחב יותר‪ ,‬ונדון באפשרות קיומה של נוסחה כללית לפתרון‬ ‫פולינום ממעלה ‪ n‬כלשהי מעל שדה ‪ K‬כלשהו )אם כי נתמקד‪ ,‬שוב‪ ,‬בשדה ממציין אפס(‪ .‬כפי שהסברנו‬ ‫בתחילת הפרק‪ ,‬ניתן לבטא מתמטית את העובדה שאנו מבקשים למצוא נוסחה כללית‪ ,‬שאינה תלויה‬ ‫בתכונותיהם האלגבריות של המקדמים של פולינום מסוים‪ ,‬בכך שנתייחס למקדמי הפולינום כאל משתנים‪,‬‬ ‫כלומר איברים טרנסצנדנטיים בלתי‪-‬תלויים אלגברית מעל ‪ .K‬את המשמעות המדויקת של מונח זה נתאר‬

‫‪18.4‬‬

‫‪279‬‬

‫המשוואה הפולינומיאלית הכללית‬

‫בפרק ‪ .19‬אולם המשמעות המעשית היא שאם מקדמי הפולינום הם ‪ ,s1 , . . . , sn‬נתייחס פשוט להרחבה‬ ‫) ‪M = K (s1 , . . . , sn‬‬ ‫של הפונקציות הרציונליות ב‪ n-‬משתנים מעל ‪.K‬‬ ‫מסתבר שיש קשר הדוק בין מקדמי פולינום לבין פונקציות סימטריות של שורשיו‪ .‬תחילה נסביר מונח‬ ‫זה‪ :‬אם ) ‪ L = K (t1 , . . . , tn‬שדה הפונקציות הרציונליות ב‪ n-‬משתנים מעל ‪ ,K‬החבורה ‪ Sn‬פועלת על‬ ‫‪ L‬באמצעות ערבול האינדקסים של ה‪-ti -‬ים‪ ,‬כלומר לפי הכלל הבא‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‪, σ.g (t1 , . . . , tn ) = g tσ(1) , . . . , tσ(n‬‬ ‫לכל ‪ σ ∈ Sn‬ו‪) g ∈ L-‬הבדיקה שזו אמנם פעולה היא מיידית(‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 18.20‬פונקציה רציונלית ) ‪ g (t1 , . . . , tn ) ∈ K (t1 , . . . , tn‬נקראת סימטרית אם היא נקודת‬ ‫שבת של כל תמורה מ‪.Sn -‬‬

‫פונקציה‬ ‫סימטרית‬

‫למשל‪ ,‬אם ‪ ,n = 3‬הפונקציה ‪ 5t1 t2 t3 − t13 − t23 − t33‬היא סימטרית‪ ,‬בעוד ש‪g = 2t12 t2 t3 − t1 t2 t3 -‬‬ ‫איננה סימטרית‪ :‬התמורה )‪ σ = (1 2 3‬מעבירה את ‪ g‬לפונקציה הנבדלת ‪.σ.g = 2t1 t22 t3 − t1 t2 t3‬‬ ‫בדיקה פשוטה מעלה כי הפעולה של כל תמורה ‪ σ ∈ Sn‬על ‪ L‬מגדירה‪ ,‬למעשה‪ ,‬אוטומורפיזם של ‪.L‬‬ ‫יתרה מזאת‪ ,‬אם ‪ σ‬מגדירה את אוטומורפיזם הזהות‪ ,‬היא בהכרח תמורת הזהות‪ .‬לפיכך קיבלנו כי‬ ‫)‪.Sn ≤ Aut (L‬‬ ‫הפונקציות הרציונליות הסימטריות במשתנים ‪ t1 , . . . , tn‬אינן אלא שדה השבת ‪ ,F (Sn ) ⊆ L‬שנקרא‬ ‫גם שדה הפונקציות הרציונליות הסימטריות‪.‬‬ ‫כדי להסביר את הקשר שבין פונקציות סימטריות לבין מקדמי פולינומים‪ ,‬נרחיב תחילה את פעולת‬ ‫‪ Sn‬על ‪ L‬לפעולה על חוג הפולינומים ]‪ ,L [x‬כך שהפעולה משנה רק את מקדמי הפולינום‪:‬‬ ‫‪( n‬‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪σ.‬‬ ‫= ‪gi xi‬‬ ‫‪σ (gi ) xi‬‬ ‫‪i=0‬‬

‫‪i=0‬‬

‫)שימו לב שהמקדמים ‪ gi‬הם עצמם איברים ב‪ ,L-‬כלומר פונקציות רציונליות ב‪ t1 , . . . , tn -‬מעל ‪ .(K‬כעת‬ ‫נתבונן בפולינום‬ ‫]‪, v (x) = (x − t1 ) (x − t2 ) . . . (x − tn ) ∈ L [x‬‬ ‫כל ‪ σ ∈ Sn‬מערבלת את גורמי ‪ v‬אך מותירה את ‪ v‬עצמו ללא שינוי‪:‬‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫‪. σ.v = x − tσ(1) x − tσ(2) . . . x − tσ(n) = (x − t1 ) (x − t2 ) . . . (x − tn ) = v‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬מקדמי ‪ v‬הן פונקציות סימטריות )ולמעשה פולינומים סימטריים( ב‪ .t1 , . . . , tn -‬לפונקציות‬ ‫הסימטריות המתקבלות כאן נודעת חשיבות מיוחדת‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 18.21‬הפונקציות הסימטריות האלמנטריות ‪ 5‬במשתנים ‪ t1 , . . . , tn‬הן‬ ‫‪s1 = t1 + . . . + tn‬‬ ‫‪5‬לעתים מכונות גם הפולינומים הסימטריים האלמנטריים‪.‬‬

‫הפונקציות‬ ‫הסימטריות‬ ‫האלמנטריות‬

‫‪18.4‬‬

‫‪280‬‬

‫המשוואה הפולינומיאלית הכללית‬

‫‪s2 = t1 t2 + t1 t3 + . . . + tn−1 tn‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∑‬ ‫‪tj1 tj2 . . . tji‬‬ ‫= ‪si‬‬ ‫‪j1